ïcs

ta

4|'

'SflH

1NŹ. K. SKIBIŃSKI

HONOROWY PROFESOR LWOWSKIEJ POLITECHNIKI

tj

TYCZENIE TRAS

DRÓG, KOI.El ŻELAZNYCH, KANAŁÓW

li

Çmi *****

Î* i ODRlfCZNiK DL \ INZY’N'F PÓW ! CiLO.' TRÖV,'

S?ŁAW'NYCU, REGI'LOWA

i?

.-■4

Jf

¥

>T

§§

•< ~r

■t.

■4-

l-l

|

1 m

. SSB19L

. 1.

#« "

ł Ä ?» ÂÉ

*V • £ VN* — \ ■ ir

ô,^É

**

I: ,'yJ*

-St'

•f

ł Müß*

r#»

'    v\./

/•

J.....N- \ "' *

<•.

.T-

... I«

+ï/

./•

*0. "i

■r,Êg?

r

A -,

L

■

:->•

V ■

\

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

100000267684

V-4

')ir '

äi : • -

INŹ. K. SKIBIŃSKI

HONOROWY PROFESOR LWOWSKIEJ POLITECHNIKI

■w

TYCZENIE TRAS

DRÓG, KOLEI ŻELAZNYCH, KANAŁÓW SPŁAWNYCH, REGULOWANYCH RZEK i t. d.

PODRĘCZNIK DLA INŻYNIERÓW I GEOMETRÓW

WYDANIE DRUGIE PRZEJRZANE I UZUPEŁNIONE

CZĘŚĆ I: OPISOWA

LWÓW MCMXXII

NAKŁADEM KSIĘGARNI NAUKOWEJ POLSKIE TWO PED. LWÓW. _ M. ARCT, WARSZAWA.

irà. Sejgdj

■c

-"■de»

X$2****C!\

k\j

.>

\l_ 'b'bß'58^

łJfZÓo H

Drukarnia Uniwersytetu Jagiellońskiego pod zarządem J. Filipowskiego.

li

SPIS RZECZY CZĘŚCI I.

Rozdział I.

Proste, Inki kołowe i paraboliczne.

Str.

§    1% Tyczenie trasy .    .    .    .    .    .

§    2. Tyczenie linij prostych ......

a)    Tyczenie punktów pośrednich .......

b)    Przedłużanie linji prostej .......

§ 3. Nomogram do tyczenia prostych .......

§ 4. Tyczenie prostych w tunelach .......

§ 5. Tyczenie łuków kołowych ........

§    6. Określenie elementów zasadniczych ......

§ 7. Tyczenie głównych punktów .......

§    8. Postępowanie przy tyczeniu głównych punktów ....

§ 9. Kontrola rachunków .........

§ 10. Tyczenie punktów pośrednich .......

a)    Metoda tangencjalna ........

b)    Tyczenie od cięciwy ........

c)    Tyczenie ze środka .    .    .'

d)    Metoda biegunowa .........

e)    Metoda stałych kątów

f)    Metoda siecznych .........

§ 11. Tyczenie łuku bez użycia przyrządu kątomierniczego § 12. Wyznaczenie kierunku stycznej w dowolnym punkcie łuku § 13. Badanie łuku istniejącego toru ........

§ 14. Poprawka odchyłki łuków z dwóch stron tyczonych § 15. Zadania ...........

§ 25. Tyczenie łuków koszowych o dwóch łukach § 26. Łuk koszowy o najmniejszej różnicy promieni

11

13

13

14

14

16

18

19

20

21

22

27

30

31

31

33

34

38

41

42

43

46

47

Str.

§ 27. Zastosowanie § 26

§ 28, Łuk koszowy o małym kącie wierzchołkowym .

§ 29. Łuk koszowy o trzech łukach ....

§ 30. Łuk w zastępstwie krótkiej prostej § 31. Tyczenie łuku koszowego w trudniejszych warunkach § 32. Tyczenie łuku w tunelu ......

§ 33. Tyczenie łuku koszowego w tunelu § 34. Połączenie odchylonych prostych kierunków w tunelu § 35. Przykłady tras kolejowych z tunelami § 36. Parabola drugiego rzędu .....

§ 37. Tyczenie paraboli .    .

51

52

52

54

56

58

59

59

59

64

67

Rozdział II.

Krzywe przejściowe.

71

§ 38. Przechyłka toru kolejowego ........

§ 39- Ogólna teorya krzywej przejściowej ......

§ 40. Krzywa przejściowa w założeniu, że przechyłkę toru przeprowadzi si podług zmiennego nachylenia ........

§ 41. Krzywa przechyłki toru, której rzędne są proporcyonaine do długość rzutu poziomego krzywej przejściowej .    .    .    .    .    .

§ 42. Na podstawie krzywej § 40 wyprowadzone krzywe przejść

a)    Dokładne równanie. Klotoida .....

b)    Pierwsze uproszczenie. Lemniskata ....

c)    Drugie uproszczenie. Parabola sześcienna § 43. Parabola sześcienna jako krzywa przejściowa

§ 44. Łuk kołowy z krzywą przejściową ....

§ 45. Łuk kołowy zostaje przesunięty .    . '    .

§ 46. Położenie stycznych i środka łuku pozostaje nienaruszone § 47. Łuk pierwotny pozostaje nienaruszony, natomiast styczna zostaj przesunięta .........

§ 48. Przypadek, gdy kąt wierzchołkowy zbliża się do 180°

§ 49. Przypadek, gdy kąt wierzchołkowy jest bardzo mały .

§ 50. Zastosowanie krzywej przejściowej do budowli wodnych § 51. Krzywa przejściowa styczna do dwóch łuków kołowych § 52. Tyczenie krzywej przejściowej od łuku kołowego § 53. Łuk koszowy z krzywemi przejściowemi

§ 54. Zastosowanie krzywych przejściowych dla przypadku, gdy prosta mię dzy łukami jednakowo skierowanemi jest krótka § 55. Zastosowanie krzywej przejściowej na istniejących torach .

§ 56. Zastosowanie wzorów z § 55 b) dla d—    ....

§ 57. Wyokrąglenie załomów spadków ......

§ 58. Zagadnienie ...........

Zbiór przykładów ...........

72

73

75

76

77

77

77

78

78

82

86

89

90

93

95

95

97

101

102

103

106

108

CC

Tabele są w II. części umieszczone.

Przedmowa do pierwszego wydania,

Podręczniki używane przez inżynierów do tyczenia tras, zawierają przeważnie mało co więcej prócz tabel służących dotyczenia łuków dwoma metodami i do tyczenia parabolicznych krzywych przejściowych. A jednak, gdy się rozejrzy w dotyczącej literaturze, okaże się, że w przedmiocie wynajdywania różnych metod tyczenia prostych i łuków, w rozwiązywaniu' zawilszych zagadnień, nareszcie w tendencji zastąpienia używanych krzywych przejściowych innemi krzywemi, — znachodzi się mnóstwo doskonałych prac, rozrzuconych to w dziełach mniej znanych, to w czasopismach, szczególnie pracom geodetycznym poświęconych.

Zebranie najważniejszych z tych prac w jedną całość w podręczniku polskim, któryby wyrugował dotychczas używane obce podręczniki, nadto podanie sposobów rozwiązywania trudnych zagadnień, ustalenie granic dopuszczalności stosowania różnych metod i t. d., — jest zadaniem niniejszej pracy.

Podręcznik składa się z dwóch części. Część pierwsza, opisowa, zawiera w I rozdziale opis i teoretyczne uzasadnienia wszelkich metod tyczenia, jakoteż wskazówki do rozwiązywania zagadnień; w II rozdziale są omówione krzywe przejściowe. Na dodanym zbiorze rachowauych przykładów może uczący się wyćwiczyć w przeprowadzaniu potrzebnych obliczeń.

Część druga, ujęta w mały format, wygodny do użycia w polu, zawiera tabele liczbowe, po części o wiele obszerniejsze niż zwykle

używane.

Osądzenie, o ile sprostałem postawionemu żadaniu, należy do fachowych kolegów, których proszę o rzeczową krytykę, jakoteż o nadsyłanie uwag co do pożądanych zmian.

Za koleżeńską pomoc w układaniu tematu podręcznika, wyrażam profesorowi drowi Lâsce szczere podziękowanie.

Lwów, w kwietniu 1909 r.

Autor.

Przedmowa do drugiego wydania.

Niniejszy podręcznik doznał u fachowych kolegów życzliwego przyjęcia, a cel, wyrugowanie obcych podręczników, w zupełności osiągnął. Będąc już przed wojną prawie na wyczerpaniu, mógł dopiero teraz ukazać się w drugiem wydaniu.

Ono doznało pewnych skróceń, przez wyłączenie niektórych part}?j dla praktycznego inżyniera mniej ważnych, dlatego odpadły ryciny 79, 80 i 81 z pierwszego wydania. Natomiast została część tabelaryczna uzupełniona tabelą XII, zawierającą nowe polskie przepisy dla poszerzenia i przechyłki toru w łukach.

Zresztą jest z pierwszem wydaniem identyczne, nie otrzymałem bowiem z kół fachowych żadnych uwag, co do pożądanych zmian w treści podręcznika.

Lwów, w maju 1922 r.

Autor.

Literatura

po czeéci zużytkowana w niniejszym podręczniku.

• Doleżalek (tunel przez Gattard), Ztsebr. des Arch. u. Ing. Vereines, Hannower. 1878 i 1880.

Dörflinger (tunel zwrotny koło Wasen), Ztsebr. f. Verm. We

sen 1877.

Gelpke (tunel przez Gottard), Ziyilng. 1870 i Ztsebr. f. Verm. Wesen 1880.

Graf (kolej Albula), Schweiz. Bauztg. 1902. .

Hecht (luki kołowe i krzywe przejściowe), Drezno 1893. Hecht (krzywe stożkowe), Drezno 1893.

Helmert (krzywe przejściowe), Akwizgran 1872.

Koppe (tunel przez Gottard), Ztsebr. f. Verm. Wesen 1875, 1876, 1880 i Eisenbahn 1880.

Koppe (siedem tunelów zwrotnych kolei Gottarda), Eisen

bahn 1880.

Leber, Raccordements etc. Paryż 1892.

D’Ocagne, Leçons sur la Topométrie, Paryż 1901.

Pestalozzi (tunel przez Gottard), Eisenbahn 1877.

Prévôt, Topométrie, Paris, Dunod 1900.

Rosenmund (tunel przez Simplon), Schweiz. Bauztg. 1901. 1902. Roczniki czasopisma: Zeitschrift für Vermessungs-Wesen.

Niektóre hardziej używane podręczniki:

Hecht, jak powyżej.

Helmert, jak powyżej.

Knoll-Weitbrecht (tyczenie krzywych), Sztutgart 1902. Kröhnke (tyczenie krzywych), Lipsk 1896.

Pernt (tyczenie krzywych kołowych i przejściowych, metodą biegunową), Wiedeń 1903.

Petrlik (bardzo obszerny zbiór tabel), Praga 1903.

Sarrazin i Oberbeck (krzywe kołowe i przejściowe), Berlin 1899. Polski podręcznik nieznanego autora, drukowany we Lwowie w drukarni Ossolineum w r. 1872.

w

'

♦

*****

■Ą

I

■

.

;

#

'

/

\

»

«

.

W-

MB

ROZDZIAŁ I.

Proste, łuki kołowe i paraboliozne.

§ 1. Tyczenie trasy.

Pod trasą rozumiemy wytyczoną na gruncie oś drogi, kolei żelaznej, kanału spławnego, wodociągu lub brzeg regulowanej rzeki. Dla trasy opracowuje się projekt w sytuacyi (rzut poziomy trasy) i w profilu podłużnym (rzut pionowy trasy), a podług danych otrzymanych w tym projekcie, jakoteż podług punktów nawiązkowych, znajdujących się w naturze, przenosi się trasę z projektu na grunt. Tę czynność zowiemy tyczeniem trasy.

Każda trasa składa się:

1.    z linij prostych,

2.    z łuków kołowych, lub parabolicznych, a nadto na trasie

kolejowej

3. z krzywych przejściowych, łączących proste z łukami.

W niniejszej pracy przedstawimy w I. rozdziale tyczenie na gruncie prostych i łuków, a w II. rozdziale tyczenie krzywych przejściowych.

§ 2. Tyczenie linij prostych.

Prosta jest dana przez dwa punkty przeniesione z projektu na grunt, leżące na tej prostej. Wytyczyć prostą znaezy wyznaczyć dowolną ilość punktów pośrednich, położonych bądźto między tymi dwoma punktami, bądź też poza nimi. Stąd powstają dwa zadania:

a)    Tyczenie punktów pośrednich.

b)    Przedłużanie linii prostej.

Tyczenie tras.

a) Tyczenie punktów pośrednich.

1.    Metoda zwykła. Rys. 1. Dane w polu punkty A i B. Ustawiamy teodolit w A i tyczymy żerdki dokładnie w kierunku celowej AB.

Musimy o tern pamiętać, że wytyczyć linię prostą znaczy tyle, co wyznaczyć przekrój płaszczyzny pionowej, przechodzącej przez dwa dane punkty tej prostej, z terenem. Jeżeli zatem oś obrotu lunety A nie jest ściśle poziomą, to oś celowa nie opisuje płaszczyzny pionowej, a rzut poziomy przekroju płaszczyzny, opisanej przez oś celową, z terenem, nie będzie identyczny z linią łączącą A i B.

Aby błąd stąd powstały wyrugować, tyczymy każdy punkt podwójnie, w obu położeniach lunety, a szukany punkt znajdziemy w połowie odległości 11', 22'...

2.    Metoda, Rys. 2. Tyczymy żerdki tylko w przybliżeniu w kierunku AB. W punkcie A odmierzamy kąty:

BA1 — aj, BA2 — a^.r.

następnie mierzymy długość Al —e^ A2 = e₂... Odchylenia 1,2... od prostej AB wyznaczą się z wzorów:

11' — ex tangoą, 22' =e₂tang a₂...

Ponieważ kąty a,, a₂, są bardzo małe, A to możemy napisać:

-»»Jętą-'-—

Rys. 1.

Ar

2’

toL-Jïo

Rys. 2.

11'=

eiai

206265’

22' =

e₂a₂

206265‘' ‘

Te długości odczytamy z diagramu podanego na rys. 10. i tyczymy prostopadle do Al, A2..., przezco otrzymamy prawdziwe punkty 1', 2', 3'... prostej.

3. Metoda ogólna. Rys. 3. Jeżeli między punktami A i B są przeszkody (las, etc.), to obieramy punkty dogodne C, D i mierzymy :

AC—a, BD — b, CD — c, i kąty: a, ß.

Dla wyznaczenia pośredniego punktu E leżącego na prostej AB mamy równania, gdy oznaczymy CE przez x, ED przez y:

x -j- y — c = CD; sin (a -f- <p) y _ sin (ß -f qp) *)

CL

fAEL.

Rys. 3.

następnie:

sm cp

sin qp

*) Fnnkcye trygonometryczne kątów zawiera tabela II. części II.

lub, gdy wykonamy dzielenie przez sin <p:

y

= sin acotg<p-{-cos a> / = sin ß cotg ęo-f-cos/?,

a stąd:

tang (p — -

a sin a

b sin ß

a cos a

y — b cos

.cc

, więc:

(2)

x b sin ß — ya sin a = — ab sin (a — ß).

Równania 1. i 2. są to równania zasadnicze tyczenia ogólnego; one pozwolą wyznaczyć x i y. Mianowicie, gdy się wstawi wartość y — c—x z (1) równania w (2), otrzyma się:

, również:

c sin a — b sin (a — ß) a sin a -j- b sin ß

y = J,c sin ß + a sin (« ~ ß) y    a sin a -j- b sin ß

Dla a — ß, jest

<*■

Jeżeliby długości a i i na rys. 3. nie można zmierzyć, (np.

gdy 1 i £ są wieżami), to zmierzymy kąty a, ß, y, djakoteź długość CD —A (Rys. 4.).

OK

;-vb

'-äorv'-

Rys. 4.

Punkt E na kierunku AB będzie

wyznaczony, skoro wyznaczymy długość du ewentualnie dv Oznaczmy tymczasem proste CB i BD literami m i nr to z trójkątów ACB, ADB i BCD: znajdziemy:

sin (a-\-ß) AB

sin x

sin y

sin (y-f-ô) AB

sin d sin ß

Wy mnóżmy obie strony tych równań, a otrzymamy:

l*

sin (a-\- ß) sin y sin ô sin x sin (y -j- 6) sin ß

Następnie z trójkątów AEC i AED:

dr

sin x

AE

sin «

AE

dv

sin y sin y

a po obustronnem wy mnożeni u:

dr

d%

sin y sin x sin « sin y

Z (3) równania wynika, że;

sin x sin y

dx_sin ô sin y sin (a-f- ß)

d₂ sin a sin ß sin (y -|- d)

Podstawmy ten wyraz równy tang²^, jeżeli y jest kątem pomocniczym i dodajmy obustronnie -f-1, to:

sin d sin (a -j- ß)

sin ß sin (y -f- d)

, więc:

1 -f-    = 1 -[- tang² y. A gdy dt-\- d₂= A, zaś:

$2    Û/2

l + tang> = J^, to:

d₂ — A cos²y, a podobnie d₁ = A sin² y. Ob. nr. 1. i 2. zbioru przykładów (str. 121).

4. Metoda Ogólna. Rys. 5. Jeżeli między punktami A i B

Mrv

znajduje się las, to w celu wyznaczenia dokładnego kierunku AB położymy wokoło lasu wielobok .41 ILB i obie-

I rzemy dwa dowolne punkty M b i N tak położone, aby do M można celować z A, I i II, zaś do 2V z I, II i B. Zmierzymy kąty: 1234567 8. Długość I, II obierzemy dowolnie, równą b. Przez wyznaczenie kątów x i y będzie kierunek AB ustalony.

•L

Rys. 5.

sin 5

zatem:

1M' b sin (3+4-f-5) Alz=a =

; Al = lM

sin 5 sin (1 -f- 2) sin (3 —j— 4 —{— 5) sin 1

sin (1 —f- 2)

sin 1

sin 4 sin (7+ 8) sin (4-j- 5-f- 6) sin 8

podobnie:

Bll=c =

Następnie obliczymy wspórzędne wieloboku A I II B, obrawszy początek współrzędnych w A, oś odciętych w A I, oś rzędnych prostopadle do 41:

b sin (2 -j- 3 -{- 4— 180°)

xA = 0, x₁ — a, xu — xY -j- b cos (2 —J— 3 —j— 4 — 180°)

y a = 0, yx = 0, yn =

xB ~xuĄ-c cos (2 -f- 3 —|— 4 —|— 5 —|— 6 -|— 7 — 360°) yB = yu-\r c sin (2 -J- 3 -f-4 -}- 5-(-6-f- 7 — 360°)

Vb

Ostatecznie jest tans: x =

xB

W podobny sposób obliczy się tangy, a dla kontroli ma być: x -f y = (2 -f 3 -j- 4 + 5 -f 6 -f 7) - 360'⁹

Jeżeliby zależało także na poznaniu długości AB, wtedy nie można długości b przyjąć dowolnie, lecz trzeba jeden z boków a, b lub c zmierzyć, dwa inne boki podług powyższych wzorów obliczyć, następnie obliczyć xB, yB i tang x. Długość AB obliczy się z wzorów:

AB =    .

sin x

lub AB — ---cos X

Ob. nr. 3. zbioru przykładów.

-4»

linij AB z liniami parcel, od najbliższych granic parcel (a, b, c...).

Również można za pomocą busoli taki

5. Metoda. Rys. 6. Przybliżony kierunek trasy AB znajdziemy, odmierzywszy na gruncie zmierzone w projekcie odstępy kilku przecięć

Kys. 6.

przybliżony kierunek na gruncie wyznaczyć.

2    3 ‘

Rys. 7.

6. Metoda. Rys. 7. W celu wyznaczenia kilku punktów pro-stej AB, na której znajdują się przeszkody, tyczymy na wolnej przestrzeni pod małym kątem a prostą 1', 2', 3'... tak daleko, aż będzie możność odrzucenia punktu B prostopadle na AB' i zmierzymy długość A 1' 2'... B', jakoteż BB'.

W diagramie rys. 10 wyszukamy linię kąta a, a na niej odczytamy wprost wartości 1'1, 2/2,... przynależnych do odstępów Al', A2'... (z warunku, że 1'1 — AY tang a...). Te wartości od-

b) PrzecUuzauie linii prostej. Rys. 9.

Rys, 9.

D'

niesione na prostopadłych do AB', wyznaczą punkty 1, 2, 3... prostej AB.

7. Metoda. Rys. 8. Jeżeli między punktami A i B znajduje się wyniosłość, to przyjmiemy na niej punkt C, w pobliżu prostej AB, a punkt C, leżący na prostej AB wyznaczymy w następujący sposób: Mierzymy ___ kąt cp dokładnie, zaś długości a i b taehy- A metrycznie. Wtedy jest w przybliżeniu po-

~ ab sin (p —

Li

wierzchnia A A CB =

CC' =

ab

a—{— b

c ____

cv

Rys. 8.

(a -j- b) CC, zatem

sin (p.

Błąd kolimacyjny (k) instrumentu wpływa oczywiście w całości na wynik. Jeżeli bowiem stojąc w punkcie B z instrumentem celujemy wstecz do A, poczem przerzucimy lunetę, to otrzymamy zamiast A kierunku BC, kierunek BD, przyczem

— 2/ć. Jeżeli teraz obrócimy limbus o 180°, znów celujemy do A i przerzucimy lunetę, to otrzymamy kierunek BD' po drugiej stronie prostej BC. Punkt prostej BC leży pośrodku odległości punktów D i D'. Wogóle przy tyczeniu prostych jest najbardziej widoczny wpływ błędów instrumentu na wynik pomiarów. Ob. nr. 4. zbioru przykładów.

§ 3. Noinogram do tyczenia prostych. Rys. 10.

Przy tyczeniu prostych wypada często obrachować ilości e = e. tang a

dla bardzo małych kątów a. Możemy napisać:

a"

tang a = a" sin 1" =

_ e a"

E = 2Ö6265

Jeżeli więc na^sujemy e w skali 1 : M jako et, zaś £ w skali 1 : m jako c₁₅ przyczem należy obrać liczbę M wielką w stosunku do m, to e = e₁M, e = e₁ ni.

Po wstawieniu tych wartości we wzór na e otrzymamy:

206265’“

więc:

Ma"

— ex tang qp

e₁Ma"

206265’

czyli:

206265

gdzie:

tang qp —

Ma"

m206265 “

. a.

W celu otrzymania nomogramu rysujemy od punktu O promienie, nachylone do pro-¹⁴ stej Ox pod kątami qp, u których tangens obliczy u się z wzoru a. dla a=l', !0    2'. 3'... i oznaczymy koń-

g ce tych promieni przyna-⁷ leżnymi kątami a. Jeżeli ⁶ następnie na linii Ox ode-₄ tniemy długość e w skali a 1 : M od O do A i wy-³ stawimy w A rzędną aż ’ do przecięcia się z promieniem danego kąta a, w punkcie B, to AB mie-

20 10 18 17 16    15

rr

t:

tï

■i fi

art

Rys. 10.

rzone w skali 1 : m da szukaną długość £.

Przykład. W nomogramie na rys. 10., wykonanym na milimetrowym papierze, rysowano tang <p — 200 tanga, czyli M:m — 200, zaczem i rzędne są wykreślone w skali 200 razy większej niż odcięte. Niech będzie dane e = 4435 m, a — 9'30". Przyjmijmy J/=1000, to znaczy, że odcinamy e w skali 1:1000 od O do A, to O A = 44'35 mm. Rzędna w A przecina promień dla kąta 9'30" w punkcie B. Na AB odczytujemy długość e₁=24‘5 mm. Ponieważ rzędne są kreślone w skali 200 razy większej niż odcięte, to e mamy odczytać w skali 1:5, zatem e = e tang a *= 5.    = 1225 mm.

§ 4, Tyczenie prostych w tunelach.

Jeżeli oś tunelu jest prosta, to kierunek tej prostej ma być wprowadzony w podkop, który poprzedza wykonanie tunelu, następnie trzeba ten kierunek w miarę postępu podkopu przedłużać. Wyznaczenie tkierunku osi podkopu może być dwojakie, zależne od długości tunelu.

a) Tyczenie prostych w krótszych tunelach. Rys. 11.

Trasę wytycza się przez górę, pod którą ma b}?ć wykonany tunel. Jeżeli punkty M i N są dokładnymi punktami trasy, z których N jest punktem dogodnym dla ustawienia teodolitu, zaś M punktem możliwie daleko położonym, natenczas celujemy do iii i tę celową wprowadzamy do podkopu tak daleko, jak daleko nie-

K O TP ~Q

'■N

Jtfys. 11.

dostateczne światło w podkopie na to pozwoli. Tą celową ustalamy parę punktów jak O, P, z możliwą dokładnością, metodą podaną w § 2. pod a 1. (rys. 1.). Dalsze tyczenie w miarę postępu podkopu uskutecznia się przez przedłużanie linii OP, metodą podaną w § 2. b. Podkop uskutecznia się przeważnie z dwóch stron, trzeba zatem wielkiej staranności w tyczeniu, aby w miejscu przebicia podkopu oś się zgodziła.

h) Tyczenie prostych w długich tunelach. Rys. 12.

Tunele pod głównymi alpejskimi działami wód posiadają kilka do kilkunastu kilometrów długości*).

Rys. 12.

Przez tak wysokie szczyty i przepaściste tereny, z jakimi w tym wypadku ma się do czynienia, jest wytyczenie i pomiar trasy na gruncie zbyt uciążliwe, albo wprost niemożliwe, dlatego ustala się w inny sposób 1 kierunek osi tunelu. Po obu L stronach działu wód obiera się a dogodne punkty A i P, między którymi jest projektowane przebicie tunelu. Te punkty nawiązuje się albo do istniejącej, albo specyalnie w tym celu założonej sieci tryangulacyjnej, a za pomocą tej sieci oblicza się długość AB i kąty a i /?, zawarte między prostą AB a najbliższymi

przez

ł) Do najdłuższych należą tunele przez Mont Cenis 12.200 m dł., Gottard 14.900 m dł., przez Arlberg 10.250 tn dł. i przez Simplon 19.730 m dł.

bokami sieci¹). Podług tych kątów tyczy się z dwóch stron oś tunelu w podkopie.

Kąty a i ß muszą być bardzo dokładnie wyznaczone, gdyż błąd w kącie wynoszący 10" powoduje:

10

na

odchyłkę

0 05    0 5

20 km długości I/O m.

Dlatego używa się do pomiaru kątów siatki nadzwyczaj dokładnych teodolitów. Kąty siatki trzeba należycie wyrównać.

Jeżeli punkty katastralne, do których miałoby się nawiązać siatkę, nie były dostatecznie dokładnie oznaczone, to pomiar osobnej basis będzie niezbędny.

W łatwiejszych warunkach wyznaczy się kierunek AB metodą w § 2. pod 4. podaną.

§ 5. Tyczenie łuków kołowych.

Kolejno po sobie następujące proste kierunki, przeniesione z projektu na grunt, o jakich mówiono w poprzednich paragrafach,, przecinają się w punktach, które zowiemy punktami wierzchołkowymi. One są wierzchołkami kątów, w które mamy włożyć luki kołowe, łączące proste kierunki trasy.

Dla tych łuków należy:

1.    określić elementa zasadnicze,

2.    wytyczyć punkty główne,

3.    wytyczyć punkty pośredhie.

§ 6. Określenie elementów zasadniczych.

Elementami zasadniczymi i wystarczającymi dla tyczenia luku są to kąt wierzchołkowy ß, który zawierają proste kierunki i promień łuku r. Wielkość promienia jest już dana z projektu, pozostaje zatem wyznaczenie kąta ß. Rozróżniamy różne przypadki.

a) Punkt wierzchołkowy W jest dostępny. (Rys. 13.). Ustawiamy się w punkcie W przyrządem kątomierniczym i wykonujemy dokładny

Rys. 18.

*) O przeprowadzenia takiego obliczenia patrz: Rosenmund, tyczenie tunelu Simplońskiego i rozprawa o kolei „Albula“ w Schweizerische Bauzeitung z r. 1903.

pomiar kąta /?, podług metod podanych w miernictwie. Równocześnie należy wytyczyć kierunek prostej WO połowiącej ten kąt, bo się nam później przyda.

b) Punkt wierzchołkowy nie jest dostępny, alboteż bardzo oddalony, co nastąpi, gdy kąt ß jest mały. (Rys. 14.). Wtedy obieramy na danych prostych dowolne punkty A i Ax, byleby dokładny pomiar długości d prostej AAX był możliwy.

Następnie wykonamy dokładny pomiar kątów y i d i obliczymy:

ß—y-f-d— 180°

-'P\ę

AZ.

P,

P,

Rys. 14.

iakoteż długości:

b = S— sind, WAX = sin ß

sin ß

sin y.

Jeżeli prostej AAX nie można wprost zmierzyć jak na rys. 15. z powodu przeszkody (np. rzeka), to odmierzymy dwie dowolne długości AB = a i Ax Bx = a15 jakoteż kąty <p, cpx, ty, tyx. Wtedy:

wK

AAX =

d__a sin (ty -f- tyx)_ax sin (tyx -f- ty)

-a

sin tyx

sin tyx

Obydwa wzory należy obliczyć w celu kontroli.

Rys. 15.

Następnie:

/?=180—(ty-\-ty), WA=b=

's

sin ty. WAx —

sin ß

sin ty.

sin ß

c) Zadanie jak pod b, gdy z A do Ax nie można celować. Wtedy należy te punkty połączyć ciągiem polygonalnym, np. A 12 Ax rysunek 16 x).

Zmierzymy długości boków oraz zaznaczone kąty polygonu £ i ty a obliczymy AAx—d, jakoteż kąty fi i v w następujący sposób:    /

Oś X-ów obierzemy na kierunku Al, B początek układu w A, wtedy:

;.y

A ii____A _ _

Rys. 16.

W\

U,

At..

Punkt 1 należy do kąta e, punkt 2 do kąta (p.

xA = 0, x₁ = Al, x₂ = xx -f-12 cos €,

?/a = 0, yi — 0, y₂ — y!+ 12 sin f, = ^2 + 2 C0S 0 + ?)> y^=y¹+^i2 sin (f+9p)-

Z tych współrzędnych obliczymy: tang,w = —1    :

znaczymy kąt (it, poczem:

, lub d

xAl — xA

— a¹

wy-

d=y±zzJLi

sin y

Dla kontroli można . obliczyć długość d z rzutu polygonu na kierunek AAV Otrzyma się:

d = Al cos y -j- 12 cos (y — e)-\-A₁2 cos v.

Po zmierzeniu kątów JBA1 i BtAx2 i doliczeniu do nich kątów y i p, wyznaczą się kąty y i Ô. nareszcie:

ß = y -j- ô —180°.

W celu osiągnięcia większej dokładności można niezależnie od ciągu A12AX poprowadzić drugi ciąg polygonalny, najlepiej po drugiej stronie, aby mieć polygon zamknięty ¹). Ob. nr. 5. 6. i 7. zbioru przykładów.

cos y ’

V— £-\-cp—y.

§ 7. Tyczenie głównych punktów.

§ 12. Wyznaczenie kierunku stycznej w dowolnym punkcie

§ 20. Z dowolnego punktu wytyczyć styczną do luku w polu wytyczonego (np. z punktu W2 na rys. 47).

§ 32. Tyczenie łuku w tunelu.

j=4

§ 48. Przypadek, gdy kąt wierzchołkowy zbliża się do 180°.

§ 58. Zagadnienie.

y = 25 44 23-8 8 = 119 42 26-0 20 15 45 0 = 14 17

¹

Kontrolę rachunków do rys. 14, 15 i 16 obacz § 9.

§ 7. Tyczenie głównych punktów.

Głównymi punktami nazywamy (patrz rys. 17) punkty styczności P i P₁ łuku z danemi prostemi, następnie punkt środkowy łuku /S, leżący na przecięciu prostej połowiącej kąt wierzchołkowy z łukiem; nareszcie punkty Q i Çt, punkty wierzchołkowe połówek łuku, leżące na przecięciu stycznej poprowadzonej w punkcie S z danemi prostemi.

cn

lC-\ł.    !h

Rys. 17.

a = 180° — ß

Jak już wspomniano, jest wielkość promienia łuku OP~r dana z projektu, zaś p kąt ß został wyznaczony sposobami w § 6. \ podanymi. Na podstawie tych danych usta-'wimy następujące równania zasadnicze: kąt przy 0:

CC

PW —    W = t — r tang —, zowie się krótko styczną łuku

WO

cos —

zatem :

WS= WO— S0 = —

--?-=rtang „ tang

cc    Lt

cos —

PQ=QS=SQ₁

Qi P₁ = t₁ = r tang

T

QS>=-

r — r tang — tang

oo a

COS

co a

PT=P₁l = a = r sin

ST= h=SO — TO = r 1 — cos

to a

= 2r sin²

tf*-. a

Stąd wynika, że prosta SU

Nie trudno zauważyd, że prosta PS połowi kąt WPP₁ i że zawiera z prostemi PW i PP₁ kąt

poprowadzona prostopadle do PW równa się h, zaś PU równa się a. Ob. nr. 8. zbioru przykładów.

.w

Jeżeli tyczenie głównych punktów sposobem powyżej podanym jest z powodu przeszkód niemożliwe, to można dowolny punkt łuku M w inny sposób na gruncie wyznaczyć (rys. 18). Obierzemy w pobliżu łuku dowolny punkt C i zmierzymy kąty n i v, jakoteż długość:PP₁=2a.

p.

Chodzi o wyznaczenie długości CM — x.

r'

Z rys. 18. wynika, że:

PC — 2 a

sin v

sin (fi -}- v)

ć\f-

Rys. 18.

PM — 2r cos |ö0 —    -f-^j

zatem :    x — TM —

PC = 2r sin --fij

-2a

SIU V

sin (fi-\-v) ¹

co należy od punktu C w kierunku PC odmierzyć.

Liczba głównych punktów powinna być tem większa, im dłuższy jest łuk. aby skrócić partye, w których się tyczy punkty pośrednie (§ 10). Ob. nr. 9. zbioru przykładów.

9 Wszystkie powyższe wartości wyznaczy się podług tabeli II. cz. II.

§ 8. Postępowanie przy tyczeniu głównych punktów.

Po wyznaczeniu kątów ß i a i obrachowaniu ilości z § 7 odmierzy się długości WP—WP₁—t (rys. 17), albo długości t — b = AP i t — c — A₁P₁ (rys. 14), przez co początek i koniec luku P i P₁ będą ustalone. Następnie odmierzy się PQ = PXQV a na prostej QQX długości QS= SQX, które mają być równe PQ. Dla kontroli punktu S powinno wypaść SU=h i PJj — a, co'należy zmierzyć.

t«5; a

Również dla kontroli możnaby zmierzyć kąty w Q i Qx równe 180— , a jeżeliby na połowiącej tych punktów odcięło się długości ÇS1? uzyskałoby się dalsze dwa główne punkty, co mianowicie przy długich lukach jest wskazane.

Między głównymi punktami wytyczy się punkty pośrednie podług wskazówek § 10.

Dla łuków o małym kącie środkowym zachodzi nieraz trudność wyznaczenia głównych punktów. Te przypadki są omówione w §§ 16, 17, 21, 22, 23, 31 i 32.

§ 9. Kontrole rachunków. Rys. 19.

Przypuśćmy, że prosta QQX jest styczną do łuku w punkcie N., wtedy wiemy, że:

PW —t — r tang

M-

Rys. 19.

PQ — tx = r tang = QN,

Pi Qi= k = r tai'g y = NQv Z trójkąta WQQX wynika, że:

QQi

WQ

sin (<jpi -|-q>t) — sin qp2 {t — k) sin    <3P₂) =    + k) sin qp₂,

(t — k) sin {(px -f (p₂) = (k -f-1₂) sin (px

czyli:

i podobnie: jako próba rachunku.

CC

Jeżeli: qpj = gp₂ = —, jak na rys. 17, to punkt N przejdzie

u

w środek łuku S, a próba opiewa:

CC

(t—k) sin a = 2tx sin —, czyli: (t—tt) cos

u

inc I a

= k-

i

lù 4tev    . «

Jeżeli kąt ß został pośrednio wyznaczony, jak na rys. 14, 15

CC

lub 16, to, gdy na rys. 20: PW— t = r tang —, jest:

u

AP—t—b, A₁P₁=t— c.

Odetnijmy: P₁Al=PA, to

kąt:

b.

gdy:

A,'

= ?£?_90, to:*=?

Spuśćmy z JLt prostą ^^3, prostopadłą do AA₂, to z trójkątów AAtAs i A₁A₂A₃ wynika:

P,

Rys. 20.

■d-i-d-s — -di-^2 C'OS g

czyli:

— AP) cos-£-=d sin

lub:

(6 — c) cos

INŁ "CD

Ten wzór należy obrachować dla kontroli rachunków. Dalszą kontrolę da nam warunek, że na rys. 17:

TS

SW t '

Ob. numer 5.

Obydwa stosunki obliczone mają mieć tę samą wartość. Nareszcie z trójkąta PTO wyprowadzi się warunek, że wyjęta z tabel wartość: tangma się równać - **    .

zbioru przykładów.

§ 10. Tyczenie punktów pośrednich.

Pomiędzy główne punkty, wyznaczone możliwie dokładnie, tyczy się punkty pośrednie co 5-mi, do najwyżej 20 m, za pomocą następujących różnych metod.

a) Metoda tangencyalna (tyczenie rzednemi od stycznej).

Jeżeli M na rys. 21 jest głównym punktem, a MN₁ styczną do łuku w tym punkcie, to zachodzi związek:

(r — y)² -\-xi = r².

Z tego równania lub wprost z rysunku wyznaczy się: y — r — r² —x²,

(2)

jako dokładny wzór, podług którego dla obranych wartości x • (np. co 2, 5 lub 10 m) obrachowano rzędne y w tabeli III. cz. II. Z wzoru (1) otrzymamy:

'y

ÿ“2r + 2r'

Dla płaskich łuków jest:

2 r

(la)

tak małą

ilością wobec

Rys. 21.

że można ją opuścić, a wtedy n7 otrzymamy prosty przybliżony wzór:

2r

X²

(3)

2i

Jestto równanie para boli o parametrze r, którą zastąpiliśmy łuk kołowy. Rzędne rosną w kwadracie odciętych, więc:

dla x = x₁ jest y = y,,

„ x — 2a:!

„ a: = 3x₁

i t. d.

»    y = ⁴//i;

„    y =

Z wzoru (3) otrzymamy y mniejsze niż z dokładnego wzoru a błąd popełniony wynosi:

A—~-, a stąd: y^\2rA-

Jeżeli za A wstawimy granicę dopuszczalnego błędu, ustaloną stosownie do dokładności, którą chcemy uzyskać, to znajdziemy z wzoru (4) granicę dla rzędnej y. Gdy w (4) wzór wstawi

się; y==2~, to się otrzyma: A =

dla x. Jednakże ten wzór nie jest wygodny do rachowania.

(2) lub (la),

8r³’

(4>

K__

skąd: a:^(/8r²d, jako granicę-

Np. jeżeli dopuścimy błąd: A = 0‘01 m, to dla: r =

10,    20,    50,    100,    200,    300,    500,    1000 m.

maxf/ = 0-447, 0‘6S2, 1-000, 1*414,    2 000,    2-450,    3162,    4‘472 m.

Zróżniczkujmy wzór (3):

o>

Io równanie zużytkujemy, aby dla pośrednich wartości x, nie znajdujących się w tabelach, szybko obliczyć y¹). Np. chcielibyśmy obliczyć rzędną dla x = 31 m i r — 400m. W tabeli III. znajdziemy dla a? = 30, y = 1127. Tu dx= 1 m. więc:

‘10

rfy = 40Ö-¹⁼⁼⁰'⁰⁷⁵'

zatem:

y= 1 127 + 0075 = 1-202 m, dla * = 31 m.

(U):y=!,^ + yl

Wzór (3) może dać dokładniejszy wynik, przez wprowadzenie poprawki, do której użyjemy wzoru Obliczymy naprzód podług przybli-

£ cg

żonego wzoru: y₁ = —- i odmierzymy od

V

P do P..

Następnie zmierzymy AP₁=s₁, a gdy si= \x'    y\t to podług (la) drugie przy- a

S²i

bliżenie jest: co obliczymy i odmierzymy od P do P₂.

.^2 =

Rys. 22.

900

Np. dla r=400 i # = 30, obliczy się: ^    =1‘125.

Gdy zmierzymy: s₁ = 3002, to:

901*2

800

= 1 1265,

zgodnie z dokładną wartością 1T27. Ob. nr. 10. zbioru przykładów.

b) Tyczenie od cięciwy. Rys. 23.²)

Zamiast tyczenia pośrednich punktów łuku od stycznej w M, N lub S za pomocą rzędnych, opisanego pod (a), możemy te punkty tyczyć za pomocą rzędnych od cięciwy, łączącej dwa główne punkty M i N. W tym celu należy długość MN — 2d zmierzyć.    M

Przedłużmy dowolną rzędną z do przecięcia w O' z równoległą do MN. poprowadzoną z punktu O, to w prostokątnym trójkącie OQO', jest:

ł) Ob. także' rozprawę p. Schulze w Allg. Vermessungs-Nachrichten nr. 25 z r. 1902 p. t. : „Ueber das Stationiren von Kreiskrümmungen“.

*) Na przecięciu prostych MN i OS należy umieścić literę T.

U/"

03

Sn

O

Rys. 2B.

-'O*

zatem:

<oQ0' = a₂

—, zatem: 0'Q — r cos

7 + <*

O'Q' — r cos — = r cos

u    u

y—<5

z—O'Q—0'Ç' = rl cos 2

cos

(6)

jestto wzór dokładny dla obrachowania rzędnych z.

Dla płaskich łuków o małych kątach a można zastosować prostszy wzór przybliżony, podstawiając arcus kątów y i d za sinus. Wtedy:

z — 2r arc

arc

tN2 O*

i rare yared.

Li

A jeżeli zważymy, że r arc y i r arc <3 są to łuki MQ i QN, to ostatecznie:

_MQ. QN 2r ’

(?)

wzór przybliżony, dający trochę za wielkie rzędne.

Wzór w tej formie bywa nieraz w innych przypadkach stosowany; dla celów tyczenia nie jest przydatny, gdyż długości łuków nie znamy.

Inny wzór przybliżony otrzymamy, zastępując płaski łuk kołowy parabolą podług wzoru (3). Jeżeli NQ' oznaczymy literą a. to ten wzór przejdzie w następujący:

(d—a)²

z —h —

a dla punktu N: h — ST— .

ćj r

d² — (d —a)2 y =-^--“

Oznaczmy MQ'= 2d — a = b, to ostatecznie:

— i)

2r

Wzory proste, które dozwalają na polu obliczyć z dla dowolnych odcinków. Z (8) wzoru obliczone z daje cośkolwiek mniejszą wartość, niż z wzoru (6). Różnica A wyznacza się również wzorem (4), zatem granice dla z są te same, które poprzednio podano dla y. Metoda ta z powodu swej prostoty jest chętnie stosowana. (Ob. nr. 11 zbioru przykładów).

Otóż:

a(2d—a)

Cr-

a dla środka: h =

(8)

!) Ob. także § 87. d.

c) Tyczenie ze środka.

Jestto sposób pod (b) podany, gdy się uwzględni tylko rzędną w środku cięciwy. W tym celu zmierzy się długość cięciwy, wystawi w jej środku prostopadłą i odmierzy długość określoną wzorem 2. I tak (rys. 24):

(9) *)

dla QQ, = 2d, jest MM, = r— dla QM = 2d,,jest NN, =r— \P^-d\ dla = 2d^ jest PP, =r—\r*—d\ i t. d.

M, N, P są wtedy punktami luku.

Dla płaskich łuków zastosujemy wzór 8:

M,M—

2?

N,N —

2r ’

P,P=

d\

i t. d.

(10 Q

M,"

-A

J-

Qj

'S

Na podstawie tych wzorów skonstruował Moreau²) przyrząd do tyczenia łuków, o promieniach od 23 do 10000 m. Na lineale L (rys. 25) jest umieszczona podziałka do nastawiania na różne promienie. B jest to balans, także w pochewce przesuwać się dający, a służący do zrównoważenia lineału, tak aby trzymając przyrząd za guzik A, lineały były poziome. Do gu- -zika można przyczepić końce dwóch taśm mierniczych. Jeżeli długość lineału L została wyznaczona z wz. (9) lub (10) na podstawie długości taśmy d i promienia r. natenczas N (rys. 26) jest pun-ktem łuku.

Rys. 24.

JB

JL

_L

Rys. 25.

Taśmo

My

Przyrząd jest tak urządzony, że dla promieni:

Rys. 26.

do 60 m wynosi długość cięciwy MM, 10 m. „ 1000 m „

1000 „ 10000m „

23

60

r>

20 m,

n. ■

40 m.

do obrachowania

') Alboteż MM, — r — cos    NtN = r^l—cos

podług tabeli II. części II.

²) Ob. dzieło: Topométrie p. Eugène Prévôt, Paris Dunod 1900.

Dla tych długości cięciw i promieni są na podziałce czone przynależne strzałki łuków.

Gdy się nastawi indeks na

i przyczepi taśmy, to tyczenie łuku tak się przedstawi:

Koniec jednej taśmy przykłada się do początku łuku P i wyciąga obie taśmy w kierunku stycznej do M\ w punkcie iV, wbija się kołek. JVt jest punktem łuku (ob. rys. 17, gdzie US=ST). Następnie obróci się przyrząd tak, aby przy wyciągniętej taśmie /W₂, koniec strzałki padł na jVj, wtedy koniec taśmy wyznaczy drugi punkt łuku iV₂. Podobnie gdy się wyciągnie taśmy od Nx ku Ars, tak aby koniec strzałki padł na iV₂, to JVg jest nowym punktem łuku i t. d.

Ten sposób tyczenia wymaga bardzo mało miejsca a jest dosyć dokładny, może być zatem korzystnie stosowany w lesie,. w zbożu, a szczególnie w podkopach tunelowych dla przedłużenia łuku w międzyczasie pomiędzy dokładnemi kontrolami trasy.

zazna-

tę strzałkę, zrównoważy balansem

■Ä

N₂

n₃

0₂

Rys. 27.

d) Metoda biegunowa {metoda 'promieniowania). Rys. 28.

Zasadza się na tej własności koła, że równym długościom cięciw Ml — 12 == 23... = d, odpowiadają przy biegunie M równe

kąty a. Z trójkąta MPO wyznaczy się, gdy O jest środkiem koła:

MP= MO sin a, więc: sin a —

MP

C*"¹,

MO ’

Rys. 28.

czyli:

si n a =■

2r

Przyjąwszy d w okrągłej liczbie, zwykle 10 lub 20 m (długość taśmy), znajdziemy z tablic kąt a. Jeżeli od stycznej w głównym punkcie M łuku, z M jako bieguna wytyczymy kąt NMl=ar a równocześuie figurąnt przyłoży do M jeden koniec taśmy, zaś drugi koniec zaopatrzony w żerdkę wprowadzi w kierunek M\y to punkt 1 będzie puktem łuku. Przykładając następnie taśmę do

punktu 1 i wprowadzając jej koniec w celowę i¥2, wyprowadzoną od stycznej o 2a, otrzyma się punkt 2 îuku i t. d.

Ta metoda jest szczególnie w terenie płaskim chętnie stosowana, gdyż dozwala wytyczyć łuk równie szybko jak prostą linię, zaś w podkopach tunelowych jest ona zawsze stosowana dla głównej kontroli punktów trasy łukowej.

Długość łuku 5, którego cięciwa d, wyznaczy się z wzoru:

(12) i)

s = r arc 2a = 2r arc a,

lub:

2r a"

206265'

Zwykle obierze się tak małą długość cięciwy d, że ją można zastąpić długością łuku s. Nastąpi to wtedy, gdy różnica s—djest mniejszą niż dokładność przyłożenia taśmy. Nazwijmy błąd przyłożenia taśmy A, to ma być s — d^d, to znaczy:

2rarca — 2r sin a

lub gdy sin a rozwiniemy w szereg, z którego zatrzymamy tylko dwa pierwsze człony:

a³

2r6<A

£

Gdy a—2"1 to otrzymamy ostatecznie:

3_

s^|/24rM.

a w przybliżeniu: dJ/24rM.

Przypuśćmy, że A wynosi 0-003 wî, to dla:

= 1    100, 200,    30

8-9,    14 2,    18-

(13)

co

cT o"

¹⁰ o

cT CD

może być s lub

Dla głównych kolei żelaznych, na których stosujemy promienie większe niż 300 m, można zatem obrać d równe długości 20 metrowej taśmy (Ob. tabelę IV).

c) Metoda stałych kątów. Rys. 29.

Jeżeli M i N są głównymi punktami łuku,

MM' i NN' styczne w tych punktach, to kąt PMM' równa się połowie kąta MOP, zaś kąt PNN' równy połowie kąta PON.

gd.y:

a stąd:

Z czworoboku MPNO wynika, że:

360° =a + ęp + (90° — y) -f (90° — Ô)

~~ 180® ■‘j⁻ (p —et    (y —|— d),

y-f-ó = ~, to 360° = 180° -f- <p-j-

(p—180°---

to a

to; a

(14)

N'

Taki sam kąt będzie przy

-r

innym dowolnym punkcie Q. Jeżeli zatem mamy pryzmat zw. arcograf, któ-

N Podwóiny₅¹-

\ ry dozwala na takie ustawienie, że daje możność tyczenia kąta

V'

Ô*'

Rys. 29.

tyczek M i N, jest punktem luku

Ta metoda należy do najmniej dokładnych.

ct

180*--g-, wtedy każdy punkt

LA

na którym nastąpi w arcografie pokrycie obrazów

jak P, Q,

f) Metoda siecznych, zwana także metodą przedłużania lub angielską. Dla obranej długości d na rysunku 30. obliczymy kąt a

z wzoru:

. a d

sm Y = 2r J

Punkt 2 wyznaczymy za po-mocą współrzędnych:

x = d cos oj, y=dsma. (16) Do stycznej MN głównego pun-

CC

ktu M wytyczymy kąt — i odmie-

rżymy Ml=d, to punkt 1 leży na łuku. Na przedłużeniu prostej Mi odmierzymy *=11' i prostopadle y = 1'2, podobnie 22'= x na przedłużeniu prostej 12 i 2'3 = y, to punkty 2, 3... będą punktami łuku.

i'

---A8 y 2'

d ,'^Ja

(15)

iś'

-i

Rys. BO.

Bez użcia prz yrządu kątomierniczego bywa ta metoda w praktyce w innej formie stosowana (rys. 31. a.):

Obieramy stosownie małą długość cięciwy d i obliczamy

rzędną Al=y z dokładnego wzoru la. x² -j~ y²    dz

i'

y=

2r‘

a.

A,

d.

\2y

d_

2'

Długości 1'2 = 2'3... równają się gi

dokładnie: 2y= —.

Taśmę Ml' o długości 2d od- \ suniemy od stycznej MA o długości y w punkcie 1, wtedy otrzymamy pierwszy punkt łuku. Następnie będziemy kolejno odsuwali drugą taśmę 12' o 2y od 1', taśmę 23' o 2y od 2'..., wtedy punkty 2, 3, będą punktami łuku.

Metoda siecznych jest mniej dokładna, wymaga za to mało czasu i mało miejsca.

M.

2'

/2y

Kys. BI.

/2y

.3

§11. Tyczenie łuków bez użycia przyrządu kątomierniczego.

W przypadkach, gdy się nie ma pod ręką przyrządu kątomierniczego, można tyczenie łuku uskutecznić wyłącznie zapomocą taśmy mierniczej.

Niektóre sposoby wymagają jeszcze bębenka lub pryzmatu, w celu tyczenia prostopadłych.

a) Wyznaczenie elementów zasadniczych, gdy 'promień łuku jest dany.

1. Sposób. Rys. 32. Z wierzchołka W odmierzymy dowolne długości W A = WB — z, następnie zmierzymy AB=2x, przepołowimy w punkcie C i zmierzymy WC—y. Dla kontroli należy obliczyć 2* = a;²-f-y².

Z podobieństwa trójkątów POW i WAG wynika t:r—y:x,

więc t=rgdy t jest styczną p/'

x    °    *    /V    3

łuku PW=WP₁.

Odmierzywszy te długości, otrzymamy początek i koniec łuku.

Bi

je \W

ajÆ-x

\r

'O

<*/£"

Rys. 32.

.B

cyi a :x =

Dalszą kontrolę uzyskamy, gdy zmierzymy PPX = 2a i z propor-obliczymy a = t —. Nareszcie wyznaczy się D

być; WD=y+CI)=t yz ,

w połowie PPj i zmierzy CD, wtedy ma

jako dalsza kontrola. Jeżeli kąt wierzchołkowy jest bardzo rozwarty, wtedy wygodniej będzie przedłużyć P₁W i odciąć obraną długość z = W A i WB'} zmierzyć AB' = 2y, przepołowić w C', nareszcie zmierzyć WC' = x.

W razie gdyby znajomość kąta środkowego a była pożądana, to wyznaczymy z wzoru:

U) a

tang

2. Sposób. Rys. 33. W dowolnych punktach A i B' jednego kierunku tyczy się prostopadłą na ten kierunek do A' i B na drugim kierunku. Następnie zmierzy się b, b' i AB'. Jeżeli AW = x, to:

AB'.b'

b+b’

AB¹—x    b

Kya. 33.

Gdy się obliczoną długość x ;b odmierzy, to się otrzyma punkt W, który powinien wypaść dokładnie x na kierunku A'B. Następnie znajdziemy; WB' = a = AB'—a?, zaś

zmierzymy WB — c.

Styczna WB = WPl= t = r tang

CC O

a gdy:

c.sin a

tang --- = —:-= —j-

2    1-^-cos a    c —j— c .

sin a

cos a

a-\~c

co się odmierzy.

to nareszcie: t—

rb

a-j-c’

Prościej, choć mniej dokładnie dojdzie się do wartości t, gdy się wprost zmierzy et, b, c po ustaleniu wierzchołka W.

3. Sposób (rys. 34) zastosuje się wtedy, gdy punkt wierzchołkowy W nie jest dostępny. Przesuniemy jeden kierunek, np. AW równolegle i dokładnie o dowolny wymiar h, tak aby prze-

cięcie się tej przesuniętej prostej z drugą prostą w punkcie W' było możliwe.

Następnie odmierzymy dowolną długość W A! — z' — W'B, i zmierzymy A'B—2x/ i WO—yf.

Jeżeli przedłużymy BA' do A i zmierzymy AA', to:

AB=2x=AA'-j-2x/,

CC»

yr

z'

z =—r x, y — -, x ’ v af

--h\ ;. - A

y*

\h

X’

z’

Rys. 84.

Znając te wartości nastąpi dalsze obrachowanie jak I. sposobem.

b) Wyznaczenie głównych i pośrednich punktów luku. Rys. 35.

Poprzednio zmierzyliśmy lub też obliczyli już PT=TPX — a wyznaczyliśmy: tang

toi a

którą ilość nazwijmy k. Z trójkąta POT

= -f-’a gd.y

TS—h=r— OT, to h = r—Odmierzymy

tę długość na kierunku TJF, a otrzymamy środek luku $. Prostopadła z Ś na styczną PW równa się także h, gdyż prosta PS połowi kąt WPT] z tego też powodu PU—a, zatem WU =t — a. Odmierzymy tę długość, to prostopadła z U powinna trafić punkt S, a nadto US ma być równe h, co posłuży do skontrolowania punktu S. Teraz możemy łuk wytyczyć albo od cięciwy (§ 10 b), albo od środka (§ 10 c). Można też dalsze główne punkty S1: <S₂ w ten sposób wyznaczyć, że się zmierzy Prlx—T₁S—b: wystawi w 1\ prostopadłą na PS do punktu Q i zmierzy ją, a następnie zmierzy i skontroluje PQ = QS — tx. Po obliczeniu a TXQ

tang-j = -ÿ ma się główny punkt Sx.

Jeżeli łuk PSXS jest dostatecznie płaski, to według wzoru

b² ,

-gp zaś OTx=r— hv Z podobieństwa trójką-

wynika, że OT — a cotg

ins a

\Q.

f-

Rys. 35.

= k1} obliczy się S₁Tx=h₁ = r--przezco otrzy-

(8) § 10 jest hx =

ów OPQ i OT tS wynika, że tx:r = b:r— A1? skąd obliczy się rb

tx—'-—, co posłuży dla kontroli wyznaczenia punktów Q i Qx.

Y-łZi

c) Wyznaczenie długości łuków.

9-, lub sin-§-z    2

, to wyzna.-

Ponieważ znamy tang

czy my a, a wtedy długość łuku równa ra. Można jednakże podług danych a i r wyprowadzić wzór na długość łuku. Oznaczmy a ..

sm -s- literą x, to:

to a

arc sin x = x-\-

zatem długość łuku: ra = 2r[x-\-

Jeżeli dokładność pomiaru długości przyjmiemy na 1:1000 to drugi wyraz powyższego równania można opuścić, skoro będzie mniejszy niż ra : 1000, zatem:

o    ra _

r 4 4 <1000<

2r (*+ t),

1000

SHd; **-g?g*ł

_A=0 lub ,r^¹+>/l+ ¹⁰⁸⁰0 300 ^ ⁵    ^    1000

gdy jedynki w czynniku opuścimy, to:

10800

900

< 0-34 > sin

stąd w okrągłych cyfrach:

- co

a < 40°,

Dla mniejszej dokładności pomiaru długości 1 :213 otrzyma się a^60°,

Zatem tylko dla takich wartości można drugi człon we wzorze na ra opuścić, wtedy pozoztanie długość łuku:

ra

z.

co

'i

Jeżeli kąt środkowy luku jest większy niż 40°, to należy go podzielić na partye mniejsze niż 40°, i dla każdej osobno długość Juku obliczyć.

Jeżeli punkty główne lub pośrednie zostały wyznaczone w tak małych odległościach, że cięciwa między nimi mierzona czyni za-<łosyć równaniu (13) w § 10, natenczas przyjmujemy długość łuku równą długości cięciwy¹). Ob. nr. 11. zbioru przykładów.

d) Wyznaczenie elementów zasadniczych, gdy dany początek luku.

Wtedy promień r nie jest znany, nie można zatem użyć wzorów pod a) i b) podanych. Skoro położenie punktu P (rys. 35) jest <lane, zmierzymy WP—t i odniesiemy tę samą długość od W do Pp, następnie zmierzy się PP₁ = 2a i TW=p. Dla kontroli pomiarów obliczy się t- = a²-j~p². Ponieważ PS połowi kąt WPT, to w trójkącie WPT inąją się do siebie odcinki WS i ST jak przyległe boki, zatem:

ap

t-\-d

p — h:h — t:a. więc także: p:h — t-\-a :a, a stąd: h —

Po odmierzeniu SD = h, otrzyma się punkt S. Długość promienia r wyznaczy się z trójkąta POT:

aS-f-A2 2h '

r* = a² -j- (r — h)², a stąd: r —

i te

Jeżeliby zależało na zaokrągleniu promienia r na całkowitą liczbę r'. to wtedy należy p i h pomnożyć stosunkiem

zmienione długości wytyczyć.

Na podstawie tych wyznaczonych ilości nastąpi wytyczenie -łuku jak pod b).

e) Dany mniej więcej śródek łuku Si).

Ten przypadek zachodzi nieraz na drogach lub rowach, gdy się je chce oprowadzić około jakiejś przeszkody. Wtedy znajdzie się przez próbny pomiar krokami takie przybliżone położenie pun-

') Vogler w rozprawie „Zur Kreisabsteckung ohne Theodolit“ (Ztschr. für Vermessungswesen z r. 1894) podaje na długość łuku wzór:

, w którym t oznacza długość stycznej, zaś a połowę

na

długości cięciwy. Ten wzór daje dla /- = 1, a « = 80 do 90° wyniki zgodne trzy dziesiętne.

²) Vogler, jak powyżej.

któw Q i Çx (rys. 35), aby prosta QQX przeszła przez dany punkt 6. Następnie zmierzymy dokładnie: WQ=*WQx=t—tx, jakoteż długość QQ₁ = 2t₁, a w połowie tej długości ustalimy punkt S.

Jeżeli następnie odmierzymy PQ = P₁Q₁ = t₁, to otrzymamy początek i koniec łuku. Dalsze tyczenie podług a), è), d).

¹

) Podług tab. II. części II.

§ 12. Wyznaczenie kierunku stycznej w dowolnym punkcie

luku.

Potrzeba wytyczenia stycznej w dowolnym punkcie łuku zachodzi bardzo często. Rozpatrzymy różne przypadki.

9.°

a) Jeżeli wytyczono łuk od A ku M (rys. 36)

metodą biegunową, to kąt MAN = jest znany.

u:-

pA

Przypuśćmy, że w celu dalszego tyczenia łuku ^ trzeba przestawić się przyrządem kątomierniczym y w punkcie M, to wyznaczy się położenie stycz-nej w tym Punkcie przez wytyczenie kąta

Rys. 86.

AMN— f-. Prosta MN jest styczną w M. Od tej

u

stycznej nastąpi dalsze tyczenie łuku. Potrzeba takiego częstego przestawiania zachodzi w tyczeniu osi sztolni (§ 32).

b) W pobliżu punktu M, w którym chcemy wytyczyć styczną znajduje się wytyczona styczna w punkcie A (rys. 36). Jeżeli z poprzedniego tyczenia, lub też wprost z pomiaru jest znana długość

s

luku iM=s, wtedy: arc cp = - Z tablic wyznaczymy <jp i albo wytyczymy ^ jak pod «), alboteż obliczymy i odmierzymy:

Cu

œ

AN—r tang .

Zamiast długości łuku można zmierzyć cięćiwę AM—cl i wyznaczyć cp z wzoru:

cp d ⁸¹¹¹ 2 ⁼ 2 r

Prosta MN jest styczną w M.

Wprost można punkt N wyznaczyć, jako punkt przecięcia prostopadłej do cięciwy, wytyczonej w jej środku P ze styczną AMX.

c)    Jeżeli styczna w A jest dana, jednak punkt A nie jest pewnie oznaczony (np# na istniejącym torze kolejowym), wtedy spuśeimy z M prostopadłą MMX do stycznej AMX i zmierzymy jej długość y. Długość AMy — QM=x obliczymy z wzoru (ob. § 10 a) x =ÿ(2r—y)y, która wyznaczy początek łuku A, poczem zastosujemy sposoby powyżej pod b) podane.

Alboteź można wprost wyznaczyć długość MXN. Z podobieństwa trójkątów O AN i AMXM wynika, że:

AN -.r = y:x, czyli : AN— —

Znając długość AN, jest MxN—x— AN, Tę długość odmierzy się od Mx do Nr w celu otrzymania położenia stycznej MN.

d)    Jeżeli w pobliżu punktu M niema stycznej wytyczonej do

łuku, wtedy obierzemy dowolny punkt A, wyznaczymy jak pod b) kąt <p z długości łuku AM=s, lub z dłu- <3° gości cięciwy d i wytyczymy styczną MA'.    ''~~

Można przyjąć drugi punkt B (rys. 37) i wy- J \ znaczyć styczną MB' dla kontroli; punkty ;    \

A', M i B' mają leżeć

Bez pomiaru kąta można dojść do po- ! łożenia .stycznej przez wyznaczenie długości—^ prostej AA'=y, wyprowadzonej z punktu A prostopadle do cięciwy AM. Z trójkąta MA A' otrzyma się MA' — \d²-\ry*-

Z podobieństwa trójkątów MA A' i OPM wynika:

d

jp czy1,: yy=

a po wstawieniu wartości za MA' wyznaczy się:

na

jednej prostej.

ni... MA' : y = r :

IM Ï

to A,

jy

Br

A\

Rys. 37.

MA' d₂ ,

Podobnie można wyznaczyć B'.

e) Jeżeli promień łuku nie jest znany, to można różnie stąpić.

a) Obierze się możliwie dalekie punkty A i B i zmierzy długości łuków AM =*s i MB — Sy. Ponieważ w mierze łukowej:

S    9

V — —> <Pi =    t0 y <Pi=s: s,

po-

Następnie zmierzy się dokładnie kąt AMB = fi. Otóż:

/*'+!-+ f-180»

Jeżeli się w to równanie wstawi za g)t wartość z powyższej proporcyi, otrzyma się:

<P

fi .    ,    .    . cp, 180 -u

— s i analogicznie: ~ = —r    si

ćj    8——

180—

2

Za pomocą tych kątów wyznaczy się kierunek stycznej. Gdy z górnych równań jest:

to:

r = —, zaś : œ

<P

206265.s

V"

<P"

lub: r

206265’ 206265.

<P"i

ß) Obierze się dowolny, możliwie daleki punkt A i zmierzy się MA = d i strzałkę łuku PQ=h.

Otóż wiadomo (ob. rys. 17), że tang J    Stąd wyzna

(p

czy się cp i położenie stycznej; albo obliczy się: AA' =y=d tang

2 sin T

y) Bez wyznaczenia kąta można tak postąpić: Z § 11 d) wiadomo, że:

QR:PQ — MA' :d, lub: PQĄ-QB :PQ = MA' + d:d

Gdy:

więc:

PÇ+QR = jL, PQ=h, MA'=Y#+i

dl-=hdr\-hYd'+y',

a stąd:

d²h

d \²

— h-

zaś z równania m pod d) wyznaczy się:

r=d\_d2Jty² ₌

(4)

2Ä

l)

¹) W § 13 podano jeszcze inny sposób wyznaczenia promienia r z pomiaru rzędnych od cięciwy.

Podobnie obliczy się dla kontroli yt i r dla punktu B.

Jeżeli w powyższych przypadkach okaże się, że albo punkty A\ M i B' nie leżą na jednej prostej, albo że wartości promienia obliczone dla różnych punktów łuku nie są zgodne, to albo łuk nie jest w porządku, albo nie jest jednolity, a wtedy należy postąpić podług § 13.

§ 13. Badanie luku istniejącego toru.

Powyżej w § 12 e) widzieliśmy, że mogą wypaść różne wartości promienia dla tego samego łuku. Nastąpi to wtedy, gdy łuk toru kolejowego został albo przez ruch pociągów zdeformowany, albo ma się do czynienia z lukiem koszowym, albo też wchodzi się w krzywą przejściową toru kolejowego, gdy jeden z punktów A lub B znajduje się w pobliżu początku łuku.

O tych stosunkach luku można się najłatwiej przekonać, jeżeli od możliwie długiej cięciwy odmierzy się rzędne symetrycznie względem jej środka położone. Długości dwóch symetrycznie ułożonych rzędnych mają być równe, a różnić mogą się tylko w granicach dopuszczalnego błędu. Takie pomiary winno się uskutecznić w różnych partyach łuku. Z relacyi wzoru (8) w § 10, gdy rzędne nie przekraczają dozwolonych długości:

ab    d²

2r

0 = .. . lub: h =

Zr

obliczy się promień r, który ze wszystkich pomiarów powinien otrzymać tę samą wartość.

Jeżeli się znajdzie różnice w pomiarze rzędnych, lub w obliczonych wartościach promienia, wtedy trzeba łuk na nowo tyczyć. W tym celu należy zmierzyć kąt wierzchołkowy /?, wyznaczyć punkt S na przecięciu połowiącej kąt ß z łukiem, następnie zmierzyć albo WS (rys. 17). albo STJ=h. Wtedy wyznaczy się promień r z wzorów:

£■

ero

tc a

be

cr

3s-

cc

09

Tym promieniem wytyczy się łuk. Teraz pokaże się czy luk toru jest jednolity, czy koszowy, lub też czy były stosowane krzywe przejściowe. W tych ostatnich wypadkach należy tyczenie luku przeprowadzić podług § 25 i dalszych, ewentualnie podług wskazówek zawartych w II rozdziale.

Jeżeliby wyznaczenie ilości zasadniczych luku nastąpiło podług § 11, to odnośnie do rys. 35 i 32 nie trudno ustawić pro-porcyę:

W O :r = t:a — z :x,

a stąd:

WO=

r>

WS = WO— r —

z—x

r,

a zatem:

r = WS—, lub: r = h —

z—x

§ 14. Poprawka odchyłki łuków z dwóch stron tyezonych..

Rys. 38.

Przy tyczeniu łuków popełnia się nieuniknione błędy, które są przyczyną, że łuki z dwóch stron od głównych punktów A i B tyczone nie zejdą się dokładnie w tym samym punkcie, okaże się

jakaś odchyłka CD = A, która wymaga poprawienia łuków. Przyjmujemy, że odchyłka jest proporcyo-nalna do długości wytyczonego luku. Jeżeli zatem długości łuków AC i BD nazwiemy sx i s₂, a ich odchyłki:

A₁ i A2: to Aj . A₂ = Sj : s₂,

stąd: Aj :d₁-j-d₂=s₁:s₁-f-s₂, a gdy: A₁-\-A₂ = A zmierzono,

, ~A

A₂ — s₂

A/*-'

to:

2d

Rys. 38.

Aj — Sj :

Sj-j-Sa

Po odmierzeniu tych odchyłek otrzyma się wspólny punkt zetknięcia E. W celu poprawienia poszczególnych punktów łuku

Si+S₂

—i— jest odchyłką przypadającą

I ⁵2

długości łuku, że zatem poprawka np. dla punktu 2 wyniesie:

zważmy, że wyraz

na

jednostkę

' *i-K

jeżeli s jest długością łuku A2 (Ob. nr. 12. zbioru przykładów).

W ten sposób poprawi się mniejsze odchyłki. Dla większych odchyłek należy postąpić podług § 27. Ob. nr. 12. zb. przykładów.

§ 15 >)•

Zadanie. Położyć łuk stycznie do trzech danych kierunków_ Rys. 39. Dane kierunki 4łłj, WXW₂ i W₂B. Zmierzy się długość-

*) Zadania podług Voguera.

"i W2= ^i-f-4 i kąty ß₁ i ß₂. W₁C=ł₁ i CW₂=t₂ są to styczne <ila kątów ßx, ß₂ i nieznanego promienia r, więc (ob. § 7):

^^2=4+4

zatem :

4+4

= r ( cotg + cotg Aj sin A

ßC

ß%

— (fi -f- 4)

• Ä sm 2

cotgy+eotg |

Obliczy się: 4 = r cotg A

W,

ii.

t?

W₂

/4

ty

4 == r cotg

przyczem suma musi się zgodzić ze l) zmierzoną długością WXW₂\ następ- A nie odmierzy się:

WXC= W₁P= 4 i WaC=W₂P₁=4, przezco otrzyma się początek i koniec łuku i punkt styczność C.

Zadanie. Miedzy dwa dane punkty A i B łuku wytyczyć trzeci punkt, jeżeli z A nie można celować do B. Punkty A i B są na gruncie dane, a pomiędzy nimi nie można celować z powodu istniejącej przeszkody. Rozróżniamy dwa przypadki.

a) Położenie stycznej w punkcie A jest dane. Rysunek 40. Wtedy promień łuku r jest określony, nie można go zatem z góry obrać. Obierzemy dowolny punkt C tak, aby z tego punktu można celować i mierzyć ku 4 i ku B. Zmierzymy kąt £ i długości: AC=b, CB = c.

Z tych ilości obliczymy:

AB=2a — \b'i-\-c‘i — 2bc c,os s, następnie z warunku, że:

sin fi sin v sin e

'&ó

Rys. 39.

'Vi /

°o

Rys. 40.

F'

2a

obliczy-my:

<■

b .

sin v — — sin e.

sin/t = sine,

ÂGL

Dla kontroli ma być: fi-\-v-\-e= 180°. Następnie zmierzymy kąt W AC—y, to:

2a

= fi-\-y, zaś;

sin

to a

Teraz można wyznaczyć np. punkt D, leżący na przedłużeniu BC, przez obliczenie długości GD (gdy qp=180 —

to a

podł. § 10 e):

i “fcĄ podobnie :

sin cp ¹    ----

a dla kontroli obliczyć:

GD =

sin ą>

AE=b-\-CE=2a

sin (p)

BC=c-\-CD=2a

sin cp

sin (v-\-cp)

— 2r sin (p. -j- <jp),

sin cp

2r sin (v-\-cp).

b) Dane są punkty A i B i promień r.

(Ob. nr. 13. zbioru przykładów).

Postępowanie to samo co przed tern, tylko zamiast pomiaru kąta y, potrzebnego do wyznaczenia kąta a. obliczymy ten kąt . a

z wzoru: sin -=■

U

§16, Tyczenie serpentyn drogowych. Rys. 41.

Serpentyny drogowe należą do łuków o małym kącie wierzchołkowym, o których mowa w następującym paragrafie; gdy jednak promienie łuków w takich serpentynach stosowane są małe, w granicach od 10 do 25 m, to może być odmienna metoda tyczenia stosowana.

.A

W,

W2

Rys. 41.

P2

Jeżeli wierzchołek W1 \ i kierunek WXA może być na \ h polu ustalony, wtedy odmierzy A się długość W₁P₁ wyjętą z pro-~~d1 jektu i na prostopadłej z P, 1/ odmierzy się długość PxO = r. / Jeżeliby natomiast dwa punkty B i C łuku mogły być na gruncie ustalone, natenczas społo-

wimy prostą BC i wystawimy do niej z D prostopadłą, którą przetniemy długością BO — r. Dla niewielkiej długości łuku BC można

(Bcy

i tę długość

podług §■ 10 wzoru (8) wyznaczyć: D0 — r

od D odmierzyć.

Gdy w ten sposób środek O jest ustalony, odmierzy się dowolnie obranych kierunkach do punktów E, F, ćr..., otrzyma się szereg pośrednich punktów łuku. To odmie-

wprost r na

przez co

8r

rżenie powinno być poziomo wykonane, więc dla punktów jak E, F, leżących w pobliżu linii największego spadu stoku, trzeba wykonać pomiar za pomocą łaty i libeli, sposobem schodkowym, zaś dla innych punktów wprost taśmą możliwie pionowo ułożoną.

Jeżeli punkt O wyznaczono pierwszym sposobem od P1: trzeba będzie z następnego wierzchołka W₂ poprowadzić styczną do wytyczonego łuku i wyznaczyć koniec łuku P₂. Tę styczną poprowadzi się dostatecznie dokładnie podług oka, poczem prostopadła z O do tej stycznej poprowadzona wyznaczy P₂. Można też za pomocą pryzmatu wyznaczyć punkt P₂ jako wierzchołek prostego kąta W₂P₂0: a zarazem odległego od O na długość taśmy równej r. Jeżeli punkt O wyznaczyło się z punktów B, C, wtedy oba końce łuku trzeba w ten sposób wyznaczyć.

W tym wypadku może się zdarzyć, że punkty Wx i W₂ nie będą na gruncie ustalone, lecz wyznaczone z warunku pewnej, w projekcie przewidzianej długości WXPX i W₂P₂. Wtedy zużytkujemy pryzmat do wyznaczenia przez próby takiego kąta prostego, aby punkty P miały przepisane odstępy od W i od O.

Środek łuku powinien być za pomocą pala ustalony, aby, czy to podczas budowy, czy też po jej ukończeniu umożliwić szybkie, a pewne wytyczenie dowolnych punktów łuku.

§ 17. Tyczenie łuków o małym kącie wierzchołkowym.

Kierunki prostych przeniesione z projektu na grunt nie mają względem siebie dokładnie tego samego położenia co w projekcie.

33

5-

Bi ,B’

"52

L\

r__

O’

IA

w;

Rys 43.

Rys. 42.

Różnice stąd powstałe między położeniem łuku w projekcie i na gruncie będą nie wielkie, jeżeli kąt wierzchołkowy ß jest wielki mogą być jednakże znaczne, gdy kąt ß zbliża się do zera, a kąt środkowy a do 180°.

Na rys. 42 jest /3>>0, a < 180°, zaś na rys. 43 /?<<0T a >180°. Obydwa rysunki pokazują, że drobne przesunięcie prostych WB na gruncie wobec W'B' w projekcie, powoduje znaczne przesunięcie łuku na polu wobec projektu.

Ponieważ takie znaczniejsze przesunięcie łuku jest nieraz z różnych powodów niedopuszczalne, zatem trzeba położenie łuku na polu ustalić, przez przeniesienie jednego lub dwóch punktów łuku z projektu na grunt.

Tu mogą zajść różne przypadki.

a) Przez punkt luku M dany na gruncie -wytyczyć luk łączący dwa proste kierunki, bez naruszenia ich położenia. Rys. 44.

Przez dany punkt M i dwa styczne kierunki jest łuk zupełnie określony; nie można zatem z góry obrać promienia rls lecz trzeba jego wielkość wyznaczyć. Przy małym kącie ß wypada

pnnkt wierzchołkowy daleko, a często jest niedostępny, więc dla wyznaczenia kąta wierzchołkowego zastosujemy sposób podany w § 6 pod b) lub c). Prostą A Aj położymy przez punkt M, p, zmierzymy kąty di y, poczerń wyznali czymy ß — y -\- ô — 180°. Następnie ¹ zmierzymy AM i MAt i obliczymy długości prostopadłych, wyprowadzonych z punktu M do danych kierunków. Mianowicie jest:

MN—p = AM siny, MN₁=q=MA₁ sind.

Między długościami PN = x i P₁N₁=xx, a rzędnemi p \ q zachodzą związki:

,w

Nj

VA,

z których obliczy się:

p — Tj — \ r\ — X*.

q — rx — J/r²! — x²v

= \\2r - 2) 2 •

na

x=y(2r₁ — p)p,

Jeżeli wykonamy rzut zamkniętego wieloboku OPNMNjPjO kierunek promienia OP, to otrzymamy równanie:

Tj —p — q cos ß — Xj si n /?-}- cos ß = 0,

a po wstawieniu za xx powyżej wyznaczonej wartości:

sin /?|/(2r,—q)q=—p— qc,osß-\-rj (l-f-cos/3).

Z dwóch znaków przed pierwiastkiem odnosi się znak -j- do przypadków przedstawionych na rys. 42 i 43; znak — odnosi się do uzupełnień do pełnego koła.

Podług wyznaczonego promienia r₁ obliczy się x i xx, jako-też AN= — AM cos y i AXNX — — MAX cos d, co posłuży do wyznaczenia: AP — x — AN, AxPx = xx—AXNX. Po odmierzeniu tych długości będą wyznaczone początek P i koniec łuku PXJ zaś łuk wytyczy się podanymi sposobami.

Promień rx tylko nieznacznie będzie się różnić od promienia r projektu. (Ob. nr. 14. zbioru przykładów).

W celu kontroli powyższych obliczeń należy z długości AAX = d i z pomierzonych kątów y i <5 obliczyć według wskazówek §6 b)

W A — b i WAx=c. Kontrolą będzie warunek, że:

PA-\-b = PxAx-\-c = t — rxcoi&ng -

Prościej niż rachunkiem można dojść do przybliżonej wartości rx próbnym wykresem, wykonanym na podstawie w polu pomierzonych ilości y, ó, AM i MAV Podług tej wartości rx obliczymy wprost:

ß

t== rx cotang—- i AP—t — b, AxPx=t— c.

Te ostatnie długości posłużą do wyznaczenia początku i końca łuku. Tą przybliżoną wartością promienia rx wytyczony łuk nie przejdzie dokładnie przez dany punkt M. Ob. nr. 14. zbioru przykładów.

b) Zadanie jak pod, a), lecz prosta Bx W może doznać równoległego przesunięcia. Rys. 45.

mu r z

Po obustronnem kwadrowaniu i należytem uporządkowaniu, otrzyma się równanie dla niewiadomej rx: r\{1-f-cos/?)²—2rx[p+(p-\~q) cos ß-\-q]-\-p²-{~2pqcos ß-\-q² = 0,

faq

a stąd:

P + q± fapqd — cosß) _ p-f g

(l±2

P+q

sin

'sa. <n

W tym przypadku przeprowadzimy przez M łuk o promie, projektu, a wyznaczymy wielkość przesunięcia prostej

Bx W. Pomiary kątów i długości, jakoteż obliczenie długości p. q i x uskuteczni się jak pod a).

iW

Oznaczmy przez q długość MN2 i wykonajmy rzut tego samego wieloboku co pod a) na kierunek promienia OPx, to V, otrzymamy równanie:

P’

r—p cos ß—q₁—x sin ß-j- r cos ß = 0:

b} 'b₂ a stąd:

?l = r (1 COS ß)

p cos ß — a: sin ß.

Znając qx, znajdziemy qx—q jako szukaną wielkość równoległego przesunięcia prostej Bx W.

Zmieniona długość PXN₂ =xi— f/(2r — qx) qv

Dalsze obliczenia i kontrola rachunku jak pod a). Zamiast równoległego przesunięcia można także inny kierunek nadać prostej przesuniętej, jak o tern będzie mowa w §§ 19 i 20.

na

Powyższe zadanie przedstawia się w prostszej formie jak

stępuje:

Po zmierzeniu kątów y i ó, jakoteż długości AM, obliczy się p i x. Po odmierzeniu długości NP=x otrzyma się początek łuku i wytyczy cały łuk, który powinien dokładnie przejść przez punkt M. Połączenie tego łuku z dalszą trasą uskuteczni się podług §§ 19 i 20.

c) Przez dwa dane punkty Cii) wytyczyć łuk bez naruszenia prostych B W i Bx W.

Prostą AAj przeprowadzimy przez dane punkty i zmierzymy AC, CZ>, DAj i kąty y i ô (rys. 46). Sposobem pod a) podanym wyznaczymy rachunkiem lub wykresem promień r\ dla łuku przechodzącego przez C i promień rx dla łuku przechodzącego przez D: a podług średniej r, z tych dwóch promieni wyznaczymy:

t — rx cotang i odmierzymy AP = t — b i AxPx—t—-c. w celu

u

otrzymania początku i końca łuku. Łuk promieniem rx wytyczony przejdzie w pobliżu danych punktów C i D. Prościej można tę średnią wartość rx wyznaczyć wprost z wykresu.

Z + 90-f y+90 =360°,

u

«NS 'S

(px = 180° — y

d) Przez dwa dane punkty C i D przeprowadzić luk o danym promieniu r. Rys. 46.

W tym przypadku obydwa styczne kierunki doznają przesunięcia. Przez dane punkty wytyczymy prostą AAX, zmierzymy kąty y i d i długości AC, CD—e i DAV Przesunięcia u i ux prostych BW i Bt W wyznaczymy jak następuje:

Prostopadłe CCx=p i DD₁ = q wyznaczymy jak w poprzednich zadaniach giof z długości AC i DAX. Następnie podług zmierzonej długości CD — e obliczymy:    \ c

'e , . ‘

—    . Znając (p, wyznaczymy z wa- '

z r

sin

S- (M

runku, że:

¹¹

-u.

'p-

' \Ari ¹

Rys. 46.

*5Ą

, podobnie: çp₂ = 180°—ó~—~.

Długość CC\ = r( 1 — cos(px)—p-\-u, więc:

u = r( 1 — cos qPj) —% — r (1 — cos <p₂) —- q.

przyczem dodatnia lub ujemna wartość u lub % wskazuje, że przesunięcie prostej następuje na zewnątrz lub na wewnątrz.

Punkta P i Px wyznaczy się jak w poprzednich zadaniach podano, albo też z wzorów:

A'P = C\P—A'C\— rgin (px —(p-\-u) cotang (180—y), A'₁P₁—D'₁Px = A'₁D'₁ = rs\n <p₂— {p-\~ui) cotang (180— d).

Kontrolę rachunku przeprowadzi się jak pod a) podano. Jeżeli równoległe przesunięcie prostych nie jest pożądane, natenczas przez główne punkty C i D wytyczy się cały łuk o danym promieniu r i połączy obustronnie z dalszą trasą za pomocą stycznych podług §§ 19 i 20.

§18. Przystosowanie wytyczonego luku (lo trasy w tym przypadku, jeżeli przy wytyczeniu luku nastąpiła zmiana położenia danych prostych kierunków. Rys. 47.

W zagadnieniach pod b) i d) poprzedniego paragrafu przyjęliśmy, że jedna prosta lub obie proste zostały równolegle przesunięte. Takie równoległe przesunięcie nie będzie zawsze dopuszczalne. Jeżeli mianowicie przed uważanym lukiem Ł (rys. 47) był już wytyczony łuk Łx, to należy do obydwu łuków poprowadzić wspólną styczną; lub też jeżeli w trasie po łuku Ł następującej wierzchołek W₂ nie może zmienić swego położenia, wtedy należy z tego punktu poprowadzić styczną do łuku Ł.

>\

Łv

W,

Te obydwa zagadnienia wl rozpatrzymy w następujących paragrafach.

Rys. 47.

§ 19. Do dwóch w polu wytyczony cli luków poprowadzić wspólną styczną.

Obydwa łuki mogą być jednakowe lub odwrotnie skierowane. Rysunki 48 i 49.

a) Przeprowadzenie ogólne.

Na dokładnie wyznaczonych głównych punktach M i

wykonamy pomiar kątów a, i a₁₅ zawartych między stycznemi w tych prostą MM₁ i zmierzy-

\'r

CC

\r

\

\°Ś4

nĄ

punktach, a my długość MMx=l. Następnie obli-

czy my:

F\

M'

M’

MN—c = r sin a, MlN₁=c₁=r^ sin NN' — p — r(l — cos a), N\N\ = 'px — rl (1 —cos at).

Oznaczmy przez l₀ długość a przez (p kąt za-

W:

a^-

stycznej PP\, warty między tą styczną a prostą MMi, to te dwie ilości należy wyznaczyć. W tym celu wykonajmy rzut wielob oku NN' PP-lN\N₁N

na

M,

Rys. 48 a.

Rys. 48 b.

kierunek prostej MMX i na prostopadłą do tego kierunku, a otrzymamy dwa równania:

l — c — ci=r sin (p -f- ï₀ cos (p + i\ sin cp. p+Pi=r(l — cos qp)—f— /₀ sin (p±_r₁ (1 — cos g>).

Z dwóch znaków odnosi się górny do rysunku 48a, dolny do rys. 486.

Po wyłączeniu niewiadomej /„ z tych równań, otrzyma się:

(a)

—p^fpy) cos    —c-—Cj) sin q> = r+r₁.

Podstawmy dla pomocniczego kąta tp:

r±r₁—p+,p₁

tang xp —

l — c — cx

a otrzymamy:

r ± rx

l—c — cx

cos xp.

(*)

wzór dla wyznaczenia kąta (p. Po wstawieniu tej wartości w pierwotne równania znajdzie się:

l o=

l—c— cx— (r±ri) sin (p

cos (p

, albo: /₀—

P±Pi—(r±r₁)(l— cos cp)

(c)

sin cp

Dla kontroli należy l₀ z obydwu wzorów obliczyć.

Punkty styczności P i Px wyznaczy się w zastosowaniu do rys. 48« przez wytyczenie luku o kącie a-cp z M. zaś o kącie ax-\-cp z Mx; w zastosowaniu do rys. 486 wytyczy się z M łuk o kącie a±<jp, a z Mx łuk o kącie «iPÿ, podług tego, czy p—px jest dodatnie czy ujemne. Ob. nr. 15. zbioru przykładów.

Uwaga. Jeżeliby obrany punkt, np. M, był położony po drugiej stronie punktu styczności P, np. w M', wtedy przynależny kąt a należy wprowadzić z ujemną wartością, więc i c otrzyma znak ujemny.

b) W zastosowaniu praktycznem można podług oka ocenić położenie punktów styczności, a w pobliżu tych punktów wyznaczymy dokładnie punkty M i Mv zmierzymy MMX i kąty «i au jak przedtem. Również obliczenie długości c, cx, p i px pozostaje to samo, tylko wyznaczenie kąta gp, który teraz będzie bardzo mały, dozna uproszczenia. Dla małego kąta możemy podstawić cos<p=l, a wtedy z równania (a) otrzyma się wzór prosty:

sin (p

P±Pi

l — c — cx

Podług tej wartości obliczy się l₀ z wzoru (c).

z wzoru c.

Aby długość obliczona z tego wzoru była dostatecznie dokładna dla wyznaczenia kąta cp, nie powinien być stosunek d : l zbyt mały.

M.

Rys. 49.

Zamiast dokładnego pomiaru długości l wystarczy pomiar trachymetryczny, alboteż w następujący sposób:

Obierzemy na łuku dokładnie wyznaczony punkt N (rys. 49), zmierzymy kąty y i yl5 jako-też długość MN = d, a wtedy obliczymy :

i-d ainy-

sm (y + y,)

M.

•K

yi

i sin cp z górnego wzoru, a

Następnie wj^tyczy się punkty P i P₁ jak • przed tern podano i zmierzy dokładnie /₀. Nie może ono zupełnie zgodzić się z wartością obra-chowaną podług wzoru e, gdyż l nie było dostatecznie dokładnie wyznaczone ¹).

§ 20. Z dowolnego punktu wytyczyć styczną do luku w polu wytyczonego (np. z punktu W₂ na rys. 47).

To zagadnienie redukuje się do poprzedniego, skoro promień r₂ zmniejszy się do zera. Jeżeli zatem w wzory § 19. wprowadzimy r₁ = tą = Pi — 0, otrz\unamy wzory potrzebne do wyznaczenia kąta cp i długości

§ 21. Tyczenie luków budowli wodnych.

O ile tyczenie łuku uskutecznia się na suchym lądzie, mogą być stosowane metody podane w poprzednich paragrafach. W §6. jest także podane jak sobie poradzić należy, jeżeli punkt wierzchołkowy nie jest dostępny, gdyż wpada w rzekę. Inaczej rzecz, się przedstawia, jeżeli linia regulacyjna brzegu rzeki, wzdłuż któ rej ma być zbudowana tama, leży w wodzie. W tym przypadku jest postępowanie odmienne dla wypukłego lub też wklęsłego brzegu²).

‘) Do tego § ob. nr. 15. zbioru przykładów.

²) Następne paragrafy 22. i 23. głownie podług dziełka: Inżynier Regiec : „O wytyczaniu łuków przy budowlach lądowych i wodnych“. Kraków 1895. dank też obszerne tabele ułatwiające tyczenie budowli wodnych.

§ 22. Tyczenie wypukłego brzegu. Rys. 50. a i o¹).

Zastosujemy tyczenie rzędnemi od cięciwy, podług § 10 b). W tym celu obierzemy długość luku PA, stosownie do wielkości promienia r tak, aby luk był dostatecznie płaski, obliczymy przynależny kąt środkowy ax i długość cięciwy:

a.

PA — 2r sin Kąt: MPPX — 90 — ⁰¹

la’/

wytycz3^my, a na prostej PPX odmierzymy taką długość hx. aby prosta PXAX równoległa do PA wypadła na wolnem, suchem miejscu. Tę równoległą również wytyczymy za pomocą prostego kąta przy Px i odmierzymy na niej obliczoną długość PA. Teraz obierzemy na PtAx dowolną ilość punktów 1', 2', 3'... i obliczymy dla nich podług § 10b) rzędne*; w tych punktach wystawimy prostopadłe do PXAX i tak będziemy kierować łódką na wodzie, aby można wstawić w wodę tykę w kierunku tej prostopadłej i w odległości hxĄ-z, mierzonej taśmą. Dla ustalenia tyki trzeba ją będzie nieraz otoczyć narzutem kamiennym W celu tyczenia następnego elementu łuku AB o kącie środkowym a₂, można po wykonaniu tamy IA ustawić się w A, odmierzyć od AP kąt PAA₂ równy: 90—²

«i

.B

b.

/ii

Rys 50.

obrać AA₂ = h<

i postąpić jak poprzednio. Gdyby jednak ustawienie w punkcie A przedstawiało trudności, to można prostą A₂BX wytyczyć za pomocą punktu C, leżącego na przecięciu prostych PXAX i A₂BX. W celu wyznaczenia tego punktu wykonajmy rzut linii AAXC na kierunek

AA₂ (rys. 6), zważywszy, że kąt przy A równy:

h₂ = hx cors

*) Na lewym końcu stycznej w P brakuje litery M.

a₁-\-a₂

a stąd:

A₁C=-

h₂—h₁ cos - —

sm

hl—ln₂ cos

al -f- ai

i podobnie:

Â₂C =

.    05j —|— CCo

sin

—"t— otrzyma się kie-

Przez odmierzenie obliczonej długości AXC otrzyma się punkt C\ a przez wytyczenie kąta P₁CB₁ = 180

runek CBl: na którym odmierzona długość A₂C wyznaczy punkt A₂. Z A₂ odmierzy się A₂B± równe obliczonej długości AB etc.

Dla ax= a₂ i hx — h₂ jest A₁C= A₂C — h{ tang

§ 23. Tyczenie wklęsłego brzegu.

cznej,

wstecz kierunek 1/1 i w jego przedłużeniu wybudujemy element

Przy tyczeniu tam łukowych przy wklęsłym brzegu możemy tylko tak postąpić, że na podstawie elementu łuku tamy w wodzie już zbudowanego, wyznaczamy kierunek dla następnego elementu. Mniej dokładnie uskuteczni się tyczenie metodą w § 10 f) na rysunku 31 b podaną. Punkt 1 należy wytyczyć rzędną od stypo ^zbudowaniu elementu Mi wyznaczymy tyczkami

12 i t. d.

Ta metoda wystarczy na krótkie luki. Dokładniejsze metody są następujące:

a)¹) Tyczymy styczną w puukcie początkowym łuku (rysunek 51), a na niej odmierzamy dogodną długość PM = D. W M tyczymy prostą kierunkową MN, prostopadłą do PM. Na łuku obieramy równe długości s tak wielkie, żeby je można uważać za elementy proste. Styczne w punktach A. B..., pomyślmy sobie przedłużone ku stycznej PM i ku linii kierunkowej MN.

i obli

• s

Kąt a elementu łuku wyznaczymy podług a — czymy:

*) Trochę odmiennie jak w dziełku inż. Regieca,

Mgr Inż. Seredyn Wacław

a₂ = r taug 2

an = r tang n —

ci₁=r tang

Różnica długości dwóch po sobie następujących odcinków

,... j

równa się:

«„ —    r tang

tOj g

— tang

(w— 1) a

r sin

to a

cos n

to a

cos

(w — 1) a

Ten wzór posłuży do kontroli rachunku.

oV

3’/- -,

//«i

l’-jk

A ^

----------a₃-.....

"|3’’

yi:

Rys. 51.

Teraz można obliczyć odcinki na linii kierunkowej.

yl=(D-a₁) tang «. y₂= (D — a2) tang 2a.

!/i=lD—as) tang Sa {/„ = (D— an) tang na.

Te odcinki odmierzy się.

Postępowanie przy tyczeniu łuku jest następujące:

Naprzód zbuduje się element tamy PI o długości ay w kierunku PM; następnie celując ku V buduje się element 1"1 o długości s; następnie celując z 1 ku 2' wykona się element 12 o długości s i t. d. W ten sposób tyczy się wielobok opisany 1/,12.... który można uważać za łuk, jeżeli długość s obrano odpowiednio

to się ma kontrolę

małą. Jeżeli się odmierzy długości al: a₂j az roboty w warunku, że punkty 1", 1, 1', lub 2", 2, 2' muszą leżeć

dokładnie na jednej prostej. .

na nim

Jeżeli łuk jest długi, to może jedna linia kierunkowa nie wystarczyć; natenczas możemy obrać dowolny już wytyczony styczny kierunek i do niego odnieść nową linię kierunkową. Np. obierzemy styczny kierunek 3"3', dokładnie wytyczymy, obrany punkt Q w środku boku 23 będzie nowym początkiem luku, od którego w dogodnym odstępie D obierzemy punkt R, poprowadzimy linię kierunkową RS i t. d.

Aby błędy poprzednio tyczonego luku na ten nowy układ się nie przeniosły, dobrze będzie punkty 2 i Q na nowo wyznaczyć. Mianowicie z trójkąta 2'23' obliczy się:

cos 3a

sin a

22' = (y,-yt)

i odmierzy dokładnie od 2' do 2, poczem odmierzy się:

(X

2Q = Q‘d = a₁= r tang ^ .

Metoda a) może być korzystnie zastosowana dla tam faszy-

nowycli.

b) Można także zastosować metodę biegunową, podaną w paragrafie 10 pod d) z tą różnicą, że i tu poprowadzimy jak przed-

N. tern linię kierunkową (rys 52), obli-

czymy:

yi— D tang a, y₂=J) tang 2«

'U*

yn = D tang na

cci

Rys. 52.

ml“ i odmierzymy te odcinki na linii kierunkowej. ■

Teraz można poszczególne punkty łukii w wodzie tyczyć. Kierujemy z punktu P łódź tak, aby żerdka z łodzi trzymana weszła w kierunek Pi' i miała od P odległość s. Tę żerdkę wbijemy i otoczymy narzutem kamiennym. Następnie kierujemy łódź z żerdką w kierunek P2' i wbijamy ją w odległości s od punktu

1 i t. d.

Ta metoda może być z korzyścią dla kamiennych tam sto

sowana.

Dla długich luków można przyjąć w dowolnym «-tym pnnk-

cie nową styczną i nową linię kierunkową. W celu otrzymania dokładnych podstaw dla dalszego tyczenia, należy punkt, w którym chce się poprowadzić styczną, dokładnie ustalić a styczną dokładnie wyznaczyć. Punkt n (rys. 53) ustalimy rzędnych :

pomocą współ-

za

xn =-- r sin 2/m,

yn = r ( 1 —cos 2/m) = 2rsin² na.

zaś dla wyznaczenia kierunku stycznej obliczymy i odmierzymy albo:

PQ = r tang rm, albo z trójkąta PQR,

PR = P()tang 2na — r tang na tang 2na.

c) Jeżeliby linia kierunkowa w powyższych metodach stosowana wypadła również w rzekę, co się zdarzyć może przy przejściu z wklęsłego do wypukłego brzegu, lub też na tamie separacyjnej, • budowanej na wylocie bocznego dopływu ; rzeki, natenczas trzeba styczną PM (rys. R>'

54) poprowadzić wstecz pod bieg rzeki, a linię kierunkową obrać powyżej początku łuku. Jeżeli zastosujemy metodę a), to różnica w wzorach na y będzie tylko ta, że w nawiasach będzie znak -j-. Zatem. yi = {D + O tang «r y₂ = (X>-f at) tang 2a

2tvA

'r

!yn

ïn

Kys. 53.

*/» = (# +O tang na.

2’

Zresztą postępowanie przy tyczeniu łuku nie wymaga objaśnienia.

Rys. 54.

§ 24. Tyczenie luków koszowych. Rys. 55 ¹).

W celu lepszego zastosowania się do trudnego górskiego terenu. lub też w celu obejścia jakiejś przeszkody, stosuje się nieraz łuki koszowe.

*) Prosta 0,0 na rys. 55. nie jest przedłużeniem promienia P0₁.

Jeżeli w łuku koszowym o n lukach połączymy środki-kół,, to otrzymamy wielobok Ou 0₂, 0₃,..., On o n bokach.

.-w

\t.

\² \f.;

P/

<;0t

/rn

Przyjmijmy¹), źe z projektu są znane długości wszystkich promieni łukówr to długości boków tego wie-loboku, z wyjątkiem boku OxOn równają się różnicy przylegających promieni. Długość boku OjOn wyznaczy się podług danych długości t i tx z pięcioboku 0₁PWP₁0n0₁.

Między kątami (p Pi a bokami wielo boku

~'b

or

/ V'

On

Kys. 55.

zachodzą trzy związki, wyznaczone trzema równaniami. Jedno

równanie otrzyma się z warunku, że 2(p= 180—/?. Dwa inne równania otrzymamy z rzntów wieloboku 0₁0₂0i...0n na dwa dowolne kierunki. Należy zatem z projektu wyjąć wartości n—3 kątów cp, zaś pozostałe trzy kąty

wyznaczy się z tych trzech równań. Przez to redukuje się wyznaczenie łuku koszowego o n łukach, na luk koszowy o trzech łukach.

§ 25. Tyczenie łuków koszowych o dwóch łukach. Rys. 56.

Do rozwiązywania zagadnień dotyczących łuków koszowych potrzeba nam, jak to wykazano w poprzednim paragrafie, trzech

równań.

ca.

Jedno równanie wyznacza, warunek. że:

Wi

vWa

(1>

p₂

ą/

'r?

ło₂

M>0,

Rys. 56.

!) Podług Fullera w Ztschr. f. Verni. 1892.

CKj —{— «₂ = 180 — ß.

Dwa dalsze równania uzyskamy z rzutu wieloboku 0{P₁WP₂0₂0₁ na ' dwa dowolne kierunki. Długości stycznych P₁ W i P₂W oznaczmy przez t₁ i t₂.

Rzut wieloboku na kierunek WP.₂ da równanie:

t₂=tx cosß-\~rx sin/?—(g\—r₂) sin av Rzut na kierunek 0₂P₂ do poprzedniego prostopadły:

r₂=t₁ sin ß —1\ cos/? — (r₁—r₂) cos a₂. Rozpatrzymy następnie różne przypadki.

(2)

(3)

a) Początek Px jednego luka, kąt ß i obydwa promienie są dane.

Należy wyznaczyć koniec P₂ drugiego łuku i kąty ax i a.₂. Z (3) równania otrzyma się wprost:

cos a₂

tt sin ß—rx cosß —r₂

ri—r₂

a wstawiwszy wartość a₂, stąd otrzymaną, do (2) równania, obli-■ -czymy t₂. Zaś: a₁=180—ß—a₂.

Z rzutu wieloboku na kierunek Ox Px uzyska się równanie: rx=t₂ sin/?—r₂ cosß-f-(rx—»*2)008«!, które dla kontroli należy obliczyć.

Dla tyczenia przydatne będą jeszcze długości:

(4)

««li⁵

P₂ R⁷2 —W₂M — r₂ tang ~-

P₁Wl=WiM=r₁ tang

które odmierzymy.

Równość długości P₁W₁=W₁M i P₂W₂—W₂M będzie dalszą kontrolą. W ten sposób otrzymamy wspólny punkt M i koniec łuku P,.

b) Punkty I\ i P₂ i promień t\ są dane.

długości tx i t₂ są również

Oprócz tego dany jest kąt /?, dane, lub zmierzymy je w polu. Wyznaczyć należy ax, a₂ i r₂.

Jeżeli z (2) i (3) równania "wyłączymy niewiadomą r₂, to

otrzymamy równanie:

ezyli :

cos a₂ [tx cos ß-\-rx sin ß—1₂\    sin a₂ [rt (1 +cos /?) — tx sin /?] =

= tx cos ß -j- rt si n ß—1₂.

Oznaczmy pierwszy nawias literą A, drugi literą B, to:

A cos «₂-j- B sin a₂=A,

A (1— cos a₂) = B sin a₂,

łub:

«2

A sin² -~- = P sin cos

2t\ cos²

a stąd:

a₂ B

T= i

Z tego wzoru wyznaczy się kąt a₂.

(I)

tj cos/? -|-rx sin ß—1₂

Następnie obliczy się z (1) równania:

«!= 180°'—ß—tt₂,

(2) równania:

r*=rx—-.

sin a₂

Dla kontroli rachunku obliczymy równanie (4). Również obli-czymy PXWX. P₂ W₂...

c) Punkt Px. promień r₁ i kąty ax i ß są dane.

Styczną tx zmierzy się, zaś wyznaczyć należy t₂. r₂ i a₂. Z (1) równania wyznaczy się:

a₂=180—ß—ax.

Z (3) równania:

r2 —

tx sin ß—rx (cos ß-j-eos a₂)

1-COS a₂

albo w formie wygodniejszej dla rachunku logarytmami:

ß~U2

»•« =

„ n    ß—j—CC₂

tj sin ß — żrx cos -—^- cos

u

2 sin²

Podług tych wartości obliczy się t₂ z (2) równania.

§ 26. Łuk koszowy o najmniejszej różnicy promieni. Rys. 57Ł).

To zadanie jest ważne szczególnie dla trasy kolei.

Dane są punkty Px i P₂ i kąt ß, zatem tx i t₂ zmierzy się. Do wyznaczenia mamy rx i r₂ i kąty ax i «₂.

Potrzebne czwarte równanie uzyskamy z założenia, że różnica promieni ma być jak najmniejsza, które wprowadzimy w tej formie,

że stosunek

ma być jak największy.

Oznaczmy kąty przy Px i P₂ literami ax i a₂.

*) Inne rozwiązanie patrz: D’Ocagne, Leçons sur la Topométrie. Tyczenie tras.

W punkcie wspólnym M poprowadzona styczna niech za-prostą PXP₂ kąt x, to z trójkąta“;PXMP₂ wynika, źe:

Wiera z

Si te

Sin“!+*

. a,—x sm-

R/

zaś z trójkątów PxMOx i PiM0₂ wyznaczy się:

X&s M

\2d

PXM= 2^ sin

Li

'P

i *W

PsM=2rssin“!±*

Kys. 57. A)

'-o

co wstawiwszy w poprzednie równanie wyznaczy:

. ax-\-x . ux—x r₂ s,n —i“⁸¹¹⁴    2

a*—^    a₂-f-a:

2 2

ri sin

cos x — cos ax cos x — cos a,

W tym wyrazie jest tylko x ilością zmienną. Znajdźmy jego pochodną podług x:

dl*

dx

— sin x (cos x — cos a₂) ~b s^n x (cos # — cos ax) _ (cos a;— cos a₂)²

cos a₂—cos a! .

(eosa;—cosa₂)

₂ sin a:

Dla max

(?)

ma ten wyraz równać się zeru, co nastąpi,

gdy x = 0, czyli gdy styczna w punkcie M będzie równoległa do prostej PXP₂.

Wobec tego wyniku, są kąty ax i a₂ przy Px i P₂ zarazem kątami środkowymi łuków, Można je albo wprost zmierzyć, jeżeli z P₁ do P₂ można celować, alboteź można je wyznaczyć. Mianowicie z trójkąta P₁ WP₂ otrzyma się:

sin a₂ ,t₁ sin(/?-|-ax)

sin ax

sin ax

ł) Na środkach kół brakuje oznaczenia O, i 0₂.

czyli: cotang a, = —

, podobnie cotang a₂-

sin ß

przyczem ma być a₁-|-a₂= 180°—ß.

W celu wyznaczenia wielkości promieni, zużytkujemy wzór powyżej ustawiony, w który wstawimy x = 0:

sin ß

• 2 / °b

smz

(a)

Jeżeli zważymy, że prosta MOx stoi prostopadle do P₁Po, to:

PXP₂ = 2d — rl sin at-1- r₂ sin a₂.

Wartość dla d otrzymamy albo wprost przez zmierzenie, albo sin ß sin a₂‘

Jeżeli z wzoru (a) otrzymaną wartość za r₂ wstawimy w wzór (&), to otrzymamy równanie:

2*-₁(sin | sin |

z którego ostatecznie wyznaczy się: d sin

u

. ax Sili — COS

Li

Dla kontroli rachunku należy obliczyć wzór (2) lub (3) z poprzedniego paragrafu¹).

Dla tyczenia łuków obliczymy (ob. rys. 56) styczne P₁ TF₁= — WlM i MW₂= W₂P₂. Ob. nr. 16. zbioru przykładów.

z wzoru 2d =

sin a₁

cos

= 2d sin²

d sin

*i=

-ß-j podobnie r₂ =

a₂

sln 2

cos

§ 27. Zastosowanie § 26. Rys. 58.

(*)

Dłuższe łuki tyczone z dwóch stron nie zejdą się w jednym wspólnym punkcie, z powodu nieuniknionych błędów popełnionych

przy tyczeniu. Jeżeli odchyłka A jest mała, to ją równomiernie na obydwa łuki rozdzielimy podług ^ § 14. Jeżeli zaś jest większa, to pomiędzy dwa dokładnie wytyczone

--- Sg

A/fi

2d

Rys. 58.

ł) Ob. nr. 16. zbioru przykładów.

4*

punkty A i B wstawimy łuk koszowy o najmniejszej różnicy promieni. W tym celu zmierzymy kąty al i a₂ zawarte między sty-cznemi w tych punktach a prostą AB, następnie zmierzymy albo długości stycznych, albo AB = 2d. Dalsze obliczenie jak w § 26.

§ 28. Łuk koszowy o małym kącie wierzchołkowym. Rys. 59

Odwołując się na to, co powiedziano w § 17, należy ustalić na polu choć jeden punkt Juku koszowego. Jeżeli M jest tym punktem, to spuścimy prostopadłą do stycznej i zmierzymy MMx=p-, alboteź dojdziemy do wartości p przez postępowanie wskazane w § 17«.

Długość promienia rx weźmie się z pro -jektu, wtedy obliczymy i odmierzymy:

MXBX — |/p (2rx — p)

przezco otrzyma się punkt Pt, a po wyznaczeniu długości Mx W, wyznaczy się:

łx—MxPx-\-M₁W. Dalsze tyczenie łuku nastąpi podług § 25.

§ 29. Łuk koszowy o trzech łukach¹).

Rozpatrzymy dwa różne przypadki.

pif--

'W

■<?--

6-

W¹

t2\

a) Dane początek i koniec łuku i wszystkie trzy promienie.

Rys. 60 i 61²).

Styczne tx i t₂₎ jakoteż kąt ß zmierzy się na gruncie.

Wyznaczyć mamy kąty a1} a₂ i a₃. Nazwijmy różnice promieni 0₁0₂=dl a 0₂0s=d₂. Poprowadźmy^ zaś 0₁QjlOsQ i wykonajmy rzut wieloboku 0₁P₁WP₂0sQ01 kierunek P₁ W i na prostopadłą do tego kierunku, a otrzymamy: 0₁Q = t₁ —1₂ cos ß—rs sin ß,

0₃Q = t₂ sin ß—rs cosß —rv

Jeżeli te ilości obliczymy, to będzie (rys. 60ó>):

, Oj 0₃= C —

na

rys. 60« O^jOjP,,

na

tang ip —

Oj Q

Os

sin

0 Fuller, Zeitschr. für Vermessuugswesen z r. 1893: „Ueber das Abstecken von Kreisbögen“.

-) Na rys. 60. brakuje na końcu łuku litera P₃, zaś Q' jest przecięciem na prostej WSW₃ zamiast t

prostych OtM i OaQ. Na rys. 61.

ma

być t .

W trójkącie 0₁0₂0₃ oznaczmy s

dx 4- d-2 fi

-Ö-5 t0:

tang

(,s— dx) (s—d₂)

s ( s—c)

Z trójkąta OxO%Q' wynika. że kąt, 0₂0x 0₃—«j-J- ip.

a. ty

zatem :

J- 2

W2

a _ I /(s—d^s—c) x s(s—d₂)

/Uu

w,

wreszcie:

\*2

\ X XQ /

6. / se •'

O;

o,

.1L_A d, dś /

°³ W⁷

o₂

Rys. 60.

«g— 180-ß — ßj — «o-

W miarę zwiększania się kąta zmniejsza się kąt t/>, a staje się zerem, skoro promień OxPx spadnie z kierunkiem Ox Os, czyli gdy kąt P₁0₁0₈ osiągnie 180°. Dla kąta PxOxO większego niż 180°, staje się

kąt \p ujemny, na co przy obliczaniu należy zwrócić uwagę.

Gdy kąt ß jest ujemny, jak np. na rys. 43 lub 63, naten-360°—ax — a₂—a₃=180°—ß,

czas jest:

czyli:    a₁-f-02-f-a₈=lB0-f-^, więc: a₃—183-|-/?—ctx—cc₂.

Podług wyznaczonych kątów aX} a₂ i «₃ obracbuje się i wytyczy styczne okalające luki i punkty wspólne M i M'.

Z czworoboku stycznych (rys. 61) możemy otrzymać dwa równania, wykonując rzut tego czworoboku na kierunki prostopadle do głównych stycznych WWX i W W₃:

(tx—t₃) sin ßz=(ts-\-ti) sin (o₂-fag)-f--j-(#₄-j-^₅) sin «J,

(h—ts) sin ß—{h~\~ h)sin «1+

+ (^-f^)sin(«i+«₂).

£P&-

W,

.w

w,

Kys. 61.

w₃

Te równania należy obliczyć dla kontroli *).

6 Ob. nr, 17. zbioru przykładów.

b) Dane wszystkie trzy promienie, kąt ax i koniec luku P₂.

Zmierzymy kąt ß i WP₂=t₂, a wyznaczyć należy tlx a.2 i a₃. Podług wzoru pod (a) obliczy się:

OzQ = t₂ sin ß—r₃ cosß—rt.

Z trójkąta 0%0₂Q" otrzymamy:

.stąd:

sin x

O, Q" — QQ"—0₃ Q = d₁ cos ax— 0₃Q = d₂ sin x, rfjCosofj—0₃Q

d₂

Znając x, wyznaczy się z trójkąta 0₂Q'Q":

wreszcie:

a₂ — 90°—ax—x. a₃ = 180°—ß—ß]—a₂.

W celu obliczenia stycznej tx wyznaczymy z czworoboku

0₂OxQQ

OxQ = d₂ cos x—dx sin au

■a po wstawieniu tej wartości w wzór na OxQ pod (a) podany: tx — d₂ cos x—dx sin a]-|-t₂ cos ß -{- r₈ sin ß.

Dla kontroli rachunku obliczy się te same równania, co pod (a).

c)    Jeżeliby zamiast t₂ było dane tx, wtedy obliczenie redukuje się do łuku koszowego o dwóch lukach.

d)    Jeżeliby jeden punkt, np pierwszego łuku był ustalony, natenczas wyznaczy się tx jak w § 28, a dalsze obliczenie uskuteczni się jak pod (a) lub (b).

Powyższe zagadnienie można inaczej postawić i uzyskać prostsze rozwiązanie ¹).

Między kierunkami głównych stycznych, przeniesionych z projektu na grunt, zmierzy się kąt ß. Dla tego kąta, który od kąta ß projektu będzie się cośkolwiek różnić, wrysuje się promieniami rl5 r₂ i rt wyjętymi z projektu, łuk koszowy, możliwie zgodny z projektem, następnie wyznaczy się z projektu s to s u n ki a, 6, c, środkowych kątów a,, a₂. a₃. Grdy więc ax: a₂ : a₃ — a :b : c, to:

= ⁽~ — Qjest stałym stosunkiem, który oznaczmy literą co.

Jeżeli co będzie znane, to obliczy się ax = aco, a₂=bco, a₃=cco.

Kąt oo wyznaczy się z warunku, że:

180°—/?

<iJrbJrc

«i—j—os₂-j—ofs= 180°—ß= w(a-j-è-j-c), stąd: oj =

*) Z Handb. d. Jng. Wiss. Der Flussbau, 1907, str. 99.

Dwie dalsze .niewiadome są to położenia początku i końca luku. zatem należy wyznaczyć P₁W—t₁ i P^W=t₂.

Można to uskutecznić albo wzorami podanymi w dziele, z którego to zadanie wyjęto, albo też z równań kontrolnych, podanych w § 29 przy rys. 61, jeżeli się przedtem obliczy:

a.

h—r* tang - , t₅—rs tang --

Można też wykonać rzut wieloboku na kierunki skrajnych promieni Px0₂ i P₂0₃:

r₈-f- d₂ cos a₃ — d₁ cos (a₂-f-a₃) —1\ cos («J—J— a₂-f- as) —

— ty sin (a₁-j-a₂-f-a₃) = 0,

ri~\~di cos al — d₂ cos (^-j~a₂) — r₃ cos(a₁-j-a₂-)-a₈) —

.    — t₂ sin (ßi-j-a₂-f- «s) = 0-

Z tych równań można t₁ i t₂ dla kontroli obliczyć.

180°_- 8

Do § 25. Rys. 56. Podobne rozwiązanie. Tu jest: co= ——.---

t₃=r₁ tang

co a

tO a

I to

«xz=öco, a₂—bo), zaś z równań (3) i (4) obliczy się tx i t₂. Dla kontroli można zużytkować np. wzór na

tang pod b)

podany.

To rozwiązanie ma także zastosowanie do § 25, jeżeli się podstawi r₃ — as=0.

§ 30. Łuk w zastępstwie krótkiej prostej. Rys. 62.

Na trasie kolejowej należy unikać krótkich prostych między lukami jednakowo skierowanymi *); lepiej utworzyć luk koszowy,

a więc zastąpić prostą lukiem stycznym do danych łuków. Na rysunku obok zastąpiliśmy prostą l lukiem . Ap2 PP' o promieniu r. Ten pro-' mień musi być większy niż rx i r₂, jest jednakże pożądane, aby różnica między promieniem r i danymi pro-

Plr

-j

;p₂

p’

pv

;p

r^/

r>

Rys. 62.

¹) Ob. rozdz. II. § 54.

mieniami była niewielka. Jeżeli taki luk zastępczy chcemy wprowadzić w projekcie, to obieramy wielkość promienia r, a punkty styczności P i P' wyznaczy się w następujący sposób. Ze środka Ox kreślimy łuk promieniem r—r, i przecinamy go lukiem zakreślonym z 0₂ promieniem r—r₂. Punkt przecięcia jest środkiem luku zastępczego, zaś proste OOx i 00₂ przedłużone do łuków, wyznaczą punkta styczności P i P'. W celu wytyczenia tego łuku koszowego na gruncie należy wyznaczyć kąty <p, i <jp₂.

oznaczymy

to się wyznaczy:

Oznaczmy: r—r₁—d₁, r—r₂=d₂, r₁—r₂=c, 0₁0₂=m, to z trójkąta 0X0₂Q, w którym 0₂Q poprowadzono równolegle do l, wyznaczy się m = ]/li-\-c². Jeżeli dla trójkąta 00x02 dx—\~ d₂ -j—ni s ~ ’ 2 :

sin

(s—d₂) (s—m)

md₂

sin

COi

(s— dx ) (s— ni)

mdx

to:

Jeżeli jeszcze obliczymy ^Q0₁0₂ z tang ip —

cpx— 180°—'ip—d, <p₂=yj—y.

Dla kontroli rachunku można wyznaczyć kąt £ z wzoru:

sin

(s dx ) (.s    d₂)

d ] d₂

Kąt £ ma się równać (px-\-(p2.

Znając kąty <jp, i <p₂ wyznaczymy punkt P tycząc albo z Px łuk o kącie (px, albo z P\ luk o kącie ax—<p,.

Podobnie wyznaczy się P\ poczem wytyczy się łuk PP'. Ob. nr. 18. zbioru przykładów.

Uwaga. Dowolność w obiorze wielkości promienia r jest ograniczona kątami ax i a2. Bowiem w miarę zmniejszania tego promienia zwiększają się kąty (px i <p₂, których wielkość nie może oczywiście przekroczyć wartości a, i a₂. Jeżeliby zatem z powyższego obliczenia wypadło (px^>ax lub (pCxt«, to trzeba obrać większy promień r¹). (Ob. nr. 18. zbioru przykładów).

!) Nie trudno wyprowadzić wzór dla najmniejszego jeszcze dopuszczalnego promienia r ; mianowicie dla <p₁=a₁ jest (5 = 180°——a,, a wtedy z powyższego wzoru dla sin-^- wyznaczy się:

min dt=

i podobnie: minrf₂ = -

2 \m cos [ip—aj)—c)]

1. Łuk o jednym 'promieniu r.

WPX = 117“₄ = r cotg

§ 31. Tyczenie luku koszowego w trudniejszych warunkach.

Rys. 63.

• Na trasie kolei żelaznych czy to w serpentynach, czy też w miejscach, gdzie mają być wykonane tunele zwrotne, mamy nieraz do czynienia z lukiem o jednym promieniu, lub też z lukami koszowymi, których kąt środkowy jest większy niż 180°. —-Przytem, z powodu trudności terenu bywa pomiar kątów jak ßXt ßo..., a tembardziej pomiar stycznych WWX, W₁W₂albo bardzo utrudniony, albo wprost niemożliwy. Wtedy postąpimy w inny sposób. Przyjmiemy, źe tylko kierunki końcowych stycznych BW i B₁ W są dane, a kąt ß może być zmierzony.

.,w₂

pi

R>

B;

\r₂

o₂

Rys. 63.

\P₃

Pu

Dla zmierzonego kąta ß obliczymy długość stycznych odmierzymy je i wytyczymy luk z dwóch

stron. Jeżeli w punkcie zetknięcia będzie różnica mała, to ją wyrównamy.

Jeżeliby zaś różnica była większa, to obierzemy dwa dokładnie wytyczone punkty, np. P₂ i P₃ i włożymy luk koszowy o naj -mniejszej różnicy promieni, podług § 26.

2. Łuk koszowy o kilku lukach.

Dla dokładnie zmierzonego kąta ß, który będzie się cokolwiek różnić od kąta ß projektu, wyrysujemy przez próby luk koszowy, któryby możliwie dokładnie zgodził się 3 projektem. Z tego wykresu wyjmiemy długość PFP1} odmierzymy ją i wytyczymy luk PtP₂ dla promienia rx i kąta ax, wyjętych również z wykresu. Tyczenie tego luku może nastąpić albo przy pomocy wierzchołka

Wx albo też bez jego pomocy. Otrzymamy w ten sposób punkt P₂. Dalsze postępowanie może być różne.

a) Po wyznaczeniu położenia stycznej w P₂ (§ 12), tyczymy łuk P₂P₃ o promieniu r₂ i kącie a₂ wyjętymi z wykresu i to znów przy pomocy wierzchołka W₂ łub bez jego pomocy. Po wyznaczeniu położenia stycznej w P₃ wyznaczy się Wt i zmierzy P₃ W₃. Kąt ß₃ lub a₃ jest dany, gdyż:

ßs = 360°—ß—ßx—/?₂, zaś: a₃=180° + /?—ax—a₂.

Dla kontroli można kąt ß₃ na miejscu zmierzyć. Ponieważ

zmierzona długość P₃ Ws — r₃ tang |³, więc wyznaczy się:

rt = PsW, cotang

Gdy się jeszcze odmierzy W₃Pi= P₃ TJr₃, to można wytyczyć łuk P₃P₄ o obliczonym promieniu r₃.

Jeżeliby jednak wierzchołka Wz nie można wyznaczyć, a drobna zmiana w położeniu końcowej stycznej TFP₄ była dopuszczalna, natenczas z punktu P₃ tyczymy łuk o promieniu rs wyjętym z wykresu i o kącie as powyżej wyznaczonym. Ten łuk wogóle nie będzie styczny do WBX, wtedy z następnego wierzchołka położonego na prostej WBX wytyczymy styczną do łuku

podług § 20.

b)    Można jeszcze inaczej postąpić. Mianowicie wyjmiemy z wykresu długość IPP₄ i odmierzymy w polu. Następnie tyczymy z dwóch stron, więc łuk P₄Pa i łuk P₄P₃, dla promieni i kątów wyjętych z .projektu, następnie włożymy między P₂ i Ps łuk koszowy o najmniejszej różnicy promieni podług § 26.

c)    Jeżeli łuk koszowy składa się z trzech łuków, to zamiast powyższych sposobów można dla zmierzonego kąta ß i wyjętych z wykrosu długości promieni, wyznaczyć dokładnie kąty al5 a,

¹    «3»

i WPi—t.₂, podług § 29 a). Tyczenie nastąpi z dwóch stron, a małą niedokładność, która się pokaże przy zetknięciu, poprawimy, zaś przy większej różnicy włożymy luk koszowy podług § 26-go.

na podstawie przyjętych w wykresie długości WPl=tx

§ 32. Tyczenie łuku w tunelu.

Robotę tunelową rozpoczyna się przebijaniem podkopu (sztolni), w którym w miarę postępu tyczymy oś. Dla głównego tyczenia stosuje się tu zawsze metodę biegunową (§ 10 d) jako najdokładniejszą i najlepiej nadającą się do tyczenia w sztolni. Natomiast do prowizorycznego przedłużenia łuku w sztolni zastosuje się korzystnie metoda siecznych (§ 10 f). Przy takiem tyczeniu niema mowy o wyznaczeniu punktu wierzchołkowego i głównych punktów łuku. Jeżeli łuk zaczyna się dopiero wewnątrz tunelu, wtedy wyznacza się jego początek za pomocą dokładnego pomiaru prostej poprzedzającej ten łuk, a od tego punktu na podstawie prostej jako stycznej łuk się tyczy. Jeżeli zaś łuk już z zewnątrz wchodzi w tunel, to się wyznacza dokładnie punkt łuku w bliskości wlotu sztolni położony, wyznacza położenie stycznej w tym punkcie, a na jej podstawie wprowadza się łuk do sztolni. W celu późniejszej kontroli należy położenie tej stycznej za pomocą wbitych pali dokładnie ustalić. Tyczenie łuku metodą biegunową odbywa się krótkiemi partyami, na jakie ograniczona szerokość sztolni pozwala. Jeżeli szerokość sztolni, jak to zwykle bywa, nie wiele przekracza 2 m, wtedy z jednego stanowiska można wytyczyć łuk tylko o takiej długości, jaka odpowiada strzałce 1 m. Jeżeli przez a nazwiemy kąt środkowy tego łuku, to strzałka:

ö <N

p = rl 1

= 2r sin²

skąd :

sin

« 1/ P 4 y 2 r

,    a

Dla p = 1 ni jest sin ■    =

=. Dla różnych wartości r

y 2r

otrzyma się następujące kąty a i długości luku w zaokrąglonych wartościach:

100.

r — 50, a = 22°57/.    16°13'.

28-3.

200,    300,    400,    500    m

11°28',    9°22',    8°6',    7°15/,

40 0,    49’0,    56*6,    63‘3    m.

luk = 20-0,

Po wytyczeniu tak niewielkiej długości trzeba się z instrumentem przestawić.

Jeżeli sztolnię pędzi się z dwóch stron, to w punkcie przebicia sztolni łuki się nie zgodzą. Drobną odchyłkę usuniemy po-

prawką łuków. Przy większej odchyłce włożymy łuk koszowy o najmniejszej różnicy promieni podług § 26.

§ 33. Tyczenie luku koszowego w tunelu.

Łuk koszowy jak na rysunku 63. wytyczy się z dwóch stron,, dokładnie jak § 31 c) podano.

§ 34. Połączenie odchylonych prostych kierunków w tunelu.

Proste kierunki tyczone z dwóch stron nigdy w punkcie przebicia sztolni się nie zgodzą, należy je zatem za pomocą włożonych łuków ze sobą połączyć. Mogą tu zajść dwa przypadki.

a) Prostą BD (rys. 64) przedłużymy poza punkt zetknięcia D aż do przecięcia z kierunkiem AC w punkcie łj⁷, zmierzymy kąt ß i włożymy łuk o dowolnym promieniu.

IC

Rys. 64.

natenczas

b) Jeżeli punkt przecięcia W wypadnie po za obręb prostej B AC, albo jeżeli odchylenie prostych nastąpi po obu stronach prostej trasy tunelu może nastąpić połączenie prostych tylko za pomocą odwrotnych łuków. Między odwrotne łuki żądane jest wstawienie prostej o pewnej długości, zależnej od wielkości promienia łuków. Mamy więc zadanie włożyć między dwie proste dwa odwrotne łuki o przyję-

tym promieniu r i prostą l zawartą między nimi. Na danych prostych obierzemy dwa punkty

.Hi

wt

pi

w₂

liys. 65.

Wx i W₂, zmierzymy dokładnie kąty ßx i ß₂ i włożymy w nie łuki. Ażeby między łukami zmieściła się żądana prosta l, wypada długość Wx W₂ obrać conajmniej na 50 m dla wielkich promieni r, a na 70 m dla najmniejszych na danej trasie stosownych promieni.

§ 35. Przykłady tras kolejowych z tunelami.

Jako przykłady tyczenia tras w trudnych warunkach, przytoczymy kilka przykładów z kolei Albuli, między Thusis a St.

styczną JVSP'₂. Po przedłużeniu prostych PtI i P'₂WS wyznaczono W i zmierzono kąt ß, jakoteż długość WP₁=a i WP\—b. Dla tyczenia potrzebna znajomość kątów ax i a₂, jakoteż długości P₃P₂= l. Pomiędzy kątami zachodzą związki:

a stąd:

a₁₌180°—a₂= 180°—ß₂, ß-\-ßx-\-ß₂ = 180°, a₁-j- a₂—ß — 180°.

Z rzutu wieloboku T/TP₁P,₁P₂P,2 W na kierunek prostopadły •do l otrzymamy jedno równanie:

a sin /?₁-}-r(l-j-cos/î₁) = èsin/?o-|-r(l-j-cos /3₂), a po wstawieniu 180°—ß—ßx za ß₂ i uporządkowaniu:

cos ßx (r—5 sin ß-\-r cos/3)— sin ßx (b cos/3-J-r sin/3— a) = 0. z którego wyznaczy się nareszcie:

r—b si n ß -f- r cos ß b cos ß -f- r sin ß — a ¹

r — a sin ß-\-r cos/3 a cos /3-|-rsin ß—è’

tang &=

tang ß₂=

Moritz w Szwajcaryi¹). Wszelkie tyczenia łuków wykonano metodą biegunową.

1. Tunel zwrotny Greifenstein. Rys. 66. Na polu ustalono proste kierunki TP₃, WSP'₂ i wierzchołek Ws, promień r łuków wyjęty z projektu. Ze zmierzonego kąta ßs obliczono i odmierzono

w₂

T" - ~

>2

% :

rr

rt> '

-- vWi

r;

°S'

ca.

p'

z Thusia

Rys. 66.

Pi

W,

i podobnie:

przyczem ma się zgodzić, że ß₁f-ß₂= 180°—ß.

¹) Wyjęte z Schwezerische Bauzeitung z r. 1902, tom 40, str. 284 i dalsze. Sposób obliczania podany przez autora niniejszego podręcznika.

Z rzutu tego samego wieloboku na kierunek l wyznaczy się: l = a cos ßx—r sin ß₁-\-b cos ß₂—r sin ß₂.

W celu kontroli rachunku można jeszcze l wyznaczyć z trójkąta WWXW₂. Mianowicie jest:

zaś:

WWX= WPXĄ-PX Wx=a-\-r cotg ,    '

czyli: W₁Wo=WW₁-^-^ J    sin ß₂

WWX _ wxw₂

sin ß₂ sin ß Wstawmy za WW₁ powyższą wartość i zważmy, że:

ßi

Wx W₂—l-\-r |cotg^ -j- cotg

ßi~\~ßc>

sin 111 r-

. zaś:

co

c°tg 2+ cotg ₂

• ßi ■

sin sin

to będzie ostatecznie:

1=

i , M sin ß • + r«rtgjjs-s-r

sin

cc

ß\ ■ ßi

sin

sin

lub analogicznie:

1=

(i + ,-cotgA)^-r

• ßi-^rßz

sin

sin

sin

c3£:<M

Tyczenie uskuteczniono z dwóch stron, od strony góry na krótszej partyi, a przebicie nastąpiło w naznaczonym punkcie, z odchyłką wynoszącą tylko 002 m i różnicą długości 003 m.

2. Tunel zwrotny w Rugnux. Rys. 67. Dane było położenie stycznych WXW i P₂ W, jakoteż punkt P₂, jednakże punktu przecięcia stycznych W nie można było wyznaczyć, trzeba więc było wytyczyć i zmierzyć pomocniczą prostą AB, zmierzyć kąty przy A i B (ob. § 6è) i obliczyć kąt /?, jakoteż długość BW i A W. W ten sposób była długość WP₂=a wyznaczona.

Ponadto były dane promienie rx i r₂, pozostaje zatem dla tego luku koszowego o dwóch łukach do w}^znaczenia kąty ax i a₂„ jakoteż długość Px W = x.

To zadanie może być całkowicie rozwiązane podług § 25 a),

W,

%\ ■

gdy wzory tam podane będą należycie zastosowane. Jednakże dla ćwiczenia czytającego przeprowadzimy obliczenie cokolwiek inaczej.

M<:

Z trójkąta WWX W2 wynika, że ß₂—ß-j-ßXr a gdy:

s'a.2

•u

i*'⁰ SV

«,= 180°+^, a₂=180°—ß₂, to: a₁-j-a₂=360°—ß.

/W

Rzut wieloboku WP₂0₂0₁P₁W na kierunek prostopadły da WPX wyznacza równanie:

a sin ß-\-r₂ cos/?—(rx—r₂) cos (ax—180°) — n = 0, rx — a sin ß—r₂ cos ß rx—r₂

zatem znane a₂, ßx, ß₂. Z rzutu tego samego wieloboku na kierunek WPX, otrzymamy wprost:

x = a cosß—r₂ sin/?—(rx—r₂)sin(ax—180°), x — acos/?—r₂ sin/î-j-^j—r₂) sin ax.

Dla kontroli rachunku wyznaczymy z trójkąta WWXW₂:

x + rx cotg Ä

Rys. 67.

stąd:

lub:

cos ax=

cos/?₁₅

/?2

a-j- r₂ cotg |

sin /?₂

sin /?x

Z tego wzoru obliczone a: powinno się zgodzić z poprzednia obliczonem.

Tyczenie rozpoczęto od P₂ położeniem stycznych do łuku PtCDE, aż da punktu E położonego w bliskości projektowanego wylotu tunelu, poczem przedłużono styczną ED wstecz aż do przecięcia się ze styczną WPX w punkcie S. W tym punkcie ustawiono murowauy sygnał, na który brano celową przy wszystkich kontrolach w tunelu, tak luku P-J.M, jak też luku P₈iH. W punkcie przebicia skonstatowano odchyłkę łuków O⁻10 m i skrócenie długości 0⁻30 m.

3. Dolny tunel Toua. Rysunek 68. Trasa tunelu jest lukiem koszowym o trzech lukach, dla którego ustalenie ilości zasadniczych przedstawiało pewne trudności. Mianowicie na gruncie można było z projektu wyznaczyć tylko krótkie partye 45 i 67 końcowych stycznych. Zmierzono również 57 i 46, jakoteź wszystkie kąty, poczem wyznaczono rachunkiem długości 5 W i 7 W i kąt ß (Ob. § 6 b). Później po przecięciu lasu wykonano jeszcze pomiar

:y

Oz

-£ye

r>

dr?

\\

A.r

:A

uPfl'i

\.

\n

<*P,

ri---

SV"⁹,*

-■»

Mw,

s\s

Kys. 68.

67o i hala i kąty przy la i 4, co posłużyło do kontroli pierwszego rachunku. Następnie obrano z projektu położenie punktów I\ i P₂, więc długości WP₁=tl i WP₂— t₂ były znane. Gdy i promienie rl5 r₂, rt zostały z projektu przyjęte, pozostało tylko do obrachowania al5 cc₂. a₅.

To obrachowanie jest zawarte w § 29, my je jeszcze raz przeprowadzimy. Poprowadźmy więc OxQ i OsQ prostopadle i równolegle do promienia OxPx i nazwijmy kąt OxO%Q — ty. Z rzutu wieloboku P₁WP₂0₃Q0₁P₁ na te same dwa kierunki otrzymamy: Ox Q — tx— tÿ cos ß-j- r₈ sin ß,

OóQ = t₂ sin ß-\-r₉ cos/?—r,,

OxQ

Ox 0₃ ——

tang

OsQ

C=_M

sin xp

Jeżeli dx = r₂—r1}    d₂=r₂—r₃, a s —

diĄ-d^Ą-c

2 ’ tü-

tang^-=|/

(s d]) (s— d₂)

s (s—c)

05,-1p

tang —2~

(s—- <4 ) (s — c)

s (s f/₂)

Tu jest ^

bo kąt 0₂0X0S— a₁—xp. Te wzory wyznaczą

4X₁ i a₂.

Następnie między kątami istnieje taki związek:

* = 180°—ß—•/?!, & = ft+a?= 180®—

A-j-|^2 —ß₃=l$0°—/?.

A gdy wstawimy: q5₁=180°-—ßx, or₂=180°—ß₂, «₃=180°—)—/?* w poprzednie równanie, to otrzymamy: al -f- «₂ -f-«3= 360°-j- ß, skąd wyznaczy się «₃.

Tyczenie n-astąpiio z dwóch stron, a w punkcie przebicia -okazała się odchyłka łuków 0 03 m, zaś różnica w długości 002 m. i(Ob. nr. 19 zbioru przykładów).

§ 36. Parabola drugiego rzędu. Rys. 69.

Na trasach dróg, rowów, kanałów spławnych i linij regulacyjnych rzek można z korzyścią zastąpić łuk kołowy parabolą, z powodu łagodniejszego przejścia z prostej do krzywizny łuku x). Szczególni^ kołowy łuk koszowy, dla którego obie styczne mają

" różne długości, wygodniej zastąpić parabolą. Rozpątrzmy jakie stosunki zachodzą między zasad-. niczemi ilościami paraboli drugiego rzędu.

Parabola PSPx będzie wyzna-* czona, skoro będzie znany kąt ß i położenie początku i końca Px paraboli. Kąt ß zmierzy się wprost, albo pośrednio podług § 6.

Jeżeli można zmierzyć PPx=2d i kąty y i d, wtedy:

sin d sin /?’

czyli:

:y_

p.

tl

'd

_h

)i

Rys. 69.

ß = y-j-d—180°, WP=t=2d

WP₁—tl—2d

smy

sin/?

‘J Tylko na trasach kolei żelaznych, gdzie się stosuje przechyłkę toru, nie mnożna zastąpić koła parabolą.

Tyczenie tras.

Styczne t i tx mogą być ewentualnie wprost zmierzone. W ten sposób wyznaczymy podstawowe ilości ß, t i ty, które w zupełności parabolę wyznaczają. Na ich podstawie wyznaczymy inne ilości, które się nam w dalszym ciągu przydadzą.

Gdy PP₁=2d, to z trójkąta PWPX wynika:

Ad²=t²~\-t²x—2ttx cosß, więc: d =

Jeżeli oznaczymy WC=2h. zważywszy, że dla paraboli jest WS=SC=h, to z trójkątów WPC i WPXC ustawimy równania:

P — d² -j- 4 h²—Adh cos (p. t\—d²-\-Ah²-}-4:dhc,os cp.

Po zesumowaniu otrzyma się:

pJrt\=2d²Ą- 8/t²,

h² =    (t²-\-t\—2d²).

Wstawmy w ten wzór za d wartość z wzoru (1), to:

skąd:

CO! I—*

\    t²x — 2tt₁ cos ß

U

(1)

(«)

(2)

h²—.

^ [P-\-Px-\-2tty cos/?], lub h — ^ ]/t² t²x-Ç-2ttx cos/?

Dla t — tx jest d — t sin

Jeżeli równania (a) odejmiemy, to otrzymamy:

(2a)

skąd :

Px— P — 8dh cos go,

t\—t²

sin (p =

ar-

(3fl)

a z tego wzoru, z uwzględnieniem wzoru (1) i (2a):

ttx sin ß

idh

sm (p —

(3 b)

Przez podzielenie wzoru (3b) przez (3a):

2Wt sin ß

t\-t² ^K+tWr^t)

tang (p —

2tt, sin ß

(Sc)

Z trójkąta PWC znajdziemy:

a analogicznie:

sin tp = sin (p

ty sin ß

"1T’

sin (ß-ip) — tS™ß

Dla spółrzędnych w kierunkach SC i S.T i dla początku układu S, jest równanie paraboli:

y² = 2p'x

zatem:

sin² cp

(5)

Jeżeli p jest parametrem paraboli, to p'

2 px sin² cp

Dla punktu Px jest x = h, y=d, zatem:

d» ₌ JPL

sin² cp ¹

a stąd wartość parametru paraboli:

_d² sin² cp

2 h

Parametrowi równa się promień krzywizny p₀ w wierzchołku O, zatem podług wzoru (5), po wstawieniu w-artości za . sin² cp:

Ço

d² sin² go t²t²xsm²ß

2h

32 h⁵

(6)

Jestto zarazem najmniejszy promień krzywizny paraboli.

W dowolnym innym punkcie paraboli równa się promień

krzywizny:

Qo

sin³ a

jeżeli a jest kątem; który styczna w tym punkcie poprowadzona zawiera z osią paraboli; zztem promień krzywizny:

Qo___    ____

sin³ 2h sin cp tłx sin ß

dla punktu S:

?.=

2d³

P:    ę =

2P

sin³ ip

tx sin ß

(?)

Pi‘ Qi =

2t\

sin³ [ß--xp) t sin ß

stosu nki:

d³

Obliczenie promienia p₀ będzie nieraz potrzebne, w celu przekonania się czy nie przekracza się najmniejszej dla danej trasy dozwolonej wartości.

5*

os

Wyznaczenie ilości h, d, cp rachunkiem, czy też wprost pomiarem, będzie ewentualnie potrzebne, stosownie do metody użytej do tyczenia paraboli¹).

§ 37. Tyczenie paraboli.

Skorp ilości /?, t i tl są ustalone, można wyznaczyć położenie punktu S, leżącego na prostej WC równoległej do głównej osi paraboli, z następujących własności paraboli:

Końce stycznej TJT (rys. 69) połowią styczne WP i WP1} zaś

Następnie

punkt £ połowi prostą łączącą W z punktem C połowiącym prostą PPX, przyczem WS — SC = h.

Do tyczenia punktów pośrednich służą różne metody.

punkt S połowi prostą UT: przyczem: US = ST=

a) Tyczenie rzednemi od stycznych. Rys. 70.

Jeżeli obierzemy W jako początek układu spółrzędnych, których kierunki spadają ze stycznemi WP i WP^ to równanie paraboli:

Yi+Yi

(8)

Z tego równania wyznaczy się

t,

AE

wzór:

si '•

h-K!)'

Rys. 70.

podług którego obliczono następującą tabliczkę:

0-25 . 0-3 . 0¹4 . 0-5 . 0-6 .

0-46754

0-30558

0-25000

0-20456

0-13509

0-08578

0-05081

0-7    .    .    0-02668

o co oo

0    .    .    001115

0    .0 00263

1 . . 000000

Stosując tę tabelę, wytyczy się parabolę z dwóch stron od

= 025. Rzędne trzeba tyczyć pod

X

punktu S, dla którego — =

t

kątem ß, za pomocą przyrządu, który umożliwia nastawianie na dowolny kąt. Jeżeli takiego przyrządu niema pod ręką, to można na podstawie proporcyi:

WD:WP = P₁E:PJP

podzielić PXP na tyle części, na ile WP zostało podzielone, a przynależne punkty podziału wyznaczą kierunki rzędnych. Ten sposób tyczeóia paraboli należy do najdokładniejszych. Zwykle wytyczy się jedną połowę od stycznej WP, drugą połowę od stycznej WPX.

b) Tyczenie przy użyciu cięciw. Rys. 71.

Prosty sposób tyczenia uzyskuje się na podstawie własności paraboli, że jej punkty połowią prostą łączącą punkt wierzchołkowy z punktem połowiącym cię-cięwę.

W.

Wi/W.

■ '

.

in" -

- 'Ć,

v/'P

Rys. 71.

Jeżeli C połowi PPU to S połowi WC\ jeżeli W₁ połowi WP, zaś Cx połowi PS, to Sx połowi WxCl', W₂ połowi WXS, C2 połowi SXS, to $₂ połowi W₂C2 i t. d. Proste W₁C₁, W₂C₂ są równoległe do WC.

c) Tyczenie za pomocą stycznych otaczających parabolę. Rys. 72.

Polega na znanej konstrukcyi podziału stycznych na jedna kową liczbę równych części i połączenia należytego punktów podziału. Jeżeli tę liczbę obierze się wielką, to punkty przecięcia się stycznych jak 1, c, d... można uważać za punkty paraboli.

Można jednakże rzeczywiste punkty paraboli A, B... na stycznych wyznaczyć, jeżeli się odmierzy:

1 A=l'a, 2 B=2%

4'0^=46, b'Dz= ha.

Przy parzystej liczbie podziału otrzyma się punkt S na przecięciu prostej Wab ze styczną 33'.

Sposoby pod a i c podane dadzą się zastosować do tyczenia wklęsłych brzegów rzek.

J'

4/    \o'

3X    '

-v -•

S C'v

Kys. 72.

V\'V

d \ ,,

Pt

d) Tyczenie od cięciwy. Rys. 73 i 74.

Ten sposób tyczenia poznaliśmy już w § 10 pod 6), gdyśmy płaski łuk kołowy zastąpili parabolą.

Jeżeli jak tam oznaczy-my (rys. 73):

PC=CP,=r.d.. SC = h.

MN — z, PN=a,

NP₁ =b= 2d— o,

to możemy zużytkować wzór (8) tego paragrafu dla / wyznaczenia rzędnych z:

T.

vs

>h

Ï...A

N C

Rys. 73.

ab

Z 2r’    *“2,

.5

a po wyłączeniu ilości r:

albo: -!

Podług tego wzoru szy podział prostej PC lub CPX na 10 części:

a I2d—a

(9

obliczono następującą tabliczkę, przyjąw-

L i)

h }

0-1

0-19

02    .    .    0-36

*) Ta tabliczka jest powtórzona na tab. Vb.

03

051 0-64 0-75 0-84 0-91 0-96 0 99 1-00

Kierunek rzędnych wyznaczy się jak pod a) podano, przy-czem zamiast na TW można podział na przedłużonej prostej TS uskutecznić.

0-4

0-5

0-6

0-7

0-8

0-9

10

\3

-ń"

Ten sposób tyczenia można zastosować do tyczenia wypukłego brzegu rzeki, podobnie jak w § 20 z pewną modyfikacyą.

Po ustaleniu ilości ß,

t i tiv obliczymy d, h i kąt <jp, ^ a zmierzymy kąt y.

p.

;N" . B’ Kys. 74.

Z P tyczymy kierunek PA {PA') pod kątem y—q> do stycznej i odmierzymy dowolną długość PA=a. Następnie z A

PAB =180°—cp. Od AB można tyczyć rzędne MN' = a -j-z dla połowy paraboli. Tyczenie rzędnych pod kątem ęp można przezto ominąć, że się wytyczy A'B' |j AB i podzieli tak samo jak AB, a wtedy przynależne punkty podziału, jak N' i N", wyznaczą kierunek rzędnej.

ROZDZIAŁ, IL

Krzywe przejściowe.

Wstęp. Przejście trasy bezpośrednie z prostego kierunku do krzywizny łuku powoduje przerwę ciągłości ruchu wody na drogach wodnych, lub ruchu wozów na torze kolejowym, co ujemnie oddziaływa tak na budowle trasy jak na środki przewozowe. Te ujemne objawy występują tern silniej, im ostrzejsza krzywizna łuku. Dlatego staramy się przejście z prostej do łuku o małym promieniu złagodzić za pomocą krzywej, której promień krzywizny od nieskończoności stale maleje aż do wartości r łuku. Taką krzywą zowiemy krzywą przejściową. Dla dróg wodnych byłoby korzystne łuk kołowy w całej rozciągłości zastąpić taką krzywą, lecz skomplikowane tyczenie krzywej przejściowej musi w wielu wypadkach, mianowicie gdy tyczenie odbywa się w wodzie, ustąpić prostszemu tyczeniu łuku kołowego. Jeszcze bardziej byłoby wskazanem na trasie kolejowej zastąpić cały łuk krzywą przejściową, jednakże ze względów, które później poznamy, jest to niedopuszczalne; zadowalamy się zatem łukiem kołowym, a tylko krótszą partyę takiej krzywej wkładamy na przejściu z prostej do luku. To samo moglibyśmy uczynić także na trasie drogi wodnej, na co w należytem miejscu będzie zwrócona uwaga czytelnika.

Równie ważnem jest łagodne przejście z prostej w krzywiznę łuku jest na torze kolejowym racyonalne sprowadzenie przechyłki toru do zera; ono też daje podstawę do wyprowadzenia matematycznego kształtu krzywej przejściowej. Obecnie stosuje się bezwarunkowo na wszystkich ważniejszych kolejach żelaznych krzywe przejściowe, normowane odpowiednimi przepisami.

§ 38. Przechyłka toru kolejowego.

wzorem :

Masa m poruszająca się po drodze krzywolinijnej zostaje pod wpływem działania siły odśrodkowej, określonej

mv%

w którym g oznacza w uważanym punkcie promień krzywizny, zaś v chyżość ruchu. W zastosowaniu do wozu poruszającego się po torze kolejowym, otrzyma ten wzór postać:

Qv²

99.

Q oznacza ciężar wozu. g przyspieszenie siły ciężkości.

~wtlo i

Rys. 75.

Siła O wywiera szkodliwy nacisk na tok zewnętrzny toru, dlatego staramy się ją zrównoważyć przez pochylenie toru o taki kąt a, aby wypadkowa W z ciężaru Q i siły odśrodkowej O wpadła w środek toru (rys. 75)-

Z trójkąta sił wynika, że tang a = —

uwzględnieniem gór-

tang a =

Przechyłkę toru urabiamy przez podniesienie zewnętrznego toku ponad wewnętrzny o wymiar h, który jak z rysunku widać,, równa się s.sin a, gdy s jest szerokością toru. Ponieważ kąt a jest mały (dochodzi ledwie do 6°) można za sin a postawić tang a, określone powyższym wzorem, więc przechyłka toru:

h — s tang a —

9Q

Dla danej linii kolejowej jest v ilością stałą, s i g są również stałemi ilościami, zatem:

nego wzoru

99

sv²

J)

(1)

! Q/

«

cc

(?)

a dla luku o promieniu r:

h=Ł

(3)

ł) W praktyce stosuje się trochę odmienny wzór. Przechyłki stosowane na austr. państwowych kolejach żelaznych są zestawione w tabeli XI, do której jest dodana tabela dla rozszerzenia toru w łukach.

Także tab. Min. kol.

Ten wzór okazuje związek między przechyłką toru a pro-początku luku B' (rysunek 766) była

C tok zewn

mieniem. Żądamy, aby na pełna przechyłka toru, trzeba ją więc w prostej partyi AB (rys.

a.

: tokwewn

76a) sprowadzić do zera. Mamy wtedy w* prostym torze, zmienną przechyłkę toru, gdzie jej wcale nie potrzeba, a nawet jest szkodliwą. Dlatego właśnie, a także w celu łagodnego wprowadzenia wozu w krzywiznę łuku, na partyi A'B' układamy krzywą przejściową.

A’

b.

:b

JB'

Kys. 76.

§ 39. Ogólna teorya krzywej przejściowej. Rys. lia i b.

Stosownie do rozważań poprzedniego paragrafu przechyłkę h przynależną do promienia luku r zagubi się na partyi BA (rysunek a, rzut tłowy) podług dowolnej krzywej AC. dla której ustawimy pewne warunki. -Dowolna rzędna hr tej krzy- Wi wej jest funkcyą odciętej, zatem hx=f{x).

Zakrzywiony rzut osi toru A'B' ma być styczny w A' do stycznej W₁W a w B' do luku kołowego.

Ta w dwóch rzutach AC i A'B' przedstawiona krzywa jest krzywą przestrzenną. Jej rzut tłowy AC zowiemy krzywą przechyłki toru, zaś rzut poziomy A'B' osi toru zowiemy krzywą przejściową. Żądamy, aby w każdym punkcie rzędnej hx odpowiadał w krzywej przejściowej promień krzywizny ę podług związku wykazanego wzorem (2), mianowicie:

C tok zewn

a.

*■----

A'b.

i tok węwn

x --

bä

*■

Rys. 77.

hx =

(4)

Jeżeli literą y oznaczy się rzędną krzywej A'B\ to oczywiście jest y = F{hx), zaś ogólny wzór na promień krzywizny, z uwzględnieniem wzoru (4):

hx

(5)

Jestto w najogólniej s z y m kształcie równanie

różniczkowe krzywej przejściowej, czyniącej zadość warunkowi wyrażonemu równaniem (4).

' IS1

na:

Ilość F'(hx\ oznaczająca tangens kąta nachylenia stycznej do l x, jest dla krzywych przejściowych stosowanych w praktyce małą, gdyż ten kąt nachylenia osiąga z reguły nie więcej jak 6°, ogóle nie przekracza 9° tak, że podniesiona do kwadratu może być w pewnych wypadkach (ob. § 43) wobec jedności opuszczoną. Wtedy powyższe równanie różniczkowe uprości się

¹

Ob. nr. 20. zbioru przykładów.

*) Ta tabliczka jest powtórzona na tab. Va.

(6)

j=4

i w tej postaci będzie w dalszym ciągu stosowane.

Na początku krzywej A' jest hx = 0, zatem F"(hx) = 0, czyli A' jest punktem przegięcia krzywej, posiada więc promień krzywizny nieskończenie wielki, który stale malejąc osiąga w B' war-k

tość: j- = r. W A' jest także B' (hx) = 0, z powodu styczności do WW1} również F(hx) = y — 0.

Te stosunki omówione już we wstępie, zachodzą przy wszystkich rodzajach krzywych przejściowych, rozpatrywanych w dalszym ciągu.

Linię hx przyjmuje się dotychczas w praktyce zawsze tak, że rzędne hx są dokładnie lub w przybliżeniu proporcyonalne do długości krzywej przejściowej.

Takie przyjęcie upraszcza wprawdzie zastosowanie tej krzywej, nie jest jednakże najlepsze. Odmienne przyjęcie, z wykazaniem wad powyższego uproszczenia omówimy w § 40.

§ 40. Krzywa przejściowa w założeniu, że przechyłkę toru przeprowadzi się podług zmiennego nachylenia.

W poprzednim paragrafie przyjęto przeprowadzenie przechyłki toru stałym spadkiem. To przyjęcie wraz z uproszczeniem S = x doprowadza wprawdzie do prostych wzorów na krzywę przejściową i wystarcza dla małych chvżości pociągów; jednakże przy wielkich cbyżościach następuje rzucanie wozu przy przejściach przez punkty A i B' (rys. 80), ponieważ tok zewnętrzny posiada w tych punktach załomy. Wypada zatem dla linii hx zastosować krzywą, któraby w A i B' stycznie przechodziła do sąsiednich partyi toru (jak na rys. 77). Równanie tej krzywej obierzemy w ogólnym kształcie:

hx = a₀-{-alx-\- a₂xa~j-a₃xs —f—    —{— ahx'°-\-...

Dalsze przeprowadzenie znajdzie czytelnik w rozprawie ogłoszonej drukiem *), z której podamy tylko ostateczne wyniki. Krzywa przechyłki toru jest piątego rzędu:

2¹⁰

2²

P- ■:......7^

5 .i.h

zaś krzywa przejściowa siódmego rzędu:

h* 3³. o² i³. A² \

2⁶

3.5³ .ia. h²

(7)

V- ..    ²⁸________ (X6__—- *6_i

^    3⁸.5². Ci²A²\ S.b.i.h ^

2⁷

a;⁷

(8)

3².5².7 .i².ka

Te krzywe powinneby znaleźć zastosowanie na liniach o wielkiej chyżości pociągów.

§41. Krzywa przechyłki toru, której rzędne hx są proporcjonalne do długości krzywej przejściowej. Rys. 78.

Ponieważ zakrzywienie krzywej przejściowej jest małe, to krzywa przechyłki toru przedstawi się prawie jako linia prosta, a z powodu proporcyonalności rzędnych do długośrei krzywej przejściowej, jest spadek tej krzy-    _____—

w e j prawie ilością stałą.

Oznaczmy go 1 : i.

W praktyce obiera się spadek mały, zatem i wielkie, wynoszące 200 do 1000, stosownie do ważności linii kolejowej. Jeżeli łuk ÄC oznaczymy literą S, to warunek proporcyonalności wyrazi się wzorem: •

a’*......

Kys. 78.

hx

.C

czyli: hx —

— i }

co, gdy wstawimy w wzór (5), otrzymamy:

(9) ‘

Stałą ilość Jci oznaczyliśmy literą 0; uwzględniwszy wzór (2) ma ona wartość:

(10)

¹) Inż. K. Wątorek, Krzywe przejściowe. Czasopismo techniczne z r. 1906..

Zależnie od szerokości toru s, największej chyżości pociągów i od liczby i jest wielkość stałej C różna.

Np. na austryackich państwowych kolejach żelaznych przyjmuje się w okrągłych cyfrach:

Normalna szerokość toru 1435 m

Chyżuść pociąga w km na godz.

chyżość pociągu

Szerokość toru 10 m

Szer. toru 0⁻76 m

chyżość pociągu

= 80 (7=36000, 45000

90

Te liczby należy jeszcze uzupełnić dla większych chyżości kolei normalnotorowych, przyczem i należy przyjąć około 500: chyżość w km na godzinę

§ 42. Na podstawie warunków ustalony cli w § 41. wyprowadzone krzywe przejściowe.

a) Dokładne równanie. Klotoida.

Warunek proporcjonalności rzędnej hx do długości krzywej przejściowej, doprowadził do zasadniczego wzoru (7), który z uwzględnieniem wzoru (5) może posłużyć do ustawienia równania różniczkowego krzywej zwaną Klotoidą; dla niej p. d’Ocagne obliczył tablice ¹). Ta krzywa nie jest w praktyce stosowana.

b) Pierwsze uproszczenie. Lemniskata.

(10)

Zamiast dokładnej krzywej pod a) rozważanej, można dopuścić uproszczenie, że zamiast do długości krzywej, są rzędne hx proporcyonalne do cięciwy A'B' na rys. 77. Ono doprowadza do krzywej, zwanej le m niska tą, a jej równanie opiewa: p²= + 3(7 sin (2cu)

W tern równaniu oznacza p długość cięciwy, a co kąt, który cięciwa zawiera z prostą W₁ W. Ta krzywa również nie znalazła zastosowania.

9 Leçons sur la Topométrie etc. Paris 1904.

c) Drugie uproszczenie. Parabola sześcienna.

Jeżeli w chęci dalszego uproszczenia wzoru na krzywę przejściową przyjmiemy, że rzędna przechyłki toru hx jest proporcyo-nalna do odciętej x zamiast do długości łuku krzywej, to wzór (7) przejdzie w następujący:

an

z którego wyprowadzi się (ob. § 43) parabola trzeciego rzędu, jako dziś powszechnie stosowana krzywa przejściowa. Powyższe uproszczenie jest dopuszczalne, ponieważ dla tych krótkich partyi krzywych. które się w praktyce stosuje, różnica między długością krzywej a odciętą x jest bardzo mała.

Z powodu proporcyonalności rzędnych lix do odciętych x jest linia przechyłki toru prostą, nachyloną pod przyjętym spadkiem 1 : i (rys. 78).

§ 43. Parabola sześcienna jako krzywa przejściowa.

Rysunek 82.*)

W § 41 pod c) rozważaliśmy uproszczone przyjęcie proporcyonalności rzędnej hx do odciętej x, które doprowadziło do zasadniczego wzoru:

(12)

z którego wynika, źe promień krzywizny w dowolnym punkcie krzywej jest odwrotnie proporcyonalny do odciętej x. Znaczenie stałej C podano w § 41.

Jeżeli x i y oznaczają spółrzędne krzywej, to promień krzywizny wyraża się ogólnym wzorem (ob. także wzór 5):

(13)

nar

⁹⁼    3*ÿ

dx-

J) Na rys, 82. należy zamienić z i z0: zaś w punkcie, z którego wychodzi promień (> brakuje litera C.

²) Podług tego dokładnego wzoru wyprowadził równanie krzywej przejściowej p. Leber w dziele: Raccordements, Paris 1892.    *

Stała Całkowa odpada, bo dla x = 0 jest y = 0.

Wzór (17) okazuje równanie paraboli sześciennej, powszechnie używanej dla krzywych przejściowych.

Zastanówmy się teraz nad błędem popełnionym przez to, żeśmy zamiast dokładnego wzoru (13) zastosowali przybliżony (14). Z tycłr wzorów wynika, że:

q'=

Ą‘+&

W dostatecznem »przybliżeniu możemy napisać:

r ®î-+!®'-więc błąd popełniony wynosi;

co su

Jak już w § 39 powiedziano, możemy w zastosowaniu do

i napisać.-

krzywej przejściowej    wobec jedności opuścić

B'

A’

V]

(14)

- Z o--->!

dx²

,P

a po wstawieniu za q wartości z wzoru (11):

Rys. 82.

:r

d²y_ x

dx* — C’

(15)

jako równanie różniczkowe krzywej. Raz całkując będzie:

dy x⁸

dx 2 G

przyczęm stała całkowa odpada, gdyż dla x-=0 jest: Jeszcze raz'całkując, otrzymamy:

ą=o.

dx

(16)

xa

y~6C

(17)

Q'—Q =

lub, gdy się uwzględni wzór (16) i (11):

q'—Q—

CO ICO

a?⁴

co 00

Q³

(18)

so

Dla kolei główniejszych osiąga x największą wartość 40 do 60 m\ dla tych wartości obliczy się z wzoru

gdy (7=45000, najw. x— 45

₌ 0-00076 (0.08°/₀), 000375 (04%), 0-0138,    4%), 0 027(27%).

P

Są to różnice praktycznie dopuszczalne.

Dla kolei podrzędnych można, w uwzględnieniu mniejszej chyżości pociągów, dopuścić większą różnicę.

Jeżeli przyjmiemy: p'— pi^O-lp, to z wzoru (18-go) otrzy-

36000,

60

(18):

12000,

6000

48

40 m

ma się:

co !oo

5^0‘lp, a Stąd: p^ |? 3 75 C² ^ 13911)C

Podług tego wzoru obliczono graniczne wartości dla p:

gdy C — 4500,

£:> 94,

Te wartości zostały uwzglębnione w tab. VI. części II.

Drugi błąd popełniamy w pomiarze długości przez to, że zastępujemy zwykle długość krzywej S, odciętą x.

Z wzoru ogólnego dla długości krzywej.

co e-

T-H łO

750

39 m

dS=

F+TS

. dx

rozwiniętego w szereg, po wstawieniu wartości za ^ z wzoru

(16):

dS=

otrzyma się przez całkowanie wzór:

/S=x-j-

a;⁵

40 C*    11620*

(19)

Po wstawieniu za x wartości z wzoru (11), otrzyma się:

s—

Cs

C⁵

(19a)

X    40 p⁵    1152 p⁹

Drugi człon z prawej strony daje dla jak najmniejszych promieni, wykazanych w tablicy VI., różnicę dochodzącą ledwie do 0001 ni. może być więc zawsze opuszczony. Co do pierwszego

członu, to jeżeli dopuścimy w praktyce różnicę S—x mniejszą niż pół centimetra, natenczas mamy warunek:

- <r0'004 m 0

5    _    6___

q ^ y6-25    14426 (/<7³

C³

(196)

a stąd: i następujące zestawienie:

dla C= 45000,    36000,    12000,    6000,    4500,    3000, 1500, 750

^894,    782,    404,    267,    224,    176,    116,    77 m

Zatem dla promieni większych, niż powyższe, możemy podstawić S = x, zaś dla mniejszych promieni należy zastosować wzór ogólny:

(20)

Ml+ä

Tabela VI. zawiera długości krzywej dla S—aj^OOOlw. To poprzedziwszy, powróćmy do wzorów 12 do 17, które w zupełności określają krzywę przejściową.

W punkcie końcowym P krzywej osiąga ę wartość promienia r łuku kołowego, zaś x dłngość l. więc podług wzoru (12):

-j=«

a ponieważ wiemy, że linia 'A'B' przechyłki toru jest prostą nachyloną spadkiem 1 : i, to:

x = ihx, zaś: l—ih

jako drugi wyraz dla długości krzywej przejściowej.

Z wzoru (16) otrzymamy, gdy cp jest kątem nachylenia sty|

l* __C_

2C 2r‘*

Jeżeli końcową rzędną w P oznaczymy literą e, to z wzoru

cznej, tang<p =

x²

a dla końca w P: tang q)₀ =

(17-go):

?» c²

e~6C Sr³

zaś rządna w połowie krzywej dla % — ^ równa się:

l³

48C’ °Zyli równa: ' “

OO

Oznaczmy podstyczne w punktach C i P przez z i £0? to: x

z = y cotang<p = —, zaś: z₀ = e cotang <p₀ —

Te wzory są tak proste, że je można wprost na polu do obliczenia zastosować.

Dla lepszego przeglądu zestawiamy powyższe wzory, określające zupełnie krzywę przejściową:

- (także l = ih)

x'¹

tang (p=YC    <P° ⁼ 2C

C 3e

2r²

;    ^o—₃

xs

(21) >)

równa

_    _    _ P _ C’2

y ~~ 6C' ⁶ ~6C~~ 6P⁸

Rzędna w połowie długości    ^ j

#|l-j~ 40 Cp) (&ran’(ie stosowania, podaje wzór (19£)

V = Y (ob- § ⁴⁴) a — (podług wzoru 24a, b lub c w § 44).

Uwaga. Dla wielkich promieni r wypada l małe; można zatem dla głównych kolei przyjąć jako najmniejszą długość 1 = 20 m. Wtedy jest C zmienne z r, mianowicie C=20r. Jest to uwzględnione w tabeli VII.

§ 44. Łuk kołowy z krzywą przejściową. Rys. 83.

Jeżeli między łuk kołowy P₀PK, a prostą styczną do łuku włożymy krzywą przejściową AP\ to ponieważ ta krzywa jest łagodniej zakrzywiona, niż łuk, jej przebieg wypada po zewnętrznej stronie łuku.

Z tego powodu styczna do łuku P₀K' i styczna do krzywej przejściowej AP' muszą być względem siebie równolegle przesunięte o pewien wymiar v. Styczne przejście krzywej do łuku na-

*) Ob. tabelę VI. w II. części.

Stępuje w tym punkcie P, w którym promień q krzywej osiąga wartość r łuku, a kąt styczności wartość <p0; określoną wzorem (21). Należy przedewszystkiem wyznaczyć ów odstęp stycznych v. Z trójkąta OPQ wynika (0 środek koła):

*iP’ K”

1-a

.......«......- a - -

i ;C .......²°

QP=CP'=a =r siir^o (22) P₀Q jako strzałka pła-

y skiego łuku, równa się —— ¹    2r

/r (ob- § 10i)>a gd.yv—e—PoQi

OL^

więc v=e——. Wymiar v

jest zawsze mały, można za-C

tein za a zamiast rsin<p₀ wprowadzić rtang<p₀— (wzór 21). Wtedy jest:

Qr

!p

/■

Rys. 83.

C* _ 6 C² _ 2r 8 r³ 8 6r⁸

a²

3

— e (ob. wzór 21),

więc:

co

(23)

Zatem wielkość przesunięcia stycznej łuku względem stycznej krzywej równa się jednej czwartej końcowej rzędnej krzywej przejściowej.

Jeżeli we wzorze (22) wyrazimy sin <p₀ przez znaną wartość tang (p₀, to otrzymamy:

a = r sin qp₀

r tang <jp₀

J/l -j-tang² ęp₀ 2j/l-ftang²<p₀

(24)

Jestto dokładny wzór dla obliczenia a jednakże nie używamy go, gdyż dla promieni stosowanych w praktyce wystarczą wzory przybliżone. Rozwińmy prawą stronę wzoru (24) w szereg:

« = !( l — ^tang²çp₀-|-|tang⁴ q>₀J,'

lub:

31

(24a)

-tang² <p₀ —— tang⁴<p₀

Drugi wyraz po prawej stronie można opuścić, gdyż dla najmniejszych w praktyce stosowanych promieni daje ledwie 0'001 m. Natomiast pierwszy wyraz opuścimy wtedy, jeżeli zajdzie warunek:

— tang² gp₀ < 0‘004

Wstawmy za l i tätige wartość z wzoru (21), natenczas:

^0-004,

16 r³

C_(C_V c*

4 r \2r²

a stąd:

»•>

( 1-064

Podług tego wzoru obliczono następującą tabliczkę:

C— 45000,    36000,    12000,    6000,    4500,    3000,    1500,    750

r 1074,    939,    486,    321,    270,    212,    140,    92 m

Zatem dla promieni mniejszych, niż ta tabliczka wykazuje, zastosujemy wzór:

^tang² (p₀, lub: a =    1 — ~tang² q>₀j

(246)

zaś dla większych promieni wzór:

(24 e)

W tabeli VI. uwzględniono różnicę: — — o>0001 m.

u

Z powyższego rozpatrywania wynika:

1.    Włożenie krzyicej przejściowej między prostą i łuk kołowy jest tylko wtedy możliwe, jeżeli styczna AP₀ w początku łuku i do niej równoległa styczna do krzywej przejściowej posiadają odstęp v, określony wzorem (23), względnie (21).

2.    Odstępy początku i końca krzywej przejściowej od punktu C, który jest rzutem początku łuku P₀ na styczną do tej krzywej, wynoszą l—a, względnie a, określone wzorami 21a, b lub c.

Tyczenie krzywej i łuku. Jeżeli względne położenia stycznych, jakoteż punkty A i P zostały na polu wyznaczone (ob. dalsze paragrafy), to się tyczy krzywą przejściową za pomocą rzędnych od stycznej, wyjętych dla odległości co 5 lub 10 m aż do długości • x = l, przynależnej do danego promienia r.

Wszystkie potrzebne dane są zawarte w tab. VI., ewentualnie VII., zaś dla promieni w tabeli nie zawartych, obliczy się je podług wzoru (21) na polu.

W dalszym ciągu ma być od punktu P, a stycznie do krzywej przejściowej tyczony łuk o promieniu r.

To tyczenie łuku można różnymi sposobami uskutecznić.

a)    Za pomocą rzędnych od stycznej. W tym celu wyznaczy

się początek łuku P₀, a wtedy dla dowolnej odciętej P₀K' wytyczy się przynależną rzędną KK'= y, wyjętą z tabeli III. Także od stycznej ^4P' i punktu C, jako początku można wyznaczyć punkt K, przez wytyczenie rzędnej KK" = y₁₌= y    v, zatem przez

wa-

dodanie ilości v do wartości y wyjętej z tabeli III. Łuk w ten sposób tyczony, aż do najbliższego głównego punktu, musi dokładnie przejść przez punkt P. Tę zgodność można skontrolować runkiem, że PP' =e ma się równać y-\-v, jeżeli y jest rzędną łuku, obliczoną dla odciętej CP' = a.

b)    Przy użyciu stycznej BP (rys. 83). Podług wzoru (21)

jest: BP = z₀ = —; jeżeli tę długość odmierzymy od punktu P do

B, to prosta łącząca punkt B z punktem P już poprzednio wyznaczonym, jest styczną do łuku kołowego, od której ten łuk za pomocą metod podanych w rozdz. I. może być wytyczony.

Br-1 p’Wi

\

'IJ

:ś

,'r

#v

’T'V

o*';'

tiys. 83a.

Jednakże styczna w ten sposób ustalona jest zanadto krótka dla dokładnego tyczenia łuku, trzeba ją zatem jeszcze przez jeden punkt ustalić. Jako taki dobrze się nadaje punkt U (rysunek 83a), leżący na przecięciu stycznej BP z linią symetryi WS. Mianowicie jest:

U& — UO—SO—r sec

3

99

CO

et»

t«| a

5'

cr

I-Ï

hH

Gdy się US odmierzy, otrzyma się styczną BU, która musi przejść dokładnie przez punkt P. Ten sposób ustalenia stycznej nadaje się dobrze dla wielkich kątów ß. Dla małych kątów jest wyznaczenie punktu U niepewne, gdyż proste RL i WS przecinają się pod ostrym kątem. Wtedy użyjemy punktu V, leżącego na przecięciu stycznej BP z pomocniczą styczną łuku WXS.

Mianowicie są PV i VS stycznemi do łuku o kącie środko-

V

a

wym: ---<p₀, zatem:

u

<P o

PV= VS = r tang

Odmierzymy VS i skontrolujemy zgodność VS=PV. Styczna B V powinna przejść przez P. Długość FR obliczymy podług tabeli II.

Widzieliśmy, że warunkiem możliwości przystosowania krzywej do luku kołowego jest względny odstęp punktu Pe od stycznej AP' o wymiar v.

Ten względny odstęp można w trojaki sposób uzyskać: a) Przez przesunięcie luku kołowego, a pozostawienie stycznej w jej pierwotnein położeniu. Ten sposób i est najczęściej sto

sowany.

b)    Przez pozostawienie stycznej i środka łuku S w ich pier-wotnem położeniu, a zmniejszenie promienta łuku.

c)    Przez pozostawienie łuku, a przesunięcie stycznej.

Te przypadki rozpatrzymy w następujących paragrafach.

§ 45. Luk kołowy zostaje przesunięty. Rys. 84.x)

Jeżeli są w polu wyznaczone kierunki proste JV} W i Wfł₂, które mają być połączone lukiem kołowym, to wiemy już z I. rozdziału, że w celu wytyczenia łuku należy zmierzyć kąt ß, wyznaczyć a = 180— ß, obliczyć i odmierzyć:

tci a

WP₀— t — r er>tg ~ — r tang - -,

—

*) Na prostej Wrys. 84. należy umieścić literę C pionowo nad P₀, zaś literę P' pionowo nad P.

nareszcie wyznaczyć S₀ na linii połowiącej kąt wierzchołkowy, która jest linią symetryi dla całego układu. Przesunięcie łuku potrzebne w celu uzyskania odstępu P₀C = v może nastąpić tylko wzdłuż osi symetryi o pewną długość S₀S=f. Ponieważ każdy punkt łuku w tym samym kierunku i o tę samą długość się przesunie, więc też pierwotny początek łuku P\ przesunie się w kierunku P'₀P₀ równoległym do S₀S i o długość P'₀P₀ =/, którą obliczy się z trójkąta P₀CP'0l skoro v już poprzednio wyznaczono. Mianowicie:

(26)

f —v cosec ~ = v sec —-

N.

Wi I

1-a-

Vt'-Pè V

-T

r/

ij\\

y.D¹

w₂

Kys. 84.

O tę długość należy przesunąć S₀. Położenie punktu C i linii CP₀ wyznaczy się przez odmierzenie długości t' = P'₀C:

(28)

czyli, że długość WC jest styczną dla łuku o promieniu r-\-v.

Możemy zatem punkt C wyznaczyć od razu, bez pomocy pierwotnego początku łuku P'₀. Powyższe ilości obliczy się podług tabeli II. Z tabeli VI. wyjmie się ilości l, a i e i odmierzy się a od C ku P', l—a od C ku A, przez co otrzyma się początek i koniec krzywej przejściowej, zaś e od P' ku P. Tyczenie tej krzywej nastąpi podług § 44.

Podobnie można od razu wyznaczyć punkt S. Mianowicie jest podług § 7. WS% — r sec -- — r, zaś:

WS= WS₉+f=r sec j — r+v sec

= (r-f- v) sec _

u

Nadto jeżeli się wytyczy przesuniętą styczną P₀T, to można punkt $, położenie stycznej w S, jakoteż dowolną ilość głównych punktów łuku wyznaczyć sposobem w I. rozdziale podanym.

W celu kontroli powyższych rachunków uzyska się równanie, gdy się wykona rzut linii PPS W na kierunek P'P\ mianowicie rzut linii WS na ten kierunek ma się równać rzutowi linii P'PS, czyli:

TVS cos ■— = e -j- r |cos (p₀ —

a -f 2(p₀

-j =e -f-2rsin

sin a ~A~— 4

Środek łuku S można także wyznaczyć przez styczną DI/; mianowicie równa się CD stycznej P₀£7 = ES. mniej rzut prostej DE na styczną AW. Zatem:

cos

to o

a    a

CD = r tang — — v cotg ^

Gdy się CD obustronnie odmierzy, to punkty D, S i D’ mają leżeć na jednej prostej.

Dla kontroli mnżna jeszcze obliczyć i zmierzyć:

_    a ,    a

Db — r tang ^ -f- v cosec

Jeżeli kąt ß staje się ujemny, to znaczy a >-180° (jak na rys. 43), wtedy / i V otrzymują ujemną wartość.

Przesunięcie łuku powoduje zmianę pierwotnie projektowanej trasy, która nie zawsze jest dopuszczalną.

Wzór (26) okazuje, że / jest zależne od w, które jest tern

O

większe, im mniejszy promień r, i od cosec które jest tem więk-

u

sze, im mniejszy kąt wierzchołkowy. Zatem dla małych promieni i małych ß (wielkich a) może otrzymać f bardzo znaczną wartość, dochodzącą do nieskóriczoności dla /? = 0. Jeżeli zatem obliczona długość / wypadnie znaczna, należy w projekcie wrysować przesunięty łuk i przekonać się, czy przesunięcie jest dopuszczalne; w przeciwnym razie należy postąpić podług § 46 lub § 47 (Ob. także § 49) 4- Powyższy sposób tyczenia z przesunięciem łuku kołowego jest z reguły stosowany.

M Do §§ 43, 44, 45 ob. zbiór przykładów jakoteż przykład przy tab. VI..

§ 46. Położenie stycznych i środka łuku pozostaje nie naruszone. Rys. 85.

W tym przypadku należy zmniejszyć promień r na taką wartość rx, ażeby odstęp P₀C otrzymał wymiar v₁, obliczony dla promienia rx. Z rzutu linii OOxP₀C na kierunek 0P\ otrzyma sięT

zważywszy, że OOx—r—rx, równanie:

*

r — (ir—rx ) cos j + rx-f vx,

z którego wyznaczy się:

rx—r

Vi

1—cos—

2 sin²/-**

(28)

ri

w?

Z tego równania nie można obliczyć rt, gdyż nie znając rlr nie jest znana wartość vx, zaś podstawienie za vx wartości z wz. (23) doprowadziłoby dla rx do równania czwartego rzędu. Tę trudność ominiemy przez wyznaczenie przybliżonej wartości dla rx. Wzór (28) okazuje, że dla małych promieni r i małego kąta a może otrzymać wyraz:

: 2 sin2

Rys. 85.

wielką, a nawet

z różnych względów niedopuszczalną wartość. My jednak stosujemy rozważony przypadek tylko dla wielkich kątów a. to jest dla takich, dla których przesunięcie łuku podług § 45-go jest niedopuszczalne, Otóż dla wielkich kątów a zbliża się wyraz:

2 sin²    do jedności, którą osiąga dla a = 180°, wtedy różnica

między promieniami r i rx jest niewielka, a różnica między vx a v obliczonem podług r wprost praktycznie znikoma.

Możemy zatem w przybliżeniu podstawić v zsl vx i obliczyć rx z wzoru:

rx=i—

(28a)

2 sin²

Podług tego promienia obliczymy vx i nie troszcząc się o dane położenie punktu S wyznaczymy P₀. Mianowicie jeżeli styczną w P₀ przedłużymy do punktu F, z F spuścimy prostopadłą do stycznej w E, to P₀F jest styczną do łuku o promieniu rt, zaś:

EW— vx tang -g, więc:

(29)

ö *

CW— (>!-{-t^)tang g (zgodnie z § 45)

Po odmierzeniu tej długości otrzyma się G i P₀, od którego wytyczy się łuk. Ten łuk nie przejdzie całkiem dokładnie przez punkt S, gdyż promień r, nie był zupełnie dokładnie wyznaczony t).

Krzywę przejściową wytyczy się podług wskazówek § 44. Styczną DD' wyznaczy się jak w § 45. (Ob. przykład rachowany przy tabeli VI).

§ 47. Łuk pierwotny pozostaje nienaruszony, natomiast styczna zostaje przesunięta. Rys. 86 i 87.

Jeżeli przesunięcie pierwotnej stycznej WWX jest dopuszczalne. to warunek, aby między styczną do krzywej przejściowej a łukiem był odstęp v, będzie zawsze uzyskany, jeżeli tę styczną poprowadzimy jako prostą styczną do łuku zakreślonego promie-

niem r-\-v, a współśrodko-wego z danym łukiem. Jeżeli P₀S na rys. 86 jest lukiem pierwotnym o promieniu r, a zakreślimy łuk (kreskowany) promieniem r-|~v, to w dowolnym punkcie tego łuku poprowadzona styczna, powyższemu warunkowi zadosj’é uczyni.

Rozróżnimy różne przypadki.

r-f

*<s

Rys. 86.

a) Styczna zostaje przesunięta równolegle do pierwotnego kierunku.

Rys. 86.

Jeżeli dalsza trasa nie jest jeszcze tyezona, a zmiana położenia następującego wierzchołka Wx jest dopuszczalna, wtedy

') Helmert w swojem dziełku: „Die Uebergangscnrven“, podaje inny bardziej skomplikowany sposób rozwiązania tego zagadnienia.

otrzyma się najprostsze rozwiązanie, gdy prostą P₀W₁ przesunie się równolegle o wymiar v. Wprost otrzyma się punkt C, który posłuży do wytyczenia krzywej przejściowej podług § 44.

b) Przesunięta styczna ma być wspólną do dwóch łuków. Rys. 87.

Luki mogą byé odwrotnie skierowane, jak alboteź jednakowo skierowane. Współ

na rysunku 87, na styczna łuków jest

?°²

r2

r>i /

P₁P₂=p. Jeżeli zamierzamy między łuki a prostą włożyć krzywe przejściowe, to podług powyższych wska-/ zówek pomyślimy sobie ze środków 0₂ i 02 zakreślone łuki o promieniach:

i r₂-\-v₂,

Rys. 87.

>-

a styczna wspólna do tych łuków odpowie warunkowi potrzebnemu dla włożenia krzywych przejściowych. Do wyznaczenia poł< żenią tej nowej stycznej posłużą punkty _Z?X i P₂, leżące na przecięciu tej stycznej z przydłuźonymi promieniami 0₁Fl i 0₂P₂. Jeżeli ze środków łuków spuścimy na nową styczną prostopadłe do punktów Cx i C₂, to kąt    B₂0₂C₃ równy kątowi £ zawar

temu między pierwotną a nową styczną.

Otóż z rysunku wynika, że:

P\Bx ±P₂P₂= P,P₂ tang £ — p tang s

Znak dolny odnosi się do przypadku, gdy łuki są jednakowo

skierowane.

Następnie wynika z trójkątów:    i B.₂OiC₂₎ że:

*i+Pi cos e

rl: B₂B₂ —

⁻____' 2

COS £

— (r + r₂)=^tang£;

Jeżeli te wartości wstawi się w poprzedni wzór, to będzie: (04-%)±(^2+^2)

COS £

Podług wyznaczonego kąta E obliczy się długości P₁B₁ i jP₂jB₈, które należycie odmierzone wyznaczą punkty Bx i B₂ nowej stycznej. Następnie obliczy się:

BiCx={rx -j- Vj) tang e,    B₂C₂— (rs-f-v₂) tang £,

COS £

Punkty Cv C₂ są takie same jak C na rys. 83; na ich podstawie nastąpi tyczenie krzywej przejściowej podług § 44. Kontrolę rachunków da równanie, uzyskane z rzutu łuków i prostej C₁Ci na kierunek P₁P₂‘-

V = 0*i ± rz)tang £ +    ć’₂ sec e

Na prostej CXC₂ ma się pomieścić, oprócz długości V (§ 45) po połowie długości (a raczej l — a) krzywej przejściowej jednego i drugiego łuku, a nadto, jeżeli luki są odwrotnie skierowane, żąda się pewnej długości łę¹) między początkami krzywych przejściowych. Zatem powyższe rozwiązanie będzie możliwe, jeżeli:

⁶'lC2>^0+ "-g"-² t'l + ^25

dla łuków odwrotnie skierowanych:

n n =h~rh c i⁰2 >—g

dla łuków jednakowo skierowanych ²). (Ob. także § 54).

*) l₀ wynosi conajmniej 10 m dla kolei głównych, a 7 tn dla kolei pod

rzędnych.

lmb:

(rl ± rî) C0S £ + P Sin £ = irl ±r2) + (V1 ±»l) rx±r2

(a)

Gdy się podstawi: tangqp =

to się otrzyma:

sin (<p-}-£) =

(?i±î’a) + K+0

COS (p

7j tego równania wyznaczy się dokładną wartość kąta e. Gdy jednak kąt e jest nie wielki, to dlva znaczniejszych długości p można w równaniu (a) podstawić cose=l, a wtedy otrzyma się prostszy, praktycznie dokładny wzór:

Vi±V₂

si n e =

²) Ob. nr. 22 zbioru przykładów.

§ 48. Przypadek, gdy kąt wierzchołkowy zbliża się do 180°.

Rys. 88.

W miarę zwiększania się kąta ß, zmniejsza się długość łuku kołowego. Kąt środkowy tego łuku wynosi a—2cp₀ (ob. rys. 83 i 84), zatem łuk zniknie, skoro a — 2<p₀ = 0. Wtedy obustronne krzywe przejściowe AE i AXE (rys. 88) zetkną się w jednym

M™

\r

At

Rys. 88.

punkcie E na wspólnej stycznej BBX. Dla kąta a mniejszego niż 2qp₀ jest włożenie krzywych przejściowych niemożliwe, gdyż one się przetną. (Ob. także § 54). Zatem musi zajść warunek:

a!>2qp₀

Ponieważ tangqp₀

to zatem ma być:

a _ C

tan* 2

Ten wzór okazuje, że czem mniejszy promień, tern większy powinien być kąt a. Np. dla głównych kolei, gdy C— 12000, ma być:

dla r — 300,    400,    500,    1000 m

a 5>7°38',    4®18/,    2<>45',    0°42

Z tego przykładu widzimy, że ze zmniejszającym się promieniem kąt a jeszcze dopuszczalny bardzo szybko rośnie.

Jeżeliby kąt a był tylko nieco mniejszy, niż powyższymi

CL

wzorami określony, to przyjmiemy: qpe— a w celu umożliwienia włożenia dwóch stykających się krzywych przejściowych, należy do tego warunku C lub r zastosować. Zatem z powyższego wzoru obliczy się, albo zmniejszoną wartość:

C— 2r² tang

albo zwiększoną wartość:

1    ~    a

2    Rotang —

Podług tych zmienionych wartości obliczymy długości krzywej AM=l i rzędne krzywej przejściowej. Ustalenie początku A krzywej nastąpi albo zwykłym sposobem, albo wprost przez wyznaczenie długości A W. Ponieważ kąt MEW równy <p,, to:

A W= l-j-e tang (p₀ - a gdy z wzoru (21) jest:

l³ l    l    (    1    \

« = 66y~3tang9?0’ t0 AW==lJt gtang⁸9>₀='gtang² <Po

Po odmierzeniu długości A W, otrzyma się punkt A, poczem nastąpi wytyczenie krzywych.

Uwaga. W tym przypadku, gdy krzywe przejściowe stykają się stycznie bez pośrednictwa luku kulowego jest ta niewłaściwość, że przechyłka toru wzrastając z jednej i drugiej strony tworzy w punkcie zetknięcia D (rys. 89) załom, który, mianowicie na liniach o wielkiej ehyżości pociągów jest niedopuszczalny. Należy zatem obrać większy promień r, tak, aby między krzywemi przejściowemi pośredniczył łuk kołowy o długości c. zależnej od naj-_

Rys. 89.

większej ehyżości pociągów-Dla obranej długości c (np. od 10 do 50 m) można wyznaczyć związek między promieniem r a potrzebnym kątem środkowym a. Mianowicie jest w tym przypadku:

c = r arc (a—2<jp₀)

Ponieważ obrana wartość c nie musi być dokładnie dochowana, to możemy arcus zastąpić przez tangens i napisać powyższy wzór w tej formie:

c = 2r |tang — tang<jp₀j

Zważywszy, że tang (p₀— l² : 2C~ l : 2r, to otrzyma się:

a _c —l

tangy>-27

Dla różnych wartości C i im odpowiednich c obrachowano tabelę, umieszczoną na końcu tabeli VI. części II¹).

Wobec powyższej uwagi lepiej już przy projektowaniu unikać wielkich kątów wierzchołkowych z lukami o małych promieniach.

§ 49. Przypadek, gdy kąt wierzchołkowy jest bardzo mały.

Wzór (26) okazuje, że dla małych kątów ß wypada długośó przesunięcia łuku f wielka i może być ze względu na zmianę położenia trasy niedopuszczalna. Jeżeli w danych warunkach może wielkość przesunięcia osiągnąć co najwyżej wartość q, to z wzoru, (26) wynika, że ma być:

sin-¹r> —

Jeżeli kąt ß jest mniejszy, to należy albo zmniejszyć promień łuku podług § 45, alboteż przy zachowaniu promienia uskutecznić przesunięcie stycznych, podług § 47 ²).

§ 50. Zastosowanie krzywej przejściowej do budowli wodnych.

Dla kolei żelaznych doprowadził warunek przeprowadzenia przechyłki toru do paraboli sześciennej jako krzywej przejściowej. Dla łuków budowli wodnych tego warunku niema, mogłyby więc różne krzywe posiadające punkt przegięcia (p = oo) być obrane jako krzywe przejściowe, umożliwiające ciągłe przeprowadzenie krzywizny od prostej aż do danego promienia łuku Gdy jednakże parabola »sześcienna jest dla obliczenia i wytyczenia bardzo prosta, nadaje się więc doskonale także do budowli wodnych.

O ile tyczenie łuków uskutecznia się na stałym lądzie, mogą wszystkie metody opisane w poprzednich paragrafach znaleźć tu zastosowanie.

war-

Rozchodzi się tylko o to, jak wielką stałą C przyjąć należy. Ponieważ do budowli wodnych obok małych także wielkie promienie się stosuje, dla których, przy przyjęciu jednej tylko tości C wypadłyby zanadto krótkie krzywe przejściowe, powinno się przyjąć C zmienne z wielkością promienia.

W jakim stosunku najkorzystniejszym mają stać te dwie ilości, wykaże dopiero doświadczenie²).

Dla wytyczenia tam w wodzie rozróżnimy znów brzeg wypukły i wklęsły. Najlepiej zastosować przesunięcie łuku podług

§ 45, ale to przesunięcie już w projekcie wrysować i podług projektu początek A krzywej przejściowej na polu wyznaczyć.

Na wypukłym brzegu (rys. 90) poprowadzimy równoległą A'BE do stycznej AP' w dowolnym odstępie h, a od A'B wytyczymy krzywą przejściową rzędnemi h — y. Na tej podstawie, że

Dk

' A*

o7 I

Rys. 90.

podstyczna równa jednej trzeciej długości odciętej, jest DP=¹/%1. Otóż z trójkątów DPP' i PBE wynika, źe:

zatem:

BE :h — e = ¹/s / : e,

l (h—e)

BL=

3e

Tę długość odmierzymy, wtedy PL jest kierunkiem stycznej, od której możemy wytyczyć łuk kołowy podług § 22.

♦s

3"

Na wklęsłym brzegu (rys. 91) postąpimy inaczej; mianowicie wytyczymy wielobok krzywej przejściowej. Boki tego wieloboku odcinają na stycznej odcinki które nie trudno obliczyć. Mianowicie np. dla cięciwy 34 jest:

'    £i=y₈:y4>

a stąd:

Rys. 91.

t __ *tu*—x*y*

i/i y$

lub ogólnie:

•^n y w-J-1    1 y n

VnĄA    y n

Jeżeli w tym wzorze wstawimy: y =

6C’

to otrzymamy:

£» =

^„+1 (^+^+1) "

a?²n-f-a:„xn+, -)-a;an+1

(a)

jako wzór ogólny.

Odstępy rzędnych obierzemy zawsze równe; oznaczmy je literą a, to: xn = na, xn+1 = (n-f~ 1) a,

zatem :

t/R

(6)

Tylko dla końcowej rzędnej, która od poprzedzającej może mieć odstęp od a odmienny, zastosujemy ogólny wzór (a). Jeżeli w wzór (b) wstawimy za n kolejno wartości od 1 do 9, otrzymamy następującą tabliczkę:

05

cS

co

oi!

en

co c-

o oi

^ 2

INS £rr

39

1710

271 a

Podług tej tabliczki obliczono tabelę VIII dla a — 5 i 10 m.

Wytyczymy naprzód punkt 1, odmierzywszy a i —

(wartość y₁ wyjęta z tabeli VI).

Następnie odmierzymy i w kierunku 1'1 wybudujemy element 12 tamy o długości a. Po odmierzeniu £₂ zbudujemy w kierunku 2'2 drugi element tamy i t. d. Dojdziemy w ten sposób aż do końcowego punktu krzywej przejściowej, który za pomocą obliczonej rzędnej skontrolujemy, ewentualnie drobny błąd poprawimy.

W tym końcowym punkcie wyznaczymy dokładnie styczną, podług wskazówek § 44, a od tej stycznej wytyczymy łuk sposobami podanymi w § 23.

§ 51. Krzywa przejściowa styczna do dwóch łuków kołowych.

Rys. 92.

Zbadamy naprzód warunki, kiedy krzywa przejściowa może być styczną do dwóch łuków kołowych. Niech ADE jest tą krzywą. W dowolnym punkcie D, o współrzędnych xx i yx, jest promień krzywizny rx zarazem promieniem koła styczności G\DF. Jeżeli to koło przedłużymy do punktu C'ly w którym promień jest prostopadły do stycznej A W, to jak nam z § 45 wiadomo jest odstęp C₁C\=v₁, zaś długość £X = ACX równa ¹/₂x₁, z dostateczną dokładnością. Spółrzędne środka Ox są i 0XCX=1]X.

Podobnie dla drugiego dowolnego punktu E je$tC'₂GE kołem styczności o promieniu r₂, o odstępie C\C₂—v₂ i o spółrzędnych środka £₂= ¹j₂x₂ i rj₂.

Tyczenie tras.

Te dwa koła przedłużone aż do wspólnego promienia Ot0₂GF otrzymają na tym promieniu odstęp GF = c, który należy wyznaczyć. Nie trudno zauważyć, że:

°i 0₂=d = \(I, —fi)² + (ifc — rjf.

a ponieważ:

5    ^2-

V\ — ri~\~vxy

więc:

+[n—*«—i(»2—«i)3²=

= (r i—r»)

(*^2 ) 4(ri -rt)

O*—®i)\²

(30a)

²(v«—Pi) , (o, — t?,)²    (x₂ — ^)²,.

r₂ “r" (r, — r₂)2 t4(r₁-r₂)

•o, '

/pmi

/ to

-----_3~ ----

rr— - -

14-

Vv

V'

"y~ cT

____

*?

Rys. 92.

jest tak małą wobec jedności, że ją można

Ilość

K—»i)⁸

(^*1—^₂)*

opuścić. Pozostałe dwie ilości są wobec jedności także bardzo małe, możemy więc napisać:

(x₂ Xx)²

x V2—V1__

ri—r₂ 8 (rx—r₈):

d = \ri — r₂

Z rysunku widać, źe: 0XF—0₁0i-\-0₁G-\-GF, więc: GF — c = rx—r₂—d,

a gdy za d podstawimy wartość z wzoru (306), to:

(x₂—xxy

8(rx—r₂)

zatem ilość bardzo mała. Jeżeli jeszcze podstawimy:

(306)

(31a)

c=v₂—vx

to:

«1==—» -*«=—(§ ⁴¹)¹ «1= 'l    '2

c_ (^(r⁸,—r³₂)

C²

C²

24r³₁r³î

24rV v* 24r% _ Ca(ri—r*) 8r²₁r²₂

(wz. 23),

lub:

24r³₁r³

(310

Następnie wyznaczymy kąt e, który zawiera wspólny [promień z prostopadłą do stycznej A W. Z rysunku widać, źe:

x₂ — xx______

V1—V2~²K—r₂ — (v₂—v₁)\~2r₁r₂ [rx—r₂— (®a —t^)]

Jestto dokładny wzór dla tang £. Dla 'dalszych celów [wprowadzimy wzór dostatecznie przybliżony, jeżeli małą ilość v₂—vx wobec rx—r₂ opuścimy. Wtedy jest:

tang £ =

C[rx—r₂)

tange

\C

2r₁r₂

Jeżeli uwzględnimy, że podług wzoru (21) jest:

(32)

tang (px—

tang (p₂

to:

2r\’

tang £ = j/tang cpx tang <jp₂

2/-V

Zatem tang(jp^tang£<tang <jd2? zaś (px<^£<^(p₂.

Przypatrzmy się ilości: tang (f—gpj = wmy w ten wzór powyższe wartości, to otrzymamy:

tgg—t g yx__

1-(-tang £ tang cpx \

ijwsta-

tang (e—(px)=

2 rtrt

2r²x

20 (r\—rxr₂) 2Crx(rx—r₂)

Ar*xrt -j-(7²    4rzxr₂-\-C²

' 2rxr₂'2r²x

W mianowniku jest C² wobec 4r*xr₂ zwykle ilością małą, tak, że gdy ją opuścimy, otrzymamy:

tang (e—(px) =

C(ri—r₂)

2r²jrs

, podobnie tang (gp₂—e)

G(ri—r,)

2rxr²₂

W praktyce są różnice kątów e—(f>x lub <p₂—£ bardzo małe, tak, że zamiast tangens, możemy podstawić arcus, a wtedy otrzymamy:

r₁ arc (f—(px) — r₂ arc (qp₂—e)

Qxx—rt)

2r₃r₂

( -a

a:₂—xl

(34)

to znaczy, że długości łuków DF i EG są sobie równe.

Doszliśmy więc do następujących, dla dalszego zastosowania ważnych wyników:

1.    Do dwóch ł uków o różnych promieniach można tylko wtedy przystosować stycznie krzywą przejściową, jeżeli te łuki są na wspólnym promieniu przesunięte o wymiar c, wyznaczony wzorem (316); o ten wymiar jest łuk o mniejszym promieniu przesunięty ku środkowi koła.

2.    Punkta styczności krzywej przejściowej z łukami są równo oddalone od wspólnego promienia o długość wyznaczoną wzorem (34).

Ponieważ prostsze w zastosowaniu wzory (306), (316), (32) i (34) są tylko przybliżone, należy przekonać się o ile wyniki obliczeń różnią się podług dokładnych i podług przybliżonych wzorów. Różnice będą tern większe, im mniejsze są promienie łuków i czem większa różnica między tymi promieniami. Obierzemy więc dla przykładu, przy (7=12000, najmniejszy promień r₂ = 300 m i dwa razy tak wielki promień r₃=600 m. Dla tych wartości obliczyliśmy następującą tabliczkę:

podług dokładnych wzorów:

d= 299-9723 0-0277 e = l<>55'6*9" rx arc (e—<px) = 10*0924 r₂ arc (qp₂—c) = 9*9248 suma tych łuków = 20*0172 różnica tych łuków = 0-1676

podług przybliżonych wzorów :

299-9722

0*0278

1⁰54'32*9"

9-9935

9-9742

19-9677

0*0193

różnica :

00001

00001

34"

+0-0989

—0*0494

+0-0495

Podług wz. (34) są obydwa łuki równe, o długości 10000 m.

Ta tabliczka okazuje, źe różnice są praktycznie za małe, aby miały wpływ na przebieg krzywej przejściowej. Następnie wykazuje nawet dla tak niekorzystnego przykładu bardzo małe przesunięcie łuków c.

§ 52. Tyczenie krzywej przejściowej od luku kołowego.

Rys. 93 ³).

W punkcie P krzywej przejściowej poprowadźmy koło krzywizny CDPE o promieniu r. W dowolnym punkcie D poprowadźmy promień ODDto rzędną DD'=t, potrafimy w przybliżeniu wyznaczyć.

Mianowicie jest:

stąd (porównać wzór 21):

v -f- r—y -j- (r-j- £) cos (D O C).

£cos (DOC) =

l³

24(7

x³ , ₉ . (DOC\

6C + 2rsm(-2“)

XE//

’E

ÇI...

jv_

t.

Kys. 93.

Podstawmy w tern równaniu cos (DOC) = 1, a za sinus podstawmy arcus (tośmy obie strony nieco powiększyli), to otrzymamy: l³—4x³

24 C

. _ /arc CD\² l³—4æ³ . (CD)³

+2rr~H~— —

24(7

2r

czyli:

cznie:

(i-xy

6C

A gdy za l — x wstawimy luk PD, to otrzymamy ostate

(35)

(PD)

6C

to znaczy, że rzędna krzywej mierzona na prostopadłej do łuku kołowego równa się długości łuku, mierzonej od punktu styczności koła z krzywą, a podniesionej do trzeciej potęgi, zaś dzielonej przez 6C. Ten sam wynik otrzymalibyśmy dla rzędnej EL' po drugiej stronie punktu styczności. Zastosujemy powyższy wzór do punktu Q (rys. 92), położonego na wspólnym promieniu między punktami F i 6r, to jego rzędna tyczona od łuku DP, lub od łuku GF otrzyma wartości:

FQ==n&f' GQ=

a ponieważ podług wzoru (34) DF—FG, zatem:

(36)

Za łuk CD możemy podstawić x--—, zaś r=—, zatem:

u    l

₉~ [4Z³—12l²x-j-12lx³—4x³\,

ls— 4xs

x--

.1

24 C

2C

FQ=GQ = ~

§ 53. Łuk koszowy z krzywemi przejśeiowemi. Rys. 94.

Obliczenie i ustalenie łuku koszowego na gruncie nastąpi podług § 25. Następnie wytyczymy łuk Pjili, w M uskutecznimy równoległe przesunięcie stycznej MW₂ o wymiar c (wzór 316) do położenia M‘W'₂, a od tej stycznej wytyczymy łuk M'P'₂. W celu wytyczenia krzywych przejściowych na początku i końcu łuku, to znaczy około punktów P₁ i P'₂ nie wolno zmieniać położenia łuków, zastosujemy zatem przesunięcie stycznych podług § 47. Krzywą przejściową wspólną do obydwu łuków około M wytyczymy za pomocą rzędnych od tych łuków, podług § 52, po wyznaczeniu kątów e, (p₁ i <jP₂ (§ 51) i długości łuków DF i EG (rys. 92).

Możnaby wprawdzie i w tym wypadku zastosować przesunięcie łuków podług § 45, jednakże tylko kosztem zawiłych obliczeń, których nie przeprowadzamy.

,Wr.

.W,’

Ml— = rr

r>V'

-y»

o^>'

"V

Rys. 94.

Zupełnie analogicznie postąpimy, jeżeli łuk koszowy składa się z większej ilości łuków.

§ 54⁴ Zastosowanie krzywych przejściowych dla przypadku, gdy prosta między lukami jednakowo skierowanymi jest krótka, ftys. 95 i 96.

wtedy należy je

W §⁴47b omówiono przypadek, gdy prosta między łukami jednakowo skierowanymi jest przynajmniej tak długa, że dwie połówki obustronnych krzywych przejściowych, wraz z długościami V na niej się zmieszczą. Jeżeli jednakże ta prosta p jest krótszą, to obustronne krzywe przejściowe się przetną, a ciągle ze sobą połączyć ¹).

Niech przedstawia linia MP₁PiN te dwa łuki z prostą P₁P₂=jp. Pomyślmy sobie obydwa łuki podług § 45 należycie przesunięte i do nich wykreślone krzywe przejściowe    A₂B

krzywych takie punkty D₁ i

to te

które się przecinają. Obierzmy na

w których promienie krzywizny przechodzą przez A₂ i Ąlf

C

promienie q są równe, gdyż równają się —r~*

AxA₂

Łuk o promieniu

ę styczny w Dx do krzywej ma w środku długości AxA₂ styczną poziomą, to samo łuk w I)₁, zatem ten łuk jest obydwu krzywym wspólny, może być zatem włożony dla ciągłego przejścia z jednej krzywej do drugiej. Długość AXA₂ możemy wyznaczyć.

Na długość PXAX składa się wymiar t\ i połowa długości krzywej lx (ob. § 45), zatem:

A₁Pv=p—t'₁--podobnie P₁A₂=p—t'₂—

U

axa₂ =p-a₁p₂-p₁a₂ = t\ 4- V₂+

więc:

p (37)

0°i    .    ;

/'"Ä

/D,

A₂

A, Pj

Rys. 95.

Znając -4x^2 obliczymy

(7

niu q od stycznej PXP₂ wynosi

A-i As (AiA,y

odstęp łuku o promie-

24 C

(jako v dla l—AxA₂).

Jeżeli promień ^•₁7>r₂, to krzywa AiB₁ jest krótsza niż ^iaJ5₂. Otóż rozwiązanie będzie niemożliwe, skoro punkt Dx wypadnie po za punkt J3,, coby wtedy nastąpiło, gdyby było AiA₂^>lx. Zatem musi nastąpić:

czyli:    +

Widzieliśmy w § 48, że dla należytego przeprowadzenia przechyłki toru łuk włożony między dwie krzywe przejściowe nie powinien być krótszy niż pewien wymiar c, zatem mamy jeszcze drugi warunek do spełnienia, że AtAs^c, skąd:

a stąd:

(38)

CO

Jeżeliby długość AxAa wypadła mniejsza o A niż c (lub, co na jedno wyjdzie, p było o A większe niż wypada z wzoru 39), to możemy ją o ten wymiar A zwiększyć przez zastosowanie większej wartości O przy tej samej wartości k (ob. § 41), to znaczy

zwiększyć i na i'. AxAa zwiększy się o A, jeżeli    w Wz. (37)

Li

o A się zwiększy, to znaczy że, jeżeli l\ i l\ są długości zmienione stosownie do nowej wartości C, ma nastąpić równanie:

_ /i+/₂ I Ą

2 2 + *

Gdy lx—ihx, l₂—ih₂, to l'₁=i'h₁, l'₂=i'h2: zatem: i' (Äj-j- h₂) i (Aj—j—A₂)

a 0=0.

Aj-f-Ä.

Podług tej nowej wartości C', zaokrąglonej na najbliższą całkowitą większą liczbę, rozwiąże się powyższe zadanie. (Ob. nr. 25 zbioru przykładów).

To zadanie można także rozwiązać pod warunkiem, że łuki

~ iypr

Rys. 96.

mają pozostać na swojem miejscu. W tym celn pomyślmy sobie na rysunku 96 z tych samych środków zakreślone łuki promieniami i r₂-\-v₂, następnie poprowadźmy do nich wspólną styczną (podług § 47) i wyznaczmy punkty styczności Ps i Pi. Otrzymamy teraz nową prostą PsPi=pr a zadanie przeprowadzimy zupełnie tak jak dla rys. 95.

Z powyższego wynika, że należy przy projektowaniu unikać krótkich prostych między łukami jednakowo skierowanymi (Ob. także § 30). Ob. nr. 25 zbioru przykładów.

§ 55. Zastosowanie krzywej przejściowej na istniejących torach. Rys. 97 ⁵).

Włożenie krzywej przejściowej w istniejący tor powinno być tak uskutecznione, aby nie wymagało przekształcenia toru na znaczne długości. Przedewszystkiem więc pozostawimy łuk przeważnie

na swojem miejscu.

Włożenie krzywej przejściowej można w dwojaki sposób usku

tecznić.

a)    Sposobem podanym w § 47 przez przesunięcie stycznej wspólnej dwom po sobie następującym łukom. Wtedy największe przesunięcie w poprzek toru wynosi v, to znaczy na głównych kolejach najwyżej 022 m. Na takie przesunięcie zazwyczaj jeszcze szerokość podtorza wystarczy. W tym przypadku nastąpi jednakże przesunięcie toru na większe długości, zwłaszcza jeżeli prosta między lukami jest długa. Dla małych promieni podrzędnych kolei tego sposobu stosować nie można.

b)    Na znacznie mniejszą długość zredukuje się przesunięcie toru, jeżeli się zastosuje następujący powszechniej używany sposób:

V³’

<V

W dany łuk PM o promieniu r włożymy łuk MBC o mni e j-szym promieniu rx tak, aby odstęp punktu C od stycznej AMX

wynosił vx —

24r⁸i ⁵ Różnicę promieni r—rx

r.

oznaczmy literą d. Oprócz vx obliczymy dla promienia rx długość / = —

\R

ie,

1-a P

Mj

Rys. 97.

. Z warunku CCX = vx wynika położenie punktu styczności M. które znajdziemy, skoro wyznaczymy kąt POM — a Z trójkąta OOxOi wynika b — \00\—00\, a gdy OOx—d, zaś: OOi—r—rx—vx=d—vu to:

więc:

b = ^d²—(d—v₁)²= \vx (2d — vx)

Rzędna h=r(l—cosa), ale równa się także rx (1—cos a)-}-^,

i    vi    , vi

1—cos ß =    cosa = l--—

(40)

d'

(41)

Następnie z trójkąta OOxO% wynika:

sin a —

Ai A-

(42)

a gdy PMx = c = r sin a, to:

rb

(43)

Nareszcie gdy h = r(l — cos a), to podług (41):

(44)

h=^

d

Ilościami c i h jest wyznaczony punkt il/, zaś początek krzywej przejściowej dany jest przez AP = 1—a—b. Przesunięcie toru redukuje się na długość AM, a w bok o długość nie wiele większą niż

Czem mniejszy obierzemy promień rl5 tern większa długość AB krzywej przejściowej, tern bardziej zbliżają się punkty B i M, aż dla pewnej wartości rx spadną razem. Wtedy jest

W

ex—h=-±, a gdy ex=4vX) (ob.

wz.

21), to:

rvx

4vx —

a stąd graniczna wartość:

(45)

rx — r

Dla tej wartości rx uzyskuje się krótki układ, mimo to nie stosuje się jej w praktyce, gdyż przy tak wielkiej różnicy pro-

mieni, wynoszącei —, następuje w punkcie M zanadto raptowny

skok w przechyłce toru. Stosuje się więc znacznie mniejszą ró-

n—1

—=— r.

v r

O²

Przyjmijmy ogólnie d — ~, a więc rx Gdy tę wartość wprowadzimy do wzoru: vx = 24r³~’ t0’

ns

c*

jeżeli: y

ns

lub też:

24 («—l)³ ' r5 7r³

—=y

r

Wzór (40) przejdzie w następujący:

24 (w— l)⁸’

(46)

rS)- W"-'©

(47)

1» o

C¹

Dla obranej wartości n jest — zmienną ilością. Nazwijmy ją z, to wzory (46) i (47) przejdą w następujący:

Ilość

⁶=₂|/i|/2

r \ n

Vi

—= 3*»

— osiągnie swoją graniczną wartość, gdy:

— nyz²

(48)

— nyz*=: 0, to znaczy dla 2 = J/^

czną wartość osiągnie się dla:

a gdy 2 = -^, to tę grani

szyć.

'=V°V?

(49)

Dla mniejszych wartości r trzeba C lub n stosownie zmniej

Skoro vx i b obliczono, wtedy:

sin a —

«(7). «

= nb, h — nvx ¹).

(50)

V

§ 56. Zastosowanie wzorów § 55 6) dla d = 2q

W nowszych czasach weszło w użycie stosowanie w =20,

19

20’ ri 20r'

Dla tych wartości jest:

7    r

zatem d— ^

y=

20*

24.19»

= 0 0485979492,

7-W'

—lOyz²,

(48fl)

’) Ob. nr. 26 zbiorą przykładów.

Graniczną wartość wzoru (49) osiągnie się dla:

r=VcY^7

Dla różnych wartości C obliczono z tego wzoru następującą

tabelę:

(7=45000    36000 12000 6000 4500 3000 1500 757

r = 177’1    1584    91-5    64-7    560    45-7    32 4    22-9

Ponieważ w praktyce stosowane promienie są większe niż te, które wykazuje tabela, *zatem wzór (48a) ma nieograniczone zastosowanie dla w = 20.

Podług powyższych wzorów dla n=20 obliczono tabelę IX⁶).

§ 57. Wyokrąglenie załomów spadków. Rys. 98 a i b.

Przy zmianie spadku niwelety powstaje załom, który podług istniejących przepisów powinien być wyokrąglony łukiem koło-

a.

sin a = 20

H- •

= 206, h = 20vj

Ali

2-ê.

\r

VÀ

oc

■a+(J

\r

Rys. 98.

wym. Na drogach uskutecznia się to wyokrąglenie podług oka łu-kiem o niewielkim promieniu, lecz na kolejach żelaznych stosuje się promienie bardzo wielkie⁷), a w celu dokładnego ułożenia nawierzchni należy wyznaczyć długość, a więc styczną AC—CB = t i strzałkę CD—z łuku zaokrąglenia.

Jeżeli na rysunku a lub b w C następuje zmiana spadku z l:i = tanga na 1 : i, = tang/?, to podług § 7 jest:

a+d

t = r tang —^

W tym wzorze odnosi się znak górny do rysunku a, to jest do przypadku, gdy spadki po sobie następujące są jednakowo skierowane, zaś znak dolny do rysunku 6, gdy spadki są “odwrotne.    ,

Ponieważ kąty a i ß są małe, wprowadzimy w tym wzorze pewne uproszczenia. Naprzód napiszemy:

1 _

— rtang («+/?) —

r tang a + tang ß 2'1^ tang a tang ß

Następnie opuścimy w mianowniku iloczyn tangensów wobec jedności i otrzymamy prosty wzór:

'S

(tang ai tangß)\—

Jeżeliby spadki były dane w pro mille, więc s°/₀₀ i s^/00 wtedy trzeba je jeszcze przez 1000 podzielić, czyli:

25ÖÖ(s:FSl)

Strzałka CD —z będzie dostatecznie dokładnie wyznaczona jako rzędna łuku dla odciętej t. zatem:

l²

z = — (ob. wz. 3 w § 10).

Np. niech w zastosowaniu do rys. a dla głównej kolei będzie s = 20, Sj=12°/₀₀, r=5000m, to:

t = 25 (20—12) = 20 m, ż =

;20²

IÖÖÖÖ

=004>

A w zastosowaniu do rys. b podrzędnej kolei niech będzie s = 15,    12°/₀₀, r=1000m, to:

* = 0-5(15+ 12) = 13-5 m, a =

(13-5)

2000

= 0 091 m

Dla promienia r = 1000 są ilości t i z zestawione w tab. X.

¹

Ob. nr. 28 zbioru przykładów.

²

Ob. nr. 24 zbioru przykładów.

²) Ob. także Handb. d. Ing. Wisa. Flussbau, vierte Aufl. 1907, str. 100.

³

Podług dziełka: Helmert, Uebergangscurven.

⁴

Ob. Helmert : Uebergangscurven.

⁵

Na początku krzywej przejściowej należy umieścić literę A.

⁶

P. Leber w swojem dziele p. t. „Raccordements“ proponuje dla istniejących torów krzywą przejściową złożoną, któraby osiągnąwszy pewien promień krzywizny. < r, potem stale ten promień aż do wartości r zwiększała. Wtedy powstaną jednakże w przechyłce toru odwrotne spadki, których wadliwość wykazano w końcowej uwadze § 48.

⁷

*) Podług norm związku niemieckich zarządów kolejowych ma ten promień wynosić conajmniej 5000 m na głównych, a 1000 m na podrzędnych kolejach żelaznych.

§ 58. Zagadnienie.

Zmiana osi przy projektowaniu drugiego toru.

Jeżeli do istniejącego, powiedzmy lewego toru, ma się zaprojektować drugi, prawy tor, to mianowicie w terenie górzystym zachodzi nieraz potrzeba zmiany osi toru w ten sposób, że istniejący tor staje się prawym, a zaprojektować należy lewy tor. Następuje więc przesunięcie osi kolei dwutorowej o odstęp torów d, a połączenie pierwotnej osi z przesuniętą nastąpi za pomocą prostych i łuków.

I. Przypadek. Rysunek 99 i 100. Rozpatrzymy naprzód najogólniejszy przypadek, gdy tor istniejący jest w łuku, a połącze-

Oi9-.

M/

/

/ /

'' /V

TY)

/ 'Â

! ,Q

/ >• ■* -'-y    -<y

.. J

/-..J- r '

Of~

J>r₀

tor

>r

;G

■/A'/

HO

O,

Rys 99.

nie osi pierwotnej z przesuniętą, nastąpi za pomocą odwrot* nych łuków, w celu osiągnięcia najkrótszego układu. Niech na rys. 99 łuk ABCD przedstawia istniejący lewy tor, a NP tor projektowany, tak że łuk EF jest osią kolei dwutorowej, to w dalszym ciągu staje się istniejący tor CD prawym, zaś QS jest projektowanym lewym torem, gdy LM jest przesuniętą osią. Pierwotna oś El i przesunięta EM są połączone za pomocą prostej FG, łuku GH, prostej HI, łuku IK i prostej KL. Znaczenie prostych FGy HL KL, jakoteż ich długości są rozpatrywane w §§ 47 i 54.

Rjs. 100 przedstawia linię osi, wyjętą z rys. 99.

W celu możliwego skrócenia układu, należy przyjąć długości m, v, % prostych i promienia r dopuszczalnie najmniejsze. Dla promienia rx nie można przyjąć małej wartości, gdyż wypadnie kąt ß mniejszy, niż podług § 48 jest dopuszczalny, dla pomieszczenia krzywych przejściowych.

Do wyznaczenia pozostają kąty a i ß. Potrzebne dwa równania uzyskamy z rzutu zamkniętego wieloboku OFGHIKLO na dwa kierunki. Najkorzystniej [wypadną równania, jeżeli jako osie rzutów obierze się kierunek HI i do niego prostopadły. Rzut na kierunek HI:

u cos a-j-r sin a-j-v-j-rj sin /?-f-ux cos ß-\-(R — d) sin ß —B sin a — 0.

Oy

OlÇL,

V ''s

'*fc-

'.r,

<oi

P'er

Fu 'G

Rys. 100.

Rzut na prostopadłą do HI:

u sin a-j-r(l— cosaj-j-Mi sin/7-f-rj (1 — cos/?)-{--(- R cos a — (R—d) cos ß = 0.

Po należytem uporządkowaniu otrzymuje się równania:

(1)

{R—r) sin a—u cos a— (R—d-\-rx) sin ß—% cos ß—v — 0, w sin a-\-(R— r) cos aĄ-u-^ sin ^— (R—d-\-t\) cos/3-j-(r-|-r₁) = 0. (2)

Po wyrugowaniu z tych wzorów raz a, drugi raz ß, otrzyma się dla wyznaczenia tych kątów następujące równania¹):

sin (y—ß) =

(R—d-f-ri)²—(R—r)²—u²-\-u²₁-\-(r-\-rß)i-\-v²

cos y (3)

Eąt y jest określony wzorem:

tang y =

(R—d-^-r-ß) (r-j-Tj) — uxv v (.R— d+r^+u^r-i-ri)

(4)

sin (y—a) —

(R—d-\-rß)²—(R—r)²—u?-\-u² i—(r-j-fi)⁸—v²

cos y (5)

gdy kąt y jest określony wzorem:

(R—r) (r~l~r₁)-j-uv (R—r) v—u (r^-rß)

Podług tych wzorów obliczy się kąty a i ß.

Kontrolę obliczeń znajdziemy, jeżeli podług tych kątów obliczymy długość promienia R. Mianowicie z rzutu tego samego wie-loboku na promień OF wyznaczy się:

R — r— (r-j-fi) cos a -f- v sin a-{-% sin (a—ß)~{~

-f-(Ä—d-f-r₁)cos(a—ß) ²)

tangt/j =

(6)

(?)

ł) Przeprowadzenie cokolwiek zawiłe, tak się przedstawia:

Gdy się oznaczy: sina = a?, cosa = f/, sin/? = |, cosß=rj, R—r = a,u—b, R—d-\-rx—c, ut—e, v=v, (r-\-rx) =f, to równania (1) i (2) przejdą w następujące:

ax—by—cl⁻—erj — v — 0, bx-\-ay-\-eg—crj-\- f — 0.

Jeżeli się pomnoży r|tz górne równanie przez b, dolne przez a i odejmie, a następnie pomnoży górne przez a, a dalsze przez b i zesumuje, to się otrzyma dwa nowe równania:

ac(a²-|-&²) = £ (ac—be)-\-rj [ae-\-bc) —bf-\-av, y (a²-j-6²) = — £ (ae-\-bć)-\-,ri (ac—be) af — bv.

Po obustronnero kwadrowaniu i zesumowanin, zważywszy, że x³-\-yt = 1, otrzyma się ostatecznie równanie:

ri (cf—ev) — £ (ef-\-vc) = J/₂(c²—a²—6²—j—e²—{—/*■—|—v*).

cf—ev ef-ßvc’

Jeżeli w tem równaniu podstawi się tang cp

to się otrzyma :

sin (<p—ß)

c²— a²—&²-fe³-f-/²-f-i>²

2 (ef-\-vc)

— COSIjP,

z którego kąt ß się wyznaczy. Po wstawieniu napowrót wartości otrzyma się wzory 3 i 4. W podobny sposób doszło się do wzorów 5 i 6.

²) Ob. nr. 27 zbioru przykładów.

Tyczenie tras.

To zagadnienie z zastosowaniem odwrotnych łuków jest mo-źebne pod warunkiem, że /?f>0, to znaczy, gdy sin cp jest większe niż prawa strona wzoru (3). Jeżeli wtedy obie strony podzielimy przez cos qp, otrzymamy tang więc powyższy warunek wyrazi się także wzorem:

(R—d-\-rx) Q-j-n) — Ulv = v(E—d -f-rj) -f- ux{r -f r,)

który po uproszczeniu wyznaczy warunek, że:

(8)

2d (R—r) -d*-\-u*— (w,+ u)² = 0

rys. 99 był pra

na

Ten warunek zajdzie zawsze, jeżeli różnica R—r jest wielka i wtedy zastosowanie łuków odwrotnych powoduje skrócenie układu tern większe, im większa jest ta różnica. Jednakże trasa o łukach odwrotnych jest nieładna i dla ruchu niekorzystna. Dlatego jeżeli skrócenie układu nie jest znaczne, albo też na takiem skróceniu nie zależy, uskuteczni się przesunięcie osi za pomocą jednego łuku podług rys. I03a. To rozwiązanie nie ma zastosowania do przypadku, jeżeliby istniejący tor wym, a trzebaby zaprojektować lewy tor. (Ob. przyp. IW). Ob. nr. 27 zbioru przykładów.

77. Przypadek. Tory są proste. Rys. 101.

Jestto szczególny przypadek poprzedniego zagadnienia, gdy 7ü = oo. Kąt a jest wtedy równy kątowi ß, a wyznaczy się albo podług wzorów (5) i (6), jeżeli się w nie wstawi R = oo i u~u₁=O,

oc \

oś nowa

os pierwotna

Ô0,

Kys. 101.

albo z rzutu linii ABCD na kierunek d:

stąd:

d = r( 1 — cos a) -f-r sin a-f- rx (1 — cos a), (r-J-r^cosa—v sin a — r-f-r,—d

Rys. 102.

Łuk NA, prosta AM. Wtedy dany łuk o promieniu R przedłuży się (AB), zresztą rozwiąże się zagadnienie podług poprzedniego, gdy za r wstawi się R.

b) Jeżeli istniejący tor jest prawym torem, to jest to przypadek identyczny z przypadkiem V a).

IV. Przypadek, a) Tor istniejący lewy jest w łuku. Rysu

nek 103 a.

Podstawmy: tang(p

r-\-rx

, a otrzymamy: r-\-rt—d

sin (<p—a) —

wzór do obliczenia kąta a.

W celu otrzymania krótkiego układu, obierze się v dopuszczalnie najmniejsze, natomiast r i nie zbyt małe, aby zadosyć uczynić warunkowi § 48.

Jako kontrolę obliczymy d z pierwszego równania, które w tym celu tak napiszemy:

cosęp

(9)

d—2 (r-j-rj) sin² -f-

v sin a

(10) i)

III. Przypadek, a) Tor istniejący lewy przechodzi z łuku w prostą. Rys. 102.

Oq

-oc'.

os nowa

/C

^ofn.

ri

-u ---1

\ oc

Przypadek ten sam, co pod L, lecz rozwiązanie ma być uskutecznioue za pomocą tylko jednego łuku. Obierze się małe długości dla u i r, a wyznaczy się kąt a i długość v stycznej do łuku przesuniętej osi. To rozwiązanie jest zawsze możliwe, tylko dla małej długości r może wypaść kąt a mniejszy, niż po-§ 48 jest dopuszczalny.

Równanie pod I. podane możemy wprost zastosować, gdy podstawimy rx= 0, ß = 0 i %=(). Równania (1) i (2) przejdą w następujące:

tangpgp

(R—r) sin a—u cos a—v = 0 (.R—r) cos a-j-u sin a = K—r—d Gdy się podstawi we wzorze (12) kąt pomocniczy gp, którego

JJ««. I*

-, to się otrzyma wzór:

U

(U)

(12)

O?-.

'Sf

i?

yo

0,9'.

wolna

sin (gp-j-a)

Rys. 108«.

R—r—d

cos gp,

(13)

z którego wyznaczy się kąt a. Długość v obliczy się z wzoru (11). Jeżeli równanie (8) zrównamy ze zerem, co nastąpi właśnie dla ß=0, to możemy z tego wzoru wyznaczyć:

(14)

v=± y2d(R-r)-\-u*—<P,

które obliczy się dla kontroli rachunku.

Jeżeli się wykona rzut wieloboku OABCDO na kierunek O A, to się otrzyma równanie:

R=r-\- (R—d—r) cos a -j-u sin a Jeżeli od tego równania odejmie się równanie (12), otrzy

ma się:

{v—u) sin a—d (1 -f~ cos a) — 0.

*3

lub:

a stąd:

a

(w—w) sin -g- cos —

. a tang y =

|__dc0S2 |-1=0,

(15)

Po wyznaczeniu ilości v z poprzednich wzorów, można z wzoru (15) dla kontroli obliczyć kąt a¹).

b) Istniejący prawy tor jest w luku. Rys. 1036.

Z rzutów wieloboku AB CD O na kierunki promieni O A i OD uzyska się dwa równania:

R = r(l- cos a)-}-«? sin a-{-(R-{-d) cos a, RĄ-d = r( 1 — cosa)-|-wsin a-j-Rcos a Napiszmy je w tej formie:

(R—r) (1 — cos a) — d cos a—v sin a — 0, (R—r)(l — cos a)-\-d—wsin a = 0

(a)

(&)

°,P

\*.

\V

O,

'Px

' <T

o°

---r

co A.

103&.

Z tych równań wynika, źe u będzie zawsze większe niż v. Dlatego obierzemy v i r w wartości dopuszczalnie najmniejszej, a z powyższych równań wyznaczymy u i a.

Jeżeli się napisze równania (a) w tej formie:

i podstawi: tang (p =

(R -j-d—r) cos a-j-v sin a— (R—r) = 0 R-\-d—r

—---, to się otrzyma:

cos (p

, R—r

sm(g>-f «) = —— wzór dla wyznaczenia kąta a. Z równania (6) wyznaczy się u.

Jeżeli się odejmie równanie (a) od (b), to się otrzyma ró

wnanie:

d (1 -f- cos a) — (u—v) sin a — 0,

a gdy: l-J-cosa = 2cos²^-||-j, sin a = 2 sin cos to się wyznaczy:

tangT =

Ten wzór należy obliczyć dla kontroli.

e 05

wstawi się w wzór (a)

Jeżeli powyższą wartość dla tang - -lub (b\ to się otrzyma wzór:

ut—v*—d[2R—2r-\-d\, lub: u—\2d(R—r)-\-v²-\-cP-z którego dla kontroli obliczy się u.

V. Przypadek, a) Przesunięcie osi ma się uskutecznić, gdy lewy tor przechodzi z prostej do luku. Rysunek 104. Prosta MA, luk AB.

Wzory potrzebne do rozwiązania tego zagadnienia uzyskamy przez rzut wieloboku EDCBAE na kierunek MA i na prostopadłą do tego kierunku.

. Rzut na MA:

u-\-R sin a—Rt sin a—v cos a—d sin a = 0.

Rzut na prostopadłą do MA:

R( 1—cos a)-f-^cos a—v sina—Rl (1 — cosa) = 0.

Najkrótszy układ otrzyma się, jeżeli się obierze Rx i v, a wyznaczy z pierwszego równania:

a z drugiego równania kąt a. To równanie w tej formie: {Rt—R-\-d) cos a—v sin a=Rx—R,

Rx—R-\-d

wyznaczy, gdy tang cp

, wzór:

■ <    ^ Rx—R

sin (cp—a)= ---

v

COS (p

(17)

dla obliczenia kąta a.

Wzór (14) ma i w tym przypadku zastosowanie. Jeżeli z tego wzoru wyznaczymy:

u=± \2d{Rx—

to się obliczy u dla kontroli rachunku.

(18)

jS \

0<R

R;

\

oV<C

oś pierwotną

Rys. 104.

Co do długości v, którą obrać należy, to jeżeliby się przyjęło Rx równe, lub mało różniące się od iü, toby można podstawić t> = 0, lecz wtedy wypada wielki kąt a i znaczna długość układu. Dla tego należy obrać nie wielką długość v, podług wskazówek § 54, a wtedy jest korzystne obrać Rx równe, lub trochę większe niż R¹). Natomiast nie może być Rx obrane znacznie

mniejsze niż R, bo u wypadnie urojone. Mianowieie wynika z wzoru (18), że u otrzyma wartość rzeczywistą, j eżeli będzie:

. Np. dla 0 = 30, d — 4, ma być

R—R^

_ w²-f- d²

2d

916

R—R₁ < -5- < 114-5 m.

b) Istniejący prawy tor przechodzi z prostej w łuk⁻Jestto przypadek przedstawiony na rys. 1036, jeżeli łuk przed punktem A przejdzie w prostą. Rozwiązanie zagadnienia podług IV6.

Zbiór przykładów.

Na szeregu rachowanych przykładów podano uczącemu się, a jeszcze niedostatecznie z przedmiotem obznajomionemu, możność ćwiczenia w rozwiązywaniu zagadnień dotyczących tyczenia tras. Wątpliwe przypadki przorobione w przykładach, posłużą do głębszego wniknięcia w niektóre zagadnienia, przedstawione w tekście części I.

Rachowanie przykładów można uskutecznić albo w całości za pomocą tabel podanych w II częśei, jak to wskazane na str. 7 części II, alboteż posiłkując się logarytmami, co zazwyczaj szybciej prowadzi do celu.

Następne przykłady rachowano logarytmami siedmiocyfrowemi.

Przykład 1. Do § 2 punkt 3. Rys. 3.

Zmierzono: a =180 m,

/Î = 94°17'40". Zatem: «—ß =—17°53'30", sin(a—ß) jest ujemne.

b = 230 w,

c=80 m,

a = 76024'10",

lg sin a lg sin/?

lg sin (a—/?) = 9‘4874469 lg c = 1-9030900

lg c = 1-9030900

lg sin « = 9-9876539—10 lg sin ß = 9-9987790—ltf lg sin « = 9-9876539—10

i-9018690 c. sin/? = 79 7754

Ig a = 2-2552725 Ig b =2 3617278 lg c = 1-9030900

1-8907439 c. sin a = 77’7578

Iga = 2-2552725 lg sin (a—ß) = 9‘4874469—10 1*7427194

= 9 9876539 = 9-9987790

lg a = 2-2552725 2-2429264

a. «in « = 174-9549 lg b = 2-3617278 lg sin/? =9-9987790-10 2 3605078

lg 5 = 2-3617278 lg sin (a—ß) = 9 4874469—10 1-8491747 —

a. sin (a—/?) = 55 2993 77-7578 — b. sin (a -/?) = -f 70-6602

C. sin =

b. sin (a —/?) = 70'6602 148-4180, licznik dla x ; log licznik = 2-1714866

b. sin ß = 229-3543

c. sin ß =    79-7754

a. sin (a—ß) = —55-2993

a.    sin a = 174'9549

b.    sin p = 229-3543 lg a = 2-2552725

lg licznik = 2 1714866 4-4267591 lg mian. = 2'6067136 lg« = 1-8200455 a: = 66 0763

24-4761, licznik dla y; log licznik = 1-3887422

404-3092, mianownik; log mian. = 26067136

lg 5 = 2-3617278 lg licznik = 1-3887422 3-7504700 lg mian. = 2-6067136 1 g y = 1-1437564 y = 13-9238

Kontrola: x-\-y—c. x = 660763 y = 139238 x-\-y = 80-0001 zgodnie ze zmierzoną długością c.

Przykład 2. Do § 2 punkt 3. Rys. 4.

" Zmierzono: 4 = 120 m, a = 83°43'30", ß = 47⁰14'10", y = 56e27'20", 8 = 64°31'20". Zatem a+ß = 130°57'40", y+3 = 120o58'40". sin (a+ß) = sin 49o2'20", sin (y+3) = sin 59°1'20".

Ig sin 3 = 9 9555686-10 lg sin y = 9 9208834—10 lg sin (a+ß) = 9-8780359-10 lg liczn. =07544879—1

lg liczn. = 0-7544879—1 lg mian. =0 7963465—1 lg tang² (j, = 0 9581414—1

tang² p 1+tang* p’

lg tang² p = 0-9581414—1 lg (l+tang*p=0 2806048 lg sin² p = 0-6775366—1 lg 4 = 2-0791812 lg dt = 1-7567178 dl =57-1107

lg sin a= 9-9973902 lg sin ß =9*8657895 lg sin (y+8) = 9 9331668 lg mian. =07963465—1

tang² p = 0‘908116 1+tang² p = 1-908116 lg ( 1+tang²p = 0-2806048

Ponieważ sin² p =

cos² p

1+tang² p’

więc :

lg 1 = 0 0000000

lg (1+tang² p) =0*2806048

lg cos² p = 07193952—1 lg 4 =20791812 lg d₂ = 1-7985764 d₂ = 62-8893

Kontrola : cZ,+cL = 4 57-1107 62-8893 120-0000 = 4

Przykład 3. Do § 2 punkt 4. Rys. 5.

-Zmierzono kąty: 1 = 38*12'00" 2= 77®43'10" 3 = 110° 6'10" 8°53'40" 5= ll°26/20//

Ponieważ żąda się także wyznaczenia długości AB, więc zmierzono c = 360m.

Sumy kątów :

6    = 96° 4'00

7    = 81°12/30 8= 27o 5'10

180°— (1—J-2) = 64#4'50" 180»-(3+4+5) = 49°33'50" 180°—(7+8) = 71»42'20" 180°—(4+5+6) = 63036' 0''

(1—f-2) = 115°55'10",

(3+4+5) = 130o26'10",

(7+8) = 108°17'40",

(4+5+6) = 116024' 0",

(2+3+4—180° = 196°43'0"—180° = 16°43'0" (2+3+4+Ö+6+7) - 360° = 25°25'50" (5+6+7)-180« ₌ 188°42'50"Ł—180» = 8°42'50"

Naprzód obliczy się długości a i 6. Z wzoru dla c:

_ sin (4+5+6) sin 8

sin 4 gin (7—{—8)

lg c = 2-5563025

Ig sin (4+5+6) = 9-9521683-10 lg sin 8 = 9-6583254-10 21667962 9 1667253-10 lg 6 = 3-0000709

lg sin 4 = 9"1892505—10 lg sin (7-|-8) = 9 9774748-10 >1667253-10

zatem 6 =1000 164. Teraz obliczy się a\

2-2514006

9-6727341—10

lg 0=3 0000709 lg sin 5 =9 2973722—10 lg sin (1+2) = 9 9539575-10

lg sin (3+4+5) = 9-8814587-10 lg sin (1) = 9-7912754-10 6-6727341-10

lg « = 2-5786665

więc a = 379-024. Teraz przystąpi się do obliczenia xB i yB:

lg 6 = 30000709

lg b = 3 0000709

lg cos (2 do 4-180g) = 9 9812471—10 lgsin(2 do 4-180°) = 9-4588480-10

2 9813180

2-4589189

b. cos (2 do 4—180°) = 957-895 lgc = 2-5563025

b sin (2 do 4—180°) = 2S7 686 lgc = 2-5563025

lg cos (2 do 7—360°) = 9 9557389—10 lg sin (2 do 7—360°) = 9-6328791-10

21891816

2-5120414

c . cos (2 do 7—360°) = 325 118 c sin (2 do 7-360°) = 154 590

yB\

Zatem xB:

379-024 957-895 325 118

y* =

287-686

154590

442276

xB = 1662-037

\gyB = 2-6456934 \gxB= 3-2206406 igtanga;= 94250528—10 Kąt a; = 14°54'4 9"

Jeżeli teraz postąpimy symetrycznie odwrotnie i obrawszy w B początek układu współrzędnych, a w ßß oś odciętych, to dla punktu A znajdzie się:

xIt— x/ + 6 . cos (5+6+7—180°) yn= b . sin (5+6+6+7—180°)

XA = xn+acos (2+3+4+5+6+7-360°) y a = y n= a sin (2+3+4+Ö+6+7—360°)

lg b = 3-0000709

lg cos (5 do 7-180°) =9-9949579-10 29950288

xB = ß

yB — o

XI = c,

y 1 = 0

lg 6 = 3 0000709

lg sin (5 do 7-180°) = 9-1804139—10

2-1804848

6. cos (5 do 7—180°) = 988-619 6. sin(5 do 7—180°) = 151-525

2-5344054

2-2115456

Iga = 2-5786665

lg cos (2 do 7-360°) = 9-9557389-10

Iga = 2-5786665

lg sio (2 do 7—360°) = 9-6328791—10

a . cos

(2 do 7—360») = 342 299

a . sin (2 do 7-360°) = 162 759

Zatem : xA '■

lg =2-4973223

\g xA = S 2281226 lg tang «/= 9 2691997 —10 Kat y=10°31'451"

Suma x-\-y = 25°25'50// zupełnie zgodnie ze sumą (2 do 7—360°) podaną

360*000 988-619 342-299 xa —1690918

Va —

151-525

162759

314-284

powyżej.

Długość AB obliczy się z wzorów :

AB-

xB

sin x cos x

albo:

AB=Vä-

Xa

sin y cos y

W celu kontroli obliczymy ĄB podług yB i y a '■

lg y a = 2-4973223 lg sin y= 9 2618253—10 AB = 3-2354970 AB = 1719 876

lg )/B = 2'6456934 lg sin sc = 9 4101962—10 lg AB = 3-2354972 AB = 1719-876

Zatem zgodność zupełna.

Przykład 4. Do § 2 punkt 7. Rys. 8.

Zmierzono cp = 179°2'0". Długość a = 230 i 5=350 m zmierzono z dokładnością ± 1 m. W celu przekonania się jak wielki wpływ ma ten błąd na ostateczny wynik, obliczymy CC' raz podług a = 229 i 5 = 349, drugi raz podług a = 231 i 5 = 351.

lg 229 = 2-3598355 lg 349 = 2-5428254.

Ig*sin cp = 8-2271335—10 31297044 lg 578 = 2-7619278 0 3678666

CC = 2-333 m

lg 231 = 2-3636120 lg 351 = 2-5453071 lg sin cp = 8 2271335-10 -    31360526

lg 582 = 2 7641761 0 3718765 CC = 2-354

Różnica wynosi zatem 21 mm; jest ona dla zagadnień tyczenia tras przeważnie dopuszczalna. Dla subtelniejszych zagadnień należałoby a i 5 dokładniej zmierzyć.

Przykład 5. Do § 6. Rys. 14 i do § 9.

Zmierzono: <2 = 468 12 m, y = 132°42,30//, 5= 157°33'10", zatem: g =T 8—180® = 110°16,14//.

lg d = 2-6703572 lg sin y=9 8661786 —10 2 5365358

lg sin ß = 9-9722603-10 lg c = 2 5642755 c = 366'670

lg<2=;2-6703572 lg sin 5 = 9-5818726—10 22522298

lgsmß = 99722603-10 lg 5 = 2-2799695 5 = 190533

W celu kontroli obliczymy d z trójkąta AWAX\ d= \ó²+ c² — 2be cos ß Ig 2 = 0-3010300 Ig 6 = 2-2799695 Ig c = 2-5642755 lg-«0B ß = 9-5394512-10 4-6847262

26c.coBß = —48386-72

Ig 6* = 4-5599390 6’ = 36302-71 lg c² = 5-1285510 c² = 134447 00

36302-71 134447-00 4-48386-72 219136-43 = rf2 lgd² = 5-3407146 lgd = 2-6703573 d = 468-12 m

Wynik zupełnie zgodny z pomiarem.

Inną kontrolę można przeprowadzić podług § 9. Mianowicie jest — S

- = 55<>7'50", ^

— (12»25'20"), 6—c = - 176-137. Ig (6-c) = 2-2458506

lg cos

= 9-7571746-10

2 0030252

\gd = 2-6703572

lg sin ^ = 9-3826691—10 Ł 2-0030263

= 100-699

(b— c) cos -Zatem i tu zgodność zupełna.

= 100-699

Przykład 6. Do § 6. Rys. 15.

4> = 28°13'0", cp₁=20°16/40,/, 4»t=18°24,60/%

Zmierzono: q> = 42⁰6'20", zatem : ß = 180°- 70°19'20" = 109°40'40".

W celu wyznaczenia długości d zmierzono a = 76‘03»i. Znajomość długości a, jest tylko dla kontroli pożądana. Z powyższych danych wyznaczymy:

cp4-cß₁=60<>31/10//

cp₁+cß = 48°29'40"

Ig a = 1-8809850 lg sin (<H4,) =9-9397801—10 1-8207651

lg sin tp,= 9-4995207-10 lg d= 2-3212444

Obliczenie b i c i kontrolę, przeprowadzi się jak w 5 przykładzie.

Przykład 7. Do § 6. Rys. 16. To zagadnienie jest identyczne z zagadnieniem w § 2 punkt 4, tylko przeprowadzenie jest odmienne. Na podstawie danych, lub wyznaczonych ilości w 3 przykładzie, urobimy następujące ilości:

y = 180—(1+a?)

8 = 180- (8+4

s =(2+3+ 4)-180°= 16°43' 0" cp = (5+6+7) - 180° =    8°42'50"

(równe Xb (z prz. 3) = 1662 037, yax (równe yB) = 442⁻276

v (równe y) = 10°31 '45"

lg- (2^4,) = 2*5563025

lg cos p = 9-9851434-10 lg cos (p-s) = 9-9997820—10 lg cos v = 9-9926212-10 2-5638099

= 126°53'55" = 142023' 5"

d = 209-529

Al = a= 379024 12 =;& =1000-164 t2At = c = 360000

p(równe x z prz. 3) = 14°54/5",

lg (12) = 30000709

lg (^1) =2-5786665

2-9998529

2-5489237

ł-»

CC

■ (.41) cos p = 366 277

(12) cos (p—s) = 999"661

(2At) cos v = 353 935 Nareszcie    == 366*277—{—999*661—}—353*935 = 1719 873 zgodnie z długością

AB z przykładu 3.

ß = y+8-180⁰ = 89°17'0"

Przykład 8. Do § 7. Rys. 17.

Przykład przeprowadzony na stronie 5 i 6 części II, wyłącznie za pomocą

tabeli II.

Przykład 9. Do § 7. Rys. 18.

Dane: r = 400 m, a =54⁰12'40", punkty P i Pt. Zmierzono: 2a=476"26^

p= lö°17'20", v = 8ü12'20", zatem: p-fv = 23e29/40'/, y — p = ll°49'0//.

Ig 2a = 2"6778441

lg sin v = 91544998—10 1-8323439

lg 2r = 2-9030900

Ig sin

( ->r

9-3112892—10

22143792

2r sin

(i-p

163-825

lg sin (p4-v)=: 9-6006028—10 2^2317411

170-506

2a sin v

sin (p-f- v)

Zatem x — 163"825—170-506 = — 6-681.

Ponieważ x wypadło ujemne, więc punkt C leży na zewnątrz łuku. Kontrola na miejscu przez zmierzenie np. kąta PMPV który podług §

CL

ma się równać 180° ——-.

Ł

Przykład 10. Do § 10 a. Rys. 21.

Dla promienia 520 m, dla którego w tabeli III niema podanych wartości na y, chcemy obliczyć rzędne. Podług tabeli na stronie 15 możomy rachować rzędne podług przybliżonego wzoru y = x² : 2r, jeżeli ich długość nie przekroczy około 3"2 m ; zatem dla x =10 do 50 m obliczy się y podług przybliżonego wzoru, zaś od #=60 począwszy zastosuje się wzór dokładny: y = r—|/r²— #².

Wzór dokładny:

Wzór przybliżony:

H O O O O O ▼h TC lO

0096

0-385

0-865

1- 538

2- 404

Przykład 11. Do § 10 b. Rys. 23 i § lic.

Między głównymi punktami M i N łuku o promieniu r = 600 m naleźy wytyczyć 10 punktów łuku od cięciwy MN.

Zmierzono 2ć2 = 118-64 m.

Dla 10 punktów jest w zastosowaniu do wzoru 8:

n = 0" 1    0"2    03    0"4    0 5 razy (2d)

6=0-9    0-8    0-7    0-6    0-5 razy (2d)

ab = 0-09    016    0-21    0-24    0 25 razy (2d)*

Zatem dla a = 11*86    23*73    35*59    47*46    59*32 m

jest z =1*056    1*877    2 547    2*915    2*932 m

Ponieważ rzędne nia przekraczają wartości podanych w tabelce na stronie 15, przeto ich obliczenie na podstawie wzoru 8 jest dopuszczalne.

a d sin — = —

Jeżeliby długość łuku MN była żądana, to trzeba wyznaczyć kąt a z wzoru 5932

600 '

lg d = 1*7732011 Igr = 2*7781513 lggsin -|- = 8*9950498-10

zatem :

-|- = 5⁹40'26", a=ll°20,52//

Podług I tabeli jest arc a = 0*1980561, więc długość łuku rare a = 118*834 m. J

Można długość łuku także wyznaczyć podług § lic :

(ayf 59*2 V

^ r J ^ 600 )

0*0097746;

6~

œ-

0*0016291, wiec :

długość łuku = 118*64.1*0016291 = 118*833 m.

Przykład 12. Do § 14. Rys. 38.

Łuk tyczono z A i B o długości st= 148 64 i ä₂= 180*00 m, przyczem znaleziono odchyłkę d = 84 mm. Więc A \    = 0*2556 mm, zaś Jt= 148*64 ,

.0*2556 = 38 mm, d₂= 180.0 2556 = 46 mm. d₁-f-d₂= 84 mm.

Poszczególne punkty, mające od A lub B odległość :

20

60    80    100    120    140    160 m

należy przesunąć o

Przykład 13. Do § 15. Rys. 40. Dane punkty A i B i styczna w A.

Dla stosownie obranego punktu C zmierzono: 5 = 478*15, c = 386*84 m. g = 135°2/40", zatem 180—e = 44°57/20"; również zmierzono y = 29°48,20'/.

15    20    26    31    36    41 mm

Obliczenie długości 2a : lg 5 = 2*6795642 lg 5* = 5*3591284 5» = 228627*47

igc = 2*5876314 Igc* = 5*1750628 c² = 149645*21

lg 2 = 0*3010300 lg 5 = 2*6795642 lg c = 2*5875314 lg cose = 9*8498216-10 lg 25c cos s = 5*4179472

Zatem wyraz pod pierwiastkiem :

228627*47 149645*21 261786*42 640059*10

Logarytm pierwiastka: 2*9031101 =lg2a, zatem 2a=800*037.

2bc cos e = — 261786*42

logarytm tego wyrazu = 5*8062201.

Obliczenie (i i v:

lg c = 2*5875314 lg sin s = 9 8491479—10 ~ 2 4366793

lg 2« = 2 9031101 lgsin (1 = 9*5335692—10

lg 5 = 2*6795642 lg sin e = 9 8491479 —10 2*5287121

lg 2« = 2 9031101 lg sin v = 9*6256020—10

4°49'37-7"

[i—19°58 '37-7" v = 24°58'43-3"

y+p = -5- = 49°46'57-7"

91=180—= i30«13/2-3,/

Obliczenie długości CD i CE: lg& = 2-6795642 lg sin (e—cp) = 8-9250533—10 11-6046175^10 lg sin <p= 9-8828666-10 lgCZ> = 1-7217509 CD = 52-693

e—9 = fi-f9=150oil/400" v-f-9 = 155«ll'45-6"

lg c = 2 5875314 lg sin (e—<p) = 8 9200533—10 11-5125847-^10 lgsin9= 9-8828666—10 lg CE = 1-6297181 CE= 42-630

Obliczenie r :*

lg a = 2-6020801

lg sin |-=9-8828666-10

lgr = 2-7192135

Kontrola :

lgr = 2-7192135 lg sin (v+9) = 9‘6227480—10 lg 2 = 0-3010300 2-6429915

lg »- = 2-7192135 lg sin ((i+9) = 9-6964071-10 lg 2 = 0-3010300 2-7166506

2r sin ((1+9) = 520 776

2»*sin (v+9) = 439-533 r=523 858 m, zaś b-\-CE= 520-780,

Co do tyczenia tym promieniem ob. tekst do tabeli IV.

zaś c+CD = 439-533

Przykład 14. Do § 17a. Rys. 44.

Zmierzono: AM= 126*42, M+=8S7 53, T=96⁰42,10", d = 85°53'20". Więc ß = +2°35'30", AM+MA^ d = 963*95, 180—r = 83<>17,50,/.

Obliczenie p i q: lg AM= 2-1018158 lg sin y =9*9970214—10 Igi? = 2-0988372 pr—125 556

Obliczenie promienia rt: lg|+g = 2-5103594

= 8-3543892-10

lg .¥+=2-9230004 lg sin 8 = 9*9988811 — 10 lg 2 = 2 9218815 2 = 835-375

p+2 = 960931 lgM = 5 0207187 lg \pq — 2-5103594

lg sin

lg ? = 0-3010300 1 1657786

lg (H-?) = 2 9826923 _ 0-1830863-2 liczba = 0-0152436

lg nawiasu = 0 0065703 Jg(jP+2) =2-9826923 29892626 lg 2 = 0-3010300

= 9-9997780-10

Ig cos¹ 2 ^

lg r,=2-6884546 »-,= 488039,

2^ = 976078 q = 835-375 2^-2=140-703 lg (2r,—q) = 2-1483034 lg ₂= 2-9218815 5 0701849 lgxl.= 2 5350925

*, = 342-841

Obliczenie x i xt:

2r,= 976-078 j» = 125556 2^ — ^ = 850-522 ig(2r₁-p) =2-9296855 lg p = 20988372 *5-0285227 lg x = 2-5142614

« = 326-784 AF=x—AN= 312-028,

Obliczenie AN i A,1V,: lg AM= 2-1018158 lg cos y = 9"0671411—10

1-1689569 AN— +14-756 lgMAt= 2-9230004 lg cos 0=8-8554639—10 1-7784643

AtNt = — 60-043 A₁Fl=xl—AtNt— 402-884.

Kontrola, jak w tekście podano. Ta przeprowadzi się jednakże inną prost-

rzutu wieloboku PAAlPlO na kierunek

sza kontrolę, równaniem uzyskanem promienia PO:

r^l+cos ß) = d cos (y—90°)-f-^i/’i sin ß.

r, (1 + cosß) = 2r₁ cos²

lg 2 =0-3010300 lg r,=2 6884546

d cos (y—90°): lg d = 2-9840545 Ig cos (y — 90°) = 9-9970214—10 2'9810759

ig cos² —

= 9-9997780—10

liczba = 957361

29892626

+P, sin ß:.

lg+P,== 2-6051800 lg sin ß = 8-6553084 -10 1 2604884 liczba = 18218

957-361+18-218 = 975*579

r,(l+cosß) = 975-580 Przykład 15. Do § 19«. Rys. 48«.

Dane: r = 600, r₇=450 m. Obrano stosowne punkty M i M, i zmierzono: i =1436-27 m, a = 41°36'20", a, = 33⁰24'10".

Obliczenie c i c, :

lg r = 27781513 lgsina = 9-8221672-10

2-6003185

c = 398-399

Igr, = 2-6582125 lg sin at = 9-7407740—10 2-3939865

c, = 247-734

Obliczenie p i p^ :

lg r=277815l3 lg 2 = 0 3010300

lg sin    = 9 5504146—10

lg sin — =9-5504146 — 10 21860105

lg ^=2-6532125 lg 2=0-3010300

lg sin -^ = 9-4584622-10

U

lg sin ^=9-4584622-10 ¹    1-8711669

Tyczenie tras.

Przykład 16. Do § 26. Rys. 57.

Łuk koszowy o najmniejszej różnicy promieni.

Dane: punkty Pl i Fv Zmierzono: 4= 68624, 4 = 507 16, kąt ß = 82°16'30". Zatem lg sin ß = 9*9960406,.lg cos ß = 9-1284593, cos ß =0-134419-

Ig 4 = 2-7051450 lg 4 = 2-8364760 0-8686690-1 4:4 =0 739042 cos ß=0-13*419 0 604623

lg = 0-7814847—1 lg sin ß = 9 9960406 —10 lg cotg a₂ = 9-7854441 — 10

^=19°33/26-8/'

==29 18 18-2

—c — Cj = 790-147

r-j-rj —p—pv = 824-310, lg {r+r^-p—pt) = 2-9160906 lg(Z—c— c₂) = 2-8977079 lg tang <\> = 10-0183827—10 lg (r+rj = 30211893 Ig cos <1> = 9 8400991 -10 2-8612884 lg [l-e-ct) = 2 8977079 lg sin (cp-f-sP) = 9-9635805—10 l₀ z pierwszego wzoru; lg (r+rŁ) = 3-0211893 lg sin cp = 9-5473486 —10 2-5685379

14=74-330 cjj = 46⁰12,44"l// lg cos 4> = 9-8400991—10

p = 151-360

c|j—}—cp = 66°51'431 " 4> = 46°12'44-1" 9 = 20°38'59-0"

liczba = 370"287 l—c—Ci =700-147 419-860

log = 2-6231045 lg cos 9 = 9-9711616—10 lg lg = 2"6519429 4 = 448-686

Ig z drugiego wzoru : Jg 2 = 0 3010300 Ig (r+rj =30211893

= 9-2534085-10

lg sin

lg sin

<ł>

= 9 2534(i85-10

1-8290363

liczba = 67-458 p-f-p₁ =225 690 158-232

lg =2-1992943 lg sin 9 =9-5473486— 10 lg l₀ = 2-6519457;

4 = 448689

Wyznaczenie kątów 04 i a₂: lg tt = 2-8364760 lg 4 = 2-7051450 0-1313310 <,:*,= 1353103 cos ß = o-l 34419 1-218684 log = 0-0858911 lg sin ß= 9-9960406-10 lg cotg ^ = 10 0898505— Ï0 = 39° 6'53-7" a₂ = 58 36 36'4 ccj—f-oc₂ = 97 43 30-f równe 180° — ß

-- = 41 8 150 2

Obliczenie ilości d, r, i r₂:

lg t₂ = 2 70ôl 450 lg sin ß = 9-9960406—10 >7011856“ lg sin«, =9 7999453-10 lg 2d = 29012408 2^ = 796-60 d = 398-30

lgd = 2-6002103

lg sin -§ = 9-6897166 -10 2-2899219

lg sin — = 9 5247227—10

lg cos

to

~2

= 9-8768717—10

lg r, = 2-8883325 n =773-2724

lgd= 2-6002103

lg sin ■§•= 9-6247227-10 2'1249.130

lg sin —= 9 6897166-10 2

' lg cos -^- = 9 8768717—10

⁶ 2-

lg r₂ = 2-6583447

r₂’= 361-6968

Są to promienie o najmniejszej różnicy.

Kontrolę rachunku przeprowadzi się np. podług 2 równania w § 25.

Igr, =28883325 lg sin ß = 9'99604-O()— 10 —2T8Ï373T

r, sin ß = 766-254

Ig f,= 2-8364760 lg cos p = 9 1284593 10 1-9649353

#, cobJ = 92-243

lg (r, raN = 2"6144496 lg sin a₂= 9-9312762-10

2-5457258

(r,—r₂) sin a₂ = 351*334.

Zatem 766'254-(-92-243—351-389 = 507-158, zgodnie z wartością t₂. Przykład 17. Do § 29«. Rys. 60 i 61.

Dla ćwiczenia obierzemy przypadek o tyle odmienny od tego, który przedstawia rys. 60, że przyjmiemy r₂ mniejsze niż r, i r₃, a kąt ß > 9 >°. Wtedy wypada kąt PxOxO& > 180°, zaś ilośoi cß i O^Q wypadają ujenmie.

Uczący się powinien, dla lepszego zoryentowania, zrobić szkic rysunku, podług ilości poniżej obliczonych.

Dane: punkty P, i I₁. promienie r,=600. r₂ = 450 i ra = 800 m. Zmierzono: *, = 507-36, t₂ = 561 '47', ß = 97°ö8'20".

Obliczenie OxQ:

lg t₂ = 2-7493267 lg cos ß = 9⁻1420545 — 10 Ü8913811

ł₂ cos ß = — 77-8720

lg r, = 2 9030900 lg sin ß = 9 9957823-10 2-8988723 rs sin ß = +792-2684

*i —

507-36

t₂cosß = 4-77-8720 585-2320 r₃ sin ß = —792-2684 0,0=-207-0364

Obliczenie 0₃Q:

lg *, = 2*7493266 lg sin ß = 9 9957823—10 27451089

t₂ sin ß = 556-0438

lg r₃ = 2-9030900 lg cos ß = 9*1420545—10 2 0451-445

r₃ cos ß = —110"9544

t₂ sin ß =    556*0438

r₃ cos ß = 4-H0'9544 666-9982

rt —

600-

O₃0 = + 66*9982

® = 358*8035 s—d1 = 208-8035 s—d₂ =    8-8035

*-c=141-1965

1 g 0,0= 2 3160467 lg Og0 = 1*8260631 lg tang cß = 10 4899836 —10

<ß = —72°4'52"

lg 0,0 = 2*3160467 lg sin ÿ = 9*9783787—10 lg c = 2-3376730

* = +217*6071

Ponieważ 0,0 jest ujemne, więc tang cß i kat 4 są*ujemne; jednakże ujemnej wartości tang cß odpowiada jeszcze druga wartość: cß =+107°55'54-8" i tylko ta wartość jest dla naszego przykładu przydatna.

10-4850248-10

Obliczenie kąta a₂: lg (a-d,) = 2-3197377 lg (s—d₂) = 0 9446554

3-2643931 lga = 2'5548566 lg(s—c) = 2 1498239

~~0 5597126-2 połowa = 0 2798563—1

lg tang ^ = 9-279«563 -10

u

Obliczenie kąta a,: lg («-<*,) = 2-3197377 lg (s—c) = 2-1498239 4*4695616 Iga = 2-5548566 lg (s-d₂) = 0-9446554 0-9700496 połowa = 0"4850248

!«•»«*£

+ <M

•è J* »I»

10°47' 4-9"

21 34 9 8

71 52 32-1

ocj-j-cjj = 143 45 42 4» = 107 55 54-8 a, = 35 49 9-4

a,= 24 38 208

lgr₃ = 2-9030900

*    % tang “⁸- = 9 8392383-10

22423283 4 = 174-7142

4—4 = 3134538,    4 — 4 = 386-7558,    4+4 = 279-6236,    4+4 = 260-4316

Kl+a₂ = 57°23'19-2", a₂+a₃ = 46<>12'30-6".

Kontrola:

lg (4+4) = 2-4465738 lg sin (a₂+a₃) = 9 8584547—10 23050285

'V

Obliczenie stycznych :

Igr, =2-7781513

lg tang = 9 5094404—10 2-28759Ï7

4 = 193-9062

lg r₂ = 2-6532125

Ig tang-— = 9 2798563-10 1-9330688

4 = 857174

lg (4—4) = 2-4961735 lg ein ß =9-9957823-10 2-4919558

lg (4+4) = 2-4156937 lg sin a₃ = 9 6200332—10 20357269

(4—4) sin.p = 310-424= [(4+4) sin (a₂+a₃) = = 201-850]+[(4+4) sin a₃= 108 574

lg (4-4) = 2-5874369 lg sin ß = 9 9957823-10 2-5832192

lg (4+4) = 2 4465738 lg sin «, = 9 7673260-10 2-2138998

lg (4+4) = 2-4156937 lg sin (a,+a₂) = 9 9254905—10 2-3411842

(4—4) sin ß = 383 018 = [(4+4) s*n ai == = 163⁻644]+[(4+4) sin («t+«a) = 219-374] 163-644+219-374 = 383018

Przykład 18. Do § 30. Kys. 62.

Dane luki o promieniach r, = 550 i r₂ = 500 m, między nimi prosta l — 4:2‘Oni. zaś ot,= 24°16'10", aa = 15o42/20,/. Więc c = r,— r₂ = 50 m. Chcemy się naprzód przekonać jak wielką wartość należy obrać dla r, aby kąty cp nie były większe niż kąty a. W tym celu obliczymy naprzód min dx i min d₂, podług wzorów podanych w odnośniku.

Przed tern wyznaczy się m =    = 65 2993 ; następnie cp :

\gl = 1-6232493 lgc = 1-6989700 lg tang cp+9-9242793

cp = 40° l'49-O"

4+a, = 64 17 59-0 cp —a₂ = 22 19 29-0

Obliczenie min d±:

Obliczenie min d₂:

lg m = 1-8149086 lg cos (cp+a,) = 9-6371528 1-4520614

lg m = \ -8149086 lg cos (cp—a₂) =9 9596259 +7745345

m cos    = 28"3179

m cos (4)—a₂) = 59 5024 c = 50'

c = 50-

21-6821 mianown. = 433642

9 5024

lg ï* = 3-2464986 lg mian. = 1-6371313 lg min <=1-6093673 min < = 40-679 min r = r₁-j-<= 590-68

inianown.= 19-0048 lgZ² = 3-2464986 lg mian. = P2788633 lg min < = 19676353 min < = 92 819 min r = r₂-{-< = 592-82

Obierze się więc za r najbliższą wyższą okrągłą cyfrę r=600. Zatem <=50, <=100, s = 107-6497, «-<=57-6497, «-<=7-6497, «-»»=42-350.

Obliczenie kąta y :

0 6955933-2

lg (s - <) = 0 8836444 lg («—m) = 1-6268575 2-5105019

lg m = 1-8149086 lg < = 2;

lg («-<) = 1-7607971 lg (s— m) = 1-6268575 3-3876546 lgm = 1-8 4 9086 lg < = 1-6989700

1-8737760—2

Ig sin -ï- = 9-3477967-10

lg sin

= 9-9368880—10

J = 12«52/ll 9"

A

|- = 59 51 13 0

¹

²

nawias = 1 0152436

y = 25 44 23-8 8 = 119 42 26-0 20 15 45 0 = 14 17 26-2

Dla kontroli obliczy się kąt s: lg{s—0 = 1-7607971 lg («-<) = 0-8836444 2-6444415 lg « = 3-6989700

0-9454715-2

= 17°16'35*7"

e = 34 33 11-4 | cp₁-|-cp₂ = 34 33 11-2 1

zgodnie.

lg sin .^- = 9 4727358-10

Punkty F i F' wyznaczy się na polu, jeżeli się wytyczy od Pfl łuk o promieniu rv a kącie środkowym at—= 4⁰0'25", a od P>i łuk o promieniu >-₂, a kącie środkowym a₂ — q>₂ = 1°24'54".

Łuk P'F\ wypadł tak krótki, że dla niego nie można zastosować krzywej przejściowej (ob. § 48); wypada zatem przyjąć większy promień r. Jednakże przezto zwiększy się różnica promieni, co powoduje inną trudność w przeprowadzeniu krzywej przejściowej w punktach P i F'.

Wszelkie trudności ominie się, a zarazem uzyska się ładniejszą trasę, jeżeli linię między P\ i P'₂ zastąpi się jednym łukiem, włożonym w kąt.

utworzony przez styczne w punktach P\ i P'₂, jak to na rysunku obok uwidoczniono. Kąt wierzchołkowy utworzony przez te dwie styczne jest ß = 180° —    —

—a₂ = 140°l,30// *). Przytem chcemy rozwiązać inne zagadnienie, mianowicie dobrać promień tego łuku tak, aby odstęp AB łuku od prostej PtPz nie przekroczył pewnej z góry ustalonej granicy np. około 1 m.

W tym celu wyznaczy się naprzód długość :

wi W2= ri tan£ y +*+ r2 tanS y:

W,

G,

\W₂

P?

\N

PÙ

I-,

\P₂

P’

Û'2

o?

Rys. 105.

lg n = 2-7403627

lg tang = 9'3324695 ²    2 0728322

r, tang -

“i

rx tang y

= 118-258

Ig r₂ = 2 6989700

y? = 91396320 1-8386020

-J = 68-961

**2 ~2

Wt W₂ = 118-258+42 0+68-961 = 229 219

i) Na rysunku ten kąt z umysłu przyjęto mniejszy.

Mgr Inż. Seredyn Wucfo*

Następnie gdy W₁B= WB cotg a,, BW₂=WB cotg a₂, to

WyB-{-BW₂ = Wi W₂= WB (cotg aj-j-cotg a₂), a stąd :

w, w;

WB:

cotg ocj-f- cotg a₂

WtW,

sin at sin a2 sin (»i+aj

zatem :

]g TT, TF₂= 2 3602506 lg sin a₂= 9*6138717—10 lgsincc₂= 9-4324782—10 1-4066005

WB = 39-697

lg sin (c^-j-Oj) = 9'8078416—10 lg WB — 1-5987589

Ponieważ chcemy mieć strzałkę około 1 m, to obierzemy WA = S8'b m. Jeżeli CD jest równoległe do WtW₂ poprowadzone przez punkt S, to

CD : W, W₂ = W A : WB, zatem CD = W₁ W₂

W A WB'

lg Wt W₂= 2-3602506 lg WA= 1-5854607 ~3-9457113 lg WB= 1-5987589 lg CD = 2 3469524 CD\= 2223066

Teraz mamy przed sobą zagadnienie z § 15 : włożyć łuk styczny do trzecht prostych P'tC, CD i DP' ₂. Gdy tu CD równa się tl-\-t₂ rysunku 39, to szukany promień :

r\ = CD

,sin

tc

sin

cos

“l

cos

sin^ä

= CD

sin

ai+as

lg CD = 2-3469524 gc os -^ = 9 9901860-10

u

lg cos “² = 9-9959081—10 2 3330465

95337912

r'₀ — 629 89 m. Tę wartość zaokrągli się na r₉ = 630 m i wyznaczy się początek i koniec łuku P i P'. W tym celu należy obliczyć długości :

PP'₁=PW—P'W i P'₂P'=WP'—WP'₂.

lg sin

“i+k2_

2 — lg r'₀ = 2-7992553

WP' równa się W’ÏF₁-j-JF₁iv₁=â Wx W₂

lg TFj W₂— 2-3602506 lg sin a,= 9 4324782—10 1-7927288

lg sin (<*,+<*,) = 9-8078416-10 •    1-9848872

WP'a=W₁W₂

WW₁₌= 96-580

sin a₂

sin^+O

K tan8 g

lg Wt W₂— 2-3602506 lg sin a~= 96138717—10 1*9741223

lg sin (a,-f a₂) = 9 8078416-10 2-1662807

WWt= 146-650

Przez odmierzenie tych długości otrzyma się początek i koniec łuku, którego wytyczenie nastąpi jak wiadomo.

W celu kontroli obliczeń, urobimy równanie z rzutu wieloboku PW₂W„P'0 na kierunek promienia PO:

PO = Wt 4P, sin a₁++r₂P/₂+P'₂P/) sin (180 a, — a₂) P'0 cos (180—a,—a.,)

lg W₁ W₂ =2-3602506 lg sin = 9 6 i 38717 —10 1-9741223" "

h(^tp,,+p,tp,) = ^ 9164329 lg sin (ai+a₂) = 9 8078416—10

1-7242745

W\ W₂ sin a, = 94 216

Styczne W±P\ i WSP'₂ są już powyżej obliczone; zatem:

TFP'1 = 96-580+118*258 = 214-838, UP'₂= 146650+68 961 = 215-611

»•o tang —ÿ“⁸, gdyż kąt a przy O równa się ctj+a,,:

PW= 229" 146, zatem :

PP'j= 229-146-214 838=14-808, P,sP/ = 229146-215*611=13-535

FW= WP' =

Igtaugî+t-

lg r₀ = 2-7993405

= 9-5607710

lg P1T=2 3601115

( W₂P\+P'₂P') sin (a,+a₂) = 53 000

lgr₀ = 2 7993405 lg cos (a!+a₂) = 9 8844129 —10 2*6837534

r₀ cos (a,+a₂) = — 482’785.

Suma tych ilości 94-216+53000+482-785 = 630001 zgodnie z r₀=630 0.

Przykład 19. Do § 35, 3. Kys. 68.

Z projektu były dane promienie rt = r₃= 120 w, r₂=300 m.

Pow-iedzmy, że sposobem w tym paragrafie podanym wyznaczono: £,=283-7, *,= 282-2, ß = 14°26'15".

Igr, = 20791812 lg cos ß = 9-9860639-10 2*0(652451 r₃ cos ß = 116"2104

lg£₂ = 2-4505570 lg sin ß = 9-3967637-10 +8473207 t₂ sin ß = 70-3592

t₁ =283-7 r₃ sin ß = 29 9188 313-6188 t₂ cos ß = 273 2883' O, <2 = 40-3305

Obliczenie OlQ, 0₂Q i kąta + lg t, = 2-4505570 lg cos ß = 9-9860639-10 ‘

2-4366209 t₂ cós ß = 273-2883

Igr, = 2-0791812 lg sin ß =9-3967637-10

1-47594(9 rs sin ß = 29-9188

sin ß= 70 3592 rs cos ß = 116 2104 186-5696

r, = 120' OsQ= 66-5696

lg <? =1-6056336 Ig 0/2 = 1-8232760 lg tang cß = 9-7823576 — 10

cß=31°12'32 9" lg sin = 9 7144668—10

lg 0,0 = 1-6056336 lg sin 4> = 9 7141668— 10 1-8911668

c = 77-8335 .

• dt = 300 -120= 180 = d₂

s= ¹⁸⁰+¹⁸⁰+7 / 8335 = 2J8-9168; «-<?, = «—<Zt= 38*9168, s—c = 141 0833 2

Obliczenie kątów a,, a₂, a₃:

lg (5- d₁) = 1-5901372 lg (s d.)= 15901372 31802744 lg s = 2-3402791 lg (s-c) = 2-1494756

8-6905197-10

lg (5—<*,) = 1*6901372 lg (s - c) = 2-1494756

3-7396128 lg «=2-3402791 lg (s-dt) = 1-5901372

9 8091965-10

lg tang °j² = 9 3452599 10

u

9-9045983-10

-?» = 12⁰29,10-3,/

ct₂ = 24 58 20-6

«i- $

38 45 24-9

I R tc -e

= 15 3616-4

₉ = 54 21 41-3 a, = 108 43 22-6

a₃ = 360 + ß — at — a₁ = 240®44'31*8", |³= 120«22,15-9,/

W celu kontroli rachunku obliczymy np. drugie równanie kontrolne z § 29:

{t—h) S‘n ß = (VK» S'n <*.+(*4+0 S'n (*!+**)•

Naprzód wyznaczymy: ts±=t\ t.ang-jA tA = r„ tang 5, t₅ — r₃ tang :

Ł    “Z

lg r, = 2-4771213

Ig tang= 9 3452599 -10 L 1 8223812 tA = -f-66'4326

Igr, = 20791812

lg tang = 0-1445127 L 2-2236939 f, = + 167-3763

lgr, = 2-0791812

lg tang-5=0*2320889

2-3112701

if CM

#, = - 282 2 », = —204‘7718 +486-9718

#₃ = 167 3763 tA = 66-4326 + 233-8089

#₅ = — 204-7718 tA = — 66-4326 », = -204-7718

a₁=108°43'22-6/ a₄= 24 58 20-6 - 138-3392    «,+«, = 133 41 43 2

>g(*2—*b) = 2-6875038 lg sin ß = 9 8967687-10 ~ “2-0842675

(<₂—<₆) sin ß = +121-4136

lg (<₂-|-<₄) = 3688611 lg sin ä₁ = 9-9763875 —10 '"2-3452486 ”

(<₃+<₄) «0 04=221-4862

lg (<₄+<₆) = 2-1409453 lg sin (at-j-a,) =9-8591524 — 10 2 0000977

«(VHb) sin (ai+a2^ = --100 0225 suma 221-4362—100-0225 = 121-4187 zgodnie z lewa stroną równania.

Przykład 20. Do § 36. Kys. 69.

Na podstawie danych z 16 przykładu zastąpimy łuk koszowy parabolą drugiego rzędu. Zatem podług rysnnku 69 dane są punkty P i P₁, a zmierzono < = 686-24, <t= 50716, ß = 82°16'30".

Naprzód wyznaczymy długości d i h.

Ig < = 2-8364760 lg <j = 2-7051450 Ig 2 = 0-3010300 lg cos ß = 9-1284593 10 ~ 4-9711103

P=470925-338

t\ = 257211 266 P+t\ = 728136-604

lg 4cf² = 5"8024811 lg 2(7 = 2"9012405 2(7 = 796-600

2tt₁ cos ß = 93564 32

<²-J-<*₁ = 72813660 2«₁cosß = 93564-32 U² = 634572-28 P+t\ = 728136-60 2«t cos ß = 93564-32 16A² = 821700-92

lgl6A² = 5-9147138 lg 44 = 2 9573569 4ä = 906-477 A =226-619

(zgodnie z prz. 16)

Obliczenie kątów 9 i cß: lg < = 2 8364760 lg<t = 2-7051450 lg sin ß== 9-9960406—10 5-5376616 lg d = 2-6002103 lg 4A = 29573569 Ig sin 9 = 9 9800944

cp = 72°47/5-5//, lub 9 = 107⁰12/54,5//. Podług powyższych danych jest 9 > 90° zatem ta druga wartość ma tu zastosowanie.

Kąt WPG równa się kątowi ai w przykładzie 16; otóż jest kąt łTPC = 180 — 9—cj> = 39⁰6'53⁻9", zgodnie z 0^ z przykładu 16.

lg <t = 2-7051450 lg sin ß = 9 9960406 —10 2 7011856 Ig 4A = 2-9673569 lg sin <|> = 9 7438287    10

4, = 33040'11-6"

Obliczenie promieni krzywizny :

lg«ł sin ß= 5-5376616

lg tH\ sin² ß= 11 0753232 lg 16A²= 5-9147137 lg 2h— 2-6563269 lgp₀= 2-5Ö42826 s Po= 319-362

lg (7 = 2-6002103 lg (7» = 7-8006309 lg 2 = 0-3010300 8-1016609 lg tłx sin ß = 5-5376616 lg p- =2-5639993 p, =366-437

lg *2 = 5 6729520 lg 2 = 0-3010300 5 9739820 lg *t = 2-7051450 lg sin ß = 9'9960406—10 lg p = 3-2727964 p = 1874-116

lg t\ =5-4102900 lg 2 =0-3010300 5-7113200 lg < = 2-8364760 lg sin ß = 9-9960406    10

lg pt = 2-8788034 pt = 756-490

Przykład 21. Do §§ 43, 44 i 45. Kys. 83 i 84.

Do tych paragrafów rachowano przykład podany przy tabeli VI, za pomocą tabel. Tu podamy inny przykład rachowany logarytmami.

Dany promień łuku r = 500 m dla głównej kolei żelaznej, dla której

C= 12000 Zmierzono ß = 137°48'40", zatem a = 42Hl'20", -^ = 21°5'40".

U

Z tabeli VI wyjmiemy dla r = 500 :    < = 24‘0, e = 0 192, zatem

= 0-048. Następnie o = 12-0 = */,*, cp₀ = 1°22,29//, S= 24 0. Wyznaczenie położenia punktów C i S:

535-964 r = 500-

WS = 35964

lg =2 6990117

lg tang — - = 9-5863132 —10

Ig (r-ft>) = 2-6990117

lg cos — = 9 9698762—10 2 7291355

lg (<+<')= 2 2853249 <+<' = 192-897

Kontrola punktu S :

Igr = 26989700

lg tang — =9 2699603—10 ⁴    1 968930 ï

r tang =93 096

Igr = 0 6812412 2

= 9 5561895-10 U‘1250517 - 1

(r-\-V) sec

CO »

= 535-964

Ig v = 0-6812412- 2

lgtang =9-5863132 (0 ²    0 0949280 1

93-096 0124 <70 = 92-972

•g⁸"¹ 2

v tang

= 0-124 = *'

-- = 93'( 96

r tang — v : sin — = 0"133

DS — 93229

Kontrola na miejscu: ES— r tang —- = 93096, DSD' jedna prosta.

Dla ustalenia stycznej BU (rjTs. 83a) obliczy się US:

lg 2r = 3*

cp₀= 9°4i>'l l'⁷

9°5l'36-5"

■ (*-^0=

8 4672018 - 10

1-4672048

lg sin 2<Fo = 9 2336024 -10 4

lg cos

« CM

9o

9 9737531 —10

ig US — i -4934517

ÜS — SVIÙQ

Przykład 22. Do § 47&. Rys. 87. '

to musi być p^r35. Obierzemy

Łuki odwrotne kolei głównej, dla której C—12000. Dane: r, = 600, ra = 400. Zatem podług tabeli VI jest ł, = 20, e, = 0-111, t?, = 0028, Z₂ = 30, e₂ = 0"375,    t>₂=0‘094. Gdy Z₀ = 10:

i> = 40 m, r₁-j-^₁= 600*028, r₂-|-î;₂= 400‘094.

lg (ri+r2+t;i+v2) — 3-0000528

lg cos cp = 8 6017130—10 1-6017658

lgi> = 1-6020600 lg sin (cp+e) = 9-9997058-10

•g [rÆri) = ³'

\gp — 1-6020600

lg tang cp = 11-3979400—10 9 = 87°42/33-8//

cp-f-s = 87°53/28-8,/ cp = 87 42 33-8 0°10'55-0"

lg (r,+t>₂) = 2-7781715 lg cose = 9"9999978—10

2-7781737

{rl-\-v₁ ) cos s = 600’031 r₁ = 600"

P₂B₁ =    0-031

lg(r,-|-t>,) = 2-7781715 lg tang e = 7 5018050—10 \gB₁Ci = 0-2799765 R,<7, = 1-9054

Igi? = 1-6020600

lg cos = 9 9999978—10 1-6020622

]g (*-a+0 = 2-6021621 lg cos s = 9 9999978-10 26021643

cos s = 400-096 r = 400-1\B₂ =    0096

Jg ('Vf*’.) = 2-6021621 lg tang 6 = 7-5018050—10 lg B₂C₂ = 0 1039671 JB₂C₂ = 1-2705

p cos 6 = 40-0002 £,<7,= 1-9054 B₂C₂= 1-2705 (7,(72 = 36-8243

Obliczenie równania kontrolnego : lg (r,+r₂) = 3-

lg sin e= 7"5018028—10 0-5ÔÎ8028 s*n 2 = 3-1754

Suma równa 39 9995, zgodna z i) = 40‘0.

vi~\~v2 ₀b]jCZOne 6 wynosi

P

0°10'29-7,/, zaś B₁C₁ = 1-832, BtC₂ = 1221, CxC₂ = 36-947. Wiec różnice są znaczne, bo prosta p jest krótka.

Przykład 23. Do § 48. Rys. 88 i 89.

Dane : r = 400 m, a=6°2'20", -^- = 3°1,10//.

u

Podług przybliżonego wzoru sin s

C = 12000.

lg 0,(72 = 1-5661345 lg cos a = 9’9999978—10 1-5661323 CXC₂ cos £ = 36 8241

Zmierzono :

ß = 173°57'40",

zatem

Podług tabelki § 48 jest kąt a dostatecznie wielki

dla pomieszczenia obustronnych krzywych przejściowych, jednakże stosownie do „uwagi“ i dodatku do tabeli VI jest ten kąt za mały, dla pomieszczenia łuku o długości 20 m. Z wzoru podanego w „uwadze“ otrzyma się dla obliczenia c wzór:

c — 2r tang

tNB I R

— I, w którym podług tabeli VI wynosi i = 30m. Ig 2r= 2-9030900 lg tang ~ = 8-7222067—10

1-6252967

2rtang -^- = 42 2

1= 30 0 c — 122 m

Zwiększenie tej wartości c na 20 m nastąpi, gdy się stosownie zwiększy promień r, lub zmniejszy C. W celu wyznaczenia zmienionego promienia rlt zastosuje się wzór podany w „uwadze“: tang wimy C : rv otrzyma się równanie :

cĄ-l

HP z

którego, gdy za l wsta-

ri

c+^/c² -f 8C tang y

4 tang ~

Po wstawieniu wartości znajdzie się r, = 445'12 m. Tę wartość zaokrągli się na 450 i obliczy się podług powyżej przytoczonego wzoru c — 20-769 m.

Drugi sposób zaradzenia, przez zmniejszenie ilości C, jest w tym przypadku niedopuszczalny, gdyż zmniejszone C = 4880, zatem zmniejszenie za wielkie.

Przykład 24. Do § 49.

Do tego paragrafu nie rachujemy przykładu. Chcemy tylko zauważyć, że

bliskie jedności, zatem w wzo-

(t)

pla kątów ß bliskich zera, jest 2 sin²

rze 28 można podstawić rx—r—vv a nawet rl= r—v. Wtedy można tyczyć łuk współśrodkowy z łukiem o promieniu r\ przy tem przesunie się S o v, a pnnkt C spadnie z punktem P'₀ (rys. 85).

Przykład 25. Do § 54. Rys. 95.

Rozpatrzmy jak wielką długość powinna mieć prosta p między jednakowo skierowanymi łukami o promieniach ^ = 500 i r₂ = S00 m dla (7=12000. Podług tabeli VI jest łj=24"0, Z₂ = 40⁻0, zaś obliczono (podł. § 45) np. t\=0 5,

P₂ = 0⁻4 m.

a) Żądamy, aby na prostej p obie krzywe przejściowe się zmieściły, wtedy

J₁A₂> 0, a podług wzoru 37 ma być p>    -j-0'9> 329 tn.

b) Jeżeli długość p jest mniejszą niż 32⁻9 m, natenczas krzywe przejściowe się przetną, a ich zastosowanie będzie możebne, jeżeli podług wzoru 38 będzie

40+24

f0-9 89

m.

Jeżeli w tym przypadku chcemy mieć między krzywemi przejściowemi łuk

€ = 20 m, to ma być podług wzoru 89 p < 329 — 20'0 = 12 9 m. Zatem p może się mieścić w granicach od 8'9 do 12-9 m.

Dla jp + 8'9 jest zastosowanie krzywych przejściowych niemożliwe, chyba że przez zmniejszenie jednego promienia lub obydwu promieni łuków długość p stosownie się powiększy. Dla p cokolwiek większego niż 12*9, można uzyskać żądaną długość C przez stosowne powiększenie ilości C na C.

Przyjmijmy, że p wynosi 15 m, czyli A — 15-12 9 = 21 m. Jeżeli

na

24

40

danej przestrzeni wynosi i = 800, to ^ = —— = 0 080, h₂ — —- = 0133

rfUU    dUU

319-7

więc

i' = 300-f

4-2

300+19-7 = 319-7. Zatem C" =12000

12788. Tę liczbę

zaokrągli się na 12800 i dla niej obliczy się podług wzoru 21 w § 43 dane potrzebne dla tyczenia krzywych przejściowych. Z powodu tego zaokrąglenia jest c cokolwiek większe niż 20 m\ mianowicie jest l't = 12800:500 = 25‘60, V ₂ — 12800:300 = 42-67, więc podług wzoru 39:

0-213

300

. ₌ 25-60+42.6_7+o9_₁₅.o=,2o.o3

Ł    •

Przykład 26. Do § 556. Kys. 97.

Kolej fabryczna ma być przekształcona na publiczną kolej lokalna o C = 6000. Należy na istniejących torach wprowadzić krzywe przejściowe.

Jeżeli w § 56 stosowano dla głównych kolei d = r : 20, to dla kolei lokalnej o małej chyżości pociągów można zadowolić się większą różnicą promieni, np. d = r : 10. Zatem w =10. Dany promień r = 2Ó0, więc rt= 180 m, <2 = 20?w.

Dla obliczenia zastosujemy prostsze wzory 40 do 44:

Podług tabeli VI jest dla promienia 180 m i <7=6000, et = l-029 zatem rt = 025725, 2^—^ = 39-74275, % = b°17'2i", a = 16 596.

Ig (2d—v₁) = 1-5992579 lg ^ = 0-4103554-1 10096133 lg 6 =0 5048067

6 = 3 19747

)g- b = 0-5048067 lg d = 1-3010300 lg sin « = 9 2037767—10 h_r a = 9°ll/58⁻4"    _

?*=

31 975

I⁹'

= 2*573

= 7°14,41-2//!

0C-(fo

l°57'17-2" .

W celu kontroli wstawimy równanie rzutu na kierunek AM₁ :

r sin a = rt (sin a — sin 9₀)+a+6 = 2rt cos

Igr = 2 3010300 lg sin a = 9 2037767—10 1-5048067

r sin a = 319753

lg cos

lg 2 = 0*3010300 lg r, =2 2552725

9-9965195-10

12-1818 a = 165960 b = 3-1975

31-9750

8 5328904-10

zgodnie z r sin a

1-0857124

liczba = 12 1818

Długość przekształcenia istniejącego toru: AM=l—a—b-\-r arc a. Gdy arc a = 0" 1605700, r arc <x = 32*1140. I—a = 16'737,

m.

AM= 16-737-3-197+32 1140 = 45 654

Przykład 27. Do § 58 I. Rys. 99 i 100.

Istniejący lewy tor głównej kolei (C= 12000) jest w łuku o promienia 2000 in. W odległości 4 m od istniejącego, ma być wybudowany prawy tor, tak, że promień wspólnej osi i? = 2002 m. W celu uzyskania krótkiego układu zastosujemy odwrotne łuki i obierzemy wielką różnicę R—r, przez przyjęcie najmniejszej jeszcze dopuszczalnej wartości r = 300 w. Natomiast promień r₁ obierzemy wielki, aby warunek tabeli w § 48 mógł być dopełniony. Zatem _ß = 2002,. r = 300, r₁=lQ00 m. Podług tabeli VI jest dla r = 300, ^=40, zaś dla promieni 2002 i 1000 jest podług tabeli VII ł=ł₂ = 20m. Długość u obierzemy w najmniejszej wartości, wyznaczonej wzorem 39 w § 54, to jest

zaś v i ttj, jako proste między odwrotnymi łukami, podług

U

Jeżeli dla pewności przyjmiemy każde #' = 2 0 w, zaś ł₀=10w, to będzie u — 14, 0 = 44, u₁= 34 m. Gdy jeszcze odstęp torów d = 4 m, to R—^+^=2998*. R — r = 1702. Zatem:

2998.1300-34.44    3895904

44.2998+34.1300 “ 176112

cp = 87°24'42-3", lg cos cp = 8'6547359 —10. Następnie wzór 3: (R-d+rt)*= 8988004

Max —

( r+r₁)²= 1690000

v² =

tang cp

1156

1936

10681096 (R—r)² = 2896804 wa =

196

; lg tang 9 = 11-3448193—10

lg licznika = 6*8912081 log cos cp = 8 6547359 — lö 5-5459440 lg 176112 = 52457889 lg 2 = 0-3010300 Ig sin (cp—ß) = 9-9991251

7784096

cp—g = 86°2l'51-6,/ cp = 87 24 42-3 ß= 1° 2'50*7"

; lg tang = 11*5915328—10

tang 4»

1702.1300+14 • 44 _ 2213216. 1702.44—14.1300 — 56688

(JK—d+r-j)* = 8988004

u\ =

cJj = 88°31,58-0,,₎ lg cos c)j = 8-4083257 — 10. Zaś wzór 5:

t},_a = 83⁰35,36-5// c|j = 88 31 58-0 a= 4°66'21*5" a—ß= 3 53 30*8

1156

8989160

(R—r)² = 2896804 -

lg licznika = 6-6434748 lg cos cj; = 8"4083257—10 5-05180Ö5 lg 56688 = 4-7534911

W cela kontroli rachunków mamy równanie:

R—r=(R—cZ-j-r,) cos (a—sin a-\-ul sin (a— ß)— r-j-rj cos a

lgt> = 1-6434527 lg sin a = 8-9350052-10 0-5784579

lg (fi-d-frj = 3-4768316 lg cos («—ß) = 9-9989973—10

3-4758289

liczba = 3"788

lg (r-j-r-j) = 31139434 lg cos « = 9-9983842 -10 3-1123276

liczba = 1295 173

liczba = 2991086

= 1-5314789

lg sin (a—ß) = 8 8317037— 10 03631826

liczba = 2-308

2991 086 3788 2-308 2997182 1295 173 1702 009

zgodnie z R—r= 1702

Długość, na którą tor istniejący ma być przekształcony, równa się, podług

rysunku 99:

196

Wa =

V² =

(r-frt)² = 1690000 4400224

1936

lg 2 = 0-8010300 lg sin (cp—«) = 9-9972794—10

arc («—ß) =2000.0"0679263 = 135*853 m. (Obacz także

przykład 29).

Przykład 28. Do § 58 II. llys. 102.

Obierzemy r = r₁ = 500m, C=12000. Dla tego promienia jest l = 24, za-

v = —^ -j-1' 4- t' ,-J-10 (obacz przykład 26) = okrągło 40 m, d—4cm, 2

r-\-r^ — d = 996 m. tang <p

tem :

1000

40

25, lg tang cp = 11-3979400—10, cp = 87°42'33-8"

cp—a = 84°23'll-4" cp = 87 42 33 8 « = 3°19'22-4"

~= l*39'41-2"

lg cos cp = 8 6017130 lg (r+^-d) =2-9982593 lgv = 1-6020600 13961993

lg cos cp = 8’6017130—10 lg sin (cp—a) = 9 9979123—10

Ten kąt a jest większy niż w tabelce § 48 dla r = 500 podany, więc rozwiązanie jest możebne ; jednakże jest on mniejszy niż kąt 5°3/ wykazany w tabeli dodanej na końcu tabeli VI, zatem uzyska się c < 20 m. Można c wyznaczyć z wzoru podanego w uwadze do § 48 :

Tyczenie tras.

c= 2r tang

Ig 2rtang

CC £

— 1-4624849, więc c = 29006—24-000 = 5 008.

Kontrolne równanie:

lg 2 (r+rt) sina-|- = 0-2256344 liczba =2-3185

lg V— 1-6020600

lg sin a = 8-7631497 0-3652097

liczba = 1-6813

2-3185 1-6813 3 9998

zgodne z <7=4

Przykład 29. Do § 58 IVo. Rys. 103«.

Te same dane, co w przykładzie 26, więc 77 = 2002, C —12000.

Gdy się przyjmie r = 300, to kąt a wypadnie mniejszy niż podany w tabelce § 48. Zatem obierzemy r = 500, zaś w = 14, tak samo jak w przykładzie 26, <7 = 4 m. 77—r—<7 = 1498.

tang cp

1502

14

, lg tang 9 = 120305419-10, cp = 89°27'57-5"

Ig cos cp = 7-9694338—10 lg (R—r—d) = 3*1755118

lg cos 9 = 7*9694338—10 1 1449456

cp—|—a = 85°46/26-2,/. albo cp-fa = 94°13'33*8" W tym przypadku ważna druga wartość : cp-f-a = 94°13'33⁻8"

cp = 89 27 57 5

a = 4°45'36-3"’

Ig « = 1-1461280 lg sin (cp-fa) = 9 9988176-10

'Ponieważ lg cos cp dla kąta bliskiego 90° nie jest dostatecznie dokładny,, zatem i kąt a nie jest dokładny. Obliczymy go z wzoru 15. W tym celu z wzoru. 14 wyznaczy się:

|/8 . 1502-J-14» —4* = 110-4355 taD^ir⁼ 96^355’ ls ,,n* jT⁸'⁶¹⁷⁸²²⁸-¹⁰-

y = 2°22,30-7,/, zatem . a = 4°45/l'4". Różnica z powyżej obliczonym kątem a jest zatem znaczna.

Długość przekształcenia toru istniejącego

CC, O,

arc a = 165 820 m.

W porównaniu z długością 135‘853 m, uzyskaną w przykładzie 26 okazuje* się zysk blisko 30 m przy zastosowaniu odwrotnych łuków.

Przykład 30. Do § 58 V«. Rys. 104.

Łuk AB istniejącej trasy posiada promień równy 500, zatem dla <7= 4 jest 77 = 502 m. Obierzemy 72, = 600, n = 20 m. 72, —77-f <7 = 102.

tang cp =

102

lg tang cp = 10-7075702 - 10, cp = 78°54'22‘6".

lg cos <p = 9-2842376 -10 lg(ß₁—Ä) = 1*9912281 lg cos <p = 9"2842376—10 1*2754637 lg 71 = 1-3010300 lg sin (9—a) = 9-9744337 lg [Rx—Ä-f d) = 2-0086002

lg sin a = 9'1632510—10 1*1718518 liczba = 14*8543

Dla kontroli obliczy się wzór 18 :

J/8.98-f-20²-[-4²= J/l200 = 34'641 zgodne z powyższem.

cp—a = 70°31/57*0" cp = 78 54 22-6 « =T8°2ö,25-6,/

lg v — 1 3010300 lg cos a = 9-9953452—10 1-29637521 liczba = 19"7ö68

14*8543 19-7868 » = 34-6411

U—

N/    ¹

Q.

P.

<■*

K.

^’AKO'îi

Ws

£57

S

*

N

j

*■■ i * S ?

& •

'"'i

t- ’

•V

♦

.■ V

*

4 ..

.5

'■ I-- V«'

v ’V

■ -■?

4

V X * N »

>* :•

/

■r '

¹ V

⁴ i V

. »'    »4

'■‘ c

r

*

V

<W*

>

• lé

*)

, ■

4

: '*

». -

• '•}

»

•*.

),

r

'V'

‘V

• .*>

♦*'^ł ,

1 ••**

i

fc

*

u

*

il

•c.

Jr

m

T^rT^

m

f

lg 'H

K

POLITECHNIKA KRAKOWSKA B; OTEKA GŁÓWNA

î

S

Biblioteka Politechniki Krakowskie)

mi

N

K i:* 4

{

[;Wa

Ä:

I

I

lll!lllllllll|j|!l!l!lll

11-338586

«T

i ;

4

>v :a.    /..1IIJ. HOV/JJ AU.VA/U

ÿ. jr# *

kLi W-\ «

ri

m

%

* s,

Lr/ >7

i

L*i

4»

VA

fi

s

St. v

r

''

... .

ls

7 .

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

4^2

P

100000267684

,v>

V

r,

1

kï|

r-

L

m-

*