I ! !j

.

i

..    , y-

■t

......

,f

V

•fw

uir/'nji rr»t>frn**»****r°>*

••v : • ;: ;v. л- 'Ц‘у~

V

v‘

i

:

*

c

4

:V-: r

X

iff-

.*

r" ••    •<•.

V-

;

•fc

4Й

!

>rf

"•

V

Ï, ? '

•i¹

j

.

'

i

:<{?*

.4

....

4 '

-n.

•\ч- •*

> :

y

; л

m

.

• -5 .Й

■ '.‘-v ■■-•“'.•••■

• ■.......'Л—

. ..... ...

"sV

»V'

*

• rr> ..

• •

..Ł.-

i.

- Si. ~.4i

•••

:

***r" •

'    : ! i V • '•    » • *¹

» ?*•**•• 4,Ji< ^

■ .

§

4

~Ч

j

-

\

V.

\

\

\

\

\ /

/

/

\

г

у

\ /

's у

г, •

J

/

У

Politechnika Krakowska

Bibl io-teka Główna

PODRĘCZNI К INŻYNIERSKI

W ZAKRESIE INŻYNIERJI LĄDOWEJ I WODNEJ

REDAKTOR NACZELNY

PROF. Dr. INŻ. STEFAN BRYŁA

TOM II

MOSTY

STATYKA BUDOWLI

LWÓW I WARSZAWA 1928

NAKŁADEM KSIĘGARNI POLSKIEJ В. P OŁ O N I E С КI E G O

WYDANO ZE WSPÓŁUDZIAŁEM ZWIĄZKU STUDENTÓW INŻYNIERJI POLITECHNIKI LWOWSKIEJ

T,

Drukarnia i księg. nakł. Karola Prochaski w Cz. Cieszynie

PRZEDMOWA

I Tkład podręcznika, ustalony przy rozpatrywaniu pracy "-'redakcyjnej, musiał zostać zmieniony wskutek opóźnienia niektórych rękopisów, co też jest powodem pewnego opóźnienia wydawnictwa wogóle. Wydając tom drugi, dziękuję serdecznie autorom za ich życzliwość w stosunku do wydawnictwa. Za pomoc zaś w pracy około niego dziękuję przedewszystkiem p. inż. dr. Alfonsowi Chmielowcowi, następnie pp. inż. J. Mikule, inż. D. Stróżeckiemu ip. Augustowi Spyrze, kierownikowi biura rysunkowego ; — oddzielnie zaś p. B. Połonieckiemu, który z całem poświęceniem wydawnictwo to prowadzi.

Naczelny redaktor

Lwów-Warszaw a, luty 1928

/

'

.

'

.

■ L

■ Æ ДИРУ

'

CZĘŚĆ PIĄTA.

MOSTY.

TKEŚĆ.

Strona

Strona

Zasady proj eк to wania mostó w. Napisał inż. dr. Stefan Bryła, profesor politechniki, Lwów . 751

Mosty drewniane. Napisał inż. dr. Stefan Bryła, profesor politechniki, Lwów..........

Mosty tymczasowe. Napisał inż. dr. Stefan Bryła, profesor politechniki, Lwów........

Mosty kamienne. Napisał inż. dr. Maksymiljan Thullie, profesor politechniki, Lwów......

Przyczółki i filary kamienne. Napisał inz. dr. Maksymiljan Thullie, profesor politechniki, Lwów .......    .....

Mosty żelbetowe. Napisał inż. dr. Maksymiljan Thullie, profesor politechniki, Lwów......

Mosty żelazne. Napisał inż.dr. kom.

Dr. Andrzej Pszenicki, profesor politechniki, Warszawa .... 860 I. Część ogólna II. Nitowanie .

. 860

877

775

796

806

830

836

III. Belki o ściance pełnej.....882

. 889

1Y. Dźwigary główne.....

V. Przekroje prętów.....

VI. Projektowanie węzłów .... 918 VII. Łożyska (poduszki! ....

VIII. Tężniki podłużne i poprzeczne . 938 IX. Część przejazdowa i chodniki . 947

907

922

Mosty ruchome. Napisał inż. dr. Stefan Bryła, profesor politechniki, Lwów........

Montowanie mostów żelaznych. Napisał inż. Aureljusz Cbróście-leweki, Mińsk Mazowiecki . . . 985 Wzmacnianie mostów żelaznych Napisał inż. Aureljusz Chróście-lewski, Mińsk Mazowiecki . . . 1003

976

Zasady projektowania mostów.

Napisał

inż. dr. Stefan Bryla,

profesor politechniki, Lwów.

Podział mostów. Mosty dzielą się wedle rodzaju drogi komunikacyjnej na: a) drogo we (kołowe), — tu należą też mosty dla pieszych, czyli t. zw. kładki, b) kolejowe, c) kanałowe i d) wodociągowe (akwadukty). Mosty drogowe dzieli się w Polsce na trzy klasy, a to: pierwszej klasy na drogach państwowych i na głównych ulicach większych miast, drugiej klasy na drogach wojewódzkich i powiatowych, oraz na ulicach miejskich, nie objętych pierwszą kategorją, wreszcie trzeciej klasy na drogach gminnych poza obrębem miast.

Ze względu na rodzaj konstrukcji na mosty stałe i ruchome.

Wreszcie podział można przeprowadzić ze względu na materjał, użyty na konstrukcję (mosty drewniane, żelazne, kamienne, betonowe, żelbetowe), oraz ze względu na charakter belek głównych (np. mosty łukowe, wspornikowe itd.).

Przepustami nazywamy małe mosty o rozpiętościach do 4 m.

Wiaduktami nazywamy mosty ponad wgłębieniami terenu, a więc zastępujące nasyp; zwykle opłacają się one dla wysokości 16—20 m nad terenem.

Most składa się z konstrukcji (budowy) a) spodniej czyli dolnej i b) wierzchniej czyli górnej. Do pierwszej należą filary (podpory środkowe) i przyczółki (podpory końcowe). Konstrukcja wierzchnia składa się z belek (dźwigarów) głównych, na których spoczywają poprzecznice (belki poprzeczne) i podłużnice (belki podłużne), podtrzymujące jezdnię i chodniki ; belki główne związane są nadto ze sobą t. zw. tężnikami (wiatrownicami) pionowemi i poziomemi.

Most może być o pomoście górą, pomoście dołem i pomoście pośrodku (wgłębionym). Dla mniejszych rozpiętości korzystniejsza jest jazda górą (dobre stężenia poprzeczne, lżejsza konstrukcja pomostu, mniejsze przyczółki i filary) ; o ile jednak jesteśmy skrępowani zbyt małą wysokością konstrukcyjną, dajemy pomost dołem lub wgłębiony. Dla większych rozpiętości lżejsze są mosty o pomoście dołem.

Wysokością ustrojową mostu nazywamy odległość od najniższego punktu dolnej krawędzi belki mostowej do niwelety mostu, tj. do wierzchu nawierzchni w osi mostu drogowego, względnie do stopy szyny mostu kolejowego.

Wymiary poprzeczne mostów. Szerokość mostów drogowych ustala się odpowiednio do rodzaju drogi. Najmniejsze dopuszczalne wymiary wedle przepisów M.K. P. z r. 1925 podane są na fig. 1. Mosty w większych miastach mają szerokości znacznie większe i dostosowane do szerokości ulic. Chodniki należy urządzić zawsze w miastach i osiedlach, lub w ich pobliżu. Najmniejsza ich szerokość 75 cm. Jeżeli niema chodników, należy dać krawężniki o szerokości 40 cm.

Małe mosty i przepusty o rozpiętościach do 4 m należy budować o tej samej szerokości, co korona drogi, na której znajduje się most.

Tężniki (wiatrownice) górne itp. konstrukcje winny znajdować się nad powiei-zchnią jezdni conajmniej 4,5 m, zaś nad powierzchnią chodników conajmniej 2,5 m.

Wymiary poprzeczne mostów kolejowych należy dostosować do skrajni, dodając nadto około 20 cm (por. dział: „Koleje“, str. 2:45, fig. 267). Szerokość w świetle normalnotorowego mostu kolejowego wynosić będzie co-

9gL

uo

/kl.

- 6,20 S.io -

-7,60

S.'*0

— 6,20 — 500

//ki

Hlkl.

S,60--»    Ц--5,00

530

4.

1,OOr

0,80--*>too

«— 3,60 —*

«----560-

Fig. 1.

najmniej 4,80 m. Jeżeli most jest w łuku, to szerokość jego zwiększa się odpowiednio do strzałki łuku na moście. Por. niżej o rozpiętości przejazdów nad kolejami.

Wzniesienie dolnej krawędzi mostu nad najwyższy stan wody wynosić powinno wedle przepisów M. К. P. conajmniej .

jeżeli rzeką płynąć mogą pnie itd.......

na rzekach spławnych przy spławie luzem . . na rzekach spławnych przy spławie wiązanym na rzekach żeglownych..........

Wzniesienie nad kanałami żeglugi por. str. 644. Powyższe normy może M. К. P. zmienić w poszczególnych wypadkach.

Mosty łukowe, których / < -i- l, zaś a < 90°, należy założyć tak, aby 6

najwyższe zwierciadło wody nie sięgało ponad wezgłowia. Jeżeli /> l,

. 0,5 m, . 1,0 m, .    1,0    m,

. 2,5 m, . 5,5 m.

zwierciadło najwyższe wody nie powinno sięgać do punktu a (fig. 2).

Wzniesienie konstrukcji mostu nad torami kolejowymi

mostach dre-

-! należy dostosować do skrajni ; przyczem przy ) wnianych powinno ono wynosić conajmniej 0,5 m nad skraj-I nią, o ile zastosuje się urządzenia, chroniące drzewo od po-i żaru, względnie 2,0 m nad skrajnią, o ile tychże niema, i Wzniesienie nad drogą kołową: min. 2,50 m nad cho-^ dnikami, oraz 4,50 m nad jezdnią ; na drogach podrzędnych można ten wymiar zmniejszyć do 3,20 m za zezwoleniem M. K. P.

Wysokość poręczy conajmniej 1,10 m.

Rozpiętości mostów. Łączna rozpiętość mostów nad rzekami zależy od największej ilości przepływającej wody, zwiększenia chyżości pod mo-

soc'

Fig. 2.

stem i dopuszczalnego spiętrzenia. Dla małych mostów oblicza się ilość wody z wzorów empirycznych, dla większych wykonywa się odpowiednie pomiary (por. dział: „Pomiary wodne“).

Przy określonej długości mostu należy rozpiętości poszczególnych przęseł dostosować do warunków miejscowych, do wymiarów największych statków i tratew, jakie mogą kursować w danem miejscu, wreszcie do kosztów. Koz-piętości są tern większe, im większy jest koszt filarów, tj. im trudniejsze fundowanie i im są one wyższe. Przęsła przepływowe są często większe od przęseł inundacyjnych. Przy kilku możliwych ewentualnościach decydują* najmniejsze koszta. Na zakrętach rzek powinny być przęsła większe niż w miejscach normalnych. Eozpięt ościwiaduktów zależą przedewszystkiem od kosztów i w konsekwencji od wysokości filarów.

-4

r<-

Ai

droga

Fig. 3.

Fig. 4.

Fig. 5.

Przy niewielkiej

ilości.

ilości przęseł budujemy je zwykle w nieparzystej

Ze względu na prostotę roboty i ekonomję staramy się o to, aby możliwie wielka ilość przęseł była taka sama ; o ile zatem rozpiętości są różne, to zmieniamy je grupami.

Mosty nad kanałami żeglugi powinny obejmować jednem przęsłem całą (niezmniejszoną) szerokość profilu wraz z drogami holowniczemi (por. dział: „Kanały żeglugi“).

Mosty nad ulicami i drogami powinny dostosować się rozpiętością do szerokości drogi. Można jednak ustawić słupy w środku drogi, co zresztą nie jest pożądane, oraz na chodnikach obok krawężnika.

Przejazdy nad kolejami powinny mieć rozpiętość równą szerokości skrajni, zwiększoną o T 20 cm. Jeżeli tor kolejowy pod mostem przechodzi w łuku, należy zwiększyć rozpiętość mostu: 1. o strzałkę krzywizny toru f —

b²

— -g-jT, gdzie b jest szerokością mostu, a R promieniem krzywizny toru

(fig. 3), 2. o poszerzenie toru w łuku (por. dział: „Koleje żelazne“, str. 230), 3. o wielkość у, powstałą wskutek ukośnego położenia skrajni (fig. 4), i 4. o wielkość z, powstałą wskutek odchylenia osi wozu od osi toru (fig. 5) ; przyjąć można, jeżeli s jest szerokością wozu, l długością tegoż :

Z=V[ж+^) +(т) -(*+!)•

Przy przejazdach nad kolejami lub drogami kołowemi można przeprowadzić rowy a) pomiędzy przyczółkami (filarami) jako otwarte lub kryte, b) poza filarami (przyczółkami), wreszcie nawet c) przez przyczółki (rzadko).

Mosty ukośne mają większe rozpiętości i kosztowniejszą konstrukcję od prostych, to też w miarę możności staramy się ich unikać.

Niweleta mostu niejednokrotnie dana z góry. Przy mostach drogowych przeważnie pozioma ; podniesienie niwelety ku środkowi mostu wychodzi z użycia, chyba, gdy chodzi o uzyskanie większej wysokości konstrukcyjnej (stosunkowo najczęściej przy mostach łukowych) ; wtedy w środkowej części zaokrągla się spadek lukiem koła lub parabolą o długości 2 V (fig. 6.) Najwyższe spadki por. dział: „Ulice“. Czasem niweleta spada w jedną stronę, gdy wynika to ze spadku całej drogi. Przy mostach kolejowych niweleta stosuje się do spadku linji kolejowej. Załamanie spadku na moście możliwe, ale niemiłe i rzadko używane.

Spadek poprzeczny: dyle 2,5—3°/₀, droga bita 4 —6°/₀, bruk 2,5—3%5 chodniki 1—2°/₀ ; pozatem por. dział: „Ulice“.

Porównanie mostówT z różnych materjałów. Koszta budowy. Najtańsze są mosty drewniane; żelazne zwykle tańsze od betonowych i żelbetowych, niemniej potrzebne jest porównanie.

^ / ■<- ; -,

Fig. 6.

Koszta utrzymania mostów drewnianych wynoszą około 2—3% kosztów budowy, mostów żelaznych 0,2—0,3 % tychże, mosty kamienne i betonowe nie wymagają nieomal żadnych kosztów utrzymania.

Czas trwania mostów drewnianych 10—20 lat, co do żelaznych brak definitywnych danych, kamiennych i betonowych praktycznie nieograniczony.

Szybkość budowy: najszybciej buduje się mosty drewniane, następnie żelazne, potem żelbetowe i betonowe, wreszcie kamienne.

Rozpiętości mostów żelaznych dbchodzą do 610 m (projekty do 1000 m i wyżej), żelbetowych do 200 от (projekty do 250 m i wyżej), betonowych i kamiennych prawie do 100 от, drewnianych do 50 от.

Wysokość konstrukcyjna: najmniejsza w mostach żelaznych, następnie drewnianych i żelbetowych, wreszcie betonowych i kamiennych.

Mosty ukośne najłatwiej wykonać żelazne (ukos do 20°), najtrudniej kamienne (30° dla mostów odcinkowych, 70° dla półkolistych).

Wstrząśnienia najmniej działają na mosty kamienne, betonowe, wreszcie na żelbetowe i żelazne.

Wpływ dymu i gazów nie szkodzi mostom kamiennym i betonowym, — szkodzi żelaznym i żelbetowym.

Wygląd najbardziej monumentalny mają mosty kamienne i betonowe, dalej żelbetowe, żelazne i drewniane.

Dzisiaj buduje się z drzewa mosty, których czas trwania nie ma być długi (mosty tymczasowe, rusztowania), dalej mosty drogowe III. klasy i czasem mosty dla kolei drugorzędnych. Pozatem staramy się budować mosty o charakterze stałym, przeważnie żelbetowe dla mniejszych rozpiętości, żelazne dla rozpiętości większych, oraz tam, gdzie mała wysokość konstrukcyjna lub inne względy nie pozwalają na zastosowanie żelbetu. Wskazane jest budować nawet mosty drewniane na filarach i przyczółkach kamiennych lub betonowych; trwałość mostu znacznie się wtedy zwiększa, gdyż przyczółki i filary drewniane szybko niszczeją.

Obciążenia mostów. Na mosty działają następujące obciążenia : a) ciężar stały (belek głównych, poprzecznie, podłużnie itd.), b) ciężar ruchomy czyli zmienny (na mostach drogowych automobile, wozy, walce parowe, ludzie itd., na kolejowych pociągi), c) parcie wiatru, d) parcie ziemi i wody, a nadto e) zmiany temperatury i ewentualnie /) skurcz materjałów.

1. Ciężar stały przyjmuje się wedle wzorów; najważniejsze podane są w odpowiednich działach. Ciężary materjałów konstrukcyjnych poleca M. R. P. przyjmować w następujących wielkościach :

Żelazo zlewne

Stal Żeliwo

7,85 t/m³

spawane .... 7,80 „

Mur ciosowy . .    2,40—2,60 „

„ z kamienia łamanego

(wapień).....

„ z kamienia łamanego

(piaskowiec) .... 2,20 „

„ z cegieł na wapnie .    1,60    „

2,40 „

Ziemia, glina . .

Bruk kamienny Asfalt lany . . .

2,60 „

1,60 „

. . 1,80 „ 2,40—2,80 „

1,20 „

2. Ciężar ruchomy, a) Mosty drogowe. W poszczególnych państwach istnieją rozmaite rozporządzenia, określające rodzaj i wielkość obciążeń drogowych. Zazwyczaj składają się na nie: walec drogowy, jako obciążenie największe, samochody ciężarowe, czasem wozy dla dróg podrzędnych; oraz tłum ludzi, przyjmowany jako ciężar jednostajnie rozłożony. Niektóre rozporządzenia przyjmują nadto obciążenie moździerzem, kolejką połową itd. W Polsce przepisy M. K. P. z r. 1925 wyprowadzają tylko jeden rodzaj obciążenia zasadniczego, ułatwiając tern samem obliczenie mostu w bardzo wybitnym stopniu, tern bardziej, że dla różnych klas i dla różnych szerokości mostu należy pomnożyć je tylko przez odpowiednie spół-czynniki.

Obciążenie zasadnicze rozmieszczone jest na pasie jezdni o szerokości 2,50 m.

Jest niem walec parowy o ciężarze 20 t (oś przednia 8 t, oś tylna 12 i); przed    rr-i

nim i za nim tłum ludzi o ciężarze ⁵⁰⁰1¹-/° j 500 lcg/m² dla długości mostu l < 50 m, zaś 400 Äa/^dla l > 100 m, gdzie l oznacza długość przęsła; dla pośrednich długości? należy interpolować linjowo (fig. 7). Na

chodnikach należy przyjmować tłum ludzi o tymże ciężarze jednostajnie łożonym. Zasadnicze obciążenie (jezdni i chodników) należy pomnożyć przez spółczynnik ф (spółczynnik klasy mostu), zależny od klasy mostu ; wynos’ on

1.50

5.00 —

iet

1,50

рш,

2.50 %-о.ао :sookq/mx

tyj

--6.00

Fig. 7.

roz-

dla mostów I. klasy cp = 1,0,

„    „ u.    „    ? =

„    „    III.    „    — 0,4.

Aby znaleźć całkowity ciężar, działający na jezdnię mostową, należy pomnożyć tak określone obciążenie przez spółczynnik a (spółczynnik szerokości mostu), wynoszący :

rj. — 0,4 b dla jezdni o szerokości b P 5,0 m, zaś    a = 1 -f- 0,2 Ъ dla jezdni o szerokości b > 5,0 m,

gdzie b jest szerokością jezdni (fig. 8 a, b, c). Krawężników można nie obciążać.

Z powyższego wynika, że dla szerokości równej lub mniejszej od 5,00 m obciążenie mostu zwiększa się wprost proporcjonalnie do szerokości. Dla szerokości b > 5,0 m obciążenie to wzrasta znacznie wolniej, co uzasadnia się tem, że jest mniejsze prawdopodobieństwo, aby cała jezdnia była obciążona równie silnie.

na

Przy obliczenia mostów o dwu belkach głównych przyjąć należy, że każdą belkę przenosi się połowa obciążenia, obliczonego w powyższy

sposób. Jeżeli most ma większą ilość belek głównych w odstępie I mniejszym niż 2,5 m, to spół-czynnik a — 0,4 b należy zastosować przy ich obliczeniu, jeżeli ustrój pomostu zapewnia ścisłe współdziałanie belek (np. mostu żelbetowego z silnemi stężeniami poprzecznemi). Przez b należy rozumieć wtedy odstęp belek głównych (fig. 8 d). Jeżeli ustrój [    pomostu nie zapewnia ścisłego

9    współdziałania belek, to ciężary,

działające na jedną belkę, należy przyjąć odpowiednio do rozkładu ciśnienia na te belki z uwzględnieniem szerokości kół walca i obciążenia każdego z nich. To samo należy zastosować przy obliczaniu pomostu. Pomost należy nadto przeliczyć na ciężar skupiony koła samochodu ciężarowego o wielkości P=Łt dla mostów I. klasy, 3,2 t dla II. klasy, zaś 1,6 t dla III. klasy.

Nacisk na poprzecznicę A (fig. 9) z powodu obciążenia pasa jezdni o szerokości 2,5 m wynosi wogóle:

X — 2 a q (X — За)² . q (X — a)²

a.

I-c—'- b -i>1

Fig. 8.

P== Pl + A

gdzie I\ — 12 t, P₂ = 8 t, zaś q — 1,24 tjm b.

Dla X <; 4,5 m odpada wyraz trzeci, dla X <C 3 m także wyraz drugi; dla poprzecznicy skrajiiej odpada także wyraz ostatni.

Obciążenie całej poprzecznicy : (P) = а cp P.

Największy moment poprzecznicy, jeżeli oblicza się ją jako belkę wolno podpartą : najw. M = — (P) b.

Ö

P,

Przy obliczaniu mostów o rozpiętości l >• 50 m można zamiast ciężarów skupionych kół walca przyjąć ciężar zastępczy, jaki otrzymamy, rozkładając ciężar walca jednostajnie na P₂    powierzchnię, zajętą przez walec, tj.

za-

2a—^~<a>ij 2,50 X 6,00 = 15,00 ш². Takiź ciężar

¥-Ниш]    stępczy przyjmować można też przy obli-

J    czaniu mostów o rozpiętością eh między

.    30 ш a 50 w, o ile odpowiednia gałąź

lub

--linji wpływowej ma długość równą

Fig.- 9.

większą niż 30 m. Wreszcie tenże sam ciężar zastępczy przyjmuje się przy obliczaniu przyczółków.

ob-

Dla poszczególnych mostów wszystkich klas może M. E. P. zarządzić zastosowanie innych obciążeń. Dotyczy to zwłaszcza mostów w większych miastach, gdzie ruch jest większy i cięższy. Można w nich przyjmować albo spółczynnik cp > 1, albo też' wogóle inne obciążenie, np. szereg wozów * tramwajowych jeden za drugim itd.

Przy obliczaniu części ustrojowych chodników należy przyjmować ciążenie tłumem ludzi 600 кЫт², zaś ciśnienie poziome na poręcze 80 kg/m b.

Przy obliczaniu kładek przyjmuje się tłum ludzi, jak dla II. klasy, tj. 400 kgjm².

P—'àaq

10 P-j- 3 g (Z — 8 a)

— — 2 a j , przyczem

e) dla l > 30 ш najw. M= — G --aj -f- — ÿ |

Dla pośrednich wartości należy

m.

gdzie В = —

Bezwzględnie największy moment zgięcia dla belek wolno podpartych otrzymujemy :

a)    dla l <3 m pod cięższą osią walca w środku przęsła (fig. 10 b) :

najw. M — — PI ;

b)    od l = 3,00 m do l — 5,50 m pod ^ ; cięższą osią walca (fig. 10 c) : najw. M — A X, przyczem

A =-— q -y--P-\-q (l — a) ——j- P +

+ TT«~а)'

c i. :

5,50)1 ) 3,00 Ar

.B

|â P -f- 2 q (l — a) —

У 4 P* + 2 q (l - 4 a) P+ {I - a)*ÿsj ; i>8’m

SAS)/>5,50 I    i

e A *—a-—

ПДДРЩд

l-x

c) od l — 5,50 m do l = 8,25 m pod cięższą osią walca (fig. 10 c?) :

1-2

-»j

najw. M = A X--—

±x*-

4

— a P, przyczem

Fi*. 10.

T P+2(Z~ a)\ y-fy(& + 4    +    «)²

‘,,= зу{тР+2? (*-«)-[/(y p)+^-(10/-64a) + g²^-«)²}; й) od ? — 8,25 m do l = 30 m pod cięższą osią walca (fig. 10 e) : najw. M—Bz--q (z² — a²),

Tl

(тгр-⁴“г)т + т(⁶

4y) + 2 y —4afl — ~?

ćr = ciężar walca drogowego.We wzorach powyższych P— 12 /, zaś q — 1,25 t/m dla l ^ 50 m, zaś q — 1 £/m dla l j> 100 interpolować linjowo.

W- tablicy I. (str. 758/759) zestawione są największe momenty zgięcia, obliczone w odstępach co 0,1 £, oraz bezwzględnie największe momenty i ich odstępy od środka belki. Poczynając od l — 30 m, bezwzględnie największy moment występuje w środku belki, gdyż ciężar walca przyjęty jest tam jako ciężar jednostajnie rozłożony.

Największy moment w dowolnym przekroju występuje:

a) dla l < 30 m, gdy cięższa oś walca (121) stanie w danym przekroju ;

b) dla l> 30 m. Wykres dla najniekorzystniejszego położenia walca podany jest na fig. 11. Prowadzimy C"F\\A'B\ odcinamy C"F = 4 a = 6 m\

Tabli-

Najw. momenty w tonmetrach dla belki wolno podpartej, w prze-najw. momenty wskutek obciążenia walcem i tłumem ludzi na

W ostatniej rubryce podane

Rozpię

tość

тН

rp = x :l

0,3    1    0,4 I 0,5

Bezwzgl.

najw. I e )

.)/

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

SßßßßßPßßooa«

oVeoeae-o^Wg

7,62

8,66

9,00

9,00

10,40

13.80 18,04 22,39

26.98 31,84 36,96 42,34

47.98 53,89 60,08 66,49 73,20 80,10 87,30

94.80 102,6 110,6 118,8

127.4

136.1 145,3

154.5

164.2 173,9

184.1

195.6

199.6 210,5

221.7

233.1

244.8 256,7

11,72

14.49

19.50

24.64 29,91 35,46 41,30 47,45 53,80

60.65

67.70 75,05

82.70 90,67 98,85

107.4

116.3

125.5

134.9

144.7

154.7 165,0

175.7

186.6

197.9

209.5

221.4 228,2

240.6

253.4

266.4

279.8

293.4

12,08

13.31 18,71 24,25 29,95 35,82 41,90

48.31 55,05 62,09 69,40 77,06 85,01 93,30

101,92

110,8

120,0

129.6

139.5

149.5 160,0

170.9 182,0

193.5 205,2 217,1

229.5

237.7

250.6

263.9

277.5 291,4

305.6

12,085

15,33

19,55

24,82

30.32

36,1

42,1

48,5

55,3

62,3

69,6

77,2

85,1

93,5

102,0

110,8

120,1

129,8

139.6

149.6 160,1 171,0 182,1

193.6 205,2 217,1 229,5

11

51

45

38

35

34

32

31

30

29

28

28

27

26

26

25

24

24

23

22

22

' 21 ‘

21

21

21

21

0,1

0,2

0,3

0,4    0,5

*) Odstęp niebezpiecznego przekroju od środka belki.

ca I.

krojach, oddalonych od podpory o x — ep l, tudzież bezwzględnie szerokości 2,5 m wedle przepisów M. R. P. z dnia 9 listopada 1925 r. jest położenie miejsca najw. M.

Bozpię-

tość

cp = x : l

0,3

0,5

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

52

54

55

56

58

60

62

64

65

66

68

70

72

74

75

76

78

80

89

90

100

C(|ł.^#>.W65tl3CaWtOWWtSlSt«b!llSl«KltSt«MI-*MI-‘b>KHKbik‘l-ih‘Kh‘ -4©łU©©-a-3OS(UOSl-*©©G0“aas>UaSt®l-‘©«ea0G0~JCłOSCH.U>UC»SO3fcet®UŁ tî o® œ w odo сеч ki “3.5й os fOju _©^csуеул^©J³¹    Oi o сл

ТеТэ'сл^ТоТиТя'о'-'зТл'^'о'слЪ’Т-¹-!-¹ os "es «о Ъа ~w 'сл go te "со Tu te 'о ~о i-¹ 'Ъэ "os 7^ ~Ъ> Ъэ

OCC-^^l'JOiCiOiQO'OiO'O'Oiiti^ltMf-I^OJCeMWÜJWfSMMfSMlStSbSbSt« K-atDtSO^OM^KSOffiWlSHÛOOiWH ООО ®i^03WO®®<Io;04fiCBN)i-0 живого tej» ⁰⁰    t*    ^

"си о о as os ci le cc I-¹ ' t cc os 'oc a. Tf*. "о '© ©. '© 'о    7p. ~© Ъ “Ь» ~Ъ> 'to V    ’© к-*- Tu "le

I—‘ ^ M-

ceKoœœoaccoocc'J'a-JOiœoiCiciao'O'i^i^itMtM^tewwwwwostsKit®

J-¹ J<I 00 ©    H* OO

7«7е^1©'г£>'ао'сО©'1«'г4>'оз'со'0с'ге'-<1'©ЪоЧо1-‘''0о'са'’Ь''©'сл7й-'©'©'’~з'^1'©'>й*1-‘-'1-‘.'1£.‘©

0,1

0,2

0,3

t—⁴ >—⁴ *—⁴ h—■ H-⁴

O ÜiOOHOOOOOOœCDCO<I<I<10iÛOi05 0'CtOi^^^^^^O:OOÜ5W030JCO ^ teOOîOÜ’OCOOlMOD^OCOOiW^ÜiWOGOÜ’HCOCOQiM^HÇOOOOSÜiCOU/O

S' S* S*

^^^^i^^ooto^o^'5^oci^vo⁴a50v^^4o'H-L'o'l«'aivrf^>f^'œ^'^"oïviN5vo'i>5vci'V

320.2 335,0

350.2 365,6

381.4

397.5

413.9

430.6

447.7 465,0

482.7

500.6

518.9

537.5 573,0

609.3

627.5

646.3

684.3

722.5

761.5 801,2 815,2

841.5

882.5 924,0

965.7 1008,2

1029.5 1051,0 1094,3 1138,0

1248.5 1361,0

1589.5

0,5

Bozp.

0,0

Tabli-

Najwieksze siły poprzeczne w tonnach dla belki wolno о X = <p l wskutek obciążenia walcem i tłumem .    M. E. P. z dnia

(p — X : l

0,1    0,2    0,3    0,4

0,5

0,6    0,7

0,8    0,9

OH -MCOilOO N CO Cî O H (MCC-fOONCOOO и (Л co    o

тНтНтНт-ЧтЧтНт-Ч H H H Oî Cl (Ndddd^ClClCO CO CO CO COCO CO

12,00 14,00 15,23 16,2.4 17,13 17,9Ö

18.73 19,49 20,22 20,93 21,62 22,32 23,00

23.66 24,34 25,01

25.66 26,31 26,97 27,62 28,27 28,91 29,54 30,18 30,81 31,44 32,09

32.73

10,80

12,00

13.20 14,08

14.86

15.57 16,23

16.87 17,47 18,06 18,64 19,22 19,78 20,33

20.87 21,42 21,96 22,50 23,03

23.57 24,09 24,62 25,14 25,66

26.21 26,60 27,25 27,75

28.27 28,77

29.27

9,60

8,40

7,20

6,00

4,80 3,60

2,40

1,20

33,29    „

33,93;    „

10,00

11,20

12,01

12,68

13.28 13,84

14.36 14^7

15.36 15,82

16.29 16,74 17,19

17.63 18,08 18,51

18.94

19.36

19.79

20,21

20.63 21,04 21,45 21,88

22.29 22,71 23,12 23,54

23.95 24,32

24.79 25,16 25,61

9,20

10,00

10.58 11,09 11,56 11,98 12,39 12,80 13,17

13.54

13.90

14.25 14,60

14.95

15.29

15.62

15.96

16.29

16.62 16,94

17.26

17.58

17.91 18,24

18.55 18,88 19,19 19,50 19,82

20,14

20,46

20.78

8,00

8,57

9,01

9,39

9,74

10,07

10,58

10,67

10,97

11,25

11.52

11.79 12,05 12,31

12.56 12,81 13,06 13,30

13.56

13.80 14,04 14,28

14.52 14,75 15,00 15,24 15,47 15,71 15,94 16,17 16,41

6,57

7,00

7,33

7,62

7,88

8,12

8,34

8,57

8,78

8,98

9,18

9,38

9,57

9,75

9,93

10,11

10,29

10,47

10,64

10,82

10,99

11,16

11.33

11.50 11,67 11,83 12,00 12,17

12.33

12.50

5,00

5,33

5,60

5,82

3,82

10

11

6,01

6,17

6,34

6,49

6,64

6,78

6,92

7,06

7,19

7,31

7,44

7,56

7,68

7,80

7,92

8,03

8,14

8,26

8,37

8,49

8,59

8,70

8,81

8,92

4,00

4,15

4,29

4,40

4,50

4,60

4,70

4,79

4,87

4,96

5,04

5,12

5,19

5,27

5,34

5,41

5,48

5,55

5,62

5,70

5,76

5,82

5,89

5,95

9,03 6,02

2,50

2,59

2,67

2,74

2,80

2,86

2,91

2,96

3,00

3,05

3,09

3,13

3,17

3,21

3,25

3,29

3.32

3,35

3,39

3,42

3,46

СО Ю P'- O H CO

(M co co

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

-6

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

JO

r.

c a II.

podpartej w przekrojach oddalonych od lewej podpory ładzi na szerokości 2,5 m wedle przepisów 9 listopada 1925 r.

Bozp.

(p = X : l

0,0 I 0,1    0,2

0,3    0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

52

54

55

56

58

60

62

64

65

66

68

70

72

74

75

76

78

80

85

90

100

34.58 35,30 35,81 36,55 37,22 37,87

38.50 39,14 39,66 40,46

41.13 41,75

42.38 43,00 44,00

45.17 45,64

46.13

47.17 48,16 49,03 50,06

50.50 51,04

51.90

52.84 53,74 54,43

54.90

55.39 56,04

56.85 58,69 60,53

63.58

29,52 30,02

30.55 31,07

31.67

32.11    26,32 32,64 26,74

32.97    27,17

33.70    27,60 34,23 28,02 34,75 26,44

35.29    28,83 35,80 29,78

36.70    29,95

37.54    30,68 37,96 31,00 38,38 31,33

39.17    32,07 40,04 32,64

40.83    33,23 41,66 33,$4

45.56    37,00 45,86 37,36 46,58 37,83 47,25 38,41 48,69 39,59

50.13    40,75

52.68    42,78

26,01 i 21,10116,65 „ 121,42! 16,87 21,73 17,11 22,04 17,35 22,35 17,56 22,68 17,80 „    118,03

29.40    22,60 29,61 22,73 30,03 23,09

30.45    23,40 31,39 2 4,09 32,28 24,76

33.88    25,98

12,67

12,83

12,99

13,16

13,31

13,49

13,64

13,80

13.97

14,15

14,29

14.45 14,61 14,77 15,05 15,33

15.46 15,58 15,85

16,05

16,30

16,54

16,61

16,76

16,98

17,20

17,73

18,23

19,08

10,21

10,31

10,41

10,52

10,65

10.89 10,98 11,05 11,24 11,40 11,57 11,73 11,80

11.89 12,04 12,19 12,34 12,49

Г)

12,58

13,18

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

³ l'cs'ct'oo    'o'o'oo'oo'^i'cs'cs'ct'^    Чэ

I »-* M- 1Й O’ Ü) ^(X)COHC5t«t«W t>L C« -O    о 1Й- 00 Ui CS CÛ W CS И 1Й* 00 f- O’

Jf* jf** OD OD OD JX OD OD JDD OD JOD OD OD OD OD OD ~ 4o "go'-^i'cs    "r- о О ЪЪ Чс 'od'go'gc'-^j'*-! 'Vl'os 'cs '(TS "b* 'üt Ol ^

⁰⁰ CS O ^ <1 W и C^OÜ»HGC05h-C5 H^CS^H^-O    00 Ci t« ^ CS W «D

37

38

39

40

41

42

1,44

1,45

1,47

1,48

1,49

1,50

1,51

1,52

1,54

1,56

1,58

1,59

1,60

1,62

1,64

1,66

1,67

1,68

1,69

1,71

1,72

1,74

1,75

1,76

1,77

1,78

1,82

1,85

1,91

0,9

43

44

45

46

47

48 -У

49

50

52

54

55

56

58

60

62

64

65

66

68

70

72

74

75

76

78

80

85

90

100

prowadzimy FE"\\ C"A' aż do przecięcia z B’C" w punkcie E". Walec powinien obciążać długość D E.

Zastosowanie tablicy II. (str. 760/761) przy obciążeniu pośredniem:

Mech X = długość badanego pola, zaś x = odstęp prawej poprzecznicy od lewej podpory, to £ (odległość punktu obojętnego od prawej poprzecznicy) :

l — x

TT?

1 л •    \ n — m

względnie £ = X-

n — 1

jeżeli pola są równe : l = n X, x — m X. Największa siła poprzeczna T w danem r=T +АГ

A‘

<<-4a=ff,oo 'ч

D. C\

D' СГ

& У°

D’

i--

El

l-x

£'

У’,,

' 'C’U- ьa. =6,oo* F

Fig. 11.

£=X

(a)

polu

gdzie Tx— najw. T dla przekroju x, zaś A T =■■= siła poprzeczna z powodu obciążenia w obrębie £. Tx znajdziemy w tablicy sił poprzecznych.

Obliczenie AT: a) l — #-j-£<30 m\ walec należy przyjmować jako ciężary skupione (fig. 12), wartość Tx w tablicy II. znajduje się na prawo od linji schodkowej. Na prawej poprzecznicy stoi oś 12 t.

(b)

<2a>‘ a **-

/[

4a

w-

Fig. 13.

Fig. 12.

Jeżeli £<;<* = 1,5 in, to A T = 0, T = Ta.. Jeżeli £ > a {a = 1,5 m), to A T

А T=-

względnie

¥г

jeżeli — — M.

ft) ? — X -f-1 > 30 Ш, walec należy przyjmować jako obciążenie jednostajnie rozłożone p —    ^ ł/m (fig. 13); wartość Tx w tablicy II. znaj

duje się na lewo od linji schodkowej.

1 X

inż. dr. Stefan Bryła,

■Ü Щ.ВШ1&

УУ Ti 7

1S\

«Г

и д , OIp*

11. Nitowanie.

2 /8 kf

шшшшяшшяШШь

f\

:г|

Eil

p nRf

А V \\

*•"" T

4=^—2—

0 + Ą- Ą = 0.

~Z‘-JT

8. Doraźna wytrzymałość na rozciąganie i na ściskanie.

28. Pręty proste narażone na rozciąganie lub ściskanie bez niebezpieczeństwa wyboczenia (fig. 130 a). Ogólny typ wzorów do obliczenia (wzory podstawowe) :

По

a i\ *

W Л + Л + --— dsadsa. .(1191) 2 [pi2 p22 m p! p2J

EJi3

Q. 71 _ iz2 EJ

"7

UrJ '

УА i

— 535 — 1070 + 785 285 — 0,63'

С. Belki rozporowe i wieszarowe.

Üll

[4 — Mo] + Aj "3" =

6 EJ0 Д a13 —MA Si -f- 2 J/j s1r -|- 2 Ж3 s3r -\-MqS3' 6 ([^401'j -)- [^403fj) . (21)

1 -f k = 1,12

(c=

hx4

najw. v = y а6 + У Gft2+ 4t2

—г

0,00000 0,00000

II. Rama dwuprzegubowa ze słupem ukośnym i ryglem

Ä*(* + 8)+/(3A+/)

LITEKATUKA DO STATYKI BUDOWLI.

* ft

(4 ft)² '

(I — ж)²    .

? l_l" + O ~ <l)

1 X

TT

(4 a)²

А T = 4— Я 2 » *

względnie, jeżeli l = n'h, x = m l, n — m

Przykłady.

1. Most żelbetowy III. klasy, 1 = 9 m, odstąp belek od osi do osi 1,4 то; spółczynnik szerokości a = 0,4 . 1,4 = 0,56. Spółczynnik klasy <p = 0 4.

Bezwzględnie najw. M= 0,56.0,4.36,1 = 8,1 tm\ wystąpi wtedy, gdy tylna oś walca

stanie w odległości 3,9 •    — 3,9 . 0 = 35,1 cm od środka belki.

W przekroju belki w odległości x — 0,3 l od lewej podpory najw. M= 0,56 . 0,4 . 31,84 = = 7,14 tm.

Najw. oddziaływanie A = 0,56.0,4,19,49 = 4,36 t.

2. Most kratowy II. klasy; Z = 28 w; szerokość jezdni 6 = 4,80 m; szerokość dwu chodników 2 X 1,0 = 2 m. Odstęp węzłów Л —— l. Spółczynnik klasy <p = 0,8; spół-czynnik szerokości a — 0,4 X 4,8 = 1,92.

Najw. Ж w środku belki z powodu obciążenia jezdni Mj :

Mj = a.rp . 205,2 = 1,92.0,8.205,2 = 314,6 tm.

Najw. Ж z powodu obciążenia chodników Mc :

= 98,0 tm.

^=7^ “J- ²X °>⁵ X28⁵

Najw. ЛО = Mj + Mc =412,6 tm.

Na jedną belkę Mp— -i- Mp = 206,3 tm.

Moment w węźle odległym o x — — 1 = 0,261 od lewej podpory Ж₀₂₆ = Mj + Mc. Mj znajdziemy przez interpolację:

Dla x = 0,2 l Dla x = 0,3 l

Mj — a.cp. M.₂ = 1,92.0,8 . 153,6 tm Mc =y ąx{l — x) — ^- .0,5 . 2,0.0,25 . (1 — 0,25) . 28² =

m'₂ = 133,3 tm I M₂ =173,9 tm j

stąd Ж₂ =

= 153,6 tm.

= 236,0. tm 73,6 tm

309,6 tm.

Na jedną belkę ^o,25⁼ V 309,6 = 154,8 tm.

3. Most kratowy żelazny I. klasy (tp = 1); 1 = 64,8 m, b — 5,im, a — 1    0,2 b = 2,08 m

Odstęp belek głównych od osi do osi 6,65 m. Odstęp węzłów —3— l.

5

Znaleźć moment w odległości x = — l = 0,417 l.

Moment

podwójnie.

od obciążenia jezdni: Mj = arp Ж₂. Dla znalezienia Ж₂ interpolujemy

Ж₂

0,4

0,5

dift. 0,1 0,017 0,417

64

65

64

65

(N (M O iQ l> 03 H N o ^ <o O 70 I>

t> co

801,2

815,2

774,7

803,6

14,0

2,4

803,6

diff. 1

0,8

28,9

23,1

64,8

= 774,7 + 23,1 = 797,8 tm.

Moment od ciężaru ruchomego jezdni, przypadający na obie belki główne: 2 Ж = a w M₂ = 2,08.1 . 797,8 = 1660 tm.

Na jedną belkę: Mj — -i1660 = 830 tm.

4.    Odstęp podłużnie mostu jak w przykładzie 3., stężonych płytą żelbetową, odstęp podłużnie c = l,8m; rozpiętość = odstępowi węzłów belki głównej 1 — 5,im.

Bezwzględnie najw/Ж: abs. Mmax — aą> Ж₂ = (0,4.1.8) . 1 . Ж₂ = (0,4.1,8). 2 .17,02 = = 12,24 tm.

Ж₂ = 17,02 znajdujemy przez interpolację między Mj. — 15,33 tm dla l — 5m, oraz Mt — 19,55 tm dla 1 = 6 m.

Dla x —

— 18,24) = 20,27 t.

Z równania (a) :

5.    Most, jak w przykładzie 2. Znaleźć najw. siłę poprzeczną w drugim przedziale. — I — 0,25 l znajdujemy w tablicy II. : Tjj— TXĄ- Л Tж = 18,24 -f- 0,5 (22,29 —

f — « = 3,0 — 1,5 = 1,5.

Z równania (c):

Л T = i. 1,25.-^-.1,5* = 3,52 t,

Tjj = Tx+ A T= 20,27 + 3,52 = 23,79 1.

Obciążenie jezdni г dźroigarónj małych mostów do Sm. rozy Norm öl A

Norma В

17 17 171717

-10,50-

t,sHs\/,S1,sUs f.s\j,0 if,5 1,5 \ 3,0 If 1rSy/3,0 s

12 121212    14    14    ' 14    14    14

6/Ю-*4er-6,00

7,50

6,00

Parowóz

ZojisJiŚTf.sTfisT 2.S 1,5 Tf,sTf,sTrtŚTf,5 1,5 ] 3,0 11.5 1,sTs,0 Tf,sT J,0    1,5

2020202020

14 14 14 14    16    16    16    16    16    16

o* 3

Ii

25 25 25 25 25

16 16 16 16 12 12 12 12 12 12 12 12

ton

NORMA BiC

Parowóz

Tender

Wagony

NORMA A Pa roroóz

Tender

Wayony

20

TrjldTLfTUTlipj—

NORMA D

Tender

Wagony

fos obciążająca

9

JO

—w—

25

Cf1,S<f

29

29

24

24

^1,5 ^1,5^ 28 28 28

23    23    23

(^13^1,5^1^^    1,5<ÿ 1,

27    27    27    27 ton 22    22    22    22

Dla normy C ID bez poroięhszania na cis tu hot parowozu.

-    Fig. 14.

Wpływ jezdni :

Tj — acp Tn —1,92.0,8.23,79 = 36,4 t.

9 t.

Wpływ chodników:    Tc — Tq    T q ^ (l — x) =    (28 — 7) =

Zatem najw. T w przedziale drugim z powodu ciężaru ruchomego г7тл^ — Tj -\- Tc~= — 45,4 t. Na jedną belkę przypada 7'max ==—45,4 = 22,7 <■

Tablica III.

Bezwzględnie największe momenty (bez powiększonych ciężarów osi dla mniejszych rozpiętości) w tm.

Norma A

Norma В i C

Norma A

Norma В i C

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

6,250

12.500 21,094

37.500 56,250 77,344

106.250

137.500

168.750

200,000

231.250

262.500

293.750 328,662 370,263 415,149 464,6605 516,3375 575,625

637.500 699,375 762,947 829,2475 895,873 965,007

5,000

10,000

16.875 30,000 45,000

61.875 85,00

110,00

135,00

160,00

185,00

210,00

235,00

262.94 296,21 332,12 371,70 413,09

460.52 510,00

559.52 610,58 663,93

717.95 775,74

26

27

28

29

30

³k

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

1039,604

1114,035

1192,496

1270,964

1349,433

1431,6335

1515,753

1602,253

1692,293

1781,273

1874.450

1967.450 2067,815 2169,219 2271,629 2369,616 2472,4285 2573,0285 2675,018 2778,518 2882,9225 2989,348 3095,709 3206,259 3315,759

836,11

897,32

961,31

1025,30

1089,28

1155,95

1222,93

1293,92

1367,76

1442.21 1518,71 1598,42 1680,35

1762.22

1844.23 1926,18

2009.99 2096,00

2181.99

2267.99

2356.49

2446.49 2536,48 2626,45 2716,65

b) Mosty kolejowe. Obciążeniem jest t. zw. pociąg normalny, składający się z jednego lub dwu parowozów z jaszczykami (tendrami), oraz szeregu wagonów. W Polsce pociągi normalne ustalone są rozporządzeniem Ministerstwa Kolei z dnia 10 marca 1923, Nr. Y. 1939/22/23 w następujący sposób :

1.    Norma A — pociąg ciężki normalny.

2.    Norma В — pociąg lżejszy normalny.

W obu tych normach przyjmuje się dla podłużnie, poprzecznie i belek mostowych do 5 m powiększone ciśnienie osi parowozu (fig. 14).

3.    Norma C — jak B, tylko bez zwiększenia ciśnień osi parowozu.

M. K.

4.    Norma D — lekka». W każdym poszczególnym wypadku wskaże, która norma ma być użyta. Dla mostów drewnianych (prowizorycznych) stosuje się zawsze normę D.

Dla kolei dojazdowych normalno- i wąskotorowych należy przy obliczaniu mostów przyjmować obciążenie ruchome w zależności od- taboru, jaki będzie na danej linji.

Dla

uzyskania najniekorzystniejszego obciążenia można przyjąć ewent. pociąg rozdzielony na (najwyżej) dwie części, przyczem tendra nie należy odłączać od parowozu. Mosty dwutorowe oblicza się dla najniekorzystniejszego obciążenia obu torów. Rozróżnia się cztery schematy ustawienia pociągu

lb

zależne od umieszczenia parowozów : schemat I. : dwa parowozy z tendrami, jeden za drugim ; schemat II. : dwa parowozy z tendrami, kominami do siebie ; schemat III. : dwa parowozy, kominami do siebie, pierwszy bez tendra ; schemat IV. : dwa parowozy z tendrami, oba tyłem (fig. 15). Największe

Parowóz

Tender

Parowóz

Tender Wagony

SCHEMAT /

Tender Parorvôz    Parorvôz

SCHEMAT H

Tender Wagony

Ten d er

Parorvôz

Parorvôz

Idag ony

SCHEMAT НГ

ffrff

fm

Tender

Parowóz

Tender Parorvôz

Way ony

SCHEMAT IV

j-л-rïj-ЧСП û1ГГТТ

Fig. 15.

oddziaływania dla belek wolno podpartych zazwyczaj daje schemat III.; największe siły poprzeczne schemat I. ; największe momenty schemat II.

Tablice pomocnicze do obliczania największych sił poprzecznych i momentów zgięcia dla polskich norm obciążenia mostów kolejowych podane są na str. 765, 767 i nast. (tablice Ш., IV., V., VI.).

Przykład 6.

Most o rozpiętości 40 m. Belka wolno podparta. Norma A.

Oddziaływanie A otrzymujemy, posługując się tablicą IV i schematem III. (fig. 16) ze wzoru:

21

max A = —-— =

9525 + 398.0,5

= 243,10 ł.

243 10

Czyli na jeden dźwigar przy jednotorowym moście: maxi = —A— = 121,55 t".

40

Najw. siłę poprzeczną dla przekroju w odległości æ=10iw od lewej podpory otrzyma się przy ustawieniu na przęśle pociągu według schematu I. (por. fig. 17):

16

Mn

-ŻFj g\+ V P a

max TC = —

_jl-_ «0.+ 3.6.0,5 _    ,

Czyli na jeden dźwigar

1    141,90

max Tc — A— = 70,95

Największy moment gnący w środku przęsła: Nad tym przekrojem i w pobliżu niego należy ustawić ciężary największe (schemat II.). Oś miarodajną, tj. tę, którą należy ustawić nad przekrojem, ażeby otrzymać największy moment gnący, określamy w sposób następujący: na przęśle o rozpiętości L — 40 »u można ustawić, według tablicy II., osi n—V1; miarodajną będzie ta oś x, która czyni sumę nacisków (od pierwszego do x)

Z P większą od połowy sumy wszystkich nacisków n, znajdujących się na przęśle,

X    -, n

czyli 2’ P > -L Z P.

² 1

Osią najbardziej zbliżoną do rozpatrywanego przekroju, czyniącą zadość powyższemu warunkowi, jest oś 10., ponieważ

a; = 10    j 21 iii

Z P=214t, jest większa od — ZP——^= 207 t.

Ustawiwszy 10-tą oś nad środkiem belki, widzimy, czego czynność powyższą musimy' powtórzyć dla n — 20 :

1 w = 20

— Z P =

że oś 21. zeszła z przęsła, wobec

и/

x= 10

Z P = 2t4t.

П -24

)Q O u OO (

- 1=39,50-

—- / = *0,00--

Fig. 16.

oĄ

X =10,00

\£-

1=29,00

/. = *0,00 -

o2o,i

Fig. 17.

n -20,

■X=20,00

\c

/=*0.00 -—

Fig. 18.

--20,00

дЩ

Pierwszą osią, dającą sumę nacisków większą od 2011, jest oś 10-ta. Kozkład ciężarów por. fig. 18.

Jeżeli powyższe ustawienie pociągu odpowiada największemu momentowi gnącemu, to przy przesunięciu tego układu ciężarów w lewo i w prawo o jakąś małą odległość „dxu, musimy otrzymać warunki, wyrażone następującemi dwiema nierównościami:

1.

—, czyli dla powyższego przykładu :

= 2.

402 л „    40

214 _ ’ ⁷ ^ "2Ö"

20

ZP

- / чСа

f? BIBUMEKA W

czyli

40

9    '> 20 ’

402

ZP

189

40

= 2,127 > —

= 2.

-, -,    powyższego twierdzimy, że taki układ ciężarów daje największy

moment gnący dla Rozpatrywanego przekroju w punkcie C, który to moment obliczymy aę wzoru : max 31 c Ф Ax — 31 x, gdzie A jest oddziaływaniem podpory.4, zaś 31 x sumąmomeutów gnącycji względem punktu C, wszystkich ciężarów, znajdujących się między A i C.

HNCO^»OOt-XCi

ОИ(МСО^ООМ»СЗО

гНт-<тНт—ItHtHtHtHy—1тН£<1

isfl

О O^O^O^O^iO^O^O^iO^O^LO^C^O^C^iO^xO^

о т*Г <м~ т*Г о" со" rjT со' аГ о" со⁴ аГ »o'    riT схГ сГ о ^ о

(NL'-^OCOOHiOdWO^Çl-tOSOï'NOCO

HCO'-^GCGCClOHt^X^ H H (М 5^ л W ^ т}< Ю )С СО N

тН т}1 iQ С— О

or

8 W 1Н

CO(M(X)^C3rjł03TH03iOHNCOXCOOOCOQOO(M Н СО ^ О СО Н СО СО СО О (М го lO N О -М ю 05 0 ▼H rrrH’HtM'lMOllMOqcOCOCOCOCO-^

»<0^    О О^К^О кООЮЮОкООкОЮО

о т-Г со" tjT go" o' т-Г со⁴ rfT qo^ аГ о<Г o' ссГ аГ *гГ г>Г ННИННН(ЯФЗ Ф4 ф5 (М СО СО СО СО #

isf'-s

lO^ о^ о^ о

о^фГ^гГо'ио'сГфГса'ооофз оз ^ со n cd ь-COH^IhhOCCOOOQîlCOiOTpif. СООСО tHGNCOGOt-iCOOOOCOGOOIOiOOOGOCO И И ri(JJCOCOCO^OOCONL--CO

Tablica IV.

Norma obciążenia „Au.

SW rH

»юоюо»оокооюооф1со^осоо<м^о

(ЯЮ^О(ЯЮ^О(ЯЮОСОС5-(ЯСОЮО^СО

HHHHfNiMtNNiMJMCOCOCOCCCOCCCO

vO^kO^O iO^O iO^iO^iO^»O ^ сГ т-Г co^ TfT «o'⁴ cT r-Г ccT    i>^ ccf ^ ccf o' o'

тНтЧтНтНтНС<1<М(М<М(М(МСОСОСОСО

ОпЛ^О

Ол    lO^    ‘O^ lO^

о oô" -^T o'cq⁴tjT ссГoT »o'çcT tjTcTTf<'o' irToi r—

Wt-^OMCHiûHCOCiOïÇJGnoOiCOQOO THOO^OO^Or-IOOJT-it^

ИгНф1(М^С0^ОЮО1>1>

H O t> 03

Schemat II.

ûT

/sW«

O N’» ^Oi^C3^C3^03^CHiOO(NOOON hco^oxhcoo ûo‘h coîox^eo^îONOiO

HHHH(Mîl^(M?ÎCOCOCOCOCO-4f

JS

Т-1 (М СО со

Schemat I.

ОТ

s>l -

Ю О lO O O O O O lO О »-О^ 0_ »O^ ic^    с^ ю о^

о т-Гсо'^Г(хГсГ^со'г₅Г(хГ;о'т-ГсгГг^Гсо'сГ-^со'ю ь

тН тН тН »-H r-<y(N ^(Nfi'ïfNCOCOCOCCCC

О »о тН о о *с о *о о о ко о о t>*~ ©o' io' о" хо 'S фГ т-Г го' -+⁴ с^Г осГ см со со ф! ю о ю

CO’H(Mt^b*X(î3X'tîO'MHiOOO^ ФИО О W Ю (М О (Г. СО 1> о о о о ю о THHn©J(M(JlC0C0*O»OO?Dl>G0

tóOiOOiOHl'-«S®^eS'#05'łO«ffH»0(M

IfliOb-OWTtiOt-OC-iCOtDOOWCO^tONaJO

ri н и —IHriÿliMiSINMWMcoMM'^

■о^о^л оо >ооюооо in_o_o^»o^o_io_ тн⁻со"o' со* -f'«Г аГ —Г 1^Г in'oo' сГ —Г эа' in'«о

riHr-HnrüNSUNIMINCOMMOl

H^lCO^OOoCOOïO^dCO^OCDh-COOiO ri ▼—I tH T—( тН тН t—I тН tH tH

H(MCO^ifî<ÛMX)CiOH{NCC^iO^NCOfliOH(MCQTt(OOl>C0050H{N

ÎKM^JtMfNtMtMfNlMCCCOCOCOCOCOCOWCOCO^^-^^rîi^^^^^i^^^

8245

9266

10118

10775

12125

12818

13766

14495

15989

16754

17798

18599

20237

21074

22214

23087

24869

25778

27014

27959

29885

30866

32198

33215

35285

36338

37766

38855

51069

42194

43718

44879

414

426

438

450

462

474

486

498

. 510

522

534

546

558

570

582

594

909

618

630

642

654

999

678

690

702

714

726

738

750

762

774

786

I 40,0

41,5

43,5

45,0

48,0

49,5

51,5

53,0

56,0

57,5

59,5

61,0

64,0

65,5

67,5

69,0

72,0

73,5

75,5

77,0

80,0

81,5

83,5

85,0

88,0

89,5

91,5

93,0

96,0

97,5

99,5

101,0

9525

10122

10942

11575

12877

13546

14462

15167

16613

17354

18366

191*13

20733

21546

22654

23503

25237

26122

27326

28247

30125

31082

32382

33375

35397

36426

37822

38887

41053

42154

43646

44783

398

410

422

434

446

458

470

482

494

506

518

530

542

554

566

578

590

602

614

626

638

650

662

674

989

698

710

722

734

746

758

770

39,5

41,0

43,0

44,5

47,5

49,0

51,0

52.5

55.5 57,0

59,0

60,5

63,5

65,0

67,0

68,5

71.5 73,0 75,0

76.5

79,5

81,0

83,0

* 84,5

87,5

89,0

91,0

92,5

95,5

97,0

90,0

100,5

8973

9594

10446

11103

12453

13146

14094

14823

16317

17082

18126

18927

20565

21402

22542

23415

25197

26106

27342

28287

30213

31194

32526

33543

35613

36666

38094

39183

41397

42522

44046

45207

414

426

438

450

462

474

486

498

510

522

534

546

558

570

582

594

909

618

630

642

654

999

678

069

702

714

726

738

750

762

774

786

40,0

43,5

45,0

48,0

49,5

51,5

53,0

56,0

57,5

59,5

61,0

64,0

65.5

67.5

69,0

72,0

73.5

75.5 77,0

80,0

81.5

83.5

85,0

88,0

89.5

91.5 93,0

96,0

97,5

99,5

101,0

9301

9922

10774

11431

12781

13474

14422

15151

16645

17410

18454

19255

20893

21730

22870

23743

25525

26434

27670

28615

30541

31522

32854

33871

35941

36994

38422

39511

41725

42850

44374

45535

3.S§SS2gg2S3g;§2SgS§2g°i!:Sgggg;2ggggSg

^^^’^^^’^^OiOiOiOiOiOiOiOCOCDOOO^vûOOOOlNh'O^b

жзтжжжжтжтпц

53 S S S SgS8£g5gSSSS5gg3:SS33:S5$3§§SS

Schemat I.

и

SĄ

1

tm

20

1,5

40

30

3,0

60

4,5

80

90

6,0

100

180

10,0

114

300

11,5

128

700

871

13,0 142

1063

14,5

156

18,0

176

1276

1822

19,5 196 21,0 216

22,5

236

24,0 256 28,0 270

2086

2380

2704

3058

4082

29,5

284

31,0

298

4487

32,5

312

4913

35,5

328

5360

38,5

344

6296

41,5

360

7280

44,5

376

8312

9392

47,5

50,5

53,5

56,5

59,5

62,5

65,5

68,5

71,5

74,5

77,5

80,5

83.5

86.5

89,5

92,5

95,5

98,5

101,5

392 10520 408 11696 424 12920 440 14192 456 15512 472 16880 488 18296 504 19760 520 21272 536 22832 552 24440 568 26096 584 27800 600 29552 616 31352 632 33200 648 35096 664 37040 680 39032

Tablica V.

Norma obciążenia rBu i „ G,u.

O O lO

о 1-Г co* co

14

•28

42

56

76

II.

; ма

tm

21

63

126

350

Schemat III.

IV.

or

оГ

tm

© io © o^o © o © o © o © o ©^° 00000000000

S ^ S 3 5 § « S a S S S g § S 5 ÎS 5 S S 5 § 2 S S ss's's's S*S S*§

-—---------- tH

96

464

116

136

156k

176

196

216

236

256

270

284

298

312

328

344

360

376

392

408

424

440

456

472

488

504

520

536

552

568

584

600

616

632

648

664,

680

608

782

986

1610

1874

2168

2492

2846

3870

4275

4701

5148

6084

7068

8100

9180

10308

11484

12708

13980

15300

16668

18084

19548

21060

22620

24228

25884

27588

29340

31140

32988

34884

36828

38820

0 20

1.5    40 3,0 60

4.5    80

6,0 100

10,0 120

11.5    140 13,0 160 1090

14.5    180 1330 16,0 200 1600 20,0 214 2400

21.5    228 2721 23,0 242 3063

24.5    256 3426

27.5    272 4194

30.5    288 5010

33.5    304 5874

36.5    320 6786 jj&5 336 7746 '42,5 352 8754

45.5    368 9810

48.5    384 10914

51.5    400 12066

54.5    416 13266

57.5    432 14514

60.5    448 15810

63.5    464 17154

66.5    480 18546

69.5    496 19986

72.5    512 21474

75.5    528 23010

78.5    544 24594

81.5    560 26226

84.5    576 27906

87.5    592 29634

90.5    608 31410

93.5    624 33234

96.5    640 35106

99.5    656 37026

102.5    672 38994

105.5    688 41010

30

90

180

300

700

880

14

1,5 28 3,0 42

4,5

56

21

63

126

8,5

76

350

10,0 96

11,5

116

13,0 136

14,5

18,0

19,5

21,0

22,5

26,5

28,0

29,5

31,0

32,5

36,0

39,0

42,0

45,0

48,0

51,0

54,0

57,0

464

608

782

156

986

(COO-ginenit'tBtSK

170

184

198

212

232

252

272

292

312

328

344

360

376

392

408

424

440

60,0 456 63,0 472 66,0 488 69,0 504 72,0 520 75,0 536 78,0 552 81,0 568

84,0

87,0

90,0

93,0

93,0

99,0

102,0

1532

1787

2063

2360

3208

3556

3934

4342

4780

5872

6856

7888

8968

584

600

616

632

648

664

680

10096

11272

12496

13768

15088

16456

17872

1Я336

20848

22408

24016

25672

27376

29128

Schemat I.

г.*

Tablica VI.

Norma obciążenia „-D“.

Schemat II.

Schemat III.

Schemat IV.

10 18,0

О 17

1.5    34 3,0 51

Ol Oł

O T-Г co -hT go'

17    0    0

34

51

48

65

03    o co

4,5

6,0

10,0

11,5

13,0

14,5

o. o-

12

1,5 24 3,0 36

18

54

68 153 4,5 85 255    8,5

102

119

136

48

65

10,0 82 11,5 99 13,0 116

133

145

157

169

181

198

215

232

249

266

280

294

308

322

336

350

364

378

392

406

420

434

448

462

476

490

504

518

532

546

560

574

588

108

300

397.5

520.5

G69

843

1308,5

1526

1761,6

2015

2739

3036

3358.5

3706.5

4080

5011

5851

6733

7657

8623

9631

10681

11773

12907

14083

15301

16561

17863

19207

20593

22021

23491

25003

26557

28153

29791

31471

33193

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

20

Posługując się tablicą IV. otrzymamy: marlc = 7767 + 402.1,6

•^20 +y.a

— ['

40

Na jeden dźwigar

. 20 — 1915 == 4185 — 1915 = 2270 tm.

,,    2270

max =-= 1135 tm.

Ł 2

Największy moment gnący w przekroju, odległym od lewej podpory o x=\bm, wywoła pociąg, zgrupowany według schematu II. Po zrobieniu kilku prób znajdujemy, źe osią miarodajną będzie oś 8., przy ustawieniu której nad przekrojem rozpatrywanym na przęsło wchodzi n = 20 osi'(por. fig. 19).

-O.

n-20

Аъ

X =15.00

Oś 8. czyni zadość warunkom :

L = 40,00-

Fig. 19.

-24,00

20

2P

1.

^ L ..    1

- < —, czyi! —-

X    X

402

10

= Tir = ^<- = 2,67.

20

2.

2¹ P

402

40

_₌₌₂₎₈₉>_ = 2)67.

Największy moment obliczymy, posługując się tablicą II. ze wzoru:

20

max Mc = A x — Mx =

. X Mq = [

7767 + 402 X-^,0

40

. 15 — 913 =

= 2150,375 tm.

К =

Powyższo tablice mają zastosowanie również przy obliczaniu sił osiowych w prętach kratownic zapomocą li tlij wpływowych.

Jako przykład rozpatrzmy obliczenie siły osiowej w przekątni P₂ kratownicy o rozpiętości teoretycznej L — iOm (fig. 20).

Największą rozciągającą siłę osiową w skosie D₂ otrzymamy przy ustawieniu na dodatniej części linji wpływowej pociągu według schematu I., w ten sposób, że drugie koło parowozu stanie w punkcie C, gdyż w tym wypadku

Na jeden dźwigar

max

2150,375

= 1075,1875 tm.

11

2 P

~x <

2 P

Li

362

-= 7,24 <

50    '

34,286

4,286

= 7,9995,

oraz

362

— = 14,48 > 7,9995

Ażeby otrzymać siłę osiową w skosie P₂ zapomocą linji wpływowej, należałoby każdy nacisk osi Pj, P₂, Pg . . .. Pn pomnożyć przez odpowiednią rzędną y^, y%, t/g . ,yn linji wpływowej, czyli

L-i — Pi Ul + Р-г У% + P'i Уф +.....+ ? и Уп — L\ г>

ponieważ

przeto

y₁ = b₁tga, yz — b₂tga

Уп—К^В “>

Vn — /Jj tg a -J- P-2 i^2 tg “ + P₃ b3 tg o -|-⁼ (Л bl + P2 *2 + p$ bi -f- . . . .

Odcinek z = e (tg a -f- tg ß) = 1,5 (tg a -f- tg ß), przyozem e= odstęp osi poro wozu. Ostatecznie otrzymamy:

D-i ■— ÇPj b, + P2 b2 4- P3 b3 +

+ РпЬп* 8'« — pit —

= M]j . tg a — Mq(tg a -f tg fi).

+ Pnbn) tg « — 1\ e (tg a -f tg ß) =

W równaniu powyższem Mÿ = moment wszystkich ciężarów, ustawionych na przęśle względem podpory B, Mę = moment ciężarów, ustawionych przed punktem C względem tegoż punktu. Obydwa te momenty otrzymujemy z tablic.

W danym przykładzie :

2>2 = (6,)22 + 362.0,5) tg « — 37,5 (tg a -f tg ß) — 6203 tg a — 37,5 (tg a -J-tg ß).

Obciążenie chodników. Przy obliczaniu części ustrojowych chodników, przeznaczonych tylko dla służby kolejowej, należy przyjmować obciążenie tłumem ludzi p = 450 kg/m² ; obciążenia tego nie uwzględnia się przy obliczaniu innych części mostu.

O ile służą one i dla ruchu publicznego, należy przyjmować p —

= 500 kg/m².

Poręcze oblicza się na siłę poziomą 50 kg Im b. na wysokości pochwytu ' względnie

100 kg Im b., jeżeli cho- ' > dniki służą i dla ruchu ' J «. publicznego.    A

Wpływ w's t r z ą-śnień. Euch ciężarów na moście

poręczy,

■<—5.00

- ->чЪ

w-r-'

—    40,00 —-—

*o.sa

-, т ,    ; 34,286 —

I к---¹—-----у bÿ---

“ł

а/,ъ Le——>

IV

It

wywoływa wstrząśnienia, zwiększające naprężenia. Wpływ ten nie da się zupełnie dokładnie określić. Działają tu bowiem rozliczne wpływy, przedewszystkiem zaś: 1. nierówność pomostu; jest ona większa na mostach drogowych, jednakowoż pojazdy poruszają się tu wolniej ; na mostach kolejowych odgrywają główną rolę styki szyn, które wobec znacznej szybkości pociągów wywoływują znaczne wstrząśnienie ; 2. drgania, powstające wskutek tego, że szybko poruszające się ciężary wywoływują w belkach głównych szybko zmieniające się naprężenia ; 3. zmiana nacisku pędnych osi lokomotyw. Te i inne wpływy, sumując się, powodują zwiększenie naprężeń, które należałoby uwzględnić przy wszelkiego rodzaju obciążeniach mostowych. Najprościej to zrobić, mnożąc obciążenie przez spółczynnik dynamiczny |i > 1, lub też zmniejszając odpowiednio naprężenia. W projekcie przepisów żelbetowych z r. 1919 proponowali prof. Huber i Thullie przyjąć dla obciążeń drogowych p. = 1,3, dla kolejowych 1,7. W przepisach dotyczących mostów drogowych przyjęto sposób drugi; zmniejszając naprężenia i uzależniając je od rozpiętości. Co do mostów kolejowych, por. dział: „Mosty żelazne“.

Fig. 20.

3. Parcie wiatru, a) Mosty drogowe. Parcie wiatru przyjmuje się jako siłę poziomą jednostajnie rozłożoną o natężeniu 250 kg/m² powierzchni bocznej mostu nieobciążonego, względnie 100 kg/m² mostu obciążonego ciężarem ruchomym, uwzględniając przy obliczeniu przekroju

------*

- i « Y- /

i przy badaniu stałości mostu niekorzystniejszy z obu wypadków. Jako powierzchnie boczną, na którą wiatr działa, przyjąć należy:

1.    przy moście nieobciążonym ; pfzy dźwigarach pełnościennych (np. blachownicach) rzeczywistą powierzchnie boczną dźwigara głównego i pomostu; przy dźwigarach kratowych zaś prócz po-

Fig. 21.

c wierzchni pierwszej kraty, leżącej od strony wiatru, ■Ą także i cześć powierzchni drugiej kraty, odpowia-^ dającą stosunkowi niewypełnionej powierzchni pierwej szego dźwigara do całkowitej powierzchni tegoż. Jeżeli zatem całkowita powierzchnia dźwigara (fig. 21 ; pełny prostokąt ab cd) wynosi F, zaś część jej narażona na parcie wiatru Fw — a F (część zakreskowana), to z dźwigara drugiego przyjąć należy powierzchnię całkowitą, pomnożoną przez spółczynnik a( 1 — a), a więc powierzchnię F a (1 — a).

2.    Przy moście obciążonym przyjmuje się jako powierzchnię boczną ciężarów ruchomych (wozów i pieszych) pełny postępujący prostokąt o wysokości 2 m ponad jezdnią w najniekorzystniejszem położeniu. Wpływ kraty pierwszej i drugiej uwzględnia się tylko w częściach, sięgających poza ten prostokąt.

Dla mostów o jezdni górą należy zbadać stałość (stateczność) mostu przeciw wywróceniu lub przesunięciu przez nacisk wiatru, a to tak dla mostu obciążonego ciężarem jednostajnie rozłożonym 300 kg/m², jakoteż nie-obciążonego. W obu wypadkach pewność przeciw wywrotowi powinna być conajmniej 1,5-krotna.

b) Mosty kolejowe. Parcie wiatru przyjmuje się w wielkości 250 kg/m2 powierzchni bocznej przy moście nieobciążonym, zaś 150 kg/m² przy moście obciążonym.

Powierzchnię boczną mostu, wystawioną na działanie wiatru, określa się jak przy mostach drogowych. Jako powierzchnię pociągu, narażoną na parcie wiatru, przyjmuje się prostokąt o wysokości 3,5 m poruszający sie po górnej krawędzi szyny.

Przy sprawdzaniu stałości (stateczności) mostu należy uwzględnić trzy rodzaje obciążenia:    *

1.    Most nieobciążony przy ciśnieniu wiatru w — ЧЬОкд/т² (zwykle najniekorzystniejszy wypadek na przesunięcie).

2.    Most obciążony pociągiem z próżnych wagonów ciężarowych o wadze 1 t/m b. pociągu, przy w = 150 kgjm².

3.    Most obciążony pociągiem z wagonów ciężarowych niezupełnie naładowanych o wadze (z ładunkiem) 2,2 tjm b. pociągu, przy sile wiatru 250 kg/m2 (z reguły najniekorzystniejszy wypadek na wywrócenie).

Jeżeli spółczynnik pewności na wywrócenie jest mniejszy niż 1,5, albo spółczynnik pewności na przesunięcie mniejszy niż 1,25, to należy dźwigary zakotwić, lub zapewnić stateczność konstrukcji w inny sposób.

4.    Siła hamowania działa w osi toru ; przyjmować ją należy równą — obciążenia ruchomego (spółczynnik tarcia 0,2 ; jednak przyjmuje się, że

hamowana jest tylko połowa osi). Wystarczy je uwzględniać przy mostach w spadku > 10°/oo, oraz przy mostach na stacjach lub w ich pobliżu.

5.    Wpływ bocznych wahań i bocznych ciśnień taboru na stężenia poziome, umieszczone między podłużnicami, uwzględnia się jako siły poziome o wielkości 0,05 ciśnienia osi parowozu. Punkty zaczepienia ich przyjmuje się na wysokości górnej krawędzi szyny.

6.    Siła odśrodkowa. Przy obliczaniu mostów w łuku uwzględnia się wpływ siły odśrodkowej, którą przyjmujemy w wielkości:

1000

60 . 60

127 p ’

9,81 p

gdzie V — szybkość pociągu w fcw/godz. ; p = promień krzywizny w metrach; P = ciśnienie na oś w tonnach. Punkt zaczepienia siły odśrodkowej przyjmuje się w środku ciężkości taboru, na wysokości 2,0 m nad górną krawędzią szyny.

7.    Tarcie. Rozporządzenie Ministerstwa Kolei poleca przyjmować następujące spółczynniki tarcia w łożyskach metalowych : przy ślizganiu (łożyska przesuwowe) 0,2 ; przy toczeniu się (łożyska wałkowe) 0,03.

8.    Wpływ zmian ciepłoty. Zmiany temperatury przyjmować należy dla mostów żelaznych od — 35° C do —j— 45° C, spółczynnik rozszerzalności

0,000012 na 1° C,

dla mostów kamiennych l > 20 m od — 10° C do -j- 10° C, spółczynnik rozszerzalności 0,000007 na 1⁰ C,

dla mostów betonowych i żelbetowych od —15°Cdo-j-15°C, spółczynnik rozszerzalności 0,00001 na 1° C,

względnie — 10° C do -f-10° C, o ile każdy wymiar przekroju jest większy od 70 cm, albo jeżeli konstrukcja chroniona jest dostatecznie przez inne materjały.

Innych wpływów przepisy nie przewidują. O ileby należało wprowadzić je w obliczenie, należy to zrobić wedle ogólnie przyjętych norm.

LITERATURA.

Przepisy o budowie i utrzymaniu mostów drogowych. Warszawa 1926. Dziennik urzędowy Ministerstwa Kolei Żelaznych Nr. 11 z d. 17 maja 1923. Tbullie: Podręcznik teorji mostów. Cz. 1. Tom I. Lwów 1904.

Pszenicki: Kure budowy mostów. Aut. Warszawa 1925/1926.

Bryła: O przekroczeniach większych dróg wodnych Lwów 1913.

Bryła: Największe momenty i siły poprzeczne mostów drogowych. Warszawa 1926. Séjourné: Grandes Voûtes. Bourges. 1913—1916.

Arago: Ponts en bois et en métal. Rouen 1911.

Waddell: Bridge engineering. N. York 1916.

Waddell: Economies of bridgework. N. York 1921.

Handbuch der Ingenieur wissen sch af ten. II. Teil. I. Band.

Melan: Der Brückenbau. I. Band. Lipsk i Wiedeń 1922.

Schönhofer: Die wirtschaftlich günstigste Anordnung einer Brückenanlage. Berlin 1915.

Mosty drewniane.

Napisał

inż. dr. Stefan Bryła,

profesor politechniki, Lwów.

Zalety : materjał tani i łatwy do uzyskania; łatwość wykonania (bez specjalnych urządzeń i bez kwalifikowanego robotnika); łatwość wymiany i naprawy; szybkość wykonania; mały ciężar własny.

Wady : mało wytrzymały materjał, więc niewielkie rozpiętości : dla belkowych do kilkunastu metrów, dla kratowych zw. do 40 m, wyjątkowo wiecej ; mała odporność na wpływy atmosferyczne, więc krótki czas trwania; "duże niebezpieczeństwo pożaru; trudne połączenia na rozciąganie (w belkach • kratowych).

Używane zatem : dla większych obciążeń (koleje, drogi I. i II. kl.) zw. jako mosty tymczasowe; —jako stałe zaś dla dróg III. kl. lub tam, gdzie małe środki finansowe (j. np. obecnie w Polsce) ; przy budowie mostów drewnianych na dłuższy czas należy w miarę możności zastosować stałe (kamienne, betonowe) filary i przyczółki, założone tak, by mogły potem posłużyć dla mostu stałego; najłatwiej bowiem te części drewniane mostu ulegają zniszczeniu. O ile przebudowa mostu drewnianego nie jest przewidywana po 8 — 12 latach, należy stosować do jarzm dębinę.

Materjał. Najlepszy dąb, ale drogi, dlatego zw. drzewo miękkie: sosna, świerk, jodła, olcha (na pale). M. R. P. poleca używanie drzewa miękkiego w jarzmach i przyczółkach tylko przy mostach tymczasowych. Na dylinę używana dębina, buczyna. Drzewo powinno być suche, zdrowe, proste bez sęków i nie popękane. Dla przyspieszenia wyschnięcia najlepiej ścinać je w zimie ; drzewo ścięte w porze innej należy po odpływie pierwszych soków roślinnych odrzeć z kory i pozostawić w miejscu przewiewnein i zakrytem.

Używane są: a) okrąglaki, b) belki oflisowe, c) krawędziaki. Okrąglaki są tańsze i wytrzymalsze, natomiast trudniej znaleźć w nich wadę, trudniej-ze odprowadzenie wody, trudniejsze połączenia, gorsze impregnowanie; dziś jednak używa się ich najczęściej, ściosując je tylko tam, gdzie to potrzebne. Największe długości do 18 - 20 m, przy średnicy w cieńszym końcu 25—30 cm.

Do połączeń używane są : śruby, w podrzędnych częściach gwoździe, dalej klamry, opaski, rzadziej inne łączniki. Pod śrubami umieszcza się podkładki o gr. 4—8 mm i więcej dla zmniejszenia naprężeń. Długie trzpienie mają na obu końcach gwint i naśrubek. Gwoździe kute 1=12—30 cm, zw. == 2 -2,ö-krotnej grubości części łączonych, gr. 0,05 Z; do cienkich desek używane też gwoździe druciane l = 6—12 cm. Klamry (fig. 22) l — 20—35 cm, li = 6— 10 cm, g = 10—15 mm.

cy::.

w¹

Fig. 22.

Fig. 23.

Trwałość mostów drewnianych: z drzewa miękkiego 15—20 lat, z dębiny 30 — 50 lat i więcej. Cyfry wyższe przy zastosowaniu zdrowego dobrego drzewa, ochronie od wilgoci, napawaniu środkami przeciwgnilnymi, dobrem wykonaniu połączeń, niezbyt wielkich naprężeniach. Części użyte stale pod wodą trwają długo, części używane naprzemian pod wodą i na powietrzu najkrócej ; najlepiej utrzymuje się w tych warunkach dębina. Trwałość dyliny 1—5 lat, w miastach najw. 3 lata.

Zabezpieczenie drzewa przed gniciem. 1. Nasycenie środkami przeciwgnilnymi (impregnowanie), jak chlorek cynku, kreozot, siarkan miedzi. 2. Powleczenie powierzchni drzewa karbolineum, smołą ziemną. 3. Zwęglenie powierzchni (np. pale). 4. Pokrycie części specjalnie narażonych blachą żelazną cynkowaną, papą asfaltową (najeż, na belkach głównych mostów leżajowych), daszkiem (belki główne mostów leżajowych (fig. 23), pasy mostów kratowych lub nawet całe mosty). Szczególnie pamiętać należy o zabezpieczeniu końców belek. 5. Ułatwienie przewiewu powietrza.

Dla zabezpieczenia od p o ż a r u : dobry nadzór, beczki z wodą, lepiej zbiorniki, zabezpieczone od zamarznięcia, hydranty. Czasem pokład mostów kolejowych pokryty między szynami 5 cm warstwą żwiru. Przewody gazowe układać należy w piasku, elektryczne w rurach. Miejsce, gdzie grozić mogą iskry (np. z kominów lokomotyw lub parowców), osłonić blachą.

Naprężenia dopuszczalne dla drewnianych mostów drogowych wedle przepisów M. R. P. o budowie i utrzymaniu mostów drogowych z dni a) 9 listopada 1925 w Ау/сж² podaje tablica 1.

Tablica 1.

Dla mostów Btałych

drzewo

Naprężenia na

Dla mostów tymczasowych

drzewo

Dla mostów kratowych¹)

drzewo

Ola konstr. naprzeman pod wodą i na powietrzu

drzewo

imięk- twar-! kie de

mięk- twar- mięk- twar-kie de kie de

mięk- twar-kie de

rozciąganie ............

zginanie..............

ściskanie || do włókien...

ciśnienie na ściankę otworu I] do włókien .......

Naprężenia na ściskanie pod kątem ukośnym do włókien przyjmować należy wedle prawa elipsy, której osiami głównemi są naprężenia dopuszczalne || i J_ do włókien.

*) Z uwzględnieniem wpływu sił poziomych (wiatru).

110

100

65

15

12

30

120

НО

80

40

20

40

132

120

78

18

14,4

36

144

132

96

48

24

48

121

НО

33

132

121

88

44

22

44

120 130 144    156 132    143

75

'o*

90

82,5

.'.o

30

9    15

22,5    30

90    97,5

Naprężenia w częściach żelaznych, jak dla mostów żelaznych.

Dla mostów kolejowych przyjmować można powyższe naprężenia zmniejszone o 10—20%-

Zasady konstrukcji. 1. Ustrój możliwie prosty. 2. Połączenia nieskomplikowane. 3. Belki możliwie chronić od wody (zwłaszcza końce belek), wodę odprowadzać możliwie prędko, unikać zbiorników wody (miejsc, w których zbiera się woda). 4. Ułatwić dostęp powietrza. 5. Umożliwić wymianę uszkodzonych części bez przerwy ruchu ; dlatego przy mostach leżajowych zbliżamy zwykle obie belki środkowe.

Pomost. 1. Mosty drogo w e. Najczęściej dylina lub żwirówka (makadam), rzadko bruk.

Dylina: zw. dębowa, dla silnego ruchu też bukowa (śliska w zimie i podczas deszczu), gorsza sosnowa, świerkowa. Grubość dyliny pojedynczej g oblicza się, dodając 2 cm na zużcie, zw. 10-15 cm, szerokość b — — 15 —30 cm. Lepiej dylina podwójna: górna najlepiej z drzewa twardego g = 4— 7 cm, h = 20—25cm, szczelna, poprzeczna lub (rzadziej) podłużna, wzgl. ukośna, i dolna z drzewa miękkiego g z obliczenia, b = 20 — 25 cm w odstępach około 2—3 cm ; przy obliczeniu przyjmujemy, że ciężar skupiony przenosi się na 2 dyle dolne przy dylinie dolnej prostopadłej do górnej, na Н/₂ dyla przy równoległej.

Dylinę umieszcza się stroną rdzenną do góry. Górną do dolnej przybija się gwoździami, na brzegach przytrzymuje się krawężnikiem. Dylinę układa się często poziomo; lepiej w spadku poprz. 1 — 2°/₀, co uzyskuje się przez różne wysokości belek (rzadko), siodełek, układanie klocków na belkach, zacięcia; wtedy w środku styk dyliny przykryty płaskownikiem, lub belką. O ile do pomostu dylowanego przytyka droga bita (żwirowana), dobrze jest 8—10 m przy moście wybrukować.

Żwirówka, używana jeżeli chodzi o jednostajną nawierzchnię, jest jednak ciężka i zatrzymuje wodę. Najmn. grubość u brzegów 8 — 12 cm (stąd krawężnik h — 10 —14, b — 18 — 25 cm). Przy obliczeniu przyjmujemy, że ciśnienie koła przenosi się na szerokość i długość (2 g -j- h), gdzie g jest grubością żwirówki, h dyliny. Żwirówka leży na impregnowanych dylach o gr. do 12 cm umieszczonych w odstępach 3—4 cm, też na okrąglakach (mosty rosyjskie).

Dy lin a leży bezpośrednio na belkach, gdy ich odstęp jest niewielki, do 1,20 m, lub na poprzecznicach (wtedy dolna dylina jest prostopadła do górnej). Poprzecznice robi się dla mostów leżajowych, wzmocnionych i rozporowych zw. z pojedynczych belek, leżących jako ciągłe na głównych. Kozkładają one wtedy ciśnienie pojazdów na kilka belek. Opłacają się one zwłaszcza dla mostów I. i II. kl. Poprzecznice mostów kratowych (i wiesza-rowych) wykonywa się zw. jako belki wzmocnione, rozpornice, czasem jako wieszary.

Ciężar własny pomostu przyjmować można :

przy    dylinie z drzewa miękkiego    o    gr. g    cm    .    .    9 g    kg/m²

V V Г V « twardego    „    „gem    .    .    \0 g    kg/m²

„    pomoście żwirowanym......... 380    kg/m²

„    bruku kamiennym........... 700    kg/m².

2. Mosty kolejowe. Podkłady (mostownice) zw. ²⁵/₂₀, dł. 2,70 i 5,00, kładzie się na belkach głównych w odstępach mniejszych niż na szlaku (śr. 63—68 cm, na stykach 50—53 cm, dla kolei podrzędnych 68—72 cm, wzgl. 50—5 5 cm), i łączy na śruby ф ¹/a" i zacięcia 2—3 m; na nich szyny, odbojnice z belek śr. 18X24 cm lub szyn, kątowników itd., wewnętrzne lub zewnętrzne, utwierdzone do każdego podkładu (na śrubę i zacięcie 2—3 cm) w odstępie 16 —19 cm od szyny (por. dział: „Koleje“), oraz dylina podłużna h = 5—7 cm, w od-stępach 2—4 cm. Co drugi lub trzeci podkład dłuższy (l — 5,00 m) dla podparcia dyliny i słupków poręczowych.

Ciężar pokładu i pomostu przyjmować można w kg/m b. toru dla kolei głównych 620 kg/m b., dla kolei drugorzędnych normalnotorowych 500 kg/m b., dla kolei o szerokości toru 1,00 w — 320 kg/m b.

Chodniki: najeż, dylina podłużna, lub poprzeczna. Chodnik oddzielony od jezdni czasem tylko krawężnikiem (gdy mały ruch pieszych), również rzadko utworzony przez opuszczenie dyliny górnej ; najczęściej podniesiony 10—25 cm nad jezdnię na belkach podłużnych lub poprzecznych, opartych na belkach głównych, poprzecznicach, lub dylinie. Przy dylinie poprzecznej spad l,5°/o na wewnątrz. Między jezdnią a chodnikiem ściek, lepiej szpara dla spływu wody deszczowej. Należyte odwodnienie chodnika ważne ze względu na konstrukcję mieszczącą się pod nim. Ciężar chodników wraz z podparciem i usztywnieniem można przyjmować 120—150 kg/m².

Na długich mostach miejscami występy na beczki z wodą i dla zatrzymywania się przechodniów.

Poręcze zw. drewniane, rzadko żelazne, h — 1,10 cm. Słupki: w odstępach 1,5—2,5 m, śr. 2,0 m, mniejsze odstępy w dużych miastach;

gr. 14 — 18 cm, zw. 15 cm. Przytwierdza się je do belek (z boku, na śruby), dyliny (na czopy) WA Y/////MA V/6WA    Inb poprzecznie i usztywnia zastrzałami

Ü    шШ,    Hü    (¹⁰/i2 do ¹⁴/₁₆, średnio ¹²/₁₄), połączonymi na czop

.i

i,

A/V'M l/V\x

Fig. 24.

lub miecz z zaciosem i śruby. Pochwyt le/₁₄, górą ścięty dla spływu wody (fig. 24). W y-f\/\J pełnienie jedną, lepiej dwiema poziomemi belkami, gr. 8—12 cm, śr. 10 cm, rzadko kratą.

Mosty leżajowe. Dla mostów drogowych najw. rozpiętości 3 — 6 m, zależnie od klasy mostu, przy zastosowaniu siodełek z zastrzałami 5—8m. Odstęp belek głównych 0,8—1,2 m, najw. 1,5 m, zw. około 1,00 m. Przy odstępach ponad 1,2 m dylina leży na poprzecznicach, poniżej 1,2 m wprost na belkach głównych.

Dla mostów kolejowych najw. rozpiętości do 2—3 m dla 2 belek głównych, 3—4,5 m dla 4 belek; przy zastosowaniu siodełek z zastrzałami do 5 m dla 2 belek głównych, do 7 m dla 4 belek. Granice zależne od obciążeń. Pod każdym torem 2, 3, y 4, 6 belek (fig. 25), wyjątkowo więcej.

Zw. uź. okrąglaków, najw. «7 = 45 смг (moment wytrz. W — 0,095 d³) ; rzadko krawędziaków (24X24 do 32 X 32 wzgl. 28 X 36 cm.)

Na filarach i przyczółkach murowanych (betonowych) podparte są belki na ławie dębowej h — 16—20 cm, Ъ = 16— 26cm, opartej na murze najlepiej tylko pod belkami, by dać odpływ dzie (fig. 26). Końce belek zabezpiecza się deskami.

13    □ EJ

wo-

ШГ

.. тШ~~

m

ШМ

Fig. 26.

Na jarzmach i przyczółkach drewnianych belki zacięte 2—3 cm, oparte są na oczepie zazwyczaj dębowym. Przy oczepie pojedynczym belki najlepiej umieszcza się na siodełkach (sposób najlepszy; fig. 27, por. niżej), ścina ukośnie (fig. 29) lubjj przestawia się (sposób najgorszy, gdyż nierównomierne pod-

\3i.00--->

liiH

Fig. 25.

2' 'ąoo- -

- 6.00-^-- --JJ0

i—O-O-Ö

-Z3

Ц/

Fig. 27.

I.

/<1 ,20.20

0.70

TB

El Ш

Fig. 28.

Fig. 29.

Fig. 30.

parcie; fig. 31). Na jarzmach podwójnych podparcie na oczepie podłużnym (por. fig. 30), lepiej też na siodełku (fig. 28 i 32).

Końce belek na przyczółku drewnianym wysuwa się poza oczep o 30—45 cm i chroni od gnicia przez umieszczenie w żwirze, przybicie c deski smołowanej do czoła, czasem też położenie c desek pod koniec belki. Oczep (ława) na palach c (fig. 32) lub progach (mosty tymczasowe ; fig. 33). c

Siodełka. Używane na podporach belek c wolno podpartych dla lepszego podparcia i zmuiej- z szenia rozpiętości lub — rzadko — na podporach z belek ciągłych dla przejęcia momentu ujemnego. ■;

Połączenie z belkami głównymi na śruby d — c = (0,06 — 0,07) h lub na kliny, wzgl. zęby i śruby.

Wysokość siodełka hs — (0,85—1) h, gdzie h jest wysokością belek. Długość siodełka lH =

= (0,2—0,25) l, najwyżej 1,70 m. Wtedy rozpiętość teoretyczna l₀ = (0,8—0,95)7, średnio 0,91. Lepiej stosować (o ile profil pozwala) siodełka z zastrzałami (fig. 32 i 34) ; wtedy lg — (0,3—0,4) l, zaś moment zgięcia M = 0,8 Mn, gdzie M₀ jest momentem belki wolno podpartej o długości V — l — lg, gdyż powstaje (niezupełne) utwierdzenie. Na przyczółku nie daje się zwykle zastrzału, przeto długość przęsła skrajnego = 0,7 7 (fig. 32).

EL

—■■ ix-- -

Fig. 31.

Pochylenie zastrzałów 35 — 60°, najchętniej 45°. Dajemy je prawie zawsze pod każdą belką, wyjątkowo co druga belka; pozostałe leżą wtedy na podciągu. Oparcie zastrzałów na siodełku na zacios, rzadziej zacios z czopem, także oparcie i wpuszczenie w belkę poprzeczną (fig. 32). Podparcie dołem na zacios, podpórkę lub belkę poprzeczną. Wymiary zastrzałów wystarczy

Przekrój podłużny

то

-•

¹V?5_

uil>

klamry

łl--

! najruyższę dopuszcz,

W

'■ю-

dó~(poziom H/.h',    |

Us-

roi

U//--*{*-

Przekrój poprzeczny

&JS/l5

% " Що

<c

=Щ *?Л>

¹ щ щ щ щ gj⁴

TT^II il.il U ~ТГ li ,ii II H И TT'll’Wi

■=T

Oïl. Л

nr

a t-

iS

Fig. 32.

obliczyć ze wzoru: Fz

2,4 A

(gdzie A jest oddziaływaniem belki

к cos a

wolno podpartej o długości l, к naprężeniem dopuszczalnem, a kątem pochylenia zastrzału) z uwzględnieniem wpływu wyboczenia. Wymiary siodełka równe lub nieco mniejsze (ps=-b, hg == 0,8 — 1 h) od wymiarów belek. Połączenie należy sprawdzić na ścinanie i ciśnienie.

Ciężar własny belek głównych można przyjmować w przybliżeniu a) dla mostów drogowych:

b) dla mostów kolejowych:

(55 l -(- 20 P) kg/m b. toru (48 l -j-15 P) kg/m b. „ (281 -j- 14 P) kgjm b. „

mosty I.kl.pomost żwirów.(25?-)-1,8P)kg/nP, dylowany(22£-f-1,7/¹)kg/nP

(18ł-j-1,5 P)kgjyn¹ ( 81 -j- 1,0 P)kg/m¹

n П. „    „

„ HI. „    „

(2U/-f-1,6P) kgjnr ( Sl-\-l,4:l¹)kglm

s’

koleje główne ........

„ podrzędne normalnotorowe „ o szerokości 1,0 m ...

Belki wzmocnione. 1. Belki podwójne, połączone tylko śrubami, dają pewną oszczędność na jarzmach ; natomiast ich moment wytrzymałości jest tylko sumą momentów wytrzymałości poszczególnych belek, nadto wysokość konstrukcyjna jest większa; używane rzadko, na mosty tymczasowe. Również rzadko (na mosty bardzo krótkotrwałe) używa się belek, związanych klamrami o różnych długościach, utwierdzonemi w dwu prostopadłych do siebie kierunkach (por. fig. 34), lepiej klamrami i śrubami, czasem opaskami żelaznemi.

к- 4ÔS -><■ 0,66 -X- 0,6ó ;    -*10,26'• '

IN >0/34

“    ^20/24

/-

yj'uso*

2,60

Fig. 34.

Fig. 33.

rb rfi fli fil rti П n ф ń

■ 12:

4I

SBC

T

Fig. 35.

Fig. 36.

Dla belek złożonych z okrąglaków (najczęściej klockowe) otrzymujemy, przyjmując s=(0,3—0,5) d (fig. 40), gdzie d — średnica okrąglaka:

W=thmd\

gdzie hm — 0,5 (hf) -j- d) — 0,933 d. Dla spółczynników p. j. w. otrzymujemy s równe

e = 0,5 ,

70%

80%

70%

60%

70%

60%

belki pojedynczej, X' = (5—6) z. Odstęp od środka do środka m najwyżej 16 z, względnie 1,50 m; najmniejszy odstęp oblicza się na siłę poprzeczną; jeżeli z obliczenia wypada (na podporze) odstęp zbyt mały, dajemy tam kliny ukośne, ewentualnie zwiększamy szerokość belek.

i    A (-<•

Fig. 37.

Fig. 38.

Kliny podłużne (włókna w kierunku podłużnym ; fig. 38). Śruby przechodzą pomiędzy klinami ; belki leżą bezpośrednio na sobie. Wymiary : z = (0,12 — 0,13) h > 4 cm, X == (0,5—0,7) h, m — najmniej 8 z, najwyżej 20 г.

Przy trzech belkach kliny przestawia się, by nie osłabiać przekroju.

c) Belki klockowe są wogóle korzystne, dają największą wysokość i są najtańsze, natomiast wy- г % у .. magaja bardzo dokładnej roboty. Obecnie naj- ą

1. \_

r*—A-

jXP

' a=f,5d

—A—>

a=/,5d

Fig. 39.

Fig. 40.

częściej z okrąglaków (gorsze). Klocki są podłużne. Zwykle к — 0,8 d, z — 0,1 d (fig. 39).

Obliczenie belek złożonych. Oblicza się je jako belki jednolite, mnożąc jednak moment wytrzymałości przez spółczynnik zmniejszający u, który wynosi wedle przepisów M. К. P. :

Tablica 2.

Ilośó belek

Dźwigar

zazębiony

Dźwigar

klinowany

Dźwigar

klockowy

dla 2 belek klockowych e = 0,55, klinowanych £ == 0,37, zazębionych £ == 0,25, £ = 1,1 ,    „    £ = 0,75,

£ = 1,7 (przyjęto p. = 50%).

Zęby, kliny i klocki oblicza się na siłę poprzeczną na ścięcie i na ciśnienie na ściankę. Pozioma siła ścinająca wynosi na 1 m b. długości

т

belki s = ot—, gdzie от (średnio) dla 2 belek wynosi 1,5, dla 3 belek

1,35. Obliczenie szczegółowe por. dział: „Budownictwo drewniane“.

Przy belkach złożonych daje się zwykle odstęp belek 1,5—2,0 от, na belkach poprzecznice. Między belkami stężenia, por. niżej. Styki na podporach. Średnica śrub łączących (0,1—0,13) h, zwykle ³/₄ do 1¹/₄'\ Podkładka 8—12 OTOT, szer. 3—4 d. Wymiary siodełek zwykle równe wymiarom poszczególnych belek.

Używane dla rozpiętości: dla mostów drogowych I. klasy do 8 от (11 от), III. klasy do 11 от (14 от); dla kolejowych tymczasowych do 5 от (7 от), przy zastosowaniu 4 belek pod 1 tor, dla wąskotorowych s —1,0 от do 7 от (11 ot), s = 0,75 от do 9 от (12,5 от), przy zastosowaniu 2 belek pod 1 tor. Cyfry w nawiasach odnoszą się do dźwigarów trójbelkowych.

Przy krótkim czasie trwania najlepsze są belki klockowe, przy dłuższym lepsze są klinowe, względnie zazębione.

Ciężar belek złożonych (bez pomostu):

dla dróg I. klasy „    „    П.    klasy

„    „    Ш.    klasy

<7 — 81 — 100 kg/m2 g = 11-- 90 kg/m2 g — 51 -- 60 kg/m²

. . . 75 l -j- 300 kg/m b. toru ... 65 l -f- 250 kg/mb. „

„    „ wąskotorowych s = 1,00 от.....50 l -f 180 kg/mb. „

Belki rozporowe. Pozwalają na dość znaczne rozpiętości (do 30 от), oraz na dobre stężenie poprzeczne, nadto są trwałe, gdyż belki główne są przykryte, natomiast wywierają znaczne parcie poziome i wymagają dużej wysokości konstrukcyjnej, zaś dolne końce zastrzałów ulegają szybko butwieniu.

1.    Rozpornica poje- 4 dyncza trójkątna, rozpiętości l = 4 — 8 от, najkorzystniejsze a = 45° (fig. 52 i 41), wymagają bardzo dużej wysokości konstrukcyjnej. Ustrój sztywny, używany

mosty kolejowe (rusztowaniowe).

2.    Rozpornica trójkątna podwójna, 1 = 8—12 от (fig. 42).

3.    Rozpornica trapezowa, 1 = 8-—12—15 от (fig. 43); ustrój używany bardzo często. Stosunek a : b : a wynosi średnio = 4:5:4. Rygiel r

<*- a -6 —*■"&-

<v c    n

dla kolei głównych.......

„    „ П-rzędnych s = 1,435 от

r<--l=8,00-12,00——

<—/ = 400-8,00-»

Fig. 41.

na

7*

"ż--

'з

w--*

,.r

Fig. 42.

к-

< i =8.00-15,00

Fig. 43.

połączony z belką na

'ędzy belką a ryglem, lub ryglem a zastrzałem. Kąt a zwykle 45°, conaj-mniej 30°.

4. Rozpornica trapezowa wielokrotna (fig. 44), używana dla I = 12—28 от. Punkty podparcia belki poziomej co 2—4 от. Zwykle rozpora jedna między zastrzałami środkowemi, dalsze pary zastrzałów natomiast wpuszczone w belkę poziomą, ewentualnie skrajne zastrzały oparte o siodełka.

Bryła, Podręcznik inżynierski. V.

12,00-28.00-

Fig. 44.

śruby i kliny lub klocki. Częściej belki poprzeczne

mi

6i

33

W mostach rozporowych drogowych odstęp belek głównych wynosi dla średnich rozpiętości 2—2,5 m, przy kolejowych 1,5 — 2 m (pod każdym torem 2 belki). Na belkach głównych umieszcza się poprzecznice, czasem przy lekkich mostach drogowych umieszcza się pomiędzy belkami głownemi na podciągach belki podłużne drugorzędne.

na

Zastrzały stęża się kleszczami ukośnemi (fig. 45) lub poziomemi (h . fig. 28) i ewentualnie poziomemi belkami poprzecznemi, które w⁷raz z dyliną

\A

Widok

ТПГ

Cl)

Lii

^160^

u,20

U-

-74,40

15220

w.w.

/Ш

Przekrój A-B

6.00 5.60

tn®

w.w.

Jt

r - -

I_______ A). W. ______

Fi*.

stanowią dla mniejszych mostów drogowych wystarczające stężenie poprzeczne i poziome. Zresztą daje się z reguły w płaszczyźnie rozpór i zastrzałów tężnik poziomy (fig. 45).

Szczegóły konstrukcyjne.¹ Górny szczegół podparcia zastrzałów : najlepiej na klocek z drzewa twardego lub podciąg (fig. 46) ; gorszy jest styk bezpośredni na czop i klamrę; — można też styk chwycie kleszczami.

łatwo gnije); d) na

Szczegół dolny : a) na dębowej ławie ; V) na łożysku żeliwnem z żebrami (fig. 47 a), pozwalającemi jednak na odpływ wody, lepiej na łożysku z trzpieniem żelaznym (fig. 47 b) ; c) oparcie w gnieździe w murze (złe, drzewo jarzmach drewnianych oprzeć można zastrzał na zacios,

lepiej na klocku podłużnym, lub na poprzecznej belce. Podparcie stopy zastrzału jest zawsze częścią konstrukcji, najprędzej ulegająca gniciu.

fil

-w-

\WL

ШШшШ

i. К

■j

T3J

Г9.М

Fig. 47 c.

Fig. 47 a.

Fig. 47 b.

Fig. 46.

Reiki wieszarowe. Używane, gdy mała wysokość konstrukcyjna. Oddziaływania pionowe. Natomiast mała sztywność, trudne połączenie, belki bardzo narażone na wpływy atmosferyczne. Korzystne zatem dla lekkich mostów drogowych i kładek. Zależnie od ilości słupów wiszących, mamy:

1.    Wieszar pojedynczy. ? = 5—7 m, min a == 25° (fig. 48).

2.    Wieszarpodwójny (trapezowy). I — 6 —12 m, max h — 1,5—2 w, jeżeli górą stężeń niema; jeżeli most zamknięty, h znacznie wyższe; dla większych obciążeń należy dać przekątnie w polu srodkowem (fig. 48 a).

3.    Wieszar potrójny (fig. 49).

Zwykle 2 belki, między niemi poprzecznice z belek złożonych. Gdy szerokość mostu większa niż 6 m, umieszcza się trzecią belkę w środku. Chodniki można umieścić nazewnątrz belek.

Szczegóły konstrukcyjne (należy pamiętać o osiowości połączeń). Dolne podparcie zastrzału: a) na zacios (fig. 51 a i b), V) na trzewik żelazny, c) na kątownik i śrubę (najlepiej; fig. 50).

'=5,00-/00 - '■**

l=doi$,oo —»I

< •' '•-> 1

■>-------- 4ОО-ЦО0 -¹ Я

W//,й

Ь--Udo 20,00

Fig. 48 i 48 a.

Fig. 49.

Fig. 60.

Połączenie zastrzału ze ścięgnem (słupem wiszącym) wykonywa się:

a)    na zacios, b) na zacios i opaski; najlepiej c) chwycić zastrzały podwójnym słupem ; również używamy d) trzewik żeliwny, jeżeli ścięgno jest żelazne, (fig. 51). Przy rozpornicach podwójnych najczęściej połączenie na zacios i klamry.

Połączenie ścięgna pionowego z belką poziomą : a) na opaski ; lepiej dać

b)    słup podwójny i chwycić nim belkę (fig. 47 c); jeżeli ścięgno jest żelazne, używa się podciągu poprzecznego, opartego o podwójną mutrę i żelazna podkładkę; przyczem ścięgno przechodzi przez podciąg i belkę, a ta łączy się z podciągiem na wcięcie.

Trme. szczegóły połączeń por. dział: „Budownictwo drewniane“. Obliczenie belek rozporowych i wieszarowych odbywa się na tej samej zasadzie.

1. Belka rozporowa pojedyncza (fig. 52). Belkę poziomą oblicza się zwykle jako belkę wolno podpartą na podporach i w środku, lepiej jako

ciągłą. Zastrzały obliczamy na siłę osiową : jeżeli największe ciśnienie na podporze środkowej wynosi C, to siła w zastrzale:

2 cos a

(1)

2. Belka rozporowa podwójna (trapezowa). Moment zgięcia w dowolnym punkcie C wynosi:

(2)

fi

W==a>

•-Г

Fig. 61 o i b.

•Л/%

Fig. 61.

Fig. 52.

gdzie MQ oznacza moment belki wolno podpartej o rozpiętości L — l (2 -J- cp), zaś H parcie poziome, wynoszące:

it __ ³ ~ i² + ³ У 2 p. h (2 -|~ 3 tp)

P^l, gdy £    1, (ciężar w polach skrajnych),

wzgl. H

^ ~ł~ ³ у ^    3 (^    l)²

PI, gdy 1 < 4 < (l + -0 (ciężar '

2 p, h (2—)—3 cp)

w polu środkowem). Znaczenie cp i £ por. fig. 53; h jest pionowym rzutem zastrzału.

Zazwyczaj można przyjąć p. = 1.

Linję wpływową momentu zgięcia w punkcie C znajdujemy zatem wedle fig. 53, odejmując od rzędnych Knji wpływowej M₀ rzędne Hy.

Dla całkowitego obciążenia jednostajnego:

1 gcp³ + 6cp²+ 10 cp -f- 5 ’ ⁹¹    2 + 3 cp ’

zaś moment ujemny na podporze D (bezwzględnie największy) :

Dla polskich ruchomych obciążeń drogowych występuje najw. (+ M) w przęśle skrajnem, przyczem dla L < 16 m na moście mieści się tylko jeden ciężar skupiony (cięższa oś walca). Wtedy można dla (-f- M) nie kreślić linij

4 ii. h

cp³ + 1 + (1 - p.) (6 cp²4- 10 9 + 4)

2 -f- 3 cp

wpływowych, ale obliczać najw. (-j- M) ze wzoru : najw. (-]- M)= -f-1] Wartości na położenie niebezpiecznego przekroju, oraz na Yjmax podaje tablica :

P.

max

<P = 1

T" ~ 0,577

1,5

1,6    1,7    1,8

1,1    1,2    1,3    1,4

0,587 0,596 0,605 0,614 0,623 0,631 0,639 0,646

"fimax

= 0,277    0,282    0,287    0,292    0,296    0,300 0,304 0,308    0,312

Dla <p > 1,8 najw. moment występuje w środku belki.

(<— p/ —->

/Ы

Najw. (— M) występuje w punkcie D ; często po,siada on bezwzględ-ß nie największa wartość. Dla polskich obciążeń drogowych nie potrzeba go obliczać, jeżeli cp < 1,25.

Linje wpływowe sił poprzecznych w przęśle skrajnem wypro-

<--

~>J<-

Г-. iS

it

Fig. 54.

Fig. 6S.

wadza się z linji wpływowej oddziaływania skrajnego A, którą otrzymuje się, odejmując od rzędnych linji wpływowej oddziaływania belki wolno podpartej o rozpiętości L — l(2 —{— cp) rzędne linji wpływowej H, pomnożone

przez — (fig. 54). Linje wpływowe sił poprzecznych w polu środkowem przedstawiają się, jak dla belki wolno podpartej o rozpiętości L — l (2 -)- cp).

Mosty drewniane kratowe. Dawniej używane belki Towne’a, oraz nasze Ibjańskiego i Pintowskiego wyszły z użycia. Dziś spotyka się najczęściej belki Howe’a, u nas Eychtera *) (te ostatnie coraz rzadziej) ; wchodzą też w użycie belki Eechniewskiego i Grocha, w Eosji Patona² 3), w Niemczech Tuchscherera, Küblera⁴) i in. (por. dział: „Budownictwo drewniane“). Belki prawie wyłącznie równoległe. Przy budowie należy zastosować wygięcie w górę.

MostyHowe'a (fig. 5 5 a). Krata złożona drewniana ze ścięgnami żelaznemi, przez naciągnięcie których wywołuje się sztuczne naprężenie.

~ l. zwykle —^---l. Nachylenie

przekątni a = 45—60°. Dla h < 3,5 те, tj. dla l < 25—30 те, krata złożona pojedyncza; dla h > 3,5 те krata złożona podwójna.

Przy obliczeniu przyjmuje się zazwyczaj, że siła Vn w ścięgnie wskutek naciągnięcia jest tak wielka, że przekątnie narażone są tylko na ściskanie.

Mosty Howe’a są używane do rozpiętości l = 50 те dla mostów drogowych. I = 35 m dla kolejowych, h — ——

Naprężenie faktyczne jest przecież bardzo trudne do skontrolowania. Średnicę śrub przyjmować można: cü —0,86

I / V

у/ — —j— 0,14 cm, przyczem V

jest najw. siłą, przypadającą na 2 ścięgna, zaś Jcr == naprężeniem dopuszczal-nem żelaza na rozciąganie.

шшт

!И

пт

Æfy.

2,00-*•

*■

тШм

. . я, • i »дуг

ПО *-«-1,ЬО —Г,40 —*>

■16,00

-ь.ю\

Styk pasa dolnego

■■■■■■■■i ⁴

o-.

Fig. 55.

Pas górny zwykle stały na całej długości, więc obliczamy go na max M, uwzględniając przytem osłabienia śrubami itd. (do 25°/₀)-

Pas dolny obliczamy na max M, względnie w miejscu najbliższego styku; przyczem z belki zetkniętej uwzględniamy najwyżej 20%- Należy uwzględnić ewentualny mimośród zastrzałów i momenty zginające od poprzecznie, ułożonych nie w węzłach.

Pasy najczęściej z 3 belek w odstępach 8 cm, rzadziej 2 lub 2X3 = 6, gr. 25—30 cm, dziś często okrąglaki lub belki oflisowe, dł. zwykle około 10 m, czasem do 12 i 18 m.

Styki przestawione, możliwie rozsunięte i daleko od środka; z 2 przy-kładkami w pasie rozciąganym, z jedną w ściskanym (fig. 55 b). Belki łączone zaporkami co 1,5—2 m.

Przekątnie kwadratowe (lub okrągłe) opierają się na pasach, na czopy lub trzpienie przy pomocy klocków z drzewa twardego (dębowego), wpuszczonych w pas na 4 cm. Przy konstrukcjach prostszych, prowizorycznych, zastrzały opierają się na pasach na zaciosy (bez klocków). Zastrzały (wznoszące się do środka) są podwójne, odstrzały (spadające) pojedyncze. Tężniki por. niżej. Ścięgna są to zwykle pręty okrągłe z gwintem na końcach i naśrubkami; opierają się na podkładkach żelaznych i podciągach, rzadko na poprzecznicach.

Mosty Rychtera (fig. 56). Krata pojedyncza prostokątna. Pas górny, dolny, zastrzały i słupy z drzewa krawędziowego miękkiego. Styki pasów przy pomocy kilkakrotnego zazębienia jednej belki pasowej z dwiema ją obejmującemi, i śrub. Zastrzały opierają się na piętkach, połączonych z pasem zapomocą zębów i śrub. Połączenia słupów z pasami zapomocą klinów dębowych. Należy zwrócić uwagę na ścisłe przyleganie słupów do belek pasowych. Poprzecznice w węzłach. Wymiana łatwa. Robocizna droga.

Mosty Rechniewskiego (fig. 57). Krata pojedyncza równoramienna. Pas górny i zastrzały z okrąglaków, pas dolny i słupy z półokrąglaków,

Widok

?*³%9

Przekrój AS

...

г*²⁶Лб)

Г-,6/го

-2Щ—А

160

2x²'

¹

Belki złożone składają się z 2 lub 3 (wyjątkowo więcej) belek połączonych ze sobą zębami, klinami lub klockami.

a)    Belki zazębione wogóle nie opłacają się wobec małych wartości spółczynnika a (por. tabl. 2) i strat na wysokości. Za niemi przemawia prostota konstrukcji. Przy składaniu wygina się je w górę (na sucho lub polewając gorącą wodą, przez co uzyskuje się większą szczelność w zębach);

strzałka powinna wynosić przytem około —1. Dobre składanie zabezpiecza

najlepiej od pękania zębów. Wymiary : .г = ok. 0,1 h (3 — 6 cm), 1 — (0,8—1) h (fig. 35). Dla* szczelności i aby zapobiec wżeraniu się włókien, wstawia się pomiędzy zęby blaszki cynkowe 8 mm, lepiej kliny z twardego drzewa.

b)    Belki klinowane (zaporkowe). Kliny są proste (poprzeczne) lub ukośne (podłużne); robi się je z drzewa twardego.

Kliny poprzeczne (włókna w' kierunku poprzecznym; fig. 37), składane są z 1 lub 2 klinów, zabijanych w odpowiednio wycięte otwory i ewentualnie przytrzymanych gwoździami. Pochyłość klinów podwójnych od 1:20 do 1 :40, pojedynczych 1 :200. Odstęp belek zwykle około - 0,1 h, czasem belki bezpośrednio na sobie. Śruby pomiędzy klinami na podkładkach. Wymiary: głębokość wcięcia z — (0,1 — 0,13) h, czasem na końcach belek, o ile potrzeba, więcej (0,13—0,16) h, gdzie h •= wysokość

²

)    Por. Thullie: „Mosty drewniane“.

³

)    Por. Paton: „Dierewiannyje mosty“.

⁴

)    Gesteschi: „Hölzerne Dachkonstruktionen“.

Ajs

■Ü_Щ.ВШ1&

dr*

vÈÈr

2*Щд

—3,40

?/■%

-Pją.oo

-À25/₂

Fig. 56.

ścięgna z okrąglaków przeciętych w kierunku podłużnym na 3 części. Połączenia w pasie dolnym na klocki betonowe zazębione z wkładkami żelazuemi i śruby wchodzące między półokrąglaki pasu; zastrzały opierają się na wystającej części klocka betonowego na czop, ścięgna utwierdzone są na kotwy żelazne z blach i kątowników. Podobnie połączone są tężniki. Mosty można oddać do użytku dopiero po stwardnieniu betonu. Poprzecznice w węzłach. Wymiana trudna. Robocizna tańsza niż w mostach Rychtera.

Mosty Grocha (fig. 58). Krata pojedyncza. Części ściskane z drzewa krawędziowego miękkiego, części mostu rozciągane z "żelaza. Słupy z żelaza okrągłego, zakończone z obu stron podwójnym naśrubkiem. Pas dolny z ceowników żelaznych. Połączenia zastrzałów z pasem górnym przy mostach o mniejszej rozpiętości przy pomocy zetowników, przy większych rozpiętościach przy pomocy piętek dębowych; w pasie dolnym zastrzały opierają się na kątownikach, nanitowanych na pas. Poprzecznice w węzłach. Wymiana łatwa. Robocizna tania.

Z powodu nieznacznej ilości objektów tych typów trudno podać narazie dane dotyczące ciężaru własnego tych mostów.

Tężniki (wiatrownice) poprzeczne. Mosty leżajowe: wystarczy dylina, względnie poprzecznice, czasem podciągi (fig. 32).

Mosty wzmocnione i rozporowe: zastosować można: krzyż ukośny, stężenie prostokątne z dyli lub okrąglaków, czasem podciągi lub belki poprzeczne. Przy małym odstępie belek — belka pionowa. Utwierdzenie

Przekrój C-D

Schemat kraty

od ciota

M'do*

Węzeł 1

od strony jezdni

Widok od strony pasa (be? krzyżu/ca)

C.

"D

-U

у'- •

V.

ft

•1

PrzekrójA-B

Przekrój E-f

СЖЭ

.•••'О

JU

'Нл/\

Węzeł 3

Widok

Przekrój A-B-C-D

О/

f:

/poduszka żelbetowa L-fTTp

-t ’ *- i¹

L—'ń    i A

PrzekrójE -F

11Г

Przekrój G-h

Fig. 57.

śrubami. Zwykle dla mostów kolejowych tężniki między wszystkiemi belkami, dla mostów drogowych między każdą parą belek.

Mosty kratowe o pomoście górą: najlepiej krzyż ukośny z belek, przytwierdzony do ramy (fig. 55).

Mosty kratowe i wieszary o pomoście dołem, górą zamknięte: tężniki składają się z belki poziomej, rozpory, przytwierdzonej do pasów wprost, usztywnionej mieczami z wyzyskaniem kształtów skrajni.

Mosty kratowe i wieszary o pomoście dołem, górą otwarte : należy starać się o małą wysokość belek głównych ponad poprzecznicami. Usztywnienie naroży przy pomocy zastrzałów wewnętrznych i zewnętrznych (fig. 56).

Tężniki poziome. Zwykle dopiero przy mostach rozporowych, wie-szarowych, kratowych, jako krata podwójna złożona między poprzecznicami do rozpiętości 12—15 m z dyli 6-10 m na krzyż, przytwierdzonych do dźwigarąw (przy mostach rozporowych do zastrzałów i rozpór ; fig. 45), lub

Schemat kraty

Węz et 7

ii

-/Ty

fil

0,24

qj blacha

Д| .yo6QxS4o,;o

JZ.

t.

A'.

10

12

0,13

Węzet 5

--41,2 в

2*³²/}o\L / / !

f\

■ L&Z,    I ■■■-OBB.yr/,,

\Z> i \&Srliacha

-wiLL °r i ЩШ

WBr W %

Цг

-У<

3*2"

‘-c-0,70->!

'*290У

"    Мас&а

io 50x630x10

Ti."”

Węz et 6

est iy*”\ к—600—>>

2L 20.80.9 blacha 24 o.so or/

чП..22

IZ

3*2"

Fig. 58.

na podciągach, przy mostach kratowych z belek. Mosty kolejowe otrzymują tężniki poziome już dla l — 4—5 m.

Jarzma (filary) drewniane. -Pale zazwyczaj pod każdą belką, rzadko co druga belka (mosty bardzo lekkie), najczęściej pionowe, skrajne, albo ukośnie 8:1 do 15:1 (fig. 60 i 60 a), albo też pionowo (łatwiejsze wbijanie), ucięte nisko (nad m. w.) i od nich zastrzał ukośny (2:1, 3:1) do pali głównych (fig. 59).

Obliczenie pali: na ciężar pionowy i siły poziome (hamowanie, wiatr przy wysokich mostach, ewent. woda, kra, belki niesione przez wodę) na ściskanie i wyboczenie (pale dołem utwierdzone, górą przytrzymane). Naprężenie dopuszczalne najwyżej 30—35 kglcwh przekroju pala. Średnicę w środku długości często przyjmuje się wedle wzoru ćZ = 15-j-2Z((2w cm,

I = całkowita długość pala w m) : najw. d — 30—35 cm. O ile pal nie dosięga gruntu wytrzymałego, to udźwig liczymy na tarcie : U = <p d к V, gdzie cp = spółczynnik tarcia = 0,1 — 0,15 kgjcm², V — długość wbicia). Zazwyczaj daje się ze” względów konstrukcyjnych więcej pali niż wypada z obliczenia.

5,00

't/O

°N

«J5>

,'АЯ9

ГИ/

•>

C-0

■Tb

A-B

L°;/ Ÿ-

лА

'о.

!*.

/,00

Fig. 59.

Fig. 59 а.

Długość pali 12—15 m, rzadko więcej. Długość wbicia wedle pali próbnych, zwykle 0,3—0,5 l, w żwirze conajmniej 1,5—2 m, w piasku 4—5 m. Dołem pale sa uzbrojone w trzewik (por. dział: „Fundamenty“).

I*:-

G»

«ЭС*

Ù.JO

ч\

Т7~ «й- &    <1Г)У

ТУ

1У

иг----0.50 —

Fig. 60 a i b.

Fig. 60.

Przeciw wymyciu pali stosowany pakunek z kamienia, faszyn, rzadko ścianka szczelna.

Górą, pale łączy się o czepem 30 X 30 do 30 X 36 cm, leżącym conajmniej 30 cm nad w. w. na czop (dł. 8 cm), czop rozwidlony (przez cały

5,20

— 2,70'

A-B

Widok

\A

/У

.1

«5

-5,50----

8/5 —

--• у

“v

Przekrój

c-j

9.50

18Г~Ш Ш\ Ж

y,

TH-Г7ТТ---ТТГТ¹

Fig. 61

43

oczep), też na klamry. Czasem oczep podwójny z 2 belek 24 X 20. W wysokości m. w., zaś dla h> 5 m też drugi raz wyżej, najczęściej w wysokości w. w., pale sa połączone kleszczami 2 (12 X 24) do 2(20X30). Między oczepem a kleszczami, względnie między dwiema parami kleszczy, zastrzały, gr. do 20 cm (fig. 60), dla a < 30 w 2 rzędy, dla h > 5 m w dwa piętra (fig. 61). Wcięcia robi się w zastrzałach i kleszczach, nie w

palach. Zastrzały odpuszcza się, o ile jest opierzenie (dylowanie), jakie daje się od m. w. do 20 cm nad w. w. z dyli gr. 5—8 cm w odstępach 3—10 cm, lub z belek 8 X 12 do 14X20 w odstępach 10—15 cm (gdy większa kra). Pal przedni (stróż) obity często blachą lub uzbrojony kątownikiem.

Jarzma podwójne mają 2 rzędy pali, ykle ‘ pionowych, połączonych ryglami, kleszczami, zastrzałami, górą oczepem pojedynczym lub podwójnym. Z przodu i z tyłu najlepiej jeden pal. Pale należy rozstawić tern szerzej, im większa wysokość jarzma i im większe parcie poziome.

Dla mostów rozporowych chętnie używane są jarzma potrójne, przyczem pale zewnętrzne, ukośne, doprowadza się tylko do spodu zastrzałów.

Jarzma nasadzone stosuje się, gdy wysokość Ä>7m, lub część górna, łatwiej gnijąca, zostanie usunięta. Na pale ucięte w wysokości -»iso*-    0,2—0,4 m poniżej m. w. lub 0,2—0,5 m

nad ziemią, o ile wody niema, nasadza się oczep, usztywniając styk silnie poprzeczkami, lub pale górne ustawia na dolnych przy pomocy kleszczy i klamr (fig. 59 a), rygli i poprzeczek na czop, lepiej na trzpień, i pierścień żelazny o szerokości 8—10 cm lub trzewik (fig. 62). Też wstawić można pale

r^vi

'wv\/

Л/ХА/'

л/Л/^Vi

Fig. 62.

m

eul.

/,30

Ł ■ 09'/    09/

09/^t<— 09/

skata

— 21,00

Fig. 64.

Fig. 63.

górne między dolne, łącząc je na kliny, zęby, podkładki. Dla h > 12 m buduje się jarzma piętrowe z pięter o wysokości 7—10 m (fig. 63).

. Jarzma mostów stałych na gruncie skalistym umieszcza się na cokołach murowanych, na podwalinie zakotwionej śrubami. Można też wstawić pale w gniazda w skale i wypełnić betonem (fig. 64). Jarzma mostów tymczasowych por. dział: „Mosty tymczasowe“.

Mosty rusztowaniowe (fig. 60 b) składają się z belek prostych lub porowych trójkątnych o niewielkich rozpiętościach, podpartych na jarzmach pojedynczych, połączonych ze sobą poziomymi kleszczami, zastrzałami, krzy-

roz-

żami podłużnemi. Jarzma oparte zwykle na progach, rzadziej na palach wbitych lub cokołach.

Przyczółki drewniane wstawia się możliwie głęboko w nasyp, by uniknąć parcia ziemi. Za palami w odstępach około 1 те, o dużych średnicach

rCb

—Ą z

4 УМ-

■■

EU -.3

160—7

- -j -

1,80

1,80

1,80

'дауллт'

;;Гх/

w«»

|# '»J

» A I

WWW

ЧУ/лУ'/А'Ут'

W

WA'

r^Y^t

V'j

v5 j

i_±

i=

r7'I

Fig. 65.

tuż

(łatwo gniją), połączonymi oczepem, umieszcza się bale poziome (fig. 32). Skrzydła zwykle ukośne z oczepem w płaszczyźnie stoku. Czasem osobno pale ze ścianką drewnianą, podtrzymujące parcie ziemi, osobno — obok — jarzmo przyczółka. Gdzie grunt nie pozwala na pale, daje się podwaliny (leżnie) (fig. 33).

Dla й>3ш należy pale zakotwić, najczęściej na drewniane kleszcze.

Przyczółki drewniane łatwo niszczeją, więc używane niechętnie. Dla mostów, które mają potrwać dłużej, lepiej zbudować przyczółki murowane.

Izbice (fig. 65 i 66) buduje się dla ochrony jarzm przed krą w odstępie 1—3 m przed jarzmami. Muszą być silne, stałe, dobrze przecinać lód.

Fig. 66.

Składają się z pali bitych w odstępach 0,8—1,5 те, w 1, 2, 3 rzędy, zależnie od szerokości jarzma, usztywnionych bardzo mocno kleszczami, ryglami, połączonych górą silnym oczepem na czopy i opaski, osłoniętych dy-liną. Oczep, nachylony 1 : 2 do 1 : 3, sięga 20—50 cm poniżej m. w. i o 50—100 cm ponad wysoką krę, z przodu chwycony często między 2 pale; t uzbrojony jest kątownikiem, teownikiem, szyną, ewentualnie obity blachą. Ściany izbic mogą byc pionowe, zakończone u góry nożem (fig. 65), lub — gorzej — ukośne. Izbice nasadzone są mniej silne, tern samem gorsze. Narzut kamienny bardzo pożądany.

Utrzymanie mostów drewnianych. Kontrola powinna się odbywać corocznie, przy starych mostach 2 razy rocznie. Należy baczyc, by nie

robił się przy wjeździe próg (podsypywać), usuwać mech, zatykać otwory i szpary, badać stan gwoździ, śrub. Powłokę odnawia się dopiero po wykonaniu tych czynności.

Specjalną uwagę należy zwrócić na miejsca konstrukcji, najbardziej narażone na zawilgocenie, zwłaszcza tam, gdzie dopływ powietrza jest mały, więc głównie od dołu, następnie na wszystkie węzły i styki, oraz części, na które działa naprzemian woda i powietrze. Ten ostatni wzgląd jest u nas tern ważniejszy, że przeważna część naszych mostów drewnianych, zbudowanych w ostatnich czasach, posiada jarzma (filary) z drzewa miękkiego.

Koszta utrzymania mostów drewnianych wynoszą 2—3°/₀ kosztów budowy.

LITERATURA.

Thullie: Mosty drewniane. III. wyd. Lwów 1913.

Pszenicki: Kurs budowy mostów. Lit. 1925—26.

Aragon: Ponts en bois et en métal. Paris 1911.

Cooper: American railroad bridges. New York.

Poster: A treatise on wooden trestle bridges. 1Y. wyd. New York 1913. Winkler: Hölzerne Brücken. II. wyd. Wiedeń 1887.

Melan: Der Krückenbau. I. Band. III. wyd. Lipsk i Wiedeń 1922. Laekns: Hölzerne Brücken. II. wyd Berlin 1922.

Seyller: Hi.nge- und Sprengwerke. Leoben 1913.

Hauska-Mijura: Holzbrücken aus Rundträgern. Wien 1924.

Pat on: Dierewiannyje mosty. Kijów 1921.

Mosty tymczasowe.

Napisał

inż. dr. Stefan Bryła,

profesor politechniki, Lwów.

Mosty tymczasowe (prowizoryczne) buduje się :

a) dla celów budowlanych (rusztowania; por. dział: „Rusztowanie mostowe“), dla robotników lub dla transportu materjałów, b) w razie przebudowy mostu stałego, lub, o ile brak funduszów nie pozwala chwilowo na budowę mostu stałego, c) w razie zniszczenia tegoż; tu należą wreszcie d) mosty wojskowe. Te dzielą się na: połowę, pojazdowe, pływające (pontonowe), składane.

Czas trwania od kilku czy kilkunastu dni do kilku lat. Na kolejach normalnotorowych i na drogach I. klasy uważa się w zasadzie wszystkie

%r......£5 zES Ej.

У&О Ą-3,20    -»I    ■tf/Ю'*-

ty 4,8    2,4 tytoń

Fig. 68.

mosty drewniane za tymczasowe, które w miarę możności zostaną przebudo-na stałe. Naprężenia dopuszczalne por. str. 777.

Obciążenia polowych mostów wojskowych:

1. Zwykłe mosty połowę: Szereg samochodów 3 t (fig. 67), stępach 3,5 да, za sobą; obok tłum ludzi 260 Tcg/m^. 2. Ciężkie mosty połowę: Samochód 7,2 t z przyprzężonym wozem 4,8 t (fig. 68), obok tłum ludzi 400 legjm². 3. Kładki dla pieszych: Można przyjąć obciążenie 260 kglm². 4. Kład ki dla jezdnych: 400 fcp'/m². Szerokość jezdni mostów polowych 3,00 да; kładek dla pieszych 0,5 —1,00 m ; kładek dla jezdnych 2,00 да.

Mosty tymczasowe wykonane być mogą : a) z drzewa obrobionego na miejscu, b) częściowo z żelaza (zw. dźwigary dwuteowe, szyny), c) z częścio-

7,5    7,8    75    71

wane

Fig. 67.

75 ten

w od-

wem wykorzystaniem zdatnych do użycia części zniszczonej konstrukcji (np. żelaznej kratowej), d) z materjałów gotowych, tj. ze składanych części rozbieralnych (mosty pojazdowe, pontonowe, składane).

Mosty połowę są najprostszym typem. Mogą one być: a) na kozłach, b) na palach, e) dla większych obciążeń i rozpiętości na stosach czyli klatkach z podkładów lub belek.

Kozły (fig. 69) składają się z nóg, połączonych oczepem (kapturem), ry-* glami i zastrzałami na zaciosy, przy najprostszych konstrukcjach nawet na

Fig. 69.

Fig. 70.

\iJi

liii

lii;

Fig. 72.

Fig. 71.

TC

~7Z~

\\

"5?

■4,.

L.1 ;:Li LilijJ

Fig. 74.

Fig. 73.

sznury. Używane w wodzie do 2,5—3,0 m, na suchym gruncie do 3,0 —5,0 m ; dla większych wysokości kozły podwójne (fig. 70). Czasem kozły z dyli (do 3,0 m), kozły murarskie, wreszcie kozły z podkładów i szyn.

Jarzma na palach mogą być : a) na podwalinach, ułożonych na ziemi (fig. 71), b) wkopane do głębokości w — 0,3 й, dla h < 3,0 m conajmniej 1,0 m (fig. 72), c) na palach wbitych 1,0—2,0 m (por. też str. 792, fig. 60), d) nasadzone, np. na palach spalonego mostu (fig. 73), e) kaszycowe (fig. 74), f) zatopione w wodę i obciążone kamieniami, — tylko na twardem i gład-kiem dnie, jako skrzyniowe, lub na platformach (fig. 75). Oczep łączy się z palami na klamry, kleszcze, trzpienie żelazne, kołki.

Podpory na klatkach (fig. 76), (stosach) z podkładów lub belek, układanych na krzyż i łączonych klamrami, są znacznie silniejsze i dlatego używane często przy prowizorjach kolejowych. Szybka robota, natomiast nadmiar materjału.

Podpory skrajne: na podwalinie, ułożonej w żwirku, na kamieniach, przy gruncie słabym na krótkich palach, a ustalonej przy pomocy wbitych z boku palików (fig. 77). Belki utwierdza się na oczepie przy najprostszej konstrukcji zapomocą sznurów i krótkich beleczek, dylinę na belkach gwoździami, ewentualnie przytrzymuje się listwą, utwierdzoną gwoździami, sznu-

na/y Wy

_к ы

- . ■

^ZTÆ23£VTrt3! T.-II. ZZ3nt3GEXSr23r:

, гх.о.-ж.таяаа-,

-ГТТЛ’ТУП-' .    Г/71 УГ.УУТ.Т

[ттзпсжжапкхд^ с рякЕБ5П£ ^ ; оплгптгстг»*

ИШй'жМЯИМЖ

Fig. 76.

Fig. 75.

rami, drutem. Dla lepszego stężenia dobrze dać podciągi o średnicy (⁸/₄ d — rf), gdzie й jest grubością belek głównych.

Belki główne pojedyncze lub po-dwójne, złączone śrubami lub klamrami HT utwierdzonemi w dwu prostopadłych do fi siebie kierunkach (str. 781, fig. 35).

40 O O Q>

Podobnie wykonywa się prowizorja w razie nagłej potrzeby, np. gdy wezbrana woda uniesie most istniejący.

W.

\\

I

- . ja.. Przy wszystkich tych mostach bu-ЯЪящгШ \ dowa musi postępować możliwie szybko, ||    ||| nieraz bez względu na oszczędność

II ! i* materjału i trwałość.

Fig. 77.

Mosty tymczasowe, które mają trwać dłużej, oraz przy budowie których dość czasu na lepsze

Fig. 78.

ile większemi naprężeniami dopuszczalnemi, oraz prawie wyłącznem użyciem okrąglaków. Dotyczy to przeważnie np. budowanych u nas mostów drewnianych na drogach I. klasy. Prócz belek pojedynczych na siodełkach, ewentualnie z zastrzałami, nadają się tu także dźwigary złożone (zwłaszcza klockowe), o ile budowa nie jest nagła, oraz rozporowe, też dźwigary żelazne (dwuteowe), jeżeli są do dyspozycji; pozwalają bowiem na łatwe przykrycie znaczniejszych rozpiętości (fig. 78).

Prowizorjum, budowane w razie zniszczenia mostu, całkowitego lub częściowego, zależy od konstrukcji zniszczonego mostu, oraz od rodzaju i wielkości uszkodzenia. Staramy się tu zwykle o zużytkowanie tych jego części, które do tego celu się nadają, najczęściej przez podniesienie opadnię-tych części przęseł żelaznych i oparcie na przyczółkach, filarach, oraz na

dobudowywanych podporach drewnianych. Jest to możliwe, jeżeli rodzaj uszkodzenia przęsła pozwala na to, jeżeli głębokość rzeki nie jest zbyt znaczna, jeżeli wysokość spadu nie jest zbyt wielka, wreszcie, jeżeli belki, spadając, nie odsunęły się zanadto od osi mostu.

Podnoszenie konstrukcji żelaznej zazwyczaj wykonywa się przez stopniowe podnoszenie belek i ustalanie ich na filarach stosowych (klatkowych) z podkładów, które stopniowo powiększa się, dodając wciąż nowe rzędy podkładów (fig. 79). Stosy albo zostają jako tymczasowa podpora, albo, po do-

575

да

■Q62r*—9,05

Fig. 79.

Lwów

. fpdyotoczyska

mso

-37,91-

e---SfiS

у]    -у

W-

Fig. 80.

prowadzeniu konstrukcji żelaznej do ostatecznego położenia, buduje się zwykłe filary jarzmowe z okrąglaków, rozbierając stosy. Części brakujące można uzupełnić dźwigarami żelaznemi o odpowiedniej wielkości, również umie-szczonemi na osobnych palach tychże jarzm lub konstrukcją drewnianą (por. np. prowizorjum mostowe na Gnieźnie; fig. 80).

Przy mostach i przepustach betonowych i kamiennych, których części pozostały, można wstawić prowizoryczną konstrukcję drewnianą na kozłach, stosach (klatkach) ; tu nadają się też niekiedy belki rozporowe (fig. 81).

Fig. 81.

O ile są do dyspozycji dźwigary żelazne, można umieścić je na jarzmach drewnianych, przykrywając nimi otwór (fig. 82).

Również z drzewa wykonać można w całości tymczasową rekonstrukcję przepustów zupełnie zniszczonych (fig. 83 i 84).

Mosty pojazdowe p. w wykazie literatury : „Mosty pojazdowe, instrukcja saperska“.

Mosty pływające. Zalety : taniość budowy i utrzymania, łatwe dostosowanie do zmiany wysokości wody, łatwa manipulacja. Do wylądowania służą mostki ładownicze, oparte przegibnie na brzegu i na pontonie, łączącym konstrukcję pływającą z brzegiem; zwykle największy spadek ich przyjmuje się dla przejazdu 5°/₀.

1. Promy. Promy używane są, gdy ruch jest zbyt mały, aby opłaciła się budowa mostu. Mogą one być :

а)    na linie (cumie), rozpiętej między brzegami ;

б)    na krążku; cuma napięta silnie nad wodą, na niej wspiera się krążek promowy ;

c) wahadłowe (fig. 85) na linie, zakotwiczonej w nurcie, o długości l = (1,5 — 2)6, przyczem 6 jest szerokością rzeki; te promy poruszają się pod wpływem prądu, uderzającego skośnie, przez odpowiednie nastawienie;

■40.50

JL

«//..w

gj JO

Ur. ..

(■

7.

S-

“I

Ś.¹

- J.OO-MOO

li

r- i.ec ^-J.6C

VI.50

2.80

'TT

Fig. 83.

U. 50

0.65

7T7Ö

S/e/en/e poprzeczne — 0/0 — *— 0.80 —Ц

?rajne_

TZÜ._________BrpJy

$ "рТГ Т ? Ji-:—

--»•GA <'

ад

Fig. 82.

• • 130

Fig. 84.

^ ......

ĆSsr-

-----V

Fig. 85.

Fig. 86.

■ Fig. 87.

d)    przeciągane liną z jednego brzegu na drugi, zapomocą liny przechodzącej przez krążki, utwierdzone na brzegach (fig. 86) ;

e)    holowane.

właściwe wykonywa się na statkach, (pon-beczkach, cylindrach żelaznych.

2. Mosty pływają

tonach), rzadziej na tratw

d) Mosty na statkach (pontonach). Statki drewniane mają zazwyczaj przekrój prostokątny, zakończony dziobem. Ściany należy silnie stężyć żebrami i rozporami. Belki mostowe wspierają się na rusztowaniu, roz-dzielającem ciężar możliwie jednostajnie na dno (i ściany) przy pomocy kozłów i podwalin (fig. 87). Lepsze statki (pontony) żelazne. Statki powinny być, o ile możności, równe wymiarami, szczelne (szpary wypełnić pakułami i osmołować) i możliwie łatwo dostępne we wszystkich częściach. Udźwig jednego statku wynosi:

P = F s у — G = \plsbgz — G (w tonnach i metrach), gdzie F — powierzchnia rzutu poziomego statku,

Fig. 91.

.d.

mi

ТГ

hk

ППППП n.

TTTUTTT

UJ

1\3кхл rJCAt-ïX*

Fig. 88.

1-30

Fig. 90.

- -*-c

-^Hotrvica doin'

/\

Fig. 89.

I wzgi. bg — długość, wzgl. szerokość statku (prostokątnego), z — głębokość zanurzenia,

p. = spółczynnik uwzględniający zaokrąglenia itd., zwykle u — 0,8—0,9, G = ciężar stały statku z pomostem.

O ile belki przechodzą przez parę przęseł, mamy do czynienia z belkami ciągłemi na oporach poddających się. Belki, nawet wolno podparte, opiera

000Г

SljlZ)

3È?

'5000

.".«.O’-

. . ; î *.\*

::

SF

3000

ES

жги

PRZEKRÓJ POZIOMY

ДЁШЙЕ

Ü-< • •

••ar :

' ' ¹

JOOOl

:ч«Л:

« Г сГ© во в

«?ьвГч.

— oooc

— tŁPrtt-g -

-■УчаУ-

pi

i 'i ?!

? s I

IE

I!

Fig. 92.

i.

ïLj

/>aj końcowy prawy

jovo o o

p

: V

is-. : н »

ieoA

:Æ

r—Oôi

/*2J *ОПСОЩ lew/

° H H : ° II? ° ; * к

O o O O tS o "

vl°'°⁰⁰

' 690 ■

U-

pao środkowy

4W°

IcT<^*ô О o'

i°a°ÿ°

)Q O O O O

6SO- -~

-3^5

52

Fig. 93.

jednym oczepie, na drugim statku

się naprzemian, na jednym statku na na dwu oczepach.

Poszczególne statki utwierdza się na

kotwicach od góry rzeki, nadto jeden na parę (4    5) statków tez od dołu rzeki. Dwa lub trzy przybrzeżne

statki, przy nieszerokich rzekach cały most, można przytwierdzić do pali i drzew przybrzeżnych (fig. 89).

stup

ooo

Го~Р o o O o

br/yzulec

ГТ §

T>

U----

<r380

<To° o <£o O

o ° ch> o o 9>

Kg. 94.

Qi—;—

Ü;

Fig. 95.

I?

29 7»

В Ii

Fig. 96.

Uk/aa

jednopiętrowy

dwupiętrowy

Чао?-¹

u3.ooJ

Fig. 97.

Przęsła przejazdowe’/(otwierane r dla przepływu statków) najczęściej w nurcie, powinny mieć rozpiętości większe, zwykle do 12 m, natomiast przęsła sąsiadujące z niemi możliwie małe (do 4 m). Statki -wyjazdowe (promy) powinny być łatwo zwrotne, statki sąsiadujące z nimi możliwie wielkie i silne. W mostach pływających o charakterze bardziej stałym otwieranie następuje często przy pomocy siły motorycznej.

mate-

b) Mosty na tratwach (fig. 88), używane tylko na prowizoryczne budowy, są najłatwiejsze do wykonania, natomiast wymagają dużo rjału i silnie ulegają prądowi i falowaniu wody. Belki w jednej lub dwu

warstwach łączy się ze sobą przy pomocy dyliny i belek poprzecznych na śruby, kołki, liny itd., układając je od górnej strony rzeki w ostrza o długości ¹/i b (prąd słaby) do l/₂ b (prąd silny), gdzie b jest szerokością tratwy. Pomost wzniesiony około 50 cm ponad wodę.

Niech V — objętość jednęj belki ¹/₈ l {d\² -j- d₂²) к — ¹/i l dg² к = co 0,8 l ds2 Yw, wzgl. = c. gat. wody, wzgl. drzewa — d₂ i ds są to grubości belki na jej końcach i w połowie — fj. = spółcz., zależny od czasu przebywania tratwy w wodzie, dla tratew krótkotrwałych p. = 1, dla dłużej przebywających w wodzie p. = 0,8 (tę cyfrę należy uwzględnić), to udźwig jednej belki, wchodzącej w skład tratwy (w tonnach i metrach):

P = V- У (T„ - u) = 0,8 . 0,8 l d* (1-0,6) = 0,25 l dI».

Tratwy ustawia się w rzece przy pomocy kotwic.

c) Mosty na beczkach używane tylko dla małej szybkości wody (< 1 w/sek.) i krótkotrwałych mostów. Beczki muszą być szczelne, z otworami, zamkniętymi górą czopem, o ile możności równe wielkością. Udźwig jednej beczki:

P= p.i V Yjj, = pu V. 1 = p.! . V, gdzie

V — objętość beczki,

jx = 0,5—0,8, zależnie od stanu beczek; dla beczek żelaznych p.= l.

Używane są też podpory pływające z nieprzemakalnego płótna itd.

iyy«ratjvd‘ve pasa

Эре

'itr

’6

7,5-----

—ЮО0-----

'OOÜ----

. 3000---

4000

Fig. 98.

Żelazne mosty składane. Mosty składane (rozbieralne) składają się z żelaznych elementów składowych, łączonych ze sobą przy pomocy śrub. Elementy te muszą być stosunkowo niewielkie i niezbyt ciężkie z uwagi na łatwość przewozu, a nadto możliwie jednorodne i łatwe do łączenia z uwagi na możność szybkiego montażu. Używane są systemy Eiffla, Koth-Wagnera, Kohna i in.

W Polsce najczęściej spotykanym typem są mosty Roth-Wag Schemat podany jest na fig. 90 ; podstawą jego jest część kraty równoległej

o długości 3,0 m. ewentualnie w przedziałach skrajnych 3,0=^ 1,5 m. Układy

piętrowe por. fig. 91; układ wiatrownic (tężników) i przekroje poprzeczne por. fig. 92.

nera.

Używane są następujące rodzaje konstrukcji: dla rozpiętości

układ jednopiętrowy „ dwupiętrowy

pasy podwójne

do 45 m

od 46,5 do 72,0 m od 73,5 do 84,0 m

Elementy składowe posiadają l < 6,5 m. Są niemi : części a) dźwigarów głównych, b) pomostu, c) tężników, d) łożyska, e) śruby łączące.

T>    П

„ potrójne

a)    Części dźwigarów : Elementem

pasów jest blacha z nanitowanym    3

kątownikiem. Dwa takie elementy    j

stanowią jedną ściankę; składa się je tak, że styki ich są przesunięte (fig. 92). Końcowe części pasów por. fig. 93. Słupy i przekątnie są dwuteowe (fig. 94). Połączenia w węzłach na blachy    t

węzłowe.

b)    Części pomostu: Poprzecznice    |

są blachownicami, element ich (połówkowy ; por. fig. 95). Podłużnice są d teownikami (fig. 96).

c)    Tężniki (fig. 92).

d)    Łożyska są odlane ze stali.

e)    Śruby są o średnicach 35 mm i 20 mm.

wu-

Mosty Kohna mają za podstawę element kraty równoległej wielokrotnej o długości 3,0 m. względnie f 6,0 m. Układ jedno- i dwupiętrowy    £

(fig. 97). Używhne jako mosty kolejowe    ¹

i drogowe.

a) Dźwigar główny. Elementem są części pasów o długości 3 — 6 m, wykonanych z 2 lub 4 ceowników w zależności od tego, czy belka jest jednoczy też dwuścienna. Styki elementów pasowych są przesunięte. Połączenie ich por. fig. 98. Słupy i przekątnie I

ęzłach | J

■w

i60O

J_§

■700 ■

—oooc-

■ЕСW

JOOC

---OOO€-----

Fig. 99.

z kątowników. Połączenia w w na blachy węzłowe.

b)    Części pomostu ; podłużnice i poprzecznice są blachownicami.

c)    Tężniki są wykonane z kątowni

- —ooooc

ków.

d)    Łożyska są odlane ze stali.

e)    Śruby o średnicach 20,26 i 35 mm.

Fig. 99 przedstawia widok, oraz

przekrój poprzeczny mostu Kohna.

Najlepsze wykorzystanie materjału dają belki o rozpiętości podporowej ^ 18—30 m.    ‘    fe-

3000

LITERATURA.

Głogowski: Mosty wojenne. Warszawa 1920.

Machlowski: Mosty potowe i organizacja ich budowy. Warszawa 1920.

Mosty wojenne. Cz. X. Mosty potowe. Warszawa 1920.

Węd zi ag o ls ki : Mosty wojenne. Warszawa 1920.

Czajka: Odbudowa zniszczonych mostów kolejowych. Warszawa 1923. Dworakowski: Wojenne mosty drewniane. Lit. 1925—26.

Mosty pojazdowe. Instrukcja saperska. Wars/awa 1925.

Normand: Roboty potowe (tłum. z franc). Warezawa 1924.

Saper i inżynier wojskowy. Miesięcznik.

Laskus: Hölzerne Brücken. Berlin 1922.

Der Bauingenieur. Tygodnik.

Paton: Wozstanowlenje razruszennych mostow. Cz. I. Dierewiannyje mosty. Kijów 1921.

Mosty kamienne.

N apisał

inż. dr. Maksymiljan Thullie,

.    profesor politechniki, Lwów.

Wiadomości wstępne. Korzyści mostów kamiennych: Mały wpływ ciężaru ruchomego w stosunku do ciężaru własnego, mała wysokość konstrukcyjna w kluczu, przeprowadzenie żwirówki przez most, możliwie małe niebezpieczeństwo przy wykolejeniu, mały koszt utrzymania, bardzo wielka trwałość, piękny wygląd.

Wady w stosunku do mostów żelaznych : Trudne do wykonania, względnie niemożliwe bardzo wielkie rozpiętości, kosztowne rusztowania i zwykle dłuższy czas budowy, większy ciężar, zatem większe obciążenie gruntu.

Wysokość. Przy mostach kolejowych zostawiamy powyżej przekroju normalnego 10—2(J cm wolne, ewent. potrzebne miejsce na krążyny. Wezgłowia mostów o sklepieniu odcinkowem powinny leżeć najmniej 30 cm nad zwykłą wielką wodą.

Polskie przepisy o budowie i utrzymaniu mostów drogowych z r. 1926 brzmią: § 19. Najmniejsze wzniesienie dolnej krawędzi konstrukcji niosącej oznacza się w sposób następujący:

a)

Łukowe mosty kamienne i betonowe, o ile mają strzałkę mniejszą niż —

6

rozpiętości, a styczna nasadowa nie jest pionowa, należy założyć tak, ażeby zwierciadło najwyższego znanego stanu wody nie sięgało ponad wezgłowia.

W razie, jeżeli strzałka przekracza — rozpiętości, nie powinno zwierciadło najwyż-

6

szego znanego stanu wody sięgać ponad punkt, w którym promień poprowadzony pod kątem 30° ze środka koła, zakreślającego najniższą część podniebienia łuku, przebija podniebienie.

Rozpięto ści. Zwyczajnie przyjmujemy w rzekach rozpiętości 25—30 m, większe tylko ze względu na żeglugę lub w razie znaczniejszych -trudności

fundowania, a to aż do 100 m. Mosty o większych rozpię-tościach robi'się zwykle żelbetowe lub betonowe; największe rozpiętości mostów kamiennych dochodzą do 90 m, лт Polsce w Jaremczu na Prucie l — 65 m. Dla mostów lądowych przyjmuje się rozpiętości mniejsze, bo fundowanie filarów jest tańsze, a mianowicie rozpiętości zależne tu są od wysokości filarów w metrach I = 6 -f 0,4 h.

Szerokość mostu za-

6ФЮ\

<Ь

*0925*

ś/źo/óc/a. уШк/тёс Ьсш.

ттштж

ШН

ii

leży od szerokości drogi i chodników. Szerokość sklepienia musi być taka, aby podparcie poręczy było dostatecznem, ewentualnie rozszerzenie na wspornikach (fig. 100).

Skrzydła. Boczne zakończenie nas ukośne lub

ypu stanowią skrzydła równoległe, prostopadłe. Aby skrócić długość skrzydeł równoległych, robimy stożki stromsze niż nasyp, mianowicie 1 : 1, a nawet 1 : ²/з, w ostatnim wypadku kamienne. Czasem zanurzamy sklepienia w nasypie, oszczędzając na skrzydłach (fig. 101).

Rodzaj muru. Mosty kamienne budujemy albo z kamieni naturalnych albo sztucznych. Do pierwszych należą ciosy i kamień łamany, do drugich

cegły, beton i żelbet. Wybór zależy zwykle od warunków miejscowych. Ciosów, jako bardzo drogich, używa się obecnie rzadko i chyba do budowli ozdobnych i monumentalnych. Z kamienia łamanego robi się nietylko filary i przyczółki, ale i sklepienia — i to nawet dla wielkich rozpiętości. Na ściany zewnętrzne używa się zwykle kamienia obrobionego. Muru z cegły używa się bardzo rzadko.

Polskie przepisy o budowie i utrzymaniu mostów drogowych z r. 1926, §50. Materjały. 1. Do budowy mostów kamiennych oraz kamiennych przyczółków i filarów należy używać kamieni naturalnych, a tylko w wyjątkowych wypadkach dobrze wypalonej cegły. Kamienie naturalne mogą być użyte jako kamień łamany lub ciosany.

3. Do wiązania kamieni należy używać zaprawy cementowej.

Ciśnienie dopuszczalne przyjmujemy mniejsze dla małych, większe dla wielkich rozpiętości, a to dlatego, by wymiary nie, stały się zanadto wielkie ; używamy "też zato wtedy wyborowych materjałów. Zresztą wpływ ciężaru ruchomego jest przy większych sklepieniach mniejszy, a im większy ciężar własny, tem większy wpływ siły podłużnej, a mniejszy momentu.

«äSZ:

P®

mm

W-

-j/æ-......-te-

-m-.....--y

49

• üÿç

УУ Ti 7

<-- • ;

~L

~ï

■~1

Fig. 101.

Dla małych i średnich rozpiętości możemy przyjąć następne ciśnienia w kgjcm² :

Ciśnienie

mimośrodkowe osiowe

. 25—40 20—25 .30-40 20—30

Zwykły mur ceglany na wapnie...........

Lepszy „    „    „ cemencie.........

Najlepszy mur ceglany z zendrówek na cemencie . . . Zwykły mur z kamienia łamanego na cemencie ....

Mur ciosowy...................

Beton 1 : 5 do 1 : 3................

Mur z kamienia warstwowego . . •.........

Dla większych rozpiętości przyjmuje się większe ciśnienia:

Most    na    Prucie    w Jaremczu (l — 65 те, cios)........ 27,5 kgjcm²

„    „    dolinie    Syra pod Plauen (l = 90 m,    kam. łam.) .... 49,5 kgjcm²

„    .„    Soczy    w Salkanie (l = 85 те, cios)    ........51 kgjcm²

„    „    Addzie    pod Morbegno (l — 70 те, kam.-łam.).....56 kgjcm²

„    „ dolinie Syra (ze zmianą ciepłoty) . . .

„    „ Yalserine pod Bellegarde (l — 80 те, cios)

69 kgjcm2 80 kgjcm¹

Przepisy polskie o budowie mostów drogowych z r. 1926. § 53.2. Dla sklepień z kamienia ciosowego należy przyjmować naprężenie dozwolone dla rozpiętości w świetle do 20 m równe V25 wytrzymałości kamienia, dla rozpiętości w świetle ponad 25 m równe V20 wytrzymałości kamienia.

4. Naprężenia dopuszczalne w przyczółkach i filarach nie powinny przekraczać V2S wytrzymałości kamienia.

5. W sklepieniach mniejszych mostów o rozpiętościaeh w świetle, nie przekraczających 15 m, jako też w przyczółkach i filarach, na których spoczywają przęsła o rozpiętościaeh, nie przekraczających 25 m, można dopuścić następujące naprężenia:

Materjały

Naprężenia dopuszczalne

40 kg leni1 30 Icg/cm2 25 kgicm2 12—1« kg cni1 10—12 kgicm2 12—20 kgicm2 10—14 kgicm2 8 kgicm²

Mur ciosowy z granitu, porfiru, twardego piaskowca

kwarcytowego..................

Mur ciosowy z wapienia...............

„    „ z piaskowca miękkiego.........

„ z kamienia warstwowego............

я zwykły .....................

„ z cegły wyborowej...............

„    „ maszynowej..............

„    „ zwyczajnej . ..............

W powyższem przyjęto wszędzie zaprawę z cementu portlandzkiego 1 : 3.

Ciężar własny wyznaczamy na podstawie przybliżonego projektu z rysunku.

Zmiany ciepłoty. Dla sklepień kamiennych wystarczy przyjąć zmianę ciepłoty + 15° C.

Przepisy polskie o budowie mostów drogowych z r. 1926. § 54. 2. Przy obliczaniu statycznem należy uwzględnić .... dla sklepień o rozpiętościaeh, przekraczających w świetle 20 m, także i wpływ zmian temperatury w granicach -j- 10° 0.

Ciężar ruchomy uwzględnia się, przyjmując, że nadsypka rozdziela ciśnienie pod kątem 45°. W kierunku podłużnym mostu zazwyczaj nie uwzględniamy dla większych mostów rozkładu ciśnienia. Przy rozkładzie przez beton można przyjąć 55°.

Obliczenie dźwigarów głównych. Mosty kamienne wykonywujemy zwykle jako sklepienia; dla bardzo małych rozpiętości używa się też płyt. Przepusty płytowe (fig. 102 ; typy M. R.P.) obliczamy na zginanie wedle M

wzoru W — —, przyczem naprężenie dopuszczalne na złamanie к przyjmuje

10 kg jem²    granit.......5 kg/cm²

8 kg/cm²    piaskowiec średni .    .    4,5 kgicm²

6 kgicm²    łupek krzemionkowy    .    2 kg/cm²

1,5 kgicm,

się wedle następnej tabliczki :

łupek iłowy.....

kwarc bazalt

wapień

łupek łyszczykowy . . 5 kgicm Typy M. R. P. podają następne wymiary:

Klasa drogi

Rozpiętość w świetle

Grubość płyty

Szerokość podparcia

I i II

0,60

0,20

0,20

0,80

0,25

0,25

III

0,60

0,15

0,16

0,80

0,20

0,20

1,00..

0,25

0,25

Sklepienia obliczamy jako łuki sprężyste bezprzegubowe lub trójprze-gubowe. Naprężenia wyznaczamy dla mostów mniejszych (do 20 m) zapomocą linji ciśnienia, dla większych na podstawie linij wpływowych. Linję ciśnienia wyznacza się zw. dla obciążenia zupełnego i dla obciążenia połowy sklepienia. Obciążenie do połowy, względnie nieco poza połowę, jest najniekorzystniejsze dla wezgłowia i dla przekroju w */₄ l. - Pierwsze koło wałka lub parowozu należy zatem umieścić w odległości 0,4 l od podpory. Obciążenie zupełne wywołuje najw. II i najw. M w kluczu. Przy sklepieniach obliczamy pasek o szerokości 1 m, przy odrębnych łękach musimy wyznaczyć, jaki ciężar przypada na jeden łęk.

Polskie przepisy o budowie i utrzymaniu mostów drogowych z r. 1926. § 54.

2. Przy obliczaniu statycznem należy uwzględnić najniekorzystniejsze działanie sił zewnętrznych, a dla sklepień o rozpiętościaeh, przekraczających w świetle 20 m, także

i wpływ zmian temperatury w granicach -}- 10° П. Spółcsynnik rozrzerzalności można przyjmować równy 0,000.007 na 1° C, a fcpółczynnik sprężystości równy 60.000 kg/cm*.

Przepusty. Przepusty płytowe kamienne tylko dla małych rozpiętości od 0,25 m do 1 m (fig. Ю2). Jeżeli rozpiętość większa, robimy wyższą część

przyczółków wystającą o 0,1 l (fig. 103). Jeżeli i to nam nie wystarcza, buduje się przepusty podwójne (fig. 104). Grubość przyczółków b — 0,4 -j- 0,3 A, najmniej

WĘm

W

—s-~

-»i OSO**—    -•* 0’50*

m г

-A '-C*S

Wm

'O

\>*

'4)6^

V.

Fig. 102.

Fig. 103.

0,6 m, grubość filara średniego 6, = 0,6 b. Nadsypka wynosi przy kolejach conajmniej 0,8 m, przy drogach 0,3 m.

Przepusty sklepione budujemy dla Z> 1,00 m. Sklepienie zw. półkoliste albo odcinkowe. Obecnie najczęściej przepusty betonowe, bo kamień musi być gładko obrobiony, aby uniknąć zamulenia, zaś szwy dobrze wypełnione, aby się woda przez nie nie dostawała do gruntu i nie podmywała.

Dla mniejszych rozpiętości wspólny fundament pod oba przyczółki (fig. 105), dla większych przy

dobrym gruncie osobne funda-    • Ш/Ж Â'/7л

menty (fig. 106; typy M. R. P.).    W/Ш ШШ

Dla oszczędzenia kosztów ścina się sklepienie przepustu w płaszczyźnie stoku, przez co zaoszczędza się na mu-rach czołowych i skrzydłach (fig. 107).

Pod wysokiemi nasypami powiększa się stosownie do wysokości nadsypki u brzegów i w środku grubość sklepienia w kluczu o 0,2 hu gdy Aj oznacza wysokość nadsypki nad grzbietem w kluczu.

We Francji wzmacnia się sklepienie pierścieniami gęstszymi w środku, a rzadszymi pod stokami.

Małe przepusty dla małych ścieków są owalne (fig. 108) lub rurowe (fig. 109).

Na dobrym gruncie kładziemy rury wprost na ziemię, na słabym na warstwę żwiru grubą do 15 cm, albo je podmurowujemy. Wyjątkowo używa sie także rur z blachy falistej.¹)

l) Por. Jasiewicz: „O zastosowaniu rur z blachy pod nasypami kolejowemi“. Przegląd Techniczny 1902, str. 321.

JT\

<22

-QS5~

0.63'

Fig. 104.

У.

Kształt i grubość luku. Grubość sklepienia w kluczu. Koz-piętość i strzałkę wyznaczamy zwykle wedle skrajni lub wysokości wielkiej wody i niwelety, poczem przystępujemy do wyznaczenia grubości sklepienia

•*|*0<565~j—1.03—■] J

ç-

Ч§- 3.50

Ff

~ZTL

Si

il

tJ

i___

-1.90

'■90—Щ

Vi

1.30-- •0.55

■0.5 --

- - Q663 - •— I. 03-------

Ée

J.

4--

il

■tf.5

l---i go

Iô5_J

0.5

Fig. 105.

ni

4)50

ШЖШ\035

iœ

'OO-

gn, Шртт:

,L

-—D-H*035

1 /5K5î

'-b-i

' , . V-

шш

ft

-h

-H-02O

i!

m.

PH I I!

Ж*~ав ‘°

Fig. 106.

w kluczu i tv wezgłowiu. Przy bezprzegubowem grubość rośnie od d₀ w kluczu ciągle do с/л w wezgłowiu, tak, aby rzut pionowy szwów pozostał ten sam. Przy trójprzegubowem sklepieniu największa jest grubość d₂ w jednej czwartej rozpiętości.

Croizette Desnoyers podaje następne wzory, przyczem rx oznacza promień krzywizny w kluczu.

Dla sklepień półkolistych i eliptycznych:

mosty drogowe + = 0,15 + 0,15 +2 rx \ mosty kolejowe d₀ = 0,20 -j- 0,17 +2 t\ |

Dla sklepień odcinkowych:

mosty drogowe

1 : 4 d₀ = 0,15 + 0,15 yirT 0,20 + 0,17 +277

stosunek f : l

mosty kolejowe

1: 6 + =0,15 + 0,14+177 0,20 + 0,16+277 1: 8 + = 0,15 + 0,13+277 0,20 + 0,15+277 1:10 + = 0,15 + 0,12+277    0,20 + 0,14+277

1:12 + = 0,15 + 0,11+277    0,20 + 0,13+277.

V¹ + 4/²

8/ '

Wzory te ważne tylko dla l > 10 m. r.

Dla mniejszych rozpiętości poleca Heinzerling : dla sklepień z ciosu, nadsypka h < 1,5 m

/t > 1,5 m h <C 1,5 m h> 1,5 m h < 1,5 m h > 1,5 m

Séjourné przyjmuje dla większych sklepień:

+ = a (1 + +7) p.

+ = 0,40 + 0,025 r-i + = 0,45 + 0,03 t\ + = 0,43 + 0,028 n + = 0,51 + 0,033 r\ + = 0,48 + 0,031 n + = 0,55 + 0,037 r!

0)

• (2)

(3)

Spółczynnik a przyjąć należy:

dla mostów drogowych a = 0,12—0,18, średnio 0,15, dla mostów kolei normalnotorowych « = 0,15—0,21, średnio 0,185, dla mostów kolei wąskotorowych « = 0,14—0,20, średnio 0,17.

;i. jest funkcją <p = — i wynosi dla półkola

vv'//A\7

Fig. 107.

i,

4

dla elipsy zniżonej .    -

3 + 2 cp

„ odcinka . . . . ⁴/₃ (1 +- cp²). Grubość w wezgłowiu + przyjmuje Croizette Desnoyers :

+

dla łuku pełnego podwyższonego

f 1

dla łuków eliptycznych dla -A- = —    ^

d₀

= 1,8    1,4 1,25 1,15 1,10.

Séjourne ^przyjmuje dla elipsy — = 1 -j- 2 —, dla odcinka jeżeli

di

• ‘+*(t •

зуз

Л’ je‘"T< ¹

Powyższe wzory doświadczalne dają tylko wartości przybliżone. Najpewniejsze są wzory Séjournégo. Chcąc liczyć dokładniej, użyjemy jednego z poniżej podanych sposobów.

\r-OS_4

s?\l

О'

■<.

___________ \г*0$8____________łi

220

v-Ж/О

■>.

-uQć

-/90

-/т

~ж/

чт

Fig. 108.

гтт

Г/

к—/69-—-*i

Fig. 109.

\г

Щ\

Fig. 110.

1. Sposób Melana. Jeżeli nadsypka w kluczu jest yj₀ (fig. 10), a wysokość obciążenia z₀, to H— z₀ r₀. Jeżeli ciśnienie w kluczu przy jednostajnem rozdzieleniu jest c₀, у i y, są ciężarami gatunkowemi muru i nadsypki, to z„ r₀ = Zq (r₁ -f do) = d₀ o, stąd

(4)

d-Q

(Ti ’По +P)ri

G — y.ri — Z₀

wszystko лу t i m. d₀ należy tymczasowo przyjąć. o₀ należy przyjąć mniejsze niż dopuszczalne a przy największem wychyleniu się linji ciśnienia. Przy obciążeniu połowy sklepienia ciężarem pl otrzymuje Melan, nazwawszy

«’ — Ti •’]« +

do —

Pif

4 y² 2 y

cos² Cp

(5)

Z² + 4/² ‘

przyczem cos² cp

2. Sposób Tolkmitta.

do

(6)

10 o — 0,15 j —

jeśli a w kgjcm², reszta w t i от.

Dokładniej d₀

10 g₀ — ■( zg'

P /4- от

to n = —.    -.

8 /от

Jeżeli nazwiemy m — —-,

/__i Y zo

8    ' 10 c

Jednak ze względu na obciążenie jednostronne musi być także dQ ÿ 0,43

Vf

(7)

Przykład 1. Dane 1= 30 m, / = 10 m, fj₀ = 0,8 m, p = 1 m, a₀ = 12 kg/cm³, у = 2,4 t/m³. Mamy naprzód

do —

900 /    ,    , 10\

0,15.2,4 — (o,8 + 0,6 + -)

10 . 12

900

= 0,86 m,

-0,15.2,4.—

więc s₀ = 0,86 + 0,80 +    == 2,16 m,

245

900

2,4 . 245

- 12,8, П = —

(— + —) =

V10 r 12,8/

20 m,

10.12

d₀ =

2,4 ■ 2,46 ■ 20 10.12 — 2,4.2,15

= 0,90 m.

Dla obciążenia częściowego :

0,43

1 . 10

, , 1 , 10 0,9 + 0,8 + T + -

= 1,34 m.

Liczmy jeszcze raz; przyjmujemy d₀ = 1,2 m. 1 . 10

d₀ > 0,43

1,2+ 0,8+i- + JJ

= 1,23, co się dostatecznie zgadza z przyjęciem.

Według Melana otrzymamy:

do —

(1,8.0,8 + 1) 20

= 0,7 m.

120 — 2,4.20 — 2,15

Przy uwzględnieniu obciążenia jednostronnego otrzymamy dla p, = 1,2, w = 2,04,

dost* (p —

30*

,    2,04 ,

= °>⁶⁹' do = tü ⁺

30* + 4.10*

Wedle Melana otrzymujemy więc mniejszą grubość.

1,2 . 10

2.2,4

0,69 = 0,95 m,

Kształt łuku. Oś łuku przyjmujemy w kształcie półkola, odcinka, elipsy, paraboli, łuku koszowego. Dla nieco większych sklepień przyjmujemy obecnie oś łuku w kształcie linji ciśnienia dla obciążenia ciężarem własnym i połową ciężaru ruchomego.

Linję ciśnienia, która ma wpadać w oś łuku, wyznaczamy wedle Köglera z —Zo

nazwawszy cp

6 Zg

(fig. 111). Rzędne y należy odnieść na dół

6 z g

od poziomej przez oś w kluczu; równają się one spółczynnikowi, podanemu w tabl. 1, pomnożonemu przez f.

CD

1,0

1,000

ооооЧ

0,975

0,9

0,8

0,7

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

0,9506

0,8100

0,6400

0,4900

0,3600

0,0900

0,1600

0,2500

0,0400

0,01C0

0,9459

0,7936

0,6167

0,4649

0,3367

0,1463

0,2308

0,0810

0,0352

0,0072

0,1

0,7813

0,9420

1,0000

1,0000

0,9389

0,7713

0,5999

0,5860

0,4476

0,3213

0,2184

0,1369

0,0752

0,0320

0,0064

0,2

0,1297

0,2082

0,3088

0,4328

0,0710

0,0306

0,0060

0,3

0,9361

1,0000

0,7627

0,5739

0,4206

0,2973

0,1995

0,1237

0,0674

0,0285

0,0057

0,4

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

oooo‘i

ооооЧ

ооооЧ

0,7550

0,9337

0,5633

0,2876

0,4097

0,1921

0,1186

0,0271

0,0643

0,0054

0,5

0,9315

0,9295

0,9276

0,4009

0,5539

0,7481

0,2794

0,1356

0,1143

0,0617

0,0259

0,0051

0,6

Tabl ica 1.

0,7420

0,5456

0,2722

0,3920

0,1106

0,1803

0,0596

0,0249

0,0049

0,7

0,7364

0,5382

0,3844

0,2658

0,1751

0,1071

0,0576

0,0241

0,0047

0,8

0,7314

0,9258

0,9245

0,7269

0,5318

0,5256

0,3777

0,3718

0,2600

0,2549

0,1708

0,1040

0,1667

0,1013

0,0234    0,0228

0,0560    0,0544

0,0046

0,0045

0,9

1,0

0,9231

0,7226

0,5202

0,3658

0,2496

0,1628

5,0990

0,0223

0,0531

0,0044

T‘T

0,9220

0,7184

0,5151

0,3604

0,2447

0,1593

0,0967

0,0518

0,0217

0,0043

s‘l

Przyjmując linję obciążenia paraboliczną, otrzymamy wedle Färbera i Rittera, gdy nazwiemy % — x : —-, yj = y:f,    = 1 -)- cp

li

(8)

V = i 4² 0- + <p 4²)

?

к-

f/2

Fig. 111.

Łuki trójprzegubowe. Oś łuku, która ma wpadać na linję ciśnienia, wyznaczyć możemy, jak poprzednio. Grubość w kluczu i w wezgłowiu obliczymy także, jak poprzednio, dla obciążenia zupełnego, chodzi jeszcze

o grubość d₂ w —. Tolkmitt otrzymuje d₂ = 0,94    ~ cos «• Wstawiw

szy wartość za H, otrzymamy:

d₂ = 0,73 — s₀

Vf

— 0,5^

cos a

(9)

Mörsch wyznacza linję ciśnienia, a zarazem oś, w następny sposób. Wyznaczamy najpierw, począwszy od klucza, momenty ciężarów pasków (fig. 11*2)

СЭ>

L/2■

Fig. 112.

ze względu na poszczególne linję podziału zapomocą sił poprzecznych M — I T dx, aż do podpór A i B. Momenty w wezgłowiach niech będą Ma i Mb, wtedy mamy Ma = H(f—ć), Mb = H{f\ c), a stąd wyznaczymy Hic, przyczem dla obciążenia symetrycznego c — 0. M : H — у oznacza odstęp punktów Hnji ciśnienia pod linją H.

Przykład 2. Dla sklepienia zaprojektowanego wedle fig. 113 Q = 20,8 m, f = 3,2 m) należy wyznaczyć dokładny kształt osi. Przyjmujemy dx = — — 1,04 m.

ьэ|

4red. : d x

НОЗ МтСЮО NCO 03^0

O o' o' o' o' cT cT cT o' o' Г-Г

O W Ю JO J-* J-» J-*    JD O JD

V CD *ЬЭ *00 "Ć* ~tO    lo Ъо Ъо

OOClC'^OMvlCDOJ

►—»    » ł—Ł

a> со p _сл oo jo j- o o o oi    i-‘ Ъо <i oo

ОЭООЗОЗСЛИМИ^С5

fco jo <| Jfk. JAO 03 t—• 05 СЛ 00 V to to "w 4*-оаозсоооохиоооэ

05 |Ц 03 tO H M

jo 03 ^ сл и V] w ^ o o

юЪ "<1 H o 05 tC CO '-<J 4»*

03 03 <1    05 00 tO C3 03 03

(►otstoawtoco Mcoœoo'ioœ» W <1 Ю W H И у ю

3,200

62,23 . 1,04²

3,2

= 21,03 m³ = 50,5 t.

Grubość sklepień betonowych. Wzór doświadczalny podaje Housselle

d₀ = 0,2 + 0,022 r

(10)

ЛгЫ/иа

--/ 20C

^_____

\3ełoAj*22

enLa

’■ \cUati,l£żart^stal

LjJzo-asâ i}СЮ/SJ

ZSSSr, ' I Î

±-J

[-020

0021c-,

-1/2-Ю40

Fig. 113.

Dla płaskich mostów drogowych = ~j i dla sklepień, zbudowanych

wedle linji ciśnienia, można przyjąć :

dla I > 10 rn d₀ = 0,02 l

dx — (1,5 -f- 0,015 l) d₀

(11)

(12)

dla l > 30 m d₀ — 0,011 . .

Dla przepustów kolejowych d₀ — 0,033 ? —{— 0,1

Dokładne wyznaczenie grubości i kształtu sklepienia następuje, jak powyżej dla kamiennych.

Sklepienia. Materjał. Możemy użyć do sklepienia cegły, kamienia łamanego, ciosów i betonu.

a)    Cegły. Zmianę grubości osiągamy odsadkami.

b)    Kamień łamany. Szwy mają być cienkie przy kamieniu obrobionym (0,5—1 cm), grubsze przy nieobrobionym (2 — 3 cm). Do zaprawy używa się obecnie tylko cementu portlandzkiego 1:3 do 1:5.

c)    Ciosy. Wysokość ciosów ma być, ile możności, równa grubości sklepienia g, — g lub — g. Szerokość ciosów wynosi 30—60 cm, rzadko Tb cm.

2    o

d)    Beton. Używamy zwykle mieszaniny 1:2:5 do 1:3:6. W miejscach, gdzie naprężenia są większe, w kluczu i w wezgłowiach mieszaniny tłustszej 1:2:4, nawet 1 : 1,5 : 1,5.

(13)

Wykonanie sklepień. Małe sklepienia sklepimy w całej grubości od przyczółków do klucza. Dla większych sklepień używa się rozmaitych sposobów, aby uniknąć otwarcia szwów podczas sklepienia i potem. Najpierw zostawia się w kluczu, w wezgłowiach i w szwach niebezpiecznych szwy otwarte, nawet przerwy, rozparte beleczkami, i zapełnia się je dopiero przed zdjęciem krążyn, a nawet i potem, i zamyka się sklepienie w kilku punktach równocześnie, przez co zmniejsza się też odkształcenie krążyn podczas budowy.

Dla l > 40 m wykonywa się sklepienia pierścieniami z zazębieniem natu-ralnem, wynikłem z układu klińców.

Beton układa się w warstwach 18—20 cm, prostopadle do podniebienia i ubija bijakami. Betonuje się w paskach takich, aby je można w jednym dniu wykonać (60—100 m³). Jeżeli trzeba betonować dłużej, to albo robi się bez przerwy i w nocy albo też zostawia szczelinę, którą wypełniamy dopiero po ustaniu ruchów rusztowania. Sklepienie trzeba w pierwszych tygodniach często polewać wodą. Obecnie wchodzi też w użycie beton lany.

czasem dwu

Przeguby ustalają linję ciśnienia i przeciwdziałają powstawaniu naprężeń wskutek zmiany ciepłoty i ruchów przyczółka. Konieczne przy niepewnym gruncie, a wskazane wogóle dla większych rozpiętości. Przy mostach murowanych używamy zawsze trzech przegubów, przy żelbetowych przegubów. Charakterowi mostów kamiennych odpowiadają przeguby kamienne (most kolei Drezno-Staremiasto ; fig. 114) lub betonowe (najw. к = 90; kg/cm*).

{5m/m    —

епщ

67rn/m i

[]

J!

S:

Fig. 115.

Fig. 114.

Często wstawiamy wkładki ołowiane o grub. 2 mm, ujęte w blachy mosiężne. Przy większych rozpiętościach używamy ciosów przegubowych żelbetowych (fig. 115). Nazwijmy km najw. dop. ciśnienie, P ciśnienie na jednostkę długości, E, E, spółczynniki sprężystości, R i R, promienie obu walców się dotykających, a połowę szerokości zetknięcia, to

2P ь itfcj k”¹

R, jest ujemne, jeżeli leży na tej samej stronie, co R. Ponieważ największe ciśnienie występuje tylko w bardzo wąskim pasku, więc można km przyjąć bardzo wysokie; dla żelaza możemy pójść aż do granicy plastyczności (2,2—2,4 t/cm²), dla stali <ło 2,8 t/cm², dla kamieni do połowy wytrzymałości materjału.

Przeguby ołowiane, nieodpowiednie dla wielkich sklepień, składają się z warstwy ołowiu, zwykle 15—25 mm, przy wielkich ciśnieniach nawet 8 mm

grubej. Zw. grubość płyty wynosi do ~ szerokości płyty b.

Aby ołów nie wciskał się w pory kamienia, kładziemy zwykle między

2f

ołów a kamień blachę miedzianą lub mosiężną. Szerokość płyty b = —, je-

60'

żeli dopuszczamy ciśnienia na ołów 120 kg/cm². Jeżeli ciśnienie na cios v,

a ==

/ bP_ Ï8re '

ЕЕ, Il 1\

E + E, \R ' Rj ’ ‘

. . (14)

a grubość sklepienia d, to v

=    1/    Ke Hz te szwu zwykle wypełnia się

zaprawą cementową po zdjęciu krążyn. Lepiej jednak zostawić przeguby otwarte. Przeguby ołowiane są dla mostów do 20 m rozpiętości bardzo dobre, dla średnich jeszcze możliwe.

-2Ö 9—-óOr—28 O—“i

952    <

1 8--I-0 (

li

> is

1 Y

)•

,60 I

"■ф" —

■S⁷—Iq©--

■— J—o—

LA

-I

'I

'"j

-405—

K;

iJO

Fig. 116.

050

'к

/(

А Л!

“rZO

2 żela z o tanem,

ШР

~Н

stal land

—40—

-40-^

-50-

-om*.

Fig. 117.

Fig. 118.

Przeguby żelazne są dobre ale drogie ; podobne są do łożysk kołyskowych mostów żelaznych (fig. 116), czopowe (fig. 117) lub styczne (fig. 118)*

Przy użyciu przegubów musimy dla umożliwienia ruchów urządzić też w nadmurowaniu i murach czołowych szczeliny, które należy odpowiednio przykryć blachami.

Nadmurowanie i mury pachwinowe. Nadmurowanie jest koniecznie potrzebne przy sklepieniach półkolistych, gdzie powiększa grubość sklepienia. Przy sklepieniach płaskich stanowi ono podstawę powłoki i reguluje odpływ wody. Zwykle wykonywamy je z kamienia łamanego lub chudego betonu.

Nadsypka. Przestrzeń między sklepieniem, murami czołowemi i powierzchnią drogi wypełniamy piaskiem i żwirem, wogóle materjałem przepuszczającym wodę, nigdy gliniastym. Czasem jako nadsypki używa się też betonu chudego (1 : 14 do 1 : 18), co jest jednak droższe.

LT

Najmniejsza grubość nadsypki w kluczu wynosi:

Mosty drogowe . . .

„ kolei głównych

Kładki

„ drugorzędnych

mosty murowane betonowa

20 cm 75 cm 45 cm 0 cm

45 cm

. 85 cm . 50 cm . 0 cm

W Niemczech grubość żwirówki pod podkładami wynosi

dla mostów kolei głównych , . я я я drugorzędnych

/»znosi się //У*.__

najmniej poleca sie

20 cm 30 cm

15 cm 20 cm

360

::7

г/о

il

AS

B\

Fig. 119.

spadek

Ż/L>i r o rok a 20c-m \

UcT\

\SO

Z noir y

‘/A

■as

Itó

oé

Si

J2-50-

Ska fa jranitc»

m n>

4.

WASC-

Yfr/yy-f?'.

6-за

35

гг$

» • *.

Щ

id

WT

35

20

620--[i

Fig. 120.

Przepisy polskie o budowie mostów drogowych z r. 1926. § 61. Nadsypka jezdni. 2. Grubość nadsypki z pomostem nie powinna w żadnem miejscu być mniejsza, niż 45 cm. 3. Spad poprzeczny jezdni należy dostosować do rodzaju użytego materjału.

Mury pachwinowe. Aby zmniejszyć objętość nadsypki przy mostach dla l > 15 m, a w wiaduktach dla l > 19 m, budujemy często w pachwinach mury, ograniczające komory, a przykryte płytami lub sklepieniami. Zmniejszają one ciężar własny mostu, umożliwiają lepsze odwodnienie i ładnie wyglądają. Mury pachwinowe mogą być poprzeczne (most na Prucie w Ja-remczu ; fig. 119) lub podłużne (fig. 120). Przy mostach jednoprzęsłowych i nio-stach о I >• 40 m spotykamy mury podłużne tylko wyjątkowo. Odstęp w świetle murów pachwinowych podłużnych wynosi średnio 1,3 m, rozpiętość sklepień pachwinowych poprzecznych wynosi średnio 3—Am. Komory można przykryć sklepieniami lub płytami kamiennemi lub żelbetowemi. Mury pachwinowe przerywa się czasem otworami ; wtedy mamy tylko filary odosobione.

Mury czołowe mają u góry grubość najmniej 40— 50 cm. Powierzchnia wewnętrzna zwykle pochyła, nakryta powłoką aż do gzymsu. Należy obliczać je na parcie ziemi.

Gzyms główny nie powinien brakować nawet przy najskromniejszym moście, choćby w kształcie płyty nieco wysuniętej.

Poręcze muszą być dostatecznie silne ze względu na siły poziome, działające w wysokości oparcia. Grubość kamiennych poręczy najmniej 25—30 ш, żelbetowych 8-10 cm, żelaznych 4—5 cm. Wysokość wynosi

ппппппппппппппплппл-пппппп£1.п п_п_п_п _n__nn

Ь;

Fig. 121.

około 1 m, żelaznych 1,1 m. Poręcze żelazne są tańsze od kamiennych i wymagają węższych sklepień, architektonicznie więcej uzasadnione są kamienne.

Powłoka jest to warstwa nieprzepuszczalna, pokrywająca sklepienie lub inny mur mostu. Musi ona być sprężysta, aby nie pękała. We Francji zwykle pierwsza warstwa 3 cm składa się z zaprawy wapiennej, 1350 kg wapna na 1 mz piasku. Na tej warstwie ubitej układa się warstwę 1,5 cm asfaltu. W Niemczech dają dwie warstwy asfaltu po 1,5 cm grubości ; pierwsza z dodatkiem gudronu, druga z dodatkiem żwirku. Używane są też płyty pilśni asfaltowej, których szwy zalepia się kitem asfaltowym. Ponieważ pilśń z czasem gnije, zamiast niej używamy też juty asfaltowej lub tekto-litu, płyty asfaltowej, wewnątrz której znajduje się płótno. Najpewniejszą, ale najdroższą powłoką są płyty ołowiane 2 mm grube. Wszystkie te powłoki zakłada się na warstwie 2—3 cm gfubej zaprawy cementowej 1: 2 do 1: 3, dobrze wygładzonej i wyschniętej, czasem na warstwie betonu 8 cm grubej lub na jednej lub dwu warstwach cegieł na cemencie. Na ściany pionowe daje się asfalt czysty bez piasku na warstwie 1 cm zaprawy wapiennej. Na powłoce nie można dawać ostrokanciastego żwiru, lepiej nakryć ją warstwą cegieł lub piasku.

Odwodnienie wykonywamy wedle zasady, że wodę odprowadzić należy drogą pewną i jak najkrótszą, ochronić ją przed mrozem, a urządzenia muszą być takie, aby rewizja była łatwa.

Nadmurowanie i mury pachwinowe.

821

Odwodnienie powierzchniowe _ jest ważne zwłaszcza przy mostach drogowych. W tym celu dajemy powierzchni spadek poprzeczny dla żwirówki 40—60%₀, dla bruku 24—30%o, dla chodników 12—20%o, oprócz tego ■ spadek podłużny najmniej 1—2%. Por. jednak str. 754. Co 25 m należy odprowadzić wodę z rynien rurami spustowemi na zewnątrz.

\A

У//.ВВ

w,

II

■J075 ...........У

Fig. 122.

l;v>

Иж

шш

ЩУЛ//А/.

\/Уу/лув

L*jT . • d-в»

ЩУ i

Fig. 123.

Fig. 124.

Odprowadzenie wody wsiąkającej może być rozmaite. Ilość wody przy mostach drogowych zależy od rodzaju pokrycia pomostu ; przy mostach kolejowych należy przyjąć całą ilość wody opadowej jako wsiąkającą. Przy mostach o małej rozpiętości odprowadzamy wodę poza przyczółki "(fig. 106). Warstwa kamienia o grub. 50—60 cm ułatwia odwodnienie. Przy dłuższych

mostach nadajemy nadmurowaniu spadek ku rurom odpływowym. Odprowadzić wodę możemy przez klucz (fig. 121), co robimy zazwyczaj tylko przy małych rozpiętościach, przez boki sklepienia (fig. 122) lub w pobliżu wezgłowia (fig. 123). Jeżeli pod sklepieniem jest droga lub ulica, odprowadzamy też wodę przez filar (fig. 124). W takim razie należy się starać urządzić tak odwodnienie, aby można każdej chwili je kontrolować (szeroki otwór, do którego można wleźć lub rury do wyjmowania).

Wodę wprowadzamy do rur spadowych za pośrednictwem talerza i koszyka (fig. 125) lub tylko rusztu (fig. 126). Czasem sprowadza się wodę równocześnie z pomostu tym samym otworem.

W takim razie przedłużamy rurę aż do pomostu. Średnicę rury odwadniającej mo-

Vo°o°

UL

w&

шШ,

ШШ

Fig. 126.

Fig. 126.

■98h

га

. .О

ilj*......éço

Fig. 127.

wzoru d — yF, gdzie d jest лу m, F zaś powierzchnią

żerny przyjąć wedle odwodnioną w m².

Pomost. Podparcie pomostu. Zazwyczaj cała szerokość pomostu spoczywa na nadsypce, płytach lub sklepieniach pachwinowych. W ostatnich czasach podpierają pomost mostów drogowych dwoma sklepieniami w odstępie 5—6 VI. Na części środkowej podpiera pomost płyta żelbetowa (most na Petrusse w Luksemburgu; fig. 127). Aby zmniejszyć szerokość sklepienia, umieszczamy też chodniki na wspornikach. Przy mostach kolejowych zmniejszamy wtedy szerokość sklepienia do 3,80 m, dwutorowych do 7,50 m, wąskotorowych do 3,70 m.

Szerokość pomostu zależy od Szerokości drogi czy ulicy. W miastach szerokości bywają większe, nawet do 55

Przyczółki i filary. Przy obliczeniu przyczółka musimy uwzględnić oprócz ciężaru własnego i nadsypki parcie sklepienia i parcie ziemi. Filary obliczamy, przyjmując jedno sklepienie obciążone, drugie nie. Wtedy linja

m.

ciśnienia nie powinna wyjść z rdzenia. W razie zawalenia się jednego sklepienia, drugie nieobciąźone działa jednostronnie ; wtedy linja ciśnienia nie powinna wyjść z przekroju.

h i /I

жвяиmam

Ш Y//////////?////////// u

Kształt. Przyczółki mają kształt prostokątny tylko dla małych przepustów, zresztą nachylamy oś przyczółka wedle linji ciśnienia. Ściany wysokich filarów także nachylamy w kierunku podłużnym mostu, średnio 2%, w kierunku poprzecznym 2 -5% (fig- 128). Grubość przyczółków u góry przyjąć mo-ШЛ żerny wedle Melana dla l > 16 m i nachylenia tylnej powierzchni 1: 5.

■■

/N

-■i

“it------

-z^rnJX

u.

4*

Fig. 129.

sklepień półkolistych b — 0,8 -f- 0,13/j dla sklepień odcinkowych -y- = — b = 0,8 -J- 0,2 l J

Należy sprawdzić, czy wymiary są odpowiednie, przy pomocy linji ciśnienia.

Grubość filarów. Dla mostów rzecznych przyjąć możemy dla 40 m > l > 15»« grubość filara u góry

Ъ = 2,0 + 0,07 V

Wedle Séjourné’go jeżeli nazwiemy h wysokość filarów do pomostu, b — 0,1l4- 0,04 A Ъ ^ 0,126 l

Fig. 128.

dla

. . (15)

• (16)

dla mostów niskich

(17)

dla sklepień półkolistych, b = 0,125 l do 0,11 . dla sklepień eliptycznych i odcinkowych.

Dla wiaduktów możemy przyjąć z Houssellem 6 = 0,5 + 0,16 l . . b = 0,2 l -j- 0,04 h \ b = 0,4 -f- 0,15 l j

(18)

(19)

Séjourné przyjmuje dla małych

Jeżeli przyległe sklepienia mają rozpiętości nierówne, to grubość musi być większa 0,25 l do 0,3 l.

Głowice urządzamy przy filarach rzecznych. Dajemy im Ala ułatwienia odpływu wody kształt półkolisty, eliptyczny lub ostrołukowy. Por. „Przy-

• (20)

czołki i filary“, str. 833. Głowice powinny wystawać około 0,5 m nad wielką wodę. Przykrywamy je czapką stożkowatą. Filary lądowe są w rzucie poziomym prostokątne, wzmacnia się je czasem przyporami. Jeżeli most jest w łuku, przekrój filarów jest trapezowy.

W.

Sposoby uniknięcia sklepień ukośnych. 1. Jeżeli kąt ukosu mało co różni się od prostego, to można wykonać sklepienie proste, a potem ścinać poszczególne klińce równolegle do osi mostu. 2. Jeżeli kąt ukosu jest mniejszy, to przy małych mostach i przepustach przekładamy drogę lub strumyk, aby przecięcie było prostopadłe (fig. 129). 3. Powiększamy rozpiętość w świetle (fig. 130), przyczem

l 4- V -j- c = —--f- b cos a.

Sin o.

4. Mury

’CC

-i

czołowe zamieszczamy prostopadle do drogi lub wody pod mostem.

Fig. 130.

Wobec tego mają one kształt niesymetryczny, a skrzydła są z jednej strony wysokie (fig. 131), uż.zwł. przy przepustach.

5. Przy większych rozpiętościach możemy uniknąć sklepienia ukośnego, dzieląc szerokość mostu na paski równoległe do osi mostu i każdy pasek prze-sklepiamy prostym łękiem ₍ !    (most pod Sutterbaus na

Volme; fig. 132).

ii

... , ł

ii i ;

TT

: Kanaf

iii I

Fig. 131.

Wykonanie mostów sklepionych. 1. Ruszto-wania kr ąży no w e.j* Ru-sztowanie krążynowe ma służyć jako podparcie nie-ukończonego sklepienia, powinno być więc mało od-kształcalne i pod całym ciężarem sklepienia ma mieć kształt projektowany. Musi ono być tak ułożone, aby można zdjąć krąźyny, łatwo je wreszcie ustawić i rozebrać. Rusztowanie krążynowe składa się z następnych części: 1. Krążyny, belki, niosące ciężar sklepienia. Górna część krążyny, mająca kształt podniebienia, nazywa się wieńcem. 2. Deskowanie, którego górna powierzchnia leży dokładnie w powierzchni podniebienia. 3. Przyrządy do zdjęcia krążyn. 4. Teżniki poprzeczne. 5. Rusztowanie podpierające, słupy.

Polskie przepisy o budowie i utrzymaniu mostów drogowych z r. 1926. § 55. Kosztowania krążynowe 1. Dla podtrzymania sklepienia przez cały czas budowy aż do zupełnego stężenia zaprawy, wiążącej kamienie, należy wykonać silne i pewne rusztowanie krążynowe, które oprócz ciężaiu sklepienia powinno utrzymać bez widocznego odkształcenia ciężar maszyn roboczych i ludzi pracujących.

Wykonanie mostów sklepionych.

825

''

y'

.**»•

Fig. 132.

-/8 -20m

Fig. 133.

ю ii

/;

’s

W/?l

?S/Pi

So

^96^50^0C^5œ~e50*~650X-è5OA-\

Fig. 134.

Ę-

[н

А)

Л,

ГТ

nP. 4Lu

Fig. 136.

Zasady przy projektowaniu. Unikać zginania belek, lepiej dopuszczać tylko ciśnienie, poszczególne słupy, o ile możności, równomiernie obciążać, jak najmniej wykonywać połączeń.

Deskowanie dla sklepień ceglanych robi się z łat z odstępami 2—4 cm, przy kamieniu łamanym do 10 cm, dla betonowych daje się deski jedna przy drugiej w odstępach 3—5 mm, dla ciosowych używa się belek pod środkami ciężkości klińców. Obliczamy deskowanie jako belki w dwu punktach podparte, naprężenia dopuszczamy do 60 kgjcm².

Krążyny. Ze względu na punkty podparcia rozróżniamy rusztowanie rozporowe, podparte tylko przy filarach (fig. 133) i stale podparte (na Izarze pod Griinwaldem; fig. 134).

Rozróżniamy dalej a) układ zastrzałowy (fig. 135) i b) słupowy (fig. 136) ;

c) mieszany; d) rozpomice trójkątne (fig. 133); e) trapezowe (wiadukt Val

1S\

Fig. 1S6.

740

6i i

Ił W

w/m

/6/7

822

«щ

ШГ

7500-

758-90-

ш-Щ,

Fig. 137.

Mela; fig. 137);/) rozpornice wieloboczne (fig. 138).Wreszcie przy sklepieniach płaskich używa się też jako krążyn g) belek kratowych; h) belek łukowych drewnianych Hetzera, spajanych masą (fig. 139); jako też i) belek blaszanych lub k) kratowych żelaznych (fig. 140).

Odstęp krążyn wynosi 1—2 m, skrajną krążynę umieszczamy w odstępie do 0,5 rn od czoła. Krążyny i rusztowania osiadają się, dlatego podwyższamy nieco krążyny w kluczu. Dla stale podpartych krążyn zniżenie

klucza podczas murowania sklepienia wynosi A / =

200

(l — f), dla rozporo-

wych A/=-L(Z-/).

-s

Ног pi çtoib 25'2rri

Fig. 138.

IllIlllIllillllH

L-62-J

‘AW—

s*

Ôi

Fig. 139,

al

5.

ôj-

/99/

tW

5?

B3

Fig. 140.

тщ;

St

-HrrH

mir®,

TT

Fig. 141.

Wieniec składa się przy małych rozpiętościach z dyli u góry wyciętych wedle kształtu podniebienia. Przy większych rozpiętościach używamy belek, które pracuja na zginanie. Połączenie z za-

.    -i. • • i,    t    n °    ^ . .i

i    strzałami i slupami wedle ng. 141.

iS

Przyrządy do zdjęcia krążyn. Zdjęcie krążyn powinno odbywać się bez wstrząśnień. Dla małych mostów wystarczą a) kliny, dla większych używa się V) śrub (fig. 142), umieszczonych w kierunku promienia pod wieńcem albo pionowo między

'J-

Hit

\У/

bilщ

ШЩЩ

ty

Ml

Fig. 143.

Fig. 142.

■60

20-*i

2rn/>n6iacha

przegubami bez przegub

Fig. 144.

Fig. 145.

\7

m...... ж а л

ćL.

li !

1ГЩ

■i-Ałm+z s? ® в Ш

Fig. 146.

rusztowaniem dolnem a górnem; często używamy c) skrzyń z piaskem (fig. 143). których jednak trzeba strzec przed wilgocią. W ostatnich czasach Zuffer użył przy kolejach alpejskich d) strzemion drewnianych (fig. 144), które się podcina i sprowadza zgniecenie podstawy strzemiona, a przez to zniżenie krążyn.

Rusztowanie wykonawcze.

829

Wreszcie używa się też wind hydraulicznych, składających się z walca z tłokiem, do którego pompuje się wodę, a potem ją wypuszcza.

Sposób spuszczania krążyn wskazuje fig. 145. Przy sklepieniach bezprze-gubowych zaczynamy zniżenie w kluczu, przy trójprzegubowych w jednej czwartej rozpiętości.

Polskie przepisy o budowie i utrzymaniu mostów drogowych z r. 1926. § 55. 3. Podparcie krążyn na rusztowaniu należy urządzić w ten sposób, ażeby przy rozbieraniu nie wywołać szkodliwych wstrząśnień sklepienia, a zarazem, ażeby obniżenie krążyn mogło się odbywać spokojnie i stopniowo.

4. Czas usunięcia krążyn oznaczy techniczny kierownik budowy .... W każdym razie czas ten nie może być mniejszy, niż 1 miesiąc od chwili wykonania sklepienia.

2. Wykonanie. Rusztowanie wykonawcze. Dla wykonania sklepień potrzebne są osobne rusztowania, na których poruszają się żórawie. Budujemy je z obu stron mostu (fig. 146). Odstęp słupów 4—9 m, wysokość piętr 5—8 m. Przy obliczaniu można przyjąć naprężenie 120 kg/cm².

Wykonanie sklepień zależy od materjału.

t-

ÜÜ

Fig. 147.

Obecnie używamy zaprawy cementowej. Małe sklepienia wykonywamy, sklepiać z obu stron od wezgłowia do klucza. Przy większych zostawia się w kluczu, wezgłowiu lub szwach niebezpiecznych szwy otwarte albo przerwy rozparte beleczkami (most Gour Noir; fig. 147) i zapełnia szwy i przerwy dopiero przed zdjęciem krążyn lub potem. Sklepienie zamyka się równocześnie w kilku punktach. Większe sklepienia wykonywano też w pierścieniach.

Betonowe sklepienia budujemy w takich paskach, aby je można w jednym dniu wykonać (60—100 m⁸).

Na drugi dzień zostawia się szczelinę, którą się wypełnia po ustaniu ruchów rusztowania, albo też robi się bez przerwy dzień i noc. Szerokie sklepienia można podzielić na dwie lub więcej części. Nadmurowanie wykonywamy albo równocześnie ze sklepieniem, ale przy dostatecznem obciążeniu krążyn albo później, ale przed zdjęciem krążyn.

Wykończenie. Po wykończeniu sklepienia dajemy powłokę sklepienia, po zdjęciu krążyn mury czołowe, gzymsy, poręcze, nadsypkę, stożki. Nad-sypkę należy nakładać równocześnie w warstwach cienkich, ubitych symetrycznie, aby nie powstało niejednostajne obciążenie lub parcie.

LITERATURA.

Thullie M. : Mosty kamienne. Lwów 1902, II. w. 1908.

Croizette-Desnoyers : Cours de construction de ponts. Paryż 1885.

Morandière R.: Traité de la construction de ponts et viaducs. Paryż 1888.

Bésal J. Emplacement, débouchés, fondations des ponts en maçonnerie. Paryż 1896.

Séjourné P.: Grandes voûtes. Bourges 1913—1916.

Grattan Tyrrel: Concrete bridges and culverts for both railroads and highways. Londyn 1909.

Heinzerling: Die Brücken der Gegenwart. II. Steinerne Brücken. Akwizgran 1875 i 1877.

Färber R.: Dieigelenkbogenbrücken. Stuttgart 1908.

Zimmermann K. : Der Dreigelenkbogen aus Stein, Beton oder Eisenbeton. Stuttgart 1909.

Schönhöfer R.: Die Haupt-, Neben- und Hilfsgerüste im Brückenbau. Berlin 1911.

Schmid К.: Steinbrücken, Durchlässe, Dohlen. Techn. Studienhefte 13. Stuttgart 1916.

Foeieter: Massive Brücken in Stein, Beton und Eisenbeton, Handb. d. Ingw., II. wyd. Lipsk 1917.

Melan J. : Der Brückenbau, II. Band. Steinerne Brücken. Lipsk-Wiedeń 1911, III.w. 1924.

Przyczółki i filary kamienne.

Napisał

inż. dr. Maksymiljan Thullie,

profesor politechniki, Lwów.

Przyczółki. Określenie. Przyczółek jest to budowla, która służy do podparcia dźwigarów głównych mostu i do ograniczenia nasypu.

Siły działające na przyczółek. Na przyczółek działają: ciężar własny, ciśnienie dźwigarów głównych (ewentualnie należy uwzględnić składową poziomą ciężaru dźwigarów przy mostach w spadzie), parcie ziemi, ewentualnie parcie do góry.

Przekrój przyczółka. Przy niskich przyczółkach przyjmujemy przekrój prostokątny, przy wyższych zazwyczaj pochylamy ścianę wewnętrzną

1 : 10 do 1 : 5. Przy jeszcze    ---

wyższych przyczółkach i gdy dźwigary wywierają parcie ukośne na przyczółek, oś przyczółka stosuje się do linji ciśnienia.

Zwykle wtedy podcinamy tylną płaszczyznę przyczółka, dając stoczystość 1:10 lub więcej (fig. 148).

Skrzydła. Z obu boków kończymy przyczółek

Jł li-

Fig. 150.

Fig. 149.

Fig. 148.

skrzydłami, ograniczającemi stok nasypu. Mogą one być równoległe do osi mostu (most na Pełtwi ; fig. 149), przyczem nasyp zakończony jest stożkami, ukośne (fig. 150), prostopadłe (fig. 161) do osi mostu, wreszcie (rzadko używane) wklęsłe (fig. 152) lub wypukłe. Stożki przy skrzydłach równoległych mają stoczystość 1:1, niekiedy dla skrócenia skrzydeł stromsze 2 : 1, nawet 3 : 1 ; wtedy muszą być brukowane albo całkowicie kamienne. Jeżeli skrzydła wypadają za długie, rozdzielamy przyczółek na kilka części, połączonych sklepieniami (fig. 153).

Przy skrzydłach ukośnych wysokość ich zmniejsza się ku stopie nasypu więc też zmniejsza się ich grubość do 70 cm dla mostów kolejowych, zaś do Ö0 cm dla mostów drogowych.

Wybór rodzaju skrzydeł. Wprowadzenie drogi lub wody pod most jest najmniej dobre przy skrzydłach prostopadłych, korzystne przy ukośnych, najlepsze przy wypukłych. Wstrząśnienia działają szczególnie niekorzystnie na skrzydła równoległe, zwłaszcza niskie i cienkie. Dla małych mostów kolejowych należy ich unikać. Najgorzej wyglądają skrzydła prostopadłe, ładniej ukośne, najładniej wypukłe i równoległe. Skrzydła prostopadłe wymagają najmniej materjału, ukośne więcej, najwięcej równoległe i wypukłe. Wedle tych wskazówek należy wybrać rodzaj skrzydeł.

Pokrycie i zakończenie skrzydeł. Najkosztowniejsze pokrycie skrzydeł stanowią ciosy, obecnie bardzo mało używane; bardzo dobrze pokrywamy skrzydła płytami grubemi około 15 cm a szerokiemi 40—50 cm. Aby się nie zsuwały, dajemy w odstępach 3—4 да ciosy oporowe. Ceglane skrzydła kryjemy czasem warstwą cegieł rębem na cemencie. Najtańsze, choć najgorsze jest pokrycie warstwą wybieranych kamieni łamanych na cemencie.

Zazwyczaj ucina się skrzydła płaszczyzną pionową przed zetknięciem się pokrycia z ziemią, kończąc nasyp małym stożkiem (fig. 154). Często wzmacnia się to zakończenie rożkiem prostopadłym do skrzydła (fig. 151 i 152) lub słupkiem (fig. 155).

Fig. 152.

Fig. 161.

W górnej części przyczółka umieszcza się ławę lub łożyska, pod któremi daje się ciosy pod-

'Л

йй

----#0

0—4?/-

"7

a/s

raso-

— —Jr

МО

-873

Fig. 153.

' i i ! I/

Fig. 154.

Fig. 155.

porowe o wysokości 40—70 cm kamienne, w ostatnich czasach także betonowe i żelbetowe, które zachodzą w głąb przyczółka 25—30 cm dalej, niż łożyska. Nasyp ponad poziomem łożysk ograniczamy murem żwirowym. Jeśli przyczółki są betonowe, to pod łożyskami umieszcza się nieraz w betonie dwie

/50

50

FI

Л___

ДОШ

L*i«ÿ

'Z00-"—J50—- ^Z00~

S0'

i²-³⁰/

<W

a-o

J50

гзо—łriiOn

c-d

9ЛЩ

Г?

6Ю

650

0Ç6

JL

hs

-230

* 50

3*2вят

Л*---

efoOmm

-<Ю0--~~t50~75~«0^

'^гоо—

-230^-

CTQ

166.

гг\

•гг

■гг

гг

1-

■гг

■гг,' \гг

>-4,о-

Ч>-

4,0-» «г,/»

<3.26

130

■-W

■50

50,

/-

ab

-L

с-а

J5n

Н    (8—у

~\

Т_7

\J

—в-“

Чо-

■ко

4.0

сж

■<3.45

------

SI SI

Fig. 157.

warstwy starych szyn, drugą warstwę w kierunku prostopadłym do pierwszej w celu rozdzielenia lepszego ciśnienia. Co do obliczenia por. str. 836 i fig. 166.

Portale. Przy większych mostach ze względów estetycznych ustawia się na przyczółku portale kamienne wieżowe, składające się z dwu wież i bramowe, w których obie wieże łączymy rozporą poziomą lub sklepieniem, np. przy moście na Wiśle pod Tczewem.

Przyczółki żelbetowe mogą byc trojakie : a) przyczółki, na których spoczywają dźwigary główne, b) stale połączone z dźwigarami, wiec stanowiące część ramy i c) przyczółki z otworami.

Dla podparcia dźwigarów przy moście w Samborze (fig. 156) zrobiono pod nimi słupy żelbetowe, łącząc je ścianką żelbetową, wzmocnioną żebrami.

40

A ■ В

№i

Ш \w

£< -23

12-30---

г i j: L~j_г!~±~..г.-Iziż

: j г: г t * vL_.т г; - г -L. -г ,±d Л^ t~'~ ' -n_J"r —-г/

ïrJH

---T “i - г “i —

-ж tW

Г;

7Л

Uidok z góry

-54

-w ■

Т}го

ff

-ZhO-4—izo

Fig. 159.

Fig. 168.

Przy przyczółkach żelbetowych robi się też skrzydła żelbetowe i to najczęściej równoległe, połączone żebrami, które wraz z przyczółkiem tworzą skrzynkę z prostokątnymi otworami, jak przy podjeździe pod koleją w Zabrzu (fig. 157). Skrzydła żelbetowe albo spoczywają na fundamentach, albo też mogą być tylko zawieszone na przyczółku nawet betonowym (fig. 158, mosty małopolskie).

Skrzydła służą do ograniczenia nasypu, a więc są to mury oporowe. Dla małych wysokości do 4 w możemy użyć przekroju L ; przy większych wzmacnia się przekrój żebrami (fig. 159).

Przy jeszcze większej wysokości daje się dwie płyty, jedną u dołu, drugą w połowie wysokości.

Filary. Filary służą tylko do podparcia dźwigarów głównych. Mogą być one rzeczne lub lądowe.

Filary rzeczne. Filarom rzecznym daje się w rzucie poziomym inny kształt niż _ lądowym ze względu na lepszy przepływ wody, kończąc je dwiema głowicami, przednią Głowice

l⁴ i

--—5 Ю-

Fig. 16].

i tylną (fig. 160). mogą mieć kształt półkola, elipsy, ostrołuku, trójkąta (fig. 161). Głowica tylna nie jest koniecznie potrzebna, to też w nowszych czasach albo ją spłaszczamy albo zupełnie opuszczamy. Jeżeli na rzece jest wielka kra, to głowicę przednią robimy zwykle półkolistą lub eliptyczną, a unikamy ostrych krawędzi".

Ściany boczne filaru pochyla się około 4%, niskie filary robi się także ze ścianami pionowemi, czasem buduje się filary ze ścianami bocznemi zakrzywionemu Cokołu albo nie daje się wcale, albo mało] wystający do 20 cm, a to około 40 cm ponad małą wodą. Głowice sięgają 0,5 — 1 m ponad wielką wodą. Nakrywamy je często ciosowemi stożkowatemi czapkami.

in

Filary lądowe. Przekrój poziomy przyjmuje 'się zwykle prostokątny. Przy wysokich filarach urządza się czasem przypory. Przy wielkich mostach robi się często filary wydrążone dla oszczędności i zmniejszenia ciśnienia na fundament. Boki filaru nachyla się zwykle, jak przy filarach rzecznych.

Fig. 162.

Układ kamieni. Filary rzeczne buduje się albo z ciosów albo robi się tylko zewnętrzną powierzchnię z ciosu, wewnątrz używa się kamienia łamanego. Czasem tylko głowica jest z ciosu, reszta z kamienia łamanego. Wysokość warstw ciosowych wynosi 30—60 cm.

«ć

~ĆJ0-

-250-

-25JD

-2i°

Fig. 163.

Filary mostów ukośnych i w luku leżących. Jeżeli mosi przecina rzekę ukośnie, to filary buduje się równolegle do kierunku rzek (fig. 162 ; most nad Limmatem). Jeżeli most jest w łuku, buduje się filary w kierunku promienia, otrzymując wtedy kształt trapezowy (fig. 163, most na ßavennie), co jednak możliwe jest tylko na lądzie.

Filary rzeczne nawet mostów w łuku muszą być równoległe do prądu.

Filary żelbetowe używane są, gdy przy mostach rozporowych i łukowych lub przy belkach

a-b i i- to —aoo '

-4«?—» —Д00—»j

'220-

2.50

Sr:

02J

p-j

- safy —

c-d

.    -r    I

⁵

" ЩтШ

s, Щю

Шт

---4Q0 -

V/.

ł—

be

m\î

ни

Q

к/?о

---fao

i

Fig. 165.

ciągłych, połączonych z filarami, powstają w filarach ciągnienia, lub gdy szerokość ich chcemy znacznie zmniejszyć. Wskazane jest wtedy pod każdym dźwigarem urządzić słupy (fig. 164; most w Chatellerault). Często filary takie podobne są do jarzm drewnianych (fig. 165 ; wiadukt Brasso).

t— 250—j-— kOO. —-

b d

Fig. 164.

500-

Wymiary filarów. Podajemy tu kilka wzorów doświadczalnych. Grubość filarów kamiennych u góry przyjmuje dla mostów kolejowych Melan :

£1=1,0 + 0,03 l Kolej państwowa austrjacka przyjmuje dla 1= 10 do 15 m „ 11 — 15 „ 31 tu „ l^> 31 m

(1)

g — 1,0 -f- 0,05 l g 1,6 j— 0,013 1/

£1=1,0 + 0,03 l

Szerokość filaru bez głowic b zależna jest od odstępu dźwigarów głównych skrajnych 6j. W przybliżeniu można przyjąć:

b = bi + 1,6 m

(2)

. (3)

LITERATURA.

Th'ullie Maksym:: Przyczółki i filary kamienne mostów drewnianych i żelaznych, wyd. IX. Lwów 1921.

Croizette Desnoyers Th.: Cours de construction de ponts. Paryż 1886.

Morandière R.: Traité de la construction de ponts et viaducs. Paryż 1888.

Ketchum Milo: The design of highway bridges and the calculation of stresses in bridge trusses. New York 1908.

Waddel: Bridge engineering. New York 1916.

Emperger: Handbuch für Eisenbetonbau. II. Anfl., III. Band. Grund- und Mauerwerksbau. Berlin 1910.

Melan J. : Der Brückenbau. II. Band. Steinerne Brücken. Lipsk i Wiedeń. III. wyd. 1924.

Mosty żelbetowe.

Napisał

inż. dr. Maksymiljan Thullie,

profesor politechniki, Lwów.

Ogólne uwagi. Zaletyiwady. W porównaniu do mostów kamiennych dopuszczamy w mostach żelbetowych większe naprężenia, stąd przekroje są mniejsze. Beton chroni żelazo od rdzy, stąd mniejszy koszt utrzymania, * ’ mostów żelaznych. Dalszemi zaletami są ogniotrwałość i dłuższe trwanie, zwykle mniejszy koszt niż żelaznych ; krótszy czas budowy niż mostów kamiennych i żelaznych; łatwość budowania mostów ukośnych. Wadą ich jest potrzeba ścisłego nadzoru przy budowie, wielka trudność wzmocnienia mostu, wzgląd na mrozy podczas wykonania i potrzeba deskowania dla betonowania.

Naprężenia dopuszczalne. Dla mostów drogowych polskie przepisy M. R. P. z r. 1926 podają w § 77.:

1. Naprężenia dopuszczalne należy w obliczeniach statycznych przyjmować równe wytrzymałości betonu po 28 dniach tężenia, pomnożone przez stępujące spółczynniki zmniejszające wedle tablicy 1.:

Tablica i.

111Z

na-

Rodzaj naprężeń

Spółcz.

zmniej

szający

Najw. granica naprężeń dopuszcz. w kglcm²

Ściskanie przy zginaniu

, n Ścinanie

Przyczepność..........

Rozciąganie przy mimośrodkowem ściskaniu i zginaniu......

osiowe

0,22

0,16

0,022

0,022

0,025

(82 -j- 0,5 L), najw. 45

30

2. O ile uwzględnia się wszystkie wpływy, wymienione w § 22. (wiatr, zmiana ciepłoty, skurcz materjału), można przyjąć naprężenia powyższe wedle tablicy 2.

Tablica 2.

Rodzaj naprężeń

Spółcz.

zmniej

szający

Najw. granica naprężeń dopuszcz. w kg/cm²

Ściskanie przy zginaniu

, n Ścinanie

Przyczepność.......• . .

Rozciąganie przy mimośrodkowem ściskaniu i zginaniu......

osiowe

Ю O GO iO GO <M    <M

(NhO^O^ o' o' o' o'    o'

(35 -\~ 0,5 L), najw. 50

35

5,5

3.    Naprężenia dopuszczalne w żelazie należy przyjmować wedle § 47, p. 2 jak dla mostów żelaznych; por. dział „Mosty żelazne“).

4.    Siły ciągnące ukośne w tych częściach belek zginanych, w których naprężenia są większe niż 0,022 wytrzymałości kostkowej betonu, względnie niż 4,5 kg jem², mogą być przeniesione przez beton tylko w wysokości 30%. Resztę należy przenieść na wkładki ukośnie odgięte i na strzemiona.

Naprężenia dopuszczalne w kg/cm² dla betonu i żelaza w mostach kolejowych wedle rozporządzenia M. K. z dnia 13 stycznia 1926 podaje tablica 3.

Rozporządzenie to przepisuje: '

1.    Grubość żwiru minimum 30 cm.

2.    Grubość płyt żelbetowych > 10 cm, za specjalnem zezwoleniem M. K. Ż. > 8

3.    30°/o siły tnącej musi przejąć sam beton.

4.    Ciągnienie w betonie przy zginaniu wspólnie z żelazem < 24 kg/cm².

5.    W dolnej warstwie belek ciągłych nad podporami można wartości kolumny 2 zwiększyć o 25% aż do 50 kglcm² dla Kw > 150, zaś do 55 kg/cm² dla Z₂₈ ^ 200.

6.    Jeżeli nacisk przenosi się tylko na część środkową (o polu Ft) przekroju F (fig. 166 a), to wartość kolummy 1 można zwiększyć w stosunku j/F:F,. Jeżeli Fl nie leży w pośrodku, to za F należy wziąć wartość centryczną wedle fig. 166 6.

[1

Fig. 166 a 6.

7.    Wartości podane dla l < 10 m odnoszą się i do jezdni.

8.    Kostki próbne z materjałów przeznaczonych do budowy mostu o określonym stosunku mieszaniny i wilgotności, o krawędzi 20 cm, mają być dokonane w dostatecznej ilości na miejscu budowy.

Zmiana ciepłoty. Dla mostów drogowych należy uwględniać zmianę ciepłoty przy dźwigarach ramowych i łukowych + 15° C. Dla dźwigarów, których każdy wymiar przekroju jest większy, niż 70 cm, albo dostatecznie chronionych można przyjąć + 10° C. Spółczynnik rozszerzalności 0,00001 na 1°C, sprężystości 210.000 kglcm². Wpływ skurczu betonu przyjmujemy równoważny obniżeniu się ciepłoty o 15° C. W Niemczech przyjmują zmianę ciepłoty większą + 20—25°.

Należy się starać, by poszczególne części budowli mogły się bez przeszkody rozszerzać, więc urządzać odpowiednie przerwy co 20—40 m, oddzielić

Ogólne uwagi.

Rozciąganie w żelazie

800

750 4-5?

850

800

750 4-5?

850

900

850 4- 5 ?

950

1100

900

850 -|- 5 ?

950

1100

Przy- . czepność betonu do żelaza

СО

4,5

Ścinanie i naprężenie główne

со со

со со

3,5

dla mostów belkowych „ łukowych i ramowych

4,5

dla mostów belkowych j „ łukowych i ramowych]

Tablica 3.

Ściskanie

zginanie i obciążenie mimosrodkowe

26

osiowe

20

18 4-0,2?    24 4-0,2?

31

30

28 -f 0,2 ?

35

35

33 4- 0,2 ?

38

41

40

38 4- 0,2 ?

43

46

25

25

23 -f 0,2 ?

30

25

23 4- 0,2 ?

31

30

28 -f 0,2 ?

36

Rozpiętość

<;io

> 10

najwyżej

< 10 >10 najwyżej

^10

> 10

najwyżej

OT <

от !>

najwyżej

Wytrzymałość kostkowa po 28 dniach K.2i kgjcni¹

150

200

;> 150

005 <

Obciążenie uwzględnioue w obliczeniu

a) normalne, tj. ciężar stały, ciężar ruchomy naj-niekorzystniej ustawiony, przy mostach w łuku także siła odśrodkowa

b) maksymalne, tj. prócz a) także : parcie wiatru, wpływ Xwahania temperatury, skurczu betonu i hamowania pociągu

со

pomost od filarów i przyczółków, zastosować łożyska przesuwowe lub wałkowe.

Szczegóły ustro ju. Wedle zasad znanych z teorji i ustroju budowli żelbetowych należy starannie układać i odginać wkładki, oraz kończyć je hakami półkolistymi o średnicy 2,5—5 d. Rozporządzenie szwajcarskie 1916 przepisuje najmniejsza grubość prętów w następujący sposób:

belki płyty

z r.

strzemiona 7 mm 5 mm

Odstęp wkładek między sobą w świetle powinien być równy lub większy od grubości wkładek, jednak nie mniejszy niż 2 cm, a większy niż 15 cm. Najmn. grubość okrycia nie może być mniejsza niż 1 cm w płytach, 2 cm w belkach, przy mostach kolejowych lepiej 3 cm.

Łączenia wkładek należy unikać, w razie konieczności przedłużyć zetknięte wkładki poza punkt zetknięcia 50—80 cm i związać je drutem. Używają też spajania, które może być odpowiednie przy dobrem wykonaniu ; przepisy polskie dla mostów drogowych jednak spawania nie dozwalają.

Należy zawsze zastosować strzemiona, zakończone hakami. Dla tylko ściskanych części budowli można też zastosować żeliwo uzwojone układu Empergera.

Wysokość nadsypki przy mostach kolejowych wynosi najmn 40 cm od górnej powierzchni płyty do dolnej powierzchni szyny, przy mostach drogowych najmn. 15—30 cm, przy drobnym bruku 15 cm do dolnej powierzchni bruku.

mosty kolejowe „ drogowe

14

10

12

Powłoką pokrywamy powierzchnię żelbetu, aby przeszkodzić zamoczeniu, podobnie jak przy mostach kamiennych. Przeprowadzamy ją poza szczeliną między dźwigarem a przyczółkiem, w przekroju poprzecznym przedłużamy

ją w górę (fig. 167). Aby uchronić powłokę od uszkodzenia, pokrywamy ją warstwą 6—10 cm grubą betonu chudego lub żwiru niekan-ciastego.

Mosty belkowe. Przepusty płytowe używane dla małych rozpiętości dla dróg do 5 m (fig. 168), kładek 6 m, kolei 2 — 4 m (fig. 169). Grubość płyt wynosi 15—40 cm. Przepusty mogą być też podwójne, a płyty ciągłe (fig. 170).

Przepusty mogą też być ra-Fig. 171 przedstawia przepust kolei Kutno — Strzałków, a fig. 172 typ ramowy, opracowany dla dróg przez M. R. P., oraz tabelę ilości materjału dla różnych rozpiętości.

Przepusty płytowe z wkładkami tęgiemi używane często dla îi aż do /-Ц m (fig. 17 3). Dwuteowniki umieszczamy w równych odstępach, skrajne czasem w większych. Odstęp w świetle między główkami powinien być najmniej 20 cm ze względu na betonowanie. W Prusiech warstwa prawy cementowej u dołu wynosi 2 — 4 cm, u góry beton sięga 3 cm ponad główki. Dla małych przepustów do 2 m używa się też starych szyn. Zazwyczaj oblicza się takie przepusty w ten sposób, by dźwigary żelazne niosły cały ciężar. W Prusiech przyjmuje się, że ciężar rozdziela się na 3,5 m szerokości

-20-¹¹—25——20—

700

■ТУГ

PPS

za

i§

mowę.

Fig. 167.

przy wysokości nadsypki 35 cm. Deskowanie do betonowania zawiesza się na dźwigarach albo wogóle wykonuje się całą płytę obok toru.

Kommerell¹) podaje następną tabliczkę:

Tablica 4.

Rozpiętość .... Wysokość ustroju . Wysokość dźwigarów Odstęp dźwigarów . Ciężar kg/m² . . .

400 -5>

Ф /6 m/m na m. szer

Ф/6т/т na m. sien

Pig. 168.

(50.

~52'l5r

у—925—~2(Г " SO-'

- ! 4,-50 Fig. 169.

-92:

2.00

±sâ

0.50_100

t,„u 4u

JM

Fig.Jil70.    ¹

Mosty belkowe z pomostem górą używane są dla dróg dla I = 5 do 25 m, wyjątkowo do 40 m, dla kolejowych od 4 do 13 m, wyjątkowo do 16 m. Odstęp żeber wynosi dla dróg 1,0—2,0 m, średnio 1,5 m (fig. 174). Melan przyjmuje c = 0,8 -j- 0,07 l. Dla kolei daje się 2 lub 4 belki żebrowe

(fig. 175). Wysokość belek przyjmujemy dla dróg do y- l, dla belek ciągłych^- do

płyty 10—20 cm. Szerokość żebra powinna być tak wielka, aby wygodnie pomieścić wkładki żelazne. Najmn. Ъг = 30 cm, lepiej 35—40 cm. Melan przyj-

^~l, dla kładek ~ do    dla kolei ф

10    ZU    Z Z    o

do

ii.

10

Grubość

muje dla dróg = 0,2 -f- 0,15 h, dla kolei Ъх — 0,25 -\- 0,2 h. Belki skrajne, mniej obciążone, mogą bjć węższe lub niższe.

W przekroju poprzecznym możliwe są rozmaite ustroje: 1. Płyta wystaje (fig. 176). 2. Płyta spoczywa na wspornikach (fig. 174). 3. Chodnik podparty

48

Si

ir

IV

ii

Si

kV

vil

Fig. 171.

o/Ą

/75

/,50

life (35

/.50*

i!

mm

07УШ

У/у.

Y/ya

Y////Y.

I___

Beton m³

Żelazo kq

Rnzp.

glo

rura

\Z.20

wica

na

m b.

, rura głowica

na

U5

.вГГч.°.о

fss-llf

«С

o co t> о Ю o

1,29

0,53

10,0

2,24

0,60

13,0

3,06

0,90

26,8

0,7$

2.00*

4,90

1,37

17,6

13,35

27,4

3,15

31.9

5,5

53,0

” 050*—00 —*■

Fig. 172.

na

na mur

osobną belką (fig. 175). Umieszczenie rur wodociągowych, kabli uwidocznione na fig. 177 i 178. Wodę zbieramy przy krawężniku w rynnach i odprowadzamy zewnątrz rurą (fig. 179). Fig. 180 przedstawia odwodnienie powierzchniowe. Przy małych mostach do 8 m kładziemy belki żelbetowe wprost (fig. 181) lub za pośrednictwem asfaltu. Przy większych rozpiętościach nad 10 m dajemy łożysko żelazne stałe (fig. 182) lub ruchome. Zaleca się zawsze

pfrf

V/75---*

1/75

ЬУ

70

urządzać silne rozpory w odstępach 3— 5 m, aby uzyskać rozdział ciśnienia belki, a żebra rozeprzeć.

na

r 4.50

WSm

-/<9—*-—58---~ 42    42

200

Fig. 173.

/5

H2dtl8S

600-

'О

ФШ1266 WdtÂ

0*Łł

*7ff-

''

Lj„₌ifcŁa^

? -42^15^16^8^22

к=-=':

it

vos.

2Ф SO dl 150

ЩШ piosssû Щфртю

Fig. 174.

______J

ï&j5

llPi.........

ritt».

я7

FhäIiF

WÊÊÈÈSÊÈÊÈSÈiÊËÊÊ

Ш1- Ш* Ili!

-455

Fig. 173.

Pomost mostów drogowych : żwirówka, asfalt, bruk. Dla mostów kolejowych dajemy żwirówkę o szerokości 3,3 m, grubość jej, liczona od górnej powierzchni powłoki do górnej powierzchni podkładu, ma wynosić 40 cm.

Mosty belkowe z pomostem dołem. Pomost opieramy na poprze-cznicach w odstępie średnio a = 2 m. Wysokość ich ma wynosić najmniej

CS

00

zoo

/2

6P24

-470-

n -Ьлш:

» iFiUulm.

85

i2~Zó’

25—

ШШг8ф30

65-

-/■57—

Fig. 176.

Fig. 177.

ШТ1

Fig. 178.

аяявва

: ••

шшШ-ъ

ШШШ

Fig. 170.

Fig. 180.

$5

fMactfra drervn

Yrparstwa piasku \luh belo nu /4 5

ii o

Fig. 181.

Fig. 181.

jo-Г

жжт

к.

'А

го — /о— /о-*

J5^T

% 1

xi

70

50ó

•/

Fig. 183.

770

L¥

I--*55-

4-

-455-^L

750-

Fig. 184.

Fig. 185.

//36

■875

7УУ1Г

aw

K\

7/Ш

7/36-

878

гяяш'/'жйШ-

li

w. W850/

384

15

w~

Fig. 186.

0,1 b odstępu belek głównych. Jeżeli a > 1,8 m, oraz dla mostów kolejowych dajemy jeszcze podłużnice. Belki główne mogą być równoległe lub też pas górny jest zakrzywiony (fig. 183). Aby zmniejszyć odstęp belek głównych, a więc zaoszczędzić na poprzecznicach, podpieramy często chodniki wspornikami, a dla mostów kolejowych dla stężenia dajemy żebra zewnętrzne. Aby zmniejszyć ciężar belki głównej i oszczędzić na materjale, robi się ściankę cieńszą niż pasy, a także w ściance wydrążenia. Jeżeli zamiast wydrążeń zrobimy otwory, powstaje belka bezprzekątniowa czyli Vierendeel’a (fig. 184).

Wysokość belek głównych przyjmujemy do —1.

Rzadziej używane są belki kratowe, w których trudność nastręcza ustrój węzłów. W belce Visintiniego (fig. 185) wkładki w pasach są zwykle okrągłe, a na nich zawieszamy kratę.

770

-740

/370-

¹

) Tafeln für Eisenbalinbrücken mit einbetonierten Walzträgern. Berlin 1911.

Ф26

«Г

L.2Q430____________

łożysk o przesurv. j/yj/y

Zrviri piasek

Fig. 187.

Mosty o belkach ciągłych. Użycie belek ciągłych pozwala na

mniejszą wysokość belek. Wysokość przyjmuje się — do —Z. Ze względu

na zmianę ciepłoty należy pomost i belki przerywać co 25—40 m. Jeżeli belki ciągłe łączymy stale z filarami, należy uwzględnić w obliczeniu moment tem wywołany. Gdy nie jesteśmy pewni stałości gruntu, urządzamy przeguby, jak przy moście na kanale Begi (fig. 186).

Mosty o belkach wystających i wspornikowych są statycznie

wyznaczalne. Długość ramienia wystającego przyjmujemy około —. Czasem,

jak w moście na Ergolz (fig. 187), ramię wystające tkwi w nasypie. Przy belkach wspornikowych na szerokim filarze, opatrzonym wspornikami, zawieszona jest belka prosta wisząca, jak w moście na Lublenicy w Lublanie (fig. 188).

Mosty ramowe powstają przez stałe połączenie belki z przyczółkami i filarami (fig. 189). Rama może też być przegubowa, jak w moście na Brdzie w Bydgoszczy (fig. 190 i 190 a). Przekrój ramy jest zwykle teowy, przyczem płyta znajduje się po stronie zewnętrznej albo po wewnętrznej.

Obliczenie mostów belkowych. Obliczenie płyty. Wedle przepisów polskich z r. 1926 płyty dźwigarów żelbetowych należy obliczać jako belki ciągłe. Jest to uzasadnione, gdy mamy silne poprzecznice lub rozpory.

4nvm1

/5/3-

"ш

1Яв

ZE

-£33

/<? i

w///, ■

30

-----r^”--------J---ł-H------------------4

T”«x4ii--

, i    i

oznacza najw. moment belki podpartej w dwu punktach, to ciężarów, działających za pośrednictwem żwirówki mamy największy moment dodatni belki ciągłej Mm — Mgm . ;x.

Jeżeli M

om

dla

_ /OZ. asfalt z rohtad z juty

жшШЖШ

V ч. ч7 ч. ч1ч. ч.

жжшЖШ!

T • /у* dyle /Ост gr J

UJ

Fig. 188.

.82!b

JezćL

,630

7Ф22ггУт

42?

$

<N

-i

4)

j/3c/72

W /899

II*

065 i

!l!

5Ф

JH

rJ

/Ж*

ЬлЗ—

I

4‘4

PO,30

<?

crrr:

Fig. 189.

з

у Dla ciężarów, działających wprost bez

T’ №==

Spółczynnik ix można przyjąć dla skrajnego przęsła \uj — — dla średniego ji.? = —

3

nadsypki, dla skrajnego przęsła jj.</ = —, \ip =0,82, dla średniego ag =0,34, |jip — 0,69.

Największe ciśnienie na poszczególne belki obliczamy przyjmując, że i po odkształceniu mostu rozpora pozostanie prosta¹). Przypuśćmy, że na

J*40

/ФЛО

/.

*50

2*50

2*20%.

Fig. 190.

-8,00-

|e|==—

* 6.6Q

чсо

I"

/|//||

/А

fi:

II

ЭД|

tlï

-ЙЛ'О

V VU

-г, so

///II

fl U

||

V.

<T

JW -s.00

Fig. 190 a.

most działa ciężar R (fig. 191) między belkami A i B. Odstęp siły R od F niech bedzie r, a ciśnienia na poszczególne belki A, В, C itd., to otrzymamy : R . r = (5 A + 4 В + 3 C + 2 D + E) a iR^A + B+C-^D + E+F . .

Nazwijmy różnicę w ciśnieniu na dwie sąsiednie belki Л, a stosunek "~ = k, jeżeli J, oznacza moment bezwładności belki skrajnej, a J₀ belki

(1)

(2)

Jo

średniej, to :

^ = (С+2Д)1:,5=С+Д, D=C- Д, E=C-2 Д,

F — (C— 3 Д) к...........

Wstawmy to w równania (1) i (2), a otrzymamy :

5 C(k + 2) + 10 Д к = —■ i 0(4 + 2 к) - Д (k 4-2) = R . . (4)

(3)

*) Por. autora: Mosty żelbetowe, str. 33.

Z tych dwu równań możemy wyznaczyć C i Д, a gd możemy wyznaczyć wszystkie ciśnienia, a potem momen rozpory, podpartej na belkach skrajnych i środkowych.

Z równania (4) otrzymamy:

R . r — 10 а Д к

r i к są znane,

(7 =

R . i— 5 a C (k -f- 2)

5 a (k -j- 2)

10 а к

• • • (5)

Z równań tych widzimy, że C i Д są funkcjami pierwszego stopnia zmiennej r. Jeżeli więc dla dwu położeń siły R wyznaczamy Ci Д, to dla tych dwu ilości wykreślić możemy linję wpływową, a z równania (3) także i dla innych ciśnień. Linje wpływowe wskażą nam, czy dla pewnej belki należy całą szerokość * -— mostu obciążyć, czy tylko część, bo np. dla obcią-    f° ~T

żenią, przedstawionego na fig. 191, ciśnienie w F    M

jest ujemne. Znając linję wpływową, łatwo już wyznaczymy najniekorzystniejsze obciążenie dla ciśnienia na każdą belkę. Licząc dokładniej, uwzględnić możemy też odkształcenie rozpór¹).

Fig. 191.

Dla mostów drogowych polskich liczyć należy wedle str. 755 i 756. Wtedy powyższe obliczenie odpada.

Obliczenie belek głównych. Obliczenie belek w dwu punktach podpartych nie przedstawia żadnych trudności. Przy belkach ciągłych, chcąc liczyć dokładniej, należałoby uwzględnić zgrubienia belek na podporach. Zmniejszają się przez to odstępy punktów stałych a i b. Strassner otrzymuje

dla n —    długości zgrubienia u l =    l — 2 1г = l₃

Ja

l . ■(]'

l. Tj'

Y1 + Cl

h - bV

r ' = 3 — 4 a (1 — n), 7] = 1 — a² (3 — 1,6 a) (1 — n),

c₂ =

Jh

«! i b₂ są to odstępy punktów stałych są-

Cl J\ V

siednich przęseł. Wartości yj i Yjf podaje tablica 2.

Jeżeli belka jest połączona stale z filarami, musimy to w obliczeniu uwzględnić, zwłaszcza dla filaru²). Aby te momenty dodatkowe nie były za wielkie, należy filar zrobić tak cienki, jak tylko można.

Jeżeli belki są ramowe, to zwrócić należy uwagę, że zupełne utwierdzenie słupów da się z trudnością osiągnąć. Zwykle mamy utwierdzenie niezupełne albo też urządzamy przeguby, aby uzyskać jasne działanie sił.

Co do obliczenia belek bezprzekątniowych (Vierendeel’a) por. dział : „Statyka budowli, a także autora „Mosty żelbetowe“, str. 40.

Ustrój mostów łukowych. Ogólne uwagi co do kształtu i obliczenia mostów kamiennych stosują się i do mostów żelbetowych. Mosty żelbetowe możemy budować dla większych rozpiętości niż kamienne, bo są one znacznie lżejsze od kamiennych. Także dla małych rozpiętości, dla których wpływ

f _ ą

ciężaru ruchomego jest wiellri i dla łuków płaskich, dla których-y<-

używamy łuków żelbetowych, gdyż ciągnienia występujące w kamiennych spowodowałyby pęknięcia. Dla średnich rozpiętości budujemy mosty betonowe bez uzbrojenia.

’) Por. autora: Bozkład ciężarów na belki mostów żelbetowych. Arch. Tow. Nauk. we Lwowie; także w Beton und Eisen 1922.

⁵) Por. autora: Mosty żelbetowe, str. 37.

Tablica 2.

10

15

20

fi'

rl

fi'

o o o o o o o (M ta о ю о ю o

CO CO

cT cT cT cT o' o' o' o'

0,9773

0,9650

0,9503

0,9136

0,8710

0,8185

0,7608

0,6976

«<1СООсФОЭСПОО

iSGO^OQtSOCC

oooooooo

0,9744

0,9586

0,9441

0,9028

0,8438

0,7959

0,7309

0,6598

o o o o o

CC O (M ^ Ü (M И 05 b lO

0,9735 2,6268 0,9730 0,9571    2,5335    0,9564

0,9421    2,4402    0,9410

0,8992    2,2536    0,8974

0,8483    2,0671    0,8456

0,7884    1,8804    0,7845

0,7210    1,6938    0,7160

0,6472    1,5072    0,6409

o o o

<N <N СО Ю ÎO t-

o co o_

<jf ej" th' t-Г h”

O* O

W==30

40

50

о о о о о о <м о о ю о ю о

o' o' а о~ о" о о" о

Ol

J5L

Sklepieniapełne o wkładce gibkiej. Wkładki z żelaza okrągłego dajemy zazwyczaj obustronnie. Łączymy je wkładkami rozdzielającemi w odstępach 30—60 cm i strzemionami co 40—100 cm dla połączenia wkładek górnych i dolnych (fig. 192).

Stosunek

wynosi zwykle -i- do grubość w kluczu —^

Przy moście na Yarze zastosowano z powodu wielkich ciśnień beton uzwojony.

do —— /.

160

/2*/0пУт

⁰⁷5

37с

040

ОНО

/2*/От/т

5Н6

Uf 12*10

Fig. 192.

Sklepienia z wkładkami tęgiemi mogą być ustrojuWünscha (fig. 193 j most w Serajewie) lub Melana (na Klokuczce w Czerniowcach ; fig. 194). Łuki żelazne kratowe, blaszane lub dwuteowniki układamy w odstępie około 1 m. W kierunku poprzecznym łączy się łęki żelazne rozporami co 5—Sm. Na łękach żelaznych możemy zawiesić deskowanie dla betonowania; wskutek tego ciężar własny sklepienia niosą same łęki żelazne.

Hennebique używa mostów sklepionych dla l > 10 m. Pomost składa się z płyty, podpartej żebrami. Przy mostach l > 20 m zakrzywia on płytę według kształtu łuku (fig. 195 ; most na Lys w Gandawie). Dla większych rozpiętości używa murów pachwinowych lub nawet tylko słupów.

26.00

L5O-430^~- 2. 75

1 JF ^_6^50Q_ 25,56

j. /77 IV -54/,Z3

Fig. 193.

u—4,00-J

5.00-

-07'.

--ó62-

V.

Fig. 194.

-/ch-—ю

Ю-—Ю

Mosty łukowe z osobnymi dźwigarami, pomost górą. Tu budujemy dwa lub więcej łuków, a na nich spoczywa pomost zapomocą murów pachwinowych. Przekrój łuków jest prostokątny (most w Trembowli ; fig. 196).

Mosty łukowe z pomostem dołem budujemy w razie małej roz-porządzaluej wysokości ustroju. Pomost zawieszony jest zapomocą słupów wiszących, których przekrój bywa zwykle prostokątny. Często końce łuku łączymy ścięgnem (most na Sprewie w Lubinie, fig. 197). Połączenie ścięgna z łukiem i jego przekrój por. fig. .198. Jeżeli łuk ma sam przyjąć na siebie momenty, a pomost nie ma go usztywniać, to robimy ścięgna wąskie i sprę-

-Ö40--

=£5=

-/80-

£-*r a*r

гг

—ûl-

w*

Ь \Y^àï

r\

Fi". 196.

fix

FÎT. 195.

—Z61Z-

rv -кг

тш^

!□

ÇZ

VU

'■

ÇVh

ÇZ

çy.h

&г&&*гТШ

9!

9Z

пгп

Ç4?/

ÙZL

lim

065

J /Ч 4Ф30™/т

§ STti,0CLÆ

f/7^

t- 785-

-28/

--60 Ç-

275—-

III

üi

'~445Ji—/'/rOJ^-f7Ox—770 ^ /70-x 770л—/7С '-/250-

Fig. 197.

1/8 "Ут

ft

W\

-5

050

Г-325-

b=^Tjj

-4 577

065■

!4Щ

,;ГО

[~}0

Ш«Р

*/

in

I---2.9

22 3

60-ФЗО^

~28,J

Fig "198.

-SSQ

IN-8

Ф/0

T*-0$ß\

щ

*20

6*26 ....

*26

юоз

073

\=Ч

008 !

"W

CN-24

■008

Fig. 199.

żjste (most w Świdnicy ; fig. 199), aby nie przenosiły ugięcia łuku na ścięgna. Jeżeli zaś chcemy użyć pomostu do stężenia łuku'(fig. 200), to wtedy powstaje paraboliczna belka bezprzekątniowa. ~ Musimy £ wtedy dać silne słupy wiszące i odpowiednie połączenie w węzłach.

Łuki z wkładką z żeliwa. Emperger wprowadził do betonu owijanego wkładki z żeliwa (żelaza lanego) do słupów i łuków. Fig. 201 przedstawia most na Odrze w Wrocławiu, zbudowany według tego układu.

г—SO—»i»-

/2Ф /3 ™/m.

/2Ф/3 m/m.

w»!

SO-*,

У2Ф/5 "Vm

/2Ф23т/т

-50-

,&80

ЛФ/0™/т

-95—

ПТ

,и

Fig. 200.

Rozpiętości. Do roku 1921 największą rozpiętość miał most Odrodzenia na Tybrze w Rzymie (l = 100 ni). W r. 1921 ukończono budowę mostu w Minneapolis na Mississippi o rozpiętości 121,92 да. Ostatnio wybudowano most żelbetowy drogowy w Saint-Pierre-du-Vauvray koło Rouen na Sekwanie o rozpiętości w świetle 131,81 да. Projektowano rozpiętości ponad 200 да.

~ = -i- do    można wykonać tak,

l 8    15

Przeguby, używane dla l> 25 да i

jak przy mostach kamiennych. Przy mostach żelbetowych używane są nadto półprzeguby, przeguby sprężynowe, jak przy przykryciu kanału św. Marcina w Paryżu (fig. 202). Przeguby te są znacznie tańsze i prostsze od innych. Przeguby mogą być też ołowiane, wreszcie żelazne, podobne do używanych przy mostach żelaznych. Fig. 203 przedstawia przegub mostu na Igelsbach. Przy mostach przegubowych musimy umożliwić płycie pomostowej ruchy

wskutek zmiany ciepłoty. Nad przegubami przeprowadzamy szczelinę przez mur czołowy aż do pomostu.

Obliczenie mostów łukowych. Najkorzystniejszy kształt łuku. Przyjąwszy punkta Ai В (fig. 204), łączymy je i wyznaczamy wedle Melana

‘ 17 q₀ + 7 ?!

rzędne dla x = —, przyczem 7]j = czają ciężar jednostkowy w kluczu i w wezgłowiu. Promień krzywizny

16 (5 q₀ + дл)

/, jeżeli q₀ i q₁ ozna-

w kluczu r₀

⁻(⁵ + fW

3

Off

SC

-54.90-

^5599-

Fig. 201.

л-

4>)6

ponad l pod 2cm betonu.

4L

•6l

ТЖо/С .

względnie

Wiązka z 4Ф22 lici 24

-32—*

Fig. 202.

Grubość sklepienia. Dla mostów żelbetowych możemy przyjąć w przybliżeniu grubość w kluczuj = 10 -f- Ï, jeżeli g₀ w cm, zaś l w m. Dla łuków

betonowych g₀ = 15 —j— 1,3 r₀, przyczem r₀

sze teoretyczne por. autora Mosty żelbetowe, str. 69 i nast.

Obliczenie naprężeń w łukach. Naprężenia wyznaczamy l <20 m zapomocą linji ciśnienia, dla l > 20 m na podstawie linij wpływowych.

P -f 4 f

8/

. Wzory dokładniej-

dla

Jeżeli ciągnienia nie przekraczają 10 kg/cm², obliczamy naprężenia wedle fazy I., powyżej tej granicy wedle fazy П. Siły zewnętrzne oblicza się zawsze wedle fazy I., przyczem n — 10.

t/',

V/

t/4

|i|

i lii

\VJ

Û'Ûi

lii

45,

w .*1

Fig. 203.

45

t/41 -*i

Fig. 204.

Polskie przepisy o budowie i utrzymaniu m03tów drogowych z r. 1926 § 76. 2. Przy obliczaniu dźwigarów żelaznobetonowych statycznie niewyznaczalnyoh (hyper-statycznych) należy przekroje i momenty bezwładności przekrojów, złożonych z betonu i żelaza, zastąpić przekrojami sprowadzonymi (idealnymi), przyjmując, że każdy element przekroju żelaza w równaniach sprężystości posiada 10-krotną wartość takiegoż elementu

przekroju betonu Przy tem należy przyjąć spółczynnik sprężystości betonu tak dla rozciągania, jak i dla ściskania równy 210.000 kg/cm*.

Mosty wyjątkowe, filary i przyczółki. Mosty ukośne żelbetowe nie przedstawiają takich trudności, jak mosty kamienne. Mury pachwinowe urządzamy równolegle do przyczółka.

«h

~650je^800J^450j(NOCjCH>50J060CA

31.63

rf

os

____lJ

/6,73

-I

7T\

,жд1«й1жямеи>;

&ZS-

tm

n.~

/2J2Ł-—.

=i

-7,0

4175-

Fig. 205.

048

V/,

L.

/г- i

r:J

t:$

¹—1

ОАО

I----

'ЗШШШШШШ’ШЗЗЁ

Fig. 206.

Mosty kanałowe i wodociągowe. Mosty kanałowe budujemy coraz częściej żelbetowe. Fig. 205 przedstawia most nad koleją Szczecin—Eberswalde. Przy małych rozpiętościach koryto samo się podtrzymuje, przy większych musi być podparte, a wtedy ściany boczne liczymy tylko na^parcie^wody

■tw

l'

V;

t.

ft

W.

■уМШШ.

t.

■70-

Шш

Fig. 207.

5. W

Fig. 208.

-•    /73    _

цмжшЩШШПШ

i й

-JT4rs

à.—-fa

Mjj

ц

Gj

Hi

Hi

ж

Gt

Hi

h

=Si!

Si

t

lr

ra

m

■PH аРЯВ

Hi !

ai

Hi i

ЕНкЕЕНЗЗЭЯ

Fig. 209.

i.

\/

Fig. 210.

4^-, i

■0009-

QQO|*

£§§§§§5те

%>200

щщ

<рщ

1'Гя®

<—-350—200-

4-

jbZ

mm

г. :: .

/070

Wm

70

-350:

-230W/0-

20

/52

8m

Fig. 211.

II

it

/55

II

i

wm

II

зро

Ш    Äff

wit

Fig. 212.

(tig. 206). Ściany koryta, względnie skrzydła należy jak najdalej wpuścić w nasyp, aby zapobiec przesiąkaniu wody. Oddzielenie koryta od belki jest korzystne, bo można belce dać kształt korzystniejszy. Jako belek lepiej używać sklepień, niż belek prostych, a wtedy ze względu, że tu ciężar stały, oś sklepienia wpada na linję ciśnienia. Dla uniknięcia szczelin należy przyjmować małe rozpiętości. W korycie urządzamy szczeliny co 20—30 w, które zakrywamy blachą falistą, uszczelnioną asfaltem lub kauczukiem.

Filary żelbetowe dzielimy zazwyczaj na poszczególne słupy podobnie jak w jarzmach drewnianych (fig. 207). Często na cokole umieszczamy słupy, połączone rozporami (fig. 208). Czasami fundujemy słupy osobno, jak przy wiadukcie na Arroco seco w Passadeno w Kalifomji (fig. 209). Przy belkach ciągłych łączy się zwykle słupy stale z belkami (fig. 210).

Przyczółki mogą być kamienne, betonowe lub żelbetowe. Żelbetowych używamy zwłaszcza przy mostach ramowych. Przy przyczółku w Samborze (fig. 211) słupy służą do podparcia belek, reszta przyczółka stanowi mur oporowy.

Skrzydła są to właściwie mury oporowe. Przekroje ich widzimy na fig. 212. Obliczenie podane w Mostach żelbetowych, str. 92.

II

__700-_____i Q

■m

Ч/Z

m.

4 92

fi/i6

------

Fig. 213.

Wykonanie mostów żelbetowych. Rusztowanie mostów belkowych ma być silne, nie poddające się, deskowanie szczelne. Aby podczas budowy mieć przestrzeń wolną pod rusztowaniem, używa się często belek rozporowych (fig. 213).

Wykonanie belek. Najpierw układamy wkładki żelazne i przytwierdzamy zapomocą drutu 1 mm do prętów rozdzielających. Potem betonuje się w warstwach 15—20 cm grubych i ubija. Dla ochrony od dymu często maluje się belki preparatami dziegciowymi i asfaltowymi lub też wyprawę naciera się czystym cementem.

Rusztowania krążynowe są takie same, jak przy mostach kamiennych, muszą być tylko trochę silniejsze ze względu na wstrząśnienia przy ubijaniu betonu. Krążyny podwyższamy w kluczu 3—8 cm ze względu na zniżenie po wykonania sklepienia.

Przy ustroju Melana zawieszamy deskowanie na tęgim łuku żelaznym zapomocą opasek lub śrub (fig. 214).

Betonowanie sklepień wykonywa się najlepiej w warstwach, przechodzących przez całą szerokość sklepienia. Na fig. 215 widzimy, w jakim

\<2

°    A-60.60.6

Д-; :

i JL

•*. 45-AA. 5

\i

Fig. 214.

®tó

‘O

Чэ

// V

tfeŁ,,

/У

\/

JJC

/\

i,

ч/

П7

A\m

жГУ

/J>J

i?

\/

:—7чг~г V/ \/

у/~ —

угЬЧ

ч> :у

I 60 cm ту s.

dt

[ИЗ

Ш4

9.Ц—\—SJ4---/J?- - -7:i

1 Nr .60

7ToCrvCL

filar belonorvy

Przekrój pr/ez klin

iton

Fig. 215.

porządku wykonywano warstwy. Poszczególne warstwy podpieramy tymczasowo.

Zdjęcie krążyn odbywa się po dostatecznem stężeniu betonu, a więc około 5 tygodni po ukończeniu betonowania, przy użyciu cementu wyborowego znacznie prędzej. Przyrządów w tym celu używa się tych samych, co przy mostach kamiennych.

LITERATURA.

Thullie M. dr.: Mosty żelbetowe. Lwów 1921.

Thullie M, dr.: Rozkład ciężarów na belki mostów żelbetowych, Arch. Tow. Nauk. we Lwowie ; także w Beton und Eisen 1922.

Tedesoo et Forestier: Manuel théorique et pratique du constructeur en ciment armé, II ed. Paryż i Leodjum 1920.

Waddell: Bridge Engineering. New York 1916.

Emperger: Handbuch für Eisenbetonbau, Bd. VI., II. w. 1911. Bd. VU. III. w. Bogenbrücken. Berlin 1921.

Kersten C. : Brücken in Eisenbeton, I. Platten und Balkenbrücken, IV. w. Berlin 1918, II. Bogenbrücken, II. w. Berlin 1910.

Saliger R. : Der Eisenbeton, seine Berechnung und Gestaltung, IV. w. 1920, V. w. 1926.

Schächterle Dr. К. W.: Eisenbetonbrücken, II. w. Berlin i Lipsk 1920.

Santarella e Miozzi: Ponti italiani in cemento armato. Medjolan 1924.

N apisał

Mosty żelazne.

inż. dr. kom. Dr. Andrzej Pszenicki,

profesor politechniki, Warszawa.

I. Część ogólna.

Klasyfikacja mostów żelaznych. Pod względem działania dźwigarów głównych na podpory mostowe rozróżniamy dwa zasadnicze typy mostów : mosty belkowe i mosty rozporowe (łukowe i wiszące). Pierwsze charakteryzują się tem, że pod działaniem na nie zewnętrznych sił pionowych wywołują na podpory ciśnienia tylko pionowe, drugie zaś pod działaniem tychże sił zewnętrznych pionowych dają ciśnienia na podpory ukośne, skierowane na zewnątrz lub na wewnątrz i starają się zwiększyć lub zmniejszyć odległość między podporami. Przy ukośnem działaniu dźwigarów na podpory, skierowanem na zewnątrz, mamy mosty łukowe, zaś przy działaniu ukośnem, skierowanem wewnątrz, otrzymujemy mosty wiszące.

Tak mosty belkowe, jak i łukowe, mogą mieć odmiany. Belka może być podparta na dwóch lub na kilku podporach : w pierwszym wypadku będziemy mieć most o belkach prostych rozciętych (wolno podpartych), w drugim wypadku most o belkach ciągłych bezprzegubowych, lub jeżeli damy przeguby dodatkowe, most o belkach wspornikowych. Również i mosty łukowe mogą być ciągłe lub wspornikowe. Na fig. 216 a (most Pałacowy w Petersburgu) mamy belki ciągłe, dwuprzęsłowe, na fig. 216 Ъ mamy most układu mie-

Plan

<Ф

Cjv.

=4026

ш.

-МММ ■

Fig. 216 a, b,

szanego: belkowy wspornikowy i łukowy wspornikowy (Troicki most w Petersburgu). Pod względem kształtu zewnętrznego mogą być mosty o obu pasach prostych, o jednym pasie prostym i drugim krzywym lub wielo-bocznym, paraboliczne, hyperboliczne, o obu pasach krzywych lub wielo-b ocznych (system Pauli, łukowe ze ściągiem).

W zależności od ustroju ścianki, łączącej pasy dźwigara, mamy mosty o ściance pełnej lub kratowe. Te ostatnie zaś mogą mieć kratę pojedynczą lub wielokrotną, statycznie wyznaczalną lub statycznie niewy-znaczalną. Mosty belkowe o ściance pełnej zwykle stosuje się do rozpiętości do 20 m. Do tej rozpiętości są one ekonomiczniejsze i lżejsze. Przy większej rozpiętości waga własna mostów kratowych staje się już mniejsza w porównaniu z wagą własną mostów o ściance pełnej, lecz wykonanie tych ostatnich jest znacznie prostsze, a zatem i tańsze. Ostateczna przewaga tego lub innego systemu pod względem taniości zależy od stosunku kosztów mate-rjału i robocizny. W Ameryce mosty o ściance pełnej budują do rozpiętości 35 m. Mosty belkowe rozcięte (wolno podparte) mamy do rozpiętości 204 m, wspornikowe do rozpiętości 550 m, łukowe do 250 m, wiszące do 490 m. Przy bardzo dużych rozpiętościacb możliwe są jedynie mosty wiszące;, projekty tych mostów doprowadzone były do rozpiętości 945 m przy szerokości mostu 35 m. Największa możliwa rozpiętość mostu żelaznego wiszącego. jak to wykazały prace komisji, która opracowywała projekt mostu przez rzekę Hudson, mogłaby być doprowadzona nie więcej, niż do 1320 m. Waga mostu wynosiłaby koło 93 t m b.

W zależności od położenia pomostu rozróżniamy mosty z jazdą górą, z jazdą dołem lub jazdą po środku. Mosty z jazdą górą stosujemy zwykle, jeżeli wysokość ustrojowa mostu może być znaczna i jeżeli przeto dźwigary główne można umieścić pod pomostem. W mostach kolejowych o niewielkich rozpiętościacb (do 35 m) mamy możność obejścia się bez belek poprzecznych i podłużnych i układać mostownice (podkłady) bezpośrednio na dźwigarach głównych (fig. 217). W mostach szerokich drogowych możemy dawać kilka dźwigarów głównych, co zmniejsza znacznie wagę pomostu a przez to i całego mostu. Nadto jazda górą daje nam mosty otwarte, które nie zakrywają nam widoku, co również należy do zalet tego ustroju. Lecz, o ile w mostach szerokich można je stosować z wygodą do dużych rozpiętości, o tyle w mostach nie szerokich (kolejowych jednotorowych) przy większej rozpiętości mogą okazać się niedogodne, gdyż wymagają większej odległości pomiędzy dźwigarami, niż przy umieszczeniu pomostu w dole, tj. przy zastosowaniu jazdy dołem.

Przy niewielkiej wysokości ustrojowej stosujemy zwykle jazdę dołem (fig. 218). Jazda pośrodku (fig. 219), lub' w góle pomiędzy pasami dolnym

L.

L_

A.

Fig. 218.

Fig. 219.

Fig. 217.

i górnym może być urządzona przedewszystkiem, gdy na to pozwala wysokość ustrojowa i gdy oba pasy, górny i dolny, są krzywe, gdy wysokość dźwigarów jest niedostateczna, aby je można było powiązać u góry i chodzi o zmniejszenie wysokości dźwigarów, wystającej ponad pomostem dla tych lub innych przyczyn, np. dla zwiększenia sztywności słupków.

Zależność poprzecznego przekroju mostu od wysokości ustrojowej. Jeżeli nie jesteśmy ograniczeni co do wysokości ustrojowej, to mosty o niewielkiej i średniej rozpiętości robimy zwykle z jazdą górą, które prócz innych zalet (lepsze usztywnienie poprzeczne) są zwykle tańsze. Przy rozpiętości około 65—70 m waga mostów kolejowych z jazdą górą lub dołem jest mniej więcej jednakowa. Przy większej rozpiętości mosty z jazdą dołem są lżejsze od mostów z jazdą górą. W mostach z jazdą górą możemy zmniejszyć rozstaw między dźwigarami, zatem otrzymujemy poprzecznice lżejsze, możemy dobrze połączyć dźwigary główne tężnikami poprzecznemi, przez co osiągamy równomier-niejszą pracę dźwigarów przy nierównomiernem obciążeniu dźwigarów ; ilość dźwigarów może być dowolna w zależności od szerokości mostu i odpowiadać najmniejszej wadze całego mostu. Dając mniejszą odległość pomiędzy dźwigarami skrajnemi, niż w mostach z jazdą dołem, możemy zmniejszyć szerokość przyczółków i długość filarów. Wreszcie, przy jeździe górą mamy most otwarty, zatem dobrą komunikację na szerokości mostu, co ma niewątpliwe zalety zwłaszcza w mostach długich.

Jeżeli wysokość ustrojowa mostu jest mała, wtedy stosujemy mosty zjazdą dołem. Te ostatnie mogą być otwarte, tj. takie, które nie mają

ponad pomostem wiązań, łączących dźwigary ze sobą, albo mosty zamknięte, gdy ponad pomostem są wiązania — tężniki, które łączą dźwigary ze sobą. Drugi ustrój jest lepszy, gdyż tężniki podłużne, łącząc pasy górne, usztywniają je i nadają im większą stateczność. Aby jednak można było stawiać tężniki górne podłużne, trzeba mieć odpowiednią wysokość dźwigarów, która jest zależna od rozpiętości mostu. W mostach kolejowych tężniki górne można dawać przy rozpiętościach nawet od 32 m. W mostach drogowych, w których wolna wysokość przejazdu jest mniejsza, niż w mostach kolejowych, tężniki górne można dawać i przy nieco mniejszej rozpiętości.

Rozpiętość teoretyczna dźwigarów. Mając rozpiętość danego przęsła w świetle L, możemy znaleźć rozpiętość teoretyczną l dźwigarów, o ile są dane wymiary ciosów podporowych, na których spoczywają poduszki czyli łożyska¹) mostowe. Nie mając wymiarów ciosów, można w przybliżeniu znaleźć rozpiętość teoretyczną dla mostów belkowych ze wzoru 1 — a.L, gdzie spółczynnik a można przyjąć równym w zależności od rozpiętości L (fig. 220) według poniżej podanej tablicy:

15

30

40

50

60

80

100

1,08

1,05

1,04

1,035

1,03

1,025

1,02

Mając teoretyczną rozpiętość l, możemy znaleźć wagę mostu według jednego ze wzorów empirycznych i obciążenie ruchome; zatem będziemy mieć ciśnienie na podporę A, które da nam możność znaleźć wymiary ciosu podporowego przy dopuszczalnem naprężeniu к na mur. Jeżeli wymiary ciosu

-И

i przy а — пЪ, otrzymujemy a

j[

są a i b, to mamy : ab =

ego

Rozpiętość l — L-\-a-\-2c, wielkość odsadzki c przyjmujemy równą cd 15 do 30 cm i dajemy ją, aby lepiej rozłożyć ciśnienie od ciosu podporow na mur i aby można było ustawiać na niej dźwigi przy podnoszeniu dźwigarów.

/=L-ca.+2(ei-cj

ттщ

НИХ

l-.XkX.

v_—

Fig. 220.    Fig. 221.    Fig. 222.

Dopuszczalne naprężenie к na mur zwykły przyjmujemy około 10—12 kglcmi1 zaś na mur ciosowy w zależności od jakości kamienia к — 20—30 kgjcm². Otrzymaną tym sposobem rozpiętość teoretyczną l zaokrąglamy zwykle tak, aby ona była wielokrotna do długości przedziału mostu, lub wyrażała się w całkowitych metrach. Czasem przy większej wysokości podpór do wielkości L -j- a -j- 2 c dodają jeszcze pochylenie bocznych ścianek podpór 2 c, liczone od podstawy ciosu do poziomu wody normalnej, mając na uwadze, że rozpiętość w świetle Tj winna być mierzona na tym poziomie (fig. 221).

l) „Łożysko“, wyraz używany w Mełopolsoe i Wielkopolsce, „poduszka“ w b. zaborze rosyjskim.

W mostach łukowych rozpiętość teoretyczna zależy od stosunku strzałki łuku do rozpiętości. Dla łuków wyniosłych rozpiętości teoretyczna jest zwykle nieco większa od rozpiętości w świetle, zaś w łukach płaskich, odwrotnie, rozpiętość teoretyczna jest mniejsza od rozpiętości w świetle. W mostach łukowych można zatem dla pierwszego przybliżenia przyjąć, że l = L, znaleźć ciśnieuie na podporę Л od jednego dźwigara, znaleźć wymiary płyty łożyskowej i ciosu podporowego, naszkicować cios i łożysko, i następnie już przeprowadzić obliczenie rozpiętości teoretycznej.

Szerokość mostu, wysokość wolna przejazdu i odległość między dźwigarami. Szerokość mostu zależy przedewszystkiem od zadanej szerokości części przejazdowej, od rozpiętości mostu i od stateczności w zależności od sił poziomych: parcia wiatru, siły odśrodkowej w moście w krzywej.

W mostach kolejowych o niewielkich rozpiętościach z jazdą górą najmniejszą szerokość przyjmuje się 1,8 m przy dostatecznej stałości mostu przeciw wywracaniu się pod działaniem parcia wiatru i siły odśrodkowej, jeżeli most leży w krzywej. Zatem, jeżeli oznaczymy (fig. 222) siłę parcia wiatru na tabor kolejowy przez T, na pomost przez P i na dźwigary przez D, zaś odległość wypadkowych tych sił do dołu dźwigara (do osi czopa łożyskowego) odpowiednio przez Aj, h₂ i h₃, wagę mostu wraz z obciążeniem przez G i odległość dźwigarów przez b, to przy spółczynniku stateczności 1,5 mamy:

bŁ

3,0 (Th, + Ph₂ + Dhs)

W mostach o znacznej wysokości, szczególniej z jazdą górą, by osiągnąć dostateczną stałość mostu (spółczynnik pewności 1,2—1,5) przeciw wywracaniu się pod działaniem sił poziomych, należy stawiać dźwigary pochyło. Nadto odległość między dźwigarami winna być taka, aby była zabezpieczona sztywność mostu w płaszczyźnie poziomej, aby pod działaniem parcia wiatru most w planie zbytnio się nie uginał. Aby zabezpieczyć dostateczną sztywność mostu w planie odległość b pomiędzy dźwigarami mostów o dużych rozpiętościach

nie powinna być mniejsza od — l, w stosunku zaś do wysokości H dźwigarów przy pasach prostych winno być b ^ 0,4 H, przy pasach zaś krzywych b > 0,33 H.

W mostach z jazdą dołem najmniejsza szerokość mostu określa się szerokością skrajni (por. str. 235, fig. 267), w granice której nie może wkroczyć żadna część konstrukcji mostowej, zatem b = 4,40 m. Odległość pomiędzy osiami dźwigarów będzie tutaj zależna*od wystawania dźwigarów ponad nawierzchnią części przejazdowej.

Jeżeli wystająca część dźwiga- ( rów nie dochodzi do pierwszego j| odskoku skrajni, odległość pomiędzy dźwigarami może być w granicach    ii

3,2—3,4 ш (fig. 223 a). Przy wystającej części dźwigarów na wysokości pomiędzy pierwszym i drugim odskokiem odległość ta winna być w granicach 3,7— 4,8 m (fig. 223 b). Przy wyższych dźwigarach szerokość w świetle musi wynosić 4,4 m, zatem odległość między osiami dźwigarów będzie najmniej 4,8 m, mając na uwadze, że szerokość pasów wynosi conajmniej 40 cm (fig. 223 c). Inne warunki, którym powinna odpowiadać szerokość mostu z jazdą dołem,

Bryla, Podręcznik inżynierski. V.

I-

Г*

■ *-~*.eo

!■*—'*/<o

r<-    \ • \d-i-.

Fig. 223 a, b, c, d.

66

113

są te same, które były wskazane wyżej. Dla mostów kolejowych dwutorowych szerokość się zwiększa o 3,5 m, tj. o odległość pomiędzy osiami torów.

W mostach kolejowych jednotorowych zwykle dajemy dwa dźwigary, a tylko w wypadkach, gdy wysokość ustrojowa mostu jest bardzo mała, cztery dźwigary, t. zw. bliźniacze (fig. 223 d). Dźwigary, które tworzą parę, są wtedy zbliżone do siebie do odległości około 300 mm. W mostach dwutorowych ilość dźwigarów może być : dwa, trzy lub cztery. Przy dwóch dźwigarach szerokość mostu może być najmniejsza, gdyż skrajne szyny mogą leżeć nad dźwigarami, odległość wtedy między dźwigarami przy jeździe górą będzie 5 m, przy jeździe zaś dołem odległość ta musi wynosić 7,90 m -f- S, gdzie S jest szerokością pasa dźwigara, zatem najmniej 8,3 m.

Stosowanie w mostach dwutorowych dwóch dźwigarów ma tę niedogodność, że dźwigary otrzymują niejednakowe obciążenie, co powoduje ich niejednakowe ugięcie. Przy jeździe górą można odpowiednio połączyć dźwigary

!(

•jj

л;

mo

Г*

: '■

ЩЕЗщу

tężnikami poprzecznemi i sprowadzić ХЖЖхЩ różnicę ugięć do minimum. Przy jO! jeździe dołem stężenie poprzeczne jest dość trudne, ugięcie otrzymuje się niejednakowe, w przekroju poprzecznym st się zniekształca, psując połączenia belek poprzecznych z dźwigarami. Dlatego w tym wypadku lepiej dawać połączenie belek poprzecznych z dźwigarami przegibne, a nie sztywne.

-Ł.

Fig. 224.

Przy trzech dźwigarach (fig. 224) przy jeździe dołem szerokość mostu zwiększa się o szerokość pasa dźwigara środkowego, który zwykle jest dwa razy silniejszy, niż dźwigary skrajne. Wady, podane powyżej co do ugięć i zniekształcenia przekroju poprzecznego mostu przy dwóch dźwigarach, mają oczywiście miejsce i przy trzech dźwigarach.

Dając cztery dźwigary, możemy mieć trzy następujące kombinacje:

a)    Dwa dźwigary połączone odpowiednio ze sobą tworzą niezależny most jednotorowy. Wszystko zatem, co było powiedziane o mostach jednotorowych, ma tutaj całkowite zastoso-

/,70—**—(90—^ Fig. 226.

*—/,80

wmin. 2,00ĄJ wanie. Dla mostów o niewielkich roz-piętościach przeważnie stosujemy taki ustrój, gdyż to nam daje możność przedewszystkiem podczas remontu połowy mostu zachować ruch w zupełności na drugiej połowie. Następnie przy budowie linji kolejowej przy niewielkim ruchu daje nam możność budować budowę wierzchnią mostu dla jednego toru i tylko w miarę wzmożenia się ruchu dobudować przęsło dla drugiego toru. Wymaga to wprawdzie nieco szerszych podpór, gdyż pomiędzy środkowemi dźwigarami musi być pewien wolny odstęp około 0,8 m, aby można było nitować.

b)    Dwa dźwigary, będąc niezależne pod względem sił i odkształceń pionowych od drugich dwóch dźwigarów, są połączone ze sobą tak, aby mogły się wspomagać pod względem parcia wiatru, aby przy zmniejszeniu odległości pomiędzy dźwigarami każdej pary zapewnić jednakowoż ich stałość przez odpowiednie połączenie jednej pary z drugą na podporach.

c) Wreszcie trzecia kombinacja przy jeździe góra powstaje, gdy wszystkie dźwigary sa ze sobą połączone tężnikami pionowemi (fig. 225). Daje ona nam możność zmniejszyć odległość pomiędzy skrajnemi dźwigarami, przez co zmniejsza się szerokość podpór, lecz za to przy obciążeniu jednego toru zniekształcenie poprzeczne mostu ma miejsce.

Jeżeli most z jazdą dołem leży w krzywej, wtedy, ponieważ szyna zewnętrzna wznosi się nad szyną wewnętrzną na wielkość h, szerokość mostu musi być zwiększona nie tylko o strzałkę łuku f, odpowiadającą długości przęsła, lecz nadto na poszerzenie wskutek pochylenia obrysia (por. str. 752 i 753, fig. 4 i 5).

Przy jeździe górą poszerzenie mostu położonego w krzywej, w porównaniu z mostem, leżącym na linji prostej, odpowiada tylko strzałce. Ponieważ tutaj mamy dodatkową siłę poziomą odśrodkową, przeto przy określeniu stałości mostu siła ta powinna być uwzględniona.

om

Wysokość ustrojowa mostów. Wysokość ustrojowa mostu zależy od warunków miejscowych. Mogą one określać ścisłe granice poziomu stopy szyny mostu kolejowego lub poziomu górnej krawędzi nawierzchni pomostu mostu drogowego. Również mogą ograniczać obniżenie dolnej krawędzi budowy wierzchniej mostu na całej jego długości lub też częściowo. Mając takie warunki, musimy stosować ustrój taki, któryby czynił im zadość, zatem posiadał odpowiednią wysokość ustrojową. Dane przeto ilościowe, dotyczące wysokości ustrojowej mostów, mogą być rozważane pod kątem, że miejscowe warunki nie ograniczają tej wysokości i że, stosując ten lub inny ustrój budowy wierzchniej, możemy wysokość ustrojową nadawać taką, jaka okaże się najdogodniejsza dla danego systemu, a więc stosując most z jazdą górą, nadać wysokość dźwigarom na podporze i w przelocie taką, jaka wypada najdogodniejsza pod względem wagi mostu ; przy jeździe dołem poprzecznie:: nadać wysokość, jaka okazuje się najdogodniejsza również pod względem

wagi, tj. np. ---rozpiętości.

Tymczasem z warunków miejscowych może wynikać, że trzeba stosować

belki poprzeczne lub nawet dźwigary główne ustroju belkowego —

rozpiętości, by zmniejszyć do minimum wysokość ustrojową. Najmniejszą wysokość ustrojową można osiągnąć pośrodku danego przęsła w mostach z jazdą górą w układach łukowych. Wysokość tę można doprowadzić do

h = — -j- 0,35 m, jeżeli rozpiętość l wyrazimy w metrach, w mostach zaś

j- 0,35 m

20—23

belkowych wysokość ta może być sprowadzona do h

m.

przy jeździe górą, i w mostach kolejowych nawet do ^ — <jq

ilf

W normalnych warunkach wysokość ta zależy od ustroju jezdni, od sposobu połączenia poprzecznie z dźwigarami, wreszcie od tego lub innego systemu samych dźwigarów głównych. Nie będziemy tutaj podawać tych wielkości przy różnych ustrojach, gdyż podanie ich często tylko w błąd wprowadza tych, którzy korzystają z takich wzorów, a szczególniej, jeżeli warunki miejscowe są w niezgodzie ze wzorami. Jak rozważymy dalej ustrój poszczególnych części mostów, z których składa się całość budowy wierzchniej, wtedy każdy może łatwo znaleźć, w jakich granicach może się znajdować wysokość ustrojowa jednego i tego samego systemu mostu. Ogoli ' tutaj musimy tylko zaznaczyć, że, stosując belki niewielkiej wysokości, musimy takowe obliczać nie tylko ze względu na wytrzymałość, lecz również i ze względu na sztywność. O ile bowiem stosujemy belki nor-

malnej wysokości w granicach nie mniej niż ~ rozpiętości w mostach kolejowych i do — rozpiętości w mostach drogowych, to sztywność belki jest

dostateczna. Poza temi granicami przy dopuszczalnych naprężeniach zwykłych sztywność może się okazać niedostateczna. Ugięcie belki może być zbyt duże i w tych wypadkach wypadnie znacznie obniżyć dopuszczalne naprężenia, by ugięcie nie przekraczało wymaganej wielkości.

W normalnych warunkach możemy przyjmować następujące wysokości ustrojowe mostów w zależności od ich ustroju:

1. Mostownice leżą bezpośrednio na dźwigarach (fig. 226 я):

0,30 m.

7 oolO

2. Na dźwigarach głównych postawione są belki poprzeczne, do belek poprzecznych przynitowane są belki podłużne i na tych ostatnich ułożone są mostownice (fig. 226 b) :

j- 0,30 m.

7 cv> 10    6 cv> 8

3. W moście z jazdą dołem belki podłużne przynitowane są do belek poprzecznych tak, że pasy górne poprzecznie i podłużnie leżą w jednym poziomie. Na podłużnicach ułożone są mostownice (fig. 226 c) :

0,30 m.

5 cv> 15

4. Most z jazdą dołem; na podłożu z blach cylindrycznych lub nieckowych jest podsypka i na niej podkłady (fig. 227 o):

-f- 0,35 m.

5 <x> 10

5.    W moście z jazdą dołem dźwigary główne połączone są blachą falistą o fali prostokątnej nitowanej i szyny ułożone na podkładach drewnianych (fig. 227 b):

Wysokość ustrojowa mostów jednotorowych: h— 270—450 mm, mostów dwutorowych : h — 500—530 mm.

6.    Przy małej wysokości ustrojowej, gdy dźwigary nie mogą się wznosić ponad pomostem, wysokość belek głównych bliźniaczych może być doprowadzona do — rozpiętości. Szyny ułożone są wtedy na poprzecznicach,

ZU

łączących belki miedzy sobą (fig. 227 c) i całkowita wysokość ustrojowa ‘ I

h = —, lecz nie mniej niż 0,35 m.

W mostach drogowych, w których obciążenie ruchome jest zwykle znacznie mniejsze, o ile most nie jest zbyt szeroki przy jeździe dołem, wysokość ustrojowa może być mniejsza, niż w mostach kolejowych. Przy jeździe dołem, gdy rozstaw dźwigarów głównych jest znaczny, belki poprzeczne mogą wypaść dość wysokie i przez to wypada większa wysokość ustrojowa.

W mostach belkowych z jazdą górą wysokość ustrojowa przy grubości nawierzchni d może być przyjęta:

Я <x> 12

(- d, a nawet h — — -\- d.

W mostach belkowych z jazda dołem przy odległości między dźwigarami b:

f d.

8 cvj 15

W mostach łukowych z jazdą górą wysokość ustrojowa pośrodku (w kluczu):

h — — -f- d 60 ¹

na podporze :

li

8cvjl7^rf' 2’ jeżeli przez i oznaczymy średni spadek podłużny nawierzchni mostu.

60

W-s,00-

lJ—I-

и д , OIp*

u— 3,50---—

П---

X.

"T

Fig. 226 а, Ь, с.

Fig. 227 а, Ь, с.

Siły zewnętrzne mogą być pionowe lub poziome. Do pierwszych należą : iwaga (ciężar) własna mostu czyli obciążenie stałe, oraz obciążenie ruchome pod postacią pociągu w moście kolejowym lub pod postacią ciężkich wozów, ciężarowych automobili, wałków szosowych, tłumu ludzi itp. w mostach drogowych.

Ciężar własny mostu stanowi obciążenie statyczne i jest zazwyczaj niezmienny, o ile nie uwzględniać w mostach, np. drogowych, wsiąkliwości wody w nawierzchnię pomostu, ścieralności pomostu lub w nawierzchni drewnianej większej lub mniejszej zawartości wilgoci w zależności od stanu pogody. Zmiana wagi od powyższych przyczyn jest zazwyczaj nieznaczna i dlatego przyjmujemy ją jako stałą, aczkolwiek w pewnych wypadkach przyjmujemy tę wagę większą lub mniejszą w zależności, co jest nie-dogodniejszem dla danego ustroju, np. gdy chodzi o stateczność dźwigarów wspornikowych.

Wagę własną mostu przyjmujemy zwykle jako równomiernie rozłożoną na całej rozpiętości mostu, gdyż to nam upraszcza obliczenie, jednak w mostach o dużych rozpiętościach, w mostach np. wspornikowych, wiszących lub wysokich łukowych jest ona rozłożona nierównomiernie i dlatego też lepiej ją przyjmować rozłożoną na węzły. W ostatnim wypadku przyjmujemy, że na węzeł przypada połowa wagi wszystkich prętów dźwigara, schodzących się w danym węźle. Waga części przejazdowej przypada te węzły, w których jest położona, zatem przy jeździe górą na węzły górne i przy jeździe dołem na węzły dolne.

na

Waga własna mostu a priori właściwie nie jest wiadoma, bo musimy wpierw most obliczyć, zaprojektować i po wykonaniu projektu dopiero możemy obliczyć jego wagę, mając dokładne wymiary wszystkich jego części. Aby zaś mieć wymiary wszystkich części dokładne, musimy przeprowadzić obliczenie mostu, dla którego musimy, jako siły zewnętrzne, przyjąć wagę. Przyjęcie wagi dla wprowadzenia jej do obliczenia mostu nastręcza częstokroć dość duże trudności, szczególniej, jeżeli mamy do czynienia z projektowaniem mostu niezwykłego. W tym wypadku zmuszeni jesteśmy iść drogą stopniowego przybliżenia, tj. możemy określić wagę mostu na zasadzie tych lub innych kombinacyj, wagę tę wprowadzić w obliczenie, na zasadzie przeprowadzonego obliczenia wyznaczyć poszczególne części mostu, mając wymiary tych części, obliczyć wagę i, porównując ją z przyjętą, przychodzimy do wniosku, o ile ona odpowiada wadze założonej pierwotnie.

Dla układów statycznie wyznaczalnych w pierwszem przybliżeniu wagę mostu możnaby tak obliczyć : Oznaczając przez p wagę własną dźwigarów' głównych na metr bieżący, przez F wagę własną części przejazdowej, którą zawsze nie trudno obliczyć z dostateczną ścisłością, przez pt wagę tężników, która zazwyczaj w konstrukcjach żelaznych stanowi pewien procent od wagi dźwigarów głównych, przez q obciążenie ruchome na metr bieżący :

Pi = aP = [⁹% — 12%] p.

Dalej, 'jeżeli oznaczymy przez siłę w elementach dźwigara od obciążenia p — 1 równomiernie rozłożonego na metr bieżący dźwigara, przez' S tak samo od obciążenia ruchomego jednostkowego, przez h dopuszczalne naprężenie, przez X długość pręta dźwigam i przez y wagę właściwą materjału, przez l długość teoretyczną dźwigara, przez cp spółczynnik ustrojowy (stosunek rzeczywistej wagi do teoretycznej), to teoretyczną wagę dźwigara możnaby otrzymać ze wzoru :

tk-?T(l + a)ï^

W tym wzorze znak sumy rozpościera się na wszystkie pręty dźwigara.

Spółczynnik ustrojowy cp jest różny dla różnych mostów i zależy często nietylko od rozpiętości mostu i systemu, lecz nadto od indywidualności projektującego. Spółczynnik ten waha się w granicach od 2,45 do 1,65, przytem dla mostów małych rozpiętości jest zwykle większy, niż dla mostów dużych rozpiętości. Kilka spółczynników tych podanych jest w niżej umieszczonej tabeli:

Rozpiętość l

75 m

33,0 m

110,0 m

127,4 m

158,4 m

Spółczynnik cp

2,50

2,50

1,75

1,71

1,67

Dla rozpiętości pośrednich można brać <p również pośrednie.

Wagę mostu możemy przyjąć na zasadzie projektów już wykonanych, jeżeli projektujemy most mniej więcej według jednakowych warunków

technicznych. Z całego szeregu mostów wykonanych, przytem mostów mniej więcej jednego systemu i dla jednakowych celów, możemy się posiłkować wzorami empirycznemi o prostym kształcie, z których można określać wagę mostów projektowanych. Tak dla mostów belkowych kolejowych jednotorowych mamy następujący wzór:

p=Cl + F,

gdzie p jest wagą mostu na metr bieżący, l teoretyczną rozpiętością mostu, F wagą pomostu na metr bieżący i C pewnym spółczynnikiem. Mając wielkości C i F dla różnych rozpiętości, dla innych rozpiętości ilości Cip, można otrzymać według prostolinjowej interpolacji i tym sposobem otrzymać dość dokładną wagę mostu i dostateczną przynajmniej dla pierwszego obliczenia. W tabl. 1 są wskazane spółczynniki cip dla mostów kolejowych jednotorowych przy parowozach 100 t, tendrach 56 if i wagonach 48 t.

Tablica 1.

Jazda górą *

Jazda dołem

Waga mostu w

kff/m

p = Cl + F

Bozpiętość teoretyczna l

Waga mostów

kg/rn

p=Cl-{- F

i_4

Bozpiętość teoretyczna l

10

16

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

77,7 l -f- 600

72.5    l -j- 600

71.2    l -j- 600

69.2    l -j- 600

67.5    l -j- 600 63,0 l -j- 600

■ 59,8 l 4- 600

58.4    l -j- 600

58.6    l -j- 1250

55.3    l -j- 1250 52,0 l -j- 1250

49.5    l -f- 1250 47,0 l -j- 125°

20

25

30

35

40

45

50

55

60

90

100

120

130

140

152

158

61,014-1300

55.5    l + 1400

51.5    Z 4- 1400 48,2 71400 45,0 l -f- 1400 43,0 14- 1400

42.4    I 1400 41,7 l + 1400 40,0 l -f- 1400

40.5    l -j- 1400 41,0 l + 1750 41,0 l -j- 1800 42,0 l -j- 1800 43,0^+1800

44.5    l + 1800 47,0 l + 2200

Dla obciążeń innych wagę własną dźwigarów głównych można w przybliżeniu obliczyć, wychodząc z założenia, że całkowite wagi dźwigarów mostów mają się, jak całkowite obciążenia. Przeto, mając wagę mostu p = Cl-\-F przy obciążeniu q, możemy znaleźć wagę p₁ mostu tej samej rozpiętości przy obciążeniu q₁ z równania:

C\Fi + gi]

' F^q •

skąd Ci

Cl Cl + F + g

CJ Ci l + F! + <+

Waga części przyjazdowej Fi oczywiście musi być obliczona dla nowego obciążenia, co zazwyczaj nie sprawia wielkiej trudności, o ile konstrukcja jest wyjaśniona przynajmniej w głównych zarysach, a co powinno być zrobione przed przystąpieniem do obliczania poszczególnych części mostu.

Dla dźwigarów z pasami prostemi równoległemi można zastosować następujący wzór do obliczenia wagi własnej dźwigarów :

//mb.

2.F[a²(2 m² + Зш- 2) + 6mh²] + g,[a²(4»t² + Im - 6) + 2 h²(7 m — 2)]

24 к h

еру

— 2.2 [a² (2 m² 4- 3 m — 2) + 6 m A²]

W tym wzorze jF oznacza wagę części przejazdowej w t/m b. mostu, a długość przedziału przęsła w metrach, m ilość przedziałów, licząc węzły główne, к dopuszczalne naprężenie w t/m², h wysokość dźwigara, q obciążenie ruchome w t/m b. mostu, у wagę właściwa materjału, z którego most się buduje i cp spółczynnik ustrojowy, który jest różny dla różnych rozpiętości i może być przyjęty średnio 1,75.

Dla wsporników o n przedziałach można korzystać ze wzoru:

(F-\~ q) a [a²{2 n²-\- 1) -j- Ъп{а² -)- 2Ä²)] —f-6 Q[a²(n-\- 1) + 2 h²] . p =----——    — t/m b-

1,1 « [o² (2 n² -f 1) + 3 (a² + 2 A²)]-

¥ • Ï

We wzorze tym Q oznacza całkowite ciśnienie na wspornik od belki zawieszonej, n ilość przedziałów wsporfaika, inne zaś wielkości, jak wyżej.

Jeżeli oznaczymy przez p^ wagę tężników i pozostawimy oznaczenia innych wartości, jak we wzorze powyższym, to uzyskamy następujące wzory, dane przez prof. Nik o lai’ego i otrzymane na zasadzie teoretycznej objętości dźwigarów:

1. Dla dźwigarów z pasami prostemi równoległemi:

13,74 (F+pi)+ T* + t) + q {h + YÎ¹ + Щ

к — 13,74

(Ä+I'+IJ

t/m b.

2. Dla dźwigarów o pasie krzywym (parabolicznych,⁻ hyperbolicznych, wielobocznych) :

13,74(F + ^)(2,126 —+ yA-

4 h²

)+Ж-*)

^-13,74(₂,Ш₈4+|А-

4 h²

- t/m b.

Według Bertschingera waga dźwigarów głównych w mostach drogowych o rozpiętości L w m wynosi:

I.    Mosty kratowe z pomostem z dyli: g = 25 -j- 2 L -{- 0,008 L² kg/m².

II.    Mosty z pomostem ciężkim.

a)    Dźwigary o ściance pełnej (blachownice), mosty bez chodników :

g = 60 -j- 5 L kg/m².

b)    Takież dźwigary, mosty z chodnikami :

g = 20    5 L kg/m².

c) Dźwigary kratowe, most z chodnikami wewnętrznemi.

2.    Pasy krzywe, rozpiętość

3.    Pasy krzywe, rozpiętość d) Mosty kratowe z chodnikami zewnętrznemi.

1. Pasy równoległe, rozpiętość    od    15    do    40    w:    g — 50 -f- 3,7 L kg/m²

od    15    do    40    m :    g — 30 -j- 3,7 L kg/m²

od    40    do    60    m :    g — 60 —3,7 L kg/m²

2.    Pasy krzywe, mosty ofwarte, rozpiętość od 15 do 40 m :

g = 20 -j- 2,8 L kg/m².

3.    Pasy krzywe z tężnikami górnemi, rozpiętość od 40 do 200 m :

g = 50 -f 2 L + 0,01 L² kg/m².

4.    Mosty łukowe kratowe ze ściągiem rozpiętości od 30 do 200 m :

g = 100 -f 2L-f 0,01 L² kgjm².

5. Mosty łukowe ze strzałką f:

— [15 -J- 0,002 L²] kg/m².

Jakość żelaza stosowanego w mostach. Do mostów używane jest prawie wyłącznie żelazo zlewne stosunkowo miękkie. Żelazo to powinno posiadać gładką powierzchnię, bez zader, bąbli, pęcherzy, rys w krawędziach i wogóle miejsc niewypełnionych. Wytrzymałość krańcowa tego żelaza na -rozciąganie winna być od R — 37 do 45 kgjmm² przy wydłużalności nie mniej niż i = 20% dla żelaza o grubości 8 i więcej mm. Przytem winna być zachowana następująca zależność Rit:

R -f- 2 i ^ 85.

Dla żelaza o grubości 7 mm wydłużenie winno wynosić nie mniej, niż 18%

6 mm

5 mm 4 mm

« 17%

„ 16% ii 15%.

Dla nitów wytrzymałość żelaza zlewnego winna być R = 34 — 40 kjmm2 przy wydłużalności nie mniejszej niż 25%, tak aby R -{-2 7^90.

Stal, stosowana do łożysk mostowych, winna być drobnoziarnista bez pęcherzy i plon z powierzchnią zupełnie gładką po otoczeniu. Wytrzymałość stali kutej powinna być nie mniejsza, niż 50 kgjmm² i wydłużalność nie mniejsza, niż 15% zaś dla stali lanej w odlewach stalowych R^kbkglmm2 i i 5:8%.

Żelazo lane (żeliwo) powinno być z kopulaka (żeliwiaka) miękkie o złomie drobnoziarnistym bez wszelkich pęcherzy, dziurek i innych wad, zmniejszających jego wytrzymałość. Krawędź odlewu pod uderzeniem młotka powinna się stępić, lecz nie wykruszyć. Wytrzymałość na rozerwanie R“= 12 kgjmm².

Waga właściwa żelaza zlewnego i stali powinna być 7,85, a żeliwa 7,2. Te wielkości przyjmuje się za podstawę do obliczeń wagi mostów.

Co się tyczy innych wysokich gatupków stali, które mogą być stosowane w specjalnych wypadkach, to własności tych gatunków stali jako to większa wytrzymałość i ciągliwość zazwyczaj określa się specjalnie dla określonych budowli lub ich części.

Normy naprężeń dopuszczalnych Ministerstwa Kolei (rozporządzenie z dnia 10 marca 1923 r.).

1. Dla żelaza zlewnego o wytrzymałości nie niżej 37 kgjmm², przy ciągliwości nie mniejszej niż 20%) przy granicy proporcjonalności nie niżej niż 20 kgjmm² i granicy płynności nie niżej niż 24 kgjmm².

„ Zasadnicze dopuszczalne naprężenie na rozciąganie i proste równomierne ściskanie (bez wyboczenia), oraz na zginanie przy zwykłym statycznym sposobie obliczenia, należy wyznaczać indywidualnie dla każdego pręta albo elementu według następujących wzorów, odpowiadającym normalnym obciążeniom :

A. Dla ustrojów, w których zmiana temperatury nie wywołuje naprężeń : a) od ciężaru własnego i obciążenia ruchomego:

kgjnn²,

1250

1 -f [j.

lecz nie wyżej, niż 1200 kg/cm²-,

b) od ciężaru własnego, obciążenia ruchomego, parcia wiatru, względnie hamowania i bocznych wahań.

1450

‘Sn\in

kg/cm²,

'"’max

lecz nie wyżej, niż 1400 kg/cm².

W tych wzorach Smin i S są siłami w danym pręcie: najmniejszą i największą według ich absolutnych wielkości, przytem znak sił powinien być uwzględniany, zaś spółczynnik dynamiczny |t. otrzymuje się ze wzoru :

|Ł — 0,625 1 + 0,02 X’

gdzie X w metrach jest długością obciążenia dźwigara, odpowiadającą max S. Przy obliczaniu belek poprzecznych i wieszarów przyjmuje się X równe dwom przedziałom dźwigara. Przy obliczaniu mostownic przyjmuje się X = 0. W wiatrownicach dla wszystkich prętów kraty jednego przęsła przyjmuje

się X •= — l, gdzie l

między podłużnicami X = -^-ï, gdzie l jest długością podłużnicy. Dla prętów

= 0. Dla

rozpiętość dźwigara. Dla kraty wiązań poziomych

wiatrownic i wiązań między podłużnicami przyjmuje się S) prętów ściskano-rozciaganych jj. bierze sie odpowiednie do X, lecz nie mniej, niż 0,25.

min

Dla blachownie wyżej wskazane wzory odpowiednio będą dla momentów gnących :

1250

Mmin

kgjcm².

max

Dopuszczalne naprężenie na ścinanie ścianek blachownie będzie : 0,75 .1250

V .

min

kg/cm²,

пах

gdzie V jest siłą poprzeczną.

B. Dla ustrojów, w których zmiana temperatury, jednakowa dla całego ustroju, wywołuje dodatkowe naprężenie, należy stosować następujące wzory :

a) od ciężaru własnego i ruchomego:

1300 — к

Smin

~5--

kg/cm² ;

b) od ciężaru własnego, obciążenia ruchomego i wiatru względnie hamowania i wahań bocznych

^rw

1500 — kł

¹ +1*

min

Icg/cm².

max'

W tych wzorach k¹ oznacza naprężenie od zmiany temperatury w danym pręcie. Zmiana temperatury winna być przyjmowana od —25° C do + 45°C i spółczynnik linjowego rozszerzenia żelaza zlewnego przyjmuje się 0,0000125. Różnica temperatury w jednym i tym samym czasie dla różnych części danego zespołu przyjmuje się +15°C.

Przy stosowaniu mostownic żelaznych i ułożeniu szyn bezpośrednio na mostownicach bez elastycznych podkładek dopuszczalne naprężenie winno być zmniejszone o 50 kg/cm². Przy pomoście balastowym dopuszczalne naprężenie w żebrach części przejazdowej można zwiększyć o 50 kgjcm².

Dopuszczalne naprężenie na ścinanie w nitach przyjmuje sie 0,8 &r, gdzie kr jest zasadniczem dopuszczalnem naprężeniem na rozciąganie w danym

pręcie.

Dopuszczalne naprężenie na zgniatanie ścianki kc — 2 kr, lecz nie wyżej niż 2200 kgjcm².

Przy połączeniu śrubami naprężenie to może być przyjęte kc — 1,6 lcr, lecz nie większe niż 1800 kg jem,².

W prętach ściskanych dopuszczalne naprężenie zmniejsza się według wzorów Tetmajera i Jasińskiego tak, że kc—<.f kr, gdzie tp jest spółczynni-kiem zależuym od stosunku l : r, tj. długości danego pręta do najmniejszego promienia bezwładności jego przekroju. (Spółczynniki cp por. tablica 3, str. 875.)

Pręty ściskane powinny być oprócz tego sprawdzone, czy spółczynnik pewności m na wyboczenie jest dostateczny; powinien on wynosić:

przy — < 66 :

m = —— = 2,65

przy — >110:

4,

^r z

przytem dla — w granicach między 66 i 110 spółczynnik ten określa się

według prostolinjowej interpolacji między 2,65 i 4.

Przy uwzględnianiu działania wiatru spółczynniki te mogą być:

przy — <C 66 :

2,3,

przy — > 110 :

3,5;

К z

przy pośrednich znaczeniach — bierze sie m według prostolinjowej inter-r

polacji wiedzy 2,3 i 3,5.

W wyżej wskazanych wzorach kw (por. tablica 2, str, 874) jest kry-tycznem naprężeniem na wyboczenie, zależne od danej wysmukłości pręta i powinno się przyjmować nie większe, niż 2400 kg\cm², o ileby się otrzymało większe według niżej podanych wzorów :

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

JF

3230

3224

3209

3194

3179

3165

3150

3135

3120

3105

3090

3076

3061

3046

3031

3016

3001

2987

2972

2957

2942

2927

2912

2898

2883

2868

2853

2838

2823

2809

2794

Tablica 2.

= 3387 — 14,83 — ;

— 21220000 (f

s.

t>

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

JF

JS-

- ¹ Ko

JF

<1

2794

2779

2764

2749

2734

2720

2705

2690

2675

2660

2646

2631

2616

2601

2586

2571

2557

2542

2527

2512

2497

2482

2468

2453

2438

2423

2408

2393

2379

69 2364

70

2349

70

71

72

73

74

75

76

77

78

2349

2334

2319

2304

2290

2275

2260

2245

2230

79 2215

80

81

82

83

84

85

86

87

.88

89

90

91

92

93

94

95

96

97

98

99

100

15

15

15

14

15

15

15

15

15

100

101

102

103

104

105

106

107

108

2201

2186

2171

2156

2141

2126

2112

2097

2082

2067

2052

2037

2023

2008

1993

1978

1963

1948

1934

1919

1889

14

15

15

15

15

15

14

15

15

15

15

15

14

15

15

15

15

15

14

15

15

109

110

111

112

113

114

115

116

117

118

119

120

121

122

123

124

125

126

127

128

129

130

1904

1889

1874

1860

1845

1830

1815

1800

1785

1771

1756

1722

1692

1661

1633

1605

1577

1550

1524

1498

1474

1449

1426

1403

1380

1358

1337

1316

1295

1275

1256

15

15

14

15

15

15

15

15

14

15

34

32

31

28

28

28

27

26

26

24

25

23

23

23

22

21

21

21

20

19

133

134

135

136

137

138

139

140

141

142

143

144

145

146

147

148

149

150

151

1200

1182

1164

1147

1131

1114

1098

1083

1067

1052

1038

1023

1009

995

982

969

956

943

931

155

156

157

158

159

160

883

872

861

850

839

829

СЬ Ob GO GO GO b* ZD t⁴* ZD iO CO iO ^ «TS ^    CO CO CO CO 03 CO 03    03    т—*    тН tH rH О

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

0,956

0,952

0,947

0,943

0,939

0,934

0,930

0,926

0,921

0,917

0,912

0,908

0,904

0,899

0,895

0,890

0,886

0,882

0,877

0,873

0,869

0,864

0,860

0,856

0,851

0,847

0,842

0,838

0,833

0,829

0,825

Tablica 3.

Spółczynnik cp na wyboczenie.

'i

0,825 0,820 0,816 0,812 0,807 0,803 0,799 0,794 0,790 0,785 0,781 0,777 0,772 0,768 0,764 0,759 0,755 0,750 0,746 0,742 0,737 0,733 0,729 0,724 0,720 0,715 0,711 0,707 0,702 . 0,698 0,694

100

0,694

0,689

0,685

0,680

0,676

0,672

0,667

0,663

0,658

0,654

0,650

0,645

0,641

0,637

0,632

0,628

0,624

0,619

0,615

0,610

0,606

0,601

0,597

0,593

0,588

0,584

0,580

0,575

0,571

0,567

0,562

100

101

102

103

104

105

106

107

108

109

ПО

111

112

113

114

115

116

117

118

119

120

121

122

123

124

125

126

127

128

129

130

0,562

0,558

0,553

0,549

0,545

0,540

0,536

0,531

0,527

0,523

0,518

0,508

0,500

0,490

0,482

0,474

0,466

0,458

0,450

0,442

0,435

0,428

0,421

0,414

0,407

0,401

0,395

0,389

0,382

0,376

0,371

130

131

(M CO CO CO

134

135

136

137

138

139

140

141

144

145

146

147

148

149

150

151

152

153

154

155

156

157

158

159

160

0,371

0,365

0,360

0,354

0,349

0,344

0,339

0,334

0,329

0,324

0,320

0,315

0,311

0,306

0,302

0,298

0,294

0,290

0,286

0,282

0,278

0,275

0,271

0,267

0,264

0,261

0,257

0,254

0,251

0,248

0,245

dla — > 10 i — < 110:

/•

3387 — 14.83 —

fc,c = 3387 — 14,83— kgjcm², cp

K-**E[j) =

2. Dopuszczalne naprężenia dla źeliwaistaliw łożyskach podporowych podaje tablica 4.

dla —>110,1: r

21220000

3387

(yj kg/cm².

Tablica 4.

Dopuszczalne naprężenia w ległem²

Gatunek mate-rjału żelaznego

bez uwzględnienia dodatkowego sił wiatru, hamowania pociągu i tarcia

z uwzględnieniem dodatkowych sił wiatru, hamowania pociągu i tarci a

przy zginaniu

na ściskanie

przy zginaniu

Ina ściskanie

Żeli

wn

Stal lana

Stal kuta

rozciąganie . 300 ściskanie ... 750 rozciąganie . 1100 ściskanie . .1100 rozciąganie . 1300 1 ściskanie ... 1300 J

850

1400

rozciąganie . 330 \ ściskanie . .. 850 J rozciąganie . 1200 ściskanie . .. 1200

950

1500

1600

ciąganie . 1400 | ściskanie . .. 1400 )

roz

1700

W mostownicach drewnianych należy stosować następujące dopuszczalne naprężenia :

a)    dla drzewa miękkiego iglastego (sosna, jodła) na rozciąganie i ściskanie wzdłuż włókien przy zginaniu do 90 kg/cm², na ściskanie prostopadłe do włókien do Ib kg/cm² ;

b)    dla drzewa twardego (dąb) odpowiednie dopuszczalne naprężenie przyjmuje się 110 kg/cm² i 30 kg/cm².

Normy dopuszczalnych naprężeń Ministerstwa Robót Publicznych. Według ostatnich przepisów M. R. P. przy projektowaniu mostów żelaznych drogowych należy przyjmować następujące dopuszczalne naprężenia:

1. Przy uwzględnieniu tylko sił pionowych jak tablica 5.

Tablica 5.

К o d z aj naprężenia

Naprężenia dop w kglcm²

nezczalne

750

900

700

1.    Ściskanie lub rozciąganie w części

przejazdowej........

2.    Ściskanie lub rozciąganie w dźwigarach głównych......

8. Ścinanie blach i prętów . . .

4.    Ścinanie nitów.......

5.    Ścinanie śrub........

6.    Ciśnienie na ściankę otworu

nitów...........

7.    Ciśnienie na ściankę otworu śrub

875

к =>=900 -f- 3Z,leez nie więcej niż 1150 0,75 к,

0,8 к,

0,7 к,

„ 2000 „    _ 1500

Za l należy przyjmować dla dźwigarów wolnopodpartych i międzypod-porowych części dźwigarów wspornikowych rozpiętość tych przęseł w metrach, dla wsporników zaś podwójną długość wspornika.

2. Przy uwzględnieniu nie tylko sił pionowych, lecz także sił poziomych od parcia wiatru i od zmiany temperatury dopuszczalne naprężenia należy przyjmować wedle tablicy 6.

Tablica 6.

Kodzaj naprężenia

Naprężenie dopuszczalne w kglcm?

1.    Ściskanie lub rozciąganie w dźwigarach głównych......

2.    Ścinanie blach i prętów . . .

n.    .    ,    r л

3.    Ścinanie nitów.......

4.    Ścinanie śrub........

5.    Ciśnienie na ściankę otworu

nitów...........

6.    Ciśnienie na ściankę otworu śrub

к = 1000 -f-4 lecz nie więcej niż 1350 „ 800 „ 1000 „    750

0,75 к,

2 k,

1,5 k,

„ 2200 „ 1700

3.    Żelazo spawane, którego można używać tylko wyjątkowo, otrzymać może naprężenia o 10% niższe od dopuszczalnych dla żelaza zlewnego.

4.    Odlewy żeliwne (żelazo lane) w częściach podrzędnych konstrukcji przy uwzględnieniu działania sił tylko pionowych mogą otrzymać naprężenia najwyżej : d) na ściskanie 850 kglcm², Ъ) na ściskanie przy zginaniu 750 kglcm²,

c) na rozciąganie przy zginaniu 300 kglcm².

5.    Przy uwzględnieniu oprócz sił pionowych także sił poziomych i wpływu zmiany temperatury można podnieść naprężenia : d) na ściskanie do 950 kglcm², b) na ściskanie przy zginaniu do 850 kglcm², c) na rozciąganie przy zginaniu do 350 kg/cm².

6.    Dla stali lanej w odlewach w łożyskach dopuszczalne naprężenia przy uwzględnieniu sił pionowych przyjmują się: na ściskanie 1400 kglcm², na zginanie 1150 kglcm². Przy uwzględnieniu parcia wiatru: na ściskanie 1500 kg/cm², na zginanie 1250 kg/cm².

7.    Dla stali kutej w łożyskach dopuszczalne naprężenia wynoszą przy uwzględnieniu tylko sił pionowych: na ściskanie 1600 kglcm², na zginanie 1300 kg/cm². Przy uwzględnieniu działania wiatru: na ściskanie 1700 kg/cm², na zginanie 1400 kglcm².

8.    Przy dokładnem obliczeniu wałków można dopuścić dla stali kutej na ściskanie 5000 kglcm², dla stali zaś zlewnej 4000 kg/cm². Pręty ściskane należy obliczać na wyboczenie podług wzorów Tetmajera i Jasińskiego.

Spółczynnik rozszerzalności dla żelaza i stali należy przyjmować o. = 0,000012 na jeden stopień Celsjusza, zaś zmianę temperatury w granicach — 35° Cdo-f 45° C.

¹

Pasy równoległe, mosty otwarte, rozpiętość od 15 do 40 m : g = 40 —}- 2,8 L kg/m².

11. Nitowanie.

Ogólne uwagi. Nitowanie w mostach stosujemy, aby z oddzielnych elementów wytworzyć zespół, który'można byłoby rozważać jako jednolity, aby przedłużać oddzielne elementy, gdyż te albo walcuje się tylko w określonych długościach albo też muszą być używane tylko w ograniczonych długościach ze względu na możność przewozu lub dogodność manipulowania niemi w warsztatach; wreszcie zapomocą nitów łączymy pręty ze sobą.

Na nity używamy żelaza zlewnego o wytrzymałości К — 34- 40 kgjmt/i2 przy wydłużalności najmniej i = 25% przy zachowaniu warunku, aby

iT+²*^⁹⁰-

Mówiąc o średnicy nitów, będziemy mieć zawsze na względzie średnicę otworu, nie zaś średnicę trzpienia nita, która zwykle jest około 5% mniejsza od średnicy otworu na nit.

Kształt główki nita stanowi zwykle odcinek kuli, przytem średnica D odcinka tego powinna być taka, aby nacisk od główki na żelazo odpowiadał wytrzymałości nita na rozerwanie i aby główka nita nie mogła się ściąć po obwodzie trzpienia. Zatem, jeżeli oznaczymy odpowiednio pr kr, kc, kt dopuszczalne naprężenie w żelazie na rozerwanie, ciśnienie i ścinanie, to mamy (fig. 228) :

i: (D² - d²)

r-i

T¹ I

K+K

= 1,23 d

■щ o'

i к d hxkt^_ 'S~- kr,

<1 k..    л

*‘=TI*¹’!5t = ⁰>8 d-

Fig. 228.

Przyjmują zwykle średnicę główki nita 1,6 d—1,8 d i wysokość główki 0,6 d. Średnica nitów, stosowanych w mostach, waha się od 12 do 26 mm\ większej średnicy nity stosują się tylko w poszczególnych wypadkach.

Ponieważ nitowanie robi się na gorąco, nit nagrzewa się do temperatury około 900° C i zakończenie nitowania powinno być przy stosunkowo wysokiej temperaturze (około 500° C); przeto długość nita, a zatem grubość części nitowanych musi być ograniczona i uzależniona od średnicy nita. Przy dużej grubości i niewielkiej średnicy nity rozrywają się. Największa grubość części nitowanych nie powinna przekraczać 4,5 d.

Przy większej grubości należy stosować albo śruby, albo nitowanie na chłodno. Nitowanie na chłodno przy użyciu należytego materjału miękkiego o wytrzymałości około 35 = 37 kgjmm² i z dobrem wydłużeniem około 30°/o daje bardzo dobre rezultaty. Nity tutaj mają kształt stożkowy o bardzo łagodnem pochyleniu boków. Dziury do .takich nitów mają w przekroju kształt pokazany na fig. 229: «łódek cylindryczny, zewnętrzne części — stożki ścięte. Główki ich mają kształty niezupełnie foremne. Stosuje się je często do przynitowania łożysk do dźwigarów lub jakichkolwiek innych części lanych fasonowych.

Stosując nity zwykłe, nagrzewamy je zwykle całe przy nitowaniu. Jednak, jeżeli grubość nitowanych kon-strukcyj jest dość znaczna i dochodzi do 4,5 d — 5 d, wtedy otrzymuje się lepsze rezultaty, jeżeli tylko koniec trzpienia nita, który ma wytworzyć główkę, jest nagrzany, zaś cały trzpień jest stosunkowo chłodny. Skurczenie się nita jest wtedy znacznie mniejsze i nie otrzymuje się zwężenia nita pośrodku, a przez to i znacznego osłabienia przekroju. Doświadczenia pod tym względem przeprowadzone przez w fabryce Pudłowskiej przy nitowaniu grubości dochodzących do 5 d i przy nitach o średnicy d — 28 mm wykazały bezwzględną przewagę wytrzymałości i szczelności nitowania nitów, których tylko końce były nagrzewane, w porównaniu z nitami nagrzewanemi na całej długości.

W zależności od połączeń nitami jednych części z drugiemi mamy nity razcięte (jednocięte), dwucięte, trójcięte i wielocięte (fig. 230). Połączenia, w których płaszczyzny cięć nitów są położone symetrycznie względem osi sił, działających na połączenie, są lepsze od połączeń, gdzie ta siła działa niesymetrycznie. Przy jednociętych nitach jest dążność do wykrzywiania się nitów i części łączonych (fig. 231 a) i nacisk nitów na dziury również jest nierównomierny (fig. 231 b).

Przy obliczaniu nitów przyjmujemy zwykle, że nacisk nitu na dziurę jest równomierny, jak również naprężenie na ścinanie w nicie jest równomiernie rozłożone na całym jego przekroju. Przeto obciążenie dopuszczalne

jLA

Fig. 229.

autora

L. p.

Schemat obciążenia i podparcia

Zestawienie rozwiązań najczęstszych zadań obliczenia belki prostej.

Reakcje А, В i momenty podporowe MA i MB

Momenty zgięcia M w dowolnym przekroju i Углах

Równania linji ugięcia i tang. kąta ß obrotu przekroju belki (nachylenia stycznej)

Ugięcia /

Uwagi

i.

i*

—±;__

ZTZ}

..t

M = P MA = — P.l

47 = — P. ж |47| = P.Z

max

f-y

PP

*gß =

2EJ l d y PP dx 2 EJ

Ж /    1 ж²\

П¹⁻У p]

PP

3 EJ

ж²'

p.

teß)*=o

PP 3/

2E J 2 Z

Przekrój niebezp. w A

2.

A — q.l 47. = —

47= —

g ж²

gP

f—y

g*⁴ a? Z. _

2 P.7 Z \ ‘

1 ж³

T F

gZ⁴

0Р

8PJ 8PJ

gP

max

tgß

dy

7ж

_дР_/    ж_³\

6PP\ py

ß)rr = 0

g Z³

1/

6EJ 3 Z

Przekrój niebezp. w M

g = gz

fe;

<o

П.

3.

CO

ÇZ

47. = —

A    à

о ns

CO

CO

f—y

tgß

ÇZ³ ж /    1 ж⁴\

12PJ T\ _ïFj

12 EJ \ Z⁴ /

dy

dx

₌ i!

⁷ PP15 Ъ E ' h (tg ß)* = o

gP & /

12 EJ 4 Z

Przekrój niebezp. w A h wysokość przekroju symetrycznego względem osi obojętnej

‘A

M — Ax

P(l-c)

dla X 5? c

P.c

, P = -F

4.

y/T

Yi

M — B(l — ж) dla X > c P(Z — c) c

P C_V _£ EJ 61 c

ж²

P ^ Cl²

• EJ 3’P‘P

dla ж

max

M=MC

Ух

P C²Cl

Xx

-|/Fîî

Przekrój niebezp. w (7

EJ 61 Ci

CCX

max

Dla c — —

A = B~ T

max

pi

-¥"4

PI³ X (. y~ \6EJ ' г (

4 ж²'

"IF,

przy c > Ci

P -ł[ł4.)

lYiY

6 E h

". 3PP

PP

48 EJ

l³/₂

A jak wyżej

ъГ

px

ta

»I¹«

bs|<0

47 =

max

4<->.

albo

Z³ ж / ж² . ж³\

2/ = Ж7*24'т(¹“² P +p)

max

Q l³ xXi l У = EJ' 24 ‘~PT

X X\

Z²

(tg $)x = 0

5 gZ4 ~ 384 EJ

_g_ il = 3,Z

EJ ‘24 ,г l

Przekrój niebezp. w środku

-£T

— C3

Oi] te c»|rÇ>

max

47 = —Ql = 0,128 ÇZ 9 УЗ

Q Z³ / ж У ~ EJ Ï80 V T

— 10

X³

Ж⁵'

<2 z³

= 0,01804 -gj dla ж = 0,5193 Z

max

Przekrój niebezp. dla:

X = —=

Y 3

= 0,5774 Z

7.

¹    ut--1 —«-a—j

M — P. a — stałej zewnątrz podpór M= Px

Między 4 i 5

Między 4 i 5 linja ugięcia jest łukiem koła o promieniu r —

P.ff.l² P

EJ

8 EJ Pa2 6EJ

w środku 8r

(3Z -j- 2 a) po końcach

Przekroje niebezp. na podporach ze względu na siłę poprzeczną

L. p.

Schemat obciążenia i podparcia

Zestawienie rozwiązań najczęstszych zadań obliczenia belki prostej.

Reakcje А, В i momenty podporowe > MA i MB

Momenty zgięcia M w do w lnym przekroju i M

max

Równania linji ugięcia i tang. bata ß obrotu przekroju belki (nachylenia stycznej)

Ugięcia /

Uwagi

OD

ГЧ

*4rt-î

\Л

~4

Crl

IJl.M

AiB

Qx²

zewnątrz podpór

384 EJlx

-(ЬР — 24 а²)

Bezwzględne wartości mome itów zgięcia

Q?

(3 а³ + 6 а²1 - P)

Przekroje niebezp. na podporach albo w środku, zależnie od tego czy jest a > 0,207 h

i Mq stają się równe przy a = 0,207 i, a mla-= 0,021' 5 Ç /, = co f Qlx

czy też

nowicie My = A7g,ax

a < 0,207 lx

47

Itl

9.

IvÜ

:0

PcS&l + c)

2Р

P. c(3P — c²)

2 г⁸

Ж = .4 ж (A do С)

М— Ах — Р(ж — с) = |//у4-Р (г — ж)

(С do ß)

-4в =

najw. Mß (dla с = l/У ff) : - — 0,193 PI

_•_j __

Р. с ■ (P — с²)

Gdy c = Z/₂

P P ix 5 ж³\

ËJ32\T~ !Гр)

_ P P i 1 Xt , 5 жх² 11 Ж!³

2/1 ~ Ж/32 \T Г ⁺ Y ~Р “ У Ж.

Pel (^_c)3

i2 i?,/ г³

_P (Z — с)² с

(Зг + с)

ma

dla et

6 EJ

|/IÄ_

г 2Z + C

|/îïTï

Przekrój niebezp. w В Punkt przegięcia

dla Xi—^-l

22

10.

Ç-4

уГТс1г

^ = fr(Z-C)²(Z + 2c) P = -^(3Z-2c)c²

Ж=Жл + ^4ж

(A do (7)

df = ifg+P(Z —Ж)

(C do ß)

P. C

max

^4=

MB =

4    '

i¥A = - ^ PZ d!a c Z/₃

-JT*!-*?

Pc\, y ^2

Gdy c = y 4 ж³

у = Ш1з\ ß ~ Y7³

P Z³ /ж²

max.

Pc² (Z —c)3 “ 3 EJ P _ 2 P. c² (Z — c)3 ~ 3 EJ '(31 — 2c)²

gdy c = Z/j;, to

max.

PZ³

192 EJ

Przekroje niebezp. w i,5i C

dla ж

Z²

11.

SÎ

ff)

A = —Q

Ql

to

СЛ

I»

— Ol 128

w przekroju ж = = ³/₈ Z

max

Q P ( X хл X* y==ËJÏ8 Т~³Ж + ²Ж

& EJ 185 dla ж = 0,4215 l

ma

Przekrój niebezp. w В Punkt przegięcia dla ж = ³U l

12.

#5

SIS

Q P ж²/. x\2 У EJ' 24 ’ P [ l)

_Q P_ ₌ 1 kb P

*    EJ 384    16 E‘ h

Przekrój niebezp. w A i В Punkty przegięcia Х-! — 0,2113 I ж₂ = 0,7887 I

М = Qx

13.

(Ы£)

v'l

-г Я

М*=-    5

11 = 0,0596 Ql

y = Jl i! £.Л_£.*У y ej'60‘ z ^    г²/

max

dla

/-=

Q-P

209,63 ’ EJ l

x y~ = 0,447 l

Przekrój niebezp. w В Największy moment dodatni dla X = Z/j/5⁻Punkt przegięcia dla X — 0,775 l

14.

Le-'"

mû

10

-91

V-

8'^

*>

B~IÖQ

max

15

il/ = J/D= —

Ql

10

Q P / ж² xs i ж⁵\ y-ËJ'60\²~P~³P+~p)

łf U _L. 911

mas5U 382 EJ dla X = 0,525 l

Ql

Największy moment dodatni MD — ——

aOjO

Przekrój niebezp. w В Największy moment dodatni dla X = 0,548 l Punkty przegięcia ж = 0,237 l i 0,808 l

т: d²

nita na ścinanie i zgniatanie wyraża sie wzorami : —— k^i dbkc\ § oznacza

grubość elementu nitowanego. Średnica nitów w stosunku do grubości nitowanych elementów otrzymuje się z wymagań, aby wytrzymałość nita na ścinanie równała się wytrzymałości jego na zgniatanie, tj. dla nitów jedno-тс    N    r

ciętych: —— kt = d 3 kc. Jeżeli założyć, że kf = 0,8 k_ i kc = 1,5

to d = 2,4 o, przy к = 2 fc d — 3,2 8 ; dla nitów dwuciętych otrzymamy odpowiednio: (7=1,2§ i d = 1,6 o. Praktycznie jednak od norm tych odstępuje się, lecz sprawdza się zawsze, aby naprężenie na ścinanie i naprężenie na zgniatanie nie przekraczało dopuszczalnych. Można tutaj zauważyć, że przy zwykłych grubościach elementów, stosowanych w mostownictwie, przy nitach jednociętych można nie sprawdzać wytrzymałości na docisk, a tylko przy nitach wielociętych.

ßßß

111

~h*P

t ł.

ł4

4L'

Odległość pomiędzy nitami i odstęp nitów od krawędzi elementu nitowanego w kierunku działania siły i w kierunku prostopadłym do działania siły przy sztukowauiach (przedłużeniach) wynika z następujących równań (fig. 232):

Fig. 230.

Fig. 231 a, h.

2    (H-i)bkr

T. d²

-к

4 t"

о* I

od 2,4 otrzymujemy e = 1,5 d

F o wstawieniu k't — 0,75 kr i stosunku

i ex = 2,5 d. Zwykle daje się e = 2 d i ex conajmniej 3 d, a przeważnie 4 d] e₂ 1,75 d, lecz nie więcej niż 3,5 d, a to ze względu na szczelność nitowania. Największa odległość między nitami, łączącemi elementy prętów w jeden zespół, w prętach rozciąganych nie powinna przekraczać 8 d — 10 d, zaś w prętach ściskanych 6 d — 8 d. Najmniejsza szerokość b elementu, aby można było stosować nit średnicy d, jest b = 3,25 d.

Obliczenie ilości nitów. Mogą być dwa sposoby obliczania ilości nitów : na zasadzie siły, jaka ma miejsce w danym elemencie, który nitujemy, lub wychodząc z pola przekroju danego elementu, niezależnie od tego, jaka siła działa na dany element. Zasadniczo w mostach obliczenie powinno się przeprowadzać w zależności od przekroju danego elementu i tylko w wyjątkowych wypadkach w zależności od siły w danej części danego społu. Przekroje części, które nitujemy, bierzemy netto, tj. za potrąceniem osłabień otworami do ni-

- e,

■ л>-

Fig. 232.

Fig. 233.

tów, przytem osłabienie winno być sprawdzone w linji prostej prostopadłej dp osi pręta lub według linji zygzakowatej (fig. 233); bierze się pod uwagę przekrój mniejszy.

Jako ogólny wypadek obliczenia nitów rozpatrzymy styk blach połączonych dwiema nakładkami. Niech F, Fx, F₂ oznaczają przekroje blachy i nakładek, ky dopuszczalne naprężenie dla blach, d średnice nita. Styk

będzie schodkowy (stopniowy; fig. 234’a), przeważnie stosowany w mostach; blach niech będzie n. Wtedy nFkr jest siłą, przenoszącą się na wszystkie blachy.

W przekrojach 1 — lf, 2 — 2', n — n' naprężenia będą:

nFkr

(n — 1) F Fi -(- F₂

a siły, przypadające na blachę i na nakładki, będą odpowiednio : nFkrF

nFkrFi

nFkrF₂

(» — ĄF + Fi + F,’    (» — 1)F + Fi+F,    (» — 1)F + Fi+Fa

albo

aFkr,

u Fi kr,

a F₂ kr,

jeżeli a =

nF

(n — 1) F -j- Fi -{- F₂

/ o ?    °

So o ! o o o o ! o o

„.UJ,

----o°o)-

0,00/

O °    9 X

u>₂

rn

rn

Fig. 234 a, b.

ôfr

Fig. 285.

Liczba nitów да odpowiednio będzie przy p.

да —

= «pF,

тс d²

——0,8*

Jeżeli F = I\ = F₂, to да — mx= да₂

ntt = a

т₂ = a u.F₂.

Przy F^F^^F,

Fi -f- F₂ winno być większe lub conajmniej równe F.

a. =c 1 i

n к

= —;—г F \y. n-\-\ r

m = iiF, тх = да₈ = ~ p F.

Jeżeli styk przykrywamy tylko jedną nakładką, to Fx — F i wtedy m = nii — p F. gdyż a — 1. Połączenie takie pokazane jest na fig. 234 6.

Nity rozłożone w końcach nakładek (fig. 234 a) są tutaj dwucięte, zaś pomiędzy przekrojami 1 — 1' i n — n' jednocięte. Jeżeli zespół elementów jest rozciągany, to zwykle rozpoczynamy nitowanie od jednego lub dwóch nitów, w elementach zaś ściskanych stawia się dwa lub trzy nity (fig. 235). Rozpoczynanie nitowania w złączach od niepełnej ilości nitów, stawianych w przekroju, ma tę zaletę, że można uważać przekrój osłabionym nie pełną ilością nitów, jaka jest postawiona w przekroju a—6 w styku, lecz tylko ilością umieszczoną w pierwszym szeregu.

Łącząc jakikolwiek pręt, składający się z kilku części, z blachą pojedynczą zapomocą nitów dwuciętych, sprawdzamy wytrzymałość na ciśnienie w ściance, czyli na zgniatanie. Wtedy rozłożenie nitów może być w nakładkach niejednakowe, np. pręt o przekroju I___! łączymy z blachą

węzłową według fig. 236. Nity w blasze węzłowej są dwucięte, i jeżeli щ i % oznacza odpowiednio liczbę nitów postawionych w blasze szerokiej, wąskiej i kątownikach, F₂ i F₃ przekrój tychże części, to przy grubości blachy, szerokiej 8, mamy następujące naprężenia na zgniatanie :

kr

\ % ' % )

db

Gdyby przekrój składał się tylko z blachy szerokiej i kątowników, a w połączeniu dane były dwie nakładki Fa i F₄, wtedy, zachowując powyższe znakowanie, otrzymalibyśmy naprężenia na zgniatanie przy oznaczeniu

następujące :

\щ nt

przez « =

Ft+Fa F2 -f- F₃ -j- F₄

db

(ü ₊ ü\

\n₃ Щ)

db '

Połączenie kątowników wykonywa się zapomocą kątowników albo tego samego przekroju albo też o bokach nieco węższych, lecz zato grubszych, by przekrój nakładek był nie mniejszy niż kątowników, które łączymy. Można też nakładki dawać z dwóch kątowników o mniejszym przekroju, lecz nieco większym od połowy przekroju kątownika łączonego, łącząc dwa kątowniki, przylegające do siebie lub do jednej ścianki, lub wreszcie nakładka może składać się z kątowników o mniejszym przekroju i z dodatkowych nakładek płaskownikowych. W trzecim wypadku styki robimy schodkowe, a obliczenie wykonywa się według wzoru, podanego na str. 880.

Linja nitów w kątownikach przyjmuje się zwykle w odległości w —

— b ⁰ od krawędzi zewnętrznej (fig. 237), jeżeli w bokach kątowników

stawia się tylko jeden szereg nitów (do szerokości boków mniejszych od 120 mm). W bokach 120 mm i większych należy stawiać dwa szeregi nitów. Wtedy wolna szerokość boku dzieli się na trzy równe części (fig. 238). Zwykle te odległości od krawędzi, oraz pomiędzy szeregami nitów zaokrągla do 0 lub 5 mm i naznacza się taki odstęp nitów (wymiary w mm):

Ji=£\

A.

;-r

Fig. 236.

Fig. 237.

Fig. 238.

Bok kątownika .

56

60

65

70

75

80

85

90

100

110

Odległość w i el .

30—25

35—25

35—30

40—30

40—35

45—35

45—40

60—40

55—45

60—50

Bok kątownika .

120

130

140

150

160

Odległość w, e i

50—30—40

65-55

50—40—40

55—45—40

55— 55—40

56— 50—46

55—60—45

Nity w bokach kątowników należy stawiać w szeregach przestępnych według fig. 239.

Spółczynnik [i ==

1 , \ --dla różnych średnic nitów przy ścinaniu : £

^0,8

-----Г-Г-'

Fig. 239.

d mm

10

12 14 15 16 17 18 20 22 23 24 25 20 28 30 32

1,59 1.11 0,81 0,71 0,62 0,55 0,49 0,40 0,33 0,30 0,28 0,26 0,24

0,20 0,18 0,16

Wyżej rozpatrzone połączenia nitami dotyczyły elementów, które były rozciągane lub ściskane. W belkach zginanych o ściance pełnej obliczenie nitów w pasach przeprowadza się, jak w elementach ściskanych lub rozciąganych. Styki środnika (ścianki) przekrywamy zawsze przykładkami z dwóch stron, przytem zasadniczo połączenie styku co do swej wytrzymałości powinno w zupełności odpowiadać wytrzymałości samego środnika, niezależnie od sił, jakie mają miejsce w środniku. Jeżeli przeto oznaczymy przez F t F , KiV Ini Iniv I(l ⁰⁽lpowiednio przekrój środnika, nakładek, przekrojów nitów, moment bezwładności środnika, nakładek, przekrojów nitów i przekrojów otworów środnika, pracujących na docisk, to powinno być : F > F ; F .. > F :

y InitŁIs- (1,5-2)4^4

w sro-

Zadość czyniąc wyżej wskazanym warunkom, otrzymujemy połączenie ścianki w styku w zupełności równoznaczne ze środnikiem całkowitym. Sposoby połączeń środnika, oraz obliczenie według sił, panujących ' dniku, podane jest,dalej przy obliczeniu blachownie.

Dla oznaczenia różnych średnic nitów można stosować znakowanie, podane poniżej :

III. Belki о ściance pełnej.

Fig. 240. Fig. 241, 1,2, 3,4.

Uwagi ^ogólne. Belki o ściance pełnej mogą być stosowane bądź to jako żebra pomostu (belki poprzeczne i podłużne części przejazdowej), bądź to jako dźwigary główne w mostach o niewielkich rozpiętościach do 20—25 m. Belki te mogą być albo walcowane o kształcie dwuteowym lub korytkowym albo też nitowane. Belki walcowane z szerokiemi bokami czyli tak zwane dwuteowniki Grejowskie można stosować, jako dźwigary główne, do mostów dość znacznych rozpiętości. Belki bliźniacze o wysokości 750 mm możemy stosować w mostach kolejowych do 12 m rozpiętości, zaś w mostach drogowych do 15 m. Wprawdzie pod względem wagi stosowanie ich nie jest dogodne, gdyż stosunek wysokości do rozpiętości jest w ostatnich wypadkach dość mały i wagę belek nitowanych otrzymuje się mniejszą dla tych rozpiętości i sztywność większą, lecz zato belki te wymagają mniej roboty, niż belki nitowane. Zresztą belki te można ^ otrzymać tylko z zagranicy, gdyż huty krajowe ich nie г walcują. Nie tylko do większych rozpiętości, lecz i do •> mniejszych stosuje się belki nitowane, które składają się z blachy pionowej (środnika czyli ścianki), kątowników pa-söwych i blach poziomych (fig. 240). Belki o ściance pełnej mogą być tak o pasach prostych równoległych, jak również i o jednym pasie prostym, a drugim krzywym lub wielobocznym (fig. 241), najczęściej jednak robi się je o pasach prostych. Kształt tych belek, pokazany na fig. 241 (1, 2, 4) należy do kształtów zupełnie racjonalnych, gdyż zwiększa swą wysokość według

wzrastania momentów gnących. Kształt zaś według fig. 241 (3) jest niedogodny, gdyż w przekrojach największych momentów gnących ma najmniejszą wysokość, przeto może być stosowany tylko wtedy, gdy wymagają tego inne względy nie natury technicznej, np. względy estetyczne lub dążność do zmniejszenia wysokości ustrojowej pośrodku dźwigara.

w postaci

Stosując blachownice do wiaduktów, szczególniej w miastach, belek ciągłych, nadajemy im wysokość większą nad podporami i mniejszą pośrodku rozpiętości tak ze względów estetycznych, jak również i technicznych, gdyż nad podporami otrzymujemy wtedy przeważnie momenty gnące większe, niż pośrodku dźwigarów.

Wysokość belek zależy od wysokości ustrojowej, jaką dopuszczają unki miejscowe; jeżeli zaś wysokością nie jesteśmy skrępowani, to

warunki miejscowe; jeżeli zaś wysokością nie jesteśmy skrępowani, przyjmujemy taką wysokość, jaka daje nam najmniejszą wagę belki; wreszcie kierujemy się względami praktycznemi, np., gdyby najdogodniejsza wysokość wypadła dość znaczna i trudnoby było otrzymać blachę o potrzebnej szerokości, to trzeba nadać wysokość belce mniejszą. Stosunek wysokości

belki do rozpiętości normalnie leży w granicach —

jątkowych okolicznościach może być doprowadzony do ^

O ile belka jest niska, wtedy oblicza się ją nie na wytrzymałość, lecz na

sztywność tak, aby strzałka ugięcia od obciążenia ruchomego nie prze-

„ —- rozpiętości belki.

1200    1500 F '

Strzałka ugięcia Д/' dla wszelkich układów wynosi:

I "lyS.O.l г E ““ F ’

gdzie M i S są to momenty gnące i siły osiowe w elementach przy obciążeniu, odpowiadającemu największemu ugięciu w danym węźle, l długość elementu, I moment bezwładności, F pole przekroju, zaś p. i c momenty gnące i siły osiowe od obciążenia siły P — 1, zaczepionej w węźle ugięcia i w danym układzie. E spółczynnik sprężystości.

Najdogodniejsza wysokość blachownie pod względem najmniejszej wagi otrzymuje się ze wzoru:

kraczała

Д/ = —

>    ^J E* I

д_|/

600 M

a² (220 8 + 3 F) kg ' '

6 T2 ’ je^uak w wy-

i nawet —

24*

. dla belek o przekroju stałym,

hx =

480 M

. . dla belek o przekroju zmiennym.

a² (220 8 + 3 F) hq *

M oznacza największy moment gnący, 3 grubość środnika belki, hf/ dopuszczalne naprężenie i F pole przekroju kątowników usztywniających na metr długości belki, a stosunek odległości między środkami ciężkości pasów belki do całej jej wysokości — wymiary w kilogramach i centymetrach. Jeżeli założyć, że a — 0,9 i F — 30 cm², to dla

3 = 10 mm 3 = 12 mm 8 = 14 mm

h = 1,55 yW h — 1,45 У W

h — \,biyw

hi — 1,38 yW, Ax= 1,29 У1F, hi — 1,22 yW,

gdzie W moment wytrzymałości przekroju W —

r Niewielkie zwiększenie lub zmniejszenie wysokości h mało wpływa na zmianę wagi belki. Przeto wyżej wskazanemi wzorami można się posił-

133

kować przy określaniu wysokości blachownie, jako pewną wskazówką, koło jakiej wysokości należy się trzymać.

Blacha przy odpowiedniej grubości walcuje się do 3,0 m szerokości, lecz ceny normalne stosują się tylko do pewnych szerokości; przy większych szerokościach wzrastają dość znacznie, co przy projektowaniu trzeba brać pod uwagę.

Obliczenie blachownie. Wprowadzimy następujące znakowanie (fig. 242):

M — moment gnący w belce, T — siła poprzeczna, Ih). — moment bezwładności nieosłabionego przekroju belki, Ineł — moment bezwładności przekroju belki po odciągnięciu dziur na nity, W — moment wytrzymałości netto, Sbr — moment statyczny połowy przekroju nieosłabionego względem osi obojętnej, S' — moment statyczny części przekroju zakreskowanej względem osi obojętnej, h — wysokość belki. § — grubość ścianki, e — odległość między nitami w pasach belki, d — średnica nitów, k^, kt, k't, kf— dopuszczalne naprężenia na zginanie, ścinanie w ściance i ścinanie w nitach i bezpośrednie ciśnienie na dziurę nita.

hr

-Ö- — K

h₀ — a h.

W belkach walcowanych przy obliczaniu momentu bezwładności i przekrojów będziemy odciągać tylko te otwory na nity, które przypadają

w danym przekroju a — b lub c — d, zatem to osłabienie, które będzie I większe (fig. 243 a, b, c). W belkach c zaś nitowanych każdy element belki ! będziemy przyjmować jako osłabiony swoją ilością dziur, o ile przekroje tych elementów ze swem największem osłabieniem znajdują się w odległości nie większej, niż jeden skok nitów. Zatem przyjmujemy, że pasy blachownicy są osłabione otworami na nity pionowe, zaś środnik na nity poziome na całej swej wysokości (fig. 244).

Fig. 242.

a-b

JL*.

b i\\d

Fig. 243 a, b, c.

Na zasadzie wzoru, podanego na str. 883, znajdujemy najpierw przybliżoną wysokość blachy pionowej h, przyjmując takową w całych cm.

—^-^^1,25, otrzymamy grubość śro-

Ze wzoru 8 —

TS

“W

gdzie a

hr

dnika, zakładając, że h₀ — — = (0,85 — 0,95) h, przytem dla belek do 60 cm

Sbr

wysokości można przyjąć h₀ — 0,85 h, zaś dla belek wyższych średnio h₀ — = 0,90 h. Otrzymaną ze wzoru grubość ścianki zwiększamy nieco, przyjmując, że w belkach mostów kolejowych 8 > 9 mm, zaś w mostach drogowych w jezdni 8 > 8 mm, a w belkach chodników 8 może być i 7 mm. Zresztą grubość zależy również od wysokości h, im większe jest h, tem musi być większe 8, a to ze względu możności walcowania blach.

Mając grubość 8 i wysokość h, przekrój pasów F blachownicy znajduje się ze wzoru :

0,8 8 h

2 . ,

w^h~ńbh-

Przekroje pasów tworzy się z kątowników, przyczem w mostach drogowych najmniejsze kątowniki w belkach stosuje się 60 X 60 X 8, zaś w mostach kolejowych najmniejsze 80 X 80 X 0. Jeżeli przekroje pasów wypadają znaczne, to składa się je z kątowników o większych profilach i z blach poziomych.

Mh

2 /8 kf

Zwykle ostatnie dwa warunki decydują o wielkości odległości e, którą przyjmuje się około 5 d.

Po wytworzeniu przekroju blachownicy oblicza się ostatecznie Wnet i S^. i określa się naprężenia ze wzorów:

M . , .    „ TS , . T.S e

°ff=Wkglcm*-, o₍ — 1,25 -j-g- lub

Oprócz tego w przekrojach, gdzie schodzą się największe momenty gnące i siły poprzeczne, winno być określone naprężenie główne normalne i tnące na linji nitów pasowych ze wzoru:

+ «л

т+ИтГ+^ — И-?)

Naprężenie główne normalne powinno być określone również w przekroju, gdzie 'się kończą blachy poziome w blachownicach o przekrojach zmiennych.

Długość, na jakiej winny być dane blachy poziome, można określić w następujący sposób : Jeżeli M jest największym momentem gnącym w danej belce od całkowitego obciążenia, wtedy obciążenie zastępcze p otrzyma się

z równania p — ^ -, a moment gnący dla dowolnego przekroju w odle-

głości X od podpory (belka wolno podparta) będzie Mx

Jeżeli przez Wn oznaczymy moment wytrzymałości z n blachami pozio-

Obliozenie blachownio.

886

Szerokość blach poziomych Ъг winna się równać szerokości boków b dwóch kątowników, więcej grubość środnika, więcej 25—60 mm, przy zachowaniu warunku, że odległość ex od nitów do krawędzi blachy nie przekracza 3,5 d. Jeżeli blachy wypada poszerzyć, aby zwiększyć przekrój pasa oraz sztywność względem osi pionowej i odległość ег przekracza 3,5 d, wtedy 6, = 2 b -j- 8 -J-

Ó,——    __L__

Ve,~ ^    ■

ЛГТ*

»J e

Fig. 244.

Fig. 245 a, b.

-}- 120 mm, aby można było dać z boków jeszcze dwa szeregi nitów w blachach (fig. 245 a).

Odległość pomiędzy nitami e (fig. 245 b) musi zadość czynić następującym warunkom :

nd*lk't

db I кс

2 TS’

TS'

i e>

T S’

p X (l — X)

I I / p

memi, to przekrój z Wn nadaje się do długości x — —--J/ —

Od tej odległości przekrój trzeba zwiększyć przez dodanie blach poziomych, które oczywiście muszą już pracować, zatem końce ich muszą być

wydłużone w kierunku zmniejszenia x conajmniej na dwa szeregi nitów. Zwykle wydłużają na pełną ilość nitów, niezbędną do. przymocowania dodatkowej blachy.

Zmianę przekroju blachownicy można naznaczyć wykreślnie. Na długości belki wykreśla się wykres momentów gnących w pewnej skali. W tej samej skali odkłada się wielkości Wn (fig- 246). - W punktach przecięć poziomych Wn X ^ z krzywą M otrzymamy teoretyczne zakończenie blach poziomych, rzeczywiste będzie w punktach u>hÿ a i 6, gdyż w miejscach teoretycznych zwięk-'г szenia przekroju blacha winna być już umocowana niezbędną dla niej ilością nitów (wydłużenie na pół nakładki).

*_______

ö_____

Л jb

ЖЩ

~* 9\l |*s

Г*’*9

styki blachownie, a) Połączenie kątowników daje się zapomocą takich samych kątowników lub nieco mniejszych. W ostatnim wypadku styki kątowników jednego pasa winny tworzyć styk stopniowy (fig. 247 a), przekryty dwiema nakładkami, jak to już było mówione przy obliczaniu nitów (str. 881). Przy nakładkach tego samego przekroju styki kątowników jednego pasa mogą być w jednym przekroju lub różnych (fig. 247 b).

b) Styki blach poziomych kryje się nakładkami tego samego przekroju, jak blachy, przytem styki robi się stopniowe (schodkowe). Ilość nitów wypadnie tutaj z obliczeń, przeprowadzonych na ogólnych zasadach, według przekroju blachy łączonej (fig. 247 c).

Г"

j.

Fig. 246.

.°i.°

0*6 o 0*0 »7 o o o!o o oH o o

0|0

■о‘;о''о1о“о“о'

]Т‘

o;o

O o-

*    wj — O—O' 0>0 -0 *0-

О О О'О о о

OJO

о;о о о о о о;о о о о о о'о о о

а о о* о

о с о ; о о о о

О О о ! О о Су

о^ооТо о о

O O O OlO OO G О 0 O ojo О О О ■ • -Ц

е

о о о о|о о о о

ООО о|о ООО- .УС

o'

оТ

Pi

»1

Fig. 247 а, Ь, с, d.

с) Styki środnika kryjemy dwiema przykładkami. W belkadli wysokich, gdy dwa boki kątowników pasowych stanowią stosunkowo niewielki procent całkowitej wysokości blachy pionowej, połączenie może być według fig. 247 d, tj. nakładki stawiamy tylko na wolnej szerokości środnika, gdyż w tym wypadku stosunkowo nietrudno zadość uczynić warunkom postawionym na str. 882. W belkach niskich połączenie musi być dokonane na całej szerokości środnika według fig. 248 a lub b.

Fig. 248 a, b.

Styki blachownie.

887

Obliczenie momentów bezwładności, cięć nitów i otworów do nitów, pracujących na zgniatanie, otrzyma się dla jednego szeregu А В (fig. 248 a) ze wzoru:

4it

J2    Л ?

——— e² n (n -f- 1) (2 n    1) ; Id = —- e² n {n -(- 1) (2 n -\~ 1).

o    o

Dla jednego szeregu (fig. 247 d):

4it = 77" e² « (2 и +1) (2 n — 1) ; Id=    e² n (2 n-f1) (2 n — 1).

W tych wzorach e oznacza odstęp między nitami, zaś n liczbę nitów w szeregu z jednej strony osi obojętnej.

Obliczenie połączenia środnika w zależności od panującego momentu gnącego i siły poprzecznej w danym przekroju będzie następujące. Niech będzie M — moment, całkowity największy w przekroju styka poprzecznicy, Ms — moment gnący, przypadający na środnik, Tr i Tg — siła poprzeczna, przypadająca na cały przekrój w styku i na środnik, Jc, Is — momenty bezwładności odpowiednio całego przekroju i środnika belki w miejscu styku, Sc i Sg — również odpowiednio momenty statyczne całego przekroju i środnika, Jnjt i ld — momenty bezwładności cięć nitów i przekrojów otworów, pracujących na zgniatanie, wtedy:

scis

Ssrc

i jeżeli z każdej strony styku mamy m szeregów, to największa siła Y, przypadająca na jedno cięcie nita, wynosi:

iY

2 m (2 n -f- 1

przy szeregowem rozłożeniu nitów według fig. 248 a, lub na jeden nit:

e² (n 4-1)²

m (2 n + 1)

Przy szeregach według fig. 46 :

e² (:n -J- l)²

+ 4²-

.-ХУ

mn f

ям;

rp2

¹ s

9 Ml

T2

e²(2w-[-l)²    4

e² (2 n -|- l)²

Jeżeli ścianka pionowa jest z dwóch blach, każda o grubości $b, wtedy styk zwykle daje się stopniowy (fig. 249), i obliczenie według przekroju środnika przy zachowaniu ozna-czników poprzednich będzie następujące : naprężenie w styku bedzie :

²4

f—:——— к , dopuszczalny moment

Fig. 249.

gnący na nakładkę będzie : Mn

44

₂ J.....•    Jeżeli К Jest wysokość

nakładki.

Moment gnący, który się oddaje na blachę w styku, będzie:

4 4

мъ =

ST

Mając momenty gnące dopuszczalne na blachę i na nakładki oraz siły poprzeczne, ilość nitów obliczamy według poprzednich wskazówek, mając na uwadze, że tak momentowi Mn jak i Mb będą odpowiadać nity jednocięte.

Usztywnienie środnika blachownicy. W każdym przekroju blacho-wnicy mamy siłę poprzeczną, wzrastającą ku podporom. Pod działaniem tej siły poprzecznej blacha pionowa belki jest ściskana, przeto, aby zapobiec wyboczeniu, ścianka winna być usztywniona żebrami¹). To usztywnienie wykonywa sięzapomocą profilów sztywnych: kątowników,teowników, zetowni-ków (fig. 250 a). Szczególnie silne usztywnienie powinno być na końcach belek

HK

Ji

Jl⁻

. rn

Fig. 260 a, b, c. d, e.

4

Dopuszczalna siła poprzeczna T — — 8₆ hb kt, przypadająca na środnik

belki w styku podzieli się między blachą i dwiema nakładkami proporcjonalnie do przekrojów nakładek i środnika, tj.:

Tn

+ 2 bn hn

• kt>

2 (W

b ?Jb К + 2 ?Jn К

nad podporami i tutaj składa się ono zwykle z czterech, sześciu, a nawet czasem ośmiu kątowników. Najmniejsze wymiary kątowników są zwykle 75X75X8 i dochodzą do У 100 X 100 X 10, a nawet i większych w zależności od wysokości środnika ; im większy środnik, tern silniejsze muszą być kątowniki. Symetryczne usztywnienie jest lepsze od jednostronnego. Żebra usztywniające powinny nachodzić na kątowniki pasów (fig. 250 V). Kątowniki mogą być naginane lub stawiane na podkładki wyrównawcze (fig. 250 c). Stosowanie podkładek jest lepsze, więcej konstrukcyjne, choć przy wysokich blachach droższe. Przy wysokościach ścianki, nie przekraczających 600—700 ш, podkładki są nawet tańsze, niż wygięcia kątowników, zwłaszcza, że przy podkładkach kątowniki mogą być słabsze, gdyż podkładki również usztywniają środnik. Szerokość podkładki powinna być o 10 mm większa od podwójnej szerokości boków kątowników, pod któremi leży więcej odległość pomiędzy bokami prostopadłemi Sj -= 2 & -j- o -f-10 mm. Jeżeli niema potrzeby dawać odstępu pomiędzy kątownikami 8 dla tych lub innych powodów, np. kątowniki usztywniające nie służą jednocześnie do przymocowania belek poprzecznych lub tęźników, to wtedy lepiej odstępu nie dawać i boki prostopadłe do ścianki znitowaó.

Odległość pomiędzy żebrami usztywniaj ącemi zależy od wysokości belki i od obciążenia. W mostach kolejowych odległość ta nie powinna przekraczać odległości między osiami parowozu, w mostach zaś drogowych dochodzi ona do 2,5 m.

Zamiast żeber pionowych dają czasami żebra ukośne pod kątem 45°, szczególniej na końcach belek (fig. 250 d). Na podporze, gdzie siła poprzeczna jest największa, słupki usztywniające winny być obliczone na wyboczenie. Całe ciśnienie od belki na podporę przenosi się przez poduszkę i blachy poziome belki na środnik i kątowniki pasowe, przeto nad poduszkami dolna

krawędź środnika powinna być dobrze wyrównana z kątownikami. Pozostawianie tutaj luzu m (fig. 250 e) jest niedopuszczalne, gdyż zazwyczaj wtedy nity kątowników pasowych pod naciskiem reakcji podporowej się ścinają i belka opiera się na środnik. Poza obrębem poduszek luz taki może być zostawiony. Usztywnienie środnika żebrami jest niezbędne nie tylko dlatego, by uniemożliwić wygięcie się lub fałdowania środnika, lecz ma ono jeszcze znaczenie dla usztywnienia pasa górnego belki przy mostach z jazdą dołem, gdy niema tężników podłużnych w poziomie pasa górnego. Siła ściskająca

pas N — —j- bez dostatecznego usztywnienia pionowego może wyboczyć pas

ściskany z płaszczyzny dźwigara.

IV. Dźwigary główne.

Dźwigary belkowe. Belki, które przez łożyska przenoszą ciśnienie na podpory, nazywamy dźwigarami. Każdy dźwigar składa się z pasów i ścianki, która łączy pasy. Ścianki może być pełna lub pod postacią kraty. W pierwszym wypadku mamy dźwigary o ściance pełnej, w drugim zaś dźwigary kratowe.

HNNM УУШ

4KKKN/WM/

Jeżeli krata składa się z prętów pionowych i pochylonych, nazywamy ją kratą krzyżulcową (prostokątną; fig. 251 a) i odróżniamy ją od kraty tylko z prętów pochylonych — kraty siatkowej (fig. 251 Ъ).

Jeżeli pręty jedne przecinają inne pomiędzy pasami, mamy kratę wielokrotną; dwukrotną, gdy się raz przecinają (fig. 252 a), czworokątną, gdy się trzy razy przecinają (fig. 252 b). д д- -д-W mostach zasadniczo stosujemy    /vvv

Fig. 251 a, b.

Fig. 252 a, b.

taką kratę, która wraz z pasami tworzy układy niezmienne, tj. układy, w których dźwigar zmienia swój kształt tylko wtedy, gdy zmieniają swe długości pręty, a to albo statycznie wyznaczalne, albo statycznie niewyznaczalne (przesztywnione, hyperstatyczne). Por. dział: „Statyka budowli.“ Dźwigary statycznie wyznaczalne mają т — Ъп — 3 prętów, gdzie n jest ilością prętów. Dźwigary statycznie niewyznaczalne mają m > 2 n — 3.

Obecnie do mostów o stosunkowo niewielkich rozpiętościach stosowane są przeważnie dźwigary proste belkowe jednoprzęsłowe. Dźwigary wieloprzęsłowe ciągle są nieco w upośledzeniu ze względu na dodatkowe naprężenia, jakie powstają w prętach przy osiadaniu podpór, a zatem, gdy łożyska mogą się okazać nie na projektowanej wysokości na poszczególnych podporach. Nie uważamy za słuszne, aby z tych względów dźwigary te ignorować i odrzucać. Przedewszystkiem dzisiejsze sposoby fundowania podpór nie nastręczają obaw, dotyczących osiadania podpór. Gdyby jednak podpora osiadła już po ustawieniu i obciążeniu mostu, to klinami, któremi winny być zaopatrzone poduszki belek ciągłych, można zawsze różnice wysokości wyrównać, podnosząc dźwigary zapomocą dźwigów hydraulicznych, których siła dzisiaj łatwo daje się doprowadzić do kilkuset tonn. Belki te mają swoje zalety, gdyż są naogół lżejsze od belek rozciętych i są sztywniejsze. Stosunek wysokości tych belek do rozpiętości może być znacznie mniejszy, niż dla belek rozciętych, co jest bardzo ważne przy niewielkiej wysokości ustrojowej. W mostach petersburskich stosowane były belki te przy stosunku h : l od 1:15 do 1 : 23 (most Pałacowy przez Newę) przez autora niniejszej pracy z zupełnie dobremi wynikami. Montowanie tych dźwigarów może być wykonane pa brzegu i ustawienie na podpory nasuwaniem podłużnem bez specjalnych

rusztowań między podporami mostu, co ma czasem bardzo ważne znaczenie, tak pod względem szybkości wykonania robót, jak też i zmniejszenia wydatków.

Również obecnie stosują przeważnie dźwigary wewnętrznie statycznie wyznaczalne, zatem o kracie pojedynczej lub podwójnej i wielokrotnej takiej, która jednak zadość czyni warunkowi m = 2n — 3. Stosowanie kratownic statycznie wyznaczalnych usprawiedliwia się prostotą obliczeń i również większą dokładnością i prostotą zestawiania w porównaniu z kratownicami przesztywnionemi, które wymagają znacznie większej ostrożności i ścisłości przy zestawianiu, by pręty należycie pracowały. Dźwigary przesztywnione są jednak żywotniejsze, bo o ile w dźwigarze nieprzesztywnionym każdy pręt stanowi żywotną część całości, stanowi jakby serce organizmu i uszkodzenie jego powoduje katastrofę całego ustroju, o tyle w dźwigarach prze-sztywnionych uszkodzenie pewnych prętów nie powoduje katastrofy i dlatego też dla tych względów należałoby w pewnych okolicznościach dźwigary te stosować.

Belki proste rozcięte (wolno podparte) stosowane są obecnie do rozpiętości 204 m. Największe rozpiętości w Europie wynoszą 158,4 m przez Wołgę i 186 wz przez Ren koło Ruhrortu. W Ameryce jest znaczna liczba mostów,

przekraczających rozpiętość 160 m, przytem rozpiętość /fr-т—*-——яг—'—-X    mostu przez Mississippi w St.

c    j nie przekracza 20 —25 m, na-

głemi lub o jednym pasie krzy-

wym.

Fig. 253 a, b, c, d, e.

Przy rozpiętościach od 25 do 35 w w mostach z jazdą dołem stosuje się mosty otwarte z plisami równoległemi lub o pasie górnym krzywym parabolicznym (fig. 253 a). Stosowanie pasa górnego krzywego, w którym słupki w pobliżu podpór są krótkie, jest racjonalne, gdyż słupki krótkie lepiej trzymają pas górny w jego płaszczyźnie, sam pas zaś górny, zbiegając się z pasem dolnym, otrzymuje lepsze zamocowanie.

Dźwigary o rozpiętości do 50—60 m robi się przeważnie z pasami równoległemi; przytem krata może tu być stosowana z krzyżulców zasadniczych i słupkówtdrugorzędnych (fig. 253 b). Lecz jeżeli stosować wysokość dźwigarów pośrodku około ¹/₅ rozpiętości, to można i przy rozpiętościach 50-—60 m stosować dźwigary o pasach krzywych (wielobocznych), dając końce ścięte, przytem pierwszy .słupek dostatecznej wysokości (około 6,5—7,5 m w mostach kolejowych), by można było od słupka tego prowadzić 4ężniki podłużne.

Przy rozpiętościach, przekraczających 60 m i do 120 m pas górny jest zwykle wieloboczny. Stosunek wysokości pośrodku do rozpiętości wynosi od ¹/₅ do ¹/₆. Krata zasadnicza — z krzyżulców z dodatkowemi słupkami (fig. 253 c), lub też z dodatkowemi słupkami i wzmocnieniem górnem lub dolnem (fig. 253 d). Niewykluczona jest tutaj i krata krzyźulcowa, tj. z zasadniczemi słupkami, lecz wtedy dla zmniejszenia długości słupków na wyboczenie należy środki słupków łączyć z węzłami wewnętrzneini prętami (fig. 253 e).

we. ze wzmo-

W dźwigarach o większych rozpiętościach stosuje się tylko pasy krzy Krata zasadnicza"składa się z krzyżulców i dodatkowych słupków cnieniem tak górnem, jak dolnem. Stosunek wysokości do rozpiętości jest nieco mniejszy około 1 .’"6,5. Ponieważ w mostach kolejowych jednotorowych odległość w świetle między dźwigarami jest dostateczna 4,8 m i jeżeli grubość pasów przyjmiemy 1,2 m, to odległość między osiami dźwigarów otrzymamy 6 m. Przy stosunku wysokości do szerokości, ze względu na sztywność po-

przeczną 3,33, wysokość dźwigarów otrzymamy 3,33 X 6 = ⁰⁴³ 20 m. Przyjmując, że najmniejszy stosunek szerokości do rozpiętości przy dużych rozpiętościach winien być nie mniejszy od 1 : 20, otrzymamy, że przy szerokości 6 m, piętość będzie 120 m. Zwiększając rozpiętość, musimy zwiększać szerokość mostu niezależnie od tego, czy jest ona konieczna dla przejazdu. Dla mostu dwutorowego odległość między dźwigarami wynosi około 9,0 m. Zatem przy tej szerokości, mając na uwadze sztywność poziomą mostu, może stosować dźwigary do rozpiętości 9 X 20 — 180 m i wysokości do 27—30 m. Zaznaczyć tutaj musimy, że wysokość dźwigarów zależy od ilości przedziałów ; im mniej jest przedziałów, tein wysokość winna być większa. Zmniejszając przedziały, musimy wysokość zmniejszać, by otrzymać wagę dźwigarów mniejszą. Dla dźwigarów o pasach równoległych stosunek h : l może być wyrażony następującym wzorem:

roz-

h _ 1 1/(1+ a)[(от+ 2)(2w — l)tp₁+(w — 2)(2«»-f l)cp₂ + (6ma + 7w — 2)<p₃] l m'    (6ffl«-f7w—2) (cp₈ + <p₄)

We wzorze tym oznacza m ilość przedziałów, a — stosunek obciążenia stałego do ruchomego <p₂, <p₃, cp₄ — spółczynniki ustrojowe pasa górnego, pasa dolnego, krzyźulców i słupków.

Wielkość przedziału a daje się w granicach 4 do 8 m i tylko w dźwigarach

dużych rozpiętości cza-    H\1/1\1/N/NJ/T4UT4

sem dochodzi do 10 m. * ■ * J ~ * ‘ s '■    »

W mostach kolejowych    c    ^x--7C7r?K-F~Tr--

dwutorowych ze względu    \ rfA/Y    ) N\N^i

na belki poprzeczne i ich przymocowanie do dźwigarów należy przedziały a przyjmować mniejsze, niż w mostach jednotorowych 5—6 m.

Fig. 254 a, b, c, d, e, f.

Dźwigary ciągłe bez-przegubowe, trójprzęsło-we mają stosunek rozpiętości około 7:8:7 i czte-roprzęsłowe 7 : 8 : 8 : 7.

Przy małych rozpiętoś-ciach dźwigary te nie dają ekonomji w materjale, przy większych zaś rozpię-tościach od 50 m ekonomja w materjale jest widoczna około 8—10% i przy rozpiętościach około 100 rn dochodzi do 15%. Krata w dźwigarach ciągłych może być stosowana jak i w belkach zwykłych rozciętych.

Zwrócić tutaj należy uwagę, że jeżeli krzyżulec przecina kilka słupków (krata wzmocniona), to pas górny nad słupkami, umieszczonymi w węzłach głównych, lepiej łamać, to jest lepiej, by górne końce tych słupków 2,6,2' leżały na wypukłej krzywej, a nie na prostej pomiędzy głównemi węzłami pasa górnego (fig. 254 a). Wtedy słupki te są rozciągane, a nie ściskane i łatwiej im nadawać odpowiednie przekroje.

W dźwigarach znacznej wysokości, gdy krzyżulce przechodzą przez dwa lub więcej przedziałów (krata wzmocniona), lepiej stosować przy zasadniczej kracie prostokątnej krzyżulce pochylone ku środkowi (fig. 254 ft). Krzyżulce te są zasadniczo ściskane, lecz, będąc przecięte pośrodku słupkiem, otrzymują długość wyboczeniową w płaszczyźnie dźwigara równą połowie ich całkowitej długości, zaś z płaszczyzny dźwigara długość ta może być również zmniejszona do połowy lub mniejszej przez postawienie w słupkach dodatkowych tężników pionowych. Słupki główne zasadnicze są przeważnie rozciągane i, jako

takie, nie wymagają przekroi rurowych, a to ułatwia połączenie poprzecznie z dźwigarami, oraz rozporek tęźników podłużnych i poprzecznych.

Co się tyczy końców dźwigarów, to przy znacznych rozpiętościach lepiej zakończać dźwigary słupkami pionowemi, bo, choć to wymaga cokolwiek więcej materjału, niż przy końcach zbieżnych, daje jednak możność skonstruowania dobrze sztywnych ramownic. W dźwigarach o końcach zbieżnych tworzenie ramownicy pochyłej nastręcza dość duże trudności. W dźwigarach o rozpiętości do 70—80 m można również stosować kratę półkrzyżulcową (fig. 254 c i d). W kracie tej węzły wewnętrzne daje się na połowie wysokości słupków, zaś długość przedziału a około 0,7 h. Według Z. Bażanta krata ta daje najmniejsze naprężenia drugorzędne od sztywności węzłów.

Dźwigary wspornikowe. Jeżeli w belce ciągłej dwu- lub trójprzęsłowej w miejscach najmniejszych momentów gnących damy tyle dodatkowych przegubów, o ile liczba podpór belki ciągłej przewyższa dwa, otrzymamy wtedy układ belek statycznie wyznaczalny względem sił zewnętrznych, — belki wspornikowe: jednowspornikowe (fig.254e) lub dwuwspornikowe (fig. 254f). Jak w belkach ciągłych, tak i w belkach wspornikowych, jedna z podpór może być nieruchoma, inne zaś muszą być przesuwne (fig. 255 a). Każda

4 HT T "TT TT

belka oddzielna od podpory do podpory ma jedno łożysko nieruchome, c    drugie przesuwne, lub od podpory do

S 7 , ,    przegubu, albo od przegubu do prze-

6.

Fig. 255 a, b, c.

gubu jeden koniec winna mieć na łożysku stałem, drugi zaś na łożysku przesuwnem. Belka wsparta na końcu wspornika może mieć takie połączenie zewnętrzne, że miejsce połączenia nie będzie nazewnątrz uwidocznione. Most 23йзг:ЗГ| zewnętrznie będzie mieć kształt, jakby belki ciągłejbezprzegubowej (fig. 255 b). Połączenie to może być również jaskrawo uwidocznione (fig. 255 c). Ponieważ momenty gnące na końcach wsporników spadają do zera, zaś największe otrzymuje się na podporach, przeto, łącząc końce wsporników belką zawieszoną niewielkiej rozpiętości, możemy tej belce nadać niewielką wysokość i całemu mostowi kształt mostu wiszącego sztywnego (fig. 256 a) lub też łukowego (fig. 256 b). Belka międzypod-porowa może mieć niewielką wysokość, lecz zato będzie wzmocniona łańcuchem wiszącym, zwykle sztywnym, i wspornik jako belka zawieszona do tego łańcucha. Na końcach wsporników spoczywa belka łącząca wolnopod-parta (fig. 256 c). Otrzymuje się układ wspornikowy o trzech pasach. Mosty wspornikowe nie należą do zbyt sztywnych układów. Wsporniki dają znaczne ugięcie. Układ zaś o trzech pasach jest najmniej sztywny. Most w. Mannheimie tak silnie się ugina, że jazda po nim dozwolona jest tylko stępa. Układ ten nie jest godny naśladowania.

Mosty wspornikowe statycznie wyznaczalne o podporach bliźniaczych bez kraty między podporami bliźniaczemi pokazane są na fig. 257 a. Dają one możność przy wysokich podporach metalowych ciśnienie od dźwigarów rozłożyć na każdą nogę podpory oddzielnie przy reakcjach dodatnich.

roz-

Mosty wspornikowe mają bardzo ważną zaletę, bo dają możność zestawienia ich na miejscu budowy bez użycia rusztowań, których często nie możnaby było zbudować. Przy obliczaniu mostów tych tak waga własna, jak i działanie wiatru powinny być obliczone rozłożone na poszczególne węzły, a nie przyjmowane, jako równomiernie rozłożone. Przy dużych piętościach mosty wspornikowe dają ekonomję i w żelazie i w podporach. W mostach drogowych przy układzie dwuwspornikowym (fig. 257 b) można beleczki zawieszone dawać krótkie, kilka metrów rozpiętości i przez to

otrzymywać bardzo małe przyczółki, które wtedy mogą być wzniesione nawet na nasypach. Filary przy brzegach mogą być bez izbic i również tanie, tak, że filar może kosztować znacznie taniej, niż przyczółek. Waga zaś dźwigarów otrzymuje się tylko nieznacznie większa przez ich wydłużenie o wsporniki, gdyż wsporniki zato zmniejszają momenty gnące w części międzypodporowej. Ogólne koszta mogą być znacznie mniejsze, niż przy stosowaniu belki zwykłej jednoprzęsłowej na należytych przyczółkach.

в*

Fig. 267 a, b.

Fig. 256 n, b, c.

Mosty wspornikowe pochodzą do bardzo dużych rozpiętości ; do 549 m ma most przez rzekę Sw. Wawrzyńca w Quebeck. Projekt mostu przez rzekę Hudson — 701 w rozpiętości.

Mosty jednowspornikowe w zależności od długości wspornika i belki zawieszonej mogą mieć reakcje na podporze skrajnej dodatnie i ujemne. Zwykle dążą do tego, by reakcje otrzymywać tylko dodatnie, gdyż zakotwienie *, lr Л - *, / ?, д + ; ¹ >

końców dźwigarów połączone jest z pe-    U--?-J

Fig. 258.

wnemi trudnościami, zaś umieszczanie przeciwwag wymaga miejsca i zwiększa wagę żelaza dźwigarów. Jaka powinna być długość wsporników i belki zawieszonej w stosunku do długości belki międzypodporowej by waga była najmniejsza, jest to zadanie, które ściśle teoretycznie nie może być rozwiązane. Można korzystać z tablicy 7, w której podany jest przez różnych autorów stosunek długości części przęseł przy oznaczeniach według fig. 258.

Tablica 7.

Autor

о-

г-*

Winkler.....

Nikolai.....

Bayer......

Barr......

Merriman i Jacoby

0,18—0,27

0,20

0,4 —0,6 0,62—0,5

0,43

0,17—0,23

0,66—0,54

0,96—0,84

o © o' о*'

o o o' o'

0,90

0,75—0,50 0,4 —0,5

0,37

Dźwigary łukowe stosuje się obecnie przeważnie dwuprzegubowe i trójprzegubowe. Bezprzegubowe stosuje się tylko kratowe przy znacznych rozpiętościach, jeżeli jest możność dobrego zamocowania pasów łuku do podpór. Bezprzegubowe w ostatnim wypadku dają możność łatwiejszego zestawienia na podporach bez rusztowań, niż łuki przegubowe. Dźwigary łukowe blaszane sztywne, jako bezprzegubowe, nie maja racji bytu, gdyż zamocowanie ich w stopie byłoby bardzo trudne i trzebaby było dźwigar zapuszczać dobrze w podporę i zamurowywać, by osiągnąć łuk istotnie

bezprzegubowy (fig. 259). Pozostawia-I jfr    g|gjg; jąc zaś stopy płaskie z klinami, jak to

^ i I    SŁ stosowano (mosty Morand, Lafayette

mo-

Fig. 259.

w Lugdunie, Mikołajewski w Petersburgu i inne), nie możemy przyj wać układu tego rodzaju jako łuki bezprzegubowe, lecz raczej jako przegubowe ze zmiennym przegubem w stopach, zatem raczej jako układ nieokreślony.

Jeżeli rozpatrywać odkształcenia, to dźwigary bezprzegubowe dają najmniejsze ugięcia w kluczu, dwuprzegubowe nieco większe, trójprzegubowe największe. Również wahania w kluczu od zmiany temperatury w tych układach są najmniejsze w bezprzegubowych, a największe w trójprzegu-bowych. Naprężenia zaś wskutek zmiany temperatury w bezprzegubowych są do 4—5 razy większe, niż w dwuprzegubowych. Wybór układu dwu-przegubowego lub trójprzegubowego zależy od stałości podpór. Jeżeli podpory nie nasuwają wątpliwości co do osiadania i odchylenia (na gruntach stałych twardych i skalistych), należy stosować dwuprzegubowe, w przeciwnym razie trójprzegubowe, gdyż przy nieznacznem przesunięciu się podpory pod działaniem rozporu w łuku trójprzegubowym powstaną nieznaczne dodatkowe naprężenia, zaś w łuku dwuprzegubowym naprężenia te mogą być bardzo znaczne, szczególniej w łukach płaskich.

„di-i

Stosunek wysokości łuku do jego rozpiętości normalnie leży w granicach

^, choć dochodzi do ^ - i ^. Łuki płaskie są ładne, lecz

7    12

wymagają dobrych podpór, zatem albo dobrego gruntu, albo też bardzo silnych i kosztownych podpór. Stosunek 1 : 17 jest w moście trójprzegubowym Aleksandra III. w Paryżu, 1 : 17,2 w moście dwuprzegubowym Pantelej-monowskim w Petersburgu. Przy dobrym gruncie możnaby dojść do 1 : 20, lecz nie dalej.

Fig. 261 a, b, c.

Fig. 260 a, h, c.

Łuki o ściance pełnej mogą być stosowane do rozpiętości około 60 m,

przyczem wysokość dźwigara waha się w granicach -- — —. Przy znacz-

nem obciążeniu ruchomem stosuje się granicę większą, przy mniejszem granicę mniejszą. Pomost, zwykle wzniesiony, spoczywa na słupkach (fig. 260 a). Kształt łuku tworzy przeważnie krzywa koła, choć parabola przy równomiernem

obciążeniu całego dźwigara daje momenty w przekrojach łuku trójprzegu-bowego zerowe, w dwuprzegubowym bliskie do zera ; nie jest ona jednak tak ładna, jak krzywa koła. Jeżeli rozpiętość jest znaczna, wtedy przeważnie stosują łuki kratowe o pasach równoległych (fig. 260 b), lub też o kształcie sierpowym (fig. 260 c), również ze słupkami do podtrzymania pomostu, lub też przy znacznej wysokości mostów z filarami wieżowemi (fig. 261 a). Słupki pojedyncze wysokie łączą wtedy poziomemi prętami z węzłami, by zmniejszyć ich długość wybaczalną i przez to ich przekroje (fig. 261 b). Ponieważ pod wpływem zmiany temperatury belki podłużne się wydłużają lub skracają, przeto przy stosowaniu wieży każdy z dźwigarów podłużnych musi mieć łożyska na jednym końcu przesuwne i na drugim stałe. Przy słupkach pojedynczych (fig. 261 c) słupki należy obliczać na ściskanie i na zginanie. By zmniejszyć naprężenie od zginania, przy większych rozpiętościach należy sto-

-■

<*200

J.O    О I :

• O i b

i'O    o i Г

Fig. 262.

Fig. 264 a, h.

Ш)

Sff

%~w

Fig. 263.

h'

Fig. 265 a, b.

sować połączenie słupków z lukiem przegibne (fig. 262), a czasem też prze-gibne i z podłużnica. Zamiast przegubów można użyć połączenia blachami (fig. 263).

W łukach

trójprzegubowych blaszanych oraz z pasami równoległemi przegub środkowy zwykle daje się na osi łuku. Łuki kratowe przeważnie wykonywa się dwuprzegubowe, rzadziej trójprzegubowe. Są one tak z jazdą górą (fig., 264 a, b), jak też i z jazdą dołem (fig. 263 a). W ostatnim wypadku mogą być ze ściągiem, wtedy ciśnienie na podpory od sił pionowych wywierają pionowe (fig. 265 a). Jeżeli w łukach kratowych (fig. 265 V) daje się trzeci przegub w kluczu, to należy go umieścić w pobliżu pasa górnego (w odległości ¹/₄—¹/₃ wysokości w kluczu). Umieszczenie przegubów w kluczu w pobliżu pasa górnego lepiej rozkłada ciśnienie na pas górny, oraz na kratę. Pasy pracują równomierniej. Przy położeniu przegubu w poziomie pasa dolnego pracuje przeważnie pas dolny, pas górny zaś bardzo słabo, względów jednak ustrojowych przekrój trzeba mu dawać znaczny, wyzyskany, co podnosi znacznie spółczynnik ustrojowy.

/.'•

ше-

Bryła, Podręcznik inżynierski. V. 58

145

około 45°

Wysokość dźwigarów kratowych w klucza daje się około ^ l dla mostów

kolejowych, a nawet — l, zaś dla mostów drogowych wysokość ta może być

mniejsza i może być doprowadzona do ^ l. Strzałka f około 1 — h

o ile wysokość ustrojowa to dopuszcza. W mostach z jazda górą strzałka f

może być znacznie mniejsza i niewykluczone jest jf=—?— Należy

wszakże mieć na uwadze, że tak płaskie łuki wymagają dobrych podpór. Na podporach wysokość dźwigarów z jazdą dołem zależy od obrysia i stanowi

— l — — Z. Pochylenie krzyżulców do pionu przyjmuje się

około

w odległości */₄ od podpory. Koło tego przekroju zwykle są największe momenty gnące. W lukach blaszanych kształt łuku powinien być o linji

J;

Fig. 266.

ciągłej, a nie łamanej. W dźwigarach kratowych łukowych mostów kolejowych, nie miejskich, stosuje się pasy łamane wielo-boczne, proste między węzłami, w mostach miejskich należy pasy dawać o krzywej ciągłej, uwzględniając naturalnie krzywiznę prętów przy obliczeniu naprężeń. Przytem, ponieważ w dźwigarach siły w pasie dolnym wzrastają od klucza ku stopom, zaś w pasie górnym przeważnie odwrotnie, przeto wysokość ścianki pasów pasa górnego można dawać jednakową na całej długości, zaś pasa dolnego należy zwiększać w sposób ciągły od klucza ku stopom. Górna i dolna krawędź pasa zarysowane winny być krzywemi różnych promieni i z różnych środków (fig. 266).

dołu i góry.

Przekroje pasów i kraty w dźwigarach łukowych kratowych stosuje się takie same, jak i w dźwigarach kratowych belkowych. Wysokość blach tylko bierze się nieco mniejszą, niż u belkowych, około ²/s h. Pas dolny albo o przekroju JET, albo o przekroju rurowym otwartym Pierwszy przekrój jest sztywniejszy. Pas górny przeważnie skrzynkowy, ściąg zaś albo skrzynkowy albo rurowy otwarty z góry i z dołu. W lukach blaszanych stosuje się przekroje dwuteowe lub skrzynkowe otwarte z dołu dla dużych rozpiętości i obciążeń.

Dźwigary łukowe wspornikowe otrzymujemy, jeżeli dźwigar kryje nie jeden przelot, lecz częściowo także dwa sąsiednie przeloty, jak belka dwu-wspornikowa. Na końcach wsporników spoczywają belki zwykłe rozcięte, które drugimi końcami mogą spoczywać również na wspornikach dźwigarów belkowych (fig. 216 b ; most Troicki) lub łukowych, lub też na podporach (fig. 267 a). Jeżeli wysunięte części dźwigara łukowego nie wystają swobodnie, lecz spoczywają na podporach, otrzymamy właściwie dźwigar ciągły. Zwykle boczne części, spoczywające na podporach, mają poduszki (łożyska) przesuwne, tak że właściwie boczne dźwigary są układu belkowego (fig. 267 V). Gdyby poduszki bocznych przęseł dać przegibne nieruchome, wtedy otrzymalibyśmy most łukowy ciągły ; na podporach środkowych poduszki wtedy robi się przegibno przesuwne. Jeżeli w tych układach niema przegubów pośrodku, to otrzymuje się układy trzy razy statycznie niewyznaczalne ze względu na reakcje podpór, przy zastosowaniu jednego przegubu pośrodku (fig. 267 c ; most Mirabeau) dwukrotnie statycznie niewyznaczalny, przy trzech przegubach (fig. 267 d) statycznie wyznaczalny. Długość wsporników, jak w układach belkowych około V4—V» rozpiętości przęsła łukowego (most Troicki w Petersburgu, fig. 216 ń; Viaurski wiadukt, fig. 267 e). Należy tak wyznaczać długość wsporników i belek zawieszonych, by uniknąć rozporu ujemnego. Waga mostów łukowych wspornikowych jest mniejsza od belkowych, lecz większa od łukowych. Podpory dla tych układów otrzymują zwykle niesymetryczny kształt (fig. 268). Mosty łukowe wspornikowe dobrze stosować, gdy trzeba zestawienie ich robić bez rusztowań, lub gdy trzeba nadać dźwigarom możliwie niewielką wysokość

I,

J.

■ V-« I

Г»

■.moo A

Fig. 267 «, 4, c, d, e.

ustrojową pośrodku przęsła (względy żeglugi) przy zachowaniu jazdy górą. Wysokość dźwigarów w kluczu można sprowadzić do ²/5o Z.

ńi

Do układów łukowych można zaliczyć jeszcze łuki gibkie zesztywnione belkami (fig. 269), przytem belka pośrodku może mieć przegub (fig. 269) z prętem fałszywym a b, lub też być bez przegubu (fig. 270). W pierwszym wypadku mamy układ statycznie wyznaczalny, w drugim statycznie niewyznaczalny. Układ ten nie posiada zalet, któreby przemawiały za jego stosowaniem. Nie należy do układów ładnych i sztywnych. Może być stosowany jedynie do mostów drogowych, gdzie obciążenie obliczeniowe rzadko ma miejsce, prawie tylko przy próbie mostu, i dla których większe ugięcie ma mniejsze znaczenie, niż dla mostów kolejowych.

Obliczenie mostów łukowych. Rozpatrzymy tutaj tylko łuki dwuprzegubowe blaszane i kratowe bez ściągu

-ав

TS. zfa. Д sfcsbsj

Fig. 268.

Fig. 269.

Flg. 270.

gdzie S jest siła w dowolnym pręcie w założeniu, że dźwigar jest belkowy, a — siła w pręcie od siły H= lw dźwigarze również belkowym, l — długość pręta i F — przekrój. Znaki sum rozpościerają się na wszystkie pręty danego dźwigara. Rozpór od zmiany temperatury otrzymuje się ze wzoru:

aLtE ^ cH ’

Z F

gdzie a oznacza spółczynnik linjowej wydłuźalności dla żelaza, L — rozpiętość, t°—zmianę temperatury, E— spółczynnik sprężystości. Przekroje prętów muszą być wiadome. Możemy je znaleźć, zakładając, że łuk jest trójprzegubowy z przegubem kluczowym umieszczonym w ¹/₃ wysokości od pasa górnego, lub też, mając podobny most, możemy wykorzystać przekroje tego mostu, stosując nie same przekroje, lecz stosunek przekroju jednego pręta do innych. Można przyjąć przekrój pasa górnego w kluczu F₀ i wtedy wzór powyższy brzmi :

2

H= —

‘■*J F

Stosunek należy brać dlatego, że absolutne przekroje mogą się różnić znacznie, natomiast stosunki mogą mało odbiegać od siebie. Dobre rezultaty otrzymuje się, znajdując przekroje najpierw dla łuku trójprzegubowego. Gdy na zasadzie powyższych wzorów znajdziemy rozpór, wtedy określamy siły w prętach i przekroje, które wprowadzone do tychże wzorów, dadzą nam dokładniejsze wielkości dla II. Na podstawie nowego II obliczamy znowu siły i przekroje prętów. Nowe przekroje wstawiamy znowu do wzoru dla II. Jeżeli dla H otrzyma się znaczenie, różniące się nie więcej niż 3—4%, to przyjęte przekroje można przyjąć jako ostateczne, w przeciwnym razie obliczenie należy powtórzyć.

Jeżeli dźwigary są ze ściągiem, wtedy obliczenie przeprowadzamy, jak i bez ściągu, lecz tylko wtedy zwykle przyjmuje się stosunek innych prętów do ściągu. Dla H tedy mamy wzór:

y.-^-Sał

ff = -

Fs

który właściwie mieści się we wzorze powyższym, gdyż dla pręta ściągu c=l.

b) Dla łuków o ściance pełnej dla rozporu H mamy wzór:

L sin cp cos ф d s

--N

-b

JM

W?

fL y*ds , [L

Jo I Wo

cos^ cp ds

gdzie Mo jest moment gnący od s;ły P — 1, zaczepionej w odległości a od lewej podpory, w założeniu, że łuk ma podpory, jak belka zwykła ; inne wielkości są pokazane na fig. 271. Całki w tym wzorze mogą być zastąpione przezsumy, przytem sumowanie może być wzięte według wzoru Simpsona, wtedy :

sin cp cos cp A S

Fig. 271.

M₀yds

^ cos² cp A N

Dla niewielkich rozpiętości do 25—35 m można przekrojów nie zmieniać. Przy większych rozpiętościach przekroje są zmienne. Dla pierwszego przybliżenia można znaleźć przekroje dla łuku trójprzegubowego. Należy tylko mieć na uwadze, że naprężenia od zmiany temperatury dla łuków płaskich,

—, są dość znaczne i dochodzą do 30—50°/o naprężeń od

gdy

/ __

l 15    17

Z.+

F cp -

Mz

sił pionowych, przeto przekroje trzeba odpowiednio zwiększyć. Mając rozpór, otrzymamy siłę normalną w łuku i moment gnący N= V sin <p -\-H cosec ; M = M₀—Iły. V oznacza siłę poprzeczną w belce prostej tej samej rozpiętości i obciążenia, co łuk.

Naprężenie znajdujemy z wzoru: К

Ponieważ linje wpływowe dają inną granicę obciążeń dla N i M, przeto dla prawidłowego obliczenia należy obliczyć linje wpływu naprężeń według powyższego wzoru i według linji naprężeń obciążać łuk najniedogodniej. Zamiast linji wpływowe naprężeń można obliczyć linje wpływu momentów gnących względem krańcowych punktów rdzennych danego przekroju: dla

Fig. 272 a, b, c, d, e.

naprężeń w górnych włóknach momenty rdzenne dolne, dla naprężeń dolnych włókien momenty rdzenne górne, obciążenie według linji wpływu tych momentów da nam największe naprężenie:

Mdz

K=±-j-

i *=±3ł£,

Mg i Md odpowiednio momenty rdzenne dolne i górne.

Dźwigary mostów wiszących. Mosty wiszące są gibkie, gdy na łańcuchu zawieszony jest pomost (fig. 272 a). Mosty te ze względu na swe znaczne odkształcenia, duże przesunięcia w kierunku pionowym i podłużnym nie nadają się do mostów kolejowych. Nawet do mostów drogowych z powodu braku sztywności nie są do zalecenia, jedynie można ich używać, jako mostów dla pieszych. Obecnie stosuje się łańcuchy gibkie w połączeniu z belkami zwykłemi, które nadają im odpowiednią sztywność (fig. 272 ó), łańcuchy sztywne, do których jest podwieszona część przejazdowa (fig. 272 c), lub też łańcuchy sztywne w połączeniu z belkami sztywnemi (fig. 272 d). Wreszcie, do mostów wiszących zaliczamy odwrócone dźwigary kratowe łukowe. Otrzymujemy układy, w których pręty są przeważnie rozciągane, gdy tymczasem te pręty w układzie łukowym były ściskane (fig. 272 e). Ponieważ mosty te mają punkty podparcia wyżej środka ciężkości, przeto należą do układów statecznych.

Miarą sztywności dźwigarów mostowych jest stosunek strzałki ugięcia dźwigarów od obciążenia ruchomego do jego rozpiętości. Zatem im waga własna mostu jest większa, a zatem przekracza obciążenie ruchome, tem naprężenia w elementach dźwigarów od obciążenia ruchomego stanowią mniejszy procent od całkowitych naprężeń i dlatego ugięcie jest mniejsze. Waga zależy od rozpiętości i dlatego mosty wiszące nadają się dobrze do dużych rozpiętości. Do średnich i małych rozpiętości mosty te pod względem ekonomicznym się nie nadają. Stosowanie ich do mniejszych rozpiętości może

ТТ77?Я77777ш///777Ш777777777777777777777Щ77777Л777/*

¹

) O usztywnieniu ścianki patrz pracą pod tytułem: H. Rode: Beitrag zur Theorie der Knickerscheinungen. „Der Eisenbau“. 1916.

²

ze ściągiem. Trójprzegubowe nie nastręczają najmniejszych trudności, jako układy statycznie wyznaczalne. Dwuprzegubowe należą do statycznie niewy-znaczalnych, przeto przy obliczaniu tych dźwigarów musimy mieć z góry dane przekroje. W dźwigarach kratowych dostatecznie mieć tylko wielkość przekroju, w dźwigarach blaszanych wielkość przekroju i sam przekrój, bo niezbędny jest moment bezwładności przekroju.

a) Dźwigary łukowe kratowe. Rozpór od siły P=l, położonej w dowolnym weźle, otrzymuje sie ze wzoru :

xSal " F

vc4’

- F

шшшшяшшяШШь

Fig. 273 а, Ь, с.

ill

ГГ.?

rtdï

1Г

«Ml;-

Fig. 274.

Fig. 275.

Fig. 276.

być podyktowane względami estetycznemi, bo należą do 'mostów adnych, lub też względami dogodnego zestawienia na miejscu bez rusztowań. Nadają się natomiast do dużych rozpiętości i przy bardzo dużych rozpiętościach są niemal jedyne. Układy według fig. 273 а, Ъ są raz przesztywnione, według fig. 273 c dwa razy przesztywnione.

Strzałka łańcucha przyjmuje się od ¹/a do ¹/1S l. Wysokość dźwigarów usztywniających około ¹/₃₀ do ¹/eo l. Druga granica daje mało sztywne belki przeto lepiej się trzymać bliżej pierwszej -granicy około ¹/₄₀ l. Łańcuchów w każdym dźwigarze może być jeden i więcej w zależności od przekroi, jakie wypadają. Przy kilku łańcuchach podwieszenie pomostu lub belki

usztywniającej do łańcuchów powinno być zrobione zapomocą szeregu orczyków, by obciążenie na łańcuchy było rozłożone możliwie jednakowo

><

a-а т]

a-i

Â-l

ЧйРч°у

ff î#

/oOot

IЩ i

S SI g §

O O îo O

UNI.

Fig. 277.

f,

iO?

Dig 279.

Fig. 278.

(fig. 274), i przytem tak, by przy obrotach w dowolnym kierunku wieszaki mogły się obracać, a nie giąć, zatem połączenie przegibno kuliste (fig. 275, 276 i 281), lub przegibne w dwóch kierunkach prostopadłych do siebie (fig. 277).

Łańcuchy robi się w postaci prostych ogniw (fig. 279), lub w dużych mostach z blach pionowych grubości od 12—25 mm i szerokości do 1500 mm i więcej, lub nitowane sztywne i gibkie (fig. 278). Materjał na łańcuchy winien być o wysokiej wytrzymałości od 55—65 kgimm² z granicą sprężystości około 35 kgjmm² i wydłużeniem od 15—18%. Jest to zwykle szlachetna stal z domieszką niklu i chromu.

Zamiast łańcuchów można stosować kable, przytem ilość kabli może dochodzić do 12 i więcej. Kable składają się z lin, liny z drutów; ilość drutów w jednej linie może dochodzić do 250. Średnica drutów przyjmuje się od 3,5—6,5 mm. Stal na druty używa się tyglowa o bardzo wysokiej wytrzymałości do 115 kg/mm² przy wydłużeniu do 4%. Średnica kabli dochodzi do 600 mm.

Zawieszenie wieszaków na łańcuchu zależy od ustroju samego łańcucha. Jeżeli łańcuch składa się z blach pionowych, połączonych sworzniami, to na

ll

p -t -rry:

;r'*T7!

Fig. 280.

Fig. 28 J.

•»•I

ill

""N

cL/.l.

@m

Fig. 282.

Fig. 283.

Fig. 286.

Fig. 284.

sworzniach tych zawiesza się jedną lub dwie blachy kształtowe pośrodku lub z boków i do tych blach przytwierdza się wieszak (fig. 280). Przy łańcuchach z blach poziomych i stosowaniu orczyków do jednakowego rozłożenia ciśnienia na każdy łańcuch, na łańcuchach są przyśrubowane specjalne odlewy podstawki, przez których otwory i otwory w łańcuchach przechodzą śruby wzięte na naśrubki; pod naśrubkami są podkładki z dołu sferyczne; na podkładki nałożone są czapki, by chroniły kuliste podkładki od zanieczyszczenia (fig. 274). Otwory w łańcuchach i podstawkach są podłużne, by była możność swobodnego niewielkiego wahania.

Kable zwykle zaciskane są zapomocą dwudzielnych kajdanek, do których zawiesza się wieszaki. Forma kajdanek zależy od liczby kabli łańcucha, przytem stosowanie tutaj orczyków przy niewielkiej liczbie kabli w łańcuchu (3 lub 4) jest pożądane (fig. 277). Przy większej liczbie kabli orczyki komplikowałyby konstrukcję, przeto w tych wypadkach stosuje się kajdanki wspólne na wszystkie kable i na te kajdanki zawiesza się wieszak tak, by mógł mieć swobodne niewielkie wahania i by nie był narażony na łamanie (fig. 281).

Mocne zaciśnięcie kabli kajdankami otrzymuje się przy ustroju według fig. 282, zaprojektowanej przez firmę Harkort. Kajdanki mają z boku czopy,

na których zawieszone są blachy do przynitowania wieszaków; z bokow kajdanek są pierścienie, które zakrywają boki kajdanek; u góry i u dołu kajdanki mają czopy lekko stożkowe; w górnym czopie jest otwór, przez który zalewa się stop metalowy. Po zalaniu pustego miejsca między kajdankami i kablem, na czopy nasadza się rozgrzane stalowe pierścienie, które po ostygnięciu i skurczeniu się dobrze zaciskają kajdanki. Wieszaki robią się przeważnie z kształtowników: z kątowników, ceowników, a także i żelaza okrągłego (fig. 283). Okrągły wieszak zakończa się albo widełkami z otworem na sworzeń ^

(fig. 284), albo jest spłaszczony i i w spłaszczonym końcu ma otwór na sworzeń (fig. 285), lub też może J być zakończony gwintem, na którym się trzyma w odpowiednim odlewie (fig. 283).

Podwieszanie pomostu do wieszaków zależy od tego, czy most jest z belką usztywniającą, czy też nie. W ostatnim wypadku zwykle podwieszone są na wieszakach poprzecznice. Jeżeli zaś jest belka usztywniająca, wtedy wie- a szaki albo połączone są bezpośrednio ze słupkami belki i podtrzymują takową lub też łączą się z poprzecznicami, które na sztywno muszą być połączone

Jii

1020--

«.i

U.730-1270-W

•H*

a-a

6-6

f"

-a

It

wrj\

■ 1SOO-

Го O O ojo| »

-%ei г

:ST1

ni

\:J

ЕЙ

o!

-20П00

г’«—920-

Fig. 287.

Fig. 286.

z belką usztywniającą, gdyż na poprzecznice w tym wypadku przenosi się ciśnienie i od beHśi usztywniającej.

Zawieszenie pomostu na wieszakach pokazane jest na fig. 286. Według fig. 287 wykonane jest połączenie mostu Elżbiety w Budapeszcie. Wieszaki i belka poprzeczna są zaopatrzone w rurki z blachy, których odgięte części tworzą ściankę podwójną w postaci żebra wzdłuż rurki. Te ścianki zaciśnięte są między ceownikami wieszaka i kątownikami, przynitowanemi do blach pionowych belki poprzecznej. Przez rurki są przepuszczone śruby, po cztery na każdy koniec poprzecznicy, które trzymają belkę usztywniającą.

Podparcie łańcuchów może być dwojakie: albo łańcuch jest zamocowany do podpory przegibnie i sama podpora jest ruchomo-wahadłowa, zatem może wykonywać niewielkie obroty koło przegubu dolnego, na którym

spoczywa, albo podpora w postaci pilonu jest nieruchoma i wtedy łańcuch jest umocowany do przegubu poduszki przesuwnej na wałkach. Tak w pierwszym, jak i w drugim wypadku łańcuch ciśnie na pilony pionowo, jeżeli nie uwzględniać nieznacznego tarcia potoczystego, jakie się wytwarza przy nieznacznych przesunięciach kadłubów poduszki na wałkach. Ustrój samej poduszki zależy przedewszystkiem od ustroju łańcuchów.

Jeżeli łańcuchy składają się z blach pionowych, bądź to jako ogniwa (fig. 288 a), bądź to jako blachy pionowe (fig. 288 b), wtedy kadłub poduszki najlepiej wytworzyć z blach pionowych z przekładkami i dwoma sworz-

ct

•V;

?®Ж© >

P'

J.I. •.

<№Г>РТаая*в№т чгваKi3

ь-

Fig. 288 a, b, c, d.

Widok

Przebój

jto |r' ,<SQr

Що_

3fOQ_

(П

"X

=ff-

Fig. 289.

niami (fig. 288 c). Kadłub w danym wypadku tworzy jakby krótkie ogniwo, łączące łańcuch zawieszony i kotwicowy, zaś dolna część tego krótkiego łączącego ogniwa z przekładkami, ściągnięta nawskroś przechodzącemi śrubami i z dołu zheblowana i połączona z płytą stalową, tworzy kadłub dostatecznie sztywny, który leży na wałkach. Jeżeli kadłub taki połączymy ze słupem, dolny koniec którego spoczywa na przegubie poduszki nieruchomej, to otrzymamy podparcie łańcucha podporą wahadłową (fig. 288 d).

Jeżeli łańcuchy są z blach poziomych znitowanych, wtedy leżą one zwykle na poduszce lanej stalowej, która spoczywa na wałkach, gdy pilony są nieruchome, lub też są przytwierdzone do głowicy słupa, gdy pilony są wahadłowe (fig. 289 i 290).

Jeżeli łańcuch składa się z kilku części, wtedy nad podporą łańcuchy, położone jeden nad drugim, łączy się odpowiedniemi rozłącznikami stalo-wemi, które trzymają te łańcuchy na należytej odległości, i następnie mogą spoczywać na odlewie stalowym, położonym na wałkach lub głowicy pilonu wahadłowego (fig. 289);

W mostach kablowych rozróżnia się dwa zasadnicze wypadki:

a)    kable zawieszone przechodzą nad podporami i dalszy ciąg ich tworzy kable kotwicowe (utrzymujące) ;

b)    kable zawieszone kończą się nad podporą, są do podpory lub poduszki przymocowane, kable zaś kotwicowe idą od zakotwienia do podpory,

ял

(?ооТ o    °|-5До Q>

ГГТ'о';

ж~\ ? i ° 11 ■ в- -

к:

V*

Ftg. 290.

:,u

_ lig

о.

□□ODD

Fig. 291 a, o.

Fig. 292 a, o, c.

przytem ilość kabli kotwicowych może być taka sama, jak kabli zawieszonych lab też większa.

W pierwszym wypadku na pilonie nieruchomym na wałkach spoczywa poduszka stalowa, której wierzchnia część jest kolista ze żłobkiem, w którym leży kabel (fig. 291 a). Promień koła osi żłobka powinien odpowiadać średnicy kabla i winien być dość duży,' by wygięty kabel nie był narażony na znaczne dodatkowe naprężenia^od zgięcia. Jeżeli pilony są wahadłowe, wtedy poduszki bezpośrednio są przytwierdzone do głowic pilonów (fig. 291 b). W zależności od ilości kabli, przerzuconych przez pilony, poduszkom nadaje się odpowiedni kształt (fig. 292 a).

Zakończenie kabli i ich zamocowanie. Kable zakończają się główkami ze stali najlepszego gatunku, które mają kształt cylindryczny lub też stożkowy z otworami stożkowemi (fig. 292 6). Kabel jest rozszczepiony szczotkowato, by każdy drut był oddzielnie. Drutom przywraca sie

Sä

v}

Fig. 293 а, Ъ.

czystą metaliczną powierzchnię przez zamoczenie ich w rozczynie kwasu solnego. Pomiędzy druty wkłada się cienkie gwoździe klinowate i wszystko zalewa się stopem z ołowiu, cyny i antymonu. Wytworzona główka o kształcie klina okrągłego zaciska się w cylindrze (fig. 292 c).

->

c-~J. i) i-

Jeżeli kabel zawieszony kończy się nad pilonem, wtedy poduszka musi mieć otwór stożkowaty, w którym zatwierdza się kabel (fig. 293 a). Również w tejże poduszce muszą być otwory stożkowe do zatwierdzenia końców

ETTTTf

₇ kabli kotwicowych (fig. 293 6).

Zakotwienie łańcuchów i kabli ко-p. twicowych zwykle jest w murze odpowiedniej wielkości, a zatem i wagi, by pod działaniem naciągu łańcucha kotwicowego nie mogło nastąpić przesunięcie. Mury powinny być dobrze wyłożone, by nie nastąpiło oderwanie się części muru, za który bezpośrednio zaczepiają poduszki lub belki kotwicowe. Miejsca zakotwienia łańcuchów powinny być dostępne, same łańcuchy powinny przechodzić przez kanały dostępne do rewizji i malowania. Tylko w mostach niewielkich można łańcuchy kotwiczne zakładać w beton. Samo ciśnienie, wywoływane naciągiem łańcuchów, oddaje się na specjalne ciosy lub dobrze uzbrojony beton przez poduszki lub płyty stalowe. Łożyska łańcucha kotwicznego cisną przeważnie na specjalne belki i te ostatnie na łożyska lub płyty, wsparte na ciosach podpór (fig. 294 a i V). Łożysk lub płyt może być dwie lub cztery na każdy łańcuch kotwiczny w zależności od siły w łańcuchu. Połączenie łańcuchów z poduszkami powinno być takie, by należycie zabezpieczało końce łańcuchów i kabli od

1 и-k| N

I ÏÏ1T r

.4

iii

щк

MF

Fig. 294 а, Ъ, с.

ewentualnego zginania. Osiąga się to przez stosowanie przegubów cylindrycznych lub kulistych.

W miejscach załamania się łańcuchów kotwicznych w murach powinny być poduszki, by łańcuch cisnął na poduszkę i ta na ciosy muru (fig. 294 c). By zmniejszyć wymiary poduszek, można zakończać łańcuchy kotwiczne kilku odnogami. Od jednego przechodzić od dwóch do czterech. Może to ułatwić przeniesienie ciśnienia na mur.

V. Przekroje prętów.

Przy nadawaniu przekrojów prętom należy mieć na uwadze następujące zasady : pręty powinny być naogół o przekrojach sztywnych, prętów gibkich z blach płaskich obecnie się nie stosuje. Przekroje powinny być proste i dostępne do nitowania, dawać możność dogodnej stopniowej zmiany przekroju w miarę zmiany sił w pręcie, oraz łatwego przymocowania jednego pręta do drugiego. Winno się unikać przekrojów z wąskiemi głębokiemi szparami, niedogodnemi do malowania. W prętach ściskanych promień bezwładności winien być możliwie duży i jednakowy w różnych kierunkach, wysmukłość pręta ściskanego nie powinna przekraczać 150. Najmniejszy wymiar przekroju pręta nie powinien być mniejszy, niż ‘/so i w ostateczności Veo jeg° długości. Pręty zatem długie z niewielkiemi siłami mają zwykle nadmiar przekroju. Wymaganie pewnego minimalnego wymiaru przekroju w zależności od długości pręta dyktuje się koniecznością osiągania pewnej sztywności i unikania silnych drgań prętów w mostach. Używanie zbyt szerokich prętów w płaszczyźnie dźwigarów jest niewskazane ze względu na powstające duże dodatkowe naprężenia wskutek sztywności węzłów. Wysokość pasów h w zależności od długości a przedziałów można

przyjmować od h = — a do — «, zaś szerokość prętów kraty (w pła

szczyźnie dźwigara) od ¹/₁₅ do ¹/₂₅ ich długości. Przekroje prętów kraty dźwigarów powinny być tak zestawiane, aby oś obojętna pręta leżała na osi teoretycznej pręta, na osi siły, i aby środek ciężkości nitów, któremi pręt przynitowuje się do pasa, również leżał możliwie na osi teoretycznej pręta. Pręty o przekroju symetrycznym względem osi, prostopadłej do płaszczyzny dźwigara i leżącej w płaszczyźnie dźwigara, zadość czynią wyżej wymienionym warunkom.

TpTf!

•H4H

ШШ

Przy obliczeniu naprężeń pole przekroju prętów należy brać netto, tj. po od-    -Wft—■— ⁴i ^

ciągnięciu z przekroju otworów na nity, przytem należy każdy element danego przekroju przyjmować z naj-większem osłabieniem, chociażby te osłabienia znajdowały się nie w jednym przekroju, a w różnych, lecz oddalonych jeden od drugiego nie więcej, niż na skok nita (fig. 295 a, b, c, d). Przy obliczaniu momentów statycznych dla określenia położenia środków ciężkości, również momentów bezwładności dla określenia wysmukłości pręta i spółczynników na wyboczenie prętów ściskanych, przyjmuje się przekroje brutto, tj. bez odciągania dziur na nity.

we — teowe “,

V""V

Fig. 296 a, h, c, d.

Pasy. Przekroje pasów stosuje sie obecnie : a) jednościanko b) dwuściankowe — skrzynkowe ff, 11 . c) w kształcie litery H lub

rurowe

otwarte z dołu i góry ^3 C> i wreszcie d) wielościankowe _] | L ? ostatnie w mostach wielkich rozpiętości.

Najczęściej stosowane są przekroje pasów teowe i skrzynkowe. Pierwsze stosują do rozpiętości 60 m, przy większej rozpiętości stosują skrzynkowe, które można również stosować i do mniejszych rozpiętości od 25 m. Pierwsze są więcej zwarte, nie wymagają dodatkowej kraty do usztywnienia, gdyż są jednogałęziowe i podlegają jednakowemu nagrzewaniu od działania słońca, zato są mniej sztywne względem osi pionowej i pozwalają na stosowanie kraty niezbyt sztywnej w kierunku prostopadłym do płaszczyzny dźwigara. Przekroje skrzynkowe są sztywniejsze, dają możność stosowania kraty odpowiednio sztywnej tak w płaszczyźnie dźwigara, jak i prostopadłej do tej płaszczyzny, wymagają przepon usztywniających, oraz kraty do połączenia blach pionowych, co podnosi nieco spółczynnik ustrojowy konstrukcji. Pod działaniem słońca blachy pionowe mogą się niejednakowo

rozszerzać, co powoduje dodatkowe naprężenie ; zewnętrzna powierzchnia ich, przy-~lf~ padająca na jednostkę przekroju, jest większa, niż w przekrojach teowych. Jednak możność T_i stosowania sztywniejszych przekrojów prętów kraty i łatwiejszy i lepszy sposób połączenia prętów kraty z pasami jest przyczyną, że naogół przekroje skrzynkowe są częściej używane, niż przekroje teowe. Najmniejszy przekrój teowy, pokazany na fig. 296 a, składa się z blachy pionowej i kątowników. Kątowniki stosuje się od 80 X 80 X 9, lepiej od 90 X 90 X 9 wzwyż, a blachy pionowe od 9 mm grubości i więcej, wysokość blachy pionowej od 3 b -j- (5—10) », gdzie b szerokość boku kątownika, do 600 mm. Zwiększenie przekroju można uskutecznić zapomocą blach poziomych i dodatkowych pionowych (fig. 296 b, ć). W pasie ściskanym wolna wysokość blachy pionowej pöza kątownikami nie powinna przekraczać 15 8, jeżeli 8 jest grubością blachy (fig. 296 d) ; w każdym razie lepiej usztywniać ję kątownikami (fig. 296 e,f ), które można włączyć do obliczenia momentów bezwładności, lecz nie do przekroju użytecznego pasa, gdyż zwykle koło węzłów trzeba je przerywać. Szerokość blach poziomych powinna się równać (fig. 296(7):

T TT

иГ

Uf

JL

Fig. 296 a, b, c, d, e, f, g.

> 8 —J— 2 ô —j— min (25—30) mm,

lecz tak, by e < 3,5 d, lub jeżeli e > 3,5 d, to e₁ > 65 mm, by można było postawić szereg nitów średnicy d (fig. 297 a). Blachy pionowe powinny być nie cieńsze od blach poziomych, kątowniki zaś nie cieńsze od blach pionowych. Zwiększając przekroje, można również zwiększać boki kątowników, pozostawiając ich grubość ze względu na dogodność sztukowania i krycia styków nakładkami. Również blachy poziome można stosować o różnej

Jl

Fig. 297 a. Fig. 297 b. Fig. 298.

Fig. 300.

Fig. 299.

szerokości, lecz o jednakowej grubbści (fig. 296 c, 296/). Dodatkowe blachy pionowe (fig. 297 b) należy stosować o takiej grubości, jak kątowniki pasowe ze względu na dogodność połączeń z pasami poprzecznie i wiatrownic. Szerokość tych blach lepiej brać od 5 do 10 mm mniejszą, niż wolna wysokość hi blachy pionowej (fig. 297). Dodając kątowniki zewnętrzne od dołu do blach poziomych, zwiększamy moment bezwładności względem osi

pionowej, co ma znaczenie w pasach ściskanych (fig. 298). Pod te kątowniki należy dawać podkładki (fig. 299), które w węzłach przechodzą w^blachy fasonowe do połączenia z pasami tęźników podłużnych (fig. 300), tężniki te winny mieć miejsce. Podkładki te można wliczać do użytecznego przekroju pasa, gdyż zawsze jest‘możność przekrycia ich styku z blachami węzłowemi.

o ile

Przekroje dwuściankowe pasów rozciąganych pokazane są na fig. 301, zaś pasów ściskanych na fig. 302. Kątowniki stosuje się od 90 X 99 X 9

JL.J.

Ul

Г'.""I

i“¹

Fig. 302.

Fig. 301.

wzwyż do największych w zależności od rozpiętości, a zatem od siły panującej w pasach; grubość kątowników nie mniejsza od grubości blach pionowych. Grubość kątowników na długości pasa zwykle się nie zmienia ze względu na dogodność stykowania, szerokość boków może się zwiększać. Nie wykluczona jest i zmiana grubości, lecz wtedy conajmniej około 3 mm, by tej grubości podkładkami wyrównać grubość boków kątowników na styku do przekrycia nakładką. Blachy pionowe grubości od 9 mm i więcej do 16—19 mm. Wysokość blach od 300—900 mm i więcej przy dużych

Г -L²

rozpiętościach. Wysokość h można przyjąć według Schapera h—L — —- cm,

jeżeli L jest rozpiętością w metrach. Odległość b pomiędzy blachami piono-wemi nie mniej, niż 200 mm, choć lepiej 250 mm, ze względu na dogodność nitowania i do 800 mm, lub według Schapera :

a)    dla małych i średnich rozpiętości b — (h — 0,1 L) cm,

b) dla dużych rozpiętości b = (h — 0,2 L) cm (h w cm, L w metrach). Ilość blach pionowych w zależności od siły w pasie może dochodzić do

4—5 w każdej ściance i zależy od ogólnej grubości nitowania. Ogólna grubość nie powinna przekraczać 4,5 d, a lepiej 4 d, gdzie d średnica nita. Blachy poziome używa się takiej szerokości, by pokrywały kątowniki pasów i się nieco zwieszały. Przeto b₂ = b -|- 2    -f- 2 § -j- (25—30) mm-, inne

warunki przestrzega się te same, co w przekrojach jednościankowych.

Gdyby blachy poziome wypadały zbyt szerokie, można je dawać z dwóch, węższej i szerszej, składanych naprzemian (fig. 303).

nr"' nr

i r~n i

Fig. 304.

Fig. 303.

Ponieważ wzrastanie sił w pasach powstaje wskutek składowych rzutu prętów kraty na pasy, przeto należy większość przekroju pasów ze-środkowywaó w blachach pionowych i kątownikach pasowych, nie zaś w blachach poziomych, by tym sposobem blachy pionowe nie otrzymywały zbyt znacznych dodatkowych naprężeń w pobliżu węzłów. Blachy dodatkowe pionowe i poziome między kątownikami lepiej dawać o tej samej ich rozstawu powinien być taki, by wysmukłość pręta pasa —

grubości, co grubość kątowników, gdyż to ułatwia połączenie poprzecznie i rozpórek z pasami. Kątowniki, usztywniające blachy pionowe, można włączać do przekroju, jeżeli takowe się nie przerywają w węzłach, lub jeżeli choć przerwane są, lecz zamienione przez inne elementy; kątowniki te powinny być włączane do momentu bezwładności; Stosunek wysokości blach h do

w płasz-

czyznach pionowej i w płaszczyźnie osi pasów była mniej więcej

jednakową. Jeżeli przeto a — a1} tj. przedział dźwigara w jego płaszczyźnie i płaszczyźnie tężników są jednakowe, to momenty bezwładności przekroju pasa względem osi poziomej i pionowej winny być możliwie równe.

Odległość środka ciężkości ox od krawędzi kątowników (fig. 304), w różnych przedziałach nie powinna się zbytnio różnić, szczególniej w pasach _= p—» «a prostych; różnica 8'— ox tutaj nie po-I ¹    1    li I jjj winna przekraczać 3% wysokości blachy

_|    ^ J L j L J I pionowej. W pasach załamanych różnica

i'

ta może być i większa, gdyż tutaj zawsze jest możność odpowiednio osie obojętne przekrojów pasów, schodzących się w węźle, skierować do węzła. Przy różnicy w odległości środków ciężkości od kątowników w pasach prostych najlepiej brać średnią odległość i takową przyjąć za oś pasa prostego.

ГТ1

■U..

Pas dolny poziomy powinien mieć specjalne otwory do stoku wody lub też pas ten może mieć na całej swej długości szparę o szerokości 40 i więcej mm. W węzłach jednak obie gałęzie pasa powinny być dobrze ze sobą połączone blachami poziomemi.

C-3

Î r—j

Fig. 305 a, b, c, A, e.

Do pasów skrzynkowych należą pasy o przekrojach według fig. 305 a. Oś obojętna w tych przekrojach leży koło środka wysokości. Przekroje te są zakryte, lecz niezbyt dogodne do połączeń z prętami kraty, wymagają znacznie większych blach węzłowych, niż przekroje uprzednie.

sze-

Przekroje w kształcie litery H (fig. 305 h, c), stosowane są obecnie rzadziej niż przekroje skrzynkowe do pasów górnych, gdyż, mając tą zaletę, że położenie środka ciężkości ich przekroju się nie zmienia, sprawiają pewne trudności do połączeń kraty, belek poprzecznych, wnitowywanych między pasami, wiatrownic i przekrycia styków. Nadają się do pasów środkowych i są więcej sztywne niż pasy o przekroju rurowym otwartym z dołu i z góry (fig. 305 d). Przekroje ostatnie mogą być wytworzone z dwóch korytek ; wzmocnienie przekroju można wykonać donitowaniem blach pionowych do ścianki korytka (fig. 305 c). Co się tyczy wzmocnienia boków korytek zapomocą płaskowników, to takowe mogłoby mieć miejsce tylko przy bokach o rokości conajmniej 120 mm, gdyż to jest najmniejsza szerokość, na której można postawić dwa szeregi nitów w szachownicy. Blach, wziętych na jeden szereg nitów, nie należy stosować w konstrukcjach mostowych.

Przekroje wielościankowe stosują się tylko w mostach bardzo dużych rozpiętości, gdy przekroje przekraczają kilka tysięcy m² ; most w Queensboro — 7224 cm², w Quebeck — 5038 cm², most przez Mississippi w St.Louis — 4300 cm². W moście Fortskim pasy są o przekroju rurowym okrągłym o średnicy 3 m.

Wszystkie przekroje dwu- i wielościenne wymagają usztywnienia, wykonanego pod postacią przepon, szczególniej jeżeli należą do prętów ściskanych, by przekroje prostokątne się nie zniekształciły na inne. Przepony takie w prętach ściskanych daję się w każdym węźle obowiązkowo i co 2,5—3 m, w prętach rozciąganych w każdym węźle, zaś między węzłami, jeżeli odległość od węzła do węzła przekracza Д°[

Fig. 307.

Fig. 306.

5—6 m.    Przepony stawia się albo

prostopadle do osi pasa (fig. 306), albo też prostopadle do blach pionowych i pochylone do osi (fig. 307), w celu uniknięcia osłabienia blach pionowych dodatkowemi nitami dla przepon.

Pręty kraty dźwigarów. Przekroje prętów kraty zależą od przekroju pasów. Przy pasach jednościankowych przekroje mogą być według fig. ,308«, b, c, d, e. Przekrój 308 d nadaje się dobrze do prętów rozciąganych, zadość czyni warunkom zbiegu osi obojętnej i środka ciężkości nitów z osią pręta. Z powodu małego momentu bezwładności względem osi x₀ słabo się nadaje do prętów ściskanych. Przekrój krzyżowy (fig. 308/) dobrze się nadaje do prętów ściskanych, jako najsztywniejszy z przekrojów, złożonych z dwóch kątowników, oś obojętna i oś nitów leżą na osi prętów ; do prętów rozciąganych mniej zdatny, gdyż do połączenia kątowników wymaga więcej materjału. Przekrój teowy (fig. 308^) zajmuje ostatnie miejsce

-"i"“ k⁼

Ф HH

=r—r

i—i

и

4-4

,!r

Ir¹

1 Г -litr

M

J L jIIl

r=ir'i!

ni ir nir'ïir nir"#'

Fig. 309.

Fig. 308.

jako pręt rozciągany, z powodu, że oś nitów nie leży ani na osi obojętnej, ani na osi pręta. Do prętów ściskanych stosowany ze względu na dość duży moment bezwładności. Jako zwiększenie przekroju można do przekroju krzyżowego dodać blachę (fig. 308 A lub fig. 308 «), jednak przynitowanie blach do pasów w ostatnim wypadku jest dość trudne i może być dokonane-przez zwiększenie liczby nitów w kątownikach. Przekrój według fig. 308/ może być stosowany, gdy chodzi o sztywność w kierunku prostopadłym do płaszczyzny dźwigara, np. w mostach otwartych, by utrzymać pas górny w jego płaszczyźnie. Wtedy można stosować i przekrój dwuteowy wzmocniony (fig. 308 k).

Przy pasach dwuściankowych przekroje krzyżulców i słupków mogą być według fig. 308 m i fig. 308 n. W przekrojach złożonych z kątowników, które mogą być przynitowane do pasów tylko jednym bokiem, należy stosować kątowniki nierównoboczne, przytem bok szerszy winien być równoległy do

|3^

il II

*■5 B|

■*s:

l£i?ł

s-l

**»• ' 0056

m i

~A' iifi

N ” N .

^ § &■§ w а § -S4§

£ S ,®, œ- ' -jL-S" K I ,

-, 'ÜB«

, -g11?

< ^ N- а>

г I-S1.³

*    S5 г

8°*|

?М 3

oootrг

41

<2.1 *

«—I.

Я>

Т

Г-

L г/ Ш. .

fl

i-:

r⁻^ f ?

JlFI

lu

et 009

h:

-Л0—

i40.it/0-t2

i то.} SSO i

P 60Q.&

__ Z/OOŁ _J

Ж Iе?! Il

i— ч * t .j

4? 0 & I "J

sss

780-12

г *V| 1

dliliJ

Vf

IL

P    600./2

t «П» V

^ * ^gi

il

H J 1

If* 8*t0.f2

lïl! à

uJLJ

пт

HT

!LâJ ;L^J; |LLj

Г” ЗХШ ~1

ÎL-^-J! L2J H-T’J.

N ï *! L Г.1 iss I *!

дшич

T* ^ ÎL—J5 1Ц-4

'M i J§j 111! i|î|i

!r i

•:-J

Kg i| Wieuah |

,, jrpî J «ЙЙЙГ

i il

Pôtkrzyiulce !=т=- - r crrJj |l=-=

ISO ton H \ I

_ __-srJ]    -~-j

t30.est2 i « mes.tt i

UW?——j U -SfW—•{ U—'*ÏS40~j

!Г~ 4, r -n: !r -l

JtUpki:

to

LJLJ г im

I I il £ 3U j] rirï

•f&f т^т

it.TTjL

п1г"лГ

Hrl

ir=

4;

T90M9 f'i

L___yl

IU.ÜT-J

[ iSn.iOO. iS J

U-его-

!-

a0. s 0.9

6?n—

П'

l“¹

■4

Fig. 310.

które można przynitować obydwoma bokami, można stosować o bokach dużych i jednakowych, mając na uwadze, że kątownik taki może być przy-nitowany do pasa czterema szeregami nitów po cztery nity w szeregu. Co sic tyczy momentów bezwładności przekroju prętów kraty, to mogą one być niejednakowe względem osi symetrji, leżącej w płaszczyźnie dźwigara i prosto-

padłej do płaszczyzny dźwigara. Ten moment powinien być większy, gdzie teoretyczna długość wybaczalna jest większa; przeważnie długość ta jest większa w kierunku poprzecznym mostu.

Grubość blach należy brać taką samą, jak blach pionowych pasów, jeżeli stosuje się przynitowywanie kraty zapomocą wstawek fasonowych. Jeżeli stosuje się nakładki fasonowe, to grubość powinna być taka jak nakładki, które zwykle są grubości kątowników pasowych. Jeżeli blachę przynitowuje

г =i

[i

HH

V?

hH

r/><^

bb <Ï1

— =j

hH

Fig. 311.

l"

(?7

Г1

§r<ś

\///

rï

l_

Mi

HH

-lEZEÿ-

Fig. 312.

się przez proste nałożenie na drugą blachę (w nakładkę), wtedy grubość ? może" być dowolna, byleby tylko można ją było przynitować odpowiednią ilością nitów (nie więcej niż cztery lub pięć nitówr w jednym szeregu w kierunku działania siły).

By przekrój prostokątny pręta zachował swój kształt, należy co pewną odległość dawać przepony : w prętach ściskanych mniej więcej co 3 m, w prętach zaś rozciąganych nieco rzadziej. Grubość blachy dla przepon od 7 mm wzwyż w zależności od przekroju. W mostach o niezbyt dużych rozpiętości ach do 100—120 m można-stosować grubość 8—9 mm. Na fig. 310 pokazany jest schemat dźwigara o rozpiętości 158,4 m i przekroje prętów.

163

f>9*

Krata prętów. Ponieważ przekroje kraty składają się z oddzielnych gałęzi, przeto gałęzie te muszą być odpowiednio połączone, by tworzyły jedną całość. Szczególniej krata taka ma znaczenie dla prętów ściskanych. Musi być ona takich wymiarów, aby pręt taki mógł pracować jako pręt jednolity, by można było przyjmować moment bezwładności całego przekroju względem jego osi symetrji, a nie oddzielnych części. Wolna długość oddzielnej gałęzi winna być taka, by stosunek tej długości do najmniejszego jej promienia bezwładności był większy, niż stosunek całej wybaczalnej długości do odpowiedniego promienia bezwładności całkowitego przekroju. Połączenie oddzielnych gałęzi w jedną całość może być uskutecznione zapomocą blach, wziętych conajmniej na dwa nity, lepiej na trzy (fig. 311). Krata może być według fig. 312. Krata pojedyncza (fig. 312, pierwszych ośm) z płaskowników stosuje się do prętów rozciąganych. Na końcach prętów należy dawać blachy na 6 nitów (fig. 313 a). Inne kraty (fig. 312, cztery ostatnie) nadają się

lin W ftt ^ ,

1ЖЗ

.1

JJ u

[4

Ri

n,

Г--

w ¹ Ж & -

H --Щ'

T i 'rw

—*— >

/\

/Г

Fig. 313 a, b.

Fig. 314 a, b, c.

szerokość wzdłuż

do prętów ściskanych. Jeżeli oznaczymy przez : l — długość pręta, lx i / — momenty bezwładności przekroju pręta względem osi xx i y y (fig. 313 b), b — odległość między środkami ciężkości obydwóch gałęzi przekroju, I₁ — moment bezwładności jednej gałęzi pręta względem osi y' y', przechodzącej przez środek ciężkości gałęzi, /₂ — moment bezwładności dwóch blach względem osi yy, prostopadłej do ich płaszczyzny i przechodzącej przez Sc³

środek ciężkości I₂ = 2 —    , o — grubość blachy, c —

pręta, przez a — kąty pochylenia krzyżulców kraty, jak to pokazane na lig. 314 a, b, c, przez F — przekrój kraty, to mamy dla połączeń blachami wzory (według Timoszenki):

+ 2,44 P

powinno być I >le,

dla kraty fig. 175 Iy > lx,

1 -j- 2 cos³ a ly к²

2 sin a cos a l²1 — — 1

1 -j~ 2 cos³ a

V²

2.

02

fcO

dla kraty %. 176 Iy > Jx,

2 sin a cos² a '    /

dla kraty fig. 177 / > i c.

Tablica 8.

Rodzaj kraty w pręcie

Znakowanie

Siła wyboczemowa

I‘o, = № + t\) ■ K>

4*-*

C -ä»¹

I - długość wy-^ boczeniowa.

I jPj - przekrój mniejszego pasa pręta.

F₂ - przekrój    гм

nie wybocze-niowe we-/ fi    dług wzoru

44 1    Eulera - Tet-    .ää Y

tlcm².

tleni*.

,js>| ■;

• • 5,1

CO

co

CO

o

г—I

Г 1 coE.c.h² Fd

Ponieważ pręt kraty może być rozciągany i ściskany, przeto powinno się przekrój otrzymany zwiększyć ze względu na możliwość wyboczenia.

F

Zatem przyjęty przekrój Fx winien być ^—, jeżeli cp jest spółczynnikiem wyboczeniowym.

Pręty kratowe ściskane można obliczać według wzorów Bl eich a (tablica 8, str. 915).

Dla prętów o przekroju zmiennym można przy obliczeniu tych prętów na ściskanie korzystać ze wzorów Bleicha. Obliczeniowy moment bezwładności I₀ = [г Im. Spółczynnik |j. i moment bezwładności Im w przekrojach pręta są widoczne z tabeli:

pręta

Kształt

----

= 0,20 -f 0,80

Jm

= 0,34 + 0,66 J/

In

Im

-евь

---4

= 0,61 + 0,39 |/⁷'

Styki pasów. Styki elementów pasa daje się zwykle w pobliżu węzła i grupuje tak, by można było oddzielne części pasa nitować 'w warsztatach, na miejsce budowy mostu dostarczać w stanie możliwie znito-wanym, na miejscu dokonywać jak najmniej nitowania. To daje pewną ekonomję, gdyż nitowanie w warsztatach kosztuje zwykle mniej, niż na miejscu robót i przyspiesza budowę. Zresztą grupowanie styków zależy również i od sposobu zestawienia mostu. Jeżeli zestawienie ma być wykonane na zwykłych rusztowaniach, wtedy położenie styków nie ma znaczenia. Przy montowaniu jednak bez rusztowań, gdy dźwigar zwisa jak

r<- / —>r<- l -»у*-/

ii

fi«. 315.

wspornik, odpowiednie rozłożenie 4 styków elementów prętów ma duże zna-j czenie. W tym wypadku styki jwinny 2 być grupowane tak, by najłatwiej można s było jedną część , dołączać ;do drugiej, by elementy danego pręta nie tworzyły szczelin głębokich, w które musiałyby wchodzić odpowiednie elementy dołączonego pręta, gdyż zasuwanie jest zwykle trudne i wymaga dużo czasu. Styki blach pionowych przeważnie są około węzła, szczególniej, jeżeli połączenie kraty dźwigara z pasami wykonywa się zapomocą fasonowych wstawek. Styki tych blach kryjemy zwykle dwiema nakładkami. Jeżeli przytem ścianka pionowa składa się z kilku blach, styk robi się stopniowy (fig. 315). Kątowniki pasowe mają styki albo wszystkie w jednym przekroju, albo lepiej

w różnych, tj. kątowniki wewnętrzne w jednym, zewnętrzne w drugim przekroju. Odległość między stykami winna wynosić pół długości nakładki lub więcej. Również odległość między stykami blach pionowych i kątowników przyjmuje się równą conajmniej połowie długości nakładki.

530.11

\ 530. It

; «л.

~\

100.100.1/

P /00100. f? 100.100.12 ”1 Ю0100.12

! .5~ä?

590?

500.12 .

-w-jg

SOOJ3

2988

500.12

'fi*'

'«'1

500.12

2983

\Шл~ ‘ w

/feu y?/V7y

|&! JW.tf 1%' ЗШ

S30.fi

11789

S30.11

8900

MO. H *0689

\8b/Ą

l:-:

>.'Л\ ■. 1

If

Lsr.

Oi

'.9

'09

--¹ 2 3 4----'3.2700*39.520 m

50012

500.12

_J 100.100.12

L 100.Ю0.12

[__ ПЮ.Ю012 Ю0.Ю0.12

--i#?.//

530.12

r. 2200 V 2200 2. 7200

•g*»

7700

-rC⁵-^

I,

K jis

! У\

/ЮЗ 5'    2700    s’>    2/00    ?\    7700 dj 2Ж 9\

6$ **'. ъщ •?*!

Я0Р7

0027

9998

**00 I

Рз.ч j dolny

lis *

3200

12

*:8

”7]

•2 :

lis

32001

12 •

,!

9989

ZJJS

<ü

932?

12

VI. Projektowanie węzłów.

Przy prawidłowem projektowaniu węzłów należy kierować się następuj ącemi zasadami :

1.    Osie obojętne wszystkich prętów danego węzła powinny przecinać się na osi węzła.

2.    Każdy poszczególny element pręta powinien być przynitowany swoją ilością nitów odpowiednio do jego przekroju, lub, gdy liczba nitów stawia się na zasadzie siły panującej w danym pręcie, liczba nitów w częściach składowych danego pręta powinna być proprocjonalna do przekrojów części / składowych.

3.    Środek ciężkości nitów powinien leżeć na osi obojętnej danego pręta, przeto nity powinny być rozłożone symetrycznie względem osi obojętnej danego pręta i możliwie szeregami prostopadłymi do osi pręta.

/V

{'rCl

Л'

чи*    r—-*1

V> o ° 6    o W    L_

Жо

jo 0||°joKo ° O ° o o!o o d\o o o“

i°i

!°i°i

oîo

\°

V>:

-t-

Fig. 317 а, Ъ, c.

4.    Blachy węzłowe, do których przynitowywuje się pręty, powinny być takie, aby w przekrojach tych blach naprężenie nie przekraczało dopuszczalnego i aby w końcu pręta przekrój blachy równał się conajmniej przekrojowi danego pręta.

5.    Konstrukcja węzła winna być dostępna ze wszech stron, aby nitowanie można było wykonać swobodnie.

6.    Elementy sztywne danego pręta ściskanego należy jak najdalej ciągnąć do węzła, by tym sposobem usztywnić blachy pionowe pasów i sam węzeł.

Pierwszemu warunkowi czasem jest dość trudno zadość uczynić przy pasach prostych o przekrojach zmiennych w poszczególnych przedziałach, co najczęściej ma miejsce. W tym wypadku dążyć należy, aby odległość pomiędzy środkami ciężkości pasów dwóch sąsiednich przedziałów była jak najmniejsza i nie przekraczała np. 3°/₀ wysokości blachy pionowej pasa. Za oś pasa prostego przyjmuje się zwykle średnią arytmetyczną odległości środków ciężkości przekrojów pasa od krawędzi kątowej kątowników pasowych. W pasach łamanych różnica między odległościami środków ciężkości od krawędzi kątowników nie ma wielkiego znaczenia, choć i tutaj należy unikać zbytnich

różnic. W pasach łamanych osie obojętne tych pasów kieruje się wzdłuż osi prętów.

Przymocowanie prętów kraty do pasów może być wykonane w następujący sposób:

1.    Pręty kraty nakłada się bezpośrednio na blachy pionowe pasów i przy-nitowywuje się do blach (fig. 317 a). Sposób ten jednak stosować można stosunkowo rzadko i tylko wtedy, gdy do przynitowania pręta do pasa potrzeba niewielu nitów i gdy wysokość blachy pionowej jest stosunkowo duża.

■/

гШш

ô'ëiôjjb'îô'o'öö......;

_o_o_^|l^ojoooo    ¹

О    Q    О

°J !    bi

4-----£

V..;.

Fig. 318 a. b, c.

2.    Pręty kraty dźwigara przynitowywuje się do pasa za pośrednictwem nakładek kształtowych. Nakładki te mają zwykle taką grubość, jak kątowniki pasów. Pręty kraty albo nakładamy na te nakładki i do nich bezpośrednio nitujemy nitami jednociętemi, o ile liczba nitów niezbędna do przynitowania pręta daje się rozmieścić, licząc cztery nity w szeregu w kierunku siły działającej i w ostateczności pięć pracujących (fig. 317 &), lub też elementy sztywne, kątowniki, ceowniki nakładamy na nakładki, zaś blachy dajemy w dotyk do nakładek fasonowych i łączymy z takowemi zapomocą nakładek (fig. 317 c). W ostatnim wypadku blachy kraty winny mieć grubość nakładek fasonowych, zatem grubość kątowników pasowych. Połączenie kraty dźwigarów z pasami zapomocą nakładek fasonowych stosuje się zwykle przy pasach prostych i niewielkich przedziałach dźwigarów i przy stałej lub rzadkiej zmienności wysokości blach pionowych pasów. Przy pasach o krzywej ciągłej, a nie łamanej, i również przy niewielkich przedziałach stosowanie połączeń zapomocą fasonowych nakładek jest racjonalniejsze, niż zapomocą tak zwanych fasonowych wstawek. Blachy pionowe pasów otrzymuje się mniej pocięte na kawałki. Stosowanie nakładek fasonowych wymaga odpowiedniego ich przynitowania do blach pionowych pasów, o ile nity, któremi przynitowane są pręty kraty, rozmieszczone są poza obrębem blach pionowych pasów. Nakładka winna być dostatecznie mocno przynitowaua do blach pionowych, by nie nastąpiło jej przesuniecie pod działaniem wypadkowej siły prętów kraty. Praktycznie można przyjąć, że liczba nitów, przytwierdzająca nakładkę do blach pionowych pasa poza prętami

* kraty, powinna być conajmniej równa ilości nitów, rozłożonych w nakładce i pręcie kraty poza obrębem blachy pionowej (fig. 318 a).

3.    Pręty kraty dźwigarów przytwierdzamy do fasonowych wstawek pasów. Wstawki te leżą w płaszczyźnie blach pionowych, zamieniając takowe w węzłach. Blachy pionowe, nie dochodząc do węzła, przerywa się i na ich miejsce daje fasonowe wstawki o kształcie i wymiarach takich, aby odpowiednio i racjonalnie przynitować pręty kraty dźwigara do pasa i następnie wstawki te łączy się z blachami pionowemi zapomocą nakładek, jak zwykłe styki blach pionowych (fig. 318 c). Przynitowanie prętów kraty do blach węzłowych jest takie same, jak i do nakładek fasonowych, tj. albo nakłada się pręt na blachę węzłową i przynitowuje się nitami jednociętemi (fig. 318 c), lub też blacha pręta dochodzi w dotyk do blachy węzłowej i może być połączoną nakładkami (fig. 318 V).

W zależności od przekroju pręta kraty i ilości blach pionowych ilość wstawek fasonowych w danym węźle może być różna. Może być taka,

jaka jest ilość blach pionowych pasa, lub może być nmiejsża lub nawet większa. W ostatnim wypadku oczywiście otrzymuje się już dodatkowe blachy węzłowe w postaci nakładek. W dźwigarach o pasach łamanych zwykle blachy pionowe pasa łamanego w węzłach zamienia się wstawkami fasonowemi, a to ze względu na dogodność konstrukcji. Elementy sztywne

pręta kraty zwykle nachodzą na    blachy    wę

złowe, blachy zaś tych prętów zwykle daje się dotyk do blach węzłowych i łączy z nimi ,    o : o o i aB>o zapomocą specjal-

\    --"o"' o” °‘.I nych nakładek, albo też

jedna z blach węzłowych /    służy jako    nakładka do

\\Va\    (    przekrycia    styka    (fig.

|Wvi    319).

\c

1°

; o

°\

o o    o

o o o o o o o o o

o o 0)0 1 O

O <f

-Sl

p\°

Wszystkie trzy sposoby połączeń kraty z pasami oczywiście mogą być stosowane jednocześnie w różnych węzłach danego dźwigara.

Węzły zbieżne na podporze. Ustrój węzłów tych właściwie prawie niczem się nie różni od węzłów pośrednich dźwigara. Blachy pionowe pasów, schodzące się w węźle, zamienia się zwykle wstawkami fasonowemi pojedyuczemi, jeżeli ścianki pionowe składają się z blach pojedynczych

------j------n_

naktaâ/ta

'ÇVV-

Fig. 319.

TT

UL

Wo\

° « O

Bfes

Fig. 320.

Fig. 321 a, h.

lub podwójnemi, jeżeli ścianki są podwójne. Przy ściankach, składających się z większej ilości blach pionowych, odpowiednio mogłoby być i więcej wstawek fasonowych. Ponieważ węzeł ten jako podporowy powinien być szczególniej sztywny, przeto przy pojedynczych blachach pionowych oprócz wstawek fasonowych zwykle daje się jeszcze i nakładki fasonowe (fig. 320). Wysokość blach pionowych w węźle podporowym powinna być nie mniejsza od wysokości belki poprzecznej na podporze i równa około 0,02 rozpiętości dźwigara. Ilość blach pionowych zależy tutaj od siły poprzecznej na podporze, zatem od reakcji podpory. Naprężenie w blachach tych na ścinanie nie po ' przekraczać dopuszczalnego, Również naprężenie w nitach kątowników pasowych powinno zadość czynić warunkom wytrzymałości tych nitów na ścinanie i zgniatanie (por. str. 885) i dlatego też często tutaj należy zmniejszać skok nitów albo też stosować nity czterocięte (fig. 321«, b). Oprócz sprawdzania ścianek

winno

кф кф ^

5.ÏÏ.P 3 S'

о о а ф i-.

4 3 g. I

° °

g Ł 3 i³ ®

“ЧЗ/ЙоЧ в

^ Î3 O ßjM

4 Ä Г S. Г

ф кр GC' ® N-*

£ ₂ ” 3 ^

ух ^

fPP

.8 -fal a g g g-f

ilî:%

i j

’S I

N O-M £0 &§-* §•! Iggvg p & s,c§

O № w

ïS-3 a 2-

* g i

GB

1 Iff

.3 '2 *g ”. §*

&c 2 bn N No

X VI

;>V

IT n!

TTÎ'TÏ

IL. J!

Fig. 322.

Fig. 323.

stężająca węzeł podporowy. Na osi belki poprzecznej zwykle też daje się przeponę pionową z wycięciem pośrodku, by mieć dostęp do środka węzła. Jeżeli pasy schodzą się pod kątem niewielkim, wtedy zwykle kątowniki pasa krzywego odginają się i przechodzą w poziome wraz z blachami, które do nich są przynitowane (fig. 322). Przy wydłużonych tych węzłach należy stosować okna dla możności nitowania, oraz malowania (fig. 323).

Węzły wewnętrzne (fig. 324—326) dźwigarów konstruuje się tak samo, jak węzły zewnętrzne. Przekroje krzyżujących się prętów daje się zwykle takie, że jeden pręt albo swobodnie przechodzi przez drugi (fig. 109), albo też element zewnętrzny jednego i element wewnętrzny drugiego (zwykle blacha) leżą w jednej płaszczyźnie i wtedy blachy te zamienia się wstawkami fasonowemi, z któremi łąezą się zapomocą nakładek. Również trzeba sto-

09$

/да

/ /оШоУо/

<У/ /тг9>°\

/у

WïïSà

Fig. 325.

Fig. 321.

sować fasonowe wstawki i w tym wypadku, gdy pręt jeden może swobodnie przechodzić przez drugi, lecz szerokość pręta, do którego trzeba przymocować drugi pręt, jest niedostateczna (fig. 325).

Tak wstawki fasonowe jak i nakładki mogą mieć boki o linjach prostych (fig. 326 a), lub też o linjach prostych i krzywych (fig. 326 & i 326 c). Drugi kształt jest nieco trudniejszy w wykonaniu, lecz jest ładniejszy i przeto w mostach miejskich powinien być stosowany. Kształt blachom węzłowym należy nadawać taki, aby w walcowniach mogły być wycinane nożycami, zatem kąty zewnętrzne a powinny być nieco większe od 180° (fig. 327 a). Kątów mniejszych od 180°, wklęsłych należy naogół unikać i dawać je wtedy, gdy to

jest konieczne, np. w węzłach podporowych. Nie dotyczy to blach z wycięciami krzywemi, choć i te przed wycięciem powinny zadość czynić warunkowi powyższemu, tj. by kąty zewnętrzne były nie mniejsze od 180° (fig. 327).

¹

ig. 316.

²

Blachy poziome mają styki stopniowe i zwykle kryje się je jedną na

³

kładką zewnętrzną. Styki tych blach mogą nie być uzależnione od styków

⁴

blach pionowych i kątowników pasów, choć dąży się do tego, by dwa bez

⁵

pośrednio przylegające do siebie elementy nie miały styku w jednym przekroju. Na wykresie materjału pasów (fig. 316) widać, jak są rozłożone styki różnych elementów.

f\

.'Ас.'.

гч

V..

%

■f

-1_______

r---S75

-2320-

-MO

,200

S-t2

-—2320

-ЛЛ7

Fig. 327 a, b.

Fig. 326 a, b, c.

Wymiary blach węzłowych należy dawać nazewnątrz według spółrzednych prostopadłych tak, by można było obliczyć pole blachy, oraz by na zasadzie danych wymiarów można było wykreślić blachę (fig. 327 b).

VII. Łożyska (poduszki).

Ciśnienie dźwigarów głównych przenosi się na podpory zapomocą poduszek (łożysk¹). W belkach zwykłych rozciętych lub wieloprzęsłowych bezprze-gubowych poduszka na jednej podporze może być nieruchoma, lecz przegibna, na innych zaś podporach poduszki powinny być przegibne i przesuwne, aby belki, spoczywające na nich, nie mogły wywierać na podpory ciśnienia poziomego pod działaniem sił pionowych. Stosowanie przegubów w łożyskach jest niezbędne, aby ciśnienie na nie było osiowe i aby punkt zaczepienia siły był określony. Przesuwność jest niezbędna, aby wydłużenie pasa, który spoczywa na poduszce, pod działaniem sił pionowych i zmiany temperatury mogło się odbywać swobodnie. By przesuw ten był z najmniejszym oporem, łożyska przesuwne spoczywają na wałkach i tym sposobem mamy tutaj do czynienia z tarciem potoczystem. Ponieważ jest ono odwrotnie proporcjonalne do średnicy wałka, stąd wynik, że trzeba dążyć do wałków o większej średnicy. Poduszki z tarciem posuwistem mogą być stosowane tylko, gdy ciśnienie na nie jest stosunkowo niewielkie, to jest w mostach niewielkich.

Mamy trzy rodzaje poduszek: 1. płaskie, 2. styczne, 3. przegibne. Każde z tych trzech rodzajów może być nieruchome (czyli stałe) albo przesuwne. Łożysko płaskie jest to płyta prostokątna o bokach nierównych lub kwadratowa, przytem wymiary jej 'winny być takie, by ciśnienie od tej płyty na cios podporowy nie przekraczało dopusz-

') For. image na str. 802.

czalnego naprężenia. Zatem jeżeli największe ciśnienie od dźwigara na podporę jest A, zaś dopuszczalne naprężenie na cios podporowy lcc, to płasz-

' czyzna poduszki F — —. Szerokość poduszki równa się szerokości pasa dolnego b

b -j- [8 — 12]

cm.

więcej 80—120 mm, tj. b -j- [8 — 12] cm; stąd długość l

Łożyska płaskie stosuje się do mostów małych do 5—6 m ; dla tych rozpiętości dopuszczalne naprężenie na cios podporowy winno być niewielkie około 15—20 ległem², gdyż wpływ dynamiczny obciążenia ruchomego, szczególniej w mostach kolejowych jest bardzo znaczny. Grubość poduszki ?

(fig. 328 a) otrzymuje się z równania 8

= y J/ TjT’ Sdzie kg — d°Pusz-

czalne naprężenie na zginanie stali lanej. Górna powierzchnia poduszki, na której leży pas dźwigara, powinna mieć nieco ściętą płaszczyznę na dłu-

f”"...

■l

Ь1 '/ау у/лк

Г"!

Шщ i

■{‘‘.j

.!

Fig. 329.

Fig. 328 а, Ъ, с, d, е, /.

gości 7з na kilka mm (fig. 328 b, c), by przy ugięciu się belki nacisk na poduszkę nie otrzymywał się na krawędź wewnętrzną.

Połączenie z ciosem podporowym robi się zapomocą żeber u spodu poduszki o przekroju trapezowym i wysokości około 0,8 grubości poduszki (fig. 328 c, d, e) zapomocą trzpieni na rogach poduszki lub też zapomocą śrub wtopiowych w ciosach podporowych na głębokości około 10—12 średnic śrub, które albo przechodzą przez uszy poduszki (fig. 328 /), albo też przez dziury na krawędziach poduszki (fig. 329). Średnica śrub około 22—25 mm.

Łożyska kładzie się na ciosy podporowe na warstwie zaprawy cementowej 1:1 grubości około 10—15 mm.

pasa dolnego wchodzą występy obrzeży łożyska lub przy zastosowaniu płyty górnej, co przy znacznych obciążeniach mostów kolejowych należy stosować według fig. 330 d. Ciśnienie łożyska przez pas dolny dźwigara przenosi się na środnik i kątowniki pasowe. Na końcach przeto dźwigarów środnik winien być dobrze przyheblowany i tworzyć jedna płaszczyznę z bokami poziomemi kątowników i, o ile pewien nieznaczny luz jest dopuszczalny i nawet pożądany pomiędzy podporami, to bezpośrednio nad podporami nie powinien mieć miejsca, gdyż nity w kątownikach nad

Poduszka nieruchoma łączy się z dźwigarem tak, by ten ostatni nie mógł się przesuwać wzdłuż poduszki, co może być wykonane albo według fig. 330 a, b zapomocą nitów z główkami w kształcie trzpieni, które wchodzą w odpowiednie dziury w poduszkach, albo według fig. 330 c, gdzie w wycięcia w blachach

r<--ä -

łożyskami ścięłyby się lub wygięły (fig. 330 e). Ponieważ ciśnienie ostatecznie przenosi się przeważnie na środnik, przeto zaleca się dla lepszego rozłożenia ciśnienia na środnik nad poduszkami dawać płyty stalowe grubości 25—30 mm. Ustrój poduszki przesuwnej jest taki sam, jak poduszki

stałej, tylko nie daje się połączenia poduszki z dźwigarem, lecz płyta górna jest r z pod spodu zupełnie gładka połączona z dźwigarami ni- 4 tami z główkami wtopionemi lub przy pełnych główkach w poduszce daje się półokrągłe rowki, w których główki swobodnie się mogą przesuwać wzdłuż. Odległość między obrzeżami w poduszkach daje się o kilka milimetrów większą, niż szerokość pasa lub płyty pod a to w celu umożli-

h-

I.....

pasem,

_________

Fig. 330 a, h, c, d, e, /..

wienia niewielkich przesunięć poprzecznych od zwiększenia się lub zmniejszenia szerokości mostu od zmiany ciepłoty. Obrzeża są niezbędne, aby nie nastąpiło przesunięcie poprzecznego mostu pod działaniem sił poprzecznych poziomych.

Zamiast dawać obrzeża w łożysku można dać obrzeża w płycie górnej (fig. 330/). Ma to tę zaletę, że łożysko lepiej się utrzymuje w czystości, lecz zato musi być grubsze, by otrzymać wymagany moment bezwładności. Obrzeża w łożysku zwiększają jego sztywność, zatem lepiej rozkładają ciśnienie na ciosy podporowe. Mówiliśmy, że trzeba zabezpieczyć możność przesuwania się dźwigarów również wpoprzek mostu. Stąd wynika, że właściwie w mostach o dwóch dźwigarach tylko jedna podpora powinna być stała,

Y—

Fig. 331 a, h, c.

zaś trzy inne powinny być ruchome (fig. 331 a) : podpora o (zaznaczona czarno) stała, reszta podpór przesuwne jak zaznaczono na figurze. W mostach |o niewielkiej szerokości przesu-wność poprzeczną osiąga się przez pewne zwiększenie odległości między obrzeżami, tak, że przesuw ma tu miejsce z tarciem posuwistem. W mostach szerokich stosuje się przesunięcie potoczyste, tj. na wałkach. Przy kilku dźwigarach na szerokości mostu i dźwigarach wieloprzęsło-wych poduszki winny być według fig. 331 b i c, tj. jedna tylko z nich winna być stała nieruchoma, wszystkie inne zaś ruchome, przesuwne.

zawsze

Poduszki styczne. W poduszkach płaskich ciśnienie może się oddawać nie osiowo, zatem ciśnienie na cios podporowy i od ciosu na mur może być nierównomierne. Ponieważ jednak winniśmy dążyć do równomiernego ciśnienia na cios podporowy, przeto należy stosować dla dźwigarów" większych rozpiętości taki ustrój poduszek, by ciśnienie na nie od dźwigarów oddawało się osiowo, zatem musimy stosować poduszki, w których ciśnienie będzie się oddawać teoretycznie na jedną linję (fig. 332 a) lub jeden punkt (fig. 332 b), w zależności od powierzchni poduszki : przy cylindrycznej

górnej powierzchni ciśnienie jest wzdłuż linji, przy kulistej ciśnienie teoretycznie jest ześrodkowane w. jednym punkcie. W mostach do rozpiętości 20 m należy stosować poduszkhftyczne o powierzchni cylindrycznej, przytem poduszki ruchome z przesuwem potoczystym, tj. na wałkach.

Ponieważ oba łożyska tak nieruchome, jak i ruchome zwykle mają jednakową wysokość, przeto nieruchome ma dość znaczną wysokość i robi

Ул

QD

..

iüsgl

'■'■MP

щшт

( ) LJ LJ

i

Fig.333.

Fig/332 a, b.

sie niejednolite, lecz z pewnemi wydrążeniami (fig. 332 a). Górna płyta winna być dość gruba, by ciśnienie równomiernie rozkładała na 'pas dźwigara. Połączenie dźwigara z poduszką w celu unieruchomienia może być takie, jak w poduszkach płaskich.

Łożysko ruchome (fig. 333) składa się z czterech części : płyty górnej czyli wahacza, przytwierdzonego do dźwigara, części środkowej — kadłuba, na której spoczywa płyta górna, wałków i płyty dolnej, która oddaje ciśnienie na cios podporowy od wałków.

Płyta górna jest jak w poduszce nieruchomej. Kadłub ma górną powierzchnię cylindryczną, jak w poduszce nieruchomej ; wysokość jego można znaleźć ze wzoru :

€t”L \ ----- • •

Fig. 334 a, h, c.

gdzie A — ciśnienie na poduszkę, n — ilość wałków, b — szerokość poduszki, kf/ — dopuszczalne naprężenie na zginanie, li — odległość od osi poduszki do wałka. Znak sumy rozpościera się na wszystkie wałki położone z jednej strony osi poduszki. By zapobiec przesunięciom poprzecznym płyty górnej po kadłubie, dajemy na kadłubie obrzeża jak w poduszkach płaskich. Płyta dolna łączy się z ciosem podporowym, jak poduszka płaska, lub też przy dużych rozpiętościach całą płytę zapuszcza się na głębokość około 15—25 mm w cios podporowy i pośrodku nadto daje się występ okrągły lub kwadratowy (fig. 334 a). Grubość płyty zależy od ciśnienia i od średnicy wałków. Jeżeli odległość od krawędzi do skrajnego wałka jest e, szerokość i długość płyty b i l, to grubość płyty można znaleźć ze wzoru :

lub Oj

1 l/3Aei

1/3 Ae‘²

jeżeli ej jest odległością między osiami wałków. Ustrój wałków jest jednakowy przy poduszkach stycznych i poduszkach czopowych, przeto rozpatrzymy wpierw ustrój poduszek czopowych i następnie wałków.

na

Poduszki czopowe stosuje się przy mostach większych. Ciśnienie poduszkę A jest tu dość duże, zatem górna część poduszki musi być dość wysoka, by mogła ciśnienie na pas górny należycie rozłożyć. Poduszki czopowe składają się, jak i styczne, z tej samej ilości części, jeżeli czop z wahaczem lub kadłubem tworzy jedną całość, lub też czop może być elementem oddzielnym poduszki w postaci wałka (fig. 334 6) lub odcinka kuli (fig. 334 c).

Wahacz. Szerokość wahacza zwykle odpowiada szerokości słupka podporowego, który stoi nad wahaczem, i winna być taka, by ciśnienie na blachy pionowe pasa nie przekraczało dopuszczalnego. Wysokość jego na osi czopa może być znaleziona ze wzoru :

Ъ Al

A — ciśnienie, l — szerokość i b — długość wahacza, kg — dopuszczalne

przekrój â<-6

" i ï r

< prrekho) a -i |

Fig. 336 а, Ь.

Fig. 336.

Fig. 337.

naprężenie. Przy niewielkiej wysokości czasem wahacz robi się w postaci ciała masywnego bez wszelkich wydrążeń dla zmniejszenia wagi.

Przeważnie jednak dąży się do zmniejszenia wagi przy zachowaniu momentu bezwładności względem osi podłużnej wahacza. Wtedy nadaje się wahaczowi kształt pokazany na fig. 335 a. Płyta górna, połączona z częścią cylindryczną, obejmującą przegub zapomocą szyjki, łączy się jeszcze za-pomocą żeber pionowych lub pochyłych. Grubość płyty nie mniej, niż 40 mm i może dochodzić do 100—200 w zależności do siły A, grubość szyjki od 50 mm, grubość żeber od 45 do 100 mm; ilość ich zależy od długości wahacza. Zwykłe daje się żebra pod blachami pionowemi pasów. Od odległości między żebrami zależy mniej lub więcej równomierne ciśnienie na przegub. Przy żebrach zwykłych prostokątnych dąży się do tego, by środek ciężkości przekroju (fig. 335, przekrój a—b) był około ¹/₃ wysokości. Zamiast żeber prostokątnych lepiej stosować żebra o przekroju teowym (fig. 336). Zebra te równomierniej rozkładają materjał. Środek ciężkości zbliżaj ą do środka wysokości i łożysko otrzymuje się znacznie lżejsze, niż w typie fig. 335, przekrój а—b. Formowanie takich poduszek nie wymaga stosowania dusz przy odlewie, jeżeli dać odpowiednie pochylenie częściom, jak to jest pokazane na fig. 335 b. Wahacz do pasa przytwierdza się zwykle czterema śrubami o średnicy 25—30 mm. Obrzeża boczne nie dają możności przesuwania się dźwigarom wpoprzek mostu. Wysokość obrzeży około 15—20 mm, szerokość zaś od 50—120 mm. Między blachą pasa dźwigara i płytą wahacza kładzie się blachę ołowianą grubości od 3 do 5 mm, która wyrównuje nierówności pasa dźwigara. Płyta wahacza winna być równo zheblowana.

Kadłub ma ogólny kształt taki sam, jak wahacz, lecz, ponieważ jest zwykle w podstawie swej szerszy, a czasem i dłuższy od wahacza, przeto i wysokość jego musi być większa.

Wysokość kadłuba poduszki nieruchomej zwykle równa się wysokości kadłuba poduszki ruchomej i średnicy wałków. O ile jednak wałki mają znaczną średnicę, można kadłub nieruchomy dawać nieco niższy i wtedy oczywiście ciosy podporowe poduszek nieruchomych muszą być nieco wyższe od ciosów poduszek ruchomych. Zbyt wysokie poduszki choć dobrze rozkładają ciśnienie, lecz są mniej stateczne przy działaniu sił poziomych na dźwigary (sił hamowania, odśrodkowej, parcia wiatru), i dlatego też wymagają zwiększenia swej szerokości i długości, a czasem i specjalnego zakotwienia. Dlatego też nie powinny być zbyt wysokie. Kadłub ruchomy spoczywa na wałkach. Wymiary jego podstawy zależą od wymiarów i ilości wałków, oraz od przesunięcia :

gdzie a jest spółczynnik rozszerzalności żelaza, L — rozpiętość dźwigara, t — zmiana temperatury, E — spółczynnik sprężystości, к — naprężenie w prętach pasa, spoczywającego na poduszce od obciążenia ruchomego, dającego największe ugięcie dźwigara i li — długości prętów pasa. Jeżeli przeto skrajny wałek przy temperaturze 0 zajmuje położenie w odległości

\    d i\ Jj

e od krawędzi kadłubu (fig. 337), to e winno być nieco większe od — -j——

d AL 2 ‘ 2

lub równe

jeżeli d oznacza średnicę wałków.

Ponieważ wymiary kadłuba zależą od wymiarów i ilości wałków, przeto rozpatrzymy ustrój wałków i ich wymiary. Trzeba dążyć do najmniejszej ilości wałków, ze względu na trudności w osiąganiu równomiernego ciśnienia na nie przy dużej ich ilości, do stosowania nie małej średnicy, gdyż od średnicy zależy tarcie potoczyste i naprężenie na linji dotyku : średnica d winna być nie mniejsza od 12—15 сж, naprężenie na ciśnienie w dotyku nie powinno przekraczać granicy sprężystości, przeto nie powinno dla stali twardej kutej przekraczać 45 kglmm¹. Przy znacznie większem naprężeniu do 50—70 Jcg/mm² wałki nie toczą się łagodnie w sposób ciągły, lecz skokami. Dźwigary naprężają się, nie mogąc zmóc oporu tarcia wałków, które tracą kształt kołowy i stają się eliptyczne, dźwigary wyginają się do góry i dopiero pod uderzeniem wchodzącego pociągu przesuwają się. W mostach małych rozpiętości, gdzie się stosują poduszki styczne, można zastosować i jeden wałek, który jednocześnie może grać rolę kadłuba cylindrycznego, na który opiera się płyta górna. Zaznaczyć jednak należy, że przy jednym wałku tak płyta górna, jak też i dolna muszą mieć znaczną grubość, hy rozkładały ciśnienie równomiernie na pas dźwigara i cios podporowy. Naprężenie od ciśnienia na wałki może być obliczone ze wzoru

J/pĘ

, gdzie p — ciśnienie na jednostkę długości wałka,

Hertza: к — 0,418

E — 2150000 kg/cm² spółczynnik sprężystości i r — promień wałka, к nie powinno przekraczać granicy sprężystości i w każdym razie być nie większe od 45 kg\mviŁ dla twardej stali. Wałki łączy się ramką, by odległość ich względna pozostawała niezmienna, przytem ramka, gdy wałki są niedługie, może być według fig. 338.

Jeżeli ilość wałków jest znaczna i wałki są długie, ramki dają się sztywne (fig. 339). Wolna odległość między wałkami może być doprowadzona do 10 lub nawet do 5 mm. By kadłub nie mógł się zsunąć po wałkach wpoprzek mostu, wałkom nadaje się obrzeża (fig. 340 a), lub kadłub i płyta

dolna ma listwy (fig. 340 b), lub też pośrodku kadłub i płyta mają żebra, które wchodzą w odpowiednie rowki w wałkach (fig. 340 c). Przy listwach trudniej utrzymać płytę dolną w czystości.

Głębokość i szerokość rowków musi być odpowiednio na 2—3 mm większa od grubości i wysokości żeber. Wysokość i grubość żeber winna odpowiadać wytrzymałości na zgniatanie i ścinanie pod działaniem sił po-

"о ~Г:

F-Л

Ç®

Q~)

■!

■Я.

ШШШ2Л

TT

TTT

U:r—rlr—r i⁻]⁻!

Fig. 338.

Fig. 339.

Fig. 340 а, b, c.

ziomych, za potrąceniem siły tarcia. Zatem jeżeli W jest siłą poziomą, przypadającą na jedną poduszkę, i A ciśnieniem na poduszkę, to W — f A jest siłą, działającą na żebro. Spółczynnik f tarcia można przyjąć równym 0,12. Na tę samą siłę można obliczaj żebra, przytwierdzające płytę dolną do ciosów podporowych, lecz przy /счэ 0,4.

Grubość obrzeży daje się 25—45 mm, i wysokość 20—35 mm, leżności od rozpiętości mostu. Czopy o średnicy 20—40 mm są wytoczone

i stanowią z wałkiem jedną całość (fig. 341 a), lub też są wytoczone oddzielnie i wpuszczone w wałki na gwint (fig. 341 V).

Można nie wszystkie wałki dawać z obrzeżami, jeżeli chodzi o zmniejszenie wymiarów płyty lub kadłuba, lecz tylko niektóre (fig. 341 c i d), gdyż to daje możność zbliżyć wałki do siebie. By zabezpieczyć wałki od zsunięcia się z płyty, można w płycie dawać obrzeża u góry poprzeczne, choćby nie na całej długości płyty, lub też na niektóre wałki dawać kierownice, nasadzone wolno na śruby; kierownice te mają wolny obrót i niewielki przesuw pomiędzy odlanemi w kadłubie i płycie dolnej występami (fig. 342). — Jeżeli według obliczenia wypada znaczna liczba wałków i o znacznej średnicy, wtedy, by zmniejszyć szerokość kadłuba oraz płyty, można stosować wałki ścięte z dwóch stron (fig. 343 a). Przy przesunięciach wałek zwykle robi niewielki obrót. Jeżeli przesunięcie oznaczymy przez Д L, to kąt obrotu wałka a otrzymamy z równania : Д L — 2 « 2 Ti r

w za-

'-At

<Й

3*

fi

ЙЯЯ1 i

tu

vts W

«t,

Fig. 341 a, b, c, d.

360

, grubość wałka b = 2 r cos a i odległość między wałkami x, by

-—. Zwykle b i x daje się nieco

takowe nie nalegały jeden na drugi x —

większe, niż otrzymuje się ze wzorów.

Dla zachowania nadanej wałkom odległości, oraz równoległości należy je łączyć dwiema ramkami równoległemi (fig. 343 b). By wałki nie mogły się stoczyć z płyty wskutek tych lub innych przyczyn, łączymy je z kadłubem, oraz płytą zapomocą trzpieni, zamocowanych w wałkach i wpuszczonych w odpowiednie otwory, dające możność toczenia się wałkom (fig. 343 ó), lub zapomocą poprzeczek, zamocowanych do wałków, zwykle skrajnych, końce których, odpowiednio zaokrąglone, wchodzą między występy boczne kadłuba m i płyty (fig. 342). Poprzeczkę a lepiej wcinać w wałki.

Długość wałków może być różna i dochodzić do dwóch i więcej metrów, również średnica wałka może dochodzić do 500 i więcej mm. Dla

cos a

hadtuè

ODO ® £2?

¹ pti/Ca

r‘T¹

Fig. 342.

Fig. 34B a, b, c.

- •+

X ж

-------ТГТГГ

LL

Д]

mfr-- - ■ • - -feS

Pig. 345.

Fig. 344 a, Ъ.

zabezpieczenia wałków od kurzu i śmieci, które mogą spadać z mostu na framugi podporowe, poduszkom ruchomym wałkowym dajemy często płaszcze (fig. 344 a, b) z blachy 3 mm grubości. Boki tych płaszczy są na zawiasach, tak, że mogą się podnosić. Zamykają się na zwykłe klamki (fig. 344 a).

Kadłub poduszki ruchomej składa się z płyty, spoczywającej na wałkach, szyjki łączącej płytę ze żłobkiem cylindrycznym, w którym spoczywa przegub cylindryczny lub też z miseczki półkulistej lub innego kształtu w zależności od kształtu przegubu i żeber, usztywniających płytę dolną (fig. 345). Jeżeli kadłub wypada niski, wtedy przegub, jako czop, stanowi-jedną całość z kadłubem, który wtenczas robi się w postaci jednej pełnej bryły (fig. 346). Przy czopach kulistych żebra usztywniające idą wzdłuż przekątnej i pośrodku szerokości i długości (fig. 347).

Grubość płyty winna być taka, by zabezpieczała równomierne ciśnienie na wałki. Zatem jeżeli żebra są w niewielkiej odległości, wtedy grubość

płyty może być mniejsza i odwrotnie. By w przybliżeniu znaleźć grubość płyty, można ją rozpatrywać, jako równomiernie obciążoną beleczkę, podpartą na dwóch podporach żebrach, zatem jeżeli odległość między żebrami jest b a ciśnienie od wałków na jednostkę szerokości kadłuba jest p, to grubość : jeżeli ky jest dopuszczalnem naprężeniem na zginanie materjału poduszki. Stosując poduszki ruchome w planie układu pająkowego, lepiej dawać przeguby kuliste, gdyż wtedy wszystkie mogą być wykonane według jednego

modelu. Również w mostach uko-

..eoo•__~-юси- śnych stosowanie poduszek z prze-

HI

Kig/347.

Fig. 346.

“~П gubami kulistemi jest więcej ce-I lowe i daje łatwiejsze ustawienie dźwigarów. Stawianie wałków pro-I stopadle do przekątnej, łączącej I podporę nieruchomą z ruchomą innego dźwigara, winno mieć miejsce tylko w mostach o znacznej szerokości. W mostach kolejowych jednotorowych lepiej stawiać po-~ duszki według fig. 348. Praktyka wskazuje, że wałki stawiane według przekątnej niezupełnie spełniają swojezadanie, gdyż przesunięcie końca dźwigara nie idzie ściśle wzdłuż przekątnej. Dlatego też, by;[zabezpieczyć zupełne przesunięcie podłużne i poprzeczne, należy urządzać poduszki z wałkami piętrowemi, tj. dawać wałki wzdłuż i wpoprzek danej podpory (fig. 349), wtedy praca takiej poduszki jest należyta, lub też stosować zamiast wałków kule, co jednak jest ko-

ШШ

I#

&•

'пиша,

Fig. 349.

Fig. 360.

Fig.348.

sztowne i nadaje się do niezbyt wielkich ciśnień. Poduszki z wałkami piętrowemi wypadają dosyć wysokie i są mało stateczne, a dość ruchliwe.

Kadłub poduszek nieruchomych różni się od kadłuba poduszek ruchomych tylko swą większą wysokością. Wysokość jego, o ile ciosy podporowe na wszystkich podporach dają się na jednej wysokości, równa się wysokości kadłuba poduszki, wałków i płyty pod wałkami razem wziętych. Kadłub nieruchomy stawia się bezpośrednio na cios podporowy. Ma on żebra, jak poduszka płaska, któremi wpuszcza się w cios podporowy i zalewa zaprawą cementową lub też pośrodku ma występ, który wpuszcza się w odpowiednie wgłębienie ciosu i zalewa zaprawą (fig. 350). Wymiary tego występu i jego wysokość winny zadość czynić następującym równaniom:

W — A /= bx ,b₂ . kt i W— A f= Ъг . c . kc,

gdzie oznacza W — siłę poziomą, A — ciśnienie na poduszkę, f — spół-czyuuik tarcia stali po kamieniu, bu i c — szerokość, długość i wysokość występu, kf — dopuszczalne naprężenie na ścinanie materjału kadłuba i kc — dopuszczalne naprężenie ciśnienia na kamień. Czasem kadłub poduszki nieruchomej stawia się nie bezpośrednio na cios podporowy, lecz na płycie. Otrzymuje się kadłub nieco niższy. Płyta zaś ma zwykle około krawędzi listwy nie na całej długości swych boków. Odległość między listwami w kierunku szerokości mostu ściśle odpowiada długości kadłuba, w kierunku zaś rozpiętości mają odległość nieco większą od szerokości kadłuba, by można było umieścić kliny w celu regulowania odległości między poduszkami odpowiednio do długości dźwigara (fig. 351 a, b, ć).

li

ił

=OTj

ii

S#;

r. Fig. 351 a, b, c.

*\

ab

Fig. 363.

Fig. 352.

Należy mieć na uwadze, że wysokie łożyska winny być odpowiednio szerokie i długie, by były stateczne pod działaniem^ sił poziomych na dźwigary mostowe. W mostach prostych belkowych rozciętych regulowanie wysokości ustawiania poduszek na ciosach podporowych wykonywa się zwykle przez mniejsze lub większe wcięcie płyt poduszek w ciosy. Klinów nie stosuje się, gdyż niewielka niedokładność, dotycząca^wysokości na różnych podporach niema znaczenia. Zaś na jednej podporze można wszystkie poduszki ustawić zupełnie na jednej wysokości. Również niejednakowe osiadanie podpór mostowych niema znaczenia. Inaczej jednak jest, jeżeli most jest z belkami ciągłemi bezprzegubowemi. Tutaj nierównomierność osiadania podpór, oraz ustawienie na różnych podporach łożysk (poduszek) na nienależytej wysokości może wywołać znaczne zmiany w naprężeniach dźwigarów głównych, przeto łożyska (poduszki) takich mostów powinny być uposażone w kliny, któremi można byłoby regulować wysokość przegubów poduszek. Ciśnienie na kliny winno być możliwie jednakowe, zatem powinno się dążyć, by ilość klinów pod poduszką była możliwie najmniejsza. Najlepiej stosować jeden klin, podłożony bezpośrednio pod przegubem (fig. 352), nadając pewną stoczystość dolnej płaszczyźnie przegubu, lub dwa kliny położone jeden na drugim i skierowane w różne strony cienkiemi końcami (fig. 353).

Zakotwienie poduszek przeciw siłom poziomym wzdłuż mostu powinno mieć miejsce w mostach, gdzie siły te mogą być znaczne, zatem w mostach długich, na których może mieć miejsce hamowanie pociągu, w mostach dużych w pobliżu stacji oraz w mostach, położonych na spadkach. We wszystkich tych wypadkach należy zbadać, czy poduszka stała jest dostatecznie stateczna, czy pod działaniem sił hamowania pociągu nie może nastąpić oderwanie poduszki od ciosu podporowego, zatem, czy siły pionowe są dostateczne, by poduszkę utrzymać na ciosie. Jeżeli może nastąpić oderwanie poduszki od ciosu, należy zakotwić poduszkę lub też

koniec dźwigara. Wtedy pas dolny może być połączony z kotwą, zapomocą blachy poziomej, która pozwala dźwigarowi na nieznaczne obroty na przegubie poduszki i jednocześnie przejmuje siły poziome, oddając je na kotwę i mur (fig. 354). Zamiast połączenia z kotwą końca dźwigara można połączyć z kotwą przegub poduszki (fig. 355). W mostach wsporni-

jn—§m

дя

ШШЁЕш WÊÊk'ё/ШШ;

Fig. 354.

Fig. 355.

belkami ciągłemi bezprzegubowemi przy znacznej różnicy w rozpiętościach mogą się otrzymać reakcje podpór ujemne. Koniec dźwigara nie powinien mieć możności się podnosić ze swej poduszki, czyli, że zawsze powinien szczelnie przylegać) do niej. Można to osiągnąć albo przez zastosowanie specjalnych przeciwwag, co jednak nie zawsze jest dogodne, gdyż przeciwwagi obciążają dodatkowo podpory, wymagają specjalnego pokładu, na którym leżą, i dodatkowo obciążają dźwigary, co pociąga za sobą zwiększenie ich wagi, lub też można zastosować specjalne poduszki ujemne i dodatnie. Ostatnie są ykle poduszki stosowane przy reakcji dodatniej. Przy reakcji ujemnej daje się specjalne poduszki, trzymane przez kotwy, podpory.

.Jeżeli reakcja ujemna ma miejsce na podporze stałej, wtedy ustrój może być bardzo prosty.

Dźwigary mogą być wzięte na kotwy bezpośrednio (fig. 356), lub przez belki poprzeczne na podporze (fig. 357 a), lub też przez tęźniki pionowe (fig. 357 b).

Bezpośrednie

może mieć miejsce i na podporze ruchomej przesuwnej, lecz jeżeli przesunięcia dźwigara są nieznaczne. Przy znaczniejszych przesunięciach podpora ujemna musi mieć możność również wolnego przesuwu i powinna być urządzona z wałkami. By przy przesunięciu wałków kotwy, trzymające poduszki ujemne siłą tarcia, się nie odginały, należy stosować również kotwy poziome (fig. 358). Poduszki reakcyj ujemnych można stawiać na wypuszczone w kształcie wsporników końce pasów dźwigarów (fig. 359). Głębokość zakotwienia i zakończenia kotw w podporach powinno odpowiadać reakcji ujemnej. Przyjmuje się, że mur może się oderwać pod kątem 45°. Zamocowanie końców kotw do belek, założonych w murze, powinno być możliwie dostępne. Zatem powinno być umieszczone w specjalnych komorach lub łazach (fig. 360). Poduszki belek, spoczywających na końcach wsporników, mogą być urządzone w zupełności, jak na podporach zwykłych. Na

kowych lub też w mostach z

zamocowane w murze

zakotwienie

Fig. 356.

тг

ÏT

'vZ

Fig. 357 a, b.

wsporniku, gdzie ma spoczywać poduszka, musi być urządzony odpowiedni stolik, na którym albo stawiamy bezpośrednio kadłub poduszki nieruchomej (fig. 3(31), albo też stawiamy płytę, na której leżą wałki, jeżeli poduszka ma być ruchoma (fig. 362).

Zamiast zwykłej poduszki wałkowej, która wymaga czasem dużo miejsca, można stosować albo słupki wahadłowe, albo też zawieszać belki na strunach. W obu tych wypadkach słupki belki zawieszonej wchodzą w słupki wspornika, który musi mieć pasy nieco szersze, niż belka zawieszona, co zresztą prawie zawsze ma miejsce, gdyż belka wspornikowa ma przeważnie większą rozpiętość, niż belka zawieszona. Przy stosowaniu, słupków wahadłowych (fig. 363) podporą dla belki zawieszonej jest dolny pas wspornika, na którym spoczywa dolny koniec słupka wahadłowego. Belka zawieszona opiera się swym górnym pasem na tym słupku. By nie było poprzecznych wahań

ШШ

'/fr—BOC-

fjra

П w/m.

шШ\

■j.

Wm

Fig. 358.

Fig. 359.

Mg.. 360.

'o

c-d

o o <v o o o

NJS

.r.

Fig. 361.

Fig.'362.

słupków, takowe powinny mieć u góry kierownice podłużne, między któremi mają możność przesuwać się wzdłuż. Słupki wsporników powinny tworzyć w tym wypadku ramownice. Przy zastosowaniu strun podporą dla belki jest węzeł górnego pasa wspornika ; na nim zawieszone są struny, które swemi dolnemi końcami trzymają za pas dolny belkę zawieszoną. Otwory u góry belki zawieszonej i u dołu wspornika w tym przypadku muszą być owalne i o większej średnicy, niż jest bolec, na którym wisi belka zawieszona, by ciśnienie oddawało się na należyte końce (fig. 364 a, b). Belki o niewielkiej rozpiętości mogą być zawieszone na blachach, gibkość blachy służy tutaj,, jako podpora wahadłowa. Niewielkość przesunięcia belki w zupełności jest możliwa wskutek gibkości blachy.

Poduszki dźwigarów łukowych zasadniczo mało się różnią od poduszek nieruchomych dźwigarów prostych belkowych. Kadłub może być taki sam, jak w mostach belkowych, również przeguby. Co się tyczy górnej części, tj. wahacza, to takowy może być albo oddzielny i przytwierdzony odpowiednio do łuku, albo też może nawet stanowić jedną całość z łukiem.

Ponieważ ustawianie dźwigarów łukowych na podpory wymaga wielkiej ścisłości co do rozpiętości, na odległość zaś pomiędzy przegubami podporo-wemi ma znaczny wpływ temperatura chwili ostatecznego ustawiania, przeto poduszki w mostach łukowych powinny być uposażone w kliny, któremi można by było zmieniać rozpiętość i tym sposobem nadawać należytą wy-

\\

\J

Я-------i

Fig. 363.

Щ

ЩЩ

°j O ! O J ⁰

°! < o! o

’W o oxoïérrak.''ьть"s i°rs~*

fr

[o|o

Fig. 364 h.

Fig. 364 a.

zera.

niosłość łukowi. Jeżeli przeto teoretyczna strzałka łuku przy temperaturze 0° była /, to przy temperaturze ustawiania dźwigarów —1° C winna być f+ Д/. Temperatura montowania niema znaczenia, gdyż jest ona różna w zależności od okresu czasu, w którym odbywa się montowanie. Wszelkie wymiary w warsztatach wyznacza się taśmami mierniczemi stalowemi, zatem, jeżeli miara stalowa jest ścisła przy temperaturze 0°, to i wykonane części stalowe lub żelazne mostu mają ścisłe wymiary, sprowadzone do Odległość między podporami, mierzona miarami metalowemi przy tempera-

turze t° C, powinna byc sprowadzona do temperatury 0°, czyli otrzymana odległość między podporami powinna być poprawiona na wydłużenie lub skrócenie miary w zależności od +1°. Ustawianie łuków na podpory należy robić w pogodę pochmurną, gdyż wtedy wszystkie łuki danego przęsła mają jednakową temperaturę. Przy słonecznej pogodzie ustawianie jest dość trudne, gdyż temperatura nie tylko różnych łuków, lecz nawet jednego i tego samego łuku może być różna, zatem trudno nadać należytą strzałkę łukowi.

Połączenie kadłuba z ciosem podporowym, jak w mostach belkowych, tj. zapomocą żeber lub śrub, zapuszczonych w ciosy podporowe (rig. 365).

Cześć górna poduszki, wahacz, ma połączenie takie, że końce łuków oddają swe ciśnienie na wahacz przez bezpośredni docisk. Końce zatem

TI

i.

[o] [o] [o]

ii

ШП

WË

Fig. 365.

Fig. 366.

o<

'i? 0|

ы

—-,

Fig. 368.

Fig. 367.

łuków muszą być zupełnie równo ścięte i przyheblowane, by ciśnienie oddawało się na cały przekrój łuku. Cienkie ścianki łuków muszą być pogrubione przez odpowiednie nakładki, by je stężyć. Połączenie daje się zwykle śrubami (fig. 366). Można też połączenie wahacza z łukiem dać takie, by ciśnienie przenosiło się na łuk przez cięcie nitów. Wahacz wtedy ma specjalne wydłużone ścianki, które wchodzą w skrzynkę łuku. Te ścianki są znitowane z elementami łuku (fig. 367). Jeżeli dźwigary łukowe są kratowe, wtedy należy wahacz tak łączyć z łukiem, by oś przegubu leżała w węźle podporowym (fig. 368), w przeciwnym bowiem razie pas łuku prócz sił osiowych miałby jeszcze ugięcie, które należałoby przyjąć pod uwagę, gdybyśmy umieścili przegub poza węzłem. Umieszczenie przegubu nie w węźle podporowym często się stosuje w mostach łukowych wspornikowych (fig. 369 », b). Wahacz może stanowić z łukiem jedną całość. Łuk tworzy stopę, którą się opiera o przegub poduszki. Stopę tworzą wtedy specjalne odlewy, które

łączą się z poszczególnemi częściami łuku o przekroju dwuteowym. W lukach niewielkich rozpiętości odlewy te mają kształt szczęk, które obejmują z dwóch stron dźwigar i są do niego przynitowane ; w przekroju poprzecznym mają kształt korytek, w przekroju zaś podłużnym kątowników nie-równobocznych. Siła łuku oddaje się na te szczęki przez nity, które je łączą ze środnikiem i pasami (fig. 370 a). W większych mostach można stosować takie

Fig. 369 a.

Fig. 369 b.

na

СГ

im

,C\

рггекго) 6 - f

c-d

'dt '6

Fig. 370 a, b, c, d, e.

same szczęki, lecz tylko połączenie z łukiem winno być nieco inne, by w bokach poziomych tych szczęk można było zastosować nity dwucięte (fig. 370 V). Grubość szczęk koło przegubu winna być taka, by cały przekrój wytworzonej stopy odpowiadał całkowitej największej reakcji łuku ; ku końcowi daje się wszystkie części szczęk coraz cieńsze, i mogą dojść do grubości kątowników, tj. do. 12—15 mm (fig. 370 c). Gdyby jednak grubość taka była niedogodna do wykonania, to można ją zwiększyć do 20 mm i zastosować ^podkładki wyrównawcze (fig. 370d).

W mostach łukowych ukośnych, szczególniej bardzo szerokich, przy kilku dźwigarach na szerokości mostu powinno się stosować przeguby kuliste. Poduszki w takich mostach daje się normalnie do osi łuku. Zatem przy przegubach cylindrycznych otrzymalibyśmy kilka osi równoległych. Łuki, połączone tężnikami w jakby jedną bryłę, nie mogłyby się obracać koło swych przegubów, gdy tymczasem przeguby kuliste położone swemi osiami na jednej prostej tworzą jakby jedną oś. Następnie ustawianie łuków

Tff\ i /~Г

_g° T o O O o O' o o O o] o o o o O i

U-

Or

O_

0.0 0 0 o o

,0.0.0 o o

ж 9.

ЭООСОООО 0_ p_Q_Q OOO.Q

o o o ofo o o o o

I-

_<ГЕ

^O⁰0⁰

H i щшфт щэЦф

à fJ'°"ivó:Syy6-|

Fig. 371.

f:

°Srr°‘tE

-,

:±°

EH

ЩШы

:«Ж1.

\>

Fig. 372.

w mostach ukośnych na przeguby cylindryczne nasuwa dużo trudności. Ustawienie wszystkich poduszek ściśle równoległe jest nader trudne, zaś najmniejsza nierównoległość powoduje ciśnienie nie na całą długość przegubu, lecz tylko na jego krawędź. Przy stosowaniu przegubów kulistych unika się tej niedokładności. Przy przegubach kulistych jednak stopę trzeba wytwarzać z jednego odlewu, a nie z dwóch w kształcie szczęk, by przegub kulisty nie rozsadzał tych szczęk, jak klin (fig. 370 e). Przy stosowaniu szczek obróbka końcowych części stóp, tj. wytaczanie wgłębień do przegubów powinna się odbywać, gdy szczęki są znitowane z końcami dźwigarów, by otrzymać

dokładność roboty¹). Przeguby w kluczu mostów łukowych trójprzegubowych mają ustrój taki sam, jak i w stopach. Połączenie wahacza z łukiem musi tu odpowiadać nie tylko rozporowi, lecz też i sile poprzecznej. Gdyby rozpór od obciążenia stałego był niezbyt duży, a od parcia wiatru otrzymałoby się rozciąganie w kluczu, wtedy naturalnie konstrukcja przegubu w kluczu powinna być taka, by nie dopuszczała możności rozwarcia się łuku w kluczu, co może być dokonane przez połączenie przeciwległych części łuków gibkiemi blachami, tak zwanemi kołnierzykami (fig. 371), lub też specjalnymi ściągami, które mogą pracować na rozciąganie, nie mogąc natomiast przyjmować na się ściskania, gdyż na wałkach, na których są osadzone, mają otwory owalne wolne do środka (fig. 372). Szczęki, stosowane w kluczu, mają kształt dowolny i zwykle niesymetryczny w zależności od ustroju pomostu i połączenia jezdni w kluczu.

Podpory w postaci słupków wahadłowych stosuje się do belek o niewielkiej rozpiętości, gdy jednak brak miejsca wymaga zastosowania podpory najcieńszej. Podpora taka zastępuje podporę przesuwną. W przekroju poprzecznym mostu słupki te są połączone ze sobą tężnikami tak, że tworzą zwykle układy niezmienne. Każdy słupek taki składa się z trzech części: podstawy, która jest nic innego, jak tylko zwykła poduszka nieruchoma prze-gibna z przegubem cylindrycznym lub kulistym, z trzonu, tj. słupka i z głowicy, która w istocie swej przedstawia również poduszkę przegibną, lecz tylko jakby odwróconą do góry kadłubem. Na kadłubie spoczywa belka, zaś wahacz jest związany z trzonem słupka (fig. 373).

W zależności od miejsca, gdzie kolumny takie stawiamy, tak ich podstawom, jak też i głowicom nadają pewne kształty architektoniczne. Dolne części zakrywają przytem płaszczami również pewnej formy tak, by płaszcze te dawały wrażenie odpowiedniej podstawy dla danego słupka kolumny (fig. 374 a, b).

flm

Ш-

Fig. 373.

sm;

f-

ТТЛ.

Fig. 374.

VIII. Tężniki podłużne i poprzeczne.

Pasy dźwigarów głównych łączymy kratą tak, aby pas górny i dolny, połączone kratą, wytworzyły układ niezmienny w płaszczyźnie pionowej. Również w płaszczyźnie poziomej pasy górne i pasy dolne jednego dźwigara i drugiego powinny być połączone ze sobą kratą, aby wytworzyć układy niezmienne w płaszczyznach pasów górnych i dolnych. Jest to niezbędne nie tylko wskutek działania sił poziomych, jak wiatr, siła odśrodkowa przy położeniu mostu w krzywej lub uderzenia boczne parowozów, lecz i bez tych sił wiązania te są niezbędne w szczególności w poziomie pasów ściskanych, bo długie pasy mogłyby ulec wyboczeniu. Oprócz tych wiązań pasów, zwanych tężnikami podłużnemi albo wiatrownicami, gdyż przeważnie obliczają się na działanie wiatru, by dźwigary główne wytworzyły bryłę niezmienną, winny

l) Tego rodzaju przeguby stosowane były w wielu mostach łukowych przez autora niniejszego w Petersburgu.

być zakończone również powierzchniami niezmiennemi. Przeto płaszczyzny czołowe, które tworzą zwykle słupki podporowe lub przy pasach zbieżnych pasy pochyłe, muszą być połączone odpowiednio wiązaniami, by czworoboki czołowe pod działaniem sił poziomych były niezmienne. Ograniczona tym sposobem bryła sześcienna powierzchniami niezmiennemi otrzymuje sie niezmienną naturalnie w granicach odkształceń sprężystych. Tężniki, położone w granicach pasów, nazywamy tężnikami podłużnemi, a czasem poziomemi, zaś tężniki, które leżą w płaszczyznach prostopadłych do płaszczyzny dźwigarów pionowych, lub czasem w płaszczyznach pod pewnym kątem do poziomu, nazywamy tężnikami poprzecznemi lub pionowemi. Zatem możemy powiedzieć, że, aby dźwigary wytworzyły bryłę niezmienną, muszą być powiązane tężnikami podłużnemi na całej dłu-    ______

//I К

! // ! /7\

Fig. 375.

gości mostu w poziomie pasów górnych i dolnych i tężnikami poprzecznemi na podporach (fig. 375). Tężniki poprzeczne pośrednie nie są niezbędne z punktu widzenia niezmienności, jednak mają znaczenie z innych względów. Przy niejednakowem obciążeniu pionowem dźwigarów zmniejszają one nieje-dnakowość ugięcia się dźwigarów, zatem zniekształcenie się mostu w przekroju poprzecznym jest mniejsze przy tężnikach pionowych poprzecznych, niż bez nich. Nie zawsze jednak można postawić tężniki podłużne w poziomie pasa górnego przy pomoście dolnym i wtedy tężniki poprzeczne pośrednie są niezbędne. Jeżeli nawierzchnia pomostu ma podłoże z blachy falistej, płaskiej, cylindrycznej lub nieckowej na całej szerokości mostu, wtedy pokład ten może zastąpić tężniki podłużne w poziomie tego pasa, gdzie jest pomost. Kształtowniki — zoresówki lub woterenówki — nie zastępują tężników podłużnych ze względu na swoje stosunkowo słabe przytwierdzenie do żeber pomostu i dźwigarów. Poprzecznice sztywno połączone z dźwigarami zwykle służą jednocześnie jako części tężników podłużnych, oraz poprzecznych.

Vu

i\ i

\l

Sn

Hu

i/

“U

//

H-у

,У

Fig. 377.

Fig. 378.

Fig. 379.

Fig. 376.

Mosty z jazdągórą. 1. Tężniki podłużne między pasami górnemi, dol-nemi i poprzeczne na podporach (fig. 375). Oznaczmy wysokość dźwigarów przez h (fig. 376), rozstaw dźwigarów przez Ъ, odległość od osi pasa górnego do środka powierzchni pomostu, wystającej ponad pasem górnym, przezuj, odległość od tegoż pasa do środka powierzchni obciążenia ruchomego przez t, siły poziome od działania wiatru na obciążenie ruchome, pomost i dźwigar przez Wt, W i Wdy siły poziome, działające na pasy górny i dolny przez X(J i Xd przeciążenie dźwigarów przez Y, to otrzymamy :

Wt.t+WpP

Xg-Wt+Wd + -j-, xd = —

2. Tężniki podłużne są między pasami górnemi, tężniki poprzeczne na podporach i pośrednie między podporami (fig. 377):

Wft+^.r-WtĄ

Xt-Wt+Wr+Wi-₁ x„»o.

3. Tężniki podłużne łącza pasy dolne, tężniki poprzeczne, jak w wypadku 2. (fig. 378) :

w,.t+wt.P+wdĄ

*»-«i wt+wr + wd.

4. Tężniki podłużne łączą pasy górne i dolne, tężniki poprzeczne, jak w wypadku 2. (fig. 379).

przy

4

Wg 3

T + T (wt+w,) + -

w, 1

Г + Т W + wj-

2 (Wt.t+Wp.p)

² VTd+Wt+Wp’

Wt.t+w p] h

x,=

wt.t+wp.$

Wt.t+Wp.p

X =0

czyli, że przy tej wielkości h wiatrownic dolnych podłużnych stawiać nie warto.

Mosty z jazdą dołem. Mogą tu być dwa wypadki: 1. Wysokość dźwigarów jest dostateczna i dopuszcza umieszczenie tężników podłużnych w pasie górnym; 2. wysokość jest niedostateczna, tężników górnych dać nie można. Otrzymujemy most otwarty. Tężniki górne można stosować w mostach o rozpiętości od 31—32

Dl.

XL

пх

fXÏXlXlXlXIXI

ixxxx:

ККККК1ХХШ 1Ж1Ж1Ж1Ж1Ж1Ж1ЖМ

Tig. 380 а, Ь, с, d, е.

W wypadku pierwszym mamy tężniki podłużne dolne, górne i tężniki poprzeczne w kształcie ramownic na podporach (fig. 380 a).

Wt.t+Wf.p

r~ ъ

X. =

*d

f+wi‘wr

2 ’

W wypadku drugim tężniki podłużne są tylko dolne, tężniki zaś poprzeczne na podporach i pośrednie.

Wi-T+W‘-f+Wp-P

Najczęściej stosowany jest układ tężników podłużnych o kracie prostokątnej dwukrotnej, układ statycznie niezwyznaczalny (fig. 380 b). W układzie tym zwykle stosują rozpórki sztywne, zaś krzyżulce czasem gibkie lub półsztywne. Uważamy, że krzyżulce winny być również sztywne, gdyż przy dwóch układach przy uginaniu się dźwigara w płaszczyźnie tężników będą zawsze pracować oba układy, zatem sztywność każdego krz^żulca (przekątnej) powinna być dostateczna do przejęcia conajmniej połowy siły poprzecznej na ściskanie. Koło środka przęsła zwykle siła poprzeczna od działania wiatru jest bardzo mała, szczególniej w górnych tężnikach przy jeździe dołem i dolnych przy jeździe górą. Nadawanie jednak krzyżulcom przekroi zbyt małych, odpowiednio do otrzymanej siły działania wiatru nie powinno być naśladowane, gdyż tężniki te pracują nie tylko przy działaniu wiatru, lecz też i od wszelkich uderzeń bocznych idącego pociągu i przy słabych wiatrownicach powodują dość duże wahania pasów w płaszczyźnie poziomej. Można dawać zamiast kraty prostokątnej kratę podwójną bez rozpórek (fig. 380 c), układ raz statycznie niewyznaczalny. W mostach sze- fcLtii rokich, gdy przedziały są stosun- '7/Уг^ kowo małe w porównaniu do odległości między dźwigarami, można stosować układ półkrzyżul-cowy (fig. 380 d), lub też stosować kratę według fig. 380 b, lecz przekątne prowadzić przez dwa przedziały (fig. 380 e), przytem w punktach przecięcia się krzyżulców takowe mogą być podwieszone do poprzecznicy, by nie zwisały i przez to nie otrzymywały datkowych naprężeń od wagi własnej. Nadto podwieszenie ma jeszcze tę dobrą zaletę, że zmniejsza wolną długość przekątnej ściskanej, dlatego też nawet przy układzie według fig. 380 b podwieszają przekątne, np. do podłużnie (fig. 381). Tężniki według fig. 382 a stosują się do małych rozpiętości, do stężenia belek podłużnych. Jeżeli most ma kilka dźwigarów na swej szerokości, co ma miejsce w mostach miejskich z jazdą górą, wtedy tężniki można urządzić według fig. 382 b lub fig. 382 c. W mostach szerokich z wielu dźwigarami siły w pasach dźwigarów od działania wiatru są bardzo małe ; dodatkowe naprężenia zwykle nie pokrywają nadwyżki dopuszczalnych naprężeń, tak że ich można nie uwzględniać. Przy obliczaniu sił w pasach od działania wiatru można rozpatrywać pasy dźwigarów połączone tężnikami, jako belkę złożoną, w której rolę klinów odgrywają przekątnie i rozporki i obliczenie przeprowadzić, jak dla belki złożonej. Zatem, jeżeli przez F- oznaczymy średni przekrój pasa dźwigara, zaś przez bi odległość od osi mostu do dźwigara, przez a długość przedziału i przez a kąt pochylenia przekątnej do pasa, przez M i T moment gnący i siłę poprzeczną w danym przekroju od sił poziomych (fig. 382 d), to możemy napisać, że siła w pasie będzie:

L7S.7S.8

mi

V'- J

к 7S.7S8

Ł 7S.ÏS.8

i ямм/°>

90.90.10

do-

Ls—Ł

Fig. 881.

Mbe

2 1 F{ b)

Siły w krzyżulcach:

S₁— + T

2 cos a £ Fi bf

-S'₂ = + T

(b\ . b₂ 4~ F₃. b₃). a 2 cos a i] Fi b ?

Fg. 63. a

2 cos a S2^. Z/²

Zatem przekroje krzyżulców muszą być silniejsze pośrodku mostu, zaś słabsze ku skrajom. Przekroje teżników mogą być takie same, jak w innych

prętach w dźwigarach. Przedział

'l* ;

(Ü2

*—а

FL

■S

UJ,

4l

Fig. 382 a, b, c, d.

teżników, "zwy-. к ki kle odpowiada przedziały 7 7 łowi dźwigarów, a węzły teżników umieszcza się zwykle w tych samych przekrojach, co i węzły dźwigarów, choć może też być przedział tężni-ków mniejszy lub większy od przedziału dźwigara pionowego. Teżniki podłużne zwykle przynitowu-jemy do blach węzłowych poziomych, które są jako wstawki blach poziomych pasów (fig. 383), lub też jako blachy przynitowane do kątowników pasowych (fig. 384 a), lub też przynitowane do krawędzi blach poziomych (fig. 384 b). W ostatnim wypadku szerokość e winna być nie mniejsza od 90 mm. W mostach szerokich przekątnie otrzymuje się o znacznej dłu-

i'

vs

Vi

c ' г "“(г    -Д—б---ïC —тг-°---

fates

\L

Fig. 384 a, b. c.

Fig. 383.

między pasami górnemi

czasem

gości; aby je podtrzymać pośrodku, dają lekką beleczkę podłużną (fig. 384 c).

Przy obliczaniu teżników podłużnych trzeba mieć na uwadze, że teżniki te otrzymują naprężenia nie tylko od sił poziomych działania wiatru lub siły odśrodkowej w mostach położonych w krzywej, lecz nadto od obciążenia pionowego i to dość znaczne. W pasie rozciąganym mogą one dochodzić do 50 /0 naprężeń w pasach. Dlatego też teżniki te przynitówywać należy po zdjęciu mostu z rusztowań, ■ aby przynajmniej uwolnić je od dodatkowego

naprężenia od ciężaru stałego mostu i przekroje winny być im nadawane z pewnym zapasem do 25—30%-

Na fig. 385 a linjami przerwanemi pokazane jest położenie tęźników podłużnych i poprzecznych. Górne tężniki jako podparcie swe mają zwykle ramownice, które oddają parcie poziome, otrzymane od tęźników podłużnych, na podpory. Jeżeli wysokość dźwigarów pozwala, to tężniki podłużne górne idą na całej długości dźwigarów i wtedy ramownice umieszczają się na końcach: pionowe, jeżeli są słupki podporowe, i pochyłe, jeżeli T/f\T7 \ I /-\| V \“ ■ pasy są zbieżne. Ramownice pionowe są łatwiej- V...l./И. J.. к N/ .LN! sze do wykonania, lepiej zesztywniają poprzecznie _

•most i dlatego często chętniej je stosują, niż \ "/' \    /J\J:

pochyłe. Widok ogólny dźwigarów zbieżnych jest ^ N/.J—NI4—,L^ nieco ładniejszy i dźwigary zbieżne otrzymuje

się nieco lżejsze, lecz usztywnienie ramownic    — ■    ------

jest dość trudne, szczególniej trudno uzyskać sztywne połączenie nóg ramownicy z rozpórką dolną, która przeważnie jest pionowa, a nie w

płaszczyźnie ramownicy i dlatego też zwykle -i    A\ /V

przy obliczaniu ramownic pochyłych przyjmuje II/ Nil/ I,    \Ł/_ \

się, że w dole nogi ramownicy połączone są z poprzeczną rozpórką przegibnie. Jeżeli wysokość dźwigarów nie pozwala ciągnąć tęźników po- >-dłużnych górnych na całej długości dźwigarów, к wtedy zwykle zajmują one tylko część długości dźwigarów i na końcach ich w węzłach В i B'

(fig. 385 b) daje się ramownice, które przenoszą ciśnienie poprzeczne poziome na dolne wiatro-wnice, i te oddają już to ciśnienie na podpory.

Przy ustroju tego rodzaju końce dźwigarów A\ B1 i A2 B<2 (fig. 385 b) tworzą most otwarty i dlatego też słupki na tych częściach dźwigarów powinny fiz być szczególniej sztywne w kierunku poprzecznym mostu, aby dobrze trzymać pas dolny w jego płaszczyźnie.

W mostach wieloprzęsłowych bez-przegubowych tężniki podłużne daje się na całej długości, jak w mostach belkowych rozciętych, przytem ramownice — tężniki pionowe — dają się obowiązkowo nad każdą podporą (fig. 386). Co się tyczy tęźników poprzecznych pośrednich, to takowe przy jeździe górą mogą być dawane lub nie. Jednak jeżeli się przewiduje znaczną różnicę w obciążaniu dźwigarów ciężarem ruchomym, np. w moście kolejowym dwutorowym, to lepiej je dawać, choć nie

1ЖИХЙ/К1

B’

Ai

Bi

Fig. 385 a, b.

Fig. 387.

Fig. 386,

w każdym przedziale, gdyż one zmuszają dźwigary do współpracy, i przez to otrzymuje się mniejszą różnicę w ugięciu pionowem dźwigarów.

W mostach wspornikowych tężniki nie mogą być prowadzone w sposób ciągły na całej długości mostu, gdyż one wytworzyłyby zamieszanie w pracy poszczególnych części tego ustroju. W miejscach, gdzie belka wolno wsparta łączy się ze wspornikiem, muszą być tężniki przerwane i mieć możność przenosić z jednej części na drugą tylko siłą poprzeczną poziomą, nie działając wzdłuż dźwigara. Tężniki belki zawie-

szonej powinny mieć możność przesuwania się podłużnego w miejscu połą-czenia ze wspornikiem, nie mając natomiast możności przesuwu poprzecznego.

W mostach łukowych z jazdą górą tężniki podłużne dają sie zwykle w poziomie pomostu i poziomie pasa dolnego łuku (fig. 387). Dlatego też w poziomie pomostu muszą być dane albo specjalne pasy wiatrowni-cowe lub też belki zewnętrzne podłużne, o ile ciągną się bez przerwy, grają rolę jednocześnie pasów dźwigara wiatrownicowego. Tężniki pionowe łączą tutaj łuki na ich wysokości; na podporach zaś słupki tworzą z tężnikami ramownice. Stawianie tężników pionowych między słupkami pośredniemi nie jest konieczne, lecz to dobrze łączy łuki między sobą i zmusza je do lepszej

ćt

współpracy. Przy niejednakowem obciążeniu łuków otrzymuje się mniejszą różnicę w ugięciu dźwigara obciążonego i nieobciążonego.

Zamiast tworzyć ramownice nad podporami, by przenieść siłę poziomą parcia wiatru z górnej części mostu, na dół na łuki i przez te na podpory, można dźwigar wiatrownicy oprzeć bezpośrednio na górną część podpory, tak jednak, by dźwigar miał możność przesunięć pionowych i podłużnych, będąc pozbawiony możności przesunięć poziomych poprzecznych.

^ J----1--1--_L___!___!__j___L_

Jeżeli łuk ma przegub w kluczu, wtedy tężniki podłużne muszą być tak konstruowane, by nie przeszkadzały wykonywać zadanie swe przegubowi. W tym celu najlepiej łączyć kołnierzyki przy przegubie rozporkami i do tych sprowadzać tężniki podłużne.

ij ~-jr - j—    rcr=--^=r.=y=. Ponieważ przegub winien być umie-

j/'    ⁴'•    I    •    |Vi ■\ J    ,    szczony w pobliżu pasa górnego w

j    >j;    j    i    I *    lukach kratowych, przeto tężniki w

ii v- ;/    i \    i    /    i    y    .    /' i    N ]'/ I    przedziale około klucza znacznie wyli---1_JĆLzrir"!-.    źej przymocowywują się na osi klucza,

Fig. 388.

niż na osi słupków sąsiednich z kluczem.

W mostach łukowych z jazdą dołem lub z pomostem na pewnej wysokości nad podporami trzeba rozpatrzeć dwa wypadki: 1. łuk jest ze ściągiem, 2. łuk jest bez ściągu.

W pierwszym wypadku ustrój tężników w poziomie ścięgna niczem się nie będzie różnić od mostu zwykłego belkowego. Jak w moście belkowym, tężniki tutaj pracują nie tylko od sił poziomych, lecz i od obciążenia pionowego, a zatem tężniki winny być projektowane z pewnym zapasem. Jeżeli mamy czysty łuk bez ściągu, to tężniki w poziomie części przejazdowej winny być tak urządzone, by ani ich krata, ani ich pasy nie mogły odgrywać roli ściągu. Ponieważ w tym wypadku zawsze trzeba dawać specjalne pasy wiatrownicowe, przeto te pasy, będąc podwieszone do wieszaków łuku, nie mogą być z lukami połączone, lecz albo mogą swobodnie przechodzić przez łuki, mając możność swobodnego przesuwu wzdłuż swych osi i również w kierunku pionowym, natomiast nie mogą mieć możności przesunięć wpoprzek mostu i tym sposobem ciśnienie poziome mogą oddać na łuki, a te ostatnie przez swe tężniki na podpory, albo też pasy mogą się kończyć w węzłach A,₂ (fig. 388 a), w węźle Аг mogą się schodzić na osi mostu i tam mieć połączenie z rozporka między lukami przesuwne wzdłuż. Pasy wiatrownicowe mogą być położone nazewuątrz dźwigarów

głównych i podwieszone do wsporników belek poprzecznych, które mogą służyć jako rozporki dźwigara wiatrownicowego, sprowadzają w jeden punkt na osi mostu nad podporą i tam otrzymują podparcie przesuwne. W punktach A (fig. 388 6) przecięcia się pasów wia-trownicowych z łukiem pasy te winny wolno przechodzić bez żadnego połączenia z łukiem.

V-

4AOS

-ЩО—►

-SX,2

<—01,09-

Pasy górne dźwigara mają zwykle    tężniki,

Fig. 389 a, Ь. ЖШ ' Ш

we.

które końcami swemi opierają się na ramo-wnice końcowe. W pasie środkowym (w łuku) tężników podłużnych zwykle nie dają; by stężyć pas ten i zabezpieczyć przeciw wyboczeniu, dają tężniki piono

W mostach wiszących z łańcuchami gibkimi tężniki podłużne daje się tylko w poziomie pomostu; co do ustroju tężniki te niczem się nie będą różnić od ustroju tężników w poziomie pomostu mostów łukowych z podwieszoną częścią przejazdową.

Na podporach tężniki muszą mieć oparcie przeciw przesunięciom bocznym i swobodne przesunięcie wzdłuż i pionowo. Co się tyczy łańcucha, to ponieważ ten jest tylko rozciągany, przeto stężenia nie wymaga.

■к

°ии°

Го-

о. о

о Oj_

о; о ■ р

'о о

• 5

+ оЧ°₀

°0 о° 0° °о

Jeżeli do łańcucha gibkiego jest zawieszona belka usztywniająca, to belka ta właściwie przedstawia nic innego, jak tylko belkę zwykłą z jazdą dołem lub górą, przeto i tężniki będą tutaj takie same, jak w mostach zwykłych belkowych : przy jeździe górą, jak w mostach z jazdą górą, i przy jeździe dołem, jak w mostach z jazdą dołem otwartych, gdyż przeważnie tężników górnych nie dają.

Jr i

Fig. 390.

Należy zwrócić uwagę, że w tym systemie mostów oba pasy belek są ściskane i rozciągane, i przeto usztywnienie ich tężnikami, by zapobiec wyboczeniu, jednakowo jest niezbędne dla obu pasów. Tylko w mostach o bardzo dużych rozpiętościach, w którycłńłańcuchy stosuje się kratowe (fig. 389,a,b, mogą części tych łańcuchów być ściskane, przeto tam zachodzi potrzeba stosowania tężników podłużnych, oraz poprzecznych między łańcuchami. Ustrój tężników podłużnych, oraz ich połączenie z pasami widać z fig. 390. Na fig. 391 i 392 pokazane jest połączenie tężników przegibnoprzesuwne, gdy tężniki oddają siłę poziomą belce poprzecznej lub rozpórce.

Na fig. 393« pokazane są różne systemy ramownic w mostach z jazdą dołem ; w mostach z jazdą górą ramownice dają przeważnie w kształcie krzyży ukośnych (fig. 393 Ъ) lub półkrzyżulcowe (fig. 393 c).

&

Ш i i ‘

Гд Ък

шё

fi

/

Fig. 391.

a

hj lias

[A7\]

Ш

«

m

Fig. 392.

i.

Fig. 393 tf, b, c.

8

Г

что—-у

/

Wl

\

i

\\

Ш

i

u

г

ш

sV-

l

Fig. 394.

Tężniki hamowne. Tężniki hamowne daje się tylko w mostach kolejowych większych rozpiętości lab w mostach, położonych na spadku, oraz w pobliża stacji kolejowej. W mostach poziomych o niewielkiej rozpiętości na szlaku kolejowym hamowanie pociągu niema miejsca, przeto tężników te nie stosuje się. Siła podłużna, powstająca wskutek hamowania pociągu na moście, oddaje się szynom, które przenoszą ją na mostownice i te na belki podłużne. Belki podłużne wywierają wskutek tego nacisk na belki poprzeczne i te ostatnie wyginają się w planie, jeżeli niema tężników hamownych. Tężniki hamowne mają za zadanie przeniesienia tej siły podłużnej na pasy dźwigarów głównych, które już przenoszą te siły na podpory. Tężniki hamowne urządzają się albo pośrodku danego przęsła, albo też na końcach. Czasem jednak w dźwigarach o dużyej rozpiętości, jeżeli belki podłużne są przerwane w dwóch lub kilku miejscach, tężniki hamowne daje się w każdym ucząstku przerwanych podłużnie. Zatem, gdy po-dłużnice w dwóch punktach mają połączenie przegibno-przesuwne, tężniki

jshP

W

.vi

ЗИМ

.1

f

■•f

:г|

O 0,0000

o o ' o ’ o o ’ o|

0.0

:o . O . °

Fig. 396.

Fig. 395.

hamowne muszą być postawione w trzech miejscach : na końcu i pośrodku. Schematycznie tężniki te pokazane są w planie na fig. 394. Przy tężnikach podłużnych w poziomie jezdni te ostatnie mogą być jednocześnie tężnikami hamownemi, o ile będą odpowiednio połączone z podłużnicami (fig. 394). Na fig. 395 pokazane jest połączenie tężników hamownych z podłużnicami, zaś na fig. 396 tężników podłużnych i jednocześnie hamownych z podłużnicami. Połączenie tężników hamownych z dźwigarami jest takie, jak i tężników podłużnych, i zwykle do ich przynitowania służą te same blachy węzłowe, które łączą wiatrownice z dźwigarami.

IX. Część przejazdowa i chodniki.

Część przejazdowa czyli pomost składa się z dwóch części: z nawierzchni, tj. tej warstwy zewnętrznej, po której bezpośrednio odbywa się ruch, i z żeber pomostu, tj. belek podłużnych i poprzecznych, na których spoczywa nawierzchnia i które mają na celu przeniesienie sił, otrzymywanych od nawierzchni, na dźwigary główne.

Nawierzchnia mostów kolejowych. Nawierzchnię mostów kolejowych stanowią szyny z kontrszynami i odbojnicami, chodniki pomiędzy szynami

lym wymaganiom, co i na szlaku. Zatem odległość pomiędzy szynami, oraz ich pochylenie powinno być zabezpieczone. Nawierzchnia powinna być dostatecznie sprężysta, aby przy wejściu pociągu na most nie miały miejsca uderzenia i wstrząśnienia, powinna być dostępna dla dozoru i łatwa do remontu. Nadto na wypadek wykolejenia się bądź to parowozu, bądź jakiegokolwiek z wagonów, koła wykolejone nie powinny się zapadać, lecz mieć możność toczenia się po moście. Ponieważ styki szyn powodują uderzenia kół, przez co otrzymuje się wstrząśnienia całego mostu, przeto na mostach małych rozpiętości winno się unikać połączeń szyn. Na mostach dużych rozpiętości ilość złącz szyn doprowadza się do minimum, stosując długie ogniwa szyn, przytem w stykach szyny łączy

boków szyn i wreszcie podkłady, na których spoczywają szyny, względnie dyle podłużne, podtrzymujące szyny. Podkłady leżą albo bezpośrednio na belkach podłużnych, albo na dźwigarach głównych w mostach niewielkich rozpiętości z jazdą górą, albo też na podsypce, która leży na podłożu Żelaznem, betonowem lub żelazobetonowem. Nawierzchnię z podsypką stosuje się zwykle do mostów niewielkich rozpiętości (przepustów) na szlaku i w wiaduktach, położonych w miastach, oraz nad drogami z silnym ruchem.

Ustrój nawierzchni w mostach, co do swej stałości i wytrzymałości, powinien zadość czynić tym sam

się szczelnie bez żadnych luzów, zaś nad podporami daje się przyrządy wyrównawcze.

Fig. 397.

Najprostsza i najczęściej stosowana nawierzchnia składa się z szyn, spoczy) wających na mostownicach (podkładach-drewnianych lub też żelaznych. Szyny bezpośrednio leżą na podkładkach żelaznych i są przymocowane do mostownic śrubami. Wewnątrz toru są kontrszyny w odległości od 16 do 25 cm lub też odbojnice drewniane, które dają się wewnątrz toru lub też zewnątrz (fig. 397). Czasem dają wewnątrz toru kontrszyny i na zewnątrz odbojnice drewniane (fig. 398 a). Tak jedne, jak i drugie ciągną się poza przyczółki mostu na długości od 4,5 do 5 m, przytem kontrszyny schodzą się na osi toru, tworząc ostry kąt, zaś odbojnice zewnętrzne rozchodzą“ się na zewnątrz na odległość połowy szerokości toru (fig. 398 V).

Mostownice drewniane są zwykle dwóch długości, krótkie 2,4 m i długie 4,8 — 5 m. Na jedną długą przypadają zwykle dwie krótkie lub jedna, w zależności od prześwitu między mostownicami. Jeżeli prześwit ten jest 20 cm, to można na jedną długą mostownicę dawać dwie, a nawet trzy krótkie, przy prześwicie około 35—40 cm krótkie i długie idą naprze-mian, gdyż na długich daje się chodniki i przy znacznej odległości wypadłoby deski dawać znacznej grubości.

Wymiary mostownic są od 20 X 25 do 24 X 30 cm w zależności od nacisku kół parowozu.

Przymocowanie mostownic długich do belek podłużnych robi się według fig. 398 c. Krótkie mostownice mogą być przymocowane do podłużnie hakami (fig. 397), lecz przytem, aby nie mogły się przesuwać wzdłuż podłużnie, winny być odpowiednio wcięte na głębokość 1,5 cm w odbojnice i połączone z nimi co druga lub trzecia mostownica śrubami. Czasem oprócz wcięć dają jeszcze krótkie kątowniki 100 X 65 X 8, które biorą się na dwie krętki do mostownic i na jedną do odbojnicy. Długość wkrętek 120 mm, średnica 18 mm (fig. 398 a id). Aby mostownice nie mogły się przesuwać na podłużnicach wpoprzek mostu, winny być wcięte nieco około 12 mm w po-dłużnice. Mostownice, spoczywając na pasach podłużnie, działają na te ostatnie nie osiowo, lecz naciskają na krawędź wewnętrzną pasów podłużnie.

Aby otrzymać osiowe ciśnienie, trzeba dać pośrodku pasa podłużnicy nie-szeroką podkładkę (fig. 398 e), na której spoczywają mostownice. Jednak wobec niewielkiego dopuszczalnego naprężenia na ciśnienie w mostownicach drewnianych prostopadle do włókien (15 kg/cm² dla drzewa iglastego i 30 kg/cm2 dla drzewa twardego) jest to trudne do urzeczywistnienia. Pod mostownicami trzebaby było dawać specjalne podkładki żelazne. Przy mostownicach żelaznych należy to stosować.

Mostownice żelazne stosują się przeważnie typu Woterena [Vau-therin] (fig. 399). Odległość pomiędzy osiami mostownic daje się do 65 Aby uchronić od zapadania się kół w razie wykolejenia pociągu na moście,

cm.

. »iгоо rfrjoo^

O OÖ"brTÖ

I____

w.

Fig. 398.

Fig. 899.

o. o o o o o n

Г    ■ ¹    »    ■*■■ ' Г .

0.ooflo°<

Fig. 400.

pod szyny daje się ceownik i obok szyn dwa zetowniki, których boki, wystające do góry, są nadto wzmocnione kątownikami 150 X 75 X Ю. Ńa fig. 400 pokazany jest tego rodzaju ustrój nawierzchni, zastosowany na mostach przez rzekę Wołgę koło Kazani i Symbirska. Pokrycie nawierzchni bione jest z blachy tłoczonej grubości 3 mm i wzmocnionej kątownikami 60 X 30 X 6. Stosując woterenówki, trzeba mieć na uwadze, że pochyłe boki pod ciśnieniem szyn mają dążność do rozsuwania się i całe korytko płaszczy się. Przeto, o ile w inny sposób nie jest uniemożliwione rozsuwanie się ścianek bocznych, trzeba pod szynami i między szynami na odległości koło 500 mm dawać przewiązki-ściągi. Nadto pod szynami i nad podłużnicami ścianki boczne należy stężać kątownikami choćby 60 X 60 X 6. Szyny tutaj również leżą na podkładkach żelaznych. Aby zmniejszyć szum stworzyć większą elastyczność toru, pod podkładki należy dawać filc asfaltowy lub też wojłok przesycony gudronem i dobrze sprasowany. Dobre połączenie woterenówek z podłużnicami pokazane jest na fig. 318, które było zastosowane w moście przez rzekę Wupper w Miingsten. Jak widać

oraz

zro-

z fig. 401, mostownice spoczywają tutaj wolno na podłużnicach, cisnąc na nie osiowo.

Poprzeczne blachy В z niewielkiemi wycięciami z boków pozbawiają mostownice ruchów w płaszczyźnie pasów blachownicy, zaś łapki Ł do-

50 r«*-

ЭР

•    ! ! i;! i I I

Uh 09    $5**

KG),

17.0-

Й0

Fig. 401.

ciskają je do pasów, nie dając możności im się podnosić. Poprzeczki V łączą stopki podkładu i jednocześnie powodują ciśnienie osiowe na po-dłuźnice.

Dyle podłużne. Dyle podłużne drewniane stosują obecnie rzadko i tylko w wypadkach, gdy odległość pomiędzy poprzecznicami jest niewielka, albo

Fig. 402.

Fig. 403.

też, gdy szyny leżą bezpośrednio nad podłużnicami. W ostatnim wypadku dyle tworzą tylko podkładkę elastyczną. Przymocowanie dyli do poprzecznicy daje się zapomocą nierównobocznego zewnętrznego kątownika, przynitowanego do pasa poprzecznicy. Nadto, aby pod działaniem sił poziomych dyl się nie podnosił na poprzecznicy, mocują go do poprzecznicy śrubą pionową od wewnątrz toru. Styki dyli dają tylko nad poprzecznicami i w tym celu do pasów poprzecznicy przynitowuje się w miejscach styków blachy podłużne. By zabezpieczyć od zawalenia się kół w razie wykolejenia się wozu tak z jednej, jak też i z drugiej strony dyla, niosącego szynę, daje się dyle dodatkowe o tej samej wysokości, co i dyl niosący, i oprócz tego na wewnętrznych dylach mocuje się kątowniki kierownicze (fig. 402). Aby nie było zsuwania się dyli wzdłuż mostu, muszą takowe być wcięte w belki poprzeczne. O ile stałość w kierunku poprzecznym, oraz należyta odległość między szynami jest zabezpieczona nad belkami poprzecznemi przez odpowiednie przymocowanie dyli do poprzecznie, to między poprzecznicami stałość ta nie jest zupełnie zabezpieczona. Paczenie się dyli może powodować zmianę odległości między szynami, przeto należy szyny połączyć ściągami żelaznemi tak, aby szerokość

toru była utrzymana. Dyle, ułożone bezpośrednio na podłużnicach, przymocowuje się zapomocą krótkich kątowników, które tworzą korytko (fig. 403). Do podłużnicy dyle przytwierdzają się pionowemi śrubami w odległości około 0,5 m jedna od drugiej ; śruby dają się w szachownicy. Szyny do dyli przytwierdzamy zapomocą haków.

Górna płaszczyzna dyla ma pochylenie odpowiednio do pochylenia szyny, około Vie ’/го-

Obliczenie nawierzchni. Mostownice poprzeczne zwykle obliczamy w trzech założeniach:

1. Podkłady-mostownice dla sztywnej szyny stanowią podpory sprężyste, przeto siła nacisku koła, działając na sztywną szynę, oddaje to ciśnienie na kilka mostownic. Dopuszczalne naprężenie na zginanie nie powinno wtedy przekraczać 90 kg/cm² dla drzewa miękkiego i 120 к с/jem² dla drzewa twardego. 2. Ciśnienie koła oddaje się całkowicie na jeden podkład przy dopuszczalnych naprężeniach odpowiednio 135 kg/cm² i 160 kg]cm². 3. Ciśnienie kola wykolejonego oddaje się całkowicie na jeden podkład, przytem położenie koła na mostownicy bierze się najniedogodniejsze, jakie pozwalają zająć szyny kierownicze lub odbojnice. Naprężenie w ostatnim wypadku może wynosić około 180 kg/cm².

Niech będzie El i Р\ 1г — sztywność szyny i mostownicy, l — odległość między podłużnicami, c — odległość od podłużnicy do szyny, a — odległość między osiami mostownic, R — nacisk koła na szynę, Px — ciśnienie na . mostownicę środkową, nad którą stoi koło R, P₂ — ciśnienie na sąsiednie, obok leżące mostownice, P₃ i P₄ — ciśnienie na następne mostownice, to :

EtL as

R = рг + 2 P₂ + 2 P₃ + 2 P₄ ; dalej, jeżeli

czymy przez k, to możemy napisać: 1 + 2 к

E. I.c² (Зг — 4 c)

ozna-

— R w założeniu, że siła R oddaje się na o ~4- Ł łc

trzy mostownice, tj. R = I\ + 2 P₂.

W założeniu, że siła R rozkłada się na pięć mostownic, mamy:

1 + 18 к + 7 к2 5 + 34 к + 7 к*

R i P₂

ff=P₁ + 2P₂ + 2P₃; P,

P; P₂

1 +11 Äs 5 + 34fc+7P

i p₃ =

R.

5 + 34 к + Ik²

Zwykle więcej niż na pięć mostownic ciśnienie koła się nie oddaje. Na ile mostownic oddaje się ciśnienie, zależy od wielkości k.

Jeżeli к ¹/₃, ciśnienie oddaje się na 3 mostownice ;

„    2; 0,055, lecz < 7з, ciśnienie oddaje się na 5 mostownic;

„ к < 0,055, ciśnienie oddaje się na 7 mostownic.

Przeto należy najpierw obliczyć к i w zależności od к znaleźć siłę 1\ ze wzorów poprzednich. Mając zaś Px, mamy moment gnący P₄ c i siłę

kg/cm² i na

poprzeczną Q — Px, zatem i naprężenia na zginanie kif =

3 Px 2 bti

ścinanie kt =

gdzie b h jest przekrój mostownicy.

i\ a

—=- —e~—-, gdzie S oznacza 2 8.1 e — d

statyczny połowy przekroju względem osi obojętnej, I — moment bezwładności, § — grubość ścianki, e — odległość między nitami w ściance mostownicy, d — średnicę nita.

Przy m stownicach żelaznych kt — moment

Obliczenie dyli podłużnych. Jeżeli przez a oznaczymy rozpiętość dyla, E₂ 12 jego sztywność, przez: L\ /, sztywność szyny S₁ i S₂ momenty statyczne dyla i szyny i przez całkowite Mc i Tc moment gnący i siłę poprzeczną i przez 7'₂ i J\ siłę poprzeczną, i przez M₂ i Мг momenty gnące, które się oddają na dyl i na szynę, wtedy mamy Mc — M₂ -j- Mx ; M₂ = Mr

i Mi = Mc

E₂1./

; t₂ = tc

Sih

Eili + EUh

-S’, l₂ -j- S₃ /j

; Тг = теЪ

S₂h

Si Ii+ S, Si

K. k

тьу

Bezpośrednie przytwierdzenie szyn do poprzecznie żelaznych powoduje bardzo silne psucie połączeń nitami żeber pomostu, przeto, jak to już było wskazane, bezpośrednie układanie szyn na mostownice żelazne nie powinno mieć miejsca. Należy pomiędzy szyną i mostownicami dawać podkładki wojłokowe dobrze sprasowane o grubości około 2 cm lub też we wgłębienia mostownic wstawiać drewniane krótkie podkłady (fig. 22), wystające nieco ponad mostownice (2—3 cm) i do nich przytwierdzać szyny. Podkłady utwierdza się na śruby pionowe, by nie mogły się przesuwać wzdłuż mostownic i podnosić.

Nawierzchnia z podsypką. Do podtrzymania podsypki obecnie w mostach żelaznych stosuje się blachę płaską, falistą, cylindryczną, nieckową,

I₂ . 8 ■

ę:

IS

Як

Fig.’404.

Fig. 405.

kształtówki Zores i Vautherin’a i płyty żelazobetonowe (fig. 404). Podsypka może być położona bezpośrednio na swem podłożu Żelaznem (fig. 405), lub też żelazo pokrywa się warstwą betonu z warstwą odwadniającą i dopiero beton kładzie się podsypkę (fig. 406). Pokrycie podłoża żelaznego warstwą betonu ma tę zaletę, że przedewszystkiem izoluje żelazo od wody deszczowej, następnie stęża je, przez co ciśnienie od podkładów lepiej się rozkłada, szczególniej przy stosowaniu rzo-resówek“ i ^woterenówek“. Beton łączy je jakby w jedną płytę. Bez betonu kształtowniki, nie będąc niczem sobą połączone, otrzymują przy niejednakowem obciążeniu różne ugięcia i tern powodują nierówność toru. Warstwa betonu po-a wraz z pokryciem warstwą zaprawy cementowej 60 mm. Na warstwę cementową daje się warstwę izolacyjną, która może być z asfaltu, brezentu naklejonego zapomocą gudronn. ruberojdu lub najlepiej z cienkiej blachy ołowianej (0,2—0,3 mm) pomiędzy dwiema warstwami papy , również naklejonej zapomocą gudronu i pokrytej gudro-nem. Aby warstwa izolacyjna nie mogła być uszkodzona przez, ostre ka-

na

iioo—

C50--

-------u

Fig. 406.

winna mieć grubość conajmniej 50 mm,

ze

mienie nadsypki lub też przy zgartywaniu jej podczas remontu, dobrze jest pokryć ją również warstwą chudego betonu grubości choćby 45—50 mm i doDiero na beton dawać podsypkę. Grubość warstwy podsypki winna wynosić od 15—20 cm, licząc do spodu podkładu. Warstwa izolacyjna daje się ze,spadkiem poprzecznym ku środkowi mostu lub ku bokom. Woda, spływająca po niej, schodzi do rur i rynien. Rynny winny być przeciągnięte do podpór, gdzie przez odpowiednie rury woda odprowadza się do stoków kanalizacyjnych. Jako podtrzymanie podsypki, najlepsza jest blacha nieckowa. Jest ona lżejsza od blachy płaskiej, która wymaga usztywnienia w postaci kątowników, zetowników lub ceowników i nadto większej grubości, niż blacha nieckowa przy tej samej wytrzymałości; blacha nieckowa doskonale stęża most w kierunku poprzecznym, tak że w zupełności zastępuje tężniki poziome. Ilość betonu jednak jest większa, niż przy blachach płaskich, i odwodnienie jest nieco więcej skomplikowane, gdyż każda niecka wymaga w najwiekszem swem pogłębieniu oddzielnych rurek do odprowadzenia wody, któraby się dostała przez warstwę izolacyjną. Przy należytej izolacji od wody ogólnej mostu można w nieckach i nie dawać rurek do odprowadzania wody.

Blacha cylindryczna co do swej wytrzymałości mniej więcej odpowiada nieckom, lecz jest mniej sztywna.

-'=3:

I —-----

Fig. 407.

Fig. 408.

Wymiary niecek od 1,6 m do 1,0 X 2,5 m grubości od 5 do 10 mm

/1 1 \

strzałka około I—--— 16, licząc za b wymiar mniejszy niecki. Wymiary

a i b (fig. 407), jak również i boki niecek, mogą być dowolne w granicach wyżej wskazanych. Jednak stosowanie różnych wymiarów a i b niecek przy niewielkich ilościach silnie podnosi cenę jednostki wagi blachy. Przeto przy niewielkich ilościach blach wymiary takowych a i b należy stosować takie, jakie huty wyrabiają, boki zaś min można stosować różne, gdyż te mogą być różnej szerokości, przy danych matrycach i tłokach. Niecki mogą być wyrabiane i ręcznie i wtedy wymiary ich mogą być dowolne i długość ich może dochodzić do 4 m. Ręczne niecki nie są tak dokładne, i przeto rzadko je stosują. Czasem stosuje się niecki złożone, składająco się z trzech części: końce — niecki rozciętej na dwie części i środek"— blacha cylindryczna tej samej szerokości i wypukłości, co i niecki. Niecki i blachę cylindryczną nituje się jednym szeregiem nitów, nakładając jedną blachę na drugą, lub też zapomocą nakładki (fig. 408). Żelazo nieckowe daje się czasem wypukłą stroną do góry, pracuje wtedy ono, jak sklepienie. Otrzymuje się lepsze odwodnienie i, czasem, wagę betonu mniejszą, niż przy zastosowa niuwypukłością w dół. Jednak, mając na uwadze, że wklęsłe niecki są znacznie wytrzymalsze, gdyż żelazo pracuje na rozciąganie, gdy tymczasem przy wypukłych, pracując jako sklepienie, jest ściskane, przeważnie stosują niecki wklęsłe, tj. wypukłością skierowane do dołu. Przytwierdzenie żelaza nieckowego, jak również i żelaza płaskiego, wymaga, aby górne pasy żeber pomostu, tj. belek podłużnych i poprzecznych, do których przytwierdzamy żelazo, leżały w jednej płaszczyźnie. Żebra pomostu tworzą zazwyczaj czworoboki prostokątne, równoległoboki lub też trapezy, a nawet trójkąty w mostach ukośnych, i stosownie do figur, jakie tworzą żebra pomostu, blacha płaska lub nieckowa otrzymuje kształt w planie. Przytwierdzenie blachy może być wykonane według sposobu, pokazanego na fig. 409. Ponieważ żelazo bądź to płaskie, bądź nieckowe lub cylindryczne przy obciążeniu daje rozpór, przeto pas belki, do którego żelazo nitujemy, winien mieć blachę poziomą, aby nie miało miejsce odrywanie się główek nitów poziomych pasa. Gdy się okazuje, że danie blach ze względu na wytrzymałość jest zbyteczne i zbytnioby wagę pomostu podnosiło, wtedy można się zadowolić niewielkiej długości nakładkami na 3 lub 5 szeregów nitów pośrodku rozpiętości belki (fig. 410).

Stosowanie belek walcowanych jest tu zupełnie wskazane, lecz przy szerokości każdego boku nie mniej niż 45 mm, zatem dwuteowniki o wysokości najmniej 24 cm. Jeżeli wypada stosować mniejsze profile, wtedy lepiej stosować korytka, przytwierdzając blachy według fig. 411.

Porównywując nawierzchnię lekką prętową z nawierzchnią zwartą ciężką na podsypce, możemy wskazać na następujące zalety i wady tych ustrojów.

Przy nawierzchni na podsypce wpływ dynamiczny pociągu na budowę wierzchnią, szczególniej zaś na poprzecznice i podłużnice, jest mniejszy, ponieważ podsypka dla szyn jest podłożem sprężystem. Jednakowość na-

i:

W:

"1

i, I

/i

МД! /

iii

nr

Fig. 409.

Fig. 410.

Fig. 411.

wierzchni tak na moście, jak i na szlaku nie powoduje uderzeń przj wjeździe pociągu na most, również zwiększenie wagi samego mostu, a zatem zwiększenie stosunku wagi własnej do obciążenia ruchomego, zmniejsza wstrząśnienia. Remont nawierzchni prosty i łatwy i jednakowy, jak na szlaku. W razie wykolejenia się pociągu na moście podsypka zabezpiecza od zapadnięcia się kół, nawierzchnia podsypki jest niepalna i głuszy szum i turkot przechodzącego pociągu. Mając te zalety nawierzchnia z podsypki, przez znaczną wagę zwiększa całą wagę mostu do 2—2,5 razy, wagę zaś żelaza do 25 —45°/o- Ponieważ podsypka pokrywa szczelnie całą konstrukcję żelazną, na której leży, przeto rewizja i malowanie żelaza jest połączone z pewnemi trudnościami, gdyż wymaga czasowego usunięcia podsypki.

Co się tyczy nawierzchni lekkiej prętowej, to obecnie stosuje się przeważnie mostownice

belkach podłużnych. Nawierzchnia

na

poprzeczne

z mostownic ma ustrój taki sam, jak na szlaku, wydłużone mostownice dają możność prostego ustroju chodników, trzymają dobrze szerokość toru i pochylenie szyn i przy dość gestem ułożeniu mostownic zabezpieczają od zapadania się kół wykolejonych. Wymagają natomiast więcej materjału, niż nawierzchnia z dyli podłużnych, i utrudniają nieco stykowanie szyn na moście, gdyż przy odpowiedniem rozłożeniu mostownic trzeba szyny przycinać, aby styki trafiały między mostownicami lub przy danej długości szyn odpowiednio układać mostownice.

Tej ostatniej niedogodności nie ma nawierzchnia z dyli podłużnych, lecz ta ostatnia ma zato wady, dla których stosuje się rzadziej. Mianowicie wskutek paczenia się dyli od działań atmosferycznych odległość między szynami, oraz pochylenie szyn się zmienia. Zejście z szyn koła powoduje zapadnięcie się kół i, co zatem idzie, katastrofę.

Pokrycie pomostu mostów kolejowych przy mostownicach lub dylach drewnianych przeważnie robi się z desek grubości 5— 6,5 cm i szerokości około 25 cm, między deskami daje się odstęp około 2—5 cm. Wzdłuż szyn deski winny być tak ułożone, aby zmiana szyn nie wymagała zdjęcia desek. Deski do mostownic przytwierdza się gwoździami. Przy mostownicach deski układa się wzdłuż mostu, przytem chodnik środkowy pomiędzy szynami zawsze kładzie się na mostownicach, zaś boczne chodniki albo na mostownicach wydłużonych (fig. 398 a), albo też na specjalnych beleczkach, tak, że tor kolejowy jest uniezależniony od chodników bocznych (fig. 412 i 413). W drugim wypadku wszystkie mostownice są jedna-

-b

Fig. 413.

Fig. 412.

kowej długości. Uniezależnienie chodników bocznych od toru ma tę zaletę, że zmiana mostownicy nie wymaga zrywania pokrycia chodników bocznych, i przez to ułatwia się wykonanie naprawy toru. Mostownice krótkie mogą być długości 2,4 m przy odległości między podłużnicami 1,8 m. Jeżeli odległość między podłużnicami jest 1,80ш-(-Д, to długość mostownic winno być 2,4 m -(- Д.

Odległość miedzy długiemi mostownicami, podtrzymującemi chodniki, może być sprowadzona ч1о 1,6 m i wtedy deska grubości 5 cm dopuszcza

Fig. 415.

Fig. 414.

obciążenie skupione do 175 kg (człowiek, niosący ciężar). Przy mostownicach żelaznych pokrycie robi się przeważnie z blachy tłoczonej grubości około 3 mm i usztywnionej kątownikami (fig. 414). Przytem chodniki z boków mogą być urządzone na wydłużonych mostownicach. Jeżeli chodniki boczne nie są związane z mostownicami, wtedy wspierają je lekkie wsporniki, przymocowane do belek podłużnych i podtrzymujące bezpośrednio pokrycie (fig. 412), lub też wsporniki te podtrzymują dodatkowe beleczki podłużne, na których spoczywają poprzecznice, i na tych ostatnich deski podłużne chodników, lub też na beleczkach podłużnych daje się bezpośrednio pokrycie z desek poprzecznych (fig. 415).

Połączenie mostu kolejowego z nasypem. Jeżeli nawierzchnia mostu składa się z podsypki, wtedy połączenie jest bardzo proste. Ponieważ ten rodzaj nawierzchni stosuje się zwykle do mostów małej rozpiętości, dla których przesunięcia dźwigarów głównych od zmiany temperatury w granicach od — 35° C do -j- 35° C są nieznaczne, zakończenie może być wykonane według fig. 416. Jak widać z tej figury, nawierzchnia zupełnie tutaj się nie zmienia, jakby mostu nie było. Jednak przy g||g mostach większych rozpiętości przesunięcia od ' zmiany temperatury, oraz od zmiany długości pasa dźwigarów, w poziomie którego leży pomost, od obciążenia ruchomego mogą być dość znaczne. Przy spółczynniku wydłużalności żelaza zlewnego a = 0,0000125 przy różnicy temperatury 70° C i przy naprężeniu w pasach od obciążenia ruchomego średnio 750 kg jem² przesunięcie dźwigarów o rozpiętości l na podporze otrzyma się:

Uf

>4

/2-Х-Г.

nn

ЩШЖ1

Fig. 41«.

Д l = 0,0000125 X 70 l +

750

2150000 ^ = ⁰'⁰⁰⁰⁸⁷⁵¹ + 0,000286 l ;

Rozpiętość Im

10

15

20

25

30

40

60

80

120

160

300

Д1 l od temperatury mm .

13

18

22

26

35

53

70

105

140

263

Д₂1 od obciążenia ruch. mm

11

17

23

34

46

86

Z tej tablicy widać, że stosunkowo do niewielkich rozpiętości 30—40 m przesunięcie w jednym kierunku jest niezbyt wielkie, nie przekracza 28 mm,

МЧ--1

•Aa|i j po—^ pĄ-| ртл-] рЛЛ-|

/Jn j-Likl LwJ ylyj LvJ ILiW rLm.

G    _

Л-B Ш

//-C

F-G

il

Л'£ JÖL

"7

:L i

p ^ H ^

ьад

ujtSt

ШЙ

Fig. 417.

i przeto do tych rozpiętości niema potrzeby stosować do szyn przyrządów wyrównawczych. Do większych zaś rozpiętości luz między szynami wypadłby zbyt duży, przeto należy stosować przyrządy wyrównawcze, które winny być stawiane albo bezpośrednio nad podporami ruchomemi dźwigarów, albo też wpobliżu nich. Przyrządy wyrównawcze, w mostach jedno-

Połączenie mostu kolejowego z nasypem.

95?

przęsłowych najlepiej dawać na końcu budowy wierzchniej, nie zaś na ściance przyczółka lub bezpośrednio za ścianką. W mostach wieloprzęsło-wych przy belkach rozciętych przyrządy te daje się nad filarami. Przyrząd wyrównawczy z iglicą pokazany jest na fig. 417.

Шэд

Pig. 418.

Zakończenie mostu i przejście szyn z mostu na przyczółek winno być takie, aby była zachowana sprężystość toru i aby wstrząśnienia i uderzeniu od kół pociągu były najnieszkodliwsze dla muru przyczółków. Układanie przeto mostownic na przednich ściankach przyczółków i przytwierdzanie do nich szyn (fig. 418) nie jest zbyt dobre, gdyż mostownice nie są dostatecznie ela-styczne, aby łagodziły uderzenia w do-statecznej mierze. Lepiej przeto stosować сЩч zakończenie według fig. 419 lub jeszcze lepiej według fig. 420. W pierwszym wypadku pokład drewniany służy tylko do podtrzymania podsypki, aby ta nie zsypywała się do niszy łożyskowej, stopa zaś szyny wznosi się nieco nad podkładem około 2 cm i spoczywa na podkładzie, który leży na podsypce. W drugim wypadku przednia ścianka przyczółka zakończona jest beleczką żelazną, która podtrzymuje podsypkę, szyna zaś spoczywa na podkładzie na podsypce. W drugim wypadku odległość między podkładem ostatnim na beleczkach podłużnych i podkładem na przyczółku może być dostatecznie mała przy odpowiednej warstwie podsypki pod tym podkładem.

Jeżeli budowa wierzchnia jest znacznej wysokości na przyczółku, np. w mostach z jazdą górą dużych rozpiętości, wtedy od zmiany temperatury

Fig. 420.

Pig. 419.

otrzymamy podnoszenie się lub opuszczanie szyn, które przy wysokości ustrojowej mostu 30 w dochodzić będzie do \h = +13mm. Gdyby przeto połączenie pozostawić, jak było wskazane na fig. 420, to otrzymalibyśmy znaczne załamanie toru w płaszczyźnie pionowej. Aby załamanie było możliwie łagodne, należy połączenie mostu z przyczółkami wykonać zapomocą beleczek podłużnych, wspartych na przyczółkach przesuwno przegibnie, zaś z dźwigarami albo przegibnie, albo nawet sztywnie, lecz z warunkiem, że końce, wsparte na przyczółku, nie będą się podnosić ze swych podpór, tj. że obciążenie stałe jest dostateczne, aby ugiąć końce beleczek na wielkość A h.

Przy obliczaniu beleczek takich należy przyjąć pod uwagę naprężenie dodatkowe wywołane tern ugięciem. Jeżeli długość beleczki jest l i obciążanie stałe p, to mamy:

l² ,

2 Ehx\ kf>

2 E hx A h

, jeżeli przez ńj oznaczymy całkowitą wysokość beleczki podłużnej i przez / jej moment bezwładności. Obciążenie ja

pl⁴

8 El

8 \h.E I

l*

u,

Fig. 423.

Położenie mostu W łuku. Jeżeli most leży w krzywej promienia R, wtedy szyna zewnętrzna wznosi się nad szyną wewnętrzną na wielkość Sv²

h = ——, gdzie »S'jest to szerokość toru, v — szybkość pociągu, g — przyśpie-g R

szenie siły ciężkości. Wzniesienie to można osiągnąć przy niewielkiem h nieco większem wcięciem podkładów do podłużnie wewnętrznych, przy zuacznej wielkości h daje się podkładki między podkładami i zewnętrzną belką podłużną (fig. 421), lub też na belce podłużnej zewnętrznej kładzie

J się podłużny dyl przymocowany od-powiednio i w niego wcina się mo-^ stownice. W wyżej wskazanych wy-padkach belki poprzeczne i podłużne daje się normalnie, jak w mostach na prostej. Zamiast stawiać podkładki pod mostownice, można belki podłużne stawiać pionowo, lecz na różnej wysokości (fig. 422).

Wreszcie można całą budowę wierzchnią wykonać normalnie, jak w mostach prostej i postawić dźwigary pochyło : zewnętrzny wyżej od wewnętrznego. Sposób bardzo prosty, lecz nadaje się tylko do mostów o niewielkiej rozpiętości, dla których obciążenie stałe jest bardzo małe w porównaniu z obciążeniem ruchomem. Naturalnie, przy tego rodzaju położeniu dźwigarów siła od obciążenia ruchomego działa równolegle do płaszczyzny dźwigarów tylko wtedy, gdy szybkość odpowiada przyjętemu przechyleniu dźwigarów, przy innych szybkościach siła pociągu nie będzie równoległa do płaszczyzny dźwigarów.

Mg. 421.

Fig. 422.

na

Mosty na wzniesieniu. Dźwigary mostów na wzniesieniach lub spadkach stawia się poziomo lub z pochyleniem, odpowiednio do spadku toru. Łożyska leżą wtedy na ciosach podporowych poziomych i wałki są poziomo położone, wobec czego reakcje otrzymują się pionowe. Ma to jednak tę wadę, że koniec ruchomy dźwigara przesuwa się nie równolegle do toru, lecz poziomo, wskutek tego w połączeniu nawierzchni mostu z nadsypem

Ш-JWk

o'o

Wm

On.

Fig. 424 a, h.

toru wytwarza sie pewna nierówność, która naogół bywa bardzo nieznaczna. Łożysko nieruchome daje się na końcu dźwigarów niżej położonym, przytem zaleca się ten koniec połączyć z przyczółkiem tak, aby nie mógł się zsuwać (fig. 423). W mostach małych można zadawalniać się beleczką drewnianą między wspornikiem, przynitowanym do spodu dźwigarów, i przyczółkiem (fig. 424 a).

Jeżeli dźwigary stawiamy na jednym poziomie, wtedy pomost musi mieć odpowiedni spadek, który wytwarza się albo tem, że podłużnicom nadajemy spadek, albo na podłużnicach poziomych dajemy dyle klinowe na pasach

Połączenie mostu kolejowego z nasypem. — Nawierzchnia mostów drogowych. 959

ze stoczystością górnej powierzchni dyla odpowiednio do spadku toru. Najmniejsza grubość dyla 60—65 mm.

W mostach niewielkich rozpiętości z jazdą górą można również pas górny dać z pochyleniem, czyli nadać blachownicy kształt trapezowy (tig. 4245).

Nawierzchnia mostów drogowych. Część przejazdowa mostów drogowych co do żeber pomostu, oraz podłoża, podtrzymującego nawierzchnię, nie różni się od części przejazdowej mostów kolejowych. Różnica jest dość duża tylko w pokryciu nawierzchni jezdni oraz chodników. Pokrycie nawierzchni jezdni z desek (dyli) podłużnych lub poprzecznych daje się zwykle na podłożu również z desek poprzecznych lub podłużnych w zależności od żeber pomostu. Grubość dyliny wierzchniej stosuje się zwykle od 5 do 6,5 cm i szerokość od 20 do 25 cm. Nawierzchnię z jednej warstwy dyli daje się rzadko i to tylko na mostach o bardzo słabym ruchu, gdy raczej liczyć trzeba na gnicie desek, a nie na ścieranie od jazdy. Przy pojedynczej warstwie deski winny być nieco grubsze, niż wypadają według obliczenia, gdyż zawsze trzeba mieć zapas na ścieranie około 1—1,5 cm. Przy podwójnej warstwie dolna warstwa jest warstwą niosącą, zaś górna jej pokryciem, które chroni warstwę dolną od uszkodzenia przez wozy, jadące po moście, oraz do przenoszenia ciężarów skupionych w postaci kół wozów na dwie lub więcej desek dolnych. Przy silnym ruchu górna warstwa winna mieć grubość około 5 — 6,5 cm. Jak już było wspomniane, górną warstwę daje się poprzeczną lub podłużną. Poprzeczne deski mniej się ścierają od jazdy, dają lepsze oparcie kopytom końskim, lepiej ścieka woda po nich przy spadku pomostu poprzecznym, lecz gorzej przy spadku podłużnym. Podłużne deski dają mniejszy opór koniom, spokojniejszą jazdę po moście, lepszy ściek wody przy spadku podłużnym i, choć więcej się niszczą od jazdy, niż deski poprzeczne, lecz zato ścieranie się tych desek jest przeważnie w określonych miejscach, wstęgach, zmiana tych desek jest łatwa, i nie wymaga zamiany pokrycia na całej szerokości mostu, jak to ma miejsce przy pokryciu poprzecznem, gdzie wyżłobienie desek w pewnych tylko miejscach wymaga jednak zamiany desek na całej szerokości mostu. Dlatego też, jeżeli przyjąć pod uwagę możność częściowej reperacji desek podłużnych, to naogół okazuje się, że pokrycie podłużne choć jest mniej trwałe niż poprzeczne, to jednak może być naogół tańsze od poprzecznego. By uchronić górne deski od szybkiego niszczenia, dobrze jest na mostach o silnym ruchu kołowym dać podłużne wstęgi z blachy cienkiej o szerokości 40—50 cm, odpowiednio do szerokości kolei wozów. Jeżeli do mostu podchodzi szosa, wtedy lepiej od mostu na długości około 10 m szosę zamienić brukiem zwykłym. Z szosy bowiem drobne i ostre kamyki przenoszą się na most i szybko niszczą pokrycie jego deskowe, nadto, ścierając się na moście, tworzą miał, który od deszczu przeistacza się w śliskie błoto, robiąc jezdnię niebezpieczną dla jazdy. Górną warstwę dyli daje się przeważnie z drzewa miękkiego iglastego. Pokrycie drzewa twardego jest znacznie droższe, nadto drzewo twarde od jazdy szybko się wygładza i jazda staje się niebezpieczną. Deski górne układa się szczelnie i winny one być suche. Mokre deski po uschnięciu dają szczeliny, które powodują szybkie niszczenie desek. Dolna warstwa, niosąca, może być z desek lub dyli w zależności od odległości między żebrami pomostu, na których spoczywa. Dolne deski kładą się z odstępem około 2,5—3 cm. Styki ich dajemy na osi mostu, jeżeli leżą wpo-przek mostu. Przytwierdzenie dolnych desek do żeber pomostu żelaznych może być wykonane według fig. 425 a, b, c, d. Przy belkach drewnianych, ułożonych na belkach żelaznych, deski przybija się wprost gwoździami.

Przy pokryciach z kostki drewnianej, kamiennej, asfaltu, bruku zwyczajnego z kamienia polnego, podłoże zwykle jest betonowe, wyłożone na blachach płaskich, falistych, cylindrycznych, nieckowych, na kształtownikach Zores i Woterena. Grubość betonu i pokrycie go warstwą izolacyjną z po-

kryciem takowej betonem, by zabezpieczyć warstwę izolacyjna od uszkodzeń, jest takie same jak w mostach kolejowych. Jezdnia mostów drogowych daje się zwykle ze spadkiem poprzecznym. Przy dwóch dźwigarach wypukłość tę wytwarza się w ten sposób, że pasom górnym belek poprzecznych

nadaje się kształt odpowiednio do wypukłości nawierzchni (fig. 425 e), przy kilku dźwigarach z jazdą górą wypukłość osiąga się przez pogrubianie warstwy betonu ku środkowi mostu (fig. 425_/').

ШШ

j:

Jezdnia chodników winna być oddzielona przy pokryciu z desek specjalną beleczką odbojnicową, , nadto chodniki winny się wznosić j. nad jezdnią na 12—15 cm. Przy pokryciach innych dają się zwykle Y specjalne kamienie krawężnikowe j naturalne lub sztuczne. Koło kra-

wężników jezdni daje się czasem kamienie żłobkowe, które służą jako rynsztoki do ścieku wody. Na mostach o znacznej długości odprowadzanie wody wzdłuż mostu bocznemi rynsztokami jest niemożliwe. Przy znacznych ulewach woda zalałaby cały most, przeto odprowadza się ją zapomocą rur pionowych lub pochyłych '(fig. 426,£427) do

mmmmm

Fig. 425 a, b, c, d, e, f.

’Pi i мм

‘шрЩ ■ %

;Ч

l\\S\VsV\V

гоо

Fig. 426.

Fig. 428.

Fig. 427.

rynien, umieszczonych pod pomostem, które odprowadzają wodę do przyczółków i filarów.

Przerwa nawierzchni i jej połączenie. We wszystkich miejscach, gdzie dźwigary główne, względnie belki podłużne, mają połączenia przegibne lub przegibno przesuwne, nawierzchnia części opartej przegibnie powinna być przerwana. Przerwa jest niezbędna, aby umożliwić pracę przegubów, Połączenie zaś nawierzchni w miejscach przerw winno być takie, aby, zadość czyniąc ciągłości pokrycia mostu, jednocześnie nie krępowało swobody ruchów przegubów. Przerwy zatem takie są niezbędne na końcach dźwigarów nad łożyskami lub w ich pobliżu, w miejscach połączeń belek łączących ze wspornikami, w miejscach przegubów mostów łukowych lub belkowych przegubowych i w miejscach zastosowania połączeń przegibno przesuwnych belek podłużnych.

zaś swobodnie położoną na

Nad podporami nieruchomemi mostów belkowych pokrycie pomostu może być wykonane bez przerwy i tylko podłoże, podtrzymujące nawierzchnię pomostu, powinno być przerwane. Na podporze nieruchomej wahania są tak nieznaczne, że specjalnego połączenia nawierzchni budowy wierzchniej z podporami niema potrzeby dawać. By podtrzymać pokrycie, dostatecznie dać blachę płaską, przymocowaną jedną krawędzią do skrajnej belki poprzecznej, drugą ciosy ścianki podporowej (fig. 428), lub na blasze, przymocowanej do muru podpory. Jeżeli podłoże nawierzchni składa

sie z kształtowników, wtedy końce kształtowników mogą być wysunięte poza skrajną belkę poprzeczną i wsparte na podporze (filarze lub przyczółku ; fig. 429). Skrajna belka poprzeczna powinna być w niewielkiej odległości od ścianki podpory. Aby nie dawać czasem specjalnej belki poprzecznej spornikach dość wystających, można wysunąć kamienie podpory (fig. 430), lecz wtedy kamienie pewinny być odpowiednich wymiarów tak, aby pod obciążeniem ruchomem wystający kamień nie mógł się wywrócić. Przy pokryciu z dyli połączenie można wykonać według fig. 431 lub fig. 432.

na w

Nad przegubami dźwigarów łukowych trzeba przerywać i odpowiednio łączyć nie tylko podłoże nawierzchni, lecz i pokrycie. Przesunięcia nad przegubami zależą tutaj od odległości od osi przegubu do wierzchu nawierzchni, nad podporami, gdzie ta odłeglość może być dość znaczna, przesunięcia są również znaczne, w kluczu zaś są niewielkie. Przerwa nawierzchni i połączenie można wykonać według fig. 433 a. Na końcach

iii

€> <5 / •i

Dp*

fyfł / / !////)}/1 'I

Fig. 429

Fig. 430.

Fig. 431.

wiaty yfe trerJi/l.

fi

Fig. 433.

Fig. 432.

przeciwległych dźwigarów są belki poprzeczne, podtrzymujące podłoże, na belkach tych są postawione beleczki poprzeczne, które zakończają pokrycie. Luz pozostawiony pomiędzy temi beleczkami przekryty jest blachą żeberkową przymocowaną z jednej strony. Ponieważ blacha żeberkowa szybko się ściera i wygładza i wymaga zmiany, przeto lepiej dawać blachę tłoczoną niewielkiej grubości około 8 mm i pod nią blachę grubą, niosącą, wtedy tylko wierzchnia blacha się zmienia, dolna zaś może pozostawać bez zmiany. Przy znacznych przesunięciach blacha przekrywająca może być wolno położona na beleczkach i, aby się nie podnosiła, odpowiednio zamocowana (fig. 433 V). Aby jednak przesunięcie nie było jednostronne, można dać połączenie tych blach z beleczkami zapomocą śrub,- które pozwalają blasze na jednostronne przesunięcie tylko do pewnej granicy. Tego rodzaju połączenie naewrzchni może być zastosowane i przy połączeniu budowy wierzchniej piodporami nad łożyskami przesuwnemi.

Połączenie zapomocą grzebieni. Do beleczek poprzecznych koń-zowycli przytwiecrdza się specjalne odlewy stalowe, które zakończone są zębami. Zęby grzebienia jednej beleczki okalającej wchodzą między zęby

6‘

Fig. 437 a, b.

Fig. 436.

płaszczyznę [6j —(— 2 S] [&₂ —j— 2 o] (fig. 437 a). Zatem ciśnienie na ednostkę kwadratową podłoża będzie:

[*>i + 28][b₂ + 28] '

przeciwległego grzebienia (fig. 434), lub nawet kładą sie na przeciwległym grzebieniu i tym sposobem każdy ząb pracuje przy nacisku ciężaru ruchomego, jako beleczka jednym końcem zamocowana i drugim wolno podparte. Zamiast odlewów całych grzebieni można do beleczek okalających

przytwierdzić stalowe lane zęby (fig. 435). Górna krawędź beleczek poprzecznych, okalających pokrycie, powinna odpowiadać linji górnej przekroju poprzecznego nawierzchni mostu.

W mostach belkowych wieloprzęsłowych połączenie dwóch przęseł jednego filara może być wykonane zapo-mocą belek podłużnych, przynitowanych do belek poprzecznych nad podporą jednego przęsła i wolno wspartych z możnością przesunięć na belce skrajnej poprzecznej drugiego przęsła (fig. 436).

Obliczenie podłoża nawierzchni. Jeżeli przez 8 oznaczymy grubość podsypki i betonu na jakimkolwiek podłożu, nie włączając do wielkości o grubości podkładu, wysokości kostki drewnianej lub kamiennej, to ciśnienie R, działające na płaszczyznę bx . b₂ rozpościera się przez podsypkę i beton na

■w'

Fig. 434.

•- 4    |||

4°

lit

Fig. 435.

- >1

\L

«Я»

ШШШЖ

/Y/А

Żelazo nieckowe. Jeżeli przyjmiemy wielkości oznaczone na fig. 437 b i przez z oznaczymy szerokość, na którą rozkłada się siła R i przez 8 grubość żelaza nieckowego, przez к dopuszczalne naprężenie, to dla określenia grubości 8 można korzystać ze wzoru Häselera:

32fcy l+|r ' $2

⁹ ~ ²⁴,y+¹⁸ b ~³ ¥+(7,s ~⁵ h +1,5 h)

Obliczenie podłoża nawierzchni. — Chodniki i poręczę.

Gdy z — b, obciążenie równomiernie rozłożone :

l+J?

/5.

Odległość między nilami:

?! — 16 тс —

htfd²

zwykle ?i = • • 5 d.

b(i5 + 3^

— 10

Dla żelaza cylindrycznego można korzystać z tychże wzorów

ö'.i.

zakładając, że •

Chodniki i poręcze. Chodniki w mostach kolejowych są niezbędne tylko dla przejścia przez most obsługi kolejowej, o ile most nie ma służyć jednocześnie i dla pieszych. W pierwszym wy- р* padku, jak to już było mówione o pokryciu mostów kolejowych, chodniki daje się z boków toru i miedzy szynami. W mostach z jazdą dołem, jeżeli odległość między dźwigarami jest nie- , ^_

wielka, czasem daje się о жзг specjalne chodniki na wy- ohv| stających na zewnątrz wspor- I1r--⁰J nikach (fig. 438). Jeżeli jednak most ma służyć dla mchu kolejowego i jednocześnie dla pieszych, wtedy chodniki winny być zupełnie oddzielone od jezdni tak, aby przechodzący przez most nie “ mógł się dostać na jezdnie mostu. Chodniki Hł w tym wypadku robi się na zewnątrz na wspor- j nikach; winny one być oddzielone od jezdni poręczami, przytem dość gęstemi.

Poręcze na mostach kolejowych, /“:r-nieprzeznaczonych dla pieszych, mogłyby N-a— nie być ustawiane, jednak na mostach większych rozpiętości i na mostach wysokich lepiej je dawać. Poręcze składają się z trzech jr części : ze słupków, pochwytu i ścianki czyli 1 zapełnienia między słupkami, pochwytem чЖч. i chodnikiem. Słupki stawia się w odległości |b około 2 m : mają one wysokość od poziomu cho-dnika 1,00—1,20 m- przytwierdza się słupki do końców mostownic (fig. 439 a), albo do końców wsporników (fig. 439 b), lub też do beleczki podłużnej krawężnikowej (fig. 439 c), o ile niema obawy, że beleczka może się skręcić pod naciskiem poziomym słupka. W mostach z jazdą dołem poręcze mogą być przytwierdzone do pasa dolnego. Jako słupki poręczy może tutaj służyć krata dźwigarów, do której przytwierdza się pochwyt poręczy. Słupki robi się z kątowników lub korytek, pochwyt "może być z kątownika lub z żelaza okrągłego. Pomiędzy pochwytem i chodnikiem daje się zwykle jeden pręt. Słupki i poręcze w mostach kolejowych nie-

i___

----1

Fi*. 438J

Fig. 439 a, b, c.

przeznaczonych dla pieszych, wystarczy obliczać na poziome ciśnienie 50 kg. Poręcze ciągną się zwykle i na całej długości przyczółków.

W mostach drogowych w miejscowościach o dużym ruchu winno się stosować chodniki najmniej 0,75 m szerokości. Chodnik powinien się wznosić nad jezdnią na 12—15 cm. Pokrycie chodników może być z desek, płyt betonowych, kamiennych, ceramikowych lub asfaltu. W mostach z jazdą

ШЖ

o 0*0 O I

Fig. 440.

górą umieszczę się chodniki zwykle na wspornikach, przy-tem albo całkowicie (fig. 440), albo też częściowo (fig. 441). Częściowo zwykle wtedy, gdy chodniki są znacznej szerokości (kilka metrów) i wsporniki wypadałyby zbyt długie, co mogłoby utrudnić ich konstrukcję, i niekorzystne pod względem estetycznym. W mostach z jazdą dołem przy dostatecznej szerokości jezdni również dogodniej urządzać chodniki na wspornikach, zmniejsza to bowiem rozpiętość belek poprzecznych, a zatem i ich wagę. Lecz jeżeli szerokość jezdni jest stosunkowo niewielka, rozpiętość zaś dźwigarów znaczna, to może się okazać, że umieszczenie chodników między dźwigarami jest dogodniejsze, a czasem nawet nieodzowne, ze względów sztywności mostu w płaszczyźnie poziomej. Dogodniejsze może być dlatego, że chociaż waga poprzecznie, oraz tężników wzrasta, zato waga samych dźwigarów może się znacznie zmniejszyć, wskutek zmniejszenia sił w pasach od działania wiatru. Zewnętrzne chodniki przy odpowiednich kształtach wsporników, oraz beleczek podłużnych okalających, łącznie z uwidocznionemu architektonicznie opracowanemi poręczami, stanowią upiększenie mostu. Przy stosowaniu wsporników do podtrzymania chodników należy pamiętać, że największe ciśnienie na dźwigar, przylegający do danego chodnika, otrzyma się, jeżeli obciążyć całą jezdnię i tylko jeden chodnik, zaś chodnik oddalony pozostawić nieobciążonym ciężarem ruchomym.

Chodniki od jezdni odgradzają się specjalnemi kamieniami krawężniko-wemi (fig. 440), lub beleczkami, jeżeli i chodniki i jezdnia pokryte są deskami,

OLjOirülHAÂ

i.

Fig. 442.

Fig. 441.

lub bpleczkami żelaznemi że żłobkami z korytek do odprowadzenia wody z mostu (fig. 442). Poręcze w mostach drogowych są koniecznością a jednocześnie winny być ich ozdobą.

na

Ponieważ w mostach drogowych ciśnienie może być dość znaczne, przeto przy obliczaniu poręczy przyjmuje się ciśnienie poziome od 80 do 100 kg metr bieżący. Takie ciśnienie zupełnie wystarcza, chociaż oczywiście tłum może wytworzyć i znacznie większe. W tych jednak wypadkach naprężenie

może dojść swobodnie do granicy sprężystości, a nawet i przekroczyć ją. Zresztą, gdy ciśnienie dojdzie do wielkości, że słupki zaczną się łamać, wtedy bliżej stojący koło poręczy będą zgnieceni. W poręczach obliczeniu podlegają słupki, ich przytwierdzenie do żeber pomostu lub do podpór i pochwyt, który przyjmuje się, jako belkę swobodnie wspartą na dwóch podporach i obciążoną równomiernie siłami poziomemi p = (80 — 100) kg/m b.

Słupki poręczy mogą być żelazne z żelaza płaskiego lub okrągłego lub z kształtówek: kątowników, teowników lub ceowników lub też specjalnych kształtów lane z żeliwa. W ostatnim wypadku zwykle o przekroju rurowym i ściankach grubości od 20 do 10 mm. Zwykle grubość ścianek u dołu jest większa i u góry słupka mniejsza (fig. 443 «, Z>).

Przytwierdzenie słupków poręczy jest rozmaite w zależności od ich przekroju i konstrukcji żelaznej, ograniczającej chodniki na zewnątrz (fig. 412, 439«, 439 Ъ, 439 c, 444).

iJ

li

fi 7

II

li

li

JJI

O II

r+t

Fig. 443.

Fig. 444.

Pochwyt powinien być form zaokrąglonych. Najprostszy przekrój po-chwytu jest kątownik (fig. 439), ceownik (fig. 445 a), lub rura okrągła walcowana (fig. 445 6). Więcej skomplikowane przekroje mamy na' fig. 445 c, d, c. Ostatni profil pochwytu, walcowany w Hucie Bankowej, stosowany był do mostów w Petersburgu, jest dość lekki (12,8 kg/m) i kształtny. Według fig. 445 d pochwyty są różnych wymiarów, pokazanych w tablicy 8.

Tablica 8.

Profil

pochwytu

Wymiary w mm

Nr.

II

Pole przekroju w

Waga 1 m b.

cm

*9

40

18

20

10

60

27

30

15

Por. fig. 445 d. 8

80

36

40

20

10 100 12 120

45

50

25

54

60

30

аГ ciT to т-" оз со

СО О 05 тН <м (М

ja

Ъз 'V о Ъэ 'оз

Przytwierdzenie pochwytu do słupków może być według fig. 446f na wkrętkę. Na fig. 445 g pochwyt przechodzi przez otwór w słupku i sam jest przytwierdzony do kraty poręczy, która ze słupkami połączona jest na całej swej wysokości i na dole z belką podłużną, okalającą chodniki.

Krata poręczy powinna być dość gęsta, by dziecko nie mogło głowy przesunąć przez kratę, i jednocześnie dość mocna, by nie można jej kolanami wyłamać lub wygiąć. Co się tyczy rysunku kraty, to takowy winien być ładny, odpowiadać całości budowli, a czasem i charakterowi przyległych budynków, i powinien być wykonany przez odpowiedniego architekta, jak również i nadanie formy zewnętrznej mostu miejskiego powinno być dokonane przez inżyniera łącznie z architektem.

We wszystkich miejscach, gdzie konstrukcja żalazna mostu jest przerwana, gdzie nawierzchnia przerywa swą ciągłość, poręcze również winny być przerwane i tak urządzone, by w tych miejscach mogły mieć przesunięcia wzdłuż mostu.

Połączenie belek podłużnych z poprzecznemi. Połączenie belek podłużnych do poprzecznych może być głuche, stałe, sztywne, lub też prze-

'Ä

—-Ä7---i

U*- łfO

w ¹

-—-h -

w&

U*

~X

___*o

■û

Kiff. 445 n, b, c, d, «, f. g.

stosuje się

gibne i przegibno przesuwne. Przegibne i przegibno przesuwne wtedy tylko, gdy cały pomost musi być przerwany, co ma miejsce nad podporami, nad przegubami dźwigarów, w mostach łukowych z jazdą dołem lub pośrodku, by belki podłużne nie pracowały jako ściąg łuku, wreszcie w mostach belkowych dnżych rozpiętości (80 i więcej m), by belki podłużne, zmuszone się rozciągać wskutek wydłużeń pasów od obciążenia ruchomego, nie wyginały zbytnio w planie belek poprzecznych. W innych wypadkach belki podłużne łączymy z belkami poprzecznemi sztywno, tj. na nity.

W zależności od położenia belki podłużnej względem belki poprzecznej możemy mieć następujące sposoby połączenia :

1.    Belka podłużna leży na belce poprzecznej (fig. 446). W miejscu zetknięcia belek łączymy je na nity, i tak podłużnicę, jak i poprzecznice usztywniamy kątownikami pionowemi.

2.    Podłużnica wznosi się nieco nad belką poprzeczną (fig. 447). Stosuje się, gdy belki poprzeczne są wnitowane między pasami dźwigarów i tęźniki podłużne trzeba przepuszczać przez podłużnicę. Podłużnica powinna się wznosić nad pasem poprzecznicy conajmniej na podwójną wysokość boku kątownika pasowego podłuźnicy, by można było dodać kątownik a (fig. 378).

Styki kątowników belek podłużnych mogą być albo nad poprzecznicą, albo lepiej, na odległości połowy długościŁnakładki kątowników pasowych.

3. Pasy górne podłużnie i poprzecznie leżą w jednym poziomie (fig. 448 a). Przymocowanie podłużnie do poprzecznie wykonywuje się zapomocą kątowników pionowych, które jednocześnie usztywniają środnik poprzecznicy. Kątowniki te albo się nagina na kątowniki pasowe poprzecznicy, albo stawia się na podkładki wyrównawcze. Kątowniki pasa dolnego podłuźnicy nagina się na boki kątowników pionowych dla usztywnienia. By nity górne poziome poprzecznicy nie pracowały na rozrywanie, pasy podłużnie winny być połączone nakładkami przynajmniej na 3 szeregi nitów.

1    p~~~T~°.;lo|oJo_p_o| ", O

I    O o O offlo O O o

m    I    n

!    o o o olo o o o

о о    -çU J5~ô"~ô o ' oj

n jo

przekrój m-n

nr

Fig. 447.

Fig. 446.

p I ° podfhżmci

Fig. 448, a, b, c.

że w

Wielkość boków kątowników pionowych, które łączą jedne belki z dru-giemi, zależy od rozpiętości belek i od obciążeń. W mostach kolejowych, gdzie obciążenia są znaczne, kątowniki te winny być silniejsze, niż w mostach drogowych. Przy długości belek podłużnych od 4 do 6 m kątowniki winny być nie mniejsze niż 90 X ⁹⁰ X Przy większej długości kątowniki winny być 130 X85X¹⁰ lab nawet 150Х1°°ХЮ> przytem szerszy bok obejmuje środnik podłuźnicy dwoma szeregami nitów. Najmniejsze kątowniki dla małych długości podłużnie około 2 m mogą być 80 X &0Х 9. W mostach drogowych do przytwierdzania beleczek małych drugorzędnych można stosować kątowniki i 65 X 65 X 8. Należy jednak pamiętać, kątownikach pionowych często nity wypada stawiać w jednym i drugim boku w jednym przekroju i wtedy stosunkowo dobrze daje się postawić takie nity w kątownikach conajmniej 80 X S0.

Jeżeli belki jedne podchodzą do drugich nie pod prostym kątem (w mostach ukośnych), wtedy kątowniki te jedne są zwarte (fig. 448 6, a) i drugie rozwarte (fig. 448, Ъ ß). Szerokość boków wtedy zależy od wielkości kąta ostrego grubości nitowanej części. Bok winien być taki, aby można było włożyć nit w dziurę od strony zwartej, co w każdym poszczególnym wypadku winno być zbadane. Boki kątowników w różnych miejscach mogą być wtedy różne.

i od

Jeżeli podłuźnica i poprzecznice są jednej wysokości, wtedy oba pasy belek podłużnych łączy się nakładkami (fig. 448 c). W belkach niskich, gdy wysokość belki jest za mała do rozmieszczenia nitów w środniku podłu-żnicy, można zastosować nity wielocięte (fig. 449 a), lub też połączenie wykonać zapomocą blach węzłowych (fig. 449 6), lub dodatkowych wsporników (fig. 450 a). Ponieważ w płaszczyźnie zamocowania podłużnicy do poprzecznicy panują momenty gnące ujemne, które odrywają główki nitów w kątownikach pionowych, przeto można zrobić szczelinę poziomą w środniku poprzecznicy

Ifojo o o o

o]

jo

To

O o ,o .oj

ol

|o. o. o o

Ol

1°

oj

Jo

Jo

o o Jo

Fig. 460 a, b, c.

Fig. 449 a, b.

ua poziomie pasa górnego ipodłużnicy i pasy podłużne połączyć nakładką z odpowiedniem stężeniem kątownikiem poziomym i pionowym (fig. 450 b).

Jeżeli podłużnice są belki walcowane, wtedy połączenie można wykonać według fig. 450 c ; jeden z kątowników z każdej strony poprzecznicy należy dawać na całej wysokości poprzecznicy, aby stężyć tę ostatnią i zapobiec wyginaniu się środnika przy uginaniu się podłużnie, boki poziome podłu-żnicy z jednej strony muszą być wtedy ścięte.

Wyżej wskazane sposoby połączeń podłużnie z poprzecznicami oczywiście mogą być stosowane i do połączeń wogóle jednych belek do drugich.

Po łączenie przegibne i przesuwne. Połączenie przegibne i przesuwne powinno dawać możność niewielkiego obrotu belki i przesunięcia wzdłuż osi, natomiast beleczka nie powinna mieć możności ani się podnosić, ani też się przesuwać w kierunku poprzecznym.

Jeżeli siła poprzeczna na podporze jest niewielka, połączenie można uskutecznić według fig. 451.

Z rysunków tych widać, że wyżej wskazane warunki są tutaj w zupełności spełnione.

Przy większych siłach poprzecznych połączenie może być według fig. 452.

Podłużnice wspierają się na słupkach wahadłowych lub też wiszą na strunach (fig. 453).

I—

a~â

шшш

иг"*

il

222Шп1 ;:Ы Œ

P Ï?

Ьк

b —-р

6-д

Fig. 452.

«В?

о о о[

o¥4c"R^

° р }°

° 9\р

1° О О 10

° .° ri ;⁰

О    О / О ; !

О 'о /оЖ

⁰ =£

öj

/о

Го

Fig. 454.

Г5“

C oT

Fig.451

öpp:

°F¥

on о

о о с

ГЛо

|о

О ;о'ост

О    i V-

- *о ; о о ° |о]о о

о;

■ : о: /о

/о

Fig. 455.

c-a

к°

[°

[с

: : i.

‘tmr

ar

Fig. 453.

Шж

-у-

Fig. 456.

Przy znacznych siłach połączenie może być według fig. 454 ; tutaj kąto-wniki a nie pozwalają się belce podnosić, zaś kątowniki m, odpowiednio przycięte, nie pozwalają górnej części belki przesuwać się w kierunku poprzecznym. Na dole obrzeża poduszki unieruchomiają belkę w kierunku poprzecznym. Ponieważ pod działaniem momentu ujemnego we wspornikach mogłoby nastąpić odrywanie główek nitów poziomych, przeto wsporniki przymocowane do poprzecznie i podtrzymujące końce podłużnie mają górne końce przynitowane do blach poziomych (fig. 455), które są przynitowane do pasa poprzecznicy i tym sposobem otrzymuje się nity, pracujące na

ścinanie. Zamiast wycięcia w końcach podłużnie, jak według fig. 456, można końce podłużnie zniżyć z odpowie-dniem wzmocnieniem środnika (fig. 457). Przy wspornikach niewysokich, zajmujących tylko cześć wysokości belki

l. 9.

C jO-*ó o o o

o o|oF3 о ,Я;оСЮ

ОПТ) O O O O o o O O o o

|oj O I

,2.

IÔQ

o

?-г>

o    o : o

; O¹;

°    °    : c! °

o    o i г o

°    p;0 o-p-

o: o o:o

о о i о]

/а/

- а/ /о/

o o ; °i o

o o : °l; ° :°i: o

°';o-

o

is. ОЧ

affray

i и*

19Й

Я№

Fig. 468.

Fig. 457.

poprzecznej, połączenie górnego pasa wspornika może być zapomocą kładek, przenikających przez środnik poprzecznicy i dających możność zastosować nity ścinane przy momencie ujemnym (fig. 458).

Poprzecznice główne. Połączenie poprzecznie drugorzędnych do podłużnie niczem się nie różni od połączeń podłużnie z poprzecznicami, przeto

tutaj wskażemy tylko sposób połączenia poprzecznie głównych z dźwigarami. Mamy tutaj dwa zasadnicze wypadki : 1. jazda jest górą i 2. jazda jest dołem. Przy urządzeniu jazdy pomiędzy pasem górnym i dolnym połączenie zasadniczo mało się różni od jednego z zasadniczych.

1. Jazda górą. Poprzecznica może być postawiona na pasy górne dźwigarów i do nich przynitowana. Pożądane jest, aby ciśnienie od poprzecznie oddawało się na pasy osiowo. W tym celu poprzecznica stawia się na podkładce, która leży na środku pasa (fig. 459). Poprzecznica wtedy przynitowywa się do pasa czterema nitami lub śrubami. Jeżeli końce poprzecznie wystają poza dźwigary, jako wsporniki, i są połączone belkam podłużnemi, wtedy stałość belek jest zupełnie zabezpieczona. W przeciwnym razie końce belek trzeba łączyć z pasami zapomocą wsporników (fig. 446). Można belkę poprzeczną połączyć z pasem na całej jego szerokości, otrzymamy nacisk od poprzecznicy na pas nie osiowy, lecz możemy

na

il

Vf

Fig. 459.

"o o „ ; o -o o

wtedy przynitowac poprzecznicę do pasa znacznie większą ilością nitów i wtedy poprzecznica może służyć jako rozpórka tęźników podłużnych.

Połączenie sztywne poprzecznie z dźwigarami wywołuje pewne skręcanie pasów dźwigarów, a zatem i kraty dźwigarów. Przez przegibne połączenie poprzecznie z dźwigarami unikamy tego skręcania, przeto czasem konstruktorzy chętniej stosują przegibne połączenie niż sztywne, choć jest ono naogół droższe. W Kosji stosowane ono było dość często, szczególniej przez prof. N. Bielelubskiego, który pierwszy zaczął wogóle stosować to połączenie (fig. 460 a, b). Zwrócić uwagę tutaj należy, że zastosowanie według fig. 460 a, b może mieć miejsce tylko wtedy, jeżeli obciążenie stale jest dostateczne i, że przeto przy obciążeniu jednego przedziału ciężarem ruchomym, nie może się podnieść belka poprzeczna sąsiedniego przedziału nieobciąźanego. W przeciwnym razie otrzymuje się znaczne uderzenia od

-ł-

ni

Jl

Fig. 460 a, b, c, d.

belek poprzecznych przy przejściu pociągu. Dając wolne podparcie według fig. 460 c, d, nie dajemy możności podnoszenia się belkom poprzecznym nawet w wypadkach, gdy reakcja podpór od obciążenia stałego jest mniejsza, niż reakcja ujemna, którą dają belki podłużne, jako ciągłe, od obciążenia ruchomego.

na

Belki poprzeczne wnitowane są między pasami górnemi. Pas górny belki poprzecznej daje się zwykle niżej o grubość blachy (9—15 mm) od dolnej krawędzi boków poziomych kątowników pasowych, jeżeli blachy poziome pasów są takiej szerokości, że pokrywają tylko boki kątowników, lub też na tę samą grubość od spodu blach poziomych pasów, jeżeli blachy poziome wystają poza szerokość kątowników pasowych conajmniej 90 mm, co daje możność postawienia szeregu nitów poza kątownikami pasów, i środnik poprzecznicy ujmuje się między boki kątowników pionowych i bierze na nity, pas zaś górny przynitowywuje się do blachy fasonowej poziomej, która jest przynitowana do pasa. Tym sposobem środnik belki, blacha pionowa pasa i blacha pozioma tworzą kąty trójgrauiaste,

dają sztywność w płaszczyznach pionowych i poziomych. Połączenia te są pokazane na %. 461. Blacha węzłowa może służyć do przytwierdzenia tężników poziomych. Jeżeli w węzłach przytwierdzenia poprzecznie są słupki zewnętrzne, to kątowniki tych słupków służą jednocześnie do przynitowania belki poprzecznej. Wielkość boków tych kątowników zależy od rozpiętości belki poprzecznej i od jej obciążenia. W mostach kolejowych, gdzie belki poprzeczne wypadają o znacznym przekroju, zwłaszcza przy nowych dużych obciążeniach, kątowniki te powinny być nie mniejsze, niż 100ХЮ0ХЮ, a nawet jest pożądane, aby można było stawiać dwa szeregi nitów dobrze rozstawionych, na co pozwalają boki o szerokości 140 —160 mm.

'°1

jo, J

Fig. 401.

W mostach kolejowych dwutorowych winno się nitować poprzecznice do dźwigarów zapo-mocą kątowników conajmniej 140Х1ЮХ12-Tylko w mostach drogowych przy kilku dźwigarach na szerokości mostu, przy niewielkiej odległości między dźwigarami, można stosować kątowniki małe od 80 X 80 X 8. Boki kątowników, przylegające do pasa co do swej szerokości winny odpowiadać bokom kątowników słupków wewnętrznych, przylegającym do blachy pionowej pasa. Przepony między blachami pionowemi pasów w miejscach przynitowywania poprzecznie winny byc conajmniej tej samej wysokości, co poprzecznica, przytem, jeżeli na-

li:

°-ok

:r:

pŁ

O-U O

f-²-⁵- -lyt-p-y

-------j'

Jiuriv.    i—-L

pw-t-trr-l

Fig. 402.

zewnątrz dźwigara jest wspornik do podtrzymania chodnika, dolną krawędź przepony należy usztywnić kątownikami.

2. Jazda pośrodka. Poprzecznice stawia się między pasami dolnemi i górnemi. Przymocowanie daje się do słupków. Blacha pionowa poprzecz-uicy obrywa się, nie dochodząc do słupka, i przechodzi w blachę fasonowa (fig. 462). Zwrócić należy uwagę, że słupki w tym wypadku pracują nie tylko na siły osiowe, lecz są jeszcze zginane od ugięcia się blachownicy. Blacha fasonowa winna być na krawędzi swej szczególniej u dołu usztywniona kątownikami, aby się nie fałdowała przy nacisku od poprzecznicy. Jeżeli most jest otwarty (bez tężników podłużnych) usztywniona blacha fasonowa usztywnia silnie ąłupek w kierunku poprzecznym mostu i trzyma

Fig. 463.

przeto pas gór о y ściskany w płaszczyźnie pionowej, nie dając mu się wyboczyc Z tych względów usztywnienie słupków winno być należyte. Kątowniki pasów poprzecznicy powinny być nagięte na boki kątowników pionowych, trzymających, w celu usztywnienia w kierunku poziomym.

3. Jazda dołem. Poprzecznice wnitowane między pasami dolnemi. Przymocowanie będzie tutaj zupełnie takie same, jak przy poprzecznicach umieszczonych między pasami górnemi, tylko cała konstrukcja jest obrócona o 180°. O ile wysokość belki jest niewielka i ilość nitów niezbędna do przy-

ШЩ

To

?o° o° o

:::e

■2-Л

OO O O O

f°o⁰o⁰o<

Fig. 464.

Fig. 465.

nitowania belki nie mieściłaby się w środniku, należy wtedy środnik poprzecznicy zakończyć w pewnej odległości od pasa i zamienić blachą

Ponieważ na podporze belki przynitowanej do słupków dźwigarów zawsze powstaje moment ujemny, który odrywa pas górny poprzecznicy od słupka, należy nitowanie takie zastosować, by nity górne pracowały na ścinanie, a nie na rozerwanie. Blacha faso-powinna przeto łapać obie gałęzie słupka (fig. 463), lub też można zastosować specjalną wstawkę u góry poprzecznicy, połączoną z pasem górnym zapomocą kątowników poziomych wzdłuż pasa poprzecznicy (fig.

464). Dawanie wsporników wysokich, jeżeli mają na celu usztywnienia słupków, nie uważamy za , pożyteczne. Im wspornik belki (fig. 463) jest wyższy, ,, tem ugięcie słupków jest większe. Kątowniki pionowe, które łączą poprzecznice z dźwigarem, lepiej dawać całe, É nie przerywane, jak pokazano na fig. 465, gdyż w miejscu przerwania i przecięcia środnika wytwarza się słabe eb ejsce. Można uniknąć krojenia kątowników albo pr zastosowanie podkładek wyrównawczych (fig. 463), albo też przez odpowiednie nagięcie kątowników z podkładkami klinowemi, (fig. 466). Przy połączeniach sztywnych poprzecznie nieuniknione jest odkształcenie dźwigarów z ich płaszczyzny, co naturalnie pociaga sobą naprężenia drugorzędne. Uniknąć można tych odkształceń przez stosowanie połączeń poprzecznie z dźwigarami przegibnych.

Połączenie przegibne poprzecznie z dźwigarami. Połączenie. z pasem dolnym będzie tutaj takie samo, jak i przy połączeniach z pasami górnemi, tylko że tutaj między ściankami pasów trzeba wytwo-

nowa

one nie

Ife

mi

zez

*’ig. 466.

za

za-

rzyć specjalne podparcie w kształcie stolika, wytworzonego z przepon fig. 460 а, b). Poprzecznica zwykle ma końce ścięte tak, że na podporze wysokość jej winna być tylko dostateczna ze względu na ścinanie, momenty zaś spadają do zera. Słupki natomiast muszą być o przekroju rurowym i takiej odległości między ściankami wewnętrznemi w płaszczyźnie dźwigara, aby swobodnie przechodziły pasy belki poprzecznej. Zatem szerokość ta powinna się równać szerokości pasa poprzecznicy więcej 25—30 mm. Belki poprzeczne tak połączone oczywiście nie mogą służyć, jako rozporki tężników podłużnych, położonych w poziomie pasa dolnego, i takowe daje się zwykle oddzielne przekroju rurowego (fig. 460 b). Rozporki te obejmują belki poprzeczne. Aby można było rozpórki te połączyć u góry, w poprzecznicach trzeba dać otwory, przez które przechodzą płaskowniki. Jeżeli jednak dół poprzecznicy wznosi się ponad górą rozpórki, wtedy usztywnienie rozpórki może być normalne. Mając swe zalety, gdyż wywiera ciśnienie pionowe poprzecznie na dźwigary osiowe bez wszelkich momentów dodatkowych (momentu od tarcia nie bierze się pod uwagę), połączenie to ma jednak swe niedogodne strony. Mianowicie, wymaga często znacznego wzniesienia belek nad pasami, aby nie trzeba było zbytnio wycinać blach węzłowych pasów, do których są przynitowy-wane krzyżulce i słupki dźwigarów głównych.

Eil

zn

! I

is:'*

tpS'Pfä

Fig. 468.

Fig. 467.

W mostach z jazdą dołem, w których część przejazdowa jest zawieszona do dźwigarów głównych, co ma najczęściej miejsce w układach łukowych ze ściągiem lub bez ściągu, wolne podparcie poprzecznie może być wykonane również według fig. 397, tylko wieszak tutaj musi być zakończony strzemieniem, który tworzą wygięte kątowniki wieszaków i przez to strzemię przechodzi poprzecznica. Ponieważ zwykle do wieszaków jest zawieszony pas trzeci (ściąg lub pas tężników dolnych podłużnych), przeto ustrój przegubów niczem nie różni się od rozpatrzonych wyżej. Na fig. 467 schematycznie pokazane jest inne zawieszenie przegibne, zastosowane w moście w Wormacji.

pewną wysokość nad podporami, podchodząc do łuku, zmniejsza swą wysokość w zetknięciu się z łukiem i osiąga zero nad kluczem (fig. 469 a, b). Właściwie mówiąc, nie tyle w tym wypadku jest różnica w połączeniu poprzecznicy, ile w samych przekrojach poprzecznie, które mogą być i różnych przekrojów i różnych wysokości w poszczególnych węzłach. Nadto sam łuk, podchodząc ku kluczowi, może również zmieniać swą formę według fig. 470 a.

Uważamy, że połączenie podłużnicy z łukiem według fig. 469 b i 470 b jest lepsze, niż według fig. 470 a, gdyż oś łuku zachowuje swą ciągłość, gdy tymczasem według fig. 470 a oś się załamuje. W lukach według fig. 469 b należy

Połączenie poprzecznicy z wieszakami może być według fig. 468. Tutaj poprzecznica z wieszakami tworzy jakby podkowę, końce której są przy-nitowane do blach fasonowych pasa dolnego dźwigara głównego. Pewną różnicę w przymocowaniu belek poprzecznych wytwarzają dźwigary łukowTe sztywne z jazdą górą w tym wypadku, gdy wysokość ustrojowa mostu w kluczu musi być sprowadzona do minimum. Wtedy zwykle podłużnica, która ma

podłużnice zakończać w tem miejscu, gdzie ich wysokość dochodzi do 90 lub 100 mm, naturalnie, przyjmując pod uwagę ewentualny spadek podłużny nawierzchni mostu drogowego. W miejscu zakończenia podłużnicy (węzeł 8) daje się poprzecznicę o przekroju pokazanym na fig. 469 5, którego jeden kątownik górny leży w poziomie pasa podłużnicy, drugi zaś w poziomie pasa łuku i jest zwykle nieco rozwarty. Jeżeli podłoże nawierzchni składa się z nad-sypki, betonu na żelazie nieckowem, to, by nie zwiększać zbytnio warstwy

ffi

53ШЭ

Fig. 469 a, b.

Щ".|

урв^б'б'оУУйТГа.!

te§4

Fig. 470 a, b.

nad łukiem na

betonu pomiędzy belkami 8 i 9 (fig. 469 Ъ), można w tym przedziale dać niecki wpukłością do góry, gdy inne sa wklęsłe. Jeżeli podłużnica przechodzi pewnej wysokości około 160—200 mm, wtedy połączenie jest zwykle podłużnicy z łukiem i poprzecznie z podłużnica i łukiem, według fig. 470 b.

LITERATURA.

Thullie M. : Teorja mostów.

Th ul lie M. : Mosty blaszane.

Thullie M. : Mosty kratowe.

Résal Jean: Cours de ponts métalliques. Godard T.: Ponts et combles métalliques. Bonhomme: Constructions métalliques. Hod and Kinne: Movable and Long Span Steel Bridges.

Waddell I. A. L: Economies of Brid-gework.

Schaper G.: Eiserne Brücken.

Häseler E. : Die eisernen Brücken. Bleich Fr.: Theorie und Berechnung der eisernen Brücken.

Bernhard K. : Eiserne Brücken. Mehrtens G. Ch. : Eisenbrückenbau. Melan Joseph: Der Brückenbau. Mayer Rudolf: Die Knickfestigkeit. Paton E.: Żeleznyje mosty.

Mosty ruchome.

Napisał

inż. dr. Stefan Bryła,

profesor politechniki, Lwów.

Mosty ruchome buduje się: 1. gdy różnica poziomów drogi wodnej i lądowej, krzyżujących się ze sobą, jest tak mała, że stałego mostu zbudować nie można, 2. gdy przeprowadzenie drogi górą wysokim mostem stałym staje się zbyt kosztowne z powodu długich ramp dojazdowych, lub z powodu bardzo małego ruchu kołowego, wreszcie 3. gdy chodzi o możliwość szybkiego usunięcia mostu.

Mosty ruchome dzielą się na:

I. Mosty o fundamentach stałych (mosty ruchome właściwe): 1. mosty obrotowe, których część ruchoma obraca się około osi pionowej ; 2. mosty zwodzone, obracalne około osi poziomej ; 3. mosty podnoszone pionowo do góry; 4. mosty przetaczane (przesuwowe), które przetacza się poziomo wzdłuż lub ukośnie do osi mostu; 5. mosty

ЩА

\A

wSf

JC

z.

z.

Гч

ï rafft

-rt

\A?

Fig. 471.

przewozowe (promowe), których część ruchoma (wózek) porusza się na kołach na stałym wysoko umieszczonym pomoście.

II.    Mosty pływające (por. str. 800).

III.    Mosty składane (por. str. 804).

Poniżej podamy tylko najczęściej spotykane systemy w najogólniejszym zarysie.

Mosty o fundamentach stałych składają się z fundamentów, konstrukcji ruchomej i urządzeń maszynowych; te ostatnie powinny być o możliwie prostej konstrukcji, małych oporach tarcia, kosztach ruchu i utrzymania, oraz umożliwić łatwe operowanie mostem podczas ruchu.

1. Mosty obrotowe są wogóle, zwłaszcza dla większych rozpiętości, najkorzystniejsze i najtańsze w założeniu i w utrzymaniu. Najczęstszym typem są mosty równoramienne (por. fig. 471); gdy chodzi o większą szerokość przepływu, używa się mostów nierównoramiennych, które są jednakowoż droższe i wymagają na krótszem ramieniu przeciwwagi. Dla większych rozpiętości użyć można albo mostu nierównoramiennego, albo podwójnego, który ma dla tej samej otworzystości lżejsze belki, zato bardziej skomplikowane urządzenia ruchowe, a nadaje się zwłaszcza dla mostów drogowych.

Aby zapobiec wjechaniu statków na otwarte skrzydło mostu, buduje się od filara w kierunku drogi wodnej rusztowanie ochronne z pali drewnianych, którego wymiary w rzucie poziomym muszą być nieco większe od poziomych wymiarów zupełnie otwartego przęsła.

Mosty obrotowe mogą być w stanie otwartym podparte osiowo na czopie (mosty czopowe) lub obwodowo na szeregu kół, poruszających się na kołowym torze (mosty obrotowe wałkowe).

Przeważnie używane dziś mosty czopowe wymagają wogóle mniejszej siły do uruchomienia i posiadają mniej skomplikowany mechanizm, a tem

\A

Л-

c.

Fig. 472.

samem są tańsze w budowie i utrzymaniu, oraz pewniejsze w działaniu. Most otwarty spoczywa w całości na czopie; dla ustalenia poprzecznego używa się najczęściej dwu pionowych kół, poruszających się po kołowym torze obwodowym, rzadko kół poziomych, poruszających się bezpośrednio na obwodzie czopa. W stanie zamkniętym most spoczywa albo na czopie (wtedy musi być tenże z wyborowego materjału), albo na osobnych łożyskach.

Przy ustroju starszym most zamknięty spoczywa na 3 parach łożysk А, В, C (fig. 471). W celu otwarcia obniża się łożysko A i pochyla most, przez ca kolejno przestają działać te łożyska (A, B, G) a ciężar przenosi się na łożysko centralne (w największej części) i na koła kierownicze К (w małej części), poczem następuje obrót (otwieranie przez pochylenie; fig. 472). W konstrukcjach nowszych łożysko środkowe, sporządzone z materjałów wysoko-wartościowych, przejmuje zawsze (nawet w stanie zamkniętym) znaczną część obciążenia, łożyska bowiem В położone są tak, że przy moście nie-obciążonym nie działają, i dopiero pod wpływem ugięcia poprzecznego konstrukcji na filarze środkowym wskutek obciążenia ruchomego osiadają na nich belki główne, przenosząc na nie odpowiednią część ciężaru (fig. 471 ). Podczas obrotu ciężar spoczywa na łożysku centralnem i w małej części na kołach K.

Celem umożliwienia obrotu musimy obniżyć łożysko A o wielkość:

*«

S = Sa+ S + (Sb + S)

przyczem 5 = wielkość obniżenia łożyska, §a (wzgl. 8ft) = sprężyste ugięcie

końca belki A (wzgl. C), li( (wzgl. lb) — odległość pozioma osi łożyska A (wzgl. C) od osi łożyska B, s — odległość pionowa obwodu koła kiero-wniczego®od toru kierowniczego przy moście zamkniętym.

Gdy most w stanie zamkniętym opiera się na kołach kierowniczych, to s = 0.

Wyjątkowo używa się konstrukcyj, w których zamiast obniżania łożysk skrajnych podwyższa się łożysko centralne (zwykle przy użyciu siły hydraulicznej .

Do podnoszenia końców mostu używane są najczęściej kliny o pochyleniu 1 : 5 do 1 : 6, dźwignie lub windy śrubowe. Przy mostach czopowych,

V-y

jgggsJSl

ITV-

'Шл.

' Ш- lS. ¹

v'-v- 4-

Ш Ф

Sri

Fig. 473.

otwieranych przez pochylenie, znajdują się one na jednym końcu, przy systemach innych na obu końcach.

Łożysko środkowe mostu obrotu czopowego (fig. 473) składa się ze stałego, zwykle żeliwnego, kadłuba, utwierdzonego na filarze przy pomocy śrub, na którym w panewce ze stali lanej spoczywa czop, obecnie najczęściej z bronzu fosforowego. Na czopie opiera się wahacz, odlany ze stali lub żeliwny, a na tymże konstrukcja mostowa. Wysokość czopa regulowana przy pomocy klinów stalowych (por. fig. 474). Wyjątkowo używano zamiast czopa łożysk kulowych. Konstrukcja mostowa spoczywa na czopie bezpośrednio lub jest na nim zawieszona przy pomocy silnych blachownicowych poprzecznie (co umożliwia łatwiejsze dostosowanie się do wysokości, oraz podparcie mostu w pobliżu jego środka ciężkości).

Mosty obrotowe wałkowe wymagają znacznie dokładniejszej roboty, kosztownego bębna i wałków, są nadto trudne w naprawie i obciążają niejednostajnie filar, są więc gorsze i kosztowniejsze. Używane dla bardzo znacznych rozpiętości, oraz bardzo szerokich mostów. Wałki żeliwne o kształcie odpowiednio stożkowym o średnicy 30—50 cm, a szerokości 15 —25 cm, w ilości możliwie wielkiej, conajmniej 8, poruszają się na okrągłym torze żeliwnym,

ш.

Г-T

ш,

'ШЯЯшш*......фШ

г шш

У///

u--

■*.n

Ей

Ax

ь.

llli

jJmffittßMtki

Шшр'

Fig. 474.

||П

УЦ// :!|!1

|i|_^

ржшл

йгРШ

Рй

\\

Pjfryr:^. -

bJ

■-J.

!\\

,1

Я!

lir.

frtPri

^ÆW/.

gpSl-i_______

***"*&—z

_4фЬ-г--

Д-

!;j!|

!\

кг⁻

\j

Wb

WM

ШШл

<4

Fig.476.

sztywnym, aby należycie przenieść ciśnienie na filar, a utwierdzonym w murze przy pomocy śrub ll/₂—2ff. Położenie ich ustalone jest przy pomocy dwu pierścieni żelaznych, przez które przechodzą osi wałków. Pierścień wewnętrzny ustalają sztywne pręty żelazne, połączone ze stalowym odlewem osi bębna. Most spoczywa na wałkach za pośrednictwem tegoż bębna żelaznego, który musi być bardzo tęgi, aby zapewnić możliwie jednostajny rozkład ciężaru na wałki, oraz płyty żeliwnej, przytwierdzonej śrubami do pasu dolnego bębna. Na fig. 475 belki mostowe spoczywają w punktach a na czterech poprzecznicach, opartych na bębnie i za ich pośrednictwem na wałkach w.

dostatecznie

Obciążenie dopuszczalne wałków (wedle danych amerykańskich) 28 bd w kg, wałków ze stali lanej 56 b d, gdzie Ъ jest szerokością, d średnicą wałków w cm.

Niekiedy w systemie wałkowym dla uzyskania większej stałości dopuszcza się częściowe obciążenie łożyska środkowego, jednak nie więcej niż do ¹/s całkowitego ciężaru mostu.

Bęben obliczamy na moment zginający Mz, moment skręcający M$ i siłę poprzeczną T. Wynoszą one:

Ilość punktów podparcia

Mz

Ms

12

0,0036 GR

0,0009 GR

0,008 GR

0,0029 GR

0,015 GR

0,0065 GR

0,34 GR

0,017 GR

—    T 24

•— T

16

—    T 12

-i- T

przyczem G — ciężar własny mostu, R =•= promień bębna.

Naprężenia obliczamy dla:

W — moment wytrzymałości przekroju bębna;

inne oznaczenia według fig. 476.

Mz

d) momentu zgięcia z wzoru ог =

3 M,

2 (h — t)tb

b)    momentu skręcającego z wzoruj

3 T

c)    siły poprzecznej z wzoru zt = ^ ^-.

Praktycznie wykonywujemy podparcie bębna w 8 lub 12 punktach, opierając belki główne I na dźwigarach odcinkowych II, które przenoszą obciążenie belek głównych na bęben b jako oddziaływania w punktach a (fig. 477). W ten sposób uzyskujemy większą ilość punktów podparcia. Belki mostu obrotowego obliczyć należy dla następujących założeń :

1.    most zamknięty, obciążenie ruchome najniekorzystniejsze dla obra-chowywanej części; tworzy on wtedy belkę ciągłą trójprzęsłową;

2.    most otwarty nieobciążony, działający statycznie jako wspornik dwu-ramienny.

Mosty nierównoramienne posiadają na krótszym końcu przeciwwagę, której wielkość należy dokładnie obliczyć, biorąc pod uwagę rzeczywisty ciężar żelaza, wilgotność drzewa, śnieg, wiatr. Przeciwwagę wykonać można z betonu, żelaza, ołowiu itd.

Urządzenia maszynowe mają na celu podnoszenie końców mostu, oraz obrót tegoż. W tym celu używa się motorów elektrycznych (wogóle

Dla najogólniejszej orjentacji most ruchomy (dowolnego systemu) wy-

P

maga średnio wedle danych amerykańskich: —HP, gdzie P jest ciężarem

części ruchomej w tonnach (cyfra ta jest wzięta zbyt wysoko).

Dla siły ludzkiej przyjąć można 15 (do 20 kg) z szybkością 50 (do 60) от/minutę, tj. A = 15 X 50 = 750 kgjm na minutę.

A/M

Fig. 478.

2. Mosty zwodzone wykonywa się, gdy niema miejsca na most obrotowy, gdy istnieje parę torów obok siebie lub mogą być dobudowane nowe, gdy ruch wodny jest bardzo silny (gdy most trzeba otwierać częściej niż 25 razy dziennie). Mogą być pojedyncze lub podwójne. Mosty podwójne można wykonać jako trójprzegubowe (most Pałacowy w Leningradzie (Piotrogrodzie), proj. prof. Pszenickiego¹) fig. 478. Małe mosty można wykonać z drzewa (?j do 7 от dla pojedynczych, l₂ do 14 от dla podwójnych) ; żelazne dochodzą jako blachownice do lx = 15 от (duża sztywność, mała wysokość konstrukcyjna), jako kratowe do lx = 50 от.

wraz z pomostem. Mogą klapowymi (środek ciężkości stały, zwykle w osi obrotu; fig. 479); V) obracalne na odzinkach koła, zwane też kołyskowymi (środek ciężkości ruchomy w linji poziomej lub prawie poziomej ; fig. 480).

najkorzystniejsze, proste, tanie i zajmujące mało miejsca), parowych, hydraulicznych (wodę należy zabezpieczyć od zamarzania przez dodanie gliceryny, alkoholu metylowego itd.); nadto każdy most ma urządzenie do uruchomienia i* siłą ludzką na wypadek, gdy motor zawiedzie.    ê

0,115 P dla rozpoczynającego się ruchu, do 0,08 P dla mostu w ruchu.

2.    Opory bezwładności mostu zależą od czasu, w jakim most powinien zostać otwarty; zazwyczaj przyjmuje się

w pierwszej połowie czasu ruch przyspieszony, w drugiej opóźniony. W przy-

PP

..ł..

bl—*

\â

Vf —

jL

(■ J.f.

—.......1 ■

Fig. 476.

Fig. 477.

/<?

bliźeniu potrzebna siła dla ich pokonania wynosi amerykańskich).

3. Ciśnienie wiatru przyjmować należy w wielkości 100—150 kgjnP (por. str. 778), działające na dłuższe ramię w kierunku przeciwnym ruchowi mostu.

2000 P

HP (wedle danych

Najstarsze systemy, używane czasem do dziś dnia dla małych rozpiętości, były zwodzone na linach; obecnie częściej przy pomocy przeciwwagi, równoważącej zazwyczaj w zupełności ciężar konstrukcji mostowej one być: a) obracalne dokoła osi stałej, zwane

a) Mosty klapowe składają się z belek obracalnych około stałej osi, których część tylna z przeciwwagą kryje się podczas otwarcia w t. zw. komorze klapowej, mieszczącej się w filarze lub przyczółku, a mającej

!) Por. Pszenicki. Przegląd Techniczny. 1924.

L-2

mieści się w grani-

zwykle szerokość jezdni bez chodników. Zazwyczaj

each 1,5 (mosty małe) do 4 (mosty duże); L₂ jest tu długością ramienia podnoszonego (por. fig. 479), L' przeciwważącego AD. Komora powinna być zabezpieczona od przeciekania wody, przykryta stale stropem. Otwór między ruchomym pokładem mostu, a stałym stropem, przykrywa się zwykle obracal-

1-2

£ Fig. 479.

=5P?

-L -

У/у.

Fig. 480.

nym dylem, względnie klapą pomostową. Przeciwwaga, składana z bloków żeliwnych lub kamiennych, w skrzyniach drewnianych umieszczona jest najczęściej na belce poprzecznej. W stanie zamkniętym najczęściej ciężar mostu spoczywa nie na osi, ale na osobnych łożyskach.

Przeciwwaga zwykle równoważy zupełnie ciężar mostu; do pokonania pozostaje tarcie (_/* = 0,15 — 0,2 dla starszej konstrukcji) i parcie wiatru na podniesioną belkę (50—150 kg/m²), wreszcie ewentualne zwiększenie ciężaru drewnianego pomostu wskutek przesiąknięcia wilgocią atmosferyczną.

-----f

;___л-

Fig. 481.

Fig. 482.

b) Mosty

zwodzone kołyskowe otwierają się przez obrót części tylnej, skonstruowanej jako odcinek ćwiartki koła po torze poziomym. Segment posiada zęby wchodzące w odpowiednie otwory również zębatego toru. Euch powoduje motor przy pomocy zębatego pręta, utwierdzonego do belki w środku ciężkości tejże lub nieco powyżej (rzadko).

Mosty o ruchomej osi obrotu posiadają mniejszą długość konstrukcji, prostszy i lżejszy mechanizm, mniejszą komorę, wymagają dla zupełnego otwarcia mniejszego obrotu, oraz mniejszej siły, wreszcie są łatwe do wykonania przy małej wysokości konstrukcyjnej ; natomiast ciężar mostu działa

fundament podczas otwierania coraz to w innym punkcie, załamanie pomostu wypada zwykle daleko, ugięcie sprężyste jest większe, tor psuje się łatwo, a koszt utrzymania jest większy. Mosty te, stosowane przez jakiś czas bardzo w Ameryce, zaczynaj a wychodzić z użycia, głównie ze względu na szybkie niszczenie zębatego toru.

Zakończenie pomostu przy dzonych wykonywa się za osia obrotu mostu (fig. 481) łub przed nia (fig. 482), nigdy zaś w osi. W pierwszym przypadku należy przykryć szparę stykowa szeroką blachą, dla uniemożliwienia spływu nieczystości z mostu do komory klapowej. W drugim przypadku natomiast nie możemy doprowadzić wiatrownic do osi obrotu, a styki muszą być ukośnie wykształcone. Styków nie należy odsuwać zbytnio od osi mostu.

na

mostach zwo-

■>

HL-

____i _

Siła potrzebna do otwarcia mostu wynosi (fig. 483):

fd G -Ą-wbl'²

Fig. 483.

przyczem f— spółczynnik tarcia, b = szerokość mostu, G — ciężar mostu.

Г-rr“-—f-

•    .-4--.---C.---L

3. Mosty podnoszone pionowo (fig. 484) są kosztowne w konstrukcji i utrzymaniu; używane dzisiaj, gdy chodzi tylko o niewielkie zwiększenie wysokości wolnego przejazdu, lub gdy nie można dla braku miejsca zastosować systemów innych.

-20,00-

Fig. 485.

Fig. 484.

Prawie zawsze belki główne podnosi się wraz z pomostem ; od ich końców prowadzą liny, umieszczone na wieżach o odpowiedniej wysokości z przeciwwagami, wyrównywującemi ciężar mostu, tak, że do przezwyciężenia pozostają tylko opory ruchu (głównie tarcie), oraz działanie wiatru, śniegu itd. Wyjątkowo spotyka się belki główne stałe umieszczone wysoko ; wtedy podnosi się tylko zawieszony na nich pomost. Jednostajność ruchu zapewniają kierownice zębate lub linowe.

Fig. 485 przedstawia przęsło ruchome mostu na Wiśle w Wyszogrodzie.

na

4.    Mosty przetaczane (przesuwowe, fig. 486), używane stosunkowo rzadko, gdyż wymagają większej siły motorycznej i wiele miejsca brzegu, zaś w ruchu są powolne. Z kilku systemów podajemy tylko szkic jednego z przesuwnią p, którą przetacza się w bok, aby zrobić miejsce otwierającemu się mostowi.

5.    Mosty przewozowe (promowe, fig. 487), składają się z belki opartej w odpowiedniej wysokości (w portach morskich zwykle > 40 ni) na dwu filarach z umieszczonym na niej torem. Na torze porusza się wózek z platformą, przenoszącą przechodniów i wozy («prom wiszący“), umieszczoną w wysokości brzegów, a zawieszoną na linach lub prętach sztywnych. Belki wykonywa się zwykle jako wiszące, na końcach zakotwione, lub jako ramowe,

Шшщ

—i__i—L

Fig. 486.

s?

-1*2,00

Fig. 487.

połączone sztywnie z filarami. Motor, najczęściej elektryczny lub parowy, mieści się na części ruchomej lub stałej ; oprócz tego urządzenie do poruszania siłą ludzką. Używa się ich dla dróg kołowych, gdzie ruch jest niewielki.

LITERATURA.

Pszenic ki: Sposób zastosowania łuków trójprzegubowych do budowy mostów obrotowych. Przegląd techniczny. 1924.

Bryła: Mosty przewozowe. Lwów 1914.

Arnodin: Le transbordeur. Anvers 1908.

Schneider: Movable bridges. Amer. Trans. Civil Eng. 1908.

Lift bridges: Proc. Eng. Soc. W. Pennsylvania. 1909.

Howard: Vertical lift bridges. Amer. Trans. Civil Eng. 1921.

Bernhard: Eiserne Brücken. Berlin 1911.

Dietz: Bewegliche Brücken. Leipzig 1907.

Ho topp: Bewegliche Brücken. 2. t. Hannover.

Strielieckij : Bazwodnyje mosty.

Montowanie mostów żelaznych.

Napisał

inź. Aureljusz Chróścielewski,

Mińsk Mazowiecki.

Wstęp. Przęsła żelazne, oprócz niewielkich, nitowanych w wytwórni całkowicie, wysyła się na miejsce montażu w częściach najdogodniejszych do montowania i przesyłki, tak pod względem wagi, jak i wymiarów. Zazwyczaj przytem sporządzą się specjalne wyszczególnienia wysyłanych części, oraz nitów, aby w wytwórni było podług czego przygotować wysyłkę, a na miejscu montażu sprawdzić, czy wszystko przyszło. W wyszczególnieniu podaje się ilość nitów o 5% wyższą od rzeczywiście potrzebnej ze względu na spalenie się i psucie nitów podczas nitowania.

Wybór sposobu montowania, w zależności od warunków miejscowych, powinien być uskuteczniony już w okresie projektowania mostu.

Dane do obliczania rusztowań. Na rusztowania działa:

a)    obciążenie stałe, składające się z ciężaru własnego zmontowanego przęsła, oraz ciężaru rusztowań;

b)    obciążenie ruchome, składające się z wagi naj cięższej części mostowej, wysłanej na montaż lub oddziaływania obciążonego tą częścią żórawia, oraz ciężaru ludzi i narzędzi;

c)    parcie wiatru na przęsło i na rusztowanie.

Ciężar własny przęsła (bez pomostu i bez łożysk) określa się na podstawie porównania z ciężarem przęseł zbliżonych co do rozpiętości i systemu kraty lub na zasadzie znanych wzorów (por. str. 868). Ciężar mostu działa na rusztowanie

w węzłach przęsła za pośrednictwem podłożonych klinów, na których przęsło spoczywa. Ponieważ słupy rusztowaniowe przeważnie znajdują się bezpośrednio pod węzłami, przeto belki główne rusztowania w rzadkich tylko wypadkach narażone są na zginanie od wagi zmontowanego przęsła, a zazwyczaj obciążenie węzła działa bezpośrednio na słup.

Ciężar rusztowań określimy wedle zestawionego uprzednio rysunku, przyjmując wagę 1 m³ drzewa miękkiego (odkrytego) 900 kg lub wedle wzoru (1), podającego wagę całego rusztowania na długości 1 m b.

g = 1,006.900 . C. h = 905 Ch

kg

m b. przęsła

. . . (1)

gdzie 1,006 — spółczynnik wprowadzony dla uwzględnienia połączeń żelaznych.

C — ilość m³ drzewa na 1 m² płaszczyzny rzutu pionowego rusztowania. Ilość ta zależy od ilości słupów i zastrzałów w przekroju poprzecznym rusztowań, mianowicie: jeżeli jarzmo składa się z czterech lub pięciu

słupów i dwóch zastrzałów.......

jeżeli jarzmo składa się z trzech słupów i dwóch

zastrzałów..............

jeżeU jarzmo składa się z dwóch słupów i dwóch zastrzałów..............

<7 = 0,13

(7=0,11

m³ drzewa

w² rzutu pion.

(7=0,08    „

h — wysokość rusztowania, wyrażona w metrach od poziomu wody lub ziemi do poziomu pomostu.

Wagę największej części nitowanej w fabryce możemy dla przęseł średniej wielkości przyjąć w przybliżeniu równą około 1,7 tonny. Przyjmując ten ciężar jako siłę skupioną, możemy już nie przyjmować pod uwagę obciążenia rusztowania wagą, ludzi i narzędzi. Ponieważ oddziaływanie żórawia, niosącego tę największą część przęsła, będzie mniejsze niż siła skupiona równa wadze tej części, więc przy obliczaniu rusztowań również i oddziaływania żórawia można nie przyjmować pod uwagę.

Na wypadek jeżeli wysokość rusztowań będzie niższa niż 4,5 m, spół-czynnik C należy powiększyć o 25%.

Jeżeli rusztowania są szczególniej złożone (np. dźwigary drewniane złożone, zazębione itd.), wzór powyższy nie odpowiada rzeczywistości i wtedy wagę należy specjalnie obliczyć. Ponieważ jednak pomyłka w określeniu wagi własnej tylko w małym stopniu wpływa na zmianę naprężeń, a krótki czas trwania rusztowań pozwala na pewne przeciążenie prętów (do 5%), przeto na dokładność określenia wagi można nie zwracać szczególniejszej uwagi.

Ciśnienie wiatru poleca przyjmować M. K., oraz M. R. P. w wysokości 250 kgfm². Płaszczyznę, na którą wiatr działa, wedle str. 774.

Spółczynnik pewności na przewrócenie od wiatru przyjmuje się dla rusztowań 1,25.

Naprężenia dopuszczalne. Naprężenia dopuszczalne, ze względu na krótki stosunkowo czas pracy drzewa rusztowaniowego, oraz brak większych wstrząśnień podczas jego pracy, można przyjąć wedle przepisów M. R. P o 50% większe niż dla mostów drewnianych, mianowicie (por. str. 777).

dla drzewa

Naprężenia dopuszczalne w kglcm¹

miękkiego

twardego

Na rozciąganie „ zginanie .

165

180

„ ciśnienie równoległe do włókien . kc — „    „    prostopadłe    „

„ ścinanie równoległe „

„    „    prostopadłe    „

■    K-

■    к-

• K =

150

165

СУХ rn

18

45

120

60

30

60

Obliczenie statyczne rusztowań. Rusztowanie składa się z pali, słupów, zastrzałów, oczepów, rygli, kleszczy, poprzecznie i dyliny (wyściółki).

Poprzecznice pomostu, leżące bezpośrednio pod wyściółką z desek <7 = 4 cm (IV), układa się w odległościach od 600 do 1000 mm od siebie, przyjmując ich średnice 16,18 lub 20 cm. Oblicza się je na obciążenie ciężarem własnym i ciężarem dyliny, oraz ciężarem najcięższej znitowanej części przęsła, wysłanej z wytwórni na montaż, zakładając, że ciężar ten jako siła skupiona działa w środku rozpiętości na trzy sąsiednie poprzecznice.

oraz ciężar naj-Jeżeli zmon-

Belki główne oblicza się na ciężar własny pomostu, cięższej części przęsła, położonej w środku rozpiętości belki głównej, na belkę główną w miejscu nie podparłem słupem przenosi się ciężar towanego przęsła przez kliny, ułożone pod węzłem, to w tym (wyjątkowym) wypadku należy sprawdzić belkę główną również na odpowiedni moment zginający.

Dźwigarami takimi zazwyczaj przykrywa się tylko przejazd, pozostawiony dla statków, mchu kołowego lub kolejowego.

Jeżeli belka główna składa się z dwóch odrębnych materjałów, np. z szyn żelaznych i z belek drewnianych, co ma miejsce przy przesuwaniach przęseł (patrz fig. 500), to określamy część momentu gnącego przejętego przez oba materjały, wychodząc z założenia, że ugięcie sprężyste obu części belki jest jednakowe, gdyż belki połączono w jedne całość,

rx = r₂

Ii E₂I₂

Mi

M₂ ’

gdzie ri i r₂ — promień ugięcia belek drewnianych i żelaznych, Ex i E2 — spółczynniki sprężystości dla drzewa i żelaza, Ij i I₂ — momenty bezwładności belki drewnianej, względnie żelaznej w cm⁴, My i M₂ — części momentu gnącego M, przypadające na oba materjały.

Wtedy: Mi — M.

Eih

Eih + E₂I₂

i M₂ = M. —

E₂I₂

Ei Ii -f- E₂1₂

.(2)

Słupy i zastrzały sprawdza się na wyboczenie, przyjmując za l całą długość pręta, względnie odległość pomiędzy punktami stężeń.

Le gary sprawdza się na zginanie od jednostajnego obciążenia ciśnieniem ziemi.

Sprawdzając stałość rusztowania na przewrócenie przez wiatr, zakładamy, że zmontowane przęsło spoczywa całkowicie na rusztowaniu, nie wspierając się na filarach lub przyczółkach. Spółczynnik pewności na przewrócenie nie powinien być mniejszy niż 1,25.

Niekiedy zachodzi potrzeba wzmocnienia kratowego dźwigara żelaznego na czas montażu. Wzmocnienie słupów lub ścięgien uskutecznia się zapomocą belek drewnianych, obejmujących słup żelazny z dwóch albo czterech stron. Belki drewniane łączy się ze sobą i z konstrukcją żelazną zapomocą śrub. Sprawdzenie słupa wzmocnionego wykonywa się na zgniecenie, względnie wyboczenie, zakładając, że odkształcenie obu materjałów od napięcia ściskającego jest jednakowe, czyli, że :

aż °d

Fż

Eż

2150000

Eg Ed ' °*— E~d °d 1 E~d ~~ 110000

Jeżeli siłę działającą na słup oznaczymy przez P, płaszczyznę przekroju drzewa przez Fd, a płaszczyznę przekroju żelaza przez F-, to mamy:

P=°d Fd + °ż-Fż-

сV) 19,5, czyli G- = 19,5 ad.

(3)

Czyli :

Fd -1— 19,5 Fż

Stosując spółczynnik zmniejszający ß (por. dział: „Budownictwo“), otrzymamy naprężenie dla drzewa na wyboczenie:

kd>

< ß . 97,5 kff/cm²

(4)

(Pd + 19,5P.)

Jeżeli zachodzi potrzeba wzmocnienia pasu dolnego wskutek dodatkowego zginania, to uskuteczniamy to drzewem (por. fig. 495) sprawdzając podług wzorów (2).

Posadowanie rusztowań odbywa się na legarach, palach, a czasami na pontonach lub barkach.

Posadowanie na legarach stosuje się zawsze jako najtańsze, gdy rusztowanie wznosi się na lądzie stałym. Ciśnienie na grunt, zależnie od jego

rodzaju, nie powinno przekraczać 2—3 Jcg/cm². Czasami grunt wzmacnia się zapomocą ubijania kamieni, ułożenia warstwy podkładów itp. Posado-wanie na palach stosuje się wszędzie, gdzie tylko pozwala na to dno rzeki. Pale, które osiągnęły grunt stały i nie dają już przy uderzeniu babą wpędu, lub dają nieznaczny, mogą nieść następujące obciążenia : ф = 22 cm ф — 27 cm ф— 31 cm

P< 20 t P^ 25 t

P^dOt

Jeżeli stałego gruntu przy wbijaniu pala nie osiągnięto, to siłę nośną pala określamy podług wzoru Brixa, zakładając wielkość wpędu przy ostat-niem uderzeniu babą, lub też przyjmując wpęd otrzymany podczas wbijania próbnego.

h.Q².q

e-(Q + 4)²

(por. str. 710),

gdzie P — obciążenie pala w kg, Q — waga baby w kg, q — waga pala w kg, h — wysokość spadania baby w mm, e — wpęd pala przy ostatniem

1ЛГ7\тшпшдтл i ai

I C-У _ W _\ Mlj/ _ \j/.....

V,

-rei

I

//у/м

~~ Î

t    ^ _ I

j    , faja

Fig. 488.

uderzeniu baby w mm. Przy rusztowaniach jako budowli czasowej, siłę nośną pala przyjmujemy = ³/₂ Pi Przy budowlach stałych = ¹/₈ — ³/₄ P.

Dla stężenia pali, wbitych w dno rzeki, przy bardzo głębokiej wodzie (co 4,5 m), stosuje się ściągacze żelazne podwodne (fig. 491) z żelaza okrągłego, które się przymocowuje jednym końcem do pala przed wbiciem na takiej wysokości, aby po wbiciu dochodziły do dna rzeki, zaś drugi koniec umocowywa się wysoko do innego pala po wbiciu takowego. Długość ściągaczy reguluje się przy pomocy gwintu rzymskiego. Jeżeli ukończenie montażu przed nadejściem wiosennych lodów nie da się uskutecznić, należy przed jarzmami zbudować izbice, oraz wyrąbywać lód naokoło pali.

Jeżeli wbijanie pali jest niemożliwe z powodu okoliczności miejscowych, np. wskutek kamienistego dna, wielkiej głębokości itp., to czasami, gdy rzeka nie jest zbyt bystra i niema wielkiej fali, ustawia się rusztowanie na pontonach. Dla zwiększenia stałości takiego rusztowania daje się mu przeważnie formę drewnianej, belki kratowej (Howe’a, Town’a itd.). Można też utwierdzić słupy w skrzyniach, wypełnionych kamieniami.

Montaż na rusztowaniach. Sposób montowania na rusztowaniach jest najdogodniejszy i najczęściej stosowany. Stosować go nie można lub nie trzeba tam tylko, gdzie dno jest skaliste, bardzo głęboka woda, wielka szybkość rzeki lub wielka odległość przęsła od wody (gdzie koszt wysokiego rusztowania byłby bardzo znaczny).

-Ш?

Rozróżniamy rusztowanie dolne, służące do podparcia przęsła aż do tego stadjum robót, w którem całość oprze się na oporach, oraz górne, służące do zmontowania pasów i wiązań górnych, oraz do ich zanitowania.

•CI

Z] d

Zamiast rusztowań górnych stosuje się obecnie często żórawie bramiaste zewnętrzne lub wewętrzne przesuwne, służące do montażu; nitowanie zaś odbywa się na pomostach, układanych na samej konstrukcji.

Konstrukcję rusztowań objaśniają następujące przykłady :

a) Rusztowanie do demontażu i montażu mostu na rzece Słucz. Dla zdemontowania dwu

starych przęseł równoległych l = 33,7 m,

zmontowania na ich miejscu przęseł nowych doi- _ .    _______

noparabolicznych, zaprojektowano rusztowania (fig. 488 i 489), na których rozmontowanie i zmon-    Fig. 489

towanie każdego przęsła miało odbywać się ko- (przekrój poprzeczny fig. 488.) lejno.¹)

oraz

Słupy, dla dogodności wbijania pali, rozstawiono na zewnątrz istniejących dźwigarów w odległości poprzecznej ok. 7 m. Ażeby zmniejszyć rozpiętości

ьООО

* ?о/го ff

□ИВД

та

Яр'

•о

0009

\\

^rft

ii

Èè

МЛ?

UDO

Щ/3

\20G7~-,

§vfW

*50 Щ */ä

ЩЬЧУ\ *25

WZ

*18 '

Fp^

si/e

■V5

Щр/8

Ę LA

« и W ' » ■ fa—tiUbOjo

j    Fig. 490.

poprzecznie pod dźwigarem wewnętrznym przęsła, narazie jeszcze nie demontowanego pomieszczono trzecią belkę główną, którą w jarzmach podparto zastrzałami.

udogodnienia demontażu i montażu pobudowano na pomoście specjalnym żóraw bramiasty drewniany o napędzie ręcznym i sile nośnej, równej wadze najcięższej, wysłanej na montaż, sztuki ok. 2000 kg (por. fig. 490).

Dla

b) Rusztowania montażowe mostu na rzece Dźwinie Zachodniej w Rydze. Montaż 7 przęseł o rozpiętości l — 84,36 m odbywał się na rusztowaniu, pokazanem na fig. 491, które składa się z trzech zasadniczych części: rusztowania dolnego, górnego, oraz dwóch żórawi bramiastych.

Rusztowanie dolne, którego pale z powodu głębokiej wody powiązano ze sobą prętami żelaznemi (por. fig. 491), posiadało pomost, służący do zmontowania ściągu, wiązań wiatrowych i jezdni oraz rusztowania górnego. Rusztowanie przenoszono na nowe’“ miejsce stosownie do postępu roboty dla zmontowania następnych przęseł.

Rusztowanie górne posiadało dwa pomosty — górny, po którym posuwały się żórawie i dolny dla montażu pasu dolnego dźwigaru łukowego.

if

Cs

//у

<1

xf:

XÜCXX

Xi!

X<X

jfXxj

ЙХ

fyg

ххххкх

Я|

fir

St и eg dt.    ,

*•*&%*'

tie I

m/*'s

Fig. 491.

Słupy rusztowania górnego ustawiano w ten sposób, aby nie przeszkadzały ustawieniu wieszadeł i słupów dźwigara łukowego. W miejscach, gdzie miały być zmontowane dźwigary, wytworzono w rusztowaniu góruem dwie szczeliny, nie pomieszczając w tych szczelinach żadnych krzyżu! ców ani kleszczy. Zórawie przedstawia fig. 492.

c) Otwory, pozostawione dla przepływu tratew, przedstawiają fig. 493 (most na Bugu pod Terespolem), rusztowanie piętrowe fig. 494.

Jeżeli zachodzi potrzeba otworów jeszcze większych, można do ich przykrycia zastosować belki drewniane kratowe lub nawet żelazne, które wciąga się już zmontowane z dołu na rusztowanie i w niem ustawia.

ruszto-

Montowanie z przesuwaniem. Ponieważ montaż nie zawsze może być wykonany na właściwem miejscu, z powodu niemożności postawienia wania wskutek skalistego dna, bardzo głębokiej wody, wielkiej odległości pomiędzy przęsłem a wodą, wymaganej bardzo znacznej szybkości wykonania montażu, znacznych kosztów rusztowania itp., przeto czasami wybiera się drogę trudniejszą, montując przęsła na brzegu i nasuwaiac ie późniei na swoje miejsca.

Nasuwanie może być poprzeczne, jeżeli przęsło toczy się w kierunku do osi mostu prostopadłym, i podłużne, jeżeli przesuwane przęsło toczy sie wzdłuż osi.

9___iЮО

■a--------p

• то дуя

ta

Л?

z. г

<N'r

жд.а

\c

»    i°

I h>° s

>-—b- b

d.

'e

e\

bi

4233

H--5000

ft

lŁ

V>

\ l 4l z. ^ b i

[Kiytorba I ¹

W \ bęben\

P) (?)

1(1    Ц1

4—200- —t **■ 1800

1800-

1800-- ^

д й

H===

&Л^аГ

2_r

Fig. 492.

Л*2'5

х\щк

*28/ /    425

18, OO

-Ä

9/7Ï&

!!!

ii

!!

Fig.493.

Przetaczanie odbywa się na wałkach żeliwnych lub stalowych po torze ułożonym z szyn. Wałki bywają cylindryczne ze zgrubieniami na końcach (fig. 495), ze zgrubieniami w środku (fig. 496), lub zupełnie bez zgrubień (fig. 499). Zgrubienia służą jako kierownice.

Niekiedy łączy się w osobne wózki po kilka wałków. Jeżeli pas dolny toczy się bezpośrednio po wałkach, to wałki muszą mieć wgłębienia dla

241

94

Bryła, Podręcznik inżynierski. V.

przepuszczenia główek nitów. Zamiast wałków używa się niekiedy wózków o specjalnej konstrukcji.

Liczbę wałków, potrzebnych do przetoczenia przęsła, określa się zwykle wedle wielkości średniego ciśnienia na średnicowy przekrój wałka, które nie powinno przekraczać :

p 50 kg/cm² dla stali twardej,

——^35    „    „    „ miękkiej,

n .1.25    _    n żeliwa,

gdzie n — ilość wałków, l = długość, r — promień wałka w cm, P — ciśnienie na wałek w kg. Obliczenie dokładniejsze p. „Mosty żelazne“.

Siła potrzebna od przeciągnięcia przęsła po torze poziomym wynosi:

¹

) Na fig. 488, 491 i nast. linje pełne oznaczają zarys rusztowania, linje kreskowane zarys dźwigarów żelaznych.

p nRf

2 r ’

gdzie R = waga przęsła w kg, f = spółczynnik tarcia (dla toczenia żelaza po żelazie, /=0,065), n — spółczynnik uwzględniający falowanie toru pod

Ж.

\I7 Г/ у

m.

Vi,MF¥

meL

f2S

120

V..

35----/

4f-----

¥28

¥25

>20

Z-

¥25

i!

Ti

Fig. 494.

wpływem ugięcia, parcie wiatru na przęsło, nierówności i zatarcia się wałków itp. Zazwyczaj przyjmuje się n — 3.

Jako przyrządów do przetaczania uży-I f_-    ,.'-.,-4    • '    уwamy dźwigarek z wielokrążkami lub bez

HCkSt- "t-'-fA P *•'\‘&y'P'A nich. wciaeów. a czasami dźwierów różnych łTTI    systemów/

1. Przesuwanie poprzeczne stosuj e się, gdy chcemy wykorzystać jedno

})' Z-T.

1    -i rusztowanie do zmontowania dwóch przęseł

[’j v.«F    równoległych mostu dwutorowego. Wtedy

przęsło pierwsze montuje się na ruszto-pig 495    j,ig 4g6 waniu, potem przesuwa się je poprzecznie

po torze, ułożonym na filarach lub przyczółkach, na właściwe łożyska. Następnie na tych samych rusztowaniach montuje się przęsło drugie, którego już się nie przesuwa, lecz tylko opuszcza na łożyska. Obecnie najczęściej stosuje się przesuwanie poprzeczne dla zamiany na most stały, prowizorjum mostowego, obok którego buduje się rusztowanie, na niem montuje przęsło, następnie przerywa ruch, usuwa prowizorjum, układa tor do przesuwania i przesuwa samo przęsło. Jeżeli dla jakichś powodów przesuwać po filarach lub przyczółkach nie można, to wtedy buduje się specjalny tor pod węzłem podporowym lub pierwszym węzłem pasa dolnego.

Fig. 497 przedstawia przesunięcie poprzeczne przęsła (Cr = 148 t) mostu na Bugu na linji Warszawa—Wilno. Dokonano go na wałkach po torze, ułożonym z jednej strony na przyczółku, a z drugiej na belce żelaznej, przerzuconej pomiędzy dwoma słupami, stanowiącymi filar istniejącego częściowo mostu, którego jedno zburzone przęsło było zastąpione prowizorjum drewnianem (fig. 497). Część górną toru stanowiły dwie szyny, przymoco-do poprzecznie wyrównanych odpowiednio podkładkami, główkami na dół. Część dolną, cztery szyny przymocowane do podkładów hakami, a ustawione główkami do góry. Wałki stalowe (po 10 z każdej strony przęsła) miały średnicę 100 mm. Samego przeciągnięcia dokonano zapomocą dwóch

wane

1/1

ЖП

'jy

ć—pĄ-\;\Z i Vl

—J--Ç---V|/-------1-------

■'425

Ф23

:X /9

*25

, V23

¹Z7 :

тЯВГШРЦЯ

А-в

С¹ о

\У

ii

Yi.Wr

ртг cif

vtr'Kr ч iff

i-

<2S

--52/,06— 42S\H8

-'423 i—

*23С~

0РЦИЯ

5.50 ->

Fig. 497.

wciągów dziesięciotonnowych. Przesunięcie wynosiło co 5 m, a trwało 2 godziny (v = 2,5 m/godz.).

Przesunięcia jednego z przęseł mostu na Bugu pod Fronołowem (Cr = 445 t) z toru nieczynnego (pod którym ustawiono rusztowanie) na czynny, dokonano na torach, ułożonych z jednej strony na filarze kamiennym, z drugiej na filarze żelaznym, zbudowanym na miejsce kamiennego, zburzonego podczas działań wojennych (fig. 498). Filar żelazny wzmocniono tu drzewem. Przeciągania dokonano zapomocą dwóch wciągów dziesięciotonnowych. Czas trwania przetaczania na odległość 7,70 m wyniósł 2⁸/₄ godziny (v — 2,8 m/godz.), około 2,8 m na godzinę. Znacznie więcej czasu zabrało zdjęcie przęsła z łożysk i przesunięcie tych ostatnich na nowe miejsca, oraz opuszczenie przęseł na łożyska.

Na fig. 499 pokazano przesunięcia poprzeczne zapomocą dźwigarki, ustawionej na przęśle, oraz kompletu wielokrążków. Jako toru górnego

6000-~

po podniesienù

5 szyny

.JjiÏKiiSSsmîKfïïalKâliHîœEtjm.

.fiÂîSî’Ha

Przehràj A-В

Fig. 493.

\A

'2rolki_

'b&iPïiÂMV)

PrzekrôjA-B

—>Уа

Mdok г góry

Fig. 499.

użyto krótkich belek dębowych, przymocowanych na miejscu odjętych wahaczy górnych.

Wadę toru dolnego stanowi tu jednak różny stopień osiadania mate-rjałów, podtrzymujących szyny pod wpływem ciśnienia. Tę różnicę możnaby zmniejszyć, gdyby drzewo postawione było na sztorc.

2. Przesuwanie podłużne może być wykonane jako:

a)    przesuwanie po rusztowaniach;

b)    przesuwanie z zastosowaniem dzioba (awanbeku) ;

c)    przesuwanie na oporach pływających.

a) Przesuwanie po rusztowaniach używane jest w razie możności pobudowania w otworze rusztowania.

Fig. 500 przedstawia przesunięcie podłużne przęsła mostu na Bugu na linji Siedlce—Lida pod Fronołowem. Na rusztowaniu umieszczono 2 tory po 4 szyny w każdym; na torach zaś ułożono 72 wałków stalowych o średnicy 150 niw. Do pasów dolnych umocowano 3 szyny za pośrednictwem klocków drewnianych, ułożonych w odległości około 0,75 m. Przetoczenia

Ш7J//& m-m

-4

po podniesieniu , 950\_ i

--

t\

-99555-

lJ___I.

! 4\ i'/з/

4L

Tf—7

f2‘

=²³/23

■m\‘

f............T

■^-3809-^

fi./5

.'fi 25

► Д-

fi/5

fsiS

-----

I    .|0°O°oO ° 8oĄ

i    !    \l°ap<?DW

chud/j betoч

"ЖГ

4ÎS

'f)

i.

Fig.500.

zapomocą trzech dźwigarek, ustawionych na przyczółku, dokonano w ciągu dziesięciu godzin (10 w na godzinę).

b) Przesuwanie z dziobem (awanbekiem). Przesuwanie przęseł przez większy otwór, którego nie można zarusztować, opiera się na zasadzie zrównoważenia wysuniętego w otwór t. zw. dzioba (awanbeku) i części przęsła ciężarem pozostałej na brzegu części przęsła. Dziób (awanbek) stanowi konstrukcję możliwie lekką, celowo do przesuwania zbudowaną, mającą środek ciężkości możliwie blisko tego końca, którym konstrukcja przytwierdza się do przęsła, gdyż chodzi o otrzymanie możliwie małego momentu przechylnego. Czasami dla przeciwdziałania momentowi przechylnemu trzeba zastosować przeciwwagę. Ponieważ sposób działania sił zewnętrznych na przęsło przy nasuwaniu jest inny od tego, na który przęsło było obliczane, przeto przęsło należy przeliczyć na nowe warunki obciążenia i wzmocnić te pręty, które okażą się za słabe.

Sposób przesuwania stosowany był często, gdy budowane były belki ciągłe, które przy przesuwaniu nie potrzebowały przeciwwagi, a czasami i awanbeku. Belki na dwóch oporach przeważnie wymagają awanbeku, przeciwwagi i wzmacniania prętów. Długość dzioba przyjmuje się zwykle 0,6 l • do 0,7 l. Ponieważ wysunięty w otwór koniec przęsła i awanbek uginają się, więc należy je obliczyć i odpowiednio podnieść nos awanbeku, aby przy osiągnięciu przeciwległej opory trafić na powierzchnię wałków.

Fig. 501 przedstawia przesunięcie wiaduktu o rozpiętości 40 m w Strzemieszycach nad torami, gdzie częściowo nie można było ustawić rusztowań.

r-6.560-*

-J/J

<3ST

Mf

~2/000

V-³?

Fig. 501.

Fig. 502 przedstawia przesunięcie mostu kolejowego na rzece Bóbr. Rozpiętość przęsła wynosiła l = 45 m, długość dzióba 0,6 l = 27 m. Waga przęsła bez łożysk 129 t,

więc : g =

129000 45 . 2

= 1433

kg

l*4Z>,00

27,00---

/N/N/N/N/KPt>>^ i

27.00

18.00—►КГ» Г2.43--30,i3 ——-

Fig. 502.

98S0/(ÿ

m b. dźwigaru"

Waga awanbeku przyjęta na zasadzie obliczenia przybliżonego = 19760 kg.

Odległość środka ciężkości awanbeku od podpory, obliczona rachunkowo, wynosiła x— 12,43»г / (w obliczeniu przyjęto ciężary węzłowe proporcjonalne do wysokości słupów).

Największy moment przechylny, odpowiadający położeniu, przedstawionemu na fig. 502, wynosi wtedy :

1433.1800²

■f- 9880.30,43 = 54923000 kgcm. 1433 . 2700²

= 52233000 kgcm.

Moment stałości :    —

Ponieważ moment przechylny okazuje się większy niż moment równoważny, przeto tylną część przęsła obciążamy przeciwwagą. Zakładając, że wypadkowa przeciwwagi będzie odległą o 1 m od teoretycznego punktu opory i że stosunek pomiędzy momentami równoważnym i przechylnym bedzie :

*Ł_1,

M ’ ’

określimy wielkość przeciwwagi G z równania :

G . 2600 -f- 52233000.2 = 54923000.2 1,1 _    2 (54923000.1,10— 52233000) _ „„„ ₇

®    Ш-¹55 6300 *>■

и

Ж

К

----• ■ ■

- ■-------

’—

шш

ÄÄ

■»»Bralem

И

4-^

.fV.L/^—f

»ж чс*хуа    *< i è tVj ai» MiW

tï5 fek jiif aïs; «5à*j

&

W*vW,„

*

Betka mosłopy.GC

WM'»--'«

/А/.

mûéL

J

t

fc&triï

d«iassss^^i

\Л

л

t-à

\-

Ьж'\

Üziôb

Be!ha m osłoroa

.......Miæggpg^

-> o' .

5

H-9

-----î

Т7Я7ГП

i

fr

/

/у/

/У/

///

Fig. 503.

в!,

НЖ/Î

Fig. £04.

/

i

\

i

кш

М

■ ' yv

- -

НМР№ ^Вй

!

ч

■

■

г

Naprężenia w prętach dzióba i zwisającej części przęsła wyznacza się wykreślnie dla różnych położeń zespołu, poczynając od położenia, czonego na fig. 502, a następnie umieszczając kolejno każdy węzeł dzióba nad prawą oporą B, przy przyjęciu, że całe oddziaływanie tej opory przenosi się zapomocą pierwszego wałka. Zwisającą część przęsła sprawdza się również dla tych samych położeń dzióba i ewentualnie wzmacnia wedle fig. 503*. Ponieważ pas dolny awanbeku zginany jest prawą oporą, przeto trzeba określić wielkość tego oddziaływania dla środka każdego pola i sprawdzić każdą część pasa dolnego również na zginanie. Dziób wykonuje się jako belkę kratową żelazną z uwzględnieniem stężeń poprzecznych (fig. 504).

ozna-

Wielkość ugięcia wystającej części przęsła i dzióba, podczas położenia, odpowiadającego pokazanemu na fig. 502, określa się rachunkowo lub wykreślnie. W danym wypadku wynosiło ono 37,3 mm • o odpowiednią też wielkość podniesiono koniec dzióba (por. fig. 504), aby, dosięgnąwszy prawej opory, oparł się na wałki.

c) Przesuwanie przy pomocy podpór pływających.

*25

hd

t/8

Fig. 505.    '

Podpory pływające są to barki z ustawionemi na nich rusztowaniami (fig. 505).

Największe zanurzenie się podpory pływającej określamy w następny sposób :

Niech oznacza : A — oddziały wanie przęsła na oporę. Oddziaływanie to jest większe, niż waga połowy przęsła, gdyż opory nie ustawia się pod końcem przęsła, lecz koniec ten wystaje, aby mógł oprzeć się na filarze lub przyczółku przy końcu przesunięcia.

Gr — waga rusztowań, przyrządów i barek.

Q — waga balastu wodnego.

'■o

wzorem :

Balast wodny służy dla wyrównania poziomu barki w razie ewentualnego opadnięcia poziomu rzeki w czasie przesuwania, jak również stanowi tę konieczną ilosc wody, której już węże ssące pomp ściągnąć nie mogą (średnio 0,25 w). Jeżeli przewidywane opadnięcie poziomu wody w czasie przesuwania jest h, to waga balastu wodnego określi się

Q — F (h -f- 0,25) yw == 0,7 l Ъ (h -j- 0,25) (w tonnach i metrach ; por. str. 800). Siła nośna barki powinna wynosić:

Р=1,25(Л+ G+Q),

gdzie 1,25 — spółczynnik zwiększający, wprowadzony na nieprzewidziane ewentualności.

Wobec powyższego największe zanurzenie się barek określi się ze wzoru:

- F 0,7 ~Г7ь ^ metrach)-

gdzie l — długość barki, b — szerokość w metrach.

Konstrukcję opór pływających pokazano na fig. 505. Ażeby uchronić ścianki barek od odkształceń, spowodowanych ciśnieniem wody, wzmacnia się je zapomocą zastrzałów (por. str. 800). Czasami cały spód rusztowania, opierający się bezpośrednio o dno i ścianki barek, buduje się dla większej sztywności w formie dźwigara drewnianego. Na tym dźwigarze wspiera się dopiero właściwe rusztowanie.

Zazwyczaj ciągnie się bezpośrednio przęsło przy pomocy lin, nawijających się na bębny dźwigarek, ustawionych na podporze lub poza nią. Ażeby zaś barki w czasie przesuwania zdążały za niem, przytwierdza się je do przęsła z obu stron linami. Dla uchronienia opory pływającej od zniesienia jej prądem rzeki lub zepchnięcia przez wiatr, rozpina się z obu stron stalowe liny, utwierdzone na obu brzegach, tak jednakże, ażeby to rozpięcie nie przeszkadzało oporze poruszać się w kierunku osi mostu. Jeżeli rzeka jest zbyt szeroka, umocowanie lin rozpinających uskutecznia się zapomocą kotwi, zanurzonych w odpowiedniem miejscu w dno rzeki. Przeciąganie uskuteczniamy w czasie absolutnej pogody. Dla oznaczenia średnic lin stalowych, służących do rozpięcia przęsła, musimy określić ciśnienie wody na barki, oraz ciśnienie wiatru na przęsło, rusztowanie i barki.

Ciśnienie wody na barki wynosi:

p = <Pf bhrg'

gdzie <p — spółczynnik, który did przekroju barek prostokątnego z zaokrągleniami = 1, у — waga 1 m³ wody = 11, V — prędkość wody w от/sek., b i h — szerokość barek i głębokość ich zanurzenia, wyrażona w metrach,

OT

g — przyspieszenie ziemskie = 9,81

Wielkość ciśnienia wiatru równa się sumie płaszczyzn przęsła, rusztowania i barek, pomnożonej przez 250 kg [cm³. Przesuwanie przęsła po nasypie odbywa się na wałkach lub co lepiej na wózkach o kilku kółkach, toczących się po kilku szynach.

Istnieją trzy sposoby przesuwania przy pomocy podpór pływających.

1. Przęsło, zmontowane na nasypie lub na rusztowaniu stojącem na brzegu w kierunku osi mostu, nasuwa się jednym końcem na oporę pływającą. Wspierając się na niej, zostaje ono przeciągnięte do następnego przyczółka lub filaru.

Tok roboty przy przesuwaniu przęsła: Przęsło, zmontowane na nasypie, wysuwa się poza przyczółek tak daleko, aby zmieściła się pod niem podpora pływająca, w którą napompowuje się wody tak dużo, aby podpłynęła pod wystający koniec mostu. Następnie część wody wypompowuje się, aż podpora uniesie koniec przęsła, poczem następuje przesuwanie. Po przybyciu do filara lub przyczółka woda napompowuje się do barek, aż przęsło opuści się na łożyska. Podpora pływająca podpływa pod drugi koniec przęsła i znowuż tym samym sposobem, służąc zamiast dźwigów, opuszcza przęsło na łożyska. Jeżeli przęsło ma być przeniesione do następnego otworu, to, po dosięgnięciu filara przez koniec przęsła, druga podpora ruchoma podpływa pod koniec przęsła od strony przyczółka i unosi je. Przęsło przeciąga się dalej po filarze, aż do położenia, w którem analogicznie do początku operacji, podpora pływająca pierwsza, opłynąwszy filar, będzie mogła dźwignąć przęsło, aby je poprowadzić dalej, jak w otworze pierwszym.

Przesuwanie podłużne zapomocą opór pływających posiada następujące wady : położenie środka ciężkości wysoko nad poziomem wody daje wielki

moment wywrotowy, ustawienie zaś przęsła jednym końcem na oporze stałej, a drugim na ruchomej, zależnej od falowania, parcia wiatru, wody itp. nie daje bezwzględnej gwarancji przed odkształceniem prętów przęsła, a nawet przed zsunięciem się przęsła z opory pływającej.

2. Drugim sposobem zastosowania podpór pływających jest nadwożenie przęseł na oporach pływających. W miejscu najodpowiedniejszem przy brzegu rzeki buduje się rusztowanie do wysokości, odpowiadającej położeniu przęsła na przyczółkach. Od rusztowania tego, prostopadle do jego kierunku, buduje się dwa występy tej samej wysokości, na których układa się tor do nasuwania poprzecznego przęseł. Przęsła montuje się na rusztowaniu, a po ukończeniu, przesuwa się je na występy ; na rusztowaniu zaś montuje się przęsła następujące. W otwór pomiędzy występami wprowadza się pod zmontowane przęsło odpowiednie podpory pływające, podnosi się na nich przęsło i podczas zupełnej pogody, korzystając z parostatków, jako siły pociągowej, przewozi się je na właściwe miejsce. Zaletami tego sposobu w porównaniu z uprzednim jest to, że przęsło, opierając się z obu stron na podporach pływających, nawet gdyby było zniesione prądem lub parciem wiatru, nie jest narażone na przewrócenie. Ważną również zaletą tego sposobu jest to, że może on być zastosowany do przewozu przęseł, mających

4 rzędy rozpomic

Fig. 606.

pas dolny wypukły lub wklęsły. Jednakże ujemna cecha zastosowania opór pływających, mianowicie wielki moment wywrotowy, występuje i tutaj w całej rozciągłości.

czem

3. Czasami, gdy niema możności postawienia rusztowania w otworze, ale zato można je postawić przy brzegu, stosuje się sposób trzeci, polegający na tem, że przęsło, zmontowane wzdłuż brzegu na rusztowaniach, jednym końcem spoczywa na przyczółku, a drugim na oporze pływającej. Po ukończeniu montażu, przy zastosowaniu odpowiednich urządzeń mechanicznych na przyczółku następuje nasunięcie przęsła w otwór, przy podpora pływająca zatacza łuk 90°, a koniec na oporze obraca się około własnej osi.

Montaż bez rusztowań stosujemy, gdy rusztowania są niemożliwe lub byłyby zbyt drogie z powodu bardzo wysokich brzegów, bardzo głębokiej i bystrej wody, skalistego dna itp. Zasada jego polega na wykorzystaniu właściwości belki jednym końcem utwierdzonej lub wystającej (przewieszonej).

mon-

Montaż zaczyna się od opory i polega na ciągiem dodawanie nowych, odpowiednio skonstruowanych części, ku środkowi przęsła, zwykle z obu stron jednocześnie przy pomocy specjalnych żórawi. Montaż przęseł belkowych i łukowych rozpoczyna się umocowaniem narożnika (słupa lub skosu oporowego, na górze i na dole do jakichś solidnych punktów stałych, np. do istniejącego już przęsła, przyczółka itp. ; fig. 506). Ponieważ pręty obliczone były dla ustroju inaczej pracującego, niż to ma miejsce podczas

tażu, przeto niekiedy wypada je wzmocnić. Do tego typu montażu nadają się najbardziej mosty wspornikowe w swych częściach wystających, ponieważ j    otrzymują w czasie montażu naprężenia

O)

analogiczne do tych, na jakie były obliczone, a przeważnie mniejsze (gdyż w czasie montażu niema na moście obciążenia ruchomego). Najczęściej przęsła przybrzeżne tych mostów montuje się na rusztowaniach, a wsporniki — bez rusztowań. Przęsła środkowe wiszące wciąga się z dołu jako już zmontowane lub też montuje się je bez rusztowań, jak przęsła belkowe.

rrll:

i!!’i

Na fig. 507 podano projekt montażu przęseł systemu Koth-Waagnera mostu na Niemnie pod Grodnem. Większą część obu przęseł brzeżnych zmontowano na rusztowaniu, a pozostałe części bez rusztowań, podając pręty przy pomocy żórawia. Przęsło środkowe, zamienione specjalnie do tego celu służącemi łącznikami na czas montażu łącznie z przęsłami bocznemi na belkę ciągłą, zmontowano bez rusztowań z obu stron równocześnie do środka.

•>

CG

.O

-ËÏE3

Z3

C/l

mm

we.

Fig. 507.

tykających się, były piono

ustawiwszy na filarach dźwigi hydrauliczne na wałkach, skierowanych

W tym wypadku pręty wzmocnienia nie potrzebują, gdyż przy tym systemie wszystkie możliwe sposoby obciążenia przęsła zostały przyjęte pod uwagę. Dostawa prętów pod żóraw może się odbywać z przyczółków maleńkiemi wagonikami po lekkim torze, ułożonym na tężnikach dolnych lub łodziami po wodzie. Na końcu pasa dolnego pod żórawiem wiesza się bardzo lekkie, wystające ku środkowi rzeki rusztowanie dla ludzi, łączących pręty nowe do dawnych. Ażeby końce wystających wspornikowo, a montowanych bez rusztowań części przęsła środkowego pomimo ugięcia zeszły się w położeniu takiem, iżby je można było połączyć, czyli, aby pasy górne i dolne zetknęły się jednocześnie, a słupy były pionowe, zastosowano sposób następujący: Obliczono kąt, jaki utworzy styczna do końca odkształconej osi wspornika z linją poziomą. Nazwijmy ten kąt literą <p. Będzie to ten sam kąt, który utworzy kierunek słupa końcowego w zwisającej odkształconej części przęsła z linją pionową. Następnie na filarach podniesiono oba przęsła na tyle, aby kąt utworzony kierunkiem pasu dolnego z linją poziomą był również (f. Przy montowaniu części wspornikowych w takiem położeniu słupy środkowe przy łączeniu obu części, spo-Milimetrowe różnice łatwo .było zregulować,

poprzecznie, a to w tym celu, ażeby doprowadzić końce do zetknięcia się na wypadek, gdyby okazała się różnica w płaszczyźnie poprzecznej. Rze-czywistość potwierdziła obliczenia w zupełności.

Do tego samego rezultatu dojść byłoby można opuszczając końce przybrzeżne przęsła, tak aby otrzymać pomiędzy pasem dolnym a linją poziomą kąt <p. Można było również podnieść, opuszczony na strzałkę ugięcia, koniec wspornikowo wystającej części przęsła zmontowanego poziomo zapomocą lin stalowych, przerzuconych przez pilon, ustawiony nad filarem, i zamocowanych do przęsła przybrzeżnego. Zapomocą skrócenia mechanicznego tych lin możnaby doprowadzić słup środkowy do położenia pionowego.

Montaż przęseł o rozpiętości 69 -j- 57 -)- 69 m, wagą około 750 t, trwał 34 dni.

LITERATURA.

Pszenicki A.: O montowaniu mostu na Niemnie pod Grodnem. Przegl. Teehn. 1928 r. Ci szewski J. : Montaż i spławianie dźwigarów wielkiej rozpiętości. Przegl. Techn. 1924 r. Ciszewski J.: Odbudowa mostu na Wiśle we Włocławku. Przegl. Techniczny. 1924 r. Ch r óś ciel e ws ki A. : Przesunięcie podłużne i poprzeczne mostu na Bugu. Przegląd Techniczny. 1921 r.

Cliróścielewski A.: Montaż prowizorjum mostowego mostu Poniatowskiego w Warszawie. Przegląd Techniczny. 1924 r.

Schmidt Michel: Montages des ponts et charpentes, Mémoires de la Soc. d. Ing. Civ. 1900 r.-

Erection of Bridges. (The Railway Engineering: 1905, Dec.; 1906, Nov.; 1907, Apr., June, Aug., Oct., Nov.; 1908, Jan., Mar., May, Aug., Dec.).

Hdb. der Ing.-Wies.: Der Brückenbau. VI. Abt. 1903 r.

Bernhard K. : Eiserne Brücken. 1911 r.

Schönhöfer R. : Die Haupt-, Neben- und Hilfsgerüste im Brückenbau. 1911 r. Kirchner: Rüstungsbau. 1925.

Prokofiew J. : Żeleznyje mosty. 1911 r.

Paton О. E. Żeleznyje mosty. 1910 r.

Wzmacnianie mostów żelaznych.

Napisał

inż. Aureljusz Cliróścielewski,

Mińsk Mazowiecki.

Mosty istniejące wzmacnia się, gdy stają się za słabe z uwagi na zwiększające się z czasem obciążenia. Wedle przepisów M. R. P. potrzebne jest wzmocnienie tych części mostu, których naprężenia wskutek zmiany obciążeń przewyższą o 20% granicę dopuszczalną. Ta sama przewyżka przyjęta jest w Niemczech i Rosji; we Francji natomiast 33%. Dla M. K. wzmacnia się przęsła, obliczając je na normy А, В lub C, przy naprężeniach dopuszczalnych podług warunków z 1923 r.

Zaznaczyć należy, że wzmacnianie mostów wogóle nie jest pożądane; praca materjału nie będzie się bowiem odbywała w tych samych warunkach; lepiej jest nawet nieco przekroczyć naprężenia dopuszczalne. Niemniej wzmacnianie stosowane bywa dość często, tern bardziej dziś, gdy warunki finansowe uniemożliwiają wymianę mostów na większą skalę.

Ogólne warunki wzmacniania mostów. Przystępując do wzmacniania mostu, trzeba wypróbować materjał przęsła. Dla tego celu należy wziąć próbki z prętów najbardziej pracujących i zbadać je, czy pod wpływem drgań i naprężeń, przechodzących czasami poza granice sprężystości, materjał nie uległ częściowej krystalizacji, wskutek której wytrzymałość i sprężystość jego mogły spaść poniżej granic dopuszczalnych. Zależnie od otrzymanych rezultatów rozstrzyga się, czy należy stare przęsło zastąpić nowem (jeżeli żelazo okazało się nieodpowiednie), czy należy most wzmocnić, czy też można most pozostawić bez wzmocnienia (o ile naprężenia nie przekroczyły dopuszczalnych o 20% i o ile żelazo jest zadowalające, a stan ogólny przęsła nie wykazuje wadliwości.)

Przyjmując, że (średnio) cena kilograma żelaza, służącego do wzmocnienia jest dwukrotnie wyższa od ceny kg konstrukcji nowej, uwzględniając

§

U CN

/3,3

'+

IRï

-260

'S

'21.0

j-

WE

o o o o

»1 m

o I o 0,0 o 1 Ol o

o . o o'o

i—

+-

Fig. 508.

nadto, że moc, trwałość itd. są niższe w moście wzmacnianym niż w moście nowym, dochodzi się do wniosku, że wzmocnienie opłaca się, gdy ilość żelaza potrzebnego na nie, nie przekracza 30% wagi przęsła nowego.

Sposoby wzmacniania mostów są następujące:

a)    wzmacnianie, bezpośrednie, czyli wzmacnianie prętów przęsła za-pomocą zwiększania ich przekrojów przez przynitowywanie materjału nowego ;

b)    wzmacnianie pośrednie, czyli dodanie nowych części ustroju, zmieniających przeważnie system dźwigara pod względem statycznym;

c)    powiększenie liczby dźwigarów w celu odciążenia pracujących;

d)    dodanie w tymże celu dodatkowych filarów.

Wybór jednego z wyżej podanych sposobów wzmocnienia zależy od warunków ekonomicznych, konstrukcyjnych, estetycznych itp.

a) Wzmacnianie bezpośrednie. Powiększenie przekroju uskutecznia się zwykle przy pomocy żelaza, czasem jednak przy pomocy innych ma-terjałow. (Zamiana przęseł żelaznych na żelbetowe przez okrążenie ustroju żelaznego warstwą betonu, czasami nawet z dodaniem uzbrojenia żelaznego gdzie tego zajdzie potrzeba, oraz, niewłaściwe zresztą, wzmacnianie dźwigarów żelaznych drzewem.)

Wzmocnienie podłużnie, poprzecznie, oraz dźwigarów blaszanych i kratowych odbywa się przez przynitowywanie nowych nakładek (najczęściej !), kątowników, przykładek, lub wymiany istniejących na mocniejsze.

:r

**Trb ‘A

Fig. 509.

ту

O O Q ~0~

Xj

o.°o°J

°o°d

o o o o N o~~o ~6~5~ o~ _o_o__o_ o._o . o o o o y

—790

Fig. 510.

Fig. 511.

Fig. 508 przedstawia wzmocnienie wiaduktu nad szosą Pabjanicką w Łodzi. Poprzecznice wzmocniono tu, dodając do każdego pasa jedną długą nakładkę, oraz przytwierdzając blachę kątową do poprzecznicy dwoma kątownikami a w miejsce dotychczasowego jednego. Blachownice belek głównych wzmocniono dwiema długiemi nowemi nakładkami w każdym pasie, przenosząc dawne nakładki jako krótsze powyżej dodanych. Wreszcie, ponieważ naprężenie na zgniatanie ścianek dla nitów przekroczyło naprężenie dopuszczalne, przeto u dołu i u góry łącznika dodano przykładki, wprowadzając z każdej strony złącza w grę jeszcze po dwa nity, leżące na kątownikach głównych.

Fig. 509 przedstawia szczegóły wzmocnienia mostu pod Siedlcami na szlaku Warszawa—Brześć. Pas górny kratownicy został wzmocniony w polach drugiem i trzeciem jedną, a w czwartem i piatem dwiema nakładkami, pas dolny jedną nakładką.

Ściskany krzyżulec pierwszy wzmocniony został symetrycznie dwiema nakładkami a (na wyhoczenie). Rozciągany krzyżulec drugi wzmocniono płaskownikiem b, równym co do grubości blasze pionowej, łącząc go

I¹*»

::

I¹*!

Fig. 612.

gis 85к 85x14

Ъ bTytô'tô~toTô'

с О Ю о о оТЧ

7ЖГ

1325

1510

-100A 75*13

LWlVi°!g!

80,80,10/

О С Ql

<^Т

1325

120,55

О,

ТГ~0]

7,9

у*>

Fig. 613.

z węzłem górnym zapomocą dwóch przykładek c, z 'dolnym zaś zapomocą węzłówek d.

Na fig. 510 pokazano wzmocnienie węzła oporowego mostu na rzece Liwiec (szlak Siedlce—Ostrołęka) przy pomocy przykładek h, i, k.

Waga wzmocnienia wyniosła 11,5% pierwotnej wagi przęsła bez łożysk. Wzmocnienie utwierdzenia podłużnie do poprzecznie podaje fig. 511. b) Wzmacnianie pośrednie. Wzmocnienie podłużnie i poprzecznie wykonać można, zamieniając blachownicę na belkę kratową przez nani-towanie nowych pasów, słupów i krzyżulców. Por. fig. 512, gdzie do po-dłużnicy donitowano kątowniki dolne ukośne i pionowe) i fig. 513, gdzie podobnie (wzmocniono poprzecznicę, zamieniając ją na belkę wzmocnioną.

Belki kratowe wzmacnia się przez dodanie lub zmianę ustroju belki. Np. most na rzece Leśna na linji Brześć—Czeremcha projektowano wzmocnić, dodając do istniejącej kratownicy konstrukcję łukową (c) obejmującą obustronnie starą (a, b) konstrukcję (fig. 514), co dało się uskutecznić dzięki znacznej szerokości mostu. Częściej daje się. wykonać wzmocnienie także na lub pod dźwigarem kratowym. (Fig. 515, wzmocnienie mostu na kolei Gott-hardzkiej i fig. 516, wzmocnienie mostu na kolei Budapeszt—Żelazna Brama.)

Wzmocnienie pośrednie pozwala w większej mierze wykończyć wszystkie dodawane części w warsztatach, a robotę wykonać bez przerwy ruchu;

ponieważ jednak wzmacnianie bezpośrednie jest przeważnie ekonomiczniejsze pod względem ilości żelaza, potrzebnego na wzmocnienie, przeto dziś u nas stosuje się je najczęściej, a wzmacnianie pośrednie stosujemy, gdy przęsło sposobem bezpośrednim wzmocnić się dobrze nie da.

c) Wzmacnianie przęseł zapomocą dodawania dźwigarów, i d) Wzmacnianie przęseł zapomocą dodawania filarów w środku rozpiętości: Sposoby te używane są stosunkowo bardzo rzadko.

Wykonanie

wzmocnienia i    a

próba mostu. Przed wykonaniem wzmo-

cnienia którymkol-    '■»    ——■<J5S?_——зЕгггр:

wiek sposobem należy q \ \ \ \    / / /

obciążyć je (jeżeli    \ \ \ \1/ V V V

przęsło nie jest uszko-    _—,-—.-—,—-,—-,

dzone) obciążeniem    \ \ \ X/ / /

ruchomem, odpowia- \l n XI/ N1/—IX—

dającem przyjętemu    ^'ГТ~ТТТТ~Т^

w obliczeniu ,staty-    Ph^

cznem, zmierzyć ugię- u /P.LJ L_1-—LJ——LJ—i—l_^

.i

dl

N₍

N,

...J

___'

.--J

cie elastyczne, wychylenie (amplitudę)

Fig. 514.

/-s'*

-29580

fi \

A4

:Г

it

В'

л -в ГГ

“ -г

V"⁻''

il

я/

Fig. Ö15.

wahań poprzecznych, oraz zmierzyć naprężenia w prętach zapomocą aparatów Franki a, Manet-Rabut’a, Balke’go lub innych.

Jeżeli wzmacnianie odbywa się sposobem bezpośrednim, to musimy przęsło podeprzeć w węzłach i zapomocą dźwigów lub klinów wypchną« w nich strzałkę, odpowiadającą wielkości ugięcia od wagi własnej w danyn

--4330

1500

2,20

fi

1 mi

Tli

"T

tu

—2,20

И:

2J4

---2J4.....—-

Przekrój A-B'

ТГ

i.

—---21,40 —

Fig. 616.

węźle. W tem położeniu przęsła przystąpić należy do wycinania nitów i przymocowywania dodawanych części przekroi, tak, aby nowy materjał przyjął odpowiedni udział w pracy przęsła, także od wagi własnej.

Jeżeli przęsło nie jest uszkodzone, wzmacnianie powinno się zacząć od dźwigarów, aby nie obciążać wagą dodanego do jezdni żelaza i tak już za słabych dźwigarów.

Jeżeli wzmocnienie przez powiększenie przekrojów uskutecznia się bez przerwy w ruchu, to podparcie w węzłach po kaźdem przejściu pociągu może zmienić poziom i trzeba je regulować.

Po wykonaniu wzmocnienia i oswobodzeniu przęsła od rusztowań należy powtórnie obciążyć przęsło, i poddać je analogicznym pomiarom.

Ugięcie sprężyste, wychylenie (amplituda) wahań poprzecznych i naprężenia w prętach, mierzone zapomocą przyrządów, powinny być mniejsze niż przed wzmocnieniem i z pewną tolerancją równać się naprężeniom obliczonym teoretycznie.

Wzmacnianie i naprawianie uszkodzonych mostów przy pomocy spawania lukiem elektrycznym zaczęto stosować w ostatnich czasach, zwłaszcza przy francuskich mostach żeliwnych (por. niżej Literatura).

LITERATURA.

Chróścielewski: Wzmacnianie mostów żelaznych. Czasop. techn. 1922.

Bryła: Spawanie elektryczne żelaza w budownictwie i mostownictwie. Przegląd Techn. 1927.

„Bulletin de l’association du congrès international des chemins de fer“ Nr. 8—10, 1909 r. i Nr. 1, 2, 3, 5, 6, 8. 1910 r.

Boulon gu e; Réparation et renforcement du viaduc sur le Khône à. la Voulte. Annales des Ponts et Chaussées. 1924.

Boulongue: Réparation par soudure à l’arc électrique. Annales des Ponts et Chaussées. 1925.

Renaut: Nouveau procédé de construction et de renforcement des ponts métalliques. Paris 192(1.

Bernhard: Eiserne Brücken. 1911 r.

257

Bryła, Podręcznik inżynierski. V. 65

■%

.

V.

*

'

\

7

/

-ч

■л

о'

V

Ł

V

CZĘŚĆ SZÓSTA

STATYKA BUDOWLI

TREŚĆ

Mechanika ogólna. Napisał inż.dr. Maksymiljan T. Huber, profesor politechniki, Warszawa I. Kinematyka (Geometrja ruchu) . 1009

II. Dynamika ogólna.......

III. Statyka............

IY. Kinetyka...........

Sprężystość i wytrzymałość. Napisał inż. dr. Maksymiljan T. Huber, prof. politechniki, Warszawa

I. Część ogólna.........

II. Rozciąganie i ściekanie .... 1105

III.    Ścinanie i skręcanie . . .

IV.    Zginanie.........

V. Praca odkształcenia . . .

VI. Pręty zakrzywione . .

VII. Płyty..........

VIII. Wyboczenie.......

IX. Ważniejsze złożone przypadki zgięcia i wyboczenia......

1018

1047

Statyka budowli. Napisali: inż. dr. Jan Bogucki, profesor politechniki, Lwów; inż. dr. Stefan Bryła, profesor politechniki, Lwów; inż. Stefan Pazirski, Lwów; inż. dr. Maksymiljan Thullie, profesor politechniki, Lwów

1066

1079

. . 1111 . . 1116 . . 1141 . . 1150

1153

1166

I. Belki statycznie wyznaczalne o ściance pełnej (Bryła) .... 1185 II. Kratownice statycznie wyznaczalne (izostatyczne), Bryła . . 1210

III.    Kratownice przestrzenne (Bryła) 1232

IV.    Przesunięcia kratownic (Bryła) . 1288 V. Naprężenia drugorzędne w belkach kratowych (Bryła) .... 1249

VI. Ustroje hiperstatyczne (Bryła,

Pazirski, Thullie).......

VII. Budowle ziemne i mury oporowe

(Bogucki)...........

VIII. Teorja żelbetu (Thullie) .... 1332 Tablice

1256

1323

1379

1174

Przepisy dotyczące obliczeństa-tycznych w budownictwie lądowem..........

1433

■

v

/ %

Mechanika ogólna.

Napisał

dr. inż. Maksymiljan T. Huber,

profesor politechniki, Lwów.

I. Kinematyka (Geometrja ruchu).

A. Ruch punktu.

r ze-

1. Wstępne określenie. Mówimy, że punkt M (lub wogóle ciało C) się porusza, jeżeli z upływem czasu t zmienia swoje położenie w p strzeni geometrycznej, określonej danym układem odniesienia. Tym układem jest zwykle ląd stały naszej ziemi ; niekiedy zaś inny układ, praktycznie niezmienny i poruszający się względem ziemi, jak np. pokład statku, klatka windy, rama lokomotywy itp. Jakikolwiek układ odniesienia da się zastąpić układem trzech osispółrzędnych, zwykle prostokątnym. Położenie punktu M określają wtedy jego spółrzędne prostokątne

at, y, z, albo promień — wektor r, łączący początek układu O z punktem M (r— OM), albo spółrzędne biegunowe itp.

Względne położenie dwu punktów Mi (xx, yx, zx) i M₂ (x₂, y₂, z₂) wyznacza wektor w — Mi M₂ niezależnie od obranego układu osi spółrzędnych.

Symbol w zastępuje trzy rzuty wx = x₂— xx, w;j = y₂ — yx, wx — z₂—zx zorjentowanego w przestrzeni odcinka Mx M₂, co wyrażamy równaniem okre-ślającem :

= {wv «fy wz\    f

Jeżeli rozpatrywane położenia punktu M leżą na jednej j" ' ^ płaszczyźnie, to obierając ją za płaszczyznę XT'prostokąt- j* f—Y/'" nego układu spółrzędnych, określamy wektor Mx M₂ = w jf /У\ ц dwoma rzutami wx, wy (fig. 1); czyli:

Fig. i.

W = [wx, Wy) = [x₂ — xu y₂ — yi). Podobnież widzimy z fig. 1, że

П = [xi, j/i}, r₂ = {x₂, y₂).

Pomiędzy rlt rs i w zachodzi przeto związek, który wyrażamy równaniem wek-toro wem

w = гг — г,,

w ogólnym przypadku wyrażającem zwięźle to samo, co trzy równania algebraiczne

wx =

wz == гг — z,.

Wy — Уг-Уи

(W tym przypadku można pojmować fig. 1 jako rzut utworu trójwymiarowego na płaszczyznę X Y, obraną za płaszczyznę rysunku.)

2. Niektóre pomocnicze pojęcia rachunku wektorowego. W mechanice mamy do czynienia z różnemi wielkościami (prędkość, przyspieszenie, siła itd.), mającemi te same cechy matematyczne, co zorjentowany odcinek Mi M₂ — w, czyli mającemi charakter wektora. Cechami temi są Bryła, Podręcznik inżynierski. VI.

1. wartość bezwzględna, określona liczbą mianowaną, 2. kierunek, określony prostą w przestrzeni i 3. znak albo z w r o t (kierunku), oznaczony strzałką odróżniającą zarazem początek od końca wektora. Dany wektor może mieć znaczenie mechaniczne niezależne od umieszczenia początku wektora w przestrzeni (wektory swobodne), albo niezależne od umieszczenia początku wektora na jego prostej (wektory nie swobodne, związane z prostą), albo wreszcie może być związany ze swym punktem początkowym (wektor nieswobodny, związany z punktem).

samo

Dla wszystkich tych wektorów określa się w ten sam sposób operacje dodawania, odejmowania i mnożenia, które są uogólnieniem tak nazwanych operacyj wielkościami algebraicznemi.

Tutaj określimy narazie tylko dodawanie i odejmowanie dwu wektorów.

a = {ax, ay, aż} i b=={bx, by, bz}

zapomocą schematu:

a±b = {ax± bx, ay±by, «* + &*}•

Wektor s — a + b nazywa się (geometryczną) sumą, wektor d = a — b (geom.) różnicą wektorów a i b (fig. 2). Symbol —a oznacza wektor przedstawiony tym samym odcinkiem, co wektor a, lecz opatrzonym strzałką przeciwną (fig. 3).

(Geometryczna) suma s ilukolwiek wektorów (fig. 4) u^ — A₁B₁, w₂ — A₂B₂, . . , wn = AnBn jest określona równaniem:

s = b = jbït lwy,

Wykreślnie otrzymujemy tę sumę, łącząc wektory-dodajniki (w dowolnym porządku) tak, aby koniec poprzedniego dodajnika był początkiem następnego

<

Ж2* »

« ЛтИ/Ап

А V \\

Fig. 2.

Fig. 3.

Fig. 4.

(wie lob о к wektorów). Wektor, który łączy początek utworzonego wielo-boku z jego końcem i tworzy bok zamykający wieloboku wektorów-dodajników, przedstawia sumę s — CDn, zwaną niekiedy wektorem wypadkowym układu iVx, w₂, . . .

wn-

Uwagi. Suma geometryczna podlega (tak samo jak algebraiczna) prawom przemien-ności (a-(-6 = 6-(-a)i łączności [a + h + c -j- d — (a b) -|- (c -(- d) — a + {b -)- c + d) itd.]_

Niektórzy autorowie uwydatniają operacje wektorami zapomocą odmiennych znaków dodawania i odejmowania. Ten sposób można usprawiedliwić jedynie względami dydak-tycznemi, gdyż kładąc znak -|- między dwoma wektorami, zaznaczamy tem samem powyżej określone (geometryczne) dodawanie wektorów. Dodawanie zaś ich bezwzględnych wartości przedstawiamy przez a + ó, albo |a|-j-|6|.

B. Różne sposoby przedstawienia ruchu punktu. Najpierw nasuwa się sposób nomograficzny. W nim dana jest wykreślnie lin ja, którą opisuje punkt podczas ruchu, zwana torem punktu. Na torze tym (płaskim lub przestrzennym) oznaczamy przez O punkt początkowy, w którym poruszający się punkt znajdował się w chwili początkowej, a następnie oznaczamy liczbą 1, 2, 3 itd. miejsca zajęte przez ten punkt po jednej, dwu, trzech... sekundach (minutach, godzinach itd., zależnie od dokła-

dności, z jaką ruch przedstawić chcemy i od wielkości przedziału potrzebnego do opisania’calego toru). Zamiast tego można na torze odmierzyć od punktu początkowego jedną, dwie, trzy... n jednostek długości i otrzymane w ten sposób miejsca oznaczyć liczbami określającemi chwile t, w której sie tam punkt znajdował.

Te oznaczania liczbami punktów na torze zastępuje z pewną korzyścią równanie

czasu

*=/(0»

zwane równaniem ruchu. Tutaj oznacza s drogę, tj. długość toru mierzoną od punktu początkowego do miejsca zajętego przez punkt w chwili t. Przedstawiwszy funkcję f(t) obrazem geometrycznym (fig. 5) mamy t. zw. wykres drogi.

Dwa rysunki, tj. wykres toru (przedstawiony w ogólnym przypadku rzutami prostokąt- ÿ nemi na dwie płaszczyzny) i wykres drogi daje zupełny wykreślny obraz ruchu punktu.

Matematycznie określa się ruch punktu zwykle trzema równaniami

WyKRES DROGI

TOR

ВГ

*=/i(4 y=A(t), z=fs(t),

przedstawiającemi spółrzędne prostokątne poruszającego się punktu, albo też równoważnem z niemi jednem równaniem wektorowem

Fig. 5.

r=F{t),

określającem promień-wektor tegoż punktu, wychodzący ze stałego punktu O, obranego w układzie odniesienia.

4. Różne rodzaje ruchu punktu rozróżniamy 1. według postaci toru: prostolinjowy i krzywolinjowyj 2. według wykresu drogi: ruch jednostajny, gdy wykres drogi jest linją prostą, czyli droga s jest linjową funkcją czasu t, i ruch niejednostajny, czyli zmienny, gdy wykres drogi jest linją krzywą.

ruch

Uwaga. Rozpatrywanie ruchu punktu ma nie tylko znaczenie teoretyczne, przygotowujące do studjów ruchu ciał, lecz także nader ważne znaczenie praktyczne; często bowiem ruch punktu jest wystarczającym obrazem ruchu ciała nawet bardzo złożonego jak np. pociągu kolejowego, jeżeli chodzi tylko o obraz ogólny, potrzebny np. przy sporządzaniu rozkładu jazdy itp. zadaniach. Wtedy mówimy zwykle o ruchu ciała, mając przytem na myśli ruch jednego stosownie obranego punktu tego ciała; dajmy na to środka przedniej latarni lokomotywy w przypadku ruchu pociągu kolejowego.

5. Prędkość średnia i chwilowa. Wektor prędkości. Gdy pociąg wyjeżdżający ze stacji A do drugiej B, odległej o 80 km, osiąga ją po

80 minutach, to mówimy, że jechał ze średnią prędkością

80 km

80 min.

= 1 km/min. (jednego kilometra na minutę, czyli 60 km na godzinę, albo

wreszcie 16²/₃ да/sek.

60000 m

-j. Oznaczywszy przez s₁ i s₂ długość drogi

3600 sek.

mierzonej od początku linji kolejowej do stacji A\ B, zaś przez 4 i 4 chwile wyjazdu ze stacji A i przyjazdu do В, widzimy, że średnią prędkość vw określa równanie

vm =

s₂ — Sj As

4 — 4

przyczem Д s = s₂ — su Д t = 4 — 4-

Wogóle ma prędkość średnia różną wartość na rozmaitych odcinkach drogi. Jeżeli ta wartość jest stała bez względu na długość odcinka As, na

jego miejsce na torze i na odpowiadający przedział czasu A t, to ruch jest jednostajny. Jego równaniem jest s = s₀ c t.

W ogólnym przypadku ruchu zmiennego odpowiada przedziałowi czasu

A g

od chwili t do chwili i -j- Д t średnia prędkość ——, która się zmienia zależnie od t. Gdy Д t —> 0 (czytaj : zdąża do zera), to

As ds lim г— = —— = V At dt

nazywa się prędkością chwilową w odpowiadającem chwili t miejscu toru, albo krótko prędkością w chwili t.

Gdy ruch jest prostolinjowy i określony równaniem s—f(t), to prędkość ma widocznie charakter wektora v leżącego na torze i skierowanego w stronę

cL s

rosnących s, lub w stronę przeciwną, zależnie od tego czy pochodna

jest dodatnia, czy też ujemna. Wektor v nazywa się wektorem prędkości.

6.    Wykres prędkości. Tak nazywamy geometryczny obraz równania d s

v — -j-j- —f'(t). Wykres prędkości przedstawia przeto krzywą różniczkową

dla wykresu drogi jako krzywej całkowej. Według wykresu prędkości rozróżniamy ruch jednostajnie zmienny, którego wykres prędkości jest prostolinjowy od ruchu niejednostajnie zmiennego, którego wykres prędkości jest krzywolinjowy.

7.    Przyspieszenie średnie i chwilowe. Wektor przyspieszenia.

Poraź przyrostu prędkości r₂ —    ~ Av przez odpowiadający przedział czasu

t₂ —    — A t nazywamy przyspieszeniem średniem ruchu w czasie Д t.

Dla ruchu jednostajnie zmiennego ma przyspieszenie średnie wartość stałą, niezależną od przedziału czasu. Wówczas

v — v₀ -\- a t.

W ogólnym przypadku ruchu niejednostajnie zmiennego jest

dv d*s _

dt dt2 a

razu

wartością przyspieszenia w chwili t, określoną jako funkcja zmiennej t. Dla ruchu prostolinjowego jest charakter wektorowy przyspieszenia od widoczny. Strzałka wektora przyspieszenia a jest skierowana zgodnie z v lub przeciwnie zależnie od tego czy v rośnie (przyśp. dodatnie) czy też maleje z upływem czasu (przyśp. ujemne).

8.    Najogólniejsze określenie wektora prędkości ruchu krzywoliniowego. Gdy ruch ten przedstawia równanie

_    r — F (t),

określające promień-wektor r ;ako funkcję czasu t, to wektor prędkości średniej

Ar

vm =

ma kierunek cięciwy łączącej punkt toru M, zajęty w chwili t, z punktem M', zajętym w chwili t -j- Д t.

Ar dr

lim

At dt

Wektor

czyli iloraz różniczkowy promienia-wektora względem czasu określa wektor prędkości w chwili t, styczny do toru w odpowiadającem miejscu.

9. Hodograf. Najogólniejsze określenie wektora przyspieszenia ruchu krzywolinjowego. Naturalnem uogólnieniem wykresu prędkości ruchu prostolinjowego jest dla ruchu krzywolinjowego t. zw. hodograf, tj. krzywa utworzona przez końce wekto-rów prędkości, wykreślonych z obranego dowolnie stałego m punktu początkowego, np. Й na fig. 6.    л

Ta definicjajest w zgodzie z poprzednią mniej ogólną, albowiem |»| = |-^-| —

Jeżeli r = F(t) jest równaniem ruchu danego, to    ⁴²

Fig. 6.

dt

jest równaniem odpowiadającego ruchu po hodografie. Prędkość ruchu po hodografie (jako wektor)

d²r -

dt dt²

określa zarazem wektor przyspieszenia a danego ruchu krzywolinjowego.

Wektor przyspieszenia leży w płaszczyźnie ściśle stycznej do toru (gdy tor jest płaski w płaszczyźnie tego toru) ; jest wogóle nachylony do toru i zawsze skierowany ku wnętrzu jego wklęsłości.

10. Przyspieszenie Styczne i normalne. Wektor przyśpieszenia da się zawsze rozłożyć na sumę geometryczną dwu wektorów według schematu:

a = ał + an-

d²s

dl²'

Pierwszy z nich at nazywa się przyspieszeniem stycznem, gdyż leży na stycznej do toru, przyczem ma wartość i kierunek określony

drugą pochodną łuku toru względem czasu, tj.

Drugi zaś, czyli

a,t nazywa się przyspieszeniem normalnem, czyli dośrodkowem

t    V²

i ma wartość bezwzględną —, jeżeli p jest długością promienia krzywizny

toru. Przytem ma kierunek wzdłuż normalnej głównej toru ku środkowi jego krzywizny :

at

a = |/ + al-

an^~

p

W ruchu krzywolinjowym jednostajnym jest przyspieszenie styczne stale

dt² ’

równe zeru, a całkowite przyspieszenie jest normalne i równa się —.

Wogóle można powiedzieć, że przyspieszenie styczne jest warunkowane tylko zmianą wielkości prędkości, zaś przyspieszenie norma 1 n e tylko zmianą kierunku prędkości.

11. Rzutowanie ruchu. Rzut równoległy albo prostokątny poruszającego się punktu porusza się na płaszczyźnie rzutów z prędkością i przyspieszeniem, które są odpowiednio rzutami prędkości i przyspieszenia ruchu danego.

Z trzech równań określających ruch punktu

«=/i (t), У =A(V, 2= /₃ (t)

przedstawia każde z osobna dla siebie ruch rzutu tegoż punktu na odpowiadającą oś. Prędkościami tych oddzielnych ruchów są rzuty prędkości ruchu danego, tj.

dX „, . .    dy „. . .    d z „,„    '

^—ST~flW’ v«—it=h(t>'

2 7Г

a więc :

s a sin

T ^

Fig. 7.

Promień koła a określa t. zw. amplitudę (obszerność) drgania, T zaś okres drgania, tj. czas, w którym punkt M opisuje cały okrąg koła, a odpo-

2 71

Podobnież ma się rzecz z przyspieszeniami:

d² X _ d² y

dt21 ay⁼ Tt21 a*

12. Prosty ruch harmoniczny (drganie harmoniczne). Tak nazywamy rzut ruchu jednostajnego po okręgu koła na oś leżącą w płaszczyźnie tego koła (fig. 7). Licząc czas t od chwili przejścia punktu przez C a jego rzutu przez O', mamy dla drogi s rzutu M' ró-

T wnanie s — a sin przyczem cp

1____4-

rr

У rA

ax

d² z

dt²'

J ЦТ

2 tz

wiadający promień kąt 2-, Wartość — ш nazywają częstością drgania. (Jest to liczba pełnych drgań przypadająca na 2 ti sekund. Inni autorowie nazywają częstością —, czyli liczbę pełnych drgań w jednej se-

V²

kundzie.) Oznaczywszy przez V prędkość ruchu po kole, a- przyspie

szenie (normalne) tego ruchu, mamy widocznie dla ruchu harmonicznego jako rzutu : prędkość v = V cos    1, przyspieszenie p = sin t.

To samo wyrażają równania:

2 7Г t

~Y~' P

2 tza -1- — COS

d²s

4 rr² a

dt²

JT2

sin

2 77

-    . Na rysunku uwidoczniono także wykres drogi

zważywszy, że V jako sinusoidę o długości fali = T.

Uwaga. Jeżeli czas mierzymy nie od chwili gdy kąt (p — 0, lecz od chwili gdy kąt (p — a, to równanie drgania harmonicznego ma postać ogólną

s — a sin (cot-\- a).

Kąt a nazywa sie kątem fazy. Jakiekolwiek dwa drgania harmoniczne mogą się różnić 1. amplitudą 2. okresem lub częstością i 3. fazą, tj. wartością kąta a. Skoro np. w dwu drganiach równokierunkowych jest dla pierwszego s — 0, a jednocześnie

.7

dla drugiego s = -j-a, to mówimy że drugi ruch wyprzedza fazą pierwszy o —, albo o

ćwierć okresu.

Inne przykłady w kinetyce.

B. Ruch ciała sztywnego (układu niezmiennego).

13. Ogólny ruch ciała sztywnego jest określony ruchem jego trzech punktów tworzących trójkąt. Tory tych punktów nazywają się kierownicami ruchu. Każdy z tych punktów moży być obrany także zewnątrz ciała, byleby zachowywał niezmienne odległości od wszystkich punktów ciała.

W szczególności nazywamy ruch postępowym, gdy trójkąt punktów nie zmienia podczas ruchu orjentacji w przestrzeni (odpowiadającej układowi odniesienia). Taki ruch jest zupełnie określony ruchem jednego punktu ciała, Ruch postępowy może być krzywolinjowy, jak np. ruch trzonu łączącego dwie korby równe i równoległe, albo prostolinjowy, zwany także przesunięciem (translatio).

przyśpieszenie normalne zaś

v²

Kuch postępowy krzywolinjowy można sobie wyobrazić jako nieprzerwany ciąg przesunięć chwilowych, tj. przesunięć dokonanych w elementach czasu d t.

Kuch ciała nazywamy obrotowym (obrotem), gdy z owych trzech punktów są dwa nieruchome. Te dwa punkty wyznaczają oś obrotu. Wszystkie punkty ciała nie leżące na osi obrotu opisują koła o promieniach r równych odległościom tych punktów od osi. Kąty, jakie jednocześnie opisują wszystkie te promienie, mają wspólną wartość cc zwaną kątem obrotu ciała. Ruch obrotowy jest zatem zupełnie określony daną osią i kątem obrotu cp jako daną funkcją czasu.

Pierwsza pochodna kąta obrotu = w nazywa się prędkościąką-

d ш Jt²

Wartość prędkości (linjowej) punktu ciała obracającego się, leżącego w odległości r od osi obrotu, daje równanie

d cp dt

Przyśpieszenie styczne tegoż punktu określa równanie

d² cp

V -—

dt²

tową, druga zaś, tj.

d² cp

üt = r~dl

£ przyspieszeniem kątowem.

Г £,

»«==-— = гш<2-

Ogólny ruch chwilowy ciała da się zastąpić zespołem przesunięcia chwilowego z obrotem chwilowym na nieskończenie wiele sposobów. W każdym zespole jest kierunek osi obrotu ten sam, a tylko kierunki przesunięcia są różne. Pomiędzy temi zespołami zachodzi tylko jeden, w którym kierunek przesunięcia jest równoległy do osi obrotu. Taki ruch nazywa się skrętem (ruchem śrubowym).

Jakikolwiek ruch chwilowy ciała da się wywołać skrętem chwilowym.

Przesunięcie i obrót są przeto ruchami elementarnemi, do którjch wszelkie inne ruchy ciała sprowadzić można. Przesunięcie da się nadto pojmować jako obrót około osi leżącej w nieskończoności z prędkością kątową nieskończenie małą.

14. Ruch równoległy do płaszczyzny stałej, zwany także ruchem p o-suwistym, albo płaskim, jest wyznaczony ruchem dwu punktów ciała A i В (fig. 8) obranych w tej płaszczyźnie (płaszczyzna ruchu, albo płaszczyzna kierująca).

Po czasie Д t zajmie odcinek А В położenie A' B'. To położenie łatwo osiągnąć obrotem odcinka А В około osi prostopadłej do płaszczyzny ruchu. Jej ślad C znajdujemy jako punkt przecięcia się symetralnych dla odcinków AA' i В B' (fig. 8). Przebieg rzeczywistego ruchu ciała między dwoma rozpatrywanemi położeniami różni się wogóle od powyższego, obrotu, gdyż drogi A A' i В В' mogą się różnić od łuków kół zakreślonych ze środka C. Skoro jednakże przedział czasu, Д t zdąża do 0 a wraz z nim i wektory przemieszczeń AA' i В В', to rzeczywisty ruch chwilowy zlewa się z obrotem chwilowym. A zatem:

Ogólny ruch posuwisty można uważać za nieprzerwany szereg obrotów chwilowych około coraz to nowych osi chwilowych prostopadłych do płaszczyzny kierującej.

Znając tory dwu punktów ciała A i B, leżących na płaszczyźnie kierującej, znajdujemy dla każdego położenia AB odpowiadający środek chwilowy C (ślad osi chwilowej na płaszczyźnie kierującej), jako punkt

przecięcia się prostopadłych A C i В C do prędkości chwilowych obu punktów (fig. 9), czyli do stycznych obu torów w odpowiadających punktach.

prędkości kątowej obrotu chwilowego. Miej-

Przytem jest

Yi f₂

А С В C

geometrycznem środków chwilowych C (zwanych także „biegunami“) płaszczyźnie kierującej jako stałej płaszczyźnie odniesienia jest krzywa [C\ zwana centrodją stałą, albo centrodją w przestrzeni (do której

ruch ciała odnosimy). Skoro w poruszają^-- jącem się ciele oznaczymy punkty C, to . g/ otrzymamy krzywą [i⁷¹] nieruchomą względem ciała a więc poruszającą się wraz z niem. Jest to centrodją ruchoma, albo centrodją ciała.

Skoro w punktach Px, P₂, ... układu poruszającego się równolegle do płaszczyzny (fig. 10) wykreślimy wektory

scem

na

U'-

Fig. 8.

Fig. 9.

prędkości vlf v₂, ... i obrócimy je o kąt prosty taki, iż padną na promienie łączące środek chwilowy C z punktami Pu P₂, ..., to otrzymujemy t. zw. prędkości „prostopadłe“ lub „obrócone“ (»л), (®₂) ....

Końce prędkości prostopadłych tworzą wielobok podobny i podobnie położony do wieloboku punktów P₁,P₂... ze środkiem podobieństwa w C.

Kreśląc z dowolnie obranego początku O (fig. 10) wektory prędkości (rzeczywistych lub obróconych) punktów P₁?P₂,... otrzymujemy wielokąt utworzony z końców Alt A₂,. .. podobny do wielokąta Plf P₂,.... Otrzymany przytem rysunek nazywa się planem prędkości i oddaje ważne usługi przy kreśleniu planu przesunięć dla kratownic.

15. Wektor obrotu chwilowego w i składanie obrotów. Stan ruchu ciała obracającego się w chwili t około pewnej osi jest zupełnie określony wektorem to związanym z tą osią, którego długość wyraża liczbową wartość prędkości kątowej ш, a strzałka jest umieszczona tak, ażeby można było znaleźć kierunek obrotu według następującej umowy:

Skoro pomyślanego obserwatora zwiążemy z wektorem co tak, aby strzałka wektora wskazywała od stóp ku głowie, to obserwator stwierdzi pod stopami obrót ciała zgodny z obrotem wskazówek na tarczy zegarowej. (Patrząc przed siebie widzi ruch punktów ciała od ręki lewej ku prawej.)

Uwaga. W niektórych książkach przyjęło umowę odwrotną, co oczywiście prowadzi do odwrócenia strzałki wektora co -określającego obrót dany.

p,<

rł

Często ciało bierze udział jednocześnie w dwu obrotach chwilowych, jeżeli np. należy do dwu układów odniesienia, z których jeden obraca się względem drugiego. (Np. wirnik prądnicy w wagonie tramwajowym obraca się względem wagonu, a wagon jadący w łuku obraca się względem ziemi. Osi obu obrotów przecinają się pod kątem prostym). Dwa obroty chwilowe określone wektorami prędkości kątowych ш₁ i iu₂ około osi przecinających się w punkcie A (fig. 11) są równoważne obrotowi chwilowemu z prędkością kątową

"A

Ib

iT

,4

Fig. 10.

Fig. 11.

Ü) = O»! -j- (ÜJ

około osi przechodzącej przez tenże punkt A (i leżący z tamtemi w jednej płaszczyźnie). Składanie obrotów chwilowych sprowadza sie w ten sposób do geometrycznego dodawania wektorów prędkości kątowych (podobnie jak składanie sił). Odwrotnie każdy obrót chwilowy można rozłożyć na obroty składowe około osi przecinających się, czyli zastąpić dany obrót chwilowy w obrotami o»! i to₂, byleby powyższe równanie było spełnione.

Dowód polega na okazaniu, że dowolny punkt ciała N na prostej wektora co otrzymuje od obrotów «о, i co₂ odpowiadające prędkości o równych wartościach bezwzględnych r, co, i r₂ co₂, a wprost przeciwnych kierunkach, które zatem się znoszą. Prosta A N jest przeto osią obrotu wypadkowego itd.

Dwa obroty chwilowe około osi równoległych, określone wektorami prędkości kątowych i łu₂, dają obrót wypadkowy z prędkością kątową tu =    + <n₂ zależnie od tego czy obroty są zgodne, czy też prze

ciwne. Wektor obrotu wypadkowego ш znajduje się tak samo jak wypadkowa sił równoległych.

16. Zmiana układu odniesienia. Ruch względny. Dla obserwatora na płynącym statku W jako układzie odniesienia przedstawia się ruch jakiegokolwiek ciała, np. piłki, inaczej, aniżeli dla obserwatora stojącego na brzegu, czyli na ziemi jako układzie odniesienia U. Często wypada znając prędkość vw i przyśpieszenie aw punktu ciała względem układu W, wyznaczyć prędkość vb i przyśpieszenie ab w odniesieniu do układu Ulub nawzajem. Dla wygody nazywamy często (zapożyczając się z dynamiki) układ U układem „bezwzględnym“, zaś W układem „względnym“, jakkolwiek ze stanowiska kinematyki są oba układy równouprawnione i mogą zamienić swoje role.

Ruch chwilowy w układzie W (statku) względem U (ziemi) jest wogóle złożony z przesunięcia z prędkością vQ i obrotu ш. Wskutek tego każdy punkt nieruchomy w układzie W (względemstatku) porusza się względem U (ziemi) z prędkością vu i przyspieszeniem ay, które wyznaczamy według prawideł powyżej wymienionych. Nazywamy je prędkością unoszenia vu i p rzy spieszeniem unoszenia Każdemu przeto położeniu punktu M względem układu U odpowiadają pewne wartości prędkości i przyśpieszenia unoszenia vu i ay, obok jednoczesnych wartości prędkości i przyśpieszenia względnego vw i aw. Od nich zależą wartości prędkości vf) i przyśpieszenia ab w układzie U w sposób przedstawiony wzorami:

+    аЪ=аи, + аи + ас1

które wyrażają twierdzenia:

I. Prędkość bezwzględna punktu jest sumą geometryczną prędkości względnej i prędkości unoszenia.

II. Przyspieszenie bezwzględne punktu jest sumą geometryczną przyspieszenia względnego, przyspieszenia unoszenia i przyspieszenia Coriolis’a, zwanego także dodatkowem. Przyśpieszenie Coriolis’a ma wartość bezwzględną

ac = 2 vw ш sin (»«,» И

a kierunek prostopadły do vw i do w tak, aby wektory vw, w i a₍, tworzyły w tym porządku układ prawy (tj. odpowiadający kolejno rozstawionym przestrzennie trzem palcom prawej ręki, począwszy od wielkiego; fig. 12).

Z równań powyższych wynika nawzajem:

vw = 4 + (- O;

aw = ab + (— au) 4" (— «Д

czyli słowami:

№.

I.    Prędkość względna jest sumą geometryczną (wypadkową) prędkości bezwzględnej i przeciwnie wziętej prędkości unoszenia.

Fig. 12.

II.    Przyspieszenie względne jest sumą geometryczną (wypadkową) przyspieszenia bezwzględnego, przeciwnie wziętego przyspieszenia unoszenia i przeciwnie wziętego przyspieszenia Coriolis’a.

II. Dynamika ogólna.

A. Podstawy dynamiki.

17. Jednostki podstawowe. Wszelkie wielkości mechaniczne dają się wyrazić jednostkami długości czasu i masy. W t. zw. centymetro-gramo-sekundowym układzie jednostek (skrót C. G. S.) jest :

a)    Jednostką długości centymetr (cm) określony jako jedna setna długości wzorca metrowego przechowywanego w Sèvres pod Paryżem (przy temperaturze 0° C i normalnem ciśnieniu barometrycznem).

b)    Jednostką czasu jest sekunda (sk) czasu średniego, wyznaczonego pośrednio przez obserwacje astronomiczne. Te obserwacje określają bezpośrednio czas gwiazdowy, którego sekunda (s) jest nieco mniejsza od (sk), a mianowicie :

Nawzajem jest

1(e) = 0,99726957 (sk).

1 (sk) = 1,00273972 (s).

Vi

000

c) Jednostką masy jest masa jednego grama (g*), określona jako masy jednego kilograma (kg*), czyli masy wzorca kilogramowego ze stopu platyny z irydem, przechowywanego w Sèvres pod Paryżem. (Ostatnia masa jest z wielkiem przybliżeniem równa masie 1000 cm³ czystej wody przy 4° C.)

Obok układu jednostek C. G. S. używa się jeszcze, zwłaszcza w mechanice technicznej, układu technicznego, który ma te same jednostki długości i czasu, co układ C. G. S. (fizykalny) ; natomiast trzecią jednostką podstawową jest w nim nie jednostka masy, lecz jednostka siły.

Techniczną jednostką siły jest siła jednego kilograma (kg), określona naciskiem, jaki wywiera na podstawę ciężar jednego kilograma spoczywającego w Paryżu, czyli siła ciężkości działająca na masę jednego kilograma w Paryżu.

Przejście od jednostki siły do jednostki masy w układzie technicznym i odwrotne w układzie C. G. S. będzie omówione w następnym ustępie.

18. Pierwsze podstawowe prawo dynamiki wyraża się równaniem

P,

d (m v)

dt

w którem oznacza m masę punktu materjalnego, v jego prędkość, a P siłę nań działającą. Wektor m v nazywa się ilością ruchu, albo pę,dem punktu materjalnego. A zatem słowami: Pochodna pędu punktu materjalnego względem czasu równa się sile wywołującej zmianę pędu.

To wysłowienie stwierdza już charakter wektorowy siły P. Według trzeciego z założeń w ust. 2 jest masa m stałą, a równanie przybiera postać zwykle stosowaną:

^ = P; (masa X przyspieszenie = sile)

albo po rozłożeniu wektorów na trzy składowe w kierunkach osi X, Y, Z-

dvy

dvx

d²x

dt

dt²

X: m —-

’ dt

d²y

°4 d²z „

m —— = m —r. = Z.

Pierwsze prawo pozwala wielkości sił mierzyć przyśpieszeniami, jakich te siły udzielają jednemu i temu samemu punktowi materjalnemu. Z drugiej strony mając daną siłę określoną statycznie, np. natężeniem pola sił, możemy przy pomocy pierwszego prawa znaleźć przyśpieszenie, jakiego siła udzieli punktowi materjalnemu o masie m. Nakoniec pierwsze prawo określa jednostkę siły w układzie C. G. S., zaś jednostkę masy w układzie technicznym, a mianowicie:

siła, która masie jednego grama

W układzie C. G. S. jest jednostką siły dyna, t. j. udziela przyspieszenia równego jednostce, t. j. 1 cm/sk².

grama

Ponieważ siła jednego kilograma (jako ciężar) udziela masie jednego kilograma w Paryżu przyspieszenia 980,665 cm/sk², przeto ta sama siła udzieliłaby masie jednego przyspieszenia 980 665 cm/sk²-, czyli techniczna jednostka siły

Naodwrót

1 dyna =

1 kg = 980 665 dyn. ^^ = 1,0197.10-6^.

(W zwykłych rachunkach technicznych wystarcza przyjąć w przybliżeniu 1 kg = = 0,981 .10⁶ dyn i 1 dyna = 1,02.10    6 fog,)

Przy rzeczywistem mierzeniu sił ciężarami trzeba pamiętać, że ciężar jednej i tej samej masy zmienia się zależnie od szerokości geograficznej ą> i wzniesienia nad poziom morza h. Zależność tę określa wzór dla przyspieszenia ciężkości g, który ma postać:

g = 9,806 056 — 0,025 028 cos 2 cp — 0,000 003 . h, przyczem h jest wyrażone w metrach, zaś g w m/sk².

Stąd wypada dla poziomu morza na równiku g₀ = 9,781 m/sk² ; na biegunach g^o = = 9,831 m/sk²; dla środkowej Polski okrągło gp — 9,81 m/sk², a więc około 2°/₀₀ mniej niż na biegunach, a 3%₀ więcej niż na równiku.

Zapomocą ważenia na zwykłych wagach dźwigniowych znajdujemy nie ciężar ciała, lecz jego masę wyrażoną w kg*. W utartym sposobie wyrażania się: „Ciało waży x kilogramów“ tkwi właściwie zdanie: „Ciało ma masę x kilogramów (kg*)u, jeżeli wykluczymy zastosowanie wag sprężynowych. Ciężar tegoż ciała w układzie C. G. S. będzie równy 1000 x. g dyn (jeżeli g wyrazimy w cm/sk²).

Ten sam ciężar wyrażony w jednostkach technicznych równa się, biorąc ściśle:

{kg),

X ' g Paryż

zaś z błędem nie przekraczającym 3°/₀₀ w żadnem miejscu powierzchni ziemi. . . x(kg).

Natomiast masa naszego ciała wyraża się w układzie C. G. S. jako x (kg*), albo 1000 x (g*), zaś w układzie technicznym ściśle jako

(kg . cm ¹ sk²),

980,665

g Paryż

a w przybliżeniu najczęściej wystarczającem :

-JL-to.«-**»).

Z powyższego widać, jak pożytecznem jest odróżnienie gwiazdką jednostek masy g* i kg* układu C. G. S., nazywanych na nieszczęście temi samemi wyrazami, co jednostki siły układu technicznego. Jest to nieraz powodem fatalnych nieporozumień, zwłaszcza u początkujących.

1\, F*:

19. Drugie podstawowe prawo dynamiki wyraża, że jakkolwiek siły . działające na dany punkt materjalny można zastąpić wypadkową jR, która jest ich sumą geometryczną, czyli

Я = Гг+Р₂ + ...

To prawo stanowi zarazem punkt wyjścia statyki. (Prawo składania sił.) (Zasada niezależności działania sił.)

20.    Trzecie podstawowe prawo dynamiki brzmi w lapidamem wysłowieniu : Działanie jest równe i wprost przeciwne oddziaływaniu. Znaczy to, że sile P określającej działanie punktu materjalnego m₂ na punkt materjalny m₁ towarzyszy zawsze siła — P, przedstawiająca działanie mj na m₂, przyczem kierunki obu sił leżą na prostej mx m₂.

T. zw. prawo bezwładności, które Newton postawił na czele dynamiki jako wysnute z doświadczenia, mieści się już w pierwszem podstawo-wem prawie jako przypadek szczególny jego zastosowania. Skoro bowiem P= 0, to mv = stałej, czyli punkt materjalny, na który żadne siły nie działają, porusza się jednostajnie i prostolinjowo (oczywiście w bezwzględnym układzie odniesienia). To samo zachodzi widocznie i wtedy, gdy siły działające na punkt materjalny się nawzajem znoszą, czyli są w równowadze.

21.    Zasada względności mechaniki klasycznej opiewa: Skoro znajdziemy jeden bezwzględny układ odniesienia, to każdy układ poruszający się względem niego prostolinjowo i jednostajnie jest również układem bezwzględnym. We wszystkich tych układach są ważne podstawowe prawa dynamiki, a więc i prawo bezwładności. O żadnym z tych układów nie można twierdzić, że jest w bezwzględnym spoczynku, albo w bezwzględnym ruchu. Wszystkie są równouprawnione w dynamice. Dlatego tradycyjna nazwa: „układ bezwzględny“ nie jest stosowna i ustępuje nowszej: „układ inercjalny (bezwładnościowy)“. Za taki układ można uważać z bardzo wielką ścisłością układ gwiazd stałych. Wobec tego ziemia obracająca się względem tego układu nie jest, biorąc ściśle, układem inercjalnym, jakkolwiek w bardzo wielu zadaniach mechaniki technicznej można ją z dostatecznem przybliżeniem traktować jako taki układ. Natomiast układ spółrzędnych o początku w środku ziemi i osiach równoległych do osi układu związanego z gwiazdami stałemi ma z bardzo znacznem przybliżeniem cechy układu bezwładnościowego. Względem tego układu obraca się ziemia ze stałą prędkością kątową

2 тс

2 тс

0,000 072921 (sfc⁻¹).

°J 24.60.60 (s) " 24.60.60.0,99727 (sk)

B. Środek masy.

22. Określenie środka masy. Środek ciężkości. Ciała materjalne traktujemy w mechanice bądź to jako układy oddzielnych punktów materjalnych, bądź też jako bryły geometryczne wypełnione materją ciągłą. W pierwszym modelu określamy położenia punktów materjalnych o masach mlf m₂, .. . promieniami — wektorami rlt r₂, ... wychodzącemi z obranego punktu O w układzie odniesienia, w drugim zaś określamy położenie dowolnego elementu masy d M — \j. d V (p. gęstość, d V objętość elementu) jego promieniem-wektorem r zmieniającym się w sposób ciągły od punktu do punktu ciała. Środkiem masy ciała nazywamy punkt S wyznaczony promieniem-wektorem r₀= OS zapomocą równania:

. EEE X mi rt, albo M r₀ = j r d M,

V

w którem M oznacza masę całego ciała. To równanie czytamy: Moment masy całego ciała skupionej w punkcie S względem dowolnie obranego punktu stałego O równa się sumie geometrycznej momentów mas wszystkich punktów materjalnych ciała względem tegoż punktu.

M r₀ = mi r± -f- m₂ r₂ -J- ..

Łatwo się przekonać, że położenie środka masy określonego powyższem równaniem nie zależy od obioru początku O promieni wektorów.

Przy stosowaniu metody analitycznej określamy środek masy spółrzę-dnemi x₀, y₀, z₀, czyli odległościami środka S od płaszczyzn spółrzędnych. Zamiast powyższego równania mamy następujące trzy równania amalityczne : Mx₀ = m₁x₁ 4- łWa #2 -}-...= 2 mi xi ; albo — J x d M My₀ = m₁y₁ + m₂y₂ +... = 2^1/,.;    „    =    JydM

M z₀ = m₁z₁ -f- m₂ z₂ -j- ... = 2 mi zi ;    „    ==    J z d M

Iloczyny m. x^ m- yi itd. nazywamy momentami mas mi względem płaszczyzny Y Z, ZX itd.

Z postaci równań określających wynika, że środek masy jest zarazem środkiem sił zgodnie równoległych i proporcjonalnych względem mas m■ Takiemi siłami są w pierwszem, zwykle bardzo wiel-kiem przybliżeniu siły ciężkości, działające na ciała, z któremi technika ma do czynienia. Dlatego środek masy zlewa się praktycznie ze środkiem ciężkości i bywa nazywany tern mianem.

Własności kinetyczne środka masy. Różniczkując równania określające środek masy względem czasu otrzymujemy:

d r₀

^ • drt    d²r₀    d*rt

M dt ⁼    dt ’ M d t* = mi dt* ’ albo

Mv₀ = 2 mi Mp₀ = S mipi,

czyli słowami : Pęd (ilość ruchu) całej masy ciała skupionej w środku masy równa się sumie geometrycznej pędów wszystkich punktów materjalnych (cząstek) ciała.

Siła bezwładności (Mp₀) całej masy ciała skupionej w środku masy równa się sumie geometrycznej (2 mip^) sił bezwładności wszystkich cząstek ciała.

Te bardzo ogólne twierdzenia nadają znaczenie konkretne (fizykalne) matematycznej fikcji punktu materjalnego. Drugie z nich tłumaczy nadto jasno, dlaczego w wielu książkach, zwłaszcza angielskich, nazywają środek masy „środkiem bezwładności“.

24.    Inne ogólne własności środka masy.

a)    Jeżeli dla obranego początku promieni-wektorów O (dla obranej płaszczyzny spółrzędnych np. Y Z) jest 2 mi ri = 0 (jest 2 mi xi = 0), to w tym punkcie (na tej płaszczyźnie) leży środek masy.

b)    Jeżeli wszystkie punkty materjalne danego układu punktów mate-ryalnych leżą na jednej płaszczyźnie (lub prostej), to na tej płaszczyźnie (prostej) leży środek masy tego układu.

c)    Jeżeli dany układ punktów materjalnych (ciało) podzielimy na części o masach Мг, J/₂, • •. i znajdziemy środki mas S₁, S₂, ... każdej części, to środek masy całego układu o masie M — Mx -f- Jf₂ -}-... jest zarazem środkiem masy układu punktów materyalnych o masach Jfl5 Jf₂, ... umieszczonych w Su S₂, ...

d)    Jeżeli układ punktów materjalnych posiada płaszczyznę, oś lub środek symetrji, to na nich leży środek masy układu.

25.    Środek masy ciał jednolitych (jednorodnych). Gęstość u takich ciał (wyrażona w g*/cm³) jest stałą, wskutek czego równanie określające środek masy unraszcza się i po podstawieniu M — g V, d M = p. d V (przy-czem V oznacza objętość) przybiera postać :

rdV.

Z tego widać, że środek masy układów materjalnych jednolitych jest zupełnie określony ich postacią geometryczną. Obok ciał trójwymiarowych rozważamy często w mechanice dwuwymiarowe powierzchnie mate-rjalne i jednowymiarowe linje materjalne. Oznaczywszy przez d S element powierzchni (jego pole), a przez d ł element długości linji, mamy wzory dla wyznaczenia środka masy w przypadku jednolitości:

S r₀ = jr d S ; łr₀= J r d Ł

Wszystkie te równania oraz odpowiadające im równania analityczne dają się ująć w wysłowienie:

Moment całości skupionej w szukanym środku masy równa się sumie geometrycznej (lub algebraicznej) momentów wszystkich części elementarnych względem tego samego dowolnie obranego punktu (lub płaszczyzny).

26. Wyznaczenie środka masy w przypadkach praktycznych ułatwiają własności podane w ust. 24, a nadto twierdzenie: Jeżeli dany układ materjalny da się podzielić na części, których środki masy leżą na jednej prostej lub na jednej płaszczyźnie, to na tej prostej lub tej płaszczyźnie musi leżeć środek masy układu.

W przypadku ciał lub powierzchni jednolitych prowadzi często do celu podział na elementy o równej masie, których środki są znane. W ten sposób sprowadzamy szukanie środka masy ciała do szukania środka masy powierzchni jednolitej, w której leżą owe środki elementów ; zaś szukanie środka masy powierzchni materjalnej do szukania środka masy linji jednolitej.

Wyznaczanie środka masy w zagadnieniach praktycznych odbywa się rachunkiem, wykreślnie lub doświadczalnie. Metoda wykreślna jest wskazana zwłaszcza dla figur i linij płaskich nieokreślonych analitycznie, lecz danych na rysunku. Metodę doświadczalną stosujemy do ciał rzeczywistych w postaci złożonej, np. samolotów, bądź to dla ominięcia żmudnego rachunku, bądź też dla jego sprawdzenia. W tym celu zawieszamy ciało na stosownem cięgnie. Po ustaleniu równowagi musi prosta oś napiętego cięgna trafiać środek ciężkości, a więc i środek masy. Wieszając ciało w innym punkcie znajdujemy znowu prostą, zajmującą inne położenie względem ciała, na której leży środek masy. Obie proste połączone niezmiennie z ciałem wyznaczają zatem środek masy swoim punktem przecięcia się.

A.

Z pośród sposobów wykreślnych są najprostsze dwa ⁰ następujące :

*    a) Mając np. znaleźć środek masy jednolitej krzywej А В

(fig. 13) dzielimy ją na równe części dość małe, aby je ч można traktować w przybliżeniu jako odcinki proste i przyjąć środki masy w połowie ich długości. Z dowolnie obra-I nego punktu O prowadzimy promienie-wektory 1,2,3, .. ., które sumujemy geometrycznie rozpoczynając od jakiego-n, kolwiek punktu Q (fig. 13). Znaleziona suma Q D jest widocznie równa n-krotne-« mu promieniowi-wektorowi środka masy r₀ = O S, s jeżeli n jest liczbą części,

(w naszym przypadku 7).

Fig. 13.

Fig. 14.

Gdyby sumowanie nie mieściło się nh płaszczyźnie rysunku, to zamiast dodawać całe wektory 1, 2, 3, ... można dodawać m-te części, czyli zmniejszyć skalę rysunku (b) m-krotnie. Wówczas

r₀ = o S =-QD.

będzie szukane

b) Chcąc znaleźć środek masy figury płaskiej jednolitej czyli środek pola (powierzchni) tej figury (fig. 14) dzielimy ją prostemi równoległemi na paski, których pola i środki są z dostateczną dokładnością znane. W tych środkach wyobrażamy sobie siły 1,2,3, ... równoległe i proporcjonalne względem pól pasków. Kreśląc wielobok sznurowy tych sił znajdujemy linję działania wypadkowej R, na której musi leżeć szukany środek masy.

Przez powtórzenie tej konstrukcji dla innego, najlepiej prostopadłego do poprzedniego kierunku prostych podziału i sił pomocniczych, otrzymujemy drugą prostą, na której leży środek masy figury, w punkcie przecięcia się z poprzednią.

Uwaga. Niekiedy okazuje się korzystnem wprowadzenie fikcyjnych mas (objętości, pól itp.) ujemnych, czyli uważanie danego ciała za różnicę dwu innych. Wówczas należy w rachunku uwzględnić zmianę znaku w momentach mas ujemnych, a w konstrukcji wykreślnej odwrócić odpowiadające kierunki pomocniczych sił równoległych.

27. Położenie środka masy najważniejszych technicznie linij, powierzchni i ciał jednolitych. (W tekście i na rysunkach oznaczać?środek masy.)

Odcinek prostej: S leży w połowie odcinka.

Obwód trójkąta: S leży w środku koła wpisanego w trójkąt, którego wierzchołkami są środki boków alf a₂ i a₃ danego trójkąta.

Odległością S od boku trójkąta аг jest

hi    —(- «s

S ~ 2    ' Oj -f- «2 + «3

jeżeli hi oznacza wysokość odpowiadającą 04 jako podstawie.

Obwód równoległoboku: S leży w punkcie przecięcia się przekątnych.

Łuk koła (fig. 15) : S na dwusiecznej kąta środkowego 2 a w odległości cięciwa AB r sin a

!ÿ%    *    —    .-

łuk А В arc a ’

Płaski łuk jakiejkolwiek krzywej regularnie w jedną stronę

2

zakrzywionej (fig. 16) : Odległość S od cięciwy, уg = co — h. Rzut prostokątny na cięciwę (S') połowi ją w przybliżeniu, jakkolwiek rzut wierzchołka łuku C dość znacznie zbacza od środka cięciwy.

Wzór przybliżony daje ys z nadwyżką, która np. dla łuku kołowego 60° jest mniejsza od 0,6%, zaś dla łuku 90° nie dochodzi    J'

do l,lo/o.

Pole trójkąta: ć? leży w punkcie przecięcia się linij środkowych (łączących środki boków z prze-ciwległemi wierzchołkami). Odległość S od boku równa się jednej trzeciej odpowiadającej wysokości trójkąta. Jeżeli хг, zx ; xs, y₂, z₂ ; x₃, y₃, za są spółrzędnemi prostokątnemi trzech wierzchołków trójkąta, to spółrzędne środka masy przedstawiają wzory :

od środka koła xs =

(przyczem arc а. — к a°/180°).

’So

Fig. 15.

Oli

С У

Fig. 16.

= Y («1 + «2 + O, ys = y (2/1 + У2 + Уз), ZS = Y (% +z₂+*з).

Pole równoległoboku: S w punkcie przecięcia się przekątnych.

Pole trapezu: 1. S leży na linji środkowej t. j. prostej łączącej środki boków równoległych a i b (fig. 17). Odległościami S od tychże boków są :

h a -)- 26

"3 a + b ’

ha

Stąd konstrukcja: Na przedłużeniach boków równoległych odcinamy B E — a, CF = l. Prosta EF wyznacza S na MN. 2. Dzielimy trapez na dwa trójkąty (fig. 18) o środkach masy i S₂. Prosta S₁ S% przecina MN w S.

zp-

it

ma

■~X

Fig. 18.

Fig. 17.

Odciętą xQ punktu S w ukośnokątnym układzie spółrzędnych o osi x na D i osi Y na CA określa wzór:

1 а²-\-аЬ-\-Ъ2 a -f- b

*•"" T

Pole czworokąta (fig. 19): S jest zarazem środkiem masy trójkąta A CE, którego jednym bokiem jest przekątna AC, a wierzchołkiem przeciwległym punkt F znaleziony na drugiej przekątnej tak, aby było F B = DE.

Łącząc zatem środek AC, czyli G z F i odcinając GS = — GF, otrzymujemy S.

Jeżelijednazpi-zekątnychjest społowiona drugą, to na tej drugiej musi leżeć S'czworokąta.

Pole wielokąta: Jeżeli xt, yi {i = 1, 2. 3,... w) oznaczają spółrzędne prostokątne kolejno po sobie następujących wierzchołków Ж- wielokąta (jednospójnego), przyczem kierunek obiegu jest zgodny z kierunkiem obrotu zapomocą którego oś X zajmie położenie osi Y na drodze najkrótszej, to rozłożywszy wielokąt na trójkąty prostemi poprowadzonemi z początku spółrzędnych mamy:

i=n

Axs 2 6 xi +i) (*» +1 У i    xi У i +1)’

t = l

A'.ys = 2 T & + У i + l)    + 1 Уxi У i +1)

i = 1

i — n

przyczem pole wielokąta A =    (x,- _j_ i У i — xi У i _|_ Д zaś wielkości

« = i

xn +1 i Уп-ł-1 ⁸a identyczne z xx i yx.

I)la skrócenia rachunku obieramy zwykle początek spółrzędnych 0 na jednym z wierzchołków. To samo czynimy przy zastosowaniu sposobu wykreślnego przy pomocy wielo-boku sznurowego, podobnie jak w ust. 11, II. Ażeby przytem dla wygody uniknąć trójkątów o polach ujemnych, trzeba obrać 0 tak, aby obieg 0 W,’ Wt* _j_ i 0 był u wszystkich trójkątów zgodny.

Wycinek koła (fig. 20) : x₆ = у г    ^    =    albo xs =

2 r sin a

cinka.

3 arc a

= 38,1972

r sin a

a (°)

C r , jeżeli A = r² arc a jest polem wy-

Wycinek półkolisty: xs = y = 0,4244 r. Wycinek ćwierć-4

kolisty: #s = — ~

Odcinek koła (fig. 21) : xs

2

r — 0,6002 r. Wycinek 60°: xs = — r = 0,6366r.

r sin³ a

C³

2 r³ sin³ a 4

12 A 3 A przyczem pole odcinka A = ¹/₂ r² (arc 2 a — sin 2 a). Wycinek pierścienia kołowego (fig. 22).

2 R³ — r³ sin a Xs 3 * R² — r² arc a

3 ’ arc 2 a — sin 2 a

sin a

R² — r² a (o)

Pole ograniczone łukiem koła i dwiema stycznemi (fig. 23).

r sin a tg² a 3 tg a — arc a '

Wycinek i odcinek elipsy (fig. 24): Spółrzędne'środka masy znajdujemy najprościej uważając elipsę za rzut koła o promieniu a, nachylonego

Odległość S od środka koła xs =

e____

38,1972

R³ — r³

Uï

/à

«/

АГ'КМ

x;

Fig. 20.

Fig. 22.

do płaszczyzny elipsy pod kątem a, dla którego cos a = Rachunek można

zastąpić konstrukcją wykreślną uwidocznioną na rysunku, a polegającą na pokrewieństwie elipsy z kołem. Wogóle są środki masy dwu figur pozostających do siebie w stosunku pokrewieństwa punktami odpowiadającemi sobie nawzajem.

Ъ²

Parabola y² — 2px = — x (fig. 25) dzieli prostokąt utworzony ze

Fig. 19.

Fig. 21.

Fig. 23.

spółrzędnych а Ъ na pola o środkach S i S'. Pierwszy ma spółrzędne

xs = ³/s »,

«V = *Ло a,

У s = ³/в ъ,

drugi zaś

Уз'

У-

C'A*/

Ou,_а-_

''z/³

WTUL

Fig. 26.

Fig. 26.

Fig. 24.

Odcinek paraboli (fig. 26): S'leży na prostej łączącej środek cięciwy C z punktem styczności C równoległej do niej stycznej do paraboli (ta prosta ma kierunek osi paraboli), przyczem

S <7 =

У G Cf, czyli ÿs = yA.

Раз i czasza kuli: S na osi symetrji w połowie wysokości. Pobocznica stożka obrotowego: S leży na prostej łączącej wierzchołek ze środkiem podstawy, w odległości od tejże równej jednej trzeciej wysokości.

Pobocznica stożka obrotowego ściętego o wysokości h, promieniach R i r, podstawy dolnej i górnej, ma S na osi symetrji, w odległości od dolnej podstawy :

h R + 2r

3 ' R + r '

Graniastosłup i walec o podstawach równoległych: S leży w połowie prostej łączącej środki obu podstaw.

Dla walca o tworzących równoległych do osi Z1 podstawie dolnej na. a górnej na płaszczyźnie przechodzącej przez oś Y i nachylonej do X pod (fig. 27) jest :

j X y d A Jxd A

Tutaj jest J xd A = My momentem statycznym, J x'¹ d A — J y „momentem bezwładnośoi“ pola podstawy A względem osi Y, JxydA — IXy „momentem zboczenia“ tegoż pola względem osi X i F (ob. art. 30).

xsi —

J x⁷ d A

j xdA

ys =

«S = Va xs łS «.

J У d A

Jeżeli podstawa jest symetryczną względem osi równoległej do F, to ys = ———-

czyli jest równe odległości środka tejże podstawy.

Walec kołowy ukośnie ścięty (fig. 28): S leży na płaszczyźnie symetrji prostopadłej do obu podstaw (na fig. płaszczyzna X Y)

1 r² tg a

K,

lh

1 r² tg² a

,<!

У»- 2

N*j_x \    Klin walcowy (fig. 29) o je-

dnej ścianie (podstawie) półkolistej :

= ³/ie кг,    ys = 7з2 Я А.

Fig. 29.

Pobocznica tego klina: xs = 7₄ it r,

Klin z walca wydrążonego o podstawie kształtu pierścienia półkolistego :

Fig. 27.

Fig. 28.

ys = »/в Я h.

^=s/le*(£⁴- r*)/(R*-r³),

ys = ^K(Hi-hi)/H³-h³).

R i H promień i wysokość zewnętrzne ; r i h wewnętrzne.

Czworościan: S jest punktem przecięcia się czterech linij środkowych (łączących środki ścian z przeciwległemi wierzchołkami). Odległość S od ściany jest jedną czwartą odpowiadającej wysokości.

Ostrosłup i stożek: S leży na prostej łączącej środek pola podstawy 2 z wierzchołkiem W, przyczem odległość S od podstawy równa się ćwierci wysokości.

Ostrosłup ścięty: Przy oznaczeniach przez A i В pól dolnej i górnej podstawy, a przez h wysokości ostrosłupa ściętego, mamy dla odległości S od podstawy A wzór:

h A + 2-\/AB + 3B Vs 4 A + yjB + B

Stożek ścięty o promieniach R i r podstawy dolnej i górnej, a wysokości h ma S w odległości od podstawy dolnej :

h R² + 2 Rr-\- 3r2 Vs~ 4 ‘ R²-\-Rr + r² '

Obelisk (fig. 30): Odległość środka S od podstawy dolnej jest h a (b -}- bi) + (b -f- 3 Ъ{)

% = Y'«(204-00 +«i (i-4-2 60*

Klin prosty: Z poprzedniego wzoru wypływa po podstawieniu = 0 odległość środka S od podstawy (głowy klina) o polu a b :

h a + «!

Vs = Y ' 2 a + aj *

Odcinek kuli: Oznaczywszy przez h wysokość odcinka mamy dla odległości jego środka masy od środka kuli wzór:

3    (2 r — h)²

4    ' 3r — h ’

zaś dla odległości tegoż środka masy od koła podstawowego o promieniu p

h A² + 2 p² 1 2 A² + 3p² ’

Te wzory (z wyjątkiem ostatniego wyrażenia ujętego w klamry) stosują się także do odcinka elipsoidy obrotowej, której oś obrotu równa się 2r. Dla półkuli pełnej: #s = ³/₈ r ; dla półkuli wydrążonej:

xs = % •

Д⁴ — r⁴

R³ — r³'

Wycinek kuli (utworzony przez obrót wycinka koła o kącie środkowym 2 a około osi symetrji) : Przy oznaczeniach jak na fig. 18 jest :

Xs = ³/₈ (1 + cos a) r = ³/₈ (2 r — h).

t___

Paraboloida obrotowa (utworzona przez obrót paraboli około swej osi) ograniczona przekrojem kołowem prostopadłym do osi jako podstawą ma środek masy w odległości od podstawy równej jednej trzeciej wysokości.

Elipsoida trójosiowa o osiach 2 a, 2 b i 2 c. Objętość jednej ósmej eli- / psoidy, wyciętej płaszczyznami głównemi, + ma środek określony spółrzędnemi :    ⁴

Fig. 31.

Fig. 30.

xs = ³/s a, ys = ³/s b, zs ~ ³/a c‘

Wycinek bryły obrotowej (fig.. 31) utworzonej obrotem figury o polu A około osi Z (jej nie przecinającej) ma środek masy S w punkcie, który jest zarazem środkiem masy łuku o promieniu p = ) x² d Aj j x d A — = Ig/Mg. Odległością S od osi Z jest przeto:

xs — p sin a / arc a

jeżeli 2 a jest katem środkowym wycinka ; odległością zaś od płaszczyzny Z F jest:

zs

Jx.dA

W przypadku symetrji figury tworzącej względem prostej równoległej do osi obrotu upraszcza sie powyższy wzór na :

zs

j X d A

czyli zs jest równe odległości środka pola figury tworzącej od osi X.

C. Momenty bezwładności.

1. Momenty bezwładności i zboczenia ciał materjalnych.

28. Określenia. Ramię czyli promień bezwładności. Masa zredukowana. Zwyczajnym, albo osiowym momentem bezwładności I układu punktów materjalnych mi (i = 1, 2,.. .n) nazywamy sumę iloczynów m^r2 tj. iloczynów mas punktów materialnych układu przez kwadraty ich odległości od danej prostej zwanej osią momentu. Dla układu materjalnego ciągłego staje się w granicy ta suma całką elementów r² d M rozpostartą na całą objętość układu o masie M. A zatem :

I=hmi гД albo = jr²d M.

Jednostką momentu bezwładności w układzie C. GL S. jest //* cm² albo kg* cm² ; w układzie technicznym kg.cm.sk².

Odległość к od osi momentu, w której pomyślany punkt materjalny o masie równej masie M danego ciała, ma ten sam moment bezwładności I, co to ciało, nazywa się ramieniem lub promieniem bezwładności. A zatem :

n-

I — Mk², a stąd k —

Pomyślaną masę Mxed skupioną w punkcie o danej odległości d od osi momentu, dla której MTei d² = I, czyli równa się momentowi bezwładności danego ciała, nazywamy masą zredukowaną, albo sprowadzoną na odległość d. A więc:

"^red ^2

Moment bezwładności ciała może być przeto określony także: a) jego masą i ramieniem bezwładności, 6) dowolnie obraną odległością d i masą sprowadzoną na te odległość.

29.    Biegunowy moment bezwładności jest to suma iloczynów mas punktów materjalnych (elementów) układu przez kwadraty ich odległości od danego punktu (bieguna lub środka momentu).

Pomiędzy biegunowym momentem bezwładności I₀ a momentami bezwładności Ix, Д, Iz tego samego ciała względem trzech wzajemnie prostopadłych osi przechodzących przez biegun momentu J₀ zachodzi związek:

2    = -4 + Iy +

Tak osiowy jak i biegunowy moment bezwładności jest zawsze wielkością dodatnią.

30.    Moment zboczenia, albo moment odśrodkowy ciała względem dwu płaszczyzn jest to suma iloczynów z mas elementarnych i obu ich odległości np. x i у od tych płaszczyzn:

Ixy=JxydM, albo —'ixiyidM.

Najczęściej przyjmuje się obie płaszczyzny wzajemnie prostopadłe, wobec czego x i у są spółrzędnemi prostokątnemi.

Obranemu układowi spółrzędnych X, Y, Z odpowiadają trzy momenty zboczenia 1ху, 1>/г, Iгх, które bywają także oznaczane symbolami I)z, Dx, Dy.

Momenty zboczenia mają ten sam wymiar, co momenty bezwładności, ^ecz mogą być zarówno ujemne jak dodatnie, a w szczególności równe zeru.

31. Momenty względem osi równoległych. Moment bezwładności I zględem jakiejkolwiek osi równa się sumie z momentu bezwładności 1^ zględem osi do niej równoległej, a przechodzącej przez środek masy S i iloczynu Ma², tj. masy ciała przez kwadrat odległości obu osi:

I = 1^ + Ma².

Taki sam związek zachodzi pomiędzy biegunowym momentem bezwładności względem S, a biegunowym momentem bezwładności 1₀ względem punktu O odległego od S o a :

=

Podobny związek między momentami zboczenia dla układu prostokątnego o początku w środku masy S, a takiemiż momentami (odróżnionemi kreską) dla układu równoległego, w którym środek masy ma spółrzędne a, b, c, ma postać :

4„ = *,,+ *«». I',.= ‘y.+ 4ic, r„=I„+Mc.

32. Momenty względem osi przecinających się w jednym punkcie ciała. Elipsoida bezwładności. Jeżeli Ix, Iy, Iz, Ixy, Iyz, Igx oznaczają odpowiednio momenty bezwładności i zboczenia względem osi i płaszczyzn danego układu prostokątnego, którego początkiem jest dowolny punkt ciała O, to moment bezwładności I względem prostej przechodzącej przez O i tworzącej z osiami kąty a, ß, у określa równanie :

I — Ix cos² a -j- Iy cos² ß -j- 1г cos² T — 2 Ix ycos a cos ß — 21у g cos ß cos y — — 2 Ig x cos y cos a.

Dla każdego punktu O można znaleźć taki układ osi x, y, z, dla którego momenty zboczenia stają się zerami. Te trzy osi nazywają się osiami głównemi, a odpowiadające im osiowe momenty bezwładności noszą nazwę głównych (dla punktu O). Oznaczamy je zwykle przez А, В i C (przyczem A^B^C). W odniesieniu do osi głównych jako osi współrzędnych mamy tedy:

I = A cos² a -f- В cos² ß -f- C cos² y.

Skoro na każdej z osi przechodzących przez O odmierzymy po obu stronach O długości — KI j/i (jeżeli К oznacza dowolnie obraną stałą), to miejscem geometrycznem wyznaczonych w ten sposób punktów jest elipsoida zwana elipsoidą bezwładności (Poinsot) punktu O.

Jej osie leżą na głównych osiach bezwładności tegoż punktu ciała, a jej równanie ma postać :

К² = A ? + B Y)² -f ce.

Wielkościami półosi są К /УА, К /УВ, К / У 6', a zatem największemu momentowi bezwładności odpowiada najkrótsza oś elipsoidy.

33. Centralna elipsoida bezwładności odpowiada punktowi O obranemu w środku masy ciała S. Jej osie noszą nazwę centralnych głównych osi b, albo z powodu ważnych własności kinetycznych: osi swobodnych. Szukanie głównych osi bezwładności ułatwiają twierdzenia następujące :

a) Układ trzech głównych osi bezwładności dla każdego punktu leżącego na jednej z głównych osi centralnych jest równoległy do tychże osi.

b)    Jedna z głównych osi bezwładności dla każdego punktu leżącego płaszczyźnie dwu głównych osi centralnych jest równoległą do trzeciej z tychże osi.

na

c)    Głównemi osiami bezwładności ciała są (między innemi): 1. Każda oś symetrji, 2. każda prosta prostopadła do płaszczyzny symetrji i 3. każda prosta, na której leżą środki masy warstw elementarnych, otrzymanych przez podział ciała płaszczyznami prostopadłemi do tej prostej.

2. Momenty bezwładności i zboczenia płaskich układów ma ter j a lny ch.

34. Elipsa bezwładności. Obrawszy osie X i Y na płaszczyźnie układu widzimy, że dla jakiegokolwiek punktu tej płaszczyzny jest oś Z osią główną, albowiem momenty zboczenia Ixz\lyz stają się równe zeru. Nadto Iz staje się równe biegunowemu momentowi bezwładności IQ, wobec czego :

4=4 = 4+4-

Zatem mamy do czynienia z jednym momentem zboczenia Z , który oznaczamy zwykle przez D.

Śladem elipsoidy bezwładności na płaszczyźnie układu jest elipsa:

zwana elipsą bezwładności.

Obróciwszy dany układ osi X i Y o kąt a otrzymujemy dla nowego układu Xf i Y' momenty bezwładności i zboczenia w postaci:

1J — Ix cos² a -f-Iy sin² a — i) sin 2 a

I ' — Ix sin² a -\~ Iy cos² a D sin 2 a

Df = -i- (Ix — Iy) sin 2 a -j- D cos 2 a.

35. Culmannowska elipsa bezwładności. Elipsa i elipsoida bezwładności Poinsofa jest określona równaniami w poprzednich ustępach tylko co do postaci i położenia, a nieokreślona co do wielkości, gdyż parametr К

jest dowolny. Jeżeli X i Y są kierunkami głównych osi bezwładności, a odpowiadające momenty bezwładności Ix i Iy oznaczymy przez Ix i Z₂, to '

równanie elipsy bezwładności przyjmie postać : Ustaliwszy wartość К zapomocą równania

£² =

hh

X²

i wprowadziwszy ramiona bezwładności ix, г₂ równaniami Jj = M ix ², — M i₂², otrzymujemy zupełnie oznaczoną szczególną elipsę bezwładności, zwaną Culmannowska, która gra nader ważną rolę w teorji zginania belek. Jej równanie jest:

Elipsa Culmann’a ma ważną własność następującą : Kamie bezwładności i względem prostej o dowolnym kierunku, przechodzącej przez środek elipsy równa się odległości tego środka od stycznej do elipsy równoległej do danej prostej.

36. Szukanie głównych osi bezwładności. Koło bezwładności.

Jeżeli dla obranego kierunku osi spółrzędnych X i Y, o początku O w danym

punkcie układu płaskiego, znamy Ix, Iy i D, to główne momenty bezwładności dla tego punktu określają wzory:

4«=A- Vi (4+4)+■/. V (4 - V+4 2,8 4,in =B=Vs (4 + 4) - V» V (4 - 4)“ + ⁴

Kąt a₀, o jaki trzeba obrócić układ osi, aby padły na kierunki główne, wyznacza się z warunku ТУ = o, czyli

4-V

Temu równaniu czynią zadość dwie wartości a₀ w granicach od 0° do 360°. Jedna z nich odpowiada oczywiście osi /max, druga zaś /min. Na

tg 2 a₀

pytanie „która?“ odpowiada reguła:

Oś momentu Jmax przechodzi przez pierwszą i trzecią ćwiartką płaszczyzny X Y, jeżeli moment zboczenia D jest ujemny ; w przypadku dodatniej wartości D leży oś /max w ćwiartce drugiej i czwartej.

W praktyce można zwykle z postaci figury poznać, jaki mniej wieLcej kierunek od-powiada ./ i I .

Obliczenie zapomocą powyższych równań zastępuje nader prosta konstrukcja wykreślna:

Na osi О У (fig. 32) odmierzamy O C=IX, CE — Iy, znajdujemy środek

M odcinka O E i promieniem M O — — {Ix -j-Iy) zakreślamy z tego środka

koło. W punkcie C wystawiamy następnie prostopadłą do O Y i odcinamy na niej długość CT — D (momentowi zboczenia) z uwzględnieniem znaku (na rysunku przyjęto D dodatnie). Średnica AB poprowadzona przez punkt T wyznacza swemi końcami A i В kierunki osi głównych O A i OB- zaś wielkości głównych momentów bez-    Ï

władności długością odcinków

Koło nakreślone w powyższej konstrukcji, zwane kołem bezwładności i punkt T, zwany głównym punktem bezwładności, można nadto zastosować do wyznaczenia IxI , i ТУ dla układu osi obróconego z danego położenia X Y o dowolny kąt a (fig. 33). W tym celu wystarczy połączyć punkty przecięcia się tych osi z okręgiem koła średnicą F G i spuścić z T prostopadłą Tli na tę średnicę. Wtedy GH—Iy,, HF = Ix, HT= D'.

i, ■

L -Ql

-s0*l

U'

tr

0 ГЧ

ie

■/

Fig. 32.

Fig. 33.

3. Momenty bezwładności najważniejszych technicznie linij, powierzchni i ciał materjalnych.

37. Uproszczenia dla ciał jednolitych. Geometryczne momenty bezwładności i zboczenia. Gdy gęstość u ciała jest stała, to I — J r² d M — p. j r³ d V = p. «7,

a wielkość

o wymiarze cm⁵ nazywamy geometrycznym momentem bez w ładno ści. Mnożąc go przez gęstość otrzymujemy zwykły (materjalny) moment bezwładności ciała jednolitego.

J—f cl V

Podobnie JXy⁼jxydV jest geometrycznym momentem zboczenia, J = Jr² d F geometrycznym momentem figury płaskiej lub powierzchni (o elemencie pola d F), wreszcie J — J гг d ł geometrycznym momentem bezwładności linji (o elemencie długości d7). Pierwszy mnożymy przez gęstość powierzchniową (w g*/cm), drugi zaś przez gęstość linjową (w g*jcm), ażeby otrzymać materjalne momenty bezwładności.

Wymiarem geometrycznym momentu bezwładności pola i linji są odpowiednio cm⁴ i cm³.

Używając technicznego układu jednostek piszemy zamiast gęstości ц równy jej iloraz j/g. Przytem oznacza j ciężar jednostki objętości (w kg/cm³), pola (w kgjcm²) lub długości (w kgjcrn), zaś g przyśpieszenie ciężkości.

war-

Ponieważ u ciał jednolitych ramię bezwładności i (lub k) jest niezależne od gęstości, a tylko od postaci geometrycznej, przeto określiwszy tość ramienia wyrażamy wzorem I — MF nietylko materjalny, ale i geometryczny moment bezwładności takich ciał, rozumiejąc przez M, bądź to masę, bądź też objętość, albo pole, lub wreszcie długość przy gęstości = 1.

38. Wzory dla przypadków szczegółowych. (Wskaźnik przy I oznacza poniżej oś lub biegun momentu bezwładności.)

Odcinek prostej lub równoległobok (fig. 34). Niezależnie od nachylenia do osi x jest Ix = ¹/₃ Mh² względem osi przechodzącej przez koniec odcinka lub podstawę równoległoboku, jeżeli h oznacza wysokość spuszczoną na X z drugiego końca odcinka lub przeciwległego podstawie wierzchołka równoległoboku.

>---X'

.Y

Y ¹ .Y

Fig. 34.

ЖЕ ш.

u—

Fig. 36.

Te same figury dla układu osi przedstawionego na (fia⁻. 35) maia momenty zboczenia.

(w przyp. I. i III.)

„ П. i UL).

D = Mxo y0 D = IX cotg ß („

4

W przyp. II. można D przedstawić nadto w postaci D — — Mx₀y₀.

Prostokąt (fig. 36). Centralne główne momenty bezwładności są:

Г,

r ,, h² Ъ h3 "^12 ^ 12 ’

Fig. 36.

Fig. 37.

Względem przekątnej Id = M

г    лт Ъ²    b3h

:y    M 12    12 •

Odpowiadające ramiona bezwładności a zarazem półosi elipsy Culmannowskiej h = 0,2887 h, 4 = 0,2887 b. b²h²

6d²

środka O I₀ — M

b* + h³

d*

12

12

4 = 4 = iif—,    /₀ = iri

г²

Łuk kołowy o promieniu r i kącie środkowym 2 a (fig. 37): sin 2 a

Г²

У    2

M— \ir arc 2 a. Dla całego okręgu : 2 a — 360°, arc 2 a = 2 т:

arc 2 a

I»

i₀ = ix + iy = Mr²,

sin 2 a

arc 2 a

Obwód elipsy o półosiach а, b (a>b) i mimośrodzie liczbowym е = "J/ 1 — b²ja² ma długość :

1 \2

I — 2 т: а 1 — (-1 ,1.е* —

1 \2

2.4

Зе⁴ —

1.3

2.4.6

5е« —

2.4.6.8

.7е⁸ —...

a moment bezwładności względem osi wielkiej:

1.3 \2 5 2Ł6 '8

'1

,2

rH |T(H

•*-ri

1 \a 3

•e'⁴-

,7а=2тгай²^-

Pole trójkąta o środku masy S (fig. 38):

' 1.3.5 \2 7

2.4.6.8) -IÔ

E⁸—...

riL

IV

d_

к,

'b±rir' L—

w-

Fig. 38.

Fig. 39.

Fig. 40.

h²

lx=Mlś’

h²

h²

bh³

0fri³ +W

а²+й² + с²

12

36

Względem dowolnej prostej przechodzącej przez S jest J=M(d₁² + d%² + di₃²)/12,

przyczem di, d₂, d₃ są odległościami wierzchołków trójkąta od tej prostej. Trójkąt równoramienny (b₁ — b₂ — b/₂):

Względem osi symetrji:

J=

b³h

48

względem środka S :

bhji fr²-f ЗЙ²)

144

względem wierzchołka В : JB

b h (12 h² -f Й²)

48

Pole czworokąta (fig. 39). Względem przekątnej d jest:

1 V + /t₂³

6 hih₂ '

d (Aj³ + M

12

W przypadku równoległoboku jest : й ³ sin³ <p

48

W przypadku trapezu równoramiennego (fig. 40):

6    a + 6’

6    a-\-b ’

T    ■■ а³(<* + зг>)

V    !х ₁₂

г    А* (3 а + Ъ)

4" - V- ₁₂

4 =!J-

A а⁴ — А⁴

48 а — А

24

А³

4 = ^“gę" 2(« + й)

«² + й²

А²

(« + W

Pole wielokąta umiarowego. Długość boku a, liczba boków n, promień koła wpisanego r, opisanego B. Dla osi przechodzących przez środek jest

T r T    n a r (12 r² -f- a²)

¹х⁼¹у⁼¹⁼⁼\¹    48

12r² + a² w65²-«2 M---=M

24

12

Pole koła. Względem każdej średnicy o długości d = 2r jest

ic d⁴

^-6T

7-=

TC r⁴

r²

M~r-

TC r⁴

Względem środka : I₀ — p. ——

V-

TC cZ⁴

r²

32

Półkole. Przy położeniu osi X na średnicy ograniczającej, a osi Y na osi symetrji jest:

TC r⁴    r²

4-W —-*-4-.

TC ^*⁴    r²

Względem środka koła O : IQ = p —— — M.

r² /    32 \

Względem środka masy $ : 7s = ilf—^-(l — ——g-j.

Pierścień kołowy o promieniu zewnętrznym R, wewnętrznym r.

R² + r²

Względem każdej średnicy jest I — p

Względem środka I₀ — 2 I. Wycinek koła (fig. 37).

71 (Д⁴ - r⁴)

M-

4=i* 4 (arc ² “ ■ “² °) -    (Ł -

ly = p 4- ^arc 2 a -j- sin 2 a j =

4-^44

4 sin 2 a+4-sin 4 а I, o    o    /

sin 2 a

arc 2 а/’

r²

4 -лг-у.

Odcinek koła (fig. 41).

с²

9 ' ł² Г

r⁴

Jx ⁼ ~T arc2a~

1 2 sin 2 а — sin 4 а ) 6 arc 2 а — sin 2 а)’

•4=(arc 2 «—y ™ ⁴ “)>

1 2 sin 2 а — sin 4 а

2 arc 2 а — sin 2 a r

'.-Я

arc 2 a —

2 . a 1 . \ — sin 2 а--— sm 4 а I,

1 2 sin 2 а — sin 4 a'

6 arc 2 а — sin 2 а ) '

Pole ograniczone łukiem koła i dwiema styczuemi (fig. 42). Centralnemi głównemi momentami bezwładności są:

Ja=,r⁴(itga + isin2a-l

Jy=ri (т + у tsa

arc 2 а

1 .    1    1 sm² a tg⁴ а

— — sin 2 а--— arc 2 а ——........— °-

24    8    9 tg а — arc а

jÿ

//

■X

■X

Fig. 41.

Fig. 42.

Г⁴ /    1

Nadto jest : JQ = I tg a -j- -g-

tg³ а — arc а .

TC Q/ 0^

Elipsa. Względem osi wielkiej 2 а jest Ia — p.—-—

it а³й

4 =H-—

względem osi małej 2 b jest

а²

M-—■

względem środka O jako bieguna: IQ = M

q²-f 6²

Parabola (fig. 43).

_    4 a³ 5

4 =^—7—

16 a³ 5

T    4 a è³    й²

4    15

4" i*"

3 a²

12 a²

32 a³ 6

105

,r8a²

12 a²-f 35 5²

4 =Ж

4'=^

Prosty graniastosłup lub walec o wysokości h i polu podstawy (przekroju normalnego) ił. Jedna z centralnych osi głównych Z łączy środki podstaw, dwie pozostałe X i Y są zarazem centralnemi osiami głównemi przekroju B. Oznaczywszy przez ix, ig odpowiadające ramiona bezwładności tego przekroju, mamy dla głównych centralnych momentów bezwładności ciała wzory:

175

175

175

4 = ^+.7}

v)

W przypadku prostopadłościanu o krawędziach a, b, c przybierają powyższe wzory postać :

&² + c2 12 ’

W przypadku sześcianu o krawędzi a:

a²

г-

Ia = M

Ib = M

c² + a²

12 ’

W przypadku walca kołowego o promieniu r :

3 r² + h²

Ix = Iy⁼⁼M-

Г²

z 2

Względem prostej nachylonej do osi walca pod kątem a (przechodzącej przez środek masy):

12

Ia = M 3 r² (1 -(- cos² a) -f- h² sin² a .

W przypadku walca kołowego wydrążonego o promieniach R i r:

z    2

Z tych wzorów wypada dla samej pobocznicy walca jako rury o ścianie nieskończenie cienkiej (R = r):

Iz = Mr²,

Prosty ostrosłup lub stożek o wysokości h i polu podstawy B. Prosta łącząca środek podstawy z wierzchołkiem (prostopadła do podstawy) jest jedną z centralnych głównych osi bezwładności (oś Z). Dwie drugie (X i P) są równoległe do głównych centralnych osi bezwładności podstawy B. Oznaczywszy przez ix, iy, iz odpowiadające ramiona bezwładności podstawy B, mamy dla głównych centralnych osi bezwładności ciała wzory :

4=    +    +■!**).

I^=I,=мU*r' + h,)■

I.. =

'T^+V)

W przypadku ostrosłupa prostokątnego o bokach podstawy aib przyjmują powyższe wzory postać :

4a²-f ЗА²

a 80

h-м

80

W przypadku stożka obrotowego (kołowego) o promieniu podstawy r:

z лт- ³

1K — M ——-. * 10

Dla samej pobocznicy stożka (jako jednolitej powierzchni materjalnej) jest przy oznaczeniu długości tworzącej przez t :

r²

Tz = M—,

71 r³t

'-—r-

Stożek obrotowy ścięty, o wysokości h, promieniach podstaw R i r. Moment bezwładności względem osi symetrji :

Iz 10

тс h/

3 R³—rs

10 R — r

Dla samej pobocznicy stożka ściętego: IZ = M

R² + r²

Kula o promieniu r. Względem którejkolwiek średnicy jest

к r⁵ =

¹⁼^15

-, 2 r2 Ж-5-

Półkula. Względem którejkolwiek prostej jfrzechodzącej przez środek kuli jest :

4    -, 2 r²

—— 7t    =

''Тб

Kula wydrążona o promieniu zewnętrznym B, wewnętrznym r. Względem każdej średnicy jest

B'‘ — rs ’ B³ — r³'

jest

(B*-r*)^M^

Powierzchnia kuli, względem którejkolwiek średnicy ma

8 u r⁴    ,, 2 r²

-3—.    7=M —.

Odcinek kuli o wysokości A (promień kuli r). Względem osi symetrji

1 20 r² — 15 r A -f- 3 A²

Wycinek kuli. (Wysokość czaszy A, promień kuli r.) Względem osi symetrji jest

2 7Г r² A²

;(3r-A) = l|(3r-A).

Elipsoida trójosiowa o półosiach a, A, c ma centralne główne momenty bezwładności:

4=Ж.1(А²+с²), 7₆ = ж]-(с² + а²), 7c = M.-i(a² + A²).

Paraboloida obrotowa. Przy oznaczeniach jak na fig. 43 moment bezwładności względem osi symetrji:

I=V- 15

A²

P-y a A².

Pierścień, tj. bryła obrotowa pierścieniowata. Przy założeniu, że przekrój radjalny pierścienia jest figurą symetryczną względem prostej Z' Z\ równoległej do osi obrotu Z Z (fig. 44) ; przy oznaczeniu ramion bezwładności tej figury tworzącej o polu F przez ig y (względem osi Z* Z') i (względem osi X O J_ Z' Z') mamy :

/г = р2тгД.Р(.й* + 34²)

4=р7тД7’(7г² + Згг² + 2гж²).

przyczem

\Г

-X

Nadto jest: M=y.2nBF (według reguły Pappusa-Guldina).

Pierścień okrągły. Dla osi X przechodzącej przez środek koła tworzącego o promieniu a wypada z powyższych wzorów ogólnych :

_2 T> ~2    o

4 = P- —(4 & + 3 а²) = M (Ä² +± a²),

^2 7? /у2    1    R

(4 B² + 5 a²) = М\(B² + -J- a²).

4=p-

Fig. 43.

Fig. 44.

Pierścień okrągły wydrążony. Figura tworząca jest pierścieniem kołowym o promieniu wewnętrznym a₀, zewnętrznym a. Przy tem samem położeniu osi X, co powyżej, jest

If = [a 2 7t² Ä (a² — a₀²).

I.-M U'! 4- У « + «•)

4=«А [ж*+i (<<„*+„*)

(4 R² + 3«²)= M |p² -f    a² j

(4 P² -f 3 a² + 2 b²) — if у ^Д² + y a² + y ô²j.

Pierścień eliptyczny. Dla osi X przechodzącej przez środek elipsy tworzącej o półosiach a (w płaszczyźnie równikowej) i b (równoległej do osi obrotu z), otrzymujemy podobnie jak powyżej : t² Rab

r r.² R ab

4=^—2—

D. Praca i energja.

39. Pomocnicze wiadomości z rachunku wektorowego. Wielkość algebraiczną, czyli skalar, utworzony z dwu jakichkolwiek wektorów a i b przez pomnożenie bezwzględnej wartości wektora a przez bezwzględną wartość wektora b i przez dostawę kąta między a i b, nazywamy iloczynem skalarowym obu wektorów i wyrażamy symbolem:

a . b albo a b.

A zatem :

ab = ab cos (a, b).

Z powyższego określenia wynika odrazu:

ab — b a (prawo przemienności)

a (b c) = a b a c (prawo rozdzielności).

Nadto gdy wektory a i b są określone swemi rzutami na osie spółrzę-dnych prostokątnych, tj.

wówczas

b = {bx, by, bz},

ab = axbx + ayby + azbz.

40. Elementarne określenie pracy. Jeżeli ciało odbywa przesunięcie określone wektorem s, a na pewien punkt m tego ciała działa siła P, stała co do wielkości i kierunku, zamykająca z przesunięciem s punktu m kąt a, to iloczyn skalarowy Ps nazywa się pracą siły Pna przesunięciu s. A zatem:

Praca L — P . s cos a = Ps.

Ы)-

Praca jest zatem wielkością algebraiczną, dodatnią w przypadku, gdy kąt a jest ostry, ujemną zaś, gdy kąt a jest rozwarty. Gdy w szczególności a — 90°, czyli gdy siła P jest prostopadła do przesunięcia s, to praca równa się zeru. L — Ps, gdy a — 0, czyli gdy siła ma ten sam kierunek co przesunięcie (droga) ; w przypadku gdy kierunek siły jest wprost przeciwny kierunkowi przesunięcia, jest a — 180°, zaś L = — Ps (jeżeli P= jp|> s =

Ponieważ s cos a — s' jest rzutem przesunięcia s na kierunek siły P, czyli „przesunięciem składowem w kierunku siły P“, przeto pracę siły P na przesunięciu s można określić także jako iloczyn z wielkości siły i przesunięcia składowego w kierunku tejże siły, albo też jako iloczyn z wielkości przesunięcia i składowej siły w kierunku tegoż przesunięcia.

Przy działaniu na ten sam punkt ciała ilukolwiek sił Pu P₂ .. .; o wypadkowej R, mamy:

Ps = Pl S-j-P₂

czyli: Praca siły wypadkowej równa się sumie algebraicznej prac sił składowych.

Podobnież gdy przesunięcie s punktu m, na który działa dana siła P, jest wypadkowem przesunięć s1? s₂, ..., to

Ts = Psi -\-Ps₂ + ...

czyli: Praca siły na przesunięciu wypadkowem równa się sumie algebraicznej prac tej siły na przesunięciach składowy ch.

Fig. 45.

41. Ogólne określenie pracy. Gdy siła P, zmieniając wogóle wielkość i kierunek, działa na punkt m (fig. 45), poruszający się z położenia A do В po drodze krzywolinjowej o długości s, to rozkładamy cały ruch na przesunięcia elementarne d s, a pracę pojmujemy jako sumę, czyli całkę prac elementarnych. Przez praca elementarną zaś rozumiemy (w każdym dowolnym punkcie drogi) pracę chwilowej wartości geometrycznej siły P na przesunięciu elementamem d s (odpowiadająćem temu punktowi drogi). A zatem :

Praca elementarna d L— P d s — P cos a . d s, zaś praca całkowita:

(4)

L= J Pds— J (X. d X -\- Y d у Z d z),

jeżeli X, Y, Z oznaczają składowe siły a d x, dy, dz składowe przesunięcia w kierunkach osi prostokątnego układu współrzędnych.

Wymiarem pracy jest iloczyn [L] fP] wymiaru długości i siły. Jednostkę pracy w układzie technicznym jest 1 kgm („kilogramometr“, albo „metr o kilogram“) tj. praca siły jednego kilograma na długości jednego metra. W układzie .C G. S. jest jednostką pracy 1 erg, tj. praca siły 1 dyny na długości = 1 cm. Większą jednostką pochodną jest 1 Joule (czyt. Dżul) = 10⁷ ergów.

1 km = 9,81 Joule’ôw; 1 Joule = 0,102 kgm.

42. Praca w jednostce czasu, czyli moc lub dzielność jest określona ogólnem równaniem

dt — C0S a’

jeżeli a jest kątem pomiędzy siłą P a prędkością v punktu, na który siła działa.

Gdy w szczególności siła ma kierunek prędkości, to E — P. v.

Jednostką techniczną mocy jest 1 kgm/sk, czyli 1 kilogramometr na sekundą. Osobną nazwę ma tradycyjna jednostka pochodna: 75 kgm/sk = 1 KM, tj. koń mechaniczny.

Jednostką mocy w układzie 0. G. S. jest 1 Joule na Bekunde = 10' ergów na sekundę = 1 Watt (skrót = 1 W). Większą jednostką pochodną jest 1 kilo watt = 1000 Wattów = 10¹⁰ erg /sh.

1 KM = 75 kgm/sk 0,736 KW,

1 KW o"i 1,36 KM, albo 102 kgm/sk, 1 kgm/sk co 9,81 W.

Moc E określona powyżej jest to moc chwilowa. Znając moc chwilową w zależności

U

od czasu t obliczamy pracę w czasie tt — tl z wzoru : L = f E dł.

/ Edt

— Ekr

Iloraz

к к к к

określa moc średnią. Nawzajem jest L — E gr (fa — tt).

To równanie prowadzi do nowych, również rozpowszechnionych w praktyce, jednostek pracy :

1 koniogodzina = 1 KM godz. = 270 000 kgm — 270 tm (tonmetrów) 1 kilowattgodzina = 1 KW h 367 000 kgm = 367 tm.

43. Wykres pracy. Z określenia pracy równaniem,

L = fP'ds,

,B

przyczem P' = P cos a jest rzutem siły na kierunek przesunięcia, wypływa wykreślne przedstawienie pracy (fig. 46) jako pola ograniczonego krzywa A B, przedstawiającą zależność P' od s, osią dróg i rzędnemi odpowiadajacemi początkowym i końcowym wartościom P' i s.

staci

Fig. 46.

Podobnież przedstawia się wykreślnie pracę daną w po-L = f Pd s',

przyczem ds' — ds cos o. jest rzutem elementu drogi na kierunek siły. W przypadku np. siły ciężkości G uważanej za stałą, jest przy jakimkolwiek ruchu punktu, na który siła działa, wykres pracy ograniczony prostą równoległą do osi s', czyli do osi wysokości, a praca

L —G h,

jeżeli h oznacza wysokość położenia początkowego nad końcowem.

44. Obliczenie pracy w przypadku, gdy siła jest określona polem potencjalnem. Pole sił nazywamy potencjalnem, jeżeli praca elementarna siły pola jest różniczką zupełną jednowartościowej funkcji miejsca — U(x,y,z), czyli jeżeli

dx

дх

Xdx-\-Ydy-\-Zdz = — dU Ten warunek jest identyczny z następującym:

z=-

дх '

Funkcja TJ nazywa się potencjałem pola sił. (Wprowadzenie jej ze znakiem — ma tylko historyczne uzasadnienie, dzięki pierwszemu zastosowaniu pojęcia potencjału do pola ciężkości.)

Pracę siły P na dowolnej drodze od położenia początkowego M₀ (x₀,y₀,z₀) do końcowego ilfj (хг, уг, 2j) przedstawia w tym przypadku wyrażenie:

F=-

Uo-Ü!

L = f(X d X + Yd y -f Zd z) = U(x₀, y₀, z₀) — U{хх, yx, Zj) =

niezależnie od postaci i długości drogi.

Potencjał ma przeto wymiar pracy. Jego wartość liczbowa jest jednakże nieoznaczona, skoro bowiem dane pole sił określa funkcja U, to określa je również funkcja U + C, przyczem C jest stałą dowolną, która przy różniczkowaniu znika. Dlatego można mierzyć tylko różnice potencjału w różnych miejscach, przyjmując w jednem miejscu, stosownie obranem, dowolną stałą wartość potencjału, np, równą O.

45. Potencjał jednostkowy, czyli właściwy. Pole siły ciężkości. Jeżeli siła pola jest określona w odniesieniu do punktu materjalnego o masie = 1, czyli dana natężeniem pola, to odpowiadający potencjał nazywamy jednostkowym. Ma on wymiar ilorazu pracy przez masę. (Natężenie pola ma wymiar przyśpieszenia). Mnożąc potencjał właściwy przez masę punktu materjalnego, znajdującego się w pewnem miejscu pola, otrzymujemy odpowiadający potencjał zwyczajny. Dla siły ciężkości, określonej natężeniem pola g uważanem w pierwszem przybliżeniu za stałe, jest potencjał jednostkowy

U — g z,

dla

jeżeli z oznacza wysokość ponad obranym poziomem porównawczym, którego U — 0. Stąd nazwa „powierzchni poziomu“ dla powierzchni ekwi-potencjalnych wogóle.

Dla siły ciężkości określonej w drugiem przybliżeniu jako siła skierowana ku środkowi ziemi (uważanej za kulę) jest stosownie do newtonowskiego

jeżeli /

(H + zr ⁹°{E+z)

prawa grawitacji natężenie ciężkości = f

oznacza stałą grawitacji, M masę ziemi o promieniu R, z wysokość nad poziomem morza, zaś g₀ natężenie ciężkości w poziomie morza. Stąd potencjał :

s²

gRĄ-gz-g — ^- . . .

Powierzchnie ekwipotencjalne są kulami współśrodkowemi z ziemią. (Wpływ obrotu ziemi na pole ciężkości względnej będzie rozpatrywany w art. 54.).

46. Energja kinetyczna. (Ek). Dla punktu materjalnego o masie m, poruszającego się z prędkością v, jest

— VI V².

Ą=y»” =

Dla układu punktów materjalnych mi o prędkościach vi jest

Dla ciała m

aterjalnego ciągłego : Ek = j — v² d M.

Energja kinetyczna jest przeto zawsze skalarem dodatnim o tym samym wymiarze co praca. Jednostki pracy są zarazem jednostkami energji kinetycznej.

szcze-

Mimo to nie wolno utożsamiać pojęć energji kinetycznej i pracy. Wszak i moment siły ma ten sam wymiar co praca i energja. Obok wybitnych różnic fizykalnych łatwo zauważyć i matematyczne; np. praca może być równie dobrze dodatnia jak ujemna, podczas gdy energja kinetyczna tylko dodatnia. Obliczenie energji kinetycznej ciała przedstawia się golnie prosto w przypadkach ruchu postępowego i ruchu obrotowego. W pierwszym jest Ek — ■—- Mv², jeżeli M oznacza masę całego ciała; w drugim zaś

Ek — — J (jo², przyczem oznacza I moment bezwładności, а ш prędkość kątową ciała względem (chwilowej) osi obrotu.

33

68

Bryła, Podręcznik inżynierski. VI.

47. Twierdzenie Koenig’a. Energja kinetyczna ciała sztywnego.

Połączmy w myśli ze środkiem masy S danego układu materjalnego (najogólniejszego), poruszającego się dowolnie, pomocniczy układ odniesienia, obdarzony ruchem postępowym ; wówczas energja kinetyczna układu danego jest sumą dwu wielkości: Jedna z nich przedstawia energję kinetyczną, jakąby miał punkt materjałny poruszający się z prędkością u środka masy układu S, gdyby w nim skupić całą masę układu M- drugą zaś jest energja kinetyczną ruchu względnego w pomocniczym układzie odniesienia. Czyli

Ek =    mi wn

jeżeli u>i oznaczają prędkości punktów m- względem pomocniczego układu odniesienia.

Gdyby pomocniczy układ odniesienia miał początek nie w S, lecz w innym punkcie poruszającego się układu materjalnego, to w równaniu powyźszem przybywa jeszcze wyraz Mu w₀, w którym w₀ oznacza prędkość środka masy S względem pomocniczego układu odniesienia. Stosując powyższy wynik do ciała sztywnego, którego ogólny ruch chwilowy, jak wiadomo z kinematyki, jest złożony z obrotu chwilowego z prędkością kątową w, około osi przechodzącej przez dowolnie obrany punkt ciała i z przesunięcia chwilowego z prędkością u, otrzymujemy w wypadku ogólnym:

Ek = 4- Mu¹ 2 + 4-I w² + М(й .    u²).

u    4

Tutaj oznacza I moment bezwładności ciała względem obranej osi obrotu. v₀ prędkość środka masy ciała, wreszcie u prędkość punktu leżącego na obranej osi obrotu. Skoro zaś oś obrotu obierzemy tak, aby przechodziła przez środek masy ciała S, to u — v0l a zatem :

czyli energja kinetyczna ciała sztywnego jest równa sumie energji kinetycznej jego ruchu chwilowego postępowego z prędkością środkamasy i energji kinetycznej obrotu chwilowego około osi przechodzącej przez ten środek.

E. Zasady dynamiki punktu materjalnego.

48. Zasada pracy. Jeżeli P jest wypadkową sił działających na punkt materjałny swobodny o masie m, to mnożąc podstawowe równanie dynamiki

dl

= P skalarowo przez v dt — ds, dochodzimy do równania :

d m v^j = Pds albo = X dx + Ydy -[- Zdz,

czyli: Przyrost elementarny energji kinetycznej równa się pracy elementarnej całkowitej siły wywołującej ruch punktu materjalnego swobodnego.

Całkowanie zaś powyższego równania między położeniem początkowem M₀ (x₀, y₀, z₀) a końcowem ilf, (xu yu zy ) daje: lub słowami: Przyrost energji kinetycznej ' punktu materjalnego swobodnego między jakiemukolwiek dwoma po sobie następującemi punktami jego toru równa się pracy siły wywołującej ruch tego punktn na drodze od położenia początkowego do końcowego.

49. Ruch nieswobodny powstaje, gdy przy pomocy pewnych ciał uważanych za sztywne zmusimy punkt materjalny poruszający się pod wpływem sił danego pola do uczynienia zadość pewnym warunkom geometrycznym jak np. :

1.    Punkt materjalny jest zmuszony do pozostawania na pewnej powierzchni.

2.    Punkt materjalny jest zmuszony do pozostawania na pewnej krzy wej.

W pierwszym przypadku mamy do czynienia z jednym warunkiem ograniczającym w postaci równania powierzchni F (х, у, z) — 0. Punkt materjalny ma jeszcze 2 stopnie swobody. W drugim przypadku zachodzą dwa warunki ograniczające w postaci dwu równań krzywej np. Ф (pc, y, z) = 0 i 4' (x,y, z) — 0, a punkt ma już tylko 1 stopień swobody.

Ograniczenie swobody jest równoważne sile, jaką powierzchnia lub krzywa ograniczająca swobodę wywiera na dany punkt materjalny. Tę siłę nazywamy reakcją, oddziaływaniem, albo odporem powierzchni lub krzywej. Przez wprowadzenie reakcji sprowadza się zadanie ruchu nieswobodnego do zadania ruchu swobodnego pod wpływem wypadkowej siły pola i reakcji.

Siły pola (zależne zwyczajnie od miejsca, a niekiedy i od czasu) noszą także nazwę sił czynnych, tj. takich, które wytwarzają ruch punktu materjalnego ze stanu jego spoczynku. Natomiast reakcje ciał (sztywnych) ograniczających swobodę punktu materjalnego, oraz siły zależne od prędkości (jak np. opór ośrodka ciągłego), zalicza się do sił biernych, tj. takich, które same nie mogą wywołać ruchu punktu materjalnego będącego w spoczynku.

Ogromne uproszczenie uzyskujemy w przypadku, gdy reakcja może być tylko normalną do powierzchni lub krzywej ograniczającej swobodę. Powierzchnie i krzywe nazywamy wtedy doskonale gładkiemi. Praca odpowiadających im reakcyj jest zawsze równa zeru. Wtedy dla ruchu po danej krzywej pod wpływem danych sił pola znajdujemy z zasady pracy odrazu ekończone równanie ruchu.

50. Reakcja toru doskonale gładkiego. Siła odśrodkowa. Całkowite przyspieszenie p punktu materjalnego zmuszonego, do pozostawania na torze daaym, odpowiada wypadkowej z siły czynnej (siły pola) P i reakcji R, która ma kierunek normalny do toru, czyli

mp = P-Ą- R

Ograniczając się do przypadku gdy siła P i tor leżą w jednej płaszczyźnie (fig. 47), otrzymujemy przez rzutowanie powyższego równania na kierunek stycznej i normalnej :

d²s

PV

dl²

m у = Pn + R-

Te równania wyrażają:

.    d² s

1. Składowa styczna przyspieszenia    jest uwarunkowana składową styczną P{ siły czynnej.

t;²

2. Składowa normalna przyspieszenia — jest uwarunkowana wypadkową składowej normalnej Pn siły czynnej i reakcją R.

3. Reakcja toru występuje wogóle także wtedy, gdy Pn — 0 i równa się

mv“¹

wówczas

(siła dośrodkowa). Nawzajem punkt materjalny poruszający się po torze danym wywiera nań nacisk o tej samej wielkości

-, lecz skierowany przeciwnie, t. zn. od środka krzywizny na zewnątrz

toru. Siła ta nosi nazwę: „Siła odśrodkowa“.

Zważywszy, że pod tem samem mianem kryją się jeszcze dwa inne pojęcia dynamiczne, należy pamiętaó, że przez siłę odśrodkową w ruchu nieswobodnym na danym torze rozumiemy siłę, jaką poruszający się punkt materjalny wywiera na tor.

51. Zasada zachowania energji. W polu sił potencjalnem jest (według ust. 44) L — U₀— Ui. Po wstawieniu tej wartości w równanie wyrażające zasadę pracy (ust. 48) otrzymujemy wzór:

у + Ui = у mv\ -f U₀= stałej;

albo

Ek-f- U — stałej,

ważny tak dla ruchu swobodnego, jak i nieswobodnego bez oporów (tj. gdy reakcje są normalne do torów). Wyrażenie Ek-\- U nazywamy całkowitą energją punktu materjalnego. Otrzymane równanie wyraża zasadę zachowania energji dla jednego punktu mtaerjalnego ; czyli słowami :

Podczas ruchu punktu materjalnego w potencjalnem polu sił zachowuje całkowita energja punktu wartość stałą.

Dla pola siły ciężkości, uważanej w niewielkim obszarze za stałą

Ï1

~ m V² -j- m g z = stałej =

= у m vo + m9zo-

Stąd dla punktu materjalnego, spadającego (bez tarcia) po jakimkolwiek wymuszonym torze (zakrzywionym w sposób ciągły; fig. 48) przy prędkości początkowej v₀ — 0, mamy :

Fig. 47.

i Ima

Fig. 48.

v² = 2 g (z₀ — z) = 2g h.

52. Równowaga punktu materjalnego. Położenie równowagi. Zasada prac przygotowanych, Położeniem równowagi punktu materjalnego w danem polu sił i przy danych warunkach geometrycznych nazywamy miejsce, w którem punkt materjalny może spoczywać. Koniecznym i wystarczającym warunkiem równowagi jest:

1.    Dla punktu materjalnego swobodnego, aby w tem miejscu siła pola P=0 (albo X = 0, r=0, Z — 0).

2.    Dla punktu materjalnego nieswobodnego (bez tarcia), aby siła Г była prostopadła do krzywej lub powierzchni organiczającej swobodę.

Obadwa powyższe wysłowienia warunków równowagi ujmuje razem z ogólnego stanowiska zasada prac przygotowanych.

W położeniu równowagi jest suma algebraiczna prac przygotowanych wszystkich sił działających na punkt materjalny równa zeru. Ta równość stanowi konieczny i wystarczający warunek równowagi.

Przez pracę przygotowaną (wyobrażalną, wirtualną) rozumiemy fikcyjną pracę na przesunięciu przygotowanem, t. zn. takiem przesunięciu elementarnem, jakiego by mógł punkt doznać, gdyby go w jakikolwiek sposób niezależny od sił rzeczywiście działających wyprowadzić z położenia równowagi. Przesunięcie przygotowane punktu materjalnego swobodnego jest przeto zupełnie dowolne tak co do kierunku, jak i wielkości (nieskończenie małej); dla punktu materjalnego, zmuszonego do przebywania na danej powierzchni, leżą wszystkie kierunki przesunięcia przygotowanego w płaszczyźnie stycznej do powierzchni w odpowiadającym punkcie ; zaś dla punktu materjalnego, zmuszonego do pozostawania na danej krzywej, wskazuje styczna w odpowiadającym punkcie jedyne dwa możliwe kierunki przesunięcia przygotowanego o wielkości również dowolnej, lecz nieskończenie małej.

Dla odróżnienia od przesunięć elementarnych rzeczywistych oznaczamy przesunięcia przygotowane przez Bs, a pracę przygotowaną P Ss przez B L.

W polu sił, określonych potencjałem U, jest:

by-\

bz) = — o U.

3 U

dz

W położeniu równowagi jest В U — 0, czyli U jako funkcja spółrzędnych X, у, z osięga extremum.

m9

Fig. 49.

53. Stałość czyli stateczność równowagi w polu potencjalnem. Równowagę punktu materjalnego nazywamy stałą czyli stateczną, gdy po udzieleniu punktowi bardzo małej prędkości w położeniu równowagi powstają pod wpływem sił pola tylko bardzo małe wahnienia około tego położenia. Skoro natomiast zamiast wahnień powstaje ruch oddalający punkt materjalny na za- ; wsze od położenia równowagi, to nazywamy ją a niestałą. Równowaga punktu materjalnego w polu potencjalnem jest stałą w położeniu odpowiadającem minimum \ psi. energji potencjalnej (kryterjum Minding’a i * i Lejeune-Dirichlet’a), z’aé niestałą w położeniu odpowiadającem maximum energji potencjalnej.

Przykład. Na krzywej DABC (fig. 49), leżącej w płaszczyźnie pionowej i ograniczającej swobodę ruchu punktu materjalDego jest A położeniem równowagi stałej, В niestałej'. W punktach C i D jest równowaga widocznie również niestałą (z wykluczeniem tarcia). 11= mg z osiąga w nich również extremum, które nie jest ani minimum, ani maximum.

54. Dynamika punktu materjalnego w układzie względnym.

Jeżeli siła „bezwzględna“ Pb udziela punktowi o masie m przyśpieszenia ah w układzie bezwzględnym czyli inercjalnym, to Pb=mab. Według związku, podanego w ust. 16 kinematyki, jest przyśpieszenie względne aw = ab — au — ac, przyczem oznacza au przyśpieszenie unoszenia, zaś ac przyśpieszenie Coriolis’a. A zatem :

m aw — mab — mau — mac,

czyli

co wyraża twierdzenie:

W układzie względnym odbywa się ruch punktu materjalnego tak, jak gdyby nań działała „siła względna“ P , która jest wogóle wypadkową „siły bezwzględnej“ Pb, przeciwnie wziętej „siły unoszenia“ Pu—mau i przeciwnie wziętej „siły Coriolis’ a“ Pc = m nc.

W szczególnym przypadku równowagi względnej znika zawsze siła Coriolis’a P, a siła względna jest wypadkową siły bezwzględnej i przeciwnie wziętej siły unoszenia.

Skoro ruch układu względnego jest obrotem jednostajnym z prędkością kątową to, to —Pu — m pin² nazywamy „siłą odśrodkową“ (jeżeli p tg ot = —. Jej natężenie aw = ~\/a² -f~ g'¹. W tym przypadku mamy więc

j Jp - /'

ÏBT-QÔr

j -j¹'    )

do czynienia z polem jednorodnem o z pochyłych linjach sił i płaszczyznach ekwipotencjalnych opadających pod kątem a w kierunku przyspieszenia układu względem ziemi.

Fig. 51.

Fig. 50.

jest promieniem-wektorem prostopadłym do osi obrotu, którego koniec schodzi się z punktem materjalnym). Oto drugie ze znaczeń nazwy „siła odśrodkowa“, wspomnianych w art. 50.

Takim układem jest ze znacznem przybliżeniem nasza ziemia dzięki obrotowi dzien-

2 7t

nemu z prędkością kątową w =

ziemi określają siłę względną, która jest wypadkową grawitacji jako siły względnej i siły odśrodkowej. Ta ostatnia ma ściśle wartość ą oj², jeżeli () oznacza promień równoleżnika i jest prostopadłą do osi ziemskiej. Wartość grawitacji według prawa

Newton’a przedstawia się w pierwszem przybliżeniu wyrażeniem /—, przyczem oznacza: / stałą grawitacji, Ж masę ziemi, m masę punktu materjalnego r jego odległość od środka ziemi. (To wyrażenie' byłoby ścisłem gdyby ziemia miała budowę o symetrji kulistej). Z powodu sferoidalnego kształtu ziemi jest dokładne obliczenie grawitacji wielce złożone i prowadzi do wyrażenia, które również maleje ze wzrostem r, czyli w miarę oddalania się od biegunów ku równikowi. Obrawszy za zmienną niezależną szerokość geograficzną <p, otrzymujemy przyrost grawitacji od równika ku biegunom z wielką dokładnością proporcjonalny względem sin² rp. Taką samą zależność znajdujemy dla składowej pionowej siły odśrodkowej, którą należy odjąć od odpowiadającej składowej grawitacji, ażeby otrzymać ciężkość względną. Stąd prawidło, że ciężkość względna przyrasta od równika ku biegunom proporcjonalnie względem sin² <p.

wierzchni

86164si

= 0,000 073 si l. Pomiary siły ciężkości napo-

bez-

Jeżeli punkt materjalny porusza się w polu ciężkości względnej, to zachowuje się tak, jak gdyby nań działała nadto siła Coriolis’a. Jej wartość 2 m v <x> sin (», co) staje się największą, gdy kierunek prędkości (względnej) v jest prostopadły do osi ziemskiej. Wów-

czas stosunek siły Coriolis’a do ciężkości względnej wyrówna się

0,000 146 v

9,81

czyli około

0,000 015 d (jeżeli v wyrażamy w mjsk). A zatem dla prędkości kuli karabinowej może siła Coriolis’a dopiero dojść do l°/₀ ciężkości, dlatego pomijamy ją w zwykłych zadaniach mechaniki technicznej, a pole ciężkości względnej, uważane w obrębie jednego budynku za jednorodne, traktujemy zarazem jako pole siły bezwzględnej.

55. Względna równowaga ważkiego pnnktu materjalnego w układzie poruszającym się względem ziemi. Takim układem jest np. wagon kolejowy, statek itp,

a) Przy ruchu postępowym układu z poziomem przyśpieszeniem a (fig. 50) jest siła względna Pw wypadkową pionowej siły ciężkości mg i poziomej — ma. Siła P jest odchylona od pionu o kąt a, określony równaniem

b) Przy ruchu obrotowym układu około osi pionowej ze stałą prędkością kątową u> (np. wagon jadący po łuku poziomym, fig. 51) jest siła względna wypadkową ciężkości m g i siły odśrodkowej m p iu². Obrawszy osie x i y w płaszczyźnie poziomej, a z na osi obrotu otrzymujemy wyrażenie dla energji potencjalnej :

U — m g z--m to² p².

Powierzchnie ekwi potencjał ne w² p² — 2 g z — stałej, czyli cc² Ą-y² — z = C

są paraboloidami obrotowemi o wspólnym parametrze p — -Др Kąt nachylenia siły względnej do pionu jest określony równaniem

w² q

tao. —-

9    9 P

Wartość tego kąta dla środka masy wagonu wyznacza taką „przechyłkę toru“, przy której siła względna jest w przybliżeniu prostopadła do toru, a rąbki kół nie wywierają bocznego nacisku na szyny.

Przykład. Dla łuku o promieniu r = 400 m i szerokości tom s — 1,435 m przy prędkości jazdy »= 16 mlsk wypada podwyższenie h szyny zewnętrznej (jeżeli przy małych a przyjmiemy w przybliżeniu hjs = tg a) :    h = r* s / g r = 0,093 m.

c) Punkt materjalny, zmuszony do pozostawania na gładkiej krzywej, leżącej w płaszczyźnie pionowej, która się obraca jL jednostajnie około osi pionowej (kule regulatorów), będzie c* równowadze względnej, jeżeli wypadkowa ciężkości mg i siły ^ odśrodkowej m p ou² jest normalna do krzywej, (fig. 52) czyli 4 gdy mp ш²1 m g — tg a == p / A.

Dla równowagi musi zatem długość podnormalnej h na osi # x obrotu czynić zadość warunkowi:    /

h — g/aA    r

tf

i myto*

my

Fig. 52.

Ta równowaga jest stała, jeżeli dana krzywa w otoczeniu położenia równowagi m leży wewnątrz paraboli A' N' o parameirze gjoj'¹ przechodzącej przez m. Wówczas bowiem odpowiada położeniu punktu m minimum energji potencjalnej, ponieważ ta energja, mając na paraboli wartość stałą, zwiększa się wewnątrz niej, a zmniejsza na zewnątrz. Dlatego też równowaga będzie niestała, jeżeli krzywa przecina lub leży zewnątrz paraboli (np. Л" A⁷") zaś obojętną w przypadku gdy krzywa zlewa się z tą parabolą.

III. Statyka.

A. Część ogólna.

56.    Zasada prac przygotowanych (wyobrażalnych, wirtualnych) wyraża konieczny i wystarczający warunek równowagi najogólniejszego układu materjalnego, pojmowanego jako układ punktów materjalnych, na które działają jakiekolwiek siły zewnętrzne Pi (i — 1, 2, ... n) i wewnętrzne Wik (t, к = 1, 2,... n). Przy oznaczeniu przez o st wektorów przesunięć przygotowanych punktów m₍, wyraża ten warunek równanie:

2^4+22^,. s^=°-

' i к

W położeniu równowagi układu materjalnego jakiegokolwiek jest suma algebraiczna prac przygotowanych wszystkich sił zewnętrznych i wewnętrznych układu równa zeru przy każdym chwilowym ruchu przygotowanym układu.

57.    Rodzaje równowagi układów materjalnych. Jeżeli tak siły zewnętrzne jak i wewnętrzne mają potencjał, to równanie powyższe staje się identycznem z warunkiem extremum energji potencjalnej jako funkcji spółrzędnych punktów układu.

5 U= 0.

Ten warunek może odpowiadać:

1.    Minimum energji potencjalnej, jeżeli przyrost rzędu drugiego o² U (wzgl. inny pierwszy nieznikający przyrost rzędu parzystego) jest dodatni. Odpowiadające położenie równowagi jest położeniem równowagi stałej (Minding i Lejeune-Dirichlet).

2.    Maximum energji potencjalnej, jeżeli 6² U< 0 (albo inny pierwszy nieznikający przyrost o²' U <; 0).

3.    Ani maximum ani minimum. Obu ostatnim przypadkom odpowiada wogóle równowaga niestała.

Oprócz ogólnych dwu typów równowagi stałej i niestałej, czyli chwiejnej, rozróżniają w technice niektóre szczególne rodzaje równowagi. Najważniejszym jest przypadek t. zw. równowagi obojętnej, gdy w otoczeniu położenia równowagi ma energja potencjalna U charakter stałej, czyli nie zmienia się przy żadnym z ruchów przygotowanych układu.

Przykładem równowagi stałej jest ważka kula jednolita spoczywająca na dnie wydrążenia kulistego o większym promieniu. Ta sama kula umieszczona na szczycie innej kuli jest w równowadze niestałej, zaś spoczywająca na poziomej płaszczyźnie jest w równowadze obojętnej.

58. Warunki równowagi, gdy praca przygotowana sił wewnętrznych jest równa zeru. Dla ciał sztywnych lub układów złożonych z ogniw sztywnych i nierozciągliwych cięgien (tj. sznurów, łańcuchów itp.) przyczem poszczególne ogniwa są połączone przegubami itp. bez tarcia, jest praca sił wewnętrznych zawsze równa zeru, a więc równanie równowagi takich układów, wyrażające zasadę prac przygotowanych, sprowadza się do:

2^4 = o-

Ważny wniosek: Dwie siły, działające na dwa jakiekolwiek punkty ciała sztywnego (fig. 53), są w równowadze gdy się spełniają razem dwa

-pi

Bj

Py

-Py

ipy*

Fig. 53.

Fig. 54.

Fig. 55.

Fig. 56.

warunki: 1. suma geometryczna sił jest równa zeru i 2. wektory sił leżą na tej samej prostej.

(Albowiem praca przygotowana takich sił jest przy każdem przesunięciu i każdym obrocie ciała równa zeru.)

59.    Para sił. Jeżeli suma geometryczna dwu sił jest wprawdzie równa zeru, ale ich wektory nie leżą na tej samej prostej, (fig. 54), to praca przygotowana przy przesunięciu ciała jest wprawdzie zerem, ale przy jego obrocie nie. Takie dwie siły nie równoważące się nawzajem stanowią parę sił.

60.    Przekształcenie układów sił, tj. zastąpienie danego układu się działających na ciało sztywne innym układem równoważnym odbywa sił wogóle przez stosowne dołączanie do układu danego innego układu pomocniczego sił równoważących się nawzajem. Najprostsze ważne przykłady są następujące :

punkt A (fig. 55) na jakikolwiek linji działania tej siły (przez dołączenie

a)    Przeniesienie siły P. działającej na inny punkt В ciała, leżący na układu (P) i — P sił działających na punkt В i znoszących się nawzajem).

b)    Zastąpienie siły P, działającej na punkt A (fig. 56) taką samą siłą (P) działającą na inny punkt ciała В wraz z parą sił (P, — P).

Drugi sposób przekształcenia układu sił polega na zrównoważeniu danego układu drugim układem stosownie dobranym. Te dwa układy nie są przeto równoważne (także równowarte), lecz znoszące się, czyli równoważące się nawzajem. Atoli odwróciwszy kierunki wszystkich sił układu drugiego, bez zmiany ich wartości, otrzymujemy widocznie nowy układ równoważny z pierwszym (ponieważ równoważący się z drugim).

61. Składanie sił leżących w jednej płaszczyźnie i działających na różne punkty ciała sztywnego zapomocą t. zw. wieloboku sznurowego jest najważniejszem zastosowaniem powyższego sposobu przekształcania układów sił (fig. 57).

Chcąc układ sił 1\, P₂, 1\ i 1\

cS.    \

s-sz:—л

0 fi. ¹

Fig. 57 a, 6.

(fig. 57 a) zastąpić innym prostszym, równoważymy każdą z sił danych dwiema siłami pomocniczemi, które y wyznaczamy kreśląc trójkąt tych trzech sił. Siłę P₁ równoważymy przeto siłami b\ i *S'₁₂, działającemi na ten sam punkt F. Ich kierunki obieramy dowolnie, a wielkości znajdujemy z Д А В O nakreślonego z boku (fig. 57 b). Siłę P₂ równoważymy podobnież dwiema siłami, ale już nie zupełnie dowolnemi, obierając jedną z nich (— S₁₂) tak, aby się znosiła z siłą S₁₂ ; druga S₂3 wypadnie zatem z trójkąta sił В C O (fig. 57 b). Postępując kolejno w ten sposób dochodzimy do siły ostatniej P₄, zrównoważonej siłami pomocniczemi — <S'S4 i <S₄ określonemi trójkątem D E O.

Wszystkie siły pomocniczej leżą na bokach wieloboku MF G H IN, zwanego sznurowym i z wyjątkiem sił i <S₄, położonych na bokach skrajnych, znoszą się widocznie nawzajem. Wypadkowa sił jj i <S₄, przechodząca przez punkt К przecięcia się ich linij działania, równoważy przeto układ sił danych, a odwróciwszy jej kierunek otrzymujemy siłę R = AE, która oczywiście zastępuje układ sił danych P₁,...P₄, czyli jest wypadkową tegoż układu. Ta wypadkowa AE= P jest bokiem zamykającym wieloboku sił AB CDE. Punkt O, dowolnie obrany, nazywa się biegunem, zaś proste O A, OB, ... promienieni.

Uwaga. Nazwa wieloboku sznurowego pochodzi stąd, ponieważ ten wielobok przedstawia zarazem postać równowagi sznura (lub wogóle cięgna) idealnego (tj. nieważkiego, doskonale giętkiego i nierozciągliwego), na który działają w punktach F,G,HiI siły dane, oczywiście przy założeniu, że wszystkie siły S są (jak na fig. 54) siłami rozciągającemu W przypadku, gdyby siły S' na którymś z boków były ściskające, można sobie pomyśleć dla przywrócenia równowagi zamiast sznura pręt sztywny z przegubami na końcach boku. Wielobok sznurowy^jest przeto wogóle postacią równowagi łańcucha prętów przegibnie połączonych, jeżeli na przeguby końcowe działają siły S', i <5,, zaś na przeguby pośrednie siły Plt ... I\.

Z konstrukcji wieloboku sznurowego wypływają twierdzenia:

i*

rj

\fi

a)    Płaski układ sił, których wielobok się nie zamyka, ma zawsze siłę wypadkową równą sumie geometrycznej danych sił układu. Ta wypadkowa przechodzi przez punkt przecięcia się boków skrajnych jakiegokolwiek wieloboku sznurowego wykreślonego dla tegoż układu.

eC

»0

л ń\

c 5

Fig. 58.

Fig. 59.

b)    Płaski układ sił, których wie- vj. lobok się zamyka (fig. 58) nie ma .gasiły wypadkowej, lecz jest wogóle równoważny parze sił, czyli ma parę wypadkową, wyjąwszy przypadek szczególny, w którym:

c)    Płaski układ sił jest w równowadze jeżeli tak wielobok sił, jak i wielobok sznurowy się zamykają (fig. 59).

62. Momenty sił względem punktu. Ponieważ działanie dynamiczne siły P na ciało sztywne jest zupełnie określone wektorem swobodnymp i linją działania, tj. prostą tego wektora, a jest zupełnie niezależne od punktu działania, który można dowolnie przesuwać na tej prostej, przeto określamy z korzyścią siłę P działającą na ciało sztywne w sposób następujący :

Obrawszy gdziekolwiek stały punkt O, łączymy go w myśli z początkiem A i końcem В siły P (fig. 60). W tym punkcie O wystawiamy wektor M prostopadły do płaszczyzny trójkąta AB O o wielkości równej podwójnemu polu tego trójkąta i strzałce takiej, ażeby stojąc stopami w O, a mając głowę w miejscu strzałki widzieć pomyślany obrót promienia O A — r w kierunku wskazanym siłą P jako zgodny z obrotem wskazówki zegarowej. Wektor S0Î tak określony nazywamy momentem siły P względem punktu O.

Bezwzględna wartość momentu :

9ÏÏ = I ЭЛ I = Ph,

przyczem h, tj. ramię momentu, albo ramię siły jest długością prostopadłej spuszczonej z O na linję działania siły P.

Punkt O nazywają także środkiem momentów.

63. Momenty sił względem prostej. Ich określenie wynika z łatwego do uzasadnienia twierdzenia:

momenty danej siły P względem różnych punktów 01; Oj,... jednej i tej samej dowolnie obranej prostej (osi, np. X) rzutujemy na tą prostą, to otrzymujemy rzuty geometrycznie równe. Każdy z nich (jako wektor) przedstawia moment siły P względem obranej prostej. Jego bez-

Jeżeli

względna wartość jest iloczynem bezwzględnej wartości siły P, „najkrótszej odległości“ к linji działania siły od obranej prostej i Wstawy kąta nachylenia a siły P do tej prostej.

I Mom^ PI — Pk sin a

Wniosek. Moment siły P wzglądem osi leżącej z nią w tej samej płaszczyźnie równa

sią zeju.

(f4. Momenty sił względem płaszczyzny. Gdy mamy do czynienia z przestrzennym układem sił równoległych, to skal ary (nie wektory) określające iloczyny sił przez odległości ich punktów początkowych od pewnej płaszczyzny (płaszczyzny momentów) z uwzględnieniem znaków algebraicznych, nazywamy momentami tych sił względem obranej płaszczyzny. Znakami -J- i — odróżniamy przytem siły zgodnie kierowane od przeciwnie skierowanych oraz odległości punktów leżących po jednej i drugiej stronie płaszczyzny.

65. Momenty sił układu centralnego, tj. sił, których linje działania przecinają się w jednym punkcie C. Takie siły Pi mają oczywiście zawsze wypadkową R = S P- o linji działania przechodzącej przez O. Moment tej wypadkowej względem dowolnie obranego punktu O równa się sumie geometrycznej momentów sił składowych, czyli

Mom₀ R = Mom₀ P₂ -j- Mom₀ P₂ -1-...

Rzutując wektory obu stron powyższego równania na dowolnie obraną prostą, np. oś X prostokątnego układu spółrzęduych, mamy prawidło :

Momæ R = Momx P₁ -|~ Momx P₂ -f- • • •,

czyli : Moment wypadkowej względem jakiejkolwiek prostej równa się sumie algebraicznej³) momentów sił składowych względem tejże prostej.

66. Ogólny moment sił jakiegokolwiek układu przestrzennego względem obranego środka O (lub osi) jest to suma geometryczna (wzgl. algebraiczna) momentów wszystkich sił względem tego środka (lub osi).

Ogólny moment pary sił jest wektorem stałym niezależnym od obioru środka momentów i nazywa się momentem pary. Jest przeto wektorem swobodnym 2)1 (fig. 61) o wartości bezwzględnej równej polu równoległoboku, którego bokami równoległemi są siły pary. Wektor ten jest prostopadły do płaszczyzny pary i tak skierowany, ażeby człowiek, stojący na tej płaszczyźnie z głową umieszczoną obok strzałki wektora widział obieg strzałek sił dokoła równoległoboku zgodny z obiegiem wskazówek zegara.

Odległość wzajemną obu sił pary nazywamy ramieniem pary.

д.

Fig.60.

|ff

Fig. 61.

67.    Równoważność par sił jest uwarunkowana geometryczną równością ich momentów, czyli:

Para sił (P, — P) o ramieniu a da się zastąpić inną równoważną (Q, — Q) o ramieniu Ъ, leżącą w płaszczyźnie tej samej, lub równoległej, przyczem siły drugiej pary mogą mieć zresztą położenie dowolne, byleby zachodziła równość P a = Q Ъ, a kierunki obiegu były zgodne.

68.    Składanie par, rozmaicie w przestrzeni zorjentowanych, wypływa z powyższego twierdzenia o równoważności w połączeniu ze składaniem sił i tak :

Ilekolwiek par sił można zawsze zastąpić jedną parą wypadkową, której * moment jest sumą geometryczną momentów par składowych.

Wniosek. Układ par sił zorjentowanych jakkolwiek w przestrzeni jest w równowadze, jeżeli suma geometryczna ich momentów jest równa zeru.

69. Przestrzenny układ sił Pi da się zawsze zastąpić układem par i układem centralnym sił geometrycznie równych siłom danym. W tym celu obieramy dowolny punkt O (zwany środkiem redukcji układu sił) i dołączamy pomocniczy układ sił równoważący się nawzajem, a złożony z sił (P;) równych Pi i działających na punkt O oraz z sił równych —Pt działających również na punkt O. Siły P i — P. tworzą układ par sił, który daje parę wypadkową o momencie 2JÎ równym ogólnemu momentowi wszystkich danych sił Pi względem punktu O ; siły zaś (P₍) jako działające na punkt Oi dają siłę wypadkową R — Yi Pt. A zatem :

Przestrżenny układ sił jest w ogóle równo ważny jednej sile i jednej parze sił.

Takie sprowadzenie danego układu sił w przestrzeni P₍ do jednej siły R — £ Pi i jednej pary o momencie 3Ä — S Mom₀ Pi, da się wykonać na nieskończenie wiele sposobów różniących się obiorem punktu O (środka redukcji). W każdym zespole siły R i pary ffl r) zastępujących dany układ sił P}, zmienia się tylko położenie prostej, wzdłuż której działa R (zależnie od O) a wielkość i kierunek R pozostaje bez zmiany ; wielkość natomiast i kierunek wektora momentu pary Ш zmienia się zależnie od obioru punktu O. . Atoli z pośród nieskończenie wielu zespołów siły R i pary 9JÎ, zastępują-

*) Mówimy krótko „para Ши, zamiast: „para o momencie SQc“.

cych dany przestrzenny układ sił P., wyróżnia sie wogóle jeden, w którym R [| ÏR, czyli płaszczyzna pary 2R jest prostopadła do kierunku siły R. Taki zespół nosi nazwę: skrętnik.

Wnioski: a) Przestrzenny układ sił nie da się wogóle zastąpić jedną siłą, czyli nie ma siły wypadkowej. Natomiast da się wtedy zastąpić dwiema siłami skośnemi, z których jedną stanowi jedna ze sił pary, a drugą wypadkowa siły R i drugiej siły pary przecinającej linję działania siły R.

b)    Przestrzenny układ sił ma siłę wypadkową, jeżeli R = 2 Pt■ — 0, a zarazem ЗЛ _]_ R, czyli płaszczyzna pary ЭК jest równoległa do R, wtedy bowiem para sił SR i siła R jako leżące w jednej płaszczyźnie sprowadzają się do jednej siły geometrycznie równej R, a tylko przesuniętej równolegle.

SI 4=0.

a zarazem

c)    Przestrzenny układ sił jest równoważny parze sił (czyli ma parę wypadkową), jeżeli R = 2 P}- — 0,

d)    Przestrzenny układ sił znosi się nawzajem, czyli jest równoważny zeru, jeżeli spełniają się razem warunki:

2 P{ = 0 i 2 Mom₀ P. = 0.

70. Ogólne warunki równowagi, konieczne i wystarczające dla ciała sztywnego, a tylko konieczne dla jakiegokolwiek układu materjalnego wyrażają się [jak wynika z wniosku (<£)] powyższemi dwoma równaniami wek-torowemi, czyli słowami :

Dla najogólniejszego układu sił (układu materjalnego), będącego w równowadze, jest zarówno suma geometryczna wszystkich sił (układu) jak i suma geometryczna ichmomen-tów względem dowolnie obranego jednego i tego samego punktu równa zeru.

Wniosek. Siły wewnętrzne jakiegokolwiek układu materjalnego (pojmowanego jako układ punktów materjalnych) spełniają (wszystkie razem) zawsze ogólne warunki równowagi.

Jeżeli siły Pi są określone analitycznie składowemi Xp Yp Zi w kierunkach trzech osi prostokątnego układu spółrzędnych, a położenia punktów m-, na które siły działają spółrzędnemi x>:, ?/г, Zp to obadwa ogólne warunki równowagi, wyrażone powyższemi dwoma równaniami wektorowemi, prowadzą do sześciu równań zwyczajnych, czyli sześciu analitycznych warunków równowagi. Trzy pierwsze odpowiadają warunkowi 2 Pt■= 0 i noszą nazwę warunków rzutów; zaś trzy pozostałe wyrażają to samo co SMom₀ P₍ = 0 i nazywają się warunkami momentów.

Obrawszy bowiem punkt O za początek układu spółrzędnych i oznaczywszy przez a.p fjp у-p kąty, jakie wektor P. twarzy z osiami x, y, zy mamy

2 Pi cos а, ЕЕ 2 Хг = 0 2P.cosß.EF.2    = 0 ■

2 Рг- cos y i = Z Zi = 0 2MomæP, = 2(r,s,-i^.) = 0 2 Mom^ Ij — 2 {Z. xi X{ zt) = 0 2 Мотг P= 2 (Xt у i — Г. xt) = 0

Słowami : Dla najogólniejszego układu sił w równowadze jest suma algebraiczna rzutów sił, czyli składowych w kierunku dowolnie obranych

(warunki rzutów)

(warunki momentów).

osi prostokątnego układu spółrzędnych, dla każdej osi z osobna równa zeru a zarazem suma algebraiczna momentów sił układu względem tychże osi, dla każdej z osobna, równa zeru.

Uwaga. Powyższe warunki można także wyprowadzić z zasady prac przygotowanych, przyczem warunki rzutów wyrażają warunki równowagi ze względu na przesunięcia ciała wzdłuż odpowiednich osi spółrzędnych; zaś warunki momentów określają warunki równowagi ze względu na obroty około tyohże osi.

71. Warunki równowagi płaskiego układu sił, wyrażone „wykreślnie“ na końcu ust. 61, sprowadzają się w postaci analitycznej do trzech następujących, skoro osie x i y obierzemy w płaszczyźnie układu (dwa warunki rzutów i jeden momentów):

2X. = 0, - Y i = 0,    -!>.) = 0;

albo jeżeli przez ri oznaczymy ramię momentu siły /' względem punktu O, a przez o., kąt (/), x)\

S Pi cos ai =0, ^ I\ siu a.i = 0,    - + Pi ri — 0.

Iloczyny Pi opatrujemy przytem znakiem -)- lub — zależnie od tego, czy wektor momentu jest skierowany ku przodowi dla patrzącego na płaszczyznę 17, czy też przeciwnie. Wyrażają to także inaczej mówiąc, że moment siły Pi względem punktu O poczytujemy za dodatni lub ujemny, stosownie do tego (w razie pomyślanego ustalenia punktu ciała w O) czy siła Г powodowałaby obrót zgodny, czy też przeciwny z obrotem wskazówek zegara.

W przypadku, gdy się nie spełnia warunek momentów, a nadto jeden lub obadwa z warunków rzutów, czyli gdy np. X Pi cos a₍ = Bx =f= 0, X Pi sin a - = Iiу =f= 0, X + /) r - — 2JÎ Ф 0, układ sił ma siłę wypadkową o wielkości li = ~^R^ -f- Ry , nachyloną do osi X pod kątem a, wyzna-

czonym równaniem tg a

i działającą wzdłuż prostej odległej od

3JÎ

początku układu spółrzędnych o ~p-.

W przypadku wreszcie, gdy się spełniają warunki rzutów, a warunek momentów nie, czyli E Xi = 0,    2    — 0,    2 + II ri = 3DÏ =j= 0 układ sił

ma parę wypadkową o momencie określonym zupełnie znakiem i wartością 3JÎ.

72. Siły równoległe w przestrzeni posiadają wogóle siłę wypadkową równą sumie algebraicznej wszystkich sił układu, jeżeli jednak ta suma jest zerem, a zarazem ogólny moment nie jest zerem, to układ sił sprowadza się do pary wypadkowej.

Układ sił równoległych zgodnie skierowanych posiada zawsze siłę wypadkową równą sumie arytmetycznej wszystkich sił układu. Jeżeli siły /' takiego układu obracamy około ustalonych w ciele punktów x- yi Zp na które działają, to ich wypadkowa R = E P. obraca się około pewnego punktu stałego (a?₀, y₀, z₀), zwanego środkiem sił równoległych. Punkt ten określają równania:

- I) У i

_ ^ Xi

*0    V p I У o ■ у p »    ~0    V J> ■

W przypadku sił ciężkości działających na wszystkie cząstki ciała i uważanych z wystarczającem przybliżeniem za równoległe, schodzi się środek tych sił ze środkiem masy ciała, co usprawiedliwia nazwę: środek ciężkości.

В. Część szczegółowa.

73. Statyka ciała sztywnego nieswobodnego. Podparcie lub zawieszenie. Gdy na ciało nieswobodne działają dane siły zewnętrzne, jak np. ciężar Ç, a ciało to pozostaje w równowadze, to dołączywszy do owych sił nieznane reakcje (oddziaływania) punktów podparcia lub zawieszenia, otrzymujemy układ sił, który musi czynić zadość ogólnym warunkom równowagi wyprowadzonym dla ciała swobodnego. Z równań równowagi można więc niekiedy wyznaczyć szukane reakcje (przypadki statycznej wyznacz alnosci, albo izostatyczne), ale skoro np. liczba niewiadomych, określających reakcje, jest większa od liczby równań równowagi, to mamy do czynienia z przypadkami statycznie niewyznaczalnemi, czyli hyperstatycznemi.

Największą liczbą niewiadomych wielkości statycznie wyznaczalnych dla jednego ciała jest 6, stosownie do liczby równań równowagi i stopni swobody.

a) Łącząc (fig. 62) punkt 1 ciała ze stałym punktem A zapomocą idealnego sztywnego pręta z przegubami kulistemi na obu końcach odbieramy ciału tylko jeden stopień swobody, gdyż usuwamy możliwość przesunięcia przygotowanego w kierunku tego pręta. Przesunięcia w dwu kierunkach doń prostopadłych i obroty około trzech osi wzajemnie prostopadłych pozostają możliwe i określają 5 pozostałych stopni swobody.

Tę samą rolę co pręt łączący, lub sznur, gra także podpora gładka, w której kierunek reakcji jest prostopadły do płaszczyzny styczności (fig. 63). Przy zawieszeniu na pręcie, koniecznym i wystarczającym warunkiem równowagi jest, aby siły zewnętrzne miały wypadkową Q o linji działania leżącej na osi pręta. Wtedy bowiem znoszą się z reakcją Ä, która co do wielkości jest równa, a co do kierunku przeciwna sile Q.

(W przypadku podpory gładkiej musi być nadto siła Q skierowana ku wnętrzu ciała podpierającego.)

PiSTrttU

\в

Fig. 62.

Fig. 63.

Fig. 04.

Fig. 65.

b) Dwa pręty łączące jeden punkt (1) ciała z punktami stałemi A i В (fig. 64) zabierają mu dwa stopnie swobody, umożliwiając tylko przesunięcia w jednym kierunku prostopadłym do płaszczyzny prętów i obroty około wszystkich trzech osi. Tutaj jest koniecznym i wystarczającym warunkiem równowagi, aby siły zewnętrzne miały wypadkową Q, o linji działania przechodzącej przez punkt 1 i leżącej w jednej płaszczyźnie z obu prętami. Reakcje Ą i 7i'₂ znajdujemy z trójkąta sił. ,Tak samo ma się rzecz w przypadku dwu podpór gładkich (fig. 65) a podobnie przy połączeniu dwu punktów ciała z dwoma punktami stałemi (fig. 66).

Atoli w przypadku szczególnym, gdy te dwa pręty są równe i równoległe (fig. 67), mamy do czynienia z utratą jednego przesunięcia (w kierunku prętów) i jednego obrotu (około osi prostopadłej do płaszczyzny prętów). Dla równowagi musi wypadkowa z sił zewnętrznych, czyli „obciążeń“ leżeć w płaszczyźnie prętów i być do nich równoległa. Z warunku momentów dla punktów 1 i 2, tj.

Q a — i?₂ ï = 0,

znajdujemy bezwzględne wartości i kierunki reakcyj I\\ i JL. Do kontroli służy warunek rzutów:

¹

   r— -

²

— m r0² == L =J Pds,

³

) „Algebraicznej“, ponieważ wszystkie wektory-dodajniki leżą na tej prostej.

0 + Ą- Ą = 0.

c)    Trzy pręty, łączące punkt ciała (1) z punktami stałemi А, В i C (fig. 68), ustalają ten punkt, zabierając ciału 3 stopnie swobody tj. trzy przesunięcia, a pozostawiając trzy obroty. Dla równowagi musi wypadkowa z obciążeń (np. Q) przechodzić przez ten punkt. Eeakcje Ru R₂ i R₃ dają się obliczyć z warunków rzutów, wyjąwszy przypadek, w którym wszystkie trzy pręty leżą w jednej płaszczyźnie (przypadek statycznie niewyznaczalny).

d)    Zupełne ustalenie ciała przy statycznej wyznaczalności reakcyj dla jakiegokolwiek obciążenia osiągamy zapomocą 6 prętów łączących je z punktami

>û

Fig. 66.

Fig. 67.

te

Fig. 68.

Fig. 69.

stałemi. Jeden z najprostszych układów uzmysławia fig. 69, przyczem punkty 1, 2 i 3 ciała C muszą tworzyć trójkąt właściwy. Inny praktycznie ważny przypadek przedstawia fig. 70.

Już na powyższych przypadkach widać, że o statycznej niewyznaczal-ności nie rozstrzyga sama tylko liczba niewiadomych 5? 6. Ona jest tylko warunkiem koniecznym, ale często niewystarczającym. Tak np. zawieszenie ciała na dwu prętach, leżących na tej samej prostej (fig. 71), prowadzi przy sile obciążającej Q działającej wzdłuż tejże prostej do statycznej niewyzna-czalności reakcji R₁ i R₂, albowiem warunki równowagi nic więcej nie dają ponad równanie:

Ri "I⁻ Ri — Q •

Każda z reakcyj może mieć przeto wartość dowolnie wielką, byleby ich suma algebraiczna była lówna Q.

■ .. ждя

W przypadku siły obciążającej S, prostopadłej do prostej A B, wymagałyby warunki równowagi widocznie nieskończenie wielkich wartości Ri i R₂ (które jednakże stają się skończone przy założeniu pewnej, choćby bardzo małej odkształcalności prętów).

ЯП

Fig. 70.

Fig. 71.

74. Dwuwymiarowe zagadnienia równowagi ciała sztywnego nieswo-bodneg'0. Gdy wszystkie siły obciążające s i reakcje podpór leżą w jednej płaszczyźnie, to rozpatrujemy ciało pod postacią figurypłaskiej,:czyli „płazy“, połączonej z nieruchomym układem odniesienia (zie- шятф mią) w punktach odpowiadającym podporom.

Trzy główne sposoby podparcia płazy odpowiadają pozbawieniu jej jednego, dwu lub trzech stopni swobody.

Pierwszy i drugi przypadek, rozpatrywany już w ust. 73, realizuje się w praktyce często przy pomocy łożysk, trzeci przez t. z w. „utwierdzenie“ (zamocowanie).

1. Łożysko wałkowe (fig. 72) zastępuję jeden pręt podpierający (fig. 73) i znosi jeden stopień swobody. Linja działania reakcji jest dana, jej wielkość nieznana. (Jedna niewiadoma.)

2. Przegub stały lub łożysko kołyskowe (fig. 74) zastępuje dwa pręty podpierające (fig. 75) i znosi dwa stopnie swobody. Tylko punkt działania reakcji dany, zaś wielkość jej i kierunek nieznane. (Dwie niewiadome, za które uważamy zwykle składową poziomą X i pionową Y reakcji.)

3. Utwierdzenie, czyli zupełnie sztywne połączenie z układem podpierającym (fig. 76) czyto zapo-mocą przyśrubowania, przyklejenia itp.

Utwierdzenie znosi wszystkie 3 stopnie swobody i dostarcza trzech niewiadomych. Jako takie uważamy (fig. 77) poziomą i pionową składową siły X i Y oraz moment pary 9DÎ, które razem określają układ reakcyj rozmieszczonych w nieznany zwykle sposób w miejscu utwierdzenia. Układ ten sprowadza się oczywiście do siły R (fig. 76), gdy

W,

ШтттЩ

Fig. 72. Fig. 73.

tp

i]

ЯШШМи1

.p

fi

Es

Tl

Fig. 74.

Fig. 76.

Fig. 76.

Fig.77.

Fig. 78.

siły obciążające mają wypadkową P, przyczem P -j- R — 0. Skoro w szczególności realizujemy utwierdzenie przez połączenie trzema prętami (fig. 78) to rozmieszczenie reakcyj jest statycznie wyznaczalne.

Pręty te mogą wychodzić z trzech różnych punktów płazy (fig. 79), byleby ich osi nie przecinały się w jednym punkcie.

belki prostej (lub krzywej) przy działaniu n obciążeń na linję środkową, czyli oś belki, odbywa się rachunkiem lub wykreślnie przez zastosowanie warunków równowagi dla układu sił obciążających wraz reakcjami.

a) Belka na podporze „stałej“ A i „ruchomej“ В według fig. 80 a. Oznaczywszy temi samemi literami reakcje odpowiednich podpór, piszemy warunek momentów dla środka obranego w jednym z teoretycznych punktów podparcia, np. w A :

P\ ai -f- Ą a2 “b • • • ⁼ P h a P ⁼ ~f ^ Pi ai’

bnjaśrodkowa

i—i-y-h- -,l

J

i* u

'fi*?⁰

Fig. 79.

Fig. 80 a, b.

Z warunku rzutów : A -f- В = Pi -j- Pa -4~ . • • > znajdziemy A : A = - P* — B.

Bezpośrednio z warunku momentów dla środka w В otrzymujemy też:

czyli

przyczem b- — l — Up

a warunku rzutów używamy tylko do sprawdzenia rachunku.

Dla wykreślnego rozwiązania zadania kreślimy wielobok danych sił 1\, P₂ .. . Pn (fig. 80 b) i obrawszy biegun O, kreślimy odpowiadający wielobok sznurowy dla tychże sił. Ponieważ szukane reakcje A i В muszą się równoważyć z temi siłami, przeto tak wielobok sił Jj, P₂ ..., A i B, jako też ich wielobok sznurowy musi być zamknięty. Niewiadomy • bok „zamykający“ wieloboku sznurowego znajdujemy przeto łącząc punkty przecięcia się a i ß boków „skrajnych“ (wychodzących z pierwszej i ostatniej z sił P)

z danemi linjami działania reakcyj. Kreśląc teraz z bieguna promień Oc|| aß, wyznaczamy na wieloboku sił reakcje ca — A i Ъс — B, zamykające ten wielobok.

Uwaga. W przypadku działania siły poziomej W na jakikolwiek punkt tej belki powstaje odpowiadająca reakcja = — W tylko na podporze stałej.

b) W przypadkach, przedstawionych ifa fig. 81 a i i, nie zmieniają się reakcje przy obciążeniach pionowych w porównaniu z przypadkiem poprzednim. Natomiast siła pozioma W (fig. 81 c) wywoła w В reakcję pionową B', wyznaczalną z warunku momentów względem A, tj.

В' I = W h, a więc Bf = W у ;

zaś w A reakcję pionową A' = — B' i poziomą A " — — W (stosownie do warunku rzutów).

pa

â&sé

-—а,

naw

----Л

Fig. 81 a, Ъ, c.

c) W przypadku podpory ruchomej B, oddziaływującej ukośnie względem obciążeń pionowych, zachodzą obok pionowych składowych reakcyj także i poziome. Jeżeli belka А В jest pozioma (fig. 82), to pionowe składowe V i V reakcyj A i В wypadają z warunku momentów takie same jak w przypadku (a). Poziome skła- *

p,

—i'

1

r H \ В -*1 H <*-

jt

Ti Ф

\j}

»0

U-

Ir

ki____

Fig. 83.

Fig. sa.

dowe zaś są co do wartości równe a co do kierunku wprost przeciwne (jak wynika z warunku rzutów).

Ich wartością jest:

Jeżeli jednak belka AB jest nachylona do poziomu pod kątem a. (fig. 83), to warunek momentów dla środka w A daje :

11= V tg a.

S P₍.    — Hh — V l = 0,

a ponieważ H — V tg a — V zaniu względem V otrzymujemy :

T’

więc po wstawieniu tej wartości i rozwią-

A² + P

Z warunków rzutów wypływa :

2 p. a. ; albo F'

SP,a,

cos² a.

V = ZP.~

X p. a.

X /'

cos² a

sin a cos a.

Wykreślne rozwiązanie znajdujemy, kreśląc wielobok sznurowy danych obciążeń belki (fig. 88), tak, aby bok między reakcją podpory stałej A, a sąsiednią siłą I\ przechodził przez punkt A, który jest jednym punktem

boku zamykającego A B'. Promień Oc, doń równoległy, wyznacza na kierunku bc\\B'B wielkość reakcji В, a bok zamykający c a wyznacza reakcję A.

76. Równowaga ciała ciężkiego podpartego w trzech lub więcej punktach gładką płaszczyzną poziomą. Takiem ciałem jest np. stół o trzech nogach dotykający podłogi w punktach А, В, C (fig. 84) tworzących trójkąt. Kierunek ciężaru Q trafia ten trójkąt w punkcie Q', odległym o a,, a₂, as od boków tego trójkąta. Pisząc kolejno warunek momentów dla prostych В C, AC i AB, jako osi momentów, mamy :

Q ai = A h\, Q a₂ = B h₂, Q a₂ = CAg, jeżeli hx, A₂, A₃ oznaczają odpowiednie wysokości trójkąta spuszczone z wierzchołków А, В i C.

Obliczywszy z tych równań А, В i C, możemy dla sprawdzenia zastosować warunek rzutów

A + B+ C^Q.

Najmniejszy z momentów Qai nosi nazwę momentu stałości ciała.

Gdyby trzy punkty podparcia znalazły się na jednej prostej, która trafia kierunek Q, to mielibyśmy do czynienia widocznie ze statyczną niewyzna-

czalnością reakcyj. To samo zachodzi wogóle, gdy liczba punktów podparcia jest większa od trzech. Wszelako równowaga jest zapewniona pod warunkiem, ażeby linja działania siły Q trafiała płaszczyznę podpierającą w punkcie Q\ leżącym wewnątrz najmniejszej figury, wszędzie wypukłej, która zawiera wszystkie punkty podparcia. (Figura podparcia.) W tym ogólniejszym przypadku rozumiemy przez moment stałości najmniejszy moment ciężaru względem prostej stycznej do obwodu figury podparcia.

77. T. zw. „stałość dynamiczna“ ciała ciężkiego podpartego mierzy się pracą konieczną do przewrócenia tego ciała zapomocą obrotu około jednej z „krawędzi podparcia“. Skoro np. obrócimy ciało, przedstawione na fig. 85 około krawędzi podstawy, prostopadłej do płaszczyzny rysunku, którem śladem jest B, aż środek ciężkości S znajdzie się w S' pionowo nad B, to musimy przytem podnieść środek ciężkości o wysokość S'k = z — — A² 4~ r² — h, czyli wykonać pracę :

f]

■i

n-s'

/ At

/ Л---i

Fig. 84.

ta

Fig. 85.

Qr²

Qz

й-j-"J/A²-j-r²

Stałość dynamiczna naszego ciała jest więc proporcjonalna do jego ciężaru, a nadto jest tem większa, im większa jest pozioma odległość r środka ciężkości od krawędzi podparcia, a im mniejsza jest wysokość h tego środka nad podstawę.

78.    Zasada Torricelli'ego. Skoro jedno ciało sztywne lub układ ciał, określony w art. 58, znajduje się w polu ciężkości, uważanem za jednorodne, to w położeniu równowagi stałej środek ciężkości układu zajmuje położenie możebnie najniższe. Statyczne warunki równowagi są spełnione także np. w przypadku, gdy środek ciężkości zajmuje położenie najwyższe, ale wówczas równowaga jest niestała, czyli chwiejna. Jeżeli wreszcie przy każdym ruchu chwilowym środek ciężkości układu pozostaje w tej samej wysokości, to równowaga jest obojętna.

fr

79.    Równowaga ciała obracalnego około osi stałej. Jedynemu stopniowi swobody takiego ciała odpowiada jeden analityczny warunek równowagi sił obciążających, który wyraża, że suma algebraiczna momentów tych sił względem osi obrotu musi być równa zeru.

Fig. 86.

W odpowiadające równanie warunkowe nie wchodzą widocznie reakcje osi obrotu, które wraz z obciążeniami muszą czynić zadość pozostałym pięciu warunkom. Zadanie staje się statycznie wyzna-czalnem, gdy np. ustalenie osi obrotu jest urzeczywistnione jednem łożyskiem stopowem i jednem szyj-nem (fig. 86). Reakcja bowiem łożyska szyjnego dostarcza dwu niewiadomych składowych do osi prostopadłych, łożyska stopowego zaś oprócz tych dwu jeszcze trzeciej, mającej kierunek osi, zwanej przeto „podłużną“. (Razem 5, tj. tyle, ile równań warunkowych.)

W przypadku działania tylko dwu sił obciążających np. Pi Q nosi ciało obracalne około stałej osi x często nazwę dźwigni, zwłaszcza gdy występuje w roli „maszyny prostej“. Wtedy warunek równowagi:

Momx P= — Momx Q

wyraża t. zw. „prawo dźwigni“, odkryte przez Archimedesa w postaci szczegółowej, jaką otrzymuje, gdy obie siły leżą w płaszczyźnie prostopadłej do osi obrotu :

Wówczas jest Pa — Q b, jeżeli a oznacza ramię siły P, zaś b ramie „ciężaru“ Q.

80.    Tarcie statyczne. Kąt i stożek tarcia. Spółczynnik tarcia. Doświadczenie poucza, że reakcja, jakiej doznaje w stanie równowagi ciało stałe obciążone, od ciała je podpierającego, może zbaczać od kierunku normalnej płaszczyzny stykania się nawet wówczas, gdy powierzchnie zetknięcia się są tak oszlifowane, że przedstawiają się jako „optycznie gładkie“. Atoli w tych samych zresztą warunkach nie może kąt nachylenia a reakcji do normalnej przekroczyć granicy zwanej kątem tarcia <p. Rozłożywszy reakcję R na składową normalną N i styczną P, nazywamy tę ostatnią siłą tarcia, albo krótko „tarciem“ (statycznem). A zatem:

T=Ntga<Ntg<f 2'max

Stożek opisany obrotem kąta <p dokoła normalnej nazywa się stożkiem tarcia; wartość zaś tg у —fo spółczynnikiem tarcia (fig. 87).

Spółczynnik tarcia okazuje się w dość obszernych granicach wartości nacisku normalnego N prawie niezależnym od wielkości tego nacisku (jeżeli

(całkowite tarcie statyczne).

zachodzi bezpośrednie stykanie się obu ciał stałych, czyli tarcie „na sucho“ przy dość wielkiej powierzchni stykania się). Ten spółczynnik liczbowy może być przeto uważany w przybliżeniu za stałą charakterystyczną dla materjałów ciał trących i stopnia wygładzenia ich powierzchni stykających się nawzajem.

Wielkość f₀ dla dwu danych materjałów znajduje się doświadczalnie, sporządziwszy z jednego materjalu równ'ę pochyłą a z drugiego płaską ścianę ciała ciężkiego, które się kładzie na równi, poczem zwiększa się jej nachylenie do poziomu stopniowo, aż do wartości, po przekroczeniu której ciało się zsuwa. Ta wartość jest widocznie kątem tarcia

To doświadczenie poucza zarazem, że tarcie statyczne występuje tylko w takiej wielkości, jaka jest niezbędna do utrzymania równowagi. Gdy ciało spoczywa na płaszczyźnie poziomej tylko pod działaniem ciężaru własnego, to niema wcale tarcia. Natomiast podczas ślizgania się tegoż ciała po płaszczyźnie poziomej zachodzi tarcie o określonej wielkości podobnież zależnej głównie od nacisku normalnego i dającej się przedstawić w postaci:

T=Nf,

przyczem jednakie spółczynnik / jest mniejszy od fQ malejąc ze wzrostem prędkości względnej.

81. Zagadnienia równowagi z uwzględnieniem tarcia. Tarcie ułatwia znakomicie urzeczywistnienie równowagi w przypadkach, w których by jej nie mogło być bez tarcia.

a) Tak np. drabina, oparta o poziomą posadzkę i pionową ścianę, nie mogłaby pozostawać w równowadze przy żadnej skończonej wartości kąta nachylenia a (fig. 88), gdyby nie tarcie. Dzięki tarciu jest równowaga za-

48

'wmS

//

/

Fig. 87.

Fig. 88.

Fig. 89.

pewniona przy tych wartościach a, dla których ciężar drabiny Q (lub wypadkowa z jej obciążeń) trafia zakreskowany-*czworokąt jako ślad wspólnej przestrzeni obu stożków tarcia w punktach A i В na płaszczyźnie pionowej przechodzącej przez te punkty i zawierającej siłę Q. (Rysunek przedstawia skrajne położenie równowagi.)

b) Ciało obracałne na przegubie walcowym (fig. 89) byłoby bez tarcia w równowadze tylko wtedy, gdyby składowe obciążeń prostopadłe do osi obrotu, miały wypadkową P o kierunku normalnej stykania się ciała z czopem, a więc gdyby ta siła P trafiała dokładnie oś czopa. Z powodu tarcia może ta siła wraz z

równoważącą ją reakcją czopa przegubu zbaczać dd normalnej o kąt a <[ cp, czyli może mieć względem osi czopa ramię momentu zwanego momentem tarcia, które musi być sin cp, jeżeli r jest promieniem czopa.

Koło o promieniu p = r sin cp = rf nazywają kołem tarcia, a spółczynnik /' = sin cp <r/spółczynnikiem tarcia przegubowego (czopowego). Dla krańcowego momentu tarcia mamy przeto wyrażenie :

3Jl₇ = Pr sin cp = Prf.

82. Statyka układów ciał sztywnych. Układy przegubowe prętów. Łańcuchy i kratownice¹). W układzie ciał połączonych ze sobą w jakikolwiek sposób dają się połączenia określić siłami zależnemi od obciążeń danych. Siły te jako siły wewnętrzne dla całego układu znikają z jego

‘) Por. też dział : „Statyka budowli“.

warunków równowagi; natomiast wchodzą w warunki równowagi każdego poszczególnego ogniwa układu, jakie również muszą być spełnione, skoro każde z tych ogniw jest w równowadze. Przez zastosowanie równań równowagi do odpowiednio wydzielonych części układu można przeto obliczyć siły wewnętrzne (reakcje) częściowo lub zupełnie, zależnie od warunków statycznej wyznaczalności. W równania równowagi każdej takiej wydzielonej części układu wchodzą jako siły wewnętrzne, oprócz danych obciążeń jeszcze wszystkie reakcje od pozostałych części układu. W szczególnie prosty sposób rozwiązują się zadania wyznaczenia sił wewnętrznych w układzie przegubowym prętów, jeżeli siły obciążające działają tylko w przegubach. Każdy bowiem z prętów pozostaje wówczas pod działaniem dwu sił przeniesionych nań przez przeguby, które dla równowagi muszą działać wzdłuż osi pręta i być'*co do wielkości równe, a co do kierunku przeciwne. Siły te (S i —S) mogą być rozciągające albo ściskające (fig. 90).

fi

's

's

X V

Sj •

Fig. 90.

Fig. 91.

Fig. 92.

na

Dwie części pręta rozdzielone w myśli przekrojem t tr (fig. 90), działają siebie nawzajem siłami wewnętrznemi czyli napięciami (wysiłami) Si — S, które również będą albo siłami rozciągającemi albo też ściskającemi.

Układ przegubowy prętów może być jako całość sztywnym, czyli może mieć postać geometryczną niezależną od sił zewnętrznych, albo też nie sztywnym (jako całość), a wówczas przybiera postać równowagi zależną od sił zewnętrznych. W pierwszym przypadku bywa nazywany zwykle kratownicą, w drugim zaś łańcuchem. Atoli można także pojmować łańcuch prętów jako kratownicę niesztywną, albo hawzajem krato-icę jako łańcuch sztywny.

W plaskiem zagadnieniu równowagi łańcucha prętów, obciążonego siłami pionowemi (fig. 91), którego końce ustalono przegibnie w punktach A i B, znajdujemy wartości sił J\, P₂ . .. odpowiadające danej postaci równowagi, traktując ją jako wielobok sznurowy i kreśląc z dowolnie obranego bieguna O promienie Slr S₁₂ .. . .równoległe do odpowiednich boków A C, CD,... tego wieloboku.

W ten sposób znajdujemy oczywiście tylko stosunki wielkości szukanych sił Pj : P₂ : . ■ . Rozwiązanie staje się dopiero oznaczonem, skoro np. suma obciążeń jest dana.    "

Uwaga. W rozpatrywanym przypadku jest każdy z prętów ściskany, a równowaga układu niestała.

W płaszczyźnie ma łańcuch z n ogniw (n -|- 2) stopnie swobody ; po ustaleniu początku i końca pozostaje jeszcze (n — 2) stopni. Układ, złożony z dwu ogniw o ustalonych dwu przegubach końcowych, jak np. t. zw. „łuk trójprzegubowy“ (fig. 92), jest przeto sztywny i statycznie wy-znaczalny (izostatyczny), t. zn. dla każdego obciążenia można z warunków równowagi znaleźć reakcje w przegubach podporowych. Przy obciążeniu tylko jednego ogniwa, np. lewego, siłą P, znajdujemy reakcje w A i w В

jako boki trójkąta sił uwzględniając równowagę drugiego ogniwa nieobcią-żonego, która wymaga, ażeby reakcje w В i w C leżały na prostej В C.

83. Krzywa sznurowa. Dla płaskiego układu sił rozmieszczonych w sposób eiągły (jak np. ciężar własny cięgna, uważanego za ważką linję mate-rjalną itp.), przechodzi wielobok sznurowy w krzywą sznurową. W szczególnie ważnym przypadku sił równoległych przedstawiamy je jako ciężary pasków elementarnych pola jednorodnego (fig. 93), ograniczonego z jednej strony

osią prostopadłą do kierunku sił. Pasek o polu ~t\dx ma ciężar уx\dx, a zatem siła przypadająca na jednostkę szerokości paska (w kg/cm)

2 = T*fi

jest proporcjonalna do rzędnej -ą.

Oznaczywszy przez H „odległość biegunową“ od wieloboku sił (mierzoną w podziałce sił), mamy równanie różniczkowe krzywej sznurowej : „d'y

I qd*

t—if"-1

*Y

Fig. 93.

przy uwidocznionym na rysunku układzie spółrzędnych. To równanie określa postać równowagi cięgna obciążonego siłami równoległemi do osi Y o natężeniu q w odniesieniu do jednostki rzutu cięgna na oś X.

Wnioski, a) Składowa pozioma napięcia cięgna obciążonego siłami pionowemi jest stała i równa H.

V) W miejscach nieobciążonych jest krzywa sznurowa prostą, a napięcie cięgna S stałe.

c) Gdy q jest stałe, t. zn. przy obciążeniu równomiernie rozłożonem ze względu na rzut poziomy cięgna jest krzywa sznurowa parabolą, o osi pionowej :

zarazem

— x²-j- Сж+С',

przyczem C i C są stałemi całkowania. Parametrem tej paraboli jest iloraz H/q.

d) Jeżeli w pewnym punkcie cięgna działa nadto siła skupiona P, to w krzywej sznurowej powstaje załom (fig. 94), przyczem :

/'

tg «i — tg 'H = -цг,

ponieważ dla równowagi musi być P — S\ sin -j- S2 sin 0-2 — 0.

e)    Napięcia końców cięgna, a zarażeni,reakcje stałych punktów zawieszenia są określone skrajnemi promieniami wieloboku sił.

f)    Krz7

linji obciążenia г)=/(ж).

g)    Danej linji obciążenia odpowiada, przy stałem H, oo² krzywych sznurowych na płaszczyźnie, atoli tylko jedna krzywa przechodząca przez dwa punkty dane, lub przechodząca przez jeden punkt dany i mająca w nim styczną daną.

h)    Gdy dane obciążenie ciągłe podzielimy na części pionowemi prostemi i każde obciążenie częściowe zastąpimy siłą wypadkową, to wielobok sznurowy układu sił wypadkowych (odpowiadający temu samemu biegunowi), jest opisany na krzywej sznurowej, a punkty styczności leżą na prostych podziałowych.

t/>

Fig. 94.

wa

sznurowa jest drugą linją całkową dla

i) Jeżeli punkty zawieszenia cięgna są na tym samym poziomie, to składowe pionowe reakcyj w tych punktach są takie same, jak dla belki poziomej o tej samej rozpiętości (i tak samo obciążonej).

84. Linja łańcuszkowa (katenoida) zwyczajna jest postacią równowagi cięgna jednorodnego, doskonale giętkiego i nierozciągliwego, zawieszonego obu końcami w stałych punktach A i В (fig. 95) i pozostającego tylko pod wpływem ciężaru własnego у kgjm. Ta postać jest krzywą sznurową, dla której

— qdx — f ds,

jeżeli ds oznacza długość elementu łuku. A zatem: a po zcałkowaniu i wyznaczeniu punktu x₀, y₀, leżącego na pionowej naj-

*

niższego punktu łańcuszkowej w odległości m = — (parametr łańcuszkowej) otrzymujemy :

x—x₀ •

У-Уо = -2"

albo dla układu spółrzędnych o początku wQ (x₀, y₀):

y = ~Y

gw-j-g mJ = m Ch

(jeżeli Ch oznacza „cosinus hyperbolicus“).

ST

~9

\Hr

[i,

A3

Fig. 96.

Fig. 95.

Parametr m ma znaczenie długości cięgna o ciężarze równym H, tj. poziomej składowej napięcia. Napięcie S w dowolnem miejscu cięgna określa równanie:

s = Г (У — Уо)-

Wniosek. Środek ciężkości łuku łańcuszkowej leży na pionowej przecięcia się stycznych w jego końcach.

85. Najważniejsze własności wieloboku sznurowego (i krzywej sznurowej).

a)    Gdy wykreślimy dwa wielohoki sznurowe danego układu sił dla dwu biegunów O i O' (fig. 96), to odpowiednie boki tych wieloboków przecinają się w punktach (g, h, i ... ), leżących na prostej równoległej do O O'.

b)    Moment wypadkowej sił danego układu względem jakiegokolwiek środka Q na jego płaszczyźnie równa się iloczynowi odległości biegunowej H przez odcinek prostej przechodzącej przez Q i równoległej do tej wypadkowej, wyznaczony przez boki skrajne wieloboku sznurowego (fig. 97):

Mom₍₎ R = Rr = H m,

Mom()l R — ■— Rr' = — IIm'.

To twierdzenie pozwala mierzyć momenty siły R zapomocą podziałki na wykresie uwydatnionym przez zakreskowanie równoległe do R.

Szczególnie korzystne jest powyższe przedstawienie momentu, gdy wszystkie siły układu są równoległe jak np. na fig. 98, przedstawiającej

■Л k

\o

ś ill'

P3

Fig. 97.

Fig. 98.

belkę końcem utwierdzoną i obciążoną siłami Ą, P₂ i Ps. Rzędna y) za-kreskowanego pola, pomnożona przez odległość biegunową H, daje moment wypadkowej sił, leżących po prawej stronie względem odpowiadającego punktu 11. Moment ten nosi w nauce o wytrzymałości nazwę momentu zginającego daną belkę w przekroju ii. Wielobok sznurowy dostarcza przeto wykresu momentów zginających.

86. Konstrukcja wieloboku sznurowego, którego pewne trzy boki przechodzą przez punkty dane, polega na twierdzeniu a) w ust. 85. Nazwawszy te boki dla wygody przez a, b, c znajdujemy wypadkową Ą sił, dla których o i & są bokami skrajnemi, oraz wypadkową R₂ sił, dla których bokami skrajnemi są b i c. Wtedy mamy do czynienia z dwiema siłami R\ i R₂, których wielobok sznurowy zawiera trzy boki, mające po kolei przechodzić przez dane punkty A, È i C (fig. 99). Otóż najpierw kreślimy jakiekolwiek dwa boki a' i b' wieloboku sznurowego, przechodzące przez A i B, znajdujemy odpowiadający im biegun O', prowadząc z początku i końca siły Ą promienie równoległe do »' i ł¹; a potem kreślimy przynależny bok \c trzeci c\ który nie będzie wogóle trafiać punktu C. Skoro \ jednakże poprowadzimy prostą i przedłużymy bok c' \ aż do przecięcia się z tą prostą w n, to przez punkt n przechodzić musi na podstawie przytoczonego twierdzenia także bok c szukanego wieloboku, poczem boki b i a znaj- ,/ dujemy z łatwością. Inne rozwiązanie. /S tego samego zadania w teorji łuku trój' / V przegubowego.

87. Warunki sztywności i statycznej wyznaczałności (izostaty-czności) kratownicy płaskiej w jej płaszczyźnie.¹) Ażeby w węzłów połączyć prętami w figurę sztywną, musi liczba prętów p wynosić przynajmniej :

albowiem każdy nowry węzeł ustala się przez połączenie go dwoma prętami nie leżącemi na jednej prostej) z dwoma innemi węzłami, a tylko pierwsze (trzy węzły tworzące trójkąt wymagają nie 6 — 2.3, lecz tylko 3 prętów fig. 100). Kratownica, zbudowana w ten sposób i tworząca figurę złożoną

аь:

jc•

7fL \ft

F<g. 99.

Fig. 100.

p = 2 го — 3,

l) Przy art. 87—91 por. też dział: „Statyka budowli“.

z szeregu trójkątów, nigdzie się nawzajem nie nakrywających, nazywa się kratownicą prostą. Jest ona sztywna, oraz statycznie wyznaczalna, czyli izostatyczna. Jeżeli bowiem na węzły tej kratownicy działają siły zewnętrzne Pu P,₂ ..., czyniące zadość trzem warunkom równowagi, koniecznym do unieruchomienia całości, to wyciąwszy w myśli każdy węzeł z osobna i zastąpiwszy połączenie siłami wewnętrznemi w prętach, otrzymujemy dla każdego węzła 2 równania równowagi. Razem tedy mamy 2 w równań, w których jednakże tkwią jeszcze owe 3 warunki równowagi sił zewnętrznych. Do wyznaczania p niewiadomych sił wewnętrznych w, prętach pozostaje więc 2 w — 3 równań, czyli tyle, ile koniecznie potrzeba. Ze te równania są zarazem wystarczające, łatwo się przekonać w każdym poszczególnym przypadku, rozwiązując je wykreślnie, czyli kreśląc dla każdego węzła zamknięty wielobok sił. W tym celu trzeba rozpoczynać od węzła, w którym się schodzą tylko dwa pręty, co jest zawsze możliwe u kratownicy prostej.

Gdy kratownica nie jest prosta, może warunek p = 2 w — 3 okazać się niewystarczający. Jeżeli w kratownicy płaskiej jest p <2 w — 3, to krato-wnica jest oczywiście niesztywna, jeżeli zaś p >■ 2 w — 3, to jest przeszty-wniona, czyli (wewnętrznie) statycznie niewyznaczalna (por. dział : „Statyka budowli“).

88. Plan sił jako figura „odwrotna“ względem planu kratownicy prostej wraz z siłami zewnętrznemi. Taki plan jest wielce dogodnem połączeniem wszystkich wieloboków sił równoważących się na-lę wzajem w skażdym węźle z osobna. Jego kreślenie ° j, * ułatwia reguła В o w’ a, wynikająca ze stwierdzenia, że : fZ    1. „Plan kratownicy“ i „plan sił“ zawierają tę

/    samą liczbę prostych, przyczem każdej prostej je

dnego planu (osi pręta lub sile zewnętrznej) od-powiada równoległa do niego prosta planu drugiego (siła wewnętrzna lub zewnętrzna).

2.    Proste każdego z obu planów dzielą płaszczyznę na tą samą ilość pól.

3.    Prostym otaczającym pole na jednym planie odpowiadają proste wychodzące z jednego punktu na planie drugim i odwrotnie.

Wobec tego przed kreśleniem planu sił dla danego planu kratownicy (fig. 101) oznaczamy wszystkie pola np. literami a, p b, c. .. a węzły np. cyframi 0 rzymskiemi I, II, III.. . Rozpoczynając teraz kreślić plan sił od węzła I, ponieważ w nim schodzą się tylko 2 pręty, oznaczamy pole trójkąta sił I\, S₄,

Ss również przez 1 ; wierzchołek zaś tego trójkąta, utworzony

i*.

15 »

‘ Ф

13

«Г

•>&

Fig. 101.

-ź.____

Fig. 102.

przez S₄ i Ss, oznaczamy literą /, albowiem pręty 4, 5 i 6 otaczają pole / na planie kratownicy itd. Po wykreśleniu planu sił odróżniamy siły wewnętrzne ściskające np. przez zgrubienie lub podwojenie linij na planie kratownicy. (Kreślenia strzałek unika się, ponieważ każda siła Si na planie

przedstawia dwie siły wewnętrzne, jakiemi pręt działa na swoje przeguby końcowe).    ,    ,

89. Sposób Culmann’a. Kratownica prosta da się zawsze podzielić na dwie części przekrojem przecinającym nie więcej jak trzy pręty (nie schodzące się w jednym węźle), np. 1, 2, 3 na fig! 102. Rozpatrując równowagę

np. lewej odciętej części kratownicy, mamy do czynienia z warunkami równowagi wypadkowej R sił zewnętrznych na te część działających z napięciami Sx, S₂, S₃, które określają działanie drugiej części na część rozpatrywaną. Równowaga tych czterech sił wymaga, aby wypadkowa dwu z nich, np. R i $!, która musi przechodzić przez znany punkt ß, leżała na tej samej prostej, co wypadkowa dwu pozostałych, tj. S₂ i Sa, przechodząca przez a. Kierunek a ß wyznacza przeto linję działania W obu wypadkowych, co pozwala natychmiast wykreślić czworokąt sił (fig. 102), rozpoczynając od Si II 1 aż do przecięcia się z kierunkiem W itd.

90. Sposób Ritter'a. Podzieliwszy kratownicę na dwie części przekrojem przecinającym pręty 1, 2, 3, nie schodzące się w jednym węźle (fig. 103) piszemy warunek momentów dla części rozpatrywanej, przyczem obieramy środek momentów tak, aby równanie zawierało tylko jedną niewiadomą. Chcąc więc znaleźć siłę wewnętrzną S, w pręcie 1 obieramy środek momentów w a, gdzie przecinają się pręty 2 i 3. Warunek momentów daje:

^»■ + ^^=0, czyli S\ = — R —.

Znak — wskazuje, że siła S, jest skierowana ku węzłowi I, czyli że jest siłą ściskającą pręt 1.

Fig. 103.

Fig. 104.

Dla obliczenia siły S₃ trzeba środek momentów obrać w y ; zaś dla siły S₂ w punkcie przecięcia się osi prętów 1 i 3. Z tego widać, że sposób Rittera zawodzi niekiedy, jeżeli środek momentów wypada, jak w tym przykładzie, poza granicami rysunku, albo nawet w przypadku równoległości prętów 1 i 3 — w nieskończoności. W tym ostatnim przypadku stosuje się

często z korzyścią warunek rzutów zwłaszcza gdy wypadkowa R jest pionowa, a pręty 1 i 3 poziome (fig. 104). Warunek rzutów na oś pionową daje wówczas:

S₂ cos ot — R — 0, czyłi S₂ = R sec a.

91. Warunki sztywności i statycznej wyznaczalności kratownicy przestrzennej. Każdy nowy węzeł łączy się sztywnie z resztą kratownicy zapomocą 3 prętów nie leżących w jednej płaszczyźnie. Tylko pierwsze 4 węzły wymagają do sztywnego połączenia w czworościan nie 12 = 3.4 prętów, lecz tylko 6 (tj. o 6 mniej), a zatem liczba prętowy) musi czynić zadość równaniu :

p — 3 w — 6.

Jest to warunek konieczny sztywności i statycznej wyznaczalności (wewnętrznej) kratownicy przestrzennej. Będzie on zarazem wystarczającym przedewszystkiem w przypadku kratownicy prostej utworzonej przez kolejne dołączanie czworościanów (por. dział: „Statyka budowli“, Kratownice przestrzenne).

IV. Kinetyka.

A. Zagadnienia kinetyki punktu materialnego.

92. Ruch pionowy w polu ciężkości uważanem za jednorodne.

a) Równanie ruchu bez uwzględnienia oporu powietrza napiszemy w postaci :

d²z

d?z

+ m g, albo

przyczem znak -f- odpowiada osi dodatnich z skierowanej w dół, a znak — w górę. Przyjmując c jako wartość prędkości skierowanej w górę w położeniu początkowem z — 0, otrzymujemy z pierwszego całkowania :

dt²

dt²

±ff,

2 ffS Го² ,

Całkowanie daje

z czego widać, że prędkość zdąża asymptotycznie do prędkości jednostajnego spadaniab.'₀, którą teoretycznie osiąga dla s — oo. Atoli po przebieźeniu drogi s, Vo 2

kilkakrotnie większej od    staje się różnica między v a v₀ znikomo

*9    ■

mała, tak iż przy stosunkowo znacznych spółczynnikach oporu, jakich do znają np. krople deszczu w powietrzu, albo ziarnka piasku w wodzie, obserwujemy już po spadku z niewielkiej wysokości ruch praktycznie jednostajny.

Z powtórnego całkowania wynika:

S = bg nat y [

dt²

v₀ V

V²

jeżeli z liczymy dodatnio w górę. Punkt wznosi się ruchem jednostajnie zwalnianym, aż jego początkowa energja kinetyczna —-— zamieni się na

potencjalną mgh, a prędkość v stanie się równa zeru. Czas wznoszenia

c    , ,    c²

się jest przeto równy tx=—-, a wysokość wzniesienia się h= ——.

- Jest to największa wartość, jaką osiąga z, jak wynika z powyższego równania. Od tej chwili tx rozpoczyna się swobodny spadek i dla t = 2 tx otrzymujemy znowu z — 0, ao = — c = — У %gh, czyli punkt wraca z prędkością o tej samej wartości, z którą wyszedł.

Ъ) Z uwzględnieniem oporu powietrza lub innego ośrodka jednorodnego, będzie równaniem spadania:

d²s m~dt*

jeżeli к oznacza spółczynnik oporu proporcjonalnego do kwadratu prędkości. Wartość к znajdujemy empirycznie obserwując tę prędkość spadku v° przy której ruch staje sie jednostajnym, czyli mg — kv² = 0.

mg

z drugiego zaś:

z — ct

mg — к v²,

Stąd

»o*

a równanie ruchu przybierze postać:

d²s

gt    gł\    2

evo Ą- e «o ) = log nat C h .

/ g    v₀

93. Ważki punkt materjalny na równi pochyłej porusza się w płaszczyźnie równi jak swobodny pod wpływem wypadkowej siły ciężkości mg i reakcji równi, która bez tarcia ma| kierunek normalnej do równi. Siła poruszająca ma wtedy wartość mg sin a i kierunek największego spadku na płaszczyźnie równi. Eeakcja N — mg cos a. To samo otrzymujemy rozkładając siłę ciężkości mg na składową normalną i styczną do równi, ponieważ składowa normalna jest zniesiona reakcją, a tylko styczna wytwarza przyspieszenie a — g sin a (fig. 105).

—J =3 v² = v₀² — 2 g l (1 — cos cp),

jeżeli v₀ oznacza wartość prędkości w najniższym punkcie. Od tej wartości zależy ogólny charakter ruchu:

znie w me-

1.    Gdy r₀² > 2 gh, przyczem 4 = 2? (średnicy koła), to v nie staje się zerem przy żadnej wartości kąta tp, a ruch odbywa się po jednem półkolu oddzielonem pionową średnicą z dołu ku górze z prędkością malejącą, a po drugiem w dół z prędkością rosnącą, poczem powtarza się identye skończoność. Punkt obiega pkrąg z prędkością okresowo zmienną w tym samym kierunku.

2.    Gdy v₀² <C 2 gh = 4 gl, to prędkość staje się zerem w dwu położeniach odpowiadających cp = + a, przyczem a otrzymujemy z warunku

v₀² — 2 gl (1 — cos a).

Ruch ma

Bez prędkości początkowej jest tor punktu materjalnego prostą nachyloną do poziomu pod kątem a, a ruch odbywa się ze stałem przyspieszeniem a — g sin a. Tak samo ma się rzecz, gdy prędkość początkowa ma kierunek owej prostej.

Jeżeli pomiędzy punktem materjalnym a równią zachodzi tarcie przy stałej wartości spółczynnika tarcia/, wówczas przyśpieszenia a spadku po prostej nachylonej pod kątem a¹) określi równanie ruchu :

ma —mg sin a — Nf = m g sin a — mf. g cos a, a — g (sin a —/ cos a).

Przy ruchu zaś w górę po tejże prostej ma przyspieszenie wartość :

a — — g (sin a -/ cos a).

94. Ruch ważkiego punktu materjalnego po okręgu pionowym. Wahadło proste matematyczne. Oznaczywszy przez s długość łuku mierzonego od najniższego punktu jako położenia równowagi stałej, a przez cp odpowiadający kąt środkowy (fig. 106), otrzymujemy bez oporów równanie ruchu: tf²cp dt²

Jego pierwszą całkę znajdujemy najprościej z zasady zachowania energji. Obrawszy poziom porównawczy (odpowiadający zeru energji potencjalnej) na wysokości środka koła mamy:

czyli

N=mg.ec

T=Nf

> mg cos a

.m₃-

AV4''

Fig. 105.

Fig. 106.

d²s

dt²

9 sin

T’

albo

y- sin cp.

wówczas charakter wahadłowy czyli odbywa się tam i napowrót po łuku odpowiadającym kątowi 2 a. Przy bardzo małym kącie amplitudy a. (czyli małych odchyleniach) można z wielką dokładnością zastąpić sin tp przez cp i napisać równanie ruchu nieskończenie małych wahań w postaci:

d²s    g

określającej według art. 45 prosty ruch harmoniczny o okresie (podwójnego) wahnienia

T₀ = 2 7Г

niezależnym od amplitudy.

l) Kównym kątowi nachylenia płaszczyzny.

Dla wielkich odchyleń znajdujemy dokładnie po łatwem przekształceniu:

-W

d <p

sin2 SL _ Sin²

(całka eliptyczna),

a stąd po rozwinięciu na szereg trwanie (okres) jednego pełnego (podwójnego) wahnienia:

=

Te wahnienia nie są już izochroniczne, jak wahnienia nieskończenie małe, lecz zależą od kąta amplitudy a. Skoro jednakże а5? 8°, to Ta < 1,0012 T₀. Wahadło sekundowe tj. takie, dla którego TJ2 = 1 sk, ma długość

h = gl^-

W Warszawie, gdzie g — 9,8122 m/sk², jest lx = 0,9943 Reakcja okręgu jako toru, albo napięcie nici łączącej punkt mate-rjalny ze środkiem O, ma wartość :

Vj ¹⁺(т)в¹“'т+(тт)

m.

R = mg cos cp -\- ml    •

95. Wpływ obrotu ziemi na ruch ważkiego punktu materjalnego. Z powodu obrotu ziemi w układzie bezwzględnym z prędkością kątową od = 0,000 073 sk ^ porusza się punkt materjalny względem układu stale połączonego z ziemią tak, jakby nań oprócz siły    y»

ciężkości względnej m g działała nadto przeciwnie > wzięta siła Coriolis’a 2 m vw ш sin (vw, co).    TjS

Dostrzegalne skutki siły Coriolis’a wykazano np. na spadku swobodnym ze znacznej wysokości. Punkt i materjalny zbacza od pionu na wschód, a wielkość tego zboczenia obliczamy z dostatecznem przybliżeniem przyjmując wartość prędkości pionowej vz — gt. Wektor prędkości kątowej

i?

/<r

Fig. 107.

obrotu ziemi co tworzy z vz kąt --tp j (fig. 107), a zatem przyśpieszenie

Coriolis’a jest skierowane poziomo na zachód i ma wartość 2 vz co cos <p. Obrawszy oś X skierowaną ku wschodowi otrzymujemy:

л d²z °’    dt² ~⁹

d²x

dt²

2 gt co cos cp,

d~ у

dt²

jako przybliżone równania ruchu. Całkowanie daje:

= 0, z = ^gt².

Zboczenie wschodnie x wynosi np. dla wysokości spadku 158,8 m i szerokości geograficznej cp = 50° 53' (doświadczenie Reich’a w kopalniach saskich w r. 1831), obliczone przy pomocy powyższych wzorów x = 2,75 cm.

Przy ruchu nieswobodnym punktu materjalnego w płaszczyźnie poziomej wchodzi w grę pozioma składowa siły Coriolis’a. Jej wartość jest niezależna od azymutu prędkości względnej v i równa się 2 m v ш sin <p. Kierunek odpowiadającej poziomej składowej siły dodatkowej — m ac dla patrzącego w kierunku prędkości wskazuje na półkuli północnej na prawo, na połu-

gt³

X = co cos tp, у

dniowej zaś na lewo. Wskutek tego np. pociąg jadący na północnej półkuli wywiera boczny nacisk na prawą szynę nie przekraczający jednakże przy V = 30 m\sk w naszej szerokości ¹/₃₀oo ciężaru pionowego.

B. Kinetyka układów materjalnych.

m a-

Rzeczywiste ciała materjalne lub ich zespoły, czyli wogóle układy terjalne rozpatrujemy pod postacią dwu modeli teoretycznych: albo jako układy skończonej lub nieskończonej liczby punktów materjalnych, albo też jako utwory geometryczne wypełnione materją ciągłą. W najogólniejszych rozważaniach mechaniki stosujemy zwykle model pierwszy; w mechanice płynów i sprężystych ciał stałych a także materjałów sypkich posługujemy się nadto z korzyścią modelem drugim i traktujemy te ciała jako continua materjalne.

Ciało sztywne można uważać za układ punktów materjalnych o niezmiennym ustroju geometrycznym, czyli nieodkształcalny. W obu modelach ważną rolę gra dokładne rozróżnianie sił zewnętrznych od wewnętrznych, jakkolwiek siła wewnętrzna w jednem zagadnieniu może się stać zewnętrzną w innem. Tak np. grawitacja pomiędzy ciałami układu słonecznego, rozpatrywanego jako całość, stanowi siły wewnętrzne układu, natomiast przy badaniu ruchu układu ziemia—księżyc określa przyciąganie przez słońce obu ciał siły zewnętrzne, a ich wzajemna grawitacja siły wewnętrzne. W układzie : rura działowa z pociskiem wewnątrz podczas wybuchu naboju są siłami wewnętrznemi : prężność gazów wybuchowych i tarcie między rurą a pociskiem; zewnętrznemi zaś: siła ciężkości i nacisk sprężyny przenoszącej reakcję wystrzału na lawetę. W poruszającem się ciele sprężystem są siłami wewnętrznemi naprężenia (napięcia). W nowoczesnych pojazdach mechanicznych (parowóz, rower, samochód itp.) występują jako siły zewnętrzne : siła ciężkości, reakcja tarcia kół napędowych o podłoże, opór toczenia się kół i opór powietrza ; zaś jako siły wewnętrze, np. w parowozie : prężność pary, tarcie w łożyskach osi, nacisk w krzyżulcu, czopach korbowych itd.

96. Zasada pracy i energji. Jeżeli E₀ —    £ mi c? oznacza energję

kinetyczną układu punktów materjalnych mi o prędkościach c - w położeniu obranem za początkowe, E —    £ m£ v? energję kinetyczną w jakimkolwiek

późniejszem położeniu układu, Lw pracę sił wewnętrznych, Lz pracę sił zewnętrznych układu, wykonaną podczas ruchu pomiędzy temi dwoma położeniami, wówczas:

e-e₀ = l=lw + lz,

czyli słowami: Energja kinetyczna jakiegokolwiek układu mater jalnego wzrasta (względnie maleje) podczas ruchu o wielkość pracy wszystkich sił zewnętrznych i wewnętrznych układu (zależnie od tego czy ta praca jest dodatnia, czy też ujemna).

Gdy siły układu mają potencjał, a U₀ i U oznaczają odpowiadające wartości energji potencjalnej układu (tj. sumy algebraicznej energij potencjalnych wszystkich punktów materjalnych układu) w obu jego położeniach, to z powyższego równania otrzymujemy:

E+U =E₀-\-U₀ = stałej,

czyli: W przypadku sił (zewnętrznych i wewnętrznych), pochodzących od potencjału, całkowita energja (tj. suma energji kinetycznej i potencjalnej) układu podczas ruchu zachowuje wartość stałą.

Dwaga. W zagadnieniach technicznych występują zawsze obok sił pochodzących od potencjału, czyli sił Zacho w a w czy ch, także siły innego rodzaju (jak tarcie, opór powietrza itp.) zwane siłami rozpraszaj ącemi (energje). Wskutek tego całkowita energja układu ubywa podczas ruchu o wartość pracy sił rozpraszających. Ten ubytek idzie oczywiście na koszt energji kinetycznej. Nazwa sił rozpraszających pochodzi stąd, ponieważ strata energji mechanicznej jest ze stanowiska fizyki pozorna i polega właściwie na zamianie tej energji na inną postać, w ostatniej instancji na zdążającą do rozprószenia w przestrzeni energję cieplną.

97. Ważniejsze zastosowania zasady pracy i energji polegają na tem, że przy ich pomocy można w niektórych przypadkach znaleźć łatwo ruch układu pod wpływem danych sił czynnych. Np :

Obrót ciała sztywnego około stałej osi z pominięciem tarcia w łożyskach pod wpływem jakichkolwiek sił czynnych /). Przy chwilowej prędkości kątowej ш i momencie bezwładności / względem osi obrotu, jest

t¹“*

wartością energji kinetycznej tego ciała. Stosując zasadę pracy dla nieskończenie małego przyrostu energji kinetycznej w czasie dt, otrzymujemy zważywszy, że praca reakcyj łożysk i sił wewnętrznych jest równa zeru,

I tu dia = Ш ш dt,

jeżeli 3JZ == S MomosS P- oznacza ogólny moment sił czynnych względem osi obrotu. Stąd

diu dt

czyli przyśpieszenie kątowe równa się ilorazowi z momentu sił czynnych względem osi obrotu przez moment bezwładności ciała względem tejże osi.

98. Zasada d’Alemberta sprowadza zagadnienie ruchu układu mate-rjalnego pod wpływem danych sił działających do zagadnienia równowagi na podstawie następującego rozumowania: Siły zewnętrzne P₍, działające na punkty mi układu materjalnego, nie wywołują wogóle takich przyśpieszeń tych punktów, jakieby zachodziły, gdyby te punkty mi były swobodne i zupełnie nieżależne od innych punktów materjalnych układu. Atoli w myśl zasadniczych praw dynamiki można traktować każdy z punktów układu m ■

jako swobodny, ale pozostający pod wpływem nie tylko danej siły Pp lecz także pewnej siły W- zastępującej więzy nałożone punktowi mi i siły (wewnętrzne), któremi działają nań inne punkty materjalne układu. Obie te siły udzielają punktowi mi przyspieszenia at. To przyspieszenie rzeczywiste dałoby się oczywiście znieść działaniem na punkt mi siły fikcyjnej Bi — — miai. Nazywamy ją siłą (albo oporem) bezwładności. W każdem przeto położeniu poruszającego się układu materjalnego (fikcyjne) siły bezwładności równoważą się z siłami zewnętrznemi, o ile siły wewnętrzne same się nawzajem znoszą. Tak się rzecz ma w przypadku ciała sztywnego lub układu ciał sztywnych połączonych ze sobą przegubami bez tarcia, niciami nierozciągliwemi itp. W innych przypadkach należy do sił zewnętrznych oddzielnych punktów materjalnych układu zaliczyć nadto te siły wewnętrzne, których praca przygotowana jest różna od zera.

Zasadę d’Alemberta wyrażamy przy pomocy zasady prac przygotowanych równaniem :

<S-

albo przy zastosowaniu metody analitycznej :

f [(*' - У?)8 x< + [ri ~ *4?)⁸ У‘+ [z> ~ m‘ 3f) ⁸ **

Wniosek. Dwa układy sił działających na ciało sztywne, które są równoważne statycznie, są zarazem równoważne kinetycznie, t. zn. wywołują ten sam ruch ciała swobodnego ze stanu spoczynku.

Przykłady. 1. Przy ruchu postępowym ciała sztywnego swobodnego poruszają się wszystkie jego punkty z tem samem przyśpieszeniem a. Odpowiadające równoległe siły bezwładności mają więc wypadkową 2 m^a — Ma, która przechodzi przez środek masy ciała. Dlatego siły zewnętrzne, ruch taki wywołujące, muszą mieć również wypadkową, przechodzącą przez środek masy ciała o wielkości Ma.

2. Przy ruchu obrotowym ciała sztywnego osadzonego, na stałej osi w łożyskach A i B ma siła bezwładności każdego punktu mг- ciała składową styczną (do koła o promieniu jakie opisuje ten punkt) i składową normalną. Pierwsza, tj. styczna siła bezwładności ma wartość    druga zaś zwana znowu siłą odśrodkową

(z powodu formalnej identyczności z siłą odśrodkową w dwu pierwszych znaczeniach) jest równa    a? (jeżeli co = ^j, s — oznaczają odpowiednio prędkość i przyśpieszenie

kątowe). Siły odśrodkowe są w ogólnym przypadku zrównoważone odpowiedniemi reakcjami łożysk. Styczne siły bezwładności dają ogólny moment względem osi obrotu o wartości 2 mj o f s = Iг, który się znosi z momentem sił czynnych względem tejże osi oznaczonym już poprzednio przez 5Щ. Stąd równanie ruchu obrotowego, wyprowadzone w art. 98 z zasady pracy. Zastosowanie zasady d’Alembert’a przedstawia w naszem zadaniu tę korzyść, że pozwala wyznaczyć także reakcje łożysk z warunków równowagi tych reakcyj z danemi silami zewnętrznemi i siłami bezwładności. Ograniczając się do przypadku, w którym niema sił zewnętrznych, widzimy, że do utrzymania obrotu jednostajnego około danej osi AB wystarcza równowaga sił odśrodkowych z reakcjami tożysk (oczywiście z pominięciem tarcia). Układ sił odśrodkowych sprowadza się metodami podańemi w statyce do jednej siły К = Mr₀ oP, tj. siły odśrodkowej całej masy ciała pomyślanej w jej środku (o promieniu r₀) i do jednej pary (Q, — Ç) (fig. 108) w płaszczyźnie przechodzącej przez oś obrotu o momencie — {By j — D„k) oP (przyczem j i к oznaczają wektory jednostkowe na osiach Y i Z prostokątnego układu związanego z ciałem, którego osią A jest oś obrotu; Dy zaś i Dz są odpowiadającemi momentami zboczenia.

W szczególnym przypadku r₀ — 0, tj. gdy oś obrotu przechodzi przez środek ciała, staje się R — 0, ale pozostaje jeszcze para sił, chyba, że jednocześnie jest Dy i Dz = 0, czyli gdy oś obrotu jest główną osią bezwładności. Wtedy i tylko wtedy siły odśrodkowe nawzajem się znoszą, a zatem obrót jednostajny zachodzi bez reakcyj w łożyskach. Taka oś jest swobodną osią obrotu ciała sztywnego.

3. Wahadło fizyczn e, jest to jakiekolwiek ciało sztywne obracalne około poziomej stałej osi nie przechodzącej przez jego środek masy i poruszające się „wahadłowo“ pod wpływem samej tylko siły ciężkości. Moment siły ciężkości Mg względem osi obrotu = — Mg . a sin cp, jeżeli o oznacza odległość środka ciężkości 8 od osi obrotu, zaś <p kąt odchylenia (fig. 109). Równanie ruchu

Mg . a sin cp

-6)

./?

.4

ГР

Fig. 108.

Fig. 109.

cP cp

dP

różni się od równania ruchu wahadła matematycznego o długości l:

<P<P g

dP

sin cp

tylko postacią stałego spółczynnika. Prawo obu ruchów będzie jednakowe skoro obadwa spółczynniki będę sobie równe, czyli gdy-y- = —. Obliczona z tego warunku długość

wabadła matematycznego wyznacza na przedłużeniu 0So punkt C wahadła fizycznego, zwany środkiem wahnienia. Odległość

co=zl™*⁼lu

r²

(jeżeli I=Mr'¹) nazywa się długością sprowadzoną danego wahadła fizycznego albowiem okres jego pełnego wahnienia (przy bardzo małym kącie amplitudy a) wyraża się wzorem:

T=

\ g    г Mg. а

Przy pomocy twierdzenia z teorji momentów bezwładności 1 — 1₀-\-Маг łatwo dowieść, że zawiesiwszy wahadło na osi równoległej do pierwotnej i przechodzącej przez środek wahnienia C otrzymujemy znowu ten sam czas wahnienia, chociaż zmieniła się odległość środka ciężkości od osi obrotu.

Z warunków równowagi sił bezwładności z ciężkością i reakcjami osi obrotu nie trudno teraz wyznaczyć te ostatnie.

99. Zasada ruchu środka masy i zasada pól, czyli zasada momentów ilości ruchu (pędów). Siły wewnętrzne jakiegokolwiek układu materjalnego nie wpływają na ruch środka masy tego układu, który odbywa się tak, jak ruch punktu materjalnego o masie (M = E mt) równej całej masie układu

pod działaniem wszystkich sił zewnętrznych P. układu przeniesionych do środka masy.

M—°-dt²

jeżeli Mv₀ = E mi v- (r₀,v₀ promień wektor i prędkość środka masy układu).

Dowód wynika z dodania równań ruchu wszystkich punktów materjalnych układu, ponieważ suma sił wewnętrznych równa się zeru. Podobnież uwzględniając, że geometryczna suma momentów sił wewnętrznych układu jest dla każdego środka momentów 0 równa zeru, znajdujemy łatwo równanie :

~jj 2 Mom₀ m{ Vf = 2 Mom₀ P..

Dla wygody wysłowienia t. zw. zasady pól wyrażonej powyższem równaniem, nazwiemy sumę geometryczne momentów ilości ruchu względem punktu O, czyli E Mom₀ mi — K, krętem układu. A zatem :

Dla dowolnie obranego punktu przestrzeni O jest prędkość zmiany (pochodna względem czasu) krętu jakiegokolwiek układu materjalnego (geometrycznie) równa ogólnemu momentowi sił zewnętrznych tegoż układu.

Posługując się metodą analityczną otrzymujemy z powyższego równania wektorowego trzy następujące:

d v ( dzi

dïlm'{y‘-JT

) = 2 (Xf Zf - ZfXf),

-Jt S [х* Чт - *irr) = ²    - x‘ y^-

dVi

~Z‘-JT

d v /    dZf

-dï^mAZi~dT~~Xi~dr

>-

mt v‘

Fig. 110.

Wyrażenia w nawiasach po lewej stronie mają proste znaczenie kinematyczne, albowiem przedstawiają podwójne prędkości wycinkowe rzutów punktów »». na odpowiadające płaszczyzny spółrzędnych (fig. 110). Tem się tłumaczy nazwa „zasady pól“.

100. Szczególne przypadki i przykłady zastosowania zasady ruchu środka masy i zasady pól. Pierwsza zasada, wyrażona drugiem z równań na początku art. 99, daje się także wysłowić w postaci: Prędkość zmiany pędu jakiegokolwiek układu materjalnego równa się wypadkowej sił zewnętrznych układu. (Przez pęd układu rozumiemy przytem sumę E mi p.

równą M»₀, tj. pędowi całej masy skupionej w środku masy i poruszającej się z prędkością tego środka.)

W przypadku gdy niema sił zewnętrznych, albo gdy S P₍ — 0, jest

M v₀ — stałej, czyli środek masy układu porusza się jednostajnie i prosto-linjowo, albo w szczególności jest w spoczynku.

Przykłady. 1. Dwa ciała o masach Mx i M₂ są w ruchu postępowym prostolinjowym ze stałemi prędkościami vx i v₂. To dowodzi, że siły ze-wnętrzue na nie działające albo się znoszą, albo też ich niema wcale. Skoro te ciała podczas ruchu się zderzą, to powstają między niemi wewnętrzne siły uderzenia, które sprawią, że ich prędkości staną się inne po rozłączeniu się obu ciał w przypadku uderzenia (choćby częściowo) sprężystego. Oznaczywszy je przez wx i w₂ mamy według zasady ruchu środka masy :

Mx vx -|- M₂ v₂ — Mx wx -j- M₂ w₂.

W szczególnym przypadku zderzenia prostego i środkowego otrzymujemy zamiast powyższego równania wektorego równanie algebraiczne :

Mi Vi -f- M₂ v₂ = Mi wx -f- M₂ w₂ .

z po-

2. Środek masy bomby rzuconej t. zw. miotaczem min opisuje minięciem wpływu oporu powietrza parabolę. Po wybuchu bomby w powietrzu poruszają się odłamki w różnych kierunkach, ale tak, że ich wspólny środek masy opisuje dalej parabolę do chwili, w której jeden lub więcej z odłamków uderzy o przeszkodę, czyli do chwili pojawienia się nowej siły zewnętrznej obok siły ciężkości.

Kręt układu К=Ъ Mom₀ mi v - ma wogóle wartość zależną od obioru i

punktu odniesienia O, chyba, że spełnia się warunek S m - vi = 0. Tak się ma rzecz przedewszystkiem wtedy, gdy środek masy układu jest w spoczynku, albo też gdy ruch danego układu materjalnego odnosimy do układu spółrzędnych połączonego niezmiennie z owym środkiem masy.

Obliczenie krętu ciała sztywnego przy jego obrocie chwilowym około osi X (fig. 111) z prędkością kątową ш — ш i, daje

K= co (£x i Dzj Dy k),

na

jeżeli Ix, Dz, T)y oznaczają odpowiednio moment bezwładności względem osi X i momenty zboczenia względem osi X, Y oraz X, Z układu spółrzędnych, do którego początku O odnosimy kręt. Ten kręt nie leży przeto wogóle

osi obrotu z wyjątkiem ważnego szczególnego przypadku, gdy oś obrotu jest jedną z głównych osi bezwładności. Wówczas jest

К=1ш.

Jk_L

,xKT

Fig. lii.

W ogólnym przypadku można jeszcze inaczej przedstawić wektor K, rozłożywszy obrót chwilowy z prędkością kątową w na trzy obroty około głównych osi bezwładności ciała (wzajemnie prostopadłych), przecinających się na danej osi obrotu, według schematu :

Oł = (Oj -j- Oi₂ -{- 0)₃.

Wtedy jest

К- Ix OJj -f- 1₂ Шг ~t~ h Ш3>

przyczem /,, J₂, f₈ oznaczają odpowiadające momenty bezwładności.

Skoro kręt ciała obracającego się około osi X, nie będącej osią główną, odniesiony do środka O obranego na tej osi, rzutujemy na też oś, to wartością rzutu, czyli składowej krętu w kierunku x jest

K' = I co.

d to

SR.

W przypadku ustalonej osi obrotu otrzymujemy z zasady pól odi’azu równanie ruchu obrotowego I ^

Kręt jakiegokolwiek układu materjalnego, odniesiony do jego środka masy jako początku bezwzględnego układu osi spółrzędnych jest stałym, jeżeli ogólny moment sił zewnętrznych względem tego środka jest stale równy zeru. Płaszczyzna prostopadła do krętu nazywa się wówczas płaszczyzną niezmienną.

Przykłady. 1. Ziemia nasza zachowuje się z wielkiem przybliżeniem jak ciało sztywne, obracające się około głównej osi bezwładności przechodzącej przez jej środek masy. Jej kręt Ico musi być przeto stałym i niezależnym od sił wewnętrznych. Jeżeli zaś stygnięcie ziemi wywołuje jej kurczenie się, i co zatem idzie zmniejszanie momentu bezwładności I, to musi odpowiednio zwiększyć się prędkość kątowa jej obrotu, aby Ico pozostało stałem. Temu przeciwdziała poniekąd spadający na ziemię pył kosmiczny, który zwiększa I.

2. Tratwę pływającą na spokojnej wodzie można obrócić dokoła osi pionowej o dowolny kąt bez użycia wioseł itp , maszerując po torze zamkniętym na tratwie w tym samym kierunku. W najprostszym przypadku kolistego toru obsadzonego równomiernie załogą maszerującą ze stałą prędkością kątową (bezwzględną) co, około środka masy tratwy osiągamy jej obrót w kierunku przeciwnym z prędkością kątową et>₂, który trwa tak długo, aż załoga stanie. Albowiem kręt tratwy o momencie bezwładności był na początku równy zeru, a więc podczas marszu musiało być It w, -J- 1г co₂ — 0 (z pominięciem nieznacznego oporu ruchu). Stąd łatwo obliczyć co, z danego co,.

C. Uderzenie.

101. Określenia i pomocnicze twierdzenia z dynamiki. Uderzenie zachodzi, gdy poruszające się dwa ciała stałe zetkną się podczas ruchu w ten sposób, że każde z nich stanowi przeszkodę dla ruchu drugiego. Uderzenie zmienia zatem ruch obu ciał, a zmianę tą określa — w myśl zasad dynamiki — siła uderzenia. Ta siła powstaje w miejscu stykania się ciał, i działa nie dłużej jak trwa zetknięcie się. Czas jej działania nazywa się trwaniem uderzenia i bywa zwykle bardzo krótki. W ciągu tego czasu siła uderzenia P rośnie od zera do pewnego maximum, a następnie maleje aż do zera. Jej działanie mierzy najdogodnej t. zw.

t -j- r

impuls siły = П = I Pd t,

jeżeli t oznacza trwanie uderzenia, a t chwilę początkową. Wektor dW = Pdt nazywa się impulsem chwilowym, albo elementarnym.

Jeżeli siła P działa na punkt materjalny o masie m, to stosownie do punktu 3. jest

Pd t = d{m v) a stąd przez całkowanie w przedziale czasu x:

1-

mv — j Pd t = 11,

czyli: Geometryczny przyrost pędu (ilości ruchu) punktu materjalnego równa się impulsowi odpowiadającej siły.

To twierdzenie pozostaje ważnem dla ciała skończonego, jeżeli ruch ciała był postępowym na początku działania siły P, a impuls tej siły przechodzi przez środek masy ciała.

Impuls siły uderzenia można przeto mierzyć wielkością przyrostu pędu, jaki ona wywołuje. Wielkość zaś samej, siły uderzenia zależy od trwania t, i jest tem większa, im т jest krótsze. Średnia wartość siły uderzenia jest bowiem równa ilorazowi z impulsu П przez trwanie x.

Jeżeli w początkowej chwili uderzenia ciała dotykają się ścianami regularnie zakrzywionemi, to wspólna normalna w punkcie zetknięcia się tych ścian nazywa się normalną uderzenia (osią uderzenia).

Uderzenie nazywa się śr odko wem lub mimośrodkowem (dla jednego z obu ciał) stosownie do tego czy normalna uderzenia przechodzi lub nie przez środek masy ciała. Uderzenie nazywamy nadto prostem lub ukośnein (dla jednego z obu ciał) zależnie od tego, czy prędkość śn dka masy tego ciała jest równoległa, czy też nachylona do normalnej uderzenia.

Ponieważ siły uderzenia są dla układu złożonego z obu ciał siłami \ve-wnętrznemi, przeto uderzenie nie może zmienić wartości geometrycznej sumy pędów obu ciał. Skoro te ciała o masach mx i m₂ poruszały się przed uderzeniem postępowo z prędkościami i v₂, a po uderzeniu (również postępowo) z prędkościami u\ i w₂ ; wówczas

mi Vi -j- m₂ v₂ = mi Wi -f- m₂ w₂

bez względu na własności fizykalne obu ciał.

Natomiast całkowita energja kinetyczna obu ciał po uderzeniu jest wo-góle mniejsza od takiejże energji przed uderzeniem. W idealnym przypadku równości energij przed i po uderzeniu mówimy o uderzeniu doskonale sprężyste m.

W dobrem przybliżeniu mamy z takiem uderzeniem do czynienia w przypadku zderzenia się przetaczanych ostrożnie na stacji wagonów kolejowych albo w przypadku kul bilardowych z kości słoniowej.

102. Uderzenie środkowe i proste. Jeżeli np. kula o masie mi i prędkości Vi zderzy się z kulą a masie m₂ i prędkości v₂ (fig. 112), to pod wpływem nacisku (siły) uderzenia w miejscu zetknięcia się nastąpi spłaszczenie obu ciał rosnące aż do chwili zrównania się ich prędkości. Wspólną wartość u tych prędkości po pierwszym „akcie“ uderzenia określa równanie pędów. W „akcie“ drugim wzajemny nacisk obu ciał maleje aż do zera. Impuls Il2 tego nacisku zmienia pęd mx u na тг u\ i m<> u na m₂ w₂. Oznaczywszy przez П, impuls nacisku (siły) uderzenia w akcie pierwszym, mamy:

mi l'i -j- m₂ V₂ =» (nil ~b >n‘ł) U — ml M’l + m2 W2 llj = nii Oh — u) — m2 (u — v₂) ; П₂ — nii (w — Wi) — m₂ (w₂ — u).

k = (w₂ — Wi)/(vi — v₂).

Strata energji wskutek uderzenia wyraża się wzorem :

Gdy JJj — 11₂, to uderzenie nazywamy doskonale sprężystem; gdy ll₂ = 0 — doskonale niespreżystem (czyli plastycznem). Wogóle jest llj > П₂, a stosunek П₂/11₁ nazywamy spółczynnikiem uderzenia i. Jego wielkość określa równanie :

(O — ?h)²

tfetr = (l-P)

mi m2 mi -f- m₂ '

z którego czytamy, że największa strata zachodzi dla к — 0, tj. przy uderzeniu doskonale niespreżystem ; zaś dla к — 1 (uderzenie doskonale sprężyste) jest strata równa 0.

W pierwszym przypadku da się strata przedstawić w formie:

Ątr = y r>h — u)² + у m<Ł (u — v₂y,

wyrażającej t. zw. twierdzenie Carnot’a.

Spółczynnik uderzenia к wyznacza sie np. zapomocą spuszczania bodnie kuli тл z wysokości h na płytę z danego materjału i mierzenia wysokości hu do której kula odskakuje. Wówczas k = y'h₁lh, skoro oczywista stratę Ш\ g Qi — hi) obliczymy nadto z powyższego wzoru przy założeniu »2=0, ot₂=oc, Vi—\%gh.

103. Uderzenie proste mimośrodkowe. Przy założeniu upraszczajacem, że płaszczyzna, przechodząca przez normalną uderzenia i środek masy "ciała jest prostopadła do jego głównej centralnej osi bezwładności, a obadwa ciała były przed uderzeniem w ruchu postępowym — uderzenie sprawi, że ciało uderzone mimośrodkowo otrzyma ruch złożony z postępowego i obrotowego około wymienionej głównej osi bezwładności.

POCZĄTEK UDERZENIA

swo-

W przypadku np. przedstawionym na fig. 113 sprowadza się rozwiązanie do postaci podanej w art. 102, jeżeli wprowadzimy t. z w. masę sprowadzoną

-O

КОНГС PtfftWSZLGO AKTU UDERZENIA

Wt(W₂

m, i

v€f-

Y'

i—.

m₂ — m₂

НОЖС DRUGIEGO AKTU UDERZENIA

e²+4²’

przyczem i₂ jest ramieniem bezwładności względem osi przechodzącej przez środek masy S₂ i prostopadłej do płaszczyzny rysunku. Wówczas wspólną prędkość u miejsca zetknięcia się obu ciał po pierwszym akcie uderzenia określa wzór:

Fig. 112.

Fig. 113.

__ mi V\ -f~ m‘i

U N nil +

Jednoczesną prędkość u₀ środka S₂ i prędkość kątową ш obrotu dają wzory:

u₀ = u — e w ; аз

nii (vi — u) e

m₂ 4²

* Na prostej Y, przechodzącej przez S₂ i prostopadłej do X, leży oś obrotu chwilowego C zastępującego obrót ш około S₂ i przesunięcie z prędkością u₀. Punkty C tej osi nie zmieniają zatem wogóle prędkości wskutek uderzenia. Odległość CA — l oblicza sie z wzoru :

e

Wzór ten daje zarazem długość sprowadzoną wahadła, jakieby tworzyło ciało m₂, zawieszone bądź to na osi A, bądź też C. Stąd prawidło :

Ciało spoczywające i swobodne uderzone mimośrodkowo wzdłuż prostej prostopadłej do jednej z głównych centralnych osi bezwładności obraca się około osi chwilowej do niej równoległej. Ta oś i normalna uderzenia są zamienne tak samo jak „środek wahnienia“ i „punkt zawieszenia“ wahadła.

p~e—■>»

-1--------fgn-

104. Uderzenie ciała obracalnego dokoła osi stałej. Zadanie sprowadza się również do zadania uderzenia prostego i środkowego (art. 102)    7,(^5

Fig. 114.

przy pomocy t. zw. masy sprowadzonej, określo- °'Цг-"и nej teraz jako iloraz z momentu bezwładności ciała przez kwadrat odległości normalnej uderzenia od osi obrotu (przy założeniu ich prostopadłości). Np. ciała, przedstawione na fig. 114, obracające się (przed uderzeniem) z prędkościami kątowemi o)j i w₂

około osi Oj i 0₂. A więc prędkości miejsca są: v₁ = r₁w₁, v₂ =■- r₂ ш₂. Po pierwszym akcie uderzenia będzie wspólną prędkością tego miejsca:

jeżeli m\

ri

m₂ ' —

ri

zaś odpowiadającemi prędkościami kątowemi będą:

(1)₂ ' =

, u

»«i =—,

ri

Uderzenie wywołuje w tym przypadku wogóle oddziaływanie uderzenia (wstrząśnienia) w łożyskach osi. Z p. 104 wynika jednak, że te oddziaływania znikną pod warunkiem, aby normalna uderzenia trafiała t. zw. środek uderzenia, identyczny ze środkiem wahnienia ciała rozpatrywanego jako wahadło

i ²

na danej osi obrotu. Jeżeli zatem r₂ = e -j——, to oś 0₂ nie dozna wstrzą-śnień wskutek uderzenia w A.

LITERATUKA.

A. W języku polskim.

1.    Autenrieth E. : Mechanika techniczna. Przekł. z niem. St. Patschke’go. War-Bzawa 1910.

2.    Ozopowski H.: Mechanika teoretyczna. Warszawa 1911 i 1916.

3.    Franke J. N. : Mechanika teoretyczna. Warszawa 1889.

4.    Kucharzewski F.: Mechanika w swym rozwoj u historycznym. Warszawa 1924.

6. Kouth J.: Statyka teoretyczna. Przekł. z ang. Z. Straszewicza. Warszawa 1916. 6. Straszewicz Z.: Nauka o ruchu. Warszawa 1918.

B. W językach obcych.

7.    Appell P. : Cours de Mécanique rationelle. II. wyd. Paryż 1905.

8.    Appell P. & Dautheville S.: Précis de Mécanique rationelle. Paryż 1910.

9.    Appell P.: Traité de Mécanique rationelle. Wyd. II. 3 t. Paryż 1902—1909.

10.    Bouligand G.; Précis de Mécanique rationelle. Paryż 1925.

11.    Love A. E. H. : Theoretical Mechanics. II. wyd. Cambridge 1906. (Także w przekładzie niemieckim H. Polster’a. 1920. Springer).

12.    Perry J.: Applied Mechanics. Londyn 1907. (Także w przekładzie niemieckim R. Schick’a. 1908. Teubner).

13.    Routh E. J. : Rigid Dynamics. 2 tomy. Wyd. VII. Londyn 1905. (Także w przekładzie niemieckim A. Schepp’a. 1898. Teubner).

14.    Autenrieth B. & Ensslin M.: Technische Mechanik. 1922. Springer.

15.    Föppl A.: Vorlesungen über technische Mechanik. 6 tomów. 1900—1909. Teubner.

16.    Hamel G.: Elementare Mechanik. 1912. Teubner.

17.    Helmholtz H.: Dynamik diskreter Massenpunkte. Lipsk 1898. J. A. Barth.

18.    Planck M.: Einführung in die allgemeine Mechanik. II. wyd. Lipsk 1920. Hirzel.

19.    Poschl Th.: Lehrbuch der technischen Mechanik. 1923. Springer.

20.    Tallquist Hj.: Lehrbuch der technischen Mechanik. 2 tomy. Helsingfors 1903.

21.    Encyklopädie der Mathematischen Wissenschaften. Bd. IV. Mechanik. 4 tomy. 1901—1908. Teubner.

22.    Kirpiczew W. L. : Biesiedy о mechanikie (ross.). Petersburg 1907.

Sprężystość i wytrzymałość.

Napisał

dr. inż. Maksymiljan T. Huber,

profesor politechniki, Lwów.

I. Część ogólna.

Wstęp. Praktyczny cel tego działu mechaniki technicznej streszcza się odpowiedzi na następujące pytania: Jakie zastosować rozmiary, postać materjał dla pewnego elementu konstrukcyjnego, aby z pośród różnorodnych warunków technicznych, jakie winne być spełnione, uczynić zadość trzem następującym, zwykle najważniejszym:

1.    Odkształcenia elementu nie powinny przekraczać pewnych wielkości, podyktowanych jego przeznaczeniem. (Warunek sztywności.)

2.    Zniweczenie spójności (pęknięcie, złamanie itp.) musi być wykluczone z dostatecznym stopniem bezpieczeństwa czyli dostateczną pewnością. (Warunek wytrzymałości.)

3.    Koszta (budowy, utrzymania itd.) elementu powinny być jak najmniejsze. (Warunek ekonomji.)

Uwaga. Prócz powyższych warunków mają na rozmiar, postać i materjał elementu konstrukcyjnego mniejszy lub większy wpływ inne własności natury fizyczno-chemicznej, zależne od jego przeznaczenia, jak np. przewodnictwo cieplne, odporność na wpływy atmosferyczne, ogniotrwałość, przepuszczalność dla ciepła lub głosu u ścian budynków i stropów, a dla płynów lub gazów u ścian zbiorników itd.

Zwykłe np. mury ceglane niewysokich budynków mogłyby być ze względu na warunek wytrzymałości znacznie cieńsze od powszechnie używanych, gdyby nie wzgląd na straty ciepła rosnące ze zmniejszeniem grubości na niekorzyść warunku ekonomji.

1. Stan odkształcenia. Pod wpływem sił wewnętrznych czyli napięć lub też innych przyczyn jak np. ogrzanie, wysychanie (u drewna), tężenie (u betonu) itp. doznaje każdy element konstrukcyjny zmiany postaci i wymiarów, czyli odkształca się. W wielu przypadkach zadowalniamy się podaniem najbardziej w oko wpadających objawów odkształcenia. Np. w prostym pręcie rozciąganym śledzimy jego wydłużenie, w belce zginanej jej ugięcie itd. Do zupełnego opisu odkształcenia ciała dzielimy je w myśli na elementy (nieskończenie małe), np. prostopadłościenne o krawędziach dx, dy, dz przed odkształceniem i wyznaczamy ich położenie i postać po odkształceniu. W nowe położenie przechodzi element ruchem złożonym wogóle z przesunięcia i obrotu (jak ciało sztywne); nową postać określają długości krawędzi dx (1 -{- ix), dy (1 -f- e^), dz (1 -f- ej

i kąty ścienne (przed odkształceniem proste) ----Чу zj,

j. Bardzo male liczbj (algebraiczne)    T«,.    T,*

(I

określają stan odkształcenia, czyli odkształcenie właściwe w punkcie (x, y, z) ciała i stanowią sześć składowych tego odkształcenia. Składowe s nazywamy wydłużeniami jednostkowemi (właściwemi), zaś składowe y kątami odkształcenia postaciowego lub posunięciami (względnemi). Ujemnym wydłużeniom odpowiadają skrócenia krawędzi. Na fig. 115 przedstawiono (przesadnie) odkształcony element dla wygodnego porównania z pierwotną postacią tak, jak gdyby nie wykonał obrotu, a naroże 0 pozostało nieruchome.

Wyrazu „odkształcenie“ używamy w dwojakiem znaczeniu: 1. ogólniej-szem, jako łączną zmianę położenia i postaci elementów ciała, 2. ciaśniej-szem, jako samą tylko zmianę postaci każdego z elementów z osobna (odkształcenie właściwe).

Jeżeli składowe odkształcenia właściwego są dla każdego punktu ciała jednakowe, to odkształcenie nazywamy jednorodnem. W nieskończenie małych obszarach ciała można zawsze uważać odkształcenie za jednorodne. Wówczas obszar pierwotnego kształtu kuli o promeniu p zamienia się na elipsoidę, o półosiach p (1 —)— ex), p (1 —f- e₂), p (1 —J— e₃). Kierunki tych osi nazywamy głównemi kierunkami odkształcenia, a liczby Ej, e₂, e₃ głównemi wydłużeniami jednostkowemi. Dla elementu prostopadłościennego zorjento-wanego w kierunkach głównych mają kąty odkształcenia postaciowego wartość 0. W każdem odkształconem ciele można wyznaczyć trzy układy prostokątne krzywych, mających tę własność, że styczne do nich wskazują

4.

/    >4

tD

T-fc/

4Т-&У

JB~J=

j-dut

A>

aV(U

.4

'£

*/

'i

dx

dx(1*Sx)-

Fig. 115.

główne kierunki odkształcenia w punkcie styczności. Nazywamy je trajek-torjami odkształceń (głównych) lub linjami izostatycznemu

mn

Każde odkształcenie jednorodne da się rozłożyć na a) odkształcenie objętościowe, przy którem kula zamienia się na kulę nieco większą lub iejszą, i b) odkształcenie postaciowe, przy którem kula zamienia się na elipsoidę o tej samej objętości. Stosunek zmiany objętości do objętości pierwotnej, czyli rozszerzenie (wzgl. skurczenie) objętościowe właściwe 0 określa równanie:

Przy kaźdem odkształceniu postaciowem jest 0 = 0.

Szczególnie proste rodzaje odkształcenia jednorodnego są:

a)    Proste wydłużenie lub skrócenie (odkształcenie jednowymiarowe, czyli linjowe) w pewnym kierunku. Skoro np. ten kierunek jest równoległy do osi x, to wartość zx wyznacza dokładnie rozpatrywane odkształcenie, gdyż wszystkie pozostałe składowe są równe 0.

b)    Proste odkształcenie postaciowe czyli proste posunięcie (fig. 116), jeżeli tylko jedna para ścian równoległych sześcianu elementarnego

TT

zamienia się na romby o kątach — + y, przyczem у jest (bardzo małym)

kątem odkształcenia postaciowego. (Pozostałe kąty i wydłużenia krawędzi są równe 0). Proste odkształcenie postaciowe jest równoważne z prostem wydłużeniem —|— г i skróceniem — e w kierunkach wzajemnie prostopadłych i nachylonych

do ścian nieodkształconyeh pod katem 45°, przyczem з == Każde odkształcenie jednorodne da się rozłożyć na trzy proste wydłużenia w określonych kierunkach wzajemnie prostopadłych.

2. Stan napięcia.

Fig. 116.

ciśnienie

ciągniecie

Fig. 117.

Wzajemne działanie sił molekularnych po obu stronach elementu płaskiego przekroju o polu dF, pomyślanego wewnątrz ciała, da się określić przez napięcie, tj. przez siłę powierzchniową dS, wogóle nachyloną do elementu i przechodzącą przez jego środek. Iloraz różniczkowy dS/dF nazywamy naprężeniem (albo natężeniem) w elemencie dF. Rozkładamy je na naprężenie normalne a i styczne (ścinające) т do elementu. Wymiarem naprężeń są: kg/cm², czyli „nowa atmosfera“, albo kg/mm² itp. Naprężenia normalne są ciągnieniami lub ciśnieniami, zależnie od tego, czy siły molekularne cząsteczek po obu stronach przekroju działają przyciągająco, czy też odpychająco (fig. 117). Wy-kreślnie należałoby przedstawiać naprężenia (normalne lub całkowite) odcinkami ze strzałkami na obu końcach („tensorami“) ; w rozważaniach statycznych traktujemy je najczęściej jako siły zastępujące działanie odciętej w myśli części ciała na część rozpatrywaną. Rachując naprężeniami normal-nemi przyjmujemy dla ciągnień znal$ a dla ciśnień — . (Fizycy posługują się umową odwrotną. To samo robimy zazwyczaj dla wygody rachunku przy obliczeniu sklepień).

W płaskim przekroju o skończonem polu F określa wielkość składowej normalnej napięcia (siły wewnętrznej) wyrażenie:

S= f<sdF.

(F)

T₂ = [r₂dF.

Do określenia składowej stycznej napięcia potrzeba dwu wielkości odpowiadających dwu składowym naprężeń stycznych wziętym w dwu dowolnych ajemnie prostopadłych kierunkach, obranych w płaszczyźnie przekroju. Oznaczywszy te ostatnie przez Tj i t₂ mamy dla wyznaczenia pierwszych wyrażenie :

(F)

Ti = / Tj dF,

(F)

Gdy rozkład naprężeń w płaskim przekroju jest równomierny, czyli gdy a, Tj t₂ są stałe, to napięcie (siłę wewnętrzną) określa algebraiczna wielkość składowej normalnej N i wielkość, oraz kierunek składowej stycznej T. Przytem jest:    ¹

(jeżeli т = У tx² -f x₂²).

rj=F’ T==F

Ogół naprężeń we wszystkich elementach płaskich przechodzących przez obrany punkt ciała określa stan napięciaw tym punkcie. Z powodu wypływającej z prawideł statyki wzajemnej zależności naprężeń w różnych przekrojach elementarnych, wyznaczają stan napięcia w punkcie (x,y,z) ciała trzy naprężenia normalne <sx, oy, zz, i sześć składowych naprężeń stycznych тху, туг, тгх- ryx, xzy, тхг w trzech przekrojach elementarnych równoległych do płaszczyzn spółrzędnych. Przytem oznacza wskaźnik np X przy że to jest naprężenie normalne w przekroju prostopadłym do osi X ; zaś przy т , np. oznacza pierwszy wskaźnik x, że to jest naprężenie na ścianie prostopadłej do x, a drugi y, że kierunek naprężenia jest równoległy do y. Z momentowych warunków równowagi wypływa, że

TX1J ~цх1

*■zx

czyli: Składowe prostopadłe naprężeń stycznych w dwu przekrojach elementarnych wzajemnie prostopadłych sa zawsze równe. (Prawo równości odpowiadających naprężeń stycznych).

Ważne wnioski: a) Jeżeli na powierzchnię ciała działają tylko siły normalne (jak to najczęściej bywa), to w skrajnych zewnętrznych elementach pola jakiegokolwiek przekroju (normalnego do powierzchni) ma całkowite naprężenie styczne kierunek równoległy do konturu przekroju. A więc:

Jl

ши

b) Gdzie kontur przekroju się załamuje, tworząc kąt < 180°, tam jest przy powyższem założeniu zawsze x — O. (Np. w A i A’ na fig. 118 a). Natomiast w załomach konturu przekroju o kącie wewnętrznym > 180° może być x < O. (Np. w В i В' na fig. 118 b).

n a-

W każdym punkcie ciała można poprowadzić takie trzy przekroje elementarne wzajemnie prostopadłe, w których niema naprężeń stycznych. Odpowiadające im naprężenia normalne nazywamy prężeniami głównemi. Stan napięcia w dowolnym punkcie ciała określają tedy kierunki wiel-

>A

48

tlTJlT

Fig. 118 a.

Fig. 118 6.

Fig. 119.

kości trzech naprężeń głównych o]f a₂, a₃. Jedno z nich jest (algebraicznie) największe, a drugie najmniejsze. Największe naprężenie ścinające równe połowie (algebraicznej) różnicy naprężeń głównych panuje w płaszczyźnie tworzącej z płaszczyznami tych naprężeń kąty 45°.

Szczególnie proste stany napięcia są:

a)    Linjowy lub jednoosiowy, czyli proste rozciąganie lub ściskanie, jeżeli tylko jedno z naprężeń głównych jest różne od 0. Taki stan zachodzi zwykle u prętów lub słupów pryzmatycznych obciążonych siłami normalnemi i rozłożonemi równomiernie na podstawach (fig. 119).

b)    Dwuwymiarowy czyli płaski stan napięcia, jeżeli dwa z naprężeń głównych np. ćą iG₂ są różne od 0 (fig. 120 a). Wówczas niema naprężeń w płaszczyznach równoległych do Gj i g₂, a naprężenie normalne G i sty-

czne t w

płaszczyźnie prostopadłej do tamtych i nachylonej pod kątem <p do Gj wyznacza „koło naprężeń“ (O. Mohr).

3. Konstrukcja koła naprężeń. Na dowolnej osi x (fig.120 b) odcinamy Od = a1; О В = g₂, i na AB jako średnicy zakreślamy koło. Aby znaleźć naprężenia w przekroju S S', którego normalna tworzy z kierunkiem Cj (wzgl. a₂) kąt (ostry) cp, odmierzamy od punktu A (wzgl. B) łuk koła А Г odpowiadający kątowi 2 cc. Odcięta O B' punktu В będzie naprężeniem normalnem a przekroją SS', zaś rzędna РГ naprężeniem stycznem т w tymże przekroju. Odpowiadające wzory analityczne:

Y (б1 + ³2) 4- Y (³i — аг) COS 2 ср, т = Y (cą — o₈) sin 2 cp

wypływają z warunku równowagi elementu o dwu ścianach równoległych do przekrojów głównych, a trzeciej równoległej do SS'.

Koło naprężeń może służyć do bardzo wygodnego rozwiązania nast. zadania:

Dane są naprężenia normalne <sx, i styczne T w dwu dowolnych przekrojach wzajemnie prostopadłych ; znaleźć położenie przekrojów głównych i wielkości naprężeń głównych cą i a₂.

Rozwiązanie (fig. 121): Obrawszy prostokątny układ spółrzędnych wyznaczymy punkt o spółrzędnych (px, z) i P₂ a spółrzędnych (<j , — x) ; łączymy Py z P₂ i ze środka C odcinka Рг P₂, leżącego widocznie na osi x, zakreślamy 1

koło promieniem у Pa P₂. To koło wyznacza na osi x naprężenia główne О А—ви OB ='S₂, które zachodzą w przekrojach nachylonych do danych pod kątem — cp₀, przyczem 2 <p₀ =

= Pi CX. Ich wartości określa wzór:

mmmmm

In

6,

Fig. 120«.

0    0 Bip

Fig. 120 b.

BI Pi

Fig. 121.

4. Jednorodny i niejednorodny stan napięcia. Ogólne związki między składowemi stanu napięcia. Jeżeli stan napięcia jest we wszystkich punktach ciała jednakowy (tj. wszystkie trzy naprężenia główne stałe co do kierunku i wielkości), to nazywamy go jednorodnym albo równomiernie rozłożonym. Szczególnie prosty stan tego rodzaju panuje zwykle w pryzmatycznych prętach rozciąganych lub ściskanych osiowo siłami PP. Wtedy naprężenie główne cą ma kierunek osi

P

pręta i wartość а = + — f zaś c₂ = a₃ == 0. Innego przykładu dostarcza

ciało jednolite i równokierunkowe dowolnego kształtu zanurzone w płynie, na którego powierzchnię wywieramy stałe ciśnienie p. Wówczas a₁ = o₂ = — <s₃ = — p i mówimy o wszechstronnem równomiernem ściskaniu ciała.

Prosty przykład niejednorodnego stanu napięcia widzimy w prostym pręcie pionowym obciążonym ciężarem własnym. W ogólnym niejednorodnym stanie napięcia są składowe Gx, (Sy, a,, т , xyz, xzx, funkcjami spółrzędnych

X, y, z, które muszą czynić zadość trzem następującym równaniom różniczkowym wypływającym z warunków równowagi:

ЭТ!<*

+ ^г + jX-o

dx

И

dy

Z = 0.

Tutaj oznaczają X, Y, Z składowe siły masowej (np. siły ciężkości, siły bezwładności) odniesionej do jednostki masy, zaś y/g gęstość.

Te równania sprowadzają się w przypadku dwuwymiarowego stanu napięcia w płaszczyźnie X Y (warunek konieczny Z = O), do dwu następujących :

d°x

T + ? + ix-0

dx dy g

da dr у

-Л + ä“ + — Y—0. dy dx g

Uwaga. Wszystkie powyższe wyniki w ust. 1—4 są niezależne od natury rozpatrywanych ciał i opierają się jedynie na uproszczonem założeniu ciągłości materji, tudzież na prawach mechaniki ogólnej. Ponieważ materja ma w rzeczywistości budową nieciągłą (molekularną), przeto nie należy sie dziwić pojawianiu się, aczkolwiek nader rzadkiemu, pewnych sprzeczności wniosków teoretycznych z wynikami doświadczeń.

5. Wzajemna zależność stanu odkształcenia i napięcia. Prawo Hooke’a i zasada superpozycji skutków. Tak w przypadku dwuwymiarowego jak i ogólnego stanu napięcia nie wystarczają widocznie równania równowagi do rozwiązania ogólnego zadania: Dane są siły zewnętrzne, znaleźć stan napięcia. Liczba niewiadomych jest bowiem większa od liczby równań. Aby rozwiązanie znaleźć posługujemy się głównie dwiema drogami. — Pierwsza, dawniejsza, elementarna polega na dodatkowych możliwie prostych i popartych doświadczeniem hipotezach (przyjęciach) co zpatrywanych przekrojach ciała. (Np. przyjęcie

do rozkładu naprężeń w ro linjowego rozkładu naprężeń normalnych w przekroju poprzecznym belki dowolnie obciążonej). Druga nowsza opiera się na matematycznej teorji sprężystości i rozpowszechnia się coraz bardziej, dzięki znalezieniu ścisłych rozwiązań w wielu przypadkach praktycznego znaczenia, a zwłaszcza dzięki nowym metodom przybliżonego rozwiązania zadań szczegółowych.

Punkt wyjścia teorji sprężystości ujmującej w formę matematyczną wzajemną zależność stanu odkształcenia i stanu napięcia stanowi prawo Hooke’a (1660) i jego uogólnienie, które jest zastosowaniem t. zw. zasady superpozycji skutków.

Prawo Hooke’a opiewa: Odkształcenie uwarunkowane napięciem S jest doń proporcjonalne.

Uogólnienie zaś brzmi: Składowe stanu odkształcenia są linjowemi, jednorodnemi funkcjami składowych stanu napięcia (i nawzajem).

Zasada superpozycji skutków da się wysłowić w następujący sposób : Jeżeli z przyczyn tego samego rodzaju, określonych wielkościami Pf, P",. .. każda z osobna wywołuje na danym układzie materjalnym skutek, określony odpowiadającemi wielkościami в', в",... to wszystkie przyczyny razem wywołują skutek określony sumą: в' -j- в" -)- • • • (geometryczną lub algebraiczną zależnie od charakteru wielkości s).

Ważność uogólnionego prawa Hooke’a jest warunkiem koniecznym stosowalności zasady superpozycji do obciążeń i wywołanych niemi odkształceń układu, atoli wogółe nie jest warunkiem wystarczającym. (Np. wzajemne zbliżenie końców pręta lekko zakrzywionego pod wpływem podłużnych sił ściskających nie jest proporcjonalne względem ich wielkości, chociaż materjał pręta podlega prawu Hooke’a).

Najprostszą postać przybiera prawo Hooke’a w przypadku linjowego stanu napięcia, np. przy rozciąganiu lub ściskaniu prostego pręta. Wówczas przy naprężeniu a powstaje wydłużenie jednostkowe :

o

E==^’

przyczem stała E charakterystyczna dla materjału pręta, o wymiarze naprężenia (kg/cm²), nosi nazwę: moduł wydłużenia (moduł Younga) albo (pierwszy) spółczynnik sprężystości.

Doświadczenie poucza, że przy prostem rozciąganiu (lub ściskaniu) pręta naprężeniem a powstaje także odkształcenie poprzeczne er o znaku przeciwnym odkształceniu podłużnemu s i stosownie do prawa Hooke’a również proporcjonalne względem o, a więc i względem s. Piszemy tedy :

1 o

Liczbę stała właściwa materiałowi nazywamy liczba Poisson’a. Jeżeli

z dużej bryły danego materjału wytniemy pręty próbne rozmaicie zorjentowane dla każdego znajdziemy te same wartości stałych E i m to materjał jest równokierunkowy (izotropowy). Z wyjątkiem drewna można wszystkie prawie materjały konstrukcyjne uważać z większem lub mniejszem przybliżeniem za równokierunkowe. Wszystkie zaś bez wyjątku podlegają prawu Hooke’a, jednakże w nader różnych granicach. Granice ważności prawa Hooke’a nazywamy granicami proporcjonalności. Należałoby je mierzyć tą największą wartością wydłużenia właściwego (skrócenia), przy której zachodzi jeszcze proporcjonalność względem siły rozciągającej (ściskającej), albowiem ściśle biorąc tylko te wielkości dają się obserwować, a naprężenia można tylko obliczać, dzieląc siłę przez pole pierwotnego przekroju, który podczas wydłużenia pręta nieco się zmniejsza. Zważywszy jednak, że ta zmiana przekroju jest (wyjąwszy kauczuk) bardzo niewielka, określamy zazwyczaj granicę proporcjonalności wartością naprężenia, powyżej którego dostrzegamy zboczenia od prawa Hooke’a.

Przy ogólnym (trójwymiarowym) stanie napięcia materjału równokierun-kowego zlewają się kierunki naprężeń głównych Oj, c₂ i a₃ z kierunkami wydłużeń głównych е₁₍ e₂ i e₃, przyczem na podstawie prawa Hooke’a i zasady superpozycji zachodzą związki:

^-⁽o₂ + a₃),

— (Gi + <з₂) • m

S*~E Ga "

£з_^[°³ ~

Z dodania tych równań wynika wzór dla rozszerzenia (skurczenia) objętościowego :

0 = E1 4~ e2 + 4 = -gT [l — —j (G1 + ³2 + Gs)-

Przy wszechstronnem równomiernem ściskaniu jest ox — o₂ = o₃ = — p,

a więc 0 == — 3 ——-Д- • p, czyli materjał się kurczy gdy liczba m > 2. Tak m hd

się zachowują prawie wszystkie ciała stałe.

Gdy m — 2, to przy każdej wartości naprężeń a jest 0 = 0. Taki materjał nazywamy nieściśliwym. W przybliżeniu jest nim kauczuk, ołów i parafina.

ttttttttttttmwc

Nie znamy w przyrodzie materjałów dla których m < 2, czyli takich, któreby przy wszechstronnem ściskaniu pęczniały.

Uwaga. Przy obliczaniu naprężeń z danych obciążeń nie uwzględniamy z reguły zmiany pola przekroju wywołanej odkształceniem (poprzecznem) jako wielkości zazwyczaj bardzo małej.

>N

L<

't

6. Proste odkształcenie postaciowe i pro-€ ste ścinanie. Równania teorji sprężystości. Jeżeli w dwuwymiarowym stanie napięcia jedno naprężenie główne jest ciągnieniem a a drugie ciśnieniem o tej samej wielkości (— a), to w przekrojach nachylonych do głównych pod kątem 45°, panują tylko naprężenia styczne т o tej samej wielkości co o. Taki stan napięcia nazywamy . prostem ścinaniem. Przy ważności prawa Hooke¹ a jest odpowiadające odkształcenie czysto postaciowe i określa je zmiana kąta prostego w kwadracie KLMN (fig. 123), tj.

-Ä

+e

у == 2 в —

2 (m -f-1)

-—— X.

m E

A zatem: Kąt odkształcenia postaciowego jest proporcjonalny względem odpowiadającego naprężenia stycznego, czyli

Fig. 122.

Y = —, przyczem G —

2 (да -j- 1)

E . . .(a)

Spółczynnik proporcjonalności G jest znowu stałą charakterystyczną dla materjału (o wymiarze kg/cm²) i nazywa się modułem ścinania (także modułem skręcenia z powodów wyjaśnionych w teorji skręcenia) albo spół-czynnikiem sprężystości postaciowej. Wyznacza się go zwykle bezpośrednio z doświadczeń nad skręceniem okrągłych prętów/a następnie oblicza liczbę Poisson’a ze związku (a).

W ogólnym stanie napięcia, określonym składowemi

aa:’ °2’ ^xy’

хгж, wypadają tedy dla składowych stanu odkształcenia (przy ważności prawa Hooke¹ a) wyrażenia następujące :

m + °*)

Txy

2 (да -f 1)

rxy

ги - b] ~ т (°* + °*)

=

Те równania pozwalają nawzajem 6 składowych stanu napięcia wyrazić przez tyleż składowych stanu odkształcenia, które znowu dają się przedstawić jako następujące proste wyrażenia różniczkowe trzech składowych w, V, w przemieszczenia punktu ciała x, y, z:

!ху а у

гx 3® ’

9 y'

dz

T zx

3 w . du

3®’

(Trzy ostatnie równania są ścisłe tylko przy założeniu, że u, », w są nieskończenie małe wobec x, у, z.)

Wyraziwszy zapomocą powyższych związków naprężenia przez u, », w i stałe sprężystości i wstawiwszy znalezione wyrażenia w równania równowagi (art. 4), otrzymujemy podstawowe trzy równania różniczkowe, klasycznej teorji sprężystości’ ciał jednolitych, równokierunkowych i podległych prawu Hooke’a w postaci:

v²« +

да

да — 2 9 x

v²»-+

30

да — 2

да

CD

ff G

= 0,

11

да — 2 dz

ff G

= 0,

przyczem V² jest skróconym symbolem t. zw. operacji Laplace’a, określonej symbolicznem równaniem :

V²

₉2

₉2

₉2

3y²

dz²’

zaś

dx²

du . 3 V , 3w

3 ® ' 3 y ' dz'

Te równania w połączeniu z poprzedniemi i warunkami krańcowemi pozwalają już, przynajmniej teoretycznie, rozwiązać zadanie: Dane są postać, materjał i siły zewnętrzne elementu konstrukcyjnego w równowadze; znaleźć odkształcenia i naprężenia. Skoro uda się znaleźć bodaj przybliżone rozwiązanie, to po doświadczalnem sprawdzeniu wyników możemy dla praktyki technicznej dostarczyć pewnej wskazówki tylko co do warunku sztywności, oczywiście o ile wolno pominąć zboczenia od prawa Hooke’a, a zarazem o ile znaleziona odkształcona postać równowagi jest stateczną (stałą). Nader ważny warunek stateczności może nie być spełniony zwykle tylko wtedy, gdy jeden lub dwa wymiary elementu konstrukcyjnego są małe wobec innych (smukłe słupy, cienkie płyty i ściany naczyń). Z niespełnieniem tego warunku mamy do czynienia w dobrze znanem zjawisku wyboczenia prętów osiowo ściskanych, zaklęśnięcia rur płomiennych w kotłach pod ciśnieniem itp. (Ob. rozdz. VIH. i IX.).

7. Wytężenie materjału przy prostem rozciąganiu i ściskaniu. Granica sprężystości. Granica plastyczności. Rozwiązania znalezione przy pomocy teorji sprężystości nie wystarczają jeszcze do zawyrokowania, czy konstrukcja czyni zadość warunkowi wytrzymałości; do tego bowiem trzeba znać zależność niebezpieczeństwa pęknięcia od stanu odkształcenia i napięcia. Wielkość, mierzącą niebezpieczeństwo pęknięcia, nazywamy wytężeniem materjału. Podobnie jak zależność stanu odkształcenia od stanu napięcia znaleziono doświadczalnie i na prawie Hooke’a oparto teorję sprężystości, tak też doświadczalnie należało zbadać zależność wytężenia materjału od jego stanu odkształcenia i napięcia, aby zbudować teorję wytrzymałości. Ten podstawowy problem technicznej nauki o wytrzymałości okazał się w całej ogólności niezmiernie trudny i zawiły. Jest nawet wielce wątpliwe, czy objawy wytrzymałości dadzą się dla każdego z materjałów przed-

stawić stałem! charaktery stycznemi dlań i czy nie zależą także od rozmieszczenia odkształceń i naprężeń w skończonym obszarze ciała. Trudności eksperymentalnego badania są olbrzymie. (Niemożliwość bezpośredniego pomiaru naprężeń, nieskończona rozmaitość stosunków naprężeń i odkształceń głównych, ogromna trudność zrealizowania określonego jednorodnego stanu napięcia itd.) To też dostateczny zasób doświadczeń mamy jedynie dla nader prostego, a zarazem ważnego przypadku linjowego stanu napięcia, łatwego do zrealizowania na prostych prętach. Doświadczenia nad rozciąganiem lub ściskaniem prętów ujawniają nadto inne ważne własności materjałów, dające się odczytać z wykresu (fig. 123), który się sporządza, odmierzając jako odcięte wydłużenia właściwe pręta e, a jako rzędne odpowiadające im naprężenia a, obliczane jako iloraz z siły rozciągającej P przez pole pierwotnego przekroju F. Część prosta linji wykresu od początku spółrzę-dnych odpowiada ważności prawa Hooke’a. Punkt, w którym zaczyna się linja zakrzywiać, odpowiada granicy proporcjonalności. Skoro od pewnego punktu obciążenie powoli zmniejszamy i notujemy odpowiadające war-^ tości e i c, to otrzymujemy wykres po-15    % wrotny. Jeżeli ten wykres zlewa się

<5 t/cm2

dorai na wyirrym.maier

-j—^Fgr. plastyczności ----gr. proporcjonalności.

1Ö

Fig. 123.

blisko

dokładnie z poprzednim, to materjał okazuje (w rozpatrywanym przedziale odkształceń i naprężeń) sprężystość zupełną czyli doskonałą. Jeżeli nie, to tylko część odkształcenia, zwana odkształceniem sprężystem, znika po usunięciu obciążenia, a reszta pozostaje nadal jako odkształcenie trwałe (nie-sprężyste, plastyczne). Ten punkt wykresu, od którego począwszy pojawiają się dostrzegalne odkształcenia trwałe, określa granicę sprężystości. Ponieważ jego obserwacja jest bardzo trudna, przeto w doświadczalniach technicznych wyznacza się zwykle t. zw. „praktyczną granicę sprężystości“, przy której odkształcenie trwałe jest określonem przez umowę małym ułamkiem odkształcenia całkowitego. Praktyczna granica sprężystości leży oczywiście zawsze powyżej granicy teoretycznej i nie ma istotnego związku z granicą proporcjonalności, jakkolwiek obie granice leżą bardzo siebie u żelaza kowalnego i stali.

Przy dalszym powolnym wzroście naprężenia a (po przekroczeniu granicy sprężystości) zachowują się materjały rozmaicie. Można je podzielić na dwie główne grupy: materjały plastyczne i kruche. Do pierwszej należą przedewszystkiem wszelkie rodzaje żelaza kowalnego, miękkiej stali i innych metali plastycznych, do drugiej żelazo lane, twarda stal, szkło, kamienie naturalne i sztuczne.

U najważniejszych technicznie materjałów pierwszej grupy pojawia się w wykresie powyżej granic proporcjonalności i sprężystości raptowne przejście w łinję mniej więcej równoległą do osi odkształceń. To odpowiada znacznemu wzrostowi odkształceń trwałych bez zmiany wielkości naprężenia cy. Materjał „płynie“, jak lód w lodowcu górskim pod wpływem stałej siły ciężkości. Wartość określa granicę plastyczności (gr. płynięcia, gr. ciastowatości). Płynięcie kończy się dość rychło i dalszy wzrost odkształcenia przy rozciąganiu wymaga znowu zwiększenia obciążenia. To zjawisko charakterystyczne dla żelaza i innych metali nazywają wzmocnieniem lub stwardnieniem materjału wskutek odkształcali plastycznych o zwykłej temperaturze („obróbka na zimno“). Zwiększanie obciążenia osiąga kres w najwyższym punkcie wykresu. Wówczas odkształcenie pręta przestaje być jednorodnem i w pewnem jego miejscu pojawia się t. zw. szyjka (fig. 124), zapowiadająca pęknięcie w najwęższym przekroju. To pęknięcie zachodzi przy obciążeniu mniejszem od poprzedzającego wytworzenie się szyjki, już choćby z tego powodu, ponieważ przekrój szyjki jest znacznie mniejszy od przekroju reszty pręta.

Przy ściskaniu występuje również granica plastyczności, ale nie pojawia się szyjka, ponieważ podłużnemu skurczeniu pręta towarzyszy poprzeczne rozszerzenie przekroju. Wskutek tego rzeczywista wartość naprężeń maleje, chociaż zwiększamy obciążenie po osiągnięciu granicy plastyczności, albowiem przekrój rośnie prawie bez ograniczenia.

8. Doraźna wytrzymałość na rozciąganie i na ściskanie.

Miara plastyczności metali. Pewność. Odniesione do pierwotnego przekroju największe naprężenie, jakiego doznawał pręt przy rozciąganiu, określa jego doraźną wytrzymałość na rozciąganie Kr. Ponieważ doświadczenia wykazały w dość obszernych granicach przybliżoną niezależność wielkości Kr od postaci i wielkości przekroju prętów pryzmatycznych z tego samego materjału, przeto uważamy Kr za stałą charakterystyczną dla materjału pręta i w tem znaczeniu mówimy o doraźnej wytrzymałości danego materjału Fig. 124. przy rozciąganiu. Z powodów wyżej wyłuszczonych nie wyznaczamy do świadczalnie doraźnej wytrzymałości materjałów plastycznych przy ściskaniu Kc, lecz przyjmujemy ją praktycznie równą К

Materjały drugiej grupy (materjały kruche) nie mają granicy plastyczności i przy bardzo nieznacznych odkształceniach trwałych pękają przy wartości ciągnienia Kr lub ciśnienia Kc przekraczających niezbyt wiele od

powiadające granice sprężystości. Nadto jest u nich Kc najczęściej o wiele większe od Kr.

Odrębne stanowisko zajmuje drewno, które dzięki swej strukturze jest mater-jałem w wysokim stopniu nierównokierunkowym a nawet niejednolitym i posiada różną sprężystość i wytrzymałość w różnych kierunkach. W kierunku równoległym do włókien jest Kc znacznie mniejsze od Kr. Drewno nie ma granicy plastyczności, ale jest zdolne do dość znacznych odkształceń trwałych.

Plastyczność metali (zdolność do odkształceń trwałych) ocenia się przy próbach rozrywania w ten sposób, że po przerwaniu stula się obie części pręta możliwie dokładnie i mierzy odległość V dwu kresek wyznaczających długość pierwotną l badanej części pręta. Wartość:

V — l

cp = 100 .

wyrażająca w odsetkach rozciągnięcie trwałe pręta, jest wcale dobrą miarą plastyczności materjału. Inną równie dobrą, lecz mniej wygodną miarą plastyczności jest

F

ф = 100 . —

-F'

F ’

jeżeli F' oznacza pole przekroju przerwanego w szyjce. Liczba ф wyraża w odsetkach poprzeczne plastyczne skurczenie pręta. Sprawa wytężenia materjału jest w przypadku prostego rozciągania lub ściskania nadzwyczaj prosta. Ponieważ odkształcenie s rośnie i maleje z wielkością naprężenia a przeto tak e, jak i o może służyć za miarę wytężenia. Ze względów praktycznych mierzymy od dawna wytężenie wartością naprężenia a, jakie rzeczywiście zachodzi w elemencie konstrukcyjnym przy najniekorzystniejszem obciążeniu.

Stosunek doraźnej wytrzymałości materjału К do rzeczywiście zachodzącego naprężenia o określa stopień bezpieczeństwa czyli pewność n przeciwko pęknięciu. Tę samą wartość n daje oczywiście stosunek siły łamiącej (rozrywającej lub zgniatającej) P do rzeczywistej siły osiowej pręta P(obcią-źenia użytkowego).

Obierając dla pewnego elementu konstrukcyjnego z danego materjału liczbę n> l ustalamy tem samem wartość a uznaną za bezpieczną :

fc = —

Takie ustalenie naprężenia bezpiecznego (dopuszczalnego) może być wystarczające dla materjałów kruchych ; u materjałów plastycznych musimy wykluczyć pojawienie się wyraźnych odkształceń trwałych, czyli musimy mieć ^’-krotną pewność przeciwko przekroczeniu granicy plastyczności 0y. Wtedy:

n

przyczem n’ może być znacznie mniejsze od n, albowiem K> cy (u żelaza zlewnego np. odpowiada 2,5-krotnej pewności przeciw przekroczeniu granicy plastyczności, 4-krotna pewność przeciw rozerwaniu).

9. Wpływ powtarzania i wahania obciążeń na wytężenie. Obciążenie dzielimy na stałe i zmienne. W przypadku obciążeń zmiennych wartość doraźnej wytrzymałości nie decyduje o wytężeniu materjału, albowiem doświadczenia wielu badaczy, począwszy od Wöhler’a (1870) wykazały, że zmienność obciążenia obniża z reguły granicę wytrzymałości materjału w porównaniu do wytrzymałości doraźnej. Z tego powodu wielkość abezp przy obciążeniu zmiennem należy obierać mniejszą, niż przy obciążeniu stałem, przestrzegając następujących reguł, wynikających z doświadczeń nad żelazem kowalnem i stalą.

1.    Różnica к^ — к czyli obniżenie wartości к w porównaniu w wartością k^°\ odpowiadającą stałemu obciążeniu, a więc doraźnej wytrzymałości, ma być tem większe, im większą jest różnica cmax — omin, pojmowana algebraicznie.

2.    To obniżenie nie zależy od częstości zmian obciążenia, którym podlega pręt w konstrukcji, w granicach 60— 800 zmian na minutę ; atoli przy częstościach powyżej 800—2400 wzrasta z częstością dość znacznie (według doświadczeń O. Reynolds’a i J. H. Smith’a), aby przy jeszcze większych częstościach (do 7000 według B. Hopkinson’a) znowu wyraźnie zmaleć.

Wielkie częstości zmian obciążenia występują nierzadko w elementach maszynowych, podczas gdy w budowlanych mamy do czynienia zwykle z częstościami jeszcze znacznie mniejszemi od stosowanych w badaniach Wöhler’a. Na podstawie tych badań ustawiono (Launhardt i Weyrauch) przybliżony wzór postaci:

min

k⁽⁰⁾ — fc= a. k(0} ( 1 — -

max

w którym S oznacza siłę rozciągającą lub ściskającą pręt, a spółczynnik a — — dla żelaza kowalnego i miękkiej stali. Stąd wyznacza się bezpieczną wartość 3max przy projektowaniu prętów w belkach kratowych mostów itp.

1 Smin

таз

Przykład. W krzyżulcu belki kratowej z żelaza zlewnego jest S'max = 12 ł, $m;„ = — 3 (ściekanie). Przyjąwszy A-(°) = 1600kglcni¹ mamy:

(1 — Y = j ■ 1600 . J = CVJ 933 kglcm\

CTmax=Y-1600

12 000

•= 12,9 cm².

Potrzebny przekrój pręta :

933

“^max "max

Zjawisko obniżenia wytrzymałości metali przy wahaniach wartości obciążenia, zwane także zmęczeniem (znużeniem) materjału, da się częściowo objaśnić t. zw. histerezą sprężystą, która polega na tem, że nawet przy małych naprężeniach, rosnących od zera do pewnej wartości i następnie malejących znowu do zera, linja powrotna wykresu odkształceń nie zlewa się z linją odkształceń rosnących. Obie linje zamykają wąziutkie pole, którego wielkość mierzy nieodzyskaną część pracy odkształcenia. To pole histerezy jest, jak się zdaje, tem większe, im krócej trwa odkształcenie. Odpowiadająca mu drobna część pracy zużywa się na rozluźnienie spójności, które przy wielokrotnem powtarzaniu procesu doprowadza (nieraz po wielu miljonach wahnień) do pęknięcia. Tem się tłumaczy, że przy wielkiej częstości wahnień (szybkie odkształcenia) wystarczają mniejsze naprężenia krańcowe do pokonania spójności. Zarazem wydaje się wielce wątpliwem, czy zastosowanie wzoru Launhardta i Weyraucha ma rację bytu przy zwykłem obliczeniu statycznem, zważywszy, że pomiędzy dwoma wahnie-niami siły wewnętrznej 8 przy przejeździe np. pociągu upływają minuty, lub godziny, w ciągu których materjał „ma czas wypocząć“. Badania doświadczalne na prętach próbnych, wyciętych z różnych części mostu żelaznego rozebranego po półwiekowem użyciu (Zentralbl. d. Bauw. z 7./I. 1905) wykazały jednakową doraźną wytrzymałość u wszystkich próbek, chociaż materjał jednych nie „pracował“ wcale, drugich był narażony na zmienne ciśnienia, a trzecich na zmienne ciągnienia w ciągu 50-ciu lat ruchu po moście.

10. Wytrzymałość a warunek ekonomji. Jeżeli element konstrukcyjny narażony na proste rozciąganie lub ściskanie siłą 8 możemy sporządzić z dwu różnych materjałów, z których pierwszy (np. żeliwo) ma ciężar właściwy Yu cenę jednostki ciężaru C\, a naprężenie bezpieczne cą, drugi zaś (np. stal) y₂, C₂> a₂, to koszt jednostki długości pręta z pierwszego

s    s

materjału Кг — — yi 6'l5 zaś z drugiego K₂ — — y₂ 6₂.

Oi    a₂

Zastąpienie zatem materjału pierwszego drugim będzie połączone z korzyścią gospodarczą, jeżeli

ÏÏ ń’₂

Tl Ci

Ol

czyli gdy stosunek ceny jednostki objętości drugiego materjału do jego naprężenia bezpiecznego (spółczynnik ekonomji materjału) jest mniejszy od takiegoż stosunku materjału pierwszego. Oszczędność wyrażoną w odsetkach kosztów jfTj przedstawia wyrażenie :

100 1 ——i- =100 1 —

Y2 Cą °i'\

Äi

Ti Ci d₂ /

Uwaga. Powyższe rozważanie nie uwzględnia wpływu ciężaru własnego konstrukcji, który to wpływ może być tak znaczny przy wielkich rozmiarach tejże, iż zupełnie wykluczy zastosowanie powyższego prostego rachunku.

11. Nowsze pojmowanie stopnia bezpieczeństwa czyli pewności. Siła wewnętrzna S pręta jako elementu konstrukcyjnego jest najczęściej sumą dwu części: stałej ćr, pochodzącej od ciężaru własnego konstrukcji i zmiennej P. Pierwsza jest ściśle określona, przynajmniej teoretycznie, wielkość zaś drugiej normuje się nieco dowolnie, biorąc pod uwagę rozmaite możliwe w przy-złości obciążenia zmienne ruchome i ich położenie. Zważywszy, że ciężar wsłasny zmienić się nie może, wystarczy zupełnie dla zapewnienia bezpieczeństwa konstrukcji postawić żądanie, aby dopiero przy w-krotnem obciążeniu zmiennem, przyjętem za podstawę obliczenia, osiągnęło naprężenie a wartość niebezpieczną onieb. Wyrażamy to równaniem :

G + n .P=F .anieb.

Tak pojmowana pewność n prowadzi do naprężeń bezpiecznych rosnących wraz z stosunkiem G : 7' podobnie jak się to praktykuje oddawna przy obliczaniu mostów na podstawie rozważań dynamicznego działania obciążeń ruchomych przy zwykłem dawnem pojmowaniu pewności. W samej rzeczy, naprężenie użytkowe pręta obliczonego przy pomocy powyższego wzoru będzie miało wartość :

• ®nieb>

G-\-nP

która dla G — O staje się

®nieb

-, a ze wzrostem G rośnie zdażajac do

n

granicy = snieb. Przytem wypada przyjąć jako cnieb granicę plastyczności сy

a dla n około 3. Jeżeli materjał nie ma granicy plastyczności, to zależnie od jego jakości za cnieb uznać wypadnie ³/₄, ²/₃ lub mniejszy ułamek doraźnej wytrzymałości. Bliższe ustalenie tego spółczynnika, jako też wartości n należy do działów specjalnych.

12. Zboczenia od prawa Hooke’a. Materjały takie jak żeliwo (żelazo lane), kamienie naturalne i sztuczne mają granicę proporcjonalności tak niską

er

(do kilku Icg/cm²), że przy obciążeniach praktykowanych w konstrukcjach technicznych objawiają dość znaczne zboczenia od prawa Hooke’a. Dlatego przyzwyczajono się nazywać te materjały „niepod-legającemi prawu Hooke’a“.

sprężystości

Fig. 125.

Linja wykresu odkształceń sprężystych przedstawia się dla wymienionych ma-terjałów jako krzywa zwrócona wypuk-łością ku osi naprężeń. Dla całego obszaru —- zmienności ciągnień i ciśnień ma ona kształt litery S (fig. 125) z punktem przegięcia wyższego rzędu w początku układu spółrzędnych. Powtarzane wielokrotnie próby ustawienia prawa ogólniejszego do prawa Hooke’a, któreby odpowiadało zachowaniu się powyższych materjałów, nie doprowadziły do pomyślnego wyniku. Jest to zrozumiałem wobec wielkiej zawiłości ich struktury. Te próby dały tylko szereg wzorów interpolacyjnych, z których najbardziej rozpowszechnionym jest t. zw. wzór potęgowy:

e = a . o”* •

a i m są tutaj stałemi charakterystycznemi dla materjału. Ten wzór odzwierciedla wcale dobrze zachowanie się materjału przy dość wielkich wartościach naprężeń, ale zupełnie zawodzi przy małych, wobec czego nie może mieć pretensji do miana „prawa“, którem go obdarzają liczne podręczniki.

W wielu przypadkach jest dogodniej opisać zboczenia materjału od prawa Hooke’a przez uogólnienie pojęcia modułu wydłużenia (spółczynnika sprężystości) i tak :

w punkcie (î, a) wykresu

YT

1. Wartość ilorazu różniczkowego

nazywamy modułem wydłużenia Ea odpowiadającym naprężeniu a (albo wydłużeniu s). Ponieważ ta wartość maleje ze wzrostem Paprężenia u wymienionych materjałów (u skóry rośnie), a ta zależność da się dość dokładnie przedstawić funkcją liujową, przeto możemy napisać :

Ea — E₀ — a . a,

przyczem E₀ jest modułem wydłużenia przy naprężeniach nieskończenie małych, zaś a liczhą stałą wyznaczoną również z danych doświadczalnych. Całkowanie powyższego równania daje:

E₀

a = (l — e~ a £)

przyczem e == 2,7182818

— nazywamy średnim modułem wydłużenia

Ei

2. Wartość ilorazu

<з₂ —

e2

między punktami (е1? Oj) i (e₂, a₂).

Zboczenia od prawa Hooke’a objawiają się nie tylko zmiennością modułu wydłużenia E, lecz także zmiennością liczby Poisson’a —, przyczem oczywiście traci swą ważność zasada superpozycji.

13. Praca odkształcenia i energja potencjalna wewnętrznych sił sprężystości. Skoro proste rozciąganie lub ściskanie pręta siłą osiową P (rosnącą bardzo powoli od zera) przedstawimy wykresem odmierzając jako odcięte całkowite wydłużenia pręta À, a jako rzędne odpowiadające siły, to pole zawarte między linją wykresu a spółrzędnemi punktu końcowego mierzy pracę siły P potrzebną do odkształcenia pręta, czyli jego pracę odkształcenia. Jeżeli odkształcenie jest doskonale sprężyste, to całkowita praca odkształcenia L nagromadza się w postaci energji potencjalnej wewnętrznych sił sprężystości czyli L—U.Z tego to powodu w literaturze technicznej, zwłaszcza niemieckiej, nie rozróżnia się zwykłe obu pojęć i używa dla obu tej samej nazwy: praca odkształcenia. Jeżeli jednak odkształcenie jest niezupełnie sprężyste, to L > U, a część pracy odkształcenia zużywa się na pokonanie tarcia wewnętrznego w materjale i zamienia się na ciepło oraz inne nieodwracalne formy energji.

Dzieląc prace odkształcenia jednorodnego przez objętość pręta otrzymujemy pracę odniesioną do jednostki objętości, czyli właściwą pracę odkształcenia. Właściwa praca odkształcenia potrzebna do przerwania pręta z danego materjału charakteryzuje wcale dobrze jego odporność na uderzenia i dlatego prof. L. Tetmajer zalecał wyznaczenie tej wielkości przy próbach rozrywania.

Ma t erj ał

Żelazo spawalne „ zlewne Miękka stal

Właściwa praca odkształcenia przy rozerwaniu

2—7 kgm/crn3 6-8

8 i więcej „

W granicach doskonałej sprężystości i ważności prawa Hooke’a określa energję potencjalną pręta o przekroju F i długości l, rozciąganego lub ściskanego siłą P do końcowej długości l ± X, oczywiście wyrażenie :

1Z!!_ L !eef

2 E F ~ 2 l

Dzieląc je przez objętość pręta F. I otrzymujemy właściwą pracę odkształcenia lub energję potencjalną jednostki objętości:

.    la²

•J

Л = — a £ = — — = —- ЕгК Z ./> z

Przy tychże samych założeniach przedstawia energję potencjalną jednostk objętości materjału w ogólnym stanie napięcia wyrażenie:

— (аж °x -j- Jy гу 4“ Gz -f- Txy txy -j- Tyz Чу z 4~ тгх Ex).

które po wyrażeniu e i у przez a i x albo odwrotnie przybiera postać:

albo :

GV

Y (e-* + zy +E )² +

+ \[т,/+ t„* + t<*!- <(*« •» + V« + '-*>)]}’

Można je także napisać w postaci:

przyczem :

л — \ + А/

I (ax + Gy + G,)²

oznacza samą energję odkształcenia objętościowego, zaś: m -|— 1 6 m E

samą energję odkształcenia postaciowego.

Dla całego ciała przedstawi energję odkształcenia wyrażenie:

U —J Л d V,

(~y — a*Y + (Gz — ~Jx)2Jr (°x — ayY + ⁶ 0V •+- V* + rxZ)

(D

w którem d V jest elementem objętości, a całkowicie rozciąga sią na całą objętość ciała.

W dwuwymiarowym stanie napięcia, który stanowi najczęściej podstawę obliczeń wytrzymałości, upraszczają się wyrażenia dla właściwej pracy odkształcenia do postaci: m —

m -f- 1

W (°* + ayY ’ Л/

A = 4 y(> + ^)4

m-1- 1

+ ^² + (^-^)² + ⁶^²;

14. Wytrzymałość na rozciąganie cienkich drutów i blach. U drutów ciągnionych z tego samego materjału okazuje się doraźna wytrzymałość mierzona ilorazem siły rozrywającej przez pole przekroju, zależną od grubości drutu d według empirycznego wzoru:

Kr~K+Y

Wartości stałych Kie przy pomiarze d w mm następująca tabliczka podług Karmarsch’a:

Kr w kg/cm² podaje

Rodzaj drutu

niewyparzony

wyżarzony

Zwykły drut żelazny

Drut stalowy.....

Drut miedziany . . . .

4580

2290

2870

6370

3500

2670

5730

640

380

960

2360

Wyjąwszy jednak bardzo cienkie druty i blachy można w przypadkach prostego rozciągania lub ściskania mierzyć wytężenie każdego materjału wartością naprężenia.

15. Wytężenie materjału przy ogólnym stanie napięcia. Teorje wytrzymałości. Inaczej ma się rzecz w przypadkach ogólnego dwu- lub trójwymiarowego stanu napięcia określonego naprężeniami głównemi cą, a₂, i n₃ (lub odpowiadającemi wydłużeniami głównemi e1? s₂> £з)- Badania doświadczalne A. Föppl’a i innych pouczają bowiem, że przy wszechstronnem równomiernem ściskaniu (ax = c₂ -= a₃ — p) materjału dostatecznie jednolitego nie zachodzi niebezpieczeństwo pęknięcia lub przekroczenia granicy sprężystości, nawet przy wartościach naprężenia przekraczających wielokrotnie Kc tegoż materjału. Wytrzymałość takiego materjału przy wszechstronnem równomiernem ciśnieniu jest przeto, praktycznie biorąc, nieograniczona. Już to samo dowodzi niezbicie, że sama wartość jednego z naprężeń głównych nie może być wogóle miarą wytężenia materjału, jak dawniej mylnie mniemano (hipoteza największego naprężenia). — Nie może nią być także wartość jednego (bezwzględnie największego) z wydłużeń głównych, jak się przyjmuje w bardzo rozpowszechnionej po dziś dzień hipotezie największego wydłużenia, bo według tej hipotezy doprowadziłoby wszechstronne ściskanie naprężeniem a do tej samej wartości wytężenia, co przy prostem ściskaniu, gdyby bezwzględna wartość tego ostatniego a₁ czyniła zadość warunkowi równych sprężystych wydłużeń w obu przypadkach.

Musiałoby wtedy być: Ej = •— == в — |l--j

nek Oj

, z czego wynika wanien Ponieważ dla najważniejszych materjałów konstrukcyjnych jest m > 3, przeto wypadałoby z powyższego warunku 5 > w- o, coby

znaczyło, że przy wszechstronnem ściskaniu jest wytężenie (mierzone wartością naprężenia) co najwyżej 3 razy mniejsze od wytężenia przy prostem ściskaniu z tą samą wartością naprężenia. Według doświadczeń jest to wytężenie przynajmniej kilkadziesiąt razy mniejsze, wobec czego nie może się ostać hipoteza największego wydłużenia, zakorzeniona niestety głęboko w podręcznikach i w umysłach inżynierów. Przy dzisiejszym stanie naukowego doświadczalnego badania wytrzymałości materjałów jest rzeczą pewną, że nie posiadamy jeszcze ogólnej teorji wytrzymałości dla wszelkich materjałów, któraby pozwalała na podstawie doświadczeń nad prostem rozciąganiem i ściskaniem obliczyć z góry wytężenie mateijału przy każdym układzie wartości trzech naprężeń głównych w ogólnym stanie napięcia. Atoli jedna z najstarszych hipotez wytrzymałościowych (Coulomb) a mianowicie hipoteza największego odkształcenia postaciowego, albo równoważna jej hipoteza największej różnicy naprężeń głównych, czyli inaczej hipoteza n aj większego naprężenia stycznego odpowiada dość dobrze zachowaniu się tak

Ki

ważnych technicznie plastycznych metali. Liczne doświadczenia zwłaszcza angielskich badaczy przy różnorodnych stanach napięcia wykazały, że osiągnięcie granicy plastyczności tego samego materjału zachodzi mniej więcej przy tej samej wartości największego naprężenia stycznego, albo co na jedno wychodzi przy tej samej największej różnicy naprężeń głównych. Ta hipoteza jest nadto w zgodzie z wspomnianemi doświadczeniami nad wszechstronnem ściskaniem materjałów kruchych i prowadzi jak zobaczymy do reguł i wzorów praktycznych prostszych od wynikających z hipotezy największego wydłużenia. Jest ona przytem szczególnym przypadkiem uniwersalnej teorji O. Mohra. Obecnie wszakże rywalizuje z nią skutecznie hipoteza największej pracy odkształcenia postaciowego (Huber), która również jest w zgodzie z doświadczeniami A. Föppl’a, a nadto z najnowszemi doświadczeniami amerykańskiemi, niemieckiemi i szwajcarskiemi.

Ocena wytężenia przy złożonym stanie napięcia u materjałów kruchych, jak żelazo lane i kamienie jest ściśle biorąc możebna tylko na podstawie bezpośrednich doświadczeń.

Zastosowanie teorji wytrzymałości do obliczenia wytężenia materjału przy złożonym stanie napięcia (określonym stosunkiem wartości trzech naprężeń głównych lub sześciu składowych stanu napięcia) polega na zastąpieniu tego stanu pomyślanem prostem rozciąganiem lub ściskaniem, któreby prowadziło do tego samego wytężenia. Obliczone w ten sposób naprężenie pomyślanego stanu nazywamy naprężeniem zredukowanem (sprowadzonem, idealnem, zastępczem) ared.

a) Stosując hipotezę największej różnicy naprężeń głównych mamy tedy:

'■'red *= CI GII cbezp)

jeżeli aj i aI£ oznaczają dwa z naprężeń głównych dobrane tak, by ich algebraiczna różnica miała największą wartość bezwzględną. Obliczenie wytężenia zapomocą naprężenia zredukowanego przedstawia się zatem bardzo prosto. Pewne praktyczne trudności wychodzą jednakże na jaw, gdy stan napięcia jest określony sześciu naprężeniami składowemi. Wówczas wypadałoby najpierw obliczyć naprężenia główne, co prowadzi w ogólnym przypadku do równania trzeciego stopnia. Te trudności odpadają przy zastosowaniu

ń)hipotezy największej pracy odkształcenia postaciowego. Wtedy bowiem

о²

red

— у[(°У~аа:)²+(а« ~ а*)² + (аж“а#)² + ⁶ (xlÿ+ Tj!* + TL)]— °bezp

dla najogólniejszego przypadku.

c) Zastosowanie hipotezy największego wydłużenia jest nie tylko mniej wygodne od obu poprzednich, ale co ważniejsze prowadzi w wielu przypadkach do rażącej niezgodności z doświadczeniami. Tą hipotezą należy przeto stanowczo porzucić. Mimo to podajemy tutaj jej wzory jużto dla wykazania ich błędności, już też z powodu ich wielkiego rozpowszechnienia w podręcznikach -y- zwłaszcza francuskich i niemieckich. Według tej hipotezy wypada:

"red = "I — — ("II + "III) = "bezp = k>

przyczem należy dobrać tak porządek naprężeń głównych "II * "III    wyrażenie miedzy znakami równości było bez

względnie biorąc największe.

Fig. 126.

16. Wytężenie plastycznych metali przy prostem ścinaniu (fig. 126). Jeżeli naprężeniem ścinającem jest t, to Oj = -f- t, o£I = — t, аш — 0. A zatem według (I) będzie ared — 2 t = fc,

czyli

*<-1

(31.1)

Według (II) wypada: Wreszcie według (III) :

3t2 = fc²,

czyli kt — 0,58 к ... . (81. II)

³red

= (i + —)т

\ m )

= k.

10

Przy m — (żelazo kowalne i stal) wypada stąd kt — 0,77 k.

Uwaga. Dawniejsze badania doświadczalne (1900—1910) popierały hipotezę I, nowsze amerykańskie (1920) i szwajcarskie (1926) przemawiają raczej na korzyść II; wszystkie są zgodne w tem, że hipoteza III daje wyniki średnio "o 40°/o za wielkie.

17. Wytężenie plastycznych metali przy prostem rozciąganiu lub ściskaniu w połączeniu ze ścinaniem.

(Fig. 127). Odpowiadające naprężenia główne określają według wzoru (ze str. 7) wyrażenia :

°I = Ya + Ył/°²~Hx2’

gii = Y ³ - y "V³* + ⁴ Л A zatem według (I) : or0d = Oj — ~Ll — "J/о² -f- 4 x², według (II):

zaś według (III):

³red = У³' + 3 X²,

m — 1

Fig. 127.

ю —j— 1

2 m

przyczem znak — drugiego wyrazu obowiązuje wtedy gdy o jest ujemne.

Uwaga. Bach, który dawno dostrzegł niezgodność z doświadczeniami wzorów opartych na hipotezie największego wydłużenia (III), położył to błędnie na karb zboczeń materjału od równokierunkowości i „poprawił¹ wzór ostatni mnożąc г spółczynnikiem a0 zależnym od stosunku wydłużenia bezpiecznego przy prostem rozciąganiu lub ściskaniu do takiegoż wydłużenia przy prostem ścinaniu. Tak „poprawiony“ i „uzupełniony“ wzór stosują bezkrytycznie nawet do materjałów kruchych niemal wszystkie podręczniki niemieckie z ostatnich lat trzydziestu.

^red

"J/a² -j- 4 a²,

18. Wnioski o stanie napięcia z pęknięć w miejscach niebezpiecznych. Takie wnioski są szczególnie ważne przy interpretacji doświadczeń i ekspertyzach z powodu sporów o bezpieczeństwo nowej budowli albo z powodu katastrof budowlanych grożących lub zaszłych. O stanie napie ' w elemencie konstrukcyjnym nienadwereżonym można coś pewnego wnioskować tylko z pierwszych zaledwie dostrzegalnych rys i pęknięć, a nie z powierzchni odłamu po katastrofie, albowiem z chwilą powstania pierwszych rys zmienia się stan napięcia w otoczeniu zagrożonego miejsca tak znacznie, że dalsze pęknięcia nie odpowiadają już pierwotnemu rozmieszczeniu prężeń. Dostateczna jednolitość i równokierunkowość materjału (oczywiście kruchego) jest drugim koniecznym warunkiem pewności wniosku. Przy chowaniu tych warunków jest pęknięcie prawie zawsze prostopadłe do kierunku głównego ciągnienia, a równoległe do głównego ciśnienia (w dwuwymiarowym stanie napięcia).

cia

na-

za-

Odstępstwa od tego prawidła zachodzą tylko wskutek choćby miejscowych nierówno-kierutikowości (drewno, walcowane żelazo spawalne) lub niejednolitości (sęki w drewnie, wyjątkowo twarde kamyki w betonie itp.). Na dowód można przytoczyć'mnóstwo doświadczeń laboratoryjnych należycie interpretowanych. Ta interpretacja była niestety mylna nawet u wybitnych inżynierów-badaczy przy doświadczeniach nad ściskaniem i t. zw. ścinaniem, wskutek czego rozpowszechniło się mniemanie, że w tych przypadkach zachodzi zawsze pęknięcie w płaszczyźnie największych naprężeń stycznych. Do tego błędu przyczyniła się niewątpliwie okoliczność, że po zupełnem pęknięciu w pewnym przekroju zostaje badane ciało podzielone na dwie części, przyczem z reguły zachodzi zaburzenie

równowagi, które prowadzi często do dostrzegalnego względnego przesunięcia obu tych części wzdłuż powierzchni pęknięcia.¹)

Pamiętając o tem, że na swobodnej powierzchni ciała jest stan napięcia (z pominięciem nieznacznego wpływu ciśnienia atmosferycznego) zawsze dwuwymiarowy, możemy ustalić następujące praktyczne reguły : Początkowe drobne rysy w materjale kruchym, dostatecznie jednolitym i równokierun-kowym, wskazują tylko kierunki naprężeń głównych, wszelako nie pozwalają jeszcze zawyrokować, które z nich jest ciągnieniem, a które ciśnieniem. Mogą bowiem zajść następujące przypadki: 1. Naprężenie prostopadłe do rysy jest ciągnieniem, a drugie również ciągnieniem, ale znacznie mniej-szem, albo ciśnieniem. 2. Naprężenie główne w kierunku rysy jest ciśnieniem a drugie również ciśnieniem, ale znacznie mniejszem. 3. Obydwa naprężenia są równemi ciągnieniami.

19. Wytrzymałość materjału a wytrzymałość elementu konstrukcyjnego. Stan napięcia w elemencie konstrukcyjnym zależy od jego sił zewnętrznych (tj. obciążeń i reakcyj). Gdy dane siły zewnętrzne bez zmiany linij działania rosną proporcjonalnie, to wywołane niemi naprężenia rosną również proporcjonalnie, ale tylko wtedy, gdy:

1.    nie przekroczono granicy proporcjonalności w materjale,

2.    gdy powstające odkształcenia nie wpływają w godny uwagi sposób na ramiona momentów danych obciążeń względem dowolnego punktu rozpatrywanego elementu konstrukcyjnego,

3.    gdy te odkształcenia nie powodują nowych punktów podparcia albo też zmian w wielkości powierzchni podparcia (wzgl. liczbie punktów podparcia).

Skoro te wszystkie trzy warunki się spełniają, to odkształcenia (ugięcia itd.) elementu konstrukcyjnego, jako skutki obciążeń, podlegają zasadzie superpozycji. Przy niespełnieniu bodaj jednego z nich zasada ta traci ważność i jej stosowanie może prowadzić do grubych błędów. Atoli bez uwagi godnego błędu można z reguły stosować zasadę superpozycji aż do granicy plastyczności, gdy spełniają się warunki (2) i (3). Skoro obciążenia wzrosną- do wartości Pp przy której w pewnem miejscu osiąga materjał granicę plastyczności, to to obciążenie nazywamy obciążeniem niebezpieczuem. Obciążenie bezpieczne Pbezp będzie w powyższych warunkach mniejsze od /у w tym samym stosunku, w jakim stoi cbezi, do cy, da się przeto obliczyć teoretycznie, o ile znamy rozwiązanie odnośnego zadania teorji sprężystości. Zwiększając obciążenie stopniowo dalej dochodzimy zwykle do pewnego maximum Pw, przy którem pojawiają się uszkodzenia prowadzące po krótkim czasie nawet przy mniejszem obciążeniu do pęknięcia lub trwałego odkształcenia o niedozwolonej wielkości. To maximum obciążenia, jakie zniósł badany element konstrukcyjny, zwane obciążeniem łamiącem, określa wytrzymałość tego elementu. Niekiedy jednak można iść z obciążeniem znacznie powyżej wartości Pp ' odpowiadającej pierwszym uszkodzeniom i dopiero pod wływem P^p następuje zupełne wyczerpanie zdolności elementu do znoszenia obciążeń. Czy wówczas wytrzymałość elementu konstrukcyjnego określa się wartością Pp\ czy też Pp, to zależy od jego materjału i przeznaczenia. Wyjąwszy najprostszy przypadek rozciąganych prętów nie wystarcza wogóle do obliczenia z góry Pw samo rozwiązanie odnośnego zadania teorji sprężystości już z powodu niespełnienia warunku (1). Mimo to obliczają często Pw tak, jak gdyby prawo Hooke’a było ważne aż do granicy wytrzymałości i poprawiają otrzymany wzór wynikami bezpośrednich doświadczeń aż do złamania.

do kie-

Sposób ten daje wcale dobre przybliżenie tylko w przypadku małej plastyczności i małych zboczeń materjałn od prawa Hooke’a. W każdym razie obliczone „teoretycznie“ P jest zawsze mniejsze od rzeczywistego, a różnica rośnie bardzo ze zdolnością materjału do odkształceń trwałych. Wszystko to odnosi się przedewszystkiem do wytrzymałości doraźnej, a więc do przypadków stałego obciążenia. Ponieważ obciążenia częstozmienne obniżają granicę wytrzymałości plastycznych metali nawet poniżej granicy plastyczności, przeto w przypadkach takich obciążeń (zwłaszcza w elementach maszynowych) mogą rozwiązania teorji sprężystości w połączeniu z teorją wytrzymałości dostarczyć bardzo dokładnych wartości obciążeń łamiących co wysoko podnosi ich praktyczną wartość.

20. Wpływ czasu na objawy sprężystości i wytrzymałości materjału. Ten wpływ zaznacza się bądź to bezpośrednio, bądź też pośrednio. Bezpośredni wpływ czasu polega na tern, że odkształcenia nawet sprężyste, przy niezmiennem obciążeniu rosną z biegiem czasu, aczkolwiek nadzwyczaj powolnie i nieznacznie. Podobnież po zniesieniu obciążenia znika zaraz nie całe sprężyste odkształcenie, lecz pozostaje pewna drobna część, malejąca coraz wolniej z upływem czasu. Te objawy, znane od dawna pod nazwą opóźnienia sprężystego, występują wyjątkowo wyraźnie u materjałów organicznego pochodzenia jak drewno, skóra itp., a nadto u szkła, kamieni i niektórych metali mniejszego technicznego znaczenia.

Nader ważnym rodzajem pośredniego wpływu czasu jest twardnienie (Verfestigung, écrouissage) plastycznych metali, a w szczególności żelaza kowal-nego i stali. Ten objaw polega na tem, że kiedy naprężenie przekraczające niezbyt wiele granicę plastyczności działa przez dłuższy czas bez zmiany, to ponowne doraźne badanie materjału wykazuje większe o , cy i Kr, a mniejsze <p i niż w stanie pierwotnym. Krótko mówiąc, zwiększa się wytrzymałość materjału, a zmniejsza jego plastyczność. To samo zachodzi, gdy po jednorazowem przekroczeniu granicy plastyczności pozwolimy materjałowi „wypocząć“ przez dłuższy czas. Stopień stwardnienia rośnie w tych samych zresztą warunkach z nadwyżką wywołującego je naprężenia ponad (niższą) granicę plastyczności. Stwardnienie działa korzystnie w przypadkach, w których naprężenie użytkowe materjału pozostaje tego samego znaku, co naprężenie stwardniające; natomiast niekorzystnie w razie przeciwnym, naj-niekorzystniej zaś, gdy zmienne naprężenie użytkowe waha ustawicznie między ciągnieniem a równem mu ciśnieniem.

Na zjawisko twardnienia rzucają pewne światło nowoczesne badania metalograficzne. Stwardnienie materjału, wywołane przekroczeniem granicy plastyczności przy t. zw. mechanicznej obróbce na zimno, da się usunąć przez wyżarzenie.

21. Wpływ ciepła. Ten wpływ może być również bezpośredni i pośredni. Bezpośredni objawia się przedewszystkiem zależnością stałych sprężystości i wytrzymałości materjału od temperatury, w jakiej dokonywamy badania. Z względów praktycznych wystarczy tutaj omówić wpływ temperatury na oy i K. Jest rzeczą jasną, że tak cy jak i К zdąża do zera, gdy temperatura (oczywiście jednakowo w całej próbce) zbliża się do temperatury topliwości materjału. Z tego jednakże nie wynika, aby wytrzymałość zmniejszała się stale z podwyżką temperatury ponad zwykłą (20° C). Wytrzymałość żelaza kowalnego rośnie zrazu z temperaturą choć nieznacznie i osiąga maximum przy cv> 250° C, poczem dopiero trwale maleje. Odwrotnie zachowuje się plastyczność. Obniżając zaś temperaturę (od 20° C), znaleziono mały wzrost doraźnej wytrzymałości i mniejszy ubytek plastyczności.

Kamienie naturalne i sztuczne nie były badane w analogiczny sposób, albowiem w praktyce objawia się wpływ ciepła na ich własności mechaniczne najczęściej pośrednio. Komin fabryczny pęka zewnątrz bynajmniej

nie z tego powodu, że jego materjał traci na wytrzymałości przy ogrzaniu od wewnątrz przez gazy spalinowe, lecz wskutek naprężeń termicznych, wywołanych różnicą temperatur wewnętrznej i zewnętrznej warstwy. Dzięki bardzo słabemu (w porównaniu do metali) przewodnictwu cieplnemu a wielkiej pojemności cieplnej tych materjałów przyjmują one nadzwyczajnie powoli temperaturę otoczenia i dlatego pożar uszkadza tylko powierzchownie ściany, stropy itp. z cegły, kamienia lub betonu nie niwecząc ich wytrzymałości i nie zagrażając umieszczonym wewnątrz (ewentualnie) wzmocnieniom z żelaza. Natomiast nie osłoniona ogniotrwałym materjałem konstrukcja żelazna nie wytrzymuje z reguły większego pożaru, gdyż wskutek silnego przewodnictwa i małej pojemności cieplnej przyjmuje w krótkim czasie nawskroś temperaturę niebezpieczną dla wytrzymałości materjału. (Pojemność cieplna konstrukcji murowanej lub betonowej przewyższa znacznie takąż pojemność odpowiadającej konstrukcji żelaznej nie tylko z powodu mniejszego ciepła właściwego, ale także z powodu większej objętości, a mniejszej powierzchni.)

Wyjątkowe stanowisko zajmuje drewno jako materjał wyróżniający się z pośród wszystkich innych stosowanych w konstrukcjach budowlanych palnością.

Co do wspomnianego już wyżej pośredniego wpływu ciepła na wytrzymałość elementów konstrukcyjnych por. ustęp p. t. „Napięcia termiczne“.

22. Inne wpływy. Nazwy, pod jakiemi znane są różnorodne materjały techniczne, nie określają ani ciał chemicznie czystych, ani też połączeń lub stopów o pewnym oznaczonym składzie. Np. przez żelazo zlewne rozumiemy materjał, otrzymany znanemi procesami hutniczemi, którego głównym składnikiem jest żelazo Fe, a który nadto zawieia jako istotny składnik 0,05 do 0,25°/o węgla C oprócz innych składników nieistotnych w postaci drobnych przymieszek, mających jednakże wpływ bądź to korzystny, bądź też niekorzystny na własności mechaniczne materjału. Stal zaś zlewna różni się . od żelaza zlewnego, i to tak pod względem technologicznym jak i chemicznym, jedynie większą zawartością węgla, która wynosi 0,25—1,6%. Zatem objawy sprężystości i wytrzymałości materjału są zależne w wysokim stopniu od jego składu chemicznego.

Wskutek procesu walcowania (wyciągania w druty) stają się metale materjałami nierównokierunkowemi i okazują Dieco różne stałe sprężystości i wytrzymałości przy linjowych stanach napięcia o osi równoległej lub prostopadłej do kierunku walcowania. Podobną nierównokierunkowość objawiają skały warstwowe w jeszcze silniejszym stopniu. Nawet beton ubijany okazuje nieco różną sprężystość i wytrzymałość przy obciążeniu prostopadłem do warstw, a równoległem do nich.

U odlewów metalowych i szkła rośnie wytrzymałość z szybkością osty-gania, ale zarazem maleje plastyczność (rośnie kruchość).

U drewna określonego typu botanicznego (np. sośnina) rośnie wytrzymałość z ciężarem właściwym, a maleje ze wzrostem wilgoci.

Szczególnie licznym wpływom podlega beton. Tu zaznaczymy tylko, że:

1.    Tak moduł wydłużenia sprężystego E jak i wytrzymałość przy prostem rozciąganiu lub ściskaniu rosną z wiekiem betonu (z początku szybko, później coraz wolniej) zdążając asymptotycznie do pewnej granicy, którą osiągają zapewne dopiero po więcej jak 6-u latach, tj. dopóki trwa złożony proces tężenia betonu.

2.    W tych samych zresztą warunkach jest wytrzymałość betonu na proste rozciąganie lub ściskanie tem mniejsza, im większe są rozmiary badanego ciała (przy zachowaniu reguły podobieństwa Barba’y i Kick’a). Główna przyczyna tego zjawiska (przypominającego zachowanie się cienkich drutów) tkwi prawdopodobnie w tem, że proces tężenia większych brył betonu odbywa się powolniej, aniżeli mniejszych.

Uwaga. Wszystkie powyżej omawiane wpływy na wytrzymałość przy prostem rozciąganiu lub ściskaniu odnoszą się do wytrzymałości materjału. Do wytrzymałości ciała (elementu konstrukcyjnego) można je odnieść tylko wtedy, gdy siły zewnętrzne wywołują w niem z dostateczną dokładnością linjowy stan napięcia i odkształcenia. O ile jednak łatwo taki stan zrealizować w doświadczeniach nad prostem rozciąganiem, stosując pręty próbne dostatecznie długie w stosunku do grubości, ażeby wielce złożony stan napięcia w miejscach przeniesienia sił zewnętrznych (tj. w głowach) nie wpływał w dostrzegalny sposób na jednorodność stanu napięcia i odkształcenia w badanej środkowej walcowej części pręta; o tyle trudno to osiągnąć w przypadku ściskania, albowiem ze wzrostem długości rośnie szybko niebezpieczeństwo wyboczenia i wskutek tego przestaje się spełniać drugi z warunków rozpatrywanych w ust. 19.

Według badania PrandtPa i Binne’go można wywołać w środkowej walcowej części (fig. 128) ściskanego próbnego słupka bardzo dokładnie linjowy stan napięcia i otrzymać wartości (naprężeń zgniatających) niezależne od jego wysokości, jeżeli 1. część walcowa choćby bardzo krótka przechodzi łagodnie w znacznie rozszerzone i dość długie głowy, a zarazem 2. długość tej części nie przekracza 2- do 3-kro-tnej grubości.

28. Wytrzymałość ciał pryzmatycznych o małej smu-kłości przy osiowem ściskaniu. W doświadczalniach technicznych używa się tradycyjnie ciał próbnych kształtu graniastosłupów lub walców o wysokości niewiele większej od grubości i wywiera nacisk na dwie równoległe podstawy za pośrednictwem stalowych płyt prasy hydraulicznej itp. Wskutek ograniczenia swobody szerzenia poprzecznego podstaw przez tarcie między niemi a płytami ściskajacemi jest stan napięcia w takiem ciele bardzo skomplikowany. Poznajemy to odrazu po beczułkowatej postaci ściśniętego niskiego walca. Wobec tego iloraz siły zgniatającej Pw przez pierwotne pole przekroju F nie określa wytrzymałości materjału, lecz wytrzymałość ciała odniesioną do jednostki pola przekroju i nic dziwnego, że ta wytrzymałość okazała się zależną od stosunku wymiarów. Wyniki doświadczeń oddaje dość dokładnie empiryczny wzór Bau-schinger’a o postaci:

roz-

LA

TÏÏÏÏT

Fig. 128.

P,

f — u

przyczem a i ß są stałemi materjału, podanemi w poniżej umieszczonej tablicy, F polem, u obwodem przekroju poprzecznego podstawy, zaś h wysokością.

Materjał

Kierunek nacisku względem płaszczyzny uwarstwienia

Badacz

Piaskowiec szwajcarski .....

Piaskowiec pstry . Piaskowiec z Heil-tbronn . . . . . Żeliwo.....

prostopadle

równolegle

310

346

262

358

5480

320

118

895

I Bauschinger

Bach

Praktyczne znaczenie tych wyników jest niewielkie. Nieco ważniejsze są wyniki doświadczeń, w których nacisk przenosił się z jednej strony tylko na pewną cześć podstawy słupa o wielkości Fx < F, z drugiej zaś na całą podstawę. Wtedy stan napięcia jest również bardzo zawiły i nie dopuszcza ścisłego rozwiązania teoretycznego. Doświadczenia Bauschinger’a i Bach’a

z sześcianami kamiennemi w granicach = 1 do 20 dadzą sie ująć we wzór empiryczny:

Pw

przyczem Kk oznacza t. zw. wytrzymałość kostkową, otrzymaną przy zwykłem zgniataniu kostek między stalowemi płytami ściskającemi. Kk jest oczywiście spółczynnikiem wytrzymałości ciała (kostki) a nie wytrzymałością materjału, Kc, która będzie zawsze mniejsza od Kk. Ponieważ stosunek K₍ : Kk można w przybliżeniu uważać dla danego materjału za stały, przeto przyjęto od dawna wytrzymałość kostkową za praktyczną miarę porównawczą wytrzymałości materjałów kruchych.

na polu Fv <. F jest

S.

się

Obliczone z powyższego wzoru średnie ciśnienie widocznie większe od Kk% Ze stanowiska teorji spręż; to ciśnieniami poprzecznemi w elementach leżących na linjach działania nacisku na pole F Te ciśnienia poprzeczne powstać muszą wskutek zapory, jaką stawia rozszerzeniu poprzecznemu materjał leżący zewnątrz F,. One będą tem większe w stosunku do ciśnień podłużnych, im większe jest F wobec Ft.

Natomiast wartość stosunku Pw : F wypada z powyższego wzoru mniejsza od Kk, co było również do przewidzenia.

Wniosek praktyczny: Ciśnienie dopuszczalne między płytą łożyskową o polu F₁ a ciosem o polu przekroju F może być większe w stosunku

l³/ F

I/ -p- od dopuszczalnego ciśnienia materjału ciosu przy równej pewności.

-f- а. .1. t = 0 a stąd : o = — a Et.

(Wzór ważny do granicy proporcjonalności materjału i przy stałej wartości termicznego spółczynnika wydłużenia a.)

Obliczona w powyższym przykładzie wartość naprężenia termicznego jest oczywiście wyższą granicą wartości rzeczywistej, albowiem zupełne ustalenie zachodzi w praktyce tylko z większem lub mniejszem przybliżeniem.

Inne technicznie ważne przypadki będą rozpatrywane w zagadnieniach dotyczących belek, łuków, kratownic itp.

25. Naprężenia pierwotne, odlewnicze, skurczowe i zestawcze (montażowe). Elementy konstrukcyjne są nie zawsze ciałami pozbawionemi naprężeń w stanie naturalnym (tj. bez sił zewnętrznych), jak się to zwykle

24. Naprężenia termiczne. Równomierne ogrzanie lub oziębienie ciała swobodnego wywołuje jego odkształcenie objętościowe, podobnie jak wszechstronne równomierne rozciąganie lub ściskanie. Gdy ciało jest nieswobodne, a ograniczenie swobody tego rodzaju, że rozszerzenie lub skurczenie wywołane zmianą temperatury jest utrudnione lub uniemożliwione, to muszą powstać siły zewnętrzne (reakcje) i napięcia zwane termicznemi. Naprężenia termiczne mogą powstać w ciele swobodnem wskutek częściowego, miejscowego ogrzania. One to wywołują np. pękanie szklanki ogrzanej od wnętrza przez wlanie gorącego płynu. W konstrukcjach budowlanych liczymy się częściej z naprężeniami termicznemi przy równomiernej zmianie temperatury uwarunkowanemi sposobem ustalenia konstrukcji. Najprostszym przykładem jest pręt o stałym przekroju i zupełnie ustalonych punktach końcowych osi długości l. Skoro ten pręt osadzono przy pewnej temperaturze, to wydłużenie termiczne wywołane podwyższeniem temperatury o t° byłoby = a. I. t, jeżeli a jest spółczynnikiem tego wydłużenia. Ponieważ to wydłużenie jest zniesione naprężeniem termicznem a, a odpowiadające temu naprężeniu wy-о. Z

dłużenie sprężyste = —, przeto

przyjmuje w teorji sprężystości. Niekiedy procesy technologiczne, jakim podlegał materjał przy wytwarzaniu elementu, pozostawiają wyraźny ślad w postaci naprężeń pierwotnych (samonaprężeń). Powstają one zwłaszcza przy obróbce na zimno metali (doświadczenia Heyna, 1У11—1914), albo przy ostyganiu odlewów. W tym drugim przypadku noszą nazwę naprężeń odlewniczych. W pierwszym przypadku są samonaprężenia wywołane zjawiskiem twardnienia i można je usunąć przez wyżarzenie, w drugim zaś powstają przez krzepnięcie i kurczenie kolejno ostygających najpierw warstw zewnętrznych, a potem wewnętrznych. W obu wypadkach powstają ciągnienia w warstwach zewnętrznych, a ciśnienia wewnątrz ciała, które przy obciążaniu go składają się z naprężeniami obliczonemi przez teorję sprężystości w obrębie ważności prawa Hooke’a, a zatem wpływają niekorzystnie na wytrzymałość ciała.

Naprężenia skurczowe występują w drewnie i w betonie. W drewnie powstają one wskutek procesu wysychania, przy którym ten materjał się kurczy najsłabiej w kierunku równoległym do włókien, najsilniej zaś w kierunku prostopadłym do włókien, a zarazem stycznym do słojów.

W betonie powstają naprężenia skurczowe wskutek procesu tężenia (krzepnięcia). Tężejąc na powietrzu beton się kurczy i skoro temu stoi na przeszkodzie, czy to sposób podparcia, czy też wzmacniające pręty żelazne, to w nim powstaną w najprostszych przypadkach ciągnienia doprowadzające nawet do pęknięć. Tężejąc zaś pod wodą beton pęcznieje, co wywołuje w tych samych przypadkach daleko mniej szkodliwe ciśnienia.

Wpływ skurczenia betonu na odpowiadające mu naprężenia jest oczywiście równoważny wpływowi stosownie dobranego obniżenia temperatury i dlatego np. niemieckie przepisy żelbetowe z r. 1916 zalecają uwzględnianie poprzedniego wpływu przez przyjęcie w obliczeniu równoważnej obniżki temperatury o 15° C, przy średniej wartości spółczynnika termicznego wydłużenia a = 0,00001 (na 1° C).

Nakoniec naprężenia zestawcze mogą być zamierzone lub przypadkowe. Pierwsze, zwane także „sztucznemi“, są z góry dane i mają ostatecznie na celu korzyści gospodarcze ; natomiast drugie, wywołane błędami wykonania, są z reguły szkodliwe.

Przykładem pierwszego rodzaju naprężeń zestawczych są naprężenia w śrubach żelaznych, ściągających poprzecznie drewnianą belkę kratową Iłowe’a, albo naprężenia w ścięgnach belek wzmocnionych, na jakich zwykle opierają konstrukcję długich wagonów kolejowych. Przykładem drugiego rodzaju tych naprężeń jest pręt ^zbyteczny“ belki kratowej, mający łączyć dwa dane węzły już ustalone w układzie głównym (statycznie wyznaczalnym), który to pręt jest wskutek niedokładności wykonania (wiercenia dziur na nity itp.) nieco za krótki albo za długi. Aby połączenie wykonać, trzeba go nieco rozciągnąć lub ścisnąć, wskutek czego w obu przypadkach powstaną naprężenia zestawcze w całej kratownicy, które się dodają algebraicznie do naprężeń wywołanych obciążeniem.

26. Zasada de Saint-Vénant’a. Warunki krańcowe technicznych zagadnień teorji sprężystości są zwykle tak złożone i nieuchwytne, że nawet przy uproszczonym do możliwych granic modelu elementu konstrukcyjnego nader trudno znaleźć całkiem dokładnie stan napięcia i odkształcenia przez rozwiązanie równań różniczkowych teorji. To jednakże nie przeszkodziło rozwiązaniu ogromnej liczby zadań technicznego znaczenia z wystarczającem przybliżeniem nawet bez uciekania się do owych równań różniczkowych dzięki pewnej własności rozwiązań ścisłych, którą sformułował ogólnie de Saint-Venant. Tę własność objaśni najlepiej przykład następujący. Na górną podstawę słupa wywieramy w środku osiowy nacisk P, raz za pośrednictwem bardzo sztywnej płyty nakrywającej cały przekrój F, drugi raz za pośrednictwem podobnej płyty o polu Fx < F, trzeci raz za pośrednictwem

niewielkiej stalowej kuli. (Fig. 129.) W każdym z tych trzech przypadków otrzymujemy oczywiście w górnym końcu słupa bardzo różne stany napięcia, ale obserwując odkształcenia w przekroju odległym od górnego np. o l,5oi do 2(2 (jeżeli d oznacza największy wymiar przekroju), zauważymy już różnice bardzo małe. W tych przekrojach jest rozkład ciśnień praktycznie jednakowy i równomierny we wszystkich trzech przypadkach.

Jl

\p \p ±3 J±L

Uogólniając to można wyrazić zasadę de Saint-Yénant’a w następującej postaci:

ШШ

Jeżeli na pewien obszar ciała sprężystego w równowadze działamy kolejno rozmaicie rozmieszczonemu ale statycznie równoważnemi układami sił zewnętrznych (obciążeń), to w odległości od obszaru, przekraczającej dość znacznie 'jego rozmiary, powstają praktycznie jednakowe stany napięcia.

**•(]-**

[B]

«-{/-o*

Fig. 129.

Fig. 130.

O stanie napięcia i odkształcenia w przekroju dość odległym od miejsc bezpośrednio obciążonych decyduje przeto w pierwszym rzędzie tylko wypadkowa R i ogólny moment 9)1 wszystkich sił zewnętrznych, działających na część ciała tym przekrojem odciętą. (Biorąc zamiast tej części drugą, pozostałą, otrzymujemy oczywiście, z powodu równowagi, wypadkową — R i moment — ЗЛ). Dzięki temu można posługując się zasadą superpozycji składać doświadczalnie sprawdzone przybliżone rozwiązania najprostszych zadań częściowych, aby otrzymać wystarczające dla praktyki rozwiązania bardzo wielu zadań złożonych.

27. Główne rodzaje wytrzymałości prętów czyli belek. Najbardziej rozpowszechnionym typem elementu konstrukcyjnego jest pręt czyli belka. Wyznaczywszy naprężenia normalne i styczne w każdym przekroju poprzecznym pręta, znajdujemy tem samem stan napięcia i odkształcenia całego pręta, co pozwala zwykle ocenić jego warunki sztywności, wytrzymałości i ekonomji. W tym celu sprowadzamy według prawideł statyki ciała sztywnego wszystkie siły. zewnętrzne, działające na część pręta odciętą danym przekrojem, do jego środka geometrycznego (środka ciężkości). Otrzymaną w ten sposób siłę R rozkładamy na siłę normalną N i styczną T do przekroju (fig. 130). Parę sił zaś rozkładamy również na parę leżącą w płaszczyźnie przekroju o momencie 9Лу (którego wektor jest normalny do przekroju) i parę w płaszczyźnie prostopadłej do przekroju o momencie SDÎyr (którego wektor leży w płaszczyźnie przekroju).

Siłę W jako działającą wzdłuż osi pręta nazywamy siłą podłużną [roz-ciągającą (-)-) lub ściskającą (—)], Psiłą poprzeczną, ЗЛ^у momentem skręcającym,    momentem zginającym. Mówimy, że pręt jest

w rozpatrywanym przekroju F narażony tylko

I. i II. na (a) rozciąganie lub (b) ściskanie, gdy wszystkie siły zewnętrzne odciętej części I sprowadzają się do siły podłużnej N, skierowanej (a) od przekroju ku części odciętej I lub (b) od części I ku przekrojowi;

III.    na ścinanie, gdy wszystkie siły zewnętrzne odciętej części sprowadzają się do siły poprzecznej T\

IV.    na skręcanie, gdy wszystkie siły zewnętrzne odciętej części sprowadzają się do pary skręcającej, tj. pary sił leżącej w płaszczyźnie równoległej do przekroją F [moment tej pary nazywa się momentem skręcającym (momentem skręcenia)] ;

V.    na zginanie, gdy wszystkie siły zewnętrzne odciętej części sprowadzają się do pary zginającej, tj. pary sił leżącej w płaszczyźnie prostopadłej do przekroju F (czyli równoległej do osi pręta w danem miejscu). [Moment tej pary Шт nazywa się momentem zginającym (momentem zgięcia).]

W przypadku prętów prostych o stałym przekroju (pryzmatycznych) rozróżniamy stosownie do powyższych pięciu przypadków, tyleż głównych rodzajów wytrzymałości prętów. Jeżeli zaś pręt jest narażony jednocześnie na dwa lub więcej z powyższych sposobów obciążenia przekroju, to mówimy o złożonej wytrzymałości pręta. I tutaj odróżniamy doraźną wytrzymałość od wytrzymałości przy powtarzającem się lub przemiennem obciążeniu. Zależnie tedy od sposobu obciążenia pręta mówimy jak w ustępie 19. o obciążeniu rozrywającem, zgniatającem, a nadto o obciążeniu ścinającem, ukręcającem i łamiącem.

Przekrój, w którym zachodzi największe wytężenie materjału, nazywamy przekrojem niebezpiecznym.

II. Rozciąganie i ściskanie.

¹

) Niektórzy badacze rozróżniają pęknięcie wskutek „rozdarcia“ (prostopadłe runku wydłużeń głównych) i pęknięcie wskutek „poślizgu“ (w płaszczyźnie największych naprężeń stycznych), charakterystyczne dla kryształów.

28. Pręty proste narażone na rozciąganie lub ściskanie bez niebezpieczeństwa wyboczenia (fig. 130 a). Ogólny typ wzorów do obliczenia (wzory podstawowe) :

I.    naprężenie a przy danem obciążeniu F przekroju o polu F:

P

°~~F.....

II.    potrzebne pole przekroju przy danem obciążeniu i danej wartości naprężenia bezpiecznego :

Rig. 130 a.

II

r-i

III.    obciążenie bezpieczne przekroju przy danem polu F i danej wartości naprężenia bezpiecznego materjału:

III

^bezp — F.h

a) Pręty proste o stałym przekroju. 1. Jeżeli siły zewnętrzne działają tylko na przekroje końcowe, to przy najprostszem założeniu ich równomiernego rozkładu na tych przekrojach mamy do czynienia z jednakowym we wszystkich przekrojach linjowym stanem napięcia, a zatem obowiązują wzory podstawowe (I, II, III). Chcąc nadto obliczyć całkowite wydłużenie sprężyste pręta o długości pierwotnej l, zastosujemy do granicy proporcjonalności wzór:

P.l

EF'

2. Uwzględniając ciężar własny pręta wiszącego lub stojącego pionowo (fig, 131) widzimy, że przekrojem niebezpiecznym jest ten przekrój końcowy, w którym sumuje się obciążenie siłą zewnętrzną P z obciążeniem własnym ciężarem G . A zatem :

P+G

®raa X

Przy projektowaniu jest nieznanem F, a więc i G = F Л . у \у ciężar właściwy materjału). Wstawiwszy to we wzór (I) i zastąpiwszy smax przez k, otrzymujemy:

\P+G

\P

a zarazem:

(II)

1°

Iе

Z ostatniego równania widać, że jeżeli długość pręta к

l = —, to pręt może bezpiecznie dźwigać tylko ciężar

własny. Podstawiając zamiast к doraźną wytrzymałość Kr, względnie Kc? otrzymujemy t. zw. długość zerwania

Kr    ,    .    . Hc

lr — —? albo wysokość zgniecenia lc = —. !    Y    T

\P

Fig. 331.

Pręt czyni zadość warunkowi ekonomji, jeżeli jego koszt CFI у jest mniejszy od kosztu C'F'ly' pręta z każdego innego materjału (C jest ceną jednostki ciężaru pierwszego, C drugiego materjału). A zatem:

CPly

к — yl

C PI y' k — ifV

czyli —г <

I ft-

TT

jest warunkiem gospodarczej wyższości pręta pierwszego nad drugim (kreskowanym).

Sprężyste wydłużenie pręta

Al

P.l , 1 G.l

(P+ ₂ G) E F

3. Jeżeli pręt jest zbudowany symetrycznie z dwu materjałów (np. beton i żelazo), to z warunku równego wydłużenia obu materjałów wynika, że naprężenia w tym samym przekroju są wprost proporcjonalne względem modułów wydłużenia Éb i Eé tychże materjałów. Gdy zatem oznaczymy stosunek Ef. E-t) = n, to naprężenie w materjale b (betonie) określi wzór:

a w materjale z (żelazo) aź

EF ^ 2 EF

F + nf

F+nf

przyczem F oznacza przekrój materjału ó, a f materjału z.

Uwaga. Z powodu wielkich zboczeń betonu od prawa Hooke’a rośnie stogunek n z wartością naprężenia, wskutek czego coraz większa część obciążenia przenosi się na żelazo.

Ъ) Pręty proste o przekroju zmiennym. Przy łagodnie zmiennym przekroju możemy zawsze bez wielkiego błędu stosować wzory podstawowe prętów o stałym przekroju, albowiem rozkład naprężeń normalnych w każdym przekroju różni się niewiele od równomiernego, a powstające dodatkowe naprężenia styczne są bardzo małe. W przypadku działania sił zewnętrznych tylko na przekroje końcowe jest niebezpiecznym przekrój najmniejszy F0 i ten przekrój bierzemy w rachubę.

Przy ostrych zmianach przekroją jest rozkład naprężeń aż do granicy sprężystości wysoce nierównomierny i największe naprężenie (na konturze przekroju) przewyższa nieraz wielokrotnie średnią wartość naprężenia. Po przekroczeniu granicy sprężystości, a zwłaszcza po przekroczeniu granicy plastyczności wyrównywują się naprężenia tem bardziej, im materjał jest plastyczniejszy. Dlatego w przypadku stałego obciążenia prętów z żelaza kowalnego, miękkiej stali, miedzi itp. można obliczenia wytrzymałości wykonywać ze względu na przekrój niebezpieczny F₀, tak jak gdyby pręt miał przekrój F₀ na całej długości. Doświadczenia pouczają nawet, że wytrzymałość doraźna pręta okrągłego o przekroju F, który pomniejszono lokalnie do wartości F₀ przez wytoczenie dokoła żłobka, jest większa od wytrzymałości pręta walcowego o przekroju F₀. To się tłumaczy utrudnieniem poprzecznego zwężenia po przekroczeniu granicy plastyczności przez materjał sąsiednich grubszych części pręta.

e.

i-

W przypadku obciążeń przemiennych wytrzymałość prętów o lokalnie zmniejszonym przekroju F₀ okazuje się z doświadczeń mniejszą od wytrzymałości pręta walcowego tegoż przekroju. Różnica zaś jest tem większa, im ostrzejsze są zmiany przekroju. Przez miejscowe osłabienie przekroju zmniejsza się wytrzymałość prętów z plastycznych metali przy obciążeniu przemiennem w tym samym prawie stosunku, co doraźna wytrzymałość prętów tego samego kształtu z ma-yr    /    у terjału kruchego (np.

Przy uwzględnieniu ciężaru własnego jest zmienność przekroju podyktowana niekiedy warunkiem ekonomji. Najmniejszy ciężar własny będzie wtedy, gdy w każdym przekroju zachodzi ta sama pewność przeciwko osiągnięciu granicy plastyczności, względnie granicy wytrzymałości. Taką postać pręta miernej wytrzymałości (fig. 132) określa równanie

~ шшш azkia)- *)

Fig. 133.

Fig. 132.

o rowno-

F = F₀ek ,

Г

— oznacza przekrój obciążony siłą P, к naprężenie bez-

±x

w którem F₀ -

pieczne, у ciężar właściwy materjału, a F przekrój w odległości x od F₀.

29. Naprężenia w cienkich ścianach naczyń. Jeżeli grubość ściany 8 jest mała wobec rozmiarów naczynia i promieni krzywizny powierzchni środkowej (tj. połowiącej wszędzie grubość 8), to przy zwykle obieranych kształtach tej powierzchni można pominąć zmianę jej postaci i przyjąć równomierny rozkład naprężeń przez całą grubość ściany.

Przy założeniu, że ta powierzchnia jest obrotową i obciążoną od wewnątrz ciśnieniem gazu lub płynu p (kg/cm²), znajdujemy z warunków równowagi elementu (fig. 133), wyciętego dwoma nieskończenie bliskiemi przekrojami południkowemi i takiemiź przekrojami do nich prostopadłemi :

Pl

<%_ ^ P_

p2

!) A. Föppl, „Mitteil, aus d. mech.-techn. Labor.“, München, Heft 31.

■*

Fig. 135.

Tutaj oznacza:

Oj naprężenie równoleżnikowe, normalne do płaszczyzny południkowej, (o kierunku stycznym do równoleżnika), ff₂ napręż enie południków e,tj. działające na przekrój normalny do południka, promień krzywizny tegoż przekroju,

przekroju południkowego.

P2

Szczególne przypadki:

a) Naczynie kuliste (a-i = a₂ = a, pi = p₂ = r)

p .r

6) Rura walcowa (fig. 134«) p₂ = oo, pt — r —

p.d

Ta“-

, jeżeli d oznacza średnicę.

p r

Naprężenie obwodowe <Jj = —g—

Do wyznaczenia naprężenia podłużnego a₂ służy warunek równowagi sił wewnętrznych w przekroju poprzecznym (fig. 1346) o wypadkowej ff₂.2 гк. a

-d-

■P

Fig. 134 a.

Fig. 134 b.

z siłami zewnętrznemi działającemi na część odciętą o wypadkowej г²кр. A zatem :

p d 4У-

30. Wytrzymałość ściskanych kul i wałków, o) Wskutek nacisku F na kulę o promieniu r, podpartą grubą płytą z tego samego materjału, odkształcają się oba ciała w miejscu stykania (fig. 135). Według ogólnego roz-

V-r

'//////////////z.

/(/{///////////,

Fig. 136.

wiązania odpowiadającego zadania teorji sprężystości zachodzi stykanie w bardzo płytkiej czaszy kulistej o promieniu konturu.

100

3 Pr

¥ ~~E~

(Rozwiązanie jest bardzo dokładne w granicach ważności prawa Hooke’a, o ile a jest dość małe w porównaniu do r, co się z reguły spełnia w praktycznych zastosowaniach).

Średnie ciśnienie w miejscu stykania ma zatem wartość

nv

Rozkład ciśnień wzdłuż średnicy koła stykania przedstawia się wykresem eliptycznym. Największe ciśnienie zachodzi przeto w środku i ma wartość bezwzględną :

li /3 E2

7 VI

Towarzyszą mu główne ciśnienia poprzeczne o tej samej wielkości:

o' =

h , л_)

\ 2    ' m ) Cmax

widocznie mało różniącej się od omax. W materjale nieściśliwym (m = 2)

/ 10 \

byłoby nawet or = amax. Dla stali I m — I wypada o' = 0,8 amax. Doświadczenie poucza, że ten punkt nie jest miejscem niebezpiecznem. Pęknięcie kruchego materjału zachodzi bowiem zawsze wzdłuż obwodu koła stykania. To dowodzi istnienia ciągnień w kierunku promienia lub ciśnień w kierunku obwodu, albo wreszcie jednego i drugiego. Teorja potwierdza to ostatnie i daje:

Cr 3 ( ¹ m ) a“ax)

°t 3 \ ¹ m) °max jako wartości ciągnienia w kierunku promienia ar i ciśnienia w kierunku

obwodu. W miejscu niebezpiecznem panuje zatem proste ścinanie. Odpowiadające wytężenie materjału, określone wartością are(j = 21 według hipotezy największego naprężenia stycznego obliczymy zatem z wzoru :

³ /

2 \ 1 / 3

-l°max= -J

3 71

1--

- Yß-

i \² • \ r² ’

albo :

ared=ß-l/

3/ p

-2

jeżeli ß ==[...] oznacza stałą wartość, zależną od sprężystych własności materjału. Stąd znajdujemy niebezpieczne obciążenie kuli:

Gnieb

zaś obciążenie bezpieczne przy »-krotnej pewności

p _ 1 °nieb ,₂

^bezp — — • JßF

Jnieb

Okazuje się, że obciążenie bezpieczne jest (w rozpatrywanym prostym przypadku) proporcjonalne względem kwadratu średnicy kuli i sześcianu wytrzymałości materjału.¹)

W przypadku stali jako materjału kuli i płyty można przyjąć średnio 4 ß³ = 12.10e kg² .cm~¹ (E = 2 120 000 kg/cm², m = 3). A zatem:

d² = — Cd².

Pb

ezp

n 12.10⁹

Wartość onieb waha się dla stali zlewnej od 5000 do 20 000 kg/cm². Odpowiadająca wartość C — 10, 4 do 667 kg/cm². Zgodnie z tern dały bezpośrednie doświadczenia Stribeck'a z kulami z twardej stali jako wartość obciążenia, przy którem zachodzi pekniecie dokoła powierzchni stykania P=bb0d² do 700 d².

b) Przy przyciskaniu wałka do płyty z tego samego mateijału (fig. 136) zachodzi według rozwiązania teorji sprężystości zetknięcie powierzchnią paska o szerokości :

26 =

Średnie ciśnienie na pasek stykania jest:

Miejsce niebezpieczne leży na linji środkowej paska. Odpowiadające ciśnienie (w kierunku siły P) ma wartość bezwzględną

✓ -i

Taką samą wartość ma ciśnienie poprzeczne w przekroju podłużnym wałka; ciśnienie zaś ox w przekroju poprzecznym walka, tj. ciśnienie podłużne ma wartość :

'max-

A zatem wytężenie materjału według hipotezy największego naprężenia ścinającego :

Jred Gmax c f 1 — — ) Jmax

czyli

■‘red =

m²

jeżeli ß = [...] oznacza znowu stałą materjału. Wstawiwszy "niel) zamiast °red * rozwiązawszy względem P mamy:

^nieb =

21 .r

³nieb

ß²

zaś przy w-krotnej pewności i d = 2 r :

^bezp

Id.

Powyższy wzór wyraża, że obciążenie bezpieczne wałka przyciskanego do płyty z tego samego materjału jest proporcjonalne względem pola l d przekroju osiowego wałka i względem kwadratu wytrzymałości materjału. Skoro np. materjałem jest odlew stalowy (łożyska belek mostowych), to

10

przyjąwszy m —    , E = 2 150 000 kg/cm², znajdziemy :

ß² = 12.10⁴,

^nieb

n 12.10*

A zatem dla enieb = Kr = 3500 do 5000 kg/cm² mamy: C — 102 do 208 kg/km².

czyli

• ld = — • C.l.d.

Uwaga. W obu powyższych przypadkach jest Pnjeb znacznie mniejsze od tej wartości doraźnego obciążenia, przy której kula lub wałek pęka w płaszczyźnie średnicowej przechodzącej przez kierunek siły, rozpadając się przytem na dwie części. Takie pęknięcie zachodzi oczywiście tylko przy dostatecznie małej plastyczności materjału (czyli znacznej kruchości). Odpowiadające obciążenie (zgniatające) jest np. według doświadczeń Stribecka z kulami stalowemi 6—10 razy większe od dającego się teoretycznie obliczyć Pnjeb, przy którem grozi tylko powierzchowne pęknięcie lub trwałe odkształcenie w najbliższej okolicy miejsca stykania. Dlatego przy stosowaniu powyższych wzorów do praktyki można stosownie do okoliczności zejść z wartością n nawet poniżej 2, tem bardziej, że rzeczywiste wytężenie materjału jest jeszcze nieco mniejsze od obliczonego na podstawie teorji sprężystości.

III. Ścinanie i skręcanie.

BI. Pręty proste, narażone głównie na ścinanie. Siła poprzeczna o stałej wartości nie może występować na skończonej długości pręta bez współudziału momentów zginających, atoli w jednym przekroju da się przypadek samej siły poprzecznej zrealizować przez dwustronne podparcie końców długiego pręta i obciążenie go w środkowej części dwiema siłami prostopadłemi P, «■—

P tworzącemi parę (fig. 137). Wówczas i _

w środkowym przekroju między siłami P, ',

A»—-

lh

dp

l—:?Ь— P

F panuje widocznie siła poprzeczna bez żadnego momentu zginającego, a pręt jest w tym przekroju narażony tylko na ścinanie. Nie jest to oczywiście proste ścinanie, albowiem rozkład naprężeń stycznych jest nierównomierny. W przypadku przekroju prostokątnego udało się ten rozkład wyznaczyć na drodze teoretycznej, przyczem się pokazało, że zależy on w znacznej mierze od względnej odległości przekroju od miejsca bezpośrednio obciążonego. Eozmieszczenie naprężeń stycznych w przekroju środkowym С C przedstawia wykres na fig. 137 dla różnych wartości stosunku b : h. To rozmieszczenie różni się znacznie od równomiernego, zwłaszcza przy małej wartości b : h. Przy rosnących wartościach b : h zdąża rozkład naprężeń

3

szybko do rozkładu parabolicznego z wartością tmax = — Tśred w połowie wy-

21

Fig. 137.

sokości przekroju.

Już z tego widać, że niebezpieczna wartość siły poprzecznej w danym przekroju pręta zależy nie tylko od jego rozmiarów i wytrzymałości mate-rjału, ale nadto od sposobu rozmieszczenia sił zewnętrznych. Im bardziej te siły są skoncentrowane w bezpośredniej bliskości przekroju, tem mniejszą się okazuje niebezpieczna wartość siły poprzecznej.

?P

Fig. 138.

( —y, I wyrażoną w kgjcm² nazywają mimo to

Z powodu praktycznych trudności nie wykonywa się w doświadczalniach technicznych prób ścinania według powyższego teoretycznego schematu, lecz np. dla betonu w sposób przedstawiony na fig. 138. Zakreskowane prostokąty przedstawiają stalowe tłoki (stemple), za których pośrednictwem wywieramy nacisk na górną i dolną powierzchnię krótkiej belki prostokątnej. W przekrojach AAiBB, w których nakoniec zachodzi pęknięcie, przy osiągnięciu przez P wartości krańcowej, panować musi obok siły poprzecznej o wielkości I\ także dość znaczny moment zginający, którego ramie jest tem większe, im szersze są (stemple) tłoki przenoszące na-p cisk P. Ten moment ma niewątpliwie największą wartość w przekroju środkowym C C, co zdradza się przy doświadczeniach pęknięciem w punkcie C, powstającem jeszcze przed pęknięciami w punktach А, А', В i B'. Te ostatnie zaś wskazują bynajmniej nie na kierunek naprężeń stycznych, jak to zwykle przyjmują, ale na kierunek zbyt wielkich ciśnień albo kierunek prostopadły do miejscowych niebezpiecznych ciągnień. Iloraz z krańcowej wartości Pw siły P przez przekrój F będzie przeto zależny od stosunku szerokości tłoków (stempli) do wysokości belki, co też stwierdzono doświad-

czeniem. Wartość tego ilorazu w praktyce wytrzymałością na ścinanie materjału belki. Ponieważ ona nie ma oczywiście nic (a przynajmniej bardzo niewiele) wspólnego z wytrzymałością

Tl

Fig. 139.

materjału przy prostem ścinaniu (czyli p przy czystem odkształceniu postaciowem), ~2 przeto dla odróżnienia będziemy ją nail zywać technologiczną wytrzymałością na ^ ścinanie. Nic tedy dziwnego, że obliczając w praktyce sworznie (fig. 139), nity itp. elementy, narażone przeważnie na ścinanie, na podstawie równania:

P (obciążenie przekroju)

F (pole przekroju)

nie jesteśmy bynajmniej obowiązani przyjmować (dla plastycznych metali k's — ks = -i- kr, lub = 0,58 kr (jak tego żądają hipotezy wytrzymałościowe),

ks (naprężenie ścinające)

lecz wartość ks obieramy na podstawie praktycznych doświadczeń równą 0,7 kr do 0,8 kr.

Z tychże samych powyżej rozważanych powodów nie wystarcza połączeń sworzniowych, nitowych itp. obliczać tylko ze względu na technologiczną wytrzymałość na ścinanie w płaszczyznach przylegania łączonych części, lecz zupełnie słusznie domaga się praktyka od dawna, aby średnie ciśnienie na ściankę otworu (wywierane przez trzon sworznia, nitu itp.) nie przekraczało oznaczonej wartości k(l pozostającej w stałym stosunku do kr lub kg. Dla konstrukcyj żelaznych przyjmują k(l= 1,5kr do 2ky, albo k^—2 &₆.do 3ks.

32. Pręty proste narażone na skręcanie, a) Przekrój okrągły. Teorja małych odkształceń sprężystych i odpowiadających im naprężeń w prętach narażonych na moment skręcający Mg da się wyprowadzić drogą elementarną tylko w przypadku kołowej symetrji przekroju, a więc dla prze-

.    Г*К Г₀* Ti

-— oznacza biegunowy moment bezwładności prze-

jeżeli Jp =-- —---;

kroju o wewnętrznym promieniu r₀.

Stąd :

kroju pierścieniowego i jego szczególnego przypadku przekroju kołowego. Wtedy bowiem można przyjąć, że kolejne płaskie przekroje poprzeczne pręta (fig. 140) nie ulegają wskutek skręcenia żadnemu odkształceniu, a tylko obracają się względem siebie o kąt <p proporcjonalny względem ich wzajemnej odległości.

Ustaliwszy w myśli np. lewy przekrój i obróciwszy prawy (odległy od niego o dx) . o kąt d <p, znajdujemy, że punkt tego prze- J kroju, odpowiadający promieniowi p, prze- /

\7n

—dx i-»—

pi

suwa się w kierunku prostopadłym do tego promienia o długość p d cp. Ta wielkość jest zarazem posunięciem ściany elementu dF przekroju prawego względem takiegoż elementu przekroju lewego przy niezmienionej wzajemnej odległości dx. Oznaczywszy przez y (bardzo mały) kąt odpowiadającego prostego odkształcenia postaciowego, mamy tedy:

âîcp у

Fig.140.

stałej (C)

p d <p = y dx, czyli

dla wszystkich punktów przekroju.

Tak w przekrojach poprzecznych, jak i w przekrojach osiowych panują przeto naprężenia styczne т = у.(?==р C.G proporcjonalne względem promienia p (odległości od środka przekroju) i prostopadłe do tego promienia. Największe t występuje na zewnętrznym konturze o promieniu r. A zatem:

: r = i : p = C. G.

Z warunku równowagi sił wewnętrznych t.dF z zewnętrznemi, tworzą-cemi moment Ms, wynika:

Tm

/тр dF= C.G j f dF = MS= C.G.Jp,

(F)

(Fi

C G-JP ’

a zatem :

cp'

d cp

Ms

Ms

G.J

‘max

Z powyższych wzorów czytamy:

1.    Kąt skręcenia na jednostkę długości pręta równa się ilorazowi momentu skręcającego przez, „sztywność skręcenia“, która dla przekroju okrągłego ■= G.Jp.

na

2.    Największe naprężenie styczne występuje w elementach, leżących zewnętrznej pobocznicy pręta walcowego (wydrążonego lub pełnego) i równa się ilorazowi momentu skręcającego przez odpowiadający „moduł przekroju“ (moment oporu), który dla przekroju okrągłego = _ Jp (bieg. moment bezwład.)

r (promień zewnętrzny)

Te wyniki potwierdza ogólna teorja sprężystości pod warunkiem, że siły zewnętrzne równoważne parze skręcającej są na każdym z przekrojów końcowych rozłożone według tego samego prawa, co w przekrojach pośrednich. Wszelako odmienny rozkład sił zewnętrznych ma według zasady de Saint-

Venant’a uwagi godny wpływ, tylko w bezpośredniej bliskości; w dalszych zaś przekrojach zbliża się rozmieszczenie naprężeń i odkształceń do powyższego prostego obrazu, zgodnie z wynikami licznych doświadczeń.

Jak wyżej zaznaczono, mamy przy skręcaniu do czynienia z prostem ścinaniem w najczystszej postaci i dlatego tylko doświadczenia ze skręcaniem okrągłych prętów mogą posłużyć do wyznaczenia wytrzymałości materjału na proste ścinanie.

Geometrycznym obrazem rozmieszczenia naprężeń w przekroju skręcanym są t. zw. linje naprężeń stycznych. Kierunek naprężenia w dowolnym punkcie przekroju Pwskazuje styczna w tym punkcie do linji naprężeń poprowadzonej przez ten punkt. W przypadku przekroju okrągłego są linje naprężeń oczywiście kołami współśrodkowemi. Kreśląc bardzo wiele linij naprężeń, możemy ich gęstością przedstawić wielkość naprężenia.

Fig. 141.

b) Przekroje nieokrągłe. Dla przekrojów nieokrągłych są linje naprężeń krzywemi zamkniętemi (nigdzie się nawzajem nie przecinającemi), których kształt przechodzi od wewnątrz w sposób ciągły w kontur przekroju. To wypływa z rowiązań teorji sprężystości i własności stanu napięcia na swobodnej powierzchni ciała (ust. 2.). W szczególności są naprężenia we wszystkich wypukłych wierzchołkach przekroju wielobocznego równe 0, a w wierzchołkach wklęsłych osiągają z reguły największe wartości. Dlatego nawet w przybliżeniu nie może być mowy o proporcjonalności т względem odległości elementu od środka przekroju. Przyjmując zatem dla wygody tę samą postać wzorów dla cpf i тгаах, co w przypadku przekroju okrągłego, musimy zastosować inne wyrażenia dla sztywności skręcenia Г i dla modułu przekroju Wg. Należy przytem starannie odróżniać przekroje pełne (o polach jednospójnych) od przekrojów wydrążonych (o polach wielospójnych), które znowu mogą być dwu-, trzy-, /г-spójne. Z tych ostatnich mają praktyczne znaczenie przedewszystkiem przekroje dwuspójne, czyli rurowe.

1. Przekroje pełne. Proste ścisłe rozwiązanie dla przekroju eliptycznego znalazł de Saint-Venant (1878): Linje naprężeń są elipsami homotety-cznemi z konturem (fig. 141), zaś rmax powstaje na końcach osi małej (szerokości) b, przyczem :

Ттах

Г = —-----—fe⁸ - . G

16 ń² + A²

TTS = JL. j.A.

F*. G

К

Wzór dla ср' podają często w postaci:

ITT Jp 111

' F⁴. ćr

<Pf =

16

s>

ważnej dla wszelkich przekrojów pełnych przy stosownej wartości spół-czynnika liczbowego 4**, która wynosi:

. W = 39,5 = 4 Tl2 . »F = 42,68 .    = 42,0

. W = 40,2 . ЧГ = 38,5 . lF = 45

dla koła i elipsy.......

я prostokąta, jeżeli Ъ : h — 1:1 „    „ ‘    „ b:h = 1:2

«    г,    П b:h = 1:4

„    „    ^    „ b:h = 1:8

„ trójkąta równobocznego . .

wartość 4P* dla wszelkich

Do niedawna zalecano jako przybliżoną wspólną przekrojów pełnych = 40, jednakże już wartość dla trójkąta równobocznego przekracza ją o 12,5%- Jeszcze większe zboczenia zachodzą u smukłych przekrojów (kształtowniki _|_ “ |    |    ), które nadto nastręczają

wielkie trudności ścisłemu obliczeniu. Wystarczającą nieraz dla praktyki dokładność daje dla takich przekrojów przybliżony wzór A. Foeppl’a:

co'

o ile można je rozłożyć na wąskie prostokąty o długościach hi i kościach S₍. (i = 1, 2, 3, .. .)• W szczególności dla prostokątnego przekroju cienkiej a bardzo szerokiej wstęgi jest sztywność skręcania

Tb'h-a

szero-

(z błędem przez niedobór mniejszym od 7% przy b : h =- 0,1 i zdążającym do 0 wraz z wartością b : h). W przekrój u prostokątnym powstaje xmax w środkach dłuższych boków (h > b) i określa je wzór przybliżony, wystarczający dla praktyki:

b² h²’

a zatem Ws

b- h²

1,86 + 3 A ’

W przekrojach, dających się rozłożyć na wąskie prostokąty (jak wyżej), jest w przybliżeniu:

“■max

+ M,"

przyczem 8max oznacza szerokość najgrubszej prostokątnej części przekroju, a miejscem xmax jest środek długiego boku tej części. Jest to ważne pod warunkiem (z reguły w praktyce spełnionym), że wklęsłe kąty przekroju są stosownie zaokrąglone.

Uwaga. Wszystkie przekroje niekołowe zakrzywiają się wskutek skręcenia, przyczem pewne ich części wyginają się nieco w jedną, inne zaś w drugą stronę; są jednak przypadki wyjątkowe, w których zakrzywienie przekroju jest utrudnione, albo nawet uniemożliwione warunkami statycznemi. Tak się rzecz ma np. gdy na przekrój środkowy pręta działa moment skręcający 2 M zrównoważony dwoma momentami o wielkości M działającemi na przekroje końcowe. Z po- ^ wodu symetrji musi przekrój środkowy pozostać płaskim. Znaczne zaś utrudnienie zakrzywienia przekroju zachodzi w przypadku, gdy stosunkowo krótki pręt (nieokrągly) o małej sztywności dokładnie utwierdzony w końcowych przekrojach prętów o sztywności bardzo wielkiej. W tych przekrojach po-wstanie niewątpliwie rozkład naprężeń ścinających r tem bardziej różny od zwykłego, im mniejsza jest długość pręta wobec rozmiarów przekroju. Skoro ta długość zdąża do zera, to prawo rozkładu naprężeń т będzie się nawet zbliżać do prawa, które daje teorja prętów okrągłych (t. zn. prostopadłość i proporcjonalność г do promienia <p, mierzonego od środka przekroju). Na-koniec w obu przypadkach okaże się sztywność skręcania większą, aniżeli w normalnych warunkach.

У-

-6,-

Fig. 142.

*>2

.1

2. Przekroje rurowe. W przekroju prostokątnym o ścianach jednakowej grubości o, a średniej szerokości bx i b₂ (fig. 142) panuje tmax na obwodzie zewnętrznym i ma wartość:

Tmax

X.

przyczem Wg

2 bi. b₂ 3

&i² + 6₂² — 2Ô²

zaś kąt skręcenia na jednostkę długości:

bl 4" ^2

Ms

G^red’

przyczem Jred

b,.b₂b (&! 4- b₂ — 2 8)

1 4-

(6i - &2)²

2 (Й! — 8).(J₂ — 0)

Obydwa wzory są przybliżone (ze stanowiska teorji sprężystości) i tem dokładniejsze, im mniejsze jest § wobec Ъг i b₂.

JV. Zginanie.

A. Naprężenia w prętach prostych narażonych na zginanie.

33. Naprężenia przy czystem zginaniu w płaszczyźnie obciążenia. Odróżnia sięczystezgięcie (bez sił poprzecznych) od zgięciaogólnego, albo złożonego (z udziałem sił poprzecznych). Przy czystem zgięciu powstają tylko naprężenia normalne o podłużnych włókien elementarnych pręta, które muszą być w jednej części przekroju ciągnieniami, a w drugiej ciśnieniami, aby siły wewnętrzne równoważyły parę zginającą. Obliczamy je z warunków równowagi przy pomocy dodatkowej „hipotezy płaskich przekrojów“. Z tej hipotezy wynika bezpośrednio, że wydłużenia właściwe e włókien są proporcjonalne względem odległości od warstwy obojętnej (fig. 143). O ile więc materjał pręta podlega prawu Hooke’a, to i naprężenia a będą proporcjonalne względem yj. Wówczas jest

-i-

*гВ

«i

— stałej, e₂

jeżeli elf e₂ oznaczają odległości włókien skrajnych od warstwy obojętnej albo od osi obojętnej (w której warstwa obojętna przecina przekrój).

Niechaj płaszczyzna rysunku będzie płaszczyzną X Y pary zginającej o momencie M. Z warunków równowagi sił zewnętrznych i wewnętrznych wypływa teraz :

1.    Oś obojętna przechodzi przez środek pola przekroju. To prawidło wynika z warunku rzutów na oś X i jest oczywiście ważne tylko w granicach proporcjonalności:

2.    Płaszczyzna zginania, tj. płaszczyzna prostopadła do osi obojętnych schodzi się z płaszczyzną obciążenia (tj. płaszczyzną pary zginającej), jeżeli ta ostatnia jest płaszczyzną jednej z głównych centralnych osi bezwładności przekroju. (Wynika to z warunku momentów względem osi У.)

3.    Przy upraszczaającem założeniu, że płaszczyzna pary zginającej jest prostopadła do osi obojętnej jako osi głównego momentu bezwładności J daje warunek momentów względem osi Z (osi obojętnej):

Fig. 143.

-S I a

«i

Ol

³2

7] J ey

Stąd wynika bezpośrednio podstawowy dla obliczeń wytrzymałości przy zginaniu wzór na naprężenie „skrajne“ (tj. we włóknie skrajnem) :

_ M

®ekr ту

«2

(A)

przyczem za W, tj. moduł przekroju (dla zginania) [zwany także niefortunnie momentem wytrzymałości lub Oporu] wstawiamy :

albo TY₂ =-,

zależnie od tego, które z naprężeń skrajnych (czy ciągnienie, czy też ciśnienie) decyduje o wytrzymałości. Prawidło wyrażone wzorem (A) obowiązuje również tylko w granicach proporcjonalności.

34. Naprężenia przy zginaniu ukośnem. Zgięcie nazywamy ukośnem, jeżeli płaszczyzna obciążenia nie jest prostopadła do jednej z głównych centralnych osi bezwładności przekroju. Wtedy przy założeniach poprzednich jest:

Kierunek płaszczyzny pary zgi-kierunkiem o d-

\J₂

0,

nającej sprzężony z powiadającej osi obojętnej ze względu na centralną elipsę bezwładności < przekroju.

Naprężenia najłatwiej obliczyć rozłożywszy siły pary zginającej na składowe w kierunkach '2 Y i Z głównych osi bezwładności przekroju. / (Fig. 141). Jeżeli płaszczyzna obciążenia odchyla się od płaszczyzny XY o kąt a, to p. cos a i .F. sin a będą odpowiednio składo-wemi sił P w kierunku Y i Z. Ten rozkład

Psina

aOkPcoso

nT

Fig. 144.

pociąga za sobą rozkład momentu zginającego na M. cos a. i M. sin a. Każdy z nich z osobna wytwarza proste zgięcie; pierwszy wytwarza naprężenia normalne:

M. cos a

a'

Ji

• Y], drugi zaś a"

M. sin a

-h

W granicach proporcjonalności będzie według zasady superpozycji naprężeniem wypadkowem :

C . siu a

7] . cos a

a == a' -f- o" = M I

Ażeby znaleźć Gskr, trzeba wyszukać na konturze przekroju takie punkty (y], Ç), dla których wyrażenie w nawiasie przybiera skrajną wartość dodatnią lub ujemną.

W przypadku przekroju prostokątnego (drewniana płatew dachowa) jest takim punktem wierzchołek A (fig. 31), a odp. naprężenie określa wzór:

Mcos n

^skr

M sin a

bh³

•2

b³h

b- łr

(b cos a 4- h sin a)

6 Mc

b²h* ’

12

12

przyczem c — b cos a -j- h sin a jest szerokością rzutu przekroju na płaszczyznę prostopadłą do kierunku obciążenia.

35. Naprężenia styczne przy ogólnem zgięciu w płaszczyźnie obciążenia. Przyjąwszy, że siła poprzeczna T nie wpływa na rozkład naprężeń normalnych (i pominąwszy wpływ nieuniknionych naprężeń poprzecznych²) możemy z warunków równowagi warstwy elementarnej o gru-

bości dx (zakreskowanej na fig. 145) obliczyć dokładnie średnią wartość preżeń stycznych т wzdłuż cięciwy AB = v przekroju, uwzględniając związek d M

na-

г.

Л* ,

JL

'’T

Fig. 145.

Jest nią :

Tśr

T.S

J.V

(B)

przyczem <S oznacza moment statyczny zakreskowanej części przekroju (odciętej cięciwą v), a J moment bezwładności całego przekroju względem osi

obojętnej Z Z¹ (odpowiadającej płaszczyźnie pary zginającej Y Y').

Z wzoru:

Ш.

в—

T

Ts

___1

i_.

czytamy, że siła ścinają większą wartość w osi obojętnej i maleje w miarę odlegjości od tej osi aż do zera w warstwach skrajnych.

ca ma

naj-

O rozmieszczeniu naprężeń stycznych wzdłuż cięciwy AB nie możemy nic pewnego dowiedzieć się elementarną drogą dalszych prostych hipotez, stosowanych dawniej powszechnie w literaturze technicznej. Wyjątek stanowi przekrój prostokątny i do pewnego stopnia przekroje złożone z prostokątów jak np. przekroje Г itp. belek walcowanych lub nitowanych.

a) Przekrój prostokątny. Wzdłuż odcinka А В równoległego do osi obojętnej Z Z? (fig. 146) jest z stałe i równe:

Fig. 146.

T==Tśr

Rozkład z na wysokości przekroju jest zatem paraboliczny z największością w osi obojętnej, tj. dla u = 0 :

b h³

ST ST

Tmaz — Y ' F7h ~ Y ' T

/ T

I— jest oczywiście średnią wartością

całym przekroju.j

b) Przekrój J. Z wyjątkiem miejsc osobliwych, gdzie ścianka łączy się ze stopką, można również ze znaczną dokładnością przyjąć w przekrojach równoległych do osi obojętnej t stałe i równe т^г (fig. 147 «.) A zatem w stopkach obowiązuje wzór (%), w ściance zaś wzór bh²

J.b

-»4l

z którego dla u — 0 wypada :

zaś dla u =

Tmax

—, ,j. 2 ’ J

T.b.h²

hi

8 J.rj

Tl

w miejscach połączenia ścianki ze stopkami:

T.b.h²

Dla całkiem cienkich ścianek, jakie się stosuje w praktyce, różni się tm niewiele od tl5 a w stopkach są naprężenia т bardzo małe. W obliczeniach orjentacyjnych można wówczas przyjąć przybliżeniu, że cała siła poprzeczna przenosi się na ściankę o polu ï\ i warunek wytrzymałości napisać w postaci,

W stopkach należy szukać największych naprężeń stycznych raczej w przekrojach prostopadłych do osi obojętnej {AA! na fig. 147 b). Dla tych

ax

b-

<5

h li. _.

Fig. 147 b.

Fig. 147 a.

naprężeń z' otrzymujemy z warunków równowagi elementu wyciętego z warstwy o grubości d X, podobnie jak powyżej :

T.S'

J.g ’

jeżeli S' oznacza moment statyczny zakreskowanej części pola przekroju względem osi obojętnej, a g grubość stopki w rozpatrywanem miejscu. W zwykłym przypadku stałej grubości g jest

£' =

a zatem:

■2,

czyli Tf rośnie proporcjonalnie względem odległości od krawędzi stopki osiągając największą wartość w przekroju В В', gdzie stopka przechodzi w ściankę

a z = —

c) Przekrój okrągły pełny. (Fig. 148.) Ponieważ w punktach A i В 1 całkowite naprężenie styczne mieć kierunek stycznej do konturu, przeto kierunki naprężeń w punktach А, В i C przecinają się w D. Dlatego przyjmują w przybliżonym rachunku 1., że przez tenże punkt D przechodzą kierunki wszystkich т wzdłuż A B. Nadto przyjmują 2., że końce odcinków) przedstawiających całkowite naprężenia t wzdłuż AB, leżą na prostej równoległej do AB.

musi

y\d

A

Jakkolwiek z tych założeń, zwłaszcza drugie znacznie odbiega od rzeczywistości, jak to wykazuje dokładniejsze rozwiązanie¹), to jednak główny wynik, tj. obliczenie t w warstwie obojętnej jest wystarczająco do-Z' I______kładny. Wypada bowiem:

4 Г    T

Traax ⁼    ~

Fig. 148.

podczas gdy rozwiązanie ścisłe daje (w środku koła):

T    T

— do 1,83 —.

(m = 2) -c

'•щах

3m + 2 T

2 (m -j- 1) F

M

(m = 4)

d) Przekrój kwadratowyobciążonywkierunkuprzekątnej, rzybliżonego obliczenia x są tutaj zupełnie niedopuszczalne, w warstwie obojętnej do xmax w wierzchołkach A i B, podczas gdy tamże musi być t = 0. Z dokładniejszego rozwiązania dra Z. Puchs’a wynika, że

albowiem

Lmax g F

panuje w środku.

36. Wytężenie materjału przy ogólnem zginaniu. Linje naprężeń

M

głównych. Przy czystem zginaniu momentem M są naprężenia a = -j- yj

zarazem naprężeniami głównemi o kierunkach równoległych do osi pręta X. Pozostałe dwa naprężenia główne są równe zeru. Inaczej ma się rzecz

Y\

X-

f._>

\ /

-d.

Fig. 150.

Fig. 149.

w przypadku ogólnego zgięcia, tj. przy współudziale siły poprzecznej T, albowiem wtedy są naprężenia normalne a (uwarunkowane momentem M) tylko w warstwach skrajnych naprężeniami głównemi. Wydzieliwszy w innych warstwach element prostopadłościenny przekrojami poprzecznemi i po-dłużnemi (fig. 150) mamy widocznie do czynienia przynajmniej z dwuwymiarowym stanem napięcia określonym naprężeniami normalnemi o — a.

Ł) Dr. Z. Fuchs. Zur Berechnung der Schubspannungen in gebogenen Stäben. Zeitschrift d. Yer. d. Ing. r. 1914, str. 1330.

— 0 i stycznemi <c, wywołanemi siłą poprzeczną T. Wtedy kierunki i wielkości naprężeń głównych c1; a₂ znajdujemy najprościej zapomocą koła

naprężeń (fig. 121). Przytem jest J11 = — + -i. I / 4 T2

a₂j 2 “ 2 f

A zatem największa różnica naprężeń głównych (jako miara wytężenia materjału dla plastycznych metali):

°red = У 4 t² -f- a²

To równanie ma zastosowanie przy obliczeniu belek walcowanych i nitowanych w przekrojach narażonych jednocześnie na wielki moment i wielką siłę poprzeczną. (Nie można go stosować do belek z żeliwa, kamienia, drewna itp.) W takich belkach o przekroju może ared osiągnąć największą wartość w miejscach połączenia ścianki ze stopką. Zaprojektowawszy zatem przekrój tak, aby amax we włóknach skrajnych i tmax we warstwie obojętnej nie przekroczyły wartości bezpiecznych, sprawdzamy dodatkowo, czy °red w wymienionem niebezpiecznem miejscu czyni zadość warunkowi wytrzymałości ored ^ abezp = kr.

Znajdując w płaszczyźnie obciążenia, przechodzącej przez oś pręta i główną oś bezwładności przekroju, kierunki naprężeń głównych dla wielu punktów różnych przekrojów, łatwo nakreślić linje naprężeń głównych (fig. 150).

Każda z tych linij przecina warstwę obojętną pod kątem 45° i trafia warstwę skrajną (o ile nie napotyka przekroju końcowego) normalnie z jednej strony, a stycznie z drugiej.

u_._

„mo-

Fig. 161.

87. Wytrzymałość na zginanie. Moment niebezpieczny („łamiący“). O pewności pręta, narażonego na czyste zgięcie, decyduj ment łamiący“, albo ogólniej moment niebezpieczny, tj. ta wartość momentu zgięcia, przy której pojawiają się niedopuszczalne odkształcenia trwałe (ugięcie) lub pęknięcie. Ta wartość nie da się obliczyć z wzoru (A) po podstawieniu za a wartości anieb = a y lub Kr jako

M=W. onieb.

W rzeczywistości jest bowiem najczęściej ifnieb > W ал;еЬ albo, co na jedno wychodzi, o obliczone z wzoru (A) po podstawieniu wartości M— ilfnjob, znalezionej doświadczalnie, jest zawsze większe od anieb, otrzymanego z doświadczeń nad rozciąganiem lub ściskaniem. Główną przyczyną tego jest fakt, że po przekroczeniu granicy proporcjonalności we warstwie skrajnej, a jeszcze więcej po przekroczeniu granicy plastyczności, przestają prawie wzrastać naprężenia w tej warstwie, a zato warstwy pod nią leżące biorą na siebie coraz większą część odporu siłom zewnętrznym. Wykres naprężeń przybiera postać przedstawioną na fig. 151, zamiast zakreskowanej, odpowiadającej wzorowi (.A).

Druga przyczyna, wybijająca się na pierwszy plan u materjałów kruchych (jak szkło) i podlegających aż do pęknięcia prawu Hooke’a, tkwi w tern, że sama wartość naprężenia nie decyduje jeszcze o wytężeniu materjału przy nierównomiernym rozkładzie naprężeń w przekroju, nawet w tym prostym przypadku linjowego stanu napięcia. Wskutek tego w rzeczywistości :

^nieb

= ^F.anieb

przyczem a zwykle > 1 jest liczbowym spółczynnikiem doświadczalnym, zależnym niestety, także od postaci przekroju. W przypadku przekroju prostokątnego zaleca np. Geusen dla żeliwa, granitu, wapienia a <v> 2 dla betonu 2,2, dla piaskowca 3. Jednakże Bach znajduje w tymże przypadku dla żeliwa ot = 1,75 (bez względu na stosunek b:h). Dla szkła w postaci płyt (szyb) jest a zależne od grubości (co dowodzi wpływu drugiej przyczyny) i rośnie, gdy grubość maleje. Dla żelaza spawanego

i zlewnego w postaci kształtowników ^ |_| itd., znaleziono a — 1, zaś w postaci

belek nitowanych a = 0,9 do 0,8. Podobnie jest dla belek drewnianych według Tetmaÿera a — 0,7 do 0,75, a więc znowu ot < 1, jednakże z innego powodu. U belek żelaznych nitowanych jest powodem zejścia wartości a poniżej 1 mała sztywność ścianki, wywołująca wraz z naprężeniami drugorzędnemi miejscowe objawy niestateczności (wyboczenia). Natomiast u belek drewnianych jest właściwie a > 1, jeżeli odniesiemy równanie (A') do anieb jako ciśnienia. Podana powyżej wartość a odnosi się do anieb jako ciągnienia, albowiem tak oblicza się ot dla innych materjałów, które mają kr<^kTj podczas gdy dla drewna jest lcf > kc.

ezp

Ponieważ przy obliczeniach wytrzymałości posługujemy się zawsze równaniem (A), przeto wartość a daje wskazówkę do obioru wartości ob przy zginaniu, a mianowicie należy przyjąć :

°beZp = « • K-

Skoro np. dla drewna jest kr — 120 %/m², to przy zginaniu trzeba przyjąć cbezp = 0,75.120 = 90 kg/cm², aby osiągnąć tę samą pewność w obu przypadkach obciążenia.

ty]

B. Odkształcenia belek prostych przy zginaniu.

Linją ugięcia nazywamy zakrzywioną wskutek zgięcia (pierwotnie prostą) oś pręta. Leżąc w warstwie obojętnej, nie doznaje ta oś wydłużenia ani skrócenia. Dwa sąsiednie przekroje o wzajemnej odległości dx (fig. 152) przed zgięciem wyznaczają przeto na linji ugięcia element łuku ds — dx, a na innych włóknach odległych o Y] od osi obojętnej wyznaczają długości ds -j- /\d s, przyczem Д ds — s ds —

y]ds. Ponieważ Д ds == Y] d <p, jeżeli

d cp oznacza kąt nachylenia obu przekrojów, przeto :

M 1

~WJ ⁻7

przyczem p oznacza promień krzywizny linji ugięcia.

Przy prostem zgięciu jest M stałe, a więc i p stałe, czyli lin ja ugięcia jest łukiem koła.

1

Skoro M zmienia się od przekroju do przekroju, to i krzywizna — jest

zmienna. Odnosząc linję ugięcia do pierwotnej osi pręta jako osi X i do osi Y, leżącej w płaszczyźnie zgięcia, mamy:

dAy_ dx²

38.

Fig. 152.

a ₇ M — — ds

i:

EJ

d cp

ds

(i>)

EJ

(!>')

Wyraziwszy M jako funkcję spółrzędnych (х, у) dowolnego punktu linji ugięcia, należy powyższe równanie różniczkowe zcałkować, aby otrzymać skończone analityczne równanie linji ugięcia.

(dy\²

W przeważającej liczbie przypadków praktyki 1^4 jest znikomo małe

wobec 1 i z wystarczającą dokładnością zastępujemy powyższe równanie bez porównania prostszem przybliżonem :

(E)

d²y M dx² EJ

Dwie stałe całkowania dadzą się wyznaczyć z warunków podporowych. Te warunki mogą też posłużyć do wyznaczenia reakcyj, momentów utwierdzenia — wogóle wielkości statycznie niewyznaczalnych.

Jeżeli sztywność zginania EJ pręta zmienia się łagodnie od przekroju do przekroju, to można z wystarczającem dla praktyki przybliżeniem zastosować również powyższe równanie linji ugięcia, uwzględniając zmienność EJ.

Ugięcia y, obliczone przez całkowanie równania (E), podlegają widocznie zasadzie superpozycji, jeżeli M jest funkcją samego x, o ile oczywiście nie przekroczono granicy proporcjonalności (por. załączoną tablicę).

Inaczej ma się rzecz 1. gdy M jest zależne także od y, albo 2, gdy wypada się uciec do dokładnego równania (D), albo wreszcie 3. gdy mate-rjał pręta objawia znaczne zboczenia od prawa Hooke’a, Z pośród tych przypadków musimy w praktyce uwzględniać szczególnie często trzeci (belki betonowe), nierzadko pierwszy (giętkie belki, obciążone nie tylko siłami poprzecznemi, ale i podłużnemi), a tylko wyjątkowo drugi (sprężyny).

Przy stosowaniu równań (ГУ) i (E) należy umowę co do znaku algebraicznego momentu M uzgodnić z ustaleniem wyrażenia analitycznego po przeciwnej stronie znaku równości. (Obrawszy np. pierwotną oś pręta, pomyślaną poziomo za oś X o kierunku dodatnim na prawo i skierowaną w dół dodatnią oś Y, musimy moment M w równaniu (E) uważać za dodatni, jeżeli wygina belkę wypukłością do góry.)

39. Wykreślna konstrukcja linji ugięcia jako krzywej sznurowej. Równanie różniczkowe krzywej sznurowej dla obciążenia siłami równo-ległemi do osi Y ma postać:

d² y__q

(E)

dx² H

przyczem q (kg/cm) jest rzędną powierzchni obciążenia, a II (kg) „odległością biegunową“.

Z porównania tego równania z równaniem (E) wynika:

Linja ugięcia belki prostej o stałej sztywności zginania EJ, obciążonej siłami prostopadłemi do osi belki (leżącemi w płaszczyźnie zgięcia) jest krzywą sznurową dla odpowiadającej powierzchni momentów, uważanej za powierzchnię obciążenia przy odległości biegunowej równej sztywności E J (o ile oczywiście są spełnione warunki podporowe).

Jeżeli sztywność zginania EJ jest zmienna na długości belki, to obrawszy pewną stałą jej wartość (EJ)₀ i zredukowawszy rzędne powierzchni momentów w stosunku (EJ)₀:EJ znajdujemy linję ugięcia jako krzywą sznurową zredukowanej powierzchni momentów, uważanej za powierzchnię fikcyjnego obciążenia przy odległości biegunowej (EJ)₀.

Ponieważ rzędne powierzchni momentów mają wymiar „siłaX dług ość“, przeto pole tej powierzchni ma wymiar siła X (długość)². Ten sam wymiar ma widocznie odległość bieguuowa EJ, albo (EJ)₀. Ażeby rzędne linji ugięcia, jako bardzo małe wobec odciętych, nie zgubiły się w wykreślnej konstrukcji opartej na powyższej zasadzie, zwiększa się ich podziałkę

/ EJ    \

»-krotnie, zmniejszając »-krotnie odległość biegunową I —— zamiast EJJ.

Skoro np. skala długości rysunku jest 1 : », a przy wykresie powierzchni momentów przyjęto odległość biegunową Hkg, to rzędne powierzchni momentów mierzymy skala : 1 cm = nH kgjcm. Obrawszy przy kreśleniu linji

EJ

ugięcia jako krzywej sznurowej odległość biegunową równą , otrzymamy

rzędne linji ugięcia w naturalnej wielkości. Samo wykreślenie krzywej sznurowej dla powierzchni momentów belki uważanej za powierzchnię obciążenia nie wystarcza jeszcze do znalezienia ugięć, albowiem ogólna całka równania (E) czyli:

v=jdz J-Yjdz+    c₂

zawiera dwie stałe dowolne Cx i C₂. Ich wyznaczenie jest równoznaczne z wyznaczeniem linji zamykającej drugiej krzywej sznurowej z warunków podporowych. (Pierwsza krzywa sznurowa daje wykres momentów.) W przypadku podparcia obu końców są ugięcia tychże końców dane i zwykle równe O. Linja zamykająca łączy tedy punkty przecięcia drugiej krzywej sznurowej z pionowemi podporowemi.

W przypadku doskonałego utwierdzenia tylko jednego końca przy drugim swobodnym jest linja zamykająca styczną do drugiej krzywej sznurowej w punkcie jej przecięcia się z pionową utwierdzonego przekroju. Z przedstawienia linji ugięcia jako krzywej sznurowej nie trudno odczytać jeszcze inne proste twierdzenia, prowadzące do bardzo wygodnego obliczenia ugięcia у

i kata nachylenia stycznej, tj. w obranym przekroju. Jeżeli M* i T* =

d z

oznacza moment zgięcia i siłę poprzeczną, które odpowiadają fikcyjnemu obciążeniu belki przez powierzchnię momentów M, to w przypadku zwykłego podparcia obu końców belki jest

dM*

(79)

M* dy T* V~ EJ’ dz~ EJ przyczem EJ oznacza stałą sztywność zginania.

¹

^nieb

n ß²

l) Prawidło proporcjonalności względem d? wynika z n aj elementarniejszych rozważań podobieństwa dynamicznego i było oddawna znane; natomiast prawo proporcjonalności względem a^ieb zawdzięczamy dopiero rozwiązaniu teorji sprężystości.

²

) W rzeczywistości może siła poprzeczna mieć wpływ na rozmieszczenie naprężeń normalnych, atoli ten wpływ jest godnym uwagi tylko w okolicy przekroju bezpośrednio obciążonego siłą nie o wiele mniejszą od T. Wówczas, jak poucza ścisła teorja i doświadczanie, różni się prawo rozkładu nawet bardzo znacznie od przedstawionego wzorem (В). Wobec tego muszą w tych warunkach wystąpić także zboczenia od linjowego rozkładu naprężeń normalnych.

Iloczyą T£T.v = T' przedstawia t. zw. siłę ścinającą w warstwie AB, odniesioną do jednostki długości pręta. Tą siłą działają na siebie wzajemnie podłużne warstwy zginanego pręta.

По

1%

‘'аЛСЫ 3 ?

-X

Я

Fig. 153.

Przykład A. Obciążenie belki tworzy tylko para sił Moy działająca na przekrój podporowy^ (flg. 153). Wtedy powierzchnia momentów jest trójkątem o polu

M₀ł, a zatem fikcyjne reakcje:

Przykład B. Obciążenie jedną siłą skupioną P w przekroju odległym o a i b od podpór A i В (a-{-b — l) (fig. 154). Powierzchnia momentów jest trójkątem o polu

l+a

1 MQl 3 7Г'

Stąd kąty stycznych podporowych (według wzoru 79):

3 EJ'

Fikcyjny moment zgięcia w przekroju odległym о ж od podpory B ma wartość: 3    2 ’

A* — —

3*2’

B* = —

#1 =

1 M₀l

'°²    6 ’ej

(77)

X

a ponieważ M = M₀ —

7’

więc :

.!/*

M₀

У EJ 6 EJ

l+b

à*

In

- к r>.

B*

Pab

'Pab' '

h 2

Fig. 154.

P.a.b

— P—, Środek ciężkości tego pola leży w odległości ¹    " i - od pio-

2    3    3

nowych podporowych A i Б.

A zatem fikcyjne reakcje :

P .a .b l -\- b 1

’~T’T ⁼

zaś fikcyjny moment zgięcia w przekroju odległym o æ<;6 od prawej podpory:

A‘ =

P.ab{b + l)

-, B' =

P. ab (a 4-0

41

л/*=

P .ab (a-\-l)

a: —

« cm

.lx=Zl±Lf(P_ a»-**)»

Stad kąty stycznych podporowych:

л A‘ Pab(b + l)    В* P.ab.(a + l)

zaś ugięcie :

(P _ a² —X¹).

1 — EJ ~ 6EJ.I ’ г ~ EJ 6 EJ .1 Pax

y=ÏÉ77i

Przykład C. Belka А В (fig. 155) ma w środkowej części o długości 3,6 m stałą sztywność zginania E Jit zaś w dwu częściach skrajnych o długościach 0,7 m i 1,7 m mniejszą, lecz również stałą sztywność i? J,. Materjałem jest żelazo zlewne (E— 2,1.10*kg/ctn²), przyczem Jt = 5450 cm*, ./₂ = 9950 cm*. Naprężenia normalne nie przekraczają nigdzie 1200 kg/cm*. Linje ugięcia znaleziono jako krzywą sznurową dla fikcyjnego obciążenia powierzchnią momentów, przyczem dla części środkowej przyjęto jako odległość biegunową

, zaś dla części skrajnych —jeżeli 1 : n oznacza obraną na rysunku skalę długości. n    n

Przykład D. Płyta żelbetowa, działająca jako belka AB obustronnie doskonale utwierdzona (fi-. 156), o szerokości b = 100 cm i wysokości h — 24 cm w części środkowej. h = 37 cm na podporach. Przekroje obliczono dla naprężeń dopuszczalnych oj = 40 (betonu) i 0£ —1200 kg/cirp (żelaza). Przyjąwszy = 140 000 kglcrrp, otrzymano dla części środ-

kowej stała sztywność E Jv = 691000.22³, zaś dla części skrajnej sztywność zmienną Momenty M zredukowano przeto na rysunku według równania

£^=691000. ^35— -|-j .

ь.

ЮЧ)р

10

2 Or mm

P-4,8t P

-*-2m

EJr

3m ———

£J,

т~1'

Hf²

■+

l ~6m

J—1,7m -,

f= 16, Qmm

Q1. ? d . 4 Ó 6m

t—H-

^0»

EJi

l10t

-10

70

o;

-30

ej₇

; Чтг

Fig.155.

MreA = M

22³

i dla zredukowanej powierzchni momentów jako powierzchni ob-

ciążenia »[wykreślono krzywą sznurową, przedstawiającą lin ję ugięcia o skali rządnych 2 n-razy'większej odTskali długości l:n (ponieważ odległość biegunowa H — E J,/2 n).

(J ~ /, 06 /m ⁷

Г W*

Ej,

~l ~ Ô n,

O,

•5

--

Ol r

oH

Kj^rnm

TLa

f -9,2 mm

6    7

In

OJj

2n

tm*

Fig. 156.

40. Wpływ Sił poprzecznych na ugięcie belek. Naprężenia styczne, uwarunkowane siłą poprzeczną, wywołują odkształcenia postaciowe prosto-padłościennych elementów pręta dx. dy. dz, które osiągają największą wartość w warstwie obojętnej. Oznaczywszy przez ß odpowiadający^ kąt

dyx = ß dx — ^ dx,

odkształcenia postaciowego (fig. 157), a przez dyx przyrost ugięcia wywołany tem odkształceniem, mamy:

jeżeli t₀ oznacza naprężenie styczne w środkowym elemencie przekroju.

T

Zważywszy, że x₀ = x . przyczem k^> 1 jest spółczynnikiem liczbowym,

zależnym od kształtu przekroju, otrzymujemy:

dyi

dM

dx V"G.F G.F’ dx '

Stąd łatwo znaleźć dla belki w obu końcach podpartej, że dodatkowe ugięcia,

niami stycznemi są proporcjonalne odpowiadających

uwarunkowane napręźe-

ględ

mentów zgięcia:

em

mo-

У1 =

GF '

W ogólniejszych przypadkach podparcia i obciążenia belek szukamy całkowitego ugięcia, całkując uogólnione przybliżone równanie różniczkowe linji ugięcia:

Fig. 167.

d²y

Y.

d‘*M

EJ ' GF dx² ’

dx²

wynikające z kombinacji równań (E) i (F).

(Znak prawej strony odpowiada umowie, że dodatnie M zgina pręt wypukłością w kierunku dodatnim osi Y.)

Przy wyznaczaniu stałych całkowania w przypadku, gdy przynajmniej jeden z przekrojów podporowych jest utwierdzonym (np. przekrój xx) należałoby teoretycznie odróżniać utwierdzenie dwojakiego rodzaju;

1. Utwierdzenie, które nie dopuszcza obrotu elementu osi belki

podpowiadający warunek podporowy:

= x,

2. Utwierdzenie, które nie dopuszcza obrotu środkowego elementu pola przekroju podpowiadający warunek podporowy:

dy

dx

-ÏÏ

X =Xx

lecz tylko na częściowe, pry cjonalny względem wielkości porowy przyjąć

Zważywszy, że w praktyce niepodobna najczęściej liczyć na utwierdzenie doskonałe, którem kąt obrotu przekroju podporowego # jest propor-i odpowiadającego momentu, możemy jako warunek pod-

ŹŁ ₌* ₊ J5l

dx т в X=Xx

stosownie do drugiego rodzaju utwierdzenia.

41. Odkształcenie przekroju poprzecznego przy czystem zginaniu. Jakkolwiek przekroje pręta zginanego stałym momentem M pozostają płaskie, to jednak w płaszczyźnie przekroju zachodzą wogóle wydłużenia lub skrócenia, wywołujące pewną zmianę geometrycznej postaci przekroju.

Ta zmiana zależy od wartości liczby Poisson’a ---i to w ten sposób, że gdyby istniał materjał, dla któregoby było dokładnie — = 0, to przekrój pozostałby zupełnie niezmienionym. Wtedy bowiem nie byłoby odkształcenia poprzecznego podłużnych włókien pręta, narażonych na naprężenia a. Te

odkształcenia poprzeczne sa równe — — odkształceń podłużnych, a więc są również proporcjonalne względem odległości Y] włókna od osi obojętnej, jeżeli przyjmiemy, że niema żadnych naprężeń poprzecznych, co odpowiada

rzeczywistości tem ściślej, im mniejsze są rozmiary poprzeczne pręta wobec promienia Mp    krzywizny zgięcia. Dzięki odkształceniom

Ij    poprzecznym zamieni się prostokątny elemen-

lj    tarny pasek przekroju, prostopadły do osi

I    obojętnej o stałej szerokości d £ na pasek

J t ob0> zwężąjący się równomiernie ku warstwie ..-sJOS    skrajnej rozciąganej, a rozszerzający się

dl

li

Fig. 158.

w ten sam sposób ku warstwie ściskanej, tak, iż przybiera postać nieskończenie wąskiego trapezu, a właściwie elementu pierścienia kołowego (fig. 158). Wskutek łączności wszystkich takich pasków, na jakie dzielimy w myśli cały przekrój, nastąpi równomierne zakrzywienie każdej z warstw równoległych do warstwy obojętnej. W szczególności zakrzywi się oś obojętna przekroju tak, że jej krzywizna —, jest 1

m-tą częścią krzywizny — osi pręta wywołanej zgięciem. Zgięciu osi

pręta do promienia p towarzyszy przeto zakrzywienie (zgięcie) poprzeczne o promieniu mp, co stwierdzono (Cornu 1869) bardzo ścisłemi pomiarami na prętach szklanych. Te wyniki mają ważne zastosowanie w teorji zgięcia płyt.

C. Statycznie niewyznaczalne przypadki zgięcia belek prostych.

42. Proste sposoby podparcia belek i obliczenia wielkości statycznie niewyznaczalliych. Napotykane w praktyce zwykłe sposoby ustalenia belek prostych można sprowadzić zwykle do kombinacji następujących teoretycznych rodzajów ustalenia jednego przekroju :

1.    Podpora ruchoma, jeżeli środek przekroju jest zmuszony do pozostawania na prostej, najczęściej na pierwotnej osi belki. Reakcję takiej podpory określa w płaszczyźnie jedna wielkość algebraiczna A (fig. 159).

2.    Podpora stała, jeżeli środek przekroju jest unieruchomiony. Do określenia reakcji potrzeba dwu wielkości algebraicznych, np. składowa prostopadła V i równoległa do osi H (fig. 160).

3.    Utwierdzenie ruchome, jeżeli położenie stycznej do osi jest ustalone w utwierdzonym przekroju, ale sam przekrój (a właściwie pewna część belki) może się jeszcze przesuwać np. w kierunku osi (fig. 161). Reakcję

• określają dwie wielkości: Moment utwierdzenia MA i składowa prostopadła do osi A.

4.    Utwierdzenie stałe, jeżeli ustalono nie tylko położenie stycznej do osi w przekroju utwierdzonym, lecz i jego środek. Reakcję określają trzy wielkości : Moment utwierdzenia MA ,oraz składowe prostopadła V i równoległa H (fig. 162).

Do ustalenia belki w przypadku dowolnych obciążeń, leżących w płaszczyźnie jej osi, wystarcza widocznie utwierdzenie stałe jednego przekroju. Wielkości podporowe MA, V i H dadzą się wówczas zawsze obliczyć z trzech warunków równowagi.

Utwierdzenie ruchome wystarcza tylko wtedy, gdy wypadkowa z danych obciążeń jest prostopadła do pierwotnej osi belki.

Trzecim przypadkiem podparcia statycznie wyznaczalnego jest widocznie kombinacja podpory stałej w jednym przekroju z ruchomą w drugim. Wszelkie inne kombinacje prowadzą wogóle do przypadków statycznie niewyznaczalny ch, tj. do liczby niewiadomych większej od trzech. Atoli w szczególnie ważnym praktycznie przypadku dwu podpór stałych przy obciążeniu, nie dającem składowej równoległej do osi, można, o ile belka

Fig.159.

Fig. 160.

« Fig. 161.

to

Fig. 162.

nie jest zbyt wiotka, pominąć wpływ składowych reakcyj równoległych do osi i bez wielkiego błędu traktować zadanie jako statycznie wyznaczalne, czyli „izostatyczne“.

Podobnież można zadanie belki w obu końcach stale utwierdzonej traktować przy powyższem zastrzeżeniu tak, jak gdyby jeden jej koniec był utwierdzony ruchomo, czyli uważać ją w przybliżeniu za podwójnie (zamiast potrójnie) statycznie niewyznaczalną, czyli „h iperstatyczną“.

Teorja linji ugięcia pozwala zawsze obliczyć wielkości „statycznie nie-wyznaczalne“ z warunków podporowych. Aby je znaleźć, wychodzimy z równania różniczkowego linji ugięcia i wyraziwszy moment zginający M w zależności od odciętej x oraz sił zewnętrznych, między któremi będą także wielkości statycznie niewyznaczalne, całkujemy je. Warunki podporowe wystarczają nie tylko do wyznaczenia stałych całkowania, ale także wszystkich wielkości statycznie niewyznaczalnych.

Prościej dochodzimy do celu drogą następującą:

Usuwamy zbędne ustalenia tak, aby otrzymać belkę statycznie wyzna-czalną i obliczamy kąty obrotu lub ugięcia przekrojów podporowych pod wpływem danych obciążeń. Następnie usuwamy te obciążenia i działamy na belkę nieznanemi siłami, zastepującemi zbędne ustalenia. Będą to bądź reakcje poprzednie usuniętych podpór, bądź też momenty usuniętych utwierdzeń. Uważając je za znane, obliczamy znowu odpowiadające ugięcia i kąty obrotów przekrojów podporowych. Z warunku, aby wypadkowe ugięcia

zbędnych podpór, albo kąty obrotu przekrojów, niepotrzebnie utwierdzonych, były równe zeru, łatwo obliczyć wielkości statycznie niewyznaczałne.

Przykład. Belkarównomiernie obciążona, wjednymkońcuutwierdzona, a w drugim ruchomo podparta.

Rozwiązanie I. Usuwamy zbyteczne utwierdzenie, wskutek czego belka staje się w obu końcach podpartą. Reakcje podpór są teraz obie równe    wykres mo

mentów jest parabolą А’ СB’ (fig. 163) a wykres sił poprzecznych prostą AlBl. Z równania linji ugięcia (lub według ust. 7, str. 77) obliczamy kąty obrotu przekrojów podporowych:

24 EJ'

#1 = #2 =

Ql²

5<7/

Г "fi.

о/ f.

r-Łl

Ql

ai.

3Ql

Fig. 163.

Na koniec A działamy teraz nieznanym momentem M0f który wywołuje w A i В do-datkowe reakcje równe — i -f- ~r~ i kąty obrotu przekrojów:

3I₀l

3 EJ’

Z warunku utwierdzenia, tj. -(- &l' = 0, czyli

Mal

= 0, wynika

24 EJ ‘ 3 EJ

M₀ =--— jP. Dla reakcyj otrzymujemy wartości wypadkowe:

2 i 2^8    8 *    2    8    8 ¹

zaś w wykresie sił poprzecznych prostą A/R/ równoległą do A[R₍.

Rozwiązanie II. Usuwamy podporę B, wskutek czego belka staje się jednym końcem utwierdzoną. Reakcja w utwierdzonym przekroju staje Bię teraz równą -f-ql, a moment ¹    qP

utwierdzenia równy — A—. "Wykres momentów zginających (fig. 164) staje się parabolą А" В o wierzchołku w B. Dla ugięcia końca В mamy wzór :

qP

Teraz działamy na tenże koniec siłą równą niewiadomej reakcji B, która sama wy-

BP

Tej'

woła ugięcie:

Z warunku: /,-{-/3 = 0 wynika:

fi— —

CC I 00

3

Odpowiadający moment podporowy w A równa sie -J- В l — — q P, a zatem wypad

kowy moment utwierdzenia w A:

M₀ = — ^-AjqP=— ~qB = A'A".

Łącząc linją prostą punkt A" z В otrzymujemy zakreskowany wykres momentów zginających ilościowo zgodny ze znalezionym poprzednio. Do identycznego z poprzednim wy-

KT\

■Cl

OD

'b.

-U-

oojco

Fig. 164.

kresu sił poprzecznych dochodzimy zaś odejmując od rządnych trójkąta ABC o wysokości ACz=ql rządne prostokąta o wysokości — q l.

43. Belka o końcach sprężyście utwierdzonych. Przy utwierdzeniu sprężystem obraca sie styczna podporowa (do linji ugięcia) o kat г>₀, który z wystarczającem przybliżeniem przyjmujemy jako proporcjonalny względem momentu podporowego M₀.

М₀=КЛ₀.

Spółczynnik К o wymiarze momentu mierzy „sztywność utwierdzenia“. Przy utwierdzeniu zupełuem (doskonaleni) K—oo, przy swobodnem podparciu К — 0. W wielu przypadkach można obliczyć К, np. : Belka pozioma A G (fig. 165) półramy A GB zachowuje się jak podparta w punkcie A, a sprężyście [utwierdzona w C. Słup zaś GB działa jako'belka podparta

A zatem:

Fig. 165.

w В i sprężyście utwierdzona w C. Pomijając wpływ sił podłużnych i poprzecznych na odkształcenie, mamy dla słupa В C kąt obrotu przekroju C pod wpływem momentu MQ w tymże przekroju :

3 R\

M₀ M₀ h

; a więc К

sztywność utwierdzenia К belki A C jest przeto tern większa, im większa jest sztywność zginania słupa, a mniejsza jego wysokość.

Jeżeli teraz belkę A C obciążymy równomiernie, to tenże kąt określi równanie :

ql³

M₀l

24 EJ 3 EJ’

A zatem:

M₀h

ql³

M₀l

3 E₁J₁ 24 EJ Ъ EJ'

E.J h'

z czego wynika :

Uwaga. Z powodu pominięcia wpływu sił podłużnych i poprzecznych nie można stosować tego wzoru przy bardzo małych wartościach h w stosunku do l.

44. Belka ciągła o stałym przekroju na sztywnych podporach o równej wysokości. Równanie trzech momentów (Bertot-Clapeyron).

Jeżeli liczba podpór jest większa od 2, to nazywamy belkę ciągłą. Podpory po sobie następujące 0, 1, 2,... (r — 1), r, {r -\- 1) ... n (fig. 166) dzielą belkę na przęsła o rozpiętościach llf ?₂,...    .. . ln. Belka ciągła bywa

przeto d w u-, t r z y-,... n-p rzęsłowa.

Obliczywszy dla każdego przęsła pomyślanego jako belka w obu końcach podparta reakcje A}. i Br (r wskaźnik przęsła), momenty zginające M° i siły poprzeczne T°, możemy obliczyć odpowiadające wielkości R, M, T dla belki ciągłej, jeżeli wyznaczymy wielkości momentów podporowych M₀,

Dla r-tego przęsła (fig. 167) mamy w przekroju odległym o r od lewej podpory :

Oft

fsjb

Fig. 166.

M = M° -j- M

lr — x

r—1

T= T°Ą

Reakcja r-tej podpory:

Rr = ^,4.1 + BrĄ

K+1-Xf

Mr - Mr

+1

Do obliczenia momentów, podporowych służą równania trzech mentów o postaci:

m o-

lr +

Ur, Г + 1.

Tutaj oznacza:

fi}. pole powierzchni momentów M° przęsła r-go przy dowolnem obciążeniu ; ar i br odległości środka tego pola od lewej i prawej podpory. Te równania w liczbie (n — 1) wystarczają do obliczenia (n — 1) momentów podporowych. W przypadku doskonałego utwierdzenia na podporach skrajnych przybywają nadto równania:

ЪМ₀1₁+М₁1₁ = -

K-i ¹п + *мп1п = ~

6 tłj by TT

ly    _    U°‘ ¹>

»i 4-1)

⁶ К an

nr,

r% n

oc

CS

,юярг>

Ar

Br

Л-

ft

Hr ,

'» 7

T-

or

a,

Hr i

TT

Sr' '‘‘-n

Qf-'t 7

‘■Sr.

r*--Ą

u._

a:

в,-

Я.ГЯ

lr.

Fig. 167.

które łatwo napisać według ogólnego schematu dla pomyślanego przęsła zerowego i 1-go, oraz dla przęsła n-tego i pomyślanego (n -j- l)-go, przyjąwszy + i = Oj    — ^« + 1 “

Jeżeli obciążenie każdego przęsła tworzy jedna siła skupiona Pr, odległa od lewej podpory o cr a od prawej o dr, tudzież obciążenie równomiernie rozłożone qr (kg/m) na całej długości przęsła, to:

4r •    __ 4rĄ-1

1 r . cr . dr (Jr ~j- cr) ]r + 1 . c,._j_ j . Oy_j. ! (lr _|_ j -f- cr _j_ -,)

h+l

45. Równanie dwóch momentów (31. Lévy). Niechaj M oznacza moment zgięcia w przekroju x'\lr — x przęsła r-go, zaś M' oznacza moment zgięcia w przekroju ж’— x' przęsła (r-\- !)• go; to jeżeli zachodzi związek:

• ¹ r±

z am

Korzyść z zastosowania równania dwóch momentów zamiast równania Bertot-Clapeyrona wychodzi na jaw dopiero przy 5-ciu lub więcej przęsłach i polega na tem, że znając wartość momentu zgięcia M w pewnym przekroju x danego przęsła znajdujemy odpowiadający przekrój x' w sąsiedniem przęśle z równania I, zaś moment M w tym przekroju z równania II, przyczem każde z równań jest równaniem o jednej niewiadomej. Idąc kolejno raz od lewej skrajnej podpory, drugi raz od prawej, gdzie M = 0, otrzymujemy w ten sposób w każdem z środkowych przęseł po dwa punkty zwane stałe mi, w których łatwo obliczyć momenty zapomocą równania II. Odmierzywszy znalezione momenty jako rzędne w tych punktach, otrzymujemy linję (prostą), ykającą wykres momentów w tem przęśle, narysowany przedtem dla przęsła pomyślanego jako belka w obu końcach podparta. Tą drogą znajdujemy najłatwiej łamaną linję, zamykającą wykres momentów na całej belce, która łączy dwie podpory skrajne.

D. Zginanie w połączeniu z siłą podłużną.¹)

(Mimoosiowe rozciąganie lub ściskanie.)

46. Prosty przypadek szczególny. Jeżeli siły zewnętrzne, działające na część pręta, odciętą rozpatrywanym przekrojem, sprowadzają się do siły podłużnej P i momentu zginającego M (fig. 168), to takie obciążenie przekroju jest statycznie równoważne z obciążeniem mimośrodkowem taka sama

/ m

siłą P, przyczem mimośród e = —— i leży w płaszczyźnie pary zginającej.

Ten

albo

K-

x'

lr+l~x'

x'

л+1=°

Hlr + b+г)

lr—X

wówczas M i M' czynią zadość równaniu dwóch momentów:

(M— M°)

K²

- + (m• — M'°)

X '

' ¹ r+ 1

x'

. II

K-

przyczem Urr_^_₁ ma to samo znaczenie, co w ustępie 44., a momenty przekrojach ж i ж* sa wielkościami znanemi, obliczonemi jak dla belek w obu końcach podpartych. Znając zatem w jednym przekroju x pewnego przęsła wielkość momentu M, obliczymy z równania I położenie „odpowiadającego“ przekroju x' w przęśle sąsiedniem, a z równania IIwielkość momentu M' w temźe przęśle. Oznaczywszy wartość stosunku podziału lr — x

—— = К zaś

M° i Mro w

xr

Jcr_|_ t mamy z wzoru (1) ogólnie:

przypadek zachodzi najczęściej u prętów pionowych czyli słupów. Jeżeli zatem mimośrodkowe obciążenie Pleży w płaszczyźnie głównej słupa, czyli trafia w główną centralną oś bezwładności przekroju, to obrawszy ją za oś Y, obliczymy naprężenie normalne a przy pomocy zasady superpozycji jako sumę:

Р Ж    P

° = ±Т±~Тгу = ±Т±

P. e

J7y-

Pierwszy wyraz oznacza tutaj naprężenia, wywołane obciążeniem środ-kowem P, drugi zaś naprężenie, wywołane momentem zginającym M—P. e, przyczem osią objętuą (zginania) jest oś Z. Znak obu wyrazów odpowiada przypadkowi siły ciągnącej P w punkcie leżącym na dodatniej części osi Y. Rozmieszczenie naprężeń wzdłuż osi Y (lub jakiejkolwiek prostej równoległej do niej) przedstawia wykres, trapezowy (fig. 169), jeżeli w całym obszarze przekroju ma a ten sam znak algebraiczny. Pomyślana oś obojętna (linja zerowa) leży wówczas zewnątrz przekroju. Natomiast wykres ten składa się z dwu trójkątów, jeżeli o zmienia znak na obszarze przekroju. Odpowiadająca oś obojętna przecina wtedy przekrój, dzieląc go na część rozciągana

Z\i

Fig.169

C-

a.

Fig.170.

j/Yii V

зетиШ i

EB-r

»

Fig. 171.

Fig. 168.

Fig. 172.

i ściskaną (fig. 170). W przypadku granicznym staje się wykres trójkątem (fig. 171); linja zerowa dotyka wtedy konturu przekroju nie przecinając go. Gdy np. przekrój jest prostokątem o wymiarach b . A, to wypadek gra-

1ъ    \\/

niczny zachodzi przy e = + —. Jeżeli zatem jest liczebnie e<—,

to na

prężenia nie zmieniają znaku w przekroju. To prowadzi do reguły, przestrzeganej odnośnie do murów na zaprawie wapiennej, aby wypadkowa z obciążeń przekroju nie wychodziła ze środkowej trzeciej części grubości muru. Ta reguła ma na celu uniknięcie ciągnień, na które zaprawa wapienna jest mało wytrzymała.

47. Przypadek ogólny. Jeżeli płaszczyzna pary zginającej nie przechodzi przez jedną z głównych osi bezwładności przekroju, czyli gdy środek obciążenia P nie trafia żadnej z tych osi Y i Z (fig. 172), lecz ma spół-rzędne (u, v), to moment zginający P. e rozkładamy na dwa momenty M₂ — P. u i My = P. v zginające odpowiednio w płaszczyznach XY i XZ, a naprężenie a w dowolnym punkcie przekroju o spółrzędnych (y, z) obliczamy według zasady superpozycji jako sumę:

P , мш

P. u

Pv

У-f

Jy '*

Ponieważ Jz — F i‘l, Jy — F i * (i , ig odpowiadające ramiona bezwładności), przeto:

Jy

^(-4

Kładąc a — 0, otrzymujemy równanie odpowiadającej linji obojętnej :

V . z

i*

0.

i ' ly

a zatem

Ta linja wyznacza na osiach Y i Z odcinki —-,

ze względu na środek przekroju O leży po przeciwnej stronie niż środek obciążenia (u, r) i to tern bliżej O, im większe u i v, czyli im większe e. Równanie Culmannowskiej elipsy bezwładności przekroju ma postać:

7]²

i 2 lV

i.

Z obu ostatnich równań łatwo odczytać następujące prawidła:

1.    Kierunek linji obojętnej jest sprzężony z kierunkiem mimośrodu obciążenia ze względu na elipsę bezwładności przekroju.

2.    Gdy środek obciążenia znajduje się na obwodzie Culmannowskiej elipsy bezwładności, to odpowiadająca linja obojętna jest styczna do elipsy w punkcie leżącym na przeciwległym końcu średnicy 2 p.

3.    Gdy środek obciążenia Poddała (zbliża) się od środka przekroju O po prostej, przechodzącej przez O, to odpowiadająca linja obojętna porusza się równolegle i zbliża do (oddala od) O tak, że KO.OP— stałej = p² (K jest punktem przecięcia linji obojętnej z prostą O P, zaś p połową średnicy elipsy leżącej na OP).

Zważywszy, że taki sam związek (KO . OP= p²) zachodzi między punktem Pjako biegunem, a prostą l jako biegunową, przecinającą średnicę o kierunku O P w punkcie K, przyczem jednak К i Pleżą po tej samej stronie środka elipsy O, nazywamy linję obojętną przeciwbiegunową punktu P i nawzajem ten punkt przeciwbiegunem dla owej linji. Przenosząc znane z geometrji twierdzenie o biegunach i biegunowych krzywych rzędu drugiego do środka obciążenia i linji obojętnej jako przeciwbieguna i przeciw-biegunowej, otrzymujemy prawidła następujące :

1.    Każdemu punktowi płaszczyzny przekroju, uważanemu za środek obciążenia, odpowiada jako oś obojętna przeciw-biegunowa tego punktu względem Culmannowskiej elipsy bezwładności; nawzajem każdej dowolnej prostej na płaszczyźnie przekroju, uważanej za oś obojętną odpowiada prze-ciwbiegun tej prostej jako środek obciążenia.

2.    Gdy środek obciążenia porusza się na dowolnej prostej, to odpowiednia oś obojętna obraca się około przeciwbieguna tej prostej i nawzajem:

3.    Gdy oś obojętna obraca się około dowolnego punktu, to odpowiedni środek obciążenia porusza się na przeciw-biegunowej tegoż punktu.

48. Rdzeń czyli jądro przekroju. Tak nazywamy miejsce geometryczne wszystkich środków obciążenia, które w danym przekroju wywołują naprężenia tego samego znaku. Ażeby tedy znaleźć dowolną liczbę punktów konturu rdzenia, kreślimy dla przekroju Culmannowską elipsę bezwładności i dowolną liczbę prostych nie przecinających przekroju, lecz mających z jego

konturem przynajmniej jeden punkt wspólny. Wyznaczywszy na podstawie związku KO. OP— p² przeciwbieguny tych prostych mamy tyleż punktów konturu rdzenia.

Jeżeli kontur przekroju jest wielobokiem wypukłym, to każdemu bokowi jako linji obojętnej odpowiada punkt jako wierzchołek wielokątnego konturu rdzenia.

Z\c

\T

“1

W;

■V

\\

Fig. 173.

Jeżeli kontur przekroju jest wklęsły między punktami A i В (fig. 173), to łączymy je prostą AB, a odpowiadający jej przeciwbiegun e jest wierzchołkiem konturu rdzenia.

Wykreślenie Culmannowskiej elipsy bezwładności nie jest koniecznie potrzebne do konstrukcji rdzenia. Można ją oprzeć na równaniu linji obojętnej w postaci odcinkowej :

и-

przyczem b = —

Przedłużywszy np. prostą AB aż do przecięcia się z osiami bezwładności Y i Z, znajdujemy odcinki b i c, a z nich obliczamy lub wyznaczamy wy-kreślnie zapomocą znanej konstrukcji (fig. 174):

Fig. 174.

1г

49. Wyznaczenie naprężeń skrajnych przy ukośnem zginaniu przy pomocy rdzenia przedstawia się w nadzwyczaj prosty sposób. Płasz-

czyzna obciążenia, wywołującego zgięcie, wyznacza dwa promienie rdzenia

ОКг = кл i O K₂—k₂ (fig. 174 a). Naprężenia we włóknie skrajnem, leżacem po przeciwnej stronie punktu К (względem O), określa wzór:

Fkt

i podobnież dla punktu K₂. Wzór powyższy prowadzi do uogólnienia wielkości geometrycznej zwanej modułem przekroju TV) która w przypadku prostego zgięcia określa się jako iloraz momentu bezwładności przez odległość włókna skrajnego od osi obojętnej. Teraz zaś mamy:

W₁—Fk₁, W₂ = Fk₂,

czyli moduł przekroju przy zginaniu równa się iloczynowi pola przekroju przez odpowiadający promień rdzenia.

ii

II

50. Przypadek przekrojów nieprzeno-szących ciągnień. W szwach słupa murowanego bez zaprawy nie mogą oczywiście powstać ciągnienia, chociażby środek obciążenia leżał poza rdzeniem przekroju [nie wychodząc z wnętrza figury (obwiedniej) przekroju ze względu na ogólne warunki równowagi]. Każdemu środkowi obciążenia P odpowiada i w tym przypadku jednoznacznie określona oś obo-

zarazem

jętna, jeżeli również przyjmiemy linjowe prawo roz- N. kładu ciśnień, jako najprostsze i prawdopodobnie najczęściej wielce zbliżone do rzeczywistości. Atoli wyznaczenie osi obojętnej dla danego środka obciążenia nie da się ująć w ogólne i proste prawidła, podobne do podanych powyżej w przypadku zdolności przekroju do przenoszenia tak ciągnień jak i ciśnień. Natomiast bardzo łatwo rozwiązać zadanie odwrotne, tj. znaleźć środek obciążenia, odpowiadający danej osi obojętnej.

Ich wzajemną zależność można określić w następujący sposób: Pomyślmy sobie (fig. 175) figurę przekroju w takiem położeniu, aby jej część F\ narażona na ciśnienie, była zanurzona w płynie aż po oś obojętną NN'-, wówczas środek naporu hydrostatycznego na F' jest zarazem środkiem obciążenia P.

[Ten środek jest zarazem środkiem wahnienia jednolitej ciężkiej figury F', obracalnej około poziomo ustawionej osi NN'].

Odległość т]и środka P od osi N'N' określa wtedy równanie

Jn (moment bezwładności ściskanej części przekroju względem N N)

/6?;

fi

W i

Fig. 174 a.

Fig. 175.

Sn (moment statyczny ściskanej części przekroju względem NN')

To równanie wystarcza do rozwiązania zadania w przypadku, gdy oś obojętna jest prostopadła do osi symetrji przekroju jak np. :

A. W przekroju prostokątnym obciążonym siłą osi P na osi symetrji

(fig. 176) w odległości d <-g- b od boku h, leży odpowiadająca oś obojętna

NN' w odległości r\n = 2 d od P. Szerokość ściskanej strefy =«= 3 d. Skrajne ciśnienie :

01 = 2 3łd⁼²°"'

jeżeli o₀f oznacza średnią wartość ciśnienia w tej strefie. Ta wartość jest P

widocznie większa od a₀ = —-, czyli średniej wartości ciśnienia w całym przekroju.

B. Inne przypadki. 1.) Oś obojętna odcina trójkąt jako przekrój „skuteczny“. Jeżeli środek obciążenia P (fig. 177) leży dość

г*----3d

•*~7n

Fig. 176.

no

4^

o'⁰

ip*

sW

-4u

r\w

Fig. 177.

blisko wierzchołka W, w którym się schodzą dwa proste boki WR i JFN, ograniczające przekrój, wtedy łatwo znaleźć ściśle odpowiadającą oś obojętną zapomocą konstrukcji następującej :

Prowadzimy z P prosta PP' || S W i PF" Il RW, odcinamy 1РЛГ' =

= 4 PP" = 4 u i WN" = PP' = 4®.

Prosta N'N" jest szukaną osią obojętną, o ile punkty N¹ i N" wypadają na odpowiadających bokach, a nie na ich przedłużeniach. Największe Ç ciśnienie ow w wierzchołku W:

0

IL

Yt

» /<7*

» U**

W?

8 « p sin a '

2. Oś obojętna NN' odcina trapez NN’BA (fig. 178) jako „skuteczną“ część przekroju AB CI). Aby znaleźć środek obcią-A N

żenią, odcinamy AK= —-—

O

i łączymy К z 0. Następnie obliczamy długość odcinka x₀ z wzoru:

3 хг*—xt*

X° 4 aą³—x₂³

i wstawiamy ten odcinek między proste ABiNN' równolegle do xx i x₂. Jego punkt przecięcia się z prostą К 0 jest szukanym środkiem obciążenia P. Czasami dogodniej obliczyć i odmierzyć wielkość y₀ z wzoru:

,. ₌ Урт = Ü1 r _ JL ÏL . ж1⁴~ж2⁴

a?!    ⁰    °    4 X\ Xx³ — x₂

''Hi

V'

Fig. 178.

Największe ciśnienie w punkcie A znajdujemy z wzoru :

gA =

6 Px^

2/i (»1⁸ — ^2⁸) ’

C. Przekrój prostokątny w przypadku ogólnym. Linje wy-znaczne. Zależnie od położenia środka obciążenia będzie skuteczna część

przekroju mieć jedną z postaci zakreskowanych na fig. 179.

Pierwsza z nich (/) zajdzie, gdy środek obciążenia znajduje się na jednem z czterech 'pól prostokątnych przywierzchołko-wych, oznaczonych na fig. 180 przez I. Wtedy rozwiązuje się zadanie jak w B. 1.

W przypadku II jest skuteczna część przekroju trapezem, a odpowiadający środek obciążenia musi trafić jedno z czterech pól, oznaczonych na fig. 180 przez II. Kozwiązanie zadania mieści się w B. 2.

Przypadek III zachodzi, gdy środek obciążenia znajduje się w jednem z czterech pól, przylegających do rdzenia i oznaczonych przez III na

fig. 180. Skuteczna część przekroju jest teraz pięciobokiem. Linje rozgraniczające pola częściowe przekroju _ I, II, III wraz z rdzeniem nazywają 1 inj ami wy znacznem i. î D. Wykreślne wyznaczenie — osi obojętnej w przypadku, gdy śro-i dek obciążenia leży na osi symetrji £ przekroju. Dany przekrój (fig. 181) J 4 dzielimy na wąskie paski prostopadłe г*I do osi symetrji i kreślimy wielobok ¹ I sznurowy fikcyjnych ciężarów tych pasków, podobnie jak się to robi dla wyznaczenia momentu bezwładności sposobem Mohra. Kierunek długości pasków, a zarazem kierunek fikcyjnych sił, jest równoległy do osi Y. Przez dany środek obciążenia P prowadzimy następnie prostą o tymże kierunku aż do przecięcia się z przedłużeniem A C skrajnego boku wieloboku w punkcie G. Z tego punktu wykreślamy bok zamykający GED tak, aby pola AGE i EJD (zakreskowane) były równe. Wtedy prosta, przechodząca przez D i równoległa do Y, jest szukaną osią obojętną, odpowiadającą środkowi obciążenia P. Dowód wynika z równania określającego odległość P od osi obojętnej ilorazem Jn / Sn. Ponieważ Jn = iloczynowi pola figury AE J D C przez 2 H (H odległość biegunowa), a figurę tę przekształciliśmy na równoważny A DG C, przeto Jn

Fig. 179.

:C0|O

U-

■NO

3.

FH

km

ßOolQ

Fig. 180.

ro

zważywszy zaś, że Sn = b H, otrzymamy :

Jn

bh H

Sn

bil

—- h.

Ażeby znaleźć skrajną wartość naprężenia cą w punkcie B, obliczamy średnią wartość naprężenia o , dzieląc obciążenie P przez pole F' przekroju

skutecznego i wyznaczamy następnie środek ciężkości tego pola S'. Wystawiwszy w tym punkcie rzędną o , otrzymamy Oj z wykresu linj owego

KLM.

Uwaga. Gdy środek obciążenia nie leży na osi symetrji przekroju, to odpowiadającą oś obojętną można znaleźć tylko przez próby.

V. Praca odkształcenia.

51. Energja potencjalna (praca odkształcenia) prętów (belek) prostych, a) Przy działaniu samej siły podłużnej N (rozciągającej lub ściskającej) określa według ustępu 13 energję potencjalną elementu pręta o długości ds wyrażenie:

1 N2 Y EF

b) Przy działaniu samej siły / poprzecznej T jest (w zwykłych przypadkach symetrji przekroju ^— względem płaszczyzny obciążenia) : 'ч

d L = -g- T. ß. d sf

przyczem ß jest średnią wartością kąta odkształcenia postaciowego w całym przekroju. Ta wartość da się przedstawić w postaci:

ШЧ-,

ds — dL.

Uf

, T

G.F'

I41

<27

(Гг

Fig. 181.

Jt2

d U — 2 G F

Wartość y.' znajdujemy z porównania' tego wyrażenia z wyrażeniem dla d V w postaci :

A zatem :

ds = d L

(96)

dU

= ds

T²

YGiF'

(F)

przekroju, wykonamy całkowanie na ob-

jeźeli, znając rozmieszczenie t w szarze pola F.

c) Przy działaniu samego momentu skręcającego Ms mamy:

d L = — Mg ,dtp,

jeżeli dy jest kątem skręcenia na długości ds (str. 1113). Zważywszy, że

jeżeli Г = GJ ed oznacza sztywność skręcenia, mamy:

1

dL

2 G-3ied

ds — d U

. (96')

przyczem :

,/red = Jp dla przekrojów okrągłych, 'A-ed

ll4

dla przekrojów pełnych, wymienionych na str. 1114,

'^red

cv> — ^ h • 8 ³ dla przekrojów składanych z o

l

wąskich prostokątów

o długościach hi i szerokościach

(Dla przekroju rurowego prostokątnego podano przybliżoną wartość JteA na str. 1116.)

d) Przy działaniu samego momentu zginającegoMw płaszczyźnie głównej jest

dL — ^-M.ćUp = -Lm -1 M²

- (por. wzór D, str. 1122), czyli

dL

2 EJ

■ ds = d U

(97)

We wszystkich powyższych przypadkach ma wyrażenie dla energji potencjalnej elementarnego odcinka pręta o długości ds postać:

dU

1 (siła lub moment)²

„sztywność“

■ ds

(97 a)

mo-

przyczem sztywność pręta w rozpatrywanym przekroju mierzy iloczyn dułu sprężystości E, względnie G, przez wielkość geometryczną o wymiarze pola F, lub momentu bezwładności J, zależnie od tego, czy w liczniku jest (siła)², czy też (moment)². Mamy tedy:

~.GF =

EF = sztywność rozciągania lub ściskania, ścinania,

EJ

G4ed =

zginania, skręcania.

Przy jednoczesnem działaniu siły podłużnej N, poprzecznej T, momentu skręcającego Mg i zginającego M, otrzymujemy (dzięki poczynionym założeniom upraszczającym) :

1 M²

2 EJ

d s -[■

1 N²

2 EF

d s -f

M²,

rp->

ds + Y'/~GFdS

• (79 b)

² ^'^red

Gdyby w jeszcze ogólniejszym przypadku moment zgięcia nie leżał w płaszczyźnie głównej przekroju, to rozłożywszy go na dwa momenty składowe Ml i Мг w płaszczyznach głównych, otrzymalibyśmy zamiast pierwszego wyrazu w powyższym wzorze dwa na-

1    MJ 1

2    EJV ^ 2 EJ2 bezwładności przekroju.)

Uwaga. Powyższy wzór stosuje się z dostatecznem przybliżeniem do obliczenia energji potencjalnej prętów zakrzywionych (łuków), o ile promień krzywizny jest dość wielki w porównaniu do wymiarów przekroju, czyli jest ważny dla prętów słabo zakrzywionych.

52. Energja potencjalna (praca odkształcenia) układu sprężystego. Gdy układ jest złożony z prętów prostych lub słabo zakrzywionych, to wyznacza się dla każdego z prętów siłę podłużną (normalną) J\r, poprzeczną T, moment zgięcia M i moment skręcenia Mg (jako funkcje spółrzędnych środka

stępujące :

• (Ju J-i oznaczają przytem odpowiadające główne momenty

przekroju) i stosując wzór (97, b) dla energji potencjalnej elementu o długości ds, sumuje sie wyrażenia dU dla całego układu.

Jeżeli punkty działania a, b,... m, n, ... sił Pa, Pb, ... Pm, Pn, ... doznają przesunięć sprężystych 8a, ob . . §w, on . ..¹), przyczem :

1.    materjał układu podlega prawu Hooke’a i

2.    działania sił zewnętrznych są od arbie nawzajem niezależne, tj. zachodzi zasada superpozycji, natenczas:

= ?Jrna Ра~Г^тЬ-РЪ~\г • • • + Km-Pm +    + " •

h = ^apk

. .(98)

(», Je — a, b, c,... m, n ...)

a więc przesunięcia („ugięcia“) są linjowemi jednorodnemi funkcjami sił zewnętrznych, nadto zaś

czyli

(98 a)

czyli energja potencjalna jest jednorodną kwadratową funkcją sił zewnętrznych.

W obu powyższych twierdzeniach można którąkolwiek z sił Pi zastąpić przez moment Mp a odpowiadające przesunięcie przez kąt obrotu tp. przekroju, na który działa moment. Twierdzenia te stosują się zatem do uogólnionych sił i uogólnionych przesunięć. Spółczynniki 8rt, zależne jedynie od postaci i materjału układu, nazywamy wielkościami (liczbami) wpływowemi tego układu. Skoro bowiem na układ działa tylko jedna siła zewnętrzna, np. Pm (wraz z reakcjami nieruchomych punktów podparcia), przyczem P„t= 1, to 8И = 8wn czyli bmn określa wpływ jednostki siły umieszczonej w przekroju (punkcie) m na ugięcie w przekroju n. Rozwiązawszy równanie (98) względem sił Pk otrzymujemy te siły jako linjowe funkcje przesunięć, a po wstawieniu tych wyrażeń w równanie (98 a) przekonywamy się, że energja potencjalna układu jest także jednorodną kwadratową funkcją uogólnionych przesunięć (uogólnionych spół-rzędnych).

Przykład. Na końcu A belki А В (fig. 182) swobodnie podpartej działa moment (zginający) Mi,zaś na środek siła P₂. Z równania linji ugięcia znajdujemy kąt obrotu przekroju A:

« _ M'¹ i fiP

¹    3 EJ '    16 EJ ’

zaś ugięcie pod siłą P₂:

.    ■ J_ MiP P,P

/ł 16 ' EJ ^ 48 EJ ’

A zatem praca odkształcenia :

L= l.tfi + jP,/,«

(м,. +1,. M,. л + n v) - ” ■ " (A- - (4 Л + Ц /.’ )•

Ml

Lr

»I -

Mb

Fig. 182.

6 EJ

Uwaga. Jakkolwiek w praktycemamynajczęściej doczynienia z przypadkami, w których uogólnione przesunięcia i siły podlegają zasadzie superpozycji, to jednak pamiętać należy o przypadkach wyjątkowych, w których ta zasada nie zachodzi, w których zatem energja potencjalna układu nie jest jednorodną kwadratową funkcją uogólnionych sił, względnie przesunięć. Jeden z najważniejszych przykładów stanowi belka zginania i jednocześnie ściskana podłużnie. (Por. rozdz. IX., A)

53. Twierdzenie Castigliano’a. Jeżeli energję potencjalną U układu sprężystego przedstawimy w postaci funkcji uogólnionych sił zewnę-

l) Wielkości ó oznaczają tutaj składowe całkowitych przesunięć, wzięte w kierunku odpowiadającej siły P.

trznych jako zmiennych niezależnych/), a funkcja ta jest kwadratową jednorodna, to

czyli

3 U _ .

¹

) W tym rozdziale pominięto ważną kwestję wpływu sił ściskających lub rozciągających pręt podłużnie na zginanie główne, wywołane momentami poprzecznych. O tem będzie traktować rozdział IX.

a i\ *

pochodna cząstkową energji potencjalnej układu względ jakiejkolwiek (u ogólni on ■ i) siły zewnętrznej równa się odpowiadającemu przesuń! Ли.

P,

[Przymiotnikiem „odpowiadający“ określamy w przypadku siły Pi składową кj przesunięcia jej punktu dzia-\ ² łania, wziętą w kierunku siły; w przypadku zaś momentu (pary sił) kąt obrotu przekroju, względem osi równoległej do wektora momentu.]

'4

Pig. 183.

Przykład. Na swobodny koniec belki prostej, doskonale utwierdzonej drugim końcem, (fig. 183) działa siła P₂ i para zginająca o memencie M₂. Chcemy obliczyć ugięcie / i kąt obrotu û₂ przekroju końcowego oraz ugięcie/, i kąt #, przekroju odległego o a od końca (przekroju a). Pomijając wpływ sił poprzecznych, mamy:

V = T / TI

dx,

przyczem

M = M₂ + P₂x.

A więc :

Ir

3p,

EJSM' dp₂ dX Ejj

(M₂ -j- P₂ x) X d X =

m₂ p    i\ p

2 EJ    3 EJ’

3 м₂

з м%

dx= Tl (Ml + r*x)dx=TT

, f,P

2 EJ"

Ażeby obliczyć /, i #, wprowadzamy pomocniczą siłę P, i parę Mx w przekroju a. Wyrażenie dla energji potencjalnej będzie teraz sumą dwu części, odpowiadających przedziałom belki I i II, a mianowicie :

EJ

CA

Г Mif

EJ

d x.

A zatem :

du

Эр,

-h

ML Э Щ

s*4u+

мц а мп

EJ

Эр,

dx —

= ° + Tj

[.¥, -f- M₂ -j- P, (x — a) -j- P₂x] (x — a) dx.

Kładąc dalej wielkości pomocnicze P, = 0, M, =0, otrzymujemy:

■    21 + а

м У- а)'

EJ [Щ 2

Podobnież mamy:

bu

'Mn дmu

дм₁

dx =

° EJ

[■Æfi +■    + P\ {pc — я) P^x\. 1 . d xy

z czego po podstawieniu M.v = 0, P, = 0 i scałkowaniu:

» ⁼ T7 К(ł“ a) + 7 ^ (гг-«*)]•

54. Zasada najmniejszóści pracy odkształcenia wypływa jako wniosek z twierdzenia Castigliano’a. Pomiędzy danemi obciążeniami jako siłami zewnętrznemi, a nieznanemi reakcjami podpór lub siłami wewnętrznemi układu, zachodzą związki określone warunkami równowagi. Jeżeli liczba r od siebie niezależnych równań równowagi jest mniejsza od liczby tych niewiadomych m, natenczas przez m—r niewiadomych, zwanych wielkościami hiperstatycznemi (lub statycznie niewyznaczalnemi), dowolnie zresztą obranych, da się wyrazić r pozostałych wielkości. Oznaczywszy obrane wielkości hiperstatyczne przez X, Y, Z,. . . mamy:

b_U_    3J7    <UŁ__

3X~°’ 3 F    b Z ° •

(102)

jako dodatkowe równania warunkowe, warunkami równowagi wystarczają do obliczenia wszystkich reakcyj, lub sił ł10 wewnętrznych. Te równania są wyrazem następującego prawidła :

Wielkości

które wraz z

jĄ Q    ?    *    -

f. I fflllIlUlllllllllllllllllllIllIllllllllllTnïïïïiï в

-1--

hiperstatyczne mają wartości odpowiadające najmniej szóści pracy odkształcenia (energji potencjalnej) układu sprężystego.

Przykład. Belka pozioma AB (fig. 184), obciążona równomiernie qkg/m, utwierdzona doskonale końcem A, opiera się (przegubowo) końcem В na słupie ВС o wysokości h i przekroju F. Szukane reakcje dostarczają trzech niewiadomych: momentu utwierdzenia M₀, pionowej reakcji podporowej A i takiejże reakcji w В i O. Tę ostatnią obieramy za wielkość hiperstatyczną X. Wtedy reakcja A = ql~~ X (według warunku

rzutów), a M₀ = — Г~ -)- X l (według warunku momentów).

Energja potencjalna óelki (z pominięciem wpływu sił poprzecznych):

ШШШ.

Fig.'184.

Ut = ~ j j— d X, przyczem M — X x — o

qx¹

Energja potencjalna słupa:

и-l EJi

г 2 ' E'.F'

Warunek minimum daje:

_[M 9 M

Jej d x x

E' F '

Po wstawieniu -— — x, ecaikowaniu i rozwiązaniu wzglądem X znajdujemy:

ом

3 EJ. h'

E'F. P

3

Gdy w szczególności h = 0, to podpora В staje się stalą, a X — —ql. Im większa jest

wysokość słupa h i sztywność zginania belki EJ, a zarazem im mniejsza jest sztywność ściskania słupa i rozpiętość belki l, tern mniejsza część obciążenia q l przenosi się na podporę B.

Uwaga. Jeżeli jeden z punktów podparcia, np. odpowiadający hiperstatycznej reakcji X, doznał niezależnie od obciążeń małego przesunięcia składowego óx w kierunku X, np. z powodu niedokładności wykonania konstrukcji, to odpowiadające równanie warunkowe z (102) zamieni się na następujące :

Niechaj np. w zadaniu powyżej rozpatrzonem będzie podpora C osadzona o dx za wysoko lub za nisko. Wówczas:

3 U XP    1 qP X.h _

5 if 3 EJ    8 EJ ⁺ E’F~—X'

X — — q l.

a stąd :

, 3 EJ , + p óx-

E’F.P

55. Wpływ ogrzania na energję potencjalną obciążonego pręta prostego, a) Wskutek równomiernego ogrzania o t° C elementarnego odcinka pręta o długości d s, zwiększa się ta długość о Д ds — a . t. ds, jeżeli a oznacza spółczynnik termicznego wydłużenia materjału. A zatem siła podłużna N jako siła wewnętrzna wykona przytem pracę:

d Lt = N. a . ł. ds,

1 N¹ 2

którą trzeba dodać do energji potencjalnej

ds, ażeby otrzymać całkowitą energję potencjalną, nagromadzoną w elemencie o długości d s, tj.

2 EF

war-

Fig. 185.

przyczem t₀ oznacza temperaturę stwy obojętnej, t i td górnej i dolnej warstwy skrajnej, zaś h wysokość belki (fig. 185), natenczas wewnętrzna siła podłużna N wykona dodatkową pracę N. a . ł₀ . ds, zaś moment zginający M dodatkową pracę M. d <p^.

<S —

¹9t

(Momenty i siły poprzeczne nie wykonywa przytem pracy.)

b) Skoro tenże element belki ogrzeje się nierównomiernie tak, iż temperaturę t włókna odległego o v od osi obojętnej określa równanie linjowe:

*g ~ łd

t = t₀ + v .

Kąt

« (Pg— łd) • dx

(105)

określa przytem wzajemne nachylenie obu końcowych przekrojów elementu, wywołane ogrzaniem. A zatem dodatkową pracę d Lt, o którą zwiększa się

energja potencjalna d U elementu, określa równanie:

M. a . (t td)

dLt

ds -f- N. a . t₀ ds • • • • (105 a)

Uwaga. Każdy z wyrazów dodatkowej pracy może wypaść dodatni lub ujemny zależnie od tego, czy siły wewnętrzne działają zgodnie z odkształceniem termi-cznem, czy też przeciwnie. Skoro np. moment zginający działa tak, że górne włókna są rozciągane a dolne ściskane, to przy tg>td będzie d Lf dodatnie.

Przykład. Belka, obu końcami doskouale utwierdzona, zmieniła temperaturę włókna górnego i dolnego (fig. 186) odpowiednio o l^i td; obliczyć wy wołany przez to moment utwierdzenia M₀ i siłę podłużną X.

Dla pracy odkształcenia (wskutek niewiadomych) sił zewnętrznych mamy wyrażenia:

YiLH. ,

2 EJ ' T 2 EF ' ’

Fig. 186.

zaś dla pracy dodatkowej :

*g+łd

+ ■%

a(łg-łd)-¹

+ X.at₀l,

przy założeniu przekroju o wysokości h symetrycznego względem

osi obojętnej. Przyró wny w ująć pochodne sumy obu prac względem wielkości statycznie niewyznaczalnych M₀ i X do zera, mamy:

9 U _M₀l a(łg~łd)¹

b~Ma~~~EJ ⁺

przyczem t₀ — ——

EJ

= 0, czyli M₀ = — — a(tg — td),

= -jrw ■ * + « l — °> czyli X = — E F. a ,t₀.

56. Zasada wzajemności przesunięć. Prawa Betti’ego i Maxwell’a. Jeżeli (uogólnionym) siłom P(l, Ph, Pc, .. .Pm, Pn,. .., działającym na punkty (przekroje) a, b, c, .. .m, n, ... układu sprężystego, odpowiadają przesunięcia 8n, % bc, .. . 8m, 8n, .. . tychże punktów, innej zaś grupie sił P’a, P'b] . ..P'm, . .., działających na te same punkty, odpowiadają przesunięcia §', bb,... b'm,..natenczas zachodzi równanie :

P.K+ ЗД+ • • ■ - KK+ ПЧ+.........<«>«)

Эх

wyrażające uogólnione przez Betti’ego (1876) prawo wzajemności przesunięć. Ponieważ

⁸)⁼⁵t»fa+ hbrb + • • • + ?Jii Pi +    • •Pś+ • ••

4= bkaK-\~ %kb • ^6 + • • • + P'Æ %kk-Ą-\- • ■ •

przeto przyjąwszy, że wszystkie siły są równe zeru z wyjątkiem P^= 1 i podobnież, że wszystkie P¹ są równe, z wyjątkiem PJ = 1, otrzymujemy z równania (106) :

(106 a)

czyli prawo Maxwell’a (1864): Wpływ siły Pk na przesunięcie punktu działania siły Pi w jej kierunku jest taki sam, jak wpływ siły P- naprzesunięcie punktu działań ia siły Pk w kierunku tejże siły Pk.

Przykład. Siła pionowa P₈- = 1, działająca w dowolnym przekroju i belki poziomej ramy (fig. 187), opartej na przegubie stałym A i poziomo przesuwalnym B, wywołuje przesuniecie poziome 6bi tego przegubu. Nawzajem siła pozioma Pb—1, działająca na B, wywołuje ugięcie pionowe przekroju i o wielkości S^b — ôb г.

Ta suma jest znana,

I. Jeżeli obie podpory ramy są przegubami stałemi, to obciążenia pionowe belki wy-wołują w tych przegubach reakcje o składowych pionowych statyczuie wyznaczalnych, lecz niewyznaczalnej składowej poziomej X (parcie poziome). Do jej obliczenia posłuży zasada superpozycji w połączeniu z prawem Maxwell’a. W tym celu czynimy najpierw przegub В przesuwalnym i działamy nań siłą poziomą = 1. Ta siła wywołuje przesunięcie poziome tego przegubu <5^ i przesunięcie pionowe punktów <5^. Można je wyznaczyć rachunkowo lub wykreślnie. Następnie obciążamy belkę ramy siłami pionowemi Pt, które wywołają przesunięcie poziome przegubu В o wielkości

i

gdyż dzięki prawu Maxwell’a jest <5дг- = 6^.

Przy jednoczesnem działaniu obciążeń Pj i siły poziomej X (w przegubie B)f powstanie na zasadzie superpozycji poziome przesunięcie przegubu В o wielkości:

f Р(*ы-х*ьь,

P--t

W- ’//? У / / // •

Fig. 187.

które musi się równać zeru, jeżeli X jest poziomą reakcją przegubu В zupełnie ustalonego względem A. Bównanie warunkowe:

XPiôbi-Xôbh = 0

pozwala wtedy obliczyć wartość reakcji poziomej, wywołanej dowolnem obciążeniem w przypadku przegubów zupełnie ustalonych.

II. Uwzględniając ogrzanie (równomierne) całej ramy, które w przypadku swobodnej przesuwalności przegubu В spowodowałoby jego przesunięcie o Sb t w kierunku — X, mamy równanie warunkowe dla X:

Z Pi ôbi +⁶bł~X • ôbb = °-

l

Ul.

Przyjmując, że ustalenie przegubów nie jest zupełne, przyczem wskutek poddania się podpór lub jakichkolwiek innych przyczyn zachodzi przesunięcie przegubu В o 6b w kierunku — X, otrzymujemy jako równanie dla X:

X Pi ^bi ’ x • dj ъ ⁼ °-

î

Uwaga, ściała ważność zasady wzajemności przesunięć jest oczywiście związana z ważnością zasady superpozycji, na której się opiera.

57. Ogólne równanie warunkowe dla reakcyj hiperstatycznych.

I. Gdy reakcje Xa, Xb, Xc, .. . nie wykonują pracy przy odkształceniu

układu pod działaniem obciążeń, to stosując rozumowanie analogiczne jak w poprzednim ustępie, znajdujemy:

"    ^6» —    ^6a    ^66 ~~    ^6c ~ • • • ~*V = 0

. (109)

ЕРЛ.-Ха8₎.а-Хй8гй-ХЛс-...-ХЛг = 0

г

Znaczenie symboli оаг. itd. objaśni najlepiej konkretny przykład: Niesymetryczna rama podwójna (fig. 188) ma słup środkowy zupełnie utwierdzony, a prawy słup skrajny podparty stałym przegubem B. Lewy słup zastąpiono stałą podporą A. jest poczwórnie

hiperstatyczny. Zastę- ' "'ф pując stały przegub В ^ A poziomo przesuwalnym i oswobadzając zupełnie dolny koniec słupa środkowego zamieniamy układ na izostatyczny.

Na ten układ każemy działać najpierw sile Xa = i (stan Xa — 1) i wyznaczamy odpowiadające pionowe przesunięcie punktu C jako 8aa, poziome przesunięcia punktu В jako Зеа = Зае, kąt obrotu przekroju C jako 8da = 8ad, poziome przesunięcie punktu В jako §6а=8аЬ, a wreszcie pionowe przesunięcie dowolnego przekroju г belki poziomej jako 8-a = 8ai. Tak otrzymujemy spółczynniki pierwszego z równań (109).

Podobnie działając na układ samą tylko siłą Xb — 1, wyznaczamy poziome przesunięcie punktu В jako 8bb, pionowe przesunięcie punktu C jako bab — 8ba, poziome przesunięcie punktu O jako 8cb = 8bc, kąt obrotu przekroju C jako 8db = 8bd, i pionowe przesunięcia dowolnych przekrojów i belki poziomej jako 8-b — 8bi. Zaczem otrzymujemy spółczynniki drugiego z równań. Stan Xc — 1 pozwoli nam znaleźć analogicznie spółczynniki trzeciego z równań. Nakoniec dla otrzymania spółczynników czwartego równania przyjmujemy stan Xd — 1, tj. działamy na przekrój C momentem Xd = 1, który obraca przekrój o kąt 8dd, przesuwa go pionowo o 8^—8^, poziomo o 8 d = 8dc; przesuwa punkt В o    (Pozi°mo) i przekroje belki

0    = (pionowo).

II.    Przy równomiernem ogrzaniu układu t°, któreby po oswobodzeniu go od reakcyj hiperstatycznych Xa, Xb, ... wywołało przesunięcia ich punktów działania o wielkościach 8at, 8bi,.. . należy w równaniach warunkowych (109) umieścić po prawej stronie odpowiednio: —8at, —8bt,...

III.    Jeżeli wskutek możliwości poddawania się podpór zachodzą przesunięcia 8    , 8bco ... punktów działania reakcyj Xa, Xb,..., to przesunięcia

ze znakiem przeciwnym należy również umieścić po prawej stronie równań (109).

Układ

•ЧГ

Bj

УШ///А

Fig. 188.

VI. Pręty zakrzywione.

Technicznie ważne przypadki pozwalają najczęściej na elementarne przybliżone obliczenia teoretyczne przy następujących założeniach:

1.    Oś pręta jest krzywą płaską, a przekrój stały lub słabo zmienny w sposób ciągły.

2.    Siły zewnętrzne leżą w płaszczyźnie osi pręta, która jest zarazem płaszczyzną główną dla każdego przekroju poprzecznego.

3.    Materjał pręta podlega prawu Hooke’a i zasadzie superpozycji.

58. Obliczenie naprężeń. Sprowadzając przy powyższych założeniach siły zewnętrzne części pręta odciętej rozpatrywanym przekrojem (np. części prawej) do siły wypadkowej E (fig. 189), trafiającej przekrój w odległości v od środka O, mamy wogóle do czynienia z siłą podłużną N, poprzeczną T i momentem zginającym M= N v = Ew.

Naprężenia styczne, uwarunkowane siłą poprzeczną T, grają u prętów zakrzywionych najczęściej jeszcze mniejszą rolę niż u prętów prostych. W razie potrzeby można je w przybliżeniu wyznaczyć tak, jak gdyby pręt był prosty.

Fig. 189.

Naprężenia normalne składają się z naprężeń °Ni wywołanych siłą podłużną i naprężeń o , wywołanych momentem zginającym M. Pierwsze można z dostateczną dokładnością przyjąć jako rozłożone równomiernie w przekroju.

A zatem:

Drugie zaś oblicza się (również w przybliżeniu) z t. zw. „hipotezy płaskich przekrojów“ (jak dla prętów prostych), a właściwie z przyjęcia linjowego rozkładu wydłużeń podłużnych włókien elementarnych, na obszarze przekroju poprzecznego. Z tego przyjęcia wynika hiperboliczny rozkład naprężeń zginających o w zależności od yj, tj. odległości włókna od głównej osi przekroju prostopadłej do płaszczyzny obciążenia. Przyjmując, że dodatni kierunek rzędnych yj wskazuje od środka krzywizny osi pręta, a dodatni moment M zwiększa krzywiznę, czyli zmniejsza promień krzywizny r, mamy :

(wzór III. przybliżenia),

r+Y]

przyczem stałą przekroju к (zawsze dodatnią) określa równanie:

¹ f rldF

F J r-f-yj ‘

Całkowanie rozpościera się tutaj na całe pole przekroju. Hiperbola wykresu naprężeń zginających przecina oś yj w odległości:

T+k"r

od środka przekroju i ma asymptote prostopadłą do przekroju, wystawioną w środku krzywizny osi pręta. Oś obojętna przy czystem zginaniu zbacza zatem od środka przekroju ku wklęsłej stronie osi pręta.

Liczba stała przekroju к maleje szybko z krzywizną — osi pręta przy niezmienionych wymiarach poprzecznych i da się wyznaczyć rachunkiem 142

lub wykreślnie. Jeżeli, jak to często bywa, rozmiary poprzeczne są niewielkie w stosunku do promienia r (łuki mostowe, sklepienia itp.), to z do-statecznem przybliżeniem jest:

zaś

г'²

>    r2 _j_ г-2 •

przyczem J oznacza moment bezwładności przekroju względem osi, przechodzącej przez jego środek i prostopadłej do płaszczyzny obciążenia, a i odpowiadające ramię bezwładności. Wtedy :

⁼ ^ 7У + ~r ' (wzór H- PrzJbliżenia)-

Dla jeszcze większych wartości r można pierwszy wyraz pominąć wobec

r

drugiego, a w drugim zastąpić ułamek —■■ ^ ■ ■ ■■ przez 1.

A zatem w pierwszem przybliżeniu mamy:

jak dla prętów prostych.

Przy jednoczesnem działaniu siły podłużnej N i momentu zginającego M (— Nv) określają tedy naprężenia normalne wzory następujące :

(w I. przybliżeniu dla bardzo wielkich r).

(w II. przybliżeniu dla ’ dość wielkich r).

N , M

-F+Tr>

M . M rrj J r —j— 4)

i 2___M fi

F ¹ r F ' k~. r F r-f-7]

59. Odkształcenia osi pręta. Siła podłużna N nie zmienia krzywizny pręta, a tylko zmienia długość elementu ds jego osi w stosunku:

A ds N EF'

Przyrost długości elementu d s, wywołany (dodatnim) momentem M, określa równanie :

(w III. przybliżeniu).

ds

A ds

■ d s.

r EF

Całkowitą zmianę długości s osi pręta określa przeto równanie:

As =

ds.

rEF rEF

Kąt elementarny d a między dwoma sąsiedniemi przekrojami przed odkształceniem zmienia się wskutek siły podłużnej o

N d a,

zaś wskutek momentu M o

EF

A do.

rEF

hi)

d a,

przyczem к ma to samo znaczenie co w ust. 56.

Całkowitą zmianę kąta Д ot na długości s przedstawia zatem wzór :

d s w III. przybliżeniu,

r² E F

(¹ + I4

rEF

albo wzór:    Aa

-/[£(• + $)+

rEF

d s w II. przybliżeniu,

lub wreszcie : A a

= /(

EJ

rEF

60. Linja ugięcia. Zmianę krzywizny -j-i siłą podłużną Af określa równanie:

1 1

w I. przybliżeniu.

na

—, wywołaną momentem M,

kr¹ E F

14

-jÿ— (w III. przybliżeniu),

rEF ~ EF

albo

EJ

(w II. przybliżeniu),

14

rEF

EF

albo wreszcie--

— = ——r (w I. przybliżeniu dla łuków niezbyt płaskich). r EJ

Jeżeli oś pręta jest łukiem koła o promieniu R, to obrawszy początek 0 biegunowego układu spółrzędnych (fig. 190) w środku kola i oznaczywszy

przez R -j- y promień wodzący zgiętej osi,

mamy przy założeniu, że y i    są bardzo

małe wobec R :

*t>

d tf

R²

Fig. 190.

d²y__y_

ds*    R²’

przyczem R d % — d s. Równanie różniczkowe' linji ugięcia w pierwszem przybliżeniu przybiera zatem postać:

_t d²y R²' d tp²

d²y

y_

EJ

R²'

odpowiadającą przybliżonemu równaniu linji ugięcia prętów prostych.

61. Energja potencjalna (praca odkształcenia). Pomijając wpływ naprężeń ścinających i odkształceń poprzecznych mamy w III. przybliżeniu:

MN

du=l *±ł._"!_

2 h ГЕГ

jako wyrażenie dla energji potencjalnej elementu pręta o długości d s.

1    N²

ds-\-    rfs-f

r 2 EF ¹

rEF

ds,

W II. przybliżeniu |tj. przy podstawieniu к = j będzie:

, rr 1 M* J i ¹

dU-T,~EJdS+Y'F^EF

Nakoniec w I. przybliżeniu, tj. z opuszczeniem wyrazu drugiego i czwartego, otrzymamy to samo co dla prętów prostych.

M²

1 N²

ds+T‘~EFdS^

MN

rEF

• ds.

VII. Płyty.

62. Zgięcie walcowe płyty. Sztywność zginania. Założywszy, że płaszczyzna środkowa płyty nie rozciąga się, ani kurczy w żadnym kierunku, czyli że spełnia rolę warstwy obojętnej, łatwo wywnioskować, że zgięciu walcowemu (o tworzących równoległych do osi X) towarzyszą:

1.    Naprężenia zginające główne zy (fig. 191), rozciągające lub ściskające włókna elementarne prostopadłe do tworzących walca, czyli równoległe do płaszczyzny zginania. Te oy są proporcjonalne względem odległości Y] od warstwy obojętnej.

2.    Naprężenia zginające poprzeczne ax rozciągające lub ściskające włókna elementarne równoległe do tworzących walca, czyli prostopadłe do płaszczyzny zginania. Przytem jest

JT,

Fig. 191.

Г\

1ГП

гг

-Q

-4

Fig. 192. . ..

UJLL

Naprężenia ax zapobiegają poprzecznemu zakrzywieniu przekrojów skrawków (prętów) elementarnych, na które dzielimy płytę w myśli płaszczyznami równoległemi do płaszczyzny zgięcia (por. ust. 40 a). Tych naprężeń nie byłoby wcale przy zgięciu walcowem tylko wówczas, gdyby liczba Poisson’a była równą zeru.

Krzywiznę główną zgięcia walcowego określa wzór:

m²

. EJ

, przyczem J = —^ 1 . hs

m² — 1

oznacza moment bezwładności prostokątnego przekroju skrawka płyty o szerokości 1, a grubości h, zaś M oznacza moment sił wewnętrznych w tymże przekroju tworzących parę zginającą.

m² E

. J = В jest miarą sztywności zginania płyty, podobnie jak EJ—В jest miarą sztywności zginania belki. A zatem: Sztywność

Wielkość

m² — 1

zginania walcowego płyty В jest

7Yl^

--— razy większa od

sztywności zginania pręta В z tego samego materjału przy równych momentach bezwładności przekroju.

Ponieważ m 2, przeto В < B, skąd widać znaczenie liczby Poisson’a

w teorji płyt. (Dla m — oo jest В = В.)

Gdy zgięcie zachodzi według walca kołowego, to wyciąwszy w myśli prostokątną część płyty przekrojami wzdłuż tworzących walca i prostopadłemi do nich (fig. 192), otrzymujemy równomierny rozkład momentów zginających My wzdłuż dwu pierwszych i równomierny rozkład momentów zginających Mx wzdłuż dwu drugich przekrojów. Wszystkie momenty Mx i My dokoła prostokątnej części płyty tworzą układ sił zewnętrznych czyniący zadość ogólnym warunkom równowagi. A zatem:

Jeżeli wzdłuż jednej pary brzegów równoległych a płyty prostokątnej działają równomiernie rozmieszczone momenty zginające My, a wzdłuż drugiej pary brzegów równoległych b

momenty Mx = — My, również równomiernie rozłożone, to płyta

zgina się według powierzchni walcowej otworzących równoległych do a.

Skoro równomiernie rozłożone momenty M działają tylko na jedną parę brzegów równoległych np. a, to, jak poucza doświadczenie, różni się zgięcie od walcowego tylko na wąskich skrawkach przy brzegach b. W środkowej

części płyty zachodzi walcowe zgięcie przy naprężeniach ay i = — ay

tern dokładniej, im mniejsza jest grubość płyty h wobec a.

W praktyce można niemal zawsze obliczać płytę na zginanie walcowe, jeżeli tylko wszelkie siły zewnętrzne są równomiernie rozłożone wzdłuż prostych równoległych do jednej pary boków. Np. płyta prostokątna swobodnie podparta wzdłuż brzegów a i dźwigająca obciążenie równomiernie rozłożone q kg\cm² na całej powierzchni. Wówczas traktujemy płytę jako belkę, względnie układ belek obok siebie leżących o tej samej rozpiętości b, przekroju prostokątnym l.h i o obciążeniu q na jednostkę rozpiętości. O wytrzymałości decyduje n aj większa wartość obliczona tak jak diabełki, a wpływ ax można z reguły pominąć. Tylko przy obliczaniu ugięć należy pamiętać o wprowadzeniu sztywności zginania płyty :

m‘

~[EJ‘

Jeżeli płyta jest podparta lub utwierdzona brzegami równoległemi ruchomo (ust. 41), to wskutek zgięcia zbliżają się brzegi płyty. Nierzadko brzegi płyty są podparte lub utwierdzone stale, wskutek czego powstają reakcje rozciągające płytę w kierunku rozpiętości, a zarazem zmniejszające momenty zgięcia. Szczegółowe obliczenie w tych przypadkach por. Timoszenko: „Kurs wytrz. Materj.“, § 145.

63. Ogólne zgięcie płyty. (Energja potencjalna zgiętej płyty.)

a) Przy ogólnem zgięciu płyty zamienia się płaszczyzna środkowa, połowiąca jej grubość h na powierzchnię bardzo słabo zakrzywioną, zwaną powierzchnią ugięcia. Jej równanie ma postać w —f(x,y). Niechaj px i p2 oznaczają promienie krzywizny głównych przekrojów normalnych, wzajemnie prostokątnych, poprowadzonych w dowolnym punkcie powierzchni ugięcia,

którego spółrzędne przed ugięciem (x, y, o) zmieniły się na (x, y, w). Element płyty (fig. 193), wycięty przekrojami równoległemi do głównych, ma w pła czyźnie środkowej wymiary d Sx i d s₂. W warstwach, leżących w odległości z od tej płaszczyzny, doznają te wymiary wydłużeń głównych w stosunku:

sz-

z .    z

P2

El —• 1 ^2 — ~“•

Pl

Wydłużeniom głównym ex i s₂ towarzyszą (główne) normalne naprężenia:

vpi rn pa}¹

m² E m² — 1

m² E

2-T'*

m — 1

Odpowiadające momenty zgięcia, działające na ściany boczne elementu, mają w odniesieniu do jednostki szerokości wartość:

Oj

g2

\p2 tu Pi/

ж₂ = б(1 + 1.1).

V Pl rn Pal    \p2 m pl/

Fig. 193.

Dla energji potencjalnej (pracy odkształcenia) elementu mamy wyrażenie :

¹

N²

²

EF

d L = -i-    + —W ds₂ =

” \ Pl P2 /

W Л + Л + --— dsadsa. .(1191) 2 [pi² p2² m p! p₂J

b) Skoro ściany boczne elementu płyty zorjentujemy według obranych osi spółrzędnych, to dxidy są wymiarami jego w płaszczyźnie środkowej. Na ścianach bocznych elementu (fig. 194 a i Ъ) działają teraz (w płaszczyźnie

___

di

id Г

Oi

i dx

tyrZ

:=

ГТ

г "г -

d\

ji

\~y

Гу,

___

it

Fig. 194.

X Y, równoległej do płaszczyzny płyty) obok naprężeń normalnych o , względnie a(/, także naprężenia styczne xXy, względnie тyX, przyczem xx у = x. Wartości ox, i określają dwuwymiarowy stan napięcia w warstwie elementarnej równoległej, do płaszczyzny środkowej o grubości d z. Ponieważ:

Xxy

Gx — Oj cos² $ -(- a₂ sin² d- ; c?y — Oi s^² d- -f- o₂ cos² ; Gl ——- sin 2 d¹,

to I

jeżeli li oznacza kąt nachylenia do osi x głównego przekroju normalnego, na który działają tylko naprężenia Oi ; przeto naprężenia styczne xx y są również proporcjonalne względem odległości z od warstwy obojętnej. Odpowiadające siły, działające na ścianę boczną elementu, sprowadzają się znowu do pary. Jej moment, jako prostopadły do płaszczyzny ściany, tworzy moment skręcający. Oznaczywszy przez D jego wartość odniesioną do jednostki szerokości przekroju (widocznie równą dla obu ścian elementu), mamy :

(1201)

J) =

h zxxydz

Zważywszy, że

Mx =

+A

2

z ax d'z,

My =

ZQydz,

widzimy, że między Mx, My, D a momentami Ml, M₂ w przekrojach głównych, zachodzą takie same związki, jak między ax, oy, xxy a O! i a₂, a mianowicie :

Mx = Mx cos² d- + M₂ sin² d,    My = Mx sin² d- -f J/₂ cos² d.

D = у (il/j — M₂) sin 2 d.

Oznaczywszy przez px i p promienie krzywizny przekrojów X Z i Y Z powierzchni ugięcia, mamy analogicznie jak wyżej:

\Px m Ру) y \Py m Pxl

. . . (1202)

Mx~*

Z założenia, że krawędzie elementu płyty, prostopadłe pierwotnie do płaszczyzny środkowej, stają się po odkształceniu normalnemi do powierzchni ugięcia wypływa, że

Xxy

d x d y‘

d² w

d ² w 1

9^’ Р^ ⁼ ~д7²’

m w T_±

2 m + l'Ł 2

otrzymujemy z równań (1201) i (1202) wzory:

Ponieważ nadto

Px

przeto oznaczywszy jeszcze C= GJ=-

Mx

■jr /Э² гс    1    3² w

\ 9 a?²    m

9 y²

)i M,— B[

d² w .    1    9 ²w

d?

I)

9² w

d x d y"

Te wzory pozwalają obliczyć momenty zginające i skręcające, a więc i naprężenia ax, cy i xx w dowolnem miejscu płyty z danej powierzchni ugięcia w postaci równania w — f(x, y).

Energję potencjalną (pracę odkształcenia) elementu o polu dx.dy znajdziemy, dodając do pracy zginania, wyrażonej według (1191) w postaci:

₇    В/ Э² w\² . /Э² w\² .2 3² w d² w

dL*g-Y + \Jf) ⁺ m '9? ‘ dxd'J'

pracę skręcania:

dLskr

— B(^-Xdxdy m    \ о X a y J

albowiem obie prace są od siebie niezależne. A zatem:

dL =

В Г/Э² w\² . Id² w\² . 2 a²_w Э²^ 2 \ 9 X²) '\dy²)'m 9 x² by²

9² w

d x d y.

9 x by

Uwaga. W najogólniejszym przypadku działają na ścianach elementu płyty jeszcze siły poprzeczne Vx (na ścianach prostopadłych do x), Vy, wywołujące naprężenia ścinające гхг i tijz (fig. 194 c), rozłożone jak w belce prostokątnej parabolicznie, a wreszcie siły podłużne. Wpływ sił poprzecznych na pracę odkształcenia jest najczęściej tak nieznacznym, że nie potrzeba dodawać odpowiedniego wyrazu do wyrażenia dla dL. Atoli w przypadku sił podłużnych będzie uzupełnienie wyrażenia dla d L najczęściej koniecznem.

64. Siły poprzeczne i równanie różniczkowe powierzchni ugięcia płyty. Warunki krańcowe. Z warunku równowagi (warunek momentów)

elementu płyty wypływają analogicznie do równania T — -^— dla prętów

zginanych następujące wyrażenia dla sił poprzecznych, odniesionych do jednostki szerokości przekroju:

ЭЖ,

9 у "и 9 ж

Zaś z warunku rzutów na oś Z otrzymujemy równanie różniczkowe powierzchni ugięcia w postaci:

vx

9 71

dMx . 9 71

⁹ y‘

Э⁴ w i „ d⁴ w    p_

9 x* 9 x² 9 y² ' 9 yi ~b

przyczem p oznacza obciążenie płyty (jako funkcja x, у), odniesione do jednostki pola.

Ażeby całka powyższego równania różniczkowego dawała rozwiązanie konkretnego zadania zgięcia płyty obciążonej i podpartej w dany sposób, musi rozwiązanie w=f(x,y) czynić jeszcze zadość warunkom krańcowym. Rozpatrzymy je tutaj tylko dla przypadku swobodnego podparcia i utwierdzenia brzegów płyty pomyślanej poziomo i obciążonej z góry siłami pionowemi.

1.    Przedewszystkiem musi być w obu przypadkach wzdłuż brzegów podpartych w = 0.

2.    W wypadku swobodnego podparcia brzegu muszą tam znikać naprężenia zginające, a zatem musi być:

= 0.

0;

9 ² w dx²

W wypadku doskonałego utwierdzenia momenty zginające nie znikają; natomiast wzdłuż brzegów utwierdzonych musi być :

0,

9w

dx

czyli styczne do powierzchni ugięcia muszą być poziome.

3. W obu przypadkach muszą znikać naprężenia styczne poziome. Jednakże z tego nie wynika, aby musiało być D = 0, względnie

0 ; albo-

9 X dy

wiem momenty skręcające, rozmieszczone_w"sposób ciągły wzdłuż brzegu

odniesionej

płyty, są statycznie równoważne siłom pionowym o wielkości ^ ^

do jednostki długości podpartego brzegu płyty (jeżeli ds oznacza element tej długości; fig. 195). Te siły zaś są zrównoważone dodatkowemi reakcjami podparcia które wraz z reakcjami R\ określonemi wartością sił poprzecznych V wzdłuż brzegu podpartego tworzą reakcje całkowite R = Rf R" (odniesione do jednostki długości). Przytem jest;

ds

R" = -

Gdy podparty brzeg płyty załamuje się pod kątem prostym tworząc róg (fig. 196), а D w tem miejscu nie znika, natenczas obok dodatkowych reakcyj R

y.

.ds'*;

DD

-----I "

Dnds

TT

7)

ł'ig. 196.

Fig. 196.

wzdłuż brzegów potrzeba do zrównoważenia momentów skręcających w rogu jeszcze siły skupionej R — — 2 D, zwanej reakcją narożną.

65. Kuliste zgięcie płyty. Naprężenia termiczne. Przy kulistem zgięciu płyty musi być widocznie Mx = 3/₂, D = O w każdym przekroju, a więc i wzdłuż brzegów płyty o dowolnej postaci, czyli: Momenty zginające M (jako siły zewnętrzne), rozłożone równomiernie wzdłuż brzegu płyty wywołują jej zgięcie kuliste o promieniu;

Eh³

_VL_____

' M \ ~ tn) m — 1    12 M ‘

Zgięcie kuliste może także powstać bez udziału sił zewnętrznych, gdy płyta o brzegach swobodnych tworzy ścianę oddzielającą dwie przestrzenie o różnych temperaturach. Przyjąwszy wtedy jednostajny spadek temperatury na grubości płyty i oznaczywszy temperaturę obu powierzchni zewnętrznych przez

t--—

mamy dla promienia środkowej kulistej powierzchni wygięcia wyrażenie ;

a At¹

przyczem a oznacza spółczynnik termicznego wydłużenia materjału płyty.

Gdy brzegi takiej płyty są doskonale utwierdzone, to wzdłuż brzegów powstają reakcyjne momenty zginające M, które zapobiegają kulistemu

h² '

Gdy utwierdzenie brzegów płyty nie jest doskonałe, to oczywiście naprężenia termiczne się zmniejsza.

66. Środkowo symetryczne zgięcie płyt okrągłych zachodzi w szczególnie prostej postaci, jeżeli obciążenia i reakcje są równomiernie rozłożone na okręgach kół współśrodkowych z płytą. Wówczas ugięcia w, siły wewnętrzne itd. są funkcjami jednej zmiennej, tj. promienia wodzącego r, a równanie różniczkowe powierzchni ugięcia przybiera postać :

\dr² ' r dr)\

H’

d²w , 1 dw dr² ' r dr przyczem p w kg/cm² oznacza obciążenie właściwe płyty.

—îj— — C% log r -f- C'a.

(log r    1) —

zgięciu płyty wskutek nierównego ogrzania obu ścian. Te momenty obliczymy z porównania prawych stron obu powyższych wyrażeń dla R, a mianowicie :

M=

h²

—— а A t.

_____ • E • m — 1    12

Ich wielkość określa odpowiadające naprężenia termiczne w płycie:

‘6Ж

W przypadku gdy p — stałej — q, a nadto w środku działa siła skupiona I, jest ogólnem rozwiązaniem powyższego równania: qr⁴    Pr²

64 В    8ti~B

a) Płyta okrągła opromieniu R całkowicie równomiernie obciążona i dokoła doskonale utwierdzona. Momenty zginające М,- (w przekrojach elementarnych prostopadłych do promieni) i momenty zginające obwodowe Mt (w przekrojach radjalnych) określają wzory :

^-tH*

Wartości skrajne przyjmuje Mr na utwierdzonym obwodzie, zaś M< w środku płyty, a mianowicie : Mr (dla r — R) — oznacza średnicę (rozpiętość) płyty.

qR²

albo = —

q i²

₃₂ jeżeli l = 2 R

16

64 ‘

Niebezpieczne miejsce leży zatem na obwodzie.

Strzałka ugięcia w środku płyty:

q R4,    qP

64 В    1024 P ’

b) Płyta okrągłacałkowicie równomiernie obciążona i dokoła swobodnie podparta.

M> --h (³+ i) ^    ^^ [(³+^)    +i)

16 ⁼(³+iîrHr

max

М,-

max

ł/,(dlar = 0)_(3 + i)^e

«V=e=/ —

5 m -f- 1 q Ri _ 5 m 1 q P

m-\-l    64 В »» + ¹    1024 ïT

^,.2

c) Płyta okrągła obciążona siłą skupioną P w środku i dokoła doskonale utwierdzona.

Mr

4 тс

4 Tl

Skrajne wartości momentów na utwierdzonym obwodzie są:

1__P_

m 4 тс

Mr

4 тс

Mt = -

Te wartości są niezależne od promienia (rozpiętości) płyty. Drugie skrajne wartości (maximum momentów dodatnich) w środku płyty wypadają z powyższych wzorów nieskończenie wielkie, z czego wynika, że w teorji zgięcia płyt nie można schematyzować obciążenia skupionego analogicznie do teorji zgięcia prętów, lecz trzeba zgodnie z rzeczywistością, przyjąć rozłożenie siły skupionej na pewnem polu skończonem o promieniu R₀. Atoli dla obliczenia strzałki ugięcia f okazał się schemat obciążenia P skupionego w punkcie zupełnie wystarczającym, a mianowicie:

3 да² — 1

PR²

PI²

16 TC

m²

Eh³

0,0597

m² — 1

PI²

m²

Eh³ '

16nB

d) Płyta okrągłaobciążona siłąskupioną P w środku i do-koła swobodnie podparta.

Mr

4 тс

M.=

4 тс

3m-fl 3 PR2 1&kW

m -j- 1

=    0,0597(₃    +    _L)(l-A)

PI²

Eh³ ‘

Przy założeniu, że P rozkłada się równomiernie na polu kołowem o promieniu R₀, otrzymujemy dla największego momentu w środku wyrażenie:

4 тс

1--

1 \ R₀²

ml AR² ‘

Uwaga. Przy obciążeniu silnie skupionem decydują o wytrzymałości płyty nie tyle naprężenia zginające (momenty zginające), ile siły poprzeczne, albo też ciśnienie oz prostopadle do powierzchni płyty. W przypadkach (c) i (d) powstaje największa siła poprzeczna V na obwodzie koła o promieniu B₀, przyczem

V——-—.

2 7t B₀

Przyjąwszy paraboliczny rozkład naprężeń ścinających r, znajdujemy:

3 P

Гтах “ i л Bq h

Średnią wartość ciśnienia oz obliczymy łatwo według wzoru : śred

az =

Л RJ '

Przy obliczeniu płyt ze względu na wytrzymałość należy przeto baczyć, aby tak naprężenia ax, о у, uwarunkowane momentami zginającemi, jak i naprężenia styczne zmax i ciśnienia poprzeczne az nie przekroczyły wartości bezpiecznej.

Ze względów konstrukcyjnych wystaje brzeg płyty mniej lub więcej poza linję podparcia. Podczas gdy wystawanie belki poza podpory nie ma żadnego wpływu na jej zgięcie pod obciążeniami rozmieszczonemi między podporami, to wystająca część płyty zwiększa wydatnie jej odporność na obciążenie rozpostarte w obrębie linji podparcia. Współdziałanie wystającej części płyty objawia się najsilniej w przypadku kołowej, kwadratowej itp. linji podparcia.

67. Płyta prostokątna dokoła swobodnie podparta. Jeżeli podparcie płyty pomyślanej poziomo dopuszcza reakcje podporowe z obu stron, to przy obciążeniu^ fcćj/cm²,rozłożonem dowolnie, można znaleźć rozwiązanie równania różniczkowego powierzchni ugięcia (ust. 62) w postaci szeregów nieskoń-

czonych (por. autora: „Teorja płyt“, str. 56), a stąd obliczyć strzałkę ugięcia, momenty, siły poprzeczne i reakcje. Tutaj ograniczymy się tylko do podania kilku najprostszych i najważniejszych wyników, odsyłając zresztą do „Teorji płyt“. Doświadczenia potwierdzają główne teoretyczne wyniki wcale dokładnie nawet wtedy, gdy podparcie jest jednostronne i nie mogą powstać reakcje narożnikowe, zapobiegające podniesieniu się rogów płyty, byleby tylko podpory linjowe były dostatecznie sztywne w porównaniu do sztywności samej płyty.

Dla uproszczenia wzorów wprowadzamy t. zw. momenty zastępcze Mi, M₂ określone równaniami:

Ml' = —= — в

3² w

ô² w

W

Rzeczywiste momenty zginające M\ i M₂ wyrażają się zatem przez powyższe wzorami:

Pi

дх²

MJ = — = — В

a) Wzory I-go przybliżenia dla momentów zginających wskutek całkowitego obciążenia równomiernego q Jcg/cm².

Przyjąwszy w przybliżeniu rozmieszczenie reakcyj wzdłuż boków a i b według wykresu (fig. 197), znajdujemy dla średniej wartości momentu zgina-

AL

lîk.J

'А

а--

о—-----

Fig. 197.

Fig. 198.

jącego М₂ (odniesionego do jednostki szerokości) w przekroju niebezpiecznym XX' i średniej wartości momentu Mx w przekroju Y¥' wyrażenia:

ï^qb²... Mi='~qb².......(1290)

Porównanie ze ścisłemi obliczeniami naj*większych wartości M, i M2 poucza, że powyższe wzory określają te wartości z przybliżeniem wystarcza-jącem dla wielu celów praktycznych. (Por. M. T. Huber „Prosty sposób obliczania płyt prostokątnych ...“. Czas. techn. 1919.)

b) Wzory interpolacyj ne Ii-go przybliżenia, obliczone na podstawie ścisłych rozwiązań dla obciążenia równomiernie rozłożonego na całej płycie. Momenty zastęp W środku płyty C mają momenty zastępcze wartości:

24 Г

cze.

Mi' =

17,2 B².qb²

(e² + 1)²(e⁴ + 8,5 e² + 107) ’

Jf,'=(o,125 +

0,19 e

B^qb²

3e²-2,83 e+8,4/ (e² + 1)²

przyczem

(a >b).

Strzałka ugięcia w środku płyty:

0,0073 E

/ = (o,013 4

s⁴

qb*

1,3+ E²/ (e² + 1)² • в ’

W szczególności dla płyty kwadratowej o boku a wypada dokładnie:

Mi ' = M₂' = 0,0368 q a² ; f= 0,00406

1 q a*

~B “WT

M,—Mt

c) Siła skupiona P w środku płyty wywołuje ugięcia: 1 Sh . ПК £ - W 7t £

P6²

W³

w —- lj 3j 5, . •.

2ic ³B

Ch n тс e -f-1

. . (wzór ścisły) (1301)

P(t²

= 0,01156

W szczególności dla płyty kwadratowej wypada z dokładnością 0,1% • 1 Pa2 86,5 •    ^

Skupienie obciążenia w środku płyty kwadratowej zwiększa przeto strzałkę ugięcia niemal trzykrotnie (dokładniej 2,85 razy). Odpowiadające zwiększenie momentu zginającego jest, oceniając z grubsza, przynajmniej czterokrotne. Dokładniejsze obliczenie jest możliwe tylko przy bliższem określeniu wymiarów skończonego pola, na które siła P się pizenosi. Rozważania teoretyczne A. i Ł. Föppla (Drang und Zwang — tom I, § 30) prowadzą do następującego przybliżonego obliczenia niebezpiecznych momentów zginających pod siłą skupioną P, działającą na płytą dokoła swobodnie podpartą, o konturze bądź to kołowym, bądź też prostokątnym lub jakimkolwiek wypukłym. Przy założeniu, że obciążone miejsce leży w pobliżu środka płyty w odległości d od najbliższego punktu podpartego brzegu określa przybliżoną wartość momentu zginającego w obciążonym punkcie wzór:

%na*=^r [(i + i)1о* J + 7 t¹ - i)] - Г [fejlog T + {ojoeo}] dla i “ {o’³}

zaś przybliżoną wartość momentu zginającego w punktach odległych o r od tegoż punktu wzór :

*=%[(■+è)-%+>-ś]=[{i;EM+Э«‘k-- Ш-

68. Płyta bardzo długa’ o brzegach równoległych swobodnie podpartych. Pod obciążeniem całkowitem równomiernie rozłożonem (q Tcg/m²) zachodzi (por. ust. 60), zgięcie walcowe. Obliczenie największego momentu zginającego i strzałki ugięcia wykonywa się przeto dla skrawka poprzecznego płyty o szerokości 1 tak, jak dla belki o przekroju prostokątnym 1 h. Tylko na końcach płyty ma ugięcie inny charakter, zależny oczywiście od sposobu ewentualnego ustalenia brzegów poprzecznych [krótkich boków prostokątnego konturu płyty¹)].

Natomiast obciążenie częściowe płyty, czyto połowę (powierzchniowe), czy też lin j owe lub wreszcie punktowe, wywołuje ugięcie odczuwalne tylko w odległości mniejszej od 1,5-krotnej rozpiętości (szerokości 6) płyty. (Odległość należy przytem mierzyć od konturu obciążonego pola.) Obustronny zasięg działania ciężaru skupionego obejmuje tedy część długości płyty równą 3 b.

W praktyce określa się działanie płytowe zwykle tą szerokością poprzecznego skrawka płyty, traktowanego jako belka, na którą trzeba rozłożyć dane obciążenie skupione, aby wytężenie materjału było w obu przypadkach równe. Taka szerokość zastępcza, czyli równoważna sr, da się wyznaczyć teoretycznie lub doświadczalnie i okazuje się oczywiście zależną od koncentracji obciążenia i tak:

Ł) Badaniem stanu napięcia i odkształcenia w tych miejscach zajmują się prace: A. Nädai „Die Formänderungen und die Spannungen von rechteckigen elastischen Platten“, Berlin 1915, M. T. Hnber „Teorja płyt“ I.wów 1921.

15t

a)    Przy obciążeniu linjowem, równomiernie rozłożonem na całej rozpiętości, jest teoretycznie sr — (0,90 do 1,35) b, średnio co 1,1 b przy

-- 4- do 0.

m 2

b)    Przy obciążeniu linjowem, skupionem na długości —- b w środku roz-

У

pietości (porównywanem z działaniem siły skupionej), wypada („Teorja płyt“,

3    11

str. 74) sr — (0,61 do 0,92) b, średnio co —- b przy -— —- do 0.

4    7ÏI u

Uwaga. Powyższe wyniki teorji są w dobrej zgodzie z nowszemi doświadczeniami Niem. Wydz. Żelbetowego (zesz. 44), z których przy obciążeniu praktycznie skupionem

wywnioskowano, że sr = 6. Dawniejsze przyjęcie sr = jb widocznie nie doceniało korzyści działania płytowego.

69. Płyta prostokątna o brzegach podłużnych (a) podpartych i poprzecznych (ft) utwierdzonych (doskonale), a) Wzory I-go przybliżenia dla niebezpiecznych momentów zginających przy całkowitem obciążeniu równomiernem q kg/cm². W środku płyty (fig. 198):

Ж1==

W środku brzegu utwierdzonego:

B⁴

8” 5-f e⁴

q b².

5 1 2

n-s+c²“-

Dokładność praktycznie wystarczająca przy wartościach в = niezbyt różniących się od 1.

b) Wzory dokładne (por. „Teorja płyt“, §18) nie nadają się do bezpośredniego praktycznego zastosowania. Zastąpi je tablica A, obliczona z tych wzorów dla przypadku całkowitego obciążenia równomiernie rozłożonego (q kglcwA).

Tablica A.

Spół-

Stosunek’ °Zy;nik boków Strzałki

Niebezpieczne momenty zginające przy wartości liczby Poisson’a m — lol₃

Zastępcze niebezpieczne momenty (niezależne od liczby Poieson’a)

W środku płyty

W środku płyty

a ugięcia

£==T    ąW

f=w—

W środku brzegu utwierdzonego

W środku brzegu utwierdzonego

MJ/qb⁷

MJqb* Mt/qP] MJqb² MJqb² MJ/qb⁷ MJjqb⁷

0,4    0,000019

0,6    0,000294

0,8    0,000913

0,00189. ⁵/ч = 1,25    0,00355.

⁵/₃=1,667 0,00647. ⁵/а=2,5    0,01051.

СО 0,01302.

JO ® JO o o o o JO 'о'о'о'ооо'о^о

0,0009 —0,01225 —0,0037 0,0041 !—0,02975—0,0089 0,0124    —0,0499    —0,0150

0,0239    —0,06975 —0,0209

0,0411    —0,0904    —0,0271

0,0691    j—0,1114    —0,0334

0,1045    —0,1234    -0,03705    0,0148

0,125.    —0,125.    -0,0375    0,0000

0,0230

0,0288

0,0318

0,0292

О О О О T— r-1

cT o' o' сГ cT o'

?§!Ssi

—0,1234    0

J— 0,125. 0

70. Płyta prostokątna dokoła doskonale utwierdzona. Wzory interpolacyjne oparte na dokładnych rozwiązaniach teorji płyt przy całkowitem obciążeniu równomiernie rozłożonem ; ważne dla oo > s ^ 1.

a) Strzałka ugięcia w środku płyty:

0,00260 -[■

0,00103    0,00036

e²

q 6⁴

b) Momenty zastępcze w środku płyty:

Mx'

0,0659

qb²

1,35 + (1,57 e — l)⁴

0,0417

qb²

- Г»

c) Niebezpieczny moment utwierdzenia w środku krótszego boku b :

0,0122 , 0,0300

0,0833 4

M₂ =

^7 £² ^ £⁴

71.    Płyta ciągła na prostokątnej sieci podpór. Rozróżniamy 1. podpory lin j o we, zrealizowane praktycznie przez ściany, mury lub belki podpierające płytę wzdłuż prostych, wyznaczających sieć prostokątów o długości a i szerokości &; 2. podpory punktowe, utworzone przez słupy (filary), podpierające płytę w wierzchołkach sieci prostokątów. Ten drugi przypadek jest szczególnie ważny w zastosowaniu do t. z w. stropów grzybkowych (fig. 199), (por. dział: „Żelbetnictwo“.) Ścisłą teorją zajmował się dr. Lewe

(Die strenge Lösung des Pilzdeckenproblems, „Bau ingénieur“ 1920, H. 22), podając dokładne rozwią-~    zania dla wielu przypadków

I przy założeniu równo-- ф- kierunkowości płyty.

I Zastosowanie w praktyce —Л- ułatwiają liczne tablice, ' zawarte w pracy dra Le-we’go. Największe momenty zginające (ujemne) występują z reguły nad konturem głowicy słupa i osiągają wartość tem większą, im mniejsze są wymiary głowicy w porównaniu do wymiarów pola «. b płyty. [Gdyby wymiary głowicy zdążały do zera, to powyższe momenty stałyby się logarytmicznie nieskończone (por. ust. 64, c)].

72.    Płyty ortotropowe. Płyta betonowa, uzbrojona niejednakowo w obu kierunkach wzajemnie prostopadłych, jednolita deska drewniana, blacha falista, prostokątna sieć belek o różnej sztywności w obu kierunkach itp. elementy konstrukcyjne można objąć schematem teoretycznym płyty orto-tropowej (czyli prostokątnie różnokierunkowej), tj. płyty, obdarzonej różną sztywnością zginania w każdym z dwu kierunków głównych wzajemnie prostopadłych. Jeżeli Bx i B₂ oznaczają odpowiednio sztywność zginania pasków płyty równoległych do długości a (osi X) i do szerokości b (osi Y) ;

- i - odpowiadające uogólnione liczby Poisson’a ; to zamiast wzorów

V i 4"

-® — -è cp - — Ф- —d>- -

i »

гф—

— i---й---è-- t-ф—Ф —

i—a--J

p-

-s

-Ф--

— - -œ—

i— a —

Fig. 199.

mx

m₂

(1210) dla momentów w płycie równokierunkowej, otrzymujemy („Teorja płyt“, cześć I.) następujące:

3² w ,    1 3² w \

3 а?² m₂ 3 у* /’

К “--в,

3² w

1 Э² w

3 ж²

Ö = -2C

Э² w

(1370)

дхду

Równanie różniczkowe powierzchni ugięcia przybiera przytem postać :

3 *w

Э⁴ w

3 ж⁴

z oznaczeniem dla skrócenia:

f 2#

3 ж² 3 y²

2 // =

Br

/4

m.₂

(1371«)

Dla energji potencjalnej ugiętej płyty ortotropowej wypada wyrażenie: Э² w V

L-i

Э² w \²

Зж²

+ B‘ź

9 у²

(Â ₊ Ï)^.^ + 4C

\»г₂ тг / 9 ж² dt/²

Э²м> \²'

Зж 9 у

dxdy . . . (1380)

Rozwiązania zagadnień płyt zwykłych (z materjału równokierunkowego) można przenieść na płyty ortotropowe tylko wtedy, gdy

h= Vąą.

Ten warunek można uważać za spełniony, przynajmniej z dość znacznem przybliżeniem, u płyt żelaznobetonowych. On się nie spełnia zwykle u krat belkowych z powodu małej stosunkowo sztywności skręcania. Ogólne rozwiązania, ważne dla wszelkich wartości stosunku 7] = H : VBx B₂, zwanego charakterystyką płyty ortotropowej. podaje „Teorja płyt“, w której można znaleźć liczne wzory i tablice. Tutaj musimy poprzestać na podaniu przekształcenia rozwiązań dla płyt ortotropowych, gdy spełnia się warunek

Y] = 1 (czyli 11= у Вг B₂). W tym celu, nie zmieniając b i y, zastępu-

jemy В przez B₂, a przez a

Th

X przez ж

a zatem £ =

musimy zastąpić przez ---

I / (sprowadzony stosunek boków).

\ Bx

Przykłady. Wzory (1290) zmieniają się w przypadku nierównej sztywności zginania podłużnego i poprzecznego na następujące:

M₂

-ii,

qb²,

'.-i''

(1380)

24 \

Wzór ścisły (1301) dla strzałki ugięcia wskutek siły skupionej P w środku płyty prostokątnej przybiera postać;

2 я³ B₂

1 Shnns — Hjze

П³

Ch иле Ą- 1

(1381)

n = 1, 3,5,...

przyczem г

>11 fell

itd.

VIII. Wyboczenie.

73. Doświadczenie podstawowe objaśniające istotę wyboczenia. Jeżeli bardzo smukły prosty pręt, utwierdzony dokładnie pionowo dolnym końcem (fig. 200), obciążymy środkowo na górnym końcu kolejno ciężarem Pi, P2,... coraz to większym, to zauważymy:

1. Przy obciążeniu, nie dochodzącem do pewnej wartości PÆr, jest równowaga pręta w pionowej prostej postaci stałą i to tem stalszą, im mniejsze jest P. Przekonywamy się o tem łatwo, zginając obciążony pręt niewielką dodatkową siłą i puszczając go następnie swobodnie. Pręt wraz z ciężarem waha około pionowego położenia równowagi i to tem szybciej, im mniejsze jest P.

&    2. Gdy obciążenie P zbliża się do Pkr, wahania stają się

bardzo powolne ; pręt wraca leniwo do położenia pionowego ; sta-' łość równowagi w tem położeniu zachodzi jeszcze, ale jest już bardzo mała.

■f-p

II

3. 8koro wreszcie P przekroczy choćby bardzo nie wiele wartość Ij.r, to nawet przy największej staranności przy pionowem ustawieniu i środkowem obciążeniu, pręt nie utrzyma się w równowadze w postaci pionowej, lecz przyjmie nową postać równowagi, wygiętą tem silniej, im większe jest P. Ta wygięta postać równowagi jest teraz postacią równowagi stałej, a prosta stała się postacią równowagi niestałej.

Jest rzeczą jasną, że po przekroczeniu przez obciążenie wartości krytycznej staje się wzrost naprężeń w pręcie bez porównania Fig. 200. szybszy od poprzedniego (proporcjonalnego do przyrostu obciążenia), albowiem w przekroju utwierdzonym działa obok siły I\

określający

p

jeszcze moment zginający P.f. Dlatego, chociaż iloraz . kr

,    ‘    F

za

naprężenie ściskające przy prostej postaci pręta, nie przekracza wartości bezpiecznej dla materjału, to jednak obciążenie P = Pkr musimy uznać niebezpieczne dla pręta jako elementu konstrukcyjnego, który ma spełniać swoje zadanie w prostej postaci, jako postaci równowagi stałej.

Zjawisko zmiany postaci równowagi stałej przy pewnej wartości obciążenia nazywamy w tym przypadku (i w wielu pokrewnych) wybocze-niem, a odpowiadające obciążenie zowiemy obciążeniem krytycznem albo wybaezającem.

Kozróżniamy wyboczenie sprężyste i niesprężyste, zależnie od tego, czy siła Pkr, ściskająca pręt podłużnie, wywołuje naprężenia poniżej, czy też powyżej granicy sprężystości.

W powyźszem podstawowem doświadczeniu zachodzi wyboczenie sprężyste tylko przy dostatecznie wielkiej smukłości pręta. Smukłość można zmierzyć stosunkiem długości do najmniejszego wymiaru poprzecznego. Doskonalsza miara smukłości wynika z teorji wyboczenia.

Doświadczenia pouczają nadto, że bardzo małe zboczenia od prosto-linjowości pierwotnej osi pręta, jednolitości materjału i środkowości obciążenia mają pewien niewielki wpływ obniżający na wartość Pkr. Te zboczenia powodują oczywiście wygięcie przy każdej dowolnie małej wartości P, ale te wygięcia stają się znacznemi i niebezpiecznemi dopiero przy P, zbli-żającem się do Pk

Prawdziwa przyczyna wybocz enia tkwi zatem nie w nieuniknionych drobnych zboczeniach od doskonałej prostolinjowości pręta, jednolitości jego materjału i osiowości obciążenia, lecz w zmianie warunków stałości

równowagi. Dla P<Pir równowaga pręta jest stała przy jego postaci prostej, zaś dla P> Pkr jest równowaga w postaci prostej niestała, a postacią równowagi stałej może być tylko postać wygięta (o ile oczywiście przy tem wygięciu nie zostanie pręt złamany). Dla P— Pkr mamy widocznie do czynienia z przypadkiem równowagi obojętnej.

74.    Wytrzymałość na wyboczenie określa się powszechnie w praktyce jako największe obciążenie podłużne pręta Pw, które on zniesie przed złamaniem lub trwałem wygięciem przy próbie obciążenia. Jest to zupełnie coś innego od określonego powyżej obciążenia krytycznego, czyli wybaczającego. Mieszanie obu pojęć wywołało już wiele nieporozumień naukowych. Do tego przyczynia się nadto niezbyt szczęśliwy zwyczaj nazywania wyboczeniem każdego wygięcia pręta, wywołanego siłą równoległą do osi, jakkolwiek zdecydowanie mimośrodkową. Innym ważnym powodem zamieszania pojęć jest fakt doświadczalny, że w wielu wypadkach jest różnica wartości Pw i Pkr praktycznie znikoma. Wszystko to wyjaśnia naukowo interpretowana teorja wyboczenia.

75.    Teorja wyboczenia prętów (słupów). Wzory Euler a. Jeżeli przy jakiejkolwiek możliwej (przygotowanej) zmianie postaci lub położenia układu z danego położenia równowagi zwiększa się jego energja potencjalna, to równowaga w danem położeniu jest s t a ł ą, skoro zaś ta energja się z m n i e j-s z a, to równowaga jest niestałą. Wychodząc zatem z prostej postaci równowagi pręta ściskanego daną siłą P, udzielamy mu przygotowanego wygięcia, które powoduje obniżenie obciążonego końca о Sy, a zwiększenie energji potencjalnej wewnętrznych sił sprężystości o 8F. Razem tedy zwiększa się całkowita energja układu o

bU=bV — P.by.

Dla danego P może ta wielkość 8 U wypaść dodatnia dla wszelkiego wygięcia przygotowanego, a wtedy równowaga prostej postaci pręta jest stałą; w razie ujemnej wartości 8U przy innej wartości P jest ta równowaga niestałą. Na granicy obu rodzajów równowagi będzie bU—0, a odpowiadająca wartość obciążenia jest oczywiście wartością krytyczną. Ścisłe rozwiązanie zadania wymaga zastosowania rachunku przemienności, atoli w bardzo wielu wypadkach da się uzyskać drogą elementarną, wskazaną już przez Euler’a.

Dla czterech typowych prostych przypadków ustalenia końców, przedstawionych w tablicy I., podano wartości obciążenia krytycznego, znalezione z pominięciem wpływu sił poprzecznych na energję zginania.

Do powyższych wyników dochodzi się przez całkowanie przybliżonego równania różniczkowego linji ugięcia, napisanego np. dla przypadku II. w postaci :

Py

EJi3

przy założeniu, że wyboczenie zajdzie w płaszczyźnie najmniejszej sztywności zginania pręta, czyli, że J jest najmniejszym momentem bezwładności przekroju, a zarazem przy pominięciu zbliżenia końców pręta wskutek wygięcia. To pominięcie nie ma wpływu na wartość krytyczną obciążenia, która wypada zgodnie ze ścisłem rozwiązaniem Lagrange’a, a tylko nie pozwala na obliczenie strzałki wygięcia f. Ta ostatnia da się wyznaczyć tylko przy zastosowaniu dokładnego równania linji ugięcia (i)', str. 1122), całkowalnego przy pomocy funkcyj eliptycznych.

76. Granice ważności wzoru Euler’a i jego stosowalności do praktycznego obliczenia wytrzymałości na wyboczenie. Podstawiwszy

~rp~ = о д, J = F P i oznaczy wszy przez smukłość pręta stosunek s =

możemy wzór Euler’a dla II. przypadku¹) napisać w postaci:

. (1430)

I.

Określenie przypadku ustalenia końców

Rysunek

przypadku

Pe =

Eulerowska wartość obciążenia krytycznego

Tablica I.

Jeden koniec doskonale utwierdzony, drugi swobodny

л² EJ

T‘~p~

II.

Oba końce prze-gibuie ustalone na prostej (pierwotnej osi pręta)

Ш.

Jeden koniec doskonale utwierdzony, drugi przegibnie ustalony na pierwotnej osi pręta

praktycznie

najważniejszy

(w przybliżeniu)

2it²S

IV.

Oba końce doskonale utwierdzone

Фм°

1"

rPE

°E-~pr

Stąd: naprężenie Eulerowskie c^jest odwrotnie proporcjonalne względem kwadratu smukłościs. Przedstawiwszy wykreślnie związek między Од i s, otrzymujemy (kubiczną) hiperbolę Eulerowska (fig. 201).

Wzór Euler’a traci swą ważność, gdy zeń wypada ~I: większe od granicy proporcjonalności materjału pręta. Taki przypadek zachodzi przy smukłościach mniejszych od wartości granicznej sijr, którą obliczamy zrównania :

Ł) Tylko ten przypadek jako praktycznie najważniejszy będzie w dalszym ciągu brany pod uwagę.

czyli Sgr=K |/Д

к²Е

ap— S² » gr

Wartość smukłości granicznej dla kilku materjałów zawiera tablica II. Tablica П.

Mater j ał

°P

(,kg/cm²)

(kg/cm?)

sgr

Drewno . . . . Żelazo spawane Żelazo zlewne , Stal zlewna . ,

150

1500

2000

2400

100 000 2 000 000 2 100 000 2 200 000

'80

115

102

95

Jeżeli smukłość pręta jest większa od sffr, to wzór Euler’a podaje rzeczywista wartość siły wybaczającej, jak to stwierdzono licznemi doświadczeniami. Co więcej, ta siła, wywołująca sprężyste wyboezenie pręta, okazała się zarazem praktycznie równą jego wytrzymałości na wyboezenie w całym stosowanym w technice obszarze zmienności s powyżej s Teoretycznie tłumaczy się to jasno okolicznością, iż bardzo nawet małe przekroczenie siły Eulerowskiej wywołuje według dokładnego obliczenia tak znaczne wygięcie, że trwałe odkształcenie lub złamanie staje sięniechybnem. Wszystko to jest ważne przy bardzo

4000

3001

b.

Утл

r’

2000

1000

%>■

{“'er.

dokładnem

,    __-? (smukfaśt)

5Ö    100    Wo 200    250

Tig. 201.

spełnieniu podstawowych warunków teorji, tj. środkowości obciążenia, prostolinj owości osi, jednolitości materjału i oczywiście ważności prawa Hooke’a.

77. Wyboezenie niesprężyste. Wzory doświadczalne i półempi-ryczne. Tylko bardzo stosunkowo niskie (krępe) słupy nie objawiają wybo-czenia, pękając lub odkształcając się beczułkowato przy nacisku osiowym, wywołującym w materjale zbyt wielkie ciśnienia. Przy takich małych (rzadziej mających praktyczne zastosowanie) smukłościach jest wytrzymałość słupa niezależna od jego wysokości (w pewnych granicach). Przy nieco większych smukłościach można już obserwować wyboezenie niesprężyste, a wytrzymałość maleje ze wzrostem smukłości. Tę zależność ujęto we wzory doświadczalne. Z nich najprostszą postać posiada aj Wzór Tetmajera: ow —a — b s, w którym spółczynniki alb obliczył najdokładniej prof. Jasiński na podstawie doświadczeń Bauschinger’a, Considéré’a i Tetmajer’a. Dla zwykłego żelaza zlewnego (o doraźnej wytrzymałości 4500 kg/cm²) otrzymał Jasiński:

oM = [3387 - 14,83 s] kg/cm²

w granicach 70<s<110 . (1450)

Fig. 201 przedstawia wykreślnie zależność naprężenia niebezpiecznego (łamiącego) ow od smukłości s według powyższego wzoru empirycznego i wzoru Euler’a, który dla żelaza zlewnego przybiera postać:

/100\²

oE= 2128 f-—j kg/cm'

(1451)

Wykres może zastąpić tablica Ш.

Tablica Ш.

naprężeń krytycznych (łamiących) ‘ dla słupów z żelaza zlewnego, ściskanych w warunkach przypadku II. (podstawowego).

= s — 20

30    40    50    60    70    80    90    100 110 120 130

os kr

= a= 0,88 0,84 0,80 0,76 0,71 0,67 0,63 0,59 0,54 0,50 0,42 0,36 о = 3090 2940 2790 2650 2500 2350 2200 2050 1900 1760 1480 1260

I'⁻ ta"

= s= 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250

= a — 0,31 0,27 0,24 0,21 0,19 0,17 0,15 0,14 0,13 0,11 0,10 0,10 о == 1090 946 831 736 657 589 532 483 440 402 369 340

Inne wzory doświadczalne L. Tetmajera zawiera tablica IV.

Tablica IV.

Wytrzy

małość

Materjał

na

ciśnienie Kc w kg/cm?

Granice

smu

kłości

Naprężenie

wybaczające

(łamiące)

aw = Pw '■ F

40

50

aw

a=X

60

dla smukłości

70

80

90

100

110

Drewno

miękkie

280

<100

prosta Tetmajera 293 —l,94s

0,771

0,700 0,632 0,561

0,493 0,421

>100

wzór Euler’a

0,353 0,293

Żeliwo

8000

<80

parabola Tetmajera 7760 —120 s-f + 0,53sa

0,476

0,386

0,309

0,245

>80

wzór Euler’a

0,194

0,152 9,123 0,102

Żelazo

spawalne

3500

<112

prosta Tetmajera 3030 — 13 s

0,717 0,680

0,643

0,606

0,569

0,531 0,494 0,457

> 112

wzór Euler’a

Stal

zlewna

<89

6000

prosta Tetmajera 3350 —6,2 s

0,517 0,507 0,496 0,486 0,476

>86

wzór Euler’a

0,457 0,370 0,306

Uwaga. Doświadczenia

nowsze wraz

z teoretycznemi badaniami Engesser’a, y. K arm à n’a i innych dowodzą, że przypadkowe mimośrody obciążenia i inne źródła błędów były u Tetmajera jeszcze dość znaczne. Wskutek tego wartości otrzymane z jego wzorów doświadczalnych są zawsze niższe od rzeczywistych <rw, osiągalnych przy dokładnie oäiowem działaniu siły. Mimo to można oczywiście zalecić wzory Tetmajera do praktycznego zastosowania w tych wszystkich przypadkach, kiedy nie mając pewności, że obciążenie działa dokładnie osiowo, nie możemy zarazem ocenić wielkości drobnego przypadkowego mimośrodu tego obciążenia. Na nich opierają się wzory przepisane w Polsce przez Ministerstwo Eobót Publ. i Ministerstwo Kolei (por. działy: „Budo-

wnictwo“ i „Mosty“).

h) Wzór Johnson’a i Ostenfelda ma charakter półempiryczny i jest przeznaczony dla prętów z żelaza kowalnego. Ma postać:

s²

(1460)

30000

przyczem cy oznacza granicę plastyczności. Wzór ten daje wartości bardziej zbliżone do rzeczywistych au, przy znikomo małych zboczeniach od osiowości działania siły. Jest nadto godny polecenia jeszcze z tego powodu, ponieważ

71 P

po podstawieniu aw — - ^ (n pewność), F = cp г'², a więc J=Fi²=y.i4 i rozwiązaniu względem F, otrzymuje postać:

F=*F₀ + ±<?P

. (1461)

przyczem F₀ —

w cm² oznacza przekrój, obliczony ze względu na

abezp.

zwykłe ściskanie, a drugi wyraz po podstawieniu długości l w metrach i wartości liczbowej <p z tablicy V. przedstawia zwiększenie przekroju ze względu na niebezpieczeństwo wyboczenia.

Tablica V.

Wartość cp =

F²

Przekroje lite

Przekroje złożone

L. p.

Postać

Kwadrat

<M . CO    lO

Prostokąt (b > h) . . . .

Koło.........

Dźwigar J ......

1:1

Kątownik (_ dla b : h — {2:3

2:1

o ^ to to Wartość

db

L. p.

Postać

Wartość

db

rH

j-4 Ob JO

'o'o'o'o s    O

05

00

4 kątowniki rozdzielone przestrzenią o szerok. co 1 cm 2 kształtowniki |_|

-i i— rozdzielone przestrze-J L nia o szerokości co 1 cm

X W......

o. 01^ o' r-T

Uwaga. Dla kształtowników są powyższe wartości <p przybliżone. Wyznaczywszy przy ich pomocy F i J (wzgl. i), wypadnie powtórzyć rachunek z dokładną wartością cp.

Pręty znitowane z kształtowników zachowują się jak lite pod warunkiem, że odstępy nitów są co najwyżej 70 8 (8 = grubość nitowanych części) i że osłabienie przekroju przez nity nie przekracza 12°/o (Tetmajer).

Inne wzory półempiryczne, niegdyś bardzo rozpowszechnione w praktyce, dzięki swej uniwersalności, jak np. wzór Na vier’a -Schwarz -Ran-kine’a, mają obecnie już tylko znaczenie historyczne.

78. Wyboczenie w przypadku, gdy materjał zbacza od prawa Hooke’a. Zakładając ważność wzoru Eulera przy zmiennym module sprężystości E i przyjmując w przybliżeniu:

E — E₀ — f\a,

przyczem E₀ jest wartością E dla o = 0, drugą stałą materjału (bezwy-

P

miarową), otrzymujemy po rozwiązaniu względem a =■»=

°w

Pw

**E₀

7] Tt² -j- S²

E₀

S²

(1480)

7) TC²

Ten wzór zastosował między innymi Mörsch do betonu i źelazo-betonu, nadając mu charakter półempiryczny na podstawie doświadczeń Bacha nad wyboczeniem słupów żelazno-betonowych. Ma on postać:

Dop. aw

1,25 c₆

dla 50

(1481)

1 + 0,0001 s²

Tutaj oznacza a₆ dopuszczalne ciśnienie w betonie bez niebezpieczeństwa wyboczenia. Podobny wzór można zbudować dla żeliwa.

79. Wpływ sił poprzecznych na obciążenie krytyczne. Inne wpływy. Uwzględniając wpływ sił poprzecznych na energję zginania przy wyboczeniu (por. ust. 49), dochodzimy łatwo do wzoru:

Pkr

PE

14

VPE

(1482)

GF

Tutaj oznacza Tc' spółczynnik liczbowy, zależny od rozkładu naprężeń stycznych w przekroju (który np. dla prostokąta == 1,2) a G moduł ścinania. A zatem dokładna wartość Pkr jest nieco mniejsza od obciążenia Eulerow-skiego Pp. To zmniejszenie nie przekracza u prętów litych l%j jest zatem wobec innych źródeł błędów bez praktycznego znaczenia. Atoli bardzo wa-

h'

żną rolę gra wpływ sił poprzecznych, określony wielkością złożonych (kratowych itp.), o czem poniżej (ust. 80).

Przy ściskaniu słupa pionowego współdziała z siłą zewnętrzną P ciężar własny słupa G jako obciążenie dodatkowe przekroju, rosnące linjowo od O w górnym końcu słupa do G w końcu dolnym. Wartość krytyczna siły P zmniejsza się wówczas, jak wykazał Sommerfeld, a mianowicie dla przypadku I, o:    ,

GF ’

u prętów

— ^1--0e» czyli około 0,30 G,

co może grać rolę praktyczną tylko przy bardzo wielkich rozmiarach pręta.

Wpływ osłabienia pręta przez otwory na nity (w równych odstępach) można uważać za równoważny ze zwiększeniem długości swobodnej pręta o Д l, przyczem :

n d J—J'

лг=1Г- r ’

jeżeli n oznacza liczbę przekrojów osłabionych, d średnicę otworu, a J' moment bezwładności osłabionego przekroju. Wpływ ten jest wogóle nieznaczny i może być w praktyce pominięty.

Wszystkie dotychczas rozważane wpływy działają zmniejszająco na wartość obciążenia krytycznego, czyli niekorzystnie. Wpływ korzystny ma oczywiście wszystko to, co krępuje swobodę obrotu końcowych przekrojów pręta, a więc sposób podparcia tych przekrojów, tarcie w przegubie łożyskowym itp. Te wpływy, zwiększające P, są jednakowoż mniej uchwytne od tamtych (zmniejszających) i dlatego nie liczymy zwykle na nie w praktyce.

Doświadczenia wykazały, że przy wywarciu osiowego nacisku na obie płaskie podstawy słupa przez dokładnie przylegające stalowe tłoki prasy, prowadzone prostolinjowo, zwiększa się Pkr w stosunku do przypadku П. tak, że odpowiadająca długość sprowadzona ?red = oo 0,71.

Podobnież przy innych sposobach rzeczywistego utwierdzenia końców nie obserwowano nigdy teoretycznej wartości ?red = 0,5 l, odpowiadającej utwierdzeniu doskonałemu, lecz ?red ^ 0,58 Z, przyczem spółczynnik redukcji 0,58 odpowiada smukłości s = 200 (B. Kirsch) i rośnie, gdy s maleje. To się doskonale tłumaczy niemożliwością zrealizowania utwierdzenia zupełnego z powodu odkształcal-ności każdego materjału.

80. Wyboczenie prętów złożonych.

Uwzględniając wpływ sił poprzecznych, po-tających przy wyboczeniu, na odkształcenie postaciowe pól o długości a i szerokości b (fig. 202) pręta kratowego, doszli jednocześnie Prandtl i Timoszenko do poniżej podanych wzorów, przybliżonych dla Pk . W nich oznacza:

J₀ moment bezwładności przekroju poprzecznego (z pominięciem kraty) względem osi symetrji,

F pole przekroju poprzecznego przekątnej,

F pole przekroju poprzecznego słupa (rozpory),

a kąt ostry, jaki tworzą przekątne z kierunkiem prostopadłym do osi pręta, wreszcie :

oj,

.i

O-

t>.

C.

K--H

ws

h-

r~i

Fig. 202.

EJ₀

~pr~‘

Do fig. a) Pkr

PE

E F_ cos² a sin a

EFstga

Do fig. b) Pkr

PE 2 EFp cos² a sin a

E Fs tg a

Do fig. c) Pkr

EFp cos² a sin a

Jeżeli przekrój pręta jest rurowy (według fig. d), to w odpowiadających wzorach należy zamiast Fp i Fs wstawić 2 F i 2 Fg.

Wszystkie te wzory dadzą się przedstawić w postaci:

Pkr = a' • PE’ Przyczem a! < 1

PE

jest sp ołczynnikiem zmniejszającym wytrzymałość na wyboczenie pręta złożonego kratowego w porównaniu do pręta litego o tym samym momencie bezwładności przekroju J₀.

Powyższe wzory wyprowadzono przy założeniu wyboczenia sprężystego. W praktyce można je widocznie stosować i do wyboczenia nie-sprężystego, wprowadzając zamiast PE wartość Pw — F₀. aw, obliczoną z wzorów empirycznych lub tablic (str. 1170). (F₀ oznacza tutaj pole przekroju o momencie bezwładności J₀.)

Ważność wzorów jest nadto ograniczona warunkiem oczywistym, aby siła krytyczna dla części pasa o długości a i momencie bezwładności Jx

(obliczona dla przypadku II.) wypadła

jest Jx momentem bezwładności dwu kątowników względem osi łączącej ich środki ciężkości.)

Dla stosowanych często w nowszych czasach prętów bezprzeką-t ni owych (Vierendeel’a; (fig. 203) znaleziono powyższą metodą:

Pkr —

у Pkr- (W przypadku z fig. (d)

p i p

_J?

PE

л- • • ' •(16l0,

24 EJX n 12 EJ₂

przy tych samych, co powyżej warunkach ważności, a nadto sztywnem połączeniu poprzeczek (słupków) z pasami. Tutaj oznacza J₂ moment bezwładności przekroju słupka (rozporki) względem osi obojętnej prostopadłej do płaszczyzny wyboczenia (zarazem płaszczyzny rysunku).

Według Müller-Breslau’a (Eisenbau 1916, str. 266) przy-J biera powyższy wzór przybliżoną postać:

к² E

Pkr

^s2+⁰’⁸*²

. (1511)

f.

FlJj

przy oznaczeniach n = l : a (liczba pól) :

nr.

sx — a: ix

Zamiast tego radzi Engesser przyjąć w I. przybliżeniur

7Z²E

Fig. 203.

Pkr

S² -f Si

(1512)

IX. Ważniejsze złożone przypadki zgięcia i wyboczenia.

W rozpatrywanych w rozdz. VI.—VII. przypadkach zgięcia prętów i płyt były ugięcia i naprężenia linjowemi funkcjami obciążeń, a energja potencjalna kwadratową jednorodną funkają uogólnionych sił, albo uogólnionych przesunięć. Szła za tem nader wygodna stosowalność zasady superpozycji, zasady najmniejszości pracy odkształcenia itd. To wszystko przestaje być wogóle ważnem w zagadnieniach niniejszego rozdziału. Dwa razy większa siła nie wywołuje w rozpatrywanych tutaj przypadkach podwójnych ugięć i naprężeń, lecz większe lub mniejsze od nich, stosownie do warunków. Tak się rzecz ma, bez przekroczenia gdziekolwiek granicy proporcjonalności materjału, albowiem powód zmiany prawa zależności tkwi nie w materjale, lecz w tem, że działania sił stają się od siebie nawzajem zależne. Zmiana wielkości jednej siły wywołuje np. zmianę ramienia momentu siły drugiej i nawzajem. Łatwo to zauważyć w każdem z podanych poniżej rozwiązań.

A. Zgięcie prętów prostych w połączeniu z siłami rozciągająceml lub ściskającemi.

81. Przypadek przegibnego ustalenia końców na prostej. Dokładne rozwiązanie prowadzi do bardzo zawiłych wzorów. Do celów praktycznych wystarcza rozwiązanie przybliżone Timoszenki w postaci wzorów następujących.

a) Strzałka ugięcia / (fig. 204):

/o

. .(1520)

»!

SE

Fig. 204.

Tutaj oznacza/, strzałkę, wywołaną przez same obciążenia Pi (skierowane EJ

wartość krytyczną siły ściskającej, znak — odnosi

zgodnie), SE = к²

się do przypadku ściskania, -j- do rozciągania siłą S. Wzór jest dostatecznie dokładny, gdy S < 0, 8 SE (oczywiście przy założeniu, że nigdzie nie przekroczono granicy proporcjonalności).

b) Moment zginający w przekroju środkowym:

M—M₀±S.f=M₀±

Sfo

iii

(1530)

Se

jeżeli M₀ oznacza moment wskutek samych obciążeń P-. Znaki górne odnoszą się do ściskania, dolne do rozciągania.

Uwaga. 1. Przy zastosowaniu tego wzoru do oceny wytrzymałości belki nie wolno wogóle obliczać przekroju z warunku, aby przy danem obciążeniu było omax up,ezp, albowiem stopień pewności przeciwko złamaniu mógłby wypaść znacznie mniejszy od "niebezp

. Obliczenie poprawne przedstawia przykład następujący :

"bezp

Belka z żelaza kowalnego, obciążona całkowicie ciężarem q I i ściskana siłą S. Znaleźć wymiary przekroju przy и-krotnej pewności przeciwko przekroczeniu granicy plastyczności oy.

1    bal'¹

Przy danem obciążeniu jest M₀ == — Ц P, f₀ — ~JrJ< a *atem ciśnienie we włóknie

skrajnem przekroju środkowego, jako niebezpiecznego, jest przy n-krotnej wartości obciążenia :

nS nqP    1,028 n(S/SE)

1 + 1 - n (S/SE)

<Of.

Podzieliwszy obustronnie przez n otrzymujemy jako warunek wytrzymałości:

n(S/SE)

S , qP

~F ⁺ W ¹ + 1>028 T

- и (S/SE)

af _

< n — CTbezp-

Stąd wyznaczamy szukane wielkości przekrojowe F i W z danych q, S, l, n i <rj,ezp Warunek wytrzymałości wyraża tutaj, że przy sumowaniu naprężeń wywołanych siłą po dłużną S, momentem zginającym M₀ obciążenia poprzecznego i momentem zginającym

siły S, należy w ostatniej części pomnożyć siłę S przez n = ——. Dopiero tak obliczone

^bezp

naprężenie winno mieć wartość <; at,eZp.

2. Wzory (1620) i (1530) nie zmieniają postaci w przypadku doskonałego utwierdzenia końców belki, przy stosownej interpretacji wielkości f₀, Ma i SE. W szczególności będzie wtedy :

EJ

SE

82. Przypadek nieznanych sił podłużnych. Gdy końce belki są ustalone tak, że nie mogą się do siebie zbliżyć wskutek jej zgięcia, to powstaje niewiadoma siła rozciągająca S. W przybliżeniu, wystarczającem do celów praktycznych, można ją obliczyć (Timoszenko, str. 231) z równania warunkowego :

/o²

4 i² ’

JLU + JŁ)

s* \ + s* przy oznaczeniach z poprzedniego ustępu (i promień bezwładności przekroju).

83. Przypadek mimośrodkowego działania sił ściskających. Początkowy moment zginający P. ô (fig. 205) Wywołuje wygięcie sprężyste osi pręta o strzałce /. Do jej wyznaczenia służy równanie linji ugięcia w postaci dokładnej:

*-</+»){

O#

cos a z A

4 !

a²(/+3)²

(azf

6!

[«*(/+8)4-11] + ...} (1542)

przyczem a

= ~jyj' а z oznacza długość łuku linji ugięcia, mierzoną od jej środka; albo w postaci przybliżonej, wystarczającej do celów praktycznych:

у — (/-f- 8) cos а X.

Powstające krańcowe naprężenia (po stronie wklęsłej) i o₂ (po stronie wypukłej) określają wzory:

Si

*i,S ’

przyczem

ei

e₂

albo :

i/cos —

V-f.

a₂

P 8 e₂

. . (154,4)

Fig. 206.

Jcos Y |/‘ F

EJ

ne-

Te wzory, jedynie racjonalne w rozpatrywanym przypadku i bardzo ogól zastępuje się w praktyce rozmaitemi przybliżeniami, których granice sto, sowalności są dość nieuchwytne. Byłoby bardzo pożądanem ułatwić praktyczne zastosowanie równań (154,4) obliczeniem tablic lub nomogramów. Aby znaleźć Pbezp dla słupa, należy po lewej stronie pierwszego z tych równań¹) podstawić zamiast o* niebezpieczną wartość ciśnienia (np. granicę plastyczności) i rozwiązać równanie względem P.

Znaleziona wartość obciążenia będzie niebezpieczną P , Biorąc jej n-tą część, otrzymujemy:

^ bezp n 1

przyczem

°/

°bezp

Aby obejść żmudne rozwiązywanie równania przestępnego wyprowadził Ostenfeld przy założeniu niezbyt małych mimośrodów 8 i niezbyt wielkich smukłości s wzór pierwszego przybliżenia:

(155Д)

а/

Tutaj oznacza Pw obciążenie niebezpieczne, cy naprężenie na granicy pla-promień rdzenny, ß ==

styczności k —

1 °/

8 Б'

B. Zgięcie i wyboczenie prętów prostych objętych sprężystem podłożem.

Założenie: Na każde małe ugięcie pręta у oddziaływa podłoże siłą — ky odniesioną do jednostki długości pręta. Spółezynnik k (kgleni'²) cechujący sprężystą podatność podłoża nazywają „znamieniem“ podłoża. Stosowniejszą nazwą byłoby dla k: moduł podatności, zaś dla— podatność.

To założenie odpowiada schematowi belki na nieskończenie wielu nieskończenie bliskich i równo odległych podporach sprężystych, odkształcających się niezależnie od siebie nawzajem. Podłoże ciągłe zachowuje*się, biorąc ściśle, nieco inaczej, albowiem odkształcenie jednego elementu podłoża nie jest możliwe bez współdziałania wszystkich pobliskich. Mimo to teorja, oparta na powyższem uproszczonem założeniu, oddaje dobre usługi w wielu zastosowaniach praktycznych.

84. Belka nieograniczona. Kównanie różniczkowe linji ugięcia :

EJ

ky

dx⁴

daje po zcałkowauiu w przypadku jednej siły skupionej P (fig. 206) w początku spółrzędnych dla belki rozciągającej się w obie strony w nieskończoność :

• /i (ж), przyczem fx (ж) = e

SE Ja⁵

Ta funkcja jest ważną dla О^ж^.оо. Lewa gałąź krzywej jest oczywiście symetryczna.

Nadto oznacza

Moment zginający:

-X

4 EJ ' p

=    Przyczem/2 (*) =

“^(втаж— cos а ж) . . .(156,2)

p

Siła poprzeczna Q =--— f₃ (ж), przyczem

(156,3)

/з (a?) = e'

cos а ж

(cos а X -j- sin а x) . (156,1)

L—- -Ąl

+Y

ł’ig. 206.

+X

Dla funkcyj j\ (ж), /₂ (ж) i fs (ж) posiadamy tablice¹), przy pomocy których łatwo obliczyć długą belkę obciążoną dowolnym układem sił, byleby te siły były dość odległe od końców belki. Działanie bowiem każdej siły skupionej daje się odczuwać tylko na niewielkiej długości po obu jej stronach. Linja ugięcia jest falista o długości fali:

—1>T

l) Ob. np. Timoszenko-Huber: „Wytrzymałośó materjałów“, str. 166.

Wysokość fali maleje bardzo szybko z oddaleniem od miejsca obciążonego - wskutek czynnika e żenią praktycznie znikomy.

85. Belka o długości skończonej. Dokładny rachunek jest bardzo uciążliwy i może być zastąpiony z korzyścią przybliżoną metodą Timoszenki.

W przypadku obciążenia siłą P w środku belki (fig. 207) przyjmujemy w przybliżeniu równanie linji ugięcia:

У = а +/sm ~T~

— ax

. W odległości większej od 2 L jest wpływ obcią-

(156,5)

a z rozważań energji potencjalnej układu znajdujemy :

3/ , Л ²\ 2 PI3 « ’ ' { к) k*EJ

kl

kP

(‘“W '

. (156,6)

o)

ł X nacisk

тпт

-J

тс⁴ EJ

Znając ai/, otrzymamy z łatwością na podłoże p = — ky, a stąd momenty zginające itd. Dla największego momentu zginającego w środku otrzymujemy :

Fig. 207.

-*(т+£)

Warunkiem stosowalności powyższego rozwiązania jest oczywiście:

!<yl-

Inne przypadki traktuje „Kurs Wytrzymałości“ Timoszenki (str. 235).

86. Wyboczenie pręta objętego sprężystem podłożem. Przy łożeniu przegibnego ustalenia obu końców pręta ściskanego osiowo siłą P prowadzi teorja do sinusowej postaci równowagi pręta, po przekroczeniu przez P wartości Pkr. Liczba те półfal sinusoidy, mieszczących się na długości l pręta, zależy od podatności podłoża. Im podłoże jest mniej podatne, tem liczba те będzie większa. W szczególności określa teorja wielkość bezwymiarową:

za-

B²

kP

(157,0)

16 EJ

od której zależy m w ten sposób, że wartość B² przy przejściu od postaci o те półfalach do postaci (те -j- 1) półfalach oblicza się z równania :

o as

7t⁴

gr = Т7Г (m + l)²

(157,1)

Wartościom те =

odpowiada В² =

24,35

219,2

876,7

2435

5479

10739

19091

Skoro np. dla danego pręta, przy danem k, wypadnie В² < 24,35, to powstanie wyboczenie zjedna półfalą; gdy 24,35 < B² < 219,2 to będą dwie półfale itd.

Znając liczbę półfal те, obliczamy Pf;r z równania:

16 ił2 те² тс⁴

Pkr

(<»s4

(157,2)

Dla długości sprowadzonej mamy wzór: ^red

J/ш² -f

16 B²

m² ii⁴

Przy wielkiej liczbie półfal zdąża długość jednej półfali X do wartości-'

Y/ej

=*J/t

(158,0)

zaś Pkr do wartości:

Pkr

2 Ti² EJ

X²

(158,1)

(m -p oo)

87. Wyboczenie ściskanych pasów n mostów otwartych. (Fig. 208.) Pas taki zachowuje się jak pręt na sprężystych podporach, oddziaływają-

--X

л r°—\

mmii

<?

Q£

Fig. 208.

cych w. kierunku poziomym wskutek sztywności zginania słupów belki kratowej.

«) Końce słupów są punktami podparcia dla pasa. Uważając słup za belkę, dolnym końcem utwierdzoną o sztywności zginania EJ1} mamy dla ugięcia y górnego końca pod wpływem poziomej siły P wyrażenie :

Pb3 V ~~ 3EJi

Z uwzględnieniem sił S, ściskających słup podłużnie, będzie zamiast powyższego :

Pb³

У ~ 3 EJ\ ' 1 — S/SE

Stąd znajdujemy reakcję P końca słupa, jako podatnej podpory pasa górnego, w postaci:

przyczem SE = — •

7t² EJ\

b² '

3 EJ

b³

Zastąpiwszy dla uproszczenia obliczeń te podpory sprężystem podłożem ciągłem, znajdujemy reakcję podłoża odniesioną do jednostki długości, dzieląc P przez odstęp słupów, czyli:

3 EJi ( S\ _ ab³ (* SE)y ky’

co prowadzi do określenia „znamienia“ podłoża:

(158,2)

ab³

b)    Jeżeli przez Q oznaczymy obciążenie całkowite jednej belki, łożone równomiernie na rozpiętości l, to siła, przeniesiona przez przekątne na pas górny da się, przy założeniu bardzo wielu węzłów, określić w przekroju oddalonym о ж od końca pasa wyrażeniem:

roz-

h.l\ 2 / h\l 2 )'

Jest to oczywiście siła, odniesiona do jednostki długości. Ta siła ma na końcu wartość maleje potem linjowo ze wzrostem a?, a w środku

a fi

rozpiętości ma wartość 0. Wywołana nią siła wewnętrzna w pasie ma widocznie największą wartość w środku:

1    Q    I    Q.l

2    2 ń 2    8 h '

c)    Najprostsza ścisła teorja wyboczenia sprężystego, oparta na powyższych założeniach upraszczających i przyjęciu stałej sztywności EJ pasa na całej długości l, daje według Timoszenki:

¹

) Drugie może służyć za podstawą rabłnmku tylko w przypadku materjału o wielkiej wytrzymałości na ściskanie, a małej na rozciąganie.

(159,1)

Q. 71    _ iz² EJ

8 h kryt (p. Z)²

przyczem spółczynnik jj. długości sprowadzonej lieA — p, .1 należy wyznaczyć według następującej tablicy. W niej oznacza В² wielkość liczbową, określoną wzorem (157,0), przyczem wartość h trzeba wziąć z wzoru (158,2):

10

15

22,8 56,5

100

162,8

200

300

500

1000

p.= 0,694 0,524 0,443 0,394 0,363 0,324 0,289 0,257 0,245 0,224 0,204 0,174

Uwaga. W razie zmienności przekroju pasa wypadnie przy stosowaniu wzoru (159,1) wstawić tę z wartości EJ na całej długości pasa, której odpowiada najmniejsza wartość krytyczna.

C. Wyboczenie prętów zakrzywionych, płyt Itp.

88. Wyboczenie łuku kołowego dwuprzegubowego. Równomierny nacisk q{kg\m²) prostopadły wszędzie do łuku (fig. 209) nie wywołuje momentów zginających, lecz tylko stałą siłę podłużną o wielkości q. r.

w mm

OC

o!

El

<■■■

rE

Fig. 209.

Fig. 210.

Atoli równowaga łuku w tej pierwotnej postaci przestaje być stałą i łuk się „wyboczy“ w swej płaszczyźnie (fig. 209), skoro g przekroczy wartość :

EJ Mit²

Якг r3

—:--1

a²

(160,0)

Przy małym kącie o. można w powyższym wzorze pominąć 1 wobec wyrazu pierwszego, a oznaczywszy długość łuku r. a. = ł otrzymujemy :

(160,1)

irPEJ

l²

89. Wyboczenie płyt prostokątnych, a) Płyta o brzegach dokoła przegibnie ustalonych, równomiernie ściskana w kierunku boków a (fig. 210).

Jeżeli a> b, to równaniem powierzchni wyboczenia jest :

, . mix . ку

W — f sin-Sin-p,

a b

przyczem n = 1, 2, 3, ..., zależnie od wartości stosunku a : b. Gdy stosunek 0 <    < "J/2, to wytwarza się jedna półfala (n — 1). n półfal wytwarza

się w granicach wartości:

У(п — l)n <    < ~\n (n + 1)

Długość półfali — leży przy bardzo wielkiem a między granicami :

ь l/i-—< —<a|/i+—,

f n n f ' n

czyli przy bardzo wielkiej długości dzieli się wyboczona płyta na kwadraty naprzemian wypukłe i wklęsłe. Krytyczna wartość ciśnienia określa równanie :

(160,2)

. . .(161,0)

w którem należy wstawić wartość n, dogadzającą warunkowi (160,2). Nadto oznacza В ■ zaś h jej grubość.

We wzorze powyższym przedstawia Й wartość naprężenia krytycznego, odpowiadającego płycie, której grubość h — Tę wartość podano w poniższej tablicy (VI.) dla żelaza kowalnego, jako materjału płyty:

E = 2.10e kg/cm², m —

u¹

h³

- • E • — sztywność zginania płyty,

37

W przypadkach innej wartości samego E, np. dla stali, wystarczy liczby

tablicy pomnożyć przez

g; zaś dla materjału o innej wartości obu

0,91

2.10

stałych E im należy liczby tablicy pomnożyć przez —E • otrzymać odpowiednie wartości krytyczne naprężeń.

Tablica VI.

2.10е’

aby

T = ⁰’⁶

0,6

0,7

0,8 0,9

1,0

1,1

1,2 1,3

929 819 760 731 723 730 747 774

r-= l,⁴

1,5

1,6

1,7

1,8 1,9 2,0

2Д 2,2

784,5

759,6 742,3 731,2 724,9 723,0 724,8

729,7

~ = 2,3

2,4

2,5

2,6 2,7

2,8 2,9

3,0

>3

ił = 737,2

747,3

747,3

737,9 731,2

726,5

723,9

723,0

723

b) Płyta podparta, jak powyżej pod działaniem naprężeń stycznych, rozłożonych równomiernie na całym konturze (fig. 211).

W takich mniej więcej warunkach znajduje się ścianka blachownicy w miejscach małego momentu zgięcia, a wielkiej siły poprzecznej.

Krytyczną wartość naprężenia t, po przekroczeniu której wystąpi ukośne pofałdowanie płyty, określa przy a wielkiem wohec b, wzór:

100 h\²

(161,1)

4r = 7t2

2 m² — 1 \ b j

Gdy materjałem jest żelazo kowalne, to powyższy wzór przybiera postać:

("**)■

... [w legion²]

(161,2)

Tlfr

1Г —Z

tz b

ńh

T

Fig. 211.

■a

Fig. 212.

Dla szeregu skończonych wartości stosunku a : b podaje Q (w Tcg/cm²) następująca tablica, obliczona według dokładnego rozwiązania Timoszenki w przypadku żelaza kowalnego (jak powyżej):

t-¹

1,2

1,1

1,6

1,8

2,0

2,5

3,0

1451

1321

1269

1228

1197

1135

1104

c) Płyta, trzema brzegami przegibnie ustalona i ściskana równomiernie siłami równoległemi do brzegu swobodnego (fig. 212).

Takie warunki zachodzą np. u blachy stojącej pasa belki kratowej o przekroju T. Teorja wyboczenia płyt daje wówczas wzór:

—    W?

. .Б + -У— m² —

Ï*JT2

(162,0)

°*r U b2 h *

Wartości spółczynnika liczbowego C7, zależnego od stosunku a : b, zawiera tablica następująca („Studja nad belkami I,“ str. 95):

a

T= 0,5

1,5

oo

U = 42,49

13,04

7,75

6,00

4,88

4,40

4,27

4,20

d) Płyta o utwierdzonym jednym brzegu podłużnym i przegibnie ustalonych obu brzegach poprzecznych, ściskana równomiernie wzdłuż. Jest to schemat blachy stojącej pasa ściskanego kształtu U (fig. 212). Wzór teoretyczny dla okr ma tę samą postać, co w poprzednim przypadku (162,0), a tylko U ma wartości inne, zestawione w niżej umieszczonej tablicy („Studja. .str. 101).

90. Wyboczenie poprzeczne lub skrętne (torsyjne). Przekroje belek zginanych w jednej płaszczyźnie, np. pionowej, obiera sie zwykle ze względu na wyzyskanie materjału tak, aby W = — było jak największe, przy danem

---W

-nt

Fig. 213.

£/■= 12,92

- 5Д

5,4

5,7

5,74

6,0

6,4

6,6

6,8

7,2

U — 12,91

1,9

2,0

2,2

2,35

2,4

2,6

2,8

3,0

3,2

U = 13,01

13,18

13,41

14,06

14,66

14,43 13,76

13,32

13,06

12,93

~= 3,3

3,4

3,6

3,8

4,0

4,06

4,2

4,5

4,8

4,95

U= 45,28

1,0

1,2

1,3

1Д

i;6

1,6

1,65

1,7

16,82

15,41

14,43

13,76

13,32

13,06

12,93

12,91

12,92

12,92

13,01

13,18

13,41

13,49

13,32

13,06

12,93

12,91

13,01

13,18

13,21

13,06

12,93

12,91

12,92

13,01

polu przekroju F. Jeżeli takie zwiększenie sztywności i wytrzymałości na zgięcie w tej płaszczyźnie odbywa się kosztem zmniejszenia sztywności zginania Bt = Jz E w płaszczyźnie prostopadłej i sztywności skręcania, jak się rzecz ma w przypadku bardzo wysokiego, a wąskiego przekroju prostokątnego albo dwuteowego itp., to może zajść niebezpieczeństwo wyboczenia skrętnego, przedstawionego w prostym szczególnym przypadku na fig. 213. Przy takiem wyboczeniu powstaje obok skręcenia belki także jej wygięcie w płaszczyźnie prostopa- M dłej do płaszczyzny obciążenia, czyli wygięcie poprzeczne. Jeżeli wyboczenie poprzeczne zajdzie, zanim naprężenie zginające we włóknie skrajnem przekroczy granicę sprężystości, to mamy do czynienia z wyboczeniem sprężystem, w razie przeciwnym jest wyboczenie niesprężystem.

Teorja, opracowana najpierw przez A. G. M. Michell’a, Z. Prandtl’a iS. P. Timoszenkę, a sprawdzona doświadczeniami, pozwala w licznych przypadkach praktycznego znaczenia obliczyć wartość obciążenia krytycznego. Ta wartość jest w dość znacznym stopniu zależną od tego, w którem miejscu przekroju działa obciążenie. Np. przy obciążeniu działającem na górny pas belki dwuteowej, jest wartość krytyczna mniejsza, aniżeli przy takiem samem obciążeniu pasa dolnego.

Tutaj podamy tylko kilka rozwiązań w najprostszych przypadkach, odsyłając czytelnika do odnośnych prac Timoszenki lub do monografji autora p. t. „Studja nad belkami o przekroju I (dwuteowemi)“, Warszawa, 1923.

n) Belka o rozpiętości l, obu końcami swobodnie podparta i narażona na czyste zginanie w płaszczyźnie pionowej momentem M. (Podparcie końcowego przekroju trzeba sobie przytem wyobrazić tak, aby wykluczało obrót tego przekroju około osi równoległej do osi belki, umożliwiając jednocześnie obroty około obu osi do niej prostopadłych.)

1. Jeżeli przekrój belki jest prostokątem o małej wartości stosunku h : h, a nadto h : l jest niewielkie, to wartość krytyczną momentu określa z wielką dokładnością równanie:

„ VKT'

(164,0)

л---

b³h

przyczem sztywność zginania poprzecznego B₂ = ■    (dokładnie), zaś sztywność skrę-

-i- b³h.(i (w dostatecznem przybliżeniu).

2. W przypadku przekroju I o wysokości h mamy:

„ 1 /1F~, г

PE- y "J" +

jeżeli Pß — ^ zaś Г wyznaczamy według ust. 32.

2. Jeżeli obok momentu M działa na belkę siła podłużna N, to powyższą wartość momentu krytycznego trzeba pomnożyć przez :

cania Г —

Щг —

pE

(164,1)

в,

]/.+ л'

przyczem znak — odnosi się do ściskania, a -j- do rozciągania.

Ten wynik obejmuje także przypadek wyboczenia poprzecznego przy podłużn ściskaniu siłą P o mimośrodzie <5, leżącym na pionowej osi symetrji przekroju. Wtedy bowiem jest M — P.S, N — P. Po wstawieniu i rozwiązaniu równania względem P otrzymujemy :

<■11!

pkr —

l + yi + !P

przyczem

4 <5 *PE

(■ + **£) '

. . (165,1)

B₂h²

dla przekroju prostokątnego, albo też a² = ~^-jr dla przekroju I, jeżeli D oznacza moment bezwładności jednej stopki względem pionowej osi symetrji przekroju Równanie (165,1) poucza, że zboczenie siły ściskającej od środka przekroju w płaszczyźnie największej sztywności obniża wartość krytyczną siły w porównaniu do wartości Eulerowskiej i to tern bardziej, im mniejszą jest sztywność skręcania Г.

b) Belka, obukońcami swobodnie podparta i obciążona w środku rozpiętości l i wysokości h siłą skupioną P.

Krytyczna wartość siły P da się przedstawić wzorem przybliżonym:

Nadto a¹ =

12 Г

(164,3)

Pkr = J/294,4 + 2892,8

przy tych samych oznaczeniach skracających, co powyżej.

LITERATURA.

A. W języku polskim.

1.    Bogucki J.: Wykłady statyki budowli. (Litograf.). Lwów 1911.

2.    Bryła S.: Podręcznik statyki budowli. Wyd. 2. Lwów i Warszawa 1925.

3.    Franke J. N.: Mechanika teoretyczna. Warszawa 1889. (Rozdz. XVII.).

4.    Jewniewicz H. : Teorja sprężystości. Warsiawa 1910.

5.    Humnicki A.: Zasady nauki o wytrzymałości materjałów. Wyd. Zakł. Nar. im. Ossolińskich 1922.

6.    Karasiński L. : Wytrzymałość tworzyw. Wyd. 2. Warszawa 1921.

7.    Kluger Wł. : Wykład wytrzymałości materjałów i stałości budowli. Paryż 1876.

8.    Stephan P.: Nauka o wytrzymałości materjałów. Tłum. T. Radziszewski. Warszawa 1914.

9.    Thullie M.: Podręcznik statyki budowli. Wyd. 3. Lwów 1917.

10. Timoszenko S. P.: Kurs wytrzymałości materjałów. Przełożył z IV. wyd. (ross.) M. T. Huber. Lwów—Warszawa 1921.

B. W językach obcych.

11.    Bach C.: Elastizität und Festigkeit. Wyd. 5. Berlin 1905.

12.    Flamant A.: Stabilité des constructions. Résistance des matériaux. Wyd. 3. Paryż 1909.

13.    Fontviolant, B. de: Les méthodes modernes de larésistance des matériaux. Wyd. 2. Paryż 1920.

14. Föppl A.: Festigkeitslehre. Wyd. 8. T. III. Yorl. u. Techn. Mech. 1920. Teubner.

16. Föppl A. u. O. : Grundzüge der Festigkeitslehre. 1923. Teubner.

16.    Föppl A. u. L. : Drang und Zwang. Eine höhere Festigkeitslehre für Ingenieure. I. Bd. 3. Aufl. 1924. II. Bd. 1920. Monachium i Berlin.

17.    Keck W.—L. Hotopp: Vorträge über Elastizitätslehre. Wyd. 3. Cz. I. 1922. II. 1924. Hannover.

18.    Kirpiczew W. : Soprotiwlenje mater.iałow. 2 tomy. Moskwa i Petrograd 1923.

19.    Lorenz H. : Technische Elastizitätslehre. Monachium i Berlin 1913.

20.    H. Müller-Breslaü: Die neueren Methoden der Festigkeitslehre und der Statik der Baukonstruktionen. Wyd. IV. Lipsk 1913.

21.    Perry J.: Applied mechanics. Londyn 1907. (Także w przekładzie niemieckim K. Schick’a. 1908. Teubner.)

22.    Pigeaud G.: .Résistance des matériaux et élasticité. Paryż 1920.

23.    Prescott J. : Applied elasticity. Londyn 1924.

24.    Rabozée H. : Cours de résistance des matériaux. Wyd. 3. Bruksela i Paryż 1926.

25.    Swain G. F.; Structural engineering. Strength of materials. New York 1924.

26.    Tallquist Hj.: Lehrbuch der technischen Mechanik. T. II. Helsingfors 1903.

27.    Tetmajer L.: Die angewandte Elastizitäts- und Festigkeitslehre. Wyd. 8. Lipsk i Wiedeń 1905.

28.    Timoshenko S. & Lesseis J. M.: Applied elasticity. East Pittsburgh. Pa. 1926.

29.    Timoszenko S.: Kurs teorji uprugosti. 2 tomy. Petersburg 1914—1916.

30.    Enzyklopädie der Mathematischen Wissenschaften. Bd. IV. Mechanik. 4 tomy. 1901—1908. Teubner.

C. Niektóre prace autora z powyższego działu.

31.    Właściwa praca odkształcenia jako miara wytężenia materjału. Lwów Czas. Techn. 1904.

32.    Zur Theorie der Berührung fester elastischer Körper. Ann. d. Phys. 1904, IV., Bd.14.

33.    O natężeniach wywołanych nierównem ogrzaniem wewnętrznej i zewnętrznej ściany rury. Czas. Techn. 1906.

34.    Teorja płyt prostokatnie-różnokierunkowych wraz ztechnicznemi zastosowaniami Lwów, Tow. Nauk. 1921.

35.    Studja nad belkami o przekroju I. Warszawa. Spraw, i prace W. T. P. 1923.

36.    Wzory obliczenia statycznego ramy prostokątnej nierównoramiennej o słupach doskonale utwierdzonych. Przegl. Techn. 1924.

37.    Kryterja stałości równowagi i ich stosunek do statyki układów sprężystych. 1926, zesz. 3., wyd. Akad. Nauk Techn. w Warszawie.

38.    O wytrzymałości rury walcowej na wewnętrzne ciśnienie hydrostatyczne. Technika cieplna 1927.

39.    Równanie pięciu momentów. Czas. Techn. 1927.

40.    Biegungsprobleme eines durch Querrippen versteiften orthotropen Plattenetreifens. Verhandl. des 2. intern. Kongr. f. techn. Mechanik. Züiich 1926. Orell Füssli Verl. 1927.

Statyka budowli.

I. Wstęp. Belki statycznie wyznaczalne o ściance pełnej.

Napisał

inż. dr. Stefan Bryła,

profesor politechniki, Lwów.

a) Statyczna wyznaczał ność.

Belką lub dźwigarem płaskim nazywamy ustrój materjalny, złożony z (nieważkich) prętów lub tarcz sztywnych, leżących w jednej płaszczyźnie, który służy do przeniesienia na ziemię sił działających w tejże płaszczyźnie czyli obciążeń.

Pręty przenosić mogą tylko siły osiowe, zatem obciążone mogą być tylko w węzłach. Tarcze mogą przenosić prócz sił osiowych także momenty zginające, muszą one zatem posiadać pewien moment bezwładności. Mogą to byc albo a) utwory o ściance pełnej (np. blachownice) albo b) kratownice, składające się z prętów połączonych w kratę, albo wreszcie c) utwory mieszane, w skład których wchodzą częściowo elementy o ściance pełnej, częściowo elementy kratowe.

Belką kratową (kratownicą płaską) nazywamy belkę, składającą się w całości z prętów nieważkich, połączonych ze sobą przegibnie w węzłach. Siły zewnętrzne działają na nią (teoretycznie) tylko w węzłach.

Tarcza (lub pręt) jest połączona stale i statycznie wyznaczalnie z drugą tarczą (prętem) wogóle przy pomocy trzech prętów. Do ustalenia punktu (na płaszczyźnie) względem tarczy potrzeba dwu prętów. Układ płaski, złożony ź t tarcz i w węzłów, połączony będzie stale (sztywnie) i statycznie wyznaczalnie z innym układem stałym, jeżeli posiada :

p = 3 t -j- 2 w prętów

(połączonych ze sobą odpowiednio, ti. tak, aby nie zachodził wypadek wyjątkowy, por. str. 1187 i 1212).

Ziemię uważać można też za tarczę sztywną; zatem dla stałego i statycznie wyznaczalnego ustalenia układu względem ziemi potrzeba p = 3 t -f- 2 w prętów, z czego część może przypaść na pręty istotne (ustrojowe), część na pręty podporowe (łożyskowe), część na przegubowe.

Do ustalenia belek (dźwigarów) względem ziemi używamy zwykle łożysk, które w działaniu swem są równowarte z pewną ilością prętów, i które przy obliczaniu często się temi prętami zastępuje (t. zw. pręty łożyskowe). Łożysko stałe na płaszczyźnie (fig. 214) odpowiada dwu prętom podporowym, które możemy przyjąć dowolnie (fig. 215); zazwyczaj jednak przyjmujemy jeden pręt poziomy i jeden pionowy (fig. 216). Łożysko ruchome (na pła-

ш.

Fig. 214.

Fig. 216.

шмжмшк.

Fig. 217.

Fig. 215.

szczyźnie) odpowiada jednemu prętowi podporowemu, który ma kierunek oddziaływania, a wiec prostopadły do kierunku ruchu (tarcia zazwyczaj nie ględniamy) (fig. 217 i 218). Utwierdzenie, czyli wmurowanie odpowiada w przyjęciu statycznem zwykle trzem prętom, nie przecinającym się w jednym punkcie (fig. 219 i 220; por. też str. 1056).

uwz

I-i

Fig. 220.

Fig. 218.

Fig. 219.

Pręty układu, łączące ze sobą tarcze i węzły, mogą być albo istotne, wykonane jako pręty (np. belka kratowa) albo mogą być zastąpione przegubami (pręty przegubowe). Przegub stały odpowiada dwu prętom przegubowym, przecinającym się w środku przegubu (przegub urojony), przegub ruchomy jednemu prętowi przegubowemu. Łożyska są właściwie również przegubami, a pręty łożyskowe prętami przegubowemi.

Nazywając pi — ilość prętów istotnych, pt — ilość prętów łożyskowych, pfJ = ilość prętów przegubowych, otrzymamy dla belki stałej i statycznie wyznaczalnej czyli izostatycznej (por. str. 1064) potrzebną ilość prętów •

P =P< +Pl +Pg = ³ t + ² V)

Podparcie stałe i i statycznie wyznaczalne wymaga przynajmniej 3 prętów łożyskowych. Wtedy :

• (1)

Pi =*P — Pg - ³ = 3 t + 2 W - p — 3

. . .(2)

/у

—Y--*

w.

Fig. 221 а.

Fig. 221 Ъ.

Moo

Moo

AZYWVX

x~-

—X

(4.'

Fig. 222.

Jeżeli belka nie posiada tarcz, ale wyłącznie pręty, to t — 0, a wtedy :

p = 2 w,

p, = 2 w — 3...........

Warunki te są konieczne, jednak w wyjątkowych wypadkach mogą być niewystarczające. Mimo ich spełnienia bowiem belka może nie być sztywna, ale być chwiejna o nieskończenie małej, lub skończonej ruchomości. Pierwszy wypadek zachodzi wtedy, gdy pod wpływem obciążenia wystąpią wogóle w kratownicy teoretycznie siły nieskończenie wielkie (por. str. 1055 i 1212), a przyposzczególnych obciążeniach siły o wielkości skończonej ale nieokreślone (por. str. 1061). Wypadek drugi, gdy dla ogólnego obciążenia belka będzie chwiejna, a tylko dla specjalnego układu belka może spełnić swoje zadanie. Np. przy trzech prętach istotnych, łączących z sobą tarcze sztywne, ględnie kratownice aib (fig. 221 u), lub podporowych (fig. 221 b) zachodzi wypadek ruchomości nieskończenie małej. Jeżeli wypadkowa sił zewnętrznych przekroju XX przechodzi przez punkt M, wystąpią w prętach przeciętych

względnie

(3)

siły skończone, ale nieokreślone; jeżeli nie przechodzi przez ten punkt, wystąpią siły nieskończenie wielkie, które wprawdzie wskutek sprężystości dojdą do wielkości skończonych, pozostaną jednak w każdym razie bardzo znaczne i albo uniemożliwią, albo bardzo utrudnią wykonanie takiej belki w praktyce.

Jeżeli puukt M znajdować się będzie w nieskończoności (pręty przecięte będą równoległe), nastąpi wogóle pod wpływem dowolnej siły zmiana kształtu, więc belka będzie chwiejna. Np. pod wpływem składowej siły P (fig. 222), prostopadłej do kierunku prętów podporowych, belka ABC zostanie o wprawiona w ruch. Dla specjalnego obciążenia, \ w danym wypadku dla pionowego, względnie Ив    dla takiego, którego wypadkowa jest pionowa,

Fig. 223.

tj. przechodząca przez leżący w nieskończoności punkt M, belka będzie stała, ale siły w prętach będą nieokreślone.

ШШмЯ тШШж

'WfoW/,

Wypadek nieskończenie małej lub skończonej ruchomości belki określić można przy pomocy równań równowagi ustawionych dla każdego węzła (str. 1210), lub też przy pomocy zasad kinematyki.

Fig. 224.

mmmm

Fig. 225.

щши

ши

Fig. 223 przedstawia belkę, podpartą na trzech ruchomych podporach; fig. 224 belkę podpartą na jednej stałej i jednej ruchomej ukośnej podporze ; fig. 225 i fig. 226 belkę t. z w. prostą, czyli wolno podpartą, tj. wspierającą się na jednej stałej i jednej ruchomej pionowej podporze, УщШжттмтШ^Ш (najczęściej przychodzącą w praktyce). Dla obciążenia pionowego, oba jej oddziaływania są też pionowe. Obliczając oddziaływanie na łożysku stałem dla dowolnego obciążenia, wyznaczamy zwykle składową pionową i poziomą, czemu odpowiadają pręty łożyskowe pionowy i poziomy (por fig. 226 ; oznaczenie fig. 225 jest mniej celowe. Por. też str. 1056 i 1186).

Fig. 226.

Jeżeli tarczę (fig. 226) zastąpimy belką kratową, posiadającą w węzłów (fig. 227), to według (8) ilość prętów istotnych p- — 2 w — 3.

Fig. 227.

Belka (fig. 224) nie jest prostą, ale rozporową (bez względu na swój wygląd), gdyż oddziaływania są ukośne. Belki rozporowe o kształcie łukowym nazywamy łukowemi ; natomiast belka o kształcie łukowym, ale podparta wedle fig. 226 (por. fig. 228) jest belką prostą, a nie łukiem. Wyjątkowo belkę wedle fig. 229 nazywamy belką łukową ze zniesionem parciem poziomem (por. str. 12Ö3).

Pręty ustrojowe i pręty łożyskowe belek kratowych można pomiędzy sobą wymieniać, byle zostało zachowane równanie (1) i byle przy zamianie stałość i statyczna wyznaczalność nie były naruszone (por. fig. 228 i 230).

Przykłady. Opuszczając w belce wolno podpartej (fig. 228) pręt ab i zastępując go prętem łożyskowym m (fig. 230) otrzymujemy znów belkę statycznie wyznaczalną (łuk trój-przegubowy); natomiast nie możemy zmienić go na inny pręt istotny, gdyż belka będzie wtedy chwiejna.

Belka AB (fig. 231 a) składa się z trzech tarcz, połączonych ze sobą: pierwsza z drugą przy pomocy trzech, druga z trzecią też przy pomocy trzech prętów: uwzględniając trzy pręty podporowe, otrzymamy : 3 X 3 = 9 = 3( prętów łączących (równanie 1). Wymieniając pręty ab, oraz cd, i zastępując je prętami podporowemi m i и (fig. 2816), otrzymujemy

belkę ciągłą przegubową o 1 łożysku stałem, 3 ruchomych i 2 przegubach Btałych (układ w praktyce niekorzystny). Usuwając nadto pręt ej i zastępując go prętem podporowym h, otrzymujemy również belkę ciągłą przegubową o 2 łożyskach stałych, 2 ruchomych, 1 przegubie stałym i 1 ruchomym (fig. 231 c), co daje układ korzystniejszy i jest zwykle używane (w nieco zmienionej postaci).

Belki kratowe dzielimy na pojedyncze (tj. składające się z jednej tarczy) i złożone (z dwu lub więcej tarcz połączonych ze sobą przegubami).

Belki kratowe, którym brakuje n prętów do ilości wymaganej przez wzory 1- 3, które zatem posiadają p = (3 t -f- 2 w) — n prętów, nie zapewniają stałości połączenia dla ogólnego układu sił zewnętrznych; nazywamy je belkami ? chwiejnemi n-tego    stopnia.

Chwiejność może dotyczyć tak prętów ustrojowych, jak i podporowych.

Fig. 228.

VW"''/

Fig. 229.

Do obliczenia belek

posiadających więcej prętów niż wymagają równania 1—3, nie wystarczają równania równowagi, ale potrzeba dołączyć do tychże jeszcze n równań sprężystości, jeżeli

p — i t -\- 2 w n.

Belki takie

Fig. 230.

nazywamy statycznie niewyznaczalnemi (hiperstatycz-nemi) w-tego stopnia. Statyczna niewyznaczalność może być zewnętrzna, jeżeli prętami nadliczbowemi są pręty podporowe, lub wewnętrzna, jeżeli są niemi pręty ustrojowe.

b) Linje wpływowe (linje wpływu).

Linje wpływowe (wpływu) pewnej ilości statycznej, są to linje, których rzędne podają wielkość tej ilości statycznej 'pod wpływem poruszającego

a ttf

Щ'А

o-

\т.

шШщШш

Fig. 231.

się ciężaru P — 1. W praktyce ciężar ten jest najczęściej pionowy. Powierzchnię zawartą między linją wpływową, a osią, nazywamy powierzchnią wpływu (powierzchnią wpływową).

Fig. 232 przedstawia linję wpływu oddziaływania A belki ciągłej. Jeżeli ciężar P— 1 znajduje się np. w punkcie m, to oddziaływanie A wynosi

7«

Fig. 232.

1 . rjm. Ta linja wpływowa ma swój punkt obojętny o rzędnej -ą = 0 w C (gdy ciężar P — 11 stanie w C, oddziaływanie A — 0), oraz część dodatnią (między punktami A i C) i ujemną (między C i B, gdy ciężar P = 1 stanie w n, oddziaływanie A = = ¹ • — "Пп = - ■'In) ; (*j-na podporze A występuje wtedy oddziaływanie, skierowane ku górze i starające się belkę na tej podporze podnieść).

na

Dla ciężaru P oddziaływanie A = Pr\m, względnie A = Pyj . Gdy belce jest kilka ciężarów, to:

man:

A — Pi ’f]i -j- P% ~Ь • • • — ï Вч]. Dla ciężaru jednostajnie rozłożonego między

n    «

A =|p rj dx =pf r\dx = pFm>h

gdzie F

= J 'f\ dx przedstawia algebraiczną powierzchnię wpływową, żarn

mkniętą między rzędnemi r\m a Y) .

Zazwyczaj mamy do czynienia z ciężarem własnym g, rozłożonym na całej długości belki, oraz z obciążeniem ruchomem (ciężary skupione P

p₃

P,

F,

Fig. 233.

lub

obciążenie jednostajnie rozłożone p), które należy rozmieście tak, aby uzyskać obciążenie najniekorzystniejsze celem bezpiecznego obliczenia belki. Wtedy:

najw. + B = g (P, -- Ft) + p Fi + 2 Pyj    (fig. 233 a),

najw. — В = g {Fi — F₂) — p P₂ - E P ri    (fig. 233 Ъ).

Ciężary P rozmieszczamy tak, aby EPy] było największe. Jeżeli największa rzędna występuje wybitnie (fig. 235 d), umieszczamy w niej największy ciężar.

Obciążenie pośrednie zachodzi, gdy ciężary przenoszą się na belkę pośrednio, przez poprzecznice ; wtedy ciężar P rozdziela się na P₁—P——

-*гГГ)

-I

//

Sn.îzm

7* 7?

Ъ-тг

Fig. 234.

i P₂ = P—, których wpływ jest równy wpływowi siły P. Zatem:

P7] = Pl7ii-f P₂y)₂, czyli fj = a ~ V]i -f у Yfr.

Linja wpływowa pomiędzy poprzecznicami jest zatem prostą (fig. 234).

c) Belka wolno podparta.

Oddziaływania (fig. 235 b). Dla P — 1 w odstępie a od podpory A otrzymujemy :

A=P

1.

B==PT = 1"T

Linje wpływu mają kształt linij prostych, a mianowicie: dla a

0    10

l    0    1

Siła poprzeczna w punkcie m równa się sumie wszystkich sił działających po lewej stronie punktu m. Siły poprzeczne T wynoszą więc dla P między m а В i а и

Na podporze lewej odcinamy rzędną (-|- 1), na prawej (— 1), i łączymy prostemi wedle fig. 235 c. Ważne są części zakreskowane, grubo wyciągnięte.

Momenty zginające (fig. 235 d).

Dla P= 1 między A

T = A

T— A — P= — B.

м= В (l — x) = Ру (l - x) = 1 у (l - X).

I — a

M' — Ax = P

Dla P = 1 między m а В : Otrzymujemy zatem dwie linje proste:

а I M

dla

M'

X.

l 1(1 — x)

. X (l — x) . x(l — x) X 1 ——-    1.—^

Linje wpływowe momentów można wykreślić, odcinając na pionowej przez A długość x i łącząc A' z B, oraz analogicznie odcinając w В długość (l — x) i łącząc B' z A. Wygodniej jest obliczyć w m rzędną

l-a

*1

Linja wpływowa oddziaływań

Lin ja wpływowa eił poprzecznych

><

~Ъ 7 з

г;

Iiinja wpływowa A momentów

ł-K

Fig. 2S5.

X (l — x)

rlm

-, odciąć m m' — rim i połączyć m' z A i B, zwłaszcza, że

wtedy możemy przyjąć najwygodniejszą podziałkę. Wierzchołki m' dla poszczególnych punktów leżą na paraboli (fig. 235 e) o równaniu :

x(l — vc)

Obciążenie pośrednie. Linja wpły kształt wedle fig. 236 a, por. fig. 234 i jest ważna dla całego przedziału m n. Zatem i siła poprzeczna dla każdego punktu danego przedziału jest ta sama.

sił poprzecznych otrzymuje

wowa

Linja wpływowa momentów przyjmuje kształt fig. 236 b. Rysuje się najpierw linję wpływu bez uwzględnienia poprzecznie, a następnie wstawia prostą mn na długości danego przedziału.

Obciążenie jednostajnie rozłożone. Przyjmujemy, że ciężar g jest rozłożony jednostajnie na całej belce, zaś ciężar ruchomy p umieszczony jest najniekorzystniej.

--

+1 I

"i

-J.

I-*-

i*

■J.

*K

0-4

Fig. 236.

{pi

1.

— - -L

r*-

H*-

Fig. 237.

Oddziaływanie (najniekorzystniejsze jest całkowite obciążenie):

Ag = Va gl = Bff

najw. -4p — V2 P ^ — najw.

Siły poprzeczne (w odległości ж od lewej podpory) :

тд = ¹Ьд(у-Ъх).

Siły poprzeczne dla ciężaru stałego zmieniają się podług linji prostej. Dla otrzymania najw. T obciążamy belke na długości (l — x)- dla otrzymania najmn. T, na długości x (por. fig. 235 c). Wtedy :

najw. Гр

^тп. ri ***

Ьз-

ci

Największe siły poprzeczne dla ciężaru ruchomego zmieniają się wedle paraboli, której największa rzędna na podporze wynosi: ¹hpl, rzędne w środku belki ¹/₈pl. Konstrukcja jej podana jest na fig. 237.

Momenty zginające (najniekorzystniejsze obciążenie całkowite):

najw. Mp = ¹/₂ p X (l — x).

Największy moment występuje w środku belki i wynosi:

Mff = ¹I₈ gl²,

najw. Mp = ¹Upl'i.

М!/ = ¹1чдх(1 — x):

Рз

Рз

P₃

p₂

Ic

Pi

A ♦ C'^—b₃

■ł-в

CN

Рз

b,

\l

Cr-

Jb’ig. 238.

Wielobok oddziaływań. Obciążenie bezpośrednie. Ustawmy na belce AB szereg ciężarów P1? P₂, P₃ (np. pociąg) tak, aby pierwszy ciężar Pj stanął na podporze В (fig. 238 a), odetnijmy ciężary /j, P₂, P₃ na pionowej przez A, wykreślmy promienie sznurowe dla bieguna, przyjętego w B, a wreszcie narysujmy wielobok sznurowy, poczynając od B. Wtedy rzędna yj w punkcie C określi wielkość oddziaływania A, dla położenia pociągu wedle fig. 238 b, tj., gdy Px stoi w C. Jeżeli bowiem przedłużymy promienie wielo-boku sznurowego, znajdujące się na prawo od rzędnej yj , aż do przecięcia się z tą rzędną, to odetną one na niej odcinki Pi,p₃,p₃, przyczem według rys. a) jest px : bx — Рг : l, p₂ : b₂ = P2 :1 itd., zatem :

= A.

\—Pi +P2 ~\~Рз +    y-f Ąy+Ąy+ •••

Siła poprzeczna w przekroju C jest z reguły największa wtedy, gdy na nim stoi pierwszy ciężar (fig. 238 b), zatem wykres oddziaływań jest zarazem wykresem największych sił poprzecznych.

Jeżeli pierwszy ciężar jest stosunkowo mały i bardzo oddalony od drugiego, to największa siła poprzeczna może wystąpić dla drugiego ciężaru

"7

/Г

Уис/

Fig. 239.

•md Od Oj .łstj Od Od Od

F777

I От I I O*

7€>7

__

_—f--------j-s

o-

f!

Sb

VÎT

<śr-&

cS*

©-^-----j- - -

©I⁻*"'

CL

Fig. 240.

zn

ajdującego się w danym przekroju. Jeżeli między ciężarami skupionymi są też ciężary ciągłe, jednostajnie rozłożone na pewnych długościach, to należy je zamienić na ciężary skupione, zaczepiające w środkach tych długości, a w wielobok tak otrzymany wkreślić parabole na długości obciążenia jednostajnego, por. fig. 239.

Obciążenie pośrednie. Dla danego szeregu ciężarów (fig.240 a) wykreślmy wielobok oddziaływań BA₀ dla belki AB i takiż wielobok I) C₀ dla belki (podłużnicy) CD przy pomocy bieguna 1) i sił I\, P₂, Paj odciętych ua pionowej punktu C, a ustawionych wedle fig. b). Jeżeli pierwszy ciężar pociągu, jadącego w lewo, stoi w dowolnym punkcie H przedziału CD, to rzędna y w tymże punkcie wieloboku В A₀ przedstawia oddziaływanie A, rzędna y] wieloboku D C₀ działanie poprzecznicy C, zatem różnica у — yj = A przedstawia siłę poprzeczną T w przedziale CD. Będzie ona największa, gdy P\ stanie w miejscu, gdzie A jest największe (fig. 240 c i d). Wtedy ï'max — Amax. W pobliżu podpory prawej dla Гшах, /j ma stać na prawej poprzecznicy (położenie zasadnicze). Dla przedziałów, bliskich podpory A, zwłaszcza, gdy przedziały są dość duże, a odstępy ciężarów znacznie mniejsze,

max

może dla T____nad prawą poprzecznicą stać drugi albo trzeci ciężar. Jeżeli

В,

dx

lC i

przedziały są równe, i gdy w pewnym przedziale nad prawą poprzecznicą ma stać P₂, to we wszystkich przedziałach kg znajdujących się bliżej podpory В na prawej poprzecznicy ma stać Ż) albo j g P₂, we wszystkich zaś bliżej A, na prawej poprzecznicy ma stać P₂ albo P₃.

Największy moment w pewnym przekroju belki, a) Sposób ] i t y c z n y. Z kształtu linji wpływowej dla przekroju C (fig. 241) widać, że należy na nim ustawić pewien ciężar P. Nazwijmy Rx wypadkową ciężarów na długości AC, zaś R₂, na długości CB, to moment M— Rt yx -f- Py₀ -j- R₂ y₂. Przez posunięcie układu ciężarów w prawo (ewent. w lewo) o dx zwiększy się moment o dMp (ewent. dAft) :

Fig. 241.

tfy?

ana-

dMp — Rt dyi — (P+ R₂) dy₂ = y₀ dx ——

Bi + P ■ Jd2 a ' b Вг+Р

Analogicznie będzie dMl — y₀dx [

L

w C, to dMp < 0 i dM) < 0, czyli

Ri

Вл P+ Ra

. Jeżeli P ma stać

B₂ + P

... (a)

Bl -f- P+ Ra = B,

Nazwijmy to zamiast a) można napisać :

Bi -f- P В ^ li.

albo :

(Ri +P)>~R> Ri

Jeżeli spełnia się tylko pierwsza nierówność, to należy układ ciężarów przesunąć w prawo tak, aby sąsiedni ciężar stanął w C i zastosować dla nowego położenia ciężarów kryterjum powyższe.

Sposób wykreślny. Wykreślmy wielobok sił i wielobok sznurowy dla danego szeregu ciężarów. Ustawmy belkę AB tak, aby przekrój badany C znalazł się na kierunku pewnej siły, np. Ps (fig. 242). Pionowe przez A i В wyznaczają na wieloboku sznurowym punkty zamykającej A' B’. Odcinek -ęc (w skali długości), pomnożony przez biegunową H (w skali sił), przedstawia Mc, gdy P₃ stoi w C. Jeżeli przekrój C wpadnie w kierunek siły innej, to w powyższy sposób otrzymamy inną wartość yj . Przesuwając wiec belkę,

znajdziemy łatwo najw. y]c; wtedy najw. If — najw. \-H. Podobnie znajdziemy najw. r\d dla przekroju D belki. Jeżeli jeden ciężar jest wybitnie większy od innych, to zwykle on właśnie stanąć winien na badanym przekroju. Sposobu tego używa się, gdy mamy znaleźć najw. M w pewnej liczbie przekrojów, np. pod każda poprzecznica. Często jednak, zwłaszcza dla

/?!-

/?

À‘7

AH

j£

15

7c

jC

■i*

Ru

5.,

4v

-IB

5.

5.r

Fig. 242.

mniejszych belek, potrzeba dla wyznaczenia przekroju wyznaczyć bezwzględnie największy moment.

Bezwzględnie największy moment. Jest to największy z pośród największych momentów poszczególnych wszystkich przekrojów belki. Występuje on w pewnym przekroju belki \

A’

'i

(przekrój niebezpieczny), gdy na \ nim stanie' jeden z ciężarów ' układu np. P (fig. 243). Jeżeli R — wypadkowa ciężarów, znajdujących się na belce,

8’

⁴f

Q — wypadkowa ciężarów, znajdujących się na belce na lewo od P, to z równowagi względem В wynika:

яГ^гП/?

V 'S У с

H'

|5

\*

L--/

1Ч\

7 2 ¹

~Ц-

Cu //

Fig. 243.

Fig. 244.

(«)

Al — li (l — X — r)

stąd

f/.r

(6)

Moment w C

//.17

Z równania:

dx

Г-К*.Е-

./ = 0

otrzymamy po wstawieniu a) i b) oddalenie przekroju niebezp. od podpory A X = Vj г — Vjj г = V* (* — >’)•

Zatem środek belki S połowi odstęp r wypadkowej R od niebezpiecznego przekroju. W powyższem wyprowadzeniu przyjęto, że R, Q, r i q są niezależne od x, czyli, że przy podporach niema obciążeń ciągłych. W przeciwnym wypadku wzory stają się bardziej zawiłe (por. wzory dla obciążenia zasadniczego mostów drogowych str. 757). Zwykle na przekroju niebezpiecznym ma stać ciężar najbliższy wypadkowej. Jeżeli np. na belce zmieszczą się ciężary P₂, P₃, P₄ i P₅ (fig. 244), to przedłużając boki 1 — 2 i 5—6 aż do przecięcia się, znajdziemy wypadkową R tych ciężarów. Najbliższą siłą jest P₃. Jeżeli w połowie między Ps i R umieścimy środek N belki AB, to zamykająca A' B' odcina na kierunku P₃ w skali momentów wartość abs JJmax.

Jeżeli na belce znajduje się kilka równych ciężarów w równych odległościach a od siebie, to dla parzystej ilości ciężarów odległość abs dfmax od środka belki e — ¹/s r — 0,25 a; dla nieparzystej ilości ciężarów abs il/max występuje w środku belki.

Użycie tablic do wyznaczenia największych oddziaływań tudzież największych sił poprzecznych i momentów w dowolnym przekroju belki w oln o p o dp ar te j : Dla mostów kolejowych

In

fm-i

4ТШ nfW nf

u—b₈

Ç % % % %    % Ç %

Fig. 245.

(T) (7) (7) (7) (?)

O (7) ( ?)

A t

t A=napvT

lnti-

-t-

Fig. 246.

Im

ПШ "fÎw

\?

Fig. 247.

ułożono tablice (str. 768—771), które dla danych norm i schematów obciążenia (por. fig. 14, str. 764, i fig. 15, str. 766) podają l = odstęp dowolnej osi n od osi pierwszej danego schematu, następnie E” P= sumę nacisków osi od 1 do n, wreszcie Mn = moment sił X” P ze względu na oś n.

Jeżeli L = rozpiętość belki AB, a pierwsza oś schematu III stoi w A (fig. 245), to największe oddziaływanie A znajdziemy z równania :

AL^^Pb^Pc-ł-a^F

ii    i

czyli

AL^Mn + atP,

gdzie

przyczem

a — L ln ht < L < hi 4- r

Belka ciągła przegubowa.

1199

Jeżeli pierwsza oś schematu I stoi w C (fig. 246), to w przekroju C

najw. T — A,

A.L = Mn-\-aY,P,

a — L — X — ln,

gdzie przyczem

Jeżeli chodzi o najw. M w dowolnym przekroju x (fig. 247), to ustawiamy na tymże przekroju m —tą oś P schematu II, która wedle c) str. 1196 czyni zadość nierównościom :

ln< L X < ln _j_ j.

ni    -r n m — 1

EP> -tvp>S p

i    L i    i

- • <c)

in<L~xJr lm < ln +1

przyczem dla n mamy warunek :

Wtedy najw. Mx—Ax— Mm,

AL = Mn -j- a S” P j. w., u — L x (ln IJ.

Ponieważ w miejscu x ma stać jako Pm oś parowozu, przeto schemat II jest nieważny, jeżeli m < 5 (t. zn. gdy x jest małe).

Przykłady na str. 766, 767 i 772. W przykładzie na str. 767 jest dla normy A x — 20 w, L = 40 m, m = 10, n — 20, gdyż spełnia się nierówność c),

przyczem

zaś

20

tj. 214 > — . 402 = 201 > 189, tudzież nierówność d) 37 <40 — 20 —f-+ 18,5 <40.

Podobnie dla x — 15 jest m = 8, n = 20, gdyż wedle (c):

wedle (d): 37 < 40 — 15 -f 13 = 38 < 40.

tudzież

15

164 > — 402 = 151 > 13,9,

d) Belka ciągła przegubowa.

Dla belki o n przęsłach czyli (n -j- 1) podporach mamy n tarcz i (n — 1) przegubów, w tern s stałych, r ruchomych. Wedle równania 1 (str. 1187) ilość prętów łożyskowych powinna wynosić :

pt = 'dn — 2 s — r.

Big. 248.

г4ш§&тщ7Сшш

Fig. 249.

Jeżeli wszystkie przeguby są stałe, to

pt — 3 n — 2 (n — 1) == n -j- 2,

czyli tylko jedno łożysko stałe np. n = 5, pt — 5 -f- 2 = 7, por. fig. 248.

Najczęściej s — r, wtedy pt = 3 n — 3 s = 3 (n — s), np. dla n— 5, s = 'r = 2, p{ — 3(b — 2) == 9, por. fig. 249.

W jednem przęśle mogą być najwyżej dwa przeguby (w belkach ciągłych łukowych mogą być 3 przeguby). Zwykle wykonywamy belki ciągłe przegubowe, dając : w przęsłach skrajnych po jednym przegubie, w następnych zaś co drugie przęsło dwa przeguby ; w przęsłach skrajnych nie dajemy przegubów, w następnych zaś co drugie przęsło po 2 przeguby.

W ten sposób rozkładamy belkę ciągłą przegubową na belki wspornikowe i na wolno podparte, wiszące na wspornikach.

Dla obciążenia stałego E m' m    Fm" D obliczamy najpierw belki za-

⁰    i    fg 9    --? "¹ a " wieszone, względnie ich od-

I*    ¹    *-fx*    !    działywania, które są siłami

■ oooziĄtywANiE w Ą    j    zewnętrznemi dla belki

F    ¹    ^ 1^ягТ1Г||ТШ!|ТТПтттгттт^— 1д    â    wspornikowej, a następnie

! j    ,    belkę wspornikową.

Linje wpływowe. Dla oddziaływania A (fig. 250) rzędna linji wpływowej 7 w punkcie A AA' — 1, rzędna w punkcie В równa się 0. Prostą А' В przedłużamy nazewnątrz aż do przecięcia się z pionowymi przez przeguby E i F. c    Punkty E' i F' łączy się

ze skrajną podporą C, ględnie z przegubem T> (fig. 250 a). Dla siły poprzecznej (fig. 250 i) i momentu (fig. 250 c) w punkcie m linja wpływowa na dłu-

Cf

SIŁY

POPRZECZNE—

ЖЙЕ

MOMENTY

* w^inr

" J sur PQPRZECZNE W П

i —    --—

Y\

i \momenty w\

jA

,m i

Ir

ODDZIAŁ YV/AN/E I W F

I    SRY

I POPRZECZN,

'    JL

i Hf

'u

.-'i

MOMENTY

M₂

I /77"! * m" i 7

M?\

Fig. 250.

Fig. 251.

gości AB, jak dla belki wolno podpartej; proste zewnętrzne przedłużamy nazewnątrz jak wyżej. Dla punktu m' wspornika A E linja wpływowa sił poprzecznych por. fig. 250 d, momentów fig. 250 e. Dla belki zawieszonej linje wpływowe jak dla belki wolno podpartej (por. fig. 250/ oddziaływanie w F, fig. 250 <7 siły poprzeczne i fig. 250 h momenty).

Szczególne przypadki. Przęsła równe. Obciążenie jednostajnie rozłożone¹).

Oznaczenia :

g — ciężar własny w kglm b., p —    „ użytkowy „

1. Dwa przęsła (fig. 251).

Najkorzystniejszy odstęp przegubu od podpory środkowej x = at l, przyczem

«i =

Wtedy :

My

q i², ма = ~ ^1 — a,)².

*) Wzory poniżej podane mają najczęściej zastosowanie przy platwiach dachowych przegubowych.

Belka ciągła przegubowa.

1201

Jeżeli uwzględnimy tylko ciężar stały q, to dla at —0,172:

J/j = J/₂ = M₈ = 0,0858 q l².

2. Trzy przęsła. Układ a (fig. 252).

Dla:

«2

M\ ⁼⁼⁼⁼    = —— ql²i

(Idy tylko ciężar stały q :

«2 — 0,22,

Układ 6 (fig. 253).

«,1 CL.I

M *i r*bV r

•/V/i

Z—/—

Fi«. 252.

jest:

UKŁADA'

Dla:

jest :

= 0,5 (1 — Vl — 4a,)=y

M₈ = Ç (1 - 2 «₂)².

J/j = Jf₂ = 0,0858 qP, Мя — 0,0392 ÿ P.

f*2_

a8

ql²

M, ! ! К ! ! /у,

4—'

ÎL_ 7_J

⁴ (î + </)

м-

/■

Fig/263.

ж₂ = ^(1_;Я

J/j — J/s — —^-a₃,

Dla samego tylko ciężaru stałego q :

«3 = 0,125, Ж, = d/₃ = 0,0625 ?Z², Jf₂ = 0,0957 g Z².

Dla «з = 0,172, Jfj = Ж₂ = 0,0858 g Z², Ж₃ = ^

(f -⁴ “4

Dla samego tylko ciężaru stałego q: «з = 0,172,

3. Więcej uiż 3 przęsła.

A. Ilość przęseł nieparzysta. Układ a (fig. 254).

UKŁADA'

J/i = Jf₂ = 0,0858 ql²,

M₃ = 0,0392 ql².

*■

M-    * AZ₇    W

я,!

Fig. 254.

UKŁAD. (У

i M,

^e LM.07^r~ M    m JfAft-SkĄ-

M₃r

M₂\

‘i

M?

Fig. 255.

Jeżeli :

«4 =

- (‘444

to :

⁴ (2 + $0

J/j = J/₂ = J/₃ = Ж- = J/₇ = 0,5 «₄ q l'\

ql*

^4=V(l-«4)²,

¥e = l?-(l — 2 a,)«.

Dla samego tylko ciężaru q:

a₄ = 0,125,

¥₄ =• 0,0957 ql₂.

аъ = 0,1465, Mi = ¥s = ¥₂ = ¥₇ = M₃ = ¥e = 0,0625 qP, Układ b (fig. 255).

ae — 0,5 [1 — a₄ -f- «i — V(1 — a4 “t~ “i)² — ^ ai]>

Cf.rj--

«i

a₈ — a₅.

Wtedy :

1 — «8

M₄ = ¥x = 0,5 ÿZ² a„ (1 — a₇), i¥₂ = ¥e = ¥₃ = 0,5 gł² a₈ (1 — a₈),

(1 — oe — a₇),

M₅

qP

qP

¥₇=-^-(l-2«₈)².

Dla całkowitego obciążenia:

a₆ = 0,2035,

¥₄ = ¥₇ = 0,0858 qP,

¥₅ — 0,0511 qP,

B. Ilość przeseł parzysta (fig. 256).

a₇ = 0,157,

aa — 0,1465,

¥₂ = ¥₃ = ¥e = 0,0625 q P, ¥₇ — 0,0625 qP.

'O

Г.

- Тк.

=L.

er

--'a

cr

- -T »

/-

>4

M'\

Fig. 266.

Zróbmy :

«9 - °в?

to :

«io — «71

-¥4 = ¥j = 0,5 qP o(9 (1 aio)» ¥₂ = ¥₆ =¥₃ = 0,5 ÿZ² a,, (1 ttn),

«12 - a4?

M₅ = Ç(1-«9-«io)², Dla ciężaru całkowitego:

«9 = «в»

qP

¥₇ = V (I - 2 an)².

«12 — °-4l

«10 — «7 »

«11 - «8)

¥₄ =    = 0,0858 q P,

¥₂ = ¥₃ == ¥₆ = ¥₇ = 0,0625 qP,

¥s = 0,0511 ?Z².

Dla płatwi dachowych, obciążonych stałymi i równymi sobie ciężarami w równych odstępach „a“ korzystne są poniższe wzory a), b), c). We wzorach tych P—abq, gdzie a jest odstępem krokwi, & odstępem płatwi, zaś q obciążeniem na 1 m². ¥s = moment w środku przęsła.

sunięcia (nieskończenie małe) poszczególnych punktów, oraz ich prędkości (skończone) są prostopadłe do odpowiednich promieni (a O) i proporcjonalne do nich. Obracając wszystkie te prędkości o 90° (t. zw. prędkości prostopadłe) otrzymamy figurę a' b'c', podobną do abc (fig. 278); fig.a'b'c' jest t. zw. planem prędkości prostopadłych. Wszystkie cechy obrotu tarczy sztywnej będą więc ustalone, jeżeli ny jest a) biegun obrotu O i prędkość wzgl. przesunięcie prostopadłe któregokolwiek punktu, lub b) prędkości (przesunięcia) prostopadłe dwu punktów.

zna

Jeżeli przesunięcie dowolnego punktu a tarczy równa się promie-

fi

vb

a[t

' V3

Ус

Fig. 279.

Fig. 278.

niowi Oci, to punkt a' (a tem samem i każdy inny punkt planu prędkości prostopadłych) nakrywa się z biegunem O. Przy pomocy planu prędkości prostopadłych można wyznaczyć siły wewnętrzne w kratownicy, a także określić, czy nie zachodzi wypadek jej ruchomości (por. str. 1187 i 1212).

Łańcuchem wodzonym w-tego stopnia nazywamy utwór płaski, składający się z tarcz sztywnych (str. 1185), połączonych ze sobą przegibnie, posiadający o n prętów mniej niż wymaga tego warunek p = 3 t -f- 2 w. Np. opuszczając w belce (fig. 279 a) pręt ab, otrzymujemy łańcuch wodzony pierw-szego stopnia (fig. 279 i), opuszczając pręty ab i cd łańcuch wodzony 2. stopnia (fig. 279 c). Pręty sztywne są tu równoważne z tarczami sztywnemi. Łańcuch wodzony 1. stopnia ma pojedynczą wolność ruchu; jeżeli bowiem jednemu jego elementowi nadamy jedno określone (jakiekolwiek) przesunięcie, to ystkie punkty łańcucha są zmuszone do ruchu na określonych drogach. Podczas takiego ruchu każda tarcza sztywna odbędzie obrót około pewnego bieguna tak względem stałej ziemi, jakoteż około biegunów względnych względem innych tarcz łańcucha wodzonego.

12

1z

r Ж

l\

2j

i3z

1z.

(3

Fig. 280.

Fig. 281.

Tarcze sztywne, połączone ze sobą (lub z zawsze sztywną i stałą ziemią) przy pomocy przegubu istotnego lub urojonego (por. str. 1186), obracają się względem siebie około tegoż bieguna. Por. fig. 280, gdzie (1 z), (3 z) oznaczają bieguny obrotu tarcz 1 i 3 względem stałej ziemi, zaś (12), względnie (23), bieguny obrotu tarcz względem siebie. Przy przegubach urojonych biegun w każdym momencie znajduje się w punkcie przecięcia odpowiednich prętów ; podczas obrotu przesuwa się i biegun; dlatego nazywamy go chwilowym biegunem obrotu [por. (1 z) na fig. 280]. Tak samo chwilowym biegunem obrotu tarczy 2 względem ziemi na fig. 280 jest punkt (2 z) przecięcia prostych (ls)(l2), oraz (3 z) (32) ; zaś na fig. 281 punkt (2 z) przecięcia prostej (1г)(12) z prętem podporowym 3. Wogóle na jednej prostej leżą wszystkie trzy bieguny trzech którychkolwiek tarcz względem siebie, np. dla tarcz m, n, z bieguny (mn), (mz) i (nz). Jeżeli zatem znane są np. bieguny (mn) i (nz), to biegun (mz) (oznaczony dwoma znakami, nie powtarzającemi się w obu tych biegunach — litera n powtarza się w obu !) leżeć musi na prostej (m n) (n z).

Na fig. 282 chwilowym biegunem obrotu tarczy 1 względem 2 jest punkt (12) na przedłużeniu prętów 3 i 4. Biegun obrotu (2 z) znajdziemy w punkcie przecięcia prostej (1 z) (12) z przedłużeniem prawego pręta podporowego. Biegun (3 z) leżeć musi w punkcie przecięcia prostych (1 z) (13) i (23) (2 z) ; wreszcie] biegun (4 z) w punkcie przecięcia prostych (1 z) (14) i (2 z) (24), a biegun (34) w punkcie przecięcia (13) (14) i (23) (24). Kontrola: bieguny (34), (z 4) i (z 3) muszą leżeć na jednej prostej.

зг.

<з

13,

14-

■4

\\

Tz"" "

/У'Ж

A,

A'

VU

//

-t

ÛJ

ćS

■ ,7

//

Fig. 282.

Fig. 283.

Jeżeli przegub ćr jest w równowadze, to gdybyśmy pomyśleli sobie dowolne nieskończenie małe przesunięcie (8 ) przegubu (przesunięcie przygotowane), to praca sił G- zaczepiających w przegubie byłaby równa iloczynowi przesunięcia (bg) przez rzut wypadkowej sił na (bg). Ale wypadkowa sił będących w równowadze jest równa zeru, więc i praca tych sił na przesunięciu przygotowanem czyli praca przygotowana il G - 8 ■ = 0, przy-czem 8г- — rzut przesunięcia punktu G na kierunek siły G₍.

Jeżeli tarcza łańcucha wodzonego, niezależnie od badanych sił, działających na nią, wykona obrót o niezmiernie mały kąt ш około swojego bieguna O, to dowolny punkt tarczy a (fig. 283), którego odległość od bieguna O wynosi r', wykona przesunięcie o'₍ = iur'. Przesunięcie to nazywamy przesunięciem wirtualnem (tj. możliwem) albo przygotowanem. Jeżeli rzut tego przesunięcia na kierunek siły P, działającej w a, jest 8₀, zaś ramię tej siły względem bieguna O jest r, to 8a = co r. Iloczyn Pba — Pr ш nazywamy pracą przygotowaną siły P.

Jeżeli tarcza jest w równowadze, to praca przygotowana sił P, działających na tą tarczę, L — S tu Pr = ou E (Pr) = 0, gdyż 2 (Pr) jako moment statyczny sił P, będących w równowadze, jest równy zeru. Jeżeli dowolny punkt łańcucha wodzonego dozna pewnego niezmiernie małego przesunięcia możliwego, to wszystkie tarcze łańcucha wykonają obrót niezmiernie mały, każda około swojego bieguna, a siły, działające na łańcuch, wykonają pracę przygotowaną X Q 5. Jeżeli łańcuch (a więc i każda jego tarcza) jest w równowadze, to praca sił zaczepiających na każdej tarczy jest równe zeru. Na tarczę działają oprócz sił zewnętrznych P jeszcze oddziaływania przegubów G i ewentualnie podpór C.

Jeżeli pracę przygotowaną oddziaływań podpór nazwiemy Lc, oddziaływań przegubowych LG, sił zewnętrznych Lp, to dla każdej tarczy jest Lp-j- Lc -j- Lg = 0, więc dla wszystkich tarcz łańcucha jest X Lp -f--(- X Lc-\- X Lg — 0. Przesunięcia łożysk stałych są równe zeru, zaś przesu

nięcia łożysk ruchomych są prostopadłe do kierunku oddziaływań, zatem X Lp = 0. Ponieważ każdy przegub jest w równowadze, więc X Lq = 0.

X Ар — X ï’m °m — ⁰

Wobec tego :

Praca przygotowana sił zewnętrznych (wyłączając oddziaływania), działających na łańcuch wodzony, jest równe zeru. (Zasada pracy przygotowanej). Na tej zasadzie można obliczyć £ siłę wewnętrzną w dowolnym pręcie kratownicy statycznie wyznaczalnej.

Należy tylko kratownicę zamienić na łańcuch wodzony przez opuszczenie badanego pręta (m n na fig. 284 a) i zastąpienie go dwiema siłami S, za-czepiającemi we węzłach, w których był osadzony, a działającymi w sensie }; ich zbliżenia, jeżeli był rozciągany (fig. 284 b) i przez udzielenie temu łańcuchowi możliwego niezmiernie małego odkształcenia. Jeżeli przyrost odległości węzłów opuszczonego pręta, mierzony w kierunku tego pręta, jest As, to praca sił S jest —SAs. Równanie (1) będzie wtedy:

2Pmim-SÎÏ

U)

тп

iS

Fig. 284.

a stąd :

₃ *РЛп

As

(2)

Można też siłę S wyznaczyć przy pomocy planu przesunięć (prędkości) prostopadłych. Jeżeli m m' (fig. 285) jest przesunięciem prostopadłem punktu m, zaś odległość m' od kierunku siły ï\ zaczepiającej w m, jest cm, to bm — cm, zatem prawo pracy przygotowanej (równ. 1) można też wyrazić w formie:

(3)

-Pmcm = °

Fig. 286 jest przykładem zastosowania ostatniego równania. Wyznaczmy mianowicie napięcie S w pręcie ab belki fig. 279 a pod obciążeniem Pm, Pn.

Plan przesunięć prostopadłych tarczy I obrano w jej biegunie A, zatem punkty G', a', n' leżą w A.

Punkt B’ leży na pionowej podpory ß i na prostej G’ В’ || G В.

Punkt b’ leży na prostych G'b' || Gb, oraz B’b || Bb.

Punkt m' leży na prostej G'm'\\Gm, „ b'm'\\bm,

gdyż czworobok G'B'm'b' oj GBmb (por. fig. 278).

Uważając kierunek wskazówek zegara za dodatni dla iloczynów Pm cm, mamy równanie :

] m cm + Pn Cn + S Ca ~ S 4 = czyli : S (c, — e.) = Pm cm + Pn cn.

\Pn 'G \m

m‘

Cm

Ca

____!

Cio

Nć

Ö*

X.

o ---H

'\x

v\

Fig. 285.

Fig. 286.

Jeżeli odległość węzłów a' i 6', mierzona na prostopadłej do a b, nazwiemy :

to :

fif

Cb - Ca = PmCm + 4 Cn

spc

.(4)

Linje wpływowe. Dla siły P— 1 pionowej i poruszającej sie po belce, otrzymujemy wedle równań (2) lub (4) :

As

<S)

względnie S

¹ • Cm

-. Siła wewnętrzna w pręcie a b jest zatem wprost proporcjonalna do przesunięcia pionowego, względnie pionowej składowej prędkości danego punktu łańcucha wodzonego, zaś linja przesunięć (linja prędkości) tegoż ze spółczynnikiem jest linja wpływową siły S.

obu tarcz (względnie ich przedłużenia). Stąd wynika kształt

wowe

Pionowe przesunięcia poszczególnych punktów każdej tarczy wchodzącej w skład łańcucha wodzonego wynoszą xm. co, gdzie co jest prędkością kątową (względnie kątem obrotu), zaś xm odstępem poziomym punktów tarczy od bieguna obrotu. W linji przesunięć odpowiada zatem każdej tarczy linja prosta, tern samem zaś linja wpływowa dla każdej tarczy jest prostą, której punkt zerowy (obojętny) leży na pionowej bieguna (xm = 0, więc i przesunięcie, względnie prędkość = 0). Biegun względny dwu tarcz przesuwa się dla obu tarcz o tę samą ilość. Muszą się w nim zatem przecinać linje wpły

linji wpływowej : określone są bowiem wszystkie punkty obojętne, oraz wszystkie punkty przecięcia (załamania) linji wpływowej. Dla jej całkowitego określenia potrzeba określić jedną jej rzędną. Uczynić to można paru sposobami; tu podajemy drogę kinematyczną określenia rzędnych.

Pig. 288.

Fig. 287.

Jeżeli ciężar P= 1 zaczepia w punkcie m tarczy A (fig. 287), któremu od-

l.bi

-дT-*'

powiada pionowe przesunięcie bj, to wedle równania (5) Sj

Gdyby punkt m był sztywnie połączony z tarczą B, to jego przesunięcie pionowe

1 °//

byłoby 8jj, a siła wewnętrzna w badanym pręcie s byłaby Sjj =    ^ - = t|2 .

hi - h

Д8

równa się różnicy rzędnych

Różnica tych sił S'n—Sj

Ab

prostych wpływowych, odpowiadających tarczom A i B, zatem = = Yjjj — Yj^ = w, czyli pionowemu odstępowi obu prostych w m. Jeżeli

As

As

7%,

vZy.

'-W

шд

4—

у\

0\

7,

P',

W-1

L-e— X —»-J

J’

ls:

obie tarcze łączy pręt badany, to względny obrót obn tarcz Да = As : r, gdzie r = odstęp wzajemnego biegana (AB) od pręta s.

Przyrost pionowego przesunięcia jest oczywiście:

.. л xAs Ab — X Aa —-

stąd:

Д8

w — T~ As

Jeżeli X = r, to w — 1.

Mając np. znaleźć linję wpływową siły wewnętrznej w pręcie p kratownicy AB (fig. 288), postępujemy w sposób następujący : Przez opuszczenie pręta p powstaje łańcuch wodzony, złożony z dwu tarcz I i П, których wspólny biegun jest w węźle P w odległości r od p. Na pionowej punktu P, tj. w P', przecinają się zatem obie proste linji wpływowej, odpowiadające tarczom I i II. Wykreślmy dowolną prostą А’Р' C. W odległości poziomej r od punktu P' tej prostej odetnijmy DE = t; prosta PfEB' ogranicza rzędne linji wpływowej na długości PB. Ponieważ biegun tarczy I jest w A, zaś biegun tarczy II leży na pionowej podpory B, więc rzędne linji wpływowej w A i В są równe zeru. Zatem przez punkty A! i B\ leżące na pionowych podporowych przechodzi zamykająca.

W przypadku, jak na fig. 289, znajdziemy względne pionowe przesunięcie punktu n tarczy В względem punktu a tarczy C, jeżeli, uważając tarczę C za nieruchomą, udzielimy punktowi n przesunięcia prostopadłego na ; wtedy

i punkt C wpadnie w a, punkt b' leży na c' b' |] cb, zaś ramie r'_\_ab jest równe Д s (por. fig. 285), a składowa pionowa przesunięcia jest n n' — — X = A 8, czyli według równania (5) :

1 .X

S = —- «= w.

r>

zn

Linję wpływową siły wewnętrznej w pręcie ED belki AB (fig. 290) ajdujemy zatem w sposób następujący: Opuszczając pręt ED, otrzymamy łańcuch wodzony 1. stopnia, złożony z tarcz I i III i prętów II i IV. Uważając tarczę I za nieruchomą, udzielmy punktowi n zaczepienia siły P= 1 prędkość * prostopadłą cn = x, to i punkt D' planu prędkości prostopadłych znajdzie się w punkcie C, którego odległość od pręta DE jest r. Będzie więc 1 . x = r . S. Zatem siła w pręcie DE, a zarazem rzędna

ùb

у jy£.

sr’

Sl__ł

Ai i

Ä-* /

'b *

W.1

'8'-

UrJ '

Fig. 289.

Fig. 290.

w punkcie n linji wpływu siły wewnętrznej S = w — x : r. Dla x — r jest w — 1. Wykreślmy (fig. b) dowolną prostą A'C. Z punktu C (na pionowej punktu C) wykreślmy CD, tak, aby rzędna między A'C a C'D' w odległości r od C wynosiła w =1, to linja łamana A'CD' odpowiada długościom AC i CD. Odpowiednio do figury 289 wykreślmy DG || CE, z punktu G zaś prostą r'\_ED (fig. 290 a). Z punktu D' wykreślmy prostą D'B' tak, aby rzędna pomiędzy CD' a D'B' w odległości r' od D' wynosiła w = 1, to D'B' odpowiada długości DB. Zamykającą jest prosta A'B'.

b) Belka wolno podpartą.

Belki o pasach równoległych. Prowadząc przekrój I—I na fig. 291 a otrzymujemy G h -f- Mm = 0, oraz Dh — Mn = 0 ; a stad :

siłę w pasie górnym : G =

Mm

V «    » dolnym : D = -f —.

Zatem linje wpływu sił w pasach są linjami wpływu momentów ze

względu na punkty m, względnie n, ze spółczynnikiem -i- (por. fig. 291 b).

Siłę w przekątni otrzymamy, ustawiając równanie równowagi składowych pionowych sił działających na odciętą (lewą) część belki. Wtedy:

T — К cos a — 0,

a stad :

cos а

Dla słupów (przekrój II—II) otrzymamy: V T = 0, a stąd:

V = — T.    ■

Linje wpływowe por. fig. 201 c) i d). Linja wpływowa słupa F₄ por. fig. *291 e.

Dla tej samej belki, jednak o pomoście dołem, linja wpływowa prêta V podana jest na fig. 292. Dla F₄ siła wewnętrzna od obciążenia ruchomego . = 0. Dla К i (t linja wpływowa taka sama, jak dla pomostu górą.

I U

Xm

I " »S (

1Ж

! i.........i............

Vf, ć*

Fig. 291. (Pomost na pasie górnym.)

Przekątnie spadające ku miejsca, gdzie T zmienia znak, są rozciągane, przekątnie wznoszące się ku temu miejscu, są ściskane. Słupy są ściskane, jeżeli przekątnie sąsiednie są rozciągane i odwrotnie.

Dla szeregu (ciągu) ciężarów skupionych wygodnie jest wyznaczyć największe siły wewnętrzne w krzyźulcach i słupach przy pomocy wieloboku

T

oddziaływań. Ponieważ K— +    , przeto największe siły wewnętrzne

w przekątniach otrzymamy, prowadząc w każdym przedziale wieloboku równoległą do odpowiedniej przekątni (por. fig. 293).

Najczęściej używamy kraty prostokątnej z przekątniami spadającemi ku środkowi, ścięgnami (krata N ; fig. 292, 293), aby uniknąć długich prętów ściskanych. Belkom drewnianym natomiast dajemy często kratę prostokątną z zastrzałami (mosty Rychtera, str. 789). Krata równoramienna (krata V; fig. 306) jest niewygodna ze względów konstrukcyjnych (trudność przytwierdzenia poprzecznie i znaczny ich odstęp); używana najczęściej w połączeniu ze słupami (fig. 296), albo z drugorzednem podparciem (por. niżej).

Belki o pasach nierównoległych. Z równania momentów ze względu na punkt m (fig. 294):

X„+64 = 0,

otrzymamy dla pasu górnego :

Analogicznie dla pasu dolnego:

1)

rd

NM

qW

—Xm

i xTffmTïïïïÏÏÏÏffîmnm^!

-JJ

JÉ

J-

.-■I

Fig. 293.

Fig. 292. (Pomost na pasie dolnym.)

Tt-

.К

r9

l*--_

fe

-iJ

Fig. 294.

Linje wpływowe sił wewnętrznych w pasach sa linjami wpływowemi

otrzymamy :

gdzie Ъ = EF jest poziomą odległością punktu E od krzyżulca k, zaś a kątem odchylenia krzyżulca od pionu. Y nazywamy sprowadzoną siłą po-

212 przeczną. Jeżeli po lewej stronie przekroju niema żadnej siły zewnętrznej prócz oddziaływania A. to :

Ъ cos a ’

Jeżeli wypadkowa sił zewnętrznych na lewo od danego przekroju (fig. 295) jest pionowa, to suma rzutów sił G, К i D na poziom jest = 0, więc :

Gcosß + f) cosy -f- Ä"sinoc = 0,

Ц.

-A.

t0\4

Fig. 295.

С\

h,

Мг

Fig. 296.

ß¹'

К"

il

Hi

0'

Fig. 297.

Fig. 298.

stąd:

K sin а — —

cos ß-f

if

m

rd

cos y

czyli :

iT =

Mn Mm K hm

sin а

więc :

мт

К> 0, jeżeli ——>——.

Przekątnia jest zatem rozciągana, gdy spada w stronę, dla której    jest więk-

1—2, zaś ściskana 2—3 |tj. wznosząca się ku większemu —j—j.

П -f 1

Jeżeli więc wysokości belki (mierzone w węzłach) są wszędzie propor-

to siła wewnętrzna w prze-

cjonalne do momentów, tj. jeżeli

K + 1 ’

kątniach — 0. Dla całkowitego jednostajnego obciążenia siły wewnętrzne w przekątniach belki parabolicznej zbieżnej są więc równe zeru; zaś siła wewnętrzna w pasie prostym jest stała, w pasie zakrzywionym mało zmienna.

Wygodnie jest nieraz wykorzystać to przy obciążeniu stałem wogóle, zwłaszcza symetryczuem, wykonywując jeden pas kratownicy o kształcie linji

momentów (a drugi prosty). Np. dla dwu ciężarów symetrycznych odpowiedni jest kształt trapezowy.

Jeżeli wielobok momentów znaleźliśmy wykreślnie (fig. 297), to gdzie yj jest rzędną wielo-boku momentów, zaś H odległością biegunową. Wtedy siła w pasie np. górnym :

A'

i W™*

'S

A,:

A-1

i! b

rl r

*o.

UD

tb

f.

«к г

A4'l тпг i

-J,' m

Ь

\В£

■ тлт

Fig. 2Я9.

hin

il

Fig. 300.

Odnieśmy na odpowiedniej rzędnej yj długości r, zaś z ci dług'ość a b ==//. to prosta a’b' przedstawia szukaną wielkość siły G.

Linje wpływowe belek o pasach nierównoległych najlepiej wyznaczyć metodą „oddziaływań =1“, fig. 298, 299, 300. Jeżeli P= 1 stoi na prawo od

prawej poprzecznicy D, w odległości x od В (fig. 298 a), to A — — — Z (fig. b), zaś siła wewnętrzna К— у. Oznaczmy KA _\ siłę w pręcie К wskutek P— —, czyli A — 1. Jeżeli AAi =KA_V to odcinek BD' prostej BAl jest linją

wpływową dla К na długości DB, ponieważ siła К jest proporcjonalna do A (o ile Pjest na prawo od D). Podobnie, odcinając BBX — Kg_₁, otrzymamy linje wpływową na długości AC. Na długości CD linją wpływową jest C'D . Jeśli chcemy mieć linje wpływowe wszystkich prętów, najlepiej wyznaczyć wielkości KA_X i KB=1, przy pomocy planu sił (Cremony) dla ^4 = 1

i siły P=— w przedostatnim weźle, oraz dla В — 1 (o ile belka jest nie-a

symetryczna). Jeżeli chodzi tylko o jeden pręt, to lepiej znaleźć KA_X i

Кв_₁ metodą Culmanna (fig. 299). Siły D, К, G iA=l, działające na lewą część odciętą przekrojem I—I, są w równowadze. Wypadkowa sił D i A = 1 przechodzi przez punkt A i nakrywa się z wypadkową sił G i K, przechodzącą przez n. Jeżeli (fig. b) ab = 1 — A, ac || D, to be || An jest wypadkową sił G i K. Jeżeli bd || G i cd || K, to cd = KA=1 i jest dodatnie, gdyż działa od węzła и. Podobnie ef— KB_₁ i jest ujemne, gdyż działa do węzła m (odciętej prawej części belki). Jeżeli pręt nr przedłużymy na obie strony aż do przecięcia się z pionowemi podporowemu to z uwagi na podobieństwo

czworoboków mrA'A i mrB'B z od-powiednimi czworobokami Culmanna I AA'=—ri=ri»r i BB' = — VB=1. mr (por. fig. 299 c, linja wpływowa dla słupa mr).

I/

7)

,1

JTÛL

¹ mn

-H

Fig. 302.

Fig. 301.

Linje wpływowe pasów belek wolno podpartych mają na całej swej długości ten sam znak, więc pasy są zawSze ściskane lub rozciągane.

Linje wpływowe krzyżulców (przekątni i słupów) mają punkt obojętny i składają się z dwu gałęzi o różnych znakach, gdy punkt przecięcia odpowiednich prętów pasu leży (jak zwykle) poza podporami A iB. Położenie punktu obojętnego można wyznaczyć, przedłużając pas nieobciążony (na którym niema poprzecznie) aż do przecięcia z pionowemi podporowemi (w punktach A' i B\ fig. 300) i łącząc je z sąsiednimi węzłami odpowiednich części pasu s i m. Proste A's i B'm przecinają się w punkcie O, leżącym w pionowej nad punktem obojętnym. Na tej samej pionowej przetną się proste A n i Br. Znając zaś położenie punktu obojętnego, wystarczy nawet dla belek niesymetrycznych wyznaczyć tylko jeden plan sił, albo tylko K^=l = AA":mn, przyczem AA" I] mn (por. fig. 300).

Jeżeli punkt przecięcia odpowiednich pasów i znajduje się pomiędzy podporami, to linja wpływowa siły wewnętrznej w odpowiednim krzyżulcu ma na całej długości ten sam znak (fig. 301). Jeżeli punkt i leży na pionowej podpory A, wględnie B, to odpowiednia część linji wpływowej spada do zera (fig. 302).

Belka kratowa równoległa z drugorzędnem podparciem (fig. 303). Używana dla znaczniejszych rozpiętości, a właściwie dla większych odległości węzłowych. Dla wyznaczenia linij wpływowych najwygodniej system drugorzędny wyodrębnić od zasadniczego.

Celem znalezienia linji wpływowej pasu np. G₃ z podparciem drugorzędnem (tu górnego) wyznacza się najpierw linje wpływową a' b' c' dla układu zasadniczego. Dla dźwigara drugorzędnego 3-6-4-5 (fig. 30За) jako dźwigara samodzielnego, obciążonego siłą P= 1 w 5', otrzymujemy siłę dodatkową

w pasie górnym G₃' o wielkości G₃ =

M'

V₂X.l

).

Wiel-

przedstawia jednak wysokość trójkąta c' rV e, a stąd wynika kształt

linji wpływowej, podany na fig. 303 b.

Dla górnej części przekątni głównej otrzymujemy siłę dodatkową K₃

o wielkości4--- (przez rozłożenie siły — na ćr₈' i KJ), por. fig. 303 c.

¹ 2 cos a    2

Linja wpływowa pręta V jest trójkątem (fig. 303 d). W pasie dolnym, w słupach

kość

-*~i

V/

h’

u, -

■y\» /

л-l Il 'I

O-

"ł

«3

cos a . |__J Г

f -X-

г C05 <л

L_.U"

■ 2cos a

.»Л l"ig. 303.

głównych i w dolnych częściach przekątni siły (i linje wpływowe) są takie same, jak dla belki bez podparcia drugorzędnego.

Belka równoległa o kracie półprzekątniowej (kracie K, fig. 304). Ustawiając dla przekroju 1—1 równanie momentów względem punktu 2.: G h -j- M— 0, otrzymamy :

G —--—, podobnie: Z) =

Dla przekątni otrzymujemy, prowadząc przekrój 2—2 i ustawiając równanie E H = 0 :

if sin a    K' sin а = 0, a więc: К— — К'.

Dla przekroju 3—3 i równania E V — 0 :

К cos « — К' cos a -f- T = 0,

Fig. 304.

Siłę wewnętrzną w części słupa V (pomost na pasie dolnym) znajdziemy z równania 2 F = O,

V-\-l{' cos a — P = 0,

a stąd:

ЛГ=—'

f-

2 cos a ’

Dla przekroju 4—4 i S V — 0 :

V К cos a = 0, V = — К cos a = -j- 7₂ 2’.

Linję wpływowe wszystkich tych sił są zatem linjami wpływowemi momentu, względnie siły poprzecznej, z odpowiednimi spółczynnikami.

2 cos a

Vs

\D\    «

16 I /

D=—G

JL\

2 cos a

K-—K

1 I

2cosa\

XI

i/'

Jr

l4j

F' = - Vt 7’+ T⁵.

Zatem od linji wpływowej dla T. г/₂ należy odjąć linję wpływową siły węzłowej Pd (rzędna =1 w węźle 2, rzędna = 0 w węzłach 1 i 3).

Linję wpływową Vg otrzymujemy, prowadząc przekroje 5, 6 i 7, dla warunku 2 V — 0 (fig. 305).

Dla przekroju 6:    2 Щ cos a -f■ P— A — 0, Kl cos a = %    — P).

„    „7:    2 Kp cos a-\- A P — Ps = 0, cos a—¹l₂{P-\- Pg — A),

Vg = Щ cos a -f- Kp cos a,

a ponieważ:

przeto, podstawiając wyżej otrzymane wartości, otrzymujemy :

bo

Mg. 305.

Belka o kracie wielokrotnej (fig. 306) jest właściwie statycznie niewyznaczalna i dla dokładnego obliczenia jej potrzeba równań sprężystości. Dla celów praktycznych jednak używamy metody przybliżonej. Kratownicę »-krotną rozkładamy na » kratownic pojedynczych, z których każda dźwiga »-tą część obciążenia.

Siła w pasie wynosi dla każdej kraty pojedynczej :    <S0

» M

S—2 —j- —

j »Ä

1 Г

Siła wewnętrzna w krzyżulcu : K— — .-

» cos a

czyli razem:

~'Д

z?

Fig. 307.

»A ’

Ti

Mg. 306.

Wykres linij wpływowych odbywa się również na podstawie rozdziału kraty »-krotnej na » krat pojedynczych.

Belka o kracie złożonej, a) Bez sztucznego naprężenia. Jest to krata, posiadająca słupy i przekątnie, spadające w dwóch kierunkach.

q Jest ona statycznie niewyznaczalna, ale liczymy ją w przy-

---*    ⁰ bliżeniu, jak kratę wielokrotną, rozkładając na dwie części :

kratę z przekątniami, spadającemi w lewo, oraz na kratę z przekątniami, spadającemi w prawo.

Wtedy siła w krzyżulcach:

^.(fig. 307).

Słup V w kracie pierwszej jest ściskany, w kracie drugiej rozciągany i w rezultacie niesie tylko różnicę ciężarów węzłowych V = — P;) ; jest więc rozciągany, gdy pomost jest dołem, zaś ściskany, gdy pomost jest górą. 218

Kr/a

K=

Do

2 cos a

Fig. 308.

w pasach:

b) Ze sztucznem naprężeniem (belka Howe’a; fig. 308). Jeżeli w belce kratowej złożonej, podpartej jeszcze rusztowaniem, tak, że ciężar własny kraty nie wywołuje sił w prętach, naciągniemy sztucznie śruby, czyli spowodujemy sztuczne napięcia w słupach V₀, powstaną sztuczne siły wewnętrzne :

Fo

K₀ = Ko'

2 cos a’

G₀ — D₀ = — Kq sin a — ¹j₂ V₀ tang a.

Możemy wywołać tak wielkie rozciąganie Vq, aby К i K' były zawsze ściskane tak, aby dla najniekorzystniejszego obciążenia ruchomego była siła w odstrzale K' = 0. Musi więc być F₀ == 2⁷max.

w krzyżulcach :

zaś w pasach :

Wówczas największa siła w zastrzale К osiąga taką wartość, jak gdyby odstrzałów nie było, czyli

= ymax SeC

więc dwa razy większą aniżeli w kracie złożonej bez sztucznego napięcia.

Największa siła w pasie dolnym :

Ь YTmUX tang a.

, jeżeli opuścimy

Największa siła w pasie górnym : ćrm = — dla większej pewności wpływ naciągnięcia śrub.

c) Belki ciągłe wspornikowe (fig. 309).

Linje wpływowe prętów belki wiszącej CD są takie same, jak belki wolno podpartej na podporach C i D.

Jeżeli ciężar P= 1 znajduje się pomiędzy A i B, to we wszystkich prętach pomiędzy A i В siły wewnętrzne są takie same, jak dla belki wolno podpartej A B, natomiast we wszystkich prętach na prawo od В siła wewnętrzna = 0 ; więc dla prętów pomiędzy A i В jest linja wpływowa na długości i i ß taka, jak dla belki wolno podpartej AB, zaś na długości BD rzędne jej są proporcjonalne do rzędnych linji wpływowej oddziaływania A [trójkąt o podstawie BD o wierzchołku w C (por. linje wpływową дг i k) fig. 309 c i d\. Dla prętów, znajdujących się na prawo od B, linja wpływowa nie posiada gałęzi na długości AB.

Ze względu na węzeł 8 jest:

Ma — G₂ r₂ = 0, stąd G.ź =

Podobnie :

D₂ = -

Ma

Linja wpływowa D₂ podana jest na fig. 309 e.

Gdy ciężar В— 1 jest w C, siła wewnętrzna dla słupa S₂ we wsporniku BC wynosi iSvj Można ją znaleźć według metody Culmanna dla przekroju t—t (fig. g). Gdy ciężar P= 1 jest w węźle 7, to S₂ = 1 (por. fig. /). Wpływ ciężaru znajdującego się na prawo od C na wielkość oddziaływania C maleje z odległością od C do zera w punkcie D, zatem i rzędne linij wpływowych wszystkich prętów belki wspornikowej maleją na długości CD do zera według prostej.

d) Łuk trójprzegubowy (fig. 310).

Dla wyznaczenia linij wpływowych najwygodniej zastosować zasadę belki zastępczej (por.str. 1210). Biorąc moment ze względu na punkt i (fig.«), otrzymujemy dla pasa górnego : Ghi -f- Moi— 0, a stąd :

Moi

сА'

«V

“Г

ч'О'т

r-e-

! Fs

Co

<?*

o-

“Г

II

Ъ i >

tui

Кач\

У_

8‘

Ч,

Ud

5.

Ü/_

)»

C=1

i,

Xf\~ /

Qp

i h, L.........

! rôle

5C--f

-V

Lii

Fig. 309.

Moment    gdy ciężar P— 1 znajduje się w punkcie m, zatem belka

zastępcza ma długość AM. Linja wpływowa siły G jest linją wpływową

momentu Moi, pomnożoną przez — (fig. b). Analogicznie znajdujemy linje

hi

wpływowe dla pasu dolnego (fig. c).

4-4

(/

ai

Krzyżulce. Z równania momentów ze względu na punkt p mamy : MQJ1—K.t — 0, a stąd К ——    . Linja wpływowa — por. fig. d.

r=Mjp

Słupy:

(fig. e).

к \ jLG

Ifk

"XI

it

II

N.

V'

-4

x7t]—*■

r-

(-Xp

/-

fi

А»

-o

Cj

Co

Xp I

.-К

K.

Xp I

Fig. 310.

Łuk gibki z usztywnieniem belką przegubową (fig. 311). Posiada 2 tarcze (belki kratowe), oraz w węzłów (na fig. 311 w — 5), zatem do uzyskania belki statycznie wyznaczalnej potrzeba wedle równania (1) (6 —f- 2 w) prętów. Mamy 2w-j-l prętów istotnych, tj. w-(-1 prętów łuku i w pod-wieszek, nadto 2 pręty przegubu ; zatem potrzeba (6 —{- 2 w) — (2 w -{-1 -f- 2) = = 3 prętów łożyskowych ; więc podparcie, jak dla belki wolno podpartej (prostej).

Dla obciążenia pionowego oddziaływania są pionowe. Składowa pozioma H sił w prętach łuku jest stała. Prowadząc przekrój 1—1 (fig. a), otrzymujemy ze względu na punkt O:

M0o

&T>

i¹

№n

f-

2.

lp

r--

4®

lii

o-

ii

____

x-f-H

Ъ\“¹\

-■^1

j|!

l(

-i-.Hu

Г\

²f h

677} <

tgtxn

i_U

Fig.; 311.

slJ

gdzie JI/0 0 jest momentem sił zewnętrznych dla belki wolno podpartej, w punkcie O. Linja wpływowa, por. fig. Ъ.

Siła wewnętrzna w prętach łuku Ł

Ko

/ cos «*

wowe Ł daje więc linja wpływowa H ze spółczynnikiem ——

cos an

cos «„

. Linje wpły-

sec a

Siły w podwieszkach znajdziemy, wycinając odpowiedni węzeł górny (przekrój 2—2 i fig. c) i rzutując siły w wyciętych prętach na oś pionową. Wtedy Z=H{tga₂— tgc^).

Dla znalezienia siły w pasie górnym, np. ćr₂, prowadzimy przekrój 3—3 przez węzeł m, wtedy M0m-\- Hym-f <?₂ h = 0, a stąd G₂ = — j (M0m+Hym). Linja wpływowa G₂ jest zatem sumą linji wpływowej II ze spół-czynnikiem — oraz MQm ze spółczynnikiem —p (por. fig. d). Podobnie znajdziemy linje wpływową pasa dolnego.

co

Cr-

ii

li

I,

ГТ

rm

II

U_J

__!

ed

11

ii./'" .

Fig. 312.

Prowadzać wreszcie przekrój 4—4 i ustawiając dlań równanie 2 V = 0, otrzymujemy :

T0n + Łm sin*m — Ksin •/. = o ; a stąd po podstawieniu wartości za Ł :

T0 nd-HtgUm sinv.

Zupełnie podobnie znajduje się linje wpływowe dla łuku trójprzegubo-wego usztywnionego belką kratową.

Łuk trójprzegubowy ze wspornikami (fig. 312). Linje wpływowe dla łuku bez wsporników przedłuża się aż do końców wsporników, por. fig', b — linja wpływowa parcia poziomego, c)pasa dolnego D, d) krzyżulca K.

(Linja wpływowa, por. fig. e).

III. Kratownice przestrzenne.

Łożyska utworów przestrzennych mogą być:

a)    stałe (fig. 313) ; w obliczeniu dają się zastąpić trzema prętami podporowymi, których siły wewnętrzne są równe odpowiednim składowym oddziaływania ;

b)    ruchome linjowe (jednokierunkowe, wahadłowe = dwu prętom podporowym ; fig. 314), poruszające się w linji prostopadłej do płaszczyzny przechodzącej przez pręty podporowe ; można je wykonać jako wałkowe lub przesuwowe ;

c)    ruchome płaszczyznowe (wielokierunkowe) = jednemu prętowi podporowemu (fig. 315), poruszające się w płaszczyźnie prostopadłej do pręta podporowego w dowolnym kierunku; można je wykonać jako kulowe lub wałkowe o dwu szeregach wałków, ruchomych w osiach prostopadłych do siebie.

Stałość zewnętrzna utworu w przestrzeni uwarunkowana jest spełnieniem sześciu warunków równowagi. Przeto 6 prętów podporowych ustala ciało w przestrzeni, o ile nie zachodzi wypadek wyjątkowy, w którym da się poprowadzić prosta przecinająca wszystkie pręty podporowe. Nie mogą zatem więcej niż trzy pręty podporow e leżeć w jednej płaszczyźnie, ani przechodzić

Fig. 315.

Fig. 314.

Fig. 313.

przez jeden punkt (względnie być ||) ; wreszcie ciało musi byc podparte conajmniej w trzech punktach. W przeciwnych bowiem razach podparcie jest chwiejne.

Ponieważ każdy węzeł przestrzenny daje trzy warunki równowagi, przeto statycznie wyznaczalna kratownica przestrzenna musi posiadać p = 3w prętów istotnych i podporowych, z czego prętów podporowych conajmniej p“= 6, zatem istotnych p.= 3w — 3. Najczęściej stosowane utwory przestrzenne, składające się z narożników, pierścieni i przekątni, leżących na powierzchni kratownicy (kopuły, dachy wieżowe, namiotowe, filary itd.), posiadają łożysk i prętów podporowych znacznie więcej. Mianowicie zwykle dla n naroży, pp = 2 n (w każdym węźle podporowym łożysko ruchome), jeżeli dołem istnieje pierścień podporowy ; zaś pp = 3 n (w każdym węźle podporowym łożysko stałe), jeżeli pierścienia podporowego niema. Wtedy dla zachowania statycznej wyznaczalności ilość prętów istotnych wynosić musi Pi~ 3 w — 2 n, względnie p^ = 3 w — 3 n. Zazwyczaj osiąga się to w ten sposób, że w kopułach pierścień najwyższy wykonywa się jako pierścień otwarty, zwykle używany pod latarnię, w dachach, posiadających zaś ostry szczyt, opuszcza się w obliczeniu pręty szczytowe, uważając je z wystarczającą dokładnością za ustrój drugorzędny.

Np. filar o postaci, jak fig. 316, jest statycznie wyznaczalny ; posiada bowiem w — 12 węzłów, zaś p — 36 = 3w prętów, w czem pi = 30, pp — 6. Za-yczaj jednak opuszcza się pręty istotne 1-3 i 9-11, zwiększając odpowiednio ilość prętów podpartych. Por. fig. 317, gdzie pi — 28, pp = 8,

_p = 28-j-8 = 36,

fig. 318, gdzie jif=24, p^ — 12, ^p = 24-f-12 = 36.

oraz

Ustrój wedle fig. 318 jest częściej używany.

Statycznie wyznaczalną kratownicę przestrzenną otrzymać można :

a)    przez dołączanie do stałej podstawy, względnie stałej kratownicy, nowych węzłów, każdego przy pomocy trzech prętów (istotnych lub podporowych) ;

b)    przez połączenie ze stałą statycznie wyznaczalną kratownicą drugiej kratownicy statycznie wyznaczalnej przy pomocy sześciu prętów;

wn

c)    przez wymianę prętów w istniejącej statycznie wyznaczalnej krato-icy (por. fig. 316—318," a także str. 1234); wymieniać można pręty istotne

5,

ю/

/!\

:\

!\

/!\

!\

'/!

Fig. 316.

Fig. 317.

Fig. 318.

P"

P"

7 \e

//

l\l

'l

//

t/Л

U I

■4

J-4.

H,'

№r

' m.' *■

pf

»!

Fig. 319.

Fig. 320.

Fig. 321.

między sobą lub z podporowymi, przemieszczając je wogóle dowolnie, tak jednak, aby utrzymać wewnętrzną i zewnętrzną stałość kratownicy.

Kształtem statycznie wyznaczalnej kratownicy przestrzennej, jaki daje ująć sie najłatwiej, a z którego dadzą się wyprowadzić prawie wszystkie używane postacie, jest kratownica siatkowa (fig. 319), której wszystkie pręty powiązane są w trójkąty, a leżą na powierzchni, zamykającej swojemi płaszczyznami pewną przestrzeń.

Wyznaczanie sił wewnętrznych w prętach kratownicy przestrzennej. a) Wyznaczanie sił wewnętrzny eh w węźle trójpręto wy m. Przez kierunek siły P i jeden z prętów, np. 2 (fig. 320), przeprowadza sie płaszczyznę (P-2), która przecina się z płaszczyzną, przechodzącą przez pozostałe pręty (1-3) wedle prostej (дал). Siłę P rozkłada się następnie

80

Bryła, Podręcznik inżynierski. VI.

w obu rzutach na siły 2 i (да n), a wreszcie składową (да ri) na siły 1 i 3 (fig. 321). Wielkości sił 1, 2 i 3 znajduje się z składu rzutów tychże sił.

Zazwyczaj można jedną z płaszczyzn przeprowadzić równolegle, względnie prostopadle do płaszczyzny rzutowej, a wtedy wyznaczenie sił wewnętrznych znacznie się upraszcza.

Metody tej używamy również, gdy w węźle o więksżej ilości prętów trzy siły wewnętrzne są nieznane, a pozostałe wiadome.

Ъ) Metoda momentów używana, gdy kratownica nie ma węzłów trój-prętowych.

Prowadzi się płaszczyznę przekroju tak, aby przecięła pręt, którego siłę wewnętrzną chcemy wyznaczyć, wybierając jako oś momentów prostą, przecinającą możliwie wiele przekrojonych prętów, i ustawia równanie momentów siły zewnętrznej i siły szukanej. Jeżeli oś momentu przecina wszystkie pręty prócz badanego (np. 5 na 6 przeciętych), wystarczy jedno równanie; o ile np. 4 na 6 przeciętych, należy ustawić dwa równania ze względu na dwie osi.

c) Metoda wymiany prętów używana,

gdy niema węzła trójprętowego lub gdy metody nie dadzą się zastosować (znacznie częściej niż w kratownicach płaskich). Dowolny pręt W (fig. 322), zwykle w pierścieniu górnym, odrzuca się (pręt wymienny), tak, aby uzyskać przynajmniej jeden węzeł o trzech prętach, nie leżących w jednej płaszczyźnie; dla utrzymania stałości umieszcza się natomiast w dogodnem miejscu pręt, t. zw. zastępczy Z. W tak otrzymanej kratownicy wyznacza się siły wewnętrzne S₀ i Z₀ dla obciążenia zewnętrznego (stan X = 0), oraz siły wewnętrzne S\ i Zx dla obciążenia siłami == 1, zaczepiającemi w końcach usuniętego pręta wymiennego w kierunku osi tegoż (stan X = 1). Siły rzeczywiste, występujące w prętach, wynoszą:

inne

6"

b 5"

Z'/

S'

Fig. 322.

S = Sr-ł-WSu gdzie: W= — por.str. 1212.

Z>\

Podobnie można zastosować dwu- i wielokrotną wymianę prętów.

Kratownice przestrzenne hiperstatyczne oblicza się tak samo, jak hiper-statyczne płaskie ; wogóle jednak staramy się unikać takiego skomplikowanego obliczenia, decydując się raczej na pewne uproszczenia i przybliżenia.

Najczęściej używane systemy kratownic przestrzennych składają się z narożników (krokwi) prostych lub łamanych, pierścieni wielobocznych, oraz przekątni (pojedynczych lub podwójnych gibkich); wszystkie pręty leżą na powierzchni kratownicy.

a) Kopuły przestrzenne. Węzły narożników leżą na krzywej ; w najczęściej używanych kopułach Schwedlerowskich na paraboli (por. fig. 323). Łożyska zwykle ruchome o kierunku ruchu prostopadłym do jednego z przyległych pierścieni (fig. 323). Dla kopuł o rzucie poziomym regularnym i obciążenia rozłożonego jednostajnie na całym pierścieniu (np. obciążenie stałe) obliczenie przeprowadza się następująco (fig. 324):

(11

Kn =

-(?*)£

Pl = -

2 cos а

р Ał р ₌_1

¹ «! ’ п 2 соз п.

<п 1

Ьп~ 1

ап- 1

(Р)х

(1)

dla pierścienia murowego (najniższego) Вт ==

2 cos а

Гу У ) Ап

\    1 I ат

flsl*

>2. g P S- ®

I;=p-i

S

75ръ 3.Ä2.I<r

il.

-1!Й

I*h:

|W

S.?s-8L.

►ta g g tr 3 w 2 £/§ в Î Й Ж g

a&i'ïl

3 g.JÜ! Il «g.

_ N*

K g £

1W

£T n 3 * 5^2-

e-b N* O CD O O-i

B H

^ Ф    <->•

Ы (5

= *1 -

*■&? t

X

к?Э

•7

E-

Ä-p

te ùt)

ö D,

5 _«

K>"

Лк»

t.

te

Ял'

v.'D

R*

î-

te

CD

QT*

Ù-

Q:

Fig. 323.

Fig. 324.

Ktö

à' О)

г,0

i-j о

AjD

'S

г,О

kj

О D)

Kv

Kj,

е)

Р’

-Pp I

!-Рщ

dJ hm

КрП fu Кдп^

Fig. 325.

Pan

rozkłada aie na siłę w kierunku krokwi dolnej, oraz siłę poziomą, z których to sił znajdujemy siły rzeczywiste w krokwi i przekątniach dolnych. Niech

1 w kierunku

(fig. 325) : ky, względnie rg — składowe siły D — krokwi, względnie pierścienia górnego, kd, względnie rd — składowe siły D = 1 w kierunku krokwi, względnie pierścienia dolnego (wartości dla każdego pręta inne ; najlepiej wyznaczyć je wykreślnie ; por. fig. 325), to suma sił w kierunku krokwi powyżej węzła n :

oznacza

poniżej n :

+ hdlDi' Kdn = K, + *„ą"

. . • (2)

w kierunku pierścienia prawego: R n —R% -j- rfll Dt' w kierunku pierścienia lewego: R[n — R₂r -(- rf/„ T)₂''

Obliczenie rozpoczyna się od pierścienia górnego, gdzie niema prętów górnych, więc kff — r;/ — 0, i obejmuje kolejno węzły tegoż. Potem przechodzi się do pierścienia następnego. Znając siły w prętach ponad m, otrzymamy z figury niewiadome Kd, RP i Rl, a następnie siły rzeczywiste :

-₄Af, R^ = Rps-rdD^,

Ą.-Ą"

R₂ — R

pn

A"

. . .(2 a)

А/

УА i

&r

Fig. 326.

Fig. 327.

Uwaga. Znaczek „p“ oznacza „prawy“, „1“ —lewy, „d“ dolny, „g“ — górny, „n“ dotyczy prętów, wychodzących z węzła n, „s“ prętów, wychodzących z węzła s.

b) Dachy wieżowe (fig. 326 i 327; przy nachyleniu krokwi do poziomu mniejszem od 45° nazywamy je namiotowymi) posiadają narożniki proste. U góry kończą się zazwyczaj ostrym szczytem, w którym zbiegają się wszystkie naroża ; wtedy dla n naroży przy normalnie stosowanem podparciu dach jest (n—3)-krotnie hiperstatyczny. Siły w najwyższej części dachu, uważanej za układ drugorzędny (por. str. 1232), wyznaczamy wtedy zwykle w przybliżeniu, ustawiając równanie momentów względem najwyższego pierścienia (fig. 327):

M = W₀ h₀ -j- W₁ hi = Si a sin a -j- 2 S₂b sin a ; ponieważ zaś Si : S₂ = a : b, przeto :

Si =

Ma

Mas

(3)

(a² -f- 2 b²) sin a (a²-(-2&²)Ä₁

We wzorach tych a jest kątem nachylenia krokwi do poziomu, s długością krokwi.

Pozatem dachy te oblicza sie jak kopuły ; wzory i wykresy upraszczają się

к

jednak wskutek stałego pochylenia krokwi. (Stosunek — (por. wzór 1) jest stały.)

Na parcie wiatru można je też obliczać jako dźwigary kratowe płaskie, zawarte między narożnikami. Obciążenie węzłowe P rozkłada się na trzy składowe, jedną Pn w kierunku narożnika i dwie poziome i f)" w płaszczyznach, przylegających ścian. Następnie oblicza się kratownicę płaską, jako utwierdzoną dołem, na siły poziome Pjt i P", leżące w jej płaszczyźnie. Siły w narożnikach są równe sumie odpowiednich składowych Pn, oraz sił w pasach tych kratownic płaskich. Siły w pozostałych prętach wyznacza się wprost z obliczenia odpowiednich kratownic płaskich.

(Г

ri.....

PI \Pm

3.

G,

i-Л.

Г"

_k--------Xm~-

0>

10,

-O

Pm-

Pr,.

D’"

Fig. 328.

Bm-l '‘m S/n Fig. 329.

Obliczenie dachów wieżowych ośmiobocznych (fig. 328) da się w myśl powyższego sprowadzić do obliczenia więzara płaskiego AB O o powierzchni obciążenia wedle trójkąta (fig. 329), przyczem p = 0,7 b w (w = parcie wiatru na jednostkę powierzchni prostopadłej do kierunku wiatru). Siły wewnętrzne w krokwi:

m

I/ n>

— sec ß, Sm =

Odpowiednio dla ściany CD O :

sec jś.

Mm

sec & Sm = —

Mn

b-m—1

— sec ß . . . (4)

przyczem :

*m-l

PXm-l

Fig. 330.

Siła w przekątni o długości d :

Dm = °>233 em dm w

(4 a)

Siła w pierścieniu:

U»⁰⁴ •* + !»*+! + °,35em^-₁)    • • -(4 ft)

Zupełnie podobnie oblicza się filary wieżowe, gdzie dla sił poziomych

Hh

zaczepiających powyżej aa V = (fig. 330), i inne podobne konstrukcje przestrzenne.

c) Mosty itp. konstrukcje, rozpatrywane wspólnie z poprzecznicami, oraz tężnikami pionowymi i poziomymi są też utworami przestrzennymi.

IV. Przesunięcia kratownic. a) Metody analityczne.

Prawo pracy przygotowanej. Jeżeli węzeł m kratownicy dozna przesunięcia m m' = [oj, to praca sił P-, zaczepiających w m, równa się sumie iloczynów tych sił przez rzuty przesunięcia [§J na kierunki tychże sił, więc Lm — 2 Pi 8 , Praca Lm równa się jednak też przesunięciu [oj, mnożonemu przez rzut wypadkowej tychże sił na kierunek [8 ]. Jeżeli siły P. są w równowadze, to wypadkowa ich = 0 ; zatem :

ЕРЛ“⁰

o, oznacza rzut dowolnie pomyślanego (przygotowanego) niezmiernie małego przesunięcia punktu zaczepienia siły P. na kierunek jej.

Dla każdego węzła kratownicy, będącej w równowadze, można pomyśleć pewne [5] i ustawić równanie (1). Skoro te równania dodamy, to znak X rozciągać się będzie na wszystkie zewnętrzne siły Ç i na napięcia prętów S, działające na węzły. Niech dowolny pręt działa na dwa węzły napięciem S, starając się je zbliżyć (napięcie dodatnie — siła rozciągająca). Jeżeli wskutek pomyślanych przesunięć obu węzłów nastąpi ich oddalenie czyli wydłużenie pręta o As, to praca przygotowana napięcia S jest Suma prac wszystkich prętów (czyli praca przygotowana sił wewnętrznych) wynosi — S As, zaś prawo pracy przygotowanej brzmi :

“ Qm °ot = ^ & As

czyli praca przygotowana sił zewnętrznych = pracy przygotowanej sił wewnętrznych.

Dany rzeczywisty układ sił Ç , działających we węzłach kratownicy która jest w równowadze, powoduje w jej prętach napięcia S i wydłużenia As, tudzież przesunięcia węzłów, których rzuty na kierunek sił Qm są om_

Pomyślany (urojony, przygotowany) układ sił Qm, wskutek którego badana kratownica byłaby także w równowadze, wywołałby w prętach napięcia S. Zastosujmy równanie (2) do pomyślanego układu sił Qm i przesunięć, wywołanych rzeczywistym układem Ç , to będzie:

Siły zewnętrzne Q składają się z sił Pm i oddziaływań C, którym w stanie

rzeczywistym odpowiadają przesunięcia podpór c, mierzone w kierunku sił C (o ile podpory nie są absolutnie stałe). Równanie (2 a) będzie wiec brzmiało :

S^8w = SNA s-ZCc

Jeżeli nazwiemy s długość, F przekrój jednego pręta, J/moduł sprężystości, id spółczynnik rozszerzalności, t przyrost temperatury pręta i podstawimy :

po-

Cl)

— S. As.

(2)

(2 o)

(3)

P ef

As = Np-[-Ü)£s,

lPmbm = 2SSp + ZSo>ts — S Cc

zaś :

(4)

Jeżeli przygotowanym stanem sił jest: Pm — 1, to

1Pm ⁸m⁼¹-⁵m-

Równanie (4) będzie wtedy brzmiało :

(5)

l.b^ZSSp + lSnta — X Cc

W przypadku belki o ściance pełnej, skoro a . dV — napięcie przygotowane włókna o przekroju dF, długości ds i wydłużeniu rzeczywistem àds, praca przygotowana sił wewnętrznych wynosi:

• («)

LW=J o dF .Ids . .

(Znak I rozciąga się na całkowitą objętość belki.)

Ale:

Ids

(b)

przyczem A t jest różnicą temperatur włókien skrajnych, góruych i dolnych. V odstępem włókna od osi obojętnej, h wysokością belki w danem miejscu.

N Mv    .    — N , Mv

o = — -}—-j— ; podobnie zas a = — -j-

Podstawmy b) i c) w a), to z uwagi na j dF — F = powierzchni przekroju, I V dF=0, zaś/ v²dF = J~ momentowi bezwładności przekroju, otrzymamy [analogicznie do (3)] pomijając (zwykle bardzo mały) wpływ sił poprzecznych :

— j MM -ßj -f- j NN -pj, Ą- I ш t Nds -Ą- j tu -j- Mds .

Dalej :

• • • (c)

. .(6)

Jeżeli wreszcie układ składa się z prętów i elementów o ściance pełnej (tarcz sztywnych), to wedle równań (4), (6) i (7) prawo pracy przygotowanej wyrazi się:

2Pmbm + '2Cc~'ZSS? + ZStat8 +

+ fMM-ÿj + fNN ~ + [Wu> tds+fWa>- ds

Równanie (5) posłuży do wyznaczenia uogólnionego przesunięcia 8 w stanie rzeczywistych obciążeń (S, t, c), jeżeli jako obciążenie przygotowane

. . .(7)

U-

m,

'F-'

Fig. 331.

Fig. 332.

(które powoduje napięcia S i oddziaływania c) obierzemy odpowiednio uogólnioną jednostkę siły. Fig. 331 przedstawia przygotowany stan sił (Pm = 1,A,B,S) dla wyznaczenia pionowego ugięcia węzła m. przesunięcie poziome; rzeczywiste przesunięcie jest wypadkową obu przesunięć). Fig. 332 przedstawia uogólnioną jednostkę siły dla wyznaczenia przyrostu

(Podobnie można znaleźć

poziomej odległości węzłów m i m₁ ; fig 333 dla wyznaczenia obrotu pręta m mi w kierunku wskazówek zegara, fig. 334 dla wyznaczenia przyrostu kąta <jfm między kierunkami prętów lik.

Fig. 335 a przedstawia przygotowany stan sił (dwie pary sił na ramionach b i c, których momenty są równe 1, gdyż — .c = l) dla wyznaczenia «    c

przyrostu kąta a w trójkącie a, b, c wskutek przyrostu boków Да, Ab i Ac. Jeżeli siłę zaczepiającą w wierzchołku kąta у rozłożymy na składowe w kierunku a i & (fig. 335 &), to napięcie przygotowane pręta a wynosi : A = 1 : b sin у = = 1 : h, zaś В = — A cos у = — cos y : h i analogicznie C = — cos ß : h. Pomyślmy sobie w wierzchołku a łożysko stałe, w wierzchołku у łożysko ruchome wzdłuż pręta b, to tylko siła 1 : c w wierzchołku ß może wykonać prace na przesunięciu § = с Да, zatem pracę (1 : c) . 8 = Да.

Oll

I-

cöf⁻

Fig. 334.

Fig. 333.

>B

b,

\h V

</

Fig. 330.

Fig. 335.

Równanie (5) przybierze kształt:

1. Аа = ААа-Ą- В Ab    САс = ~--у (Дb cos у -f Дс cos ß) =

Да а    Ab b cos у    Дс c cos ß _

Ъ h    '

Да

т-)со,^+(^

—j cotg у.

Jeżeli wydłużenie Да spowodowane zostało naprężeniem оа i przyrostem temperatury ta, to:

Да

°а

. więc :

E А а = [<ав - ас) + o> E (fia - tc)\ cotg ß + [(оа - а„) + ш E (ta - th)} cotg y.

Dla ta = tb = tc jest:

E Да = (o — o ) cotg ß + (оа — Oj) cotg у

(«)

E Да = (аа — ас) cotg ß,

W trójkącie prostokątnym (fig. 336) у = 90n, cotg у = 0 ; więc przyrost kąta ostrego.:

PAß = (oa-ob)cotgT,

podobnie :

zaś przyrost kąta 90°:

E ДТ = (Pc — ”«) cot8' ß + (Cc — сь) cotL «•

Linja ugięcia (ugięta) pasa pomostowego pod ciężarem P = 1 w punkcie a (fig. 337 a) jest zarazem linja wpływową pionowego przesunięcia tegoż punktu. Wedle bowiem prawa wzajemności przesunięć (por. str. 1147)

Cb

o-

v P=1

VP=1

Âi

Fig. 337.

j.y

Ol

rr>

ryl

là

.mu

AU

SdAcf-

К

C iM

П,

- ~ ~h

I 4n.

4a

if

dy/|

~ь :

^ d4. -.ль

Fi(f. 338.

pionowe przesunięcie oba wskutek ciężaru P~ lwa jest takie samo, jak pionowe przesunięcie bab punktu a pod działaniem ciężaru P — lw punkcie b (fig. 337 b), czyli : bab = 86a.

Linja ugięcia ciągu prętów jako wielobok sznurowy ciężarów sprężystych (TL). Niech będą (fig.338a) m — 1, m, от-j-l trzema sąsiednimi węzłami sztywnymi łamanego ciągu prętów sa, sb ..., tworzących

Przesunięcie m względem m — 1 (fig. b) składa się geometrycznie z przyrostu Asu i obrotu o kąt Aa, któremu odpowiada łuk sa. A a.

Wiec :

Ay₄ = -Ц, sin a + sa Aa . cos a ;

ę a stąd:

między sobą kąt mierzony od dołu, zaś ym_v ym, ym + 1 (fig. 338c) rzędnemi linji ugięcia). Równoległe, poprowadzone do boków a i b ugiętej (fig. c) z dowolnego bieguna O (fig. d), odcinają na pionowej odległej od bieguna o 1 odcinek W (t. zw. ciężar sprężysty).

Z fig. c \ d wynika:

Z fig. c zaś : czyli :

W: 1 = u :\b.

(.u + Ayb):lb = Aya:la,

u:\ = Aya:la — Ayb:\b = W

(9)

Asa

АУа : К = A У a : (sa C0S a) = ~~ tg « + A a.

Podobnie :

-Ы:Хь =

Asb

więc wedle (9):

sb

tgß + Aß;

*4

A si,

W — Aa. — Aß—}--- tg a--tg ß.

«а

Ale:

⁸*

zatem :

W— Ad-m

• • (K))

Linje ugięcia można przedstawić jako wielobok sznurowy o biegunowej — 1 dla ciężarów W, zaczepiających we węzłach m, czyli jako linje momentów

Jm-

$mti

i?

«Sf> A

o-

TT

to

—>1

ł*>

э.

Aï

■i

Wr>

Fig. 340.

Fig. 339.

dla belki prostej obciążonej ciężarami sprężystymi W. Zamykająca wieloboku sznurowego wynika z warunków podporowych.

Jeżeli chodzi o wyznaczenie pionowych przesunięć wszystkich węzłów belki, to można równanie (10) zastosować do ciągu złożonego z krzyźulców belki (fig. 339 a). Dla węzła m (fig. b) A d'm = — A cpm. Kąty a i ß są to kąty między dodatnim kierunkiem osi X, a przedłużeniem prętów sn i Sb, mierzone w kierunku wskazówek zegara (fig. b). A<pTO można znaleźć z równania (8).

Dla belki o kracie prostokątnej (fig. 340) należy oddzielnie znaleźć linje ugięcia obu pasów. Tu dla węzła 4 dla ciągu 3, 4, 5 kąt ß, zaś dla węzła 5 i ciągu

4, 5, 6 kąt a jest prosty, zatem lg ß, względnie tg a = oo. Dla ciągu 3, 5, 6' jest = <3C 354 -j-    456 +    656', zatem, A &₅ = A a₃₆₄ -j- A or₄₅₆ -\-

4- A ae5e'. Dla pasu dolnego, prostego, jest A $₄ = — (A a₂₄₃ -j- A a₃₄₅ -|-4- A a,₄₆) = W₄. Kąty u. i ß są tu = 0. Zamykająca linji ugięcia pasa górnego wynika stąd, że przesunięcie pionowe węzła 1 = skróceniu pręla 0—1, zaś przesunięcie węzła 11 = skróceniu pręta 11-12. Przyrosty kątów w trójkącie znaleźć można wedle równania (8).

*&-

«•“

b,

'a

JJ

,c

*-

Fig. 342.

Kg. 341.

Przykład. Obliczyć ugięcie pasa dolnego belki (fig. 341). Długości prętów s, przekroje F siły wewnętrzne S i naprężenia a — 8:F zestawiono na tablicy I.

Tablica I.

l’ret

an

cm²

kgjcm²

Pręt

cm

kg/ari*

1—2

2—3

400

3— 3'

4— 5

400

400

44

60

5—6

400

400

60

65

65

+ 16 + 40 + 48

—    32

—    48

+ 364 + 667 + 800

—    492

—    739

1—4

4-2

2—5

5—3

3—6

360

360

360

360

360

60

40

44

44

44

— 28,8 + 28,8 — 14,4 + 14,4

—    480 + 720

—    328 + 328

Kratownica składa się z trójkątów równoramiennych (fig. 342) o podstawie a— im i wysokości h = 3 m.

Bok :

b = c — УЗ² + 2² = j/l3 = 3,6 m. cot ß = cot у — 2:3 = 0,667.

Poprowadźmy CD ]_AB, to z równań AD’¹-\-CD'l = 13, tudzież (3,6 — AD)* + CD²— 16, otrzymamy A D = 1,39 m, CD = 3,32 m, cot a = 1,39 : 3,32 = 0,42. Kontrola: cot ß = (3,60 — 1,39) : 3,32 = 0,667.

Przyrost kąta a obliczono tabelarycznie (Tabl. II«) według wzoru (8) :

E A a — 0,667 (2 aa — ctj — ac).

Podobnie : E Aß— 0,667 (<rj — <7n) +0,42 (<tj — ac) (por. Tabl. IIb) \ E A y = 0,667 (<тс — oa) + + 0,42 (ac — o/ß (por. Tabl. Ile). Kontrolę stanowi warunek : E (A a + A ß + A y) = 0.

Tablice zmiany kątów. Tablica II a.

2oa

°b + ac

0,667

EA a

i ю j co i ci i co I co

984

. — 1478 + 728 4- 1334 4- 1600

—    1376

—    1806 + 488 + 1343 + 1600

918

— 1203 4- 326 4- 890 4- 1069

Tablica 116.

fi

°b ~ ca

H—CTa)°>667 ab~ac

(ctj— ac) 0,42    E A ß

05 I СЛ I tf“ I 05 I Cl I

OO W to Ol ^ CC I Ю I ł-H CC | tO I

+ 1

4- 739

— 1048

328

1200

656

- 440

331

+ 355 — 1069

941

535

Tablica lic.

°c aa

(oc—Oa)0,667

ac °b

(ac—<7j)0,42    E A ■/

Si&

w! СЙ1 to CC ; to !

+ 1212 -J~ 1067 + 356

339

800

+ 810 + 712 + 238 — 226 — 535

o    t-⁴    M

05 ГО CO O СЛ О Ю »Ц. o o co co

o    to    ox    ^    tf*.

o    cc    tf*

Ci    C¹    CD    O

Czyli :

Podobnie:    EW₃ = — (— 1203 — 941 — 535) = + 2679    „

Ciężar sprężysty we węźle 2 : W₂ = A &₂ = — (zl a.,„₅ -)- /1 ßui + zl у₅₂₃). EW₂ = — (— 918 — 1069 + 50) = + 1937 kgjcms

Oddziaływanie sprężyste E[A] = E ( W₂ -f- Ж,) = -j- 4616 kff/cm². Ugięcie węzła 2 : уг — s,_, [4] = 400

Ugięcie węzła 3: >j ₃ = [4] (s,_₂ + s₂_₃) — W₂ . s₂_₃ =

4616

2,100.000

= 800

4616

2,100.000

= 0,88 cm.

— 400

1937

2,100.000

= 1,760 — 0,368 = 1,392 cm.

о.

U-

--»J

yt>\

ÙS COS c

Fig. 343.

Fig. 344.

Na fig. 343 przyrost kata fig w przegubie znaleźć można wedle równania (5), stosując jako S napięcia wskutek dwu par sił na ramionach 23 i 34, których moment = 1, działających w sensie zwiększenia kątu fi-g. Lepiej jednak znaleźć A lig ze związku między przyrostami kątów węzłowych A $•, wydłużeniami

prętów Asi wydłużeniem cięciwy l o Al

III

FF

-, przyczem H = napięcie, '

F = przekrój pręta 06. Jeżeli prostopadła odległość węzła m od cięciwy (fig. 344) jest równa y, to wskutek przyrostu A dm wzrośnie cięciwa o y Ad)n.

X. Zatem:

,    A s

Wskutek przyrostu A s wzrośnie cięciwa o A s cos e =--

Дг=зЕг/Д0- + £-^-Х . . .

W równaniu tern dla fig. 343 jest tylko jedna niewiadoma A d₃.

'З.и

'-4-

Fig. 347.

w=

Równanie (9) można napisać (por. fig. 338) : У m -f-1    У m

Ут Ут — 1

Jeżeli :

K~⁹-

4⁺^Г⁹"'^=,?"⁺’’

wm = 2 <? S = V S As,

-h

to wedle (2 a) :

przyczem S są to napięcia w prętach wskutek sił Q, zaś As rzeczywiste wy

dłużenia. Suma X 8 As rozciąga się zwykle tylko na kilka prętów, na fig. 345

■f

ś=o

V.

A=a"

\B=0

JL + -Ł

Fig. 345.

Fig. 346.

-JM-

-h

Fig. 348.

trzy pręty, fig. 346 i 347 siedem prętów, w innych prętach bowiem S = 0. Na fig. 348 w żadnym pręcie S nie jest — 0, więc tu nie warto stosować tej metody.

ft) Metoda wykreślna.

Jeżeli pręty a i b pewnej kratownicy płaskiej, schodzące się we węźle C, przejdą wskutek jej odkształcenia z położenia АС В w położenie A₁C₁B1 (fig. 349 a), to każdy z prętów doznaje: 1. równoległego przesunięcia w położenie A-!A! względnie BXB', 2. wydłużenia Aa, względnie skrócenia Ab i 3. obrotu około punktu Ax, względnie B1} przyczem koniec C pręta a opisuje łuk niezmiernie mały, który zatem można zastąpić odcinkiem ря _]_ a, podobnie pb _|_ b. C₁ znajduje się w punkcie przecięcia pa i pft.

Wykreślmy z dowolnego punktu O (fig. 349 b) przesunięcia węzłów A i B, mianowicie О А' §я i О В' ф(: §b, to A' B' przedstawia wzajemne przesunięcie węzłów A i B. Z punktu A' wykreślmy wydłużenie Aa || a w kierunku AC, zaś z B' Ab || 6 w kierunku CB; z końców odcinków Aa i Ab poprowadzone o₍₍ _|_a, oraz рь_[_b niech się przecinają w C, to fig. b jest identyczna z figurą zakreskowaną, więc O C C Ci = §c jest przesunięciem węzła C, A’C' jest względnem przesunięciem węzłów A i C, zaś B'C węzłów В i C. Podobnie można znaleźć punkt //, odpowiadający węjzłowi Z) kratownicy, nawiązującemu się do węzłów Ai C prętami AD i CD itd. Fig. b jest t. zw. planem przesunięć Williofa.

Jeżeli kratownica (fig. 350 a) jest symetryczna i symetrycznie obciążona, to jeden pręt nie doznaje zmiany kierunku (mianowicie pręt, który leży w osi symetrji, względnie, którego ta oś jest symetralną; na fig. 350 CD). Odcinek równoległy do tego pręta C'D' na fig. b, a przedstawiający w pewnej skali jego wydłużenie, względnie skrócenie, przedstawia zarazem wzajemne (względne) przesunięcie obu jego końców. Można więc, podobnie jak do punktów A' i B' we fig. 349 b do końców odcinka C'D' nawiązywać dalsze punkty planu Williofa. Węzeł A (fig. 350«; łożysko stałe) jest nieruchomy, zatem przesunięcie rzeczywiste dowolnego węzła Cjest^CMŚJiech^" (fig. 350 c) będzie rzutem punktu A' na pionową przez A, zaś C" rzutem C na pionową przez C, to pionowy odcinek między C", a zamykająca A" A' przedstawia

A/>

C

V.

a,

'A

[C,

B'

<$*■

ce

o-

G"

Fig. 349.

pionową składową przesunięcia węzła C. Linja A" C"D"B" jest linją ugięcia pasa dolnego, A"1"4"&"B" zaś pasa górnego. Dla przejrzystości znaczymy na planie Williofa wydłużenia i skrócenia grubo, zaś odcinki p cienko.

Jeżeli

obciążenie jest niesymetryczne, to nie znamy kierunku żadnego pręta po odkształceniu. Jeśli przyjmiemy, że dowolny pręt nie zmienia swego kierunku, a jeden z jego przekrojów, np. środkowy, jest nieruchomy, to planem względnych przesunięć, nakreślonym dla powyższych przyjęć (fałszywych) wyznaczony jest prawdziwy kształt belki ugiętej, lecz we fałszywem położeniu. Odkształconą belkę, niby tarczę sztywną, należy jeszcze przesunąć tak, aby odpowiadała warunkom podporowym.

Niezmiernie małe przesunięcie tarczy można uważać za obrót około pewnego bieguna (por. str. 1213), a końce wektorów wychodzących z dowolnego punktu O' (albo początki wektorów, których końce zbiegają się w O'), a przedstawiających przesunięcia lub prędkości punktów tarczy, tworzą figurę F", podobną do danej tarczy, lecz obróconą o 90°. Rzeczywiste przesunięcie węzła C belki jest sumą geometryczną przesunięcia O' C względem punktu O, oraz przesunięcia CO' z powodu obrotu, więc:

cc - C"0' + (Tc.

Całkowite rzeczywiste przesunięcie punktu A (łożysko stałe) A"A' = 0 (fig. 351 «), więc przesunięcie jego wskutek obrotu belki odkształconej jest

A'O'. Punkt A' figury F", od której wychodzą wektory przesunięć wskutek obrotu, zbiegające się w O', nakrywa się więc z punktem A' planu przesunięć względnych. Punkt B" leży na prostej A"B" J_ A B. Kzeczywiste przesunięcie В" B' punktu В możliwe jest tylko po torze łożyska ruchomego, więc В'В" II tt. Znając dwa punkty A" i B" figury F", możemy

a)

A" i

C\

\b:_ä

b)

C)

C'\ I /0: ■ "

----CL^Ił.

\2‘

Fig. 350.

'4-—

2“

ArU - 1 - •

¹--H---t- -

A'A'

\\

-j

E“

T-

B'Çj

B'

\\ I

\\l

O'

\l

--i-

//

\\

c\-Jr

\f r

V

I Giï- —

~ T ~sT~

B’

-C

o-

As

D'

D'"

Fig. 351.

ją wykreślić, a tem samem wyznaczyć rzeczywiste przesuniecie dowolnego węzła. Np. rzeczywiste przesunięcie węzła C jest wektorem C"C' (fig. b). Jeżeli chodzi tylko o pionowe składowe przesunięć węzłów, to kreślenie F" jest zbyteczne.

Jeżeli A₀ leży na pionowej punktu A i poziomej punktu A", podobnie B₀, zaś C" na pionowej C i poziomej punktu C, to pionowy odcinek pomiędzy C" i zamykającą A₀B₀ jest pionowem przesunięciem 3₍. węzła C.

Zatem A₀ C " DB'" (fig. 352 c) jest linją ugięcia pasa dolnego A₀E"'F"'G"'B'" jest linją ugięcia pasa górnego belki AB (fig. а). B₀ В jest pionową składową przesunięcia punktu B.

ni

Przykład (fig. 352). Znaleźć największe ugięcie węzła 2 belki kratowej (fig. o), obciążonej pociągiem normy A. W tym celu wykreślimy linję wpływową ugięcia węzła 2. Według Maxwell’a będzie to linją ugięcia pasa pomostowego pod ciężarem P= 1, zaczepiającym we węźle 2. Na tabeli zestawiono długości s, przekroje F i napięcia prętów N. Ostatnia rubryka podaje tysiąckrotne wartości wydłużeń prętów :

Ss

1000 ds = 1000

E F

te

>£■.

O'

Г3.25-

ч -к

з_2l

5 9з ? а

чА

~А

* atoo

t 4 1Ш

Ftt

<Ь

sêT

/4=/

~! "ГК

s

О'

+>

о*

CS

0,115

т/т

•4

•O

CS

§'

00 5

в"_

В¹

<к

Ьг

d₂ Л

Г/

Fig. 352.

ж.

СЯ

Pręt

10³ ds

Ss

EF

cm

górny

S⁵ 2s S⁵

650

6180

6180

308,8

359,2

308,8

—    1500

—    1000

500

-1,5 — 0,86 — 0,50

Pas

dolny

t?₃

d,t

6180

6180

6180

6180

208,4

208,4

208,4

208,4

© СО CQ r-< О Ю Ю to t> о о

Krzyżulce

460

460

460

460

460

460

460

460

359,2

114,96

114,96

— 1060 + 1060 + 354

52,0

62,0

52,0

114,96

359,2

354

+ 354

354

+ 354

354

—    0,65 + 2,02 + 0,68

—    1,49 + 1,49

—    0,68 + 0,68 — 0,22

Moduł sprężystości i = 2100 000kg/cni¹. Na planie Williot’a (fig. b) przyjęto najpierw kierunek 4—3 jako stały.

Punkty planu Williofa odrzutowane na pionowych, przechodzących przez węzły A, 2, 4, G, В (fig. c), dają linję ugięcia pasa dolnego, a zarazem linję wpływową ugięcia węzła 2. Na fig. a i c wkreślono najniekorzystniejsze położenie pociągu. Największe ugięcie węzła 2 d, = 10 ~ ³. [16 (18 -f 48) -f 25 (121 + 120 -f 118 + 116,5    115 + 85 + 72,5 + 60 +

-f 46 + 32,5)] == 10 — 3. [16 . 66 + 25.886,5] = 1,06 + 22,16 = 23,22 mm.

V. Naprężenia drugorzędne w belkach kratowych.

Przy obliczaniu belek kratowych przyjmuje się, że pręty są połączone w węzłach przegibnie, że występują w nich zatem tylko siły osiowe. Naj-

i*

ii

^nm

Cr-

!%m\

ElTn

T'Mr,w

EH-rm

Fig. 353.

częściej jednak węzły sa sztywne, więc kąty między prętami we węzłach nie mogą się zmienić, zaś pręty po odkształceniu belki wyginają się i wskutek tego powstają w nich naprężenia zginające, zwane drugorzędnemi.

Styczne do pręta m n (fig. 353 d) odchylą się od jego cięciwy o kąty xmn i г -, dodatnie, jeżeli w kierunku wskazówek zegara. Na koniec m pręta mn działa moment Mmn (moment węzłowy), na koniec n moment M, pręta linja momentów jest prostą (fig. 353 b). Pomijając wpływ siły osiowej, znajdziemy M n wedle zasady Mohra z równania momentów ciężarów sprężystych (fig. 353 c) ze względu na punkt В :

E J

mn ^    ^ т»пи + Tn m)

Z powodu równowagi suma momentów węzłowych we wszystkich prętach, zbiegających się centrycznie w danym węźle m:

SI

Jeżeli połączenie prętów we węźle jest ekscentryczne, to 2 M,

(S siła osiowa, c mimośród). Przy w węzłach mamy w równań (2). Jeżeli

nm'

Wzdłuż

(1)

I» H

mn

(2)

Sumy rozciągają się na wszystkie pręty, schodzące się we węźle m. Dla każdego węzła mamy takie równanie, więc w równań. Rozwiążemy je drogą kolejnych przybliżeń.

Przyjmując xn m — 0, otrzymamy pierwszą wartość przybliżoną :

s»n

(6)

Hr Aa

~H~

Podstawiając (6) w (3), otrzymamy pierwsze wartości przybliżone kątów odchylenia. Wstawiając je w (5), otrzymamy drugie przybliżenie dla £ , tj. £" . Podobnie znajdziemy £IV itd., aż różnice pomiędzy kolejnemi przybliżeniami staną się dowolnie małe. Na podstawie ostatecznych wartości £ obliczamy kąty odchylenia т z równania (3) i momenty węzłowe z równania (1). Jako kontrolę mamy równanie (2). Ewentualną odchyłkę należy rozdzielić pomiędzy pręty proporcjonalnie do wartości r. Jest to uproszczony sposób Manderli.

Mohr zastąpił kąt odchylenia xmn obrotem cpm węzła m i obrotem d pręta mn. Fig. 355 przedstawia odkształcenie i przesunięcie pręta mn w położenie m'n'. Czytamy z niej :

(7)

⁷nm    'i¹

znamy przyrosty Av. kątów pomiędzy cięciwami prętów, to możemy wszystkie kąty odchylenia т węzła m wyrazić przez jeden z nich £w. Z fig. 354 widać, że

⁷m n    Д ao

Jeżeli pomiędzy prętem то i mn (fig. 354) są jeszcze pręty ml, m2, to a0mи ⁼ “oml + “im2 + “2

mw

(3)

m )i>

“o mw ⁼ ^ “o ml 4~ ^ “l m 2 ~Ь ^ “

Przyrosty Д a0wl, A ai m 2 • ■ * znajdziemy według wzoru na zmianę kąta w trójkącie wskutek przyrostu boków [równanie (8), str. 1240].

zatem :

2 mn'

7?

Tmn

Fig. 354.

Podstawmy (3) w (1) i (1) w (2), to nazywając dla skrócenia :

rmn ^ ^mn ‘ ®mn........*

i rozwiązując (2) względem £m, otrzymamy :

(4)

Hr Aa

Sr

2Sr

(5)

⁷m n    ^

<p    i Ą n są dodatnie, jeżeli w kierunku wskazówek zegara. Podstawmy

(7) i (4) w (1), to:

<«)

Mm n = r E (² ?m + fn — ³ 'LJ

Podstawiając (8) w (2), otrzymamy analogicznie do (5) :

1 - r W — <P„)

'P»!

Srfl

Sr

Sr

(»)

System równań (9) rozwiązuje się, podobnie jak (5), drogą kolejnych przybliżeń, przyjmując jako pierwszą wartość przybliżoną:

S r 4

«P«

Sr

(10)

mn

Podstawiając w (9) <p* za cpn, otrzymamy drugą wartość przybliżoną <p'' itd. Podstawiając obliczone wartości <fm i cpn w (8), otrzymamy momenty węzłowe. Obroty prętów >]/ można odczytać z planu Williot’a. Prętowi (fig. 356 а) odpowiadają na planie dwa odcinki : X — wydłużenie pręta

•n

ni Y-"/

b rn'<^

^'mn

if

Тлт}^ f tn

>л;г

Cr-

*г

Fig. 355.

Fig. 356.

i p = względne przesunięcie obu węzłów pręta w kierunku prostopadłym do pręta. Jeżeli smn= długość pręta, to

'Утп

P mn

(11)

"mn

Z momentów węzłowych oblicza się naprężenie drugorzędne ze wzoru :

Me M

(12)

przyczem J — moment bezwładności przekroju pręta względem osi ciężkości prostopadłej do płaszczyzny belki, e — oddalenie włókien skrajnych od tejże osi. Dla dowolnego pręta m n mamy dwie wartości M, mianowicie M,

i wogóle dwie .wartości e, tj. e' i e", więc cztery wartości v, z których dwie są tego samego znaku, co naprężenie pierwszorzędne. Z pośród tych dwu miarodajna jest bezwzględnie większa.

»! П’

oraz

II II!

Jako przykład podajemy obliczenie uproszczonym sposobem Manderli belki (fig. 311, str. 1243)"którą Müller-Breslau obliczył swoim sposobem („Graphische Statik II.“ 2, str.-295), zaś Gehler („Die Ermittlung der Nebenspannungen eiserner Fachwerkbrücken“, str. 22) sposobem Mohra.

Obliczenie przygotowawcze por. str. 1243. Na tablicy prętów (Tabl. I) zestawiono długości s, przekroje F, momenty bezwładności ./, odstęp у włókien skrajnych od osi

Tabl. I.

Tablica prętów.

10

11

12

Pręt

cm cm²

.7

cmt>

cm

cm³

VI

VII

t    kg/cm²

kg! cm²

4--

Mohr

Gehler

M. Br.

vji

100-

VI

400    6,5    2    16    4-364    91,4

4    40    + 667    78,5

800

800

48

51,5

co

стэ 1+ •**

92

78

52

25

11,7

6,4

45    400    65    4000    12    20

56    400    65    4000    12    20

32 —492 106,6 48 — 739 85,4

106

86

108

89

21,7

11,5

14    360

42

360

M M bS to łt^COCC

Wb аь OD OD

36,2

50

38

47

60

35

9,7

60

44

67

61

20

36

18,8

оо

ciężkości e, sztywności r — 2 J : s, siły osiowe S w tonnach i naprężenia główne vj = S : F (rubryki 1—8). Momenty węzłowe obliczono przy pomocy tablicy kierunków (T. II) i tablicy węzłów (T. III). Jako niewiadome £ obrano kąty odchylenia kierunków oznaczonych strzałką na fig. 341. Kolumna 4 (T. II) podaje wartości EA o-Qmn do równania (3). Zmiany kątów zestawiono na tablicy II, str. 1243 i 1244. Dla kierunku 25 jest E A aD2j — E A alm-\-E A a,₂₅ = — 1069 — 918 = — 1987. Rubr. 5 (II) podaje wartości rubr. 4, pomnożone przez r. T. III, rubr. 2 podaje sumy rubr. 3 (II), np. 4 -j- 2,22 -j- 2,22 -f- 4 = 12,44.

T. П.

Tablica

to

10

11

г ЕЛа₀

Ттп

г'

* гп т

rm п

⁷it т

r Тп m

co

Cl o co co

2,22

941

2095

4763

— 1410

469

2,22    —2145

4    — 2680    —10720

4- 735 4-1270

535

535

1188

5448

—    1410    631

—    341    309

—    1785

—    4405    4- 577

—    7748    -j- 527 1410

44

— 1062 I —1092 -f-    515

324

648

23    + 784

—    98 I 4- 895 4- 270

—    5640    -j- 845 —1318

4- 1308

4- eoo

— 5272

4- 743    4- 1486

4- 212    17

— 531    1410

85    4- 419    + 458    4- 2290

2820    — 324    /— 1092

2184

4- 331

—    22    1294

553    4- 309    341

980

2Л

6 20

19600

—    25880    4- 453

—    570    4 784

17    212    4- 1060    4- 458    4- 419    -j- 2095

23

38

4-1200

5 3 2,22 -j- 354    -f 786 + 846

2 2,22 +1244    -j- 2760

4-2494    4-49880    — 1294

4    20

3 2,22 -f 535 5    20    4-1385

44

Ol tfb co

to <3 o oo

to <1 со сд

—    27700    4-1514    —1385    —27700

—    1040    4-1160

4-    1280 I 4- 270    +    895    4-    1987

980    4-    453    +    9060

440

377

;7

535

— 1385

535

— 1385

Podobnie rubr. 3 (III) 2 r â a sumę wartości rubr. 5 (II), np. : 0 — 2095 — 4763 — 10720 = = — 17578. Bubr. 4 (III) podaje £' —‘2 г Л a: 2 r(równ. 6), np. +' = —17575 : 12,44 = — 1410. W rubr. 6 (II) jest pierwsza wartość przybliżona kąta odchylenia xmn według równ. (3), np. r₃₆' = — 1410 — (—2145) = + 735. W rubr. 7 (II) jest rmn', w rubr. 8 (II) r xnm’. W rubr. 5 (III) 2 rxnm,, np. +2108 + 1880 — 1188 — 5080 = — 2280. W rubr. 6 (III) j est 2 r rn m' : 2 2 r, np.—2280:24,88 = — 91,5, wrubr.7 (III) jest druga wartość przybliżona. £"=£' ~2rrnm':2 2r (równ. 5), np. £₃" = — 1410 — (— 91,5) = — 1318.

W podobny sposób przy pomocy T. II, rubr. 9, 10 i 11 i T. III, rubr. 8 i 9, znaleziono £ш (rubr. 10, III), następnie £IV (T. II, 12—14, T. III, 11—13). Z porównania £' f", i £IV można wnioskować, że już nie wiele się różni od zatem poprzestaniemy na wartości na podstawie której wedle równ. (3) znaleziono rm n (rubr. 15, II). Bubr. 18 (II) podaje wartość £(/ = (2гт), + гяш). Wartości r i | w T. II i III są już pomnożone przez E i wyrażone w ległem². Bubr. 19 (II) podaje momenty węzłowe według równ. (1) : Mmn = r Er], np. M₃₂ — 4 . (■— 1930) = — 7720 kglcm = — 7,72 łcm. Bubr. 14 (III) podaje 2 M, które wedle równ. (2) powinny być = 0. Odchyłki 2 Mrozdzielono proporcjonalnie do r. Bubr. 20 (II) podaje poprawione wartości momentów węzłowych.

Bubr. 9 (I) podaje naprężenie drugorzędne vjj =eM :./ (równanie 12). Przekroje są symetryczne, więc wartość dodatnia równa się bezwzględnie wartości ujemnej. Dla pręta 1,2 jest Ж,₂ = — 4,30 tcm Mtl = — 5,62, więc | Mn \ > | Ml2 |, zatem naprężenie drugorzędne Fjl j2 = 5620 . 6,5 : 400 = 91,4 kg/cm². Gehler znalazł 94 (rubr. 10, I), Müller-Breslau, licząc dokładniej, 92 (rubr. 11, I). Bubr. 12 (I) podaje wartość naprężenia drugorzędnego w procentach naprężenia głównego. Z powodu symetrji obciążenia wystarczyło tu badać tylko połowę belki. Jako kierunek początkowy węzła 6 obrano kierunek w osi symetrji, zatem kąt odchylenia kierunku 63 E r₆₃ = — V₂ E Л a₃'₆₃ = — '/г 1069 = — 535, zaś E re5 = = £r„₃ -El1 a₃₆₅ = — 536 — 8 5 0 = — 13 85.

Z przykładu powyższego widać, że sposoby opisane asf żmudne i wymagają znajomości przekrojów prętów. Już jednak przy projektowaniu tychże należy mieć choć przybliżony obraz naprężeń drugorzędnych. Dlatego wielką wartość praktyczną posiadają wzory przybliżone.

kierunków.

12

13

14

15

16

17

18

19

20

Tm n

г'"

mn

"f

r Tnm

ГУ

IV

xmn

2 Tmn

IV

xnm

Er/

t cm

M popr.

t cm

: ! ++

2920

2320

1188

5188

+ 5,28

419

+ 785    +1570

+ 1320    +2640    —1320    1320

— 7,85 + 0,47 + 2,23 + 5,15

1078    — 1147    —2294

078

— 5,53 + 0,92 + -1Д6 + 0,88

— 5,62 + 0,85 + 4,06 + 0,71

+ 204    312    + 1560

+ 539 1207

2414

+ 273    + 546    + 379    925    + 4,63

940    — 1147    2087    — 4,17

470

+ 4,30 — 4,30

+    307    1097    —21940

+    638    138

+    312    204    + 1020

230

I-H-+

O M M l> C5 У Ю 03 CO O r-1 O

H H TH

1385

442

780

307

— 27700

982

+ 1730 + 6140

+1435    + 2870

—    1385    1485    +29,10

—    419    1743    + 3,87

+    840    1222    + 2,72

+    374    1744    — 34,88

+ 28,47 + 3,80 + 2,65 — 35,52

—    0,63

—    26,70

—    535    — 1070    + 785    285    — 0,63'

—    1385    —2770    +1436 1335    —26,70

Tablica

T. III.

2r

i'

~ r rn m

: 2 2r

12,44

9,89

26,67

44,44

—    17,578

—    13,933

+    1486

-f 53,426

—    1410

—    1410 + 212

2230

5285

2905

578

22

— 1200

—    25390

—    27900

—    1318

—    1092 + 419 4- 453 + 1514

Pasy. Gdyby krata zmuszała oba pasy do wspólnego identycznego ugięcia, to równanie linji ugięcia osi ciężkości obu pasów byłoby:

Mx

d²y ₌_

W rzeczywistości jest:

(13)

dx² EJX ' d²y

dx²~ EJX

•przyczem wedle Bleicha należy przyjąć:

dla belki

równoległej

parabolicznej

10 8

1,27

1,35    1,4    1,2    1,25    1,3

W powyższem oznacza h = wysokość belki, l = rozpiętość, Mx — moment w przekroju X, Jx — moment bezwładności przekroju obu pasów względem ich osi ciężkości. Jeżeli F jest przekrojem pasa rozciąganego, F' ściskanego, to Jx = a²F + an F\

a -j- a' = h.

gdzie :

aF= a' F\

Dla samego pasa zachodzi równanie :

d²y

M'

dx²    ‘ EJ''

przyczem naprężenie drugorzędne w pasie vn

d²y _ vn dx² Ее '

Z porównania (13) i (14) otrzymamy:

zatem :

Mx

M'

J'

e,

(14)

Dla F = F' jest:

czyli :

vn = ^^ •

K h J* ² '

2f"T •

(15)

.(16)

vn

vi

(17)

węzłów.

10

ii

12

13

14

2rzu

: 2 2 »•

2Vrm + :2 2V nm —

f,V

2Ж

678

—    4012 + 106

—    17543 +17490

27

—    1383

—    1207 + 204 + 307 + 1397

1136— 50 5206 — 263 854— 61 21150 — 396 20812 —235

—    1360

—    1147 + 273 + 374 + 1435

+ 0,40 + 0,43 + 0,46 + 1,16 + 1,41

Dla

i gdy przekrój użyteczny pasa rozciąganego :

i odpowiednio :

to uwzględniając na korzyść pewności rozkład naprężeń drugorzędnych wzdłuż pręta wedle trójkąta, otrzymamy dla pasa rozciąganego:

:Vi=2[xX(l +x)-^-

P    VU max

zaś dla pasa ściskanego :

7Г

Jeżeli chcemy, aby:

vi + vn

to potrzebny przekrój użyteczny pasa rozciąganego:

max

So

FU ⁼ 0- + P)jT*

Podobnie :

*S'o

Oczywiście pas ściskany należy oprócz tego zbadać na wyboczenie. Obliczając naprężenia drugorzędne, należałoby przyjąć naprężenie dopuszczalne к o 20% większe niż zwykle.

Jeżeli pomiędzy węzłami I-rzędnymi, odległemi о X (fig. 357), zawieszona jest poprzecznica we węźle II-rzę-dnym przy pomocy słupa o długości h, należy uwzględnić w pasie pomostowym naprężenie dodatkowe Vjj. Moment w pasie we węźle II : Mn — lj₂ PX, zaś ugięcie węzła II :

6 EJ'

//

1 PI3 У~ 24 EJ' (ys = naprężenie w słupie).

Stąd :

Fig. 357.

, Mn

vn~— e

Słupy. Naprężenia drugorzędne w słupach są z reguły większe niż w krzyżulcach i wogóle bardzo znaczne. Przyjmując dla słupa m n w równaniu (⁸) Ут — Чп ⁼ ?» otrzymamy:

-6+

X²

6 EJ    .

Mmn^—J— OP“ Ф)»

stąd :

vll =

6 Ее    .

—s—+)

(18)

Uważając linję ugięcia za parabolę o równaniu у y₀ — ugięcie w środku rozpiętości, otrzymujemy :

dy *Уо

X (l — x), gdzie

cp

dx

(l — 2 x)

(19)

W przybliżeniu można przyjąć :

V śr.

Eh ’

gdzie V śr. jest to średnie naprężenie w pasach (bez względu na znak). Lepiej jednak znaleźć z planu Williofa. Wzór 18. w połączeniu z 19. można zastosować do narożnika, dla innych słupów należałoby zastosować linje wpływowe naprężeń П-rzędnych.

Z porównania równań (1) i (12) wynika : vn = 2 — Ei\. Dla prętów o przekroju symetrycznym jest 2 e równe szerokości pręta. Należy się więc starać o możliwie lekki wygląd belki w widoku. Wartość t] — 2 tw n -}- xn zależy w wysokim stopniu od rodzaju kraty. W pasach (pomijając pola skrajne przy narożnikach) naprężenia drugorzędne w przypadku kraty prostokątnej N i półprzekątniowej К są bardzo małe (około 5%). Jeżeli linja ugięcia pasa pomostowego wykazuje załomy odwrotne, naprężenia Il-rzędne są procentowo do naprężeń I-rzędnych znaczne : przy kracie (fig. 357) dochodzą do 28%) kracie N i V z drugorzędnem podparciem odpowiednio do 33 i 44%, przy kracie dwukrotnej do 86% (por. Bażant). Należałoby w tym przypadku zastosować przekrój pasa pomostowego symetryczny, aby zmniejszyć e. Bardzo znaczne są naprężenia drugorzędne w łukach kratowych ze ścięgnem, belkach kratowych wzmocnionych łukiem, belkach trójpasowych, oraz w wieszarach z belkami usztywniającymi.

VI. Ustroje hiperstatyczne.

A. Równania sprężystości.

Jeżeli belka, np. fig. 358 a, jest nw- krotnie wewnętrznie, względnie n- krotnie zewnętrznie hiperstatyczna (statycznie niewyznaczalna ; por. str. 1189), to przez opuszczenie nw prętów istotnych, względnie nz prętów łożyskowych (pręty nadliczbowe) można kratownicę uczynić izostatyczną (statycznie wyznaczalną), tj. sprowadzić ją do układu zasadniczego (fig. b). Aby stan napięć w układzie zasadniczym był identyczny ze stanem w belce rzeczywistej, należy każdy opuszczony pręt łożyskowy zastąpić siłą, działającą w kierunku tego pręta, jako nacisk na belkę, zaś pręt istotny dwiema siłami zaczepiającemi we węzłach, w których był osadzony i działającymi w sensie ich zbliżenia, jeżeli pręt był rozciągany, zaś oddalenia, jeżeli był ściskany, a równemi co do wielkości napięciu tegoż pręta (tensory). Niech będą Xa, Xb, Xc, niewiadome oddziaływania opuszczonych podpór, względnie napięcia opuszczonych prętów istotnych (fig. b). Jeżeli nazwiemy R₀, S₀ reakcje podpór i siły wewnętrzne w układzie zasadniczym (fig. c) wskutek sił zewnętrznych 2 Г, zaś Ii₍₀ Sa wskutek siły, względnie napięcia Xa = — 1 (fig. d) i wreszcie odpowiednio Sb ; i?c, Sc .. . (fig. e i /), to w ustroju rzeczywistym (fig. a) na podstawie prawa superpozycji reakcja pewnej podpory:

R R₀ Ru Xa Rb Xb    Rc Xc. .

zaś napięcie dowolnego pręta:

0)

s = s₀ - s₀ xa - sb xb - se xc...

Oj

CD

=8?

Из

co

Щ

o.

-i

t-

• O-

Co

Oj

.1

-1

Fig. 358.

Jeżeliby w kratownicy prócz prętów były jeszcze elementy o ściance pełnej, pracujące nietylko siłą osiową (zmienną) N, ale i momentem M, to w dowolnym przekroju odpowiednio do równania (1) byłoby :

. . . .(la)

M=M₀- Ma Xa - Mb xb -Mcxc...

N = N₀ -XaXa- Nb Xb -NCXC...

Zastosujmy równanie pracy przygotowanej do rzeczywistego układu przesunięć (fig. b) i przygotowanego stanu napięć Xa = — 1 (fig. d), nazywając 8a przesunięcie w układzie rzeczywistym punktu zaczepienia siły X₍₍ w kierunku siły Xa = — 1, ob przyrost rzeczywisty oddalenia węzłów, w których zaczepiają siły Xb, zaś La = E Ra r pracę oddziaływań Ra na rzeczywistych przesunięciach podpór r, to wedle równania (7), str. 1239 :

ds

EJ

+jN„N

ds

EF

Dla tego samego stanu sił Xa = — 1 przyjmijmy kolejno, jako stan przesunięć, przesunięcia, spowodowane w układzie zasadniczym uogólnionymi siłami Xa = — 1, Xb = — 1, Xc — — 1.. tudzież zmiany temperatury całego układu o wielkości t i różnicami temperatury At, i nazwijmy przesunięcie punktu zaczepienia siły Xa w każdym powyższym wypadku odpowiednio oaa, bab, 8ac..., ba^ to z równania (2) otrzymamy:

f /*.*'.

₊jMaMb-^j+jNaNb ds

¹ ■ ''■4 c ~ - '4Ä    + jMaMc ß j + j^a^c EF

l.bat = SSaSb

ЕЕ

над

ds

« ej

ЕЕ

. .(8)

1.8а^ = 'LSgMts I Mgiu dsJ NgUitds . . . -(4)

Jeżeli stan sił jest 2 P (fig. c), zaś stan przesunięć Xa= — 1 (fig. d), to, gdy 8 jest przesunięciem punktu zaczepienia siły Pm w kierunku tejże siły wskutek Xa — — 1, będzie analogicznie do równań (3):

ZPm*ma = Z*oSal^

ds

ds

+ jNoNa

.(5)

jM₀Mt

Jeżeli w równaniu (2) wstawimy wartości na S', Ж i AT z równania (1) i (la), to z uwagi na (3), (4) i (5) będzie:

La+¹ • ^a=:^Pmbma~ Xabaa — Xbbab~ XcKc+^at

n EJ

EF '

albo :

Podobnie :

К.    + К Ь Хъ + «с «    + • • - Ï    - h + К t - К

Tych, t. zw. równań sprężystości (por. str. 1149), jest tyle, co niewiadomych hipersćatycznych X, można je więc wyznaczyć. Przy pomocy wyznaczników otrzymamy :

Db

Dc

(7)

We wzorach tych :

^aa rjab ^ac ' ' *

^6а ^66 Чс ‘ ’

Ka Kb Ьсс •••

J) (Л,, l)c. . .) otrzymamy, jeżeli wyrazy pierwszej (drugiej, trzeciej...) kolumny zastąpimy prawemi stronami, wiec wyrazami wolnymi równań (6).

Spółczynniki przy niewiadomych X w równ. (6) otrzymamy z równ. (3).

Na podstawie prawa Maxwella można spółczynniki: Sna, 8a„ bac i bam otrzymać z planu przesunięć układu zasadniczego, obciążonego siłą Xa = — 1.

Linja ugięcia pasa pomostowego, wykreślona na podstawie tego planu, jest linją wpływową dla 8ma, jeżeli siły Pm są pionowe. Mając linje wpływowe dla 5

8 j, 8 c . .., otrzymamy linje wpływową dla D₍₍ i tem samem dla X na zasadzie równania:

m ai

daa rjma    dba °mb dca 'Jmc •••

. . .(9)

przyczem np. dba jest to podwyznacznik otrzymany z wyznacznika D przez opuszczenie wiersza i kolumny w których znajduje się 8Ja, więc np. w przypadku trzech niewiadomych :

⁸ab Kc °cb °cc

Zasada najmniejszości pracy odkształcenia. Jeżeli opuścimy wpływ temperatury i poddania się podpór, to możemy równania sprężystości (6) przedstawić w formie przejrzystej :

dba =

°ab ricc °uc ^cb.

SL

SX,

= 0,

IL

8ZC °*"

. . . .(10)

przyczem praca odkształcenia układu wynosi:

M²ds , 1

S²s

EF

jf-

EJ

N²ds

EF

(И)

Jest ona funkcją zmiennych Xa, X,, Xfi. .. za pośrednictwem równań

(1) i (1 a).

Zatem niewiadome hiperstatyczne X przyjmują takie wartości, aby praca odkształcenia układu L, jako ich funkcja była najmniejszością (por. str. 1145). Pierwsze z równań (10) możemy tedy napisać :

Г Mds Silf

Ss

^ EF oXa

Nds 3 N

EJ 3Xa

EF 8Xa

= 0    . (10 a)

Przykłady.

1. Belka jednym końcem poziomo utwierdzona, a drugim wolno podparta (fig. 359) tworzy utwór hiperstatyczny pierwszego stopnia, gdyż dla przejścia do utworu zasadniczego wystarcza usunięcie jednego pręta podporowego (fig. b). Mamy : M — M„ — MaXa [por. równanie (la)].

Celem obliczenia wielkości statycznie niewyznaczalnej Xa zastosujemy równania (6), (3) i (5). W przypadku sztywnych podpór i stałego J będzie :

wa,

jM₀Madx

*a=°

(12)

j Маг dx

0

j-Maг dx—jx¹dx = ~. 0 0

«) Dla obciążenia ciężarem jednostajnie rozłożonym g (fig.«, b, c): (М₀ Ma dx=jdx = —

Ó    0

Xa = 3l8gl.

Moment w dowolnym punkcie :

M=Xax — -!LZL. a 2

Największą wartość dodatnią osiąga moment dla x — 3/Sl:

—'—ffP;

128 ’

.1/

4- max —

zaś największą ujemną na podporze b:

<3

ШЯ

^    b) Dla obciążenia ciężarem skupionym /'

^ (fig. 360) otrzymamy, stosując równania(6) i (12) :

P(l — п)г (21 +u)

*a =

21³

■^1

UTWÓR ZASADNICZY

STAU Kj-o, мп - <£’    I

O'

If

Moment w dowolnym punkcie :

M=Xax — E(x— u).

obu końcami poziomo utwierdzona (fig. 361) jest dwukrotnie hiper-statyczna ; wielkości hiperstatyczne tworzą momenty podporowe Xa i Xjy Wedle równania (la) :

M*=M₀-MaXa-Mb xh.

Wedle równań (6) i (3) przyjmując zupełne utwierdzenie belki i stały moment bezwładności .7 otrzymamy :

2. Belka

STAN    M₃’~x

=■ -1

i

f-

u-4

Li

Fig. 359.

Fig. 360.

przyczem :

Z Pm à a m XaSaa ^b^ab ⁰ \

— Рщ ^bm~^a ^b a ~ ^b ^b b = 0 )

I    ,

EJ-ôaa=fMadx = -$-0

I    ,

EJ .bbb=\ Щ2<1х—— ’

0

1

EJ • bub=jMa Mb dx =

Ô

(13)

(14)

(por. fig. c i d).

a) Dla obciążenia ciężarem jednostajnie rozłożonym g na całej długości belki : Д>=. Vi gxQ, — x).

Z powodu symetrji :

Z*,m*am = Zpm*bm=f*oMad*=Ąr,

zatem z równań (13) i (14):

ffP

Moment w dowolnym przekroju X (fig. a) :

¹    /?    s    V (—X    -r x

2    .9x G x) — i    ^bf

a P

j¥+max=_2jj— (w środku belki)

M—

gP

M -mnx =--jy- (na podporze).

Oddziaływania : C'a =    == Ł/a g l.

b) Dla obciążenia ciężarem skupionj-m P (fig. 362) : !lP(/-u)

— J‘m Ą i m —-/*0 Ma<lx—f O    o

l

" ■ś иг ^6 m ~jX    d æ —j

O    O

ł — * J I [    ,,    4 ( —x ,    iJM

x—j-dx+J-j-(}—x)—j—dx= — [2P- ЗгО + м²]

U

•*P

Г PÜ — Ü) X ,    . /-^M    a;    P„

*1"

Z równań (13) i (14) i ostatnich dwu :

Pu

-    съ

'Ł.Ł

Pi

b-i

I t/rivO? |P

Z45/WC7K

1^ sw« X = 0

*«=—0-«)V

4=-^{l-u).

Oddziaływania [por. równ. (1)] :

⁶a=-^((³ + 2«³-3«²0,

Pli¹

Cb ⁼ "“p⁻ (31 — 2 h) .

Metoda

u.

całkowania linji ugięcia: Kaszyński wychodzi z równania linji ugięcia (por. str. 1123) :

i!

• • • («)

STAN

Wtedy nachylenie do poziomu w dowolnym punkcie :

h‘z!¹

dy

s?

dx

EJ

/'(*) (h)

STAN Xh~-1, М'о~~С,

ггтттТТГТПпТ

Ti

■'s

Cab

Fig. 361.

Fig. 362.

Moment :

MX = -EJ

d*y

= —/"0*0

Siła poprzeczna :

dMx

s'«

(d)

Obciążenie jednostkowe :    —

йж

(■«)

Dla różnych rodzajów belek możemy z góry określić pewne warunki, jakie powyższe równania spełnić muszą. Np. dla belki wolno podpartej mamy na podporze : y — 0, M — 0, dla belki utwierdzonej na podporze : y — 0, tg a == 0, dla wspornika na końcu tegoż: M— 0, V — 0.

Wstawiając odpowiednie wartości w równania (a) —• (e) otrzymujemy warunki, jakie muszą spełnić się dla pewnej belki, a stąd możemy też określić w każdym punkcie momenty, siły poprzeczne i kształt linji ugięcia dla pewnego danego obciążenia px. Dla poszczególnych rodzajów obciążenia mamy :

(/)

a)    dla obciążenia jednostajnego: px~p

b)    dla obciążenia wzrastającego wedle linji prostej : px^=~p (а-f- ß£) . (</)

gdzie

.<•

« = T’

np. dla obciążenia wzrastającego od px do p₂ '■ px—pi ^1 -j

P2 — Pi

Pi

zaś dla obciążenia wzrastającego od 0 do p '■ px— p%> c) dla obciążenia zmieniającego się wedle paraboli :

p£ = p (« + ß S + T 4²)    • •

Biorąc za podstawę najogólniejsze z tych równań (A), otrzymamy równania (a) — (e) w postaci :

p l4 nPl pl³

a “ ”“7T7

П Ы

(2 a₂-j-6 «з^-j-12 a₄|²-|-20 a₅ ^³-(-30 ae s⁴) . . .(A:) V^ (6 «з + 24 «₄ £ + 60 аъ f + 120 ae f)

px~— — (24 u₄ -j- 120 a₅ £ -j- 360 ae £²) ....

W równaniach tych oczywiście:

(a -[- a₄ £ -j- «2 ę² ^-з £³    «4 ę⁴ 4“ tt5 f -f- ae Se) • • (O

(ai “h 2 a₂ S “b 3 «3 £² -j- 4 a₄ £³ -j- 5 a₅ -f- 6 ae £³) . (j)

(l)

(ł)

И rx

«5 =

120’

ав

_ П'(

~ 360

0«)

ał

Znając obciążenie, możemy oznaczyć równania (f)—(A), za ich pomocą równanie (m), a wreszcie równania (i)—(ł). Otrzymamy wtedy szereg równań

pierwszego stopnia o odpowiedniej ilości niewiadomych, które w prostszych wypad-J kach łatwo rozwiązać. Chodzi tylko o to, i ß aby wyznaczyć warunki, jakie muszą T spełnić sie dla poszczególnych punktów belki.

-ß-w

-1

vC

— I —

Fig. 363.

Eównań powyższych można też użyć dla ciężaru skupionego (fig. 363) : Niech ciężar P znajduje się w odległości к l od podpory A belki o długości l ; w tym punkcie £ = A. Wtedy jest px = 0, zatem spółczynniki dla części A C: a₄ — a5 = «6 — 0, podobnie dla CB : 6₄ —    = b₆ — 0. Pozostałe 8 spół-

czynników a, aj...a₃ i b, b₁...b₃ znajdziemy na podstawie danych, odnoszących sie do końców belki i do punktu C. Dla punktu C mamy : y' = y"f tg af = tg au, M' = M", T — T" = P.

Czyli:

a₂ — è₂ = 3 ä;,

«з — b₃ — — 1.

a — b = к³, u₁ — bi = — 3 fc²,

Przykład. Bla belki obustronnie wmurowanej, obciążonej ciężarem jednostajnie rozłożonym, otrzymamy:^ = p, więc a = l,ß = 0, y= 0. Przyjmując n = 24, otrzymamy z równań (m): ttą—1, ab = 0, æe = 0. Bla lewego utwierdzonego końca belki : у = 0, « = 0, a więc z równań (i) i (j): a = 0, ((, = 0. Na prawym końcu (f = 1), też y = 0, a — 0, a stąd :

0 = & -[- u, -f- ci₃ -j- Я4 =    -j- <x₃ -p* 1 = 0,

0 —- u, -|- 2 rt, -j- 3 (t, -j— 4 Uf, = 2 Яд -j- 3 a, -j- 4 — 0.

Z tych dwu równań znajdujemy a,== 1, a₃ = — 2, a stąd : у =

W’

pP

12 EJ

24 EJ

(|-3fł + 2{’),    ^ = --^-(1-61 + 6^), F* = -^-(l-2|),

pP_ _pł_

na podporze : у — 0, a — 0, M= —

12 ’

(É*-ap + ?),

w środku :

1 pP

а —0, M— + -^-, V-Q-

Metoda ta może być z korzyścią użyta np. przy belkach krzyżujących się wzajemnie (stropy żelbetowe). Niedogodnością jej jest konieczność rozwiązywania bardzo znacznej ilości równań.

Prócz metod opisanych powyżej używa sie do obliczenia niektórych ustrojów hiperstatycznych także innych sposobów jak np. metody punktów stałych i metody trzech wzgl. czterech momentów (por. F. Belki ciągłe i G. Eamy).

У f 384 EJ'

B. Kratownice płaskie hiperstatyczne.

W kratownicach wszystkie pręty narażone są wyłącznie na siły osiowe, więc równania (3), (4) i (5) upraszczają się o tyle, że znikają całki prawej strony.

Belka kratowa dwuprzęsłowa. (Fig. 364). Opu- ß szczając podporę C, otrzymujemy układ zasadniczy (fig. b). Niewiadomą hiperstatyczną jest tedy reakcja podpory CXc.

Z\K

A*

Przyjmując podpory sztywne, tj. Lc = Ó i 8C = 0, i uwzględniając tylko wpływ ciężaru ruchomego Pm — 1, otrzymamy z równ. (6) :

i-».«

scc

0mq

Linja ugięcia pasa pomostowego AB wskutek siły Xc =

= — 1, czytana w skali 1 : 8 jest linja wpływową oddziaływania^. Można ją wykreślić przy pomocy ciężarów sprężystych vw“ (por. str. 1241), naniesionych w dowolnej skali przy pomocy dowolnego bie-    q

guna (fig. c), gdyż Xc zależy od stosunku 8mc : 8CC. Obierając ugięcie punktu С bcc za jednostkę, możemy wprost odczytywać xc =?Jmc- Gdy nie chodzi nam o linje wpływowe, tylko tość dla danego obciążenia stałego, to z równania (6), (3) i (5), otrzymamy:

cc’

■'<+

-T

J-

Kc

.sec a _AB

Kc rCB

j--

liJn

Fig. 364.

w,

o war-

*s'scwr

xc

Kc

ef

przyczem wartości <S'₀ i Sc znaleźć można z dwu planów Cremony jednego dla obciążenia układu zasadniczego siłami 2 Fm, drugiego dla obciążenia siłą Xc = — 1. Siła wewnętrzna w dowolnym pręcie S — S'₀ — Sc X₍. =

— Sc ---Xej. Fig. d przedstawia linję wpływową pręta G, fig. e zaś pręta K,

podzielone odpowiednio przez Gc i Kc. Gc i Kc są to siły w prętach ćr i Кwskutek

^    GB A3    CB

Xc = - 1, więc Gc =    Kc= -J2 sec a, czyli

sec а

AB

CB

Łuk kratowy bezprzegubowy (fig. 365). Opuszczając pręty a, b i c, które możemy uważać za pręty łożyskowe, otrzymamy wspornik

(układ zasadniczy, fig. b). Działając nań kolejno siłą Xa — = -l, X,—1,

Fig. 366.

__л

(fig. b), otrzymamy trzy plany sił, następnie trzy plany przesunięć, a stąd trzy linje ugięcia pasa górnego (pomostowego), które są linjami wpływowemi przesunięć 8даа, ЬтЪ i i Można z nich skonstruować linje wpływowe niewiadomych Xa, Xb, Xc (równanie 9 i 8), a następnie linje wpływowe sił wewnętrznych w prętach i linje 2 wpływowe oddziaływań wedle równania (1).

_s

Wieszar usztywniony belką kratową (fig. 366) jest ustrojem hiperstatycznym pierwszego stopnia. Jako wiel-7 kość hiperstatyczną obierzemy 0 składową poziomą H ciągnienia w wieszarze N. Otrzymamy wtedy :

N = H sec cp.

A sh

Siła w pręcie wiszącym (wieszaku) :

Z = H Atg cp,

gdzie Atg cp = różnica tangen-sów nachylenia wieszara z lewej i prawej strony wieszaka. Jeżeli wieszar jest parabolą, to Atgcp = const., więc Z— const. Wedle równania (6) jest:

t,_L

Fig. 366.

?Jhh

Jeżeli H— — 1, to pręty wiszące naciskają na belkę usztywniającą siłami Atg cp. Należy je uważać za ciężary działające w węzłach pasa

górnego belki А В (fig. b). Plan Cremony przedstawia wówczas siłę Sh, zaś linja ugięcia pasa pomostowego (dolnego) linję wpływową dla omli, względnie H, jeżeli za jednostkę obierzemy ohh. Wedle równania Si 5 ;

?Jmh— 2 ‘S'o b'k -fip *

*bk = - Sh ~jfv

S₀ jest siłą wewnętrzną w pręcie belki wolno podpartej А В (jak gdyby wie-szara nie było).

Siła wewnętrzna w dowolnym pręcie belki usztywniającej (równanie 1) :

Linję wpływową dla

S-S, - HS„ -sji- ffj _ Ą .,.

sh H ~

łatwo skonstruować na linji H, przez naniesienie linji wpływowej dla S0 w skali 1 ■= Sh (por. fig. c).

Poniżej podajemy liczbowy przykład obliczenia hiperstatycznego wiezara dachowego (fig. 367). Ciężary węzłowe pionowe P—3000 kg.

à) •yV'

Ь) Ь

/з

3000 ~j 3000 j

3000

\,1500

ю\

12,00

}■

С)

<1,2,3

10

Л -----Sa* О

d)

Fig.367.

Ха=-1

Jako ilość hiperstatyczną przyjmujemy siłę w ścięgnie T=Xa. Wyznaczmy plan siIS0 dla obciążenia pionowego (fig. b) i plan sił Sa dla Xa = — 1 (fig. c). Siły Sa w prętach 4, 7, 8 i 9 są równe zeru (fig. d). Dla obliczenia Xa musimy przyjąć przekroje prętów. W mniejszych konstrukcjach dachowych możemy uczynić to w sposób następujący. Jeżeli średni przekrój pasa górnego wynosi Fg, to przekrój pasa dolnego w przybliżeniu Fg = 0,6 — 0,8 Fg, zaś przeciętny przekrój krzyżulców F^ = 0,2 — 0,5 Fg. W danym wypadku szacujemy: Fg = 40 cm², F₍j — 32 cm², Fj. = 20 cm², przekrój ścięgna Fs — 15 cm². Podstawiając w pierw-

sa

szem z równań (6), str. 1268:    La=0, Jaj.=0, Xj = Xc = 0, E6a =

ss₀sae

2 Sa2 9    + 702,4

otrzymamy, rozwiązując ze względu na Xa, X„ =

+ 4350

Fa

— F a On

— 6,17 t, por.

tabelą. Siły w prętach S = S₀ — Sa Xa są około 50°/o mniejsze niż S₀. Podobnie należy uwzględnić wpływ parcia wiatru. Przekroje potrzebne będą mniejsze, niż gdyby ścięgna nie było, a wskutek tego więzar hiperstatyczny wypadnie o 25—30°/₀ tańszy.

Tablica 80.

Pręt

cm ciup

F e = F Sa llcm

Sa' sa*e

So

S₀SUS

SaXa

H « co

GD ►-»

© <1 ©t .    ^ <1

"o* 'ćn 'ся'сл

! I ! -+I I

28а'9 = 702,4

—    12,34    — 12,06

—    12,34

—    12,34

4- 12,34 — 12,34

9,46

3,47

0,34

6,06

6,17    + 6,17

С. Belki rozporowe i wieszarowe.

ßozpornica trójkątna (wzgl. wiązanie wiszące trójkątne) (fig. 368). Moment w dowolnym punkcie C równa się momentowi belki wolno podpartej AB, pomniejszonemu o moment pary sił Hy:

(15)

M= M₀ — Hy

Ak

r<—fi

'ź

U— i

Fig. 368.

Wychodząc z równania pochodnej pracy odkształcenia (równanie 10 a)

M dM

EJ dH

dx -j- j"-

N dN

Ss dS

EF dH

EF dH

= 0,

otrzymuje się równanie :

PŁ(8-t*)l

względnie dla obciążenia jednostajnie rozłożonego na całej długości belki:

8jjЛ ’

przyczem spółczynnik p. zależy od wymiarów i materjału i wynosi :

E F

E\ ‘ Fx ' cos³a

w którem to równaniu E, J i F oznaczają moduł sprężystości, moment bezwładności i prżfekrój belki poziomej AB, Ex i Fx moduł sprężystości i przekrój zastrzałów AD i BI), a E₂ i F₂ odpowiednie wartości dla słupa.

F h²

EF

e₂f₂

tg³ aj .

.(16)

Przy pomoście górą (fig. 368 6):

3 J E

K- = l 4

Fi A² E₁ 'Icos²«

(16 u)

przyczem s jest rzeczywistą długością zastrzałów.

Spółczynnik p. różni się niewiele od jedności ; dla p. = 1 wartości zarówno ■ momentów zginających, jak i oddziaływań są identyczne z wartościami dla belki ciągłej dwuprzęsłowej, bo opuszcza się wtedy wpływ skrócenia zastrzałów, przez co podpora środkowa D staje się stałą.

Hh

Oddziaływanie środkowe : D =

П(з-а²)

dla ciężaru jednostajnie rozłożonego : D —

5 yl

4fr

8p

Linje wpływowe momentów otrzymuje się w myśl równania (15) przez odjęcie rzędnych linji wpływowej parcia poziomego 77, pomnożonych przez y od rzędnych linji wpływowej momentu belki wolno podpartej o rozpiętości 21 (fig. 369).

Wartość jj. uwzględnia się praktycznie w ten sposób, że obliczywszy przekroje dla p. = 1, wyznacza się p. z wzoru (16), poczem poprawia się linje wpływowe, dodając różnicę powstałą przez zmianę wartości p. :

Iх

Jeżeli przekroje obliczono na moment ujemny na podporze D, to powyższą poprawkę można opuścić, gdyż zmniejszenie parcia H wywoływuje

'~C.-------

Fig. 369.

Fig. 370.

zmniejszenie się momentu ujemnego, a zatem popełnia się błąd na korzyść pewności. Poprawka dla przekroju zastrzałów nie ma praktycznej wartości. Linje wpływowe sił poprzecznych i oddziaływań otrzymuje się, odejmując

rzędne linji wpływowej parcia 7/, pomnożonej przez —— od trójkąta oddziaływań belki wolno podpartej o rozpiętości 21 (fig. 370).

K ozp or nic a podwójna (trapezowa) (fig. 371). Wychodząc j. w. z zasadniczego równania (15), otrzymuje się z równania pracy odkształcenia :

li

j M y dx

o

jx / y²dx o

co czyni dla | < 1 (por. fig.):

3(i + y)-f

2 p. h (2 -f- 3 y)

zaś dla 1 <C £ < —:

dla całk., jednostajnego obciążenia g : /Z"

Dla belek o pomoście zawieszonym na rozpomicy wartość p. wynosi:

H = Pl

2 + 86? - 3f§- l)2 2p./i(2 + 3cp)

<7(5 + 10<р + 6ср² + ср³)г²

4 p. h (2 + 3 co)

V*

„i i 3_^    ² + <P i ³    (<.,E jL _

^ F h* 2 + 3<p ' A*(2 + 3?)\ Ą ' + 'cos³ a

przyczem 22, ./, F oznaczają moduł sprężystości, moment bezwładności i przekrój belki głównej Л /i, 2^ i 2’’! moduł sprężystości i przekrój zastrzałów, F₂ i F₂ moduł sprężystości i przekrój rozpory, a Ea i Fa moduł sprężystości i przekrój słupów wiszących.

Jeżeli belka główna spoczywa na rozpor-nicy (pomost górą), to p. oblicza się z wzoru :

3 EJ

p-f/—-

Cło D

Г⁶

jr₂= 14

k—

/ —-J

2s

ÆiA²(2 + 3<p)Z

cp l

2\ ‘ cos³ a

Przy rozpornicy trapezowej samo, jak poprzednio, opuścić p. (zwłaszcza, dla a ^ 30°, gdy p.! dochodzi do 5°/₀, zaś u.2 do l,5°/o). Linje wpływowe momentów otrzymuje się j. w. przez odejmowanie linji Hy od linji M₀ (fig. 371), por. dział: „Mosty drewniane“, str. 787.

Chcąc otrzymać linje wpływową momentu, mającą absolutnie największą rzędną dodatnią, tworzy się moment ze względu na punkt zaczepienia siły F-

Fj'

,1%

można tak

ILU

Fig. 371.

p ² + ?~g    p^3(l + <p)-f    „

r 2 + <p ^    2TM24-1-J)'*

; нт

-l-

<j>l——*-

Fig. 372.

Fig.373.

>dstawiając y=z^h, F= 1 oraz jx = 1, co w tyra wypadku można przyjąć wystarczającą dokładnością, otrzymuje się równanie :

{4⁴ (2 + cp) — I² (10 -h 15 T + 3 y⁸) + g(₈ + ₁6y + 6y>)t?

² (² 4~ ? ) (² “b 3 f)

Różniczkując podług £ i porównywując pochodną do zera :

dM {45³(2 + <р)-2!;(10 + 15ср + Зср²) + (8 + lficp-f Gcp²)}?

2 (2 —cp) (2 + 3 cp)

0,

dochodzi się do równania 3. stopnia, określającego £ w zależności od cp. (Wyniki zestawiono tabelarycznie, por. „Mosty drewniane“, str. 787).

Linje wpływowe sił poprzecznych i oddziaływań¹) znajduje się, jak dla rozpornicy trójkątnej ; ponieważ oba oddziaływania środkowe są przy do-wolnem obciążeniu zawsze sobie równe, przeto wystarczy odjąć od oddziaływania belki wolno podpartej o rozpiętości L = l (2 -(- cp), jedno z oddziaływań

-fi--*

ni

LA!

Fig. 374.

%.

Ltnje wpfywowe\ ’nwrneniów w punkcie R

i\

Linje wptywowè^^-^. sit\ poprzecznych w tpierwszem I ■ polu

⁴-J

' JFig. 375.

si

by uzyskać wartość oddziaływania rozpornicy, przy

środkowych D

padającego na belkę poziomą (fig. 872).

Ponieważ suma sił po lewej stronie przekroju jest dla punktów położonych w polu środkowem większa o D niż dla punktów położonych w polu skrajnem, przeto linja wpływowa sił poprzecznych dla środkowego pola nie różni się niczem od tejże linji wpływowej dla belki wolno podpartej o rozpiętości l {2 -f- cp), por. fig. 373.

l) Tablicę rzędnych linij wpływowych oddziaływań В podano na końcu działu : „Statyka budowli“.

Przykład. Rozpornica trapezowa poczwórna (fig. 374). Jeżeli siły poziome rozpornic, działające na przyczółek, nazwiemy H, oraz H', to równanie momentu zginającego (por. równanie 1«), przedstawi się następująco:

M = M₀ — Hy — H’ y'

przyczem y i y' oznaczają wysokości przekroju jak poprzednio.

(17)

dL

Wychodząc, jak poprzednio, z równania (10 a): —- = 0, oraz ^rjp ą= 0,

<1 L

czyli :

M dM ~ÏÏJ dli

dx = 0,

oraz

Г M 5M ,

I ~EJ Jlpdx = 0’

otrzymuje się po scałkowaniu i rozwiązaniu względem 11 i //', układ równań :

a) gdy ciężar stoi w polu pierwszem lub piątem : £ (30- 4f)

Я. =

12 $ (I² - 1)    !

‘ ¥’

b)    gdy ciężar stoi w polu drugiem lub czwartem :

(19 —3£ —33 £² + 17£:f),

c)    gdy ciężar stoi w polu środkowem :

Linje wpływowe rozporów poziomych można wykreślić wprost z powyższych wzorów, zaś do wykreślenia linij wpływowych momentów trzeba użyć równania zasadniczego (17), odejmując wykreślnie rzędne krzywych Hy i H'y' od rzędnych linji wpływowej dla momentów belki wolno podpartej o rozpiętości Ы. To samo dotyczy linij wpływowych sił poprzecznych i oddziaływań skrajnych, gdzie odejmuje się od trójkąta o wysokości równej 1 na podporze skrajnej i podstawie równej 51, powierzchnie wpływowe oddziaływań środkowych, przyczem dla oddziaływań

drugiego i piątego: D = H —, zaś trzeciego i czwartego: D' = H'—.

Sposób wykreślenia linij wpływowych pokazano na fig. 375.

38 h

38

38

■V

D. Łuki.

Napisał

f inż. Stefan Pazirski, lwów.

Łuk dwuprzegubowy (fig. 376 a) jest utworem hiperstatycznym pierwszego stopnia, gdyż przez usunięcie jednego pręta podporowego otrzymujemy utwór zasadniczy w postaci belki wolno podpartej (fig. Ъ).

Wielkością hiperstatyczną jest parcie poziome Xa, którego wielkość obliczymy z równań (6) i (3), str. 1258 :

⁸a “ 2Pm Km ~ Xa baa + Kp

K=

■№-4-

o o

EF

ds —

L0 0

EF dS

Dla sztywnych podpór, z uwagi na dx — ds cos cc, i z pominięciem wpływu N₀ :

•Mo y

ds -f- Euitl

Xa

(1)

’y²ds

gdzie F oznacza średnią powierzchnię pionowego przekroju, zaś S długość osi łuku, lub :

%M₀yj+Entl

(2)

Dla łuku ze ścięgnem, łączącem przegibnie oba wezgłowia a posiadającem przekrój stały F i moduł sprężystości Ez, należy mianownik równania (1) i (2) powiększyć o wyraz (El) : (Ez F^) ; wtedy Xa jest napięciem ścięgna, t różnicą temperatury łuku i ścięgna.

Celem określenia sum należy łuk podzielić na możliwie małe części s tak, aby można je uważać za odcinki prostej. Momenty bezwładności przekroju J

Pt

Ustrój

statycznie niewyznaczalny :

M=M₀-Xay.

h\<

Ч-

r*-—

it

O-

Utwór zasadniczy :

*a = 0-

NjJ

Stan Xa — — 1,

Ma = ¹ • î/> Na= ¹-«osep.

Fig. 376.

na długości odcinków można przyjąć za stałe. Dobierając długości tak, aby

s 1

_ = _ = СОШ1,

otrzymamy :

2M₀y-\-KEu>tl

KI

(B)

Postępowanie przy obliczeniu X(l jest następujące:

Oś łuku (fig. 377) dzielimy na pewną ilość równych części; punkty podziału przenosimy na rozwiniętą oś łuku 00 (fig. c), a na pionowych

26Б

przechodzących przez nie odcinamy po obu stronach osi O — 0 odpowiednie momenty bezwładności przekroju, przez co otrzymujemy dwie symetryczne krzywe bezwładności J — J.

Pierwszą długość odcinka łuku O A obieramy dowolnie; pionowa w A przecina krzywe J — J w punktach a i b ; z punktu b kreślimy bc równo-

T I?

щ jj*.

\7

зАз-

г/l

Tr V3

„I

--

O-

МОМШ У !1q

CCr-

r< V

/!

o-

mdiii

fti/

—A/H

I/

■o

PODZIAŁ PRÓBNY

" ostateczny

T 4.r kżk.T то1к.^т z hi 1 ¹01

ległą do Ja, z punktu c pionową itd., jak wskazuje kreskowana linja łamana. Ten wykres przez zmianę długości pierwszego odcinka O A trzeba powtarzać, póki punkt m nie wpadnie w punkt J. Wówczas otrzymamy:

= ... = 2 ctg <p — —

Przenosząc długości sx, s₂, s₃ ... na oś łuku (fig. a), otrzymujemy łuk podzielony na odcinki W л — 1', 1' — 2’ ... ze środkami ciężkości w punktach 1, 2, 3. . .

Obliczenie sum równania (3) następuje albo według podanej tabliczki albo wykreślnie, jak wskazuje fig. 377.

Tabela do obliczenia sum równania (1).

Fig. 377.

Sl

S2

ss

J\    J3

(4)

Punkt

J/„

К У

i.m²

S • i® i-¹

Z fig. d czytamy:

ZMoy=PoPpWm,

Moment w dowolnym punkcie osi łuku : M=M₀~Xay, zaś siła normalna (fig. 378) :

N = Xa cos <p -j- V sin <p . . . . (5)

W łukach płaskich w przybliżeniu N — Xa.

a) Łuk dwuprzegubowy pod działaniem ciężaru skupionego ruchomego P.

W tym wypadku dla ustroju zasadniczego (fig. 379 a): l — u

SR

/V .

xf*

/V

Fig. 378.

dla X < u M₀ — P

X, dla ж > u M₀

P(l — x)

-;- U.

■Æ

<>*

% 1У

-r

CO

r---u

c?------H

-P

UN JA WPŁYWÓW MOMENTÓW OLA PR/CKP t.

Fig. 379.

Wstawiając wyrażenie na M₀ w iloczyn ^ J/₀ y, można Z¹ umieścić przed

i

znakiem sumy i wówczas suma wyraża moment w punkcie L, wywołany obciążeniem belki siłami y:

2 л/« y-PM0y

tak, że parcie poziome Xa

PMoy

KI

PyWyĄ

Wielobok sznurowy wykreślony dla obciążenia siłami у (fig. b) przedstawia linję wpływową parcia poziomego (M₀ = p h).

Rzędne linji wpływowej momentu M dla przekroju L otrzymamy przez odjęcie rzędnych h' =Hy od rzędnych linji wpływowej M₀ (fig. c). b) Dla łuku parabolicznego o równaniu osi :

(?)

у = ^£-(1х — Х*)

i dla J₀=Jcosy, gdzie / oznacza strzałkę łuku zaś J₀ moment bezwładności łuku w kl uczu otrzymujemy :

gdzie :

ą.-.

f M₀ y dx -j- E uotl J₀

7i bfi

Jo

8 f'Fs-

Obciążenie ciężarem jednostajnie rozłożonym g na długości l daje:

gP

Fig. 380.

X<* 8/ f(’

zaś obciążenie ciężarem skupionym P (fig. 379 a):

x..-T-jw⁹’-*u4+u*⁾'r‘-

Obciążenie wzrastające od klucza ku wezgłowiu wedle paraboli (fig. 380) o równaniu:

g'i*

wywołuje parcie poziome:

xa = 0,0106 Yj.

Dla wysokich łuków wpływ siły podłużnej można pominąć; wtedy yj = 1.

С*

W'

Fig. 381.

Łuk bezprzegubowy jest belką hiperstatyczną stopnia trzeciego, gdyż do obliczenia sześciu niewiadomych podporowych mamy trzy równania równowagi (trzy pręty nadliczbowe Cx, C₂, C₃) (fig. 381 a).

Dla przejścia od utworu zasadniczego (fig. b) do utworu pierwotnego (fig. a), należy belkę poddać działaniu wielkości statycznie niewyzna-czalnych Xa, Xh i Xc, których wielkość wyznaczymy w następujący sposób :

Linja łamana kreskowana na fig. 382 a przedstawia linję ciśnienia, wykreśloną dla odległości biegunowej H (fig. 382 b) ; wówczas moment M w dowolnym punkcie L osi łuku odniesionego do układu x, у, o początku O :

M — H. KL = H[KR — у — e₀ — у x]

lub

M = M₀-Xay-Xbx-Xc . . .

. . . .(8)

gdzie wielkości hiperstatyczne :

Xa = H, Xb-XĄ% X=Xae₀.

jA

•\

I/ u'

ÜF

-- »■

b’ig. 382.

Obranie początku układu w dowolnym punkcie O jest równoznaczne z przeniesieniem układu sił działających w wezgłowiu A do punktu O.

Stosując równanie (6), str. 1258, otrzymamy z uwagi na sztywność pod-pór    4 = 0):

a. - Ï Ł; 8„ - 8„ , - Xb 8„, - Xc 6„c + 8„

^6 —    —    Xaàba    —Xbhb — У;8йс +    ■    •    ■ . . С-0

- ï С.«'„» - *Л. -    8c6    -    8„    +    8„,

Celem uproszczenia rachunku obieramy położenie początku układu O

; wówczas spółczynniki :

,    ds

w środku ciężkości elementarnych mas idealnych

§ac=SCa=⁰>

к,-

~MaMc

, f ds

ds — ;

y—r = 0»

.1

i.

мьмс

ds =

xds

(równanie 3, str. 1258), gdyż całki powyższe oznaczają momenty statyczne ze względu na środek ciężkości łuku, zaś

EJ

oznacza moment zboczenia ze względu na osie sprzężone x, y.

8.S-J

-/•

xyds _ o

<3

-sr

-li.

obciążenia

's

TF

20.00

ÎS

>y

XN

V,

o'

4.

s]

gM

Fig. 383.

Z uwagi na obł — %ct=0 przyjmując sztywne podpory i stosując podział łuku na takie elementy, aby —

— = const (równanie 4) otrzymamy :

2M₀y + KEt + l

i

-M ~

gdzie

Ci

.Нй

Przykład. Dla łuku symetrycznego o rozpiętości 1 = 40 m i strzałce f — 3 m należy obliczyć wielkości Xa, Xb i Xc dla obciążenia układem ciężarów stałych, oraz wykreślić ich linje wpływowe (fig. 383).

ly dokonano na fig. b (por. str. 1272). Dane

Podziału osi łuku dla warunku = — potrzebne do obliczenia łuku zestawiono w tabeli.

Punkt

y=ztf-V

m²

у² F=d s ni¹ rn²

./

./

m?

M₀y M₀X

t m? t ni¹

0,07

1,70

2,33

2,68

2,90

2,98

Sumy 13,26

—    1,54

—    0,51

0,12

0,47

0,69

0,77

78,677 2,371 45,158 0,260 24,010 0,014 11,290 0,221 3,686 0,476 0,436 0,593

CO CO OO l(5 CO H I> t> (O (O (O (C

o oo'o'c" o

2,68 0,039550 2,12 0,032418 1,73 0,026203 1,49 0,022885 1,35 0,020837 1,22 0,018915

0,01476    55,14    —84,916

0,01529 118,58 —60,476 0,01515 154,07    18,488

0,01536 173,94    81,752

0,01543 185,48 127,981 0,01554 190,26    146,500

0,00    163,257 3,935 4,08 10,59

0,09163 877,47 229,329

Spółrzędne początku układu 0 :

13,26

= 2,21 m.

l

u = — = 10 m,

Średnia wartość stałej К —

0,09153

— 0,01525 m³,

F„ —    = 0,68 ni¹,

0,01525 ■ 21,18

0,68

= 0,475.

Obciążenie stałe :

t-f

X„ = -

“ n

229,329 .2

- У² + с

3,935. 2 + 0,475

— 54,9 t.

xb = U,

Dla

Wpływ temperatury :

S,M₀

xc = --

- n

877,47'. 2

12

= 146,3 t/m.

t = 25°, E = 2,000,000 t/ж², co= 0,000010, KEcotl _ 0,01525 . 20 . 25 . 20 YtF+~c 2.3,935 +0,475

Xał =

= 18,3 t.

Linje wpływowe. Jeżeli w równaniu (9) wstawimy za M₀ wartość momentu dla obciążenia belki ciężarem skupionym P (por. równanie 6), to wówczas:

PZK,

‘‘IK,

1_

” ’

P2K,

Wielobok sznurowy, wykreślony dla obciążenia belki silami pionowemi y, przedstawia wpływową parcia poziomego (fig. c), której rzędne odczytać należy w podziałce 1 : (py wy -j- c) ; wartość py wy —'S у² otrzymamy z wieloboku sznurowego) wykreślonego dla wieloboku sił y, obróconego o 90° (fig. a).

Łuk paraboliczny. Równanie (7) osi łuku parabolicznego przybiera

\f) formę:

W podobny sposób otrzymamy wpływowa X^ jako wielobok sznurowy dla sił X, z warunkiem, że rzędne jej £ muszą być zmniejszone w stosunku ¹ '-Pxwx (% d)-

Obciążając belkę n siłami równemi g, otrzymamy dla odległości biegunowej ng wielobok sznurowy, którego rzędne £ są równe momentowi Xf, (fig. e).

W danym przykładzie z uwzględnieniem podziałki długości :

200px£    g

*a =

200 Py h

WyPy + C

0,02086

0,0653

Xc = 200 f.

Pxwx

Odczytane rzędne mają być wyrażone w metrach. Moment w dowolnym punkcie osi luku obliczymy wedle równania (8), zaś siłę normalną wedle równania (5), gdzie V— F₀-j- XfK

I

dla układu spółrzędnych o początku w O [u — —-,

wówczas przyjmując J₀ = J cos <p,

45 Г

4 fl

j M₀ y dx -f- E s J₀1 ? j Y], o

Xh=~!M₀xdx = ~F₀

Xc=jM₀

o

dx F₀

Т ⁼ “Г’

gdzie F₀ oznacza powierzchnię momentów M₀, zaś —

= 1-+

45 J₀

4/^V

Dla łuków symetrycznych o kształcie linji ciśnienia podaje Strassner („Neuere Methoden zur Statik d. Rahmentragwerke“, П. Bd., D. Bogen u. d. Brückengewölbe) tablice do linij wpływowych parcia poziomego i momentów, tablice rzędnych osi łuku w zależności od stosunku obciążenia łuku w kluczu i wezgłowiu i od stosunku grubości łuku w kluczu i we wezgłowiu, wreszcie wzory i tablice do obliczenia grubości łuku w kluczu i we wezgłowiu.

E. Obliczanie sklepień i murów przy pomocy linji ciśnienia.

Napisał

illŻ. dr. Maksymiljan Thullie, profesor politechniki, Lwów.

Warunki równowagi sklepień, murów i filarów, są następujące :

1.    Środek ciśnienia czyli punkt zaczepienia wypadkowej, działającej na szew, a więc punkt przecięcia się szwu z linją ciśnienia, powinien leżeć w przekroju. Jeżeli jednak sklepienie składa się z klińców, połączonych zaprawą, to, ponieważ nie możemy liczyć na wytrzymałość zaprawy na rozciąganie, więc w sklepieniu nie dopuszczamy wcale ciągnienia. Środek więc ciśnienia a zatem i linja ciśnienia powinny leżeć w rdzeniu a dla przekroju prostokątnego w średniej trzeciej części sklepienia. Warunek ten nie odnosi się jednakże do sklepień litych betonowych lub żelbetowych, u których możemy dopuścić ciągnienie. Tam więc linja ciśnienia może wyjść nie tylko z rdzenia, ale i z przekroju.

2.    Jeżeli sklepienie składa się z klińców, to wypadkowa na szew nie powinna być odchyloną od prostopadłej na szew r więcej, niż wynosi kąt tarcia, aby nie nastąpiło przesunięcie klińców. Średnio możemy przyjąć f — 0,4, p = 22°. Dla świeżej zaprawy p może być mniejsze.

Mg. 386.

Mg. 384.

Linja ciśnienia. Dla mniejszych sklepień (mosty do 20 w) wyznacza się zazwyczaj naprężenia przy pomocy linji ciśnienia. Linja ciśnienia nazywamy linję, łączącą środki ciśnienia poszczególnych szwów. Położenie jej w sklepieniu można wyznaczyć analitycznie, wychodząc z równania różniczkowego linji ciśnienia:

0)

3. Wreszcie naprężenie nie powinno byc większe, niż dopuszczalne. Jeżeli c oznacza odstęp środka ciśnienia od środka przekroju, więc odstęp linji ciśnienia od osi, to:

Vi

(‘+Лг>

a jeżeli b — 100cm, to:

Vj =

100 h \

Naprężenie w środku ciężkości przekroju : vx =

Wykreślnie możemy wyznaczyć naprężenia w przekroju w nast. sposób: Zróbmy są = v₀ (fig. 384 a). Połączmy Ox z Jx\ J% z punktami rdzennymi

(przyczem A Jx — Jx = J₂ В —    h), aż do przecięcia się z kierunkiem

siły p i wykreślmy C₂BX i C₁A₁ || AB, to AAX — v₂, BBX = v₂.

Jeżeli środek ciśnienia wychodzi z rdzenia, a ciągnienie jest możliwe, to powyższa konstrukcja da nam v₂ ujemne (fig. b). Jeżeli, ze względu na bardzo małą wytrzymałość zaprawy na rozciąganie, nie przyjmujemy wcale

rozciągania, to Vj

ЪЪе

а)

b)

(fig. c). Najkorzystniej byłoby dla sklepienia i dla

zeskładów murowanych wogóle, gdyby c = sx, tj., gdyby linja ciśnienia wpadała na oś, to wtedy w każdym przekroju naprężenie rozdzielałoby się równo na przekrój, byłoby więc stosunkowo najmniej-szem. Wedle przepisów mostowych M. K.P. można przy obliczaniu murów oporowych i przyczółków dopuścić wyjście linji ciśnienia z rdzenia przekroju do 0,2 szerokości, licząc od krawędzi przyczółka, o ile naprężenia nie przekraczają granicy dopuszczalności.

в,

В,

A -yrtTTÜL

lii

В,

O.

'р\

Г,

/А

Tc

liii

//,

dx²

(por. str. 1062, a także Thullie : „Statyka budowli“, wyd. IV., str. 419) lub też wykreślnie. Sposób analityczny jest żmudny i dlatego rzadko g o się używa. Wykreślnie wyznaczyć można linje ciśnienia w przybliżeniu lub dokładnie.

1. Sposób przybliżony. Tok postępowania: Obciążamy łuk najnie-korzystniej ; obciążenie nieco poza połowę rozpiętości według- konstrukcji na fig. 385 jest najniekorzystniejsze dla wezgłowia i dla przekroju w ¹/i l. Dla klucza najniekorzystniejsze jest obciążenie */₄ rozpiętości przy obu podporach. Największe parcie poziome wywołuje obciążenie zupełne sklepienia. Wedle powyższego trzebaby wykreślić 3 linje ciśnienia, pierwszą dla obciążenia niesymetrycznego, dwie drugie dla symetrycznego. Jeżeli obciążamy sklepienie symetrycznie 0₁ (fig. 386), to badanie ogranicza się r do połowy sklepienia: ab jest linją obciążenia, zaś % Ьг sprowadzoną linją obciążenia. Sklepienie wraz z obciążeniem wyznaczamy wykreślnie przy pomocy konstrukcji, podanej na fig. 386 ; dzielimy je na paski o równej szerokości, obliczamy ciężar pasków, który zaczepiamy w środku ciężkości pasków (zwykle w połowie szerokości) jako siły pionowe Pj, P₂, Pg.. .P₅. Ciężary P składamy w wielobok sił, a przyjmując dowolną odległość biegunową H, kreślimy wielobok sznurowy, z którego przez przedłużenie boków skrajnych dla połowy sklepienia znajdujemy położenie wypadkowej P sił P. Musimy teraz zmienić H tak, aby linją ciśnienia przechodziła przez e i f. W tym celu przedłuża się H, działające w e, aż do przecięcia się z P w V i łączy f z V. W końcu robimy 50 || fl' i otrzymujemy biegun O, na podstawie którego można wykreślić linją ciśnienia ewf.

7.

/>

ri

\АЛ-

1-

ih-j-

hr

Fig. 38G.

Jeżeli sklepienie jest niesymetrycznie obciążone (fig. 387), postępuje się jak poprzednio, dzieląc sklepienie na paski i wyznaczając ich ciężar.

W celu wyznaczenia linji ciśnienia należy przyjąć trzy jej punkty. W kluczu możemy przyjąć środek szwu C, w wezgłowiach byłoby mylne przyjęcie środków szwów. Trzeba przy nieobciążonej części sklepienia przyjąć punkt A powyżej środka (punkt rdzenny albo nieco bliżej środka), zaś przy obciążonej części sklepienia punkt В poniżej środka. Teraz kreśli się wielobok sił, przyjmujemy dowolnie biegun O', kreślimy promienie i wielobok sznurowy. Wyznaczamy teraz położenie wypadkowych Gj i Gp. dłużamy В C do Si i łączymy A z S\. Skrajne promienie i Wp w przypuszczeniu, że prawa strona jest nieobciążona, będą równoległe do ASX i S₁ B. To samo robimy z prawą stroną i otrzymujemy D/ i Dp. Jeżeli teraz równocześnie obciążoną jest prawa i lewa strona sklepienia, to w A działają Jjg i W, dające wypadkową K₍ a w В Dp i    dające wypadkową Kp. Przecięcie

się boków skrajnych równoległych do Щ i Kp wyznacza biegun O, a teraz można już łatwo wykreślić linje ciśnienia, przechodzącą przez A, C i B.

Prze-

2. Sposób dokładny. Linją ciśnienia jest prawdziwa, gdy czyni zadość równaniom:

Mdx — О,

В    в

I Mx dx — 0,    ! My dx — О

А    А

(2)

(por. autora „Statyka budowli“, IV. w., str. 436). W celu wykreślenia linji ciśnienia postępujemy w następujący sposób :

Dzielimy sklepienie, jak pierwej, na paski, wyznaczamy ich ciężary, kreślimy wielobok sił, przyjmujemy narazie dowolnie biegun (fig'. 388) i wielobok sznurowy. W tym wieloboku kreślimy linję zamykającą LXKU by suma powierzchni, zawartych między zamykającą, a wielobokiem sznurowym powyżej i poniżej

Mdx — 0.

zamykającej, była zerem, g'dyż w tym przypadku będzie J

A

iiül

.....

s₂

tl

<^t!£SS

Ul

■œs

ïTHTrT

'm+l37

I I/ t

H.

41

fefc:

pv-

Gis

'■4s

Gi

—bfi*,

⁸ G„

MS

N-—- L-W-

мт

Üll

Mg. 387.

Teraz sprawdzamy, czy moment statyczny powierzchni powyżej i poniżej zamykającej ze względu na prostą EF jest zerem. Gdy nie zachodzi ten wypadek, natenczas należy skręcić zamykającą około punktu środkowego

o wielkość L₂ L₃ — przyczem: L₂ L₃ — długość, o jaką należy przesunąć punkt L₂, S — moment statyczny powierzchni poniżej i powyżej zamykającej ze względu na prostą ЕЕ, l — rozpiętość.

В

wykonaniu tego przesunięcia będzie spełnione równanie: j~Mxdx — 0,

A

Po

przyczem poprzednio uzyskany warunek nie zostanie naruszony. Bryła, Podręcznik inżynierski. VI.

Teraz oś łuku uważamy jako wielobok sznurowy i kreślimy dla niego zamykającą, jak poprzednio. Rzędne wieloboku sznurowego, liczone od zamykającej, wyobrażają momenty. Poszczególne powierzchnie tych momentów z uwzględnieniem ich znaków uważamy jako siły, kreśląc na dowolnej prostej poziomej wielobok sił z uwzględnieniem znaków i przyjmując dowolną odległość biegunową h₁. Potem kreślimy promienie, a z punktów osi ponad środkami ciężkości trapezów kreślimy poziome i wykreślamy wielobok sznurowy UN W. Promienie skrajne odcinają na prostej równoległej do wypad-

B

=jMaydx.

kowej odcinek U W, zaś UWhx

Uważając zaś oś łuku jako wielobok sznurowy, otrzymujemy rzędne, zawarte między osią łuku a zamykającą jako momenty. Powierzchnie tych momentów uważamy jako siły, odcinamy na tej samej poziomej i przyjmując biegunową, jak poprzednio, równą hx, kreślimy wielobok sznurowy (z powodu symetrji wykreślamy go dla połowy). Promienie skrajne odcinają wielkość :

R Thx

= \jMbVdxi

A

a ponieważ:

В    В    l

I My dx = ! Ma ydx — I A    A    A

Мь у dx = 0,

więc :

(3)

2RT= UW

Zdarzyć się może jednak, iż w wykresie będzie 2 RT <2: U W, czyli 2 R T = a U W, zatem należy zwiększyć lub zmniejszyć w tym stosunku U W,

a że UW

= ~ I Ma y dx, zatem należy rzędne wieloboku sznurowego A

zwiększyć lub zmniejszyć w tym samym stosunku, wobec czego należy zmniejszyć lub zwiększyć biegunową wieloboku sił w stosunku:

" UW

2 RT

Ъг

(4)

В

I My dx — 0.

A

a wtedy zostanie spełniony warunek :

Linję ciśnienia wykreślamy, nanosząc poprawione rzędne wieloboku sznurowego w zależności od położenia względem zamykającej na łuku, przyczem jako kontrola służy, iż punkty „gu i rdu, leżące na przecięciu się zamykającej LK z wielobokiem sznurowym muszą leżeć u pionowych punktów przecięcia się linji ciśnienia z zamykającą łuku.

Wykres naprężeń w sklepieniu kreślimy w znany sposób, przyczem należy z końca odpowiedniej siły G wykreślić równoległą do szwu, następnie zaś z bieguna prostopadłą do kierunku szwu, odległość tak otrzymanego punktu od bieguna, mierzona w kierunku prostopadłym do szwu, da wielkość siły normalnej.

Przykład. Wyznaczyć linję ciśnienia w sklepieniu kamiennem sposobem przybliżonym i dokładnym.

Dane: l = 18,00 m, f— 5,00 m, grubość sklepienia w kluczu di = 0,80 m, grubość sklepienia w wezgłowiu dw == 1,60 m, grubość żwirówki w kluczu z — 0,50 m, obciążenie ruchome p= 2,60 t/mb., ciężar żwirówki y, = 1,90 t/m³, ciężar kamienia ciosowego y = 2,40 t/w³.

I. Sposób przybliżony (fig. 387). Obciążenie ruchome p = 2,60 t/даb. zamieniamy

na warstwę o ciężarze gatunkowym nadsypki żwirowej o wysokości h = — =    = 1,37 w.

Obciążenie zaś, wywołane nadsypką żwirową i ciężarem ruchomym, zamieniamy na takież

-Ч

чо

Hi

'• -

91.00

bi.

5>

с£

/-

ITziS

s£

F,r

-Г

—Ш-

-3=

_1g

—i-\

OOVt-7

cg,

sSL.

V-::

____cg

cg

3*<Ъ ЗбЪ 9? 9в9i 99 9ю

•*"

-91

*■£

<#

«?|

со* со"-

Hat

proporcjom

G--- à,

te

-W

:ipx—

Щ'

Fig. 388.

»Ss

___£

:t-3

je:

s-X

■“■S⁵" ^ 4.

W*

|U

's

same obciążenie, murem z kamienia ciosowego, zmniejszając-warstwą nadsypki żwirowej ,w stosunku — h = 1,9°- h = 0,79 h. Na tej zasadzie kreślimy sprowadzoną linje obciążenia.

Yt 2,4°

Sklepienie o rozpiętości podporowej 18,00 m, dzielimy na 18 pasków, szerokości 1,0»» i obliczamy ciężary pasków :

Gx = V,(6,50 + 4,30) X 2,40 X 1,00 = 12,96 ł, analogicznie: 6». = 9,14 i, £₃ = 7,08i, (ч = 5,52<, ą = 4,821, ą =3,48t, G. = V» (1,30 + 1,12) X 2,40 X 0,70 + l/, (2,30 +2,20) X 2,40 X 0,30 = = 3,611, (?₈ = б,16<,    G,—в,Oit, 6*10 = 5,04 (, tru = 5,16 (, GX2 = 5,58 t, 6!₁₃ = 6,21(,

Я,, =7,10 t, Gxi = 8,32 t, GX6 — 9,90 t, Gx.= 12,16 t, (У|8 = 16,07 t.

Tak obliczone ciężary pasków zaczepiamy w środkach ciężkości pasków jako sił G, kreślimy wielobok sił, a przyjmując położenie bieguna (dowolnie) w punkcie 0', kreślimy wielobok sznurowy. Punkty M i N jako punkty przecięcia się promieni skrajnych z promieniem przez C wyznaczają nam położenie wypadkowych Oj i Gp.

Celem wykreślenia linji ciśnienia przyjmujemy 3 punkty, przez które przechodzić musi linja ciśnienia, a mianowicie А, В i C.

Punkt A w części nieobciążonej przyjmujemy powyżej osi łuku w punkcie jędrnym, zaś punkt В w części obciążonej poniżej osi łuku w punkcie jędrnym dolnym, punkt C możemy przyjąć w punkcie jędrnym górnym.

Punkty В i C łączymy prostą i prowadzimy ją do przecięcia się z 6^ w punkcie Ą, który łączymy z A. W wieloboku sił z końca siły 6X kreślimy Wj || AS,, oraz z końca oddziaływania A Wp || BSX. Podobnie postępujemy, kreśląc dla prawej połowy Dp i Z*p Z punktów E i F w wieloboku sił kreślimy Wp i Di do przecięcia się w punkcie 0. Punkt ten jest prawdziwym biegunem, a odległość biegunowa parciem poziomem w sklepieniu H = 44,0 (.

Punkt 0 łączymy promieniami z wielobokiem sił, a następnie wychodząc z punktu A kreślimy wielobok sznurowy, który jest równocześnie przybliżoną linja ciśnienia w sklepieniu.

II. Sposób dokładny. Sklepienie dzielimy jak poprzednio na 18 pasków (fig. 388), obliczamy ciężary tychże, które jako siły G zaczepiamy w połowie szerokości pasków.

Siły G składamy w wielobok sił a przyjmując dowolnie położenie bieguna 0, kreślimy wielobok sznurowy, a następnie szukamy takiej zamykającej LKX, dla której suma powierzchni momentów poniżej i powyżej zamykającej położonych, będzie zerem. Kreślimy zamykającą L₂ K% i sprawdzamy, czy suma powierzchni momentów jest zerem. Otrzymujemy zatem:

2F=JmcIx = ^±^^ +

A

«8 +«6

«i + 4

«» + «з

e + —ä

«u + »13

»8+Вт    «7 + »8    »8+ »9

2 2

»13+»13    _ »i3 + «it e _ «ц+ «15

e t’, -f p,„

+ Y 0,4 « —    0,6 e —

»io + »u _ -e —

»17 + »18

«18 + «19    «

»15 e i *16 e i «1g “+ »,t

TT+TT + —+

»o — »■ + 2,8— 3,2 V₅ + «15 —    —«18 + t>„

..

+ »3 + «16 + »17 + »18 — »6 — »7 — »8 — »9 — »10 — »I. — «13 — »13 “ «11 ~ «15J « =

= p^- 4- 98 — 128,öj e — — 28,05 «.

Zamykającą Lx h\ należy przesunąć do góry o długość :

28,05

em

da =-

em

en

18

= 1,557 mm.

W tej odległości ponad Lx A\ kreślimy zamykającą B₂K₂, dla której 2 F = J Mdx = 0.

Sprawdzamy teraz, czy suma momentów statycznych powierzchni powyżej i poniżej zamykającej jest zerem, zatem:

2S

Mx d X —

«О +    »■ e    e I    »1 +    »3

2    2    4    *’"    2

ее +

«3 + »3

e 2«

e 3 e -j-

+ у- 0,6 e 3,7 e — у 0,4 « 4,13 «8 +»»

«5 + «6

«5e —

«6 + »7

e 6e —

»7+»8

«7« —

e 8« —

«9 +»10

«9e —

»10 + «ll

e 10« —

«11 +«13

e 11« —

»13 +»13

12« —

»IS + El't

«13« —

tW + f|5

e 14« -

e 17« +

fi8 4~ 'ha

--e 17,66 e «=

-y- 0,3 e 14,6« -f —■ 0,7 e 15,23« +

«г Г Oo + Oti,

- « 16« -f

+ 3 », + 5 ®₃ + 5,22 ft, — 6,652 vs —

— 11 fts — 13 ft- — 15 Vg — 17 ft, — 19 i₁₀ — 21 ft,, — 23 ft,г — 25 vl3 — 27 ftu — 18,38 ft,₅ +

1    e²

-f 26,661 ftl6 + 33 ftlr + 34,66 ft,₈ 4- 17,66 ft,₉ = — [2425,926 — 2242,222] = 91,852 e². Zatem należy zamykającą L% K₂ skrewić około punktu J o wielkość :

L₂ L₃ — —

6 S 6 X 91,852 г²

(18 e²)

= 1,70 mm.

В

Po wykonaniu powyższego skrętu warunek j Mx dx =

A

0 będzie spełniony bez naru-

szenia poprzednio spełnionego warunku j Mdx = 0. W podobny sposób postępujemy,

.i

kreśląc zamykającą LK dla osi łuku, którą uważamy za wielobok sznurowy.

Bzędne wieloboku sznurowego, liczone od zamykającej, wyobrażają momenty. Zatem w połowie szerokości pasków powierzchni momentów zaczepiamy siły równe powierzchni pasków i na dowolnej poziomej kreślimy wielobok sił, wychodząc z punktu 0 z uwzględnieniem znaków powierzchni momentów, a przyjmując dowolną biegunową Л,, łączymy biegun promieniami z wielobokiem sił. Odcinamy zatem 0/, = l/₂u,, /,/, = u₂ itd., uwzględniając ich znaki. A że 2F = 0, zatem punkt ostatni /l9 wieloboku sił musi się zejść z punktem 0.

Punkty zaczepienia sił „w“ rzutujemy na oś łuku, skąd kreślimy poziome, a na nich wielobok sznurowy UN W. Promienie skrajne wieloboku sznurowego odcinają na poziomej odcinek UW — 91 mm. Podobnie składamy w wielobok sił rzędne, zawarte między zamykającą a osią łuku. Ponieważ łuk jest symetryczny, więc robimy to tylko dla połowy łuku. A przyjmując biegunową, jak poprzednio, łączymy biegun promieniami z wielobokiem sił, a następnie kreślimy wielobok sznurowy TZR. Promienie skrajne odcinają na poziomej odcinek TB, = 43,5 m. Mamy tu zatem 2 Tli < UW, gdyż 2 X 43,5 < 91 musimy zmienić więc rzędne wieloboku sznurowego oraz odległość biegunową S = 45 ć w stosunku 91

, zatem prawdziwa odległość biegunowa, a tern samem parcie poziome będzie :

91

Я = Ь, =45X~=47,lt.

Dokładną linję ciśnienia wykreślamy, mnożąc rzędne zawarte między wielobokiem

91

sznurowym a zamykającą L₃K₃ przez a = —— = 1,046 i odcinając tak otrzymane rzedne

87    k

od zamykającej LK w dół lub górę, zależnie od położenia ich w wieloboku sznurowym względem zamykającej L₃K₃. Zmianę rzędnych można również wykonać przy pomocy kąta proporcjonalnego, jak to uwidoczniono na fig. 388.

Filary. Aby filar był w równowadze, muszą spełnić się te same warunki, co dla sklepień (por. str. 1278).

Dla równowagi ze względu na punkt A (fig. 389) musi być P .Ъ C. a, t. zn., wypadkowa R musi przechodzić przez podstawę AB.

Jeżeli Р.Ъ=С.а, tj., gdy zachodzi równość momentów, mamy do czynienia ze stanem równowagi niestałej (chwiejnej), wtedy najmniejsze zwiększenie siły P może ciało wywrócić.

Jeżeli wreszcie С. a < P .Ъ, wtedy ciało wy-się (wypadkowa R wyszła z przekroju), o Ue ciągnienie w podstawie jest niedopuszczalnem.

W budowlach inżynierskich żądamy 1,5—2-krotnej

wraca

pewności ; wtedy największa dopuszczalna siła C. a

do P

b\

VP

У//7

W⁷⁷⁷

~%'C

Fig. 389.

ukośna : P

1,5 6

Przy nowszych ustrojach żelbetowych (np. ramowych), gdzie filary są sztywnie połączone z belkami głównemi, słupy odkształcają się wraz z całym układem. Tutaj słupy pracują na zginanie przy jednoczesnem działaniu siły osiowej (mimośrodkowe obciążenie), a oblicza się je na podstawie zasad zeskładów hiperstatycznych.

Jeżeli na filar działają oprócz sił pionowych także siły ukośne (np. przy sklepieniach lub łukach), to obliczamy naprężenia nie tylko w podstawie, ale i w kilku przekrojach (szwach) poziomych. W tym celu dzieli się filar na kilka części (fig. 390) i dla każdej z nich znajduje się położenie odpowiedniej wypadkowej i największe naprężenie. Punkty przecięcia poszczególnych wypadkowych z odpowiednimi przekrojami nazywamy środkami

pi У !R,

rt

"R '

ÆT

!⁴'/ł Ę

* Ri

б°'7

R'

II

R's

fi

6,1]

"P.

fi

6Q*

h—

G,

Ps

jL„

Fig. 390.

ciśnienia, zaś linję łączącą środki ciśnienia poszczególnych przekrojów linją ciśnienia.

Jako materjałów przy budowie filarów używamy kamienia, betonu, żelbetu, żelaza. Przy wielkich siłach poziomych jest wskazany materjał o wielkim ciężarze gatunkowym. Jeżeli filar stoi w wodzie, to wypór odgrywa ważną rolę i zmusza nieraz do rozszerzenia podstawy. Wielkość wyporu w zależności od rodzaju gruntu jest najczęściej nieznana. Przyjmujemy go na podstawie doświadczeń laboratoryjnych lub spostrzeżonych w praktyce. Naprężenia dopuszczalne nie powinne być przekroczone, a w tym celu wypadkowa sił zewnętrznych nie powinna bardzo zbliżać się do krawędzi filaru. Odległość między punktem zaczepienia wypadkowej, a krawędzią powinna być nie mniejsza jak ¹/₅—¹/i szerokości szwu.

Przykład. Należy zbadać filar mostowy (fig. 390), na który działają obustronnie sklepienia,^, j. na lwi szerokości siły Pl = 15 t i P₂ — 20t pod kątem 46°. Ciężar właściwy

Składamy ciężary P,, 1\ i /'„ przyczem Р.л = 3.1,5.1.2,2 = 9,9 t, zapomocą wieloboku Bznurowego i otrzymujemy wypadkową ft,. Obliczamy teraz Pą '/₂ = (1,0 -f-2,5) 1.5.2,2 = 221 i otrzymujemy wypadkową ft₂. Wreszcie wyznaczamy Ps = 1,25.3.1. 2,2 = 8,26 t, składamy z jft₂ i otrzymujemy Ä,. Badamy naprężenia w przekroju aa, i 66,.

Naprężenie w środku przekroju: a₀ =

= 2,3 kg jem²

W przekroju aa, działa prostopadle do przekroju Нг' = 56 <, składowa pionowa siły ft,. 56000

100.250

a największe naprężenie: najw. a = 2,3 ^1 -(- ^ j = 3,4 kglcrrP.

Pionowa składowa siły -ft,, R₃' = 64 i, wtedy ciśnienie na grunt w środku przekroju: 64000 100.300

Tesame wartości otrzymaliśmy z wykresu.

= 2,13 kg jem?,

zaś najw. a = 2,13 ^1 -f-

6 . 25

300

j = 3,2 kg/cm².

nWt

IM

-0,-

\\R,

-    j\x—-

V /?,

w₂

h"« G*

Сг

h₂

-Di

cf'-

i H \

pc₂ Vj

jL_„

~*\C₂

<ir

-Ą-

Fig. 391.

Kominy fabryczne. Komin fabryczny składa sie z trzonu (głupca), podnóża (odziemia) i fundamentu (posady).

Przekrój trzonu i podnóża jest prawie zawsze kołowy lub ośmioboczny, fundament natomiast prawie zawsze kwadratowy.

Na komin działają: d) ciężar własny, b) parcie wiatru.

Ciężar własny (fig. 391): przy stałej grubości g dla piętra o wysokości h.

(1)

С — О у — 0,785 (Z>s² — d²) hy (dla przekroju kołowego)

ośmiobocznego)

= 0,828 (Z>s²—d²)h^{ „

(у = 1650 kg/cm² dla muru z cegły zwykłej, 1900 z klinkierów i zendrówek, 2250 dla żelbetu).

(2)

Wi — Ds.h₁w.b

gdzie w parcie wiatru według przepisów M. R. P. przyjmuje się według podanego szkicu (fig. 392, — w Niemczech 150 kg/m²), § jest spółczynnikiem, uwzględniającym wpływ ześlizgania wiatru i wynosi:

Parcie wiatru:

dla kominów okrągłych ö = 0,67, ośmiobocznych o = 0,7 , kwadratowych 8 = 1,00.

Trzon powinien u podstawy wykazać najmniej podwójną pewność (n — 2) przeciw wywrotowi. W żadnym przekroju nie może być naprężenie większe niż podano poniżej.

Na ściskanie : z cegły zwykłej na zaprawie wapiennej

J kg/cm²

„    „    „    „    wapienno-cementowej    8,5 kg]cm

»    Г,    V    „    cementowej.

„    maszynowej    na    zapr. wapiennej

„    „    „    „ cem.-wap.

V    V    V    V cementowej

„    wyborowej    normalnej lub kominowej o

wytrz. 200 kg/cm² na zapr. cem.-wap. 13,5 kg/cm2 „ j. w. na zaprawie cementowej    16 kg/cm ,

z klinkierów (wytrz. 300 kg/cm²) na zapr. cem.-wap. 16 kg/cm²,

20 kg/cm².

j. w. na zaprawie cementowej

2’

10 kg/cm 8,5 kg/cm 11,0 kg/cm 14,0 kg/cm²,

2’

2’

2’

2’

w=

O ile ciśnienie ma przekraczać te granice, nie może ono dojść do ¹/10 stwierdzonej wytrzymałości muru.

Dla kominów na zaprawie cementowo-wapiennej do wysokości 50 m, jakoteż dla kominów na zaprawie cementowej h ' I można przyjąć naprężenia dopuszczalne na rozciąganie: j muru na zaprawie wapienno-cementowej

кш— 1,5 — 0,05 (H — 30) kg/cm²,

£ muru na zaprawie cementowej д    к = 2,5 — 0,05 (H — 30) kg/cm²,

i gdzie H oznacza wysokość komina.

I    Dopuszczalne jest również obliczenie uproszczone przy

'■ przyjęciu, że zaprawa nie jest wytrzymała na rozciąganie ! i szew pęknie. To samo założenie należy przyjmować zawsze dla kominów wyższych niż powyżej podane.

Dla kominów żelbetowych przyjmować należy przy do-kładniejszem obliczeniu także różnice temperatury gazów dymowych wewnątrz i powietrza (10° C) zewnątrz¹). Naprężenia dopuszczalne przyjmować należy:

Przy uwzględnieniu obciążeń, oraz ciepła:

0,22 К 1200 kg/cm²

100^

“te

Fig. 392.

Bez uwzględnienia ciepła :

0,15 К 900 kg/cm

Beton (na ściskanie)

Żelazo (na rozciąganie)

W powyższem К jest wytrzymałością kostkową betonu.

Obliczenie komina murowanego przeprowadzamy piętrami, zaczynając od piętra najwyższego.

I tak dla piętra najwyższego mamy :

2 ])(i JĄ

n₀ + A

. (3)

Kamie momentu dla parcia wiatru (fig. 391):    — —

3

К = S₁ T -1 o w h\ (2 D₀ + Ą) . .    (4)

moment parcia wiatru :

Di    D\

moment ciężaru własnego : М/ — Ci — (\ у . —~

(5)

Z obu tych momentów można znaleźć punkt, w którym wypadkowa z ciężaru własnego i wiatru przecina podstawę :

*) Por. Döring: „ beton“ i art. Mörscha

Wind

- fl

ud Wärme bei der Berechnung hoher Schornsteino aus Eisen -und Eisen, 1925, str. 377).

U™

Mll = Cx c,

wreszcie naprężenia krawędziowe obliczamy z wzorów :

najw. =ï'“-=«(l+v)

a stad : c = —77—

Ci

(6)

(7)

najmu. o₂

min

-°+—;

gdzie r jest promieniem rdzennym i wynosi:

dla przekroju kołowego :

(8)

ośmiobocznego: r =

0,133 A JL

Zupełnie tak samo postępujemy dla niższych pierścieni, przyczem należy pamiętać, że parcie wiatru, jakoteż ciężar własny uwzględnić musimy dla całej górnej części komina ponad danym przekrojem.

Wypadkowa R z ciężaru własnego C i parcia wiatru W nie powinna wychodzić z rdzenia (c < r).

W wypadku przeciwnym występują ciągnienia, które według przepisów M. R. P. nie powinne przekraczać wyżej podanych wartości.

*>1

■pi

i: ⁸

ВЕС

02!

Tak

samo obliczamy wszystkie bębny i trzon, wreszcie badamy stałość całego komina. Ponieważ w fundamencie nie możemy dopuścić żadnego ciągnienia, więc wypadkowa na fundament nie może wychodzić z rdzenia.

Obecnie przy coraz szerszem zastosowaniu żelbetu do budowy kominów fabrycznych dopuszczamy ciągnienia znacznie większe, które w całości muszą być przeniesione przez wkładki żelazne. Z powodu znacznej wytrzymałości żelaza na ciągnienie grubość kominów jest mała. Naprężenia sprawdzamy na podstawie wzorów podanych w żelbetnictwie dla obciążenia mimośrodkowego, dla których położenie osi obojętnej najłatwiej jest wyznaczyć wykreślnie.

Przykład. Niech będzie wysokość komina H =± 30 m. Wymiary podane zresztą na fig. 393. Użyto cegły promieniówki na zaprawie półoementowej (y = 1800), podnóże z cegieł zwykłych (y = 1650), fundament z betonu (y = 2200 kg/cm*).

Parcie wiatru na trzon wynosi :

1,10+ 1$Ь    130 + 100

--:-15--

5|?N

0,35-

0.60.

o.t>oc

— OO Oi , f-f -

1,QÓ

we

||!

J V?

J.00

"ГП

-',1

+ 0,75

I\ = 0,76.

1,91 + 2,4

-■

” 4-

-M

9.100 = 1825 + 1117 = 2942 kg.

Parcie wiatru na podnóże (przekrój ośmioboczny) :

__ P, = 0,89.100.2,72.600 = 1452 kg').

Fig. 393.

l) Obliczenie wykonane wedle, dawniej obowiązujących przepisów. Obecnie należy przyjmować <5 nie 0,89, ale 0,7 (por. str. 1288).

Obliczać będziemy naprężenie w wysokości każdej odsadzki komina, więc w przekrojach I, II i III. W tym celu znaleźć należy ciężar każdego pierścienia i parcie wiatru na jego powierzchnię. Zestawiamy dane wyniki w następującej tabelce:

Przekrój

poziomy

Grubość ścian

Powierzchnia

średniego

przekroju¹)

Wysokość h

Objętość

0 = ï\h

Ciężar gatunkowy

Ciężar

C= 0. g

Ciężar wszystkich pierścieni górnych 2 C

Powierzchnia podstawy T

Ciśnienie jednostkowe a₀

cm

kg/m.³

kg

kg

m!    kg jem¹

if- co co to to tó 05 и Ol O

jt-    JO J-» J-* JO JO

CO    if- ~CO '"if- CO 05

b-*    ^ I-* CO'CO 05

iN О» СЯ O Ol

CO

o    ю \a oo

CO    oo

co    c-T оГ o

1800

5940

1800 8910 1800 12870 1800 17190 1800 17780

5940

14850

27730

44920

62700

25,86

1650    42670

105070

jf-    JO JO J-* J-»

"o'b’*c>

«J    M 05 CD cc w

OO^CJOC^'«^

сГ т-Г r-T oT oT    of

Następnie uwzględniamy naprężenia, powstające wskutek parcia wiatru na komm. Moment wypadkowy parcia wiatru na poszczególne części komina, mierzone od szczytu do odpowiednich odsadzek, znajdziemy (4) w kgm :

< = Ą- 0,76 w . hI (2 Db+ D,) = Jw hl (2 D₀ + !>,)')

(9)

Moment wytrzymałości odpowiedniego przekroju (I, II, . . .) wynosi :

n J5¹* — d³

32

(10)

a stąd naprężenia wskutek ciśnienia wiatru : aw = --—

Jeżeli momenty obliczono w kgm, a W w tu³, to:

•dl)

°w = +

Potem dodajemy naprężenia wskutek ciężaru własnego i wiatru. Otrzymujemy następną tabliczkę.

10000 W

Przekrój

tel

aw

Skrajne naprężenia

(И)

najw.

a — ao 4" aw

najmn. a = a₀ aw

kg/m

m³

kg/cms

kglcm²

kg/cm²

Trzon

1394

III

5760

IV

13520

21423

38380

0,192

0,338

0,552

0,828

1,130

0,7

1,5

0,1

1,7

3,1

2,5

4,3

2,6

3,4

4,8

5,8

— 0,3 -0,7 -0,4 -1,0

Podnóże

VI

67952

2,06

3,3

5,7

— 0,9

Ola przekroju IV. otrzymamy :

2 . 111 4-1,91 1,11 + 1,91

+ у 0,75.6 (1,91 + 2,18) . 100 j = 21423. l) Ola trzonu wedle wzoru — d^) dla podnóża wedle wzoru 0,828 b² — ćP — •

J1n = J 0)75 (1’П + MD ¹⁵ ' ¹¹⁵ (⁵

■) +

Dla przekroju V. :

K = T "•⁷¹ a,n+м» « • >•• (•++ 1,";'-+,!« ) +

+Ь»т

(2. 1,91 + 2 .80) 100 = 38380.

Dla podnóża mamy:

2 ■ 1,11 + 1,91

-) ⁺

1,11+1,91

Mu = j 0,76 (1,11 + 1,91) 15 . 115 (l5 +

+    0,75. 9 (6 + 3) (2 .1,91 +2,80) . 100 + 4,31 . 6 . 100 ~ = 42670 + 20110 + 5172 = 67952.

d*

W =0,101 D³ — 0,091 —-=2,06m³.

Obliczenie fundamentu:

Ciężar słupa i podnóża ...............

Ciężar murów fundamentowych z cegły

^0,828 (3,00².0,70 + 3,80².0,60) — 1,50*    1,08^ 1600

Ciężar ścianki (1,3² —1,0²) — 8,0.1600 ........

4

Ciężar ławy betonowej : 0,828.4,7².0,6.2200 .....

= 105370 kg

= 16768 kg

—    6936 kg

= 24144 kg

Razem

Powierzchnia podstawy : 0,828.4,7² = 18,29 w². Naprężenie od ciężaru własnego :

153218

= 0,85 kg jem².

182900

Moment wiatru względem podstawy fundamentu:

15 2,111 + 1,91 T” 1,11 + 1,91

-i- 0,75 (1,11 +1,91) 15 . 115 ^16,9 +

. (2 . 2,91 + 2,80) . 100 + 4,31.6.100

Moment wytrzymałości podstawy: W= 0,0982.4,7² = 10,19. 80830 101900

•Największe ciśnienie na grunt: 6 = 0,85 + 0,8 = 1,65 kglcm*. Najmniejsze ciśnienie: 0,85 — 0,8 = 0,05kg/cm?.

Naprężenie wskutek wiatru :

153218 kg

•) + у 0,75.9 (7,9 + 3).

^1,9 +yj = 46390+ 24360+ 10090 = 80830 kgm.

= 0,8 kg jem}.

F. Belki ciągłe o ściance pełnej.

Są to belki proste, podparte na więcej, niż dwu łożyskach, z których tylko jedno jest stałe (por. str. 1132 i 1185). Jako utwory hiperstatyczne można je obliczać na zasadzie ogólnych równań sprężystości (por. str. 1258). Sposobu tego używa się czasem do wykreślenia linij wpływowych oddziaływań belki dwuprzęsłowej (por. str. 1263). Zwykle jednak wychodzimy z twierdzenia Mohra (por. str. 1124) i obliczamy belki ciągłe przy pomocy równań trzech momentów (sposób analityczny) lub też przy pomocy punktów stałych (sposób wykreślny). W tym ostatnim wypadku stosuje się najczęściej linje krzyżowe.

W przypadkach prostych, często w praktyce się zdarzających (ciężar jednostajnie rozłożony stały lub ruchomy, ciężary skupione w równych odstępach), można z korzyścią użyć tablic liczbowych. Punktem wyjścia do teoretycznych rozważań, a zarazem specjalnym i najprostszym przypadkiem belki ciągłej jest belka utwierdzona.

Obliczenie analityczne.

Napisał

dr. iflŻ. Stefan Bryła, profesor politechniki, Lwów. Wedle równania 79 (str. 1124, twierdzenie Mohra) mamy:

(1)

EJ

Tablica I.

Ид

га

k_a

(J jmb

g l³

-т

b--«i

[А] = А

™-p-    -67

ö/э a*ö

P/²

[Л] = №] = |Рс(/-с)

U_ c

c—c

■£

!p

Ut

c4

Dla c == //3

K] = [P₀] = ip/²

Dla c = l/4

[A] — [A] — g2

J-p/²

ip p jp p

k-C—4*— C-*r r" o -4— C - — c -a¹ la.

Dla c — l/b

1А] = [Я₀] = уРР

к*

P \P P P P f- C—s r- C-j~ C—, г C i r- C -% r C *1

—/.

Dla c = 1/6

10

JL

'fC\

P jP P \P г C 4- c4r C*i

Dla с = Ijl

ъ-

[А] — [A] — ~y PI²

U-c--®i

qc² (21 — с)²

241

й?

g с² (21² —с²)

241

с—:

mm

Q t/mö i

I-

Tablica I.

[lZEZ^

[A] = [ßo] = ^(3/-2C)

—b---«

12

втйши

qcö

*    к—с—4

--------/—

!*■

•п

er

Г X) 1    2C«

[В°1 = “5Т

«(*+»>- (4 ')

•J

13

o'/а a=b-h

[А] = [А] = ||-(зг²-с²)

[А]

qlc²

36

2,0—1>б. у+ 0,3 (у)

■/—

".

qlc²

РЬЬ-ЙГ

¹’⁰“⁰’³ (у)

+³

/5

o'/а с=/

^    45,0

?Z³

™ = ТМ

/5

'f— h

г-'-----*1

?z³

[А] = [А] = ^

17

ql³

"Г

1/2

‘--h

I--

[A]

Ml

СО

ST

ta

-a

-l-

J-b-t

[Bo]

Ml

со

ST

о?

'S

2_.

"łh

Ar

to

2-,

I СО ^ I *о

чх)

•:

2^

2_.

05 I I- Ci I H*

4L/

ю

QO

Czyli : kąt nachylenia stycznej do linji ugięcia na podporze belki jest proporcjonalny do reakcji, jaką otrzymamy na tejże podporze, uważając powierzchnię momentów jako obciążenie belki. Reakcje te oznaczać będziemy Rm = [A] lub [B], zależnie od podpory — lewej czy prawej — przyczem wartości [A] i [J5₀] odnosić się będą do figury momentów belki wolno podpartej, statycznie wyznaczalnej. Dla zasadniczych wypadków obciążenia belki podajemy wartości [A] i [B₀] w tablicy I.

1. Belka jednym końcem sztywnie utwierdzona (fig. 394). Na podstawie twierdzenia (1) otrzymujemy:

T«

EJ

[4

EJ

o,

• [A] = 0 ;

czyli

a ponieważ w tym wypadku na podstawie tablicy I. pod 19:

[4 — Mo] + Aj "3" ⁼

stąd moment podporowy:

Aj

3[A]

f%CI

Ta=0

7^.

j2

,AJ_sy у s₂'[_

i

£j......!-- / j_LLl->.

,    ГГ L t|

Еь

-Mą

A,

h1b

A=0

ta

hA-0

UUiU_J L

Щ [ъ

\i__

Fig. 395.

Fig. 394.

Moment ten da się obliczyć na podstawie wartości [A]» podanych w tablicy I. (por. str. 1130).

2. Belka obustronnie sztywnie utwierdzona (fig¹. 395). Analogicznie do poprzedniego :

[4 = 0, [B\ = 0,

a ponieważ według tablicy I. pod 20 :

[A] — [A₀] -f- — l (2 Ma -f- Mf) = 0

m = [B₀\+^i(*Mb+M(l)=o,

więc szukane momenty podporowe :

> A>

2 (2 [А]-ад

Fig. 396.

gdzie na podstawie tablicy I. pod 20:

[ßj] = [B₀₁]    — l-i (2 M<₂ -f- M\)

[A₂\ = [A₀₂] H—?2 (² Mt + M₈),

otrzymamy znane ogólnie równanie trzech momentów w formie :

(4)

ifi h + 2 i¥₂ (h +l₂) + Ms l₂ + 6 [Co₂] = 0    . .

gdzie [C₀₂] — [B₀₁] -j- [A₀₂] i dla obciążeń według tablicy I. da się obliczyć.

Ustawiając równanie (4) dla każdej pary sąsiednich przęseł otrzymamy tyle równań, ile jest niewiadomych momentów podporowych; z tych więc równań momenty te dadzą się obliczyć.

W razie, jeżeli koniec belki nie jest wolno podparty, ale sztywnie utwierdzony, należy po stronie utwierdzenia dodać przęsło nieobciążone, na końcu wolno podparte o rozpiętości l = 0, i wprowadzić je do rachunku przy pomocy równań (4).

Po wyznaczeniu momentów podporowych moment w dowolnym przekroju przęsła w odległości x od lewej podpory :

x    x

- + мьТ’

Mx = Mo + Ma a siła poprzeczna w tym przekroju :

Г.-Г.+

W szczególnym wypadku, dla obciążenia symetrycznego, gdy [A₀] = [7?₀] = — — F₀, gdzie F₀ oznacza powierzchnie momentów statycznie wyznaczal-nych (jak dla belki wolno podpartej) :

k-k=-t-

3. Belki ciągłe, a) Przekrój na całej długości belki stały. Dla środkowej podpory każdej pary sąsiednich przęseł (fig. 396)    = — t₂,

*1 + T2 = 0

Biorąc pod uwagę twierdzenie (1) i podstawiając w równaniu powyższem ;

czyli

(2)

Tj =

№]

EJ ’

T2 EJ

(3)

-C--

an.

l —

Mb — Ma

Dalsze zastosowanie równania (6) jest analogiczne do tego, co powiedziano o równaniu (4).

Przykład. Belka ciągła dwuprzęsłowa (fig. 397).

Stosunek momentów bezwładności :J₂ — i :5. Oba przęsła obciążone na całej swej długości ciężarem jednostajnym g = 200 kg/т, ponadto lewe przęsło obciążone całkowicie ciężarem ciągłym jednostkowym p = 500kg/7n i ciężarem skupionym P—3000 kg w odległości a = 3,2 m od lewej podpory. Znaleźć momenty podporowe, moment w miejscu działania siły P i oddziaływania A, Bi C.

Przyjmijmy Jg = Ju to łl'=ł,=8»n, l₂' = 1г -j- —12 . у = 9,6 m.

gdzie M₀ i T₀ odnoszą się do belki statycznie wyznaczalnej, a Ma i Mh oznaczają momenty podporowe na lewej i prawej podporze przęsła.

b) Przekrój wzdłuż każdej rozpiętości stały w każdem jednak przęśle inny. Niechaj dla danej pary sąsiednich przęseł (fig. 396) o rozpiętościach i l₂ moment bezwładności przekroju belki wynosi w pierwszem przęśle Jj, w drugim J₂.

Zamiast równań (3) otrzymamy :

[A]

⁴ EĄ ’ Ta EJ₂ '

Mnożąc z uwzględnieniem równania (2) dla uproszczenia rachunku powyższe wartości przez dowolnie obraną stałą wartość J₀ (zwykle równą danego układu łub najczęściej się powtarzającej w tym układzie wartości </), otrzymamy :

Jo

Jo

Ji

co możemy też oznaczyć inaczej :

\b[]+[A'₂] = o

(5)

Przy takiem znakowaniu otrzymamy :

IĄ]=-[#Ói] + 4*i'(2A+A) [A] = MJ + y?2(2A + ^₃),

a podstawiając te wartości w równanie (5) i oznaczając : dojdziemy do równania trzech momentów w formie :

Мг i[ + 2M₂ (i[ + z') + if₈z; + 6[ a;₂] = o,

gdzie każda z kreskowanych wartości uwzględnia czynnik lub

J\

zależnie od rozpiętości, do której się odnosi, a więc :

Jo

~J%'

Jo

K-h-T-,

Jo

Jx

Ji

Jo

Jo

(6)

[Я'г]= [£₀₁].~Г;    [A₂] = [A₂].^-

J\

Moment podporowy Mq z uwagi na Мд — 0 i Mß = 0 znajdziemy zrównania:

2üfC(h'+v)=-6№.]-6aM], .

przyczem wedle tabl. 1., pozycji 1 i 2, jest:

1^³^=1ГГ-²⁰⁰-,2Ч

— = 100.144 . — =11 500 kgnr. 5    5

V + 4'= 8 + 9,6 = 17,6 №.

a (i, — a) (4 -)- a)

= -^ .(200 + 500). 8³ + 3000 = —— . 04 + 10 752 = 25 652 kgm².

61

3,2.4,8 .11,2

7C0

|Ą>,] + [A^l = 37152 kg те²,

6.37152

Mc —---—= — 6320 kglm - — 6,32 tm.

Oddziaływanie lewej podpory:

MC

A — A₀ -j—-—,

A, = J (3 + P) h +    P= J 0,7.8 + Ai 3,0 = 2,8 + 1,8 = 4,6 t.

Mq :łl— — 6,32 : 8 = — 0,79,

P = 8ot

A — 4,60 — 0,79 = 3,81 1.

а=3.30

I? =12,00

Le--4 =8,00—

Fig. 397.

=;o,8 — 0,527 = 0,273 t.

Podobnie : В =

1    , , MC 0,2 „

⁺ 8”

Oddziaływanie środkowej podpory:

C= (g + P) к + g h + P — A — в = 0,7.8 + 0,2.12 + 3,0 — 3,81 — 0,273 = = 5,6 + 2,4 + 3,0 — 4,083 — 6,917 t.

Moment w miejscu działania siły P w odległości a od podpory A.

jfe = A. «.-£<* + ,,) = « [л-|(, +p)j = a (3,81 -|з,2.0,7) =

= 3,2 (3,81 - 1,12) = 3,2.2,69 = 8,6 tm.

Metoda wykreślna.

Napisał

f inż. Stefan Pazirski, lwów.

Obliczanie wykreślne belek ciągłych polega na wyznaczeniu punktów stałych i linij krzyżowych. W każdem przęśle belki mamy dwa punkty stałe i dwie linje krzyżowe; rzutując punkty stałe na górną część linij krzyżowych, otrzymujemy na tych ostatnich dwa punkty, przez które przechodzi prosta momentów podporowych, wywołanych obciążeniem danego przęsła.

Punkt stały danego przęsła jest to punkt, w którym moment = 0, gdy na jeden z końców przęsła działa moment dowolny, a zresztą przęsło jest nieobciążone.

Dla dwóch podpór otrzymujemy przeto dwa punkty stałe; S\ i S2 (fig. 398 i 399). Położenie tych punktów od wielkości momentów Mb i Mn nie zależy (stąd nazwa: „punkty stałe“), — zależy natomiast od sposobu podparcia i utwierdzenia belki na przyległej, bliższej punktu stałego podporze. I tak : dla belki w punkcie A wolno podpartej s, = 0, dla belki w tym punkcie sztywnie utwierdzonej Si = ¹/₈ l, dla częściowego natomiast

utwierdzenia (np. z powodu obecności poza punktem A sąsiedniego przęsła) wartość sx leży w granicach od 0 do */з l, a wyznaczenie jej por.‘poniżej.

To samo odnosi się i do wartości s₂, oraz przyległej jej podpory B. Na fig. 398 i 399 stopień utwierdzenia belki na podporach oznaczony jest ogólnie literami ua i u,.

Uji

Si

•у

ł‘

Fig. 398.    ^^4 J    t    Fig. 399>

LaDmÉCr^

Co się tyczy linij krzyżowych, zależnych tylko od obciążenia belki, to dadzą^się one wyznaczyć zapomocą znanych sposobów wykreślnych (fig. 400,

401 i 402), lub też analitycznie na podstawie odcinków ta i tb, obliczonych z wzoru ogólnego :

triq

4Bo\

6 [Л]

. .(7)

» h —

gdzie wartości [A₀] i [B₀] dla rozmaitych rodzajów obciążenia podane sa w tablicy I.    ‘

1. Belka jednym końcem sztywnie utwierdzona. Po wyznaczeniu i punktu stałego S₁ w odległości = ¹/₃ l od utwierdzonej podpory (fig. 394) na pod-I stawie wzoru (7) obliczamy odcinek linji krzyżowej tb, na którą odrzutowujemy punkt stały St. Przez otrzymany w ten sposób punkt 1 oraz punkt 2, spadający w tym wypadku z prawą podporą belki kreślimy prostą 1—2 momentu podporowego Ma.

O ile obciążenie belki da się rozłożyć na stany obciążenia, odpowiadające fig. 400, 401 i 402, wartość tb można znaleźć także wykreślnie, co jednak się opłaca tylko w wypadkach mniej skomplikowanych.

sztywnie utwierdzona. Punkty stałe <S'i i S₂ (fig. 395) leżą w odległościach ,9X = s₂ = ¹/₃ I od podpór. Po wyznaczeniu linij krzyżowych zapomocą odcinków t i tb (jak poprzednio) i odrzutowaniu punktów stałych, otrzymujemy prostą 1—2 momentów podporowych Ma i Mb.

3. Belki ciągłe, a) Przekrój na całej długości belki stały. Wyznaczenie punktów stałych odbywa się albo :

a) wykreślnie — zapomocą znanej konstrukcji, uwidocznionej na fig. 406, zaczynając od pierwszej lub ostatniej podpory, gdzie pierwsza prosta I lub Г o kierunku dowolnym, wychodzi z punktu stałego pierwszego przęsła (który dla belki na końcu wolno podpartej spada z tą podporą, a dla belki na końcu sztywnie utwierdzonej leży w ¹/₃1 od podpory), lub też

c\

-O⁴ .

IS⁷

Fig. 400.

2. Belka obustronnie

p) analitycznie — na podstawie wzoru:

s'

(8)

V-s'

w którym wartości kreskowane odnoszą się do przęsła poprzedniego, a nie-kreskowane do tego przęsła, w którem s obliczamy. Idąc od początku, belki i podstawiając s'=s/, znajdujemy wartości s = s, ; "idąc od koiica belki dla s' = So', otrzymamy wartości s == s₂.

-b

»X

!к

V-

■'Т'

Fig. 401.

А‘

Tii

_ iZ

Г*

iM

-*1

II! I!

КГ

<S

<£>•

Fig. 402.

Xi ati

Liuje krzyżowe wyznaczamy sposobem poprzednio już omówionym, zaznaczyć jednak należy, że za każdym razem badamy belkę obciążoną w jednem tylko przęśle, wyznaczając wpływ tego obciążenia na przęsła nieobciąźone zapomocą prostych, wychodzących z otrzymanych w przęśle obciążonem wartości Ma i Mtj, a przechodzących przez następne (w stosunku do przęsła obciążonego) punkty stałe (fig. 404). Otrzymane w ten sposób, przy obciążeniu poszczególnych przęseł, momenty podporowe dla równoczesnego obciążenia całej belki sumujemy na podporach z uwzględnieniem znaku, pamiętając o tem, że pomiędzy podporami wpływ tych momentów na belkę rozkłada się wedle linji prostej.

Ъ) Przekrój w każdem prześle inny, w obrębie jednak przęsła

stały.

W stosunku do poprzedniego zmianie ulega tylko sposób wyznaczenia punktów stałych. Wykreślnie otrzymujemy je zapomocą pewnego rodzaju linij krzyżowych (o innem jednak niż poprzednio znaczeniu), a według fig. 405 a i b zastępują one nie nadającą się już w tym wypadku konstrukcję, podaną na fig. 405.

L- A _*L A

“ J ■    3

LA AA

■ 3

5,

t_

4ś->

l\

S,

\t~

Fig. 403.

s;

A'

’'5?

L-

Il

ls

•!-I

l/

Fig. 404.

Wyznaczenie tych linij krzyżowych odbywa się dla każdego przęsła z osobna na podstawie wartości z, którą obliczamy z wzoru :

г=тг’

gdzie liJ odnoszą się do danego przęsła, a ,/₀ jest dowolną wartością dla wszystkich przęseł stałą (por. ustęp 3 b, str. 1296).

Analityczne wyznaczenie punktów stałych odbywa się w tym wypadku zapomocą podobnego do (8) wzoru :

s'

a =

l — s'

gdzie w mianowniku zamiast wartości V/l występuje spółczynnik :

, V J

k~T'lT'

przyczem tak samo jak i poprzednio wartości kreskowane odnoszą się do przęsła poprzedniego, a niekreskowane — do tego przęsła, w którem s obliczamy.

Właściwe linje krzyżowe, zapomocą których przez odrzutowanie punktów stałych znajdujemy proste momentów podporowych, nie zależą od przekroju belki i sposobu jej podparcia, lub utwierdzenia, to też dalsze zastosowanie ich w obliczeniu tych belek nie ulega żadnej zmianie, a więc było już poprzednio omówione.

—Д"

__

Oo

>1

Fig. 405.

Z konieczności pomijamy belki o przekroju zmiennym w każdym punkcie, jakoteż wpływ przesunięcia i ugięcia podpór (p. Straßner, Der einfache und durchlaufende Balken).

Linje wpływowe.

a) Linje wpływowe momentów (fig. 406). Wykreślić linję wpływowa momentu dla przekroju t₂ w przęśle l₂ belki ciągłej na 5 podporach.

W tym celu dzielimy przęsło l₂ na 8 równych części i wykreślamy dla położeń w 1, 2, 3... (fig.«) ciężaru ruchomego skupionego P — 1 linje momentów M₀ belki wolno podpartej. Linje te otrzymamy, dzieląc w wielo-boku sił (fig. b) siłę P = 1 na 8 równych części i wykreślając dla biegunów Ot, Oa, 0₃..., umieszczonych naprzeciw punktów podziału w odległości H wieloboki sznurowe. Dla tak otrzymanych powierzchni momentów kreślimy linje krzyżowe bu c1; b₂, c₂. . . (fig. a), które odcinają na stałych linjach «S'j, (b'₂ punkty, przez które przechodzą zamykające odpowiednich powierzchni momentów. Z otrzymanych tym sposobem powierzchni momen-

tów M dla poszczególnych położeń P w punktach 1,2,3... przęsła znajdziemy momenty w przekroju, oznaczone na fig. a czarnymi punktami. Po naniesieniu tych momentów jako rzędnych punktów 1, 2, 3, 4. .. otrzymamy gałąź b', c' wpływowej momentu 3/₂ (fig. e).

Celem otrzymania gałęzi wpływowej M₂ w przęśle wykreślamy linje krzyżowe dla przęsła (fig. c), tudzież zamykające w przęsłach lx i l₂.

3{

2-

-o'

JL

JL--fJ—jL

:----3

ł*

з)

r<r r Ï ! 11 Nil 11 ! I NL

i.

4-

4-

>■ A,

fnpi

a.

liii 1111:ГГПТттт

4 F Г

Cf

Fig. 406.

Rzędne momentu (oznaczone na fig. c czarnymi punktami), przeniesione pod punkty lr, 2f, 3'. .. przęsła l1} tworzą cześć wpływowej 3/₂ w tem przęśle (fig. e).

Fig. 184 d wskazuje przebieg wpływowej 3/₂ w przęsłach 1Я i lA.

W podobny sposób wykreślimy wpływową momentu 3/₂f dla przekroju Л przęsła ?j. Rzędne momentu M₂ dla gałęzi a' b' oznaczone są czarnymi punktami na fig. c. zaś dla gałęzi b'— c' na fig. a.

b) Linje wpływowe sił poprzecznych i oddziaływań (fig. 407). Po znalezieniu linji momentów belki ciągłej dla kolejnych położeń w przęśle l2 294

ciężaru skupionego P, kreślimy przez bieguny O,, 0₂... (fig. b), równoległe do odpowiednich zamykających, przez co otrzymujemy na linji P szukane siły poprzeczne. Te siły poprzeczne naniesione jako rzędne na odpowiednich pionowych, tworzą dwie krzywe с' b" i b' c", które są wpły-wowemi sił poprzecznych ; rzędne wpływowej cf b" przedstawiają siłę poprzeczną po lewej stronie ciężaru, zaś rzędne wpływowej b' c" siłę poprzeczną po prawej stronie ciężaru (fig. c).

Dla danego przekroju np. 2 linja wpływowa składa się z dwu części : b' 2" 2 i 2 2' c' (fig. c) ; do określenia przebiegu jej w dalszych przęsłach (fig. d) potrzebna jest znajomość powierzchni momentów w tych przęsłach.

Siły poprzeczne w sąsiednich przęsłach otrzymamy, kreśląc pionowe w odległości H od punktów Su <S'₂ (fig. a); odcinki odcięte przez zamykające na tych pionowych przedstawiają siłę poprzeczną w przęsłach sąsiadujących z przęsłem \ dla kolejnych położeń 1,2... ciężaru P; te siły

■l,

->r

.(U

■b

Al

1_

/У—

>0,

i-

P*

°3 0,

-Н-аЛ

3-

1‘

Fig. 407.

poprzeczne naniesione jako rzędne, tworzą wpływową b'Lc' siły poprzecznej w przęśle lx i wpływową b' Prc' siły poprzecznej w przęśle 1Я.

Oddziaływanie podpory pośredniej jest równe sumie sił poprzecznych działających z prawej i lewej strony podpory ; sumując przeto rzędne wpływowych sił poprzecznych dla przekrojów z lewej i prawej strony podpory, uzyskujemy wpływową oddziaływania (fig. e).

c) Największe siły poprzeczne i momenty. W danym przekroju powstaje największa siła poprzeczna, jeśli przęsło jest obciążone z prawej strony przekroju, zaś lewa część przęsła pozostaje nieobciążona ; pozostałe przęsła są naprzemian nieobciąźone i obciążone w ten sposób, że z nieobciążona częścią przęsła przekrojonego graniczy obciążone, zaś z obciążoną częścią przęsło nieobciąźone. Największa siła ujemna powstaje przy obciążeniu, uzupełniającem poprzednie obciążenie.

Największy moment dodatni w przekroju między punktami stałymi powstaje dla całkowitego obciążenia przęsła przekrojonego i naprzemian nie-obciążonych przęseł sąsiednich. Uzupełniające obciążenie daje największy moment ujemny.

Największy moment dodatni w przekroju zewnątrz punktów stałych powstaje podczas obciążenia przęsła przekrojonego między punktem granicznym, a najbliższą podporą, pozostała zaś część przęsła ma pozostać nieobciążona. Oprócz tego reszta przęseł ma być naprzemian nieobciążona i obciążona. Uzupełniające obciążenie wywołuje największy moment ujemny.

Tablice.

Dla użytku praktyki podajemy na końcu działu: „Statyka budowli“ tablice do obliczenia belek ciągłych (i belek utwierdzonych), obciążonych ciężarem jednostajnym g, rozłożonym na całej długości belki, ciężarem jednostajnym częściowym p, oraz ciężarami skupionymi G.

Tablice A podają momenty zgięcia siły poprzeczne i oddziaływania w różnych przekrojach belki ciągłej (2-, 3- i 4-przęsłowej o przęsłach różnych) pod obciążeniem stałem g, obciążeniem ruchomem p i pod ciężarami skupionymi G, stojącymi w różnych odstępach.

Tablice В podają rzędne linij wpływowych belki obustronnie utwierdzonej, oraz belki ciągłej 2- i 3-przęsłowej o rozpiętościach równych i nierównych (przy stosunku przęseł 1:1, 1:1,2, 1:1,6, oraz 1:1:1, 1:1,2:1, 1:1,5:1).

Przykład. Obliczyć największe momenty i oddziaływania belki ciągłej dwuprzęsłowej o rozpiętościach podporowych l — 8,00 m, l, = 12,00 m, dla obciążenia stałego g = 0,2 t/mb, użytkowego p = 0,5 f/m i; oraz ciężaru skupionego stałego f? = 3,0 ł, działającego w odległości a =    = 0,4 i (por. przykład str. 1296).

Do obliczenia używamy tablicy 4., ułożonej dla założenia, iż momenty bezwładności przekrojów belki są stałe i sobie równe.

Stosunek rozpiętości n—l, : ł = 12,0 : 8,0 = 1,5 dla największego momentu dodatniego w przęśle l otrzymamy :

M, = (2Fg + F g) P + Or) l = (0,0325.0,2-f 0,100.0,5) . 8,0* + 3,0.0,2131.8,0 =

= 8,616 4- 6,1144 = 8,7304 tm ; dla największego momentu dodatniego w przęśle \ :

Mt = (ZFg + Fp)P— Or)l =(0,1825.0,2 + 0,2025.0,5) . 8,0* —3,0.0,0156.8,0 = 8,44(w; dla największego momentu podporowego :

a)    przęsło l obciążone :

Mc = — (\Fg + Fp) P — G t) l — — (0,2188.0,2 + 0,05.0,5). 8,0* — 3,0.0,0671.8,0 = — 6,011 ;

b)    obydwa przęsła obciążone :

—    XFP— Grjl — — (0,2 -}- 0,5) . 1,2188.8,0»— 3,0.0,0671.8,0 = — 56,21 tm.

Oddziaływania na podporach obliczamy dla dwu przypadków : a) przęsło l obciążone, 6) obydwa przęsła obciążone.

ad a).    *

4 = C£,Fff + Fp) l 4- в r,£ = 0,4 = (0,2812.0,2 + 0,45.0,5) . 8,0 + 3,0.0,533 = 3,85 t.

В = (0,6042.0,2 — 0,0333.0,5) . 8,0 — 3,0.0,0447 = 0,69 t,

C = (1,6146.0,2 + 0,5833.0,5) . 8,0 + 3,0.0,5117 = 6,45 t.

ad 6).

A = 0,2812 . (0,2 + 0,5) . 8,0 + 3,0.0,533 = 3,17 t,

В — 0,6042 . (0,2 4- 0,5) . 8,0 — 3,0.0,0447 = 3,25 t, C 1,6146 . (0,2 -j- 0,5) . 8,0 + 3,0.0,5117 = 10,58 t.

G. Ramy.

Napisał

iflŻ. dt. Stefan Bryła, profesor politechniki, Lwów.

Są to utwory hiperstatyczne, złożone z prętów najczęściej prostych (niekiedy zakrzywionych lub łamanych), połączonych ze sobą przy pomocy sztywnych węzłów. Pręty pionowe (lub o kierunku, zbliżonym do pionu), nazywamy słupami, poziome zaś (lub zbliżone do poziomu) rozporami. Każdy pręt ustroju ramowego znajduje się wogóle pod działaniem momentów, oraz sił osiowych i poprzecznych, musi być więc wykształcony sztywnie.

Rozróżniamy ramy jednoprzęsłowe, wieloprzęsłowe i piętrowe, posiadające kilka rozpór jedna nad drugą. Słupy mogą być dołem utwierdzone lub oparte na przegubach.

Ramy można obliczać przy pomocy różnych metod:

1. Metoda ogólnych równań sprężystości, str. 1258, także str. 1148 i 1149.

Jest to sposób najdokładniejszy, gdyż pozwala na uwzględnienie wpływu sił osiowych i poprzecznych na odkształcenie. Ramę dwusłupową (jedno-

B / Г C

'%a

P-

Cj-~

Г'

I!

'S»

Г~"— —

\ МаЛ

Fig. 408.

Nie

Xa=~1

przęsłową), dwuprzegubową, oblicza się jak łuk dwuprzegubowy, zaś ramę utwierdzoną jak łuk bezprzegubowy.

Przykład 1. (Fig. 408). Niewiadoma hiperetatyczna :

Slup AB:

M₀=*Py, Ma — y,

Słup PD:

Rozpora BC:

M₀ — 0,    Afa—у,    N₀ —

M₀—P^x,

Ma=h,

ж°=р7’

-pi.

jVa=o.

Na— 0.

— 0, А ц — 1,

=-/j¥0 Ma ~ + Jn₀ Xa~=Jpy .y.'jl +fP~ A    A    A    C

, p h2 / , nf i h41

+ TTfxdx==P TF + IX

EÖ

dx

ma

=-§-fy^y +

о

=p^i

... h J l gdzie г_т_ + -.

ÿ-+/‘4'+/»4f+/4I“a/»^+A4I+/f-

ВСЕ    о    о    о

2 h* , h'l , I A² /    .7 \

“7 Jr+_T'⁺ ^ - T(²* + Z W

przyezem f =

L J—

T Тл²'

u+l~m~

p

1)1 a 7' = oo, albo l = 0, lub gdy zaniedbamy wpływ sił osiowych Xa = —.

Niech : Rozpora :

Moment w C: AIq-= — A7fn,

„ w B: MB = h{P— Xa).

!=8m, Ä = 4m.

2j_|Nr. 80: 7’=117,6cm², «7= 16 052 да*. Słupy: 2|_|Nr.28: J :Jl = 1,28,

P= it,

t = -- 1,28 + у = 1,705 -f 4 = 5,705 m, 16 062

5,705 117,6.400²

= 0,0012,

2,0012

= (2 — 0,0012) t.

1,0006

Widać stąd, że wpływ sił osiowych na wielkość Xa jest znikomy.

W przypadku większej ilości niewiadomych hiperstatycznych (ramy wielo-przęsłowe i piętrowe) metoda powyższa byłaby zbyt uciążliwą. Toteż, z uwagi na mały wpływ sił poprzecznych i osiowych na odkształcenia (por. przykład 1.) pomijamy go często i obliczamy ramy metodą punktów stałych, lub metodą równań trzech, wzgl. czterech momentów.

2. Metoda punktów stałych (por. str. 1297).

Każdy pręt ramy można uważać za belkę sprężyście utwierdzoną, o ile pominiemy przesunięcia węzłów. W belce takiej obrót podpory jest proporcjonalny do momentu podporowego (por. str. 1131), więc:

Ta= — BaMa •

Jednakowoż według zasady Mohra (str. 1291):

O)

Xa

= {[A] + ÿ*(2A/„ + Æ4)} =

EJ .... (2)

Z porównania (1) i (2) otrzymamy zatem:

«(s + f в EJ^ + Mb

6 Mol

(3)

Jeżeli przęsło jest nieobciążone, to [yl₀] = 0, więc :

1:(-2+у6ЯЛ„) =

a:(l — a),

stąd odstęp lewego punktu stałego od lewej podpory :

a = T-1-

l-\- -j-2 EJta

(4)

Jeżeli J/₃ jest lewym momentem podporowym przęsła znajdującego się na prawo od D (fig. 409) i jeżeli 1, 2 i 3 są punktami nieskończenie bliskimi matematycznego węzła D, to w puuktach 1 i 2 powstaną odpowiednio momenty :

J/l - [J31 J/g, J/g - JJ-32 M₃

j/l -j- M₂ = J/g . .

!’31 4“ f*32 = 1 .    .    •

Moment dodatni powoduje wypukłość linji ugięcia w rozporach ku dołowi, w słupach zaś ku prawej stronie (fig. b). Gdyby na koniec 1 pręta A-l działał moment Jf— 1 (fig. c), to kąt odchylenia stycznej w punkcie 1 od cięciwy A-l wynosiłby Yi-

tak, że: czyli :

(5)

(6)

(7)

ty* A

МЧ

Fig. 409.

'в

Ponieważ zaś moment wynosi J/i, więc kąt ten będzie yi J/i (fig. b). Podobnie kąt odchylenia pręta 2-C jest y₂ M₂. Wskutek sztywności węzła В obrót jego:

Ез J/₃ — Yi J/i — Y2 J^2

(8)

Z równań (5), (6) i (8) wynika:

1 = 1 + 1

£з Yi Y2

(9)

[л31

Ï2

Yi 1Y2’

Jx32

Yi

(10)

Ti + Y 2

Jeżeli w A jest utwierdzenie sprężyste, określone wartością «1 (fig. c), to podstawiając we wzorze na [/?„] tabl. I., str. 1293, poz. 20, J/ft = 1, Ma otrzymamy :

«i

Tl EJi

-A_(₂

6 EJX \

Ui

ll — Ui

Jeżeli A jest podporą skrajną, wolną, to a = 0,

• <n>

więc :

Yl 3 EJi

(12)

W przypadku utwierdzenia zupełnego jak w punkcie В (fig. d) : a₂ l,₂ :3,

(13)

więc :

ï2 4 EJ₂

Jeżeli tylko jedno przęsło jest obciążone, to linja momentów we wszystkich rozporach lewych przechodzi przez lewe punkty stałe, we wszystkich rozporach prawych przez prawe punkty stałe, a w słupach przez dolne punkty stałe. W przęśle obciążonem wykres momentów składa się z trapezu, odpowiadającego ujemnym momentom podporowym i wykresu momentów dodatnich dla belki wolno podpartej.

Zamykającą linji momentów znajdziemy wykreślnie przy pomocy punktów stałych i linij krzywych, jak w belce ciągłej (por. str. 1298, równ. 7). Można to zrobić i analitycznie. Pionowy odstęp zamykającej od punktu stałego lewego:

(14)

podobnie :

Momenty podporowe wynoszą :

Ma^-Sa-(Sa-Sb)

l — a — b

Dla 6 = 0 otrzymujemy Mg = — tb °

(15)

• (16)

P‘5,01 —- С -- Ш

"1

jJU-

A '>«---1‘10,00

-2-Ю.00

ii

1=6,20

■H

VI/

Fig. 410.

Przyjmując po kolei każde przęsło obciążone, sumujemy następnie algebraicznie rzędne poszczególnych wykresów dla otrzymania rzeczywistego obrazu momentów wskutek równoczesnego obciążenia wszystkich przęseł.

Przykład 2. (Fig. 410). ( = 10m, Л = 6,2т, J:J' — 3:2, c=4ą P = bt. Znaleźć momenty przy węźle I) : Mx, M₂, M₃, moment stopowy Mp i moment w miejscu działania siły P Mp i oddziaływania А, В, C.

Wedle (11) :

7l 3 EJ’

wedle (12) :

Уг 4 EJ''

Nazwijmy dla skrócenia : 4 l ,P ,

⁵',:7î“TT ~r~k-

4.10.2

3.6,2.3

=1,433,

to fł₃1 =

6 EJ e₃

«3

*+l

— — (I -f- Jt) (równ. 9),

= 0,59,

Ä + 1    2,433

⁷¹ ш(r6wn-¹²⁾’

= 0,41 (równ. 10),

J'l

*3 =

1 + *    2,433

==0,822,

1 + fc 3 EJ a + k) ' . 10

3,822

= 2,615 m,

łb~

j C5

P-

6.4.14

³⁺tt*

= 16,8 łm (równ. 7, str. 1298, poz. 2, tabl. 1., Btr. 1292).

6.10

2,615

7,385

= 5,95 (m

(równ. 16).

Kontrola :

Mv = — 0,41 . 5,95 = — 2,44 t/m, -f Ж₃ = Ж₃,

Z'

Мг = — 0,59 . 5,95 = — 3,51 tm. 2,44 + 3,51 = 5,95,

MB = — V* Ж₂ = + 1,755 </m,

c 4

+ •И’з ~f~i5 (5-6 — 5,95) = 0,4.24,05 = 9,62 tm, M

A — —f =— 0,244 t,

„    . с , M,

c= P J -|—— (5,0.4,0 — 5,95) : 10 = 1,405 t,

В = P— A — C— 5 — 1,161 = 3,839 t,

H— Jfj : A — Mÿ : h = (J¥₂ — MB) : h = (— 3,51 — 1,755) : 6,2 = —

W rozporze AR wystąpi ciągnienie iV = R=0,85<.

Mp = P

5,265

6,2

= — 0,85 t.

"то-

\c

7*>\

[Aoi]

X-

~1/V

мв

A.

0,

\h

Fig. 411.

3. Metoda równań trzech, wzgl. czterech momentów (czysto rachunkowa).

Weźmy pod uwagę zpośród prętów, schodzących się w sztywnym węźle D, pręty .4-1 i 2-B, zamykające ze sobą kąt a (fig. 411 a). Wskutek obciążenia pręty te wygną się, węzły się przesuną i kąt pomiędzy cięciwami +-1 i 2-74 będzie wynosił a -j- Д a. Kąt między cięciwą A-l a styczną w 1 :

CU

Ti — Moil H—g⁻ «i (2 -Mi -\-MA) :EJi......(17)

por. str. 1295.

Dla pręta 2-B będzie odpowiednio :

T2 = Mo*] + -g- s2 (2 A/₂ "b MB) : -fe\/₂......(18)

Z figury a) czytamy : a-)-ia-|-t, = a-f ti

"i — t₂ = û a......

Wstawmy (17) i (18) w (19) i nazwijmy:

si~r~si\ s2 -f- — sdi M02] ~y — Mo*r]:

to otrzymamy równanie czterech momentów:

6 E Jq Д «12 ⁼ А/д 2 A/i Sx — 2 Af₂ s₃' — MBs%-j- 6(MoiF] — Mo2f]) ■ (20)

czyli :

(19)

ti + тз = A ai

Dla prętów A-l i 3-C byłoby (fig. d): a -)- Aa = a ~r Ti i Ts> stąd zamiast (19):

3)

zatem równanie czterech momentów będzie :

6 EJ₀ Д a₁₃ —MA Si -f- 2 J/j s₁r -|- 2 Ж₃ s₃r -\-MqS₃'    6 ([^4₀₁'j -)- [^4₀₃fj) . (21)

Jeżeli w węźle D schodzą się tylko dwa pręty, np. A-l i 2-B, to Mx — M₂ — MD, więc zamiast (20) będzie :

6 EJ₀ Д <*„ = MA Si' + 2 MD (V - V) - V MB + 6 ([A/] - [A*f] • (22)

Analogicznie dla prętów A-l i 3-C byłoby zamiast (21) z uwagi na M₁=M₈=M₁₎:

6 EJ₀ Д a₁₃ = MASi -f- 2 Mj) (Si + s₃’) -f- Mc sa' -j- 6 ([A₀/] -)- [A₀₃']) . (23)

Są to uogólnione równania trzech momentów (por. równanie (4), str. 1295). Prócz tych równań mamy jeszcze warunek równowagi węzła D:

(24)

Mi -J- M% — M₃ = 0

Dla ramy trójkątnej (por. tabl. C. Ramy, pozycje 1—10), tudzież dla ram symetrycznych, symetrycznie obciążonych, wreszcie dla ram wieloprzę-słowych, których rozpora skrajna przytrzymana jest łożyskiem nieruchomem (por. fig. 413), można, pomijając skrócenie sprężyste prętów, przyjąć, że węzły nie doznają przesunięć, więc Да == 0.

Przykład 3. Zagadnienie z przykładu 2. (fig. 410) rozwiązać metodą równań trzech względnie czterech momentów,

Tutaj jest Ma = Mq,= 0, Л a,₂ = A als = 0, [ń₀₍] = [d₀₂] == [4₀д] = 0. Będzie więc dla prętów A - 1 i 2 - В :

dla prętów 41 i 3 C :

2Mlsl' — 2Ж₂s₂' — Mps₂' — 0 (por. równ. 20) ;

2 Ж, s, ' -j- 2 M₃ s₃' = — 6 [4o:i'j (por. równ. 21) ; dla pręta nieskończenie małego wD i dla pręta В - 2 :

wreszcie dla węzła D :

Obierzmy J₀ = J, to s₁' = s₃'= =10m,

2 Mß s₃ -)- Ж₂ s₂' = 0,

Ж₃=Ж,-}-Ж₂ (por. równ. 18).

6 Mu./J — 6 [^03] — 6 P

. J    3

si’ = h -jT — ⁶’² "2" ” 9,9 m’ (l — ć) c(l-f- c)

= 5,0

6,0.4,0.14,0

10,0

= 168 bn¹,

(por. tabl. I., str. 1292, poz. 2).

Bównania momentów podporowych będą zatem :

20Ж, — 18,6 Ж₂ — 9,3 Mß — 0,

20Ж, 4- 20 (Ж, + Ж₂) = — 168 tni¹,

Ж₂= —

Stąd :

— — 3,51 tm,

2 Mß —Жд = 0. 168 t/m¹

47,9 m

Ж, = Ж, = — 2,45 tm,

Ж₃ = Ж, -j- Ж₂ = — 5,98 tm. Mß— — Ж₂ : 2 = -)-1,755 tm. Wartości Mp, A, B, C i H patrz przykład 2.

Dla ramy prostokątnej (fig. 412) otrzymujemy (ponieważ prostokąt zamienić się może tylko na równoległobok) :

Да Aß = 0,

Aß + ДТ = 0,

Ду -j- Д5 = 0.

W innych przypadkach posłużyć się możemy równaniem (11), str. 1244:

2 у Да — AI — ii As cos cp.

Jeżeli opuścimy wpływ sił osiowych, to :

2 As cos <p = to t A l.

Zamiast l możemy obrać którykolwiek pręt, np. slH, wtedy :

S у Aa = A sin — w t sln.

Jeżeli podpory są sztywne, to A l — 0.

№ у

L ,.yi

life

3_

гХ

Û'I

Fig. 412.

Fig. 413.

Dla ramy wedle fig. 413 mamy np. dla dowolnego obciążenia:

^SAB = 0 = jfc ДаD + t/₂ Да₁₂,

Asßfj — 0 = y₃ A023 + ^4

⁼⁼ O — Уь -j- ye (AaJ2 -j- Да₂₃) -j- i/₇ Aa^..

Przyrosty A ар i Ao^. wyrażą się przy pomocy równań trzech momentów, zaś Accj2 i Aa₂₃ przy pomocy równań czterech momentów.

Jeżeli rama zostaje ogrzana równomiernie o t°, to lewe strony równań powyższych będą odpowiednio — wźs^s, — Ш*⁸ВС * Ш*⁸АС⁴

H. Belki bezprzekątniowe.¹)

Napisał

inŻ. dr. Stefan Bryła, profesor politechniki, Lwów.

Omówimy tu wyłącznie belki bezprzekątniowe równoległe²), a) Obciążenie pionowe stałe (fig. 414). Przyjmujemy, iż ciężary węzłowe skutkiem obciążenia stałego działają w węzłach pasa dolnego.

Jg poler

~rT

Г Jd ■l=nX —

Fig. 414.

Dla wyznaczenia sił wewnętrznych sprowadzamy belkę do układu zasadniczego, tj. belki w dwu punktach wolno podpartej, przyjmując każdy pręt pasa górnego przy pomoście dołem (lub pasa dolnego przy pomoście

') Belki bezprzekątniowe nazywamy czasem belkami Vierendeel’a.

²) Według Kriso, „Statik der Vierendeelträger“, rok 1922.

górą) przecięty w połowie swej rozpiętości, przyczem z punktów przecięcia prowadzimy dwa ramiona sztywne (J—oo) do środka ciężkości pola (fig. 415). W układzie pracuje pas dolny (górny) jako belka wolno podparta w dwu punktach, zaś pas drugi i słupy nie doznają żadnych naprężeń.

Ugięcie wywołuje w układzie zasadniczym przesunięcia Aa? i à у i obrót ramion sztywnych o kąt A<p w stosunku do pierwszego położenia (fig. 416).

Ażeby układ zasadniczy działał jako belka bezprzekątniowa, musi doznawać tych samych odkształceń, zatem ramiona sztywne układu zasadniczego, które pod wpływem ciężarów węzłowych P doznały przesunięć A cp, Aa? i Ay, muszą pod wpływem wielkości statycznie niewyznaczalnych X, Y, Z wrócić do pierwotnego położenia.

Belki bezprzekątniowe są zatem układem 3 м-krotnie hiperstatycznym, przyczem n jest ilością pól belki. Dla równowagi oprócz trzech zasadniczych

pA.

r-1

fr

-TO 40

Fig. 415.

ô-

■T«

тг

Pig. 416.

warunków musi być w każdem polu suma odkształceń równa zeru, zatem Acpr = 0, Да?,. = 0, куг = ц.

Odkształcenia belki i związane z niemi przesunięcia Да?, Ay, oraz obrót A cp, następują pod działaniem sił poprzecznych i normalnych, oraz momentów zgięcia. Odkształcenia skutkiem sił poprzecznych są bardzo małe i można je opuścić.

Dla wyznaczenia odkształceń skutkiem momentów zgięcia z uwzględnieniem wpływu sąsiednich pól otrzymujemy równania (Kriso, str. 28) :

XA

4EJ

Tr-1 -f

\h

àxr =

й- Ц

to

A²

Zr

2 EJ

Zr +1 +

\4EJ

Xr~¹    2 E

r-+.4;²-' +

o • • • .(1)

*r.+ l +

fr

EJd

12ÆV

(2)

Д«/г= —

X²A

*r-l

X²

2#

*r-

X²A

4 EJ

^•+i

XA

XA

2EJ

2 EJ

*r + l

X³

^EJd

^or = 0. . .(3)

W równaniach tych oznacza:

X = odstęp węzłów, h — wysokość belki, E = spółcz. sprężystości,

J (Jd) = moment bezwładności pasa górnego (dolnego),

J= Я    Я    słupa,

f — powierzchnię momentów w polu r, przeniesionych przez pas dolny, T0r = siłę poprzeczną w polu r dla belki w dwu punktach wolno podpartej, Xr, Yr, Zr — wielkości hiperstatyczne.

I)la Jf/ — Jd momenty zgięcia w pasach tego samego pola są równe co do wielkości, przeciwne co do znaku. Stąd wynika równość momentów w stopie i głowicy tego samego słupa, przyczem znaki są przeciwne; więc moment w połowie jego wysokości równy jest zeru. Równania (1) i (8) mają zatem kształt:

Zr = -

fr_

0,5 M0r, Yr= 0,5 TQr . . . . (4 i 5)

przyczem M0r — moment zgięcia belki wolno podpartej w połowie pola r o długości l. Równania (4) i (5) zachowują swą ważność bez względu na parzystą lub nieparzystą ilość pól belki bezprzekątniowej przy dowolnej wartości stosunku J : J(j.

Dla wyznaczenia wielkości hiperstatycznych Xr musimy, wychodząc z zasadniczego równania (2), ułożyć tyle analogicznych równań, ile pól posiada belka. Równania te w przypadku Jf) — Jd przy dowolnej ilości pól i dowolnym stosunku J : Jd po przekształceniu przybiorą kształt :

|=n—i

2_ V

* ii

^ = (1-P)—₂-fc '*

^    1-jfe X f

Xr--2    hT

=r — 1 '

2    fc’“¹

1=1

A£-i

<Лнр

Równanie to ważne jest dla r =

|=w —1

l=i

ЧГ^Д r-i (Tl

S=n—i

T + 2

i=r

do r = n — 1 :

kn~l

■Ч/

I • (в)

przyczem :

к == 0,5 (a — ~\a² — 4), a — 2

6X J

W przypadku J Tg; Jd należy rozdzielić momenty zgięcia na pasy w stosunku do momentów bezwładności pasów, i z równań (1), (2) i (3) obliczyć wielkości hiperstatyczne, przyczem dla pomostu górą (dołem) będzie f — powierzchni momentów, przeniesionych przez pas górny (dolny) w polu r.

Uwzględniając wpływ sił normalnych na odkształcenia, otrzymamy zasadnicze równania na wyznaczenie wielkości hiperstatycznych.

4-+ф- я* дч=° • • .(n

przyczem Fd (F^) = powierzchnia przekroju pasa dolnego (górnego).

Dla wyznaczenia wielkości hiperstatycznych przy uwzględnieniu wpływu momentów zginających i sił normalnych musimy do równań (1), (2) i (3) dodać równanie (7). Otrzymamy zatem:

2Дсрг = Д<рг+ ДЧг=0,

1Да?г = Дж,. +Дг^. = 0,    1Д уг = Д уу + Д' уг = 0.

Д' <pr =-- О, Д' Хг = —

E Fd

Mając obliczone wielkości hiperstatyczne Xr, Yr, Zr, możemy obliczyć siły wewnętrzne i momenty w pasach i słupach belki bezprzekątniowej z wzorów:

Pas górny : siła normalna Xr' — — X ,

„ poprzeczna Tf! — — Yr, moment zgięcia Mr' = — (ß h Xr -f- Yr x -j- Zr).

Pas dolny : siła normalna Xy = Xy,

„ poprzeczna Ty = -f T0y + Yr, moment zgięcia Mr — -j- M0y x — f h Xy -)- Yr x -f- Zr,

przyczem y A = odległość punktu zaczepienia siły Xy od osi pasa dolnego,

„ górnego.

$h—    „    „    „

Jg — Jd będzie •[h = $h — 0,5h.

Słupy : siła normalna : nr = — Yr~j- Yrj^v gdy obciążony jest pas dolny,

»r-+K~K+V -

siła poprzeczna : Ty — Xr — Xr_v

Dla

я „ górny,

moment zgięcia :mrÿ = (Xy — Xr+1)y — [{Yr + Yy+г) */« X + (Zr - Zr +1)]

przyczem x = odległość badanego przekroju pasa w polu r od lewego słupa,

siupa od połowy wysokości tegoż. b) Wpływ temperatury. Jednakowe ogrzanie (oziębienie) całej belki nie wywołuje naprężeń wewnętrznych, jeżeli belka jest odpowiednio podparta. Inaczej dzieje się pizy niejednakowym wpływie temperatury na pasy. Przyjmując stan temperatury jako jednostajny w całym przekroju pasa górnego o wielkości # , zaś pasa dolnego w wielkości td, otrzymamy zasadnicze równania na wyznaczenie wielkości hiperstatycznych :

(8)

д<Рг* = °» àxrt = atl, hyrt — 0

przyczem a jest spółczynnikiem wydłużenia. Kównania te są identyczne z równaniami (1), (2) i (3), przyczem jednak zamiast wielkości Xr, Yy, Zy należy wprowadzić wielkości Xrt, Yrt, Zrt. Ponieważ wpływ temperatury nie wy-woływuje momentów zgięcia i sił poprzecznych w belce w dwu punktach wolno podpartej, muszą odpaść wyrażenia zawierające wartości f i T0y, równanie zaś (2) musi otrzymać dodatek -\- atX. Tak przekształcone równania sprawdzają się dla wartości Yrt — Zrt = 0, pozostanie zaś równanie:

Дxrt==

h³

12 EJ

2E 3,7

XrĄ-\t + a.t\ = 0

(9)

' 12 EJ

mo

Z równania tego obliczamy wielkości Xr, układając tyle analogicznych równań, ile pól posiada belka, a następnie obliczamy siły wewnętrzne i menty w prętach belki bezprzekątniowej, jak dla obciążenia węzłowego.

c) Obciążenie ruchome pizenosi się zazwyczaj na belki główne zapomocą poprzecznie umieszczonych we węzłach. Wpływ jego uwzględniamy, jak obciążenia stałego, kreśląc linję największych momentów i sił poprzecznych dla każdego pola. Mając wyznaczone wielkości momentów i sił poprzecznych, jak dla belki wolno podpartej, obliczamy wielkości hiper-statyezne z równań (1), (2) i (3), a następnie przy pomocy poprzednio podanych wzorów siły wewnętrzne i momenty zgięcia w poszczególnych prętach belki bezprzekątniowej.

Sposób przybliżony, dogodny dla pierwszego przeliczenia przekrojów (fig. 417).

Oznaczmy przez Sg, Ją, Jx, Jo... momenty bezwładności pasu górnego, dolnego i słupów 1, 2...

Ng, Nd, Nx, N₂

Tgi Tą, Ti, T₂

Mg, Md, Ml, M₂

Jeżeli rozpatrywać będziemy ramę zamknięta między słupami 2 i 3 o długości rozpory a₂, to punkty zerowe momentów będą w slupach w odległości vg od pasa górnego, oraz w pasach w odległości w₂ od lewego в t słupa 2. Położenie tych punktów można wyznaczyć w przybliżeniu jak w ramie zamkniętej. Przeciętnie:

siły osiowe w prętach pasów i słupów siły poprzeczne    „    „    „

momenty zgięcia    „    „    „

3»

I

I Ll*

____

^    ; C Id

m₀h

аз~—г,—*-

1 + m₀

= k₀ h,

U1₂

m₂a₂

1 -f- m₂

Jc₂ u₂,

-s*-

przyczem :

•n>i

in₀ =

m₂ =

siła osiowa w pasach :

— Л g г = ^«2 =

siła poprzeczna w pasach: Tg2 — k₀Ta2, moment zgięcia w pasach w odległości x od punktu zerowego : Mg 2 = Tg g x = k₀ Ta2 x = k₀ (Mx Ma 2),

^di ~ d2 X ~ (* — *o) Г^а2 X ~    *o) (-^e

^«2

Fig. 417.

Td2 = V~K)Ta2:

Siła poziomo ścinająca w słupie 2 :

•^e 2    -^a i

4-*‘

N<12 ^li

moment zgięcia w odległości у od punktu zerowego w słupie 2 : M₂ — T₂ y. Siła osiowa w słupie 2 : JV₂ = (1 — k₀) (Pd2 — Pg2).

Siła osiowa w słupie 1 : N, = — (k₀ Tal~ Pf/X)-Momenty pasowe w węzłach słupa 2 :

12 ~    (^h    -^al)»

J^di2 “ (i fro) (J^ii -^71) ;

lewe : pas górny :

pas dolny :

prawe: pas górny:

pas dolny :

Momenty węzłowe w słupie 2 :

Mg 22 - К {Mjl Ma 2),

M,122 = (1 ko) Wn Ma2).

górny : dolny :

g K (Ma J    Ma 2),

M<2.d ⁼ (•*■ K) (Ma2 — МаЛ).

Gdy pas dolny jest gibki, natenczas : V₀ = h, gdy zaś — J(j, to v₀ = ¹/₂ h.

obliczenia belek

Powyższy sposób może być zastosowany do przybliżonego bezprzekątniowych o dowolnym rodzaju podparcia.

h^iOO

_____L*ł

±-

Fig. 418.

Dla belki bezprzekątniowej wolno podpartej będzie Mj_ = 0, dla belki utwierdzonej na podporach jest momentem utwierdzenia, dla belki ciągłej momentem podporowym.

Przykład. Wykreślić linje wpływowe sił normalnych, poprzecznych w pasach i słupach belki bezprzekątniowej równoległej o pomoście dołem (fig. 418).

Wymiary belki: Z = 32,00, Л = 4,00, ilość pól n — 8, A = 4,00m.

Dla pierwszego obliczenia przyjmujemy: Jg =J^= J. Wtedy z wzorów 4. i 5. :

%r — — 0,6 Mgy    У y    0,5 Fgy :

i momentów,

f    M₀t

Wyznaczenie Xr. Podstawiając w równ. 6: X T— —-—, oraz

1 я

X, = k — (/Ł -f/₂ k + ... +/| k£ ~~ ¹ + ... fn — i kn 2 +/n kn 1)

*r = YZTW W ^ “¹ + • ■ + ^ ^ f + • ■ ■ + i * + Л +

+ fr _J- i я 4" • • • +/| ^    ' +■••+/;» к“

Xn = k — (/, kn 1 Ą~fi kn “ +• • • +/f    — ' + . ••+/»( — i я'4-fn)

otrzymamy :

— r)

. .(«»)

przy pomocy tego równania obliczamy rządne linij wpływowych sił normalnych w pasach. Łinja wpływowa X,.

X, = k — (/, +Л * +Л P + Л *» +/» i" +/« i⁵ +/: *c 4-Л **)

w równaniu tem /,. = powierzchnia linji wpływowej momentów belki wolno podpartej w polu r; z fig. 419 otrzymamy:

A2 1 2 n

Я²

я²

Л- ⁷ТТГ = 7/‘ /: = 13-ÏTT = 13/l

я²

л= ⁹^Г = 9/'

Я²

Л = 11ИГ = 11/1

я*

Я²

Я²

/„ = 15--- — -=15 Л--—.

⁸    2 n 2    ■/‘    2

Wstawiając te wartości w równanie na X,, otrzymamy rzędną linji wpływowej w węźle 7 :

»77

= A [/,(! + 8 A + 5 A² + ⁷ A³ + 9 A'¹ + 11 A⁵ + 13 A* + 15 A’)

Я²

--AT

a ponieważ :

A²

те,

i, = 1 + 3 A + 5 A² + 7 A³ + 9 Ał +11 A⁵ + 13 A⁶ + 15 Ar,

zatem rzędne linji wpływowej będą:

V- — mi • A;j

^-т-Ц-гтТТТТТ~К11

7    ?    4 T“ Ъ 7-1

--Z »«A a32.00-

Fig. 419.

— А» (1 + 3 A + 5 A² + 7 A’) j j^~ A — A (1 + 3 A + 5 A² + 7 A³ + 9 A¹* + 11 As + 13 A«)J.

+ = w, i-A— A⁵(l + 3A + 5A²)j

— Ą - A⁶ (1 + 3 А) I »* .1

>/⁴ = ш.

»7, = те,

Iiinja wpływowa X,. Bozróżniamy tu dwa przypadki: 1. ciężar z prawej strony węzła 4., 2. ciężar z lewej strony węzła 4., i w zależności od tych przypadków obliczamy równania rzędnych linji wpływowej.

2À

зХ

r.

--L-8\-32.00 —---------

■ L-8\-32,00-

------^

Fig. 420.

Ad 1 (fig. 420). ^    4/.*

Л = ¹-^r

Fig.421.

4 Я²

Л = з —= 3/l

44*

Л = ⁷ИГ = 7Л

/,= 5 -— = 5/,

«'.-"г

równanie rządnej linji wpływowej w węźle 4. będzie:

[л (А³ + 3 A² + 5 A + 7 fc + 0 A 4- U A² + 13 A³ 4- 15 A³) -

,    4 Я² Я² „ Я²

~~ ° 2 п    ~~2~ ~' ⁹ " ~2~

»7* =

1 — А² Л²

Я²

Я²

Я²

ЗА /Я \²

Жа “ Т^Г¥ \Т) ’

.1, = А³ + 3 А² + б А + 7 А + 9 А + 11 А² + 13 А³ + 15 А\ zatem rzędne prawej gałęzi linji wpływowej będą:

a że :

4 Я²

■⁷‘    2 n ’

---— (А + 3 А² + б А³ + 7 А¹*)

»7: =

»/s =

A — A² (1 + 3 A + 5 A²)|

»74 =

i² (1 + 3 A)]

~ At — A (1 + 3 A + 5 A² + 7 A³)j.

Ad 2 (fig. 421).

3 Я²

/т

зг-

3 л2 6 --

fs

3 Я2 7 - —

/ч

8 Я²

»/«

/а

ЗЯ²

11 -

Я²

18

ЗЯ²

Я²

Я²

is/; —з

ЗЯ²

15 ---—

2 я

“Л “T

/²

15/,-54-

1 —А² А²

|л (15 А³ + 18 А² + 11 А + 9 + 7 А + б А² + 3 А³ + А²) — ■— (5 А³ + 3 А² + А) | ;

podstawiając zaś:

ЗЯ²

(т)’’

1 — А²

Д, = 15 А³ + 13 А² + 11 А + 9 + 7 А + 5 А² + 3 А² + 3 А³ + А⁴, otrzymamy równania rzędnych linij wpływowych :

= m² J-Д Д, — A (1 + 3 A + 5 A²)j

= »«₂ J-Д Д, — A² (1+3 A)|

₌ Ц-Дд,_*з].

W podobny sposób obliczamy rzędne linij wpływowych dla Лг₂, X,.

Obliczenie analityczne rzędnych linij wpływowych sił normalnych przeprowadzamy schematycznie, obliczając wartości pomocnicze, a następnie zestawiając wartości rzędnych w tabeli :

2 = 2+ДДА = 2+ДХ*

^ h Jd ^    4

A = 0,5 (а — У a² — 4) = 0,5 (8 — +8² — 4) = 0,12

XT = 8

A² =0,0144,

A³ = 0,0017,

A² = 0,0002,

A⁵ = 0,0000,

1 A² = 0,9856,

ЗА

1 - A²

3 X 0,12

0,9856

= 0,365

ЗА

ш=

0,865 X

Ш-

0,365

т, = 3 А

^ l-s:

= 3 Х0,12 X

If»- I Ił»-

= 0,36

At = 1 + 8 А + 5 А² + 7 А³ + 9 А² +11 А⁵ +13 А⁶ +15 А⁷ = 1 + 3 X 0,12 + 0,0144 X 5 + + 7 X 0,0017 + 9 X 0,0002 + 11 X 0,0000 = 1,4457

~ А, = — X 1,4457 = 0,1807

А₂ = А + 3 + 5 А + 7 А² + 9 А³ + 11 А² + 13 А⁵ + 15 Ас = 0,12 + 3 + б X 0,12 + 7X0,0144 + + 9 X 0,0017 + 11 X 0,0002 + 18 X 0,0000 = 3,8383

-i- fi₂ = -i- X 3.8883 = 0,4797

Д₂ = 15 А + 13 + 11 А + 9 А² + 7 А³ + б А² + 3 А⁵ + А⁶ = 15 X 0,12 + 13 +    11    X    0,12 +

+ 9 X 0,0144 + 7 X 0,0017 + 5 X 0,0002 + 3 X 0,0000 = 16,2625

Д Д₂ = i X 16,2625 = 2,0328

fi₃ = A² + 3 А + 6 + 7 А + 9 А²+11 А³ + 13 А² + 15 А⁵ = 0,0144 + 3 X 0,12 + 5 + 7 X 0,12 + + 9 X 0,0144 + 11 X 0,0017 + 13 X 0,0002 + 15 X 0,0000 = 6,3658

1 , 1

—    4₃ = — X 6,3653 = 0,7956

Д₃ = 15 А² + 13 А + 11 А + 9 А + 7 А² + 5 А³ +3 А² + А⁵ = 15 X 0,0144 + 13 X 0,12 + 11 + + 9 X 0,12 + 7 X 0,0144 +5 X 0,0017 + 3 X 0,0002+ 0,0000 = 14,9574

—    Д,= 4- X 14,9574= 1.869S

и    8

fi, = А³ + 8 А² + б А + 7 + 9 А + 11 А² + 18 А³ + 15 А² = 0,0017 + 3 X 0,0144 +    5    X    0,12 +

+ 7 + 9 X 0,12 + 11 X 0,0144 + 13 X 0,0017 + 15 X 0,0002 = 8,9084

i- fi, = i X 8,9084 = 1,1135

Д, = 15 А³ + 13 А² + 11 А + 9 + 7 А + 5 А² + 3 А³ + А² = 15 X 0,0017 + 13 X 0,0144 +

+ 11 X 0,12 + 9 + 7 X 0,12 + 5 X 0,0144 + 3 X 0,0017 + 0,0002 = 11,4500

—    Д, = i- X 11,4500 = 1,4312

l + 3ł = l + 3X 0,12 = 1,36

1 -j- Лк + 5 К¹ — 1,36 + 5 X 0,0144 = 1,432

1 -i- 3 к + б к² 7 к³ = 1,432 -f 7 X 0,0017 —1,4439

l + 3*4-6A²-i-7i³ + 9*'* = 1,4439 -f 9 X 0,0002 = 1,4457

Bzedne linij wpływowych sił normalnych Xr w pasach:

Bzedne linij wpływowych

0,0000

0,8929

0,3828

0,8244

0,2601

0,2062

0,1301

0,0бб1

0,0000

0,0000

0,6982

0,9872

0,8679

0,6994

0,5252

0,3465

0,1751

0,0000

О    O ^ ^ <2 S*

^эТс'Ьт'со'^-*'ссЪэ'о>^> I.

CCOGOOOKZIC^O OOOOrt^OOO»<IO °-0^<ł WOOłtOHO

O O O    ** G> G>

O ^ *00 lo *04"o»'© 'Ć?4 '*•75 O O — »-* OS Г W Ю O

C^OQOOi3>ClCDO

Linje wpływowe sił normalnych w pasach na podstawie powyżej obliczonych rządnych naniesiono na fig. 418. Siły normalne w pasie górnym otrzymują znak —, w pasie dolnym znak -j-.

Ł.

S é 17

4-

I--

i I

■M-z

li

Fig. 422.

Ogólnie możemy napisać równanie rządnych linij wpływowych sił normalnyoh wzorem :

T>S =

_“£r

I Br°-ßSr

dla f>r,

Ar° — mrAr: Br⁰ mr Br.

dla £i=r--l,

przyczem :

Linje wpływowe sił poprzecznych w pasach. Dla założenia Jg =    = J

otrzymujemy yr = 0,bTr dla obu pasów. Zatem linje wpływową sił poprzecznych kreślimy jak dla belki wolno podpartej przy obciążeniu pośredniem, z tą różnicą, że odcinamy na podporze zamiast wielkości 1,01, tylko 0,bt. Linje wpływowe sił poprzecznych w pasach wykreślono na fig. 422.

Linje wpływowe momentów w pasach. Dla przyjętego założenia otrzymujemy Mr x = 0,5 (M0 r x — Xrli). Mając zatem wyznaczone wielkości Xr, możemy łatwo wykreślić linją wpływową momentów w pasach jako różnicą Morx i Xr h, jednakowoż przez odpowiednie przekształcenie możemy obliczyć wprost wielkości rządnych linij wpływowych momentów. Oznaczając przez y g rządne linji wpływowej momentów w beloe wolno podpartej, otrzymamy równanie jej rządnych: n-S

dla

t>r,

przyczem :

— ¹ + ¥) -z

■4 = h

l>£ = ja (» - r) +1 — j

oraz

dla

ug = (2 r

równanie wiec rządnych linij wpływowych momentów w pasach będzie :

Vę’ = 0,5 (2/f - Tę h),

po podstawieniu zaś wartości za y g i yę otrzymamy :

4' = ^rA'rx

^' = 1-ß'rx+ß’Sr

A'rx = (ф — r'ä r>~l R'Ar = Ba kr-vakn~r

przy ozem :

dla    — 1,

Я'Вг = ЧкГ — ПкП~Г

dla

va=kvb

Bb = kBa

ar‘ = 0,6 hagr

dla otrzymania lewego momentu węzłowego pola r należy w powyższych równaniach podstawić: X = — l/₂k, q? = — 1,

zaś dla prawego momentu węzłowego pola r : X = 4 */*4 <p — -}- 1,

Zatem otrzymamy dla:

vb =

1 +k ß§’=0,6hß£r-,

lewego momentu węzłowego

V(- 7^) = -(1 + Л'Лг)¹/,я By (— Va Я) = 4 (1 4 B'fir) % я

prawego momentu węzłowego Ar (+ '1гк) — ~Ь (i — R> Ar> '/'ik

V (4 V« Я) = - (1 - R’Br) V, Я

Na podstawie powyżej wyprowadzonych wzorów ustawiamy równania rzędnych linij wpływowych momentów w pasach.

a) Lewe momenty węzłowe.

Węzeł 1.    J?/ = i 4' Aj 4 o,5 /i m, i⁷

%' =

А a' (~ т) A0,5 A m‘ *r (1 + ³

^— Aj 4 o,5 h Wj Я⁵ (1 + 3 A- + 5 Я²)

A 4' Aj 4 o,5 h m, к* (1 4 3 к + 6 ** + 7 i³)

:■

= TT 4'

== A 4' Aj 4- 0,5 h ту, к (1 + 3 к + 5 к? + 7 Я³ + 9 к* + 11 Я⁵ + 13Я«).

»7t' = A-    ( —А) 4- о,5 h т₂ к¹*

Węzeł 4.

Vt = А    4'    Aj    4_ о,5 h т₂ к³ (1 4 3 к)

%' = A    4'    Aj    + 0,5 h т₂ к² (1 4- 3 Я 4- 5 Я²)

А    И,,'    Aj    4 о,5 h m₂ Я (1 4- 5 Я + 5 Я² 4 7 Я³)

*?./ = —    Д/ ^--—j    0,5 h rn₂ к (1 4- ³ Я 4- 5 Я²) у-/ — А Д/ Aj _|_ 0,5 л »i₂ я² (i 4 з я)

у/ =

Ад/ (- Aj 4 0,5 h т₂ к³.

Ь) Prawe momenty węzłowe. Bównania rzędnych linij momentów pozostają te same co dla lewych momentów węzłowych z tą zmianą, że zamiast Ar’ (— l/a Я) i Br' (— ¹ /₃ Я) należy wprowadzić 4.' (4 Va Я) i /4 (4 Va^) > w ten sarn sposób obliczamy linje wpływowe dla momentów w węzłach 2 i 3.

Obliczenie wartości pomocniczych:

1 -f k = 1,12

1 — к — 0,88,

N»

“I

f*a= YZT = 1,1363

2 и ,    1

⁺ 1 — к

”6 =

= 13,1494

/*Ъ — к f*a —°>¹³⁸⁶

va~kvfj 1,0779

1 к

R'A' =1,1363 X 0,12 —1,5779 X 0,12* = 0,1363 в'Лг = 1,1363 X 0,12² — 1,577* X 0,12⁶ = 0,0164 R'a₃ = 1,1368 X 0,12³ — 1,5779 X 0,12⁵ = 0,0019 R'a = 1,1363 X 0,12» — 1,5779 X 0,12» = 0,0001

R'B = 13,1494 X 0,12² — 0,1386 X 0,12⁶ = 0,1894 Я’Вз = 13,1494 X 0,12³ — 0,1386 X 0,12⁵ = 0,0237 R'Bi = 13,1494 X 0,12» — 0,1386 X 0,12» = 0,0026

\='ir00 ^~

co

o

5-

V (- y) = - (1 + 0,0164) M.

f 'f ⁷

f--L\=8\=32q00--J-----!----—(------>*

Fig. 423.

= — 1,0164

Bï (- j) == + (1 +0,1894)-^-

=    1,1894

i.

'■p

o-

-o

1,0237

y) ⁼ — (ł — 0,0001)    = — 0,9999

Ä/(- ) = + (1 +0,0026)-^-

= 1,0026

Аз> (~ 1 ) ⁼ “ ⁽¹ + °’0019) = - ¹>⁰⁰¹⁹-

Łinje wpływowe lewych momentów węzłowych w pasie dolnym wykreślono na fig. 423. na podstawie powyżej obliczonych rzędnych.

Linje wpływowe sił normalnych w słupach. Siły normalne w słupach obliczamy na zasadzie równania:

n __ — (у _ у ^ ^ — dla pomostu dołem,

Rządne linij wpływowych lewych momentów węzłowych w pasie dolnym.

Punkt

Rzędne linij wpływowych

M,

Ж,

0,0000

—    1,1484

—    1,0772

—    0,9084

—    0,7278

—    0.Ö4H1

—    0,8641

—    0,1820

0,0000

0,0000

4- 0,2362

—    0,6.367

—    0,6200

—    0,5064

—    0,3809

—    0,2541

—    0,1270 0,00o0

0,0000 + 0,1384 -j- 0,3760

—    0,4996

—    0,4^67

—    0,3739

—    0,2603

—    0,1262

0,0000

0,0000 4- 0,1206 -j- 0,2660

-f- 0,6014

—    0,3736

—    0,3699

—    0,2483

—    0,1249

0,0000

dla przyjętego założenia: yr— ■ 0,5 tur, zatem siła normalna w słupie r będzie: ur ~ “b 0,6 Pr

zaś na podporze:

-J- dla pomostu dołem,

—    «    »    ► górą.

«o = — 0,5 (A — P₀) dla pomostu dołem, u₀ = — 0,5 (A 4- P₀)    „    „    górą,

Г~

h~\oo

ŁhdA-SŻCO ! ! O.st

i* p *    ?

Г--f--1"

4-

1 ( , pomost дога

pomost dojem

Fig. 424.

A = oddziaływanie belki wolno podpartej.

Konstrukcja w ten sposób wyprowadzonych równań dla linij wpływowych jest uwidoczniona na fig. 424. Słupy na podporach są zawsze ściskane, zaś słupy pośrednie są ściskane przy pomoście górą, oraz rozciągane przy pomoście dołem.

Linje wpływowe sił poprzecznych w słupach. Siła poprzeczna jest stała i wynosi :

ij. — i,.    .Y,. J ^

stąd dla słupa narożnego ł₀ = — A",.

Mając wykreślone linje wpływowe sił Xr, otrzymujemy w łatwy sposób różnicę Xr — Xr _j_ j i nanosimy ją.

Na fig. 426 wykreślono w ten sposób linje wpływowe sił poprzecznych w słupach. Linje wpływowe momentów w słupach. Moment działający w słupie obliczamy wzoru na podstawie :

wyrażenie :

mr у — <-V — AV+i) » ~ [(rr + Yr 4-1) у + xr — i ] ; [(>r + ł r 4- i) y + ²i-^4i]

oznacza moment działający w połowie wyso

kości słupa, który dla przyjętego założenia jest zerem, otrzymamy zatem równanie

mr у ~    4-l)^i

podstawiając у — 0,6 h, otrzymamy :

mr 4; —■' + 0,5 h (Xr — Xr j) = + 0,5 h ty .

z relacji tej wynika, że chcąc otrzymać linje wpływowe momentów w słupie należy pomnożyć rzędne linij wpływowych sił poprzecznych w słupie przez połowę wysokości słupa, lub też odczytywać wprost w zmienionej odpowiednio skali wysokości.

ьЦоо

i.

|4 i5

-SX‘32,00

I J/typ # jć/ąo.?

^łup3 iS/vp4

Fig. 425.

W naszym przypadku należy rzędne linij sił poprzecznych pomnożyć przez 2, gdyż

ш,у -j- ¹/г /t = -1~ 0,6 X 4^ = 2 ty.*

Moment w stopie słupa otrzymuje znak +> w głowicy —.

VII. Budowle ziemne i mury oporowe.

Napisał

inż. dr. Jan Bogucki,

profesor politechniki, Lwów.

Równowaga Stoków Stoki nasypów z luźnych materjałów (nietylko ziemne, lecz także np. węgla, zboża) utrzymują się w równowadze stałej pod działaniem ciężaru własnego cząstek G i oporu tarcia T. które przeciwdziała składowej ciężaru P, działającej wzdłuż pochyłości stoku (fig. 426). Tarcie T przyjmujemy proporcjonalne do nacisku 0, a więc T — f.Q, nazywając f spółczynnikiem tarcia. Dla równowagi będzie T—P— Q tg a: stąd graniczny kąt równowagi odpowiada równaniu tg a — f i nazywa się katem tarcia lub kątem zesypu; oznaczamy go zwykle p, więc tg p = f.

Wartości/i p, wyznaczone doświadczalnie (podgartując dany materjał w stoku), zestawione są w tablicy I. wraz z ciężarem jednostkowym у danego materjału.

Stok ziemny, nachylony' pod kątem tarcia do poziomu, nazywamy stokiem naturalnym. Dla nasypów ziemnych przyjmujemy zwykle p = 34°,

tg p = 0,67=%.

Tablica I.

Materjał nasypu

kg/m³

P°

tgp

Ziemia luźna sucha . . . .

„ wilgotna . . , „ nasycona wodą

1400

1600

1800

40

45

ГР

Glina luźna sucha

1500

V    Г)

Piasek suchy

mokra

2000

1600

27 — 30 40-45 20—25

tvilgotny .... nasycony woda .

1800

35

Tłuczeń .....

Żwir rzeczny suchy П „ wilgotny Węgiel kamienny

Koks .....

Cement .... Zboże .....

2000

40

1600-1800

1800

2000

850

500

1400

800

25

40

30—40

25—30

45'

0,609—0,577

0,839—i,oo

0,364—0,466

0,700

0,839

0,466

0,839

0,577-0,839

0,466—0,677

45

40

25

1,00

1.00

0,839

0,466

Cyfry wiąkbze podane щ w Przepisach M. B. P.

Stoki przekopów i wykopów w ziemi rodzimej (spoistej) utrzymują się w równowadze pod kątem większym niż kąt tarcia, bo działa tu spójność cząstek ziemnych.

Jednak nie każdy stok ziemi spoistej utrzyma się pod żądanym kątem a > p. Przy większej wysokości stoku może nastąpić usunięcie części mate-rjału aż po t. zw. płaszczyznę odłamudC (fig. 427). Rozkładając ciężar G

, r    H

/?» C ————

fi.

___

A    V"    C

Fig.427.

Fig. 426.

klina odłamu ABC na siły P i N, otrzymamy tu pod wpływem nacisku N opór przeciw oderwaniu i zesunięciu w płaszczyźnie AC: Q — fN,-\- cl, złożony z wpływu tarcia fN i oporu spójności cl na powierzchni Ivi2, (spójność jednostkowa c wynosi 150 — 250 fcy/ш²).

Dla równowagi P< Q- wartość graniczna i'= Q określa płaszczyznę

odłamu, która przy naziomie płaskim BCN wypada pod kątem <p=-i-

(a-[-p) do poziomu. Płaszczyzna odłamu połowi kąt między stokiem naturalnym p a rzeczywistym a. Położenie płaszczyzny odłamu pozostaje toż samo również i przy naziomie płaskim obciążonym.

Wysokość stoku /?, przy której utrzyma się ziemia o ciężarze jednostkowym у, oraz spójności c w równowadze stałej pod żądanym kątem a, wynosi :

2 c cos p sin a Y sin² V₂ (a — p)’ niezależnie od wartości ß nachylenia naziomu, jeżeli tylko ß < p.

Dla a — 90° będzie wysokość stoku pionowego : h = h₀ —    tg ^45° -|- — j.

W praktyce można h₀ wyznaczyć doświadczalnie, co służy zwykle do wyznaczenia wartość c. Stoki pionowe (urwiska), zwykle kilkumetrowe, dochodzą w glinie nawianej (loss) do kilkunastu metrów wysokości.

Wartości h, zestawione dla różnych kątów a, leżą na t. zw. paraboli spójności (fig. 428), której osią jest stok naturalny, spód stoku A ogniskiem,

a połową parametru wartość-cos p. Przy obciążeniu naziomu ciężarem

jednostajnie rozłożonym p, utrzyma się stok o danej wysokości h pod kątem mniejszym al5 który otrzymamy, dodając w wykresie zastępczą war-

stwę ziemi o grubości

2 p

Stok zakrzywiony. Stosując w różnych wysokościach stoku nachylenie, odpowiednie do częściowej, a nie całkowitej wysokości, otrzymamy stok zakrzywiony (fig. 429), stosowany czasem w głębokich przekopach, celem skrócenia stoku i zmniejszenia objętości przekopu.

8.

fil

/»

"1

___Ÿ

Mury oporowe. Równowagę stoków, stromszych niż stok naturalny, można także zabezpieczyć przez podparcie ich ścianą oporową, a to murowaną (kamienną, betonową)

albo

ramową i (drewnianą, żelazną, żelazno- j betonową).    -³

Ściana oporowa AB (fig.

430) znosi wtedy nacisk czynny,ziemi (napór czyli parcie ziemi), powstający wskutek możliwości zesunięcia się w dół klina odłamu ABC, ograniczonego ścianą oporową, naziomem i płaszczyzną odłamu AC, której położenie będzie różne od płaszczyzny odłamu przy stokach niepodpartych ścianą oporową.

Parcie czynne między ziemią, a murem oporowym odróżnić należy od parcia biernego, które znosi ziemia w razie nacisku ze strony muru np. obciążonego sklepieniem; usunięcie klina odłamu byłoby wtedy moźliwem ku górze.

/*&._____

Fig. 428.

Fig. 429.

Kierunek parcia ziemi na mur oporowy powinien uwzględnić możliwość przesunięcia klina odłamu po murze w dół, po pokonaniu tarcia. Parcie czynne będzie więc pochylone ku dołowi, pod kątem o' do normalnej : parcie bierne przyjmujemy po drugiej stronie normalnej (pod kątem — o'). Wartość kąta o' leży w granicach od zera (dla ściany zupełnie gładkiej, dla nasypu przesiąkniętego wodą, albo przy silnych wstrząśnieniach np. przy torze kolejowym ponad murem) aż do pełnej wartości kąta tarcia p dla danego materjału ziemnego, którą przyjmujemy jedynie w bardzo korzystnych warunkach (przestrzeń za murem dobrze odwodniona, obciążenie spokojne). W ostatnim razie przyjąć lepiej 5' = ²/з ? ńla większej pewności obliczenia. Müller-Breslau uważa przyjęcie 2f stosownie do warunków, za środek w ręku inżyniera zbliżenia się do rzeczywistości, wobec niepewnej teorji parcia ziemi.

Dotychczasowe teorje (Coulomb, Rankine, Müller-Breslau, Färber) uwzględniają tylko parcie ziemi niespoistej, a jako jedynie działające siły: ciężar ziemi wraz z obciążeniem zmiennem, oraz tarcie wzdłuż ściany oporowej i wzdłuż płaszczyzny odłamu. Przy małem poddaniu się muru (przechyleniu na zewnątrz) tworzy się według Coulomba płaszczyzna odłamu A C (fig*. 430), a ciężar G usuwającego się klina odłamu pokonać musi opory

rucha wzdłuż AB i AC; tworzy więc dwie składowe równe siłom Г i Q, z których składowa P jest parciem ziemi i działa pod kątem 5' do normalnej muru, a pod kątem ф do pionu. Przyjmując siłę Q pod kątem p do normalnej na AC, wyznaczymy P z trójkąta sił G, P, Ç najlepiej wykreślnie, albo z równania:

c 8În (У — p)

sin (cp p -j- '!)'

Dla różnych kątów cp należałoby wyznaczyć odnośne wartości Pi znaleźć wartość największą, którą ściana oporowa znieść winna z wystarczającą pewnością. Klin odłamu, wywierający P, ba o nąjwiększem ciśnieniu“, a PJ reakcji muru, potrzebną dla równowagi.

Określenie Coulomba P.

maxi

jest t. zw. „klinem Coulom-

mu

jest najmniejszą wartością

dP

— 0 stosuje Culmann do wy-

kreślnego wyznaczenia płaszczyzny odłamu, wkładając trójkąt sił G, P, Q w rysunek między stok naturalny a płaszczyznę odłamu (fig. 431). Dla kilku

шах

przez

<1 A Ar

>4

Ч\ „ff

JG

Л~

(p-f

Fig. 431.

Fig. 430.

przyjęć próbnych ACt, A C₂ ■ . • wyznacza się odnośne wartości G i wykreśla je wzdłuż AN, poczem P || do „kierującej“, którą jest prosta L nachylona pod kątem ^ do stoku naturalnego. Końce odcinków Płączy się krzywą, której maximum daje praw-c ' dziwą wartość P i położenie płaszczyzny A C. Nachylenie kierunku siły P do pionu (kąt <{/) dane jest przez przyjęcie kąta §' między P a normalną muru oporowego.

Parcie ziemi na ścianę łamaną. Wyznaczenie sił działających rozpoczy nych części ściany (fig. 432). będą już znalezione siły Ą, P₂ co do kierunku i wielkości, a znany tylko kierunek następnej siły P-, ; szukana wielkość P₃. Przedłużenie P3 daje siły K' i G' ; przy nieokreślonej jeszcze płaszczyźnie odłamu AC nieznane są siły G" i Q, a całkowity klin odłamu G — G'-\-G''. Jako warunek dla wyznaczenia płaszczyzny odłamu będzie w myśl teorji Coulomba dla całkowitej siły К:

4—----^r-J

\t

\r.

pA~

ii

IM

Mi,

na się tu od gór-Niech

Fig. 432.

G" sin (y —

max,

dK

Możnaby wiec dla wyznaczenia ITmax użyć wykresu Culmanna podobnie jak dla jFmax (fig. 431), a stad wypadnie położenie płaszczyzny odłamu AC i wartość P₃.

Praktycznie rozpocząć należy od wyznaczenia 1\ jak dla ściany płaskiej, poczem określa się kolejno P₂, P₃... me.odą ogólną, wskazaną tu dla Ps.

Wzór Eebhanna. Przy wyznaczeniu rachunkiem wartości—— = 0

otrzymamy po wstawienia podanej wartości za К :

dG"

G" sin = —

d cp

sin (ф — p) sin (cp — p -f~ 'I).

2p

Wprowadźmy tu dla ziemi obciążonej ciężar zastępczy у' = у -j-

wtedy będzie po wkreśleniu trójkąta A CD między stok naturalny a płaszczyznę odłamu:

dG"

d cp

V.T'

ÏX    у

sin (cp — p-f- cp) = -j sin cji ; sin(cp — p) = — ;

a po wstawieniu tych wartości w równanie górne otrzymamy: G" = V₂ y' fu jako wzór Eebhanna w najogólniejszym kształcie.

Ponieważ K: Q : H : G" = e :l : f: n, będzie więc: K= */₂ y ' fe-,

Q— Va ïr/^i # = 7гУ'/²-

Ściana płaska, naziom płaski obciążony. Dla ściany płaskiej G'— 0, G" = ćr (fig. 433), zatem ćr == ¹/₂ ffn (względnie G—¹/₂^fn dla ziemi nieobciążonej). Przy naziomie płaskim bedzie jednak G = y 'ABC —

Fig. 433.

= y' A GD, czyli ABC = A CD, co wyraża się określeniem Eebhanna: „Płaszczyzna odłamu połowi pole ABCDA, ograniczone ścianą oporową, naziomem, prostą CD |j do kierującej i stokiem naturalnym“. Prawidło to ważne zarówno dla naziomu obciążonego, jak i dla ^ ziemi nieobciążonej.

Z przekształceń geometrycznych wynika przy tern AD =. n — \ AN. A L, a stąd konstrukcja Ponceleta (fig. 433, linje 1—6) dla określenia płaszczyzny odłamu A C i wartości P jako ciężaru „graniastosłupa parcia“ o podstawie CDK:

P= CDK . 1 . y', albo prościej : P— ³/₂ y'/e.

Wypadki szczególne (fig. 434). I. Gdy kierująca BL wypada nad naziomem, konstrukcja pozostaje ta sama ze wskazaną zmianą.

II. Kierująca kryje się z naziomem; wtedy będzie wprost EC— CN.

Ш. Mur przechylony, !)■ — p ; także dla IV, gdy {)■ < o. W obu wypadkach płaszczyzna odiamu pionowa (Ç = 0), parcie ziemi pionowe P—G, równe więc ciężarowi pionowego słupa ziemi od muru do naziomu. Ważne dla nacisku ziemi na górne części sklepień, nadmurowań itp., gdy są od góry ograniczone nachyleniem < p.

V. Naziom, nachylony pod kątem p do poziomu. Konstrukcja Ponceleta jest tu niemożliwa, więc punkt C nieokreślony ; jednak dla stałych wartości e if z dowolnego C będzie P — ³/₂ y e f.

Parcie ziemi sposobem rachunkowym (fig. 435). Ściana płaska o długości s, naziom pochyły, obciążony jednostajnie ciężarem p. Wyznaczamy tu składowe parcia ziemi:

Pn = Fz cotg <Ь pz = Va i s² V², gdzie V ==,-i- sin (fi -|- p),

4\) ‘-‘+K

sin (p — a) sin (p -j- Sf)

sin (fi -f- a) sin ф ’ t — 1

_JL

sin (p — a)

Wypadki szczególne: 1. Ściana pionowa gładka, naziom poziomy (fig. 436).

fi = 90°, V = 0,    « = 0.

"1? / U \    /'

/•

P= Pz = Va Y' ^²tg² (45° — Va p), CD = В C= htg (45° — Va p)>

fLo° C

79

^'P/

co wynika również z przystawania trójkątów ABC i A CD.

2. Ściana pionowa, naziom poziomy, o' <2; 0. Wielkość parcia ziemi w przybliżeniu jak wyżej, tylko wpływ jego na mur będzie inny, bo kierunek zmieniony.

ili

Rozkład parcia na ścianę płaską (fig. 437). Parcie całkowite na ścianę o długości s a naziomie ob

■ B‘

ciążonym ciężarem p będzie :

hg

"Za"

(wykres a)

rv

4т7« = у(г + ^)/е-

Rozkładamy je na:

с.

py = y ï/c i Pp

Vfe .

dla części ściany s' będą Y(' i /)'. P’y: Py = A'² : A² — rośnie według paraboli ;

Fig. 434.

dp; rP

P’p : Pp = h! : A — rośnie według linji prostej.

Parcie jednostkowe (wykres ß) : dP’

dh'

dh'

2 Py Af

A²

W wykresie ß:

stąd przecięcie T na linji i konstrukcja dla b' przy danem b.

Wypadkowa P^ zaczepia w połowie wysokości ściany; wypadkowa P

w Va wysokości ściany. Wypadkowa ogólna P zaczepia w wysokości środka ciężkości trapezu parcia.

•2 P

Y/«

/V

/V"

di

0' -

Pz

V3V

>

ляг

<1

Fig. 435.

Fig. 436.

77

I s’

s :

Se-

Щ

fflfy;

Au

-- w

M

■ Г Ml

.■‘L.p Z-c________

'A

Sf

iÂL-é—»I

Fig. 438.

Fig. 437.

Drugi sposób wykresu trapezu parcia (fig. 438).

P= Л CDK. 1. T' = ^    CDK.

Zamienia się CDK — AH G na trójkąt ABF] dodaje prostokąt AA'ВIV zapomocą punktu M, poczem cała powierzchnia trapezu, mnożona przez j, daje wartość P.

Parcie ziemi wykreślnie przy ścianie łamanej i naziomie łamanym (fig. 439). Dane P₁ i P₂, szukane Pm. Konstrukcja ściany zastępczej A B'm polega na zamianie klina odłamu G₀ — G' na klin V2 'V hm, więc będzie :

Xm

G₀ - G'

VsT 'hm

Stąd kierująca B'm L pod kątem 'bm do stoku naturalnego, poczem e i /; K= V2 Yf ef, Рт = К К'.

Równocześnie wykonywujemy wykres sił. Jest to więc sposób mieszany rachunkowo-wykreślny. Dla naziomu płaskiego składa aie klin G₀ z szeregu trójkątów o podstawach di d₂..., a wysokościach hi hz ■ ... Wtedy będzie :

V. 2 Y'dh-Gm

i

V«TmA«

g-dzie Vs Tm = Vs T + T- •

Sposób przybliżony (fig. 440). Pomijamy tu wpływ na dolną część ściany tego klina ziemi, który leży między murem a przedłużeniem w gorę danej ściany, np. wpływ klina В Аг A₂ B₃ na parcie P₃.

Wykreślamy więc parcie na ściany różnego nachylenia 1, 2, 3, 4 o tej samej wysokości okrągłej h, a redukujemy to na inną wysokość, znajdując np. b₃ —

—    ¹    poczem promień z T

przez b₃ przedłużony do danej ściany i wyznaczona średnia szerokość odnośnego trapezu parcia b₃ ; wreszcie P₃ = a . b₃ itd.

Odpór ziemi. Jest to największa siła P, jaką może działać mur oporowy (który sam pozostaje pod działaniem nacisku, np. parcia sklepienia K‘, fig. 441) na ścianę ziemną, aby ona jeszcze pozostała w równowadze, nie wysuwając się ku górze. Kąty p i 3' będą ujemne przy zmianie kierunku ruchu, stąd rozkład sił jak w rysunku.

Przy ujemnych kątach p i (p -f- 5') ważną będzie konstrukcja Ponceleta (fig. 442). Najlepiej jednakże przyjąć C przez próby tak, aby BM = MK, wtedy będzie odpór ziemi P— у . CIK.

LI:

-4 U /    >

«л / /

-H —-

Fig. 439.

f\ W

>\

G"

p\

A:

Ifl

■G

_

Fig. 441.

Odpór ziemi ujawnia się w stokach brukowanych i przy mur ach okładzinowych, których środek ciężkości pada poza krawędź podstawy (fig. 443). Odpór ziemi działa w ¹/₃ długości ściany А В (bruku). Minimum P odpowiada wypadkowej R, przechodzącej przez krawędź podstawy A. Siłę R należy uwzględnić przy badaniu stałości muru oporowego Mt. . Linję ciśnienia w murze oporowym można wykreślić jako ciąg wypadkowych parcia ziemi i ciężaru muru dla poszczególnych przekroi po mych, poczynając od góry, podobnie jak linję ciśnienia w sklepieniu.

Stąd trzy warunki stałości murów oporowych (por. str. 1324):

1. Linja ciśnienia powinna leżeć w rdzeniu przekroju (dla przekroju prostokątnego w środkowej trzeciej części grubości muru), aby cały przekrój pra-

Fig. 440.

b,

h,

УАЧ

cował na ciśnienie. 2. Kierunek wypadkowej dla poszczególnych szwów nie powinien się odchylać od normalnej szwu o kat większy, niż kat tarcia, aby nie było przesunięcia warstw po sobie. 3. Naprężenia w murze nie powinny przekroczyć granic dopuszczalnych.

Warunki te stosują się ściśle do murów suchych lub na zaprawie, nie-wytrzymałej na ciągnienie i ścinanie. Dla muru na zaprawie cementowej lub z betonu są większe odchyłki przy 1. i 2. dopuszczalne, choć niepożądane

./

Ç,

\P

P\

S-

Ij

Fig. 442.

M V, A4

Fig. 443.

Г'-'^стЗ

B, B R A

P.

,0

li

c,

p.

//

/hlAJs.

L L, L? /

!..

Ll • GJ Z.,4* G,J,

«a

oU

CC.

RJ

Fig. 444.

Fig. 445.

N _0

.4

*-k₇

Ai

łr

*>J

05Л

i!

"fl

; "-ÿj-s

§!.---!

-9>—

t.

Fig. 446.

Fig. 448.

Fig. 447.

I tak dla murów betonowych może wyjść linja ciśnienia z każdej strony osi do Va h (h = grubość muru), dla betonu uzbrojonego do ’/з h; wahania jej skrajne zajmywać więc mogą 0,4 h, względnie 0,67 h.

Wyznaczenie wykreślne grubości muru oporowego. Sposób I. (fig. 444) dla warunku, aby w szukanej grubości muru leżała wypadkowa w 7₃ podstawy. Przyjęcia próbne L, h\ ; odchyłki wypadkowej od ¹/₃ podstawy odcinane w górę jako błąd przyjęcia, poczem linja błędów i szukana szerokość podstawy L₂ A.

Sposób II. (fig. 445) dla warunku, aby naprężenie a u krawędzi podstawy wynosiło określoną wartość k. Rysuje się krzywą naprężeń krawędziowych dla rożnych grubości muru ; przecięcie jej z wartością Je wskazuje grubość szukaną.

na

korzystniejszy ze

Korzystny przekrój murów oporowych. I. Zmiana prostokąta romboid (fig. 446) daje ze względu na ilość materjału mury coraz korzystniejsze ze zmniejszającym się kątem a; potrzebne grubości g₁, g₂, g₃ wypadają coraz mniejsze. To jednak mija się często z celem muru oporowego (podparcie stromej ściany ziemnej, skrócenie stoku).

prostokąta na trapez (fig. 447) daje względu na położenie wypadkowej, mimo mniejszego przekroju.

III. Profil trapezowy podcięty (fig. 448) jest jeszcze korzystniejszy ze względu na położenie wypadkowej, bo stosuje się lepiej dó przebiegu linji

mur

II. Zmiana

ir

У/У/

zŁ

Fig. 4t9.

ciśnienia w dolnej części muru. Jest to zwykły profil normalny murów oporowych. Foerster (Taschenbuch) podaje dobre zestawienie (fig. 449) różnych przekrojów, w których szereg 1—3, 4—8 daje przekroje muru coraz korzystniejsze ze względu na ilość materjału, oraz na przebieg linji ciśnienia.

VIII. Teorja żelbetu.

Opracował

inż. dr. Maksymiljan Thullie.

I. Własności mechaniczne betonn i żelaza (por. także „Materjały

budowlane“).

1. Własności betonu.

Beton jest to mieszanina cementu, piasku i żwiru lub tłucznia, względnie kruszywa, która w połączeniu z pewną ilością wędy twardnieje. Dla żelbetu beton musi mieć pewne wyborowe własności, mianowicie musi być więcej wytrzymały, niż użyty bez żelaza, musi być jednostajny i bez próżnych miejsc, posiadać przyczepność do żelaza i chronić je od rdzy i ognia.

Cement używany do betonu jest portlandzki i powoli wiążący (por. dział: Materjały budowlane. Cementy).

Kruszywem nazywamy kamień tłuczony (tłuczeń) lub żwir o różnych wielkościach ziarn z dodatkiem piasku w takiej ilości, aby piasek wypełniał, ile możności, wszystkie próżnie, zawarte między grubszemi ziarnami kamienia. Dla cieńszych części zespołów żelbetowych kruszywo zwykle składa się tylko z piasku o różnej wielkości ziarn piasku, dla innych części jednak ze względu na większą gęstość betonu dodaje się też tłucznia lub żwiru aż do grubości 3 cm, co zależne jest od wymiarów i odstępów żelaza. Kruszywo musi być wolne od wszelkich domieszek, które wpływają szkodliwie na wytrzymałość betonu, oraz wytrzymałe na mróz i zmiany atmosferyczne.

Kruszywo wydziela się zwykle wedle objętości, cement wedle wagi, przeliczając przy luźnem napełnieniu naczynia wedle ciężaru 1200 do 1300 kg!m³. Zazwyczaj stosunek ten należy wyznaczyć próbami. Stosunek piasku do kamienia zwykle waha się od 1:1,5 do 1:2. Stosunek mieszaniny oznacza się albo ilością każdego materjału z osobna, więc 1:1,5:3 aż

do 1:3:6, albo też zaznacza się stosunek objętości cementu do objętości 'kruszywa 1:3, 1:4, 1:5. Stosunek 1:4 i 1:5 jest dla żelbetu najczęściej używany, 1: 3 używa się rzadziej przy cienkich i silnie obciążonych częściach budowli. Rozporządzenie polskie nakazuje podawać ilość cementu w kg na 1 m³ kruszywa. Nie może ona być mniejsza dla żelbetu niż 300 kg na 1 m3 kruszywa, dla części zginanych nie powinna ona przekraczać 500 kg na 1 m³ kruszywa.

Ponieważ przy mieszaniu części składowych betonu jeden materjał wypełnia częściowo próżnie w drugim, więc suma objętości części składowych jest większa od objętości betonu.

Na 1 m³ betonu potrzeba przeciętnie:

dla stosunku mieszaniny .1:3    1:3,5    1:4

472    420

» cementu w kg

376    343

kruszywa w m³.....1,01 1,05 - 1,08    1,10

270

1,16.

Ilość wody musi być taka, ażeby wymieszany beton dawał się do form wlewać lub też, o ile ma być ubijany, ażeby się w rękach dawał ugniatać w kule. Wedle ilości wody rozróżniamy beton wilgotny, mokry (plastyczny) i lany (por. „Materjały budowlane“).

Wytrzymałość betonu powinna wynosić po 28 dniach dla kostek 20 cm 140 kgjcm², po 45 dniach 170 kg jem², chociaż przepisy polskie tego nie ustalają. Jeżeli ni§ wykonywamy przy mniejszych robotach prób wytrzymałości, można przyjąć wedle przepisów z 1927 :

przy 500 kg cementu na 1 m³ kruszywa 200 kgjcm², „ 1 m3 „ 1 m3 „ 1 m3 „ lm³

170 kg/cm², 140 kgjcm². 100 kgjcm². 60 kgjcm².

Wytrzymałość po 8 dniach należy przyjmować ²/₃ wytrzymałości po 28

dniach.

W ostatnich czasach zaczęto wyrabiać cement wyborowy, najpierw we Francji topiony, który przedstawia znacznie większą wytrzymałość na ciśnienie, niż zwykły cement portlandzki, zwłaszcza w pierwszych dniach po wykonaniu. Rozp. niemieckie z r. 1925 żąda od cementów wyborowych przy próbach wedle norm dla cementu portlandzkiego następnych najmniejszych wytrzymałości :    '

Po 3 dniach (1 dzień w wilgotnem powietrzu, 2 dni pod wodą):

V wytrzymałość na ciśnienie „    „ ciągnienie

Po 28 dniach (1 dzień w wilgotnem powietrzu, 2 dni pod wodą, reszta na powietrzu) :

250 kgjcm², 25 kgjcm².

450' kgjcm², 35 kgjcm².

wytrzymałość na ciśnienie „    „ ciągnienie

Wytrzymałość betonu przy użyciu cementu wyborowego jest odpowiednio większa.

Naprężenie dopuszczalne wedle polskich przepisów dla mostów por. str. 885, dla budownictwa por. dodatek do działu „Statyka budowli“.

Spółczynnik sprężystości betonu jest i^ny na ciśnienie, inny na ciągnienie, a wogóle zmienny z naprężeniem. Dla uzmysłowienia zmienności podajemy tablicę 1. wedle Mörscha.

W praktyce przyjmujemy przeciętne wartości, a to dla małych naprężeń Eh-=2l0 000 kg/cm², dla wielkich Eb = 140 000 kg/cm², a że dla żelaza Eź = 2 100 000 kgjcm², więc n = E. : Eb = 10 dla małych, zaś n — 15 dla wielkich naprężeń.

Tablica 1.

Naprę

żenia

Mieszanina 1 : 3

Mieszanina 1:4

E na ściskanie w kg/cm² przy ilości wody

kg/cm²

8⁰/o

U°/₀

8°/₀

H°/o

po 3 mieś.

po 3 mieś.

po 2 latach j po 3 mieś.

po 3 mieś.

-acł**oa03t>e>-¹ i-¹ W I- !C Ol o ooyeąo 00

oo'b'ho'ai oi Ъо Ts co

300 000 287 000 284 000 273 000 266 000 261 000 257 000 247 000 240 000

272 000 260000 254 000 241 000 235 000 227 000 222 000 216000 209 000

300 000 290 000 286 000 283000 280000 278 000 272 000 268 000 263 000

273 000 257 000 250 000 24101)0 235 000 230000 225 000 218000 211000

250 000 219 ()00 215 000 2(13 000 198 000 191000 185 000 177 000 1700O0

Wydłużenie betonu wzmocnionego. Beton w żelbecie pęka przy tem samem naprężeniu, co beton sam. Bardzo małe pęknięcia pojawiają się przy wydłużeniu 0,00006 do 0,0001 już przy bardzo małem naprężeniu żelaza. Pęknięcia poprzedzają plamy mokre, które wskazują na rozluźnienie spójności betonu.

Ponieważ pęknięcia przy powtarzających się naprężeniach rozszerzają się. przeto przy obliczeniach statycznych nie można liczyć na wytrzymałość betonu na ciągnienie.

Kurczenie i rozszerzanie się betonu z wiekiem zależne jest od tego, czy beton znajduje się w suchem miejscu, czy w wodzie lub mokrym piasku. W pierwszym wypadku następuje kurczenie się, w drugim rozszerzanie (pęcznienie) betonu. Spółczynnikiem kurczenia się nazywamy skrócenie jednostki długości. Spółczynnik ten ß jest tem większy, im beton jest tłustszy, tj. im więcej cementu zawiera. Przy mieszaninie 1:3 do 1:5 może on wzrosnąć do 0,5 mm/m, co odpowiada ciśnieniu betonu 24 kg/cm², a ciągnieniu 18 kg/cm². W obliczeniu wyznaczamy zwykle te naprężenia jako zniżenie ciepłoty o 10°C przy zeskładach statycznie niewyzuaczal-nych. Cement wyborowy ma z początku skurcz 3 razy tak wielki, jak zwykły. Po 90 dniach jest skurcz dla obu cementów równy.

Spółczynnik rozszerzalności betonu wynosi około 0,000010, żelaza 0,000012. Różnica jest tak mała, że sił, powstających wskutek tej różnicy przy ogrzaniu, można nie uwzględniać. Przyjmuje się najczęściej ten sam spółczynnik 0,00001. Beton jest złym przewodnikiem ciepła, to też w budynkach zazwyczaj nie uwzględniamy wpływu zmiany ciepłoty, tylko urządzamy co 30 do 50 m szczeliny, umożliwiające rozszerzanie się. Przy mostach i budowlach na wolnem powietrzu uwzględnia się zwykle zmianę ciepłoty o + 15°C. Cyfrę tę zmniejsza się do 10° C dla części dźwigarów chronionych nasypem czy żwirówką, gdy każdy wymiar przekroju jest większy od 70 cm, albo też w budynkach osłoniętych.

Wytrzymałość betonu przy zginaniu jest większa niż wytrzymałość na ciśnienie w stosunku 1 : 1,5 do 1: 1,7. Tak samo ma się z wytrzymałością na ciągnienie, która wynosi około 12 kg/cm² po 45 dniach. Ponieważ zaś stosunek ten wynosi 1,8 do 2, więc przy zginaniu beton pęka dopiero przy 22 do 24 kg/cm², a nawet i przy naprężeniu wyższem.

2. Własności żelaza.

Na wkładki żelazne używane jest zazwyczaj żelazo zlewne, odpowiadające przepisom dla żelaza budowlanego. Żelazo powinno mieć wytrzymałość większą niż 3700 kglcm¹ 2, a mniejszą niż 4500 kglcm², przyczem wydłużenie ma być tak wielkie, aby iloczyn z wytrzymałości (w t\cm²) i wydłużenia , (w procentach) wynosił dla próbek wyciętych w kierunku walcowania co-najmniej 100, dla próbek prostopadle do kierunku walcowania 90.

Dla stali zlewnej wytrzymałość ma wynosić najmniej 4500 Jcgjcrn² przy wydłużeniu jednostkowem najmniej 25%. Granica ciastowatości powinna wynosić dla żelaza zlewnego conajmniej 2250 кд/cm², dla stali zlewnej 3000 kglcm².

Próbki żelaza należy nawinąć na walcu o średnicy, równej 2-krotnemu najmniejszemu wymiarowi przekroju próbki, przyczem na stronie ciągnionej nie mogą się pokazać żadne ślady rozerwania żelaza.

Żelazo wzmacniające może mieć przekrój prostokątny, wieloboczny lub kołowy, powierzchnie płaskie lub karbowane, a największe wymiary przekroju w jakimkolwiek kierunku nie powinny przekraczać 50 mm.

Spółczynnik sprężystości żelaza zlewnego wynosi 2 100 000 kglcm².

Przeważnie używa się wkładek z żelaza okrągłego. Ciężar i przekrój wkładek podaje tabl. 2. Połączenie żelaza okrągłego, gdy długość jego jest niewystarczająca, może być trojakie: i. zapomocą spawania; jest to

¹

Żelazo rozsuwane (fig. 453), które wykonywuje się w ten sposób, że

²

w blasze robi się nacięcia i naciąga tak, że powstaje krata. Wymiary żelaza rozsuwanego są zwykle 4,80 lub 2,40 m, dlatego używane tylko dla tych rozpiętości.

(c=

Fig. 451.

Fig. 450.

połączenie dobre, lecz drogie; 2. zapomocą ześrubowania z nasadzoną rurą gwintowaną ; połączenie drogie, dobre, lecz tylko tam do użycia, gdzie niema obawy rozsadzenia betonu; 3. zapomocą przedłużenia pręta o długość l (fig. 450); zachodzące na siebie pręty łączy się drutem, a końce obu prętów zaginamy. Długość l oblicza się ze względu na przyczepność tp, mianowicie siła rozciągająca R <ipdr.l, więc:

l-~^r

— Tpd-7t

Pomijamy tu rozmaite pręty karbowane, używane w Ameryce, jak żelazo skręcane Kausome’a (fig. 451) i Johnsona (fig. 452). Są one droższe od żelaza okrągłego, a nie przedstawiają znacznych korzyści, u nas więc nieużywane. Natomiast u nas używane są:

Fig. 452.

/Л

W

kierunek podłużny

Fig. 453.

•01

OCOlOCOOlO

а^эо^со^о^со^со^

-»-Г <м" co но хГ |>Г

О И 02 N

оГ i-Т со ⁻ icT

н о о ю л

сГ OJ⁴ to" со *-«" OJ OJ OJ OJ со

Tfi И o ^ O'. О О Ю T*1 GcT T-Г Ю 05 r*i hJH

co co

N ii O ÖJ CO N Ю ii *0,^0^ т-T oT co" -iT io

Ю СО Ю О И

r^ 05^    05^

CC o' r-T co"' >d'

И ri r rl

05 CO O OJ co

© ^ <* iO OJ^

od* o"' oj" vcT od'

1— OJ OJ OJ OJ

31,17

И O ri GO t- т-i

TjTbTcT^

CO CO TT nf

!>• X X OJ 05 X tC^ OJ^ X^ OJ^

т-Г oj"' CO* *iT lO tD

О Ю OJ OJ *Ü X O X CO r-^ t>T oT o' oT rjT

ИНН

X CD O CO i O r-^CO Х^и-i^

x" co" o" oj" »o"

tH rH OJ CM OJ

О и-» r* 05

, ьГ о" со' x" оГ oj со со со со

Tablica 2.

Żelazo okrągłe (zlewne). Ciężar gat. 7,85.

Powierzchnie przekroju prętów w cm²

N CO 05 OJ Ю o CO 05 CO lO i lO th" r-Г of СО* »сГ

со O H (M и

Т-i r>» co^o^x^t^ r-T r-Г oj' ссГ ccT

00 -I я и 00 » 05 ii 05 Ю тН 05

о" т-Г т-Г oj' со* со

СС СО ^ гН ^ ^ l> г^ X О iO иН о" т-Г т-Г oj" оТ⁻ со"

D Ю Ю H H X lO СО н ю 05 со О О н Н Н OJ

iCH05Nb* CD o: OJ t> CO

«o" г-Г оГ сГ <м~

0 05COiO I>>    05 OJ X

o' «Г C-Г cT o'

О О i О i

х^ х^ х^

•iT о" х" t>" х"

О 0J Н X Ь» GO^ âO.CO^T-^0^

cd* ri? ю" х" ьГ

»О 05 X 0J о

х^со^о^ х^со^

oj" со" со" ю"

O 05 H lC3 05 O^OO^GO^GO^O^ i Ю l> 05 r( H H H и CJ

X OJ CD OJ rH

X^ OJ^ GO^

oj" cd' »-o' i>T cc

rH •—i t—ł rH т—I

о ю oj со и О со N И о. o' тн" oj" -ii" ю"

г— тН ИНН

tßßßx

cg оГ о т-Г <м~

СО И со H (М

х^ х^

х' х" t>T со" оГ

■н< -н х х

х^ со^

rt О С' 1—• rfi

oj oj oj со со

G0 Т-Н со ^ ио СО^ О. т-^ ^

сГ ©j" н*Г ьГ оГ

OJ OJ OJ OJ OJ

oj тн ь- oj ^ со^ х^ ь оГ сГ of

ТН И (N СШ

H (М о со GO CM X г-^'Х. со"' «сГ хГ осГ of

Ci О ÎÛ ь со

СО ^ I¹ ‘О I⁴*

сГ —Г оГ ссГ ^

тН Т—) ч-н тН т—I

-,

О) X 1^ о н н СО Ю !>• О OJ^iC^

сГ о" о" тн" г-Г —Г

OXiOXCO

05 (М X О to

r-Г oj* оГ со" со"

OJ -+ о; X С^Ю^О X СМ i i но О о

сЬ О И о (N

os х со^о^х^ o' t-" со" оГ оГ

Obwód (I Przekrój стг

cm

Ciężar

kgjm

Średnica

mm

О X СО О i 05 OJ ^ СО Ю X ^

о" о" о" о" о" о"

t>- X O T-H X ^

о X w ^ co^ И-Г T-Г oj" oj" oj" co"

H+l OJ OJ to 05 X Ю OJ C 05 05 и т-i 03ftCCCOiCO

o" o' o' o' сГ сГ

to X X 05

o w co i

05 H CO ‘O I>

X l>- X O rH

^ I>-

co" co" rf HjT rłi"

xxojxi>-

-Ü X Tt< О X сOJ^ co^ о" сГ тн" гн" 7-Г

н я со i >o

H H H H H

^ N i ii ii О OJ »O X и-i

oj" OJ оГ oj" co"

CO ii lO N X CO^ O 05^ OJ O lO Ю Ю x"

X OJ X x> X CH X CT. oj X iO^ tr- 05 OJ^ -ii

И-Г th" ин" oj" oj"

X x 05 O

H H H rH OJ

о о »о сз и ^со^-г^^а^ со со ^ ^ ^

о н со ^ л

X 05 OJ^to^x^

х' х" t-r ьГ i>f

r^i rfi тН н-i CO h Q0 О Ю »5 O^ OJ^ to^ 00^

oT oj" ccT co co'

H C3 CO ^ lO OJ Ol OJ Ol OJ

© © СО wo © со' !>Т т-Г «o' сГ

LO iO © © 1ч

СО (М со © тЧ

ТГ Ч .о М

lO © wo © ©

1ч СО СО © ©

© 51 H CD ©

1ч wo Ч Ч ©

тЧ Ь- СО © wo

© © тЧ тЧ (М тЧ тЧ тЧ тЧ тЧ со Ч СМ о ч O^WO^M^©^©^

оГ х" o' см" оГ со СО ч wo wo

i-Ч r-H тН г-н тН

©    ©    14    l--    »О

©" со"    о" со    со

©    14    со    со    ©

тЧ    тЧ    тЧ    —■    тН

wo wo ©

X со см ч см

1ч lQ 00 Ч © Г^» тЧ i-O © со Ч WO со СО 1ч ч ч

© СО © 1ч iÔ

1ч* <м" со г-* со © 1ч 1ч X СО тЧ 1> 1ч Ч ©

©^ 14 ©^ WO^ ©^

т-Г ©*' оГ 1>г со" © © (М X © Ч СО х^ ©^ 1ч^ сог ч^ х" ч" ©" ©" со" ч см со со ч

Ч тЧ Ч Ч Ч 14 Ч © <м ч wo^ Ч^ х^ 1> ©* ©" см" © © ч wo © © 1ч

т-н Ч т Н тЧ

N о с ч о Ч^ со^ см^ х^ of icT оГ см" «гГ

Ч 'Ч 'Ч »О iO

X Ч СМ СО 1ч

СО^СО^ Ч^©^©^

о" чГ со of со

со со О Г» 14

со см со ь- со

Ч © С— о

н со o' *о сГ .' ou © © о

105.63 110,83 116,18

121.64 127,23

Ю 05 N со X 05^ со^ см' 00* ч" o't^4 СО со О lO

тЧ т—( тЧ тЧ Ч

© © ТЧ

ч н ч

со © со со

°*s *"1 ®*.

t-f сГ со' ©" оГ

СО ^ 4f ч ^

СО © 1ч © Ч

» *о «

<м" со' of со" Г-" ю ю о со со © 1ч со см ©

(М <М со © ©

т-н ic"©СОГ-1ч 14 14 X X (М СО wo со со Ч © © Ч СО см" ©" т-Г ©" т-Г

© ©

Ч lO ^ о ч СО^ Ч^ ©^ ©^ Ч^

со т-Г ©" <м" 1>Г

тЧ (М см со со

Ч т-Н тН тН тН

© Ю Ч CJ ч Х^ со^ ©^ ©^ ч^ —-Г 4" zo ©" of

СО СО СО СО Ч

© © см со со    N н ч X

СМ^ СМ^ СО^ ч^ J4^    © lO © ©

wo" со" т-Г Ч 1>Г ч ч о »о о

чц

—Г ч" осГ т-Г *о

© © © 14 1ч

см <м со со (М

ЯЧН 714 оГ со" 1ч" т-H »о" I- X X о ©

Ч © 00 Ч Ч 14 тЧ lO т-н СО

оГ go⁴ го" i-'

05 О © и ч

тЧ тЧ Ч тЧ

о со © см ч iO © 1^ © со «o' со" сГ со" ю" СМ см со © со

Ч Ч © О Ч Ï4 М t4^ ч^ ч^

1ч" ©" см" О со" СО ч ч ч ч о © о со со

©^ 14^ 14^ 14^ (»

o' «s' «o' бГ от" 1& о ю ю ©

*ч 1ч тЧ СО СМ

©^ см^ ©^ ©^

«o' оГ 01 ©" оГ

© © 14 1ч 14 © lO СО СО 1ч

тЧ^Гч^Ч^СМ т—

со" ©" ©" Ч*Г со"

со со © © ©

Ч О СО СМ 1ч <М^© » ^ 01

▼-Г <м" ч" ©" со" см <м <м см см

© 1ч Ч Cl X т-^ т-^ СМ^ СО^ ч^ o' м" ч" ©" со" со со со со со

(МтЧ©С0©    ^СМ©СМ(М

©^ С<114^ см^    со^ ч^    со^ ©^

со со"ю"1ч"о"    см" *о" со    ©" со"

Ч Ч чИ Ч wo    wo

wo W0 © ©

СО © со СО ч ч Ч СО Ч wo ©" ©" см" »о" со"

© © 1ч 1ч 1ч

СО X т-1 тН

©^ т-^ ч^ (X см^ wo" 1^ со оъ Т-Г Г— иннсм

Ч со © ч © © ^©^м^с» см" ч" >о" 1>Г со

(М <М СМ (М см

ч © <м ч ©

Ю (М^ С^С0^1Ч^

сГ м" ч" to" 1ч* со со со со со

тН    ©    ©    1-1    тН

оГ см" ч" ©" со"

Ч W0 Ю iC wo

(М (М (М

(М Ю и н Ч ©^ ч «1 (М^ тН o' т-<' (м" «o' т(Г

тН тН тЧ тН т-н

© СО T-t © Ч

^0 <© 1Н т-ч С-1

in'‘S i-^ со" ©Г

ТН тЧ тН гН т-Н

© © со © со

СО^ © 00^ тЧ

«o' т-Г см со wo <м <м

T—I — Ч тЧ тЧ

Ч^ 1ч^ © ч со_

©* ГтГ ©* О тЧ

см м см со со

Ч © © ^Ч I — (М 1ч т-н 1> М

со" ч" со Is-' оГ со со со со со

10.18

Ю Tjł о N l'- СО 05 ю

О Т“Н т-Н фЗ

И Н Н и

и СО' СО И 1> СО t- тН СО^О Ю О СО СО i'-

Ю Ч WO X М

wo о ю о со 1ч" ссГ х" оГ ©'

О wo (М т-Н О <М^ Х^ <М^ ©^ со' СО ч" ю* wo"

СМ WO О О Ч <10 со т-н GO ©

со"' 1ч"cc cc' ©"

Ч Ч Ч гЧ тЧ

00 О Н (Я

т-^ Ч^ СО^ Ч^

ссГ со <хГ сгГ оГ

Ю N СО О    И(М^ЮЬ

Ь^С^СО ©^с^    ССО

сГ сГ сГ сГ т-Г    т-Г —Г т-Г ©Г см"

X С5 H îq ^

°°^ *■! *я ^ ^

<м" со' Ю СО" Ч"

»Ot^CCOJ

Ч^ 14 ©со

ч ч wo wo

Ч тЧ г-н т—I

15,71

X о ^ ю о со © СО СО Til т-^ Ч^» Ч^ w0 "Ф 'Ф ^ iO ю

»Q СО Ч Г- СО (M тЧ т—i 01 О 05 CO l4 r-< wo" o' o' С'-"' 1ч"

О О СО 00 wo О rt с N О о ч^ © со^ х^ 1ч" CG об' оГ сГ

ч © © © wo

ohoccx

СО^ Х^ Ч^ ©^ Ч^

o' сГ т-Г -Г см"

П гЧ н тН тЧ

СО О lO со со

Ч — О О -гЧ ©^ ©^ (М _ со ч^ СО СО Ч Ч id

т-I т-< Ч T—I тЧ

О Г- СО 05 о <м см см см со

т^ СМ СО Ч Ю    со l> X 05 О    ^ (М СО О    CC h- X 05 О

СО со СО СО СО    СО СО ГО СО Ч    Ч Ч Ч Ч Ч    Ч Ч Ч Ч wO

2. Żelazo Kahna (fig. 454). Boczne wypustki nadcina się i zagina pod kątem około 45°, pozostają one jednak stale połączone z głównym przekrojem. Przekroje żelaza przedstawia fig. 455. Odgięte pręty muszą być tak długie, aby zachodziły aż do środka ciśnienia. Tablica 3. podaje wymiary wedle cennika fabryki Jordahl i Spół. w Berlinie.

Tablica 3.

Żelazo Kahna. D i C mają przekrój trapezowy.

Kształt

przekroju

Przekrój cm²

Ciężar

kg/m

Przekrój bez prętów odgiętych

cm²

Przekrój jednego pręta odgiętego cm²

ДОЯ<!нН H >;

ye jo Ol JÆ

“-л ~ci    "b» 'cct "Дл "cc 4*

СпООСЛО^ООО

О О О Ю o o т-Г т-Г o' o' «<Г

jo J-д oV

TH GO т-Г т-Г

Ji^oco »O CO l>

тН co o

tH

GO тн    00 GO O CO

0^0^ I 4M» «»W cT o'    o' сГ сГ т-Г

3. Belki kratowe bez nitów (fig. 456) z blach lub płaskowników, wykonane przez nacięcie i rozciągnięcie. Korzyść: możność zawieszenia deskowania, wada: mała zmienność przekroju, stąd droższe w użyciu niż żelazo okrągłe.

4. Żelaza dla zawieszenia łożysk (fig. 457).

Układanie żelaza. Żelazo jj    przed ułożeniem w deskowaniu

Fig.'454.

należy oczyścić z wszelkich nieczystości, usunąć rdzę, jeżeli odpada łuskami. Wkładki żelazne w deskowaniu trzeba tak silnie umocować, aby przy nanoszeniu betonu nie zmieniły swego kształtu ani położenia. Wkładki należy zakotwić przy pomocy zagięcia końców.

Odstęp wkładek między sobą dla tego samego rodzaju wzmocnienia powinien być w świetle równy lub większy od grubości wkładek, nie po-

/,//

HIß ù,

Fig. 455.

Fig. 45G.

winien jednak schodzić niżej 2 cm. Jeżeli odstęp ten wyjątkowo zmniejszymy do 15 mm, to trzeba użyć zaprawy cementowej tłustej, aby wkładki że azne dokładnie objęła. Od powierzchni zewnętrznej powinna odgraniczać żelazo warstwa betonu najmniej 1 cm przy płytach, w innych zespołach 2 cm, od powierzchni strzemion najmniej 1,5 cm (fig. 458).

za-

Przyczepność żelaza do betonu wzrasta z wiekiem, jest większa dla żelaza ze skórką walcową niż bez niej, zmniejsza się z długością pręta

betonowanego, jest większa dla większych przekrojów, niż dla mniejszych, większa przy ciśnieniu, niż przy ciągnieniu. Doświadczenia Bacha wykazały, że przez haki początek przesunięcia nie o wiele się opaźnia, że jednak wytrzymałość się zwiększa c 40 do 50p/o- Ponieważ pręty dolne bez udziału górnych nie mogą się przesunąć, należy wedle doświadczeń Bacha do obliczania naprężeń przyczepnych przyjąć oprócz powierzchni prętów dolnych także powierzchnię prętów górnych.

Opór przeciw przesunięciu polega właściwie w małej mierze na przyczepności, w większej (50 do sO°/₀) na tarciu, które zaleźnem jest od chropowatości powierzchni. Jednak cały opór przeciw przesunięciu nazywamy tu zwyczajnie przyczepnością.

Ponieważ haki prostopadłe lub o kształcie e przeszkadzają skutecznie przesunięciu żelaza i ponieważ rozkład naprężeń przyczepnych jest bardzo

71

МШЖЖ.

7 Г"

e~i5cm

JF»

Fig. 457.

Fig. 458.

Л'

/r

Fig. 459.

niepewny, a dobrze skonstruowane belki nie łamią się zazwyczaj przezwyciężaniem przyczepności, przeto w ostatnich czasach nie obliczamy naprężeń przyczepnych, jeżeli żelaza zakończymy hakami. Rozporządzenie polskie dla mostów z 1925 dozwala opuścić obliczenie na przyczepność, jeżeli wkładki są zakończone hakami, a średnica żelaza nie przekracza '/зоо rozpiętości, zaś niemieckie dla wkładek o średnicy 26 mm i mniej.

Jeżeli na pręt o średnicy d, długości l działa osiowo siła P, to obliczamy wedle równania (1). Jeżeli przyjmiemy, że siła poprzeczna T jest na długości dl (fig. 459), to Tdl — Wr . c — rpO . dl. c, stąd :

7 Oc

jeżeli O oznacza obwód przekroju pręta, c odstęp środka ciśnienia od środka ciągnienia.

(2)

II. Obliczanie naprężeń belek zginanych.

3. Zasady obliczenia.

Przy obliczania belek żelbetowych na zginanie robimy następujące zamiar żelazo i beton tak sa ze sobą połączone, że względem siebie sie

i jedną całość, a oba materjały mają

łożenia: żelazo i beton tak są nie przesuwają, więc belka stanowi

prężenia proporcjonalne do ich spółczynuików sprężystości, oraz że przekroje po ugięciu pozostają płaskie.

Ponieważ spółczynnik sprężystości betonu zmienia się zaś wytrzymałość betonu na ciągnienie jest mała, a po jej przezwycięż działa tylko żelazo, przeto rozróżniamy kilka faz podczas obciążania belek.

na

z naprężeniem, . ‘eniu

⁶b

i

X,

6r

4 ь sr

Fig. 460.

Fig. 461.

i_.

Fig.463.

ËL

LÂ

T $•

Fig. 464.

Fig. 465.

na roz-

baza I dla małych naprężeń (fig. 460). Spółczynniki sprężystości ciąganie i ściskanie są równe, więc linja naprężeń jest prosta.

Dla nieco większych naprężeń należałoby uwzględnić zmienność spół-czynnika sprężystości Zamiast krzywej Ob (fig. 461) przyjmuje Melan prostą O bx, a więc inny spółczynnik sprężystości na ciśnieme Eb i na ciągnienie Ei..

baza IIa (fig. 462) dla nieco większych naprężeń. Tu Considère przyjmuje prostą E'B' Il EВ, przypuszczając, że beton rozciąga się dalej bez pęknięć. Obecnie wedle tej fazy nie oblicza się belek.

a na

baza IIb dla większych naprężeń. Przypuszczamy, że beton pękł, __

ciągnienie działa tylko żelazo. Obecnie przyjmujemy zazwyczaj dla ciśnienia linję prostą (fig. 463).

baza III następuje,gdy ciągnienie żelaza przekroczy granicę ciastowatości. Wtedy ciśnienie betonu nagle wzrasta i doprowadza do złamania belki.

4. Faza I.

Belka prostokątna pojedynczo uzbrojona w pasie (fig. 464). Ustawiając równanie momentów naprężeń ze względu na oś obojętną z przyjęciem n— 10, otrzymamy odstęp osi obojętnej:

bh² + 2anFt ‘

2 (bh-\-n F.)

Naprężenia obliczamy ze wzorów:

Mxx

Zr T

Xi =

; oci

M (h — х-i)

bh*-{-20aF.

2(йА + 10Ж)    ' ‘

. . (3 i 4)

10 M (xx — a)

.(5)

przyczem :

J —Уз b [a?j⁸-j- (h — a?i)³] —}— 10 F■ (xy    a)²

\Л

(6)

-Ь

Sl

li

*1

eh

Fig. 466.

*1

»»ШШ

eb

J

O'.

i.

eh

Fig. 467.

Belka prostokątna obustronnie uzbrojona (fig. 465). Tu otrzymamy odstęp osi obojętnej:

bh² Ą- 20 [aF.-\-{h — a')F2

(7)

2[ÔA + 10(F. + ^)]

J = Уз i [®i³ + (А - 3û)³J + 10 F:{xx - af + 10 Ą\h -х,- а')² . (8)

Naprężenia obliczymy z (5), а

°;-

10 M (h — Xi — a')

(9)

Belka teovva pojedynczo uzbrojona. Tu rozróżniamy dwa wypadki. a) Oś obojętna nie przecina płyty (fig. 466). Wtedy mamy:

1 be (2 A. — e)-\-bi {h — e)² -(- 20 . aFé b e -j- bi (h — e) —(— 10 F-

Xl== T '

. . . (10)

(bx² — (ж — e)⁸(6 — 60-f ô₁a?₁³) + 10i^(a;i — я)² . .(11) Naprężenia obliczamy wedle (5).

6) Gdy oś obojętna przecina płytę, otrzymamy (fig. 4 67):

! be^ + b^h² — e²) + Z0F.(h — a) b e -j— bx {h — e) -f-10 F ■

J — Vs (b X² -j- b (e — X)³ -j- bx [(/t — xf — (e — æ)⁸]) -f- 10 F. (xx — a)² (13) Naprężenia wyznaczamy wedle (5).

Belka teowa obustronnie uzbrojona. Jeżeli oś obojętna nie przecina płyty, otrzymamy:

(12)

! b e (2Л — e) + bx (h - e)² + 20 [aF. -f- (h - a') F'.] be + Ьг (h-e) + 10(Fé + F't)

J г/з {b . Xs — {h — xx — e)⁸. (6 — 60 -j-

+ 6, xA + 10 [F. (xx - a)² -f F’é {h - Ж1 - «')]    . . .(15)

. (14)

mmmmmm.

тммж

*25

j.

Fig. 468.

Jeżeli oś obojętna przecina płytę, mamy:

! b e² + bx (h² - e²) + 20 [Fé (h — à) + F'é a')] be bx(h — e) + 10 {Fi -f-F'é)

Dla J ważne tu jest wyrażenie (13), zwiększone o wyraz 10F'.{x— a')2 (Fig. 468).

• .(16)

’&ШЖХУ

3..

Fig. 469.

5. Faza IIb.

Belka prostokątna obustronnie uzbrojona (fig. 469). Oś obojętną znajdziemy, tworząc sumę momentów statycznych przekroju równą zeru i przyjmując ii — 15.

Więc :

a stąd:

V2 bx* — 15 F& (Aj — ir) —}- 15 F\(x — a') = O . . . .(17) *i + *j

1+J/

4b(F. h^Fla’)

15 (F; + f:?

. .(18)

Dla belki pojedynczo uzbrojonej F'. — 0, wiec :

n£h+V '

2 b hi

1Б F,

(19)

Naprężenia otrzymamy następnie wedle wzorów:

Mx

IbMihy— x)

15 M (x — a')

■>

przyczem : J = 7, 6 ж³ -f 15 7Л — ж)² + 15 F; (ж — af)² • • • . (21)

Naprężenia belki pojedynczo uzbrojonej dadzą się jeszcze inaczej wyznaczyć. Tworzymy sumę momentów raz ze względu na środek ściskania, drugi raz ze względu na środek rozciągania i otrzymamy:

.(20)

M=FĄhl-^)a.,

oraz M —

bx

a stąd:

FĄh'~T)’

. . . .(22)

HA‘ ~ f)

Obliczenie naprężeń zapomocą tablic Foerstera (tablica 4.): Wyznaczmy F. w stosunku do powierzchni użytecznej AAX. Zatem:

Ft

b hr

(23)

Wstawiwszy tę wartość w równanie (19), otrzymamy:

[V¹

(24)

bx(hx — 7₈ж)    bkh₁(h₁~¹/₃kh₁)

= k'

Ь Aj² *

.    (25)

gdzie :

fc'

m-w

Wreszcie :

= k"

F,( А1-73Ж)

(Aj 7, fc Al)

6 Aj²

.(26)

gdzie :

A" =

Obliczenie ułatwia tablica 4. ,

Belka teowa podwójnie uzbrojona. Tu musimy znów rozróżnić wypadek, gdy oś obojętna przecina płytę i gdy oś obojętna nie przecina płyty. W pierwszym wypadku możemy wprost użyć wzorów dla przekroju prostokątnego', bo rozciągania poniżej osi obojętnej i tak nie uwzględniamy, więc obojętne jest, czy przekrój jest pełny, czy też mamy tylko żebro.

b\

100

110

120

130

140

150

160

170

180

190

200

210

Tablica 4.

Naprężenia

°b

nż

0,418

0,403

0,391

0,379

0,368

0,358

0,349

0,341

0,333

0,326

0,320

0,313

5,559

5,735

5,895

6,040

6,194

6,344

6,485

6,617

6,756

6,883

7,000

7,132

116

i—*• i—l i—^ i—^ i—

<1 05 ^ 05

181

192

co co

224

234

il/

' bh,²

' Ô/ь²

Jeżeli os obojętna nie przecina płyty (fig. 470), otrzymamy dla belki uzbrojonej podwójnie w analogiczny sposób, co dla belki równoległej :

eÇb-bJ + lbÇF. + FÏ)

2    e²(b-b₁) + 30(Fih₁-F',a')

bx

. (27)

mm

мл

bź

4-Jt

Mx

Fig. 470.

153/ (Aj — ж)

15 3/(ж — af)

.(28)

Dalej : oft

./i = Va i*³- Va (i - &0(я? - e)³ +16^(Äj - я)² + 15/VO* ~ «О² • (29)

Dla belki teowej pojedynczo uzbrojonej jest F'é— 0, więc:

(b — b^e-^-ib F^

ai

Ji

Ji

(b - bx) e + 15    \2    (6 - J,) e² + 30Ft A,

oraz :

. .(30)

Ji = Ve bx° - V, (6 - Al) (* - e)³ + 15/b (Ä! - ж)² . . . (31)

ii

ii

Przybliżony sposób wyznaczania naprężeń polega na tem, że nie uwzględniamy stosunkowo małych ciśnień w żebrze. W budownictwie da on się z korzyścią użyć, dla mostów (gdzie mamy często wysokie belki) lepiej liczyć dokładnie.

a) Dla belki teowej podwójnie uzbrojonej (fig. 471) mamy:

X — e

o' =

,    -, г x —a'

⁰* = 1б0ь—

----ь-->

i_r

I*•

stąd :

to :

Fig. 471.

+ Щ= V.(°6~h°) «6 + « = «Л

V.e’J + lß^a' + F^) eń + i5(r: + r,)

«4n = Va b xs - Va (ж — e)s й -f 15 [F', {x — a')² -f- F. (ht — x)²] _. (33) Й) Dla belki teowej pojedynczo uzbrojonej jest F'é~ 0, więc:

¹/₂&е² + 15Г.А1 ń в -j— 15 F £

JlI1=4₃bx³-¹lsb(x-e)*+nFź(h₁-xy . . . .(35) Odstęp środka ciężkości trapezu ciśnień od osi obojętnej niech będzie v,

e °b 4~ 2 gf 3 °6 + ^

(32)

.(34)

a po wstawieniu wartości : v — x

(36)

2 (i (*2 x — e)

________ У*

F- (ńj — ж -(- ») ’ °h 15 (At — x)

Przepisy polskie nakazują przyjmować szerokość użyteczną płyty c po każdej stronie żebra żelbetowych dźwigarów teowych, zależnie od odstępu żeber w świetle a i ich rozpiętości Z według następującej tabliczki:

. . . . (37)

Tablica 5.

Dla a

od 0 do 0,25/

0,50/ 0,45 a

0,75/

0,40 a Va a-

Dla pośrednich wartości należy interpolować według prawa linji prostej. Nadto należy przyjmować c < 8 e.

Mesnager podaje wzór:

0,5 a

/а,

T -j- 3 (i\

przyczem oznacza osiowy odstęp żeber. Bryła, Podręcznik inżynierski. VI. 87

(38)

Rozporządzenie francuskie żąda, by b < ¹/a l i b < ³/₄ dx.

Przepisy niemieckie z r. 1926 orzekają, że płyta belki żebrowej musi mieć grubość najmniej 8 cm. Dopuszczalna szerokość płyty jest: a) przy

шшш

I.

— 6d-

V/'

----6d

Fig. 472.

obustronnej płycie (fig. 472) b = 12 d -j- b₀ -{- 2 b₄ i nie większa, niż odstęp

środków pól i niż połowę rozpiętości, b) przy jednostronnej płycie (fig. 473) .    b = 4,5 d + b₀ + bs a nie większa, niż

У//У

połowa odstępu w świetle żeber ¹/₂ b0 i niż jedną czwartą l.

i III. Wyznaczenie wymiarów belek zginanych.

6. Przekrój prostokątny.

Przy projektowaniu mamy dla danego momentu M i danych naprężeń —J    dopuszczalnych betonu abd i żelaza c-

wyznaczyć wysokość użyteczną przekroju hi i uzbrojenie Fprzy belkach teowych dana jest też grubość płyty e i szerokość żebra Aj.

Przekrój prostokątny poj edynczo uzbrojony. Jeżeli wymiary tak obierzemy, że naprężenia betonu i żelaza są równe danym dopuszczalnym, to przekrój taki nazywamy idealnym. Przy przekroju prostokątnym belka taka jest też zwykle najtańsza. Dla tego założenia mamy : x : (Aj — x) = 15 aft : g„

¹⁵ ~b

x ~ 3i+i5o,;hi = ki hi

Fig. 473.

stąd:

albo gdy

°s

ЯШ),

■P-

(39)

(40)

1 + 15 у

Dalej : c = A, - % x = hl — V, kx Aj = Aj (1 — »/s Aj) = + Aj . . (41)

Dalej mamy :

2 il/

b X (Aj — V,

a po wstawieniu : Ax

.(42)

Ponieważ Wr . c = ог Aj = M, więc : F, — a po wstawieniu wartości z (42) : F. — &₄ Aj b . . .

Aj Oj Ao

. . .(48)

jeżeli

o$ = 750 kg/cm²

a % — 850 kg/cm'¹

I °bd i kg/cm²

Fi

cm

cni

kg/cm²

cm

cm

Fè

Fż

cm²

! cm²

nbd kg/cm²

TABLICA 6.

о £ — 900 kg cm?

о g —Ю00 kg/en?

a2 — 1200 kg'en?

Fż

Fż

cm

cm

cm²

cm²

° bd kg/cn?

cm

cm

Fż

Fż

суп²

cm²

abd kg/cm¹

cm

cm

Fż

Fż

m²

СУП²

O    53    CO    CO    O

H    тН    4—«    г—<    rH    03

^ O CM 40 со CO Ci — T* CO GO 4-^ 4-^ CM^ 03^ 03^ CM

сГ <э cT o' o' o'

Ю GO СМ 40

ч-Н о

гГ o' o' с o' o'"

Ci Ci *3 GO te ч ел w HA GO о со

0,00111

0,00155

0,00204

0,00258

0,00317

0,00380

0,00216 18 0,00237 ' 20

О О GO

to о- о ем т* о

H ч-н t-H (M (M (M

cT o' o' o' o' o'

на о

1>-С5ч-Н'ч0ч£'-GO    О    t-    СО    tH    ^

T-^    о    CO^    CO^

i-T    т-T    o'    o'    o'    o"'

0,00088

0,00123

0,00173

0,00220

0,00251

0,00308

0,00105

0,00124

0,00152

0,00168

0,00179

0,00199

te» HI H4 НА »—à. i—L

O GO 05 tO О

СО ^ 05 ч—< —- О

0( ео со и со о

—^ Ч-Н^ т-^ GM <М (М

o' сГ сГ o' сГ o' •

1,212

JP <2 Cï JP J-a

ч Ъ O

CO CO GO er«

II

GO

O «43

о to о to

0,00079    0,00095

0,00111    0,00113

0,00159    0,00131

0,00187    0,00148

0,00231    0,00164

0,00278    0,00184

О 53 0 CO 00 О

ч-н тЧ тН тН ч-Ч <М

О CO ^    СО и

СО Ю !>• 05 Ч-Ч CO

o' o' o' o' o' cT

CO CO

CO N CO CO <M о 00

T-Г и o' o" o' o'

D1

05    -3

GO СГ4 ел ha

0,00065

0,00092

0,00122

0,00155

0,00192

0,00231

0,00826

0,00982

0,00114

0,00128

0,00143

0,00158

О    (M    ^    CO    GO    О

ч—I    ч-Ч    4—(    тН    4—<    (M

Ч-3 О О t^ СО о ■*—< CO ^ СО со о

о o' o' o' o' o*'

1,367

О H*-О о*

о со CM о о со

GO СО 1>

0,00046    0,00063

0,00065    0,00076

0,00087    0,00087

0,00111    0,00099

0,00137    0,00111

0,00167    0,00122

53 rC CO CO O (M CM CM (M CO

СО -н (M О 40

о ем ^ 40 co^ co^ co^ co^ co^ o' сГ cT oT o'

4-0    L-    Ч<    СО    ч—<

t»    СО    О    Ł—    4Q

Ю    Ю    4О    Ч*    Ч<

сГ    o'    o'⁴    o'    o'

о сГ o' o' о*'

O    I>-    Ч<    1-1    СО

00    О    -ГН    со    -ГГ

(M    (М    со    со    со

lO CO Ю CM 05 CO 4^ 4^

o' o' o' o'" o'

0,00361

0,00422

0,00479

0,00540

0,00611

0,00217

0,00234

0,00250

0,00267

0,00285

53 01 СО СО О 53 53 53 53 СО

GO

о

СО (М GO СО 00 О Ч-н со ем^ (м^ со _ со^ со o' o' o' o' о*'

О 1^ чН о ^ —<COCOOI>-

СО^ 40^ 40^ 40^

o' o' o'⁴ о" o'

0,00328    0,00196

0,00380    0,00212

0,00437    0,00232

0,00495    0,00248

0,00554    0,00264

53 01 СО СО О 53 53 53 53 CO

00    40    ТН    со    о

нН    CO    GO    О    4-4

<Mr    (M^    GM^    (M^    CO^

o'    o'    o'    o'    o'

<M    GO    О    GO    О

CO    GO    40    ч—i    C5

CO    4-0^    40    40^    Tfl

o'    o'    o"    o'    o'

0,00273

0,00318

0,00365

0,00414

0,00466

0,00172

0,00187

0,00201

0,00214

0,00228

CU (S (9 O GC Ci 1Й- lO

со ^ 40 о со

Ч-H CO ^3    40    Is'-

<M^ (M^ (M^ <M^ GM

o' o' o' o' cT

N 53 GO ^ Н СО 40^ 40 40

o' o' o' o' сГ

cc eo ^ ел

0,00198    0,00133

0,00231    0,00144

0,00266    0,00155

0,00302    0,00166

0,00341    0,00177

^ W CC 05 w O GO O tC»

O 40 Ci (M ^

O O T-ч CO ^

CO^

o' o' о" о" <o

о о со t^ со (M О О со ^ со^ со^ со^ o' сГ сГ o' сГ

ч-н »О GO т—I Ч* СО 1> СО О СО^ СО^ СО^ Ч< Ч^

o' o' o' о" o'

^ со

^ <М

о сГ сГ сГ o'

W W

-3 QO о ^ со ел

0,00679

0,00750

0,00822

0,00897

0,00974

0,00301

0,00318

0,00333

0,00349

0,00364

53 ^ СО СО О

со со со со ^

OD 53 Ю СО О со N СО о со^ со^ СО^ СО^ ТГ

o' o' o' o' o'

ч-ч о (M Ю со и Ci СО

^ СО СО^

o' o' сГ сГ o'

»о о

0,00017    0,00279

0,00685    0,00294

0,00752    0,00308

0,00820    0,00323

0,00889    0,00337

<М чК СО GO О со со со со

rfl GO СО Ю GM CO CO

co^ co^ co^ co^ co^ o' o' cT o' cT

^ со со со о

CO -0 IM O Ci

^    ^    ^    со

o' o' o' o' cT

0,00519

0,00574

0,00631

0,00690

0,00750

0,00241

0,00254

0,00267

0,00280

0,00293

53 ü со СО О со со CO CO ^

CO GO O GM CO GO О Ч-H (M CO

С*?, CO^ co^ о o' <S cT o'

53 GO l> CO H Ci 50 ^ 53 H ^ hH ^

o' o' о" cT o'

0,00381    0,00187

0,00423    0,00198

0,00466    0,00208

0,00510    0,00218

0,00556    0,00228

Ci Ol 1^ ^ ^ ^ O O GC O to

t>-    00    О    О    О    40

»О    CD    L—    О    О

^    ^    40^

o'    сГ    o'    o'    o'    o'

ч—< о о о о о

О СО 53 н гн О со^ со^ со^ со^ СО^ 03 o' сГ о" o' сГ o'

50

CO GO О CO CO CM CO 4< 40 t^- ч-ч ■’Ф ^ ^ 'if rf iC

o' o' o' o' o' cT

TH о    О    !>•    !>•    ч-н

со ^    СО    СЗ    тН    со

СО^ СО^    СО    СО    со    <м

o' o'    o'    сГ    o'    o'

0,01052    0,00380

0,01132    0,00395

0,01213    0,00410

0,01295    0,00424

0,01392    0,00441

0,01797    0,00505

ФЗ со ^ ^ о о

ч-н (М со ч* ю о Ч^ Ч^ Ч^ Ч^ Ч^ 40^

o' o' o' о" o' o'

СО    Ч<    (М    <М    СМ    со

со    о    ^    со    сз    со

со    со^    со    со^    «    <М^

o'    o'    о*'    o'    сГ    o'

0,00961

0,01034

0,01109

0,0l}85

0,01^65

0,01067

0,00352

0,00365

0,00380

0,00393

0,00407

0,00472

(M -0< CO GO О О ’’et* чг »О СО

г- о со о о GO О О ГН <м ь-со^ со^ ^ ^ ^ ^ o' o' o' o' o' o'

O    CO    ч-н    о    O    05

N    îû    Ю    ^    ce    00

co^    co^    co^    co^

o'    o'    o'    o'    o'    o'

0,00812

0,00875

0,00939

0,01005

0,01071

0,01384

0,00305

0,00318

0,00330

0,00342

0,00354

0,00411

(M ^ CO GO О О ^    ^ lO СО

4-

4-

40    40    40    40    О

40    CO    l>    CO    53

CO^ CO^    CO    CO^    CO    Tf

o' o'    о    o'    o'    o'

Ю И со O 40 H O CO CO 40 ^ O

CO^ CO co^ co^ co^ co^ o' <э o' o' o' o'

0,00602    0,00238

0,00675    0,00248

0,00700    0,00258

0,00750    0,00267

0,00776    0,00277

0,01072    0,00323

3s"

.b h,    .У Mb

.b h,    .У Mb

• A,

. b h,    . У Mb

4 fe;l

. b h.

SI

Т"

. b    .У Mb

' •

*

;

V--*

5*В»

ШМШШ

ш

-

» ащ

.

.. jj

Wstawiając w równaniu (43) wartość za hx z równania (42), otrzymamy:

Fi-

У Mb

. (45)

Z porównania równań (44) i (45) otrzymamy wreszcie :

bhj.

(46)

hx4

ke

Na podstawie powyższych wzorów podajemy obliczoną tablice 6.,

100 Ft

~~bhx

przyczem idealne uzbrojenie : p■ —

100

Ä;₂ k?l-

• • -(47)

Fż-h₅.VM.b

0,006

0,005

to

а,ооч

o?

0,8

цА

ft7

«А

0,005

ftff

ft5

0,8

0,3

Ty

0,2

o,m

0,1

⁶ЪсГю

20

33

80

50

~60kÿ/bm*

Fig. 474.

Na fig. 474 przedstawiliśmy wykreślnie spółczynniki k₃ i k-₀ dla 0^ = 750, 900, 1000 i 1200 kg/cm². Jeżeli Qgd ma inną wartość, możemy na tablicy interpolować. Linje dla к₅ są, jak widzimy, bardzo mało zakrzywione i zbliżone do prostych.

= 71,2 cm,

1. Przykład. Dane M — 1 000 000 Icgcm, b = 30 cm, aj)d = 40 kg jem*, o g =1000 kg leur. Według tablicy 6. Л, == 0,39о|/¹⁰⁰^⁰(l°

Fé = 0,00293 У1000 000.30 = 16,05 cm*.

Przyjmujemy 8<j5l6mm, Fg = 16,08 cm*, a = 4,6 cm, Л = 71,2-j-4,6 = 75,8 ewi Oi 76 m, stąd Л, =76 — 4,6 = 71,4 cm.

b A,

Sprawdzenie naprężeń. Według (23) m——-2-

30.71,4

16,08

= 133,2.

~r = 39,8 kglcm*,

Według tablicy 3. mamy: x = 0,375.71,4 = 27,8cm,

о g = 153

M

Yj— = 1600 kglcm*.

Wyznaczenie wkładki żelaznej dla danej wysokości. Jeżeli wysokość jest mniejsza od idealnej, to dane M, Aj i Gf), szukane F, i aé.

2 M

Mamy wedle (22) :    =

bx{h x — V₃ #)’

stad X² — 3 hi X

= o,

więc :

3 Aj

b o₆

(48)

³i=¹⁵°6

hi — X

bXGf)

2Gi

(49)

2. Przykład. Dane \ = 60 cm, M = 1000 000 kg jem, 6 = 30 cm, ob = 40 kg/cm². Według (48)

3 . 60

И^Г

6.1 000 000

30.40

= 34,3 cm,

30.34,3 . 40

60 — 34,3

Fż =

Jeżeli wysokość jest większa od idealnej, to dane M, hy i szukane Fź i Gb. Wedle (22) mamy :

02 = Ib . 40

34,3

= 450 kg jem¹,

2.450

= 45,7 cm².

ci

Fk{hi - Va X)'

stąd X = 3

Fż°ż

)■

. .(50)

~h 15 ' Ai—ж’

Fż

bxob

(51)

2oź

W równaniu (50) należy naprzód F& przyjąć, a gdy z (51) wypadnie inne F2, liczyć raz jeszcze.

3. Przykład. Dane h, = 80 cm, M = 1 000 000 kgem, 6 = 30 cm, o2 — 1000 kg/cm². Dla belki idealnej wypada Fi = 16,05 cm². Tu będzie mniej, przyjmijmy na razie F2 = 12 cm².

Wtedy z (50) X

= 3 ^80 —

1000 000

12.1000

wypada ujemne, musimy więc Fi powiększyć. Dla

F2 = 14 cm², x = 3 ^80--

1 OUOOOO

14 .IOuO

25,8 cm,

1000

П''    15

25,8

80 - 25,8

= 31,7 kg/cm².

Przyjmijmy : F2 = 14,2 cm², to :

X = 3 ^80 —

1000 000

14,2.1000 30.37,5.28,8

2T1OOÓ

28,8 cm,

1000

°Ь=~ТГ

28,8

80 — 28,8

= 37,5 kg/cm²,

= 16,2 cm², za wiele. Wystarczy więc: Fi = 14,1 cm²,

X = 3 ^80 —

1000000

14,1 . 100U

■)-

27,3 cm,

1000 *6=-l6“

27,3

80 — 27,3

= 34,5 kg/cm²,

Fż =

30.27,3 ■ 34,5

2.1000

= 14,4 cm². Przyjmiemy 5 ф 19, więc Fi = 14,18 cm².

Sprawdzenie naprężeń :

15.14,18

15 . 14,18

15 . 14,13

30

30

30

°b =

2.1000 000

30.27,3 ^80 —

= 34,5 kg/cm²,

Ol =

+ 2,80j = 1000000

14,18 ^80 —

27,3 cm,

Ч-)

= 995 kg/cm².

Więc Fi jest dobrze dobrane.

Boerner podaje wzór dla obliczenia wprost Fé, mianowicie : 90 Ж

XZ — 3 Aj X*

X -j- -

903/Aj

Aa.

. . . . (52)

*'ź

"г (A1 — V« *)’

°i='i

15 (Aa — a:)

Przekrój prostokątny podwójnie uzbrojony. Jeżeli podwójne uzbrojenie daliśmy ze względu na zmianę znaku momentu, to dla pierwszego przyjęcia wystarczy obliczyć tak, jak gdyby była tylko wkładka górna lub dolna. Ponieważ druga wkładka jednak istnieje, więc naprężenia wypadną nieco mniejsze. Potem możemy obliczyć wymiary dokładnie.

Jeżeli mamy dane M, Aj, a i a’, ab i a szukamy wielkości uzbrojenia Fż i F'-,

15c5

¹⁵³6 + *i

to X

Г5

a’ i,

WW

BB_L

Fig. 475.

Aj — Aj Aj, jak (39). Dalej (fig. 475):

(53)

Wb = Vg xbab

Jeżeli ustawimy równanie momentów ze względu na wkładkę dolną, to:

Jf= Wi (Aj - «0+ TPb(Aj - V»*),

więc :

M- 1P,(Aj - Vsar)

Aj — a'

(54)

(55)

15 ab ' x — a'

(56)

Z równania (54) widzimy, że uzbrojenie górne potrzebne jest tylko wtedy, gdy J/> Wb (Aj — Vsж)?    więc Aj jest za małe, aby zrównoważyć

moment. Wzory (54) do (56) służą do obliczenia uzbrojenia idealnego, bo równocześnie otrzymujemy obd i aźd, górne zaś uzbrojenie nie jest wyzyskane.

Jeżeli przyjmiemy inne F -, niż wypada z (56), to musimy też przyjąć inne Fy Melan sporządził wykreślną tablicę (fig. 476) dla a = 0,1 A. Dla

przyjętego Oji A szuka się m

Każdy punkt linji, oznaczonej przez

AA²a₆ •

m, wyznacza dwa odpowiednie punkty p (na osi poziomej) i pi (na osi

1002^

pionowej), oznaczające procenty uzbrojenia. Mianowicie p

100 FI

- ^ ^—. Prosta ab przecina linje m w punktach n, które dają nam

p i Pi, dla których osiąga się równocześnie c₆ i Inne punkty linji m dają nam inne p i odpowiednie px. Dodając dla rozmaitych punktów p i p1 możemy łatwo znaleźć, dla jakich p i p₁ będzie suma p -\~P\ najmniejszością.

i Pi

AA

4. Przykład. Dane M — 6,8 tm, b = 0,3 m, h — 0,6m, nb = 33 kg jem'¹, Oi = 1000 kg jem*.

Wtedy m =-*>80000—__ o,19. Każdy punkt krzywej 0,19 wskazuje nam procenty p ip{,

30.60 .33

których możemy użyć. Jeżeli uzbrojenie będzie tylko w części ciągnionej, to^i = 0 izta-biczki widzimy, że p = 2,43%. Jednak wtedy byłoby wprawdzie ob = 33 kg/cm², ale wedle

Л~1Г~

«Öj

g j±

:±

ę$441d ч *

ЛШЙ » ®

*s,c

"G

'S

-5

pill

sr“

1.8 1,9

11

1-4

4--Ч

Ы

ill

I HITm--£-é¥,-;2Zzîz

штШШ

■%io

°'ś?s

«fc

-%5>

tr-i

P---4-4

P^t-ztz

^CT

Ъа

\rf~

um

±H

for

Fig. 176.

НШШН

spil

йвШйя

3«v

<S\>

У,

-or*

■"%

-o\

■%.

linij ukośnych w tem miejscu byłoby 0£ = 10,78.33 = 356 kg/cm², a więc żelazo nie byłoby

wyzyskane. Gdybyśmy chcieli wyzyskać żelazo, a więc — = 1000:33 = 30, to przecięcie

się linji na m = 0,192 z prostą ukośną 30 wskazuje, że musiałoby być p = 0,79, p, = 0,87°/o, p-j-p, =1,66, zatem znacznie mniej, niż poprzednio. Najmniejszą ilość żelaza dla obustronnego uzbrojenia otrzymamy dla punktu «. Otrzymamy mianowicie p = 0,96, p, =0,67, więc p +й = 1,63.

Suenson podaje następny sposób wyznaczenia wymiarów. Dla danych naprężeń dopuszczalnych aźd i abd da się dla belki pojedynczo uzbrojonej

obliczyć Fé, X i M' moment, który odpowiada tym wymiarom (równanie 39 do 46). Jeżeli dany moment jest M, to dla reszty momentu Д M=M—M' trzeba dać uzbrojenie górne Fj. Jeżeli chcemy zatrzymać położenie osi obojętnej, to F'.oj — AF. . o., a przytem Fjaj(Aj — a') == Д M= M — M\

M-M'

Stad mamy :

«j (Ai — «')

przyczem aj — 15■■■ a , a wreszcie:

(57)

àF    F't—    .

aź

• .'.(58)

7. Przekrój teowy.

Przypuśćmy naprzód, że przekrój jest pojedynczo uzbrojony. Tutaj zwyczaj przekrój idealny nie jest najtańszy. Przez powiększenie wysokości A można zmniejszyć przekrój żelaza i zazwyczaj zaoszczędzić na koszcie belki.

Grubość płyty albo obliczamy według poprzedniego, albo mamy wprost daną. Płyt cieńszych niż 6 сот w budownictwie, a 8 сот w mostach nie uwzględnia się w obliczeniu. Obecnie cena betonu w stosunku do żelaza bardzo się

za-

fi К

i--—

Fig. 477.

zmniejszyła, dlatego lepiej przyjmować grubsze płyty, względnie obliczać je dla mniejszych naprężeń dopuszczalnych np. 26 кд/cm². To samo stosuje się do obliczenia wymiarów belki teowej, staramy się uzyskać mniejsze naprężenia w betonie 25 do 30 kgjcm².

Nazwijmy ~ = ß (fig. 477), ~ = 8, —

= Y, ~t— «= ku a otrzymamy

15 Y

Dla osi obojętnej suma momentów statycznych musi być równa zeru, więc : Va Ьх³ — Va (Ъ — (ж — е)² = 15 F,    - ж),

wedle (39) i (40):

(59)

stąd :

bx³ - (b — by) (х — e)²

30 (Al — ж)

30 (Ai — ж)

a wstawiwszy:

a6

1 k,

otrzymamy :

jeżeli

15 1 — k, ’

Fż^Gy.bh.....

(60)

(61)

Moment M otrzymamy z wzoru:

15 M {hi — x) — Ojt/j,

a stąd : jeżeli

M= C₂.bh²

G'i ki

f-3^-[ß(fci-S)8 + S(3^²-3^ä + 82)] . .(63)

W przybliżeniu przyjmujemy środek ciśnienia w połowie grubości płyty,

C₂

15 у

wtedy :

(64)

— 7»«)

O a. tu zwykle nie chodzi, bo i tak przyjmujemy większe niż idealne. Z wzoru tego otrzymamy F- nieco za wielkie, gdyż środek ciśnienia leży wyżej, hi możemy wyznaczyć na razie, jak dla belki prostokątnej i powiększyć o 20 do 30%, a wtedy F. wyznaczamy z (64).

Saliger oblicza wymiary inaczej. Nazwijmy:

Tl T ab

to ki

15

15 +Ti

(65)

Dalej mamy : c

Fżaż

również :

więc:

Fżzż benb{ 2ж — e)

K — y = hi be(2 ж — e)

e{3 x — 2 e)

3 (2 x - e)

2x

hi —

e (3 x — 2 e)

3(2 ж — e)

Jeżeli wstawimy x

V-

ki hu to :

M , (1+feQg

e²

Ъеьь

2 ki

3 ki

o.

Wstawimy:

(1 + &l)e

e²

beob

2 ki

3 ki'

to :

hi

-т+ИтГ-

(65)

2 cc

(66)

c°i-

5. Przykład. Dane M= 900000kglcm, b=150m, 5, = 25cm, е=10ш, ab(^ = 3ókg/cm², 950    15

Л=1T = ¹⁷-'-

(1 +0,366)10 2.0,356

= 950kg jem², to:

900 000

150.10.35

— = 36,15,

10*

3.0,356

= 93,7,

+|/«r

— 93,7 = 31,28    32 cm.

Według (64) :

900 000 950 (32 — 5)

900000 950.28,3

Zbadajmy teraz naprężenia. Z (30) mamy: (150 — 25) 10 + 15.33,24

= 35 cm². Dokładniej : c — 32 —

10 (3.0,356.32 —2.10)

3 (2.0,356.32 — 10)

= 28,3 cm,

= 33,5 cm². Przyjmiemy : 8 </>23, J<b = 33,24 cm*.

x = 11,6 cm.

25

J/^(l50~ 25)10 + 15.33,24j* ^

(150 —25) 10*+ 30.33,24.32

25

Ji = j 150.11,в³ — -i-(150 — 25) (11,0 —10)³+ 15.33,24 (32 —11,6)*= 285830 cm\

15,900 000.20,4

°b =

900 000.11,6

= 36,6 kg/cni¹, <7$ —

285 830

= 964 kg/cm².

285 830

o/ troche za wielkie, trzeba wiec przyjąć hl o 1 cm większe, /(, = 33 cm.

Przekrój teowy podwójnie uzbrojony. Podwójnie uzbrajamy przekrój wtedy, gdy przyjmujemy wysokość mniejsza niż dla przekroju idealnego.

Przypuszczamy, że chodzi nam o przekroje F- i F'. takie, aby uzyskać ciśnienie dopuszczalne betonu i ciągnienie dopuszczalne dla wkładki ciągnionej żelaznej. Wtedy musi być, jak pierwej, x = ^^*7

1 lo y

15 y (1 — a) l + 15y

Teraz rozróżniamy dwa wypadki. Jeżeli x < e, k₀ < 3j = —

/ x k₀ — ——

A

a

jeżeli a = —

Wtedy

możemy zastosować wprost wzory dla przekroju prostokątnego. Jeżeli x> e: otrzymuje Haberkalt:

.(67)

k₀ M + Ve [k₀ (k₀ — 3 aj)—(1 — ß) (k₀ + 2 o — 3 aa) (A₀ — 3)²] & A²

.(68)

15 (1 — a — aj) (1 — a — Ac) o₄ A k₀M - Ve [fco (8 -.3 o - fco) - ( 1 - ß) (3 - 8 a - 2 Î - A₀) (*o - §)²] A A2 15 (1 — a — aj) (A₀ — otj) ab A

V/

3.

¥t

■Wb

K°o

-tL

Wc

Fig. 478.

Boerner oblicza powierzchnie wkładek nie uwzględniając ciśnienia w żebrze w następny sposób (fig. 478). Dane A, A, e, a, a\ $h i gź, szukane FżiF'ż-

¹⁵ «6

\OGb-\-G.

Mamy :

Aj--Aj . Aj .

Odstęp : WVj od osi obojętnej wedle (36) v — x

2 r6(2æ — e) ‘

(69)

stąd :

1 . 4x — e

Щ-Ье—-j— = T»iV—j— • W, = (Aj — a') = Jf — Br₆ (Aj — æ -f-0), M- wb{Aj —Ж-f p)

(70)

»i

Aj — a'

(71)

(72)

Wreszcie :

6. Przykład. Dane ft = 55 cm, a = 3 cm = a’, e = 10 cm, b — 160 cm, obd — *0 kg/cm¹, oi tj = 1000 kgicni¹, M = 2 500 000 к gem.

15.40

Ж— ТбТ40 + 1000 1

Wb = — 160.10.40

.52 ==19,5 cm,

2.19,5 — 10

19,5

» = 19,5 —

47 600 kg,

2 500 000 — 47 600 (52-19,5 4-15)

52 — 3

47600 4- 4900

1000

— 52,5 cni¹,

10²

— +_______

2 ' 6 (2 19,5 — 10)

= 4900 kg,

F'ż —

4900

19,5

15.40    19,5 — 3

= 15 cm,

— = 9,65 cni¹.

Przyjmijmy⁷ u dołu 8 (fi 29, 7+ = 52,84 cm¹, u góry G (fili, — 9,24 cni¹. Sprawdźmy teraz naprężenia.

10².160

Wedle (32):

X == —

+ 15 (9,24.3 + 52,84.52)

10.160 + 15 (9,24 + 52,84)

—19,6 cm,

» = 15,2 cm,

ał =

2 500 000

— 994 kgicni¹, ob —

994.19,6 15(52 — 19,6)

= 40,1 kgicni¹, o'=410kg/cm?.

52,84 (52 — 19,6 + 15,2)

Jeżeli chcemy uwzględnić ciśnienia w żebrze, to otrzymamy dla danych h, b, e, a, a', obd, oid, a szukanych F. i F'ż\

h\ — le^hi, wedle (36): v — x —

И-

Ol 2    ⁶

15c6+°i odstęp środka ciśnienia płyty, zaś: odstęp środka ciśnienia żebra.

6 (2 ж — e)

(73)

(74)

. .(75)

*?• ■*    Î*. ¹

M - Wb (Aj - ar + r) - Жи (A, - ar + »,)

— a'

F-~

. . .(76)

Gi

15 ab ‘ x — «'

• • .(77)

8. Inne przekroje. Przekrój trójkątny (fig. 479).

Г*1

/,

Л.

Fig. 479

Fig. 480.

Dla osi obojętnej : ~ y x — \b Fi{h₁ — a?) — 0, stąd jeśli tg 'i

z którego to równania możemy wyznaczyć ж.

ж³ -J- 45 x tg cp — 45 Fź ht tg <p — 0 . . . . (78)

Odstęp środka ciśnienia Wb od górnej krawędzi wynosi ¹/₂ ar, więc :

1 ar3 3 st cc

ar²

stad :    Oj

W^W^F^-у — Оъ 3 Wh tg cc

Ai — ł/j.a?

.(79)

ar³

3 M tg tą

i¥

. (80)

ai

(Ai - V^)FŹ

Przekrój pięciokatny (fig. 480). Ponieważ obojętna jest rzeczą kształt przekroju ciągnionego betonu, zatem ten wypadek jest identyczny z poprzednim i dadzą się zastosować te same wzory (78) do (80).

(Ai — ¹/₂ ar) X³ ’

IV. Naprężenia ścinające, główne i przyczepne.

9. Belka prostokątna.

TS

Naprężenie ścinające т — ——, jeżeli u jest szerokością przekroju w da-J u    ‘    TS

nej warstwie. Dla belki prostokątnej u — b jest stałe, więc x b ar²

~2 ’ J

belki żelbetowej jest S —

bJ

. Dla

Ъ /r*®

^ - -j” 15 F, (hi — ar)², a jeżeli wsta-

wimy :

X²

otrzymamy т — ——

(81)

30 ' Aj — ar ’

gdzie c oznacza odstęp środka ciśnienia od środka ciągnienia = Aj — ¹/s ar.

<~--b

ГГ1

~T

бb_

ta

en

Fig. 481.

tJ

L

II!

je

Fig. 482.

Dla wkładki jednostronnej (fig.481) otrzymamy: t =

v₁ oznacza odstęp danej warstwy od osi obojętnej.

T

Najw. - =

®f), jeżeli

ar'!

.(82)

albo wedle (81):

najw. t

bjfri—Va»)

Dla wkładki obustronnej (fig. 482) otrzymamy :

(83)

najw. т == — (j/₂ x² -j- 15 F'. (x — cij)

(84)

J = l/₃ b x³ + 15 F'. (x — a')² +15 F. (hx — x)² . . . . (85)

7. Przykład. Przyjąwszy w przykładzie 5.

10000

przyczem :

2'= 10 000%, mamy według (83):

=== 6,37 kg/cm².

10. Przekrój teowy.

Jeżeli oś obojętna przecina płytę, to obliczamy najw. x, jak poprzednio, tylko że w żebrze będzie r

~ razy większe, zatem najw. т = —-—x² . (86)

lub

naj Д t —

bi (Aj — Va +

(87)

Jeżeli oś obojętna przecina żebro, to (fig. 483) mamy dla uzbrojenia pojedynczego:

uajw. T ~ yß • -J~ № — O — eY С¹ - ß)l przyczem J₁—¹/Sb[xi— (x — ef. (1 — ß)] + 15 iFb(+—• • . (89)

(88)

..U.

ÊL

mm

Fig.483.

8. Przykład. Z przykładu 6. mamy: e—10 cm, a: =11,6 cm, ,1, — 285 830 cni¹, ß = —- =    = 0,167. Przyj ąwezy T = 10000 kg, otrzymamy z (88)>-

[11,6² — (11,6 — 10)² (1 — 0,167)] = 14,2 kg/cm².

najw. z =

10000

2.0,167 ‘ 284 830

Dla uzbrojenia obustronnego otrzymamy analogicznie, jeżeli oś obojętna przecina żebro,

najw. t

(x — e)² ( 1 — ß)

a jeżeli przecina płytę : najw. т

15 —— (x — a')j . . (90)

T x²    F'ż .    ,    /(m

р+з- + ¹⁶-Г(ж-“⁾| • -<91)

11. Belka wieloboczna.

Jeżeli belka nie jest równoległa (fig. 484), to

W=W=—    —

b c c ’ dx

żeniu przyjmiemy c = ⁷/₈h₁, to:

T--t— tg a

T. Jeżeli w przybli-

Fig. 484.

Va b hx

Obliczamy więc t jak dla belki równoległej, tylko 1 należy zmniejszyć

.1/

o ——tg ot. "i

12. Rozporządzenia co do naprężeń ścinających.

Wedle przepisów dla budownictwa z r. 1923 i tymczasowych przepisów budowy mostów drogowych z r. 1925 należy naprężenia dopuszczalne przyjmować równe wytrzymałości betonu po 28 dniach, pomnożonej przez spół-czynnik dla budownictwa 0,025, najwyżej 5 kg/cm², dla mostów 0,022, najwyżej 4,5 kg/cm².¹)

Przy mniejszych budowlach można dla budownictwa prób nie wykonywać i przyjmować naprężenie przy 500 kg cementu 4,5 kg/cm², przy 300 kg cementu 3,5 kg/cm².

Dla mostów, o ile uwzględnia się też parcie wiatru, zmianę ciepłoty i skurcz materjału, można przyjąć spółczynnik zmniejszający 0,025, a najwyżej 5 kg/cm²'.

13. Naprężenia główne.

W belce zginanej powstają naprężenia główne nachylone do pionu, a w osi obojętnej kąt wychylenià największych naprężeń jest 45°. Dla belki żelbetowej wchodzi w grę ciągnienie, przyczem :

(93)

najw. v = y а₆ + У Gft²+ 4t²

W osi obojętnej jest ob = 0, a stąd v = т, a zatem ciągnienie główne jest równe naprężeniu ścinającemu, które jest proporcjonalne do siły poprzecznej. Naprężenie dopuszczalne główne dla betonu przyjmujemy równe naprężeniu dopuszczalnemu na ścinanie.

Wedle przepisów dla budownictwa z r. 1923 siły ciągnące ukośne w tych częściach belek zginanych, w których naprężenie ciągnące jest większe, niż 0,025 wytrzymałości kostkowej, należy przenieść w całości przez wkładki odgięte i strzemiona. Przepisy zaś mostowe z r. 1925 postanawiają, że siły ciągnące ukośne w tych częściach belek zginanych, w których naprężenia są większe niż 0,022 wytrzymałość kostkowej betonu względnie 4,5 kg/cm², mogą być przeniesione przez beton tylko w wysokości 30°/o- Resztę należy przenieść na wkładki ukośne odgięte i na strzemiona. W Niemczech naprężenia ukośne, obliczone bez uwzględnienia wkładek żelaznych nie mogą przekraczać wytrzymałości betonu na rozciąganie, którą oznacza się na 14 kg/cm². Jeżeli po spełnieniu tego warunku naprężenie przekracza 4 kg/cm², to należy całą siłę ukośną przenieść przez pręty odgięte i strzemiona.

14. Obliczenie strzemion.

Dawniej obliczano strzemiona ze względu na siłę ścinającą. Obecnie oblicza się zwykle strzemiona jako słupy belki kratowej, której przekątnie

-- <5;

7ГЛ7Т71 Æ7\/ T/T/t /ilr // '/ / ZeZ / / / W

/// / / / / IZ///////

Fig. 485.

zastępuje beton (fig. 485). Od stosunku — zależy czy krata jest pojedyncza,

. .(94)

^    ß

dwu- czy trzykrotna. W ogólności możemy napisać: V — — T

,) W ostatnich dniach ukazały się nowe przepisy polskie dla budownictwa — zob. str. 1433.

Nazwijmy naprężenie żelaza na ścinanie x^, powierzchnię przekroju wszystkich strzemion w danym przekroju Fg, a część siły poprzecznej, którą

chcemy przenieść przez strzemiona Ts, to V — Ts = Fs, a stąd dla

bFsc

danego Fs odstęp:

T,

względnie Ts

X, po

. . .(95)

15. Pręty odgięte.

Resztę ciągnień głównych, proporcjonalnych do siły poprzecznej, przenosimy prętami odgiętymi (fig. 486).

Na długość, równą jednostce, przypada J/₂ \ 2 długości, w której działa ciągnienie główne. Dlatego, jeżeli odstęp odgiętych prętów jest e, a ciągnienie w nich R, to :

/г =

T-T,

hi — Vs®

fżgż

(96)

Stąd da się obliczyć e lub Fé, które oznacza sumę powierzchni przekrojów odgiętych prętów.

ćL

\__h-e

ką I

Wykreślnie wyznaczamy miejsca odgięć prętów w następujący sposób. W połowie wysokości żebra, w połowie rozpiętości w d — ^ wykreślamy da pod kątem 45°. >-l Na prostej O a odcinamy długość

TS

rr

K — Va X

dalej robimy ac = bx x i kreślimy c Cj II e d. Na długości d^c/ wystarczy sam beton, na dłu-gości ax cx potrzeba beton wzmo-' cnić strzemionami i odgiętymi prętami. Jeżeli odstęp strzemion

Fstż(hi — г/ах)

Fs

jest stały, to i Tg będzie stałe, otrzymamy    [| ad i na tej

Fig. 486.

długości «i/j potrzebne są odgięte pręty, a powierzchnia kreskowana przedstawia siłę na nie przypadającą. Jeżeli teraz okaże się z równania (96), że potrzebne |są trzy pręty, to powierzchnię Ikreskowaną dzielimy na trzy równe części. Z środków ciężkości odnośnych powierzchni kreślimy równoległe do 0 a, które wyznaczają położenie odgiętych prętów. Rozumie się, że odginać pręty możemy tylko o tyle, o ile na to pozwoli badanie ze względu na momenty, inaczej musimy dać pręty dodatkowe. Przy belkach

T    T

podwójnie uzbrojonych zamiast —-y—, musimy wyznaczyć —- .

hi — /а x    c

800.1,28.45

9. Przykład. Przypuśćmy, że według (95) Tg = f że mamy dane T — 15 000 kg, h, = 52,2 cm, x = 20 cm, 6, = 32 cm,

12

= 950 kg/cm², to b, г = 32.4,5 = 144 kglcm² — ac (fig. 486),

T-Ts

3840

52,2 — 4₃ 20

= 84,4 kglcm — af,

К - ¹/з*

= 3840 kg. Przypuśćmy, t = 4,5 kg jcin¹, o % =

15 000 — 3840

52,2 -V, 20

= 245,3 kglcm —fb.

Jeżeli przekrój jednego pręta o średnicy 19mm jest 2,84 cm², a chcemy po 2 pręty odginać, to dwa pręty przenoszą siłę 2.2,84.950 = 5400 kg. Cała powierzchnia kreskowana wynosi 9810 kg, to potrzebne są dwa odgięcia po 2 pręty.

16. Naprężenia przyczepne.

Dla zabezpieczenia współdziałania wkładek żelaznych z betonem siły wewnętrzne, działające na przekrój żelaza ciągnionego lub ciśnionego i starające się żelazo wyciągnąć z betonu, powinny być mniejsze, niż opór, jaki temu przesunięciu stawia połączenie betonu z żelazem. Siłę, działającą w osi żelaza, podzieloną przez powierzchnię pręta, nazywamy naprężeniem przyczepnem. Wedle przepisów polskich dla budowy mostów drogowych z r. 1925 nie powinno ono być większe niż 0,022 wytrzymałości betonu a najwyżej 4,5 kglcm². Przy uwzględnieniu parcia wiatru, zmiany ciepłoty i skurczu dopuszcza się naprężenie przyczepne 0,025 wytrzymałości, najwyżej 5 kg. Jeżeli obwód pręta nazwiemy o, długość liczoną od największej siły wewnętrznej do końca wkładki, l, to

Fi°i

zp

ol

(97)

Dla wkładek żelaznych o końcach silnie w betonie zakotwionych zwiększa się naprężenie dopuszczalne o 40 do 50%. Jeżeli druty zakończone są

hakami a średnica żelaza nie przekracza

przyczepność zaniechać.

Jeżeli zamiast żelaza o powierzchni obwodu gładko wykonanej użyjemy prętów o powierzchni nierównej (karbowanej), to uwzględniamy wpływ tej chropowatości, przyjmując większą średnicę pręta z tego powodu. Zwykle zwiększenie obwodu wynosi wtedy 10%.

Według rozporządzenia niemieckiego z r. 1925 naprężeń przyczepnych nie potrzeba obliczać, gdy końce prętów zaopatrzymy hakami okrągłymi lub ukośnymi, a pręty nie są grubsze niż 25 mm. Jeżeli mamy tylko poziome pręty, to należy obliczać naprężenia przyczepne wedle wzoru :

t -hi

P o

300

to można obliczenia na

(98)

jeżeli t oznacza naprężenie ścinające. Jeżeli jednak są pręty odgięte, które zdolne są do przeniesienia wszystkich ciągnień ukośnych, to dla obliczenia naprężenia przyczepnego dla dolnych prętów należy uwzględnić tylko połowę siły poprzecznej.

V. Pręty ściskane środkowo.

17. Słupy żelbetowe uzbrojone podłużnie.

Jeżeli siła P działa na słup żelbetowy środkowo, to przypuszczamy, że siła rozdziela się na żelazo i beton w stosunku spółczynników sprężystości, przyczem n— 15. Otrzymujemy więc:

r=*b(Fb + 15^)

(99)

Równanie to ważne jest jednak tylko, jeżeli JA wynosi najmniej 0.8°/u> a najwyżej 3% Jeżeli uzbrojenie podłużne jest silniejsze, niż 3%, to z nadwyżki ponad 3°/o wolno uwzględnić tylko trzecią część.

Na podstawie przepisów możemy wyznaczyć wymiary z tablicy 7. Jeżeli procent uzbrojenia nazwiemyp, to F-—pFh, stąd:

Fb

°б(¹ + ¹⁵1Р) Ki

Fig. 487 przedstawia wartości Kr dla rozmaitych

.....(100)

Ki

55

50

45

35

6b<l

30

6b4

'70

25

20

0Д 1fi 1,5

Fig.487.

2,0

3% ~P

10. Przykład. Dane P— 90000kg, oj = 30kff/cm², p = 0,015. Otrzymamy A\ =36,75, 90 000

więc Aj =

.2500 = 37,5. ii'. Przyjmijmy 8(fi25, więc 7^=39,27cm², oj =

36,75

= 2449crnP. Przyjmijmy przekrój 50.50m, Aj = 2500 cm-, Fi = 0,015 .

90000

2500 + 15.39,27

— 29,1 kgjcnt¹.

18. Słupy żelbetowe uzwojone.

Dla kołowego przekroju rdzenia podają polskie przepisy:

(101)

l,25Fr+lbFp+30Fo

Tablica 7.

Procent uzbrój enia

Wartość Aj dla naprężenia betonu ctj

20

25

30

36

40

p o p o jo p p pp>p>pppp pppp 'о'о'о'о'о'о'о'о'о'о'о'о'о'о'о'*

wtsiaifltataiMMi-ii-HHi-MJHi-MO

occosi^taoeooMaciititetSHOtooo

ts i4 is is is ts и m « n is i« is lj is rs w t« tcoo-j-iosisccnoiit» w ta w с» ta ts o k-'bo't>s~ca'o “kj Ip- ~bo Ъ* Ts л oa © ś-д"ju

28,00

28.35 28,75

29.10

29.50 29,90

30.25 30,60 31,00

31.35

31.70

32.10

32.50

33.25 34,00

34.70

35.50

36.25

33.60 34,05

34.50 34,95 35,40 35,85 36,30 36,75 37,20 37,65 38,10 38,55 39,00 39,90 40,80 41,70

42.60

43.50

40,3

44,8

40,9

41,4

41,9

42,5

43,0

43,6

44,1

44,6

45,2

45,7

46,3

46,8

47,9

49,0

50,0

51,1

52,2

45,4

46,0

46,6

47,2

47,8

48,4

49,0

49,6

50,2

50,8

51,4

52,0

53,2

54,4

55,6

56,8

58,0

jeżeli Fr oznacza powierzchnię przekroju rdzenia, tj. betonu wewnątrz owinięcia, F przekrój wzmocnienia podłużnego, Ffj zastępczy przekrój owinięcia, równy objętości uzwojenia na jednostkę wysokości, a więc dla ~drFd

-——, gdzie dr oznacza średnicę rdzenia, F(l powierzchnię przekroju drutu owijającego, s krok owinięcia.

rdzenia okrągłego F

Tablica 8.

Fo = * Fp

Fo—-'3 Fp

F„=s,o F,,

K₂ dla ciśnienia betonu oj w kgjcm'¹

Pp_

Ił

h_

20

25

30

36

0,0040

0,0050

0,0060

0,0070

0,0080

0,0090

0,0100

0,0110

0,0120

0,0130

0,0140

0,0150

0,0160

0,0170

0,0180

0,00333

0,00416

0,00500

0,00583

0,00667

0,00750

0,00833

0,00917

0,01000

0,ol080

0,01167

0,01250

0,01333

0,01417

0,01500

0,00286

0,00357

0,00428

0,00500

0,00571

0,00643

0,00714

0,00786

0,00857

0,00928

0,01000

0,01071

0,01143

0,01214

0,01286

31,00

32.50 34,00

35.50 37,00

38.50 40,00

41.50 43,00

44.50 46,00

47.50 49,00

50.50 52,00

38.80

40.60

42.50

44.40

46.30

48.10 50,00 51,90

53.80

55.60

57.50

59.40

61.30

63.10 65,00

46.50

48.80 51,00

53.30

55.50

57.80 60,00

62.30

64.50

66.80 69,00

71.30

73.50 75,80 78,00

55.80

58.50 61,20

63.90 66,60 69,30 72,00 74,70 77,40 80,10

82.80

85.50

88,20

90.90 93,60

Jeżeli wstawimy F£=ppFr, Ff) — pn Fr, to

Fr

(102)

Przytem przyjmujemy F£ i> ¹/₃ F₀, zaś krok śruby ma być < 0,2 dr, przy aft= 50 kg jem², zaś s < 0,125 dr przy ab = 100 kg/cm², i zarazem .9 <C 8 cm.

P, = 1,25 Fr + 15 Fp + 30 F₀ ^ 2 Fr.

Por. tabliczkę 8. (str. 1361) dla kilku naprężeń dopuszczalnych i sto-

Fp Pp

Górną granicę wielkości przekroju sprowadzonego F- określa warunek

sunków

2,0, 2,5 i 3,0.

F₀

2,0, 2,5, 3,0

Ff < 2 Fr, wedle przepisów niemieckich F- < 2 Fb. Dla

otrzymamy pp — 0,0180, 0,0150 i 0,01286.

11. Przykład. Dane P—22000kg, ob — 20 kg/стг, F₀ = 2Fp, pp — 0,01, po = 0,02.

22 000

Z tabliczki 8. otrzymamy K₂ — 40,00 kglcm? a przekrój rdzenia F= -= 550 cm².

¹    40

Przyjmijmy dr = 27 cm (Fr = 572,6 cm-), Fp — 0,01.572,0 = 5,7 cm-. Temu odpowiada 8 010 (Fp = 6,28 cni¹), F₍₎ = 0,02.572,6 = 11,45 cni¹ s < 0,2 . 27, s=ócm. Fd —

л. 27.0,636

Fo

11,45.5

= 0,675e»n². Przyjmujemy 09 mm (Fg = 0,0630cm'²), F₍₎ =

_22 000

1,25.572,6 + 15.5,7 + 30 . 10,8 Przyjmijmy grubość skorupy 3 cm, to d — 33 cm, Fb = 855 cni¹. F£ = 1,25.572,6 + 15.5,7 + 30.10,8 = 1125 < 2.572,6.

гг . 27

ab =

= 19,6 kg/cm?.

7T dr

= 10,8 cm²,

Dla rdzenia kwadratowego nakazują przepisy polskie przyjmować :

P,.= l,25Pr+15F?)+15F₀.......

(103)

Najkorzystniejsze p₀ są 0,01 do 0,02.

Tablica 9.

F₀ — 2 Pp F₀ — 2,5 Fp P₀—-3 Fp

K₃ dla ciśnienia betonu ab w kglcm²

Pp

Pp

Pp

20

25

30

35

40

ООООи-1инин*ини55

o, o, o, o o o, o, o, o, o_ o o o' o' o' o' o' o' o' o' o' o' cT o' cT o' o'

« tt H O (O

0,0051

0,0060

0,0069

0,0077

0,0086

0,0094

0,0103

0,0111

0,0120

0,0129

0,0137

0,0146

0,0154

0,0163

0,0171

38,0

39,1

40,2

41,4

42,5

43,6

44,7

36,7

45,9

47,0

48,1

49,2

50,4

51,5

52,6

53,7

45,6

47,0

48,3

49,7

51,0

52,3

53,7

55,0

56,4

57,7

59,1

60,4

61,8

63,1

64,5

61,1

69,8

62,6    71,6

64,2

65,8

67,4

68,9

70,5

72,1

73,7

75,2

73,4

75,2

77,0

78,8

80,6

82,4

84,2

86,0

Analogicznie do (102) mamy tu: Fr —

Кг

(104)

Wartości Ks zestawiono w tabliczce 9.

12. Przykład. Dane P = 100 000 kg, erj = 35 kg jem?, pQ = 0,02 = 2,5pp, Pp = 0,008.

100000

= 1704 cm². Przyjąwszy długość boku

Z tabliczki 9. mamy K₃ = 58,7 kg/cm², Fr = rdzenia kwadratowego a = 42 cm, otrzymamy Fr — 1764 cni¹, F^ — 0,008.1764 = 14,11 cm!. Przyjmijmy 4 ф 23 (Fp— 16,21 cm²), Fn = 0,02 . 1764 = 35,3 cm². Dla S — 6 cm < 0,2.47,

^    4 a

35,3 ■ 6

58,7

4.42.1,33

= 1,26 cm². Przyjmujemy ф 13 mm Fg = 1,33 cm². F₀ —

,    37,2    15,21    100000

“³',2,m ’ i'o~'l,704-0,022’J,l,~ 1704 —°>008Я> °h — ’lf25.1764 + 15.15,21~+15.37,2 ~ = 33,4 kg/cm². Gdy grubość skorupy przyjmiemy 3 cm, to długość boku a, — 39 -f- 2.3 =45 cm, Fh = 2025 cm².

4.42

F£ = 2790 < 2.1521.

Marsh oblicza grubość drutu owijającego i otrzymuje:

*/.<*, I

<4 = 0,029^ 0,0275 dr 0,0250 dr 0,0234 dr j " Dla słupów uzwojonych z betonu wyborowego przyjąć można:

Р = (1,25Рг+ЮРг, + 20Ро)о₆.....

dla kroku śruby s = ¹/₅ dr grubość drutu

7e dr

7t dr

• (105)

(106)

19. Uzwojenie ściskanej części belki zginanej.

Fig. 488 przedstawia uzwojenie ściskanej części belki zginanej. Dla braku doświadczeń przyjmujemy, że przez uzwojenie ściskanie w rdzeniu rozłoży

f~⁶b>⁶bd-*

■4—1

r--!------

L..

✓O*

Fig. 488.

się jednostajnie, a więc trójkąt ciśnień przemieniamy na prostokąt o podstawie równej szerokości rdzenia, zatem otrzymamy :

15Pp . . . .(107)

20. Wyboczenie słupów.

Dla słupów ciśnionych należy według przepisów polskich uwzględnić niebezpieczeństwo wyboczenia, jeżeli smukłość, tj. stosunek swobodnej długości pręta l do najmniejszego promienia bezwładności przekroju i przekracza :

60 w wypadku wzmocnienia podłużnego,

4<>

20

„ uzwojonego, betonu bez wzmocnienia.

Spółczynniki zmniejszające ß należy przyjmować wedle następującej tablicy.

Tablica 10.

Dla słupów żelbetowych uzbrojonych podłużnie.

Ч Ч О) О» О ÜI

Ю со <м ооооо o' о" o'⁴

О 00 00

о ел о

JD JD JD Ъ <1 S

t© о О

95

100

b- rH

o' о

W przybliżeniu ß = 1,78 — 0,0127 —.

Tablica 11.

Dla słupów żelbetowych uzwojonych.

■öS

1»

-I

te

■Ö3

lO о ю ^ ю ю

Ь- СО 05 05^05 GO

o' о" о"

^1 05 05

О Ol о

О и |>

GO^GO^t^

сГосГ

оо оо -q

со о5 »о to

o' о" o'

90

95

0,60

100

0,56

0,51

W przybliżeniu ß = 1,87 — 0,0086 -r-, przyczem I oznacza długość wolna, i najmniejszy promień bezwładności.

Dalej :

/'

ß(^+15^)

(108)

Г*'""—1

t.

»i

Fig. 489 «.

Gdy długość słupa jest większa

ЪУ----i niż 20-krotny najmniejszy wymiar

ЩЩ. *    ^ przekroju, to należy moment wy-

mÆÀ    ■ i wołany silą zginającą zwiększyć

/. У o wartość 0,005 PI.

i >r 13. Przykład. Wyznaczyć najwmk ciśnienie betonu dla słupa 4m wysokiego J I o przekroju, podanym na fig. 489 dla

_____ï a = 30 cm pod działaniem siły P= 30 000 kg.

Fb = 900 cm², Fp — 12,57cm² (4 ф 80 mm, P— 0,014), l = 8,00 m.

30**

•7=~ -j- Ï5.12,57.12,5S= 96 900 cm²,

Fig. 489 6.

9« 900

= 8,4 cm,

900 -f- 15.12,67

~ = -g-J- = 86,2, z tablicy 10. /? = 0,70, z równania (100) Ä', = dla p = 0,14, o₆ = 27,5 kg/cm².

800

30000

900

= 33,3, z tablicy 7.

1 rojektowanie słupów na wyboczenie. a) Przekrój kwadratowy

100 Fp

(fig. 489 a). Przyjmijmy r=0,8«, to ponieważ

p, Fb— a², więc:

I / Л+зо ~y~(y)

)    П+15/;

Dla : p — 0,8

1,4    2

i = 0,302 0,312 0,318 0,327.a; w przybliżeniu: i = 0,315 a.

cw

ж+%[¹⁺⁰’⁰⁰⁰¹Ш"

a po podstawieniu:

П=«²

2 ow (l-ł-0,16j>)-±

0,00102 PP

2 Gw (1 + 0,15*)

o* (1 + 0,15*)

• (И0)

b) Przekrój okrągły (fig. 489 b). Przeprowadzając analogicznie rozumowanie, otrzymamy:

0,01427 l + J/ (0,014271)²

0,715P

Зб(¹ + ⁰7¹⁵Р)

. .(111)

(112)

Projektowanie słupów uzwojonych na wyboezenie. Uzwojenia przy obliczaniu J i Fi nie uwzględniamy, możemy jednak przyjąć wieksze naprężenie dopuszczalne. Wedle (104) dla przekroju kwadratowego: 1,25 Fr 4- 15Fp+30Fo

r = 0,00915 l + J/(0,00915 If

1,37 ow (1 + 0,15*) '

• (113)

Dla przekroju okrągłego otrzymujemy:

r ==0,01221 + J/

(0,0122 OM

0,93 P

% (! + °>¹⁵P)

■    (114)

21. Słupy żelbetowe z wkładką żeliwną.

(115)

Dla słupów żelbetowych z wkładką żeliwną możemy przyjąć dla pewności n — 5 (fig. 490 a): P — 1,5 Frob+ 480 Fż-\- a+T; jeżeli P oznacza siłę łamiącą, Fr przekrój rdzenia betonu, Fé przekrój wkładek podłużnych z żelaza zlewnego, F₍ przekrój wkładki żeliwnej, o} naprężenie żeliwa. Przy betonie uwzględniamy D+krotne zwiększenie wy. trzymałości przez owinięcie. Jeżeli wchodzi w grę wyboezenie, należy c

zmniejszyć stosownie do -t, przytem można przyjąć :

Fż

30 ’

. . .(116)

Ji

Fi

(117)

Jeżeli wytrzymałość żeliwa przyjmiemy    = 8000 kg jem², to = 1600 kg/cm²,

dla gorszych gatunków żeliwa mniej; co należy odpowiednio uwzględnić.

Przepisy polskie mówią: Słupy żelbetowe uzwojone z duszą żeliwną można obliczać przy założeniu, że wytrzymałość całego słupa jest sumą wytrzymałości zewnętrznej części żelbetowej i wewnętrznej żeliwnej, jeżeli skok uzwojenia będzie równy lub mniejszy, niż podwójny odstęp uzwojenia od wkładki żeliwnej. Przy uwzględnieniu wyboczenia należy wziąć w rachubę

przekrój zastępczy Fi — F^-\- ‘/₂ Fp -(- g— Fr, gdzie oznacza F$ powierzchnię przekroju żeliwu, Fp uzbrojenia podłużnego, Fr rdzenia betonu.

VI. Ciśnienie mimośrodkowe.

22. Faza pierwsza.

Na przekrój działa siła F równolegle do osi z mimośrodem c (fig. 490 b).

_____1

-i—

mm

* e, I

S.

—

T l P

c r

- r J

Fig. 490 a.

Fig. 490 b.

Dla dwustronnego uzbrojenia słupa prostokątnego mamy przekrój idealny :

F^bh + niF.-ł-FZ) . . .

^LjrnF.h₁ + nF',a' b h -f- n (F\-\- F'ź)

J=¹/sb(e³^-e₁³)-\-nFź(e-ay+nF'ź(e₁ — a'f . .(120) Mex

(118)

ег =

(119)

= —rT +

. . . .(121)

gdyż:

M=P.c₁~P[c + (e₁-¹/îh)].

r---

ta’

Щ1

⁶b

№'

(VK-

^ i .

— 0* —--

---rl-

h-x

Fig.491.

⁰ b-h

X~ *b±°'b Jeżeli а^=зг oznacza rozciąganie, to x

Z rysunku otrzymamy:

(122)

. . .(123)

—Г-.A .

ab+G>-

г'²

czyli C! = — = >⁻i odstępowi

h -x = 0, gdy or = 0, więc

punktu rdzennego.

Jeżeli przekrój jest teowy (fig. 491), otrzymamy analogicznie:

Va A h² -f- Va (A — Ai) e* nF'éa'    n F& hi

e==    h)e + n (Ft + F[)

Ci e

F, J

. . .(124)

Dalej moment bezwładności ze względu na S:

j= V,by. K³ + (h-Хг)³} + Vs (Ь - h) fo³- (я, - в)³] + nF.(h, - xf +

+ nF\ {X! - a')*

(125)

Naprężenia obliczymy teraz z równania (122). Jeżeli uzbrojenie jest jednostronne, to należy w tych wzorach wstawić F'ź = 0. n = Eé : Eb w pierwszej fazie należy przyjąć równe 10. Przepisy polskie dla budownictwa z 1923 każą przyjmować niewłaściwie w tym przypadku n — 15 i ciągnienia nie uwzględniać. Dla słupów mimośrodkowo uzbrojonych dopuszczają ciśnienia w betonie, jak dla belek zginanych.

14. Przykład. Dane: przekrój prostokątny h = 60cm, 5 = 100em, P—i2000kg, Fg = 23,09cm'¹ (15 g514 mm),    = 0, а — Ьст, c = 31,5cm.

Wedle (118) Fj = 60.100 -f 10.23,09 = 6231 cm*,

«i =

V₂100.60* +10.23,09,56

6231

= 30,93cm, « = 29,07cm,

.7 =

100(30,93³ + 29,07³)

+• 10.23,09 (29,07 — 5)* = 1 988180cm\

c, = 31,5 -f (30,93 — 30) = 32,43 cm,

ob = — 42 000

32,43.30,93

1938180

= 29,4 kg lent²,

<j)t' = — 13,7 kg Ion-,

29,4

.60 = 40,9cm, o^ = 10.13,7

(60 — 40,9) — 5

= 101 kg/cm".

29,4 + 13,7

W ten sposób możemy obliczać, jeżeli wypada ciągnienie mniejsze niż dopuszczalne (poniżej 20 kg/cm*) lub gdy ciągnienia niema.

60—40,9

23. Faza druga.

Jeżeli wypada ciągnienie za wielkie lub, jak polskie przepisy żądają jeżeli wogóle w fazie I występuje ciągnienie, zatem P wychodzi z rdzenia nie liczymy na ciągnienie betonu i wyznaczamy naprężenia w fazie II

}ż\6-

1____L____

_.L

M:

U-

h-

Fig. 492.

Przekrój prostokątny (fig. 492). Utwórzmy momenty ze względu na P, to:

^(f-«)-5:F:(«-a')-^P.(A₁-«) = 0₎

i, Aj — X ³i= 1бзь—-—

,    ,. . X — af

5i==l0,b___₅

X³— Ъих*-\—— [Fź(hi — u) — F'ż (u — a¹)] x -j-90

90

stąd:

— ~ [F. Aj (Aj — u) — F't a' (u - a')] = 0.....(126)

x wyznaczamy albo próbowaniem albo wzorem Cardana, wstawiając у = x — u. Naprężenia otrzymamy z wzorów :

2 Px

A x² -f- 30 [F'ż (x — a') — Fż (Aj — ж)] Aj — x

-r-** •

•(127)

^=-15-

— a'

°6>    ci⁼¹⁵

(128)

Próba : Va oft x b -f Pj a'£ — Fż o* = i'.

Jeżeli z wzoru (126) otrzymamy ж >• A, to oś obojętna jest cała poza przekrojem i nie należy używać tych wzorów, lecz wzorów fazy I (118 — 123).

15. Przykład. Dane: P = 12 000 kg, u =    - 18 cm, Л = 60 cm, 6 = 100 cm, F^ = F£ =

= 11,78 cm² (16 g6 10 mm), a = o' = 4 cm.

Wtedy mamy :

— (—18

- 4)}j a: -    [11,78.56 (56 + 18) +

— 11,78.4 (—18 — 4)] = 0,

at* + 3 .18 . a* + ~ [li,78 {(56 +18)

a; = 19,5 cm.

X³ + 54 X¹ + 804 x — 44 867 = 0,

— 53,6 kglcm?.

2.42 000.10,5 °b~ 100.19,5²-f 30.11,78(15,5 — 36,5)

Próba :

56 — 19,5

= 1500 kglcm*,

o$ —15.53,6 o/ = 639 kg/cm¹.

‘/a 53,6.19,5.100 + 11,78.639 — 11,78.1500 = 42 000.

19,5

—г

h'

хгд.-

e '

Lt

-Ч—k/7 "f}’6z '

±=1P

u_4_J

Mg. 493.

Przekrój teowy (fig. 493). Tutaj suma sił poziomych musi być równa zeru, więc : Va b obx — (b — Aj) V2 ³o (a? — e) + F'. sj — F. 1. = P,

a gdy:

°₀ = 4 t0

Aa;²

₂ (P - M ⁽*"₂ e? + 15 F'.(x - «0 - 15 F. (Aj-.t)=^ = N,.

P# (x — u)

Podobnie otrzymamy z równania momentów : bx° b-_bi^_ e)3 + 15 F^x _ a,)2 +15 F. (Ai _ д.)

Z obu tych równań otrzymamy:

Jx ". Ъл

u — -у-. Jeżeli — = ß, to po wstawieniu wartości za JxiSx otrzymamy :

90 Ft

x³ — 3 и X² -f- 3 90 F.

1-P

Aß

e (e — 2 и) X

(Aj — и') X -j- - — >J" e² (3 u — 2 e) 90 F.

(u — а') X -f-90 F'.

Aß

а' (а' — м) +

Ai (Aj — «) = 0

(129)

Równanie to trzeciego stopnia możemy rozwiązać albo próbami albo wzorem Cardana.

Wstawiwszy: y = x — w,

30

1-ß

P — yp- [Fż (Ai — U) — F'. (u - a')} - ir +

q = -^[F'ż (af - M)² + Fź (Ai - «)²] -    +

+4-

zaś:

1-ß

e .ii (e — 2 w)

1-ß

- e (e — 2 w),

. (130)

otrzymamy :

e² (3 w 2 e)

Wreszcie mamy:

Px _ Px (x — u)

y = V— q + V^²-|-^³ -j- У— ÿ —    -\-p³ .... (131)

» = У + «

(132)

«4

(133)

^=15а/(

Ai — x ,    x — a'

24. Projektowanie przekrojów ciśnio-nych mimośrodkowo.

Przekrój prostokątny. Cały przekrój cieniony, względnie w fazie I (fig. 494).

Tu mamy:

__

-- 'J

■4

-—Ć?

diiÄj

-J

*ъ-*ъ

a;=l₅(a'-f

аб~аб

P-^~-b.h + lbF^’bĄ

n °b+4

Fig. 494.

V- ³&

a stąd:

¹⁵(a?,4

. .(134)

Teraz utwórzmy równanie momentów ze względu na P( :

'(i-

°b~ c6

. aj (Aj - a) + Ofj . i . A.    — aj +

•⁴-а(т“4

a stąd:

p\y

— a —c — 15

F‘a ii >    ³‘ kJh \

——г*Мт-7

bh

.(135)

g— (2 A — 3 a)

Jeżeli mamy dane P, c, A, A, a, a₀ i przyjmiemy P,. bardzo małe, może 0,4% Ъ A, to zrównania (135) obliczymy a potem z równania (134) PJ.

Przekrój prostokątny w fazie II. Dane wymiary b, A, dalej Pic, oft, szukane*Pj i PJ.

Stark i Dankelmann tworzą momenty ze względu na ciągnioną wkładkę (fig. 441) Mp — P(Aj — u) :

¹⁵ «ft

xb

Aj, TT₆ = —, Mf = Mp — Mc . (136)

(137)

(138)

л/

Aj — af

1Гс=1Г₆₊1Г.-Р=Р,а,

Stąd obliczyć można Fé i Pj.

16. Przykład. Dane P=ii000rkg, ге = — 18cm, h — 60 cm, b = 100 cm, a = a’ = 4 cmf -- 30 kg! cm², о/, = 800 kg!cm?. Mamy wtedy Mp— 42 000 (66 + 18) = 3108000 kgcm,

15.30    ,    ‘    20,2 .

X —---— . об = 20,2 cm, Wh = 30-

800 + 15.30    >    ’    0    ₂

492000kgcm, Mf = 3108000 — 1492000 = 1616000iyi»w, <%=15.30

w 1616 000 k 52 19 400

100

= 30 300 кг/,

Mc = 30^300 ^56 —    ='

-----1

20,2 — 4

20,2

= 361 kgjcm²

— 31100fy,    =86,3 cm», R = 30 300 + 31100 — 42 000 = 19 400 kg ,

*£ =

800

= 24,28 cm².

Przyjmiemy F^ = 25,14 оиг (8g620), F/ — 86,02 cm? (8</?37). x* + 3 . 18 . x² +    [25,14 (56 + 18) — 86,02 (— 18 — 4)] x —    [25,14 . 56 (56 + 18) +

— 86,02.4 (— 18 — 4)] = 0,

x? + 54 x² + 3375 x — 100 000 = 0, x = 20,6 cm,

2 ■ 42 000.20,5

= 29,05 kglfim²,

56_20 5    20 5_4

% = 15 . 29,05 - ■- ’ = 756 kglcrri¹, a/ —15.29,05 —£-= 351 kg/cm².

*jU?D    20)5

Próba: 14.52 . 20,5.100 + 86,02.351 — 25,14.756 = 41080oo 42000.

°h =

100.20,5² + 30 [86,02 (20,5 — 4) — 24,28 (56 — 20,5)]

Przekrój prostokątny w fazie drugiej. Dane P, b, e, ab, z., szukane A, F. i F'ż.

Г»

Wedle Spangenberga przyjmujemy и. — i nazwijmy а'—-phi(fig.495). Wtedy otrzymamy:

³i

15a₆

* 1K + G.

== ¹/₂ X b Gj = */а £ b ab hi X — a’

,hi = ^hi

(139)

(140)

—, wiec o. = --2L

ą * - ¹

г⁻?—;

.аьс“

—Л&Г—

■B-----

Sb

U-

4—

КгЪ&г’

Fig. 495.

w>=Vi-vi\ ftrj «i- "Vrt-brf-.....0«)

więc:

н^+р-^+и^,

ł/a bhi Gj i — P

>Fr==

(142)

to :

Ustawmy równanie momentów ze względu na wkładkę ciśnienia, to:

wr (hi - ar) = 72 Ъ hi \ 4 (V₃ Ç - j>) + P (« - V. (Al + «) - «')•

1 — JP

c—p

^ Î3y

V - 2—^ "~-1/i⁸/⁼TiL    • 4- • К -

ą«i(2— /з5+р) ь

„ .... g —Vü+P £<*&(?-7s£+p)

Nazwijmy :

2P(e — % «)

азь(?- Vs'4+p)a

jeżeli :

to :

Jeżeli :

(143)

0;

-, ß = V. « (ff — Va +1») -(1441145)

. . . .(146)

2»i(l — J>)

(147)

to :

Vb

(148 i 149)

Spaugenberg podaje następująca tablicę:

t*

ai

°b

750

30

900

35

35

1000

40

45

0,00

50

55

35

1200

40

45

50

55

750

30

900

35

35

1000

40

45

0,10

50

55

35

1200

40

45

50

55

750

30

900

35

35

1000

40

45

0,25

50

55

35

1200

40

45

50

55

750

30

900

35

35

1000

40

45

0,50

50

55

35

1200

40

45

50

55

750

30

900

35

35

1000

40

45

1,00

50

55

35

1200

40

45

50

65

Tablica 13.

0,06079

0,01269

0,04421

0,01105

0,007500

0,007163

0,3750

0,3684

0,04688

0,o3810

0,03185

0,02722

0,02346

0,01172

0,00952

0,00796

0,00680

0,00586

0,006025

0,007500

0,009067

0,0Ю715

0,012433

0,05225

0,04220

0,03507

0,02982

0,02582

0,01306

0,01055

0,00877

0,00745

0,00645

0,004438

0,005555

0,006750

0,00*013

0,009336

0,3443

0,37*0

0,4030

0,4286

0,4521

0,3043

0,3333

0,3600

0,3H46

0,4074

0,06272

0,04583

0,04842

0,03954

0,03320

0,02849

0,02489

0,05367

0,04352

0,03631

0,03100

0,02693

0,05557

0,04824

0,06073

0,04167

0,03520

0,03039

0,02668

0,05580

0,04547

0,03817

0,02858

0,02858

0,06020

0,05222

0,05454

0,04520

0,03848

0,03346

0,02958

0,05933

0,04877

0,04121

0,03560

0,03129

0,06940

0,05998

0,06201

0,05205

0,04482

0,03935

0,03509

0,06631

0,05520

0,04717

0,04116

0,03651

0,01441

0,01248

0,01307

0,01080

0,00919

0,0"798

0,00706

0,01427

0,01169

0,00986

0,00851

0,00746

0,007871

0,007505

0,006280

0,007871

0,009581

0,011397

0,013320

0,004588

0,005775

0,007059

0,008428

0,009876

0,01737 I 0,008500 0,01497    0,008084

0,01537

0,01303

0,01136

0,01013

0,00918

0,01629

0,01360

0,01173

0,01034

0,00927

0,02378

0,02030

0,02014

0,01783

0,01624

0,01514

0,01437

0,02030

0,01762

0,01573

0,01436

0,01336

0,04633

0,03360

0,03531

0,03474

0,03556

0,03781

0,04194

0,03177

0,02989

0,02903

0,02905

0,02986

0,3750

0,3684

0,3443

0,3750

0,4030

0,4286

0,4521

0,3043

0,3333

0,3600

0,3846

0,4074

0,3750

0,3684

0,006704

0,008500

0,010470

0,012610

0,014925

0,004834

0,006135

0,007579

0,009137

0,010816

0,009807

0,009277

0,007554

0,009807

0,012x90

0,015327

0,018670

0,005308

0,006869

0,008640

0,010630

0,012850

0.014160

0,013160

0,010120 0,014160 0,019550 0,026930 0,037450 I

0,006602

0,0"8997

0,012000

0,015780

0,020620

0,3443

0,3750

0,4030

0,4286

0,4521

0,3043

0,3333

0,3600

0,3846

0,4074

0,3750

0,3684

0,3443

0,3750

0,4030

0,4286

0,4521

0,3043

0,3333

0,8600

0,3846

0,4074

’    0,3750

0,3684

0,3443

0,3750

0,4030

0,4286

0,4521

0,3"43

0,3333

0,3600

0,3846

0,4074

17. Przykład. Dane: P—1000Qkg, е — \Ь0ст, b —50 cm, a = a’= kem, = iOkg/cm?, o$ = 1000 kg/cm.². Przyjmiemy fi = 0,25, Fg = 0,25 Fi.

W równanie (146) wstawimy spółczynniki z tablicy i otrzymamy :

0,0417.10000

*1 =

hO

50

0.0130. IOOuO

(150 — 2) =71,8c»n,

przyjmiemy Л, = 72 cm, h — 76 cm. Z równania (148) otrzymamy :

F% = 0,0(>85 ^50.72 —

2.10000

0,375.40

Przyjmiemy Fi. —19,01 cm?(5cß22), Ft = 5,31 cm-(4</!13).

•] =1 ',3 cm?, F'ź — 0,25.19,3 = 4,83 cni¹

■V

-:W

Tl

■•'•V

Fig. 496.

Tutaj и — — (150 — 38) = —112 cm. Zatem z równania (126):

90

x’’ -j- 330. ж² -f- —— [10,01 (72 + 112) —5,31 (— 112 — 4)] x — —[19,01.72 (72 + 112) —

50

50

°b =

я? -f- 336 . X¹ -j- 7400 . X — 458,000 = 0, X — 26,8 cm. 2.10 000.30,9

— 5,31. 4 (— 112 — 4)] = 0,

50.26,8² + 30 [5,31 (26,8    4) — 19,01 (72 — 26,8)]

26,8 — 4

——— . 39,0 = 498 kg/cm² ;

= 39,0 kg [cm² ;

72,0 — 26,8

. 39,0 = 986 kg/cm?.

°ż = ¹⁵

Próba : l/a • 39,0.26,8 . 50 + 5,31 . 498 — 19,01 . 986 = 10 030 CO 10 000 kg.

Przekrój teowy w fazie drugiej. Dane P (fig. 496), siła działająca

26,8

w odstępie v od połowiącej m —

1{4+³i ■

f. d. öffentl. Baudienst“, 1918), jeżeli nazwiemy:

h b»

, bi    e    F'i

m, a=phu -j = ß, — — p. -y-,

Można udowodnić (Thullie, „Österr. Wochenschrift

= l-(l-ß)(l-|-)², q =

. (150 i 151)

g-V»+i>

•(152)

VbM —

że :

S = V* « (? — Va +jp)

hx

. . . .(154)

a gdy:

2^(1 -p)

(155)

F' = [j. F. ... (156 i 157)

4*5 /

Poniżej podajemy tablice dla £, cc i y, (tablice 14., 15., 16.). Tablica 14. dla | =•

hi

з₅= 1000 kg/cm²

a₆=    42

I = 0,3865

Tablica 15. dla cp

32 Jcg/cm2 0,3569    0,3243

37

/» = 0,1

/» = 0,9

/» = 0,3

42

37

32

42    !    37

32

42

37

32

*1 = 0,1 3» = 0,2

'j3 — 0,3

-в -в -6

ооо

О 05 ю 10^0^05

сГ сГ o'

CO "М 05

ю^оо^с^ о" сГ сГ

111

ООО

O O O

S2S

O ^ I-* O O O

sss

о o> c

O t— y* CO O GO 05

o' о cT

N CO «O И X Ci 0^00^05^

cT cT cT

CD

Ь- ©q CO O GO îO CO Ci

сГ о cT

lO

C Ci Oi

cT cT cT

05

Tablica 16. dla у

2аД1 —i))'

p = 0,10

p = 0,06

°6

^ = 0,00 j 0,26

0,50

1,00

0,00

0,25

0,50

1,00

42

37

32

0,00812 0,00919 0,01059 0,01523 0,00660| 0,00733 0,00825 0,01100 0,00519 0,00565 0,00623 0,00777

0,00811; 0,00937 0,006601 0,00739 0,00519 0,00573

0,01105 0,01734 0,00858 0,01227 0,00645 0,00852

18. Przykład. Dane: P = 30 000 Ary, « = 40cm, /* = 0,25, 6= 150cm, <jj = 42 кд/ст¹, o^ = 1000 kg/cm?, ß = 0,2, 5, = 0,2, а = 2,6 cm. Wtedy otrzymamy dla p = 0,06, <p = 0,814 а = 0,0467, г = 0,0150, у — 0,00937.

0,0467.30 000

Wtedy :

*.=

150.38,7 0,0150.30 000 h = 44,2 -|- 2,6 = 46,8 cm, h = 47 cm.

2.30 000

F& — 0,00937 ^150.44,2 . 0,814

0,3865.42

= 44,2 cm,

•j =15,9 cw®,

W tedy :

30

150.0,2

F’à — 0,25.15,9 = 4 cm*.

и — 4₂ 47 — 40 = — 16,5 cm, e = 0,2.44,2 = 8,8 cm.

1_-02

[15,9 (44,2 4- 16,5) — 4 (— 16,5 — 2,6)] -f 16,5® + :

0,2

8,8 (8,8 —

--[-2.16,5) = 2240,

9— —

45

+ -T

[4 (2,6 4-16,5)* +15,9 (44,2 + 16,5)*] —16,5³ +

8,8.16,5 (8,8 + 2.16,5) +    8,&³ (- 3 . 16,5) -

3_!_— -------------------------- a____

2/^1/132 380 + ]/ +'132380*4- 2240³ + \ 132380 — ]/l32 380² + 2240³ = x= 33,7 --16,5 = 17,2 cm, = 41,6 kg/crn¹, o% = 979 kglcm².

2.8,8) == — 132 380,

33,7 cw,

VII. Dźwigary hiperstatyczne.

25. Zasada obliczenia.

Obliczenie dźwigarów hiperstatycznych podano w dziale: „Ustroje hiperstatyczne“. Tu podamy tylko zastosowanie tych zasad do żelbetu.

Ponieważ wyznaczamy siły zewnętrzne, badając ugięcie, więc dla obliczenia sił zewnętrznych przyjmujemy fazę pierwsza, przyjmując n = 10.

Belki ciągłe. Ze względu na większe siły ścinające na podporach należy przyjmować większą szerokość żeber niż dla belki zwykłej, za to mniejszą wysokość, tak że iloraz bh pozostaje ten sam.

Fig. 497.

Dźwigary ciągłe należy obliczać najwyżej jako trzyprzęsłowe.

26. Płyty, spoczywające na czterech krawędziach.

Huber dochodzi do nast. wyników. Dla obciążenia q, rozłożonego jednostajnie na całej powierzchni płyty o bokach a i b (fig. 497).

6,1

(158)

. (159)

*»-£*»*

(•4+^!/) + ²

ni —

Dla obciążenia skupionego P w środku płyty:

uajw. Mx — 0,405 P

. . . .(160)

uajw. My — 0,405 P

Przytem możemy przyjąć m = 8, v = 0.

19. Przykład. Płyta prostokątna a = 1,5 m, b = 2,0 m, obciążenie całkowite bez ciężaru własnego 4800 kg. Jeżeli tymczasowo przyjmiemy grubość płyty 10 cm, to :

q = ¹/з (4800 + 720) = 1,84 i/w* == 0,184 kg/cmr.

200²

Otrzymamy :

najw. Mx — — 0,184.150² -

(il50M-800»)jy

Jy — i 10³ = 83,33 —Jx= j', X — 83,33 . ISO¹* +    (83,33 + 83,33) +

— 83,33j 150* . 200² + 83,33 . 200³ = 3254,5.10*, 150’ ^150² + -i-200²j 83,33

więc: najw. .1/^=297,7 kg/cm, najw.My — ^ - 0,184.200²

3254,5 . 10⁸

= 191,1 kg/cm.

Przepisy polskiego ministerstwa dla budownictwa z 1923. Przy płytach o stosunku boków między 1:1 a 1:2, zbrojonych krzyżowo, można uwzględnić przenoszenie się obciążenia w dwu kierunkach.

Mesnager poleca wzór dla płyt na krzyż uzbrojonych rozdzielenie momentu, na oba

kierunki a =

a³

>~+ 2,3 a3 Normy francuskie z 1906 przyjmują:

1 „ , Ł"

¥ 9a 2a³+ 6”

a³ + 2,3 b³

dodatkowe rozporządzenie nakazuje liczyć wedle wzoru Mesnagera. Huber zaleca w 1923 dla bz^a (str. 1101):

*•—srp9(³-‘-z)-

Tablica wymiarów płyt.

Szerokość b = 1,00 «г;

naprężenia dopuszczalne : a, = 40 kff/cm², o, — 1200 kg jem².

S К!

•« 1

o,#iosi>OM'#œaeHiOri®HS!NS)ooooioiois THWT-iHHWeqwiNIMCC'Si'i'iOiO 0_ О Г- СО^ 00_ 05_ О^ 0_ ТН_

сГ o'" o' o' сГ o' o' o' o' o' о" cT o' o' о" o' c¹⁻ o' o' cT o' т-Г т-Г rT r-Г

!>-<M<Mt>-CDT-łCDcDCDCDCDCDCDCD CD^CD^CD CD^ CD^ CD^ CD^ CD^

т^Гo'tcTю'о^ссГсо'сгГс^Гь^оо'со'оГоГо о ч-н'тн см <м со со со ^

rlHrlHHHHHrHHrl

CD QO 00 00 J*! «-Л 4 C5 05 05 'en    'сл "сл

ООНН(М(ЯСОСС^^ЮОЮ^«0 НгНг1ИНгННг1г1ИИг<Нн гН

jX> J4l Jsl j<l Ci JJ5 Ci JJ* ^Л    ^ Jfs*. jf*    ОЭ ОЭ JW JW ОЭ ъэ to to

^^^'lÆ»'o^+l'O''00 t0'05'rf^VM-V0D'o5"0ô'0D'05VUiV^Vt0VÇ0 GO^I —1 tö 05WOl«<105WW0050Üi^U)W(»G00305W^GO^OCO

cosOOïot’t^t^t-c-t^ooaOQOooaooocccoccoooooo

05 05

ооГооноо

1*н И г-1 Н И И

сл

ООО и н и

ł-t    M- H* »-ь

jO o O Cs <1 *<l    ООССсО^сОООн^сО

СЛ    O'«    СЛ Ъ сл сл

сз

łm

Л,

cm

cm

cm²

mm

cm

1,30

15,5

17

1,40

15,5

17

8,22

10

1,45

16,5

18

8,53

10

9,5

1,55

16,5

18

8,69

10

1,65

17,5

19

8,98

10

1,70

17,5

19

9,26

10

8,6

1,85

18,5

20

9,40

10

8,5

1,90

18,5

20

9,81

10

2,05

19,5

21

9,94

10

2,20

19,6

21

2,30

20,4

22

2,45

20,4

22

2,50

21,4

23

2,55

21,4

23

2,75

22,4

24

2,90

22,4

24

3,00

23,4

25

3,20

23,3

25

3,40

24,3

26

3,60

25,3

27

4,00

26,3

28

4,20

27,3

29

4,60

28,3

30

4,80

29,2

31

5,20

30,2

32

5,60

31,2

33

5,80

32,2

34

6,20

33,2

35

6,50

34,2

36

7,00

35,2

37

7,50

36,2

38

8,00

37,2

39

8,50

38,2

40

9,00

39,1

41

9,50

40,1

42

10,00

10.50

11,00

11.50

12,00

12.50 13,00

13.50

41,1

42,1

43,1

44,1

45,1

46,1

47,0

48,0

43

44

45

46

47

48

49

50

10,32

10,68

10.93

11.29

11.40 11,51

11.94 12,28 12,48 12,88

13.30 13,70

14.30 14,77

15.45

15.80

16.45 17,05 17,35

17.94

18.40 19,10 19,75

20.40 21,00 21,60 22,20

22.80

23.30 23,90

24.50 25,00

25.50 26,00

26.50

10

7,5

12

12

12

12

12

12

12

12

14

14

14

14

14

14

15

15

15

15

15

15

16

16

16

16

18

18

18

18

18

18

18

18

20

20

7,5

11

11

10

10

9,5

9,5

12

11

11

10

10

10

11

10

10

10

10

19

10

10

10

11

11

11

10

10

10

10

10

12

12

Grubości płyt A, podane w niniejszem zestawieniu, określono powyżej A = 8 cm w okrągłych centymetrach, poniżej A = 8 cm w połówkach centymetrów ; zatem wartości Aj nie są teoretycznie ścisłe, ale otrzymane z każdorazowej różnicy A — a ; natomiast ścisłe są wartości Fź. Odstępy t zaokrąglone zawsze w dół tak, że rzeczywiście Fż jest nieco większe i te większą wartość należy przyjąć dla ewentualnego sprawdzenia naprężeń.

369

Bryła, Podręcznik inżynierski. VI. 89

\

TABLICE

;.

V

. !

■л

/

Odległość od skrajnej podpory Wpływ ciężaru własnego g

Momenty zgięcia

Siły poprzeczne

Wpływ obciążenia użytkowego p

Wpływ ciężaru własnego g

Wpływ

obciążenia użytkowego p

-ß

Obciążenie jednostajne.

ООООЮ o ooooooooo © о о о г- о оооооюоюо lo^çq^t-^t^oo^oo^oi os o ©~ ©~ сГ сГ сГ сГ ©'сГсГ©'сГ©'о'сГг-Г

0,0000 + 0,0325 -t- 0,0550 + 0,0675 + 0,0703 + 0,0700 + 0,0625 4- 0,0450 4- 0,0175 0,0000 — 0,0200

—    0,0425

—    0,0675

—    0,0950

—    0,1250

^    -ог Gasi*-

Fig. 497 a.

max if = (a g + ßjp) P

¹

= •4«“+

0,00000    0,00000

0,03875    0,00625

0,06750    0,01250

0,08625    0,01875

0,09375    0,02344

0,09500    0,02500

0,09375    0,03125

0,08250    0,03750

0,06125    0,04375

0,04688    0,04688

0,03000    0,05000

0,01523    0,05773

0,00611    0,07361

0,00138    0,09638

0,00000    0,12500

ï'max = (ï6'+r+)?

Oddziaływania :

A — В —

— (0,3750 <7+ 0,4375^))Z, C = 1,250 (g+p) l + 0,3750 + 0,2750 + 0,1750 + 0,0750 0,0000

—    0,0250

—    0,1250

—    0,2250

—    0,3250

—    0,3750

—    0,4250

—    0,4750

—    0,5250

—    0,5750

—    0,6250

0,4375

0,3437

0,2624

0,1932

0,1491

0,1359

0,0898

0,0544

0,0287

0,0193

0,0119

0,0064

0,0027

0,0007

0,0000

0,0625

0,0687

0,0874

0,1182

0,1491

0,1609

0,2148

0,2794

0,3537

0,3943

0,4369

0,4814

0,5277

0,5757

0,6250

; 05 G \g

\g

OS G

4 ^051—lf-05 I-JLÂ-05 /-4—0 5 l-A &

'r

T^-Td+bpl

Oddziaływania :

Fig. 498.

© © <м o © © ©

O © ч* iO O iQ © ©^    00^ 00^ 05^ 05^ ©_

©~ ©~ a ©~ o~ ©~ r-T

0,0000

+ 0,1562

—    0,0789

—    0,0844

—    0,1188

—    0,1531

—    0,1875

0,0000    0,0000

0,1016    0,0234

0,0395 0,0422 0,0594 0,0765 0,0937

A — В =

= 0,8125 <? + 0,45318 p l C = 2,3750 ćr + 1,1875jpZ

+ 0,3125

— 0,6875

0,20318

0,04681

0,00000

0,34375

Odległość od skrajnej podpory

Momenty zgięcia

Siły poprzeczne

Wpływ ciężaru własnego g

Wpływ obciążenia użytkowego p

Wpływ ciężaru własnego g

Wpływ

obciążenia użytkowego p

-ß

0'5C\G \C

44-

C ß C \05C

и-й-ч+'Ч'И+Н

u-_/—--/--»J

r««-TÛ! + *J»ï

Oddziaływania :

Fig. 499.

_p O JD _0 O

'о'о'о'оо'оо'о'ог'о

OOIOWOOMO

OOOOOCSOSO

^»»-««н+М8 0,0000 0,0000 -f 0,2222    0,0926

+ 0,1111    0,0741

—    0,0667    0,0222

—    0,1333    0,0057

—    0,2000    0,0000

—    0,2664    0,0000

—    0,3333    0,0000

A — В =

= 1,1667 G-\- 0,4444^ I С — 3,6667 G -f- 1,2221^>?

0,0000    -j-    0,6667

0,0185    _    0,3333

0,0370

0,0444

0,0501

0,0667    —    1,3333

0,0889

0,1111

0,2777

0,0550

0,0000

0,0550

0,1660

0,4444

i05Ć\C Iß G C G le

ose

*4*"-f-1

Fig. 600.

max

= y (x-j- bpl

Oddziaływania :

o' o'o' О О О О О Т-Г

0,0000 + 0,2578 + 0,2656 4 0,0234

—    0,0750

—    0,1734 i — 0,2719

—    0,3703

—    0,4687

*nut x = «öl + ßj»*⁸

0,0000 0,0791 0,0957 0,0498 0,0281 0,0102 0,0000 0,0000 0,0000

Л = # =

= 1,5313 G -j- 0,4414jpZ (7 = 4,9367 G 4- 1,2344p l

0,0000

0,0146

0,0293

0,0439

0,0469

0,0535

0,0680

0,0926

0,1172

4- i,03i3 4- 0,0313 — 0,9687

— 1,9687

0,3164

0,1216

0,0256

0,0000

0,0586

0,1138

0,2678

0,4922

Odległość od skrajnej podpory

Momenty zgięcia

Wpływ ciężaru własnego g

Wpływ obciążenia użytkowego p

±1 I

Wpływ ciężaru własnego g

Wpływ

obciążenia użytkowego p

-ß

+ «5

0,0000

0,1000

0,2000

0,3000

0,4000

0,5000

0,6000

0,7000

0,7895

0,8000

0,8500

0,9000

0,9500

1,0000

1,0000

1,0500

1,1000

1,1500

1,2000

1,2764

1,3000

1,4000

1,5000

0,00000 + 0,03500 + 0,06000 + 0,07500 4- 0,08000 + 0,07500 + 0,06000 + 0,03500 -j- 0,00414 0,00000

—    0,02125

—    0,04500

—    0,07125

—    0,10000 — 0,10000

—    0,07626

—    0,05500

—    0,03625

—    0,02ü00 0,00000

+ 0,00500 + 0,02000 + 0,02500

05g\g

*—I—H—

Fig. 601.

(ад+?р)¹‘²

0,00000

0,04000

0,07000

0,09000

0,10000

0,10000

0,09000

0,07000

0,04362

0,04022

0,02773

0,02042

0,01706

0,01667

0,01667

0,01408

0,00748

0,02053

0,03000

0,05000

0,05500

0,07000

0,07500

i—m

CS

0,00000

0,00500

0,01000

0,01500

0,02000

0,02500

0,03000

0,03500

0,03948

0,04022

0,04898

0,06542

0,08831

0,11667

0,11667

0,09033

0,06248

0,05678

0,05000

0,05000

0,05000

0,05000

0,05000

G 05 G

I 7,тах = (т^4-Мг

Oddziaływania :

4 = 2? = (0,40 g + 0,45 p) l C= D =    (1,10(7-h l,20_p)Z

+ 0,4    0,4500    0,0500

+ 0,3    0,3560    0,0563

+ 0,2    0,2752    0,0752

+ 0,1    0,2065    0,1065

0,0    0,1496    0,1496

—    0,1    0,1042    0,2042

—    0,2    0,0694    0,2694

—    0,3    0,0443    0,3442

—    0,4    0,0280    0,4280

—    0,5    0,0193    0,5191

—    0,6    0,0167    0,6167

+ 0,5    0,5833    0,0833

+ 0,4    0,4870    0,0870

+ 0,3    0,3991    0,0991

+ 0,2    0,3210    0,1*210

+ 0,1    0,2537    0,1537

0,0    0,1979    0,1979

⁴ :i~H+j

¹    Fig. 602.

0,00

0,50

0,80

0,85

0,9C

0,95

1,00

1,05

1,10

1,15

1,20

1,50

M^aGl+ßpl* 0,0000 0,0000 0,1062 0,0200 0,0106 0,0112 0,0119 0,0125 0,0094 0,0062 0,0081 0,0125 0,0875

Oddziaływania :

A — B= 0,85 G + 0,4625pl C= D = 2,15(2+1,15 pl

+ 0,1750

— 0,0200

—    0,0525

—    0,0850

—    0,1175

—    0,1500

—    0,1250

—    0,1000

—    0,0750

—    0,0500

+ 0,1000

0,0000

0,0187

0,0300

0,0369

0,0538

0,0706

0,0875

0,0719

0,0562

0,0406

0,0375

0,0375

+ 0,3500

— 0,6500

+ 0,5000

0,2125 I 0,0375

0,0125

0,3375

0,3125

0,0625

Odległość od skrajnej podpory

Momenty zgięcia

Siła poprzeczna

Wpływ ciężaru własnego g

Wpływ obciążenia użytkowego p

Wpływ ciężaru własnego g

Wpływ

obciążenia użytkowego p

-ß

+ -5

— <5

75 C G G

üitl

Obu

= Y G+bpl Oddziaływania :

A=B=1,2883 <7+0,4566jrf B= 0=3,2667 G+1,1777^

max

Fig. 503.

©«iOOOOOOOOlO OCOtDOiOOiOOOOHOCQ о

o' o' o' o' о сГ сГ т-Г т-Гг-Г r-Г т-Г

ОСЛО

M=aGl+$pl²

0,0000    0,0000

0,2444    0,0963

0,1556    0,0814

0,0311 0,0165 0,0133 0,0140 0,0148 0,0111 0,0074 0,0109 0,0222 0,0667 0,0667

—    0,0133

—    0,0767

—    0,1400

—    0,2033

—    0,2667

—    0,2167

—    0,1667

—    0,1167

—    0,0667 + 0,0667 + 0,0667

0,0000    +    0,7333

0,0148    —    0,2667

0,0296 0,0355

0,0421    —    1,2667

0,0600

0,0818

0,1037

0,0833

0,0630    +1,0000

0,0498 0,0445 0,0445 0,0445

0,2889

0,0680

0,0148

0,4074

0,0000

0,1513

0,0444

0,1569

0,4370

0,0741

0,1513

racic |c C le He le leje c

Ci

\05G

Fig. 604.

Oddziaływania :

4=5=1,6250 6r+0,4531 pl 0=5=3,3750 0 + 1,1875pl

0,0000

0,2500

0,5000

0,7500

0,8000

0,8500

0,9000

0,9500

1,0000

1,0500

1,1000

2,1500

1,2000

1,2500

1,5000

M — a Gl-\- $pl2 0,0000 0,0000 0,0820 0,1016 0,0586 0,0375 0,0218 0,0140 0,0148 0,0156 0,0117 0,0087 0,0152 0,0281 0,0469 0,0781

--0,2813

--0,3125

—    0,0938

0,0000

—    0,0938

—    0,1875

—    0,2813

—    0,3750

—    0,3000

—    0,2250

—    0,1500

—    0,0750

0,0000

+ 0,2500

0,0000

0,0117

0,0235

0,0352

0,0375

0,0453

0,0609

0,0851

0,1094

0,0867

0,0650

0,0527

0,0469

0,0469

0,0469

+ 1,1250 + 0,1250 — 0,8750

— 1,8750

+ 1,5000

+ 0,5000

0,3281

0,1343

0,0402

0,0156

0,4531

0,0469

0,1031

0,2590

0,4844

0,0781

0,1137

Odległość od

skrajnej ,    . ,    •

podpory Wpływ ciężaru własnego g

Momenty zgięcia

Wpływ obciążenia użytkowego p

Wpływ ciężaru własnego g

Wpływ

obciążenia użytko-_wego p

-ß

-M I -Л

Fig. 605.

.1/=.- (ag + ßp)P

o ooot>r^oooo ооюоооооо O O O O er. о ©оооооооюою

ОНСО со^    юр^С^ь^г^СО^СО^ро:

сГсГо'сГо'сГ сГ сГ сГ «о* сГ сГ сГ о*

OOOOl-iOOO t>oo»ocooooo ООООСОООО ЮОО05ОЮОООО ЮОЮОСОООО СОООООООЮОЮО OH HWCł СО>ФЮ ЮС01>1>00С00005О:О

0,00000 + 0,03429 -j- 0,05857 -j- 0,07286

+ 0,07714 + 0,07143 4- 0,05572 4- 0,03000 0,00000

—    0,00117

—    0,00571

—    0,02732

—    0,05143

—    0,07803

—    0,10714

—    0,10714

—    0,08160 _ 0,05857

—    0,03803

—    0,02000 0,00000

+ 0,00857 -I- 0,02714 4- 0,03572

4- 0,03429 4- 0,02286 -i- 0,00416 4- 0,00143 0,00000

—    0,01303

—    0,03000

—    0,04947

—    0,07143

ooooooooo ©©©©©oooooopppp^p^pp»^ p pop© w о о оф"; o'© о    ^©'о'о'о'Ъ'о'о'о'о'о'ооо'оооооо    о    о    о о    о

Öl СЮ СЮ СЮ if- rfk. •£»• 05^3.    00О0м^МЮИМ-МИМК105|(8^05С0С0    О.    000:000

•оим^оисйсс^    owcjcoou'^Mcowwœ^^Mtovivia    со    со    о со    о

H-dOCCO^aOM    WOi^OOOWOłO^^COtóCOWOOOiOOte    Ol

w ел и о: о w w о» cj*dco»oooiMoowco^coœ®oœKi

CO t© C5 ©

W co if*- o

осогчо со о-^ос.    œ o^i N а о о S ^

о O H 2 *SÎ

о* о сГ сГ    сГ сГ сГ о cT o' oooooooooooooo ooooooooo

iax = <ïff + àp)l Oddziaływania :

A = В = (0,3929 g + 0,4464p) I C= D = (1,1428 ir 4- 1,2232p) l E — (0,9286g 4- l,1428j>)ł

0,4464 0,3528 0,2717 0,2029 0,1498 0,1461 0,1007 0,0660 0,0410

4- 0,3929 4- 0,2929 4- 0,1929 4- 0,0929 0,0000

—    0,0071

—    0,1071

—    0,2071

—    0,3071

— 0,4071

—    0,6071

—    0,6071 4- 0,5357

4- 0,4357

4- 0,3357

4- 0,2357 4- 0,1357 4- 0,0357 0,0000

—    0,0643

—    0,1643

—    0,2643

— 0,3643

— 0,4643

0,0535

0,0599

0,0788

0,1101

0,1498

0,1533

0,2979

0,2731

0,3481

0,0247

0,0160

0,0134

0,6027

0,6064

0,4187

0,3410

0,2742

0,2190

0,2028

0,1755

0,1435

0,1222

0,1106

0,1071

0,4319

0,5231

0,6205

0,0670

0,0707

0,0830

0,1153

0,1385

0,1833

0,2028

0,2398

0,3078

0,3865

0,4749

0,5714

Odległość od skrajnej podpory

Momenty zgięcia

Siły poprzeczne

Wpływ ciężaru własnego g

Wpływ obciążenia użytkowego p

Wpływ ciężaru własnego g

Wpływ

obciążenia użytkowego p

Л-ß

+ <5

OSC\C C G G G G G    05 G

>4

nxn

fl

Fig. 5C6.

Mr=aGl + ßpP

"o'® ©'х'оо'сл'^о'м'С-к'о'о'со'со'Ьо'оэ'сл'©

ОСЛОСЗОООСЛОСПОСПОСД©©©

0,0000 4- 0,1696 — 0,0286 — 0,0616

—    0,0946

—    0,1277

—    0,1607

—    0,1330

—    0,1053

—    0,0776

—    0,0500 -f 0,1161

—    0,0178

—    0,0401

—    0,0624

—    0,0848

—    0,1071

0,0000

0,1049

0,0179

0,0085

0,0090

0,0095

0,0100

0,0075

0,0050

0,0027

0,0125

0,0915

0,0212

0,0147

0,0188

0,0228

0,0268

W = )-&'+^z

Oddziaływania : A = В = 0,8393 в -(- 0,4599 p Z C =B = 2,2143 £-f-1,1674 i? i £=1,8928 ff + 1,1072pi I 4 0,3393

opopooooopppopopp

©©©©©'®'®^>1=>^>'®^э'®'©Ъ>^э'©

©wrtO^OWOb-^l^OWCiCObSO®

4»-Ь»®00(-*СЛО1СЯ<1®^^ОЗСО|чЭ|-*©

0,2099

0,0402

— 0,6607

4 0,5536

- 0,4464

0,0100

0,3270

0,0804

0,3404

0,0502

0,3030

05 C G

G G G G CGC

05 G

• , .    Cl ■£;    ;    *D\    :    *8

рз~    ir⁻ з-гут

4-/ *4 / /-—

Fig. 507.

M=aGl + ßpP

0,000 0,333 0,666 ! 0,800 !i

0,850 il 0,900 0,950 1,000 1,050 1,100 1,150 1,200 1,333 1,666 1,800 1,850 1,900 1,950 2,000

0,0000 4 0,2381 -t- 0,1429

—    0,0285

—    0,0928

—    0,1571

—    0,2214

—    0,2856 ' — 0,2309

—    0,1761

—    0,1213

—    0,0665 + 0,0795 4 0,1114

—    0,0093

—    0,0545

—    0,0997

—    0,1449

—    0,1902

0,0000

0,0953

0,0794

0,0286

0,0140

0,0107

9,0113

0,0119

0,0089

9,0059

0,0104

0,0223

0,0688

0,0741

0,0326

0,0230

0,0223

0,0270

0,0318

гтах —+

Oddziaływania : A — Bz= 1,2144 Æ+ 0,4524/ii C= D = 3,3-10 G 4 l,19e3ÿ i E— 2,8092 в -j- \,469pl + 0,7144 — 0,2856

0,0000

0,0159

0,0318

0,0381

0,0449

0,0631

0,0851

0,1071

0,0859

0,0649

0,0508

0,0444

0,0423

0,0370

0,0357

0,0412

0,0555

0,0753

0,0952

0,2857

0,0650

0,0476

0,1602

— 1,2856

4-1,0954

4- 0,0954

— 0,9046

0,0119

0,4246

0,1702

0,0953

0,4404

0,0595

0,1384

0,3968

Odle-głośd od skrajnej podpory

Belka czteroprzęsłowa.

Momenty zgięcia

Wpływ ciężaru własnego g

Wpływ obciążenia użytkowego p

Wpływ ciężaru własnego g

Wpływ

obciążenia użytkowego p

-ß

+ «3 I -9

05

aGl + ßpP

tOi-ł^MM—i-tb-ił-łb-łb-tMMOOOOO ©JD^O

”© *co 'co *00

ОСЛОСЗОСЛОСПОСЛОЦ'ОСЛОО'ОО'ОСЛ©

0,0000 4-0,2746 + 0,2991 + 0,0736 — 0,0216 — 0,1166

—    0,2117

—    0,3068

—    0,4018

—    0,3201

—    0,2384

—    0,1667

—    0,0760 + 0,0067 + 0,1651 + 0,0736 + 0,0062

—    0,0631

—    0,1314

—    0,1997

—    0,2680

G G С\С i G G \G IG G \C G G \C G G \C \0'5G

Fig. 508.

^max = У G + ⁶ PI

Oddziaływania :

A z=B— 1,6982 G -f 0,4498 pl C=zD = 4,6356 <?+ l,2092pZ 8,7324 G 1,1338^1

0,0000

0,0812

0,0999

0,0561

0,0348

0,0191

0,0113

0,0119

0,0126

0,0094

0,0073

0,0146

0,0281

0,0477

0,0832

0,0561

0,0390

0,0281

0,0286

0,0284

0,0335

0,0000 0,0126 0,0261 0,0377 0,0402 0,0482 0,0642 0,0886 0,1130 0,0894 0,0669 0,0688 0,0469 , 0,0460 0,0419 0,0377 0,0377 0,0439 0,0665 0,0783 0,1005

+1,0982 + 0,0982 — 0,0918

0,3248

0,1810

0,0371

0,0502

0,1066

0,2626

— 1,9018

+ 1,6338

+ 0,6338 — 0,3662

— 1,3662

0,0125

0,4712

0,2576

0,1348

0,1004

0,4880

0,0628

0,0992

0,2263

0,4419

W powyższych tablicach oznacza :

g — ciężar stały w jednostkach ciężaru na jednostkę długości. в = oddziaływanie skutkiem ciężaru stałego jako ciężar skupiony w jednostkach ciężaru.

p = obciążenie użytkowe w jednostkach ciężaru na jednostkę długości.

cc

00

Odstęp

punktów stałych

a = b = 0,3331

a = b — 0,1671

Powierzchnie linji wpływowej

0,0417

0,0833

0,500

0,0833

0,0417

0,500

1,0

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,8

Ii. Linje wpływowe belki utwierdzonej.

0,020

0,032

0,104

0,060

0,028

0,176

Bzedne linij wpływowych dla £ =

0,6

0,5

0,4

0,2

0,0

biinje

wpły

wowe

dla

0,080

0,086

0,352

0,140

0,054

0,288

0,125

0,080

0,020

0,000

Vf

0,125

0,144

0,128

0,000

ma

0,500

0,648

0,896

1,000

ЭЦЖОЩМ 0Ш05фЛ9Ш4Д

qqA-"~ $7

9V

- vT>

J,

~ + ) /

88l‘0

0,063

0,500

0,140

0,066

0,612

0,060

0,000

Vf

0,052

0,824

0,000

1,000

9.M.OTOS9Z0 8in0ZpJ9m?fl

i—-i

■>v

---V v*.

----V‘V\

Fig. 509.

ro

С. Liiije wpływowe belek ciągłych.

1. Belka dwuprzęsłowa (fig¹. 510).

lL : 1 = n Linja

wpływowa dla

Kzędne linij wpływowych : liczba górna : przęsło lewe obciążone prawe

dolna:

Obciążenie

jednostajnie

rozłożone

•=0,0| 0,2 I 0,4

0,6    0,8    1,0 Ą-F — F 2 F

Punkty stałe

М,

0,000 0,100810,2064 0,1216 0,0612 0,000 0,0950 0,0000 0,0288[ 0,0984 0,0336 0,0192 0,000_

0,0250

+ 0,070

ЛГ₂

0,000 0,0192 0,000 0,0512

0,1216 0,0384 0,0288 0,000 0,0336 0,2064 0,1008 0,000 0,0950

0,0250 _|_₀₎₀₇₀

Мс

0,000    0,0480

0,000 0,072

0,0840 0,0960 0,0720 0,000 0,0960 0,0840 0,0480 0,000

0,0625

0,0625

— 0,125

1,000    0,752

0,000 0,072

0,516 0,304 0,128 0,000

0,096 0,084 0,048 0,000 0,4375 0,0625

+ 0,375

а = 0,0 6=0,0 «, =0,21 6, = 0,21

0,000 0,048 0,000' 0,128

0,084

0,304

0,096    0,072    0,000

0,516    0,752    1,000

0,4375 0,0625

+ 0,375

0,000 0,320 1,000 0,944

0,568

0,792

0,792 0,944    1,000

0.586    0,320    0,000

0,6248

0,6248

+ 1,2496

Мх

0,000 0,1025 0,000 0,0379

0,2095

0,0506

0,1252 0,0539 0,000 0,0441 0,0252 0,000

0,0973

Мг

0,000 0,0174 0,000    0,0581

0,0305 0,0349 0,0261 0,000 0,1416 0,2441 0,1186 0,000

0,1335

0,0393

0,0227

+ 0,0580

+ 0,1108

(М

мс

0,000 0,0436 0,000 0,0942

0,0763

0,1252

0,0873 0,0654 0,000 0,1104 0,0631 0,000

0,0567

0,0982

— 0,1549

1,000    0,756

0,001» 0,095

0,524

0,125

0,313    0,135    0,000

0,110 0,063    0,000

0,4433

0,0982

+ 0,3451

а = 0 6=0

я, =0,2571 6, =0,1851

0,000    0,0363

0,000 0,121

0,0636

0,295

0,0728 0,0545 0,000 0,508 0,746    1,000

0,5182

0,0473

+ 0,4709

0,000 0,2604 1,000    0,974

0,5396

0,830

0,7598 0,9195 1,000 0,602 0,317    0,000

0,6040

0,7800

+ 1,3840

Му

0,000 0,1047 0,000 0,0518

0,2131

0,0690

0,1292 0,0570 0,000 0,0605 0,0345 0,000

0,1000

0,0675

+ 0,0325

0,0‘»0

0,000

0,0166

11,0682

0,0269

0,1710

0,0307 0,02291 0,000 [

0,2995 0,1450; 0,000 10,2025

0,0200 !

+ 0,1825

го

мс

0,000

0,000

0,0384

0,1295

0,0671

0,1726

0,0768 0,0576 0,000 0,1512 0,0863 0,000

0,0500

0,1688

— 0,2188

1,000

0,000

0,762

0,130

0,533

0,173

0,323

0,151

0,142

0,086

0,000

0,000

0,4500

0,16881 +⁰’²⁸¹²

а = 0 6 = 0

о, =0,3461 6, =0,167 г

0,000

0,000

0,0256

0,114

0,0447

0,285

0,0512

0,499

0,0384

0,742

0,000

1,000

0,6375

0,0333

+ 0,6042

0,000

1,000

0,2686

0,986

0,5117

0,888

0,7282

0,652

0,8964

0,344

1,000

0,000

0,6833

1,0313

+ 1,6146

Г

9Ï

i

i-NL

%-

Л

2_

nl-b

§ ^

!

I

I

!

T

+

I +

i

!'

i

:

i

•>1

te

i

■1 *Qfr-‘³f ~

A*

u—-l

>i

fä § § 5 S j§

fe %

I

fw

i

i

i

i

!

i

i

U

I

I

T

i

i

T

Śs.

L

i

i

i

i

I

I

I

i

!

i

7

i

!

I S !

0t

Д

¹—H

оТХ ~ ~

80

9D

fti

I

fik —,-1

%о

i

i

T

го

--щ

И---

W~-

i

I 4

'■Л

I

4^— Cni

90

I

п

от

во

90

*0

Z

i

I

I

I

!

I

i

го

+

Ш

L.wu

Fig. 510. (Do str. 1388.)

I + йГТ-

T

!

i

rf

г

I

i

»

i

i

i

L

l

ТП

i—

j

"ZT

!

I

!T

i

I

I

LiA/C

+

4 ! M I

[O I_[

Fig. 511. (Do str. 1390.)

Oi

00

I—¹

2. Belka tróiprzesłowa (fig, 511).

l:l = n

iizedno linij wpływowych: œ ® liczba górna: pierwsze przęsło obciążone ^    „ środkowa : drugie „    „

dolna: trzecie

■3o

*1

Obciążenie

jednostajnie

rozłożone

0,2    0,4 I 0,6    0,6    0,8

1,0 +F I — F

Punkty stałe

0,000 My 0,000 0,000

0,0995 0,2042 0,0266 0,0320 0,0077 0,0102

0,1600 0,1190 0,0493 0,000 0,0933

0,0300 0,0256 0,0128 0,000 0,0100 0,0090 0,0051 0,000 0,0067

0,020

+ 0,0800

0,000 M₂ 0,000 0,000

0,0192 0,0336 0,0520 0,1280 0,288 0,0384

S:

0,000 Mc 0,000 0,000

0,0512 0,0896 0,0640 0,0800 0,0192 0,0256

0375 0,0384 1750 0,1280 0;0375 0,0336

0,1000 0,1024 0,0750 0,0640 0,0250 0,0224

0,0288 0,000 0,052 0,000 0,0750 0,0192 0,000_

0,0768 0,000 0,0820 0,000 0,0128 0,000 0,0167

0,0250

0,0250

+ 0,0250

0,0667

0,0600

— 0,1000

\/

1,000 A 0,000 0,000

0,749 0,610 0,064 0,080 0,019    0,026

0,400 0,298 0,075    0,064

0,025 0,022

0,123 0,000 0,4383 0,032 0,000 0,013 0,000 0,0167

0,0500

+ 0,4000

a = 0

6 = 0

а,    =0,200/

б, =0,200 г 0^ = 0,210/ &2 = 0,210/

0,000 C 1,000 0,000

0,314 0,594 0,893    0,694

0,096    0,128

0,726 0,826 0,575 0,458 0,125 0,112

0,969 1,000 0,6600 0,200 0,000 0,5500 0,064 0,000

0,1000

+ 1,1000

0,000 My 0,000 0,000

0,1012

0,0333

0,0072

0,2071

0,0413

0,0102

0,1632

0,0385

0,0100

0,1223

0,0327

0,0090

0,0518

0,0160

0,0051

0,000

0,000

0,000

0,0954    ,

0,0067

0,0308 +0,0713

0,000 M₂ 0,000 0,000

0,0171

0,0683

0,0257

0,0300

0,1476

0,0343

0,0335

0,2037

0,0335

0,0343 0,0257 0,1476 0,0583 0,0300 0,0171

0,0000

0,000

0,000

0,1028

0,0224

0,0224

+ 0,0580

ej

0,000 Mc 0,000 0,000

0,0471

0,0833

0,0192

0,0823

0,1032

0,0256

0,0919

0,0963

0,0250

0,0942

0,0817

0,0224

0,0706

0,0401

0,0128

0,000

0,000

0,000

0,0167

0,0614

0,0771

— 0,1218

1,000 Л 0,000 0,000

0,753

0,083

0,019

0,518

0,103

0,026

0,408

0,096

0,025

0,306

0,082

0,022

0,129

0,040

0,013

0,000

0,000

0,000

0,4386

0,0167

0,0771

+ 0,3782

a = 0

b — 0

aŁ = 0,257/ by =0,257 / a₃ = 0,197 Z &₃ = 0,197Z

0,000 C 1,000 0,000

0,291

0,916

0,072

0,563

0,720

0,100

0,689

0,596

0,097

0,772

0,484

0,087

0,943

0,204

0,060

1,000 0,6265 0,000 0,6771 0,000!

0,0818

+ 1,2218

0,000 My 0,000 0,000

0,1032

0,0454

0,0076

0,2104

0,0568

0,0101

0,1670 0,1264 0,0547 0,0518 0,0435 0,0209 0,0099 0,0088 0,0050

0,000 0,0980

0,000

0,000 0,0067

0,0519 +0,0528

0,000 M₂ 0,000 0,000

0,0148

0,0671

0,0223

0,0260

0,1758

0,0297

0,0290

0,2454

0,0290

0,0297

0,1758

0,0260

0,0223

0,0671

0,0148

0,000

0,000

0,000

0,1514

0,0193

0,0193

+ 0,1128

0,000 Mc 0,000 0,000

0,0420 0,0789 0,1136 0,1396 0,0190 0,0253

0,0826

0,1295

0,0247

0,0845

0,1088

0,0221

0,0683

0,0522

0,0126

0,000

0,000

0,000

0,0165

0,0549

0,1298

— 0,1682

1,000 A 0,000 0,000

0,758

0,114

0,019

0,526

0,140

0,025

0,418

0,130

0,025

0,316

0,109

0,022

0,137

0,052

0,013

0,000

0,000

0,000

0,4451

0,0165

0,1298

+ 0,3318

a = 0 b = U

a, =0,346/ by= 0,846/ a₂ = 0,180/ /+=0,180/

0,000 0,296 C 1,000 0,949 0,000 0,056

0,633

0,768

0,073

0,653

0,6299

0,072

0,766

0,486

0,064

0,951 1,000 0,212 0,000 0,037 0,000

0,6026

0,8798

0,0641

+ 1,4183

D. Rzędne linij wpływowych oddziaływań C w belce rozporowej trapezowej (%. 512).

3-4²+3f

C^D

2 JJ. (2 —j— 3 cp)

£ dla £ < 1 [przedział skrajny],

C= ²    (2 Д) dla 1    < (Ł + у) [przedział środkowy],

dla u. = 1.

l-\

Fig. 612.

Przedział skrajny

Przedział środkowy

•«

<p =1 : 2 =3:4    =4:5    =1:1

0,064

0,127

0,189

0,248

0,304

0,355

0,401

0,441

0,475

0,062

0,123

0,182

0,243

0,294

0,345

0,392

0,434

0,471

0,5

0,5

i-l CO 05

05 co CO

^ CO^ CO^

o o' cT o' o' o' o' o' o' o' o'

H    (Я    и    со    (Я    CO

О    (M    СО    со    C5    ^

О    ^    rH    <M    (M

........

Cit5(»WC003<IHCł

O т-i 03 CC ^    00^ o^

i—1 tH rH *—< rH t—i tH tH    ■?—i (71

0,5    0,5

0,5

0,5

0,512 o,524 0,563

dlaf=l,76 0,600

0,500 0,548 0,527 0,500

Rzędne linji wpływowej parcia poziomego znajduje się z równania:

c±'

h ’

Rzędne linji wpływowej siły w zastrzale z równania:

Z=CT-

Rzedne wpływowe linji wpływowej momentów por. „Mosty drewniane“ str. 786 i 787.

1.

2.

E. Ramy.

I. Rama trójkątna z przegubami stopowymi.

‘<r

Cr-

Dla .4 7?:

t>

Dla AB:

в-

-►U-

-K⁵

Mg. 513.

ql i²

F*—2l

•Л S₂

*4-1

hx

qx²

Mx = +VAx-H.—

мв = + f₀ï, — я a.

Яг=+Гсг-Я.-^-Я = + F«.— -j-Я. —•

ql

s₂

s₂

w«*⁷! *)

C2

J«

Mg. 514.

J2

Ji

Säi/

~fe

Mx~ +

qx(l — X)

fc-f 1

— H. —

^-Hh

qz(l — z)

hz

* BC : Mg „ AB: Nx = +{y-qx)±- + H.±

Si

Si

t,

’<S>

y' ' T

4t

H"

Fig. 515.

'll

VA--%<1¹

Dla А В : М =4

% i 32

Г°~" 8 Я

Iqlx qx²

5 ql²

64 h

k — l.

Мн = 2 й

_ЯЦ

64

+ 'Vmai — "+

49

ql²

2048

î'! = ~4 ₄₂

I    7 N

(występuje dla x₀ = —• lJ.

Dla В C:

qlx

32

(x mierzone od c)

» iß:

„ -В С:

N.~+<rA-qx)T + H.' j-a лг" + гв-Т + я-27-

O»

c*^ , Г

tujcs.

r—**•

ri

«S*

Fig. 516.

ql

F=1r

Dla у1В: dr = -j

32 h

3qlx

qx²

ql²

16

32

mas

⁹    72

512*'

ql²

₅₇ i dlax₀ —

l.

16

ШаАВгВС: Nx = + (F - qx) - + H. —

,r mierzone od .4, wzgl. Л

5.

-q

cj

S'

&Ajl

Dla 4J5:

Dla ВС:

* AB:

+-ĆC -*r

qh²

21

// =

мх

Fig. 517.

qh²x

8 г²

(7 £ — 16 a?)

qh² •

te

-—у— (ж mierzone od С) о I

j-\qh

N = — V. —

а?    «

iV= 4- F. — 4- Я.

s ‘    2 s

2qhx

II. Rama dwuprzegubowa ze słupem ukośnym i ryglem poziomym.

6.

i—f —ч— __ _ !й

\ »*

iii

i'

oT

i.г

<r-

¹ JC_

4-

fü

sE

Fig. 518.

Я, = ^[4-

Hc = qh-HA

**.*•(*+/)

h*l(l+ 1)

J₂ h

fc== jTT

</s² fc

^ = + ^•2/+ V.x-^qf

8*0+1) MB = + HA.h-¹l₂qh²

У.П =

38C)

7.

rr

r-S-~.

■ _Ä

/ÿ

j3L

l! мь

<2.

JF

'tMp

<3

\y

\A

Ут

Fig. 519.

^=i>-x-riTZ

/7

0 = pA+ri±/

J₂ h

k~ jT'T

P.a&fcs²Q + 6)

Pole b : il/y = -j- 7/^. y -{- V. x Mp -j- HA. b -j- V.f. lj₂ b „ a: My— + HA.y + V.x — F(y — V)

Mx — — V. x.

MB = — V.l

8.

//

'i?

jA,

,tL

Mg. 620.

VA

qP

T 2 (l+f)

l+f

vc

_ 9+    1 + %J _ j, h

2 ' l+f

I +f

ql

{*(l+5/) + 4/ÿ*}.

8 A² (jfc + 1)

My^= + VA.x-H.y

MB = + VA.f-H.h

Mx = + VC.X— Vïî«².

Vc

max Л/ występuję w miejscu : xm — —.

9.

а.

■о

в\

кГ -

■*o

ilPP³

/ ь.

-■А

л*

Fig. 521.

fa=p.

г. _ ^2 Л-

к т:-т

i/ =

*+/ ¹ г+/

а+/ гг

«+/ l+f

F* ⁶    [а²{2 А² (а +/) + зо/ (2b + а) + а² (3Ъ + а)} + 2P/s²*]

FC = P.

2 hsl³(k -f-1)

Л/.

^p- + *V&

« а: Л4 =+Fp.æ — P(a? — 6).

=>+*V/.f-#.y

Pole A : Mx = + Fc. a;

10.

rf

's

AC

*3

У,

M.

Fig. 522.

Va-Г-

l+f _Г

VC = P.

as ta

*+/

f+f ' l+f

Я = Р/.

h² -j- s²*

A³(fc + 1)

+ VA •/.

-H.y

11.

12.

7/

Ш. Ваша prostokątna dwuprzegubowa.

t—c-

«-JC

C.

J,*

X -»

vO

Fig. 523.

qc²

, 'h h л l

qc² l + 2b 4Z ' 2kĄ- 3 '

Pole c : Mx — -\-VAx — Va?*² — Жр (x mierzone od B)

(il -f- b)² — MB w miejscu ж = -^=- (Z -j- b) < c.

A i

Pole b : Жж = -|- VD ж — Mc (ж mierzone od C).

4AZ 2 Л; —j— 3

r»-u-

MB = Mc — — Hh

(?c²

8 Z²

j*--a,->t<— C

b-*\

жшцк

C- -,

«С \

-J,

/4

Î-/V

Fig. 524.

•***,

ГЛ = -ЦЧ2»-М

(6&Z-j-3cZ - Öftc — 6ó² —2c²)

2fr + 3

Pole o: lfe = 4- ГАж — Жд « c:Mx = + VAx — q.¹/i(x — a)² — MB(x „ J: Жя = + Гдж-ЛГс

qc

4AZ

Мв — Mc = — H . h. (ж mierzone od В)

* В)

ш С).

(ж

ma x

W rozporze : -f- M

występuje w miejscu *то= « + -^y-(2ô + с)* q с (2 b -f- c)

a+-^-(2b + c) ~MB.

Q C

Dla obciążeniasymetr. a — b: VA—VB = yhqc H =

Ъ1²-с²

8hl ' 2fc + 3 '

<T

13.

jV

"c ''

-■4

•4-

ft

'M»a.

fi-->•

i £-i-fi

Fig.

525.

ql

MB = MC= — H.h

qP

4(2fc + 3)

h

~TX T

JET

ql²

4Ä(2fc + 3)

>4 = il/₀ — Л/д = V₂ qx(l — x) — MB.

W rozporze ibfj

пах

2^3 • (w środku rozpory).

14.

Ir

\''»c

■i

iNilP4

*4

io

Fig. 526.

Vz=iL

ej₂

B.F,

Z= —

qhP

4 A²(2Ä; + 3) + 3« '

E (E₂) — spółczynnik sprężystości materjału ramy (ścięgna) : Fg = przekrój ścięgna.

q№l²

4 A²(2fc-f 3)-f- 3n '

W rozporze:

15.

ru-a

iC__

4=s

h-л—

,л

&6-C—i-P

‘i

Fig. 527.

Pi

F/>

Pa

3 Fab

2AZ(2fc-f 3)

fc =

2 h/

T/k ' У

Mß — Mq = — H. h — — W polu a : Mx

3ab

Pi

2J(2fc + 3)

• P.

(a? mierzone od P)

ii

b: Mx

Pa

. X — Mc (x

* <7).

W rozporze : Ж

4&4-3 Fab Jk + 3 TT

dla xm = «.

ON

Г'^

Сь *']

kil

im

'"n*.

S'

.4

_L

An

-J

Fig. 528.

Ula a = b — Va l, VA = VD = »/, P E

V» = PT +

VA = P

l,babhP

spi

8A(2fc + 3)

EJ* j

EZFZ ' •

h4(2k + 3)+3m

Мд — Mc = — Z .h

1,5 abh‘żP

h*l(2k + 3) + 3m

F ab

P=1

17.

-f*

^F

f-

-A

Ун

4-

Jr

<‘-4-

/4

Fig. 629.

k = -—. —

* Jj l

Linja wpływowa rozporu poziomego H wskutek poruszającego się P= 1 . ab — m . ab, gdzie : m

Ун

1A

1,5

ÄZ(2fc + 3)

зг

AÏ(2fc + 3)

8A(2fc + 3)

w miejscu а — Ъ —

P=7

18.

Г*— CL

l'771

Tl

--V2

\&m

1/2-

yjrrax

^7-

bA

0\JUL

4ô

t*

Vo

Ugięcie : ym

48 E

Dla P— 1 przy а = Ъ — ¹/₂ l.

Fig. 530. 3 a Z² — 4 a³ —

У тли

9nabi² \

2A + 3»Jj’

P__8h + 3nl

192 EJZ    2 h —j— 3 n l

Ji

gdzie : n — ——

■h ‘

19.

г А-Мв-

<57-

* //

.//

li

i—Ч¹-

‘2

Fig. 531.

F_

31 âî —J— 50

ŁL = ■■. --

Słup AB: M y —    H y

P*/²

40 2fc + 3

p h* 9*+ 10 ~ÏÔ 2 * + 3“

V ,, i V~№    13& + 30

ÏA“(3Â ^    Жл*~"^120'    2& + 3

l 13fc + 30

Ж° ~ "2Ö" 2* + ³

20.

c__

ÂA

ГМсУ

■7

-J=o

Mr

-M.

.1

"J,

ГГ70К

“"1

A7TI

g-A-H^ \D ......,,

Fig. 532.

гг qh ii &H-6 8 ’ 2fc-f3

Przekrój niebezpieczny w słupie AB występuje dla:

h 11ÄJ+6 T* 2Л;-f- 3 '

F=l*!.

2?

Ут

,/₂ h

k = T'T

My = — H ■ 2/ + V₂ q г/.

qh* I llfc + 6 \2    3 , fc-2

128 V 2* + 3 7    8 2fc + 3

i¥₆,

?Ä²    5Ä; -f-18

8 ' 2 Ä; —J— 3

3 , fc — 2 Ж°_ 4 2fc + 3 ‘

21.

Ji

JL

Fig. 533.

ph llfc-j-20

ÜÖ 2k-\-S~

Mx

+ Hx-1?L

⁺    6 h

(3 h — x)

MB = Mc

p h²

1k

60    2fc4-3

p h"

Mx = MB = Mc

60 ' 2fc + 3 ’

to

r*T^-*ł

¹    t.

^    7

---

h>

f<—1><—»

Pc

ci

; e

W-*§-w

u^.

<5s

Fig. 534.

P.b

t/₂ h

fc= jT'T

тт P fc(4A³ + è³ —3A.A²) + 6A³ —3A.A2 H —

■1

A³(2fc + 3)

Słup A B w polu b : M = -f- H .y

Г, я : My = H. y — P(y — a)

Л/д = + Я. h - P. a = + P. A

fc(fe² + 6²) + 3A²

#С = -(Р-Я).А=-Р.А

fc(A² + è²) + ЗА2 2A²(2& + 3)

fc(A² — ЗА²) — ЗА²

2A²(2fc+3)

Dla : a — b — ¹/zh mamy :

PA

2/

tf =

3    7A + 12

Тб ^ 2A + 3

r~

•4

Wf

&-AL

-PL-al

II

Fig. 535.

PA

Słup : Kozpora:

Mx = ± H. x Mx — H. h — V A.x.

H ~ ~2~

MB = + i/₂p .h = -Mc.

x°⁼ Y

24 L&

~"c

ik

*='Jf

---1

■f "4 1 ^

rfd

Jf

-Jt

J/

.i

//

V?—J

Fig. 536. Wpływ podniesienia temperatury.

Wpływ obniżenia temperatury.

. bzlïjJ^t “ A²(3 + 2fc)‘

Słup: Я,, = + Я./У.

Rozpora : MB — Mc = 4. Я. A.

//g A

jT‘ T

²⁵t

*T*~

вЩм.

-.-i

■r_C

:;j"r

A A

6-<-

i- —( i A

l....

Го

a -\-l

Fig.637.

Słup :

VÄ = P.

My ==-\- H.y MB = -f- Я A — P. a — — P. a

'N

_P «

и-г-т

в-щ= + н.к

4fc + 3 2(2& + 3)

3 Pa

2 A (2 A; -j- 3;

Rozpora:

xo=-

3Z

2 (2 Ä7 —j— 3)

26.

Xo

■J

/fa

-Л\

r*~ MK~^\

**

15

==

fl

'*4

^=7

--г

o-

v₀

Fig. 533.

va~p.

Pc

со |<м

Pc.

Słup :

My ~ Hy

pole a :

„ (A — a): My = -j- Pc — Hy

h (A² — a²),-f- A2 A³ (2 A -{- 3)

Jf» = 4- Pc — Я A

Rozpora:

Mx =

Pc

rx

— Hh

i¥c, = — Я A.

27.

р la V²

7~Л

етжишмпшшмиш

г

h.

н-с-'

■У----I-

"I

Fig. 539.

fc =

J₂ h Jx ' I

V= P

H—SPc.

h (A² — a²) + A²

A⁸(2fc + 3)

Pole a:

Mx = — H. x (A — a): Жг = Pc — H.x MPi - — H. a

Dla a >    (cv.0,577 A)

.¥д =    = Pc - .ff A

Mp = — H. a P .c.

Уз

a <—=•

yy

Moment w rozporze jest dodatni

ujemnyx).

l) To samo dotyczy przypadku 29., tylko zamiast > będzie •<.

= 0,

28.

if_

VJ

•j,

a.

fi

/7

ff

r- ^ —i

>A

,/o

Fig. 540.

Va =

c-Ą-l

Słup AB, pole a:

Rozpora :

i-.p

.P=VD + P

3 „ A(A² — a²)4-A2 ‘    ’C' fc⁸(2fc + 3)

My = + H.y

„ (A-a): My = + H.y-P.c.

Mx = + 77.A — P. — .x

VD~T

Mc — H. h.

29.

t;.

h-a

t -d'

tb

-Ld

fi

i.

I/

I/

Fig. 541.

Słupy pola «:

Rozpora:

Ą h' k~Ą--T

My = + H.y MPi= + H.a Mp^ —Ą-H.a — P.c „    (h — a): My = -\-H.y — P.c

Mx — MB = Mc —    — P. c.

H =SPc.

k(h* — a*) + h*

A³(2fc + 3)

IV. Rama prostokątną bezprzegubowa.

30.

"а

Æ"c

.......41S

Ji

■J;;

Q_ j "o

jT *

> %

Mj, û

7~r,

sfi

vo

Fig. 542.

Va

qc

Z⁸(6fc + 1)

VD = qc—VA

3afcc + 6²(3Z — 20) + c² (l + Ъ — y)+3J²(2 6-{-;c)fc

qc

(6 a b -j- 3 cl — 2 c²)

²4i

4Z²(& + 2) (6fc-f 1)

4AZ(fc-f 2)

6 ab cl -j- 4 a²c² -J- 8 a6²c -j-    . c³? —

— c²Z² — 2 c⁴ 4~ (14 ab cl-j- 2a²c² — 4 aó²c — 2 c³ Z —)— 5c²ż² — c⁴) Ä: •

Przez zamianę ai b otrzymamy M[} :

14 = M, = 1ГА 14 = Mp - Uh.

31.

s.

*>i    '

У,

У,

'"та,

"o

l---

-A

.h-

4.

*0

Fig. 543.

Г = 7, ql

ql²

4A(fc-f2)

b — ^A- h

k~ л l

ql²

qP

12(fc + 2)

6(fc + 2)

Rozpora :

s'!

+ i¥

ql²

max

6(fc + 2) ÿZ²    çZ² 2-f-3fc

6(fc + 2) =_24    A: —|— 2

CM

^ттттт1тМ!]|^>

ЩЩ?

/%j

г-

Fig. 544.

PA 6fc + l-l~5 — 2 5²

Pa 6Ä; -h 3о — 2S³

6fr+1

6ÄJ + 1

3 abP

⁸⁼⁼y

MA

2hl(Jc + 2) abP 5k — 1 + 28(A? + 2) 21    (A? -f 2) (6 к + 1)

abP 3 + 7fc — 28(fc + 2)

(fc + 2)(6fc + l)

MB — Мл — Hh

Mn = Mn — Hh

Mp — MA — H h VA a.

Dla a

vA = F/i = y

г pi

8A(fc-f2)

33.

"T

<r

L*

■K-H

Mo***

Fig. 545.

_ -h h

jT'T

qh²k

*(6fc + l)

jj_ qh 2k-\-3

8    2 + fc

Мл

qh²

24

qh²

24

ls 5fc+9____

к -)- 2 6 к -j- 1 5fc + 9    12 к \

fc + 2    6ÄJ + 1 /’

12Ä;

Słup A B :

Mx=MA + (qh-H)x--4,qx2 MB = MA — H h-{-¹/₃q h²

Mc — Mß — H h.

34.

^ттгтСТГПТЛШЯВЦ

J,

U P~T'H

"ł

PVA â |*

° H

Т/Ч

**

Fig. 546.

Y Pkh2 ~ 47(6 к-Ą-1)

*A —

p h 8fc-f-4

TÖ F+TT

p h²

120

20 —

7fc-fl2

15 h

6 As -j- 1

Mn

p h²

120

(+

7fc + 12

15 к \ 6fc + l /’

SI,.J. JS: .1/, -M,

iłfg

_Жд-Я4+*|1

ЛГС = 4//; — H h.

.Hj

35.

»c

/=

•4

/,

Pi.

Fig. 647.

fc =

t/g Ä    ^ C

JT'T; 8”T

3Pc8fc

ha = p-hd

P 8²

2 (fc + 2)

[3(fc + l) —8(2fc + l)]

PcS 2    3 + 2fc — 8(Jb + l)

2 У---

3 Te

fc-f 2

6* -J- 1

MD

Pc8 [ 3-f 2Ä; — 8(fe + l)

6fc + l

MB=M— HDh + Pc

Mc — MD HD h

Mp=MA + HAc.

A

Dla c = —-

HA = P-Hn

36.

3 P.h.к

4Z(6fc + l)

P 4fc+5 16 ' fc + 2 •

"э

I--

Р-н

|Л

M2

'Дну. .....

Fig. 548.

3 Phk

J(6fc + 1)

,1

_ Ph 3fc + l

2 ' 6A: —j— 1

= ±-^-

Ph

2 G Лз -j- 1 *

V. Rama o rozporze łamanej symetrycznej i słupach pionowych dwuprzegubowa.

o*

c.

■pc

ik’f

’T

SN.

Fig. 549.

ql

J₁ s

e-sSL

8A-f 5/

64

h\k + 3)+f(3h+f)

My = Hy

Rozpora, część В С :    Мх — -f- VA х —

Mc= + VE.'kl-H{h+f)

Słupy :

Md — -H h.

Mn= — Hh.

q X²

38.

■s.

■X-

'J,

J,

Ü-M

У

,1

I/

Fig. 550.

V^'kql

Słupy :

Rozpora :

Mx

„    ^__8Л + Б/

32 ' A²(fc4-3)+/(3A-f-/) '

My = — H y    Mp — — H h.

qX Q-х)-H {h Mc^ + 'Uql*-H {h +/).

qï²

2/g

39.

■*]_

J2

7Г

"-Л

—^гу-тттттттТТТТ1]Ш|Т i—S —

Ц -J'

v'

Va

Fig. 551.

Pb

VE

Pa

./j S

Słupy :

Pa 6hbl +/(3Z² — 4a²)

¹

R -= Mc = — Zh

Ä*(* + 8)+/(3A+/)

ifg = + V₂Pa-i/(Ä+/)

Mx = ~Hx

W miejscu działania siły P:

lfg = — Hh.

Мр=+ГАа-н(н+Ц^)

MD = — Hh.

rt-

*•>

4s'

-j; \

-U_S_j

ff

L⁴»

4i

U-4r-

's

Fig. 552.

Słupy :

F = 1T

PZ

ЗА+ 2/

8 * A*(A + 3)+/(3/>+/) *

My = H -У

3/n== i¥n = — H .h.

Eozpora :

.ж — H\h

2/*

*.- + T

жс = + 74^-я(а+/).

41.

J,

I/

Fig. 553.

F ₌ ÄM n~*L 8Д²(^ + 3) + 5/(4Д+/) 21    16 • А²(* + 3)+/(ЗЛ+/)

MB = + (qf-H)h.

Dla BC: Mx = + (?/- H) (h + у) - V x - Va ? У²

*i?= + Vt Г *-#(*+/)

Мд — Hh.

Mc

42.

r\

h-H

t-

i.

|F

Fig. 554.

F=l^!

qKl 5Afc + 6(2A+/)

27

16 ‘ A²(fc + 3)+/(3A+/) •

My = + (?h — H) у — V* г у*

ЛГд = + 7,д** —ЯЛ

Mr,= + TdM² - Я(А +/) л/л= - H h.

43.

JL

b—

EErfcEE

Fig. 555.

Pc

Г. с

А; ЗА —

с²

+ 3(2А+/)

k = -é-

Ji

-в «0

Жр= + (Р-Я)с

А²(А + 3)+/(ЗА+/)

Mp = + Pc —ЯА

= -}- */« Pc — Я (А +/) мп = — Я А.

44.

-w4

+'Л

/I

■4

•4

Р-Н

”Н

PA

Ж₅ = + (Р-Я)А

Fig. 556.

2Äfc + 3(2A + /)

4 • A²(fc + 3)+/(3A+/)

i¥c = + VsPÄ-ff(A+/)

PA

MD = — H h.

45.

"с

<r

-yj Л

— ¹ »o

Fig.557.

Г4

ve~f-y

_8Pc fc(A² — a²)-f A(2A+/)

J¥P( = — Я a i¥p = -)- Pc — ЯA

4 A * A²(fc + 3)+/(3A+/) i¥p₃ = -f- Jłc — Яа

W“ + V* Ус-H (h +/) i¥p - - Я A.

46.

«Î

4 -J

Мв '.

ÄV,

Ш

J,-

J,

*/>

+,

А A-*-

/1

i/J

Fig. 558.

J\ S

P. c k(h'* — a²) -f- h (2 h -f- /) A²(^ + 3)+/(3A+/T

*-ł

D ^ “Ь C I/-    71 C

’~~T vE~¹ 'T

Mp — -\- H . a (tuż pod wspornikiem)

Mp    — P. c (tuż nad wspornikiem)

Mp =-\-Я h — P. c Mc= + H(h+f) — ViPe Mp == + MA.

EXT\\

"b

n

~-S-

11

i*

1»- ^ -A,

Fig. 559.

3 Pc A(A² —a²) + A( 2Ä+/> 2Â ' - A² (fc + 3) +/(3 A +/) Mp = — Pa (tuż pod wspornikiem)

Mp = -f Pc— Ma (tuż nad wspornikiem) Mp = Mp — -f- Pc —H h

li =

Mp= + Pc-M(A+/).

*4

-5

Mn

/<! >y

г⁻

Fig. 560.

2А+/

H 4 • A²(* + 3)+/(3A+/)

M/?==+ MA—M

Mp = -f- M(A -f-/) — Va M

MĄ = + MA

Mp = -)- H h.

VI. Eama o rozporze parabolicznej i słupach pionowych

dwuprzegubowa.

49.

ЗИП

ßf------1

: », m

C . ГУ

т: I

/!

' F'

* Mmaß

I/

Fig. 561.

Kownanie osi rozpory:

4/

t«

7.    '4 fi

k = -Ą-~i

te

5 h -f- 4/

4    5/i²(2fc-f3)-f-4/(5A+2/)

Жр = Жс, = — Hh.

Dla В C:

Mx = + 4₂qx(l-x)-H(h + y).

W środka rozpory:

=+ -Ç-£>+/)•

O’

rtei

t°>

14

-*4

b-

S'

TT

"s

<rf-H

. .-r

⁽!

Fig. 662.

_ g/(2*+/)

21

„ qf 70A²(2fc + 3)+/(224A + 64/)

JLl =    —

28    5/i²(2fc + 3) + 4/(6A + 2/)

чу*

Щ= + (д/— H)h-

Dla BS:    Mx = + (?/- H) (h + y) - Vx--g

„ SC;    34 = + Г(^-ж)-Я(А + 1/)    Mc = ~Hh.

ff

51.

<9

if

-t—a

J.

Ь----,

J,

—>i V, p<--_ç-

Тв:

•%

Mc \

И /)

-i

ч,

/3

Ki

Pb

Pa

7    _    «'S h

jTT

5 Pa 3 bhl² + Zfl³ — 4/a² ? + 2/a3 2P 5A²(2fc + 3) + 4/(5A + 2/) Rozpora : Mx — M₀ — H(h-\- y).

Fig. 563.

Vß==~r H

MB = MC = — Hh.

(M₀ = moment belki wolno podpartej В C).

52.

"! S ;

< - Ty

m₃ W /I- •

f-Е/,

L|g

«"Л

Fig. 564.

Я (5 Л? —(— 6) —J— 4/

8    ‘ 5 Я² (2 äj -f- 3) —{— 4/ (5 A -|- 2/)

Dla A B :    Mx = + (qh — H) x — ¹/₂qx²    MB = -f */* q A² — Hh.

Dla B C :    Ж. = -f V(l — ж) — Я(А + y)    Mc = — H h.

2Z

53.

в.

-X

м<

ff

Lp

ff-Ti

te

i:

—»4

l'

Fig. 565.

r.4

5P6

Pod siła P: Dla В C:

3/i²(fc + l)-f2/A- b²k Yh" 5A²(2& + 3) + 4/(5Ä-f2/) * Mp = -J- (P— H)b MB = + Pb - Я A.

= +P.    +

Mc = — Hh.

ot

h>

iH

*"<«■

.sl

—v. S

p-h

Fig. 566.

P.i

Dla B C:

A²(2A-f-3) + 2/A

_ 2 ' 5A²(2Â: + 3)-b 4/(5 A+ 2/)' MB = + (P—H)h.

Mx= + P.±-{l-x)-H{h+y)

b J* h

’“■-Ę-T

Mc = — H A.

55.

Wpływ temperatury.

15 ш ^ E łAj

5A²(2fc + 3) + 4/(5A + 2/)

Я działa ku środkowi, przy obniżeniu na zewnątrz, tu jest spółczynni-kiem rozszerzalności.

ot

vd

TT

4l

! 17 x

ii.

ta

Fig. 567.

y = - f- X (I — X)

5 Pc 3 к (A² — a²) —J— A (3 Л. —j— 2/) 2 A ‘ 5 A² (2 A+ 3)-}-4/(5 A+ 2/) MB = -f Pc — Я A.

Жр — — Hh.

Ул = Р-

Mpl ⁼    Ha

Rozpora :

Уп-Р-т н

Mp^ = -f- Pc — На

Mx = + P.~(!-x)-H(h + y)

57.

<r

-C

P'

f!

'J, a

h. / J__*

«i m

Fig. 568.

H=—.—

5Pc 3A(A² - a²) + A(3A + 2/) A ' 5 A² (2 A+ 3)-j-4/(5 A+ 2/)

MP = + Pc- Ha

MPi = — Ha MB =MC = + Pc — H h.

Rozpora :

Mx= + Pc-H(h + y).

U-X—«

58.

!*•

С.

мс

.Л

j.

CL

4c

U—4:

Fig. 669.

₌ p C~H

4/

Mp = + Я»

Rozpora :

V — P —

rD-r- i

b Pc 3A(A² — a²) + A (ЗА+ 2/)

H~~ 2A ‘ 5A²(2fc + 3) + 4/(5A + 2/)

Мрг = + На—Р.с Mp = -\- H h — P. c. Mx — P. -j- (l x)H (hy)

Mc = + ЯА.

y = — x(l — x)

VII. Rama prostokątną zamknięta.

59.

Lmé

*><

Щк

МА

fb

Jr

<r

— =±ff Ь

»c

ма '

k—

u-

mc

ГГГТ

ms

Fig. 570.

M    l* + b*k

E 12 ■ k(Ą-1

q_ qJk_ _?____

Г¹“ 8    12' fc + 1

Ą b_

Л ' г

,2

Dla ^4 (wzgl. С E) w odl. x od E: Mx = -j- */₂ q x (l — x) — ME. Dla B E (wzgl. D E) w odl. x od E: Mx = -\- ¹/₂qx (b — x) — ME.

ME.

VIII. Rama trójprzesłowa symetryczna o dwu słupach.

,Jr

60.

- г-

■J2

cb~

1^__.’Pi h

Fig. 571.

Ja h

fci=-v-

•Л I

Ni = 1 —|— 2 Ä; —f- fcj.

Uwaga. Momenty, wywołujące po stronie kreskowanej rozciąganie, są dodatnie (-{-).

61.

N=‘è +.2fc + 3*₁

|/>-7    1^'t

r_xrH j*—ч

/j,_______ł_i. ■

¹ 'Hß2

Л> 7

"“1

•--и

Fig. 572.

Równania linij wpływowych.

8 ,-ą-

ь XB

Ja = ~T‘

62.

ei

i/i ⁺

UlL-

iS '

le-Æj—4

i-?

Fig. 673.

Moment bieżący w punkcie i? przęsła 4 iż

i/₂ h

Ł = X’T

» polu AZ¹): y. - + 8, b - » . —[“д^- + а ж₂ (1 — o₂) fcj 3

w polu ZB :

w' polu В I) :

y₂ = —

лг

2& + 3

2fc + 3

1 — 2 5₂

av polu DF :

Уз = + a •

8,(1 — аз²) 2fe + l 2fc + 3

Nx

*) Z jest punktem działania ciężaru.

63.

Г~тг-

r*n

9--

Fig. 574.

Moment bieżący przęsła B D

w polu .1В : 4/i =

Xx (1 — Oj ²) Ä7 1

Av polu В Z: ya = -|- 8₂ b w polu ZD :

Уь = + (1 — 8₂) a

s₂ (i - а₂)(^ + 1)[зг₀

ir + (b-a)- N

8» (1-8,) (^4-1) 31₀

(1-2 8,)

~Х- + (Ъ-a).    —

w polu DF: y₃ =

ЛГ

JV1

64.

hbi„ )b

к-хг—J

<r yj~

\Уг

..O C,

le

Fig. 576.

Moment podporowy 3/ß w polu А В :

J% h

~Jj"T

^i(l - У) [2fc-H , 2fc-t-3

Ni

w polu BD:

2/2 = —

x₂ (1 — S₂) kj 3

1 — 2 S₂

w polu DjF:

2/з = 4

ж₈ (1 - S₃²) 2 к + 1    2 fe 4-3

Ari

65.

V; +

jjf

K- Xj-i

M82' '

I-.

le

it

Dla MB g w polu A В :

Fig. 576.

2/1 = 4-

xx (i - V) 3

w polu B D :

th =

a?2 (I — o₂)    3

1 — 2 ô₂

Nx

2/3 =

x₃ (1 -— o₃²)

iViJ*

Uwaga. Dla parcia poziomego H podzielić î/₂ i Уз przez h.

66.

A,

*ï

B\ „*83

[il -

k—хз—’j

Dia d/ß3 w polu A B :

Fig. 577.

w polu /2 D :

2/2= -

(i — §i²)fc Г ¹ i ¹ ]

2 [jVi ⁺ iV J

x₂ (1 — Są) №i + 1) ' 3

1 —2S₂

JV

JVa

w polu DF:

Уз

#з (1 — è₃²) Je 1

iVi

67.

Fig. 578.

Siła poprzeczna z lewej strony В w polu ^47?:

Ух — 4~ Si 4

Si (1 — Oj²) "2fc + l . 2fc-f3

J₂ Ä

lc = — 'T

N1

w polu BD:

2/2 = 4

x₂ (1 — 3₂) kx 3    1 — 2 3₂

w polu DF :

2/3 = —

S₈ (1 — S₃²) [2fc-f 1 2fc + 3

N1

68.

-V

_Д

\Уг

!*—XJ—*j

;'У/ "ё

к—г/—il

Уз

Fig. 579.

Siła poprzeczna z prawej strony 7?

3?! (1 — Oj²) & 2?!

w polu AB:

2/i = 4

w polu B D :

2/2 — + (i — s₂) 4

s₂ (1    8») (1    2 c₂) (ki 4~ 1)

w polu DF:    ys

x₃ (1 — S₃²) к к!

Ari

l₀Nx

69.

J*-**-*]

/3 jv.

Г ¹³ ’i

У2

Уз

ic

Fig. 680.

Siła poprzeczna i reakcja w A w polu А В :

Ух — 4" 4 — §i) —

(1 - O!²) 2fc-f 1

2Æ-}-3'

w polu B D :

2/2= —

(1    o₂) ki

co

2?

iV

JVi

w polu D F:

2/3 — H—

-V,

Лг

4i:i

70.

Keakcja w В (siła osiowa w słupie В C).

'S

Г-**-⁴!

Tf

!/•

*-Xf—ii

Уэ

Fig. 581.

Linje wpływowy reakcji В otrzymujemy, sumując rzędne „w“ z wzorów 67 i 68.

71.

рддщ

*- г

нгн₂^ л

*«/ /

te

Jte

Мог

-vk-

iA

Г;

MD3

Hgz

"łĄe

Fig. 582.

v4

Fl

q V²

2 к —j— 1    !    2 к -j— 3

16

Ni

Mßc, - MßS - Мд j

ql²

Fl

16

D 3 MDX

jV/

g?»fc

F3

JL i JL

Nx ^ Ж

Y <ll ,

J/

qPk

MB1

MD3-M

r 8 [iVi 2V

^F3    -^F3 ^Fl

*0

Г'—Г    ^    /1

4/

F2

72.

<г

МВ’-

г'ej

-i

--L,

i'AL

iifWfeŁ..

Щ/о'Щ

*te

¥"ог

*т

Fig. 583.

2и

g*oSfcl

Fl

iWF2

ql₀²

Va = Vf-~

«1

g?og(fc i+l)

ql₀ М1П

7) 3

73.

II

or

■■ t

i.

*62

мог

,    ¹»

n — -r-

r(

\4

Fig. 584.

^4 i — i¥P i

t/jj h

jT'T

ql i №j. i

Лг

i¥ß2 — "¥/> 2

ql² 3 — 2 и²

8 * îÿ

*4 = *4— ₂

g(* + ?o)

i¥B з — ^4 з

ql²    к-\-п²(&! -f 1)

■^52

JV

74.

MB1

Hj-Нг л

к— i

Tu

г -Hi

"BZ

Fig. 585.

г = 4-

Mn i

*4i

}-

Pa(l —o²) 2fc+l , 2fc+3

34 2 = ^

-^4 2⁼ Л4 3 md 1

вз ^41

j¥/i 3 —

Pa{l — b²)k

_L _i_ JL

JV, ^ N .

Га = р(1_8)4

Si

Ра(\-Ъ²)к

IV! ÎV

VC = PÏ —

in

■¥л з Л4„

Хош-Щ» , j,41

л/

J/

//2

*4.

75.

Г'-f

Г7

if

H,-HZ a

Щз

..Л

**

L_

Hbz

MD2

JtL

if

fi

Hi

kf

Fig. 586.

fc =

»Tg ft. Ji ' г

з/

/a

j¥fii \

Щх\

Гa{ 1 — 3) kx

“TF- +

•V

Ni

.1

in

3/

P a (1 — 3) fo + l)

3/

iV N

/7 2

«2

Fc = P(l-3)

37

Bl

Щз Щз

*o

Щ* = м

D3 — Щ\

^=P§4

Щз-м

53

37

7)1

lo

IX. Rama jednopiętrowa.

;4? *,

/J-T

J2

*J 7

Ji*

Fig. 587.

* = 4l A

Jl ' l ’

^2 - “F⁻ 5

J₄

N= ki² (2 к + 3) + 6 k₂ (k + ki) + 4 к fc, (fc₂ + 1)

.лг^ = 6 fcj —[— ^2 4~ i*

Uwaga. Momenty, wywołujące ciągnienie po stronie kreskowanej, są dodatnie (-|-).

77.

,<r

tk,

Â.

*0 \

4/

Мвз

Mn

ty2

Bf-Ц

6----'

Лг

"ft

Fig. 588.

‘UL-

Г

н_

v = lL

н=

El

»Л 1 “ M El

q l² ki k2 ~4~' h

ql² kk-i k₂

Il 2

6 * iV

MBb = M

Mc — Mn

q P k₂ (2 к ki + 3 к -}- 3 kt)

78.

Ms

Ц-

5-

Mn

; "82

î-

L.l

*3гл

Fig. 589.

ql

.1/

¹⁼¹ 2

Bl

.1/

El

*Bl ~ ^El

q P ki (ki + 2 k₂)

— ME4 — Mjll — MBS

qP к (2 ki + 3 Je,)

A"

qP к ki 6 ’ N '

t-~

Fi

M0 \

JÜP

ME3.

MS2

*jMe>

*>P

Fig. 590.

«i

rA = P(1 - 3)

3/Cl

3 P a (1 — 5) кг k₂

. —r—

Л/

//1

3/

Ai

P а (\ — о) к₂

ЕЪ

Ari

‘O . Ci

P а (1 — о)к₂ Г 2 (2 к кл -]- 3 к -f- 3 fcj)

1 — 25

Ni

M/i 2

= M/n — M

/?3

/?3‘

80.

toc

w-

Mes

hi

Tl

ri

MB2

à.

/i

Ai

il

Mer

ЩМ[1

Fig. 591.

5 = 4-

P(l — 5) VF — P Ь i/= — 3P(t(l-5) fct (feï + 2 fe,)

3/

El

3/

P a (1 — 5)

.1/

ES

j" 2 к (2 ki -f- 3 k₂) _j_

1—25

Ni

3/c

P a (1 — 5) \ 2 kk! 1 — 25

3/c

.V

Ari

•4:2 — 4:i ~ M

Л’з-

00

Nllllllltlüiiilllliill

ff

Ж'"

v£2

=: В

,'j

'мвГ

fl

мез

MS)

Fig. 592.

jà.

F:

q hx² (1 -f- 2 n)

21

Яр

A'I

MB\

", qh x²[

— (fci + 3 k₂)

£1

00

Яд₃) ₌ —

Ядз) '

Mc\ J- q hx2 Щ\~ -    4

-} 4» -j ²    4 kx~\~k₂ — 2 n

JV

: Яg 2 — Яд ! — Яд g

¹ Я

E2 “ ^Æl — Яд₃

(2 к + 3) (*! 4- 3 &₂)

Nx

2 hx + 1 + 2 n — kx (2 к kx -f 6 к -f 3 fcQ

6 Лг

82.

■f

A;

...i

"(T

Fig. 593.

ElSf

Y <1^

21

Яд1 — 4

q h²

ЯД1 — —

q h²

Яд₃ = 4

дД²

/:з

Яд

Яд

q h²

92*

Яд!

Яд=-

HA =

2 _ MMfci+²) + fc* (2fei +8)]

24

Nx

2A

JNT

\kx (kx -f- 2) -j- k₂ (2 kx 4- 3)]

к(2кл 4“ 3 k₂)

2    . к (2    -f⁻ 3 &₂)

Ж ^ Я

Яд 2 — Яд X — Яд з Яд 2 ⁼ Яд J — Яд₃

2    , к kx

419

M₀ \

83.

1.

ME2

____i

ШЁГ

Mej

M32

-a

==fM£/

Fig. 594.

Pą_

<f

P(A-fe)

HA

El

H*=—k

3/

Fl

itf

El

j = + P_ hj 3 e fcj (1 ■ Ô) [fcx (1 - 3) + h (2 - o)]

mbs\

*JP.I

— P + *2

e [3 fct (2 — o) 4- jfc₂] — h

e (1 - o) (2 fc -f 3)    (1 — 8) + fc₂ (2 — 8)]

3/

c\_ I P Ге(3 K 3 + 1) + h

n}-± 2

Кг

— е кг (1 — 3) [3 (2 к кг + 2 А; + 3 Ä+ + 2 fc]

■^F2

= 3f

Fl -“B3

ME a = 3/

Fl ^F3-

84.

ДРПДДР”-

/>

tLî

Ato

MgJ

Fig. 595.

A<

PE

fF

s = _f_

Pe

Fl

i¥Fl|

i¥Fl|

*•<= A

fP(l-S)

.1/

Я*-~ A _ (1 - S!) A [le, (le, -f 2) + b, 12 le, + ai-

Fl

.1/

F3

Pe

3/

1 — (1 — a²)A;(2fc₁-f3fc₂)

F3

JVi

i¥r; 1 __

j¥f)

+4i

(1 — 3²) fe

Fl — ^F3

JVi —

з/Л2 = з/

¥F2 ~ j¥F1 j¥

F3.

LITEKATUKA DO STATYKI BUDOWLI.

(Skróty: C. T. = Czasopismo Techniczne. P. T. = Przegląd Teclmiczuy.)

A. DssieJa ogólne.

Thullie: Statyka budowli. Wyd. IY. Lwów 1924.

Thullie: Podręcznik teorji mostów. 3 tomy. Lwów.

Karasiński: Wytrzymałość tworzyw. Wyd. II. Warszawa 1920.

Huber: Statyka wykreślna. (Litogr.). Lwów 1909.

Bogucki: Wykłady statyki budowli. (Litogr.). Lwów 1911.

Miller: Statyka budowli. (Litogr.). Warszawa 1922.

Bryła: Podręcznik statyki budowli. Wyd. II. Lwów i Warszawa 1925.

Popławski: Statyka wykreślna. Warszawa 1917.

Timoszenko-Huber: Wytrzymałość materjałów. Lwów 1922.

Pigeaud: Cours de mécanique appliquée. Paryż 1915.

Kousselet et Aimé Petitet: Stabilité des constructions usuelles. 1926.

Vierendeel: Stabilité des constructions. Louvain 1912.

Koechlin: Applications de la statique graphique. Paryż.

P’lam ant: Stabilité des constructions. Paryż 1909.

Fontviolant: Les méthodes modernes de la résistance des matériaux. Paryż 1920. Andrews Ewert: The theory and design of structures. Londyn 1913.

Timoshenko and Lesseis: Applied elasticity. Pittsburg 1926.

Waldram Percy: The principles of structural mechanics. Londyn 1912.

Swain: Structural engineering. New York 1924.

Prescott: Applied elasticity. Londyn 1924.

Case: The strength of materials. 1925.

Müller-Breslau: Die graphische Statik der Baukonstruktionen. Wyd. V. Berlin 1924. Müller-Breslau: Die neueren Methoden der Festigkeitslehre und der Statik der Baukonstruktionen. Wyd. V. Berlin 1924.

Mehrtens: Vorlesungen über Statik der Baukonstruktionen und Festigkeitslehre Lipsk 1909.

Henneberg: Graphische Statik der starren Systeme. Lipsk i Berlin 1911.

Fischer: Statik und Festigkeitslehre. Berlin 1926.

Kaufmann: Statik. Berlin 1923.

Kirchhof: Statik der Bauwerke. Berlin 1921.

Otzen: Praktische Winke zum Studium der Statik. Wyd. III. Berlin 1921.

Pirlet: Kompendium der Statik der Baukonstruktionen. Berlin 1921.

Saliger: Praktische Statik. Wiedeń 1921.

Timoszenko: Sbomik zadaćz po soprotiwleniju materjałów. Kijów 1910. Timoszenko: Kurs tieorji uprugosti. 1914—1916.

Czerepaszynskij : Stroitielnaja mechanika. Petersburg 1904.

Bełżeckij: Statika soorużenij. Petersburg 1915.

B. Ustroje płaskie statycznie^wyznaczalne.

Thullie: Analityczne wyznaczenie najniekorzystniejszego obciążenia belki prostej P T 1887.

Karasiński: Ilokrotność hiperstatyczności ustrojów prętowych. P. T. 1925.

Balicki: Studjum nad belkami z drugorzędnem zawieszeniem. C. T. 1902.

Balicki: Linje wpływowe dla belek trzypasowych. C. T. 1903.

Bryła: Obliczenie płatwi przegubowych. Warszawa 1911.

Chmielowiec: Wykres największych sił poprzecznych w belce prostej z poprzecznicami i największych sił wewnętrznych w krzyżulcach belki kratowej. C. T. 1926.

Frank: Dreigelenkbogenbrücken aus Beton. Stuttgart 1916.

Färber: Dreigelenkbogenbrücken. Stuttgart 1908.

C.    Kratownice przestrzenne.

Bryła: Obliczanie kopuł płaszczowych. Lwów 1910.

Bryła: Systemy dachów więzarowych jako kratownice przestrzenne. Lwów 1911.

M. Mayor: La statique graphique des systèmes de l’espace. 1910.

F о p p 1 : Das Fachwerk im Baume. Lipsk 1892.

Zimmermann: Über Kaumfach werke. Berlin 1901.

Schiink: Statik der Baumfachwerke. Lipsk i Berlin 1907.

Marcus: Strebenlose Baumfachwerke und verwandte Gebilde. Berlin 1914.

Millies: Bäumliche Vieleckrahmen. Berlin 1927.

Ryszków: Mostowyja fiermy как prostranstiennyja sistemy. Kijów 1908.

D.    Naprężenia drugorzędne.

Pareński: Wyniki badań naprężeń drugorzędnych. P. T. 1923.

Thullie-Chmielowiec: Przybliżony sposób badania naprężeń drugorzędnych. С. T. 1928. T hullie-Chmielowiec : Linje wpływowe naprężeń drugorzędnych. С. T. 1928. Chmielowiec: Projektowanie przekroju pasów kratownicy z" uwzględnieniem naprężeń drugorzędnych. P. T.1927.

Bażant: Influence du système de triangulation sur les efforts secondaires. Praga 1922. Grimm: Secondary stresses in bridge trusses. New York 1908.

Abo: Secondary sfcrasse^in bridges. 1925.

Manderla: Die Berechnung der Secundärspannungen. Allg. Bztg. 1880.

Engesser: Die Zusatzkräfte u. Nebenspannungen eiserner Fachwerkbrücken. Berlin 1893. Mohr: Die Berechnung der Eachwerke mit starren Knotenpunkten. Civilingenieur 1892. Patton: Beitrag zur Berechnung der Nebenspannungen. Zeitschrift für Arch.-u. Ingenieurwesen. 1902.

Gehler: Die Ermittlung der Nebenspannungen. Berlin 1910.

Koś: Nebenspannungen infolge vernieteter Knotenpunktverbinduugen. (Bericht der Gruppe Y der Technischen К. V. S. B.). Schw. Bztg., 1922.

Patton: Basezot fierm s żostkimi uzłami. 1901.

Pieriedierij : Wlijanie żostkosti uzłow na usilja i naprjażenja. 1904.

E. Ustroje hiperstatyczne wogóle. Belki ciągłe.

Thullie: Podręcznik teorji mostów. Tom II. Lwów 1906.

Thullie: O wykreślnem oznaczeniu sił działających w belce dwuprzęsłowej. P. T. 1884. Huber: Z teorji belki ciągłej. C. T. 1925.

Huber: Równanie pięciu momentów. C. T. 1927.

Karasiński: Ogólne równanie pięciu momentów. P. T. 1927.

Karasiński: Ogólne wzory Clerc’a i Clapeyrona. P. T. 1927.

Jasiński: Linje wpływowe belek ciągłych kratowych. C. T. 1920.

Jasiński: Linje wpływowe belek ciągłych na sprężyście uginalnychpodporach. C. T. 1911. Bryła: Teorja belek dwukrotnie wzmocnionych. C. T. 1911.

Brzozowski: Linje wpływowe belek na sprężystych podporach. C. T. 1927. . Brzozowski: Belka poziomo utwierdzona i łuk bezprzegubowy. Życie Technickie. 1922. Kluż: Ustroje hiperstatyczne o elementach prostych. 0. T. 1927.

Miłaszewski: Belka ciągła na podporach sprężyście uginalnych i obracalnych. 1928. Bartoszewicz: Nowy sposób wykreślny rozwiązywania ustrojów statycznie niewyzna-czalnych. Lwów 1928.

Nachtergal: Déformation des pièces fléchies. Paryż.

Thomas: Calcul des constructions continues à éléments droits. Paryż 1925.

Swain: On a new principle in the theory of structures. Am. Soc. of C. E. Vol. 83. New York 1920.

Church: Mechanics of internal work. New York 1910.

Hudson Clarence: Deflections and statically indeterminate stresses. New York 1911. Bazali: Die Berechnung der durchlaufenden Balken. 1911.

Arnstein: Einflußlinien statisch unbestimmter Fachwerke. Berlin 1912.

Mohr: Abhandlungen aus dem Gebiete der technischen Mechanik. Berlin 1913.

Suter: Berechnung des kontinuierlichen Balkens. Berlin.

Pirlet: Kompendium der Statik der Baukonstruktionen. Berlin 1921.

Buchholz: Theorie und Berechnung der statisch unbestimmten Tragwerke. 1921. Baszynskij: Nowyj metod rasezota bałok. Kijów 1913.

F. Łuki.

Thullie: Łuki i wieszary. Lwów 1913.

Kłoś: Materj&ły do projektowania bezprzegubowych łuków parabolicznych. 1922.

Vetulani : Wyznaczenie natężeń normalnych w łukach płaskich C. T. 1911. Chmielowiec: Studja nad najkorzystniejszym kształtem wieszarów i łuków. 1928. Cain: Theory of steel concrete arches and of voulted ctructures. New York 1918. Färber: Der Gewölbebau. 1916.

T olkmitt: Leitfaden für das Entwerfen und die Berechnung gewölbter Brücken. 1912. Weyrauch: Elastieche Bogenträger. Stuttgart 1911.

Schönhöfer: Verfahren mit konstanten Bogengrößen. Berlin 1911.

Strassner: Der Bogen und das Brückeugewölbe. Berlin 1927.

Strassner: Der durchlaufende Bogen. Berlin 1919.

Kirchhoff: Zweigelenkbogen als statisch unbestimmtes Hauptsystem. Berlin 1911. Kirchhoff: Beiderseits eingespannte Fachwerksbogen. Berlin 1912.

G. Ramy.

Thullie: Teorja ram. Lwów 1916.

Thullie: Rama prostokątna dwuprzegubowa. 1918.

Huber: Wzory obliczenia ramy prostokątnej. 1924.

Pazirski: Wzory do obliczania ramy pojedynczej bezprzegubowej. C. T. 1913. Paszkowski: Belki ciągłe w ramownicach piętrowych. P. T. 1923.

M ar cich o wski : Ramy w budownictwie betonowem. 1912.

Bryła: Obliczenie podwójnej ramy symetrycznej. 1920.

Brzozowski: Belka obustronnie sprężyście utwierdzona o dowolnej sztywności i jej zastosowanie do ram i belek ciągłych. C. T. 192 <.

Berdo: Z teorji płaskich utworów ramowych. P.T. 1926.

Milkowski: O ramach wieloprzęsłowych. P.T. ^920.

Fatio: Statique des constructions à angles rigides. Paris.

Gehler: Der Rahmen. Wyd. II. Berlin 1919.

Mo hr: Beitrag zur Berechnung der Rahmenträger. Berlin 1915.

Kleinlogei: Rahmenformeln. 1923.

Kleinlogel: Mehrstielige Rahmen. Berlin 1924.

Meier-Leibnitz: Berechnung einfacher und mehrfacher Rahmen. Stuttgart 1918. Strassner: Neuere Methoden. Band I. Berlin 1925.

Strassner: Tabellen für die Einflußlinien und die Momente des durchlaufenden Ealimens. 1922.

Nakouz: Die Berechnung mehrstieliger Kähmen. Berlin 1915.

,    H. Belki bezprzekątniowe.

Balicki: Linje wpływowe belek Vierendeel’a. C. T. 1910.

Bryła: Obliczenie wykreślne belek o kracie czworokątnej. Lwów 1910.

Vierendeel: Théorie générale des poutres Vierendeel. Paryż 1900.

Vierendeel: Calcul des poutres Vierendeel. 1912.

Joy ant: Note sur le calcul de stabilité des ponts en arcades. Bruksela 1902.

Pa ton: Über diagonallose Träger (Bauart Vierendeel). Berlin 1907.

Freytag: Gesetzmäßigkeiten in der Statik des Vierendeelträgers. Berlin 1911.

Keich: Vierendeelträger mit parallelen Gurten. Wiedeń 1911.

Mann: Das strebenlose Ständerfachwerk. Lipsk 1912.

Kriso: Statik der Vierendeelträger. 1922.

Vincenz: Der Vierendeelträger. Praga 1917.

Podolskij: Besraskosnyja fiermy. Moskwa 1909.

Abramów: Fiermy arkady. Petersburg 1904.

Nikołaj: Besraskosnyja fiermy. Petersburg 1905.

1. Parcie ziemi.

Skibiński: Mury oporowe i podporowe. Lwów 1921.

Thullie i Kuryłło: O wyznaczeniu parcia ziemi sposobem Färbera. C. T. 1920. Bryła: Obliczenie parcia ziemi na przyczółki mostowe. Warszawa 1920. Krzéczkowski: Ciśnienie w gruntach. P. T. 1921.

Boussinesq M. L. : Poussée des terres. Paryż 1918.

Résal J.: Poussée des terres, stabilité des murs de soutènement. Paryż 1903.

Sprague E. : Stability of masonry. Londyn 1915.

Müller-Breslau: Erddruck auf Stützmauern. Stuttgart 1906.

Skibiński; Das Gleichgewicht des rolligen Materiales. Wiedeń 1917.

Krey H. : Erddruck, Erdwiderstand und Tragfähigkeit des Baugrundes in größerer Tiefe. Berlin 1918.

.7. Kominy fabryczne.

Pawłowski: Komin fabryczny. Warszawa 1912.

Sk Warczyński : Podręcznik budowlany. Lwów. Wyd. III. 1928. Lefèvre Victor: Les cheminées usines (le Genie Civ. 1900). Merriman Jacoby: Vol. IV. Higher structures.

B as tine: Berechnung und Bau hoher Schornsteine.

В azali: Berechnung freistehender Schornsteine.

K. Teorja żelbetu.

Thullie: Teorja żelbetu. Lwów 1915.

Kuryłło: Żelbetnictwo. Lwów 1925.

Jurkowski: Żelbetnictwo. Warszawa 1914.

Paszkowski: Żelbetnictwo. (Litogr.). Warszawa 1922.

Kłoś: Wzory obliczeń zeskładów żelbetowych. Warszawa 1924.

Nadto wiele artykułów w Czasopiśmie Technicznem, Przeglądzie Technicznym i Bobotach Publicznych, głównie prof. Thulliego, Hubera, Paszkowskiego, Marcichow-skiego, Kłosia, Kuryłły, Łazoryka i w. i.

Aubry: Calcul du béton armé.

Tedesco et Maurel: Béton et ciment armé. Paryż 1911.

Christophe: Le béton armé. Paryż 1902.

Mesnager: Cours de béton armé. Paryż 1921.

Ni vet A.: Méthode du calcul du béton armé. Paryż 1908.

Magny A. V.: La construction en béton armé. Paryż 1914.

Devedâc: Application de la résistance des matériaux au calcul du beton armé. Paryż 1920. Dumontier: Méthode pratique pour le calcul du béton armé. Paris 1925.

BaudartC.: Béton armé. Paryż 1924.

Charles Amar: Ciment armé. 1925.

Tourneaure: Principles of reinforced concrete construction. Nowy Jork.

Morsch: Eisenbetonbau. Wyd. V. Stuttgart 1920.

Probst: Vorlesungen über Eisenbetonbau. Berlin 1923.

Frank: Eisenbetonbau. Wyd. III. Stuttgart 1920.

Saliger: Der Eisenbeton. Wyd. IV. Stuttgart 1920.

Hager: Theorie des Eisenbetons. Berlin 1916.

Emperger: Handbuch für Eisenbetonbau. Berlin 1921.

Przepisy

. dotyczące obliczeń statycznych w budownictwie lądowem.

zatwierdzone przez Ministra Bobót Publ. rozp. Nr. УП. 698/27 z d. 2. września 1927.

(Z przykładami.)

IJL, Obciążenia i siły zewnętrzne.

1. Przy obliczaniu statycznem konstrukcyj budowlanych należy uwzględni ć następujące obciążenia:

a)    ciężar stały, tj. ciężar własny konstrukcji, oraz tych części konstrukcyjnych, które stale na nią działają,

b)    ciężar zmienny (użytkowy) określony przeznaczeniem budowli,

c)    obciążenie śniegiem,

d)    parcie wiatru,

e)    parcie ziemi lub wody;

nadto uwzględnić należy następujące działania fizyczne:

f)    wpływ zmian ciepłoty,

g)    wpływ skurczu i pęcznienia materjałów.

§ 2. Ciężar własny materjałów.

Ciężar własny materjałów przyjmować należy w obliczeniach w następujących wielkościach:

1. Drzewo suche (zawierające około 15% wilgoci).

wiowe . .

.... 650 kg/m¹ Drzewo świerkowe . . . 550

Drzewo bukowe .... 750 kg/m¹ Drzewo sosnowe i modrze-„    dębowe .... 850 „

„    jodłowe .... 600 „

2. Metale.

. Bronz (spiż) Cyna . . Cynk lany

Glin .

Miedź Mosiądz

8600 kg/m¹

7400

6900

walcowany . . . 7200 ........ 2600

8900

8600

Nikiel Ołów Stal .

* n Żeliwo

. 8800 kg/m¹ 11400    „

. 7860    „

4. Ziemie.

Bazalt .

Granit .

Marmur Piaskowiec ciężki . . . 2700 lekki . . . 2400

3000 kg m¹

2800

2700

Porfir Sjenit

Wapień zwykły .... 2500 „ porowaty . . . 2000

2800 kg/m¹

2800

1600 kg/m¹

Glina sucha

„ mokra, nasyć, wodą 2000    „

Piasek suchy

„ nasycony wodą . 2000 Tłuczeń z kamienia ciężkiego

1600

Tłuczeń z kamienia lekkiego .......

1600 kg/m¹

5. Mur ceglany.

Z cegły zwykłej na zapr.

wapiennej.....

Z cegły zwykłej na zapr.

cement.-wapiennej . .1650 Z cegły zwykłej na zapr.

cementowej Z cegły porowatej . . . 1100

1600 кд/гп³

1700

Z cegły dziurawki . . 1300 кд/гп3 Z cegły dziurawki porowatej .......l’OOO „

Z cegły korkowej . . . 600    „

Z cegły piaskowo-cementowej .......

2100 „ Z zendrówek i klinkierów 1900    „

6. Beton.

Zwykły Ceglany Żużlowy lekki . . . .1300

2200 кд/гп³ Żużlowy wielkopiecowy . 2200 кд/гп3 Wzmocniony (żelbet) . . 2400    „

1800

Wapienna Wapienno-ćementowa . 1900

7. Zaprawy.

1700 kg Im³ | Cementowa Gipsowa .

2100 кд/гп

1000

rt

8. Pomocnicze materjały budowlane.

. . 1200 kg/m3 . . 1800 ' „

Asfalt lany ....

„ ubijany . .

Gruz (tłuczeń) ceglano-wapienny Ksylolit . .

Korkowe płyty .... 330

Linoleum

1400

. . 1400

. . 1200 кд/гп3 . . 2600 . . 2900 , . 2000

Żużel koksowy ubity . . 1000

Szkło dęte lane

V

Terazzo

T>

9. Paliwa.

Antracyt .

Drwa w polanach miękkie 350    „

twarde 400

1700 kg/m³

n n

Koks

Torf

500

600

Węgiel brunatny . . „ czarny . . . w brykietach drzewny . .

Wosk

10. Płody roślinne.

750

900

1000 „

250

970

Buraki . Cukier . Groch Jęczmień Kawa . .

650 кд/гп

750

850

640

700

Mąka w workach . . . 700 Owies Owoce

450

350

Proso, gryka Siano, słoma

Słód

Trawa, koniczyna . .

Ziemniaki......

Żyto, pszenica . . . .

850 кд/гп³

80

prasowane .... 280 ........530

. 350

700

750

Cement w beczkach . .1500 кд/гп Książki i papier (z uwzgl.

przestrzeni wolnych) . 800    „

11. Niektóre inne obciążenia.

Papier ....

Sól w workach .... 1200 1300

Wełna

1100 кд/гп³

Lód

750

V)

12. Niektóre zwierzęta.

Koń .

Krowa

Owca

sztuka 500 kg I Wieprz 600 „

80 „

Wół roboczy . . . . „ karmny . . . .

sztuka 200 kg 650 „ 800 „

Г)

13. Celem wyznaczenia ciężaru własnego muru ceglanego у wystarczy określić ciężar własny cegły yc i ciężar własny zaprawy y_ ; ciężar własny mura у można przyjąć wtedy :

Y,n =²/з Tc+7з Гг-

14.    O ile dla obliczenia mają być przyjęte ciężary jednostkowe wyższe niż podane w ust. 5., należy dla wyznaczenia ciężaru własnego muru ceglanego wykonać ciało próbne o objętości 1 m³ z danego materjału ceglanego z zastosowaniem zwykłych spoin o grubości do 1,2 cm i ciało to zważyć. Ilość wody, potrzebnej do zarobienia zaprawy i zwilżenia cegieł, należy odmierzyć, a ciężar jej odjąć od ciężaru ciała próbnego.

15.    W razie użycia materjałów powyżej niewymienionych należy ciężar jednostkowy przyjąć wedle norm ogólnie przyjętych, ewentualnie oznaczyć próbami.

§ 3. Ciężar własny stropów.

Ciężar własny stropów przyjmować należy wedle następującej tablicy :

^о7оз7

Fig. 596.

1. Strop drewniany belkowy z podłogą pojedynczą z desek (fig.596 )

70 kg Im²

A 0,07

XX

i?

0,02

Fig. 597.

2. Strop drewniany belkowy z podłogą podwójną (bez podsypki) i z sufitem (fig. 597)................

90 kg/m²

0,10

F=

Fig. 598.

3. Strop drewniany belkowy z podsypką 10 cm, podłogą, trzci-nowaniem i wyprawą (fig. 598).............. .

250 kg/m²

QoaEp

■T 0,13

Fig. 599.

4. Strop sklepiony z cegieł zwykłych między dźwigarami z nad-sypką 8 cm w kluczu przy odstępie dźwigarów do 1,50 m (fig. 599) 450 kgjm²

[b-

T0

-----r-LT-

у ртШ

Fig. 600.

5.    Strop ceglany płaski z cegieł porowatych między dźwi

garami o grubości ¹/₂ cegły z wkładkami żelaznemi z nadsypką i podłogą (fig. 600)....................

6.    Strop ceglany płaski z cegły pełnej między dźwigarami o grubości i/₂ cegły z wkładkami żelaznemi z nadsypka i podłoga

(fig. 600) . ................ ......

350 kg/m²

400 kg m~

l- :-

Fig. 601.

7.    Strop ceglany płaski z cegieł porowatych między dźwi

garami o grubości ł/₄ cegły z wkładkami żelaznemi z nadsypką i podłogą (fig. 601)....................

8.    Strop ceglany płaski z cegieł pełnych między dźwigarami o grubości */₄ cegły z wkładkami żelaznemi, nadsypką i podłogą 350 kginr

320 kg/m-

Fig. 602.

9. Strop sklepiony Moniera, grubości 5 cm w kluczu z nadsypką 5 cm nad kluczem' (fig. 602).............

350 kgjm²

; ^о,об    i

Fig. 603.

10. Strop płytowy Moniera, grubości 6 cm z nadsypką i wyprawą (fig. 603)........................

W powyższych stropach przyjęto wszędzie podłogę drewnianą.

W razie użycia innych stropów lub innych ciężarów należy uzasadnić przyjęty ciężar stropów.

W ciężar ten nie jest wliczony ciężar osobnych podciągów stropowych.

§ 4. Ciężar własny dachów.

1. Ciężar własny pokrycia dachowego na m² pochyłej powierzchni dachów bez więzarów i płatwi, natomiast z uwzględnieniem odeskowania i krokwi, przyjmować należy wedle następującej tablicy :

420 kgjm²

Gontem

Rodzaj pokrycia!

Ciężar w kijjm'¹

40

Dachówką ceglaną zakładkową „    holenderską . . .

„    rzymską.....

„    karpiówką ....

65

80

100

70

podwójną

. 120

75

„ cementową ....

Łupkiem na łatach, angielskie „    „ deskowaniu . . .

„    „ łatach, niemieckie

Papą pojedynczą bez piasku .

Warstwowcem (cementem drzewnym) z warstwą żwiru o grub. 8 cm 180

Blachą na deskowaniu.............

Słomą lub trzciną...............

Szkłem na listwach żelaznych zwykłem o grub. 5 mm

„ drutowem................

Każdy 1 mm szyby ponad 5 mm zwiększa ciężar o .

45

55.

65

35

40

80

25

30

2. Ciężar płatwi i więzarów przyjmować należy odpowiednio do materjału i konstrukcji tychże. W normalnych wypadkach przyjmować można ciężar własny więzarów na 1 w² rzutu poziomego :

Drewnianych

..................... 20—30 kg/m

ciężkich .........

łukowych do rozpiętości 40 m „    „do rozpiętości 60 m

Kopuł żelaznych płaszczowych

§ 5. Obciążenie zmienne (użytkowe).

1. Obciążenia zmienne stropów:

Mieszkania zwykłe......................

Mieszkania w małych domkach przy rozpiętości stropów poniżej 5 m .

Strych zwykły, nieobciążony konstrukcją dachu.........

Sale szkolne . ........................

kg/m²

200

150

125

Teatry, kinoteatry..........

Sale gimnastyczne..........

Lokale handlowe (sklepy) w parterze . .

„    „na piętrach.....

„    „ biurowe, restauracje itd.............

Budynki fabryczne conajmniej.................

(o ile nie przewiduje się większych obciążeń — por. ust. 6).

Schody domów mieszkalnych.................

„ gmachów publicznych i lokali handlowych........

Korytarze w budynkach użyteczności publicznej.........

Stropy pod przejazdami, obciążone wozami ciężkiemi.......

Dachy płaskie (najwyżej 1: 20) łącznie z wiatrem i śniegiem, o ile

mogą być obciążone przez ludzi (np. tarasy).........

Balkony ..........................

300

400

500

500

400

300

500

400

500

400

800

250

2.    Nacisk poziomy na poręcze balkonów w domach mieszkalnych 50 kg/m b.

„    „    „    „    „    , w teatrach itp

3.    Ciężar lekkich ścianek działowych (drewnianych, z cegieł lekkich itd.), o grubości najw. 7 cm, które mogą być następnie przestawiane, wystarczy uwzględnić, przyjmując dodatkowe obciążenie 70 kgjbi" stropu.

80

r>

4.    Przy obliczaniu sal bibljotecznych, archiwów itp. przyjmować należy obciążenie 500 kg/m³ objętości szaf i półek.

5.    Obliczenie pokrycia dachu w miejscach, na których może stanąć człowiek, należy przeprowadzić: a) na ciężar śniegu i wiatru, b) na ciężar skupiony (człowieka z narzędziami 100 kg), — i uwzględnić niekorzystniejsze z obu obciążeń.

Przykład. Obliczyć krokwie dacliu o nachyleniu połaci 1:5. Krycie blachą na deskowaniu. Odstąp krokwi «= 1,10 w. Kozpiętość krokwi l = 3,00 m.

Obciążenie na lm² dachu pochyłego:

40 kg/ni2 = co 80 kg/m-=    120 kg/m²~

ciężar pokrycia,- deskowania i krokwi ciężar śniegu s, = s cos a — 80 cos 11° 20' =

razem g

Parcie wiatru (j. niżej):

n = w₀ sin a = 100 sin 11° 20’ = CO 20 kg/m-.

Składowa obciążenia prostopadła do połaci dachu :

g cos a — 120 cos 11° 20' = co 120 kg/m*.

Składowa równoległa do połaci dachu :

g sin a == 120 sin 11° 20' = oo 24 kg/m?. g₀ sin a — 40 sin 11° 20' = oo 8 kg/m?.

Obciążenie na 1 mb. krokwi:

44 kg/m b., 132 kg/m b.,

<7₀= 40X1,1 =

9i ⁼ 120 X 1,1 = g₂ — 24 X 1,1 = 00 ЧЛкд/тЬ.,

22 kg/m b.

n= 20 X 1,1 =

Momenty zginające:

a) skutkiem ciężaru stałego : M₀ = l/g X 44 X 3,00² = 49,5 kgm ;

li) skutkiem ciężaru własnego i śniegu : M, — ² 3/s X 132 X 3,00⁴ = 148,5 kgm;

c) skutkiem parcia wiatru: Mw — */₈ X 22 X 3,00² = 24,75 kgm.

Całkowite obciążenie równoległe do połaci dachu : G₂ = 27 X 3,00 = 81 kg. Ciężar człowieka z narzędziami jako pionowa siła skupiona P= 100 kg.

Składowa prostopadła do połaci dachu: 1\ — Pcosa — 100 cos 11° 20' =98kg. Składowa równoległa do połaci dachu: P₂ — Psinn = 100 sin 11°20' = oo20kg.

Moment zgięcia skutkiem obciążenia ciężarem skupionym :

M₂ = % X 98 X 3,00 = 73,5 kgm.

Obciążenie ciężarem własnym, śniegiem i parciem wiatru:

M = 148,5 + 24,75 = 173,25 kgm, 6₂ — 81 kg; obciążenie ciężarem własnym i człowiekiem z narzędziami :

M — 49,5 + 73,5 = 123,0 kgm,

N — 20 + 8 = 28,0 kg.

Wypadek pierwszy jest niekorzystniejszy.

Przyjęto wymiar krokwi 12 X Wem F— 120cm², W = 240 cm³. Największe naprężenie:

N , M 81,0 , 173 25

a = ~F ⁺ W ⁼ ~120~ ⁺ ~Ш~ = °-⁷ + ⁷²>² = ⁷²-⁵ kg jem*.

■>/

na

piętrach natomiast obniżać je kolejno o 10%) 20% itd. Eedukcja taka dojść jednak może najwyżej do 40% całkowitego obciążenia, poczem stale należy wciągać w rachunek 60% tegoż. O ile do obciążenia zmiennego wliczono ciężar lekkich ścianek przedziałowych wedle 3, należy go przy tej redukcji wliczyć do ciężaru stałego. Przy obliczeniu magazynów redukcji powyższej uwzględniać nie należy.

Przykład. Na murach zewnętrznych budynku (fig. 604) spoczywa dach i stropy. Obciążenie dachu przenosi się w połowie bezpośrednio na ściankę kolankową 30 cmgr., w połowie zaś na tramy. Belki stropowe wchodzą w mur 30 cm, tak, że ich oddziaływania zaczepiają w odległości 16 cm od wewnętrznej krawędzi muru. Osiowy odstęp filarów okiennych wynosi 4,3 m. Ciężar murawy nosi 1,6 //m:i. Stropy wedle fig. 599, strop najwyżezy fig. 602.

Obciążenie murem:

6) = 4,3 X 1,5 X 0,3 X 1,6 = 3,1 /,

<h = 6*3 = (4,3 X 3,4 — 2 X 2,2) X 0,45 X    1,6 = 6,9 t,

«, = (4,3    X    3,8 - 2    X    2,6)    X    0,6 X 1,6 =    10,7 /,

<?₅ = (4,3    X    3,5 - 2    X    2,3)    X    0,6 X 1,6 =    10,1 t,

0,5 = (4,3    X    3,6 - 2    X    2,4)    X    0,75 X 1,6 = 12,8 t,

0,75 X 1,5

6>₇ =[(4,3X 3,3

— 1,5 X 0,8) X 1,06 —

Gs — 4,3 X 0,8 X 1,85 X 1,6 = 7,5 t.

Oddziaływania dachu i stropów :

7,17

4,3 X-j-X 0,24 = 3,7 /,

A%' = 4,3 X ~~ X 0,35 = 4,5 t,

V= V = 4,3 X-y^-X 0,45 = 5,7/, 5,68

V= V = 4,3 X X 0,45 = 5,5 /, A.'= 4,3 X X 0,45 = 5,3 /. ■

X 1,0 X 1,6 = 21,1/,

в)

tJl

a.

ÈbS

4JV —I

p*ty2St/n»4

ib-Jie

IP

f-MO

-i

Ge

Oddziaływania stropów skutkiem obciążenia użyt-

kowego :

5,9

4 66

Аг" = 4,3 X %—X 0,125 = 1,6/,

I i'

5,9

+" = 4,3 X “— X 0,200 — 2,6t,

L.

.«W,

A"

2,6-10% = 2,4/,

5,68

A" = 4,3 X    X (0,2 -20%) = 2,0/,

А" =’4,3 X    X (0,2 - 30°/o) = 1,7 /,

A." = 4,3 X    X (0,5 - 40%) = 3,5 /.

Całkowite obciążenie filarów stropami wynosi zatem: A = 4,5 +1,6 = 6,1 i,

A = 5,7 + 2,6 = 8,3/,

A = 6,7 + 2,4 = 8,1 /,

L.

i' Sj 3 i ,

Ge

6₇

r~

^sto

fr

’‘bïfnÀp.asot/n^.

m\

+ = 5,5+ 2,0 = 7,5 t, Л₆ = 5,6 + 1,7 = 7,2 /, Л-= 5,3 + 3,5 = 8,8 /.

Ł. .J

рагу???*

du

ś’--

-H

ада

Fig. 604.

8. Przy obliczeniu podciągów, na które przenosi się ciężar z powierzchni stropu większej niż 30 m², można wielkość obciążenia ruchomego zmniejszyć o 10%.

9. Przy obliczeniu podciągów, podtrzymujących wysokości ze ścianami głównemi, można przyjąć, że na podciąg przenosi się obciążenie części muru ograniczonej prostemi, wychodzącemi pod kątem 60° do poziomu ze skrajnych najniższych punktów muru, o ile proste nie trafiają w murze w otwory. W tym ostatnim przypadku należy ograniczające proste podnieść tak, aby nie przecinały otworu (fig. 605). Grubość filara narożnego podtrzymującego podciąg tak obliczony, mierzona w kierunku otworu, powinna być conaj-

związany na całej

mur

s    !

<N,    i

'O \

od

l/a-SC*

! /i

\f p, \ p?

рз p.

-- 3.60-----—

Fig. 606.

mniej równa połowie rozpiętości otworu w świetle w przeciwnym razie podciąg należy obliczać na 0₁ “ | ~    *

cały ciężar ściany, ograniczonej linjami piono- j---

wemi.

Fig. 605 a, b, c, d.

Li

o,

Największy moment belki obciążonej wedle fig. 605 а i 606 wynosi M = ■/„ PI, gdzie l jest rozpiętością, zaś P calkowitem obciążeniem.

Przykłady. 1. Obliczyć największy moment zginający belki podtrzymującej ścianę z cegły zwykłej o grubości 0,42 m (por. fig. 606).

Jeżeli rozpiętość w świetle wynosi („ = 3,60 m, to teoretyczny odstęp punktów podparcia belki wynosi: 1 = 1,06 /„ = 1,05.3,60 = 3,78 m.

i ft Im

Ai

Fig. 607.

Całkowity ciężar muru działający na belkę:

P— 3,78 . V, . 3,28.0,42.1600 = 4240 iff. Największy moment zginający w środku rozpiętości belki:

PI __ 4240.3,78

= 2672 iff»!.

2. Obliczyć belkę żelazną dźwigającą ścianę o grubości 0,30»!, wysoką 7,70 «!, z otworami na zasadzie trójkątowego rozkładu ciśnienia muru (por. fig. 607).

Obciążenie belki przyjmiemy odpowiednio do przepisów wedle figury ograniczonej od dołu prostą poziomą, przechodzącą przez punkty podparcia A i B, z boku rzędnemi wychodzącemi z punktów A i B, jakoteż prostemi nachylonemi pod kątem 60° do poziomu, przechodzącemi przez naroża górnego otworu.

Ciężary poszczególnych pasków wynoszą wtedy :

P, =1600.0,30.4,46.0,50 = 1170 iff

Рг = 1600.0,30.7,95.0,50 = 1910 iff

P₃ —1600.0,30 .11,45.0,50 = 2760 iff

P,, = 1600.0,30 (1,20.1,05 . 0,50 + 1,20.1,40)-= 1100 iff.

Oddziaływanie :

1    16460    „ .

4,20

О, = — (1170.4,64 + 1910.2,66 -f 2750. 1,68 -f 1100.1,20) =    — 3680 iff.

Momenty :

Mx = Oy (4,20 — 3,64) = 2060 kgm Мг — 0, . 1,64 — Ą . 0,98 = 6670 — 1160 = 4520 kgm M₃ — 0, . 2,62 — P, . 1,96 — P₂.0,98 = 9280 — 2300 — 1870 = 5110 kgm.

M,y = 0, . 3,00 — Py . 2,44 — P₂ . 1,46 + Ря . 0,48 = 11040 — 2860 — 2790 — 1320 = 4070 kgm.

Moment największy wypada, jak widać z rysunków, w pobliżu p. 3. Bóżni się jednak co do wielkości bardzo mało od M₃, tak, że przyjąć możemy i dla obliczenia, że najw. M~ My = 6110 kgm.

10. W obliczeniach przyjąć można, że ciśnienie słupów itp. ciężarów skupionych rozkłada się w murze ceglanym na kątem 4:1, na zaprawie cementowo-wapiennej 3 : 1, cementowej 2:1, zaś w betonie najwyżej 1:1. Odsadzki w murze ceglanym nie mogą być przytem szersze niż ¹/i długości cegły. Wysokość ich musi wynosić więc przy prawie wapiennej 4 warstwy cegieł, cementowo-wapiennej 3, zaś cementowej 2 warstwy cegieł.

Przykład. Obliczyć fundament słupa obciążonego osiowo ciężarem P = 60 t jako: 1. mur ceglany na zaprawie wapiennej, 2. mur ceglany na zaprawie cementowo-wapiennej, 3. mur ceglany na zaprawie cementowej, 4. betonowy — przy dopuszczalnem ciśnieniu na grunt 2 kg.

Ad 1 :

Słup otrzymuje podstawę kwadratową o boku :

zaprawie wapiennej pod

za-

, 1 /60 000 b~y —

== CO 95 cm ;

przybliżona szerokość podstawy fundamentu w głębokości g = 1,68 m :

6, = 6 + 2 y tg = 0,95 + 2 X 1,68 X lA, = 1,79 m ;

ciężar fundamentu :

potrzebna szerokość fundamentu:

G = Va «P + ЪЪу + by V g-у = со 3,7 / ;

»i

= oo 179 cm.

Ad 2:

-=V-

60 000

= CO 82 cm; potrzebna głębokość у = 1,44«

by = 0,82 -f 2 X 1,44 X ‘/s = CO 1,78 m G — co 3,1 f

potrzebne : Ad 3 :

•=]/ u

60 000

= CO 71 cm potrzebna głębokość g = 1,06« by = 0,71 +2X 1,06 X J = 1,77 m

G = co 2,3 t

potrzebne :

Ad 4 :

— j/ ⁶²³⁰⁰

= CO 177 cm.

by = 0,64 + 2 X 0,61 X 1 = 1,76 m G— co 1,6 t

60 000

= cv> 54 cm potrzebna głębokość g = 0,61 m

= CO 176 cm.

potrzebne :

Z przykładu tego wynika, że w fundamencie ceglanym na zaprawie wapiennej potrzeba w danym przykładzie założyć stopę w głębokości 1,68 m (bez względu na grubość cegły), “by uzyskać potrzebną jej powierzchnię, fundament ceglany na zaprawie cementowo-wapiennej w głębokości 1,44 m, na zaprawie cementowej w głębokości 1,06 rn, zaś na betonie 0,61 m. Widać stąd jasno, że pierwszy, a nawet drugi sposób wymagają znacznej ilości materjału i są tem samem nieracjonalno.

11. Przy obliczaniu rusztowań uwzględnić należy ciężar konstrukcji spoczywającej na rusztowaniu, ciężar i działanie maszyn roboczych, obciążenie ruchome 200 kg/m² na pozostałych częściach konstrukcji, oraz parcie wiatru na powierzchnie rusztowania i konstrukcji (por. § 7).

Ł? 6. Obciążenie śniegiem.

1. Obciążenie śniegiem przyjmować należy :

W województwach : pomorskiem, poznańskiem, warszawskiem, łódzkiem, lubelskiem, kieleckiem, krakowskiem i Śląskiem 60 кд/т'г rzutu poziomego; w województwach: wileńskiem, nowogródzkiem, białostockiem, poleskiem, wołyńskiem, lwowskiem, tamopolskiem i stanisławowskiem 80 kg/m² rzutu poziomego.

W okolicach górskich, położonych ponad 400 m nad poziom morza należy jednak przyjmować obciążenie śniegiem o wielkości:

s — 80 -}— 0,12 (h — 400) kglm², gdzie h jest wysokością nad poziomem morza w metrach.

Np. w Zakopanem (wyg. n. p.m. 900 m) należy przyjąć s = 80 -{-0,12 (900 — 400) ==140 kg/m*. Zaś w Krynicy (wys. 600 m) należy przyjąć s = 80 -f- 0,12 (600 — 400) = 104 kg/ni¹.

2. Dla pochyleń dachów większych niż 30° należy wielkość obciążenia śniegiem, obliczoną wedle 1., zredukować, mnożąc ją przez spółczynnik o, który wynosi :

5 = 1 o = 0,5 o = 0.

dla 30° „ 40° „ 45°

Wartości pośrednie należy interpolować linjowo. Dla pochylenia ponad 45° obciążenia śniegiem można nie uwzględniać.

3.    Przy obliczeniu należy uwzględnić możliwość tworzenia się worków śnieżnych we wgłębionych częściach dachu.

4.    Należy uwzględnić możliwość całkowitego lub jednostronnego obciążenia' śniegiem.

i; 7. Parcie wiatru :

--------H    !• Kierunek parcia wiatru przyjmować można wo-

— -*- góle poziomy.

^    2. Składową parcia wiatru prostopadłą do po-

->■    wierzchni dachu przyjąć należy w wielkości:

— -»■    n — w₀ sin a,

^30,00 m

—    gdzie a jest kątem pochylenia dachu.

-»■    3. Wielkości w₀ przyjąć należy wedle następującej

tablicy :

--г*⁻, w miejscach zasłoniętych........50 kglm"

„    „ odsłoniętych do 15 m wysokości 100    „

„    ponad 30 m wysok. 130    „

dla wysokości między 15 w, a 30 m należy interpolować linjowo (fig. 608).

Fig. 608.

war-

4. W miejscach, narażonych na szczególnie silne wiatry (wybrzeże morskie, góry itd.), należy powyższe tości zwiększyć o 50 °/₀-

5.    Przy obliczaniu wiat (hal) otwartych należy uwzględnić parcie wiatru na dach i ściany od wewnątrz o wielkości 60 kg/m² prostopadle do powierzchni,

6.    Przy obliczaniu kominów itp. budowli o kształcie okrągłym lub wielo-bocznym należy wielkości parcia wiatru, podane w ustępie 3., pomnożyć przez spółczynnik zmniejszający, który należy przyjąć dla

kominów okrągłych p. = 0,67, ośmiobocznych p. = 0,71, kwadratowych jj. = 1,00.

Do §§ 6. i 7. pomocna być może następująca tabliczka:

Pochylenie dachu

1 :1,6

1 :2,5

1 : 3,6

1 : 4,5

Obciążenie śniegiem na 1 m² połaci dachu dla 60 kgim'¹' dla 80 kg Im'¹

45’

33°40'

26°40'

21°50'

18° 25'

16°

14°

12°30'

11°20'

50

66

54

72

56

74

57

76

58

77

58

78

59

78

59

79

Obciążenie wiatrem w sin a

n = n — 50 sin a n = 60 sin a n = 70 sin a n —100 sin a n = 110 sin a « = 120 sina n = 130 sin a

35

42

50

71

78

85

92

28

34

39

55

61

67

72

22

27

19

31

45

50

54

58

23

16

26

37

41

45

48

20

22

31

35

38

41

14

17

12

19

15

11

28

30

33

36

17

13

24

27

29

32

15

22

24

26

28

12

14

19

21

23

26

Momenty bezwładności i momenty wytrzymałości przekrojów najczęściej używanych w budowie kominów :

Przekrój

Moment bezwładności względem osi równoległej do boków

Moment wytrzymałości względem osi

przekątnej

równoległej do boków

Koło

л Л¹*

0,0491 IP = ———

64

0,0982 D³

0,0982 №

Ośmiobok . .

0,0574 D³

0,101 1)'

0,1095 D³

Kwadrat

0,9833 /Л =

D³

ТГ

0,118 I)'

0,167 D³ = Ve I>'

0,0982

Koło z otworem kołowym

0,0491 (V³ — d³)

Ośmiobok z otworem ośmiobocznym

0,0547 (U³ - d³)

0,101 (d³    ~ )

0,1095 (i)®--2J-)

d>

Ośmiobok z otworem kołowym . .

0,0547 D³ —

— 0,0491 d³

0,1011)³ — 0,091—

0,1095 D' — 0,0982 —

0-118 0-|-)

Kwadrat z otworem kwadratowym . .

0,0833 (D³ — d'<) =

d³ — <p

12

0,167 (л³--—

Kwadrat z otworem ośmiobocznym . .

0,0833 D³ —

— 0,0547 (P

0,118 II³ —

d'

- 0,0774 —

éP

0,167 D³ — 0,1095 - -

Kwadrat z otworem kołowym ....

0,0833 D³ —

— 0,0491 d³

0,118I)³ —

— 0,0094 —

d³

d'

0,167 IP — 0,0982 —

We

wzorach powyższych Л, względnie d, oznaczają średnicę koła wpisanego w zewnętrzną, wzgl. wewnętrzną figurę (więc w kwadracie, bok kwadratu). Średnica koła opisanego, a tern samem długość przekątni wynosi w ośmioboku I), = 1,0324 I), zaś w kwadracie 1,4142 Л.

^ 8. Parcie ziemi i materjałów sypkich, oraz parcie wody.

1. Obliczanie parcia ziemi należy wykonać wedle ogólnie przyjętych zasad. O ile niema dokładnych danych co do właściwości materjału ziemnego, przyjąć należy dla ziemi :

1444

Ъо

Materjał

Kąt zesypu Ciężar (tarcia) gatunkowy

kgjm⁶

<P

tg <P

Ziemia roślinna sncba . . я    Я wilgotna .

T>    V

Glina sucha

я wilgotna . .

„ nasycona wodą Piasek suchy . . .

wilgotny . .

, „ nasycony wodî Żwir rzeczny . . Tłuczeń z kamienia

lekkiego

ooccuocnocuoocnca

OOOOOOOOOOOO

1400

1600

1800

1600

1700

2000

1600

1800

2000

1700

1800

1600

0,700

1,000

0,577

0,839

1,000

0,364

0,700

0,839

0,466

0,577

0,839

0,839

0,271

0,172

0,333

0,217

0,172

0,490

0,271

0,217

0,406

0,333

0,217

0,217

na

2. Obliczając ciśnienie na ściany i dno zbiorników, należy przyjmować stępujące wartości kątów zesypu, o ile niema dokładniejszych danych na podstawie bezpośrednich prób:

Ciężar

gatunkowy tg <f> kgjm

Materjał

Kąt zesypu (tarcia)

Cement Groch . Owies . Słód .

Sól

Węgiel . . . Koks

Zyto, pszenica

oooooooo

OOOONOOiflia

1500

530

1200

900

500

700

0,839 0,364 0,632 0,404 0,839 1,000 1,000 0,4’8

0,217

0,496

0,455

0,361

0,217

0,172

0,172

0,406

рш

¹

Kamienie naturalne.

²

   W fabrykach o ruchu cięższym i w magazynach należy uwzględnić potrzebne obciążenie w każdym wypadku z osobna i umieścić w pobliżu wykonanej konstrukcji napis, podający wielkość przyjętego obciążenia. Wstrząsnienia maszyn należy uwzględnić, mnożąc ciężar tychże przez spół-czynnik dynamiczny, wynoszący zazwyczaj od 1,5 (np. maszyny rotacyjnej) do 4,0 (np. turbiny parowej). Należy przyjmować go w każdym wypadku indywidualnie, zależnie od rodzaju maszyn.

³

   Dla obliczenia słupów, podciągów, fundamentów itp. konstrukcyj,

⁴

które przenosi się ciężar szeregu pięter, należy w najwyźszem piętrze przyjąć

⁵

pełną wartość najniekbrzystniejszego obciążenia ruchomego, w następnych

⁶

Obliczenie parcia wody należy wykonać wedle zasad hydrostatyki

* ft

,/

’j

ВИТЕКА $

Przykład. Zbadać, czy w jazie przedstawionym na fig. 609 linja ciśnienia nie wychodzi z rdzenia. (Ciężar gatunkowy muru wynosi 2400 kg/m¹).

Biblioteka Głowna PK

11-325352

Pol itechnika Krakowska

Biblioteka Główna

k.

f.

~ <.-ć -

//?

П\ч

4MB

МЮ

Pol itechnika Krakowska

Biblioteka Główna

¹

Obliczenie parcia wody należy wykonać wedle zasad hydrostatyki