щшшштшшшЁШшт|

ЩШт

■в

ж

.

: :

•O

Inż. A. STRONCZAK-MIŁASZEWSKI.

BELKA CIĄGŁA

NA PODPORACH SPRĘŻYŚCIE UGINALNYCH I OBRACALNYCH.

Praca, przedstawiona 14 grudnia 1927 Politechnice Lwowskiej i przyjęta 3 lutego 1928 jako rozprawa doktorska przez Radę Wydziału Inżynierji Lądowej i Wodnej na wniosek Komisji egzaminu ścisłego, który odbył się 24 lutego 1928. Skład Komisji:

Przewodniczący: Prof. Dr. A. Wereszczyński,

Referenci: Prof. Inż. Dr. J. Bogucki,

Prof. Inż. Dr. S. Bryła,

Prof. Inż. Dr. M. T. Huber.

LWÓW - 1928.

ODBITKA Z »CZASOPISMA TECHNICZNEGO« 1928 R.

/fn\

Biblioteka Politechniki Krak

owskiej

Odbitka z „Czasopisma Technicznego“ 1928 r.

Dibit- » .„»i

KRAKOW

Щ i

*• fr

&.ß

ёС %

IM45t -

Inż. Adam Stronczak-Miłaszewski.

Belka ciągła na podporach sprężyście uginalnych i obracalnych.

Równanie trzech, momentów, znane pod nazwą równania Clapeyrona, pozwala rozwiązywać zagadnienia, odnoszące się do belki ciągłej na stałych podporach. Jeżeli podpory są sprężyście uginalne, ilość momentów w równaniu uogólnionem wzrasta do liczby pięciu. Jeżeli pójdziemy dalej w uogólnianiu i przyjmiemy podpory sprężyście uginalne i obracalne, ilość momentów wzrośnie do ośmiu.

Równanie trzech momentów ustawił pierwszy Bertot w r. 1855¹). Dopiero w dwa lata później, bo w 1857 r. ogłosił Clapeyron to samo równanie i przez długi czas jego uważano za autora tego ważnego prawa. Rozszerzenie dla nierówno wysokich podpór podał Mohr ²) w 1860 r. ; ten sam autor sprostował błędne mniemanie co do autorstwa Clapeyrona w 2 wydaniu swojego dzieła p. t. „Technische Mechanik'-'- dla różnych sztywności zginania poszczególnych przęseł podał Belangere w 1862 r.³). Dla podpór sprężyście uginalnych ustawił prof. H. Czopowski równanie 5 momentów (nie używając jednak tej nazwy) w 1896 r.⁴).

*) Comptes rendus de la société des Ingenieurs civils 1855,

tr.s 278.

²)    Zeitschr. d. Arch. u. Ing.-Ver. Hannover 1860 str. 828 i 407.

³)    Theorie de la résistance et de la flexion plane des solides.

Paris, 1862.

⁴) H. Czopowski : Belka wieloprzęsłowa na podporach sprężystych. Przegląd Techn. 1796, str. 292 i 387.

Akc„ Mr,

Późniejsze publikacje tyczące się równania 3 i 5 momentów :

M. T. Huber: Z teorji belki ciągłej. Czasop. Techn. 1925, str. 17.

„ „    „ Równanie 5 momentów. Czasop. Techn. 1927,

str. 17.

„r. „O nazwach pewnych twierdzeń z teorji belki ciągłej. Przegl. Techn. 1927, str. 441.

L. Karasiński : Ogólne równanie 5 momentów. Przegl. Techn.

1927, str. 626.

„    n    Ogólne wzory Clerca i Clapeyrona. Przegl.

Techn. 1927, str. 329.

V. Lewe: Die Berechnung durchlaufender Träger u. mehrst.

Rahmen nach der Methode des Zahlenrechtecks.

1916. (Wstęp historyczny).

Celem wyprowadzenia równania 8 momentów dla belki na podporach sprężyście uginalnych i obracalnych, zastosujemy zasadę Castigliano’a ¹).

Założenia : Podatność podpór określa spółczynnik podatności a o wymiarze cm/kg, obracalność podpór — kąt e o wymiarze l/kgcm; jestto kąt, o jaki obraca się sama podpora, jeśli na nią działa moment równy jedności. Pod⁻pory w stanie nieobciążonym są w różnych wysokościach-

Praca odkształcenia belki obciążonej dowolnemi siłami prostopadłemi do osi belki przedstawi się następująco:

Г*. Q²

6 w    i=r    *=»■

dx 1)

GF

V=\)Éi d*+ł2 Ж'-Ж/')²еi+ł2 A‘ a‘+ J J

mo-

Pierwsze wyrażenie przedstawia wpływ momentów, drugie sprężystej obracalności podpór, trzecie sprężystej uginalności podpór, czwarte wpływ sił poprzecznych. F oznacza pole przekroju belki, E moduł sprężystości, / moment bezwładności (inny dla każdego przęsła), G duł sprężystości postaciowej, к spółczynnik liczbowy zależny od postaci przekroju; M' oznacza moment na lewo, M" na prawo od г-tej podpory, 9Л oznacza moment jak dla belki wolno podpartej, F powierzchnię momentów, a \ b odległości środka ciężkości powierzchni momentów od obu podpór.

• • 2)

Uważając momenty podporowe za wielkości statycznie niewyznaczalne, otrzymamy w myśl zasady Castigliano’a : dU dMn

gdzie г>и—ihi-fi jest wartością uogólnionego przesunięcia ²).

¹) Bor. M. T. Huber: Z teorji belki ciągłej i Równanie 5 momentów.

²) Bor. Timoszenko-Huber: Kurs wytrzymałości materjałów str. 190 § 110.

Pierwszy człon równ. 1) przedstawia pracę momentów :

1ГЖ 2 Wl

U\ =

dx .

• . 8)

pochodna zaś tej pracy :

-dx 4 a) oraz

дЩ

дМл'

=UM

dM

dUt

àMn

дМп"

-iUM

dM

дМп

— dx 4 b)

Za Ж należy wstawić moment w dowolnym punkcie danego przęsła. Moment w w-tem przęśle wynosi :

Mxn=WXn+Mn_i".

г- «

.    .    5)

w n +1 zaś przęśle:

Mx, n+1 —3^4, m+l

,, , X

Ж+i' -—

4+1

. 6)

n-1

n+1

СЧ

£n+t

IQ

I/

--х—впн

Y/г

¹ n

m-1

ft

/7*/

Pochodne równ. 5) i 6) względem Ж⁷ oraz względem M" będą: dM

àMx, n+i 4+1 ® à Mn" дМп' 4+1 а Ж/ дМхп+i 4+1 2?

4+1

аж/⁷ аж/ аж/ ¹ ажй

musimy obliczyć, со uskutecznimy w następujący sposób :

аж/ 4 дмхп_х аж,/ аж/'~4 аж/⁷

7 a)

.    8 а)

аж/'

Otrzymaliśmy tu wyrażenia :

. 7 ft)

. . 8а)

// >

: które

Pochodna pracy odkształcenia momentów w-tega przęsła względem M' da wyniku kąt %n', o jaki skręci się styczna na rc-tej podporze; o ten sam kąt skręci się podpora skutkiem działania różnicy momentów M'—M". Możemy zatem napisać:

dM,

1 [ln

EIn) o

хп

дМп

Po wstawieniu wartości na M otrzymamy :

xj dx= гп'=(Мп'—Мп") En

. dM,

¹ àMn'

хп

.    8 с)

w równ. 8c)

ln—X

ln

Po wykonaniu całkowań wypadnie: ! En @"n

** ⁼ l„EI,

f Mn_x"

ln

6 EIn

VMn

Л-Мп'

ln

dx={Mn'—Mn") en

* 3 EIn

{Mn'-Mn")en 9)

Z równ. 9) obliczymy Mn" oraz

дМп"

dMn' '

Mn"

= — FMn' (En

£nl \

—__\_M ,n

3 EIn) Mn~x

ln

6 EIn lnEIn

10)

dMn"

ln

dMr

'    ¹    3 EIn En ’    *

. . 11)

Zupełnie w ten sam sposób obliczymy:

x U__ En+\bn+\

ln+iEIn+i

4+1

+ Mn"'3EI,+i = —(Mn' — Mn")En

4+i

6EIn+l

• • (12)

Mn' =

\^Mn" ^£n

4+1

3EIn+1

dMn'

-<    4+1

дмп"~ 3^4^;    *    •

Wstawiając uzyskane wyrażenia w równ. 8a) i 7 6), otrzymamy :

.    .    14)

dM

xn

x ^___4+1    \

4 V 3 EIn+1 En)

• . 16)

dMn"

d Mxn-\-\ 4+1 4+1

wstawiamy wartości powyżej otrzymane w równ. 4 a). Wchodzą tu w grę n-te i w+l-sze przęsło, gdyż dla reszty przęseł pochodne momentów są równe

Teraz

dMn'

SEIn En

. . 16)

zeru.

Ol

LfY

дМ ' EIJù V

düx

9)4 n + Mn—\ ' ' .

„ , X \ X ,

Ж/ t)tdxJr

^nr t*n

1 rln+1/

+Жп+1'.

+1+Д1

® \ 4+1 ^ i\ ^и + l/ 4+1    '

3 EIn En

Po wykonaniu całkowań otrzymamy :

.daj.

àUx _Fncin Fuą.\ bnĄ.i /^

àMn' ln EIn 4+1 EInĄ. 1 \

В EIn en

+ Mn—\"

'6 Eh

+ Jł/”'’3j57n + ilf/

/ 4+1    / ч

вжя+1 \

3 EIn £n

^Mn+1' QEIn+S¹

3 EIn £„

• (17)

W ten sam sposób wyprowadzimy i drugie równanie :

dUx

аж,/' inEin

l¹ 3 El„V £„)

7^№+1 4i+i

4+1 Æ4+i

-jł-Y 1

6 EIn\

4+1

+iH/'

3 №+i £« 4+1

+ Ж/

‘ЗД

4+1

3 Е1п^.\ £n

'ЗД+!

f^+i' •

4+1

6^4 + 1 '    *

. 18)

Drugi człon równ. 1) wyraża pracę obrócenia podpór. Pochodne tej pracy będą: àü₂

аж/ -

ат4

аж/

• • ¹⁹> dMn" Ci ‘

. 20)

Znak sumy odnosi się do trzech podpór: n— 1-szej, тг-tej i n + 1-szej. Aby obliczyć pochodne względem Ж/ i Mn", trzeba odpowiednie Жг wyrazić jako funkcję Ж/ względnie Ж/'. Ponieważ suma .kątów, jakie tworzy styczna do linji ugięcia z osią belki po obu stronach każdej podpory jest równa zeru, zatem:

Т'п—1 “I⁻ Т'п— /¹ == 0 7    ^/ Ч-    == 0 , Ти+1 “h ^n+1 =0.

Dla га-tej podpory obliczyliśmy te kąty poprzednio. W ten sam sposób obliczymy kąty dla n— 1 i n +1 podpory. Dla n—1-szej podpory otrzymamy :

T'n—/ + ^n—' — Mn—2/

Mn-l'

4—1

Fn bn

3EIn-\ EInln

ln

ln

+М"-¹"-зЖ+М'-вЁТ~° '

. . 21)

Z tego równania obliczymy Mn—i':

h In—1 2 In ln—\

! In In—i    Hn dn

Un—1    ElJn

Mn-±'=—Mn'

-Mn-1'

■Mn-z'

!    h In—1

2 Irl/ ln—i

0.

Pochodna względem Mn' będzie : dMn-4

In— 1

dMn'

2 In ln—i

Podobnie obliczymy

dMn-г"

dMn' ' ln 3 EIn dMn' 6 EIn ' ln

дМп-г"

Dalej otrzymamy:

diMn-г'-Мп-г") _ дМп-г' dMn_x

d Mn' d Mn'

dMn'

ln In —

ln—1 In

: ²²>

дМп-1'

dMn"

Pochodne wzg]ędem Mn" będą:

In In—1    à Mn'

2 In ln—\ d Mn

дМп-г"

di¥n"

1    dMn'

2    à Mn"'

Potrzebne wyrażenia na

- obliczymy, biorąc pod

à Mn'

аж/

uwagę kąty na środkowej podporze. Ze względu na to, że przebieg wyprowadzeń jest zupełnie taki sam, jak na n—1-szej podporze, opuszczamy je podając jedynie wyniki.

r-< CM

d{Mn-X'-Mn-X")

dif*"

lnĄ-\ In—1    InĄ-1 In

ln—1 InĄ-\    InlnĄ-i

.    23)

dMn'

dMn"

dMn'

ln h+i

ln\-1

CM

ln+1 In \ Ф

In InĄ-1 /

.    . 24 6)

1    I In InĄ-1

2    ^n+1

ln In-{-2

In lnĄ-2

)’

26 a)

d(Mn+1'-Mn+1")

аж/'

аж/'

(^ InĄ1 InĄ2 \ \ lnĄ2 /

. 25 6)

Wstawiając wartości poprzednio obliczone w równ. 19) i 20), otrzymamy :

dU,

fl

+ (Ш"п/ — àl,’ !) £n fl

+ (Mn+i'— Mn+i'')

4 In—1

dMn'

In—1 In

ln 4 +1

)+

Ai+1 In

£»+1 A Ai 4+1    ln In-f 2

^ \ 4 +1 4

£n—1 / 4 + 1 In—1    4+1 In

4-i-2 -4

)■

. 26)

0Л4"

2 \Ai—i -4+1    ln -4+1

fi¹

4 + 1 4+2 An 4-2 4+1

Trzeci wyraz równ. 1) obejmuje wpływ podatności

i=n

2 ^i² g* •

z=o

04 oznacza oddziaływanie rzeczywiste, 5b oddziaływanie jak dla belki wolnopodpartej, podobnie Q; oznacza siłę poprzeczną rzeczywistą a £h siłę poprzeczną jak dla belki wolnopodpartej ).

Pochodne zaś będą :

podpór :

dU,

аЖ/

-(Жи+1'-Жи+1")

.    27)

U,=

тН |(М

. . 28)

2^-

dAi

ЭЖ„

rß«;

29)

dU,

di!4

9Л4" a': ‘

30)

Aby można było obliczyć pochodne względem Mn' i Mn", musimy wyrazić Ai jako funkcję Mn' i Mn"-

dMx „_i

^4—i— Qn—i Qn

dM

dx

dx

An

dM

Qn    Qn-f- 1 d g.

dMx K+i

xn

àMxn.ii

dx

AnĄ.\—: QnĄ-\ Qn + 2

dM

æm+2

dx

dx

ЖП —

1 + -И.-:₂" •    ^ + Jf_l' y-?-

—1    — 1

жхй

xn

+ i4_i".

f Mn'

Ж* n+i —- 9)4и+1 H⁻ Мп‘ '

МХп+2 5)4и + 2~1~ MnĄ.\

аж,«., а$ш

z », — !

4+1 ® 4+1

/, 4 + 2 ^

In +2

Жй_1'-Жй_₂"    _

f Ж^+i'.—

ЬЖй+2/

« s'*

4+2

Жй_!'-Жй_₂"

dz

dz

4—1

Ai—i

дМ.

<Ш

Mn'—Mn-l

9ж

9а;

= Оя

Мп'-Мп-г"

944и_fi 9®4я+1 , 4f

и-ł-1

'-44"

9ж

9ж

4+1

£Xi+l +

Mn+l' — Mn"

944в+2 _ 9^4я+2    4/„ 4-г'—44+1 ' '

4+1

44+₂'—44+1 "

дх

дх

Ап—i—^я—i ~4Н"

4+2

44-i,-44-2//

4+2

Мп'-Мп- /'

— «Г»_1 +

4—i

Мп Х'-Мп_₂"

мп'-мп-1"

Ац    ö„+i -f

4-1

44'-4fn_l"

Mn + l'-Mn"

.    . Bij

= «4-f

MJ-Mn-i"

4+1

Mn+1'-Mn"

4t+i

.    .    32)

■<4+1    ~4+l    0'я+2_Ь

44+i'-44"

44+/—44"

44+₂'-44+i"

4+1

вЯ*+1+-

94и-+ i

4+2

44+₂'-44+i"

4-1-1

4-1- 2

.    .    38)

.    34)

дМп'

дАп—i

, ¹ (\----1п—}

4+1 4г 4+1 \ оЕ1пеп/

мп" 1 л 4+1    4+1

1 944'

I—¹

•д

3 Е1п £п /

.    35)

.    36)

4 Ж/'

т-Н

/1    4+1    \

I ~3EIn+l€n)

.    .    37)

94и

1 дМп'

944"

4 <144/'

—=— Л

4+1 4 V

4+1

3 EInĄ. 1 £п

4+1

38)

<1-4,г+1

дМп"

4+1

Wracając do równ. 29) i 30), otrzymamy po wstawieniu wartości z równań 31—39):

Mn-l'-Mn-2"

4—1

Mn'—Mn-l"

dUs

944'

(я

Mn¹-Mn-i"

&n—1

*ł~

(я.

Д+^-Д^Г! [ 1 Л / L 4 4+1 V

A4+1+

4+1

44+i'-44"

Mn+î'-Mn+l"

3 EIn £n

«Я —

4+1

)(Ł ЗЯ4«.) Cl ^

àUt

dMn"

Iя

Mn-i'—Mn-z"

ln—1

MrJ-Mn-x”

ln

\ ®n— 1 /-j    4+1 \

/ 4 l ~sëî^YJ

4-

(a

n4*

ln

Mn+\'—Mn"

1*1 + 1

an—

^n+l4~

Mn+i'—Mnn

ln + 1

Mn-\-2' Mn+1"\ CtnĄ-l

4+1

Czwarty i ostatni wyraz równ. 1) wyrażający wpływ sił poprzecznych będzie:

4+2

41)

k.Q²

dU₄

dMn'

-èS

GF

dx

дМп

- dx ; 43) dMxr

дМп

.....42)

т\<*жр* ⁴⁴>

da:

=&пЧ

dM

<г"⁺¹~ dl dQn 1 > dQm+i dJf,/ 4 ’ dM/ dQ„ 1 dif,/

~4+1 4

1 dJfw" 4+1 àMnr

Жи+1'-Д4"

4+1 (⁴

944" 4 dJ4"

9Z7₄

dMn'

1 Л 4+i    \.

4 ' 3 E!n+\ en)

dQ«+i

óMn"

4+1

Jfn'—Mn-x"\ dx

f 4+i r

I [°",+

4+1

3 EIn En

)S

pn

Л

Ви dx

p

J₀ da:

pi

*4

4+1

D«+ida:=0

dZ7₄ _ к

Mn+l'—M

dMn' FG

4,

4+1

" /

— (l

45)

8 EIn En

Mn+1/ J4"1

4+1 J

Jeśli zbierzemy razem równania : 17, 26, 40, 45 oraz 18, 27, 41 i 46, uporządkujemy według momentów i przeniesiemy wyrazy zależne od obciążenia na prawą stronę, otrzymamy w ostatecznym wyniku dwa następujące równania :

dUk

к 'Mn'—Mn

dMn" F G

ln

--(l__^±1_)

\    3 EIn+\En)

1.    An Mn—2,"-\-Bn Mn—\ -f- Cn Mn—+ Dn Mn'+En Mn" -f-+ En Mn± i' + Gn Mn+\" 4- Hn Mnj^i — Nn

2.    Hn'Mn—2// + Gn Mn—\'-\-Fn'Mn—\"-{-En Mn + Dn'Mn"-j-

+ Cn'Mn+x'+Bn'Mn+l" + An'Mn+2'=Nnf

Wartości spółczynników przy momentach są zestawione w tablicy I i II. Tablice są tak ułożone, że pod 1 mamy wyrażony wpływ momentów, pod 2 wpływ obra-calności podpór, pod 3 wpływ uginalności podpór, pod 4 wpływ sił poprzecznych. Biorąc zatem pod uwagę jedyni e 1 rubrykę, otrzymamy równanie 3 momentów (w tym wypadku £=00 a M' i M" są równe. Dla 1 i 2 uzyskamy równanie zawierające 6 momentów dla belki na podporach sprężyście obracalnych (ramy), dla 1 i 3 wypadnie równanie 5 momentów (przy założeniu £; = oo , wobec tego wszystkie M-i =Mi"). Dla 1, 2, i 3 otrzymamy równanie 8 momentów.

Równaniami powyższemi możemy rozwiązywać także zagadnienia z działu ram wieloprzęsłowych bez uwzględnienia wpływu przesunięcia poziomego. Musimy wtedy kąt £ wyznaczyć stosownie do ustroju słupa w zależności od dolnego jego umocowania. Sposób stosowania równań objaśniają podane przykłady.

Pr zy kład 1.

Obliczyć wielkość momentu podporowego dla ramy jednosłupowej. Wymiary podane na rys. 2.

->i

Г-Л-

--ф

_Y

c-

Rys. 2.

Jest to belka oparta na lewej podporze sprężyście obracalnej a prawej stałej. Kąt s, o jaki skręci się sama podpora, obliczymy z rys. 3:

-o

Rys. 3.

F 2h 2F

E~Ws’3h~WËIs

h 2_ h

Stosując równ. 2, otrzymamy:

Mn".D' = N' stąd:

1Ä

F=-~

tO 5S-

Y⁷

Z>'

W tablicy 2 w rubryce 1 znajdziemy:

Fb

N--

dla n = 1

^qP.

12

to

IEI 24 Z)' weźmiemy z rubryki 1 i 2:

gZ³

B'

M0-

ЗЖ

vll

SEI

?Z³

ql²

B' l

8Z+24e

8/+24^- 8 ЗЖ,

Wzór zgodny z wzorem w Kleinlogla „Rahmenfor-meln“ wyd. 1Y, str. 3.

ЗЖ

Przykład 2.

na rys. 4.

Obliczyć momenty i M₂ dla ramy przedstawionej

Jest to belka na podporach sprężyście obracalnych. Ponieważ obciążenie jest symetryczne, oba momenty podporowe będą równe. Kąty e jak w poprzednim przykładzie.

Mi"C+M₂'D=N

F.¹1 N ¹

iV^³7

ql³

IEI

IEI

24 El

ln

6 EIn 2

4—i -4

6EIn 2

Mn-\nC+Mn'D=N

C+D

S EIn

Ć7+Z>

6ЖТЗЖ

2V

gZ³

I—¹ to

tel n.

gZ³

<7+Z>    24Æ/' Z je Ï2(Z+f)

24Z⁺¥

gZ²

gZ²

12

(4) ⁴(³+²#)'

~->-ł

wpr

Wzór zgodny z Kleinlogla „Rahmenformeln“ wyd. IV,

str. 55.

Przykład 3.

Obliczyć momenty M₀, Mx i M₂ dla ramy trój słupowej jak na rys. 5.

Jest to belka na trzech podporach sprężyście obra-

calnych.

Dla 7i— 1 wypada równanie:

M₀"Cx + Mx/Dx-\-Mx"Ex+M₂' FX=NX

M₀"=M₃'=M₀

MX'=MX"=MX

mq{cx+fx)+mx{Dx+ex)=nx

Ж 'B₂ -\-M₁"Co+MJDo=No MbDt + Mx{B%+Ct)=N%

if]

11-

-9-

-----H

---

- I-------l----5H

+ Mx (B₂ + 0₂)—N₂

M₀ =

Rys. 5.

1)    MQ(CX4- A) +Mx{Dx + Ex) =NX

2)    М₀Ц

A-

N,

A+A I

В 2 ~ł~ D2 ; .

A+A

Cx+Fx Dx + Ex

В 2 + A

M,=

D.

Ai

Cx+Fx Dx -f- Ex

В 2 + A

*0

6EIX 2

6 El,

(■

6EIX

(²

3 EIxex

3EIxex

B,=0

в 2 4- C₂

6Д

3 EIX

3^

3EIX

(■

3EIxe

—2c=

Di + E₁ —

— (2 я/Д

3 EIxe

—

3EIX \

3 ELe

—2 e

Fa

Fb

IEIX IEI₁

(-

3EIxe

2 EI^

(‘

3 Ele

Fa

IEIX 2 EIy ' Licznik będzie :

2EIX

(²

Z \ l FI ЗЩе) ТЩ ⁺ 2Щ ЗЕЦ

(²

3 EIxe

Mianownik zaś :

2EIX (²    3 EIxej

6 EIX '

6 EIX

(²

3 EIxe)3EIx

3 EIx+e

3 EIxe

3EIX

(²

3EIxe

M₀ =

2 EIX

(²

3 ЕЦ e) 6 EIX

2 EIX

(2e+2^)(²

2 Æ7,

jjQP

?Z²

4 EIX e-\-l 4 2^.7^ h

таг⁺

4(4*,+3)

gdzie : kx

F l 2EIX 6ЕЦ

IJi

Is l,

(²

) 2 EL I

ЗДе/ 2 ЕЦ

ЗЖе)\ЗД

6 EIX (²

3 EI^ e

)(2г+2ж)

2ЕЦ\ЪЕЦ 6 EIX

*)

(2е+щ)

6EIX

F(QEIxe+Z) _gZ² (2/^ + 1)

3lx(ĄEIxe+l) 4 (4^+3) ‘

"Wzory zgodne z wzorami Kleinlogla w „Mehrstielige B,ahmenu str. 167.

Tablica I.

1. An Mn -2/' + -^4 A4—i⁷-p Cn A4—i⁷⁷ -pDnMn'-pEn Mn '-pFn A4+i' -p Gn A4+i⁷⁷ + Iln A4+%' — Nn.

4. Siły poprzeczne

F Gln

F Gln

(U3UM2 A l+ulOd \ u2 7    4

3 EIn En

-I

^04+i

"Wpływ nierównej wysokości podpór

"d'n ^4+1

3. Uginalnośó podpór

2. Obracalność podpór

1. Momenty

dn-!

"50

In — 1 In

4 4—1\ еи—i

;~2

In— 1 In

(■

In

1 Г Eln—i -p CCn

3 EIn En

In

3 EIn En

3 Ein En

u3 uiiï g

\ t-и^

7 “o

(i

(‘

3 EIn En

3 Ein En

3 Ein En

In

1 Г Cüra—i -p an

lit

In

1 Г osn ( о?и-ро!и+1 4+1 L 4

4+1

Ein . 0?n+ 05»+l

4+1

®M + 1    /

4+14+2 V

g«+l_ / ^

4+14+2 V

j (%n—1 ötl-1 5Î» ttjl) ~P

l"ll

1 (Sł?ł ^4+1 ®?i+l) f ł

!>n-fl    V

( i 44—lj £ra —1 \ ~ÎZJn) ~~2~

In

6 Ein

En

47t+7|T\

uJuIx+ul , T\

4 4+2\ ^»+i 4+1-4    44+2/ 2

In In +1

4 4г + 1    4 In+2 \ En+1

4+1 -4 In 4+2/ 2

In

"Ж 8

f¹ ЗЯ/„£„)

3 EIn En

3 EIn En

4+t

l+7# 8

_4+i_ /1

6 #4+i \

4 E In

')

Ett + 1 4i+l

4+i#4+i

uy

Bu

Cn

Dn

-Fn

Gn

Hn

“AT

OS

Tablica II.

2. HJ i!4_₂" + G,/ Яга_1'+Я,/ Mn_i" + Д/ MJ + DJ Mn" + ĆV J4₊₁' + Д/Мгг+1" + Л/ Ми+2' = NJ.

4. Siły poprzeczne

_ ( i    4+1 \

FGln\ ‘6EIn+ien)

/ -i 4+1 \ fgTA ~3Ein+i£n)

F G 4+1

FGln+l

Wpływ nierównej wysokości podpór

^4 ^4+1

3. Uginalność podpór

2. Obracalność podpór

1. Momenty

( i 4+1 \

V 3 Æ4+i £nJ

Л_    4+1 \

V 8^4+1 гJ

«га-1

(%п—1

/    4+1    \ ^ &n

4 V    3 2^4+i £?i r 4+1

тН

ö t

->Г

öf

fei

со

rH

~Ь ®п+1

4+1

&n З⁻ ®«+l

4+1

“ö + i~“ö

т—I I «J"

rH

4+1

ЗЯ4+1 g«

4+1

3 EIn+\En

UnĄ-1

4+14+2

<+l+l

4+14+2

“"К¹ зя/4е»)

4+14—i 4+14 \ g?i—i 4—14+1    4 4+1 / 2

7!

c?

oq

>+

ni +

7 "B J I

1 Г Ctn ( 4+1L 4 V

(I+M» H-ttjß —Wjt) Mjg) —--

4+1

-+

-<r

r-H

l/>

4 / *    4+1 \

i "BŁi7j

-b+r^U

V &Е1пл_\Еп/    \ lnInĄ-\)

(1 + Ь+Ь

4+14+2 \ gn+i 4+2 4+1 / 2

(>

/1    4+14+2 \ Cn+i

V 4+2 4+1/ 'i

6 EIn

3 Ein

4+1

3^4+i

4+1

6Ж„₊₁

/“3ł+“/^g    \

\    i+“? i ;

Fn an

In EIn

Fri+l &„+l

4+1 EIn+i

/Я

GJ

FJ

EJ

CJ

BJ

JV

я/

vM

y

b

»

%

фн.

s

:

'

\

WYDZIAŁY POLITECHNICZNE KRAKOW

BIBLIOTEKA GŁÓWNA

1131457

K(^ Czapskich' 4 — 678. 1. ХП. 52. 10.000

г WtSÄ4-

; '»V

;v'

к:

-OS

* f.

vi

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

100000297804

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

100000297804

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

11-31457