«g

' V - i-

Ïk

• >»***

YL

WYDXIAî 1

Fl

k"

BIBLÏ

7%Ą F

r*

- < C-* ^ i

5' IES K

:mmÊË

<*r

rpv vvrr

lÊ-

^é. <*« ^    • Jg s

znk •Æ4&- & *

*S2^I8S

if

Vj

mmtm

:

Â ï:ÉiÂÎ '

ifc • ft'Sfr&A - fe • - ■•':;.:> •■ 5 .* rfe • -y:m:H

-■

5C

»* **

’ t.

’4f

V,

g<*4

4>

W*

I« 1« $

Éfl|| .

il ' '    ■ : v :

«r

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

100000267682

✓

.

\

■

_

\

. ■

-

✓ .

/

.

'

«K

4T

BIBLIOTEKA POLITECHNICZNA T. XXXVI.

PODRĘCZNIK

STATYKI BUDOWLI

DLA

CTD

oo

r—J

r**⁻

cs

c-a

Z 427 RYSUNKAMI W TEKŚCIE I 6 TABLICAMI.

OPRACOWAŁ

Dr. MAKSYMILIAN THULLIE,

RADCA DWORU, PROFESOR SZKOŁY POLITECHNICZNEJ WE LWOWIE.

WVDANIE TRZECIE.

LWÓW.

SKŁAD GLÔWNV W KSIĘGARNI GUBRYNOWICZA.

Z I. ZWIĄZKOWEJ DRUKARNI WE LWOWIE, UL. LINDEGO L. 4.

t-.

\

\

%

mu

KRAKÓW

ICZHÀ

1

V ’s’ \

N

<7 x

c: ⁷ v

JT

«- ^5^8

/*

<

7C

U

%

I c

ix-

i

XJ

/

' LS - < xr-

' #

s

Przedmowa do wydania trzeciego.

Przed paru laty wyczerpane zostało już drugie wydanie, wobec tego okazała się nagląca potrzeba nowego wydania, które opracowałem i wydrukowałem podczas wojny światowej.

Wykonanie klisz i druk przedstawiały znaczne trudności, a i papier mógł być użytym tylko taki, jaki był do rozporządzenia.

Wydanie trzecie zostało poprawione i nieco rozszerzone, aby je utrzymać na wysokości obecnej nauki. Opuściłem jednak teoryę zeskładów żelbetowych, którą wydałem osobno przed rokiem.

Przy tej sposobności podziękować muszę swym asystentom p. Ludwikowi Pazirskiemu, p. Adamowi Kurylle i p. Władysławowi Wisłouchowi za wykonanie rysunków, przeliczanie przykładów i pomoc w obliczaniu tablic i korekcie.

Pęlskich inżynierów proszę, aby przyjęli to wydanie z życzliwością i wyrozumiałością ze względu na czas wojenny.

We Lwowie, w lipcu 1916 r.

Dr. Maksymilian Thullie.

Druk ukończono w sierpniu 1917 r.

WSTĘP.

Statyka budowli lub zastosowana, zwana także mechaniką budowniczą (n. Baumechanik, Statik der Bau-constructionen., fr. mécanique appliquée, an. statics applied, r. CTpoHTejiBHaa MexaHHKa), jestto nauka o warunkach równowagi i o wytrzymałości zespołów budowlanych, zastosowana do obliczenia ich wymiarów i kształtów, Oczywiście nie możemy tu mówić o teoryi wszystkich zespołów budowlanych, lecz omówimy tylko teoryą najważniejszych zespołów, gdyż obliczenie mniej ważnych zespołów i szczegółów najlepiej daje się połączyć z opisem ich ustroju, który jest przedmiotem odrębnych nauk, jak n. p. budownictwa wodnego, budowy mostów i t. d. Pominiemy tu także obliczenie mostów, ponieważ odmienny sposób obciążenia robi obliczenie ich tak zawiłem, że jest ono przedmiotem osobnej nauki, tak zwanej teoryi mostów (n. Theorie der Brücken), również teoryą zeskładów żelbetowych, którą opracowałem osobno ¹).

Przedmiot nasz podzielimy według tego, czy materyał użyty do zespołu jest mniej lub więcej sprężysty. A więc będziemy mówili najprzód o wytrzymałości materyałów sprężystych drzewa i żelaza, potem bardzo mało sprężystego kamienia, a na-koniec o wytrzymałości materyału niesprężystego ziemi.

Jak wiadomo, dwa są główne sposoby rozwiązywania zagadnień mechaniki, sposób analityczny i wykreślny. Będziemy używali jednego i drugiego sposobu naprzemian według tego, który w danym razie prędzej prowadzi do celu ; często zaś podamy obliczenie według obydwu sposobów, których wyniki służą wtedy do wzajemnego sprawdzenia.

Naukę o równowadze sił, wyłożoną sposobem wykreślnym, nazywamy statyką wykreślną (n. graphische Statik, fr. statique graphique, an. graphie statics). W dalszym ciągu przypuszczać będziemy znajomość głównych zasad mechaniki rozumowej. Dla związku i przypomnienia ich czytelnikom wyłożymy je jednak w poszczególnych rozdziałach, ale jak najkrócej i tylko o tyle, o ile one służą za podstawę dalszych praw i twierdzeń, wchodzących w zakres statyki zastosowanej. Główniejsze zasady zaś statyki wykreślnej wyłożymy w pierwszym rozdziale.

Stąd wynika następujący podział przedmiotu:

A.    Wiadomości wstępne ze statyki wykreślnej.

B.    Wytrzymałość zespołów drewnianych i żelaznych.

C.    Teorya sklepień.

D.    Budowle ziemne.

E.    Mury oporowe.

Jako dodatek:

Literatura.

A. Wiadomości wstępne ze statyki wykreślnej.

I. Składanie sił.

§. I. Siły, przecinające się w jednym punkcie.

rys. 1.

Do oznaczenia siły (n. Kraft, fr. force, an. force, cz. sila, r. CHJia) potrzebne są trzy znamiona : jej wielkość (n. Grosse, fr. grandeur, intensité, an. magnitude, cz. velikost, r. BeJiHBima), kierunek (n. Richtung, fr. direction, ligne d'action, an. direction, line of action, cz. smër, r. iianpaBJieme) i punkt zaczepienia lub przyłożenia (n. Angriffspunkt, fr. point d’application, an. point of action, of application). Ponieważ punkt zaczepienia w kierunku siły możemy dowolnie przełożjm, wystarczy do oznaczenia siły zamiast punktu zaczepienia położenie siły (n. Lage, fr. position, an. position, r. nojio3enie), t. j. jeden punkt, przez który kierunek siły przechodzi. "Wszystkie te znamiona dadzą się łatwo przedstawić wykreślnie za-pomocą linii jmostej, której długość zawiera tyle jednostek długości, ile jednostek siły zawiera siła i której kierunek i położenie przedstawia kierunek i położenie siły. Po tej samej linii prostej może siła działać w dwu przeciwnych kierunkach ; aby więc określić dokładnie, w którym kierunku działa dana siła, czyli jaki jest jej tok (fr. sens), dodajemy strzałkę w odpowiednim kierunku (rys. 1.). Nazywamy siłę albo jedną literą Pt, P₂. . ., lub też dwiema literami n. p. AB, przyczem porządek liter oznacza tok siły.

rys. 2.

Jeżeli dwie siły P^ i P₂ (rys* 2.) przecinają się w punkcie O, to możemy je zastąpić jedną siłą R, którą nazywamy wypadkową (n. Resultirende, fr. résultante, an. résultant, cz. vÿslednice, r. pa-

BKOÖHHCTByioiijaH CHjia), a siły P, i P₂ składowemi (n. Com-ponente, fr. composante, r. cocTaBHaa cnjia).

Wiemy, że jeżeli dwie siły działają na punkt materyalny, to drogi, które punkt pod działaniem tych sił w jednostce czasu przebiegnie, są proporcyonalne do ich wielkości, a zatem do O A i OB. Jeżeli siły P, i P₂ równocześnie działają na punkt O, to ten punkt przy końcu jednostki czasu znajdzie się w punkcie C1 gdyż droga spowodowana siłą Pi jest O A, a siłą P₂ jest AC, względnie OB. Długość OC przedstawia więc siłę, którą punkt O poruszony, znajdzie się w jednostce czasu także w punkcie C, a zatem siłę, zastępującą działanie sił Px i P₂, czyli wypadkową. Z tego wynika następne prawidło składania dwu sił przecinających się: wykreślamy siłę P, = O A, z punktu A wykreślamy AC OB = P₂ i łączymy punkt O z punktem C; prosta OC jest wypadkową. Do punktu C dojdziemy jednak także, wykreśliwszy P₂ = OB, a z punktu B BC ^ O A = P,. A zatem porządek, w którym składamy siły, jest obojętny.

Mając złożyć kilka sił, przecinających się w jednym punk--cie (rys. 3,), postępujemy w ten sposób, że składamy najprzód

ML,

n\ £

i?,

%:......%

—fi

i \\fs

m '

K'}

/R

rys. 8.

dwie siły P₁ i P₂, z których wypadkową W₂ składamy następnie z siłą Pn = 2 3; wypadkową otrzymaną W₃ składamy z siłą P₄ = 3 4, te siły dają znowu wypadkową Wx , którą składamy z siłą P5 itd.. . . Pn składamy wreszcie z wypadkową Wn.t i o-trzymujemy wypadkową wszystkich sił B. Wykreślanie prostych JP,, W₃ itd. możemy opuścić, a zatem chcąc znaleść wypadkową sił P1? P₂.. . . Pn , kreślimy wielobok, którego boki są równoległe do wszystkich sił po porządku. Prosta, łącząca początek wieloboku O z końcem jego n (tu 6), daje wielkość i kierunek wypadkowej R.

Wielobok ten nazywamy wielobokiem sił (n. Kraft-polygon, fr. poły gon de forces, an. force poły gon, cz. cara słozek, r. MHoroyroJitHHKrb chjtb), a może on być płaskim lnb przestrzennym, według tego, czy wszystkie siły składowe działają w jednej płaszczyźnie, czy nie. Z rys. 3. wynika, że rzut wypadkowej na jakąbądź prostą jest równy algebraicznej sumie rzutów składowych. Porządek, w jakim siły składamy, jest tu obojętny; dla dwu sił udowodniliśmy to powyżej, dla więcej sił zaś, zmieniając porządek dwu po sobie następujących sił, możemy uzyskać dowolny porządek.

Dla równowagi (n. Głeichgewicht, fr. équüibre, an. equi-librium, r. paimoBHcie), tj., aby punkt, na który siły działają, pozostał w spoczynku, wypadkowa R wszystkich sił musi być równą zeru czyli ostatni punkt wieloboku musi przypaść na początkowy punkt wieloboku O, a zatem wielobok musi być zamkniętym. Dla wielokoku w płaszczyźnie musi więc być dla równowagi suma rzutów składowych na dwie przecinające się proste równa zeru.

Rozkładanie (fr. décomposition) siły na składowe jest bardzo łatwe. Chcąc rozłożyć siłę P (rys. 4.) na składowe, czynimy ją wypadkową dowolnych sił 01 i 1A, lub też 02, 23,

cA

0'\

rys. 4.

34, 45, 5A. Widzimy, że można . znaleść nieskończoną ilość składowych, dających jako- wypadkową siłę P. Aby więc zadanie było oznaczone, muszą być dane pewne warunki. Jeżeli n. p. rozkładamy siłę P na dwie składowe, mogą być dane wielkość i kierunek j ednej siły składowej, lub też wielkości albo kierunki obu składowych. Rozwiązywanie podobnych zadań sprowadzamy zatem do wykreślnego rozwiązywania trójkąta z trzech danych elementów.

Kierunek wypadkowej wyznacza nam przytem kierunki sił składowych, jeżeli pamiętać będziemy, że tok sił składowych w wieloboku sił jest przeciwny tokowi wypadkowej, czyli, że wypadkowa jest równą i wprost przeciwną sile, którą do-daćby trzeba, aby wielobok był zamknięty.

§. 2. Siły, działające w płaszczyźnie na układ punktów stale połączonych. Wielobok sznurowy.

Niechaj siły Px i P₂ działają na dwa punkty stale połączone A₁ i A₂ (rys. 5.). Przedłużmy kierunki obu sił aż do przecięcia się w punkcie A, to możemy te siły złożyć, jak wyżej.

<o

'V

rys. 5.

Jeżeli A 1 = a A 2 = P₂, to wykreślmy 13 ££ A 2, a otrzymamy A 3 = P, a zatem położenie, kierunek i wielkość wypadkowej/Tego sposobu składania sił nie możemy jednak użyć w wypadku, gdy siły składowe są równoległe, bo punkt A leży w takim razie w nieskończoności i jakkolwiek z wieloboku sił otrzymalibyśmy wielkość i kierunek wypadkowej, to jej położenie byłoby nam nieznanem. Będziemy się zatem starali zna-leść inny ogólny sposób składania sił, któryby i w tym wypadku dał się zastosować. Rozłóżmy siłę P, na dwie dowolne składowe AXB i AXC, których wielkość otrzymamy z wieloboku sił 0'0 i Ol'. Również rozłóżmy siłę P, na dwie składowe, z których jedna niech będzie równa i wprost przeciwna sile AXC — V O. Z wieloboku sił otrzymamy kierunek i wielkość drugiej składowej O 2', wykreślamy więc CD O 2'. Zamiast sił Pj i P₂ mamy więc teraz cztery siły, z których dwie jednak Ai C i CAX się znoszą tak, że zostają tylko dwie BA^ i DC. Przez ich punkt przecięcia się E przechodzi więc wypadkowa R ^ 0'2'. Kierunki sił A^B i A^C obraliśmy dowolnie, siły te przecinają się w O. Jeżeli teraz przyjmiemy inne kierunki sił składowych, przecinające się w innym punkcie O', to ponieważ

punkty O' i 1' w wieloboku sił są stałe, punkt przecięcia się kierunków sił składowych O' określa dokładnie ich kierunki. Możemy więc zamiast tych dowolnych kierunków obrać dowolnie punkt O przecięcia się tych dwu sił w wieloboku sił. Punkt ten nazywamy biegunem (n. Pol, fr. pôle, an. pole, r. noniocri>), wielobok BA^CD wielobokiem sznurowym (n. Seilpoly-gon, fr. poły gon funiculaire, an. funicular, cord or link polygon, r. BepëBOUHbiH MuoroyrojibHHK'i»), bo gdy w miejsce linij matematycznych tego wieloboku pomyślimy sobie sznury, zaś w B i D zaczepimy siły równe O O' i 0 2', to system ten będzie w równowadze, a proste 0 0' 01' i 0 2' będą przedstawiały ciągnienia (względnie ciśnienia) sznurów. Linie, łączące biegun z wierzchołkami wieloboku sił

nazywamy promieniami (n. Strahl, fr. rayon polaire, an. ray, r. pa,niyei>).

§. 3. Siły równoległe.

Mając złożyć dwie siły równoległe (n. parallel, fr. parallele, cz. rovnobëzné, r. napajuiejibHHM), (rys. 6.) P, i f₂, wykreślamy wielobok sił 012, który tu staje się jedną linią prostą, równoległą do kierunku sił. Wypadkowa R równa się w tym wypadku algebraicznej s u m i e składowych, więc R = 02. Aby otrzymać położenie wypadkowej R, obieramy dowolnie biegun O, kreślimy promienie, a do nich równolegle boki wieloboku sznurowego. Przecięcie się jego boków skrajnych wyznacza wedle poprzedniego paragrafu położenie wypadkowej, równoległej do składowych.

Jeżeli mamy złożyć dwie siły Px i P, (rys. 7.) równoległe, ale działające w przeciwnych kierunkach*), postępujemy w ten sam sposób. Wypadkowa jest tu różnicą sił składowych kierunek siły większej. Punkt przecięcia się boków skraj -ych C wyznacza położenie wypadkowej.

*) W rys. 7. tok siły P, powinien być przeciwnym.

i ma

E,

Z'*

rys. 6.

D\

'•C

Z rysunku widzimy, że trójkąty 012 i DAE są podobne, a stąd AE : AB — P₂ : OO, zatem

. . 1)

2)

AE. 00 = P₂ .AB] .... dalej są także trójkąty ABD i 001 podobne, więc BD : AB=PX : 00, a stąd BD.OO=PX.AB ....

3)

Podzieliwszy rów. 2) przez rów. 1), otrzymamy BD Px AE^P,

A zatem jeżeli na kierunkach sił

o\

?"

P, i odetniemy AF=P₂ iBG=Px, to prosta PO musi przechodzić także

/Z

przez O.

A więc dla d wu sił równoległych, ale działających w przeciwnych kierunkach , możemy wyznaczyć położenie wypadkowej, jeżeli wielkość siły P, odetniemy na kierunku siły P₂ i na odwrót i końce tych długości połączymy. Linie, łączące końce tych długości, iP i F G przetną się na kierunku wypadkowej.

Jeśli jednak dwie siły równoległe, działające w przeciwnych kierunkach, są sobie równe, wtedy wypadkowa P = O, a punkt zaczepienia jej C usuwa się w nieskończoność, bo wtedy bok pierwszy i ostatni są równoległe, a więc wypadkowa takich sił jest nieskończenie małą i działa w oddaleniu nieskończenie wielkiem. Dwie siły takie nazywamy parą sił (n. Kräftepaar, fr. couple, cz. dvojica sil). Ponieważ wypadkowa pary sił jest równa zeru, więc działając na system punktów, stale połączonych, nie wywołuje ruchu postępowego, lecz ruch tylko obrotowy w kierunku, wskazanym strzałką (rys. 8.).

/'

• rys. 7.

§. 4. Moment statyczny.

Para sił nie mierzy się wielkością wypadkowej, bo ta równa się zeru, lecz działaniem jej obrotowem, które wyznaczamy

momentem statycznym, (n. statisches Moment, Drehungsmoment, fr. moment, an. moment, cz. staticky moment, r. CTa-TimecKiin MOMeHTib). Moment danej siły ze względu na prostą, około której ruck ma nastąpić, czyli ze względu na oś momentu (n. Drehungsaxe, fr. axe du moment, r. ocb), jestto iloczyn siły

Eys. 8.

przez ramię momentu (n. Hebelarm, fr. bras de levier, an. lever arm) czyli odległość siły od osi momentu. Jeżeli przez ramię momentu i siłę położymy płaszczyznę, to przecina ona oś w środku momentu (n. Momentpunkt, fr centre du moment, an. centre of moment). Jeżeli więc siły działają w płaszczyźnie, to spuściwszy prostopadłą na kierunek danej siły z środka momentu, otrzymamy jej ramię momentu. Moment, którego kierunek obrotu jest zgodny z obrotem wskazówki na zegarze, będziemy nazywać dodatnim (n. positiv, fr. positif, an. positive, r. nojioauiTejibHbiH), zaś moment, działający w przeciwnym kierunku, ujemnym (n. negativ, fr. négatif, an. negative, r. OTpHuaTejibHbin). Moment pary sił ze względu na dowolny środek momentu O (rys. 8.) nazwijmy Mu tedy Pr=P₂,

M, = —P, . OAĄ-P,. OB=—Pj (s + y) + P₂y = -P,s. Ponieważ y znika z rachunku, więc moment pary sił zostaje ten sam dla jakiegokolwiek środka momentu i równy jest jednej sile, pomnożonej przez odstęp obu sił, czyli prostopadłą, spuszczoną z jakiegokolwiek punktu jednej siły na drugą.

Jeżelibyśmy obie siły pary sił złożyli, otrzymalibyśmy według §. 3. wypadkową nieskończenie małą, działającą w oddaleniu nieskończenie wielkiem; moment jej będzie więc 0. oo, .Dwie pary sił, złożone z sił nierównych, ale mające równy moment statyczny, są równe tak, że możemy jedną zastąpić drugą.

§. 5. Składanie ilukolwiek sił.

Mając złożyć kilka sił P,, P₂, P₃, P₄ (rys. 9!), składamy najprzód dwie siły P, i P₂, a mianowicie kreślimy wielobok sił 012, obieramy dowolnie punkt O, kreślimy promienie OO, Ol, 02 i równolegle do nich wielobok sznurowy AB CD. Przez M,

10 —

Uskutecznimy to, jeżeli

punkt przecięcia się boków AB i CD, przechodzi R₁₂ wypadkowa tych dwóch sił Pt i P.,, wielkość jej jest 02. Z tą wypadkową P₁₂ złóżmy teraz siłę P .

sa-

w wieloboku sił wykreślimy 23 = P₃, poprowadzimy z tego mego bieguna O promień 03 i wykreślimy wielobok sznurowy. Pierwszym bokiem, równoległym do 00, niech będzie prosta AM,

Qi

Aa

Y*-

>-----;

'h

Rys. 9.

wypadkowa sił

drugim MD || 02, trzecim będzie DE\ 03. R P₁₂ i P₃, czyli P,, P₂ i P₃, będzie więc równa 03 i przechodzić przez punkt N przecięcia się boków skrajnych AB i DE. Z siłą P, ₃ złożymy dalej siłę P₄ i otrzymamy w ten sam sposób wypadkową wszystkich sił P=04. Przechodzić ona będzie przez punkt F przecięcia się boków skrajnych AB i EG.

Łatwo pojmiemy, że jeżeli przy składaniu sił chodzi nam tylko o ostateczną wypadkową R, to możemy tok konstrukcyi uprościć, opuszczając wyznaczenie sił P₁₂, Pl3 itd. A więc wystarczy, jeżeli dla danych sił P,, P₂, P₃ i P₄ wykreślimy wie-lobok sił, obierzemy dowolnie biegun O, poprowadzimy promienie i wykreślimy równolegle do tych promieni wielobok sznurowy ABCDEG. Wypadkowa P=04 przechodzi przez punkt F przecięcia się boków skrajnych wieloboku sznurowego, ja-kieśmy to powyżej udowodnili.

Wielobok sił i wielobok sznurowy są figurami odwro-tnemi (n. reciprok), gdyż, jak widzimy z rys. 9., każdemu bokowi wieloboku sił czyli każdej sile odpowiada wierzchołek kąta w wieloboku sznurowym i odwrotnie. Przy tern samem położeniu bieguna odchylają się dwa po sobie następujące boki wieloboku sznurowego n.p. AB i BC tern więcej, im większa jest odnośna siła P,, a więc kąt A BC jest tem większy, im większa jest siła P,. Gdyby P^=-0, toby i kąt ABC— 0, t. j. linie AB i BC tworzyłyby jedną prostą. Kąt wieloboku sznurowego pozwala także wnioskować o kierunku siły, dwa boki jego bowiem nachylone są zawsze w kierunku strzałki. Każdy bok wieloboku sznurowego jest równoległy do promienia wieloboku sił, łączącego biegun z punktem przecięcia się dwóch sił, między któ-remi bok ten leży. Tak n. p. BC jest równoległem do Ol, a 1 jest punktem przecięcia się sił P, i P₂ w wieloboku sił, między któremi BC leży.

Gdy dodamy do sił P, , P₂, P, i P₄ siłę — P, równą P, mającą to samo położenie, lecz działającą w kierunku przeciwnym, wtedy nastąpi równowaga, to jest dany układ punktów pozostanie w spoczynku. Widzimy więc, że dla równowagi musi się zamknąć nietylko wielobok sił, ale i wielobok sznurowy, gdyż pierwszy i ostatni jego bok muszą się przecinać na kierunku ostatniej siły.

Gdy wielobok sił się zamyka, a wielobok sznurowy nie, wtedy złożywszy wszystkie siły składowe przócz jednej Pn, otrzymamy wypadkową P, i P„, które muszą być sobie równe i wprost przeciwne, bo z powodu, że wielobok sił się zamyka, P==P,+Pn==0, czyli Pt = — P„, z powodu zaś, że wielobok sznurowy się nie zamyka, położenie P, będzie inne, niż Pn; a zatem po złożeniu wszystkich sił otrzymamy dwie siły równoległe , równe a wprost przeciwne, czyli parę sił, której działanie mierzymy momentem. Układ punktów nie będzie wtedy miał wprawdzie ruchu postępowego (bo P = 0), lecz będzie miał ruch obrotowy. Analitycznie możemy wyrazić powyższe twierdzenie w ten sposób :

Jeżeli rozłożymy wszystkie siły na składowe, działające w dwu przecinających się kierunkach, to dla równowagi musi być suma składowych wszystkich sił w obydwu kierunkach równa zeru (wielobok sił zamknię-

ty) i suma momentów równa zeru (wielobok sznurowy zamknięty).

Wszystko cośmy powyżej mówili o składaniu sił w ogóle, da się zastosować do sił równoległych (rys. 10.). Chcąc złożyć

kre-

YG

/Z

/i

siły równoległe P,, •^2? 2*3 i P ślimy wielobok sił, który tu przedstawia jedna linia prosta, kreślimy dalej wielobok sznurowy, którego boki skrajne przedłużo-

Rys. 10.

ne przecinają się w punkie G, wyznaczającym położenie wypadkowej R. Jej wielkość (P=04) i kierunek otrzymujemy z wieloboku sił. Składania sił równoległych zapomocą wieloboku sznurowego używamy przy wyznaczeniu środka ciężkości powierzchni złożonych z prostokątów lub trójkątów.

§. 6. Dalsze własności wieloboku sznurowego.

na-

nawzajem w przeci-

wnym kierunku. Stwierdza się tu przeto twierdzenie geometryczne, że jeżeli w obu czworobokach zupełnych mamy pięć boków, kolej licząc, nawzaj

muszą być równoległe. Jeżeli biegun zmienimy i zamiast punktu Oj obierzemy punkt 0₂, to otrzymamy inny wielobok sznurowy C^A^B^D^- Przez zmianę bieguna nie zmieniamy wy-

Z poprzedniego widzimy, że przecięcie się dwu skrajnych boków wieloboku sznurowego wyznacza położenie wypadkowej, co odnosi się nietylko do dwóch, ale i do więcej sił. Ponieważ wypadkowa musi przechodzić także przez punkt przecięcia się sił P, i P₂, więc położenie jej jest AE^ (rys. 11.), przyczem AEt musi być równoległe do 02. Ale proste 02 i AE{ są szóstymi bokami dwu czworoboków zupełnych (czworoboków wraz z obiema przekątniami) 0,012 i AA^E^B^ , których pięć boków jest wzajem równoległych. Zewnętrzne boki czworoboków równoległe następują po sobie w obu czworobokach

no w

em

przeciwnym kierunku równoległych, to i szóste boki

padkowej, bo według §. 2. możemy biegun obrać dowolnie. Z tego wynika, że przecięcie się boków skrajnych E₂ musi znowu leżeć na prostej AEA więc gdy biegun przesuwa się w jakimkolwiek kierunku po płaszczyźnie, punkt przecięcia się boków skrajnych wieloboku sznurowego porusza się po linii prostej, wyznaczającej kierunek wypadkowej. Z rys. 11. możemy jednak udowodnić jeszcze jedno prawidło. Widzimy mianowi-

/W

Ab

fl

//

Jf

o,

<4

ąV""‘

fl

/AK

\\

'v:

nys. 11.

cie, że bok O, 0₃ jest szóstym bokiem trzech czworoboków zupełnych O, O₂01,    0,0₂12 i 0,0202, którego odpowiednimi

FjFjl?! 2?j

których reszta pięć bo-

bokami w czworobokach zupełnych FXF₂A^A i F,F₂E]E₂ są F,F₂, F₂F, i F^F, ków jest nawzajem równoległa. Z tego wynika, że i szóste boki są równoległe, a więc boki F,F₂, F₂F₂ i F,F₃ s3- równoległe do O, Oj, a punkty przecięcia się F,, F₂ i F₂ muszą leżeć na prostej równoległej do O,0₂. Możemy zatem napisać następujące twierdzenie:

Jeżeli biegun posuwa się na płaszczyźnie w linii prostej, to wszystkie boki wieloboku sznurowego obracają się około punktów prostej, równoległej do drogi bieguna.

To samo twierdzenie da się udowodnić i dla więcej sił składowych.

Przypuśćmy teraz, że mamy złożyć siły P (rys. 12.) i że przyjmiemy biegun w 0, w początku pierwszej siły i wykreślimy wielobok sznurowy ABCDE, to widzimy, że promienie wieloboku sił jirzed stawiają wtedy wielkość i kierunek wypadkowych, np. 08 przedstawia wypadkową sił P,, P, i P,, u boki wieloboku sznurowego , równoległe do tych promieni, wyznaczają położenie tych wypadkowych. A zatem, jeżeli biegun przyjmiemy w początku pierwszej siły wieloboku sił, to boki wieloboku rowego wyznaczają położenie wypadkowych wszystkich sil od pierwszej aż do bok ten poprzedzającej, promienie zaś przedstawiają wielkości tych sił. Wielobok sznurowy staje się w'tedy wielobokiem wypadkowych (n. Mittelkraftlinic, cz. Ćcira vyslednic).

£\

y?

c,

Ba

Rys. 12.

,2

p.

■ii

sznu-

§. 7. Wykreślne wyznaczenie momentu statycznego.

Mając wyznaczyć sumę momentów statycznych kilku sił A > A j A i A ze względu na punkt dany A (rys. 13.), składamy te siły w wypadkową R i wyznaczamy moment wypadkowej , który równa się algebraicznej sumie momentów sił składowych, gdyż wypadkowa, zastępując w działaniu wszystkie siły składowe, sprawić musi taki sam moment, jak wszystkie składowe. Jeżeli prostopadłą, spuszczoną z środka momentu A wypadkową P, nazwiemy r, to suma momentów sił P.. Pr A? i Aj równa momentowi wypadkowej ;

M=Rr. .

na

-    .    . 4)

Poprowadźmy przez punkt A równoległą MN do wypadkowej i nazwijmy odcinek MN tej prostej między bokami skrajnymi y, to otrzymamy dwa trójkąty podobne

a miano-

wicie EMN cv> 040, bo wszystkie ich boki są nawzajem równoległe. Stąd wynika, że podstawy obu trójkątów mają się do siebie, jak wysokości, więc

y:r = R:b, a stąd Rr=by.

Wstawiwszy wreszcie z rów. 4) M=Rr, otrzymamy:

M = by......

Odległość bieguna od wypadkowej, czyli długość b prostopadłej, spuszczonej z bieguna na wypadkową P, nazywamy

odległością bie-

5)

gunową (n. Pol-distanz, fr. distance * polaire, an. pole distance, cz. vzdale-nost polarna). Możemy więc rów. 5) wyrazić w następujących słowach:

Moment statyczny sił P, , P₂, P₃. . . j est równy iloczynowi odcinka y między bokami skrajnymi wielo-boku sznurowego równoległe! . & o wypadkowej, przechodzącej przez środek momentu, przez odległość biegunową.

Odległość biegunową możemy uważać też jako siłę, a mianowicie jako składową, prostopadłą do wypadkowej sił, wyrażonych skrajnymi promieniami OO i 04. Ponieważ według rów. 5) otrzymujemy moment, mnożąc odcinek y odległością biegunową ft, więc dobrze będzie, jeżeli biegun O przyjmiemy tak, aby odległość biegunowa dała się wyrazić według podziałki sił jakąś liczbą całą n. p. 1, 2, 4, 5, 10, 60; to nam ułatwi odczytanie momentu na podziałce.

Moment jest, jak wiemy, iloczynem siły przez długość. Mierzymy więc moment jednostką, powstałą z pomnożenia siły przez jednostkę długości. Jeżeli zatem n. p. mierzymy siły kilogramami, a długości metrami, to jednostkę, którą mierzymy moment, nazywamy kilogrammetrem (kgm). Jeżeli odcinek y

//

(J

J/

—

------

Iły 8. 18.

TT

mierzymy jednostką długości, to musimy wtedy odległość biegunową uważać za siłę i mierzyć jednostką sił i na odwrót.

Chcąc uniknąć mnożenia, możemy wykreślić podziałkę, na której odczytany odcinek y da nam wprost moment w kgm. Aby wyznaczyć tę podziałkę, dość będzie pamiętać o tern, że chcąc odczytać daną długością liczbę b razy większą, musimy jednostkę podziałki wziąć b razy mniejszą. A więc odczytujemy najprzód b na podziałce sił i robimy jednostkę długości b razy mniejszą, a uzyskamy podziałkę dla momentów.

Ponieważ moment jest równy iloczynowi odcinka y przez odległość biegunową, więc im większą przyjmiemy odległość biegunową, tern mniejszy odcinek otrzymamy dla momentu i odwrotnie. Chcąc otrzymać wyraźny rysunek, musimy przyjąć zatem odpowiednio małą odległość biegunową.

II. Belka prosta.

§. 8. Wykreślne wyznaczenie sił zewnętrznych dla obciążenia ciężarami skupionymi.

Dotychczas zajmowaliśmy się składaniem sił w płaszczyźnie w ogólności; teraz będziemy mówić o działaniu ich na belkę.

Dź w i garem (n. Träger, fr. poutre, an. gir-der ; truss, cz. tram, r. Gajnca), nazywamy część budowli, służącą Q do przeniesionia sił na podpory. Linię, łączącą środki ciężkości Q poj edynczych ,r przekrojów, na-

0, P

vS

,    |: hi [PI

li

/-

Bili h

_____>?-

zy wamy osią dźwigam (n.

Rys. 14.

Axe, fr. axe, an.

axis, cz. osa r. oct). Na dźwigar AB (rys. 14.), podparty w dwu punktach, działają pionowe siły Pi , P₂ i P₃. Gdyby dźwigar nie był podpartym, nastąpiłby ruch w kierunku wypadkowej; jeżeli zaś dźwigar jest podpartym, to powstają w punktach podparcia czyli podporach (n. Auflager, fr. appui, an. support, r. onopa) A i B siły, utrzymujące cały układ w równowadze. Siły te Oj i 0₂ nazywamy oddziaływaniami podpór (n. Pfeilerdruck, Auflag er druck, fr. réaction des appuis, an. supporting force, reacting force, reaction, cz. realere podporove, r. OTuop'n).

Naszem zadaniem jest teraz wyznaczenie oddziaływań, które, jak już wspomnieliśmy, muszą utrzymywać dźwigar w równowadze. Kierunek oddziaływań zależy od kształtu i rodzaju. łożysk (n. Lager, fr. support, coussinet, an. support, bearing, r. noAyiiiKa, noäuiiiuhhK'i>), części budowli, na których bezpośrednio dźwigar spoczywa. .Jeżeli oddziaływania są pionowe, dźwigar nazywamy wtedy belką prostą, (n. gerader Träger, Balkenträger, Balken, fr. poutre droite, an. straight girdtr, beam, cz. trtim prosty, r. npaMaa öajnca) i o takich tylko dźwigarach będziemy w tym rozdziale mówić. Chcąc wyznaczyć wielkość oddziaływań Oj i 0₂, wykreślamy wielobok sił, robiąc 01,— P,, 12 = P₂, 23 = P.,. Wiemy, że dla równowagi wielobok musi się zamknąć, więc 0, + 0₂ = 30. Znamy zatem sumę obu oddziaływań ; aby zaś wyznaczyć wielkość każdego oddziaływania z osobna, wykfeślamy wielobok sznurowy acdeb, kreśląc ac 00, cd\t Ol itd. Dla równowagi czworobok sznurowy musi być zamknięty. Ostatni bok wieloboku sznurowego, który musimy wykreślić, aby wielobok -zamknąć, otrzymamy, łącząc punkty a i b przecięcia się skrajnych boków z kierunkami oddziaływań, a więc tu z pionowemi przez A i B.

Prostą ab nazywamy z tego powodu linią zamykającą albo zamykającą (n. Schlusslinie, fr. ligne limitante, droite de fermeture, an. closing line, cz. zdkladna strana, r. 3a-MbiKaiomaa). Poprowadzimy odnośny promień Om ab, otrzymamy punkt m, który podzieli długość 03 na dwie części, 3 m = 0₂ i mO—Oj , odpowiadające wierzchołkom ai b wieloboku sznurowego. Teraz bowiem siły P,, P₂, P₃, O, i Oj są w równowadze, bo wielobok sił i wielobok sznurowy się zamykają.

Ażebj* wyznaczyć moment wszystkich sił, po lewej stronie punktu Ciężących, ze względu na punkt C postępujemy, jakto wskazano w poprzednim paragrafie. Na rys. 14. mamy wykreślony odnośny wielobok sznurowy. Ponieważ wypadkowa jest

Statyka.

pionową, więc spuszczamy z punktu C pionową, a odcinek y^fg między bokami skrajnymi ab i de, pomnożony przez odległość biegunową h, da moment M=hy. Zamiast mnożyć odcinek przez odległość biegunową h, możemy zmienić dla momentów podziałkę długości w stosunku 1 : h, a więc jeżeli stosunek podziałki długości jest przedstawia a metrów w naturze, a odległość biegunowa h, jako siła uważana, równa się h tonnom , to stosunek podziałki, na której y odczytujemy wprost jako moment, będzie centymetr na rysunku będzie przedstawiał ah tonmetrów. Widzimy więc, że przy użyciu tej podziajki wszystkie odcinki pionowe w wieloboku sznurowym acdgeb przedstawiają wprost momenty w odnośnych punktach belki. Powierzchnię, utworzoną tymi odcinkami, acdgeb nazywamy powierzchnią momentów (n. Momentenflâche, fr. surface représentative des moments, r. iuiom;a,nr> MOMeu/roirr»), gdyż ona okazuje wielkość momentów wzdłuż całej belki przy dauern obciążeniu. Ponieważ siły, po lew oj stronie przekroju C działające (wraz z oddziaływaniem), starają się belkę tem bardziej zgiąć, im większy ich moment ze względu na punkt C, przeto nazywamy w tym wypadku moment statyczny tych sił także momentem zginającym (n. Biegungsmoment, fr. montent fléchissant, an. ben-ding moment, cz. moment ohybu, r. momohtb narnóa).

1 cm

t. j. jeżeli cm w rysunku

1 cm ait tmJ

t. j. 1

Jeżeli dla punktu C utworzymy wypadkową wszystkich sił, po lewej stronie przekroju działających, (wraz z oddziaływaniem) i rozłożymy ją na dwie składowe, jedną prostopadłą do osi w punkcie C, a drugą, działającą w kierunku osi, to składową, prostopadłą do osi w punkcie C, nazywamy siłą poprzeczną (n. Querkraft, Scherkraft, fr. effort tranchant, an. shearing force, cz. siła prićna, posouvajica, r. iionepeuiuwi cnjia), bo ona stara się ściąć belkę w kierunku poprzecznym t. j. prostopadłym do osi. Dla belki prostej poziomej i obciążenia pionowego £iłą poprzeczną jest suma wszystkich sił, po lewej stronie przekroju działających. Siłę poprzeczną nazywamy dodatnią (n. positiv, fr. positif, an. positive), jeżeli działa w kierunku z dołu do góry na lewą część dźwigani, w przeciwnym zaś razie uj emną (n. negativ, fr. négatif, an. negative). Oznaczając Q siłę poprzeczną w punkcie C, otrzymamy Q=Oi—P.—P₂, a więc

Q = mO—01 — 12 = m2. Punkty te m i 2 możemy też otrzymać, poprowadziwszy z bieguna O Om i 02, równoległe do przeciętych boków wieloboku sznurowego ah i de. A zatem dla otrzymania siły poprzecznej w danym punkcie O, kreślimy promienie równoległe do boków wieloboku sznurowego, przeciętych pionową przez O, a odcinek m2 na wieloboku sił przedstawia siłę poprzeczną. Poprowadziwszy linie poziome z punktów m i 2, otrzymamy pr — m2 = Q.

Jeżeli to samo uczynimy dla innych punktów, t. j. po-poprowadzimy z punktu m i z punktów O, 1, 2 i 3 poziome, otrzymamy linią schodkową, z której widzimy, że siła poprzeczna zmienia się tylko w punkcie, gdzie działa jaka siła, a między dwiema siłami jest stałą.

Z rysunku widzimy, że siła poprzeczna zmienia swój znak, a więc tutaj staje się ujemną, pod ciężarem, w obrębie którego leży punkt m. A. zatem chcąc wyznaczyć ciężar, pod którym siła poprzeczna zmienia swój znak, należy wykreślić promień Om równoległy do zamykającej. Ciężar, który w wieloboku sił przetnie ten promień, jest ciężarem szukanym. Położenie siły poprzecznej znajdziemy, przedłużając przecięty bok wieloboku sznurowego i zamykającą w punkcie n.

Przykład. Rysunek 14. przedstawia belkę prostą AB o rozpiętości 21,5 «*, na którą działają siły P,=9t, J\=9t, Pt =7,6* w punktach E, F i G. Przyjęliśmy przytem następne podziałki : dla długości 1:500 czyli oT w», t^a    “T~Tt= i?Tp Odległość biegunowa A=20 mm, więc jako siła

uważana, oznacza 20/; podziałkę dla momentów, wyrażonych odcinkami y, znajdziemy teraz, zmniejszając podziałkę długości w stosunku 1:20, więc

1 mm

0,5X 2** tm * ** a»*

L+a

1 mm

Dla punktu C otrzymamy z rysunku jako moment fg—8 mm czyli według podziałki momentów 80 tm. Siłę poprzeczną w C przedstawia rzędna pr, więc Q=—8 t.

Jeżeli wszystkie siły, dzia-łające po lewej stronie danego & przekroju C (rys. 15.), złożymy w wypadkową Q, to wypadkowa wszystkich sił po prawej stronie przekrój u musi być — Q, bo wedle §. 5. suma wszystkich sił pionowych musi być równą zeru. Siła poprzeczna w punkcie C, jest zatem równa wypad-

a /?

"-Q.

Rys. 15.

kowej wszystkich sił, po lewej stronie przekroju działających, lub też wypadkowej wszystkich sił, po prawej stronie działających, z odmiennym znakiem. Czasem, jeśli np. po prawej stronie mamy tylko jedną siłę, korzystamy z tego ostatniego twierdzenia.

Ponieważ siły O,, Pj, P₂, P₃ i 0₂, a zatem i siły Q i — Q są w równowadze, więc obie siły Q muszą mieć to samo położenie.

§. 9. Analityczne wyznaczenie sił poprzecznych i momentów.

Jeżeli siły P,, P₂, P₃ i P₄ działają na belkę AB (rys. 16.), a ich odległości od podpory B nazwiemy ax , a₂, a₃ i a4l to

otrzymamy oddziaływanie ,

a j?

Jt

wyznaczając sumę momentów około punktu B, która dla równowagi ma być równą zeru. Gdyby bowiem suma momentów wszystkich ' sił, działających na belkę, nie była równa zeru, to wypadkowy moment sprawiłby obrót belki, co się sprzeciwia założeniu. A zatem :

Ol l Pi^i B₂cl₂' P14<z₄ = 0,

a stąd <),=!•, i + P₃ -1-î + P₃ ^ + P₄

------------x

Ój

a.

........J

Rys. 16.

. . 6)

a że suma sił pionowych według §. 5. ma być równą zeru, więc

02=P1+P2+P3 + P4-01 .

§. 17. Spółczynniki sprężystości.

§. 22. Pewność i natężenie dopuszczalne.

§. 25. Wyznaczenie wymiarów według Launhardta i Weyraucha.

. . 111)

§. 39. Wyznaczenie momentu bezwładności ze względu na oś równoległą do danej.

+ 2 (62 d2 + 64 d4 + . . . + Ö2n—2 ^2»-2)j •

*=PF 

III a Kształtówki T (przek. norm. niemieckie). Dłu

§. 57. Obliczenie przekroju belki blaszanej.

§. 64. Natężenie przy złamaniu belek z żelaza spawalnego, zlewnego i stali.

M, iJf-tV+V+V): V»

■er

§. 76. Belka obu końcami poziomo utwierdzona.

§. 84. Bryła natężeń i oś obojętna.

i-4   •

(SUS

§. 102. Warunki wyznaczalności wewnętrznej.

§. 108. Ogólne warunki równowagi dachu.

§. 114. Dach płatwowy z podwójnym więzarem i kolanem.

§. 124. Części składowe i rodzaje belek kratowych.

§. 135. Grubość sklepień betonowych i żelbetowych.

i rB

(px*= 51°50/.

§. 158. Zasady.

§. 169. Naziom dowolny częściowo obciążony.

P==2w8^öT0 + d'j ~dot(a+p+d')-Vdotp-dot(a+p+d')]2. 767>

§. 183. Parcie ziemi o naziomie dowolnego kształtu na mur płaski.

§. 191. Wyznaczenie analityczne parcia geostatycznego „ dla ściany pionowej i naziomu poziomego.

Tab. VI.

¹

Tłiullie. Teoryą żelbetu, Lwów 1915.

•    •    7)

0₂=P₁+P₂+P₃ + P₄-0₁ .

Siłę poprzeczną Q w punkcie E otrzymamy, tworząc sumę sił, po lewej stronie punktu E działających, więc:

<H 0,-^-p,

Nareszcie moment zginający uzyskamy, tworząc sumę momentów ze względu na punkt E sił, działających po lewej jego stronie. Zatem:

M=0₁x-P₁b₁-P₂b₂

Przykład. Niechaj siły 11, 10, 9 i 9 t działają na belkę o rozpiętości 10 w w punktach, oznaczonych na rys. 17. (podziałka 1:200).

O,

/U

toć Sr

9t

i£

-<.....*-jÇ> .    ..... ^3    y

<-------—----------------"jO- ■

—~s

------—Z-

Rys. 17.

Według równania G) mamy:

O, = -^(11.8+10.5 + 9.4+9.2) = 19,2 t.

0₂ = (11 +10 + 9 + 9) — 19,2 = 89 — 19,2 = 19,8 t.

Siła poprzeczna według równania 8) w punkcie C po lewej stroni» punktu zaczepienia siły 9 jest:

$=19,2 —11-10= —1,8 t; po prawej stronie punktu zaczepienia siły 9 mamy:

$ = 19,2— 11 — 10 — 9 = — 10,8 t.

A zatem siła poprzeczna zmienia się w punkcie C o 9 t. — Nareszcie otrzymamy moment w punkcie C według równania 9):

M=19,2X6 -11X4-10x1=115,2-54=61,2 tm.

Jeżeli na belkę AB (rys. 18.) działają siły Pt, P₂, P₃, Pm, Pm+1, Pn, to momenty w punktach, zaczepienia sił dadzą się jeszcze wyznaczyć w inny sposób, wskazany przez Pelletreau*).

r»......

U-----------

I«

JCt ^ >-<

fO/

i a.

<----

.    —, —■

........*......O*. t-------*-!

—■    V-----------

W-<»* **

Rys. 18.

Wedle rów. 6)    Pa, a moment w punkcie Ć7

OyXm 2 m—\ P {a a^i).

Podobnie otrzymamy dla punktu D

A stąd

Mm-\-1⁼⁼ OP(a am^.\)'

a że O, -2]nP= Q

J^»«+1 Atm O j (xm _j. j Xjn) (am am+])2mP albo AM= Mm+i—Mm = em(Oi— 2)nP) więc

. . 10)

A zatem różnica momentów w dwii po sobie następujących punktach zaczepienia sił równa się odstępowi tych sił, pomnożonemu przez siłę po-

przeczną.

*) Ann. des ponts et chaus. 1887.

- 22 —

Przykład. Chcąc wyznaczyć moment w punkcie I) (rys. 17.), otrzymamy \M=2X —10,8=—21,6 tm, a że w C moment lf=61,2 im, więc w D M, =61,2—21,6= 39,(> tm. Moment w D możemy jeszcze inaczej wyznaczyć, mianowicie Mx — 0₂.2=19,8x2=39,6 tm.

§. 10. Dowolne obciążenie ciągłe.

Na belkę AB, podpartą w dwu punktach, (rys. 19.) działa ciężar proporcyonalny do powierzchni kreskowej. Ciężar taki nie działający w jednym punkcie, lecz rozłożony na części belki lub też na całej belce, nazywamy obciążeniem ciągłem

(n. stetige Belastung, fr. charge répartie, continue, an. distributed load, cz. obtizeni spojite, r. pacupe-A'hjiöHHMii rpy3'f>). Powierzchnię AA'B'B nazywamy powierzchnią obciążę n i a (n. Belastung s fläche, fr. surface représentative de charge). Rzędna jakakolwiek n. p. CC', pomnożona przez dx, przedstawia wtedy ciężar na długości dx albo, gdy w myśli przyjmiemy ciężar na jednostce długości stały i taki sam, jak w punkcie C, przedstawia rzędna CC' ciężar na jednostkę długości czyli ciężar jednostkowy (n. Belastung für die Längeneinheit, cz. pomërne obtizeni).

Gdybyśmy podzielili powierzchnię obciążenia na niezliczoną ilość pasków, to moglibyśmy uważać je jako ciężary skupione (n. Einzellast, koncentrirte Last, fr. poids concentré, r. KOHueHTpnpoBaHHLin rpyst), działające w środkach ciężkości pasków. Postępując dalej w znany sposób, otrzymalibyśmy wie-lobok sznurowy o bokach nieskończenie małych, a zatem widzimy, że wielobok sznurowy zamienia się tu na krzywą sznurową (n. Seilcurve, fr. courbe funiculaire, cz. krivka ry

al

JE

li

/’L

iB"

B"

Rys. 19.

slednic). Ponieważ jednak nie możemy działać nieskończoną ilością sił, więc podzielmy powierzchnię obciążenia na mniejszą ilość pasków, tu n. p. na trzy paski, pionowemi CC i DD'i oznaczmy powierzchnie tych pasków i proporcyonalne do nich ciężary P₁ , P₂ i które zaczepiają w środku ciężkości pasków. Mamy więc tu trzy siły, dla których wykreślamy wie-lobok sił i wielobok sznurowy w znany sposób. Przedłużenia stycznych krzywej sznurowej w dwu punktach przecinają się, jak wiemy, w prostej, wyznaczającej kierunek wypadkowej, a więc styczne punktów linii sznurowej, odpowiadających punktom podziału A, C, Z>, B, przecinają się w jjionowych, poprowadzonych przez środki ciężkości odnośnych pasków. Widzimy więc, że boki wieloboku sznurowego są stycznymi do linii sznurowej i że punkty styczności znajdują się w piono.wych, przechodzących przez linie podziału. Otrzymawszy w ten sposób dostateczną ilość stycznych i punktów styczności, możemy wykreślić linię sznurową A"C"D"B".

Podobnie otrzymamy i siły poprzeczne. W punkcie A siła poprzeczna równa się oddziaływaniu O,=a₀a, w punkcie C Q=0₁—Py =m0—01 = ml = c₀c. W podobny sposób otrzymamy punkty d i b, a wszystkie łączymy linią krzywą. Im więcej tych punktów wyznaczymy, tern dokładniej możemy wykreślić linię sił poprzecznych.    ,

Równanie linii sznurowej da się w następujący sposób wyznaczyć.

14

+ — -X - *ä<

t--

Rys. 20.

W punkcie C (rys. 20.) nazwijmy rzędną linii sznurowej y1 to styczna do linii sznurowej w tym punkcie nachylona jest do poziomu pod kątem 9?, a

str=2⁼ ■

<2HiK

Dalej mamy bo H jest stałem, a dQ——qdx, więc

cLQ

\dx)

n Jy

dx!

Jëst to równanie różniczkowe linii sznurowej.

Dla obciążenia ciągłego dowolnego da się także analitycznie

dowieść ważne twierdzenie, podane przez S c li w e d 1 e r a. Dla dowolnego obciążenia ciągłego belki A B (rys. 21.) wyznaczmy w powyższy sposób, lub też analitycznie, oddziaływania. Jeżeli q=f (x) oznacza ciężar jednostkowy, to oddziaływanie Oi otrzymamy według 6), uważając element qdx jako siłę skupioną,

Hd

— qdx, czyli

hOz

o\

Ar—nr

---------.......——

U--------------------

Itys. 21.

O. =

---

. . 12)

Wyznaczmy teraz dla punktu Cw odległości xi od lewej podpory siłę poprzeczną i moment według 8) i 9), a otrzymamy

Xi

Q- Oj

q dx, .

.    .    13)

,;o

zaś

M= Oj xt —

q (x^ —x) dx,

stąd dla zmiennej xi pochodna :

(IM

qdx = <J .    .

.    .    14)

(lXj

Widzimy zatem, że dla dowolnego obciążenia ciągłego siła poprzeczna w każdym punkcie belki jest pochodną momentu. Z tego wynika bezpośrednio, że

największość (maximum) momentów jest w tym punkcie, gdzie Q=0 (rys. 19.).

Z ró₍w. 13) wynika dalej

dQ

a zatem

<1

dQ_ d²M

dx

dx

.    .    15)

Stąd widzimy, że obciążenie jednostkowe jest pierwszą pochodną siły poprzecznej a drugą pochodną momentu.

§. II. Obciążenie jednostajne zupełne.

Gdy ciężar jednostkowy jest stały, wtedy mamy obciążenie jednostajne (n. gleichmässige Belastung, fr. charge uniformément répartie, an. uniform load, cz. obtizeni rovno-

mérne, r. paimoMuipuaa Harpn3Ka).

Gdy ciężar jednostkowy jest między granicami x' i xx stały =<?!, to dla tej długości mamy z rów. 13)

² , ^

Q——q^x^-\-C i M^Cx^

■ 16)

jeżeli (7 i d, oznaczają ilości stałe.

Z rów. 16) widzimy, że jeżeli belka jest na pewnej długości obciążoną j edn os taj nie, to na tej długości linia sił poprzecznych jest prostą bolą.

momentów para-

Jeżeli w rów. 11) q jest stałem, to

qx + Ci, a

dy

dx

Hy — — q-2~ + G, x-j- 0₂,

zatem krzywa sznurowa jest na tej długości parabolą.

Jeżeli w rów. 16) zrobimy <^=0, to Qt = C, M= Cx+ Cif a zatem jeżeli belka na pewnej długości nie jest wcale obciążoną, to na tej długości linia sił poprzecznych jest równoległą do osi, a linia momentów prostą.

Jeżeli przytem cała belka jest obciążoną, wtedy obciążenie nazywamy jednostajnem zupełnem (n. totale gleichmässige Belastung, an. total uniform load, r. nojiHaa paßiio-

MwpHaa Harpn3Ka) i wtedy poprzednie wzory bardzo się upraszczają.

a) Liczebnie. Ponieważ przy obciążeniu jednostajnem zupełnem. belka jest symetrycznie obciążona (rys. 22.),* więc dla obciążenia jednostkowego g

'    .    17)

0,-02= 2 g l .    .

Siłę poprzeczną Q dla dowolnego punktu C otrzymamy:

. 18)

<$— O, — gx—\gl—gx=-^ g ( 1—2x; ) .    .

Moment w punkcie C będzie :

M— Oxx—gx\x=\glx—lö'a;²—4gx(l—x)    . . 19)

Równanie 18) jest równaniem linii prostej, a mianowicie otrzymamy :

dla a; —O Q==Agl, n X — \l Q — O,

„ x—L Q = — \gl.

Linię sił poprzecznych otrzymamy więc, wykreśliwszy aax = bbx=\gl i połączywszy punkty a, i 6,. Prosta ta przecina oś w połowie rozpiętości.

ak

X.....—

±B

ił

ÆLL

AL

£'

Eys. 22.

szukajmy, dla

Równanie 19) dla momentów jest drugiego stopnia i przedstawia parabolę o osi pionowej, przechodzącej przez środek belki. Z równania tego otrzymamy dla x=Q M= O, dla x=l M~0. Chcąc wyznaczyć największy moment którego punktu będzie Q=0.

Z rów. 18) widzimy, że Q=O dla x=\l, a stąd odcinek, dla którego moment jest największością, jest

. . 20)

a:=|Z, a naj w 31 = ~gl² .

b) W y k r e ś 1 n i e. Możemy tu postępować według ogólnej metody, jednak wiedząc, że linia sił poprzecznych jest prostą, a linia momentów parabolą, możemy obie te linie bardzo łatwo wykreślić w inny sposób. O linii sił poprzecznych mówiliśmy już powyżej ; aby wykreślić linię momentów, kreślimy wielobok sił, robiąc rs — gl i prowadzimy promienie skrajne. Chcąc wykreślić wielobok sznurowy, prowadzimy równoległe do tych promieni A'E rO i B'E Os. Są to styczne paraboli, którą wyznaczymy najłatwiej następnym znanym sposobem. Dzielimy obie styczne na równą ilość części (tu na 4) i łączymy punkty podziału, równemi oznaczone liczbami. Proste te są stycznemi do paraboli, a punkty styczności mają odcinki dwa razy większe, niż lewy punkt podziału.

Konstrukcya ta da się zresztą łatwo uzasadnić. Pomyślmy bowiem, żeśmy całe obciążenie belki podzielili na dwie części linią pionową, poprowadzoną przez punkt C. Chcąc wykreślić wielobok sznurowy, styczny do linii sznurowej, szukamy środków ciężkości. Widzimy na rysunku, że jeżeli punktowi Podpowiada punkt podziału 2, to środkowi ciężkości S{ powierzchni obciążenia na długości AC punkt 1, a odnośnemu punktowi S2 dla długości CB punkt 1'. Styczny wielobok sznurowy będzie wtedy A'\VB', bo w czworoboku tym znamy już z poprzedniego boki A' 1, 1'/?', B'A'. Czwarty bok ma być równoległy do Ot i przecinać się z bokami sąsiednimi na pionowych przez Sx i S₂, musi to więc być prosta 11'. A zatem prosta 11' jest styczną do paraboli w punkcie C.

Parabolę momentów możemy jednak wykreślić nawet bez wieloboku sił, gdyż opierając się na znanej własności paraboli i rów. 20), wiemy, że EEf *=2E'D‘=2ligl¹=-Ągl². Zrobiwszy więc EE' —\gl%, mamy punkt E, kreślimy styczne A'E i B'E i postępujemy dalej, jak wyżej.

Przykład. Obliczyć najw. M i najw. Q dla belek stropowych (Z=4 m), umieszczonych w odstępach 1*10 w, o obciążeniu 500 kg/m². •

Obciążenie na 1 mb będzie y=l’10xl'00x500=550 kg. Według rów. 20): Najw. M—% 550X400²=11000000 kgcm. Według równania 18): Najwięk. Q=\ 550X400=110000 kg.

§. 12. Jednostajna obciążenie częściowe.

Jeżeli belka AB obciążoną jest jednostajnie tylko na długości AC=x (rys. 23.), postępujemy według metody ogólnej i za pomocą wieloboku sił i wieloboku sznurowego otrzymujemy dwie styczne ad' i d'b. Na długości AC=x otrzymujemy parabolę adc, a na długości nieobciążonej linia momentów cb jest prostą.

Liczebnie otrzymamy z równania 6) dla ciężaru jednost

kowego p

px (21—x)

)-

dalej dla dowolnego punktu E między A i C

Q=0,—pxx......2 )

M~ 0\XX — \pxj²......2 )

Równanie 21.) dla sił poprzecznych na długości obciążonej jest równaniem prostej, a rów. 22.) dla momentów rów-

T-i (M

„nip

.....--X-—.......—-»i

'■.a

jTL

naniem paraboli. Z rów. 21.) i 22.) widzimy też, że kąt nachylenia prostej sił poprzecznych i parametr paraboli zależne są tylko od ciężaru jednostkowego p,

dla tego samego ciężaru jednostkowego^ będzie więc prosta sił poprzecznych tak samo do poziomu nachyloną i parametr paraboli będzie ten sàm.

Dla punktu C jest £,==#, więc z równania 21.) wynika, że

px²

Iiys. 23.

px

21

.    .    23)

Największy moment jest w tern miejscu, gdzie Q=0;

nazwijmy odnośny odcinek x₂₎ to x)

x (21 — x)

px₂= 0, a stąd x₂ — Wstawiwszy to w równanie 22.), otrzymamy

Na rysunku 24. przedstawiliśmy momenty i siły poprzeczne dla przypadku, gdy długość GB jest jednostajnie obciążoną. Otrzymamy wtedy liczebnie w zupełnie ten sam sposób, co pierwej, siłę poprzeczną w punkcie C

.    .    25)

<1

najw M

px (21— x) x (21 — x) , x² (21 — x)2 21 iP 4 T² : px²(2l—x)²

21

czyli

najw M

81²

.    .    24)

1> (1—x)²

21

Największy moment ff otrzymamy z rów. 24), wstawiwszy —x zamiast a-, a więc

najw M=P-(l-x)² (l+x)²

p (P-x²)²

81²

. . 26)

Wartości, które otrzymujemy w punkcie C dla siły poprzecznej z równań 23) i 25) przy obciążeniu częścio-wern są większe, ^ niż wartość, którą otrzymamy z równania 18) dla obciążenia zupełnego, jeżeli przytem przypuścimy p=*g. Przeciwnie momenty w każdym punkcie są największe dla obciążenia zupełnego, jak to widzimy z porównania równań 19) i 24).

-, —

liii'

Rys. 24.

Przykład. Obliczyć najw. M i najw. Q dla belek stropowych o rozpiętości B m odstępach 1,20 m, obciążeniu jednostajnem na długości 2 m od lewej podpory 450 kg/m² (rys. 23). Obciążenie na 1 mb będzie: p=l,20xl,00X X 450=540 %/m=0,54 t/m.

Według równania (24):

najw M—

0,54X2² (2.5—2)²_ 8x5²

—0,691 £m,

najw Q=0, =—

2.0,54(5-1)

= 0,864 t.

na

Przykład. Na belkę o rozpiętości 4,50 m działają następujące siły. Obciążenie jednostajne 300 kgjm na długości 1,5 m od lewej podpory długości 2,5 w od prawej podpory. Siły skupione P. =1 w odstępie 1,5 w od lewej podpory i P^ —2 t w odstępie 2 m od prawej podpory. Wyznaczyć najw. M i najw. Q. Tu jest P,=0,45 t, P₄=0,15 ł, P₆ = 0,6 t.

Oddziaływanie wyznaczymy z równań:

O, =(0,45.3,75+1.3 + 0,15.2,25 + 2.2 + 0,6.1) : 4,5=2,19 t.

Siła poprzeczna będzie w odstępie a=1,5    Q=2,19—0,46=1,74 t

po prawej stronie P, <?=1,74—1=0,74 t dla x—2 m Q=0,74 t dla *=2,5 m Ç=0,74 —0,15 =0,59 t po prawej stronie P₂ <?=0,59—2= —1,41 na prawej podporze £= —1,41—0,6 = — 2,01.

Największy moment jest tam, gdzie (?=0, a więc w punkcie zaczepienia siły P₂

najw M= 2,19 X 2,5 - 0,45.1,75 -1 . 1 - 0,15.0,25 = 3,65 tm,

Na rysunku otrzymujemy dla podziałek gunowa b = 2,05 ł, najw M = 3,5 tm.

§. 13. Obciążenie ciągłe i ciężarami skupionymi.

Jeżeli na belce znajdują się oprócz obciążenia ciągłego także ciężary skupione (rys. 25.), postępujemy wedle sposobu ogólnego. Zaczepiamy w środkach ciężkości powierzchni obciążenia ciągłego siły I\ i Pr,, kreślimy wielobok sił i wielobok sznurowy, w który wkre-ślamy krzywą O sznurową, pamiętając, że części poszczególne krzywej są tu parabolami, a punkty podziału są punktami styczności. Wyznaczenie . oddziaływań nastąpi liczebnie wedle rów. 6) i 7), momentów i sił poprzecznych wedle równ. 9) i 8) z uwzględnieniem tej okoliczności, że P:!, P₄ i Ph są wypad-kowemi obciążenia ciągłego.

/?

i

. v, R

~ 0.5-    4- r ;

«■iK

laF

Rys. 25.

1 cm . 1 cm

2~p Ot = 2*2, odległość bie-

- 31

§. 14. Belka jednym końcem utwierdzona.

Belka AB (rys. 26.), jednym końcem utwierdzona, obciążoną jest ciężarami skupionymi P1? P₂ i P₃. Chcąc wyznaczyć momenty i siły poprzeczne, wykreślamy, jak zwykle, wielobok sił i wielobok sznurowy acfb. Aby otrzymać powierzchnię momentów, musimy na zasadzie §. 7. przedłużyć pierwszy i ostatni bok wieloboku sznurowego aż do pionowej przez P. Tu więc

P Pt

o.

A*r<~

......... ć* a +&-'■

•yf......~\E l yP--

-X

!.

|| ! >J:i

Rys. 26.

nie mamy zamykającej w tern znaczeniu, co dla belki w dwu punktach podpartej. Moment w punkcie E przedstawia wtedy odcinek ee' między przedłużeniem pierwszego boku ab' a wie-lobokiem sznurowym, pomnożony przez odległość biegunową h. Największy moment otrzymamy dla punktu B.

W rysunku przyjęliśmy stosunek podziałek i /A = 16/, 7-3 = 11    1=5 w, a^=4 w, ai =2 m, ä=40 ł.

Z konstrukcyi otrzymaliśmy bb' —2,8 m, więc

najw M——bb'. h — —2,8.40= —112 tm.

Zamiast mnożyć przez h moglibyśmy wyznaczyć podziałkę momen-mianowicie    MTedle tej podziałki odczytamy moment

w B M= —112 Un.

1 mm

-, dalej P,=5 t,

tów

Liczebnie otrzymamy :

O^+P. + P

.    .    27)

dalej dla punktu E

i-P2ł

M=—Pj (1—x)—P₂ (a₂—x) .    .

CM CM

CD 00

Dla a:=0, więc dla punktu B, otrzymamy

najw M=—Pjl—P₂a₂—P₃a₃ ....    30)

Wstawiwszy wartości wyżej podane w równanie 30), otrzymamy najtv M=—(5X5 + 16X4 + 11X2)=—111 tm. Wynik, któryśmy otrzymali sposobem wykreślnym, różni się o 1 tm, czyli w podziałce momentu o V4 mmi co wynika z niedokładności konstrukcyi.

§. 15. Belka wystająca.

Jeżeli belka CF (rys. 27.) podpartą jest nie na obu końcach, lecz w dwu punktach A i B między końcami, to nazywamy ją belką wystającą (n. überhängender Träger, fr. poutre reposant en deux points d’appui intermédiaires). Chcąc

F! O. R R

\

■ B.

Ci

Cty—

....... /

t,

... ; h-------

wyznaczyć siły po-oddziały-

f"

'r

przeczne wania i momeuty, postępujemy, jak poprzednio ; kreślimy wielobok sił i wielo-

Eys. 27.

bok sznurowy acegfb, boki pierwszy ac i o-statni bf przedłużamy aż do przecięcia się z pionowemi podpo-rowemi i punkty przecięcia się a i b łączymy prostą zamykającą ab. Promień Om\ab dzieli długość 04 na dwie części i otrzymujemy 4 m—0₂₁ m0=O₁.

1 cm 1 m

»    1 m/ïïx .    .    . . f.

x -JJ-, dale] l=3m,

o, =0,75 m, a₂ =2,3m, o₃ = 1,55»i, ai =0,75 m, Pt =4,5 ł, P₂=8 t, P₃—6t, P₄=3,66ż, A—11 t. Otrzymaliśmy Ot =13,77 t, a moment w G M=gg' .h= =0,45X11=4,95 tm.

Na rysunku przyjęliśmy stosunek podziałek

Siły poprzeczne wykreślimy, jak poprzednio, tworząc wy-kreślnie sumę wszystkich sił po lewej stronie przekroju. Chcąc sprowadzić wszystkie siły poprzeczne do j ednej osi, zrobimy c\c' i zamiast linii kreskowanej poprowadzimy z c'₂ poziomą.

Liczebnie wyznaczymy oddziaływanie Oi , robiąc sumę momentów około punktu B równą zeru, więc

— (a\    + 0,1— î\a2—-^3®3 + -^4^4 = 0,

zatem

(ai +^)+ Fai +-^3a3—Aa41 '    •    *    ^1)

Znając oddziaływanie, łatwo obliczymy siły poprzeczne i momenty.

Dla naszego przykładu otrzymamy po wstawieniu wartości 0,=i [4,5 (0,76 + 3)+8 X 2,3 + 6 X1 )65 — 3*66X0,75]=13,94 t.

Dla punktu G otrzymamy teraz

Q = - P, + O, — P₂ = — 4,5 + 13,94—8= +1*44 t, albo, gdy przyjmiemy, że P₃ działa po lewej stronie przekroju,

Q = -P1 + 0,—P₂—P₃ =—4,56 t.

Dalej mamy

M= — 4,5 (0,75+1,45) +13,94,57X1-45 —8X(2-3 — l*55)=i,80 t.

Jeżeli belka wystająca obciążoną jest ciężarem ciągłym jednostajnym, postępujemy w ten sam sposób. Dzielimy powierzchnię obciążenia na paski, z ich środków ciężkości spu-

£ \Q

Ck\ c

'w    ■    I':

A

+...... «/

ii

cs

Ga

I .fe

rS

/• ^ Eys. 28.

szczamy pionowe (rys. 28.), kreślimy wielobok sił i wielobok sznurowy cefgd. Styczne końcowe w c i d, równoległe do promieni skrajnych, przedłużamy aż do pionowych podporowych,

Statyka.

punkty przecięcia się a i b łączymy zamykającą. Wykreśliwszy teraz z danych stycznych linię sznurową, która, jak wiemy, jest dla obciążenia jednostajnego pcjrabolą, otrzymujemy powierzchnię momentów w części dodatnią a w części ujemną. Wykreśliwszy Om || ab, otrzymamy oddziaływania 3 m=0.i i m0=O\ , a stąd łatwo siły poprzeczne.

Liczebnie wyznaczymy oddziaływania, robiąc sumę momentów około punktu B równą zeru. A więc dla obciążenia jednostkowego g

(l+?ń + 0,l-igP + \ga*=0

(i+f' • • ³²>

Znając oddziaływania, obliczymy łatwo momenty i siły poprzeczne w zwykły sposób.

a stąd

—ga 1

B. Wytrzymałość zeskładów drewnianych i żelaznych.

III. Wytrzymałość na wyciąganie i ściskanie.

§. 16. Ogólne pojęcia.

Dotychczas mówiliśmy o siłach zewnętrznych, działających na dźwigar, teraz zaś mówić będziemy o wpływie tych sił na dźwigar i siłach wewnętrznych, które w dźwigarze wywołują. Każde ciało wyobrażamy sobie jako zbiór nieskończenie małych cząstek t. z. drobin, oddzielonych jedne od drugich nieskończenie małymi odstępami, utrzymujących się w tych odległościach pod działaniem sił, równoważących się wzajemnie, tak zwanych sił międzycząstkowych (n. Molekularkraft, fr. force moléculaire, a. molecular force, r. MOJieKyjiapuaa cujia). Dla ciał stałych są siły przyciągające tak wielkie, że potrzeba znaczniejszej siły dla zmiany położenia cząstek. Wypadkowa tych sił, działających w danym przekroju, sprzeciwiająca się przesunięciu drobin, zależną jest od materyału. Własność tę ciał stałych nazywamy spójnością (n. Cohäsion, fr. cohésion).

Siły zewnętrzne, działające na belkę, sprawiają zmianę kształtu i wymiarów belki czyli odkształcenia (n. Formänderung, Deformation, fr. déformation, r. Ae(j>opMan,ia), które

po ustaniu działania sił zewnętrznych znika całkowicie lub częściowo. Tę własność ciała, która sprawia, że drobiny wracają do pierwotnego położenia po ustaniu działania sił zewnętrznych, nazywamy sprężystośią (n. Elasticität, fr. élasti cité, an. elasticity, r. ynpyrocTb).

Wszystkie ciała stałe są mniej lub więcej sprężyste; u drzewa odkształcenia są stosunkowo większe, u kruszców zaś bardzo małe. Jeżeli po ustaniu działania sił zewnętrznych ciało przybiera zupełnie pierwotny kształt, to nazywamy je zupełnie sprężystem (n. vollkommen elastisch, fr. parfaitement élastique, an. perfectly elastic), jeżeli zaś odkształcenie nie znika zupełnie, nazywamy je niezupełnie sprężystem (n. unvollkommen elastisch, fr. semi-élastique). Wszystkie ciała są dla małych obciążeń aż do pewnej granicy zupełnie sprężyste, dla większych obciążeń stają się te ciała niezupełnie sprężystemi. Granicę tę nazywamy granicą sprężystości (n. Elasticitätsgrenze, fr. limite de V élasticité, an. elastic limit, limit of elasticity, r. npeAuurc. ynporocTy).

Po jej przekroczeniu ciała te są niezupełnie sprężystemi; część odkształcenia, nazwana odkształceniem sprężystem (n. elastische Formänderung, fr. deformation élastique) znika po ustaniu sił zewnętrznych, reszta zaś, odkształcenie trwałe (n. bleibende Formänderung, fr. déformation pemanente, an. permanent set), pozostaje. Są ciała, które nawet pod wpływam małych sił okazują tylko odkształcenie trwałe, nazywają się one wtedy plastycznemi (n. plastisch, bildsam, fr. plastique, a. plastic, r. iuiacrnuiiBiMe).

Granica sprężystości wedle powyższego określenia byłaby jednak bardzo nieoznaczoną, bo dokładniejsze przyrządy, zwłaszcza Bauschingera i Martensa przyrząd zwierciadlany, pozwalający odczytywać 0-0001 mm, udowodniły, że prawie wszystkie materyały wykazują przy miernych nawet obciążeniach już odkształcenie trwałe, chociaż nadzwyczaj małe. W przyrodzie niema ciał ani zupełnie sprężystych ani zupełnie plastycznych. Ale doświadczenia te -wykazały też, że odkształcenia przy niektórych ważnych technicznie materyałach, jak żelazo spawane, stal, drzewo i innych, są do pewnej granicy proporcyonalne do obciążeń (rys. 29.). Granicę tę nazywamy granicą pro-porcyonalności (n. Proportionalitätsgrenze, fr. limite dl allongement proportionel, r. npeAbjrb nponopgionajibHOCTii). ^

Na rys. 29. odcinamy przedłużenie względne Al, wywołane obciążeniami P, które odcinamy na osi OY. Do punktu M, który tu jest granicą proporcyonalności, otrzymujemy wtedy linię prostą. Gdy obciążenie przekracza tę granicę, odkształcenia przestają być proporcjonalne do obciążeń, rosną mianowicie daleko szybciej, niż obciążenia, linia MN jest przy tern styczną do OM. Odcinając także odkształcenia trwałe, otrzymamy drugą krzywą kreskowaną, która się zacznie w E'. Ponieważ dla obciążeń poniżej granicy proporcyonalności odkształcenia trwałe są tak małe, że je w praktyce uważamy za nieistniejące, różnica między E i M jest bardzo małą, więc też zwykle przyjmujemy, że granica proporcyonalności spada z granicą sprężystości.

Po nagłern usunięciu sił zewnętrznych ciało powraca nagle do swego pierwotnego kształtu, ale wskutek bezwładności

.....

AL

'Al

Tt

E' F'

Rys. 29.

Rys. 30.

odkształca się potem w przeciwną stronę i dopiero po kilku drganiach przechodzi w stan spoczynku. Każde nagłe działanie siły lub uderzenie wywołuje takie drgania.

na-

na-

Jeżeli siły zewnętrzne będą po przekroczeniu granicy sprężystości ciągle wzrastały, to po przekroczeniu pewnej granicy (punkt N wykresu) u niektórych materyałów odkształcenia gle bardzo wzrastają i drobiny przedstawiają już mały opór przesunięciu, jak przy qiałach ciastowatych ; bardzo małym obciążeniom odpowiadają wielkie przedłużenia. Granicę tę zywamy granicą ciastowatości (n. Fliessgrenze, Streckgrenze, fr. limite de ductibilité, a. yield point, r. narajio Terenia). Przy dalszem wzrastaniu sił zewnętrznych nareszcie prze-

zwyciężą one spójność i nastąpi tak wielka zmiana położeń drobin, że siły międzycząsteczkowe przestają działać, nastąpi więc rozdzielenie drobin i pojedynczych części ciała, a więc przerwanie, zgniecenie lub złamanie, (n. Bruch, fr. rupture, an. fallure) ciała. Całą spójność w tej chwili się objawiającą, a więc cały opór, jaki spójność stawia zmianie położenia drobin, nazywamy wytrzymałością (n. Festigkeit, fr. résistance des matériaux, an. résistance, tenacity, r. conpoTH-BJieiiie).

Na rys. 30. przyjęliśmy dla Al znacznie mniejszą po-działkę, niż w rys. 29., dlatego też prosta OM spada prawie z osią OY. Punkt N oznacza granicę ciastowratości, EE' przedstawia siłę, która sprawia już przerwanie, chociaż następuje ona nieco później przy FF'.

Ponieważ siły zewnętrzne działają w rozmaity sposób na dźwigar, więc też i wytrzymałość rozmaicie się objawia. Według tego rozróżniamy następne rodzaje wytrzymałości:

a)    wytrzymałość na wyciąganie, (n. Zugfestigkeit, fr. résistance à la traction, an. résistance to stretching, r. co-npoTHBJienie na paaniB'L), jeżeli wypadkowa sił zewnętrznych działa w kierunku osi dźwigara, starając się przekroje prostopadłe do osi jedne od drugich oddalić;

b)    wytrzymałość na ściskanie, (n. Di'uckfestigkeit, fr. résistance à la compression, an. résistance to compression, r. conpoTHBJieHiie CHcai’iio), jeżeli wypadkowa sił zewnętrznych działa w kierunku osi dźwigara, starając się przekroje prostopadłe do osi zbliżyć jedne do drugich.

Oba te rodzaje wytrzymałości nazywamy wytrzymałością bezwzględną (n. absolute Festigkeit). Dalsze rodzaje wytrzymałości są :

c)    wytrzymałość na ścinanie (n. Schubfestigkeit, fr. résistance à cisaillement, an. résistance to shearing, r. co-npoTHBJieme CKajibiBaniio), jeżeli wypadkowe sił zewnętrznych, działających w płaszczyźnie, przez oś położonej, po jednej i po drugiej stronie idealnego przekroju, prostopadłego do osi, starają się przesunąć przekroje, prostopadłe do osi, niezmieniając ich oddalenia ;

d) wytrzymałość na zginanie (n. Biegung sfestig-keit, fr. résistance à la flexion, an. résistance of flexure, r. co-

e)    wytrzymałość na wyboczenie (n. Knickfestigkeit, fr. résistance au flambage, an. résistance of crippling), jeżeli ciało o stosunkowo długiej osi pracuje na ściskanie, a przytem okazuje się wygięcie osi ;

npoTHBJieme imriióy), jeżeli na dźwigar działają siły prostopadłe do osi, starając się go wygiąć, i przekroje prostopadłe do osi tak obrócić, że ich odstęp w rozmaitych punktach jest różny ;

f)    wytrzymałość na skręcanie (n. Drehungsfestigkeit, Torsionsfestigkeit, fr. résistance à torsion, r. conpoTiiB-jieiiie CKpyuHBaniio), jeżeli siły zewnętrzne sprowadzają się do pary sił, działającej w przekroju prostopadłym do osi i dwa przekroje tak jeden względem drugiego skręcają, że ich odległość pozostaje niezmienioną.

Często siły działają tak, że równocześnie pracuje belka w rozmaity sposób n. p. na ściskanie i zginanie, na zginanie i ścinanie. Opór, jaki wtedy stawia ciało rozdzieleniu drobin, nazywamy wytrzymałością złożoną (n. zusammengesetzte Festigkeit, fr. résistance composée).

W tym rozdzielę będziemy mówić tylko o wytrzymałości na wyciąganie i ściskanie.

§. 17. Spółczynniki sprężystości.

Jeżeli na graniastosłup o długości l a przekroju F działa siła P (rys. 31.) w kierunku osi, to długość pierwotna l zmienia się o Al, & mianowicie skraca się, jeżeli siła ciśnie, a przedłuża

£-T:~ y

*rv;

U4 i

V

się, jeżeli siła ciągnie graniastosłup. Oprócz tego zmieniają się długości innych krawędzi graniastosłupa, a mianowicie krawędzi a i prostopadłej do rysunku b, i to, jeżeli l przedłuża się o Al, tedy a i b skracają się o Aa uèb/MB/WM/M i i na odwrót.

Rys. 31.

Przedłużenie w kierunku osi nazywamy po dłuż nem (n. longitudinal), a w kierunku prostopadłem do osi poprzecznem (n. transversal). Doświadczenia wykazały, że przedłużenia Al, Aa i Ab są aż do granicy sprężystości wprost proporcyonalne do długości l,

il ~ ry

39

a i b i do siły P, a odwrotnie do przekroju F. Możemy więc napisać :

dl ₌ P 1 “ EF

Jeżeli E oznacza liczbę stałą, zależną od materyału, którą nazwiemy spółczynnikiem sprężystości (n. Elasticitäts-modul, Elasticitätskoefficient, fr. coefficient d’élasticité, an. mc-dulus of elasticity, r. Koe<Jmu,ieuT ynpyrocTii). Jest to tak zwane prawo HooJca *).

.    38)

Al

Iloraz -y-, przedstawiający przedłużenie lub skrócenie na

jednostkę długości, nazywamy przedłużeniem lub skróceniem jednostkowem (n. relative Längenänderung, Deh-

p

nung, fr. allongement, an. unit strain). Iloraz —

siłę, działającą na jednostkę powierzchni czyli natężenie (n. Spannung, fr. effort, an. stress on unit of area, r. iianpa-üKenie), jeżeli więc siłę mierzymy w leg, powierzchnię w cm², to natężenie wyrażać będziemy w kilogramach na centymetr kwadratowy, co oznaczamy kg cni¹ (czytaj kg na cm²).

Jeżeli natężenie stara się drobiny ciała jedne od drugich oddalić, wtedy nazywamy je ciągnieniem (n. Zug, fr. traction, an. tension, r. naripałKenie na pa3pißrn) i oznaczamy znakiem + . Jeżeli zaś natężenie stara się zbliżyć drobiny jedne do drugich, to nazywamy je c i śnie ni e m (n. Druck, fr. compression, an. compression, r. iianpaHteme na cnfaTie) i oznaczamy znakiem —.

Równanie 33) możemy więc inaczej napisać

= v oznacza

dl

.    . 34)

a zatem przedłużenie jednostkowe jest proporcyo-nalne do natężenia. Jeżeli w równaniu 34 zrobimy r = l,

to — =    a zatem spółczynnik sprężystości jest

L    jEj

odwrotną wartością przedłużenia jednostkowego dla natężenia równego jedności. To przedłużenie jed-

*) Doświadczenia wiedeńskie z belkami żelaznemi okazały, że odkształcenia sprężyste podlegały temu prawu i po za granicą sprężystości, p. Zeit. d. öst. Incj. w. Arch. Vereines 1891.

nostkowe a nazywamy społczynnikiem wydłużenia (n. Dehnungskoeffizient, fr. coefficient d’allongement, a. coefficient of extension, r. Koe^ugieuTŁ ygjiaiieuifl).

Analogicznie do 34) możemy napisać

.    . 35)

E.¹ b

E2 ' >

Spółczynniki E{ i Et nazywamy spółczynnikami sprężystości poprzecznej (n. Koefficient für Transversalelasticität, fr. coefficient dl élasticité transversale).

Spółczynnik sprężystości E jest tylko dla ciał równokie-runkowych, których struktura jest zupełnie jednorodna (n. isotrop, fr. isotrope), we wszj’stkich kierunkach stałym. Takiem ciałem jest n. p. żelazo lane, podczas gdy żelazo spawane i stal mają tę własność tylko w przybliżeniu. Drzewo jest nierównokierunkowe, dlatego musimy tu E wyznaczyć osobno w kierunku włókien, a osobno w kierunku prostopadłym do włókien.

Spółczynniki sprężystości poprzecznej są w ciałach równo-kierunkowych równe, przyczem Ei=E₂=—E. Ilość m nazywamy stałą Poissona (n. Poissonsche Konstante). Dla ciał równokierunkowych jest m=3,3, dla żelaza spawanego i stali m=3 do 4.

Spółczynniki sprężystości są dla każdego materyału inne. "Wyznaczono je, poddając ciało badane działaniu pewnej znanej siły P i mierząc przedłużenia lub skrócenia Al. Jednak i dla tego samego materyału nawet spółczynnik sprężystości ma wartości bardzo różne n. p. dla żelaza walcowanego otrzymał

a nawet dla

żelaza z tej samej fabryki otrzymano według doświadczeń towarzystwa Cincinnaty Southern Railway w Ameryce wartości

len

y dlatego też wartości, które podajemy poniżej dla rozmaitych materyałów, uważać można tylko jako liczby przeciętne z wielu doświadczeń uzyskane. Różnice wartości spółczynnika sprężystości powstają także wskutek niezupełnie jednostajnego materyału.

Bender wartości od 1110000 do 2800000

cm

1350000 do 2430000

cm

W tablicy I. zestawiliśmy przeciętne wartości spółczynni-ków sprężystości dla materyałów, najbardziej w budownictwie używanych, jakoteż i natężenie przy granicy sprężystości, przyczem podnieść musimy raz jeszcze wielką niepewność granicy sprężystości. Linia OM (rys. 29.) nie jest zupełnie prostą, a wyznaczenie punktu styczności M zależy od dokładności przyrządów.

Tablica I.

Natężenie przy Na'çienio przy gra* nicy cias-towatości w lig jem²

Materyał

Spółczynnik sprę- granicy sprężystości E w kglcm"¹ żystości K w kg jem²

nie

rozciąga- ściska- rozcią- ściska- rozcią-nie ganię nie ganię

Aluminium (^lin)......

Bazalt i porlir.......

Beton...........

Cement ..........

Cynk............

Cyna............

Drzewo miękkie w kierunku

włókien.........

Drzewo miękkie prostopadle

do włókien.......

Drzewo dębowe w kierunku

włókien.........

Drzewo dębowe prostopadle

do włókien.......

Granit...........

Konopne liny .......

Miedź...........

675 000

260 000 260000 950000 400000

50

60

112 000

100000    600    150

1100

1000

115 000

100000    100    150

„ drut . . . Mur ciosowy . . Mosiądz . . . .

1 300 150 000 10 000 1 100 000 1 200000

1300 60 000

1 100 000

drut .

Ołów.....•

Platyna .... Rzemień nowy .

używany

640 000 987 000 60 000 1 600 000 1250 2 250

250 000 640 000

60 000 1 600 000

r—I

CC tH

88

2 660

Stal zlewna

2 200 000

2 500

2 200 000] do do 6 i wyżej

2 500    2 800

„ lana . . niklowa

Żelazo

spawane „    . zlewne

lane . .

blacha

drut

2150000

2 100000 2 000 000 2150 000 900 000

1    900 000

2    000 000

6 000

95 000

2 150 000

1500

2 200

CO (N CM

Considère zaproponował, aby oznaczyć jako granicę sprężystości ten punkt linii odkształceń, a właściwie to natężenie, dla którego przedłużenie jest dwa razy tak wielkie, niżby było, gdyby było proporcyonalne do natężeń. W naszym przykładzie byłby to punkt N., a zatem granica sprężystości spadłaby prawie z granicą płynności. W praktyce wyznaczenie granicy płynności jest daleko łatwiejsze i nie wymaga tak do" skonałych przyrządów. Z tych więc powodów we Francyi przyjęto regułę Considére’a i dlatego w dziełach francuskich zna-chodzimy znacznie wyższe wartości podane dla granicy sprężystości, niż w niemieckich i angielskich. My tu trzymać się będziemy naszego określenia granicy sprężystości, pierwiej podanego zgodnie z Bauschingerem.

Jeżeli niepewnemi są wartości, podane powyżej dla spół-czynników sprężystości, to tern trudniej da się dokładnie wyznaczyć granica sprężystości jeszcze z następnego powodu. Doświadczenia *), robione z żelazem spawalnem, okazały, że jeżeli granica sprężystości jest przy natężeniu z, a natężymy ciało aż do vl > z, to otrzymamy przedłużenie Al, które się będzie składać z Al, przedłużenia sprężystego i Al, przedłużenia trwałego; to znaczy, że po ustaniu działania siły 4Z, zniknie, a Al% zostanie (rys. 82.). Drobiny nie zajmą więc pierwotnego położenia, a zatem mamy właściwie do czynienia z nowem ciałem. Jeżeli teraz będziemy natężać ciało aż do natężenia vi, to otrzymamy tylko przedłużenie sprężyste tak, że V\ będzie teraz granicą sprężystości. Widzimy więc, że granica sprężystości żelaza spawanego powiększa się jednorazowem jej przekroczeniem. — Dla żelaza lanego niema właściwie żadnej granicy sprężystości, pierwsze natężenie pozostawiało bowiem przy doświadczeniach przedłużenie trwałe, poczem aż do tego natężenia zachowywało się żelazo lane, jak sprężyste; granica sprężystości dała się jednak jednorazowem większem natężeniem przesunąć wyżej.

Bauschinger badał też wpływ, jaki na granicę sprężystości wywierają zmiany w natężeniu badanego ciała i doszedł do następnych wyników :

*) P. rozprawkę p. W eh a g e: „Spannung in verbogenen Körpern w Ci-vilingeniur 1880a.

a) Przez liczne zmiany natężeń między natężeniem rów-nem zeru a największem natężeniem, spadającem z granicą

sprężystości albo nieco nad nią wyższem, podnosi się pierwotną granicę sprężystości aż do pewnej granicy;

A/ c.

b)    Zmiany natężeń w kierunku przeciwnym raz na ściskanie, drugi raz na wyciąganie, które nie wiele przekraczają granicę sprężj^stości, zniżają granicę sprężystości aż do zera;

Eys. 32.

c)    Powoli wzrastające natężenia dodatnie i ujemne zniżają granicę sprężystości dopiero wtedy, gdy przekraczają pierwotną granicę sprężystości;

d) Granica ta może być znowu podniesioną natężeniami zmiennemi, powoli wzrastającemi, jednak tylko do pewnej granicy, która może leżeć znacznie poniżej pierwotnej granicy sprężystości. Granicę tę nazywa Bauscliinger naturalną (n. natürliche).

Przykład. Pręt z żelaza spawalnego 5 m długi o przekroju prostokątnym, którego podstawa b=2 cm, wysokość h=20 cm, jest ciągniony siłą P=2bł] jakie jest przedłużenie pręta A l?

P. I

25000.500

=0'156 cm.

E.F 2000000.2.20

Wedle rów. 33) A1=

Natężenie v==^—^-=625 kgfcm%.

A l v    v

Z rów. 34) X = — = — otrzymamy E— — . Z rys. 32) widzimy, że

V

stc— — =E. Widzimy więc, że spółczynnik sprężystości przedstawia w wykresie odkształceń styczne kąta nachylenia z początku prostej OM a potem stycznej geometrycznej do linii odkształceń. Po przekroczeniu granicy sprężystości spółczynnik sprężystości maleje.

§. 18. Spółczynniki wytrzymałości na wyciąganie i ściskanie.

Gdy natężenie przekroczy granicę sprężystości, przedłużenia nie są już wtedy proporcyonalne do natężeń, lecz wyrastają daleko prędzej. Jeżeli natężenia odetniemy na osi odcinków (rys. 30.), a odnośne przedłużenia lub skrócenia jako rzędne, to punkty, wyznaczone temi rzędnemi wyznaczą linią OMNEF, która na długości OM t. j. w granicach sprężystości jest prostą. Między M i N linia się zakrzywia, a po za punktem N linia staje się płaską, aż nareszcie natężenia dochodzą do pewnej największości EE', poczem przy dalszem nagłem przedłużeniu się, natężenie się zmniejsza do FFi, a ciało się przerywa. Natężenie to największe EE' nazywamy spółczynnikiem wytrzymałości (n. Festigkeitsmodul, Bruchmodul, fr. effort de rupture, an. ultimate straining, r. Koe^ngieiiTt npon;iiocTn). Spółczynnik ten możemy wyznaczyć, poddając ciało badane natężeniu tak wielkiemu, aż ciało się przerwie. Podobną zupełnie linię odkształceń otrzymamy 'dla ciśnienia. Zgniecenie następuje tu przez przesunięcie cząstek ciała badanego na bok,

mpi

gjljp

Rys. 34.

Rys. 33.

a to w dwojaki sposób. Przy ciałach twardych odłupują się cząstki materyału w ten sposób, że zostają dwa ostrosłupy wierzchołkiem do siebie zwrócone (rys. 33.), albo też przy ciałach miększych n. p. ołowiu, następuje wybrzuszenie (rys. 34.). Gdy stosunek wysokości do najmniejszego wymiaru przekroju dosięga pewnej granicy (około 4 do 5 dla metali, 8 dla drzewa), ciało się wygina na bok i łamie. Występuje wtedy wytrzymałość na wyboczenie, o której będziemy mówić później. I tu otrzymujemy jednakże d]a tych samych materyałów bardzo różne wartości z powodu rozmaitej ich jakości tak, że podane poniżej wartości musimy uważać tylko jako przeciętne, otrzymane z wielu doświadczeń.

Tyczy się to w największym stopniu kamieni, bo jeżeli różnice wartości spółczynnika wytrzymałości dla kruszców wahają się o kilka lub kilkanaście procent, to dla kamieni dochodzą do 100 i więcej procent. I tak n. p. spółczynnik wytrzymałości dla piaskowca szarowakowego wynosi 1270 kg/cm2 węglowego 500 do 1200, pstrego 250 do 1300, kajprowego 150 do 1000, jurajskiego 300 do 800, kredowego 100 do 700, zielonego 200 do 400, karpackiego 120 do 650, molasowego 500 do 1500 ległem². Średnia wartość 300 ległem² podana dla piaskowca w tabliczce różni się bardzo od wartości największych i najmniejszych.

I tu okazały doświadczenia, że gdy ciało badane przerwało się przy pierwszej próbie przy natężeniu fi, to, gdy pozostałe części ciała poddano powtórnej próbie, ciało łamało się dopiero przy większem natężeniu fi'. Nie wypika jednak z tego, że kilkakrotnem natężeniem ciała aż do przerwania można wytrzymałość powiększyć. Doświadczenia te dowodzą raczej tylko niejednostajności ciał. Przy pierwszej próbie przerywa się ciało w miejscu najsłabszem już przy natężeniu fi, przy drugiej niema już tego słabego miejsca, więc wytrzymuje większe jeszcze natężenie aż do fi'.

Tablica II.

Materyał

Ciężar

gatunkowy

Spółczynnik wytrzymałości [JL

wyciąganie ściskanie

kg

CM*³

cm²

kg

cm²

Bazalt

Beton

Cegła zwykła

wypalona

••

Cement . . Cyna lana .

„ drut . Cynk lany . blacha

ii

Dolomit...............

Drzewo bukowe równolegle do włókien

8 000 2 200 1 500 1800

1    400 7 200 7 300 7 290 7 200

2    900

800

80

20

15

30

350

400

2 300 2 000

20

1000

i-* to

S8

GO

100

200

1000

co

88

Materyał

Ciężar

gatunkowy

Społczynnik wytrzymałości p.

wyciąganie

ściskanie

kg

kg

cm*

kg

cm²

Drzewo bukowe prostopadle do włókien dębowe równolegle „

„    „ prostopadle „

„    szpilkowe równolegle „

prostopadle „

ii

ii

ii

800

1000

1000

730

70

960

50

Granit.........

Gnejs.........

Glin..........

Konopne liny.....

Kwarcyt........

Łupek.........

Marmur........

Miedź lana.......

kuta.......

blacha ......

„ drut .......

Mosiądz lany......

„ drut ......

Mur ceglany na cemencie „ wapnie

ii

ii

Ołów . . . Piaskowiec Platyna kuta Porfir

Rzemień......

Spiż........

Srebro .......

Syenit.......

Stal bardzo miękka „ miękka . . . . „ twarda . . . . „ bardzo twarda .

„ drut ......

„ niklowa miękka średnia

Szkło lane

„ dęte.....

Wapień......

Zaprawa wapienna „ cementowa Żelazo lane

ii

ii

■■

spawane zlewne blacha drut .

ii

730

750

2 750 2 550 2 600

900

2 650 2 800 2 700 8 790 8 900 8 900 8 880 8 400 8 540 1800 1 800 11400 2 400 21300 2 600

4S

40

30

r—I

2 030

CT tO GD i-» rf*. t—‘

8808080

650

1340

2    400 2 200 5 000 1500

3    600

88888

l> CD CO lO O

750

90

125

50

10

500

3 400

300

Złoto

8 040 10 500 2 750 7 860 7 860 7 860 7 866 7 860 7 860 7 860 2 890 2 640 2 700 1900 1700 7 500 7 800 7 850 7 S00 7 800 19 350

300

2 000 2 900

7    400 11000

210

375

27

20

H CO ^ CO C OJ

1200

1100 5 000 5 800

7    000

8    000

5 000 7000 1300

600

60

100

7 000 3 200 4000

Tablica III.

Rozporządzenie minister, austr. o zakładach żelbetowych z r. 1911 przepisuje następujące ciężary właściwTe.

Materyał

Ciężar

kg/m³

Materyał

Ciężar

kgjm

Żelazo spawane „ zlewne . lane . .

Stal........

Ołów.......

Miedź walcowana . Drzewo dębowe suche bukowe „ modrzew. „

„ sosnowe, jodłowe, świerkowe suche Bruk kostkowy . .

Szkło .......

Żwir.......

Piasek ......

Gruz.......

Żużel z wielkiego p Popiół węglowy . . Asfalt lany . . . .

Terazzo

„ żwirowy ubijany . . .

Płyty zendrówkowe Bruk kamienny . .

»    n granitowy

Dyle gipsowe

to to to to h-“-

2000

Cl iH

qm i œ ^ o ^ to co c o m q o cc o ^ cr> co

88S880880S888888 0S88888

Beton żużlowy .... 1000—1300

Korek.........

Zaprawa wapienna . .

cementowa . .

Beton ubijany.....

Żelbet .........

Mur ceglany z tynkiem z zwykłych cegieł : a) na wapnie .... cemencie . . . z cegieł maszynowych:

a)    na wapnie ....

b)    „ cemencie . . . z zendrówek na zapr.

cementowej.....

z cegieł pustych na wapnie ........

z cegieł porowatych na

wapnie...... .

Mur z kamieni łamanych, z piaskowca lub wapienia 2000-2500 z granitu, bazaltu itd. .    2 700

Mur ciosowy z piaskowca

lub wapienia .... (2100—2600 z granitu, bazaltu ...

330

1    520 1700

2    200 2 400

1600

1700

1700 1 800

1950

1400

1200

2 800

Tablica IV.

Bozp. austr. min. kolei żelaznych dla mostów z 1904 nakazuje przyjmować*.

Dla 1 m³

Ton

Żelaza

spawanego . . . „ zlewnego . . . surowego lanego

7-80

Stali .

Ołowiu

Drzewa (świerkowego, modrzewiowego, jodłowego, sosnowego)

dębow-ego i bukowego...............

Bruku drewnianego....................

Piasku..........................

Żwiru..................

7-85

7’30

7-90

11-40

0-90

*'

100

1-10

1-60

Gliny, ziemi...............

Bruku kamiennego wedle gatunku kamienia

Asfaltu lanego..............

Muru z kamienia ciosowego........

1-90

1-80

2-50—3-00

1-20

ii

ii

ii    ii    a

„    z cegieł . .

z zendrówek z betonu .

ii

ii

łamanego i to z wapienia z piaskowca . .

2-60

2-40

ii

2-20

1-60

1-90

2-00—2-50

Tablica V.

Rozporządzenie ministerstwa pruskiego z r. 1910.

Materyał

Ciężar kg/m³

Materyał

Ciężar kg Im³

Ziemia, piasek, glina mokra „ sucha

.    »    v

Żwir mokry . .

„ suchy . .

Popiół koksowy Piasek pumeksowy . . .

tc H-‘ to

•Cl »d O ł—*

888888

Mur ciosowy:

z granitu, syenitu, porfiru

z bazaltu........

z lawy bazalt, zbitej . . „    „    „ porowatej .

z marmuru zbitego . . .

„ porowatego . z piaskowca ciężkiego . .

„    lekkiego . .

z tufu, porfiru i zbitego

wapienia.......

z tufu, pumeksu i luźnego wapienia......

z łupku .........

piaskowca wapiennego .

„    sztucznego

zaprawa cementowa . .

„ cement.-wapienna „    wapienna . . .

„    trasowa . . .

gips (lany).....

beton, żwir, granit itd. żelbet........

1800 2 100 2100 1900

1    700

2    000 1000

2 800 3 000 2 800 1800 2 500 2 000 2 700 2 400

2 000

1400 2 700

beton z cegieł......

„ z żużla......

„ z żwiru pumeksowego

8888

^■^ooo

Mur z kamienia łamanego:

z granitu .......

z wapienia, piaskowca piaskowca......

2 700

2 500

Mur z :

z en dr ó wek.......

cegieł..........

porowatych cegieł . . . .

pustych cegieł......

porowatych pustych cegieł korku ..........

1900 1800 1100 1300 1000

600

Pokrycie podłogi:

z cementu.......

z gipsu ........

z terazzo .......

asfaltu lanego.....

linoleum ......

płyt korkowych ....

ze szkła ........

Drzewo jodłowe suche . „    sosnowe „

„    dębowe ....

„    świerkowe . . .

„    bukowe ....

Żelazo lane......

„    spawane ....

„ zlewne.....

Stal zlewna......

Ołów.........

Bronz....... .

Miedź walcowana . . .

Cynk lany......

„ walcowany . . . Cyna walcowana . . .

fcO i-* >— to to to

^fOOCDO^COOOCOt\0~'10iCOa5C10C»fO£*-Qt-ltO

8088080080008088888888

P o s t a n o w i en ie r o syj. ministerstwa komunikacyi z 1905 r.: zatwierdza się normy ciężaru właściwego dla:

żelaza zlewnego .... 7’85 „ spawanego . . . 7’77.

§. 19. Wpływ kształtu ciała, ciepłoty, wilgotności i ciężaru gatunkowego na wytrzymałość.

Mówiliśmy w §. 17., że siła, działająca w osi ciała, sprawia oprócz odkształceń podłużnych także poprzeczne. Dla tych

ostatnich nie jest jednak obojętnym kształt ciała, bo włókna ciągnione nie mogą każde z osobna zmniejszać swego przekroju, lecz są z innemi połączone i oddziały wuj ą na siebie nawzajem. Oddziaływanie to jest jednak różne przy różnych kształtach przekroju, co ma wpływ na wytrzymałość ciała.

I rzeczywiście doświadczenia Kirkaldego, Bauschin-g'era i Bacha dowiodły dla ciągnienia małe zmniejszenie się wytrzymałości przy zwiększającej się szerokości żelaza płaskiego, a dla ciśnienia zwiększenie się wytrzymałości przy zwiększeniu się przekroju.

Jeżeli w ogóle w jakikolwiek sposób przeszkadzamy odkształceniu poprzecznemu, zwiększamy przez to spółczynnik wytrzymałości. Jeżeli więc ciało B (rys. 35.) 1 o mniejszym przekroju ciśnie na ciało C o większym przekroju, to ciśnienie prze-b nosi się na graniastosłup mnop, lecz otaczający ten graniastosłup materyał przeszkadza odkształceniu poprzecznemu, dlatego też do zgniecenia potrzebna jest siła nie P'=/t a b, lecz wedle doświadczeń, które Durand-Claye wykonał z kamieniami, a przy których było a = b i a'— b' P= u a a'

Ogólnie możnaby napisać:

P=^ aa' V .

—o-

_________

C—.....

a'..............

-U-

Rys. 35.

.    .    36)

.    .    37)

Bauschinger otrzymał na podstawie swych doświadczeń nieco odmienny wzór, mianowicie

a' b' *)

Wielki wpływ na wytrzymałość metali ma ciepłota ciała badanego. Żelazo przy bardzo wysokiej ciepłocie 1000° zbliża się do stanu płynnego i spółczynnik wytrzymałości spada prawie do zera.

M. Ko 11 man robił w r. 1878 doświadczenia w tym względzie z żelazem spawanem i otrzymał następne wyniki

.    .    38)

*) Por. także doświadczenia Genela (Bet. u. Eisen 1910, str. 174).

Statyka.

ciepł. 0 50    100    150 250 350 450 550 650 750 1000° C

sp. wytrzym. na ciąg.

^=3750, 3750 3730 3650 3500 3200 2280 860 690 490 150 kg/cm2 JlOO 100 100 97    93    85 61 23 19 13    4%

Widzimy więc, że do 200° C wytrzymałość żelaza bardzo mało się zmniejsza, szybciej już od 400 do 500°, potem jednak spada nagle, a przy 1000° wynosi tylko 4°/₀.

Bardzo niska ciepłota ma też wpływ na wytrzymałość, jak to okazały doświadczenia Dewara i Stein era*). Wytrzymałość metali była przy bardzo niskiej ciepłocie większą, i tak wynosiła wytrzymałość na ciągnienie

przy + 150° C przy — 182° C 6500 kg jem2 6200 „

2800 „

Na wytrzymałość drzew szpilkowych ma także wielki wpływ wilgoć. Bauschinger mierzył wilgotność, susząc dane kawałki drzewa, dopóki ciężar ich się zmniejszał i uważał ubytek wagi, wyrażony w odsetkach jako miarę wilgotności.

w procentach

stali miękkiej

żelaza

miedzi

3900

3000

1900

mm

1000

1300

itoo tym*

Rys. 36.

Otrzymał on n. p. dla modrzewia dla wilgotności wy trzy m. na ciśnienie g— 294 dla świerku

w = 28-    23-5    14-9    18-4    7-6

P = ²⁹    324    443    568    718    kg\cm²

Wilgotność w=15 °/₀ odpowiada drzewu suszonemu w otwartej szopie. Dla tej wilgotności znalazł Bauochinger

*) Por- Schweiz. Bauzeitung 1895, str. 137.

w = 29-0 25-3 14-3    8*1

7-7

o/

/ o

374    532    818 884 kg/cm²

Ol

o/

/ o

że

wytrzymałość zmienia się wraz z ciężarem gatunkowym i to w przybliżeniu wedle prawa linii prostej tak, że możemy napisać li = 1000 y—100 kgIcm² .

Z powyższego wynika, że drzewo mokre ma znacznie mniejszą wytrzymałość od suchego i że przez wysuszenie go w otwartej szopie zwiększyć możemy wytrzymałość jego w dwójnasób.

Co do wytrzymałości wapieni i piaskowców okazały doświadczenia M. Michelota wielką ich zależność od ciężaru gatunkowego. I tak dla wapieni przedstawiają rzędne na rys. 36. spółczynniki wytrzymałości a odcinki ciężary gatunkowe. Linia krzywa, przedstawiająca zawisłość spółczynnika wytrzymałości od ciężaru gatunkowego, jest wedle doświadczeń Michelota hyperbolą. Podobnie przedstawia rys. 37. tę zawisłość dla piaskowców.

Wytrzymałość muru na ciągnienie jest mniejszą, niż jego części składowych, a to z powodu, że przyczepność jest mniejszą od spójności, czasem kamienie są źle oczyszczone, dalej kamienie wap-niste wciągają wodę z zaprawy, przez co wytrzymałość jej się zmniejsza, wreszcie mróz działa w ten sam sposób. Wytrzymałość muru na ciśnienie jest mniejszą niż kamienia, a większą niż zaprawy i ma się odwrotnie do grubości szwów. Jeśli niema wcale zaprawy, a kamienie się dokładnie stykają, trzymałość jest większą*).

.    .    39)

Ąfh‘

ism

900

fOO

600

300

4Û6

100

100

1000 £100

HOP

seoo *j/„i

Rys. 37.

wy-

§. 20. Zjawiska przy przerwaniu.

Jeżeli natężenie ciała ciągnionego przekroczy

granicę

płynności N (rys. 30.), to przedłużenia wzrastają bardzo prędko, a przekrój pręta się zmniejsza odpowiednio, aż pewnem natężeniu EE], które zależy od natury ciała, występuje nowe zjawisko (rys. 38.). W pewnem miejscu J/7⁷,

nareszcie przy

zmiennem

*) Porów, autora „Mosty kamienne“, wyd. IL, str. 11.

dla rozmaitych prętów, następuje znaczne zmniejszenie przekroju, które nazywamy zwężeniem (n. Kontraktion, Einschnürung, fr. striction), a które się wzmaga, aż nareszcie następuje w części najwęższej mn przerwanie ciała. Zwężeniu temu towarzyszy miejscowe przedłużenie, które dosięga w całości wielkości OF, (rys. 30.).

Zwężenie to występuje najbardziej w niektórych metalach ciągli wy ch (n. zähe, dehnbar, fr. ductile, a. ductile), jak ołów, cyna, miedź, mniej wyraźnie w żelazie i stali miękkiej, prawie wcale nie w drzewie, żelazie łanem i stali twardej.

T'

była P

p

nik wytrzymałości g = -_₁=EEr Gdy następuje zwężenie, siła P zmniejsza się i otrzy-

p>

mujemy dla przerwania fi' = --= FFU a że

P'< Pi więc i    co wydawałoby się

sprzecznem i wymaga wyjaśnienia, dlaczego ciało nie przerywa się dla fi, lecz dla mniejszego /1'. Powód tego zjawiska leży w zwężeniu

Jeżeli siła, działająca w kierunku osi prętu, przekrój pierwotny F, to spółczyn-

Rys. 38.

a więc w mniejszym przekroju, który w chwili przerwania wynosi P', właściwe więc natężenie przy przerwaniu czyli spółczyn-nik wytrzymałości w zwę-

p’/

P'

żeniu [i"=— >^. To samo

lehic

odnosi się zresztą i do in- ^ nych natężeń i aby otrzymać prawdziwą krzywą odkształceń , należałoby u-względnió rzeczywistą powierzchnię zmniejszoną.

Także i co do przedłużę- .....................-40h%-...........

nia musimy rozróżnić prze-

.....»

OC OQ

—5575^........

LX

Rys. 39.

dłużenie (n. Verlängerung, fr. allongement, a. élongation, r. y/yimieiiie) prętu całkowite między znaczkami, umieszczonymi w pewnym oznaczonym odstępie, a przedłużeniem w zwężeniu. Przy próbach materyałów mierzy się zwykle przedłużenie całkowite i to uważa się jako znamię ciągliwości, chociaż właściwie należałoby jako takie znamię uważać przedłużenie w zwężeniu.

Na ryc. 39. przedstawiliśmy krzywą odkształceń dla żelaza spawanego wedle Considéré’a. Krzywa OLPNS jest zwykłą krzywą odkształceń, wyznaczoną ze względu na pierwotną powierzchnię przekroju, OLP' N' R' zaś prawdziwą krzywą odkształceń, wyznaczoną z uwzględnieniem zmniejszenia się przekroju, zwężenia i przedłużenia w zwężeniu.

Poniżej podajemy tabliczkę odnoszącą się do tego doświadczenia, przyczem nadmieniamy, że odstęp znaczków wynosił 200 mm.

Tablica VI.

Siła ciągnąca S

Przedłużę-nie miedzy ś d , znaczkami w stosunku do lm a : l

Najmniej- Natężenie sza po-§H

prętu wierzchni mniejszym przekroju przekroju F'

w naj-

(i

Przedłużenie w odsetkach w zwężeniu a, : ł,

Uwaga

kg

mm

Ml W ²

kg

cm²

aiataio*cT5Cïatot>f»-Æ-^a3C»tototûi-'i-‘

0-010 0-020 0-030 0040 0050 0060 0075 0-090 1-110

3- 800

4- 800 6-250 8-250

11-120 16-600 23-250 27-600 30-250

32- 000

33- 000    11-2

16-0    200*97

200-95

—    200-93

—    200-91

—    200-89

—    200-87 200-84

—    200-81

—    200-77

—    198-64

—    191-79

—    189-17

—    185-68

—    180-88

—    172-38

14-2    158-36

13-3    138-92

12-5    122-71

11-8    109-45

98-52

OTot^^-aoaoootototoiNDi—*h-¹

ODO<JMOOO»UOCOCntNDO^ia»CO'-*CO-1CT03l-‘

-.1IO»»^OigCKOQC»ü05COCDCDCDCOC£)CCCDO

ôôôôôôôôôcfo^!&cbT^cb£.^cb^4£

rH

granica

sprężystości

\ początek I zwężenia

przerwanie

Przedłużenie między znaczkami X=33%.

W rzeczywistości wskutek zwężenia, a więc zmniejszenia przekroju, przerywa się pręt dopiero przy natężeniu B379 kg/cm², widzimy więc, że

materyał zdoła miejscowo pracować znacznie więcej, niż to spółczynnik wytrzymałości wskazuje, ale w praktyce nie możemy przewidzieć dokładnie, o ile przy przerwaniu przekrój się zmniejszy i wyznaczamy spółczynnik wytrzymałości [j. ze względu na przekrój pierwotny i przedłużenie całkowite X. Dlatego też następnie będziemy brali pod uwagę tylko zwykłą krzywą odkształceń.

U-------------o/sy......

Eys. 40.

odkształceń dla żelaza (rys. 41.) i drzewa (rys. 42.).

Granica sprężystości leży tu między 1800 a 2000 fc?/cm², spółczynnik wytrzymałości p =

G100

201

=8084 kyjcm².

Kształt krzywej odkształceń zależny jest od materyału. Podajemy tu jako przykłady krzywą, spawanego (rys. 40.), żelaza lanego

y żelazo lane

------r.

drituo

'j /äOOkg/cm*

----

—......0*/.—......J

Eys. 42.

■ —0'25fa.......

Eys. 41.

§. 21. Własności ciał, zależne od krzywej odkształceń, zwężenia

i przedłużenia.

Zwykle na

za-

zeskłady działają nietylko siły stałe, lecz razem narażone są one na uderzenia i wstrząśnienia, których

siła żywa musi być zniweczoną pracą wewnętrzną materyału, proporcyonalną do iloczynu natężeń przez przedłużenia.

Jeżeli na osi OX (rys. 43.) odetniemy przedłużenia na cm długości a na osi OY natężenia v₎ to praca przy przedłużeniu prętu o przekroju F jest

Pdl=Fvdl, więc dla przedłużenia od 0 do A l

f{ai

v dl.

a praca jednostkowa na 1 cm długości prętu i cm² powierzchni

M dl

Jo

v— ‘2

.    .    40)

Na rysunku 43. przedstawia więc Lj przy przedłużeniu Al powierzchnię OBCCn pracę zaś, którą pręt wykonywa przy

przedłużeniu się o AL aż do przerwania, przedstawia więc dla F=> 1 pow. OBDFFx. Im większą ta powierzchnia, tern większą jest wytrzymałość prętu na wstrząśnie-nia i uderzenia, którą nazywamy odpor-X- - nością materyału (n. Arbeitskapazität, fr. rćristance vive de rupture).

Jeżeli przekroczymy granicę sprężystości, to po ustaniu siły otrzymamy odkształcenie trwałe 00,, przyczem O^jfOB, powierzchnia kreskowana jest jednak teraz mniejszą od całej powierzchni OBDFF,, a zatem przez przekroczenie granicy sprężystości zmniejszamy odporność.

Wstrząśnienia działają nagle na zeskład w ten sposób, że w pewnych częściach zeskładu wywołują znaczniejsze miejscowe odkształcenia. Przytem rozchodzi się o to, aby odkształcenia takie nie pociągały za sobą w tern miejscu przerwania. Zależy to od przedłużenia w zwężeniu. Im ciało jakieś przy przerwaniu wykazuje większe zwężenie i przedłużenie, a zatem im

W/m

WM

T-Zttzl..ii-----

Rys. 43.

ÇU

--------L

bardziej jest ciągliwem, tem lepiej wytrzymuje wstrząśnienia, tem mniej jest kr uchem (n. spröde, fr. fragile).

Podobnie rzecz się ma, jeżeli pręt pracujący na rozciąganie jest nadpęknięty (rys. 44.). Wszystkie włókna od pn do BC wydłużają się wskutek siły zewnętrznej, w pasku zaś Apmn wydłużenie takie nie jest możliwem z powodu pęknięcia mn. Siły, działające na Ap, muszą się więc przenieść przez całe

\n

Rys. 44.

włókno pn, stąd powstaje w n miejscowe odkształcenie większe, niż innych włókien. Jeżeli ma-teryał nie jest ciągliwym i niezdolnym do większych odkształceń, to w n natężenie dosięgnie spółczynnika wytrzymałości i pęknięcie się j>rzedłuży, poczem to samo zjawisko się powtarza aż do zupełnego przerwania pręta. Jeżeli zaś materyał jest ciągliwym, to możliwem jest większe odkształcenie miejscowe w n bez przerwania i pręt się nie przerwie. Z tego widać, że w ciałach kruchych każde najmniejsze nawet pęknięcie może doprowadzić do przerwania ciała.

Z poprzedniego widzimy, że tak przebieg linii odkształcenia, jak i zwężenie i przedłużenie wpływają na jakość ma-teryału. Z tego powodu próby materyału nie ograniczamy na wyznaczeniu spółczynnika sprężystości, lecz staramy się wyznaczyć także zwężenie i przedłużenie. Zwężenie i przedłużenie wyrażamy w odsetkach pierwotnego przekroju i pierwotnej długości między znakami, którą przyjmujemy 20 cm. Warunki dostawcze żelaza i stali zawierają zatem przepisy nietylko co do najmniejszej wytrzymałości, ale także co do najmniejszego zwężenia i przedłużenia.

Rozporządzenie austr. min. kolei żel. z r. 1904., dotyczące budowy mostów. §. 10.

A. Żela

zo spawane.

2. Żelazo spawane przy wytrzymałości na rozciąganie, wynoszącej 8-6 ł/cm² i wyżej w kierunku walcowania musi posiadać ciągliwość nie mniejszą niż 12%. Przy mniejszej wytrzymałości na rozciąganie musi być stosunkowo większa ciągliwosc, która przy dozwolonej jeszcze najniższej

wytrzymałości na rozciąganie, wynoszącej 3‘3 ton na centymetr kwadratowy, musi wynosić co najmniej 20%.

3.    Gatunki walcowane, które jako przyszłe części dźwigaru mają opierać się siłom, działającym w kilku kierunkach, muszą w kierunku poprzecznym do kierunku walcowania mieć wytrzymałość na rozciąganie, wynoszącą co najmniej 3'0 ż/cm² i ciągliwość nie mniejszą niż 5%.

nity i śruby użyć się mające, musi przy najmniejszej

4.    Żelazo, na

dozwolonej wytrzymałości na rozciąganie, wynoszącej 3‘6 ż/cm², posiadać ciągliwość conajmniej 18%«

B.    Żelazo zlewne.

5.    Wytrzymałość na rozciąganie żelaza zlewnego, na dźwigar mostowy użyć się mającego, nie może wynosić mniej niż 3’6 ż/cm², a przy

, żelazie zlewnem, wyrabianem w piecu płomiennym, nie więcej niż 4‘5, zaś przy żelazie zlewnem innego sposobu wyrobu nie więcej niż 4⁻2 ż/cm².

6.    Ciągliwość żelaza zlewnego musi być tak wielką, ażeby wytrzymałość (w ż/cm²) pomnożona przez ciągliwość (w procentach) dała jako iloczyn przy próbach rozerwania w kierunku walcowania najmniej liczbę 100, a przy takich próbach prostopadle do kierunku walcowania najmniej liczbę 90.

7.    Wytrzymałość na rozciąganie żelaza, użyć się mającego na nity i śruby, wynosić musi 3‘5 do 4’0 ton, ciągliwość zaś musi ono mieć taką, ażeby wytrzymałość (w ż/cm²) pomnożona przez ciągliwość (w procentach) dała jako iloczyn najmniej liczbę 110.

C.    Żelazo lane i stal lana.

8.    Wytrzymałość na rozciąganie lanego żelaza wynosić musi najmniej l⁻2 ż/cm², a na ściskanie najmniej B O ż/cm².

9.    Wytrzymałość na rozciąganie lanej stali dla części łożyskowych mostu wynosić powinna najmniej 5’7 ż/cm², a jej ciągliwość nie mniej niż 10%.

§. 11. 9. Ciągliwość mierzyć należy na pręcie próbnym o długości w'ymierzalnej \80F F oznacza powierzchnię przekroju poprzecznego prętu, która nie może wynosić więcej niż 6 cm².

F' = r\ (.1 AL

(41)

Ponieważ, jak widzieliśmy, nietylko spółczynnik wytrzymałości g=DDi (rys. 43.) i przedłużenie AL mają wpływ na zachowanie się materyału względem wstrząśnień, ale i wielkość pow. OBDFF\} więc też Tetmajer uważa tę powierzchnię F' = OBDFFi jako znamię dobroci materyału. Możemy przy tern wogóle napisać

Spółczynnik 77, który nazywamy pełnością wykresu (n. VölligJceitsgrad) jest dla pewnych materyałów prawie stały, a wtedy jest praca możliwa materyału wprost proporcyonalna do iloczynu ze spółczynnika wytrzymałości przez przedłużenie.

Doświadczenia Steiner a wykazały, że przy niskiej ciepłocie maleje ciągliwość. I tak n. p. wynosiło przedłużenie przy przerwaniu:

A zatem wytrzymałość wprawdzie wzrasta przy bardzo niskiej ciepłocie, ale ciało staje się krachem. Zwłaszcza uszkodzone żelazo zlewne i niektóre gatunki spawanego stają się przy bardzo niskiej ciepłocie kruche, jak szkło; nieuszkodzone zachowuje się znacznie lepiej.

NL

§. 22. Pewność i natężenie dopuszczalne.

Ponieważ, jak wiemy, spółczynnik wytrzymałości nie da się dokładnie wyznaczyć, lecz jest tylko przeciętną wartością spółczynników, w praktyce się trafiających, ponieważ wiele pobocznych lub przypadkowych wpływów, działających niekorzystnie na ciało badane, nie da się obliczyć, ponieważ wreszcie wszystkie materyały z wyjątkiem chyba kruszców szlachetnych, podlegają zniszczeniu zwłaszcza pod wpływem wilgoci i powietrza, a więc materyał staje się gorszym lub też przekrój mniejszym wskutek rdzewienia, ponieważ możliwe są błędy w ma-teryale, których nie można uniknąć ani spostrzec, więc z tych powodów nie dozwalamy nigdy w zeskładach budowlanych wzrosnąć natężeniu aż blisko spółczynnika wytrzymałości, lecz obliczamy przekroje w ten sposób, aby natężenie było — wytrzy-

an.

małości i nazywamy to natężenie % natężeniem dopuszcza 1 n e m (n. zulässige Spannung, fr. effort de securité, safe stress, strain, r. ^ouycuaeMoe uanpajKenie), a liczbę współczynnikiem pewności (n. Sicherheitsgrad, fr. coefficient de sécurité, an. factor of safetg, r. Koec|){|)iiii,ieHTrb npo'iiiocTii,

fi

42)

dla

przy norm. ciepłocie w ciepłocie —110 do —50° 15-0

żelaza spawanego stali Martina stali Tomasza

18-5

30-5

17

30-5%

17

3anaca), a zatem

il

Spółczynnik pewności n obieramy tern większy, im większym wstrząśnieniom ulega zeskład, im dłużej ma trwać i im mniej dokładnie możemy obliczyć siły działające i wytrzymałość materyału.

Obieramy przytem taki spółczynnik pewności, aby x—~~ nie

n

przekraczało granicy sprężystości. Uwzględniając te wszystkie okoliczności obieramy zwykle w praktyce dla spółczynnika pewności n następne wartości :

Tablica VII.

Spółczynnik pewności n

Materyał

,    ,    , i zwykle ze-

budowle skl/d bn_

tymczasowo dow'ictwie

mosty i dachy

maszyny

(wielkie

wstrząśnie-

nia)

1 rozciąganie I ściskanie

Drzewo.....

Kamień, cegła, mur

Beton......

Liny.......

Szkło . ...........

Żelazo spawane lub zlewne,

blacha i stal........

Żelazo lane.........

3 do 4

l— lO

Ci 00

K)

tfi. oi cn o

UOCD-.S |

O C— O C— C—

H CO

5 do 6    7 do 8

10

Francuzi w inny sposób wyznaczają natężenie dopuszczalne. Sądzą oni słusznie, że w najniekorzystniejszych warunkach nie powinno natężenie przekraczać granicy sprężystości, bo po jej przekroczeniu występują natężenia trwałe, zmiana układu wzajemnego drobin, która gdyby się częściej powtarzała, mogłaby doprowadzić do przerwania ciała. Dlatego też przyjmują Francuzi natężenie dopuszczalne x równe mtej części natężenia przy

.    .    43)

granicy sprężystości a więc t—— . i nazywają m spółczynnikiem pewności, przyjmując ra = , 2 lub 3.

Zarzucić jednak musimy temu sposobowi wyznaczania natężenia dopuszczalnego, że wyznaczenie granicy sprężystości jest bardzo niepewnem, że kilkakrotne nawet przekroczenie granicy sprężystości nie grozi katastrofą, a przy dosięgnięciu spółczynnika wytrzymałości ciało się przerywa, że nareszcie są ciała, nie mające wcale granicy sprężystości. Dlatego też lepiej przyjmować jako natężenie dopuszczalne ntą część spółczynnika wytrzymałości, przytem jednak trzeba dobierać takie w, aby to natężenie leżało znacznie niżej granicy sprężystości.

Co do kamieni zwrócić tu musimy uwagę, że na ciśnienie inaczej się zachowują monolity, a inaczej kamienie w murze lub w sklepieniu. Gdy dla monolitów z kamienia bardzo twardego przyjmują nieraz n = 7, z miększego, n = 10, to dla muru zwykle przyjmuje się w = 20, a dla sklepień nawet n=40 do 60.

Znając i n obliczymy łatwo z równania 42) spółczyn-niki wytrzymałości, które poniżej podajemy dla najważniejszych materyałów, zaokrągliwszy je według tego, jak je zwykle w praktyce obieramy.

t w kg jem²

maszyny (wielkie wstrząśnienia)

ściskanie

IIIIII88388SIIIII

800

006

1100 1400

006

1 300

300

550

650

rozciąganie

IIIIII88838SI

800

900

1 100 1400

900

1300

130

550

650

500

700

dopuszczał

mosty i dachy

ściskanie

rozciąganie

18 1 I I8S888SS88I 18

I OJ | I | OJ O JO) o o o co

I    III    05 OJ 05 OJ 05 tH

1000 do 9001000 do 900 1100 „ 1000 1100 „ 1000 1500 „ 1200 1500 „ 1200 11800 „ 1500 1800 „ 1500 1100 „ 1000 1100 „ 1000 1700 „ 1600 1700 „ 1600

25

600

200

800 do 700 900 „ 800

800 do 700 900 „ 800 750 „ 650 1000

Tablica VIII.

Natężenie

zwrykłe zeskłady budowlane

rozciąganie | ściskanie

200

100

28

100

23

100

22

io ta

400

iO o co oj

200

400

11

14

10

09

55

1100 1200 1 GOO

1100 1200 1 G 00

200

30

700

1000 1100

O iO 05 lO

250

1000 1100

950

1200

budowle

tymczasowe

rozciąganie | ściskanie

200

06

120

50

06

09

80

18

30

120

26

120

25

100

2G0 j 750

1 200    1 200

1 300    1 300

1100 1400

Materyał

Bazalt.....

Beton.....

Cegła (wypalona) Cement .... Cynk blacha . . Dolomit ....

Drzewo bukowe równoleg. do włókien prostop. „

„ dębowe równoleg. „ prostop. „

„ szpilk. równoleg. „

„ prostop.

Granit . . .

Gneis . . . Glin .... Konopne liny Kwarcyt . .

Łupek ............

Marmur...........

Miedź lana..........

kuta..........

Mur ceglany na cemencie . .

„ wapnie . . . „ kamienny „ cemencie . . .

„ wapnie . . . .

Porfir.......

Syenit.......

Stal bardzo miękka . „ miękka .... twarda .... bardzo twarda „ niklowa miękka średnia

Szkło dęte „ lane W apień Żelazo lane

spawane zlewne . blacha drut . .

Wyższe liczby dla mostów oznaczają natężenie dopuszczalne dla dźwigarów głównych, a niższe dla części drugorzędnych.

Chcąc według poprzedniego obliczyć potrzebny przekrój części zeskładu, szukamy największej siły P, która działa na tę część zeskładu w najniekorzystniejszym wypadku i otrzymujemy dla natężenia dopuszczalnego % przekrój

najw. 1*

.    .    44)

Normy, wypracowane przez austr, t o w. inżynierów i architektów w r. 1902, zawierają następne natężenia dopuszczalne.

Tablica IX.

A) Żelazo, drzewo i szkło.

kg/cm

1. Żelazo spawane i miękkie żelazo zlewne ....    1000

2.

lane

Rozciąganie Ściskanie kg!cm'1 1000 600

■j

200

3. Drzewo dębowe i bukowe...........

sosnowe, świerkowe, jodłowe, modrzewiowe

100

70

4.

80

60

5. Szkło: a) lane b) dęte

70

70

1.    Granit i porfir .

2.    Kamienie twarde

B) Ciosy i filary ciosowe.

M ateryał

Ściskanie w kgjcm

klasa muru

IIa Ilfc II c

60

BO

25

40

30

średnio twarde miękkie . . . bardzo miękkie

Klasa I. Pojedyncze kostki albo płyty dla 15-krotnej pewności,

„ II a Filary i słupy, których najmniejszy wymiar poprzeczny wynosi najmniej i/i do '/₈ wysokości,

„ II b Ciosy, wystawione na zewnątrz, słupy i cieńsze filary obcią' żonę, których najmniejszy wymiar poprzeczny wynosi ‘/₈ do V12 wysokości,

„ II c Całkiem cienkie słupy i filary obciążone, których średnica lub najmn. wymiar poprzeczny wynosi mniej, niż !/₁₂ wysokości.

Ściskanie dopuszczalne w kg/cm2 Klasa muru a) b) c)

3.

4.

5.

ii

ii

C) Mur ceglany i kamienny.

Rodzaj muru

1.    Mur ceglany na wapnie.....

2.    „

3. „

ii

„ cemencie romańskim

portlandzkim . . .

4.    „ kamienny albo mięszany na wapnie . .

5.    „

ii

ii

ii

30

20

10

25

15

7-5

10

di lo i’-

„ cemencie romań.

6.    „ mięszany albo mur z kam. warstw, na cem. portl. 8

Rodzaj muru 7. Mur kamienny z silnego obrob. kamienia na cemencie portlandzkim................

Ściskanie dopuszczalne w %/cmJ Klasa muru a)

b)

r)

10

z cegieł szlamowanych lub filarowych na cem. portlandzkim................

9.    „ zendrówek na cem. portl............

10.    Ławy fundamentowe z betonu (1:5).......

11.    Mury betonowe z cem. portl. o grub. 45 m w stosunku mięszaniny:

a)    600 kg na 1 m³ żwiru i piasku (1:8).....

a)    Mury o grubości 3> 45 cm jakoteż filary, których najmniejszy wymiar poprzeczny wynosi */₄ wysokości.

b)    Mury poniżej 45 cm grubości, jakoteż filary o stosunku wymiaru y₄—¹/₈.

c)    Filary o najmniejszym wymiarze przekroju ^>30 cm a stosunku l/₆ — V12 wysokości.

8. „

12

20

»    (1:4)

» .(1:8)

U: 10) . .

to co

D) Schody kamienne.

Przy schodach kamiennych wynosi natężenie dopuszczalne l/₅ spół-czynnika na zginanie.

E) Sklepienie ceglane, betonowe i ciosowe.

Rodzaj

muru

Dopuszczalne w kg jem ściskanie rozciąganie

1. Sklepienie ceglane na wapnie

2.

3.

4.

ii

IO ZD

7.

„ cemencie romańskim . . .

portlandzkim . . z cegieł szlamowanych lub filarowych

na cem. portlandzkim........

z zendrówek na cem. portlandzkim . betonowe z cemen. portl. (1: 3) (500 kg

na 1 w³)..............

betonowe z cem. portl. z wkładkami że-

ii ■

7-5

10

12

20

18

21

laznemi (1:3)

„    betonowe z cem. portl. (1:5, 325% na 1 m³)    12

„    z ciosów lepszego gatunku na cemencie

portlandzkim

Uwaga. Przy 1, 2 może być użyty czysty ostry drobnoziarnisty piasek kopany, przy 3, 4, 5 i 9 tylko takiż piasek rzeczny. Żwir do betonu czysty o •wielkości ziaren <4 cm średnicy.

P CO

to co

30

pt ^ po po

F) Grunt budowlany.

Glina i ił bardzo wilgotny, miałki piasek w warstwie 1 m grubości, jeżeli zapobieże się

bocznemu, wysunięciu do..........

Glina i ił średniej zwięzłości, pńasek miernie wilgotny, albo ilasty suchy pńasek do ... . Opoka, ił zbity, piasek suchy nie ilasty do . Zbity gruboziarnisty piasek lub żwir do . . Pulchna ziemia wodnista, fundamentowanie p>rzy użyciu pali na cm² przekroju pala do .

Ściskanie dopuszczalne kg/cm²

1-5

O O O    ip

<ń 4* £>    ⁰¹

Berlińskie prezydy urn policyi (1881) przyjmuje następnie natężenia dopuszczalne.

Tablica X.

Materyał

Natężenie dopuszczalne w kg/cm²

rozciąganie] ściskanie

Żelazo spawane . . .

„ lane .....

Blacha falista żelazna

750

760

250

500

500

500

cynkowa ....

Drut żelazny......

Drzewo dębowe i bukowe

r>

200

200

1200

100

80

„ bud. tymczasowe . .

120

90

sosnowe

100

60

ii

bud. tymczasowe

120

70

Granit...................

Piaskowiec wedle twardości........

Wapień Rüdersdorfski w ciosach......

Mur z wapńennych kamieni na wapnie . . . Zwykły mur ceglany . .

Mur ceglany na cemencie Najlepszy mur z zendrówek na cemencie . .

Mur z wapńeni porowatych.........

Dobry grunt budowlany ..........

45

15 do 30

25

11

12 do 14 3 „ 6 2-5 „ 5

z r. 1910:

Rozporządzenie min. pruskiego robót publicznych

Tablica XI.

Materyał

Natężenie dopuszczalne w kg/cm²

; rozciąganie | ściskanie

1.    Żelazo zlewne w dźwigarach stropowych

i schodowjrch. Rozpiętość l, odległość między środkami łożysk...........

2.    Żelazo zlewne w słupach........

1200

1200

1200

1200

przy dokładnem j obliczeniu dla najniekorzystniejszych wa- j runków

4.    Żelazo zlewne w dachach, ścianach, podcią- i

gach przy uwzględnieniu ciężaru własnego, j zmiennego i śniegu...........j

5.    Detto przy równoczesnem nąjniekorzyst- I

niejszem działaniu ciężaru własnego, zmień- i nego, śniegu i wiatru 150 kgjm².....

6.    Wyjątkowo dla dachów, gdy zachodzi pew

ność najściślejszym wymaganiom odpowiadającego obliczenia konstrukcja i wykonania w warunkach ad 5.........

7.    Żelazo zlewne w kotwach........

8.    Dla żelaza spawanego należy wartości ob- ; niżyć o 10%. Jeszcze bardziej należy ob- i niżyó przy starym materyale.

9.    Żelazo lane w płytach, łożyskach . . . . ;

„ w słupach.........j

3.

••

1 400

1200

1400

1600

800

10.

**

! 11. Stal kuta

1400

1400

1200

1400

1 500

1000

500

1400

12. Drzewo dębowe sosnowe

słupach

15.    a) Piaskowiec w ciosach łożyskowych . . w filarach i sklepieniach . w bardzo smukłych filarach

13.

b)

c)

i słupach

16.    a) Wapień i marmur w ciosach łożysko

wych ................

b)    Wapień i marmur w filarach i sklepieniach ................

c)    Wapień i marmur w bardzo smukłych

filarach i słupach..........

17.    Mur z cegieł zwykłych na zaprawie wapiennej 1:3...............

18.    Mur z zendrówek na zapr. hydraulicznej

1:2:7................'

Statyka.

100

100

80

60

60

45

25

30

25

15

30

20

12

do 7

12-15

Materyał

Natężenie dopuszczalne w kg jem¹

rozciąganie

ściskanie

19.    Mur z zendrówek na cemencie (1:8). . .

20.    „ z cegieł dziurkowatych

21.    „ z piaskowca sztucznego na zapr. wa

piennej ..............

22.    „ z piaskowca sztucznego na zapr. hy

draulicznej ............

23.    „ z kamienia łamanego na zapr. wa

piennej ..............

24.    a) Ławy fundamentów z betonu nasypa

nego .................

b) Ławy fundamentów z betonu ubijanego

25.    Dobi'y grunt budowlany........

20-30

3-6

do 7

12-15

do 5

6-8

10-15

3—4

Uwaga. Cyfry wyższe przy 1. 18 do 25 odnoszą się do przypadków, w których przeprowadzono ścisłe obliczenie statyczne przy przyjęciu możliwie niekorzystnych obciążeń i warunków.

Rozporządzenie min. austryackiego dla mostów kole-lejowych z r. 1904. §. 8. c. 12. przepisuje następne natężenia dopuszczalne.

Tablica XII.

Rodzaj muru i betonu

Największe

natężenie

dopuszczalne

ky/cm*

Mur na zaprawie ze sztucznego cementu portlandzkiego.

1.    Mur z kamienia ciosowego (z uwzględnieniem postanowień ograniczających następującego ustępu aj .... .

2.    Ciosy łożyskowe (z uwzględnieniem postanowień ograniczających następujących ustępów a) i b)........

3.    Mur warstwowy....................

t4. Mur z kamienia łamanego (czysty albo obłożony, przy

wielkich wysokościach, zaopatrzony także w ciągłe warstwy muru z kamienia ciosowego lub warstwowego) . .

5.    Mur z cegieł szlamowanych najlepszego gatunku, z tak

zwanych cegieł podwójnie szlamowanych lub cegieł filarowych ........................

6.    Mur z zendrówek najlepszego gatunku.........

7.    Beton mieszany w stosunku bOOkg cementu na 1 m³ piasku

i żwiru (objętościowy stosunek mieszania 1:3).....

8.    Beton mięszany w stosunku 325 kg cementu na 1 m³ piasku

i żwiru (objętościowy stosunek mięszania 1:5).....

9.    Beton mięszany w stosunku 225 kg cementu na 1 m³ piasku

i żwiru (objętościowy stosunek mięszania 1:8).....

10. Beton mięszany w stosunku 175 kg cementu na 1 m³ piasku i żwiru (objętościowy stosunek mięszania 1:10).....

30

50

15

10

12

20

18

12

Do tabeli powyższej postanawia się:

a)    Ciśnienie na mur z kamienia ciosowego i na ciosy łożyskowe nie może w żadnym razie wynosić więcej, niż */₂₀ część wytrzymałości na ciśnienie odnośnego materyału kamiennego;

b)    przy ciosach łożyskowych należy dopuszczalne ciśnienie oznaczyć ze względu na powierzchnię płyty łożyskowej dźwigaru.

Przykłady. 1. Jaką średnicę dać należy prętowi okrągłemu żelaznemu wiązania dachowego, jeżeli największa siła ciągnąca P= 6 <?

Według tabl. VIII. przyjmiemy t = 800 kgjcma zatem wedle 44) = 7,5 cm², a stąd    =

Przyjmiemy więc d=81 mm.

2. Niski słup drewniany o przekroju kwadratowym niesie 15 t; wyznaczyć wymiary, jeżeli budowla jest tymczasową a drzewo miękkie.

^ 6000

r = -——

HOO

8,09 cm.

Według tabl. VIII. przyjmiemy t = 80 kg/cm², a zatem wedle 44)

15000

gQ— = 187,5 cm⁵, stąd bok 6 = 18,7 cm, zamiast czego przyjmiemy 6 = 14 cm.

3. Długość boku fundamentu kwadratowego słupa murowanego wynosi 1 m, jaki ciężar może on przenieść na grunt, dla którego t=2,5 kg/cm²? P= 100.100.2,5=25000 kg=2b t.

§. 23. Doświadczenia Wöhlera i Bauschingera.

Badania nad wytrzymałością materyałów, a mianowicie liczne doświadczenia Wöhlera, urządzone z polecenia pruskiego ministerstwa w latach 1859 do 1870 i późniejsze Bauschingera i Tetmajera, okazały, źe jeżeli ciało łamie się przy jednorazowem obciążeniu przy natężeniu /i, to gdy ciało to obciążać będziemy bardzo często, złamie się już przy mniej-szem natężeniu. Dalej wykazały doświadczenia, że ciało łamie się tern prędzej, im większą jest różnica między największem i najmniejszem natężeniem i im większą jest największość natężenia. Z tego wynika, że przy obliczaniu przekroju musimy uwzględnić nietylko najw. P, ale i najmn. P, zwłaszcza jeżeli między temi wartościami jest znaczna różnica i obciążenie często się zmienia. Ten wypadek zachodzi szczególnie przy mostach, gdy przeciwnie w zespołach zwykłych w budownictwie w mniejszym występuje stopniu i wystarcza tam zwykle zachowanie dawnego sposobu uwzględniania tylko najw. P.

Ponieważ jednak czasami, zwłaszcza przy obliczaniu dachów, mamy do czynienia z obciążeniem zmiennem, więc zastanowimy się tu w krótkości nad doświadczeniami Wöhlera, które wykazały następujące prawidła:

1.    Gdy w pręcie powstają wiele razy natężenia, wywołane obciążeniem zmiennem, przerwanie następuje już przy mniej szem. natężeniu, niż gdyby natężenie było niezmiennem.

2.    Jeżeli natężenie zmienia się między pewnemi granicami najmniejszością i największością , to potrzebną jest tern większa ilość zmian natężenia do przerwania prętu, im mniejszą jest na j większość natężenia.

N. p. przy pewnym szeregu doświadczeń zmieniało się natężenie osi żelaznej od 0 do v₎ a ilość zmian natężenia potrzebna do przerwania była n.

Doświadczenie wykazało, że

dla v =    4500    3500    2 500    2 200 kg\cm²

n = 170000 450000 1 500000n > 4820000

3.    Jeżeli największośó natężenia pozostaje niezmienną, to tern większej potrzeba ilości zmian natężenia do przerwania prętu, im większą jest naj mniejszość natężenia.

4 820 kg leni², 7 300    „    ,

Niechaj n. p. v{) będzie najmniejsze natężenie, vi największe natężenie a n liczba zmian natężenia potrzebna, aby się pręt przerwał, to doświadczenia okazały dla stali, że dla    v₀    =    1210    2 430    3 660

a    vx    =    7300    7300    7300

potrzeba,    aby    n    =    0,06    0,15    0,40    n > 19,67 milionów.

4.    Jeżeli największośó natężenia przy stałej najmniej szóści nie dosięga pewnej granicy, to ciało się nie przerywa, clioćby ilość zmian natężenia była jak największą.

To natężenie graniczne nazywamy spółczynnikiem w y t r z y nra łości ustawicznej (n. Arbeitsfestigkeitskoeffi-cient, fr. limite de non-rupture, an. working stressJ, bo nawet dla ustawicznych zmian natężenia pręt przy tern natężeniu się nie przerwie.

5.    Wytrzymałość ustawiczna jest tern większą, im większą jest naj mniejszość natężenia.

Nazwawszy am naj mniejszość natężenia a a spółezynnik wytrzymałości ustawicznej, otrzymano z doświadczeń z żelazem spawanem

+ 1 750    3290 kg cm²

a = + 1700 + 2 340 + 3 200 -p 3 290    „

dla am = — 1 700    0

Inżynierowie francuscy nie przyjęli tych wzorów, lecz zarzucają im, że doświadczenia Wöhlera nie były tak liczne, aby można ustawiać na ich podstawie tak dokładne wzory, że zresztą zmiany w natężeniu następywały zbyt szybko tak, że drobiny nie miały czasu jeszcze wrócić do pierwotnego położenia, a już nastąpiła nowa zmiana natężenia.

Na podstawie tych doświadczeń ustawili uczeni niemieccy wzory, wedle których można dokładnie wyznaczyć wytrzymałość ustawiczną, a przyjmując wtą pewność także natężenie dopuszczalne z uwzględnieniem naj większości i najmniej szóści natężenia.

Profesor monachijski Bauschinger robił w tym względzie dalsze doświadczenia z żelazem spawanem i na ich podstawie doszedł do następnego wniosku.

Zmiany natężenia między natężeniem równem zeru a natężeniem przy granicy sprężystości nie sprowadzają nigdy przerwania, jeśli materyał nie posiada błędów i jeżeli granica sprężystości nie została sztucznie podwyższoną.

Wynik ten doświadczeń Ba use hing era dostarczył inżynierom francuskim nowego argumentu przeciwko uwzględnianiu przy obliczaniu przekroju nietylko naj w. P ale i najmn. P. Wychodząc z zasady, że natężenie dopuszczalne ma być witą częścią natężenia przy granicy sprężystości, twierdzą oni, że to, co się dzieje poza granicą sprężystości, niema wpływu na natężenie dopuszczalne. A że zmiany w natężeniu mają wpływ na wytrzymałość dopiero wtedy, gdy największe natężenie przekracza granicę sprężystości, więc zdaniem Francuzów nie trzeba ich uwzględniać.

Uznając po części zarzuty inżynierów francuskich za słuszne, pomimo tego wyznaczając natężenie dopuszczalne wedle // % wzoru 42)    — a nie wedle wzoru 43) t=—, uwzględniać

powinniśmy zmiany w natężeniu na podstawie doświadczeń Wöhlera i Bauschingera.

§. 24. Wyznaczenie wymiarów według Winklera.

Stosunek spółczynnika wytrzymałości ustawicznej do najmniej szóści natężenia am możemy wykreślnie przedstawić. Wykreślmy jako rzędne spółczynniki wytrzymałości ustawicznej a

(rys. 45), jako odcinki najmniej szóści natężenia an, to dla rozmaitych wartości am i a otrzymamy rozmaite punkty. Punkty te wszystkie połączone dają linię krzywą, zamiast której przyjmuje Winkler w celu uproszczenia wzorów prostą ab, nachyloną do osi OX. Chociaż prosta ab małoco różni się od krzywej ac' b', jednak zawsze wyniki, otrzymane na podstawie prostej ab, musimy uważać tylko jako przybliżone.

Równanie prostej ab będzie

.    .    45)

jeżeli a' i c oznaczać będą ilości stałe, które na podstawie doświadczeń wyznaczymy. Jeżeli w tern równaniu przyjmiemy am= 0, to a = a' ; natężenie to nazywamy spółczynnikiem wytrzymałości pierwotnej (n. Ursprungsfestigkeitskoeffi-cient, an. primitiv safe stress), bo przyjmujemy, że przed działaniem sił zewnętrznych natężenie pierwotne było równe zeru.

Poprowadźmy z punktu O prostą pod 45° do osi OX, to otrzymamy punkt przecięcia się a tej prostej z prostą ab. Z tego punktu spuśćmy prostopadłą aax, to będzie aal=ó = = Oau a więc dla am = ó jest a= Oai=ó. Natężenie ô nazywamy spółczynnikiem wytrzymałości spoczynkowej (n. Tragfestig-keitskoefficient, an. statical breaking strain). Jest to natężenie, przy którem ciało łamie się przy stałem niezmiennem obciążeniu.

a=a' + cam .

-"L

'S

c<

o Aż

Bys. 45.

i <r

Jeżeli za a i am podstawimy ô w rów. 45), otrzymamy ô — a' + cô czyli a' = ô (1—c). Podstawmy teraz tę wartość za a' w rów. 45), a otrzymamy a = ó(l—c) + caw ....    46)

Z doświadczeń otrzymano dla żelaza c=0,45, dla stali c=0,56, możemy więc napisać dla żelaza:

a=0,55 d+0,45 am.

Wszystko to odnosi się do wytrzymałości na rozciąganie ; dla ściskania otrzymamy podobną linię na dole pod osią OX i równanie podobne jak 45), stałe a' i c będą tylko inne.

.    .    47)

Przypuśćmy teraz, że chcemy wyznaczyć przekrój belki, przyjmując n-tą pewność. Jeżeli a jest spółczynnikiem wytrzymałości ustawicznej, to według rów. 42) i 44) a = n —,

r

gdzie F oznacza przekrój, P siłę, działającą w osi. Również

,    .    ,    najmn. P . . ..    ...

możemy napisać am=n———-, jeżeli ccm oznacza najmniej-

szość natężenia, ô jest spółczynnikiem wytrzymałości jednora-

zowej, więc dla w-tej pewności—Podstawmy te wartości

najmn. P

w rów. 46), a otrzymamy a=n na^w^ ?.. = nx( 1—c) + cw

Pomnóżmy całe równanie przez P, a podzielmy przez nt (1—c), to otrzymamy:

najw. P t(1—c)

najmn. P G x (1—c)

Zastosujmy to do obciążenia zmiennego i nazwijmy siłę, wywołaną ciężarem stałym P₀, a ciężarem zmiennym P1? to najw. P=P₀ + P,, a najmn. P=P₀, więc najw. P—c najmn. P=

Po

= P₀+Pi, a stąd F=--h

T

P\

x(l-c)'

Jeżeli natężenie zmienne jest raz dodatnie, drugi raz ujemne i jeśli nazwiemy P₂ największą ujemną siłę, wywołaną ciężarem zmiennym, bez względu na znak, to wtedy najw, P = P₀ +P1? zaś najmn. P=P₀ —P₂, zatem najw. P+ —c najmn. P= P₀ + P^ — c P₀ + c P₂,

p

więc    +

c Pi

t(1—c)'

x(l—ć)

a t(1-c) = t₁, to P=^+5.,

nie nie zmienia znaku, zaś, gdy jest dodatnie i ujemne, to P P

F= — + ~ + ~ , przyczem x2 ma znak ten sam, co Pl3 P₂ zaś jest dodatnie, jeżeli ma znak

Nazwijmy x=t₀₎

gdy natęże-

P%

— . P₀ jest dodatnie, jeżeli c

przeciwny.

Wstawmy wartość za c i t, to otrzymamy dla żelaza jeżeli przeważa wyciąganie:

Po

cm²

F= ⁰    4. _ .¹.

1400 ^ 770

zaś jeżeli przewaza ściskanie:

],₌ A ₊ t_ +

1200    720 h 1800 ”

4~

1700

P₂

Wzorów tych możemy używać w budownictwie, dla mostów zaś trzeba uwzględnić jeszcze wstrząśnienia, sprawione ciężarem ruchomym, a to robimy w ten sposób, że ciężar ruchomy mnożymy spółczynnikiem większym od jedności: 1,3 dla mostów kolejowych 1,2 dla drogowych a 1,1 dla kładek. Wtedy otrzymamy dla mostów kolejowych żelaznych, jeżeli przeważa wyciąganie:

F=. r. .

1400    690

jeżeli zaś przeważa ściskanie:

Pi ; P₂

1300cm2

F«=

Po

Pi

1200 ⁺ 550

P>

.    49)

1380 ”

dla mostów drogowych żelaznych: jeżeli przeważa wyciąganie:

F-Æ

zaś jeżeli przeważa ściskanie:

Pi

P₂

1400 ' 640 ⁺ 1400

cm'¹.

Po

Pi

.    50)

F =»-—2- 4-1200 ‘ 600

P₂

⁺ 1500 ”

dla kładek żelaznych:

jeżeli przeważa wyciąganie:

F=

Po

Pi

1400    700 ^ 1550 ^

zaś jeżeli przeważa ściskanie:

.    .    51)

Po

F=----- 4.

1200 ^ 650

I»

W A u s t r y i obowiązuje rozporządzenie ministeryalne z r. 1904 dla mostów żelaznych, którego §. 8. odnoszący się do mostów kolejowych brzmi :

Dopuszczalne natężenie matenjałów budowlanych i gruntu w fundamencie.

A. Żelazo i stal.

1. Przy mostach kolejowych największe natężenia żelaza i stali w kg/cm² przekroju użytecznego, t. j. pozostającego po odtrąceniu dziur

na nity i części niewspółdziałających, nie mogą przekraczać wartości granicznych, podanych w następującej tablicy.

Tablica XIII.

Oznaczenie obciążenia i rodzaj natężenia

Dopuszczalne najwyższe natężenie kgjcm"¹

crj Przyjmując obciążenie określone w §. 7 dla mostów kolejowych z wyłączeniem działań, wywołanych przez wiatr, boczne wahania, boczne ciśnienia i hamowanie.

Żelazo

spawane

Żelazo

zlewne

przy roz

1. Natężenie przy piętościacli od

wyciąganiu O m do 10 m

3 c

CD

cg'

i § î?

H>„ „ 20 „ „ 40 „

11 ^0 „ » 40 „ v B0„

1'

łl

„ 80 120 „ do najwyższej

120

y*e.l

700 + 2 7    750+5 7

700 + 2 7 7GO + 4 7 700 + 2 7    800 + 2 7

720+1,5 7 840 + 7 770+7    840+7

820 + 0,5 7 840+7

900

Hw >0

b) Przyjmując wszystkie obciążenia, określone w §. 7 dla mostów kolei żelaznych.

5. Natężenie przy wyciąganiu lub ściskaniu

1000

1200

2. Przy mostach na gościńcach, na drogach, przy kładkach, dalej przy zeskładach chodnikowych mostów kolejowych największe natężenia żelaza i stali w kgjcm² przekroju użytecznego, t. j. pozostającego po odtrąceniu dziur na nity i części niewspółdziałających, nie mogą przekraczać wartości skrajnych, podanych w następującej tablicy.

Tablica XIV.

Oznaczenie obciążenia i rodzaj natężenia

Dopuszczalne najwyższe natężenie kg!cm¹

a)    Przyjmując obciążenia, określone w §. 7 dla mostów drogowych, tudzież dla ze składów i chodników z wyłączeniem działań, wywołanych przez wiatr.

1. Natężenie przy wyciąganiu i ściskaniu . do najwyżej..................

b)    Przyjmując wszystkie obciążenia, określone w §. 7 dla mostów drogowych.

5. Natężehie przy wyciąganiu lub ściskaniu

Żelazo

spawane

750 + 27

900

1000

Żelazo

zlewne

800 + 3 7

1050

1200

Metoda Winklera zaleca się wielką prostotą, nie jest jednak zupełnie ścisłą, jak już to wspomnieliśmy. Dlatego też podajemy poniżej metodę dokładniejszą.

§. 25. Wyznaczenie wymiarów według Launhardta i Weyraucha.

Launhardt przyjmuje jako równanie linii ac'b' (rys. 45).

.    .    52)

a—am—

ô — a ó-a' “ *

stąd widzimy, że różnica natężenia (n. Spannungsdifferenz) a—am jest funkcyą drugiego stopnia wytrzymałości ustawicznej a.

Podstawmy w równ. 52) am=0, to otrzymamy a = a', dla am=a jest a = ó. Dla tych dwóch wartości am otrzymujemy więc te same punkty, co w poprzednim paragrafie; dla innych wartości linia krzywa, wyrażona równ. 52), zgadza się dostatecznie z doświadczeniami Wöhlera.

Równanie to możemy inaczej napisać : a (ô—a')—am (d—a') = a (d—a), albo aa' = am(ó—a')-}-a², lub nareszcie

K??)-- -

a = «/ + ö-((5—a')Ą-a a

.    58)

Jeżeli teraz chcemy obliczyć wymiary belki, na którą działa w kierunku osi siła, zmieniająca się między granicami najmn. P. i najw. P, a przypuszczamy nta- pewność, to gdy am n. najmn. P n.najw. P n. najw. P

.    .    54)

najw. P

.    .    55)

równanie 51) możemy napisać :

a = a'^ 1 +

d—a,

a'

■r :

)■

Doświadczenia W öhlera okazały, że dla żelaza spawanego d = 3 290kg[cm², a' = 2 190 Jcglcm², więc -—j~ — ——^ q i,

a'    2190

a zatem a=a' (l-f|£), a gdy a=nr, a=nxto

Dla n—3 otrzymamy stąd

(i+łfl.

.    .    56)

t=700(1kgjcm² .

t= 900 ( 1 -j- -5- £) kg jem² .

.    .    57)

Dla stali średniotwardej możemy przyjąć

6 000-3000 3000    1?

<3=6000 kg jem², a'= 3 000 kg jem², więc -~

zatem dla n=3

.    .    58)

Dla stali miękkiej i bardzo miękkiej możemy

ó—a'

przyjąć (5=4 500 kg/cm², a a' = 2 700 kg^cm², więc

4500—2 700 “    2700

= ■§-, a zatem dla n=3 otrzymamy

a'

t = 1 000 (1 f) kg jem7, .

"Wzory poprzednie są tylko wtedy ważne, gdy najw. P i najmn. P mają te same znaki. W przeciwnym razie musimy uwzględnić dalsze doświadczenia W obiera nad wytrzyma-ł o ś c i ą dwustronną ct{ (n. Schwingungsfestigkeit, an. vibration safe strength), t. j. wytrzymałością ustawiczną, dla której najmn. natężenia równa jest największości natężenia, lecz ma znak przeciwny.

Jeżeli natężenie jest naprzemian dodatnie i ujemne i waha się między wartościami a" i a, przyczem a" ma znak przeciwny znakowi a, a bez względu na znak a> a", to analogicznie do rów. 52) da się tu według Weyrauch a ustawić następne równanie, zgadzające się dostatecznie z wynikami doświadczeń:

-(a + a"), .    .

.    .    59)

«i —

przyczem wszystkie wartości brać należy bez względu na znak.

Jeżeli w tern równaniu podstawimy «''=0, to a=a',

a dla a" = a jest ct=ar

Z rów. 59) otrzymamy

a"

a = a' + (ai—a') —

a'^1—

a' —aa"\ a )

a'

a ponieważ

ci"

05 = 05^1

najmn. P najw. P a'—a₁

a'

. . 60)

Dla żelaza spawanego otrzymał Wöliier =1170kc/jcm², więc °    ⁰¹

a zatem dla n=3:

2190-1170

a'

2 190

— — ł?

l-700(l—=-?'W/ot»s

*-700fl-ł

\ najw. P

Dla stali miękkiej i bardzo miękkiej możemy

-«i

. . 61)

. ,    . od

przyjąć ax — 1 350 kg ctyi¹, więc — f

dla n = 3

2 700-1350

2700

— j-, zatem

GM

t=900(1—\t>')kg\cml.....6 )

Dla stali średnio twardej możemy przyjąć

. a' —a,    3000—1500    „ a

ai — 1 500 kg jem², więc — - =-30ÖO za^em dk1 n==3

otrzymamy

.    .    63)

r= 1 000 (1—§• £') kg jem'¹ .

Wstrząśnienia możemy uwzględniać, jak w poprzednim paragrafie, mnożąc dla wyznaczenia najmn. P i najw. P ciężar spółczynnikami 1,3, 1,2 lub 1,1.

Przykłady.

Na pręt żelazny działa w osi siła ciągnąca P₀ = l#, spowodowana własnym ciężarem zeskładu, ciężar zmienny wywołuje siłę P,=15#. Jaką powierzchnię przekroju trzeba nadać temu prętowi:

Według metody Winklera otrzymamy z rów. (48):

1000    15 000

1 400 ⁺    770

a według Weyraucha otrzymamy z rów. (56): t = 700

= 0,71 + 19,48 = 20,2 cm²,

a z rów. (53)

(i. + I j-~y₅) = 722 kg/cm\

16 000

= 2,22 cm²,

2. Ciężar stały sprawia w danym pręcie żelaznym ciągnienie 2,8 t, ciężar zmienny zaś najw. P = + 10#, najmn. P= — 5#. Jak wielki przekrój musi mieć ten pręt?

Według Winklera otrzymamy z rów. (48):

2 800    10 000    5 000

1 400

a według Weyraucha z rów. (56):

t - 700 (l - t    = ⁶⁴⁰

722

770

1700

= 17,9 cm²,

a z rów. (53)

12 800

— 20 cm².

Z obu tych przykładów widzimy, że wymiary, otrzymane według wzorów Weyraucha, są większe, że więc Weyrauch przyjmuje mniejsze natężenia dopuszczalne, niż Winkler. Ze wzory Weyraucha odpowiadają lepiej doświadczeniom Wöhlera, mówiliśmy już poprzednio.

Prócz tego Tetmajer ustanowił inne równania, odcinając £ jako odcinki, a a jako rzędne i przyjmując, że krzywa «jest parabolą. Wpływ wyrazu z Ç² jest jednak tak mały*), że wystarczy używać dwu wyrazów, a wtedy otrzymujemy wzory Weyraucha.

§. 26. Natężenie dopuszczalne dla drzewa.

Doświadczenia Wöhlera ograniczały się tylko na żelazo i stal. Drzewa nie badano w ten sposób, jednak analogicznie przypuszczać możemy, że zmiany w natężeniu i tu będą miały podobny wpływ na wytrzymałość. Przy drzewie uwzględniać będziemy jednak wpływ ciężaru ruchomego tylko dla mostów, w budownictwie obliczać będziemy wymiary według dawnego

sposobu.

Dla mostów uwzględniamy wedle Winklera wstrzą-śnienia i zmiany w natężeniu w ten sposób, że mnożymy ciężar ruchomy, który jest przyczyną wstrząśnień i zmian w natężeniu, pewnym spółczynnikiem większym od jedności, a mia

nowicie :

pi’zy obciążeniu pośrećlniem bezpośredniem

dla kładek

*7 = 1,1

1,2

,, mostów drogowych i kolejowych

drugorzędnych ......

„ mostów kolei głównych .

Nazwijmy P₀ siłę, działającą wskutek ciężaru stałego, a Pi wskutek ciężaru ruchomego, to otrzymamy przekrój :

Po + *7 Pi

*7 = 1,2

*7 = 1,3

co

.    .    64)

F=

a stąd :

Zamiast tego możemy obliczać wymiary w zwykły sposób, jeśli odpowiednio przyjmiemy natężenie dopuszczalne t, więc Po + P\ Pq -|- ?7 P1

Ti

*) Porów. II. wydanie str. 70.

*\

Natężenie Tt możemy przyjąć według następnej tabliczki:

Tablica XV.

mosty stałe

mosty tymczasowe

natężenie tj dla drzewa

Rodzaj natężenia

miękkiego

twardego

miękkiego

twardego

kg

kg

kg

cm*

cni¹

cni¹

kg

cni¹

140

Rozciąganie . . .

Ściskanie ....

Rozporz. austr. min. dla mostów z r.

Przy mostach... natężenie, spowodowane działaniem wszystkich pionowych obciążeń (z wyłączeniem sił pionowych, spowodowanych przez wiatr) nie może przekraczać 80 kglcm² przy wyciąganiu lub ściskaniu w kierunku włókien ... Przy działaniu wszystkich obciążeń (a więc także i sił poziomych) dopuszcza się powiększenia tych wartości skrajnych aż do 90 kg/cm¹.

10. Dla mostów drewnianych tymczasowych, które nie mają być dłużej używane, niż 6 miesięcy, dopuszczalne jest przy działaniu wszystkich ciężarów (z wyłączeniem sił pionowych, spowodowanych przez wiatr) natężenie przy wyciąganiu lub ściskaniu w kierunku włókien, wynoszące 120 kglcm², jeżeli zaś mostów używa się dłużej i to aż do dwu lat, w takim razie należy powyżej oznaczoną granicę natężenia zniżyć, co najmniej do 100 kglcm².

105

70

120

120

80

80

95

1904. §. 8. B. ust. 8.

§. 27. Pręty o stałym przekroju.

Jeżeli siła P działa w kie-

ot,

w/aa

b,

ta

"é-

wLmMw

Rys. 46.

runku osi na pręt o stałym przekroju (rys. 46.) i uwzględnimy przy tern ciężar własny prętu, to w przekroju cd działa siła P' *=P-\-Fyx, jeżeli F oznacza przekrój a y ciężar gatunkowy. Siła ta P' jest największą dla przekroju ef, gdzie % = l, więc:

najw. P' = P+-Fyl. 66) Jeżeli natężenie dopuszczalne jest t, najw. P'=*P-f-■Ą-Fyl = Fr, a stąd:

albo

P=F(t — y 1)

. . 67)

. . 68)

t—y 1 ’

Jeżeli ciężar własny prętu jest bardzo małym w stosunku do ciężaru P, to możemy go nie uwzględniać i otrzymamy :

P=Ft, F= .

x

.    .    69)

Przykład. Jaką średnicę d ma mieć żelazne ścięgno okrągłe 16 m długie dla ciągnienia P= 3,2 ł, natężenia dopuszczalnego

•c=800 a y=7,8—,=7800—^ = 0,0078 — mi    cms

cm

Według rów. (68.) mamy:

3200

3200    3200

800- 0,0078.16000 “ 800-124,8 ~ 675£

=4,74 cm², a stąd:

rf=y4^X4

=2,46 cm=25 mm.

§. 28. Pręty o stałem natężeniu.

Jak to widzieliśmy poprzednio, natężenie w pręcie o stałym przekroju jest najmniejszem u końca, w którym zaczepia siła, a największem u drugiego końca. Jeżeli więc natężenie

największe jest równe natężeniu dopuszczalnemu, to natężenie w innych przekrojach jest mniejsze, a więc materyał nie został należycie wyzyskanym. Chcąc materyał lepiej wyzyskać, szukać będziemy takiego kształtu, ażeby natężenie było wszędzie równe natężeniu dopuszczalnemu. Jeżeli na taką belkę działa w kierunku osi siła P (rys. 47), to w przekroju cd jest, jak wiemy, P' — P-\-C, jeżeli C oznacza ciężar prętu abcd

P

na długości x, a natężenie — = t według .założenia, a zatem

F

Ft^P+C.

m/mm///////////////m//Mw/m

& A 71/

C-.cL

rjM

-1

a'

\P

<T

.1.........f.

Rys. 47.

Różniczkując to równanie, otrzymamy xdF=dC, a ponieważ dC=y Fdx, jeżeli y oznacza ciężar jednostki sześciennej

materyału, więc xdF—Fydx, a stąd dc——

x dF y F

— log nat. pf ,

y    i o

Scałkowawszy to równanie, otrzymamy : x Cx d F

y \o

a więc x—

(log nat. F— log nat. F₀), jeżeli F₀ oznacza przekrój dla ,z=0. Inaczej możemy to napisać:

F

log nat. —,

a stąd otrzymamy:

F₀

.    .    70)

gdy e jest zasadą logarytmów naturalnych.

• ?/ '

Ponieważ e:l = 1 + y -i- ~ + . .

F-F,{\+V* +

więc

y²x²

2 x²

Przekrój ab wyznaczymy zaś według rów. 44), więc

⁰ x

Dla wyznaczenia przekroju F wstawimy wartość z rów. 72) w rów. 70) i otrzymamy

-)

•    .    71)

.    .    72)

log F= log — + 0,434 294 5 -x    x

albo na podstawie równań 71) i 72)

.    .    73)

F=P( l + Z?

T \    X

y²x²

+ 2^-+"

.    .    74)

Według tego, czy przekroje są kołami, prostokątami, czy też innemi figurami, zmienia się zarys prętu, zawsze jednak pręt taki ograniczony jest powierzchniami krzywemi. Ponieważ w praktyce ciągła zmiana przekroju napotykałaby często trudności, więc zamiast powierzchni krzywych przyjmujemy często płaszczyzny np. zamiast ace albo składamy pręt taki z kilku części graniastosłupowych (rys. 47 6), których przekrój równa się największemu przekrojowi gh prętu o stałem natężeniu w danej części.

na

na rys. 47. przyjmujemy ae

Przykład. Na filar murowany (rys. 48) działa P w kierunku osi.

Obliczyć mamy przekrój u podstawy filaru tak, aby natężenie w F₀ i Fi było równe t.

Według rów. 72) mamy P=tF₀, siła, działająca na Fu jest w przybliżeniu

P' = P+lh

u

Ą + F,

a według założenia ma być P' = zFi; więc TF.-rł-.+ Y¹ K^i,

F,

Rys. 48.

a stąd

V -V 2t + Tä

Fl_ĄśT-Th

75)

Jeżeli mamy dane następne wartości: Y = 2,2f/w³, P=300f, i = 6%/cm²=60000 Ay/m¹=

«00

=60 f/m¹, h=9m, to F₀=^=5m²,

60

F,=5

2X60 + 2,2X9 2X60-2,2X9

:=6,98 m².

Zwykle jednak ze względów konstrukcyjnych górny przekrój filaru przyjmujemy większy, a przynajmniej 2m szeroki, wtedy natężenie jest w górnej części filaru mniejsze, niż t. W praktyce inżynierskiej zwykle nie spotykamy się z prętami lub filarami o stałem natężeniu i mamy do czynienia tu tylko z kształtami przybliżonymi.

fS    »

§. 29. Liny konopne i druciane i łańcuchy.

Chociaż poprzednie wy wody o wytrzymałości na rozciąganie zastosować się dadzą także do lin i łańcuchów, jednak zrobimy tu w tym względzie jeszcze kilka uwag szczegółowych.

a) Liny konopne (n. Hanfseil) składają się z włókien konopij europejskich lub też manilijskich. Pewna ilość włókien skręca się i tworzy wiązkę (n. Litze), kilka wiązek skręca się potem w linę, jądro liny nazywa się duszą (n. Seilseele). Lina może być albo nieskręcaną albo też skręcaną. Przez skręcanie jednak samo powstają już natężenia w wiązkach; doświadczenia ¹) okazały, że należy tylko o tyle liny skręcać, aby się skróciły o x/₄ długości, gdyż dalsze skręcanie zniżyłoby za bardzo wytrzymałość liny. Liny mokre lub omazione są także mniej wytrzymałe od suchych, a to w stosunku 3:4. Wilgoć bowiem wsiąkając w linę, zgrubia i zarazem skraca włókna,

wskutek czego powstają natężenia, zmniejszające wytrzymałość liny.

Spółczynnik wytrzymałości /z=500 do 800 kg\cm'L, możemy więc przyjąć natężenie dopuszczalne x= 100 Icgfcm². Jednak uwzględnić musimy także tę okoliczność, że wiązki w przekroju nie wypełniają całej powierzchni koła opisanego, lecz w przybliżeniu tylko 0,9 powierzchni koła, więc możemy napisać:

P-F*-0,Æ

jeżeli d oznacza średnicę liny, a P siłę wyciągającą linę. Stąd wynika

t=0,7 d¹ x

.    .    76)

d-y

4P

0,9 x n

=i>i9VI •

.    .    77)

Jeżeli w rów. 76) i 77) wstawimy x= 100 kgjcm², to otrzymamy

P=70d² kg i d = 0,119VP cm ....    78)

Ciężar własny liny suchej wynosi g = 0,065 d² kgjm[ a mokrej

g=0,078 <e „ j

79)

jeżeli d wyrazimy w cm.

Najmniejszy promień tarczy linowej przyjmujemy r=4rf.

Przykład. Jeżeli P=900 kg, obliczyć grubość liny.

Z rów. 78) otrzymamy:

<2=0,119 ^900=3,57 cm, a ciężar tej liny g—0,078 X 3,6²=1,0 kgjm.

b) Liny druciane (n. Drathseil, fr. cable en fil de fer, a. cable of iron wire, r. npoBOJiouHtm KaHam) są albo skręcane albo nieskręcane. Skręcane używają się wszędzie tam, gdzie przechodzą przez krążki, gdyż przy nieskręcanych zewnętrzne wiązki muszą się więcej przedłużać od wewnętrznych, więc pracują od nich więcej na rozciąganie, bo przy skręcanych każda wiązka jest raz na zewnętrznej, drugi raz na wewnętrznej stronie, a zatem ciągnienie rozdziela się jednostajnie na wszystkie wiązki. Nieskręcanych (n. Bündelseil) używamy tylko wtedy, jeżeli nie przechodzą przez krążki, a więc n. p. przy mostach wiszących. Jeżeli np. przyjmiemy dla drutu żelaznego x= 1500 kg jem³ i nazwiemy n ilość drutów, z których się lina składa, a średnicę drutu dt, to

cm .    80)

Znając ilość i grubość drutów, możemy obliczyć średnicę liny w przybliżeniu z równania d=l,3d,Vrc. Wstawiwszy w to równanie wartość z 80), otrzymamy

cm

. . 81)

a stąd

d=0,0378 VP P = 696 cl² kg

Przy skręcanych linach, które przechodzą przez krążki, uwzględnić musimy oprócz ciągnienia podłużnego także natężenie, wywołane wskutek zginania przy przejściu przez krążek, a natężenie to, zależne od promienia krążka, jest często bardzo znaczne.

W przybliżeniu możemy obliczać liny druciane, przyjąwszy z powodu przejścia przez krążki tylko natężenie dopuszczalne mniejsze, więc r=800kg/cm², a zatem

p=800 n    = 028 n cl.²

4

a stąd

cl, =0,04

V!

. . 82)

a że średnica liny da się obliczyć w przybliżeniu z równania d—1,59 d, otrzymamy

więc wstawiwszy tę wartość w równanie 82),

P = 247 cl² ( d=0,0636 VP I

Jako ciężar własny liny drucianej możemy przyjąć g = 0,8 ii d,² kg\m .

.    . 83)

.    . 84)

jeżeli di wyrazimy w cm.

Przykład. Z szybu 150 m głębokiego mamy wyciągnąć ciężar 1000 ky. Ciężar własny przyrządu do wyciągania oprócz liny waży 700kg. Jat grube mają być druty, jeżeli n=90?

Jeżeli ciężar własny liny wynosi na lm 0,8 ndl², to na 150 m wynosić będzie 120 nd^kg, a zatem cały ciężar P=1000 + 700 + 120x90<i1²= = 1700+10800 c?j², zaś według równania 82) F= 628 » d, ²=628 x90    ²=

stąd dy ²=0,037 cnt\

= 56520 tf,². A więc 1700+10800 d, ²=56520 d,², a d, =0,192 cm, zaś <2=2,9 cm=29 mm.

Ponieważ zmiany w natężeniu lin są znaczne, uspra-wiedliwionem jest tu zastosowanie doświadczeń Wöhlera²).

c) Łańcuchy (n. Kette, fr. chaîne, a. chain} r. ndrat). Rozmaite rodzaje łańcuchów są w używaniu, my tu mówić będziemy jednak tylko o łańcuchu najbardziej używanym t. j. angielskim, którego kształt i wymiary przedstawia rys. 49.

n:/h

—/r

W-—¹

Cci

i Ti

L....

—.....Sïïel-*-

Rys. 49.

Rys. 50.

Jak widzimy, łańcuch pracuje tu nietylko na rozciąganie, lecz i na zginanie eliptycznych ogniw. Oprócz tego zależna jest wytrzymałość łańcucha od dobrego spawania ogniw. Zamiast jednak obliczać wytrzymałość łańcucha na zginanie, możemy obliczać go tylko na rozciąganie, korzystając z doświadczeń admiralicyi angielskiej, z których się okazało, że wytrzymałość łańcucha ma się do wytrzymałości żelaza okrągłego o tej samej średnicy d nie jak 2:1, lecz tylko, właśnie wskutek zginania, jak 11:9. Przyjąwszy więc x= 1000 kglcm'\ otrzymamy

11    d^TT    \

₉-1000 ^- = 960 iVkg j d==0,032 VF cm. j

a stąd

Ciężar łańcucha możemy przyjąć w przybliżeniu

.    .    85)

g=2,33d² kgfm , . jeżeli d wyrażone w cm. Jeżeli ogniwa wzmocnimy szczeblem (rys. 50), to otrzymamy łańcuch szczeblowy (n. Stegkette) nieco wytrzymalszy. Doświadczenia admiralicyi angielskiej wykazały,

. . 86)

że wytrzymałość łańcucha szczeblowego jest -f- razy większą, otrzj^mamy zatem

p=

y 960rf² = 1234d² kg

d=0,0285 VP

.    .    87)

a stąd

Nowsze doświadczenia Tetmajera wykazały, że wytrzymałość łańcuchów jest jeszcze mniejszą. Należałoby więc przyjąć siłę P o 10°/₀ mniejszą, a zatem otrzymamy zamiast 85)

cm

P=874d lkg \

a stąd d = 0,033VPcm }

. . 88)

IV. Wytrzymałość na ścinanie.

§. 30. Spółczynnik wytrzymałości i natężenie dopuszczalne.

Ciało pracuje na ścinanie, jeżeli wypadkowe sił zewnętrznych, działających w płaszczyźnie, przez oś położonej, po jednej i drugiej stronie idealnego przekroju prostopadłego na oś, starają się przesunąć drobiny w płaszczyźnie przekroju.

Siła Q, działająca w odstępie As

............II! - od przekroju ac (rys. 51), sprawia

m** przesunięcie przekroju bd wzglę-

dem ab.

Przesunięcie to bbx zależne jest Wfi od momentu Q Aa i od przekroju F. |§f Możemy napisać

QAo_ vxAo F. Ex Ex

vx—^ jest wtedy natężeniem na ścinanie. Mamy wtedy

bbx _ vx Ao~ Ex

analogicznie do równ. 35) przy wyciąganiu i ściskaniu.

^ =st (p jest to przesunięcie jednostkowe poprzeczne (n. spezifische Querverschiebung), zaś Ex jest spółczynnik sprężystości poprzecznej, o którym już mówiliśmy*).

Rys. 51.

bb,=

.    89)

90)

bbx

*) Por. str. 40.

t—i

spółczynnikiem przesunięciami.

Bach nazywa a₁ =

Schubkoeffizient).

Jeżeli w przekroju działa wyłącznie siła poprze-niema sił podłużnych ani zginających,

c zna, i to wtedy

.    .    91)

W praktyce wypadek taki zachodzi przy ścinaniu nitów i sworzni, zresztą prawie nigdy; zawsze występuje równocześnie i zginanie, a wtedy natężenie vx jest większem, jak o tem później będziemy mówić.

92)

Przesunięcie jednostkowe poprzeczne jest aż do granicy sprężystości tak, jak wyciąganie, proporcyonalne do natężenia ścinającego, czyli Ex jest stałem. Jeżeli nazwiemy Q siłę zewnętrzną, działającą prostopadle do osi, fix spółczynnik wytrzymałości na ścinanie a F powierzchnię przekroju, to możemy napisać

P=l>₂

Teoretycznie da się udowodnić dla ciał jednorodnych, że fix wynosi spółczynnika wytrzymałości na ciągnienie fi³), ogólnie możemy więc napisać

.    .    93)

fix=a fi

Doświadczenia wykazały, że dla kruszców możemy rzeczywiście w przecięciu przyjąć fix — %fi, więc a = 0,75, przy kruszcach jednak kutych, walcowanych i blachach jednorodność nie jest zupełną i musimy uwzględnić tu także kierunek włókien i walcowania. I tak np. dla pewnego żelaza spawanego, którego kierunek włókien oznacza strzałka W (rys. 52), była wytrzymałość na ścinanie w kierunku

fix — 3440 3590 3C60 2836 kg/cm\

Przeciętnie możemy przyjąć następne wartości dla a: żelazo lane 0,625, spawane 0,8, zlewne 0,86, stal twarda 0,7, miękka 0,77, bardzo miękka 0,8, blacha w kierunku 3 i 4: 0,70, 1 i 2: 0,85. Dla drzewa jest wytrzymałość na ścinanie w kierunku włókien bardzo mała, /ii=0,24ia/, gdy fi' oznacza wytrzymałość na ciśnienie, a nawet i mniejsza, w kierunku prostopadłym do włókien jest wytrzymałość około 4 razy większa.

I tu, jak w poprzednim rozdziale, przyjmujemy przy obliczaniu wymiarów jakiś spółczynnik pewności, mianowicie dla

Rys. 52.

kruszców 5, dla drzewa 7 do 10, dla kamieni 20, a stąd otrzymamy natężenie dopuszczalne na ścinanie . Poniżej podajemy wartości i xi dla materyałów naj bardziej używanych w budownictwie.

XVI.

Tablica

Materyał

Spółczyn-wy-

trzymałości

nik

Natężenie dopuszczalne

Pi

'i

na

ścinanie w kg/cm²

Beton..................

Cegła............... . . •

Drzewo bukowe równoległe do włókien

„    prostopadłe.......

dębowe równoległe.......

„    prostopadłe.......

miękkie równoległe.......

prostopadłe.......

25

20

80

300

75

270

50

260

Tjl tH

"ot

Granit . , Miedź Lana kuta

••

„ blacha......

Mosiądz ........

Mur ceglany na cemencie

**

„ zaprawie wapiennej . . .

Ołów.......

Piaskowiec . . . .

Platyna......

Spiż .......

Stal bardzo miękka „ miękka . . . . „ twTarda . . . .

Wapień......

Żelazo lane . . .

r>

spawane nitowe..........

zlewne...............

blacha w kierunku walcowania . . prostopadle do kierunku walcowania ..........

r>

Przekrój wyznaczamy dla stałego m

F=

90

1000

1900

1700

950

0,5

100

I—L Q0 CO tO

o I ooooSwŚooooioo'

To

20

2700

2000

3500

4100

4700

40

1000

3000

3300

2400

2900

CJT -O <35 tO CO CO ->1 OT

8888tooo88oM

600

wzoru

94)

])la zmiennego natężenia możemy obliczać wymiary, uwzględniając doświadczenia Wöhlera, chociaż odnośnych osobnych doświadczeń na ścinanie nie robiono. Ze względu na to, że wytrzymałość na ścinanie dla metali jest równa •£■ wytrzymałości na ciągnienie, otrzymamy :

a) jeżeli natężenie nie zmienia znaku, dla żelaza ==zx (1 + iD? a wstawiwszy t=700 kgjcm¹ jak w rów. 56)

1 najmn. P

Tj =560

(¹⁺

2 najw. P Dla stali zaś otrzymamy z rów. 57)

2 najmn. P

t, = 720

(¹⁺

j kg jem² .    .    .    95)

I

j kgjcm²

.    .    96)

3 najw. P

b) Jeżeli natężenie zmienia znak, otrzymamy podobnie z równania 61) dla żelaza

a dla stali z równania 62)

Ti =720 (l—|

1 najmn. P' najw. P

] kg/c

j kgjcm² .    .    .    98)

ml .

.    .    97)

Rozporządzenie ministeryalne austryackie, tyczące się budowy mostów z r. 1904 §. 8.4. ust. 1:

* a) Przyjmując obciążenie pionowe, z wyłączeniem działań, wywołanych przez wiatr, boczne wahanie itd. :

Natężenie dopuszczalne kgjcm²

żelazo

spawrane

500

żelazo

zlewne

600

<2. Natężenie przy ścinaniu, wyjąwszy nity . .

„ nitów przy ścinaniu :

a) tylko w jednym kierunku.......

ß) we więcej kierunkach.........

b) Przyjmując wszystkie obciążenia, określone w §. 7 dla mostów kolei żelaznych

7. Natężenie przy ścinaniu, wyjąwszy nity . .

nitów przy ścinaniu......

Przy mostach drogowych przepisano takie same natężenie do-

3.

8.

puszczalne.

600

500

600

700

700

600

700

800

B. Drzewo ust. 8:

10 kgjcm^ przy ścinaniu równoległem do kierunku włókien, a prostopadle do kierunku włókien 20 kg/cm². Przy działaniu wszystkich, obciążeń (a więc także i sił poziomych) dopuszcza się powiększenie tych wartości aż do 15 i 30 kgjcm¹.

10. Dla mostów drewnianych tymczasowych jako dopuszczalne najwyższe natężenie przy ścinaniu równoległem lub prostopadłem do kie-

runku włókien przyjąć należy — w obydwu przypadkach trwania używania — IB ległem'¹ względnie 30 kg/cm².

Normy wypracowane przez austr. to w. inżynierów ł architektów w r. 1902:

Żelazo spawane i zlewne lane......

Drzew'o dębowe.............

bukowe.......•.....

miękkie.............

Normy pruskiego ministerstwa z 1910:

nat. dopuszcz. x, kg/cm²

. . 800 . . 200 ll do włók. j_ do włók.

15

15

10

Żelazo zlewne lane .

nat. dopuszcz. kalem2 1000

200

II do włók. x do włók

Drzewo dębowe sosnowe

Rozporządź, minist, pruskiego dla mostów z 1910:

Jako natężenie dopuszczalne dla nitów należy najwyżej przyjąć natężenie na rozciąganie, przepisane dla żelaza spawanego bez uwzględnienia wiatru.

15

10

80

60

§. 31. Nitowanie pojedyncze.

Nity (n. Niet, fr. rivet, a. rivet, r. 3aKJiënKa) służą do połączenia stałego blach i kształtówek i składają się ze sworznia (n. Bolzen, Schaft, fr. tige, a. rivet bar, spindle, r. rnBopem»)

vl

r,

r ! /NI

K ! /il T

T!...........T

T.

R y s. 53.

główki (n. Setzkopf, fr. tête de rivet, a. rivet head) (rys. 53) gotowej przed użyciem nitu, i nakówki (n. Schliesskopf, fr. rivure), która powstaje z występującej części sworznia przez naklepanie i ma kształt sferoidalny (rys. 53 b) lub też stożkowy

(54a); ten ostatni jednak jest niepraktyczny z powodu za małej wytrzymałości brzegów, dlatego też zupełnie prawie go zaniedbano. Rysunek 54 b przedstawia nit wpuszczony (nt

.......

•~n

X-

____SU i

ytâPîyïWOrl

• ¹

Rys. 54.

versenkt), którego się używa tam, gdzie niema miejsca na na-kówkę. Dla utworzenia nakówki trzeba, aby nit był rozżarzony. Tylko bardzo cienkie, mniej niż 10 mm grube nity, wstawia się na zimno. Po ostygnięciu ściąga się sworzeń, a wskutek tego ściska blachy i wywołuje silne tarcie. Jeżeli więc siła P (rys. 55) połączenie rozerwać, to musi przezwyciężyć naprzód

tarcie, a potem wytrzymałość nitu na ścinanie. Ponieważ jednak tarcie i wytrzymałość nie działają równocześnie, lecz wytrzymałość działa dopiero, gdy tarcie zostanie przezwyciężone, bo sworzeń po ostygnięciu nie wypełnia zupełnie dziury, więc na tarcie liczyć nie możemy przy obliczaniu wytrzymałości połączenia nitami. Considère przyjmuje tarcie, wynoszące 800 do 1000 kg!cm² przekroju*).

*) Doświadczenia nad wytrzymałością nitów bardzo ciekawe wykonał znany inżynier francuski M. Dupuy z polecenia rządu

ma

jp

S’

i*-

Q)

^ •—b*

m-

Rys. 55.

i—

Jak wiadomo wytrzymałość na ścinanie jest mniejszą od wytrzymałości na rozciąganie w stosunku 4:5, więc t,=0,8t. Wielu jednak autorów przyjmuje przy obliczeniu nitów i większe, a to z powodu, że do nitów używamy najlepszego żelaza, którego wytrzymałość na ciągnienie jest 1,1 lub więcej razy większa od wytrzymałości żelaza zwykłego, więc t=0,88 do 0,96 t. Jednak ze względu na to, że siła nie rozdziela się zupełnie jednostajnie na nity i niektóre nity pracują wskutek tego daleko więcej, niż z obliczeń wypada, lepiej jest przyjąć natężenie niższe, to jest zostawić t₄ = 0,8 t *). Dziury na nity możemy robić w dwojaki sposób, albo przebijaniem (n. Stanzen, fr. poinçonnage, a. punching, r. npoôiiBKa), albo wierceniem (n. Bohren, fr. perforation, a. drilling, r. CBepninm). Przebijanie dziur pozostawia natężenia w blasze, które zniżają wytrzymałość do 20°/₀ **). Jednak zaradzić się da temu przez

francuskiego. Autor opisał te doświadczenia w Annales des ponts et chaussées (1895 str. 1). Gdy natężenie prętu żelaznego przekroczy granicę sprężystości, powstaje oprócz odkształcenia sprężystego także odkształcenie trwałe. Pręt taki nazywamy wyciągniętym (fr. étiré). Doświadczenia okazały, że granica sprężystości prętu wyciągniętego zgadza się prawie z natężeniem, które wywołało wyciągnięcie. Nity są to pręty wyciągnięte, pracujące powyżej pierwotnej granicy sprężystości. Nie wypełniają one zupełnie dziur, ale ściskają mocno blachy, przez co wywołują bardzo znaczne tarcie. Tarcie to jest tern większe, im wyższą jest granica sprężystości nitu. Tarcie to jest bardzo zmienne i zależy od ciepłoty wkładania nitu, ciepłoty przy końcu wkładania i sposobu nitowania. Można jednak liczyć na następne tai'cia: nity żelazne, granica sprężystości (według sposobu oznaczania francuskiego) 1800 kg/cm², nitowanie ręczne, tarcie 400 kg/cm²', gr. sprężystości 2100 kg/cm², tarcie 470 kg/cm². Dla nitowania maszynowego a gr. spręż. 1800 kg/cm² tarcie 500 kg/cm², gr. spręż. 2100 kg/cm² tarcie 580 kg/cm². Nity stalowe przy nitowaniu ręcznem gr. spręż. 2100 kgjcm², tarcie 450 kg/cm²: gr. spręż. 2300 kg/cm² tarcie 660 kg/cm². Jeżeli natężenie jest mniejsze od tarcia, to nity nie pracują wcale na ścinanie• w chwili, gdy tarcie zostanie przezwyciężone, blachy się przesuwają, poczerń nit pracuje na ścinanie. Następnie dziury na nity stają się owalne, a w końcu połączenie zostaje przerwane w szwie.

*) Natężenie dopuszczalne przepisane w Austryi i Prusiech podaliśmy w poprzednim paragrafie.

) Według doświadczeń Tetmajera (Mittheilungen IV. zeszyt 1890) wynosiła n. p. wytrzymałość dla dziur:

przebijanych 3280 do 3740 kg/cm2 2720 „ 2880    „

wierconych

żelaza zlewnego .... 4460 do 4780 „ spawanego . . . 3190 „ 3340

Dla ri — £ x otrzymamy :

= 0,39

. . 102)

Wartości dla 6, obliczonne z równania 102), okazują się jednak w praktyce za małe, zwłaszcza ze względu na robienie

dziur. Tetmajer wykazuje, że w praktyce następuje przerwanie w sposób wskazany w rys. 56., wobec tego należałoby w rów. y) opuścić spółczyn-nik 2 i otrzymalibyśmy P—^bgr,

⁷¹ t, a stąd

lUuaJ

a więc j;bgr =

— = 0,785 — 7—)

g    * ' g /

. 103)

Zamiast tego przyjmujemy z Tetmajerem b wedle wzoru praktycznego h = l,9d. .    .    . 104)

Jeżeli nazwiemy spółczynnik mocy (f. module de force du rivetage) t. j. stosunek wytrzymałości w szwie do wytrzymałości pełnej blachy v, to wytrzymałości te na rozciąganie mają się jak przekroje, więc

Rys. 56.

v={a—d)g = ag

a wstawiwszy wartość za a z równania 100)

n dl d g

d²

.    . 105)

—1-d    1 +

Z równań 100) i 105) obliczyliśmy dla wartości do 3 następną tabliczką :

= 1 aż

Tablica XVII.

d

— = 1

9

— = 1,68    2,91

1,5

2,5

8,65

0,65

4,51    6,42

0,56    0,61

Widzimy więc, że im większych używamy nitów w stosunku do grubości blachy, tern większą jest wytrzymałość po-

v = 0,89    0,49

łączenia, a zarazem nity są tem bardziej oddalone, a przez to

obieramy więc

Ój

połączenie jest tem mniej szczelnem. Stosunek — wedle tego, jaki cel ma połączenie.

= 1 lub

Jeżeli chodzi przedewszystkiem o szczelność połączenia n. p. dla zbiorników, kadzi, okrętów, wtedy obieramy —

1,5, aby nity były gęste i nazywamy takie połączenie nitowaniem szczelnem (n. Dichtungsnietung); o tem nie będziemy tutaj mówić. W budownictwie chodzi nam zwykle o jak najmniejsze osłabienie blachy, a więc o jak największe v, dlatego

obieramy —= 2,5 lub 3 i nazywamy to połączenie nitowaniem mocnem (n. Kraftnietung).

Tam, gdzie potrzeba obok wielkiej wytrzymałości także połączenia szczelnego n. p. przy kotłach parowych, obieramy

dla

średnią wartość 2 i nazywamy połączenie nitowaniem szczelnem i mocnem (szczelnomocnem, n. lcombinirte Kraftnietung).

Ze względu na wykonanie nie możemy używać za grubych nitów, dlatego naj w. d przyjmiemy równe 28 mm, zwykle d = 10, 12, 14, IG, 18, 20, 22, 24, 26 wedle Tetmajera dla grubości

mm

w praktyce zwykle

g < 12 mm d—g +10 „

g > 12 mm o5 = 0,5 ^7 + 16 „

Grubość blachy wynosi w budownictwie zwykle 5 do 12

Rzadko używamy blach jeszcze grubszych, gdyż w grubych blachach częstsze są błędy w materyale, powstałe z bąbli, które w grubych blachach stają pomimo walcowania.

w budowie mostów 8 do 20 mm.

. . 106)

mm

zo-

cza

Zastanowić się tu także musimy nad ciśnieniem, jakie nit wywiera na ściankę dziury. Dopóki nit nie jest roz-chełtanym, niema ciśnienia na ściankę dziury, bo tarcie wystar-do przeniesienia siły, ale musimy liczyc także na wypadek, gdy się rozchełta, wtedy ciśnie on na ściankę dziury⁴). Gerber i Tetmajer robili w tym względzie doświadczenia, Gerber doszedł do wyniku, że ciśnienie t₂ na ściankę dziury

nie powinno w żadnym wypadku przekraczać dwukrotnego natężenia dopuszczalnego t na ciągnienie. Tetmajer sądzi, że ciśnienie to może wzrosnąć bez szkody aż do granicy ciastowa-tości, a więc około 2200 kg\cm² dla żelaza spawanego a 2500 kgcm\2 dla zlewnego. U n w i n dochodzi do wniosku, że najw. t₂ < 2,8 x. Mehrtens przyjmuje r₂ = 2t.

Ze względu na to, że należy jirzyjąć choćby mały spół-czynnik pewności, to natężenie dojmszczalne t₂ musi być znacznie niższem, a zwłaszcza nie powinno dosięgać granicy sprężystości. Obliczmy t₂, ciśnienie na ściankę dziury, a otrzymamy

107)

P=dgx₂

Porównawszy to równanie z równaniem ß), otrzymamy:

= dgx₂,

a stąd

n d

. . 108)

'■“ii’¹

a dla

n d

Tl=5“T’    g T

Z równania tego otrzymamy dla :

— = 2    2.5    3

^ = 1,26 1,57    1,88

' a.

= 3,2, jednak le-

Widzimy stąd, że t₂=2t dopiero przy piej jest nie dopuszczać do tak wielkiego ciśnienia i przyjmo-

,    . .    . d

wac najwięcej —

= 2,5, wtedy tl =1,57 t, które to natężenie dopuścić możemy jeszcze bez szkody materyału.

ci

— mamy wedle równań a) i 107) :

Dla większego

P=(a—d)gx=dga stąd:

(i+?) • •

a=d

.    .    109)

n. p. dla = 1600, t=1000 Jcgjem², otrzymamy a=2,6 d.

Obliczywszy a z rów. 100) i 109), przyjmujemy zawsze mniejszą wartość.

Rozporządzenie a u st r. minist, handlu z r. 1904 §. 8. ust. 1. Przyjmując obciążenia z wyłączeniem działań, wywołanych przez wiatr itd. :

Natężenie dopuszczalne kg jem²

żel. spawane żel. zlewne

4. Ciśnienie na ściankę dziury nitów (średnica nitu pomnożona przez grubość blach) ....

Przyjmując wszystkie obciążenia :

8. Ciśnienie na ściankę dziury nitów......

Rozporządzenie pruskiego min. rob. publiez, z r. 1910 przyjmuje t₂ = 2000 kg jem².

Rozporządzenie pruskie dla mostów z r. 1908, dopuszcza

V>Ti-

1400

1600

1600

1800

Zupełnie tak samo, jak nitowanie pojedyńcze, obliczamy także nitowanie z przykładką (n. einfache Laschennietung, fr. couvre-joint, an. rivetted butt joint, r. cKJië-m.iBaiiie crn HaKJiaAKou) (rys. 57).

rri

Nitowanie pojedyńcze ma tę niedogodność, że siły P nie działają w jednej płaszczyźnie (rys. 55), wskutek czego powstaje moment M=Pg, który działa niekorzystnie na blachę i nity, zginając blachy. Według doświadczeń Tetmajera zmniejsza się wskutek tego wytrzymałość połączenia około 8°/₀. Ponieważ moment Pg rośnie z grubością blachy, więc używamy nitowania pojedyńczego tylko dla blach cienkich (g < 10 mm).

pi

r# [ ©

; ! i r'**

Rys. 57.

§. 32. Nitowanie podwójne.

Przy nitowaniu pojedyńczem użyteczny przekrój n. nutzbarer Querschnitt, f. section utile) blachy t. j. przekrój po odciągnięciu dziur na nity jest bardzo mały, v wynosi, jak "wiemy, najwięcej 0,65. Chcąc uzyskać większy użyteczny p krój, używamy nitowania podwójnego (n. doppelte oder

rze-

Kettennietung, fr. double rivure, an. double rivettet joint, r. ÆBOHiioe CKJiënLiBanie), urządzając dwa rzędy nitów (rys. 58.) i przestawiaj ąc nity tak, aby nit w jednym rzędzie przypadał na środek między ni-tami drugiego rzędu. Jeżeli nazwiemy odstęp nitów jednego rzędu a, średnicę nitu d a grubość blachy g, to z doświadczeń okazuj e się, że odstęp skraj -nego szwu nitów (n. Nie-tennath) od krawędzi blachy powinien być ń = l,5d, odstęp nitów dwu rzędów a — 3d, a Kennedy znalazł, że największą jest wytrzymałość połączenia, jeżeli

r

Y ?T@;.

Pt

JRys. 58.

d    = a

-3, a wtedy e<y.

Chcąc mieć tę samą pewność przeciw przerwaniu blachy i przeciw ścięciu nitów, możemy napisać :

a)

P—2 ~

4

przeciw ścięciu nitów i

P= (a—d)gx .

przeciw przerwaniu blachy w szwie, a więc :

■f 71 d² xi=(a—d) gr, a stąd:

ß)

o*

i (!)*+!

* \s/ s

łoi a

. . 110)

¹

Tetmajera ogłoszone w „Sehw. Eisenbahn“ 1881, t. XV, N. 4.

Statyka.

²

p. Hermann Emil, Berechnung der Förderseile. Zeits. d. öster. Ing. u. Arch.-Yerein. 1889 str. 22 i II wydanie Statyki str. 79.

³

Kluger. "Wykład wytrzymałości materyałów str. 296.

⁴

Por. Considère Ann. du ponts et chauss. 1886.

2 71

. . 111)

Stosunek wytrzymałości szwu do wytrzymałości blachy pełnej jest podobnie, jak pierwej, dla

. . 112)

a—d

l+=?

Jeżeli porównamy tę wartość z wartością dla v wedle równania 105), poznamy, że tu v jest większem, niż przy nito-

Statyka.

waniu pojedyńczem, co zresztą także widzimy z następnej tabliczki, obliczonej na podstawie równań 110 i 112).

Tablica XVIII.

1,6

2,5

— = 2,26    4,32    7,02    10,35 .    14,3

v =0,56    0,65    0,72    0,76    0,80.

Chociaż linia zygzakowata np jest dłuższą od odstępu a, to przecież doświadczenia okazały, że zwykle blacha się nie przerywa w szwie, lecz po linii zygzakowatej ; widocznie więc wytrzymałość w płaszczyźnie ukośnej jest mniejszą, niż w prostopadłej do kierunku walcowania. Moberly robił doświadczenia i przekonał się, że złom był zygzakowaty, dopóki powierzchnia zygzakowata była ^ 1,33 razy powierzchni w linii prostej. Stąd wynika, że długość 2c powinna być razy większą niż a, za-

tern c

=§a, skąd można obliczyć najmn e=^c² — ^-=0,44a.

we

na

drugą blachę.

na

Gdybyśmy urządzili więcej rzędów nitów, mielibyśmy die ilości rzędów nitowanie potrójne, poczwórne i t. d., a stosunek v byłby coraz korzystniejszym. Jednak potrzebowalibyśmy także coraz więcej nitów i tracilibyśmy też coraz więcej blachy zakładkę (n. Überplattung, fr. rivetage à recouvrement, a. lap joint), t. j. część blachy, zachodzącą Przy większej ilości rzędów nitów siła nie rozdziela się też równo na wszystkie nity, a mianowicie nity w skrajnych rzędach będą więcej natężone, niż nity w średnich rzędach.

Dlatego tez w praktyce rzadko używamy więcej rzędów, niz dwu, i my więc nie będziemy mówić o nitowaniu potrój nem i t. d.. a zresztą w danym razie moglibyśmy zupełnie w podobny sposob, jak dla dwu rzędów, obliczyć wytrzymałość nitowania i odstępy nitów.

Tak samo też obliczać będziemy nitowanie poje dyń z dwiema przykład kami (n. einfache Nietung mit Doppellaschen, fr. rivetage à double couvre joint, a. butt joint with cover plates) (rys. 59). Nazwawszy, jak dawniej, grubość nitu d, blachy g a odstęp nitów a, otrzymamy przeciw przerwaniu blachy w szwie P=(a d)gr. Dla przerwania połączenia przez ścięcie

wyżarzenie lub wywiercenie cienkiego pierścienia (a. annealing), przez co możemy znowu przywrócić pierwotną wytrzymałość ¹).

Rysunek 55. przedstawia tak zwane nitowanie pojedyncze (n. einfache Nietung, fr. simple rivure, an. single rive-ting, r. oauhouhoo CKJiënuBanie), przy którem nity urządzone są w jednym rzędzie. Jeżeli średnica nitu wynosi d, to obliczamy w ten sposób odstęp a i ń, aby materyał jak najwięcej wyzyskać, a zatem, aby była jednakowa pewność przeciw przerwaniu blachy w linii mn₎ przeciw ścięciu nitów w płaszczyźnie pr i wyrwaniu blachy przed nitami w prostych st i s' V. Musimy także uważać, aby ciśnienie nitu na ściankę dziury w blasze nie przechodziło dozwolonej granicy. Możemy więc napisać następne równania, jeżeli grubość blachy nazwiemy g:

dla n-tej pewności przeciw przerwaniu blachy w linii wn, licząc tak siłę P, jak i wytrzymałość, na szerokość a,

P=(cl—d) gi] .    .

a)

przeciw ścięciu nitu

4~Tl’

ß)

przeciw wyrwaniu blachy przed nitami

P=2bg±T=lbgt. .    .    .

Z porównania równań a) i ß) otrzymamy:

(a—Tj, a stąd

• • y)

n t₁

4t

Dla Ty—^x otrzymamy stąd

( ) + d • VS/ s

.    .    99)

(I

. . 100)

H--•

9

Z doświadczeń Kennedy’ego wynikałoby ° nieco mniejsze, bo otrzymał on zamiast spółczynnika 0,63 tylko 0,56.

Z równań ß) i y) otrzymamy dalej :

= îb9h a stąd

to

cT

•o

. . 101)

nitów musiałyby być nity ścięte w dwu płaszczyznach, więc otrzymamy przeciw ścięciu

P=*2

n d²

4 T‘-

Widzimy tu, źe dwa te równania są zupełnie takie same,

jak dla nitowania podwójnego, otrzymamy więc te same wartości dla a i v, co w równaniach 110) i 112).

sm

r\

•/—f~—

Nity, jak już wspomnieliśmy, są tu narażone na ścięcie w dwu płaszczyznach, dlatego nazywamy je dwu cięte (n. doppelschnittig, fr. rivet à double coupe, a. rivet in double shear), w przeciwieństwie do nitów raz ciętych (n. einschnittig, fr. rivet à simple coupe, a. rivet in single shear).

Nitowanie pojedyńcze z dwiema przykładkami ma tę główną korzyść, źe tu siły przenoszą się w tej samej płaszczyźnie i że niema żadnego momentu, któryby działał szkodliwie na blachę i nity.

-■* iX*-

Eys. 59.

Grubość przykładek może być wedle teoryi równą połowie grubości blachy, zwykle jednak robimy je nieco grubsze ze względów praktycznych, a czasem nawet dajemy im grubość równą grubości blachy.

Jeżeli blachy, które mamy nitować, pracują na ściskanie, to przy nitowaniu na zakładkę urządzamy nity w ten sam sposób, co pierwej. Gdy blachy stykają się bezpośrednio w jednej płaszczyźnie, to właściwie nie potrzeba nitowania, bo siły przenoszą się wprost, jednak ze względu na przypadkowe przesunięcie blach dajemy przykładki i urządzamy nity, jak dla blach ciągnionych.

§. 33. Nitowanie wstęg i kształtówek.

Wstęga czyli żelazo płaskie (n. Flacheisen, fr. fer plat, fer méplat, a. fiat iron, r. nnocKoe JKejih3o) jestto blacha

wąska a długa o przekrój u prostokątnym, kształtówka (n. Faęoneisen, fr. fer special, a. special iron, r. (|>HrypHoe JKejitoo) zaś jestto żelazo walcowane o przekroju wielobocznym lub złożonym n. p. w kształcie litery T, I, krzyża i t. p.

Przy nitowaniu wstęg i kształtówek obliczamy połączenie znów tak, aby wytrzymałość przeciw przerwaniu i ścięciu była równą. Wszystkich potrzebnych nitów nie umieszczamy w jednym rzędzie, boby to wstęgę lub kształtówkę zanadto osłabiło ; dlatego chodzi nam o zbadanie, jakie jest najlepsze rozmieszczenie nitów. Wiemy już najprzód, że tern jednostajniej siła rozłoży się na nity, im mniej rzędów nitów urządzimy, będziemy się więc starać, jak najwięcej nitów umieszczać w jednym rzędzie, przyczem jednak uważać będziemy musieli na to, aby wstęg i kształtówek zanadto nie osłabiać.

RyS. 60 przedstawia dwie wstęgi, połączone nitami na zakładkę. Jeżeli w pierwszym rzędzie jest w drugim nt nitów, to, jeśli ciągnienie w pierwszym szwie ‘i, n/ ma być x,

e-e

*£-

' P=t(F—nydg), przyczem F oznacza przekrój wstęgi, d średnicę nitu, a g grubość blachy.

Rys. 60.

Jeżeli wstęga ma się przerwać w drugim szwie n2nî' i połączenie ma się rozerwać, to muszą być równocześnie ścięte nity w pierwszym rzędzie, więc :

cL^ TC

p= X (.F—n₂ dg) + x' n{    .

Dla j ednakowej pewności przeciw przerwaniu w pierwszym i drugim szwie musi być P=P/, zatem

x(F—ni dg) — x (F—n₂ dg)-f

nd'lx' ns

a stąd

n,

n₂ =

(    d‘hix'\

dg

{-ndx'\

(¹⁺ 4^) •

.    . 113)

Dla stosunków — mamy, gdy —=0,8, dla

—, używanych w budownictwie, otrzy-

2,5    3

d=2

n₂

n\

= 2.2    2.6    2,9,

a więc 3 > — > 2.

ni

Jeżeli zatem cheemy, aby pewność w dalszych rzędach nie była mniejszą, niż w pierwszym, to liczba nitów w następnym rzędzie może być dwa razy większą, niż w poprzednim, ale gdybyśmy liczbę nitów potroili, to jawność byłaby już mniejszą. Jeżeli więc n.₂ <2ftj, to przekrój niebezpieczny t. j. ten, w którym przerwanie najłatwiej może nastąjńć, jest w pierwszym rzędzie i według niego obliczamy wymiary, a więc

.    .    114)

* P

F—ni dg= —.

Chcąc jak najmniej osłabić przekrój, dajemy w pierwszym rzędzie mało nitów, a mianowicie jeden lub dwa nity najwięcej.

Dla wyznaczenia ilości wszystkich nitów potrzebnych n mamy równanie dla nitów raz ciętych :

d²7i

~rT' • •

_    _ d² TC

P=2n—₄~Ti .    .

dla nitów dwuciętycli

P—n.

.    .    115)

. . 116)

z którychto równań obliczamy n. Przy nitach dwuciętych

P<tndgT₂

musi być też

.    .    117)

r\ r\ r\ c

Odstęp nitów jednego rzędu od nitów drugiego robimy najmniej 2,5d do 3d.

*4-

-•xd    ■■%%€£

7! 7 ■ |\i«U

-"..V ...*

©.......4£-

©-......©

Rys. 61.

Przykład. Wstęgę B należy połączyć nitami z dwiema wstęgami C i D (rys. 61). Niecli będzie siła P=lSt. Jeżeli grubość wstęgi B jest g= 12 mm a średnica nitu d = 20 mm, dalej t=800 fc^/cm², t, =600 kg jem¹, to ilość potrzebną nitów otrzy-

Jeżeli jeden nit znajdować się będzie w pierwszym rzędzie, to we-13000

dług (114) JF — 1.2.1,2 = -QQQ-) a stąd F~ 16,25 + 2,4=18,65cm¹, zatem gdy

g= 1,2 cm, &=15,54cot, zamiast czego przyjmiemy 6 = 160łww. Zbadajmy

jeszcze ciśnienie na ściankę dziury nitu. Otrzymamy wtedy:

4.2.1,2 v₂=13000, zatem v₂ = a zatem mniejsze, niż dopuszczalne.

18000 ., . ,

-gę-=1397 kg jem²,

§. 34. Połączenia przegibne.

Żelazne części budowli dadzą się połączyć nietylko nitowaniem, lecz także w inny sposób, a mianowicie za pomocą połączeń prz egibnych czyli sworzniowych (n. Gelenkverbindung, Bolzenverbindung, fr. construction articulée) lub za pomocą śrub. Najprzód będziemy mówić o połączeniach przegi-bnych i obliczymy niektóre wymiary oka przy połączeniu prze-gibnem dwu prętów, z których jeden jest podwójnym (rys. 62). Jeżeli siła P działa w kierunku osi prętu, to, jak wiemy,

a)

P=xF, .    .

jeżeli F oznacza przekrój prętu n. p. przy przekroju prostokątnym F—bc, zatem P—xbc.

Jeżeli sworzeń (ja.. Bolzen, fr. tige, an. bar pin, r.mnnn-aejib) jest, jak tutaj, dwa razy cięty, otrzymamy dla ścięcia jego

.    . ß)

mamy z rów. 1161

2n.2²K

13000

600=13000, zatem w~2n60Cj = zam*ast czeg°

przyjmiemy n—4.

„    2 d^Ti

p-x•—

a jeżeli — fx, P=~d²T,

przyczem d oznacza średnicę przekroju sworznia. Z równań a) i ß) otrzymamy:

^d²xi=xF, a stąd    — =* 0,798

A    y TT Tl

g

Jeżeli T = |.'r₁, to d'l—^^F, a więc:

P=

Vf

. 118)

d - 0,893 Vf.

.    .    119)

Ze względu na występujące tu natężenia zginające zaleca się przyjąć xx o 15°/₀ niższe.

Dla sworznia raz ciętego otrzymamy zamiast row. ß)

=    więc

— d²v=xF, a stąd d=l,26VF, . . . 120)

TT

jeżeli sworzeń i pręt są z jednego materyału. Jeżeli zaś pręt jest żelazny a sworzeń stalowy, wtedy wzory te się zmieniają, gdyż za musimy inną wartość podstawić.

Aby oko nie przerwało się w linii mn, musi być ' P, = P, jeżeli Pj oznacza 7    Tp^ użyteczny przekrój prętu

-i-²    w przekroju mn. Abyśmy

Rys. 62.

jednak w miejscu, gdzie siła zaczepia, t. j. w oku, mieli większą pewność, a także ze względu na natężenia zginające, przyjmujemy, opierając się na doświadczeniach amerykańskich²) większą jeszcze powierzchnię przekroju, niż teoretycznie potrzebna, a mianowicie:

Tablica XIX.

dla —

-7 = <1

1    1,15    1,5    1,75    2

P,

1,67 1,71    1,75

-f= 1,4    1,5 1,6

Inne wymiary oka przyjmujemy zwykle następne e c, d ⁼ 0,5 6, dj==x -g- b d, h—^ ^ d—^ d.

Rozumie się, że i tu musimy się starać, aby ciśnienie na ściankę dziury nie było za wielkiem, a więc ponieważ

P P    ’ P

= — t, zatem e=-r-

de    J -

T2 —

Bk

d t₂ ²

. . 121)

§. 35. Obliczenie śrub.

Śruba (n. Schraube, fr. vis, an. screw, r. 6ojithki>) składa się ze sworznia B (n. Schraubenspindel, Schraubenbolzen,

fr. tige de boulon, an. bar, r. mniiHAeJit) (rys. 63), na którym nacięte są gwinty czyli skręty (n. Schraubengewinde, fr.

ffh

J'

Y.._

filet de vis, an. worm of a screw, r. biiii-TOBan Haprli3Ka), głowy śruby A (n. Schraubenkopf, fr. tete de vis, an. head, t r. rojiOBKa) i naśrubka C (n. Schrauben-• mutter, fr. écrou, an. matrize, r. raMica). Nazwijmy d średnicę sworznia, rf, średnicę rdzenia (n. Schraubenkern, fr. collet dc vis, noyau, an. screw neck) w części naciętej gwintami, dalej wysokość naśrubka h a wysokość głowy hxi to jeżeli śruba pracuje na rozciąganie w kierunku osi, wytrzymałość przeciw przerwaniu rdzenia będzie :

7-.    d.'lji

przeciw ścięciu głowy P' = dnhx ^fi, więc dla jednakiej pewności P—P', a zatem:

Rys. 63..

⁼ dnhx a stąd:

d ²

5 AA_

lir d *

Dalej otrzymujemy wytrzymałość przeciw ścięciu naśrubka P" = dxnh%(i, a więc gdy P=P",

TC

dx 7ih^[i=iidy² ^

a stąd h=-fedr

W praktyce jednak przyjmujemy większe wartości dla h i /z₁ zwłaszcza, że gwinty nie zawsze wypełniają zupełnie naśrubka, a więc nie wszystkie gwinty pracują równocześnie;

. . 122)

h=,h₁=0,7d.    .

Grubość naśrubka sześciobocznego czyli średnicę koła wpisanego (otwór klucza) zwykle przyjmujemy

—1,4 d + 0,5 cm

.    .    123)

wymiary zaś podkładki

na twardym materyale

ds = 2,0 d + 0,5 cm s =0,1 rf + 0,3 cm

na drzewie

2,4 d-\-1,0 cm 0,12 rf-f 0,5 cm

124)

"Wymiary gwintów są używane powszechnie prawie według systemu Widwortha, według którego krok śruby (n. Schraubenganghöhe, fr. pas de vis, a. pitch, r. marn BimTa).

.    .    125)

s=0,08 rf + 0,1 cm ] di= 0,872 d—0,16 cm I Śruby grubsze niż 4 cm używane przy mostach i dachach, mają gwinty płaskie, dla tych jest:

s=0,9 d -4-0,2 cm |

. . 126)

*    = 1,1    +0,22 cm

hx =1,5 d

Jeżeli śruba pracuje na rozciąganie, a P jest siłą, działającą w kierunku osi, to

-f-r, a stąd d = 1,128    •

Natężenie dopuszczalne t przyjąć należy mniejsze ze względu na skręcenie przy naciąganiu naśrubka, a więc dla żelaza zlewnego t= 600 kgjcm, dla stali t = 800 kg cm². Francuzi przyjmują nawet jeszcze mniejsze natężenie r=400 kgfcm'¹ ³).

Z rów. 125) i 128) otrzymamy:

i rp

d=1,29 y--1-0,18 cm

Jeżeli płyty kruszcowe lub kształtówki łączymy śrubami tak, że śruby narażone są na ścięcie, to obliczamy je zupełnie tak samo, jak przy połączeniu nitowanem lub sworzniowem.

Przykład. W moście drewnianym układu Howe’a siła, działająca w słupie wiszącym, składającym się z dwu śrub, jest 29,5 t. Jakie wymiary damy śrubom, j‘eżeli natężenie dopuszczalne t=760 fc^/cwi². "Wedle założe-

29 5

nia na jedną śrubę wypada P=—~³=14,75 t.

Z rów. 127) otrzymamy:

d, =1,128

P=

.    .    127)

. . 128)

-i/14750_ V ”760

4,97 cm = 50 mm.

§. 36. Połączenia belek drewnianych.

W poprzednich paragrafach poznaliśmy obliczenie niektórych połączeń blach i kształtówek żelaznych, tu przejdziemy kilka przykładów, jak się obliczają połączenia belek drewnianych.

1.    Zamek prosty (n. das gerade Hackenblatt, fr. entement à double patte, an. tabled scarf, r. npaMoii 3aM0KT»).

Jeżeli h i b oznaczają wysokość i szerokość dwu belek drewnianych (rys. 64.), połączonych zamkiem prostym i jeżeli

r9~i -

Zn

i—J¹ !;

rf-j

tn

::

Rys. 64.

siła P, działająca w osi, stara się to połączenie rozerwać, to w płaszczyźnie np powstaje ciśnienie, które nie powinno być większem, niż t. Połączenie może być także rozerwane, gdy belka zostanie ściętą w płaszczyźnie mn. Ażeby pewność przeciw ścięciu i zgnieceniu była jednakową, musi być

TL

b—r x=blz',

4

jeżeli z' oznacza natężenie dopuszczalne na ścinanie, a stąd:

4

Wstawiwszy 70 kgjcm¹ i t₂ = 10 kgfcm², otrzymamy:

.    .    129)

.. 4 S■

Rozumie się, że przytem musi być

2.    Zetknięcie proste z łubkami (n. Verlaschung, fr. éclissage, éclicement, an. fishing, r. 00331»).

i-ö

#=4

TT, n\

Jeżeli większe siły działają w kierunku osi, wtedy — używamy do połączenia belek drewnianych płyt żelaznych, tak zwanych łubków (n.

Rj^s. 65.

Laschenplatte, fr. éclisse, a. fish-plate)

(rys. 65.). Jeżeli siła P, działająca w osi, stara się połączeni© rozerwać, to najprzód, aby łubki się nie przerwały, musi być

P==2bgr,

jeżeli g oznacza grubość łubków, a z natężenie dopuszczalne na ciągnienie dla żelaza. Jeżeli przyjmiemy

T=10005^’ toP=2000^> wiSc ty-§QS0-

.    130)

Widzimy dalej, że siła P spowodowuje ciśnienie drzewa na żebra, wbite do głębokości t, i że nareszcie połączenie może być zniszczonem przez ścięcie drzewa w płaszczyznach mn, pr i pi ri. A więc mamy naj przód :

dla ściskania P=2z'bxt, a dla ścinania P=2zx t(bx-\-2t), jeżeli z' i t, oznaczają natężenia dopuszczalne dla drzewa na ściskanie i ścinanie. Przyjmijmy:

*■-70% *-10*

cmz 1

cm

,2 >

to b, ==>

1401 *

.    131)

20^+21)    ' ‘

.    .    132)

w cm i kg.

Przykład. Niech będzie P=4000fc^, ,?=0,5 cm, to otrzymamy z równa-=4 cm, więc ^ —2 cm. Dla t—2 cm otrzymamy dalej = 14,3 cm, a z równania 132)

4000

nia 130) b—

4000

2000X0,5 z równania 131) bt =

4000

140X2

1=

= 19,3 cm.

20(14,3 + 4)

3. Połączenie czopowe (n. Verzapfung).

Dwie belki prostopadłe A i B (rys. 66.) łączymy zapomocą czopa (n. Zapfen, fr. tenon, an. tenon, r. nmm»). Siła P ■» stara się ściąć czop w płaszczyźnie mn, ; więc dla natężenia dopuszczalnego zx

r-

P= ahzx.

Dla drzewa prostopadle do włókien przyjmujemy t==20 kgjcm'¹, więc

“lar

.    .    133)

w kg i cm.

4. Czop ukośny (n. schiefer Zapfen, Schrägzapfen, fr. tenon biais, an. sloped tenon).

Jeżeli dwie belki mamy połączj^ć pod kątem ostrym (rys. 67), a przytem belka B wywiera znaczne ciśnienie P, używamy

Rys. 66.

wtedy czopa ukośnego. Ciśnioną belkę ukośną B nazywamy zastrzałem (n. Strebe, fr. contrefiche, an. strut, r. uoakoctj).

Siła P da się rozłożyć na dwie składowe : H w kierunku poziomym i F w kierunku pionowym. Z rysunku widzimy, że H = P dost a, V — P wst a,

h.—l wst a, więc l — —-,—

1    x wst a

II usiłuje ściąć czop w płaszczyźnie mn, więc II— lb^ t.₂ = 15 Ib jeżeli t₂ = 15 kg cm¹ jest natężeniem dopuszczalnem na ścinanie ukośnie do włókien. Czop usiłuje dalej wysunąć część drzewa przed czopem mprs, więc II— + 21) t,, jeżeli t, jest natężeniem dopuszczalnem na ścinanie w kierunku równoległym do włókien.

Porównawszy oba te równania i przyjąwszy t₁₌=10 kg cm², otrzymamy 15 bxl = 10^ (bi + 2 t), a stąd

¹⁵ V

10    + 2t)'    '    '

Szerokość czopa b] możemy obliczyć z równania

b.-?

P/

czS

. Siła

K..y

rv

Eys. 67.

1,=

.    .    134)

.    .    135)

Zwykle przyjmujemy t =« - - , zaś najmniejsze ^ dla

o    o ,

tych wartości będzie :

bbl

3 bl

t—H

(s-s*)

2{b + 2h) ' '    ‘

00. _

Dla b\ — b byłoby

15 bl

10(0+1^7 ~ 2(3ó + 2 6j‘    ‘

Przykład. Przyjmijmy P=10f, a=30n, b=20cm, h=20 cm, h. =20 cm , , , 20 20

wtedy    —= 40cw, dalej H=P dost a=

.    .    137)

10x0,8661. Z rów. 135) otrzymamy bi =j___₌i4?4 t.,Mj przyjmiemy więc 6, =6=20 cm, a wtedy

8660

z równania 137) otrzymamy dla ł=

7200

cci s-

=7 cm:

9X20X40 ¹ “ 2(3X20 + 2X20) “ 200

= 36 cm.

V. Wytrzymałość na zginanie.

§. 37. Związek między siłami zewnętrznemi i wewnętrznemu

Jeżeli na belkę o osi prostej działają prostopadle do osi siły zewnętrzne, będące między sobą w równowadze, i jeżeli one leżą wszystkie w płaszczyźnie, przechodzącej przez oś, wtedy siły wyginają belkę t. j. skracają włókna między dwoma

\f

Cl

1 V

•i v

w»

J !

JG

-<

u—jJ ^

I*

Rys. 68.

pierwotnie równoległymi przekrojami EF i GH (rys. 68) po stronie wklęsłej, a przedłużają je po stronie wypukłej. Rozumie się, że między włóknami przedłużonemi a skróconemi leżeć musi warstwa NG włókien, które zachowały swą pierwotną długość. Warstwę tę nazywamy warstwą obojętną (n. neutrale Fas er schichte, fr. ligne des fibres neutres), jej przecięcie się CC" z płaszczyzną przekroju, prostopadłą do osi, nazywamy osią obojętną (n. neutrale Axe, fr. axe neutre, an. neutral axis, r. HenTpaJinnaa oct), a przecięcie się AC z pła-szczyzną, w której działają siły zewnętrzne, linią ugięcia lub sprężystą (n. elastische Linie, fr. ligne élastique, an. elastic line, r. jihhh Harrnöa).

Chcąc wyznaczyć natężenia, powstałe w innych włóknach wskutek zginania, musimy zrobić niektóre przypuszczenia :

1.    że zginanie jest tak małem, że natężenia pozostają w granicach sprężystości,

2.    że przekroje EF i GH pozostają po ugięciu płaskimi i prostopadłymi do ugiętej osi, co zresztą stwierdził doświadczalnie Considère,

3. że włókna, równoległe do pierwotnej prostej osi belki, pozostają i nadal równoległemi do ugiętej osi.

Wyniki, uzyskane na podstawie tych przypuszczeń, są zgodne z doświadczeniami, więc możemy oprzeć dalszą teoryę (podaną przez Naviera) na tych przypuszczeniach.

Jeżeli na belkę AB (rys. 69), działają siły prostopadłe do osi, a belkę tę przetniemy płaszczyzną EF, prostopadłą do osi, i prawą część belki odejmiemy, to, ażeby lewa część została

ffff ff f

.£

Rys. 69.

EF. Siły te wewnętrzne będą rozdzielone na całym przekroju i będą w części wypukłej dodatnie czyli ciągnienia, w części wklęsłej ujemne, czyli ciśnienia. One to sprawiają przedłużenia lub skrócenia włókien, a stąd wynika bezpośrednio, że tężenie w warstwie obojętnej jest równe

Jeżeli przekroje po ugięciu belki pozostają płaskimi, to pizekioj GH (rys. 68) przejdzie w położenie JK₎ czyli obróci się około osi obojętnej o kąt JNG. Widzimy więc, że przedłużenia i skrócenia włókien, a zatem i natężenia, będą pro-porcyonalne do odległości ich do osi obojętnej.

i nadal w równowa-k ⁴ dze, musimy przyłożyć do przekroju EF siły, równające się si-^ łom wewnętrznym, działającym w EF, czyli oddziaływania prawej części belki na

na-

zeru.

£ jest to więc natężenie w warstwie, odległej o jednostkę długości od osi obojętnej.

Siła, działająca na pasek mn powierzchni =dF, równoległy do osi obojętnej, będzie więc vdF₁ a więc suma wszystkich ciągnień

^ vdF, a ciśnień —    v'dF,

jeżeli —v' oznacza ciśnienie. Ponieważ przypuściliśmy, że na belkę działają tylko ciężary pionowe, więc dla równowagi musi być

vdF— j** v'dF=0, albo

.    .    139)

^ vdF jest momentem statycznym powierzchni przekroju po-niżej osi obojętnej, vdF zaś powyżej osi obojętnej, więc ÿ'o vdF — j vdF jest momentem całego przekroju ze względu na oś obojętną.

Według równania 139) ma być ten moment statyczny równy zeru, bo £ nie jest równe zeru, więc oś obojętna musi przechodzić przez środek ciężkości belki, bo tylko dla środka ciężkości jest moment statyczny przekroju rówrny zeru.

Jeżeli odcięta część belki AC jest w równowadze, to suma momentów ze względu na punkt C musi być równą zeru. Jeżeli M oznacza moment sił zewnętrznych, to bez względu na znak możemy napisać :

M^^vdA v=££Vd.F, y²dF. .

~ V Je'

.    .    140)

Nazwijmy v odległość włókna mn = s od osi obojętnej, które po ugięciu belki przedłuży się o mm' = ds, natężenie zaś tego włókna niech będzie v. Nazwijmy dalej t' i x" natężenia włókien skrajnych E i F, a ich odległość od osi obojętnej e' i e", to możemy napisać

x'

x"

e'

e"

.    .    138)

lub nareszcie :

Nazwijmy całkę ^ v²dF t. j. sumę iloczynów elementów powierzchni przez kwadraty ich odstępów do osi obojętnej, całkę, którą spotykamy także przy ruchu obrotowym, momentem bezwładności (n. Trägheitsmoment, fr. moment d’inertie,

- 112

an. moment of inertia, cz. moment setrvacnosti, r. momghtte» imepiiiii) i oznaczmy ją /, to możemy napisać :

.    .    141)

M=>—, albo ^I==My

-Jeżeli za v wstawimy wartość e' i e" i chcemy, aby w włóknach skrajnych były natężenia dopuszczalne x' i x", to otrzymamy :

Opuściwszy znaczki, możemy ogólnie napisać :

x' I = Me.....

Piszemy tutaj t, bo wymiary belki tak obliczamy, aby natężenie w włóknie skraj nem było równa natężeniu dopuszczalnemu. Ażeby natężenie było równocześnie w obu włóknach skrajnych równe natężeniom dopuszczalnym, musi być według 142)

x" en

.    .    142)

.    .    143)

x'

e'

.    .    144)

jeżeli x' i x" oznaczają natężenia dopuszczalne na rozciąganie i ściskanie. Jeżeli x'—x", to powinno być e' — e" i odwrotnie, jeżeli    „

p!^> p! !

„ e .

Dla drzewa, żelaza spawanego i zlewnego i stali jest x'=^x", będziemy więc obierali takie przekroje, aby środek ciężkości był w połowie wysokości przekroju; dla żelaza lanego zaś, gdzie t">t' obierać będziemy przekroje niesymetryczne, aby równ. 144) było choć w przybliżeniu wypełnione.

Z równ. 141) wynika, że natężenie v włókien jest tern mniejsze, im mniejsze jest v, a więc im bliżej leżą one osi obojętnej. Stąd wynika dalej, że chcąc materyał jak najbardziej wyzyskać, będziemy obierali takie przekroje belek, aby jak najwięcej materyału było jak najdalej od osi obojętnej.

Z rys. 68. widzimy, że Nmm' oo ONC, więc ds : v=NC : NO. Nazwijmy r promień krzywizny linii ugięcia, to OC=r, a ponieważ NC=mn = s, więc ds : v=s : r, a stąd r=v~. Według

ponieważ według równ.

, nn •    , ds V

rown. 34) jest—— —, więc r—v.—

T s L    v

, .,, v I . IE 141)    = więc r=-=-r, a zatem:

M

EI-Mr.

....    145)

na mocy złaożenia do granicy sprężystości. O natężeniach zginających po przekro-granicy sprężystości powiemy później.

Wszystkie te wzory ważne są tylko

czemu

§. 38. Moment bezwładności.

W równaniach zasadniczych 141) i 145) widzimy moment bezwładności I powierzchni przekroju belki ze względu na środek ciężkości. Moment bezwładności powierzchni jest, jak wiemy,

całką iloczynów elementów powierzchni przez kwadraty ich odległości od danej osi. Elementem powierzchni niech będzie prostokąt o powierzchni d² F = dxdy (rys. 70), odległość jego od osi XX, przechodzącej przez środek ciężkości S jest y, to

.    .    146)

cl\. cl

UpL

Xjl

.V

Rys. 70.

I=j j d²Fy²=JJdxdy y²

Jako przykład wyznaczymy moment bezwładności prostokąta (rys. 71). Wstawiwszy granice w równ. 146), otrzymamy:

/-

l dx

hy²dy, a stąd: 1 =

Podobnie wyznacza się w mechanice rozumowej analitycznie według równ. 146. momenty bezwładności rozmaitych figur geometrycznych. Tu ograniczymy się więc tylko na podaniu wyników i wspomnimy, że dla wyznaczenia momentu bezwładności figur złożonych używamy twierdzenia, wynikającego z równ. 146.

bli³

12 ‘

.    .    147)

h-cricH

Ir*

Rys. 71.

że moment bezwładności

po

wierzchni dla danej osi równy jest sumie momentów bezwładności jej części ze względu na tę samą oś. Momenty bezwładności poniżej podane są wszystkie obliczone ze względu na oś poziomą, przechodzącą przez środek ciężkości przekroju.

Przykład. Moment bezwładności przekroju wykreślonego na rys. 72. ze względu na oś XX będzie:

X.

y ix.

Zi

izt

Rys. 72.

Statyka.

promień

bezwładno-

iści

/AM-ÄÄj+At*

12

==0,2889 a

51K

0,2889 a

4=0,204 Ä

'a |th

:: C I

\24

fJS

122

0,2619 h

moment oporu

ćCT

r-îT

ro

r-O

"a |«o

Ie®

0,U78«= =

Si la

rJÛ |(M

~ Wi²=0,0982 bh?

4 <7³=0,0982 <2³

bh²

24

fc/c²=0,0762 6/«²

105

Tablica XX.

moment bezwładności

ST-

h=T

-o

IS

a|S

S|S8

r.bh³

G4 =0,0491 M²

^‘=0,0191 ,«•

86

— M³=0,04576/*³

powierz

chnia

przekroju

b(h—hx)

«s

S i⁰⁵

«M

r.bh

CM [CO

odstęp skrajnej warstwy od osi obojętnej

-« |<M

rH | CM

8 I«

r5i |(M

■a | cm

c5 iw

CO |lO

Bysunek przekroju

Rys. 73.

'1

.11

X7

~r

h-

.t.

Xj

—a-

-J

Rys. 7i

H-a~H

KS

w&

Rys. 77.

X¹

Vil VóĄ Ml

Zfsfiy

?!

i.x;

Rys.7kyf\

Rys.79.A-

TT

JLX,

-iii-

21

'X

r-^-H

Rys. S0.

K~n

*/..... -,U..x

L.. ZSl

o Nazwa

p*

^ przekroju o

Dwa

prostokąty

Kwadrat o podstawie poziomej

Kwadrat, jeżeli oś jest przekątnią

Bomb, rom-boid, trójkąt

Elipsa

Koło

Trójkąt

zględu

ze w

na oś równoległą do podstawy

Odcinek

paraboliczny

stojący

promień

bezwładno-

ści

Ł

—=0,2236 A

Yb

0,2647 h

0,458 r

0,2647 r

0,4564 r

0,4564 r

(*-

'-H

SS

moment oporu

»**•

—8wsty+wst2y)——

wst

0,0955 Ł/t²

0,3927 r³

0,1908 r³

0,625 r ³

0,5413 r³

£•*

moment bezwładności

80MS

(16 y—8wsty + wst2y)

0,0549 bh³

0,3927 r⁴

0,1098 r⁴

0,5413 r⁴

0,5413 r⁴

odstęp

skrajnej powierz-warstwy chnia od osi    ,

obojętnej Pokroju

² Ł/t

-Lr2(Y_wstT)

« |rH

r² r.

2,5981 r²

2,5981 r

2~

StX

0,5756 h

0,5756 r

0,886 r

Rysunek przekroju

■r

fr--------i

!

iüTJl.

Rys. 33

rr

-XI

—4

AB

Si

___1.

>-

ci'

■s

"Ti

Jlys. 84.

Jc

!'

Rys. 35.

~Zr.

«v

■0>T~

.1.

Nazwa

przekroju

Odcinek 9 paraboliczny leżący

Odcinek

koła

Połowa

elipsy

*) b=r

Półkole

stojące

10

11

12

Ygi Półkole

leżące

Sześciobok w koło wpisany o dwóch bokach poziomych

Sześciobok w koło wpisany o dwóch bokach pionowych

14

15

promień

bezwładno-

rj

r-sT

SCI

h,

IR + 2bbx+b^

18

rC>

ci

T3

MB

-O

rH

0,289

6/ł³—bihi ³

bh—bx\

0,289^

\y h ³_+ b g, * gh + byl

moment oporu

1-A²

1 6² + 46 6, + 6t 2 12 26 + 6,

<zł—

osgoo

t. d⁴—c/j⁴

AA³—6, A,³

G/j

82 d

2t

32

e⁸¥⁸? — sV? — e V?~ eV9

GA

y 9

e'Pç + e^ l

moment bezwładności

6² + 46 6₁ +6₁²63 6 + 6t 36

(ł ^-łP) IGt0£0 = (f TP - *P)~

3C

0,0491 (6Ä³—A^³)

(A/^-Aj/i,³)

J2

( W*³ +

&j/ij³    -b^h^³ +

-Me³)

12

I (rh³ + bgl ³)

12

powierz

chnia

przekroju

Yr:

(M

tT

t*

u*

: |th

T ^bh—b{hx)

bh—b₁hl +

b <2" 2

bJh

gh + byx

odstęp skrajnej warstwy od osi obojętnej

8 *<? + <?

y lq + qz

£ (N

r< MM

Rysunek przekroju

De

.i...

-f

*>

s»«

r>

SP sfiV

- 4--rt !

R y s. 89

f.

VA

"T

“T

—t—

31

Rys.Rû.

h~ i/\---

i z I !

“T

• — h<-

i r

•*J=r

'/____uL

V"

"R'

Rus. 9y.

JX

7 Es.

0%

vS

-ï-

ri

}-<5—{ M~ï

nys. RR.

1-

/SA

-i

WW/M MM

y o

iA . I

<q rq\

r-9-

NVC

i___

HEgS

"Sr--*

Nazwa

przekroju

Trapez

Pierścień

kołowy

Pierścień

eliptyczny

Przekroje

p, /, z

Przekrój

złożony

belki

blaszanej

Leżąca tówka i przekrój krzyżowy

i-i

N

Ti

16

17

Ci

18

OJ

(N

promień

bezwładno-

ści

=0,3536 d

f8

hn

-^==0,4083 a

V6-

moment opoi*u

2    (bht—bihi^ibh—bihi)

3    JÄ²—ôjAj8 +

—4 (***—*,*,»)

A[a(iW'‘>⁺

h+2

+ ^(Æ³—<*!=)+

ö»

U !tJ<

j^Âp(3Ô + Â)

rt< |C0

«<7

-(3i + 2Â)

powierzchnia moment bezwładności przekroju

~(bW~bJh3) +

1 (bhï — bxhSy

bh—bihi

2 hid-d^+idï-dS) —

odstęp skrajnej warstwTy od osi obojętnej

2 b h—bihx

Kysunek przekroju

1*—-

L -à-Ji

* * t____t

7?i/s.y4

tMP

ÿ%/j JL.

r- 'p‘P *1

Wzory przybliżone dla przekrojów próżnych o bardzo małej grubości ścian g

zd³</

T'dg

"Ö 03

L;:AV(3d + A)

2    3

T*⁷

^(3» + 2*)

iït/sJâ.

VT

fî?/s.97.

r.(b + h)g

1-H 03

f------?------

f i~T

1,5 (k + ^)g

8 j03

............-j

Nazwa

przekroju

•pfez.iod 'ZOITJ

Przekrój T lub kątówka

Przekrój

falisty

Koło

Elipsa

Kwadrat

22

23!

24

25

26

Przekrój ; falisty

¹

Rozporz. austr. min. kolei z 1911 §. 12. c. ust. 8 brzmi: Wszystkie dziury na nity i śruby muszą być wiercone.

²

P. Steiner. Über Brückenbauten in den Vereinigten Staaten von Nordamerika 1878 str. 85, artykuł p. L e k o e w Allg. Bauzeitung 1882, Jag du Bois. The s trains in framed structures 1883 i Fidler A treatise on bridge construction 1893.

³

P. Résal J. Construction métalliques, str. 624.

§. 39. Wyznaczenie momentu bezwładności ze względu na oś równoległą do danej.

Znając moment bezwładności 7 ze względu na oś przez środek ciężkości powierzchni przechodzącą, możemy łatwo zna-leść moment bezwładności I, ze względu na oś X,X, (rys. 70) równoległą do osi XX, w następny sposób : Nazwawszy moment bezwładności elementu powierzchni d²1, ze względu na oś XX, względnie d'¹ Ix ze względu na oś XiXi, otrzymamy: d²I = d²Fy²,

d¹1y = d² F{y + e)² d² F y²-\-Zd² F ey + d² Fe², a stąd 7, =» 7+ 2 e J^d²Fy-\-e²^ ^d² F.

Jeżeli wykonamy jedno całkowanie, naznaczone w drugim wyrazie %e\^d²Fy, między granicami min, to otrzymamy

pasek mn

rn

o powierzchni \ d²F—dF, a więc drugi wyraz bę-J m

dzie równy 2e\ d Fy. Ale dFy jest momentem statycznym paska mn ze względu na oś XX, a więc

d - F F,

dFy jest momentem statycznym powierzchni przekroju, który jest ze względu na środek ciężkości =0. W trzecim wyrazie jest

Ij = Id-Fe² .    .

A zatem moment bezwładności powierzchni F ze względu oś, odległą o długość e od środka ciężkości, jest równy mentowi bezwładności ze względu na oś, równoległą do osi danej, a przechodzącą przez środek ciężkości, więcej iloczynowi powierzchni przez kwadrat odległości e.

więc

na

.    .    148)

mo-

Przykłady. Według 143) jest moment bezwładności prostokąta względu na oś, przez środek ciężkości przechodzącą, I=r\ bh³. Moment bezwładności ze względu na

ze

oś XiXi (rys. 71), przechodzącą przez pod-

Dla trójkąta mamy I=~bh³, a przechodzącą przez podstawę,

stawę, będzie:

149)

ze względu na oś X, X, (rys. 78),

h~kbh^\hh{x) ⁼

I»

1B0)

§. 40. Promień i elipsa bezwładności.

Znając moment bezwładności ze względu na dwie prostopadłe osie XX' i P P (rys. 100), przecinające się w punkcie 0, możemy znaleść moment bezwładności danej powierzchni ze względu na oś UU, nachyloną do X' X' pod kątem <jp.

xi

ml

iS’sfes?

NfH!

SHH

ÉO

S--"'

..A'

\Tt

y \9

R y s. 100.

Niech będzie moment bezwładności danej powierzchni Ix ze względu na oś X' X', Iy ze względu na oś P P, a /i( ze względu na oś UU. Zauważmy element powierzchni w punkcie F, którego rzędne niech będą x' i y'. Spuśćmy z punktu X prostopadłą na UU i nazwijmy ją FE=y,n to widzimy z rysunku, że yt, = FK—EK=y' dost y—HL — y' dost cp—x' wst <p.

Wiemy, że Iu— C* ^d¹ Fy,?, więc

7lt=^ (y' dost (p—x' wst <5p)²ûT-.F=^?//2dost² (p d² F+

^æ/2 wst² (p d² F— ^ \yLx' y' àost (p wst (pd² F,

czyli nareszcie :

lu

=Ix(lost²çp + Iywst²^—wstSç) ^x'y'd²F .    151)

Nazwijmy Iz moment bezwładności ze względu na oś, nachyloną do osi X' X' pod 45°, to gp = 45°, a więc z równ. 151) otrzymamy :

7,=7i;dost²45°-f-7,, wst 45° — wst 90° ij ^x' y' d² F, a stąd

k⁼\\x'y'

d²F =

A(I, + I,)-I„    .    .    .    152)

jeżeli wyraz llx' y' d² F oznaczymy literą K. Wyraz ten na-

zy wamy iloczynem bezwładności lub momentem zboczenia (n. Zentrifugalmoment, Deviationsmoment, fr. produit d’inertie, moment rectangulaire, an. product of inertia).

27rdost ęp wst (p -f 2 Iy wst <p dost —2 dost 2 cp 7T=0, czyli wst 2 cp(I,,—Ix)—2dost 2 (p JT=0, a stąd

Aby wynaleźć najmniejszość i największość 7it i odnośny kąt (p = (p₀, musimy zróżniczkować równanie 151) i zrobić j)0-chodną równą zeru. Otrzymamy więc : d Iu

dcp

.    .    153)

stSgp ₀ = T—T

Temu wyrazowi odpowiadają dwie wartości (pQ, różniące się o 90°, a więc (p₀ i qp₀+9O°. Różniczkując raz jeszcze, łatwo się możemy przekonać, że raz otrzymamy drugą pochodną dodatnią, drugi raz ujemną, a więc kąty <p₀ i <jp₀+90 wyznaczają osie, dla których 7it jest największe i najmniejsze. Osie te, stojące jedna na drugiej prostopadle, nazywamy osiami głównemi bezwładności (n. Hauptträgheitsaxe, fr. axe principal d’inertie, an. principal axis of inertie).

Przyjęte dowolnie osie X'X' i Y' Y' stają się osiami głównemi, gdy (p₀= 0, a więc gdy

.    .    154)

K==0

125

Jeżeli oś Y' Y' (rys. 101) jest osią symetryi przekroju, to

chcąc obliczyć K= ^ \x' y' d¹ F i całkując naprzód w pasku mn,

którego środkiem ciężkości jest p, możemy wyłączyć y', jako stałą,

a \x'd²F równa się momentowi

statycznemu powierzchni tego paska ze względu na jego środek ciężkości, zatem =0. To samo zro-biwszy dla innych pasków, zobaczymy, że K= 0, a zatem ze względu na 154) możemy powiedzieć, że gdy przez O może być położoną oś symetryi, oś ta jest zarazem osią głó-bezwładności, oś zaś

2L

in

r~\

W-

Rys. 101.

w n ą

prostopadła cl o niej jest drugą osią główną.

Jeżeli przez dany punkt nie da się poprowadzić oś symetryi, to moment zboczenia K należy wyznaczyć z rów. 152). Czasem łatwiej jednak dojdziemy do końca w następny sposób, podany przez Mullera Breslau a.

Przypuśćmy, że chcemy wyznaczyć moment zboczenia przekroju ze względu na osie OX i OY, równoległe do osi OiXi i 0₁ Yx, przechodzących przez środek ciężkości przekroju O, (rys. 102).

Wedle 162) K^\j[(xt+x₀)(y,+yt)dł F

albo K

d²F

Nazwijmy Kx moment zboczenia ze względu na osie Ox Xx i O\    to K\

środkiem

= ^ yx d²F. Dalej mamy ze względu, że Oi jest

0, zatem

ciężkości x₀    i y₀ yid²F=

K=K₁+x₀y₀F .    .

.    .    155)

126

Jeżeli osie 0,-Xj i OlYi są osiami głównemi bezAvładności, to Kt =0, więc

.    .    156)

K=x₀y₀F .    .

przyczem uwzględnić zawsze należy znak rzędnych cc₀ i y₀.

/I

/X

Jeżeli nazwiemy 7 moment bezwładności ze względu na oś główną XX (rys. 100), a 7₁ na oś główną YY, ß kąt nachylenia osi TJTJ do osi głównej XX, to ze względu na rów. 151) i 152) możemy napisać, ponieważ tu 77=0, !n = I dost² /3 + IjWst² ß .    .    157)

Dla /3=45° otrzymamy

I, =314S—I .    .    168)

Możemy także napisać, wstawiwszy w 157) ß— — <jd₀, 7i:=7dost² (—g?₀) + 7₁wst² (—<p₀) = 7dost² «Po+7, wst2 7o?

7; = 7wst² cp₀ -p/jdost² <p₀, a zatem

7j st² (jp₀, a więc Iy=Ix st² <jp₀—7\ wst² st² qp₀ +

Rys. 102.

Ix

I dost ²ęp₀

+ 7j dost ²<t?₀ , czyli

Iy dost² q>₀ —I, wst² (p₀ =7j dost⁴ ęo₀ —7, (1—dost² <jr₀)² = =7j (2 dost² ę>₀ —1),

i _Iy dost² y₀ —Ix wst² <jp0 ¹    2 dost²    — 1

.    .    159)

Dodawszy wartości lx i 7ÿ, otrzymamy Ix + Iy = 7(dost²9>₀ + wst²g)₀)-f-7₁ (wst²9>₀-fdost²9>₀) = 1+1^ .    160)

I4(L+I,)-I, .    .

Moment bezwładności wogóle możemy inaczej jeszcze wyrazić, mianowicie równaniem I=F a², którebyśmy otrzymali, skupiwszy całą powierzchnię F w jednym punkcie i umieściwszy ją w oddaleniu a od osi. Iloczyn Fa2 równałby się momentowi bezwładności 7. Długość a nazywamy promieniem bezwładności (n. Trägheitsradius, fr. rayon de giration, an. radius of. gyration, cz. polomër setrvacnosti).

a więc

. . 161)

. . 162)

Pomyślmy, żeśmy obliczyli dla dowolnej ilości osi, przez O przechodzących, momenty bezwładności i odetnijmy na każdej z tych osi długość odwrotnie proporcyonalną do pierwiastku

momentu bezwładności (rys. 100) tak, że n. p. OM=7jÿ:, gdy c jest dowolną ilością stałą względu na OM, to Im—

c²

a Im momentem bezwładności ze Jeżeli rzędne punktu ilI, odnie-

OM²'

si one do osi głównych, są OP=x i PM=y, to

X

dost a=-₇r~

OM

y²

mamy Im=ITm— + /, ij—

a wst a =

a więc ze względu na 157)

Wstawiwszy wartości za OM, otrzy-a więc c² = Ix2jr I,y².

Wstawmy teraz I=Fa² i Ix— Pa,², a otrzymamy c²—Fa²x2js-Fa^²y², albo

c²

.    .    163)

2    y 2

2 ¹ .J 2 p a¹ a j

Jest to równanie elipsy, którą nazywamy elipsą bezwładności (n. Trägheitsellipse, fr. ellipse d’inertie, an. ellipse of inertia). Jeżeli przytem przyjmiemy c² — Fa⁷ai², torów. 163) możemy napisać

x²

.    .    164)

_—2~t~

Jestto równanie elipsy bezwładności, której połowy osi głównych są a i ą, promieniami bezwładności głównych momentów bezwładności. W tym wypadku jest

QM2-e'-Fa‘<    -=

In Fa„‘ ’

aai

więc am —    .

Jeżeli MM' i NN' są osiami sprężonemi elipsy bezwładności, a kąt między niemi zawarty e, to na mocy znanej własności elipsy jest

ON. OM. wst e

= ON. wst e = NR.

OM

Widzimy więc, że jeżeli do elipsy bezwładności wykreślimy styczną, równoległą do danej osi, odstęp tej stycznej od osi jest równy promieniowi

aax = ON. OM wst e, więc am—

bezwładności ze względu na daną oś. Elipsa bezwładności będzie więc obwiedną prostych, równoległych do danych osi, poprowadzonych w odstępie równym promieniowi bezwładności. A zatem będzie, jak to już wiemy, OT= OT' = a, OS = OS'=, której to własności elipsy bezwładności możemy użyć do jej wykreślenia.

Jeżeli puiikt O jest środkiem ciężkości przekroju, elipsa bezwładności nazywa się wtedy elipsą środkową (n. Zen-tralellipse, fr. ellipse centrale, an. central ellipse).

iZ.....-

s.

* l'v

fi

■ B éH

JtfN

/ ev

fc

\V

i/'

>L

flSÄllilSi!

Rys. 103.

Mając elipsę bezwładności wykreśloną, łatwo wyznaczyć możemy moment bezwładności dla jakiejkolwiek osi n. p. NN', przechodzącej przez punkt O. Poprowadźmy .styczną do elipsy, równoległą do NN', a odległość obu linii M'R' = an jest promieniem bezwładności, więc In=Fan².

Z równ. 157) wynika, że jeżeli I=IU to Im = I (dost²ß+ + wst²/?)=/, a wrięc, gdy momenty bezwładności dla osi głównych są równe, to także i moment ze względu na jakąkolwiek oś, przechodzącą, przez środek ciężkości jest równy momentowi ze względu na oś główną, czyli wszystkie momenty bezwładności, ze względu na osie, przechodzące przez punkt O, są równe; elipsa bezwładności staje się kołem.

Pzzykłady.

1) Wyznaczyć elipsę środkową przybliżonego przekroju I l. 28, wykreślonego na rys. 103. Przekrój jest symetryczny, więc oś symetryi YY jest jedną osią główną, drugą zaś oś XX±YY. przechodząca przez środek ciężkości.

Obliczmy naprzód I i a otrzymamy I=T\ (12X28³—(12—1,1 (28—3,4)³)=j-¹2 (263 424-162 266)=8 429,8 cm⁴,

Jt =    (2X 1,7X12³ + (28-3,4) 1,1³=^ (5 865,2-32,7)=48G,0 cm⁴.

Powierzchnia przekroju .F=2X 12X1,7 + (28—3,4) 1,1 = 67,86 cm², więc połowy osi głównych elipsy środkowej będą

a ,/8429£= V 67,86

11,145 cm, a,

=    2,676 cm.

V 67,86

2) Dla przybliżonego przekroju kątówki

50.75

o wymiarach, poda-

ag

x:

nych na rys. 104., obliczyć wielkość i położenie osi głównych środkowej elipsy bezwładności.

Musimy najprzód znaleść spół-rzędne środka^ ciężkości O. W tym celu korzystać będziemy z równania S—Fe, gdy S oznacza moment statyczny powierzchni przekrój u ze względu dolną podstawę AB, F powierzchnię przekroju, a e ciężkości O od prostej AB. Możemy więc napisać

na

odległość środka

. . .    165)

Wstawiwszy wartość, otrzy-

mamy

=2,55 cm.

,y

7,5.0,8.3,75+(5-0,81)0,4 = e~ ■ 7,5.0,8 + (5—0)8)0,8 23,844 _ 9,36

Rys. 104.

Jeżeli Sy i % oznaczać będą moment statyczny ze względu na pionową BC, względnie odległość środka ciężkości 0 od BC, to Si 5,0.0,8.2,5 + (7,5-0,8). 0,4 __ 12,14 _ ₁ ^ ^

¹ F    9,36    9,36    ’

Teraz obliczamy moment bezwładności Ix ze względu na oś X X i ly ze względu na oś TT. Dla wyznaczenia tych momentów rozłożymy

Statyka.

przekroje na prostokąty i korzystać będziemy z wzorów 147) i 149). Nazwawszy big podstawę i wysokość prostokąta, mamy mianowicie momenty bezwładności ze względu na podstawę Ix—\bhz. Nazwawszy dalej Ic moment bezwładności ze względu na oś BC, Ia ze względu na BA, otrzymamy

Ic=\ (0,8.5³ + (7,5-0,8)0,8ä)=34,48 cm4 Iy=Ic—Fex ²=34,48-9,86.1,30²=18,66 cm⁴.

Dalej mamy Ia=\ (0,8.7,5² + (5—0,8) 0,8³=113,22 cm4 Ix=Ia—.Fe²=113,22—9,36.2,55²=52,36 cm⁴.

Teraz obliczymy moment zboczenia K wedle równ. 152) i otrzymamy £=-(1,30-0,4) (3,75-2,55) 7,5.0,8—(2,5—1,3) (2,55-0,4) (5-0,8) 0,8 K=—6,48—8,67 = —15,15 cm⁴, a ze względu na równanie 153)

a stąd

2 (-15,15)

18,66-52,36    33,70

2©₀=41°57'28"

©O=20⁰58'34".

Teraz obliczymy 7 na podstawie równania 151)

7=7*' dost² ^° + Ty‘ wst² c₀—wst 2 q> K albo 7=52,36 dost² © + 18,66 wst² © +wst*© 15,15=45,65 + 2,39+10,13

7=58^17 cm⁴,

a dalej wedle 161) 7, =18,36 + 52,36—58,17=12,85 cm⁴.

Ii moglibyśmy też obliczyć z rów. 159) j _ 18,66 dost² ©₀—52,36 wst² ©n ¹    2 dost² ©₀—1

Długości połówek osi głównych elipsy środkowej są więc;

st2 ©o

30,30

= 0,8991

12,85 cm⁴.

i.

-V

58,17

9,36

=2,493cm, a,=V

12,85

=1,172 cm.

V.

'ÓS

9,36

3) Wyznaczyć elipsę bezwładności dla zetówki 1. 10 (rys. 105).

Ze względu na oś poziomą

vl!

otrzymamy

I,

i-

Ix=T\ 0,65.10³ + * (5-0,65) (10-2.0,95)³)

7*=54,17 +169,82=223,99 cm⁴.

Ze względu na oś pionową YYX

i--—

Rys. 105.

Wedle rów. 153) mamy teraz st 2 © =

mamy

7^=^(10-0,95)0,653 + *(0,95(5 + 5-0,65)3 7^=0,16 + 64,71=64,87 cm⁴.

Dalej mamy moment zboczenia K=0- 2.5.0,95 (5-0,475)X(2,5-0,315) 7f =93,50 cm⁴.

-2.93,5 64.87—223.99

=1,1745

stąd 2 ©₀ = 49⁰ 35'17" a ©₀=24°47'38".

— 131 —

Teraz obliczymy / na podstawie rów. 151)

/= 223,99 dost²? + 64,87 wst²? + wst 2 ? . 93,5= 184,60+11,41 + 71,19 1=267,20 cm⁴

I, =64,97 + 223,99-267,20=21,66 cm⁴.

Długość połówek osi głównych elipsy bezwładności otrzymamy

“⁼V^=4,25cm’

21,66 , 01 —?—=1,21 cm.

14,77

4) Przekrój eliptyczny.

Moment bezwładności ze względu na oś poziomą XX jest

Nazwijmy połowy osi elipsy a' i 6', to

«'=-£■» ó'=2 , mamy więc I=~b'a'³, a stąd połowa osi głównej elipsy środkowej

! 7Z

a'b'r.

Podobnie otrzymamy b= b'

Elipsa środkowa jest więc podobną do danej elipsy, a jej osie równają się połowom osi danej elipsy. To samo odnosi się do koła.

§. 41. Elipsa bezwładności ze względu na osie ukośne.

Jeżeli istnieje w przekroju tylko oś symetryi ze względu

na

osie ukośne, to w takim razie możemy użyć tych osi do wykreślenia elipsy bezwładności. Przyjmijmy w O (rys. 106) parę osi ukośnych X'X' i PP, z których ostatnia jest zarazem ukośną osią symetryi. Niech ukośne rzędne punktu danego F będą y' i x', odstęp punktu F od dowolnej osi UU, nachylonej do X'X' pod kątem <p, niech będzie

W/m

EF=yu = y' dost y—x' wst cp. Moment bezwładności przekroju ze względu na oś UU będzie

*d*F =

Iu = J (y' dost y—x' wst (p)

Rys. 106.

= dost²y y'² d² F+

. . 168)

.    a'²    a\²

wst² ß q²^ wst² ßp Jestto równanie elipsy ze względu na odcinki stycznych q i p i da się wyznaczyć w znany sposób*) równanie obwie-dnej stycznych MN

.    .    169)

tryi, więc

+ wst² <jpj ja;'² d² JP— 2 dost y wst    ^x'y'd² F.

Ponieważ wedle założenia ^ ^x'y'd²F= O z powodu syme-

/M=dost² yj j’y'² d²F-\- wst² çpj jz'² dbP .    .    166)

Z rysunku widzimy, że FL=yuwst ß i FD=xf wst/?, więc /eł=wst/?jy«/'² dlP, Iy, = wst² /? j* jV²d²F.

Wstawiwszy to w rów. 166), otrzymamy dost² y wst²/? '

Iu

a'

wst² cp T tat²/? '

Wstawmy teraz w rów. 167) I0-F.C1'*, If-F.a'!, Iu=Fa\ ₂_dost² y wst²/?

Ix-f

.    .    167)

TL a’r /*

Rys. 107.

wst² 9

a'*².

Poprowadźmy MN/\OTJ i nazwijmy odcinki na osiach OM=p, ON=q, to

a'²

wst² /?

OR

OR

dost y=-—, wstqp = -^-, więc

₂_ 0R²a² OR²a\2 au    wst² ÿ ² wst² ßp v

Jeżeli poprowadzimy MN w takiem oddaleniu, aby OR=aUJ

to

x,2wst²ß y,2wsb² ß a'²    a\²

równanie elipsy ze względu na sprzężone osie OX' i OY' (rys. 107). A zatem każda para osi, ze względu na którą \>\^xyd²F

jest zerem, czyli każda para osi, z których jedna jest osią ukośną symetryi, jest zarazem parą osi sprzężonych elipsy bezwładności.

*) p. Keck. Vorträge über Elastizitätslehre, str. 28.

Przykład. W trójkącie ABC (rys. 108) zróbmy AD=DC, to DB jest ukośną osią symetryi, a zatem BD i 0X osiami sprzężonemi elipsy.

Wiemy, że Ix=^bh³, F=~bh, więc a²=~Ä², o = 0,236h. Zróbmy

•i

więc Di 0= OBi =0,286 BD, to Di i Bt są to punkty elipsy bezwładności, w których styczne są poziome. To samo zrobić możemy ze względu na drugie dwa boki trójkąta AB i BC.

§. 42. Koło bezwładności.

Zmiana momentu bezwładności przekroju dla osi, przechodzących przez ten sam punkt a rozmaicie nachylonych, da się jeszcze inaczej przedstawić według Miillera-Breslaua.

Eys. 108.

Niechaj Ox'=Ix. (rys. 109) a Oy'=Iy>i przyczem przypuśćmy, że Ix'^Iy: Wystawmy w x' i y' prostopadle na OX', mianowicie Bx' = —K i Ayr=+K. Zatoczmy teraz na średnicy

Ot

ki

y \y

Eys. 109.

AB koło, to posłuży nam ono do wyznaczenia momentu bezwładności ze względu na dowolną oś.

184 —

I tak dla dowolnej osi OU, nachylonej do OX' pod kątem <p, wykreślmy BEJ_OU, przedłużmy BE do C, wykreślmy CC'±OX', to

OC — OE'—E' C = OE dost cp—EC wst cp,

OE=IX‘ dost cp—K wst cp,

EC=K dost cp—Iy, wst cp, więc

OC'=(Ix> dostqp—/iTwst cp) dost<jp—(Ä'dostqo—7^wst cp) wst cp.

OC' = Ix> dost² cp + Iy,² wst² cp—2 wst cp dost cp K=IU.

A zatem OC' przedstawia dla osi OU moment bezwładności.

Jeśli kąt cp będziemy zmieniać, to punkt C poruszać się będzie po obwodzie koła, a rzut jego C na prostej. Widzimy

stąd, że najmn. /=Oy==/n najw. I=Ox=L • ⁾

Dla najmn. /=/, oś OY musi być J_ do By, a więc być równoległą do y A, zaś OX 1 Bjc czyli OXf/AX. W ten sposób wyznaczyliśmy osie główne bezwładności.

Z rysunku wynika, że OC'—K' jest momentem zboczenia dla osi OU. Moment zboczenia jest zerem dla osi głównych i rośnie do pewnej naj większości OF. Z rysunku też widzimyr że 4,+/,,=/+ii, co zgadza się z rów. 161).

§. 43. Punkty stałe przekroju.

ze względu na oś U będzie

Na rys. 103 wykreśliliśmy elipsę bezwładności środkową, a więc 1= F a², Ą = F ai²,

In = /dost² go-f/j wst²<5P=/(l—wst²cp)-\-I\ wst² cp=F\a²—(a²+ + ax ²) wst² cp\. Moment bezwładności ze względu na oś WW, odległą o d=OL od UU, będzie IV!— F[a²— (a²—ax ²)wst² cp + d²].

Zróbmy według Mohra OF= OF'^fa²—^² = odległości ogniska elipsy od środka O, to otrzymamy d²—(a²— ax²)x X wst²cp = OL² — OF* wst² cp = OL² — OM² = (OL + OM) X X (OL—OM)=^F E. F' E' = ei e₂, a więc:

.    .    170)

Iw = F[a²+e₁e₂].    .    .

Na mocy tego równania możemy wyznaczyć moment bez-na dowolną oś, jeżeli znamy elipsę środ-

władności ze względu kową przekroju, albo przynajmniej a i punkty F i F'.

się stałej ilości iks². Ze względu na tę własność nazy-

Jeżeli dana oś przechodzi przez punkt F lub F', to e, lub e₂ staje się równem zeru, wtedy moment bezwładności równa

— 135 -wamy punkty F \ F' punktami stałymi (n. Fixpunkte). Elipsy bezwładności są dla tycli punktów kołami. Jeżeli to punkty stałe przypadają na punkt O.

§. 44. Analityczne wyznaczenie momentu bezwładności dla figur

nieregularnych.

Dla figur nieregularnych wyznaczamy moment bezwładności analitycznie najlepiej za pomocą znanej metody Simpsona, której udowodnienie należy do mechaniki rozumowej.

■.....ł id

Rys. 110.

ich od-

2 »)

W celu wyznaczenia momentu bezwładności przekroju nieregularnego (rys. 110) ze względu na oś XX dzielimy przekrój pro-stemi równoległemi do XX na p a-r z y s t ą ilość równo grubych pasków. Nazwawszy długości tych prostych b₀, bu b₂. . .b stępy od XX rf₀, dn d₂ . . . d a grubość pasków a, otrzymamy moment bezwładności ze względu na XX:

Ii — [b₀ d₀ ² + t)2n d.21,²+4 (bj dj ²+b₃ d₃² + . .. +b$ M—i d²* n—i )

+ 2(b₂ d₂²+b₄ d₄²+ ... +b2,,_2 d³żu_*)] .    .    171)

Znając możemy wyznaczyć moment bezwładności ze względu na środek ciężkości według znanego równania I— Z, -f -Fe\

S

Długość e otrzymamy z równania 165)    , przyczem

r

moment statyczny S powierzchni przekroju ze względu na XX jest według Simpsona:

[b₀ dj -fi b2n d₂nJr 4 (bi d{ + b₂ dz + . . . -f- b2n—i d2n-\) -f-

172)

+ 2 (6₂ d₂ + 64 d₄ + . . . + Ö2n—2 ^2»-2)j •

a powierzchnia :

■g⁻[^0 d" b2n-\-^{b^ + 63 -f-... + bn—1) = 2 (b₂ + b-Ą +... -j-2)].

F=

173)

Wzór 171) jest jednak niedogodnym w praktyce, bo musimy wykonać 2n — l mnożeń, dlatego też używamy innych wzorów, które zaraz podamy.

Jeżeli mamy wyznaczyć moment bezwładności powierzchni Obcd (rys. 111) ze względu na oś OX i OF, to otrzymamy według Simpsona, podzieliwszy powierzchnię znów na p a-r z y s t ą ilość pasków o gru-

-a

n-/

Jfc

Zn.

Eys. 111.

bości a, ze względu na oś OX :

!x⁼=-|-[yo³+4y₁³+2y₂³+4y₃³=2y₄³ +

+■ • • • +4 y³2n—i +y³a,i], a ze względu na oś OY:

a³

>    .    174)

I>—3-[0²y₀ + l².4y₁+2³.2y₂ + 3².4y₃ +

+ .. .+(2n—l)²4y2n_₁+(3n)²y2u]

Podobnie otrzymamy powierzchnię:

"g [y* +2^2«+ 4(2^1 + 2^3 + ”* + y2»-i) + 2(y₂ -j-y₄ 4-... + y₂n—2)] 175) i moment statyczny ze względu na oś OX:

[y₀² + y²2« + ⁴(2/i²+2/3²+- • .+y²₂n-i) + 2(y₂²+ y^ +

F=

sx=

e -cc

+ . . . -\-y²₂n~ 2)]

.    .    176)

zaś ze względu na oś OY: oP*

■3" [0»2/o 4* 2 wy₂n+4 (1 ,yi +3yz + ... + (2n_i) y₂„_i]-f-2(2y₂ 4-

+ 4y₄ + • • • + (2 n—2)y2n—2).....177)

Wzory te są o tyle dla praktyki korzystniejsze, że kwadraty i sześciany możemy wziąć z tablic, a przez to znacznie sobie ułatwić rachunek.

Przykład. Obliczyć moment bezwładności szyny austryackich kolei pierwszorzędnych (rys. 112). Z powodu sy metry i liczymy moment dla połowy szyny i dzielimy ją na 50 pasków o grubości 0,28 cm.

Z wzorów 174) otrzymujemy:

~2

— = °g²- [5,6³ + 4 X 5,6³+2 X 5,6³+4 X 5,6³ + 2 X 5,59³ + ... + 4 X 2,75³+2,25³]

Ix — 272,94 cm*.

X\

i-ii

2,-V-

3/0

- 3 25 3 35— 3 i,}—

3/

jjs

5lS-

550

5 60

560-

560

-Rys. 112.

⁷| ⁼⁼^?³^02X5,6+12X4X5,6 + 22X2X5’⁶⁺ •• + 49²X4X2,75 + 50⁵X2,25]

Iy< — 4143,10 cm*.

Moment Iy> sprowadźmy na oś ciężkości YY. W tym celu wyzna-

g

czarny odległość środka ciężkości z wzoru e=-~, Moment statyczny S

otrzymamy z wzoru 177):

-| = ^|—[⁰x5,⁶ + 50x2,²⁵ + 4(1x5,6 + ⁸,5x6 + ⁵x⁵,6+...+⁴⁹x²,7⁶) +

+ 2(2X5,6 + 4X6,59 + 6X3,35+ ... + 48x3,10)]

S=401,54 cm³.

Z wzoru 175):

y =    [5,6 + 2,25 + 4 (5,6 + 5,6 + 5,25 + ... + 2,75) + 2 (5,7 + 5,59 + 3,35 + 3,10)]

P=57,2 cm²

=7,00 cm

57,2

401,54 e =

4=4'-^2=4143,10-57,2 x 7²=1440,30 cm⁴.

§. 45. Wykreślne wyznaczenie momentu bezwładności.

Na rysunku 113 widzimy siły równoległe P,, P₂, P₃ i P₄, których moment bezwładności ze względu na równoległą do nich oś XX mamy wyznaczyć. Wykreślmy najprzód w znany sposób wielobok sił 01234, wyrażając w przyjętej podziałce

Tp

TL

p_

rr

TT] i

la

X-

•V

Rys. 113.

siły długościami, obierzmy dowolny biegun O, poprowadźmy

1 cm

x kg

zeń promienie i wykreślmy wielobok sznurowy pmnB.

Punkt D przecięcia się przedłużeń boków skrajnych wy-położenie wypadkowej P. Przedłużmy boki pm i mn

znacza

wieloboku sznurowego do osi XX, to otrzymamy trójkąt m/VZoo012, a stąd fd : «/₂ = 12 : a. Długość 1'2—P.₁, więc

.    .    178)

td~^

A więc moment statyczny dowolnej siły jest proporcyo-nalnym do długości fd, odciętej przedłużeniami odnośnych boków wieloboku sznurowego, co zresztą wynika wprost z §. 7. Jeżeli to samo zrobimy ze wszystkiemi siłami, to

.    .    179)

Py² S.

a stąd moment statyczny Si=a.CB.

Uważajmy teraz odcinki fd jako siły, to CB będzie wie-lobokiem sił. Przyjmijmy drugi biegun O', poprowadźmy promienie i wykreślmy drugi wielobok sznurowy wuCl. Wtedy otrzymamy :

fd. y₂

iidx /*j cv> Oj fd, a stąd di fx

Wstawiwszy za fd wartość z równ. 178), otrzymamy:

T—i

d,f,

P-i y~i²

ab

Py2    /

A zatem C* B. = 2--~- — —r, więc ¹ ¹ ab ab’ x

. . 181)

I₁ — C₁    a 1), .

jeżeli oznacza moment bezwładności sił Pi, P₂, P₃, P₄ ze względu na oś XX.

Sposób ten wyznaczania momentu bezwładności podał Culmann. Według niego więc prosta CiBi, odcięta na osi przedłużeniem boków skrajnych drugiego wieloboku sznurowego, jest proporcyonalną do momentu bezwładności. CiBi odczytujemy w podziałce sił, odległości biegunowe a i b w po-działce długości.

Możemy jednak i w inny sposób wyznaczyć moment bez-

a więc P₂y₂-=a.fd,

władności. Według równ. 178) fd — ^~

a stąd:

P₂ y₂ ²=a.fd.y₂ = 2 a Afmd.

Jeżeli to samo zrobimy dla innych sił, to powierzchnia

2«’ a Sti*d:

2Py² _ i,

. . 182)

Ij = 2 a pow. Cp B. .

A więc moment bezwładności według tego sposobu, podanego przez Mohra, jest równy powierzchni ograniczonej osią, wielobokiem sznurowym i przedłużeniami boków skrajnych, pomnożonych przez podwójną odległość biegunową a, wyrażoną w podziałce sił.

Gdy mamy obliczyć moment bezwładności powierzchni nieregularnej, dzielimy ją na paski prostemi ró-wnoległemi do danej osi, szukamy środków ciężkości tych pasków i uważamy powierzchnie tych pasków jako siły równoległe, zaczepiające w środkach ciężkości pasków. Dalszy tok konstrukcyi jest zupełnie ten sam, co dla sił P1? P₂, P₃ P₄, tylko że zamiast sił wchodzą tu w rachunek powierzchnie. Powierzchnie pasków wyznaczyć możemy w rozmaity sposób, a mianowicie zamieniając je na powierzchnie czworoboków o danej podstawie lub też za pomocą linii całkowej. Zawsze otrzymamy powierzchnie jako iloczyn dwóch długości, a mianowicie długości 01, 12 i t. d., pomnożonej przez pewną długość c, wspólną wszystkim paskom. Zamiast odczytywać długość CB lub a w podziałce powierzchni, możemy więc odczytywać je w podziałce długości i pomnożyć przez c. Otrzymamy zatem z równ. 181) według Culmanna :

.    .    183)

Ii — C,Bj a.b.c

a z równ. 182) według Mohra :

.    .    184)

Ii = 2 a. c pow. Cp B. .

Chcąc wyznaczyć/, moment bezwładności sił P1? P₂, P₃, P4 ze względu na oś, położoną przez punkt D w kierunku wypadkowej R, otrzymamy z równ. 179) :

CB = S^ = Re

2«» aWięC:

gdy e oznacza odstęp wypadkowej od osi XX. Dalej otrzymamy A CDB = Rf-

Re^2aACDB.

Wiemy, że I = /, — Re² = 2aF—2 a.ACDB, jeżeli /⁷==pow. CpB, stąd:

.    .    185

I=2a(F-C/>£)=2aF₀,    .

jeżeli F₀=pow. DpmnB.

Analogicznie otrzymamy dla momentu bezwładności powierzchni ze względu na oś ciężkości:

1=2 a.c. F₀

Licząc dokładniej sposobem Culmanna, musimy uwzględnić tę okoliczność, że moment bezwładności danego paska jest

według równ. 148) ze względu na daną oś XX, odległą od środka ciężkości paska o długość e (rys. 114) Ii==I-{- Ee², podczas gdyśmy dotychczas przyjmowali w przybliżeniu Ix=Fe\ Jeżeli paski są dość wązkie, moment bezwładności I paska ze względu na jego środek ciężkości jest mały i możemy go opuścić.

Jeżeli zaś paski są większe i chcemy dokładnie wyznaczyć moment bezwładności, to przesuwamy, rysując drugi wielobok sznurowy, kierunki sił (t. j. tu momentów statycznych S). Mamy bowiem

A__ł

186)

*-—o

Rys. 114.

4 /

= I-\-Fe² = F(a² + e²), jeżeli a = y — oznacza promień bez

władności. Moment statyczny S=Fe, więc L    a²-\-e²

~e+- = e,.

Kobimy więc poprawkę, przyjmując zamiast długości e długość elf a zatem oddalając punkt zaczepienia momentu statycznego

S dla drugiego wieloboku o (ei—e)——. Długość — znajdujemy

ß    ß

łatwo wykreślnie, kreśląc prostopadle do ramienia eEB=a, promieniowi bezwładności *), łącząc punkt A w osi XX z punktem

jB i kreśląc BC_[_AB. Wtedy EC.AE=a², więc EC=~

ß

C jest punktem zaczepienia momentu statycznego.

zatem

§. 46. Linia całkowa.

Mówiliśmy, że powierzchnie pasków możemy wyznaczyć za pomocą linii całkowej. Otóż zastanowimy się teraz nieco nad istotą linii całkowej i nad sposobem jej wykreślenia.

*) Dla prostokąta a=0,288 h, jeżeli h wysokość paska.

Rzędne linii całkowej SPM (rys. 115) są funkcyami rzędnych danej linii EFN, wyrażonych równaniem y — f(x).

Dla linii całkowej będzie

dx -i⁻ C,

py

ii

O/y'

!*—

ii'

gdzie a i C są ilościami sta-łemi. Linię EFN nazywamy wtedy ze względu na linię SPM linią różniczkową.

Zróżniczkowawszy to równanie, otrzymamy: dY f(x)

st cp,

jeżeli (p jest kątem nachylenia stycznej PH linii całkowej w P do poziomu. Poprowadźmy ECH NB, a CO // PH, to

V

, a stąd OB=a.

OB’    ^

-----

Rys. 115.

~2Ź_COB = (p, a więc st q) —    —

dx

Długość a nazywamy odległością biegunową a O biegunem.

Chcąc wyznaczyć powierzchnię, zawartą między linią różniczkową, osią i rzędnemi yx i y₂, mamy:

•r:

F=

f{x) dx=( Y₂ — C) a—(Yx — C)a = (Y₂—Yt ) a, .    187)

⁵i

a więc powierzchnia ta równa się różnicy rzędnych linii całkowej, pomnożonej przez odległość biegunową a.

Aby dla danej linii różniczkowej wykreślić linię całkową, postępujemy w następujący sposób: Dzielimy linię różniczkową, bcfg (rys. 116) na części tak krótkie, że je uważać możemy jako proste. Z punktów podziału b, c, d, e, f, g, kreślimy równoległe do osi OX aż do OY i łączymy punkty b", c", d", e", f", g", z biegunem B. Promienie Bb", Bo", Bd". .. będą równoległe do stycznych linii całkowej w odnośnych punktach b', &, d¹, e', f, g'. Jeżeli bc, cd, de... są proste, to odnośne części linii całkowej będą liniami drugiego rzędu, a mianowicie parabolami. Jeżeli zaś b'c' jest parabolą, to styczne w i' i o' przecinają się w m, jak wiemy z matematyki, w połowie szerokości pasków. Ta własność paraboli posłuży nam do wykreślenia linii całkowej.

Obrawszy dowolny punkt 6', kreślimy b' m\\Bb", mn\\ Bc", np\)Bd" i t. d., przyczem punkty mnp leżą, w liniach połowiących paski. W ten sposób otrzymujemy szereg stycznych, a że znamy tu punkty styczności b', c', d' i t. d., więc wykreślenie linii całkowej nie przedstawia już żadnej trudności. Jeżeli paski były dość wązkie, to styczne zastąpią linią całkową.

e/\

9f

Ü—

bÆ

/-

cl

'c

\0

'd

/•

Eys. 116.

Jeżeli wyznaczymy powierzchnię pasków, na które podzieliśmy powierzchnię przekroju, za pomocą linii całkowej to odległość biegunowa a jest wspólną odległością, którąśmy oznaczyli jako c w równ. 183, 184, 185 i 186.

§. 47. Przykład. Moment bezwładności szyny kolejowej.

Tok konstrukcyi wyjaśnimy najlepiej na przykładzie, wyznaczając wykreślnie moment bezwładności szyny kolejowej (tabl. I.).

Dzielimy lewą połowę szyny na paski, tak, aby linię zarysu na szerokość paska można przyjąć jako prostą¹) i wykreślamy dla tej połowy szyny według poprzedniego paragrafu linię całkową. Gdy odległość biegunową przyjmiemy wielką, to linia całkowa będzie płaską i na odwrót; tu przyjęliśmy odległość biegunową od podstawy c=l cm. Z punktów przecięcia się prostych podziałowych z zarysem szyny spuszczamy prostopadłe na podstawę n. p. pp' i łączymy spodki tych prostopadłych z biegunem 0. Promienie te n. p. Op' są równoległe do stycznych linii całkowej, które kreślimy po kolei do prostych, połowiących szerokość pasków. W ten sposób otrzymamy linią całkową a 1", 2", 3"... c, za pomocą której wyznaczymy powierzchnię połowy szyny, kreśląc z 0 i 23 poziome do przecięcia się z linią całkową w a i 23' i kreśląc pionową przez a. Odcinek a' 23', pomnożony przez odległość biegunową 00 daje nam powierzchnię połowy szyny. Tu otrzymaliśmy powierzchnię połowy szyny 16,2.7=113,4 cm², całej szyny 226,8 cm², a że szyna wykreślona w podziałce 2:1, więc .4=226,8:4=56,7 cm².

W celu wyznaczenia momentu bezwładności rozkładamy znowu powierzchnię przekroju szyny na paski, które teraz mogą być trochę szersze, jednak tylko o tyle, aby wdelobok sznurowry nie wiele się różnił od linii sznurowej, którą właściwie dla powierzchni powinniśmy otrzymać. Na rysunku podzieliliśmy szynę na 23 pasków, wązkich w głowie i nóżce, a szerszych w ściance szyny, bo tu przekrój mniej się zmienia. Mamy wyznaczyć powierzchnie tych pasków i wykreślić wielobok sił (czyli właściwie powierzchni). Czynimy to zapomocą linii całkowej, przedłużając linie podziałowe do linii całkowej, np. 0 a do a, 11" do 1", i spuszczając z punktów przecięcia się a, 1", 2"... prostopadłe na poziomą a' V 2'...23'. Odcinki w ten sposób uzyskane, pomnożone przez odległość biegunową c=6 cm, przedstawiają powierzchnie pasków, a więc 0' 23' jest wielobokiem sił, względnie powierzchni. Jeżeli zamiast linii całkowej krzywej wykreślimy tylko szereg stycznych, to trzeba aby punkty 1" 2" 3"... przypadały na punkty styczności, a więc dobrze jest zachować te same linie podziału, co pierwej. Gdybyśmy przyjęli inne linie podziału, to punkty te nie wypadłyby na punktach styczności, a wtedy należałoby do konstrukcyi użyć linii całkowej krzywej, a nie stycznych.

Następnie wyznaczamy środki ciężkości poszczególnych pasków i zaczepiamy w nich siły równoległe poziome, względnie powierzchnie pasków. Dalej przyjmujemy biegun 0" w odległości a' —10 cm od prostej a'23' i kreślimy promienie. Równoległe do tych promieni dają pierwszy wielobok sznurowy s 9 l. Skrajne boki wieloboku sznurowego przedłużone przecinają się w punkcie i), przez który przechodzi wypadkowa. Pozioma D przecina oś szyny w środku ciężkości S. Przedłużywszy boki wieloboku sznurowego aż do osi, przechodzącej przez środek ciężkości, otrzymamy punkty, oznaczone cyframi od 1 ... 23. Jestto drugi wielobok sił względnie powierzchni, dla którego obieramy biegun 0' w odległości 6=10 cm i kreślimy promienie. Następnie prowadzimy równolegle do tych promieni drugi wielobok sznurowy mwz. Skrajne boki wieloboku przedłużamy aż do przecięcia się z osią ciężkości w punktach B i C. Długość BC—20,6 cm jest według Culmanna proporcyonalną do momentu bezwładności, który otrzymamy według równ. 183), gdy pomnożymy BC przez a, b i c.

Jeżeli zauważymy, że BC. a, . b . c przedstawia moment bezwładności połowy szyny, to chcąc otrzymać moment całego przekroju szyny, musimy pomnożyć wynik przez 2. Ponieważ szynę wykreśliliśmy w podwójnej podziałce (2:1), więc wszystkie długości są dwa razy większe, a zatem, aby otrzymać moment bezwładności rzeczywistego przekroju, musimy wynik podzielić przez 2*= 16. A więc

= 1442 cm⁴.

20,6 . 10.8 . 7 . 2

16

Według Mohra zaś otrzymamy, splanimetrowawszy powierzchnię s 9 l .0=103,6 cm²,

= 1460 cm⁴.

103,6 . 2 . 8 . 7 . 2

16

Jako ostateczny wynik przyjmiemy średnią arytmetyczną: 1442 + 1450

= 1446 cm⁴.

Jeżeli chcemy wyznaczyć teraz promień bezwładności wykreślnie, to możemy to zrobić wedle Mullera Breslau a w następny sposób:

Dla połowy szyny jest wedle Cu lm an na, gdy odcinek BO nazwiemy z, l^aybcz, F=nc, więc

a{b c z _ a^bz

a2 ₌ _L ₌ _

Jb    nc    n

Odetnijmy 23' G=b i zróbmy GUI/0//23', to HL=b. Z podobieństw trójkątów mamy b:n=0"E'.al, więc 0//A'=^^, zatem a² =0"E. z. Zróbmy

0"K=z, zatoczmy półkole na EK, to

0"F²—O"E. z=a², zatem a—0"F.

Dla całej szyny niech bedzie moment bezwładności I', powierzchnia F to I'=2i, F'=2F, stad *

21 1 , . ,

— = —— = —=or, zatem a' — a. F'    2 F F

Promień bezwładności jest więc dla całej szyny ten

.'«-i

sam.

co dla połowy.

§. 48. Wykreśl ne wyznaczenie momentu bezwładności powierzchni

sposobem Nehlsa.

o grubości nieskończenie małej

stąd, ponieważ pm' =

Aby wyznaczyć wykreślnie moment bezwładności powierzchni danej cm^d[b = F (rys. 117) ze względu na oś OX, kreślimy najprzód prostą prffOX w odległości a. Badajmy teraz element powierzchni, t. j. prostą mm dy, zróbmy mxm'\\mO^ połączmy O z m', przedłużmy tę prostą do ra₂, to otrzymamy Om : mm₂ = a '■ pm\ a = mm,, będziemy mieli y : mm₂ = a : mm,, więc

mm

<rÿ-

mmi —

10

Statyka.

Zróbmy to samo z innymi elementami, a otrzymamy

mm.₂ dx — po w. bcm% d₂ = Ft =

mm^ydx S

ci

= fJl y - r /V

'-~t= Ê»    - ::S \ i

/ V, /

/ \ • / *

a*

Vrêrë=

przyczem wyraz \ m'/Wj y dx~S przedstawia moment statyczny powierzchni F ze względu na OX.

Zróbmy teraz m₂m"j\mO i wykreślmy Om" aż do mz, a otrzymamy podobniepm": a = —mm₂ \y, a zważywszy, że pm" = mm.₁₎

mm «y

mm, — --—,

a

stąd

Eys. 117.

mm, dx

mm₂ ?/ eta;

mm^y² dx

a²

a zatem

mm, dx —

mm, y² dx

a²

pow. bcm₂dz=Y₂i więc

F₂=-

² a

przyczem wyraz ^mmxy²dx=I przedstawia moment bezwładności powierzchni F ze względu na oś OX.

.    .    189)

Po prawej stronie rysunku na tablicy I wyznaczyliśmy według tego sposobu, podanego przez Ne his a, moment bezwładności szyny ze względu na oś pionową i to osobno dla górnej części szyny, a osobno dla dolnej. Długość a przyjęliśmy dla górnej części szyny 5 cm, dla dolnej większą a₁=6cm, aby rysunek nie wypadł za papier. Splanimetrowawszy Fn, otrzymaliśmy dla górnej części F"x= 29,2 cm², a dla dolnej Fx'—85,2 cm², a więc

/'^(F'W + ihY'a,²) ^ = (29,2.5² + 35,2.6²) ^=249,6 Nareszcie otrzymamy promienie bezwładności

=5,05 cm

cml

-YM

1446

56,7

-YM

249,6

56,7

=2,10 cm.

Możemy teraz wykreślić elipsę bezwładności, znając promienie bezwładności dla obu osi głównych.

Zrobić tu jeszcze musimy uwagę, żejeżeliśmy do wykreślenia linii cm₂d%b z linii cm,d₂b użyli nie prostej pr (rys. 117)

w odległości a, lecz innej prostej w odległości a', to zamiast

T"~

e\

n. p.

równ. 189) otrzymali-

jak te-

byśmy F₂

go łatwo dowieść można.

Moment bezwładności powierzchni możemy także wyznaczyć za pomocą bardzo zmyślnego przyrządu, mianowicie planimetru Ams-lera, którego teoryę i opis podał Dr. W in kler w czasopiśmie Austrya-ckiego Towarzystwa Inżynierów i Architektów w r. 1870 *).

Powierzchnia Fi (rys. 117), wyrażająca moment statyczny p>owierzchni, ma jeszcze inne znaczenie, które zaraz wyjaśnimy.

Według rów. 138)

— = £. Jeżeli oś OX przyjmiemy w środku ciężkości przekroju, to v=y, więc (rys. 118).

Na pasek powierzchni mm^dy działa siła mmxdy v=mmxdy £ y = =mm₂ a Ç dy. Jeżeli scał-kujemy siły, działające w przekroju powyżej osi obojętnej, to otrzymamy

mp*

aa'

j__od

Cr

Ł'

Rys. 118.

Rys. 119.

e'

C' =

mm₂ dy a Ç = a £. Fx

*) p. także Ott: Vorträge über Baumechanik. TI. Theih str. 124 i nast.

jeżeli i^^pow. Ocm₂, a podobnie wypadkowa natężeń poniżej osi obojętnej G" = aÇ F₂₁ jeżeli i^₂=pow. Oed, przyczem C' = C Siły normalne, działające w paskach powierzchni przekroju są proporcyonalne do mm₂, powierzchnie zatem kreskowane Fx i F₂

przedstawiają rozkład natężeń normalnych w przekroju i nazywają się dla tego sprowadzone mi powierzchniami przekroju (n. reducirte Querschnittsfläche). Jeżeli wyznaczymy środki ciężkości powierzchni Fi i F₂ w Si i $2, to punkty te są punktami zaczepienia ciśnienia i ciągnienia, nazywamy je więc środkiem ciśnienia względnie ciągnienia. Odstęp pionowy środków ciśnienia i ciągnienia niech będzie h₂, to

77?'

Fi.

i'

rn

&'i

Si

Oj X

Rys. 120.

_.<2___W

C.h₂ =M

Na rys. 118. widzimy powierzchnię sprowadzoną przekroju I i środki ciśnienia i ciągnienia. Widzimy, że tu odstęp środków natężenia h₂ jest nie o wiele mniejszy od h, w przybliżeniu możemy przyjąć /&₂=0,9/L

190)

§. 49. Obliczenie siły ścinającej poziomej.

Siły zginające belkę działają w kierunku prostopadłym do osi belki, więc wywołują oprócz natężeń zginających także natężenia ścinające. Dla belki o osi prostej jest siła poprzeczna wypadkową wszystkich sił, działających po lewej stronie danego przekroju, natężenia ścinające pionowe w każdym przekroju muszą więc być równe w stanie równowagi sile poprzecznej Q.

Oprócz natężeń ścinających pionowych powstają jednak w belce, pracującej na zginanie, natężenia także w innych kierunkach. Najprzód zastanawiać się będziemy nad natężeniami ścinającemi poziomemi (n. horizontale Schubspannung.i fr. effort rasant, force de glissement longitudinal, an. horizontal shearing stress).

W celu wyznaczenia tej siły wytnijmy z danej belki część jej o długości Ax (rys. 120) płaszczyznami prostopadłemi

■do osi i dla równowagi zaczepmy natężenia, które przed przecięciem w belce istniały. Zbadajmy teraz siły, działające w warstwie pp\ równoległej do osi,

Na części belki mm'p'p działają po prawej i po lewej stronie natężenia normalne, które, jak wiadomo, zmieniają się według prawa linii prostej. Natężenia te dadzą się złożyć na siły H i H', które z powodu, że dæ jest bardzo małe, możemy obie przyjąć jako poziome. Dadzą one wypadkową AH=H'—H, działającą w kierunku siły większej. Siły działające na część belki pp'n'n, muszą dać jako wypadkową także    lecz działającą w kie

runku przeciwnym, bo warstwa pp' jest w równowadze.

M

Według równ. 141) jest v=—v, a więc siła, działająca

M

na pasek o długości u a grubości dv, jest —-vudv, a stąd

vudv=uvdv.

odległej od niej o v.

II

Podobnie otrzymamy H' pozostał ten sam ; a więc

M'?e

⁼ ~j~\ uvdu, jeżeli przekrój belki

i-)KVdv=-r\

uvdv.

pisać

Jeżeli przekroje obierzemy bardzo blisko, to możemy na

dH

dM?e

~ I \

uvdv.

Siła ścinająca pozioma dH działa na długości dx, na jednostkę długości wypada więc

dH dM dx dx.I

uvdv.

7j równania 14) wiemy, że =Q t. j. sile poprzecznej,

całka zaś^ uvdv wyraża moment statyczny powierzchni p{mp₂

ze względu na środek ciężkości przekroju O, nazwijmy go S,

to S

= ^ uvdv, a więc

.    .    191)

będzie

Natężenie ścinające poziome ax na jednostkę powierzchni

ox ——=

¹ u

P I OD

.    .    192)

Z równania 191) widzimy, że ponieważ Q i I są dla danego przekroju i obciążenia stałe, więc a zmienia się proporcjonalnie do S, a zatem siła ścinająca jest największą w osi, a w warstwie skrajnej równą zeru, bo tam $=0. Dla

przekroju prostokątnego (rys. 121) mamy

o*

JC

;Æ1

Wr

2 bh

II *5*

li

.    198)

większe a będzie w osi dla

Eys. 121.

v=0

JM

2 h •

.    194)

najw a

Widzimy więc, że dla zmiennej v siła ścinająca a i natężenie ścinające poziome ox zmieniają się

w przekroju prostokątnym wedle paraboli. W przekroju /(rys. 122)

_    zmienia się siła

. j r ścinająca a we-Æ===' die paraboli ab i cd w stopie i głowie, zaś według innej paraboli bec w ściance.

Z równania 192) widzimy, że

natężenie ścinające poziome ox zmienia się proporcyonalnie do

__2 Ł____j£

08'

'------$£■----!

Eys. 122.

- 151

S

—. Jeżeli więc szerokość przekroju, u

nagle się zmienia, to

i ol zmienia się nagle odwrotnie proporcyonalnie do u.

Przy przejściu więc ze ścianki w stopę w C następuje nagła zmiana natężenia ścinającego. Z rysunku 122. widzimy, że natężenia ścinające są bardzo małe w stopie i głowie, możemy więc je pominąć, a przenoszą się jmawie w całości na ściankę. Na odwrót wedle rysunku 119. natężenia normalne w belkach o przekroju I działają przeważnie w stopie i głowie, a mało co w ściance.

§. 50. Natężenia ścinające pionowe.

"Wiemy już z poprzedniego, że suma natężeń ścinających pionowych (fr. effort tranchant) w każdym przekroju pionowym belki o osi prostej równą jest sile poprzecznej Q. Zachodzi teraz pytanie, jak siła poprzeczna rozdziela się w przekroju.

ox(2v

Bys. 123.

Wytnijmy z belki (rys. 123) dwiema płaszczyznami pozio-memi w odstępie dv i dwiema płaszczyznami pionowemi w odstępie dx grania-stosłup o podstawie ABCD ą wysokości = 1, to w płaszczyznach DC i AB działają siły ścinające poziome oxdx, w płasz-aAdv czyznach zaś pionowych siły o₂dv, a oprócz tego równolegle do osi działają siły vdv, które się znoszą.

Mamy tu więc dwie pary sił, dla równowagi musi być suma ich momentów równa zeru, więc

.    .    195)

—asdx .dv-\-a₂dv .dx=0, a zatem a,=a₂    .

Widzimy więc, że natężenia ścinające pionowe a₂ są w każdym punkcie przekroju poprzecznego równe natężeniom ścinającym poziomym a,, w tym punkcie działającym.

Ze względu na równanie 192) możemy więc napisać

QS

a zatem natężenia ścinające pionowe zmieniają się proporcyonalnie do —.

Jeżeli siła poprzeczna Q działa na przekrój F, to gdyby natężenia rozdzielały się na przekrój jednostajnie (prosta R"R'

w rys. 121), toby największe natężenie było o=

Dla przekroju prostokątnego jest największe natężenie wedle 195) dla v—0

CO CM

OR ....    196)

2 F

Największe natężenie na ścinanie jest więc dla przekroju prostokątnego f razy większem, niż przeciętne dla równego rozdzielenia siły.

Dla przekroju I OT będzie także nieco większem niż OR (rys. 122), jeżeli jednak siłę Q rozdzielimy tylko na ściankę równo, to będzie się mało co różniło od OR.

nające w ściance a₀ =

= 1421 kglcm².

Przykład. Dla kształtówki I wykreślonej na rys. 122. niech będzie Ç=20t. Dla przekroju tego jest 7=2402 cm³, więc przeciętne natężenie ści-20000 0,8X17,6

= 1469 kgjcm². Wartość ta tak mało się różni od war-

Obliczmy teraz OT. W tym celu wyznaczamy najprzód 5 dla «=0, zatem 5=9,6x1,2X9,4 + 0,8x8,8x4,4=141,15 cm³, więc wedle 192) i 195) 20000x141,15 2402X0,8

tości poprzedniej, że często w praktyce liczymy tylko natężenie ścinające średnie

197)

„ <*>

¹

Około 30 pasków. Podział ten po wykreśleniu linii całkowej .wymazaliśmy dla większej wyrazistości rysunku.

*⁼PF............

jeżeli b' oznacza grubość a h' wysokość ścianki.

Obliczmy jeszcze natężenie ścinające w O, a otrzymamy

5=9,6X1,2X9,4=110,2 cm\ więc CC,    ~ = ¹¹⁶⁸

2000X110,2    ₂

a Cą-~2402 X 9,6 =⁹⁷ ^²-

§. 51. Natężenia w kierunkach ukośnych. Linie największych natężeń.

Na graniastosłup, którego podstawa jest prostokątem (rys. 123) działa w stanie równowagi sześć sił, jeżeli zaś przetniemy go według przekątni DB (rys. 124) to w stanie równowagi działa 5 sił na ten element, mianowicie v dv, a dv, a dx, v' du, g' du. Stosunek tych sił się nie zmieni, jeżeli wszystkie podzielimy przez dv, wtedy otrzymamy siły

■Ö

d v¹

dx du . u v, a, a V o -

(rysunek 125).

Jeżeli siły te są w równowadze, to wielobok sił i sznurowy muszą się zamknąć. Co do wielkości i kierunku znamy tylko v i a, co do kierunku resztę sił. Przypuśćmy, że abfeda jest wielobokiem sił i że biegun obierzemy w punkcie a. Wykreślmy

promienie, a równolegle do nich wielobok sznurowy. Pierwszy promień aa jest tu zerem, drugi ad, kreślimy więc równoległą do ad przez punkt m do siły

a' przyczem Cm—mB.

Dalej kreślimy mn ae, nr af, rm ab aż do ^ punktu m, ponieważ wielobok sznurowy musi się -* \ zamknąć. Z rysunku wi-.J | dzimy, że aef comnr, więc y mr :Ar=ef: bf, czyli

\ dx : \ dv—ef : a, stąd dx

e^==a^ïv    widzimy,

^ że efcoo ABC, więc

adu-

A.

|p

Eys. 124.

'i

dx

o —— : fc—dx : dv, a stąd dv    ^

dx dv

dv dx

Ponieważ z rysunku także wynika, że 2C. abc — ^ adc=90°, więc punkty a, b, c i d leżą na okręgu koła. Na tej podstawie możemy teraz wielobok sił łatwo wykreślić w następny sposób : kreślimy v=ab, bf—o i przedłużamy tę prostą do c tak, aby fc=bf. Zataczamy koło przez a b c, d u

v' — czyli ad\BC i dc przedłużamy aż do

\ff

fc=

= a = bf.

■ ..

'"A---dx---

Eys. 125.

prowadzimy ad || poziomej przez f.

du

Z trójkątów egd oo ABC mamy o' — : dg = du: dv, a stąd

(JjV

dg—o'. Podobnie otrzymamy z trójkątów adh oz ABC

v' dh—du:dv, więc dh=v'.

Łatwo możemy teraz znaleść kierunki sił v' i u', dla których v' i o' przybierają największe i najmniejsze wartości.

bz

JL

*Ą

ct

J3 ;

S-

! ».

u \D

'na/nr V

■■

\

rN

Rys. 126.

Rys. 127.

to

/to

fc

to

l\\

.! W

B \ /; / o

\ '•

\ !/

\*

najsnn..»

<rN

Rys. 128.

Rys. 129.

ć>a

JS

k?_

rtajdf /'

—-?r

■ö

<5?

to

/'

yi

Rys. ISO.

Rys. 131.

Dla największego a'musi być płaszczyzna, w której działa u', równoległą do ^4c (rys. 126), a v' działać w prostej aA, przyczem punkt d wpada na punkt A, znajdujący się w pionowej pod O. Jeżeli płaszczyznę tę obrócimy o 45°, kierunki te zmienią się na cB i aB (rys. 127), wtedy o'—0, a v' jest największem. Po dalszym obrocie o 45° zmienią się te kierunki na cC i aC (rys. 128), a wtedy o' dosięga swej najmniej szóści. Gdy nareście jeszcze obrócimy te płaszczyzny o 45° (rys. 129), to otrzymamy kierunki cD i aD, a wtedy v' jest najmniejszością, a u=0.

Widzimy więc, że płaszczyzny, dla których a' jest najmniej szością i największością stoją na sobie prostopadle, zaś płaszczyzny, dla których v' j est naj mniej szością i naj większością stoją także na sobie prostopadle i tworzą z powyższemi płaszczyznami kąty 45°.

Dla osi obojętnej jest, jak wiadomo, v = 0, więc płaszczyzny, dla największych i najmniejszych v\ cB i cD są nachylone pod 45° do osi belki (rys. 130), a dla największych i najmniejszych a' równoległe do osi.

Dla włókna skrajnego jest, jak wiadomo, u=0, więc płaszczyzny, dla których v‘ jest największe i najmniejsze, są równoległe i prostopadłe, do osi, zaś płaszczyzny, dla których o' jest naj mniej szością i naj większością aA i aC (rys. 131), nachylone są pod kątem 45° do osi.

Jeżeli w pewnym punkcie belki wyznaczymy kierunki płaszczyzn dla największych i najmniejszych v' lub o', potem

w punktach sąsiednich,

w tych kierunkach, wyznaczymy znów kierunki płaszczyzn dla naj-większości i najmniej szóści v' lub

<5^

1+5°

145°

-^ą^ćiśnienie

33^ scinanie

leżących

>0'

i-5'

nieme

Eys. 132.

powac będziemy, to otrzymamy linie krzywe, których styczne wyznaczają w danym punkcie kierunki wyżej wspomnianych płaszczyzn. Linie te największych natężeń (n. Spannung strajektorie, an. tractory) wykreśliliśmy na rysunku 132 na podstawie powyższych twierdzeń dla belki o stałej szerokości.

Widzimy, że linie największego ciągnienia i ciśnienia wychodzą pionowo z włókien skrajnych, są nachylone do pionu

o' i tak dalej postę-

pod kątem 45° w osi i kończą się stycznie do włókien skrajnych. Linie największego ścinania wychodzą z włókien skrajnych nachylone pod 45°, stają się coraz więcej płaskie i kończą się stycznie do osi.

§. 52. Natężenia główne.

Z rysunku 126 możemy otrzymać dwa równania, jeżeli utworzymy sumy składowych wszystkich sił w kierunkach ad i ed i zrobimy je równe zeru ze względu na to, że siły te są w równowadze.

Tworząc sumę najprzód w kierunku ad, otrzymamy: v' ⁽(Üv~V WS^ ⁰

albo, ponieważ

dv

=wst cp, v'=--v wst² cp-\-2 a wst cp dost cp,

V

dost 2 cp) + a wst 2 cp

Tworząc zaś sumę składowych w kierunku ed, otrzymamy a' <~^₀T=V dost <p — o wst cp + o ^

o' ==v wst cp dost cp-\-o (dost² cp—wst² cp)/ albo wreście

v

o'wst 2 cp + udost 2 cp Z

Natężenia v' i o' dadzą się złożyć w wypadkowe natężenie działające ukośnie na element BC.

Jeżeli przez dany punkt poprowadzimy we wszystkich kierunkach proste i odetniemy na nich odnośne natężenia we właściwych kierunkach, to końce tych prostych leżeć będą na elipsie, jak się tego dowodzi w mechanice rozumowej. Elipsę tę nazywamy elipsą natężeń (n. Spannungsellipse). Osie główne tej elipsy są to natężenia, stojące prostopadle na odnośnych elementach, a więc najw. i najmn. v', gdyż wtedy a'—0 (rys. 128 i 130).

Aby wynaleść najw. i najmn. v', a więc osie główne elipsy natężeń, możemy postępować analitycznie na podstawie równań 198) i 199), albo też możemy użyć do tego wyników, do których doszliśmy wykreślnie.

du

lub nareście

v' =

(Lr

.    198)

dost cp, lub ponieważ — =dot cp,

.    .    199)

Z rys. 126 i 128 widzimy, że jeżeli nazwiemy 0A= PB— = OC—OD—r: to

najw. dt o' = ± r=zt ₀

i

. . . 200)

Również widzimy z rys. 127 i 129, że

najw. ± V — i O Az r=

hjv²+Aa² .    . 201)

i

Z rys. 126 i 128 widzimy też, że dla położenia płaszczyzny elementu, dla którego otrzymujemy najw -I- o'.

. . 202)

v' ^ .    .

Wartości najwAzv' nazywamy natężeniami głównemi (n. Hauptspannung, an. maximum stress), a wartości najw -4-a' natężeniami głównemi ścinające mi (n. Hauptschubspannung).

Przy obliczaniu wymiarów musimy uważać, aby natężenie główne normalne i natężenie główne ścinające w żadnym punkcie belki nie przekraczały dozwolonej granicy.

Powiedzieliśmy wyżej, że najw (Azv) jest zawsze w warstwie skrajnej, tam zaś jest a =0. Jeżeli wstawimy w rów. 201)

JL

(7=0, to otrzymamy najw-4-Azv' — v. Dlatego przy obliczaniu wymiarów na podstawie wzoru 143) t I—Me uwzględniamy tylko natężenie podłużne v warstwy skrajnej, robiąc je równem natężeniu dopuszczalnemu %.

Rys. 133.

Jeżeli szerokość przekroju zmienia się nagle, jak n. p. w kształtówce / (rys. 133), to w (7, gdzie kształtówka przechodzi w ściankę, jest natężenie normalne v dośó wielkiem a także i natężenie ścinające or, natężenie więc główne normalne v' może być większem od natężenia w włóknie skraj nem D. Aby temu zapobiedz zaokrągla się przekrój w C i pochyla stopki, przezco zmniejsza się natężenie główne.

Przykład. Niechaj siła 61 działa na końcu belki jednym końcem wmurowanej 0,7 m długiej. Jakie będzie natężenie główne w przekroju przy ściance w C, jeżeli belka ma przekrój wedle rys. 184?

b)

D_D, d

u*

aj

25 O

1°

O, 0₂

ŁU‘

->!

....../ //

Iiys. 134-.

Moment największy wynosi 6x0,7=4,2 frw = 420000 kgcm. Dla kształ-tówki / jest i^=25Xl + 2x(H,5—1) 1,5=55,8 cm²

7=^(11,1X25³-10,1X22³)=5491 cm\

Natężenie normalne w włóknie skrajnem D 420000X12,5 V~ 5491

⁹⁵TÉ>r°819 kg'icmi'

957.11,3=865 kfficm2

=957 kg/cm

w ą v =

Natężenie ścinające otrzymamy w włóknie skrajnem ct=0, w Cj QS 6000.(11,1.1,2.11,9)    172,8

Iu ~    5491 u    u *

w Oj jest «=11,1, więc a—

12,5

w Ca

__6000. (158,5 + 40,3)    217

5491 u ~ ~

172,8

11,1

= 15,6 kg jem²,

w C jest «=1,

217

więc

Zatem natężenie główne normalne w warstwie skrajnej : v'=v=957 kgjcm²

=217 kgjcm².

poc 1    /

w C\ =    + —-^/865² + 4.15,6²=865,3 %/cm², analogicznie w C=813kg/cm

Tu więc jest jeszcze natężenie główne w C mniejsze niż w warstwie skrajnej, lecz gdyby przy tej samej sile długość 0,7 się zmniejszyła,

zmniejszyłby się moment, a stąd v, podczas gdy a zostałoby to samo i mo-żliwemby było, że cc"^>dd".

Z przykładu powyższego widzimy jednak, że wypadek taki byłby zupełnie wyjątkowy i zdarzyć się może wogóle tylko tam, gdzie i natężenia normalne i ścinające są wielkie, że zwykle jednak dostatecznem jest obliczenie natężenia normalnego w warstwie skrajnej.

Jeżeli v=0, to według 200) najw -4- a' — -t- a. Przekrój belki więc w dwu punktach podpartej obliczamy na podporze (gdzie Jf=0) według o. Jeżeli belka jest drewnianą o przekroju prostokątnym, to według 194) otrzymamy natężenie na

3 O

jednostkę długości dla v=Q tj. w osi obojętnej ₀    , a na jednostkę

powierzchni o

= 8 Q    ^

² bh'

Jeżeli belka jest jednostajnie obciążoną, to według rów.

Największy zaś moment w środku jest

3 ql

18) Q = \ql, więc o według 20) M=-}ql², więc największe natężenie podłużne:

4M'

ro »

_ ₌_

I T\bh3 tM²‘

Me

h    80 h

więc a=%. - =

t,,.    .    —    80 h —Hr.    ..

Jeżeli więc    to—=—<10, czyli

Jeżeli dla drzewa miękkiego przyjmiemy t' = 10 Icg/em², t=80 kg\cm² i obliczymy wymiary tak, że v = t, to 3ql 3ql²

a:    : t ŁT v=h : l,

kbh 4bh²

.    .    203)

h<i 1=0,1251.

Belki drewniane bardzo wysokie, dla których h < 0,125 l, trzeba więc obliczać ze względu na siłę poprzeczną Q z powodu niebezpieczeństwa ścinania pionowego w podporach, zwykle jednak h < 0,125 l, a wtedy obliczamy je według największego momentu.

§. 53. Wykreślne wyznaczenie siły ścinającej poziomej.

Siłę ścinającą a możemy wyznaczyć także wykreślnie, jak to na przykładzie (rys. 135) dla przekroju I okażemy według Culmanna. Dzielimy najprzód przekrój na pewną ilość pasków (tu na 7), wyznaczamy środki ciężkości tych pasków i zacze-

piamy w nich siły proporcoynalne do powierzchni pasków. W tym celu sprowadzamy wszystkie prostokąty do wspólnej podstawy a, przeto wysokości, uzyskanych w ten sposób, prostokątów będą proporcyonalne do powierzchni. Kreślimy teraz

18'

\h’

r""~

"~Wm

WWW?/

mm.

w.

/Ml

0.

wak

- i- c

\or

~ii

\L

\F

Ty

f\y

u-a

yt

àV

cy\

......>;

(*-/ •’>

jl *■..............SS''

Eys. 135.

wielobok sił 0, 1, 2, ...7, odcinając po kolei wysokości czworoboków, przyjmujemy punkt O w odległości b, kreślimy promienie i pierwszy wielobok sznurowy OBC. Dalej przedłużamy boki skrajne, które przecinają się w A, kreślimy przez A pionową i otrzymujemy środek ciężkości S. Przedłużamy resztę boków do linii AB, którą uważamy za wielobok sił, obieramy drugi biegun O, w odległości c na prostej 07, prowadzimy promienie i kreślimy drugi wielobok sznurowy DEF. Jak wiemy, będzie więc OiD=——.

Poprowadźmy z pierwszego bieguna Op// Ox D i połączmy Oj z p, odetnijmy dalej OiH=Q i poprowadźmy Hnl/OyF i pionową nm, to mn= Q, a O^nmco Q\P'p, więc pp' : b=mn : Ojm,

j ~    ,2"    i. a f bQabc ab² c Q

a zatem, gdy O, m = r,    a stąd / = —

Przedłużmy mn aż do r, to mr\f= ~, a wstawiwszy wartość za f,

kroju, więc AB =

=    : c, a stąd mr

Długość ,42? przedstawia moment statyczny powierzchni pierwszych trzech pasków ze względu na środek ciężkości prze-*Si,3

ab ’

.    .    204)

^1,3

Iabc

Widzimy więc, że odcinek mr proporcyonalny jest do siły ścinającej w warstwie g. Wykreślmy gg' = 2 mr, dalej ee' = 2.ral ff'=2.m2, M' = 2.m4, W — 2,m5, kk' =2m.6, to rzędne te podzielone przez 2& przedstawiają siłę ścinającą w tych warstwach. Wierzchołki tych rzędnych połączone dają linię sił ścinających, (an. curve of shearing stress).

Jeżeli chcemy mieć natężenie ścinające czyli siłę ścinającą na jednostkę powierzchni, to musimy siłę ścinającą a w każdej warstwie np. g podzielić przez szerokość warstwy st. Na rysunku zrobiliśmy to zapomocą kąta proporcyonalnego i połączyli końce odnośnych rzędnych linią kreskowaną. W warstwach, gdzie szerokość przekroju nagle się zmienia, zmienia się też nagle i natężenie ścinające.

§. 54. Obliczenie przekroju kształtówek I, pracujących na zginanie.

Kształtówki w kształcie / używamy często jako belki, pracującej na zginanie. Znając moment sił zewnętrznych, działających na belkę, obliczamy jej wymiary według równania

205)

xI=Me, a stąd:

M I

Wyraz —= W zależny tylko od przekroju belki nazywamy &

momentem oporu (n. Widerstandmoment, fr. module de flexion, de section).

Austryackie Towarzystwo inżynierów i architektów w Wiedniu wyznaczyło wymiary dla pewnej ilości kształtówek 7, które fabryki żelaza wyrabiają na zapas i których zatem każdego czasu dostać można. Wymiary te, ciężar kształtówek na jednostkę długości i moment oporu zestawiliśmy w następnej tabliczce.

M

Znając M i t, wyznaczamy iloraz —, który ma być równy momentowi oporu kształtówki. Szukamy więc z tabliczki w kolumnie —=7:^ wartość najbardziej zbliżoną, a nie mniej-szą od — i obieramy odnośną liczbę kształtówki.

Kształtówki I (n. 7 Eisen, fr. fer en I, a. I-iron, r. ÆByTaBpoBoe

æejrteo),

zestawione wedle norm austryackiego Towarzystwa inżynierów i architektów z r. 1915, obliczone dokładnie z uwzględnieniem zaokrągleń i nachyleń (rys. 136 a).

Normalne : dla h <( 160 mm : b — 0,4 h -f- 20 mm

c?=0,03ä+ 1,6mm, dx = l,bd dla h > 160 mm : b = 0,3 h + 36 mm d=0,4:h₁ d, =1,5 d

r=l,2d, 7^=0,6 d, ciężar gatunkowy y=7,85 pochyłość wewnętrzna boków stopy i głowyp°/o ⁼0,02^ + 7, h w mm.

''"I

'V:

; | j ^

• 4-

I.—

*1

-U—3L

Im

JLsi

W.......

a Rys. 136. fe

Wyjątki co do przy kształtówkach szerokostopowych

1. 18 a, 22 a, 24 a i 28 a.

ze względu na oś YY

moment | promień bezwładności

ai

cm

1,18

1,35

1,52

1,60

1,64

1,74

1.81

1,96

3,04

2,05

2,10

2,15

2,94

2,24

2,29

2,94

2,34

2,39

2,53

3,25

2,62

2,72

2,91

3,19

3,48

oporu

J>C

cm³

4,90

7,59

11,1

13,2

14,6

17,1

19,9

26,6

56,4

33,0

36,5

40,3

67,8

46,1

50,5

76,6

55,2

60,1

73,2

110,8

85,3

98,6

124,4

173,6

234,0

moment

bezwła

dności

Jy

cm*

12,7

22,8

37,8

47,6

55,6

68,5

83,6

119.7

380.7 158,3

180.8

205.5

457.8

242.1

272.9 517,0

306.1

342.6 439,0

831.2

537.2

650.9 876,8

13B4

2001

oś XX

promieii

bezwła

dności

cm

3,27

4,09

4,91

5,30

5,67

6,10

6,48

7,30

7,58

8,04

8,41

8,78

9,04

9,22

9,59

9,82

9,96

10,33 11,14 11,41 11,88 12,61 13,79 IB,69 17,59

Tablica XXI.

Kształtówki I. (przekr. norm, austr.).

ze względu na

moment moment bezwła- oporu dności

• X r»

H ’

Jx

ciężar

prze

krój

nachylenie wewnątrz boków • F stopy p

Wymiary w milimetrach

cm³

cm*

kgjm

cm²

*u

lP \ V

-|T^ZSą 'Bqzoïrj

^    r^^ co^ c^io^cd^^c^lc^ ^cq^iq^co_

^T-r-TifTcTtjTcsTcc -*#cfc^f cd'cf to cdcc r-ThTco aTtjTco cc'io uo aT CQ^<X>COOHCOOOCD^l^HCJiiOaiOOr}iaiOCOCOI>(^CQl> (^cocococrjTtw^<x>i>-i>-coHCDOj

H H (M

H H T—I C-l (M

aioroSiô^go<3c3OTc6^gœj>gU<03i^^œasoao

H H H H CO lQ

2^^*§c°c2^Sc52h^c^xS?qS§SSocoSo

ctTofrjTto v?aTHcforcf-^TH-r^croOTi^ooTH i-ToTT-T-^ro' HHHHHiMcoNcoco^co^Trni^nocûcûœœoco

rH H

CO 03 CO CO CO CO -h r-i CO 0^> iO co i>* OCO O lO O O CQ CD Hi CD t>* C^^oi cd kD^^c^Hicq •^Ti.^Q.aiQ.^lt>^a^<^a^cD^oo^cD>

afcfcd~co cfoflcTr-Tth~o'^Tc6'oô'ofaTcD'ô'cd'cd'Gd‘i>'cd'orio'

HHH(M(M(MCO^CO^'^iO'^iOiOiOQCDI>^-OOOCOO

H H H

^o^cD^œo^oicD^oo^^^<^œœ^o^(NCD^o^o^o^o

COOCiCiQ

OOOOHHHHHHn(M(M(NOîCOCO^lOCD tH rH rH t—1 rH T—H rH rH tH tH rH t-H H rH H r-H t—ł r—i tH rH

00 <NtO Cq Cvp Cq    c£^ cy Cq Cq    OCiq Cp C'P ^ Ciq Cq Cp CO^

hjT io~ ciTcrTc^'c^'e'-' af afaf <^ö'ö'T-T,-r,--r<>fc<rco'c6'Hifio'cD'crr<>r

t—< i—I t—f t—1 iH iH rH T-1 rH rH rH tH r-1 r—l

'*„cVt®J»OJ® ®CW» H. ^^^l-^0„cco^CTcq.^ccc»

CTCQCOCOCOCOCO'^^'^lOiOlOlOàOlOCOïCCDCDC-C^COOSO

qoom,icoK^qoo„cqoo^^o^oo^q.qqqq

HH(M(MCOîO^TPTiuoioi>i>xa)H^r-rH rH rH rH rH rH H tH r—< rH tH rH rH rH rH CQ (OJ Ol

CD I> CO CO CO 05 O

oqqqqo^qqqqciqqqqqqqo^qqqqq

rtf hJi 10 iG C£> ce CD [>• l> CO GO 05 05 05 CS 05

OOnHIMCOTtlCCOO

rH tH tH r-H tH rH t—» r-H rH

SScir^œœrommffiOccoomHHSSSm^iotC

tH    H H rH h H H H tH rH rH tH tH rH rH

hhhhhHHh(NN'NW(N(NMNOIC(|(MCOOOCO'<#'#

s    s e    e

cooCTcorÿio^œGooHOKMcoTf^ioœcoonoNvooio TH^HTHi-HT-irHrHT—. OlO303 CvlO3O3O303(MOlCC3^JCC'C0^Ji'^

Przykłady. Na belkach żelaznych spoczywają sklepienia płaskie jako powała. Belki żelazne o rozpiętości 5,5 ot kładziemy w odstępach 1,2 ot. Ciężar wdasny powały wraz z obciążeniem tłumem ludzi jest 750 kg/m². Jakie mają być wymiary kształtówki I?

Na jeden metr bieżący kształtówki przypada powierzchnia powały

1,2.750

1,2 w², a więc ciężar na 1 cm bieżący q— większy dla obciążenia zupełnego jest w środku belki M—^ql²—\9.bb0²==

100

= 9 kglcm. Moment naj-

=840312 kglcm⁷. Jeżeli więc przyjmiemy x=1000 kg/cm², to — = 340,3 cm³,

a więc obieramy kształtówkę l. 23, dla której — równa się 356,4 cm³.

2. Balkon wystający na 1,2 m podparty jest kształtówkami I w odstępach 1,25 ot. Ciężar własny balkonu równo rozdzielony wynosi 390 kg/m², ciężar ruchomy stanowi tłum ludzi, który przyjmujemy 400 kg/m², ciężar poręczy wynosi 300 kg/m.

=116,1=—.

e

Każdy ze średnich dźwigarów jest obciążony ciężarem jednostajnie rozdzielonym (390 +400) 1,25=987,5 kg/m i skupionym, działającym na końcu, 300 X 1,25=375Ä#, zatem wedle 30) najw. M =—qlĄl — P.l —— \ql²—Pl = = - |-0,988.1,2*—0,375.1,2=—0,711-0,450=—1,161 tn>, a dla t=1000 kg\cm M 116100

1000

A zatem przyjmiemy kształtówkę l. 16, dla której -^ = 133,5 cm³.

U*.

itr

-Ad

—    ---i-X.

W/

s'V-,

.»i

•? (/

Bys. 137.

Dźwigary skrajne niosą ciężar jednostajnie 1 25

rozdzielony (890 + 400)X-h—H300=794i skupiony

u

na końcu 300x^~=188%, zatem ;Y=—|0,794.1,2² +

—0,188.1,2=—0,572—0,225=—0,797 tm.

„ A MI    79700

Zatem — = — =

t e    1000

Moglibyśmy więc przyjąć dla dźwigarów' skrajnych kształtówki l. 13.

Poniżej podajemy też tablicę XXII. według norm niemieckich, wedle których długości normalne 4—10 w, najw. długość 14 ot, r—d, rj=0,6 d, pochylenie stopek p=14%, (y=7,8), jakoteż tabl. XXIII. dla kształtówek szerokostopowych.

=79,7 cm³.

§. 55. Inne kształtówki.

Towarzystwo inżynierów i architektów w Wiedniu ustanowiło pewne wymiary także dla innych kształtówek, które poniżej podajemy zestawione w tablicach wraz z odległościami środka ciężkości od podstawy i momentami i promieniami bezwładności. Ciężar gatunkowy dla żelaza zlewnego przyjęty y =7,85.

Tablica XXII.

Kształtówki I (przekr. norm. niemieckie).

Liczba

Wymiary w milimetrach

Ze względu na oś XX

Ze względu na oś YY

h bid dt

lx Wx

Iy W, gt

cmK

OH

cm

cmK    cm³ cm

CO 05

80 42 90 46 100 50

21

210

94

22

220

98

23

230

102

24

25

to to ot

106

110

42.5    425 163 45 250 170

47.5    475 178 50 500 185 55 550 200

°5. «L °°- °i «>    o *Q O» <® «    «>    ®    =3. «> ^    « co„ *o »o co o co, co o, o,

lO CO CO OC-00C005    05 05 O O    3 Îh tH ^    o    M M T M

s-s-s- s-s-s-s-s- s-s-s-H-s- E-s-S-f-s- 5-s-s-S-s- EH-s-s-S- i-SEII

rH rH t—i rH rH rH r—i r—( rH r—I rH i-H r—I

CO 05

to, co, co,    co,    ca,    oo, cą, co, iq,    co, to, co,    en h o co o    c-oo

o" co~ cT    cl    -'ji' <xT    go~ cT    oTid'c^'cTco'    «^TaTcT^cT    co'c^'^-r^jToj'    i^r co" oT

t—l    r-i    i—I t—I    h Ot    (M !N IM CO CO    CC CO ■'# ■'tf    tO lO ® Ö CO    !>• CO 05

5,95

7,07

8,32

9,66

11,15

12,64

14,37

16,01

17.90 19,78

21.90 24,02 26,30

28,57

31,09

33,52

36,19

39,01

41,92

44,90

47,96

50,95

54.24

t—* I—1 I—Ł

¹⁻¹

230

328

436

573

735

tc 00 05 ot If. 03 W H 05 JO

~Q ~ĆO 7-t ^1 ~bt ~to ~Q ~Qt

j35CTt_ptj&.if*

"© "co To 'bo "co "o 05 To O H O M to to H K

0,91

0,99

1,07

1,15

1,23

1.31

1,39

1,47

c- co

O 7-1 tH i—I

132

147

co o:

213

61,07

68,14

76,22

84,00

92,63

103,62

115,40

127,96

141,30

167,21

2142    214    8,01 117

5744

6626

7587

8636

9800

Oł ot ot ot O ^ o#, to h-¹ to

03 05

10,38 288 10,77 326 11,15 364 11,54 406 11,90 451

26,0

29,4

33,1

37,1

41,7

46,5

51,0

56,2

61,2

66,6

72,2

36973 1740 16,73 1437 45852 2037 17,66 1725 56481 2378 18*61 2088 68738 2750 19,59 2478 99184 3607 21,42 3488    349

176

203

235

268

1,54

1,62

1,71

1,79

1,87

1,95

2,02

2,12

2,19

2,27

2,32

2,39

2,44

2,50

2,56

2,67

2,79

2,91

2,99

3,13

3,29

3,43

3,58

3,72

4,02

Tablica XXIII.

Kształtówki I szerokostopowe (xreya

•wyrabiane przez tow. niemiecko-luksemburskie (Differdingen) pochyłość stopki p=9°L, r—d, r^Ofid.

Liczba

o-

cm² kglm

Ze

na

Ix

cm⁴

względu oś XX

Wy

cm³

cm

Ze względu na oś Y Y

Wy

cm⁴ cm'⁶ \ cm

18 B 180

20 B

200

22 B

220

24 B

240

25 B

250

26 B

260

27    B

28    B

270

280

29 B

290

BOB

300

32 B

320

34 B

340

36 B

360

38 B

380

8 8 8 3 8 8    88888    888

rH Cd Cd Cd 03 Cd    Cd Cd Od CO CO

co co co

ta to

od' od' od

O O rH rH rH rH

~CK

CO lO lO r-T r-T Cd Cd" CO ■rH -rH rH r—i t—1

h-l    H-    h-*■    h-*•    h-⁴    ł—⁴- h-⁴

CO    GO -O    jvl    JJD    JDi    00 jO

^ 'co 'bo 'bo ^-1 "co 'co

CO CD

a ö'

Cd Cd

03, HjJ, CO CO, rH, CD, of o cd cd uf if lC3 Cr CO 03 O i—i rH rH

co,    t-l    ry

CO    rH    rH    Cd    (O

Cd    CO    ta    CD

rH    rH    rH    rH    rH

CD    CD CO ~d 03 CK tfn

03    O W O) W jd

"o* "o ho 'oo "o

rn, co, rti, w " co cf of co"

O rH h Cd t—I rH rH i—I

3512

5171

7379

10260

12066

14352

16529

19052

21866

25201

30119

CK OO H CD -1 O

rH UJ

c- io CD CO

965

1104

1224

1361

1508

1680

1882

7,66

8,57

9,45

10,30

10,71

11.14

11,58

12,02

12,45

12,85

13,69

1073 119 15681 157 r2216 201 3043; 254 35751 286 4261 328

4920 365

5671

6417

7494

7867

4,23

4,72

5,18

5,61

5,83

6,07

6,32

405

443

500

524

6,56

6,74

7,02

7,08

40 B

400

42 V* B

425

45 B

450

8

co

>—i    |-<•    |-L    1 .    t—Ł    ^-1.

rd    03    CK    dH    as

_CK    CC    ŁO

47 »/« B

475

300

rH, CD, rtf, CD, rjj, C^,

r-T of cd' hjT ta cd"    c-

Cd Cd Cd Cd Cd Cd    Cd

hh,    10, cy    co    03, co,

(r-    rH    rH    CO    CO    03

CD    CO    03    O    rH    Cd

rH    Cd    Cd    Cd

131.4

142.5 150,1 159,8 167,0 180,0

35241

42479

49496

57834

68249

80887

2073

2360

2605

2892

3212

3595

14,51

8097

540

7,00

15,30

16,07

16.85

17.86 18,78

8793

9175

9721

10078

10668

586

6,96

612 6,93

648

672

711

6,91

6,86

6,82

50 B

500

300

55 B

550

300

60 B

600

300

65 B

650

300

70 B

700

300

75 B

750

300

^    <»    co    o    «    co    co,

O    tH    h    rH    tH

Cd    CO    CO    CO    CO    CO

CD, CD, 00, rH rH rH Lr    03    O    T—j    t*i    rH

rH    rH    Cd    Cd    Cd    Cd    Cd

co"

O, 00, O. CD, «O Cd, t> Cd~ r-T co cf icf io⁻CD CO O rH Cd CO Cd Cd Cd CO CO CO CO

190,0

205,5

226,1

236,0

246,9

255.3

263.4

94811

111283

145957

179303

217402

258106

302560

3992

4451

5308

5977

6690

7374

8068

19,79

20,62

22,51

24,43

26,29

28,17

30,02

11142

11718

12582

12672

12814

12818

12823

743

6,78

781 6,69

839

845

854

854

855

6,61

6,49

6,38

6,28

6,18

80 B

800

300

85 B

850

300

90 B

900

300

95 B

950

300

100 B

1000

300

lO, lO, 1Q, 03, 03,

r- | -rH t—I _T

Cd Cd Cd Cd Cd

co, co, co, co, co, Cd'' cl Cd" CO co co co co co co

03, co, rij, Cd, oj,

HjT uo cd" cd" i-IO CO N 03 O

co co co co

278,6

287,0

icT r-i ctT

360486

414887

473964

550974

621287

9012

9762

10533

11600

12425

31,86

33,68

35,48

37,29

39,06

13269

13274

13279

13727

13732

885

885

885

915

915

6,11

6,02

5,94

5,89

5,81

Tablica XXIV.

I. Kształtówka U (n. U Eisen, fr. fer à U, an. TJ-iron, r. Kopo6<mToe SKenfeo) (rys. 1366) (przek. norm, austr.).

Dla przekroi normalnych jest 6 = 0,256 -|-25 mm (zaokrąglone na b mm)

d = 0,025 6 + 4 mm (zaokrąglone na 0,5 mm) di =1,5 d ri =0,6 d, r= 1,5 d, p = (O,O16 + 7)°/₀

pro

mień

bez

wład-

Ze względu na oś XX || Ze względu na oś YY promień bezwład- wład-    _____

ności nosci | Jy:(b—e) ności

cm

Oiooïcoaoc-T-HTHco'NîDosaîio

O^Cq^OrL^l^OiC^^CC-^lO^L-CO^ rH rH rH rH rH rH t—1 03 03 03 03 03 03 03

moment

moment

bez-

Odstęp Ciężar środka

oporu

nf

ciężko- bez-

ści lwia dno- °P°™ ści Jx ; ¹

~2

Jx

Prze

krój

cm³

cm⁴

cm

cm³

cm⁴

cm

r>

kq\m

cm²

Nachy

lenie

wewn.

boków

Wymiary w milimetrach

rt

0/

/o

'P | p

Liczba

ksztal-

tówki

r-^ CC_ CG_ CC_ t> l£^ rHyO^ iq_CO_CT3_Oq_

ta i>'cT co ta ccT-izaoicocococaei

i—ii—ir-iojcMcoco^iodpiS”

o^a^cq^rnyo^a^op

co'r-Tcc'o'id'adcd'o co t-i io 03 »-h co

r-ifMCOiOCOCOOiCOt-OOCOiO^CO H H (M (M CO 'J lO

-lOaic-ai^Hc^ioococooiC) co r-jyqyo o n< c^ci^iq^o cq^uq_ oi'cd cd''^'id'id'cdcd'L-' od' aTô'o'-T

rH rH rH

<^<^Tnco^r-^«£^co_c^ca,o5_o^c^cq,oq,

coasiocofM^aicocoococ-^rH H(N^œC00J(M«0HI>C0O03C0 1—1 rH 03 03 CO hji nt< iß

O rH r-j^L'— h}1 03

cd ccT t-ToT co~ o3~co •<* 03 as co ■«# o c-^H03OC0C0C0H00C-iOC0(M03 OiOHOOtMOlt» H H 03 03 TfiO CD CO

H03t)UOO

'^x«03'3<r-03iC>C0CDiOC0l>'Q03

-^iq_covt>^oqsoo^oq,o_rH_o3₋cq^'<^c5i«o_

rH rH i—li—ii—I i—i rH 03 03 03 03 03 03 03

r~oot>^coc3-ł<Tti»o>!-303i03n

o^^œi-r^io^^^cq.o^cq.^OT

of r-T rjT yTc^ i-h"    oo" ci" i-T crT r-T

tHHHH030303COC0^^3O

HCDCOHCDOOCOlOHlOCOQH

0_0_0_cq_ lo^ -r^ cy r-j _ co_ ci r-^ co _ co_ cd oP xdcdcT o.r coT i-TcdT *-T t>T od ad io

HrHH03 03 03COCO^^UOlOCD>

0^000^03 CO »K C£^C0jD^03^ C£^C0_O,

i> c-r od ad adco cd'00" ad ad ad ad ad o

OOlOlOlOO 0_30_XO lOOlO lO^O^

adodod " ~ ~ ~

O O 1-1 03 03 CO lO lO CD O-HrlHrlrlrlrlrlrlrlH

CO_ CDOS C3^03^lO^CO^rH^^l>^0_Cq^CD^aï_

co" co cd'H'H'•^r-nTid'id'id'cD'cD'cd'cd'

0,030^0 0^30 30 0^30 30 0, cd'aTaT

OOH 03 03CO^L0 10CDI> tH «—i rH rH t—1 rH rH rH rH rH rH

3^ Q, 30^ o_ o_ o_'-o^ io_ io_ 30^ ud cd cdW i>r i>T cd cd ad ad

O f 1 i—I rH rH rH rH rH

OfflOiûOOiOOiOOiOOiOO Hfi m imo cd cd cd o- o- co co 03 œ O

i—1

ooocooooooooo

CDOOÖ03CO^CDCOO(Mr?CDCO rH rH rH rr rH H 03 03 03 03 03

CO cc

O03C0rtHC0C0O03r^c0C0O

rH ri rH —i rH r 03 03 03 03 03 CO

Kształtówki Z, Zetówki (n. Z Eisen, fr. fer en E, a. Z-iron, r. Z- oopa3Hoe JKejifeo) (rys. 137)

(przek. norm, austr).

R=d, r=0A d, p=O°l₀

Ze względu na oś główną

XX

XX

Odstępy osi

«1

a 1'

IV

cm⁴ cm³ cm cmK cw³| cm

w mm

ipAUMOjâ ISO eiuezcqoj

Ze względu na oś

X'X' \ Y'Y'

moment bezwładności

Ix

Odstęp

środka

ciężko-

ści

ß ÜAvo^soupaÇ

■™?ôîO

^ fç.iqoz.ij;

Wymiary

milimetrach

st a

cm ⁴

îx

ej

kqlm

Ph

0,694    13,5    19,4147,0    22,7    ¹ 62,9    13,4 2,64    12,6 6,51,18

0,550    17,6    21,9155,3    33,6    j 147,6    26,7 3,49    13,7 6,31,06

0,461    21,5    23,9 65,0    44,0    270,5    41,6 4,33    19,8 8,31,15

0,399    25,6    25,5 74,8    54,4    467,2    62,5 4,97    37,214,61,40

0,360    29,2    27,2 84,9    64,6    746,8    88,0 5,76    48,4 17,6j 1,47

0,335    32,4    29,2 95,2    74,6    1161    121,9 6,56    69,4 22,01,54

0,313    35,8    31,1 10,6    84,6    1664    157,6 7,29    93,0 30,01,72

2383 205.4 8,19 125,2 37,9)1,88

94,5

0,299 38,9 33,0)11,6

27,1

48,4

37,3

30

42,0 116,7    43,7

46.8    226,7    63,7

51.5    411,3    94,2

56,3 666,7 128,5 61,0    1046    179,4

65.8    1524    233,4

70.5    2197    310,9

40

50

09

70

80

06

100

o o o ia t> of

cq    o,    iq    io    o    o    icq    to

<xf    crT    oś'    cT    r-T    of    of    oT

1"H    1—I    1—I    T-l    T-f

d I r

8,0 3,3

5,5

09

3,6

3,9

4,2

4,5

4,8

5,1 !

5,4

9,0

6,0

08

9,5

6,5

100

10,5

7,0

120

11,0

7,5

140

12,0

8,0

160

12,5

13,5

8,5

9,0

180

200

HH

pfAYO^ą-zsłf 'eqzopj

CD CD

O    OJ    CD    00    O

f”H    rH    tH rH    rH    C\1

III. Ksztaltówki T, Tówki (n. T Eisen, fr. fer en T; a. T-iron, r. jT-o6pa3noe >Kenrk3o) (rys. 188)

.2

rO

ci>

CÇ

§-a

§ H. Or^ rH O

•"T

(przek. norm. austr.).

+ II

^ *r

rH

cT -«

Il CM

'S

P = 4%, p' = 0°l

<o

-o

Hd

o3

~N

m

ns

t:

Go

K“*

-g

CS

Sn

-cc

1'

Ph

jęS

Pi

o

•*GG

Pi

'h

Ph

r2

~cr

Ze względu na os YY

Ze względu na os XX

promień

moment

bezwiad-

oporu

promień

moment

lo losoa

5_ 00^ hCC 1o!h_    cjcŚ^ cc_

O O tH rH rH rH Ol 03 03 CO

CO CO rH o O_rHC0^rt^l0

of eh cm" cm" cm

-O

|<M

cm

O 03 tH lO

iO^CO^^rH àO^iO^Tj^rH^C^lO^

(o'rn'of ^'cd' oTcc'cd'cT o

HHCOlO

<M^CO^ rH_ CD _

co"o">o"o"co"

rH (M (M CO CO

bezwład-

nosci

cm

OD CO H^kO^CD O rHjc-^cm^o^

o" cm" co~ cm" cm" co" cT ö’to" co'

n C5 CO CD C5 00 'f

tH

co^co^q^c^ oT <m"cdT r-T oT l>OC0OH rH rH rH Ol

bezwład-

nosci a

oporu

bezwład-

TT

H*

nosci

9 10S03[Z9I0

TS>[poJsdô^spo

i-*

Prze-

Nachy-

Wymiary w milimetrach

żar

Ö»

:55p,

lenie

boków

© "fl .d; © Ö TTi

.§$

03

i*

^ N

rSS

-o

Cm

J>.

CS

P$

lipwęąp^zsri

nazorp

nu

LOiCtHCDCOOOrH-rHCO CD CD O^O^Hi CD^CD tH^iO^t-^ O O rH rH r—i rH rH 03 03 CO

O CD CO tH    _ ^

lO O O/N^łO^CO^r-^

oiHcfco"»oc^o"xir^r t-r

rH rH 03 ^

<D*

œ^œniOiDOHOi¹ ^

« ooTuo^oH-co-orgg

^    U

norm

0,62

0,85

1,04

1,19

1,39

1,59

9Q T

2,60

3,95

5,50

7,36

9,49

11,82 1,76 14,49 1.96 20.52 2,34 31)71 2,93

.wysoko

m œœooœoo^H^ .2, TS r-Tco»oi> oTcm" nf od' co" o" °

rH rH rH C3 "^T¹ H

O)

P-l OOOOOOOOOO N

rH

^H

Ph

CDOłO-OSO C- O CO CO CT5

of co"co~ co" oT

cq^cq^cq_o_cq^ oT co" ccT co~ oT

tH CU C0 rtł lO

io^t>-^co^t>^oc_

rH 0C 05 CO

Hiooom rH 0-1 CM Hfl kO

C5 CO CO C5 o

CO^C^O^C^iO,

cm" <m" cm" co" co"

lO Hjł Ol lO to^oi rH^cq^cq^ Hh" tH o" co" co"

HH(M(M(M

(M CO co rH lO lO C^CO^tHjC^

CO TH lO Ci co" rH <M (M (M CO

O^-^0q,c^cq_

O rH rH <M (M rH tH tH tH tH

CM O.C/j^«C r)i CM CC_hH CO^

co" nT -rjT ió' co" i>" co" co" ö cm"

rH rH

CO O H^OC^CpCD o,^CN ^ r-T cm" oj"cm"co"co"Hf' rH ló'co'

co^O cmco^co^o,cyoop

o tH rH rH tH r—t 03 C3 03 CO

^ iC CO OD O

O rH CO CD rH rH rH tH

^lOCOt^COûOHCOCO

HHHH

COTHOSCDT^CqOitHCQCD

(MCOCO^iOCD'CDlHC^rH

rH

OOOOOOOOOO CO ^ UJ CD I> OD Oi O ono rH rH rH

CO ^ lO CD t> CO O

O CM lO

rH rH tH

CM

CO^<X;rr_CO^Op

cT cd" H crcrr

rH rH rH rH

CO.^tHCO^CO^

rjT kCT kO~ cdT co¹

H^tH^CO rH^C0_

cm" oT or co"co"

kO^kO^

CM CO rjT kcTr-

rH rH rH rH rH

00 Ci Ci

iq^kO^ "cTrH rH r—I

t>h"l>l> IH OOHIM33 rH rH rH tH

CD 03 CD ^ O QOOh(M tH tH tH ^H

qt_qT_CM 53_5J_ OMhUCOH CM CM CM CM (M

IV. Kątówki (n. Winkeleisen, fr. cornière, fer cornière,

an. angle iron, r. yraoBoe 3Kenrh3o) (przekr. norm, austr.)

A. Równoramienne

(n. gleichschenkelig) (rys. 139).

r=d, ri =0,5 d

P=0°lQ.

Liczba kątówLi

CH

•<

js

Prze-

krój

Cieżar

ff

Położenie osi głównych i środka ciężkości

Moment

bez

władności

ze

względu

na

podstawę

lab

Ze względu na Ze względu na oś główną XX

oś XtXi

moment

bezwładności lXl

oporu

Ix.’.V

promten bezwładności a„

moment

bezwładności Ix

ai : x f nxodo

promień bezwładności a

Ze względu na oś

główną YY

Dwie

znitowane x kątówki

A

II

moment

bezwładności ly

oporu

Iy:e

promien bezwładności a.

ze względu na oś Ali

ze względu na oś XX

moment

pro

mień

moment

pro

mień

bezwładności bezwładności

2 lab ■ (lab 2 Ixx

dxx

cm'¹

kyjm

cm

cm⁴

cm⁴

cm³ cm cm⁴ cm³ cm cm⁴ cm³ cm cmK cm

''in

cm

b-

VP» ^

en en en

UT

;s-

en en en en en en en en at ! o O O

lOtDfH J tO CD Ch

CD Ch CO

05 05 05

b'ob

05 05 05

'efefo

Hl —3 r]

bob

o o o cococo

O O O

co cô'co '

CD

O O O O

CX) CD CD CD

CO CO —3 05

05

iC' iO iO lO lO O O O O

CD CD CD CD CD I 1> l>* |>» tb*

I-h    HH

OCOCO-3    O CD CO r3 05

-j

s-

-d «<1

oi en

CD CO

lOlûlOlO I OOOOO I tO tO to to j oo L-Vt-LH | œœcccccc j o5'a5'o5~œ ,

to^itqto^ LjljLjlJ 0_cqcjcj0_ CT^I0J|OJCJ 0^0^ COCOCO COCOCOCO    T# H1 T# T# H1    HtntHtrt    tOtO

MM H    f-M    U-L    l-i.

00*-+ O JO    te JD JD JX    JDiJDijfM

'o'oo'cf'ce 'co'^'co'g^'o¹ 'o'o'cd'd Te le Te 'cn'cb'^i TeToTe

CO -U 14^    CD -<1    Cb CO GO    ł—*•    Cnte^lO    h-^OCD OT CD CD CJi CO CD

<p D CO jsl    JDJX) JDbJDT    j<J Jppl    CbJDijf^    P¹    P"PDP°

Te'co'cd'co    T^'ob'Vi'co'o    Tx)*oTeTi^    Tj^^iTd    T-^T^'^'i    'cp'cd'co

-utecn^i -dOteMO cd co o te ^ o ^    Cb ob cdcd*<i

11,47    9,00

12,80 10,05

C0C0C0    HtHtHtl    05 05 05    HtntntHt

r HH    tOtOlO    CO CD CO    CT CT CT CT

cd'co''co'    cdco'co"'    cdco’of    HtHtf-fHtf

£>.

05 05 05 05 05

O O O O O

JJT OT    J^-J^J^J^

'co'03    'to'to'tD'tD

O O m en ut ot

tOJO l-H ; J-H J-H J-H

'1-h'o'ćd I fobobo

l-H UT ZD | to co to

r-H LH Ht CT rH -H

cd'co'cd'

tO *—L L-H l-H co UT

Tf^fob»

tD Ch Ht CO rH^iÔ^

lh’oI'ô

rH

tO 05 tD

Ht co cq^ of of cd'

cooo ! te te te te s te re te re io te te te te terete

32 S8S8 |=3®SSS SS&ë ¥88

00 00 OD

en CD

CO 05 to    rH Ch co 05

oyccyaq    ccjoj ojt-^

co co CO    -ïi Hjf -Si

CT 05 tO O

(D Ob 0f> Ob

to Ht -Ht Ht

UT UT

'bc'bo

03 Ht

to to to

JDjtrO

fofobi

05 tH to    trjT-^crjT-y

Cf Of Ht    of cf Lh tu

CO CO Ht* Ht* IO lO CD

tD CO -3 05 ut JOJOJOJ33JI3

f-'-'îfH-'co'bc'tD

05 O Lh 05

l-H t-l

t-¹ O rft-jo^ ’b-fccH

05 tO

cficf

t-h 04

rH rH

CT C5 JH rfofnf

t-H -H t-h

Hł* 05^rH L- of Of rH i—1 CT

03 tO tO tsO tOJOJTSJO 'to'bs'to'to

ifn ^ 03 03 tO

OTHt-aœœ

'bj'oebo'as'o

CO 05 CCy05_ cf |H of CD~ Htl Hfl tO lO

05 CT CD‘'lo' IO tD

8 CO CO tO SS | tD tDJD

h-¹ h-⁴

jjb^je

rH 05 CO t>^c£ycD_

i-T .-T

Ht 05 O 05JO^ OJ CO"HttO’

CD CD CO CO CO CO OOP to 05 CO

L-OJCO

t-h rH CT

05 tO CD t—*L—tO ccfafHt'

efefof

CO CO Ht

'CDODOD

l-H CD —1

tO HH (H

I-HJDJOT

J-h^CDhI

Wæ

-A 05    05    UT    UT    UT tfn    VrH 03 03

-• *» ^ -» ^ _ '■* "* . 05 to    M‘    03    —3    l-t »£■    tO 05 i—¹

tD 03 tłn. I—¹    ! OIH03 jOtfHt-H

'Hi'co'co'co

tD O H-¹ tO

S.WJ>CD| ooj

CD Lh CO 05 O 00 05 O rH ! rH CT

rH *    rH rH    rH tH

1.97

1,97

1.95

1,95

1.95

tOJO    JO JO JO JO

fofo    oHH f-t

Cf)    CD l—⁴ te to

to to t-1 03JOj-3

foTor^

LC CO CD 05J>^LCy HTiO»

rH O CO 05 05 CD

05 CO Ch 05 CD Lh tO O O O CT CJCTCJ of cf of of oT cf cf

05 C0 to lO CO hïi rf* Htl Ht* Ht*

cf cf cfCT cf

0.0^0    S LH 05 O    H    CO O    CO O

LH CD 05    al cd cf cf    of    rfco    HT>o

t—H t-H    tH    t-H rH    t-H tH

crynt^cy co nt* ccycy

L-l' ,_f ^    ZD t-TccT 0~ I CO    CO 05    >C rH

CT CO CO    COHjtHfltO    Ht    lO tO    tO in

8833

bl co UtCd ; UT ~3 Hl 03 05

cd <ncoj» cd~ trf zdco

t—i t-h t-h tH

J0 to JO JO

¥¥¥¥

Oü c§ ’tc'oo

1—» h-" I

CO -3

'Of'Cj

tO ÎO

rH CD LH O 05 05

t-TcTcT

CO Ht rH

Hjcrjoj of of of

Ht t—T-H CCjHtrH HjTlb'cd'

t>- l>- îD    CO t>- l>- CD

CD O CD    T~~i H H rH

tH tH tH    rH tH tH tH

05 05 CO 05    rtrHCDHCD    |

as -yj ccoy    H.

co~ H Hit icT    Ht¹ icT to to c—

CT Ć0 CT    S CjOqcCJ    HtJ05_05^t0^05_

c^ aTaT    cfr-Tcfco'    r-î'cd'HttD- co

HHH    HHHHh

G7) Hf- C0 r-H^CD^Ob^ co'cd'co'

8883

l-n 03 03 Ü3

Hl^l JD CD tO CO CO

to tO

—1 i£h

fo UT

Lh 05 rH O OH

of of of

t-h GCJtO^

t-i'oTcd'

rt Ht lO

22.3    1,53 25,9 1,51

29.4    1,50

bboœ

J®*»»

$£8

CD rH CO lO

ofofcfcf

O) -f-jr-jcq^ lo'ö'id'ö'

CD O rH CO rH rH tH

COOCT^O tO Lh L— Ch t—

cf cf cf cf cf cot-^c^ccjr-y t—"    -f-i-"'

O CT Ht CO GO rH t—1 rH r—i tH

CO C— CO CD CD cjoycycycj

SgsSScD SJSSS fcjgg

7f=-'tO 05 tO O Un 05 rfn CO 03 ~3 CO

•N    r.    «N r. ^ r.    ^ »s «n ^ r.

T—( »—i T—i    r-H r-H rH rH    r—I rH r—I t-h t-H

CO 00 coco

tO O CO or ZD Or i-¹ CO

foTcnfofo ÿojojojo 'cd'cd'cd'co 05 to O

h- I—I•

^ o to co 'co'oi'co'os jbjojojo to i-¹ to to

to to I-¹

8,14 1,46 221,8 3,11 117,8 2,27 8,86 1,46 250,9 3,18 130,4 2,26

• rH

Wymiary w mm

Prze-

cj¹

k rój

o3

• rH

A.

<‘7)l

7V₂

jO iO JO

jO lO jO

O CD co

10

Cn Oi CJi Oi Ci

172

Oiezar

kg I m

14,11 11,08 15,40 12,09 1G.67 18,09

12.27

IB'70

15,11

1(5,50

17.87

CCiCOlO CD t>jppp

oTcT r-T cf hT

Położenie osi głównych i środka ciężkości

Moment

bez

władności

Ze względu oś Xi Xi

tD

Ze względu na oś główną XX

Ze względu na oś

główną YY

•C;

cm

ze

względu na

podstawę

moment

lab

h*

£ o

N

<D o

oporu Jxx:v

promień bezwładności a₀

moment

bezwładności Ix

oporu

Ix'.W

promień bezwładności a

moment

bezwładności h.

oporu

promień bezwładności a.

Dwie

znitowane *

, 0

katówki

ze względu na oś AB

ze względu na oś XX

ornent

mien

moment jb°”

mien

bezwładności

bezwładności

2 Jab

dab

XX

dxx

cm⁴

cmi

cm³

cm

cm{

cm³

cm

cm*

cm

cm

cm⁴

cm

cm*

cm

pp p

JO IÛ JO

iO JO JO iO iO

CD O. CD CD CD

co co co

to

CO CO H

r pppH ci'CO CO co co

iO

crjjijO!

to lo lo

l—⁴ 4- CD

CD CO OT

iO iO iO iC iO

iO

140,1

154.9

169.9

GO p p

cd" cm'

JDij^JOD

bo'Hj'OT

to to to

lololo

tO OO OT

to

OJ rH

bo'nj'bi

to to to

'br'cD'to to to to

bobo

to

co co co

rH (M Hti

CD

4^

to

CO

co

CD

co bo'bo

r> r.

co co co

iO O OT

143,6 2,26 153,8,2,23 165,0 2,22

to

hT cm" ot" ïh" io"

CO O CD CO O

O CD CO CO hi

JO Oi^O JO to bi

COJDT Ol 4^ tO

'odIdI^I-* ot

JO JO JO JO JO

"bobu Ib 4*14

h-" cd" co" ot'o"

H (M CO H CD

to to to to to

CO p P jop>

'bi bl b*. lo

oo pooooooo

CD HI CO rH

H^OT^CO^CO p

q'co'icT öcd

co co co ^

p ppo t^

ot" o" co oj" oj"

CD

cn Ol

CD CD

p p

ppp lOJ^

CT H OT lO* " CDOCOP*

(M CO CO CO rti

CO' lO t^- OT)

co co ccco^co cb co" co" co" co"

145,0 2,43 160,8 2,42 174,4 2,40

190.2    2,40

204.2    2,39

O O rH OJ CO

Ol Ol Ol Ol Ol

jO JO jO jO JO jO jO jO JO JO

OJ OJ

J| O CD ^-1 3

bclol<il

CD to OO to

On

XiOOCO^

p ^

oj"co"h ibt-

O) cjj *

CD CD CD CD CD

co co co co co

lO CD IH lH CO

CD CM CO H

hh ppp

cdTcd* cd'ciTcd"

OD to to to to

CD OT 4-■ OT O Ol

CD

ćdIp^I— Id Id

(M CO H JO

' cd bo b> Id bo

to to to

Ol OD o CD HJ bo bobo bo Id

co OJ

Ip p

oj" oj"oT oj" oj"

to to to to h-Ł

Ol OD H O CO O ^ CO H od

'O'bD^lobX)

OD OD OD OD tO

JDJfcJ^-JpOO

'od bobo'br bo

Tti CO H o co

^    ^ <p

co" co" co" co co"

Tji ŁO kO CD CD

J to

CO CD rH CO CO

r> r r r*

CO HI CO CO

#n r» r» r» rs

CO ^ iO CD L—

OT 4^. Ol Ol Ol

co" co" co" co" co"

t- CO CJ OT OT

"oj"oj co" co co co co co

^■^UOiOO

x hj d oo

oo to to to to

COiOI>• OT

CO Ol pi po ^

co br To 'bo or-

tO tOJO JO JO

CO OJ

10

888

4 CO tO H O

to to to to to

VJ V* V# V*

CD CD CD CD CD

to to to to

p J^JO o p

^Ip^'hiId C-i

H H OJ

O cd hj ot ot

^Vto'boH^'o

CO H H Hl H

lo b b’o Id

CO H O iO CO

ppppp

t-    id' cT io

CM CD OT CO CD CO CO CO H H

t>* CO

to to to

co

JOHJJ

OD OD to to to

00 o CO OT 4^

b^'cDbo'br'bD

to JO CD 00 00

cd'x'o'*

^CDO

to

CO pcD

o" h?" i-" o

COOCMiOt-(M CO CO CO CO

CO rH O CO lo

xcq^cqi^^

co" co" co" co" co"

O^pcpp^cp

oT co"cd" ot"cm"

COHH HiO

p p co h p

CO*' ló rH kd co" CD L— CO CO OT

to tO^^^H to O CD CO HI

■V*    J    V,*    V«

to O CD HJ oo

"CD CD CD ĆO

CD to en

to 4

>-# >•

rs »N fx

, O O

i CD CO

to

co lo o* ot o

CO t'-

> p OT

CO co ' CO*’ OJ* OJ

CJ X h p co

OT OT OT iO H ^l^-OCOO CO CO H H H

to

12

to to to to IO

14

4» 4» 4. 4*.

OJ CO H jO CO H jC CD

CO CO CO CO co

lO jO jO jO JO

cb cb cb cb cb

oo oo to to to

LO P- C5 H CO

'co'cobrbi'bo

OO to CD ^ HI

Ol Ol ^ co ^

p ppp^p

orb-T cb hx"

OJ Ol OJ OJ

OT OT OT OT OT H¹ H H H H

cc"x" cc'cc'x*

4. 4 4- rfH 4»

CD CD CO hi HJ

H OT CD O CD

H rH CD CO OT CD CD JO lO H

co" cc" co" co" co'

CO CO HI OT OT OT O 4- CD tO

4^-JJT

Ö lob]'od bo

p cc^ rH p_

or' t- co" t-T cd"

CO CD OT CM CO CO CO Hi

oT of cd" oT cm"

CO H H H iO

X iO H H OJ CD CD CD CD CD

cdco"cbcbcb

HI OT OT Ol Ol HJ OD CO 4^

CD HI

o"

CO CD 00

CD CD t- tH CO

jOCDj^JDj^-

4^ 4^ 4^    4^*

^ CO rH OT CO CDCDCDlOlO

l> OT lO CD (M

• cn r*    r> r*

CJtOiOO CO TT iO t- co

OiOOCOiC

co o (m hTcd"

(M CO CO CO CO

to JO JO JO to

bo bo to bo to to CD o co

CO OT OT CO CO iO CD CO O CM (M CO H CD t>-

d d d 4 4

vj    S«    A. VJ    V#

IH OT rH CO lO

CO CD CC OJ O

ot" io" cd" oj" oj"

[H CO X H OT

00

CO iO

p p

co" co" co" co" co"

CD

OJ

4. 4. 4^ 4-

bibi'bibi

lo lo lo lo

co CD t^ CD

p H pp

hl^oToj

co co co h

oo c: to to

co

o ^ co co co h co co

•> r* «N r*

CD CD CD CD

cd Id Id Id

8 H O CO

ppptH

JO lO JO »O

CD CO o iO

popp

OJ CO H

l- CD CD

CO CJ CD O

HJ HI OT OT OT to CO OD 4^* OT ł—¹ OT

JJTJO HI OD

bóbr Id lo

l>- CD X H OJ OJ OJ^OJ

h" h"h" h"

1015 102,6 1083 109,4 1149 116,1 1214 122,6

OT X X iO

pp co co

kO iO iO lO

OJ OJ co co

iO

CD

CO H

OOMOCC

r'    fN

CD Cł CO rji H iO iO

Ol Ol OJ OJ

to d 4-

to to to to

X Hi o« OO

to OO 4 Ol tO 4 OT

Ol Ol Ol OJ

bo bo co oo

hi d oo

co co

IH X iO OJ CO H iO

OJ OJ OJ OJ

rs #n

H H H H

16

OT OT OT OT

iO CD X

^p^P^OT OT

bibibibi

(M (M (M (M

cc" obcbob

^COOiO

pp co CD

x"cb Hi h» iO lo

CDO

H ^ CC!X

cd"co"o"oj" co cc h

cpp co^cp

IO rH co (M

COHHp^

ciT cd cb crT

11,51

11,47

11,42

11.39

to to to to

HODhO

CO L

LO

CM CD Hi

O CD (M OT rH tH OJ OJ

IO rH N CO

bDlobrba

CO

CD

. CD CD

)^pX_

H H H H

t> CO OT

4^

tO OD

'HJtO'^'OD

p p p OT

iO ^ CO (M

O- rf

»O 00 O CO Hi id iO

co" co co" co"

OiCCOlO

r>    #n

(M iO t> Ol

D H Ol Ol

CD ^ CJ O

O CO CD' OT

CO

CD CD CD CD

Hl X OT >4

CO OJ CO

O CO H OJ CO H lO OJ OJ OJ OJ

4* 4*

00 00 00 00

OTOœCD

174

175

ierównoramienne (n. ungleich-

schenkelig) (rys. 140) (przekr. norm. austr.).

d,

i — -i

! d.

Liczba przekroju

ts

Powierzchnia

przekroju

Ciężar jednostkowy q

Odstęp

środka

ciężkości

*•

w cm

Położenie osi głównej Y Y

Odstępy od osi głównycli cm w centymetrach

Moment bezwładności w cm* ze względu na krawędź zewn.

krótkiegoj długiego

ramienia

Ze względu na oś

YlYl

XX

YY

a'

J, '

_ HIN

kO

CD: 07

LO kO CD CD CD

KD¹)-*

CD

tOi

l>    GO CO CD

07 CO

tc-

CD CD CD

0*1 o

Ot Ot Ot I CD CD CD to to to | O O O CDCDCD, -    .

OtOtQt OOOlOtCJt

I>* CD ; CD 07 O : 07 O

07 07 07 OOO

Cu co co

Ot ot ot 4*- 4^ 4^

Cd

Ot ot ot

cm'¹

kujm

'i

st a

Cc

I'

cm*

cm

cm*

cm

cm⁴

cm

cm*

cm

OD 07

4^ to

kO CD CD

to to

to O CD

Od Od

CD CC ot

07 O

CO 07 O CO CD

kC p poo

i>- Cd

^ lO

Ot

ot

CD to 03

07

CD CC

O CI) C5

co

CD

O!

8S

O CD CD CD CO *d ot 4^ .05    4^ CD tO CD tO

01 oi cd cd cd'cd

07 07 07

CD CD CD

CO ic l— Od Ol Od

O Od Ol

CD

'd ^d ^d od cd cd' cT cT cT cd

CD

to

07

co

CD CD CD CD CD CD

to co to

co

Cd

O Cd

to to to

4*1 O

Cd CO Cd CO ^ Cd CO ^

r cd Cd cd I cdcd^Cd

07 07 07    07 07 07 QtOtOt Qt Ot Ot Ot 4^ 4^ 4^

OlCifMlt-iOHjCOCCCD hOHO CO Ol C7 OJ OJ ppp ppp pppl^ pCJP>

cdcTcc -rdcrToT cTo'r-T cdkdc^oo' cTcdcd co kdr~

Od CO CO COCOCO T-H rH ■ ł-H rH rH r-ł Ol OJ Ol Od Od Od

ot

kO

CDtOtOltOtOtOltOtO

07 4^ LO

o OD Ipip pt

ccdp^'ö i'to'o'bo n

to LO

CD -<1 ot ; OO top OODjd OJDJD

dvi'to'cc | 07'4^d-^'CD cp'cp'bo î'^d'co'cD Q CO Ot d<1    Ä

■ I ■ ■    4^ 07 CDOtO CD OD 07 07 CD O

07

WM

t'- CO CC I O 07 kO

o    kO o? O 8    ppp PP^ ppp CJCjpp ppp

cdcd cd coco cd'cd'cd cdcdrd "d'-d',<d ^d ^d ^d ioio kd cd cd cd cdcococo cococo

CD

ot

CD Ot

CO L

kC

kO 07 co

'bt'ot'bt do to Ot to O CD 4*

O CD —I O CO Cd CO CO Cd -^4^    ^ ^ Tf

cc

Ot ot

OH

to to to : to

JoJoJ-* Podo cd -<j-<i

CD ot

ló CD Ot

07 tO 00

CM CD O

p^p^p

cd cd o?

to to to

OC CD 07

CD CC o I kO ci O

CO CO CC I CO cc cc

^ ^ ^

d^-dp^-dp»*

kO CO CO CO CO

CD iO Tłi I— iC CO

CO CC CC CO cc cc ■p'p'pl pp p.

co co co

CD CD CD

oo to to to to to

JO p] jpO« OO

'co'o^'bt 'o'*

tO CD hf-

18,17

19,71

21.25

18,17

19,71

21.25

21,62

23,31

24.98

OJ OJ Cd ppp

^^d^d cococo

co t>

JO to to jo JO JO jo JO JO JO JO JO JO

Vfoa'ba Jo Jo Jo "odboJo J-łJ-^'o'o _ ^

CD O to Qt *—⁴ -v]    to CD ^ I O o w

05 07 37    Ototot 07 07 07 07 Ot Ot Ot

' ~|    ro to to to 4^ 4^ 4^

07 -^1 CD 14^ -Ô CD CD Qt OtO^O rO 4^ Qt

CD CD CD C

•d -0

CO ^ t- CO 07

pp ppp ppp

cd cd I -d ^ ' kd kd kd | cd cd cd ] cd cd cd

o CO CQHO kO-r^CO|kO^Dl Cd P p P P P P p p ' P P P

t>d ¹ cd cd od aToTcf cd cd cT t-Tt-h'—î kdkd'kd

CO

07 07 07

od

CD

CD ^ Cd

07 kC

07 CD CD

ojppp

cd'cd'cd"' cd

(M 1-4 Q tH 07 GO CO co p ppp

cd cd cd cdcdcd

CD CD

OO

CD O

WM

CD to

Ototot    JDJXJX .OOODOD JO JO

Ido dodo OidiOi dododo 'o7'b7'a7 |MWÉBlApkl

00 ^ ot 07 07 I to to OO o to

CD 07

CD CD

4,47 2,50 4,51 2,54 4.55 2,57

CD kC 07 07 07 p p^”Tf

kO cc

CD CD CD 07 07 07

>• •

OOCD^d l^'^'bo 'o'cd'cd DOI at

■■■r    4— CD 4-^ tO CD Qt I CD tO

^07^07    07    07    07 ^ CD

_________^ pp^p ppp l>pœ

of od od od od od od cd cd coco cd cd cd ^    ^ ^ ^ 1 Od Od od cocococo cococolcococol^^^

OlOd Od CO CO 07 07 07 O ÖOO -J^kO co ^ t “ GD 07 07 07 CD CD CD l> ppp ppp    0 0 0

kdkdkd cd cd cp _pcdjpcp pp p

CO kO fco acTcdT o CD Od CO ^ kO Od CO-^1 ppp OJCJCJ PPP pppp ppp

JO tO cdcdcd    kd'kd kd kd cd cd cd

, CD -vJ 07

••

dX)

07 07 07 -CI 07 07

ot at ^ i o cd

4^ ^ ^

cc cc

^ T}1 I lO IC iD

kO O ^ I kOOkOj CDOdt^

Od Od

07 CO OO kO 07 ^ kO CD CD kO kO CD

Od CD CO Od kO CD pojp OJOJOJ

T

CD

CD

to to

4^

PP JO Ippi

pp

ot'co CI co

-d 07 ot ODCJt pi

4^'rf^'07

pCD

CO CsTrH ^ CO Cd CO CO

07 07 ot CD to 07 p pip

4^'d'bt

ot ^ 00 ; O CD CD C 05 01 -d CD CD CDJH I CD ptjo

i'bt'bo'to

to to

to O CD to ^.1 to

CDpl p

'Vi'co'bo

pco p cd kd'cd

CO kO

07 07 ot CD CD to to

CD to 07    07 OO CD 07

-v] CD CD 4^ o 07 to

'00'bt'ĆD l'dl'dl'cC^CD

796,7

871.0

945.5

CD CD L

^ CD to

CD CD

Cd

CO L '- l

CD ot

'cdVi'cd

to

to CD

e- co o

pcoo

4-'cd'07

C'- CO 07 CD 07

Cd Cd CO

to

p ppp! ppp

oTkdVT d'cd'-T

07 CO I> t-(MI> CO ^ rji kO CD CD

iS

'4^'do

ppptp

- kO rdcdcTCD*'

kO CD CO kO L- CD

to to to

CD 07 4*-CD -vl

J—⁴'0'cD

ppp ppp c^'cd'oT -rd ot'^d

CD 07

Cd Cd co ! CO CO

CD CD 07

pp p

ad^d ö

07 CO Ls*

co ^ ^

CD to to I

LO CD -v] CDCD07 ! H O O ! O¹

00 cd jDt jp ~ wmmSm wm ■

'4^'co'bt    i to'^a'^i

-O 07 07 ot 4^ 4*

07

kO

CO co CO CD

CD

^ rji Cd : kO pp

cd'cd'cd

'rt' 07 rfi

co

07

ot to 4^

ot

to

ppp PPPP cç cd'co' kd ö' kd oT

kO CD t> CO kO CD L'-

Cd CO CO

CO

CO

07 CO CCJ

cd cd cd

CD

ot

co pp cd'oT cd"

(M r- Cd ko co

Cd ^ t> CO L-CO CO CO kO kO CD

h-kO I COCdH Cd H 07 007 CD CO CD kO kO^CO CdCd

CO p ppp ppp pLplp PPP ppp p PP cd'cd'i cf cd Cd'i cdcdcd cdcd'cdi    loioio

kC OJ) 07 t> p

cd' cd

ppp' 07

kO 07 CD%dcd I> CO CO CO I kO CD CD 07

^ CD C

kO CD l>- I CO ^ CD

Od Od Od

4 CD CD CO CD p CD kO

''c^'cd

CO t> co CO kO t— CO CO CO

cdcdcd cdcdcd cd

ot

4^

CO ' CO Cd rH o

Cd co co

CD

kO

ö Jd ' to

PPPP

td'kdcd -d

L'- CD 07 O

ODODOD

ot -a cd

p 07 Cd

cd' ot'

CO ^ CD

CD CD O

to OO

r- O 07

^ ppp CO cd CO i ^ 'T ^

pp to 'to'bt'cD

CO 00 ^ I l> CO o

O y-4 CO Cd ^ CD Cd Cd Cd Cd Cd Cd

07

t>- CD 00 t> CD

CD kO kO i kO rjł CO

CD cpcp 07 07 07 I Cd Cd p kO pp

■ rr r ~ ** cd cd cd cd cd cd

to to to

'cd'cd'cd

to CD ^

COCO CO

CM (N H

CO CO Cd CD kO rÿ CO

l> pp PPPP

''rdi cd cd cd cd

JO JO JO

07 07 07

Cd

jotop

'btJjt Jjt

JO JO JO

'cd'cd'cd

4* ot 05

to to to

'cd'cd'cd

cJj cJj ^3

kOkOi o

to

O Ol ! HrU CD H Cd (M . CO CO CO

MM

kO ! ppp

cdaT kdcdt^ odcoJd c^rdcd

kO kO

oToT

co

Od H lO ^ co ppp ppp

cd'cd'cd'i cd'cd'cd'

co

t>- kO co

to to

CD O CD I O CD

Jo'VTao dji -<i

sfg

do to to

-vl —1 CD

ppp ppp

-do' i cd

CO CO Tfi i iO CD CD

ggg

to to to

kO kO !>• GD CD

cc co'cd'

^d^d kd kd' kd

Ot ot ot

CD CD O CD t>

O CD CD OD JT7 JO

'ai'Vfc7

cdcdcd

CO Tji kO

oT cd cd

ot ot o

1076.3

1152.4 1223,8

07 CD OJ

''ö'od

t- CD CD

to to

to

jvlOjOjO

Jd'*4^'o'cD

350.4 380,9

410.4

kO 07 Cd ^ kO

423,6

456.8

488.8

CO CO Od

CD

dodo

ot o* ot

ot 07 07

to to to O CD

CD

co

co co p cdcdcd

CD ^ CO Cd tptptp ; pppp

cd Cd Cd CO CO CO CO

CD

CO Cd ppp

•^1 ^ rjî

4*

Jo 'to Jo

Ot ^1 CD

CO t> L

CD CD

h-^'CD'tO

To'io'to

Lp ppp

07'^dcd' Cd'

CO ^ ^ kO

07 07 07 07 CD CD CD CD

t> CO CD

4^

'07'bod-l

CO CI rH 07 p p

O CD CD

pp

'oo'bt'07

Jo CD CD 4- CD LO

-O CD

'bs'co'4*

Cd CM CM'

07 Ci co

CDpCtJ

cdcdcd

Od CO

jo to to

4*- 4*>

V. Zoresówki czyli złobkówki (n. Belageisen) (rys. 141), (przekr. norm. anstr.) r=g.

Ze względu na oś pionową Y Y

moment

bez- oporu wład. I'Je'lub bezwŁ F Flex ¹ a'

pro

mień

cm

Cî^COHOOO

07) CO rH t-H LO

©r ^ lct co' o-"

Ciężar Odstęp środka Moment z© względu na oś ciężkości od bezwład- poziomą XX j    ności ze

moment j promień

bez- oporu wład- J/e lub |bezwł. ności I J/e,

Prze- jed-

krój nost- A    , ,

* kowy    ÏÏÇÏ

e, stawę J,

Wymiaty w milimetrach

cm³

cmi

cm

cm⁴    cm³

cm*

cm

m/Öoi

V \ d' \ h I b \ b, I d j d, i g

•qp%zjod «ązoicj

ONOffl co^cq^

cf oT i-T co' co*' co”

rH Cd Hfl CD O CO rH r-H

co co co cq^co^

o" co co Cd” nT co"

CD CO CO Cd Cd t'-Cd CO C- rH rH

00 iO OD O L'* co Cd^o.55 Q0^cq_iq^ —T ©T ©f c4'co'cd'

Soiqqt co” co” •H'cT H" cT rH ©d ■># co CD

(przekr. norm. austr.).

Cztery kształtówki

dla osi CC'

cm

ćo

Cd 05 rjl rt O 05 rjTCD*L- 05 rH

dla osi AB

susses SS

rH 03 CO rH

c^c^c^c^c^cq^ ^ tfT 03^ CT CéT «rfr-T £/ CO (M h H H ^

H Cl H O O

t-H    ^—N

Dwa przekroje znitowane ze względu na XX

<45

co

Mgssæjs -g

T-t Cd co co ^    ^

CO CO C0 O Cd Ht< ? L 'cq O L~^ OD C^_ i-T ©Tco' ccf H" -*jT    g

======== s

OHHC-COH Cÿ>

C5_lO_C5_H©l> lo'cô'O io 05 CO -

tH X# lO hH lO CO ^

‘O

fe

lO lO C'” C— 05

»O

H*"

h |Hf

►h

hh|^

K?

1 >5 ni .    Moment

r| środka ,>>ezwIadno-

41 ci^ości---^

3^

XX

lub

AB

cm³

cm⁴ ! cm³ \ cm ii cmK cm³ cm I cm⁴

YY

4 Ix — Iy

cm 1 cm 1 cm

kg Im

572,7 88,8 2046 235.1 5434 494,3 11973 901,1 23213 1490

tjT CO t- 05 rH CO C- Cd

10 co” HfT 10” Q

CD L^- O CD O HCOCDH

C- CO r^i cö“cö“

gfssssa

Ttf O Cl'Hti ci Lr. L- CD lO rtl

Cd” co” rHLo'cP~

irqCD05^ rH^rH^

rH” co” co” H" ifT

Cd lO O 05 rH t-H rH CO

CD OÏ t— 03 Q

ss'ssi

rH CO 05    ^

56,5

184,0

459,8

971,0

1825

©d H 05 C0 CO

a¥sl§

CO C— lO r-I co Cd cq^<oyo. io” co” co” o” i-T

H co co o m

co>” co” oo” oT co i>- c<5^f oô’ O^i0^05_0q<M^

io” o” co” H" tjT - ^ ^ C3 co

nfojî{9zj(I

'BlUT[OZJ9IMOfT ^

Za

okrą

glenie

cm²

^ o* i> t* i>-cra^ir^coco^

C'* CO r-H i—i CO rH (M C0 tü

CD <X>

t-H C0 IO

rH t-H t-H

CO LO CO l> C0

io^0_05^05 co tjT t>T oT Cd” 10 ^ CD GO O CO UC

____ r—I rH t-H

fl

O 1-t    ^

t-H t-H

NiOOOCSiO ^ r)i «O CO CD C-

lO

iO Q tH C-” Cd iO O

Cd CO CO CO    ^4

\C XQ CO ïO C~ »O CO lO CD C— CD 05

882888 'ê

rH rH tH rH tH

SŚS2S8 P

rH rH tH 03 03 03

HCDCOHHCD rH t-H rH 03 03 03

lO CD D— CO

•rH

ÉC

'C

r*—

'Cn

ça

>.

eS

• r—I

żebra

Wy

sokość

osoqruS

psoqnjS

osoąojozs

•IIAV9AV

'UAV9Z

pro

mień

^    00 2 rjî 8 ïn

H H H Cd ^ TflCßCOOPJ

'a

HS

»5

«inpejs Borapajs (g

‘iWO^J’B^ZSq 'BOZOI'T

CD CO

O ©J hh rH rH rH

05 CO CO O t> CO hH lO CO CO

CO Cd CDO hH C- 05 Cd hH

rH rH

Cd CO ^ Q co" lOOOCOlO

rH t-H

88888

rH rH Cd Cd CQ

OlOOlOO rH rH Cd Cd CO

V*

Ot

• ^ h-*-

“SS"

y ^........^

TqÄipg^äpÖ'r'

W*T,i i\

*$*•■*. Î* '

fiK>i

.•a

*?_

Eys. 140.

>•.......>*’

V*

^ |ur

V |< "\ r

r g. "    > X

ri^

jdrj

* $be \f

.■A

Eys. 139.

,r

QjVi

r'

*r—

? Wl

ï..j

r*.....

C.'i_____!_______

Eys. 141.

r ~sr

k.c/

•—-r*

|y

**&■■■-

r*............

:-------» *<9

i-

! ht.

çéÉLl

■*:

ii”::

“::'4

Eys. 142.

Podajemy tu także tablice dla kształtówek wedle norm niemieckich.

Ze względu na oś YY

a\

cm

ci'tfccxoco c- cs xo oo ca ^ocacß'HH

CSOh CO^CO '#iXOil'- 00^0^ HO r* XO l-CS Ohhhh rH r-11—i h ca cacacacacaca

Wy

cm³

C0 GQ XO L~ CD OS

CD^O l» O_C0    n^rH_00 CO,    O CD^CD C— Ca CO

ca“ co“ co“ xo“ cd“    co“ ■—“ H co“ ca“    i»“ co“ cd c-“ t>“ c-“

h t-H h ca ca co co ■>* xo co

ly

cmk

co co ca

COCDh

co^ca^ eq_

xo“ cd“ cd rjT cd    cd co“ ca“ xrd tp    co c- oo o cs io

t-H rH    Ca-^CDCO—¹    Tf Cł-CłHOJOS

rH r-l rr ca CO CC TP

I a Ksztaltówki U (przekr. norm. niemieckie). Długości normalne 4 do 8 m najw. długość 12 m.

jf

rx=~ pochylenie stopki 8% (1:12,5).

r = d^

Ze względu na oś XX

Wx

Ix

Odstęp

środka

ciężko-

ści

cm

cm

çp th co ca o    th co xo rH xo    o cc ca Ci '4' co

O^xO 05 XO^rH^    05 CD^ c* 0iÄ    C0_ OS^ CO C—

rn“ th“ r-i“ ca“ co“    co“ Hti“ xo“ cd“ co“    o“ co“ cd cd o“ r-T

rH t-H

cm³

cm⁴

mm

d,

CO XO

CJ © cd xo^ caj>^

Tti“ t>“ o“ C-“ cd“    t-h“ O“ CO“ CO O    HXOOHCOxD

rH rH ca    Tfl CO CO rH XO    Ci rji Q t# CO

HH r-1 Ca CO CO Hji XO

cs

CO_ rH IlO

«T TjT co“ t>“ CD    CD hJH XO XO h*

hojioo otoowio i-i ca co co as co

1911

2690

3598

4823

6276

8026

i-^CO^CO^    r-^-^CO^CD CO^O

cd' cd' cd" tjT H xo“ cd“ r-“ acT od o“ r-T ca“ co“ xcdc-~ hhhhh hhhhh ca ca ca ca ca ca

câ^S S^O^CD    co^co o S S    ca co ca as ao 2

HttT io o-“ co“    o co“ co co“ r-T    xo“ cd cd" i-T cd“

hhhho ca ca co co

th ca co

^nhoo    xo^o^tp o ©,    ca^co co co oo

xo“ cd“ c-“ od r-T    co“ o“ o“ rjT oo“    ca“ t>“ ca“ oo“ co“ oo“

i—i    r-i th ca ca ca    co co hu xo xo

xO_

NC'C-C-OO 00 Ci

mm

xO^ XO    xO^xO

o o“ th    r-T ca“ co rH xo co

rH rH rH    tH t—I rH rH H r—I

Wymiary w

xO_

xO xo XO XO xO xO xO CD CD t> C- I>*“ CO    OO“ CO cd

O O O

rH t-H tH

8S888

rH

88888 88888 888888

hh^hh ca ca ca ca ca co

Liczba

CO TU XO CD 00

2 £h in £h £h 8 ca ca ca ⁰⁰ ^

cm

II a Kształtówki Z (przekr. norm. niemieckie). Długość normalna 4 do 8 m, najw. długość 12 m

Ze względu na oś główną

XX

,¹3

uio

cm⁴

cm

r=a

XX

cm³

c/n⁴

Ze względu na oś || Położenie osi

II

ly wnej

Y’Y’

X'X'

Ix

kgjm

nu

st a

c/n⁴

lO,    CO,    hP,    O,    hP_

oT    œ'    h    i>    co

i—I    i—I    (M    Cfl    CO

hP lO CO O kO, O, (M, CD, rH C0 iC t>

Hp" 'df

iH CM

t> hP kO

(\^ (»    O    r- j

C0    l> H ^

tH t-H

kO    O    00    i—I    00    T-1

O.    CM,    kO    05    kO,    cq,

CM*    cm“    cm'    (n"    co"    hp"

05 CM CO cq,    c-,

-di" co" 05"

10, -h, 00,

co" tiT 05"

1-1 CM CO

CD, ©

1,655    18,1

1,181    28,0

0,939    44,9

0,779    67,2

0,588    142

0,492    270

t»    œ    œ    t*    û

co"    o"    nT    o"    cd'    tp"

rH    rH    (M    CO    HP    o

5,94

3,39

13,4

4,23

25,7

44,0

108

220

5,28

6,17

8,67

11,3

0,433    470

0,385    768

0,357    1184

0,329 j 1759 0,313    2509

108

154

209

275

367

400

671

1055

1594

2289

CM C0 C- 1—1

cq, 'q, i>, 05, hp" 10" co" t>"

rH lO

iH Hp 1-1 iH

iq.

iq.

HP kO kO CO C- 00

w mm

dx

kO

Hp Hp kO kO CD CD

05 O rH    CM    CO

rH 1—I    rH    1—1

kO kO

od" oT o

Wymiary

C0    O    CO    kO    O    kO

CO    rp    HP    Hp    ko    kO

O kO O kO Q CD CD L— O- 00

30

40

50

09

08

100

120

140

160

180

200

'Bqzotcj

C0 hP kO

CD 00 O

CM HP CD C0 O 1—I rH —H i—I CM

III a Kształtówki T (przek. norm. niemieckie). Długości normalne 4 do 8 m, najw. długości 12 m.

I. Przekroje normalne h =

R

R=d=dj, r₂=-^, rx =-£

p = 4°/₀, p' = 2%

R R

II. Przekroje wysokościenne h = b, R=d = du i\ r\

P = 2°/₀, p, = 2°/₀.

Liczba

Wymiary w mm

O⁴

d=d.

Przekrój F cm³

Ciężar g kg/m

.s

73 -SJ T3 0>-

0*3

Ze względu na oś XX

Ze względu na oś Y Y

nr

CMI⁴

cm³

cm

cm

cm

6/3

60

7/372

9/472

8/4

10/5

12/6

14/7

16/8

18/9

20/10

70

80

90

100

00000 cm o 00 o

tH tH H t—! CM

r—⁴

o co co -o o 01 ^ ^ co cc OOOOO O Ol O Ol o

5,5

8,5

10

11,5

i:;

14,5

16

I. Przekroje normalne.

4,64

3,64

0,67

2,58

5,94

4,66

0,77

4,49

7,91

10,2

12,0

17,0

22,8

29,5

37,0

45,4

6,21

8,01

9,42

13,35

17,90

23,16

29,05

35,64

0,88

7,81

1,00

1,09

1,30

1,51

1,72

1,93

2,14

12,7

18,7

38,0

rH lO O CC X 03 r-J^D 1Q CD Cr O rH rH CM CC

68,9

117

185

277

CD^CD rH 0C

x" cm" CD cd" io"

rH t-H CO

10 D» Ci "11 O rf ou^- O O t^oq^c^ir^ c^c^oo^ o" cT o" r-T i-T cm" co cc id" cd"

CO I—¹

tO OT 03    C3 to

to co -1    ~:>ai03picrj

670

1000

r-⁴

© -U OT 03 to l-¹ H* oy--jNOj35jo

V'co'cD co Toi'to'*

— 03 00 03 to -O

CD 05 O CM    CD

CCjlO^lCjCD^ O^CCr-l^ rH tH rH iO 00 rH ^ CO CM _    HHHOJ

II. Przekroje wysokoscienne.

2/2

272/272

3/3

372/372

4/4

472/472

5/5

6/6

7/7

8/8

9/9

10/10

12/12

14/14

§> S ^

tH

^toocooo    03 OT ^    03 03 to tO

OOOOO O O O OT OOTOOTO

rH H

lO_

CO CCill rtlO    iO" CD O X

OT

Ot) O t-h CO iO

HHHH

JdJdo^S    ^œjoiyoj-Hj-¹

“cD '*03 >CD '%-L "*03 "OS “o“c3“c3    “—LcdTo“©“^

03 tO 1—¹ — 1—1

>—¹ 03 03 03 O CO 03    03 tO tO h r* O

SKitfeg Wfc'3 §§333

03 03 to to to HMHH l-⁴ o o o o

gggg KSSSS

0,38

0,87

1,72

3,10

5,28

8,13

12,1

23,8

44,5

73,7

119

179

[r C5 O CC T)l HCDC0O5 <Nt*O0CM CO ID CC tK t⁴-O" o" O** t-T t-T cm" cc" lO" CO"

X O CM X

366

660

Oł^tOHH y-J:0COJO VibciiocD

ąągą ąąs&;s

O O O rH r-l —> Cm CC rji lC CD X CM CD

tH rH

OCOt-D-CO 1—1 CD CM hîjX^iO^iO OONr-

0" o" o" t-T cm"    rjT cd" cm" cm"

rH CM

37,0

58,5

88,3

178

330

hr4, tO I—¹ I“¹

j-UJXîjOjGOJD    JO jU JnO J-*    J-'OJOJDJO

'co'*--iVi'o'to 000W1 bo “cd “ot"03bo _______OT tO -0 tO GO CD O CO ^ O

OO CD CO CC 00 CD O* GO CUMCOHD-r-^c^cc lO^CD^ COOlOO t-^DIOCM o" o" o" o" o" o" t-T t-T cm" cm" co" ■«#" cd" 00"

t-H

ze wzgl. na A', A',

xx₀

cm

0,43

0,41

0,58

0,58

0,75

0,70

0,89

0,87

1,19

1,17

1,20

1,19

1,17

2 lxx

cw⁴

0,30

0,36

0,76

0,96

1,58

2,00

3,60

4,96

5,92

8,26

8,94

12,70

15,8

Dwie znit. kątówki

ze wzgl. na AB

Oab

cm

0,63

0,66

0,83

0,86

1,04

1,06

1,24

1,30

1,63

1,68

1,64

1,69

2 lab

cmK

0,66

0,92

1,56

2,14

3,06

4,16

7,00

11,0

11,2

17,2

16,6

25,6

34,8 | 1,73

IV a Kątówki (przekr. norm. niemieckie).

A. Równoramie7ine.

Długości normalne 4 do 8 m, najw, długość 12 m =0,5 (najw d + najmn d), r=^r₁, b—v~~^ 6 + 0-36 d.

względu na oś

ÄÄ

XX

XtXt

«1

/i W

ax.

Ixt Wxt

C- CO    COCO    f CD    COI>    t—    CD    CO Ih” CO

Ol CM    COCO    Th Th    iO    lO    th-    O    t> t- O-

O*' o”    o" o“    O* O“    O* o“    o~ o“    O“ O" ©“

Ç0 O    t- TH    o O*    tH CO    CO UO

O^rH    i-^OJ^    OT CO_    CO^    OO^r-H^    HM

O O    O O    O O    O O    O i-h    t-h t-h i-i

COCO    50 05    HO    coco    Th c-    CO o-co

o_o^    th t-^    tają    co^cd_co_

o"o"    o o"    cTo*"    cTr-T    i-Tt-T    r-Tccfco“

Theo    ThCO    lO CO    Cł 05    05    CO    Ol 05 CD

lO lO_    t- D-^    05^05^    T—^O^    Th Th^    lO^Th^Th^

O O    O O    O O    rH    i—I    i-i    rH    i-i i—i i—i

COCO    Th lO    OH    50    Th    o    CO    O Ol co

<NN    Th^lO^    C-^05^    CO^CO^    OS.©    Î510C5

o“ o“    O“ o“    C>“ O“    t-T r-T    r-T O)“    Ol“ OT)“ Th“

Th 05    Ol C-    O 1-H    lOH    CO O    05 co

0)^01^    CO^    Ol^CD^    C0_C\    CD lO_    o 05 ->31

o“ cT    ©“ o“    Th“ r-l“    Ol“ co“    Th“ co“    C-“ 05“ of

CO 1-H    00 CO    ID    o    05 0*    05 C-    O O t—

Th^Th^    lDiC    CO^CC^    tH^H^    01^05^1-^

O O    O O    O    O    O O    i—* t-h    tH t—i i-H

ThOO    D- lQ    Th C-    IQ o    CO O    lOCOO

—^i-^    CTCO    Th^LO_    GOO^    i-^C-^

o“ o“    o“ o“    o“ o“    o“ r-T    i—T t-T    t-T Ol“ of

ss &8 ąą są ąąą

o“o“ o“o“ OH 1-ToT Ol Th Th CO t—

XJL

g [I b—v lab

cm    cm⁴

CO CD CO o- CO CO    „

CO Th    L— O    lOO    10^10    co CD_    COGO^Th

o“ o“    o“ i-h“    t-h“ of    co“ ig    no“ co“    cc oT c-“

1-H 1—1

co i-h    o Th    co^co^    05_co^    o,cq_

Th“ io“    co“ co“    Dt“ D-“    co“ 05“    O* o“    t-T oi“ Ol“

i—l 1-H    1-H 1-H 1—1

kg/m

Soo    œ^    £2co g    2o    ^ SS

o“ o“    ©“t-h“    t-Ti—T    i-ToT    oTco“    oT co“ tu“

0,82

1,05

1,12

1,45

1,42

1,85

2,27

3,27

2,67

3,87

3,08

4,48

5,80

Wymiary w mm

CO T* CO Th CO *h Th CO Th CO Th CO co

lO

lO

CQ

\Q

CO

o

-31

'eq.zoyj

01

Cl

ec

cc

Th

il

Dwie znit. ką.tówki

ze wzgl. na AB || ze wzgl. na X, X,

Oxx

cm

2 Jxx cmi

co^^co^ 8^8^^    oo^odJs^ 0^0^01_    ££,0^    03^8^0!

1—I i—I t—I    i—I rH rH    i—I 1—I rH    rH rH i—I    i—I rH 1—I    03 03,03    03 03 03

tP^Ot^C^    1-HO^OO^    C^CO^SC^    LO^LO^CO^    Ol 1'^hP^    SD

lO"o"lO"    C3"ci"lo"    hp" Hp" 03"    lo" co" of    SD" Ol" C^"    hp"lOhP    CO CO lO

rH 03 03    03 03 CO    COhPiO    hPlOSD    SD 00 Ol    OOOd    i-hhPSD

rH tH rH

rH rH

Gab

cm

S5S£    o££    888    888    8££    £22

HHH    03 03 03    03 03 03    03"03 03"    03"03 03"    Ol"03"03" CO"CO"CO"

2 lab

cm⁴

g cm g oœco    g go cm    g g g    g ;H g    cg g cd    cvioo

¹    £    HH    HHOI    H§(M    CT®m

COOOl    CO H O    03 O pH    SD HP 03    SDhP03    C^lOOI    1^0 05    C0SD03    Oisi-Hl

HPHpCO    tr* Lr- b-    OOOl    COCOCO    SDSDSD    010105    03 03 OJ    lO lO «O    OOOOCO

Ol" of of    ofofof    co"co'of    COCOCO    COCOCO    CO"co"co"    Hp" Hp" hjT    hp" hp" -nf    Hp" hp" hp"

8l21-h    ^£8    888 ffltßS) hpSo 882    880    888

rH tH CM

CM Cl CO CO ^ ^ Hfi LO CD CD L- CO

Ci O Ol    CM CD    CD CO H    rH^tiCD

rH rH    rH rH rH    rH H CM    CM CM CM

H LO 05    COlP-rH    C0I>O    Hp 05 CO    OH id    COrHSD    tHlOCO    03 SO O    HI 00 H

CO^CO^CO^    l-^L^CO^    HHM    lO^lO^SD^    05^0^0^    CO^hP^hP^    CO CC_OD_    03 O3^C0^    SD^SD_l'-_>

CO"CO“CO"    CO⁻CO"CO"    hP"hP"hp"    hp"hp"-Hi"    Hp" io" lo"    lCI lo" lo"    IO io" io"    cd" SD sof    sd" sd" SD"

0003    03 C3 HP    OOtß®    SD 00 03

IP- hP r-H    COCOCO    UCO5C0    l> LC5 hP

03 CO hP    HP iO SO    OL-ffi    COOOJ

rH rH

1252

1490

1728

1738

2010

2342

2350

2726

3108

3112

3580

4078

4154

4616

5180

ÄÄ

Ze względu na oś

XX

Clxi

8 00 00    03 8 Ci    OOO    2p£8    03 8 03    8 CO CO    8 hp £

o" o" o"    0"0"0"    HHH    HHH    HHH    HHH    HHH

OOOlO    03    lO C—    C~ CO hP    uOiOCO    OHO    03 L^- LO    H-pH

CO C3 SD    CO    CO hP    Ol O SD    Ol 00 lO    OlCOCO    03 lO> SD    HlOlH

rn" Ol" Ol"    oToTco"    CO"hP%jT    CO"hp"lo"    io"sd"i>»"    so"t>"co"    co"oi"o"

_;____________rH

lO Ol O    Ci    CM    t>    HiOl>    CO

CM CO ^    iO    O    C    CM CO CM    Hji rH CO    CO    CM    O*    CD O    O    CO t>-

co" hp" lo"    np"    sd"    I>"    !>■" Ol" 1-T    Cl" 03" Hp"    co" o" o⁻    o" 03" SD"    hp" Ol" -hT

rH    HH    HHC1    rH Ol 03    03 03 CO

rH CO hP    tH    CO    lO    05 Ç- CO    05 t> HP    CO    lO>    rH    00 lO    rH    lO 03 O

t- SD SO    05    00    00    OOO    010103    hP    rp    hP    SD SD    SD    COCOCO

^    ^    ^    ^    ^ H    H    H r. rs    H H rs    —    -, rv    vir\

HHH    HHH    010103    OlOlOl    OlOlOl    Ol Ol Ol    010103

y—I SD rp    rH    CÖ' HP    HP SD hP    rH

Ol^rH^O^    05    lO Cl    O^Cl^SD^    lO^OI^O    lO^Ol^O^    SD CO t>*    SD CO SD

co" icT sd"    hp"    sd" i>"    cr" co" o"    00" o" co"    i-T np" sd"    co" sd" ci"    t>" r-T hp"

rH    H H    HHH    HHH    rH CM CM

t>-^CD    10 iO CD    O O CO    CD lO ^    COQ h    ^    CO    rHiOCM    CO CM CO    lOHH

LOlOiO    OiOiCO    r^rHrH    CM OJ CO    lOlOlO    1>    I>    OiCiGi    HHH

1-T r-T h    th" th" rH"    rH" th" -"    01" of Ol"    Ol" Ol" Ol"    of of of    of of of    of 01" of    co" co" co"

OTCO^SD^    CO hP^CO^    hP^O^hP^    t^r-^O^    hP^hP^iO^    CO^HP^t^    CO^SD^O^    CO^hP^tH^    CO^hP^CO^

Ol" o" Ol"    co" lc" L -"    CO    r-T co"    of scf Ol"    Ol" co" t>"    1-" of sd"    O-" of co"    co" Hp" r-T    rH" co" Hjf

jrHI rH    rH 1—1 rH    rH    Ol 03    030301    OlCOCO    CQhPhP    rptOiiO    lOSPLs-    Ł~*- t~* 00

SD 05 O    COrHOi    COOICO    SD

05"10" CO"    L--" !>■" icf    CO"    SD" CO"    CO" SD CO    O Ol SO    hP CO rH    Ol CO hP    t- rH CO ' CO SD CO

03 CO hP    hPiOSD    C—    CO 05    05 r-1 CO    hPSDCO    05 03 10    CD05C0    hP05C0    1OO1C

HHH    i-i03 03    03 03 CO    CO CO HP    HP lO lO

rH rH

ąąą ssą ąąą ąss ssą ąss ąąą pąs sąą

CO CO SO    CO CO CO    CO CO CO    hPhthP    hPhp"hP    tO-Hirp    iQ>QtO    lOtOiO    cccDSlf

CO^iO^hP^    05₁CTVC0₁    L- CCSD^    I^hH^CO^    œ^Ol^    SD^CO^^,    03 CC 05    1- 03 L-    HP 03 05

OhPCO    ■ CO hP 05    05 SD 03    COL^-hP    COCOCO    rHCOO    O rH CM    OIhPiO-    lOC-CO

030303    OlCOCO    CO U3    hPlOSO    SD l> CO    00 05 rH    HHH    HHH    HHH

HP r}l co HHH HP CO np HHH OhPCO rH rH SO CO

a‘sa ssą sss sss s's'g" ss's §'sg

tH rH

lO Ci rH H^O O 00 CM O HJ g rH g g OL-O    HXO    ^ g g    JO JC g

O H CM    COiOCD    C^-OirH

^—I 1—I -—'    H—J r-H rH    —^ rH CM

rH rH rH

rr 03 Ol

OlCOCO CO Hp 10 lOCOIH C-SO 05

x,x,

I!

CO^ci^    2^8^^    SO^^S^    0)^œ_£    05^05^05^    £    03    01^01

HHH    1—I rH H    HHH    i—I H rI    HHi—I    03 03 03    03    Of 03"

CO rH 03    LO UO 05    05

HP^CO.—^    0_rH rH    CO_0-^05^    CO^OS^hP    03^0^ CO

of co" hp"    co" hp" 10    hp" lo" so"    10" sd" co"    i>" 05" ■

2p88    80^8    088    œœoi    §00    o5c§8    ci 8^8    8^ 8^ 8^    œœœ

01" of 03"    of 03" 03"    co" co" of    co" co" co"    co" co" co"    co" co" co"    -Hf Hp" Hp"    hp" Hp" hp"    Hp" Hp" hp"

Hp SD^Cr^ 05 Hp CO

o" 00" o" of    o" co" lo"

rH    rH rH rH rH *-H

01_i0_0_    SD rH »O^    THC-01^    hP^O^iO^    ĄOtó.    LO^LO^O^    lO^lO^O^    lO^ lO_

03" lo" 00"    C^" —" 10"    rp" cif 05"    o" lo" o"    oT o" 03"    o" œ" g"    co' 03" —"    Oj" gO Cl"    Kl"g CO

Ix₁

F g b—v cm² hgjm cm II cm⁴

lob

12.8    14,9    7,85

13.6    21,2    I    10,4

14.4    27,8    12,6

14,0    20,4    I    11,0

14.9    29,0    14,5

15.6    38,0    17,9

15.6    32,8    17,3

16,41    44,2    22,1

17.2    56,0    I    26,3

16.9    42,5    22,7

17.7    I    57,5    29,2

18.5    72,8    34,8

18.5    63    33,4

19.3    82    41,3

20,0    101    48,7

19.7    79    42,3

20.5    102    52,5

21.3    126    62,0

21,3    111    59,0

22,1    140    71,0

22.9    170    82,5

O lO)

oTo-" oi

L— CO O

116

COCO    O- O lO    01035    O COlO    03 O hP    coco

COlO    Lr O CO    CO CO rH    rp Ol H*    LHHO    COOl

HH    tHOIOI    03 03 CO    CO CO hP    Hp LO SD    CD tH

» 15

845

Ol Ol    Ol    lO    co

hP lO    05    Ol    Hp

Ol O    O    Ol    co

H    r-4    t-H    t-H

g£g 28£ 888 8o3^    883 £83 888

COOH    1—ICOlO    lOlP-O

r—1 rH_t-H    rH t-H_*—I    '—¹ Ol

SD H^iH    hP    01^0^    03^0.00^    t^iO^T-^    SO^hP^t—^    hH_C3C^    03    0.00^

Ol"co"hp"    lO*    so"I-"    co"Ol"Ol"    o"th"Ol"    co"np"lo"    so"i- co"    Ol    o"o"    03    CO HP

Ol Ol Ol    03    0101    03 0101    CO CO CO    CO CO CO    CO CO CO    CO    hP hP    hP    hP hP

rH t—I 03 OIOICO CO CO hP hP lO SD SD L- CO

45    2027

46    2308

46    2590

Wymiary w mm

CO O so    t- lO l>    lO SO O    O) Ci 03    CO 03 hP    CO hP CO    CO t> TH

CO^SO^ C-^t-h^^    hP^CD SO^ OO^SOCO^ CO^CO^OJ^ O O^T-H

co" hp"icf    co"io"so    hp"so''t-"    io"t>" co"    so"cc o"    •s-'co"t-h"    <x>"th"co"

O SO hP OSOH H CO Çr HCOO CO^CO^CO^    C0^lO^C3    C0_C3^O^    CS^OCD    C-^0^03^    Hp^oyCO^    lO rH^Oi

HtTio"^    hp" so" co"    so“co"o"    So"os"i-T    Co" i-T co"    Oi" 1-T Hp"    t-ThjTso"

r—i    T—I    rH ~H _rH rH rH rH rH

rH l> Ci rH CO O CM tH    -rH    H H

lO l> Ol 10 0 05 SO CO O SD co o I> os

i-H    rH

rH

88g    ^83    sæs    sês    sssjg    gąą    ą&3    ąąa

Ol" r-T np"    of hp" i>"    lo" t>" O    so" Ol" Ol    Ol" co" so"    CO l- O    OHIO    *-iOO    SOOiO

HH    n—I ■—• 1—I    HHI»--- 03    1—I Ol OJ    Ç3 03 CO    OlCOCO    CO CO hP    CO hH

CO H Ol UÎOCO 03 I> 03 Ol rH O hHC-OI OOCO OOO CO O- O rH CO LO

£££ SSgf 2gf8    ggfgf    5s£

CO O CM

tH tH

Ci rH CO    O 03 hP    O    03    hP    1-1 co io    03 hP SD    COiOO    hP SD CO    łO tP- 05

rH tH    t-H r*> rH    tH    r—1    rH    rH rH rH    rH H tH    r— tH tH    rH rH rH    t-h rH rH

■BaZOT^J

<JT' ii Vit

5    50

5y₂ 55

6 [! 60

6V₂    65

04 l

7V₂ 75

80 i

06

100

410

120

130

140

150

160

Ol ||

Il II

12

SI

14

15

16

ay

HtłCM    rji H    CO    COCO    tH tH

CD CD COCO OO COCO

O" O"    O" O"    O" O"    H rH"

rH rH

ÄA

CM    <M    CD    lO

IH    IH.    rH.    rH.

rH    rH    CM    CM

CCI    lO    tH    O    x#

O.    O.    cq.    cq.    tH.    CD.

rH    rH    rH    rH    rH    tH

CO CM

rH ,H

cm" oT

CO CO    05

cm co    h m

o" o"

rH" rH

CD CO CD. CD

CO" Hji" 05" rH

S 05.

cq 05

CD Of CM CO

cq. »o

df

iO

P*

CD

Htl CO CO kO

rH rH

CO 8

o" o"

rH CO IH CM th" CM"

05 rH 05 rtf.

rjT «r

rH 03

B. Nierównoramienne.

Długości normalne 4 do 8 m, najw. długość 12 m. r—0,5 (najw. d + najmn. d), r₁=~r.

A

Ze względu na oś

XX

Yi Y,

-Xi-Xi

CCx

Ix

a' 1

a'

Położenie osi YY

St a

Odstęp środka ciężkości

«1

kglm

■1

cm

8. §    ą g.    8 8    s    s    ą ą

rHO    rH rH    (MCM    CM    (M    COCO

cq. 8^

r-T th"

S-S- Il II II II II

CM CM    CO rH

rf CO    CD O

cd" co"

rH rH

cq.    cq.    rH.    rn_

os"    cd"    co"    ïO

rH    CM    KO    CO

160

189

317

370

747

854

CD CO 05. IH

cm" CO

123

150

339

395

762

875

1754

1973

CD    lO    CO

lO    lO    CD    rH

CT    CT    rH    rH

co    5 8

..    o o

CM

d co

05    05

o o" o"

S N s.

T—T T—1

03

0,422

0,421

co ^

H*! UO

rH

H t—-rH rH

rH rH    rH CD

^ ^    CO CO

r-T rH

r-T r—T

CO    CM    CO    CD

lO    lO    tH    tH

o"    o"    o"    o"

lO ^    rH 05

CO_ (M^

i—i rH    rH rH

hH rH

CD" o"

rH CM

CD. CO CD" xo" T}1 xO

97,9

115

232

263

CD O CM    ^

.. O O

rH (M

CD. h*.

cf «T

122

189

CM rH

H*. rH.

s= s.

lO CD

0,433

0,429

H* °<

ih" r>"

O    tH    tH    CO    rçti    <M

07)    CO    CO    CO    ▼—*    H

cm" cm" co" CO

r-T t-T

CO. 00

tn" cf

rH CM

0,432

0,428

O lO

05" o"

46,3

57,2

140

167

0,430

0,427

0,410

0,407

-q    CM    C5.    IH

<m"    co"    io"    cd"

rH    rH    H    rH

<32    05.    CO.    C0.    CM.    XQ.    Htç.    [H.    CD.    rH. o.

05"    o"    m"    »o"    05"    o"    HjT    xo"    co" H"

rH    rH    rH    rH    (M    (M    CM    COCO

rH lO lO IH CDhJC    Ttl

H HH_ cm Ih IH. rH lO CM

cm" cm" co" io" cd" co"

11,15

13,42

O    CO    lO    CO

00    lr    tH^    [H^

co"    CO    HjT    hT

h CO CD    H CO

^ CM CM    Oi. CO'

t-T i-T

O rH rH

lO    CO    00    CD    iO    tH

tO    tO    tH    1—1    T-<    r—I

of    cm"    CO"    CO"    H*f    hjT

S o

lO ŁQ

6,40 282 6,38 ,315

276

323

OJ "CH HH

CD IH

rH CO

g (XI ïC^

cm" CO

CD CD

io cf

rH CM

05 lO)

rf t—'    CD rH

h# XO    H ^

r—

320

874

719

822

1654

8981]

lO O

CO CO

o" o

0,436

0,434

0,258

0,253

0,254

0,248

0,257

0,252

0,267

0,266

0,257

0,255

Cl CO CD CD CM CM

o o"

0,261

0,259

CM.    O.    05.    tH.

OT>    CD    CO    05

CO    ^    ^    ^

14,99

17,82

22,53

26,06

ce ^ œ~

■m

CO. CD. df t>"

CO CD. 00" 05"

CM. O. r-T cm"

tH tH

t i t“H    G'Q

HH

QQ cq. ^

TJ1

tH tH

XO. tÇ. i—i CM CM CM

tO Ttf

co" - ‘

CM CM

oT

S £    S s    q. S.

r-T t-T    CO r#    lO tH

CM O.

rH⁻ cf

C- IH

9,03

11,07

14,6

17,35

21,59

24,96

Ht< t-

CD. 00.

rH lO

CO CO

CM lO tH CO 05 lO

Hjt co cq. lo.    îq.

cm" co" rfl" cd" oef o

th" ih"

co

co jq.

CM. h

hJI tH rH rH

CM    lO    05    lO

IH.    (M    CM.    cq.

r-T    of    rjT    ta

05 rH

CO O. CD" of

rH Hfi rH rH

CD rH

co" cm"

rH CM

lO 00

Sf sf

cq. ih o"

hH -m

CO Hjt

lO IH

IH 05

05

Wymiary w mm

*1

lO

Hłf

10

ih

8

rH

O (M    CM Htt

-tH rH    —H rH

CO HH

lO tH

CD CO

CO O

O    (M    CM    H}t    HÜ    CD

rH    rH    rH    rH    rH    rH

120

150

40

09

80

100

130

160

200

20

30

40

50

65

80

100

20

30

40

50

65

80

100

•Ji[9za:d

■Bqzoxq;

2/3

7if/8

9/f

W2

Wio

8/12

10/15

2/4

9/8

4/8

5/10

6V2/IB

8/16

10/20

Liczba

przekroju

V a Zoresówki (przekr. nor. niemieckie), (rys. 143). Długości normalne 4-8 m, najw. długość 12 m. ri = d^ r₂ = d—0,5, r₂ = t, r₄=0,6 d + 1,3.

Wymiary w mm

F g lx Wx

Iy

Wy

5?"

t    cm² kgjm cm* cm³ cm* cm³

50 120 33 60 140 38 70 170 45,5 90 200 53 110 240 63

co co to ro to CO CO GO ^ ^

'bi

\£*00 00 "ot *01

lO CD t> CO Ci

i>^cq_c^Oi_r-^

co" aTcd'i>' HH(N

5,29

7,32

10,36

14,05

19,00

I-H OJ

COCO

420

IdWoik)

86,4

164

347

651

1272

rjTco'Ö'kO'tD

HN^tDO

rH

\'V

!*

—---TT"

ï? \ i f / £ \i/

~s7K~

/ S'il

iÆ@ÊMÈ

/V

\/<

—>j*e- C -H

/îMÜL.

,<5-

Eys. 143.

\ i '

/

- iç&r-/ ! \

<f>

Eys. 144.

VI. (Sńcrćkolówki (przekr. nor. niemieckie), (rys. 144). Długości normalne 4 do 8 m, najw. długość 12 m. r, = 0,03 D, r, = 0,06 D.

Liczba

przekroju

Wymiary w mm

Dla 4 ćwierćkołówek, więc pełnej rury

średnica ^ rury

cni² k(/j m

I WX= Wy cm⁴ cłw³

W,

cm³

100    35

150    40

Ci 00

CO CO Ci

29,8

48,0

200    45

250    50

300    35

O CO(M Orł! (MCC

r—i t-H t-H t-H t-H t-H

O

y-4 t—I H t-H H t—i r—i

54,9

80,2

88,1

120

129

169

179

249

23,39 37,68 43,10 ; 62,96 i 69,16 i 94,20 ! 101,27 132,67 140,52 19547

CD

O -vl OT) OT)

66,2

102

2068

2982

5511

7478

121G1

15788

23637

32738

§. 56. Dźwigary blaszane.

175

248

370

1120

1B30

Ci lO L— CO CO CO T-ł (M

CO t-t- lOH CO O CO rllû H 10 CO 10 CD Ci t-l lOO

t-H T—i

Dla większych rozpiętości lub ciężarów, gdy największe kształtówki 7 nie wystarczają, używamy dźwigarów blaszanych (n. Blechträger, fr. poutre en tôle, an. wrought-iron girder, cz. nośnik plechovy).

Belka blaszana (rys. 145) składa się ze ścianki A (n. Blechwand, Stehblech, fr. âme, a. cz. stoina), czterech kątó-wek B i nakładek (7 (n. Lamelle, Deckplatte, fr. plate-bande, a. flange-plate, cz. pâsnica, r. naKJiaAKa). Zwykle przyjmujemy wymiary ścianki, kątówek i szerokości b nakładek, a obliczamy grubość ich cZ. Grubość ścianki przyjmujemy zwykle w budownictwie 7 do 8 mm, przy mostach większą, a mianowicie w przybliżeniu g = 8,5 + 0,15 l mm

jeżeli Z oznacza rozpiętość w m. Szerokość kątówek możemy przyjąć w budownictwie według wzoru a nakładki

. 206)

c*-

OZ

Bys. 145.

1)!= 0,214- 5 cm b =0,414-1(5 cm przy mostach zaś b₂=0,41-f (i cm b =0,814-18 cm

jeżeli l oznacza rozpiętość w m.

Wysokość belek Ä obieramy zwykle w budownictwie równą V12 do Vie rozpiętości, w budowie mostów */₈ do ¹L ₂ rozpiętości.

a nakładki

.    207)

. 208)

Wzory te podaliśmy tylko jako wskazówkę, jakie mniej więcej mamy obierać wymiary ścianki, kątówek i szerokości nakładek, ale ściśle trzymać się ich nie potrzebujemy, bo jeśli przyjmiemy mniejsze wymiary kątówek lub węższe nakładki, to za to wypadną nam nakładki grubsze i na odwrót. Wszystkie

te części składowe belki łączymy nitami w jedną całość, przyczem roz-|j^różniamy nity poziome i pionowe.

Eys. 146.

Ostatnie urządzamy w dwu rzędach. Jeżeli nakładki wystają o długość c > 6,5 cm, (rys. 145) wtedy musimy połączyć nakładki jeszcze dwoma rzędami nitów skrajnych (n. Rand-nieten), (rys. 146).

Średnicę nitów przyjmujemy zwykle 16 18 20 do 24 mm

dla szerokości kątówek do

60 70 80 i wyżej mm.

§. 57. Obliczenie przekroju belki blaszanej.

Belki blaszane obliczamy także według rów. % I=Me. Moment bezwładności I rozłożymy tu na dwie części tak, że

I-h+h,

przyczem Ix jest momentem bezwładności kątówek i ścianki, który zaraz możemy obliczyć z danych wymiarów, zaś I₂ momentem bezwładności nakładek. Z poprzedniego widzimy, że

Z rysunku zaś widzimy, że h=hi-\-2d. Wstawmy tę wartość i po odciągnięciu dziur na nity pionowe b' = b—2 d zamiast b,

a otrzymamy I₂=j^b'(h]³—6Ät ²d+12 d³hi -|-8d³—Aj³).

A. Z

.Ponieważ d w stosunku do hi jest bardzo małem, więc możemy wyraz 8 d³ wobec wyrazu 6 hx² d opuścić, a wtedy :

I₂^M₍Ui+2d).

(rys. 145)

Wstawmy tę wartość za /₂ i e i 143), a otrzymamy:

%IXĄ

Äj -j- 2 d

.    209)

. . 210)

2 w równ. 209)

b' h^%_ (^i + 2 rf)    (Aj + 2d), a stąd :

M__21,___

⁽ b'hjT b' lii (lii +2 d)

W drugim wyrazie tego równania po prawej stronie widzimy jednak w mianowniku ilość d, której nie znamy. Musimy więc obliczyć d naprzód w przybliżeniu, wstawiwszy w równ. 211) d=0. Tak otrzymamy przybliżoną wartość dla d

. . 212)

31    21

Vlij x b'V’ '    ‘

Wartość tę wstawiamy w równ. 211) po prawej stronie i otrzymujemy dokładną wartość d.

W równania te wchodzi M, które się zmienia według położenia przekroju. Dlatego obliczamy naprzód przekrój dla którego M jest największe, n. p. w belce, w dwu punktach

podpartej, jednostajnie obciążonej, dla x=Grubość d rozdzielamy w danym razie na kilka nakładek, przyjmując grubość pojedynczej nakładki 8 do 15 mm.

Potem obliczamy dla innych punktów belki odnośne d według tych samych równań, wstawiając tylko odnośne wartości za M. Długość nakładek wyznaczamy najlepiej wykreślnie (rys. 147). Obliczmy grubość nakładki d w środku belki i zróbmy d=CC'. Dla punktów A i B jest M=0, więc z równ. 211) wynika, że grubość d będzie tu ujemną, równą AA' = BB'. Wykreśliwszy odnośne grubości także w kilku punktach pośrednich

Ei-£

Rys. 147.

Di E, łączymy punkty A' D' E' C. . . linią krzywą , lub, jeśli punkty te są dość bliskie, prostemi, a powierzchnia między tą linią a osią AB przedstawia teoretyczną grubość nakładki. CC' dzielimy na odpowiednią ilość nakładek i kreślimy poziome, których przecięcia się z linią A' C B' wyznaczają końce nakładek. W rysunku 147. widzimy w środku belki cztery nakładki potem trzy, dwie, jedną, a nareszcie widzimy, że niedaleko podpór nie potrzeba wcale nakładek. Ze względów ustrojowych przedłużamy nieco nakładki poza linią A' D'E' C', jak na rysunku uwidoczniono.

Przy obliczeniu momentu bezwładności /, trzeba ewentualnie uwzględnić osłabienie przekroju przez nitowanie. Ścianka osłabia się wskutek spajania przy kładkami, gdy bowiem długość jednej blachy nie wystarcza, musimy dwie lub więcej blach spajać.

to osłabienie ścianki uwzglę-

Jeśli przy spajaniu uwzględnimy nity (<j)ćZ,) w odległości a—d

pionowej a i nazwiemy v = ——

dnimy biorąc w rachunek zamiast grubo ści ścianki g grubość vg. W przybliżeniu możemy przyjąć v = 0,77, więc przyjmiemy zamiast g tylko 0,77 g do 0ß g. Przykładki dajemy zawsze z obu stron ścianki, grubość ich mogłaby być połową grubości ścianki, nie używamy jednak cieńszych przykładek niż 6 mm.

QS

a więc

Co do obliczenia odległości nitów w przykładce, to dla przekrojów niedaleko podpór, gdzie siła poprzeczna Q jest wielka, możemy ją obliczać w następny sposób. Siła poprzeczna, jak wiemy z §. 49., nie rozdziela się jednostajnie w przekroju, lecz jest w osi obojętnej największą, a mianowicie wynosi według 19) na jednostkę długości a =

Q/S ¹

na długości a, równej odstępowi nitów, działa a -y-. Dla warstwy obojętnej możemy w przybliżeniu przyjąć:

A h-2    A ( h₂\²

2 ' 2 ZaS ¹⁼² 2 W

jeżeli -ÿ-

osi obojętnej. Na długości a działa więc siła a —J

oznacza

odstęp środka ciężkości połowy przekroju od

«T-Ï

2f (ł)

„ o

= a—

h<i

Przyjmijmy ä₂=0,9ä, to a

^ 9 nd²hzi

a stąd

(PhT,

.    .    213)

1,41 <1

Równanie to jest ważnem wtedy, gdy po obu stronach szwu przytwierdzimy przykładki jednym rzędem nitów. Jeżeli, jak zwykle, znajduje się po dwa rzędy nitów,» to

(PllT,

20 Q

18 n d^hx. a= 20 Q~

W pobliżu środka belki jest Q bardzo małe, a że tu moment wielki, więc obliczamy nity przykładek ze względu na moment.

- 2,83

.    .    214)

Niechaj f oznacza odstęp skrajnych nitów a -8 siłę działającą we wszystkich nitach. Moment M da się rozdzielić na

M', działający na ściankę i M" na kątówki i nakładki. Jeżeli nazwiemy odnośne momenty bezwładności I' i I", to M' : M" — =I':I" i M+M"=M, a stąd:

M' =

MP MI'

! o O O i o o o ol

O O i O Oł* f i

poK

o o j o o|¹ !

O O | o o

o o { o O o of

I' + I"    I '

M' przenieść się musi przez nity, więc i M'~

y. *

Rys. 148.

~S=2(P+2P+.. siła w nicie najwyższego rzędu n P—

¹ ₀    2 Sf .    ₀ 3 M'

YSX 8~ '⁼ 3’ wl^c s==—f~-Jeżeli siła działająca w nicie odległym, a od osi obojętnej jest P, to w drugim rzędzie będzie 2 P, w w-tym rzędzie wP, a więc gdy mamy dwa rzędy nitów po obu stronach zetknięcie będzie:

. .P)=P{l-\-n)n₁ zatem P=

, a więc

SM'

mamy f=2na₁ więc

2/,(l + w)

2n(l + n) a że z rysunku

uP

SM'

(' ⁺L)

2d²n

= —Tj, a stąd :

d² 71

6M/—3^d²T₁f Ze względu na ciśnienie na SM'

ściankę dziury jest:

(1 + 2a)

= dgt₂, a stąd:

dg r₂ f²

a_3M'-2dgT₂f‘

Z tych dwu równań przyjmujemy a mniejsze.

§. 58. Obliczenie grubości ścianki belki blaszanej.

AViemy, że siła ścinająca w osi ciężkości jest największą, że tę więc wyznaczyć musimy dla obliczenia grubości ścianki belki blaszanej. Jeżeli siłę ścinającą poziomą nazwiemy a, to

wiemy, że według równ. 191) a=

QS

Wyrazy Sil obliczamy w przybliżeniu, jak w poprzednim paragrafie ; dla warstwy przez środek przechodzącej będzie więc

« f i " I (t)

h₂>

A więc na jednostkę długości działa siła cr = na ściankę, jeżeli zatem natężenie dopuszczalne na ścinanie blachy jest x'=f i, a powierzchnia ścięcia \.g — g (rys. 145), to g £ z=

a stąd

5 T

W przybliżeniu przyjmiemy według Weyrauch a, jak pierwej, ä₂=0,9ä, więc

.    .    215)

10.8Q₌16 Q ^ ą

® 9.5 t A 9 zh ’

Wzór ten nie uwzględnia jednak natężeń ukośnych, które

w belce blaszanej mogą byó większe, niż a=—. Dla warstwy

obojętnej jest wprawdzie v = 0, lecz w tern miejscu przekroju, gdzie przekrój się nagle rozszerza, t. j. w punkcie a, gdzie się znajdują poziome ramiona kątówek, natężenia ukośne mogą byó, jak wiemy z §. 52, większe. Tu bowiem natężenie ścinające nie jest o wiele mniejsze, niż w środku, a i natężenie v jest tu prawie =t. .Tężelibyśmy przyjęli v = a, to według równ. 201)

najw. *>'=y+yV^ + 4a²«y+-|-yi + 4==y (l + Vö).

więc chcemy, aby

najw. v' = z, to z

Jeżeli

1 + 2,23

2----<7= 1,625 a, więc

Ze względu jednak na mniejszą wytrzymałość blachy na ścinanie w kierunku włókien przyjmiemy <r=—g. Zatem będzie

z Q 10Q 1.8 g==h₂⁼⁼ 9h 10 Q 1,8

a stąd

. . 216)

—=2,0    . .

z    z ll

Dla belek zwykłych, w budownictwie używanych, otrzymujemy często z wzoru tego bardzo małą grubość g, w praktyce

jednak przyjmujemy najmniej <7 = 6 do 8mm. Dla belek mostowych, gdzie siły są większe, da się wzór ten z pożytkiem użyć.

Przykład. Dla belki głównej mostu blaszanego o rozpiętości 10 m niech będzie obciążenie 2=5,5 </m, zatem na podporze

najw. Q — ~2~ o} —Ty 5,5X10=27,5 t.

27500

720 . 100

=0,76 cm.

Niech będzie dalej /t=100cm, t=720 kg/cm*, to g=2 .

Przyjmiemy więc g=8 mm.

§. 59. Obliczenie nitów belki blaszanej.

a) Obliczenie nitów poziomych.

Nity łączące belkę blaszaną w jedną całość, narażone są na ścięcie wskutek siły ścinającej poziomej, której wielkość na

jednostkę długości jest u, a zatem, jeżeli nity urządzimy w odstępach a (rys. j 149), na długość a siła ta wynosi oa. Ponieważ nity ■ | poziome są dwucięte, więc

d'ln QS = 2 -J-    a

n t, (l ²1 (l =--—

r\

s~\

x-

oa

a stąd

-I

.    217)

©00©

gdzie S

moment

«    y».    y-v    — V    *

i części

j    ! S*-    ! w i I kątówek ze względu na oś

(Ś)    ®    ®    © obojętną, a d średnicę nitu.

Z równ. 217) widzimy,

Eys. 149 i 150.

że im większą jest siła Q, tern mniejsze muszą być odstępy nitów a i odwrotnie. A zatem ponieważ siła Q przy podporach jest największą, więc tam muszą być nity najgęściej umieszczone, w środku zaś belki, gdzie siła poprzeczna jest bardzo mała, nity mogą być rzadsze.

Zbadajmy także ciśnienie na ściankę dziury. Jeżeli ciśnienie to nazwiemy v₂₁ będzie a a — dg v₂, przyczem g oznacza grubość ścianki ; a więc

ci ^TC    TC ci

dgv2=2    xit a stąd y₂ = ——    .

Stad otrzymamy dla

±-i

. 218)

1,5

2,5

— = 1,57    2,35    3,14    3,92

217) licząc dla ~

= 1645 kg\cm². Jeżeli ~

Widzimy, że natężenia v₂ są bardzo wielkie ; według wzoru = 1,5, otrzymamy dla t₂ = 700, v₂ =2,35 x 700=

>1,5, to nie możemy już liczyć wedle wzoru 217), ale nazwawszy x₂ ciśnienie dopuszczalne na ściankę dziury, otrzymamy dg x₂ = -ß a, więc

.    .    219)

^ dg t₂ I

qs. * •    *

przyczem możemy przyjąć x₂ = 1600kg\cm².

£0 Nity pionowe umieszczamy zwykle oba w jednym rzędzie (rys. 150).

Nazwijmy odstęp nitów au to otrzymamy

a₁a=al

QSt 0 d²n

~r=² t

przyczem uwzględnimy, że nity są raz cięte, ale na długości at muszą być ścięte dwa nity. Z powyższego równania otrzymamy

. . 220)

n xxd'LI

a'⁼^^ąs; ■    •

gdzie Si oznacza moment statyczny nakładek ze względu na środek ciężkości przekroju. Oczywista rzecz, że S > Sl, więc z równ. 217) i 220) wynika, że zawsze a < av Jeżeli nity poziome obliczamy według 219), to a jest tern bardziej mniej-szem niż a,. Ale ponieważ nity pionowe umieszczamy w środku między nitami poziomymi, więc przyjąć musimy aj =a, obliczamy zatem tylko odległość nitów poziomych i w tej samej odległości przyjmujemy też nity pionowe.

- 195 —

Często otrzymujemy z tych równań gdzie Q jest bardzo małe, odstęp nitów a bardzo wielki, ze względów konstrukcyjnych więc przyjmujemy największe

. . 221)

najw a=(> d .

§. 60. Obliczenie belek drewnianych.

Belki drewniane obliczamy także według równ. 143)

tI=Me, jeżeli ^0,125Z, gdy l oznacza rozpiętość belki w dwu punktach podpartej (p. §. 52).

Dla przekroju prostokątnego (rys. 151) mamy % ^

= M ~, a stąd

bhz=

GM

I)h2 = —

222)

GM

Przyj ąwszy b = nh, otrzymamy nhz—--, a stąd

i S/6®

1i=VTU

223)

Jeżeli przyj mierny pewną wrartość dla b, to

i^/M

.    .    224)

bh = F=

Wysokie przekroje są korzystniejsze, bo z 222) wynika GM

%h

zatem przekrój będzie tern mniejszym, im większa

wysokość.

Byłoby jeszcze do rozwiązania pytanie, jaki jest pod względem wytrzymałości najkorzystniejszy przekrój belki, wyciosanej z pnia okrągłego. Z równ. 222) widzimy, że M będzie tern większem, a zatem belka tern więcej uniesie, im większym jest wyraz bh². Nazwijmy bh² = u, to otrzymamy najprzód z rysunku 151, jeżeli cl jest średnicą pnia 7i² = d²—b², a więc

u=bh²=b(d²—b²).

Szukać teraz będziemy wartości ń, dla której u będzie naj większem,

^8

ii

u.

wm

■■ -B»!

Bys. 151. a więc musi być

A) *

\E

S '-ę>

to

co

-o

to

et-

-O

to

b-d% .

/12 O

. Z rysunku widzimy, że h²=d*—b²=d²—— = —d², więc

o o

h = d^ f.

Porównawszy równ. 222) i 223), otrzymamy b:h—l: Y2, czyli 6:A=1:1,41, albo w przybliżeniu

b b = 5: 7

Jest to najkorzystniejszy stosunek podstawy do wysokości belki z pnia okrągłego wyciosanej. Jeżeli z punktu E spuścimy prostopadłą na średnicę AB, to

b²=AB.AC, a h²=AB.BC,

AB.,ß(7=— d², a więc AC=~d₁ a BC=-^-d.

O    O    ô

Na tern polega konstrukcya najkorzystniejszego przekroju. Dzielimy średnicę na trzy części, w punktach C i G wystawiamy prostopadłe i w ten sposób otrzymujemy punkty E i F, wierzchołki prostokąta.

Zauważyć tu jednak musimy, że równ. 227) odnosi się tylko do belki z jednego pnia wyciosanej i to bez względu na koszta ociosywania. Dla tego nie potrzebujemy go się ściśle trzymać, a tylko pamiętać, że ze względów wytrzymałości wysokość h powinna być większa od szerokości b mniej więcej w stosunku 4 :3. W praktyce musimy się też stosować do wymiarów belek, które w handlu można dostać.

.    .    225)

. . 226)

227)

dl

AB .AC=-^-

o

Przykład. Granek drewniany szeroki 1,2 m spoczywa na belkach drewnianych jednym końcem wmurowanych czyli wspornikach, oddalonych jeden od drugiego 1 m (rys. 152). Obliczyć wymiary belek, jeżeli ciężar

własny i obciążenie tłumem ludzi wynoszą 400 fc^/m².

Ponieważ odstęp belek jest 1 m, więc na metr bieżący belki wypada 1 m2 ganku, a zatem 400 kg\m — =4 kg/cm. Największy moment jest, jak wiadomo z §. 14. w B, a mianowicie M— =ęlX\l=%ql², tu więc, ponieważ 1= 1,2, M—\4x 120²=28800 kgcm. Jeżeli więc t=80 kgjcm², to według równ. 219)

......120......Ą

-c

Rys. 152.

... 6 M 6X28880 bli¹—-

= 2160 cm³:

6²=216,

6²=180,

Jako najbardziej odpowiadające równ. 224) wybieramy więc wymiary i = 10 cm, 6 = 15 cm.

a więc:

dla 6 = 10,

„ 6 = 12,

6 = 14,7 cm 6 = 13,4 cm.

§. 61. Obliczenie belek stropu mięszanego.

Jako przykład obliczenia belek drewnianych i blaszanych podajemy obliczenie belek stropu mięszanego (tabl. II).

Niechaj strop mięszany składa się z belek żelaznych B, umieszczonych w odstępach l₂.=4,5 m i belek drewnianych K, spoczywających na belkach żelaznych, umieszczonych w odstępach a<lłn. Eozpiętość belek żelaznych w świetle wynosi lim; ponieważ wmurowanie jest za małe, aby można belki przyjąć jako poziomo wmurowane, więc obliczamy je jako w dwu punktach podparte. Teoretyczne punkty podparcia przyjmujemy 15 cm odległe od krawędzi muru, więc rozpiętość teoretyczna lx = = Z + 0,3 m=ll,3 m. Ciężar własny powały i podłogi wynosi 300 kg/m², obciążenie tłumem ludzi także 300 kg/m\ Ciężar własny belki drewnianej przyjmiemy tymczasowo g{ =40 kg/m, belki żelaznej gi=70+15 l kg/m, dalej dla drzewa t=80 kg/cm², dla żelaza t=1000 kg/cm².

Najprzód musimy obliczyć odstęp a belek drewnianych. Ponieważ przy murze umieszczamy po jednej belce drewnianej, więc jeżeli przyjmiemy n pól, a szerokość belki 6, to l=na + b, a wstawiwszy wartość za Z

10 8

i przyjąwszy tymczasowo 6=0,2 m, ll = na + 0,2, a stąd a=——.

n musi być liczbą całą, zaś a<l m, przyjmujemy więc »=11, a więc 10 8

«=^-j-=0,982 m. Belkę drewnianą K możemy teraz obliczyć według równ. 222) bh²=~- . Pierwej jednak musimy wyznaczyć najw. moment M, który

dla obciążenia jednostajnego zupełnego będzie dla połowy rozpiętości belki według 20) M=\qli², przyczem q jest obciążenie na jednostkę długości. Ponieważ 1 m belki K niesie a m² powały, a obciążenie na m² wynosi 300 + 300=600%, wrięc obciążenie belki drewnianej przy uwzględnieniu ciężaru własnego równa się a . 600 + 40=0,982.600 + 40 kg/m, a więc:

9= ^    292 kgjcm.

otrzymamy 66²=Fe₀ 159266=

Eozpiętość ?₂ wynosi 4,5m=450cm, więc M—\6,292X450²= 159266 kgcm. Wstawmy teraz wartość w równ. 222),

= 11945 cm³, wdęc dla 6=20cm, 6=24,4 cm. Ponieważ stosunek podstawy do wysokości jest stosowny, więc zatrzymujemy jako wymiary belki drewnianej 6=20 cm, 6=25 cm. W przeciwnym razie przyjęlibyśmy 6 większe łub mniejsze, według tego, czy wymiar 6 był za wielki czy za mały.

Znając wymiary, obliczyć możemy ciężar belki drewnianej na m bieżący. Przyjąwszy ciężar gatunkowy drzewa 0,7, wiemy, że ciężar 1 dm3 drzewa jest 0,7 kg, stąd m bieżący belki waży 2.2,5.10.0,7=35 kg, a więc trochę mniej, niżeśmy pierwotnie przyjęli, przez co jednak nie potrzebujemy zmieniać obliczenia belki.

Teraz przystępujemy do obliczenia belki blaszanej. Ciężar powały i obciążenie tłumem ludzi przenosi się na belkę żelazną w punktach E i F. Nazwijmy odnośne siły G i (?', to punkt E dźwiga ał₂ m² powały i li m. b. belki drewnianej, więc G—ali 600 +ł₂ 35, a wstawiwszy wartości 0=0,982.4,5.600 + 4,5.35 = 2808,9 kg=2,8 t.

Siła G', działająca w punkcie F, jest mniejszą, gdyż szerokość paska powały, ciążącego na tym punkcie jest mniejszą, a mianowicie:

^“²-⁸

0,982 + 0,2 2.0,982

Obliczywszy siły działające na belkę blaszaną, wykreślamy wielo-bok sił, przyjmujemy biegun O tak, że odległość biegunowa wedle po-działki sił wynosi 201, kreślimy wielobok sznurowy, zamykającą, wyznaczamy oddziaływania i siły poprzeczne wedle §. 8. Aby wykreślić po-działkę momentów, zastanówmy się, że w rysunku na tabl. II 1 cm w po-działce momentów równa się według podziałki długości 0,5 m, pomnożonemu przez odległość biegunową, więc przez 20 t, a zatem według podziałki momentów 1 cm równa się ^.20=10 tm. Możemy więc wykreślić teraz podziałkę momentów.

Dalej uwzględnić jeszcze musimy ciężar własny belki żelaznej y₂, który możemy przyjąć na lm bieżący 70 + 15 ł, a więc (?₂=70+15.11 = =235 kg/m =0,235 t/m. Moment zatem we środku M,₀—\gi ly ²=| 0,235.11,3²= =8,74 tm. Moment ten wykreślamy według podziałki momentów i kreślimy w znany sposób parabolę, jako linię momentów.

Obliczymy jeszcze moment Mb dla punktu K analitycznie w następny sposób: Oddziaływanie D. równa się połowie wszystkich ciężarów, _2G' + 10G_ 2X1,68 + 10X2,8 _

G' : (7=

: a, a więc G'—G

= 1,68 t.

więc :

15,68 /,

a moment w punkcie K

M₆=15,68x5,16-1,68X4,9—5.2,8x2x0,972 il/₆=80,91—8,23—27,50=45,18 tm.

Podobnie otrzymamy momenty i dla innych punktów dla obciążenia ciężarem powały i tłumem ludzi: do tego musimy jeszcze dodać momenty z ciężaru własnego według wzoru 18) M=\gx(l—x). W ten sposób obliczyliśmy:

dla x=

M'

dla obciążenia ciężą-j rem powały i tłumem = ludzi

M" dla ciężaru własnego belki

tm

tm

Podobną tabliczkę, otrzymamy równań 8) i 18):

Pj

= 17,01

co"

JjbJX)    O    OO

+-ł'ćd    +0

CO CC    OD    O

r.

rP    CD    T-ł ^

8    '“i. 05 tH

^    O lobö'

§

1    2    giss

^    O io CO

cf

• r—I

—-

o>

y.

Teraz możemy przystąpić do obliczenia przekroju belki blaszanej. Przyjmujemy wysokość ścianki, zależną od wysokości, jaką na strop mamy do rozporządzenia, ä,=60 cm, kątówki wedle równania 207) 70 mm

szerokie a 8 mm grube; grubość ścianki byłaby według 216) g=2

17,010 1,000.60 ““

=0,6 cm, zamiast tego przyjmujemy 8 mm. Dalej niech będzie szerokość nakładki według 208) 21 cm, a nity o średnicy 20 mm. Po odciągnięciu dziur będzie więc użyteczna szerokość nakładki &,= 21—2.2,0=17,8 cm.

Uwzględniwszy dziury na nity i osłabienie ścianki o 25°/₀ otrzymamy 7t =* [(14,8-4,0)60³-(12,4-4,0)58,4³—1,6.46^-0,25.0,8.60³],

7, = -jiy (2332800—1673084—155738—43200)=88400 cm*.

Wedle równania 212) mamy w przybliżeniu grubość nakładki

27j

J_    _____1

~Ęh[x ~ i, V ’

=3,54 cm,

więc dla ar=5,16, wstawiwszy wartości w cm i kg, 4 890 000    2 X 38400

17X60X1000    17.60*

a teraz dokładnie według równania 206)

4 890 000    2 X 38400

”17 X 60X1000    17 X 60 (60 + 2 X 3,54)-0,4cW'

Dla or=0 otrzymamy z równania 212):

d, —

Podobnie otrzymamy i dla innych punktów grubości nakładek, a mianowicie będziemy mieli:

2 X 38400

• i7X6Q2 = — 1,26 cm ro 1,3 cm.

d₀    d,    c?2    d%    d^    d₅

—13    —8    +6    +18    +27    +33    +34 mm.

Grubość nakładek w pojedynczych punktach wykreśliliśmy na rysunku i końce rzędnych połączyliśmy prostemi. W ten sposób otrzymaliśmy

teoretyczną grubość nakładek. Według poprzedniego mamy największą grubość tż₆ = 34mm, przyjmujemy więc trzy nakładki, z których pierwsza 12 mm gruba, a dwie górne po 11 mm i wyznaczamy wykreślnie długości nakładek.

Teraz obliczamy jeszcze odstępy nitów, przyjąwszy według 221) jako największy odstęp 6d=6.2,0=12 cm. Obliczamy więc naj-0 przód odstęp nitów poziomych dla 0,25 > x >0. ⁰ «O Ponieważ tu średnica nitu d' jest 2 razy więk-Î sza od grubości kątówki, więc musimy liczyć

d'g t₂ 7

•-5*

tar?

0201 r................

<po>

. Wstawiamy

Rys. 153.

według równania 219) a =

tedy wartości t₂ = 1400 kgjcm², 7=7,, bo tu niema % żadnej nakładki, d'—1,6, Q=17,011 — 17010 kg, S=( 14,8.0,8) 29,6 + 2,4.3, L. 27,7=556,55 (rys. 153), 2X0,8X1400X38400 17010X556,55

więc

=9,00 cm.

Gdybyśmy użyli wzoru 217), otrzymał i by śnij':

=15,200,

n 600.2².38400 2.17010.55b,65 zatrzymujemy więc wynik pierwszy mniejszy.

Dla długości od #=0,25 m do początku pierwszej nakładki otrzymamy: 2X0,8X1400X38400 ° '    15270X666,65    ’ '

Od początku pierwszej nakładki do #=1,23 m mamy:

1=/, ₊-^21(62,4³-60³)=38400+47198=85698 <5= 556,55 + 21X1,2X30,6=1327,7, więc:

2 X 0,8X1400 X 85598

15270X1327,7    ~ ’ em’

Dla długości od #=1,23 m do początku drugiej nakładki mamy: 2X0,8X1400X85518 „

°° l^oxm-iT.T

Podobnie otrzymamy dla długości od początku drugiej nakładki do #=2,21 w, a = ll,8cw:

| 2 nakładki, a = 15,l c/n, ^3 nakładki, o=21,6c/h, 3 nakładki, a=31,4c/w, 3 nakładki, a=33,2 cm,

zamiast tego jednak przyjmujemy a=22 cm.

Odstępy a nitów stosować się muszą ze względów konstrukcyjnych także do długości pól, która musi być wielokrotną długości a, przyczem jednak a nie może być większem od wartości obliczonej.

§. 62. Natężenia zginające po przekroczeniu granicy sprężystości.

Wiemy z §. 37, że wzór 141) vI=Mv ważnym jest tylko do granicy sprężystości.

Gdy obciążenie wzrasta i granica sprężystości zostanie przekroczoną, wzór ten nie jest już ważnym, zwykle jednak w braku innego, obliczamy natężenie wedle niego. Rozumie się jednak, że tak obliczone natężenia różnią się od rzeczywistych. Jeżeli ciało obciążamy aż do złamania i obliczamy z wzoru natężenie w tej chwili powstające, to otrzymamy spółczynnik wytrzymałości na złamanie. Przy zginaniu występują jednak natężenia na ciśnienie i ciągnienie, belka łamie się w ten sposób, że albo ciągnione włókna się przerywają albo ciśnione zgniatają. Gdyby wzór 141) był ważnym aż do złamania, toby musiał spółczynnik wytrzymałości [i₂ na złamanie być równy mniejszemu ze spółczynników wytrzymałości na ciągnienie lub ciśnienie Ponieważ jednak wzór ten nie jest ważnym

do złamania, więc okazuje się, że dla fi₂ otrzymujemy inną wartość.

Doświadczenia okazały np. że dla belek drewnianych o przekroju prostokątnym spółczynnik wytrzymałości na złamanie fi₂ ma jDrzeciętnie następne wartości :

fi₂ w kg/cm2 410 430

drzewo jodłowe

świerkowe modrzewiowe 540

r>

600

dębowe bukowe

Jeżeli te wartości porównamy z wartościami dla g i /t, w §. 18, to okazuje się, że dla drzewa fi.₂ ma wartość średnią między fi a fi₂, a w przybliżeniu fi₂=0,6o fi.

Dla stali otrzymał Bauschinger następne wyniki : spółcz. wytrzymałości

r>

700

zawartość węgla

w %

0,14 0,19 0,46 0,55 0,66 0,80 0,96

Dla żelaza lanego wyprowadza Bach z doświadczeń następne prawidła :

Spółczynnik wytrzymałości na zginanie przewyższa spółczynnik wytrzymałości na ciągnienie tem bardziej, im bardziej skupiony jest materyał około osi obojętnej. Bach wyraża tę względność następnem równaniem:

na

na

ciągnienie a złamanie [a2 kgjem²

kg jem

P-

4430    > 7920

4785

5330

5656

6295

7230

8305

fl₂ = C

>8600

>1,78 > 1,79

8340

8825

8600

7645

8480

1.56

1.58

1.36

1.06

1.02

. . 228)

przyczem spółczynnik c leży między ⁶/₅ a ⁴/₃, e i e₀ oznaczają odstępy skrajnego włókna ciągnionego od osi obojętnej i od środka ciężkości ciągnionej przekroju.

I tak gdy w pewnym wypadku było fi = 1369 kgIcm², otrzymał on :

aj dla przekroju kwadratowego, którego przekątnia leży w płaszczyźnie obciążenia .... dla przekroju H,    .    .

okrągłego

kwadratowego .    . 2572 „ 2238 1,77

.    . 1979 „ 2111 1,49

r>

j.

kg jem

.    . 8218 do 3323 2,44

. . 2929 „ 3153 2,22 . 2905 „ 2986 2,16

Considère otrzymał stosunek ~

dla żelaza lanego miękkiego twardego (g = 1130) (fi = 2230)

.    1,40

prostokątnego 1,82 okrągłego .    2,21

Widzimy z poprzedniego, że natężenia zginające po przekroczeniu granicy sprężystości są różne dla różnych materya-łów, a przyczyną tego są rozmaite kształty linii odkształceń dla rozmaitych materyałów. Zastanawiać się więc teraz będziemy osobno nad belkami drewnianemi, osobno nad źelaznemi.

dla przekroju I.

1.15

11

1.57

1,84

§. 63. Natężenia przy złamaniu belek drewnianych.

Jeżeli belkę drewnianą o przekroju prostokątnym obciążymy aż do złamania, to z powodu, że granica sprężystości dla

ciągnienia leży bardzo blisko spółczynnika wytrzymałości, natężenia na ciągnienie o' (rys. 154) będą proporcyonalne do odstępów v' od osi obojętnej, dadzą się więc przedstawić prostą 0o. Inaczej rzecz się jednak będzie miała z natężeniami na ciśnienie. Otrzymamy tam prostą O a do granicy sprężystości i krzywą, zamiast której możemy przyjąć prostą ab. Dla tego założenia jest dla ciśnionej

t........r

v

y w ^ o

A "i

im

6' v

mom

.....&da

:(5-vcl=

c'

Eys. 154.

części przekroju aż do granicy sprężystości:

a poza tą granicą :

a, = a[v₀ + a, (v—v₀)]=av₀(l—«i ) + oaiv

tO to

oi=oQ (l—a^ + a^v.....29)

Dla części ciągnionej jest o' — av'.....30)

ffSp(e-»,)=o

a₀

Suma natężeń dodatnich i ujemnych musi być równą zeru, więc gdy szerokość belki b jest stałą v' e'

—-s- +

a stąd:

.    .    231)

(e—v,)    .    .

e=^v« +

Jeżeli przypuścimy, że równocześnie przerywają się włókna ciągnione i zgniatają ciśnione, to możemy napisać ze względu na to, że dla drzewa szpilkowego spółczynnik wytrzymałości ‘ na ciągnienie jest dwa razy tak wielki, jak na ciśnienie¹),

v'

dalej

Wstawmy dalej :

e = h—e' i vQ= — a

1    13

jfi', zatem e'=-^v₀A~^(e-v₀).

to:

a' v’ 4    ’

1    3 /₇

e' = jg e' -Ą -1 h— e'

a stąd :

e' = 0 A h

.    .    232)

Oś obojętna leży więc w chwili złamania poniżej osi belki w odległości 0,1 h.

Moment sił zewnętrznych M musi być równy momentowi sił wewnętrznych, więc gdy nazwiemy natężenie przy złamaniu, obliczone z wzoru 141), to :

bKl An'e'² o'o^o²    \(

-g- ^2    ~~ V[) / V3 +

M=

2(T₀+^ e—v₀j|

Po wstawieniu powyższych wartości za v, a₀, v₀, e' otrzy

mamy :

h² ₂    = ^'e'² + ^^'e/2+

^²^²⁼⁼64

zatem :

= g- /i' h ^0,1 h-\-^h^ =0,725/P Ä2 ^2=0,725^' .

.    .    233)

W poprzednim paragrafie widzieliśmy, że doświadczenia okazały, że ^₂=0,65^, wynik więc doświadczeń jest bardzo zbliżony do teoretycznego i teraz poznajemy prawdziwą przyczynę tego zjawiska.

¹

Porów. §. 18.

§. 64. Natężenie przy złamaniu belek z żelaza spawalnego, zlewnego i stali.

Podobnie jak z belkami drewnianemi ma się rzecz także z belkami z żelaza spawalnego, zlewnego i stali. Tu jednak odpowiednio do kształtu krzywej odkształceń, wykazanego w §. 20., linia natężeń będzie dla ciągnienia jak i ciśnienia krzywą, zamiast czego możemy podobnie jak dla drzewa przyjąć dwie proste, (rys. 155), więc dla ciągnienia Oai i ax c,, dla ciśnienia Orf, i rf, ó,. Linie Oa, i Orf, spadają w tej fazie obciążenia prawie z osią, możemy więc napisać :

.    .    234)

o' = <7₀/ + a' v' a =<7₀ -f av

“"”o1-----

-—? ? |<.......

^

------------

<s0

I.

o⁵*

*.....<2.....*

<3

'(5

Rys. 155.

o dF—

Dla równowagi musi być suma natężeń równa zeru, więc fe'

\ o' dF— 0, a wstawiwszy wartość za o i o', otrzymamy :

v'dF= 0.

dF—a'

°°idF+aivdF-°'°i

Nazwijmy ^ dF=Fx powierzchnię części przekroju poniżej osi obojętnej, ^ vdF=Sx moment statyczny tej powierzchni

ze względu na oś obojętną, względnie ^

dF=F₂ i Çv'dF= S₂

"Wstawmy wartość za a z równ. 232), to:

O Oq ,, V (7q

a=-- albo --, więc

V    6

M F,-F₂)+^=^(S,-c8₂)=0. .    .    .    237)

Wedle doświadczeń Considère’a¹) można przyj ąć w po-przedniem równaniu dla stali miękkiej, o₀ =3000 kg/cm², c=3. Dla żelaza spawalnego możemy przyjąć a₀ =2000 kg/cm², c nie znamy z doświadczeń, w braku ich moglibyśmy tymczasowo przyjąć także c = 3.

Jeżeli kształt przekroju jest dany, to możemy Z¹,, F₂, Sl i S₂ wyrazić jako funkcye oddalenia osi obojętnej od osi ciężkości i na podstawie rów. 237) wyznaczyć v.

Drugi warunek równowagi brzmi :

=r o v dF= r

JO    Jo

o' v' dF.

Wstawiwszy wartość za o i o' z 232), otrzymamy:

•c'

v²dF.

M=o₀ vdF+a ^ v²dF-\-o'^ v'dF-\-a' (j

Nazwijmy moment bezwładności powierzchni przekroju poniżej osi obojętnej ze względu na oś obojętną J1} powierzchni zaś powyżej osi obojętnej Z₂, to możemy napisać:

M=o₀ S{+a    S₂-\-a' ï2: albo:

M= (7₀ (S\ + S₂) + ci (Zj + c Z₂)

wreszcie :

powierzchnię i moment statyczny części przekroju poniżej osi oboj ętnej, to :

.    .    235)

<7₀ Fx + a Si — o'o F₂ — a' S₂ =0.

Dla żelaza zlewnego i stali możemy w przybliżeniu przyjąć o₀=¹<Jq‘ i a = ca', więc:

<r₀ {Fx — JF₂) + a(5'₁-c>S'₂) = 0..... 236)

M-.dofSi+SjJ+^a. + cI,). .    .    .    238)

Jeżeli zastosujemy ten wzór do prób wytrzymałości na złamanie, to wstawimy v—fi. Spółczynnik wytrzymałości na złamanie w zwykłem rozumieniu będzie:

Me

Z rów. 238) otrzymamy dla fi = v

Me==(fi—aj) (7, -f c/₂) + a₀ e(Si + S₁), zatem : fh ₌ I\ +c/₂) (Tę gffi+Ą) — (ii +c/₂) li I li    I

Widzimy więc, że spółczynnik zwiększający (fr.

.    .    239)

coefficient de majoration) k=^- zależny jest od kształtu przekroju, bo jest tern większym,-im większe jest

Zastosujmy wzory powyższe do przekrojów prostokątnego i okrągłego.

Dla prostokąta mamy    j (rys. 156)

a więc Fi—F₂=2bv₀,

to a*

! A'

TT

JL

.ii?-.

(2 +v°) ⁼y(t+äv° + v°²)

-(1“^)²⁼⁼4(t“äv°⁺^²)

tO, Sr- tO O-

r%-’i

⁼¥(_¥+4to»“²¹’⁰²)'

Rys. 156.

więc ą — SS₂

Wstawiwszy to w równ. 237), otrzy-

albo :

mamy : li—aü

Y + 4Äv₀-2v₍₎²j=⁰₁

2n₀ bv₀ + - h

.    .    240)

Wstawmy n. p. dla stali a₀=3000, tx=7000 kg/cm², to otrzymamy

6000 t,°⁼⁼ÂT^(^_4/,r°+2î;2)‘

r₀—0,09/i.

Stąd otrzymamy:

Obliczmy teraz M wedle wzoru 238), a otrzymamy :

S, + Ą=6 (£ + »*)■=& (£+0,0081*»)

Ą + Ą =0,2581 Wi²

/, + cJ,= -t [(---.y)’ +c(* +.■,)’]= “‘(0,205 + 3 x0,0689)=0,187 W.Î więc M = 3000.0,2581 bh- +

4000

0,59 /i

M=b /i-* (774,3 + 930)=1704 bh'¹.

0,137 bh³

Moment obliczony wedle zwykłego wzoru jest:

7000=1167 bh\

. M 1704

Zatem: ^ ⁼ ÎÏ6Ï⁼¹>⁴⁶-

Dla koła otrzymamy (rys. 157) : T7 . d}n

/V

F[ —    —\-dvo, i^₂

«ac-V-

/>;

Rys. 157.

2^0,4-^—'— ( 2~ + t'°

albo :

2 (7₀ v₀ =

Jl~°L

d + 2v₀

Si

d'¹ n

Oo +0,21<ź) + —^ (0,21—v₀)— ~o~

stąd Fi—F₂=2dv₍₎

d²Ji

s-zs₂

(4v₀ —O,42d)—2dv₀ ², Z równ. 237) otrzymamy : (4v₀— 0,42 d)-2dv₀ ²j=0,

(4V-^(4f₀-O,42d)). .

.    241)

Wstawmy znów dla stali ct₀=3000, [J.—7000    to otrzymamy:

(4 v* ~~dĄ (4 vo — °;⁴² «*)) i’₀=O,OS d.

4000

d -f 2 r₀

GOOO v₀ =

a stąd otrzymamy:

Obliczamy teraz wedle wzoru 236), a otrzymamy:

Si + st=~(v„ + 0,21 <*> + £! + ^(0,21 i- „₀) + ^=0,164 #

I, =0,00686    (0,2122 d+r₀)> +4*0³

/) =0,00686 d⁴ + 0,03353 <2⁴ + 0,000171 d⁴=0,04056 d*,

d‘²r    1

/₂- 0,00686 cZ⁴ + ~(0,2122d-0,08tf)²—-

/₂ =0,00686 dK + 0,00686 tf⁴—0,000171 rf⁴=0,01355 rf⁴,

Ą + c I₂ -(0,04056 + 3.0,01355) d⁴=0,0812 d\

więc :

4000

M=3000, 0,164 d³ +    0,0812 ⁴=(492 + 560) rf²

M=1052d³.

Moment obliczony Avedle zwykłego wzoru jest: t ci^

M°⁼ &T ■ ⁷⁰⁰⁰⁼⁰>⁰⁹⁸² •⁷⁰⁰⁰ d³=687,4d\

zatem :

M _ 1053 itf₀ ~ 687,4

= 1,53.

A zatem dla koła, przy którem materyał jest więcej skupionym, niż dla prostokąta, otrzymujemy —, a zatem k=^²

Mq    fi

większe, niż dla prostokąta. Powyższy wynik stwierdziły też doświadczenia z żelazem łanem, przytoczone w §. 62.

Spółczynnik k zależny jest wedle równ. 239) także od spółczynników a₀, fi, c, zmienia się więc z jakością materyału. Doświadczenia Bauschingera, przytoczone w §. 62. wykazują, że spółczynnik k jest tern większy, im stal jest miększa.

§. 65. Natężenia zginające w belkach z żelaza lanego, kamienia i betonu. Prawo Bacha.

Już na str. 42 stwierdziliśmy, że dla żelaza lanego niema właściwie żadnej granicy sprężystości, a z rys. 41 widać, że linia odkształceń dla żelaza lanego nie jest wcale prostą, lecz krzywą. Podobnie rzecz się ma z kamieniem, betonem, cementem a w mniejszym nieco stopniu i z drzewem (rys. 42). Otóż prawo Ho oka (str. 36, r. 29) ściśle rzecz biorąc do tych ma-teryłów właściwie się nie stosuje. Pomimo tego obliczamy belki z tych materyałów wedle zwykłych wzorów i otrzymujemy dziwny wynik, że wytrzymałość na złamanie jest znacznie większą, niż wytrzymałość na ciągnienie. 0 drzewie mówiliśmy już w §. 63 teraz będziemy mówić o innych, powyżej przytoczonych materyałach.

Prof. Bach wyznaczył na podstawie doświadczeń równanie krzywej odkształceń w ogólnym kształcie:

vm

- = 05 vm.

które przechodzi w równanie Ho oka (r. 29) dla m — 1. "Wartość spółczynnika m, rozmaita dla różnych materyałów, nie wiele się różni od jedności; podajemy ją w następnej tabliczce:

Ciągnienie

Materyał 1) żelazo lane : przedtem nie obciążone . obciążone przedtem silnie

Ciśnienie

kgjcm-

kg jem

.    1338000 1,083 1180000 1,052

1150000 1,1    1170000 1,05

2) cementowa zaprawa: 1 cz. cementu 1¹/₂ cz. piasku

1 »

1 »

5»

3¹/. » 47₂ „

356000 1,11 315000 1,15 230000 1.17

Materyał

3) beton :

1 cz. cementu 2!/₂ cz. piasku 5cz. żwiru 1 »

1 „

1 *

1 »

1 »

Ciągnienie

E

kg I cmi¹ m

Ciśnienie

kgjcm

298000 1,145 280000 1,137 217000 1,157 457000 1,157 380000 1,164 367000 1,207

Przyjmujemy tutaj także, jak w §. 37, że przekroje po ugięciu belki pozostają płaskimi, że więc przekrój GH przejdzie

11

ii

ii

r>

2 11

ii

ii

ii

ii

h< j. _

? i

'T?—f~o

X..........

l r-

j. y

'<o

X.

ti

ij

Q—Jr—

■cff

v

Rys. 158.

w położenie JK (rys. 158«) czyli obróci się około osi obojętnej o kąt JOG. Widzimy więc, że przedłużenia i skrócenia włókien będą proporcyonalne do odległości icli od osi obojętnej, zatem

1

— a vm, przyczem a =    ■.

dl

vm

Spółczynnik a nazwaliśmy za Bachem spółczynni-kiem wydłużenia (n. Dehnungscoeffizient, fr. coefficient d’allongement, a. coefficient of extension, r. Koe^HrdeHn ge-<J)opMan,in).

Z rysunku wynika wtedy :

dl

t⁼⁷⁼⁼⁷%

dl' _

v'

.    .    242)

⁷%\

W ogólności jest spółczynnik sprężystości dla ciągnienia różny, więc:

Statyka.

.    .    243)

14

a stąd:

a z rysunku wynika:

.    .    244)

7i _ h\

.    .    245)

zatem :

ml i v

= v'\~h

i analogicznie

v' = v₂

mi I y f

\£

.    .    246)

Jeżeli złożymy ciśnienie w wypadkową D a ciągnienie w wypadkową Z, to dla równowagi :

D=Z 1 i Dd-\-Zz=M)‘

Otóż mamy dla szerokości 6=1 cm

kdv=v'

z>=

vdv=vi

rv

1 Ä

V*

-+i K

Z)

mj 1 mj

=ViWt\

«1+¹

m,

mj + 1 m₂ +1

±-vxh,. .    .    247)

Podobnie otrzymamy:

-S

v* dv=

m₂

Dd =

vvdv=vi

a stąd:

.    .    248)

h₂ •    .

?w₂+ 1 ~vdv =

ïsliv,dv=

LT

dv—v ₂

m₂

2m₂ + l

m₂

m₂-rl

m.

m₂

V .    249)

.    250)

2?w₂ + 1 v% h^—M .    .    251)

.    .    252)

Z równ. 244) i 245) wynika:

ai vmii ₌₌y± ₌ h

«2^*2 "

72

hn‘ '

.    .    253)

Jeżeli znamy m₂, oq i a₂, to z czterech równań 251), 252), 253) i 254) dadzą się obliczyć cztery nieznajome hu h2l V\ i v₂.

Geusen przyjmuje pewne skrócenie w obliczeniu. W ma-teryałach, o których tu mowa, jest spółczynnik wytrzymałości na ciągnienie fi' < fi spółczynnika wytrzymałości na ciśnienie.

Jeżeli przyjmiemy n-tą pewność, to — — jest natężenie do-

Yt

puszczalne na ciągnienie.

Zróbmy w 252) %' =*v₂, to

m.₂

Nazwijmy

m₂ + 1 m

m₁ +1

m₂

m₂ + l

ia

to

K

256)

Z równ. 252) mamy v₂ h₂

<P

Równ. 251) możemy więc napisać: h, m

vx hi (

_____

2 m₂ +1 (p )

m₂

M,

h₂

(pr'h₂ {h,

^____mi_\

2^ (p 2m₂ + l) a że    —h₂, więc z tych dwu równań możemy obliczyć h₂.

Spółczynniki m podane powyżej nie są zupełnie dokładne i zmieniają się wedle jakości materyału. Przyjmiemy w przybliżeniu z Bachem dla żelaza lanego m₁==l,04, m₂ = l,10, to

albo

M .    .    257)

1.10 2,04

cp =

1,04 2,10

-4-^= 1.027

1.04

2 wij +1    3,08

= 0,3377,

1 ra₂

1 1.10

cp 2 m₂ +1    1,027 3,20

=0,3346.

Dla granitu jest mx = 1,12, m₂ = 1,40 1,40 2,12 1.12'2.40

__ 35

2    +1    3,24 U,d *

1    1,40

cp 2 m₂ +1    1,10 3,80

Z tego widzimy, że w przybliżeniu dla obu materyałów :

1 m₂

2m, +1 cp 2 m ₂-\-l    3’

(p =

1,10,

1 m₂

=0.34.

mx

.    .    258)

Jeżeli to wstawimy w rown. 257), to

WxJll (h -f k₂) = M, zatem o

3M

Mamy zatem z 256) :

hhi

Dla złamania możemy wstawić fi' zamiast z', więc

_    3 M

^2 — Ti '

<p fi' h

3 M a (pli¹

Nazwijmy h₂ = ah, to (.i'=

A²

W==~Q1 wi(2 C:

cc>

a że dla szerokości 1 cm

. . 261)

,__1 M ,U~'2a(p W '    '

Ponieważ acp jest dla granitu i żelaza lanego prawie równe jednostce, więc:

"“i

. . 262)

Rzeczywista wytrzymałość na ciągnienie żelaza lanego i granitu, jest więc prawie równa połowie wytrzymałości, otrzymanej z doświadczeń na złamanie, a obliczonej zwykłym sposobem wedle hypotezy Naviera (proporcyonalność wydłużeń i natężeń), co zgadza się z doświadczeniem. Dla betonu znalazł Carling²) ten stosunek 2,2.

§. 66. Natężenie w belkach, gdy siły nie działają w płaszczyźnie

osi głównych.

Przypuśćmy, że obciążenie belki działa w płaszczyźnie ZZ, a osie główne przekroju (rys. 159) ² są XX i YY. Moment sił zewnętrznych ze względu na ten przekrój niech będzie M, to moment ten rozłożyć możemy na dwa momenty składowe, działające w płaszczyznach XX i YY, mianowicie:

M wst a działający w płaszczyźnie prostopadłej do YY i Mdosta

Jeżeli nazwiemy I moment bezwładności ze względu na oś XX, ze względu na oś YY, to momenty powyższe wywołują natężenia dla dowolnego punktu przekroju L

Mwstax

M dost a y

a zatem

„,/wdost a zwsta v=vi + v₂=’M\~—-

rst a\

h /

. . 268)

Dla punktu jest x ujemne. Widzimy więc, że w ćwiartkach, przez które przechodzi prosta 2Z, x i y mają te same

znaki, w dwóch innych zaś odwrotne.

Jeżeli chcemy wyznaczyć położenie osi obojętnej, to zróbmy w równ. 263) v=0, więc y dost a , æwsta

z:

ky

V\S’

àyjt*//

= 0.

7'*,

*■». '

Rys. 1B9.

UTJ^=y, OUx = —x, więc stgo niu wartości z 266) :

Jest to równanie osi obojętnej, które da się napisać też :

y = —\rX st a.

, ¹ .

Jest to równanie linii prostej, zatem oś obojętna jest linią prostą i jDrzechodzi przez środek ciężkości O, bo dla x—0, y=0.

Niech prosta NN będzie osią obojętną. Dla punktu jej U jest Z7Z7,

.    264)

OUx

y

—--, albo po wstawię-

CC

stęp— -j- st a

265)

A więc położenie osi obojętnej niezależne jest od wielkości obciążenia ani.momentu, lecz tylko od przekroju i położenia

płaszczyzny obciążenia.

Jeżeli mamy wykreśloną elipsę bezwładności, to równanie jej wedle 164) jest: -^ +

V i²

2 z, dxi

2 dyx

«i²

stąd:

„    , dy.

0, zatem :    =

a² ’

dx j

xi o,²

y i «i

2-

Jeżeli zastosujemy to równanie do punktu D, to

a²

—Ij st a

stß

Fa²

eto, «/j öj²

2 st a =

~-sta = st gp,

a stąd :

. 266)

A zatem oś obojętna jest osią sprzężoną osi ZZ, w której działają siły.

ß=<P'

Natężenia v są, jak wiadomo, proporcyonalne do odstępu od osi obojętnej, więc największe natężenia są w E i F, które to punkty otrzymamy, poprowadziwszy styczne do obwodu przekroju, równoległe do osi obojętnej.

Z równ. 263) wynikają dla punktu F wartości x=x', y=yr

M wst a. x'

Mdosta.y'

.    .    267)

najw v

Dla przekroi symetrycznych, których obwód jest prostokątny, więc prostokąta (rys. 160), kształtówki I, U największe

natężenie jest w rogu A, tu więc :

Ii

f*y

y'

h ,    b

= e=~2’ X‘ 6l==Y’

<X !

Wn.

zatem z równ. 267) :

M dost CL 6

najw v= J

N.

f*-......

16

M wst a

albo gdy nazwiemy:

Mdosta=Mu Jfwsta = Jf2r

Ä_ w

e, ~ ^

■*j

najw v=

M₂

W,

W₂

268)

Jeżeli chcemy obliczyć przekrój dla danego M, to

Bys. 160.

zrobimy najw v = z. Nazwijmy dalej:

.    .    269)

Wi = cW₂ .

to :

4 .315

c M₂

W,

a stąd :

3It +cM₂

.    .    270)

- 215 —

Jeżeli dla danego przekroju znamy c, to dla danego momentu możemy z 270) obliczyć wprost moment oporu, a stąd liczbę kształtowki lub wymiary prostokąta.

bh²

hb²

^=-6-_ bh²    6 h

C=='6"‘^Ä⁼⁼ b '    '

więc :

Dla prostokąta Wi=^

.    .    271)

AVartosci c dla kształtówek I i U podajemy w następnych tabliczkach.

Kształtowki I (norm. austr.).

liczba

1.

1.

1.

1.

oo o ca co

HHHH

15

6,59

21

x r.

18a

20

6,71

6,94

4,66

22

22a

23

24

CD iO CO CO O CD^X^OS^ C—" Ł'-" Iß" t'-' "

24a

25

26

28

28a

CO lO rH CJ CC Ca O OJ CO CD

co" oo" oo" oo" co"

30

32

35

40

45

totctccnca

Vi'^'o'bo'oi

O ot a o

Kształtowki U (norm, austr.).

liczba

1.

1.

1.

1.

CD 00 O

Hji "'t —^05^

co" co" rjT

CO

CD

ca co ^

rH rH rH

Ol ot ot

-a'■‘-‘O O 03 03

CD CD O

T—I rH 04

_C3 J33^35

“-aVo

I— -<I hp-

ca ^ cc ca ca ca

'bt'to'o

HCOI

x o ca co

'cc Va CD #*■

Kształtowki I (norm. niem.).

liczba

1.

1.

1.

1.

CD CD

MMMMM

^ CO to H o

•vî -O    -*0 OT* C7)

lO CD O CO 33 O H H H H -H H CM (M

co ca ci o O co t—i oo 05 o i-i ca ca co I>" i>" co" co" co" x" x"

to to to to to to to

00    05 o< CD to

rj) o O 'Tjł ca CD rH

CO lO >OlD O I> 05_

oo" co" oo" oo" oo" co" oo"

os o ca 'ji cd oo ca co co co co co

Cłt^COOCOO-ro^o^ca^io^ OO"CiCi cjTCi Ci

o¹ c *1 oi to o

00 ^ H CO co os" os" c" o" o" o"

rH rH t—I l—i

Kształtowki I szerokostopowe (Differdinger).

liczba

1.

1.

1.

1.

tO fcO tO tO K> t-“ 05 ot ^ to o cc

bd td bd bd bd bd

03 X X 03 00 03 ~03 "co 'o3 ~03 lo lo

-a ~a -a tfn co x

pqpqpqptpq o x 05 o ca ca ca ca co co

tO CD O O 05 CO CO rf CD no

co" co" co" co" co"

^ ^ 03 03 03 Ot tO O CO 03 ^

tds^ td bd bd td

td

*2

-.1 05 05 ot ot £>-

o ot o ot o _ bd bd bd bd bdï3"

IO lO CD t> O- CC

05

h-l

OCCDOOCOrl

o ot o ot o ot W td W bd W bd

05 O rH r—t ca CO rH rH rH rH t-H

— 216 -

Kształtówki U (norm. niem.).

•s

o

Ci

Ci

i-

Ci

CO^iO o

05 1—1 CM O UO CO 00 lO

i-T cm~ cm" co*⁻

co

O CM

rH rH

CO ^ co

T-^CO^ -rri io

^ ~ CO

r—I t-H tH

05 05 pr

VTc» 00

CStOOi

CM CM CM

05 CO

o

o” L'-*' U-"'

co o

CM CM CO

Przykład. 1. W punkcie C leży na krokwi nachylonej do poziomu pod kątem a—34° (rys. 161) płatew drewniana. Odstęp więzarów wynosi 7 m, ciężar pionowy na w² dachu pochyłego 120 kg, odstęp płatwi 1 m.

Eys. 161.

Wyznaczyć wymiary płatwi dla t=80 kg/cm-. Siła działająca na m. b. krokwi jest q—120 kg/m, więc moment największy

0,12.7²=0,735 tm =73500 kgcm,

kąt a=34n, więc Mx = Hfdost34°=73500x0,829 = 60931 kgcm M^ — Mwst 34°=735000X0,559 = 41088 kgcm.

Przyjmijmy — =2, to c=2, więc wedle 270): bh² _ Ml + 2Mi _ 60931 + 2 ■ 41088

sn

80

6.143107

= 10733, a że y=2, więc A?=20766, /i=27,5. Przyjmijmy więc 5 = 14 cm, h—28 cm.

Zbadajmy teraz w celu próby, jakie jest natężenie największe w przekroju. Wedle równ. 268) otrzymamy natężenie w punkcie D (rys. 162). 60931.14 [ 41088.7

^ 14.28³    ^28.14*

zatem mniejsze, niż 80 leg jem², bośmy wymiary zaokrąglili w górę.

bh*=*

80

=77,47 kg jem'¹ :

2. Obliczyć płatew z kształtówki J, położonej na krokwi, nachylonej pod kątem a, przyczem st a=0,6. Długość płatwi niech będzie 6 m, ciężar jednostajnie rozdzielony na całą długość 1,560 ł, więc moment największy

.M=-g-1,550. 6 = 1,1625 tm —116250 kgcm.

Wedle 270) jest Wx =

Mx + c M

rv

•-Ki

■\.r\

Mamy dalej :

st «=0,6, log st «=9,77815, a=30°57'50" log M=5,06540 Zoł<7 dost a=9,93323 log wst a=9,71139 log Mx =4,99863 log Mx = 99685

log JM=5,06540

log Mi=4,77679 log M₂ = 59912

Przyjmijmy t=800 %/cm², a tymczasowo c=8, to:

99685 + 8.59812

M-

■f

Eys. 162.

Wx =

99685 + 8,86.59812

= 722,73 cm³.

Z tabl. w §. 54 znajdujemy dla kształtówki 1. 30, Wx =733,5 cm³.

Przeliczmy teraz dokładniej. Dla 1. 30 jest dokładnie c=8,60, więc yi=99685₊₈8jft59812=709cm,

A zatem kształtówka 1. 30 jest za mała. Przyj ąwszy 1. 32, otrzymamy c=8,85, więc:

=787 cm³,

800

800

a że dla 1. 32 jest 1F, = 873,8 cm², wńęc kształtówka 1. 32 jest wj^star-czająca.

Ale szerokostopowa kształtówka 1. 28a jest także wystarczającą, bo IF, =734,2, a c=6,63, więc potrzebne:

=620,3 cm³,

Wx =

99685 + 6,63x59812

800 a zatem kształtówka ta jest aż nadto silną. Ponieważ kształtówka ta waży 61,94 lcg\m a 1. 32 69,85 7c<?/m, więc korzystniejszą jest kształtówka 1. 28 a.

§. 67. Dźwigary drewniane złożone.

Jeżeli obciążenie jest tak wielkie, że wytrzymałość jednej belki drewnianej o zwykłych wymiarach nie wystarcza, wtedy kładziemy kilka belek jedna na drugiej (rys. 163 a).

Łatwo zrozumiemy, że belki te położone jedne na drugiej uniosą sumę ciężarów, któreby uniosła każda belka z osobna.

Jeżeli na belkę AB, podpartą w dwu punktach, działają siły, wtedy każda belka z osobna się ugnie tak, że przekroje, znajdujące się przed ugięciem w linii C, przesuną się po ugięciu (rys. 163 b). Jeżeli przesunięciu temu przeszkodzimy przez to, że wytniemy w belkach zęby (n. Zahn, fr. dent, an. tooth, r. 3yôrh) albo wetkniemy kliny, zaporki (n. Dübel, fr. la clef d* assemblage, an. key, r. KJinHb) w odpowiednie wycięcia, wtedy belki wszystkie razem wygną się, jak gdyby były jedną belką (rys. 163c). Belki takie nazywamy dźwigarami złożonymi

(n. zusammengesetzter, gekuppelter Balken, fr. poutre composé, a. built beam, r. cnoiKHaa Bajraa). Jeżeli ~ zważymy, że M jest w prostym B stosunku do bh², (równ. 222), to w pierwszym wypadku, gdy kilka belek o wysokościach A,, h₇, hs. . . położymy jedną na drugiej bez połączenia, belki stawią opór momentowi Mi, a przytem:

¹

P. Ann. des ponts et chaussés 1885, str. 574 i nast.

²

Por. Zeitschr. des österr. Ing. Arch. Ver. 1897 str. 11.

li % %

M, iJf-tV+V+V): V»

Rys. 163.

^ jeżeli M oznacza moment, odno-'ÏZ * szący się do belki o wysokości hr B Jeżeli te belki połączymy klinami, wtedy w przybliżeniu:

M2 : M — {h\ h₂ Aj ) ^ : hj ^, więc M₂ jest o wiele większe od Mx, a dźwigary złożone mogą o wiele więcej unieść, niż belki jedna na drugiej położone bez połączenia.

Ponieważ jednak połączenie dźwigarów nie może być w praktyce tak dokładnem, aby dźwigary tworzyły jedną belkę, bo już ściśliwość drzewa i wżeranie się między włókna drzewa czelnego sprawia nadzwyczaj małe przesunięcie poziome, więc, aby uwzględnić zmniejszoną przez to wytrzymałość dźwigara złożonego, należy przyjąć mniejsze natężenie dopuszczalne, o czem poniżej mówić będziemy szczegółowo.

Połączyć belki możemy przez zazębienie albo zaklinowanie. Rozróżniamy więc dźwigary złożone zazębione (n. verzahnter Balken, fr. poutre à crémaillères, an. indented beam (rys. 163 c) lub klinowane (n. verdübelter Balken, fr. la poutre à crémaillères, an. built beam wlth keys) (rys. 164). Jeżeli od-

Rys. 164.

stęp belek dźwigam jest znaczny, nazywamy dźwigary klockowymi (n. Klötzelträger) (rys. 165).

Często wyginają dźwigary zazębione przy wycinaniu zębów w górę, aby powiększyć wytrzymałość. Wskutek sztucznego wygięcia bowiem powstaje w górnych włóknach ciągnienie,

a w dolnych ciśnienie, wskutek zaś obciążenia przeciwnie w dolnych

-] włóknach ciągnienie, a w górnych

ciśnienie, a stąd natężenie jest mniej-szem, niż w belkach pierwotnie prostych; tego jednak w obliczeniach nie uwzględniamy.

Przy dźwigarach zazębionych być zęby bardzo dokładnie wycięte, aby zęby jednej

rys. 165.

ca;

i—t

tV-TT TT

muszą

belki wypełniały zupełnie wycięcia drugiej belki, gdyż inaczej możliwem jest małe przesunięcie belek w kierunku poziomym, a wtedy belki nie działają już jako całość, jako dźwigar złożony, lecz każda belka osobno, przez co wytrzymałość znacznie się zmniejsza.

h!

Jednak chociaż zęby są zupełnie dokładnie wykonane, to później wskutek zsychania i wżerania się drzewa nie zupełnie przystają. Przy dźwigarach klinowanych nie mamy tych niedogodności, kliny bowiem składają się z dwu części (rys. 166) i dadzą się wbić tak daleko, że szczelnie wypełniają dziury, a w razie zeschnięcia się drzewa możemy je pobić tak, że znów będą przystawały. Z drugiej strony jednak, jeżeli dźwigar podlega wielkim wstrząśnieniom, kliny rozchełtują się, niedogodność tę możemy jednak usunąć w ten sposób, że zabijamy po dokładnem spojeniu belek gwoździe na cieńszych końcach

klinów.

Rys. 166.

Wiemy, że moment oporu belki jest proporcyonalnym do bh², a więc do wysokości w kwadratowym stosunku; ta więc belka ma większy moment oporu, której wysokość jest większą. Ponieważ zaś

przy dźwigarze zazębionym tracimy cięcie zębów,

skujemy na wysokości wskutek odstępu między belkami, zatem

na wysokości przez wy-przy dźwigarze klinowanym przeciwnie zy-

korzystniej jest i z tego względu używać dźwigarów klinowanych.

§. 68. Natężenie dopuszczalne.

Wspominaliśmy już, że dźwigara złożonego nie jesteśmy w stanie tak wykonać, aby belki nieco się nie przesunęły jedna względem drugiej, wskutek czego dźwigar złożony nie jest tak wytrzymałym, jak jednolity. Aby tę okoliczność uwzględnić, musimy więc przy obliczaniu przekroju dźwigara złożonego przyjąć mniejsze natężenie dopuszczalne, niż dla belki jednolitej. Zachodzi teraz pytanie, o ile należy to natężenie dopuszczalne zmniejszyć.

"W r. 1691 ogłosił major inżynieryi Maurycy Bock sprawozdanie ¹) o licznych doświadczeniach, robionych z drewnianymi dźwigarami złożonymi, które dały następne wyniki.

Doświadczenia rozpoczęto z dźwigarem złożonym z trzech belek i tylko ześrubowanym. Po obciążeniu nastąpiło jednak natychmiast przesunięcie belek i tak wielkie ugięcie, że okazało się, że śruby wcale nie przyczyniły się do powiększenia wytrzymałości; przy obciążeniu bowiem belki ściskają się i wysokość ich zmniejsza się w ten sposób, że natężenie w śrubach spada do zera. Pomimo, że śruby były tak silnie naciągnięte, że wcisnęły się w drzewo o 5 ram, po obciążeniu stały się w środkowej zwłaszcza części dźwigara nietylko zupełnie luźne, ale można było jeszcze między podkładką a naśrubkiem wstawić blaszkę 5 do 10 ram grubą. A zatem na tarcie, wywołane naciągnięciem śrub'}' nie możemy wcale liczyć przy dźwigarach złożonych.

Doświadczenia dalsze robione z dźwigarami klinowanymi, zazębionymi i klockowymi wykazały, że dźwigary łamały się już przy natężeniu 141 do 239 Æ^/cra², obliczonem z wzoru vJ=Me, który, jak wiadomo, ważnym jest jednak tylko do granicy sprężystości.

Dla porównania robiono próby z belkami pojedyńczemi, przyczem okazały one wytrzymałość 440 &<7/cm², a więc około 2 razy większą.

Na podstawie tych doświadczeń ogłosił prof. Melan*) teoryę złożonych dźwigarów drewnianych, którą tu wyłożymy.

Ponieważ przecięte dla klinów lub zębów włókna skracają się wskutek ciśnienia podobnie, jak i kliny, a to proporcyonal-nie do ciśnienia, i ponieważ wykonanie nie może być zupełnie dokładne, następuje małe przesunięcie włókien dwu belek sąsiednich, co spowodowuje różnicę natężeń w tych włóknach Aa. Natężenia w danym przekroju dźwigaru złożonego rozłożą się wtedy w sposób wskazany na rys. 167.

.    .    272)

ai = a v—A o

gdy v oznacza odstęp włókna danego od osi -obojętnej, a a spół-czynnik, przedstawiający natężenie w odstępie v = l.

Natężenie w odstępie v od osi obojętnej jest wtedy: w średniej belce a =av w skrajnych

TT"

m=;

tf. v

Eys. 167.

U........S......U-~

:    i i

a<5 <~

m

J-.K]

2L_,5?

"A

10:

|p7*

AS'

c'

a6'

Z/"

Eys. 168.

Suma momentów sił zewnętrznych musi być równą sumie momentów sił wewnętrznych**), a więc moment:

r»¹/^    pi*

M=2\ ovdF+2\ ox vdF, jeżeli

Jo    J¹/.*

dF—bdv oznacza element powierzchni. Wstawiwszy wartość za v z rów. 272), otrzymamy :

r»V*    rv,h

M=2 abKv² dv—2 b\ v Aa dv, czyli

Jo    J »/,*

/z²

M~2ab\-^ -2bAo-y =* ^abh*—%Aobh*.

.    27B)

*) Por. Wochenschrift des österr. Ing. u. Arch. Ver. 1891, str. 46. **) Por. §. 37.

Nazwijmy teraz natężenie włókna skrajnego belki skrajnej

h

s, to z drugiego równania 272) otrzymamy dla v —

ah

--Aa, a stąd a =

Z

co wstawiwszy w 273), będziemy mieli:

2 (s+Aa)

bh²

bh²

M=(s + Ao) —x--%Aobh² = —(3s—der).

b    18

Jeżeli nazwiemy sd największe natężenie obliczone

(równ. 222), to bh²=——

so

wiwszy w poprzednie równanie, otrzymamy:

6M

wedle zwykłego s₀ =

bh²

co wsta-

18 s₀

(3 s—A o), a stąd

.    .    274)

Jeżeli dźwigar złożony składa się z dwóch belek, otrzymamy w ten sam sposób :

s₀ = s — ±Aa. .

Ogólnie możemy więc napisać :

.    .    275)

.    .    276)

s₀ = s — ó.Ao, .

przyczem    lub według tego, czy dźwigar składa się z 2

lub 3 belek.

Dalej przypuszcza Melan, że różnica natężenia Aa jest proporcyonalną do ciśnienia z na kliny lub zęby, a zatem

277)

A a—ßz,

co jednakże tylko w przybliżeniu jest ważnem, bo przesunięcia, powstałe wskutek niedokładnego wykonania nie są pro-porcyonalnemi do ciśnienia tak, że właściwie powinniśmy napisać Aa=ß₀ +ßz, gdzie ß₀ i ß są ilości stałe. Ale że trudno • ocenić, jak wielkie w praktyce może być ß₀, więc przypuściwszy bardzo staranną robotę, załóżmy ßt)--=0, więc Aa=ßz.

278)

Możemy więc napisać zamiast równ. 276) :

sd = s—ßöz

A więc wedle M e 1 a n a obliczać możemy dźwigary złożone jako dźwigary jednolite według zwykłych wzorów, jeżeli zamiast natężenia dopuszczalnego s przyjmiemy natężenie dopuszczalne mniejsze s₀ wedle 278).

Na podstawie doświadczeń Bocka wyznaczył Melan dla rozmaitych dźwigarów złożonych spółezjmniki ß, gdyż w każdym wypadku znanem było w chwili złamania s₀, s, ô i z.

Melan otrzymał dla belek klinowanych /? = 7,2 ]

279)

„    „    zazębionych ß=²4,6 |

„    „    klockowych /3=3,7 |

Ale powyższe wzory M e 1 a n a nie były uzasadnione, bo gdyby były one prawdziwe, otrzymalibyśmy tak małe natężenie dopuszczalne, że użycie dźwigarów złożonych nie byłoby możliwe w praktyce, co się nie zgadza z rzeczywistością. Przyczyną tego jest, że równ. 278) odnosi się do chwili złamania, a nie może być wprost zastosowane do natężenia dopuszczalnego. Jeżeli natężenie dopuszczalne dla belek pojedynczych nazwiemy t, a dla złożonych dźwigarów r₍₁, ciśnienie dopuszczalne na ząb %' a spółczynnik pewmości dla ciągnienia n, względnie dla ciśnienia n', to

%' — —-, a z równ. 278) ri

So    s

T==— n    n

wt₀ = nr—ßön'x'i zatem

. . 280)

Oprócz tego zwrócić należy uwagę, że Melan wyznaczył ß z doświadczeń na złamanie na podstawie wzoru zwykłego, ważnego jednak tylko do granicy sprężystości. Po przekroczeniu tej granicy rozdzielają się natężenia w przekroju zupełnie wedle innego prawa. Jeżeli więc chcemy korzystać z doświadczeń na złamanie, musimy wyznaczyć natężenia, które powstają w chwili złamania i na tej podstawie wyznaczyć spółczynnik ß.

Granica sprężystości drzewa dla ciągnienia leży bardzo wysoko tak, że spada prawie ze spółczynnikiem wytrzymałości granica sprężystości zaś dla ciśnienia leży przy 130 do 150 kgjcm². Jeżeli to uwzględnimy, jakoteż i różnice w natężeniu A o włókien sąsiednich dwu belek, to natężenia rozłożą się w chwili złamania w dźwigarze złożonym wedle rys. 168.

Linia natężeń będzie tu kilka razy łamaną. Linie natężeń poza granicą sprężystości cd i fg są naturalnie stromsze, niż inne. Ponieważ przekroje zostały osłabione przez wcięcie na kliny więc musimy to także uwzględnić i nie przyjmujemy w tych częściach przekroju żadnych natężeń.

Z warunku, że suma natężeń dodatnich i ujemnych musi być równą zeru, da się udowodnić²), że oś obojętna po prze-

kroczeniu granicy    sprężystości znacznie    się zniża (poniżej

czwartej części wysokości). Z drugiego warunku, że moment sił zewnętrznych musi być równy momentowi sił wewnętrznych w przekroju, otrzymaliśmy w przybliżeniu v, z którego wynika dla    dźwigarów    klinowanych    ß=2,l

„    „    zazębionych    ß=l,o

„    „    klockowych    /? = 1,1

Ponieważ to wyznaczenie nie było zupełnie dokładnem, przyjmijmy dla pewności:

. . 281)

dla dźwigarów klinowanych /? = 3 „    „ zazębionych /?= 2,2

„    „ klockowych ß=l,6

Teraz trzebaby jeszcze zbadać, jak wielkie możemy przyjąć x i x', względnie jaką przyjmiemy wartość dla n i n'. Podobnie jak dla nitów przyjmowaliśmy większe ciśnienia dopuszczalne na ściankę dziury *), niż w ogóle ciśnienie w pręcie, tak i tu możemy przyjąć mniejszy spółczynnik pewności dla ciśnienia na kliny, więc gdyn. p. n = 4, możemy przyjąć w' = l,7,

n'

zatem — = 0.425.

Xq=X — ß Ô

Z

Ogólnie mamy: w' = —

— —,xczyli sx'' J

n'

więc — = n

--—-, a zatem

s x'

. . 282)

-Dla dźwigarów klinowanych możemy przyjąć s=450 kgjcm², z —120 kg/cm² prostopadle do włókien, ß=3, więc x₀ =x(l— 0,80<5). Dla dwu belek więc t₀=0,80t, dla trzech t₀=0,73t.    283)

Dla dźwigarów zazębionych przyjmiemy: s=450 kgjcm², z=300 kg\cm², 0=2,2, więc x₀ = x (1—1,46 d). Dla dwu belek więc t₀ = 0,64 x, dla trzech x₀ = 0,51 r. 284) Dla belek klockowych jest: s=450 kg cm², 0=300 kg/cm², 0=1,6, więc x₀ — x (1 — 1,06 ô) ; zatem:

dla dwu belek będzie x₀ = 0,74 x, dla trzech t₀ = 0,65 x. 285) Przy zastosowaniu tych wzorów należy przyjąć x', mamy

x, = 2,35 — s

na mocy poprzedniego x' =

n z

x, więc

— t=———

n's    1,7 s

dla dźwigarów klinowanych t' = 0,61t, dla dźwigarów zazębionych i klockowych podłużnych wypadałoby t' = 1,54t, przyj mu-*) Por. §. 31.

jemy jednak znacznie mniej, zwykle t'=0,8t, t należy przyjąć 80, 100, względnie 120 kg\cmL.

Z powyższego widzimy, że dźwigary złożone musimy obliczać dla natężeń dopuszczalnych znacznie niższych, mianowicie niższych dla 2 belek o 20 do 86°/₀, dla trzech belek o 17 do 49% tak, że korzyść z użycia dźwigarów złożonych, zwiększająca się w stosunku kwadratowym do wysokości, staje się znów z tego powodu coraz mniejszą, im więcej belek do dźwi

garu używamy.

Eozporządzenie austr. min. kolei z r. 1904 §. 8, 9. Przy dźwigarach z drzewa, złożonych z dwru lub więcej belek (dźwigary klinowane lub zazębione) oblicza się moment oporu całego przekroju poprzecznego dźwigaru :

przy 2 belkach zazębionych tylko    na    80%

»    »    66%

»    70%

„    „    50%

klinowanych „

§. 69. Obliczenie przekroju dźwigaru złożonego.

1. Dwie belki.

Nazwijmy wysokość całego dźwigara (rys. 169) h, wysokość i szerokość jednej belki h' i è, średnicę śruby d, wysokość klinów i klocków A,, zębów A₂, odstęp między belkami A₀, to możemy napisać :

T""

■y*

4,-4

Kys. 169.

a) dla dźwigaru klinowanego:

I— tVd){h* Aj³)

%I—\hM

Przyjmijmy A₀ = 0,1A', to A = 2A' + + A₀ = 2,1 A', a stąd A' ■=■ 0,476 A.

Przyjmijmy dalej tymczasowo:

6 = 0,75A',    =0,3 A', oJ —0,lft,

to wstawiwszy te wartości w równ. 286), otrzymamy :

/=ti¥0,9A[A³-(0,3xO,476A)s], a dalej O 75

^(^³~0,0029A³)=-|-A1II/, nareszcie:

286)

h=3,66^4.    .    .    287)

Jest to jednak tylko wartość przybliżona ; po dokładnem obliczeniu klinów i śrub i wstawieniu dokładnych wartości w równ. 286) otrzymamy dokładną wartość A.

15

Statyka.

Jeżeli przyjmiemy wszystkie wartości jak poprzednio

vf

. . 288)

tylko b=hotrzymamy: li=2,42

Wogóle, jeżeli przyjmiemy szerokość bk razy większą,

to wysokość h otrzymamy -j-= mniejszą.

y k

b) Dźwigar zazębiony.

Tutaj mamy A =2 h' — h₂ (rys. 168c). Przyjąwszy h₂ =0,2A', otrzymamy A = 1,8 A', a stąd A'= 0,556 A, dalej gdy h=\h‘ a d=0,lA, otrzymamy zupełnie w ten sam sposób:

U=ä,53^-

289)

Dla b = h' otrzymamy podobnie:

290)

h=2,29

c) Dźwigar klockowy.

Tutaj znów A = 2A'-f-A₀. Przyjmijmy A₀ =0,4 A', to A=2,4A', więc A'=0,417 A. Przyjmijmy dalej A=0,75A', At = 0,8A/, d=0,lb, to trzymamy: 7= ^0,9 x 0,75 A'[A³—(0,8x0,417A)³]=0,02205A⁴, więc t.0,02205A⁴=-|-AM, a stąd:

> <..........Ą

■7

li=2,83 W®.    .    .    .    291)

Dla A = A' otrzymamy podobnie:

V"- •

.    .    292)

A-

.v.

li=2,57 2. Trzy belki:

a) Dźwigar klinowany. Jeżeli wymiarów dźwigarów klinowanych (rys. 170) .-V : oznaczymy w ten sam sposób, co pierwej, otrzymamy podobnie:

I— jY (b—d) [A³—(A' + A₀ -h Aj )³ +

+ (A' + A₀—AJ³] xI=\hM

Przyjąwszy tymczasowo, jak pierwej, A=0,75 A', A₀=0,1A', otrzymamy A = 3A' + + 2A₀=3,2 A', a stąd A'= 0,313 A. "Wstawiwszy te wartości w równanie 293), otrzymamy

h=3,läJ?.

ii

II

-TR-d

Rys. 170.

7= 0,01650A⁴, a stąd:

.    .    294)

-») \$° Rys. 171.

Dla b=h' otrzymamy podobnie:

h=2,83

b) Dźwigar zazębiony. Podobnie otrzymamy dla dźwigarów zazębionych dla tych samych przypuszczeń, co dla dwu belek, A = 3A'—2A₂ = 2,6A', stąd A'=0,385, A₂ = 0,Sh'=0,077A,

h=3’⁸⁵Vv

296)

7=0,02166 A⁴, a więc:

Dla A=A' otrzymamy podobnie:

li=2,59

c) Dźwigar klockowy.

Przyjmijmy, jak pierwej, A₀=O,4A', A, =0,8 A', to A = 3 h' + + 2 h₀ = 3,8 A', a stąd A' = 0,268 A. Wtedy otrzymamy dla A=0,75 A',

297)

d=0,lb, 7=0,01198A⁴, zaś li = 3,47

.    .    298)

Dla b — h' otrzymamy: li = 3,15

.    .    299)

Wzorów dla dźwigarów, składających się z czterech belek, nie podajemy, bo przy tak wielkich wysokościach lepiej użyć belki bratowej, o której poniżej będziemy mówić. Dlatego też w praktyce nie używamy dźwigarów złożonych z więcej belek, niż trzy.

Przykład. Obliczyć przekrój dźwigaru złożonego dla mostu tymczasowego (do 2 lat) kolei głównej, dla którego najw. if=7,636 tm.

Jeżeli dźwigar ma być klinowany, to przyjmiemy wedle §. 68. dla dźwigaru dwubelko-wego t₀ =0,8.100=80 kg/cm². Otrzymamy zatem

763600 __QQ — = 56,39 cm,

WT

cO*-— ty-

S CM;

JLi.

™>i 6

dla b =

o    3 /

— A' z równ.287)^=2,661/

a stąd ;>'=0,476 X 56,39=26,84 -27,

g

zaś l = -ę . 27 = 20 cm. Przekrój ten przedstawiliśmy na rys. 171.

Dokładnie otrzymamy: J=^(57³—9³)(21—2,0)=276696 cm*, e=28,hem,

763600.28,5

więc v =

a więc prawie tyle, cośmy założyli.

322320

= 78,7 kg/cm\

Jeżeli dźwigar ma być zazębiony, a M—l tm, to przyjmiemy dla dźwigaru dwubelkowego t₀ =0,64.100=64 kg/cm“¹. Otrzymamy zatem dla 3

i=-^-A/zrówn.289) h =

32=22 cm.

4

b'=

✓V

"'Sfi

= 65,94 cm, a stąd h'=0,566x55)94=32cmr

Dokładnie otrzymamy (rys. 172):

/= Ł (²^“2,3) 56³=331580 cm\ 700000.28

c»

= 60 kg jem?, zatem prawie tyle, cośmy założyli.

331580

co

§. 70. Obliczenie klinów.

Kliny obliczamy wedle wzoru 191) <7=—^, gdzie a oznacza siłę ścinającą poziomą w warstwie pp' (rys. 120), S moment statyczny płaszczyzny p^p^m ze względu na środek ciężkości przekroju O, a I moment bezwładności przekroju.

Dla prostokąta otrzymaliśmy równ. 193), mianowicie siłę ścinającą poziomą w warstwie o v odległej od środka ciężkości > i01N    QS nQ( 1

(rys. rn)    rjs)

Jeżeli przekrój składa się z dwu belek, to obliczyć mamy siłę ścinającą w środku wysokości, więc dla v=0, jeżeli z trzech

belek v = -^-, co wstawiwszy w równ. 193) otrzymamy

dla v = 0,

3 Q

ff=TT

2 h

Ogólnie możemy napisać o=fi.~,.....00)

przyczem fi oznacza pewien współczynnik, mianowicie dla dźwigara złożonego z dwu belek f, z trzech belek -f. Liczby te nie są dla dźwigarów klinowanych i klockowych zupełnie dokładne, ponieważ nie uwzględniliśmy tu-odstępów h₀. Po dokładnieszem obliczeniu otrzymamy następne wartości dla fi :

2 belki 3 belki

1,333)

klinowany .    . ^=1,497 1,319}. . 301)

klockowy .    . fi—1,460 l,396j

ŻN--

CM

60

■x>

ifi

Ç.....%%-----

Rys. 172.

i co

co

dźwigar zazębiony .'    .    = 1,5

a) Odstęp klinów.

Nazwijmy szerokość klinów b{, głębokość wcięcia w, odległość klinów od środka do środka c, szerokość i wysokość belek b i h' (rys. 173), to ac siła ścinająca pozioma, działająca na długości c, wywołuje ciśnienie na powierzchnię mn wcięcia na klin, a zatem gdy %' oznacza natężenie dopuszczalne na ciśnienie na kliny prostopadłe do włókien, to

Q    -i

oc=fi--c=bwz', a stąd

.    .    302)

bhwi'

Belka bowiem, starając się przesunąć po drugiej, ciśnie na powierzchnię mn, a ciśnienie to nie powinno wywołać większego natężenia, niż ciśnienie dopuszczalne x'.

eSL

T3

m

Ä*

rl

W-

±1_i

--------->,

Rys. 173.

Tarcia, wywołanego naciągnięciem śrub nie uwzględniliśmy tu wcale na podstawie doświadczeń Bocka. Ponieważ jednak przy małych ugięciach tarcie jeszcze działa, więc śruby dajemy tern gęstsze i grubsze, im większa siła poprzeczna Q, a więc niedaleko podpór, zaś rzadsze i cieńsze w pobliżu środka

dźwigara.

w na-

Z równ. 302) wynika, że jeżeli wcięcie w jest wszędzie jednakowe (zwykle w=0,lh' do 0,15h') to c jest zmiennem, mianowicie odwrotnie proporcyonalnem do siły poprzecznej Q, a więc przy podporach c będzie bardzo małe, a w środku wielkie. Aby wyznaczyć położenie klinów, postępujemy stępny sposób. Obliczamy odlegość c z rów. 302), dla rozmaitych punktów belki (rys. 174), wystawiamy w tych punktach

prostopadłe i odcinamy do góry i na dół po \ c. Końce prostopadłych łączymy i otrzymamy dwie linie krzywe, których od- • stęp pionowy w każdym punkcie jest równy obliczonej odle-

!N

*i\

ł—M-

p'

SLŁ*

JL

Rys. 174.

głości c. Nazwijmy c' odstęp klinów C i D₎ to jeżeliby c'= c,, to byłoby c'<c₂ i na odwrót, bierzemy więc c₁<c/<c₂ i wyznaczamy wykreślnie odstępy klinów za pomocą przekątni pod 45° i pionowych.

Jeżeliby przy podporach kliny wypadły zanadto blisko siebie, to przyjmujemy w równaniu 302) nieco większe w, przez co i c się powiększy, w środku belki zaś zmniejszamy w, aby c tak bardzo się nie zmieniało.

Eównanie 802) da się jeszcze inaczej napisać. Jeżeli wsta-

wimy wartość dla    czyli hz=h

a gdy b=kh', h'=mh. %' w

_llTh' ’

w równ.

CZM

Th²

302), to otrzymamy c=

.    .    803)

bw%' CiM fi Q xh2 C³m²k %' w M fi t h' Q

.    Czm²k

jeśli ą—y-.

Wedle poprzedniego możemy przyjąć następne wartości:

2 belki

dźwigar k C

klino-f ³/₄ 2.66 wany [ 1

I*

Ci

X'

x'

- ą—

X ¹ X

C*2

2,42

0,476 1,497 2,14 0,78 1,67

1.69

1.86

zazę-f ³/, biony\ 1

U 2,52

2.29

0,556 1,5    2,47 1,16 2,86

1.77

1.94

kloc-

³/

2.83

kowy\ 1    2,57

0.417 1,460 2.02 1.00 2,02

1,71

1.89

t'

T'

0»

dźwigar k

klino-j ³/₄    ,

wany\ 1    ,

zazębiony! 1 klockowy! 1

"We wzorze 303) oznacza M największy moment, wedle którego oblicza się przekrój dźwigam, Q zaś jest zmiennem.

w

Jeżelibyśmy przyjęli stałe—, mianowicie 0,1 dla dźwigarów klinowanych a 0,2 dla zazębionych i klockowych, tobyśmy otrzymali

3 belki <

³/4

3/

14

03 co to to to 03

-    Ci —

T    ¹ T

0.313 1,319 1,67 0,85 1,42

0,385    1,333 1,93 1,45 2,80

0.263 1.396 1.55 1.14 1,77

2 b e 1 k i

klin. zazęb. klock.

c = 0,167 0.572 0,404

3 belki

1,73

1,90

1.76

1,94

1,70

1.87

klin.

zazęb.

klock.

0,142 0,560 0,354^

Q'

Z zestawienia powyższego widzimy, że odstęp klinów jest mniejszy, niż połowa odstępu klocków, który znów jest mniejszy od odstępu zębów.

b) Szerokość klinów.

Połączenie belek może być zniweczone także przez ścięcie klinów. Siła pozioma działająca na klin jest Gc = bwx'. Jeżeli nazwiemy natężenie dopuszczalne klina na ścinanie równoległe do włókien t₂, to a c=bw %' = bbix₂, a stąd

x'

b, =—w

304)

Jeśli przyjmiemy natężenie na ścinanie dla klinów t₂ = 10 kg'cm²; to gdy t' = 50, względnie 60 kg jem², bx=hw lub 6 w.

Szerokość klocków bx, obliczamy według tego samego równania, ze względu na wy wrót zwykle jednak bA musimy przyjąć większe.

c) Najmniejszy odstęp klinów lub zębów. Siła ścinająca pozioma może zniszczyć połączenie belek także, ścinając dźwigar w płaszczyśnie ep (rys. 173), jeżeli kliny lub

zęby zbyt gęsto umieścimy. Aby to nie nastąpiło, musi być dla klinów pionowych ac — bwx' <x₁ (c — bx) b, a stąd

.    ,    305)

= %' ,

c > —w + b₄ .

Podobnie otrzymamy dla klinów pochyłych (rys. 175) i zębów z powodu, że tu chodzi o ścinanie na długości fe = c o c = bwx'<^ x₂ cb, a stąd :

— x'

Jeżeli przyjmiemy natężenie dopuszczalne na ścinanie równoległe do włókien t₂ —10 kg jem², to gdy t' = 50 /egfem², bx=5w, otrzymamy więc dla klinów pionowych najmn c=^=10w, dla zębów i klinów pochyłych c-=bw.

Jeśliby z równ. 302) lub 303) wypadło c mniejsze, niż tego wymaga równ. 305), to albo należałoby ń, zmniejszyć, a aby zapobiedz ścięciu klinów, uzbroić kliny blaszkami żelaznemi

2 do 4 mm grubemi albo też użyć klinów ukośnych lub zębów, w któ-rymto razie znajduje zastosowanie równ. 306). Ale cóż się stanie, gdy odstęp c, obliczony z równ. 302) lub 303), będzie jeszcze mniejszym od najmn. c wedle 306)? Wtedy natężenie albo na ścinanie, albo na ciśnienie będzie większem od dopuszczalnego.

-A ' fi ,

^......4he

V/

.    .    306)

Li

'foA

iii

i.....Ti

Rys. 175.

.    307)

Zachodzi więc teraz pytanie, kiedy możemy zadość uczynić obu równaniom 303) i 306). Z obu tych równań otrzymamy : x' w M — x'    x — C' M

c'^¥q>Aw’ a stąd^<Ł“Q- '

A zatem, aby można było tak urządzić kliny lub zęby, aby natężenia na ciśnienie i ścinanie nie przekraczały dozwolo-

> —, a więc gdy np. x = 50, t₂ = 10 T2

nej granicy, musi być —=5.

M G, _

Q h’

ustroju dźwigara złożonego. A więc gdy C₂ jest za małem, to trzeba się starać przez zmianę ustroju uzyskać C₂ większe, więc użyć dźwigarów zazębionych raczej, niż klockowych lub klinowanych. Dla dźwigarów trzybelkowych jest C₂ prawie takie samo, jak dla dwubelkowych, dla belek klinowanych trochę większe, dla klockowych nieco mniejsze. Wysokość wcięcia lub zęba w nie wchodzi wcale do równ. 307) lub 308), jest więc w tym względzie obojętna.

Jeżeli przyjmiemy obciążenie jednostajne ciągłe, to najw. M=^ql², najw. Q^^ql, więc:

.    .    309)

8q'

Z równania tego widzimy, że niemożność pogodzenia równ. 303) i 306) zdarzyć się może, gdy l i x są małe a q wielkie, a więc dla małych rozpiętości i małych natężeń dopuszczalnych a dla wielkich obciążeń na m. bieżący dźwigara.

Wstawiwszy w równ. 307) h' = mh = m C za C,, otrzymamy:

³IM .

St ¹

wartość

x _ C¹km ³ IM² t

~<~S

cĄMiT

Q³ ’    *

.    .    308)

tabliczce.

Spółczynnik C₂ obliczyliśmy i zestawiliśmy w powyższej

Dla danego obciążenia jest

³lM²x

V Q³

stałe, C zależy od

4-<(7₂

Wartości C₂ dla dźwigarów klockowych są właściwie za małe, bo obliczone dla przypuszczenia b{ — 0, co dla klocków jest możliwe.

Przykład. Dla dźwigara obliczonego w §. 69. niech będzie na podporze Q—3,bt, obliczyć odstęp klinów c, szerokość bx.

bhw z'

Wedle równ. 302) mamy c=

więc c=

zQ

Tutaj jest fe=21 cm, /i=59 cm, w—3 cm, t=50 Jcg/cm"*, ;a=1,497, (i=3500, 21 . B9.3 . 60

1,497 . 3600

=35,5 cm.

t'

Szerokość klina b{ otrzymamy z 804)

Najmniejszy odstęp klinów wypada z równ. 305):

BO o

==r .3 = 15 cm.

_ t'

50

c — . tv + bl = ^3 + 15=30 cm.

Gdybyśmy byli otrzymali odstęp mniejszy niż 35,5 cm należałoby

15 cm.

_50

w tern miejscu użyć klinu pochyłego, dla którego najmn. c>

§. 71. Obliczenie śrub.

Na klin (rys. 176) działają ciśnienia ac = bwx', które tworzą moment bwx' (Aj— w) i wzbudzają oddziaływanie pionowe Fi F1? działające w odstępie e. Dla równowagi musi być bw z' (hx — w)= Fe, a stąd :

bwi'

.    .    310)

■c •

J/ €

cnVz-

Rys. 176.

Odstęp e zależy od punktów zaczepienia sił F, a te od rozkładu ciśnienia na górną i dolną podstawę klocka. Jeżeli powierzchnia natężenia ma kształt trójkąta, to e=^bll a wtedy

.    .    311)

3bwF., .

Z równ. 811) widzimy, że jeżeli F jest mniejszem, to e

zatem, gdyby śruby nie

musi być większem i odwrotnie, byty dostatecznie naciągnięte, to e może się powiększyć, przy-czem najw. e = bx. Tej skrajnej wartości nie może jednak przybrać e, bo wtedy działałyby siły F, w krawędziach klina, co wywołałoby w tych krawędziach nieskończenie wielkie natężenia, a wskutek tego zgniecenie krawędzi.

Gdyby śrub nie było, belki przesunęłyby się

poziomo,

a klinyby się odwróciły, jak to uwidoczniono na rys. 177. Temu zamierzonemu ruchowi mają przeszkadzać śruby. Widzimy z rys. 178, że jeżeli na jeden klin przypada jedna śruba,

to ciągnienie S—V=

Jj'W

-(A, — w). Ponieważ nie chcemy do-

é/

¹

Por. Wochenschrift des österr. Ing. u. Arch. Ver. 1891, str. 21.

²

P. art. autora: „Przegląd Techniczny“ 1891, str. 20.

■er

Rys. 177.

puścić zbyt wielkich ciśnień na kliny ani ich obrotu, więc

* d²n

przyjmiemy e=^b, więc S

8 bw z'

jeżeli zt

*V

f——\

O LOT N

tS

Rys. 178.

oznacza natężenie dopuszczalne żelaza na ciągnienie, a d śre-

dnicę śruby. A więc

3 bw z' ..

(1=1,954

bw t'

bj Tj

(hi-w).

.    .    312)

§. 72. Belki z różnego materyału.

W praktyce inżynierskiej zdarzają się nietylko wypadki użycia dźwigarów złożonych z tego samego materyału, lecz także zeskłady z kilku dźwigarów z różnych materyałów, połączonych

w ten sposób, że ugięcie ich jest takie samo. Przykładem takiego ustroju są dźwigary żelbetowe, których jednak obliczenie jest przedmiotem odrębnego podręcznika „Teorya żelbetu“*). Prócz tego mamy czasem zeskłady złożone z drzewa i żelaza. Na rysunku 179 widzimy np. dwie belki drewniane i żelazną kształtówkę I. Nie są one tak połączone, aby stanowiły jedną całość, mogą się mianowicie jedna względem drugiej przesuwać, ale ugięcie ich musi być takie samo.

Jeżeli moment sił zewnętrznych nazwiemy M, to rozdziela on się na obie belki drewniane, (które tu będziemy uwa-J żać za jedną) i na żelazną. Z momentu tego niech przypada Mx na drewnianą, M₂ na żelazną.

Z powodu, że promień krzywizny linii ugięcia r jest ten sam, możemy napisać:

dla belki drewnianej Ei Ą =Mi r

H-l ^2 ~^2 r’

7j równań tych wynika z uwzględnieniem, że M=MiĄ- M₂

E' h m I E, I₁₊E₂I₂1U’

| [f

àü

Wtk

Eys. 179.

„ żelaznej

]JJ___?2_2_T|| |

²~E, I₄+Ea I₂ J

.    .    313)

Belkę drewnianą obliczamy teraz w zwykły sposób wedle momentu Mi, żelazną wedle momentu M₂. Jeżeli materyał ma być wyzyskanym, to powinno równocześnie w belce drewnianej być natężenie dopuszczalne w belce żelaznej t₂. A że

Ml e,

T'x I\ — JJj i r₂ I₂ — M₂ e₂

₌ Mx e₁1₂

M\ I\

•    I\ ß\ I₂ _ E\ G\

r    E,h

więc =

a wedle 313)

1 T2

M₂ e₂

HS

_ kik

M₂ E₂1₂

zatem :

_ h Ei _ t₂ Ex

*) Lwów, 1915.

hn •

y więc:

ł

Jeżeli przekroje są symetryczne, to

Dla żelaza możemy przyjąć EL = 2150000 kgjcm², dla drzewa E, =110000kg!'cm², to powinno być:

h, 2150000

Ę ~“110000

Jeżeli przyjmiemy np. ti =80 kgjcm², %₂ =1000 kgjcm², to

Î“¹-⁵⁶-

a więc wysokość belki drewnianej ma być 1,56 razy większą, niż żelaznej. Jeżeli stosunek wysokości jest inny, to jedna belka nie będzie wyzyskaną i będzie pracować poniżej natężenia dopuszczalnego.

Przykład. Niech będzie 7?, = 28 cm, b, = 24 cm, h₂ = 19 cm (rys. 179) 1=1,7 cm. Wyznaczyć wielkość obciążenia na jednostkę długości, jeżeli •^=80, t₂—1000 kgjcm².

h, _28 7^“Ï9

za mała, belka drewniana nie będzie więc zupełnie wyzyskaną.

Tu jest    24.28³=43904 c»2⁴, I₂—1763 cmi, więc wedle 313):

110000.43904

110000.43904 + 2150000. n63    861989

M₂=0,UM.

Dalej mamy    q 7,7²=7,412 qtm = 74113 q kgcm.

Więc il/t =0,56.74113 g=41503 g, Hf₂=32610g kgcm.

28

Zatem 80.43904=41503 q .    , stąd g=605 kg/m. b.

W⁷edle belki żelaznej licząc, otrzymalibyśmy 1000.185,6=33610g, stąd 2=554 kg/m. b.

Z tych dwu wartości zatrzymujemy mniejszą, belka drewniana nie będzie więc zupełnie wyzyskaną, mianowicie będzie:

v=S! ' ⁸⁰⁼^³>³ kgjcm².

Tu jest

M,=

e2 ~

= 1,47, więc wysokość belki drewnianej jest nieco

M=

482944

Hf=0,56 Hf.

To samo otrzymamy z wzoru:

v . ^ . 24.28³=41503X5,54X14

41503.5,54 . 14 . 12 24 . 28³

=73,3 kg/cm².

§. 73. Równanie linii ugięcia i ugięcie belki.

Linią ugięcia (n. Biegungslinie, fr. élastique, r. jihhûi H3rn6a) nazywamy ugiętą oś belki, jak to wiemy z §. 37. Równanie jej otrzymać możemy łatwo z równania 145) EI=Mr, które jednak ważne jest tylko do granicy sprężystości.

Promień krzywizny dowolnej krzywej da się, jak wiemy, wyrazić równaniem:

o Mirr

d'²y

W praktyce belki uginają się bardzo mało, linia ugięcia jest

Ö/7J

więc bardzo płaską, tak że~ = stip jest bardzo małą, więc w stosunku do 1 jest tak małą liczbą, że możemy ją opuścić; otrzymamy więc r =

(dy\²

\dx)

d'Ły

dxl

Ą-y w kierunku z góry na dół,

dly

dx²

, albo gdy będziemy liczyć

d²y'

dx%

Wstawiwszy to w równanie 145), otrzymamy

d²y    M

dx²    1E’ ’

.    .    315)

równanie różniczkowe linii ugięcia, w którem moment zgina-nający M wyrazić musimy jako funkcyę x.

dly

Równanie to możemy napisać El

dx²

M. .    .    316)

Różniczkując to równanie otrzymamy:

EId--y

_ dM

dx’’’    dx

— — Qt •

.    .    317)

a potem

dKy

dQ

.    .    318)

EI dz'*    dx

Niech na belkę AB (rys. 180) o stałym przekroju działa

Pb

w E siła P, to według równania 6)    ~

o₂ =

Pa

Moment

M w punkcie F dla x < a będzie M= O^x = — równania 315) •

Pbx

zatem na mocy

d²y dx²

Pbx

EU

stąd :

dy

dx=St(P

Pb

EU

xdxAr C=—

Pbx'¹

2 EU

+ C.

Dla x = 0 otrzymamy st <p₀ = O, więc Pbx²

dy

dx

2 EU

+ st <p₀

a)

Analogicznie mamy dla części belki EB

dv Pra'-:+str.. i

Całkujmy oba równania raz jeszcze, a otrzymamy

Pbx3 G Eli

dla części AE

EB

dxl

2 EU

y= —

y=

-frcst cp₀

-wÊn+x'stv,'«\ J

Eys. 180.

Nie dodajemy tu ilości stałej Ct, bo dla #=0 i ^=0 jest y=0, więc C, = 0.

Rzędną y linii ugięcia nazywamy ugięciem (n. Durch

biegung).

W celu wyznaczenia niewiadomych st cp₀ i st <jp'₀ ustawmy równania a) i b) dla punktu E. Otrzymamy wtedy

Pab²

st

Pba²

2EII

+ st <p₀ = — (

EE'-=y^

Pba³

GE II

2 eh

Pab3 6Æ77

+ óst p'₀.

Z obu tych równań otrzymamy Pab

stç)₀ =

GEH

(a-\-2b) i st 9)'₀ =

Pab

GEH

(2 a+6) I c)

240 -

Wstawiwszy te wartości w b), otrzymamy

PJl'J*

y==ÔËTi]ia (a+26)~a;2]

P(1 'Y

y=wwîï[a(ïaJrb)-x'1]

Dla punktu E otrzymamy dla x = a, względnie xl=b

Pa²b²

yi 3 E11.......

Nie jest to jednak największa rzędna. Największa jest tam, gdzie styczna pozioma.

Jeżeli a= b, więc gdy siła P działa w środku, będzie największe ugięcie y czyli strzałka ugięcia (n. Biegungspfeil, fr. flèche de flexion, r. CTpiwiKa).

PI³    PI³

f=48EI ⁼⁼⁰’⁰²⁰⁸ëT-Jeżeli belka jest obciążona na całej długości ciężarem jednostajnie rozłożonym (rys. 181), to według równ. 19)

M—% qx (l—x), więc^f =

dla AE

„ EB

.    319)

320)

.    .    321)

\qx{l—x)

"0,

o,

Ar—

~Teix{1~x)‘

Scałkujmy to równanie, a otrzymamy

dy_ g /fo2 dx~~2EI\ 2 a po drugiem scałkowaniu

El

lx³

Rys. 181.

C' = 0; dla x—l jest y = 0, więc P __ P ~Q 12

J2+ Cx+C'^f

2 EI\ 6 Dla x—0 jest y=0, więc

P

+ CI—0, a stąd C= — więc

Lu

dy _ g / lx²    ^ ³ P\

dx ~ 2 EI\ 2 ⁺ 3 ⁺ I2J ‘ __ q fxk lx³    Z³a;\

J~2EI\12 ~ 6“⁺ 12 ) ⁼

.    .    322)

gHj(x“-81x*+P₎. .    323)

Ponieważ obciążenie jest symetrycznem, więc naj. y=f

będzie w środku belki, tam też styczna będzie poziomą. Wstawmy l    5

x==~2 ł a otrzymamy    ........ 324) '

Ponieważ dla æ=— wedle 143) t/=J/c =

u

h ql²    2 xl

B ~ 2 ⁷ 8

5 16x1 Z² _ 5 %l2 ~ 384 h ËI ~~ 24:Eh' '    '

ŻT’ wl^c

ql¹

e, to gdy

.    .    325)

Jeżeli Z będziemy liczyć w m a resztę w cm, to 50000 xl²

24 Eh

a gdy dla żelaza .£'=2150000,

/- 0,00097^-    .

h

.    .    326)

przyczem f i h liczyć należy w cm, x w kg Jem¹, Z w mm. Przykład. Niech będzie !=6»i, q=b00kg/m, x=1000 kgjcm'¹^ to

¥=§-0,5.6²=2,25 tm=225000 kgcm: więc:

¥    J

— ==225. Zatem przyjmiemy kształtówkę I 20, dla której —

Wedle 324)    X

1000.36

=243.

= 1,62 cm = 16,2 mm.

Wedle 326) /= 0,00097 Różnica powstała stąd, że dla' kształtówki 20 jest t mniejsze, niż 1000.

20

== 1,74 cm = 17,4 mm.

Wzory powyższe stosują, się do belek o przekroju stałym. Jeżeli przekrój jest zmiennym, a przypuścimy, że moment bezwładności zmienia się wedle paraboli, to

4 7,2; (Z—x)

4-

z²

.    .    327)

jeżeli oznacza moment bezwładności w środku belki.

\qx (l—x)

Zatem

cZ-?/

El

qx (Z—z) Z2 8 E I\X{1—x)

q Z²

8 El, '

dy

Stąd otrzymamy , ==

U/X

ql¹

8 EIl

dy ₌ o = — g/2 Z

dx    8 E L 2

x C.

-j- C, a stąd

C=r„

?Za

16J07,

więc

ęZ²

gZ³

?Z²

dx 8EI,X+16EI{    8 Eli

Scałkowawszy raz jeszcze, otrzymamy y =

( —)• •

bO o-

.    328)

ql²

8i7Z

+ <?!•

Dla x=O, y=O, więc Ci= O, zatem

y=

qP

x(l—x), .

.    .    329)

1QEL

ql²    Z² ₌ ql⁴

16    4 ” lUEI,

W rzeczywistości przekrój nie zmienia się tak bardzo, zatem ugięcie będzie miało wartość między

Stąd dla x=-^

=- =0,0156

E%

330)

384    76T=°’°13 a à-°’01B6

qi⁴

EI{ '

Dla belek blaszanych lub kratowych równoległych możemy zatem przyjąć w przybliżeniu

ql⁴

70 El

0,0143

qlw

.    .    331)

EĄ' '

Podobnie otrzymamy, gdy P działa w środku belki, dla

PZ³

przekroju stałego wedle 321) /■= 0,0208    dla przekroju zmień-

lii I

nego zaś, jeżeli natężenie dopuszczalne x i wysokość h są stałe *)

f= 0,0312

PZ³

EIX ’

a gdy przytem i wysokość jest zmienna

.    .    332)

f= 0,0416

PZ³

EL ’

.    .    333)

§. 74. Ugięcie belki jednym końcem utwierdzonej.

"Wiemy, że moment M w punkcie C (rys. 182) belki o stałym przekroju jednym końcem utwierdzonej, a na drugim ciężarem P obciążonej, da się wyrazić według równ. 29)

f-

aU

A-

L" U..........x

M=—P(l—x).

A więc według równ. 315) bę-d²y P(l—x)

dzie

dxŁ

EI , a stąd otrzy-

Rys. 182.

mamy

dy

dx El

(lx-~ + C)

P ( lx²

a wreszcie w = —— |

⁹ EI V

I-+ cx+c,y

*) P. Résal: Constructions métalliques, str. 554.

Ponieważ dla x=0 jest y = O i ^=0, więc (7,= O i (7=0,

a zatem

y—f-

y Eli 2

x³\_

Px²

6EI

(31—x).    .    .    .    334)

Ponieważ y rośnie wraz z x: więc najw. y=f będzie dla x — l. a mianowicie f=

1 PI³

3 El

= 0,333

pi 2

El*

.    .    335)

Dla przekroju zmiennego o stałej wysokości otrzymamy wedle R é s a la

PP

El

.    .    336)

a dla zmiennej wysokości f= 0,667

PP

Kr''''

Rys. 183.

.    .    337)

Jeżeli belka A B (rys. 183) obciążona jest zupełnie ciężarem jednostaj nym ! ę, to moment w punkcie C li będzie M= —    —%) ², więc

według 315)^-f=

EL ‘

a stąd otrzymamy

2 El

lx³ Xk    \

-g-+Ï2 + er+<7‘J.

, a wreszcie

q (Px y = ZEl\-2

Również dla z = 0 jest y=0 i = O, więc C = 1' - Ot

y"^¥î(612_41x+xî)-    •

Ponieważ y wzrasta wraz z x, więc najw. y=f będzie dla

.iii!

8 El

Dla przekroju zmiennego o stałej wysokości otrzymamy

, ! qP_

4 EIi ’

¹

2 EI^ ' '

Jako belki jednym końcem utwierdzone obliczamy schody, wsporniki, mosty obrotowe i t. d.

a zatem

.    .    338)

x = l. a zatem

wedle R e s a 1 a

a dla zmiennej wysokości f—-?r

339)

.    .    340)

341)

§. 75. Belka jednym końcem wmurowana, a w drugim podparta.

Tam, gdzie prawidła statyki nie wystarczają do wyznaczenia oddziaływań, n. p. przy belce jednym końcem utwierdzonej a w drugim podpartej (n. der an einem Ende eingespannte, am anderen frei aufliegende Träger, fr. poutre encastrée à une extrémité et libre à Vautre, an. beam fixed at on end and supported at the other) używamy równania linii ugięcia do wyznaczenia oddziaływań, jak to zaraz okażemy.

Na belkę taką AB (rys. 184) działa ciężar P w odległości a od A. Zastanówmy się najprzód nad częścią belki AE. Na-

T.....C........V

......

*r

I-'

-i

T-----------H

Mo

a:

Rys. 184.

zwijmy M₀ moment w punkcie A, gdzie belka jest utwierdzoną, to dla punktu C będzie M—M₀ Ą-Oix, a więc według równ. 315)

M₀ + Ox x

d² y

dxŁ

El

a stąd

a więc

ÊÏ \M°Y

Dla długości EB, t. j., gdy x>a, otrzymamy M=M₀ + O^x—P{x—a)=M₀ + (Oj —P)x + Pa7 d²y dxi

dy

dx

to

nareszcie

iï’+C'z-t-C'j.

—    P)x + Pa\, a stąd

dy

dx

nareszcie y

- Jj [Jf₀ * + ( O, - P) ~ + Pax + Ci ],

+ JV.)    + (O, -P) £ + Ct *+ C",].

Dalej mamy y = O dla x=^0 i x—l, — == O dla x=0. Ugięcie

T    tttt/

0>2/

w punkcie C i styczną, więc -7-, otrzymać musimy z obu

_    CLjC

dy

równań dla y i —- te same ; ze względu na ogólne warunki clx

równowagi musi być też P=Oi+0₂ i Oi l + M₀ — P(l—a) = 0. Mamy więc 7 równań, z których wyznaczymy 4 stałe ilości C, C, Gj i C\ i 3 niewiadome M₀, Oj i 0₂. Ostatecznie otrzymamy

Pn%

O ₌0 0! ₌0 0—_

2

D2/³—a²(8Z—a) „

2 Z⁸ ’    ²~

M₀ =—I*»"

Jeżeli te wartości wstawimy w równaniu dla y, otrzymamy dla długości AE

y=iIMp[3al(312~a'⁸¹~a')-x(31’—a

dla długości EB

c 6 ’

a² (3 l—a)

21²—a(31—a)

2 l²

2 Z³

.    .    342)

*{S1—»})]

y”lSrP [<⁸¹ - ⁸>x3“³    1 - a) xs + 61³ x- 2al³j

343)

dy

Największe ugięcie znajdziemy, gdzie — =0, to jest dla

CLX

=<1-

l—

31—

a* ■ •

.    .    344)

a wstawiwszy tę wartość w równ. 343), otrzymamy

Pa² -i / i_a

f=6¥l(1_a) ysl^a'

.    .    345)

bo^

dx²

Moment w punkcie E będzie

M₁=M₀ + O₁a=Pa²

W punkcie F, gdzie M= O, linia ugięcia ma punkt zwrotny, 0. Ponieważ M=Mq + Oj x, więc 4f₀ + O₁c=0, a stąd

(31—a) (1-a)

21⁸

.    .    346)

c= —

_ 2P—a (Sl-a)

Ox ~ 2l³—a²(3l—a) aL

M₀

.    .    347)

Gdy ciężar jest w środku, więc a=-^, otrzymamy

p, 0₂ - ^P, M₀ = - ^Pl, .    .    348)

Ł PI

Oi —

a moment w E

32

349)

Największe ugięcie dla x₁ = 0,5331 jest

f 1 PI* 1 PI3 48V/5^7    107,3 El’

3 .

G=nl

a punkt zwrotny F dla

pi³

= 0*00932

.    350)

351)

Jeżeli zaś belka AB jest obciążona zupełnie ciężarem jednostajnym q (rys. 185), to otrzymamy moment M w punkcie C,

J7= 0₂z — ±qx₂₁

f'S

Ti

ł.........rrr

\tt

"ł

"i

Rys. 185.

cL ^y

więc według równ. 315)    =

-    ł qx2)

a więc

dy

1 (0₂x² qx

dx

El

1- C

a nareszcie

V--El

qxh

0₂x3 ~6~_24

+ Cx+C'\

Dla 2 = 0 jest y = 0, więc Cx =0,

„    y=0, więc    —|i-4-<7Z=0, zatem

4 0₂P-ql*

x— l

24

0₂Z² gZ³

Dalej mamy dla x = Z, —- = 0, więc —^

g

a wstawiwszy wartość za (7, otrzymamy 0₂ = ql .

O

g- + (7 = 0,

.    352)

gZ³

Możemy więc napisać

6 /g#⁴ , gZ³z 3qlxz y==6^7\ 4

)-Jgj⁽äx*+l⁸-31x!). 353)

dy

Największe ugięcie będzie dla , dla którego — = 0, Xi =0,421251 .    .

Wstawiwszy tę wartość w 353) otrzymamy w przybliżeniu

f__L -o 0054— t —185EI ' i:i

Momenty otrzymamy z równania

M= 0.₂x—qx² = qlx — \ qx², .

ql² .

więc dla

.    .    354)

.    .    355)

Cf5.CC

więc dla x = l

M₀--

1—I jQC

.    .    356)

.    .    357)

Największy moment dodatni jest dla z₂, gdzie ^- = 0, więc

CLju

f gZ—gz₂=0, zatem z₂=-|Z, a wystawiwszy to w 356, otrzymamy

.    .    358)

Punkt zwrotny jest dla Jf=0, więc |-gZz3=|gz₃² = 0, stąd

X₃ =

ÎO ,-fl

.    .    359)

§. 76. Belka obu końcami poziomo utwierdzona.

Gdy na belkę o stałym przekroju obu końcami poziomo utwierdzoną (n. der an beiden Enden eingespannte Träger, fr. poutre encastrée aux deux extrémités, a. beam fixed at

both ends) AB (rys. 186) działa ciężar P w punkcie P, powstają w A i B momenty, które nazwijmy Mi i M₂. W dowolnym

fi-

Jt

bzi:

-H

/1

___j__>*«*

■/-

■l.

......H

r* -

C#"

Er

Al

U.....c

mmm

Rys. 186.

punkcie 6¹ będzie moment if, przyczem, jeżeli Æ<a,

M =    jeżeli æ> a, M=M^ -\-0^x — P (x—a).

A zatem otrzymamy według równ. 315) dla x < a d'ly dx²

cfo/ 1    , O, z²

—Æ?⁽^e+-2-+c),

AW,₊;A*²

c??/    .

Dla x—-0 jest —- = 0, więc (7=0; dla a: = a jest — w obu rów-

CIZ

naniach to samo, więc O, a² „

A/, a + -A- — Hfj a + —g

g- + Pa® + ^ ).

dy

dx

Cla² Pa²

Pa² Ar Ci, a stąd (7t = —

Pa²

Dla x = l

dla -ÿ dla dx’

if “°* więo

2 Mil=Pa²-2Pal + Pli- OJ². .    .    .    360)

Wstawiwszy wartość za 6 i Cx, całkujmy jeszcze równanie

1 /    2) ^ O Æ ^    \

a otrzymamy dla z< a, y=—— f —~—|--L—ęt\

1 (M^x² Oxx² Px³ Pax² Pa²x \

6    6 ^ 2    2 ' . i !

dla x>a, y=~EI\

Dla x=0 jest y = 0, więc O—0; dla x=a jest y to samo ,    .    Pa ^

w obu równaniach, więc <7,' = -—; nareszcie dla x=l jest

y— 0 więc

a analogicznie otrzymamy

.    .    362)

.    .    363)

Wstawiwszy wartość za O, w 360), otrzymamy

Pa a,²

17

.    .    364)

M

M2 12

Podstawiwszy te wartości w równanie dla y, otrzymamy

a analogicznie

y--£kiiT(Zal-{l + 2a)x),

i— (l + 2a)ai²x +

ą n 2 ; ł

4 3 aa,² /+• xP~ 3 aPĄ--

x

dla x < a,

dla x > a,

Px²

y~ 6 ËÏP

.    365)

a⁸/³]

dy

Największe ugięcie będzie da xiy gdzie —=0, więc

dx

x, =

2 al

a stąd f, =

2 Pa^²a³

lJr2a

Momenty otrzymamy według równań dla x < a

Pa a,² Pa] ² {l 2a)x Pax²

—fi k

3EI(l + 2a)² '

.    366)

[{l+2a)x — aZ], 367)

dla x > a

M=-

Pa a,²

Pa₁²(Z+ 2 a)x

P{x—a) =

= -₃ {(/ + 2a)a₁²æ —aai'²l — Px+ al³}

.    368)

Największy moment dodatni otrzymamy dla x=a, a więc

.    .    369)

.    ,r. äPa²^²

najw ( + M) == —

Punkty zwrotne otrzymamy dla x «= c i x = cif gdzie M = O, więc

al

a -\-2a Ci a+3a

Gdy ciężar P działa w środku, więc a —-^= aiy otrzymamy z równania 365)

C l + 2a’

.    .    370)

Px2 y 48 El

(31 — 4x) .

.    .    371)

Największe ugięcie będzie dla x    więc

.    .    372)

1 pl3_nnn^pl3 193 El 0,00 El

Dla przekroju zmiennego a stałego x i h otrzymamy we-

die Résala

Pl³

f= 0,0078-=—

eia * '

.    .    373)

PI³

dla zmiennego zaś h

Dalej otrzymamy z równania 364)

P1

— m₂

^(4x-l) .    .

a z równania 368)

f= 0,0104 ==r

EL '    '

.    .    374)

.    .    375)

.    .    376)

Największy moment jest dla x — więc

.    .    377)

• nr    P1

najw M = + y..

Punkt zwrotny jest w punkcie, gdzie M=0, więc dla

C = T-

Jeżeli belka AB (rys. 187) jest obciążoną zupełnie ciężarem jednostko wy m q, to z powodu symetryi będzie

ql

0,= 0₂=y> a momen^ w punkcie C będzie

M=M, + ę

Więc według równ. 315) będzie

qv²

d²y

dx²

-èk?-f)

dy

Dla ar==0 jest ^ = O, więc (7=0, dalej dla x = l jest

~ =0, a stąd

Mi = -tU1j=M₂ •    •

xd

dy

qP ql³

.    .    378)

Oj

-------x

*—d...........a-..........

"T-l

Rys. 187.

Wstawiwszy wartości, otrzymamy więc /    1    ₂    yz³\

(-iS^'+T—fJ

dy

dx

El

a stąd

1 / ql²x² qlx‘d qx y==El[~M 12'⁺ 24

qx²(l—x)²

24 El

379)

Największe ugięcie jest dla x = ~x-, więc

f= ql^

384EI

ql⁴

.    .    380)

= 0,0026 E1

Dla zmiennego przekroju a stałego % i h otrzymamy po-

dobnie

f = 0.0054

El,

381)

a dla zmiennego h

/*= 0,0090

qi⁴

El,

382)

Moment otrzymamy z równania

i)f=-

V6fe-⁶',-,,)

a więc ?iajw. M jest dla £ = -^-, stąd

najw+M=4-^ql² •    .

Punkty zwrotne są dla ilf = 0, więc dla c= 0,2113 Z i Cj =0,7887 Z. Jeżeli przekrój wzrasta ku podporom, to zmniejsza się przez to moment w środku, a wzrasta na podporach ¹).

I tak, jeżeli — =

■U)

zaś

1    o/²

5-, to najw. + M=0,0279 ql²=-Qcr-ó-

OO.o

= -0,0979 g Z².    .    .    .    384)

qll

10,5

Jako belki obu końcami utwierdzone możemy obliczać tylko takie belki, u których przy obciążeniu styczne linii sprężystej na podporach zupełnie się nie zmieniają, co możemy przypuścić tylko wtedy, gdy belkę głęboko wmurujemy (półtora wysokości belki) i gdy natężenia muru nie są jDrzez to za wielkie, lub też, gdy końce belki w jakikolwiek sposób przytrzymamy np. śrubami. W przeciwnym razie liczymy belkę taką, jako w dwu punktach podpartą.

§. 77. Wykreślne wyznaczenie ugięcia belki.

Dla dowolnego obciążenia belki A B wyprowadziliśmy w §. 10 równanie krzywej sznurowej

■.    .    385)

(Dy _ q dx² a ⁷

gdzie a oznacza odległość biegunową.

Jeśli równanie to porównamy z równ. 315), licząc y w kierunku z dołu do góry, więc zmieniwszy znak,

to

ÔX²    El’

widzimy, że oba równania są identyczne, jeżeli M—q a EI=a. A zatem linia ugięcia jest linią sznurową, dla której wykreślenia przyjęto powierzchnię momentów jako powierzchnię obciążenia a odległość

Prawo to podał pierwszy Mohr.

biegunowa równa się iloczynowi spółczynnika sprężystości E przez moment bezwładności przekrój u I.

Musimy tu rozróżnić dwa wypadki: albo przekrój jest stały albo zmienny. W pierwszym wypadku odgległośó biegunowa jest stałą, w drugim dla każdej części belki zmienia się wraz z EL

Oi

o.

2t

/t

O,

/c/7)

/'cm

- 2................4—s**-

.........i. !//-j ty

9    /0-92lm \

:*t

~7T

2.

39 tm'

/cm __

/:£fm żłm

ESéL

/cm

26łm*

/cm

9tmŁ

ń/f

P7

e,

oj 1o:

O,

C/

2 ki-------

Tà

Oi,

Si

Rys. 188.

Przypuśćmy najprzód, że przekrój jest stały i zróbmy przykład. Belka AB (rys. 188) obciążona jest ciężarem Pt = 2ż, P₂=lż i ciężarem jednostajnie ciągłym 0,5 t/m na długości 2 m. Wyznaczyć należy linię ugięcia.

W zwykły sposób wyznaczyliśmy najprzód linię momentów aedfeb. Teraz płaszczyznę momentów uważamy jako płaszczyznę obciążenia, dzielimy ją na paski, wyznaczamy środki ciężkości i powierzchnie pasków. Z rysunku widzimy, że najw. d/=4,32 t, czemu dla    1000 kg/cm², odpo-

=432 cm³. Przyjmiemy zatem kształtówkę I l. 25, przy-

. , M 432000

w'acU-.    -

1—5556 cm*. Zatem £”7=2000000.5556 kgcm²=1111,2 tm². Przyjąwszy

czem

więc £7=1111,2 im² otrzymalibyśmy ugięcie w pódziałce 1:100, zatem za małe. Jeśli chcemy mieć je w naturalnej wielkości, to przyjmiemy £7

100 razy mniejsze, więc EI=ll,lłm². Wykreśliwszy na tej podstawie wielobok a w nim styczną krzywą sznurową, otrzymamy ugięcie w naturalnej wielkości, tu więc najw. y—f= 14 mm.

Jeżeli przyjmiemy, że przekrój jest zmienny i np. na długości AC Jj = 7, na CE Ii=I, na EB I₃=^I, to konstrukcya zmienia się tylko o tyle, że dla kreślenia linii ugięcia na długości AC przyjmiemy al = \a, na CE a₂—a, na EB o₃ = Ja, a stąd otrzymujemy clal' zamiast i ' zamiast elbl, f też znacznie większe, bo 17,5 mm.

§. 78. Wykreślne wyznaczenie sił zewnętrznych belki jednym końcem podpartej, drugim utwierdzonej.

Zapomocą poprzedniej konstrukcyi możemy też wyznaczyć moment podporowy belki jednym końcem podpartej, drugim utwierdzonej. Wyznaczamy mianowicie najprzód linię ugięcia belki, uważając ją jako w dwu punktach podpartą. Oprócz

!<ar

TT

linia upięcia c//a\c oóciążentct /

i#A.

(rnia ugięcia c/la

oslctleczna linia ug/faa

Eys. 189.

tego w B (rys. 189) mamy moment Mx. Przypuszczamy teraz, że na belkę działa tylko moment podporowy Mi. Linią momentów przedstawia wtedy prosta abi. Wprawdzie wysokość bbi nie jest nam znaną, ale tymczasowo przyjmiemy Mi — 1, wyznaczamy linię ugięcia w tym wypadku dla Mx i sumujemy ugięcia algebraicznie. Wedle założenia musi być ugięcie w B—0 i styczna pozioma, a zatem obie linie ugięcia w b muszą mieć styczne nachylone pod tym samym kątem a tylko o przeciwnym znaku. Z tego warunku możemy wyznaczyć wielkość momentu Mi, zmieniając wartość dla Mi tak, aby at=a.

Przykład. Belka AB, podparta w A a utwierdzona w B, (rys. 190) obciążona jest ciężarami Pt = 1,5t, P₂=3f i P₃ = 2f. Chodzi o wyznaczenie momentów, a przedewszystkiem momentu podporowego Jf, w B.

W tym celu kreślimy naprzód linię momentów ac'd'e'b dla belki w dwu punktach podpartej. Powierzchnię tę momentów uważamy jako powierzchnię obciążenia i dla dolnie przyjętej odległości biegunowej 20 tm kreślimy drugi wielobok sznurowy czyli linię ugięcia a"c"d"e"b".

*•** *1 sM

/cm

4m

/cm

iOfm

.....

O

/cm.

4?

' o“

Sis

ku

! c/

55

40

........

Tcx7b ’ 3

tm

/Oftn¹

«?

\ct<

'I

b\

Rys. 190.

jeszcze moment podporowy Mt.

Ale w B powstaje nieznany nam Przyjmujemy dowolnie _Mj=10ż»i, odcinamy bb'= 10 tm i otrzymujemy powierzchnię momentów abb'. Dla tej powierzchni momentów, jako powierzchni obciążenia trzeba wyznaczyć teraz linię ugięcia. Ale ponieważ potrzeba nam tylko stycznej linii ugięcia na rowej, więc nie dzielimy tę powierzchnię na paski, lecz w 1 zaczepiamy

5 10

całą powierzchnię momentów ———=25 tm². Dla tej samej odległości bie-

podporze, stycznej podpo-

gunowej 20 tm² otrzymamy drugi wielobok sznurowy a, /j bt. Możemy się jednak nawet obejść bez kreślenia tego wieloboku, bo wiemy, że oddziaływanie w A przy powierzchni obciążenia abb' będzie | abb'=\‘2b=Q\tm²,' w B zaś 161 tm², zatem jeżeli od punktu m odetniemy mb=l0\tm² otrzy-

- 256 -mamy a₁=m Oxb, gdy «=m O, 7. Widzimy, że tu a>>a,, musimy jednak te kąty zrównać, zatem zrobić a, —m O, 7, a w tym celu powiększyć Mx w stosunku mb'.ml. Zrobiwszy to wykreślnie, otrzymujemy 66'₁ = 77₁, jako szukany moment podporowy. Odetnijmy 77 od rzędnej zwykłej powierzchni momentów w 6, otrzymamy punkt bx'. Linia zamykająca ab'x jest tu kreskowana.

Moment w B jest więc wedle rysunku MX=10,9 tm.

§. 79. Belka obu końcami utwierdzona.

Belka AB (rys. 191) obciążona jest ciężarami P1? P₂, P₃. Najprzód wykreśliliśmy pierwszy wielobok sznurowy acdeb, jak dla belki w dwu punktach podpartej. Niechaj dla belki obu końcami utwierdzonej będzie a₀ b₀ zamykająca, to powierzchnia momentu kreskowana

aa₀ b₀ bedc=acdeb—aa₀ b₀—abb₀ = a(c—tx— t₂),

i cm.

rn

//

Am

mB

■icru

«o

ft

cz)

T frr-

s.

. h-Jl

«I.

A"

J) l ni

film*:

•4-Jtnt*

,<r’

a"

! ei

i/

Vs>

.-..T '

V?

......h

Rys. 191.

jeżeli a oznacza wspólną, podstawę, ac zwykłą powierzchnią momentów acdeb, a^=aa₀ó₀, at₂=abb₀.

Z rysunku mamy

at< =

IM' . aa₀ — “2^-

at-i =-

IM"

•bb*- 2h

nareszcie ac=—-, jeżeli oznacza średni moment belki jedno-

przęsłowej.

Kreślimy teraz drugi wielobok sznurowy. Dla powierzchni momentów zwykłej otrzymamy linię ugięcia a'c'd'e'b'. Jeżeli jednak chodzi tylko o styczne podporowe, to nie potrzebujemy całego wielo boku kreślić, wystarczają proste a's' i s' b\ równoległe do promieni skrajnych Oj 0 i (^4. Chcąc uwzględnić też powierzchnie ati i at₂ odcinamy w wieloboku sił mO=i, i 4m = t₂. Wtedy ua\ i vb\ przedstawiają styczne podporowe belki obu końcami utwierdzonej. Ponieważ wedle założenia styczne te są poziome, więc a\ uHvb'₀ // Ox m, a stąd

ti +1₂ =? c, aa₀ b₀ + ab₀ b acdeb,

nakoniec aa₀ b₀ bedc = 0.

Widzimy więc, że dla belki obu końcami poziomo utwier-• dzonej linia zamykająca wyrównywa powierzchnię momentów, czyli powierzchnie ujemne momentów równają się powierzchni dodatniej momentów.

Z dalszego warunku    =    możemy wyznaczyć

aa₀ -f- bbn_^

długość aa₀ i bb0: przyczem

§. 80. Belka obu końcami ukośnie utwierdzona.

Niech AB (rys. 192) przedstawia linię ugięcia belki, obu końcami ukośnie utwierdzonej i obciążonej jednostajnie; kąty nachylenia osi belki w A i B niech będą ax i a₂. Nazwijmy dalej stajŒTj, sta₂=T₂, a wysokość punktu A nad B niech będzie s.

Według równania 315) możemy napisać: a stąd EI~

dx

= — \^MdxĄ- C.

d²y dx² El'

dy

Dla x=0 jest ■ = t₁ , więc EIt₁ = C]

CL Jb

dla x=l jest

= t₂, więc EIt₂

MdxA-C, a stąd:

M dx.

.    .    386)

f"

cC

A%

<■—Oc..........

-------------> g§§

Rys. 192.

Całkując raz jeszcze, otrzymamy

EIy = — ^Mdx*+Cx+Cv

Wyraz ^Mdx.dx możemy inaczej napisać, całkując czę-

ściowo, a mianowicie

M dx.dx=x

\^Mdx—[Mxdx, wi

EIy——x \^Mdx-\-\^Mxdx -j- Cx+    —x ^Mdx + C\ -j-

^Mxdx-\- Cu

EIy=EIx~

+ ^ Mxdx-\- G

Dla x=0 jest y=O, więc (7₁=0;

dla x=l będzie E Is—E Ilx₂ + C Mxdx, a stąd

J°

.    .    387)

Jeżeli q jest ciężar jednostkowy, moment w A i B nazwiemy M' i M" a oddziaływania O' i O", to moment w punkcie M—M'Ą-0'x — \ qxl.

Dla punktu B będzie M"=M'    0'1 — \ ql², a stąd

M"—M'

1 ,

fyql • •

.    .    389)

Wstawiwszy to w równanie 888), otrzymamy M" -M'

M=M'Ą

M' (I—x) + 5I"x

x + \qlx—\ qx² =

kyqx(l—x) .    .

.    390)

Wartość tę podstawimy w 386) i 387) i otrzymamy M' (Z— x)-\-M" x

•*/

EI{%x—x₂) =

'o

dx+\q \ x(l—x)dx = Jo

E I(s— 1% ₂) =

Jo

-w+M")-L+±ggi*

M' (Z— x) Ą-M" x

r⁷

xdxĄ-\q\

Jo

x² (Z —x) dx=

Rozwiązawszy te równania, otrzymamy

iSl>+2 *Ä+£>=®f

±qP-2

la

Jf' = —

M" = —

Z²

.    .    391)

względnie xx =

6EI

GEI

<$M> + M"+łqP)+Ą-(M' + 2M"+iqli) +

.    .    392)

§. 81. Belka ciągła.

Belką ciągłą albo wieloprzęsłową (n. continuier-Hoher Träger, fr. poutre continue, an. continuous beam, cz. tram spojity r. Hepa3ph3Haa ôajiKa) nazywamy belkę prostą, spoczywającą na kilku podporach.

Tu zastanowimy się tylko nad najprostszym przypadkiem, gdy belka jest jednostajnie zupełnie obciążoną ciężarem jednostkowym q, gdy podpory są równe wysokie a przekrój stały.

Mech ABC (rys. 193) będzie młc i m+ lsze przęsło belki ciągłej o równo wysokich podporach, to oba te przęsła możemy uważać jako belki ukośnie utwierdzone, otrzymamy więc z rów-

Om

gSPil

/ni ""

...........—/

Rys. 193.

nania 392), zważywszy, że s=0, dla przęsła meao styczną kąta nachylenia linii ugięcia w B xm

i + 2Mm + \qlm²), zaś

QEI

dla przęsła m + lgo styczną kąta nachylenia linii ugięcia w B

także

~^pMm+ jK.₊,+iql\+i). Jeżeli E i I są ilościami stałemi, to

a stąd

Mm—1 lm ~f" 2Mm(lm -j-    ~ł⁻ Mn,+1 lm+1“—T <l(l +1 ’m+l) • 393)

Zastosujmy to równanie do wszystkich przęseł (rys. 194) i zważmy, że df₀ —Mn =0, a otrzymamy

0o

O*

On-i

Oni

On

"2K⁻

■*■-4—4-4-—* ./j,—a t—

Rys. 194.

dla m=l,2Mt +1₂) +Jf₂l₂— |?(Z,

dla m = 2, M, Z₂ + 2Æ₂    -W₃) + .Jf₃l₃ =--ł?ft³+4s),

dla W, = 71—2,    3^1—2 + 2 J/n—2(4—2 + 4—l) +    14—1 =

= —\q (4\—2 + Z³M_l)

dla m=n—1, Jfn_₂4-i + SM^Z^i+ZJ^

= -łq(l\-i+l\)

Otrzymujemy więc (n— 1) równań, które wystarczają do wyznaczenia (n—1) momentów podporowych. Równania te nazywamy równaniami momentów podporowych (n. Normalgleichungen) albo równaniami Clapeyrona.

"Wyznaczywszy momenty podporowe, otrzymamy łatwo momenty we wszystkich innych punktach, siły poprzeczne i oddziaływania, a mianowicie momenty według równania 393)

f M"y+* qx(l—x) .    .    .    395)

M=M

,1-s

Jestto równanie paraboli o osi pionowej.

Niechaj będą Q' i Q" siły poprzeczne w A i B (rys. 195), to moment w C będzie M=M' Q'x—\qx²: więc dla punktu B będzie M"=M'-\-Q'l—\ql², a zatem

Q'=\qi

M'-M"

O'

⁰‘ a <3" = —ł ql

M'—M"

.    .    396)

będzie

Siła poprzeczna w punkcie C

"O

Rys. 195.

<H<J'-qx.    •    • 397)

■ Jestto równanie linii prostej, której nachylenie zależy tylko od q₁ a więc linie sił poprzecznych będą we wszystkich przęsłach równoległe.

§. 82. Belka ciągła dwu i trzyprzęsłowa.

Zastosujemy teraz wzory poprzednie dla belek dwu i trzy-przęsłowej.

...

.......( --------

ylikj

Dla belki dwuprzęsłowej (rys. 196), przypuśćmy, że =l₂=l. Tu otrzymamy tylko j e-dno równanie momentu podporowego 2Mx (*+•/)—(/»+/*), więc

Rys. 196.

"W pierwszem przęśle jest ilf'«=0, M" = MX =--—i- gZ², więc według równania 395)

— łQte+$qz(l—.a;)=-iqx(31—4x)    .    .    399)

dM

Najw. M jest dla z1? dla którego ^p=0, więc -f ql—qxx =0,

CLX

zatem =-f Z=0,375 Z,

tak, że najw. (+M)=|g.£Z(3Z-f Z)=~₈ql²==0,07032ql².    400)

zaś ilf=0 dla 3Z=4a:', więc z'=-|Z=0,75^

Według 396) będzie dla pierwszego przęsła

<r=ł?*-ł^=+|iii

«" =

.    .    401)

~i ll—k Ql=

zaś (^ = f gZ—ga;=-₈ q (31—8x)

Parabolę wyrażoną równaniem 399) i prostą, wyrażoną równaniem 401) wykreśliliśmy na rysunku 196.

Bys. 197.

Dla belki trzy przęsło wej (rys. 197) przypuszczamy, że przęsła skrajne są równe Z1? średnie zaś przęsło ma długość l. Tu Mq =Jf₄ =0, MX=M₂, więc dwa pierwsze równania Cla-

peyrona dają jedno równanie 2Mx(lx + Z)-pi/₁Z=--£-(/* ³ + Z³),

q(l³ + li³)

a stąd

Mt =M₂

4(21₁+31)'    '

.    .    402)

Momenty w pierwszem przęśle otrzymamy z 395), wstawiając M' — 0 M"=MX,

.    .    403)

Mx j-+1 qx (lx —x)    .    .

L\

Największy moment będzie dla xx, gdy yy~=0, więc

CDD

M<

17    ^    ,    ,    Ma L

+%qi\ — qxi⁼o? a    •

W' drugiem przęśle będzie J/' = M" — Mx , więc M—Mx -\-\qx(l—x) .

Największy moment będzie dla x₂, gdy -~w=0, więc

CLX

dx    ^2⁼⁰> a st4d

x₂ =^l, zatem najw. M — Mx+ ^ ql¹

.    404)

.    .    405)

dM

(IM

.    406)

§. 83. Belka ciągła o równych przęsłach.

Dla obciążenia zupełnego jednostajnego upraszczają się bardzo wszystkie wzory, jeżeli wszystkie przęsła są równe. Nie będziemy tu już przeprowadzać zupełnie rachunku, podajemy tylko wyniki, zestawione w następnej tabliczce.

Liczba

porządkowa

Ilość przęseł równych

Oddziaływania

Największe momenty

w punkcie

wynoszą

3    ¹

O₀ = Oi=-g- ql,    B (druga podpora)

*=|Ż (pierwsze 0l = -^ql    przęsło)

^0 = ^3 =0)4 ql,

Oj = o,=1,12/

— 1-qp= -0,125 qp A qv= + 0,0703 qł*

B, O (średnie podpory)

*=0,4 l (pierwsze i trzecie przęsło)

- 0,1 qP + 0,08 qP

11

0j=o₄—2g qi=

=0,3929 ql

0i==0,=|₂?=

= 1,1428 ql, 0₃=|^= =0,9286 ql

i?, D (druga i czwarta podpora) *=0,393

(pierwsze i czwarte przęsło)

-1^ =-0,1071 + 0,0772 gZ²

15

■i

Oo — 0₅—gg ⁽ß—

=0,3947 ql 43

°i = °i=38ql = 1,1317 g/

^i ⁼ 0₃=^ql

=0,9736 gZ

7?, 2? (druga i piąta podpora) *=0,3951 (pierwsze i piąte przęsło)

38

+ 0,0779 qP

VI. Wytrzymałość złożona na zginanie i ciągnienie lufo zginanie i ciśnienie.

¹

Por. artykuł Ritter a w Arnierter Beton 1909, str. 171.

§. 84. Bryła natężeń i oś obojętna.

Jeżeli na przekrój belki działa siła doń prostopadła P w dowolnym punkcie przekroju H (rys. 198), to nie zmieniając równowagi możemy umieścić w środku ciężkości O dwie siły

B, li' b

id

\ !//

yr

Nf

A' AA,

Nfl

Rys. 198.

równe P i równoległe do P, ale działające w kierunkach wprost przeciwnych. Mamy wtedy siłę P działającą w osi i moment Mv: = P. HO. Siła P w osi sprawia w całym przekroju ciągnienie lub, jak tutaj, ciśnienie, wszystkie włókna skrócą się o 00', przekrój więc AB zajmie położenie A' B'. Moment zaś M wywołuje natężenia zginające, przekrój obróci się o pewien kąt około O' i zajmie położenie AXB^. I)wa te działania dodają się algebraicznie, a więc także znoszą się po części. Z rysunku widzimy, że w T odkształcenie, a więc i natężenie jest równe zeru. Przez T będzie więc przechodzić oś obojętna (p. §. 66.) P, P1? równoległa do W₁ Wi t. j. do osi obojętnej dla samego

zginania.

Wiemy, że natężenia zginające są proporcyonalne do odstępu od osi obojętnej, a więc natężenie v w dowolnym punkcie L będzie v=a u. Suma algebraiczna wszystkich natężeń równa się sile P, więc

Ponieważ P jest wypadkową wszystkich natężeń v, więc musi być także suma momentów natężeń względem dowolnej

MS

u² d²F=aI±

osi równa momentowi siły P, a więc Pui =j*j uvd²F, a stąd uv d¹ F

.    .    410)

= —

jeżeli It oznacza moment bezwładności ze względu na TiTi.

Siła P zaczepia więc w środku ciężkości bryły natężeń, dlatego też punkt ten H nazywamy środkiem natężenia (ciśnienia lub ciągnienia) (n. Mittelpunkt der Spannung).

Przyjąwszy osie główne elipsy bezwładności jako osie spół-rzędnych, możemy napisać (por. §. 40)

v = x wst cp + y dost <p, a więc v = a (z + x wst cp + y dost cp).

Jeżeli utworzymy moment siły P ze względu na oś YY i XX, to będzie

Pxi = \^xvd²F i

Natężenie w punkcie L możemy jeszcze inaczej wyrazić;

P

natężenie to składa się z ciśnienia vi — — i natężenia zginają-

.    .    408)

_? , MwT; v F ⁺ Iw ‘

Jeżeli w każdym punkcie przekroju wystawimy prostopadłą na przekrój, której długość i kierunek odpowiada wielkości i kierunkowi natężenia v, to prostopadłe te utworzą bryłę natężeń, której objętość według 407) równa się sile P.

Nazwijmy natężenie w środku ciężkości przekroju to objętość bryły natężeń, która jest walcem ukośnie ściętym równa

się P—Fvq—cczF, więc

cego v₂ =

M„.v

a więc

v₀ = az =

.    .    409)

Pyx = v d²F, albo inaczej

PxK = \^xa(z x wst cp + y dost cp) d¹ F = az^ X(F F +

+ a wst cp ^ x² d² F + a dost cp [^\xyd² F.

Dla osi głównych, przechodzących przez środek ciężkości jest x d²F= 0 i ^ xy d² F= 0 (§. 40), więc

Pxx = a wst (p Ix ( i podobnie Pyi = a dost (pij Z wzoru tego otrzymamy

.    .    411)

wst cp =»

Pxx a Ix

dost (p =

PV\

więc

Pxx 1 ^ Pyy j a

Natężenie ^ wywołane j est siłą P działaj ącą w osi t. zw. siłą podłużną (n. Axialkraft) i momentem P. i/O. Wiemy z §. 66, że dla momentu HO, którego płaszczyzna różni się od płaszczyzny osi głównych, powstaje oś obojętna Wx Wx, która jest osią sprzężoną z osią HO, w' której działają siły. Wskutek działania siły P oś obojętna przesuwa się równolegle o z, zatem promień OH, łaczący środek ciężkości przekroju z środkiem ciśnienia, i równoległa do osi obojętnej TXTX, poprowadzona przez środek ciężkości są osiami sprzężonemi elipsy środkowej bezwładności.

Jeżeli tp — O, to także <jP=0; więc gdy środek ciśnienia pada na oś główną, oś obojętna jest prostopadła do niej.

al

412)

Odległość osi obojętnej od środka ciężkości przekroju O jest wedle 409)

a ze wedle 411) a=*

Py i

więc

PI

/dost ą>

^dostqp ....    413)

z = -    - dost (p =

PPy \    y!

W razie, gdy środek ciśnienia pada na oś główną, więc

xp = <p = 0, z =

.    .    414)

Odstęp ux da się obliczyć także na podstawie rów. 410) i 411). Możemy mianowicie napisać

It ' Iw + Fz² F a'² -f Fz²

alt

a'²

Ux P Fz

Fz

Fz

+ z.

arl

vx — ux — z ——,

Mamy więc

jeżeli a’ oznacza promień bezwładności dla osi Wx Wx, a stąd

OH. OT => OIP .    .

.    .    415)

A zatem OU, odstęp środka ciężkości O od punktu przecięcia elipsy środkowej z OH, jest średnio geometrycznie proporcyonalny między OH i OT. Jeżeli ip = 0, to to OU jest połową średnicy elipsy bezwładności.

Na tern polega łatwa kon-strukcya w celu wyznaczenia położenia osi obojętnej.

Długością OU zakreślamy koło (rys. 199),

kreślimy styczną do koła HL.

w. A OL¹ OH¹

. Wtedy ON=-oh = m

Jeżeli więc zrobimy OT=ON, to przez T przechodzi oś obojętna.

Jeżeli OH < OU, to postępujemy inaczej (rys. 200). W O kreślimy prostopadłą do OH i zataczamy z H łuk promieniem

= OU, a więc HM=OU. Dalej robimy MN±HM, to

HM'¹ _ OU1 IIN ~ II N '

s.

»,

A.'

/.

7/ O

N>

S

T,

punktu H

= OT.

Rys. 199.

/V

011 =

Zróbmy OT = IIN, to OH=

ou²

OT

a więc T jest punktem osi obo-j ętnej.

Jeżeli przeciwnie znamy położenie osi obojętnej, to znajdziemy środek ciśnienia w następny sposób (rys. 201). Na długości OT, wykreślonej w kie-* runku osi elipsy sprzężonej do osi obojętnej, zakreślamy pół-pole, z punktu O kreślimy łuk promieniem OU=OM. Z M spuszczamy prostopadłą na OT, zatem

ON : OM = OM : OT, stąd

Rys. 200.

OU²

OM2 OT

Robimy więc OII= ON, otóż H jest środkiem ciśnienia. Z równ. 415) widzimy, że z (rys. 198) jest tern większe, im mniejsze

ON =

OT

= OH.

jest vx i odwrotnie. Jeżeli oś obojętna porusza się równolegle, to środek ciśnienia II porusza się po osi sprzężonej z kierunkiem osi obojętnej i odwrotnie.

Ponieważ vxz—an, więc gdybyśmy wartości vx i z pomieniali, a więc gdybyśmy środek ciśnienia przyjęli w T, to oś obojętna przechodziłaby przez II i byłaby równoległą do Tx Tx. Widzimy więc, że każdej prostej Tx Tx, odpowiada pewien punkt II i na odwrót. Dlatego nazywamy punkt H biegunem (n. Pol, an. pole), równoległą do Tx Tx po drugiej stronie O w tej samej odległości, co TXTX, leżącą, nazywamy biegunową (n. Polare, an .polar), a prostą IXTX pr z e ci w b ie gun o w ą (n. Antipolare, an. antipolar) i na odwrót H nazywamy prze ci w biegunem (n. Antipol, an. antipole) prostej TXTX.

Jeżeli OX i O Y są osiami sprzężonemi środkowej elipsy bezwładności (rys. 202), a Hj est środek ciśnienia, w którym działa siła P, to da ona się rozłożyć na dwie siły Px i P₂, działające w punktach osi Hx i II₂1 przyczem przypuszczamy, że Hx H₂, j est równoległe do WWX osi sprzężonej do OH. Dla siły Px w Hx otrzymamy oś obojętną NXN. siły Px w H₂ otrzymamy

oś obojętną N₂N₂. Gdy obie siły działają, w punkcie D będzie natężenie równe zeru, więc przez D przechodzi os obojętna.

\ K""'

Rys. 201.

dla

\b

U,

Ht

s\o\

AlX-

Rys. 202.

\D A/

\rA

Y \M,

Gdy siła P poruszać się będzie po Hx iJ₂, to oś obojętna będzie miała różne położenia, ale zawsze przechodzić będzie przez D, więc gdy H porusza się po prostej, oś obojętna obraca się około punktu D.

Na mocy poprzedniego stwierdzamy dalej, że gdy w D jest środek ciśnienia, to oś obojętna przechodzi przez H i ma kierunek HxHt. A więc ogólnie orzec możemy: Jeżeli oś obojętna obraca się około pewnego punktu, środek ciśnienia porusza się po linii prostej, która byłaby linią, obojętną, gdyby środek ciśnienia był w D.

§. 85. Jądro przekroju.

Jeżeli oś obojętna porusza się stycznie do obwodu przekroju tak, że go nigdzie nie przecina, to środek ciśnienia opisuje linię zamkniętą, ojędrną, będącą obwodem powierzchni, którą nazywamy jądrem (n. Kern, fr. noyau central, an. core heart, cz. jadro prüfezove, r. aa^po).

Jeżeli środek natężenia leży w jądrze, to oś obojętna leży po za przekrojem, więc w całym przekroju panuje to samo tężenie, ciśnienie lub ciągnienie. Gdy środek ciśnienia wpada na linię jędrną, linia obojętna jest styczną do przekroju, w całym przekroju panuje to samo natężenie, ciśnienie lub ciągnie-punkcie styczności natężenie to jest równe zeru. Gdy

na-

nie, a w

zaś środek ciśnienia wyjdzie z jądra, oś obojętna przecina przekrój ; po jednej stronie osi obojętnej jest więc ciśnienie, po drugiej ciągnienie.

każdemu wierzchołkowi

linia

W celu wyznaczenia ojędrnej wyznaczamy pojedyńcze jej punkty, punkty jędrne (n. Kernpunkt, cz. krajny bod ja-drovy) w sposób w poprzednim paragrafie wskazany, wy-kreślnie lub liczebnie, na podstawie równ. 415). Przytem korzystać będziemy z prawideł tamże wyłożonych, z których wynika, że linii prostej w obwodzie przekroju odpowiada jeden punkt

około którego obraca się linia obojętna prosta w ojędrnej. Można udowodnić¹), że łukowi koła w obwodzie odpowiada linia jędrna paraboliczna, linii obwodu zaś eliptycznej ojędrna hyperpoliczna.

Odstęp punktu jędrnego od środka przekroju nazywamy promieniem jędrnym (n .Kernweite). Jeżeli oznaczymy go przez i, to wedle 415)

F a²    W

Fe

.    .    416)

Przykłady. 1. Prostokąt (rys. 203). Tu najłatwiej wyznaczymy ojędrną liczebnie. Gdy oś obojętna będzie DC, to musimy w równ. 416)

hh²

podstawić dla osi HK=W—~=F=bh, więc 0/=tj

wodu sy metry i jest OIx = Ol.

Jeżeli oś obojętna ma położenie

Wł*

"6 *

Z po-

kb*

DE, to dla osi FG, W= — : bh,

:hb=i-<

więc 0/₂=—

Ponieważ dalej wierzchołkom E, C, E, E odpowiadają proste, więc ojędrną otrzymamy łącząc Ij, /₂, / i J₃ prostemi.

!C---

r

i

i:

Z’

280

41

tjt

|4

h

;.......f

-.....

fili

/>

z;

---------------6

“1

jf ......

-'120

...—.......^

Eys. 203.

Eys. 204.

Liczebnie otrzymamy

. _r W 609,1 CQ_ h = 01= .y = -gg^-= 8,8/ cm,

=1,07 cm.

W ten sposób obliczyliśmy dla kształtówek I następną tabliczkę:

*3 ⁼ Oli —

Wx 73,2

F 68,7

L. kszt.

L. kszt.

*3

L. kszt.

i₃

10

12

13

14

15

16

18

18 a

05 OlJJl ^ #*■

'cD'îo'tc'cD'br'bo'o'bs'os

cr>to^CT5<X)toto^co

OOOt—iOt>CO(M

^OlCOHHlCCOlOrH

iOC£>CDl>-O-l>-l>-C0C0

cf cT cT cT cT cT cT cT t-T

20

21

22

22 a

23

24

24 a

25

26

28

30

32

3. Kątowka (rys. 205). Przyjęliśmy tę samą kątówkę nierówno-ramienną, co na str. 129 i wykreślimy elipsę środkową bezwładności.

Dla położenia BC osi obojętnej wyszukujemy kierunek sprzężony HP. Z punktu N elipsy zataczamy łuk promieniem ON aż do przecięcia się z prostopadłą, wTystawioną w M, potem robimy RP J_ O R, to ~0N*=0Ri= OM. OP. Jeżeli więc 01= OP, to 1 jest punktem jędrnym. Gdy oś obojętna ma położenie CD. to kierunek do niej sprzężony jest FG, a odnośny punkt jędrny 2. Dla położenia KL otrzymamy podobnie punkt 3, dla EA punkt 4, dla AB punkt 5. Gdy punkty te połączymy prostemi, otrzymamy ojędrną. Zakrzywienie w L uwzględnimy, kreśląc dla pośredniego położenia stycznej oś sprzężoną WS. Po przeprowadzeniu konstrukcyi znajdziemy punkt 2' i zamiast prostej 23, otrzymamy łuk paraboli 23, i analogicznie dla zakrzywienia w K łuk paraboli 34.

/:•

/'Ite

---- 50

li

«1

W.

fil

'Jtf

V,

\m

------Lt

pL\i

\ ^

Rys. 205.

4. Koło. Tu “⁼'T"> (ry8, 206), e=

. a² d² <Z (Z

'V¹«CÎ”T”Ï6:¥= 8 ’

fcO

Dla koła więc elipsa bezwładności jest kołem o średnicy o połowę mniejszej, a jądro przekroju także kołem lecz o średnicy — .

<.......... ■ *- >

Jjr

r*-

--•>

U/f--

Rys. 207.

Rys. 206.

5. Koło wydrążone, pierścień (rys. 207). Tu

a=\Y'"

+ d₂³, e=d'

Zatem

»'=

d,*+d,-‘ . Æ, 1 1 i,n

i6 • i“8r ⁺ ą) •

Dla d₂ =0 otrzymujemy

i' =

, jak pierwej.

Jeżeli porównamy jądra koła pełnego i pierścienia o tej sam ej

^2 jp    j-

powierzchni, to otrzymamy —— = -J-(d₁²—d₂²), d²—dy²—d₂‘i. Nazwijmy

dy : d=je, to t'=— (^i

dy²—d²

dy

zatem

i'

-{dl+d^d)'d=:{2dl~ly)

:<ż=2x-—.

Stąd otrzymamy dla

x =1,5 2    2,5 3    3,5 4    4,5 5    5,5    6

K =2,33 3,50 4,80 5,67 6,71 7,75 8,78 9,80 10,82 11,83

i

"Widzimy więc, że promień jędrny pierścienia jest znacznie większy, niż koła o tym samym przekroju.

§. 86. Największe natężenie.

Natężenia w dowolnym punkcie L (rys. 198) obliczyć możemy według wzoru 412)

yy A

d¹)'

Jeżeli siła P działa w osi głównej np. w osi 07, to xx =0, więc

₌ P Py\ y

.    .    417)

bo M=Pyx.

Największe v, które wystąpi dla najw. y = e, powinno się równać t, więc

418)

P Me

t=f ⁺T

Jeżeli Mx = Pxx, to możemy równ. 412) także inaczej na-

pisać :

P M, x

My

.    .    419)

v=~—

F

Widzimy więc, że. moment M„ —P. HO możemy rozłożyć na momenty M=Pyx i Mx—Pxx, działające ze względu na osie główne, oraz że możemy natężenia, wywołane przez oba momenty i siłę P, dodać.

⁺ ~r-

§. 87. Wyznaczenie największych nateżeń za pomocą jądra.

Niechaj w H (rys. 208) działa siła P prostopadle do przekroju, to wedle poprzedniego oś obojętna T±TX będzie równoległą do osi sprzężonej z kierunkiem OH t. j. do W\Wt.

Moment M=P. HO da się rozłożyć na prostopadły i równoległy do Wx Wi. Tylko składowy moment prostopadły do Wx Wi wywołuje natężenia i obrót około Ti Tv Moment ten nazwijmy M' = P. HE=P. OH wst a—M wst a.

A więc natężenie największe w I wedle 408)

M wst a.IF

Iw

najw. v = —

,    •    P M. wst a. OL wst a

I„=F.(OSwst«)», więc v-- + —F-^r—^-r

Oh

M.OI F.OS-'

18

Statyka.

\t, \w,

Rys. 208.

A więc największe natężenie w warstwie skrajnej równa

F

się ilorazowi — (natężeniu średniemu) więcej momentowi 1/, podzielonemu przez iloczyn powierzchni F przez promień jędrny OKmierzony po przeciwnej stronie środka ciężkości.

W razie, jeżeli P i M pozostają te same, a zmienia się tylko położenie linii HO: natężenie największe jest tern większe, im mniejszy jest promień jędrny OK', a więc największe natężenie będzie dla kierunku HxO, bo OKy jest najmniejsze.

Jeżeli siła P jest równa zeru, a w przekroju działa tylko moment M w płaszczyźnie OH, to z równ. 420) otrzymamy

422)

Wedle 415) mamy dalej OK' .01^=0 S², wstawmy to w poprzednie równanie, a otrzymamy

M.oi;

F. O IC . O/,

najw. v=- Ą-

Ph ;Ph

F OK/

.    420)

Dalej mamy: najw.

F

F. HO F. OK' ~ F OK'

F OK' 4- HO    T K'H

F ’ OK' ’

421)

\H:

\Y

T,

J>/

/y

H/ \

s'il

K/

Sy'

\___

_x

s.

M

najw. V-YÄK’

Rozwiązanie zagadnienia wyznaczenia natężeń w belkach, gdy siły nie działają w płaszczyźnie osi głównych, omawianego w §. 66., jest przy użyciu jądra przekroju daleko prostsze.

Przykłady. 1. Kształtówka 1. 28a użyta jest jako płatew nachylona do pionu pod kątem a, przyczem st a=0,6. Długość płatwi niecli będzie ,    5 m, ciężar jednostajnie rozdzielony

\Y c

na całą długość 1,55 t, więc moment największy M = 116250 kgcm (por. §. 66).

= 614,3 %/cm².

najic. v=

Na rysunku 209 wykreśliliśmy jądro przekroju. Mamy F=78,9, OK'= =2,4 cm, więc wedle 422) w C 116250

78,9.2,4

2. Zróbmy ten sam przykład, co w §. 66. Obliczyć należy natężenie największe płatwi (rys. 210), przyczem M=73bOOkgcm. Wedle rysunku 7^=14.28=392 cm¹, OK'=2,5 cm, więc

73500

392^5 ⁼⁷⁵^/cm2-

najw. v=

W §. 66 otrzymaliśmy v=77,47 kg/cm*, a więc wynik nie o wiele się różniący. Naturalną jest rzeczą, że wynik będzie tem dokładniejszy, im dokładniej odczytamy OK'. Należałoby więc jądro konstruować w naturalnej wielkości.

Rys. 209.

\Y

YII. Wytrzymałość na wyboczenie.

§. 88. Wzory zasadnicze Eulera i Rankina.

Jeżeli na pręt prosty BD działa siła P (rys. 211) w osi, to według równania 44)

P=Fx,

gdy F oznacza przekrój śnienie.

423)

a x natężenie dopuszczalne na ci-

Powyższe równanie ważne jest jednak tylko do pewnej granicy. Jeżeli wysokość pręta jest większa, niż pięciokrotny najmniejszy jego wymiar, to pręt, który wtedy nazywamy słupem (n. Säule, an. column, fr. poteau, r. CTOÜKa), wybo-czy się pod działaniem si ly P, jak doświadczenie okazuje, i przy-

zniszczenie słupa nastąpi nie przez

bierze kształt B ED, zgniecenie, lecz przez złamanie. Wytrzymałość słupa w tym

s>y

V.

'/r

\.

* <p

Eys. 210.

•wypadku nazywamy wytrzymałością na wyboczenie (n. Knickfestigkeit, fr. résistance au flambage, an. résistance buckling, r. conpoTHBJieme npoÆOJibHOMy y3rn6y). Gdyby siła P działała zupełnie środkowo, t. j. gdyby jej kierunek wpadał z matematyczną dokładnością w oś i gdyby materyał słupa był zupełnie j ednorodny, nie byłoby żadnej przyczyny wygięcia osi raczej w kierunku BED, niż w innym. Ponieważ jednak w praktyce nie możemy przypuścić zupełnie jednorodnego i równo gęstego materyału, i że siła zaczepia zupełnie dokładnie w środku ciężkości przekroju, zatem oprócz ciśnienia powstaje w słupie także pewien moment, który sprawia, że słup się wybacza.

Przypuśćmy naprzód, że siła P działa w odstępie g (rys. 212) od osi, przyczem że możemy je w stosunku do y opuścić,

H IW

Ili

im*

i if‘

u

n

■.vjUL l.

-E

Eys. 211.

to g jest tak małe, to słup BD, którego oba końce mogą się obracać około stałych

punktów B i D, wyboczy się. Nazwijmy r promień krzywizny linii ugięcia w punkcie C, to według 315) otrzymamy

i_jPy _ _

r dx²⁼~ El'

Moment sił zewnętrznych w punkcie C jest M=Py, widzimy więc, że tu linia momentów jest identyczną z linią ugięcia. Dalej mamy

d²y Py -T ••    dy ,

dv dx v dv

dx² ~ EÏ NazwlJmy *-*. t0 d²y dv    Py

dx² dx    EP a W1^c    dy El

^vdv =

FI\y dV: a stąd

El 2

^r+<7, więc

.........4rjfr

JL.1Ïi k

-f-V²«

f\k

Py²

El¹

Eozdzieliwszy niewiadome, otrzymamy dr, a więc

dy

2(7--.

Py²

El

dy

y 2CEI

:-V£S

da?.

Rys. 212.

łuk wst

'—y

Wykonawszy całkowanie, otrzymamy + (7,, więc

Ma<y=*vj

v\mi

= wst

(x^Wi+c)

i/2CEI

y= Vnp

wst

czyli

.    .    424)

Jestto równanie sinusoidy.

Ponieważ z powodu symetryi łuk BE jest przystający do łuku PD, więc musi byó

(c>+xii)’=wst(c'-x^£)

a więc

* wst

~ lub i t. d., a zatem Ł    &

wst

(C'+xHl)=dost(x^£)

wreszcie

Dla x

(•va•.

i'=V p

=^~ będzie <7=    - dost

2 CEI

dost

(iVS

dost

a więc ze względu na 425) y=g

(•VS

dost

to ex

.    426)

Dla x=0 otrzymamy we środku pręta

dost

(-VS

CM

y=f dost

a zatem

(xV|i) • •

.    427)

Jeżeli teraz przypuścimy, że siła działa w osi, więc <7=0,

nie było

to według 426) byłoby y = 0, gdyby dost

(ivs

także =0. Wyboczenie może więc wtedy tylko nastąpić, gdy 0, a więc, gdy    lub 1T ¹    d’’

dost

(IVS-

ogólnie gdy m jest nieparzystą liczbą całą. Stąd wynika

P ml n²

El

JT-, więc P

EIm²n²

l²

Dla m= 1 otrzymamy najmniejszą siłę P, zdolną sprawić wyboczenie, mianowicie

l²

.    .    428)

Dla/<7=0 otrzymamy    więc nieoznaczone, pręt zatem

będzie w równowadze, jakąkolwiek będzie strzałka f³).

Ponieważ nie znamy strzałki f, więc i największego momentu M=Pf: zatem, aby moment ten nie wywołał za wielkich natężeń, nie możemy wcale dopuścić wyboczenia ; a więc musi być

r<ëlll²

< p ’

przyj ąwszy ntą pewność

.    .    429)

■ •

Wzór ten ustawił pierwszy Euler, dlatego nazywamy go wzorem Eulera.

W pewnych wypadkach możemy zadość uczynić obu rów-

P

naniom 423) i 429). Z równania 423) obliczymy przekrój P=—

a potem staramy się taki nadać kształt przekrojowi, aby I było wielkiem i aby zadość uczynić równaniu 429).

.    .    430)

Widzimy, że 1 = -^-PI²

Jeżeli przyjmiemy dla żelaza zlewnego n = 5, E= 2150000 „    „ lanego w = 2, P= 1000000

„ drzewa

i jeżeli wstawimy P w t a l w m; to otrzymamy:

5.10⁷

n=9,P= 110000

>9.87.₂₁B0000Plî5^Pl²

dla żelaza zlewnego /

.    .    431)

.    . 1^8,1 PI²

.    . I>83 PI²

„    „ lanego .    .

„ drzewa ....

Słup dany nie powinien się wyboczyć w żadnym kierunku ; jeżeli więc długości nie podparte i momenty bezwładności w innych kierunkach są inne, to musimy i dla tych innych kierunków tak samo liczyć. Przytem chodzi nam, jak zawsze, tak i tu o to, aby pewność we wszystkich kierunkach była równa.

Przekrój w ten sposób obliczony potrzebnym jest właściwie tylko we środku pręta, u stopy i głowy może być przekrój

P₀=—. W jaki sposób przekrój może się zmieniać od P₀ do F nie da się jeszcze ściśle obliczyć.

Wzory powyższe polegają na przypuszczeniu, że siła P działa zupełnie środkowo, co w praktyce rzadko tylko możemy urzeczywistnić. Zresztą wzory te ważne są tylko do granicy sprężystości. Po za nią E nie jest ilością stałą, lecz jest funkcyą.

natężenia. Tymczasem z wzoru Eulera nie możemy wcale natężenia wyznaczyć i to jest dalszą jego niedogodnością.

Nazwijmy v natężenie pręta wytoczonego (rys. 211 ) w punkcie E, gdzie największe ugięcie f. Wyrazić je możemy według równ. 418)

P Pfe i

gdzie e oznacza oddalenie skrajnej warstwy przekroju od osi a I^Fa².

Jeżeli w przybliżeniu przypuścimy, że ugięta oś B ED jest

2

lukiem kołowym, to f=

Dalej mamy wedle 143) i 145) zI—Me, i EI=Mr, a stąd

zatem

rwięc

M t’ * 8Ee

V~ Pf{¹⁺ 8ITa*) ~ K¹ + 8^"a") )■

T

Jeżeli nazwiemy teraz « = q~, to r =

jeżeli zaś zamiast v wstawimy r, otrzymamy

.    .    432)

a stąd

.    433)

jeżeii ~=F<r

Wzór ten ustawił najprzód Ran kin e na podstawie doświadczeń Hodgkisona. Spółczynnik wyboczenia (n. Knickungscoefficient) a możemy przyjąć w przybliżeniu dla żelaza spawa lne go i zlewnego a=0,00001), dla żelaza lanego a=0,00022, jeżeli leizna jest jednostajna, a dziura w słupach o przekroju rurowych jest zupełnie w środku. Dla większych słupów lanych leżąco, w których zatem leizna nie jest równo gęstą, możemy przyjąć a = 0,00068.

Dla drzewa jest spółczynnik wyboczenia « = 0,00015.

Z wzoru 433) widzimy, że ponieważ <p jest zawsze większe, niż jedność, więc F>F{). Spółczynnik £ nazywamy więc spółczynnikiem zwiększającym.

Widzimy więc, że gdy licząc wedle wzoru Eulera może być F=F₀, jeżeli tylko zadość uczynimy rów. 429) tu musi być zawsze F>F₀.

Stosunek

—=s nazywa Huber smukłością słupa.

§. 89. Wyznaczenie długości wolnej.

Poprzednie wzory są ważne tylko wtedy, gdy oba końce słupa są wolne, to jest mogą się obracać około środków ciężkości przekrojów końcowych. Jeżeli jeden lub oba końce są przytrzymane lub utwierdzone, wtedy wzory się zmieniają. Możemy jednak poprzednich wzorów z małą odmianą i tutaj użyć, jak to zaraz wyłożymy.

1)    Jeden koniec utwierdzony, drugi wolny. Tu słup AB (rys. 213) wygina się tak, jak połowa BE (rys. 211) słupa w poprzednim wypadku, więc możemy zatrzymać te same wzory, rów. 429) lub 433), wstawiwszy tylko w nie Z = 2Z,. Druga strona równania 429) będzie więc cztery razy mniejszą, niż w przypadku, opisanym w poprzednim paragrafie, wytrzymałość słupa o tym samym przekroju jest więc cztery razy mniejszą.

2)    Jeden koniec utwierdzony, dru-

Ä’""A

1/

...SL.J

Rys. 213.

gi przytrzymany. Przekrój B (rys. 214) jest przytrzymany, jeżeli może się wprawdzie obracać około swego środka ciężkości, lecz punkt ten zostać musi na prostej D B.

Ponieważ belka jest w B przytrzymana, więc powstaje tu oddziaływanie poziome N, a więc moment w punkcie C jest M—Py—

—ZV(Z, —x). Według równ. 315) będzie więc d²y

/j,

... Ji—

M N/7    . P

dx2 Vi~ El El ^    ^ EIV'

Różniczkujmy to równanie, a otrzymamy N P dy EI~ El dx _ P d²y _

a dx²~ EIdxY~ EIVl

dv^

dx

d²v

r>:

Rys. 214.

Równanie to jest analogiczne do równania dhy dxl

któreśmy mieli w poprzednim paragrafie ; otrzymamy więc podobnie, jak tam (równ. 424)

EIVl

2 CEI

• wst

M£)

albo

i\T

2CP7

wst

stąd

-V

2 CEI

- wst

485)

^    .    <Zy 2V* EIpC,

Dalej mamy    — -p---p— dost

Dla #=0 jest dy

= 0, więc N=— El fZCdost Cu ctcc

12 CEI

—    — wst Cj, a zatem

.    .    436)

NI

dla 2=0 jest y=0, więc

st (7, = — Zj

El

2 CEI

Dla a;==Z₁ jest y==0, więc Ponieważ (7^0, gdyż iV>0, a zatem

°^EI

wst

= 0, więc

Stąd zaś wynika, że st lx

st Z

wst

fc+tf£)-⁰

—_=n lub 2n i t. d.

—=—stPj, a ze względu na 436) JojI

VJ'r'.V

El'

Najmniejsza wartość, dla której st <jp = <jp, jest <p== 0, druga wartość <jp°=257° 27', przyczem st cp = (p = 4,493. Pierwsza jest niemożliwą, bo P nie jest =0, więc

^=4,493, a stąd

^ 4,493² El 2,04nLEI . 2yr²P7 n²EI

z,²

Z/²

Z²

gdy

z = -7=- Z. =0,707 Z

V2

dokładniej 1= ÿ^=jl t =0,7 lj .    .    .    .    437)

wzory 429)

we

A więc możemy nżyć poprzednich wzorów 429) i 432), jeżeli zamiast l wstawimy odpowiednią długość wedle równania 437). Długość ta, którą trzeba wstawić i 432) zamiast l, aby obliczyć wytrzymałość słupów jednym lub oboma końcami utwierdzonych lub przytrzymanych, nazywa się długością wolną, swobodną (n. freie Länge, f. longueur de sinusoité).

zatem ze względu na równanie

W tym wypadku l=>rj=l

y2

429) wytrzymałość jest dwa razy większą, niż w przypadku, opisanym w poprzednim paragrafie.

3) Oba końce utwierdzone (rys. 215). ip    Tu w punktach B i D powstają momenty z po-

wodu symetryi równe, które nazwiemy Mx, a więc w punkcie C będzie moment M=MX + Py, zatem na podstawie równania 315) będzie d*y

*7 ’ !

Mx Ą-Py

ii

:o

■i-

dx¹

El

a stąd podobnie jak w §. 88., gdy

dy v=—

Li ».

dx

v dv =

a ».

dy= —

Mx +Py

El

—dy.

Rys. 215.

Gdy równanie to scałkujemy, otrzymamy v² M.    Py² „

T“-^-2£Ż+<7'nar6SZ01e

2 M.

Py¹

diG

2c~lïty-m-

Dalej będziemy mieli

dy

l/2 CEI 2 M<

V -p—p y

— y²

El

-jdx—x

Wyraz pierwszy scałkowawszy, otrzymamy

O 2Mx

dy

t /2 CEI 2Miy

y p p y

łuk wst

-t/8 CEI , 4 Ms

\ P

i XiŁ+Ci’

a stąd y—

Mx

2 CEI M² Ł -I- -r— wst

P²

MÔ-

Ponieważ część linii ugięcia EB jest przystająca do części E Z>, więc

to a

lub

3 jt

y= —

M,

2* i t, d,, a zatem 2 CEI MS

p~~

- dost

d- jest y = 0, więc

o= — -“±

i/2 CEI Ma ² ,    //tl/P\

y—p—+-F-dost l sVp/j

a zatem

dost

V «=---i 4- — A--

y    p    p

Jf,

dost I a;

EL

dost

a"‘ (W®

■I

438)

Dla x=0 jest y = f, więc

dost

>]

zatem

M,

(f+T°) d0St("Vl/)

V P Dalej otrzymamy z równania 438)

dy ₌ _\lp M'.

] EI P

wst

(■VÄ

dx

dost

Dla æ=-4- jest

2 ° dx

-=0, więc albo

=0, co nie może być,

lub też

wst

La\P

rc

I EL

r— = St

cm-*

_ dost vt)Wi>

l , /p

A więc-A-y-g^.=7r lub 2 u itd., ogólnie    Stąd otrzymamy

4 m²7i² El

- 285 —

Najmniejsza siła P, która sprawia wyboczenie, jest dla m = 1

p_4:n⁴ 5 E_I

Z.⁵

.    .    439)

Wzór ten przeistoczy się we wzór 428) jeżeli podstawimy

¹

Por. A. Meyerhofa rozprawka w Zeitschr. d. Ver. deuł. Ing. (1898, str. 212).

²

Przekrój /(rys. 204). Przyjęliśmy tu ten sam przekrój, co na str. 128 i wykreśliliśmy elipsę środkową bezwładności. Gdy teraz oś obojętna ma położenie E(7, otrzymamy za pomocą konstrukcyi, naznaczonej na rysunku, a opisanej w poprzednim paragrafie, punkt jędrny /, przyczem 01— 0TX. Gdy oś obojętna jest BE. punkt jędrny jest /₂ a 0/₂ — 0/₃. Punktom obwodu E, C, Z), E odpowiadają linie proste, więc /, /₃, Jt, /₂ będzie ojędrną.

³

Według dokładniejszej teoryi Obrębowicza każdej sile P,>>P odpowiada inny stan równowagi i inna strzałka f. (Obrębowicz: O wytrzymałości prętów na wyboczenie 1885). Stwierdzają to i doświadczenia Bauschingera (p. Mittheil. 1887).

⁴

.!

⁵

;

440)

i-4...... •

Długość wolna jest więc tu równa połowie długości słupa.

4) Oba końce i środek słupa przytrzymane (rys. 216). Tu obie połowy słupa BE i ED odkształcają się tak,

a zatem

jak słup BED (rys 211), więc długość wolna Z=~

A

wytrzymałość na wyboczenie jest cztery razy większą, niż w przypadku opisanym w poprzednim paragrafie.

Rys. 216.

Rys. 217.

Rys. 218.

utwierdzony, jeżeli tam styczna linii

Zrobić tu musimy jeszcze uwagę, że koniec słupa wtedy tylko możemy uważać za ugięcia nie zmienia się podczas wyboczenia, a więc gdy przyporami (rys. 217) lub zastrzałami (rys. 218) zabezpieczymy niezmienność stycznej. W^ braku przypór lub zastrzałów musimy uważać koniec belki tylko jako przytrzymany.

Pręt wybacza się prostopadle do tego kierunku, dla któ-

w tym kie-

rego — jest największe. Jeżeliby wyboczenie runku (n. p. dla osi pod 45°) pociągało za sobą skręcenie ni-

towanych końców pręta, to wtedy należy uważać te końce jako utwierdzone.

§. 90. Wzory Tetmajera.

Powiedzieliśmy powyżej, że wzór Eulera może być ważnym tylko do granicy sprężystości. Obok niego wyprowadziliśmy wzór Rankina. Doświadczenie musiało rozstrzygnąć, wedle którego wzoru należy w praktyce obliczać. Doświadczenia takie robili między innymi Bausch inger w Monachium, Tetmajer w Zurychu i Kirsch we Wiedniu. Zrazu wedle Eulera mamy, jeżeli nazwiemy siłę, która wybacza pręt B₁

En²I FI¹

E n² =•-- C .    .

wedle 428) B = F fiw—

En¹! .

l¹

Więc [1,0 =

*(ł)-

(?)’

albo

.    .    441)

Jest to równanie hyperboli cde (rys. 219).

jun

mo

aoo

ŹOOO

900

Z doświadczeń pokazało się jednak, że w rzeczywistości wzór Eulera daje wyniki zgodne z prawdą, ale tylko dla prętów wysmukłych, dla wielkich war-

SOO

tości

i tak dla żelaza zlewnego dla

⁷%

6ÖO

— > 105, dla których przy wyboczeniu

CL

natężenie nie przekracza jeszcze granicy ^    sprzężystości. Dla

prętów o mniejszych wartościach

— przy wyboczeniu niesprężystem nie da się również zastosować wprost wzór Rankina, bo spółczynnik wyboczenia

l

a nie jest ilością stałą ani nawet funkcyą—, ale wogóle spół-

CL

czynnik zwiększający £ jest funkcyą —. Tetmajer na pod-

CL

stawie doświadczeń przyjął, że (iw jest funkcyą prostolinijną dla mniejszych .— (prosta d g). Zamiast spółczynnika zwiększa-

CL

SOO

4oo

500

200

'00

O JO iOO /so 200    Z50

Rys. 219.

■yK

jącego można wprowadzić w raclmnek jego odwrotność £'=-=

spółczynnik zmniejszający (n. Abminderungscoefficient), a zatem

T-W-

■r ;

.    .    442)

Ogólnie jest £' = 1—    %w==z%    ==%

Jeżeli przez n pomnożymy, to

¹    n ¹

u—a. a — = u—C\ — .

a    a

— at. —

flw =

.    .    443)

W następnych wzorach przyjęliśmy dla

li=

drzewa żelaza lanego żelaza zlewnego stali zlewnej

350

8000

3800

4500 kg jem²

.    .    444)

Tetmajer otrzymał : a) dla drzewa dla 5< -^- < 100, £' = 1,047-0,00693

.    £' = 3525

» 100<1, .

Na tej podstawie obliczyliśmy następującą tabliczkę: Tablica XXV.

«TS

XJ*

Soaîo^o^ooto

t»^OC-COQM»ötß

Oioiaîoocoœi>i>i>*p,

ö'ö'ö'd'ö'oö'ö'c5'c5'

h-* h-¹

§8SoSooo§o

ö'ö'ö'cT o" o" o' o" ©“ cT

^ao-^t-^-acwcni-iasto

OlOOlOOlÛOiOOlO HHClCdCOCO^^tOiO t-H rH r—i r—i rH rH t—H rH rH tH

o o opoppppp 'PPPP'P'fo'to'to'to'io o-ocococo-jcnascoc»

OOJDJDGJDO pjD 'o'o'o'P'P'i-iPi P i—i œœcûOOHlOKlCD

b) Że 1 a z o lane:

dla 5< — <80

o-*

£' =0,97 + 0,0000663    ²

£'=1234

-0,0151 —

.    445)

Stąd obliczyliśmy następującą tabliczkę:

Tablica XXVI.

Ç'

OlOOlOOlOOlO

i-iT-l(M(McOCOTtf^

O- O CD

COCDCCCOCDfMC^CM

ODI>CDCDlDiD)'^-r}ł

cT ö'cTcTö'ö'o cT

CO O CO CD 03

o io oiooiooio

lOiOCDCDC'-C'-GOCO

pop po pop

iOiOCCiO-^OOCCtH OC^^HOłt» CO Ö5 00 (N (M N r-< H

90

95

100

105

110

115

120

125

(MI>CO(MHCOOO IO CO (M ri o Oi CC I>

r—f t-H tH H rH O) O) (O

o o-dddood

c) Żelazo zlewne z wytrzym. na ciągnienie < 4000 kg jem² :

10 <

< 105

105 <

£' = 0,816-0,003-a

£' = 5584 f V-

.    .    446)

Stąd obliczono następną tabliczkę :

Tablica XXVII.

r/

CTCTrfi.rfi.O200ts2tOH-‘l-‘

C^OOCOOCOOCOCTO

o pp>. pppppp o

CC CC CC CC 1 •' i •> 1 ł

OCOCCOCDMtO^CJC-NlOO

H-‘CCH-ŁCCi-‘CCt-‘CCI-ŁCC

oßoiooiooiooio

cocooi>oocoo>0300

r-H t-H

COHCOHCOHCDHCOH COlMOffif-CDTf COHO CDCDCOlOlOlOlOlOlOlO

cT o" cT o o o do o o

110

115

120

125

130

135

140

145

150

155

HOOiGOl>CDlO^Tji(M 03 03 r-H rH rH rH rH rH rH tH

ddd'd'd'd'd'd'crcr

h-¹ i—¹ i—¹    i—‘

tOrfa.tfi.01CTi*<lCOCDO

~.!©-<!OOmi-it.OOOCTcCO

d) Stal zlewna b. miękka (fi > 4000) :

£'=0,713-0,00269 —

^i9U{rï-

10 < — < 105

105 <

.    .    447)

Stąd obliczyliśmy następną tabliczkę :

Tablica XXVIII.

OûOiOOiOOiO

H Ot Ol N CO CC T)I T#

c^^ni-icciootosco

COL'-CD'ïCOIMOOS

CDCCCOCDCCCOCDiO

o" o cT cT o o o <S

50

55

60

65

70

75

80

85

0,584

0,571

0,558

0,545

0,532

0,519

0,506

0,493

90

95

100

105

110

120

130

140

COOiO^Htii

o o o cf cT cT o o

150

160

170

180

190

200

210

05 CO i—I <M c- co 05

h 05 l> lO CO (M H <N t-H t-H rH r—t rH t-h

ö'oo'tf'öcTcr

Ministerstwo kolejowe austr. poleca przyjmować następne spółczynniki zwiększające £.

Tablica XXIX.

Żelazo

spawane

Żelazo

zlewne

Żelazo

lane

Drzewo

10

20

1,206

30

40

50

OO    CO

60

70

1,551

80

90

100

CC <N CO t-h

110

120

130

140

150

160

170

180

190

200

2,173

2,553

2,996

3,475

3,989

4^539

5,124

5,745

6,401

7,092

SS§lli§S§§l3ISilSSi

o4cT cT cT cd cT cT cT cT cT cT cT cT o~ cT cT cT cTcT

7,163

ScoSBm^xSScb^XOOCoS I I I I c-j tjit-h ic_o >-h_ 10^rn_co «o_co_cß oit~ | r^^rHNcfco^-wiocoooorr^enurarcr

T—I tH H i—i <M

X05lOCOXt-XOOCtiGCOTtłOCO C'IXC-OS^^COHrfOCOOt JO 115 H

(M Ol CO CO CO O    co CO^lO^

d'd'd'd'o'ö'₁-r4'4'4' r-T of of ef of

OHHCO-^iOt- O^CO G0 '^O^lOCOCT rHT-^C^CO.

r-T r-T t-T T-r t-T i-T i-T cT cT <*T co'    -4 ra ccT ii> co"’ 05" o' »4

odddo öcTo~o ö'ö'ö'ö'cfö'ocTi-T<4

1-H CO

CO io (N CD CO

§. 91. Przekroje złożone.

Słupy, składające się z kilku kształtówek musimy połączyć w pewnych odstępach, aby przekrój można było uważać za całość (rys. 220). Przedewszystkiem należałoby żądać, aby części słupa na długości l' się nie wyboczyły, a więc wedle 430)

Statyka.

I\ >2,37 P/j², albo podzieliwszy przez P, <34    2,37 v₀ ². Jeżeli

v₀ przyjmiemy 1 t ern² i wstawimy l, w cm,, to

Zj < 65 a,.

W praktyce dajemy tu odstęp jednak mniejszy, najwyżej lx = 50    , częściej jeszcze

mniej. Emperger twierdzi na podstawie doświadczeń, że tylko wtedy można słup jako całość obliczać, jeśli lx jest o połowę mniej -szem od obliczonego.

Profesor Saliger¹) wychodzi z wzoru Tetmajera, który ogólnie brzmi wedle

-Qt "

O-l

.    .    448)

•!

il

fć

Rys. 220.

443) iiw=fi— C ^ , przyczem fi oznacza granicę ciastowatości. Dla żelaza zlewnego otrzymamy ^„.=3,1— 0,0114 — t/cm².

CL

W rys. 221 mamy przekrój słupa, złożonego z dwu uwek, łączonych w odstępach Z₁ wstęgami. Wtedy ze względu na oś XX obliczamy słup jako całość, ze względu na oś YY musi być też

\y

Całego pręta wytrzymałość jest więc wyczerpaną, jeżeli natężenie największe będzie fiWl. Możemy więc uważać, że fiWi jest wytrzymałością materyału dla osi Y

.    449) X—

...X

Si

Rys. 221.

i napisać : natężenie wybaczające dla osi Fbędzie    — Cx —.

Ct>y

Jak wielkie jest (7, ? We wzorze 443) wyraz z C oznacza natężenie wskutek wygięcia pręta. Jeżeli pręt nieobciążony, wygięcia niema, więc (7=0, jeżeli się wybacza, mamy całe C —.

O/

Saliger więc przyjmuje C: (7¹    : /iWl,

stąd Ca — — C— ¹ fi

fi— G

fi

c=c{i

więc

fly = fl C --C( 1

d\    \

ç; jtU _ c.('iiL ₊

«J }ay    \a,j

Dla żelaza zlewnego otrzymamy :

, ^ÿ=8,l—0,0114

fi al

l\_ClLh

ßj jß CLy CL|

150)

(i. 4 A)+0,000042

V dy «i /

tlL. .    451)

ay aj

Jeżeli to samo zastosujemy do wzorów Eulera, otrzymamy

dla większego

ay

fly =

(■

« ; ÏS.

ay al

(4)

.    .    452)

Wzory te można jeszcze inaczej napisać.

Jeżeli spółczynnik zmniejszający dla całego pręta jest dla części pręta to (i,J=fiÇ/ ^

Więc spółczynnik wytrzymałości na wyboczenie otrzymamy mnożąc fi przez spółczynnik zmiejszający dla całego pręta i przez spółczynnik zmniejszający dla części pręta między stężeniami. Poprzeczki należy obliczać wedle największej siły po-

1 F 28 n

przecznej

.t

453)

454)

gdzie F oznacza całkowity przekrój słupa a n spółczynnik bezpieczeństwa.

Przykład. Obliczyć obciążenie dopuszczalne słupa o przekroju, podanym w rys. 222, który połączony jest co 50 cm poprzeczkami. Długość wolna

w obu kierunkach 6m=600 cm. Przekrój F=2 (25.1 + 2.19,16)= = 126,8 cm², moment bezwładności ze względu na oś XX

IA 25(223-20*)+

+ 4 [174,6 +19,16 (10+2,82)²]= =5517 + 18468=18985 cm‘

\x₄

■r>-.............OO

■pntacaWÊÊmt

^ * fi too

I

su;----

on >

więc

-V

18985

126,8

= 12,23 cm,

i*«

zatem

600

Rys. 222.

_Ï2,28_49?1’

£'=0,669.

Dla połowy przekroju/ći = =63,4 cm², odstęp środka cięż-

stąd

,    .    S 2.19.16.2,82-1.25

kości połowy przekroju otrzymamy c=^- —--= 1,81 cm

Jo i    bo,4

/t =2 [174,6 +19,16(2,82—1,31)²] +J²25. l³ + 25.2,31²=353 cm\ więc

«1= Y=2,36 cm, zatem    =21,4, więc =0,752.

Wedle 459) dla t=800 kg/cm^, t «,=800.0,669.0,752=402 kgjcm¹.

Jeżeli przekrój użyteczny jest 126,8—4.2.2=110,8 cm², to P=110,8X X402=44542 kg.

Ze względu na oś BB obciążenie mogłoby być większem.

§. 92. Obliczenie wymiarów.

Przy użyciu równań 429) lub 443) zachodzi ta okoliczność,, że dla obliczenia szukanego przekroju potrzebnym jest nieznany jeszcze promień bezwładności tegoż przekroju. Musimy sobie tedy przy obliczeniach radzić w rozmaity sposób.

Najprzód wyjaśnić musimy kwestyę, czy przy obliczeniu wymiarów na wyboczenie należy odciągać dziury na nityr wogóle osłabienie przekroju, czy nie. Otóż rozumie się, że przekrój F, który wypada z wzoru 442) lub 433), oznacza przekrój użyteczny, to jest przekrój po odciągnięciu dziur na nity lub innych osłabień, ale przy wyznaczeniu promienia bezwładności a nie uwzględniamy osłabienia przekroju, ale liczymy dla przekroju pełnego, bo na wyboczenie, a zatem i na kształt linii ugięcia, mają większy wpływ przekroje pełne, niż w pewnych tylko punktach osłabione. Stwierdził to doświadczalnie Poeppl²).

P

Mając P i t, otrzymujemy Fq=—. Wiemy, że F> F₀

z dwu powodów, mianowicie z powodu dziur, a dalej z powodu wyboczenia. Możnaby więc tymczasowo przyjąć F, obliczyć dla

tego przyjętego F promień bezwładności a,

obli-

a znając —

czyć F. Pokazałoby się wtedy prawdopodobnie, że to obliczone F jest inne od przyjętego, trzebaby drugi raz, a może trzeci raz jeszcze liczyć.

Aby to obliczenie żmudne ułatwić, będziemy się starali ustawić pewne wzory dla a dla rozmaitych przekrojów. Mając

takie wzory, możemy już z większą dokładnością odrazu przyjąć stosunek — i obliczenie znacznie skrócić. a

~W §. 53. podaliśmy wzory i wartości dla promieni bezwładności dla rozmaitych przekroi. Dla rachunku najwygodniej jest jednak, jeśli wyrazimy promień bezwładności a jako funkcyę powierzchni F. Postaramy się ustawić takie wzory dla przekroi, najczęściej w praktyce się zdarzających³).

a=0,2887 \F.

.    .    455)

1.    Kwadrat.

2.    Prostokąt o podstawie b

.    .    456)

a=0,2887 —.

b

a=0,283 ^F. .    .

4. Elipsa (rys. 74), której połowa osi wielkiej a', połowa małej b'

3. Sześciobok

457)

a 2nb'

2 na'

albo a=~

a że F

nbh

.    .    458)

5. Koło (rys. 75)

459)

a=^- = 0,282V^.

6. Pierścień kołowy (rys. 86)

²-

Jeżeli wstawimy dt = nd, to

a=~Vl + rc² =

0,282

Fi

1 +n²

—n²’

.    .    460)

7. Kątówka równoramienna⁴).

Ze względu na oś poziomą « = 1,4+0,07 F. .

.    461)

„    „ główną najmn. «=0,9+0,044 F. .    462)

8.    Kątówka nierównoramienna (rys. 1B7).

Ze względu na oś Xx Xl

n    n    v n -^l -M

„    „    „ „ główną najmn. a =0,9 + 0,042 F

9.    Dla przekroju teowego (rys. 223) nazwijmy

d h

a =1,3 + 0,11 F a' -1,3 + 0,55 F

.    .    463)

ra=

« -C>

to dla osi XX

a «*0,2887 ^    (4—mn) . . . 464)

dla osi YY jest

a' = 0,2887 b

1+ mn

.    .    465)

<- h

.......!..........

'y

>. \«c

Iii

JL+iH____

mmkÆ | ÊmwÆh

Eys. 223.

Rys. 224.

Dla kształtówek _]_ według normalij austryackicb. jest ?w = 0,77, n=l, więc a=0,3225 h, a' = 0,216&. Licząc dokładniej otrzymamy :

Dla kształtówek wysokościennych otrzymamy : a —1,3 +0,077 F) a' = 1,55 + 0,026 F I *

10. Jeżeli przekrój składa się z dwu kątówek (rys. 224) i nazwiemy /1? Fx i a₁ moment bezwładności, przekrój i promień bezwładności jednej kątówki, to

a²=

a == a' == 0,95 + 0,064.

466)

.    .    467)

2/i

/i

a zatem

«=«1 = 1,4 + 0,07 Ft. .    .

.    .    468)

Dla osi YY jest

ń⁷

2Z⁷

= «1 +gj ².

to Ci

-. Obliczywszy ei dla kątówek roz

maitych i dla c=0, 1, 2 cm, napisać możemy:

a/2=(0,45 + 0,033c) Fą- l,8c—1,7. .    .    .    469)

11. Przyjmijmy teraz przekrój, złożony z blachy stojącej i dwu kątówek, (rys. 225) i nazwijmy j>owierzclmię

jednej kątówki Fi, blachy stojącej F₂ = nFu to F=(2+n)Fi.

Wtedy otrzymamy :

2    ₂ nW+ße*—3(24-»)^²

!2 + na1 +    3 + 2 n

Jeżeli n = 1, A = 6c, to

« = 0,206^-1,13. . 470) Jeżeli n = 3 do 4, to średnio a² - 0,25 + 0,032 F+ 0,182 h².    471 )

\x

w-*

a² =

:T:

................y

Rys. 225.

Dla osi FF otrzymamy ogólnie 0,7 n—0,6

a,2 =

2

2^“' ⁺

3 + 2n

Ä².

Dla w = 1, c==l cm

a'² = 0,217 F—0,11. .    .

.    .    472)

Dla n — 3 do 4, c = 2 cm

.    .    473)

a' ²=0,076 F+ 0,72.    .    .

12. Przyjmijmy przekrój złożony z blachy stojącej, dwu kątówek i nakładki (rys. 226) i nazwijmy przekrój j ednej kątówki F,, blachy stój ącej F₂=nF{, nakładki Fz = nx Fi, to

^=(2 + 71 + ^,)^.

Dla osi XX otrzymamy wtedy

—\-jb~———    y

mmmy

a²==

a,² +

2 + n + wt 6c² + w^² +w, d2 3(2 + w + n,j    6l

Dla w = 3, w, = 4 i w = 4, Wj = 10 otrzymamy średnio

ty

Jf

Rys. 226.

a²=0,008 ,F+ 0,076 Ä².    474)

Dla osi FF dla c = 2 cm, w i w,, jak pierwej a'² = 0,017 .F+0,044 6².

13. Dla U wek (rys. 136) otrzymamy ze względu na oś XX a =2,2 + 0,147 F]

dla osi FF a' = 1,0 + 0,03 F    ’

.    475)

.    .    476)

14. Jeżeli przekrój składa się zdwuuwek (rys. 227) a przekrój, moment i promień bezwładności jednej nwki nazwiemy Fi, ij i ail to ze względu na oś XX:

r*>i

ii'

i-——

Jf

>A

Rys. 227.

I _ 2/,

F ~~ 2 F\

a =    =2,2 + 0,147 F. .    .    477)

Dla osi YY jest

2(4+^ O

2 Fi

Wstawiwszy wartość za e₁‘², otrzy-z mamy w przybliżeniu

a' ²=0,0002 F*+0,043    2,3 +

+ 0(0,013^+1,8 IB. Dla czterech ówierćkołówek «=3,7 + 0,0173 F,

a² =

a,2=

= a₁², więc

478)

479)

otrzymam}' :

16. Dla przekroju krzyżowego (rys. 227) otrzymamy dla osi poziomej :

a = 0,2887 b

1 + mn

.    .    480)

jak 464) dla przekroju teowego. —>! £?•<-'

y-dre-

Y.......1......

-.....Ji —

Rys. 228.

Rys. 229.

a = 0,2045 &=0,1022 —.

d

Dla osi pionowej otrzymamy analogicznie

Jeżeli b=h, d = d

.    .    481)

a'= 0,2887 h

mn

.    .    482)

16. Jeżeli przekrój krzyżowy składa się z 4 kątówek (rys. 229) i jeśli nazwiemy przekrój, moment i promień bezwładności jednej kątówki Fi: 71? au to /ł2_7_4(7₁+JF₁el²)

~ F iĄ

Po wstawieniu wartości za ei ² otrzymamy w przybliżeniu dla c = O do 2 cm

.    .    484)

a²=(0,225+0,017 c) F+1,8 c-1,7 .    .    .    485)

17. Jeżeli przekrój składa się z 4 kątówek i dwu wstęg (rys. 230; i jeżeli nazwiemy przekrój 4 kątówek, ich

moment i promień bezwładności Fi} 74 i ak a krzyża z wstęg Fb, 7₅, a₅, to

Cf2l=z I __ ^4+^5 *    ^4 + ^5*

SU

Jeżeli Fb=Fi: to

II

al=

a₄²+ma₅2 1 Ą-m

.    .    486)

przyczem a₄ i ab należy obliczać ze wzorów 485) i 483).

18. Jeżeli przekrój składa się z 4 kątówek i wstęgi (rys. 231) i jeżeli *na-zwiemy przekrój, moment i promień bezwładności jednej kątówki Fit i a, a przekrój wstęgi    to

F=4: Fx + Z⁷₂ = (4 + rc)Z⁷₁, a ze względu na oś XX

“²⁼d^(V+e‘²⁾- tö7)

Rys. 230.

.............ÿ---------------**

Rys. 231.

Dla d = 2cm i w=3 do 4 otrzymamy

a²=0,075Z+-l,0 .    488)

Jeżeli zamiast 4 użyjemy 6ką-

t ó w e k, to otrzymamy

.    .    489)

a dla d=2cm i w = 3 do 4

a²=0,075 7M-l,2    .    .

19. Dla kształtówek 7 otrzymamy w przybliżeniu

.    .    490)

a =3,9 + 0,107 F 1 a'= 1,4 + 0,018 Z⁷ J *    '

.    .    491)

20. Dla przekroju /, składającego się ze ścianki i czterech kątówek (rys. 232) otrzymamy, gdy znów wartość dla jednej kątów ki oznaczymy znaczkiem 1,

F= (4 + n)Fu

Ą- —

JC

i-c

-Î-.JL

-......

</

Rys. 232.

4    9,72 + n) hl

a¹ = . a<¹ + >. — —.

4 -\-n    12(4 + n)

Dla n—1,5 do 3 otrzymamy średnio

a²=—0,453+ 0,308 F+ 0,129 h‘l .    493)

Dla osi Y Y możemy użyć wzoru 487). Jeżeli

wstawimy n= 1,5 do 3 i d = lcm, otrzymamy

od²=0,106 T*⁷—0,1 .    .    .    494)

21. Dla przekroju, składającego się z 4

kątówek, połączonych kratą, otrzymamy

a² z 491), wstawiając n = 0, więc

.    492)

a²=al 2 + 0,2025 h²= —0,7 + 0,119 7'⁷+0,2025ä²    .    495)

Dla osi YY możemy użyć wzorów 483) i 484).

22. -leżeli przekrój Iowy składa się z 4 kątówek i 2 nakładek (rys. 232), to F=2(2-\-n)Fi.

Dla osi XX jest

\y

3,708 F^ +a,6 + w)/*²—5,6 4(2 + n)

W praktyce jest n —1,2 do 2, więc

.    .    496)

av przecięciu

a²=0,036 .F+0,21 h ²—0,4 .    497)

Dla osi Y Y jest

SC

rr

«é>

\y

Rys. 233.

₂+V+V) + r<

nb²

12 (2 -\-n) ’

albo po wstawieniu wartości za ei, u/²=0,071 F — 1,2 +0,036 ô² + (0,06F+

+ l,13)c .    .    .    499)

23. Dla przekrój u dwuteowego (rys. 234) niech będzie a₅ promień bez-władności połowy przekroju ze względu na oś XX, który obliczyć należy wedle wzoru 473), to F— 2 Fb, 7=21-, więc

hx

a,2 =

498)

a² =

2/.

2Fr>

ai ², stąd a=ax .

.    .    500)

Ze względu na FF, chcąc wyznaczyć a', otrzymamy F=(A + 2n + n^F^

*'

■J

Z.-:

JC

a'²

4 + 2 n + ni 2 + n

2 (4 + 2n + ra,)

(0,476^ — 0,7 +

■    .....-■ I —>

fc² 501)

w.

Bys. 234.

12 (4 + 2 n + n^

W praktyce jest n= 2 do 7, w, —0 do 15, średnio możemy napisać

a'²=0,004F— 0,\+ 0,178 V+ 0,046² •    • • 502)

§. 93. Przykłady obliczenia wymiarów.

1. Słup drewniany o przekroju kwadratowym obciążony jest w kierunku osi siłąP=3.6Z. Długość wolna wynosi 3m. Natężenie dopuszczalne na ściskanie należy przyjąć 70 kg jem² i wyznaczyć wymiary przekroju słupa.

Bez względu na wyboczenie mamy F₀ =

"i

70

=51,4 cm². Przekrój F

cm.

= 115, zatem £=0,268, a więc

musi być większy, przyjmiemy więc jako pierwsze przybliżenie N=81 cm², 6=9 cm. Wedle 455) jest a=0,2887\'81=0,2887.9=2,60 ■\xt4- a l 300

wtedy ä=2Sö

P=Fft : £=51,4 -.0,268=192 cm².

Widzimy, że F wypadło znacznie większe, niż przyjęte; jako drugie

przybliżenie przyjmiemy więc F=144 cm², 6=^144 = 12 cm, wtedy:

Z R00

a=0,2887 X12=3,46, w i ęc —

^=51,4:0,443=116, 6=Vfl6=10,8

3,46

=87, zatem £=0,443, stąd:

cm.

Przyjmijmy więc 6 = 11 cm, F=121 cm²?

wtedy 0=0,2887x11=3,18 cm, więc    zatem

£=0,394, P =51,4:0,394 = 130 cm², stąd 6 = 11,4 cm. Zatem 6 = 11 jest za małe, 6 = 12 wprawdzie za wielkie, musimy jednak zatrzymać 6 = 12 cm, bo 6 zaokrąglamy na całe centymetry.

2. Jak gruby ma być słup kwadratowy, obciążony siłą osiową P=21000kg, przyczem dolny koniec jest wpuszczony w cokół kamienny a górny zapomocą kleszczy ochroniony przed wygięciem. Wysokość słupa wynosi Z, =3,75 m.

Tu wedle 437) Z=0,7x3,75. Ze względu, że może utwierdzenie nie jest zupełnem, przyjmiemy dla bezpieczeństwa Z=0,8.3,75=3,0 m. Dalej

21000 _____

mamy F₀=—=300 cm², a stąd byłoby 6=^300=17,8. Ze względu na

wyboczenie przyjmiemy 6=20, stąd a=0,2887X20=5,774 cm. Więc

7 onn

—=^=52, a £=0,86, więc F=300:0,86=437, 6=20,9 cm Teraz chodziłoby tylko jeszcze o zbadanie, czy wystarczy przyjąć 6=21

7    «(Y)

czy też 22 cm. Próbujemy 6=21, to «=6,06 cm,—=*^ ^=49,5,    £=0,707

^=300:0,707=424, 6=20,6 cm.

Jak widzimy, wystarczy więc przyjąć 6=21 cm.

3. Obliczyć wymiary słupa z żelaza lanego o przekroju kołowym pełnym, gdy P=30000%, gdy wysokość ż,=4m, oba końce są utwierdzone a t=800 %/m². Wedle 440) 2=-|j^=200cm. Dalej mamy 30000

•n=

=37,B cm², stąd <2=7 cm. Przyjmijmy jako pierwsze przybliżenie

7    900

<2=9 cm, to wedle 459) «=£=2,25, stąd—“2 25

£=0,156, jP=37,5: 0,156=240, <2 = 17,5 cm. Musimy więc przyjąć d większe, przyjmijmy <2=15 cm, to

«=^=8,75, i-=|^=53, ę₌o,861, więc P=37,5-.0,361 = 104 cm², <2=11,Bem,

800

i::

Wystarczy więc <2 mniejsze, przyjmijmy <2 = 13 cm, więc «=—=3,25,

4⁼325⁼⁶¹,5, £⁼⁰>²⁹⁸> wi?c ^=37,5:0,298=126 cm², <2=12,7 cm. Wartość

ta tak już bliską jest przyjętej, że moźnaby zatrzymać <2=13 cm. Dokła-

l 200

dniej moźnaby przyjąć <2=12,8 cm, zatem «=3,2. —====62,5, £=0,291,

«    o,2

zatem P=37,5 :0,291 = 12,9 cm², <2=12,9. Zatrzymujemy więc <2=129 mm.

4. Dla tego samego wypadku obliczyć słup z żelaza lanego, którego grubość ścian wynosi <2.

Wtedy wewnętrzna średnica <2t =<2—0,2 <2=0,8 <2, przekrój

^-(<2a—<2,²)=0,283 <2,², a według 460) «=-^<2»+ 0,8* <2²=0,32<2.

Ponieważ słup wydrążony musi być grubszym, więc przyjmmy od-

2 200

F=

razu <2=16 cm, to «=0,32.16=5,12 cm, zatem —=„

«    5,12

= 39, £ = 0,486.

Dalej mamy F₀ —

30000

800

=37,5 cm² więc P=37,5:0,486=77,3 cm², stąd

-V

77,3

0,283

=16,5 cm.

Bóżnica jest mała, przyjmijmy jeszcze <2=16,3 cm to a=0,32.16,3=5,22,

zatem —=

l 200

«    5,22

=38, £=0,496, zatem P=37,5 :0,496=75,6,

a stąd <2

75,6

0,283

16 cm, więc <2₁ = 132mm.

= 16,4, trzeba więc przyjąć <2=164 mm, grubość ścian po

Porównując wyniki dla przekroju pełnego i wydrążonego, widzimy, że dla słupa pełnego przekrój wynosi 131 c/w², dla wydrążonego 74,4 cm².

5. Zastrzał z lanego żelaza w wiązaniu dachowem pracuje na ciśnienie P=16ń Zastrzał ma 1,5 w długości, na końcach przegibnie połączony.

Jak wiemy, przy wyboczeniu powstaje moment największy we środku pręta, a więc właściwie tam tylko potrzebujemy przekroju według równań 442). Ku końcom mogą być przekroje mniejsze, a na końcach tylko takie, jakich wymaga ciśnienie bez względu na wyboczenie. Dla oszczędności materyału dajemy też rzeczywiście często prętom, narażonym na wyboczenie, przekrój zmienny (rys. 235), a mianowicie w środku B największy

Cï: i

MS

¹

„Über den Knickwiderstand gegliederter Stäbe.“ Zeitschr. d. österr. Ing. u. Arch. Verein. 1912, str. 5. Porównaj także „Zur Knickfestigkeit gegliederter Stäbe von Mayer-Mita“ Z. d. österr. I. A. V. 1914, str.. 246.

²

P. p. Zapiski doświadczalni mecłianiczno-tecłm. 1897, zeszyt 25.

³

Por. także Feyl. „Zur Ermittelung der Querschnitte“ Zeit. d. österr. Ing. u. Arch. Verein, 1908, str. 536.

⁴

Por. wyprowadzenie tych wzorów w rozprawce autora: „Weiterer Beitrag zur Berechnung der Stäbe auf Knickfestigkeit“. Z. d. österr. Ing-u. Arch. Ver., 1892. ÏÏ. 50 i 51.

ZE)

(SUS

J3

Rys'. 235.

na wyboczenie, a przy końcach A tylko na ściskanie. Przekroje pośrednie dałyby się także obliczyć w ten sposób, aby natężenie było wszędzie jednakowe, *) musielibyśmy zrobić jednak pewne przypuszczenie co do kształtu przekrojów. Zamiast tego przyjąć możemy w praktyce linię zarysu AB w przybliżeniu n. p. paraboliczną.

Przekrój F (rys. 236) obliczamy więc na ściskanie, zatem

Jf°=^^^=20 r/w², a stąd d=5,05 cm=51 mm.

Przekrój Fi we środku zastrzału przyjmiemy w kształcie krzyża i obliczać

F

będziemy na wyboczenie. Według równania 480) mamy «=0,1022—. Przyjmijmy tymczasowo d—1,5 cm, dalej mamy F₀—20 cm. Przyjmijmy ,F=45 cm, to «=0,1022^=3,066 cm, zatem “”=3    —49, stąd £=0,394,

,F=20: 0,394 = 50,8 cm². Dalej mamy F—bd + (b—d)d=2bd—dî. Przyjmijmy F— 47, otrzymamy 47=2 0.1,5—2,25, stąd 0 = 16,4 cm, więc dokładniej

«=0,2045.16,4=3,35, stąd i-=^=45, Ç=0,429, F = 20:0,429 = 46,6cm².

Możemy więc zatrzymać wymiary 5 = 164 mm, d=\bmm.

*) P. Dwelshauvers - De r y : Principes de la résistance des mate-riaux str. 130—136 i Obrębowicz: O wytrzymałości prętów na wyboczenie.

6. Wyznaczyć numera kształtówek słupa z żelaza zlewnego, złożonego z czterech kątówek (rys. 228) należycie znitowanych, jeżeli długość wolna wynosi 4 m, a odstęp kątówek 1,5 cm. Siła, działająca w osi słupa, jest P=42ź a natężenie dopuszczalne t=750kg/cm². Bez względu na wytoczenie otrzymamy P₀ =

42000

=56,8 cm². Ze względu na 2 dziury na nity około 4 cm² i wyboczenie przyjmijmy F=80 cm², zatem przekrój jednej ką-

100.100

- o przekroju 20,95 cm² *>=7,14,

11

tówki 20 cm². Przyjmijmy kątówki

więc e = 2,86, c, = 2,86 + 0,75 = 3,61 cm², zatem wedle 483) a² = «, ² + e₁²=

=^=8,01² + 3,61²=9,06+13,0=22,56 cm², «=4,7 cm. A więc ^=^^=685, stąd

£=0,561, więc F— 56,8 : 0,561 = 101 cm². Przyjęte kątówki zatem nie wystarczają, przyjąć należy większe. Dla >'=90 cm², otrzymamy F=22,5 cm²,

Tu «=7,01, więc e=2,99, c, =2,99 + 0,25=3,24 cm,

zatem a²=3,00² + 3,74²=9 +13,99=22,99, a=4,8rm. A więc -^-=^—=83,

stąd £=0,567, więc JC=56,8 : 0,567 = 100 cm².

Wymiary jeszcze są za małe. Przyjmijmy większy numer kątówki

. Tu jest «=8,64, e=3,36, et =3,36 + 0,75=4,11, więc

! .. , 100.100* przyjmijmy zatem--——.

120.120

11

ö²=8,66² + 4,ll²=13,40 +16,89=30,29, «=5,5 cm, prawie to samo, co pierwej, więc

l 400

-=73,^=0,597, jF⁷= 56,8:0,597=95,1 cm'².

120 120

Cztery kątówki --— mają przekrój 4X25,37=101,5 cm², od tego dwie

dziury na nity 2X2X1,2=4,8, zatem 2^= 101,5—4,8=96,7 cm². Przekrój za-

tern jest zupełnie wystarczający, zatrzymujemy kątówki

120.120

n ■

7. Jaki ciężar unieść może bezpiecznie słup, złożony z 4 ćwierćko-łówek l. 20, 6 m wysoki, w obu końcach wolny, jeżeli natężenie dopuszczalne przyjmiemy 1000 kg /cm²?

Dla 4 ćwierćkołówek l. 20 jest według str. 176. «=7,94, zatem

l _600 a "7.94

75,5, stąd £=0,590.

Wedle 442) jest P=Ft£'=4.21,57.1000.0,59 = 50900 kg. Jeżelibyśmy przyjęli t=800 kg/cm², toby było P=4.21,57.800.59 = 40720 kg.

§. 94. Wytrzymałość słupów żelaznych w razie pożaru.

Wiadomo nam z §. 18., że żelazo pod wpływem wysokiej óiepłoty ma mniejszą wytrzymałość-, a do tego podczas pożaru słupy żelazne są niejednostajnie ogrzane, bo od strony pożaru ciepłota dochodzi do 600°, a ze strony przeciwnej trafia je struga zimnej wody z sikawki straży pożarnej. Wskutek tego oś słupa pierwotnie prosta wygina się i natężenia z tego powodu wzrastają.

Dlatego też, jeżeli obliczamy słupy żelazne w budynkach, które mogą być narażone na pożar, słupy nie osłonięte murem lub betonem, to musimy przyjąć takie wymiary, aby słupy te i podczas pożaru nie okazały się za słabe.

Pod tym względem badali słupy żelazne doświadczalnie Bauschinger, a także M. Möller i R. Lühmann. Möller dochodzi na podstawie tych doświadczeń do wniosku, że słupy żelazne będą bezpieczne i podczas pożaru, jeśli je obliczać będziemy wedle wzoru Eankina, jednak przyjmując większy spółczynnik wyboczenia.

Möller proponuj e przyj mować

^i4(l+0'⁰⁰⁰⁴3 • B03)

il+0,0004 üj .

dla żelaza lanego

504)

1000

„    „ spawanego F=

Obliczywszy słupy żelazne wedle tych wzorów, mamy jeszcze niejaką pewność, bo słupy w ogniu łamią się wedle doświadczeń dopiero dla żelaza lanego przy [i=l&00 kg\cm'¹ a dla żelaza spawanego przy ^ = 1200 Jcglcm² dla rur a 1400 kgjcm1 dla prętów pełnych.

§. 95. Słupy obciążone mimośrodkowo.

Jeżeli na słup działają siły P w kierunku równoległym do osi, przyczem kierunek ten odległy jest od osi o c, (rys. 236) to mamy do czynienia z obciążeniem mi-mośrodkowem.

\f"»d*-

\\\ b

\\\i

iw

\p

Rys. 236.

Przypuśćmy najprzód, że siła P działa w osi głównej,, tak, że wygięcie nastąpi w płaszczyźnie drugiej osi głównej. Jeżeli przez E położymy osie spół-rzędnych i nazwiemy rzędne punktu M osi x i y: to możemy wyrazić natężenie w punkcie iU,

v" =

P Pye"

natężenie w punkcie M₂

v' = —

ÎBH

.    . 505)

W środku ciężkości M jest średnie ciśnienie

oś obo

jętna leży oddalona od osi ciężkości o z, przyczem wedle 414)

= -f-, zatem zy = a².

y Fy

Jeżeli f jest ugięcie słupa w środku, to najw y=f+c, więc największe natężenie

a²

_ P/F{f+c)e" ~ F\

v>

P{f+c

₌ P (F(f+ c)e' \ P /f+ F\ I ) f{ h

■) ■

.    506)

Strzałkę f+c mamy teraz obliczyć. Analogicznie do §. 88 a stąd, podobnie jak tam (równ. 427),

d²y Py otrzymamy dla :r=0 w środku pręta

mamy i tu

f+c

dost

(tVS- •

.    .    507)

Zamiast dost

(tV£) możemy

zazwyczaj z dostateczną do

kładnością podstawić pierwsze dwa wyrazy szeregu dostawy dost

(a Vÿ/) ¹ 2 ( 2 V ¹ 1

l² P

8 EV

więc

f-f c

1—

l² p

8 El

508)

'i)" — —

F

Równ. 505) możemy z uwzględnieniem 508) napisać / cFe"    \

(KIM

a stąd P;

FtI

cF e"

(■

l² P 8El

.    509)

We wzorze tym jednak znajduje się P także po prawej stronie, więc nie można z wzoru tego obliczyć wprost P, tylko

przyjąć je należy, a potem poprawiać to przyjęcie. Podobnie jeśli znamy P, a szukamy przekroju, rozwiązać można zadanie tylko próbami. Z równ. 509) otrzymamy

P 11 +

T\

ce"

a²dost

tej -

EL

.    .    510)

§. 96. Natężenie dopuszczalne.

Z wzoru 508) wynika dla c-=0 f=0, a gdy to wstawimy

a zatem dla zwykłego

w równ. 506), otrzymamy v" = v' =

ciśnienia bez uwzględnienia wyboczenia. Ponieważ wskutek wyboczenia przy c=0 t. j. przy obciążeniu środkowem dla

wielkiego — wzrasta znacznie F, więc mogłoby się zdarzyć, że

CL

obliczając wedle 506) przy obciążeniu mimośrodkowem, otrzymalibyśmy mniejsze wymiary, niż przy obciążeniu środkowem, co jest wprost sprzecznem z prawdą. Dlatego też już z powodów teoretycznych, a także na mocy doświadczeń Tetmajera leży przyjmować dopuszczalne natężenie nietylko mniejsze ze

względu na mimośród c, ale także i na stosunek —.

CL*

na-

Z wzoru 506) otrzymamy, wstawiwszy

Fe" Fe" _ 1 F a¹ i

i)¹ '

więc

To=-

.    .    511)

Tetmajer na mocy doświadczeń przyjmuje zamiast wzoru 511) wzór

.    .    512)

F i+^’ •    •

przyczem & oznacza pewien spółczynnik, zależny od materyału i od —, wyznaczony doświadczalnie, a %w natężenie dopuszczalne

CL

na wyboczenie, wyznaczone wedle 442).

Statyka.

20

Tetmajer podaje następujące spółczynniki # 1. Drzewo

dla -—<90 #=0,00039V—1,0115—+0,93 a    Va )    a

>90 #= 2,058

11

(łHł)

Z tego otrzymamy następującą tabliczkę:

Tablica XXX.

— = 20    25    30    35    40    45    50    55    60    65    70

= 130 135 140 145 150

#=0.11 0.10 0,10 0.09 0,09

2. Dla żelaza lanego otrzymał Tetmajer

dla -^<100 #=0,0001437(²—0,03174—+2,077 a    \a I    a

>100 #=3537

-1,370

.    514)

Stąd otrzymujemy następującą tabliczkę:

Tablica XXXI.

—= 20    25    30    35    40    45    50    55    60

#= 1,5 1,37 1,25 1,14 1,04 0,94 0,85 0,77 0,69

= 65    70    75    80    85    90    95 100 105

#=0,62 0,56 0,51 0,46 0,42 0,38 0,36 0,34 0,31 = 110 115 120 125 130 135 140 145 150

#=0,28 0,26 0,24 0,22 0,20 0,18 0,17 0,16 0,15

3. Dla żelaza spawanego i zlewnego mamy :

Tablica XXXII.

§. 97. Przykłady.

1. Słup drewniany o długości 4 m i przekroju kwadi-atowym 20X-0 cm jest obciążony z obu stron siłami 10 t, które zaczepiają w odstępach c=10 cm od środka, a więc w środku krawędzi. Jakie natężenie powstaje w słupie?

m • ,₊ i/P -W' 10000. Î2

Tu jes y ei y 120000

.20⁴ 400,doSt2

/ P    200

VM=dOSt40Ö=doSt0’⁵

=dost

0,6 !i®°=dost 28,4°—0,879

W przybliżony sposób otrzymalibyśmy

₁    400²    10000.12    1

¹ ~ 8 ’ 120000.20⁴ '8 0,8(5

A więc wedle 507)

10

f+ 10⁼0879⁼H,38’ stąd f=lß8cm-

Wedle 512) otrzymamy

Tu a = 0,2887.20 = 5,774,    = 69, więc 5=0,31, i=Ç=3,33, stąd

( 1 + 0,31    J=25(l +1,06)=51,5 kg/cm².

Wedle 442) xw=tÇ', stąd t==yr Dla —=69 jest £'=0,609, więc

10000

100

51,5

=85 kg/cm².

Wedle wzoru teoretycznego 506) otrzymamy jednak „ 10000/400.11,38.10.12 v=—‘-w--

v'=-26 (8,414—1)= —70,6 kg/cm'.

Z obu tjmh wzorów zatrzymamy wyniki większe. Widzimy w obu wypadkach, że wymiary są za małe.

’ 0,609

100

+1)=25(3,414 +1)= 110,4 kg/cm²,

Przyjąwszy 23x23 cm, otrzymamy

10000.12 1 ^

12000.23* “529’ °S

Więc dost    dost 12,6b°=0,919.

dost

200

529

= dost 0,378.

A więc f +10=

10

0,919

==10,76, zatem /=0,76 cm.

Wedle 306) mamy

10000 /529.10,76.10.12

+1) = 18,9 (2,441 +1)=65 hg\cm²,

v' = —18,9 (2,441-1)=-27,2 kg\cm\

Wedle 512) otrzymamy, ponieważ tu «=0,2887.23=6,64, l 400 a 6,64 _10000 tw_ '529

v" =

529

23*

23

=60, więc 5=0,36, i— ^ =3,83, stąd

(l + 0,36    = 18,9 (1 +1,01)=38 kgjcm\

Wedle 442) jest t=£^, a że dla —=60, jest £'=0,636, więc £ «

=60 ległem'¹.

38

Tw 0,636

Tu, jak widzimy, wyniki obu wzorów teoretycznego i doświadczalnego nie wiele się różnią.

Zostawimy tu wymiar 23X23 cm.    *

2. Jaką siłę wytrzyma słup o przekroju I 1. 20, obciążony mimo-środkowo w odstępie 5 cm od osi ścianki, dla długości wolnej 3 m. Natężenie dopuszczalne niech będzie 1000 kg jem*.

Przyjąwszy tymczasowo/=0, otrzymamy z 506) P—

Pv"

F ce”

j-+l

Przypuśćmy tymczasowo ze względu na założenie f—0

37,58.800 37,58.5.4,8 158,3

Szukajmy teraz dla P=4390 kg v", to otrzymamy z 508)

v"=800 kg\cm², to P—

=4390 kg.

/+5=—

300²    4390    0,8514    5,8 '

¹    8    210000.158,3

cm.

Więc wedle 506)

v" =

4890 ^§Z^M+ł₊i)₌₁₁6,8(6,69 + l)=898 kg/cml

Należy więc przyjąć siłę nieco większą. Gdyby v" było wprost pro-porcyonalne do P, to należałoby P powiększyć o ‘/g, blisko o 500 kg, P jednak przychodzi też w mianowniku 507), więc zwiększymy P tylko o 310 i przyjmiemy P=4700 kg.

Z równ. 508) otrzymamy

f+ 5=

300²

4700

5

57—=5,946 cm.

0,841

8    2100000.158,3

Więc wedle 506)

v"

4700 / 37,58.5,946.4,8    \    T ,    ,

-87^4 IW" +1)=125(6,775+1)=972 fcff/cm*.

Możemy zatem zatrzymać siłę 4700 kg. Gdyby różnica była większa, trzebaby siłę jeszcze odpowiednio zmienić i rachować raz jeszcze.

Spróbujemy jeszcze obliczyć natężenie wedle Tetmajera. Tu wedle tablicy XXXII

o=2,05, -i = |9Ł=146, więc 3=37, *=0,878, więc

(l + 0,37 . ^ ) = 125 U + 2,706)=463,3

—=146 jest £ =0,262, więc *=^§1 = 1768 kg/cm*, a    0,2b2

Natężenie więc jest o wiele za wielkie, musimy siłę odpowiednio

zmniejszyć. Przyjmijmy P=3000ä#, to z 508)

4700

Tw —37^58

Dla

300²

3000

0~8985 ⁼⁵’B66CW’

8    2100000.158,3

3000

(l+0,37    79,8(1+ 2,845)=266,9,

”⁼37^8

Natężenie jest prawie takie, jak dopuszczalne, możemy zostawić P=3000 kg, lub też o 1,5% obniżyć, więc P— 2996 kg.

3. Obliczmy znowu siłę, jaką wytrzyma słup o przekroju tym samym i tym samym mimośrodzie dla długości wolnej 4 m. Natężenie dopuszczalne niech i tu będzie 1000 kg/cm².

Przyjąwszy tymczasowo /= 0 a v" ze względu na to przyjęcie i wielkie l tu tylko 700 fcÿ/cm², otrzymamy

37,58.700 37,58.5.4,8 158,3    ⁺¹

zamiast czego przyjmiemy okrągło P=3930 kg. Z równ. 508) otrzymamy

= 6,55 cm.

=3929 kg,

/+5=

Więc wedle 506)

400²    3930

8    2100000.158,3

1-0,2364

v"=

3930

37,58.6,55.4,8

+ l) = 104,6(7,80+l)=920 kglcm\

87,58 \    158,3

Wedle Tetmajera otrzymamy, ponieważ tu

on, l 400 a=2,05, — = a

2,05

= 195, więc 3=0,17, £'=0,147, *=0,878, więc

1v> =

8930

37,58

(l + 0,17 '||| ) = 104,6 (1 +1,268)=237 kg jem*, a dalej

237

-=0 147 = 1612 k9lcm'K

Stąd widzimy więc, że tu natężenie z uwzględnieniem wymoczenia jest prawie dwa razy większem. Musimy tu przyjąć P znacznie mniejsze. Ponieważ we wzorze 512) 3, F i i są stałe, a f+c wedle 508) dla mniejszego P jest mniejszem, zatem P jest większem, więc

10°°

’ 1612

P> 3930

=2438 kg.

Przyjmijmy P=2500 kg, to /+5-

400²

2500

1 -0,150    0,850

^-r-=5,883 cm,

8    2100000.158,3

(l +0,17 !H)=68,07(1 + 1,139)=142 kg/cm\ 142

a stąd t= Qj^ÿ_=966 kg/cm².

Siłę możemy więc przyjąć 2500

zatem

2500

37,58

1000

* 966

=2588 kg, równo 2590 kg.

4. Słup z żelaza lanego niesie na lewym wsporniku ciężar 81, na prawym równocześnie 28 t; jakie wymiary ma mieć ten słup, jeżeli natężenie dopuszczalne przyjmiemy 1000 kg/cm² a ł=4,45m².

28.(14 + 24)

Wypadkowra 361 leży w odstępie od D (rys. 237) o zatem od B o 3,5 cm na prawo.

Przypuśćmy ze względu na wyboczenie i mimośrod t₀=240 kg/cm².

= 144 cm²=| (d²—²).

Wtedy

F=

36000

250

8+28

= 29,5 cmr

Jeżeli dv =0,8 d, to

F=

(1—0,64)=0,09 r.d², stąd d=~^

144

=22,57 cm,

0,09 k

zamiast czego przyjmiemy d—23 cm, g=23 mm. Dalej mamy

7=0,0491 (23*—18,4⁴), P=415,5-265,9=149,6 cm², a= ¹ ^23² +18,4²=7,36 cm,

. n-t    ¹    445

4,71 cm, -= -

,_2a_² _ 54,17 d ~ 11,5 Wedle 508) mamy f+c=

3,5

-o

=60,5, 3=0,68.

3,5

445²

36000

8    1000000.0,0491 (23*-18,4*)

1-0,11

=3,93 cm.

Zatem wedle 506) i 511) 36000 149,6

v"=

(1 + Hï)=235,16‘1,835:=431 ^/m2'

Dalej otrzymamy v'=235,16 (0,835—1)=—38,8

Jeżeli jednak obliczymy wedle wzoru Tetmajera 512), to dla

Ç~St )

= 60,5, 5=0,68 a Ç'=0,305,

(l + 0,68 |g)=

T—0,305 1    36000

T—0,305 149,6

369

LL

\9

⁼ pir⁼¹¹⁶⁸^/c”-

Tu więc wzór teoretyczny daje stanowczo za mały wynik, wedle wzoru Tetmajera t jest za wielkie, musimy przyjąć <2 większe.

Przyjmiemy d — 25 cm, g = 2,5 dv =29 cm, to

ö==tV252+202=8,0 cm'

•    64    _ no l 445 __ ^

’=Î2j⁼⁶’02c”‘’ V“^8“=66,b-

Wedle 508) mamy

..............y

f+c=

3,5

■MAnsiHI

445²    36000

¹    8“ 1000000.0,0491 (25*-20ł)

^’⁵—=3,80.

1-0,08

Dla

Eys. 237.

_30000 Tw~ 176,7

—=55.6 mamy <2=76, a

V=0,341, więc

(l + 0,76)=203,7XI,575=321 kg/cm², a dalej

T=olfr=941 k^A

Ponieważ dla a = 24 cm t byłoby prawdopodobnie większe, niż 1000 kg/cm², więc zatrzymamy <2=25, y=25 era.

Właściwie wskutek zwiększenia <2 zmniejszy się także cii będzie jeszcze mniejszem.

Z powyższych przykładów widzimy, że właściwie należałoby obliczać wedle obu wzorów, teoretycznego 506) i Tetmajera 512) i przyjmować natężenie większe, otrzymane z obu wzorów. Wzory Tetmajera dają większe wyniki dla natężenia,

jeśli jest wielkiem, a także dla lanego żelaza wogóle z po-

CL

wodu stosunkowo małego £'.

VIII. Wytrzymałość na skręcanie.

§. 98. Wzory zasadnicze.

Jeżeli siły, działające na ciało, sprowadzić się dadzą dla pewnego przekroju do pary sił, której płaszczyzna jest równoległa do tego przekroju, a więc prostopadła do osi, to ciało to pracuje na skręcanie.

>*,

?r7

Ajl

r,\

i\o

Na ciało BCEBx Cx działa w płaszczyźnie Bx Cx Fx (rys. 238) moment Pc. Wskutek tego nastąpi przesunięcie punktów tego i innych przekrojów i tak punkt Fx przesunie się do K F do K i t. d. Przesunięcia te

A---

" ÏD⁻

rc

Rys. 238.

Rys. 239.

zerem, a włókno

są różne, w pewnem włóknie jednak DD{ są to nazywamy osią skręcenia.

Zauważmy punkt N w przekroju B.₁C.lF', a zrozumiemy,

że przesunięcie punktu N będzie NN' = ONcp — r cp, a przesunięciu temu będzie odpowiadać natężenie ścinające u, a więc gdy m jest ilością stałą.

Jeżeli natężenie to rozłożymy na składowe ax i oy, działające w kierunku osi OX i OF, to «z^uwsta, a o^=adost a. Dla równowagi musi być

— mrp^rwstad²F=m(f ^zd²F=0

U*d²-?’=

a gdy wstawimy wartości o wst ad² F

i'

i ^adost ad²F = cp ^rwstad²F = m(p^yd²F=0

.    .    515)

a więc

^xd²F=0 i \^yd²F=0.

Równania te wypełniają się wtedy, gdy początek spół-rzędnych, gdzie przesunięcie =0, przyjmiemy w środku ciężkości przekroju, a więc oś skręcenia jest zarazem osią geometryczną ciała.

Dla równowagi musi być także suma momentów w przekroju B₂C₂ T⁷ równa zeru, więc \ord²F+M=0, gdy il7=Pc, czyli m <p jr² d² F+M=0, więc

m (p

jV² d² F h

Wyraz j*r²d²F=I₀ nazywamy biegunowym momentem bezwładności (n. das polare Trägheitsmoment, îr. moment d’inertie polaire).

Wstawmy w to równanie

mcp = ~ r

{x²+y²)d²F=\x²d²F+

^y²d²F+ 2 ^xydxF=Ix + 1+2 K,

a jeżeli osie OX i O Y są osiami głównemi, to K= 0, więc Iq=I+Ix. Dla przekroju kołowego, kwadratu i wieloboków regularnych jest 7=7,, więc 7₀ = 2 7.

Możemy zatem napisać

o= —

Mr

Mr

1₀ Wo

.    .    516)

I+It

Z równania tego wynika, że największe natężenie a jest dla najw. r, a więc dla najdalszych punktów obwodu.

Kąt cp nie jest stałym dla wszystkich przekrojów, lecz zmienia się od przekroju do przekroju. Niechaj zmiana kąta (p na jednostkę długości będzie tp, to możemy w przybliżeniu przypuścić, że kąt (p jest proporcyonalnym do długości z, więc <p = Gz.

Przesunięcie punktu N, jest, jak wiemy, równe rep, dla przekroju o dz oddalonego będzie zaś r (<p + d<p), przesunięcie

rdep

więc względne

= Gr; spółczynnik G nazywamy spół-dz

czynnikiem sprężystości na skręcenie (n. Gleitmodul, fr. coefficient d: élasticité de torsion).

Jeżeli m oznacza stosunek, gdy Ex jest spółczyn-

hj

nikiem sprężystości poprzecznej, to wedle prawideł mecłianiki

rozumowej G—

n. m— E. a dla    G=0,385 E.

2(m+l) ’    8

Dalej mamy o — Ex Gr, a zatem ze względu na 516)

.    .    517)

Teorya ta opiera się na przypuszczeniu, że przekrój poprzeczny pozostaje płaskim po skręceniu i że natężenia są prostopadłe do promieni wodzących danych punktów. Przypuszczenia te sprawdzają się jednak tylko przy przekroju kołowym. Dla innych przekrojów wzory powyższe są tylko przybliżone.

Podajemy tu w końcu wartości dla W₀ (równ. 516) dla rozmaitych przekroi :

Tablica XXXIII.

przekrój

rys.

»ro

koło

(78) -₁₆

pierścień .

.    (89)

7i d'*—d,⁴

tH

16

elipsa .

(77)

elipsa wydrążona

Ti blh—b.² h

32

\b%h

prostokąt .

kwadrat

przekrój ijowy

to

(91)

„ krzyżowy (93)

|(*-6₁)!(A + 26₁) -g^h+b)

§. 99. Wał pełny i wydrążony.

Dla przekroju kołowego (rys. 239) możemy napisać na podstawie równ. 516) bez względu na znak

Jf=/₀<T _(/+/>

Ponieważ dla koła jest

7=7i =

TC    .    _ TC    d

więc ^0 = 32^5 a

Jeżeli więc chcemy dopuścić natężenie ścinające to

TC dkT

M=

16 xd

a stąd

J7=

\ ^

Dla przekroju rurowego (rys. 89) jest /J-7+/₁-2/-2£(d*-tf₁»)-^(d*-<il*), a stąd

di—d ⁴

.*.=0,196 a—p d

= 1,72

IW *

.    .    518)

TC (rf⁴— G^⁴)*, TC d⁴ — rf

" i6 <r

32

więc

d⁴—1,502

Md

.    .    519)

Dla przyjętego d da się więc di łatwo obliczyć.

Nazwawszy — n, otrzymamy M =0,196 —

Oj

a. i—¹

riĄ , ,

— *,, a stąd

1,172

Ti(l~n4)

.    .    520)

§. 100. Przekrój kwadratowy.

Jeżeli bok kwadratu jest a, to możemy, w przybliżeniu licząc, zastosować także wzór 516). Tu jest .

'•=²- ia“‘-

więc bez względu na znak będzie

rH CO

- a⁴.

najw. o=

Mr

-f“⁴

i—I CO

a'

_ 3 \2 M

Jeżeli natężenie dopuszczalne jest to t. a³ = 3i2 M= =4,243 M, więc

³/4,243 M

-v -

= 1,62

f-

.    .    521)

Według dokładniejszej teoryi (p. Kluger: Wykład wytrzymałości materyałów str. 328) otrzymamy

najw a = 4,5~₃-,

a stąd wstawiwszy tx za najw będziemy mieli

1,65

.    .    522)

IX. Dźwigary kratowe i więzary dachowe.

§. 10!. Uwagi ogólne.

Wyłożywszy wszystkie rodzaje wytrzymałości, przystępujemy teraz do zespołów, które obliczamy według zasad, poznanych w poprzednich rozdziałach, nad którymi jednak tutaj osobno bliżej się zastanowimy.

M I

Według równania 143) —=—,

T ß

zatem moment oporu belki, a więc i obciążenie, które belka unieść może, jest tern większe, im większy jest moment bezwładności. Ponieważ

/=

d²Fy²,

więc moment bezwładności jest tern większym, im większe są y. Najkorzystniejszy rozkład materyału byłby więc w przekroju o wielkiej wysokości, w którym materyał byłby skupiony w warstwach skrajnych. Belka o takim przekroju składa się z dwu oddzielnych podłużnych części t. z. pasów (n. Gurt, Gurtung, fr. semelle, plate-bande, an. chord, boom, r. noac't), które musimy o tyle połączyć, aby tworzyły całość. W dźwigarze blaszanym ścianka łączy oba pasy; jeżeli zamiast ścianką łączymy pasy dla oszczędności materyału prętami ułożonymi w kratę, wtedy dźwigar ten nazywamy dźwigarem kratowym (n. Gitterträger, fr. poutre en treillis, an. trellis girder, frame, cz. nośnik prihradovy, r. phmeruaTaa 6ajnca).

Dźwigar kratowy składa się więc z pasu górnego (n. Ober gurt, fr. semelle supérieure, an. top-chord, upper-boom, cz. pas horni, r. BepxHnn noacn), pasu dolnego (n. Untergurt,

fr. semelle inférieure, an. bottom-chord, lower boom, cz. pas spodni, r. imaciim noac'L) i części łączących oba pasy czyli kraty (n. Gitterwerk, fr. treillis, an. trellis work, web, cz. pruty vy-pluvaci, r. pkinëTKa). "W każdym przekroju pracuje jeden pas na ciągnienie, drugi na ciśnienie, jeden zatem stara się przedłużyć się, drugi skrócić. W obu pasach działają zatem siły wprost przeciwne, które przenoszą się przez kratę i znoszą, jeżeli oba pasy mają tworzyć jeden dźwigar. Aby siły te przenieść z jednego pasu na drugi, musimy je rozłożyć w dwu kierunkach, łączymy zatem pasy dwoma rzędami pod rozmaitymi kątami nachylonych prętów, ułożonych w kratę. Pręty te nazywamy krzyżulcami (n. Gitterstäbe, fr. barre de remplissage, étresillon, an. brace).

Przy obliczeniu dźwigaru kratowego przypuszczamy najprzód, że krzyżulce z pasami i części pasów nawzajem połączone są w węzłach (n. Knoten, an. knot, apex, cz. stycnik, r. y3ejin) przegibnie i spółśrodkowo, wskutek czego mogą w krzy-źulcach i pasach działać tylko siły podłużne w kierunku osi pręta. Każda inna siła, działająca nie w kierunku osi pręta, musiałaby sprawić obrót pręta około sworznia. Jeżeli więc panuje równowaga, siły działają w kierunku osi pręta.

Dalszem przypuszczeniem jest, że siły zewnętrzne działają tylko w węzłach, a krzyżulce przedstawiamy sobie tymczasowo bez ciężkości.

Nareszcie przypuszczamy, że krzyżulce są proste, a wskutek tego i wskutek działania siły w kierunku osi pręta powstaje we wszystkich przekrojach jednego pręta natężenie jednakowa. Przekroje prętów obliczamy zatem tak, aby natężenie było równe natężeniu dopuszczalnemu. Widzimy stąd, że przy dźwigarach kratowych wyzyskujemy materyał zupełnie, bo we wszystkich częściach dźwigaru mamy jednakową pewność, gdy tymczasem w dźwigarze blaszanym natężenie w warstwach skrajnych jest wielkiem, a blisko osi ciężkości bardzo małem; materyał więc nie jest zupełnie wyzyskanym.

§. 102. Warunki wyznaczalności wewnętrznej.

Przy obliczeniu dźwigarów kratowych chodzi o wyznaczenie sił wewmętrznych, działających w krzyżulcach i częściach pasów w kierunku ich osi. Dla każdego węzła z osobna muszą być siły zewnętrzne, działające na ten węzeł i siły wewnętrzne prętów, wychodzących zeń, w równowadze, więc możemy dla każdego węzła ustawić dwa równania na tej podstawie, że suma składowych poziomych i suma składowych pionowych tych sił jest równą zeru; dla m węzłów otrzymamy więc 2m równań. W tych równaniach zawarte są jednak trzy równania, które-byśmy mogli ustawić dla sił zewnętrznych. Siły zewnętrzne bowiem muszą być między sobą w równowadze, gdyż inaczej cały dźwigar musiałby się poruszyć, a więc sumy składowych sił zewnętrnych pionowych, poziomych i momentów muszą być równe zeru. Z tego wynika, że nie możemy dowolnie przyjąć wszystkich sił zewnętrznych, lecz że muszą one zadość uczynić trzem warunkom. Z tych 2 m równań, któreśmy otrzymali, dadzą się ustawić trzy równania, określające warunki równowagi sił zewnętrznych. Reszty 2 m—3 równań możemy użyć do wyznaczenia nieznanych sił wewnętrznych. Jeżeli tedy n oznacza ilość krzyżulców i części pasów, to mamy n niewiadomych sił wewnętrznych, do których wyznaczenia potrzebujemy n równań.

.    .    523)

Jeżeli

2 m—8=n

to wtedy mamy właśnie dostateęzną ilość równań do wyznaczenia sił wewnętrznych ; dźwigar taki nazywamy dźwigarem kratowym statycznie wyznaczałnym (n. statisch bestimmt, fr. stricte, indéformable, cz. pfihradôvina tuka, r. CTa-THuecmi onpeAhJiHMUH). Jeżeli 2 m—3>?z, wtenczas mamy więcej równań, niż niewiadomych, a więc równania te określają jeszcze 2 m—3—n warunków, które dla równowagi muszą być spełnione. Ponieważ przy zmianie obciążenia takiego dźwigaru musi on zmienić swój kształt, aby dopełnić warunków równowagi, więc dźwigar taki nazywamy chwiejnym lub nie samoistnym (n. labil, unselbstständig, fr. insuffisant, déformable, cz. netuha, vratlcd). Przykładem dźwigara kratowego chwiejnego są dźwigary mostów wiszących.

Jeżeli nakoniec 2m-3<w, wtenczas nie możemy wyznaczyć statycznie wszystkich niewiadomych, dźwigar taki jest statycznie niewyznaczalnym (n. statisch unbestimmt, fr. statiquement indéterminé, an. not statically. determined r. cra-THuecKH HeonpoArhjiHMwn). Jeżeli 2 m—3—n— 1, to dźwigar kratowy jest niewyznaczalnym 1-go rzędu, jeżeli brakuje do wyznaczenia niewiadomych 2 równań, to dźwigar kratowy jest niewyznaczalnym 2-go rzędu i t. d. Chcąc wyznaczyć siły wewnętrzne dźwigam statycznie niewyznaczalnego, musimy ustawić jeszcze n—2m-fB równań, a to albo czynić pewne przypuszczenia lub też badając odkształcenia dźwigam według prawideł sprężystości.

Jeżeli do dźwigam kratowego statycznie wyznaczalnego dodamy nowy węzeł, łącząc go z dźwigarem dwoma prętami, to w równaniu 523) wstawiamy m+1 zamiast m a w+ 2 zamiast n i otrzymamy

2 (m+1)—3 = n+2, czyli 2 m—3 = n, jak pierwiej a więc przez dodanie jednego węzła i dwu prętów belka pozostaje nadal statycznie wyznaczalną. Jeżeli belka składa się z samych trójkątów, to zachodzi właśnie ten wypadek i belka taka będzie statycznie wyznaczalną.

Dla belki kratowej AB (rys. 240) jest n—15, ra=9, więc 2m—3=15=». Belka ta jest zatem statycznie wyznaczalną.

Dla belki CD (rys. 241) mamy »=26, ?» = 14, 2m—8=28—3= =25<+. Belka ta jest więc statycznie niewyznaczalną 1-go rzędu, ^s|/5 bo »—2w + 3=l.

Dla belki AB (rys. 242) mamy »=22, 7» = 12, 2m—3=24—8= =21 <+, więc belka jest niewyznaczalną pierwszego rzędu. Możemy 26 z niej jednak łatwo otrzymać statycznie wyznaczalną, opuściwszy jeden krzyźulec np. 12, gdyż wtedy będzie 2 m—3=».

Dla belki AB (rys. 243) jest n—8, «î=G, więc 2?»—3=12—3= 9+>8. Belka ta jest zatem niesa-moistną pierwszego rzędu. Chcąc zrobić z niej belkę kratową statycznie wyznaczalną, musielibyśmy dodać jeszcze jeden krzyźulec np. ED, aby 2 m—3=». Gdybyśmy dodali jeszcze drugi krzyźulec np. ' CF. to wtedy 2m—» byłoby >», otrzymalibyśmy więc belkę kratową niewyznaczalną 1-go rzędu.

Rys. 240.

10

5,

i.

5 7j

rys. 241

10

19.

Jt

,73,

■12

2<r

2l

rys. 242    D

6    _    10 ,    15 _    19 -

72

'A ">Ao 22

77

rys 243

C. E

4x1>

T+5+8

§. 103. Warunki wyznaczalności ze względu na łożyska.

Dotychczas przypuszczaliśmy, że siły zewnętrzne, a zatem i oddziaływania, są już wyznaczone. Belka może być jednak także statycznie niewyznaczalną ze względu na rodzaj podparcia ; zależy to od ustroju łożysk. Łożyska dzielimy wogóle na stałe (n. festes Lager, fr. support fixe, an. fixed support, r. nenoABHîKHaa nogymua) i ruchome (n. beweglich), które dozwalają na przesunięcie końca dźwigara. Łożysko ruchome może być albo przesuwowe (n. Gleitlager, fr. glissière, an. slide bolster, nnocKaa no^BimuaH no^ymua), przy którem ruch końca belki następuje po przezwyciężeniu tarcia posuwistego i wałkowe (n. Rollenlager, fr. support en rouleaux, an. roller-bearing, r. noflyuiKa na KaTKaxa^), ułatwiające przesuwanie podłużne przez użycie wałków po przezwyciężeniu tarcia potoczystego. Jeżeli łożysko jest wałkowe, to jeżeli nie będziemy uwzględniać małego bardzo tarcia potoczystego, dla równowagi oddziaływanie może być tylko prostopadłe do podstawy, na której leżą wałki, bo gdyby było ukośnem, to składowa równoległa do podstawy wywołałaby obrót wałków. Jeżeli łożysko składa się z dwu części, połączonych za pomocą sworznia, więc przegibnie, to kierunek oddziaływania musi przechodzić przez sworzeń. Łożysko takie nazywamy ko łysko wem (n. Kipplager).

Jeżeli urządzimy łożysko kołyskowe i wałkowe zarazem, to znamy punkt zaczepienia i kierunek oddziaływania, pozostaje tylko jedna niewiadoma, wielkość oddziaływania.

Jeżeli łożysko jest tylko kołyskowe, to znamy punkt zaczepienia oddziaływania, ale nie znamy kierunku i wielkości oddziaływania, są tu więc dwie niewiadome. Wreszcie, gdy łożysko jest stałe, to nie znamy ani punktu zaczepienia ani kierunku ani wielkości oddziaływania. Mamy tu trzy niewiadome.

Ponieważ do określenia obu oddziaływań belki prostej w dwu punktach podpartej mamy tylko 3 równania równowagi sił zewnętrznych, przeto suma niewiadomych podporowych nie może być większą, niż trzy. Warunek ten spełni się, gdy urządzimy jedno łożysko stałe kołyskowe (2 niewiadome) a drugie ruchome kołyskowe i wałkowe (1 niewiadoma).

W ogóle jeżeli mamy a niewiadomych podporowych, to trzy z nich dadzą się wyznaczyć z 3 równań, wyrażających równowagę sił zewnętrznych, zatem pozostaje (a—3) niewiadomych. Z uwzględnieniem niewiadomych podporowych możemy zatem napisać zamiast 523) jako warunek wyznaczalności belki 2 m—3 = w + (a—3), zatem 2m = n-t-a

.    .    524)

Jeżeli nazwiemy ilość łożysk stałych kołyskowych s, ilość wałkowych kołyskowych w, to a=2sĄ-w, więc

.    .    525)

2m = 2s-\-w-\-n .

Dla belki kratowej AB (rys. 240) jest n=15, m—9, s=l, w—1, więc 2»n = 18, 2s + M> + w=2+l-f 15=18. Zatem belka jest statycznie wyznaczalną. Gdyby w B było także łożysko stałe kołyskowe, toby było s=2, więc 2s + u> + n=4 + 15=19, belka byłaby z powodu łożysk statycznie niewy-znaczalną.

§. 104. Wyznaczenie wykreślne sił wewnętrznych za pomocą metody wielobokowej.

Dla równowagi sił zewnętrznych powinien, jak wiemy, zamknąć się wielobok sił i wielobok sznurowy. Oprócz tego muszą być dla każdego węzła siły zewnętrzne i wewnętrzne w równowadze, a więc dla każdego węzła musi się odnośny wielobok sił zamknąć. Jeżeli zaczniemy od węzła, w którym schodzą się dwa pręty, to kierunki i wielkości wszystkich sił z wyjątkiem wielkości dwu sił wewnętrznych przeciętych prętów są wiadome, możemy więc wykreślić wielobok sił i wyznaczyć niewiadome. Idziemy teraz do następnego węzła, w którym schodzą się trzy pręty, z tych jeden, dla którego wyznaczyliśmy już siłę wewnętrzną. Mamy więc znów tylko dwie niewiadome i postępujemy, jak pierwej. W ten sposób dalej postępując, możemy wyznaczyć wszystkie siły wewnętrzne. Ułatwimy sobie przytem wykreślenie, jeżeli wieloboków sił dla poszczególnych węzłów nie będziemy kreślić osobno, lecz wszystkie na jednym rysunku.

Na rysunku 244. widzimy belkę kratową, na którą działają siły. Dla równowagi dają one zamknięty wielobok sił, a także wielobok sznurowy dla jakiegokolwiek bieguna musi się zamknąć (na rysunku opuściliśmy wielobok sznurowy). Wykreślmy teraz wielobok sił dla węzła A, gdzie schodzą się tylko dwa pręty, w których siły działające nazwijmy a i b. W wie-

21

Statyka.

loboku sił 01 przedstawia siłę P₁, poprowadźmy 1 mljAE i Om//Ai?, to te dwie proste przetną się w punkcie m,, a proste Om i lm

przedstawiaj ą kierun ki i wielkości sił wewnętrznych a i b. Z kierunku strzałek w wieloboku 01 m poznamy, źe siły a i b działają w kierunku od węzła A, a więc przedstawiają ciągnienia. Idziemy teraz do węzła B. Tu znamy Ph i b, niewiadome są c i d, które otrzymamy, kreśląc w podobny sposób wielobok sił dla węzła B 40 mw, a więc mn = c, nA=d. I tu obie siły są dodatnie t. j. przedstawiają ciągnienia. Gdyby kierunek strzałki był odwrotny, do węzła i wskazywał, źe siła działa do przekroju, wtedy byłoby tam ciśnienie. W podobny sposób postępując dalej, otrzymamy wykreślnie siły wewnętrzne, działające we wszystkich częściach belki, czyli tak zwany plan sił (n. Kräfteplan, fr. épure, an. force diagram).

Metodę tę podał najpierw Maxwell*) w roku 1864, a Cremona**) w roku 1872. Nazywają ją metodą Cremony, chociaż raczej należałoby ją nazwać metodą Maxwela lub metodą wielobokową (n. Polygonalmethode).

Z rys. 244. widzimy, źe plan sił łączy się ściśle z wie-lobokiem sił. Nim więc przystąpimy do wykreślenia planu sił, musimy najprzód mieć wykreślony wielobok sił i wyznaczone wielkości oddziaływań. Boki planu sił są na mocy konstrukcyi równoległe do prętów belki kratowej.

•b_Ęj.

>3$

\ M.

r6

■*>£»

Rys. 244.

§. 105. Metoda przecięć.

a) Analityczna.

Druga metoda wyznaczania sił wewnętrznych belki kratowej jest metoda przecięć (n. Schnittmethode, an. method

*) On reciprocal figures and diagrams of forces. 1864.

'''•) Le figure reciproche nella słatica grafica. Milano 1872.

cf sections). Analitycznie zastosował pierwszy tę metodę Ritter (1861), dlatego nazywamy ją, metodą Rit ter a.

Jeżeli belkę kratową przetniemy na dwie części A i B, to jeżeli chcemy, aby część A pozostała w równowadze, musimy przyłożyć siły wewnętrzne przeciętych prętów w punktach, gdzieśmy je przecięli. Jeżeli przetniemy trzy pręty nieprzeci-nające się w jednym punkcie, to dadzą się siły wewnętrzne tych prętów wyznaczyć, gdyż dla równowagi możemy trzy równania ustawić. Niech CB, CG i GF (rys. 245) będą trzy

przecięte pręty, to gdy prawą część belki odejmiemy, dla równowagi zaczepiamy dotychczas nieznane siły wewnętrzne prętów Si, S₂, Sz. Wypadkową sił zewnętrznych, czyli dla belki prostej siłą poprzeczną niech będzie Q. Chcąc wyznaczyć wprost Si, obieramy za punkt obrotu dla momentów punkt przecięcia się G dwu drugich sił S₂ i Sz, których moment zatem jest równy zeru. Mamy więc Qr^ +    = 0, a stąd

<-........ ą

.....

//

j    ..•-i.—f-

/ r /

r.sv ,

<■

/j.........t......

Rys. 245.

8a

Qri

M.

.    .    526)

«i ’

jeżeli ri i sx nazwiemy prostopadłe, spuszczone z G na kierunki sił Q i , a Mi oznacza moment sił zewnętrznych ze względu na G.

Znak (—) z równ. 526) oznacza, że kierunek siły będzie przeciwny, niżeśmy pierwotnie przyjęli, a więc do węzła, zatem siła Si jest ciśnieniem.

S2

Dla wyznaczenia siły S₂ ustawiamy równanie momentów ze względu na punkt H i otrzymamy — Qr₂ + &₂s₂⁼Oj stąd

S₂ ⁼⁼ ——~    ^, jeżeli M.₂ oznacza moment zgięcia

s2 s2

ze względu

Qr

na H. A ze względu na punkt C Qr₃—Sz8n,=0, więc

S3

sz ’

przyczem ilf₃ oznacza moment zgięcia ze względu na C, b) Wykreślna.

Podobnie możemy metodą przecięć wyznaczyć natężenia wykreślnie, jak to pierwszy uczynił Culmann (1864).

Przeciąwszy trzy pręty belki kratowej (rys. 246), mamy, jak pierwej, cztery siły Q, S,, S₂, SĄ, które muszą być w równowadze. Gdybyśmy złożyli siły S₂ i Sz, to wypadkowa ich przechodziłaby przez punkt A; kierunku jednak jej ani wielkości nie znamy, gdyż nie znamy wielkości sił S₂ i S₂. Gdybyśmy następnie złożyli siły S] i Q, to wypadkowa tych sił

■V

\\

C\ ^ ,5

y N A

,je,W

s.

•>

i «S

li

; //

.//

!/

X" ______

r*-----    1

>N

Rys. 246.

przechodziłaby przez punkt H. Ponieważ jednak wszystkie te cztery siły są w równowadze, więc obie te wypadkowe muszą się równoważyć, a więc działać w jednej i tej samej prostej, ale w przeciwnych kierunkach i muszą być sobie równe, a zatem AH będzie kierunkiem wypadkowej. Niech 01 = Q, to gdy poprowadzimy 1 m I/ HA a 0 m // S{, 01 m będzie wielobokiem sił zamkniętym, lm wypadkową z sił S₂ i S₃ a Om^S,.

Podobnie otrzymamy On=S₂, zrobiwszy In// IB a 0n fj S2 i Op = S.^ zrobiwszy lp // GC a Opjj S₃. Siły S₂ i S₃ możemy też inaczej wyznaczyć, znamy bowiem ich wypadkową lm. Rozkładamy więc ją według znanych kierunków CA i GA, robimy 1 rjjCA i mrllAG i otrzymujemy S₂ — lr i Sz==rm. Tok sił Si, S₂ i S₃ wyznaczamy, jak poprzednio, z wieloboku sił; wi-

dzimy więc, że siły S₂ i S₃ działają od przekroju, więc sprawiają ciągnienie, przeciwnie S{ ciśnienie.

Metodę przecięć możemy zastosować także przy wykonaniu planu sił, który kreślimy, przecinając po kolei belkę w ten sposób, aby przeciąć zawsze tylko dwa pręty, których sił wewnętrznych nie znamy. Wtedy wszystkie siły zewnętrzne po lewej stronie przekroju i siły wewnętrzne, działające w przeciętych prętach, muszą dać zamknięty wielobok sił. Ze względu na to, że wielkość tjdko dwu sił jest nieznaną, wielobok ten da się wykreślić. Postępując tak dalej, otrzymujemy plan sił.

W rys. 244 przecinamy naprzód siły a i b i wykreślamy wielobok sił P, a i b. Teraz tniemy wedle linii mn, przecinamy więc znaną nam siłę a, dalej c i d. Siły Pj, P₃, a, c i d muszą być w równowadze. Mamy wykreślone P₅ =40, P, =01, a —lm. Z m wykreślamy rnnj/c a 4 n H d. Linie te przecinają się w n, mamy więc mn=c, n^—d. Tok sił w wielo-boku sił jest P₅, Pu a, c, d, więc c i d są ciągnienia.

Dalej przecinamy belkę wedle linii pr₁ d jest tu znane, nieznajome ci/, itd.

Chcąc porównać obie metody, wielobokową i metodę przecięć, zauważyć musimy, że przy metodzie wielobokowej otrzymujemy, wykreśliwszy plan sił, siły wewnętrzne we wszystkich prętach, podczas gdy przy metodzie przecięć musimy dla każdej trójki sił robić osobny rysunek. Jeśli zatem mamy dla danego obciążenia belki wyznaczyć siły wewnętrzne wszystkich części belki, to użyjemy z korzyścią metody wielobokowej. Jeśli zaś dla pewnego obciążenia mamy wyznaczyć siłę wewnętrzną tylko jednego lub dwu prętów, używamy metody przecięć Rittera lub Culmanna, gdyż nią prędzej dojdziemy do celu.

§. 106. Belka wzmocniona.

prosta rtmr jest wielobokiem sił ze-

Jako przykład metody wielobokowej wyznaczymy w przybliżeniu siły wewnętrzne belki wzmocnionej (n. armirter Träger, fr. poutre armée à un seul poinçon, an. triangulär truss) (rys. 247), przypuszczając, że połączenia w węzłach są przegibne, i że działa na nią siła P w punkcie C. Stąd wy-P

nika, że O, = 0₂ =

wnętrznych. Chcąc wykreślić plan sił, przecinamy belkę najprzód w prostej ff, kreślimy rnjjAC, mnjjAE. Proste te przecinają się w punkcie n, więc rn = a,mn=b. Kierunek sił w wie-loboku, oznaczony strzałkami, jest mrnm, a więc w a jest do

przekroju, zatem siła ta sprawia ciśnienie, w i od przekroju, więc ciągnienie. Teraz tniemy belkę w prostej gg i kreślimy wielobok sił: Oy=mr, a=rn, dalej npjjCE. Kie znając wielkości tej siły, musimy kreślić teraz w przeciwnym kierunku, więc mp/jBE. Proste te przecinają się w punkcie p, więc np = c, mp = e. Na koniec tniemy belkę w prostej hh i kreślimy wielobok sił, więc Ol=mr, P=rt, dalej tp /I CB. Ponieważ wielobok sił musi się zamknąć, więc prosta tp // CB musi przechodzić przez punkt p, a tp=--d, co stanowi zarazem próbę dokładności rysunku.

0,

Oz

A f ! -a\ -cl

IO

Tl

o.

e^>-d\P

p *5 i

Rys. 247.

0,\

±1.

Na rysunku 248 widzimy belkę podwójnie wzmocnioną (fr. poutre a trois poinçons, an. compound triangulär truss), na którą działają w węzłach C, E i F siły Pif P₂ i P₃. Najprzód musimy w znany sposób wyznaczjm oddziaływania Oj i 0₂. W tym celu wykreślamy wielobok sił, przyjmujemy

ï*.

î P* m

cjS

ce

c/

o* p

Ł.Ł.

3

c,

e.

f,

/c

w ob

Rys. 248.

biegun O, kreślimy wielobok sznurowy, zamykającą ax bx i równoległy do niej promień Om, wtedy mamy Oi = m0 i 0₂=3m. Teraz mamy wszystkie siły zewnętrzne i kreślimy osobno wielobok sił 0123 m i plan sił podobnie, jak powyżej.

Powyżej przypuściliśmy, że połączenia węzłowe są prze-gibne, a obciążenie działa tylko w węzłach. Często przypuszczenia te w praktyce się nie stwierdzają.

Jeżeli obciążenie działa na pasie górnym belki, wtedy części pasu górnego pracują jako belki drugorzędne na zginanie i przenoszą siły na węzły. Pas górny jest więc nietylko ciśnionym, ale i zginanym. Obliczać go zatem należy dla wytrzymałości złożonej.

§. 107. Obciążenie dachów.

"Według metody wielobokowej wyznaczamy też siły wewnętrzne, działające w więzarach dachowych.

Więzarem dachowym czyli wiązaniem pełnem (n. Dachbinder, Bundgespärre, fr. ferme, an. roof framing, roof truss, r. $epMa) nazywamy parę krokwi, wzmocnionych odpo-wiedniem wiązaniem i działających jako belka kratowa, niosąca cały ciężar stały zeskładu dachu, jakoteż i obciążenia śniegiem i wiatrem. Dla obliczenia więzarów dachowych musimy . więc przedewszystkiem znać obciążenie dachów, które składa się z ciężaru własnego, z ciężaru śniegu i parcia wiatru. Ciężar własny składa się z ciężaru : a ) pokrycia wraz z krokwiami, ß) ciężaru płatwi i tężników, y) ciężaru więzarów. Ciężar pokrycia wraz z krokwiami przyjąć możemy dla pierwszego obliczenia przybliżonego według następnej tabliczki XXXIV., ciężar płatwi i tężników możemy przyjąć tak dla da*chów drewnianych jak i żelaznych 15 kgjm² połaci dachu.

Ciężar więzarów jest nam nieznany, należy go przyjąć w przybliżeniu wedle materyału ustroju i wykonanych budowli, jest on zresztą niewielki w stosunku do innych ciężarów ; później należy dokładnie wyznaczyć ciężar i liczyć raz jeszcze.

Tablica XXXIV.

Rodzaj pokrycia dachu j Ciężar własny pokrycia i krokwi w kg na 1 m² dachu po-; chyłego hez ciężaru więzarów głównych

cement drzewny z 10 cm żwirówką

dachówka zakładkowa......

beton żużlowy, płyta żelbetowa . łupek naturalny.........

200

100

150

Rodzaj pokrycia dachu

Ciężar własny pokrycia i krokwi w kg na 1 m* dachu pochyłego bez ciężaru więzarów głównych

blacha płaska .......

blacha falista na kątówkach

tektura ..........

gonty podwójnie.....

„ pojedyńc szkło drutowe do 6 mm

ii 8    „

40

23

40

40

zo

35

25

TT

35

strzecha........

asfalt, łupek asbestowy ruberoid .......

65

40

40

Ciężar więzarów głównych możemy przyjąć, jak następuje:

Tablica XXXV.

a)    Więzary drewniane na 1 m² dachu pochyłego:

rozp. m

o stolcu stojącym lub leżącym ....    7,5—15

wiszące pojedyncze........

„ złożone lub rozporowe . .

„ niepodparte dla rozpiętości . . 10 —18

b)    Więzary żelazne na 1 m² rzutu poziomego:

lekkie................ —

cięższe ................ —

Nachylenie dachu zależne jest od materyału pokrycia. W przecięciu możemy przyjąć nachylenie według następnej tabliczki, jeżeli kąt nachylenia dachu do poziomu (rys. 249)

nazwiemy a, wysokość h a rozpiętość l, zatem st a = chylenie może być jednak także więcej strome.

Tablica XXXVI.

Ustrój

10 -18

. 20

cięż. Tęgim2 7-18 12-18 20-24 20-30

14-20

20-30

Na-

Rodzaj pokrycia

.    2 h

st oc — —j—

naimn. średnie

1:0,9 1:2,25

x.........J.

-A»

Strzecha Gonty .

Dachówka zakładkowa ...    1:1,5

Łupek naturalny eternit

Rys. 249.

•*

1 : 2,25 1:2,25

Blacha płaska falista

1:6

■■

1:2

Szkło......

Tektura . . . . Cement drzewny

1:2,5

1:6

1:20

t-H *H rH rH rH rH rH iH rH

LO^ lO

rH rH y—I t-H H (M (N

Warstwa śniegu, która się osadza na dachach w naszych okolicach, nie jest zwykle grubszą, niż 0,60 m. Wysoko w górach warstwa ta jest jednak znacznie większą, dosięga nawet 2 m wysokości. Przyj ąwszy wysokość warstwy 0,65 m i zważywszy, że śnieg jest około 8 razy lżejszy od wody otrzymamy ciężar śniegu na m² rzutu s=0,65

s-80kS

Odnosi się to tylko do okolic w nizinach, w górach należy przyjąć więcej. Zwłaszcza śnieg zlodowaciały waży znacznie więcej, Schaller*) robił doświadczenia co do ciężaru gatunkowego śniegu, a zarazem badał grubość jego warstw i przychodzi do wniosku, że jest ona zależną od wysokości nad poziom morza, mianowicie # = 70

oznacza wysokość nad poziom morza. Radzi on podzielić kraj warstwicami na 3 części.

1000

=81,5 kg, okrągło

ni²

527)

(1 + 50o)’ jeżeli ⁹

w cm a h w m

Tablica XXXVII.

Strefa

s w kg/m

0 —200 m .    .    200- 500 „

. > 500 m

Zwykle przyjmujemy, że obciążenie śniegu jest równe na całej powierzchni dachu; możliwem jest jednak, że wskutek wiatru jedna połać jest obciążoną śniegiem, druga prawie wcale nie. Czasem może to sprawić w niektórych prętach większe natężenie, w takim razie należałoby to uwzględnić.

Koechlin i Landsberg przyjmują więc, że śnieg może być tylko na jednej połaci,• Breymann jednak twierdzi słusznie, że na drugiej połaci należy przynajmniej przyjąć połowę obciążenia.

Na stromej połaci śnieg nie może się utrzymać, dlatego liczymy powyższe obciążenie tylko do a = 35°, przy a = 40° przyjmujemy tylko połowę obciążenia, a przy a=45° nie przyjmujemy wcale żadnego obciążenia śniegiem.

pierwsza druga trzecia .

75

120

340

*) Por. „Beton u. Eisen“ 1909, str. 284 i 1907, str. 136.

Dalszą siłą działającą na dachy, jest parcie wiatru (n. Winddruck, fr. pression du vent, an. wind pressure, r. a&b-jienie Blvrpa). Z mechaniki rozumowej wiemy, że ciśnienie wiatru na płaszczyznę prostopadłą do kierunku wiatru jest

w—- - Fv²

.    .    528)

Jeżeli wstawimy <7 = 9,81 m i ciężar 1 m³ powietrza o normalnej gęstości, to otrzymamy:

.    .    529)

w=0,13Fy² kg\m²    .

gdy v oznacza chyżość wiatru na sekundę w metrach.

Chyżość wiatru i odpowiednie parcie są następujące:

Tablica XXXVIII.

Moc wiatru silny wiatr . bardzo silny wiatr . lekka burza . silna burza . silny wicher . najsilniejszy wicher AV naszych okolicach v rzadko kiedy bywa większem, niż 30 m, którąto wartość po zaokrągleniu zwykle przyjmujemy przy obliczaniu dachów, w = 125 kgjm¹. Szczególniej w miastach, gdzie dachy są po części zasłonięte innymi budynkami, powyższa wartość jest zupełnie wystarczająca; w miejscach jednak wolnych niezasłoniętych, zwłaszcza wysoko położonych i wj-stawionych na działanie wiatrów dla wież, kominów wysokich powinniśmy przyjąć większe ciśnienie, a mianowicie do 250 kgm², gdyż stwierdzono doświadczalnie, że parcie wiatru w górze jest znacznie większe, niż przy ziemi, gdzie zmniejsza się chyżość wiatru. Zresztą trudno przypuszczać, aby największy wicher wywierał parcie na dach równocześnie z naj-większem obciążeniem śniegu. Nie potrzebujemy zatem liczyć na wyjątkowe, może raz w kilkanaście lat zdarzające się wichry zwłaszcza, iż przy obliczaniu przekroju przypuszczamy jakąś pewność, a materyał wytrzymać może takie kilkakrotne nadzwyczajne natężenia.

Najczęściej kierunek wiatru jest do poziomu nachylony pod kątem 10° (rys. 250), tak też go dziemy. Powodem tego jest tarcie przy ziemi, które zmniejsza

v w m/s w w kgjm²

15

29

20

52

25

82

30

117

40    208

50

325

zawsze

przyj mować bę-

chyżość wiatru i nachyla jego kierunek. Jeśli w oznacza ciśnienie na 1 m² płaszczyzny prostopadłej do kierunku wiatru,

to ciśnienie na połać AB o szerokości 1 m otrzymamy, spuściwszy z A prostojiadłą na kierunek wiatru, a z B na AD, a zatem parcie wiatru na m² dachu pochyłego AD

w^wTb-

.....

••••

Rys. 250.

jeżeli kąt nachylenia dachu do poziomu jest a,

Z rysunku widzimy, że

AD

AB

= wst (a + 10)

.    .    530)

w₁ =w wst (a-f 10).    .

Rozłóżmy parcie wi na siłę prostopadłą do dachu n i równoległą t. Z rysunku widzimy, że

wst (05 + 10)=^ wst² (a-j-10), a t=wx dost (a + 10).

Siła t posuwa prąd wiatru wzdłuż połaci. Ponieważ tarcie wiatru o dach jest stosunkowo małe, więc zwykle nie uwzględniamy go wcale, tylko siłę składową prostopadłą do połaci n.

Jednak doświadczenia Loessla udowodniły, że parcie n jest większem i wzrasta nie w stosunku do kwadratu, lecz do pierwszej potęgi wst (a+10).

Będziemy więc używać nadal wzoru

n=w wst (a+ 10),

a zatem wzoru identycznego z wzorem 530).

Przy dachach wielobocznych nachylenie dachu zmienia się ciągle, musimy zatem dla każdego nachylenia obliczać parcie według 531). Możemy to zrobić także wykreślnie.

Równ. 531) możemy także inaczej napisać, zważywszy że

więc

.    .    531)

wst (a +10)

AD

zatem n =

AD

WlB

więc N=wAD. Parcie pro-

AB

stopadłe do połaci na 1 m szerokości jest więc równe w razy rzut połaci na kierunek wiatru. Jeżeli odstęp ciężarów jest a, to musimy jeszcze przez a pomnożyć.

Dla dachu wielobocznego (rys. 251) wynika z tego łatwa konstrukcya. Z A prowadzimy A G prostopadle do kierunku wiatru i rzucamy na nie punkty załamania powierzchni dachu B,

E, H, // do kierunku wiatru. Parcia są wtedy proporcyonalne do AD, DF, FO. Aby otrzymać całkowite parcie połaciowe, pomnożyć należy te długości przez w a.

//

AL

Rys. 251.

Jeżeli przedmiot, o który wiatr uderza, ma powierzchnię krzywą, to parcie wiatru jest mniejszem, niż na powierzchnię płaską o tym samym rzucie pionowym, więc W=óFw .    532)

jeżeli d jest spółczynnik, w parcie wiatru na jednostkę kwadratową a F rzut pionowy powierzchni.

. d =0,848 .    0=0,890

(przekrój koło) .

ośmiokąt)

Jeżeli obliczenie parcia oprzemy wtedy na wzorze Loes-sla 531), to otrzymamy wedle Mayera dla walca

„ graniastosłupa (    „

Wzory te zastosujemy przy obliczeniu parcia wiatru na

kominy.

Brune oblicza parcie na stożek i półkulę i otrzymuje dla stożka d=-^-dosta, jeżeli a jest kąt nachylenia boków stożka do osi a dla półkuli <5 = 0,207.

Rozporządzenie ministr. austr. z r. 1911 dla zakładów żelbetowych §. 4. ust. 5. Ciężar własny pokrycia dachu włącznie z opierzeniem, łatami i krokwiami jednak bez ciężarów należy przyjmować na 1 mi pochyłej powierzchni dachu w %, jak następuje:

Tablica XXXIX.

dachówka pojedyńcza...........

„ podwójna...........

„ zakładkowa ..........

łupek pojedynczo.............

„ podwójnie.............

„ sztuczny na tekturze ........

tektura pojedyiiczo bez piasku......

„ podwójna............

cement drzewny z 8 cm wysoką warstwą żwiru

100

125

64

78

82

41

82

35

Dla innych rodzajów pokrycia (n. p. dla metalu, szkła i t. d.) należy ciężar własny w danym razie osobno obliczyć.

Ust. 9. Ciężar śniegu. Ciężar śniegu należy w kg/m² rzutu dachu przyjąć, jak następuje:

75

przy nachyleniu dachu do 40°

„ między 40° do 60°

„ nad 60° nie należy wcale uwzględniać cię-

40

żaru śniegu.

Dla okolic, położonych na południu (Austryi), dowodnie ubogich w śnieg, można przyznać w danym wypadku zmniejszenie powyższych obciążeń. Dla okolic z dowodnie wielkim opadem śniegu należy przyjąć ciężar śniegu według miejscowego położenia większy, a mianowicie przy nachyleniach do 40° aż do 200 kg, dla nachyleń między 40° a 60° aż do 110 kgjm² rzutu. Ciężar śniegu należy przyjmować przy obliczeniu albo na wszystkich, albo gdy to jest niekorzystniejszem na niektórych tylko połaciach dachu.

10.    Parcie wiatru. Parcie wiatru należy przyjąć nam² powierzchni prostopadłej do kierunku wiatru w ogólności w —150 kg, w nadzwyczajnych wypadkach wedle miejscowego położenia do 250 kg.

11.    Kierunek wiatru należy pi’zyjaé poziomy ; dla powierzchni, które z kierunkiem wiatru tworzą kąt a, należy przyjąć parcie wiatru prostopadle do tej powierzchni u\ =w wst²a.

12.    Przy otwartych wiatach, daszkach i t. d. należy w danym razie przyjąć parcie wiatru, działające prostopadle do powierzchni dachu z wewnątrz na zewnątrz 60 kgjm¹, a w nadzwyczajnych wypadkach według położenia miejscowego 100 kgjm¹.

13.    Przy budowlach, które znajdują się w miejscu stale od wiatru osłoniętem, można dopuścić zmniejszenie parcia wiatru aż do 75 kgjm'².

Normy przyjęte przez austr. towarzystwo inżynierów i architektów.

Kierunek parcia wiatru przyjmuje się poziomy. Parcie wiatru na płaszczyznę prostopadłą do kierunku wiatru 200 kgjm¹.

Ciężar śniegu na płaszczyznę poziomą 75 kg Im'¹.

Przepisy dla budowli c. k. kolei państwowych austrya-

c k i c h.

Ciężar śniegu należy przyjąć 75 kgjm¹ rzutu. Przy nachyleniach dachu wyżej 40° należy przyjąć z tego połowę, wyżej 60° wcale nie uwzględniać ciężaru śniegu.

W okolicach z dowodnie bardzo małym opadem śniegu można wpływu jego całkiem nie uwzględniać.

Parcie wiatru prostopadle do połaci dachu należy obliczać wedle wzoru tt>=150wst²(a + 10)kg/m², przyczem a oznacza kąt nachylenia dachu. W okolicach z bardzo wielkimi wichrami (bora) należy przyjąć 250 kgjm2 zamiast 150 kgjm’¹. Dla otwartych wiat i dachów peronowych należy przyjmować wiatr, działający z wewnątrz na zewnątrz 60 kgjm², w okolicach z silnymi wiatrami (bora) 100 kg/m² dachu. Przy budowlach w dowodnie osłoniętem położeniu można powyższe cyfry odpowiednio zniżyć.

Należy zawsze uwzględniać najniekorzystniejsze działanie wiatru i ciężar śniegu.

ß o zp o r z ąd z en ie minist, pruskiego z 1910.

Tablica XL.

Ciężary własne Jcg/rn*:

Dach kryty dachówką pojedynczo z łatami i krokwiami . . .

Dtto ustrój czeski (w zaprawie)...............

Dach kryty dachówką podwójnie z łatami i krokwiami . . .

Dtto ustrój czeski (w zaprawie)...............

Dach kryty podwójnemi dachówkami z łatami i krokwiami .

Dtto ustrój czeski (w zaprawie)...............

Dach kryty dachówką holenderską na łatach z małych dachówek ........................

Dtto z wielkich dachówek .................

Dach z dachówek holenderskich na opierzeniu zakładałem

Dach z dachówek zakładkowych..............

Dach kryty gąsiorkówką z łatami i krokwiami.......

Dtto pokrycie czeskie....................

Angielski dach łupkowy na łatach z łatami i krokwiami . . Angielski dach łupkowy na opierzeniu z opierzeniem i krokwiami ........................

Niemiecki dach łupkowy na opierzeniu i z podkładką tekturową .........................

Dtto z mniejszych dachówek (20X15 cm)...........

Dach cynkowy na listwach.................

Dach miedziany z podwójnemi zakładkami i opierzeniem . . Pojedynczy dach tekturowy z opierzeniem i krokwiami . . .

Podwójny dach z żwirem, opierzeniem i krokwiami.....

Dach z cementu drzewnego z warstwą żwiru 1 cm......

Dach z cementu drzewnego na sklepieniach i warstwą żwiru 7 cm

Dach szklanny na żelaznych listwach dla szkła 4 cm.....

Dtto dla szkła 5—6 mm albo z drutami...........

Ciężar śniegu na 1 m² powierzchni połaci ..........

(Jeżeli O>50° nie uwzględnia się wcale ciężaru śniegu). Parcie wiatru na 1 m² powierzchni prostopadłej (dla obliczenia części ścian, ram, więzarów)..............

t—!    t-H

55    „

22 „

30    „

75    „

125*),,

Całkowite obciążenie dachów

złożone z ciężaru własnego, śniegu i parcia wiatru na 1 m² poziomego

rzutu :

Tablica XLI.

Dach szklanny przy nachyleniu 10° Dtto przy nachyleniu 25°    ....

125 kg 150 „

*) Dla wysokich budowli na małej powierzchni nie mogą być przekroczone wyższe granice natężeń dopuszczalnych przy «0=150 kgjm².

Dach łupkowy przy nachyleniu 25°

150 kg 250 „ 250 „

Dtto przy nachyleniu 45°......

Dach dachówkowy przy nachyleniu 30°

300 „

Dach dachówkowy przy nachyleniu 45°

Dach z cementu drzewnego na drewnianych krokwiach..... 275 „

300 „ 700 „

Strome dachy mansardowe z pokryciem łupkiem lub dachówką przy nachyleniu 45°

Dtto przy nachyleniu 70°

Dla poziomych lub słabo nachylonych 1:20 dachów, które służą jako miejsce zabawy i wypoczynku, obciążenie =250 kg/m² (rozp. berliń. policyi).

§. 108. Ogólne warunki równowagi dachu.

Najprzód uważać będziemy dach jako całość i badać go, czy siły, działające nań, nie potrafią go wywrócić albo przesunąć (rys. 252), co zwłaszcza możliwem jest przy dachach wysokich.

1 jest M=N. BE=N (A' E—A' B)=*nl b dost a |, a że

Składowa wiatru prostopadła do połaci Nusiłuje dach obrócić około krawędzi B. Moment, tu występujący, dla głębokości ==

=Zdosta, więc M=nl== ^ (^²— fe2)- Ciężar własny

dachu, który niech wynosi g kg\ml powierzchni pochyłej , jest całkowity C=g.2l, zatem moment jego ze względu na punkt B

M' = —2 gl.

Dla równowagi musi więc być

A?

=glb.

bgl~ ^²—ń²j, stąd

’zsUp-b') ■

s; cm

.    533)

■E (oi y

A J).......^

ic 'a

Rys. 252.

Przesunąć w kierunku poziomym dach usiłuje iVwsta, składowa pozioma siły N, czemu sprzeciwia się tarcie, wywołane ciężarem 2 gl i składową pionową parcia wiatru Ndost a. Jeżeli spółczynnik tarcia nazwiemy f, to f(2 gl+nlàost a) =

= wsta. Wstawmy dost a=wsta=-^-, to 2T:>77’ a

.    .    534)

Jeżeliby g było mniej szem, niż wypada z równ. 533) i 534), to musielibyśmy więzary zakotwić, aby przeszkodzić czy to przesunięciu czy to przewrotowi.

109. Wyznaczenie sił wewnętrznych dla obciążenia pionowego.

Dach musi być nietylko jako całość w równowadze, lecz także natężenie we wszystkich prętach nie powinno przekraczać natężenia dopuszczalnego. Będziemy się więc starali wyznaczyć siły wewnętrzne, działające w prętach i to najprzód wykreślnie.

Siły wewnętrzne więzarów dachu wyznaczamy najlepiej według metody wielobokowej. Dla danego obciążenia wyznaczamy najprzód oddziaływania, a potem wykreślamy plan sił, jak to na przykładzie zaraz zobaczymy. Możemy przy tern albo obliczać siły wewnętrzne dla obciążenia równoczesnego śniegiem i wiatrem, albo osobno wyznaczyć siły wewnętrzne dla obciążenia ciężarem własnym i śniegiem, a osobno dla parcia wiatru.

Ten drugi sposób jest z tego względu lepszym, że dla niektórych prętów otrzymamy największe natężenie dla obciążenia śniegiem, albo tylko wiatrem. Dlatego lepiej badać osobno wpływ ciężaru własnego i śniegu a osobno wiatru, a dopiero potem natężenia kombinować w ten sposób, aby dały największe natężenie.

Najprzód więc wyznaczymy siły wewnętrzne dla obcią-ciążenia pionowego. Przedewszystkiem musimy wyznaczyć ciężary węzłowe, to jest ciężary, działające w węzłach. Obciążenie przenosi się na więzary główne albo za pomocą płatew w węzłach, albo też i między węzłami. W tym ostatnim wypadku obliczamy przecież więzar tak, jakby ciężary działały w węzłach, a tylko pas górny więzaru obliczamy nietylko na ściskanie, ale i na zginanie, wywołane momentem obciążenia, działającego między węzłami.

Jeżeli a oznacza odstęp więzarów, g ciężar własny na m2 powierzchni pochyłej i s ciężar śniegu na m² rzutu, to na długość krokwi lx działa ciężar G—galxĄ-salx dost a.

Jeżeli odstęp węzłów jest równy, to na jeden węzeł przypada długość lx równa odstępowi węzłów, na pierwszy węzeł połowa tej długości. Przy dachach w kształcie ostrosłupa wię-żary nie są równoległe, wtedy obciążenie na m b. więzaru jest zmienne, a to wedle powierzchni dachu, która na odpowiednie części więzaru przypada.

Ciężary węzłowe mogą działać także w pasie dolnym. Przy większych dachach już ciężar samego dźwigaru należy rozłożyć na pas górny zwykle w większej części np. ²/₃ i na pas dolny ij₃ ciężaru. Oprócz tego często zawieszone są na dachu ciężary stropowe, czasem podesty schodów i świeczniki a nawet w budynkach fabrycznych tory dla żórawi.

Znając ciężary węzłowe, wyznaczamy najprzód oddziaływania. Jeśli więzar i obciążenie jego są symetryczne, to O, = 02 = połowie obciążenia; jeżeli niema symetryi, to wyznaczamy oddziaływania    wykreślnie    zapomocą wieloboku sznurowego.

Musi    się    wtedy    zamknąć    wielobok sił i wielobok sznurowy.

Teraz możemy przystąpić do wykreślenia planu sił wedle §. 104.

Podajemy tu kilka planów sił dla obciążenia pionowrego już bez dalszych objaśnień, przyjąwszy obciążenie symetryczne,

/?

d o,

p,~l

Rys. 253.

w którymto razie 0₁ = 0₂ — połowie obciążenia. Z powodu symetryi jest tu górna połowa planu sił zupełnie przystającą do dolnej, dlatego też kreślimy zwykle tylko połowę planu sił. Rysunek 253 przedstawia więzar francuski układu Po-lonceau (n. der französische oder Polonceau Bachstuhl, fr. ferme Systeme Polonceau, an. french roof truss), 254 więzar angielski (n. englischer Dachbinder, an. english roof), rys. 255 więzar mansardowy (fr. comble à la; Mansard, an. mansard roof). Czasem, jak w rysunku na tabl. III., przedstawiającym złożony więzar Polonceau, nie możemy znaleść przekroju, dla którego byłyby tylko dwie siły niewiadome. W zwykły sposób wyznaczyć tu możemy siły wewnętrzne a, b, c, d, e, f, ale teraz, czy przetniemy w kierunku 77, czy II 77, zawsze mamy trzy niewiadome, nie możemy więc ich wykreślnie wyznaczyć.

Musimy zatem tu poradzić sobie inaczej, przeciąć więzar płaszczyzną III III i wyznaczyć sposobem Rit ter a siłę m.

CL,

Oj

'P

"p

b,

o;

O.

o"

...1.

Rys. 254.

Znając ją, możemy kreślić dalej plan sił, zaczynając od sił m, r i s i kreśląc dalej siły n, h k, l, g. Możemy też poradzić sobie w inny sposób i to metodą Culmanna. Przetnijmy więzar po linii IV IV. Siły wewnętrzne h, k, l, si i i zewnętrzne P₄ i P₅ są w równowadze. Złóżmy P₄ i P₅ w zwykły sposób w wypadkową R', to ponieważ P₄ = Prj, więc wy-

i,ir

7>mm

im

«..............V

nOy

xfX

20 m

ą-2t

'v

c.

A"

-.....4

m 4

².....|

0/X

............

Rys. 255.

padkowa działa w środku odległości między P₄ i P₅. .Tężelibyśmy złożyli R' z k, to wypadkowa musiałaby iść przez S, wypadkowa R" zaś reszty sił h, l, s{ i musi przechodzić przez F. Dla równowagi muszą kierunki obu wypadkowych wpadać na siebie, więc kierunek R" jest SF. Poprowadźmy

w wieloboku sił 33'// k, a 53' // SF, to 33'=k. Znając k, możemy dla przecięcia II II wyznaczyć niewiadome g i h.

Na rys. 256 widzimy plan sił dla więzaru, którego pas dolny także jest obciążonym. Wyznaczywszy oddziaływanie w zwykły sposób (tutaj 0₁ = 0₂), kreślimy wielobok sił rozsunięty dla przejrzystości, kreśląc po porządku naokoło więzaru-, poczem wykreślenie planu sił nie przedstawia żadnych trudności, jeśli tylko baczyć będziemy, że pomimo rozsunięcia plan sił leży w linii ab.

'7i

O,

Pr

t.

PM V.

pA

■p;

ri

A'

Rys. 256.

ä/>

iK,

Liczebnie wyznaczamy siły wewnętrzne za pomocą sposobu Ritter«, (§. 105). Jako przykład obliczymy siły wewnętrzne więzaru mansardowego (rys. 255). Niech będzie l— 20w, P₁=2^, P₂ = 2ż, P₃ — 2t, więc Ol = 3t-Otrzymamy najprzód dla przecięcia 11 ze względu na punkt O;

Ol xi—b.CE= 0, stąd b=Ox ^=3 ~ = 8,2 *•

Ze względu na punkt E mamy

Ol x.₂—arl = 0, stąd a—

Oj X₂

ri

₌_B ⁵ =10,3f. 1,5

Przetnijmy teraz więzar w kierunku IIII, a otrzymamy ze względu

na punkt F:

Oy — —Px(^- — x^—c.EF= 0, a stąd

3X10-2X5,9

EF

6,4

=2,85 ł,

a ze względu na punkt E

üjïj—A (^2—*i)-f^*ri⁼⁼0, a stąd

d=rp\(xi—x\)—0\ xi ₌

2 (5-4,1)-3,5

ri

1,5

-8,8«.

Przetnijmy nakoniec więzar w kierunku III J/J, a otrzymamy ze względu na punkt F

/=

0\ "2——^î)⁻/r2—0, a stąd

o,J-p.(4—*>)

ra

= 8,10—2 10-4,1)₌

Dalej ze względu na punkt K przecięcia się d i f mamy: Oix₃ + Fl (#j—x₃)—er₃=0, a zatem

e= Oi *3 + P\ (a?i—as₃) ₌ 3X1,5+ 2 (4,1—1,5)_^ 95 t

r₃    2

§. 110. Parcie wiatru.

Zastanówmy się teraz nad wpływem parcia wiatru na więzar, a najprzód wyznaczmy oddziaływania. Musimy tu przy tern rozróżnić dwa wypadki, gdy jedno łożysko jest wał-kowem lub też oba są stałe.

t>

ty

o,

o,,

a.

CL

Bys. 257.

Jeżeli bowiem jedno łożysko jest wałkowem, a tor wałków poziomym, to oddziaływanie na tej podporze może byó tylko pionowem, oddziaływanie zaś na drugiej podporze wyznaczyć łatwo możemy wykreślnie z wieloboku sił. Niechaj na więzar ACB (rys. 257) działa wiatr z lewej strony prostopadle do AC. Wypadkowa parcia na połać ACdziała w punkcie F. Jeżeli w A jest łożysko wałkowe, to oddziaływanie Oj jest

pionowe. Oddziaływanie 0₂ w punkcie B musi wraz z Oj równoważyć parcie wiatru W, mieć więc kierunek BE, bo te trzy siły muszą się przecinać w jednym punkcie. Jeżeli 03=TF= = Wi + W₂ + Wr₃, a zrobimy Sn/lBE i 0njjAE, to otrzymamy oddziaływania. Znając oddziaływania, możemy w zwykły sposób wykreślić plan sił.

fi-

èx, ■// ''

rfS.

w'

'C?-

«£>

Rys. 258.

Jeżeli wiatr wieje z prawej strony (rys. 258), to oddziaływanie w A pionowe przecina się z wypadkową parcia W w E, zatem oddziaływanie 0₂ ma kierunek EB. Wykreślamy zatem W— 03, dalej Sn HEB i 0 n // O,, to nO=Oi} Sn=0₂. Po wyznaczeniu oddziaływań łatwem jest dalsze wykreślenie planu sił.

0,1

l\

ą,

Rys. 259.

Jeżeli więzar jest symetrycznym, to parcie na połać lewą W) będzie równe parciu na połać prawą Wp (rys. 259). Równą też i wprost przeciwną jest ich składowa. « pozioma H, działająca na łożyska stałe. Wobec tego, gdy oddziaływanie pionowe wykreślimy w jednej linii, wszystkie oddziaływania zamknięte będą w prostokącie abcd. Jeżeliśmy wedle rys. 257 wyznaczyli oddziaływanie O^r i 0₂r, to z rys. 259 ^ możemy wyznaczyć wielkość i kierunek cl oddziaływań Oip i 02p, co może nam się przydać wtedy, gdy punkt E na rys. 258 wypada poza papier.

Jeżeli oba łożyska są stałe, to właściwie oddziaływania nie są statycznie wyznaczalne.

■C

a₁ cl

Eys. 260.

Przypuśćmy, że więzar spoczywa na płytach żelaznych i że przesunięciu sprzeciwia się tylko tarcie. W takim wypadku tarcie jest .proporcyonalne do ciśnienia pionowego. Niech będzie ciśnienie na jednej podporze bc (rys. 260), na drugiej , to tarcia proporcyonalne do ciśnień będą ab i ax b, zatem oddziaływania ac i axc muszą być równoległe. Ponieważ muszą one równoważyć się z parciem W, więc muszą być równoległe do kierunku wiatru. "Wielkość oddziaływania wyznaczymy wtedy łatwo (rys. 261), wypadek ten sprowadzając do wypadku belki zwykłej. Jeżeli 03= W, to obieramy dowolnie biegun O, kreślimy promienie O0 i 03, a do nich równolegle wielobok sznurowy EIFG. EG jest zamykającą, więc, gdy Om HEG, będzie m 0=0₁ a 3m=0₂.

"Wykreślenie planu sił nie przedstawia teraz żadnych trudności.

Jeżeli chodzi o wyznaczenie oddziaływań rachunkiem, to postępować będziemy w następny sposób.

•-V

.A\

/ \R'

Km ■

i i r \

JT/ K \

WA KM \

P>

akk «

Eys. 261.

Jeżeli w F zaczepia parcie wiatru W (rys. 262), to rozkłada się ono na H— Wwst a i V—Hdost a, oddziaływanie 02 w B rozkłada się także na i V₂. Dla równowagi mamy łFwsta — H=0, O, + F₂— JFdosta = 0, i ze względu na i

F₂.21 dost a—W

— 0, a stąd mamy:

F₂ = -j- dost a (3 — sta) .

540)

Rys. 262.

Widzimy więc, że 77 zmienia swój tok, a O, i 0₂ zamieniają swe wartości. Jeżeli wreszcie oba łożyska są stałe i oddziaływania Oi i 0₂ są równoległe do TF (rys. 264), to dla równowagi

W,

H= W w st« .

V₂ =

4 dost a

W W , A /,    \

“ T d0St “ \ dost^û/

W

O, dost a (3 — st²a).

Jeżeli wiatr działa z prawej (rys. 263), to mamy Wwst a—H= 0.

Oj + F₂ —TFdost a = 0 i ze względu na B

O. = W dost a—

4dost a

0, 21 dost a— W

2=°-Stąd otrzymamy:

H^Wsta

.    .    585)

.    .    536)

.    .    537)

4Â,

4 dost a

.    .    538)

.    539)

W wst a—77,— 77₂ = 0 F, + F₂— W dost a = 0 i ze wzglę-

o₄ 1

Os

du na A V₂ 2 / dost a— W. —

=0

r*_

ot

JZ___y

j*

*r>t.. .

//

CK

Rys. 264.

Rys. 263.

a wreszcie ze względu na założenie 77j : 77₂=Fj : F₂. Z tych równań otrzymamy

V₂

4 dost a

.    .    541)

Dla Gi=gi 1=29X2,37 = 70 fcy,

iłf=V₈ (g^ + tv) l*—'/s (86 + 74) X 2,37¹=11240 kg cm i przyjętego przekroju 12/10 cw, mamy:

= 47 kg/cm¹.

70    11240

240

■V 120

przenoszą, w kierunku pionowym

3. Płatwie rozp. Z=5,(30 m

p=(40+10+²/₃ 76) . 2,37=238 Ä#/m.b., zatem 3/='/g pl²= l/s 238X5²=

=74370 kgm,

a w kierunku prostopadłym do połaci

114940 kgcm 23500    „

7^=74x2,37=175 kg/m. b., zatem Mw= ‘/g w Z²= V₈ 175 . 5²=54438 kgm. Wedle oznaczeń w §. 65 mamy 3/j —M dost a + 3/w=74370.0,948 + 54438=

3/₂ = 4/ wst a = . . 74370.0,316= . . .

Przyjmiemy, podobnie jak powyżej, kształtówkę I. 1. 18 o i sprawdzimy natężenia. Wedle tabl. na str. 215 mamy dla tego numeru c=4,66ctw, zatem potrzebny moment oporu ze wzoru 270)

Wx =

podczas gdy kształtówka I. 1. 18 a ma Hrx—261,53 ctn³.

= 224,45,

Mx + c,M₂    114940 + 4,66x23500

1000

4. Więzary główne rozp. I=18,00 m.

Obliczamy siły węzłowe, a siły wewnętrzne w pojedynczych prętach wyznaczymy wykreślnie.

Nasamprzód uwzględnimy obciążenie pionowe. Na węzeł C przenosi się połowa ciężaru z pola AC i połowa z CE, zatem P₂ = [(40+ 15+ § 76)X X2,37 + 20X2,25] 5 = 1480 kg. Ponieważ płatwie są na dachu w równych odstępach rozmieszczone, przeto P₂ = P₃ = . . . . P₈. Natomiast we węzłach skrajnych, jeżeli krokwie mają wystawać o 50 cm poza teoretyczny punkt

podparcia, Px — P₉ = 1480 X

= 1480x0,72=1070 kg.

1,185 + 0^50 2,37

Dla tego obciążenia pionowego kreślimy wielobok sił, a ponieważ więzar i jego obciążenie są symetryczne, więc kreślimy tylko połowię wieloboku i planu sił. Dla wyznaczenia siły wewnętrznej 0₅ użyliśmy konstrukcyi pomocniczej, opisanej w §. 109. Dla kontroli obliczymy jeszcze siłę wewnętrzną d₃ w następny sposób. Przecinamy więzar po linii 111 III i ze względu na F ustawiamy równanie momentówr:

(0,—P,) . 9—3 P₂ X4,5—d₃ x2,5=0, czyli (6,25—1,07)9-3X l,48x4,5=d₃X2,5, a stąd c/₃ = 10,70 t,

który to wynik zgodny jest z wynikiem, uzyskanym sposobem wykreślnym. Następnie uwzględniamy parcie wiatru z lewej strony. We węźle C działa ir₂:=^4x2,37x5=0,88 / i znowu jak poprzednio W₂ = JV₃=Wi. We węźle F W₅=0,44 /, zaś we węźle skrajnym A Wt =74 (1,185 + 0,5) X 5=0,63 t. Wypadkowa parcia wiatru na lewej (wałkowej) podporze musi mieć kierunek pionowy ; wyznaczymy zatem kierunek oddziaływania Op na drugiej (stałej) podporze, łącząc punkt X przecięcia się oddziaływania 0,z i wypadkowej parcia wiatru z podporą B. Ponieważ punkt X wypada poza obrębem rysunku, użyjemy dla wyznaczenia kierunku Op konstrukcyi pomocniczej, podanej na schemacie więzara. W tym celu dzielimy odcinki AB i Ap w dowolnym, ale tymsamym stosunku zapomocą punktów m i », z punktu m kreślimy m₀ // W/ aż do przecięcia z kierunkiem

.    .    542)

Vi — -j- dost a (3 — st¹ a)

W wst a

1 + 3 dost¹ a—wst¹ a W wst a (3 dost¹ a—wst¹ a)

1 + 3 dost¹ a — wst¹ a

Jeżeli dach jest wieloboczny, należy wyznaczyć zapomocą wieloboku sznurowego lub rachunkiem wielkość, kierunek i położenie wypadkowej parcia wiatru, przyczem można użyć powyższych sposobów oznaczenia oddziaływań.

.    .    543)

//. =

.    .    544)

§. III. Obliczenie więzaru Polonceau złożonego jako przykład.

Jako przykład obliczymy siły wewnętrzne i przekroje wszystkich prętów więzara żelaznego systemu złożonego Polonceau (tabl. III.). Rozpiętość podporowa wynosi 18 m, odległość wiązań pełnych hm. Dach ma być kryty blachą płaską na opierzeniu; dla pokrycia blachą przyjmujemy

18° 25',

wst 3=0,316, dost a=0,948. Łożysko wałkowe na lewej podporze. Natężenie dopuszczalne dla drzewa 80 kgjcm¹, dla żelaza 1000 kg jem¹.

1. Obciążenie.

= y, więc 7j=3,0 w, tak że kąt nachylenia połaci do poziomu a=

Pokrycie blachą na opierzeniu i krokwie drewn. na 1 m'¹ połaci . . .4,0 kg Ciężar własny płatwi i tężników połaciowych

„ 1„    „ (10 + 5)15,,

„ więzarów dachow^ych na 1 m¹ rzutu poziomego Obciążenie śniegiem na 1 m¹ połaci ^=80 . dosta=80 . dostl8n25' . 76 „ Parcie wiatru na 1 w¹ połaci do niej prostopadłe w —150 . wst(a + 10)=150 . wst 28° 25'

Przy równoczesnem działaniu śniegu i wiatru przyjmiemy, że ciężar śniegu wynosi ¹/₃ powyżej podanej wartości.

20 „

74

=(40-ł- ¹/₃ 76) . dost a=91x0,948= Składowa równoległa do połaci:

y₂=(40+ % 76) . wst «=91 X0,316=

86 kg/m. b.

29 „ „ 74 „ „

Parcie wiatru, jak wyżej, w—

Najprościej postąpimy, przyjmując wymiary krokwi n. p. 12/10 cm

i sprawdzając, czy natężenie normalne, wywołane powyższem obciążeniem,

G₂ , M

nie przekroczy dopuszczalnego ~=80 &y/cw¹, mianowicie ze wzoru v =

Ot w punkcie o, wówczas on wyznaczy kierunek Op. Kreślimy teraz w zwykły sposób plan sił, wyznaczywszy znów a₅ zapomocą konstrukcyi pomocniczej. Przekonywujemy się, że w tym wypadku gx = g% = gz = <ji, g'\ =g'i=g,i=:g\ , a,i=a'i=a'₃=a'₆=a'₆=0, oraz a\ = a'₁.

Nakoniec uwzględnimy parcie wiatru z prawej strony. Wypadkowe parcie zaczepia w punkcie K. Znowu wyznaczymy kierunek oddziaływania na stałej podporze w ten sposób, że połączymy punkt przecięcia się oddziaływania Ox p, (które musi być pionowe) i wypadkowej parcia wiatru z podporą i?, używając podanej wyżej konstrukcyi pomocniczej. Kreślimy teraz w zwykły sposób plan sił, przyczem znów w znany sposób wyzna

czamy a₅.

Wyniki tą drogą otrzymane ułożyliśmy w tabliczce, umieszczonej

na tabl. III.

Do siły wewnętrznej, wywołanej ciężarem własnym i obciążeniem śniegiem, dodajemy siłę wewnętrzną, wywołaną wiatrem z lewej lub z prawej strony tak, abyśmy otrzymali największą siłę.

5. Przekroje prętów.

a) Pas górny wykonamy z 2 kątówek

ł60/i5- Wprawdzie siła wewnętrzna w pojedyńczych prętach pasu górnego jest zmienna w granicach od —31,68 t do —33,88 t, przecież ze względów ustrojowych przyjmiemy dla wszystkich prętów przekrój jednakowy, obliczając go wedle najw. siły P- — 33,38 t.

Przekrój powyżej opisany ma względem osi pionowej mniejszy moment bezwładności, aniżeli względem osi poziomej tak, że obliczymy go na wyboczenie w kierunku tej ostatniej osi t. j. w kierunku prostopadłym do płaszczyzny więzara. Długość pręta ż=237 cm. Przyjęto, że pręt na obu końcach jest tylko przytrzymany przez płatwie, więc długość wolna = Z=237 cm.

2 kątówki

i blachy stojącej

-°°i‘ -— i blacha stojąca ¹⁶⁰/₁₅ mają po uwzględnieniu dziury na nit <j> 20 mm przekrój użyteczny

i>o=2xl9,16+ 16X1.5—2X3,5=56,32 cm¹.

Względem osi pionowej

i⁷=xVX16Xlj?>³+2(174,16 +19,16.4,74²)=1215 cm*

F=2X 19,16+ 16X1,5=62,32 cm², zatem promień bezwładności

a'

1216

t2,S2

=4,41 cm.

Dla stosunku

l 237

— =4 ^= 63,7 mamy wedle zestawienia na str. 288

:'=0,661+5^

p

Na wyboczenie potrzeba F—

. 1,3=0,662.

33380 ty ~~ 1000.0,662

-=50,4cm² tak, że prze

krój przyjęty jest wystarczający.

b) Pręty pasu dolnego d{, d₂, d\ i d\ obliczamy wedle naj w P= 32,891.

mają po uwzględnieniu dziury na nit <j>20mm

^0=2X19,16—2X1X2=82,32 cm².

Pręt środkowy d₃ przenosi naj w P=-pl4,22ż.

80 80

2 kątówki—~— mają po uwzględnieniu dziury na nit (|>20

O

F₀ =2 X 12,27-2 X0,8X2=21,24 cm².

2 kątówki

100.100

10

mm.

c) Krata. 1. Ścięg

na a₂, as, a\ i a\ wykonamy z 2 kątówek^*!—-, które dla

nitów (j) 12 mm mają przekrój użyteczny

V₀=2X4,29-2x0,5X1,2=7,88cm².

80X80

2. Ścięgna o₄, o₇, a\ i «'■ z 2 kątówek

8. Zastrzały a,, a₆, a\ i a\ przenoszą najw P=— 2,28 ż.

45.45

Użyjemy przekroju krzyżowego z 2 kątówek

na odstęp l,5cm, które mają, jak powyżej, P₀=7,38cm². Obliczymy promień bezwładności, mianowicie

1=7,86 + 4,29 (1,82 4- 0,75)²=36,17 cm*.

rozstawionych

F— 4,29, -^,=8,431, zatem a=^~—2,9cm.

= 18,1, mamy wedle zestawienia na str. 288. U=0,762.

Dla-*--⁵²-’5 Dl* a “2,9

Zatem na wyboczenie trzeba tylko

2280

1000.0,762

4. Zastrzały o₃ i a'₃ mają ll=l=10bcm. Używając tego samego przekroju, co poprzednio, mamy dla !== czenie potrzeba

F=

=3,00 cm

=36,2, £'=0,707 tak, że na wybo-

P=4560:707=6,45 cm².

§. 112. Belka pochyło leżąca.

Przy obliczeniach więzarów dachowych drewnianych uważać musimy na oddziaływania jednej części więzaru na drugą, które zależne są od sposobu połączenia tych części.

Dla lepszego zrozumienia rzeczy zastanówmy się nad najprostszym przypadkiem, gdy belka pochyła AB podparta jest w dwu punktach (rys. 265). Siła P, działająca pionowo, rozdziela się na N i T. Siła N=--P dost a działa prostopadle na belkę i wywołuje moment

M=

N xK (Z, —z, )

P dost a

X / l — x \ dosta\ sta /

Px (Z—x)

dost a

a więc taki sam, jak gdyby siła P działała narzut belki AB.

wedle wzoru x=

Oprócz tego działa jednak siła T=Pwsta i wywołuje w AC ciśnienie, w CB ciągnienie. Przekrój obliczamy wtedy T Me P⁺ I’

Jeżeli belka oparta jest o ziemię i o mur pionowy (rys. 266) i jeżeli przyjmiemy w A oddziaływanie normalne,

'€

AN

f--Jc.....

£’

Rys. 265.

Eys. 266.

a więc poziome, to dla równowagi muszą się siły O przecinać w jednym punkcie C', a zatem w B musi powstać oprócz oddziaływania pionowego F, =P także poziome H, przyczem

.    .    545)

H=Pst(p .

Siła H powstaje w B wskutek tarcia. Kat <p, a więc siła H, jest tern większy, im niżej jest punkt A, największe może być H=■= Pf= P st 99, gdy f nazwiemy spółczynnikiem a q kątem tarcia (n. Reibungswinkel, fr. angle du frottement, an. angle of friction, r. yrojrt rpeHia).

Ale i w punkcie A może powstać tarcie i wtedy oddziaływanie w A nie będzie pionowe, lecz w ogóle pochyłe (rys. 267), „ nachylone do poziomu pod kątem cp'.

Granicą równowagi będzie położenie AP, dla którego kąt (p=s(p' = 0,

Jakże się zachowują części składowe dachu drewnianego? Zależy to wszystko od rodzaju podparcia. Gdyby położyć kro-kiew na dwu murach w płaszczyznach popi chyłych (rys. 268), belka zachowa się, jak

p    T

! p w rys. 265. Oddziaływania mogą powstać

Gi

uĄ

^ tylko wskutek tarcia. Ustrój ten możliwymby ^ był więc tylko dla małej siły T, więc dla ma-p łego a. Przy większem nachyleniu należa-Â loby zakotwić belkę, aby przeszkodzić prze-p sunięciu.

Eys. 267.

Jeżeli ta sama belka oparta jest na murze i słupie płaszczyznami poziomemi (rys. 269), to oddziaływania będą tylko pionowe i obliczaćby należało momenty, jak dla rzutu tej belki. Widzimy więc, ile zależy przy belkach i więzarach drewnianych od sposobu połączenia i podparcia.

•W:

-'ti

H-¹

Eys. 268.

Eys. 269.

§. 113. Drewniany pojedyńczy dach krokwiowy.

Najprostszy dach drewniany składa się z więzarów złożonych z dwu krokwi, połączonych jętą, i nazywa się pojedynczym dachem krokwiowym (n. einfaches Sparrendach) (rys. 270). Przypuśćmy, że obciążenie działa tylko pionowo. Przy obliczeniu dachów drewnianych zwykle ß bowiem uwzględniamy tylko składową pionową parcia wiatru, bo i tak obliczenie nie

o,

V.

p\

Eys. 270.

O*

może być z powodu połączeń zupełnie dokładnem. Dokładniejsze obliczenie sił, wywołanych wiatrem, nie przedstawiałoby zresztą poważnych trudności. Ciężary, działające na krokwie, składają się w siły wypadkowe, działające w środku krokwi.

Niech będzie wypadkowa ciężarów na lewej połaci P, na prawej P'. Krokwie opierają się jedna na drugiej w (7, wywierają więc wzajemne ciśnienie na siebie Ox i 0₂, przyczem 0₁ = 0₂ i ma ten sam kierunek. Jeżeli teraz odejmiemy BC, to zamiast tej krokwi musimy zaczepić siłę O, i otrzymamy dla równowagi krokwi AC ze względu na punkt A

.    .    546)

Oi a dost (ai — e) = P    dost s .

Podobnie otrzymamy dla krokwi BC ze względu na punkt B 0₂ a dost (a₂ — £) = P' ^ dost£,

a że O, = O₂, więc

P'

dost^—e) dost(a₂—£)’ agdya₂ = 180—a,, więc —Pdost(ai + £) = P' dost{ax—e), a stąd

st a₁ =

P+P'

.    .    547)

(P— P/) St £    ‘    ’

Oddziaływania w A i B są ukośne, rozkładamy je na V1 i Hi, jakoteż V₂ i H%.

Dla równowagi mamy dalej

Hx — H₂ = Oj wst al .

Vi — P+ Ot dost ai = 0, więc Vi=P — dost at (

F₂ = P' + O, dost |

.    .    548)

549)

Z równ 546) otrzymamy dalej

P dost e    P

¹    2 dost (a,— e) 2 (dost + st s) wst oq

a po wstawieniu wartości za dost a, z 547)

P+P'

(9 ₌__ _

¹ 4wsta₂stf'

Wstawiwszy to w rówrn. 548) i 549), otrzymamy

P + P'

.    .    550)

Y—P-

p+p'

4 st a₁ st £

4st£

P-P' 3 P + P'

.    .    551)

.    .    552)

P_p/ ‘3 p/ ! P

y₂ =P' + Ox dost a, = P' + —

.    .    553)

Dla obciążenia symetrycznego jest P=P\    = a₂ =90°,

więc 0., =

—E y 2 st £ ’

=y₂=p, h=

-Ï- dostf .

Z

.    554)

Jeżeli chcemy znaleść siłę wewnętrzną T w AC, to zau-

p

ważmy węzeł A. Siły H, T i V: zmniejszone o

dzieła się po połowie na A i (7, muszą dać zamknięty wielobok sił, więc

bo P roz-

T-(V>- )

to

dosiecz£ =

/3 P+P'

\    4

A dosi.cz e

P + P'

555)

4 W8t £

Przy obliczaniu krokwi zważyć jeszcze musimy, że jest

P

ona obciążoną na całej długości ciężarem jednostkowym —. Cię-

CL

żar ten działa pionowo, a więc prostopadle do krokwi składową

— doste, a w kierunku osi -—wst £. Ponieważ oprócz tego

działa tu ciśnienie T, więc przekrój obliczać będziemy według wzoru

T+~

WSt £

<t

Me

T-\--wst £

p

. a'²dostf|-^

bh

tV

P+P' , P ,

--t--1--WSt £

4wstf a

3    Padost£

4    btir

przyczem należy jeszcze v zniżyć ze względu na wyboczenie.

P±F1

4st£

bli

.    .    556)

a ewentualnie ob-

Belka AB pracuje na ciągnienie H=>= ciążona być może jeszcze ciężarem jednostajnie rozłożonym.

¹

Krokwie drewniane 7=2,37 m. kładzione w odstępacli po 1 m. Składowra ciężaru pokrycia wraz z krokwiami oraz śniegu prostopadła do połaci :

§. 114. Dach płatwowy z podwójnym więzarem i kolanem.

Nie możemy tu zastanawiać się nad wszystkimi rodzajami więzarów, wyznaczymy tylko jeszcze dla przykładu siły wewnętrzne kilku więzarów, a najprzód dla dachu płatwowego z podwójnym wieszarem i kolanem (n. Pfettendach mit doppeltem Hängewerk und Kniestock) (rys. 271).

Zaczynając od wierzchołka, rozkładamy siłę P₃ na dwie składowe bib' wykreślnie, robiąc 2'3=PZ i kreśląc 2 ’n\\CE i Sn il CF. Analitycznie mamy

.    .    557)

Od połączenia w E zależy, czy siła ta przenosi się na El, czy też przejmuje ją płatew E. Przy małem zacięciu na nakładkę możemy przyjąć, że siła b przenosi się cała na El, więc a=b, zaś siła P₂ przenosi się cała na płatew E i słup

13

... ■>

■33

vT

'«z

ar

U}N

*■

p-

ee

Rys. 271.

pod nią stojący. W części słupa EM powstaje więc siła zewnętrzna f=P₂, a gdy wskutek obciążenia belki AB działają w N i N' ciężary G, więc MN pracuje na ciągnienie e — G. Na węzeł M rozpornicy działa więc siła GĄ-P₂, która rozkłada się na c i d, przyczem

558)

G+P, wst ß d=~(G + P₂) dotß ) Siła II działająca w 7 jest

77=

— dota

.    .    559)

Siła ta wywróciłaby słup Al, gdyby nie kleszcze L, w których powstaje siła 0, równoważąca siłę H, a więc tworząc moment ze względu na punkt A, otrzymamy

77. Al— O. AL, zatem O—H.

.    .    560)

Al

AL '

Gdyby połączenie w E było silne, to siła b działałaby wprost na płatew E i rozpornicę, w punkcie 7 nie byłoby zaś wcale parcia poziomego 77. Widzimy więc, że przy obliczeniu dachów drewnianych musimy bardzo uważać na rodzaj połączeń pojedyńczyeh części dachu.

W obliczeniu tern zrobiliśmy przypuszczenie, że dach jest symetrycznie obciążony. Często w ten sposób postępujemy przy obliczeniu więzarów drewnianych, przyjmując składową pionową wiatru na obu połaciach, aby otrzymać symetryczne obciążenie.

Zwrócić tu musimy uwagę, że przy obliczaniu przekrojów uważać należy na to, czy pręt dany pracuje tylko na ciśnienie lub ciągnienie, jak EM i MN, czy też także na złamanie, jak IL lub AM. Natężenia zginające mogą także powstać z połączeń mimośrodowych, jak w AM i MM' ; moment zginający jest wtedy równy sile przez mimośród i może znacznie powiększyć natężenia. Dla zmniejszenia natężeń zginających należałoby umieścić punkt L jak najbliżej punktu I.

§. 115. Dach rozporowy.

Tu podparte są płatwy w E i E' (rys. 272) rozpornicą, w F i F słupem, w A i A' poziomemi belkami AG, A'G' i zastrzałami AB i A'B'.

pc

"te

P,

rn r

e.

% I ct

«■>.

B' d/I>

Ł \

Rys. 272.

wypadkową

Zacznijmy od C i rozłóżmy P, na / i a otrzymamy Om, f=lw„ Siła P₂ przenosi się na rozporę EE' i zastrzał BE, a gdy ten jest oprócz tego połączony z krokwią, więc i siła f przenosi się w E. Złóżmy więc f i P₂, m 2 rozłóżmy na siły e i g, a otrzymamy mn — e, 2n=g.

Przechodząc teraz do F mamy    W A ciężar P₄

prętach AG i AB. Rozłóżmy więc P₄ na b

spoczywa znów na i c, a otrzymamy Ap — b, p3=c, b jest ciągnienie, c ciśnienie. AV B schodzą się siły c, d, i e₁₅ złożywszy je, otrzymamy mp. A zatem d₂ =pr, a oprócz tego działa w B parcie poziome rm. Siła b zaczepia w öi wywołuje moment w punkcie G zastrzału

AE. Za pomocą wieloboku sznurowego wyznaczyliśmy jego wielkość g'g

Statyka.

§. 116. Więzar łukowy trójprzegubowy.

Jeżeli urządzimy oba łożyska stałe ale przegibne, to oddziaływania nawet dla obciążenia pionowego mogą być ukośne, a więzar staje się łukowym. Aby był on statycznie wyznaczal-nym, musimy jeszcze urządzić trzeci przegub (n. Gelenke,

an. joint, hinge, r. mapuepn), za-pomocą którego łączymy ohie połowy więzaru w ten sposób, że mogą się około przegubu obracać. Zwykle pas górny jest prosty, dolny zakrzywiony (rys. 273). Mogą jednak i oba pasy & być zakrzywione.

;«*...... -

........bi

.......

•m

y,\

Jeżeli na dźwigar taki działają siły pionowe P1f P₂, P₃, P₄, to powstające ukośne oddziaływania 01} 0.₂ dadzą się rozłożyć na Vi i Hif V₂ i H₂. Dla równowagi musi być

Rys. 273.

.    .    561)

h,=h₂^h .

W przegubach A, B i C momenty muszą być dla równowagi równe zeru, więc ze względu na punkt A napiszemy

2Pa

2Pa+V₂l=0, stąd F₂ =

.    . 562)

Analogicznie otrzymamy

V, =

2Pb

563)

W punkcie C moment jest równy zeru, więc

-t(<v

~pi

II

~~Pï) 2"+Aal + P₂«2j =

i(^    —a2) + 'f>3 bZ +^4^4—+ 2P₂tt₂^

27-(Pl    ^ P2 «2 +P3 &3 +P4 bk) •    •    *    ⁵⁶⁴)

A więc składowe pionowe oddziaływania są takie same, jak oddziaływania belki prostej, parcie poziome H da się obliczyć z równ. 564).

Wykreślnie możemy łatwo wyznaczyć oddziaływania (rys. 274), rozkładając każdą siłę z osobna. Siła Pj rozkłada się

w kierunku Aex i el B, bo z powodu, że momenty w A, B i C są równe zeru, oddziaływania muszą przechodzić przez A, C

fv

3,

°é'

/>

<«

3'

y*

5'

- //

//<-

//

//

Bys. 274.

siła P₂ a₂ e₂

i 2?. Siła Pt daje więc oddziaływania e, a i a, f i a₂ f i t. d.

Teraz składamy oddziaływania w A i w B zapomocą wie-loboku sił i otrzymujemy Oj =06 i 0₂ = 6'C". Zamiast wyznaczenia, oddziaływania dla każdej siły z osobna możemy złożyć najprzód siły lewej połowy a osobno siły prawej połowy więzaru i dopiero wyznaczać oddziaływania.

Zupełnie w ten sam sposób wyznaczamy oddziaływania parcia wiatru.

JK

M\K

<• l

7 V*

•yT

c.

\fi

« r/h

i'

sr

F'

ct'

c'

Bys. 275.

W rys. 275. wyznaczyliśmy w ten sposób oddziaływania, że złożyliśmy parcia łF₁₅ TT₂, PF₃, w wypadkową P, poczem wyznaczamy kierunki oddziaływań BC i AF.

W wieloboku sił wyznaczamy wedle tego wielkość O, — O0 i 0₂ = 40. Znając oddziaływania, możemy teraz w zwykły sposób wyznaczyć plan sił dla lewej połowy, postępując z lewej ku prawej, a dla prawej, postępując z prawej ku lewej.

Obciążenie śniegiem nie jest tu najniekorzystniejsze zupełne, lecz da się dla każdego pręta wyznaczyć pewne najniekorzystniejsze częściowe. Nie sądzimy jednak, aby przy dachach było potrzebnem takie badanie, wystarczy tylko, gdy przyjmiemy obciążenie śniegiem raz całkowite, drugi raz tylko dla jednej połaci i dla każdego pręta zatrzymamy wyniki niekorzystniejsze.

§. 117. Dachy baniaste.

rrnrrTTTnTTTlWTTTTTTTTTTTTTTTTnTn

Dach baniasty (n. das Kuppeldach, fr. toit en coupole, an. cupola roof, r. c^epunecKan Kpuina) ma powierzchnię dachową, powstałą wskutek obrotu krzywej płaskiej około osi pionowej. Dźwigające części zeskładu, składają się tu głównie z krokwi, które urządzamy pod różnymi kątami środkowymi w południkach, które połączone są poziomymi pierścieniami w równoleżnikach. W trapezach, w ten sposób powstałych, urządza się podwójne przekątnie gibkie (rys. 276). Zwykle górny pierścień obciążony jest latarnią.

Rys. 276.

§. 118. Obciążenie bani ciężarem własnym.

Każdy pierścień niesie ciężar odnośnej strefy bani i przenosi go na krokwie. Jeżeli ciężary stref są P,, P₂, P, i t. d., przyczem ciężar latarni zawarty już jest w P₁, to jeżeli rzut poziomy bani jest umiarowym wielobokiem o n bokach, w węzłach

P Po Po

jednej krokwi zaczepiają ciężary —, —, — i t. d., a wszystkie

1% 7X 71>

krokwie są obciążone jednako. Dolne końce krokwi opierają się o pierścień murowy (n. Mauerring), który opiera się parciu poziomemu ; na sam mur działa tylko ciężar pionowy.

Obliczenie bani podał pierwszy Schwedler (1866), dokładniejsze Foeppl i Müller B re s 1 a u (1892).

Dla każdej krokwi otrzymamy więc oddziaływanie pionowe

V~ln(Px + P.1 + P1 + ...}    ....    66&)

Siły wewnętrzne w krokwi najłatwiej wyznaczyć wykreśl-nie (rys. 277).

R/n

W:

A r>

fi/n I P/n

"jA*3

Wykreślmy wielo-^ bok sił 01234 i badajmy

~//₂

SJ»

A,

n.

równowagę w B. Siły ,

S\ i 77, tworzą, zamknięty trójkąt sił, więc 1 ajjSu O a pozioma.

Eys. 277.

Wykreśliwszy wie-lobok sił dla węzła C, otrzymamy 2 b = S₂, ba = H₂. Jeśli to samo powtórzymy w D, to otrzymamy S₃ = Sc, cb= — 77₃, więc już cią-

gnienie, to samo —Hk — dc, wreszcie —77—od.

Siły 77 są wypadkowe ciśnień, względnie ciągnień pierścieniowych R, które ze względu na symetryą są równe. Znając siłę 77, łatwo teraz rozłożyć ją wykreślnie na dwie siły 7?, działające w pierścieniu, nachylone do 77 pod kątami ß. Zrobiliśmy to na rysunku.

Uwaga. Na rys. 277. siły poziome HlH₂H₃...H są wszystkie rysowane cienkiemi liniami, gdyż iJ₃, Ä₄ i H pada na E₂, nie można więc było uwidocznić ciśnień i ciągnień.

Analitycznie wyznaczyć możemy siły wewnętrzne, ustawiając równania równowagi dla rozmaitych węzłów. I tak otrzymamy dla B

Pi

p

wst a, =0, stąd Si =

p

Dla punktu C mamy — + S₂ wst a—Si wst ax =0, stąd

^1+^2

n wst a,

ogólnie

g _g wst a,___P₂___

2 1wsta₂ wwst a₂

P₁ + P₂+...Pn, n wst

n wst a₂

Sm=

.    .    566)

Dla punktu B mamy dalej

p

Sx dost a, —Hx =0, stąd Hx =SX dost a, =---dot 05,.

Pdot 05,

2wdost/3‘

ogólnie

A że Hx = 2P, dost/?, więc P,

Dla C otrzymamy N₂dostQ5₂—N, dost a,—H₂ = 0, a gdy H₂ =2 P₂ dost ß, (P, + P₂ ) dot os₂ + P, dot 05,

2 n dost ß

P₂ —

Rm

(P, + P, + . . . Pm-l) dot Ctm\ — (P, + . . . Pm) dot 05,„

2 w dost/?

.    567)

360

Z rysunku widzimy, że 2ß-\--= 180, więc

1.80 ,

-, dost 8=wst —

n    n

/?=90

180

zatem

(P, +P2 + ...Pm—l) dot 05m—1 — (P, + P2 + ... ~t~ Pm) dot CCm

180

. 568)

211 wst

Dla najniższego punktu A mamy

$₄ dost 05₄ + 77=0, więc (P,+P₂ + P₃+P₄)doto5₄

2„wstM

.    .    569)

§. 119. Obciążenie bani śniegiem i wiatrem.

Tu przypuścimy, że bania jest tak płaską, że w ogóle wiatr ma mały wpływ na siły wewnętrzne. W przybliżeniu obliczamy więc parcie wiatru dla średniego nachylenia jako we wszystkich częściach bani stałe i uwzględniamy tylko składową pionową parcia, którą dodajemy do ciężaru śniegu.

Niech ciężar śniegu i wiatru na jednej strefie nazywa się Q z odpowiednim znaczkiem, to ponieważ wedle 566) Sm siła wewnętrzna w krokwi jest największą dla obciążenia zupełnego, więc otrzymamy

.    .    570)

najw S'm =

_tĘi + tj2 ~ł~ . ■ .

11 wst am

Jeżeli chcemy zbadać najniekorzystniejsze obciążenie pierścieni, to widzimy z 568), że wielkość, a nawet i znak Rm zależny jest od wielkości obu wyrazów w liczniku. I tak w m-tym pierścieniu będzie najw. ciśnienie, jeżeli w równ. 568) będzie licznik ujemny, a że am>am i, więc licznik będzie ujemny, gdy P₁ + P₂ -rPm-\ będą jak najmniejsze, a więc równe zeru, zaś Pm jak największe. A więc n. p. w trzecim pierścieniu mają być dla najw. ciśnienia I. i II. strefa nieobciążone, a trzeci pierścień obciążony. Obciążenie dalszych pierścieni jest obojęt-nem. Przeciwnie dla najw. ciągnienia muszą być strefy wewnątrz pierścienia obciążone, dany pierścień zaś nie.

Wobec tego otrzymamy największe siły wewnętrzne w pier

ścieniach.

najw. ciśnienie :

pierścień latarniowy

180

najw(-R,)

($! (löst ai

2n wst

drugi

najw(—R₂)=-

(J₂ dost a.₂

2 n wst

180

trzeci

najw(— R₃)

dost a₃

2 n wst

180

murowy

najw(—R,)=0

najw. ciągnienie:

.    571)

pierścień latarń. najwR,=0

drugi

najw R₂

(doto^ -<lota₂)

180

2 n wst-

trzeci

najw R₃

(ty +    ) (dot a₂ — dot a₂)

2 n wst

180

m—1

180

murowy najwR„,

(<ti⁺Q? ⁺ -Q«-i)dotg

2 n wst

Chcąc wyznaczyć największe siły w przekątniach, pomyślmy, że przez środek przecinających się przekątni położymy płaszczyznę południkową. Niechaj jedna połowa bani będzie obciążona tylko ciężarem własnym, druga zaś połowa ciężarem

§. 120. Obliczenie dokładniejsze sposobem Miillera Breslaua.

Poprzedni sposób Schwedlera jest tylko przybliżony, dokładniejszy podał Müller Breslau w r. 1892.

j(₀D

“ looD i

u>uD

Rys. 278.

własnym i ruchomym, to ponieważ wtedy będzie największa różnica w siłach wewnętrzny cli krokwi obu połów, zatem i siły wewnętrzne w przekątniach będą wtedy największe.

Gdyby cała bania była obciążona tylko ciężarem własnym,

to w pierwszej strefie byłoby S] —

n wst a,

pełnego ciężarem własnym i ruchomym S\ — —

zatem wynosiłaby A S

dla obciążenia zu-

•P1+Q1

n wst ii

. W rzeczywistości, gdy jedna

różnica

n wst a

połowa jest obciążona ciężarem ruchomym, a druga nie, różnica będzie mniejsza, lecz aby uniknąć zawiłych obliczeń, przyjmu-

jemy niekorzystniej, niż w rzeczywistości, AS

. Gdy te-

n wst a

dy kąt między przekątnią a więcej obciążoną krokwią jest y, to siła wewnętrzna największa w przekątni będzie

Di

a podobnie w innych strefach

ii wst a, (lost y,

D₂ =

d₃

Qi+Qi

11 wst a₂ dost y, n wst a₃ dost y₃

.    .    572)

Wspominaliśmy, że w każdym trapezie (rys. 278), powstałym z dwu krokwi i dwu części pierścienia znajdują się dwie przekątnie gibkie. Jako XUD gibkie nie mogą być one ciśnione i w ra-^ zie, gdyby w jednej z nich powstało ciśnienie, wygięłaby się ona i przestałaby działać, natomiast druga byłaby ciągnioną. Obliczamy więc je w ten sposób, że przyjmujemy zawsze tylko jedną przekątnię w trapezie i to ciągnioną. Gdyby wypadło z rachunku ciśnienie, trzebaby rachunek powtórzyć dla drugiej przekątni.

Siła wewnętrzna D, działaj ąca w przekątni ad, rozkłada się w a na w₀ 5 i i₀ A w d na wnZ i Xu Z. Wartości n>₀, X₀, cou, X„, dadzą się dla każdego trapezu obliczyć lub wyznaczyć łatwo wykreślnie. Jeżeli więc uwzględnimy siły <un7), X₀ D, (o„D i Xu D, to możemy teraz w dalszem badaniu przekątnie opuścić i pozostają nam tylko krokwie i pierścienie.

Jeżeli oznaczymy sumy sił wewnętrznych w krokwiach i pierścieniach 0 i 9î, to z rys. 279 otrzymamy:

.    .    573)

0₇ —Si + ź₀ D₁ -ł-X0 ©S =    + X'u D'n -f- X'u D'e

= P₇ + &)₀ D-

9P₇ — R¹ ^    D-j -f~ o)'q D'rj

Zauważmy teraz węzeł E przedstawiony na rys. 280 w obu rzutach. Siłę P, działającą w E, rozłóżmy na siłę P', działającą w płaszczyźnie krokwi i P", działającą prostopadle do tej płaszczyzny.

y-\p’

p”

Jeżeli znamy siłę P' i siłę wewnętrzną 0, to dla sił 0, 0', P' i II da się wykreślić zamknięty wielobok sił i da się wyznaczyć siła //, która jest znów wypadkową sił P", i Jeżeliśmy wyznaczyli II, a zna-

v'v

vV^y \    *    . ,

■ y&AsS*

(Ir

'T T "

rD

DE

P*

«3

Rys. 280.

Rys. 279.

my też P", to znów z wieloboku sił, znajdującego się winnej, ale wykreślonego w tej samej płaszczyźnie, dadzą się wyznaczyć i

Widzimy więc, że jeśli znamy oprócz siły P także i jedną siłę wewnętrzną 0, inne siły wewnętrzne dadzą się wyznaczyć. Otóż zaczynając od pierścienia latarniowego, mamy 0=0, a więc wyznaczymy wszystkie siły wewnętrzne dla tego węzła. Dla węzła pierścienia drugiego znamy już 0.

Po wyznaczeniu sił ©, i stosunków X i co możemy wyznaczyć też na podstawie równ. 573) siły D, R i S. Przedtem należy dla węzłów bez przekątni wyznaczyć R i S i tak uzyskać pewną ilość znanych ilości, które wprowadzić należy do równ. 573) dla wyznaczenia nieznanych ¹).

§. 121. Płaskie dachy namiotowe.

Dachy namiotowe mają kształt ostrosłupa, najczęściej regularnego. Mogą się one składać z pewnej ilości więzarów głównych, ułożonych w kierunku promieni, wtedy oblicza się je jak zwykłe więzary dachowe wedle obciążenia, które na każdy więzar przypada. W nowszych czasach jednak często nie daje się wcale więzarów, lecz krokwie łączą się kratą, zwłaszcza przy dachach płaskich, wszystkie więc części dźwigające zeskładu leżą w powierzchni ostrosłupa tak, jak w bani w powierzchni obrotowej. I tu więc otrzymujemy krokwie,

pierścienie i przekątnie, jak w bani, a obliczenie jest zupełnie podobne jak bani.

!•

Chociaż rozmaita pochyłość powierzchni dachu nie stanowi różnicy w ustroju, to przecież będziemy osobno mówić o dachach płaskich, a osobno o stromych z powodu, że przy płaskich uwzględnia się ciężar śniegu, przy stromych zaś parcie wiatru.

'»m

Si

Rys. 281.

Płaskie dachy namiotowe, używane nad teatrem, cyrkiem, panoramą itd. możemy uważać za dachy baniaste, w których linia rodząca jest prostą. Wzory otrzymane dla bani możemy tu więc wprost zastosować, wstawiając tylko zamiast zmiennego kąta    am itd. stały kąt a.

Krokwie. Tu obciążenie całkowite jest najniekorzystniejsze, otrzymamy więc (rys. 281) wedle 566) i 570):

S„,4

.    .    574)

2Sm P^Nj™

li wst a

jeżeli P i Q oznaczają obciążenia pierścieni ciężarem własnym i śniegiem lub wiatrem.

Jeżeli niema latarni, to należy także uwzględnić to w sumach P₀ i Q₀.

Pierścienie. Z równ. 568) i 571) otrzymamy, wstawiając am=am- i=a,

R„,=—

Pm +

2 n wst

180

dot a. .

.    .    575)

Dla pierścienia murowego zaś otrzymamy :

dot a. 576)

najw. Rr=

Pj + P₂ + ■ • . +Pr—1 + Qi +    + • • • Qr—1

2 n dost

ii

Krata. Największe siły wewnętrzne w przekątniach otrzymamy z równ. 572), jeśli w niem wstawimy a = a₁=a₂ = = a₃.. ., a zatem w pierwszym pierścieniu

s>

R ⁷»Sj

Hh

n St

//₃

a Ht b H:

H,— /

//?

5i

R> \ Sî

.fl,

n,

tu

c fh

S>

d ///, e

-\/?5

Bys. 282.

<1

u wst a dost yj

a w innych pierścieniach

P-    <!+<«

²    u wst a dost y₂

D =    ~*".SłiSL_

³    n wst a dost y₃

.    .    577)

Wykreślnie wyznaczamy siły wewnętrzne zupełnie tak, jak w bani (rys. 282).

Pi

Zróbmy ——al, ^ =12, itd. i potem kreślmy dla poszczególnych węzłów wieloboki sił, to otrzymamy lb — S, <2c=S₂, Sd=S₃ i t. d., dalej ab = //,, bc=H2J cd = H₃, de=Hi, wreście ae=Hh. Siły H rozkładamy potem w zwykły sposób na siły 72.

§. 122. Dachy wieżowe czworoboczne.

Tutaj wprowadzamy jako obciążenie pionowe tylko ciężar własny, bo śnieg nie może się na wieży utrzymać. Siły we-

la

i .'// 4/W .... ¹ 'ZA

n;

......ZL

A',

Üj

\ T-.

J.....

«41

5\

TO i

/> 5-

_.AL

Zł

.......

z*

Rys. 283.

wnętrzne w prętach dachu wskutek ciężaru własnego dadzą się obliczyć zupełnie w ten sam sposób, jak to wyłożono w poprzednim paragrafie. Tu więc tylko będziemy mówić o siłach, powstałych z powodu parcia wiatru, które tu gra wielką rolę.

Przypuśćmy, że mamy obliczyć dach wieżowy, ostrosłupowy czterościenny, gdy wiatr działa na płaszczyznę AEC (rys. 283). Aby wyznaczyć siły wewnętrzne w płaszczyznach ABC i EDC, pomyślmy sobie w płaszczyźnie symetryi MN urojony więzar pionowy, którego rzut pionowy jest przystającym do rzutu pionowego boków EDC i ABC i obciążmy go siłami Wi} W₂, W₃ i , których wielkość da się wyznaczyć proporcyonalnie do powierzchni, wystawionej na wiatr.

Wykreślnie wyznaczyliśmy w znany sposób zapomocą planu sił siły wewnętrzne, liczebnie możnaby to samo zrobić

■*id

te

r-->

Z'

fS'

r \ l\ .    \

i'; Y

te

Eys. 284.

zapomocą sposobu momentów Rittera. Są to jednak siły, działające w więzarze urojonym, teraz z nich musimy obliczyć siły, rzeczywiste, działające w ABC (rys. 284).

I tak zamiast siły 8 otrzymamy dwie siły £', przyczem 2 8' dost (90 — s) = 8, stąd

8'

2 wst £

578)

a wreszcie 2 iV⁷ dost y = 2V„ stąd

580)

iV'=-

2 dost y

Sprowadzenie sił więzaru urojonego na siły więzaru rzeczywistego można wykonać i wykreślnie przez proste rozkładanie sił we wskazany wyżej sposób.

§. 123. Dachy wieżowe ośmioboczne.

Dla uproszczenia rachunku przyjmiemy tu kierunek poziomy wiatru i będziemy obliczać tak, jakby połacie dachu były pionowe. Ponieważ dachy takie są strome, więc błąd, który przytem popełniamy, nie jest wielkim.

Jeśli bok ośmiokąta nazwiemy a, wysokość ostrosłupa h, parcie wiatru na m² w, to parcie na płaszczyznę

rc i—¹

.    .    579)

Dalej otrzymamy

*......a

s.

ah

Hi - <?//; fyy**

A /> /

■eh >!

y.l..

mn O (rys. 285) jest W₀ = ^ w.

Płaszczyzna no O nachylona jest do kierunku wiatru pod kątem 90—y (rys. 286', więc parcie prostopadłe do

niej j est    wst (90—y) = —dost y,

"A"

.1..

yrah^ 2 “

/■/

w/;

Eys. 285.

Eys. 286.

które rozkłada się na Wx i W₂. Parcie TF₂ znosi się z takiemże parciem, pochodzącem z płaszczyzny mr O, parcia zaś

—^ dost² y dodają się. Całe więc parcie na dach wynosi

Wt =

.    .    583)

stąd

Dokładne obliczenie sił wewnętrznych jest trudnem, bo zeskład jest statycznie niewyznaczalnym. W przybliżeniu możemy jednak obliczyć je w następny sposób. Niechaj oprócz Wg działa jeszcze na krzyż na wieży parcie Wk w wysokością nad szczytem, wtedy moment ze względu na płaszczyznę m^n^ox będzie:

.    .    584)

, x a a ze — =

W= W₀ + 2 TTj -    (1+2 dost* y\ a że tu y=45°, więc

(1 + 2 dost² 45 °)=ahw.

Parcie to zaczepia w jednej trzeciej wysokości dachu. I)la części ostrosłupa o wysokości z (rys. 285) nazwijmy x długość boku w, Oj, to

W=

Wg = ZZW,

.    .    582)

jjr, więc x=    z,

M,= WZ .~+W,Ae+z).    .

Moment ten musi być równy momentowi sił wewnętrznych w krokwiach, nachylonych do poziomu pod kątem a, któreto siły przypuszczamy proporcyonalne do odstępów od osi obo-

jętnej. "Więc    wst    wsta. Przypuściliśmy, że

« OJ

V    n X

= —.    s!='siy,

2S.4 wsta

stąd Ms—^SX wsta^y-{-—j =

(x² + y²),

a więc Sx =

.    .    585)

Mg y

2 (x^ + y²) wst a ⁵

.    .    586)

Mzx

2 (x²-by²) wst a Jeżeli ośmiobok jest regularny, to y=æ+2 æ dost 45°=2,414#, Nj jest więc zawsze większe, niż S₂, a że wiatr może wiać z każdej strony, więc w każdej krokwi może być dodatniem lub ujemnem. Największa więc siła wewnętrzna we wszystkich krokwiach jest:

najw S— -4-

M,y

.    .    587)

2 (cc²+y²) wst a

a dla wieloboku regularnego, wstawiwszy y—2,414 z, otrzymamy

najw S = ±0,427

M.

.    .    588)

& «

y wst a '

Jeżeli teraz chcemy zbadać siły wewnętrzne w pierścieniach i kracie, to przypuśćmy, że na pewną część powierzchni boku ostrosłupa B' O O (rys. 287) działa parcie wiatru N, na odnośne części boku A'B'O i O D' O N'.

a/

A'

(t

• Wy /

/i}'

c\^"

b)

wŁ

T&th²

#>

'°D

ZT

Bys. 287.

Wedle poprzedniego .W=Wdost45₀ =    . W B działają

N . N'

siły 2 i ~2 '    ich wypadkową rozłożymy w kierunku

płaszczyzn boków, to otrzymamy siły Ti T'₀.

Z rys. 287 c widzimy, że

m    , N \₉Nri N N'

₂-+vf

Dalej mamy w płaszczyźnie O B' A'

N N _3N

Y‘2 ~2\2

=0.354 N.

T\ — bc bf=

= 1,06 W

.    589)

zaś

N'

to

T'n = be =-H = - -

2 2|2

W płaszczyźnie OB' C działają z obu stron siły T i znoszą się, przekątnie więc wcale nie pracują. Inaczej rzecz się ma z płaszczyzną OB' A'. Tu działa z jednej strony siła T'₀, z drugiej T'u, pierwsza trzy razy większa od drugiej. Siły te muszą być przeniesione na punkty podparcia A' B'. Belka kratowa więc w płaszczyźnie OB' A' musi te siły przenieść i działa jako belka jednym końcem utwierdzona.

Obciążenie ze strony krawędzi OB' jakoteż O A' zmienia się wedle powierzchni obciążenia trójkątnej. A więc na powierzchnię I od szczytu aż do wysokości z

=    a gdy x=~z, Nz =

Zatem obciążenie belki kratowej II do wysokości z jest z jednej strony

7V = 1,06

aw

■z¹

z drugiej „

7V-0,364^V

.    .    590)

"W rys. 288 wykreśliliśmy dźwigar O D'O jako jednym końcem utwierdzony, obciążony on jest u góry obciążeniem dodatniem, u dołu ujemnem.

Obciążenie jednostkowe obliczymy dla z=ń, a więc na w następny sposób z 590) : T\ —1,06    ■■■ =

A

jo = 1,06 aw wst a ] p'=0,354a^wsta J

długość —~ wst a

stąd podobnie mamy

ph

2 wst a

.    .    591)

ot;

fi)

c'h

in

-O-

A».,

r"" ^ hu sta.

A,t!

rri+iL,

"T^TrSUm

r„V

tn'-t

/C

Z>\

fC

Irrt*¹

- Ur”

p'iliiiiiiiiimiiiiiniiiiiiiïmn

Rys. 288.

Dla m-tego węzła pasu górnego otrzymamy:

Dm dost (pm= Om+1 dost ß—Om dost ß.

Jeśli Mm i Mmlri oznaczają momenty ze względu na węzły m' i m'—1, to

Afm

0OT+1 dost ß=-r-

Om

więc dost =

a 4- /?

Om dost ß—-j~

Om

Mm-1

^»7»-1

Mm

24

S tatyka.

Dalej mamy dm dost (pm=rm, więc

¥™-±\ bm—1 /

Dm

_dm (Mm

Tm \ bm

Następnie jest:

Mm c

Xm X.„

- (Pm

Pm • Xm — p .

wst a

X,nP ,

więc pm——g— wsta,

zatem Mm— .

h

P—P' X\n

g wsta, Mm-\ = —-

wst a.

•    *    ® xm

więc bm— wst a,

Dalej jest bm : a=xm : —t a

Dm —

M

stąd —- =

bm

p~p-x-‘

(>a

zatem

dm p—p'

n \

rm b a

( x ^ ni x i a—i), a ze Tm xm Xm—i

ßm —

•    r\    dm ,

₂    ’ W1SC 3a (P—P )-

Xtn “f” X)n—\

.    B92)

Jeżeli teraz wstawimy wartości za p i p' z 591), to p—p' = =0,706aw wsta, stąd Dm=> 0,235 emdm w wst a. .    .    . 593)

Aby wyznaczyć siłę wewnętrzną w pierścieniu bm, wykreślmy wielobok sił dla węzła m', przypuszczając, że p'= 0 i nazwijmy w tym wypadku siłę w rozporze R'm.

Z podobieństwa trójkątów w rys. 288 a iß) widzimy, że

TOf ■‘■i m

_ bm-\-\

Dm~\~ 1

Wedle 592) jest dla p—0 Dm+i =

ßm-j-l bm-j_i p

ßm-\-1 djyiĄ. l p

, więc

R'm= —

Jeżeli teraz przyjmiemy p=0, to dla węzła m otrzymamy po wykreśleniu wieloboku sił podobnie bm—1 Dm dm

R"

-LX/ m

a z równ. 592) Dm =—

ßm bm—1 p

R"

-Ll/ m

ßm dm pm

sr~ ’W1?0

Zatem jeśli pip' działają równocześnie,

Km--(bm+1 ®m+l P bm+1 ®m P )*

.    594)

Do tych sił, wywołanych parciem wiatru, należy dodać siły wskutek ciężaru własnego, które wyznaczyć możemy łatwo wedle §. 121.

¹

Landsberg podaje w swej „Statik der Hochbauconstructionen“ IV. wyd., str. 800 przykład dokładnego obliczenia bani według powyższego sposobu.

§. 124. Części składowe i rodzaje belek kratowych.

Belka kratowa, jak wiemy z §. 101., składa się z dwu pasów, górnego i dolnego, i z kraty, powstałej z krzyżulców. Według układu krzyżulców rozróżniamy rozmaite rodzaje kraty. A mianowicie, jeżeli krata składa się z dwu rzędów krzyżulców (rys. 289 i 290), nazywramy ją kratą pojedyń-czą (n. einfaches Gitterwerk, fr. treillis simple). Jeżeli mamy trzy rzędy krzyżulców (rys. 291), to nazywamy kratę złożoną (n. kombinirtes Gitterwerk). Kratę powstałą z kilku równych krat pojedyńczych, przesuniętych o pewną część odległości dwu węzłów (rys. 292), nazywamy kratą wielokrotną (n. mehrtheiliges Gitterwerk, fr. treillis multiple, an. multiple system). Liczbę, oznaczającą ilość krat składowych, a zatem także ilość części, na które podzielony został jeden krzyżulec

rys. 292.

ryt. 289.

A /N A

r v v v

vV V'

rys 290

vy'

/ V

A    A

Ç    ryj. 251.

rys.?9 3.

(np. ab na cztery części), nazywamy liczbą podziału (n. Theilungszahl). Jeżeli liczba podziału jest 2, 3 i t. d., to nazywamy kratę dwukrotną, trzykrotną itd. (n. zweiteiligt dreitheilig, fr. double, triple). Rysunek 293 przedstawia kratę dwukrotną złożoną, tu więc chcąc wyznaczyć liczbę podziału patrzymy, na ile części zostały podzielone krzyżulce pionowe.

Według nachylenia krzyżulców rozróżniamy następne rodzaje krat: kratę równoramienną (n. Netzwerk, fr. système triangulaire, an. triangulär system) (rys. 289), składającą się z samych trójkątów równoramiennych i kratę prostokąfcn% lub przedziałową (n. Fàchwerk, fr. système quadr angulaire, an. quadrangular system, r. <j)axBepKOBaa Sanna) (rys. 290), składającą się z trójkątów prostokątnych.

Krzyżulce dzielą się według nachylenia na pionowe (n. Verticale, fr. montant, an. upright, vertical brace, r. CTOÜKa) i przekątnie (n. Diagonalen, fr. diagonale, an. diagonal-brace, cz. pricka, r. AÎaronajib), a według rodzaju natężenia na krzyżulce ciągnione (n. Zugstäbe, fr. tirant, an. tie, r. 3aTHïKKa) i ciśnione (n. Druckstäbe, an. strut).

Chcąc oznaczyć równocześnie nachylenie i rodzaj natężenia krzyżulców, używamy następnych nazw. Nazywamy krzy-żulec ciągniony pionowy słupem wiszącym (n. Hängesäule, fr. tirant, poinçon, an. suspension post, r. noAßhcKa), krzyżulec ciągniony nachylony ścięgnem (n. Zugband, fr. bracon, contrefiche, an. tie, cz. tählo), krzyżulec ciśniony pionowy słupem (n. Säule, fr. poteau, montant vertical, an. post, cz. sloupec, r. cTOÜKa), krzyżulec ciśniony nachylony zastrzałem (n. Strebe, fr. montant, an. standart, strut, cz. vzpêra, r. noßKoen).

Rys. 294.

Belki kratowe rozróżniamy według kształtu pasów na belki równoległe (n. Parallelträger, fr. poutre en semelle paralleles, an. parallel boomed girder, cz. nośnik pfimopasowy, r. napajuiejibHaa ôajiKa) o pasach równoległych i na belki wielo-boczne (n. Träger mit polygonalen Gurten, an. girder with inclined Ranges, cz. nośnik krivopasovy, r. MHororpaimaH öajiua) (rys. 294) o pasach w kształcie wieloboku lub krzywej. Te ostatnie belki nazywamy rozmaicie według kształtu pasów, belki takie, używane prawie wyłącznie jako belki mostowe, są przedmiotem teoryi mostów.

§. 125. Analityczne wyznaczenie sił, działających w belkach kratowych równoległych o kracie pojedyńczej.

Dla belek kratowych równoległych o kracie pojedyńczej da się metoda przecięć znacznie uprościć. Aby wyznaczyć siłę S, działającą w pasie górnym, przecinamy belkę w kierunku mn (rys. 295) i ustawiamy równanie momentów ze względu na przeciwległy węzeł A. Nazwawszy M moment sił zewnętrznych ze względu na punkt A a h wysokość belki, otrzymamy

/•

M-\-Sh=0, a stąd:

8- —

. 595)

S, I

Podobnie otrzymamy siłę, działającą w pasie dolnym A E,

M'

. B96)

S'= + T

Rys. 295.

jeżeli M' jest momentem sił zewnętrznych ze względu na punkt C. Widzimy więc, że siły, działające w pasach belki kratowej równoległej, są proporcyonalne do momentu sił zewnętrznych, przyczem dla momentu dodatniego w pasie górnym powstaje ciśnienie, a w pasie dolnym ciągnienie.

W celu wyznaczenia sił zewnętrznych w krzyżulcach korzystamy z prawidła, że dla równowagi suma pionowych składowych musi być równą zeru, więc Q + Pdost a=0, stąd

.    .    597)

P= — Q siecz a.

Podobnie otrzymamy dla przecięcia mx n{

.    .    598)

Q—Pj dost ß=0, a stąd Pi — (Jt siecz /?,... jeżeli Q i są siły poprzeczne dla przecięcia mn i mini. Możemy więc napisać, że siły, działające w krzyżulcach belki kratowej równoległej, są proporcyonalne do siły poprzecznej i zależne od kąta nachylenia krzyżulca.

§. 126. Wykreślne wyznaczenie sił, działających w belkach kratowych równoległych o kracie pojedynczej.

Dla wyznaczenia wykreślnego sił, działających w belkach równoległych, używamy metody wielobokowej. Wielobok sił zewnętrznych jest tu linią prostą pionową. Na rys. 296 przedstawiliśmy użycie tej metody, przyczem dla przejrzystości rozsunęliśmy wielobok sil AB, aby uwidocznić wszystkie siły zewnętrzne, które kreślimy za porządkiem, idąc w kierunku pasów naokoło belki.

a.

Przedtem należy jednak wyznaczyć w znany sposób oddziaływania O, i 0₂. Wykreślenie planu sił nie przedstawia teraz najmniejszej trudności.

/;

127. Krata wielokrotna.

Belkę kratową o kracie n-krotnej (rys. 297) rozkładamy na n układów, w tym więc przypadku na dwa układy, przy-czem każda część pasu wchodzi do wszystkich układów, lecz

tylko o przekroju równym -

części przekroju rzeczywistego, krzyżulce zaś wchodzą zawsze tylko do jednego układu. Obliczamy teraz pojedyncze układy w znany spo-

część obcią-

n.

0,

nn

Eys. 296.

sób, przyjmując tylko

AjXXXXXlfi

A    Ł

//jXX\X\

Ł    A

żenią na jeden układ, a więc także

— i Dla krzyżulców otrzymujemy

Eys. 297.

w ten sposób odrazu siły wewnętrzne, dla pasów zaś dodajemy siły wewnętrzne, otrzymane dla każdego układu z osobna.

128. Belka kratowa Howea.

Belka ïïowe’a (rys. 291) jest to belka drewniana, mająca kratę złożoną ze sztucznem natężeniem, które sprawiamy, naciągając słupy wiszące, zakończone śrubami. Ciągnienie to sztuczne wywołuje w przekątniach DC i CF ciśnienie równe z powodu symetryi. Ciśnienia te robimy tak wielkie, aby zrównoważyły największości ciągnienia, wywołanego obciążeniem w krzyźulcach ciągnionych; natężenie tych krzyżulców dla obciążonej belki będzie więc równe zeru. Łatwo pojmiemy, że przez to wzrosną siły wewnętrzne krzyżulców ciśnionych w dwójnasób, bo do ciśnienia, wywołanego obciążeniem, dodaje się jeszcze ciśnienie sztuczne. Zastrzały DC, które wskutek obciążenia są ciśnione, a więc te, które byłyby zastrzałami, gdyby sztucznego natężenia niebyło, nazywamy zastrzałami głównymi (n. Hauptstrebe, an. main brace), krzyżulce zaś, ciągnione wskutek obciążenia a ciśnione sztucznie, nazywamy zastrzałami drugorzędnymi, odporami, odstrzałami (n. Gegenstrebe, fr. contrelien, an. conterstrut, r. npoTHByno,o.KOCrb).

Ponieważ w zastrzałach drugorzędnych dla belki obciążonej niema wcale żadnego natężenia, więc w przybliżeniu możemy belkę Howe’a obliczać tak, jakby zastrzałów drugorzędnych nie było. Największa zaś siła wewnętrzna zastrzałów drugorzędnych jest dla belki nieobciążonej równą połowie siły wewnętrznej zastrzałów głównych, bo, jak wspomnieliśmy, siła wewnętrzna P, wywołana natężeniem sztucznem, równa się sile wewnętrznej P', wywołanej obciążeniem, a zatem siła, działająca w zastrzałach głównych, jest 2P, a w zastrzałach drugorzędnych równa tylko sile P, wywołanej natężeniem sztucznem.

C. Teorya sklepień.

X. Sklepienia kolebkowe.

§. 129. Luki i sklepienia.

Dotychczas mówiliśmy o belkach prostych, które cisną na podpory tylko w kierunku pionowym ; tu będziemy zastanawiać się nad dźwigarami, działającymi nawet przy obciążeniu pio-nowem na podpory w kierunku ukośnym i dążącymi do ich oddalenia (rys. 298). Dźwigary takie nazywamy w ogóle dźwigarami rozporowymi lub rozpornicami (n. Sprengs-

V777

Rys. 298.

werksträger, fr. poutre à jambettes, an. strud framed girder, r. pacnop-Haa óaJiKa). Jeżeli dźwigar jest ciągle krzywym, nazywamy go dźwigarem łukowym lub łukiem (n. Bogenträger, fr. poutre en arc, an. arched girder, r. .ayrooôpaanaa ôajiua), a jeżeli materyałem tej belki jest cegła lub kamień, nazywamy ją sklepieniem (n. Gewölbe, fr. voûte,

an. vault, r. CBO^t). Powierzchnię wewnętrzną wklęsłą sklepienia nazywamy podniebieniem (n. Gewölbsleibung, fr. intrados, an. intrados, r. ne6o CBO^a), powierzchnię zewnętrzną wypukłą nazywamy grzbietem (n. GewölbsbrücJcen, fr. extrados, an. extrados, back of the vault, r. Bepxifaa noBepxnoc'n, cBO,n,a).

Gdy podniebienie sklepienia jest częścią powierzchni walca, sklepienie nazywamy kolebkowem (n. Tonnengewölbe, fr. voûte cylindrique, en berceau, an. barrel-vault, r. nujiHHApii-16CKHM cboa'l). W tym rozdziale będziemy mówić tylko o takich sklepieniach, później dopiero zastanawiać się będziemy także nad innymi rodzajami sklepień.

§. 130. Siła podłużna i momenty jedrne.

Sklepienie, jak widzimy, rożni się od luku tylko materya-łem i odpowiednim mu przekrojem. Teorya sklepień da się więc wyprowadzić z ogólnej teoryi łuków, o której więc teraz mówić będziemy.

Nazwijmy linię, łączącą środki ciężkości wszystkich przekrojów łuku, osiąłuku (n. Axe des Bogens, fr. axe de l'arc, an. axis of the arch) i przypuśćmy, że belkę łukową przecięliśmy prostopadle do osi EEX (rys. 299) płaszczyzną BC i że R

jest wypadkową wszystkich sił zewnętrznych, działających na lewą część łuku. Wypadkowa R wszystkich sił po le-fC wej stronie przekroju nie będzie tu pionową, jak w belce prostej wskutek odpowiednio urządzonych podpór. Tu oddziaływania dla łuku są ukośne, a dźwigar działa na podpory rozpierająco, co jest główną cechą dźwigarów łukowych.

Przypuśćmy, że wypadkowa R na sklepienie o szerokości b = \ przecina płaszczyznę przekroju BC w F. Siłę R rozkładamy na dwie składowe P i Q, z których pierwsza P działa w kierunku prostopadłym do przekroju, a więc równolegle do osi, a druga Q działa w kierunku prostopadłym do osi i na-

As\ >

/,

%V-'

C,

/,

Es

Rys. 299.

żywa się siłą poprzeczną. Te siły zewnętrzne muszą być w równowadze z siłami wewnętrznemi, działaj ącemi w tym przekroju. Wszystkie te siły wewnętrzne możemy rozłożyć na siły prostopadłe do przekroju, wywołujące natężenie normalne i siły, działające w płaszczyźnie przekroju, wywołujące natężenia ścinające.

Umieśćmy w punkcie E dwie siły równe sile P i działające wprost przeciwnie a równolegle do osi. Przez to nie naruszymy równowagi układu sił i otrzymamy :

1)    siłę P, zaczepioną w środku ciężkości przekroju E, zwaną siłą podłużną (n. Axialkraft, Längskraft, fr. compo-sente tangentielle).

2)    parę sił, czyli moment M--=Pc.

3)    siłę poprzeczną Q.

Siła podłużna P rozkłada się jednostajnie w całym przekroju, gdyż zaczepia w środku ciężkości przekroju, więc natężenie wskutek siły podłużnej

.    .    599)

v'=—,

P’

jeżeli F oznacza przekrój. To natężenie jest tu ciśnieniem, które oznaczany znakiem +.

Chcąc wyznaczyć natężenie v", powstałe z działania momentu M, musielibyśmy uwzględnić także promień krzywizny osi =r. Jednak gdy promień krzywizny jest dość wielki w stosunku do wysokości dźwigaru, — wtedy w przybliżeniu można użyć tycli samych wzorów, co do belki prostej. Możemy więc napisać, nazwawszy v, " natężenie we włóknie kkx, odległem o v od osi ciężkości, powstałe wskutek działania momentu, wedle 141)

Mv

. . 600)

Vr" =

jeżeli I oznacza moment bezwładności.

Natężenie więc całe w odległości v od osi ciężkości będzie podobnie, jak według równania 417),

„ P

Vv=v' + Vv'' =Y

My

. . 601)

Müller Breslau otrzymał po długim wywodzie, uwzględniając krzywiznę osi, dla vv dokładniejszą wartość:

vr=

P Mv M --1_ -1------. . .

F I Fr

. . 602)

a Śolin jeszcze, dokładniej

_ P Mr v V' F+ B r+v Fr

.    .    603)

B=

rv²

-(F¹ F .    .

.    .    604)

J J r-\-v

Weyrauch obliczył Bil dla rozmaitych przekrojów

i otrzymał

Tablica XLII.

r

dla

kwadrat

koło

lub elipsa lub prostokąt

przekrój J

1.1452

1.1833

10

20

40

1,0050

1,0012

1,0003

1.0000

1,0060

1,0015

1,0004

1.0001

1,2614

1,0082

1,0021

1,0005

1.0001.

Widzimy więc, że już dla r = 20h możemy śmiało przyjąć I—B. a gdy v jest w stosunku do r małem, to wzór 603) przechodzi w 602).

M

Zważywszy jednak, że gdy r jest wielkiem, to ^

jest

bardzo małem, możemy więc w praktyce wyraz ten opuścić, przez co otrzymamy równanie 601).

W przekroju BC natężenie jest największem dla najbardziej oddalonych włókien, otrzymujemy więc dla v = ex

Me,

Vi =

4~

a dla v——e₂

Me ₂    *    •

.    .    605)

^2 =

Niech będzie a promieniem bezwładności, to I—Fal. Wstawiwszy tę wartość i Pc = M w równanie 605), otrzymamy

Pc\ ( a¹ \ Pe^ta¹ \ 7 F(A e, 7 ^ I ( ei ⁺ 7 Pe.Ja.²    \ Pe^la¹ \

V^FaSerCr A erC)

v\

Wiemy z §. 85, równ. 416) że

• a'Ł

EL i t

a¹

«i

ei

= ix = EI\.

Długości i i₂ są to promienie jędrne. Możemy więc napisać

Pe i

*1 = j (*2+C)

ih—c)

Pe₂

.    .    607)

Wypadkowa R musi przecinać przekrój w jądrze t. j. między punktami jędrnymi /, i /₂, jeżeli cały przekrój ma pracować na ściskanie. Linia, łącząca punkty I poszczególnych przekrojów, nazywa się linią jędrną (n. Kernlinie).

Linia, łącząca punkty zaczepienia wypadkowej R czyli środki ciśnienia poszczególnych przekrojów, nazywa się linią ciśnienia (n. Stützlinie, fr. courbe de pressions, an. line of résistance, cz. cara tlakova), wykreślił ją pierwszy Méry (1842). Możemy więc powiedzieć:

Natężenia normalne w przekroju mają wszystkie ten sam znak, jeżeli linia ciśnienia nie wychodzi z j ądra.

Jeżeliby P<0, wtedy w całym przekroju byłoby ciągnienie. Przy mostach i sklepieniach, gdy obciążenie jest tylko pio-nowem z góry na dół, P jest zawsze >0, a więc gdy linia ciśnienia nie wychodzi z jądra, w całym przekroju panuje ściskanie; jeżeli zaś linia ciśnienia wychodzi z jądra, to w tym przekroju natężenia są dodatnie i ujemne.

Równ. 607) możemy jeszcze napisać

1VM4 +C) P V+C P(i , c\

. 608)

Fa² F i, F\ ej Pe₂ (tt—c) _ Pi,—

Fa*

Nazwijmy if₂, moment sił zewnętrznych ze względu na punkt rdzenny /₂, momentem jędrnym dolnym (n. unteres Kernmoment), to

.    .    609)

Odpowiedni moment jędrny górny (n. oberes Kernmoment) będzie M^—P(c—ix)

*1“

Wtedy otrzymamy z równania 607) Pey ii,+c) _M₂ex

^2 =

Pe.₂ (i, — c) _ M, e₂

. . 610)

V' = Fi,

. . 612)

jeżeli y

Sklepienia mają zwykle przekrój poprzeczny prostokątny, a wiemy z §. 85, że dla przekroju prostokątnego jest

.    .    613)

a

ii—r

.    .    614)

li.

a więc wzory takie same, jak dla belki prostej, jeżeli tylko zamiast momentów zwykłych wstawimy momenty jędrne.

Z równ. 606) i 610) otrzymamy dalej

*1-

M₂

Fi₂

=v°(¹⁺i)

. . 611)

więc i 4- i₂ =

Widzimy zatem, że w sklepieniu o przekroju prostokątnym, średnia trzecia część przekroju, pojorowadzonego pionowo przez oś, stanowi jądro, poza które nie powinna wychodzić linia ciśnienia, jeżeli całe sklepienie ma pracować na ściskanie.

§. 131. Warunki równowagi sklepienia.

Mamy trzy warunki równowagi sklepienia :

1) Środek ciśnienia (fr. centre de pression) czyli punkt zaczepienia wypadkowej, na szew działającej, powinien leżeć w przekroju, aby nie nastąpił wywrót i załamanie się sklepienia. Jeżeli jednak sklepienie składa się z klińców, połączonych zaprawą, to ponieważ na wytrzymałość zaprawy na rozciąganie nie możemy na pewne liczyć, więc w sklepieniu takiem i w ogóle w budowlach murowanych nie dopuszczamy wcale ciągnienia. W takim razie środek ciśnienia powinien leżećwjądrzet.j.w średniej trzeciej części przekroju. A że odnosi się to wszystkich szwów, więc cała linia ciśnienia powinna leżeć w średniej trzeciej części sklepienia.

Warunek ten nie odnosi się do sklepień litych, betonowych albo żelbetowych, u których możemy pewne ciągnienie dopuścić. Tam więc linia ciśnienia może wyjść z jądra, a nawet z przekroju.

2) Wypadkowa nie powinna być odchyloną od prostopadłej na szew więcej, niż wynosi kąt tarcia, aby nie nastąpiło przesunięcie klińców. Wypadkowa R (rys. 300) rozkłada się na dwie siły P i Q.

rU

.Rys. 300.

Składowa Q, działająca w płaszczyźnie szwu, stara się przesunąć kliniec A po klińcu P, przeciw czemu działa tarcie T=P.f=Pst(>, jeżeli f jest spółczynnikiem tarcia i gdy przyjmiemy f— stp, a q nazwiemy kątem' tarcia (n. Reibungswinkel, fr. angle du frottement, an. angle of friction, r. yrojn» TpeHia). Dla równowagi musi być T>Q, jeżeli pominiemy zupełnie wytrzymałość zaprawy, a więc Pst(>>Psta, jeżeli a jest kątem nachylenia wypadkowej na szew, a stąd nareszcie

Q>a .

Jako spółczynnik tarcia między kamieniem i kamieniem możemy przyjąć z Ponceletem /’=0,58 czyli p = 30q bez zaprawy a /‘=0,7, więc £=35° z zaprawą starą. Dla świeżej zaprawy jest f bardzo małe. Średnio więc możemy przyjąć

*=0,4, e = 22".

.    .    615)

3) Trzecim warunkiem równowagi jest, że natężenie nie powinno przekraczać spółczynnik a wytrzymałości. Jeśli przyjmiemy stosowną pewność, to natężenie nie powinno być większem, niż dopuszczalne.

Największe natężenie w danym szwie znajdziemy z równania 610), wstawiwszy dla przekroju prostokątnego odnośne wartości, a mianowicie dla szerokości b

4. /=***’•

h 2 e₁—e₂— g > a

W ten sposób otrzymamy vi = V'j^l f ~g~ H~cj

-M ’

a stąd

i podobnie

CS

. . 616)

Jeżeli siła P obliczona jest na jeden metr szerokości sklepienia, to &=lra = 100cm. Wyraziwszy P w kg, a A i c w cm, otrzymamy

P p \

Vl 100 h( ⁺ Il j

ea

I kg

cm²

100 h\ h j |

Dla c —0, t. j. gdy wypadkowa działa w osi

.    .    617)

*₂-

. . 618)

v'=v'⁼bh=v» ■

Jeżeli c = \h, t. j. jeżeli wypadkowa działa w punkcie jędrnym górnym, to

v'—bh

= 2^o

.    .    619)

^2=° j

Widzimy więc, że gdy wypadkowa działa w punkcie jędrnym, to natężenie w krawędzi bliższej tego punktu wzrasta do podwójnej wielkości, w krawędzi zaś dalszej spada do zera.

Jeżeli natężenie w każdym punkcie

P aj

^IHlHllHHHiraMlTll Przekroiu przedstawimy rzędnemi, to

>,B natężenia jednostajnego (rys. 801 a) powierzchnia natężeń, którą tu otrzymujemy, jako przekrój bryły natężeń (§. 84), przed-fł stawia prostokąt. Wypadkowa P działa według tegoż paragrafu w środku ciężko-ści prostokąta.

Jeżeli P działa w punkcie jędrnym / (rys. 301 b), to według równ. 619) w punkcie A natężenie jest dwa razy większe, niż poprzednio, więc

dla

A*

A 'hh

.11^

Ą

Rys. 301.

AAi —

= 2r₀, w punkcie B zaś równe zeru, a że przytem

środek ciężkości powierzchni natężeń leży w jednej trzeciej wysokości, więc powierzchnia ta będzie trójkątem. W ogóle, działa siła P, jak wiemy, w C (rys. 301 c) w rzucie środka ciężkości powierzchni natężeń, które zmieniają się wedle linii prostej. W środku ciężkości przekroju O natężenie jest zawsze v₀ = ^

równ. 611) polega następna konstrukcya.

Zróbmy OOi=v₀ (rys. 302). Połączmy ¹T^

Oj z /, i /₂ aż do przesunięcia się z kie-runkiem siły P i wykreślmy P₂ Zł,

bh

F‘

Na tern i na

P,

O. A

.......-

mÆmm

Wł¥Ę I«

............h...................>*

Rys. 302.

i Ci A, U AB, to AAx=vx

CC,=AAt-v^-p h

A Ai =v₂. Dalej mamy CC, : v₀ = (i, -f- c) : i,, stąd CCX = v₀    C

H

Jeżeli środek ciśnienia C wyjdzie poza jądro, to ciśnienie A powstaje ciągnienie (rys. 303 a). Jeżeli nie zważamy na bardzo małą zresztą wytrzymałość zaprawy ciągnienie, to ponieważ na długości AE ciągnienie powstać nie może (rys. 303 b), więc tam szew się ß otworzy, a cała siła P rozkłada się na długości BEX =3e, otrzymamy więc natężenie w B

PP\ V'i ) bo CCy i Vq —(i₂ c) : i>2, a ze względu, że tu C jest ujemne,

-=*v

w B wzrasta, a w

na

aj

2P _ 2P 1 i b. 3 e 3 b e

Natężenie w środku ciężkości nie będzie już w tym wypadku v₀, bo nie cały przekrój współdziała.

Najkorzystniej byłoby dla sklepienia, gdyby wszędzie c=0, t. j. gdyby linia ciśnienia wpadała na oś, bo wtedy w każdym przekroju natężenie rozdzielałoby się równo na przekrój, byłoby więc stosunkowo najmniejsze. W ten sposób wyznaczamy najkorzystniejszy kształt sklepienia. W rzeczywistości jednak cboćby dla pewnego obciążenia linia ciśnienia wpadła na oś, to dla innego obciążenia linia ciśnienia zmieni swój kształt.

Dla sklepień betonowych możemy dopuścić małe ciągnienie do 3Icg/cm². W obec tego może linia ciśnienia wyjść nieco z jądra, ale tylko o tyle, aby natężenie nie przekroczyło dozwolonej ‘granicy.

Jeżeli przyjmiemy ^=30, v₂ = —3Jcgjcm², to otrzymamy

\A*

b,

. 620)

E, 0 1C

3e

Rys. 303.

z równ. 617)

30 =

30

100 à

6c

¹⁺ h

3    1

, a stąd c=0,204 h = -=-h. 6 c    o

"Widzimy więc, że ta linia ciśnienia może się oddalić od

^ h, lecz więcej, o -~A. Wychylenie możliwe obustron-

osi me o ne zajmuje więc 0,4 A.

§. 132. Obciążenie sklepienia.

Na sklepienie działa najprzód ciężar stały, a zatem ciężar własny sklepienia, nadmnrowania i nasypki, wraz z zeskła-dem, na niej leżącym, (podłoga, droga itd.). Ciśnienie ziemi przyjmujemy, działające z góry w kierunku pionowym, aż do nachylenia nadmurowania 2:3. Przy większych nachyleniach musimy wyznaczyć kierunek parcia ziemi, o czem później będziemy mówić.

cc

d'

ci

Rys. 304.

ziemi 1,8, a muru

Całe obciążenie sklepie-pienia sprowadzamy zwykle "6 na ciężar odpowiedniej masy materyału, z którego zrobione sklepienie, więc np. kamienia lub cegły, a to w ten sposób, że zmieniamy odnośne rzędne w odwrotnym stosunku ciężarów gatunkowych. Niech będzie np. ciężar gatunkowy 2,2, to zmieniamy rzędną cd (rys. 304) na

1,8

tak aby cd'\ cd= 1,8 : 2,2, a więc cd' — cd^^.

Zrobiwszy to samo z innemi rzędnemi i połączywszy ich końce, otrzymamy linię a'b', którą nazywamy sprowadzoną linią obciążenia (n. reducirte Belastungslinie). Obciążenie tłumem ludzi, wozami lub parowozami sprowadzamy także na ciężar bryły muru o wysokości y. Mamy wtedy na lm² ciężar bryły muru yym=Pi a więc

cd'

y=--    .

J ym

Obciążenie p przyjąć możemy z tabliczki, dołączonej końcu książki. W nowszych czasach często nie wyznacza się zupełnie linii sprowadzonej obciążenia, lecz wyznacza się ciężar pasków wprost z rysunku, dodając ciężary odpowiednie sklepienia, nadmurowania, nadsypki i obciążenia.

. . 621)

na

§. 133. Unia ciśnienia.

Linia ciśnienia jest to, jak wiemy, linia łącząca środki ciśnienia wszystkich szwów sklepienia i musi leżeć w średniej trzeciej części sklepienia, jeżeli chcemy uniknąć ciągnienia.

Kierunek szwów w sklepieniu mały ma wpływ na linię ciśnienia, ważny on jest tylko ze względu na warunek, aby kąt między prostopadłą na szew a wypadkową nie był większym, niż kąt tarcia. Najlepiej więc byłoby, gdyby szwy były prostopadłe do linii ciśnienia, ponieważ jednak trudno to urzeczywistnić, dlatego robimy je prostopadłymi do osi sklepienia lub do podniebienia. Gdy na razie zważać nie będziemy na ten warunek, możemy przyjąć dowolny kierunek szwów. Przyjmiemy więc pionowy kierunek, wzajemne zaś oddalenie szwów bardzo małe. Jeżeli sklepienie jest płaskie i mało obciążone, to różnica z powodu odmiennego kierunku szwów może być większą i wtedy lepiej kreślić szwy prostopadle do osi.

Jeżeli przekroje są dość bliskie, to w praktyce różnica między linią ciśnienia a wielobokiem sznurowym dla przekrojów

pionowych jest tak małą, że następnie uważać będziemy te dwie linie jako identyczne.

Niech mn (rys. 305) będzie sprowadzoną linią obciążenia, a KL częścią linii ciśnienia. Wytnijmy w odległości x od podpory A pasek o grubości dx płaszczyznami pionowemi i nazwijmy średnią wysokość paska EF=q, to powierzchnia jego jest qdx a ciężar yqdx. Aby pasek ten utrzymać w równowadze, musimy zastąpić ciśnienia obu stron sklepienia wypadkowemi R i R', działaj ącemi w K i L. Trzy te siły muszą być w równowadze i tworzyć zamknięty wielobok sił. Siły R i R' mają równą i wprost przeciwną składową poziomą H, którą nazywamy parciem poziomem (n. Horizontalschub, fr. poussée horizontale, an. horizontal thrusth), a zatem parcie poziome nie zmienia się i jest stałem dla

jakiegokolwiek przekroju. Z rysunku widzimy, że R

ołx i <.....

Rys. 305.

II

a R' =

wst cp

jeżeli (p jest kątem nachylenia siły R do

wst {(p + dw)

pionowej, dalej R dost cp — yqdx-\-R' dost (<jp + d<jp), a stąd Hdot(p = Hdot (cp + dcp)-}-yçdx, a więc H \ dot (<pdcp) — dot <p] = — yqdx, albo

Statyka.

ddotÿ)    yq

IId dot cp = — yqdx i

dx    H

A że dot <p =

(l/Js

y gdy y jest rzędną linii ciśnienia, więc

. 622)

(l2> ₌_^ dx² H’

Jestto równanie różniczkowe linii ciśnienia. Całkując je, otrzymamy

dy    y f

- = dot cp= —-- \ qdx -r C, a stąd

CŁCC    ii %J

g- ^ dx Ç qdx + Cx+C

.    .    623)

y=—

Jestto równanie linii ciśnienia, z którego widzimy, że dla danego q mamy tu jeszcze trzy niewiadome H, Ci Ci. Sklepienie jest więc zeskładem statycznie niewyznaczalnym rzędu trzeciego. Trzy te niewiadome możemy albo wyznaczyć na podstawie prawideł sprężystości, albo licząc w przybliżeniu, odpowiednio przyjąć. Jeżeli promień krzywizny linii ciśnienia nazwiemy r, to wiemy z matematyki, że

dly

,/ HSff

dx²

.    624)

r= —

a wstawiwszy wartość z 622) otrzymamy (l-t-dot²9>)^ H

yq

yqwst³<p

Promień krzywizny r będzie najmniejszym, gdy ygwst³ęp będzie największem, więc dla <jp = 90°, gdzie linia ciśnienia jest poziomą. Jeżeli przyjmiemy w przybliżeniu, że linia ciśnienia wpada na oś, to będzie ona wtedy miała poziomą styczną w kluczu. Nazwijmy r₀ odnośny promień krzywizny linii ciśnienia, a więc według przypuszczenia i osi sklepienia, a wysokość obciążenia w kluczu, to z równania 624) otrzymamy

II

a stąd

.    .    625)

H — yr₀ q₀

A więc, jeżeli linia ciśnienia wpada na oś, parci« poziome równa się iloczynowi z promienia krzy-wiznyosi wkluczu przez obciążenie jednostkowe

tamże. Ponieważ jednak przypuszczenie to rzadko się sprawdza dokładnie, więc wartość dla H₎ otrzymaną z równ. 625), można uważać tylko jako wartość przybliżoną, która różni się mniej lub więcej od wartości prawdziwej.

§. 134. Grubość sklepienia.

jeżeli (p

Z poprzedniego paragrafu wiemy, że R =

wst (p⁷

oznacza kąt nachylenia do pionu stycznej do linii ciśnienia w danym szwie ab (rys. 306), prostopadłym na oś. Jeżeli przypuścimy znowu, że linia ciśnienia wpada na oś, to kąt cp będzie kątem nachylenia stycznej do osi w punkcie :    g. Jeżeli chcemy, aby natężenie było

Rys. 306.

w całem sklepieniu jednakowe, to nazwawszy i d grubości sklepienia w kluczu i w danym szwie aö, możemy ustawić proporcyą d₀ : d=H : R, gdy na ab działa wypadkowa /?, a na ef₁ gdzie według założenia linia ciśnienia jest poziomą, tylko parcie poziome H. Obie siły działają w środkach ciężkości przekrojów, więc ciśnienia rozdzielają się równo na przekrój, aby więc ciśnienia były równe, grubości sklepień muszą być proporcyonalne do sił, na przekroje działających. Wstawiwszy wartość za i?, otrzymamy

d₀ : d = H: ——, wst <p

d=—= -r%-=d₀ siecz a, .    .

wst (p dosta

a stąd

. . 626)

gdyż o = 90—(p.

Poprowadźmy z b pionową a z a poziomą, a otrzymamy cb = ab dosta, czyli cb = ddost a —d₀.

Widzimy więc, że jeżeli linia ciśnienia wpada na oś, rzuty pionowe wszystkich szwów powinny być równe grubości sklepienia w kluczu, gdy chcemy aby natężenia były jednakowe. Ponieważ jednak linia ciśnienia rzadko kiedy wpada zupełnie na oś, więc do prawidła tego należy się tylko w przybliżeniu stosować.

"W praktyce możemy to prawidło zresztą zastosować tylko do pewnych granic. Dla « = 00° otrzymamy już bowiem d= = d₀ siecz60₀ = 2 d, a dla większego a d wzrastałoby bardzo znacznie. Tymczasem w praktyce nie robimy grubości d' na podporze większej, niż 2d₀.

Jeżeli grubość sklepienia wzrasta według równania 626), a linia ciśnienia wpada na oś, to natężenie v jest wszędzie jednakowe, a mianowicie

11

.    .    627)

V~Ä ’ •

uo

jeżeli H wyznaczymy na długość sklepienia równą jedności, a stąd

. . 628)

jeżeli zamiast v wstawimy t, natężenie dopuszczalne na ściska-

l²    P

nie. Jeżeli łuk jest kołowy, to w przybliżeniu r₀ =g^=0,125—,

P

jeżeli f oznacza strzałkę łuku. Wtedy mamy d₀ =0,125— yq₀.

Ponieważ tu jednak przyjęliśmy najkorzystniejsze warunki, które często w praktyce nie zachodzą, więc należy Hf a stąd i d₀, przyjąć nieco większe.

Tolkmitt przyjmuje

Wysokość do linii obciążenia q₀=d₀-\-z-\~p, jeżeli z oznacza wysokość sprowadzoną nadsypki a p ciężaru ruchomego. Ponieważ sklepienie może być raz obciążone (p—p), drugi raz

nie (p = 0), więc przyjmujemy średnie obciążenie zatem q₀ =

Jeżeli wszystkie wartości przyjmiemy w m i t

tylko t w kg jem², to zamiast % musimy wstawić 10 t, zatem dQ lOr

d₀T .    .

.    .    629)

-°,lBy^r(d₀ + 2 + -|-+—j

d₀ =

a stąd

«’l⁵ylf(z⁺T⁺lo)

l²

.    .    630)

Wzór ten daje jednak w praktyce za małe wartości dla sklepień w budownictwie lądowem. Z tego powodu przyjmujemy zwykle d₀ i dx (na podporze) według wzorów praktycznych, a potem, kreśląc linię ciśnienia, badamy, czy w sklepieniu panuje równowaga i czy natężenie nie jest za wielkiem.

Podajemy tu kilka wzorów praktycznych i tak: Lesguiller przyjmuje d₀ =0,21^4-0,1 m, gdy l oznacza rozpiętość w m;

Perronet d₀ =0,33+0,0361 m\

Fontenay dla sklepień bardzo obciążonych =0,7r-\-0,32m, gdy r oznacza promień krzywizny;

Rondelet przyjmuje dla sklepień ceglanych:

48

1. dla półkola przy nadmurowaniu do szczytu .

2. przy nadmurowaniu poziomem do połowy wysokości d„=^

ą

• r    n    v    n n

a następnie zbieżnem do szczytu .

Dla sklepień z kamienia łamanego należy wartości powyższe 1,5 do 1,6 razy powiększyć.

Dla sklepień ciosowych:

1. dla silnie obciążonych (mosty) d₀ =0,041+0,32 m

. d₀=O,O2Z + O,16ra .    . d₀ =0,01 Z+0,08 m

W budownictwie przyjmuje się zwykle grubość sklepienia w kluczu dla sklepień w murach :

rozpięt.

do 2m „ 3 m „ 6 m „ 8 m

Wzory te*), jak widzimy, różnią się bardzo, co łatwo zrozumiemy, bacząc na to, że grubość sklepienia nie zależy tylko o rozpiętości, ale od obciążenia i kształtu sklepienia.

*) Wzory Croizette-Desnoyers’a i inne, por. Mosty kamienne wyd. II. str. 49.

2.    „ średnio

3.    „ nieobch

sklep, półkoliste

0,30

0,45

0,60

0,75

odcinkowe/^. ~

0,45 m

0,45 do 0,60 m 0,60 „ 0,75 m 0,75 „ 0,90 m

48

- 390 —

Dlatego wzory te mogą służyć tylko jako wskazówki przy tymczasowem przyjęciu grubości sklepienia. Dokładnie wyznaczyć możemy grubość sklepienia dopiero po wyznaczeniu sił wewnętrznych, działających w sklepieniu.

§. 135. Grubość sklepień betonowych i żelbetowych.

Grubość sklepień betonowych może być mniejszą, niż sklepień kamiennych lub ceglanych, bo dla betonu możemy dopuścić choć małe ciągnienie, linia więc ciśnienia może tu nieco wychodzić z jądra o tyle, aby ciągnienie nie przekraczało 2 do 3kg/cm².

Housselle przyjmuje

d₉ =0,2 + 0,022 r. .

dla płaskich sklepień odcinkowych ^ ^

drogowych zejść z grubością jeszcze niżej, możemy mianowicie przyjąć

.    .    632)

Jeżeli beton wzmocnimy siatką drucianą, to możemy jeszcze mniejsze przyjąć wymiary, ale tylko ze względu na ciężar ruchomy. Wkładka żelazna wspomaga bowiem beton skutecznie zwłaszcza, gdy występuje ciągnienie, dla ciśnienia mniej jest potrzebną.

Jednak natężenie na ciągnienie w sklepieniu występuje tylko, gdy linia ciśnienia wychodzi z jądra. Jeżelibyśmy przyjęli taki kształt sklepienia, że linia ciśnienia nie wychodzi wcale z jądra, lub też wychodzi tak mało, że ciągnienie nie jest większe, niż 3 kg jem ^ wkładki żelaznej nie potrzeba.

Moniera

Housselle przyjmuje dla sklepień żelbetowych

d₀ =0,05 + 0,01 r.

.    .    633)

§. 136. Związek między linią ciśnienia a linią obciążenia.

Zastanówmy się teraz nad tern, jaki zachodzi związek między linią ciśnienia a linią obciążenia.

y q wst³ (p '

Równanie 624) brzmi r

yq dost³ a '

Jeżeli oś sklepienia jest linią koło-

Wstawiwszy cp=90—a, otrzymamy r — —

\C

!?*

w ą (rys. 307), a linia ciśnienia ma wpa-i dać na oś, to r musi być stałem, a więc

yr dost³ a

Dla klucza jest 0, więc q₀ = —

i co wstawiwszy w poprzednie równanie, : i otrzymamy

a

yr’

q = q₀ siecz³ a .    .    .    634)

Rys. 307.

--------1 a

Jestto równanie linii obciążenia dla sklepienia kolistego. Dla a = 90° jest siecz a — co, więc q= go, a zatem w sklepieniu półkolistem musiałoby być obciążenie na podporach nieskończenie wielkiem, aby linia ciśnienia wpadała na oś. Dla zwykłych obciążeń będzie więc linia ciśnienia w sklepieniu półkolistem na podporach znacznie zbaczać od osi (rys. 308).

Rys. 308.

Wynika z tego, że sklepienia półkoliste nie są korzystne pod względem rozkładu natężeń i że korzystniejsze są sklepienia odcinkowe, gdzie największe a (rys. 307) wynosi 40° do 50°, a najwięcej 70°.

Przy sklepieniach półkolistych trzeba, jeśli to możliwe,

i na podporze skupiać wielkie ciężary. Np. przy | mostach dadzą się z korzyścią urządzić w tych , miejscach wieżyczki, posągi i t. d.

W razie, gdy sklepienie jest obciążone I ciężarem skupionym w kluczu, to w tym I punkcie linia ciśnienia załamuje się, wtedy } obieramy dla sklepienia kształt ostrołuku \ (rys. 309).

Rys. 809.

Zbadajmy jeszcze linię obciążenia dla sklepienia eliptycznego (rys. 310). Jeżeli w kluczu przyjmiemy początek spółrzędnych, to

a więc

•V

a-........

Rys. 810.

b—y —

dy

il-

—x².

.    .    636)

⁺ a y 2 _ x2

dx

d²y = dx²

wreszcie

(al—x'¹)\ar    x'¹

.    .    636)

Jeżeli wartość za —z—₇ wstawimy

Ci/Jy

z równ. 636) w równ. 622), to otrzy-

a stąd

mamy

ab

(a²-x²)^a²-x2 bez względu na znak'

__abH^

y(a²—x²)(a²—x² ’

a więc ze względu na 636) : b * II

____b² II____

q    y (a²-x²) (b — y)    ya²(b—y,³ ’

.    .    637)

A więc dla klucza, gdy y = 0, q₀

a²q₀y

bH

a stąd :

H=

638)

Dla a = = przechodzi to równanie w równ. 626). Jeżeli wartość za H wstawimy w 637), to

b*q.

q (b-y?

-(A)- ■

.    .    639)

Jest to równanie linii obciążenia sklepienia eliptycznego. Z powyższego równania otrzymamy dla b=--y, to jest dla węz-głowia, 0 = co, podobnie jak dla sklepienia kolistego.

§. 137. Przybliżone wyznaczenie linii ciśnienia w sklepieniu symetrycznem.

Sposób wyznaczenia przybliżonego linii ciśnienia najlepiej poznamy na przykładzie. Rys. 311 przedstawia połowę sklepienia symetrjmznego i symetrycznie obciążonego, ab jest linią obciążenia, a, b: sprowadzoną linią obciążenia, do której wykreślenia możemy użyć kąta proporcyonalnego. Sklepienie wraz z obciążeniem dzielimy na pewną ilość (na rysunku 6) równo

- 393 —

grubych pasków. Dla sklepień płaskich przyjmuje się zwykle szerokość poziomą pasków stałą, dla silnie zakrzywionej osi dzieli się oś na równe części.

Środki ciężkości ich możemy bez wielkiego błędu przyjąć w połowie grubości pasków, w pionowych połowiących działają więc ciężary pasków P,, P.₂₁ P₂, P^ Pb, proporcyonalne do długości tych pionowych cd. Szerokość sklepienia zwykle przyjmujemy w kierunku prostopadłym do płaszczyzny rysunku równą 1 m, a więc P{=q^b .y=cq„ P₂ = q₂. bly=ci q₂ itd. Kreślimy teraz wielobok sił ; wielkości sił P, P₂. . . kreślimy w tonach wedle przyjętej podziałki, wyznaczywszy ciężary pasków. Ponieważ sklepienie jest symetrycznem, więc linia ciśnienia będzie miała w kluczu styczną poziomą.

rt

Si

*

li

l____

\M---

■ïtj

1

^ T* <M O

Rys. 311.

Jak wiadomo, linia ciśnienia jest statycznie niewyzna-czalną. Licząc w przybliżeniu, robimy więc pewne przypuszczenia, mianowicie przyjmujemy jeszcze dwa punkty linii ciśnienia, punkty e i f w środku szwów w kluczu i na podporze, gdyż, jak to później udowodnimy, prawdziwa linia ciśnienia zbliża się jak najwięcej do osi.

W punkcie e działa zatem tylko siła pozioma H. Wielkości jej nie znamy, przyjmujemy więc tymczasowo dowolnie lub według równ. 625) lub 629) H=0 O, prowadzimy z O promienie i osobno wykreślamy wielobok sznurowy gih. Jeżelibyśmy wielobok ten zaczęli kreślić w e, punkt h nie wypadłby na f, gdyż H nie wyznaczyliśmy statycznie, lecz przyj ęlimy dowolnie. Musimy więc zmienić H tak, aby linia ciśnienia przechodziła przez e i f.

połowę sklepienia. Pierwszy bok szukanej połowy

na

W tym celu przedłużamy boki skrajne wieloboku sznurowego aż do przecięcia się w punkcie l i wiemy, że w pionowej przez l działa wypadkowa R wszystkich ciężarów, działających

jSL

Uł--

— ~i-----L

—h-

■L

p.

fi

fi

fi

Ky

0'

fi

fi y

Os

fi

fi

fi

„a

u

W!

fi i

...T

Rys. 812.

linii ciśnienia jest H, który przecina się z wypadkową w V więc jeżeli ostatni bok linii ciśnienia ma przechodzić przez f, to kierunek jego musi być fi'. Kierunek wypadkowej sił Pv P,, P₃, P₄, jest k'k, drugi bok więc będzie mk\ ważny do w. W ten sam sposób możemy i resztę boków wykreślić. Parcie poziome możemy teraz łatwo wyznaczyć. Zróbmy 5 O.jjfl', to 0,0 jest parciem poziomem. Z Ox W3⁷kreślmy promienie, to kreśląc wielobok sznurowy równoległy do tych promieni z punktu e, przyjść musimy do punktu f, a ewmf jest linią ciśnienia.

§. 138. Sklepienie niesymetrycznie obciążone.

Przypuśćmy teraz, że sklepienie ACB (rys. 312) jest do połowy obciążone ciężarem ruchomym. Chodzi o wykreślenie linii ciśnienia dla przypuszczenia, że linia ciśnienia przechodzi przez A, C i B. W tym celu kreślimy wielobok sił, przyjmujemy dowolnie biegun O, kreślimy promienie, a równolegle do nich wielobok sznurowy IB. . . VIII'. Przypuśćmy na chwilę, że tylko lewa strona sklepienia AC jest obciążoną, prawa zaś wcale nie (nawet ciężarem własnym), to linia ciśnienia po prawej stronie będzie prostą, a że musi przechodzić przez C i B, więc prostą BC. Wypadkowa G, ciężarów V IV 1IF IV przechodzi przez M, na pionowej 3/5j przecinają się więc skrajne boki wieloboku sznurowego, zatem ostatni bok musi być ASi. Ti tego wynika, że dla tego obciążenia powstanie oddziaływanie Wt i W₂, które łatwo w wieloboku sił wyznaczymy.

Przypuśćmy teraz, że tylko prawa strona sklepienia CB jest obciążoną, linia ciśnienia po lewej stronie będzie prosta AC, wypadkowa G₂ ciężarów V VI'.. .VIII' przechodzi przez NS₂, ostatni bok wieloboku sznurowego jest CS₂, oddziaływania dla tego obciążenia O, i Z>₂.

Jeżeli teraz równocześnie obciążoną jest prawa i lewa strona sklepienia, to w i działają równocześnie Di i ITj, w 5 D₂ i W₂, czyli w A Ku w B ÜT₂, które łatwro z wieloboku sił wyznaczyć. Kx i K₂ przecinają się w O,, który jest prawdziwym biegunem, z którego wykreśliwszy promienie, a równolegle do nich wielobok sznurowy, otrzymamy linię ciśnienia, przechodzącą przez A, C i B.

Zupełnie tak samo postępujemy, jeśli sklepienie samo jest jest niesymetrycznem.

Z rysunku widzimy, że linia ciśnienia jest po stronie obciążonej nad osią, po stronie nieobciążonej pod osią. Później wykażemy, że prawdziwa linia ciśnienia nie może mieć takiego kształtu, i że punkty dowolnie przyjęte A CB trzebaby przyjąć inaczej, mianowicie punkt A nieco niżej na p;rawo, zaś punkt B nieco wyżej na prawo.

’J¹.

f........-

..............

/'..........-¹ j

Rys. 313.

Zwrócić tu musimy też uwagę, że obciążenie sklepienia do połowy nie jest najniekorzystniejszem, lecz poza połowę. W przybliżeniu możemy punkt e (rys. 313) znaleść zapomocą konstrukcyi, naznaczonej na rys. 313, której uzasadnienie i bliższy wywód podaliśmy w „Teoryi Mostów“ ¹). Wyznaczenie linii ciśnienia możemy i w tym wypadku wykonać, jak poprzednio, przyj ąwszy trzy punktu linii ciśnienia a, c, b.

139. Siły zewnętrzne.

W poprzednich paragrafach zrobiliśmy pewne dowolne przypuszczenia ; aby tego uniknąć i wyznaczyć prawdziwą linią ciśnienia, musimy bliżej zbadać natężenia w sklepieniu i wynikające stąd odkształcenia. Ponieważ sklepienie jest tylko szczegółowym wypadkiem łuku, więc cała dalsza teorya w celu wyznaczenia prawdziwej linii ciśnienia odnosi się wogóle do łuku.

Niech A{aB\ będzie linią ciśnienia dla danego obciążenia (rys. 314). Wypadkowa wszystkich sił zewnętrznych R przecina przekrój Ki K₂ w punkcie a i jeżeli aa' jest małem, można przyjąć, że jest styczną w punkcie a' na pionowej przez O do linii sznurowej, której odległością biegunową jest składowa pozioma H. Wypadkową R otrzj^mamy, składając oddziaływanie Oj z obciążeniem na długości A' K' = C, z czego wynika,

że siły Oi, Ci R prze-¹™TTTnm^    cinają się w jednym

yA

v?

>0

Tc1

Rys. 314.

punkcie E. Moment sił zewnętrznych ze względu na punkt O jest równy momentowi wypadkowej R albo sumie momentów jej składowych H i V; możemy więc napisać: M = H77, gdy Oa'=^ bo V przechodząc przez O nie daje żadnego momentu. Widzimy więc, że odstęp pionowy między osią a linią ciśnienia jest proporcyonalnym do momentu sił zewnętrznych, czyli innemi słowy : oś łukujest ykającą linii ciśnienia (twierdzenie Winklera). Jeżeli chodzi tylko o wielkość momentów, a nie o środki ciśnienia, to chcąc uzyskać momenty w n razy większej podziałce, przyjmiemy odległość biegunową w razy mniejszą. Odstęp środków ciśnienia od osi jest wtedy n razy większy, niż w rzeczywistości. Otrzymamy wtedy wyraźny wykres momentów, którego ograniczenie nie będzie już linią ciśnienia.

Jeżeli w odnośnym wieloboku sił poprowadzimy OcflR, a Od II do stycznej do osi w punkcie O, wtedy Oc = R, Od=P, siłę podłużnej, cd=Q, sile poprzecznej.

Jeżeli więc znamy w luku linię ciśnienia, to możemy wyznaczyć wszystkie siły zewnętrzne. Zadaniem naszem będzie teraz wykreślić dla każdego danego obciążenia odpowiednią linię ciśnienia.

Wiemy z §. 133, że dla określenia linii ciśnienia potrzeba wyznaczenia trzech niewiadomych. W tym celu albo uciekamy się do prawideł sprężystości i badamy odkształcenie łuku, lub też budujemy łuk w ten sposób, aby trzem danym warunkom zadość uczynić, urządzając przeguby (n. Gelenk, fr. charnière, an. joint, cz. kloub, r. neraa), wprowadzone w użycie najprzód przez (Jer b er a. Są to połączenia przegibne dwóch zupełnie

odrębnych części, na które dźwigar został podzielonym, (nie zaś dwóch prętów tej samej belki).

Jeżeli w któremkolwiek miejscu łuku urządzimy przegub, obie części dźwigaru mogą być tylko wtedy w równowadze, jeżeli w miejscu przegubu jest moment =0, gdyż inaczej musiałaby się część jedna około osi przegubu obrócić. Jeżeli zaś M=Hr]=0, to ?7=0, więc linia ciśnienia musi przechodzić przez przegub. Urządziwszy więc n przegubów, otrzymujemy dla równowagi jeszcze n równań, wyrażających, że momenty sił zewnętrznych dla tych punktów są równe zeru. A że, jakto przedtem udowodniliśmy, dla łuku brakują nam trzy równania, więc urządziwszy trzy przeguby w łuku, możemy siły zewnętrzne zupełnie dokładnie wyznaczyć. W praktyce spotykamy łuki żelazne o trzech, o dwóch przegubach i bez przegubu, w sklepieniach w nowszych czasach używamy także dwu lub trzech przegubów. Łuk trój przegubowy (n. Bogenträger mit drei Gelenken, fr. arc à trois articulations, an. three-hinged arch, cz. oblouk o tfech kloubech) jest statycznie wyznaczalnym. Dla łuków i sklepień dwuprzegubowych (n. Bogenträger mit Kämpfergelenken, fr. arc avec deux charnières, an. arch with hinged ends, cz. oblouk o dvou kloubech) i bezprzegubowych (n. Bogenträger ohne Gelenke, fr. arc sans articulations, an. hingeless arch, cz. oblouk bez Icloubu), musimy się uciec do prawideł sprężystości, jak to wyżej wspomnieliśmy.

140. Odkształcenie łuku.

Niech będzie ACB (rys. 315) osią łuku, którego długość od przekroju C nazwijmy s = CD, kąt zaś nachylenia stycznej

w punkcie D do poziomu niech będzie (p. W skutek obciążenia lub zmia-\ ny ciepłoty ilości cp i s ^ zmienią się o Acp i 4s.

Nim je wyznaczymy, określimy zależność ilości s i cp, mianowicie otrzymamy, j eżeli s wzrośnie o ds=DG dx — ds àost (p | dy -■■■—ds wst (p J'

37/

//i ✓ // i »

'Æ

Rys. 315.

dy

640)

Przy odkształceniu zmieniają się te wszystkie długości, gdy więc nazwaliśmy zmianę długości s, to nazwiemy Ads zmianę długości ds. Różniczkując równanie 640), otrzymamy: Adx — — zldsdost (p—dsAcp wst (p,

Ady = ńdswst <p—ds A cp dostęp,

a wstawiwszy za dost <p i wst cp wartość z równ. 640), otrzymamy :

Ads

Adx =    ds + Acpdy = dAx,

A ds

Ady =    dy—A(pdx = dAy,

CVS

gdyż z powodu, że odkształcenia te są bardzo małe, możemy

przyjąć Adx = dAx i Ady — dAy. Całkujmy teraz te równania, to

Ax<=

xAds .    .

, dx + \ Acpdy

.    .    641)

Ay =

Ads jest to zmiana długości nieskończenie małej cząstki łuku ds, a iloczyn jest więc względną zmianą długości

łuku, możemy zatem napisać wedle równ. 34) i dla zmiany ciepłoty o t° C, gdy a oznacza spółczynnik rozszerzalności,

P

JEF +0ft“

A ds

v'

.    .    642)

E ⁺    '    ‘

Dajemy znak —, bo P, oznaczając ściskanie, skraca łuk. Dla wynalezienia A (p musimy wyznaczyć działanie momentu M.

Wskutek działania momentu M zmie-

ds

D\

/i

nia się kąt dcp o Ad cp (rys. 316). Z tego wynika, że D' L' = dst przedłuża się o Adsx, a przedłużenie to możemy wyrazić analogicznie do vv"

E ¹

równ. 34)

Ads

gdy vv"

oznacza natężenie wskutek działania momentu M w warstwie odległej o v od osi obojętnej. Wstawiwszy wartość za v,." z równ. 600) otrzymamy:

Mv

Rys. 316.

A ds

EI ds,.    643)

Z rysunku widzimy, że\dsx=v Adg>, więc Adg>=—™ =>

A dg>

El

a stąd :

ds

El'

ponieważ ds^ds.

Z uwzględnieniem krzywizny otrzymał Weyrauch:

Ads

ds

— CL t —

f p₊K\Jl^, .

\ r)EF

.    .    645)

Adg>

ds

El

K?)

.    .    646)

EFr' *

Całkujemy teraz równania 642) i 644) i mamy:

* M

i.W

Gdy kształt łuku jest dany, wtedy znana jest zależność między zmiennemi x, y, s i g> i zapomocą powyższych równań możemy wyznaczyć odkształcenie łuku.

.    .    647)

Acp= —

ds

141. Wyznaczenie trzech warunków.

Łuk bezprzegubowy jest to łuk, którego oba końce są tak utwierdzone, że styczne podporowe się nie zmieniają.

Ponieważ w łuku takim obie podpory . zwykle są stałe, więc dla x = l możemy napisać trzy następujące równania:

Ax=0, Ay = 0, Acp=0. .    648)

Rys. 317.

Jeżeli podpory nie są zupełnie stałe, to mogą powstać pewne odkształcenia Ax, Ay₁ Ag), które albo wprost znamy, albo też je zakładamy. W każdym razie te trzy równania wystarczą do wyznaczenia sił zewnętrznych, jak to udowodniliśmy wyżej.

Niech ACB (rys. 317) przedstawia oś łuku, to pierwsze równanie możemy ze względu na równ. 641) napisać, zało-

żywszy, że mamy dane Axu Axi =

A g) dy, albo

:— d X -J-

¹¹ Ads

a ds

całkując częściowo 4^=^

ds +

ß dAg>

y ,

08

ds.

Dla A i B jest y= 0, więc drugi wyraz odpada i możemy

napisać :

fl 4 ds ,    ■ f n d 4 cp ,

dx—\ y — ds. J a ds

Wstawmy teraz wartości z równ. 642) i 644), a otrzymamy

.    f,; P j My

ix'⁼-)Ji-WFdx+)iE-I

ds.

.    .    649)

E jest liczbą stałą

a dla przekroju stałego możemy Ii F także wyłączyć przed znak i napisać, gdy 4z, = 0,

Z uwzględnieniem krzywizny otrzymuie Müller Breslau CJ1Myds    P ( ds

Ja El ⁺)AEF\yr Gdy promień łuku jest wielki, a 4^=0, równ. 651) przechodzi w równ. 650).

Pdx = 0.

.    .    650)

— ds

.    .    651)

Keck liczy jeszcze dokładniej i otrzymuje, jeżeli Axx liczymy od pewnego punktu osi, dla którego rzędne są xx i yx

r M (y, —y) ds Ja

rV dsJrdx) ⁼ -Ax'- ⁶⁵²⁾

BMdx aEFt

Dla yt 0 i r wielkiego przechodzi to równanie w równ. 651). Dla łuków nie bardzo grubych, gdy / jest małem, drugi wyraz równ. 650) daje stosunkowo tak małe wartości, że możemy wpływ sił}’ podłużnej P opuścić i w przybliżeniu napisać

El

r- +

^ Myds=0

653)

dix

Jeżeli zaś przyjmiemy nie I stałe, lecz /'= /^-=/dost a,

to znaczy, jeśli przyjmiemy, że moment bezwładności, a więc i grubość łuku ku podporom, się zwiększa, to z równ. 651) otrzymamy dla 4^=0 po opuszczeniu wpływu siły podłużnej

654)

^ Mydx=0

W ten sam sposób postępując, otrzymamy z drugiego równania 648) dla 4^=0

\ Mxds+-=\ Pdy—0. Ja    I Ja

.    .    655)

W edle Mii llera Breslaua otrzymamy z uwzględnieniem krzywizny

¹¹ Mds

\~¥¥rds=A<P "    •    ■ •    • ⁶⁶³)

Keck otrzymuje dokładniej CB Mds 3 a El .

.    .    664)

Z uwzględnieniem krzywizny jest wedle Miillera Breslaua ogólnie :

C A Mxds Ja ËT

które to równanie dla wielkiego r i stałego E, I, F i Ayx =0 przechodzi w równ. 655).

Keck otrzymuje dokładniej: x)ds    C¹¹ Mdy

)A .........El “ ⁺ J,i EFr ⁺

Dla ^ =0 a r wielkiego przechodzi to równanie w równ. 656). Jeśli opuścimy wpływ siły podłużnej, to otrzymamy

z równ. 655)

Mxds=0,

.    .    656)

— 2:

ds

) = 4y,. 657)

.    .    658)

względnie dla stałego F

Mxdx = 0.

.    .    659)

Trzecie równanie brzmi A(p^ — 0; według równania 647)

« M

°-i9'--

fB

przekroju stałego \ Mds = 0, a dla stałego F

dla

ds,

. . 660)

. . 661)

Mdx = 0.

. . 662)

Er¹ F

które to równanie przechodzi dla wielkiego r i stałego I w rów. 661).

Na trzech zasadniczych równaniach 650), 655) i 660), względnie przybliżonych bez uwzględnienia krzywizny i siły podłużnej równaniach 954), 658) i 662), polega cała dalsza teorya belek łukowych, a więc i sklepień.

§. 142. Wyznaczenie prawdziwej linii ciśnienia.

Ta linia ciśnienia jest prawdziwą, która wypełnia wszystkie trzy powyżej podane warunki, a że brakowały nam tylko trzy równania, więc teraz mamy tyle równań, ile niewiadomych, a zatem niewiadome dadzą się ściśle wyznaczyć. Linia ciśnienia jest więc zupełnie wyznaczalna temi równaniami.

Będziemy teraz szukać tej prawdziwej linii ciśnienia, odpowiadającej trzem warunkom, a to w ten sposób, że najprzód wyszukamy linię ciśnienia, odpowiadającą jednemu warunkowi, potem zmienimy ją tak, aby nie przestając odpowiadać pierwszemu warunkowi, odpowiadała i drugiemu, a nareszcie i trzeciemu.

Każdy wielobok uważać możemy jako wielobok sznurowy dla pewnego obciążenia, a więc i oś ACB (tabl. IY.) niech będzie wielobokiem sznurowym dla pewnego obciążenia i parcia poziomego. Przypuśćmy dalej, że LK jest linią zamykającą dla belki prostej, obu końcami utwierdzonej, to wtedy odstępy pionowe między LK a osią będą dla pewnego parcia poziomego równe momentom M, a na mocy równania 662), które tu także

f »

jest ważnem \ Mhdx=0. Równ. 662) bowiem powstało z

•Ja

warunku 4^ = 0, który i tu musi być wypełnionym (por. §. 139).

Niech będzie a' a\ a\...a\x prawdziwą linią ciśnienia i przypuśćmy na chwilę, że linia ta jest także wielobokiem sznurowym dla tej samej belki prostej obu końcami utwierdzonej i tego samego parcia poziomego, co wielobok bt ale dla danego rzeczywistego obciążenia, i że linia LK jest znów linią zamykającą. Wtedy odstępy między linią zamykającą a wielobokiem a będą równe momentom Ma i tu będzie także:

Madx - 0.

•Ja

AYiemy, że dla łuku linią zamykającą jest oś łuku, wi-ęe momenty dla łuku będą :

.    .    665)

M=Ma-Mb, .    .

jak to z rysunku widzimy.

Pomnożywszy to równanie przez xdx, oträymamy Mxdx = Ma x dx—Mbxdx.

Scałkujmy to równanie, to

'\Mxdx=^Maxdx—^Mbxdx=0 według równania 659), a zatem :

^Maxdx= §Mbxdc

. . 666)

Analogicznie możemy napisać na podstawie równań 653) i 662)

.    .    667)

j +/a y dx= \Mb y dx

i ]Madx=]Mhdx

Te trzy równania posłużą nam do wyznaczenia prawdziwej linii ciśnienia ²), a mianowicie w równ. 666) i 668) zrobimy obie strony równania =0, przezco będą też sobie równe. W tym celu dzielimy najprzód rozpiętość na równą liczbę części (na rysunku na 10 części); rozpiętość jest tu Z=16 m, strzałka

len

f— 3 m, d₀ — 1 m, —1,8 m, nadsypka 1 m, ciężar ruchomy 1200 y

Jeśli ciężar kamienia jest 2,4—-₂, nadsypki 1,6 ^

= 0.75 m.

. . 668)

to hn =

V)

1200

1600

Widzimy, że tu pasek szósty nie jest cały, lecz tylko do połowy, obciążonym. Możemy albo przyjąć, że obciążony jest on całkowicie na całej długości połową ciężaru, albo licząc dokładniej, podzielimy pasek piąty na dwie części 6a i 6², co do których będziemy pamiętać, że szerokość ich jest o połowę mniejszą, a więc w rachunek zawsze przyjmować będziemy tylko połowię rzędnych tych pasków, albo też rzędną jedną średnio arytmetyczną.

Ciężar stały jednego paska i ciężar ruchomy działają w praktyce dość dokładnie w pionowej, połowiącej ten pasek wyjąwszy pasek 6, który jest tylko do połowy obciążony ciężarem ruchomym, tak że ciężar lewej połowy paska P,= 2,4x0,8x2,17 = 3,73/,    „

Pi,=2,4x0,8x 1,70=2,92/, a wypadkowa Pt;=6,65/ dzieli sze-

prawej

0,47. Odstępy więc cię-

rokość paska w stosunku z

żaru P₆ od sąsiednich kierunków, mierzone po prostopadłej do nichr wynoszą (0,47 + 0,5). 1,60=155 cm i (0,53 + 0,5). 1,60 =165 cm. Otóż wykreślamy te kierunki sił działaj ących Pj, P₂. . .P₁₀ oraz wielobok sił dla danego obciążenia. Tu przypuściliśmy, że obciążoną jest ciężarem ruchomym lewa połowa sklepienia i część pnwd, mianowicie na długości 0,55 /=8,80 m, wykreślamy więc według §. 132. sprowadzoną linią obciążenia i wy-

669)

sposób otrzymamy F=e(

znaczamy ciężary pasków. N. p. ciężar paska pierwszego jest 2,4 x 1,6 x 1 X 4,6 = 17,66 t. Reszta ciężarów będzie proporcyo-nalną do średnich wysokości pasków.

Przyj ąwszy tymczasowo biegun w punkcie D, kreślimy promienie i w zwykły sposób wielobok sznurowy ENF. Teraz szukamy linii zamykającej, któraby zadość uczyniła równaniu

\*Mad- 0.

•JA

co znaczy, że powierzchnia między linią zamykającą a wielo-bokiem sznurowym a ma być =0, oczywiście, gdy uwzględnimy znaki rzędnych.

Jeżeli F jest zmiennem, to według 649) mamy zamiast M

M

we wszystkich następnych wzorach, więc

wyraz

dx za-

miast

jds.

Wykreślmy teraz najprzód prostą Lz JT₃, równoległą do EF, oceniwszy na oko, że powierzchnia między L₃ Kz a ENF—0. Dobrze także użyć w tym celu linii prostej, wykreślonej na kalce, którą przesuwamy równolegle do linii EF, aż powierzchnie po obu stronach linii będą równe. Gdyby linia ciśnienia była parabolą, to Lz K₃ przechodziłaby w ²/₃ wysokości w środku.

Teraz

. . Ç*

sprawdzimy, czy rzeczywiście \ Madx = 0.

* A

Jeżeli nazwiemy odcinki pionowe między wielobokiem a a zamykającą v, to powierzchnia momentów

w-vJL + vi e ,V1+_V2

* 2 * 2 2

+ *-±*.1,08 •+*+*

e+.,.+

.0,97 e +

F=e

[v₁+i,a +

... + v₉ + vi ₀ +

+ 0,015 (v₇—v₅)J = e.m Dodawanie rzędnych v możemy uskutecznić cyrklem i w ten 16.2—^--0,15.4,0^=e. 10,59.

Ponieważ powierzchnia nie jest =0, posuniemy prostą, L₃ JT₃ do góry o długość

e.m m

en n

.    .    670)

10,59

W naszym wypadku przesuwając La Ka o Aa=

= 1,06mm w górę, otrzymamy prostą L₂K₂, a powierzchnia będzie teraz dokładnie =0.

10

ÇH

Chodzi teraz o to, aby \ Maxdx=0, tj. aby moment sta-

•J A

tyczny tej powierzchni ze względu na AE był =0. Obliczmy moment statyczny tej powierzchni, rozkładając ją na trapezy i przypuszczając, że środek .ciężkości trapezu jest w połowie szerokości. Otrzymamy więc :

ÜL±_v_i e i

2 *e'le+ 2

. 0,97 e. 4,985 e+^-J*⁷

+    + %)v2 + (2+ 3) v₃ + (3 + 4)    + (4+4,84) vb +-

+ (4,84-1-6,16) v₆ + (6,16 + 7) v₇ + (7 + 8) v$ + (8 + 9) v₉ +

v₀+Vi e e

2    '2*4

*>+vA.eAe+^

.e.2e+ . .. +

. 1,03 e. 5,985 e +

,v₇-hv8 ⁺ 2

/+    9,76\    9,75    1

(⁹+-T-)«,₀+-2-r,,J

po wstawieniu wartości za v będzie w mm³ :

«V 33

S=_2\_¥

+11,0 x 14,5 +13,16 x 11,0+15 x 4,9-17 x 6,0-13,875 x 21 +

—4,875 x 31,9j =-^-(—596,36 + 612,39) = + 8,02 e².

Musimy więc moment statyczny powierzchni pomniejszyć o £=8,02 e² ram³ przez to, że prostą L₂ K₂ obrócimy około punktu I o pewien kąt odwrotnie do ruchu wskazówek na zegarze, aż przyjdzie w położenie Lx Kx.

Moment statyczny, jaki przez to powstanie, ma być:

—£=+/£, L₂\l-IKxK₂%l=-%l.ILx L₂ =

P

=    L₂ .\l— jrLx Z₂,

~ X 22-3 x 6,2 + 6 x 4,8 + 7 X 11,4 + 8,84 x 14,8 +

a stąd

GS

6.8,02e²

0,48mm. A że IK, K.₂ = IL] Lląj

Tu otrzymamy Z, L₂

więc warunek pierwszy nie został naruszony. Linia zamykająca L, A, odpowiada więc teraz dwom pierwszym warunkom.

Teraz szukamy linii zamykającej dla osi łuku jako wie-loboku sznurowego w ten sam sposób i znajdziemy LK, równoległe do AB, bo jeżeli suma powierzchni momentów jest równa zeru, to z powodu symetryi drugi warunek będzie już przez to także wypełniony. Środek ciężkości bowiem tak ujemnej części powierzchni, jak i dodatniej, leży w prostej CD, a że te powierzchnie są równe, więc momenty statyczne muszą być równe

C«    ' .

\ Mb x dx - 0.

•Li

(10e)²

z przeciwnym znakiem, a zatem

Chodzi jeszcze o wypełnienie trzeciego warunku; Ma y dx

r

•JA

c*

= \ Mb y dx. •'a

Rzędne ac wyobrażają nam, jak wiemy, momenty Uważajmy Ma jako siły, działające poziomo w odpowiednich punktach osi b, oddalonych od linii AB o y np. a, w 6,, a₂ c,

f¹¹

w bt itd., wtedy otrzymamy łatwo \ May dx, wykreślając na

•J A

dowolnej poziomej wielobok sił f₀ f, .../!, ₀ f„, a potem wielobok sznurowy. Powierzchnie przedstawiają się tu jako trapezy i trójkąty. Środki ciężkości znajdują się w jednej trzeciej lub w przybliżeniu w połowie podstaw. Zatem od f₀ odcinamy f₀ f,    f.₂fk w przeciwnym kierunku =uw

itd., a ponieważ powierzchnia momentów powinna być równa zeru, więc ostatni punkt wieloboku fn zejdzie się z punktem ftr Przyjmmy odległość biegunową dowolnie równą h, i połączmy biegun S, z wszystkimi punktami wieloboku sił, z punktów kl, k.₂ itd. ponad środkami ciężkości trapezów poprowadźmy poziome i wykreślmy wielobok sznurowy URW. Z §. 7. wiemy, że odcinek UW prostej równoległej do wypadkowej między skrajnymi bokami wieloboku sznurowego URW, pomnożony przez odległość biegunową h,, równy jest sumie momentów statycznych sił Ma, więc według równań 4) i 181)

¹

Część II. Łuki i więzary.

²

Porów. Burr. Suspension bridges arch ribs and cantilevers, Nowy York 1913, str. 284.

UW

.    .    672)

Ma y dx

i rB

~hJA

To samo r

i

obimy, clicąc wyznaczyć \ Mby dx.

Ja

Tu Mb są równe rzędnym między osią łuku a linią zamykającą LK. Wykreślmy w ten sam sposób wielobok sznurowy czyli raczej z powodu symetryi tylko połowę wieloboku, a otrzymamy

RT

1 f*

’ïh\?hydx ■    ■

.    .    673)

Aby zadość uczynić równaniu 667), musiałoby być:

rn    r a

czyli 2 A, i?7⁷-A, . UW, albo

2 RT=UW .

\ Maydx= \ Mbydx

Ja    Ja

.    .    674)

Rzeczywiście jednak 2 RT UW, więc aby uzyskać równ. 674),

musimy, ponieważ 2RT jest dla danego kształtu łuku stałem, zmienić tak UW, aby UW =2 RT.

W naszym przykładzie jest 2RT<UW, a mianowicie po

nieważ 2RT=

r-i s

.UW, więc UW trzeba n razy zmniejszyć. Po

nieważ UW—

Ma y dx, więc UW będzie n razy mniejsze, je

żeli Ma czyli rzędne wieloboku sznurowego a umniejszymy n razy. Rzędne zaś wieloboku tego będą n razy mniejsze, jeżeli do wykreślenia go użyjemy odległości biegunowej n razy wię-

szej, a zatem b' = nb = b.

UW

2 RT'

Teraz dwojaki jest sposób wykreślenia prawdziwej linii ciśnienia, albo mnożymy wszystkie rzędne wieloboku a przez 1    2 RT

i wykreślamy je według znaku powyżej lub poniżej

linii LK, albo wyznaczywszy prawdziwą odległość biegunową, szukamy takiego bieguna, aby linie zamykające obu wielobo-ków zeszły się razem i aby można jeden na drugi położyć. Wykreślmj^ dowolny kąt POP', zróbmy OP—UW, OP' = 2RT, odetnijmy potem odległość biegunową b na OP' do punktu D' i wykreślmy D'D" równolegle do PP', a będziemy mogli napisać :

OD" = OD'.

o: o

— OD'.

, UW 2 RT

= n.b.

Prawdziwą odległością biegunową jest więc OD" = b'.

Według pierwszego sposobu mamy pomniejszyć wszystkie rzędne Ma w stosunku 0P: OP', co zrobić możemy zapomocą kąta proporcyalnego POP'. Sposób ten jest łatwy i dokładny; jako próbę użyć możemy drugiego sposobu, a to jak następuje: Kreślimy Z>P, równolegle do Lr Ku przezco otrzymujemy OP, — F, i P₁ 10= V₂, oddziaływania pionowe belki prostej. Z punktu P, kreślimy poziomą P₁ D", równoległą do zamykającej LK: gdyż L] Kx musi być poziomą, jeżeli chcemy położyć wielobok a na wielobok b i uzyskać M = Ma — Mb i robimy P, Dx = OD".

D, jest wtedy prawdziwym biegunem, gdyż

odległość biegunowa ł\Ds = OD" — b', a równoległa do nowej zamykającej LK dzieli wielobok sił na Vi i V₂. Teraz kreślimy promienie i linią ciśnienia. Punkt początkowy a', a może i więcej punktów, jako kontrolę wyznaczamy według poprzedniego sposobu.

Drugą próbą rzetelności konstrukcyi jest ta okoliczność, że punkty jrrzecięcia się wieloboku a z linią zamykającą min leżą w pionowych punktach przecięcia się linii ciśnienia z LK— m' i n'. Dalej boki skrajne wieloboku sznurowego muszą się przecinać w pionowej przez środek ciężkości wszystkich ciężarów GG' osi muszą być sobie równe.

Otrzymawszy tak prawdziwą linią ciśnienia, mamy momenty ze względu na oś M—bz^ jeżeli z oznacza pionowy odstęp między osią a linią ciśnienia.

Chodzi jeszcze o największe natężenie* które obliczymy

nakoniec sumy powierzchni powyżej osi i poniżej

^Tfl + ⁽’CV Widzimy, że vx może być j\)h \    h )

według równ. 617) vx =

największe dla największego P lub największego c. Na tablicy jest Pic największe na podporze A. Dla szwu gl, prostopadłego do osi w i, znajdziemy P, robiąc or/lgl, a Dirll do stycznej do osi w A,to P—D^ r=84,0^=84(XX)kg. Dalej mamy c — Aa' =0,18 m=18 cm, A = 1,7 m = 170 cni. więc

84000 100.170

a więc dla muru kamiennego natężenie stosowne. To samo zrobiliśmy wykreślnie. Gdybyśmy chcieli otrzymać wynik do-

na.jw. v —

/i 6.18v

(¹ + T7ö)”

8,0 kg

cm

kładniejszy, to otrzymalibyśmy dla stałego V z wzorów 654),

r7o    /7 o

658) i 662), wstawiwszy P — I^ i F' =F

Mdx—0

C u    // p n

\ Mxdz+ } Pdy = 0    .

\yydx-i^i

.    .    675)

Pdx—0

Z tego widzimy, że pierwszy warunek ^ Madx—

\hMhdx = 0 Ja

jest dokładny, żadnej zmiany tu nie trzeba.

ds

W drugiem równ. 675) wstawmy P=[Q\— , jeżeli [Q\ ozna-

dy

cza siłę poprzeczną, a otrzymamy [ Mxdx—a' -

\    —0 albo w przybliżeniu

• ' A

Ja

S-

Mxdx — a'

.    .    676)

As

Ba

Jeżeli więc w zwykły sposób wyznaczymy powierzchnie momentów a i b, to jeszcze należy w każdym punkcie a siłę poprzeczną [Q\ odciąć pionowo od pewnej poziomej A^BX (rys. 318). Końce tych rzędnych

Rys. 818.

połączone dadzą w ogólności linię krzywą A.,B.V a [ | Q| dx =

Ja

— pow. A, A₂ B₂ B\. Dla obciążenia zupełnego jest ta powierzchnia dla łuku parabolicznego równa zeru, a zwykle bardzo mała.

Mbxdx-\- 0, więc

Jeżeli

łuk jest symetryczny, to \

Ja

(•/?

\ Maxdx=—pow[Q] .

JA

.    .    677)

a nie jest równe zeru, jak to pierwej robiliśmy. Z uwzględnieniem tego robimy obrót L₂ K₂ w położenie L, Äj.

[•«

rzędnych. \ Mydx Ja

nie ozna-

r

Ja

Trzecie równanie 675) możemy napisać zważywszy, że

ds = O. albo

ds

P=H-r~

dx¹

cb    rn

j Mydx —a'²iJj

^ Mydx^a'² HI.

.    .    678)

jeżeli ł oznacza długość łukn.

Otrzymamy więc z 672) i 678) hx UD—a^Hł^h^ 2 Ct, więc

UD=2Ct + a

h\

Jeżeli to równanie się nie ziszcza, to należy UD, zatem odległość biegunową odpowiednio zmienić, aby zadość uczynić temu równaniu.

Różnica w wielkości parcia poziomego przy zastosowaniu tych poprawek jest jednak zwykle tak mała, że w zwyczajnych wypadkach nie potrzeba uwzględniać wpływu siły podłużnej P.

.    .    679)

§. 143. Położenie powierzchni momentów.

Niech będzie ACB (rys. 319) osią łuku, Al D Bi prawdziwą linią ciśnienia, to rzędne między temi dwiema liniami będą,

jak wiemy, proporcyonalne do momentów. Pierwszy

ÇB

\ Mxdx=0 oznaki

& cza, że suma powierzchni dodatnich jest równa sumie powierzchni ujemnych ~tj. poniżej osi leżących. Drugi

aJ

■ ■*.......-—X-.....—*>

Rys. 319.

i trzeci warunek brzmią :

warunek

Mxdx = 0 i

\ Mydx=0₎

J A

co da się słowami tak wyrazić : moment statyczny powierzchni ujemnych musi być równy momentowi statycznemu powierzchni dodatnich tak ze względu na oś odcinków, jak i

cza wprawdzie momentu statycznego powierzchni momentów ze względu na AB, bo y oznacza odstęp punktu osi oà AB. Ale w przybliżeniu jak moment statyczny. Wiemy, że moment statyczny jest iloczynem z powierzchni przez odległość środka ciężkości od danej linii, a więc gdy powierzchnie dodatnie i ujemne i ich momenty statyczne są równe, to i odległość środka ciężkości powierzchni ujemnych i dodatnich od obu osi musi być równą, czyli innemi słowy: środek ciężkości części ujemnych musi wpadać na środek ciężkości części dodatnich.

różnica jest bardzo małą tak, że możemy ^ Mydx uważać

Aby tego ostatniego warunku dopełnić, musi linia ciśnienia przecinać oś najmniej w trzech punktach, bo jeżeliby przecinała tylko w dwóch punktach, to otrzymalibyśmy dwie części tego samego znaku, a wyżej lub niżej jedną część przeciwnego tak, że środki ciężkości nie mogłyby się schodzić.

Powyższa ulepszona metoda Burra wyznaczenia prawdziwej linii ciśnienia zaleca się zwłaszcza tern, że jest bardzo przejrzystą i jasną, a nade wszystko ogólną.

Jeżeli uwzględnimy skrócenie osi wskutek siły podłużnej, to otrzymamy wedle Keck a¹) dla sklepienia parabolicznego podniesienie się linii ciśnienia w kluczu o c, a zniżenie na podporach o 2c, przyczem

d²

«i-

. . 680)

jeśli d oznacza grubość a f strzałkę sklepienia.

§. 144. Ciśnienie sklepienia na krążyny.

Przy budowie sklepień używamj" osobnego rodzaju rusztowań, które mają podpierać niedokończone jeszcze sklepienie, dopóki nie założymy klucza, poczem już sklepienie nie potrzebuje podparcia. Rusztowania te nazywamy krążynami (Lehrgerüst,, fr. cintre, r. Kpyncajio).

Aby obliczyć wymiary krążyn, musimy poznać ciśnienie, jakie wywiera sklepienie podczas budowy na krążyny.

Wszystkie klińce nachylone pod kątem mniejszym do poziomu, niż kąt tarcia wynosi, nie cisną wcale na krążyny, dopiero gdy /?>(> (rys. 320), klmiec ciśnie na krążyny i wywo-luje oddziaływanie P prostopadłe do podniebienia. Zastanówmy się nad równowagą klińca takiego abcd. Ciężar jego C działa w środku ciężkości S, klińce leżące na danym klińcu wywierają ciśnienie N, działające także pod kątem tarcia. Siły N, N i P muszą być w równowadze i dać się złożyć w zamknięty

/$F/J

\>

ry

‘V

Rys. 320.

wielobok sił. Jeżeli N jest dane, C obliczamy, kreślimy AB = N i BD=C, wypadkowa tych dwóch sił jest AD, z punktu ich przecięcia się f kreślimy fhjlAD do przecięcia się z siłą P, którą z poprzedniemi składamy. Kierunek wypadkowej Nl znamy, bo działa ona pod kątem tarcia (j do prostopadłej na ad, kreślimy więc DE\\gh i otrzymujemy w wieloboku sił DE=N, \AE=P. Znając teraz N,, możemy wyznaczyć w ten sam sposób ciśnienie następnego klińca na krążynę.

.leżeli punkt g wypada zewnątrz przekroju, to konstrukcya ta nie jest ważną. Wtedy musimy przypuścić mniejszy kąt tarcia, niż ę, — albo, co na jedno wychodzi, obrać punkt g blisko krawędzi a. Możemy przyjąć ag = 2 do 5cm.

wtedy, gdy jest

zawsze

krążyny, P’ 5 = 0.

na

W rys. 321 zrobiliśmy tę konstrukcyę dla szesciu klińcow A, B, O, D, E i F. Zaczynamy od najwyższego klińca F. Tu, rozumie się, N=0, a siły P: i (7, przecinają w Sn skąd prowadzimy Ni pod kątem q do prostopadłej na szew ab. Przeprowadziwszy tak konstrukcyę dla wszystkich 6 klińców, otrzymamy w wieloboku sił P1? P₂, P3} A i -^V ^ rysunku widzimy, że proste, przedstawiające ciśnienia N, są zbieżne, a ciśnienie P ku dołowi coraz mniejsze. Dodajmy jeszcze jeden kliniec G, którego ciężar jest (7₀, to z powodu zbieżności prostych, przedstawiających ciśnienia N, otrzymamy odnośne ciśnienia na krążyny P mniejsze, niż w pierwszym przypadku. A więc największe ciśnienie na krążyny pod pewnym klińcem powstaje on najwyższym klińcem. Ciśnienia te największe wzrastaj ą ku kluczowi. Z rysunku widzimy, że przez dodanie klińca G ciśnienia, wywarte przez poprzednie klińce, maleją, a kliniec A nie wywiera już wcale ciśnienia

Najw. P możemy łatwo wyznaczyć liczebnie, gdyż wtedy N— O (rys. 322), BF= C vsst a, więc

(7wst a dostp dost(>

DF

Dalej mamy

P=*B E =C dost a—D F st(> = Pdost a — (7wst a st p, albo

P— C'(dosta — wstastp) = C (dosta — f wsta), .    081)

jeżeli f jest spółczynnikiem tarcia.

ty'

Jfys3Zl

D Ss

A'

a,

^---

f \cc

S, \    \    \

ÜÜI

cK'

c,

p:

„-Jc,

p:

f:

wr,

K/r^\p

KP'

* /_>»

»" Cs

Ce

'S

JF

A?

„C

Dla a=90 — q jest P-= C^wst p — dost(> j = 0. Kąt ę

jest według §. 131 w przecięciu dla ciosów bez zaprawy 30°, z zaprawą starą 35°, świeżą zaś bardzo mały, co najwyżej przyjąć więc możemy p=22°, f= 0,4. Dla cegły jest średnio (> = 46°, dla pewności przyjąć możemy p = 35°.

Konstrukcya linii najw. P wynika z poprzedniego. Jeżeli chodzi o ciśnienie klińca dbgh (rys. 323) bardzo ważkiego, to ciężar jego będzie proporcyonalnym do grubości sklepienia db,

mianowicie C=db.bx.\.y, jeżeli b, jest szerokością klińca. Przyjmijmy b, — 1, to C=y.db.

-e.

"5Ü

Rys. 323.

Jeżeli w rys. 323 zrobimy db = C, jeżeli z d poprowadzimy poziomą i de pod kątem q do poziomej, a z b pionową be, to dbe.= B I)E (w rys. 322), bo wszystkie kąty równe, a db = BD, więc be = BE =* P. Zróbmy to samo dla innych szwów i połączmy odnośne punkty, a otrzymamy linią największych P. Powierzchnię kreskowaną przyjąć możemy, obliczając wytrzymałość krążyn, jako powierzchnię obciążenia, pomnożywszy ją przez y. Będzie to wprawdzie obciążenie trochę za wielkie, bo ciśnienia największe nie wystąpią nigdy równocześnie, ale przypuszczenie to jest na korzyść pewności.

XI. Sklepienia krzyżowe i baniaste.

§. 145. Sklepienie krzyżowe nad kwadratem.

Sklepienie, powstające z przecięcia się dwóch sklepień kolebkowych o równej strzałce, których podniebienia w linii przecięcia się tworzą kąt wypukły, nazywany sklepieniem krzyżowem (n. Kreuzgewölbe, fr. voûte des arêtes, an. cross-vaulting, r. KpecTOBLiu cboa'b) (tabl. V.). Linie, powstające na podniebieniu z przecięcia się dwu sklepień AE i CF, nazywamy żyłami, liniami żebrowemi (n. Grathbogen, fr. nervure, an. nerve), pas zaś, wystający z żyły dla wzmocnienia lub ozdoby, żebrem (n. Grath, Rippe, fr. arêtier de voûte, ogive, an. groin rib).

Przypuśćmy najprostszy przypadek, że sklepienie krzyżowa powstaje z dwu sklepień kolebkowych o jednakim przekroju, przecinających się pod kątem prostym. Podzielmy oba te sklepienia płaszczyznami pionowemi, prostopadłemi do osi, na równą ilość pasków, które możemy uważać jako sklepienia kolebkowe i wykreślmy w każdym w znany sposób linią ciśnienia (przekrój AC). Jeżeli następne paski ku środkowi sklepienia położone np. ef mają tę samą grubość, to przekrój ich twro-rzy część przekroju skrajnego paska AC, linii ciśnienia nie potrzebujemy więc osobno szukać, lecz jest ona częścią linii ciśnienia paska AC. Wszystkie te paski wywierają pewne ciśnienia ukośne np. w ef R,. na żebra, które da się rozłożyć na parcie poziome IIe i ciśnienie pionowe Ve. Łatwo zrozumiemy, że jeżeli sklepienie ma stałą grubość i jest jednostajnie obciążone, parcie poziome H₍, będzie dla wszystkich jednakowo grubych pasków to samo — //,, a więc także i w pasku eg. Dwie te siły Hx dają wypadkową poziomą w płaszczyźnie żebra H=Hx^2 = ei. Siły pionowe V,. zaś dodają się, a więc V=2Ve.

Teraz przystępujemy do sprawdzenia równowagi żebra, które dzielimy na części, odpowiadające podziałowi pasków sklepienia. Na każdy kliniec żebra działają oprócz ciężaru własnego żebra siły V i H, które to wszystkie siły dają w każdym punkcie ukośną wypadkową Rx, R₂ itd., a które wyznaczamy z wieloboku sił. W naszym przykładzie żebro wystaje na dół o 15 cm, tu więc siły H działają w połowie grubości sklepienia, a nie żebra, więc w punktach odległych od grzbietu o 15 cm. Szukamy teraz parcia poziomego, przypuszczając, że linia ciśnienia przechodzi przez środek szwów w węzgłowiu i w kluczu, a gdy obciążenie jest symetryczne, linia ciśnienia w kluczu jest poziomą.

Aby wykreślić linią ciśnienia, przyjmujemy podobnie, jak przy sklepieniu kolebkowem, mOj tymczasowo jako parcie poziome, prowadzimy promienie i kreślimy wielobok sznurowy suw, wychodząc ze środka szwu w kluczu. Wielobok ten sznurowy w ogólności nie zejdzie się z przyjętym punktem t w węzgłowiu, bo parcie poziome przyjęliśmy dowolnie, musimy je więc odpowiednio zmienić. Przez punkt p przecięcia się boków skrajnych wieloboku przechodzi wypadkowa wszystkich sił, działających na połowę sklepienia, jeżeli więc linia ciśnienia ma przechodzić przez t, to ostatni bok musi mieć kierunek pt. Bok teń wykreślimy aż do przecięcia się z jß₇ w n. Wypadkowa sił F₀, Rx, R₂, Rz,    przechodzi przez punkt y,

który łączymy z n i otrzymujemy w ten sposób nz. Postępując tak dalej, wykreślimy całą linią ciśnienia tnzs. Parcie poziome wyznaczymy łatwo, zrobiwszy 10 równoległą do pt. O jest więc biegunem, z którego poprowadziwszy promienie, mo-

żerny kreślić przez s wielobok sznurowy, równoległy do tych promieni, a który przechodzić będzie przez t.

Widzimy, że w tym wypadku linia ciśnienia wychodzi w czwartym i piątym pasku z jądra, równowaga więc nie byłaby zapewnioną; wiemy jednak także, że prawdziwa linia ciśnienia leży powyżej i poniżej osi, podczas gdy tu cała linia ciśnienia leży poniżej osi. To wskazuje nam, że linia ciśnienia w kluczu leży powyżej środku szwu, należy więc całą linią ciśnienia przesunąć w górę tak, aby powierzchnia momentów była równa zeru i otrzymamy linię x w, t.

§. 146. Sklepienie krzyżowe nad prostokątem.

Przypuśćmy, że w prostokącie ABCD (rys. 324) wykonamy sklepienie krzyżowe i dla uproszczenia przyjmijmy, że

ciężar jest jednostajny qkg\m². Wytnijmy, jak poprzednio, płaszczyznami równoległemi do AB i AD paski EF i EG o grubości dw i dx, nazwijmy strzałki odnośnych łuków fx i f2 a parcia poziome dhi i dh2: to dla równowagi ze względu na punkt E będzie

.........6    ^ b

AK !-

<7jr

>t<

< A >l / \|/s

— XT—

SK

•/wet#

to »

IV

tf*    oE    &

AJ    <JXc/*o

a stąd dh, = a analogicznie dh₂ —

. qxdw=/) d\, qx²dw

2 /i

. 682) .

qw²dx 2/-₂ •

W punkcie E działają więc oba parcia poziome dhi i dh2 jakoteż i składowe pionowe parcia qwdx i qxdw. A zatem wypadkowa pionowa będzie v=q(xdw + wdx)    .... 684)

a więc równa połowie ciężaru przyległych pasków.

Parcia poziome dhx i dh₂ składają się w wypadkową dh (rys. 32B). Siły dhx i dh₂ dadzą się rozłożyć na składowe w kierunku przekątni dh" x i dh"₂ i siły prostopadłe do przekątni dh\ i dh'2.

Rys. 324.

683)

Statyka»

27

Z rysunku mamy dh\ =* dhx wst a,    =* dhj dost a, dh\ —

= dh₂ dost a, d/*"₂ = dh₂ wst a, a więc

dh = dh'\ + dh"₂ = dhj dost a + dh₂ wst a.

Jeżeli więc wypadkowa ma mieć kierunek żebra, to składowe prostopadłe doń muszą się znosić

dh\=dhx wsta=dh'₂ = dh₂ dost a, a stąd

c£A₂ qw¹dx 2 /*, w² fifcr dÆj 2 /*2    ça;² dw    x²    . /₂ ’

a że w=a;sta, dw = st a .dx, więc z²st ladx.f\    fx

x’¹ st a dx.f₂ ⁸ a

A zatem jeżeli wypadkowa parć poziomych ma być w płaszczyźnie przekątni, to dla obu przyległych pasków muszą być strzałki takie same.

Jeżeli linie szczytów, NS i MS (rys. 324) są poziome, to musi być fi = f₂. Ale nawet gdyby były one liniami krzywemi, to wskazanem jest, aby przynajmniej przyległe paski miały tę samą strzałkę.

Jeżeli siły dh\ i dh'₂ się nie znoszą, lecz dh\ — dh'₂— dh', to siła ta rozkłada dK się (rys. 326) na dw' i dz.

Siła dw' =

V///777,

dłC

dl

e/hl

*•

dK

dk\

st a =

Rys. 325.

sta'

fi

stąd fx -=f₂.

'f."-    ’

rcU

dh'

działa na łęk czoło-

•wst a

wy, siła zaś dz = dh' dota na żebro*).

ant

Rys. 326.

§. 147. Sklepienie krzyżowe w jedlinkę.

Dotychczas przypuszczaliśmy, że paski, na które podzieliliśmy sklepienie, działają jako sklepienia kolebkowe i nie przenoszą na sąsiednie paski żadnych natężeń ścinających.

Jeżeli jednak sklepimy warstwami ukośnemi czyli w jedlinkę (rys. 327), to wtedy inny jest rozkład sił, na co pierwszy zwrócił uwagę Witt mann. Sklepienie dzielimy znów na paski w kierunku szwów. Jeden taki pasek ab opiera się w a na drugim pasku, w b na żebrze. Szukamy najprzód

*) Por. Landsberg: Die Statik der Hochbaukonstruktioneii IV, wyd. 1909, str. 349.

dla tego paska linii ciśnienia w znany sposób. Parcie poziome w a dwóch pasków symetrycznych daje wypadkową siłę poziomą Ht, działającą w osi sklepienia na mur przyczółkowy w punkcie e. Także wszędzie na długości ef inne paski n. p. mn, wywierają ukośne ciśnienie na mur przyczółkowy. Ciśnienia na żebro zaś składają się jako symetryczne na ciśnienie pio-V, które działa jako obciążenie żebra. Żebra, jako sklepienia kolebkowe, badamy w znany sposob, a wykreślenie linii ciśnienia nie pizedstawia tu najmniejszej trudności.

Widzimy z poprzedniego, że przy sklepieniu w jedlinkę nad kwadratem mury przyczółkowe wystawione są na ciśnienie poziome prostopadle do muru

Jeżeli sklepienie zbudowane jest nad prostokątem, to da się podobnie, jak w poprzednim paragrafie, dowieść, że ciśnie-żebro tylko wtedy jest pionowe, jeśli

-V - ft

•<------b

nowe

nie na

Rys. 827.

a żebra na ciśnienie pionowe.

.    .    685)

Jeśli stosunek jest inny, to stan równowagi będzie pośredni, ciśnienie na żebro będzie ukośnem, a oprócz tego pewne parcie poziome działa na mury czołowe. Zaprawa, spajająca pojedyncze paski, przyczynia się w znacznej mierze do wytworzenia rozkładu ciśnienia, którego dokładne wyznaczenie nie jest możliwem. Obciążenie żebra pionowe będzie wzrastało od klucza ku podporom wedle linii prostej.

§. 148. Sklepienie baniaste.

dôme, coupole, an. spherical-

Sklepienie, którego podniebienie jest powierzchnią obrotową, utworzoną ruchem krzywej wypukłej około osi pionowej, nazywamy sklepieniem baniastem, banią lub kopułą (n. Kuppelgewölbe, fr. voûte en vault, domical-vault, r. KynojibHLiü sbo^-ł). Wyznaczenie sił

*) Por. Landsberg: Die Statik der Hochbau-Konstruktionen, str. 355.

wewnętrznych w bani jest trudnem; dla uproszczenia więc przyjmijmy, że obciążenie jest stałem i tak rozdzielonem na poszczególne pierścienie, że albo cały pierścień jest obciążonym, albo też wcale nieobciążonym. Dalej przypuszczamy na razie, że powierzchnia ciśnienia wpada na średnią powierzchnię bani,

to jest powierzchnię, przechodzącą przez oś każdego przekroju południkowego.

H ds

(K

's.xctiv

H di

TT

.«i.

Ods

SC”--*.

Hrh

......

----i dur

Ods

Rys. 328.

Ciężar własny bani, a względnie obciążenie, sprawiają odkształcenie, pierścienie poszczególne zwężają się skutkiem ciśnień, powstałych w pierścieniach w kierunku obwodu koła, które nazywamy z tego powodu ciśnieniami obwodowe mi (n. Ring Spannung) (rys. 328). Tu więc mamy oprócz ciśnień w kierunku południka, jak przy sklepieniu kolebko-wem, także ciśnienia obwodowe.

Początek spółrzędnych przyjmijmy w kluczu bani S (rys. 329) a oś pionową bani za oś F, prostopadłą do niej SX za oś X.

Zbadajmy teraz wycinek kuli MNOP (rys. 328). Jeżeli natężenie styczne w kierunku południka nazwiemy t, to gdy długość łuku wynosi ds—xdw, siła na PMNO wynosi txdw.

Na PM i ON działają ciśnienia obwo- ^ dowe na jednostkę o, więc na ds ods.

Oprócz tego działa obciążenie pds.x.dw.

Z rysunku widzimy, że

-X

dw

Hds=2 ods wst

a że w jest bardzo małem, więc dw dw

<i\

zatem

wst ₂

Hds=ods .dw.    .    .    686)

Dla równowagi mamy: txdw dost cp—(t + dt) (x + dx) dw dost (cp -f- dcp) -f- ods dw ~0.

Rys. 329.

Opuściwszy bardzo małe drugiego i trzeciego stopnia otrzymamy txwst cp d ą>—dtxdost cp—tdxdost cp—ods=0,

d {tx dost cp) = ods.

Dalej dla równowagi w kierunku pionowym p .ds.x. dw— tx. dw wst cp + {t 4- dt) (:z + dx) wst (ęp -j- d cp) = 0, a stąd, zważywszy, że wst (ęp + dęp)= wst ęp + dost cpd cp, opuściwszy nieskończenie małe wyższych rzędów, otrzymamy

pxds—tdx wst cp—xdt wst ęp—tx dost cpdcp=0 —pxds — + d(tx wst ęp).

Równ. 687) i 688) wskazują -związek sił t i R dla dowolnych obciążeń i powierzchni.

.    .    687)

wreszcie

. . 688)

§. 149. Bania kulista.

Jeżeli bania jest kulistą, to z i ds należy wprowadzić dla koła. Wedle rys. 329 jest #=r wstęp, ds — rdcp. Jeżeli jeszcze przyjmiemy p dla całej kuli stałe, to z 688) wynika —pr wst cp ,rdcp = d(tr wst² cp), a stąd

d (tr wst² ęp) = —pr²

Jeżeli zaczynamy od punktu S, to ęp₀ =0, więc

i QP

. « tr wst² ęp=j3r²ćlost %    ——pr²(l—dostęp), stąd

cp

wst cp dtp.

!o

t= —

pr(l —dost cp)

Pr

1 + dost cp'

.    .    689)

wst² cp

Jeżeli wstawimy tę wartość w równ. 687), to otrzymamy

ordcp = d^

pr

rwst ępdost ępj —- —pr² d

dost 2 ęp + dost³ęp (1 +dostęp)²

wst cp dost cp 1 +dostęp

1 + dost ęp zatem o = —pr

W kluczu ęp = 0, więc

_ Vr H- 2

Zatem w kluczu jest ciśnienie jednostajne na wszystkie pv

strony równe na

.    .    690)

o= —

pr

.    .    691)

jednostkę powierzchni.

Jt

Dla półkuli jest na równiku cp=-^~, więc t = —pr,

1S=I ïj

= Ą-pr. .    .

.    .    692)

Zatem na równiku jest ciśnienie południkowe dwa razy

większem, niż w kluczu, zaś natężenie obwodowe jest dodatnie,

rozciąganie, co do wielkości równe natężeniu południkowemu.

Dla pewnego kąta rpx staje się o=0. Z równ. 690) otrzy-

a stąd dostęp =0,618

-,    dost2 op, +dost³ w.

mamy 0—pr

¹

Keck: Elastizitätslehre st. 388.

.    .    693)

(px*= 51°50/.

A zatem dla kątów gp mniejszych, niż gpn powstają ciśnienia obwodowe, dla większych, niż gp,, ciągnienia.

Powyższe wyniki dadzą się więc zastosować tylko wtedy, gdy ciągnienia tak wielkie są możliwe. Jeżeli mamy do czynienia z banią murowaną z kamienia lub cegły, nie możemy dopuścić wcale ciągnienia, zatem albo ciągnienie musimy znieść pierścieniem żelaznym albo też pogrubić przekrój bani tak, aby linia ciśnienia w dolnej części, nie wpadając wprawdzie w oś, jednak nie wychodziła z jądra przekroju.

§. 150. Wykreslne wyznaczenie natężeń w bani.

Na powyższej podstawie wyznaczymy teraz wykreślnie linią ciśnienia i natężenie obwodowe w bani.

Jeżeli wytniemy z bani wycinek płaszczyznami pionowemi, przechodzącemi przez oś bani, a odcliylonemi o bardzo mały kąt a, to siły obwodowe O (rys. 330), działające z obu stron,

dają wypadkową H. Wielkość jej otrzymamy z wieloboku sił, z którego widzimy, że

II— 2 O wst

ö oi

.    394)

Z równania tego wyznaczymy a, dla którego II—O, a mianowicie

1.........

o

Rys. 330.

2 wst -^=1, a stąd a = 60°.

Z

Jeżeli więc obliczać będziemy ciężary wycinka dla okręgu koła, to H, które z konstrukcyi otrzymamy, będzie równem O, ciśnieniu obwodowemu.

Na rysunku 331 wykreśliliśmy w przybliżeniu linią ciśnienia w następny sposób. Szwami, stojącymi prostopadle na

linii środkowej, a których oddalenia b, mierzone na tej linii, są równe, podzieliliśmy najprzód połowę przekroju bani na 8 części. Objętość pierścienia, utworzonego ruchem obrotowym powierzchni CDEF około osi A O, jest według twierdzenia

Ni

Pi

Ni

V. Sb

M,

P, I

Pi

ł*

*A

Ps

*s,

-fĄ—

.......^

nr}

»r

m7T

Ln

M, |

«7

a,

?0

p,

Pr/a

i    aa

aj

Rys. 331.

Guldina równą powierzchni CDEF, pomnożonej przez drogę środka ciężkości /, a więc, gdy grubość pierścienia =d₎ a odległość punktu I od osi =r, to objętość równa się bd2rn. Ciężar i pierścienia będzie więc:

P₅=

.    .    695)

jeżeli 7 jest ciężarem jednostki sześciennej.

Podobnie możemy obliczyć wszystkie inne ciężary, albo możemy też resztę ciężarów wyznaczyć wykreślnie w następny

sposób. Z równania 695) widzimy, że ciężary P są proporcyo-nalne dla stałego b do d i r. Przyjmijmy taką podziałkę sił, ażeby d-i)=ay)ab —Pb i ode tnij my od a₀ wszystkie długości d na prostej a₀a₆. Tak otrzymane punkty połączymy z O, to punkty przecięcia się z pionowemi, poprowadzonemi ze środków ciężkości odnośnych powierzchni, wyznaczają nam ciężary P. Np. dla wyznaczenia P₃ odcinamy a₀a₃, równe grubości trzeciego pierścienia, spuszczamy ze środka ciężkości pionową, łączymy a, z O, a długość b b₃ przedstawia ciężar P₃. Z konstrukcyi bowiem wypada, że a₀a₃ : b₀b₃ = Oa₀ : 06u? więc Ob'o_

d₂ r.

b₀b₃=a₀a₃

a że d₃r₃ : dbr-=P₃ : P₅, więc ■1    ^5 fi

Oa₀ rb ’

d,rA\ r3 r?A

d =z 1 a zatem bnbą

r*P₆    ° ³

Jeżeli więc zrobimy d. =» P₅, to b^b₃—P₃.

Wyznaczywszy w ten sposób wszj^stkie ciężary P, wykreślamy wielobok sił i kreślimy linią ciśnienia, przypuszczając, że wpada, o ile to możliwem, na linią środkową. Wypadkowa z ciężaru i ciśnień obwodowych w pierwszym pierścieniu ma więc przechodzić przez środek szwu    a więc mieć kieru

nek SlN]. Jeżeli w wieloboku sił zrobimy Oa, równoległe do to axl = H^. Prosta SiNi przecina P₂ w punkcie wz₂, do siły P, przychodzi tu siła P₂, wypadkowa tych sił jest Ob₂. Z punktu m₂ kreślimy więc m₂n₂HOb₂ aż do przecięcia się z siłą J/₂, która musi być tak wielką, aby wypadkowa wszystkich sił przechodziła przez iV₂, a więc miała kierunek n₂N₂. Wykreśliwszy Oa, //n₂N₂, otrzymamy wielkość tej wypadkowej, przyczem H₂=b₂a₂. Podobnie postępujemy dalej, n₂N₂ przedłużamy do siły P? do punktu m?, kreślimy m₃n₃ // Ob₃ i rysujemy n₃N₃ aż do m₄. W wieloboku sił robimy Oa₃Hn₃N₃ a H₃ = b₃a?.

' W ten sam sposób postępujemy dopóty, aż z konstrukcyi wypadłaby siła H ujemna, jak na przykład tu H- = —ń₇a₇. Ponieważ jednak, jeżeli na wytrzymałość zaprawy zważać nie będziemy, mur nie może pracować na ciągnienie, więc przypuszczam}^ że w tym pierścieniu iJ₇— 0, a zatem, że niema tu żadnych ciśnień obwodowych. Wskutek tego jednak wypadkowa R ==Ob₁₎ a nie Oa₇, zaś linia ciśnienia oddala się od linii środkowej, gdyż zrobiwszy m-u\j Ob-tl nie przetniemy szwu L:M1 we środku, lecz w punkcie u obok środka N~. Prostą m-u przedłużamy aż do punktu przecięcia się z P₈. I tu także ciśnienie obwodowe przypuszczamy równe zeru, a stąd otrzymujemy i?₈ —Oô₈, a ostatni bok wieloboku sznurowego m^u^HOb^. Jeżeli ux leży w średniej trzeciej części sklepienia, jeżeli wypadkowa na jakikolwiek szew nie jest więcej odchyloną od prostopadłej na szew, niż kąt tarcia wynosi, a ciśnienie nie przekracza dozwolonej granicy, wtedy równowaga jest zapewnioną i w całej bani panuje tylko ciśnienie.* Jeżeliby zaś linia ciśnienia wychodziła ze średniej trzeciej części przekroju, to albo musielibyśmy pogrubić banię w tern miejscu lub też obręczami żelaznemi znieść ciągnienie obwodowe, któreby w dolnej części bani powstało, gdyby linia ciśnienia i tam nie zbaczała od osi. Jeżeli ciężary obliczaliśmy wedle 695), to otrzymane H dają nam wprost O, ciśnienia obwodowe.

W rysunku 331. przyjęliśmy grubość bani, wzrastającą ku dołowi, gdybyśmy przyjęli ją równą, linia ciśnienia wypadłaby o wiele niekorzystniej, a punkt, w którym ciśnienia obwodowe stają się równe zeru, wypadłby wyżej. Dlatego należy przyjmować grubość sklepienia w kluczu małą i zwiększać ją ku dołowi.

§. 151. Sklepienie klasztorne.

Sklepienie, powstające z przecięcia się dwóch sklepień kolebkowych o równej strzałce, których podniebienia w żyle tworzą kąt wklęsły, nazywamy sklepieniem klasztornem (n. Kloster g ewölbe, fr. voûte cloisonée, voûte en arc de cloiture, an. crored vault).

Obliczenie dokładne sklepienia takiego jest bardzo trudnem i dotychczas zadanie to pozostało nierozwiązanem. Podamy tu według Foeppla tylko niektóre wskazówki, jakby można w przybliżony sposób . wykreślić linią ciśnienia w sklepieniu klasztornem. Przypuściwszy sklepienie założone^ na wieloboku regularnym, symetryczne i symetrycznie obciążone, dojdziemy do wniosku, że z powodu symetryi w płaszczyznach żył powstają tylko natężenia normalne, więc ponieważ płaszczyzny te są pionowe, natężenia będą poziome. Ciśnienia te, które działają poziomo na części sklepienia klasztornego w żyłach, nazywamy ciśnieniami żyłowemi (n. Gratspannung). Ciśnienia te, działające na jedną część sklepienia klasztornego, ogra-

niczoną dwiema żyłami, składają się, a wypadkowa działa w płaszczyźnie ją połowiącej.

Widzimy więc, że teorya sklepień klasztornych podobną jest do teoryi sklepień baniastych i rzeczywiście bania jest właściwie sklepieniem klasztornem, założonem na wieloboku o nieskończonej ilości boków czyli na kole. Ciśnienia żyłowe odpowiadają ciśnieniom obwodowym w bani, ta tylko zachodzi tu różnica, że, gdy tam ciśnienia obwodowe były w tym samym pierścieniu stałe, tu nie wiemy dokładnie, jak się ciśnienia żyłowe rozdzielają w kierunku poziomym.

W płaszczyźnie, połowiącej części sklepienia, zawarte między dwiema żyłami, kreślimy więc zupełnie w ten sam sposób, ■jak dla bani, linią ciśnienia, przyjmując z początku, że linia ciśnienia wpada w oś, potem, aby uniknąć ciągnienia, odstępujemy od tego przypuszczenia i przyjmujemy natężenia żyłowe, równe zeru.

Linia ta ciśnienia nie powinna wychodzić z jądra i zadość czynić i dwom drugim warunkom równowagi.

XII. Przyczółki, filary i kominy.

§. 152. Linia ciśnienia.

Budowlę, na której opiera się sklepienie lub jakakolwiek inna belka, nazywamy w budowie mostów przyczółkiem (n. Widerlager, fr. culée, abutement, an. land pier, r. BeperoBon ycToii). Jeżeli na budowli takiej opierają się z dwóch stron sklepienia lub inne belki, nazywamy ją filarem (n. Pfeiler, fr. pilier, pile, an. pier, r. ctoji6ï>). W budownictwie często opiera się sklepienie o ścianę murowaną, która tu zastępuje miejsce przyczółka. Warunki równowagi przyczółka, filaru kamiennego lub ściany są te same, co sklepienia ; dla zbadania więc równowagi najlepiej wykreślić linią ciśnienia.

Na rysunku 332, wykreśliliśmy linią ciśnienia w ścianie w następny sposób. Najprzód wyznaczyliśmy w zwykły sposób przybliżony linią ciśnienia mn w sklepieniu i otrzymaliśmy parcie ukośne R, działające w punkcie n na ścianę. Następnie podzieliliśmy ścianę na warstwy poziome i obliczyli ciężary warstw A, B, C i D. Parcie R przecina się z kierunkiem ciężaru A w punkcie a i daje wypadkową która przecina szew pr w punkcie b. Z siłą Ri składamy teraz ciężar B, otrzymujemy R₂, która to siła działa na następny szew w c. Podobnie otrzymuj emy siły R3 i R₄, działające w punktach die. Punkty te połączone dają linią ciśnienia bcde, która, jak widzimy, w tym wypadku wychodzi z trzeciej części przekroju, w krawędzi f powstanie więc ciągnienie. Chcąc temu zapobiec, musielibyśmy powiększyć grubość ściany u podstawy.

»2

fT) ©

»4

o.

“O

ft,

cq ^ <5,

Eys. 332.

nym jest tylko pionowo. Jeżeli zaś sklepienia są nierówne, leżą nie w tej samej wysokości, lub są nareszcie nierówno obciążone, jak tu, to musimy £ wykreślić dla obu sklepień osobno linie ciśnienia ab i cd, mur podzielić na warstwy poziome i składać ciśnienia ukośne z ciężarami warstw muru, jak poprzednio. W ten sposób otrzymalibyśmy linią ciśnienia bef, która, jak widzimy, nie wychodzi tutaj z jądra przekroju.

Podobnie postępujemy w celu wykreślenia linii ciśnienia w filarze (rys. 338). Jeżeli oba sklepienia, opierające się na filarze, są równe i równo obciążone, to parcia ukośne, składając się, dają wypadkową pionową, filar wtedy obciążo-

ie '

ci

CV9

Eys. 333.

§. 153. Wmurowanie belki wspornikowej.

\<

IX______JŁ

Jeżeli belka jest jednym końcem utwierdzoną w ścianie, to utwierdzenie M₀ w punkcie B (rys. 334) obliczamy wedle §. 13. Aby utwierdzenie zupełne belki w murze było mo-żliwem, musi być moment muru nad belką G ze względu na B większym, niż C₂z

a więc

Rys. 334 a.

Oj>C,z, . 696)

jeżeli d oznacza grubość muru. Ciężar muru, działającego na belkę G, obliczamy, nie uwzględniając spójności muru i przyjmując rozdział ciśnienia pod 45°/0 (rys. 334 a).

Rys. 834 b.

Możemy teraz przyjąć w przybliżeniu (rys. 335)

i,

P*

//

'i

Rys. 335.

.    .    697)

M₀ = C₂c=| C₂a, więc C₂ —

Jeżeli siła poprzeczna w punkcie B belki jest Q, to C\ — C₂-\-Q

Wyznaczywszy w ten sposób Cj i C₂, możemy obliczyć

więc    : xi ' =x : (a—x).

.    .    698)

,,    . bx zBbia—x)

Mamy więc t₁ =    — ------

<L

(aĄr>’ a stfid

₉---1-Q, albo

2aQ S'M~‘

%x' a-x

2Q

b ' {a—x)

(«-a:)²    ¹ +

Nazwijmy m =

f₊

M₀

.    .    699)

to otrzymamy

x=-

.    .    700)

2 C.

Dalej otrzymamy Tl = tx lix

2C₂

GM

3M₀

.    .    701)

t)(a—x) ab (a—x)

To są jednak tylko natężenia wskutek utwierdzenia belki Oprócz tego powstają jeszcze natężenia wskutek siły G (rys. 884a)

M' =

N'

= G-³-^

2 a

a natężenia włókien skrajnych w B₂ i B

N' __6 W bd bd²

N' 6J/' r •    ■    •

VBv⁼bd⁺~bd\

Największe ciśnienie będzie w B, mianowicie

M'

.    .    703)

.    .    704)

.    .    705)

T — Ti + x" .

Gdyby to ciśnienie było na mur za wielkiem, trzebaby użyć podkładek żelaznych, któreby je rozłożyły na większą

szerokość b..

Przykład. Przypuśćmy, że obliczyliśmy w danym wypadku moment w Zł i że 3/₀ = l,2tm, $=1,51 a ciężar muru, nad belką spoczywającego, (?=10f. Jeżeli grubość muru wynosi 60cm, a belka sięga przez całą grubość, to wedle 697)

C₂=

3.120000

=3000%,

2.60

Cx — C\ + $=3000 +1500=4500%. Z równ. 700) otrzymamy dla

2.60.1500 3.120000

=1,225, x=

60.1,225

1 + 1,225

=33 cm,

33 + 2.60

=51 cm.

a wreszcie z—

Jeżeli przyjmiemy dla muru ceglanego na cemencie t=12%/cm², to 2 4500

6=-y^—^-=22,8cw, zamiast czego przyjmiemy ft=30cm.

Natężenia przeto z powodu utwierdzenia wynoszą D 2.4500 QR. ,    ₂

w B t₁==_80T38~=9,5%/    ,

2.3000 20.27

Zbadać jeszcze wypada, czy zamurowanie obejdzie się bez zakotwie-

wedle 619)

a w B₂ t₂ =

= 7,4 %/cm².

nia. Wedle równ. 696) winno być <7—>02 z. Jakoż w naszj^m przypadku

10.0,30—3.0,61 = 1,47tm. Ta wartość jest dodatnia i przedstawia dostateczną pewność, że mur nie zostanie wyrwany.

Do natężeń, z powodu utwierdzenia powstałych, trzeba dodać pochodzące od sił G i Cj. Wedle równ. 702)

M'=3000 (30—51)=-63000 kgcm,

siła podłużna N'=(7—(7₂ =10000—3000=7000%, a wreszcie natężenie włókien skrajnych wedle równ. 704)

. T' =

805+8ôr6Ô5-⁼³’⁹⁺⁸'⁶⁼⁷’⁴^/'m ’

w B₂ . . . +'=3,9—3,5=0,4 %/cm².

Jeśli te wartości dodamy do powyższych, z powodu utwierdzenia samego wywołanych, otrzymamy natężenie sumaryczne w B . . . T/y=-₁ + t'=9,5 + 7,4=16,9kg/cm2 zaś w Z?₂ . . . t/^=t₂+ t"=7,4 + 0,4=7,8 %/cm².

Ciśnienie w B wypadło za duże. Z tego wynika, że trzeba użyć szerszego ciosu, a więc 0=45 cm.

3d

Jakoż wtedy tb=16,9 . ^=11,3 %/cm².

§. 154. Linie wyznaczne przekroju prostokątnego.

Gfdy na przyczółek lub filar działa siła ukośna, środek ciśnienia-, jak wiemy, oddala się od środka przekroju; zastoso-

wać tu więc musimy prawidła wytrzymałości złożonej, o której mówiliśmy w rozdziale VI. Jeżeli przyczółki lub filary są kamienne, to ponieważ wytrzymałość zaprawy na ciągnienie jest bardzo małą, więc dla pewności przypuszczamy, że jest równą zeru. Wtedy natężenia rozdzielają się nie na cały przekrój, lecz tylko po jednej stronie osi obojętnej, nie możemy więc używać wprost wzorów rozdziału VI. Ta część przekroju, na którą teraz działa cała siła, nazywa się przekrojem skutecznym (n. wirksamer Querschnitt). I w tym wypadku pozostaje jednak ważnem, że objętość bryły natężeń równa się sile P, działającej prostopadle na przekrój, i że środek ciężkości bryły natężeń odpowiada środkowi ciśnienia. W §. 131. już wspominaliśmy o tym wypadku, tu zastanowimy się nad nim trochę bliżej i to najprzód dla przekroju prostokątnego.

Dopóki siła P zaczepia w jądrze, oś obojętna nie przecina przekroju, więc obliczamy natężenia według rozdziału VI. Dopiero gdy środek ciężkości wypada poza jądro, oś obojętna przecina przekrój i musimy inaczej liczyć. Od położenia środka ciśnienia, jak wiadomo, zależy położenie osi obojętnej, a więc czy dla przekroju prostokątnego oś obojętna odcina trójkąt, czworobok, czy pięciobok ; każdemu z tych przypadków odpowiada pewna część powierzchni przekroju, w której ma leżeć środek ciśnienia. Linie, ograniczające te powierzchnie, nazywamy liniami wyznacznemi¹).

-i-

\ Oj

imk%

V M,V/) *t'M' 2/

Rys. 336.

1. Oś obojętna odcina trójkąt (rys. 336). Nazwijmy natężenie w rogu D. to natężenie to zmniejsza się według prawa linii prostej ku obojętnej MN., a więc bryła natężeń będzie tu ostrosłupem czworo-ściennym, którego podstawą jest trójkąt MND, a wierzchołkiem punkt D', położony pionowo nad D w odległości vv Chodzi teraz o znalezienie środka ciężkości bryły natężeń. Przekroje pionowe bryły natężeń równoległe do MN są prostokątami, środek ich ciężkości leży we środku, więc P leżeć musi na środkującej OD. Przekroje pionowe równoległe do

MD i NJ) są trójkątami, środek ciężkości leży w jednej trzeciej wysokości, a więc gdy mamy dane p, otrzymamy oś obojętną, kreśląc pm i pn, robiąc pm=2t i pn = 2u i łącząc min. Odwrotnie jeżeli mamy oś obojętną MN, a chodzi o wyznaczenie środka ciśnienia, to zróbmy MXD =

1

MD i połączmy Mx z N.

O

Na linii MXN leżą środki ciężkości przekrojów równoległych do MD. Środek ciśnienia leży więc w p na przecięciu się prostych NMX i OD. Możemy też udowodnić, że Op=pD, bo

Dp=^u*+t², a 0p=^^=Ą^(2t)²+(2u)**=^u¹+t**=Dp. Z powodu, że Opno^ODN, jest I)N:2u — OD : Op, więc

2 u. OD

DN=

Op

=4 u,

podobnie mamy też MD = 4t.

Środek ciężkości trójkąta MND leży w S w prostej OD

w odległości —k- od MN, nazwijmy v₀ natężenie w środku

O

ciężkości, to według równania 409) vo =

\4u.4t Sut’

a więc natężenie w D

.    .    706)

*1-

Chcąc wyznaczyć linie wyznaczne dla tego przypadku, zastanowimy się nad wypadkiem granicznym, gdy obojętna ma

A A-........b........Ą/i

//

T'

Ja

. k.L

⁷ h

)/\ 7fy/

I/h È'J

W,

JtC

/U i ⁵ 6 /)

'■    .........b y"'

........>

Rys. 337.

Z:^°

.....CC —......

.....->

,<....

.......-/.........

............

'z

Rys. 338.

położenie CB (rys. 337). Łatwo znajdziemy odnośny środek

ciśnienia w punkcie p, robiąc Op=pD. Jeżeli obojętna obraca się około B i przyjdzie w położenie BM, to px znajdziemy, połowiąc MB, a potem połowiąc O^D. 7i konstrukcyi tej wynika, że gdy obojętna obraca się około B z położenia BC aż do BD, to środek ciśnienia porusza się po linii pr // CD, przy-

czem Dr=> . Jeżeli podobnie obojętna obraca się około C, to

p porusza się na ps // BD. Takie same prostokąty otrzymamy we wszystkich rogach przekroju, w jednym z nich leżeć musi środek ciśnienia, jeśli obojętna ma odcinać trójkąt.

2. Oś obojętna odcina czworobok (rys. 338).

Tu bryła natężeń jest ostrosłupem ściętym, którego wierzchołkiem jest punkt O. Przetnijmy ją płaszczyzną pionową równoległą do 1C w odległości z od O, a otrzymamy trójkąt EE,R, którego powierzchnia

Objętość ostrosłupa ściętego jest więc

a stąd

P=W

W),

X² dx

6Z₂²

*1“

.    .    707)-

Jeżeli przez środek ciężkości bryły natężeń, S poprowadzimy płaszczyznę pionową, równoległą do AC, to możemy napisać

ivihXh'-U*) _ ^

6 Z²

21₂²

dx, a stąd

.    .    708)

4 1₂S-1,S '    •

Długość KP łatwo wyznaczymy, gdyż KU=\KT, a UP— —\KU, więc

KT 1₃1

.    .    709)

KP = -g

Dla danej obojętnej MN mamy też dane lx, Z₂ i Z₃, żerny więc łatwo wyznaczyć środek ciśnienia P. W odwrotnym wypadku, t. j. gdy dany jest środek ciśnienia P, więc gość KF=~c, najlepiej będzie przyjąć dowolnie O, a więc ^ i Z₂, a stąd obliczyć według równ. 708) Z. Po niewielu próbach znaj-

31₂    •

mo-

i dłu-

Statyka.

\T

----₁_._

-V

P\

dziemy prawdziwy punkt O, dla którego / odpowiada danemu punktowi P. Długość obliczamy potem z równ. 709), a vx z równ. 707). Można też punkt O wprost Avyzna-czyć:    Barkhausen otrzymuje wzór

r następny .

z=i|-(b+yï>TrÏ2 cj .    .    710)

T“

2u

C\    i D

SC...

Gdy c=0, tj. gdy P leży w osi głównej (rys. 339), z—oo, a więc obojętna jest równoległą do C7), a według 709) GP—\ GT, wtedy największe natężenie w CD=*v^. Bryła natężeń jest

Rys. 389.

wtedy graniastosłupem trójkątnym, więc P=v^b.\ GT=—^U^'

stąd

v\ =

.    .    711)

3 u b

Widzimy więc, że w tym wypadku najw. ciśnienie vt jest dwa razy tak wielkie, niżby było, gdyby P się rozdzieliło równo na powierzchnię MNDC=3ub.

Linie wyznaczne, które możemy wyznaczyć podobnie, jak poprzednio, są w tym wypadku krzywe uz i zt i proste ts, sst

i4Tir

\\

W-

ŻL

z/

r*

A.

.......V

Ï:

T,

/■

ISr T

rf

. i..

Z)

Rys. 341.

Rys. 340.

i (rys. 340), pięcioboków takich krzywolinijnych otrzymamy cztery przy wszystkich bokach przekroju. Krzywe uz i zt są styczne do poziomych 7\u, względnie rt i linij jędrnych w^z, względnie wz.

3. Oś obojętna odcina pięciobok. Środek ciśnienia znajduje się wtedy w trójkątach krzywolinijnych u w z, tzw itd. (rys. 341), które nam jeszcze z całego przekroju pozostały. Dokładne wj^znaczenie natężeń jest w tym wypadku trudne, w przybliżeniu jednak licząc, postępujemy w ten sposób. Rozkładamy siłę P, działającą w punkcie P na dwie siły P, i P₂, działające w liniach wyznacznych, przyczem P, P₂ // w z. Ponieważ P, leży na linii wyznacznej, więc oś obojętna musi być w położeniu granicznem między przypadkiem, gdy odcina czworobok lub pięciobok, a -więc przechodzi przez wierzchołek D. Zastosowując wyniki otrzymane w poprzednim przypadku (równ. 709), zrobimy P, 7 / / CD i SI=3 SP,, więc DM jest osią obojętną dla siły P₂. Największe natężenie będzie tu oczywiście w wierzchołku G, obliczamy je dla siły P, i P.₂ osobno według równania 707) i dodajemy wyniki. Dokładniej wyznaczyć możemy natężenia sposobem ogólnym, który później podamy.

Oj

§. 155. Przekrój nieregularny. Siła działa w osi głównej.

Przypuśćmy, że siła działa w osi głównej XX (rys. 342) w E, to oś- obojętna MN będzie prosto-y padła do tej osi. Wtedy mamy analogicznie do równ. 407 i 410)

P= [\vd ²P= aj \ ud² F = a St i Pu, = alt, gdy St i 7 ozna-t/jr czają moment statyczny i bezwładności skutecznej (tu ciśnionej) powierzchni przekroju ze względu na oś obojętną. Stąd wynika

.    712)

fis¹ o*

mmmm%

—¹ pj U N ém,

IM

N\

/77

■x-

u, —

It

m' ?

S’

«-------

.... ^......

------>

S- '

Z rysunku widzimy, że dla danego c możemy

y*    •    #    *

wyznaczyć odstęp osi obo-

Rys. B42.

j ętnej b, = c -f u, — c -f-

Jeżeli jednak przekrój jest nieregularny, to wyznaczenie I, i St jako całek przedstawia znaczne trudności i zwykle uciekamy się wtedy sposobu wykreślnego.

Przypuśćmy, że mamy dane położenie osi obojętnej MN. Podzielmy powierzchnię skuteczną (tu kreskowaną) na paski, oznaczmy powierzchnie ich, wykreślmy wie-lobok sił i dla dowolnego bieguna O wielobok sznurowy. Jeżeli przedłużymy prawy bok skrajny do pionowej przez MN, to wedle równ. 5) moment statyczny powierzchni skutecznej ze względu na MN jest

713)

St=m.h = Ft.z

zaś moment bezwładności

a stąd

715)

F^=\mU\

Ale z rysunku widzimy, że GE'L=\muu więc GE'L = = Fi =pow. 0,9,8, 7. . .1 L. A zatem powierzchnia między wielo-bokiem sznurowym a prostemi GE' i i^Fjest równa zeru. Jeżeli więc chcemy znaleść środek ciśnienia E, to kreślimy taką prostą GE', aby powierzchnia rzeczona, tu kreskowana, była równa zeru czyli, żeby powierzchnie kreskowane poniżej i powyżej GG' były sobie równe.

Odwrotnie, jeżeli dany jest środek ciśnienia, a szukamy osi obojętnej, to dzielimy cały przekrój na paski, kreślimy wielobok sznurowy. Przedłużamy teraz prawy bok skrajny, znachodzimy E' na przecięciu się z pionową przez E i kreślimy z E' teraz taką prostą E'G, która wyrównywa powierzchnie. Pionowa przez G oznacza położenie osi obojętnej.

Natężenie teraz łatwo wyznaczyć. Punkt Si przecięcia się boków skrajnych wyznacza nam położenie środka ciężkości powierzchni skutecznej. Natężenie w S jest wedle 409) v₀ =

Połączmy s" z ra', a otrzymamy linią natężenia i największe natężenie v'v".

P

Ft

= -~-=s's".

§. 156. Przekrój nieregularny, siła działa nie w osi głównej.

Jeżeli środek ciśnienia nie leży w osi głównej bezwładności, wyznaczenie osi obojętnej i natężeń staje się tru dniej-szem. Jeżeli cały przekrój pracuje, to jak wiemy z §. 66., kierunek osi obojętnej jest znany. Oś obojętna jest wtedy równoległą do osi elipsy środkowej bezwładności, sprzężonej do osi, poprowadzonej przez środek przekroju i środek ciśnienia. Gdy część przekroju nie pracuje, należałoby dla powierzchni skutecznej narysować nową elipsę środkową i do niej zastosować powyższe prawidło. Ponieważ jednak położenie osi obojętnej nie jest znanem, nie możemy tego uczynić. Tu więc nieznanym jest nietylko kierunek, ale i położenie osi obojętnej.

Jeżeli oś obojętna MN jest dana (rys. 343), to powierzchnię skuteczną dzielimy na paski, w środkach ciężkości

V¹¹

fi.

f;

$*

'Jpt

1^5?

3™—> r

l\s.

■Ś

tmmuL

Vn

J_I

ni

nV

f>

f.

f>

R y s. B43.

ich zaczepiamy powierzchnie gx, ^•••ör6> kreślimy wielobok sił i sznurowy i w podobny sposób, jak poprzednio, wyznaczamy przez wyrównanie powierzchni momentów punkt E', na prostej EE', równoległej do osi obojętnej, leży więc środek ciśnienia Z?. Aby wyznaczyć dokładnie położenie punktu E, zauważmy, że m'v" przedsta wia linią natężeń. Jeżeli więc każde g pomnożymy przez odnośne natężenia, lub gdy boki pierwszego wie-loboku przedłużymy do przecięcia się z kierunkiem MN, to odcinki przedstawią nam siły f (na prostej un). Możemy je też w dowolnej podziałce narysować. Gdy je wreszcie za pomocą wieloboku sznurowego złożymy, to otrzymamy, rozumie się, ten sam kierunek wypadkowej EE'. Jeżeli jednak zmienimy kierunek sił na równoległy do boków, to wielobok sił odnośny wyznaczy kierunek wypadkowej TT,, a punkt przecięcia się tych dwu kierunków środek ciśnienia E.

Jeżeli przeciwnie d a n y jest środek ciśnienia, a szukamy osi obojętnej, to możemy to zrobić tylko przez próby. Przj^jmierny więc najprzód kierunek MN dowolnie, może równoległy do osi sprzężonych elipsy bezwładności środkowej całego przekroju, dzielimy cały przekrój na paski i wyrównywujemy powierzchnię momentów, jak w poprzednim paragrafie. W ten sposób znachodzimy położenie osi obojętnej MN. Teraz musimy zbadać, czy kierunek był dobrze obranym, kreślimy więc wielobok sił i sznurowy f. Punkt przecięcia się boków skrajnych wyznacza nam położenie wypadkowej TT,. Jeżeli kierunek MN był dobrze dobrany, to TT⁷, przechodzi przez E, jeśli zaś nie przechodzi przez środek ciśnienia T', trzeba ten kierunek odpowiednio zmienić. Po kilku próbach albo zapomocą konstrukcyi podanej przez H ü p p n e r a ²) dojdziemy do tego, że TT, przechodzi przez środek ciśnienia. Największe natężenie jest wtedy v' v".

§. 157. Kominy fabryczne.

Powyższe wywody znajdują zastosowanie przy obliczeniu wytrzymałości kominów fabrycznych.

Uwzględnić należy przy takiem obliczeniu ciężar własny i parcie wiatru. Ciężar własny C da się dla danego komina łatwo wyznaczyć, potrzeba tylko w obliczeniu uwzględnić dokładnie ciężar gatunkowy danego muru.

Przy stałej grubości g (rys. 344) dla piątra o wysokości h możemy wyznaczyć ciężar wedle średnich wymiarów D, i ds. Dla kominów okrągłych otrzymamy

i

k........df

A<

«........<tś

lprf-

"² W

c- h

......JL

HI

Rys. 344.

O^y. ₄v(A²-rf,²)=0,7854yÄ(A.²-rf,²)    •    •    716)

Jih

Dla kominów ośmiobocznych będzie

.    .    717)

C = 0,8284 yh (D²— rf²) .    .

jeżeli Z) i d oznaczają średnice kół wpisanych dla przekroju średniego.

('iężar właściwy y należy przyjąć wedle rozporządzenia austr. min. handlu z r. 1902 dla muru z zwykłych cegieł nie więcej niż 1600 Ä#/m³, dla muru z zendrówek 1800 kgjm³. Większy ciężar można przyjąć tylko po zważeniu próbnem danego materyału.

Parcie wiatru należy tu przyjąć większe, niż przy zwykłych budowlach, z powodu wysokości, a także ze względu na powiększenie natężeń z powodu wahnień sprężystych i możliwego skrzywienia osi kominu. W Niemczech przyjmują zwykle w—12b kg/m², co jest za mało, w Austryi 150 kgjm¹. Jednak z powyższych powodów radzi Grobel³) przyjmować parcie wiatru w—200 kg/m'² w kierunku poziomym.

Z powodu, że powierzchnia kominu jest krzywą, parcie jest mniejsze, niżby wypadło na rzut pionowy kominu, a mianowicie spółczynnik d, którym pomnożyć mamy rzut, wynosi, jak o tern mówiliśmy w §. 107., dla przekroju kołowego 0,848, -dla ośmioboku 0,890, dla sześcioboku około 0,790.

Dla danego przekroju mn (rys. 345) należy wyznaczyć C, W i punkt zaczepienia parcia wiatru A', który leży w środku ciężkości przekroju pionowego, będącego trapezem. Grdy dwie te siły złożymy, otrzymamy wypadkową Ii, przecinającą przekrój w K. Tu uwzględniamy tylko składową pionową wypadkowej C, a gdy długość OK^w, otrzymamy

ir

718)

w~ch

Znając środek ciśnienia K i siłę C możemy wyznaczyć teraz natężenie w przekroju mn. Badanie to przeprowadzić należy przedewszystkiem dla wszystkich piąter, zaczynając od góry aż do podstawy AB, bo chociaż dla wyższych przekrojów siła W się zmniejsza, to zmniejsza się też i C a także i grubość ścian, mogą być więc czasem wyżej natężenia większe.

"AT

/>

0L_iiSjKl____JL.£2

- f- W <

9

te

Dla tak wielkiego parcia wiatru, jakie rzadko kiedy się może przytrafić, nie możemy żądać, aby linia ciśnienia nie wychodziła, z jądra, z drugiej znów strony nie wystarcza też, aby nie wychodziła z przekroju. Należy więc dopuścić wyjście jej z jądra, ale ciśnienie nie powinno przekraczać dozwolonej granicy, na ciągnienie zaś wcale nie liczymy, przypuszczając, że szew się otworzy. Mamy więc wtedy wypadek, o którym mówiliśmy w dwu poprzednich paragrafach.

Rozporz. austr. min. lia dl u z r. 1902 przepisuje natężenia dopuszczalne na ściskanie dla muru z cegieł zwykłych . .

„    „    „ zendrówek . .

jednakże przy użyciu zaprawy wapienno-cementowej, złożonej z 1 części cementu, 4 części wapna i 10 części ostrego piasku.

Natężenie dopuszczalne na rozciąganie wynosić może

dla komina do BO m wysokości.....x=l,2 kg/cm²

„    „ o wysokości /i >■ 30 m . . . x=l,2—0,05 (fl—30)kg/cm².

Oprócz tego należy wykazać dwukrotną pewność na wywrót komina.

Zajść tu mogą trzy przypadki.

Przekrój może być aj okrągły, b) wie-loboczny z dwiema osiami symetryi, c) całkiem nieregularny. W wypadku

b) postępować należy wedle §. 155,    _ [__J_ |_

w c) wedle §. 156, dla wypadku a)

Keck*) obliczył tablice, które wyznaczenie natężeń znacznie ułatwiają.

Kys. 346. przedstawia przekrój komina okrągłego, którego powierzch-

F=(r²—r\)n a w, =~

Rys. 345.

. . 8 kg/cm2 . .    12 kg/cm²

lii

i \i

1w-

ma

Rys. 346.

według 712). Jeżeli nazwiemy największe natężenie w B v,

v', to możemy napisać v—v.v' .

a średnie

F    (r²—

.    .    719)

a wartość spółczynnika v da się obliczyć.

*) P. Keck: Excentrische Druckbehandlung cylind. Mauerkörper. Zeit, d. hann. Ing. u. Arch. Verein. 1882 str. 627.

Goebel podaje dla spółczynnika v następną tabliczkę: Tablica XLIII.

0,00

1,0

0,05

1,2

0,10

1,4

0,15

1,6

0,20

1,8

0,25    2,0

0,30

2,23

0,35

2,48

0,40

2,76

0,45

3,11

0,50

0,55

3,55

4,15

0,60

4,96

0,65

6,60

0,70

7,48

0,75

9,93

1,00

00

0,5

0,6

OJ

0,8

0,9 J__1,0

1,0

1,0

1,00

1,00

1,00

1.00

1,16

1,32

1,48

1,64

1,80

1,96

2,12

2,29

2,51

2,80

3,14

3,58

4,34

5,40

7,26

10,05

15,55

30,80

72.20

OC

1,15

1,29

1,44

1.59

1,73

1,88

2,04

2,20

2,39

2,61

2,89

3,24

3,80

4,65

5,97

8,80

13,32

25,80

62.20

00

1,18

1,27

1,40

1,54

1,67

1,81

1,94

2,07

2,23

2,42

2,67

2,92

3,30

3,86

4,81

6,53

10,43

19,85

50,20

00

1,12

1,11

1,10

1,24

1,37

1,49

1,61

1,73

1,85

1,98

2,10

2,26

2,42

2,64

2,92

3,33

3,93

4,93

7,16

14.60

34.60

00

1,24

1.33

1,44

1,55

1,66

1,77

1,88

1,99

2,10

2,26

2,42

2,64

2,95

3,33

3,96

4,50

7,13

19,80

00

1,20

1,30

1,40

1,50

1,60

1,70

1,80

1.90

2,00

2,17

2,26

2,42

2,64

2,89

3.27

3J7

4.71

6.72

GC

Jack er podaje też przybliżony sposób wyznaczenia wy-kreślnego największego ciśnienia*). Jeżeli siła P (rys. 347) za-

^ Jiifj

'kfmm

W£ß

.....*

< V₀y

0 IS ii

<•".......----------->j

......Uê

Eys. 347.

Eys. 348.

czepia w H jeszcze w jądrze, to wedle 417), gdy ij nazwiemy promień jędrny, natężenie w B

*) P. Oesł. Wochensch. für d. öff. Baudienst. 1902 str. 271.

Wobec tego vx wzrasta proporcyonalnie do y, i da się przedstawić linią prostą MN (rys 348). Po przekroczeniu linii jędrnej ciśnienie wzrasta dalej wedle linii krzywej, zamiast której Jack er przyjmuje parabolę. Wyznacza on jeden punkt ten krzywej 7", leżący na linii ON dla y~y%) przyczem, jak autor udowadnia,

y₂

zaś w C

Os

*j|

t-H

s-*

<S>.

K)

.    .    720)

.    .    721).

jeżeli s oznacza odstęp środka ciężkości O, połowy przekroju od osi przez środek ciężkości O.

Z rys. 348 widać, że jeżeli środek ciśnienia wyjdzie z jądra, to z początku v nie bardzo wzrasta, później jednak po przekroczeniu n. p. punktu P, dla którego y=y', natężenie wzrasta niepomiernie : dlatego należałoby nie dopuszczać przekroczenia środku ciśnienie poza punkt P.

R o z p. pruskiego min. handlu z r. 1902 przepisuje, że dl a parcia wiatru 125 kglm² rzutu komina okrągłego przynajmniej połowa przekroju powinna być ciśnioną czyli oś obojętna co najwyżej może przechodzić przez środek przekroju O.

D. Budowle ziemne.

XIII. Równowaga stoków.

¹

Obrębowicz: Oznaczenie naprężeń, wywołanych działaniem sił prostopadłych do przekroju. ,.Przegląd Techniczny“. 1884.

Barkhausen: „Druckvertheilung im rechteckigen Mauerquerschnitt¹¹. „Zeitschr. des hann. Ing. u. Arch. Verein“. 1883.

²

P. Civilingenieur 1885 str. 39. Patrz także S c h e p p : vZur Ermittelung der Druckvertheilung in Maueruerkssrhnitten. Centr. d. Bauvcrw. 1889.    >

³

P. Gröbel: Standfestigkeit der Schornsteine. Zeitschrift des Vereines deutsch. Ingenieure. 1898 str. 180.

§. 158. Zasady.

Będziemy teraz badali prawa równowagi budowli takich, których materyałem jest ziemia, a więc n. p. wałów, rowów, przekopów. Przypuszczamy przytem, że ziemia jest ciałem je-dnorodnem i niesprężystem o małej spójności. Tu więc nie będziemy mogli zastosowywać prawideł o wytrzymałości, wyłożonych w poprzednich rozdziałach, lecz zato uwzględniać będziemy także tarcie, tj. opór, jaki powstaje przy ruchu względnym dwóch ciał lub dwóch części tego samego ciała, przylegających jedna do drugiej.

Z mechaniki wiemy, że tarcie jest wprost proporcyonal-nem do ciśnienia prostopadłego na płaszczyznę zetknięcia obu ciał a niezależnem od wielkości powierzchni zetknięcia ; spójność zaś jest niezależną od ciśnienia prostopadłego a propor-cyonalną do powierzchni przekroju. Chcąc przesunąć cząstki ziemi, musimy przezwyciężyć obie te siły.

Powierzchnię ziemi nachyloną ku poziomowi, nazywamy stokiem (n. Böschung, fr. talus, an. slope, talus, r. otkoob, HaKJiOHri>) a styczną kąta nachylenia stoku do poziomu czyli stosunek wysokości do rzutu pionowego stoku (np. 1:1, 1:2) stoczystością (n. Neigung der Böschung, fr. pente, an. slo-ping). Zastanawiać się będziemy głównie nad stokami, których stoczystość w każdym punkcie jest ta sama, czyli nad stokami płaskimi, a ilekroćbyśmy mieli rozpatrywać stoki o zmiennej stoczystości, osobno to zaznaczymy.

§. 159. Równowaga ziemi niespoistej.

Wiemy, że powierzchnia wody w stanie równowagi jest poziomą. Piasek, żwir i ziemia sypka, których spójność jest bardzo małą, utrzymują się w równowadze, chociaż ich powierzchnia jest nachyloną, ale tylko do pewnej granicy, gdy kąt nachylenia stoku nie przekroczy pewnej wartości q (rys. 349).

Rys. 349.

Dla tego największego kąta q niech się znajduje punkt materyalny m na powierzchni AG właśnie w stanie równowagi tak, że' najmniejsze powiększenie kąta q już by wywołało stoczenie się punktu m. Ciężar tego punktu c rozdziela się na c, i c₂, przyczem c₁₌=cwst(), c₂ = cdost(). Siła cx stara się poruszyć punkt w kierunku CA, c₂ zaś przyciska go do płaszczyzny i wywołuje tarcie. Jeżeli spółczynnik tarcia nazwiemy f, to dla równowagi musi być cx = fc.l, czyli c wst(>=-/bdost(), a stąd

.    .    722)

f = St Q .

Ponieważ kąt q zależnym jest tylko od spółczynnika tarcia, dlatego nazywamy go kątem tarcia (n. Reibungswinkel, fr. a,ngle de frottement, an. angle of friction, r. yrojin Tpemi) (p. §. 131). Stok dla którego ziemia sypka utrzymuje się w równowadze, a więc nachylony pod kątem tarcia do poziomu,

nazywamy s t o k i e m naturalnym, stokiem usypu (n.wff-türliche Böschung, fr. talus naturel, an. plane of repos, r. othoct. Hacunii). Stok naturalny i kąt tarcia ziemi niespoistej wyznaczyć można, sypiąc ziemię i podgartując ją pod górę. Ziemia ułoży się wtedy w stoku naturalnym.

§. 160. Równowaga ziemi spoistej.

Jeżeli stok AB (rys. 350) jest za stromy, wtedy ziemia nie może utrzymać się w równowadze i część ziemi ABD się

usuwa. Część tej ziemi nazywamy odłamem, a powierzchnia AD, jak doświadczenia Forch-heimera i Leygue’a okazują, mało się co różni od pła- t,|

//_szczyzny. Przyjmować więc ją

będziemy nadal za płaszczyznę i nazywać płaszczyzną odłamu (n. Bruchfläche, Gleitebene, fr. plan de rupture, plan de séparation, plan de glissement, plane of rupture). Gdyby spójności nie było, to kąt a, pod którym stok AB jest nachylony do poziomu, nie mógłby być dla równowagi większym, niż ę. Z powodu działania spójności kąt ten będzie większym, a zadaniem naszem będzie teraz wyznaczenie jego wielkości.

Zauważmy bryłę ziemi, której długość w kierunku prostopadłym do płaszczyzny rysunkowej niech będzie równą jedności, nazwijmy l prostą AD, c spójność na jednostkę powierzchni, f spółczynnik tarcia między ziemią a ziemią a q odnośny kąt tarcia i zaczepmy w środku ciężkości odłamu S ciężar jego C, to da on się rozłożyć na ległą do AD. Wtedy będzie

A*

an.

feytn

li

s'D

Rys. 350.

siłę N prostopadłą do AD i P równo-

N=Cdost^, P=Cwst^, ....    723)

jeżeli xp jest kątem nachylenia płaszczyzny odłamu do poziomu. Siła P usiłuje poruszyć odłam w kierunku DA wia się siła Q, powstająca wskutek tarcia i spójności ziemi w płaszczyźnie odłamu.

Stąd otrzymamy

czemu sprzeci-

Usunięcie powstać może tylko w jednej z tych płaszczyzn,

1. Wnosić Ul

zaś można, że powstanie ono rzeczywiście w tej płaszczyźnie,

jest największością t. j. przybiera wartość najdalszą od tej, która potrzebną jest do równowagi t. j.

= 1. Jeżeli przeto w jakimkolwiek danym przypadku wy-^    p

znaczymy stosunek ^ dla każdej płaszczyzny pęku płaszczyzn,

będzie

przechodzących przez A, dla której P>Q, t. j.

w której stosunek

ft,

przechodzących przez A, to płaszczyzna, dla której

naj większością, będzie tą płaszczyzną, w której nastąpi usunięcie, gdy naj większość ta przekracza wartość =1. Warunkiem równowagi będzie więc, by najw. P<Q, bo wtedy

dla innych płaszczyzn będzie tern bardziej < 1. My zajmować się będziemy wypadkiem granicznym i badać, jak wielkie może być a, aby stok był jeszcze w równowadze, zatem

najw. ^ = 1.....

Ula tego wypadku musi być pochodna funkcyi

.    .    725)

Oh O?

równą

zeru, czyli

. QdP—PdQ

0, stąd QdP +

a więc

Q² dtp

—PdQ = 0, a nareszcie uwzględniwszy równ. 725), otrzymamy

dtp

1 = najw.

dP

.    .    726)

<i<r

Na podstawie tych równań możemy w każdym szczegółowym przypadku wyznaczyć kąt ip.

Z równ. 725) i 726) wynika C wst ip = Cf dost rp +cl, a więc

c=— (wst ip—st Q dost 1p)=

C wst (>—(>)

1 dost o

.    727)

§. 161. Naziom płaski i nieobciązony.

Jeżeli powierzchnia ziemi BD, którą nazywamy naziomem (o stoczystości mniejszej, niż stok naturalny, powierzchnię o stoczystości większej zowiemy stokiem) (rys. 351)

jest płaszczyzną nachyloną pod kątem ß do poziomu, wtedy ciężar odłamu możemy wyznaczyć, nazwawszy y ciężar gatunkowy ziemi w następny sposób :

C=y AABD=\y AB. AD. wst (a—ty),

a wstawiwszy za Al) wartość l

otrzymamy

wst (a—ty) wst a

&.....

a ABz= h

*.....;

ityź

r>

• wst a C=\yhl

n...

......>

Według równań 723), 724) i 725) mamy

Rys. 351.

i f^=stę, otrzymamy:

C wst ty ^

Q    Cf dost tyĄ-cl

a stąd, wstawiwszy wartość za C

P    y hl wst ty wst (a—ty)

Q    y hl wst (a—ty) dost V’ st p + 2 cl wst a

Różniczkujmy osobno licznik, a osobno mianownik tego , | wyrazu, a otrzymamy wedle 726)

d P    — wst ty dost (a—ty) -f dost ty wst (a—ty)

d Q [wst (a—ty) wst *p + dost (a—V’) dost ty] st q wst (2 ty—a) dost (2 ty—a) st ę

.    728)

st(2 ty—a)

stąd 2 ty — a=ę, zatem

ty =

.    .    729)

A więc płaszczyzna odłamu połowi kąt, zawarty między stokiem rzeczywistym a n a t u-r alnym.

Równanie 728) możemy inaczej napisać

yhwsttywst(a—ty)—yh wst (a — ty) dostt^ st^+Sc wst a, a stąd 2 c wst a    2 c wst a dest q

y wst(a—ty) [wst ty—dost ^/st(>]    y wst (a—ty) wst (ty—(>) ‘

Oba kąty w mianowniku możemy inaczej wyrazić, a mianowicie :

a—ty =

o-\-a    a—o    ,    P + « a—Q

“    2 “X’    ^ 2    = —’ a Wię°

, Scdostp wst a y wst² ~%-

Z tego wzoru możemy obliczyć wysokość stoku, dla której się «tok jeszcze może przy spójności c utrzymać; kąt ß, jak widzimy, w tym wypadku zupełnie nie wchodzi w rachubę, a więc tu jest h od stoczystości naziomu niezależnem.

§. 162. Stok pionowy.

Dla stoku pionowego a = 90° ; nazwijmy odnośną wysokość stoku A₀ (n. Standhöhe), to z równania 729) otrzymamy

^dost²

wst²-^

ywst²^45°—    \ y ^wst45° dost ^ —dost45°wst

= ^ st ^45°d-----.

2 c dost q

tO ''O

|dost 2 +wst j 4c^l-fst J j y (l- st j

fdost

—wst

Q/ CM

Q/ CM

4-

731)

Znając odwrotnie A₀, możemy obliczyć c, a mianowicie

.    .    732)

Wstawiwszy tę wartość w równanie 730), otrzymamy

hn dost q wst a

h=

2 wst

st

(⁴⁵⁰⁺ł)

.    .    733)

Z pierwszej wartości h₀ otrzymamy też wst²

yh₀

dost Q

a wstawiwszy to w 730)

wst²

h = h₀

(45-    )

i* 'S

wst a

.    .    734)

Wzory te służą do obliczenia wysokości stoku pochyłego dla jakiegokolwiek kąta a. Ott obliczył z równań 733) i 734)

następną tabliczkę dla wartości ^ :

h₀

Tablica XLIV.

Wartości dla dot p

1, 0 L hl

1,2

1.3    1.4

1,5    1 1,6

Wartość dla dot a

ąąąąąąą g ąąąts ąąą ąg g ąs g

do odo do o odo d'o o od h h h h h

1,17

1,99

2,35

2,79

3,36

4,11

5,11

6,47

8,41

11,28

15,77

23,26

37,41

68,21

157,39

645.69

OD

1,64

1,89

2,19

2,56

3,02

3,60

4,34

5,31

6,63

8,40

10,90

14,63

20,47

30,26

48,55

86,59

204,69

840,78

00

1,59

1,82

2,08

2,39

2,78

3,24

3,84

4,58

5,53

6,77

8,42

10,69

13,92

18,67

26,65

38,61

61,95

113,03

260,64

1072,65

0©

1,55

1,75

1,99

2,27

2,60

3,00

3,48

4,08

4,83

5,76

6,96

8,52

10,61

13,46

17.51

23,50

32,86

48,60

79,01

142,23

328,14

1,47

1,63

1,81

2,02

2,26

2,54

2,87

3,24

3,69

4,22

4,84

5,60

6,51

7,63

9,01

10,79

12,98

15,88

19,74

25,04

32,53

Przykład. Mamy wykopać rów głęboki 9?« w ziemi, dla której p=32°, więc dotp=l,6 a h₀=lm. Jaka może być stoczystość?

h

Tu mamy h—9, 7i₀=l, więc — = 9, liczbę tę szukamy w ostatniej

"o

kolumnie i znajdujemy 9,01, co odpowiada dota=0,90, a więc a=48n.

§. 163. Wyznaczenie wykreślne spójności, wysokości stoku i stoczystości.

Na podstawie powyższych równań możemy wykreślnie wyznaczyć stoczystość, stok pionowy lub spójność, jeżeli znanym jest kąt tarcia.

Z równ. 730) wynika c

albo gdy nazwiemy:

1. Dane są a, h i wyznaczyć należy c (rys. 352). yh wst2<^P

2 dostę wst a

AB=l=—~— wst a

c=yl

2 dost ę

y l wst² d C 2dost(>

Społowiwszy kąt a—ç, otrzymamy kąt ô. Z B spuszczamy prostopadłe na AD i AC, to B, E, F i A muszą leżeć na półkolu.

a gdy a—ę = 2ć, więc

.    .    735)

H'''

p lA

Rys. 352.

y EG

Z E kreślimy poziomą EG, a wtedy c=- ’ T

. Aby się

o tem przekonać, zrobimy EI/jAC, to

El _ BE™stć _ Z.wst²ć dost q dost q dost ę

EG

2c

,    736)

zatem ze względu na 735) EGr==—

Udowodniliśmy, że półkole, założone na AB, przechodzi przez F i E. Poprowadźmy styczną do koła KL // BF, to AKL BEL bo AK=BE, a boki równoległe. Stąd łatwo udowodnić, że

2c

AM=EG= -

737)

Nareście jeżeli z B zatoczymy łuk promieniem BA i wykreślimy styczną NFljBF, to AQ=2 AM, jak to się da łatwo udowodnić z podobieństwa trójkątów, zatem

4c

AQ = ~~

738)

2. Dane a, cię, szukana wysokość h. Połowimy

kąt CAB i kreślimy AN _\_BD, odcinamy teraz AQ=

4c .

— i przez

punkt Q kreślimy QN prostopadłą do AC. Z punktu N kreślimy NB równolegle do AC i w ten sposób otrzymujemy punkt B, a zatem i wysokość stoku.

29

Statyka.

3. Dane są c, h i q, szukane a.

4 c

Odcinamy AQ— , kreślimy QN | AC i szukamy na poziomej w wysokości h ptmktu, z którego możemy poprowadzić

koło styczne do QN a przechodzące przez A.

4. Dane h₀, hi ç, szu-kane a (rys. 353). Dla danego h0 możemy c obliczyć z równania 732) albo też wyznaczyć wykreślnie wedle 1. Zatoczmy z B₀ łuk promieniem Ä₀ i wykreślmy styczną

. Dalsza kon-

/A

NX

Rys. 353.

4c

QN\AC, to AQ=

7

strukcya, jak poprzednio, wedle 3.

§. 164. Parabola spójności.

.Jeżeli dla rozmaitych h będziemy szukać wedle poprzedniego paragrafu kąty a, a zatem odnośne punkty B (rys. 354), to da się łatwo udowodnić, że punkty te leżą na paraboli. Na mocy konstrukcyi bowiem jest AB\— B\Ni, a to jest właśnie cechą punktów para

.. Ru

fia

boli, której osią jest stok na-turalny, punkt A ogniskiem N,

a\

8cdostp

-Cr -

h₃

a parametrem 2AP—

Nazywamy ją parabolą spójności (n. Cohäsions-parabel), kreślimy poziomą

U'

rA

AQ =

4c

Rys. 354.

- i QP±AC.

Jeżeli wykreślimy z punktów B prostopadłe do AC, to PZ\=NXB^ = AB. Na tern polega prosty sposób wykreślenia paraboli spójności. Z punktu A zakreślamy łuk dowolną długością ABU robimjr PFl = ABi i wystawiamy w ^prostopadłą do przecięcia się z łukiem w B

§. 165. Wyznaczenie stoku naturalnego, spójności i ciężaru gatunkowego.

Mówiliśmy poprzednio, jak się wyznacza stok naturalny ■dla ziem niespoistych. Dla ziem spoistych najlepiej wyznaczać hę i q z doświadczeń; w tym celu trzeba ziemię skopywać pionowo. Wykop musi być dość długi o zmiennej głębokości, należy go zostawić najlepiej przez cały rok, aby się przekonać, o ile wpływy atmosferyczne zmniejszają spójność. Największa wysokość, przy której stok pionowy się utrzyma, będzie A₀. To samo możemy zrobić dla innych kątów a i otrzymamy odnośne h. Z tych wartości możemy wtedy wyznaczyć c i q na podstawie równań 732) i 733). Na podstawie doświadczeń Kavena możemy przyjąć dla ziem zbitych £ = 225 kgjrn², a że należy uwzględnić spółczynnik pewności 1,5, więc przyjmujemy zwykle

.    .    739)

c = 150 kgjm².

W tym samym stosunku zmniejszamy też i kąt tarcia.

Możemy dalej przyjąć:

.    740)

dla zwykłej ziemi zbitej h₀ = 1 do 3 ni dla zbitego iłu lub gliny h₀=2 do 5 m

Dla bezpieczeństwa lepiej przy obliczeniu przyjmować mniejsze wartości t. j. 1 względnie 2 m. Na wielkość tarcia i spójności ma znaczny wpływ atmosfera. Ważną okolicznością pod tym względem jest ilość wody, znajdującej się w ziemi, zwłaszcza gliniastej. Gdy glina jest tylko zwilżoną, spójność jest wielka, gdy jest suchą zupełnie — mała, a gdy przesiąknięta wodą — prawie żadna, kąt ę schodzi czasem do 10°. Dlatego też przy budowlach ziemnych bardzo ważną rzeczą jest odpowiednie odwodnienie.

W tabl. XLY. podaliśmy według Rebh an na i Otta kąt tarcia p, ciężar metra sześciennego y i spójność c dla rozmaitych ziem. Nie potrzebujemy dodawać, że są to tylko wartości przeciętne. Przy większych budowlach ziemnych dobrze jest robić, jeśli czas na to pozwala, z daną ziemią osobne doświadczenia dla wyznaczenia cię.

Tablica XLV.

M a't e r y a ł

ciężar kąt gatun-tarcia kowy

spój

ność

stp dotp

kg Im³

kg/m

Ziemia roślinna sypka sucha . . .

„ wilgotna nasycona wodą . . suciia ubita . . . . „    „ wilgotna ubita . .

Glina sypka sucha

V)

ubita sucha

wilgotna......

nasycona wodą . . .

„    „ naturalnie wilgotna .

Piasek suchy miałki.......

gruby .......

#77

n    wilgotny . . ,

, ,,    nasycony wodą.....

Żwir graniasty (tłuczony) . . .

„ okrągły (rzeczny).....

Zboże.............

Śrut..............

OOOOOOO OOOOOOO 5 0    0    0

1420

1580

1800

1680

1880

1600

1550

2000

1790

1850

1500

1640

1770

1950

1800

1800

759

6800

250 250 i

500

600

930

400

10

20

100

60

1500

1500

o <d <dcfcT cTi-To'cfcTo"o"cTo"i-To~<z> ©

O ÇQ 1— O rji co

l- X iO 05 H X

tOO^lQMWQQ^Qœ ^ 05-J O ■'UD O ö 00 O Ifi-

tO t?0 i—* *—* 1—1J⁻¹

o;cntsoototoooc»ie-i-‘“OOtoo5H-‘toioGc

Müller Breslau podaje następną krótką tabliczkę :

Tablica XLI.

Rodzaj ziemi

kg/m³

Ziemia roślinna sucha

••

Glina sucha

wilgotna.....

nasycona wodą

1400

1600

1800

1500

85°—40°

45°

„ mokra.....

Piasek nasycony wodą wilgotny . . . suchy.....

77

„    „ średnio...........

Żwir tłuczony..............

rzeczny...............

Keck podaje następne wartości:

Tablica XLVII.

Rodzaj ziemi

Ił suchy........

w mokry........

Glina sucha......

„ mokra......

Ziemia roślinna mokra . Piasek, żwir rzeczny . . Żwir tłuczony.....

1900

2000

1800

1580-1650

1600

1800

1800

kg/m³

1500

1900

1600

1950

1650

1600-1860

1600

30°—35° 40°—45° 200-26°

25"

40°

30°—35° 33 */₂ 0 35°—40°

30"

4o°—46° : 20°—25° 40°—50° 20"—25° 30°—35°

30°

35°—40°

§. 166. Naziom załamany.

•leżeli naziom nie jest płaskim, lecz składa się z dwu płaszczyzn (rys. 355), a jeżeli AD jest płaszczyzną odłamu, to czworobok ABFD musimy zamienić na trójkąt AED, aby można poprzednie wzory zastosować. Kreślimy więc -BE\\AF i dalej wykreślamy tak, jak gdybyśmy mieli stok AE i naziom płaski. Płaszczyzna odłamu połowi wtedy kąt EAC, a dalsza kon-«trukcya pozostaje ta sama.

•Jeżeli jednak przy tej przemianie, punkt D wypadłby przed F, to w takim razie stok się zachowuje, jak gdyby był płaskim.

Hl

'A

,V,

y//

V-.

■S'é

fl, Q

./,yÿ-4

//

Rys. 356.

Rys. 355.

Jeżeli odległość punktu załamania wzrasta, wtedy może się zdarzyć, że gdy bez przemiany podzielimy na połowę kąt a—q (rys. 356), punkt D może wypaść przed punktem załamania F. Jeżeli zaś przeprowadzimy przemianę, to wypada nam płaszczyzna odłamu AD^. Któraż z nich jest prawdziwą? Ta, dla której potrzeba większej spójności. Jeżeli więc zatoczymy z B koło promieniem BA₁ z E promieniem EA i wykreślimy styczne J AC, to zatrzymujemy tę płaszczyznę odłamu, dla której AQ jest większem. Tu AQ^> AQ, więc prawdziwą linią odłamu jest AD.

§. 167. Równowaga ziemi jednostajnie obciążonej.

Jeżeli ziemia jest jednostajnie obciążona ciężarem q na m², to licząc na długość równą 1 m w kierunku prostopadłym •do rysunku, otrzymamy (rys. 357) C—y.ABD-\-BD.q.

Powierzchnię trójkąta ABD wyznaczyliśmy już w §. 161,.

wst (a—ty)

a mianowicie, gdy AD=l, ABD=\ hl

wst a

dla

wyzna-

czenia BI) zaś ustawimy proporcyą :

BD : l—wst (a—ty) : wst (180—a-f ß) l wst (a—ty) wst (a—ß)

więc BD=

nm

Wstawiwszy te wartości w równaniu dla C, otrzymamy G—^yhl

<c -

wst (a—ty) wst a ql wst (a —ty) wst (a—ß)

= Z wst (a—ty) (— J

\wst a

<1

4-

wst (a—ß) ) '

Wzór otrzymany jest podobny do-wzoru dla ziemi nieobciążonej (§. 161), tylko tutaj zamiast yh

2 q wst a

Rys. 857.

musimy podstawić wyraz yh-{■

wst (a—ß)

Ponieważ wyraz ten jest niezależny od kąta ty, więc kąt

ty będzie taki sam, jak poprzednio, tj. ty=^~

płaszczyzna odłamu połowi kąt między stokiem naturalnym a rzeczywistym.

a więc i tu

Dla ziemi nieobciążonej mieliśmy według 733)

wst a dost(?

yh^yh o

2 st

^45°+ j wst²

dla ziemi obciążonej otrzymamy podobny wzór, podstawiwszy tylko zamiast y h wyraz powyżej wspomniany, więc

wst a dost q

yh +

2 q wst a wst (a—ß)

= Yh

h = h₀

to

wst « dost£

^45°4- j wst² — 2

2 st ^45°h—j wst² --g—

2 g wst a

q y wst (a — ß)

a stąd

.    741)

Według 733) pierwszy wyraz równa się hi wysokości stoku ziemi nieobciążonej, więc

li = lin —

2 ą wst a

y wst (a—ß) ' Dla naziomu poziomego ß—0, więc

.    .    742)

h=li, —

us

743)

A zatem dla naziomu poziomego obciążenie na wysokości hx ma ten skutek, jak gdyby stok był o — wyższym. Po-

7

chodzi to stąd, że obciążenie powiększa wprawdzie tarcie, ale nie powiększa spójności, gdy przy stoku wyższym obie siły wzrastaj ą.

Przykład. Na poziomym naziomie .stoku wysokiego 8 m (rys. 858) mamy złożyć kamienie; jak wysoką może być warstwa tych kamieni bez narażenia stoku na usunięcie?

Mamy dane sta = l, h₀= 1, ciężar gatunkowy ziemi y=1600 kg]m'^ ciężar gatunkowy kamienia uwzglę-!/ dniając próżnie między kamieniami y₁ = 2000 kg/m³, kąt sjc ■ tarcia p=35°. Tu obciążenie na «** będzie q=y?/=2000 y, I jeżeli y oznacza wysokość kamieni. Dla sta=l,0 otrzymamy wsta=0,707, a=45n, dalej będzie

•‘^=50, 45——=27,5°, wst²27,5°=0,2134,

Rys. 358.

wst

=1 —

*₀P =0,087, wst² — 0,00757. Więc wedle 734)

2 X 2000 y _

19,93 w, zatem wedle 743)^=19,93— — 2,5y=8 ot. stąd y=4,77 ot.

1000

19,93

§. 168. Wykreślne wyznaczenie stoku ziemi jednostajnie obciążonej.

.Jeżeli w równowadze utrzymuje się stok AB obciążony ciężarem q (rys. 359), to ciężar ten q zamieniamy, jak wiadomo, na warstwę ziemi o wysokości    Z poprzedniego

paragrafu wiemy, że płaszczyzna odłamu pozostaje ta sama, co dla stoku nieobciążonego,. otrzymujemy ją przez społowie-nie kąta BAC. Odłam więc stanowi powierzchnia ABIFD, którą zamieniamy na trójkąt, robiąc ze względu na 743) I^I—IB =A₁, Ix B^H BD i przedłużając AB aż do Bx. Dalsza konstrukcya pozostaje ta sama, AQ=~. BN jest kierownicą, A ogniskiem a punkt Bi jest punktem paraboli spójności.

4c

§. 169. Naziom dowolny częściowo obciążony.

Jeżeli naziom dowolnie zakrzywiony jest częściowo obciążony (rys. 360), to właściwie płaszczyzna odłamu nie pozostaje

ta sama, co dla ziemi nieob-ciążonej , mało się jednak różni. Przyjąwszy znów płaszczyznę tę samą, połowiącą kąt BAC, zamieniamy ABEE\ Dx D

na trójkąt ABS D, którego wierzchołek leży w odstępie 2 h, od ED.

V7:

fl,

IV

\\

\ N

d\

Ki

//

Rys. 359.

Dalsza konstrukcya pozostaje ta sama, zatem Ą. Q

—. W ten sposób

możemy wyznaczyć e, spójność potrzebną do równowagi stałej. Jeżeli rzeczywista spójność jest c', to

= n jest stosunkiem

pewności.

AQ =

c'

/),

\\

//

Rys. 360.

170. Stok zakrzywiony.

Z paraboli spójności (rys. 354) widzimy, że ,im większem jest h, tern większem jest a. Dla wyższych części stoku, dla których h jest mniejszem, może więc być stoczystość większą. Jeżelibyśmy więc nasyp (rys. 361 a) w myśli podzielili na warstwy poziofne i dla każdej z nich wyznaczyli kąt nachylenia stoku, to otrzymalibyśmy stok krzywy AB w dołu mniej, u góry więcej stromy. Przy większych nasypach urządzamy rzeczywiście w praktyce stok krzywy, lub też jako przybliżony kształt stok z ławeczkami (rys. 3616).

W7,

c)

Rys. 361.

"Winkler wyznacza równanie krzywej AB (rys. 361 a), z którego się okazuje, że krzywa ta ma właściwie kształt ABC (rys. 361 c), kształt, jak widzimy, nieprawdopodobny, gdyż przytem nie uwzględniono tej okoliczności, że ziemia złamałaby się pod własnym ciężarem w linii BD ; w rzeczywistości więc ziemia usuwa się w linii ABD¹).

XIV. Parcie ziemi, obliczone sposobem analitycznym.

§. 171. Ogólne zasady.

Jeżeli stoczystość jest tak wielką, że stok spójnością i tarciem nie może się utrzymać, wtedy, aby zapobiec usunięciu się

C,

B,

,'C

Rys. 362.

ziemi, budujemy ścianę drewnianą lub murowaną AB (rys. 362), przypierającą do stoku. Jeżeli ściana jest murowaną, to nazywamy ją mur em oporowym (n. Stützmauer, fr. mur de soutènement, an. retaining wall, h. muro de sostenimiento, r. noftnop-Haa CTf.Ha). Zadaniem naszem jest teraz obliczyć parcie, które ziemia wywiera na mur, a które nazywamy parciem ziemi (n. Erddruck, fr. poussée des terres, an. pressure of earth, r. gaBJieme 36mjih). Wyłożymy tu najpierw teoryą par-

cia ziemi, tak zwaną dawniejszą według Coulomba i Poncelet a, a potem wspomnimy także o innych teoryach.

Gdyby ściana AB miała się poddać, to ziemi aby się usunęła w płaszczyźnie odłamu AG, a więc parcie odłamu ABC na ścianę AB musiałoby przezwyciężyć tarcie wzdłuż AB i AC i spójność w płaszczyźnie AC. Ponieważ jednak spójność ziemi nasypanej jest bardzo małą i bardzo zmienną według stopnia wilgoci i ponieważ spójność i tarcie nie działają równocześnie,, lecz tarcie występuje dopiero wtedy, gdy spójność zostanie zniweczoną, więc zwykle nie uwzględniamy jej w obliczeniu w praktyce dla większej pewności. Gdyby nawet spójność w rzeczywistości równocześnie działała z tarciem, to działałaby tylko korzystnie i zmniejszałaby parcie ziemi; nie uwzględniając jej więc, przypuszczamy warunki najniekorzystniejsze.

Później podamy sposoby uwzględnienia spójności, którego zachodzi potrzeba w niektórych wypadkach. Obecnie pozostaje zatem do uwzględnienia tylko tarcie, które klin (n. Druck-keil, fr. coin de poussée) ABC wraz z obciążeniem ma pokonać przy usunięciu się podczas ruchu po płaszczyznach AB i AC i ciężar klina wraz z obciążeniem C, działający w środku ciężkości S odłamu ABBXCXC. Ciężar C wywołuje oddziaływania 2Vj i N₂, prostopadłe do AB i AC. Podczas ruchu powstaje także tarcie Tx i T₂. Jeżeli kąt tarcia między ziemią a murem nazwiemy ^, a między ziemią a ziemią p₂, to Ty — st ęi, T₂—N₂ st q₂ . Nazwijmy P wypadkową zT⁷, i , a Q z T% i JV₂, to

+ ta Vï + st³^

dost^j

— JV) siecz ęi =

.    .    744>

dost q₂

Jeżeli kąt nachylenia między P i iV, nazwiemy d między Q i N₂, to P==

a d₂

.    .    745)

dost ó.

dost d₂ '

a więc ze względu na równ. 744) ^=<5^ (>₂=d₂.    •    •    746)

Widzimy więc, że podczas ruchu klina ABC odłam wywierać musi parcia na ścianę AC i płaszczyznę odłamu, które są nachylone do AB i AC pod odnośnymi kątami tarcia. Dla równowagi muszą też siły P, Q i C przecinać się w jednym punkcie. Nad tym ostatnim warunkiem zastanowimy się później.

§. 172. Ogólne wyznaczenie powierzchni odłamu i parcia ziemi.

Kąt tarcia między mnrem a ziemią jest zwykle większym, niż kąt tarcia między ziemią a ziemią. Zresztą, choćby on był mniejszym, w naszej jest mocy uczynić ścianę AB więcej szorstką i zwiększyć tarcie tak, że możemy prawie zawsze przyjąć, że kąt tarcia (), > q.₂ . W takim razie przy usunięciu się ziemi, zostaje przy murze bardzo cienka warstwa ziemi, w ziemi tworzy się szczelina, a przy usunięciu odbywa się ruch ziemi po ziemi, musimy zatem uwzględnić spółczynnik tarcia między ziemią a ziemią, a więc ten sam kąt tarcia q₂’ Tak twierdzi Winkler, z którym zgadzają się Haeseler i En ges ser. Jednak nie można temu zaprzeczyć, że może się zdarzyć też, że (^<(>2, zwłaszcza jeśli woda dostanie się poza mur. Dlatego Möller radzi przyjmować dj = -|(>2 Przy zwykłych stosunkach, zaś dt = q₂ przy wązkich i gładkich ścianach, np. przy drzewie heblowanem i okrągłych palach. Müller Breslau stwierdza na mocy doświadczeń, że < ę₂ zależnie od powierzchni ściany, a przeważnie przyjmuje = -f- q₂.

Nadal więc przyjmować będziemy na razie kąt ć1? bliżej nieokreślony, aby można zbadać, jaki wpływ wywierają różne założenia co do wielkości tego kąta. Z rys. 363 otrzymamy, rozłożywszy siłę Cna składowe Pi Q, P: C=ad: «6=wst 17 : wst y. Dalej mamy r\—cp—Q, y= 180— rj—ty= 180 — (cp—Q + ty), więc

Cwst(cp-ę)

WSt(ęP—Q-\-ty)‘

P więc zależnem jest od kąta cp, którego jeszcze nie znamy.

Łatwo jednak zrozumiemy, że ziemia usunie się w tej płaszczyźnie, a więc dla takiego kąta cp, dla którego Pj est naj więk-szem. Szukać zatem będziemy teraz wartości kąta cp, dla którego P jest największem, przy-czem jednak musimy także ciężar C wyrazić jako funkcyą cp, jakto pokażemy poniżej w szczegółowych przypadkach.

Z rysunku widzimy, że

P: (7=wst(qp—q) : wst {cp—£+*/>), stąd P—

1 >S /

rgp>

T*,J

O*.

< -•'v

747)

tc

Rys. 363.

1^=180 — a — ô', więc równ. 747) możemy inaczej napisać p=    gwst(y—(>)

.    .    748)

wst(a—(p + ç + ôp '

Gdy a = 180—q (rys. 364), otrzymamy z równ. 748) p_Cwst(qp—g) wst (9? —dj)

.    .    749)

Jeżeli przyjmiemy    ? t,o P=C. .

fi

< 1 ?/ I

I0,

Rys. 864.

9 V

-

TcT^ćrK

Rys. 865.

I rzeczywiście, jeżeli naziom jest symetryczny do pionowej AC, to łatwo zrozumiemy, że ponieważ płaszczyzna AB jest zupełnie symetryczną do AD t. j. do stoku naturalnego, więc płaszczyzna odłamu musi być pionową, a parcie ziemi w tym wypadku pionowe równa się ciężarowi ziemi ABC, nad murem leżącej.

Gdy a > 180—q, wtedy ciśnienie P jest także pionowe, (rys. 365) i równe ciężarowi ziemi nad murem leżącej, bo wtedy ziemia nie może się usuwać w płaszczyźnie AB, lecz w razie poddania się muru utworzy się w powierzchni AE, nachylonej pod kątem q do poziomu, szczelina i na tej płaszczyźnie ziemia będzie się usuwała. Rozłożyć więc możemy wtedy ABC na AEC i ABE, a z poprzedniego wiemy, że, jeżeli naziom jest symetryczny do AC, to Cx parcie na AE jest pionowem i równem ciężarowi klina AEC, gdyż klin ten, nie usuwając się, działa tylko na mur swym ciężarem, a więc wypadkowe parcie P będzie pionowe i równe ciężarowi klina ABC, czyli ziemi nad murem leżącej i zaczepiać będzie w jego środku ciężkości.

Twierdzenie to ważnem jest także dla a=180° czyli dla muru poziomego, na który parcie ziemi jest pionowe i równe ciężarowi ziemi nad murem leżącej, w przybliżeniu nawet wtedy, gdyby naziom nie był nawet symetryczny do AC.

Aby się przekonać o rzetelności równania 747), zastosujemy ten wzór do parcia wody, a przyjąwszy p=0 i ói =0, musimy otrzymać znane wzory dla parcia wody

ATr (rys-³⁶⁶⁾-h /

U

i

----

Rys. 366.

Nie znając kąta gp, przyjmiemy go z początku dowolnie, niech więc będzie AC płaszczyzną odłamu, to otrzymamy z równania 747) :

(7 wstgp wst (ty-{-ty)

ciężar zaś odłamu będzie:

Cwst gp

wst (a—gp)

C= yw ABC=yxĄBC .h=\yw h(EC—EB) =

wst (a—gp)

=» yw h (h dot gp—h dot a)=£ yv: h²

wst a wstgp’

Wstawiwszy wartość za C w równanie dla P, otrzymamy wst (a—gp)    wstgp

wst a wst gp * wst (gp + ty)

P

znany wzór hydrostatyczny.

—y7">

h²

wst a’

.    750)

§. 173. Ogólne wyznaczenie punktu zaczepienia parcia ziemi.

Nazwijmy p parcie ziemi na część muru BC (rys. 367) przyczem rzut pionowy długości BC niech się nazywa x. Jeżeli

x wzrośnie o dx₎ to p wzrośnie o dp, parcie na część muru CC'. Całe parcie P na mur AB będzie P— ^ dp.

-i * !

Moment siły dp ze względu na punkt B jest dp. Bs — dp. BCdost g =

r..

n V

= dp.

padkowej P będzie więc P. Br = —P. BE dost g = P^~~^ dost g =

-SU!**-art%de*” •

W szczegółowych wypadkach wyznaczamy dp, wstawiamy w równanie 751) i otrzymujemy w ten sposób eu a stąd e=h—et.

X

-dost g. Moment siły wy-

wst a

Rys. 367.

.    751)

§. 174. Wyznaczenie parcia ziemi, gdy naziom jest płaszczyzną, nachyloną do poziomu pod kątem ß.

Przypuszczamy, że naziom nachylony jest do poziomu pod kątem ß (rys. 368) mniejszym od ę.

Parcie ziemi wyznaczamy według równania 747). W tym celu jednak musimy wprzód obliczyć ciężar odłamu C. Z rysunku otrzymamy C—y. ABC=\y. AB. A (7wst (a-ęp).

Z trójkąta ABC mamy AB : J.(7=wste : wst (#+/?),

przyczem

£=180— a-p <jp—#•—/? = 180—«-p -P<jP—(180— a-P/?) = qp—ß, a więc ^47?: .4C=wst(<p—ß) : wst (a—/?),

K-

//>

/

i

V V- --

Kys. 868.

A B wst («—ß) wst ((jP—ß)

Z rysunku mamy dalej

stąd AC—

Wstawiwszy wartości

AS -    * .

wst a

A TD ' a sy    ry y Ä² WSt («—/?) WSt (a — <jp)

za i ^4(7, otrzymamy C=~—-pj-—-—--.

•⁷    ¹⁷    2 wst²« wst ((p—ß)

Wstawmy tę wartość w 747), a otrzymamy

p    yh'² wst (a—ß) wst (a—cp) wst (<p—ę)

2 wst²awst (cp — ß) wst (a—(p-\-ç + ô')

Z rysunku widzimy, że %=a — gp, więc

p    yli² wst(a—/3) wst ^ wst (a—q —%)

2 wst² a wst (a—ß—%) wst (q + d' -p#) ’

y h² wst (a—ß) wst % [wst (a—ę) dost %—dost (a—ę) wst %]

2 wst² a [wst (a—ß) dost %—dost (a—ß)wst %\ (wst 2 ((>-p d') dost#+ -f dost (ç-\-ô') wst#).

Podzielmy licznik i mianownik przez wst (a — /?)wst²#, a otrzymamy :

p_    y h² wst (a—q) [dot#—dot (a—q))

2 wst²« wst ((>-pd') dot #—dot (a—ß) (dot#-pdot(£-pd') Załóżmy z=dot#, to

yh²wst(a—ę)    x—dot (a—ę)

2 wst²« wst (p-pd') (æ-pdot(o-pd') (z—dot (a—ß)

y h² wst (a—ç)

2 wst² a wst (ç + d') a;—dot (a—(>)

(æ+dot ((>4-ô') [æ—dot (a—/?)]J a; — dot (a — ç)

xljrx[àot (p-f-d')— dot (a—ß)]—dot(() + d/)dot(a—ß) '

P będzie największem, gdy U będzie największem, więc

gdy — =0. Różniczkując funkcyę U, otrzymamy

CLX

czyli :

gdy

czyli    U—

.U,    ...    .    752)

.    753)

#² 4-£ [dot ((»-l-d')—dot (a—ß)]—dot (a—ß) dot(^ + ó') +

—[x—dot (a—(>)] [2 a;dot (o + d')—dot (a—ß)]

(a:² + rr[dot(()-i-d')—dot (a—ß)]—dot (a—ß) (ę-f-d')2 Aby wyraz lewy równał się zeru, musi być albo licznik równym zeru albo mianownik równym co . W tym ostatnim wyj:>adku musiałoby być a;==dot%=co , a więc #=0, co jest niemożliwem. A zatem musi być licznik =0, więc

x²—2 x dot (a—ę) =

— dot (a—^) dot (ç + ô')—dot (a — ß) [dot (a—<?)-(-dot 2(ç + d')], a stąd

x = dot (a—(?) +

Vdot²(a-(>)+dot(o!-())dot (ç-fd')—dot(a-|S)[dot(a-(>)4-'dot((>-l-d')J

a;=dot ip=

czyli

= dot (a—ç)dz \ [dot (a—ç) -j- dot (ç + d') [dot (a—ç)—dot (a—ß]). Ponieważ kąt % jest ostry, więc dot % > 0, dlatego przyjmujemy tylko znak górnj⁷, więc

dot %=x = dot (a—p)-f

-f V[dot (a—ę) -pdot (ę+d')] [dot (a—ę)—dot (a~ß)].    754)

Wprowadziwszy tę wartość za x w równanie 753), otrzymalibyśmy najw U. Lecz wzór byłby za zawiły, postąpimy więc inaczej. Niech będzie:

F(x)__

f(x) #²-f-z[dot(ę-i-d')—dot(a—/?)]—dot ((>-I-d') dot (a—ß) ’ dU₌ Fi(x)f (x)—fx (x) F (x) dx    f(x)²)

jeżeli Fx (x) i /) (x) nazwiemy pochodne funkcyj F(x), względnie f(x).

U=

x—dot (a—q)

to

Ponieważ f(x) nie jest =oo , więc licznik musi być =0, zatem f(x)Fi(x)=f^(x)F(x)} a stąd F(x) ₌ Fy(x) f(x) /« (x)

-f = najw U.

.    .    755)

Wykonajmy naznaczone działanie, a otrzymamy

najw U 2 a; 4-dot (ę 4-d')—dot (a—ß)'

Podstawiwszy w to równanie wartość z równania 754),. otrzymamy :

najw U= —

[Ydot {a—ę) 4- dot (q + d') 4- Ydot (a—ę) — dot (a—ß)² j a wstawiwszy tę wartość w równanie 752), otrzymamy nareście p    yh²wst(a—ę)

2 wst² a wst(ç + d') [ ÿdot (a—ç) 4- dot (ç + d') +

4- Ydot (a — ç) — dot (a—ß) |²

Chcąc wyznaczyć położenie punktu zaczepienia parcia ziemi, zastosujemy tu ogólne równanie 751).

Równanie 756) możemy napisać P^ah², gdzie a jest pewnym spółczynnikiem, zależnym od a, /?, ç i d', ale niezależnym od h.

Analogicznie możemy wyrazić parcie na część muru od

^=2 ax. Wsta-

756)'

wierzchołka aż do głębokości x p=ax², a więc

(JLX

wiw.szy to w równanie 751), otrzymamy :

2 As

ïï--g-=f *> a w,p«c

2 ax²dx=

2 . 1 . 3h=3h-    •

e=h —

Punkt zaczepienia parcia ziemi leży więc dla naziomu płaskiego w jednej trzeciej części wysokości stoku.

.    .    757)

§. 175. Parcie ziemi dla naziomu poziomego.

Dla poziomego naziomu (rys. 369) jest /?=0, więc otrzymamy z równania 756) : p____ yh² wst (a—ę)

2 wst² a wst (ę + d')[ Ydot (a-ę) + dot (q + d') + Ydot (a-^)-dot a]²’ Podstawmy dota = a, dotp —r, dotd'==rf

a Więc

?.*/

dot (q-\- d') =

>/

____

dot (a—o) = — r

dr—1 ~d+r ’ ar -pi — a ’

będziemy mieli

Rys. 369.

p_    yłi¹ (wst odost ę—dostawstę)

2wst²a(wst()dostd'+dost()wstó')|y^,-y^ ¹    ^

+]lar±l

’ r—a

■r

a podzieliwszy licznik i mianownik przez wst² a wst q dost ó', p_    yh'x(r — a)² Vl-ł-a²)(l + rf²)

~ 2 [V(l+r ²)(^ O) +V(«+r) (ld-a^ '

Na podstawie tego równania obliczyliśmy następną tabliczkę dla =

.    758)

Tablica XLVIII.

Wartości dla a=dota

To TT

0 —Al—A) -i ! —11 —11 —i

Wartości dla r=dotp

1,00,043 0,051 0,05 10,051 0,058 0,06

2    0,059 0,067 0,07

3    p,068)0,075 0,080 ,40,076 0,084 0,089

1,50,084)0,092 1.6)0,092 0,100 1,70,1010,109 1,8 0,108 0,116 1,9 0,116 0,124 2,0 0,1230,131

0,060 0,064 0,067 0,082 0,096'0,1080,108 0.119:0,127:0,141 0,069 0,078 0*076 0,092 0,109 0,1180,119jo, 129:0,188i0,151 0,078 0,083 0,086 0,101 0.119 0,1230,129j0,139 0.14810,161 0,087 0,092 0.095 0,111 0,129 0,1330,138 0,149 0,157 0,171 0,091 0,101 0,104 0,120 0.138 0,1420,148 0,158 0.167 0.180 0,098 0,105 0,109 0,112 0,129 0J47 0,1510,157 0,167 0,17610,189 0,106 0,113 0,118 0,121 0,137 0,155 0,159 0,165 0,176 0,184)0,197 0,114 0,121 0,126 0,129 0,146 0,164 0,168^,174 0,184 0,192)0,206 0,122 0,129 0,134S0,137 0,154 0.172 0,176)0,182)0,192 0,200 0,214 0,130 0,137 0,141 [0,145 0,161 0,180 0,1840,190 0,199 0,208 0,221 0,137 0,145 0,149 0.152 0,169 0.187 0,1900,197 0,207 0,215 0,228

§. 176. Parcie ziemi na mur pionowy.

Gdy mur jest pionowy (rys. 370), to a=90°. Wstawiwszy to w równanie 756), otrzymamy

y Ä²dost    ____

2 wst (y -f Ô') [Vst Q + dot (Q + Ô') + Vst Q — st ß]

yh‘l

2 (st Q dost Ô' + wst Ô') | y st Q d

1—st^std'

st ç + st Ô'

Vste-st/?]

p    y h²Vl4-st²ó'_____

~~2 [Vf+St² Ç + V(8t(> +8t Ô') (StQ-8tß)]² ‘

Na podstawie tego wzoru podajemy obliczoną tabliczkę dla założenia, że

albo

.    759)

Statyk*.

30

Tablica XLIX.

Wartości dla st (1

00

Ot

co

c-

CD

co

Wartości dla stp

1,0

0,9

0,8

0,7

0,6

0,6

0,4

0,3

H H rH

o o~o'o o~c?o o~

H H H H CQ C^l

<S<S<S<S<S<S<S<S

T-l Ol

£ § 3o

01 CD O*

tc tC

-o to >->■ to

0,091 0,096 0,102 0,104 0,116 0,119 0,120 0,129 0,141 0,140 0,158 0,168 0,167 0,184 0,207 0,201 0,226 0,267 0,261 o,290i 0,449 0,314 0,466 -

0,110 0,119 0,129 0,143 0,1 B5 0,174 0,191 0,227 0,244 0,401 0,426 -

(M (M O ^

CO £D —i t>* , HHNCCl I

o o © C?

00 o I 'os'î-*'»-* 1 1 £»■ co 01

0,179

0,322

0,297

Jeżeli oprócz tego naziom jest poziomy, czyli ß=0, wtedy P₌    yft² Yl + st²^

2[Vl + st²p + Y(st(>-ł-st($')st(>]2,

a wstawiwszy r = dotp a d= dotd', otrzymamy

i+

tH

yh²r² Vl-ł-d²

Ï\1|²~2 [Y(l + r²)d + Vd -f r]² ‘

d ) r\

To samo otrzymamy z równania 758), wstawiwszy a = 90°, więc dota=a=0.

Jeżeli wstawimy w równ. 760) d'=0, d—cc, otrzymamy:

p—stJ45» -4). 76i) 2[Vl+r²-fl]²    2 [1 + dosiecz p]    2 V 2/

’S

760)

1

*90»

S—iŁ__

Rys. 370.

Gdy naziom jest równoległy do stoku naturalnego to ß=Q: a więc z 759) otrzymujemy :

p_yh²Vl + st²ó' __ y/i² Yl + Sk²^'

⁼ 2[Vï + sPÿŒ ² l + st²p ⁼

yli² dost²p — 2 dostó' ‘

.    .    762)

§. 177. Wyznaczenie parcia ziemi dla naziomu pochyłego zakończonego płaszczyzną poziomą.

Gdy naziom wznosi się pod kątem ß aż do pewnej wysokości A₀, a potem zakończony jest płaszczyzną poziomą (rys. 871), to ciężar odłamu C=y(AED—BEC),

Dalej mamy

AED=\H. ED=\H (FD—EF)=H² (dot gp—dot a),

û BEC=\\² (dot/?—dot a),

(7=| y H² (dot gp—dot a) + — I y h₀ ² (dot /3—dot a),

więc

albo C= y

/i

CM

|\dotgp—dot a) +

____SL_

gdy

= (dotgp —Æ), k — dot a -f    (dot/?—dota),

.    763)

Rys. 371.

.    .    764)

który to wyraz jest od gp niezależnym.

Podstawiwszy w równanie 748) wartość za C, otrzymamy

wst (gp—ę)

P=?-^— (dot (p — k)

czyli

wst(a-t-£-t-<5'—gp)

y II² (dot (p — k) (wst 9) dost ç—wst ç dost <p)

~ 2 [wst (a-t-^-i-d^dost cp—dost (a + ^-ł-d') wst cp\ .a podzieliwszy przez wstgp licznik i mianownik y H* (dot (p—k) (dost d—wst d dot cp)

2[wst (a + ę-t-d') dotgp—dost^a-j-ę-f-d')] y H² wst ç (dot (p—k) (dot ç—dot g0)

2 wst (a + ç + ô') [dot gp — dot (a + y -f- d')] ’ y H²wstQ(x—k) (dot(>—x)

2 wst a + £ + d') [a:—dot (a -f- ç 4- d')] y H² wst q 2 wst (a + ^-fd')

(z—k) (dot q—x) x—dot^a + p+.d')'

a gdy r=dotgp, P=

U, ....    765)

gdy

d TJ

Jeżeli U, a więc i P, ma być największem, to — = 0, więc

d U \x—dot (a -f q d• )] (dot q—2 x+k) — {x—k) (dot ç—x)

[x—dot (a 4- q + d')]

Ponieważ ani z=dotgp, ani dot(a + ()+d/) nie mogą być równa 00, więc musi być [x—dot (a+0 + 0')] (dot q — 2 z+&)-}-—(z—Ä)(dot(>—#)=0, czyli z (dot (> + Æ)—2z²-p2zdot(a-f(>-ł-d')-ł-—x (dot (> + &)-{-r² = dot(a+(> + d') (dotç + Æ) — k dot(>, stąd z² + —2rdot(a-f() + d/) = dot(ad-()4-d/)dot() + Ä;(dot()—dot (a + ^ + d')],

xd

=0.

z=dot (a4-0 + d') + dbYdot² (a+0+d'j—dot(a+p+d')dotp+Æ(dot0—dot(a + 0 + d')], albo

z = dot (a + p + d') +

rfcVdot (a + 0 + d') [dot (a + 0+d')—dot p ] + le[dot 0—dot (a + 0 + d')],

dot (a+ p+d') +

dbl[Â;—dot (a + p+d'j] [dot 0—îlot (a + 0+d')].

Dla najw U przyjmujemy tylko znak górny, więc z=dot <p = dot (a+ p + d') +

Y[& - dot (o + 0+ d~')] [dot 0—dot (ß + 0+d')]. .    .    766)

Według równ. 755) otrzymamy, przyjąwszy U—

a więc

wreszcie

F(x)

f(x)

najw U—

ł\ (x) _dotp—2 x + k

/, (x)

dot«p—2 x-\-k, więc

najw t/^dotp + Ä;—2dot(a-4-p + d') +

= 2 V[ä—dot(o + 0 + d')][dot0—dot (a + p + d')], stąd najw    [V&—dot(a + p + d')—V[dot p—dot (a +p +d')]².

Wstawiwszy tę wartość w 765), otrzymamy

¹

Bliższe szczegóły z teoryi stoków znajdzie czytelnik w wybornem dziele A. v. K ave na „Iheorie der Böschungen1885.

P==2w8^öT0 + d'j ~dot(a+p+d')-Vdotp-dot(a+p+d')]². 767>

Jeżeli przytem mur jest pionowy, to a=90°, dot90°=0,

( h \²

więc według równania 764) &=f-+J dot/3.

. Wstawiwszy to w równ. 767), otrzymamy dla muru pio

nowego :

_ yH² wstp . f,/ r 2dost(0+d')[ V

h, ²dot/3

Vdot0 + 8t (p + d')J

4-st(p+d')—

Dla 0 = 33°, d=^p = 24°45' i /?=p otrzymamy z równ. 768) następną tabliczkę :

H²

. 768)

Tablica L.

2J-

= 0    0,1    0,2    0,3    0,4    0,5    0,6    0,7    0,8    0,9

P=0,132 0,129 0,123 0,116 0.108 0,100,0,092 0,085 0,079 0,073 y H*

10

= 0,067 0,035    0,021    0,014 0,010 0,007    0,003 y H¹

§. 178. Wysokość punktu zaczepienia parcia ziemi dla naziomu płaskiego, zakończonego płaszczyzną poziomą.

//

Dokładne wyznaczenie punktu zaczepienia w sposób analityczny jest bardzo zawiłem ; wykreślnie rozwiążemy to zagadnienie daleko łatwiej. Teraz ograniczymy się więc na podaniu wyników odnośnych badań Poncelet a, Rebhanna i Cul manna, a mianowicie, że ii aj w « = 0,375 h i to dla    (rys. 372).

Rys. 372.

Widzimy więc, że dla innych wartości ô leży e w ciasnych granicach między 0,333 h i 0,375 h.

§. I 79. Uwzględnienie ciężaru ruchomego.

ko

rn

Jeżeli obciążenie ziemi wynosi <7^5-, to da się ono ża

stąpić warstwą ziemi o wysokości hx (rys. 373), której ciężar równałby się obciążeniu g. A więc, gdy ciężar gatunkowy ziemi jest y, to ciężar m² warstwy ziemi o wysokości hx jest yhxi a więc yhx=q, a stąd

i>,=A

.    .    769)

Jeżeli więc teraz wyznaczymy parcie ziemi na ścianę AC, a od tego odciągniemy parcie ziemi na długości BC, to otrzymamy parcie ziemi pa A B z uwzględnieniem obciążenia.

Wpływ obciążenia możemy też inaczej uwzględnić, a mianowicie podobnie, jak w §. 167, wstawiając we wzory, wyznaczające ciężar odłamu C dla naziomu płaskiego, zamiast yh wyraz

, 2<7wsta

»)-*

i___

Rys. 373.

jeżeli c = 1 -f-

przyczem

2 q wsta

yh wst (a — ß) l = AD zostawiamy niezmienione.

Otrzymamy więc ciężar odłamu z uwzględnieniem obciążenia C'=>Cc, jeżeli C oznacza ciężar odłamu bez uwzględnienia obciążenia. Dalej otrzymamy :

2 q wst a yh wst (a—ß) dla naziomu poziomego, ponieważ /3=0,

). ..

.    770)

P' = Pc=P

MO- ■ ■

.    .    771)

Dla dróg przyjmujemy zwykle jako największe obciążenie

ko

tłum ludzi lub wozów, zatem q = 400 do 460 ~ . Obciążenie

wałkiem jest zwykle większem ; należy rozdzielić ciężar wałka równo na podstawę powiększoną ze wszystkich stron o grubość żwirówki. Dla kolei możemy przyjąć przy obciążeniu pa-

kq

rowozami przeciętnie q— 1400 '

która to wartość jednak

m¹ *

zależy od ciężaru parowozów, rozstępu osi i szerokości nasypu. Dokładniej licząc trzeba rozdzielić ciężar osi, znajdujących się na długości BD, równomiernie, uwzględniając rozdzielenie się ciśnienia przez żwir i nasyp pod 45°. Twierdzenia te odnoszą się do wypadków, gdy ciężar jest w przybliżeniu równo rozdzielonym. Jeżeliby jednak poza punktem D był jakiś wielki ciężar, to należałoby spróbować, czy uwzględniając także ten ciężar po za D nie otrzymamy innej płaszczyzny odłamu,, mamy bowiem wtedy stok sprowadzony już nie płaski, lecz załamany. Wtedy wykreślnie wyznaczyć możemy parcie wedle

§. 182.

Wskutek obciążenia zmienia się punkt zaczepienia parcia ziemi, a mianowicie, ponieważ obciążenie działa u gory, punkt zaczepienia podniesie się. Postępując według ogólnej metody (§. 173), otrzymamy z równania 770):

2 q wst a

P' = Pc

yh wst(a—ß)

dla naziomu płaskiego, bo wtedy parcie P jest proporcyonalne-do Ä², przyczem ci oznacza liczbę stałą. Możemy wtedy też, napisać :

2 q wst a

A(ä + c₂),.

P'

y wst (a—ß)

a stąd dla wysokości x (rys. 374)

p' = Ci x(x + c₂), a dalej dp'^=2c^ xdx + c^ c₂ dx.

„    q = co

Rys. 374.

c₂=co

A zatem punkt zaczepienia parcia ziemi obciążonej leży między granicami 0,33 A a 0,5 A. Jeżeli

więc

ß=0, więc gdy naziom jest poziomy, mamy c'₂= —

. h+ 5

.    .    774)

Według metody ogolnej (równ. 751) mamy

1 P

e\ = F) xdP'

c, A(A + c₂) a scałkowawszy, otrzymamy :

e' = h—ex'

1    /2A* A²

A (A-ł-c) V 3 + 2 °²

6 A²(A-fc₂)—4A⁸—3 A²c₂

a więc

6 A (A+c₂)

czyli

c' =

h «2

przyczem

liol

\t*

2 A²-4-3Ac₂

3 (A + c²)    3 li —€?2

2 q wst a

⁽'² y wst (a—ß)

Zrównania 772) widzimy, że e' jest

. ,    ..A

zawsze większem, niz -D

o

.    .    772)

.    .    773)

a mianowi-

. -c

Ä"

cie otrzymamy granice:

dla q = 0    c₂ = 0,    więc e' = - - ,

,,_A y

3 . 3q •    •    •

li H—-

XV. Parcie ziemi wyznaczone wykreślnie.

§. 180. Zasady.

Przypuśćmy, że prosta AC (rys. 375) jest przecięciem się płaszczyzny odłamu z płaszczyzną rysunku. Ciężar odłamu C rozkłada się, jak wiadomo, na siły P i Q, nachylone pod kątami ô' i q do prostopadłych na proste AB i AC. Rozłóżmy siłę C wykreślnie, a mianowicie zróbmy C=bc, poprowadźmy ba IjP i ca/jQ, a wtedy ab = P a ac~=Q.

Jeżeli teraz prostą AC odchylimy od d(p tak, że przyjdzie w położenie AC, to o ten sam kąt dcp odchyli się siła Q, co musimy uwzględnić także w wieloboku sił, robiąc X cad = dęp. Jeżeli więc bc przedstawia ciężar C=y ACLER=y F, licząc na długość 1 m w kierunku jjrostopadłym do rysunku, to długość dc przedstawia ciężar dC^ACLL' C = ydF, przyczem y oznacza • ciężar gatunkowy ziemi. A więc F : dF=bc : dc, a pomnożywszy drugą stronę proporcyi przez \-ah, otrzymamy

.    .    773)

F : dF= abc : adc.

tu

//

//

3-"

//

//

Êms

L'

/*

4*flr

//

<• ■■

4.....-

~Trr*~ï.

-o’--

jf JVx

il/C*    \

Cty

rj

I*

ftys. 374.

Wielobok sił możemy w jakiejkolwiek podziałce wykreślić, możemy więc także wybrać taką, aby ac=AC, a wtedy A CC — adc, bo z powodu, że kąt d(p jest nieskończenie małym, możemy przyjąć ad — ac, również AC=AC; mamy więc dwa boki i kąt między nimi zawarty równe, dalej mamy dC=cd— —y (ACC Aj CC dost/3), jeżeli h,—CL oznacza sprowadzoną wysokość obciążenia a ß kąt nachylenia prostej CC' do poziomu. Możemy teraz napisać

dC— y dF— y A CC (l-f-jeżeli wstawimy adc — ACC i

h, CC dost ß ACC'

2 h, dost ß

)“W¹⁺ h'

ACC

CC

a stąd wynika

dF=adc

(u

2 h! dost ß

h'

Zróbmy ae H AC, to X cae = 90+(>, ale także X cae — = cah-\-hae=cah-\-a stąd X cah = 90—cp, a więc X ach = = 90—cah — (p.

Poprowadźmy teraz CI \_AD, to ACIC^ ach, bo AC=ac, CP=X ach, a drugi kąt jest prostym, więc CI=ah. Z rysunku widzimy, że ?7 = y-f-£ = 90—ó' -j-f, jeżeli e oznacza kąt nachylenia ściany do pionu. Dalej mamy X bak = 90—rj, bo ab HP, a ak poziomą. Wstawiwszy wartość za r\, otrzymamy X bah = = d,—e. Poprowadźmy CK pod kątem '—e do CI, to otrzymamy A CKÇSi abc, bo wszystkie boki są równoległe, a CI=ah. Stąd wynika ze względu na równanie 776)

.    .    777)

Według równ. 773) mamy F=dF tość za d F

abc

adc

a wstawiwszy war-

F— adc

(¹⁺

2 h, dost ß\abc ^ /^2/^dost/? Jadc \

h’

h'

J.    776)

F=ACK (l+—-jy-—) •    •

Dla p =0 jest ^=0, więc F=ACK, a zatem dla ziemi nieobciążonej prosta AC połowi powierzchnię ABCK. Jest to prawo Eebhanna.

Chcąc wyznaczyć parcie P, ustawimy proporcyą P : C— = ab : bc=CK: AK. Zróbmy KM=KC, to otrzymamy P:C= = KM : AK, a pomnożywszy drugą stronę równania przez \CI, otrzymamy P : C = KMC: A KC. Ponieważ zaś C=y F —

= y ACK^l    dost jdj, więc

P=C

KMC

AKC

= yKMC ^

2 h, dost ß

h'

)•

.    .    778)

Ciężar graniastosłupa o podstaw"ie KMC a wy-sokości równej jedności jest więc proporcyonalny do parcia ziemi Pnamur AB. Graniastosłup KMC nazywamy dlatego graniastosłupem parcia (n. Druckprismay Dla p = 0 jest =0, więc

.    779)

P = 7lKMC, .    .

a zatem dla ziemi nieobciążonej ciężar graniastosłupa parcia równa się parciu ziemi na ścianę AB.

181. Parcie ziemi na mur płaski dla naziomu płaskiego.

Według równania 777) mamy

F-A CK

2 h. dost ß

z rysunku, zaś 370 widzimy, że .P— ABC+h^ BC dost ß ; a więc

2 A, dost/?

ABc(l +

zatem porównawszy z równ. 777), otrzymamy

ABC=ACK. .    .

F~ABC

h'

.    .    780)

A zatem, jeżeli naziom jest płaski, a ziemia jednostajnie obciążona, to położenie płaszczyzny odłamu jest niezależne

od obciążenia, ponieważ i tu prosta A Cpołowi powierzchnię FBCK.

V:

W dalszym ciągu będziemy więc wyznaczać zawsze płaszczyznę odłamu bez względu na obciążenie, które dopiero uwzględnimy, mnożąc graniastosłup parcia czynni-

Rys. 376.

2 A,

kiem (1 -f-

bliżeniu licząc, postępować tak będziemy także wtedy, gdy naziom jest krzywym.

Jeżeli więc ziemia jest nieobciążoną, to ABC=ACK (rys. 377), a stąd BM*=MK. Możnaby zatem wyznaczyć położenie prostej AC, próbując tak, aby BM było równe MK, przyczem CK ma być nachylone do prostopadłej na AD pod kątem ó'—e. Spuśćmy z punktu B prostopadłą BE na AD i wykreślmy BL pod kątem ó'—e, to prosta BL będzie równoległą do CK i nazywa się kieruj ącą (n.

Orientirungślinie), bo wskazuje kierunek prostej CK.

\l

A\

h'

dost ß). W przy-

Rys. 377.

1 200

\ / ,

J»'

W tym wypadku mamy X. -SA £=90³ — Q—£, a więc kąt ABE=* 180° — 90°—2{_BAL — q + e, zatem X ABL= X ABEĄ-

.    .    781)

—e, lub

X. ABL = p + <5'.

A więc kierująca nachyloną jest pod kątem do ściany AB i to dla naziomu o dowolnym kształcie, bo przy udowodnieniu tego twierdzenia nie potrzebowaliśmj" przypuszczać, że naziom jest płaski.

Płaszczyznę odłamu możemy też wprost wyznaczyć łatwą konstrukcyą, którą zaraz uzasadnimy. Z rys. 377 wynika, że jeżeli zrobimy

KH H AC, będzie ACDcoKHD, a stąd AK : AD = CH : CD.

Ponieważ KHIfAC, więc A CK— ACH, a że także ACK= =ABC, więc ABC=ACH, a stąd BC=CH.

Wstawmy tę wartość za CII w poprzednią proporcyę,.

a otrzymamy

AK:AD=BC:CD, a z trójkątów BLDcoCKD BC: CD=~LK : KD, a więc AK: AD=LK: KD, lub AK : AD = (AK-AL) : (AD— AK).

.    .    782)

Pomnożywszy wyrazy skrajne i średnie, otrzymamy . AK.AD-AIO=AK.AD—AD. AL, więc AK²=AD.AL,

a zatem AK jest średnio geometrycznie proporcyo-nalną między długościami AD i AL.

Stąd wypływa łatwa konstrukcyą wyznaczania punktu K, podana przez Poncelet a. Zatoczmy nad AD półkole, wykreślmy kierującą BL, zróbmy LNAD, wyznaczmy Nh punkt przecięcia się LN z kołem, zróbmy AN*=AK, to a więc i AK, będzie średnio geometrycznie proporcyonalną między AD i AL, a więc, jeżeli zrobimy KC!)BL, prosta AC będzie śladem płaszczyzny odłamu.

Przykład. Na rysunku 377 jest e = 8°45', a=90—e=81° 15°, p=35p. st ß = 0,2, ß = 11° 18', h=3,8 m. Wykreślnie otrzymujemy dla y «=1,8 P— y. ClK — y\ 1.80X1,7=2,75 t. Analitycznie otrzymamy (z równania 756).

l,8.3,8łwst(46°15')

⁼2 wst* 81° 15' wst 61° 15' [Vdot46°15'+dot61° 15'+Vdöt46° 15'-dot 69° 57']ł '~

= 2,791.

W uwzględnieniu małej podziałki zgodność jest dostateczną.

Jeżeli punkt D wypada poza papier, wtedy użyjemy następnej konstrukcyi pomocniczej. Wyznaczmy jak zwykle kierującą BL (rys. 378), poprowadźmy LL'jjBD. Zatoczmj" nad

AB półkole, wystawmy L' N' _\_AB i zróbmy AK' — AN', to AK' będzie średnią geometrycznie proporcyonalną między AL' i AB. Poprowadźmy teraz K' K// BD, to widzimy, że pęk promieni AB i AD przecięty jest trzema prostemi równoległemi, które dzielą prostą AD w ten sam sposób, co AB, a więc AK jest średnio geometrycznie proporcyonalną między AL i AD. Jeżeli zatem KCIIBL, to A C jest płaszczyzną odłamu.

C.

•M /

*>L

kdźlti-

Wk

Eys. 379.

Rys. 378.

Jako próby możemy użyć znanej własności prostej CA, że dzieli prostą BK na dwie równe części, a więc, że BM=MK.

Konstrukcya ta jest ważną dla jakiegokolwiek kąta ß, a więc i dla /3 = 0 i dla ß>0. Dla ß = Q (rys. 379) punkt D leży w nieskończonej odległości, tam też leży także punkt K, a ydęc płaszczyzna odłamu wpada na stok naturalny. Z powodu jednak, że AKßBC, trójkąt OKI będzie miał tę samą powierzchnię, gdziekolwiek przyjmiemy punkt C. Przyjmujemy więc punkt C dowolnie i postępujemy dalej według ogólnego

sposobu.

Chcąc zbadać, czy konstrukcya ta ważna jest dla jakiegokolwiek kąta nachylenia ściany AB, przyjmijmy najpierw ścianę AB pionową (rys. 380) i wyznaczmy w powyższy sposób powierzchnię odłamu AC. Niechaj ściana AB obróci się teraz około A na lewo, to s staje się ujemnem, a punkt B przybie-kolejno położenie B, i B.r Wyznaczmy w ten sam spo

rze

sób dla położenia ściany AB^ powierzchnię odłamu, a otrzymamy punkt C,, dla położenia zaś ściany AB₂, gdy — e — 90—ç—ó', kierująca wpada na linią naziomu B₂ D} punkt Lr na B, konstrukcya nasza płaszczyzny odłamu staje się wprawdzie, wtedy niemożliwą, ale zarazem i niepotrzebną, bo i punkt K., wpada wtedy na D. Chcąc otrzymać C₂, społowimy wtedy B₂ D. Już

gdy punkt K zbliża się do D, kąt KCD staje się tak mały, że trzeba zawsze sprawdzać, czy BM^MK i ewentualnie poprawić punkt przecięcia się C\.

Jeżeli ściana odchyli się jeszcze bardziej na lewo i przyjdzie np. w położenie AB₃, to punkt L, wypada poza punkt D.

B, B, ___B

S'.

i~Ćióżfcn—

Vv3

JT \ \ \

\ \ 1 !

\Ü

\³ \

Rys. 380.

nie

Wedle 782) mamy wyznaczyć AK₃ jako średnio geometryez proporcyonalną między AD i ALZ. Zataczamy wtedy półkole na ALZ, wystawiamy w D prostopadłą aż do przecięcia się Nz z półkolem, robimy AN₃=AK3: z K₃ kreślimy K₃ C₃ / L? B przyczem sprawdzamy, czy B₃ M₃ — M₃ K₃. Robimy dalej K₃ I₃ = = K₃ 63 a trójkąt K₃C₃I₃ jest trójkątem parcia.

Dla a = 180—q wiemy już z §. 168, że płaszczyzna odłamu jest pionową, a dla a > 180—2ę umiemy też wyznaczać parcie ziemi.

Z rys 380 widzimy, że jeżeli ściana FB obraca się na lewo, płaszczyzna odłamu także się obraca w tym kierunku, chociaż daleko powolniej i dla FB₂ zbliża się do położenia,

90—ç—ô'

w którem <jp

Jeżeli OKI (rys. 381) jest graniastosłupem parcia ziemi AB, to możemy też łatwo wyznaczyć graniastosłup

na mur

parcia ziemi na część muru A} B. Gdybyśmy dla punktu Al powtórzyli całą konstrukcyą, to wykreślilibyśmy A^DJjAD

CK²:CjKj²=AB²:AjB\ Ajr^. AjB^JC-.hj²,

więc P: Px =h² : A,².

A zatem parcie ziemi nieobciążonej wzrasta dla naziomu płaskiego w stosunku kwadratowym wysokości muru.

§. 182. Parcie ziemi na mur płaski, gdy naziom tworzą dwie płaszczyzny.

na

i wyszukali w znany sposób Kj. Punkt ten jednak leżeć musi w prostej BK, bo pęk promieni, wychodzący z punktu B, dzieli

dwie równoległe Aj Dx i AD tym samym stosunku. Więc otrzymamy AB : Aj B = BK:BKu a ponieważ

KCIIKj Cj II BL, więc BK:BKj=BC:BC a* stąd

BA : BAj-BC: BCj.

A zatem proste FC i Fx Cj są równoległe, a punkt C\ otrzymamy, robiąc

Fj CjjlFC.

Widzimy więc, że dla płaskiego naziomu powierzchnie odłamu są równoległe.

Jeżeli nazwiemy P parcie ziemi na ścianę AB, a P, ścianę Aj B, to dla ziemi nieobciążonej

P: P— C1K: CJjKj,

CIK : Cj Ij Kj =CK\: Cj ~K\²,

h h‘

zaś

Ci_c

Di

Rys. 381.

na

Jeżeli naziom tworzą dwie płaszczyzny BG i GD (rys. 382), to, jeżeli AC jest płaszczyzną odłamu, powierzchnia odłamu jest teraz czworobokiem ABGktóry zamienimy trójkąt AEC, przedłużając GD i robiąc BEj/AG. Z rysunku E kreślimy teraz pod kątem ô'—e do prostopadłej na AD lub pod kątem    do AB kierującą i wyznaczamy graniastosłup

parcia, jak w poprzednim ustępie.

Przykład. Na rysunku B82 jest h=4 m, h₀=2, 3=45°, p=35°, o'=|p = =26r,15', st«=i, e = 11⁰18'36", a=78°41'24". Wykreślnie dlay = l,8mamy P=y. C/-fiT=l,8-^2,3x2,18=4,51. Analitycznie mamy według 764)

fc=dot a +    (dût 3- dot a)=0,02 +    ² (1,00—0,02)=0,02 + 0,109=0,129,

a według równ. 767)

p= 2w^(î+p+$') [V* - dot (« + p + ô ') — Väo t p—dot («+p + 8 ']²=

_ I,8x6,0*wst35° ~2 wst 189° 56' 24"

[VÖ/129-dot 139° 56' 24"—Vdot 35n—dot 139° 56'24"]²=

= 1,67 ł.

E C

(ÿT

/ ‘fi-i'

A /    \

/ Ii /■    \

/•

K/

Va

Eys. 882.

mf im

W*

A\

\\ jl /    /

\ili/ y

I >

Eys. 383.

Chcąc się przekonać, w jakim stosunku do wysokości ściany AB zmienia się parcie, wyznaczymy miejsce geometryczne punktów K (rys. 383), których w znany spo-\ sób użyć możemy do wykreślenia trójkątów parcia. Przypuśćmy najprzód, / że ziemia ograniczona jest / jedyną płaszczyzną BD0 i wyznaczmy dla tego wypadku w zwykły sposób punkt K₀. Ponieważ prosta, poprowadzona równolegle do kierującej z K₀, trafia nie BG, lecz jej przedłużenie w punkcie C, więc punktu K0 nie możemy użyć do wyznaczenia trójkątu parcia. Wiemy jednak, że prosta BK0 jest miejscem geome-trycznem punktów K dla odłamów nie sięgających jeszcze płaszczyzny GD. Graniczny punkt Kx znajdziemy, poprowadziwszy GKX IIBL₀, a zrobiwszy dalej KiA^UKA, otrzymamy punkt At i płaszczyznę odłamu A} G1 do której będą równoległe wszystkie płaszczyzny odłamu po lewej stronie Ai G.

Chcąc otrzymać parcie dla całej wysokości AB, kreślimy AG, dalej BE/{AG, ELj! BL^ i w zwykły sposób wyznacz*amy punkt K. Gdyby punkt E był stałym, toby EK było miejscem geometrycznem punktów K. Ponieważ jednak dla punktów, wyżej A leżących, linia AG, więc i BE, pochyla się i punkt E posuwa się na prawo, a z nim i prosta EK, więc widzimy, że punkty K będą leżeć na krzywej, której dwa punkty K i Kx i styczną EK znamy; możemy więc ją łatwo wykreślić.

Znając punkty K łatwo możemy wyznaczyć dla jakiejkolwiek wysokości ściany parcie ziemi, które dla części ściany AAX nie będzie proporcyonalnem do kwadratu wysokości. Płaszczyzny odłamu po prawej stronie A, G nie będą też równo-ległemi, ale zbieźnemi ku górze.

§. 183. Parcie ziemi o naziomie dowolnego kształtu na mur płaski.

Jeżeli ziemia jest ograniczona dowolną krzywą powierzchnią BCD (rys. 884), wyszukujemy płaszczyznę odłamu zapomocą próbowania. Obieramy mianowicie dowolnie punkt C, kreślimy CK równolegle do kierującej BL, zamieniamy powierzchnię ABC na trójkąt AEC, łączymy E z K, a jeżeli AC jest płaszczyzną odłamu, EM powinno być równe MK. Prawdopodobnie

E.l

E,

z-zfC /    /'M

- , x xx/~~

-±)yy

!/S ///\ ^

/*/ s //' s*-.

\

X__lit__

Rys. 384.

pokaże się, że tak nie jest, tu np. jest MK > EM. Wykreślamy teraz w C pionową i robimy MK—EM=CC, wtedy CC oznacza wielkość błędu dla przyjętej linii odłamu AG. Obieramy

teraz punkt (7, na prawo od C t. j. w stronie większego odcinka prostej EK i powtarzamy konstrukcyą. Tu pokazuje'się, że E] ilf, > ii/, A",. Znów więc robimy (7, C\ =—(df, —77, d/j) i otrzymujemy drugi punkt linii błędu. Gdyby linia błędu O C\ była prostą, toby błąd w C₂ był równy zeru. Dla tego punktu powtórzywszy konstrukcyą, otrzymaliśmy C₂ C'₂ = il7₂ AT₂—df₂ E₂. Mamy więc trzy punkty krzywej błędu O C'₂ G\, która przecina naziom w C₃. Jeżeli dla tego punktu powtórzymy konstrukcyą, otrzymamy oba odcinki równe. Dalsze wykreślenie trójkąta parcia ziemi przeprowadza się zupełnie tak samo, jak w poprzednich ustępach.

§. 184. Wyznaczenie punktu zaczepienia parcia ziemi.

W poprzednich ustępach otrzymywaliśmy jako wynik konstrukcyi trójkąt, który jest proporcyonalny do parcia ziemi. Chcąc trójkąty te, otrzymane dla różnych wysokości muru porównać, musimy je sprowadzić do jednej wspólnej podstawy (rys. 885) dowolnie przyjętej KS=2a. Zrobimy to, wykreśliwszy 7T// CS i otrzymamy KST= CIK=a. TW. W ten sposób otrzymamy dla każdej wysokości muru dla tej samej podstawy 2 a pewną prostą TW, proporcyo-nalną do parcia ziemi. Jeżeli wysokości muru uważać będziemy jako odcinki, a długości, proporcyonalne do parcia, wykreślimy jako rzędne (rys. 386), ‘to wierzchołki rzędnych połączone dadzą linię krzywą DB, która wskazuje, w jaki sposób parcie ziemi wzrasta z wysokością muru. Z rys. 386 widzimy, że parcie ziemi na część muru 7777,

’ równa się 77, 77, — 7777= 77, W=dy. Moment tego parcia ze względu punkt A jest (h—x) dost x dy. Jeżeli moment parć na dx scałkujemy od 0 do h, to otrzymamy moment siły wypadkowej P, więc

Pe dost x =

Wstawiwszy granice 0 i h, otrzymamy pierwszy wyraz równy zeru, a więc podzieliwszy obie strony równania przez

dostr, będziemy mieli Pe=\^ y dx — F, jeżeli F= pow. BAD,

Statyka.

C -r K

//V

t/

Rys. 385.

na

cä    \h

\ (h—x)àostxdy = (h—x)àostxy — \ y ( — dx) dost x.

Jo    o    Jo

31

a stąd :

C2H —

co

784)

F=FD. o

Ponieważ P—ED, więc a stąd wypływa konstrukcya następna : Zamieniamy płaszczyznę ABD w jakikolwiék sposób na prostokąt o podstawie AD, a wysokość jego AS e na mocy równ. 784.

*.....A

J)

Sh

Cv

T

O; t/5

A,

k,;h

.T.

Rys. 3S6.

Rys. 3S7.

Ponieważ dla wysokości k parcie P=DA, zaś dla wysokości hx (rys. 387) Px = GGU więc parcie na część muru GA P' = P—P₁ = — AD—GGi= AXD. Punkt zaczepienia parcia ziemi P' da się w zupełnie ten sam sposób wyznaczyć, jeżeli powierzchnię DAlGi zamienimy na prostokąt A^S^TD o podstawie DAil to AiSi wyznacza wysokość punktu zaczepienia S nad podstawą.

j, albo dodać do każdej rzędnej y'=y^-^-~^~^

(rys. 388). Dla $=0 jest y'—0, a dla x = h jest

2 dost/J

Dla ziemi obciążonej musimy parcie ziemi P i p, a zatem i każdą rzędną y, pomnożyć według równania 778) przez 2 hs dost/?

h'

h'

y' = AC=AD.

■X

D A CD

Rys. 0S8.

Tu więc dodać musimy do pow. ABD jeszcze powierzchnię ABC, a zresztą postępujemy, jak pierwej. Robimy więc CDTZ=--CBD, a wysokość CZ=e'.

Jeżeli naziom jest płaskim, to wiemy, że dla ziemi nieobciążonej P=*bh2 A C (równ. 756), a więc y = bx², gdzie b jest Rys. 389. stałym spółczynnikiem, a zatem linia

Drugi sposób wyznaczenia punktu zaczepienia parcia ziemi jest następujący:

Parcie ziemi dla jakiejkolwiek wysokości ściany możemy też przedstawić powierzchnią w ten sposób, że trójkąt parcia KCI (rys. 390) zamieniamy na ABR, którego jednym bokiem AB, robiąc AN=IK, AG=CS, GM HAN, dalej łączymy N z B

V,

ARN

Kys. 390.

i kreślimy MR // BN, to BAR=MAN=CIK. Powierzchnia ABR przedstawia więc parcie na ścianę AB. Łatwo jednak pojmiemy, że parcie ziemi na ścianę A₁ B przedstawia trójkąt AiRiB, jeżeli naziom jest płaskim, gdyż w takim razie parcia są proporcyonalne do kwadratów wysokości, a więc P : P^=AB² : A, P², a z rysunku widzimy, że AB¹ : Ai B² = ARB : Ai P, B, więc P : Px =*ARB : A₁ Ri B, zatem gdy P=ARB, to P₁=A₁ Ri B.

= P-P

BD (rys. 388) jest jDarabolą. Dla ziemi obciążonej mamy :

= bx² ^1 +

X

ia się proporcyonalnie do x, a więc h' — h\, jeżeli h' ₁ ozna-

P. = bh²

2 hx dost ß

h'

)•

więc yx

2 h] äostß

h'

h' zmie-

cza h' dla wysokości h. A więc 2 bx² hi dost ß

V\ = y+

=y +

2 bh^ h dost ß

h\

x=y+y'-

Widzimy zatem, że y'

2 bh. hdosth

h, '

x, więc jest funkcyą

pierwszego stopnia, linia BC jest zatem prostą. Długość AC

2 bhi h² dost ß

otrzymamy, wstawiwszy x=h, więc AC żywszy, że AD — b.h²,

h' i

a zwa-

AC=AD.

2 h, dost/?

li/

.    .    785)

Z poprzedniego wynika też, że AiRi RA=ABR—Ai B^^ a więc równa się parciu na część ściany AAV Podobnie otrzymamy parcie na dowolną część ściany Ai A₂ równe

powierzchni A₂RiR₁ . Widzimy więc, że parcie w każdym punkcie ściany AB wyraża się odnośną rzędną prostej BB, jeżeli BA przyjmiemy jako oś odcinków. Wypadkowa tych wszystkich sił zaczepiać więc musi w środku ciężkości odnośnej powierzchni, a więc dla całej wysokości AB w V₃ wysokości tej linii, bo ABB. jest trójkątem.

Jeżeli mamy wyznaczyć punkt zaczepienia parcia ziemi na część muru AC (rys. 391), to wyszukujemy środek ciężkości S trapezu ACR, B, skąd prowadzimy poziomą SG, a punkt G jest punktem zaczepienia parcia ziemi na część ściany AC.

_£

Rys. 391.

r-

Al

AR"

Rys. 392.

Jeżeli chcemy uwzględnić wpływ obciążenia ziemi, to musimy w razie, jeżeli naziom jest płaskim, dodać do trójkąta ABB Irys. 392) równoległobok AB MN. Wiemy bowiem, że

a więc wzrasta w pro-

Pi=-P+P/, przyczem P' =

' 2bh: hxdost ß

h, '

P'

stym stosunku do x. Warunkowi temu odpowiada dla wysokości x powierzchnia równoległoboku MBCT—CT.x=

a stąd CT=NA =

2 bh\ h dost/?

yV

Zważywsz}^, że P = bh² =

AR

= y. ABR=y\AR ./?, a stąd bh = y

to wstawiwszy tę war-

tość w równanie dla NA, otrzymamy:

.    .    786)

NA=AR

h, dost/3

hP

Trapez NMBR nazywamy trapezem parcia (n. Druck-trapez). Punkt zaczepienia parcia G wyznaczymy, jak pierwej, poprowadziwszy ze środka ciężkości trapezu S poziomą SG.

Trapez parcia możemy otrzymać też wykreślnie w następny sposób. Jeżeli obciążenie przedstawimy warstwą ziemi (rys. 393), to przedłużamy AB aż do przecięcia się z R' H w H. Dla ściany AH wyznaczmy w zwykły sposób trójkąt parcia AHRX. Dla ściany BH będzie wtedy parcie BB, H: a zatem parcie na AB przedstawia trapez BBX iü, A. Ponieważ parcie na mur nieobciążony AB jest ABR, przy-czem BRII HRn jeżeli jakość ziemi jest na całej wysokości ta sama, więc możemy postępować odwrotnie, wyznaczyć trójkąt parcia ABR dla ziemi nieobciążonej, przedłużyć A B do H, a z H wykreślić HR, równoległe do RR, wtedy BBiRiA jest trapezem parcia.

R'"

A fi fi.

Rys. 393.

Jeżeli naziom nie jest płaskim, to otrzymalibyśmy zamiast trójkąta i trapezu figury, ograniczone liniami krzywemi, których wykreślenie byłoby za żmudne, dlatego stosujemy wtedy pierwszy sposób wyznaczenia punktu zaczepienia (rys. 388).

§. 185. Parcie ziemi na mur krzywy lub załamany.

Chcąc wyznaczyć parcie ziemi na mur krzywy AB (rys. 394) dzielimy krzywą AB na pewną ilość części tak, aby pojedyncze części AH, HG itd. można uważać jako proste Zwykle mamy do czynienia nie z murem krzywym, lecz wprost z murem, ograniczonym linią łamaną AHGB. Dla każdej części muru

J'-

?

r-J

Cm

lös»

cc

• =;

Ci

Rys. 394.

punktem zaczepienia parcia ziemi na AH. To samo robimy i z innemi częściami ściany i otrzymamy punkty zaczepienia P,, R₂ i P₃, w których odnośne parcia P., P₂ i P? działają pod kątami ó' do prostopadłej na kierunek tej części muru.

płaskiej obliczamy lub wykreślamy parcie ziemi na tę część ściany, a więc np. na AH różnicę parcia na ścianę AM i HM. Dla wyznaczenia punktu zaczepienia parcia na część muru AH najlepiej wykreślić, jeżeli naziom jest płaski, trapez parcia T, T₂ H₂ H^ według poprzedniego paragrafu, wyznaczyć środek ciężkości trapezu i wykreślić poziomą R.x.P₃ jest wtedy

Grdy naziom nie jest płaskim, wtedy tok konstrukcyi pozostaje ten sam, tylko punkty zaczepienia wyznaczamy według pierwszej metody.

Obliczenie parcia w sposób powyższy nie jest zupełnie dokładnem, bo przyjmujemy ścianę idealną AM, gdy w rzeczywistości jest po lewej stronie HM nie ściana, lecz ziemia, która wywiera pewne parcie czynne. Müller Breslau wyznacza dokładnie po kolei parcie Pi, P₂ i P₂ (rys. 395). Najłatwiej zrobić to na tej zasadzie, że powierzchnia ¹)

.    .    787)

AHGBC" =■ AC" K" = G" .

S,............

ii

G,

/ ^

I o--

ii

/Iri

<r"\

"Aj

w-

.......5lf

Â.

■>i

Rys. 395.

Jeżeli znamy już P₁ i P₂ i kierunek P?, to z tego otrzymujemy GU Na mocy równania 787) wyznaczjnny (7, zamieniwszy wprzód AIIGBC" na trójkąt, w zwykły sposób, a stąd otrzymamy trójkąt, a wreszcie trapez parcia.

Wobec wielkiej niepewności co do wszystkich danych y, q, ó' wystarczy jednak w praktyce używać sposobu przybliżonego.

Przykład. Dla muru, przedstawionego na rys. 394, otrzymujemy dla 7 = 1,8 f/m² wedle sposobu przybliżonego f\= 2,16 f, P₂=4,28 t, -P₃=6,08f. Wedle sposobu dokładniejszego (rys. 395), a mianowicie, zamieniając czworobok 1IGB0" na trójkąt AaC", otrzymamy P₁ = 2,16f, jP₂ = 4,02 t, P₃ =8,25 ł.

§. 186. Odpór ziemi.

Jeżeli ciśnienie prostopadłe N ściany AB (rys. 396) na ziemię jest równe składowej prostopadłej na ścianę parcia ziemi N, to ściana i ziemia pozostają w równowadze. Przypuśćmy teraz, że ciśnienie N wzrasta, to w takim razie, aby równowaga nie została zniweczoną, musi wzrastać też ciśnienie ziemi. Dziać się to może jednak tylko do pewnej granicy, gdy bowiem N przekroczy tę granicę, część ziemi się usunie, a odłam ABC poruszy się w kierunku AC.

Ciśnienie ziemi więc, które zostaje wzbudzone ciśnieniem zewnętrznem, nazywamy odporem ziemi (n. passiver Erd-

druck, Erdschub, fr. butée des terres) w przeciwstawieniu do parcia ziemi (n. aktiver Erd-druck, fr. poussée des terres), o którem dotąd mówiliśmy.

/>

Ponieważ ruch ten nastąpi w kierunku AC, a nie CA, więc tarcie, które jest zawsze przeciwne kierunkowi ruchu, działać będzie w kierunku przeciwnym. Rozumując w ten sam sposób, co pierwej, otrzymamy więc odnośne wzory, jeżeli zamiast kąta tarcia p przyjmiemy kąt ( — (>), a zamiast d' kąt (—ó').

Przy wykreślnem wyznaczeniu oporu ziemi mamy więc tylko dwie zmiany, a mianowicie stok naturalny AK (rys. 397) wykreślamy pod kątem (»poniżej osi, a kierującą prowadzimy nie pod kątem d' — e, lecz — ó'—e= — (ó' -j- e), a więc pod kątem (ó'4-f) po lewej stronie prostopadłej BE na stok naturalny, a więc BL. Kąt ABL równa się wtedy (>+0'. Przyjmujemy teraz punkt C tak, aby gdy poprowadzimy CK h BL i połączymy A z C a B z K, było BM = MK. Jeżeliby

H*

\M

7/

Z/

7/

Mi

Eys. 397.

BM

MK, to obieramy inny punkt C, aż dopóki nie znajdziemy

punktu, który temu warunkowi zadość czyni. Zrobiwszy KI=KC, otrzymamy wreszcie trójkąt odporu.

Odpór w ten sposób wyznaczony, nie działa jednak od razu. Gdy siła N (rys. 397) ciśnie ziemię, to z powodu ściśliwości ziemi nastąpi najpierw mały ruch ściany AB, potem dopiero po ściśnięciu ziemi zaczyna działać odpór. Dlatego też w wypadkach, gdzie nie chcemy dopuścić do takiego ruchu muru, n. p. przy sklepieniach, nie liczymy na odpór tylko na parcie ziemi.

§. 187. Wyznaczenie wykreslne parcia ziemi sposobem Pilleta.

Prosty sposób wyznaczenia parcia ziemi podaje Pillet. Przypuśćmy ogólnie naziom dowolnie zakrzywiony (rys. 398). Wykreślmy AD, stok naturalny, i podzielmy powierzchnię ABD na pewną ilość klinów z wierzchołkiem A. Najlepiej przyjmować przytem kąty równe. W tym celu zataczamy łuk promie-

niem AB i dzielimy luk B8' na pewną ilość (tu 8) równych części, poczem kreślimy promienie Ai', A 2' itd. Wyznaczamy powierzchnię klinów i odnośne ciężary odcinamy na pionowej f₀f₈. Ciężary te rozkładają się na P i Q, P działa pod kątem ó' do jorostopadłej na AB, a więc w kierunku naznaczonym na rysunku, Q zaś nachylone jest pod kątem q do prostopadłej na

f.

///

& // /

;c,

l

1.1 i /// /

iét"

IV?

6tc,

ic<

Cs

c.

'A\ \

\V**

>1”

\ł

c,

c/f, ..

W,

Eys. 398.

Al', A 2' A3' itd. Kierunek sił Q wyznaczymy łatwo. Dla AD kierunek Q jest pionowy. Jeżeli teraz zatoczymy łuk 8" 0" tym samym promieniem i odetniemy równe takie same odcinki, wreszcie wykreślimy promienie f₀ 7", f₀6"...f₀ 0", to przedstawiają one kierunki sił Q. Z punktów c1} c₂, c₃....c7 kreślimy teraż równoległe do P, a punkty przecięcia się f łączymy krzywą. Dla rozmaitych płaszczyzn odłamu otrzymujemy więc rozmaite parcia P, prawdziwą będzie płaszczyzna, dla której P jest największem. Jeżeli teraz poprowadzimy NNX pionową styczną do krzywej parć, to otrzymamy punkt styczności M', a M' m przedstawia szukane parcie P. Jeżeli zrobimy &" C=ö' C, to AC i est płaszczyzną odłamu.

XYI. Inne teorye parcia ziemi.

§. 188. Poprawka dla równowagi w spoczynku.

Wspominaliśmy już w §. 167, że dla równowagi klinu ABC (rys. 399) trzy siły nań działające C, Q i P muszą się przecinać w jednym punkcie. Jeżeli naziom jest płaskim, wiemy, że parcie na ścianę AB wzrasta w stosunku kwadratowym,

a punkt zaczepienia siły P leży w ¹/₃ wysokości ściany, w punkcie E. Ponieważ ciśnienie na

P'

OOo

-E-Jv

/ kC

płaszczyznę AC musi analogicznie także wzrastać w stosunku kwadratowym

więc Cl-śnienie Q działa także w jednej

trzeciej prostej AC, więc w 1. Jeżeli teraz wykreślimy siły Q i P. działające pod kątami p i ó' na płaszczyzny AB i AC, to trzy te siły C, Q i P nie przetną się w ogólności w jednym punkcie, z czego wynika, że trzy te siły nie równoważą się, lecz jako wypadkową dają parę sił. Pochodzi to stąd, że za wiele ilości przyjęliśmy jako znane, gdy tymczasem równanie momentów tych sił, nie zużytkowane dotychczas, określa jedną z tych ilości.

il___

Rys. 999.

<?

Oto jeden zarzut, jaki słusznie robią dawnej teoryi parcia ziemi, która dotychczas ogólnie używana, dawała wyniki dość zgodne z praktyką.

Drugi zarzut tyczy się założenia, że powierzchnia odłamu jest płaszczyzną, co niezupełnie zgadza się z doświadczeniami a także i z warunkami równowagi. Co do tego ostatniego zarzutu zauważyć możemy, że tylko to założenie umożliwia obliczenie parcia ziemi, że przy belkach zginanych przyjmujemy także płaskie przekroje po ugięciu, gdy bliższe rozważania okazują nieprawdziwość tego założenia. Wogóle wszystkie nasze obliczenia w statyce budowli są tylko przybliżone, chodzi tylko o to, aby niedokładność nie przekraczała granic dopuszczalnych w praktyce.

Widząc sprzeczność, jaka się mieści się w dawnej teoryi, próbowało wielu uczonych utworzyć inne teorye, wychodzące z równowagi w masie ziemi nieograniczonej, które w przeciwieństwie do dawniejszych teoryj nazywamy nowsze mi.

Zanim jednak zastanawiać się będziemy nad zasadami nowszej teoryi, pokażemy, jak zapomocą stosownej poprawki możemy zadość uczynić koniecznemu warunkowi przecinania się trzech sił C, P i Q w jednym punkcie.

to jest to słusznem tylko wtedy, gdy siła zaczepna (parcie) jest tak wielką, że przezwycięża tarcie, a więc podczas ruchu odłamu. Wtedy jednak niema równowagi i dla tego wypadku trzy siły C, E i Q nie potrzebują się przecinać w jednym punkcie.

Dawna teorya zapomina, że tarcie jest siłą bierną, która działa tylko o tyle, o ile tego potrzeba do przeszkodzenia ruchowi, a więc do równowagi w spoczynku. Jeśli siła zaczepiająca wzrasta, to wzrasta i tarcie do pewnej granicy, przy której jest równe /j i f,, N₂. Jeśli więc przyjmujemy tarcia f\ i f₂ N:

Widzimy więc, że przypuszczając ruch ściany lub ziemi, możemy używać wprost dawnej teoryi parcia ziemi i że w stanie spoczynku parcie działa inaczej, niżby z dawnej teoryi wypadało.

nem,

Jeżeli zauważymy odłam ABC, to zobaczymy, że wywiera on parcie na 45 tylko wtedy i o tyle, o ileby przy usunięciu ściany AB odłam się usunął. Jeżeli np. a = p, to nie potrzeba wcale ściany. Stąd można wnioskować, że nim na ścianę AB odłam wywrze parcie, musi być całe tarcie na AC wyzyska-więc możemy przyjąć, że parcie Q działa w każdym razie pod kątem q do prostopadłej na AC.

Przeciwnie działa podczas równowagi, a więc w stanie spoczynku, tarcie na AB tylko o tyle, o ile potrzeba go do' zachowania równowagi. W ogólności więc działa zamiast siły P siła P' pod kątem ô < pt do prostopadłej. Aby się zastosować do wyników doświadczeń, myśmy założenie to zrobili już przy wyznaczeniu parcia, przyjmowaliśmy w przybliżeniu <P = -fp. Tu dla parcia w spoczynku wyznaczymy d z warunku, aby siły P' C i Q dla równowagi przecinały się w jednym punkcie..

Jeżeliśmy w jakikolwiek sposób wyznaczyli kierunek płaszczyzny odłamu, to przez to jest wyznaczony kierunek siły Q Położenie siły ciężkości C jest także znane, chodzi więc jeszcze tylko o punkty zaczepienia sił P' i Q i kierunek siły P'.

Otóż wiadomo, że przy naziomie płaskim punkt zaczepienia parcia ziemi P lub P' leży w jednej trzeciej wysokości ściany. Doświadczenia Gro bin a potwierdziły pośrednio to>

twierdzenie, gdyż wykazały, że parcie wzrasta w przybliżeniu w stosunku kwadratu wysokości, z czego łatwo można wywnioskować, że punkt zaczepienia parcia leży w -i- wysokości ściany*). Analogicznie musimy przyjąć, że siła Q zaczepia w -k wysokości płaszczyzny odłamu, bo niema powodu, aby odłam, znajdujący się między dwiema płaszczyznami, działał według ' innego prawa na jedną płaszczyznę, niż na drugą.

Przyjmujemy więc, że parcie zaczepia w E, przyczem AE = \AB, a siła Q w 7, przyczem AI=\AC. Kierunek parcia P' jest wtedy wyznaczony warunkiem, że trzy siły P\ Q i C przecinają się w jednym punkcie K. Gdy więc połączymy punkt przecięcia się sił C i Q z E, otrzymamy kierunek parcia ziemi w stanie spoczynku, które to parcie nazwiemy geosta-tycznem w przeciwieństwie do geodynamicznego w stanie ruchu.

§. 189. Poszczególne wypadki.

Podaliśmy powyżej ogolną regułę dla wyznaczenia parcia geostatycznego, której jednak w niektórych wypadkach nie

można użyć. Teraz zrobimy pe-- wne założenia co do kierunku ściany i naziomu.

Jeżeli ściana jest pionową, to przecina kierunek siły C płaszczyznę odłamu w \AC w punkcie I (rys. 400), punkty Kil wpadają więc na siebie a parcie geostatyczne na ścianę pionową jest równoległe do naziomu.

Jeżeli naziom wznosi się pod kątem ß do poziomu, to d=/5, jeżeli jest poziomy, <5=0. Przy spadającym naziomie musiałoby

^rra__.

tS

P'

fi

A°

r'f^\

V NN

Rys. 4C0.

cr

*) Doświadczenia Müllera Breslaua wykazały dla nieobciążonej ziemi wysokości punktu zaczepienia

— P 0,31

dla a=

■czenia.

~ł P 0,33

Wyniki te wymagają jeszcze potwierdzenia przez inne doświad-

AE=

0,375 AB

być parcie P' skierowane w górę. To trudno przypuścić, ten wypadek rzadko zresztą zdarzający się w praktyce, wymagałby osobnych doświadczeń, gdyż, przyjąwszy ó = 0, trudno zrozumieć, w jaki sposób równowaga zostaje zachowaną.

Jeżeli ściana jest nachyloną na-zewnątrz (rys. 401), r, f. ujemne', wtedy przecina kierunek siły C płaszczyznę odłamu 4C w pierwszej trzeciej części, więc K znajduje się wyżej AC i w największej liczbie wypadków będzie wtedy ô < q i i dodatnie.

Jeżeli ściana jest pochylona na wewnątrz (f dodatnie, rys. 402) wtedy przecina kierunek siły C prostą AC w średniej trzeciej części, zatem punkt K znajduje się poniżej AC. Jeżeli teraz połączymy K z E, to otrzymamy kierunek siły PC Może tu łatwo się zdarzyć, że ô będzie ujemnem. Ponieważ trudno nam to przypuścić, prawdopodobnie będzie

001

O.

1/

CD

\ Co

cA.

“V

UJ,'/ \

‘-Dy

Æ> V

rT

QT

Rys. 402.

Rys. 401.

więc w takim razie parcie P' = 2V, prostopadłe na ścianę. Jako-przecięcie parcia iVj z C otrzymamy punkt K{, który połączony z / wyznacza parcie na płaszczyznę odłamu, odchylone od prostopadłej o kąt mniejszy, niż q.

§. 190. Wyznaczenie płaszczyzny odłamu.

Dotychczas nie mówiliśmy, w jaki sposób wyznaczamy płaszczyznę odłamu, zastanowimy się teraz nad tern, bo z kątem d, który tworzy parcie ziemi z prostopadłą na ścianę, zmienia się też i położenie płaszczyzny odłamu. Będzie więc inna płaszczyzna odłamu dla stanu spoczynku, a inna dla stanu ruchu. Pierwsza nie jest właściwie płaszczyzną odłamu,.

gdyż podczas ruchu objawia się inna płaszcz3⁷zna odłamu: nazywamy jednak także tę płaszczyznę płaszczyzną odłamu, dla której parcie geostatyczne jest największemu

Położenie płaszczyzny odłamu jest zależne od kąta ó, który znów zależnym jest od położenia płaszczyzny odłamu. Wyznaczenie płaszczyzny odłamu wprost byłoby więc niemo-żliwem, gdyby nam nie przyszło w pomoc twierdzenie Alm-quista, które w tem miejscu podamy.

'aä:

/l\>

NK

' V.

Vfe

K,

i i itĄ A

A ^90°^

--ł--:

rtL^V ¹

«/

łC

Eys. 403.

Na rys. 403 mamy wyznaczyć płaszczyznę odłamu AC, gdy ściana AB jest pochylona na zewnątrz pod kątem —f.

Wykreślmy pionową ABX i wyznaczmy najprzód płaszczyznę odłamu dla tej pomyślanej ściany pionowej. Wtedy jest parcie geostatyczne równoległe do BD, więc nachylone do poziomej pod kątem ß, kreślimy zatem kierującą Bx L pod kątem Q + ß, a z pomocą punktu L otrzymamy jak zwykle, Aj, kreślimy KCj LBj, a AC jest płaszczyzną odłamu dla ściany pionowej ABX.

Otóż da się udowodnić, że tę samą, płaszczyznę odłamu otrzymamy i dla ściany AB, nachylonej pod dowolnym kątem —£. Jeżeli bowiem AC jest płaszczyzną odłamu, to możemy łatwo wynaleść środek ciężkości odłamu i położenie siły C. Przedłużmy kierunek siły Q do punktu przecięcia się K', to K'E jest kierunkiem parcia geostatycznego P', który zawiera z prostopadłą kąt d. Wykreślmy teraz prostą CK pod kątem d + £ do prostopadłej CH, to jeżeli AC jest płaszczyzną odłamu, musi być ABC— ACK, co zaraz udowodnimy.

Widzimy, że ?/ + d + £=90°, a także kąt K' EW=sQ0— d—e, i ^ = 90—<5—£=rj. Dalej mamy '2i_EWM=CAD = q)₁ bo WM i WM zawierają z prostopadłemi na AD i AC ten sam kąt q. A więc w trójkątach EK' W i ACK są po dwa kąty równe, zatem EK' JFcX)AC7r. Stąd wynika

.    . a)

AK: AC=EW : WIC.

Dalej mamy

X_K' EM=v=-ö + e—ß, ='2LK] CK, a %_AKX C=^i] + ó+e+ —ß—v-j-i] = 'X WEM.

AV trójkątach EWM i ACK^ są więc po 2 kąty równe, a więc EWM C\J ACK,, a stąd

• • ß)

AC: AK,= MW: EW. .

Z równań a) i ß) wynika

AK: AK, = MW: MK' — ME : ES.

dalej

Z konstrukcyi środka ciężkości wynika, że SS₀ M AEU, bo X. SS₀ M= e a X. EN A = -£S₀ SM, SS₀=AU, więc EU—SM i ES—UM, zatem AK : AK, =ME : UM=BC: B, C. .

Dalej mamy

ACK: ACK, = AK: AK,

ABC : AB, C~AC:B,C,

więc ze względu na równ. y)

ACK: A CK, =-ABC:AB,C ACK : ABC =ACK,:AB,C.

A że ACK,=AB,C, więc także ACK=ABC, co było do udowodnienia.

A więc AC" jest powierzchnią odłamu także dla ściany pochyłej AB i wogóle dla jakiejkolwiek ściany, sięgającej od A do prostej BD.

Za pomocą tego twierdzenia, któreśmy udowodnili, mo żerny łatwo wyznaczyć płaszczyznę odłamu dla dowolnie nachylonych ścian, wyszukawszy ją dla odnośnej ściany pionowej. Wyznaczenie parcia geostatycznego nie podlega wedle powyższego żadnej trudności.

Prawie zawsze jest F > ? t. j. parcie geostatyczne (wstanie spoczynku) jest większem, niż parcie g e od y na mi c z n e (w stanie ruchu). Dla płynów było to prawo dawne znane, mianowicie prawo, że parcie hydrostatyczne jest większem, niż hydrodynamiczne.

¹

Uwaga. Litery C, C, C" i Ä, /U, if" opuszczone na rys. 395 porównaj z rys. 390.

§. 191. Wyznaczenie analityczne parcia geostatycznego „ dla ściany pionowej i naziomu poziomego.

Wiemy, że dla ściany pionowej jest parcie geostatyczne P' równoległem do naziomu, w tym wypadku (rys. 404) więc poziomem.

■*----

P’

P'

♦ >ł

■'T

fi

<c

O'

Rys. 404.

A zatem tu a=90°, (5'=0, /?=0. Wstawiwszy te wartości w równ. 754) otrzymamy,

dot ^=st^) + V[st()-f dot (>]st(> = st p + Vst²    1

dot (45—

= st (>+ siecz q

1 +wst Q

dost ç

.    .    788)

Zatem

X = <P=45-iç.

A więc płaszczyzna odłamu połowi kąt między ścianą a stokiem naturalnym.

Z równ. zaś 756) otrzymamy :

.p,    y/fc²dostp    y li¹

2 wst ę ("\'st (> + dot g + ^st g)²    2[Vl + st²(> + stri²

.    .    789)

więc

Zwykle jest g od 30' do 45°, otrzymamy więc dla ę —    30

P' 0,1667 0,1474    0,1355    0,1233    0,1087    0,0858 yh\

Dla odporu należy tylko zmienić znak parcia, otrzymamy

.    .    790)

33

35

37

40

45'

P"

ÏW⁴⁵⁺t)- ■

Stąd otrzymamy dla

30

33

35

37

40

45'

P" = 1,400    1,696    1,845    2,011    2,298    2,914 yh\

Widzimy stąd, jak ogromna jest różnica między, parciem czynnem a odporem ziemi.

§. 192. Nowsze teorye.

Zadaleko zaprowadziłoby nas opisanie wszystkich teoryj parcia ziemi, które podali Rankine, Considère, Lévy, St. Venant, Winkler, Scheffler, Mohr, Boussinesq i inni. Wspominamy tu tylko o ogólnych zarysach nowszej teoryi według streszczenia Mülle ra-Breslaua¹).

fV

u,

Eys. 405.

Rankine i Boussinesq zastanawiają się nad natężeniami, panującemi w ziemi o naziomie dowolnym, zresztą nieograniczonej. Wytnijmy w myśli nie-skończenie mały równoległobok UWW\ Ui (rys. 405) tuż przy powierzchni ziemi płaszczyznami pionowemi i badajmy siły, jakie nań działają. Siły, działające w nieskończenie bliskich płaszczyznach UW i Ux Wi, możemy przy-jąć jako równe, oznaczamy je więc obie literą V. Dla równowagi muszą być też i siły P, działające pod kątem na te płaszczyzny, równe i równdegłe do

naziomu. Ciśnienie pionowe na dno D musi być =C, a ponieważ suma momentów musi być =0, więc £=0 i F=0. Stąd wyprowadzają Rankine i Boussinesq następne wnioski:

1.    Parcie ziemi na powierzchnię pionową jest równoległe do naziomu.

2.    Parcie ziemi na powierzchnię równoległą do naziomu jest pionowe.

Wniosek pierwszy prowadzi do parcia geostatycznego, drugi znany jest nam z §. 172.

Jeżeli twierdzenie pierwsze zastosujemy wprost do parcia ziemi na mur, to pomijamy tarcie między ścianą a murem, przez co otrzymujemy parcie geostatyczne a nie geodynamiczne.

Inni, jak Weyrauch (Theorie des Erddruckes auf Grund der neueren Anschauungen 1884), wyznaczają inny kierunek parcia na dowolną płaszczyznę, mianowicie kąt d, o który odchyla się tu parcie do prostopadłej na płaszczyznę. Niektórzy, jak Lévy i Winkler, przyjmują nawet, że ô = ç] wszyscy jednak wychodzą z ogólnych natężeń ziemi o dowolnym naziomie, zresztą nieograniczonej. Wyniki, w ten sposób otrzymane, zastosowują wprost do parcia ziemi na stałe ściany, mówiąc, że gdy pomyślimy sobie przez ziemię położoną płaszczyznę, i gdy przypuścimy, że ziemia po jednej stronie tej płaszczyzny nagle stwardnieje, to stan równowagi przez to się nie zmienia. Słusznie zauważa tu Weyrauch, że tak nie jest, że po stwardnieniu ziemi będzie wprawdzie istnieć równowaga, ale nie ta sama, że siły, układające się w równowagę, będą prawdopodobnie teraz inne. Dlatego sami autorowie nowszych teoryj ograniczają ważność ich tylko do pewnych wypadków. Weyrauch wyznacza mianowicie podobnie, jak w ciałach sprężystych, osie główne natężeń i twierdzi, że nowsza teorya jest wtedy prawdziwą, jeśli obie osie przecinają naziom. Sprawdza się to zawsze przy naziomie poziomym, gdy e<0 i pod pewnymi warunkami przy naziomie spadającym.

Zresztą i w tych wypadkach wyniki, otrzymane według nowszej teoryi nie zgadzają się z praktyką ani z doświadczeniami i dają za wielkie parcie.

Dlatego też nie będziemy się dalej zastanawiać nad nowszą teoryą i zadowolnimy się dawniejszą, zastosowując przy-tem, gdzie tego potrzeba, naszą poprawkę.

Doświadczenia prof. Engelsa²) stwierdziły, że rzeczywiście parcie ziemi w stanie spoczynku na ścianę pionową jest poziome, mały ruch jednak, do którego stwierdzenia potrzeba aż przyrządu zwierciadłowego, wystarczy, aby wywo-wołać tarcie. Ponieważ w praktyce możemy śmiało dopuścić prawie zawsze tak małe ruchy, zatem możemy też uwzględnić tarcie, chociaż ono w stanie spoczynku nie istnieje.

XYII. Parcie ziemi na sklepienie.

§. 193. Sklepienie owalne.

W §. 132. nie uwzględnialiśmy parcia ziemi na sklepienie, lecz tylko jej ciężar pionowy. Z §. 172 wynika, że możemy tak postępować, dopóki grzbiet sklepienia lub nadmuro-wania nie jest bardziej nachylony do poziomu niż stok naturalny. Przy sklepieniach owalnych, jajowatych i tunelowych musimy jednak z powodu większego nachylenia uwzględnić także wielkość i kierunek ukośnego parcia na sklepienie, przy-czem zastosowujemy tylko znane już prawidła. Tok postępowania pokażemy na przykładzie.

Na tabl. VI. wykreśliliśmy sklepienie owalne z wielką nadsypką symetryczne i symetrycznie obciążone, to samo, dla którego Ott wyznaczył linią ciśnienia w swym podręczniku (Vorträge über Bautechnik 1, Theil). Przypuszczamy, że grzbiet sklepienia jest wieloboczny; jeśli tak nie jest, to zamiast krzywej przyjmujemy wielobok w nią wpisany lub opisany. Na każdy kliniec wyznaczamy parcie ziemi Pl5 P₂> P3...P7» według dawnej metody, przyczem przjghitijemy kąt tarcia p=35°, S=fp=26'15"

ciężar gatunkowy ziemi yz = 1,8    , kamienia p =2,3 —. Dla pierwszych

dwóch klińców jest «>180 —p, więc parcie jest pionowe i równe ciężarowi ziemi, leżącej nad klińcami. Następne parcia są nachylone do prostopadłej na ścianę o kąt p, obliczyliśmy je według wzoru 758), po części korzystaliśmy także z tablic, obliczonych dla tych równań. Ponieważ mamy tu wyznaczyć parcie na część ściany, więc obliczywszy parcie dla całej ściany przedłużonej aż do naziomu, wykreśliliśmy trójkąt parcia. Dla danej ściany otrzymaliśmy więc według §. 184. trapez parcia, który nam służył do wyznaczenia wielkości i punktu zaczepienia parcia (rys. 391). Aby rysunek na tabl. VI. uczynić wyraźnym, opuściliśmy na nim te przedwstępne konstrukcye, znane nam zresztą z poprzedniego.

Teraz wyznaczamy ciężar klińców Gj, ćr₂....(x₇, mnożymy powierzchnie przekroju klińców przez długość =1 i przez ciężar gatunkowy yk =2,3 ~ .

Wyznaczywszy w ten sposób wszystkie siły, działające na sklepienie, przystępujemy do wykreślenia linii ciśnienia według §. 137. Przyjmujemy więjc najprzód dowolnie parcie poziome H=Ola, zaczepiamy go w e w połowie wysokości klucza i na tej podstawie wykreślamy linią ciśnienia (kreskowaną na tablicy). Ostatni jej bok cd przedłużony przecina się z pierwszym w punkcie d, przez który przechodzi wypadkowa R wszystkich sił, działających na prawą stronę sklepienia. Jeżeli przypuścimy, że linia ciśnienia przechodzi przez środek podstawy /, to /djest ostatnim bokiem wieloboku sznurowego, a więc zrobiwszy bO/lfd, otrzymamy prawdziwy biegun O. Wykreślamy teraz drugi raz linią ciśnienia (pełno wyciągniętą na tablicy), przechodzącą przez punkty e i f. Linia ta ciśnienia wpada na punkt jędrny w g. Z kształtu jej jednak widzimy, że cała leży poniżej osi sklepienia, co sprzeciwia się prawidłu, wypowiedzianemu w §. 143, że suma powierzchni dodatnich ma być równa sumie powierzchni ujemnych. Prawdziwa linia ciśnienia leżeć będzie nieco wyżej, niż linia pełna wyciągnięta, należałoby zatem przyjąć punkt e nieco wyżej, a wtedy punkt g wejdzie w jądro.

§. 194. Sklepienie tunelowe.

Linią ciśnienia w sklepieniu tunelowem możnaby wyznaczyć według poprzedniego paragrafu. Jeżeli jednak tunel leży głęboko pod naziomem, otrzymalibyśmy w ten sposób parcie ziemi znacznie większe, niż w rzeczywistości istnieje. Głębiej położone warstwy ziemi i skały mają bowiem spójność zwykle tak wielką, że jej pominąć zupełnie nie możemy. "Wielki wpływ na parcie ziemi ma też także kierunek warstw', tak że nieraz parcie jest większe z jednej, niż z drugiej strony osi tunelu. Spójność ziemi i kierunek warstw zmieniają się jednak często dla tego samego tunelu tak, że w praktyce nieraz widzimy, że w niektórych miejscach tunel obejść się może czasem zupełnie bez sklepienia, a w innych grubość sklepienia jest nader zmienną. Obliczenie sklepienia tunelowego jest więc zwykle niemożliwe dla nieznajomości sił, nań działających. Jeżeli jednak potrafimy wyznaczyć siły zewnętrzne, czy to jako zwykłe parcie ziemi, czy też praktycznie, badając zachowanie się tymczasowego rusztowania drewnianego, to wykreślenie linii ciśnienia nie będzie przedstawiać żadnych trudności.

§. 195. Uwzględnienie spójności.

Powiedzieliśmy wyżej, że zwykle przy wyznaczaniu parcia ziemi nie uwzględniamy spójności. Zdarzają się jednak wypadki, że to jest koniecznem lub przynajmniej wskazanem. Koniecznem jest ono przy parciu na sklepienie tunelowe, a wskazanem przy muracb w przekopach, gd?;ie mur przylega do ziemi naturalnej, nienasypanej, wjdcazującej mniejszą lub większą spójność.

Zaznaczamy tu w krótkości, w jaki sposób należałoby uwzględnić spójność, która, jak wiadomo, proporcyonalną jest do powierzchni odłamu. Jeżeli więc spójność na jednostkę kwadratową nazwiemy c, to cała spójność S w wyznaczonej w zwykły sposób płaszczyźnie odłamu AC (rys. 406) będzie S=cl. Wykreślmy teraz wielobok sił, zróbmy ad - C, dc/lAC i równe S, dalej cbflQ i ab/fP, to ab - P. Nie uwzględniwszy spójności, otrzymalibyśmy    P= ae,    przyczem ae>ab.    Jeżeli spójność

przyjmiemy większą,    to    ab    będzie mniejszem,    może się nawet

stać zerem, wtedy niema wcale parcia.

N,

è

Wyznaczenie to nie jest dokładnem, bo S zmienia się pro-porcyonalnie do l, które jest funkcyą cp, może więc przy uwzględnieniu spójności otrzymamy a inną płaszczyznę usuwową.

,°/A

/

W przybliżeniu możemy też uwzględnić spójność według prof. Skibińskiego, przyjmując zamiast kąta ę większy kąt    q', wyznaczony

Rys. 406.

z paraboli    spójności. Dla

tego większego kąta przeprowadzamy wtedy obliczenie w zwykły sposób. Przybliżone te sposoby są tern bardziej wystarczające, że zwykle dokładnie nie znamy, jak wielką jest spójność.

E. Mury oporowe.

XVIII. Stałość murów oporowych.

§. 196. Ogólne zasady.

W §. 171. podaliśmy określenie muru oporowego. Składa się on z warstw poziomych lab też pochyłych. Jeżeli wyznaczymy siły, działające na każdą warstwę, t. j. ciężar muru i parcie ziemi, wynajdziemy środek ciśnienia czyli punkt zaczepienia wypadkowej, działającej na szew, a jeżeli środki ciśnienia wszystkich szwów połączymy, otrzymamy, jak wiemy, linią ciśnienia.

Warunki równowagi murów oporowych są te same, co sklepień, filarów i przyczółków, a więc według §. 131.

1.    Środek ciśnienia powinien leżeć w jądrze t. j. w średniej trzeciej części szwu, aby zaprawa nie pracowała na ciągnienie. Przy murach litych betonowych lub żelbetowych możemy dopuścić pewne ciągnienie, linia ciśnienia może więc wyjść z jądra.

2.    Wypadkowa powinna być odchyloną od prostopadłej na szew więcej, niż wynosi kąt tarcia.

3.    Natężenie nie powinno przekraczać spółczynnika wytrzymałości. Jeśli przyjmiemy stosowną pewność, to natężenie powinno być większem, niż dopuszczalne.

Jeżeli na mur oporowy pionowy lub małoco pochylony działa tylko parcie ziemi i ciężar własny muru, to linia ciśnienia wpada u góry muru, gdzie parcie równe zeru, na oś i oddala się dla dolnych części muru coraz bardziej od osi. Dlatego w zwykłych wypadkach wystarcza, gdy sprawdzimy, czy te trzy warunki wypełniają się dla podstawy muru. W wypadkach bardziej zawiłych potrzeba badanie rozciągnąć i do innych szwów.

§. 197. Ogólne wyznaczenie grubości muru oporowego.

Jeżeli Z jest parciem ziemi na mur AB ML (rys. 407) a O ciężarem tego muru, to dwie te siły złożone dają wypadkową R, która przecina podstawę muru AL w punkcie G. Rozłóżmy wszystkie te trzy siły na składowe równoległe i prostopadłe do AL, to otrzymamy siły Zu źf₂, Cl} C₂, P i T. Z rysunku widzimy, że P=C₂+Z₂ a T=Zi — Cu dalej, że C, = C wst ß, C-2 — C dost /?, Z, = Z wst ?/, Z, — Z dost rj.

Dalej widzimy, że v=[i—90°, y=90°—v + ô', a wstawiwszy wartość za v, otrzymamy y=180°—fi-\- d'. Dalej mamy t]= 180°—y albo 7^=180°—(180°—fi-\-ô')=fi— ó'.

Wstawiwszy tę wartość-za ?/, otrzymamy

Zl *= Z wst {[i—d'), Z₂ = Z dostań—d'), a więc P= C dost ß + Z dost (fi—ô')

T— C wst ß — Z wst (fi—ó')

.    .    791)

a stąd •

_ T __ (7 wst ß — Zwst (p — ô')

S ^ P C dost ß + Z dost (fi—ô') ’

.    .    792)

Przy obliczaniu murów B    ——-    podporowych przyjmujemy

f    takie wymiary muru, aby

środek ciśnienia podstawy wpadał na zewnętrzny punkt 2    jędrny. Przyjmujemy to poło

żenie graniczne środka ciśnienia, ponieważ, chcąc go sprowadzić bliżej środka ciężkości podstawy, potrzebowalibyśmy wiele więcej mate-ryału, a gdyby z jakichkolwiek przyczyn środek ciśnienia wyszedł nawet poza jądro, to mur jeszczeby się nie wywrócił, tylko szew otworzyłby się trochę. Eobiąc to przypuszczenie, mamy więc jeszcze dostateczną pewność.

Aby zatem środek ciśnienia G nie wyszedł z jądra, musi być AG<%AL = %b.

Jeżeli AG=\b (rys. 408), to możemy ustawić następne równanie momentów ze względu na punkt A.

PĄb=C.AU+Z.AN₎ a L nazwawszy AU = a, AN =

= Ai? dost d' = e dost d', otrzymamy :

iyi*-

' 4-

IG.

■r

R P C,C Zz

Rys. 407.

...............

y ~i

T-*-

:_/

TT

■r.t--

Rys. 40.°.

² i

3b =

a. C-f Ze dost ó'

a C +Ze dost ó'

C dost/3+Z dost (fi—ó')

Rozumie się, że należałoby też zbadać punkt 3-ci, dotyczący natężenia, które obliczać należy wedle równania 616). W razie, gdy punkt G wpada na punkt jędrny, mamy wedle 619)

jeżeli wszystko liczymy w kg i cm. Również należy zbadać, czy ciśnienie w fundamencie nie jest za wielkiem.

100 6

793)

.    .    794)

§. 198. Analityczne wyznaczenie grubości muru dla szwów

pochyłych.

Na podstawie równ. 793) wyznaczymy teraz według Otta grubość b muru o przekroju trapezowym.

Jeżeli przekrój muru ma kształt trapezu ABML (rys. 409) to da się równ. 793) inaczej wyrazić.

m/7

Z rysunku otrzymamy C, ciężar

- muru na długość równą jedności

AL-\- MB    .    ,

2-=Y^b-bt-b₂)

h = b] st fi

C=yh

, 795)

Cli i

S,

i \ Z/ jeżeli y oznacza ciężar gatunkowy muru.

i J, i’ TrA

................W

Rys. 409.

Chcąc wyznaczyć moment siły C ze względu na punkt A, rozłożymy trapez na prostokąt GHBM i dwa trójkąty, oznaczymy ciężar części składowjmh przekroju i rozłożymy każdy z nich na składowe równoległe i prostopadłe do podstawy AL. Wtedy otrzymamy moment ciężaru C ze względu na A

Oa=Cl"fbi+C₂"(b₁ +

Z rysunku widzimy, że więc Ci

b, h

//_

y^dost/?, Ci' = y^p-wst0,

C^yib—b^—b^h, więc C^'^yib—ó, — b₂) h dost ß, C-i — y {b —    — ô₂ ) h wst /?,

więc C/' = y^>iJl dost/3, CL' = y-² — wst y.

r

■! 7 "2~

Wstawiwszy te wartości w poprzednie równanie, otrzy-

mamy :

A dost Æ

<7a = r 2

yÄ.dost/3 ²4-

—yfr²wst/?|^¹ ~|^² 4-

&²—(Ö₂+^ St/?) &4~

(b.-b.y-b, 2

- 4-

HW]

k-b,-b₂ \

2 J

² g-—+|-(ó₁+6₂)Äst^ . 796)

Wstawiwszy wartości za C i Ca w równ. 793), otrzymamy

h dost/? [A²—(ô₂ 4-A st/?) A4

05[t€

g +f (6₁+ö₂)Ästjö]+Zedostd/

według b :

yh (2 A—6, —A₂) dost/?4-Z dost (fi — d').

Stąd otrzymamy wreszcie, uporządkowawszy równanie

b² +— 2A, + 8h st ß -f

4-2(0, 4-A₂)Ast/?4

4Zdost(,a—d') y h dost/?

6 Ze dostd'

A = A₂²-V4-

.    .    797)

yh dost fi

a więc równanie drugiego stopnia, które w danym wypadku możemy łatwo rozwiązać.

i Pl IP

LjUi /ÎIA „

’”lA

Rys. 410.

Rys. 411. Rys. 412. Rys. 413.

Z równ. 797) otrzymamy dla poszczególnych wypadków następujące wzory:

1. Dla A, = A₂ (rys. 410) otrzymamy:

.    .    798)

= 4 A, h st /? 4-

6 Ze dost d' yAdost/?

2. Dla b₂ — O (rys. 411) otrzymamy: b²-\- ^—2 bl +3Â stß-{

y h dost ß 6 Ze dostd'

j = — bx²-\-%bi Ästß-i-

799)

yh dost/3

3. Dla 6₁=0 (rys. 412) otrzymamy, zważywszy, że ^ = 90°, 4Zwst d' y Ä dost ß

6² + {b₂ + 3Ast ß-\-

^b = b₂’l-[-^b₂hstß-\

6Ze dostd'

y h dost/3

800)

4. Dla b^ = b₂ = 0, a więc dla przekroju prostokątnego (rys. 413) mamy:

ó² + ^3Astjd

4Zwst d'

y Ä dost/?

)b

6 Ze dostd' yh dost ß

. 801)

§. 199. Analityczne wyznaczenie grubości murów dla szwów

poziomych.

Jeżeli szwy muni podporowego są poziome (rys. 414', to otrzymamy odnośne wzory dla przekroju trapezowego, wstawiwszy w równ. 797) /?=0, więc st/?=0, dost ß—1. Mamy więc 4Zdost {[à,—ô')

6²+

-26,4

yh

)&~v-v+

6 Ze dost ó'

yh

. 802)

!! i

!i

li

w

r.....b.....»J

K~

rw

• b**»

î**P Ki Kir*»

Rys. 414.

Rys. 415. Rys. 416. Rys. 417. Rys. 418.

padkach

Z równania tego otrzymamy znowu w szczegółowych wy

1. Dla b₂=0 (rys. 415):

6.₊ (_at,+4gdoy-*>)6_

6 Gedost'

yh

.    803)

2. Dla ój^O będzie /4==90° (rys. 416), więc

6 Ze dost d'

/, 4Zwstd'\

b'⁺{b>⁺—.—M

yh

.    .    804)

3. Dla bi=b₁ (rys. 417) otrzymamy:

4Zdost Oi—ó') \,

yh    )

Dla 6,=ż>₂=0 (rys. 418), a więc dla przekroju prosto-4Zwstd/, 6 Ze dost d'

---h

6 Ze dost ó'

yh

kątnego będzie: £²-f

yh

yh

. . 806)

Podobnie dadzą się ustawić wzory dla. murów zakrzywionych lub wielobocznych, ale są one jeszcze zawilsze, więc je pomijamy. Obliczenia tego rodzaju należą do nauki o budowlach ziemnych. Obliczając grubości muru zbiorników wody, tam itd. możemy zatrzymać te same wzory, wstawiwszy w nie* tylko dla wody d'=0. Przy wysokich takich murach obliczenie-należy przeprowadzić na innych zasadach. Omawianie tego zagadnienia należy do budownictwa wodnego.

Dla przekonania się, czy drugi warunek równowagi jest wypełnionym, mianowicie czy    musimy jeszcze obliczyć

st (p według równ. 792). Gdyby kąt (p był większym od kąta tarcia, to należałoby użyć albo szwów ukośnych, lub też pogrubić mur, a przez to powiększyć jego ciężar.

Przykład. Mur podporowy 4 m wysoki podtrzymuje drogę, dla której p=400fc^/m². Niech będzie p = 33°, 8'=| p=24°45',    =1,8 tjm*, ym—2,3 t/m*.

f> = 400*354ns

(rys. 419). Nachylenie przedniej ściany jest 1:£. Jak wielka ma być szerokość muru u podstawy i.

1-200 Wom

£ X

Najprzód wyznaczymy parcie ziemi Z. Dla p=33° jest dotf = l,54, stp=0,646. Według tablicy w §. 176 mamy dla stß=0 i stp=0,7 spółczynnik 0,122, dla stp=0,6, 0,143, więc dla stp=0,649 otrzymamy 0,131, zatem P=0,131 1,8.4²=3,77 ł. Dalej

400

SF

mamy wedle 769 /ą    = 0,222, a wedle 771):

2.400

Z=3,77(l +

)=3,77.1,11=4,18/.

1800.4

Wreszcie wedle 774):

4 + 3.0,222    ₄ 4,666

‘4 + 2.0,222 ~ s4,444 Teraz przystąpimy do obliczenia grubości muru. Wedle założenia h 4

6₂ = — =    =0,8 m, więc wedle 804) :

Rys. 419.

FE=e’ = i

= f 1,05=1,4m.

p₊(₀,8₊i+l^^>=0,8> +

6.4,18.1,4 dost 24° 45'

2,3.4    '

Dalej mamy wst24°45'=0,419, dost24°45=0,908, co wstawiwszy,.

otrzymamy :

6² +1,56 6=4,05, stąd b=— 0,78+ V0,78² + 4,05=1,38 m.

•ó₀ = l,38—0,8=0,58. Gdyby b₀ wypadło mniejsze, niż 0,4 w, należałoby ze względu na wykonanie przyjąć inne nachylenie ściany przedniej i powtórzyć rachunek dopóty, aż ^^>0,4;«.

§. 200. Wykreślne wyznaczenie grubości muru oporowego.

Jeżeli mamy dany przekrój muru ABML (rys. 420), to łatwo obliczymy ciężar C muru na jednostkę długości w kierunku prostopadłym do rysunku. Parcie ziemi Z i punkt zaczepienia E wyznaczamy w znany sposób. Dwie te siły Z=Oci i C ab składamy zapomocą wieloboku sił i otrzymujemy wypadkową R, przecinającą podstawę w punkcie G. Jeżeli, jak tu, środek ciśnienia G leży w jądrze t. j. średniej trzeciej

części podstawy, to nietylko równowaga jest zapewnioną, ale też cała podstawa

M Al, At B

pracuje na ciśnienie. iV, Jeżeliby G wypadło poza punkt jędrny I, to w punkcie A powstałoby ciągnienie, czego ze względu na małą wytrzymałość zaprawy na ciągnienie zwykłe nie chcemy dopuścić. Chcąc, aby koszta muru były jak najmniejsze, a z drugiej strony, aby nigdzie mur nie pracował na ciągnienie, będziemy się starali, jak przy analitycznem obliczeniu, aby punkt G wypadł na punkt jędrny /. W naszym wypadku wypadałoby więc zmniejszyć grubość muru. Przyjmmy zatem teraz przekrój muru mniejszy ABM\ przyczem Mi Z/t IIML, i powtórzmy całą konstrukcyą, to otrzymamy jako środek ciśnienia punkt G, jeszcze w średniej trzeciej części podstawy. Zróbmy Ll = IG równe odstępowi środka ciśnienia G od punktu jędrnego, dalej    ćr. = odstępowi punktu Gx od nowego

//

c, y/R

/ / / / /

/k///

l/H/h GJG L L, l///

Rf/R

\7

/ /

/O,

C

Oi /

C C,

OL'

Rys. 420.

punktu jędrnego to gdybyśmy to dla kilku wypadków powtórzyli i połączyli wierzchołki rzędnych linią, to linia ta byłaby w ogóle wprawdzie krzywa, lecz nie wiele różniłaby się od prostej ZZ, . Jeżeli więc prostą ZZ, przedłużymy do przecięcia się z podstawą AL i poprowadzimy L₂ M.n to ABM.lL.l będzie w przybliżeniu przekrojem muru, dla którego środek ciśnienia podstawy wpada w punkt jędrny. Chcąc dokładniej wyznaczyć grubość muru, wyszukamy jeszcze dla tej grubości L, l₂ = I₂G₂ ■ Mamy teraz trzy punkty linii krzywej, możemy ją wykreślić, a punkt L{ przecięcia się jej z podstawą da szukaną szerokość podstawy.

u,u

Jeżeli górna szerokość muru jest dana, wtedy przyjmujemy rozmaite położenia ściany ML, obracając ją około punktu M (rys. 421). Zamiast wyszukiwać każdą rażą na nowo ciężar muru i jego środek ciężkości, możemy do poprzednich sił dołączyć ciężar paska, który dodajemy lub odejmujemy (wtedy ciężar ujemny do góry działający) i złożyć w zwyczajny sposób tę dodatkową siłę z po-przedniem JR.

Bys. 421.

C*

P<

Są także inne sposoby, prowadzące wprost (nie przez próbowanie) do Wyznaczenia grubości muru, jak np. metoda prof. Rychtera („Przegląd Techniczny“ 1877), Crugnoli („Eisenbahn“ 1882), które jako więcej zawiłe pomijamy, gdyż wyznaczenie grubości muru według powyższej metody jest w praktyce dostatecznie dokładnem.

?s<

Pi

c?

Pz

\e>

/!

Rys. 422.

Jeżeli przekrój muru jest zawilszy, podcięty (rys. 422) lub ograniczony liniami krzywemi, to dzielimy go na paski (w rys. 422), wyznaczamy dla każdego z nich wedle poprzedniego parcia ziemi na każdy pasek P,, P₂ i Pj i ich punkty zaczepienia. Wyznaczamy środki ciężkości pasków i cię-

żary icli C

C₂ i Ci i składamy siły po kolei zapomocą wielo-

boku sił. Punkty przecięcia się wypadkowych na szew e,, eL i e;i połączone dają linią ciśnienia, która nie powinna wychodzić z średniej trzeciej części przekroju. W tym wypadku linia ciśnienia wychodzi z średniej trzeciej części przekroju, więc należałoby obrać grubszy mur (dla wyrazistości rysunku linia •ciśnienia jest opuszczoną).

Wyznaczając grubość muni w ten sposób, trzeba jeszcze • zawsze wyznaczyć najw. ciśnienie w zewnętrznej krawędzi, które nie może być większem od dopuszczalnego.

Niektórzy inżynierowie dopuszczają otwarcia szwu przy murach oporowych, a wtedy linia ciśnienia może wychodzić z jądra, a chodzi tylko o to, aby natężenie nie było za wielkiem.

Dla przyjętych grubości w podstawie AL, AL,, AL₂ (rys. 423), wyznaczamy wypadkową B, a stąd największe ciśnienie a, a,, cr₂ itd. Wartości te odnosimy w pionowych pod L, L,, L, i h i otrzy-, mujemy krzywą mn. Dla danego natę-tężenia dopuszczalnego I wyznaczamy wtedy wykreślnie z łatwością grubość AL₀.

7J7

//

i ii

ID \

Rys. 423.

§. 201. Parcie geostatyczne przy wyznaczaniu grubości muru

oporowego.

Dotychczas używaliśmy do wyznaczenia grubości muru podporowego parcia geodynamicznego. O ile to tyczy przewrotu lub przesunięcia muru, jest to usprawiedliwionem. Jeżeli jednak chcielibyśmy poznać natężenie w murze podczas spokoju, to należałoby wyznaczyć parcie geostatyczne i na podstawie tego obliczyć natężenie według znanych prawideł.

A może się zdarzyć wypadek, że przy parciu geosta-tycznem leży linia ciśnienia wewnątrz przekroju muru, przy7 parciu geostatycznem zaś zewnątrz przekroju. Jak wtedy utrzymuje się równowaga i jakie są wtedy natężenia?

Ponieważ dla parcia geostatycznego wypadkowa przecina podstawę poza przekrojem muni, to musiałby się mur przewrócić. Ale skoro zacznie się ruch, występuje całe tarcie na powierzchni muru i musimy się liczyć tylko z mniej szem i korzystniej działaj ącem parciem geodynamicznem, wskutek tego wypadkowa odchyli się o tyle, że przecina podstawę wewnątrz przekroju. Ruch więc muru ustaje, ale tarcie, wywołane tym ruchem, działa dalej. Widzimy zatem, że w takim razie możliwy jest tylko bardzo mały ruch, tylko otwarcie szwów, potem panuje znów równowaga. Ale jak wytłómaczymy sobie tę równowagę? Otóż musimy tu znów przypomnąć, że tarcie jest tylko oporem, siłą bierną, która w stanie spoczynku działa tylko o tyle, o ile tego potrzeba do utrzymania równowagi. A więc wystąpi dla stanu równowagi tylko tyle tarcia, aby wypadkowa przechodziła przez zewnętrzną krawędź muru, aby jeszcze równowaga była zachowaną. W rzeczywistości nie może jednak wypadkowa przechodzić przez samą krawędź, bo wtedy byłoby natężenie tam nieskończenie wielkie. Musiałby się mur wtedy na krawędzi skruszyć, a wypadkowa przesunie się od krawędzi na wewnątrz o 2 do 5 cm.

Z powyższego widzimy, że mur podporowy, obliczony według parcia geodynamicznego (dawnej teoryi) w ten sposób, aby linia ciśnienia nie wychodziła z jądra, nie wywróci się nawet w tym wypadku, jeżeliby linia ciśnienia geostatyczna wychodziła z przekroju, Z drugiej strony będzie w stanie spoczynku w murze, obliczonym według dawnej metody, linia ciśnienia wychodzić często poza jądro, wskutek czego wystąpi ciągnienie, a z powodu małej wytrzymałości zaprawy na ciągnienie, otwarcie szwu i bardzo mały ruch muru.

Tam więc, gdzie taki mały ruch muru i otwarcie szwów nie jest szkodliwem, więc zwykle przy mu-rach podporowych, możemy używać bez obawy dawnej teoryi parcia ziemi, jak to zresztą praktyka nas uczy, jeżeli tylko materyał jest dość wytrzymały. Przy przyczółkach jednak mostów sklepionych iw ogóle wszędzie tam, gdzie nie możemy dopuścić żadnego nawet małego ruchu, należałoby uwzględnić parcie geostatyczne. Przy niskich przyczółkach, gdzie przeważa parcie sklepienia, jest parcie geostatycznie korzystniejsze od

geodynamicznego. Przeciwnie przy wysokich przyczółkach, gdzie przeważa parcie ziemi, a linia ciśnienia zwraca się ku wewnętrznej stronie (ku osi mostu), tam działa parcie geostatyczne niekorzystniej i należałoby je koniecznie uwzględnić, bo w takim razie nawet mały ruch przyczółka może spowodować pęknięcie sklepienia. W praktyce jednak takich przyczółków unikamy.

§. 202. Mury oporowe z przyporami.

Czasem robimy mury oporowe z przyporami (n. Strebepfeiler, fr. contrefort, an. counterfort, r. KOirrpo(|)opc) (rys. 424). Wtedy obliczamy parcie nie na 1 m bieżący, lecz na długość a

f¹' fr>.

fi

Cc

⁷fWC

r üir

Pa

Ca

'i

ÉT

......ęo.......+4

Eys. 424.

i c. Parcie Pc działa wtedy w powierzchni mn, parcie Pa w pr. Parcia te składamy z ciężarami Ca i Cc, zaczepiającymi w środku ciężkości przekroju fgp\P " fgm, m. Wypadkowa R przecina podstawę w e, który to punkt nie powinien wychodzić poza punkt jędrny. Punkt ten nie będzie leżał tutaj w ¹/3 grubości. Trzeba go osobno wyznaczyć.

Co do grubości g, to na długości a działa siła Pa. Składowa pozioma tej siły Ha, równo rozdzielona na st czyli na jednostkę H, wywołuje w tej części muru natężenia zginające. Mamy przytem w przybliżeniu, zważywszy, że siła II nie rozdziela się równo na przekrój pionowy, lecz działając w jednej trzeciej wysokości, wywołuje 2 razy tak

Ha¹ hg²

wielkie natężenie, niż gdyby działała w środku, 2

a stąd

« = 2 g\

(i II

.    .    807)

lub

to a

QH

. . 808)

x oznacza tu dodatkowe natężenie wskutek wypadkowej R.

Dlatego przyjmujemy zwykle x bardzo małe, z=l do 1,5 Icglcm2³).

Aby uniknąć natężeń na zginanie w murze między przyporami, używają zamiast muru płaskiego sklepień (rys. 425).

Tu także podwójną siłę H uważać należy za obciążenie sklepienia i wyznaczyć linią ciśnienia, a osobno badać równowagę filarów między sklepieniami.

§. 203. Korzystny przekrój muru oporowego.

Chcąc wyznaczyć najkorzystniejszy przekrój muru podporowego, musimy zważać najprzód na oszczędność materyału, potem na wielkość wykopu i na inne względy.

Pod względem oszczędności materyału są leżące mury najlepsze i to tern korzystniejsze, im mniejszy kąt a. Gdy ct — ę, a nawet nieco większy (§. 160), ziemia utrzymuje się sama, muru wtedy wcale nie potrzeba.

Rys. 425.

nam o

Z drugiej strony im mniejszy kąt a, tern większy jest wykop, który także kosztuje, a właśnie dla zmniejszenia wykopu i aby wykop nie sięgał za daleko na stromych stokach lub w miejscach zabudowanych, używamy bardzo często murów podporowych. Czasem chodzi to, aby przystęp był łatwiejszy, np. przy bulwarach, wtedy budujemy mur wewnątrz pionowy, zewnątrz trochę pochyły.

Dobry przekrój muru powinien być dalej taki, aby pewność była w całej wysokości jednakowa. To jednak nie da się osiągnąć, gdyż dla wierzchu muru ciśnienie jest równem zeru, teoretycznie więc grubość muru powinnaby być na wierzchu równą zeru i wzrastać wraz z ciśnieniem, a więc, jeżeli naziom jest płaskim, przekrój powinien mieć kształt ABL (rys. 426). Ze względów praktycznych nie możemy jednak budować takich murów, bo pominąwszy, że oprócz parcia ziemi

38

mogą działać i siły przypadkowe, lecz także wpływ powietrza działa szkodliwie na mur i zmniejsza jego przekrój, a wpływ ten jest największjun na wierzchu muru. Szerokość wierzchu muru BM=b' przyjmujemy więc zwykle

dla murów kamiennych i'>0,5m „    „ ceglanych b' < 0,45 m

vb2>i j

i+-

Eys. 426.

Ponieważ, jak wiadomo, najkorzystniejszy , jest kształt przekroju budowli murowanej, gdy linia ciśnienia spada z osią, więc gdy chcemy się do tego prawidła zastosować, należy przednią powierzchnię muru ML nachylić, albo co lepiej jeszcze, użyć muru o przekroju podciętym (rys. 422). Oszczędność ma-teryału może wynieść w stosunku do przekroju prostokątnego do 35°/₀. O korzyściach tego rodzaju przekrojów murów oporowych traktuje zresztą nauka o budowlach ziemnych i budowie mostów, do których czytelników odsyłamy.

§. 204. Parcie ziemi na przyczółek.

Jeżeli oprócz parcia ziemi działa na mur inna siła ukośna, np. parcie sklepienia, wtedy linia ciśnienia wyjść może z jądra niekoniecznie w podstawie, lecz w którymkolwiek innym szwie, dlatego zwykle wykreślamy wtedy całą linią ciśnienia, aby osądzić, czy w murze takim nie wystąpi ciągnienie.

Rys. 427 przedstawia taki przypadek. Jest to przyczółek sklepienia, na które działa parcie ziemi. W znany nam z poprzednich rozdziałów sposób wykreślamy linią ciśnienia w sklepieniu i otrzymujemy parcie R ukośne sklepienia na mur, przechodzące przez środek szwu w węzgłowiu. W znany również sposób wyznaczamy parcie P1; P₂, P₃, P₄ na warstwy muru i ich punkty zaczepienia, jakoteż ciężary warstw. Parcie ziemi na NU jest, jak wiadomo, pionowe i równe ciężarowi ziemi, nad NU leżącej, który to ciężar składamy razem z ciężarem muru nad rs i otrzymujemy CH. Siły te składamy jednę po drugiej za pomocą wieloboku sił w zwykły sposób. A więc przedłużamy R aż do przecięcia się z Ci w punkcie a i kreślimy wypadkową ab // O 6, dalej 6c//(77, Przedłużywszy bc do

przecięcia z rs w punkcie Ev otrzymujemy punkt linii ciśnienia. Wypadkową 07 składamy teraz z C₇, robimy więc cd/jO 8, dfH O 9. Przecięcie się tej prostej z drugim szwem w Et daje nam następny punkt linii ciśnienia. 09 składamy teraz z 0₈ i P₃, a więc robimy najprzód fgi/O10, potem g E₃ H 011. Przecięcie się g E₃ z podstawą daje nam środek ciśnienia podstawy. Linia ciśnienia jest linią, łączącą środki ciśnień na pojedyńcze szwy, a więc eExE₂E₃ (na rysunku dla wyrazistości opuszczona).

h»

fet

i---=

r>

;X.~5Fr—

tffi

------J

r> <-----

PPP

4-:

'cC

r>

11

cc

ul

03

Rys. 427.

W tym wypadku widzimy, że linia ciśnienia nie wychodzi wcale z jądra w podstawie, a nawet leży za blisko środka podstawy, potrzebaby więc zmniejszyć przekrój muru i powtórzyć konstrukcyą raz jeszcze, aby się przekonać, czy mur nie pracuje na ciągnienie.

Jeżeli parcie ziemi jest stosunkowo większem, a więc przy wysokich przyczółkach, zdarza się często, że linia ciśnienia w środku wysokości zbliża się do ojędrnej zewnętrznej, potem zaś zwraca się na wewnątrz i zbliża się do ojędrnej wewnętrznej.

I. DODATEK.

Literatura.

Podajemy tu w porządku chronologicznym spis podręczników i ważniejszych (bo ilość ich jest nader wielka) artykułów, jako też dzieł o statyce budowli, przyczem nadmienić musimy, że przytaczamy tu także dzieła, z którj^ch przy układaniu podręcznika wcale nie korzystaliśmy.

I. Ogólne dzieła.

Bresse: Cours dc mécanique appliquée. Paryż 1859. 3 wyd. 1880. Rankine W. J. M. : Manuel of civil enqincering. Londyn 1862. 12 wydanie 1877.

Heinzerling F. : Die angreifenden und widerstehenden Kräfte. Berlin 1867. 2 wyd. 1876.

Collignon: Cours de mécanique appliquée. Par}^ż 1870. Holzhey: Vorträge über Baumechanik. Wiedeń 1872— 1879. Frauenholz: Bauconstruction für Ingenieure. Mnichów 1875. Ritter A. : Lehrbuch der Ingenieurmechanik. Hanower 1875. 3 wyd. 1885¹.

Ott: Vorträge über Baumechanik. Praga 1877 —1880., 3 wyd. 1888 - 1893.

N a v i e r : Mechanik der Baukunst, bearbeitet von Westphal und Föppl. Hanower 1879.

Ré sal H.: Traite de la mécanique generale.

Hintz L. : Baustatik. Weimar 1882.

Herr mann: Die Statik der Bauwerke. Brunszwik 1882. Flamant: Stabilité des constructions. Paryż 1886. 2 wyd. 1909. Planat: Pratique dc la mécanique appliquée. Paryż 1887., 2 wyd. 1899.

Tetmajer: Baumechanik. II. część. Zurych 1889. Landsberg The od.: Die Statik der Hochbauconstructionen.

Darmstadt. 2 wyd. 1989., 3 wyd. 1899.

Vigreux: Revue technique de T exposition universelle. Paryż 1891.

Canevazzi: S.: Meccanica applicata delle construcioni. Turyn 1891.

Claussen E.: Statik und Festigkeitslehre Berlin 1898.

Pillet J.: Traité de stabilité des constructions. Paryż 1895.

Vonderlinn J. : Statik für Hoch- und Tiefbautechniker. Stut-gart 1896, 2 wyd. 1902.

M e li r t e n s Gr. : Vorlesungen über Statik der Baukonstruktionen und Festigkeitslehre. Lipsk 1903—5., 2 wyd. 1909.

Tu Mo men ko: C6opnuKrL 3a^an,ri> no conpoTUBJieniro MaTe-piujioirn. Kijów 1910.

Zschetzsche A. P. : Handbuch der Baustatik. Düsseldorf 1912.

Andrews Ewart S. : The theory and design of structures. Londyn 1918.

2. Statyka wykreślna.

C u 1 m a n n : Graphische Statik. Zurych 1 wyd. 1866, 2 wyd. 1875.

Bause hin ger: Elemente der graphischen Statik. Mnichów 1871, 2 wyd. 1880.

Favaro: La statica grafica. Wenecya 1873., 2 wyd. Padwa 1877.

Levy: La statique graphique et ses applicatians aux constructions. Paryż 1874, wyd. 1888.

Cremona L.: Elementi di calculo grafico. Turyn 1874.

Ott: Graphische Statik. 1874, 4 wyd. Praga 1884—1885.

Abakanowicz B.: Zarys statyki wykreślnej. Lwów 1876.

Du Bois: Elements of graphical statics. Nowy York 1876.

K1 a s en : Graphische Ermittelung der Spannungen. Wiedeń 1878.

Saviotti C. : Lezioni di statica graphica. Rzym 1878—9.

Cremona L. : Le figure rcciproche nella statica graphica. Me-dyolan 3 wyd. 1879.

E d d y : New constructions in graphical statics. Londyn 1880, 2 wyd. 1888.

Müller Breslau: Elemente der graphischen Statik. Berlin 1881, 3 wyd. 1887—1892, 5 wyd. 1912.

Baldermann: Graphische Integration. Allg. Bauzeitung. 1881.

Chalmers: Graphical détermination of forces. Londyn 1881.

Maurer: Statique graphique. Paryż 1882, 2 wyd. 1885.

Stelzel: Graphische Statik. Gradée 1882.

Hauser et Cunq.: Statique graphique appliquée. Paryż 1886.

Ritter W.: Anwendungen der graphischen Statik. 1 część Zurych 1888.

Cullmann-Ritter: Anwendungen der graphischen Statik. Zurych 1888—90.

K ö c h 1 i n : Applications de la statique graphique. Paryż 1889, 2 wyd. 1898.

Lauenstein B.: Die graphische Statik. Stuttgart 1—4 wyd. 1890-1898, 8 wyd. 1904.

Keck W.: Vorträge über graphische Statik. Hannower 1894.

KHpiiuij;en: OcHOBauia rpa<|>nnecKoii CTaTHKii. Kijów 1902.

Everding GL: Lehrbuch der Graphostatik. 1906.

Huber Dr. Maks.: Statyka wykreślna. Lwów 1909.

Wehnert Ern.: Einführung in die Festigkeitslehre 1910.

Schur Fr.: Vorlesungen über graphische Statik. 1915.

Popławski: Statyka wykreślna. Warszawa. 1917.

3. Teorya belek, sprężystość i wytrzymałość.

R e b h a n n : Theorie der Holz- u. Eisenkonstruktion. Wiedeń 1856.

Morin A.: Résistance des matériaux. Paryż 1857.

Clapeyron: Calcul d’une poutre élastique, réposant librement sur des appuis inégalement espèces. 1857.

Scheffler H.: Theorie der Festigkeit gegen das Zerknicken. Brunszwik 1858.

G r a s h o f : Festigkeitslehre. Berlin 1866.

Winkler E.: Lehre von der Elastizität und Festigkeit. Praga 1867.

Mohr: Beitrag zur Theorie der Holz- und ELenconstructionen, Zeit, der Arch. oder Ing. Ver. zu Hannover 1868.

Ritter A.: Theorie und Berechnung der eisernen Dach- und Brückenconstructionen. 1870, 3 wyd. 1873.

Wöhler: Die Festigkeitsversuche mit Eisen und Stahl. Berlin 1870.

Cordier E.: Equilibre stable des charpentes. Paryż. 1872.

Winkler E.: Vorträge über Brückenbau. 1875.

Spangenberg: Ueber das Verhalten der Metalle bei wiederholten Anstrengungen. Berlin 1875.

Tetmajer: Die äusseren und inneren Kräfte an st. bestimmten Constructionen. Zurych 1875.

Hulewicz: Obliczenie wytrzymałości belek wieloprzęsłowych. Paryż 1876.

Kluger: Wykład wytrzymałości materyałów. Paryż 1876.

Weyrauch J.: Festigkeit und Dimensionenberechnung der Eisen und Stahlkonstruktionen. Lipsk 1876.

Bauschinger: Mittheilungen aus dem mech. technischen Laboratorium der k. k. Hochschule in München, zeszyt I. 1877.

Winkler E.: Wahl der zulässigen Inanspruchnahme der Eisen-construction. Wieder! 1877.

Winkler E.: Versuche über die Knickfestigkeit eiserner Säulen. Civiling. 1878.

Abakanowicz: Integrator, krzywa całkowa i jej zastosowanie. Warszawa 1880, 2 wyd. Paryż 1886.

Burr: A course on the stresses in bridge and roof trusses. Nowy York 1880.

F o e p p 1 : Theorie des Fachwerks. Lipsk 1880.

Wehage: Spannungen in verbogenen Körpern. Civiling 1880.

Hulewicz: Calcul de résistance des poutres droites à plusieurs travées. Ann. d. ponts et chaus. 1882.

Wittmann: Statik der Hochbauconstructionen II Holzcon-structionen. Mnichów 1882.

Ritter W.: Die elastische Linie und ihre Anwendung auf den continuirlichen Balken. Zurych 1883.

Jay du Bois: The strains in framed structures. Nowy YTork 1883.

Wittmann: Statik der Hochbauconstructionen III. Eisencon-struction. Mnichów 1884, 2. wyd. 1893.

Dwelshavers-Dery: Principes de la résistance des matériaux. Leodyum 1884.

Tetmajer L. : Mittheilungen der Anstalt zur Prüfung der Baumaterialien. Zurych 1884—1901.

Obrębowicz: O wjdrzymałości na wyboczenie. Rocznik Akademii Umiejętności. Kraków 1885.

Y i g r e u x L. : Traite théorique et pratique de la résistances des matériaux. Paryż 1885.

Müller- Breslau: Die neuere Methoden der Festigkeitslehre. Lipsk 1886, 3 wyd. 1904, 4 wyd. 1913.

Brune: Cours de construction. Résistance des matériaux. Paryż 1888.

Smith R.: Stress diagrams of solid structures. 1889.

Bach: Elasticität und Festigkeit. Berlin 1889—1890, 2 wyd. 1894.

Ritter W. : Das Fachwerk. Zurych 1890.

Miceau et Petit: Congrès international des procédés de construction. Paryż 1891.

Mad am et A.: Résistance des matériaux. Paryż 1891.

Keck W.: Vorträge über Elastizitäts-Lehre, Hanno wer 1902—3.

H a r t i g : Vergleichende Versuche über die Festigkeitseigenschaften metallener Gliederkette. Civilingen. 1892.

Résal Jean: Construction métalliques, élasticité et résistance des matériau c, fonte, fer et acier. Paryż 1892.

Jasiński F. S.: Opiat razwytia teoriy prodalnaho izhyba. Petersburg 1893 ; to samo po francusku 1894 i po polsku 1895.

Fidler T. Claxton: A practical treatise on bridge construction. Londyn 1893v

Bovey Henry: Thcory of structures and streng th of materials Nowy York 1893.

Tetmaj er: Gesetze der Knickfestigkeit der technisch wichtigsten Materialien. Zurych 1896 ^ 2 wyd. 1901.

Dechamps: Les principes de la constructions des charpentes métalliques. Leodyum 2 wyd. 1898.

P1 a n a t : Recherches sur la théorie des ciments arm's. Paryż 1898.

Huber Dr. M. T.: O wytrzymałości słupów. Przeg. Tech. Warszawa 1907.

Gestes sy Th.: Die Festigkeits-Berechnung der eisernen Träger. Halle 1908.

Bryła Dr. St.: Obliczenie kopuł płaszczowych. Lwów 1910.

IT 1 k o w s k i Fr. : Tablica wykreślna dźwigarów walcowanych i belek drewnianych. Rzeszów-Lwów 1910.

Mur dock H. E.: Strength of materials Nowy York 1911.

4. Teorya sklepień.

Carvallo: Etude sur la stabilité du voûtes Paryż 1853.

S che ff 1er: Theorie der Gewölbe, Futtermauern und eisernen Brücken. Brunszwik 1875.

Schwedler: Zur Theorie der Gewölbe. Zeitschrift für Bauwesen. Berlin 1859.

Fabré: Theorie des voûtes élastiques et dilatables. Paryż. 1859.

Hagen: Form und Stärke gewölbter Bögen. 1862.

H ariach er: Stützlinie im Gewölbe. Technische Blätter. Praga 1870.

Dupuit: Traité d’équilibre des voûtes et de la construction des ponts en maçonnerie. 1870.

Heinzerling: Theorie, Construction und statische Berechnung der Brückengewölbe. Allgem. Bauzeitung. 1872.

Chrzanowski T.: Teorya sklepień. Warszawa 1877.

Szystowski: Nowy sposób kreślenia krzywej ciśnienia. Paryż 1877.

Wittmann: Statik der Hochbauconstruction. I. Theil. Praga 1879.

Winkler E.: Ueber die Lage der Stützlinie im Gewölbe. Deutsche Bauzeitung. 1879.

Foeppl: Theorie der Gewölbe. Lipsk 1880.

Ritter Fr.: Zur Theorie der Gewölbe etc. Allg. Bauzeit. 1881.

Groeger J.: Die Statik der Tunnelgewölbe im druckreichen Gebirge. Praga 1881.

Perrodil: Arc d*expérience en maçonnerie An. d. ponts et chaus. 1882.

Bark hausen: Druckvertheilung im rechteckigen Mauer quer-schnitt, Z. des hann. Ing. und Arch. Verh. 1888.

Rytir: Beitrag zur Statik der Gewölbe. Mitth. der Arch. und Ing. Ver. Böhmen. 1884.

Obrębowicz: Oznaczenie naprężeń, wywołanych działaniem sił prostopadłych do przekroju. Przegląd Techn. 1884.

Autenrieth E.: Die sta t ische Berechnung der Kuppelgewölbe Berlin 1894.

T o 1 k ni i 11 G. : Leitfaden für das Entwerfen und die Berechnung gewölbter Brücken. Berlin 1895.

Ca in W. : Theory of steel coscrete arches and of vaulted structures, 2 wyd. Nowy York 1902.

Weyrauch: Elastische Bogenträger. 1911.

Y et ul a ni: Wyznaczenie natężeń normalnych w łukach płaskich. Lwów 1911.

Kogler: Vereinfachte Berechnung eingespannter Gewölbe. 1918.

5. Budowle ziemne i mury oporowe.

A n d e : Nouvelles expériences sur la poussée des terres. Paryż 1849.

Rebhann: Theorie des Erddruckes und der Futter mauern. Wiedeń 1871.

Mohr: Beitrag zur Theorie des Erddruckes. Zeits. der hann. Ing. und Arch. Ver. 1871.

Winkler E: Neue Theorie des Erddruckes. Wiedeń 1872. Chrzanowski T.: Wyznaczenie grubości ścian murowanych podtrzymujących nasypy. Warszawa 1876.

Wittmann: Statik der Hochbauconstructionen I. Theil. 1879. Weyrauch: Theorie des Erddruckes. Wiedeń 1881. Dubosque: Murs de soutènement et ponts en maçonnerie. Paryż 1881.

Baker B.: The actual lateral pressure of earthwork. Nowy York 1881.

P o r c h h e i m e r : Erddruckversuche. Zeits. der oster. Ing. und Arch. Ver. 1882-1883.

G o b i n : Détermination précise de la stabilité des murs de soutènement. Paryż 1884.

Flamant: La poussée des terres. Ann. des pont, et chaus. 1883. Thullie: Einige Bemerkungen über die ältere Erddrucktheorie.

Wochens. des öster. Ing. und. Arch. Verein. 1884. Skibiński: Parcie ziemi na podstawie nowych doświadczeń.

Czasop. Techn. i Zeits. des öster. Ing. und Arch. Ver. 1885. Thullie: Doświadczenia Gobina w kwestyi parcia ziemi.

Czasop. Techn. i Wochenbl. für Baukunde. 1885.

Kay en A. v.: Anwendungen der Theorie der Böschungen. Lipsk 1885.

Leygue M. L.: Poussée des terres. Ann. d. pont et chaus. 1885., Häseler E.: Stütz und Futtermauern. Handb. d. Ing. I. tom II. oddz. 3 wyd. Lipsk 1907.

Skibiński: lieber Stützmauerquerschnitte. Wiedeń 1893. Résal J.: Poussée des terres, stabilité des murs de soutènement. Paryż 1903.

Müller Breslau: Erddruck auf Stützmauer. Stutgart. 1906. Skibiński: Das Gleichgewicht des rolligen Materiales. Wiedeń Wochen f. d. äff ent. Baudienst. 1917.

II. DODATEK.

Tablice obciążeń stropów.

I. Ciężar stropów i obciążenia

wedle rozporządzenia policyi budowniczej w Berlinie z r. 1887»

Strop belkowy w domach mieszkalnych

„    „    we fabrykach i magazynach .... 250

„    „    w spichrzach na zboże.......

„ sklepiony z kamieni porowatych w budynkach

mieszkalnych.....

„ sklepiony we fabrykach

ciężar własny zupełny kg Im“¹    kg/m²

. . 250

500

750

850-1000:

350

600

1000

„ z blachy-falistej Schody sklepione . .

pod przejazdami i podwórzami . .

1250

500-1000

500

1000

2. Ciężar własny stropów

wedle Melana.

Ustrój stropu:

1.    Strop belkowy z podłogą wprost przybitą z dołu, opierzony,

z trzcinowaniem i wyprawą................

2.    Strop taki, ale z wstawioną warstwą desek zakładanych na

listwach i 8 cm nadsypką.................

3.    Zwykły strop belkowy z powałą zakładaną z sufitem, 10 cm

nadsypką, podłogą ślepą i posadzką deszczułkową.....

4.    Strop zbity z belek w przecięciu 24 cm wysokich z sufitem,

10 cm nadsypką i leżącym brukiem ceglanym z 4 cm płytami strychowemi.......................

5.    Strop z belek żelaznych, zresztą jak 3, bez belek.....

6.    „ sklepiony między dźwigarami żelaznymi 15 cm gruby, z cegieł, z wyprawą, nadsypką w kluczu 8 cm grubą i podłogą drewnianą przy odstępie dźwigarów do l‘5m bez dźwigarów

7.    Strop, ale przy odstępie dźwigarów do 3‘0 m .......

8.    Sklepienie płaskie, sklepienie wedle układu Demskiego, Hönela, Ludwiga, Schneidra, Scholera, Wehlera i i., zresztą jak 6, średnio

9.    Strop Kleina z cegłą porowatą, z zaprawą cementową i wkład

kami żelaznemi z 4 cm warstwą zaprawy cementowej, zresztą jak 6...........................

10.    Sklepienie betonowe w kluczu 8 cm gr., strzałka 15 do 20 cm

nadsypka 6 cm nad kluczem, zresztą jak 6.........

11.    Sklepienie takie, ależ wypełnieniem z lekkiego betonu nadskle-pieniem aż do 2 cm nad kluczem z 2 cm gr. polepą cementową

Ciężar w kgjm

110

210

250

330

230

450

500

470

370

380-

330'

12.    Sklepienie Mcmi era, w kluczu 5 cm gr. odstęp dźwigarów do

3 m, zresztą jak 10....................

13.    Dtto, ale z podłogą jak 11................

14.    Strop z blachy falistej, z wypełnieniem betonem poza łukiem

w kluczu 8 cm gr. i polepą cementową, odstęp dźwigarów do 3 m, bez wyprawy sufitu i bez dźwigarów........

Ciężar w ky/m²

340

300

250

3. Ciężary i obciążenia

wedle tow. austr. inż. i arek. w Wiedniu.

aj Ciężar własny stropów.

1.    Zwykły strop belkowy z nadsypką 10 cm, z podłogą, trzcinowaniem i wyprawą powały ....

2.    Zwykły strop zbity z nadsypką 10 cm, zresztą

jak pod 1...................

8. Zwykły strop zbity z nadsypką 8 cm, trzcinowaniem i wyprawą, posadzką z leżącego bruku ceglanego lub z płyt kamiennych........

4. Strop belkowy między dźwigarami, zresztą jak

pod 1.....................

■5. Sklepienie ceglane 15 cni grube między dźwigarami z nadsypką 8 cm w kluczu, trzcinowaniem, posadzką i dźwigarami:

a)    przy odstępie dźwigarów do 1,4 ....

b)    „

<3. Proste sklepienia, aż do odstępu dźwigarów 1,5 z cegieł wraz z nadsypką, trzcinowaniem i podłogą układu Scholera, wys. ustr. 35 cm ....

„ Demskiego, Homla, Ludwiga, Sclinei-dra, Wehlera, Seidla, wys. ustr. 32 cm . .

7.    Sklepienie betonowe z wyprawą, z nadsypką 6 cm i podłogą:

a)    7,5 cm gr. 11,5 cm strzałka, wys. ust. 30 cm .

b)    8,5 cm gr. 20,5 cm strzałka, wys. ustr. 40 m . .

8.    Sklepienie betonowe z wypełnieniem betonowem i 6 cm grubą betonową podłogą nad kluczem:

a)    7,5

b)    8,5 cm „ 25,5 cm

8. Sklepienie Moniera :

a) 5 cm gruba 25 cm strzałka, wys. ustr. 40 cm z wyprawą, nadsypką 5 cm w kluczu i podłogą drewnianą.................

cm

z cięż dźwig, bez dźwig kyjm²

250

340

360

260

210

480

450

1,4 m do 3 m .    550

670

450

370

430

gr. 16,5 cm strzałka wys. ustr. 30 cm .

40 m . .

520

530

420

350

410

460

550

360

Ol

340

I) hem gr. 43 cm strzałka, wys. ustr. 50 cm z posadzką cementową 2 cm i wypełnieniem pachwin żużlowym betonem..........

10.    Proste płyty Moniera z podłogą drewnianą, wy

prawą i nadsypką, gr. płyt hem z wybetonowaniem główki dźwigam..........,

11.    Sklepienie z blachy falistej między żelaznymi dźwigarami z podłogą i nadsypką, jednak bez wyprawy: aj do odstępu dźwigarów 2 m przy nadsypce 10 m

nad szczytem *)...............

b) do odstępu 3 m przy nadsypce 6 cm nad szczytem 280

z cięż. dźwig, bez dźwig. kg/m²

450

440

250

430

420

235

265

b) Ciężar zmienny. Nazwa obciążonej ubikacyi

Zwykły strych........................

Zwykłe mieszkanie......................

Szkoły............................

Schody, ganki, sale koncertowe i balowe, gimnastyczne i dla

szermierki, dla zgromadzeń ...............

Kancelarye, pracownie, magazyny na piątrach........

Dtto w parterze.......................

Komórki na siano i sieczkę.................

Lodownie na warstwę lodu lm...............

Ciężar w kg/m* 150 250

300

400

450

550

400

750

4. Ciężary stropów i obciążenia

wedle rozp. prusk. ministerstwa robót publicznych z r. 1910. a) Stropy drewniane:

Odstęp belek od środka do środka 1 m, grubość 24.26 cm.

1.    Strop belkowy wałkowy płaski, warstwa gliny 10 cm gruba .

2.    Dtto tylko z podłogą 3,5 cm gr...............

3.    Dtto z powałą zakładaną 3 cm gr. i warstwą gliny 10 cm . .

4.    Dtto z polepą zwykłą, wypełnieniem gliną do dolnej krawędzi podłogi 11 cm gr. i podłogą 3,5 cm gr...........

5.    Dtto ale zamiast podłogi z polepą gipsową lub glinianą 5 do

7 cm gr...........................

6.    Dtto jak 4, lecz oprócz tego z sufitem 2 cm gr., trzcinowaniem

i wyprawą........................

7.    Dtto jak 5, lecz oprócz tego z sufitem 2 cm, z trzcinowaniem

i wyprawą........................

8.    Dtto ż polepą pełną, także u dołu okryty gliną do dolnej krawędzi belek, podłoga 3,5 cm gr...............

kg/m*

230

70

210

220

310

250

340

360

*) Na każdy centymeter większej nadsypki zwiększa się ciężar o 1-1 kg.

b) Stropy sklepione między dźwigarami stosunek strzałki %, ciężar bez dźwigarów.

D. Sklepienie łęczaste do 2 m rozp. przy wyrównaniu popiołem

koksowym i podłogą drewnianą.........

9 a Dtto przy wyrównaniu piaskiem zamiast popiołem Vb aż do górnej powierzchni legarów

popiołem koksowym..............

9 c piaskiem -,...................

10. Dtto jak 9, dla l od 2 do 2,5 m .........

10o przy wyrównaniu piaskiem 105 aż do powierzchni górnej legarów I

popiołem...............

10    c piaskiem...............

11    *) Dtto jak 9, jednak z cegły dziurkowanej

12.    Dtto jak 10,

13.    Dtto „    9,

14.    Dtto „    10,

15.    Sklepienie betonowe aż do 1,5 /m. rozp., zresztą jak 9

kgjm³

370

420

440

560

.    400

490

470

630

290

320

porowatej

250

?>

280

320

c) Płaskie stropy pełne.

Ciężar należy w każdym wypadku wyznacźyć. Przykłady:

16.    Strop płaski żelbetowy Moniera, płyta 6 c/m, przy wyrównaniu popiołem koksowym z podłogą drewnianą.......

16a Dtto przy wyrównaniu piaskiem.............

166 „

17.    Strop płaski żelbetowy Koenena, płyta 10 cm .......

„ ceglany Kleina z cegieł porowatych, nadsypką

z popiołu, podłogą drewnianą..............

18. „

za

każdy centym, większej grubości płyty

25

430

250

d) Obciążenie użytkowe.

Rodzaj ubikacyj :

1.    Mieszkania, małe urzędy, bez obciążenia aktami......

2.    Sale zgromadzeń, szkoły, sale gimnastyczne, domy towarowe,

fabryki, (jeżeli szczególne okoliczności nie wymagają przyjęcia większych obciążeń).................

3.    Przejazdy lub podwórza, po których się jeździ.......

4.    Schody..........................

5.    Magazyny wedle ciężaru towaru i wysokości jego.

Dla szaf z aktami, bibliotek, archiwów należy przyjąć razem z pustem miejscem na m* 500 kg.

6.    Strychy.........................

250

500

800

500

125

*) Powiększenie ciężaru wynosi przy wyrównaniu piaskiem zamiast popiołem przy cegłach dziurkowanych 50, pełnych 90, betonie 70 kg\m². Przy wyrównaniu aż do górnej powierzchni legarów popiołem 65, piaskiem 140 kg Im'¹.

5. Rozporządzenie austr. ministr. dla budowli żelbetowych

z r. 1911 przypisuje w §. 3. ciężar użyteczny.

0. Jako ciężar użyteczny należy przyjąć następne wartości w kg na w²: dla zwykłych strychów mieszkań

150

ii

250

„ sal szkolnych.......................

„ korytarzy, sali koncertowych, gimnastycznych i szermierskich, dalej dla komór na obrok i dla schodów w zwykłych domach

mieszkalnych........................

„ ubikacyj handlowych, sal roboczych i składów na piętrach domów mieszkalnych i handlowych..............

„ schodów budynków publicznych, dla sal tańców i sal na zgromadzenia, ubikacyj handlowych, warstatów i składów na parterze 550 „ lodowni (do wysokości lodu 1 m)

7.    Wielkość obciążenia dla teatrów, bibliotek, spichrzów, magazynów i pracowni z ciężkiemi maszjmami należy wyznaczyć w każdym przypadku z osobna.

8.    Zeskłady niosące, które podlegają wstrząśnieniom, należy obliczać dla ciężaru użytecznego 1,3 razy większego, te, które podlegają silnym wstrząśnieniom (np. przez ciężkie maszyny robocze 1,5 razy większego, niż podane w punkcie 6 (lub obliczone wedle punktu 7).

300

400

450

750

6. Ciężar towarów

nasypanych i nałożonych w magazynach.

Słoma i siano . Pszenica ....

Żyto......

Jęczmień gruby drobny

100 kg/mi

760

680

640

77

77

77

77

510

Owies........

Groch, soczewica, proso

Jabłka........

Gruszki, śliwki .... Trawa, koniczyna . . Eu raki........

430

850

300

350

350

700

ii

ii

ii

ii

ii

ii

Torf wilgotny . .

„ suchy . . . . Węgiel brunatny .

kamienny

600

400

650

77

77

77

77

900

77

Koks...............

Półki na akta, szafy z książkami itd.

Papier złożony 1 m wysok......

Mąka...............

Grys................

450

600

1100

700

650

77

77

77

77

77

Ziemniaki . Cukier . . .

Sól

700 kg Im3 750    „

800 „

Ułożone w workach o 20n/₀ mniej.

III. DODATEK.

Tablice liczbowe.

1. Tablica średnicy, obwodu i powierzchni kół, kwadratów, sześcianów, pierwiastków i odwrotności.

Koło

Liczba

Po-

Obwód

n r.

wierzchnia

»²:i

Kwadrat

n²

Sześcian

Pierwiastki

n³

y/» n

Od

wro

tność

100

3,14

0,79

6,28

3,14

9,42

7,07

10

12,57

15,71

18,85

21,99

25,13

28,27

31.42

12,57

19,63

28.27 38,48

50.27 63,62 78.54

• 16

27

25

64

125

49

216

64

81

100

343

612

729

1000

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

34,56

37,70

40,84

43,98

47,12

50.26 53,41 56,55 59,69 62,83

65.97

69.11

72.26 75,40 78,54 81,68 84,82

87.97

91.11 94,25

95,03

113,10

132,73

153,94

176,71

201,06

226,98

254.47 283,53 314,16

346,36

880,13

415.48 452,39 490,87 580,93 572,55 615,75 660,52 706,86

OOłfOODCJTtOCDOi^tsO

Oh

o^coto-oto-itoco^

Oh

1331 1728 2 197

6    859 8000

9 261 10 648 12167 13824 15 625 17 576 19 683 21952 24 389 27 000

iiifiiwi

#-cohho®Ohïio. k-ooœ-'io-iwco

HH|—‘H-‘H-‘-H^tOtOÇ»CrjO

■iflihßaWä 8§?¥SSe¥SS 8088388888

H-¹ O O O -'J CO -O tO -1

Koło

Liczba

Obwód

Po-

Pierwiastki

nr.

wierzchnia

»²rc

Kwadrat

n²

Sześcian

n³

H- “ ^ o

8 o ?

O* ¹

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

72

73

74

75

76

1I1IPI gggggggggg gggggggggg gggggggggg ggg^gooogtc

'g'co'to'o'ô'-^'gs'g'os'to    'g:'g Sc^'S^'^'S'Sls

SSSSSSSSSg ESgSSââÉgS g?S88§S SSSSgSSSS^SS !3g£28ägg8i§ 888£2ggS$g ¥&lfc¥SS &¥æ¥SSl§£f8$ feWS^lSSSS

S82S2S    gggg?2g88$§?

8££gg£88££ 82£è§?&£8£2 82£8£££ê££ 8

29 791 32 768 35 937 39 304 42 875 46 656 50 653 54 872 59 319 64 000

68 921 74 088 79 507 86 184 91 125 97 336 103 823 110 592 117 649 125 000

132 651 140 608 148 877 157 464 166 375 175 616 185 193 195112 205 379 216 000

226 981 238 328 250 047 262 144 274 625 287 496 800 763 314 432 328 509 343 000

357 911 373 248 389 017 405 224 421 875 438 976

SOO>S°S»S»S°    fS-g-SwS-ń -o|||-S-||||| fffffffgff

S Si o cn to o S o    HOœowœœSpœ ^oii^œooi^oiSœ

05 O vt» co to 00 O to ot 03

Lt» di. ^    ^£*^^^^^030303 0303030303 0303030303 030303030303030303 03 03030303030303030303

KsWgFss'ss    ¥sssss¥ssê PIMs's

O X CD O H h—*■ to tO h-⁴—* >—* O CD CC O C^OO^CDOWOŒStOCD 4— CD ^ CO CO -O O 05 O CO O H U) lO tO H O O* H-¹

i—il—1|——il——‘i—1|—il—^ tOtOtOtOtOtOtOtOtOtO toto tOJOJO JO J0_03_03_03

SSSfSSfc    2fg;fsf3]8lBlg]8lg 82g~of~rg^$¥£ S¥88sf&l£8of8

rH

ci

M

Liczi ta

S88§§ig8S2

CO ^ ic

rH rH i-H rH r—! t-H tH rH rH rH

to t—⁴

116

117

118

119

120

121

Koło

Obwód

n r.

8328 össssssss?    ąssjssssąąs'

ilfs lïlïlliïsl lllllsliss sllllillll lllSlSiasI

Powierzchnia n² 7c

Kwadrat

n²

Sześcian

I Pierwiastki

\/ n    \/n

Od

wro

tność

100

sssg    sssggsgsgąą ąąąssjsssąą są.-.ow.on

mu gïfssiiiïi mmmmi §sis§m§§ iiiiiiiiii

loioioiotoioioœoï! <x> cc ńo co i— c— t— C'“ t— t— oooocooocccogocsäo}

59    29

60    84 62 41 64 00

65 61

67    24

68    89 70 56

72    25

73    96 75 69 77 44 79 21 8100

82 81 84 64 86 49 88 36 90 25 92 16 94 09 96 04 98 01 100 00

102 01 104 04 106 09 10816 110 25 112 36 114 49 116 64 118 81 12100

123 21 125 44 1 27 69 129 96 1 32 25 134 66 136 89 139 24 14161 144 00

456 533 474 552 493 039 512 000

531 441 551 368 571 787 592 704 614 125 636 056 658 503 681 472 704 969 729 000

753 571 778 688 804 357 830 584 857 375 884 736 912 673 941 192 970 299 1000 000

1 030 301 1 061 208 1 092 727 1 124 864 1 167 625 1191016 1 225 043 1 259 712 1295 029 1331 000

1 367 631 1 404 928 1 442 897 1 481 644 1 520 875 1 560 896 1 601 613 1 643 032 1 685 159 1 728 000

8,775

8,832

8,888

8,944

9,000 i 9,055 9,110: ! 9,165 i 9,219 ! 9,274 9,327 ! 9,381 9,434 ! 9,487

! 9,539 ! 9,592 i 9,644 i 9,695 i 9,747 i 9,798 i 9,849 9,899 ! 9,950 10,00

10,05 10,10 10,15 10,20 ! 10,25 10,30 ! 10,34 ! 10,39 10,44 10,49

: 10,54 10,58 i 10,63 10,68 ! 10,72 110,77 10,82 10,86 j 10,91 10.95

4,254 4,273 ; 4,2911 4,309

4,327

4,345

4,362

4,379

4,397

4,414 !

4,431 !

4,448 !

4,465

4,481

4,498

4,514

4,531

4,547 !

4,563

4,579

4,595

4,610

4,626

4,642

4,657

4,672

4,687

4.703

4,718

4,733

4,747

4,762

4,777

4,791

4,806

4,820

4,835

4*849

4,863

4,877

4,891

4,905

4,919

4,932

1,30

1,28

1,27

1,25

1,23

1,22

1,20

1,19

1,18

1,16

1,15

1,14

1,12

1,11

380,13    11499,0

1 46 41

1771 561

11,00

4,946

<5o <5o o öco oco ö o es o o o o o odo o"

HCOtOt-OWtOt-OCO CO

es a: oo od co c£ oo a!> oS Ś ao

Koło

Liczba

Obwód

nr.

Po- Kwadrat wierzchnia ; „i n^r.

Sześcian

Pierwiastki

n³

y/ n \ÿn

M ÏÏ ź O * 8° o *r

O. ¹

CM CM CM C l

T—1 r—j T—i T“i

126

127

128

129

130

131

132

133

134

135

136

137

138

139

140

i 143 144

145

146

149

150

cncncj*cncj*cncncrtcn

cDCO-oaaot^cotOł-¹

co ic a" cc iO cc T-S^c^cź ^fL^ocazD a? cfcd'aTofio'ûo -T-sTaTi-T tjTi.--''ô'çc ccTcTco «T icT

œxx©©©ooo Hr.HOJCTcjSœgm ^ 3! 3! !S S îS S S 2 G; t S; S S SS S 2 S iS

CO CO ... CO -T    ^    ^ CO    ^

11689,9

11882.3

12076.3 12271,8 12469.0

12667.7 12868jO

13069.8

13278.2

13478.2

13684.8

13892.9

14102.6

14313.9

14526.7

14741.1

14957.1

15174.7

15393.8

15614.5

15836.8

16060.6 16286,0 16513,0

16741.5

16971.7

17203.4

17436.6

17671.5

17907.9

18145.8

18385.4

18626.5

18869.2 19113,4

19359.3

19606.7

19855.7

148 84 151 29 1 53 76 156 25 158 76 16129 163 84 166 41 169 00

17161 1 74 24 176 89 179 56 182 25 184 96 187 69 190 44 193 21 1 9600

198 81 2 01 64 2 04 49 2 07 36 2 10 25 213 16 21609 219 04 2 22 01 2 25 00

2 2801 2 3104 2 34 09 2 37 16 2 40 25 2 43 36 2 46 49 2 49 64 2 52 81

1 815 848 1 860 867 1 906 624

1    953 125

2    000 376 2 048 383 2 097 152 2 146 689 2197 000

2 248 091 2 299 968 2 352 637 2 406 104 2 460 375 2 515 456 2 571 353 2 628 072 2 685 619 2 744 000

2 803 221 2 863 288 2 924 207

2    985 984

3    048 625 3112136 3 176 523 3 241 792 3 307 949 3 375 000

3 442 951 3 511808 3 581 577 3 652 264 3 723 875 3 796 416 3 869 893

3    944 312

4    019 679

11,05

11,09

11,14

11,18

11.22

11,27

11,31

11,36

11,40

11,45

11,49

11,53

11,58

11,62

11,66

11,70

11,75

11,79

11,83

11,87

11,92

11,96

12,00

12,04

12,08

12,12

12,17

12,21

12,25

12,29

12,33

12.37

12,41

12,45

12.49

12.53

12,57

12,61

oicncno^cncncncncn p^ cn o* o* ot cn ot cn

8o>2to2Qx3c?

ooiOtcatoooo-Mai c»HOCoœiUM«o*jcn ioocowoso-miMvcd ©cooœwo-Jœo

w.

l—l HHi-lHHrtHHrlH    HHrI T-l r-l i—i-i—li—IHH' HHHrfi—

201

202

203

Koło

Obwód

nr.

502.05

605,80

508,94

512,08

515,22

518,36

521.50 624,05 527,79 530,93 534,07

537,21

540.35

543.50 546,04 549,78 652,92 556,00 559,29

662.35 565.49

568,63

571,77

574,91

578,05

581.19 584,84 687,48 590,62 693,76 596,90

600,04

603.19 606,33 609,47 612,01 615,75 618,89 622,04 625,18 628,32

631,46

634,00

037,74

640,88

Po

wierzchnia

n²r.

Kwadrat

n²

Sześcian

Pierwiastki

»³

y/ n

Od

wro

tność

1000

20100,2

20358.8 20012,0 20807,2

21124.1 21382,5

21042.4 21904,0

22107.1

22431.8 22098,0

22905.8

23235.1

23500.2

23778.7

20590.4

20880.3 27171,0 27404,0 ;

27759.1    !

28055.2    !

28352.9

28052.1

28952.9

29255.3

29559.2

29804.8

30171.9    ¹

30480.5 30790,7 31102,0

31415.9

31730.9    !

32047.4    -

32306.5 32685,1

2 50 00

2 59 21 2 62 44 2 05 69 2 68 96 2 72 25 2 75 56 2 78 89 2 82 24 2 85 01 2 89 00

2 92 41 2 95 84

2    99 29 8 02 76

3    00 25 3 09 76 3 13 29 316 84 3 20 41 3 24 00

3 27 61 3 31 24 3 34 89 3 38 56 3 42 25 3 45 96 3 49 69 3 58 44 3 57 21 3 6100

3 64 81 3 68 64 3 72 49 3 76 36 3 8025 38416 38809 8 92 04

3    96 01

4    00 00

4 04 01 4 08 04 4 12 09 4 16 16

4 090 000

12,05    5,4291    0,25

4178 281 4 251 528 4 330 747 4 410 944 4 492 125 4 574 290 4 657 463 4 741 632 4 826 809 4 913 000

5000211 5 088 448 5177 717 5 268 024 5 359 375 5 451 776 5 545 233 5 639 752 5 725 839 5 832 000

5    929 741

6    028 568 6 128 487 6 229 504 0 331 625 6 434 856 6 539 203 6 644 672 6 751 269 6 859 000

6    967 871

7    077 888 7 189 057 7 301 384 7 414 875 7 629 536 7 645 373 7 762 392 7 880 599 8000 000 !

8 120 601 8 242 408 8365 427 8 489 064

££££

àOïc lOiq iococdloc^co    £-i?-c-£i^xaDaDxa>    xooxoo

lûtOàOioiOàOiOiûiûtû    lOiOïOkOiOioioioioio    loioioioioioioioio irT    icT io io io lcT io io io io lcT    io io io io

IIIIIIIIII    IgSSIIISII    ISISlISsss    IIIIIIII35    ISIS

T-Hr-lrHT-Ht-HrHrHr-lrHrH    T-HrHr-lrHi-Hr— HHHH    r-ii—(i—(r-Hr-ir-lT—IrHrHrH    HHHH

P* 0\p1 O* ot 0«Oi Ol Ol Ol Ol Ol Ol Ol Qi Ol Ol Oi Ol OIOIOIOIOIOIOIOIOIOI OIOIOIOI 05 05 0 05 05 05

gggg    ggggg £ & £ & s gsg g S 2s?'5b¹g? ¥]§ g? gggs £ 5 £

Koło

Liczba

Obwód

nr.

Po- Kwadrat wierzchnia nlr.

~T

n²

Sześcian

Pierwiastki

w³

y/n \/ n

205

206

207

208

209

210

211

212

218 | 214 ;

215

216

217

218

219

220

221

222

223

224 !

225

226

227

228

229

280

231

232

233

234

235

236

237

288

289

240

to ro to to to to to to to to

CJ1 lii*. U-k i r- ,r - ifc*. Lfc*. iN . r. i r-.

ococo-ocscn^oitè!^

Sil lilii» filii! liii# »§§§?

33006.4    4 20 25

33329.2

83653.5

33979.5 34307,0

34636.1

34066.7 35298,9

35632.7

36968.1 36305.0

36643.5

36983.6

37325.3

37668.5

38013.3

38359.6

38707.6

39057.1

39408.1

39760.8 40115,0

40470.8

40828.1

41187.1

41547.6

41909.6

42273.3

42638.5

43005.3

43373.6

43743.5 44115,0

44488.1

44862.7

45238.9

45616.7

44996.1 46377,0

46759.5

47143.5

47529.2

47916.4 48305,1

48695.5 49087,4

4 24 36 4 28 49 4 32 64 4 36 81 4 4100

4 45 21 4 49 44 4 53 69 4 57 96 4 62 25 4 66 56 4 70 89 4 75 24 4 79 61 4 84 00

4 8841 4 92 84

4    97 29

5    01 76 5 06 25 5 10 76 515 29 519 84 5 24 41 5 29 00

5 33 61 5 38 24 5 42 89 5 47 56 5 52 25 5 56 96 5 61 69 5 66 44 5 7L21 5 7600

5 8081 5 85 64 5 9049

5    95 36

6    00 25 6 05 16 61009 615 04 6 20 01 6 25 00

8 615 125 8 741816

8    869 743 S99S912

9    123 329 9 261 000

9 393 931 9 528 128 9 663 597 9 800 344 9 938 375 10 077 696 10 218 313 10 360 232 10 503 459 10 648 000

10 793 861

10    941 048

11    089 567 11 239 424 11 390625 11 543176

11    697 083 11852 352

12    008 989 12 167 000

12 326 391 12 487 168 12 649 337 12 812 904

12    977 875 13144 256

13    312 053 13 481 272 13 651 919 13 824 000

13    997 521

14    172 488 14 348 907 14 526 784 14 706 125

14    886 936

15    069 223 15 252 992 15 438 249 15 625 000

SSSISS    55-IIISIIIS IISISIII1I llllimi

i—( t—I r-l i-i t—I i—ł t—iHrI r-l r-( —IHrtHH HHHHHHHHHH HHHr-lr-IHHHHH HHiHHHHHHHH

Liczba

251

252

253

254

255

256

257

258

259

260

261

262

263

264

265

266

267

268

269

270

271

272

273

274

275

276

277

278

279

280

281

282

283

284

285

286

287

288

289

290

291

292

295

Koło

Obwód

nr.

Powierzchnia ril k

Kwadrat

ri¹

Sześcian

Pierwiastki

788.64 791,68 794,82

797.96 801,11 804,25 807,39 810,53 813,67 816,81

819.96 823,10 826,24 829,38

832.62 835,66 838,81 841,95 845,09 848,23

851,37

854,51

857.65 860,80 863,94 867,08 870,22

873.66

876.50 879,65

882,79

885,93

889,07

892,21

895.35

898.50 901,64 904,78 907,92 911,06

914,20

917.35 920,49

923.63 926.77 929,91

49480.9

49875.9

50272.6

50670.7

51070.5

51471.9

51874.8

52279.2

52685.3

53092.9

53502.1

53912.9

54325.2

54739.1

55154.6

55571.6

65990.2

56410.4

66832.2

57255.5

57680.4

58106.9

68534.9

58964.6

59395.7

59828.6

60262.8

60698.7

61136.2

61575.2

62015.8 62468,0

62901.8

63347.1 63794,0

64242.4

64692.5

65144.1

65597.2 66052,0

66508.3

66966.2

67425.6

67886.7

68349.3

68813.4

6 30 01 6 35 04 6 40 09 6 45 16 6 50 25 6 55 36 6 6049 6 65 64 6 70 81 6 76 00

6 81 21 6 86 44 6 9169

6    96 96

7    02 25 7 07 66 7 12 89 718 24 7 23 61 7 29 00

7 34 41 7 39 84 7 45 29 7 50 76 7 66 25 7 61 76 7 67 29 7 72 84 7 78 41 7 84 00

7 89 61

7    95 24 800 89

8    06 56 812 25 817 96 8 23 69 8 29 44 8 35 21 8 4100

8 46 81 8 52 64 8 58 49 8 64 36 8 70 25 8 7616

15    813251

16    003 008 16 194 277 16 387 064 16 581 375 16 777 216

16    974 593

17    173 512 17 373 979 17 576 000

17 779 581

17    984 728

18    191 447 18 399 744 18 609 625

18    821 096

19    034 163 19 248 832 19 465 109 19 683 000

19    902 511 20123 648

20    346 417 20 570 824

20    796 875

21    024 576 21 253 933 21 484 952 21 717 639 21 952 000

22 188 041 22 425 768 22 665 187

22    906 304

23    149 125 23 393 656 23 639 903

23    887 872

24    137 569 24 389 000

24 642 171

24    897 088

25    153 757 25 412 184

25    672 375

26    934 336

IIIIIIIIH lilii!!!!! Hllllllll Hifliiüt ||®||

§11 musi tftątttątt sąąiissiii iinsiiisi i lilii

CDCDCDCDCDCDCDCDCDCD CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD' CDCDCDCDCDCDCDCDCDCD CDCDCD CD* CD CD

Liczba

•o x -1

300

301

302

' 303

304

305

306

307

808

309

310

coccaccoaocccocococ»

‘I—‘H- —

ococo-siasoTrf^ootos-¹

323

r. o» —

327

CC DC

331

332

333

334

387

338

339

340

341

Koło

Obwód

nr.

933,05

936.19 939,34 942,48

945,62

948,76

951,90

955,04

958.19 961,83 964.47 967,61 970,75 973,89

977,04

980,18

983,32

986,46

989,60

992,74

995,88

999,03

1002,2

1005,3

1008.5

1011.6

1014,7

1017.9

1021,0

1024.2

1027.3

1030.4

1033.6

1036.7

1039.9 1043,0

1046.2

1049.3

1052.4

1055.6

1058.7

1061.9 1065,0 1068,1

1071,3

Po

wierzchnia

n²n

Kwadrat

M²

Sześcian

Pierwiastki

w²

\/ n

69279,2

69746,5

70215.4

70685.8

72588.4

73061.7

73541.5 74023,0 74506.0

74990.6    .

75476.8    !

75964.5

76453.8

76944.7

77437.1

77931.1

78426.7

78923.9

79422.6

79922.9

80424.8

80928.2

81433.2

81939.8 82448,0

82957.7 83469,0

83981.8

84496.3

85012.3

85529.9

86049,0

86569.7 87092,0

87615.9

88141.3

88668,2

89196.9 89727,0

90258.7 90792,0

91326.9

8 82 09 8 88 04 8 94 01 900 00

9 06 01 912 04 9 18 09 9 2416 9 30 25 9 36 36 9 42 49 9 48 64 9 64 81 9 6100

9 67 21 9 73 44 9 79 69 9 85 96 9 92 25 9 98 56 10 04 89 10 11 24 1017 61 10 24 00

10 30 41 10 36 84 10 43 29 10 49 76 10 56 25 10 62 76 10 69 29 10 75 84 10 82 41 10 89 00

10    95 61

11    02 24 1108 89 1115 56 1122 25 1128 96 1135 69 1142 44 1149 21 11 66 00

11 62 81

26 198 073 26 463 592

26    730 899

27    000 000

27 270 901 27 643 608

27    818 127

28    094 464 28 372 625 28 652 616

28    934 443

29    218 112 29 503 629 29 791000

30 080 231 30 371 328 30 664 297

30    959 144

31    255 875 31 554 496

31    855013

32    157 432 32 461 759 32 768 000

33076161 33 386 248

33    698 267

34    012 224 34 328 125 34 645 976

34    965 783

35    287 552 35 611289 35 937 000

36 264 691 36 594 368

36    926 037

37    259 704 37 595 375

37    933 056

38    272 753 38 614 472

38    958219

39    304 000

39 651 821

Koło

Liczba

Obwód

nr.

Po

wierzchnia

n²r.

Kwadrat

«²

Sześcian

Pierwiastki

n²

342

343

344

245

346

347

348

349

850

351

352

353

354

355

356

357

358

359

360

361

01 Cu — IG CC

867

00 Ci O

380

381

382

383

384

385

386

1074,4

1077.6

1080.7 1083,9 1087,0

1090.1

1093.3

1096.4

1099.6

1102.7

1105.8 1109,0

1112.1

1115.3

1118.4

1121,6

1124.7

1127.8 1131,0

1134.1

1137.3

1140.4

1143.5

1146.7

1149.8 1153,0

1156.1

1159.3

1162.4

1165.5

1168.7

1171.8 1175,0

1178.1

1181.2

1184.4

1187.5

1190.7

1393.8

1196.9 1200,1 1203,2

1206.4

1209.5

1212.7

1215.8

91863.3

92401.3

92940.9 93482,0

94024.7 94569,0

95114.9

95662.3

96211.3

96761.8 97314,0

97867.7 98423,0

98979.8

99538.3 100098 100660 101223 101788

11 69 64 11 76 49 11 83 36 1190 25

11    97 16

12    04 09 12 1104 1218 01 12 25 00

12 32 01 12 39 04 12 46 09 12 5316 12 60 25 12 67 36 12 74 49 12 8164 12 88 81 12 96 00

40001 688 40363 607

40    707 584 41063 625

41    421 736

41    781 923

42    144 192 42 508 549 42 875 000

43 243 551 43 614 208

43    986 977

44    361 864

44    738 875 45118016

45    499 293

45    882 712

46    268 279 46 656 000

102354

102922

103491

104062

104635

105209

105784

106362

106941

107521

108103

108687

109272

109858

110447

111036

111628

112221

112815

113411

114009

114608

115209

115812

116416

117021

117628

1303 21 13 10 44 1317 69 13 24 96 13 32 25 13 39 56 13 46 89 13 54 24 13 61 61 13 69 00

13 76 41 13 83 84 13 9129

13    98 76

14    0625 1413 76 14 2129 14 2884 14 36 41 14 4400

14 51 61 14 59 24 14 66 89 14 74 56 14 82 25 14 89 96 14 97 69

47 045 881 47 437 928

47    832 147

48    228 544

48    627 125

49    027 896 49 430 863

49    836 032

50    243 409 50 653 000

51 064 811 51 478 848

51    895 117

52    313 624

52    734 375

53    157 376

53    582 533

54    010 152 54 439 939 54 872 000

55 306 341

55    742 968

56    181 887

56    623 104

57    066 625 57 512 456 57 960 603

3g£S8J8JgJ8S    Sßßßßßßßßß räßßßßßßßßß.^ Sßßßßßß

ocT ocT ocT cg ocf cc ocf cc ocT cc cc cc cc' cc oo cc cc cc qc cf o cs cï cs o: cf c^ cä 00050:000:050:0 a* a 02 oz c* c* o*

HHHHHHHHH HHHHHHnHHH t—IHHHHr( hHHHHhHHHH HHHHHHH

co

r.

Liczba

Obwód

n r.

Po

wierzchnia

M²TC

Kwadrat

n²

Sześcian

w²

Pierwiastki

4*

\/ n

\Tn

388

389

390

391

392

393

394

395

396

897

398

399

400

401

402

403

404

405

406

407

408

409

410

CD C- CO 05

rH r-1 i-H r—i ^ ^ ^

420

421

422

CC

Cl Cl

lO 'D L- CO 05 O H(M <M <M Cl OJ Cl CO COCO

^

1218,9

1222,1

1225,2

1228.4

1231.5

1234.6

1237.8

1240.9

1244.1

1247.2

1250.4

1253.5

1256.6

1259.8

1262.9 1266,1

1269.2

1272.3

1275.5

1278.6 1281,8

1284.9 1288,1

1291.1

1294.3

1297.5

1300.6

1303.8

1306.8 1310,0

1313.2

1316.3

1319.5

1322.6

1325.8

1328.9 1332,0

1335.2

1338.3

1341.5

1344.6

1347.7

1350.9

1354.0

1357,2

118237

118847

119459

120072

120687

121304

121922

122542

123163

123786

124410

125036

125664

126293

126923

127556

128190

128825

129462

130100

130741

131382

132025

132670

133317

133965

134614

135265

135918

136572

137228

137885

138544

139205

139867

140531

141196

141863

142531

143201

143872

144545

145220

145896

146574

££ SSSSSœSSSSS    ££££££££££ ££££££££££ £££

&S

££ 8ÊS2&3383Ï8S2Ê 82£gg§ig£ËÊ2

58 411072 58 863 869 69 319 000

59    776 471

60    236 288

60    698 457

61    162 984 61629 875

62    099 136

62    670 773

63    044 792

63    521 199

64    000000

64 481 201

64    964 808

65    450827

65    939 264

66    430 125

66    923 416

67    419143

67    917 312

68    417 929 68 921000

69 426 531

69    934 528 70444 997

70    957 944 71473 375

71    991 296

72    511713

73    034 632

73    560 059

74    088000

74    618 461

75    151448

75    686067

76    225 024

76    755 625

77    308 776

77    854 483

78    402 752

78    953 589

79    607 000

80 062 991 80 621 568

19,70 19,72 ! 19,75

19,77 19,80 j 19,82 19,85 19,88 19,90 : 19,92 19,95 19,98 20,00

20,03 ! 20,05 1 20,07 20,10 20,12 20,15 20,17 20,20 20,22 20.25

20,27

20,30

20,32

20,35

20,37

20,40

20,42

20,45

20,47

20,49

20,52

20,54

20,57

20,59

20,62

20,64

20,66

20,69

20,71

20,74

20,76

20,78

7,294

7,300

7,306

7,312

7,319

7,325

7,331

7,337

7,343

7.350

7^356

7,362

7,368

7,374

7,380

7,386

7,392

7,399

7,405

7,411

7,417

7,423

7,429

7,435

7,441

7,447

7,453

7,459

7,465

7,471

7,477

7,483

7,489

7,495

7,501

7,507

7,513

7,518

7,524

7,530

7,536

7,542

7,548

7,554

7,559

Liczba

Obwód

n~

Po

wierzchnia

rilr.

Kwadrat

n-

Sześcian

n²

Pierwiastki

433

§&!§ &££&£&£ ££££££££££

OCCGO-vJCïüibf^OOtOi—¹    O w 'X    Ol

tU £* b^> b£- bfb. 4*.

-O I -vt —d    —1 ~ I -d

co-oascn^ootoi-¹

1360,3

1363.5

1366.6

1369.7

1372.9 1376,0

1479.2

1382.3

1386.4

1388.6

1391.7

1394.9 1398,0

1401.2

1404.3

1407.4

1410.6

1413.7

1416.9 1420,0

1423.1

1426.3

1429.4

1332.6

1435.7

1438.9 1442,0

1445.1

1448.3

1451.4

1454.6

1457.7

1460.8 1364,0

1467.1

1470.3

1473.4

1476.5

1479.7

1482.8 1486,0

1489.1

1492.3

1495.4

1498.5 1501,7

147254

147931

148617

149301

149987

150674

151363

152053

152745

153489

154184

164830

155528

156228

156930

157633

158387

159043

159751

160460

161171

161883

162697

163313

164030

164748

165468

166190

166914

167639

168365

169093

169823

170554

171287

172021

172757

173494

174234

174974

175716

176460

177205

177952

178701

179451

18 74 89 18 88 66

18    92 25

19    00 96 19 09 69 19 18 44 19 27 21 19 36 00

81182 737

81    746 504

82    312 875 82 881 856 83453 453 84 027 672

84    604 519

85    184 000

19 44 81 19 53 64 19 62 49 19 71 36 19 80 25 19 89 16

19    9809

20    07 04 2016 01 20 25 00

20 34 01 20 4304 20 52 09 20 6116 20 70 25 20 79 36 20 88 49

20    97 64 2106 81

21    16 00

21 25 21 21 34 44 21 43 69 21 52 96 21 62 25 21 71 56 21 80 89

21    90 24 2199 61

22    09 00

22 18 41 22 27 80 22 37 29 22 46 76 22 56 25 22 65 76 22 75 29 22 84 84

85    766 121

86    350 388

86    938 307

87    528 384

88    121 125

88    716 536

89    314 623

89    915 392

90    518 849 91125 000

91    733 851

92    345 408

92    959 677

93    546 664

94    196 375

94    818 816

95    448 993

96    071912

96    702 579

97    336 000

97    972 181

98    611 128

99    252 847 99 897 344

100    544 625

101    194 696

101    847 563

102    503 232

103    161 709 103 823 000

104    487 111

105    154 048

105    823 817

106    496 424

107    171 875

107    850 176

108    531 383

109    215 352

to to co to    to to    to    to    cocococococococococo    to co co co co co co co co co    tocococotocototococo    co to to to co to to co

‘ b—‘ b—* b-b    b—b l_b    - h-L    b— I—‘ — I—*1—b    b—>1—lkJ.)_bb—‘b—b^-b—‘ł—b    b—b l—b — b-b b-^ (—* b—b )—b b—‘ b—    OOOOOOOO

ćc    'bi'bs'oi'bs'bt'bt'bi'bt'l^.'rf».    ^TuT^'œ'ço'cD'co'io'to'to    'io'1-‘4-b'b-b'î-b4-‘'o'C)'o'Q    ‘cD'co'cD'cD'oD'bo'ao'ao

OSb^COCD-dOcCOO    O0CDO3l-bCDOib^bOCD~l    Ot CO O X CH CO H œS    b-bCD-dbfb-tOO-lOCCOO    XOiCCOXCS«!-*

b^CDCD

r. r.

Q CD <N t- CO CO O O t-h —' (M <N CD CD CD CD

iQ O CD <M C- CO

Sïlg ÜislsSSIsS SKiü§§§!§§§

CO Oi

1—i c

coco

Koło

Liczi) a

Obwód

n~

Po

wierzchnia

n²r.

Kwadrat

Sześcian

Pierwiastki

riL

n-

y/n

\/n

479

480

1504,8

1508,0

180203

180956

22    94 41

23    04 00

109    902 239

110    592 000

21,89

21,91

Ç^OOQÇCDCDCOOCOOaOOO O CO »-J 05 CT w to H

181711

182467

189225

183984.

184745

185508

186272

187038

187805

188574

2313 61 23 23 24 33 32 89 23 42 56 23 52 25 23 61 96 23 71 69 28 81 44

23    91 21

24    01 00

111284 641

111    980 168

112    678 587

113    379 904

114    084 125

114    791 256

115    601303

116    214 272

116    930169

117    649 000

491

co to

497

498

499

500

189345

190117

190890

191665

192442

193221

194000

194782

195565

196350

24 10 81 24 20 64 24 30 49 24 40 36 24 50 25 24 60 16 24 7009 24 8004

24    9001

25    00 00

118    370 771

119    095 488

119    823157

120    553 784

121    287 375

122    023 936

122    763 473

123    505 992

124    251 499

125    000 000

501

502    i

503

504

505

50G

507

508

509

510

197136

197923

198713

199504

200296

201090

201886

202683

203482

204282

25 10 01 25 2004 25 3009 25 4016 25 5025 25 60 36 25 70 49 25 8064

25    9081

26    0100

125    751 501

126    506 008

127    263-527

128    024 064

128    787 625

129    554 216 180 323 843

131    096 512 131872 229

132    651 000

H (M CO ^ iO <X> l> X 05 O    rH (M co

rH rH rH rH rH rH rH H tH OJ    OJ OJ

lOiOlOiOiOiOiOifliOiO lO ŁO lO

205084

205887

206692

207499

208307

209117

209928

210741

211556

212372

261121 26 21 44 26 31 69 26 4196 26 52 25 26 62 56 26 72 89 26 83 24

26    93 61

27    04 00

133    432 831

134    217 728

135    005 697

135    796 744

136    590 875

137    388 096

138    188 413

138    991 832

139    798 359

140    608 000

213189

214008

214829

27 14 41 27 24 84 27 35 29

141    420 761

142    236 648 143055 667

21,93

21,95

21,98

22,00

22,02

22,05

22,07

22,09

22,11

22,14

22,16

22,18

22,20

22,23

22,25

22,27

22,29

22,32

22.84 22,36

22,38

22,41

22,43

22,45

22,47

22,49

22,52

22.54

22.56

22,58

22,61

22,63

22,65

22,67

22,69

22,72

22,74

22,76

22,78

22,80

22,83

22.85 22,87

7,824

7,830

7,835

7,841

7,746

7,851

7,857

7,862

7,868

7,873

7^878

7,884

7,889

7,894

7.900

7,905

7.910

7,916

7,921

7,926

7,932

7,937

7,942 ¹

7,948 :

7,953

7,958

7,963

7,969

7,974

7.979

7,984

7,990

7,995 i

8,000 i

8,005 8.010 8,016 8,021 8,026 | 8,031 8,036 8,041

8,047

8,052

8,057

1: —

Koło

Liczba

P°" . Kwadrat Obwód wierzchnia nî n^Ti

4

Sześcian

Pierwiastki

n²

nrz

S/n

524

525

528

527

Ol Ol cc co ćc ic iS ic iq ta

215651

216475

217301

218128

218956

219787

220618

-0 05 ot ca

588

539

540

541

n cc ni ic cc

547

548

549

550

iH Ol

Ol Ol

557

558

05 O

561

562 !; 563 564

565

566

567

568

569

1646.2

1649.3

1652.5

1655.6

1658.8

1661.9

1665.1

1668.2

1671.3

1674.5

1677.6 1680,8

1683.8 1687,0

1690.2

1693.3

1696.5

1699.6

1702.7

1705.9 1709,0

1712.2

1715.3

1718.5

1721.6

1724.7

1727.8

1731,0    I    238448

1734.2    i    239314

1737.3    240182

1740.4

1743.6

1746.7

1749.9 1753,0

1756.1

1759.3    246301

1762.4

1765.5

1768.7

1771.8 1775,0

1778.1

1781.3

1784.4

1787.6

27 45 76 27 56 25 27 66 76 27 77 29 27 87 84 27 98 41 2809 00

143    877 824 ! 22,89

221452

222287

223123

223961

224801

225642

226484

227329

228175

229022

229871

230722

231574

232428

233283

234140

234998

235858

236720

237583

241051

241922

242795

243669

244545

245422

247181

248063

248947

249832

250719

251607

252497

253388

254281

2819 61 28 30 24 28 40 89 28 51 56 28 62 25 28 72 96 28 83 69

28    94 44

29    05 21 2916 00

29 26 81 29 37 64 29 48 49 29 59 36 29 70 25 29 81 16

29    92 09

30    03 04 30 14 01 30 25 00

3036 01 30 47 04 30 58 09 30 69 16 30 80 25

30    91 36 3102 49

31    13 64 31 24 81 31 36 00

31 47 21 31 58 44 31 69 69

31    80 96 81 92 25

32    03 56 32 14 89 32 26 24 32 37 61

167 284 151 168196 608 169112 377 170031464 170953 875

171    879 616

172    808 693

173    741 112

174    676 879

175    616 000

176    558 481

177    504 328 178453 547 189 406 144

180    362 125

181    321496

182    284 263 ’ 183250432

184 220 009

23,47

23,50

23,52

23,54

23,56

23,58

23,60

23,62

23,64

23,66

23,69

23,71

23,73

23,75

23,77

23,79

23,81

23,83

23.85

gg-ggggggg ggg£gg&£&2    gggggggggg ggggggg

SSSSSS5888 SSSSgäSSSSS ÊS8S8S3888

Liczba

570

i-i

578

574

575

576

iZ iZ

579

580

CiOioiOtOictcncnOiC* C X X 00 CC CC X CC CC CC

r-1 Ol CC Cw Oi àO lO iO

594

r. cn

597

598

ID CD

oSo>Sa:0<2oo§5

to H*

Koło

Obwód

n r.

Po

wierzchnia

n²n

Kwadrat

nL

Sześcian

Pierwiastki

Vn

\/ n

1790.7

1793,9

1797,0

1800,1

1803.3

1806.4

1809.7

1812.8 1815,8 1819,0 1822,1

1825.3

1828.4

1831.6

1834.7

1837.8 1841,0

1844.1

1847.3

1860.4

1853.5

1856.7

1859.8 1863,0

1866.1

1869.3

1872.4

1875.5

1878.7

1881.8 1885,0

1888,1

1891,2

1894.4

1897.5

1900.7

1903.8 1907,0

1910.1

1913.2

1916.4

1919.5

1922.7

1925.8

1928.9

255176

256072

256970

257869

258770

269672

260576

261482

262389

263298

264208

265120

266033

266948

267865

268783

269703

270624

271547

272471

273397

274325

275254

276184

277117

278051

278986

279923

280862

281802

282743

283687

284631

285578

286626

287475

288426

289379

290333

291289

292247

293206

294166

295128

296092

32 49 00

32 60 41 32 71 84 32 83 29

32    94 76

33    06 25 33 17 76 33 29 29 33 40 84 33 52 41 33 64 00

33 75 61 33 87 24

33    98 89

34    10 56 34 22 25 34 33 96 34 45 69 34 67 44 34 69 21 34 8100

34    92 81

35    04 64 3516 49 35 28 36 35 40 25 35 52 16 35 64 09 35 76 04

35    88 01

36    00 00

36 12 01 36 24 04 36 36 09 36 48 16 36 60 25 36 72 36 36 84 49

36    96 64

37    08 81 37 2100

37 33 21 37 45 44 37 67 69 37 69 96

185 193 000

186    169 411

187    149 248 188132 517 189119 224 190 109 375 191102 976 192 100033 193100 552 194 104 539 195112 000

196    122 941

197    137 368

198    155 287

199    176 704

200    201 625 201230056

202    262 003

203    297 472

204    336 469

205    379 000

206    425 071

207    474 688

208    527 857

209    584 584

210    644 875

211    708 736

212    776 173

213    847 192

214    921 799 216 000000

217    081 801

218    167 208

219    256 227

220    348 864

221    445 125

222    545 016

223    648 543

224    755 712

225    866 529

226    981 000

228    099131

229    220 928 j

230    346 397 j

231    475 544

8,344 8.349 8'354 8,359 8,363 8,368 8,373 8,378 8,382 8,387

8,392 II 8,397 8.401 8.406 ! 8,411 i 8,415 ! 8,420 1 8,425 I 8,430 8,434 I

24.10

24,12

24,15

24,17

24,19

24,21

24,23

24,25

24,27

24,29

24,31

24,33

24,35

24.37

24,39

24,41

24,43

24,45

24.47

24.50

Liczba

Po-

Obwód wierzchnia n¹-

Kwadrat

n³

Sześcian

n²

nr.

Pierwiastki

y/n

\/ n

615

616

ci a ci

620

297057

298024

298992

299962

300934

301907

621

022

023

624

625

626

627

628

629

630

631

632

633

634

635

636

637

638

639

640

641

642

643

644

645

646

647

648

649

650

653

654

655

65(5

657

658

659

1932.1

1935.2

1938.4

1941.5

1944.7

1947.8

1950.9

1954.1

1957.2

1960.4

1963.5

1966.6

1969.8

1972.9

1976.1

1979.2

1982.3

1985.5

1988.6

1991.8

1994.9

1998.1

2001.2

2004.3

2007.5

2010.6

2013.8    j    322705

2016.9    i    323713

2020,0    !    324722

2023.2    |    325733

2026.3    !    326745

2029.5

2032.6

2035.8

2038.9 2042,0

2045.2

2048.3

2051.5

2054.6

2057.7

2060.9    337985 2064.0

2067.2

2070.3 2073,5

37    82 25 87 94 56

38    06 89 38 19 24 38 81 61 38 44 00

302882

303858

304836

305815

306796

307779

308763

309748

310736

311725

312715

313707

314700

315696

316692

317690

318690

319692

320695

321699

327759

328775

329792

330810

331831

332853

333876

334901

335927

336955

339016

340049

841083

342119

38 56 41 38 68 84 38 81 29

38    93 76

39    06 25 39 18 76 39 31 29 39 43 84 39 56 41 39 69 00

39 81 61

39    94 24

40    06 89 40 19 56 40 82 25 40 44 96 40 57 69 40 70 44 40 83 21 40 96 00

41 08 81 41 21 64 41 34 49 41 47 36 4160 25 417316 4186 09

41    99 04

42    12 01 42 25 00

42 38 01 42 5104 42 64 09 42 77 16

42    90 25 4303 36

43    16 49 43 29 64 43 42 81 43 56 00

251    239 591

252    435 968

253    636 137

254    840 104 ] 256 047 875 I 257 259 456 I 258 474 853 : 259 694 072

260917119 262144 000

263    374 721

264    609 288

265    847 707

267    089 984

268    336 125

269    686 136 270840023

272    097 792

273    359 449

274    625 000

275 894 451

277    167 808

278    445 077

279    726 264

281    011 375

282    300 416 183 593 393 284 890 312

286    191 179

287    496 000

25,12

25,14

25,16

25,18

25,20

25,22

25,24 i

25,26 I

25,28

25,30

25,32 I 25,34 ! 25,36 25,38 i 25,40 ! 25,42 25,44 i 25,46 ! 25,48 25,50

!

i 25,52 i I 25,53 ' 25,55 ! 26,57 ! 25,59 ! : 25,61 | 25,63 I 25,65 I 25,67 25,69

5££8S8888S

SSSlûS.S ■ S àO IOĄ »DiOlOlOàOlO ĄiOlOlOlO®.«»©®« CJD tß toco CD O CD, O.tO CO » CD W © CO © CD CD l-odcocdcoco'cd ooqdoocoqoodoo xqooo cocooooococococogoco GOOOCOCOCOCOGOCCOGCO COaOCOaOCOCCOOGQCOOC

Koło

Liczba

Obwód

n t.

Po

wierzchnia

nlr.

Kwadrat

ril

Sześcian

Pierwiastki

n²

\/ n

Vn

661

662

663

664

lOCOt-

cd co co CO CO CO

668

669

670

GD —1 — Ï —1 -O I    1 ■' l 1

OCOGD~lCim£-OCtOi—

Ci Ci CD GD

tO t-¹

CO -ł m O t'- GO Ci O t-H

COODOOCOCCOOCOCi

CDCDCOCOCDCOCDCO

Ci

co

r.

697

698

699

700

701

702

703

704

705

706

2076.6

2079.7

2082.9 2086,0

2089.2

2092.3

2095.4

2098.6

2101.7

2104.9

2108,0

2111,2

2114.3

2117.4

2120,6

2123.7

2126.9 2130,0

2133.1

2136.3

2139.4

2142.6

2145.7

2148.9 2152,0

2155.1

2158.3

2161.4

2164.6

2167.7

2170.8 2174,0

2177.1

2180.3

2183.4 2186,6

2189.7

2192.8 2196,0

2199.1

2202.3

2205.4

2208.5

2211.7

2214.8 2218,0

2221.1

343157

844196

345237

346279

347323

348368

349415

350464

351514

352565

353618

354673

855730

356788

357847

358908

359971

361035

362101

363168

364237

365308

366330

367453

368528

369605

370684

371764

372845

373928

375013

876099

377187

378276

379367

380459

381553

382649

383746

384845

385945

387047

388151

389256

390363

391471

392580

43 69 21 43 82 44

43    95 69

44    08 96 44 22 25 44 35 56 44 48 89 44 62 24 44 75 61 44 89 00

45 02 41 4515 84 45 29 29 45 42 76 45 56 25 45 69 76 45 8329

45    96 84 461041

46    24 00

46 37 61 46 51 24 46 64 89 46 78 56

46    92 25

47    05 96 47 19 69 47 33 44 47 47 21 47 61 00

47 74 81

47    88 64

48    02 49 4816 36 48 30 25 48 44 16 48 5809 48 72 04

48    86 01

49    00 00

49 14 01 49 28 04 49 42 09 49 56 16 49 70 25 49 84 36 49 98 49

288 804 781 290 117 528 291434 247 292 754 944

294    079 625

295    408 296

296    740 963 298077 632

299    418 309

300    763 000

302111711

303    464 418

304    821217

306    182 024

307    546 875

308    915 776

310    288 733

311    665 752

313    046 839

314    432 000

315 821241

317    214 568

318    611987 320013 504

321    419 125

322    828 856

324    242 703

325    660 672

327    082 769

328    509 000

329 939 371 331373 888 332 812 557

334    255 384

335    702 375

337    153 536

338    608 873 340068 392 341 532 099 343 000 000

344    472 101

345    948 408 347 428 927 348913 664

350    402 625

351    895 816 353 393 243

25,71

25,73

25,75

25,77

25,79

25,81

25,83

25,85

25.87

25.88

25,90

25,92

25,94

25,96

25,98

26,00

26,02

26,04

26,06

26,08

26,10

26,12

26,13

26,15

26,17

26,19

26,21

26,23

26,25

26,27

26,29

26.31

26.32 26,34 26,36

26.88 26,40 26,42 26,44 26,46

26,48

26.50

26.51 26,53 26,55 26,57 26,59

8,711

8,715

8,720

8,724

8,728

8,733

8,737

8,742

8,746

8,750

8,755

8,759

8,763

8,768

8,772

8,776

8,781

8,785

8,789

8,794

8,798

8,802

8,807

8,811

8,815

8,819

8,824

8,828

8,832

8,837

8,841

8,845

8,849

8,854

8,858

8,862

8,866

8,871

8,875

8,879

8,883

8,887

8,892

8,896

8,900

8,904

8,908

Koło

Liczba

Obwód

Po

wierzchnia

n²r.

Kwadrat

n²

Sześcian

Pierwiastki

n²

v/»

Y^n

708

709

710

711

712

713

714

715

710

717

718

719

720

721

722

723

724 I

725

726

727 i

728

729

730

731

732

733 !

OS cn

OX CiO

co co cc ^

r-i O]

-' J “~- I    -O —O -O <1 -O ~ ] -o -o -o

to ^    O tc CC -<] Ci Ol tf* OO

2224.3

2227.4

2230.5

2233.7

2236.8 2240,0

2243.1

2246.2

2249.4

2252.5

2255.7

2268.8 2262,0

2265.1

2268.2

2271.4

2274.5

2277.7

2280.8 2283,9

2287.1

2290.2

2293.4

2296.5

2299.7

2302.8

2305.9

2309.1

2312.2

2315.4

2318.5

2321.6

2324.8

2327.9

2331.1

2334.2

2337.4

2340.5

2343.6

2346.8

2349.9

2253.1

2356.2

2359.3 ,2362,5

393692

394805

395919

897035

398153

899272

400398

401515

402639

403765

404892

406020

407150

408282

409415

410550

411687

412825

413965

415106

416248

417393

418539

419686

420835

421986

423138

424293

425447

426604

426762

428922

430084

431247

432412

433578

434746

435916

437087

458259

439433

440609

441786

442965

444145

50 12 64 60 26 81 50 4100

50 55 21 50 69 44

50    83 69 60 97 96

51    12 25 6126 66 51 40 89 51 56 24 51 69 61 51 84 00

51    98 41

52    12 84 52 27 29 62 41 76 52 56 25 52 70 76 52 85 29

52    99 84

53    14 41 53 29 00

53 43 61 53 58 24

53    72 89 63 87 56

54    02 25 54 16 96 54 31 69 54 46 44 54 6121 54 76 00

64 90 81 55 05 64 55 20 49 55 35 36 55 50 25 55 65 16 55 80 09

55    95 04

56    10 01 56 25 00

56 4001 56 5504

854 894 912 856 400 829 357 911000

359    425 431

360    944 128

862    467 097

863    994 344 365 525 875

367    061 696

368    601 818 870 146 282 371 694 959 373 248 000

374 805 361 376 367 048 877 938 067 ! 379 603 424 | 381078125 : 382 657 176 |

384    240 583

385    828 352 I 387 420489 389 017 000 i

390 617 891

392    223 168

393    832 837 395 446 904 397 065 375 338 688 256

400    315 553

401    947 272 403 683 419 405 224 000

406 869 021 408 518 488 410172 407 411830 784 413 493 625

415    160 936

416    832 723 i 418 508 992 ! 420189 749 i 421875 000

423 564 751 425 259 008

26,61

26,63

26,65

26,66

26,68

26,70

26,72

26,74

26,76

26,78

26,80

26,81

26,83

26,85

26,87

26,89

26,91

26.93

26.94 26,96 26,98 27,00 27,02

27,04

27,06

27,07

27,09

27,11

27,13

27,15

27.17

27.18 27,20

27,22

27,24

27,26

27.28

27.29 27,31 27,33 27,35 27,37

27.39

27.40 27,42

8,913

8,917

8,921

8,925

8,929

8,934

8,938

8,942

8,946

8,950

8,954

8,959

8,963

8,967

8,971

8,975

8,979

8,983

8,988

8,992

8,996

9,000

9,004

9,008

9,012

9,016

9,020

9,025

9,029

9,033

9,037

9,041

9,045

9,049

9,053

9,057

9,061

9,065

9,069

9,073

9,077

9,082

9,086

9,090

9,094

Koło

Liczba

Obwód

nr.

Po

wierzchnia

n²r.

Kwadrat

Sześcian

Pierwiastki

\/ n    Vy n

753

754

755

756

757

758

759

760

761

762

763

764

765

766

767

768

769

770

771

772

773

774

775

776

777

778

779

780

2365,6

2368.8

2371.9 2375,0

2378.2

2381.3

2384.5

2387.6

2390.8

2393.9 2397,0

2400.2

2403.3

2406.5

2409.6

2412.7 2416,0 2419,0

2422.2

2425.3

2428.5

2431.6

2434.7

2437.9 2441,0

2444.2

2447.3

2450.4

2453.6

2456.7

2459.9 2463,0

2466.2

2469.3

2472.4

2475.5

2478.7

2481.9

2485,0

2488,1

2491.3

2494.4

2497.6

2500.7

2503.9 2507,0

445328

446512

447697

448883

450072

451262

452463

453646

454841

456037

457234

458434

459635

460837

462041

463247

464454

465663

466873

468085

469298

470513

471730

472948

474168

475389

476612

477836

479062

480290

481519

482750

483982

485216

486451

487688

488927

490167

491409

492652

493897

495143

496391

497641

498892

500145

56 7009

56    85 16

57    00 25 57 15 36 57 30 49 67 45 64 57 6081 57 76 00

57    91 21 5806 44

58    21 69 58 86 96 58 52 25 58 67 56 58 82 89

58    9824 69 18 61

59    29 00

59 44 41 59 69 84 59 75 29

59    90 76 6006 25

60    21 76 60 37 29 60 52 84 60 68 41 60 84 00

60    99 61

61    15 24 61 30 89 61 46 56 61 62 25 61 77 96

61    93 69

62    09 44 62 25 21 62 41 00

62 56 81 62 72 64

62    88 49

63    04 36 63 2025 63 36 16 63 52 09 63 68 04

426 957 777 428 661 064 430 368 875

432    081 216

433    798 093 435 619 512

437    245 479

438    976 000

440711081 442 450 728

444    194 947

445    943 744 447 697 126 449 455 096

451    217 663

452    984 832 454 766 609 456 533 000

458 314 011

460    099 648

461    889 917 463 684 824 465 484 375 467 288 576

469    097 433

470    910 952 472 729 139 474 552 000

476 379 541 478 211768

480    048 687

481    890 304 483 736 625 485 587 656 487 443 403 489 303 872 491 169 069 493 039 000

494 913 671 496 793088 498 677 257 500 566 184 502 459 875 504 358 336 506 261 573 508 169 592

Cl Ci Cl Ci Cl Ci Ci Cl Ci Cl"    Ci' Ci"¹ Ci" Ci Ci" Ci" Ci* Ci" Ci" Ci"    Ci" Ci" Ci" Ci* Ci" Cl" Ci* Cl"

03

en

Koło

Liczba

Obwód

n r.

Po

wierzchnia

M²7T

Kwadrat

n‘l

Sześcian

Pierwiastki

w²

\/ n

V³/n

799

800

801

802

803

804

805

806

807

808

809

810

811

812

CO lO CD

1—f y—i

00 00 cc cc

00 00 I—¹■ t—‘

00 -o

CIO r-l <M CO r* lO CO tH 03 C3 03 03 OJ 03 03

coco cocoooaococo

827

X 03

830

QC CC 00 CO 03 05

co to i—¹

00 CC OD CD CD CO 00 CO CO CO CO CO CO

O co cc -o oi cn ^

841

842

2510.1

2513.5

2516,4 2519,(!

2622.7

2525.8 2529,0

2632.1

2635.3

2538.4

2541.6

2544.7

2547.8 2551,0

2554.1

2557.3

2560.4

2663.5

2566.7

2569.8 2573,0

2576.1

2579.3

2582.4

2585.5

2588.6

2691.8 2595,0

2598.1

2601.2

2604.4

2607.5

2610.7

2613.8 2617,0 2620,1 2623,2

2626.4

2629.5

2632.6

2635.8

2638.9

2642.1

2645.2 2648,4

501399

502655

503912

505171

506432

507694

508958

510223

511490

512758

514028

515300

616573

517848

519124

520402

521681

622962

524245

525529

526814

528102

529391

530681

531973

533267

534562

535856

537157

638456

539758

541061

542365

543671

544979

646288

547599

648912

550226

551541

552858

554177

556497

556819

558142

hSS 3c?3c?gggggg gg&g&gssss SSgggggggg

£S2£S&ggg3    82

£22 82£ggggg22 8£2g£££82£ g    822&§?££g22 82

510082 399 512 000 000

513 922 401 515 849 608 517 788 627 519 718 464 521 660 125 523 606 616 525 557 943 527 514112 529 475 129 531 441 000

533 411731 535 387 328 537 367 797 539 358 144 541 343 375 543 338 496 545 338 513 547 343 432 549 353 269 551368000

553 387 661 555 412 248 557 441 767 559 476 224 561 515 625 563 559 976 565 609 283 567 663 652 569 722 789 571 787000

573 856191 575 930 368 578009 537 580093 704 , 582 182 875 584 277056 586 376 253 588 480472 590 589 719 592 704 000

594 823 321 596 947 688 599 077 107

28.27

28.28

28,30

28,32

28,84

28,35

28,37

28,39

28,41

28.43

28.44 28,46

28,48

28.50

28.51 28,53 28,55

28.57

28.58 28,60 28,62 28,64

28,66

28,67

28,69*

28.71

28.72 28,74 28,76

28.78

28.79 28,81

28.83

28.84 28,86 28,88

28.90

28.91 28,93 28,95

28.97

28.98

29,00

29,02

29,03

9,279

9,283

9,287

9,291

9,295

9.299 9,302

9.300 9,310 9,314 9,318 9,322

9,325

9,329

9,333

9,337

9,341

9,345

9,348

9,352

9,356

9,360

9,364

9,367

9,371

9,375

9,379

9,383

9,386

9,390

9,394

9,398

9,402

9,405

9,409

9,413

9,417

9,420

9,424

9,428

9,432

9,435

9,439

9,443

9,447

Koło

Liczba

Obwód

Po

wierzchnia

w²n

Pierwiastki

Kwadrat

ril

Sześcian

sl

CCCDCCOOODODCCCCCCOO CDCDQCÇpCDCDCD

cecncnencncncncncncn

O co co -ei ce en >{*■ ec to i—¹•    o oc oc -a ce en ^

H OJ co lO co c-0000:00000000000000- c-c-aoaooocoacaocccccoco aooo

to h- OCOCD

873

874

875

876

877

878

879

880

881

882

00 CD CC CC CC CD 00 CD

cc cc CD CO 00 -O

SS!»

2651,5

2654.7

2657.8

2660.9

2664.1

2667.2

2670.4

2673.5

2676.6

2679.8

2682.9 2686,1

2689.2

2692.4

2695.5

2698.6

2701.8

2704.9

2708.1

2711.2

2714.3

2717.5

2720.7

2723.8

2726.9

2730.1

2733.2

2736.3

2739.5

2742.6

2745.8

2748.9 2752,0

2755.2

2758.3

2761.5

2764.6

2767.7

2770.9 2774,0

2777.2

2780.3

2783.5

2786.6

2789.8

2792.9

559467

560794

562122

563452

564783

566116

567450

568786

570124

571463

572803

574146

575490

576835

578182

579530

580880

582232

583585

584940

586297

587655

589014

590375

591738

593102

594468

595835

597204

598575

599947

601320

602696

604073

605451'

606831

608212

609595

610980

612366

613754

615143

616534

617927

619321

620717

71 23 36 71 40 25 71 57 16

71    74 09 719104

72    08 01 72 25 00

72 42 01 72 59 04 72 76 09

72    93 16

73    10 26 73 27 36 73 44 49 73 61 64 73 78 81 73 96 00

74 13 21 74 30 44 74 47 69 74 64 96 74 82 25

74    99 56

75    16 89 75 34 24 75 51 61 75 69 00

75    86 41

76    03 84 76 21 29 76 38 76 76 56 25 76 73 76

76    91 29

77    08 84 77 26 41 77 44 00

77 61 61 77 79 24

77    96 89

78    14 56 78 32 25 78 49 96 78 67 69

78    85 44

79    0321

601211584 603 351 125 605 495 736 607 645 423 609 800 192 611960 049 614 125 000

616 295051 618 470 208 620 650 477 622 835 864 625 026 375 627 222 016 629 422 793 631 628 712 633 839 779 636 056 000

638 277 381 640 503 928 642 785 647 644 972 544 647 214 625 649 461 896 651 714 363 653 972 032 656 234 909 658 503 000

660 776 311 663 054 848 665 338 617 667 627 624 669 921 875 672 221 376 674 526 133 676 836 152 679 151 439 681 472 000

683 797 841 686 128 968 688 465 387 690 807 104 693 154 125 695 506 456 697 864 103 700 227 072 702 595 369

29,05

29,07

29,09

29,10

29,12

29,14

29.16

29.17 29,19

29.21

29.22 29,24

29.26

29.27 29,29 29,31

29.33

29.34 29,36

29.38

29.39 29,41 29,43

29.45

29.46 29,48 29,50

29,51

29,53

29.55

29.56 29,58

29.60

29.61 29,63 29,65 29,67

29,68

29,70

29.72

29.73 29,75

29.77

29.78 29,80 29,82

eDCOOOCOîüeOCDeDeO    COOWCOÏCÎCCCCOCOÎO    CCOW05DOCOCCC050    ÇOOCOCCCDtûCDCOCOCO    CD    CD CD    0C    e£    OD

<je ce ce oe oo "en en en "en    en ^én en en en en en en en en    en en en en en en en en en en    en en en tf*- IL ILTL-    "L-    ^    ^    ^

K^oooœœœcD    CD-o-j-aceaeceencncn    ^n^wooectototoi-¹*-¹    hoocccocdcdoocd-j    -o    ce ce    ce    en    en    en

en to oo ^ b-i -j o ce    os oc en to oc en i—¹ -o ^ O    cre ao oc en to oo ^ -J oo    oastococnH-ocDO©    e»    oo en    t—    ao    ^    o

Koło

Liczba

Obwód

HK

Po

wierzchnia

n²n

Pierwiastki

Kwadrat

w²

Sześcian

ril

S!)0

891

892

893

894

895

890

897

898

899

900

901

902

903

904

905

900

907

908

909

910

911

CS to

|Q 'O

917

920

921

922

923

924

925

920

927

928

929

930

931

932

933

2796,0

2799.2

2802.2 2805,4 2808,6 2811,7

2814.9 2818,0 2821,2

2824.3

2827.4

2830.6

2833.7

2836.9 2840,0

2843.1

2846.3

2849.4

2852.6

2855.7

2858.9

2862,0

2865.1

2868.3

2871.4

2874.6

2877.7

2880.8 2884,0

2887.1

2890.3

2893.4 2896,0

2899.7

2902.8 2900,0

2909.1

2912.3

2915.4

2918.5

2921.7

2924.8 2928,0

2931.1 2934,3

022114

028513

024913

020316

027718

029124

080530

031988

033848

684700

080173

037587

639003

640421

641840

043261

044683

640107

647633

648900

650888

651818

053250

654684

056118

657565

658993

060433

661874

663317

664761

666207

667054

669103

670554

672006

673460

674915

676372

677831

679291

680752

682216

683680

685147

79 21 00

79 38 81 79 50 04 79 74 49

79    92 30

80    10 25 80 28 16 80 46 09 80 04 04 80 82 01 8100 00

8118 01 81 80 04 81 54 09 81 72 16

81    90 25

82    08 86 82 26 49 82 44 64 82 62 81 82 8100

82    99 21

83    17 44 83 35 69 83 53 96 83 72 25

83    90 56

84    08 89 84 27 24 84 45 61 84 64 00

84    82 41

85    00 84 85 19 29 85 37 76 85 56 25 85 74 76

85    93 29

86    11 84 86 30 41 86 49 00

80 67 61

86    80 24

87    04 89 87 23 56

704 909 000

707 347 971

709    732 288 712 121 957 714 510 984

710    917 375

719    823 136 721 784 273 724150 792

720    572 699 729 000 000

781 432 701 733 870 808 730 314 327 738 763 264 741217 625 743 077 416 746 142 643 748 613 312 751 089 429 753 571 000

750 058 031 758 650 628 761 048 497 763 551 944 766 060 875 768 575 296 771 095 213 773 620 632 776 151 659 778 688 000

781 229 961 783 777 448 786 330 467 788 889 024 791 453 125 794 022 776 796 597 983 799 178 752 801 765 089 804 357 000

800 954 491 809 557 568 812 160 237 814 780 504

30.56    | 9,775

Koło

Liczba

Obwód

nn

I*⁰' Kwadrat wierzchnia

n²

Sześcian

Pierwiastki

ns

V/ n

935

936

937

938

939

940

941

942

943

944

945

946

947

948

949

950

951

952

953

954

955

956

957

958

959

960

961

962

963

964

965

966

967

968

969

970

971

972

973

974

975

976

977

978

979

2987.4

2940.5

2943.7

2946.8 2950,0

2953.1

2956.2

2959.4

2962.5

2965.7

2968.8 2972,0

2975.1

2978.2

2981.4

2984.5

2987.7

2990.8

2993.9

2997.1

3000.2

3003.4

3006.5

3009.7

3012.8

3015.9

3019.1

3022.2

3025.4

3028.5

3031.6

3034.8

3037.9

3041.1

3044.2

3047.4

3050.5

3053.6

3056.8

3059.9

3063.1

3066.2

3069.3

3072.5

3075.6 3078,8

686615

688084

689555

691028

692502

693978

695455

696934

698415

699897

701380

702865

704352

705840

707330

708822

710315

711809

713306

714803

716303

717804

719306

720810

722316

723823

725332

726842

728354

729867

731382

732899

731417

735937

737458

738981

740506

742032

743559

745088

746619

748151

749685

751221

752758

754296

87 42 2B 87 60 96 87 79 69

87    98 44

88    17 21 88 86 00

88 54 81 88 73 64

88    92 49 891136

89    30 25 89 49 16 89 68 09

89    87 04 9006 01

90    25 00

90 44 01 90 63 04

90    82 09

91    01 16 91 20 25 91 39 36 91 58 49

91    77 64 9196 81

92    16 00

•92 35 21 92 54 44 92 73 69

92    92 96

93    12 25 93 31 56 93 50 89 93 70 24

93    89 61

94    09 00

94 28 41 94 47 84 94 67 29

94    86 76

95    06 25 95 25 76 95 45 29 95 64 84

95    84 41

96    04 00

817 400 375 820025 856 822 656 953 825 293 672 827 936 019 830 584 000

833 237 621 835 896 888 838 561 807 841 232 384 843 908 625 846 590 536 849 278 123 851 971 392 854 670 349 857 375 000

860 085 351 862 801 408 865 523 177 868 250 664 870 983 875 873 722 816 876 467 493 879 217 912 881974 079 884 736 000

887 503 681 890 277 128 893 056 347 895 841 344 898 632 125 901 428 696 904 231 063 907 039 232 909 853 209 912 673 000

915 498 611 918 330048 921 167 317 924 010 424 926 859 375 929 714 176 932 574 833 935 441 352 938 313 739 941 192 000

Booooohhh¹¹³

cB S S co cB S cBScBcBcBa^cBSa^cB cîfâfcüfSicBaïfaifcBcB^"' coctfćoćoćoćoafcoćoćo ćoćoćococccoćoćoćoćo

COCDCOCDCCÎDÇOCOCOCO    COCDCDCDCOÇOCDCOÎOCO    CCCDCDCOÎDCDCDCOÎCCO    CûtOOtOtCCOCOCDCOO JX> OJX>J© CDJtD

§8§r£o8o§c8o23®2îc?    c-tcôcœôc-i

03COC5COC0C503CDait0    <X>C5tOCDCr«ŁOOOCntOaO    CTI—‘OOCT'1—‘•OtC*    O-J^O-JÜJOOIWC C IO ^ Ol to X

Koło

Liczba

Obwód

nr.

Po

wierzchnia

Kwadrat

n³

Sześcian

Pierwiastki

n²

\'n

\/ n

ëcc cc OC S C§ C§ § §oŚ3ca5xa>o5a5rco5 OOO-^ICiOi^CCtOi— OCCOD*500nł»-ttU!H

8082,0

3085,0

3088.2

3091.3

14094.5 3097,6

3100.8 3104,0 3107,0

3110.2

3113.3

8116.5

3119.6

3122.8

3125.9 8129,0

3132.2

3135.3 3138,5

755837

757378

758922

760466

762013

763561

765111

766662

768214

769769

771325

772882

774441

776002

777564

779128

780693

782260

783828

96 23 61    944 076 141

96 43 24    946 966 168

96 62 89    949 862 087

96    82 56    952 763 904

97    02 25    955 671 625

97 21 96    958 585 256

97 41 69    961 504 803

97 61 44    964 480 272

97 81 21    967 361 669

980100    970299 000

98 2081    973 242 271

98 40 64    976 191 488

98    6049    979149 657

. 98 80 36    982 107 784

99    00 25    985 074 876

99 20 16    988 047 936

99 40 09    991 026 973

99 6004    994 011992

99 80 01    997 002 999

81, 32 81,34 31,85

31.37

31.38 31,40

31.42

31.43

31.45

31.46

31,48

31.50

31.51

31.53

31.54 31,56 31,58 31,69 31,61

sili...............

OiC5<JSCC>C5G5CłCC>OC>

cc cc

O* CT CC O

Sili

OOCOtOtOCOCOCOCD

<X>CDïDOOQOÇP~4-J~J

-)»o-jœo^wo

ł

/

y

<

Wstęp

va va va va va

Spis rzeczy.

8tr.

A. Wiadomości wstępne ze statyki wykreślnej.

I. Składanie sił.

1.

2.

M Tli id O c-

Siły przecinające się w jednym punkcie..........

Siły działające w płaszczyźnie na układ punktów stale połączonych. Wielobok sznurowy................

Siły równoległe......................

Moment statyczny.....................

Składanie ilukolwiek sił..................

Dalsze własności wieloboku sznurowego..........

Wykreślne wyznaczenie momentu statycznego.......

GO -1 Ci

12

14

§• 8.

VA VA VA VA VA VA VA

9.

10.

11.

12.

13.

14.

IB.

II. Belka prosta.

Wykreślne wyznaczenie sił zewnętrznych dla obciążenia ciężarami skupionymi......................

Analityczne wyznaczenie sił poprzecznych i momentów . .    20

Dowolne obciążenie ciągłe.......

Jednostajne obciążenie ciągłe......

Jednostajne obciążenie częściowe ....

Obciążenie ciągłe i ciężarami skupionymi Belka jednym końcem utwierdzona . . .

Belka wystająca............

IB

22

25

28

30

31

32

B. Wytrzymałość zeskładów drewnianych i żelaznych.

III. Wytrzymałość na wyciąganie i ściskanie.

Ogólne pojęcia.......................

17.    Spółczynniki sprężystości..................

18.    Spółczynniki wytrzymałości na wyciąganie i ściskanie . . .

19.    Wpływ kształtu ciała, ciepłoty, wilgotności i ciężaru gatunkowego na wytrzymałość .................

Zjawiska przy przerwaniu.................

21. Własności ciał, zależne od krzywrej odkształceń, zwężenia

i przedłużenia .......................

Pewność i natężenie dopuszczalne..............

Doświadczenia Wöhlera i Bauschingera...........

§ 24. Wyznaczenie wymiarów' według Winklera.........

VA VA VA VA

VA VA

16.

20.

§. 22.

§• 23.

34

38

43

48

BI

54

B8

67

Sti.

W ’jrji 'jr/i zr/t -jąi o a -j

Wyznaczenie wymiarów według Launhardta i Weyraucha .    74

Natężenie dopuszczalne dla drzewa .

Pręty o stałym przekroju.....

Pręty o stałem natężeniu.....

Liny konopne i druciane i łańcuchy

77

78

79

81

3 «Ś cŚ o§ cŚ c§ co o(h G&: cos c/jć otfc oń ~Jr.

IV. Wytrzymałość na ścinanie.

Spółczynnik wytrzymałości i natężenie dopuszczalne . . .

Nitowanie pojedyncze..................

Nitowanie podwójne...................

Nitowanie wstęg i kształtówek..............

Połączenia przegibne.....•.............

Obliczenie śrub......................

Połączenia belek drewnianych..............

85

89

96

99

102

103

105

V. Wytrzymałość na zginanie.

37.    Związek między siłami zewnętrznemi i wewnętrznemi . . .

38.    Moment bezwładności . ..................

39.    Wyznaczenie momentu bezwładności ze względu na oś równoległą do danej.......................

40.    Promień i elipsa bezwładności...............

41.    Elipsa bezwładności ze względu na osie ukośne.......

42.    Koło bezwładności.................... .

43.    Punkty stałe przekroju...................

44.    Analityczne wyznaczenie momentu bezwładności dla figur nieregularnych ........................

§. 46. Wykreślne wyznaczenie momentu bezwładności .......

§. 46. Linia całkowa......................

§. 47. Przykład. Moment bezwładności szyny kolejowej......

§. 48. Wykreślne wyznaczenie momentu bezwładności powierzchni

sposobem Nehlsa......................

§. 49. Obliczenie siły ścinającej poziomej.............

§. 60. Natężenia ścinające pionowe................

§. 51. Natężenia w kierunkach ukośnych. Linie największych natężeń ...........................

§. 52. Natężenia główne.....................

§. 63. Wykreślne wyznaczenie siły ścinającej poziomej......

§. 54. Obliczenie przekroju kształtówTek /, pracujących na zginanie

§. 55. Inne kształtówki......................

§. 56. Dźwigary blaszane.....................

§. 57. Obliczenie przekroju belki blaszanej............

§. 58. Obliczenie grubości ścianki belki blaszanej.........

§. 59. Obliczenie nitów belki blaszanej..............

§. 60. Obliczenie belek drewnianych...............

§. 61. Obliczenie belek stropu mięszanego.............

coo c//7 zfr.

109

113

122

zfr. zfr. zfr zfr. zfr.

123

131

133

134

136

138

< CO

rH t—i

146

GO 4 ^ kC t-H H

162

166

169

161

164

187

188

191

193

196

VLI -

Str.

§• 62. §. 63.. §• 64.

§• 65.

§. 66.

C/A 'JTJI ZCfi 'JT/i ZÇft ’jT/j 'JT/Ï ~fA “ffi ZfA Zff- "ST*

œ ^ ós pi ^1 œ jo o c œ fi

g É SB 83 S

•jjr. rjf. '//■- "Jf. r/jr.

Natężenia zginające po przekroczeniu granicy sprężystości . . 200

Natężenia przy złamaniu belek drewnianych........

Natężenia przy złamaniu belek z żelaza spawanego, zlewiiego

i stali ..........................

Natężenia zginające w belkach z żelaza lanego, kamienia i betonu. Prawo Bacha.........r, . .

Natężenie w belkach, gdy sify nié działają

osi głównych ’...............

Dźwigary drewniane złożone........

Natężenie dopuszczalne...........

Obliczenie przekroju dźwigar u złożonego .

Obliczenie klinów............

Obliczenie śrub..............

Belki z różnego materyału........

Równanie linii ugięcia i ugięcie belki . . .

Ugięcie belki jednym końcem utwierdzonej Belka jednym końcem wmurowana, a w drugim podparta . . 244 Belka obu końcami poziomo utwierdzona Wykreślne wyznaczenie ugięcia belki

Wykreślne wyznaczenie sił zewnętrznych belki jednym końcem

podpartej, drugim utwierdzonej...............

Belka obu końcami utwierdzona..............

Belka obu końcami ukośnie utwierdzona..........

Belka ciągła....................... .

Belka ciągła dwu- i trzyprzęsłowa.............

Belka ciągła o równych przęsłach........*.....

w płaszczyźnie

202

201

208

212

217

220

226

228

234

235

•. 238

242

. 247

252

254

256

257

259

261

263

VI. Wytrzymałość złożona na zginanie i wyciąganie lub zginanie

i ściskanie.

3 É É Ê5

'jjr. zrjr. 'S/i vż-

Bryła natężeń i os obojętna...........

Jądro przekroju.................

Największe natężenie...............

Wyznaczenie największych natężeń zapomocą jądra

264

269

273

273

' K-

VII. Wytrzymałość na wyboczenie.

Wzory zasadnicze Eulera i Rankina.........

Wyznaczenie długości wolnej.............

Wzory Tetmajera...................

Przekroje złożone...................

Obliczenie wymiarów.................

Przykłady obliczenia wymiarów...........

Wytrzymałość słupów żelaznych w razie pożaru . . .

Słupy obciążone mimośrodkowo............

Natężenie dopuszczalne...............

Przykłady......................

. 275 281 . 286

289

292

299

. ... 302

303

305

Str

VIII. Wytrzymałość na skręcanie.

§. 98. Wzory zasadnicze . . . §.    99. Wał pełny i wydrążony

§. 100. Przekrój kwadratowy .

y . 312

314

315

IX. Belki kratowe i wlęzary dachowe.

§. 101. Uwagi ogólne.......•.........

§. 102. Warunki wyznaczahiości wewnętrznej ....

Warunki wyznaczahiości ze względu na łożyska

316

317

& 103.

320

§. 104. Wyznaczenie wykreślne sił wewnętrznych za pomocą metody

wielobokowej

821

§. 105. Metoda przecięć..................... .

§. 106. Belka wzmocniona...................

§. 107. Obciążenie dachów....................

§. 108. Ogólne warunki równowagi dachu.............

§. 109. Wyznaczenie sił wewnętrznych dla obciążenia pionowego .

§. 110. Parcie wiatru.......................

§. 111. Obliczenie więzaru Polonceau złożonego jako przykład . . .

§. 112. Belka pochyło leżąca...................

§. 113. Drewniany pojedynczy dach krokwiowy..........

§. 114. Dach płatwowy z podwójnym więzarem i kolanem .....

115. Dacii rozporowy.......................

4, 116. Więzar łukowy trój przegubowy..............

'§. 117. Dachy baniaste......................

§.118. Obciążenie bani ciężarem własnym.......... . .

§. 119.

§. 120. Obliczenie dokładniejsze sposobem Miillera Breslaua . . . .

§. 121. Płaskie dachy namiotowe . ...............

§. 122. Dachy wieżowe czworoboczne...............

§. 123. Dachy wieżowe ośmioboczne................

§. 124. Części składowe i rodzaje belek kratowych........

§. 125. Analityczne wyznaczenie sił, działających w belkach kratowych równoległych o kracie pojedyńczej .........

§. 126. Wykreślne wyznaczenie sił, działających w belkach kratowych równoległych o kracie pojedyńczej .........

§, 127. Krata wielokrotna....................

§.128. Belka kratowa Howe’a............... . .

„ śniegiem i wiatrem

C. Teorya sklepień.

X. Sklepienia kolebkowe.

322

325

327

335

336

340

344

347

349

351

353

354

356

356

358

360

362

364

366

371

372

co    ^

l-    t-

co co co

S ćo §5

t»-i    rH

•JT. rjjr. r/f. tfh

Łuki i sklepienia.......

Siła podłużna i momenty jędrne Warunki równowagi sklepienia Obciążenie sklepienia.....

375

376

380

C« W » W »! W W SA SA SA SA SA

h-i h-¹

co w co 03 05 CO O* Jp. CO

h-*-    h-*    h-¹    ł—*    h-»    ¹    h-‘

^    lü.    ^    ^    ^    (X    OD

^    W    tO    m    O    O    OD

Linia ciśnienia......................

Grubość sklepienia....................

Grubość sklepień betonowych i żelbetowych........

Związek między linią ciśnienia a linią obciążenia.....

Przybliżone wyznaczenie linii ciśnienia w sklepieniu symo-

trycznem.........................

Sklepienie niesymetrycznie obciążone...........

Siły zewnętrzne......................

Odkształcenie łuku....................

Wyznaczenie trzech warunków..............

Wyznaczenie prawdziwej linii ciśnienia..........

Położenie powierzchni momentów.............

Ciśnienie sklepienia na krążynj'..............

35 x x § o Æ co co co co

392

395

396

398

400

402

411

412

XI. Sklepienia krzyżowe i baniaste.

■sir. sa sr. sr. sir. sir. sr.

Sklepienie krzyżowe nad kwadratem „ prostokątem w jedlinkę . . .

415

417

. 418

baniaste

419

Bania kulista.............

Wykreślne wyznaczenie natężeń w bani Sklepienie klasztorne.........

421

422

. 425

XII. Przyczółki, filary i kominy.

ÉÉÉÉÉïà

T—< H t-H H t-H t-H

■lir. rSr. sr. sir. sir. r/jr.

Linia ciśnienia.....*...............

Wmurowanie belki wspornikowej............

Linie wyznaczne przekroju prostokątnego........

Przekrój nieregularny. Siła działa w osi głównej . . . . Przekrój nieregularny. Siła działa nie w osi głównej . . . Kominy fabryczne .................. •

426

428

430

485

437

488

D. Bubowie ziemne.

XIII. Równowaga stoków.

có    oś    d    h    d    oj

kD    tO    CD    CD    CO    CD

t-H    rH    H    t-H    t-H    t-H

§. 164. §. 165.

Zasady...........

Równowaga ziemi niespoistej Równowaga ziemi spoistej Naziom płaski i nieobciążony

Stok pionowy........

Wyznaczenie wykreślne spójności i wysokości stoku i sto-

czystości.........................

Parabola spójności....................

Wyznaczenie stoku naturalnego, spójności i ciężaru gatunkowego

. 442

448

444

445

447

448

450

Str.

§. 166. Naziom załamany............

§. 167. Itównowaga ziemi jednostajnie obciążonej §. 168. Wykreślne wyznaczenie stoku ziemi jednostajnie obciążonej . 455 §. 169. Naziom dowolny częściowo obciążony §. 170. Stok zakrzywiony..........

453

453

456

456

h n có ^    id o

O- t>- l>- £>•    O*

»-H t—4 t-H H    H

zrh '-fh zrh ach cć cffioih

§• 178.

§. 179.

XIV. Parcie ziemi, obliczone sposobem analitycznym.

Ogólne zasady......................

Ogólne wyznaczenie powierzchni odłamu i parcia ziemi . . Ogólne wyznaczenie punktu zaczepienia parcia ziemi . . . Wyznaczenie parcia ziemi, gdy naziom jest płaszczyzną, nachyloną do poziomu pod kątem (1.............

Parcie ziemi dla naziomu poziomego...........

Parcie ziemi na mur pionowy...............

Wyznaczenie parcia ziemi dla naziomu pochyłego, zakończonego płaszczyzną poziomą.................

Wysokość punktu zaczepienia parcia ziemi dla naziomu płaskiego, zakończonego płaszczyzną poziomą.........

Uwzględnienie ciężaru ruchomego.............

(p-    Ifä.

Ci O* ot

Ci Ci ~ to

465

466

XV. Parcie ziemi, wyznaczone wykreślnie.

a£ So oo

r-i ł—i

ah, <uh </h

H*    I—i    I—i

CC    CO    GO    00    CD

yi    ci    pi    ^    ç»

Zasady..........................

Parcie ziemi na mur płaski dla naziomu płaskiego . . . . Parcie ziemi na mur płaski, gdy naziom tworzą dwie płaszczyzny .........................

Parcie ziemi o naziomie dowolnego kształtu na mur płaski .

Wyznaczenie punktu zaczepienia parcia ziemi.......

Parcie ziemi na mur krzywy lub załamany.......;

Odpór ziemi........................

Wykreślne wyznaczenie parcia ziemi sposobem Pillęta . . .

471

474

478

180

481

485

486

488

Z/7j ZJ/j ZCP Zffl

có ci ö

X X C3 03

t-H    ł-H

§. 192.

XVI. Inne teorye parcia ziemi.

Poprawka dla równowagi w spoczynku . . . .......

Poszczególne wypadki...................

Wyznaczenie płaszczyzny odłamu.............

Wyznaczenie analityczne parcia geostatycznego dla ściany

pionowej i naziomu poziomego..............

Nowsze teorye......................

489

492

493

496

497

XVII. Parcie ziemi na sklepienie.

2? 33 iS

Cl ci o

-H f—i T—i

■jh -Jf. ach

Sklepienie owalne . . . Sklepienie tunelowe . . Uwzględnienie spójności

499

500

E. Mury oporowe.

Str.

XVIII, Stałość murów oporowych.

§. 196. §• 197. §. 198. §. 199. §. 200. §. 201.

§. 202. §. 203. §. 204.

Ogólne zasady......................

Ogólne wyznaczenie grubości muru oporowego......

Analityczne wyznaczenie grubości muru dla szwów pochyłych Analityczne wyznaczenie grubości muru dla szwów poziomych

Wykreślne wyznaczenie grubości muru oporowego.....

Parcie geostatyczne przy wyznaczeniu grubości muru oporowego .........................

Mury oporowe z przyporami................

Korzystny przekrój muru oporowego............

Parcie ziemi na przyczółek................

602

602

504

606

508

510

512

513

514

I. Dodatek : Literatura.......

II. Dodatek: Tablice obciążeń stropów III. Dodatek: Tablice liczbowe . . . .

516

523

528

■

♦

' •

. »

*

vin-

.

i

/;jvi

'

*

i

;

.

-,

A

K

s

/

(

I

TABL.I.

MOMENT BEZWŁADNOŚCI PRZEKROJU SZYNY KOLEJOWEJ

:

r-

- n “16*2 cm

c

y/

'15’16’17l

?

o

- -£

\

s

ï

H

23

\

\

Np.

TT

K

21

/

20"

/

v

"V-

h

L

/

19

-----19

\

a-8 cm

X

N

k\7

hr

i

M

18

S

X

(P.

I

r t

T.

vS

o

B

1

\

7*

\

17V

15'

X

I5

115

8.69

a

\

o

i3

\

K

\

r

/

/

\

?.. . _ @

t_____JX

A

k

\

I*

l

/

i

■ sX*

K «*103‘6 cm²

s

\

f

\

r

'

i

\

vx

#'

O

i

i

N

5 cm

A

/

->

s.

/

—

//, Il

/

\

;

ri.

23.

2 V_____²⁰

/

1

n>

1»/'

18 ï

I

/

B

/

\

"V" V«

- \

■-

\

\

i ^    ⁵' ” 7 j

s

"VIT

oś ciężkości

C

I \

.

‘V

___L

--

i

i

i

i

i

• \

10’i

I

I

\

/

K-----

Z~20<

c

V

i

|10

K\-/

-

___j

\

Otyf»

i

r

\

I*

6 cm

\

\

\

»

\

\

i

cafte

I

t

u

i

r-

.

a

‘•«■i

3TT

X

!

c

’ "I

i

a

l

i

i

\

£

N

N > • - -

b =10 crn

/

c

CJ

/

I

-•

2

/

/

CJ

■s

1

/

'

4

-a*

0

-O

-s

j-

/

/

/

Y

X /

i

\

/

£

z

/

o

70-2

'---"K

/

/

8

/

/

r

/

6“!

/

#

-\

7

K

N

\

⁶ A

/

FV 35 2 cm²

0'

\ T

5»i

---- X

i

Z

4⁵

3"|

4"!

:

i

■

⁷

X

-g-

C

N.

\ o

4

!

I

—13

2*i

-A

..

12    “T“'

; /

¹

xw

JJ

:

/

; V —

a X......-

i

i

i

P'

o

\

—X--—

z\

K i.

\

\

\

\

J* = 2Q2źJ2łJLZJŁ .»1442cm *

T-    $.- 2rJLJLŁ- = i450 cmJt

h    io

X” AX? ~ijA6 cm *

{r *J>4U±jmÆ„₂ -249 6 cm *

/

Y-- M.2j2JLcm²

Podziałka dia pzekroju 21

s

o

A

d/e innych długości ./• /

as

0

\

2

3

M

S

Rys. L. P.

- ?

-

A. '

'*>,y

>1

4

YV

\ *

L

Rzutpoziomi/ układu belek

TaMJI

ZJ

[

r"¹

CL-

n

H

H.

r

i

: P\

\E\

\E\

\E\

t

7

Przekrój belki drewnianej

m

P?

PU:

••

yj

B

Ü

c

pi

; .

tuęo

I--

n

;

f§

ss

11 om --09dm

P

ÉJ

VÆ

ü

przekrój belki blaszanej

"2‘iO..........->j

n

rîîl

U

~0\

1—

ÖÖM

H

lu

l

Lii

w

i

8-

«pQÉ

* to

r

!

I

Siły poprzeczne

Momenty

*v

'2,

i

m.

O

mL

Wm

m

20 -

1-10

\ I

r

!

i

6*

g

G

G

!

:

:

!

G

-i

v-

:

i G

Ï

:

& ^ ^

6

X

201-

O

H

\

i

;

.

;

i

r

//

1910

y

7

bóre

40 00

/

dośb

/

/

/

Ti y znaczenie długości nakładek

i

i

\

T"

6370

;

i

4250

Poc/ziałki

£

»

1

Oà

J i- .»■ t - i ’

o

?

C4

* H

^ -

<C -4

Z

Sin

m

.

<

L

■>

ei

fci

«M:

V-12-

H

11300

'

“S

ho

/O

i.

-?0

50

40/

i

=4

1

rr 8

$

N

'•j

50

SO

?o

s>o

too

f/O

ISO

130

1VO

150 Im

4

z

:

i

■

/v.

'• ;

imitTH*

KRAKÓW

."t

4

t

*

*

*»

«

i

I

ł

03

>.

(0

/    \1V

-O

"U

Z/

cl

-,

<D Rj ■■

w.

»*V

Wi

V-

3J.

V$-" as

3i

d.

PÜ

«

ÉÉÈ

.....•;

SI

<3

<0.

O'

û)

C-

S)

<U

Dach Po/onceau, złożony

as :

a*

Wi

CL

<A

Wô

21

Ô\

'b'k-

Pé,

Vlk

: cn

-A

HT

83

iNV/

\v

o>

4â'

Q,

36

Co'\.

5>'

■'O

0)

CU

, , G)

V o

. 'Ö-/

2-50

\ ÛC

<A

â'

P⁷ V⁶

‘2 , V>

:>X

°7

P⁷

RV

QP

>1 OS.o '<

d₃

il

!-5f

ro/

d₂

'ü

Â'

£/

dj

"G

H'

K®/

üfi

Ô34

Rozp- p'odporowa 1Ô'00

>■

⁶ao

G;

•>«<

4-83

Obciążenie pionowe

-o

CM

L^>

0 Ö cm : 1 t.

Q.

$7 0*

//

O/ ^

c/

.®/ 'V k 9

³ ret

,9

CO

IV,' .

<v

⁸Ô₀

//

kS

Wiatr z prawej

2 cm: 1t.

‘A'

bo

J*

«Pi

CM

II

\/

l/l/'

*8₀,

Pas gó r n y ot), ero, oo, cm, ero, cm, ero, Cro,

J- W N •*

a/

\nT>

Wia T z lewej

2 cm

Mt.

*Û1)

V#»

co :

LO

,e?>ov^

^><V'

\fJ

O)

Ci.

^"«an

’-VÎ.

Sa-

di

4*

d;

kc.O

CO

!l

v >    *

\N 2)    \

r*

O

Cl V-

co

i: '

e.'

ai

irt - —

\jsi4 .

NO

6/

35

Oj

rf,

y,

-X

V/

<?/❖

3*.

«J-

°oy-y

&-

33

Ad

Tab.M.

VS

P, - 1070 kg

1......■*........

P₂ = 1480 kg

N>

cl

«I

C3

o5

-X-

CU -t* loi 00

TT

bo

7T

0)

bo

P^1480 kg

x_____à.-----

3//y wewn. i przekroje prejôiv.

Obciąż. Wiatr pionowe z lewej

Wi ałr z prawej

Najw. P I Pr^rsbréj

-23'72

-53‘03

<f> 20

~23‘27

-22 85 '22' 37 -22‘37 -22-85 '23 27 “23* 72    >

^'9-31

r 4-41

-32-58

-32-16

160

-31 66 I? S

^ “3'83

-9-66

O o O"“ ’o¹

‘~32 03 i q "cô

“3 2 - 51 I j _d CM -

-32-93

“33- 38

> 4a * ^ ⁷⁰ ' ⁺ ô 69 —    d₂⁺^-/<ô    + 6-73

d₃ f 10* 70

.£ dâ H9- as .

d*22- 70 ) •

+ 4'24

+ 2A7 P

a < I“ . 1'4 o ~

⁺ 3- 21 + 2 c o

0*88

a₃ - 2‘ 80 ~_\ ‘ 76

a 4 ł 6 98 ^    4 75

*31-39 1 JL20 +26* 2i| ?*L

100.100

10

80.80

8 15 *27-63 JL*²⁰

HO-19 *32-8912 L-üüfê⁸²

- 2- 28 J 012

r

2L^-⁵-

O oo 4 5*21

- 4-56

+ o 95 ⁺ 13' 73 JL«2l

80.80

Krata

a5 ł 3 19 -*• 2 oo a₆ ~ 1xo - 0-88

Ooo

⁺ 5- 19

- 2 28

Jr 012 2LÜ.y.5

1*12 • 17 +    6*75 ⁺ 0 95 ⁴ 16 92 JfL ^²⁰

_    a ~ I 01 80 80

6'88 ⁺ 19‘ 05    —

ai +12 1? +• 0 ■ 5c +

CU OJ

<JV X

4-    •

1 -

3‘ 19

0 • 00

012

+ 2 oo ⁺ 5-19 I 2lj^/h5

0-88 ~ 2 28

i ⁺ 8- 98 + 0' 50 + A' 80 ¹15- 83 I JL^XaX

fO

“ 2*80

36

32 * 3- 21

a! • 1 4o

1- 76

' 0 oo + 2 oo

0‘88

WO I

O'

012

⁺ 5‘ 21

“ 2 28

/-

Th uIfie

Podr. Sfâl

1

r

f

i

/

1

/

}

/

‘

.

i

s

..-

S

\

ÂSÉBm

►

\

.

/

!)

r

V. .

r '

(

K

I

l-y

ù

*

;

PP«

S

%

%

À

+s*/,

+ 'Ss

O'W

%

%

-r:

, <'

' T-

i

M

r

MM

î.

» y

1

,01

-V

i

' 4 •

?

i

h: vÿ

■i I

1

r

:

i

-À

'

".ii.

!

V

V,

,1 . .

■ ■ • '......-■> - - . . - ■

RM

I

h ■:

t *;

h

*

j

*    •;-* -7*    •    • y

i

>

V

Jr,

:

>

v

/

..r-^ •

■

«V

<■*

■ '

i

~*rJm

C-'’

. ~

- ■

\

,

<■***

r •

•• .,

t

r

. *?

-t'

...

V-?

.

...=-

i * ^

I "

>-:-'

.S-'"

v «■

i-h •#*”. •'.<

/

■■

*

;

1'

0*

7

Cł i ' •

i ■ J

il /■ '

'* ■

i.

• 'i

s

w

*v

/

■?/

>.,

*

y

.

■f

i'

*-v_

•« '••' • .y

i

/

■

i

i

/

si

/

g

y

''H

j

m

i

i

<- :

ï-

i.

■sv

: * •.;,*■••

.

r

t

r

*

'J \ LtV

»

Jr

0*00“

r⁷

hf-

ai

*wr

/ V

1-3

Là

Y,

Vo

Ut

! /T*

K—’ Q »

■x»

«k»

1-60 f f-f60>

S7j

ka\

j h<;

\h

ai ]]

a₂

p₂

l- 1600 m

a*

Vx, j U₅

S vCj

Cł

p*

w,

Kały proporcyonelnoécij

*//<? linii obciążenia

<b

_

7~8~6 5 4    3

' //

0-^5

“A-

2*ł

<//<? ciężaru pasków

K-

â'

/\

\l

Si

a; \c

k- e-J'60-f e-llso'A——

SM

-x

-O

<0

Q.

dg

p₅

»IN

»rr

S.

SS s"

à.

P!

•sa

di

SI

łyy

a_6

v₆

.....\—

a?

!/

Vr

ua

vü

V,

v₇

ypa

p,

P⁷

.......-X3«c......

.+

ÎSSrJ

K !

\i U»

Ok V*

P-fo

—7-

/

Jc:

K\

10

■“'T'.......

ç f* f* fl fs

fo_fs- fw h f fa

~Q

V*

Vu

>«

Z?'

C3

V, ₈

s/:......X-

S1 Æ 9, 9,3, 9 s 9c

^T

d!a wieloboku •>&

-0^

SW

\\

Pt

Jr Z*!

->j

S₂

D"

6'

-à

CO

"y

10

10

785»    3    2

w,...............

-)j

Nałe że nia

<M

ü£

en

ipA

Kr............

⁷ i \

j j \

J_yiżk

-jilôk........

1 70 .....-

^‘9 kg/cm

■*■ 8 kg /cm

*1

JL

<•

->i

\/io

Skala diu gości 1M00 sił \ mm • 1 f.

-

v \, r

$

*

\V-

*

1

9

*£9

H.

C4

y

O

•4 c

t!

Ta b. V.

Wykr,eślne wyznaczenie linii ciśnienia

w

sklepieniu krzyżowern nad kwadratem

Wy

7

«

Przekrój B-C

/

i

7i

'S

X

\

\

\

\

<--

7

50

/

/

7

/

/

7

l

is

7

CL

—>

"sa

\

R

rm

/:

\

\

A

W

/•V7

(. //„

r

7-

7

7

on

7

7

7

sr

7

7

ac

(7

7%'

-7

/

7

/

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

\

......7.7^

733 .7

V >

7

7^7-

*

3 T

/

W"

i.

\

<*

I O H <-

ii

-*r

<

sp

,<

<

N<

>

o<

>

<•

*<

<-•

<

'i

<- -

A

\

\

.— A

Re X ^ Rz

>

/

\ w

K

i \

\

\

0

0,

m

7

\

\

\

r

H

<s

s\\\

V₀

H

\

R-i

V,

H

\

7

\

r₂\ v₂

7

\

7- -7-r -

H

\

\

SA

V₃

77

y//^r

Podziałka dla sił

7

M

■

1mm.

A

H

\

H/'

\

V,

./

7

I H₄

\

Przekrój A-C

H

/

k-

i*--

--He=H,

— ^

\

X

a

Oi O,

vr₅\

v₅

7

l

r

i>

X

X^

A

\

!

\

\

7

\

7-

\

\

\

CL

r<

(D

A

X

X

\

X

X

\

"V*

X

\ \

\

\

\ '

.V .Aj-.-r-t.-rr-.-

VNl___

\

i\

\

\

\

\

.<

a cl cl° oT

\

V«

\

\

\

VW

\

7

\

k

\V*

CL

\

X

H

R«'‘ v₆

\

4, H

\

\

mmi

X

cn

r₇ \

<

\

A

i

6l '/

j.

5    4

i >    5 T * 2 tir i

łPj

V

Ÿ

VPe

VP

P«

p

3

5

p₂

p

6

0-5

o

Podziałka dla sił ₂k₉.

4 m m. g

Podziałka

1: 40,

\

1

2

3

%

»Jl

*-H:

/

*v -

-e.

.

,-v

'

-

' :

».

*

*

'

.

-

#

<’ 1

/

\^v

#

konger-

■

,, VV <"fb* VJV&'V

v

Av

V

ff

»

%

»

Î '

t

■ ‘ •

y

-'

■ v n

t .

:

%

I . .i., tfc i

P»

.

¹

Graphische Statik. 1881.

²

Zeitschrift für Bauwesen, 1896, str. 409.

³

Inny dokładniejszy sposób obliczenia podaje Haeseler w Handbuch der Ingenieurwissenschaft 1. t. 2. Oddział str. 297.

Statyka.

Tab. VI.

Wykreślenie linii ciśnienia z uwzględnieniem ukośnego parcia ziemi

01

JO

o

Ol

J°

Ci

oT

cr

(O

JS

"1

04

— 2 05

X— 29 0—X

- - 4-72

Pr2-56

!G,-0-83

P₂-2

o>

o

00

(O

T5-

'-s

Ulv

.4

U*

(52” 0-89

~V\y

IO XN

jp

0>

Oy

il

CP

ot

*»

•<r

=3>— —

-V

X-

CD

I—'

\| Pf4‘64

U

23^5678    9    10

Ul

13

----V58

5- 0-92

ff

*< m.

20 t

<V3i|

‘J Ki.

t

«*

>

7

V

/

4f\

t*

<*•

*

«*>

r

fA.

T

a t£

o

«

"Tl

»*5*1

0

/

\

»

\

<•

>

%

*

r,i*

il

1

i®;-

n

Biblioteka Politechniki Kiakowskiej

m

r

'-'»I K.S40

l

11-338578

W:

f.'i

my

r

V.

%

m

i

f

x':-

Çj

a

w JP» \ :

r

'’V

•■j

lügt

4

„ *

r

* % F-i v

B-hlto«p>>rt PoMpchoüu Kf^kowsK»?;

'-fi

100000267682

/

ifc» r

0

"r-

* ■<

»...

;i::    :.;::;:::-;X:;:: : rfc

| I

K ■tel

iMBfff

4»

H V...

0k

m

;Ü

//

> *5

iir# •»

<r ^    '

-.WN?

t'So *

«paM

ppp

«r

TzZ Jl*

..

ma

..*Æ

■M

a

*V

_

Lt% 4ß.*^

ggÉI

ü&ssssB!

_

ÂÉBM

..