ж, .....

, »fvj

ймП.0]

шШИ

*4' л: г*ч

yJgSJb⁴ Ę

к"-i

su

i#' ïlllWi

„JE

;Я»1

Ж ’. V :|g Ж ИЙ

X,

..'V : ": :#'|ну

IUI

шщж

ёш!

7Ш

1Ш1^ЯЯЦ

|Щ;’

МШ

рТ

'

^ЧЧ4ч|шч*«

й§;Ш

il

МЫ

Wmmß-'

^*'AiAtóik

ИЗ.»

:?а

ggfj

: .;Х ;

ПриН

Ä1

.

fÄMf* &яР1

k^.f:    * •

Имм

i. >.; j.rTWâ"

$рПв

■ É-'wesÂj* te -лшн*'

ЗВИю-

...... ■ Ч

■fei*«?

Ч'Ч

жЧ-кг¹ w • <

Р    Л

* »>

■•; Рчм«®

V Й^шВЙШЬЖ

щ

bil

: ÉS Äffe ' ■ Р&уШ

?v

,V

?łi

шк

■>

/;

сШ

• 4 Ч

ÉpN

wm&ï

s*

ff

:г.'

>’i

:    ^ '• ;    ' r^r-

'

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

.

100000231379

:m: Ь’! v>-

: Щ]

-

f' 4

■ -т л

-■

x't

ty/Щ

’Ш

[Щ

- V • ~

■    ^ . .    ■    >-• “*;’v

чг

:    - V. :,/    ? ■■■'■-.'-Ä

г

■ •

' !S.

!|

Щк

Vf

тШ

■

Ï4--V

У

I

r

■

;Y

;

i - x¥r+

'

ggl

Î'S

:

V ;    <

i

У У

■ г

л

\

I

Ш

i •

i

i

■

у-

4;

Г

fi

4

- - •• •

'

t

■ f. \

1

/

fc .

,,

*

/

Ą y

y

.

t*

?

m

щ

V..X

у

А-

X

йЖ

*J<\

'Л

?>

\

\

¥

w.

>

•>•4

V ,•¥

ШМ

\

~v

■m- -y y.

/

y

■

/v •

À , • ‘i I

* -

X ;

\ '

У

\

/

ь

V ■''v

■

\

Я

•V

Q, L {/

PERSPEKTYWA MALARSKA

NAUKA / SZTUKA

ТОМ XVI

PERSPEKTYWA MALARSKA

TOM I

К SIĄŹNICA-ATLAS

ZJEDNOCZONE ZAKŁADY KARTOGRAFICZNE I WYDAWNICZE TO W. NAUCZ. SZKÓŁ ŚREDN. I WYŹSZ., SP. AKC.

LWÓW—W AR S Z AW A

19 28

PERSPEKTYWA

MALARSKA

Z AS A DY- ZA RYS HISTORYCZNY- ESTETYKA

NAPISAŁ

DR. KAZIMIERZ BARTEL

PROFESOR POLITECHNIKI LWOWSK-IEJ

TOM 1

Z ЗЭ7 ILUSTRACJAMI

Iff

KSIĄŻNICA

ATLAS

ZJEDNOCZONE ZAKŁADY KARTOGRAFICZNE I WYDAWNICZE TO W. NAUCZ. SZKÓŁ ŚREDN. i WYŻSZ., SP. AKC. LWÓW — W A RS Z A W A 19 28

I Ar<

' ^

ii - W^ojl

2*46*

Klisze, skład i druk wykonano w Zakładach Graficznych Sp. A iw. Książnic a-A łlav

we Lwowie

V JJJT

«

r

M

СЯ

Spis rzeczy.

Rozdział pierwszy.

O odwzorowaniu perspektywicznem na płaszczyźnie.

Str.

1.    Uwagi wstępne . . , . . .......

2.    Perspektywa punktów.........

3.    Perspektywa linij prostych......

4.    Perspektywa płaszczyzn........

5.    Proste i punkty na płaszczyźnie ....

6.    Płaszczyzny przechodzące przez proste .

7.    Proste równoległe do płaszczyzny . . .

8.    Proste przecinające się. Proste skośne .

9.    Proste prostopadłe do płaszczyzny .

10.    Płaszczyzny prostopadłe do prostej . . .

11.    Krawędzie płaszczyzn.........

12.    Punkt przebicia się prostej z płaszczyzną

13.    Obroty i kłady płaszczyzn.......

14.    Podnoszenie płaszczyzn z kładu ....

15.    Punkty mierzenia...........

16.    Zadania................

10

12

12

13

14

16

18

18

19

26

30

33

Rozdział drugi.

Zasady płaskiej perspektywy stosowanej.

39

17.    Określenia i założenia

18.    Proste prostopadłe do tła. Proste przekątne. Podziałka perspektywiczna .... 44

19.    Zadania .........................

20.    Konstrukcyjne zastosowanie części głębokości tłowej . .

21.    Proste poziome, dowolnie nachylone do tła.......

22.    Częściowe ślady zbiegu................

23.    Podziałki zbiegu. Lineały perspektywiczne.......

24.    Płaszczyzny poziome. Płaszczyzny pionowe.......

25.    Proste równoległe do tła...............

26.    Perspektywa „czołowa“, „boczna“ i „ukośna“......

27.    Dzielenie odcinków..................

28.    Mierzenie odcinków..................

29.    Zadania........................

30.    Stożek, obszar, pole i koło widzenia. Kąt widzenia obrazu

31.    Perspektywa wnętrz..................

32.    Perspektywa fotograficzna................

48

. 49

52

60

65

71

74

80

. 81

89

99

119

121

131

Rozdział trzeci.

Perspektywa krzywych stożkowych.

33.    Uwag’ ogólne « perspektywie koła ....

34.    Konstrukcja perspektywy koła, jako elipsy

t-Ł l-l

ił»- co

OI CD

Str.

35. Związek między śladem tłowym, śladem zbiegu, śladem zniknienia i okiem . . 152 parabolą

36.    Perspektywa koła

37.    Perspektywa koła — hiperbolą................

38.    Biegun, biegunowa, środek, średnice i osie krzywych stożkowych

39.    Dalsze konstrukcje perspektywy koła, jako elipsy........

40.    Perspektywa koła — kołem..................

41.    Perspektywa elipsy — elipsą, hiperbolą lub parabolą......

42.    Perspektywa elipsy — kołem.................

43.    Perspektywa pęku kół współśrodkowych............

44.    Zadania.......................... . .

153

154

158

161

164

166

. 168

169

. 176

Rozdział czwarty.

Perspektywa powierzchni obrotowych.

180

45.    Określenia

46.    Przybliżone sposoby rysowania perspektyw obrotowych stożków i walców . . . 181

47.    Dalsze konstrukcje perspektywy stożków i walców.....

48.    Perspektywa wnętrz obrotowych walców i stożków.....

49.    Perspektywa kuli.....................

50.    Dalsze konstrukcje perspektywy kuli............

51.    Perspektywa wnętrza kuli.................

52.    Perspektywa dowolnej powierzchni obrotowej o osi pionowej

53.    Perspektywa powierzchni obrotowej o osi prostopadłej do tła

54.    Perspektywa powierzchni obrotowej, której oś ma dowolne położenie w przestrzeni 234

185

199

200

205

210

218

228

Rozdział piąty.

Perspektywa obrazów odbitych w zwierciadłach płaskich.

55.    Prawo odbicia........................

56.    Przykłady odbić w zwierciadłach pionowych..........

57.    Przykłady odbić w zwierciadłach nachylonych do ściany pionowej

239

241

246

Rozdział szósty.

Konstrukcja cieni.

58.    Związek między perspektywą prostej a perspektywą jej rzutu prostokątnego na

dowolną płaszczyznę ...................

59.    Cień punktu.......................

60.    Cienie prostych......................

61.    Cienie wielokątów ....................

62.    Cienie utworów przestrzennych, ograniczonych płaszczyznami

63.    O cieniach koła...........

64.    Cienie stożków, walców i ich zespołów

252

254

257

263

265

272

. 274

Rozdział siódmy.

Perspektywa pośrednia.

65.    Perspektywa malarzy a perspektywa architektów..........

66.    Metoda punktów przebicia promieni widzenia z tłem........

67.    Metoda dwóch śladów zbiegu.............».....

68.    Połączenie metody punktów przebicia z metodą dwóch śladów zbiegu

69.. Metoda śladów zbiegu i punktów mierzenia............

70.    Metoda spółrzędnych.......................

71.    Përspektywa aksonometryczna...................

279

281

285

291

292

301

„Ci, którzy lubują się w praktyce bez wiedzy, podobni są do żeglarza, co wsiada do lodzi bez steru i busoli i nie ma nigdy pewności, dokąd jedzie.

Malarz, który maluje wedle praktyki i sądu oka, bez udziału rozumu, jest jak zwierciadło, które odbija w sobie wszystkie przed niem stojące przedmioty, nie znając ich“.

Leonardo da Vinci.

Co nazywamy perspektywą malarską? Czy mianem tern określić można perspektywę linijną, pojętą, jako geometryczny rzut środkowy na płaszczyznę? Czy wszystko, co nie odpowiada rygorom, związanym ze ścisłością geometryczną w pozostawionych nam przez wieki pracach rysowników, malarzy i sztycharzy, ma być określone, jako pozbawione perspektywy? Czy istnieje jedna perspektywa malarska, czy też jest ich więcej, a w takim razie, ile i jakich? Czy malowidła pompejańskie lub dokumenty najstarszego malarstwa chrześcijańskiego stanowią dowód znajomości jakiejś perspektywy i jak perspektywę tę ewentualnie określić? Czy perspektywa malarska jest identyczna z perspektywą malarzy? Czy dadzą się do niej zastosować sprawdziany objektywne, czy subjektywne? Czy perspektywa malarska znajduje oparcie w optyce fizjologicznej i psychologicznej i w jakim ewentualnie stopniu? Czy perspektywa malarska jest syntezą, czy też może tylko kompromisem geometrji, fizjologji i psychologji?

Oto przykłady pytań, które nasuwają się każdemu uważnemu obserwatorowi natury i jej obrazów, rysowanych ręką człowieka lub aparatem fotograficznym.

Praca ta jest próbą odpowiedzi na te pytania; zapewne nie na wszystkie z nich i nie na wszystkie z wymaganą dokładnością.

Kiedy studja moje i rozważania nad obszernym i wielostronnym przedmiotem posunęły się dość znacznie i kiedy przystąpiłem do formułowania odpowiedzi, spostrzegłem, że porozumienie się z czytelnikami, bez odpowiedniego ich poprzednio przygotowania, będzie niemożliwe. Stąd układ książki, a także konieczność podziału jej na dwie części.

W tomie, który czytelnik ma przed sobą, zdołałem zawrzeć, skracając się najusilniej, zaledwie zasady perspektywy stosowanej. Mam na myśli zasady w znaczeniu geometrycznem.

Szeroko rozpowszechnione jest mniemanie, że dziedzina sztuki nie znosi przenikania się z nauką. Pogląd ten podzielany jest przez niewy-

kształconych, praktykujących plastyków, a także przez fotografów i tych z tak zwanych „miłośników“, którzy patrzą na sztukę jedynie, jak na przedmiot lekkich a przez to i miłych rozmów towarzyskich. Dla tej kategorji czytelników książka ta jest mało interesująca, a więc mało dostępna.

Kolega mój i przyjaciel, prof. dr. Tadeusz Obmiński, uświetnił tę pracę szeregiem kapitalnych rysunków, za które dłoń Jego serdecznie ściskam; poza tem dziękują Mu niewątpliwie czytelnicy.

Wykreślenie rysunków tuszem wykonał p. Mieczysław Teliczek; żmudną korektę całego dzieła przeprowadził p. Grzegorz Syniewski — obaj asystenci przy mojej katedrze. Za prace te, które wysoko cenię, składam im głęboką podziękę.

Rysunki 122 i 131 są reprodukcją fotografij, użyczonych mi łaskawie przez kolegę, prof. dr. Jana Sas-Zubrzyckiego.

Na zupełnie szczególną wdzięczność moją zasługuje wydawca „Książ-nica-Atlas“, najpierw za wyjątkowe, w naszych warunkach, wyposażenie wydawnictwa, a potem za okazaną wielką wyrozumiałość w stosunku do moich bardzo licznych i różnorakich życzeń. Kierownictwu drukarni, panom składającym książkę i maszynistom dziękuję gorąco za to, że nie opuściła ich cierpliwość.

Literatura podana będzie w tomie drugim.

Warszawa, w marcu 1928 r.

Kazimierz Bartel.

Rozdział I.

О perspektywicznem odwzorowaniu na płaszczyźnie.

najzdolniejsi z nich są plastykami. Ale między ostatnimi

.. :

' ■; {

т:щш

||i

h V;

||i ;

III

.-■y

ijjg

i||||

A;

те

'йЭ

те

теша

лтете

mm

ШЁ

A те

те

те

i. Uwagi wstępne. Rysunkowe odtwarzanie otaczającego nas świata zakreślone być może wymaganiami sztuki lub życia praktycznego. Obywać się ono może bez wszelkich podstaw naukowego przygotowania, nie kierowane konsekwencją stosowania żadnych wyrozumo-wanych praw, i być rysunkiem dziecka; może mieć swe źródło w tej szczególnej władzy umysłu, którąby nazwać można pamięcią przestrzeni, nie rozwiniętą w żadnej szkole metod naukowej pracy. Są ludzie — i tych jest olbrzymia większość — którzy, pozbawieni zmysłu przestrzeni, nie posiadają zdolności zapamiętywania odbieranych wrażeń wzrokowych — „mają oczy, lecz nie widzą“. Są inni, którzy nie potrafią, w najmniejszym nawet stopniu, wyrazić rysunkiem obserwowanego przedmiotu; są mniej liczni, którzy czynią to w sposób bardziej lub mniej doskonały

tylko niewielu będzie takich, którym fenomenalna pamięć wzrokowa pozwoli zatrzymać i w dowolnym czasie odtworzyć nawet wyraz ludzkiej twarzy.

Zarówno dziedzina sztuki, jak i techniki, wymagały ustalenia praw odtwarzania, czyli, jak mówimy, odwzorowania, przestrzeni na powierzchni

Rysunek z dzieła: M. Edme-Sebastian Jeaurat, Traité de Perspective, Paris 1750.

Bartel. Perspektywa. I.

płaskiej, t. j. płaszczyźnie, względnie na powierzchniach krzywych. W dziedzinie sztuki malarskiej kodeks tych praw ma tytuł perspektywy, stanowiąc jeden z działów geometrji wykreślnej.

Jak aparat fotograficzny pozwala na odwzorowanie przestrzeni drogą mechaniczną, tak prawa nauki perspektywy otwierają możność otrzymania tych odwzorowań drogą konstrukcji. Osiągnięcie tego celu wymaga zapoznania się z perspektywicznem odwzorowaniem geometrycznych utworów przestrzennych, poczynając od elementów, t. j. punktu, prostej i płaszczyzny.

2. Perspektywa punktów. Przyjmijmy dowolnie w przestrzeni płaszczyznę л (rys. 2), stały, w odniesieniu do niej, punkt O i postanówmy odwzorować na tej płaszczyźnie, zwanej - tłem, płaszczyzną

<ßs

'As

Ds

Rys. 2.

obrazu lub płaszczyzną rzutu, układ punktów А, В, C, ... przyjęty w przestrzeni. W tym celu połączmy każdy z danych punktów linjami prostemi z punktem O, zwanym środkiem rzutów lub okiem, i wyznaczmy punkty prze-p bicia się As, Bs, Cs, ... tych promieni z tłem л. Otrzymane punkty, zwane perspektywami, rzutami lub obrazami perspektywicznemi, a także rzutami środkowemi, stanowią perspektywiczne (środkowe) odwzorowanie danego w przestrzeni układu punktów, na danej płaszczyźnie л, z punktu O. Promienie, łączące punkty układu z okiem, nazywać będziemy promieniami rzutów lub promieniami widzenia.

Ponieważ położenie oka względem tła jest stałe, przeto każdemu punktowi przestrzeni odpowiada na tle л jeden jedyny punkt, jako jego perspektywa, a to w tern zrozumieniu tego zwrotu, że promień, łączący dany punkt z okiem, przebije tło w jednym punkcie. Ale odpowiedniość ta nie jest wzajemną, t. zn., że punkt przyjęty na tle nie może być uważany za rzut jednego tylko punktu. Każdy punkt płaszczyzny tła jest bowiem obrazem wszystkich punktów promienia widzenia, który przez ten punkt przechodzi.

Położenie środka rzutów (oka) względem tła ustalimy w ten sposób, że wyznaczymy jego rzut prostokątny na tło, t. j. punkt przebicia się Os promienia, poprowadzonego z oka O prostopadle do tła (rys. 2), a ponadto ustalimy oddalenie oka od tła, które równe jest odcinkowi O Os = A

Punkt Os nazywać będziemy punktem głównym, promień, przechodzący przez punkt główny i oko, promieniem głównym, a odcinek O Os = ô tego promienia, głębokością tłową (oddaleniem tłowem).

Tłem jest oczywiście zawsze płaszczyzna, na której rysujemy, więc w naszym przypadku zawsze karta książki. Przyjęty punkt główny Os i głębokość tłowa ô (rys. 3) wyznaczają położenie oka względem tła. Znajduje się ono nad tłem, na promieniu poprowadzonym prostopadle do niego w punkcie Os, w odległości ó.

o,*

Zakreślmy z punktu O,, jako środka, promieniem głębokości tłowej ô koło K. Każdy punkt tego koła uważać możemy za oko, położone na tło przez wykonanie obrotu promienia głównego około punktu głównego; każdy promień tego koła jest więc kładem na tło odcinka promienia głównego, wyrażającego głębokość tłową.

yf

Os

o.

Koło К nazywać będziemy kołem głębokości, a każdy jego punkt punktem głębokości. Koło głębokości ma znaczenie wyłącznie konstrukcyjne, a racjonalność jego przyjęcia znajdzie potwierdzenie w ciągu wykładu. Koło to uważać możemy za podstawę stożka obrotowego, którego wierzchołkiem jest oko, a którego kąt wierzchołkowy jest kątem prostym.

Rys. 3.

Jeżeli układ punktów, których perspektywy szukamy, jest układem geometrycznym, t. zn. należy do geometrycznego utworu przestrzeni, to rzut środkowy (odwzorowanie środkowe) tego układu stanowi perspektywę odnośnego utworu geometrycznego. W ten sposób mówić możemy o perspektywie linji prostej, wielokątów, wielościanów, linij krzywych, stożków, walców, kuli i t. d. Jako zespoły utworów geometrycznych, wystąpią budowle i ich wnętrza.

3. Perspektywa linij prostych, a) Perspektywiczne odwzorowanie prostej. Niechaj pionowa płaszczyzna n (rys. 4) będzie tłem, a zewnątrz niej leżący punkt O środkiem rzutów (okiem). Rzut prostokątny Os oka O na tło jest punktem głównym, odcinek OOs głębokością tłową.

Przyjęta dowolnie w przestrzeni prosta a przebija tło w punkcie Ta, który nazywać będziemy śladem tłowym tej prostej.

Płaszczyzna y, poprowadzona przez oko i przez prostą a, przecina tło л wzdłuż prostej as, która jest rzutem prostej a z punktu O na tło, czyli jej perspektywą. Ale prosta as jest równocześnie perspektywą wszystkich prostych, leżących na płaszczyźnie go.

Jeżeli prócz prostej as weźmiemy pod uwagę także ślad tło wy Ta, to wówczas ilość prostych płaszczyzny go, których odwzorowaniem jest prosta as, ograniczy się do pęku prostych, przechodzących przez punkt Ta. Aby prosta as uważaną być mogła za odwzorowanie środkowe jednej tylko prostej a, czyli aby odwzorowanie to było jednoznaczne (doskonałe), weźmy pod uwagę punkt Z⁰⁰ nieograniczenie daleki na prostej a, t. z w. jej punkt niewłaściwy. Promień widzenia z, łączący punkt Z⁰⁰

z okiem, zwany promieniem zbiegu, jest równoległy do prostej a i przebija tło w punkcie Za. Punkt Za jest perspektywą punktu niewłaściwego Z⁰⁰ prostej a i zwie się jej śladem zbiegu. Odcinek OZa nazywać będziemy długością promienia zbiegu prostej a.

>r

à-

'-.Za

Od

ó-

Z“

Bs

Та/

77

As

fi

Nil

Rys. 4.

Prosta as i przyjęte na niej punkty Ta (ślad tłowy) i Za (ślad zbiegu) wyznaczają, w sposób jednoznaczny, położenie prostej a w przestrzeni. Znaczy to, że znajomość obu śladów prostej — przy danem położeniu oka względem tła — stanowi warunek odtworzenia położenia prostej w przestrzeni, czyli warunek przeprowadzenia t. zw. restytucji perspektywicznej. W istocie prosta a przechodzi przez dany ślad tłowy Ta równolegle do promienia zbiegu z, łączącego oko z danym śladem zbiegu Za.

Za

Prosta as jest miejscem geometrycznem rzutów środkowych (perspektyw) wszystkich punktów prostej a; promienie rzucające punkty prostej a na tło leżą na płaszczyźnie (p. Tak więc punkt As jest perspektywą punktu A prostej a, punkt Bs perspektywą punktu В i t. d. Punkt Ta prostej a jest równocześnie swoją perspektywą. Promień n, równoległy do prostej as, a więc równoległy do tła, przecina prostą a w punkcie N, który nazywamy punktem (śladem) zniknienia tej prostej. Perspektywą śladu zniknienia N prostej a jest punkt niewłaściwy NT prostej as.

ćŁs.

Rys. 5.

Niechaj promień główny będzie prostopadły do płaszczyzny tej karty, to poglądowy rys. 4 stanie się rysunkiem perspektywicznym. Położenie oka względem tła (płaszczyzny rysunku) określone będzie, przy tern założeniu, punktem głównym Os (rys. 5) i daną głębokością tłową <5, którą zakreślimy — jako promieniem — koło głębokości k, z punktu Os, jako środka. Prosta as wraz z przyjętemi na niej punktami Ta i Za wyznacza, w sposób jednoznaczny, położenie prostej a w przestrzeń Aby odtworzyć położenie prostej a w przestrzeni, odmierzymy r prostopadłej, poprowadzonej do tła w punkcie głównym 0.s, od tef punktu ku nam, odcinek Os Ó — à. Otrzymany punkt O jest okiem (śro

kiem rzutów). Promień, łączący oko ze śladem zbiegu Za, wyznacza kierunek prostej a, która przejdzie przez ślad tło wy Ta, równolegle do tego kierunku.

Perspektywa prostej, leżącej na tle, pokrywa się z tą

prostą.

Perspektywa prostej, przechodzącej przez oko, jest

punktem.

Każdy punkt prostej as jest perspektywą jednego punktu prostej a; punkt niewłaściwy N? jest odwzorowaniem perspektywicznem punktu zniknienia N prostej a.

0°

Zc*

cu°Vł

z°

b) Kąt nachylenia prostej do tła. Kątem nachylenia prostej do płaszczyzny nazywamy kąt, jaki prosta zawiera ze swoim rzutem prostokątnym na tę płaszczyznę.

zy

'cL 6

Ta

Rys. 6.

Promień zbiegu г prostej a (rys. 4) jest — jak wiadomo — do niej równoległy, wobec czego kąt, jaki promień ten zawiera z tłem, równy jest kątowi nachylenia prostej a do tła. Rzutem prostokątnym promienia zbiegu z na tło jest prosta 2', łącząca ślad zbiegu Za prostej a z punktem głównym. Kąt co zawarty między pro-stemi z i z' wyraża nachylenie prostej a do tła.

0‘

z°

u5°PAZa

Trójkąt OOsZa (rys. 4) jest trójkątem prostokątnym w punkcie Os, a jego płaszczyzna jest prostopadłą do tła. Obróćmy go około przyprostokątnej Os Za i połóżmy na tło, czyli wykonajmy kład tego trójkąta na tło. Oko zajmie położenie punktu O⁰ (rys. 6) na kole głębokości, przyczem odcinek OsO° = ó będzie prostopadły do prostej г'. Przeciwprostokątna 0Za, trójkąta 00sZa, stanowiąca długość promienia zbiegu (str. 4) prostej a, padnie na tło jako odcinek 0°Za. Kąt 0° ZaOs = co⁰ równy jest kątowi nachylenia prostej a do tła.

Os\

<36

Ta

Z rys. 6 czytamy bezpośrednio, że wielkość kąta co⁰, a więc wielkość kąta, jaki prosta a zawiera z tłem, zależy jedynie od położenia śladu zbiegu Za. W szczególności kąt ten maleje, gdy ślad Za oddala się od punktu głównego, a rośnie, gdy ślad ten zbliża się do punktu głównego.

Rys. 7.

Jeżeli ślad zbiegu Za prostej a leży na kole głębokości (rys. 7), to prosta tworzy z tłem kąt 45°. Jeżeli ślad zbiegu prostej schodzi się z punktem głównym, to prosta jest prostopadłą do tła.

Położenie śladu tłowego prostej jest bez wpływu na wielkość kąta,, jaki prosta ta zawiera z tłem.

c) Proste równoległe. Proste równoległe a, b, c, ... (rys. 8a), przebijające tło л w śladach Ta, Tb, Tc, ... posiadają jeden, wspólny, pro-

K,

bs.

Os

bs.

Tb

Tb 3s \Cs

'as

Ta

Tc

Tc

Ta

Rys. 8 a, b.

mień zbiegu OZ. Wynika stąd, że perspektywa wiązki prostych równoległych jest pękiem prostych, którego wierzchołkiem jest wspólny ślad zbiegu wszystkich prostych, tworzących wiązkę.

Rys. 8 b jest perspektywą trzech prostych równoległych, nachylonych do tła pod kątem większym, aniżeli 45°.

AJ

fb

.с

«o

<5

ЙГ

Co

Rys. 9 a, b.

Rys. 9a przedstawia perspektywę trzech prostych prostopadłych do tła; rys. 9b jest perspektywą trzech prostych równoległych, nachylonych do tła pod 45°.

d) Punkt i prosta. W ust. 2 str. 2 zauważyliśmy, że punkt tła nie może być uważany za perspektywę jednego punktu przestrzeni, gdyż jest on równocześnie perspektywą wszystkich punktów, leżących na promieniu widzenia, który przez niego przechodzi. Aby punkt Ps był jed-noznacznem odwzorowaniem perspektywicznem punktu P przestrzeni, przyjmiemy dowolną prostą a, przechodzącą przez punkt P i znajdziemy jej perspektywę as. Prosta as przejdzie przez punkt Ps (rys. 10). Teraz możemy już przeprowadzić restytucję perspektywiczną i odnaleźć poło-zenie punktu P w przestrzeni. W odległości równej promieniowi koła głębokości k od punktu głównego O,, nad płaszczyzną rysunku, znajduje się oko. Promień, łączący oko ze śladem zbiegu Za prostej a, wyznacza kierunek tej prostej, która przechodzi przez ślad tło wy Ta. Promień, łączący oko z punktem Ps, przetnie prostą a w punkcie P.

'Za

as,

\0s

Ps

\Z'

Rys. 10.

Tak więc, aby oznaczyć metodą rzutu środko- " I wego (zapomocą perspektywy) położenie punktu ) w przestrzeni, obieramy go zawsze na jakiejś pro- Jy stej i znajdujemy perspektywę zarówno tego punktu, jak i tej prostej.

e) Proste równoległe do tła. Zarówno ślad zbiegu, jak i ślad tło wy prostej równoległej do tła są punktami niewłaściwemu Perspektywa takiej prostej jest prostą, podług której płaszczyzna (p, przechodząca przez nią i przez oko, przecina tło. Ale dowolna prosta

Za

przyjęta na tle nie wyznacza położenia prostej, równoległej do tła, w sposób jednoznacz-

Os

<2$

Zn

ÛÈ

ny. Jest ona bowiem równocześnie perspektywą wszystkich prostych równoległych do tła, leżących na płaszczyźnie go.

A”

Rys. 11.

Aby prosta as (rys. 11) była perspektywą jednej prostej a, równoległej do tła, obierzemy na niej punkt As, przez który poprowadzimy prostą ns. Punkty Tn i Zn tej prostej uważamy za jej ślady. Pośrednictwo prostej n, przecinającej prostą a w punkcie A, umożliwiło wyznaczenie położenia jednego punktu prostej a. Ponieważ prócz punktu A znany jest i kierunek prostej a, więc tym sposobem zadanie zostało rozwiązane w sposób jednoznaczny.

4. Perspektywa płaszczyzn, a) Wyznaczenie płaszczyzny. Dowolnie w przestrzeni przyjęta płaszczyzna a (rys. 12) przecina tło jv wzdłuż prostej ta, którą nazywamy śladem tłowym tej płaszczyzny. Płaszczyzna £, poprowadzona przez oko, równolegle do płaszczyzny a, t. z w. płaszczyzna zbiegu, przecina tło wzdłuż prostej za, zwanej śladem zbiegu płaszczyzny a.

Ślad tłowy ta i równoległy do niego ślad zbiegu za, wyznaczają w sposób jednoznaczny położenie płaszczyzny a, w odniesieniu do danego iła i oka.

W istocie, wyznaczywszy — przy danym punkcie głównym Os i da-nem kole głębokości k (rys. 13) — położenie oka O, które leży nad płaszczyzną rysunku, w odległości równej promieniowi koła k, odmie-

ślad zniknienia ^

Rys. 12.

rzonej na prostopadłej, poprowadzonej w punkcie Os do płaszczyzny rysunku, otrzymamy płaszczyznę zbiegu £. Płaszczyzna ta przechodzi

Zcc

Os

przez oko i przez prostą za. Płaszczyzna, przechodząca przez prostą ta, równolegle do płaszczyzny t, jest tą, której obrazem (odwzorowaniem) perspektywicznem są proste ta i zu, więc płaszczyzną a.

ta

Płaszczyznę v, poprowadzoną przez oko, równolegle do tła (rys. 12), nazywamy płaszczyzną zniknienia. Przecina ona płaszczyznę a wzdłuż prostej n, zwanej śladem zniknienia.

Rys. 13.

U)

Os

ta

ślad tłowy

tto

Za,

'д Lśladzbiegu

pt. zniknienia.

cc

Ślad zbiegu ze płaszczyzny s, przechodzącej przez oko, schodzi się z jej śladem tło-wym (rys. 13). Płaszczyznę taką nazywać będziemy rzucającą.

b) Kąt nachylenia płaszczyzny do tła. Kątem nachylenia dwóch płaszczyzn nazywamy kąt, jaki tworzą dwie proste, poprowadzone prostopadle do krawędzi tych płaszczyzn w dowolnym jej punkcie, przyczem jedna z tych prostych leży na jednej, a druga na drugiej płaszczyźnie.

Poprowadźmy z punktu głównego Os prostopadłą do śladu zbiegu za płaszczyzny a (rys. 12), a otrzymany tam punkt A połączmy z okiem O; prosta O A będzie również prostopadłą do śladu z„. Kąt co, jaki tworzą ze sobą proste O A i OsA — obie prostopadłe do śladu zbiegu z„ — jest, według powyższego określenia, kątem nachylenia płaszczyzny zbiegu C do tła. Ponieważ płaszczyzna a jest równoległą do płaszczyzny Ç, przeto kąt co wyraża równocześnie kąt, jaki płaszczyzna a zawiera z tłem.

Płaszczyzna trójkąta 0SA0 jest prostopadłą do tła i prostopadłą w punkcie A do śladu zbiegu za płaszczyzny a (rys. 14). Obróćmy ten trójkąt około przyprostokątnej Os A na tło, czyli wykonajmy jego kład. W tym celu wykreślimy w punkcie głównym Os prostopadłą do boku O,A, która przetnie koło głębokości w punkcie O⁰, kładzie oka. Kąt O⁰AOs = co0 równy jest kątowi co i wyraża nachylenie płaszczyzny a do tła.

Zcc

CU° i

o°

tcc

Rys. 14.

Za.

Os

Z rysunków 12 i 14 widzimy wprost, że wielkość kąta nachylenia płaszczyzny do tła zależy jedynie od oddalenia jej śladu zbiegu od punktu głównego. Ze wzrostem tego oddalenia kąt co maleje. W szczególności jeżeli ślad zbiegu płaszczyzny przecina koło głębokości, to kąt co jest większy od 45° (rys. 14) i staje się kątem prostym, gdy ślad zbiegu przechodzi przez punkt główny (płaszczyzna ß na rys. 15).

tfl

Jeżeli ślad zbiegu płaszczyzny jest styczny do koła głębokości, to kąt nachylenia tej płaszczyzny do tła wynosi 45° (płaszczyzna a na rys. 15).

Rys. 15.

c) Płaszczyzny równoległe. Pęk płaszczyzn równoległych przecina tło wzdłuż prostych do siebie równoległych. Wszystkie płaszczyzny pęku posiadają jedną wspólną płaszczyznę zbiegu, równoległą do nich i przechodzącą oczywiście przez oko, a przecinającą tło wzdłuż jednego śladu zbiegu, rów

ta

Za=Zß=Z7

noległego do śladów tłowych płaszczyzn pęku.

Os

tcc

łp

t/3

Az.

Rys. 16 jest perspektywą trzech płaszczyzn równoległych, nachylonych do tła pod kątem większym od 45°.

Rys. 17.

Rys. 16.

Rys. 17 przedstawia odwzorowanie perspektywiczne dwóch płaszczyzn równoległych i prostopadłych do tła a równocześnie poziomych.

d) Płaszczyzna równoległa do tła. Oba ślady płaszczyzny równoległej do tła leżą nieograniczenie daleko na tle, są prostą niewłaściwą

płaszczyzny rysunku. Ustalenie położenia takiej płaszczyzny wymaga znajomości położenia jednego jej punktu, danego na dowolnej prostej.

5. Proste i punkty na płaszczyźnie, a) Weźmy pod uwagę płaszczyznę a, która przecina tło zc (rys. 18) wzdłuż prostej ta, (czy-

ozna-

telnik

zechce

czyć prostą Ta — T„ znakiem ta), a której śladem zbiegu jest prosta za. Przyjęta na płaszczyźnie a dowolna prosta a przebija tło w punkcie Ta, który leży na śladzie ta ; promień zbiegu za, prostej a, leży na płaszczyźnie zbiegu £ i przebija tło w punkcie Za, leżącym na śladzie zbiegu zn płaszczyzny a. Prosta as, wyznaczona punktami Ta i Za, jest perspektywą prostej a, leżącej na płaszczyźnie a. Podobnie prosta bs jest obrazem perspektywicznym prostej b, przyjętej również na płaszczyźnie a. Punkt Ps przecięcia się prostych ая i bs jest perspektywą punktu P, w którym przecinają się proste a i b. Tak więc, jeżeli prosta leży na płaszczyźnie, to jej ślad iłowy leży na śladzie tłowym, a ślad zbiegu na śladzie zbiegu tej płaszczyzny, czyli, jak się krócej wyrażamy : ślady prostej Zb^ leżą na odpowiednich śladach płaszczyzny.

Prosta c, przechodząca przez punkt P, równolegle do śladu tłowego tu, jest równoległą do tła. Oba jej ślady są punktami niewłaściwemi, a jej perspektywa cs przechodzi przez punkt Ps, równolegle do śladu ta a więc i za.

Obrazem perspektywicznym płaszczyzny a i trzech znajdujących si na niej prostych jest rys. 19. Płaszczyzna a zawiera z tłem kąt większ

Za

'Z?

Zb

Cs,

Ta

Za

Za

'<3s

fi

la

Rys. 18.

'__,Zb '

* ---

Zc

bs

Tb

bs

Zc

TT

Ta

Za

Zet

às.

' Os

Ps

ta

Rys. 19.

Cs

Tb

aniżeli 45°, proste a i b kąty mniejsze od 45°, a prosta c jest równoległą do tła.

Rys. 20 a przedstawia płaszczyznę a, nachyloną do tła pod kątem większym, aniżeli 45°, na której znajdują się proste a, b i c do siebie

Za

Zi

Za

Os

Ze

as

'ós \cs me / \ns

ta

■■o

3s \ós\cs ms \ns

te

te

la Tb Tc Tm Tn

Ta Tb Tc Tm Tn Tp

Rys. 20 a, b.

równoległe, a zawierające z tłem kąt większy od 45°. Na płaszczyźnie а leżą ponadto dwie proste równoległe m i n, nachylone do tła pod kątem '45°.

Rys. 20 b jest perspektywą płaszczyzny e, prostopadłej do tła (ślad zbiegu ze przechodzi przez punkt główny) i dwóch trójek prostych równoległych, leżących na tej płaszczyźnie.

Proste a, b i c są nachylone do tła pod kątem 45°, proste m, n i p są do tła prostopadłe.

Za

tcL

Ta

<3s

Tn

Rys. 21 przedstawia dwie płaszczyzny rzucające a i /а. Na pierwszej z nich leży prosta a, zawierająca z tłem kąt większy, aniżeli 45°. Na płaszczyźnie /л przyjęliśmy prostą n, przechodzącą przez oko. Perspektywą tej prostej jest punkt Tn = Zn, w którym schodzą się oba jej ślady.

b) Aby wyznaczyć perspektywę punktu, leżącego na płaszczyźnie, której ślady są dane, należy przyjąć na płaszczyźnie prostą, a na niej dopiero punkt.

Równoległe do siebie proste ta i za na rys. 22 przedstawiają odwzorowanie perspektywiczne płaszczyzny a, nachylonej do tła pod kątem większym, aniżeli 45°. Proste as i bs są perspektywą prostych a i b, leżących na płaszczyźnie a, a nachylonych do tła pod kątem 45°. Punkty ls i 4S, przyjęte na prostej as, stanowią perspektywę punktowi i 4, leżących na płaszczyźnie a. Podobnie punkty 2S i 3S, przyjęte na prostej bs, są odwzorowaniem punktów 2 i 3, leżących także na płaszczyźnie a.

Os

Rys. 21.

nsv

Zn

Trapez 1S2S3S4S jest więc perspektywą równoległoboku, leżącego na płaszczyźnie a. Boki 1,2 i 3,4 tego równoległoboku są równoległe do tła.

Za

Ово

1s

2s

Cs

6. Płaszczyzny przechodzące przez proste. Prostą wyznaczają dwa jej punkty, stąd: prosta leży na płaszczyźnie, jeżeli ma z nią dwa punkty wspólne.

J>S

3s c/s

4s.

ta

Ta

Tb

Rys. 22.

Płaszczyznę wyznaczają dwie proste przecinające się lub równoległe; prosta, przecinająca dwie proste wyznaczające płaszczyznę, leży na tej płaszczyźnie.

Przez prostą poprowadzić można nieograniczenie wiele płaszczyzn; wszystkie one tworzą pęk, którego osią (krawędzią) jest owa prosta.

/'Zet

Za

as.

4

Nj

TA

ta

Rys. 23.

Cs

Płaszczyzna a, której ślad tłowy ła przechodzi przez ślad tłowy Ta prostej а, a ślad zbiegu za przez ślad zbiegu Z.t tej prostej, przechodzi przez tę prostą (rys. 23). Prosta a ma z płaszczyzną a dwa punkty wspólne: pierwszym jest jej ślad tłowy Ta, leżący na śladzie tłowym ta, drugim punkt niewłaściwy, leżący na prostej niewłaściwej płaszczyzny. Perspektywą punktu niewłaściwego prostej a jest jej ślad zbiegu Z/t, odwzorowaniem perspektywicznem prostej niewłaściwej płaszczyzny a jest jej ślad zbiegu za.

Za

Zrr\

As

Między płaszczyznami przechodzącemi przez prostą znajduje się jedna prostopadła do tła. Jej ślad zbiegu z/9 (rys. 23) przechodzi przez punkt główny O,.

i/T)s

,bs

Ca

Tm'

Га

Tb

Rys. 24.

7. Proste równoległe do płaszczyzny Prosta jest równoległa do płaszczyzny, jf żeli jest równoległą do prostej, leżącej n tej płaszczyźnie. Ponieważ proste równolegl posiadają wspólny ślad zbiegu, a ślad zbieg prostej, leżącej na płaszczyźnie, leży na śk dzie zbiegu tej płaszczyzny, więc : ś/ad zbiega prostych równoległych do płaszczyzn leżą na śladzie zbiegu tej płaszczyzny.

Prosta a, na rys. 24 jest perspektywą prostej a, leżącej na płaszczy; nie a, wyznaczonej śladami ta i 2«. Proste bs i cs, przecinające się w wspólnym śladzie zbiegu Z z prostą as, są perspektywami prostych b i ,

równoległych do prostej a, a więc równoległych do płaszczyzny а. Prosta TTis, której ślad zbiegu Zm leży na śladzie zbiegu z« płaszczyzny a, jest perspektywą prostej m, również równoległej do tej płaszczyzny.

Zb

Qs*

7V

bs

<as

ęn,a

1.0

nr

Rys. 25.

8. Proste przecinające się. Proste skośne. Z ust. 5 wynika, że jeżeli prosta ta (rys. 18 i 19), łącząca ślady tłowe Ta i Tb dwóch danych prostych a i b, jest równoległa do prostej za, łączącej ślady zbiegu Za i Zh tych samych prostych, to owe dwie proste równoległe są śladami jednej płaszczyzny, przechodzącej przez proste a i b w przestrzeni. I odwrotnie: jeżeli prosta, łącząca ślady tłowe dwóch prostych, jest równoległa do prostej, która przechodzi przez ślady zbiegu tych samych prostych — to owe dwie proste, śladami temi wyznaczone, leżą na jednej płaszczyźnie, a więc przecinają się w punkcie.

Jeżeli prosta, łącząca ślady cło we dwóch prostych, nie jest równoległa do prostej, wyznaczonej śladami zbiegu tych prostych — to owe dwie proste, których ślady są dane, nie

'Zb

,_zr

fZa

przecinają się ani w punkcie właściwym, ani w punkcie niewłaściwym. Proste takie określamy mianem prostych skośnych.

as

Os

bs

jf_

Tb

Rys. 26.

Jeżeli proste a i b (rys. 25) przecinają się w punkcie N na płaszczyźnie zniknie-nia, to ich perspektywy a.s. i bs są prostemi równoległemi do siebie. Równocześnie jednak prosta ty, łącząca ślady tłowe Ta i T„ prostych a i b, jest równoległą do prostej z?, która przechodzi przez ich ślady zbiegu Za i Zh. Prosta tfp jest śladem tłowym, a prosta z₉ śladem zbiegu płaszczyzny y, przechodzącej przez przecinające się, na płaszczyźnie zniknienia, proste a i b (rys. 26).

Jeżeli prosta Ta — Za (rys. 27) jest równoległą do prostej Tb — Zb, ale równocześnie proste Ta — Tb i Za — Zb nie są do siebie równoległe,

to wówczas mamy perspektywę dwóch prostych skośnych a i b, przecinających prostą r, leżącą na płaszczyźnie zniknienia, a przechodzącą przez oko.

9. Proste prostopadłe do płaszczyzny, a) Jeżeli prosta a (rys. 28a) jest prostopadłą do płaszczyzny a, to jest równocześnie prostopadłą do wszystkich prostych tej płaszczyzny, a więc i do jej śladu tłowego ta. Promień zbiegu prostej a jest wobec tego również prostopadły do śladu ta. Ponieważ proste równoległe posiadają wspól-0 ny ślad zbiegu, więc punkt Z«⁹⁰, w którym promień zbiegu prostej a przebija tło, jest śladem zbiegu wszystkich prostych, równoległych do prostej a, czyli śladem zbiegu wszystkich prostych, prostopadłych do płaszczyzny a.

Płaszczyzna gp, przechodząca przez promień główny O — O, i przez promień zbiegu O — Za⁹⁰ prostopadły do płaszczyzny zbiegu C, jest prostopadłą zarówno do płaszczyzny tła, jak i do płaszczyzny Ç. Wobec tego jest płaszczyzna cp prostopadłą do krawędzi płaszczyzny tła i płaszczyzny £ czyli do śladu za. Nawzajem prosta za jest prostopadłą do płaszczyzny cp, a zatem prosto-

ZbL

as,

böi

Tb

Nr

Ta

Nz

dl

Rys. 27.

SA.

"A

A-

■sn

~f-

sk

'S

fu

Co

«£?

g*.

Rys. 28 a, b.

padłą do wszystkich prostych tej płaszczyzny, więc także zarówno do prostej 04, jak i prostej t₉. Ta ostatnia jest śladem płaszczyzny (p na tle, a równocześnie rzutem prostokątnym promienia zbiegu O Za⁹⁰ na tło.

Trójkąt OAZa" jest trójkątem prostokątnym w wierzchołku O; kąt O A Za⁹⁰ — co równy jest kątowi nachylenia płaszczyzny a do tła.

Jeżeli dane są ślady ta i za płaszczyzny a (rys. 28 b), to w celu znalezienia śladu zbiegu Za⁹⁰ prostych prostopadłych do tej płaszczyzny wykreślimy z punktu głównego Os prostą tę, prostopadłą do śladu zbiegu za i przecinającą go w punkcie A. W punkcie Os poprowadzimy prostopadłą do prostej tą,, która przetnie dane koło głębokości w punkcie Ox. Prostopadła wykreślona w tym punkcie do odcinka OxA przetnie prostą tą, w szukanym punkcie Zn⁹⁰. Trójkąt AOxZa⁹⁰ jest kładem, na tło,

Za

i Zm

Tpt

Tp

Zß

ZDs

Ol

\Ą

tß

Os

iZß VPs i t/3

Ps

Tm

fps

Za

\PS

ta,

Jeżeli więc — jak to widzimy na rys. 53 — na pła

horyzontu h. Prosta as, łącząca punkty Ta i Zly je

Jeżeli kwadrat ABCD podnosić będziemy równolegle d

Mierzenie prostych (odcinków), nachylonych pod d

Rys. 164.

Rys. 180 a — d.

Jako przykład zastosowania pęku Pillet’a, narysujm

f\

Aby otrzymać punkt M, przyjmiemy prostą Л1, równol

mierny, jako tło, to pozioma płaszczyzna 7, poprow

Rys. 294.

$ тш.

Pozioma krawędź belki, przechodząca przez punkt

stępują dwa kierunki do siebie prostopadłe; punkty

"Vi

Tm

ta,

ta

Rys. 30.

Rys. 29.

trójkąta AOZa⁹⁰, leżącego na prostopadłej do tła płaszczyźnie y. Kład ten wykonaliśmy przez obrót trójkąta AOZa⁹⁰ około jego przeciwprosto-kątnej A Za⁹⁰, leżącej na tle.

Jeżeli punkty Ta, T„, ... uważać będziemy za ślady tłowe prostych а, b, ... to proste as, bs, ... łączące te punkty ze śladem Za⁹⁰, są perspektywą prostych, prostopadłych do płaszczyzny a.

b) Wykreślić perspektywę prostej, prostopadłej do płaszczyzny a, w jej danym punkcie P (rys. 29). Na płaszczyźnie a, której ślady ta i za są dane, przyjęliśmy prostą m, a na niej punkt P. Ślady Tm i Zm prostej m, leżą na odpowiednich śladach płaszczyzny a. Perspektywa Ps punktu P, leży na perspektywie ms prostej m.

W sposob omówiony w punkcie a) tego ustępu, znajdziemy ślad zbiegu Zn⁹⁰ prostych prostopadłych do płaszczyzny a i połączymy go z punktem Ps prostą ps, która jest perspektywą szukanej prostej p. Pozostaje do wyznaczenia ślad tłowy Tp tej prostej. Ponieważ prosta p przecina prostą m w punkcie P, więc prosta Zß, łącząca ślady zbiegu Z,n i Za⁹⁰, jest śladem zbiegu płaszczyzny ß, wyznaczonej prostemi p i m.

Ślad tłowy tß tej płaszczyzny przejdzie przez ślad tłowy Tm prostej m, równolegle do śladu zß, i przetnie prostą ps w punkcie Tp, który jest śladem tłowym prostej p.

Niechaj prosta m płaszczyzny a, na której przyjęty jest punkt P, będzie prostopadłą do śladu tłowego tej płaszczyzny. Śladem zbiegu tej prostej jest punkt A (rys. 30), w którym prosta zß, wykreślona z punktu głównego Os, prostopadle do śladu zbiegu z«, ślad ten przecina. W tym wypadku płaszczyzna ß, przechodząca przez proste m i p, będzie prostopadłą do tła; jej ślad zbiegu zß przejdzie przez punkt główny, i wraz , ze śladem tłowym tß będzie prostopadły do śladów płaszczyzny a.

rn

ta

Zm

tß

ta

rrts

Zm

tß

Ös

ms

Tmi

Vs

Z so

Rys. 31 а, b.

10. Płaszczyzny prostopadłe do prostej, a) Płaszczyzny a i ß (rys. 31 a) są prostopadłe do prostej m\ płaszczyzna zbiegu tych płaszczyzn, przechodząca przez oko równolegle do nich, przetnie tło wzdłuż prostej 2⁹⁰, równoległej do ich śladów tłowych ta i tß.

Promień zbiegu OZnl prostej m, jest prostopadły do płaszczyzn a, ß i Ç, a więc i do prostych ta, tß i 2⁹⁰. Rzut prostokątny Os — Zm promienia O — Zm na tło jest prostopadły do śladów ta, tß i 2⁹⁰ i przecina ślad 2⁹⁰ w punkcie A. Płaszczyzna, przechodząca przez punkty OZmA, jest prostopadłą zarówno do tła, jak i do płaszczyzny Ç, a więc i do śladu 2⁹⁰. Trójkąt AOZm jest trójkątem prostokątnym w wierzchołku O.

Jeżeli znamy ślady Tm i Zm prostej nu to ślad zbiegu płaszczyzn prostopadłych do tej prostej znajdziemy w sposób następujący : łączymy ślad zbiegu Zm z punkiem głównym O, i z okiem O. W punkcie O poprowadzimy do odcinka OZm, na płaszczyźnie OZmOx prostopadłej do tła, prostopadłą, która przetnie prostą Zm — Os w punkcie A. fizukany ślad zbiegu г⁹⁰ przejdzie przez punkt A, prostopadle do odcinku ZmA.

Płaszczyzna trójkąta OZmA jest prostopadłą do płaszczyzny rysunku i dlatego zmuszeni jesteśmy wykonać jej kład około przeciwprostokąt-nej ZmA (rys. 31 b). W punkcie głównym Os kreślimy prostopadłą do prostej Zm — Os; na kole głębokości otrzymamy kład Ox oka. Prostopadła wykreślona do odcinka Zm — Ox w punkcie Ox, przecina prostą Zm — Os w punkcie A, przez który przechodzi szukany ślad zbiegu' zao płaszczyzn, prostopadłych do danej prostej m. Proste ta i tß, równoległe do z⁹⁰, są śladami tłowemi dwóch takich płaszczyzn.

b)    Poprowadzić płaszczyznę prostopadłą w punkcie P do prostej p. Konstrukcyjnie zadanie to pokrywa się z przeprowadzonem w ust. 9 pkt b. Jeżeli bowiem prosta p jest prostopadłą w punkcie P do płaszczyzny a, to w tym punkcie płaszczyzna a jest prostopadłą do prostej p.

:ч>

Za, Wy-

na

7a=Za°

Oznaczmy ślad zbiegu danej prostej p symbolem Z,⁹⁰ (rys. 30) i połączmy go z punktem głównym Os prostą zp. Prostopadła wykreślona w punkcie Os do zß, przetnie koło głębokości w punkcie Ox, który połączymy ze śladem Z„⁹⁰. Wykreślmy w punkcie Ox prostopadłą do Ox Za i oznaczmy jej punkt przecięcia się z prostą zp literą A. Prosta kreślona w punkcie A prostopadle do prostej zp, jest śladem zbiegu wszystkich płaszczyzn prostopadłych do prostej p. Jedna z nich przechodzi przez punkt P; jej ślad tło wy znajdziemy w sposób następujący: łączymy punkt A z punktem Ps prostą ms, uważając ją za perspektywę prostej m, która przecina prostą p w punkcie P i leży szukanej płaszczyźnie a. Śladem zbiegu prostej m jest punkt A, a śladem tłowym punkt Tm, w którym prosta tp, poprowadzona przez ślad Tp równolegle do zß, przecina prostą ms.

ta

Tm    / Tb

be

Ms

W istocie, skoro proste p i m przecinają się, więc leżą na jednej płaszczyźnie ß, której ślady zß i tp muszą być do siebie równoległe. Prosta tn, wykreślona przez punkt Tm, równolegle do zn, jest śladem tłowym płaszczyzny a, prostopadłej do prostej p w punkcie P.

ms

Za

c)    Poprowadzić przez punkt M, leżący na prostej m, płaszczyznę a, prostopadłą do danej prostej a (rys. 32).

Ta

Rys. 32.

Ponieważ prosta a będzie prostopadłą do szukanej płaszczyzny a, więc ślad zbiegu Za tej prostej możemy uważać za ślad zbiegu Za⁹⁰ wszystkich prostych prostopadłych do płaszczyzny a. Połączmy punkt Za = Z(t⁹⁰ z punktem głównym 0K i wykreślmy trójkąt prostokątny ZaOxA. Ślad zbiegu zu płaszczyzny a przejdzie przez punkt A, prostopadle do przeciwprostokąt-

nej ZaA. Aby otrzymać ślad tłowy ta płaszczyzny a, poprowadźmy przez punkt M dowolną prostą b, leżącą na tej płaszczyźnie. Ślad zbiegu Zb prostej b leżeć będzie na śladzie zbiegu za płaszczyzny a. Ponieważ prosta b przecina prostą m, więc ślad tłowy te płaszczyzny s, wyznaczonej przez te proste, będzie równoległy do śladu zbiegu ze tej płaszczyzny i przetnie prostą bs w punkcie Th, śladzie tłowym prostej b. Prosta ta, przechodząca przez punkt Tb równolegle do śladu za, jest śladem tłowym płaszczyzny a, która przechodzi przez punkt M i jest prostopadła do prostej a.

/Za

Za

Os

As

ta

11. Krawędzie płaszczyzn. Dwie płaszczyzny — o ile nie są do siebie równoległe — przecinają się wzdłuż linji prostej, którą nazywamy krawędzią tych płaszczyzn.

Rys. 33.

ksJTa

ta Za

Za

Os

tß

iß

Rys. 34.

Krawędź dwóch płaszczyzn określić można jako miejsce geometryczne punktów, leżących równocześnie na obu płaszczyznach, albo też jako miejsce geometryczne punktów przebicia się prostych, leżących na jednej płaszczyźnie, z płaszczyzną drugą. Punkt Tk (rys. 38) przecięcia się śladów tłowych ta i tß dwóch płaszczyzn jest jednym punktem, leżącym równocześnie na obu płaszczyznach, a więc punktem ich krawędzi. Punkt ten leży na tle, jest więc równocześnie swoją perspektywą i śladem tłowym krawędzi. Punkt Zk, w którym przecinają się ślady zbiegu obu płaszczyzn, jest perspektywą punktu niewłaściwego, leżącego równocześnie na obu płaszczyznach, więc śladem zbiegu ich krawędzi. Prosta ks, łącząca ślady Tk i Zk, jest perspektywą krawędzi k płaszczyzn a i ß. Krawędź dwóch płaszczyzn rzucających (przechodzących przez oko) przechodzi przez oko ; jej perspektywą jest — jak wiadomo (ust. 3, str. 5) — punkt Tk = Zk (rys. 34).

12. Punkt przebicia się prostej z płaszczyzną. Aby wyznaczyć punkt przebicia się prostej z płaszczyzną, prowadzimy przez tę prostą płaszczyznę, szukamy jej krawędzi z daną płaszczyzną, a punkt przecięcia się tej krawędzi z daną prostą rozwiązuje zadanie.

Graficzne przedstawienie tego zadania podaje rys. 35. Prosta a wyznaczona jest perspektywą as i śladami Ta i Za; ślady ta i za określają położenie płaszczyzny a. Przez prostą a poprowadziliśmy płaszczyznę <p, prowadząc jej ślady t₉ i z<p przez odpowiednie ślady prostej. Prosta ks jest perspektywą krawędzi płaszczyzn a i p, a punkt Ps perspektywą punktu przebicia się prostej a z płaszczyzną a.

Na rys. 35 nie zaznaczyliśmy ani punktu głównego ani głębokości tłowej, wobec czego przeprowadzenie restytucji przestrzennej nie jest możliwe; zadanie jest nieoznaczone.

la

Za

\ks

Z<p

JPs

t<P

âs

ta.

13. Obroty i kłady płaszczyzn. \

a) Weźmy pod uwagę płaszczyznę a, prze- 'zacinającą tło wzdłuż prostej tn (rys. 36). Równoległa do płaszczyzny a i przechodząca przez oko płaszczyzna £ przecina tło wzdłuż prostej z₍₁, równoległej do prostej ta. Proste ła i Za są śladami płaszczyzny a na tle.

Za

Th

Płaszczyzna y, poprowadzona przez oko, prostopadle do śladu za, jest prostopadłą zarówno do tła, jak i do płaszczyzn £ i a.

Rys. 35.

0°

Przecina ona tło wzdłuż prostej q, a płaszczyznę £ wzdłuż prostej r. Obie te proste są prostopadłe do śladu zbiegu za w punkcie A i tworzą kąt co, wyrażający nachylenie płaszczyzny £ do płaszczyzny tła. Kąt ten równy jest kątowi nachylenia płaszczyzny a do tła.

«?

Ar

Za

0\

Przyjmijmy, że płaszczyzny a i £ obracają się równocześnie i w tym samym kierunku, każda około swej krawędzi, jaką tworzy z tłem. Oko zakreśli podczas tego obrotu łuk koła, którego środkiem jest punkt A a promieniem odcinek АО.

cc

ta.

cc

Я.

Rys. 36.

Po dokonaniu obrotu o kąt (180° — co), płaszczyzny £ i a padną na tło; mówimy, że wykonany został kład tych płaszczyzn na tło. Kład płaszczyzny zbiegu £ sprowadzi na tło oko, które zajmie położenie punktu 0° na prostej q, przyczem oczywiście odcinek A O⁰ = A O. Gdybyśmy obrót obu płaszczyzn wykonali w kierunku przeciwnym, to wówczas kład 0° oka O znalazłby się pod śladem zbiegu zn.

Niechaj promień główny będzie prostopadły do płaszczyzny rysunku (rys. 37 a), to wówczas kład płaszczyzny a, wyznaczonej śladami ta i zu, wykonamy w sposób następujący : z punktu głównego Os wykreślimy prostą q prostopadłą do śladu zbiegu zn. Prostą tę uważać możemy za ślad płaszczyzny gp, przechodzącej przez oko i prostopadłej równocześnie do tła i do płaszczyzny a. Na płaszczyźnie tej znajduje się

a.)

0°

k*/

b.)

<7

Г-*rffföö]

o*

Os

ta

Za

Zcc

Os,

0°

Rys. 37 a, b.

<!T

ZaA

'O*.

ta

\a>\

kk

ta

0°

-k-

Za

•V

\wy I

Osi

vy_

3s

'-0Ï

²7

rao

Rys. 38.

w odległości równej głębokości tłowej <5, od punktu Os ku nam — oko, a także prosta r, łącząca oko z punktem A. Obróćmy płaszczyznę gp około prostej q tak, aby padła na tło, czyli wykonajmy jej kład. Wtedy

prostokątny trójkąt A Os O i koło kx padną na tło. Oko zajmie położenie punktu Ox, a koło kx położenie koła kx, zakreślonego z punktu A, jako środka, promieniem równym przeciwprostokątnej A O*. Punkt 0°, w którym koło kx przetnie prostą <7, jest kładem oka na tło, dokonanym przez obrót płaszczyzny zbiegu £ około śladu za. Kład płaszczyzny a na tło niczem się nie ujawni, skoro na płaszczyźnie tej nie przyjęliśmy żadnych punktów ani prostych.

Rys. 37 b przedstawia to samo zadanie z tą różnicą, że obrót płaszczyzny zbiegu £ wykonaliśmy w kierunku przeciwnym.

0°

z§,

Za,

Za.

a°.

'as

3s

w\Os

Zcc.

tcc

Ly

oy

o*

oz

Ta

a°

Ta

Rys. 39.

Rys. 40.

b) Przyjmijmy na płaszczyźnie a (rys. 38) prostą a, zawierającą ze śladem tłowym t„ tej płaszczyzny kąt v i przebijającą tło w punkcie Ta. Promień, poprowadzony z oka równolegle do prostej a, przebije tło w punkcie Za, który jest śladem zbiegu prostej a. Promień zbiegu O — Za leży na płaszczyźnie zbiegu Ç, punkt Za na śladzie zbiegu za płaszczyzny a. Prosta as, łącząca ślady Ta i Za prostej a, jest jej per-spęktywą.

Wykonajmy kład płaszczyzny Ç na tło. Oko zajmie położenie punktu O⁰, promień zbiegu prostej a padnie na tło, jako prosta O⁰ — Za, tworząca ze śladem zbiegu zn kąt v. Obrót płaszczyzny a sprowadzi na tło pro-^ stą a, która zajmie położenie prostej a°, przechodzącej przez ślad Ta, równolegle do promienia O⁰ — Za.

Na rys. 38 zaznaczyliśmy także obrót, płaszczyzny go na tło, który sprowadzi na tło trójkąt A Os O. Osią tego obrotu jest krawędź płaszczyzny cp z tłem. Oko zakreśli na płaszczyźnie poziomej ćwierć koła i padnie na tło, jako punkt Ox. Trójkąt AOsO* jest przystający do trójkąta A O, O. Łuk koła zakreślony promieniem A <9X z punktu A, jako środka, przetnie krawędź płaszczyzn л i cp w punkcie O⁰.

Poglądowy rysunek 38 ułatwi zrozumienie konstrukcji kładu płaszczyzny a, wraz ze znajdującą się na niej prostą a, gdy kierunek promienia głównego będzie prostopadły do płaszczyzny rysunku (rys. 39).

Kład płaszczyzny zbiegu sprowadzi na tło oko (które zajmie położenie punktu O°) i promień zbiegu prostej a. Prosta a°, wykreślona przez ślad tłowy Ta, prostej a, równolegle do kładu O⁰ — Za jej promienia zbiegu, jest kładem prostej a na tło.

Jeżeli obrót płaszczyzny zbiegu, a więc i płaszczyzny a, wykonamy w kierunku przeciwnym, to oko zajmie położenie punktu Ol, a zadanie kładu płaszczyzny a, wraz ze znajdującą się na niej prostą a, przedstawi się tak, jak to widzimy na rys. 40.

Rys. 41 przedstawia kład rzucającej płaszczyzny a, wraz ze znajdującą się na niej prostą m. Perspektywa ms tej prostej schodzi się ze śladami za = ta płaszczyzny a. Gdy płaszczyzna a padnie na tło, prosta m zajmie położenie prostej m°, przechodzącej przez ślad tłowy Tm, równolegle do promienia 0° — Zm.

Z rys. 42 a czytamy : na płaszczyźnie a, nachylonej do tła pod kątem co, leżą dwie proste równoległe a i b, nachylone do tła pod kątem 45°. Po sprowadzeniu płaszczyzny a na tło, proste a i b zajmą położenie prostych a° i ó°, równoległych do promienia O⁰ — Z.

Rys. 42 6 jest perspektywą płaszczyzny a, prostopadłej do tła, na której leżą proste a i b prostopadłe do tła i dwie proste równoległe c i d, nachylone do tła pod kątem większym, aniżeli 45°. Po dokonanym kładzie płaszczyzny a, proste na niej leżące padną także na tło, a to jako proste a⁰, ó° i c°, d°.

c) Przyjmijmy na płaszczyźnie a, nachylonej do tła pod kątem co,

Za =tc

A\k

0*

Zm,

Tn±

Os

Rys. 41.

ta_Ta,

o\

Za

V;

fao

'b°

b°

fCo

'd°

Tl

ЙГН

Tb\

fis

Tc/ Tdj

ta

jbs

fis

C/s

âs

Os

Za_

a.)

0°

b-)

'0°

Rys. 42 a, b.

proste a i b, przecinające się w punkcie P i zawierające ze sobą kąt e (rys. 43). Promienie wykreślone z oka O, równolegle do tych prostych, przebiją tło w punktach Za i Zb, leżących na śladzie zbiegu £a płaszczyzny a. Proste as i bs, łączące ślady zbiegu Za i Zb z punktami Ta i Tb, w których proste a i b przebijają tło, są perspektywą tych prostych.

0°)

4.

4'''/

Zcc

Zb

Punktowi P odpowiada na tle punkt Ps, jako jego perspektywa, leżąca wraz z nim na promieniu, przechodzącym przez oko.

Ps}

be

<5 s

ta.

Ta

P⁰

Obróćmy płaszczyznę a około śladu ta, a płaszczyznę zbiegu £ około jej śladu za — obie w tym samym kierunku i o ten sam kąt. Ślady tło-we Ta i Th prostych a i b nie zmienią swych położeń na śladzie ta płaszczyzny a.

nr

b°j

a°

Rys. 43.

Oko O obróci się wraz z płaszczyzną £, ale promienie zbiegu obu prostych pozostać muszą — według założenia — równoległe do tych prostych w ich nowem położeniu, tworząc ze sobą kąt e. W czasie obrotu, ślady zbiegu Za i Zb prostych a i b nie zmienią swych położeń na śladzie zbiegu za płaszczyzny a. Tak więc proste as i bs pozostaną perspektywami prostych a i b w ich nowem położeniu, wywołanem obrotem płaszczyzny a około jej śladu ta.

Ponieważ to nowe położenie płaszczyzny a zostało dokonane jej obrotem o kąt dowolny, więc proste as i bs pozostaną perspektywami prostych a i b wkażdem położeniu płaszczyzny a, obracającej się około śladu ta. Punkt Ps przecięcia się prostych as i bs będzie — w każdem położeniu płaszczyzny a — perspektywą punktu P, w którym przecinają się proste a i b, leżące na tej płaszczyźnie.

Niechaj płaszczyzny a i £, obracając się około swoich śladów, padną na tło. Oko zajmie położenie punktu 0°, a proste a i b padną na tło jako proste a° i b°, tworzące ze sobą kąt e i równoległe do sprowadzonych na tło promieni zbiegu O⁰ — Za i O⁰ — Zh. Wykonaliśmy kład

płaszczyzny a na tło, a więc i kład leżących na niej prostych a i b. Punkt P° jest kładem punktu P. Z tego, co powiedzieliśmy wyżej, wynika, że perspektywa Ps punktu P i jego kład P° leżą na promieniu, przechodzącym przez kład O⁰ oka.

Rys. 44 przedstawia perspektywę płaszczyzny a, na której znajdują się proste m, a i b, przechodzące przez punkt M. Wykonaliśmy kład płaszczyzny zbiegu £ płaszczyzny a na tło. Oko znalazło się na tle w punkcie 0°. Proste, łączące punkt O0 ze śladami zbiegu Zm, Za i Zb, są kładem na tło promieni zbiegu tych trzech prostych. Proste /u⁰, a° i b°, wykreślone równolegle do kładów promieni zbiegu, stanowią kład prostych m, a i b na tło, dokonany obrotem płaszczyzny a około jej śladu tłowego Punkt M° jest kładem punktu M i leży — jak wiemy

niu, przechodzącym przez punkty Ms i O⁰. Uważajmy ten promień za perspektywę qs prostej q, leżącej na płaszczyźnie a, a przechodzącej przez punkt M. Śladami tej prostej są punkty Tq i ZQ, a jej kładem prosta q°, schodząca się z prostą qs, gdyż kład promienia zbiegu prostej q pokrywa się z prostą qs. Tym sposobem stwierdzamy ponownie, że kład punktu, leżącego na płaszczyźnie i jego perspektywa, leżą na promieniu, przechodzącym przez kład 0° oka.

Jeżeli więc punkty Is, 1IS, 11IS prostej ms (rys. 45) są perspektywami punktów /, II, III prostej m, leżącej na płaszczyźnie a, a kładem

Zm

ox

ta

0°

Zb

Ós /as

Ós

Tb

ms

Ta

Rys. 44.

Zcc

Tm

Tg

a°

moi

na promie-

rM°

4°

0°

Zn

V2 I

'A

la

Tm

/5

Ms.

Vi

1°

ta

E°

m°

UTsI

ms

ns

Tn

no

Rys. 45.

V,

Zm

tej prostej jest prosta m° — to punkty 7°, II⁰, III⁰ przecięcia się promieni, przechodzących przez punkt O⁰ i punkty Is, IIS, 777,, z prostą m° — stanowią kład szeregu punktów prostej m. Jeżeli odcinek Is IIS jest perspektywą odcinka III, to odcinek 7° /7° wyraża prawdziwą jego długość.

d) Kąt r), jaki prosta b zawiera ze śladem tłowym tn płaszczyzny a (rys. 43), równy jest kątowi, jaki promień zbiegu O — Z„ tej prostej tworzy ze śladem zbiegu za płaszczyzny a. Po sprowadzeniu płaszczyzn f i a na tło, kąt, jaki prosta b° utworzy ze śladem ta, równy będzie kątowi, zawartemu między promieniem 0°Z„ a śladem zbiegu za, t. j. kątowi rj.

Przyjmijmy na płaszczyźnie a (rys. 45) prostą n, przecinającą prostą m w punkcie III. Po dokonaniu kładu płaszczyzny a, prosta n

4 5°

Za

0°

04

Za

u).

la

Z Os

45

ta.

wOs

vg

\/7*5

«Za

ta

Rys. 46 a, b.

padnie na tło jako prosta n°, równoległa do promienia O⁰ — Zn, a przechodząca przez punkt 111°. Kąt y, jaki tworzą proste m° i n°, wyraża prawdziwą wielkość kąta, jaki zawierają ze sobą proste m i n. Oczywiście, że kąt ten równy jest kątowi ZmO°Zn, jaki tworzą promienie zbiegu obu prostych, sprowadzone obrotem płaszczyzny zbiegu £ na tło.

Każdy punkt śladu zbiegu płaszczyzny jest śladem zbiegu prostych równoległych do danej płaszczyzny (ust. 7), a zawierających z jej śladem tłowym, a raczej z kierunkiem określonym tym śladem, pewien ściśle określony kąt. Kąt ten równy jest temu, jaki tworzy ślad zbiegu płaszczyzny z promieniem, powstałym z połączenia uważanego punktu tego śladu i punktu O⁰, względnie 0°. Tak np. punkt Zm (rys. 45) jest śladem zbiegu prostych równoległych do płaszczyzny a, a nachylonych do kierunku ta pod kątem v₁.    _

Punkty Zai5, w których koło zakreślone promieniem АО* (rys. 46a) przecina ślad zbiegu zn płaszczyzny a, są śladami prostych, równoległych do tej płaszczyzny lub na niej leżących, a nachylonych do kierunku ta pod kątem 45°. Z tego samego powodu, punkty przecięcia się śladu

zbiegu za, płaszczyzny a, prostopadłej do tła, z kołem głębokości (rys. 466), są śladami zbiegu prostych, równoległych do tej płaszczyzny lub na niej leżących, a nachylonych do kierunku ta pod kątem 45°. W tym szczególnym przypadku proste, których śladami zbiegu są punkty Z„⁴⁵, nachylone są także i do tła pod kątem 45°.

0°s

Z;

Z^

w.

Cs

4s

Os£l

7s

3s

bs

0X

as

2s.

ds

ta

2°

CO.

h°

70

3°

d°y

Rys. 47.

Gdy płaszczyzna a nie jest prostopadłą do tła, jak to ma miejsce na rys. 46 a, to punkty Zni5 nazywać będziemy punktami przekątnemi. W przypadku, gdy płaszczyzna a jest prostopadłą do tła, punkty przekątne Z«⁴⁵ są punktami głębokości (ust. 2, str. 3).

14. Podnoszenie płaszczyzn z kładu, a) Zadaniu wykonania kładu płaszczyzny odpowiada, jako zadanie odwrotne, obracanie punktów i linij, leżących na tle, około śladu tłowego danej płaszczyzny tak, aby na nią padły. Operację taką nazywamy podnoszeniem płaszczyzn z kładu.

Jeżeli leżąca na tle prosta a° w rys. 39 ma być podniesiona na płaszczyznę a, to najpierw wykonamy kład płaszczyzny zbiegu £ na tło.

Oko zajmie położenie punktu O⁰, z którego wykreślimy promień równoległy do prostej a°, otrzymując na śladzie zbiegu zu płaszczyzny a ślad zbiegu Za prostej a. Ponieważ punkt Ta, w którym prosta a° przecina

Ze

len

Z4

z₂

Os

Zi

i&l

Od

N,

Co

1°

5°

6°/

Rys. 48.

ślad ta, jest śladem tłowym prostej a, więc prosta as, łącząca ten ślad ze śladem Za, jest perspektywą prostej a.

Każdy rysunek, przedstawiający kład płaszczyzny, uważać można za obraz zadania odwrotnego. Np. rys. 42 a przedstawia kład płaszczyzny а wraz ze znajdującemi się na niej dwiema równoległemi prostemi, ale też i obraz perspektywiczny dwóch prostych równoległych, podniesionych z kładu, t. j. z tła, na daną płaszczyznę a.

Jeżeli zadanie wymaga wykreślenia perspektywy określonego płaskiego utworu geometrycznego, leżącego na danej płaszczyźnie w przestrzeni, to wówczas „wychodzimy z kładu“, t. zn. rysujemy żądany utwór na tle, a następnie podnosimy go na daną płaszczyznę. Jako przykład takiego zadania, narysujmy perspektywę prostokąta, leżącego na wyznaczonej śladami płaszczyźnie a (rys. 47). Przyjąwszy jako dane, koło głębokości, dokonajmy kładu płaszczyzny zbiegu płaszczyzny a na tło. W tym celu wykreślmy trójkąt prostokątny Os A 0K, przyczem bok OsA będzie prostopadły do z«, a bok OsOx równy głębokości tłowej, i zakreślmy promieniem 40х, z punktu A jako środka, łuk koła, aż do przecięcia się z przedłużeniem boku Os A. Otrzymany punkt 0° jest, jak wiadomo, kła-^fo* dem oka na tło.

Zcc

Zjci

Za

W.

/ ' Q{&\

-Â

prostokąt

/    Wykreślmy

/    1° 2° 3° 4° i uważajmy go za

tcc

/    leżący na — sprowadzonej na

IEY

IV

Rys. 49.

tło — płaszczyźnie a. Jeżeli z płaszczyzną a wrócimy w jej pierwotne położenie, to obraz perspektywiczny podniesionego z nią i na niej leżącego prostokąta rozwiąże zadanie. Zauważmy, że punkty /, II, III i IV są śladami prostych a, b, c i d; ich ślady zbiegu są punktami przecięcia się promieni, poprowadzonych z punktu 0°, równolegle do prostych a°, b°, c° i d°, ze śladem za. Ponieważ boki prostokąta są parami do siebie równoległe, więc otrzymamy dwa ślady zbiegu: punkt Zx dla prostych a\\b i punkt Z2 dla prostych cf\d. Ślady te, połączone ze śladami tłowemi, dają perspektywę as, bs, cs i ds prostych a, b, c i d; przecinają się one w wierzchołkach ls, 2S, 3S i 4S czworokąta, stanowiącego perspektywę prostokąta, leżącego na płaszczyźnie a, nachylonej do tła pod kątem co.

Jako dalszy przykład „podnoszenia z kładu“, służy rys. 48, który przedstawia konstrukcję perspektywy umiarowego sześciokąta, leżącego na płaszczyźnie poziomej.

Oko, sprowadzone obrotem płaszczyzny zbiegu na tło, padnie na koło głębokości, jako punkt 0° przecięcia się z niem prostopadłej, wykreślonej w punkcie głównym do śladu zn. Poza tern konstrukcja pokrywa się z przeprowadzoną na rys. 47, z tą różnicą, że wystąpią tu trzy ślady zbiegu, trzech par prostych równoległych.

Rys. 49 podaje konstrukcję ornamentu geometrycznego, ułożonego z trzech wpisanych w siebie kwadratów i leżącego na — nachylonej pod kątem co do tła — płaszczyźnie a. Proste prostopadłe do śladu tłowego ta mają ślad zbiegu w punkcie A. Śladami zbiegu prostych, nachylonych do śladu ta pod kątem 45°, są dwa punkty przekątne Z(l⁴⁵ płaszczyzny a,

Oś

0°

Cr-

CÖ

tto

Zcc

Zoo

Zż

4?'

4L

1L

3?

C?y

d?/

'2?

OŚ

ó-

<2f

t?

V O*

t9>

Té

Té

Ti

Tś

2a

(2s

1s

[3s

Cs»

Ós

c/e

4Ó

4ś

4i

tśc

ta- Tk

Ttr,

Tc ta

Td

'4o

/40

a°

C°y

jb°

d⁰/

1°

3°

Rys. 50 6, a.

leżące na śladzie zbiegu za symetrycznie względem punktu A (patrz ust. 13, pkt. d).

b) Promienie, łączące punkty utworu płaskiego, przyjętego na płaszczyźnie a, z okiem, tworzą t. zw. wiązkę promieni. Płaszczyzna równoległa do płaszczyzny a przetnie tę wiązkę w punktach, które utworzą utwór płaski, geometrycznie podobny do utworu, znajdującego się na płaszczyźnie a. Fakt zachodzącego tu podobieństwa pozwala zastąpić — z korzyścią dla konstrukcji — jeden utwór płaski drugim.

Przyjmijmy płaszczyznę a, wyznaczoną śladem tłowym ta i śladem zbiegu Za (rys. 50a), a na niej równoległobok 1, 2, 3, 4. Wykonajmy kład tej płaszczyzny na tło i — wychodząc z kładu 1⁰2°3⁰4° równoległo-

0°

0?

km

M?,

boku — wykreślmy jego perspektywę 1S2S3S4S. Rys. 50 b przedstawia rzut boczny (widok z boku), wchodzących tu w grę płaszczyzn, promieni i punktów.

Za,

Za.

Ml

km \

BÀ

cc

as

'a.i

У^ЖГа

99

at

'aï

В?

В⁰

Rys. 51.

] Poprowadźmy równolegle do płaszczyzny a płaszczyznę cp. Płaszczyzna ta przetnie ostrosłup o wierzchołku O a podstawie 1, 2, 3, 4, w równoległoboku l₁2l3₁4₁, podobnym do równoległoboku podstawy. Boki obu równoległoboków będą do siebie równoległe. Jeżeli płaszczyzna cp obróci się około swego śladu tło-wego tg, i padnie na tło, to leżący na niej czworokąt zajmie położenie równoległoboku Boki a°, b% c\ i d\ tego równoległoboku będą równoległe do boków a°, b°, c° i d° równoległoboku 1⁰2°3⁰4°, a ponieważ stwierdziliśmy zachodzący między niemi związek podobieństwa, więc punkty 1° i 1\, 2° i 2'l, 3° i 5t°, 4° i 4\ leżeć będą na promieniach, przechodzących przez jeden punkt. Punktem tym — który jest środkiem podobieństwa obu równoległoboków — jest kład O⁰ oka O.

Ślad tłowy tg, płaszczyzny <p odgrywa — w odniesieniu do równoległoboku 1\2\3\4\ — tę samą rolę, co ślad ta płaszczyzny a wobec równoległoboku 1⁰2°3⁰4°. Tak więc przy pomocy utworu podobnego, przyjętego na płaszczyźnie równoległej do płaszczyzny właściwego utworu, wyznaczyć możemy perspektywę, pokrywającą się z tą, jaką otrzymamy, konstruując bezpośrednio.

15. Punkty mierzenia. Przyjmijmy na płaszczyźnie a (rys. 51), nachylonej do tła pod kątem co, prostą a i na niej punkt B. Perspektywą prostej a jest prosta as, punktu В punkt Bs.

Pozostawiając prostą a na płaszczyźnie a, obróćmy ją około jej śladu Ta tak, aby zajęła położenie prostej ax. Równocześnie z obrotem prostej a jej promień zbiegu O Za obróci się około śladu zbiegu Za, na płaszczyźnie zbiegu płaszczyzny a, w tym samym, co prosta a kierunku i o ten sam kąt, przyjmując położenie promienia OxZa, równoległego do prostej аг. Punkt В prostej a zakreśli łuk koła o promieniu TaB, z punktu Ta jako środka i zajmie położenie punktu Ą. Promień OlB1 przejdzie przez punkt Bs. Jeżeli prosta a, obracając się dalej, padnie na ślad tłowy ta płaszczyzny a, a punkt В zajmie położenie punktu Дх, to promień zbiegu prostej a padnie na ślad zbiegu za płaszczyzny a, a oko / zajmie położenie punktu M₂. Promień, łączący \Mi za Za punkty BI i M₂, przejdzie przez punkt Ba.

0°)

km

O?'

Иг

tu

as

к 0х

BsĄ

Bï

Вг/ /

tcc

~âf

al

\<f'

Bl

ni

fB°

al

a⁰/

Rys. 52.

Obracając się około swego śladu tło-wego, prosta a obiegnie całą płaszczyznę a, gdy równocześnie jej promień zbiegu obracać się będzie około śladu zbiegu prostej a, pozostając stale na płaszczyźnie zbiegu płaszczyzny a. Podczas obrotu prostej a jej punkt В zakreśla na płaszczyźnie a koło klt którego środkiem jest ślad tłowy Ta tej prostej. Równocześnie oko zakreśla na płaszczyźnie zbiegu płaszczyzny a koło k którego środkiem jest ślad zbiegu Za prostej a, zaś promieniem odcinek O Za.

Między położeniami punktów В i O zachodzi ta zależność, że są one związane promieniami, przechodzącemi zawsze przez perspektywę Bs punktu B.

Koło km nazywać będziemy kołem mierzenia, a każdy jego punkt punktem mierzenia.

Każdemu promieniowi koła mierzenia odpowiada jedno położenie prostej a na płaszczyźnie a, przechodzącej stale przez jej ślad tłowy Ta. Promieniom koła mierzenia, schodzącym się ze śladem zbiegu płaszczyzny a, odpowiadają położenia prostej, pokrywające się ze śladem tłowym płaszczyzny a. Punkty mierzenia Mx i M₂ prostej a, leżące na śladzie zbiegu zn płaszczyzny a, nazywać będziemy istotnemi punktami mierzenia.

Po wykonaniu kładu płaszczyzny a i jej płaszczyzny zbiegu na tło, koło mierzenia zajmie położenie koła k°m, a koło kx położenie koła k\. Proste a i ax padną na tło, jako proste a° i a®, a ich promienie zbiegu, jako odcinki Wza i 0\Za. Odcinki 7\B° = TaB\ = T;i B{ = ~ТаЩ wyrażają prawdziwą długość odcinka, którego perspektywą jest odcinek TaBs.

Rysunek perspektywiczny konstrukcji uzmysłowionej na rys. 51 — przy założeniu, że promień główny jest prostopadły do płaszczyzny rysunku (tła) — podaje rys. 52. Na płaszczyźnie a, wyznaczonej śla-darni ta i za leży prosta a, której śladami są punkty Ta i Za. Po wykonanym kładzie płaszczyzny o, a więc i jej płaszczyzny zbiegu, prosta a zajęła położenie prostej a°, zaś promień zbiegu prostej a położenie odcinka 0°Za. Gdy prosta a° obróciła się około śladu Ta o kąt <p i zajęła położenie a% to kład oka zajął położenie punktu OJ, a promień zbiegu 0\Za pozostał równoległy do prostej a\. Punktowi B° prostej a° odpowiada na prostej a, punkt B,, leżący z nim na promieniu, przechodzącym przez kład O⁰ oka. Promień B°tBs przejdzie przez punkt OJ. Gdy prosta a° zejdzie się, podczas swego obrotu około śladu tło-wego Ta, ze śladem tn płaszczyzny а, a punkt B° zajmie położenie punktu Вto punkt 0° padnie na ślad zbiegu za jako punkt mierzenia Мг. Promień, łączący punkt B* z punktem mierzenia Mlt przejdzie przez punkt Bs. Gdy punkt B° znajdzie się na śladzie ta jako punkt В₂X, to kład 0° oka zajmie położenie punktu mierzenia M% na śladzie za, przyczem promień BXM₂ przejdzie przez punkt Bs.

0°/

km

Za

A \M za.

ds

ад;

ox

Cs

ta

У—

Bx

Cx Ta

Rys. 53.

Za.

Zcc

Os

Ox

o.

4sr

ds.

2s\

1c

Odcinki Та В* = Та В₂X = ТаВ° wyrażają prawdziwą długość odcinka, którego perspektywą jest odcinek TaBs. Znaczy to, że rzut perspektywy odcinka, z punktu mierzenia, na ślad tłowy płaszczyzny, na której on leży, równy jest jego prawdziwej długości. W tern leży wielkie znaczenie praktyczne punktów mierzenia, które pozwalają mierzyć prawdziwe długości danych w perspektywie odcinków, bez wykonywania ich kładów na tło.

ta

Та 1K 2х 3х 4х 5х 6X

Rys. 54.

Jeżeli więc — jak to widzimy na rys. 53 — na płaszczyźnie a znajduje się prosta a, a na niej odcinek BC, to prawdziwą długość tego odcinka znajdziemy w sposób następujący : wykonamy kład płaszczyzny zbiegu płaszczyzny a i kład O⁰ oka połączymy ze śladem zbiegu Za prostej a. Następnie zakreślimy promieniem 0°Za, z punktu Za jako środka, łuk koła k°m, który przetnie ślad zbiegu za w punkcie mierzenia M. Kreślimy promienie MBS i MCS, które przetną ślad tłowy ta płaszczyzny a w punktach Bx i Cx. Odcinek BXCX równy [est prawdziwej długości odcinka, którego perspektywą jest odcinek BSCS.

Zastosowanie punktu mierzenia do wyznaczenia podziałki perspektywicznej na danej prostej a, która leży na płaszczyźnie a, podaje rys. 54. Odcinek 0°Za jest kładem promienia zbiegu prostej a, punkt M jej punktem mierzenia. Na śladzie tłowym /„ płaszczyzny a narysujemy podziałkę o żądanej jednostce i punkty podziału Iх, 2X,... rzucimy z punktu M na prostą as, jako punkty ls, 2S, ...

km

Mb

0°

Zec

ZćL

■V0a

ma

■ДГ-

kAco

tcc

gP

ox

'Мг

Ta

Z a°

m°

P°'

Tm

ka

Rys. 55.

Przyjmijmy na płaszczyźnie a, wyznaczonej śladami ta i za, a nachylonej do tła pod kątem co (rys. 55), prostą a, której perspektywą niech będzie prosta as. Rzućmy punkt Ps, przyjęty na prostej as, z istotnych punktów mierzenia M1 i M₂ na ślad tłowy ta płaszczyzny a, to odcinek Ta Tm = Ta Tn wyraża prawdziwą długość odcinka, którego perspektywą jest odcinek TaPs. Proste a°, m° i n° są kładem na tło prostych a, m i n, leżących na płaszczyźnie a, a przechodzących przez punkt P. Punkty O°, Ps i P° leżą na jednym promieniu. Ponieważ TaTm = TaTn=TaP°, więc punkty Tm, Tn i P° leżeć muszą na kole k°, którego środkiem jest punkt Ta. Prosta m° zawiera z prostą a° i ze śladem tłowym tu ten sam kąt s, podobnie i prosta n° przecina prostą a° i tn pod tym samym kątem cp. Stąd określić można każdy z istotnych punktów mierzenia prostej, jako ślad zbiegu pęku równoległych — iwraz z tą prostą na jednej płaszczyźnie leżących—promieni, które zawierają z tą prostą i ze śladem tłowym płaszczyzny te same kąty.

16. Zadania, a) Wyznaczyć odległość punktu P od prostej a. Perspektywa Ps punktu P leży na perspektywie bs prostej b, której śladami są punkty T„ i Zb.

Pierwszy sposób rozwiązania. Przez punkt P prowadzimy prostą c, równoległą do prostej a, i znajdujemy odległość tych dwóch równoległych, kładąc je na tło.

Konstrukcyjnie przedstawia się sprawa następująco (rys. 56): łączymy punkty Ps i Za prostą cs. Proste b i c przecinają się, więc leżą na jednej płaszczyźnie, której śladem zbiegu jest prosta z(l, łącząca ślady zbiegu Za = Zc i Z„ obu prostych. Ślad tłowy tej płaszczyzny przejdzie przez punkt T„ równolegle do zn i przetnie prostą cs w punkcie Tc, śladzie tłowym prostej c.

Równoległe proste a i c wyznaczają płaszczyznę y, której ślad tłowy t łączy ślady tłowe Ta i Tc tych prostych, a której ślad zbiegu zę przechodzi przez punkt Za = Zc.

Z punktu głównego O„ kreślimy prostopadłą i równoległą do śladu Zg,; otrzymamy punkty A i Ox, a następnie kład O⁰ oka na tło. Prosta 0°Za jest kładem promienia zbiegu prostych a i c na tło; proste a° i c°, wykreślone przez ślady Ta i Tc równolegle do 0°Za, stanowią kład prostych a i c na tło. Rzut P° punktu Ps z punktu O⁰ na prostą c° jest kładem punktu P na tło. Oddalenie punktu P° od prostej a° rozwiązuje zadanie. Drugi sposób rozwiązania. Przez punkt P poprowadzimy płaszczyznę e prostopadłą do prostej a i znajdziemy punkt Q przebicia się tej prostej z płaszczyzną e. Odcinek PQ jest rozwiązaniem zadania.

0X\

âs ho

Tb

Ta

<as

"0°

ty__\

Tc,

'Ps.

bs

Zr.

\Za=Żc~T - -

Rys. 56.

Cs

С⁰,

'P°

'WY

ai ty.

Tai

Zb

Zcc '

я:

ks

Tm

Qsi

Cs,

IPs

Zr

~_ms

Тн,

■x

Os,

<\Tb

ta

Tc

0°\

,bs

Za

Px

?ok

te

Rys. 57.

Ślad zbiegu Za prostej a (rys. 57) uważamy za ślad zbiegu prostych prostopadłych do szukanej płaszczyzny e i łączymy go z punktem głów-

nym Os. Szukamy punktu Ox, kreślimy w nim prostopadłą do 0xZa, która przetnie prostą 0S — Za w punkcie A. Przez ten punkt przejdzie ślad zbiegu ze płaszczyzny e, prostopadle do prostej A— 0S — Za.

'Tp

po

tó^zót

Za

Z.CL

tß

VPs

0%

'ps \ Ta

Os

Zß

y(Çs

ta

'A,

0°

Th

Rys. 58.

Ślad tłowy te tej płaszczyzny znajdziemy podobnie, jak na rys. 32 (str. 17). Więc przez punkt P poprowadzimy prostą c, leżącą na płaszczyźnie e. Jeżeli punkt A przyjmiemy za ślad zbiegu tej prostej, to jej ślad tłowy Tc będzie punktem przecięcia się prostej cs z prostą ta, wykreśloną przez punkt T„, równolegle do prostej zn, która łączy punkty A \ Zb. Ślad tłowy tB przejdzie przez punkt Tc równolegle do śladu zbiegu ze. Przy pomocy płaszczyzny cp, poprowadzonej przez prostą a, znaleźliśmy jej punkt przebicia się Q z płaszczyzną e. Odcinek PSQ, jest perspektywą odległości punktu P od prostej a. Prosta m, wyznaczona punktami P i Q, leży na płaszczyźnie e. Śladami tej prostej są punkty Tm i Zm. Łuk koła, zakreślony z punktu Zm, jako środka, promieniem ZmO°, przetnie prostą ze w punkcie mierzenia M. Rzut PXQX odcinka P,QS z punktu M na prostą ta wyraża prawdziwe oddalenie punktu P od prostej a.

b) Wyznaczyć odległość punktu P od płaszczyzny a. Pierwsza konstrukcja (rys. 58). Najpierw wyznaczymy ślad zbiegu Z«⁹⁰ prostych prostopadłych do płaszczyzny a. Prosta ps, łącząca ten ślad z punktem Ps, jest perspektywą prostopadłej, poprowadzonej z punktu P do płaszczyzny a. Ponieważ punkt P przyjęliśmy na prostej a, więc prosta zß, łącząca punkty Z(l⁹⁰ i Za, jest śladem zbiegu płaszczyzny ß, która przechodzi przez proste p i a. Ślad tłowy tß tej płaszczyzny przechodzi przez punkt Ta i przecina prostą ps w punkcie Tp, śladzie tłowym prostej p. Przechodząca przez prostą p, prostopadle do tła, płaszczyzna y przecina płaszczyznę a wzdłuż prostej k, której perspektywą jest prosta ks. Punkt przecięcia się Qs prostych ps i ks jest perspektywą punktu przebicia się prostej p z płaszczyzną a. Odcinek PSQS jest perspektywą odległości punktu P od płaszczyzny a.

Prawdziwą długość odcinka PQ znajdziemy, dokonując kładu na tło rzucającej płaszczyzny J, poprowadzonej przez prostą p. Ślady tej płaszczyzny schodzą się z prostą ps. Oko zajmie położenie punktu 0° na pro-stopadłej, wykreślonej z punktu Os do tô = Zô, przyczem 0М₁ = Л₁0 \

Prosta p°, wykreślona przez ślad tłowy Tp, równolegle do promienia 0° — Za⁹⁰, jest kładem prostej p. Rzut P°Q° odcinka P₈QS z punktu 0°

na prostą p° rozwiązuje zadanie.

Druga konstrukcja (rys. 59). Punkt P przyjęliśmy na prostej n, wyznaczonej śladami Tn i Zn. Podobnie jak w konstrukcji pierwszej, poprowadziliśmy z punktu P prostopadłą p do płaszczyzny a, wyznaczyli jej ślad tłowy Tp i punkt przebicia się Q z płaszczyzną a.

Prawdziwą długość odcinka PQ znaleźliśmy przy pomocy punktu mierzenia M, odpowiadającego kierunkowi prostej p. Punkt ten jest przecięciem się łuku koła, zakreślonego z punktu Za⁹⁰, jako środka, promieniem Za⁹⁰Ox — ze śladem zbiegu zp, płaszczyzny ^_na której leży prosta p. Odcinek PmQm, będący rzutem odcinka PSQS z punktu M na ślad tłowy tp, wyraża prawdziwe oddalenie punktu P od płaszczyzny a.

In

Za

Zi

\piT,

oi

ta

z%

Jio

Qs

\Zß

Ps

Rys. 59.

'Tn

Vm

Tk

tp

Z;

M2

M:i

Za.

bs

ds

0* i

3s

Os

Cs

âs

2S:

ls/t

ta.

0°

4x

Rys. 60.

c) Narysować perspektywę kwadratu, który leży na wyznaczonej śladami tn i Za płaszczyźnie, a którego długość boku jest dana (rys. 60). Kład płaszczyzny zbiegu płaszczyzny a na tło sprowadzi oko do punktu 0°. Przyjęty dowolnie na śladzie zn punkt Zx uważamy za ślad zbiegu pary równoległych boków kwadratu; śladem zbiegu drugiej pary boków będzie punkt Z%, w którym prostopadła, wykreślona w punkcie 0° do pro-

mienia O⁰Z1? przecina ślad zbiegu za. Łuki kół, zakreślone z punktów Zx i Z₂ jako środków, promieniami Z₁ 0° i Z₂ 0°, przetną ślad zbiegu za w punktach mierzenia Mx i kierunków, odpowiadających śladom zbiegu Zx \ Z₂.

Na wykreślonej przez punkt Zx prostej as przyjmiemy punkt ls, a uważając go za perspektywę wierzchołka kwadratu, rzucimy z punktu Mx na ślad tło wy ta, oznaczając ten rzut przez Iх. Odmierzymy odcinek Iх2X, równy danemu bokowi kwadratu, i punkt 2X rzucimy z punktu Mx na prostą a₈, otrzymując tam perspektywę 2S drugiego wierzchołka kwadratu. Punkty ls i 2S połączymy ze śladem zbiegu Z₂

Zł Za

Мг *

A,

Lt

Mi Qm

Za \ Z2

Es

CO

Æs

bs

Qs\

C/s

as'

: ls

f90

Cs

-,M¹

\3s

Os

Es

■4s

tfi

Cs

Gs

rpm

Zß

Z⁷

Je

₂x

La

1X 1x

4x

tcc

Rys. 61.

prostemi cs i ds, a punkt ls rzucimy i{iadto z punktu M₂ na tu. Odmierzywszy 1X4X = 1X2X, połączymy punkt 4X z punktem M₂ prostą, która przetnie promień cs w punkcie 4S. Prosta 4S — 3S — Zx dopełnia rozwiązania zadania.

d) Wykreślić perspektywę sześcianu, którego długość krawędzi jest dana, a który stoi na danej śladami płaszczyźnie a (rys. 61). Perspektywę 1S2S3S4₈ kwadratu, leżącego ną płaszczyźnie a i stanowiącego podstawę sześcianu, wykreśliliśmy zupełnie w ten sam sposób, jak w zadaniu poprzedniem. Boczne krawędzie) sześcianu posiadać będą wspólny ślad zbiegu Za⁹⁰, który otrzymamy, jako punkt przecięcia się prostej A — 0° z prostopadłą, wykreśloną w punkcie Ox do promienia Ox — A.

Połączmy punkty 1S, 2S, 3S i 4S zè śladem Z„⁹⁰ i przystąpmy do wyznaczenia perspektywy wysokości sześcianu. W tym celu przyjmiemy na prostej cs dowolny punkt Ą, połączymy go ze śladem Z«⁹⁰ prostą n8 i odmierzymy na niej odcinek Ps — Qs, równy perspektywie długości kra-

wędzi sześcianu. Długość tę moglibyśmy odmierzyć na proste] prostopadłej, poprowadzone] w którymkolwiek z wierzchołków kwadratu, stanowiącego podstawę sześcianu. Nie uczyniliśmy tego jedynie ze względu na chęć otrzymania możliwie najbardziej przejrzystego rysunku.

W celu otrzymania odcinka P,Q,, poprowadźmy przez prostą n płaszczyznę. Ponieważ ślad tłowy prostej n nie jest nam znany, więc przetniemy ją prostą e, leżącą na płaszczyźnie a, a przechodzącą przez punkt P. Jako ślad zbiegu prostej e przyjęliśmy punkt A; ślad tłowy Te leży na śladzie tłowym /„, płaszczyzny a. Płaszczyzna, przechodząca przez proste n i e, jest prostopadłą do tła; jej śladami są proste tp i zp.

Kład płaszczyzny zbiegu płaszczyzny ß sprowadzi na tło oko, które zajmie położenie punktu Ox. Koło zakreślone z punktu Z„⁹⁰, jako środka, promieniem Za⁹⁰Ox, jest kołem mierzenia dla kierunku, określonego śladem Za⁹⁰ i przecina ślad zp w punkcie mierzenia ił/⁹⁰. Z punktu tego rzucimy punkt Ps na ślad tp, odmierzymy P"‘Qm, równe długości krawędzi sześcianu i punkt Qm połączymy z ił/⁹⁰. Na prostej ns otrzymamy punkt Qs, który łączymy ze śladem zbiegu Z,. Promień Z\ — Q„ przecina proste ls — Z<?° i 4S — Za⁹⁰ w punktach Is i 1VS, stanowiących perspektywę dwóch wierzchołków sześcianu. Promienie I, — Zy i IVS — Zx przetną proste 2S — Z(l⁹⁰ i 3S — Zn⁹⁰ w punktach 1IS i III,, które leżą na prostej, przechodzącej przez punkt Z₂.

Przy założeniu, że korzystanie z punktu Za⁹⁰ nie jest możliwe, znajdziemy punkt mierzenia ił/⁹⁰ w sposób następujący: równolegle do zp poprowadzimy prostą, która przetnie prostą Ox — Z„⁹⁰ w punkcie Z¹. Łuk koła, zakreślony z punktu Z¹ promieniem Z¹ — Ox, przetnie ową równoległą do zp w punkcie ił/¹. Promień Ox — Ml przecina prostą zp w punkcie M", trójkąty bowiem OxMlZl i OxM⁹⁰Za⁹⁰ są podobne.

~К~У N F-K

аз

if!

шт

ЮЬ

KVNtit<r

Rozdział И.

Zasady płaskiej perspektywy stosowanej.

17. Określenia i założenia. Z ogólnych rozważań nad odwzorowaniem perspektywicznem na płaszczyźnie, które w historycznym rozwoju stały się punktem wyjścia cennych dociekań teoretycznych i podstawą nowych dyscyplin matematycznych — wyodrębnić się da pewna kategorja zadań, stanowiących przedmiot praktycznego zainteresowania się architekta i malarza. Całą tę dziedzinę zadań perspektywicznych, mieszczącą się jako szczegóły w ogólnej teorji perspektywy, określamy nazwą perspektywy stosowanej.

Obejmuje ona wszystkie praktycznie ważne konstrukcje, a więc i te, które liczą się z koniecznością otrzymywania obrazów perspektywicznych na ściśle, pod względem wymiarów, ograniczonej płaszczyźnie rysunku.

Płaszczyzna rysunku, tło, ma w perspektywie stosowanej zazwyczaj położenie pionowe (rys. 63), pokrywając się z położeniem obrazów, umieszczanych przeważnie na pionowych ścianach wnętrz. Tło pionowe nie jest jednak regułą; w malowidłach sufitowych np. ma ono położenie poziome, co zresztą nie wpływa w żadnym stopniu na zmianę metod konstrukcyjnych. O ile tego w poszczególnych wypadkach wyraźnie nie zaznaczymy, to, mówiąc o tle, mieć będziemy zawsze namyśli jego położenie pionowe.

Środek rzutu, czyli oko, umieszczone jest z reguły przed tłem. Promień, poprowadzony z oka prostopadle do tła, nazywa się promieniem

Rysunek prof. Tadeusza Obmińskiego.

obszar

Ко

obserwowany

(И y

\-Zf,

A/h

iS

//Os (punkt główny) V !    ! i J-— "

oko

pi. horyzontu

zr-

str prawa

/m.

4P?

4/

q_

Mą

ЛУО' ; vystanowisko

-s

pl.podstawy

77

obszar istotny

Л,

obszar pośredni

obszar geometryczny

Rys. 63.

głównym, a punkt przebicia się tego promienia z tłem — punktem głównym (ust. 2, str. 2). Odcinek OOs wyraża oddalenie oka od tła, czyli t. zw. głębokość tłową.

Pozioma płaszczyzna a, wyobrażająca w perspektywie stosowanej płaszczyznę terenu, podłogi,* sufitu lub zwierciadła wody, nosi nazwę płaszczyzny podstawy. Linję p, wzdłuż której płaszczyzna ta przecina tło, nazywać będziemy linją przyziemną, linją podstawy lub krótko podstawą.

Jeżeli poszczególne punkty przedmiotu, leżącego za tłem, połączymy promieniami widzenia z okiem, to punkty przebicia się tych promieni z tłem utworzą na nim perspektywiczny obraz danego przedmiotu.

Jako ilustracje tego sposobu otrzymywania perspektyw, posłużyć mogą drzeworyty Albrechta Diirera (1471 —1528), reprodukowane tu jako rys. 64, 65, 66. Na każdym z nich widzimy pionową płaszczyznę tła i ustalone wobec niego, zapomocą pionowego pręta z otworem, oko.

W rys. 64 uzmysłowione jest powstanie perspektywy postaci siedzącej, jako miejsce geometryczne punktów przebicia się promieni widzenia ze szklaną taflą, stanowiącą tło.

Rys. 65 podaje tę samą metodę, tylko otrzymane perspektywy punktów przenoszone są na papier za pośrednictwem spółrzędnych. Nitka, łącząca pewien punkt lutni z okiem, które przyjęte jest na prawej ścianie pokoju, przebija płaszczyznę ramy, stanowiącej tło, w pewnym punkcie. Rysownik odmierza oddalenie tego punktu od jednej kra-

вир

Ж

i.

й-j!

'((I’ll

ib

'Щ

fi

■■■

wMmĘL*

Щшш

.n

Г W'

Wz£.

хШш

w,

liki

W)

jps?

»5S&

li

mc

Sr

_^7

т,«

шит

■

\wÊm.

msm

wf

kjga

mm

EEF^r

Rys. 64. А. Dürer: Rysowanie postaci siedzącej.

wędzi pionowej ramy i od jednej krawędzi poziomej ispółrzędnete przenosi na zaznaczony na rycinie arkusz rysunkowy. Tym sposobem odtwarza on, punkt po punkcie, rysowany przedmiot i punkty te następnie łączy.

Jeszcze inaczej radzi sobie rysownik przedstawiony na rys. 66. Na pionowej szklanej płaszczyźnie tła wyrysował on kwadratowe pola. Taki sam co do powierzchni i w ten sam sposób, jak tafla szklana, pokratko-wany papier umieścił przed sobą na stole. Patrząc przez otwór pionowego pręta, ustalającego położenie oka, widzi rysownik punkt odtwarzanego przedmiotu w polu jednego z kwadratów. Oddalenie tego punktu od boków kwadratu ocenia okiem i przenosi je następnie w odpowiedni kwadrat na papierze.

Wróćmy do rys. 63.

Pozioma - a więc równoległa do płaszczyzny podstawy - płaszczyzna /, poprowadzona przez oko, nosi nazwę płaszczyzny horyzontu. Przecina ona tło wzdłuż prostej h, zwanej linją horyzontu lub krótko horyzontem. Horyzont przechodzi przez punkt główny O, i jest równoległy do podstawy.

Płaszczyzna horyzontu jest płaszczyzną zbiegu, a horyzont śladem zbiegu wszystkich płaszczyzn poziomych (ust. 4, str. 9).

Rzut prostokątny O' oka na płaszczyznę podstawy nazywać będziemy stanowiskiem. Płaszczyzna £, poprowadzona przez oko równolegle do

Д—'

rJbJl

g=*Ż=|gĘl

.....— ••

m.

Rys. 65. A. Dürer: Rysowanie lutni.

tła, zwana płaszczyzną zniknienia (ust. 4, str. 8), przecina płaszczyznę podstawy wzdłuż prostej n, która nosi nazwę śladu zniknienia.

Odległość horyzontu od linji podstawy, równa oddaleniu oka od płaszczyzny podstawy i równa odcinkowi 00’, nazywa się wysokością horyzontu.

Tło i płaszczyzna zniknienia dzielą przestrzeń na trzy obszary: obszar geometryczny, obszar pośredni i obszar istotny. Pierwszy leży przed płaszczyzną zniknienia, drugi zawarty jest między płaszczyzną zniknienia i tłem, a obszar istotny rozciąga się za tłem. Obszary istotny i pośredni tworzą łącznie obserwowany obszar przestrzeni.

na

Pionowa płaszczyzna, przechodząca przez oko i prostopadła do tła, przechodzi przez główny punkt Os i stanowisko O’ i zwie się główną płaszczyznąpionu. Dzieli ona przestrzeń na dwie części : lewą i prawą, albo, jak się też często wyrażamy, na obszar po lewej, względnie prawej stronie horyzontu. Linja przecięcia się głównej płaszczyzny pionu z tłem nazywa się główną linją pionu. Prosta q, wzdłuż której główna płaszczyzna pionu przecina płaszczyznę podstawy, dzieli tę ostatnią część lewą, znajdującą się po lewej ręce obserwatora, umieszczonego wzdłuż prostej O — O', a zwróconego twarzą ku tłu, i na część prawą.

''

mm

IM

ÏÏS

gd

..Qi.,

ЖГ ,    •    ,

Mis

.Mli

i*"-

gŁ-'

№[

ÿl

1?§К³

ÄV

шй

•.

./

ирщр§4^~

^Tjgwjf

№«WPW

gggEI

шиш

"i

.■«ft

Rys. 66. А. Dürer: Rysowanie postaci leżącej.

Z rys. 63 widzimy, że w odniesieniu do danego tła i oka położenie płaszczyzny podstawy jest wyznaczone linją podstawy p, równoległą do horyzontu h. Płaszczyzna ta przejdzie mianowicie przez podstawę p, równolegle do płaszczyzny horyzontu, którą poprowadzimy poprzednio poziomo przez oko.

Koło K, zakreślone na tle z punktu głów-nego Os, jako środka, promieniem OOs — ó, równym głębokości tłowej, nazwane w ust. 2, str. 3 kołem głębokości, przecięte jest horyzontem w punktach Zf i Zf. Punkty te nazywać będziemy punktami głębokości.

Jeżeli płaszczyzna tej karty będzie uważana za tło, a przyjęty na niej punkt O,, (rys. 67) za punkt główny — to linja pozioma h, poprowadzona przez punkt Os, będzie horyzontem. Prosta p, wykreślona równolegle do horyzontu, w odległości równej przyjętej wysokości horyzontu, jest linją podstawy.

Koniecznym warunkiem, umożliwiającym otrzymanie określonych, t. j. jednoznacznych obrazów perspektywicznych, jest ustalenie położenia oka względem tła. Prócz punktu głównego Os, który określa położenie promienia głównego, przechodzącego przez ten punkt prostopadle do tła, potrzebna jest jeszcze znajomość głębokości tłowej. Przypuśćmy, że głębokość tę znamy, jako odcinek ó, to w takim wypadku oko znajduje się nad płaszczyzną karty, w odległości ô na prostopadłej, poprowadzonej w punkcie głównym Os. Rolę odcinka ô spełni koło oddalenia, zakreślone z punktu Os promieniem równym temu odcinkowi. Punkty Zf i Zf są punktami oddalenia.

Z rozważań ust. 3 wynika, że punkty głębokości — odgrywają one w perspektywie stosowanej szczególnie ważną rolę — są śladami zbiegu

zf

Os

zf

P_

Rys. 67.

wszystkich prostych poziomych, nachylonych do tła pod kątem 45°. Proste te nazywać będziemy przekątnemi. Punkt Zf jest lewym a punkt Zf prawym punktem głębokości¹).

Oddalenie punktu, przyjętego w przestrzeni, od głównej płaszczyzny pionu nazywamy jego „szerokością“, jego oddalenie od tła „głębokością“ a odległość od płaszczyzny podstawy „wysokością“.

Z punktu M (rys. 63), przyjętego na płaszczyźnie podstawy, poprowadzimy prostopadłą do podstawy p i takąże linję do prostej q; otrzymany odcinek MMq jest „szerokością“ a odcinek MMP „głębokością“ punktu M.

Punkty, leżące w obszarze istotnym, mają głębokości „dodatnie“, wszystkie inne „ujemne“. Szerokości punktów, leżących po prawej stronie horyzontu, określamy jako dodatnie; punkty leżące po lewej stronie horyzontu mają szerokości ujemne. Wysokości punktów, znajdujących się nad płaszczyzną podstawy, są „dodatnie“, wobec czego punkty, należące do obszaru pod płaszczyzną podstawy, posiadają wysokość „ujemną“.

18. Proste prostopadłe do tła. Proste przekątne. Podziałka perspektywiczna, a) Przyjmijmy na płaszczyźnie podstawy prostą a, prostopadłą do tła (rys. 68), a na niej szereg punktów 1, 2, 3, ..., w równych od siebie odstępach, stanowiących p o-działkę.

Prosta a przebija tło w punkcie Ta, który jest jej śladem tłowym; śladem zbiegu tej prostej jest punkt główny (ust. 3, str. 5). Prosta as, łącząca punkt Ta z punktem głównym Os, jest perspektywą prostej a. Promienie, łączące punkty J, 2, 3, ... prostej a z okiem, przecinają prostą as w szeregu punktów 1₈, 2S, 3S, ..., które

a -Z

Zf

Zf

7x

]45°

Os

Jas

'30

1X

zx

45°

-1°

a°

2°

Rys. 68.

<JT

*) Najwłaściwszem byłoby oznaczanie punktów głębokości symbolami Gt i G₂. Aby jednak stale przypominać czytelnikowi fakt, że punkty te są śladami zbiegu poziomych prostych, nachylonych do tła pod kątem 45° (prostych przekątnych), poświęciliśmy racjonalność takiego oznaczania na rzecz dydaktyki i stosujemy w większości rysunków znaki Zf i Zf.

stanowią perspektywę podziałki prostej a, czyli t. zw. podziałkę perspektywiczną. Odcinki Tals, 1S2S, ..., które są perspektywami równych odcinków prostej a, nazywać będziemy perspektywicznie równemi. Proste poprowadzone przez punkty podziału 1,2,... prostej a, pod -5C 45° do linji podstawy p (proste przekątne), przecinają ją w szeregu punktów Г, 2X, ... przystającym do szeregu na prostej a. Przekątne te posiadają wspólny ślad zbiegu, którym jest lewy punkt głębokości Zf. Ich perspektywą jest więc pęk promieni o wierzchołku Zf, którego ele-

N

^ л

Oi

//

Си

<0

''ч

Со

-к

«е—:

a°

ł°

Rys. 69.

menty przechodzą przez ślady tło we Iх, 2X, ... i punkty ls, 2S, ... po-działki perspektywicznej. Drugi pęk równoległych promieni, dający się poprowadzić przez punkty 1,2, ... pod 45° do podstawy p, wyznaczy na niej szereg punktów lx, 2X, ..., które, połączone z drugim, prawym, punktem głębokości Zf, dadzą nam pęk promieni. Elementy tego pęku przechodzą przez punkty ls, 2S, ... podziałki perspektywicznej.

Sprowadźmy płaszczyznę a wraz z prostą a zapomocą obrotu około prostej p na tło, czyli wykonajmy kład płaszczyzny a. Prosta a zajmie położenie prostej a° (rys. 69), prostopadłej do p. Szeregi punktów Г, 2°, ..., Iх., 2X, ..., lx, 2X, ... i 1, 2, ... są przystające Drugi z tych szeregów, połączony z lewym punktem głębokości Zf, wyznaczy na prostej as podziałkę perspektywiczną, którą otrzymać także można, łącząc elementy szeregu lx, 2X, ..., biegnącego na lewo od śladu tło-wego Ta, z prawym punktem głębokości.

Rozumowanie powyższe, poparte poglądowym rysunkiem 68, pozwala nam rozumieć bez dalszych wyjaśnień rys. 69.

Oczywiście, że tym sposobem rozwiązane zostało i zadanie odwrotne, t. j. wyznaczenie prawdziwej długości odcinka prostej a prostopadłej do tła, którego perspektywa aN jest dana. Jeżeli bowiem punkty

końcowe perspektywy odcinka np. ls i 3S (rys. 69) rzucimy z punktu oddalenia np. Zf na podstawę p, to otrzymany tam odcinek Iх3X wyraża

prawdziwą długość odcinka 1, 3.

b) Przypuśćmy, że ograniczona płaszczyzna rysunkowa nie pozwala na przedłużenie, na prostej p, szeregu punktów Iх, 2х, 3X poza punkt 3X (rys. 70) — to wówczas dalsze punkty 4S, 5S, ... podziałki perspektywicznej znajdziemy w sposób następujący: Z punktu 2S wykreślimy prostą p równoległą do p, zaznaczymy na niej punkt 3x i odmierzymy 3y4'K = 4^5’K = ... = 2s3'K. Promienie łączące punkty 4y, 5x, ... z lewym punktem oddalenia przetną prostą as w punktach 4S, 5S, ... podziałki perspektywicznej. Geometryczne uzasadnienie konstrukcji leży w tern, że szereg 2х, 3X, ... na prostej p, jest podobny do szeregu 2S, 3*, ... na prostej p, a ponieważ odcinki pierwszego szeregu są między sobą równe, więc ten sam stosunek zachodzić będzie między odcinkami szeregu drugiego.

Z45

Os

2s-

3sj

4s

5s

as

PP

Ta

/г

1*

2*

Rys. 70.

Os

Z?

co

cLs

As

Cuć,

/в

'Zs

AV iy 2*b\jk

IV)

Co

2°

Rys. 71.

Rys. 72.

T°

c)    Rys. 71 przedstawia perspektywę dwóch prostych prostopadłych do tła, na których znajdują się podziałki perspektywiczne w rzeczywistości przystające. Odcinek AB leży na tle i wyraża się wskutek tego w swej prawdziwej długości. W miarę oddalania się odcinka od tła, przy zachowaniu równoległości względem swego pierwotnego położenia, perspektywa jego maleje.

d)    Widzimy więc, że punkt głębokości umożliwia narysowanie podziałki perspektywicznej o danej jednostce podziału, ale także i podział danego odcinka w pewnym stosunku lub na pewną ilość części. Jeżeli bowiem zadaniem naszem byłby podział odcinka AsTa na trzy perspektywicznie równe części (rys. 72), to punkt - rzucimy z punktu

oddalenia na linję podstawy p, przez punkt Ax wykreślimy w dowolnym kierunku prostą q, odmierzymy na niej trzy równe odcinki dowolnej długości, punkt końcowy T° połączymy z punktem Ta, a przez punkty podziału 1° i 2° poprowadzimy równoległe. Rzuty 1₈, 2S punktów Iх i 2X z punktu Zf na prostą as rozwiązują zadanie.

e) Gdy punkt głębokości leży poza obszarem płaszczyzny rysunkowej, co jest — jak zobaczymy z dalszego ciągu wykładu — regułą, to wówczas do perspektywicznego podziału odcinka zastosujemy konstrukcję planimetryczną, podaną na rys. 73 a.

Z punktu końcowego A, danego odcinka AB, wykreślimy prostą q, na której odmierzymy żądaną ilość równych sobie, ale dowolnej długości odcinków. W naszym przykładzie przyjęliśmy trzy odcinki. Końcowy punkt III łączymy z punktem В naszego odcinka, a przez punkty Iх i IIх kreślimy równoległe do A B. Otrzymamy punkty / i II, przez które prowadzimy równoległe do q, wyznaczające na odcinku А В punkty podziału 1 i 2.

B,

'a

1,

1* P Ш

b.)

As

Os

2s

Bs

1s

Rys. 73 a, b.

âsy

2s

МШ

.-•>v *

? ^

Rys. 74.

Jeżeli rysujemy w perspektywie (rys. 73 b), a odcinek ATВ jest prostopadły do tła, to konstrukcja podziału odcinka ASBX na trzy perspektywicznie równe części zmieni się, w porównaniu z rys. 73 a, tylko

zf

Oe

o tyle, że proste Г /, 1ГII, ..., jako równoległe, będą miały wspólny ślad zbiegu, którym jest punkt główny Os.

Rys. 75.

Fotogram, oznaczony jako rys. 74, jest przykładem perspektywy wiązki prostych, prostopadłych do tła.

19. Zadania, a) Wykreślić perspektywę ornamentu, leżącego na płaszczyźnie poziomej, złożonego z 64 pól kwadratowych ; bok kwadratu wynosi 1 dm (rys. 75).

Os

lGi_h

GA

Na linji podstawy p odmierzymy 8 dm w żądanej podziałce rysunku i połączymy punkty 0, 1, 2, ... z punktem głównym. Prosta, łącząca punkt 0 z punktem Zf, jest perspektywą przekątnej wszystkich kwadratów i przecina poprzednio wykreślone proste w punktach, będących perspektywami wierzchołków kwadratów. Równoległe do horyzontu, wykreślone przez te punkty, dopełniają rozwiązania zadania.

Cs

.Ds

As,

'Bs

b) Wykreślić perspektywę prostokąta o danych bokach a i b, leżącego na płaszczyźnie poziomej tak, że bok dłuższy jest równoległy do tła (rys. 76).

A⁰/ D\

B° p

B*,

Dłuższy bok a odmierzymy na linji podstawowej p i punkty końcowe A° i B° połączymy z punktem głównym Os.

Rys. 76.

Na prostej АЮ., przyjmiemy dowolnie punkt As, który uważać będziemy za perspektywę jednego wierzchołka prostokąta i wykreślimy prostą równoległą do horyzontu, otrzymując na prostej B⁽⁾0.s obraz Bs, wierzchołka i? prostokąta. Punkt Bs rzucimy z punktu oddalenia G₂ na podstawę i odmierzymy BXDX = b. Prosta Dx— G₂ przetnie prostą Z?° — Os w punkcie D który jest obrazem trzeciego wierzchołka prostokąta. Równoległa do p, wykreślona z punktu Ds, wyznacza na A° — Os punkt Cs, dopełniający rozwiązania zadania. Trapez ASBSCSDS jest perspektywą danego prostokąta.

Oso-

Rys. 77.

Wymiary równoległe do linji podstawy nazwaliśmy „szerokościami“, a wymiary prostopadłe do nich, a więc prostopadłe do tła, „głębokościami“ (ust. 17, str. 44). Z rys. 68 i 76 widzimy, że punkt główny umożliwia odmierzanie „szerokości“ a punkty oddalenia — „głębokości“.

c) Wykreślić perspektywę ornamentu krzywolinijnego, leżącego na płaszczyźnie sufitu. Kład tej płaszczyzny wraz z ornamentem na tło, horyzont h, podstawa p (linja przecięcia się płaszczyzny sufitu z tłem), punkt główny Os. i lewy punkt oddalenia Zib są dane (rys. 77).

Przez charakte-

d°

A°

x:

ais

c°

a°

z.

'B°

As

C°j

ó°.

~ДТ\У

Cs

d:

is

.Cs

rystyczne punkty ornamentu, poprowa-Izimy proste równoległe, prostopadłe względnie nachylone pod 45° do linji podstawy. Tę siatkę linij znajdziemy w perspektywie, a miejsce geometryczne punktów przecięcia się odpowiednich promieni będzie rozwiązaniem zadania.

20. Konstrukcyjne zastosowanie części głębokości tłowej. a) W praktycznych rysunkach perspektywicznych zniewoleni jesteśmy — z przyczyn, o których mówić będziemy w Tomie drugim — do przyjmowania tak wielkich głębokości tłowych, że koło, a więc i punkty głębokości, leżą z reguły poza obszarem rysunku. W następstwie tego posługiwać się musimy zawsze konstrukcjami, które uwzględniają możność użycia tylko części danej głębokości tłowej.

Weźmy pod uwagę perspektywę as prostej a, prostopadłej do tła leżącej na płaszczyźnie poziomej (rys. 78), i odetnijmy na niej — od 'adu tłowego Ta począwszy — dany odcinek. Odcinek ten odmierzymy

na linji podstawy p i punkt końcowy Tm połączymy z punktem głębokości G₁ prostą ms. Prosta ta przetnie prostą as w punkcie As. Odcinek TaAs jest perspektywą odcinka, którego długość równa się odcinkowi TaTm.

Wykonajmy kład płaszczyzny poziomej na tło. Prosta a zajmie położenie prostej a°, prostopadłej w punkcie Ta do linji podstawy, zaś prosta m przejdzie przez swój ślad tłowy Tm jako prosta m°, zawierająca z linją p kąt 45°. Punkt A° przecięcia się prostych a° i m° będzie kładem na tło punktu A, w którym przecinają się proste aim.

Podzielmy odcinek Ta = Tu Tm w stosunku np. 1 : 3 i przez punkt podziału Aj'³ poprowadźmy prostą równoległą do prostej A°Tm. Otrzymany na prostej p punkt TM połączmy z punktem As. Prosta TM³ — As przecina horyzont w punkcie gm.

Z podobieństwa trójkątów AsOsG^3 i AsTaTM oraz trójkątów AaOaGt i AsTaTm wynika, że

OM?³ : 0Д = да : T7rm.

A ponieważ według założenia:

7T7frTw • Mt — 1-3

a m • -i a-L m    ¹ •

więc W = ł(0.»i).

Gr-Zt⁵ G’Ą

'As

0°

oft

М/з

Os

Gï³ h Gz=Zf

a°

as.

m’s³

TrfZ

Чп’о³

Aó³

ms

45°/

m⁰

Tm

Ponieważ odcinek OsGx równy jest głębokości tłowej ó, więc odcinek O MM jest trzecią częścią tej głębokości. Punkt GM dzieli więc głębokość tłową, odmierzoną od punktu głównego na horyzoncie, w tym samym stosunku, w jakim punkt TM³, głębokość punktu A, t. j. jego odległość od tła.

Punkt GM, względnie GM — ogólnie punkt Gmln

Rys. 78.

leżący na horyzoncie, nazywać będziemy punktem częściowej (ułamkowej) głębokości tłowej. Koło k'lz, współśrodkowe z kołem k, jest kołem częściowej (ułamkowej) głębokości.

Z powyższego widzimy, że zamiast punktu głębokości użyć możemy zawsze punktu częściowej głębokości, jeżeli równocześnie zmniejszymy, w tym samym stosunku, co głębokość tłową, głębokości punktów.

Rekonstrukcję przestrzenną rys. 78 uzmysławia rys. 79.

Oko O zbliżyliśmy do tła n о ²/з ô, oznaczając to jego nowe położenie przez 0,/з. Promień zbiegu OZf prostej m, nachylonej do tła pod kątem 45°, a leżącej na płaszczyźnie poziomej a — przesunie się równolegle do swego położenia i przejdzie w promień Oll3Zj<³. Koło głębokości k przejdzie w koło Ä1/:i.

Я⁻

zl⁵

Co

O’/s /

S-

C'

"•W

As\

ms/3

ms

- '"\45°s

Tm

_ А-/з- -

’/3

т1/з

Та

Rys. 79.

ó) Wyznaczyć na prostej a, prostopadłej do tła, podziałkę perspektywiczną, której jednostką jest odcinek m. Obszar rysunkowy dopuszcza użycie czwartej części danej yłębokości tłowej (rys. 80).

Na linji podstawy p odmierzymy pięć odcinków, równych czwartej części odcinka m i punkty końcowe 1,2, ... rzucimy z punktu częściowej głębokości Z₄₅1,J na prostą as. Punkty ls, 2S, ... są punktami po-działki perspektywicznej ; odcinki Tal₈, 1S2S, 2s3S, ... są perspektywicznie równe.

* Ta

V4

Z45

Os

Ss.

4s

<3<s

/5

Oj ,

Rys. 80.

c) Wykreślić perspektywę kwadratu, o danym boku a, przy użyciu połowy głębokości tłowej (rys. 81).

Bok a kwadratu odmierzymy na podstawie p, jako odcinek A°B° i punkty końcowe połączymy z punktem głównym. Przypuśćmy, że bok kwadratu — równoległy do tła — oddalony jest od niego o odcinek b. Odmierzymy A°AX = ^ i ^XCX = §, poczem punkty Ax i Cx połączymy z danym punktem Gji* połowy głębokości. Na prostej A° — Os otrzymamy punkty As i Cs, przez które kreślimy równoległe do horyzontu.

d) Wykreślić perspektywę ornamentu geometrycznego, złożonego z kwadratów, przy użyciu czwartej części głębokości iłowej (rys. 82).

W perspektywie narysujemy dany ornament w podwójnem powięk-

As

АУ \A*

szeniu.

Z#

Os

f)

Cs

Ds

Bs

C* p \B°

Rys. 81.

Os

yV4

4.45

& ь. К 63 te, s

,0123456

XXIs

'ms.

Ms)

Шв

y.

₇

Ÿ\ \ \ V■ \ ■ Y.N .У Л -Г

1    2    3    4    5

LJ

-Г

10

11

12    13

Rys. 82.

Użycie punktu Z₄> wymaga dzielenia każdego boku kwadratu siatki na cztery równe części. Otrzymane w ten sposób na podstawie p punkty podziału rzucimy z punktu Z₄₅1/4 na prostą O—Os, co umożliwi wykreślenie perspektywy siatki, a następnie perspektywy ornamentu.

21. Proste poziome, dowolnie nachylone do tła. a) Przyjmijmy na poziomej płaszczyźnie « (rys. 88) prostą a, nachyloną do tła pod kątem cp i przebijającą go w punkcie Ta. Promień, poprowadzony przez oko równolegle do prostej a, przebija tło w punkcie Zx

horyzontu h. Prosta as, łącząca punkty Ta i Zly jest perspektywą prostej a. Punkt Zx jest śladem zbiegu prostej a i wszystkich prostych do niej równoległych. Jeżeli prosta b, równoległa do prostej a, przebija tło w punkcie Tb — to prosta ThZ₁^bs jest perspektywą prostej b.

0°

I >/

Os

I

J-

Ps

cc

— Qs

Csi

-W/й

Tc i

a°

b°!

c°

st

Rys. 83.

Poziome i równoległe do siebie proste posiadają wspólny ślad zbiegu na horyzoncie. Każdy punkt linji horyzontu jest śladem zbiegu prostych poziomych. Jasna, zwężająca się ku horyzontowi, smuga korony mostu na rys. 84 przedstawia perspektywę prostych poziomych nie prostopadłych do tła.

Obróćmy płaszczyznę a (rys. 83) około linji podstawy p, w kierunku wskazanym strzałką tak, aby padła na tło, czyli wykonajmy jej kład. Podobnie obróćmy i płaszczyznę horyzontu około linji horyzontu na tło.

By

fcsb

Lr# i

Rys. 84.

Podczas tego obrotu oko zakreśli na głównej płaszczyźnie pionu*ćwierć koła, którego środkiem jest punkt główny Os, i padnie na tło, jako punkt O⁰.

Promień zbiegu OZx zajmie położenie 0° Д.

Kład płaszczyzny a sprowadzi na tło leżące na niej proste, które pozostaną równoległe do kładu promieni zbiegu. Równoległe proste a i b padną na tło, jako proste a° i ó°, równoległe do promienia 0°; prosta c, nachylona do tła pod kątem yj, padnie na tło, jako prosta c°, równoległa do kładu 0°Z₂ jej promienia zbiegu. Na poziomej płaszczyźnie a znajdują się proste o dwóch kierunkach: kierunek prostych a i b określony jest śladem zbiegu Zj, kierunek prostej c śladem zbiegu ZA. Kąt s, jaki tworzą te dwa kierunki, równy jest kątowi, jaki tworzą ich promienie zbiegu. Po sprowadzeniu płaszczyzn a i / na tło, kąt e pozostanie niezmieniony i równy kątowi, jaki zawiera prosta c° z prostemi a° i b°, względnie promień Z^O* z promieniem Z₂0° (porównaj rys. 85 z rys. 88).

b) Przyjmijmy na płaszczyźnie poziomej, wyznaczonej linją podstawy p i linją horyzontu h (rys. 86), prostą m, a na niej punkt M. Perspektywą prostej m jest prosta ms a punktu M — punkt Ms.

Kład płaszczyzny horyzontu na tło wyrazi się kładem 0° oka O

0°

Z/

Os

Cs.

P__Tc.

ЬУ'е

Ьб

(к

ÿ°

c°

P°y

Ps.

O.S

Tb

Ta

Rys. 85.

i promienia zbiegu 0°Zm prostej m. Kąt 0°Zm0s= cp jest równy kątowi, jaki prosta m zawiera z tłem. Prosta m°, wykreślona ze śladu tło-wego Tm, równolegle do promienia zbiegu 0"Zm, jest kładem prostej m na tło. Kład punktu M znajdziemy za pośrednictwem dowolnej prostej, przechodzącej przez ten punkt.

0°

Zm

9 Zb/[Gi Zd,

Os

G2

■Ms

ds

Cs Э-s/ ds bs

Tą/ Td

ms

Tc

Tm

!d° b

c°

a°

rh°

d°

7[

N°

Rys. 86.

Tak np. prosta as, łącząca punkt Ma z punktem głównym Os, jest perspektywą prostej, prostopadłej do tła, leżącej na płaszczyźnie poziomej. Jej kładem jest prosta a°, prostopadła do linji podstawy, przecinająca prostą m° w punkcie M°. Zamiast prostej as, można użyć prostej bs, której kładem na tło jest prosta 5°, równoległa do promienia zbiegu 0°Z„ i przechodząca przez punkt Th. Prosta cs jest perspektywą prostej, leżącej na płaszczyźnie poziomej, przechodzącej przez punkt Mi nachylonej do tła pod kątem 45°. Jej kład c° przejdzie przez punkt Tc, równolegle do promienia zbiegu 0°G₂ tworząc z linją podstawy kąt 45°.

Wykreślmy jeszcze prostą 0°MS. Punkt Zd, w którym prosta ta przetnie horyzont, uważajmy za ślad zbiegu, a punkt Td, w którym przetnie linję podstawy, za ślad tłowy prostej d, której perspektywa ds schodzi się z kładem jej promienia zbiegu. Kład d° prostej d zejdzie się wobec tego z prostą ds. Tak więc: kład O⁰ oka O na tło, perspektywa Ms punktu M i jego kład M° na tło leżą na jednej prostej (ust. IB, pkt c).

Jeżeli Ns jest perspektywą drugiego punktu prostej m, ograniczającego wraz z punktem M odcinek MN, to punkt №, w którym promień 0°NS przecina prostą m°, ogranicza wraz z punktem M° odcinek M°iV⁰, równy prawdziwej długości odcinka MN, którego perspektywą jest odcinek MSNS.

c) Rys. 87 przedstawia kład a° prostej a, przyjętej na płaszczyźnie poziomej — dokonany w kierunku odwrotnym, aniżeli w rysunku poprzednim. Płaszczyznę horyzontu obróciliśmy tak, że oko padło pod horyzont, wobec czego część prostej, znajdująca się w obszarze istotnym, padła po kładzie nad linją podstawy.

Przy pomocy kładu prostej i własności promieni, które przechodzą przez kład oka, perspektywy punktów tej prostej i ich kłady, odmierzać możemy na prostej żądane odcinki lub dzielić je w danym stosunku.

/1°

Za

Os

âs

В⁰

Ду

.3°

ßs

Та

Р_

a zada-

\0°

Rys. 87.

0°

Os

ms

,6s/

l4s

3s

2s

fs

5x

Tm

2x

8'k

m’n.

3x

4k

1k

m'o

mo^ßx

d) Jeżeli ms (rys. 88) jest perspektywą prostej m, zaś prosta m₀, równoległa do 0°Zm, jej kładem na tło niem naszem jest wyznaczenie na prostej i77s podziałki perspektywicznej (str. 45) — to odmierzywszy jednostkę podziałki na prostej m₀, począwszy od jej śladu tłowego Tm, rzucimy następnie punkty podziału lx, 2X, ... z punktu O⁰ na prostą ms. Licząc się z ograniczoną zawsze płaszczyzną rysunkową, nie przedłużymy podziałki na prostej m₀ poza punkt 2X, lecz z punktu ls wykreślimy prostą mi, równoległą do m₀, odcinek ls2'x przeniesiemy np. dwa razy, a punkty podziału 3X i 4X rzucimy z punktu 0° na prostą ms, otrzymując tam punkty podziału 3S i 4S. Gdyby chodziło o przedłużenie po- Zm działki perspektywicznej poza punkt 4g, to z punktu 3S wykreślimy znowu prostą mi' równoległą do m'₀, odmierzymy na niej podziałkę o jednostce 3S4X i punkty 5X, 6X ... rzucimy z punktu 0° na prostą ms.

Rys. 88.

Użycie prostych m'₀, mi', ... opiera się na założeniu, że punkty 4S, 3S, ... stają się śladami tłowemi prostej m, która porusza się równolegle do swego pierwotnego położenia w ten sposób, że jej ślad tłowy Tm zakreśla prostą ms. Wskutek tego szeregi punktów na równoległych prostych mQ, mi, тЦ, ... są podobne i podobnie położone, a ich środkiem podobieństwa jest ślad zbiegu Z,„. (Czytelnik winien odtworzyć z rys. 88 sytuację w przestrzeni),

e) Rys. 89 podaje konstrukcję perspektywy kwadratu, leżącego na płaszczyźnie poziomej, którego długość boku nie jest dana. Wykonawszy kład płaszczyzny horyzontu na tło i znalazłszy punkt 0°, przyję-

liśmy ślad zbiegu Zx, a następnie ślad Z₂ kierunku, prostopadłego do kierunku OZx. Kąt Z₁0°Z₂ jest więc kątem prostym. Dwusieczna tego kąta przetnie horyzont w punkcie Zp, który jest śladem zbiegu prostych, równoległych do dwusiecznej kąta prostego Zx O Z₂. Punkt ten nazywać będziemy punktem przekątnym. Dowolnie przyjęty punkt As, uważany za wierzchołek kwadratu, połączymy ze śladami Zx, Z₂ i Zp.

Punkt Bs, przyjęty na prostej AsZ₂, uważany za następny wierzchołek kwadratu, połączymy ze śladem Zx, a otrzymany na prostej ASZP punkt Cs ze śladem Z₂. Trapezoid ASBSCSDS jest perspektywą kwadratu, którego długość boku nie jest nam znana.

Z;

Ds

Zp Os

Zz

Ol

Bs

Rys. 89.

As \

90⁰

0°

D°<

A°

P_

Ж \F

P_

As

0°

is

DZ

Cs

Zi

Z/ Os z/

Zz

Rys. 90.

f) Rys. 90 przedstawia konstrukcję perspektywy prostokąta, leżącego na płaszczyźnie poziomej ponad horyzontem. Kłady płaszczyzny horyzontu i płaszczyzny poziomej na tło wykonaliśmy w dwóch przeciwnych kierunkach. Oko padło na tło, jako punkt 0°, leżący nad horyzontem, prostokąt, jako prostokąt A"B°C°D° nad linją podstawy. Promienie, wykreślone z punktu O⁰ równolegle do boków tego prostokąta, przetną horyzont w punktach Z\ i Z'₂. Punkty Zx \ Z₂, leżące na horyzoncie tak, że:

OsZx — OsZx i OsZ.2 — OsZ₂

są śladami zbiegu promieni równoległych do boków prostokąta. Gdyby kład płaszczyzny horyzontu dokonany był w tym samym kierunku, co kład płaszczyzny poziomej, na której znajduje się prostokąt — to wówczas punkt O⁰ leżałby pod horyzontem, a promienie wykreślone z niego» równolegle do boków prostokąta, przecięłyby horyzont wprost w śladach zbiegu Zx i Z₂. Zkolei połączymy punkty / i II ze śladem Zx, a punkt ///ze śladem zbiegu Z₂. Otrzymamy punkty As i Ba. Za pośrednictwem prostej, przechodzącej przez punkt D i prostopadłej do tła, otrzymamy punkt Ds. Perspektywą prostej D° — IV jest prosta IV—Os, która przecina promień ZX1I w punkcie Ds. Prosta DSZ₂ dopełnia rozwiązania zadania.

g) Przyjmijmy na płaszczyźnie poziomej dowolny wielokąt, np. kwadrat (rys. 91 a i /), i rzućmy go z punktu O, jako środka rzutów (oka), na tło.

Dla uzmysłowienia sobie tej i następnej operacji przedstawiliśmy na rys. 91 a sprawę w widoku z boku. Linja pionowa przedstawia tło, punkt O' rzut boczny oka, punkt 0's rzut boczny punktu głównego; prosta pozioma, przechodząca przez punkty O’ i Oś, jest śladem bocznym płaszczyzny horyzontu a punkt Oś = /' rzutem bocznym linji horyzontu, prostopadłej do płaszczyzny rysunku.

Na płaszczyźnie poziomej, oznaczonej w rzucie bocznym, jako „I pł. pozioma“, leży tedy kwadrat 1, 2, 3, 4, którego rzut boczny jest odcinkiem 2'4'. Odcinek 2's4's jest rzutem bocznym perspektywy 1S2S3S4S przyjętego kwadratu.

Obróćmy płaszczyznę horyzontu około linji horyzontu, jako osi obrotu, w kierunku wskazanym strzałką, na tło. Oko zajmie po tym obrocie położenie punktu 0°, którego rzut boczny oznaczony jest przez O'. Obrót płaszczyzny poziomej około linji podstawy p sprowadzi leżący na niej kwadrat na tło; rzut boczny tego kwadratu jest odcinkiem 2'4'.

Widok na płaszczyznę tła, którą jest płaszczyzna rysunku, przedstawia rys. 91/, gdzie mamy linję horyzontu h, linję podstawy p, punkt główny Os, kład 0° oka na tło, kład 1° 2° 3° 4° kwadratu i jego perspektywę 1S2S3S4S, narysowaną przy pomocy śladów zbiegu Z{ i Z, i śladów tłowych / II III IV.

Czworokąt 1S2S3S4S jest perspektywą nietylko kwadratu 1, 2, 3, 4, ale także każdego kwadratu, powstałego z przecięcia ostrosłupa o wierzchołku O i podstawie 1, 2, 3, 4 płaszczyzną równoległą do poziomej płaszczyzny podstawy. Poprowadźmy drugą płaszczyznę poziomą, oznaczoną w rzucie bocznym (rys. 91 a), jako „II pł. pozioma“, i przecinającą wspomniany ostrosłup w kwadracie l₁2₁3₁4i. Obróćmy teraz tę II pł. poziomą około krawędzi px, jaką tworzy z tłem, wraz z kwadratem 1г 2X 3X 4\ na tło. W widoku zprzodu (rys. 91/) otrzymamy kwadrat 1\2\3\4\, którego boki, równoległe do boków kwadratu 1Q2°3⁰4°, przecinać będą nową linję podstawy px w punktach Ix IIX IIIX IVi.

Wiadomo, że dwa równoległe płaskie przekroje ostrosłupa są wielokątami podobnemi i że powierzchnie tych przekrojów mają się do siebie tak, jak kwadraty ich odległości od wierzchołka ostrosłupa.

Ob

0«

z,

4P

pt. horyzontu,    Ob =Ji '

Upł. pozioma

Zi

0'

Os

p?

w,

ir\

4?.

P'XSA'i

Se.

4P

WÏÏ

. 1°.

ß?

ДА1/

Ipt.pozioma

zr

J,

ó'\ \r

P_

2b

2°

16

1°

a.)

Г&'

o°

b.)

4b

4°

Rys. 91 a, b.

Oznaczmy powierzchnię kwadratu, leżącego na I pł. poziomej, literą P, powierzchnię kwadratu na II pł. poziomej znakiem Pu oddalenia wierzchołka O ostrosłupa od jego obu podstaw przez w i wx, to:

УР

P : Pt = w² : w\

Oznaczmy bok większego kwadratu literą a, mniejszego ax, to ponieważ ⁻^

powierzchnie dwóch podobnych wielokątów mają się do siebie, jak kwadraty z ich odpowiadających sobie boków, więc:

P: pt =a² : a\

a zatem

a : ax = w : w₁

1)

Ponieważ w oznacza oddalenie linji horyzontu od linji podstawy p, zaś - oddalenie linji horyzontu od linji podstawy px — przeto zamiast kwadratu o boku a na I pł. poziomej przyjąć można kwadrat o boku at na II pł. poziomej i znaleźć jego perspektywę. Perspektywa ta będzie zarazem perspektywą kwadratu o boku a na I pł. poziomej. Jeżeli perspektywę ls 2S 3S 4S kwadratu narysowaliśmy przy pomocy kwadratu o boku alt to prawdziwą długość boku narysowanego kwadratu obliczymy z równania (1):

a = at .

w₁

h) Perspektywę ornamentu, złożonego z umiarowych sześciokątów, wykreśliliśmy na rys. 92. Po sprowadzeniu płaszczyzny horyzontu na tło, oko padło poniżej horyzontu, jako punkt O⁰. (Czytelnik zechce dodać u góry litery O znaczek zero). Promienie wykreślone z punktu O⁰, pod kątem 60° do horyzontu, przecinają go w punktach Z\Q i Z które są śladami zbiegu prostych, nachylonych do tła pod kątem 60°. Ponieważ po-działka rysunku jest dana, a nadto określona jest długość boku sze-ściokąta, jako równa 1 dm, więc odmierzywszy pewną ilość tych dni na linji podstawy p, znajdziemy perspektywy sześciokątów przy pomocy śladów zbiegu Zf i Zf w sposób, który czytelnik odtworzy z łatwością z rysunku.

22. Częściowe ślady zbiegu, a) Przyjmijmy na płaszczyźnie poziomej prostą a, nachyloną do tła pod kątem (p ; jej perspektywą jest prosta as (rys. 93), zaś prosta O°Za, kładem jej promienia zbiegu na tło.

Zbliżmy oko do tła na odległość | i poprowadźmy przez punkt O₀I,s promień równoległy do 0° — Za Otrzymany na horyzoncie punkt Zf¹-¹, nazywać będziemy częściowym śladem zbiegu kierunku a. Po-

zr

zr

604

Os

00

Rys. 92.

Zf h Zf

60Z

X/

в dm

P_

łączmy ślad tło wy Ta prostej a z punktem głównym 0S, a przez punkt Z A3 wykreślmy prostą as¹'³ / / a,.

Z podobieństwa trójkątów OsZaliTal3 i OsZaTa wynika, że:

: Qja = 1 : ³ = ÖJV¹³ : OX

0°

t. zn., że punkt Ta<³ dzieli odcinek OsTa w tym samym stosunku, co punkt Zal3 odcinek OsZa. Dowolny promień, wykreślony z punktu Os, przecina prostą as w punkcie As, a prostą a/!³ w punkcie ^4S1/3, przyczem:

: OTAs = 1:3 = ŹjA^³ : ZJls

Oo/3

"A

Za

Os- 3

ćis

P_

Ta

b) Równie często, jak punkty głębokości, leżą i ślady zbiegu poza obszarem rysunku, co pociąga za sobą potrzebę posługiwania się częściowemi śladami zbiegu i kreślenia przy ich pośrednictwie perspektyw prostych.

Rys. 93.

o¹ł

Os

AÏ⁴

aï⁴

Z rys. 93 wynika, że gdy dany jest częściowy ślad zbiegu, a punkt As mamy połączyć ze śladem właściwym, to najpierw łączymy go z punktem głównym. Następnie odcinek O, A, dzielimy punktem AA³ w tym samym stosunku, w jakim częściowy ślad zbiegu dzieli odcinek, ograniczony punktem głównym i właściwym śladem zbiegu, więc na rys. 93 w stosunku 1 : 3. Szukana prosta as przejdzie przez As równo-legie do prostej as1/3, łączącej punkty AA³ i Zal3. — Rozwiązanie tego samego zadania przy użyciu częściowego śladu zbiegu Za1/4 podaje rys. 94.

âe

'As

Rys. 94.

c) Przykładem zastosowania częściowych śladów zbiegu do wykreślenia perspektywy kwadratu jest rys. 95. Przy danej trzeciej części głębokości tłowej, przyjęliśmy częściowy ślad zbiegu Z,1/3 i wyznaczyliśmy częściowy ślad Z₂'/3 kierunku prostopadłego. Wyjdziemy z perspektywy As wierzchołka kwadratu. Punkt ASA, ograniczający trzecią część odcinka AsOs, połączymy ze śladami ZA³ i ZA³ prostemi, do których wykreślimy równoległe z punktu Aa. Przyjęty na jednej z nich punkt ВH połączmy z punktem Os i na odcinku tym odmierzmy jego trzecią część OsBs'¹³. Zkolei wykreślimy z punktu Bs równoległą do prostej Bs',3Zil3. Dwusieczna kąta Z₁1/3O₀,/3Z₂,/3 przetnie horyzont w punkcie Z,/'³, który jest częściowym śladem zbiegu prostych, równoległych do przekątnej

Cs

Ds

Bs

Za

A°i

Oo\

90°

fP

As

zï³

Rys. 95.

zP

U/aP

0°

Os

as

As

До³

a°

rysowanego kwadratu. Właściwy ślad zbiegu Zp leży w potrójnej odległości OsZpl3 od punktu głównego Os. Połączmy ślad Z,,'¹'-' z punktem Д//з a ślad Zp z punktem Д,.. Otrzymamy punkty Д.1/з i Ds, leżące na promieniu, przechodzącym przez punkt Oe. Promień Z₂'l3Ds1,3 przecina promień B^Z^³ w punkcie Cs1/3; prosta równoległa do promienia Z₂,/;1 ZV,3> przechodząca przez punkt Z>s, dopełni rozwiązania zadania wyznaczeniem punktu Cs, który wraz z punktem Cslja i punktem głównym leży na jednym promieniu.

d) Obróćmy przyjętą na płaszczyźnie poziomej prostą a na tło. Otrzymamy prostą a °, równoległą do promienia, łączącego ślad zbiegu Z., z kładem O⁰ oka

'SA Ta

Rys. 96.

(rys. 96). Jeżeli punkt ZP³ jest częściowym śladem zbiegu kierunku a, to punkt Tp — w którym prosta a^³, wykreślona z punktu Zp³, równolegle do prostej aN, przecina odcinek OsTa — dzieli ten odcinek w tym samym stosunku, co punkt Zp odcinek OsZa. Punktowi AJ13 prostej ap, odpowiada na prostej as punkt As którego odpowiednikiem na

prostej a₀ jest punkt A°, leżący — jak wiemy — na promieniu, łączącym punkt 0° z As. Wykreślmy przez punkt T[³ prostą a₀1/3//a° i rzućmy punkt As¹¹³ z punktu Oo¹'³ na prostą а₀1/з, jako punkt Л₀1/3.

Z podobnych trójkątów OsAsTa i О.А^Тф'³ wynika, że:

O^Äj³:Ö[As==ÖJ^:~Ö[fa = \ :3

Proporcja:

OsA:* : Os A. = 1 : 3 = OsO₀‘'³ : OsO°

dowodzi podobieństwa trójkątów OsAs4³O₀¹¹³ i OsAsO°, z czego wynika ostatecznie, że promienie 0°A,A° i О₀¹>³А[³ A^³ są do siebie równoległe.

y/4

id

zt

Os \ZÏ⁴

nu

'Cs*

TZA

cLs^

Cs,

Z/

c/s

/Ы

3s

! Ss\ X

Cs

Cs

pa

Ó\s

Ta

âs

P_

Tr

Tb\ [Tm Ts

Æ"

r°

T)⁰

c°

s°

A*

'm°

ф°

no

ъ°

a°

G°

dl

B⁰'

Rys. 97.

e) Rys. 97 przedstawia konstrukcję perspektywy kwadratu, przyjętego na płaszczyźnie poziomej, przy użyciu czwartej części głębokości tłowej. Kład A⁰B°C{)D⁰ kwadratu, linja podstawy, linja horyzontu, punkt główny i głębokość tłowa są dane. Promienie, wykreślone z punktu O₀’'4 równolegle do boków kwadratu AQBQC*D°, przetną horyzont w częściowych śladach zbiegu Z^⁴ i Z₂l4. Znajdziemy właściwy ślad zbiegu Z₂, odmierzając odcinek O,Z,, równy czterokrotnemu odcinkowi OsZ₂li.

Łączymy ślady tłowe Ta i T„ z punktem Z₂ a ślad tłowy Tc z punktem głównym Os. Jeżeli punkt T⁷/'⁴, ograniczający czwartą część odcinka 0₈TC, połączymy z częściowym śladem zbiegu Z/⁴, to prosta cs, wykreślona przez punkt Tc równolegle do prostej 7⁷C1,4Z₁1,4, jest perspektywą prostej c, przecinającą proste as i bs w punktach As i Ds.

Dwusieczna kąta prostego Z^⁴ O₀1/4 Z₂l4 jest równoległą do przekątnej m° kwadratu А⁰ В⁰ C° Z>° i przecina horyzont w punkcie Z^⁴, który jest częściowym śladem zbiegu prostej m i wszystkich prostych do niej równoległych, czyli t. z w. częściowym punktem przekątnym. Przeniesiony czterokrotnie od punktu Os na lewo odcinek OsŹ„'¹⁴ wyznacza właściwy punkt przekątny Zp, który połączymy prostą m, z punktem Tm. Prosta ta przetnie prostą as w punkcie Bs. Perspektywą prostej r°, poprowadzonej przez punkt S\ prostopadle do linji podstawy, jest prosta rs, która przetnie prostą ms w punkcie Ss. Prosta ns, łącząca punkty Ss i As,

0ÓA

jest perspektywą drugiej przekątnej kwadratu, przecinającej prostą bs w punkcie Cs.

ZÏ⁴

zH Ml

Z?

Z/

4.?

Só

f6?

5°j

PL

Pi

rn, /ж,

/;

3s

2s

/s

4s

Ss

5s

61

P_

Rys. 98.

f) Rys. 98 podaje konstrukcję perspektywy umiarowego sześcioką-ta, leżącego na płaszczyźnie poziomej. Zamiast kładu właściwego sześciokąta, leżącego pod płaszczyzną horyzontu w odległości w, równej oddaleniu linji horyzontu od linji podstawy p, użyliśmy sześciokąta podobnego, znajdującego się na Il-giej płaszczyźnie poziomej, w odległości wx od płaszczyzny horyzontu, przyczem odległość wx równa jest odległości linji horyzontu od nowej linji podstawy px (patrz ustęp 21, pkt. g, rys. 91 a, b).

Sześciokąt ls, 2S, ..., 6S jest perspektywą umiarowego sześciokąta, którego bok a równy jest bokowi ax sześciokąta    pomnożonemu

przez wykładnik stosunku w : wx.

23. Podziałki zbiegu. Lineały perspektywiczne. Gdy chodzi o niewielką ilość linij prostych, przechodzących przez ślady zbiegu, leżące poza obrębem rysunku, użyjemy kon-strukcyj, poznanych w ustępie poprzednim.

W praktycznych zagadnieniach perspektywy, gdzie ilość promieni, zbiegających się w niedostępnych śladach, jest często bardzo znaczna, uciekamy się do t. zw. po działek zbiegu lub lineałów perspektywicznych.

Podziałka zbiegu opiera się na nastę-pującem rozumowaniu: połączmy daną perspektywę Ms (rys. 99) punktu M ze śladem zbiegu Z, a z punktu głównego Os i danego częściowego śladu zbiegu Zmln wykreślmy promienie prostopadłe do linji horyzontu.

Oznaczmy: OsI=a, Zml » II =» ax\ jeżeli odcinek OsZ = q, to

C).₄Z'^ m

<7

■4

Ms

Rys. 99.

— • Я

П

Z podobieństwa trójkątów ZOsI i ZZmlnII wynika, że:

ax : a = (Os Z

--- 111

OsZ'nln) : O, Z, albo : a₁ : a = (q — — q) : q

Z proporcji tej otrzymujemy:

Ol to

Na rys. 100 mamy —

n    3

wyższego równania wypada : ax — -=

СЛ to

Os h

(odcinek Zmln Os = - -. ZOs), więc z po-5 ' a

Równanie (2) wyraża związek, zachodzący między odcinkami a, ax i liczbą —, będącą wskaźnikiem częściowego śladu zbiegu. Możność

obustronnego pomnożenia lub podzielenia tego równania pociąga za sobą dowolność w obieraniu wielkości a i uzależnienia od niej — przy

danej liczbie ^ — długości odcinka a₁. Tym sposobem dochodzimy do

podziałki zbiegu, jak ją widzimy na rys. 100. Przez punkt główny O„ i dany częściowy ślad zbiegu wykreśliliśmy proste w₀ i wlf prostopadłe do linji horyzontu. Na pierwszej z nich narysowaliśmy podziałkę o przyjętej jednostce a = 10 mm. Jednostką podziałki na podstawie w₁

♦    5_2

będzie, według równania (2), odcinek a₁ = —^— . 10 = przechodzące przez te same punkty podziału obu podstaw w₀ i wu zbie-

Bartel. Perspektywa. I.

6 mm. Promienie,

gają się w śladzie Z, leżącym poza obszarem rysunku. Aby dany punkt Ms połączyć ze śladem Z, przyłożymy lineał tak, aby jego krawędź przeszła przez punkt M„, a równocześnie podzieliła odpowiadające

sobie na obu podziałkach jednostki a i a₁ w tym samym stosunku. Przy ocenie tego podziału kierujemy się okiem; zbyt drobne jednostki podziałowe nie zapewnią nam większej dokładności.

Podziałki zbiegu mają oczywiście zastosowanie także i do punktów głębokości, które leżą poza obrębem rysunku; wiemy, że punkty te są śladami zbiegu prostych, nachylonych do tła pod kątem 45°.

Lineały perspektywiczne, budowane z tektury, drzewa lub metalu, a służące do kreślenia linij, zbiegających się w punktach, które leżą poza obszarem płaszczyzny rysunkowej, opierają się na następującem twierdzeniu geometrycznem :

Jeżeli trzy proste a, b, z (rys. 101), przechodzące przez jeden punkt W i tworzące między sobą stałe kąty, poruszają się na płaszczyźnie w ten sposób, że dwie znich, a mianowicie a i b, przechodzą przez dwa stałe punkty A i В — to trzecia prosta г przechodzi również przez stały punkt Z.

Wi

WO

-2

-2

-1

Z²/s

Os

A?

-3

\ai

Ms

-2

-3

Rys. 100.

<2'чч

a'

■7W

!/'

bj

bl-'

\Z'

ьу/b

Rys. 101.

Rys. 102.

Ponieważ kąty obwodowe, wspierające się na tym samym łuku koła, są równe, więc i odwrotnie: wierzchołek W stałego kąta AWB, którego ramiona przechodzą przez stałe punkty A i B, zakreśli koło k. Ale i kąt AWZ jest stały i równy połowie kąta środkowego, wspierającego się z nim na łuku AZ\ a ponieważ punkt A jest jednym stałym punktem tego łuku, więc drugim musi być stały punkt Z koła k, które zakreśli poruszający się wierzchołek W, sta-

łego kąta A W Z. Ramiona a i г tego kąta przechodzą stale przez punkty A i Z.

W przypadku podanym na rys. 101 ramię z leży „wewnątrz“ pola kąta obwodowego A W В-, rys. 102 przedstawia drugą możliwość, a mianowicie, gdy ramię z leży „zewnątrz“ pola kąta AWB. W obu rysunkach oznaczyliśmy dwa położenia trzech prostych, przechodzących przez jeden punkt: położenie a, z, b z punktem W i położenie a', z', b' z punktem W'.

W praktycznem wykonaniu spotykamy lineały perspektywiczne dwoją- \, kiego rodzaju : o ramionach stałych i ra- N mionach ruchomych.

Lineały o ramionach stałych sporządzić sobie może rysownik z kartonu, według wzorów podanych na rys. 103 a i b. Dolny pasek kartonu li-neału Pillefa służy wyłącznie do usztywnienia całości i może być pominięty. Li-neał ten przedstawia zespół trzech li-neałów perspektywicznych, na które składają się krawędzie a, b, z; a, b, z' i a', b', z. Lineał na rys. 1035 łączy w sobie lineał o krawędziach a, b, z i drugi o krawędziach a, b, z'.

Przyjmijmy horyzont h (rys. 104) i jeden, względnie dwa promienie zbiegu p i q. Ustawmy lineał Pillefa tak, aby jego krawędź г zeszła się z promieniem p i w tern położeniu wbijmy w pewnym punkcie Sx krawędzi a szpilkę, a wzdłuż krawędzi b wykreślmy prostą. Następnie nadajmy lineałowi Ш położenie takie, by krawędź a dotykała szpilki Sx, a krawędź г zeszła się z promieniem zbiegu q, względnie z horyzontem h. Wykreślmy wzdłuż krawędzi b, w nowem położeniu lineału, prostą. Przetnie ona pierwsze zaznaczone położenie krawędzi b w punkcie S₂, w którym wbijemy drugą szpilkę. Jeżeli lineałem poruszać teraz będziemy w ten sposób, że krawędzie a i b dotykać będą stale szpilek Sx i S₂, to krawędź 2 oznaczać będzie położenia promieni zbiegu, przechodzących przez ślad zbiegu Z.

W podobny sposób posłużymy się lineałem, wykonanym podług rys. 103 5, który nadaje się szczególnie w tych przypadkach, gdy obie szpilki umieszczone być mogą tylko nad lub pod horyzontem.

Lineał, którego ramiona a i 5 opierają się stale o szpilki Sx i S₂, osiągnie górną granicę położenia, gdy wierzchołek W zejdzie się z punk-

w>

ßr

Шь■

Z'

V//

1*11

w,

Z'

Rys. 103 a, b.

5*

tern S₁ a granicę dolną, gdy punkt W dotknie igły S₂ (rys. 105) jako punkt W'. W wielu wypadkach zajdzie potrzeba rozszerzenia granic działania lineału, co da się uskutecznić w sposób uwidoczniony na rys. 105. Lineałowi na-

<з

/>

n'iG

NI

<3 \

V.. __

sĄ

Г"

Położenie

Ч

г-

rA;

Hf

N.O

Rys. 105.

Rys. 104.

daliśmy dolne graniczne położenie, t. zn. jego wierzchołek przesunęliśmy do igły *Sg, a następnie na prostej b' odmierzyli S₂S₃ = S₁Ś₂ i w punkcie S₃ umieścili szpilkę. Krawędź г lineału, przechodząc stale przez punkt Z, może teraz opisać pole w granicach od ZSt do ZS₃.

ZA

Si

N.s

Жв

Sz IsrfWjr

;;3

2g_

Sr.

z_

p_

<L

)2

Rys. 106.

Rys. 107.

Lineały o ramionach ruchomych, do nastawiania, wykonane być mogą z drzewa lub metalu. Składają się one z trzech ramion, złączonych we wspólnym przegubie. Dwie krawędzie ślizgają się po szpilkach Ą i S₂, a trzecia rysuje promienie zbiegu, przecinające się w punkcie Zx (rys. 106).

Wynalazcą pierwszego lineału jest Anglik Piotr Nicholson (1765—1844), który nazwał go „centrolineałem“. Z biegiem czasu powstał cały ich szereg, znanych dziś pod nazwą lineałów Mehmkego, Schillinga, Schrödera, Schupmanna i innych, a różniących się między sobą tylko nieznacznemi udoskonaleniami konstrukcyjnemi.

Zapoznajmy się ze sposobem Mehmkego x) nastawiania lineału. Przyjmijmy, że leżący poza obszarem płaszczyzny rysunkowej ślad zbiegu Z jest wyznaczony za pośrednictwem promieni zbiegu p i q (rys. 107), względnie jednego promienia zbiegu i horyzontu.

Oprzyjmy o dwie wbite szpilki Sr i S₂ ramiona a i b lineału, a krawędzi z każmy zejść się z prostą p. Skręćmy lineał w przegubie śrubą, ustalając tym sposobem wzajemne położenie ramion a, biz, poczem nadajmy mu takie położenie (rys. 108), aby jego krawędź г zeszła się z promieniem q, a ramię b opierało się nadal o igłę S₂. Przytrzymawszy ramiona b i г, rozkręćmy śrubę i obróćmy

ramię a tak, aby dotknęło igły S₁, przyjmując położenie alf poczęm znowu przykręćmy śrubę. Teraz przesuńmy lineał tak, aby ramię a₁ dotykało igły Slt zaś krawędź г pokryła się z prostą p (rys. 109), poczem rozkręćmy śrubę w przegubie, a ramię b obróćmy tak, aby dotknęło szpilki S₂, zajmując położenie b₂. Skręceniem śruby ustalimy ponownie wzajemne położenie ramion a i b. Przesuwając lineał tak, aby ramiona a i b dotykały stale szpilek, spróbujemy teraz, czy krawędź z zejdzie się z promieniem q. Jeśli próba da wynik przeczący, wówczas powtórzymy omówioną poprzednio operację, aż cel powyższy zostanie osiągnięty.

Każde powtórzenie zbliża nas do właściwego położenia lineału, które osiągniemy wówczas, gdy środek W przegubu padnie na koło k, wyznaczone punktami Slt S₂ i śladem zbiegu Z (rys. 110).

Oznaczmy punkty przecięcia się promieni p i q z kołem k literami P i Q, a punkty, określające poszczególne położenia środka przegubu lineału, symbolami Wlf W₂, Ws. Jeżeli w pierwszem ustawieniu

3r

bż\

à, 'b

V.-- '

Rys. 109.

P_

<2/

CCi.

Rys. 108.

*) Mehmke R.: Über das Einstellen der dreiteiligen Fluchtpunktschiene. Zeitschrift für Mathematik und Physik. 42 Jahrg. Leipzig 1897, str. 99—105.

lineału krawędzie zajmą położenie au blf zx, to w drugiem ustawieniu kąt a = PW₁S₂, jaki tworzą proste bx i zx nie zmieni się, a ramiona lineału przyjmą położenie a₂, b₂, z₂, przyczem:

^QW₂S₂ = ^.a = ^:PW₁S₂

Ponieważ kąty obwodowe ZPS₂ i ZQS₂, jako wspierające się na tym samym łuku, są sobie równe, więc trójkąty PWXS₂ i QW₂S₂ są podobne, z czego wynika, że:

WXP: W₂Q = PS₂ : QS₂

Ponieważ jednak QS₂ jest mniejsze, aniżeli PS₂, więc i odcinek W₂Q jest krótszy od WXP. W podobny sposób wykazać można, że

ЩТ<ЖЯ; W^<W₃T i t. d.

Widzimy tedy, że przez powtarzanie opisanej wyżej operacji środek W przegubu zbliża się istotnie do koła k, na które wkońcu padnie. Stanie się to tem szybciej, im większy jest odcinek PS₂ w stosunku do QS.,, a odcinek QSt w stosunku do PSt, co oznacza, że szpilki Sx i S₂ umieszczać należy blisko promieni p i q a możliwie najdalej śladu zbiegu Z.

Sytuacja jest tem dogodniejsza, im większy jest kąt, jaki tworzą promienie p i q.

Inny sposób nastawiania lineału    perspektywicznego

podamy    za Schillingiemx).

Niechaj    dane będą hory-

—’    zont h i    promień zbiegu m

Z (rys. 111). Przyłóżmy lineał tak, aby    jego ślizgające się

ramiona    a i b oparły się

o wbite poprzednio szpilki S1 i S₂, a    ramię г zeszło się

z horyzontem h. Przykręciwszy śrubę przegubu, zaznaczmy to pierwsze położenie lineału — a mianowicie zróbmy na krawędzi ramienia 2 kreskę, przenosząc ją równocześnie na horyzont ze znakiem liczby 1. Następnie skręćmy lineał, którego ramiona a i b dotykają stale igieł S₁ i S₂, ku promieniowi m i stwierdźmy, czy linja, którą wykreślilibyśmy wzdłuż krawędzi г w jej nowem poło-

S>

a,

аз

Z;

Р_

bî аг/ \Ьз

Ьг

Z2

\е

Rys. НО.

b Schilling Friedrich: Über die Anwendung der Fluchtpunktschiene in der Perspektive. Zeitschrift für Mathematik und Physik, Band 56. Leipzig 1908, str. 189 — 208.

żemu, przecięłaby horyzont w punkcie, leżącym po prawej czy też po lewej stronie śladu zbiegu Z, promienia m. Przypuśćmy, że ten punkt, oznaczony przez Zx, leży na lewo od punktu Z\ wróciwszy z lineałem w położenie pierwsze — t. zn. to, w którem krawędź г schodzi się z horyzontem — rozkręćmy śrubę przegubu i przesuńmy go o jakiś odcinek na prawo, zatem w kierunku przeciwnym, aniżeli kierunek, w jakim przesunięty jest punkt Zx względem śladu zbiegu Z. Ustawmy ramiona a i b tak, aby dotknęły szpilek i po przykręceniu śruby oznaczmy na horyzoncie położenie przyjętego na lineale znaku liczbą 2; obróćmy znowu lineał około igieł Sx i S₂ ku promieniowi m i stwierdźmy, czy punkt Z₂ przecięcia się krawędzi z z horyzontem leży jeszcze po lewej, czy też już po prawej stronie punktu Z. Dopuśćmy istnienie tego drugiego przypadku, to wówczas właściwe rozstawienie ramion lineału mieścić się będzie w grani--pr each znaków 1 i 2 na linji horyzontu. Osiągnięcie wła-ściwego położenia jest już teraz bardzo łatwe i wymagać będzie dwóch do trzech dalszych prób. Podczas tych prób środki Wx, Ws,... W przegubu leżeć będą kolejno na kołach kx, k₂, ... k, przechodzących przez punkty Sx, S₂ i ślady Z\, Z<l , ... Z.

.<2

[Zi

\z₂

mw \Wz

z=h

кг

rSz

Rys. 111.

As

Bs

Cf

tAm±_

P*

foi

Os,

Аз

Вз h

et

Dt

Дг

Вг

Df

ck

A,

Ads

Csj

Rys. 112.

24. Płaszczyzny poziome. Płaszczyzny pionowe, a) Ślady tłowe płaszczyzn poziomych są do siebie równoległe i równoległe do linji horyzontu, która jest wspólnym śladem zbiegu tych płaszczyzn.

Trapez ABCSDS (rys. 112) jest perspektywą kwadratu, leżącego na płaszczyźnie podstawy. Jego bok AB znajduje się na tle. Perspek-

tywę AC, boku AC, prostopadłego do tła, otrzymaliśmy przy użyciu połowy głębokości tłowej w ten sposób, że środek I odcinka AB połączyliśmy z punktem częściowej głębokości Z'j* prostą, która przecięła promień AOs w punkcie Cs.

Jeżeli kwadrat ABCD podnosić będziemy równolegle do jego pierwszego położenia, to jego wierzchołki zakreślą proste pionowe, a boki pozostaną równoległe do swych pierwotnych położeń. Otrzy-

0°

Û4

к Ci

--h

Ai

Ai

As

2Ź

Bf

Zp

Di

Ci

Bi

Os

Ci —

Iz

B?

CL

AL

Bs

Cs

Ds

Rys. 113.

A₂B₂C\D\. Gdy kwadrat zejdzie się z pła-

mamy trapezy AXBXC\D szczyzną horyzontu, to perspektywą jego będzie odcinek A₃ B₃, leżący na linji horyzontu. Perspektywami kwadratów, leżących nad horyzontem, są trapezy AiBiCsiDsi i A₅B.Cs.Dî. Kwadraty, leżące pod horyzontem, obserwujemy zgóry, na kwadraty, znajdujące się nad horyzontem, patrzymy zdołu.

Rys. 113 przedstawia perspektywę kwadratów, leżących na płaszczyznach poziomych, przyczem jedna para ich boków zawiera z tłem kąt , druga kąt y₂. Do konstrukcji użyto śladów zbiegu Zx i Z₂ oraz punktu przekątnego Z„. Punkt 0° jest kładem oka na tło; odcinek 0,0°, prostopadły

do linji horyzontu, równy jest głębokości tłowej. Kąt 0SZ₁0 = q>lf kąt 0SZ₂0° = go₂. Promienie Z₁ — O⁰ i Z.₂ — O⁰ tworzą kąt prosty.

tot.

Zcc

Os

ю°

Шб

Zcc

b) Ślad tłowy ta i ślad zbiegu za pionowej płaszczyzny a są prostopadłe do linji horyzontu (rys. 114). Odcinek 0S0X jest głębokością tłową, kąt OsAOx = (p wyraża kąt nachylenia płaszczyzny a do tła. Koło, zakreślone z punktu A, jako środka, promieniem A0X, / przetnie linję horyzontu w punkcie 0°, a ślad zbiegu za w punkcie Z„⁴⁵. Punkt 0° jest okiem, sprowadzonem na tło obrotem płaszczyzny zbiegu płaszczyzny a około śladu za; punkt Za⁴⁶ jest jednym z dwóch punktów przekątnych (ust.13, str. 25 i 26). Trapez IIIIIISIVS jest perspektywą kwadratu, leżącego na pionowej płaszczyźnie a, nachylonej do tła pod kątem cp. Bok III tego kwadratu leży na tle.

Rys. 114.

Pionową płaszczyznę prostopadłą do tła, przechodzącą przez oko, nazywać będziemy główną płaszczyzną pionu (ust. 17, str. 42) — lub krócej : płaszczyzną pionu — a jej przecięcie się z tłem łinją pionu. Linja pionu jest wspólnym śladem zbiegu wszystkich płaszczyzn, równoległych do płaszczyzny pionu.

Rys. 115 przedstawia perspektywę czterech płaszczyzn, równoległych do płaszczyzny pionu. Ślady tło we t, I, t₃ i /₄ tych płaszczyzn są do

Вз

Вг

В,

\B

siebie równoległe, równoległe do ß4 linji pionu г i prostopadłe do horyzontu.

Di/

Dt

Df Di

Ds

>/з

Os

cf

ci ci

Cs

Дг

Дз

с-

Up t,

te

Rys. 115.

Trapez ABCSDS jest perspektywą kwadratu, leżącego na pierwszej płaszczyźnie, równoległej do płaszczyzny pionu; bok .AR kwadratu leży na tle. Do narysowania tej perspektywy użyliśmy trzeciej części głębokości tłowej. Koło tej częściowej głębokości przecięte jest linją pionu w punkcie Z'¹³, który jest częściowym śladem zbiegu prostych, równoległych do płaszczyzny pionu, a nachylonych do tła pod kątem 45°. Jeżeli połączymy punkt 1, oddzielający trzecią część długości boku AB kwadratu, ze śladem Z¹'³, to punkt Cs, przecięcia się tej prostej z prostą A0S, jest perspektywą trzeciego wierzchołka kwadratu.

Trapez A₁BlC\D\ jest perspektywą tego samego kwadratu, leżącego na płaszczyźnie bliższej płaszczyzny pionu. Perspektywą tego kwadratu, leżącego na płaszczyźnie pionu, jest odcinek A₂B₂. Dalsze posuwanie się płaszczyzny kwadratu, przy zachowaniu równoległości do płaszczyzny pionu, wyrazi się perspektywami A₃BsCs₃D'l i AiBiC\Dsi.

O kwadratach, leżących po lewej stronie płaszczyzny pionu, mówić będziemy, że leżą po lewej stronie horyzontu ; kwadraty, znajdujące się po prawej stronie płaszczyzny pionu, określać będziemy, jako leżące po prawej stronie horyzontu.

25. Proste równoległe do tła. a) Proste dowolnie nachylone do płaszczyzny poziomej. Wiadomo, że perspektywa prostej, nieprzechodzą-cej przez oko, jest prostą, wyznaczoną śladem tłowym i śladem zbiegu.

Gr h Os

Za

ĆtS

Pierwszy jest punktem przebicia się danej prostej z tłem, drugi punktem przebicia się z tłem promienia, poprowadzonego przez oko, równolegle do tej prostej, czyli t. z w. promienia zbiegu.

Га~

Rys. 116.

Prosta a, równoległa do tła, przebija go w punkcie nieograniczenie dalekim T~, w punkcie niewłaściwym. Takim samym punktem jest także ślad zbiegu Z* prostej a (rys. 116).

Płaszczyzna y, przechodząca przez oko i przez prostą a, przetnie tło wzdłuż prostej as, równoległej do a. Prosta as jest perspektywą prostej a. Ale prosta as jest perspektywą wszystkich prostych, leżących na płaszczyźnie y i równoległych do tła — wobec czego rys. 116 nie określa położenia prostej a w przestrzeni, w sposób jednoznaczny.

Os

Gr

Aby prosta as oznaczała perspektywę jednej jedynej prostej a, musimy znać położenie jednego jej punktu względem tła.

'Zm

ds

/77 s

As

Tm

Rys. 117.

A położenie znowu tego punktu określić możemy przez przyjęcie go na jakiejś, dowolnej zresztą, prostej m (rys. 117). Dopiero przyjęcie wyznaczonej śladami Tm i Zm prostej m, która przecina prostą a w punkcie A, stwarza warunki jednoznacznego perspektywicznego odwzorowania prostej a.

Oddalenie prostej a od tła znajdziemy (rys. 118) w sposób następujący: z punktu A poprowadzimy prostą n, prostopadłą do tła ; odcinek ograniczony punktem A i śladem tłowym Tn prostej n daje szukaną odległość. Perspektywą prostej n jest prosta ns, łącząca punkt główny 0A. z punktem As. Proste ni i n wyznaczają płaszczyznę e, prostopadłą do tła. Jej ślad zbiegu ze łączy punkty Os i Zm; ślad tło wy te przejdzie przez ślad tłowy Tm równolegle do z e i przetnie prostą ns w szukanym śladzie tłowym Tn. Aby wyznaczyć prawdziwą długość odcinka, którego perspektywą jest odcinek AST„, poprowadzimy przez prostą n pła-

szczyznę poziomą, która przetnie tło wzdłuż prostej p, przechodzącej przez punkt Tn, równolegle do horyzontu. Rzućmy punkt As z punktu głębokości G₁ na linję podstawy p, to odcinek Tn Ax wyraża oddalenie prostej a od

• Z/77

Gi

ГПз \

\ Os

■s>

ms

ъ.

Гь

Tm

АIх

•'KJ

Rys. 118.

Rys. 119.

tła. Zamiast dowolnej prostej m, przecinającej równoległą do tła prostą a w punkcie A, dogodniej jest przyjąć prostą m, prostopadłą do tła. Śladem zbiegu takiej prostej będzie punkt główny (rys. 119). Rzut Tm Ax

Sb

O)

C'

p-¹

o-

‘o

N

Pb

Co

Rys. 120 a, b.

odcinka TmAs na linję podstawy p, równy jest odległości punktu A prostej a — więc i samej prostej — od tła.

b) Proste pionowe. Z pośród prostych równoległych do tła na szczególną uwagę zasługują proste pionowe. Pionowe proste a i b (rys. 120a) są prostopadłe do poziomej płaszczyzny a, a więc prostopadłe do wszyst-

ldch prostych tej płaszczyzny, zatem i do linji podstawy p. Płaszczyzny, przechodzące przez proste a, b, ... i oko, t. j. płaszczyzny rzucające proste a, b, ... na tło, są pionowe i przecinają płaszczyznę podstawy

wzdłuż prostych, które przechodzą przez stanowisko O', zaś tło wzdłuż prostych as, bs, ... prostopadłych do horyzontu. Prosteas, bs, ... są perspektywami pionowych prostych a, b, ... Perspektywy prostych pionowych są prostopadłe do horyzontu (rys. 120b).

Ponieważ proste pionowe są równoległe do tła, więc wymagają do wyznaczenia swego położenia względem tła — prócz swej perspektywy — znajomości oddalenia jednego ze swych punktów od tła. Punkt ten leżeć musi na jakiejś prostej m, wyznaczonej śladami, które są punktami wła-

Os

as

л h GjA Zm

vns

Tm

As

Rys. 121.

V.

••

ir

-»J

IS*

l!

■»im

wmm.

так

Rys. 122.

ściwemi, t. zn. leżącemi w odległościach skończonych na tle. Prosta ta może być dowolnie położona w przestrzeni, a więc może być i prostą

poziomą, jak to przyjęliśmy na rys. 121. Prostopadła do horyzontu prosta as i przecinająca ją w punkcie Aa prosta ms wyznaczają w sposób jednoznaczny położenie pionowej prostej a względem tła.

Na rys. 123 mamy prostą as, jako perspektywę prostej pionowej, i prostą ms, przecinającą ją w punkcie As. Przez punkt A prostej a poprowadzimy prostą n, prostopadłą do tła. Proste m i n wyznaczają płaszczyznę poziomą, której śladem zbiegu jest linja horyzontu h. Ślad tłowy tej płaszczyzny — linja podstawy p — przejdzie przez ślad tłowy Tm prostej u?, równolegle do horyzontu. Prosta p przetnie prostą ns w punk-

Os h

âs

GÏ³

Zm

Pi

Vns

Tm A*

Tn

Rys. 123.

cie Tn, który jest śladem tłowym prostej n. Odcinek AST„ jest perspektywą odległości punktu A od tła. Rzut tego odcinka z punktu głębokości na linję podstawy wyraża jego prawdziwą długość. Na rys. 123 rzuciliśmy odcinek AsTn na linję podstawy p z punktu częściowej głębokości ćr₂,/3; odcinek AxTn wy- ^ raża trzecią część odległości punktu A, a więc — i prostej a, od tła.

Os

Zm =Zn

te

ms

'Aś

P_

Rys. 124.

Prosta pionowa a (rys. 124) przebija pła- Tm szczyznę podstawy w punkcie, który znajdziemy w sposób następujący: przez pro- Jn^ stą a i przez poziomą prostą m, przecinającą pierwszą w punkcie A, poprowadzimy płaszczyznę e. Płaszczyzna ta będzie płaszczyzną

as

GYs

h Os

•Os

P_

Tn

A*

Rys. 125.

pionową, jej ślady te i ze są prostopadłe do linji horyzontu. Przetnie ona płaszczyznę poziomą wzdłuż krawędzi n, której perspektywą jest prosta ns. Punkt A's, w którym prosta ns przetnie prostą as, jest perspektywą punktu przebicia się prostej a z płaszczyzną podstawy, czyli perspektywą śladu poziomego tej prostej, albo także perspektywą rzutu poziomego prostej a. Gdy znamy perspektywę prostej pionowej i perspektywę jej śladu (rzutu) poziomego, to położenie tej prostej, w odniesieniu do tła, jest jednoznacznie wyznaczone. Oddalenie bowiem prostej a od tła wyrazi się rzutem Tn Ax odcinka TnA's z punktu głębokości na linję podstawy. Jeżeli posługujemy się — jak na rys. 125 — punktem częściowej głębokości tłowej, to odcinek TnAx wyraża odnośną część (w naszym przykładzie piątą) oddalenia prostej a od tła.

qs

Ta

As,

_ ¹ âs

Za

As

te

As

Ta

c) Rzut poziomy punktu. Rzut poziomy odcinka, równoległego do tła. Niechaj zadaniem naszem będzie wyznaczenie perspektywy rzutu poziomego punktu A, leżącego na poziomej prostej a. Perspektywa as prostej a, jej ślady Ta i Za i perspektywa As punktu A są dane (rys. 126). Z punktu A poprowadzimy pionową prostą q i znajdziemy punkt przebicia się jej z płaszczyzną poziomą, wyznaczoną linją horyzontu h i linją podstawy p. Pio- ___P_

Rys. 126.

nowa płaszczyzna e, przechodząca przez prostą a, przechodzi także przez prostą q i przecina płaszczyznę poziomą wzdłuż prostej k. Punkt A przecięcia się prostych q i k rozwiązuje zadanie. Ślad tłowy tf płaszczyzny e przejdzie przez punkt Ta3 prostopadle do linji horyzontu. Ślad zbiegu ze przejdzie

przez    ślad    zbiegu    Za,    równolegle    do te. Prosta ks, łącząca punkt Za

z    punktem    Th,    w    którym    ślad te    przecina linję podstawy p, jest per

spektywą krawędzi płaszczyzny e z płaszczyzną poziomą. Punkt A'a

przecięcia się prostej ks z prostą qs —    jest perspektywą rzutu poziomego

punktu A (porównaj rys. 124 i odnoszący się do niego tekst).

W analogiczny sposób znajdzie-Hs    my perspektywę rzutu poziomego

odcinka, równoległego do tła. Niechaj odcinek ASBS (rys. 127) będzie perspektywą odcinka A B, równoległego do tła, a prosta as perspektywą pro-

_    stej poziomej, przechodzącej przez

punkt A. Odcinek TaTb, równoległy do ASBS—ograniczony punktem Th, który leży na promieniu bs, wykreślonym przez punkty Bs i Z — jest rzutem równoległym odcinka AB na tło w kierunku promienia Z —O. Wyznaczmy rzut prostokątny TaTg odcinka TaTb na linję podstawy p i połączmy punkty Ta, T'b ze śladem zbiegu Z. Proste a's i b's są perspektywą rzutów poziomych promieni a i b, rzucających odcinek AB na tło. Proste, wykreślone z punktów As i Bs prostopadle do linji podstawy p, przetną promienie as i b's w punktach A's i Bs; odcinek A's B's będzie równoległy do linji p i jest perspektywą rzutu poziomego odcinka A B.

Jeżeli odcinek TaTb, leżący na tle i punkt Z uważać będziemy za dane, to wówczas odcinek A,BS będzie perspektywą odcinka TaTb, przesuniętego równolegle do swego położenia w kierunku, określonym śladem zbiegu Z. Punkt Hs jest perspektywą śladu poziomego prostej A — B, punkt Th śladem poziomym prostej Ta — Th.

d) Wielokąty równoległe do tła.

Przyjęty na tle kwadrat ABCD (rys. 128) przesuńmy o daną odległość w kierunku prostopadłym do tła i wykreślmy jego perspektywę. Perspektywy wierzchołków kwadratu leżeć będą na promieniach, przechodzących przez punkt główny Os, perspektywy boków kwadratu pozostaną równoległe do odpowiednich boków kwadratu ABCD.

gY²

Os —©-

Га

As

'bś

Tb/Bs

Ta!

<3Ś

A's

Bs

P_

TT

Th

Rys. 127.

Ci

\Df

ci

Di

’/2

Z45

Ab

f/4

Z45

Al

Os

\ß?

Rys. 128.

Operując połową głębokości tłowej, odmierzymy na linji podstawy p odcinek Al— równy połowie oddalenia od tła kwadratu w jego nowem położeniu — i punkt 1 rzucimy z punktu Z'Jj na promień A — Os. Przez otrzymany tam punkt Ast wykreślimy równoległe do boków AB i AC, poczem uzupełnimy rysunek kwadratu A\B\C\D\.

G’C

h_Os

Kwadrat A\B\C\D\ jest perspektywą kwadratu AB CD, odsuniętego jeszcze dalej od tła; oddalenie jego od kwadratu A₁ Bt CXDX równe jest poczwórnemu odcinkowi II III.

Analogicznie przedstawi się sprawa, gdy kierunek przesunięcia wielokąta, leżącego na tle, nie będzie prostopadły do tła (rys. 129).

Rys. 129.

Perspektywy punktów wierzchołkowych wielokąta ABC DE leżeć będą na promieniach, przechodzących przez ślad zbiegu Z, który określa kierunek przesunięcia; perspektywy boków poruszającego się wielokąta będą do siebie równoległe. Ogólnie powiedzieć możemy: perspektywy wielokąta — stale

GP

Os

OS

2.m

Fs

równoległego do tła — poruszającego się w określonym kierunku, są wielokątami podobne-mi; ślad zbiegu tego kierunku jest środkiem podobieństwa.

Es

Ks

Te

de

Be

Ce

As

Ss

rDs

cis.

P_

e) Wykreślić perspektywę sześcianu, którego przednia ściana jest równoległa do tła i oddalona od niego o 2m w podziałce rysunku. Długość krawędzi sześcianu wynosi 3 m ; konstrukcja ma być wykonana przy użyciu połowy głębokości tłowej (rys. 130).

Ta Ax

Td

Rys. 130.

Na linji podstawy p odmierzymy Ta Td = 3 772 w podziałce rysunku i TaAx =lm. Punkty Ta i Td połączymy z punktem głównym, a punkt Ax z punktem Gj¹'² częściowej głębokości. Środek Ss odcinka ASDS, równoległego do p, łączymy z punktem Gjl2. Otrzymamy perspektywę ASBSCSDS podstawy sześcianu. Na prostopadłej wykreślonej w punkcie Ta odmierzymy TaTe—TaTd i punkt Te połączymy z Os. Dalsza konstrukcja nie wymaga wyjaśnień.

26. Perspektywa „czołowa“, „boczna“ i „ukośna“. Będące w użyciu nazwy: „perspektywa prosta“, „frontowa“, „ukośna“ nie określają bynajmniej różnych sposobów perspektywicznego odwzorowania, lecz stanowią jedynie klasyfikację położeń tła względem rysowanych przedmiotów.

ü’dijSssLL

f .................

T".....>......Г- /r’\ -

.......n..............

Hu

ЕР'Л

Sgl;

[i?

§в

ga!№SÊÈÊÊS

Rys. 131.

Położenia tła względem przedmiotów zawrzeć można w trzech określeniach: położenie czołowe, boczne i ukośne.

Jeżeli pionowa płaszczyzna tła jest równoległą lub prostopadłą do ściany rysowanego przedmiotu — to otrzymaną perspektywę nazywamy czołową. Przykładami takiej perspektywy są rysunki 64, 65, 66, 74, 130, 131. Ornamenty na rys. 82, 92, sześciokąt na rys. 98, kwadraty na rys. 75,112,114, 115 i 128 i postacie na rys. 122 mają położenie czołowe.

Jeżeli płaszczyzna tła ma położenie pionowe, jednak nie prostopadłe ani nie równoległe do ścian odtwarzanego perspektywicznie przedmiotu — jeżeli tło nie jest równoległe do żadnego z boków rysowanego, umiarowego wielokąta — to perspektywę nazywać będziemy boczną. Jako przykłady, służyć mogą rys. 62, 84, 89, 90, 91 b, 97, 113.

Jeżeli wreszcie płaszczyzna tła nie ma położenia pionowego, lecz najzupełniej dowolne — to otrzymana perspektywa nazwana będzie ukośną. Taką perspektywą są rys. 187, 188, 192 i 193.

27, Dzielenie odcinków, a) Odcinki równoległe do tła. Odcinek ASBS (rys. 132) i prosta as wraz z przyjętemi na niej punktami Ta i Z, wyznaczają jednoznacznie odcinek A B, równoległy do tła. Prosta as jest perspektywą prostej a, przecinającej prostą А —В w punkcie A. Punkt Ta jest śladem tłowym, a punkt Z śladem zbiegu prostej a. Ślad tłowy Ta prostej a uważać należy za rzut punktu A, w kierunku prostej a na tło. Rzućmy w tym samym kierunku punkt В na tło. Perspektywa promienia rzucającego będzie prostą bs, łączącą punkt Bs ze śladem zbiegu Z. Po- £j nieważ ślad zbiegu prostej A — B, równoległej do tła, jest punktem niewłaściwym, a rzut równoległy tej prostej na tło jest do niej równoległy — przeto perspektywa As Bs odcinka А В i perspektywa jego rzutu będą do siebie równoległe. Prosta, wykreślona z punktu Ta równolegle do ASBS, przetnie promień bs w punkcie T„, który jest śladem tłowym promienia b, a więc rzutem punktu В na tło, w kierunku, określonym śladem zbiegu Z. Odcinek Ta T„ jest rzutem odcinka ÄB na tło w kierunku, który określa punkt Z, jako wspólny ślad zbiegu promieni rzucających. Ponieważ rzut równoległy odcinka, równoległego do tła, jest odcinkiem równoległym do danego odcinka i równym mu co do długości, więc odcinek TaTb, równoległy do ASBS, równy jest odcinkowi AB. Wynika stąd, że perspektywiczne dzielenie odcinków równoległych do tła, a więc także odcinków równoległych do linji horyzontu (odcinek C,DS na rys. 132), lub odcinków pionowych (odcinek ESE'S na rys. 132) sprowadza się do dzielenia — w żądanych stosunkach — perspektyw tych odcinków.

Ta

Es

As

1s

¹2s

■2s

■3s

Tb

cis

bs Bs

-/s

Os

2s    De

/s

Cs

o

Rys. 132.

około linji podstawy na tło, poczem

b) Odcinki, leżące dowolnie na płaszczyźnie poziomej, a) Aby dokonać podziału odcinka, leżącego na płaszczyźnie poziomej, postąpimy, jak w ust. 18, z prostą prostopadłą do tła. Płaszczyznę poziomą obrócimy — wraz z leżącą na niej prostą przeniesiemy punkty dokonanego podziału na perspektywę prostej. Przeniesienie to wykonać można zapomocą promieni, przechodzących przez kład 0° oka (patrz ust. 21, pkt. b), albo za pośrednictwem prostych, przechodzących przez punkty podziału, a zawierających z linją podstawy dowolny kąt у».

Prosta ms na rys. 133 jest perspektywą prostej ni, która leży na płaszczyźnie poziomej i zawiera z tłem kąt <p. Przyjmijmy na prostej ms punkt MH i postanówmy podzielić odcinek Tm Ms na trzy, perspektywicznie równe części. W tym celu wykonamy kład płaszczyzny poziomej na tło.

Bartel. Perspektywa. I.

Prosta m zajmie położenie prostej m°, równoległej do promienia 0°Zm, a punkt M położenie punktu M°, który będzie rzutem punktu Ms

z punktu O⁰ na prostą m°. Podzielmy odcinek TmM° na trzy równe części i poprowadźmy proste a°/lb⁰//c°, nachylone pod dowolnym kątem ty do linji podstawy p; punkt III przecięcia się prostej c° z podstawą p połączmy z punktem Ms prostą cs, która przetnie ho-

^ -.....^......................P' ryzont w punkcie D. Punkty 1

Ш' \ ¥' Г W i II połączmy następnie z punktem D prostemi as i bs; te ostatnie — jako perspektywy równoległych prostych a i b — wyznaczą na prostej m, punkty 1„ i 2S, dzielące odcinek T„,MS na trzy perspektywicznie równe części.

Przedłużenia podziałki perspektywicznej na prostej ms — dokonamy podobnie, jak w zadaniu przedstawionem na rys. 70. Z punktu 2S wykreślimy prostą p'\fp, na którą przeniesiemy odcinek 2JW żądaną ilość razy i punkty podziału rzucimy z punktu D na prostą ms.

Kąt ty przyjęliśmy dowolny, poczem dopiero otrzymaliśmy kierunek promienia cs, a więc i punkt D. Położenie punktu D na linji horyzontu

0°

Tm

Gi

Djw

Gz

âs

2s

1°/

6s

Cs

ms

'a°

b⁰/

c°,

Rys. 133.

a\B

Za

a.)

b.)

âs

Bs,

i:

Es

Is

Els

1s

3X 2*    1* A

qs

3х 2х 1X

As

Rys. 134 a, b.

zależy zatem od obranego dowolnie kąta ty, wobec czego moglibyśmy punkt ten przyjąć zgóry, a przez połączenie go z punktem Ms otrzymać punkt III na p. Dzieląc następnie odcinek TmIII na trzy równe części

i rzucając punkty podziału Ii II z punktu D na ms, otrzymamy punkty Is i 2S, które dzielą odcinek TmMs na trzy perspektywicznie równe części.

Punkt D, przy pomocy którego dokonywa się perspektywiczny podział odcinka, nazywać będziemy punktem dzielenia.

ß) Celem podziału odcinka AB prostej a (rys. 134a), np. na cztery równe części, poprowadzimy przez punkt A prostą q, odmierzymy cztery równe, dowolnej długości odcinki А Iх = Iх 2X = 2х 3X = 3х IV i punkt końcowy IV połączymy z punktem B. Promienie, wykreślone z punktów Iх, 2X i 3X, równolegle do boku IV B, przetną prostą a w punktach podziału 1, 2 i 3. Równoległe do prostej a, poprowadzone z punktów 1x, 2X i 3X, przetną bok IVВ w punktach I, II i III; proste 13, II2 i Ш1 są równoległe do prostej q.

Konfiguracji tej użyć można do podziału dowolnie w przestrzeni położonego odcinka, byleby prosta<7była równoległą do tła.

Perspektywę rys. 134 a przedstawia rys. 134ó; prostą q przyjęliśmy równolegle do horyzontu.

Perspektywy promieni równoległych do boku IVВ przetną się w punkcie dzielenia D na horyzoncie; perspektywy prostych, równoległych do prostej a schodzą się w śladzie zbiegu Za\ proste IS3S, IIS2S i IIIS1S są równoległe do qs.

Przykład użycia prostej q, równoległej do tła, ale poza tem dowolnie nachylonej do płaszczyzny poziomej, stanowi rys. 135. Odcinek ASBS

Za

Gi h Os

ćLs

Ça Ra

la

Ba.

Ze

Rys. 135.

1a

As

Gm

PS

'S»

Co

rv>    Co

x    x

Co

Pb

|\э

Oj

<o

Rys. 136 a, b.

podzieliliśmy tam na trzy perspektywicznie równe części. Ślad zbiegu ze płaszczyzny, przechodzące] przez proste a i q, jest równoległy do q₈; na śladzie tym leży punkt dzielenia D.

Jeżeli prosta q będzie pionowa, to konstrukcja podziału odcinka ASBS na cztery perspektywicznie równe części przedstawi się tak, jak to wi

dzimy na rys. 136 a, b.

Podział odcinka prostopadłego do tła na rys. 73a, b jest wykonany przy użyciu prostej q, równoległej do horyzontu.

A¹

âs

gY

Os

âs

Rys. 137 przedstawia perspektywę as prostej a, prostopadłej do tła. Odcinek AE tej prostej podzieliliśmy na cztery równe części i w punktach podziału poprowadziliśmy proste pionowe równej wysokości i równe odcinkowi À A¹.

Es

Ds

Prawdziwa długość odcinków AB = ... = DE równa jest po-trójnej długości odcinka AB⁽⁾.

c) Perspektywiczni] środek odcinka, t. j. perspektywę środka odcinka, którego rzut perspektywiczny jest dany, znaleźć można przez zastosowanie poznanej wyżej konstrukcji. Szczególnie jednak dogodną metodę perspektywicznego połowienia odcinka podaje rys. 138. Z punktów końcowych odcinka ASBS, którego śladem zbiegu jest punkt Za, kreślimy prostopadłe do linji horyzontu, a następnie przekątne ASIIS i B₈IS. Punkt C₈, w którym prostopadła wykreślona do linji horyzontu przez punkt Ss przecina prostą as, rozwiązuje zadanie.

Cs

P_

ßX ß₀ QX

Rys. 137.

h Is

Ms Es

Za

W istocie bowiem trapez ASBSISIIS jest perspektywą prostokąta А, В, I, II, którego płaszczyzna ma położenie pionowe.

(Ślad zbiegu tej płaszczyzny przeszedłby przez punkt Za, prostopadle do linji horyzontu). Przekątne tego prostokąta przecinają się w jego środku S. Pionowa prosta, przechodząca przez punkt S, przecina poziomy bok А В prostokąta w środku C.

Powyższą konstrukcję zastosować można do dzielenia poziomego odcinka na parzystą ilość części, lub do jego wielokrotnego przedłużenia. Pierwsze zadanie wymaga powtórzenia konstrukcji dla każdej uzyskanej części. Drugie zadanie podaje rys. 139, gdzie poziomy odcinek AB przedłużyliśmy pięciokrotnie. Daną perspektywę ASBS, odcinka A B, rzuciliśmy prostopadle na linję horyzontu i połączyliśmy środ-

As

Se,

ßs

'Cs

Rys. 138.

as

ko wy punkt 1 odcinka ASIS ze śladem zbiegu Za. Prosta Ts2 przetnie prostą as w punkcie Cs; odcinek C₈B₈ równy jest perspektywicznie odcinkowi B,AS, Przez powtórzenie tej konstrukcji otrzymamy punkty Ds, Es i Fs, ograniczające perspektywicznie równe odcinki i leżące na przedłużeniu odcinka ASBS.

JVs Pis Ps

Is h

Za

<?

.2

Fi

Es

Ds

Cs

Bs

as

Us

Rys. 139.

d) Pęki Pillet’a. Ze wszystkich sposobów perspektywicznego dzielenia odcinków i rysowania podzia-łek perspektywicznych na szczególną uwagę zasługuje pomysł J. J. Pillefa zastosowania do tych celów pęków promieni, które autor nazwał „echelles divergentes“.

2 2-5 3

rm

4P

Pęk taki — nazywać go będziemy pękiem Pillefa — otrzymamy, rzucając przyjętą na prostej m (rys. 140) po-działkę, o dowolnej jednostce, z dowolnego wierzchołka W.

sO_

%,.«

'V'

O zastosowaniu pęku Pillefa pouczy nas zadanie podziału danego w perspektywie odcinka ASBS na pięć perspektywicznie równych części (rys. 141). W tym celu znajdziemy najpierw środek perspektywiczny Cs tego odcinka. Następnie zaznaczymy, na równo odciętym pasku papieru, punkty As, Cs i Bs.

Rys. 140.

Pasek ten przeniesiemy na przygotowany pęk Pillefa i ułożymy go tak, aby punkt As padł na promień O — W, punkt Bs na promień 5—W, a punkt Cs na promień, przechodzący przez środek odcinka 05, t. j. na promień 2'5— W. Pośrednie promienie pęku Pillefa przetną krawędź paska papieru w punktach ls, 2S, 3S i 4S, które po zaznaczeniu ołówkiem przeniesiemy na odcinek ASBS na rys. 141.

Widzimy, że pośrednictwo pęku promieni pozwala dzielić odcinek w sposób szybki, łatwy i z dokładnością wystarczającą dla celów praktycznych. Wyrysowany na sztywnym papierze pęk Pillefa (byleby promienie jego były dostatecznie długie) jest przyrządem rysunkowym, którym posługiwać się można z wielką ekono-mją linij konstrukcyjnych i czasu.

lis

Za

Is

jSs,

as

3S

Cs

1S

ieru

Ascek

as

Ta

Rys. 141.

Podstawa teoretyczna podziałki Pillefa. Szereg punktów na linji prostej, zwanej podstawą tego szeregu, i pęk promieni, przechodzący przez jeden punkt (wierzchołek pęku), stanowią utwory zasadnicze geometrji, zbudowanej na zasadzie syntezy.

Jeżeli pęk promieni W (a, b, c, ...) (rys. 142) przetniemy prostą m, to otrzymamy na niej szereg punktów m {A, B, C, ...) perspektywiczny (homologiczny) z tym pękiem promieni. Jeżeli szereg punktów A, B, C, ..., leżący na prostej m (rys. 142) podstawie tego szeregu, rzucimy z dowolnego punktu W, t. zn. punkty te połączymy promieniami

Rys. 142.

a,    b, c, ... z dowolnym punktem, leżącym zewnątrz podstawy — to otrzymamy pęk perspektywiczny (homologiczny) z danym szeregiem punktów. Jeżeli pęk promieni W (a, b, c, ...) (rys. 143) przetniemy dwiema prostemi m i m₁, to otrzymane na tych prostych szeregi punktów A, B, C, ... i Alf Ą, Cx, ... określamy mianem szeregów perspektywicznych (homologicznych).

Zachowując wzajemne położenie promieni a, b, ... w pęku o wierzchołku W (rys. 142), przesuńmy prostą ni, wraz z jej elementami A, B, C,... w nowe położenie (rys. 144). Punktowi A, na podstawie m, odpowie w dalszym ciągu promień a w pęku W (a,

b,    c,...), punktowi В odpowie promień b i t. d. Między elementami obu utworów zasadniczych zachodzi więc nadal odpowiedniość jedno-jedno-znaczna, czyli t. zw. odpowiedniość doskonała, tylko że promienie

pęku nie przechodzą już przez odpowiadające im punkty regu na podstawie m. Mówimy, że szereg punktów i pęk promieni rys. 144 są rzutowe lub homograficzne.

w sze-

na

Podobnie, przez wzajemne przesunięcie prostych m i mu stanowiących podstawy dwóch perspektywicznych szeregów punktów na rys. 143, zniszczymy ich położenie perspektywiczne, ale zachowamy nadal odpowiedniość doskonałą między elementami tych szeregów.

Ai

Bi

Otrzymamy szeregi rzutowe (homograficzne).

Ci

mi

'a

O ile szereg punktów i pęk promieni są perspektywiczne, to szukanie dalszych, odpowiadających sobie elementów w tych utworach zasadniczych, czyli t. zw. ich uzupełnianie, tłumaczy się samo przez się.

Rys. 143.

Punkty podstawy m i przechodzące przez ^ nie promienie pęku o wierzchołku W są elementami homologicznemu Podobnie ma się sprawa z uzupełnianiem dwóch homologicznych szeregów punktów. Odpowiadające sobie punkty leżą na promieniach, które są elementami jednego pęku.

Inaczej przedstawia się sprawa uzupełniania dwóch homograficz-nych utworów zasadniczych. Pomijając tu metodę konstrukcyj geometrycznych takich uzupełnień, zadowolimy się praktycznym sposobem mechanicznym, w danym wypadku bardziej celowym.

\m

Rys. 144.

Przenieśmy dany na podstawie m (rys. 144) szereg punktów A, B, C, ... na krawędź paska papieru, a następnie ułóżmy ten pasek tak, aby punkty padły na odpowiadające im homograficz-nie promienie a, b, c, ... pęku o wierzchołku W. Tą drogą sprowadzimy oba utwory zasadnicze do ich położenia pierwotnego, z którego je wy-ą prowadzono, czyli do położenia perspektywicznego. W tem położeniu uzupełnimy oba utwory i tak powielony na pasku papieru szereg punktów przeniesiemy na prostą m.

Ale w tem miejscu nasuwa się nam zasadnicze pytanie następujące: ile elementów musi być podporządkowanych sobie wzajemnie w dwóch utworach zasadniczych, aby utwory te, jako homograficzne, mogły być następnie uzupełnione? Innemi słowy: iloma parami elementów wyznaczony jest związek homograficzny między dwoma utworami zasadniczemi, albo: z jakiej

najmniejszej ilości elementów składać się mogą dwa perspektywiczne utwory zasadnicze, aby po wzajemnem przesunięciu podstaw tych utworów uzupełnienie ich było możliwe? Odpowiedzią na to pytanie jest następujące, podstawowe, twierdzenie geometrji syntetycznej: homografja dwóch zasadniczych utworów jest wyznaczona

1У

C\D

wówczas, gdy każdemu z trzech przyjętych elementów jednego utworu podporządkowany jest jeden jedyny element z trzech, należących do utworu drugiego.

i/l

I \J

p_

Bi

Ai

nii

ui/ Di

Wi

Rys. 145.

Niechaj punktom А, В i C na podstawie m (rys. 145) odpowiadają, na podsta-ш wie mx, punkty Aj, Bj i Cx. Punkty A i A В i B₁, C i Ci stanowią pary odpowiadających sobie punktów, dwóch homograficz-nych szeregów na prostych m i m₁. Połączmy punkty A i A₁ prostą i obierzmy na niej dowolnie punkty W i W, ; pierwszy połączmy z punktami В i C, drugi z punktami Д i Cp Promienie W В i W, ß, przetną się w punkcie I, pozostała para w punkcie II. Wykreślmy prostą p, łączącą punkty I i II. Każdemu punktowi tej prostej odpowiada jeden punkt na prostej m i jeden na m₁. Punkty te, jak np. i) i Z),, są dalszemi elementami odpowiedniemi w szeregach homograficznych m {A, B, C, D, ...) i m₁ {Aj, ß,, C,, Dit ...).

Wypowiedziane wyżej twierdzenie jest równocześnie geometrycznem uzasadnieniem perspektywicznego dzielenia odcinków przy pomocy pęku promieni. Zadanie bowiem przeprowadzone na rys. 140 i 141 polega, w istocie swej, na uzupełnieniu dwóch homograficznych szeregów punktów: jednego na podstawie as (rys. 141) i drugiego, przyjętego na prostej m (rys. 140). W szczególności chodzi o to, aby szeregowi punktów na podstawie m podporządkować homograficznie punkty na prostej as. Warunkiem koniecznym i wystarczającym do określenia, a więc i rozwiązania tego zadania, jest znajomość trzech par odpowiadających sobie elementów w obu szeregach. Punktowi As prostej ax podporządkujemy punkt O na podstawie m, punktowi Bs punkt 5, a środkowi 2 5 odcinka 05 środek perspektywiczny odcinka ASBS, t. j. punkt Cs. Punkty podziału odcinka ASBS będą perspektywą punktów podziału odcinka 05. Znalazłszy punkt Cs, odpowiadający homograficznie punktowi 2’5, sprowadziliśmy oba szeregi, zapomocą paska papieru, do położenia perspektywicznego, uzupełniliśmy szereg, którego podstawą jest krawędź paska papieru, i wróciliśmy z nim na podstawę as.

28. Mierzenie odcinków. Pomiar odcinków, których perspektywa jest dana, lub rysowanie perspektyw odcinków o danej długości, względnie rysowanie podziałek perspektywicznych na danych podstawach i o danych jednostkach, może być wykonane dopiero po sprowadzeniu odnośnych odcinków, względnie prostych, na tło.

В*

Be

Os

tJT

Z,

Z°°

Al

cc

Ax

Z°°

By A

a) Proste (odcinki) równoległe do tła. Aby znaleźć prawdziwą długość odcinka równoległego do tła, gdy jego perspektywa jest dana, sprowadzimy go na tło zapo-mocą rzutu równoległego w dowolnym kierunku. Rzut ten będzie równy danemu odcinkowi.

Rys. 146.

Odcinek Ta Tb na rys. 127 jest rzutem równoległym odcinka AB, równoległego do tła, którego perspektywa ASBS jest dana, a w szczególności rzutem w kierunku poziomym, określonym śladem zbiegu Z, przyjętym na horyzoncie.

Równoległy do tła odcinek A B, którego perspektywą jest odcinek ASBS na rys. 132, rzuciliśmy w kierunku, określonym śladem zbiegu Z; rzut ten, t. j. odcinek TaT„, równy jest odcinkowi AB.

Jeżeli А В (rys. 146) jest odcinkiem pionowym, punkt A jego śladem (rzutem) poziomym, odcinek ASBS jego perspektywą — to rzut odcinka AB na tło w przyjętym, poziomym kierunku k, jest odcinkiem AXBX, prostopadłym do linji podstawy p, a więc i do linji horyzontu. Śladem zbiegu promieni, rzucających punkty A i В odcinka AB na tło, jest punkt Z przecięcia się linji horyzontu z promieniem, przechodzącym przez oko, równolegle do kierunku rzutu k. Proste ZAX i ZBy są perspektywami promieni, rzucających punkty końcowe odcinka AR na tło. Jeżeli tedy rzucimy punkt As — perspektywę śladu poziomego pionowego odcinka — z dowolnego punktu Z linji horyzontu (rys. 147) na linję podstawy, w otrzymanym tam punkcie Ax poprowadzimy prostopadłą do linji horyzontu i na nią rzucimy punkt Bs z punktu Z, to odcinek AKB* jest rzutem pionowego odcinka 45, w kierunku poziomym Z—O na tło i wyraża jego prawdziwą długość.

Jeżeli na prostej m, równoległej do tła, odmierzyć mamy w perspektywie odcinek danej długości, lub założyć podziałkę perspektywiczną

o danej jednostce — to i w tych wypadkach rzucimy prostą m równolegle, w dowolnym kierunku, na tło. Na rzucie tym przeprowadzimy żądaną operację geometryczną i otrzymane punkty rzucimy, w tym samym kierunku, na prostą 77?. Prosta ms na rys. 148 jest perspektywą pionowej prostej m. Punkt Ms jest perspektywą rzutu poziomego prostej m, a więc w danym wypadku perspektywą jej śladu poziomego. Jeżeli od punktu A prostej m odmierzyć mamy podziałkę, której jednostką ma być 1 cm — to punkt Ms rzucimy z dowolnego punktu Z linji horyzontu na linję podstawy i w punkcie Mx wykreślimy prostą 777х, prostopadłą do linji p; następnie rzucimy punkt As z punktu Z na prostą mx i odmierzymy AxIх — 1 cm; odcinek Asls jest jednostką podziałki perspektywicznej na prostej ms.

B*

Bs

Os

As

P_

A*

Rys. 147.

ms

mx

3s

b) Proste (odcinki) nachylone do tła. Sprowadzanie tak położonych prostych (odcinków) na tło odbywa się z reguły za pośrednictwem płaszczyzn przez nie przechodzących. Tym sposobem mierzyliśmy i rysowaliśmy perspektywiczne podziałki na prostych prostopadłych do tła (ust. 18, rys. 69), przyczem okazało się, że rysowanie kładów takich prostych jest zbędne, gdyż pośrednictwo punktów głębokości tłowej, względnie punktów częściowej głębokości, pozwala zużytkować dla konstrukcji linje podstaw (rys. 70).

2s

1s

1*

AsJ

Ax<

Ms

Mierzenie prostych (odcinków), nachylonych pod dowolnym kątem do tła, było już przedmiotem ogólnych rozważań w ust. 15. W tern miejscu omówimy tę ważną sprawę bardziej szczegółowo.

Mx

Rys. 148.

Niechaj punkt Oa (rys. 149) będzie punktem głównym, a odcinek ô głębokością tłową. Prosta as, wyznaczona śladem tłowym Ta i śladem zbiegu Za, jest perspektywą prostej a, która nie jest ani równoległą, ani też prostopadłą do tła, lecz zawiera z nim jakiś kąt y. Przyjęte na prostej as punkty As, Bs i Cs tworzą na niej, wraz z punktem Ta, podziałkę perspektywiczną; znajdźmy podziałkę na prostej a.

W tym celu poprowadzimy przez prostą a płaszczyznę i wykonamy jej kład na tło. Tym sposobem sprowadzimy prostą a i leżące na niej punkty na tło, gdzie otrzymamy szukaną podziałkę. Płaszczyzna, prze-

prowadzona przez prostą a, może być zupełnie dowolna, tak, jak to miało miejsce w zadaniach, rozpatrywanych w ust. 15. Najdogodniej jednak będzie posługiwać się z reguły płaszczyzną prostopadłą do tła, gdyż ta daje największą ekonomję konstrukcyjną. Ślad zbiegu takiej

0°,

km

O?

M>

la

Os

Мг

cis

Cl

Ss

c§

BP

Ta

AÏ

Bk

as

Си

Cb

С,

c°

Rys. 149.

płaszczyzny, poprowadzonej przez prostą <2, przejdzie przez punkt główny i ślad Za\ jej ślad tłowy, równoległy do śladu zbiegu, przejdzie przez ślad tłowy Ta. W przykładzie na rys. 149 płaszczyzna ta jest poziomą; jej ślad zbiegu jest linją horyzontu h, a ślad tłowy linją podstawy p. Po obrocie płaszczyzny horyzontu, około linji horyzontu, na tło, oko zajmie położenie punktu O⁰. Prosta a°, równoległa do promienia 0°Za, jest kładem prostej a na tło, dokonanym wskutek obrotu poziomej płaszczyzny około linji podstawy p. Rzućmy punkty Aa, Bs i Cs z punktu O⁰

na prostą a°, to otrzymane tam punkty A°, B°, C° rozwiązują zadanie (ust. 21, pkt b).

Obróćmy teraz prostą a° około punktu Ta, np. w kierunku ruchu wskazówki zegara, to szereg punktów A°, B°, C°, ... zakreśli pęk kół ka, k£, ko, ... o wspólnym środku Ta. Gdy kąt obrotu prostej a° wyniesie cp, a nowe położenie prostej a° oznaczymy przez a\, to odpowiadający prostej a₀ promień zbiegu 0°Za obróci się w tym samym kierunku i o ten sam kąt <p, zajmując położenie 0\Za, równoległe do prostej a\. Punkty A\ B\ C° prostej a°, zajmą na prostej aj położenie

o°

Os

Za.

Mi

Мг

punktów A\, B\, C\, przyczem promienie, łączące punkty A\ i As, B\ i Bs, CJ i Cs przejdą przez punkt 0\.

as

Aê

Al

Ta

a°y

Gdy prosta a° wykona pełny obrót na płaszczyźnie tła, to to samo uczyni jej promień zbiegu 0°Za, przyczem punkt O0 zakreśli koło kal. Każdemu promieniowi tego koła odpowiada położenie    prostej a° jako

kład prostej    a i wzajemnie:

Rys. 150.

każdej prostej a°, a,°, ..., wychodzącej ze śladu tłowego Ta, odpowiada jeden promień koła kai. Podczas obrotu prostej a° około punktu Ta zejdzie się ona dwukrotnie z linją podstawy, przyczem znajdujący    się    na    niej    szereg    punktów    A°, B{\ Cn, ...    zajmie raz położenie    szeregu    A*,    B*, C,x,    ...,    drugi    raz    położenie Al,    В*, C₂X, ... Rów

nocześnie zakreślający koło punkt 0° padnie dwukrotnie na linję horyzontu, gdzie oznaczony jest jako Mx i M₂. Oczywiście, że przez punkt Mi przechodzą promienie, łączące punkty Ä[ i As, Rx i Bs, Cl i Cs, a przez punkt M₂ promienie, łączące punkt Ax₂ z As, BI z Bs, Cl z Cs. W ust. 15 nazwaliśmy koło kai kołem mierzenia, każdy jego punkt punktem mierzenia.

Każdej wiązce prostych równoległych odpowiada na tle jedno koło mierzenia.'

Szczególnie ważną rolę w perspektywie stosowanej odgrywają punkty mierzenia Mx i M₂, leżące na linji horyzontu, względnie na śladzie zbiegu płaszczyzny, przechodzącej przez daną prostą.

Z rys. 149 widzimy, że mierzenie odcinków na prostej a przy pomocy punktów Mx i M₂ jest dlatego szczególnie dogodne, gdyż wyłącza potrzebę kreślenia kładu tej prostej, który schodzi się z linją podstawy p.

Punkty Mx i Мг nazywać będziemy istotnemi (poziomemi) punktami mierzenia.

Jeżeli dowolny punkt As prostej as (rys. 150) rzucimy z poziomych punktów mierzenia Mx i ilf₂ na linję podstawy p — to odcinek TaAxx = = TaA\ równy jest prawdziwej długości odcinka prostej a, ograniczonego jej śladem tłowym Ta i punktem A.

Wykonajmy kład na tło płaszczyzny poziomej, wraz z leżącą na niej prostą a. Koło, zakreślone z punktu Ta, jako środka, na średnicy A* A*, przetnie kład a° prostej a w punkcie A°.

Prosta A°A*, równoległa do 0°MX, jest kładem na tło prostej, której perspektywą jest prosta MtA*; podobnie, prosta A°AX, równoległa do prostej 0°М.г, jest kładem prostej, której perspektywą jest prosta M₂AX. Punkt A° jest kładem na tło punktu A

punkty 0°AsA° leżą na jednym promieniu.

Z rys. 150 widzimy, że prosta A°AX tworzy z linją podstawy p i z prostą a° ten sam kąt. Podobnie promień A° A* zawiera z prostemi a° i p te same kąty. Wynika stąd, że każdy z dwóch istotnych punktów mierzenia poziomej prostej a określić można, jako ślad zbiegu pęku równoległych promieni, leżących na płaszczyźnie poziomej i zawierających z prostą a i z linją podstawy p te same kąty (ust. 15, str. 33).

a więc

0°

Os

ZÈS=M2

asA

/Is

Ta

ao

po

Rys. 151.

Z określenia koła mierzenia i istotnych punktów mierzenia wynika wprost, że koło głębokości uważać można za koło mierżenia, a punkty głębokości za istotne punkty mierzenia prostych, prostopadłych do tła. Punkty głębokości są równocześnie śladami zbiegu pęków równoległych prostych, zawierających z linją podstawy i z prostą prostopadłą do tła równe kąty, a więc 45° (rys. 151).

Przykład. Na prostej as (rys. 152), która jest perspektywą poziomej prostej a, wyznaczyć podziałkę perspektywiczną; jednostką mają być 3 cm w podziałce rysunku.

Znając punkt główny Os i głębokość tłową ó, znajdziemy kład O0 oka i kład promienia zbiegu danej prostej. Koło, zakreślone z punktu Za, jako środka, promieniem równym długości promienia zbiegu, t. j. odcinkiem Z.t O\ jest kołem mierzenia, a punkt M przecięcia się tego koła

Za

xls

z linją horyzontu jednym z dwóch istotnych punktów mierzenia. Na linji podstawy p odmierzymy, od punktu Ta począwszy, odcinki po 3 cm w podziałce rysunku i punkty podziału Iх, 2X, 3X, ... rzucimy z punktu M na prostą as. Punkty ls, 2S, 3S, ... rozwiązują zadanie.

{2s

ls

3* 2х Г Ta

1 01234 5cm

t- I I- I ł I-1

Rys. 152.

G°

Przedłużenia podziałki perspektywicznej na prostej as dokonamy zapomocą konstrukcji, poznanej w ust. 18, rys. 70. Przez punkt 2S (rys. 153) wykreślimy prostą p, równoległą do linji podstawy, przeniesiemy na nią pewną ilość razy odcinek 2S3'X i punkty 4'x, 5'K, 6', ... rzucimy z punktu mierzenia M na prostą as. Użycie dalszych prostych, równoległych do linji podstawy, jak np. prostej p", pozwoli na dowolne przedłużenie podziałki. Otrzymane na prostych p, p\ p", ... szeregi punktów są podobne, ich środkiem podobieństwa jest punkt Zu.

c) Punkty częściowego mierzenia.

Za

Os \M

8j

Przyjmijmy na poziomej płaszczyźnie, wyznaczonej linją podstawy p i linją horyzontu h (rys. 154), linję prostą /.

PL

5s

4s

n, 8Z7?6S'y „ 6к 5x 4x 32'

3s \ - '2sX

1s

as

P_

3х 2х 1X Ta

Rys. 153.

Śladami tej prostej są punkty Tt i Z, jej perspektywą prosta ls. Kład płaszczyzny horyzontu na tło, przy danym punkcie głównym 0,s. i danej głębokości tło-wej (5, sprowadzi na tło oko, jako punkt O⁰ i promień zbiegu prostej /, jako promień 0°Z. Łuk koła, zakreślony z punktu Z jako środka, długością promienia zbiegu, przetnie horyzont w istotnym punkcie mierzenia M.

Odetnijmy na promieniu OsO° odcinek OsO₀mln równy ^--tej części

głębokości tłowej i poprowadźmy z punktu 0Qmln równoległą do 0°Z\ na linji horyzontu otrzymamy częściowy ślad zbiegu Zmln prostej l. Łuk koła, zakreślony z punktu Z'nln jako środka, promieniem Zmln O₀m/n, przetnie horyzont w punkcie Mmln.

= b, to OsZ = — . a, zaś OsM=^

Oznaczmy: OsZmln =a; OsM"‘ln

Ponieważ punkt Mmln leży zawsze w obrębie rysunku, więc odcinając — jeśli obszar płaszczyzny rysunkowej na to pozwoli — OsM =

— ~'b, otrzymamy istotny punkt mierzenia M.

O⁰/

n _ ma

B-b m u

a_

0T/n

n_

Pl

PD

r/s

■lm/n

'Da

01

r/s

M_ „m

r/s r/s/ĄUs

!/m/n

Cs

Bs

As

Ls

r/s

* Æ\\T

r/s к—

Ti

Rys. 154.

Przyjmijmy na linji horyzontu punkt

Mmln

-, któryby dzielił odcinek Zmln Mmln = {aĄ-b) w przyjętym stosunku r : s, tak, aby zachodziła relacja:

r/s

Zm>n

Mmln

r/s

: Zmln Mmln — r: s, czyli :

: (a -f- b) = r : s, wówczas:

punktu głównego jest n -krotnością oddalenia punktu punktu głównego.

r. i ₍ M

Punkt

Równanie (4), porównane z (3), dowodzi, że oddalenie punktu -j— od

r/s

od tegoż

r/s

jest częściowym punktem mierzenia, w tern rozumieniu

tego określenia, że gdy pośrednictwo punktu mierzenia M wymaga odnoszenia na linji podstawy całkowitej długości danych odcinków, to

odcinać będziemy

0S

Mmln

r/s

— = a — (a + &) = c

u

Znajdźmy zkolei na linji horyzontu punkt

nek ZM—-^ (ab) również w stosunku r : s, t. zn. : m

r/s

, dzielący odci-

r/s

: ZM = r : s, czyli :

— .а — О

S'

r/s/

(a -f- b) = г : s, a stąd:

0.~ =

r/s

a - — (a + b)

4)

M

przy zastosowaniu częściowego punktu mierzenia

na linji podstawy --tą część tych odcinków. Mamy bowiem: s

r/s

: Z M = r : s = 7)

Ax

r/s

: TtAK = T,

Ax

r/s

: q, a stąd :

j CC

Położenie punktu mierzenia w sposób następujący: przyjmiemy punkt

r/s

na linji horyzontu znajdziemy dzielący odcinek

Mm\n

r/s ’

Z",nMmin w stosunku r:s\ oddalenie c tego punktu od punktu głównego, pomnożone — razy, równe jest oddaleniu szukanego, częścio-m M

wego punktu mierzenia od punktu głównego.

Na rys. 154 przyjęliśmy ^

co It»

- = ^, a ponieważ:

a = 30 mm, b = 10 mm,

więc według równania (3):

г

c = a--(a r b) = 6 mm,

s

zaś według równania (4):

°'Æ = ^C =

. 6 = 14 mm

Liczba, wyrażająca długość odcinka Os

r/s

, może być dodatnia lub

ujemna. Pierwsza oznacza, że punkt częściowego mierzenia i związany z nim ślad zbiegu leżą po tej samej stronie punktu głównego; liczba

M

ujemna wskazuje, że punkty Z i

leżą po przeciwnych stronach punktu Os.

Przykłady. 1. Na danej perspektywie cs prostej c (rys. 155) wyznaczyć — przy pomocy częściowego

podziałkę

r/s

0°

punktu mierzenia perspektywiczną, której jednostką fest odcinek a. czony jest na rys. 155 znakiem Częściowy punkt mierzenia

Vs

Oo³

Punkt

V2

ozna-

Zc

YTô

cs^Ns

/Ds

m m . , ,    ,. .    , .

yt = jest środkiem odcin-

Bś-

As

ka ZCM.

ЕУ P

'D*

C*

/ДХ

Tc

Na linji podstawy p odmierzymy, od śladu tłowego Tc począwszy, szereg odcinków o dłu-

ci    Ax

gości i punkty podziału —,

Ł    Ł M

Ax, Cx, ... rzucimy z punktu na prostą cs, gdzie otrzymamy

Li

punkty As, Bs, Cs, ..., tworzące żądaną podziałkę.

Gdybyśmy posługiwać się musieli tylko trzecią częścią głębokości

M

tłowej i znali częściowy ślad zbiegu Zjl3, to położenie punktu ^ znajdziemy z równania (4), str. 96:

• -<-a

Rys. 155.

0S

a— g (a +

Bartel. Perspektywa. I.

Ponieważ :

a — ZjZOs = 12*5 mm ; b = 0NM'ls = 2 mm,

więc:

= ~ 16 mm

°s 2

2. Wyznaczyć podziałkę perspektywiczną na prostej a,, począwszy od jej punktu As, gdy dana jest szósta część głębokości tłowej i częściowy ślad zbiegu Zjle (rys. 156). Do rozwiązania zadania użyjemy częściowego

punktu mierzenia

²/3

Z rysunku czytamy:

a = Os Z.,'le — 21 mm ; b = M'le Os = 3 mm, a więc według równania (4), str. 96:

0,

²/з

= 6 21 — ! (21+3)

= 30 mm

Tym sposobem otrzymamy punkt jr, z którego rzucimy punkt As na linję

podstawy. Następnie odmierzymy AxIх = 1X2X = 2X3X i równe ²/з długości odcinka, stanowiącego jednostkę podziałki, poczem rzucimy punkty 1x, 2х, 3X

na prostą as, gdzie otrzymamy punkty ls, 2S i 3S. Punkty 4S i 5S. otrzymaliśmy przy pomocy prostej p' równoległej do linji podstawy. Punkty podziału Is, IIS, ... otrzymaliśmy, posługując się prostą poziomą, wykreśloną przez punkt As. Odcinek Aalx odnieśliśmy na prawo od punktu As i punkty podziału Iх

M

i IIх rzuciliśmy z punktu prostą as.

3. Dana jest perspektywa ls prostej l i jej częściowy ślad zbiegu Z1,4 (rys. 157); odmierzyć na prostej ls, od punktu As, dwa perspektywicznie równe odcinki, których prawdziwa długość równa jest odcinkowi q.

Do rozwiązania zadania użyjemy takiego częściowego punktu mierzenia, z którego rzut punktu As na linję podstawy będzie leżał w obrębie rysunku. Punkt ten winien więc leżeć w pobliżu punktu M'l\

Oo⁶

A¹ h

ÊL

as

5s

3X

5i^4k/3i

4s

3s

2X

1х

Rys. 156.

Zâ

Ye

7x

²/з

Лх

Iх Пх

²/₃

na

Weźmy pod uwagę punkt

M'¹⁴

⁴/5 ’

4 : 5, czyli stwarzający proporcję :

dzielący odcinek Z,/4ikf⁴ w stosunku

-li

Z‘/4

M¹'⁴

⁴/5

: Z'l4M'¹⁴ = 4 : 5

Jeżeli oddalenie punktu

0S

M'i*

⁴/₅

punktu mierzenia

od punktu głównego, t. j. odcinek

c — 5 mm, to według równania (4), str. 96, oddalenie częściowego M

od punktu głównego, t. j.:

⁴/ó

⁴/5

Os гг = 4 c = 20 mm

⁴/ 5

na linję podstawy jest punktem Ax. Od-

Rzut punktu As z punktu

-    4    -M

mierzymy AXBX =    = BXCX i punkty Bx, Cx rzucimy z punktu

prostą ls.

29. Zadania. 1. Wykreślić perspektywę kwadratu, leżącego na płaszczyźnie poziomej, gdy dane są: linja horyzontu, linja podstawy, punkt główny, trzecia część głębokości tłowej i długość boku kwadratu (rys. 158).

Przyjmiemy Z/'³, znajdziemy Z₂'<³, punkty Zjl3 i Zp. Wyjdziemy z punktu As, znajdziemy As'¹³, wykreślimy aj'³, bjla i proste as\\aj/3 oraz bjjbj¹³. Z punktu Ta'ia wykreślimy prostą a₀'ls, równoległą do promienia ^O^Z*, -a z punktu Tj'3 równoległą do Oj¹³ Z₂1/3.

Otrzymamy punkt A₀'ls.

Częściowy punkt przekątny Zp¹'³ uważajmy za punkt częściowego dzielenia i rzućmy z niego punkt Aj¹³ na p*/*. Otrzymany tam punkt Г połączymy z punktem A₀'la prostą, która będzie równoległą do promienia O₀I/3 — Zj<³. Odmierzymy Aj¹³ Bjla = Ajla Djla, równe trzeciej części boku danego kwadratu, i dopełnimy wykreślenia kwadratu, znajdując jego czwarty wierzchołek Cj¹³. Przez punkty B₀lj3 i D₀'la kreślimy równoległe do О₀1/з— Zp¹'⁸, a otrzymane na p¹*³ punkty IT i IV łączymy z Zp,/3. Na prostej aji³ otrzymamy punkt Bjla a na bjh punkt Djla. Punkty te łączymy ze śladami Z/'³ i Z₂1/3 prostemi, które przecinają się w punkcie Cjla. Punkt Bs'<³

⁴/ 5

T;

4c

⁴/s

na

P_

cx

Os-

Cs

MÏ⁴

V5

Bx\

Olf

Rys. 157.

¹A

Vs

Ba

/ls

ii

A*

rzucimy z punktu Os na prostą as, zaś punkt DY³ na bs. Otrzymamy punkty Bs i Ds, z których wykreślimy równoległe do promieni Bsll3Z₂'ls i DY³ Z//з. Te równoległe przetną się w punkcie Cs. Zamiast rzucać punkty

BY i Ds¹¹³ z punktu Os na prostą as, względnie bs, odmierzymy A„ B, równe potrójnej długości boku AJl3Bs1,3 ; podobnie ASDS jest trzy razy dłuższe od boku

âÿdÿ-

Między czworokątami

a₈b₈c₈d₈\aybycydy

zachodzi podobieństwo środkowe, którego środkiem jest punkt główny Os. Ten sam związek zachodzi między kwadratem A₀'ls ... DY a kwadratem A₀..., jako kładem przyjętego na płaszczyźnie podstawy. Jeżeli znamy ślady Ta. tłowe Ta i T„ boków a i b danego kwadratu, to jego kład znajdziemy, kreśląc а°//а₀1/з i b₀11 b₀'¹³. Proste a° i b° przetną się w wierzchołku A° kwadratu, a promień A°A₀'la przejdzie przez punkt O,. Dalszych wierzchołków kwadratu nie rysowaliśmy, ale znajomość punktu A° i boków a° i b° pozwoliłaby na wykreślenie jego perspektywy bez pośrednictwa zmniejszonego kładu podobnego A₀'l3B₀1,3C₀ll3D₀¹¹³. Odmierzymy A°P°, równe połowie boku kwadratu, przez P° wykreślimy równoległą do A°—/, która jest — jak wiemy — równoległą do promienia O₀1/3 — Zp'i³. Na podstawie p otrzymamy punkt III. Odmierzymy III 11= IIII i punkt II rzucimy z punktu ZP = D na prostą as, jako punkt Bs. Prosta Bs — Z₂ jest równoległą do BY— Z,,/3 i przecina pro-

Oo³

90°

z;

Va

p1/3

Bś

P_

ZP=D Z/ÊD*

P°,

Os

ZÏ³

Ci*

Yp

/r\ nm~-

Bh

Bo³

Tł*

Cs

as

cYt

Tb

a°

Rys. 158.

Ao³

'Ds

As,

YA°

bs

Do³

b°

stą /—As — Zp w punkcie Cs, przez który kreślimy promień równoległy do Ą.¹'³ — Z^\ Dochodzimy do punktu Ds, który jest perspektywą czwartego wierzchołka kwadratu.

2. Wykreślić perspektywę ornamentu, leżącego na płaszczyźnie podstawy, a mieszczącego się w kwadracie, którego bok zawiera z linją podstawy kąt cpi (rys. 159).

Z punktu O₀1,lfl wykreślimy prostą pod kątem <рг do linji horyzontu, która przetnie ją w częściowym śladzie zbiegu Z^°. Prostopadła wykreślona w punkcie О₀1,ш do promienia 0^WZ^° wyznacza na linji horyzontu drugi częściowy ślad zbiegu Z₂1/l0, tworząc z nim kąt (p₂. Znajdziemy częściowy ślad przekątny Zpl10, a następnie właściwy ślad Zp, uwzględniając, że OsZp = 10 . Os Zp!'⁰.

Ponieważ obszar rysunkowy pozwala na to, więc znajdziemy częściowe ślady zbiegu Z,1/5 i Z₂ls, odmierzając OsZ₁1/l0 = Z₁1,10Z₁1/s i OsZ₂'lw =

= Zj^Z^\

Przyjęty na linji podstawy p punkt A połączymy z punktem głównym Os prostą, na której oznaczymy punkt A₈ls, ograniczający piątą część odcinka OsA. Proste łączące punkt Ая<° ze śladami Z^b i Z₂lb stanowią kierunki prostych ms i ns, które, wychodząc z punktu A, jako wierzchołka kwadratu, przetną linję horyzontu w śladach zbiegu Zt i Z₂, leżących poza obrębem rysunku.

Powiedzmy, że dany ornament wymaga wkreślenia w ograniczający go kwadrat siatki, złożonej ze stu przystających kwadratów, o danym boku a.

Wykonajmy kład prostej m na tło. Będzie nim prosta m₀, wychodząca z punktu A, równolegle do promienia 0^wZxl'°, zawierająca więc z linją podstawy p kąt go₁. Prostopadła n₀ w punkcie A do m{) będzie kładem na tło drugiego boku kwadratu.

Odmierzmy na prostych m₀ i n₀ odcinki AIQ = Al₀ = a, zaś na prostej p od punktu A na lewo podziałkę o dowolnej jednostce, a od punktu A na prawo drugą podziałkę, ewentualnie o innej jednostce. Poprowadzone przez punkt О₀'1ю promienie równoległe do prostych I₀— Ii 1₀— 1 przetną linję horyzontu w punktach DxlwiD₂lw. Odnosząc odcinek OsD^'° dziesięciokrotnie na lewo od punktu głównego, otrzymamy punkt dzielenia Dx ; podobnie otrzymamy punkt dzielenia D₂, uwzględniając, że OsD₂ = 10 .

Rzut punktów X, IX, ... I podziałki linji podstawy p z punktu Ą na prostą ms podzieli jej odcinek ABS na dziesięć perspektywicznie równych części. Podobnie rzut punktów 10, 9, ... 1 prostej p z punktu D2 na prostą ns dzieli bok ACS perspektywy kwadratu.

Punkty BsiCs połączymy z punktem głównym, a odmierzywszy OsBs'lb, równe piątej części odcinka 0₈BS i OsCs'lb, równe piątej części odcinka OsCs,

wykreślimy proste BAZA i CA'ZA, które przetną się w punkcie Ą,/5. Prosta, wykreślona z punktu Bs równolegle do promienia BA Z₂1/5, przetnie prostą, poprowadzoną z punktu Cs równolegle do kierunku GAZA, w punkcie Da, który jest perspektywą czwartego wierzchołka kwadratu. Promień OsDx przejdzie przez punkt DA, przyczem OxDA : OsDs = l : 5. Prosta ADS, jako perspektywa przekątnej, przejdzie przez punkt Zp.

Vio

%,0ó

hió '

z7⁵Di

Zp Zi

Zio

ZA

Di

Vю i

Vio

Os \ /y£\Zi

:-*à—zl. --b-

Vio

Zi

Vs

Dz

Vs

Dz¹⁰

As⁵

Zs

p/s

ms

dis

Wl

Vs\

Eś

Bs

5s

7s

9s

ns

Bs

Ks

Ws

5s

Zs

9s,

Cs

1s

Bs

N-

§1

Co

"N

Co

Rys. 159.

Czworokąty AA BACA DA i ASBSCSDS są podobne i podobnie położone; ich środkiem podobieństwa jest punkt główny Os. Pierwszy, o boku pięć razy krótszym od boku drugiego, jest perspektywą kwadratu, leżącego na płaszczyźnie poziomej, której śladem poziomym (linją podstawy) jest prosta p'i\ Oddalenie prostej p'lB od linji horyzontu równe jest piątej części odległości linji podstawy p od linji horyzontu.

Proste, łączące punkty podziału boków A B i BD, A C i CD, są równoległe do przekątnej AD — punkt Zp jest więc ich śladem zbiegu. Rzucimy punkty Is, IIS, ... IXx, z punktu Z„ na bok BSDS, gdzie otrzymamy perspektywiczny szereg punktów /*, II*, ... IX*. Rzut szeregu punktów

Is, 2S, ... 9S, z punktu Zp na bok CSDS, jest szeregiem 1j, 2XS, ... 9sx. Łącząc odpowiednie punkty na przeciwległych bokach czworokąta A B, Cs D otrzymamy perspektywę siatki kwadratów, która pozwoli na narysowanie żądanego ornamentu.

3.    Wykreślić czołową perspektywę graniastosłupa, którego podstawa — umiarowy sześciokąt o boku równym 4 m w podziałce rysunku — leży na płaszczyźnie poziomej. Wysokość graniastosłupa wynosi 6 m (rys. 160).

Wysokość horyzontu przyjęliśmy 4 m, głębokość tłową 6 m, przy-czem operować będziemy trzecią jej częścią.

Promień wykreślony z punktu Ojla, pod kątem 60° do linji horyzontu, przecina ją w punkcie Zjjj, częściowym śladzie zbiegu prostych poziomych, nachylonych do tła pod kątem 60°. Znajdziemy właściwe ślady zbiegu Zj° i Zf, położone symetrycznie względem punktu głównego, poczerń odmierzymy na linji podstawy odcinek Iх2X równy 4 m i połączymy jego punkty końcowe Iх i 2X z punktem Os. Przez punkt ls, przyjęty dowolnie na promieniu Iх Os, wykreślimy równoległą do linji podstawy, która przetnie promień 2xOs w punkcie 2S. Ślady zbiegu Z[° i Zf pozwolą na wyszukanie dalszych wierzchołków sześciokąta, będącego perspektywą podstawy graniastosłupa. Wysokość graniastosłupa równą 6 m odmierzymy na tle, jako odcinek IхIх i punkt Iх rzucimy z punktu głównego na prostopadłą do horyzontu, wykreśloną w punkcie ls. Otrzymamy punkt 7S; konstrukcję dalszych punktów perspektywy górnej podstawy graniastosłupa tłumaczy rysunek.

4.    Wykreślić boczną perspektywę prostego graniastosłupa, którego podstawa (kwadrat) spoczywa na płaszczyźnie poziomej, wyznaczonej linją podstawy i linją horyzontu (rys. 161).

Przyjmiemy punkt główny O,s. i czwartą część głębokości tłowej, po-czem obierzemy dowolnie częściowy ślad zbiegu Zjli. Prostopadła, wykreślona w punkcie Oj¹* do promienia Oj¹⁴ — Zj¹*, przetnie linję horyzontu w punkcie Zj'¹⁴, który jest częściowym śladem zbiegu prostych, prostopadłych do kierunku, określonego częściowym śladem zbiegu Zj¹*. Zkolei znajdziemy częściowy ślad zbiegu Zj¹⁴ przekątnej kwadratu (punkt prze-

⁰°³ Es

Z//'

Шз

3s

P_

Vis__

IVs

/3

Zeo Убо°

/5s

1s

Os

Ss

2s

₂x

Rys. 160.

ZÎ° h

4s

os

S,

600\

1m

cięcia się dwusiecznej kąta prostego Zxl4O₀'l4Z₂1/4 z linją horyzontu), a następnie ślady zbiegu Zp i Zx, wiedząc, że : Os Zp = 4 . Os Zp 1/4 ; Os Zx = 4. Os Zx 1/4.

Dowolnie przyjęty punkt ls łączymy z punktami Os, Zi i Zp. Punkt ljl4, ograniczający czwartą część odcinka lHOs, połączymy z punktem Zjl4 prostą, do której wykreślimy równoległą bs przez punkt ls. ш&    Dowolny punkt 2S

prostej as połączymy J?* h    ze śladem Zx promie

niem, który przetnie prostą bs w punkcie 3,s..

Przy pomocy punktu głównego 0,s., j a-ko punktu dzielenia, znajdziemy środek perspektywiczny As odcinka 1S2S, mianowicie przez punkt ls kreślimy njjp, łączymy Os. z 2S i otrzymany na n odcinek połowimy; rzut tego środka z punktu 0.₉ na as jest szukanym środkiem perspektywicznym As. Prosta łącząca 3S z punktem As przetnie promień 1,ZX w punkcie 4S.

Zauważmy, że długość boku kwadratu, stanowiącego podstawę grania-stosłupa, nie była dana i nie jest też znana. Dopiero przez wykonanie kładu płaszczyzny poziomej na tło, względnie użycie punktu mierzenia, oznaczyć możemy długość tego boku, a więc i prawdziwą wielkość podstawy.

Perspektywę krawędzi bocznych graniastosłupa wyznaczyliśmy, jak w zadaniu poprzedniem, odmierzając daną wysokość na tle, jako odcinek TaTb.

5. Wykreślić perspektywę pięciościennego, umiarowego ostrosłupa, stojącego na płaszczyźnie poziomej (rys. 162).

Położenie pięciokąta podstawy względem tła, w zmniejszeniu do trzeciej części, uzmysławia lewa część rys. 162.

Posługujemy się trzecią częścią głębokości tłowej. Z punktu Oj'3 kreślimy prostą pod kątem do linji horyzontu, na której otrzymamy częściowy ślad zbiegu Z<jl3. Wyznaczymy ślad zbiegu Z₂⁹ i symetrycznie względem punktu głównego leżący ślad Z*.

Na linji podstawy odmierzymy odcinek A*C\ równy długości boku pięciokąta (t. zn. równy potrójnej długości odcinka AC), i połączymy punkty Ax, Cx, a także punkt środkowy Bx z punktem głównym Os.

Tb^h

0o\

Ws

Zl

4s

Zij

Js-

Os \Zp

V4

3s

Г Es

Rys. 161.

ŹP

3s

p_

BE i połączymy punkt E° z punktem częściowej głębokości Z'^ prostą, która przetnie promień BxOs w punkcie Es. Odcinek BXES jest perspektywą odcinka, którego długość równa jest potrójnej długości odcinka BE.

Odmierzymy BXE°

0o/3

!jj?

Zz

Zlsjjî

V/

. P____I

-I⁵— X

jM-

-k.

Ch

Co

гг

A'D

OoV-

\y

Co

Co

Es,

2s

B* E°

S° Cx

Rys. 162.

Poprowadzona przez punkt Es równoległa do linji podstawy przetnie prostą AxOs w punkcie ls a prostą CxOs w punkcie 2S. Pierwszy z nich połączymy ze śladem Z^, drugi ze śladem ZNastępnie odmierzymy odcinek BXDX równy potrójnej długości odcinka BD i połączymy punkt Dx z punktem Os. Na promieniu 2sZi(p otrzymamy punkt 3S, przez który wykreślimy prostą równoległą do linji podstawy. Prosta ta przetnie promień l^Z^ w punkcie 5S. Odniesiemy BX4°=B4 i rzucimy punkt 4° z punktu Z4* na promień ВхОя, gdzie otrzymamy punkt 4S. Wyznaczenie perspektywy Ss środka S pięciokąta wymaga odmierzenia na linji podstawy odcinka BXS° = BS i rzucenia punktu S° na promień BxOs. Perspektywa WN wierzchołka leży na prostopadłej, wykreślonej z punktu Ss do linji horyzontu.

6. Wykreślić perspektywę sześcianu, którego przekątna ma położenie pionowe (rys. 163 a i b).

Znając krawędź a sześcianu, jwyznaczymy przekątną jego ściany bocznej, równą odcinkowi AC = a]/2 (rys. 163b). Rzut poziomy naszego sześcianu jest umiarowym sześciokątem!), a ponieważ odcinek, łączący dwa nieprzyległe wierzchołki tego sześciokąta, jest równy przekątnej kwadratu,

’) Patrz autora „Geometrja wykreślna“, wydanie II, Lwów 1922, str. 143—145.

stanowiącego ścianę boczną sześcianu, więc bok А В = CB' trójkąta równoramiennego АС В', o kątach przypodstawnych równych 30°, jest bokiem b

tego sześciokąta. Odcinek AD = a ]/3, równy prze-ciwprostokątnej trójkąta A CD, którego przyprosto-kątna AC = a j/2, zaś CD = a wyraża długość przekątnej sześcianu.

Przy danej ósmej części głębokości tłowej wyznaczymy częściowy ślad zbiegu ZJ prostych poziomych, nachylonych do tła pod 60°, a następnie ślad Zodmierzając od punktu Os czterokrotnie odcinek OsZ'^. Wykreślimy perspektywę czołową sześciokąta o boku b.

Na prostopadłej, wykreślonej w punkcie F° do linji podstawy, odmierzymy odcinek F°3° — równy odcinkowi A D z rys. 163 b

go na trzy równe części punktami 1° i 2° i punkty podziału rzucimy z punktu Os na proste pionowe, wykreślone w punktach F, i I1IS. Promienie, wykreślone równolegle do horyzontu z punktów A"s, B’ś, ... H"s, przetną pionowe, poprowadzone w wierzchołkach As, Bs, ... w punktach As, Bs, ... Hs, które są perspektywami wierzchołków sześcianu.

7. Wykreślić boczną perspektywę sześcianu o danej krawędzi (rys. 164). Przy danej linji horyzontu, linji podstawy, głębokości tłowej i danym punkcie głównym wykonaliśmy przedewszystkiem kład płaszczyzny horyzontu na tło, a to w szczególności w ten sposób, że oko padło, jako punkt 0°, pod linję horyzontu. Ślad zbiegu Zx przyjęliśmy dowolnie; ślad

///

He

~Zeo

7 Ve

L60 .

De

a.)

b.)

Bs

Di

2°'

AL

E&s,

HABs

0o/s

CL

Gs

1°

As)

El

“Г

Dl

Bs.

Gs

Cl

Is

As

rIs

Al

F°

p_

A°

1°

B°

C°

aft

30°-

а УЗ podzielimy

В'

12ог-

Rys. 163 a, b.

zbiegu Z₂ kierunku prostopadłego do pierwszego jest punktem przecięcia się promienia, wykreślonego w punkcie O⁰ prostopadle do prostej Zx — O⁰, z linją horyzontu. Łuki kół, zakreślone z punktów Zx i Zs, jako środków, promieniami ZxO° i Z.₂0°, przetną linję horyzontu w istotnych punktach mierzenia Mx i M₂.

0,

Z45

M₂

Os

Ml

z?.

Лз

Nr;

bs

A

Ci

cis

Zâ° .

2s.

cg

1s

1x1x

z°

4*

ym

Rys. 164.

Dowolnie przyjęty punkt 1Я połączymy prostemi ая i cs ze śladami Zx i Z₂, a potem rzucimy go z punktów Mx i M₂ na linję podstawy p. Odmierzymy 1X4X = 1X2* (u góry punktu 2 na linji p należy dodać x), równe krawędzi sześcianu, poczem punkt 2X rzucimy z punktu Mx na prostą as, otrzymując tam punkt 2S; podobnie promień 4XM₂ przetnie prostą cs w punkcie 4S. Promienie ZX4S i Z₂2s przetną się w punkcie 3S, który jest perspektywą czwartego wierzchołka podstawy sześcianu.

W celu wyznaczenia perspektywy krawędzi pionowych sześcianu rzuciliśmy punkt 4,s z punktu głównego Os na podstawę p, odmierzyliśmy 4° 1V° równe krawędzi sześcianu i punkt 1V° połączyliśmy z Оя. Na prostopadłej wykreślonej do horyzontu przez punkt 4S otrzymamy punkt IVя. Perspektywy dalszych krawędzi bocznych są równoległe do 4Я1УЯ, a sposób otrzymania punktów /,, //s. i IIIS tłumaczy dostatecznie jasno rysunek.

8. Wykreślić perspektywę prostego, sześciościennego, umiarowego gra-niastosłupa, leżącego ścianą boczną na płaszczyźnie poziomej (rys. 165).

Wyznaczoną śladami t(l i za pionową płaszczyznę a uważamy za płaszczyznę podstawy graniastosłupa. Przecina ona płaszczyznę poziomą wzdłuż prostej k, której perspektywą jest prosta ks, wyznaczona punktami Tk i A. Wykonajmy kład na tło płaszczyzny horyzontu i płaszczyzny a. Oko zajmie położenie punktu 0°, krawędź k zejdzie się z linją podstawy p. Przyjmiemy w kładzie umiarowy sześciokąt 1°, ... 6° i podniesiemy go na płaszczyznę a, kreśląc jego perspektywę ls, ... 6Я.

Następnie znajdziemy ślad zbiegu Z„⁹⁰ prostych prostopadłych do płaszczyzny a (ust. 9) i odpowiadający mu punkt mierzenia M. Punkt Za90 jest punktem przecięcia się promienia wykreślonego w punkcie Ox pro-

Os

^__5s

-Vs

-IFs

6st

\4 S

< 5°N-

y SO

>Ła

ks

As

IHs

dts

Za

з°:

/У°\>

'6°

Tk

k°

p_

Z45

O*

ta

2°

1°

Rys. 165.

stopadle do odcinka Oy A, z linją horyzontu. Punkt 2S rzucimy z punktu M na linję p, odmierzymy odcinek 2mII"\ równy żądanej wysokości grania-stosłupa i punkt IIm rzucimy z punktu M na prostą 2S — Zaw, jako punkt II₈. Prostopadła do linji horyzontu, wykreślona z punktu IIS, przecina promień 4S — Z<N w punkcie IVS a promień N₃ — Zaw w punkcie N“. Promień

A — N“ przetnie prostą 3S — Za⁰⁰ w punkcie IIIS.

9. Narysować perspektywę kwadratu, który leży na płaszczyźnie poziomej, a którego jeden wierzchołek znajduje się na linji podstawy (rys. 166). Na linji horyzontu przyjmiemy punkt główny Os, punkt Oj¹'³ i częściowy ślad zbiegu Zji*. Następnie znajdziemy częściowy ślad zbiegu ZN prostych prostopadłych do kierunku określonego punktem ZN oraz punkty MN i Mjl3. Odmierzymy 0₈Zi = 3 . OsZN’, OsZ₂ = 3 . O,ZN’, OsMx = 3 . OsMN i OsM₂ = 3 . OsMN• Tym sposobem otrzymamy ślady zbiegu i Z₂ oraz istotne punkty mierzenia Ml i M₂.

Przyjęty na linji podstawy punkt A połączymy ze śladami Z{ i Z₂; odmierzymy odcinek A BK = A Cx = a i równy długości boku kwadratu;

Мг / Мг

zK

És

h,0o³

p_

B*

Уз

iÆ

Ml

Z2 h

Os

D.s

Cs

G*

Rys. 166.

punkt Bx połączymy z punktem Ml a punkt Cx z punktem M₂. Otrzymany na promieniu AZi punkt B, łączymy ze śladem Z., a punkt Cs ze śladem Zx i tym sposobem dochodzimy do punktu Ds.

ыОо⁴

10. Narysować perspektywę kwadratu o danym boku. Płaszczyzna kwadratu jest pozioma. Do konstrukcji użyć czwartej części głębokości tłowej i podziałek zbie-gu (rys. 167). Przyjmiemy częściowy ślad zbiegu Z^4    3

i znajdziemy częściowy ślad    ₄

Z.jh dla kierunku prostopadłego do tego, który określony jest śladem Zj>⁴. Dwusieczna kątaZjl4O₀'l4Z₂>⁴ przecina linję horyzontu w punkcie Z,jl4, który jest częściowym śladem zbiegu przekątnej kwadratu. Odmierzymy OsZp — 4 . OsZjl4 i otrzymamy ślad zbiegu Zp. Następnie znajdziemy punkt Mjl4 i istotny punkt mierzenia M„ a także częściowy ślad zbiegu Z,¹'², odnosząc = 2.

Kreślimy podstawy w₀, wx i w₂ podziałek zbiegu; na pierwszej przyjmujemy jakąś jednostkę, np. a = 12 mm, i obliczamy jednostki dla pozostałych (ust. 23, str. 65):

z¹/²M2    Os

£/

-ь

Hi

O.

W1

Wo

Rys. 167.

¹A

ZP h

W2

11

a₁ =

•12 = 6 mm

a₂ =

Щ — m₂

• 12 = 9 mm

Dowolnie przyjęty punkt As połączymy przy pomocy podziałek zbiegu ze śladami i Z₂, a następnie rzucimy go z punktu mierzenia M₂ na linję podstawy p, gdzie otrzymamy punkt I. Odmierzymy odcinek III, równy danemu bokowi kwadratu, i połączymy punkt II z punktem M₂ promieniem, który przetnie prostą A,Z₂ w punkcie Ds. Punkt ten połączymy, przy pośrednictwie podziałek zbiegu w₀ i iią, ze śladem Z₁ prostą, która przetnie promień ASZP w punkcie Cs. Podziałki w₀ i w₂ umożliwią połączenie punktu C„ ze śladem Z₂ prostą, która przetnie promień AsZl w punkcie Bs.

11. Wykreślić perspektywę umiarowego ośmiościanu, którego oś ma położenie pionowe. Długość krawędzi ośmiościanu wynosi 76 mm (rys. 168).

Najpierw rysujemy perspektywę rzutu poziomego tego ośmiościanu, który jest kwadratem.

Wychodząc z danej linji horyzontu, linji podstawy, punktu głównego i czwartej części głębokości tłowej, przyjmiemy częściowy ślad

V4

Oó

Ws

Ti,

Z;

DsÀ

M2⁴ ' Os

■^rr-⁴^

; \Cs

M2

3/4

ZP

[/4

Zp_h

7,

Ao

Ав i i

Bs

4-2

¹Cs

-V Ti

Ds

Wj

Ws

-bś

-5

Wo

-6

Wz

Bx

Ao A*

Rys. 168.

zbiegu ZZ⁴ i znajdziemy ślad zbiegu Z₂1>4 kierunku prostopadłego. Łuk koła, zakreślony z punktu Z₂,/J promieniem Z₂l40^⁴, przetnie horyzont w punkcie M,' ⁴. Odmierzymy Zt1/4Os = Z^Z^² i otrzymamy częściowy ślad zbiegu Z^\ Dwusieczna kąta Ż₁I/4O₀1/4Z₂,/4 przetnie horyzont w punkcie Zpl4. Punkt przekątny Zp oddalony jest od punktu głównego o czterokrotny odcinek OsZpl4.

Szukamy punktu częściowego mierzenia, leżącego wpobliżu punktu głównego. Z rysunku otrzymujemy:

OsZ.'li — a = 38'5 mm ; М']4Оя — b = 10'5 mm.

Przyjmijmy wykładnik redukcji r : s = 3 : 4, to wówczas według równania (4), ust. 28, str. 96:

te- ^

Cc

fts

ce

-o

co

OO

CO

00

00

i-

Odmierzywszy 7 mm na prawo od punktu 0S, otrzymamy szukany punkt częściowego mierzenia

³/U

Zkolei wyznaczymy podziałki zbiegu. Jako jednostkę podziałki w0 przyjęliśmy 10 mm, wobec czego jednostką podziałki w₁ będzie:

a₁ =

/?! — m,

. 10 = 5 mm,

zaś podziałki m₂:

<з₂ =

По — ГПо

—-- . а =

. 10 = 7‘5 mm

Przyjmiemy punkt ^4'; połączymy go zbiegu — ze śladami Zi i Z₂ i rzucimy z punktu ^

przy pomocy podziałek na prostą p, jako

punkt Ax. Odmierzymy Ax Bx, równe ³/₄ długości krawędzi bocznej ośmiościanu, t. j. 57 mm, a punkt Bx rzucimy z punktu

stą 4'Z₂. Otrzymany punkt B' połączymy ze śladem Zi a punkt A'a z punktem przekątnym Zp. Wyznaczony punkt C'₈ połączymy ze śladem Z₂, dochodząc do punktu D'.

Odmierzymy odcinek BXI, równy długości krawędzi ośmiościanu, i znajdziemy BxII, jako przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego równoramiennego BZIII, równą przekątnej ośmiościanu. W punkcie A₀, w którym prosta Zp C' A's przecina podstawę p, wykreślimy prostą pionową i odmierzymy na niej A'₀A₀, równe połowie odcinka BXII. Prosta A₀ — Zv wyznaczy perspektywę Ss środka ośmiościanu i perspektywę As, Cs wierzchołków A i C. Łącząc otrzymane punkty, za pośrednictwem podziałek zbiegu, ze śladami Zx i Z₂ otrzymamy punkty Ba i Ds. Odmierzymy SaWa =    a proste, łączące punkty Ws i W'

z punktami As, Bs, Cs, Ds, dopełnią rozwiązania zadania.

12. Narysować perspektywę gzymsu cokołowego. Profil gzymsu podaje rys. 170a. Ujmiemy go w prostokąt 1, 1”, D, Dx, którego środkiem jest punkt S, a charakterystyczne punkty tego profilu — w szczególności jego linij krzywych — rzucimy prostopadle na boki D, Dx i D, 1". Następnie wykreślimy dwa pęki Pillet’a, jeden o wierzchołku Wly drugi o wierzchołku W₂.

Rys. 169 a przedstawia rzut poziomy gzymsu trzykrotnie zmniejszony w stosunku do wymiarów gzymsu, który ma być narysowany

³/₄

M₂

³/₄

na pro-

w perspektywie, a więc w stosunku do rys. 169 b. Rzut ten poucza nas, że gzyms, biegnący początkowo równolegle do tła, załamuje się pod

Zif

OS Z45

шшжшш

PodziaŁka. 1:3

et

Ф/Штшшт

B\ c

Cb

"O

Co ho

er

flj

05

OuSen

"Q‘

&>

03

■ss

Co

• c?2.

ft)

Co

&i\\

■ей

Гъ

Cb

''o

Rys. 169 a, b.

kątem prostym, biegnie więc prostopadle do tła, poczem wraca do pierwotnego położenia, załamuje się ponownie i wraca do kierunku, z którego wyszedł.

Chęć uzyskania jasności konstrukcji i jej omówienia nakazała nam

wykonać zadanie w dwóch częściach. Rys. 169 b podaje fazę początkową, rys. 170 b — pełne rozwiązanie.

punkty Z₄A* i Z₄₅’'⁴.

Przyjmijmy linję podstawy p i horyzont h (rys. 169 b). Aby nie powiększać obszaru rysunku, nie zaznaczyliśmy na nim punktu głównego, którego położenie jest jednak wyznaczone punktami częściowego oddalenia Z₄₅'la i Z₄₅'/4 i który znajduje się po lewej stronie punktu Z₄₅1/8, w odległości równej odcinkowi Z₄₅1/8 Z₄₅1/4. Obawa zaciemnienia rysunku nie pozwoliła nam na narysowanie podziałek zbiegu, przechodzących przez — zastępujące punkt główny

Na prostej p (rys. 169 b) przyjmiemy punkt D, odmierzymy odcinek D D\, równy potrójnej długości odcinka DD\ na rys. 169a, a punkty D i D\ połączymy z punktem głównym. Aby otrzymać perspektywę D\ punktu D¹ (porównaj rys. 169 a z rys. 169b), odmierzymy na linji p odcinek DCX, równy czwartej części odcinka DC z rys. 169a, przy uwzględnieniu jego podziałki 1:3. Długość odcinka CD wynosi na rys. 169 a 13*5 mm, w rzeczywistości jest on trzy razy dłuższy i równy 40'5 mm 5 odcinek CXD wynosi więc około 10 mm. Przyjęcie czwartej części rzeczywistej długości odcinka CD tłumaczy się użyciem punktu częściowego oddalenia ZA<⁴. Promień CXZ₄₅'/4 przetnie prostą D 0,s w punkcie Cs, przez który kreślimy równoległą dop, przecinającą promień D\Ox w szukanym punkcie D\.

Na prostej p odetniemy odcinek DD°, równy potrójnej długości odcinka DD° na rys. 169a, oraz odcinki D°Bx = BxAx = AxA°x= CxD. Punkt D° łączymy z punktem głównym, a punkty Bx, Ax i A°x z punktem Z₄₅1/4. Otrzymujemy punkty Bs, As, A". Jeżeli na linji podstawy p odmierzymy odcinek DB°, równy potrójnej długości odcinka DB° z rys. 169 a, a punkt B° połączymy z punktem głównym, to równoległe do p, poprowadzone przez punkty Al i A.s, wyznaczą nam punkty Al, BI i Cl. Tym sposobem otrzymaliśmy perspektywę rzutu poziomego gzymsu^

Profil gzymsu, podany na rys 170a, jest t. zw. profilem normalnym, t. j. powstałym z przekroju gzymsu płaszczyzną prostopadłą do jego długości. W naszym przykładzie chodzi o narysowanie perspektywy profilów, leżących na płaszczyznach pionowych, które przecinają gzyms pod kątem 45°, czyli t. zw. profilów przekątnych. W rzucie poziomym (rys. 169a) profile te są odcinkami AA¹, BB\ CC¹ i DD¹. Profil przekątny nie jest przystający do profilu normalnego; geometrycznie określamy go, jako powinowaty z profilem normalnym. Wspólną cechą profilów powinowatych, różniących się między sobą wielkościami i kształtami, jest zachowanie proporcjonalności między wysokościami i szerokościami odpowiadających sobie elementów. Jeżeli więc np. punkty 3’, 4', 6 ... 10', dzielą odcinek D₄D (rys. 170a), w okre-

Bartel. Perspektywa. I.

słonych stosunkach, to odpowiadające tym punktom, punkty odcinka, wyrażającego szerokość profilu przekątnego, podzielą go w tychże sa-

Os

Z 45

-O—

1"

/ i¹

3” 5"

If

7"

8"

mai si

10

10"

Ь.)

D/3\4' 6’ S’

Ci

1$

Ai)

As

Ci

Bi

De

Wt

'Bs

Cs

p_

Ах Ax Bx

Cx\ D

B°

D?

Rys. 170 a, b.

mych stosunkach. To samo odnosiłoby się i do podziału odcinka, wyrażającego wysokość gzymsu, gdyby ta — wskutek dokonanego przekroju — uległa zmianie. W naszym przypadku zmiana ta nie zachodzi, gdyż wysokość przekroju przekątnego równa jest wysokości profilu normalnego.

Wróćmy do rys. 1696. W punktach D, D\, Dl, Cs, BI, Cl, Bs, As i A\, wykreślimy prostopadłe do horyzontu i na pierwszej z nich, t. j. na prostej d, odmierzymy odcinek Dl” równy wysokości gzymsu, czyli równy odcinkowi Dl” na⁻ rys. 170a. Następnie odmierzymy D°₁1⁰ = D1”, a punkty 1⁰ i 1” połączymy z punktem głównym. Otrzymamy punkty C\ i С«, a przez wykreślenie z nich równoległych do linji p punkty BI, Al i BI

Przekątne trapezu DÏ'î'Dl (rys. 169 6) przetną się w punkcie Ss. Szereg punktów Г, 3”, ... S”, ... D, z rys. 170a, przeniesiemy zapo-mocą skrawka papieru na prostą d w rys. 1696 i punkt S” połączymy z punktem Ss. Na drugim, równoległym, boku trapezu otrzymamy punkt S”. Punkt Ss rzucimy w kierunku prostopadłym do linji podstawy p na bok DD\ i rzut ten oznaczymy jako S's. Na skrawku papieru, przyłożonym do prostej dl, odetniemy punkty 1”, S” i Dl, poczem przeniesiemy go na rys. 170 a tak, aby punkty te padły na promienie pęku Pillet’a o wierzchołku W

przechodzące przez punkty 1”, S”, D. Na tak ułożonym skrawku papieru, którego krawędź, przy dokładnem konstruowaniu, powinna być równoległa do odcinka 1" D, zaznaczymy punkty 10”, 9” ... 4”, 3”, poczem wrócimy z nim na prostą dl (rys. 1696). Tym sposobem przeniesiony tam szereg punktów połączymy z punktami 3”,... 10”, prostej d. W analogiczny sposób otrzymamy na prostej DDl szereg punktów D, 10', 9.'., ... 3], Dl, perspektywiczny z szeregiem D, 10', 9', ... 3', Di na rys. 170a, a to przy pomocy pęku Pillet’a o wierzchołku W,. Przez punkty 101, ... 3's, wykreślimy równoległe do prostej d, które przetną poprzednio otrzymane promienie w punktach 10s, 9S... 2S, wyznaczających perspektywę pierwszego profilu przekątnego.

Postępując w ten sam sposób, wyznaczymy perspektywę trzech dalszych profilów przekątnych. Na rys. 169 6 zamieściliśmy jeszcze konstrukcję ostatniego z nich.

Ostateczny wynik zadania przedstawia rys. 1706.

13. Wykreślić perspektywę gzymsu, okalającego otwór okienny. Profil normalny gzymsu podaje rys. 171. Podobnie, jak w zadaniu poprzed-niem, przyjmujemy pęki Pillefa, o wierzchołkach Wi i W₂. Część gzymsu, którego perspektywę zamierzamy narysować, znajdować się ma nad horyzontem. Operujemy piątą częścią głębokości tłowej (rys. 172). Przyjmiemy częściowy ślad zbiegu Zjl'° i znajdziemy częściowy ślad zbiegu Zj<⁵ kierunku prostopadłego do kierunku określonego punktem Zil\ Przystąpimy do wykreślenia podziałek zbiegu w i wx. Jeżeli przyjętą jednostką pierwszej podziałki będzie a mm, to jednostką

5_\

podziałki wx będzie według równania (2) str. 65, ax = —^

Ponieważ podziałka w wchodzi na konstrukcję przekroju, więc dla zachowania przejrzystości rysunku przesuwamy ją równolegle, a to do położenia w'. Promienie, łączące cechy 10 i 20 podziałek w i wx, przecinają prostą w' w punktach 10 i 20, które pozwolą wyznaczyć na

niej dalsze, potrzebne punkty podziału.    __

Łuki kół, zakreślone z punktów Zxl5 i Z^'° promieniami ZxihO^ i Z₂1/5O₀i/5, przetną horyzont w punktach Mxls i M^\ Wyznaczymy zkolei

Mx

częściowego mierzenia.

Ponieważ a = OsZxi:i = ~ 18*7 mm ; b = OsMxlb = ~ 25'6 mm, przeto według równania (4) str. 96:

punkt

V2

О.

Mx

п г

— iâ

т

(а+ 6)] = 5 [18*7-

toi M.

. 44] =

16'5 тт.

мх

i częściowy

Znak ujemny oznacza tu, że częściowy punkt mierzenia

ślad zbiegu Zxl5 leżą po przeciwnych stronach punktu głównego.

Przyjęty na podstawie p punkt В połączymy — za pośrednictwem podziałek wx i w' — ze śladem zbiegu Zy prostą ms, na której obierzemy następnie punkt Ba. Punkt ten rzucimy z punktu

У na podstawę p, oznaczając otrzymany rzut znakiem B\ Zkolei odmierzymy odcinek BXAX, równy połowie odcinka A B na rys. 171,

a punkt Ax rzucimy z punktu ^

na prostą ms, otrzymując tam punkt As. Przez punkty Ae, Bs i В wykreślimy prostopadłe do horyzontu; na ostatniej z nich odmierzymy odcinek BC — wraz z punktami 1, 2, 3", ... 6" — równy wysokości gzymsu, oznaczonej na rys. 171 temi sa-memi literami. Punkt C łą-

шшшт

4%

Ал.

'"w.

3”

Mx

\3

4"

5"

6n

S' 13' [2',/C

Wi

W2

mx

-6

A*

В* В/

Ci

Bi

-4

'ßs

-50

ś.

-2

ms/

-8

i.

40

-6

W2

-4

bs

-6

Ci

-4

<9

40

-50

Л-G

(Г

5s\⁶

Di

<3s

Æ5s

Ж,

-40

2i

'Ji

Cs-

'2

6-

3i

Si

-30

Cs

CÂ

5lM's

CO

a'

N)

<o

'7s

00    «O.    •* CV|

ff . °?

Di

"io

î9

%■

CD

aś

rs>

Cb

o>

ci

CO

20

s'-6

dé

•N

«O

-8

-4

•IS

-5

Oosii

Cs

Сл

10

es'

'10

Pi

'4/У/7/.

5_

XI

Zï⁵ MP Os

Ml

’.'2

Mi*

³A

zP

czymy ze śladem zbiegu — oczywiście za pośrednictwem podziałek zbiegu ną i w'

otrzymując w rezultacie dwa dalsze wierzchołki Cs

i Ds trapezu ASBSCSDS, który jest perspektywą prostokąta ABCD z rys. 171. Punkty 2', 3' ... 7S na boku CSDS znajdziemy — podobnie, jak w zadaniu poprzedniem — przy pomocy pęku Pillet’a o wierzchołku Wx.

Prostopadłe do horyzontu, wykreślone przez punkty Cs, 3', S's, ... Ds, przetną promienie pęku, przechodzące przez ślad zbiegu Zx i punkty 1, 2, 3, S, ... C, w punktach ls, 2S, 2\, 3S, Ss, 4S, 5S, 6S, 7S, D, które wyznaczają perspektywę Ps normalnego profilu gzymsu. Punkty te należy teraz połączyć ze śladem zbiegu Z₂ promieni, prostopadłych do kierunku, określonego śladem zbiegu Zx.

Częściowy ślad zbiegu Z₂ls mamy na rysunku. Wykreślimy po-działkę zbiegu w₂, przystającą do podziałki wlt poczem podziałkę tę przesuniemy równolegle — mając znowu na względzie przejrzystość rysunku — do położenia w₂. Punkty podziału prostej m₂ znajdziemy w ten sam sposób, w jaki wyznaczyliśmy punkty na podziałce w'. Punkty 5 i 10 podziałki w połączymy z takiemi samemi punktami podziałki w₂ zapomocą promieni, które wyznaczą na prostej w₂ cechy 5 i 10. Tym sposobem dochodzimy do punktów podziału prostej w₂.

Ponieważ podziałki w nie możemy użyć dla górnej części rysunku, gdzie zastąpiona jest podziałką w’, przeto zmuszeni jesteśmy skonstruować jeszcze jedną podziałkę zastępczą, a mianowicie w", obierając ją na prawo od w. Cechy 20 podziałek w i w[ połączymy promieniem, który przetnie prostą w" w punkcie 20. Promień łączący cechy 10 podziałek w i w₂ wyznacza na w" punkt 10. Otrzymany tym sposobem na prostej w" odcinek 10 — 20 umożliwia jej pocechowanie.

M₂

4P

którego oddalenie od punktu głównego obliczymy w znany sposób, uwzględniając, że:

Przy pomocy podziałek zbiegu w" i и>₂' połączymy punkty As, Bs, Cs i Ds ze śladem zbiegu Z₂ prostemi as, bs, c₈ i ds. Na prostej bs musimy odmierzyć w perspektywicznem skróceniu, od dowolnie przyjętego punktu BI, odcinek, równy dłuższemu bokowi prostokąta, opisanego na profilu P. Do tego celu potrzebny nam jest taki punkt częściowego mierzenia, związany ze śladem zbiegu Z₂, aby rzucony z niego na prostą p punkt BI leżał w obrębie rysunku. Punktem takim jest punkt

OsM'lB = 9 mm

a = OsZP'° — 86 mm ; b

«в

CC

GC

cc

c;i

-i

+-

Punkt częściowego mierzenia leży więc po te] samej stronie punktu głównego, co punkt Z₂, w odległości 74 mm od Oa.

Rzut punktu BI na podstawę p z punktu

M.

³/4

jest punktem BI. Odmierzymy odcinek BI Cl, równy ³Д wysokości gzymsu, t. j. ³Д od-

na prostą bs, otrzymując

M₂

³/ 4

cinka BC i punkt Cl rzucimy z punktu tam punkt Cl.

Punkty BI i Cl połączymy ze śladem zbiegu Z₁ (przy pomocy po-działek wx i w') prostemi, które przetną prostą as w punktach A\ i Dl. Czworokąt A\BI Cl Dl jest perspektywą prostokąta, opisanego na normalnym profilu gzymsu i leżącego na poziomej płaszczyźnie, która przechodzi przez — wyznaczone perspektywami ms i bs — proste m i b. Z wierzchołków otrzymanego czworokąta wykreślimy proste ai, bi, ci i dl, prostopadłe do horyzontu; na jednej z nich, np. przyjmiemy punkt BI i połączymy go z punktami zbiegu Zx i Z₂. Na prostej ai otrzymamy punkt A; a na prostej ci punkt Cl. Pierwszy z nich połączymy ze śladem Z₂, drugi ze śladem Zx. Oba otrzymane promienie przetną się w punkcie D; na prostej dl. Tym sposobem otrzymaliśmy perspektywę prostokąta, opisanego na normalnym profilu P², ograniczającym pionowy pas gzymsu. Wykreślenie perspektywy samego profilu nie nastręczy już trudności. Rysujemy przekątne A²SC; i BI Dl, które przetną się w punkcie SI. Punkt ten łączymy ze śladami Zx i Z₂. Posługując się pękami Pillefa, wyznaczymy odpowiadające sobie punkty na bokach czworokąta i połączymy je ze śladami Zx i Z₂. Odpowiednie promienie przetną się w charakterystycznych punktach profilu P;.

Czworokąt Ai BI Cl Dl (mamy na myśli punkt Cl na prostej cs i punkt Dl na prostej ds) jest perspektywą prostokąta, opisanego na profilu P¹ gzymsu, podług którego przecina się jego pas poziomy z pionowym, czyli na profilu przekątnym.

Teraz łączymy punkty ls, 2S, 3S, Ss, 4S, ... profilu Ps ze śladem Z₂, a przez punkty profilu PI kreślimy proste prostopadłe do horyzontu. Odpowiadające sobie proste przetną się w charakterystycznych punktach 11, 21, ... 71, Dl, perspektywy PI przekątnego profilu P¹. Prosta 71 — Dl przejdzie — podobnie, jak proste 7S — Ds i Cl — Dl — przez ślad zbiegu Zx.

30. Stożek, obszar, pole i koło widzenia. Kąt widzenia obrazu. Kąt zawarty między promieniami, łączącemi końcowe punkty odcinka ze środkiem rzutów (okiem) — identyczny z kątem, otrzymanym przez połączenie oka z punktami, ograniczającemi perspektywę tego odcinka — nazywamy kątem widzenia odcinka.

Wzrokową, względną miarą długości odcinka, jest wielkość jego kąta widzenia, która znowu zależy od oddalenia odcinka od oka i od

jego, względem oka, położenia. To ostatnie określamy położeniem odcinka względem tła.

Przy stałem położeniu odcinka względem tła maleje jego kąt widzenia ze wzrostem głębokości tłowej. Gdy głębokość tłowa jest stała, to kąt widzenia odcinka zmienia się w zależności od zmiany oddalenia tego odcinka od tła, względnie od zmiany jego położenia względem tła.

Promienie, łączące punkty obserwowanej przestrzeni z okiem, tworzą wiązkę. Z wiązki tej wyodrębnić można promienie, które zawierają z promieniem głównym określony kąt. Miejscem geometrycznem tych promieni będzie stożek obrotowy, którego osią jest promień główny i który nazywać będziemy stożkiem widzenia. W myśl tego określenia, ilość stożków widzenia —: przy stałem oku, które jest ich wierzchołkiem — jest nieograniczenie wielka, dowolna. Każdy z tych stożków obejmuje pewien obszar widzenia, którego wielkość mierzona jest kątem wierzchołkowym stożka widzenia. Ze wzrostem tego kąta rośnie obserwowany przestrzenny obszar widzenia; zmniejszenie kąta wierzchołkowego stożka widzenia obszar ten ścieśnia.

Przekrój wiązki promieni, zawartej w granicach przyjętego stożka widzenia, płaszczyzną tła jest obrazem perspektywicznym obserwowanego obszaru. Obraz ten, ograniczony kołem, podług którego płaszczyzna tła przecina stożek widzenia — t. zw. kołem widzenia obrazu — stanowi pole widzenia oka geometrycznego lub oka fotograficznego.

Jeżeli prostokąt na rys. 173 określa granicę obrazu perspektywicznego, to koło kw, zakreślone z punktu głównego Os, jako środka — a przechodzące przez najdalej od tego środka oddalony wierzchołek prostokąta — jest kołem widzenia obrazu.

Gdy znamy głębokość tłową ö danego obrazu, to — przy danem kole widzenia — otrzymamy z łatwością kąt wierzchołkowy cp stożka widzenia. W tym celu położymy płaszczyznę horyzontu, wraz z okiem, na tło, t. j. odmierzymy 0₈0° = ô na prostopadłej, wykreślonej w punkcie Os do linji horyzontu (rys. 173); punkt O⁰ połączymy z punktami A i B, w których linja horyzontu przecina koło widzenia kw. Kąt AO°B=g) nazywać będziemy kątem widzenia danego obrazu perspektywicznego.

<7>>90°

t)°

Iz?

if

Os

kw

Rys. 173.

Jeżeli OsA = r oznacza promień koła widzenia, to z relacji:

r:ó = tg I

obliczymy w każdym poszczególnym wypadku kąt widzenia 99.

O wpływie kąta widzenia obrazu na charakter perspektywy mówić będziemy w rozdziale, poświęconym estetyce perspektywy.

:W

Г⁶."

•«

Li!

sen

31. Perspektywa wnętrz, a) Przestrzeń ograniczoną płaszczyznami, powierzchniami krzywemi lub kombinacją jednych i drugich, obserwowaną z wewnątrz, nazywać będziemy językiem architektów „wnętrzem“. Każdy budynek ma swoją architekturę zewnętrzną i swoje „wnętrze“, przez które rozumieć można wyłącznie ściany boczne z otworami, podłogę i sufit (sklepienie), albo także i przedmioty wypełniające przestrzeń. Przykładami czołowej perspektywy wnętrz, otrzymanej drogą fotograficzną, są rys. 174 i 176.

W:

as.

Rys. 174.

Wf. fot. Jan Malarski, Warszawa.

Wyobraźmy sobie, że znajdujemy się wewnątrz pokoju, zwróceni twarzą do jednej ze ścian bocznych. Szerokość pokoju wynosi 4 m, jego wysokość 3‘5 m, w danej na rysunku 175 podziałce. W ścianie czołowej znajdują się drzwi P2 m szerokie i 2‘5 m wysokie. W lewej ścianie umieszczony jest otwór okienny szerokości Р2/?г i 2 m wysoki, przy wysokości parapetu 0’8 m. Grubość ścian wynosi 60 cm. Tło, równoległe do ściany czołowej, oddalone jest od niej o 3‘5 m; głębokość tłową przyjęliśmy równą 2*5 m.

Płaszczyzna tła przecina płaszczyzny, tworzące wnętrze pokoju, w prostokącie, którego podstawa AB, równa szerokości pokoju, wynosi 4 /72, a wysokość 4C = 3‘5 m odpowiada wysokości pokoju. Głębokość pokoju, równą 3‘5m, odmierzymy na linji podstawy p, jako odcinek Al, poczem punkt / połączymy z punktem głębokości Z... Na promieniu AOs

otrzymamy punkt A\. Odcinek Л Л* jest perspektywą lewej krawędzi podłogi.

Punkty В, C, D połączymy z punktem głównym, poczem, wychodząc z punktu h A% wykreślimy prostokąt Al ВI Cl D stanowiący perspektywę przedniej ściany pokoju.

Wyznaczmy środek В odcinka AB,    /

odmierzmy Eli =

= E111= 0‘6 m i połączmy punkty II i III z punktem głów-

Ci

Dy

vis

VI

Z4S

z'A

-4

|в-

'Æ/iXs\

His

Bf

AS

XU

E КШ N V

o-o

2m

Rys. 175.

■№ ■

»W

£-W*' i

У*£*\

sili

Ш Щ

Y о\ -

sf

а.

i?

.Л:

•> " :

Г.

&■

ШЖ

■Г -

Rys. 176.

Wł. fot. Jan Malarski, Warszawa.

nym. Na prostej ASXBSX otrzymamy punkty II* i 1Щ, ograniczające perspektywiczną szerokość drzwi. Wysokość drzwi, wynoszącą 2’5 m, odmierzymy na boku BD, jako odcinek ВVI, a punkt VI rzucimy z punktu Os na prostą B⁸t Dl, otrzymując punkt VI*. Równoległa do horyzontu, poprowadzona przez punkt VI*, ogranicza wysokość drzwi. Do wyznaczenia grubości ściany w otworze drzwi użyjemy punktu częściowej głębokości Z₄₅1/2, z którego rzucimy punkt II* na li-nję podstawy, otrzymu-

i

1$

i

wm

т

ттт

жЖ/Шт,

ж

ш

Щя/а

ШЖшА

ш

Ш

I

ъ

ж

шш

Зй®ё

iS

i

i

Ш

:■

1

1

■11

I

Rys. prof. Tad. Obmiński.

у--"' ■•■• _ ,-

1

ш

UsP®*

им

ш

ii

ж

№

ssa

§?

»

г

ШЪ

щ

i

ш

n,. ш

Jjj'i ^Т"ГГг 1|ЧЛ

ś

■

ш

а

И

&

■№-. ~-7

Г:

7

- - fi

ШёЙав5ав5^-:1

Ж

шш

'

\r

%■!

Ж

mm

SÊ

Ш

У

Mû

i

ш

й

i

Rys. 177.

w,mm

m

mmmm.

ЪЩЁ. Oj

* Â

m ■

И

ж

Ш

jąc na niej punkt IV. Ponieważ grubość ścian wynosi 60 cm, więc przy użyciu punktu Z₄> odmierzymy odcinek IV V= 30 cm i pünkt V rzucimy z Z₄₅I/2 na prostą IIsOs. Otrzymany tam punkt umożliwia uzupełnienie rysunku otworu drzwi.

Pozostaje do wykreślenia otwór okienny w lewej ścianie. Na boku A C odmierzymy wysokość parapetu 4 7/7= 80 cm a także wysokość okna VIIVIII =2 m, poczem punkty VII i VIII połączymy z punktem głównym Os. Następnie odmierzymy na podstawie p odcinek 7IX = 1 m i odcinek IXX— 1'2 m, t. j. równy przyjętej szerokości okna. Punkty IX i X rzucimy z punktu Z₄₅ na prostą AOs, a przez punkty IXI i XI wykreślimy prostopadłe do linji horyzontu. Grubość ściany bocznej znajdziemy, odnosząc na podstawie p odcinek A XI = 60 cm i łącząc punkt XI z punktem głównym. Dopełnienie linij otworu okiennego nie nastręczy trudności.

Charakter otrzymanego obrazu perspektywicznego wnętrza zależy oczywiście od położenia oka, a przy ustalonem położeniu tła także od głębokości tłowej ó. Im bardziej zbliżone jest oko do jednej ze ścian bocznych, tern większy jest trapez, stanowiący perspektywę ściany przeciwległej, czyli, jak się wyrażamy, ściany tej więcej widzimy. Z obniżaniem się horyzontu zmniejsza się obraz podłogi, a natomiast zwiększa powierzchnia obrazu sufitu.

'////

<?

!.

:!

У.

TTÎ

КГлл-.’у;

Н!|

■£r

. -j

с"

Si»

Oh

гТ

КШШм

■Л

ш.

"“-«JP!

Г\

»?

li

Rys. 178.

Ze wzrostem głębokości tłowej — przy niezmiennem położeniu tła — rośnie wielkość figury, stanowiącej obraz przedniej ściany czołowej ; obraz staje się bardziej „płaski“, mniej „głęboki“. I przeciwnie: gdy głębokość tłowa — przy stałem położeniu tła — maleje, to figura, będąca perspektywą przedniej ściany czołowej, również maleje ; równocześnie trapezy, jako obrazy perspektywiczne ścian bocznych, podłogi i sufitu — rosną.

W tym wypadku odniesiemy wrażenie, jak-gdyby głębokość pokoju wzrosła — obraz stał się „głębszy“.

Pięknym przykładem czołowej perspektywy wnętrza jest rysunek z natury, wykonany przez prof.

Tadeusza Obmińskiego (rys. 177).

Drugi, nie mniej świetny przykład, stanowi obraz wybitnego malarza szwedzkiego, Karola Larssona (ur. 1855, urn. 1919), rys. 178. Linja horyzontu przechodzi przez dolną krawędź otwartych okiennic, punkt główny leży na osi symetrji pierwszej kolumny szyb.

b) Jeżeli pionowa

/'

V;

iS:

..

Rys. 179.

Wł. fot. Jan Malarski, Warszawa.

płaszczyzna tła nie przecina wnętrza pokoju równolegle do jednej ze ścian pionowych, to wówczas otrzymamy „boczną“ dwie sąsiednie ściany piono

spektywę wnętrza, która zawierać będzie L prócz tego część podłogi i sufitu.

Dla łatwiejszego zorjento wania się w zadaniu narysowania takiej bocznej perspektywy wnętrza, wyszliśmy w rys. 180 z rzutów pro-

05

stokątnych: poziomego (rys. 180 b) i pionowego (rys. 180 a). Prosta h.-, jest śladem poziomym pionowej płaszczyzny tła, na którą rzucimy z oka naroże pokoju, ograniczone w rzucie poziomym (widoku zgóry) trójbokiem a b hn; położenie oka określone jest punktami O' i O". Prosta vx, na rys. 180 a, przedstawia ślad płaszczyzny horyzontu na pionowej płaszczyźnie rzutów (w widoku zprzodu).

В"

Zn2

Vx

ai

fi"

fi'

BTa

Zi

a.)

BI

fis.

ж CJ

cc

Vsr

Ba,

kw

Os h"

hxj/B's

Fi

b.)

0”

Gi,

rii

7Ź

fis.

bô

As

N”\£/

Xit

// P

Oś As=Bś

/zi

h'y

O'

Gi[ h

d.)

Es Os

h Fs

k=kw

Rys. 180 a — d.

Tło przecina pionowe ściany boczne, podłogę i sufit w prostokącie III III IV, którego rzut poziomy jest odcinkiem ГIV, a widok z przodu (rzut pionowy) prostokątem I" II" III" IV".

Promienie wykreślone z punktu O', równolegle do prostych a i b, przetną prostą ha w punktach Z[ i Z i które są rzutami poziomemi, śladów zbiegu kierunków a i b. Rzuty pionowe Z" i Z'Z tych śladów leżą na rzucie pionowym h" = vx horyzontu.

Płaszczyzna, przechodząca przez oko i pionową krawędź AB naroża, przetnie tło wzdłuż prostej pionowej. Rzut poziomy tej prostej jest punktem A' = В', a rzut pionowy prostą prostopadłą do horyzontu, ograni-

czoną punktami A's' i B'sr, które otrzymamy, łącząc punkty 1" i II" z punktem O" = Z", lub punkty III" i IV" z punktem Z". Tym sposobem dochodzimy do rzutu pionowego perspektywy wnętrza. Celem otrzymania samej perspektywy, należy obrócić płaszczyznę tła około jej śladu pionowego v„ na pionową płaszczyznę rzutów, z którą zawiera ona kąt e.

^ff5«łWP

“    ®m"»*-«^.,^^; |i|    ¹

agi

****

li

{И

\:

gr

Pi? i

il

fp

lil

IB

1.

gŁMil

I II III IV

Punkty, leżące na prostej hjr, zakreślą łuki kół o wspólnym środku X„ i padną na prostą p. Punkty Z[ i Z₂' tej prostej, odniesione na horyzont, staną się śladami zbiegu Zx\ Z₂\ połączymy je z wierzchołkami prostokąta

>S3

promieniami, prze-cinającemi się w punktach As i Bs.

Rys. 181.

Wł. fot. Jan Malarski, Warszawa.

Szczególne trudności przy perspek-tywicznem przedstawianiu wnętrz nastręcza przyjęcie położenia oka, wzgl. „stanowiska“ — t. j. rzutu prostokątnego O' oka na płaszczyznę podstawy (podłogi) — (rys. 180 b).

Jeżeli perspektywa ma oddawać ściśle rzeczywistość, to przyjęcie stanowiska ograniczone jest wymiarami rysowanego wnętrza; oko może znajdować się nie dalej, jak na jednej ze ścian ograniczających rysowany obszar. Oddalenie oka od rysowanego przedmiotu okaże się zazwyczaj zbyt małe.

Potrzeba pomieszczenia, na określonym formacie kliszy fotograficznej, obrazu możliwie dużego obszaru przestrzeni — przy stosunkowo małem oddaleniu przedmiotowem, którego powiększenie nie leży w naszej mocy — zniewala fotografa do posługiwania się objektywami sze-rokokątnemi o bardzo krótkich ogniskowych. Konsekwencje, wynikające stąd dla charakteru obrazu, omówimy szczegółowo w rozdziale, traktującym o estetyce perspektywy.

Rysownik jest w dogodniejszej sytuacji, aniżeli fotograf. Może on konstruować perspektywę wnętrza przy założeniu, że oko jego znajduje się zewnątrz ścian, okalających wnętrze. Tym sposobem powiększy on oddalenie przedmiotowe do wielkości, dyktowanej wymaganiami poprawnej perspektywy, poświęcając na rzecz tej poprawności warunki rzeczywistości.

Promień /* koła widzenia kw na rys. 180 c wynosi około 84 mm, a ponieważ głębokość tłowa ô = 25 mm, więc kąt widzenia obrazu obliczony z relacji (str. 121)

tg

to

= r:ó

wynosi około 108°.

k,

Przyjąwszy koło widzenia identyczne z kołem głębokości, t. j. kw otrzymaliśmy obraz wnętrza, przedstawiony na rys. 180 d.

Jeżeli odcinki OsEs i OsFs przeniesiemy z rys. 180 o? na prostą hn w rys. 180b, jako odcinki 0'SE'S i 0'SF'S — to proste O'E's i O'F'a uważać możemy za ślady poziome pionowych płaszczyzn, ograniczających obserwowany obszar wnętrza.

Rys. 179 i 181 przedstawiają boczne perspektywy wnętrz, otrzymane drogą zdjęć fotograficznych. Czytelnik spostrzeże z łatwością,

że kąt widzenia obrazu na rys. 181 jest znacznie większy, aniżeli na rys. 179.

0'oW^

<p

Be³

Zz³

’Os

Aï\

Ąa—"

Rys. 182 jest boczną perspektywą wnętrza, wykreśloną przy użyciu trzeciej części głębokości tłowej. Wychodząc z częściowego śladu zbiegu Zt1/:i, wykreśliliśmy kąt Z^³ О₀1/з Z₂l<³ = cp, jaki tworzą ze sobą sąsiednie ściany pionowe naroża. Następnie wykreśliliśmy odcinek ДД i połączyliśmy jego punkty końcowe ze śladami zbiegu, w sposób omówiony w ust. 22.

Rys. 182.

Promień koła widzenia obrazu łączy prawy, górny wierzchołek prostokąta, ograniczającego obraz z punktem Os, i wynosi 46 mm. Ponieważ głębokość tłowa wynosi 66 mm — więc kąt widzenia obrazu równy jest 70°.

Dalszym przykładem perspektywy wnętrza, a w szczególności prostokątnego naroża pokoju, jest rys. 183. Przyjmijmy, że wielkość obrazu 119X159 mm jest zgóry dana. Podziałka rysunku 1 : 20 narysowana jest na prawej jego krawędzi w. Niechaj wysokość horyzontu wynosi 17 /и a głębokość tłowa 5 m.

Cs

CZ~

—o

Ax

Ух

Cs.

Co

CD

⁽У

ć>

-0-4

0-2

/As

Ws

20s

30s

Rys. 183.

20*

-3'Om

■2-5

■2-0

1-5

1-0

■Ós

■OS

Ponieważ, według założenia, ściany boczne są do siebie prostopadłe, więc, przyjąwszy częściowy ślad zbiegu Z/'¹⁰, wykreślimy promień prostopadły do proste] Z^w O₀1/l0 w punkcie O₀'l'° i otrzymamy częściowy ślad zbiegli Z/'¹⁰, drugiego kierunku, prostopadłego do pierwszego.

Bartel. Perspektywa. I.

Skonstruujmy punkty Ж+ i M₂ll° i znajdźmy punkty częściowego mierzenia, wybierając je wpobliżu punktu głównego. Najpierw wyznaczmy punkt częściowego mierzenia, związany ze śladem zbiegu Z{. Według ust. 28, str. 95, mamy:

Os Zx = — • ax = 10.15 = 150 mm, gdyż ax = Zx,10Os = 15 mm.

3    ,

-, wówczas : 5

Cl co⁴

Os M^'° = bx = 14-5 mm. Jeśli przyjmiemy stosunek

15 + 14*5 ₀ .nn

--+--3 = 177 mm

5

M,

³/5

Zy = — • ¹ m

n a, + bt

• rx = 10 •

Os

M,

³/s

³/ 5

-Zy = 150 — 177 = — 27 mm.

Znak ujemny przy liczbie 27 /77/77 oznacza, że punkt częściowego mie-M

Yj- i odpowiadający mu ślad zbiegu Zy leżą po przeciwnych stronach punktu głównego Os.

Zkolei oznaczymy położenie drugiego punktu częściowego mierzenia,

. . Ж mianowicie

rżenia

12

⁵/6

OsZ₂ = ~ . a₂ = 10.41 = 410 mm, gdyż a₂ = 41 mm Os Ж+⁰ — b., = 7 mm. Ponieważ przyjęliśmy stosunek — =

«+I.5

6

⁵/б    -    /77

n a₂ + b

-= io •

= 400 777777

Oli Ol

, przeto :

M,

+ = 410 — 400 = 10 777/77.

ж₂

Ve

S5/e

Wykreślimy teraz prostą prostopadłą do horyzontu i przyjęty na niej punkt As połączymy z punktem O podziałki w. Prosta O — As przecina horyzont w punkcie Z; z punktu tego rzucimy podziałkę w na prostą as i jej jednostką odmierzymy od punktu As 3’8 m równe wysokości pokoju. Punkty As i Bs połączymy ze śladami zbiegu Zv i Z.₂, i to albo w sposób podany w ust. 22 (patrz rys. 93), albo zapomocą podziałek zbiegu, albo wreszcie przy użyciu lineału perspektywicznego, jak to uczyniliśmy w naszym rysunku.

³/₅’

Zkolei narysujemy podziałki perspektywiczne na krawędziach bs i cs podłogi. Punktem częściowego mierzenia dla pierwszej jest punkt

z niego też rzucimy punkt As na linję podstawy, otrzymując tam punkt Ax. Od punktu tego odmierzymy na linji podstawy podziałkę, pomniejszoną

na prostą cs.

м

cio ³/б przyjętej jednostki i punkty podziału rzucimy z punktu na

prostą bs. Teraz wyznaczymy podziałkę perspektywiczną na prostej cs; odmierzymy na linji podstawy tę samą, co poprzednio, jednostkę, pomniejszoną do ⁵/g, i rzucimy punkty podziału z punktu

Konstrukcji tej nie zamieściliśmy na rysunku, gdyż pokrywa się ona zupełnie z podaną dla prostej bs. Punkty podziałek perspektywicznych na prostych bs i cs połączymy ze śladami i Z₂, otrzymując perspektywę siatki kwadratów, w którą wrysujemy ornament posadzki.

Podziałki na prostych as i cs pozwolą narysować perspektywę otworu drzwi o wymiarach P4/2'8 m. Aby odmierzyć grubość muru, przeniesiemy ją, w zmniejszonej do ³/s podziałce rysunku, jako odcinek AXCX

na linję podstawy i punkt Cx rzucimy z punktu

many punkt Cs połączymy następnie z punktem Z₂.

Głębokość tłowa na rys. 18B wynosi 250 mm; promień koła widzenia obrazu, które przechodzi przez dolny prawy wierzchołek prostokąta ograniczającego obraz, równy jest 106 mm; styczna trygonome-

53

, zatem

⁵/c

³/5

na prostą bs. Otrzy-

ö 125

tryczna połowy kąta widzenia obrazu wynosi: tg kąt (f = ~ 46 °.

32. Perspektywa fotograficzna. Drogą mechaniczną otrzymujemy obrazy perspektywiczne zapomocą aparatu fotograficznego, którego „okiem“ jest objektyw. Zwrócona ku objektywowi fotograficznemu powierzchnia matówki, względnie płyty fotograficznej, odpowiada geometrycznemu pojęciu płaszczyzny tła. Precyzja nowoczesnej techniki optycznej pozwala na założenie, że fotogram, otrzymany dobrym objektywem fotograficznym, pokrywa się zupełnie z wynikami, otrzy-manemi drogą konstrukcji geometrycznej.

Ib

Fi

Г2

tl

W granicach tego wykładu nie możemy zajmować się szczegółami optyki aparatu fotograficznego; omówimy tylko podstawowe jej prawa, potrzebne do zorjentowania się w ana-logji, jaka zachodzi między perspektywą konstrukcyjną a fotograficzną.

Rys. 184.

Linja m, łącząca środki powierzchni kul, ograniczających soczewkę, nazywa się jej osią optyczną (rys. 184). Promienie, biegnące w bezpośredniej bliskości osi optycznej i do niej równoległe, przecinają się — po przejściu przez soczewkę — w jednym punkcie na osi, który zwie się ogniskiem (.F) soczewki. Kierunki wszystkich promieni wchodzących i wychodzących przecinają się na płaszczyźnie głównej, prostopadłej

do osi optycznej. Płaszczyzna główna przecina oś optyczną w punkcie głównym G soczewki, którego nie należy identyfikować z punktem głównym w perspektywie. Oddalenie ogniska od głównego punktu soczewki nazywa się jej ogniskową (/)„ Każda soczewka ma dwa ogniska, dwie płaszczyzny główne i tyleż punktów głównych. Obie ogniskowe soczewki są sobie równe. W so-Вг czewce, użytej jako objektyw fotograficzny, wchodzi w grę jedno Сг ognisko i jedna płaszczyzna główna. Kilka soczewek, względnie ośrod-ków ograniczonych powierzchniami kulistemi o wspólnej osi, tworzy układ osiowy, który posiada — podobnie, jak soczewka pojedyncza: dwa ogniska Fx i F₂ (rys. 185), dwie płaszczyzny główne yt i y2 i dwa główne punkty Gx i G₂. Ogniskiem układu jest punkt przecięcia się z osią układu — w ostatnim ośrodku — promienia, który w pierwszym ośrodku był równoległy do osi. Innemi słowy, określić można ognisko układu osiowego, jako ten punkt jego osi, przez który przechodzące promienie biegną w ostatnim, przeciwległym, ośrodku, równolegle do osi.

чЛ/

(2;

7,

c,

b,

Fs

Bi

G,

G2

Rys. 185.

7,\ \7z

V,

ü—MàÉû

Fz

f-

Główne płaszczyzny układu osiowego, będące — podobnie, jak główne płaszczyzny soczewki — miejscem geometrycznem punktów przecięcia się wszystkich promieni wchodzących i wychodzących, są prostopadłe do osi, przecinają ją w punktach głównych i posiadają tę własność, że obraz utworu płaskiego, znajdującego się na jednej z nich, leży na płaszczyźnie drugiej, jest prosty (nie odwrócony) i do danego utworu płaskiego przystający.

Rys. 186.

Na osi układu optycznego znajdują się dwa punkty węzłowe i W₂, charakteryzujące się tem, że każdy promień, który przed pierwszem załamaniem się skierowany jest ku pierwszemu z nich — po ostatniem załamaniu się przechodzi przez punkt drugi i pozostaje do swego pierwotnego kie-

runku równoległy. Jeżeli ostatni ośrodek jest ten sam, co pierwszy, to punkty węzłowe układu schodzą się z punktami głównemi.

Oznaczmy oddalenie przedmiotu od soczewki, mierzone do jej punktu głównego, literą d, a oddalenie obrazu tego przedmiotu od drugiego punktu głównego — odpowiadające w perspektywie konstrukcyjnej głębokości tłowej — literą ô. Między ogniskową / soczewki, oddaleniem przedmiotowem d i oddaleniem obrazu zachodzi związek:

Т-H O

Sama odwrotności oddalenia przedmiotowego i oddalenia obrazu równa jest odwrotności ogniskowej soczewki.

Z równania (5) otrzymamy trzy następujące:

. 6)

d . ô

ô.f

• 7)

8)

Z równań tych możemy obliczyć każdą z trzech, wchodzących w nie wartości, gdy znamy dwie pozostałe.

f\

0y

Ustawmy przed objektywem fotograficznym (soczewką) przedmiot (strzałę) o długości a (rys. 186) i przyjmijmy, że strzała a jest obrazem pierwszej. Między wielkością a przedmiotu a wielkością a jego obrazu zachodzi — jak to widzimy bezpośrednio z rysunku — związek:

. . 9)

a : a = Ô : d .    .

Rys. 187.

t. zn., że stosunek wielkości obrazu do wielkości przedmiotu równy jest stosunkowi oddaleń obrazu i przedmiotu. Oznaczmy stosunek wielkości przedmiotu do wielkości obrazu przez e, to równanie (9) przyjmie formę:

10)

Wstawmy ô =

z równania (10) w (7), to otrzymamy:

Zastąpmy w równaniu tem czynnik s stosunkiem kość obrazu a:

i obliczmy wiel-

12)

Równanie (12) poucza nas, że wielkość obrazu uzależniona jest — poza wielkością przedmiotu i jego oddalenia — także i od ogniskowej objektywu fotograficznego. Ze wzrostem ogniskowej rośnie wielkość obrazu. Wartość d = ed z równania (10), wstawiona w równanie (7), daje:

'hi)

13)

a.)

^a'.)

Oś

⁹0

Rys. 188 a, a'.

Pomnóżmy równanie (11) przez (1 +e)> poczem wstawmy z równania (10) d—só, to otrzymamy:

s(à + d)

(l + s)²

• H)

Równania (11), (13) i (14) dają odpowiedź na szereg praktycznie ważnych pytań.

Przyjmijmy np., że wielkość obrazu ma być równa wielkości przedmiotu, czyli, że:

a.

1, a więc a

Z równania (11) otrzymujemy przy tem założeniu d = 2/, a z równania (13) ó = 2f. Stąd d = ó, co oznacza, że oddalenie przedmiotu równe będzie oddaleniu obrazu a obie te wielkości równe podwójnej ogniskowej objektywu fotograficznego.

Rys. 189 a, a'.

Niechaj obraz ma być pomniejszony dwu-, trzy-, czterokrotnie w stosunku do przedmiotu, czyli niechaj e =

czas oddalenia przedmiotu wypadną z równania (11) równe 3/, 4/, 5/, ..., a oddalenia obrazu (głębokości tłowe) z równania (13), kolejno:

b.)

■t

Zio

osZM

a.)

'Z90

a!)

X'

OZ

oO'

er

Zr

tZ

b!)

vS

Va

>r

iii

oO\

cc

t’p

<*>)

Z90

Z'90

Rys. 190 b, b'.

<oeZ

Widzimy, że głębokość tłowa maleje ze wzrostem oddalenia przedmiotu, przy równoczesnem zmniejszaniu się obrazu, i staje się ogniskową, gdy oddalenie przedmiotu jest nieograniczenie wielkie.

W istocie równanie (13) przyjmuje formę ô = /, gdy (l —|—) = 1, co

1    1    \    £/ a

możliwem jest, gdy — = 0. Aby — było równe zeru, musi być ⁸⁼⁼~> ⁼

= co, czyli а = 0, co oznacza, że obraz przedmiotu, znajdującego się

w odległości nieskończenie wielkiej, jest punktem (ogniskiem).

Wynika to zresztą wprost z równania (5), gdy wstawimy tam d — co, wtedy bowiem także f—ó, t. zn., że obraz pada w ognisko.

W rzeczywistości operujemy oddaleniami skończone-mi, a w technice fotograficznej już po przekroczeniu kilkunastometrowego oddalenia przedmiotu dalsze jego zwiększanie pozostaje bez widocznego wpływu na głębokość tłową. Głębokość ta nie ulega dalszym zmniejszeniom i schodzi się, praktycznie rzecz biorąc, z ogniskową objektywu fotograficznego, która jest więc minimalną głębokością tłową każdego aparatu fotograficznego. Zbliżenie przedmiotu do aparatu pociągnie za sobą potrzebę odsunięcia matówki od objektywu, czyli zwiększenia głębokości tłowej.

Oś optyczna przebija płaszczyznę płyty fotograficznej (tło) w punkcie Os (rys. 186), który jest punktem głównym w znaczeniu perspektywy konstrukcyjnej.

Objekty w fotograficzny nie posiada środka rzutów w znaczeniu geome-trycznem, t. j. nie posiada punktu, przez który przechodzą promienie bez załamania lub bez przesunięcia. Rolę środka rzutów przyjmują na siebie punkty główne, z któremi schodzą się — z uwagi na to, że ośrodek pierw-

Jj

mm

;’l ЩИ

INI

- TH

Ni -,

. mm V

fei

o    —эта

JJ

Jj

mmm.

w'

■pan

Rys. 191.

szy jest identyczny z ostatnim (powietrze) — punkty węzłowe (str. 132). W konsekwencji nie mamy w aparacie fotograficznym płaszczyzny zniknienia, w znaczeniu rzutu środkowego ; analogja każe wstawić w jej miejsce obszar, zawarty między dwiema płaszczyznami głównemi.

mît

ET

-«śiś&S

«**»

O ile pole widzenia oka geometrycznego jest teoretycznie nieograniczone i obejmować może całą płaszczyznę tła, to pole widzenia aparatu fotograficznego jest ograniczone własnością jego objektywu. Kąt wierzchołkowy cp stożka widzenia objektywu, którego wierzchołek przyjąć możemy dla uproszczenia w środku odcinka, ograniczonego punktami głównemi (środek optyczny objektywu), nazywa się kątem objektywu (rys. 187).

W tak zwanych objektywach szerokokątnych kąt ten dochodzi do 140°.

iii

жЩШ.

ntt

я#;    1:

Obraz padający na płytę fotograficzną jest odwrócony; jeżeli płyta ma położenie pionowe, to fotogram odpowiada geometrycznie obrazowi perspektywy, stanowiącej przedmiot rozważań tego rozdziału; obrazy prostych pionowych stanowią pęk prostych równoległych (rys. 188a, a).

Rys. 192.

Jeżeli płyta fotograficzna nie ma położenia pionowego, to otrzymamy fotogram, który ma swój odpowiednik geometryczny w rzucie środkowym, w ogólniejszem rozumieniu tego określenia, omó-wionem w rozdziale I.

Rys. 189a i a' ilustruje zdjęcie fotograficzne, w którem płyta fotograficzna pochylona jest ku dołowi; obrazem prostych pionowych jest pęk promieni, schodzących się w punkcie Z⁹⁰, leżącym pod dolną krawędzią płyty. Przykładem tak dokonanego zdjęcia jest rys. 191.

Rys. 190 6 i b' uzmysławia zdjęcie fotograficzne, w którem płyta fotograficzna jest nachylona ku górze; fotograf ją prostych pionowych

są proste, zbiegające się w punkcie Z⁹⁰, który leży nad dolną krawędzią obrazu. Zdjęcie fotograficzne, odpowiadające takiemu położeniu aparatu fotograficznego, przedstawia rys. 192.

Jako dalszy przykład zdjęcia przy dowolnem położeniu płaszczyzny kliszy, czyli przykład perspektywy ukośnej, służyć może zdjęcie, wykonane z balonu, względnie samolotu (rys. 193).

*11

;'r<

|'.мГ.м7: U

iïJÊk

pfj

».

Liii

• ssfaïfs

I I i ¹ ■ f ₅ * i , J J J JJ J, W i ITJ 2 Ê t < i Mii • e * ⁸ f ? ł Металл ****** *1 * » * ₍

«?

■ ■*—*    г Щг

Rys. 193.

Łask

Ек

*.

ilinnSRI'

—ш»- #i та-”™" "■!!■",и»

, jâÊtk

•# in йшш& sé3i

т .'М

Rozdział III.

Perspektywa krzywych stożkowych.

33. Uwagi ogólne o perspektywie koła. a) Spójrzmy przede-wszystkiem wstecz i ujmijmy pewne wyniki dotychczasowych rozumowań bardziej ogólnie. Wiemy, że każdy punkt przestrzeni ma swoją perspektywę, którą jest jeden, ściśle określony punkt, że perspektywą linji prostej jest prosta, że każdy trójkąt, czworokąt — ogólnie /?-kąt, przyjęty na płaszczyźnie podstawy lub też na innej, dowolnie w przestrzeni leżącej płaszczyźnie, ma swój jednoznacznie wyznaczony obraz perspektywiczny na tle. Posługując się określeniami geometrycznemi, powiemy: między punktami i prostemi dowolnej płaszczyzny cp a ich perspektywami na tle zachodzi tego rodzaju zależność, że każdemu punktowi tej płaszczyzny odpowiada jeden jedyny punkt na tle, jako jego perspektywa, i że każdej prostej, przechodzącej przez punkt płaszczyzny cp, odpowiada na tle jedna jedyna prosta, przechodząca przez punkt, odpowiadający punktowi płaszczyzny cp. Ale ponadto zależność ta jest wzajemna, t. zn., że każdemu punktowi i każdej prostej, przechodzącej przez ten punkt na tle, odpowiada jeden punkt i jedna prosta na płaszczyźnie cp.

Nazywając punkty i proste, przyjęte na płaszczyźnie cp, jej elementami i pojmując płaszczyznę, jako zbiór tych elementów, powiemy: między elementami płaszczyzny cp a elementami płaszczyzny tła założyć się da odpowiedniość jedno-jednoznaczna, polegająca na tern, że punktowi, leżącemu na jednej z tych dwóch płaszczyzn, odpowiada na płaszczyźnie drugiej punkt, leżący z pierwszym na promieniu widzenia, a prostej na jednej płaszczyźnie — prosta na płaszczyźnie

Mi

\t

nr

/1

- Zm\

Wy

drugiej, leżąca z nią na płaszczyźnie, przechodzącej przez oko, czyli na płaszczyźnie widzenia.

z~

ШО

Os

ms

t<p

Ml)

—jvj/

2    '■‘Co

,/V“>

r/y

Rys. 195.

b) Niechaj płaszczyzna л (rys. 195) będzie płaszczyzną tła, punkt O okiem (środkiem rzutów), płaszczyzna £ / / л płaszczyzną zniknienia a płaszczyzna cp dowolnie przyjętą płaszczyzną, przecinającą tło wzdłuż śladu tłowego t<p — i nachyloną do niego pod kątem co. Przechodząca przez oko, równolegle do płaszczyzny cp, płaszczyzna z przecina tło wzdłuż prostej Zg, II bp, która jest śladem zbiegu płaszczyzny cp.

Przyjęta na płaszczyźnie cp prosta m przebija tło w śladzie tło-wym Tm. Promień, wyprowadzony z oka równolegle do prostej m, przebija tło w punkcie Zm, który jest śladem zbiegu prostej m. Prosta ms, łącząca punkty 7„, i Zm, jest perspektywą prostej m.

Posługując się sposobem wyrażania, wprowadzonym w punkcie a) tego ustępu, powiemy, że prostej m, leżącej na płaszczyźnie cp, odpowiada na tle prosta nis i wzajemnie — prostej mN, leżącej na płaszczyźnie tła, odpowiada prosta m na płaszczyźnie cp.

Między punktami prostej m a punktami prostej ms i wzajemnie zachodzi — stworzona pośrednictwem oka — również odpowiedniość jedno-jednoznaczna. Polega ona na tern, że każdemu punktowi jednej z tych prostych odpowiada jeden punkt na prostej drugiej, leżący z nim na promieniu widzenia.

Wyjdźmy od punktu, leżącego nieograniczenie daleko na prostej m, t. j. od punktu niewłaściwego Zx\ punktowi temu odpowiada, w znaczeniu odpowiedniości geometrycznej, punkt Zm (ślad zbiegu) prostej /??.,. Zbliżajmy się od punktu Z"° prostej m ku jej śladowi tłowemu

v;->

ШЩi

шшш

—к

тхжлшт^,^s§gsu&||

*S

1л?

II

J-J

ЯНН

IIł

»ii

æ

,: :: :■

f£p}

Йк

s§

*?'лк

гч

Ш.

лл

тщ

ШЁ

! [ Æmm .V

ЙОй

.;: N..

;ЛГ M 5йЙ7

Iii ■»

;r

л>

ШШ, Щ

ЩрЯ

шг

t:

'■jĄ

£wHai

Jj

:«Шяш

ÿÿï'i

Ш-®

К;.<

im

г^Л.

ilgjil.

.<,■■ - " ^,-

ÜЩШ&т

вя

шш

,• Д;

ВДлННРЦ

IÜ1

? 'Х'ГЭ

ъЗшёШ

&&

Шря,

тшк

ЯЯш

№р|

£4

РшШМ !Üft

н& ill

ЦТ

li

Kii

»

Шщ

■ i

ЩШШ&

ЩрШШ

iSSSP^

■

/И;

:*й

ÉSBIfiïlS

ygä&j

>4

Tm. Punktowi M odpowiada na prostej ms punkt Ms, leżący z nim na promieniu widzenia. Punktowi Tm, uważanemu za element prostej mN, odpowiada tenże sam punkt Tm. Gdy więc, wychodząc od punktu niewłaściwego Zx, punkt przebiega prostą m aż do jej śladu tłowego, to perspektywa tego poruszającego się punktu odbywa na prostej ms drogę od śladu zbiegu Zm do śladu tłowego Tm. Gdy punkt porusza się dalej w tym samym kierunku i przebiega odcinek TmN, to perspektywa jego porusza się równocześnie od punktu Tm ku punktowi niewłaściwemu Nx prostej //z.,. Punkt N prostej m, leżący na śladzie zniknienia n (ust. 4, punkt a), którego perspektywą jest punkt niewłaściwy №° prostej ms, jest śladem zniknienia prostej m (ust. 3, punkt a). Gdy po przekroczeniu śladu zniknienia punkt się będzie ku punktowi niewłaściwemu, to obraz jego zbliżać się będzie od punktu niewłaściwego Nx ku punktowi Zm.

nie zmieniając kierunku ruchu — oddalać

Rozszerzając sprawę przebiegu punktu i linji prostej na cały obszar płaszczyzny g, zauważymy, co następuje: punktom niewłaściwym płaszczyzny (p, t. j. nieograniczenie daleko na niej leżącym, których miejsce geometryczne uważamy za linję prostą niewłaściwą — odpowiadają punkty, których miejscem geometrycznem jest ślad zbiegu z? tej płaszczyzny; punktom leżącym na płaszczyźnie (p „za tłem“, między prostą niewłaściwą a śladem tłowym, czyli w „obszarze istotnym“, odpowiadają na tle punkty, leżące między śladem zbiegu z^ a śladem tłowym t<p. Śladowi tłowemu t^, uważanemu za element płaszczyzny <p, odpowiada ta sama prosta, jako element płaszczyzny tła; innemi słowy: ślad tłowy płaszczyzny odpowiada sam sobie. Punktom, leżącym między śladem tłowym a śladem zniknienia (w „obszarze pośrednim“), odpowiadają na tle punkty, wypełniające część płaszczyzny tła od śladu tłowego aż do jej punktów niewłaściwych. Pozostałej części płaszczyzny (p, rozciągającej się od śladu zniknienia n (w „obszarze geometrycznym“), odpowiadają na tle punkty, od niewłaściwych począwszy, aż do leżących na śladzie zbiegu z^. Śladowi zniknienia n odpowiada na tle prosta niewłaściwa, stanowiąca krawędź płaszczyzny tła z płaszczyzną widzenia, która jest w tym przypadku równoległą do tła. Innemi słowy, wyrazić możemy ostatnie zdanie w sposób następujący: perspektywa każdego punktu śladu zniknienia jest punktem niewłaściwym tła, t. zn. leży na niem w odległości nieograniczenie dalekiej.

c) Przyjmijmy na płaszczyźnie g>, w miejsce prostej m, koło kx i to tak, aby nie miało ono żadnego punktu wspólnego ze śladem zniknienia n (rys. 197).

Każdemu punktowi koła kx odpowie jeden punkt na tle, a miejscem geometrycznem tych punktów będzie linja krzywa k\. Innemi słowy:

linja krzywa kl jest perspektywą koła kt. Z łatwością zauważymy, że krzywa k\ posiada z kołem szereg wspólnych własności.

I tak, stosując twierdzenia, wypowiedziane w punkcie b) tego ustępu, stwierdzimy, że krzywa k\ nie posiada — podobnie, jak koło — żadnych punktów niewłaściwych, t. j. wszystkie jej punkty leżą w odległości skończonej. Wistocie bowiem, skoro tylko punktom, leżącym na śladzie zniknie-

st

w.

z?,

0Î

ki

ty

кг l/(

кз

'ki

'ki

/r

Rys. 197.

nia /?, odpowiadają punkty niewłaściwe, a ślad ten koła kx nie przecina, więc wszystkie punkty linji k\ są punktami właściwemi, czyli, jak się wyrażamy, krzywa k\ jest linją „zamkniętą“.

Wiadomo, że linja prosta przecina koło w dwóch punktach, a z dowolnego punktu poprowadzić można do koła dwie proste styczne. Ponieważ między elementami płaszczyzn cp i л zachodzi wzajemna od-powiedniość jedno-jednoznaczna, więc wymienione wyżej własności łączą koło i jego perspektywę k\. Stwierdzamy tern samem, że linja prosta przecina krzywą, która jest perspektywą koła, w dwóch punktach,

i że z dowolnego punktu poprowadzić do niej można dwie proste styczne. Perspektywę koła, nie posiadającą punktów niewłaściwych, a więc stanowiącą linję „zamkniętą“, nazywamy elipsą. Elipsa jest perspektywą koła, które nie posiada żadnego punktu wspólnego z płaszczyzną — a więc i ze śladem — zniknienia.

d)    Jeżeli koło, leżące na płaszczyźnie cp, zbliży się do płaszczyzny zniknienia i zajmie położenie k₂, to perspektywą jego będzie elipsa ks₂, posiadająca z kołem h₂ dwa punkty wspólne, te mianowicie, w których koło przecięte jest śladem tłowym płaszczyzny (p.

Jeżeli koło zajmie na płaszczyźnie cp położenie k₃, styczne do śladu zniknienia w punkcie N, to jego perspektywą będzie krzywa, posiadająca jeden punkt niewłaściwy Nœ, odpowiadający punktowi N. Poza tem posiada krzywa ta, zwana parabolą, wspólne z elipsą własności ogólne; dowolna prosta przecina ją w dwóch punktach; z dowolnego punktu poprowadzić do niej można dwie styczne.

e)    Jeżeli ślad zniknienia n przecina koło k, przyjęte na płaszczyźnie cp, w punktach A i В (rys. 198), to perspektywą jego będzie linja krzywa ks, posiadająca dwa punkty niewłaściwe A⁰⁰ i Bx, a zresztą te same, co elipsa i parabola, własności ogólne. Krzywą tę nazywać będziemy hiperbolą; z rys. 198 widzimy, że składa się ona z dwóch części, czyli, jak mówimy, „gałęzi“. Części koła, leżącej między śladem zniknienia a śladem tłowym, a więc w obszarze pośrednim, odpowie gałąź hiperboli, leżąca na tle, poniżej śladu tłowego t(p. Obrazem perspektywicznym pozostałej części koła jest gałąź hiperboli, rozciągająca się nad śladem zbiegu zrp. Oczywiście, że rozważania nasze są w tej chwili natury czysto teoretycznej; czytelnik niewątpliwie zauważył, że owa pozostała (w obszarze geometrycznym) część koła w rzeczywistości nigdy obserwowaną być nie może ; rozumowanie nasze usprawiedliwione jest przyjęciem oka, jako punktu geometrycznego.

Perspektywy punktów A i В są punktami niewłaściwemi o kierunkach O A i OB. Proste as i bs, t. j. perspektywy stycznych a i b, są prostend równoległemi do kierunków O A i OB, przecinającemi się w punkcie Ss. Ponieważ stycznej do koła odpowiada styczna do jego perspektywy, więc proste as i bs są stycznemi do hiperboli w punktach niewłaściwych A°° i Bx, odpowiadających punktom A i B, leżącym na śladzie zniknienia n. Proste styczne do krzywej w jej punktach niewłaściwych noszą nazwę asymptot; hiperbola posiada więc dwie asymptoty.

O ile koło leży przed śladem zniknienia (w obszarze geometrycznym) i nie ma z nim żadnych punktów wspólnych, to perspektywą jego jest elipsa; to położenie koła ma znaczenie li tylko teoretyczne.

Reasumując, powiemy: perspektywa koła zależy od jego położenia względem płaszczyzny zniknienia i jest elipsą, parabolą lub hiperbolą.

W szczególności, jeżeli ślad zniknienia koła nie przecina, to jego perspektywą jest elipsa — jeżeli jest styczny do koła, to jego obraz perspektywiczny jest parabolą, a jeżeli przecina koło w dwóch punktach, to perspektywą tak położonego koła jest hiperbola.

Cechy wspólne, które posiadają koło, elipsa, parabola i hiperbola, każą krzywe te zaliczyć do jednej grupy, którą określamy mianem krzywych stożkowych lub krótko: stożkowych.

A7

fiT

as j

ßco

\/bs ZaL

\Zb

Zp

Ss

I \Tb?i

Ta

tp

Г"

77

¹ Iks

Rys. 198.

34. Konstrukcja perspektywy koła, jako elipsy, a) Jako pierwszą, podajemy konstrukcję perspektywy koła, leżącego na płaszczyźnie <p, nachylonej do tła pod kątem co (rys. 199). Po dokonaniu kładu tej płaszczyzny na tło przyjęliśmy na kole pewną ilość punktów i znaleźliśmy w znany sposób ich perspektywy. Więc perspektywy prostopadłych do śladu tłowego t₉ stanowią pęk promieni o wierzchołku A. Promień, łączący np. punkt 2° z kładem O⁰ oka, przecina prostą 2X — A w punkcie 2S, a równoległa, wykreślona przez ten punkt do t₉, wyznacza na dwóch innych promieniach pęku o wierzchołku A punkty Ss i ls. Pierw-

Bartel. Perspektywa. I.

10

szy jest perspektywą środka koła, jednak nie środkiem elipsy, stanowiącej perspektywę tego koła; drugi punktem elipsy. Punkty ls i 2S, połączone ze śladem Z₄₅, wyznaczą na promieniu 3X— A punkty 3S i 4S

4°,

5°/

k°

2°

\S°

t<p

1°

r2x

’6°

3°a

ks!

elipsy. Zamiast kładem O⁰ oka posłużyć się możemy wprost śladem Zi5, kreśląc przez poszczególne punkty koła proste, przecinające ślad tło-wy t<p pod 45°. Zresztą rysunek wyjaśnia dostatecznie kwestję, która nie zawiera żadnych myśli nowych.

3s

6*

\2s

Zfs

6s

Vi

li

ls

&/I

O*

po

Rys. 199.

b) Niechaj będzie dany horyzont h, linja podstawy p, punkt główny Os. trzecia część głębokości tłowej i koło k na płaszczyźnie podstawy (rys. 200). Wykonajmy kład płaszczyzny podstawy na tło, to koło к zajmie położenie /г°. Przez przyjęte na kole k° punkty 1°, 2°, ... poprowadzimy prostopadłe do podstawy p i połączymy otrzymane na niej punkty Iх, 2X, ... z punktem głównym. Ponieważ posługujemy się — zgodnie z warunkiem zadania — punktem Zm'¹³ częściowej głębokości tłowej, więc proste przekątne, których użyjemy do otrzymania punktów ls, 2S, ..., przechodzić muszą przez punkty 1°, 2°, ... zbliżone odpowiednio do podstawy p. Rysunek 200 zawiera konstrukcję punktu ls. Jeżeli przez punkt l₀'i3, dzielący odcinek Iх 1° w stosunku 1:3, poprowadzimy przekątną i punkt Г'³ połączymy ze śladem Z₄A³, to prosta otrzymana przetnie promień IхOs w punkcie ls.

W ten sposób skonstruujemy dalsze z'/ł punkty elipsy, uwzględniając, że proste 5S — 11s, 6S — 12s, 7S — 9S. i 8S —10,s są równoległe do podstawy p.

Os

c)    Rys. 201 podaje konstrukcję perspektywy koła, leżącego na płaszczyźnie podstawy, którą przeprowadzono przy użyciu punktu głębokości Z₄₅. Na kole k° opisaliśmy kwadrat A⁰B°C⁰D°, który narysowaliśmy następnie w perspektywie, wraz z przekątnemi. Zkolei wykreśliliśmy perspektywy prostych 8°—II i 7° — IV oraz prostych m° i n°. Otrzymaliśmy osiem punktów elipsy i tyleż stycznych w tych punktach, co wystarcza, w praktyce rysunkowej, do wykreślenia elipsy ks.

d)    Z podanej wyżej konstrukcji da się wyprowadzić uproszczona, praktycznie dogodna, nie wymagająca kreślenia kładu koła.

Z 45

6s/ 8s_4s

1o/a

l°

ms

1s

'k°

5s

уТА

7°

i 3s fSs Osi

\3°

S°

Rys. 200.

2X

9°

11°

2°

Os

y,

Cs

Znamy promień koła i ślad Z₄> połowy głębokości (rys. 202). Odmierzmy średnicę koła na podstawie p, równą odcinkowi DC, i połączmy punkty końcowe D i C oraz środek 3 z punktem głównym Os. Promień 3 — Z₄₅1/2 przetnie prostą D — Os w punkcie As, przez który prowadzimy równoległą do p. Na prostej C — Os otrzymamy punkt Bs, który jest czwartym wierzchołkiem trapezu ASBSCD,

Mł

'yäs\Ss

ns

p_

, 5б

ш7Л

Tm Tn

U

nr

p_

A°\

1° '

k°

B°

то.

му

D°\

s ж*

Ш

's°

6°

no

■во

Ъ°-

го

С°

Rys. 201.

''5

10*

'У

opisanego na elipsie ks. Kreślimy przekątne ASC i BSD trapezu, a przez otrzymany punkt Ss równoległą do linji podstawy p i promień, łączący go z punktem głównym. Punkty ls, 2S, 3 i 4S są punktami elipsy Dalsze cztery jej punkty znajdziemy na podstawie następującego rozumowania : przekątne kwadratu ABCD, opisanego na kole k — czyli stycznego w punktach 1, 2, 3 i 4 (rys. 208) — przetną koło w punktach 5, 6, 7 i 8. Wykreślmy kwadrat styczny w tych punktach do koła i połączmy punkty 5 z 8 i 6 z 7. Następnie narysujmy na boku 3C, który jest równy promieniowi koła, równoramienny, prostokątny trójkąt 3QC. Trójkąt ten jest przystający do trójkątów 8RS i 8RI, skąd wynika, że:

'/2

Os

Z4ś

js/Ms

6s \Bs

AsyZ-JK

Ls

Ns

*s/

Ss

ks

-6i

7s

lE

P /1C

v°

Rys. 202.

RS = QC = X.

As

Ponieważ punkt R leży na promieniu 5 — 8, więc znając odcinek x, znamy oddalenie tego promienia, jakoteż promienia 6 — 7, od środka S koła. Odcinkiem x, jako promieniem, zakreślimy z punktu 3 koło, które przetnie bok DC w punktach F i P. Przez punkty te przejdą proste 5— 8 i 6— 7.

Z rysunku czytamy, że:

fi

2 \j

I/ *

FE — D F= GP = PC.

lx

Rys. 203.

Oznaczmy punkty, w których styczna, poprowadzona do koła k w punkcie 6, przecina boki AB i BC przez M i L, a następnie przez punkty te poprowadźmy równoległe do boków kwadratu A B CD. Równoległe te przetną przekątną B D w punkcie N. Punkty M, N i G leżą na jednej prostej.

Gdy mamy punkt G, to znamy położenie punktu N, który leży na promieniu, przechodzącym przez punkt G równolegle do średnicy 1, 3 i na przekątnej BD. Znając położenie punktu N, znamy też i punkt L, który, połączony z punktem 6, daje styczną do koła w tym punkcie.

Wróćmy do rys. 202 i zastosujmy tam konstrukcje, przeprowadzone na rys. 203. Wykreślmy więc równoramienny, prostokątny trójkąt 3Q°C i przenieśmy odcinek 3Q° tukiem koła z punktu 3, jako środka, na podstawę p. Otrzymane tam punkty F i P połączymy z punktem głównym prostemi, które przetną przekątne trapezu w punktach 5S, 6S, 7S i 8S h ZA elipsy ks. Odcinając DF=FE oraz CP = PG, znajdziemy punkty E i G a wreszcie styczne w czterech — otrzymanych na przekątnych trapezu — punktach.

e) Sposób otrzymania szesnastu punktów elipsy, będącej perspektywą koła, znajdującego się na płaszczyźnie poziomej, podaje rys. 204.

Podzielmy koło k°, na którem opisaliśmy kwadrat A°B°C°D°, na д° szesnaście równych części i połączmy punkty podziału prostemi, rów-noległemi do boków tego kwadratu.

Jeżeli wykreślimy perspektywę tych prostych, to tern samem otrzymamy punkty ls, ..., 16s elipsy ks.

Ale wykonany rysunek pozwoli na znaczne uproszczenie konstrukcji, jeżeli uwzględnimy w nim, co następuje: z siatki wykreślonych linij weźmy pod uwagę dwa kwadraty, a mianowicie PIP VU⁰ VIII0 i IIP IV⁰ V° VP. Każdy bok jednego z tych kwadratów przecięty jest przez dwa boki drugiego, względnie przez przedłużenia tych boków, w dwóch punktach koła. Więc np. bok P — IP i para prostopadłych do niego boków IIP — V° i /F° — VP przecinają się w punktach 4⁰ i 6° koła; prosta V° — VP przecięta jest przez boki P — VIP i IP—VHP w punktach 16° i 10° i t. d.

Zastosowanie własności tych dwóch kwadratów daje nam bardzo dogodną konstrukcję perspektywy koła, jak to widzimy na rys. 205.

Trapez ASBSCSDS jest perspektywą kwadratu, opisanego na kole, którego promień równy jest odcinkowi PSK. Promieniem tym zakreślimy ćwierć koła k°, które podzielimy na cztery części; punkty podziału rzucimy prostopadle na podstawę p i otrzymane rzuty połączymy z punktem głównym promieniami. Promienie te przetną przekątne

D°\

1/2

Vïïs

'k£/Vs\ /

.уд о_144

/5‘

'160

20-

40

Os

Ss

tÏ3°-

ks

42s

12ч

ms

11°

Гг

В⁰

ГО

т°

• 90

17°

8°)

¹40    60'

Rys. 204.

к°у

'70

-W-

С°

trapezu ASCS i BSDS w punktach I, Vs, IVs i VIII, a proste, wykreślone w tych punktach równolegle do podstawy p, wyznaczą na przekątnych trapezu pozostałe wierzchołki II, VI, III i VII perspektywy kwadratów I, II, III, IV i V, VI, VII, VIII. Bok III IVS przecina proste Vs — VIII i VI — VII w punktach 4S i £s elipsy ks. Proste VS — VIS i VII — VIII przecinają bok ISIVS w dwóch punktach elipsy ks, z których jeden, a mianowicie 2S, oznaczony jest na rysunku. W ten sposób otrzymamy szesnaście punktów elipsy, jako perspektywy koła.

f) Do otrzymania punktów elipsy, jako perspektywy koła, zastosować można z doskonałym wynikiem pęk Pillefa. 2o Podzielmy przyjęte półkole na osiem równych części (rys. 206) i rzućmy punkty podziału na bok Iх9* kwadratu, opisanego na kole. Przyjmijmy na przedłużeniu promienia S5 w dowolnej odległości punkt W i połączmy go z punktami Iх, 2X,... 9X. Otrzymaliśmy pęk Pillefa o wierzchołku W, który pozwoli na narysowanie perspektywy koła, o dowolnie dużym promieniu. Pęk taki, którego promienie należałoby dostatecznie przedłużyć, wyrysowany na sztywnym papierze, jest dla rysownika przyrządem, którym posłużyć się może zawsze przy rysowaniu perspektyw kół.

2°t

3°y

7r°

\4°

Ms/

13s

Os

12s

1s

Os /-7 : Ж

4 s'

Ws'

!Ss

\ us

7°

.5s

ES

Rys. 205.

\6s___

ks—

<S

9,

■8o

6*    71 8X/9X

7°2° ₃o    ĄO ₅0    ₆0 JO go go ^

paseH papieru 1

\\

//

<-o 'S

Rys. 206.

Jako przykład zastosowania pęku Pillet’a, narysujmy perspektywę koła, leżącego na płaszczyźnie poziomej i stycznego do tła, a więc i do linji podstawy p (rys. 207).

'/3

Os

Z45

13s\2s

Ns

Ms

9s

Is ft

(2s[\ Os

\4s

\ Os

P IM-

1°2° 3°    4°

5°    6°    7° 8°9°

pasek papieru I.

Rys. 207.

Odetniemy i°9°, równe średnicy koła, i punkt M°, odcinający trzecią część średnicy, połączymy z punktem Z₄> trzeciej części głębokości. Na promieniu 1° — Os otrzymamy punkt Ms, przez który prowadzimy równoległą do p. Na promieniu 9°—Os otrzymamy punkt Ns, jako czwarty wierzchołek trapezu, opisanego na elipsie. Przykładamy do prostej p pasek papieru, na którym zaznaczymy punkty 1°, 9° i środek 5° tego odcinka. Teraz pasek ten przeniesiemy na pęk Pillet’a tak (rys. 206), aby punkt 1° padł na promień Iх — W, punkt 5° na promień 5 — W, a punkt 9° na promień 9X — W. Zaznaczmy na pasku punkty 2°, 3°, ... 8° przecięcia się jego krawędzi z promieniami pęku, poczem przenieśmy je na prostą p w rys. 207. Dalsza konstrukcja, prowadząca do otrzymania punktów elipsy, pokrywa się z podaną

Z45

Os

na rys. 205, obie bowiem wynikają z podziału koła na szesnaście części.

13s

^/Ys

/ <§*■ x!bS//8s

7)

10s

14s \ 12s

9s

2s

8s

3s

6s

4s

ks

1°2° 3°    4°

pasek papieru 1.

Gdybyśmy pragnęli otrzymać większą ilość punktów elipsy, aniżeli szesnaście, to najpierw wyrysujemy pęk Pillefa, uwzględniający żądaną ilość punktów, a następnie przy jego pomocy wyznaczymy podziałkę 5°    6°    7° 8°9°j na boku 1°9° (rys. 208) i także

Rys. 208.

na boku 1°MS. Na krawędzi paska papieru II zaznaczymy punkty 1°1SMS i pasek przeniesiemy na pęk Pillefa tak, aby punkt 1° padł na promień Iх — W, punkt Is na promień 5 — W a punkt Ms na promień 9 —W. Zaznaczymy pozostałe punkty podziału i przeniesiemy je na W rys. 208 otrzymujemy wprawdzie także tylko szesnaście punktów, ale konstrukcję przeprowadziliśmy tak, jakgdyby chodziło o dowolną ich ilość.

35. Związek między śladem tłowym, siadem zbiegu, siadem zniknienia i okiem. Weźmy pod uwagę prostą m, leżącą na płaszczyźnie g (rys. 195), jej perspektywę ms, jej trzy ślady Tm, Zm, Ni oko O. Ślady

te i oko tworzą równo-ległobok, który wyraża następujący związek : odległość oka od śladu zbiegu (odcinek O Zm) równa jest odległości śladu zniknienia od śladu tlowego (odcinek NTm) ; odległość ON oka od śladu znik-

Oo

0°

pt. zniknienia

s³- pi tła

a.

n°

bieg"0.

z'<p

Zr

0'\

.... Л

Oś

Os

nienia równa jest odle-

) l.<p

tr\

t<p

П'

a.)

Rys. 209 a, b.

b.)

głości ZmTm śladu zbiegu od śladu tłowego. Na podstawie tego związku ślad zniknienia prostej zastąpić może jeden z dwóch innych jej śladów. Jeżeli to znamy też

znamy ślad tłowy Tm i ślad zniknienia N prostej m i jej perspektywę ms, która przejdzie przez ślad Tnl równolegle do O — N. Jeżeli dane są ślady Zm i N, to promienie, łączące je z okiem, wyznaczają kierunki prostych m i rns, które przechodzą przez te ślady.

Przyjmijmy płaszczyznę go i płaszczyznę tła prostopadle do płaszczyzny papieru (rys. 209a), a nadto oko O, którego prostokątny rzut na tło jest punktem głównym Os.. Obie płaszczyzny przecinają się wzdłuż prostej t₉ (ślad

p°

tłowy płaszczyzny g), która jest prostopadłą do płaszczyzny papieru i przedstawia się na rys. 209 a, jako punkt. Płaszczyzna zbiegu płaszczyzny g, przechodząca przez oko i do niej równoległa, przecina tło wzdłuż śladu zbiegu г a płaszczyzna zniknienia, przechodząca przez oko i równoległa do tła, wyznacza na płaszczyźnie g ślad zniknienia /?. Wypowiedziane wyżej związki, zachodzące między O, zrp, t,p i n, występują na rys. 209 a z elementarną jasnością.

Sprowadźmy płaszczyznę g — zapomocą obrotu około śladu t

A/y-N

<n

то

Trt

no

Z?_

Zm

tr

\z~

Rys. 210.

w kierunku wskazanym strzałką — na tło. Uczyńmy to samo z płaszczyzną zbiegu, obracając ją około śladu zbiegu Zg>. Obrót płaszczyzny g sprowadzi na tło ślad zniknienia n, który pozostanie równoległy do śladu tłowego t₉, względnie śladu zbiegu г

Obrót płaszczyzny zbiegu położy na tło oko, przyczem odległość kładu 0° oka od śladu zbiegu pozostanie równą odległości sprowadzonego na tło śladu zniknienia od śladu tłowego. Druga relacja miarowa, wyrażająca, że oddalenie oka od śladu zniknienia jest równe oddaleniu śladu zbiegu od śladu tłowego, pozostaje — po dokonanych obrotach — nienaruszona.

Rys. 209 b przedstawia widok tła zprzo-du po dokonanych obrotach, przyczem odcinki a i b wyrażają związki miarowe, zachodzące między kładem 0° oka, śladami tłowym, zbiegu i śladem zniknienia.

Jeżeli przyjmiemy prostą m° (rys. 210), jako kład na tło prostej m, leżącej na płaszczyźnie (p, to punkt, w którym m⁰ przecina ślad tłowy / jest śladem tłowym prostej m, a punkt № przecięcia się śladu zniknienia n° płaszczyzny (f z prostą m° — śladem zniknienia prostej m. Perspektywa ms prostej m przejdzie przez punkt Tm, równolegle do promienia, łączącego kład O⁰ oka ze śladem zniknienia №, i przetnie ślad zbiegu z₉ w punkcie Zm. Punkt ten jest śladem zbiegu prostej rn. Promień O⁰ — Zm będzie równoległy do m°. Widzimy, że ślad zniknienia prostej zastąpić może jej ślad zbiegu, że zatem dla wyznaczenia perspektywy prostej oba te ślady są równoznaczne.

Przypadek szczególny, gdy płaszczyzna cp jest prostopadła do tła, przedstawia rys. 211 a, b, który czytelnik porówna z rys. 209 a, b. Ślad zbiegu z₉ staje się linją horyzontu h, ślad tłowy t₉ linją podstawy p — poza tern wykazane wyżej związki nie ulegają żadnym zmianom.

36. Perspektywa koła — parabolą. W punkcie d) ust. 33 zauważyliśmy, że gdy koło styka się ze śladem zniknienia, to perspektywą jego jest parabola. Sytuację w przestrzeni uzmysławia szkic w górnej części rys. 212. Przyjęte na płaszczyźnie poziomej cp koło k styka się ze śladem zniknienia n w punkcie N, a linję podstawy przecina w punktach Px i P₂. Punkty te, jako leżące na tle, będą równocześnie punktami paraboli ks.

Aby stworzyć konstrukcyjną możność otrzymania paraboli, jako perspektywy koła, przyjmiemy linję podstawy p, horyzont h, na nim

Ob

0°

Ob pizniknienia

nb

n°

:/

pt horyzontu

pi podstawy

a.)

h'

P'

Rys. 211 a, b.

Os

b.)

punkt główny Os a wreszcie ślad zniknienia n° i koło k°, styczne do tego śladu w punkcie №. Wiemy z ust. 35, a widzimy to także ze szkicu rys. 212

że dane oddalenie podstawy od śladu zniknienia

określa równocześnie głębokość tłową, która jest temu oddaleniu równa.

0°

--£

hy

/V

ks

no

P₂

Ar

Z45

Os

\k°

Zs

1s

p_

ks

Fi

WAPz

5'

1°

Rys. 212.

punktu Z₄₅.

Na prostopadłej, poprowadzonej do horyzontu w punkcie głównym O.,, odmierzymy odcinek OsO°=(5 i równy odległości podstawy p od śladu zniknienia л°. Punkt 0° jest kładem oka na tło. Poszczególne punkty paraboli wyznaczymy za pośrednictwem prostych, przecinających koło k°. Mogą to być oczywiście proste dowolne; na rys. 212 użyliśmy prostopadłych do podstawy p. Pierwsza z nich przecina podstawę p w punkcie /. Prosta, łącząca ten punkt z punktem głównym, jest jej perspektywą. Punkt 1° koła, rzucony z punktu 0° na prostą I— Os, wyznacza na niej punkt ls paraboli ks. Powtarzając tę konstrukcję, otrzymamy dowolną ilość punktów paraboli. Zamiast punktu 0° użyć możemy punktu głębokości, względnie punktu częściowej głębokości. W ten sposób znaleźliśmy punkty 5S i 7S; pierwszy przy użyciu punktu    drugi

Punktom koła, leżącym w obszarze pośrednim, więc między śladem tłowym (linją podstawy) a śladem zniknienia, odpowiadają perspektywicznie punkty paraboli, leżące poniżej śladu tłowego. Perspektywą części koła, znajdującej się w obszarze istotnym, jest część paraboli, leżąca na tle między śladem tłowym (podstawą) a śladem zbiegu (horyzontem) płaszczyzny koła.

Aby otrzymać parabolę, jako perspektywę koła, drogą fotograficzną, należałoby ustawić aparat w ten sposób, by fotografowane koło było styczne do pierwszej płaszczyzny głównej. Zdjęcie odpowiadające ściśle powyższym warunkom nie jest możliwe poza odpowiednio uposażonem laboratorjum, gdzieby położenie płaszczyzny głównej optycznego układu osiowego (objektywu fotograficznego) dało się dokładnie ustalić.

37. Perspektywa koła — hiperbolą. W ust. 33, punkt e), nazwaliśmy linję krzywą, będącą perspektywą koła, przecinającego ślad zniknienia w dwóch punktach — hiperbolą. Sytuację w przestrzeni uzmysławia nam rys. 2136.

Przystąpmy do konstrukcyjnego rozwiązania tego zadania. Przyjmijmy horyzont, punkt główny, podstawę i głębokość tłową Ö. W odległości ô od podstawy p i do niej równolegle wykreślimy ślad zniknienia n°, a następnie koło k°, przecinające ten ślad w dwóch punk-

a.)

/as

b.)

st

Oą,

ks

2s

A⁰/

B°

n°

■B~

Gi,

<29

öi

\bs

ъ°

ßk

Gz

<p

П,

VТа/ p \P

1s

3s

Q/'

Iks

ву

ks

10

3°

'Ay

Rys. 213 a, b.

tach. Poszczególne punkty perspektywy koła (hiperboli) wyznaczymy w ten sam sposób, jak punkty paraboli w rys. 212. Perspektywą prostopadłej do podstawy i przecinającej ją w punkcie /, cięciwy J⁰2⁰koła/e° jest odcinek 1S2S, przechodzący przez punkty Os i I. Punkty ls i 2S leżą na promieniach, łączących punkty 1° i z kładem 0° oka. Tym sposobem otrzymamy żądaną ilość punktów hiperboli ks, na którą składają się dwie jej części („gałęzie“). Jedna gałąź odpowiada części koła, leżącej w obszarze obserwowanym, druga — części znajdującej się w obszarze geometrycznym. Stycznym a° i b° do koła k° 3a w punktach A° i B° odpowiadają asymptoty as i bs hiperboli. Pierwsza z nich będzie równoległą do promienia O⁰ — A°, druga do promienia 0° — B°. Punktowi S° przecięcia się stycznych a° i b° odpowiada punkt Ss przecięcia się asymptot. Punkt ten jest środkiem hiperboli.

Gdybyśmy wyznaczyli asymptoty аг i a₂ hiperboli i jeden punkt, np. A (rys. 214), to dalsze jej punkty otrzymamy na podstawie tej własności, że każde dwa odcinki dowolnej prostej, zawarte między asymptotami i hiperbolą, są sobie równe. Z punktu A

<2/

3,

r4

i£<S

Rys. 214.

wyprowadzimy prostą, przecinającą asymptoty w punktach 1 i 2. Odmierzymy 2 В = Al, otrzymując punkt В hiperboli. Zkolei wykreślimy prostą z punktu В i odetniemy 4Ć=3B, dochodząc do punktu C i t. d.

Rys. 215.

Praktyczne znaczenie ma tylko ta część hiperboli, która jest perspektywą części koła, znajdującej się w obszarze obserwowanym. Oko widza, czy oko aparatu fotograficznego, nie widzi części koła, znajdującej się w obszarze geometrycznym. Widzowi, znajdującemu się w polu koła, przedstawi się obserwowana część tego koła, jako gałąź hiperboli. Aparat fotograficzny, zdejmujący wnętrze walcowe, odbije na kliszy wszystkie koła poziome, leżące na ścianie wnętrza, jako hiperbole. Koła posadzki i sufitu tego wnętrza, nie stykające się z pierwszą płaszczyzną główną objek-tywu (płaszczyzną znik- > nienia), ani nie przecięte nią, przedstawią się w fotogramie, jako elipsy. Takie zdjęcie fotograficzne wnętrza walcowego, w którem występują hiperbole i elipsy, widzimy na rys. 215. Dalszym praktycznym przykładem hiperboli, jako perspektywy koła,

jest zdjęcie fotograficzne krzywizny toru kolejowego, przedstawione na rys. 216.

Krzywizny torów kolejowych są z reguły tukami kół; jeżeli aparat fotograficzny ustawimy w ten sposób, że główna płaszczyzna ob-jektywu przecina tor kolejowy, to obrazem perspektywicznym tego toru będą hiperbole, a raczej jedne ich gałęzie. Zauważmy, że aparat fotograficzny umieszczony być może zarówno „wewnątrz“, jak „zewnątrz“ krzywizny toru; decydującem jest tutaj położenie tej krzywizny względem płaszczyzny zniknienia.

Ponieważ rysownik w praktyce swej spotyka się tylko z jedną gałęzią hiperboli i nie będzie posługiwał się asymptotami — więc podajemy w rys. 217 jeszcze inną konstrukcję punktów hiperboli, jako perspektywy koła, uwzględniającą także częściową głębokość tłową. Horyzont, podstawa,

w&m

fei.

;;-Г

S3

Rys. 216.

signier

Z45

Os

у Уз /.45

1°

2s

3s

ks

'/s

5°

Pi

iy Ш

Ł_P-

Pz

1s

5s

2°

k°

3°

4°

Rys. 217.

punkt główny, trzecia część głębokości i kład /г° na tło koła k, leżącego na płaszczyźnie podstawy, są dane. Gdybyśmy równolegle do linji podstawy p i w odległości równej głębokości tłowej poprowadzili ślad zniknienia, to przeciąłby on koło k° w dwóch punktach, co dowodzi, że perspektywą tego koła będzie hiperbola.

Zamiast niedostępnego dla nas kładu O⁰ oka użyjemy do konstrukcji prostych przekątnych. Przez obrane na kole k° punkty 1°, 2°, ... kreślimy proste prostopadłe do podstawy p, oznaczając punkty przecięcia się przez 7, II, ... Perspektywy tych prostych — jako prostopadłych do tła — przechodzą przez punkt główny Os i przez punkty /, II, ... Przez punkty, ograniczające trzecią część odcinków 1° I, 2° //,..., kreślimy proste przekątne, t. j. nachylone pod kątem 45° do podstawy/?, i punkty przecięcia się tych prostych z podstawą łączymy z jednym z punktów Z₄₅1/3 częściowej głębokości. Otrzymujemy punkty ls, 2S, ... hiperboli ks.

38. Biegun, biegunowa, środek, średnice i osie krzywych stożkowych. Wykreślmy, w jeden z poznanych sposobów, elipsę ks (rys. 218), jako perspektywę koła k, leżącego na płaszczyźnie poziomej. Poprowadźmy styczne a° i b° do koła k°, do siebie równoległe. Stycznym tym odpowiadają perspektywicznie proste as i bs, styczne do elipsy ks w punktach As i Bs, które są perspektywą punktów A i В koła k.

Promień, wykreślony z punktu O₀'la równolegle do prostej a°, przecina horyzont w częściowym śladzie zbiegu Z₂1/3, kierunku a. Promień, poprowadzony w punkcie Ou,,ł prostopadle do 0₍₎1/з — Z₂>³, przecina horyzont w częściowym śladzie Z^ kierunku, prostopadłego do kierunku a. Punkty Zy i Z₂ są właściwemi śladami zbiegu obu wziętych pod uwagę kierunków. Proste as i bs przejdą przez ślad Z₂, zaś prosta zs₂, odpowiadająca perspektywicznie prostej z₂, łączącej punkty A° i B° — przez

ślad Zx.

Poprowadźmy proste e° i f°, równoległe do a°, przecinające koło Ä00 w punktach 1°, 2°, 3° i 7°. Proste 1° — 4° i 2° — 3° przetną się w punkcie M° na prostej z\, zaś proste l° — 3° i 2° — 4° w punkcie № na tej samej prostej. Proste es i fs, odpowiadające perspektywicznie prostym e° i /°, przetną elipsę ks w czterech punktach ls, 2S, 3S i 4S, przy-czem proste ls — 4S i 2S — 3S przetną się w punkcie Ma a proste ls — 3S i 2S — 4S w punkcie Ns na prostej z\. Prosta ta posiada zatem nastę

pujące własności:

a)    stanowi przedłużenie cięciwy styczności stycznych, poprowadzonych z punktu Z₂ do elipsy,

b)    jest miejscem geometrycznem punktów przecięcia się dwóch par boków przeciwległych w każdym z czworokątów, powstałych z przecięcia stożkowej promieniami, wykreślonemi z punktu Z₂.

Każdą prostą, posiadającą w odniesieniu do krzywej stożkowej powyższe własności, nazywamy biegunową tej stożkowej a punkt Z₂ jej biegunem.

Każdemu punktowi odpowiada — w odniesieniu do krzywej stożkowej — jedna prosta, jako jego biegunowa, i wzajemnie każdej prostej odpowiada jeden punkt, jako biegun.

Va

Oó

Z;

#L

Os

z₂

Cs

'z!

As

zl

Os,

ds

ks

4s

es

bs

.Cs-

Ms.

:2s

Fs

Os

1s,

/Vs

Ós

I\ 77

ГЧ Ш

N⁰/¹¹

1°

fB°

d⁰/

C°,

№/

2°

b°

ao

<S°

e°

Z°2,

z?

no

fD°

r°

c°.

zr.

fA°

k°

Z.2

Rys. 218.

Druga własność biegunowej da się natychmiast praktycznie zużytkować, a mianowicie, przy kreśleniu stycznych do elipsy, z danego punktu. Dowolne sieczne, poprowadzone z danego punktu Z (rys. 219) do elipsy k, przetną ją w punktach 1, 2, 3 i 4, które, odpowiednio połączone, wyznaczają punkty M i N biegunowej z. Biegunowa ta przecina elipsę w punktach A i B, które łączymy z punktem Z, otrzymując tym sposobem żądane styczne a i b.

Biegunowa punktu, z którego wykreślić można styczne rzeczywiste do elipsy, przecina tę krzywą w dwóch punktach; jeżeli punkt P

Z,

ma takie położenie, że stycznych rzeczywistych z niego do elipsy poprowadzić nie można, to biegunowa p krzywej nie przecina i ma położenie, podane na rys. 220.

Rys. 219.

1,

Wróćmy do rys. 218. W myśl określenia biegunowej punktu ze względu na stożkową, punktowi Ns odpowiada, jako biegunowa, prosta ns, łącząca punkty Z₂ i Ms. Na płaszczyźnie podstawy odpowiada tej prostej w kładzie prosta n°, przechodząca przez punkt M°, równolegle do a°, względnie b°. Proste z2 i ns mają, w odniesieniu do elipsy, tę wspólną własność, że biegun jednej leży na drugiej. Proste takie określać będziemy mianem biegunowych sprzężonych, a bieguny ich nazwiemy biegunami sprzężonemi ze względu na elipsę.

Takie więc proste, jak m i n na rys. 219,

(w którym czytelnik zechce przestawić li- 4 tery m i ń), są biegunowemi sprzężonemi a punkty M i N biegunami sprzężonemi, ze względu na elipsę k.

Rys. 220.

Biegunowa zs₂ (rys. 218) przecina linję horyzontu w punkcie Zx, którego biegunową jest prosta z\. Jeżeli każdemu punktowi na płaszczyźnie odpowiada, w odniesieniu do elipsy, jedna prosta, jako biegunowa, to punktowi Ss przecięcia się prostych z\ i z\ odpowiada biegunowa, która przejdzie przez bieguny prostych г* i z\, czyli będzie linją horyzontu.

'5

Rys. 221.

Biegunową s punktu niewłaściwego S°°, t. j. punktu leżącego nieograniczenie daleko, nazywamy średnicą elipsy (rys. 221). Biegunowe sprzężone punktów niewłaściwych noszą nazwę średnic sprzężonych elipsy. Punkt przecięcia się średnic sprzężonych jest biegunem prostej niewłaściwej i zwie się środkiem elipsy.

Średnice sprzężone, wzajemnie prostopadłe, są osiami symetrji elipsy i zwą się krótko jej osiami.

Ponieważ każdą ze stożkowych uważać można za perspektywę pozostałych, zatem omówiona wyżej sprawa biegunów, biegunowych, śred-

mc, środka i osi odnosi się do wszystkich stożkowych, a więc do koła, elipsy, hiperboli i paraboli.

Z pojęcia biegunowych i średnic wynika, że punkt przecięcia się asymptot hiperboli jest jej środkiem.

Zastosujmy określenia powyższe do koła k° (rys. 218), którego perspektywą jest elipsa ks; punktowi Z₂, jako leżącemu na horyzoncie, odpowiada na płaszczyźnie poziomej punkt niewłaściwy Z₂. Prostej z\ na tle, która jest biegunową punktu Z₂, odpowie w kładzie na płaszczyźnie podstawy prosta z°₂, biegunowa punktu Z₂, czyli średnica koła. Biegunowi Zx, sprzężonemu z punktem Z₂, odpowie na płaszczyźnie poziomej punkt niewłaściwy Zx, a biegunowej z\, sprzężonej z biegunową zs₂, średnica koła zj, sprzężona z z\. Punktowi Ss odpowiada punkt S°, t. j. środek koła.

39. Dalsze konstrukcje perspektywy koła, jako elipsy.

a) Wyznaczmy średnice sprzężone elipsy, stanowiącej perspektywę danego na płaszczyźnie podstawy koła k (rys. 222).

Ną

no

Os

Zl⁵

Zł⁵ 'V

JC°

'B&

Nt\

'AL

D?

Рг

P_

Pi

■ AA⁰

\n? \ \

y\

Cs

'Пг

к⁰

Bs

ks

ki/)/™

Rys. 222.

Znając linję podstawy, horyzont, punkt główny i głębokość tłową, znajdziemy kład n° śladu zniknienia, a to na tej podstawie, że odległość śladu zniknienia od śladu tłowego równa jest odległości oka od śladu zbiegu płaszczyzny poziomej (ust. 35). Odległość tedy prostej /2⁰ od punktu 0° równa jest odległości podstawy p od horyzontu. Następnie znajdziemy biegunową nx dowolnego punktu N\ prostej /2°, ze względu na koło k°. Biegunowa щ punktu №₂, w którym prosta nx przecina ślad zniknienia n°, jako sprzężona z nx, przejdzie przez punkt N°. Punkt S° jest biegunem prostej n° ze względu na koło k°. Ponieważ perspektywą śladu zniknienia jest prosta niewłaściwa, a perspektywą punktów, leżących na śladzie zniknienia, punkty niewłaściwe, więc punktowi N° odpowie na tle punkt niewłaściwy Nx a prostej nx prosta n*, stanowiąca średnicę elipsy. Perspektywą biegunowej щ, sprzężonej z nx ze względu na koło, będzie średnica ns₂, sprzężona ze średnicą /г*. Punktowi S° odpowie punkt Ss, którego biegunowa odpowiada biegunowej punktu S°, t. j. prostej n°.

11

Barte!. Perspektywa. I.

Punkt S„ jest więc środkiem elipsy, gdyż jego biegunowa jest prostą niewłaściwą.

'<C

ii

О.

Rys. 223.

Ponieważ koło k° przecina linję podstawy p w punktach Px i Ą, więc przez punkty te przejdzie elipsa k₈. Poszczególne jej punkty wyznaczymy w jeden ze sposobów, jakie podaje geometrja. Jako szczególnie praktyczną, przypomnimy konstrukcję przy pomocy paska papieru (rys. 228). Jeżeli odcinki AB i CD są parą średnic sprzężonych elipsy, to z punktu C wykreślimy prostopadłą do średnicy AB, odmierzymy CE = AS i punkt E połączymy ze środkiem S elipsy. Na pasku papieru odmierzymy odcinek ECE, poczem ustawiać będziemy pasek kolejno tak, aby punkt E znajdował się zawsze na prostej E — S, zaś punkt F na prostej, wyznaczonej punktami A i B. Miejscem geometrycznem punktów C będzie elipsa k.

Jeżeli w miejsce średnic sprzężonych dane są osi AB i CD elipsy (rys. 224), to poszczególne jej punkty otrzymamy zapomocą paska papieru w następujący sposób: odmierzymy odcinki EF=b i FG = a, następnie poruszać będziemy paskiem tak, aby punkt E znajdował się

stale na prostej AB a punkt G na prostej CD; elipsa k będzie miejscem geometrycznem punktów F.

\,Л

Rys. 224.

b) Rys. 225 przedstawia poprzednie zadanie, z tą jedynie różnicą, że punkt Nx przyjęliśmy, jako punkt niewłaściwy N” śladu zniknienia n °. W następstwie tego biegunową punktu iVj° jest średnica n\ koła, która przetnie prostą n° w punkcie JV". Biegunowa iĄ punktu iV° ze względu na koło k° jest równoległa do л°, a więc prostopadła do л". Proste n° i n\ przecinają się w punkcie S°, który jest biegunem prostej n °. Perspektywą punktu S jest środek elipsy, jako biegun prostej niewłaściwej tła, a owa prosta niewłaściwa jest perspektywą śladu zniknienia n. Perspektywą biegunowych sprzężonych n₁ i n₂ jest para średnic sprzężonych n* i ns₂ elipsy ks.

c) Z wywodów powyższych wynika, że perspektywa prostopadłej do linji podstawy średnicy koła, leżącego na płaszczyźnie poziomej, jest

średnicą elipsy. Jeżeli trapez AaBsCsDs w rys. 226 jest perspektywą kwadratu, opisanego na kole k, czyli trapezem, opisanym na elipsie ks, to odcinek 3S4S jest średnicą tej elipsy. Aby znaleźć średnicę, sprzężoną ze średnicą 3S4S, znajdziemy środek Rs elipsy, rzucimy go z punktu głębokości Z45 na linję podstawy, a przez otrzymany punkt II poprowadzimy prostą, nachyloną do tej linji pod kątem 45°. Otrzymamy punkt R°, przez który poprowadzimy cięciwę 5° 6°. Perspektywa 5S6S tej cięciwy jest szukaną średnicą elipsy ks.

d) Jeżeli znamy perspektywę 1S2S i 3S4S pary prostopadłych średnic koła k, z których jedna jest równoległa a druga prostopadła do tła (rys. 226) — to średnicę 5S6S, (rys. 227), sprzężoną ze średnicą 3S4S elipsy ks, znajdziemy w następujący sposób: na odcinku 3S4S, jako na średnicy, zakreślimy koło kx. W środku Rs tego koła i w punkcie Ss poprowadzimy prostopadłe do prostej 3S — 4S. Pierwsza prostopadła przetnie koło kx w punktach В i C, druga w punkcie A. Przez л punkt Rs prowadzimy

Z-*5

NP

-<-

żyr fc°

-<-9---

Z45

1°i

n°

Psr

5°

Cs

c°

Cs,

d°

Л!г°

ni

Is

5s

Os.

'ds

Bs

ks

Ss/

-m

A°

n?

S°

B°\

Rys. 225.

Ds,

Bs

3°

Ro\

k°

Ds

Os

4s/

rSs

/?>

Rys. 226.

D°

Cs

6s

2s

60

Bs

B°

równoległą do prostej 1,— 2S; punkt A łączymy z punktem 1, i do prostej A — Is kreślimy równoległe z punktów В i C. Otrzymane punkty 5, i 6, ograniczają średnicę, sprzężoną ze średnicą 3,4, elipsy k,. Wistocie

Os

kx

4-s

bowiem koło kx jest spowinowacone z elipsą k₈, a kierunek tego powinowactwa oznaczony jest prostą A — ls. Parze średnic sprzężonych BC i 3S4S w kole kx odpowie para średnic sprzężonych 3,4, i 5,6, elipsy ks.

2s

JSs

40. Perspektywa koła — kołem.

Bs

«4°

Gs

5s

'3s

Rys. 227.

Perspektywa koła, równoległego do tła, jest kołem. Wynika to stąd, że perspektywa utworu płaskiego, równoległego do tła, jest utworem do niego podobnym (ust. 25, pkt. d), i że linją krzywą, podobną — w znaczeniu geometrycznem — do koła, jest koło.

Rys. 228 przedstawia perspektywę szeregu kół, z których koło kx leży na tle, a koła k₂ i k₃ są do tła równoległe i oddalone od siebie o odległość a. Promienie wszystkich kół są równe, a ich środki znajdują się na prostej prostopadłej do tła. To samo obserwujemy na rys. 229.

Os

ki

kh

Si

si

st

ki

ri

i ri

Ms.

ri

ls

-Ъ

p ■ '    **/

Rys. 228.

W tern miejscu nasuwa się pytanie, czy także i przy innych położeniach koła względem tła perspektywa jego może być kołem. Przypuściwszy możność odpowiedzi twierdzącej, przyjmijmy na tle koło k, (rys. 230) i uważajmy je za perspektywę koła k, leżącego na płaszczyźnie poziomej, której horyzontem jest prosta h. Wyznaczmy biegunową m\ dowolnego punktu M\ horyzontu, a to przez poprowadzenie z tego punktu stycznych do koła k, w punktach A, i Bs. Biegunowa ml punktu M\, w którym prosta m\ przecina horyzont, przejdzie przez punkt M\, przecinając koło w punktach C, i Ds. Biegunowe ml i ms₂ są sprzężone, a proste, łączące punkt Ml z punktami C, i D,, są stycznemi koła w tych punktach. Styczne koła w punktach As, Bs, C, i D, wyznaczają czworobok, opisany na kole, którego wierzchołkami są punkty Is, II,, III, i 1VS. Przekątne n\ i nl »tego czworoboku stanowią drugą parę biegunowych sprzężonych ze względu na koło ks, a punkty Nst i Nl, w których biegunowe te przetną horyzont, parę biegunów sprzężonych.

Koła zakreślone na odcinkach M\M\ i N\N\, jako na średnicach, przetną się w punktach O® i O®, z których każdy uważajmy za kład oka na tło, dokonany raz w jednym, drugi raz w drugim kierunku. Niechaj rzut prostokątny 0H punktu O®, czy też O®, na horyzont h będzie punktem głównym a odcinek 0\Oa =

А:щ-т щ * щ < * * -а «*•

Ш МЩЖЖ М&3»у%ш if*'»,»» ** **_?* Xlü*. 5*JS У»»» ttft» У <4 9* № ЩЩШЩ

X#

= Ol Os głębokością tłową ó ; dowolnie przyjęta prosta p, równoległa do h, niechaj stanowi linję podstawy płaszczyzny poziomej, na której znajduje się koło k. Wykonajmy kład tej płaszczyzny na tło. Ponieważ kąty M\0\M\ i N\0\N\ — jako wspierające się na średnicach kół, są proste, przeto proste ml i ml, a także u” i /2®, będą do siebie prostopadłe. W następstwie tego czworokąty А⁰ В⁰ C° D{) i 7° 77° 777° 7F°, odpowiadające czworokątom ASBSCSDS i 7S 77s IIIS IVS, są kwadratami.

ÉÉ

"ж

Rys. 229.

Wł. fot. Jan Malarski, Warszawa.

Tak więc każdej parze biegunowych sprzężonych m\, ms₂; n\, ns₂; ..., ze względu na koło ks, odpowiada para średnic sprzężonych m\, m°₂; n°, n\; ... ze względu na krzywą k\ odpowiadającą perspektywicznie kołu ks. A ponieważ średnice sprzężone, prostopadłe do siebie, są osiami krzywej — więc krzywa k° posiada nieograniczoną ilość osi, czyli jest kołem.

Z ust. 13, pkt. c) wynika, że koło ks jest perspektywą nietylko koła k, leżącego na płaszczyźnie poziomej, ale także perspektywą tych wszystkich kół, które otrzymamy, gdy pozioma płaszczyzna a obracać się będzie, wraz z leżącem na niej kołem k, około swego śladu tłowego (linji podstawy), a oko zakreślać równocześnie koło na pionowej płaszczyźnie, prostopadłej do tła. Tym sposobem stwierdzamy, że koło może być perspektywą koła, niezależnie od nachylenia jego płaszczyzny do tła.

Rys. 230.

41. Perspektywa elipsy — elipsą, hiperbolą lub parabolą.

podobnie, jak do koła — dwie

o

"■o

"S;

Oi

>■0,

'■‘Co

Có

Co

<o

Oc\j

ÏT.

H°

ffs

'm?

G°

Ж⁰-

rt

-s°

Z°<

n°₂

m°

TD°

F°

A°

Ж⁰

Ponieważ odpowiedniość, zachodząca między elementami płaszczyzny, t. j. między punktami i prostemi a ich perspektywami, jest jedno-jednoznaczna, czyli, jak mówimy, doskonała, więc elipsie, przyjętej na płaszczyźnie cp, odpowie perspektywicznie krzywa, którą dowolna prosta przecina — podobnie, jak koło, w dwóch punktach, a do której poprowadzić można z dowolnego punktu styczne.

Jeżeli elipsa, przyjęta na płaszczyźnie (p, nie ma żadnych punktów wspólnych z płaszczyzną zniknienia — t. zn. nie jest przez tę płaszczyznę przecięta, ani też nie jest do niej styczną — to perspektywą tak położonej elipsy jest w ogólnym wypadku elipsa a w szczególnym koło (ust. 42).

Jeżeli płaszczyzna zniknienia przecina elipsę w dwóch punktach, to jej perspektywa będzie hiperbolą. Jeżeli wreszcie elipsa jest styczną do płaszczyzny zniknienia, to jej perspektywą będzie parabola.

Wykreślmy perspektywę elipsy e, przyjętej na płaszczyźnie poziomej i nie przecinającej śladu zniknienia (rys. 231). Para średnic sprzężonych 1°2° i 3°4° tej elipsy jest dana, przyczem średnica 1°2° jest równoległa do linji podstawy. Otrzymaną krzywą będzie elipsa es. Pomińmy sposób, polegający na wyznaczaniu poszczególnych punktów szukanej elipsy, a znajdźmy parę jej średnic sprzężonych.

NN

n°

N°

Oł⁶;

/7 ¹/d

'7 во

Z?

NN

as

ni

Gs

Nr

bs

4e

J?L

NSe

2s

6s

Użyjemy trzeciej części głębokości tło-wej. Ślad zniknienia n° biegnie równolegle do linji podstawy, w odległości równej głębokości tłowej. Średnica S — 3° przecina ślad /г⁰ w punkcie N[, którego biegunową — ze względu na elipsę e°, jest prosta щ, równoległa do linji podstawy p i przecinająca elipsę e° w punktach 5° i 6°. Punktowi Щ, sprzężonemu z punktem N\ ze względu na e°, odpowiada biegunowa /?₂, średnica elipsy e°.

Parze biegunowych sprzężonych щ i щ odpowiada perspektywicznie para średnic sprzężonych n\ i n\ a punktowi R° środek Rs elipsy es. Perspektywą trapezu, opisanego na elipsie e° i stycznego do niej w punktach 3°, 4°, 5°, 6°, będzie romboid ASBSC,DS, opisany na elipsie es i styczny do niej w punktach 3S, 4S, 5S, 6S. Ponieważ w naszym przykładzie średnica щ zawiera z linją podstawy p kąt 60°, więc znajdziemy ślad zbiegu Z? i połączymy go ze śladem tłowym / promieniem n\. Ponieważ proste a° i b° przecinają się wraz z prostą щ w punkcie śladu zniknienia n° — więc ich perspektywy as i bs będą prostemi, równoległemi do prostej ns₂.

Romboidowi, opisanemu na elipsie e° i stycznemu do niej w punktach 1°, 2°, 3°, 4°, odpowiada perspektywicznie trapez, opisany na eli-

~Ss

/Рв'\

P_

As

NP

ГГ

Пг

\Ja

Ba

P_

B°T-

e°

>b°

/Пг

/

lP°

6°\

H°

■'S

2°j

H°

Rys. 231.

psie e₈ i styczny do niej w punktach ls, 2S, 3S i 4S. Nierównoległe boki tego trapezu zbiegają się w śladzie Zj°.

Dalsza konstrukcja nie wymaga wyjaśnień.

Rys. 232 jest rozwiązaniem tego samego zadania przy szczególnem położeniu elipsy względem tła, takiem mianowicie, że jedna jej oś jest

nr

nr

nr

N°

równoległa a więc druga prostopadła do tła.

n°

Gł*i

Os

Gt

de

'be

Gsljh

4s \Os iHs —-fffs

>:Ss

1s

5Sy

i Rs

Gs

Bs

P_

3х MYFRS*

rn

E°J

Ô-

nr

a⁰/

e°

j tl2

'5°

№.

R° i

n,

6°

Jeżeli elipsa, leżąca na płaszczyźnie poziomej, jest przecięta śladem zniknienia л°, to jej perspektywą będzie hiperbola. Stosując konstrukcję, przedstawioną na rys. 213, znajdziemy z łatwością asym-ptoty tej hiperboli i dowolną ilość jej punktów. Możemy także zadowolić się konstrukcją, podaną na rys. 217, jeśli w miejsce koła £° przyjmiemy elipsę.

ПГ/

2°i

\e°

1°

Rys. 232.

Gdyby elipsa była styczną do śladu zniknienia, to miejscem geometrycznem perspektyw jej punktów będzie parabola.

42. Perspektywa elipsy — kołem. Przyjmijmy linję podstawy p, linję horyzontu h, ślad zniknienia n °, a na płaszczyźnie podstawy, sprowadzonej zapomocą obrotu około prostej p na tło, elipsę /г° (rys. 233). Biegunowa n\ dowolnego punktu N[ prostej n° ze względu na elipsę przecina ją w punkcie №₂, który jest sprzężony z punktem N° i którego biegunowa n\, sprzężona z n\, przechodzi przez ten punkt. Wychodząc z dowolnie na prostej n° przyjętego punktu M% znajdziemy jego biegunową m\, biegun M°₂, sprzężony z punktem М/ i jego biegunową m\. Zarówno m\, jak i m°₂, przejdą przez punkt № przecięcia się biegunowych n\ i n\.

przy użyciu punktu OJ i głęboko-

Na średnicach N\N\ i M\M\ zakreślimy koła, które przetną się w punktach OJ i OJ. Punkty te uważać należy za kłady oka na tło, ich oddalenia od linji horyzontu za głębokości tłowe. Zadanie posiada więc dwa rozwiązania, z których jedno ści tłowej ó — przeprowadziliśmy na rysunku.

Biegunowym sprzężonym /zj i n\ odpowiedzą średnice л* i л* koła perspektywą punktu № jest środek N„ koła k₈. Perspektywą

czworokąta P°Q⁰R*T⁰, wpisanego w elipsę k°, jest kwadrat PSQSRSTS, wpisany w koło k

Oi

f\

ió\

nf

tz?/

Os

'Zf

.. o

Mi

П°

Ni

o Ts

M°

N.г

ks i

'Ns

's/

J/Ps

CL

-o

>0'

c°

\"i

тг

ÏQ°

'•o

.D°

k°s

\ Пг

Rys. 233.

43. Perspektywa pęku kół współśrodkowych. a) Z rozważań ustępu 41 wynika wprost, że perspektywą kół, należących do jednego pęku, posiadających wspólny środek i leżących na jednej płaszczyźnie, mogą być elipsy, hiperbole i parabole.

Jeżeli położenie pęku kół jest takie, że płaszczyzna zniknienia żadnego z nich nie przecina, to perspektywą tego pęku będzie pęk elips. Jeżeli pęk kół jest przecięty płaszczyzną zniknienia, to perspektywami wszystkich przeciętych kół będą hiperbole. Perspektywa koła, stycznego do płaszczyzny zniknienia, będzie parabolą.

Rys. 234 jest reprodukcją fotogramu wnętrza walcowego, na którym widzimy perspektywę pęku kół. Na posadzce występują elipsy i hiperbole, na ścianie wnętrza wyłącznie hiperbole. W miarę zbliżania się do horyzontu, od podstawy, hiperbole na ścianie wnętrza pomniej-

■Л

■\x

Ti

Bi

JwV

РГпг^

Iff

>^Z3

iii

Æ*;

■i

Wf&ê

ъ

щь

w.

i!

Ili

01

П1 '

Ul i

вади

}!!

!Jl:

cz

111

Ï- S i

li

mm

li

«te.

'A,e6®®Bsssss^s®sœ^

as$

.JÉ

«SPS-

.UNIA"

4-

ШИ¹

V 4,

I i'

11

Rys. 234.

szają swoje krzywizny, zbliżając się do linji prostej. Po przekroczeniu horyzontu krzywizny hiperbol rosną. Gdziekolwiek ustawimy aparat fotograficzny we wnętrzu walcowem, zawsze otrzymamy hiperbole, jako perspektywy kół, zawsze bowiem główna płaszczyzna objektywu, odpowiadająca płaszczyźnie zniknienia, przetnie koło, ograniczające podłogę w dwóch punktach. Jeżeli na podłodze — jak w przykładzie na rysunku 234 — znajduje się pęk kół, to główna płaszczyzna objektywu przeciąć może jeszcze inne koła, względnie do jednego z nich może być styczną. Fotogram zawiera w takim wypadku więcej hiperbol (zawsze tylko jedną gałąź każdej z nich), a ewentualnie także jedną parabolę.

b) Przykład perspektywy trzech współśrodkowych kół, leżących na płaszczyźnie poziomej, podaje rys. 235. Ślad zniknienia nie przecina

^Co

Ds

b,

&.

"t

Cu

г*

îst,¹

ts

4s

Os

ks

Co

Rys. 235.

żadnego z kół, wobec czego perspektywy ich będą elipsami, które rysowaliśmy sposobem, omówionym w ust. 34, pkt d) (rys. 202). Rys. 236 jest ilustracją tego samego zadania.

na-

i ' >-

•* •

-,

:\J\I

i-f

à к*

%- /j'

tr 1

tr

2'-

fer- ■

Rys. 236.

c) Perspektywę trzech współśrodkowych kół, leżących na płaszczyźnie a, równoległej do linji horyzontu, jednak nie prostopadłej do tła, podaje rys. 237.

Proste ta i -г« są śladami płaszczyzny a, równoległemi do horyzontu, którym jest prosta 0,s. — O*. Odcinek OsOK jąst głębokością tłową a punkt Z przecięcia się łuku koła — zakreślonego z punktu A, jako środka,

O*

E°s

Xv'

\3S

]s

Ssoi

DL

1i.

ki

DL

■8Ś

dl

4s,

4i

— kf

'ki

-CÉ

s/s

!№?.

Bi

2à

l2s

7s

Cs

ta

Rys. 237.

promieniem АО* — ze śladem zbiegu za, śladem zbiegu prostych, równoległych do płaszczyzny a a nachylonych do horyzontu pod 45°.

4Г

h/

Osy

o/i

/У7 /

n°

ki

к°з

k°

kî

77

1°j

Os

Г&?

Co«

Od

Rys. 238.

d) Rys. 238 przedstawia konstrukcję perspektywy pięciu kół współ-środkowych, leżących na płaszczyźnie poziomej.

Szkic u góry tego rysunku mówi nam, że jedno z tych kół jest styczne do płaszczyzny zniknienia w punkcie N śladu zniknienia n. Jego perspektywą będzie parabola. Dwa inne koła są przecięte płaszczyzną zniknienia, wobec czego ich perspektywami są hiperbole.

Przyjąwszy horyzont h, podstawę p, punkt główny Os i głębokość tłową ó, wykreśliliśmy kład n° śladu zniknienia na tło. Prosta n° jest równoległa do horyzontu i oddalona od linji podstawy o ó. Teraz wy-

-    ü" * ł -

i -,

it

iiéæ

Fit]

Ijj

; •- -тая

W*

я.——-’“ » ******

tenet i*⁴** •***

тИВ

wà

ШЯЁЁШ

Rys. 239. Wnętrze cyrku w Warszawie.

Wł. fot. Jan Malarski, Warszawa.

kreślimy pięć współśrodkowych kół, z których koło k\ styka się ze śladem n° w punkcie №, a koła k\ i k\ ślad ten przecinają. Punkty Px, Pj ; P₃, R₂; ..., w których linja podstawy p przecina koła, są równocześnie punktami krzywych stożkowych, odpowiadających perspektywicznie tym kołom.

Dla otrzymania poszczególnych punktów elips k\ i k\, paraboli k\, i hiperbol kl i ki zastosować możemy jedną z poznanych konstrukcyj. Troska o zachowanie przejrzystości rysunku nie pozwoliła na przeładowanie go linjami pomocniczemu Wskazaliśmy konstrukcję tylko trzech punktów. W punktach I, II i III podstawy p poprowadziliśmy do niej prostopadłe. Perspektywy tych prostopadłych będą prostemi, łączącemi punkty 7, II i III z punktem głównym. Punkty Г, 2° i 5° kół k\, k\ i k%

rzucone z kładu 0° oka na te proste, są punktami ls, 2S i 3S. Pierwszy z nich jest punktem elipsy k\, drugi elipsy k\ a trzeci hiperboli k\. Pięknemi przykładami rozpatrzonego zadania są fotogramy rys. 239 i 242.

Os

Rs

±-Uà\R4

no

k!

kf

\S⁰'

'k?

кг

0°

Rys. 240.

R₃

Ri

iï

ki

\ kl

''ks

kz

По

e) Do narysowania perspektywy pęku kół współśrodkowych nadaje się znakomicie pęk Pillefa. Dla zademonstrowania sposobu jego użycia powtórzymy zadanie, rozwiązane w poprzednim punkcie d). Mamy więc

rs

4-

4-

ГЗ--

te

i-

Rys. 241.

pięć kół, z których trzecie styka się ze śladem zniknienia. Kładu płaszczyzny poziomej, na której znajdują się koła, dokonaliśmy w kierunku przeciwnym, aniżeli na rys. 238, wskutek czego ślad n⁰i punkt 0° znalazły się pod horyzontem (rys. 240).

Z pięciu krzywych stożkowych, które mamy narysować, jedną, np. elipsę k'l, wykreślimy w jeden ze znanych sposobów, możliwie dokładnie. Punkt Ss jest perspektywą środka kół. Teraz przyjmiemy prostą i po obu stronach dowolnego jej punktu, który czytelnik zechce nazwać na rys. 241 literą S, odmierzymy odcinki, równe promieniom rt, r₂, rb, r₄ i /5 kół. Punkty końcowe tych odcinków połączymy z dowolnym punktem W, uzyskując tym sposobem potrzebny pęk Pillefa.

...

.ï£S0&-'-'

at

W*'"

н/

■WĘf.

——-JiK»

îirf, Г*®

„"«im

"feji

ЯЯМ

V-

ай? M : â

Rys. 242. Grób Napoleona, Dom Inwalidów w Paryżu.

Teraz wykreślimy przez punkt Ss na rys. 240 dowolną prostą, która przetnie elipsę k\ w punktach i Bs₂. Punkty te oraz punkt S„ zaznaczymy na krawędzi skrawka papieru i przeniesiemy je na pęk Pillefa w ten sposób, by punkt Ss padł na promień S — W a dwa pozostałe punkty na promienie, łączące końcowe punkty odcinków r₂ z wierzchołkiem W. Reszta promieni pęku przetnie krawędź paska papieru w punktach Al, B\, A⁸₃, ..., które przeniesiemy na rys. 240, jako punkty szukanych krzywych. W tym celu przyłożymy krawędź paska papieru do wykreślonej przez punkt Ss prostej, tak, aby punkty A\, Ss i Bt nakryły się. Pozostałe punkty odbijemy ostrym ołówkiem. Operację tę

powtórzymy dostateczną ilość razy, otrzymując na prostych, przechodzących przez Ss, potrzebne do wykreślenia linij stożkowych punkty.

Dla celów praktycznych ten sposób rysowania perspektywy pęku kół jest godny zalecenia. Dokładność jego zależy od poprawności, z jaką narysowana została pierwsza elipsa, i od precyzji odnoszenia punktów zapomocą pasków papieru.

p4s.

k°

2°

O*

' 7 ¹/2 £-4S(p

/У'

Bs 2s

Ar,

s°\

Cs ж

Z#

co

te

As,

7s

tr

Ss

■JCRs

l/г

40

As

Ss f° /

7/

8s

'Oo

'Ds

Rys. 243.

44. Zadania. 1. Wykreślić perspektywę koła, leżącego na płaszczyźnie, nachylonej dowolnie do tła. W punkcie a) ustępu 34 omówiliśmy sposób rysowania perspektywy koła, które zajmuje dowolne położenie w przestrzeni. W dalszych rozważaniach zajmowaliśmy się przypadkiem szczególnym, mianowicie kołem, leżącem na płaszczyźnie poziomej. Poznane konstrukcje odnoszą się oczywiście do wszystkich płaszczyzn prostopadłych do tła, a więc np. także do płaszczyzn pionowych.

Zadania.

177

Poniżej wracamy do zadania perspektywy koła, leżącego dowolnie w przestrzeni, rozwiązując je w sposób geometrycznie bardziej zadowalający.

Płaszczyzna cp koła k wyznaczona jest zapomocą śladu tlowego ty i śladu zbiegu zv (rys. 243). Ponadto dany jest punkt główny Os, głębokość tłowa ô i promień r koła.

Wykreślmy horyzont h, na którym przyjmijmy punkt Z₄₅1/ä połowy głębokości, poczem wykonajmy kład płaszczyzny cp, względnie kład jej płaszczyzny zbiegu, na tło. W tym celu poprowadzimy z punktu głównego Os proste: prostopadłą i równoległą do śladu z₉. Na równoległej od-

wjf ■

i ■■ -

Rys. 244.

mierzymy odcinek OsOx, równy głębokości tłowej, i punkt Ox połączymy z punktem A. Kąt co równy jest kątowi nachylenia płaszczyzny cp do tła.

Łuk koła, zakreślony z punktu A, jako środka, przetnie prostą A — Os w punkcie O⁰, który jest kładem oka na tło. Łuk ten przetnie ślad zbiegu Zy płaszczyzny (p w punkcie Z,/⁵, który jest śladem zbiegu prostych, równoległych do płaszczyzny 7? i zawierających ze śladem zv kąt 45°. Jest to t. zw. ślad przekątny płaszczyzny <p (patrz ust. 13, pkt. d).

Na śladzie ty odmierzymy odcinek IIII, równy średnicy koła, i punkty końcowe tego odcinka, jakoteż jego środek II, połączymy z punktem A. Równolegle do śladu ty wykreślony odcinek CSDS jest perspektywą boku kwadratu, opisanego na kole k. Promień Da — Zv⁴⁵ przecina prostą II— A w punkcie Ss, który jest perspektywą środka koła. Ten sam promień przecina ślad tło wy ty w punkcie IV a prostą III—A w punkcie B„. Odcinek 7IV wyraża prawdziwe oddalenie prostej CD od śladu ty.

Przez punkt Bs prowadzimy równoległą do tip, która przetnie promień I— A w punkcie As. Otrzymany czworokąt ASBSCSDS jest trapezem, opisanym na elipsie, będącej perspektywą danego koła.

Gdybyśmy musieli posługiwać się np. połową głębokości tłowej, to wówczas postąpimy w sposób następujący: przez środek A{ odcinka O,A poprowadzimy prostą z(pl2, równoległą do z(p, i przeniesiemy na nią łukiem koła o środku Ax punkt OJ¹², połowiący odcinek OsOx. Prostokątny rzut otrzymanego na prostej z(ph punktu N ńa ślad z₉ jest częściowym śladem zbiegu Z₄>; prostych, nachylonych do kierunku z(p pod kątem 45°, a równoległych do płaszczyzny q>. Promień, łączący punkt 3* ze śladem Z₄>, przetnie prostą III—A w punkcie Bs.

Vz,

ta

/Is

y.

2s

.Sf

3s

4i

Ss

B7

-h'

'Si,

Co-

•СчО,

6s

kf ;

Vil

8s

£s

ta

-7s

N)

tp

O'

DsVl

Pb

IV

Kys. 245.

Na równoległych bokach trapezu, opisanego na elipsie, mamy jej punkty i.s. i 3,. Prosta, przeprowadzona przez punkt Ss równolegle do trp, przecina dwa pozostałe boki trapezu w punktach 2S i 4S elipsy.

Dalsze cztery punkty elipsy, a mianowicie 5S, 6K, 7S i 8S, znaleźliśmy przez zastosowanie konstrukcji, omówionej w punkcie d) ust. 34. Wchodzący w grę równoramienny trójkąt prostokątny (patrz trójkąt 3Q°C na rys. 202) wykreśliliśmy tutaj na odcinku 4sSs.

Przy pomocy konstrukcji, poznanej w punkcie d) ustępu 39, rysunek 227, wyznaczyliśmy także i średnicę PQ, sprzężoną ze średnicą 1S3S elipsy.

Wkońcu wykonaliśmy kład płaszczyzny (p, który sprowadził na tło koło k, oznaczone na rysunku znakiem k°.

Zadania.

179

2. Wykreślić perspektywę czterech kół, o jednakowym promieniu, leżących na równoległych do siebie pionowych płaszczyznach, nachylonych do tła pod kątem œ.

Przyjmijmy, że dane są: punkt główny Os, horyzont, głębokość tłowa, wspólny czterem płaszczyznom ślad zbiegu za, ich ślady tło we ta, iß, ty, t,5 i promień r kół (rys. 245). Operujemy połową głębokości tłowej.

Do konstrukcji potrzebny jest częściowy ślad przekątny Zjj danych pionowych płaszczyzn równoległych, t. j. częściowy ślad zbiegu prostych, równoległych do tych płaszczyzn a nachylonych do kierunku pionowego pod kątem 45°.

1/2

Z4Ś

Ob

к?

7\i

Bf\

Æs

Cf

Cs

DL

Ds

Rys. 246.

Stosując przeprowadzone w zadaniu poprzedniem konstrukcje, wykreślimy trapezy, opisane na elipsach, punkty styczności tych trapezów, a następnie dalsze cztery punkty każdej elipsy.

3. Do narysowania perspektywy ornamentu w kole (rys. 246) zastosowaliśmy konstrukcję, poznaną w ust. 21, pkt. g), rys. 91 a, b.

Przyjęliśmy więc na pomocniczej płaszczyźnie poziomej, leżącej między płaszczyzną horyzontu a płaszczyzną poziomą ornamentu, ornament zmniejszony. Przy pomocy połowy głębokości tłowej wyznaczyliśmy perspektywę A,B,₄CSDS i A\B\C\D\ kwadratów, opisanych na obu współśrodkowych kołach, a następnie w jeden z poznanych sposobów wkreśliliśmy w otrzymane trapezy elipsy. Wyznaczenie perspektywy sześcioramiennej gwiazdy oparte jest również o znane nam konstrukcje.

Rozdział IV.

Perspektywa powierzchni obrotowych.

45. Określenia. Utwór przestrzenny, powstały przez obrót linji prostej, linji krzywej płaskiej lub przestrzennej około stałej prostej — nazywamy powierzchnią obrotową. Ową stałą prostą nazywamy osią

<JT

ks

•Я*'

a obracającą się linję — tworzącą powierzchni obrotowej. Każdy punkt tworzącej opi-0 suje podczas obrotu koło, którego środek leży na osi powierzchni, a którego płaszczyzna jest do tej osi prostopadłą. Największe z tych kół zwie się równikiem,

Rys. 248.

ki

mm

bF à

i-

XX

J!

. najmniejsze — kołem szyjnem, a wszystkie inne równoleżnikami. Płaszczyzny, przechodzące przez oś, przecinają powierzchnię wzdłuż krzywych przystających, zwanych południkami. Oczywiście, że każdy z południków może być tworzącą tej samej powierzchni obrotowej. Jeżeli tworząca jest linją prostą, przecinającą oś, to otrzymana powierzchnia zwie się stożkiem obrotowym; jeżeli tworząca jest równoległa do osi, otrzymujemy walec obrotowy.

Rysunek A. Diirera.

Opisany na powierzchni obrotowej Ф (rys. 248), z oka, jako wierzchołka, stożek, zwany stożkiem widzenia tej powierzchni, styka się z nią wzdłuż linji k, która stanowi t. zw. zarys lub kontur istotny powierzchni. Rzut tego zarysu z oka O na tło, równoznaczny z przekrojem stożka widzenia powierzchni Ф płaszczyzną n, jest perspektywą tej powierzchni i zwie się także jej zarysem (konturem) pozornym.

46. Przybliżone sposoby rysowania perspektyw obrotowych stożków i walców, a) Zadanie wykreślenia perspektywy stożka

Ws

1/2

Os

Z 45

Ss

ks

P_

Rys. 249.

obrotowego o osi pionowej (rys. 249) sprowadza się do narysowania elipsy ks, która jest perspektywą koła podstawy stożka, przyjętego na płaszczyźnie poziomej, oraz dwóch stycznych do elipsy ks, wykreślonych z punktu W,, stanowiącego perspektywę wierzchołka. Punkt *Sl.jest perspektywą środka koła k; wykreślona z tego punktu prostopadła do linji horyzontu jest perspektywą osi stożka. Rzućmy punkt S, z dowolnego punktu Z linji horyzontu na linję podstawy i w punkcie Sx wykreślmy do niej prostopadłą. Na tę prostopadłą rzućmy z punktu Z punkt W, — to odcinek W S* wyraża prawdziwą wysokość stożka.

>/2

Os

Z45

Otrzymana perspektywa stożka jest przybliżoną i odbiega o tyle od ścisłej, że nie wyznaczyliśmy punktów styczności tworzących konturowych z elipsą ks. W rysunkach praktycznych znajomość tych punktów jest zbędna.

1s

7x

kî

b)    Rys. 250 jest perspektywą walca obrotowego o osi pionowej i wysokości równej odcinkowi 1*1x.

‘Sf

Na zarys pozorny tego walca składają się elipsy Л* i ks₂ oraz wspólne do nich styczne.

"Co

ik

P_

Rys. 250.

ślad zbiegu Zft⁹⁰ prostych, prosto-

c)    Rys. 251 jest perspektywą stożka obrotowego, którego podstawa k leży na płaszczyźnie a, nachylonej do tła pod kątem co. Najpierw wykreślimy elipsę k₈, jako perspektywę koła k, poczem znajdziemy padłych do płaszczyzny a. Prosta as, łącząca ten ślad z punktem Ss,

jest perspektywą osi stożka; każdy jej punkt uważany być może za perspektywę wierzchołka.

Jeżeli wysokość stożka jest dana, to wówczas, celem wyznaczenia perspektywy W, jego wierzchołka, poprowadzimy przez jego oś a pła-

i Qs

Z/n

7⁴⁵

Z-fY

<x

Wx\

Za

Ws

OL

ms

ty

M⁹⁰--

Sxi

Ss

ks.

0x

■S-

toc

Tm

Oks

Z<p

ylz$

Rys. 251.

szczyznę cp. Ponieważ jednak ślad tłowy prostej a nie jest znany, więc przez punkt S, poprowadzimy prostą ms, którą uważać będziemy za perspektywę prostej m, leżącej na płaszczyźnie a, a przecinającej prostą a w punkcie S. Śladami prostej m są punkty Tm i Zm. Prosta z łącząca ślad Zm ze śladem Za⁹⁰, jest śladem zbiegu, a prosta łr, wykre-

ślona przez ślad Tm równolegle do z₉ — śladem tłowym płaszczyzny <p, poprowadzonej przez proste a i m.

l⁹CC°

Ponieważ odcinek Ox Zn⁹⁰ wyraża prawdziwą długość promienia zbiegu prostej a, więc łuk koła, zakreślony tym promieniem z punktu Zn⁹⁰, jako środka, przetnie ślad zbiegu z₉ w punkcie mierzenia M⁹⁰ prostych prostopadłych do płaszczyzny a.

ty

Tm

ms

'as

ta

Os/

Si

Z punktu tego rzucimy punkt Ss na ślad t odmierzymy SK W\ równe żądanej wysokości stożka, a punkt WK rzucimy z punktu M⁹⁰ na prostą as, otrzymując tam perspektywę Ws wierzchołka stożka.

tce

SI

kf

M⁹⁰

si

Si

Ü)

ki

Zcc

Zm

Za

Rys. 252.

d) Perspektywę walca obrotowego, ograniczonego dwoma przekrojami, pro-stopadłemi do dowolnie w przestrzeni leżącej osi, podaje rysunek 252. Wyszliśmy z punktu głównego Os, głębokości tłowej ô i wyznaczonej śladami ta i za płaszczyzny а, na której znajduje się koło kt podstawy walca. Wykreśliwszy perspektywę k\ tego koła, znajdziemy ślad zbiegu Zn" prostych prostopadłych do płaszczyzny a. Prosta as, wyznaczona punktami Zn⁹⁰ i S% jest perspektywą osi' walca. Podobnie, jak w zadaniu poprzedniem, poprowadzimy przez punkt S° prostą ms, znajdziemy ślady ztf i t₉ płaszczyzny (p, przechodzącej przez oś stożka, a wreszcie punkt mierzenia M" prostych prostopadłych do płaszczyzny a.

4/0

Bs

4/s,

As,

Ss

NI

Z#

Os

10°

|67~

Ss

!2h

,10s

-6-

Rys. 253.

Ai

Os

Z punktu tego rzucimy punkt S\ na ślad t₉, odmierzymy odcinek S*S₂, równy żądanej wysokości walca, i punkt S₂ przeniesiemy, jako punkt Sb₂, na prostą⁴ as. Wykreślenie elipsy kt wyjaśnia rysunek. Wspólne styczne do obu elips, przechodzące przez punkt Zn⁹⁰, uzupełniają zarys pozorny walca.

e) Wykreślmy perspektywę walca obrotowego, którego podstawa leży na płaszczyźnie pionowej (p, nachylonej do tła pod kątem co (rys. 254). Operujemy trzecią częścią głębokości tłowej. 5^ Jeżeli ślady trp i z₉ płaszczyzny cp są dane, szu-

jo dostatecznie

'5°

Cs

1s

⁴5s

,Ds

Zsor

iv>

i\i

Pb

Co

i K,

«J

■M Cul

O,’

Ol

Ol

o,

'S ?

à:

Rys. 254.

kamy na linji horyzontu punktu A

Os

dzielącego

Z 1/3

(Ю (p

ЛЛ

'5°

VO°

Bl-

41s

odcinek OsA w stosunku 1 : 3, i znajdujemy częściowy ślad zbiegu prostych, prostopadłych do płaszczyzny cp, a także punkt Z₄₅ J*. Kreślimy trapez 7S 2S 3S 4S i elipsę a wierzchołki trapezu i punkt S\ łączymy z punktem Z^°. Kreślimy trapez /, IIS IIIs IVS i elipsę kl. Wspólne styczne do obu elips, przechodzące przez punkt Z A®, dopełniają rozwiązania zadania.

Sł

5s

Ds

As

10s

21s

.1

10x 5X/X

Rys. 255.

f) Rys. 253 przedstawia perspektywę obrotowego stożka o pionowej osi. Na powierzchni tego stożka znajduje się ornament, który wymaga do narysowania podziału koła podstawy na 82 części. Analogiczne zadanie z walcem podaje rys. 255.

47. Dalsze konstrukcje perspektywy stożków i walców.

a) Wykreślmy perspektywę stożka obrotowego, którego oś a ma położenie pionowe, a kierownica leży na płaszczyźnie poziomej.

Zadanie rozwiążemy w dwojaki sposób : а) przez użycie płaszczyzn stycznych, ß) przez zastosowanie stożka normalnego.

Przy rozwiązywaniu tych zadań czynimy założenie, że elementy geometrji wykreślnej są czytelnikowi znane.

ad a). Połączmy oko z wierzchołkiem W stożka prostą q (rys. 256) i oznaczmy punkt, w którym prosta ta przebija płaszczyznę podstawy a literą M. Styczne m i n, wykreślone z punktu M do koła k, stanowiącego kierownicę stożka, są śladami płaszczyzn stycznych o₁ i o₂ do stożka, wzdłuż tworzących tx i 4; płaszczyzny te przecinają się w prostej q, a więc przechodzą przez oko. Proste P— Ws = ms i Q — Ws = ns, w których płaszczyzny ox i o₂ przecinają tło, stanowią (wraz z elipsą ks, będącą perspektywą koła k) kontur pozorny stożka na tle, czyli perspektywę tworzących tx i U, wzdłuż których płaszczyzny a₄ i a₂ stykają

się ze stożkiem. Perspektywa qs prostej q jest punktem, schodzącym się z punktem Ws, który jest obrazem perspektywicznym wierzchołka stożka. Perspektywa Ms punktu M schodzi się również z punktem Ws.

Aby stworzyć warunki, umożliwiające konstrukcyjne rozwiązanie zadania, rzućmy punkt M prostopadle na linję podstawy p. Rzut ten oznaczmy literą Mx, poczem wykonajmy kład płaszczyzny horyzontu z i płaszczyzny podstawy a na tło. Kład płaszczyzny % sprowadzi na tło oko, jako punkt O⁰, leżący na prostopadłej w punkcie głównym do linji

horyzontu i odległy od niego o głębokość tłową ó. Obrót płaszczyzny podstawy na tło, dokonany w tym samym kierunku, co obrót płaszczyzny horyzontu, sprowadzi na tło koło k, punkt M, prostą M — Mx, prostopadłą do linji podstawy p, oraz styczne m i n. Podczas obrotu obu płaszczyzn oko i punkt M zakreślą koła k, i k₂, leżące na płaszczyznach prostopadłych do linji horyzontu, gdy równocześnie prosta q, przechodząc stale przez punkt Ws, opisze stożek. W chwili, kiedy oko padnie na tło, jako punkt 0°, punkt M zajmie położenie na tle, jako punkt M°, leżący na prostej, poprowadzonej prostopadle do linji podstawy p w punkcie M\ Ponieważ punkt M uważać można za punkt przecięcia się prostej q z prostopadłą, wykreśloną w punkcie Mx do linji podstawy p, więc punkt M° otrzymamy, jako przecięcie się tej prostopadłej, sprowadzonej obrotem płaszczyzny podstawy na tło, z prostą 0° — Ws, t. j. tą, z którą zejdzie się opisująca stożek o wierzchołku Ws prosta q, gdy płaszczyzny horyzontu i podstawy padną na tło. Chodzi jeszcze o wyznaczenie położenia punktu AT ; zauważywszy, że perspek-

№'

Os

£\V

ki

tf

qm>

\Ms

кг

ms,

li

№\-

Па

ęK

\\

Ù2

11

Rys. 256.

tywą prostej M— MA jest prosta Os — Ws — M\ otrzymamy punkt M\ jako przecięcie się prostej Os — Wa z linją podstawy p.

M°

Os

Z45

'Cs

no

3s

Wychodząc z danej linji horyzontu (rys. 257), linji podstawy, punktu głównego i głębokości tłowej, znajdziemy punkt O⁰, dowodzący dokonania kładu płaszczyzny horyzontu na tło, poczem przyjmiemy koło k°, stanowiące kierownicę k stożka, położoną wraz z płaszczyzną podstawy a na tło. Stosując jeden z poznanych sposobów, wykreślimy elipsę ks, t. j. perspektywę koła k. Środkowi S koła k, a więc punktowi »S0 koła k°, odpowie punkt S,, z którego wykreślimy prostopadłą do horyzontu, poczem obierzemy na niej punkt Ws, stanowiący perspektywę wierzchołka stożka. Łącząc punkt Os z Ws, otrzymamy na p punkt MK.

MS;

CO

,mo

Г1

W*

'к⁰

'ms

Ps

XX

1°

0°

>\

ks

£_

■Q

5XL

Ryc. 257.

Prostopadła, wykreślona w nim do linji podstawy, przetnie prostą 0° — Ws w punkcie M°, z którego kreślimy styczne m° i 72° do koła k°. Punkty P i Q, w których styczne te przecinają linję podstawy, łączymy z punktem Ws prostemi, stano-wiącemi perspektywy zarówno prostych 772 i /7, jak i tworzących tx i t% Mx zarysu istotnego stożka (porównaj rysunek 256).

Punkty P i IP, rzucone z punktu 0° na proste t\ i /*, są punktami styczności tych ostatnich z elipsą ks.

Jeżeli stożek oddalony jest zbytnio od tła, to punkt M, po dokonanym kładzie płaszczyzny podstawy, padnie na tło zbyt daleko linji horyzontu, co przy ograniczonej płaszczyźnie rysunku utrudni konstrukcyjne przeprowadzenie zadania. W tym wypadku postąpimy w sposób następujący: znajdziemy perspektywę Ss, środka S koła k (rys. 258), będącego kierownicą danego stożka Ф, i perspektywę W, jego wierzchołka. Punkt TP„. uważajmy za wierzchołek nowego stożka obrotowego Ф,, którego tworzące są równoległe do danego, a punkt Ss za

środek koła kx, stanowiącego kierownicę stożka Фх, leżącą na płaszczyźnie poziomej ax. Promień q, przechodzący przez oko i wierzchołek W, przebije płaszczyznę ax w punkcie M₁, z którego poprowadzimy styczne mx i nx do koła kx i prostopadłą do px, przecinającą ją w punkcie Щ. Oczywiście, że mx jest równoległe do m, n₁\\n, a Mx—Щ // M— Mx.

Perspektywa stożka ⁽I\, którego oś leży na tle, pokrywa się z perspektywą stożka Ф. Znajdziemy ją w sposób zupełnie analogiczny z przeprowadzonym w rys. 257. Kład płaszczyzny ax na tło wyrazi się kładem k\ koła kx (rys. 259), które zakreślimy na odcinku TU, jako średnicy, z punktu Ss, jako środka. Następnie kreślimy prostą O, — Ws, która

MÎ

Os

(U \P¹'

Mi

Ws

\/v Pr 2

Ir

kr

X;r

Ir

Dr

'/

0° t

V⁷

/ ' /__

-M •

ÏÏ

/7,

przetnie prostą px w punkcie Mß Prowadzimy w M* prostopadłą do horyzontu

otrzymując jako przecięcie się jej z prostą O⁰ — Ws punkt M\. Styczne iri{ i n\, wykreślone z punktu do koła k\, przecinają prostą px w punktach Px i Qx, które, połączone z Ws, dają tworzące konturu pozornego stożka Фх, identyczne z prostemi konturu stożka Ф.

Rys. 258.

ad ß). Niechaj elipsa rs (rys. 260) będzie perspektywą koła r, leżącego na płaszczyźnie podstawy a stanowiącego kierownicę stożka obrotowego. Prosta as, prostopadła do horyzontu, wykreślona przez punkt Ss, jako perspektywa środka S koła r, jest perspektywą osi tego stożka.

Poprowadźmy przez oko i oś a płaszczyznę a i obróćmy ją na tło. Osią obrotu będzie oczywiście ślad tłowy tu płaszczyzny a, schodzący się, wraz ze śladem zbiegu za, z prostą as — płaszczyzna a jest bo-

wiem rzucającą. Połączmy punkt A, w którym as przecina horyzont, z punktem (O), w którym prostopadła do horyzontu, wykreślona w punkcie głównym, przecina koło głębokości, a punkt (O) przenieśmy łukiem koła, zakreślonym z punktu A, jako środka, na linję horyzontu. Otrzymany tam punkt O⁰ jest położeniem oka po dokonanym kładzie płaszczyzny a na tło; w naszym przypadku punkt ten leży poza obszarem rysunku. Kład a° osi а będzie oczywiście równoległy do as, przy-czem środek S koła r padnie na linję podstawy p, jako punkt S.

Mi

zè

Os

'Cs

Ws

m°

k?,

Ws,

\ Co

as

U\

PL

Щ

rpv

MÏ

Qf

Is,

0°

SI

Vх

p_

rx

Rys. 259.

Połączmy oko z punktem S prostą q, to prosta ta leżeć będzie na płaszczyźnie a i wraz z nią padnie na tło, zakreślając w przestrzeni podczas obrotu stożek o wierzchołku S. Gdy oko padnie, po dokonanym kładzie płaszczyzny a na tło, na linję horyzontu, jako punkt 0°, a punkt S na linję podstawy, to prosta q zajmie na tle położenie prostej q °, łączącej punkt O⁰ z punktem S, leżącym na p.

Tak tedy punkt S jest przecięciem się prostych q° i p. Ale punkt ten otrzymać można także i w inny sposób. Zauważmy, że gdy płaszczyzna a obraca się około prostej a, = ta, jako osi, to punkt S zakreśla na płaszczyźnie podstawy koło, którego środkiem jest punkt В przecięcia się prostej as z linją podstawy p. Punkt, w którym koło to przetnie prostą p, jest punktem S. Aby punkt ten otrzymać, wyobraźmy sobie, że ze środka S koła r poprowadziliśmy prostą b, prostopadłą do p. Jej perspektywą jest prosta bs, łącząca punkt główny z punktem Ss. Punkt Sx, w którym promień bs przecina podstawę p, jest punktem przecięcia się prostej b z p. Obróćmy teraz płaszczyznę podstawy około prostej p a płaszczyznę horyzontu około linji horyzontu na tło. Prosta b padnie na tło, jako prostopadła (b) w punk-

cie Sx do p, zaś prosta q, łącząca oko z punktem S, przechodząc stale przez punkt Ss, zakreśli stożek i wraz z okiem padnie na tło, jako prosta, łącząca punkt (O) z punktem Ss. Punkt, w którym ta ostatnia prosta przetnie prostą (b), jest punktem (S), t. j. punktem S, sprowadzonym na tło wskutek obrotu płaszczyzny horyzontu i płaszczyzny podstawy o 90°. Jeżeli z punktu B, jako środka, zakreślimy promieniem B(S) koło, to przecięcie się jego z podstawą p jest punktem S.

2_90

Os

ZÉ⁵

bs

as

(S)

a°

\o°-

q°

(b)

-7

As

Ns

Wn

ans

Es

Ss

Fs

1s,

\-2

Mi

1mFx'

ME Sy

-io

V2' 2m S Fx

r>

-3

Si

tl~t2

1х

-4

Z⁷

л»

<2б

Zcc,=tcn

Rys. 260.

Odmierzmy SI—SXEX = SXFX i połączmy przyjęty na a° punkt W z punktem I. Tak samo odmierzymy odcinek SI po lewej stronie punktu S i otrzymany tam punkt II (nie zaznaczony na rysunku) połączymy z punktem W. Wykreślony w ten sposób trójkąt III W, który jest przekrojem stożka obrotowego o wysokości równej odcinkowi WS płaszczyzną a, uważany być może za rzut prostokątny naszego stożka na tło, jako płaszczyznę rzutów. Jeżeli wyznaczymy tworzące, wzdłuż których płaszczyzny, przechodzące przez punkt O⁰, stykają się ze stożkiem, a następnie wracając z płaszczyzną a, sprowadzoną na tło, w jej pierwotne położenie, obrócimy równocześnie i owe tworzące, nie zmieniając wzajemnego ich położenia i położenia względem płaszczyzny a, to ich perspektywa dopełni konturu pozornego stożka.

£№

Rys. 261.

S jF лгтыт m

<Ш71

*

г-Ш

r « i i

i иш,

Ji

.7

'Л

ß»

WkAJk

V~A

Ul

it

Aleksander Gierymski. Wnętrze kościoła św. Marka. Ze zbiorów T-wa Zachęty Sztuk Pięknych w Warszawie.

Czytelnik, znający elementarne konstrukcje geometrji wykreślnej zna także sposób wyznaczania, przy pomocy stożków normalnych, pła szczyzn stycznych do stożków obrotowych, jak również sposób wyzna czania stożków, opisanych na powierzchniach obrotowych (patrz autora „Geometrja wykreślna“, wydanie II, Lwów, 1922).

Stosując metodę stożków normalnych, wykreślimy w punkcie / prostopadłą do prostej W— I a z punktu Wn prostopadłą do W—O⁰. Otrzymany na prostej p punkt Mx łączymy z punktem W; prosta Mx — W jest rzutem tworzących tx i ł₂, wzdłuż których płaszczyzny, przechodzące przez punkt 0°, stykają się ze stożkiem. Tworzące łx i t₂ przecinają koło /• w punktach 1 i 2. Prosta, punktami temi wyznaczona (cięciwa styczności śladów poziomych płaszczyzn stycznych do stożka), jest prostopadła do tła, a długość jej znajdziemy, kładąc koło /■ około średnicy I— II na tło i kreśląc w punkcie Mx prostopadłą do /•'. Odcinek Mxlx wyraża połowę tej cięciwy; punkt Mx jest jej środkiem.

Perspektywą M\ punktu Mx jest rzut punktu Mx z punktu 0° na prostą as. Śladem zbiegu cięciwy 1, 2 jest punkt Z⁹⁰, w którym prostopadła, wykreślona w punkcie (O) do A — (O), przetnie linję horyzontu; jest to ślad zbiegu prostych prostopadłych do płaszczyzny a. Ponieważ punkt ten leży poza obszarem płaszczyzny rysunkowej, więc użyjemy podziałek zbiegu. Jedną, a mianowicie щ, przyjmiemy na prostej 0S(0), dzieląc ten odcinek na pewną ilość, np. pięć równych części. Drugą podziałkę ux utworzymy w ten sposób, że odcinek, równoległy do г/₀ a dający się podzielić z łatwością na pięć równych części, wstawimy między horyzont i prostą (O) Z⁹⁰. Korzystając z tych podziałek, połączymy punkt M\ ze śladem Z⁹⁰ prostą ms.

Przy pomocy punktu mierzenia M dla kierunku (O) Z⁰⁰ wyznaczymy punkty Is i 2S.

Aby otrzymać punkt M, przyjmiemy prostą Л¹, równoległą do linji horyzontu i przecinającą ramiona kąta Z⁹⁰ (O) A w obrębie rysunku. Łukiem koła, zakreślonym z otrzymanego punktu Z¹, jako środka, przeniesiemy punkt (O) na prostą h¹. Punkt Z¹ uważać można za ślad zbiegu prostych prostopadłych do płaszczyzny a, gdy tło zbliżymy do oka na odległość równą oddaleniu punktu (O) od prostej h\ Punkt M¹ jest wobec tego punktem mierzenia kierunku O — Z¹ na przesuniętem do oka tle. Punkt M, w którym prosta (0)M¹ przetnie linję horyzontu, jest punktem mierzenia dla kierunku O Z⁹⁰. Z punktu tego rzucimy punkt Ml na prostą p i odmierzymy M'"lm = M™2", = M¹lx; promienie Mlm i M2"¹ przetną prostą ms w punktach ls i 2S, które, połączone z punktem Wx, dopełniają konturu pozornego stożka. Punkty te są mianowicie punktami, w których styczne, wykreślone z punktu W„ do elipsy rs, z krzywą tą się stykają.

b) Wykreślmy perspektywę walca obrotowego o osi pionowej, którego podstawa leży na płaszczyźnie poziomej.

Sposób pierwszy. Najpierw wykreślimy elipsę kts (rys. 262), t. j. perspektywę koła podstawy walca. Następnie poprowadzimy przez oko i oś a walca płaszczyznę a i obrócimy ją około prostej as, z którą schodzą się oba ślady tej płaszczyzny — na tło. Oko zajmie położenie punktu 0° na horyzoncie, a oś położenie prostej a", równoległej do as i przechodzącej. przez punkt St, rzut punktu Sj z punktu O" na linję podstawy p,. Obrót płaszczyzny a sprowadzi na tło także i rzut oka na płaszczyznę podstawy, t. j. punkt O', nazwany w ust. 17 stanowiskiem.

a°

Si

mi

ti =tś

■3'4'

Ft

/4?

mf

M₂

Mi

2mV2'

mf

\2x

'7_

.s'

(SI

-ki

кГ/

i:

Ml

..Co

ST⁸«

Cö

as

si

Za=U

(ojb

Rys. 262.

la.

Punkt ten zajmie położenie punktu 0₍₎'. Uważajmy tak sprowadzoną na tło płaszczyznę a za pionową płaszczyznę rzutów, a linję podstawy p, za oś rzutów X. Punkt O" uważać wtedy można za oko, leżące na rzutni pionowej, punkt O₀' za jego rzut poziomy, a prostą a" za oś walca, leżącą rzutni pionowej. Obróćmy poziomą płaszczyznę podstawy około linji /?, tło. Rzut poziomy walca będzie kołem k*, zakreślonem z punktu S{ promieniem, równym promieniowi koła ki ; styczne s, i s₂x, wykreślone z punktu O' do koła £,x, są śladami płaszczyzn stycznych do walca, wzdłuż tworzących /, i 4, na płaszczyźnie podstawy, którą sprowadziliśmy zapomocą obrotu około prostej px na tło. Rzut pionowy tx — ł.2 tych tworzących schodzi się z cięciwą styczności 1    2 = m,. Chodzi

o wyznaczenie perspektywy tej cięciwy, która jest prostopadła do pła-Jej śladem zbiegu Z2° jest punkt przecięcia się promienia

na

na

szczyzny a.

Bartel. Perspektywa. I.

13

prostopadłego w punkcie (O) do prostej (O) A z linją horyzontu, leżący poza obszarem płaszczyzny rysunkowej.

Aby znaleźć punkt mierzenia, odpowiadający śladowi zbiegu Z«⁹⁰, weźmiemy pod uwagę siódmą część oddalenia i z punktu (O)'¹' poprowadzimy równoległą do promienia (0)Za⁹⁰. Na horyzoncie otrzymamy

Ob

âs

PL

AS 3х

CS

mi

4*

kiizs

Bi

—

Äs*

■■■ja

Z45,

Di

Oś

tf

ti

'Di

mf

(X

[/c'f'kL

—Л

AïJ 7«

& У    Os

2*Ж1В?

Со

"с

>r-

'S

N?

ач\

St

2°

'В?

Rys. 263.

częściowy ślad zbiegu Z₉₀1/7, prostych prostopadłych do płaszczyzny a, który przypadkowo schodzi się w naszym rysunku z punktem O⁰. Łuk koła, zakreślony z punktu ZJI:, jako środka, promieniem (O)1/7Z^'⁷, przetnie horyzont w punkcie M'l\ Odmierzymy 0,M, równe siedmiokrotnemu odcinkowi OsM'¹', otrzymując szukany punkt mierzenia M. Prócz tego znaleźliśmy punkt M jeszcze i sposobem, zastosowanym w rysunku 260.

Punkt Mv w którym cięciwa mx przecina linję podstawy px, rzucimy z punktu 0° na prostą as i otrzymany punkt M\ połączymy z punk-

tem Za⁹⁰ prostą mf. Połączenia tego dokonaliśmy za pośrednictwem poznanej w ust. 22 konstrukcji.

Punkt M{ rzucimy z punktu mierzenia M na px i odmierzymy M"llm = M'n2m — MXV. Promienie lm—M i 2m—M przetną prostą m\ w punktach 1S\2S, które są punktami styczności prostych t\ i t₂ z elipsą kj.

W odległości równej przyjętej wysokości walca wykreślimy równolegle do pl prostą p₂, która jest śladem tłowym płaszczyzny poziomej, ograniczającej walec. Wykreślenie trapezu, opisanego na elipsie k₂, a potem i samej elipsy nie nastręcza trudności.

Punkt M"¹ rzucimy prostopadle na p.„ jako punkt M"\ i ten połączymy z punktem M, otrzymując na as punkt Mj, który łączymy ze śladem Z„⁹⁰ prostą m₂. Proste Ц i Ц przecinają m* w punktach 3S i 4S styczności z elipsą k°.

Sposób drugi. Wykonajmy kład płaszczyzny horyzontu i płaszczyzny podstawy, wraz ze znajdującem się na niej kołem kx i stanowiskiem O', na tło (rys. 263).

Koło kx zajmie na tle położenie koła k\ o środku S⁹, a punkt O' położenie punktu O₀\ Punkt 0's jest rzutem prostokątnym stanowiska na tło ; odległość 0's — Oó równa jest oddaleniu tłowemu.

Styczne s° i s₂°, wykreślone z punktu O' do koła k⁹, są śladami na płaszczyźnie podstawy płaszczyzn stycznych do walca a przechodzących przez oko, sprowadzonemi wskutek dokonanego kładu płaszczyzny podstawy na tło. Znajdziemy perspektywę ls i 2S punktów Г i 2°, a więc i perspektywę m* cięciwy styczności m". Proste pionowe /• i Ц, wykreślone przez punkty ls i 2S, są stycznemi w tych punktach do elipsy k] i należą do zarysu pozornego walca.

Odtworzenie konstrukcji perspektywy k° koła k₂, stanowiącego górne ograniczenie walca, pozostawiamy czytelnikowi.

c) Wykreślić perspektywę stożka obrotowego, którego oś a, wyznaczona śladami: tłowym Ta i zbiegu Za, nachylona jest do tła pod dowolnym kątem. Punkt główny, oddalenie tłowe, położenie środka S koła równoleżnikowego stożka, jego promień r i wysokość w stożka są dane.

Sposób pierwszy: użycie płaszczyzn stycznych (rys. 264). W punkcie S prostej a poprowadzimy do niej płaszczyznę prostopadłą a (patrz ust. 10, pkt. b), znajdując jej ślady za i ta. Następnie wykonamy kład tej płaszczyzny na tło. Środek rzutów zajmie położenie punktu 0°, prosta c, krawędź płaszczyzn a i (p, zejdzie się ze śladem ty, a rzut Stt punktu Ss, z punktu 0° na c°, będzie środkiem koła k°r, które zakreślimy danym promieniem r. Koło to jest kładem koła równoleżnikowego stożka, znajdującego się na płaszczyźnie a.

Wyznaczenie punktów ls, 2S, 3S i 4a, a więc i perspektywy kwadratu, opisanego na kole k°r nie nastręcza żadnych trudności, podobnie jak i wykreślenie elipsy ksr.

13*

Aby otrzymać perspektywę Ws wierzchołka stożka, wyznaczymy punkt mierzenia Мг dla kierunku a, rzucimy z niego punkt S„ na prostą tfp, odmierzymy Sm Wm, równe danej wysokości w stożka, połączymy

Wm z Mt prostą, która przetnie As w szukanym punkcie Ws.

Styczne Z* i t\, wykreślone z punktu Ws do elipsy kl, dopełniają zarysu pozornego stożka. Znajdziemy je najzupełniej w ten sam sposób, jak w zadaniu rys. 256, gdzie wyznaczyliśmy punkt M, w którym prosta q, łącząca oko z wierzchołkiem stożka, przebija płaszczyznę kierownicy stożka; punkt ten rzuciliśmy na linję podstawy i wykonaliśmy kład płaszczyzny podstawy, wraz z kierownicą stożka i punktem M, na tło. To samo uczynimy i w rozpatrywa-nem zadaniu — różnica polega jedynie na tern, że rolę płaszczyzny podstawy przyjmie w niem płaszczyzna a. Śladem zbiegu prostej M — M* jest w rys. 256, względnie rys. 257, punkt główny ; przy dowolnem nachyleniu płaszczyzny a do tła śladem tym jest punkt A.

Tak tedy łączymy punkt W„ z A, aż do przecięcia się w punkcie M ze śladem tn, gdzie kreślimy prostopadłą, która przetnie promień 0° — Ws w punkcie M°. Z punktu M° prowadzimy styczne m° i n° do koła A°, które przetną ta w punktach P i Q. Proste W₈ — P i Wa — Q są perspektywami t\ i t\ tworzących konturowych tx i t₂ stożka, a punkty Is i IIS, w których promienie 0° — 1° i 0° — II⁰ przecinają proste t\ i t\, są punktami styczności tych ostatnich z elipsą k%

To samo zadanie rozwiązaliśmy także, podobnie, jak w rysunkach 258 i 259, posługując się stożkiem pomocniczym Фх, o tworzących równoległych do danego a o wierzchołku Ws, leżącym na tle. Perspektywy obu stożków pokrywają się i w tern leży istota tego rozwiązania.

/i

A.

Zr

Mr

1s

Os

>P

O⁰'

Za

Zcc

m°y

as,

M°

Cs \>f/⁰

TM2\ms

<Is

k°

CO

'no

Wsi

Ta

Wm

tf/Ło

VfTMTpA

MSs

sv

2i

Ox^

Us

'\Srnr/

kSr

4s\\4°/

—ИУ-

Tc

2°

’л°

ns

!£

Rys. 264.

И/

//

ta

M-

Elipsę ks (rys. 265), perspektywę koła kierowniczego k stożka, które znajduje się na płaszczyźnie a, uważać możemy także za perspektywę koła ki, stanowiącego kierownicę stożka Ф1? leżącą na płaszczyźnie a równoległej do a. Śladem tłowym tej płaszczyzny jest prosta tai, równoległa do ta, przechodząca przez punkt Ss. Wykonamy kład płaszczyzny cą na tło. Koło k\, zakreślone na średnicy 1S — 2S, będzie kładem koła /г, na tło. Zresztą postąpimy, jak w rysunku poprzednim: łączymy A z W,; na tat otrzymamy punkt Mx, w którym kreślimy prostopadłą, przecinającą promień O⁰ — Ws w punkcie M°. Styczne m\ i n\, wykreślone z M° do koła k\, przecinają tUi w punktach Pt i Q,, które łączymy prostemi m\ i n\ z punktem Ws, perspektywą wierzchołka stożka. Znalezieniem punktów Is i IIS, odpowiadających punktom styczności I\ i 1T\ prostych m\ i n\ z kołem k\, uzupełnimy rozwiązanie zadania.

Sposób drugi: użycie stożka normalnego (rys. 266). Rozwiązanie zadania polegać będzie na uogólnieniu konstrukcji, zastosowanej w rys. 260. Tak więc, podobnie jak tam, przez oko i oś a stożka poprowadzimy płaszczyznę y, której ślady zejdą się oczywiście z prostą as, a następnie wykonamy kład tej płaszczyzny na tło. Oko zajmie położenie punktu O⁰, a oś stożka położenie prostej a°, przechodzącej przez punkt Ta równolegle do promienia 0°Za. Przyjęty trójkąt WI TI jest przekrojem stożka płaszczyzną ip, który to przekrój uważać równocześnie można za rzut prostokątny stożka na tę płaszczyznę, sprowadzoną obrotem około prostej as na tło.

Znajdziemy wierzchołek Wn stożka normalnego i z niego wykreślimy promień n, prostopadły do prostej w, łączącej punkt O0 z punktem W. Na k' otrzymamy punkt, oznaczony ja-ko 1', 2' i Mi. Uważajmy odcinek 111= k' za rzut podstawy stożka na płaszczyznę tła, to koło k\ zakreślone na średnicy III, jest kładem podstawy stożka na tło, dokonanym zapomocą obrotu około średnicy 1II. Na kole kx leżą też punkty Iх i 2X, a mianowicie, jako ograniczające cięciwę prostopadłą w punkcie do k'.

M°

m?

к⁰/

2°Lr

L«±\

Mx

c°

t'P

Та К

Wm

Zcc

Vs

[Ml

\rnV3

■S°ï

I s'

\Qm2s

nf\

Te

tf

3's.

Ъ°

Z'r

Ss;

as

Rys. 265.

V/

Is

7s

Za_

Pi

..

Os

mP'

0°

Rzut Ss, środka S odcinka III, na prostą a.s. z punktu O⁰ jest perspektywą środka koła k, stanowiącego podstawę stożka. W celu wykreślenia perspektywy kK koła k wyznaczymy płaszczyznę a tego koła, prostopadłą do osi a w punkcie S, znajdując jej ślady za i ta. W tym celu połączymy ślad Za z punktem głównym prostą i wykreślimy do niej w tym punkcie prostopadłą, na której odmierzymy odcinek Os Ox, równy oddaleniu tłowemu. Punkt Za połączymy z punktem 0K i wykreślimy

Za Za

Za

У 90

3s /tv^Zv

ZV

zr

Та

Cs

0°

Ws

Ox

Os/

tf

ms

Z⁹y\

jCs

A,

II

1*

Zcc,

Mf

\M¹

Es /Ss,

к*

Js

aa

i As

As

Ds

к'

ta.

(O)

-i

Tb

w*

ta,

E*

Fx

Zf /3s

z*

ty

'Za

Rys. 266.

w nim prostopadłą do 0*Za, która przetnie prostą OsZlt w punkcie A. Prosta za, poprowadzona przez punkt A prostopadle do prostej AO,Za, jest śladem zbiegu płaszczyzny a. Aby wyznaczyć ślad tłowy tej płaszczyzny, wykreślimy prostą cs, łączącą punkty A iSs, i uważać ją będziemy za perspektywę prostej c, przecinającej prostą a w punkcie S, a leżącej na płaszczyźnie a. Śladami płaszczyzny, wyznaczonej prostemi a i c, są proste z(p i tv. Ślad tłowy /„ płaszczyzny a przejdzie przez punkt przecięcia się prostej cs z prostą tg> — który to punkt jest śladem tłowym prostej c. Oznaczony jest on na rysunku literą Sx. Ślad tn przejdzie równocześnie przez punkt T„, w którym prosta b przecina prostą as.

Koło, zakreślone z punktu A, jako środka, promieniem A Ox, przetnie ślad za w punkcie Za⁴⁵, który jest, jak wiadomo, śladem zbiegu prostych, równoległych do płaszczyzny a, względnie na niej leżących, a nachylonych do jej śladów pod kątem 45°.

Punkt Ss rzucimy z punktu 4 na 4, odmierzymy SxEx = SXFX = SI, równe promieniowi koła k, i punkty Ex i Fx rzucimy z punktu A na prostą poziomą, poprowadzoną przez punkt Ss. Otrzymamy tam punkty Es i Ą, a pośrednictwo promienia S₈Za⁴⁵ pozwoli wyznaczyć jeszcze średnicę CSDS elipsy.

Rzut Ml punktu My z punktu 0° na prostą as jest perspektywą środka cięciwy styczności m tworzących zarysu istotnego stożka. Prosta m jest prostopadłą do płaszczyzny i/j, która przechodzi przez oko i oś a stożka, jej perspektywa ms przejdzie więc przez ślad zbiegu Zv90 prostych prostopadłych do płaszczyzny Ślad ten leży poza obszarem rysunku i jest punktem przecięcia się prostej    z promieniem, wy

kreślonym w punkcie (O) prostopadle do prostej (O) A

Ponieważ płaszczyzna гр, jako przechodząca przez oś stożka, jest prostopadłą do płaszczyzny a, więc promień, łączący oko ze śladem zbiegu Z(/,⁹⁰, leży na płaszczyźnie zbiegu płaszczyzny a, a co za tern idzie, punkt Z,,,⁹⁰ leżeć będzie na śladzie 2„. Wszystkie zresztą proste prostopadłe do płaszczyzny ip są równoległe do płaszczyzny a, a więc ich ślad zbiegu leżeć będzie na śladzie zbiegu zn płaszczyzny a.

90

Za pośrednictwem prostej poziomej zax, przecinającej promień (O) Z,p w punkcie Z\ znajdziemy punkt M¹, którego rzut M z punktu (O) na ślad za jest punktem mierzenia wszystkich prostych, prostopadłych do płaszczyzny гр. Z punktu tego rzucimy punkt M\ na ślad ta, odmierzymy M™lm = M™2m = MxIх = MV2X i punkty l"¹ i 2m połączymy z punktem M. Na prostej ms otrzymamy punkty ls i 2S, które ograniczają cięciwę styczności stycznych t\ i ts₂, wykreślonych z punktu W, do elipsy ks.

48. Perspektywa wnętrz obrotowych walców i stożków.

Weźmy pod uwagę walec obrotowy o osi pionowej; wewnątrz niego przyjmijmy środek rzutów (oko) a następnie dowolnie w przestrzeni pionową płaszczyznę tła. Płaszczyzny równoległe do płaszczyzny podstawy przecinać będą ten walec wzdłuż kół, płaszczyzny dowolnie położone przecinać go będą podług elips, a płaszczyzny pionowe — wzdłuż dwóch tworzących. Płaszczyzna zniknienia przetnie każde przyjęte na walcu koło lub każdą elipsę w dwóch punktach — perspektywą więc tych linij krzywych będą wyłącznie hiperbole. Jedynie tworzące walca przejdą po odwzorowaniu perspektywicznem w pęk prostych równoległych, prostopadłych do linji horyzontu. Przykładami perspektyw wnętrz walców obrotowych są rys. 215, 234, 239, 242 i 285.

Jeżeli płaszczyzna tła nie ma położenia pionowego, to przy perspektywie wnętrza walca występują wypadku — hiperbole i linje proste, z tą tylko różnicą, że perspektywa tworzących nie jest pękiem prostych równoległych, lecz zbiegających się w punkcie właściwym. Przykładem takiej perspektywy jest fotogram

podobnie, jak w poprzednim

tipi#

wnętrza Domu Inwalidów z grobem Napoleona w Paryżu (rys. 267). Zdjęcie wykonane jest „zgóry“; klisza fotograficzna nachylona była ku dołowi, podobnie, jak to widzimy na rysunku 189 a.

fi

stożka.

Inaczej przedstawia się sprawa perspektywy wnętrza o-brotowego

Mti

ШЙ

Rys. 267.

to przy perspektywie

Przekrojami płaskie-mi stożka są, jak wiemy, koła, elipsy, hiperbole i parabole, jeśli nie uwzględnimy linij prostych. Stożkowe te zajmować mogą względem płaszczyzny zniknie-nia trojakie położenia : będą przecięte przez płaszczyznę zniknienia w dwóch punktach, będą do płaszczyzny zniknienia styczne, lub wreszcie nie będą miały z nią żadnych rzeczywistych punktów wspólnych. Perspektywą pierwszych stożkowych będą hiperbole, drugich parabole, trzecich elipsy. Perspektywą tworzących stożka będą oczywiście linje proste. Tak tedy, gdy przy perspektywie wnętrza walca obrotowego wchodzą w grę hiperbole i linje proste obrotowego stożka występować mogą wszystkie stożkowe i linje proste.

49. Perspektywa kuli. a) Stożek, opisany na kuli, z oka, jako wierzchołka (stożek widzenia kuli), jest stożkiem obrotowym. W zależ-

ności od położenia kuli względem płaszczyzny zniknienia, płaszczyzna tła przetnie stożek widzenia kuli wzdłuż elipsy, hiperboli lub paraboli. Zarys pozorny kuli może więc być elipsą, hiperbolą lub parabolą.

W szczególności, jeżeli płaszczyzna zniknienia nie przecina kuli, ani też nie jest do niej styczna, to przy takiem położeniu kuli perspektywą jej jest elipsa. Rys. 268 objaśnia nam tę sprawę w widoku zgóry (w rzucie poziomym).

Koło K' jest rzutem poziomym kuli, punkt O' Oś iAś kś ~Bs. rzutem poziomym oka, odcinek A'B'= k' przedstawia rzut poziomy zarysu istotnego, a odcinek A'sB' = k' rzut poziomy zarysu pozornego, t. j. rzut poziomy elipsy, podług której pionowa płaszczyzna obrazu (tła) przecina stożek widzenia kuli. Ponieważ płaszczyzna zniknienia nie przecina kuli, więc nie przecina też żadnego koła, przyjętego na kuli — perspektywą zatem tych kół będą elipsy. Perspektywą koła południkowego r, którego płaszczyzna jest równoległa do tła, będzie koło. Jeżeli płaszczyzna zniknienia nie przecina kuli, ani nie jest do niej styczną — a promień, łączący

/Г

0'\

S’

к'

В'

Rys. 268.

-,

ii

V’r

•V

•s

IW

ШИшШЯ

[ I

SB

i!

r<

|<'Sn№i|il«l«|V ^Г^ЧЧЧЧЧЧЧЧ' ЧИЦ«**«»1 ЧЧЧЧ1И¹

ПИНИЯМ

да

tm *“

IV

Rys. 269.

środek kuli z okiem, jest prostopadły do tła — to perspektywą kuli będzie koło.

Na rys. 269 widzimy perspektywę dwóch kul: jedną jest koło a drugą — przy lewej krawędzi obrazu — wyraźnie elipsa.

e'

As

OŚ

pt.tlcL h‘ Bś

/r;

У rj

Jeżeli położenie kuli względem środka rzutów jest takie, że pła-zniknienia

У,

Гг

г' I

А'

rL

У/

szczyzna kulę tę przecina — to wówczas jej zarysem pozornym jest hiper-

pt zniknienia

bola.

Rys. 270 uzmysławia nam sytuację w rzucie poziomym. Odcinek A'B' = k’ jest rzutem poziomym koła, stanowiącego zarys istotny kuli; ex i e₂ przedstawiają dwie gałęzie hiperboli ks, leżące na pionowej płaszczyźnie tła. Gałąź e2 ma znaczenie jedynie geometryczne; praktycznie wchodzi w grę tylko gałąź ex. Perspektywami kół, przyjętych na kuli K, będą w tym wypadku elipsy, parabole i hiperbole. Perspektywą koła południkowego r, równoległego do tła, będzie koło. Perspektywami kół, przyjętych na kuli, nie przeciętych płaszczyzną zniknienia (np. koło równoleżni-

0'

Rys. 270.

«0

rS

'Cl

Rys. 271.

kowe ą), będą elipsy. Perspektywą równoleżnika r₃ lub południka r\ będzie hiperbola, gdyż płaszczyzna zniknienia przecina każde z tych kół w dwóch punktach. Odwzorowania perspektywiczne równoleżnika /2 lub południków r₅ i rG są parabolami; koła te są bowiem styczne do płaszczyzny zniknienia.

Hiperbola, jako zarys pozorny kuli, zdarza się w praktyce stosunkowo rzadko; wystąpi przy.obserwacji lub jako fotogram kulistej kopuły albo kulistego budynku. Zdjęcie fotograficzne powierzchni morza, zro-

bione ze szczytu latarni morskiej lub z aeroplanu, względnie balonu — stanowi również przykład perspektywy kuli, jako hiperboli. Stożek widzenia kuli ziemskiej o wierzchołku, którym jest środek objektywu, przecięty płaszczyzną kliszy fotograficznej, rysuje na jej górnej części odwrócony obraz jednej gałęzi hiperboli.

Ce

/U

h’

Dś

/r;

A'

S' c

Schematyczny rys. 271 tłumaczy sprawę wystarczająco jasno. Ową gałąź hiperboli es nazywać będziemy horyzontem naturalnym.

D'

'k'

0'

Jeżeli kula jest styczną do płaszczyzny zniknienia, to perspektywą jej jest parabola (rys. 272).

pi.zniknienla.

B'

Rys. 272.

b) Przybliżona konstrukcja perspektywy kuli. Polega ona na wykreśleniu zarysu pozornego kuli,jako obwiedni perspektywy jej równoleżników i południków.

Przykład, podany na rys. 278, odnosi się do kuli, która jest styczną do płaszczyzny podstawy w punkcie M i styczną do tła w punkcie P.

Punkt P rzucimy prostopadle na linję podstawy p, a następnie promieniem równym odcinkowi P P' zakreślimy z punktu P, jako środka, koło k. Koło to uważać należy za rzut prostokątny kuli na tło. Weźmy pod uwagę równik r oraz równoleżniki i\, r₂ i r₃ na kuli i znajdźmy ich perspektywę. W tym celu rzućmy je na płaszczyznę podstawy i opiszmy na nich kwadraty. Perspektywą tych kwadratów są trapezy A BC₈DS, l's2s3[s4's i 9's10'sll's12s; ich wspólny środek Ms jest perspektywą punktu styczności kuli z płaszczyzną podstawy. Elipsa r's, wpisana w pierwszy trapez, jest perspektywą rzutu poziomego równika kuli, co jest równoznaczne z perspektywą rzutu poziomego samej kuli. Prosta as, wykreślona z punktu Ms prostopadle do linji horyzontu, jest perspektywą osi kuli; punkt Ns jest perspektywą drugiego „bieguna“.

Perspektywą kwadratu, opisanego na równiku, jest trapez А В CSDS; bok А В kwadratu leży na tle, punkt Ss jest perspektywą środka kuli. Elipsa rs, wpisana w ten trapez, jest perspektywą równika kuli.

Zkolei rysujemy trapezy 1S2S3S4S i 5S6S7S8S, które są perspektywą kwadratów, opisanych na równoleżnikach rx i r₂, poczem wrysowujemy w nie elipsy p i p. Pierwsza leży pod, druga nad linją horyzontu. Trzeci równoleżnik wyrazi się perspektywicznie, jako elipsa, wpisana w trapez 9S10S11S12S.

Co się tyczy południków kuli, to przyjęliśmy ich cztery. Jako pierwszy, przyjęliśmy ten, którego płaszczyzna jest równoległa do tła; jego perspektywą jest koło p°, zakreślone z punktu Ss, jako środka, promieniem, równym odcinkowi SsIs = SsIIs = Msrs = MsHs = MsSs. Perspektywą innych południków będą elipsy. Aby wykreślić je, postąpimy, jak z równoleżnikami: wykreślimy trapezy, jako perspektywy kwadratów, opisanych na południkach, a następnie w trapezy te wpiszemy elipsy.

Przejdźmy konstrukcję, prowadzącą do wykreślenia elipsy p°, która jest perspektywą południka p.r Połączmy dowolny punkt Z linji hory-

Co

8*

I*

//

Co

CO.

-•feP

b,

_ CO

ГГ

Co

"з

TSŁ

Po,

4N

₄Co

Cu

Co

■v\-

.A

Si

fee;

i?

.....^

N.

fb

C/3

■ъ

Æ Г5'

■9'

M'P'

Mi

B'

Rys. 273.

zontu z punktem Ms, aż do przecięcia się z linją podstawy p w punkcie///J. Kreślimy III' IIIS = M’N’ prostopadle do p i punkt IIIS łączymy z punktem Zr Prosta Z,///s' przecina elipsę r' w punktach IV' i VII', z których prowadzimy prostopadłe do linji horyzontu, aż do przecięcia się z promieniem Z, IIIS. Trapez IV' IVS VII' VIIS jest perspektywą kwadratu, opisanego na południku elipsa pV wpisana w ten trapez, jest

perspektywą koła p₂. W analogiczny sposób znajdziemy elipsy p* i p₄s. Obwiednią wykreślonych elips rs, r°, r“, /-₃S, p*, p* i pl jest elipsa k₈, będąca zarysem pozornym, czyli perspektywą kuli.

50. Dalsze konstrukcje perspektywy kuli. a) Wiemy, że perspektywą kuli jest krzywa stożkowa, którą w zależności od położenia kuli względem płaszczyzny znik-nienia jest bądź elipsa, względnie koło, bądź hiperbola, bądź też parabola. W ustępie poprzednim wykreśliliśmy zarys pozorny kuli przy pomocy perspektywy jej równoleżników i południków. Metoda geometrycznie ścisła polega na wykreśleniu zarysu pozornego kuli drogą bezpośrednią. Rozwiązanie zadania oprzemy na następu-jącem twierdzeniu: „Punkty styczności kul, wpisanych w stożek obrotowy, z płaszczyzną sieczną, są ogniskami elipsy (hiperboli), podług której płaszczyzna ta przecina stożek“ (Twierdzenie Dandelain’a)¹). Przypomnijmy jeszcze, że miejscem geometrycznem ognisk elips, względnie hiperbol, które otrzymamy, tnąc stożek obrotowy płaszczyznami równoległemi, są dwie proste, przechodzące przez wierzchołek stożka, to wówczas zrozumiemy przebieg konstrukcyj, odnoszących się do bezpośredniej perspektywy kuli.

Rzućmy kulę К, o środku S, na pionową płaszczyznę tła z punktu O (rys. 274), przyczem niechaj promień, łączący punkty S i O, ma położenie poziome.

Zarys istotny kuli jest kołem, którego rzut poziomy jest odcinkiem Ä'B'; zarysem pozornym kuli jest elipsa, przedstawiona na rys. 274, jako odcinek A'sB'H. Niechaj punkty P' i Q' ograniczają średnicę koła К, prostopadłą do tła; rzuty tych punktów z punktu O' na h', t. j. punkty F[ i K, są rzutami poziomemi ognisk elipsy, będącej zarysem pozornym kuli K.

P' \

K'/

B'

tto

M\

S'

2'

ft.

7Г/

Bi 2e

Is,

Sś

Oe

A/i

Ai

Qi

Rys. 274.

FF

O'

W stożek widzenia kuli К, t. j. w stożek obrotowy, opisany z oka na kuli K, wpisać można dowolną ilość kul, których środki leżą na osi stożka. Wszystkie one mają wspólny zarys pozorny. Weźmy pod uwagę tę kulę Kt, której środek leży na tle, którą zatem tło przecina wzdłuż koła południkowego. Istotnym zarysem tej kuli jest koło, którego rzut

’) Patrz autora „Geometrja wykreślna“, wydanie II. ust. 163.

poziomy jest odcinkiem A[B[; odcinek ten jest równoległy do odcinka A B', który jest, jak wiemy, rzutem poziomym zarysu istotnego kuli K. Zarys

pozorny kuli Kx jest zatem identyczny z zarysem pozornym kuli К, z czego wynika, że perspektywę tej ostatniej znaleźć można, posługując się kulą Kt.

Jeżeli znamy ogniska elipsy, będącej perspektywą kuli, to znamy i środek elipsy, do którego odnieść także można następujące twierdzenie geometrji płaskiej : cięciwa styczności AB' (rys. 275) dwóch boków O’N' i O' R' trójkąta 0'N'R', opisanego na kole K\ przecina się ze średnicą P'Q' tego koła, przechodzącą przez punkt styczności P’ trzeciego boku N' R', w punkcie M\ którego rzut M° z wierzchołka O', przeciwległego temu trzeciemu bokowi, na tenże bok jest jego środkiem. Poprowadźmy prostą h’ równolegle do boku N'R’ i oznaczmy punkty przecięcia się jej z pozostałemi bokami trójkąta 0'N'R' przez A's i B's, to rzut M's środka M° odcinka N'R' będzie oczywiście środkiem odcinka A'aB'a.

Porównanie rysunków 274 i 275 wykaże ich analogję: cięciwa styczności A'B' przecina średnicę P'Q' w punkcie M'; rzut Ma tego punktu na prostą h' jest środkiem odcinka AaB'a, czyli rzutem poziomym środka elipsy, jako perspektywy kuli.

r:

A'

M° P'

/У'

—o

B'

h'

Bi

Rys. 275.

O’

ki=ei

Fi

As

h'

À⁰*

Bi/ Fj khei

P'

A'

'K'

S'

pt. zniknienia.

O'

.£J

BL

Rys. 276.

W przypadku, gdy płaszczyzna zniknienia przecina kulę (rys. 276), perspektywą jej jest, jak wiemy, hiperbola. Zarys istotny kuli jest oczywiście kołem, które w rzucie poziomym wyraża się odcinkiem AB' = k'. Płaszczyzny równoległe do tła stykają się z kulą w punktach P \ Q\ rzut tych punktów z oka na tło daje ogniska Fl i F, hiperboli ks. Ga-

łąź e₂ tej hiperboli ma znaczenie wyłącznie geometryczne; praktycznie wchodzi w grę jedynie część ex hiperboli. Rys. 277 przedstawia w rzucie poziomym takie położenie kuli względem płaszczyzny zniknienia, że perspektywą jej jest parabola; kula jest styczną do płaszczyzny zniknienia. Rzut z oka na płaszczyznę tła punktu P, w którym płaszczyzna równoległa do tła styka się z kulą, jest ogniskiem paraboli.

b) Przystąpmy do zastosowania powyższych uwag.

Na prostej a, prostopadłej do tła, przyjęliśmy punkt S, który uważajmy za środek kuli К o promieniu /•. Stożek Ф, opisany na kuli z oka, jako wierzchołka, styka się z nią wzdłuż koła k; rzut tego koła z oka na płaszczyznę tła, równoznaczny z przekrojem tego stożka płaszczyzną tła, jest perspektywą kuli.

ki

FT

Ah

h'

Ol

>K'

ptzniknienia.

P'

S'

'к'

Q'

Rys. 277.

A'

0'

O⁰'

ó’

Os

Ys

Ós

3s,

Jfł

JCs

’f? 'C"

4s

a°

ks

iis

2°

Ta

fk°

P_

as

FF

C⁰/

S°

a°

ta=Zx

'Fi

1°

k?

Rys. 278.

Poprowadźmy przez oko i prostą a płaszczyznę a; przetnie ona kulę w kole kx, które uważać możemy za rzut na nią — kuli K. Wykonajmy kład płaszczyzny a na tło: oko zajmie położenie punktu O⁰

(rys. 278) na prostopadłej, wykreślonej w punkcie głównym O„ do prostej as, w odległości równej głębokości tłowej; prosta a padnie na tło, jako prosta a°, prostopadła w punkcie Ta do prostej as. Przyjmijmy na prostej a° punkt S°, zakreślmy z niego, jako środka, promieniem r koło k\ i z punktu O⁰ poprowadźmy doń styczne. Otrzymaliśmy kład płaszczyzny a wraz z rzutem na niej kuli i stożka, opisanego na tej kuli z oka, jako wierzchołka. Cięciwa styczności 1°2° jest rzutem na płaszczyznę a — sprowadzoną na tło — zarysu istotnego kuli, którym jest koło k. Punkty 1N i 2S, w których promienie 0° — 1° i O⁰ — 2°

1s,

4s

Ff

3s

Ff

а?

Taf:

si

fi

2s

и,

<2 5

.51

FF

tcc=Zcn

20 Uo\

Kys. 279.

przetną prostą as, ograniczają większą oś elipsy ks, stanowiącej zarys pozorny kuli. Płaszczyzny, równoległe do tła a równocześnie styczne do kuli, przecinają prostą a w punktach/^ i F₂, których rzut z oka na tło daje ogniska F\ i FI elipsy kN. Punkty FУ i Fl, w których prosta a" przecina koło k", rzucone z punktu O⁰ na prostą as, są owemi ogniskami. Środek Cs odcinka 1S2S jest środkiem elipsy ks, przez który wykreślimy prostą bx, prostopadłą do prostej as. Połową osi 1,2S zakreślimy z jednego z ognisk łuki, aż do przecięcia się z prostą bs w punktach 3S i 4S. Punkty te ograniczają drugą, krótszą, oś elipsy k₈, która tym sposobem jest wyznaczona.

Jeżeli głębokość tłowa jest tak wielka, że kład 0° oka znajdzie się poza obrębem rysunku — to wówczas posłużymy się podziałką zbiegu, jak to uczyniliśmy na rys. 279. Gdybyśmy przyjęli, jako jednostkę podziałki,

4_

na prostej as, 8 mm, to jednostką podziałki lą będzie ax =-Podziałkę z prostej as przesunęliśmy równolegle w położenie г/₍₎ o od-

; jednostką jej będzie a₍₎ = 10 mm.

. 8 = 6 /77/77.

o,

ległość OsN= OsO^ =

c) To samo zadanie, rozwiązane w cośkolwiek odmienny sposób, podaje rys. 280.

Wykreślmy spektywę

kwadratu, leżącego na płaszczyźnie poziomej.

Długość boku kwadratu równa jest średnicy kuli.

Elipsa e', wpisana w trapez ASBSCSDS, uważana być może za perspektywę rzutu poziomego równika kuli, co jest równoznaczne z perspektywą rzutu poziomego kuli K.

Niechaj prosta as, przechodząca punkt główny 0K, będzie perspektywą osi kuli, prostopadłej do tła — to punkt Ss tej prostej, jako rzut punktu Sś na nią, w kierunku prostopadłym do linji horyzontu, jest perspektywą środka kuli.

Koło /?], zakreślone z punktu Ss, jako środka, promieniem równym odcinkowi S'Eg = S'E.', jest południkiem kuli W,, wpisanej w stożek widzenia kuli К, a mającej swój środek na tle. Południk ten jest — jak wiemy — zarazem perspektywą południka kuli K, równoległego do płaszczyzny tła (porównaj rys. 274 i związany z nim tekst). Wiemy, że perspektywa kuli К schodzi się z perspektywą kuli Ki. Wyobraźmy sobie, żeśmy przez oko i prostą a poprowadzili płaszczyznę g?, która przecięła kulę Ks w kole wielkiem a następnie wykonali kład tej pła-

Bartel. Perspektywa. I.

per-A. B. Cs Ds

przez

Ao

gP

As

ÓV

Ob

Об

3s

ks

Es

't<P

ki=k°

-Z<p

Bi

1s

'ds

Al

\\

Fłjs

4 Ss/*-

'Cs-

⁴V bs

\ Ss

/ds

-3 F°

Rys. 280.

Гг

6s

■>.at

'4s

Gs

Es

Ds

P_

Do

14

szczyzny na tło. Koło k₂ zejdzie się, po dokonanym kładzie, z kołem k promień główny będzie prostopadły do prostej as. Ponieważ głębokość tłowa jest znaczna, więc, uważając środek kuli za punkt stały, dokonamy redukcji całego układu, i to do V» części. Operację tę wyobrazić sobie może czytelnik, jako skurczenie się wszystkich odcinków о ²/з części ich długości. Punkt główny zajmie położenie 0₈l3 na promieniu as, przy-czem Ss O.,1/3 równe jest trzeciej części odcinka S₈Os. W punkcie Os1/3 wykreślimy prostopadłą do prostej as, odmierzymy 0Ji³0{)'lJ=~ i z punktu 0„1/з

k    °

poprowadzimy styczne s'h i s₉,/3 do koła zakreślonego z punktu Sa,

o

jako środka, promieniem, równym trzeciej części promienia koła kx. Styczna Sj, równoległa do s^*, przecina promień as w punkcie 1Я; styczna s₂, równoległa do prostej s₂1/3, w punkcie 2S. Punkty 1₈ i 2S są wierzchołkami szukanej elipsy, ograniczającemi jej oś większą, środek Cs odcinka 1,2, — jej środkiem.

Wyobraźmy sobie, że do kuli К poprowadziliśmy dwie płaszczyzny styczne, równoległe do tła — to ich punkty styczności, rzucone z oka na tło, są ogniskami elipsy ks, stanowiącej zarys pozorny kuli K. Perspektywą rzutu poziomego tych punktów styczności są punkty F[ i F'; rzućmy je, w kierunku prostopadłym do linji horyzontu, na prostą a, — to punkty Ff i F* są ogniskami elipsy ks. Druga, krótsza oś elipsy przejdzie przez punkt C₈, prostopadle do a,; długość jej otrzymamy, odmierzając F‘3„ = Fx4, = FC\.

51. Perspektywa wnętrza kuli. Zadanie perspektywy wnętrza kuli, t. j. perspektywy kuli z punktu (oka), znajdującego się w jej wnętrzu — może praktycznie rzadko występujące — jest jednak teoretycznie tak interesujące, że nie możemy go tutaj pominąć. W istocie swej zadanie to nie zawiera wcale problemu nowego i praktycznie sprowadza się do wykreślenia perspektywy kół, zajmujących rozmaite położenia względem tła i płaszczyzny zniknienia.

Miejscem geometrycznem rzutów perspektywicznych wszystkich punktów kuli z oka, znajdującego się wewnątrz tej kuli, jest płaszczyzna tła; punktom koła, podług którego płaszczyzna zniknienia przecina kulę, odpowiedzą perspektywicznie punkty niewłaściwe płaszczyzny tła. Tak pojęta perspektywa kuli ma znaczenie czysto teoretyczne.

Aby zagadnieniu perspektywy wnętrza kuli nadać charakter mniej oderwany, przyjmijmy na wewnętrznej powierzchni kuli — pojętej ina-terjalnie — szereg równoleżników i\, i\, ... których środki leżą na osi AB kuli, oraz szereg południków ely e₂, ... e-{ (rys. 281). Niechaj środek rzutów (oko) O znajduje się wewnątrz kuli na płaszczyźnie równoleżnika r(!. Rys. 281 przedstawia nam sprawę w rzutach prostokątnych na płaszczyznę poziomą i pionową. Jeżeli tę ostatnią płaszczyznę przyj-

mierny, jako tło, to pozioma płaszczyzna 7, poprowadzona przez oko, będzie płaszczyzną horyzontu, zaś równoległa do tła płaszczyzna f — płaszczyzną zniknienia.

A" i

sL

rL

rL

rL

0"

Pb

ik.

rL

rL

rL

B"

Об

I ej

в4/

Gs

PŚ

Pa

P's

P?

eś

Pal

Pl

p!

■a.

Opierając się na wywodach, przeprowadzonych szczegółowo w rozdziale III, ust. 33, stwierdzimy z łatwością, że perspektywy równoleżników rl5 r₂, r₈ i r₉, oraz południków e₅ i e₄ — jako nie posiadających punktów wspólnych z płaszczyzną zniknienia — będą elipsami; perspektywa południka głównego eG, którego płaszczyzna jest równoległa do tła, będzie kołem. Równoleżniki r₃ i r₇, oraz południki ex i e₄ — styczne do płaszczyzny zniknienia — przedstawią się w perspektywie, jako parabole; perspektywy równoleżników r₄ i r₅ oraz perspektywa południka e₃ będą hiperbolami, gdyż płaszczyzna zniknienia przecina każde z tych kół w dwóch punktach. Linja horyzontu /1, jako ślad tłowy płaszczyzny 1, zawierać będzie w sobie perspektywę znajdującego się na tej płaszczyźnie równoleżnika r₆; podobnie perspektywa południka e₂, leżącego na płaszczyźnie widzenia, będzie linją prostą, schodzącą się ze śladem tłowym tej płaszczyzny.

Rys. 281.

Przystąpmy do rozwiązania zadania. Zawiłość konstrukcyj podyktowała nam podział zadania na dwie części: rysunek 282 przedstawia przebieg pierwszej części konstrukcji, rysunek 283 drugi etap rozwiązania. Rysunek 284 jest zsumowaniem wyników obu części i stanowi wynik ostateczny.

Przyjmijmy horyzont h i linję podstawy p (rys. 282). Zakreślmy z punktu U’ koło r! i uważajmy je za rzut poziomy kuli, punkt zaś 0\ obrany „wewnątrz“ koła rza rzut poziomy oka. Rzut prostokątny O, punktu O' na linję horyzontu będzie punktem głównym, punkt 0's rzutem poziomym punktu głównego na płaszczyznę podstawy, a odcinek O'O', — głębokością tłową. Płaszczyzna £, poprowadzona przez

te

efl.

ku

IS”

rf

fĄ

r?

pi

f*

Ti

Ws

fr n°*

—\-X--o-

rf

IÎS2H

НГ-

rf

\F

nf

Ls

L°

Gi

rf

W° JO

N?

um-

Os,

œ\

Pe_Jd_

/У°\

Z?

sff

Y Tc

fi*

rf

/APS

г?

Пз X

Н°/

4s

dix,

TT

Га/ .0 \\/С°

?/гй>й!

Z*

rL

/SP

2°

'ri

Fxs°m°

ni

1°>

Oom

/' D°

Cs/

yss

ni

kir

lei tl, '

[OL

Ox

è\\

e,s

1s

If

rg

rj

Ir?

r’s

r’s

ln

Тх=Пз=Пв

Jf

he

Rys. 282.

oko równolegle do tła, jest płaszczyzną zniknienia; jej ślad poziomy jest prostą h;, przechodzącą przez punkt O' równolegle do. linji podstawy p.

Przyjmijmy boczną płaszczyznę rzutów, prostopadłą do płaszczyzny tła i do płaszczyzny poziomej; rzućmy na nią prostokątnie kulę i oko i sprowadźmy tę płaszczyznę następnie na tło. Śladem tłowym tej płaszczyzny (a równocześnie „śladem bocznym“ tła) jest prosta k.%, prostopadła do linji horyzontu; punkt O'" jest rzutem bocznym oka, a koło e'", zakreślone z punktu U"', jako środka, promieniem równym promieniowi koła л, rzutem bocznym kuli.

Zadanie, jakie postawiliśmy sobie na rys. 282, ogranicza się do wykreślenia perspektywy równoleżników r₃ i r₈, a nadto perspektywy południka e₁. Wiemy, że perspektywa równoleżnika r₈ będzie elipsą, perspektywy zaś równoleżnika r₃ i południka ex, stycznych do płaszczyzny zniknienia — parabolami.

Elipsę r*, jako perspektywę równoleżnika /-₈, otrzymamy w sposób, omówiony szczegółowo w rozdz. III, ust. 39, rys. 222. Po wykonaniu kładu płaszczyzny równoleżnika r₈, około jej śladu tłowego p₈, na tło, przyjmiemy na prostej zniknienia n°₈ dowolny punkt C° i znajdziemy biegunową c° tego punktu ze względu na koło /•“. Następnie znajdziemy biegun sprzężony D° i jego biegunową d°. Biegunowe sprzężone cH i d\ przecinające się w punkcie S'⁰, przetną prostą p₈ w punktach Tc i Td. Obrót płaszczyzny horyzontu na tło, około linji h, sprowadzi na tło oko, jako punkt 0°. Parze biegunowych sprzężonych c° i ze względu na koło r₈°, odpowie perspektywicznie para średnic sprzężonych cs i ds elipsy /**. Pierwsza z nich przejdzie przez punkt Tc i będzie równoległa do promienia 0°D°, druga przejdzie przez punkt Td, równolegle do prostej O⁰C°, Średnice cs i d₈ przetną się w punkcie Ss, środku elipsy r₈s. Punkt ten leży na promieniu 0° S°. Biegunowa c° przecina koło r0 w punktach Г i 2°; punkty te rzucimy z punktu 0° na średnicę cs, otrzymując ograniczające ją punkty ls i 2S. W analogiczny sposób znajdziemy punkty 3S i 4S, ograniczające średnicę d'„ rzucając z punktu O" punkty 3° i 4⁰ przecięcia się biegunowej d° z kołem r₃. Na rys. 282 wyznaczyliśmy w powyższy sposób punkty 2S i 4S, a dwa dalsze punkty otrzymaliśmy, odmierzając S₈l₈ = Sa2₈ i Ss3s = Ss4s.

Zkolei przystąpimy do wykreślenia paraboli, jako perspektywy równoleżnika r₃. W tym celu wykonamy kład płaszczyzny tego równoleżnika, około podstawy p₃, na tło. Po dokonanym kładzie równoleżnik r₃, styczny w punkcie N do śladu zniknienia n₃, zajął położenie koła r₃, stycznego w punkcie № do prostej n₃. Oko — obrócone około linji horyzontu h — padło na tło w punkcie 0°. Promień 0°№ określa — jak wiadomo z rozdz. III, ust. 33, pkt. d — punkt niewłaściwy Nx stożkowej, będącej perspektywą koła r₃. Punkt Nx nazywamy środkiem paraboli, zaś proste przez niego przechodzące, a więc równoległe, jej średnicami. Styczna paraboli, prostopadła do kierunku średnic, nazywa się styczną

wierzchołkową, a jej punkt styczności — wierzchołkiem paraboli. Średnica, przechodząca przez wierzchołek paraboli, jest jej osią.

Poprowadźmy z punktu O⁰ promień prostopadły do kierunku 0°№ średnic paraboli. Promień ten przetnie ślad zniknienia n\ w punkcie 4°; stycznej /°, poprowadzonej z punktu V do koła r₃°, odpowie, jako jej perspektywa, styczna do paraboli, równoległa do promienia 0°L°, a prostopadła do kierunku średnic — czyli styczna wierzchołkowa. Będzie nią prosta /s, przechodząca przez ślad tłowy T,, równolegle do kierunku 0⁽⁾L°. Według podanych wyżej określeń, punkt styczności W,, odpowiadający perspektywicznie punktowi styczności W°, jest wierzchołkiem, a prosta WaNrx, prostopadła do prostej 4, osią paraboli.

Do wyznaczenia paraboli potrzeba, prócz osi i wierzchołka, jednego jej punktu. Będzie nim perspektywa Fs dowolnego punktu /^równoleżnika r₃. Znaleźliśmy ją, jako punkt przebicia się promienia widzenia OF z tłem jt, w sposób elementarny, uwidoczniony na rysunku. Przyjąwszy punkt F' na kole r₃, znajdziemy F'"; punkt F' rzucimy z punktu O' na prostą p, a punkt F'" z punktu O'" na prostą kn. Punkt Fs będzie przecięciem się prostych odnoszących, wykreślonych prostopadle do prostych p i kn.

i przez punkty podziału kreślimy równoległe do osi

Dalsze punkty paraboli znajdziemy w sposób, którego uzasadnienie znajdzie czytelnik w książce autora p. t. „Geometrja wykreślna“, wyd. II, Lwów 1922, str. 247, rys. 379. Kreślimy mianowicie przez punkt Fs prostą, równoległą do osi paraboli, dzielimy odcinek, zawarty między punktami Fs i F*, np. na cztery części i punkty podziału łączymy z wierzchołkiem W, paraboli. Otrzymany na stycznej wierzchołkowej 4 odcinek WeFf dzielimy na tę samą, co poprzednio, ilość równych części — więc na cztery

paraboli. Promienie pęku o wierzchołku Ws i pęku prostych równoległych przetną się w punktach paraboli r*.

Perspektywą południka e₁ będzie parabola ef, której konstrukcja pokrywa się z przeprowadzoną wyżej. Płaszczyznę południka ex obróciliśmy około jej śladu tłowego U na tło. Południk ex zajął położenie koła e\, stycznego w punkcie N\ do prostej zniknienia nf°. Oko, obrócone około śladu zbiegu ze, padło na tło w punkcie Ox. Promień, poprowadzony z punktu Ox prostopadle do kierunku 0KNX , przecina ślad zniknienia w punkcie Lx; stycznej 4’, wykreślonej z punktu L\ do koła e\, odpowie perspektywicznie styczna wierzchołkowa l\ paraboli, zaś punktowi styczności W,° — wierzchołek paraboli W\. Prosta    jest osią paraboli.

Na rys. 282 zamieściliśmy jeszcze elipsy #•;, r\ i r*, jako perspektywy odpowiednich równoleżników, jednak bez zachowania linij konstrukcyjnych.

Td‘

eg

ls

ka

ni

te

et

rh

1s

k%

fig

rg

eh

' \Gs

fl°

et

Cs.

40 ■

D°

rl

rg

eg/

•sd-

Tp P4

WsV

*4°)

ki

nf

[\

Gi

/М

IT\

£l_

zn

om

£°

rg,

\0X

⁷3° \

Cs.-

psy

2°\

ęi

ni

\ 2s

P°

L°!

no

'3s

BY

rQ°

■2°

Bs

B"i

c°

0°)

Ot"

■qs

P°°

⁹7

/ó

Ze

P_

te

Bk

Ok

Ох у

63

he

YLs

eg,

rś I

ici ei.

si

0'

Cerj

Rys. 283.

Rys. 283 zawiera konstrukcję elipsy e% jako perspektywy południka e₇, i konstrukcję hiperboli r\, jako perspektywy równoleżnika r₄ kuli.

Elipsę e* otrzymaliśmy zupełnie w ten sam sposób, jak elipsę r\ na rys. 282. Więc płaszczyznę e południka e₁ położyliśmy wraz z prostą zniknienia nt i kołem e₇ na tło, obracając ją około śladu tłowego te. Oko, obrócone około prostej ze (leżącej poza obrębem rysunku), zajęło na tle położenie punktu O\ Punkty C°, D⁰ i S° stanowią trójkę biegunów harmonicznie sprzężonych ze względu na koło e". Biegunowym sprzężonym c° i ze względu na koło e\ odpowie perspektywicznie para średnic sprzężonych cs i ds elipsy e*. Punktowi S° odpowiada środek elipsy.

jednym

Aby otrzymać hiperbolę r®, jako perspektywę równoleżnika r₄, wykonaliśmy kład płaszczyzny tego równoleżnika około prostej pi na tło, a także i kład oka około linji horyzontu na tło. Równoleżnik r₄, który przecina płaszczyznę zniknienia C w punktach P i Q, zajął po dokonanym kładzie położenie koła /•“, przecinającego ślad zniknienia /2® w punktach P° i Q°. Punktom tym odpowiadają perspektywicznie punkty P³² i Qa, a stycznym p° i q° do koła w punktach P° i Q° — asymptoty ps i qs hiperboli. Te ostatnie otrzymamy, kreśląc przez ślady tło we Tp i T(l proste, równoległe do promieni O°P0 i 0°Q°. Punktowi L° przecięcia się stycznych p° i q° odpowie punkt Ls przecięcia się asymptot ps i qs, czyli środek hiperboli. Prosta Is, dwusieczna kąta, zawartego między asymptotami, jest osią hiperboli, a punkt Ws przecięcia się osi z gałęzią hiperboli z jej wierzchołków. Punkt ten otrzymamy w sposób następujący : znajdziemy kład /° prostej /, łącząc jej ślad tłowy, leżący na podstawie pt, z punktem L°; prosta 1° przecina koło r\ w dwóch punktach ; dla nas ma znaczenie tylko jeden z nich, a mianowicie punkt W°, znajdujący się w obszarze obserwowanym. Punktowi temu odpowie perspektywicznie punkt Ws, szukany wierzchołek hiperboli, leżący na przecięciu się promienia 0°1E⁰ z prostą ls. Dalsze punkty hiperboli otrzymaliśmy, stosując metodę, poznaną w ustępie 87, str. 155, rysunek 214.

Rysunek 283 zawiera jeszcze elipsę e₅s, będącą perspektywą południka e.. Oczywiście, że otrzymaliśmy ją w sposób najzupełniej ten sam, co elipsę e₇s — i dlatego nie zachowaliśmy linij konstrukcyjnych na rysunku.

Linje wynikowe rysunków 282 i 283 zestawiliśmy na rys. 284, otrzymując tym sposobem perspektywę pęku południków i szeregu równoleżników kuli z punktu, znajdującego się „wewnątrz“ kuli. Perspektywy As i Bs biegunów A i В kuli otrzymamy, jako punkty przebicia się promieni O A i OB z płaszczyzną tła л.

Odcinek ASBS jest perspektywą osi kuli a prosta A„ B, perspektywą południka e₂, leżącego na płaszczyźnie widzenia O AB. Koło e®, zakre-

ślone na średnicy ASBS, jest perspektywą południka głównego e{. kuli; z linją horyzontu h schodzi się perspektywa równoleżnika

ei

ri

ri

h=ri

ri

Pi

ri

'eg

ei

frg

p_

fif

ri

ei

Gi

ei

ri

fi3

'ef

ri

kgr

'ri

rL

'As

ßs

A4

ei

rL

fi

rf_

Am,

rl

k$

rl

Os

Oś"

rl

Gź rl

rl

rl

rSLZTf

fi om

Bś

Bm

'ei

ei

BŚĄAŚ bś

ef

\ei

fiiei

/&

s'eś

ri\ri\

rfi

г el

ln

еГ

Rys. 284.

Лако praktyczną ilustrację rozpatrzonego zagadnienia, przyjąć możemy z pewnem przybliżeniem fotogram rys. 285, przedstawiający wnę-

trze Panteonu w Rzymie. Dolna część wnętrza jest walcem. Na rysunku występują hiperbole, jako perspektywy równoleżników wnętrza kopuły i poziomych kół walca.

!»

‘ li

ętj

gaf

-Ж

*Ь

•p>'

л 1 SB

am '

Rys. 285. Panteon, Rzym. WJ. fot. Alinari, Florencja.

52. Perspektywa dowolnej powierzchni obrotowej o osi pionowej, a) Sposób przybliżony. Wyobraźmy sobie jakąkolwiek powierzchnię obrotową a na niej szereg równoleżników i południków. Wykreślmy perspektywę tych linij, to krzywa, obwodząca je, będzie, z praktycznie dostatecznem przybliżeniem, zarysem pozornym danej powierzchni.

Wykreślmy w powyższy sposób perspektywę powierzchni obrotowej, o osi pionowej, której południk jest dany (rys. 286). Wysokość horyzontu zaznaczona jest na rys. 286 i wyraża się odległością linji h od punktu Sr

Uwzględniając tę wysokość, wykreślmy proste p i h (rys. 287), a na tej ostatniej przyjmijmy punkt główny Os i punkt połowy głębokości O^*. Obierzmy na linji podstawyp punkt 5", odmierzmy S?l° = r₁, S°2°=r₂, ... S"5° = r. = 5,° i połączmy punkty N,'¹, 1°, 2{\ ... 5", 5“ z punktem 0₈,

a punkt Is, przyjęty na promieniu S°Os, z punktem G^\ Prosta 4 Gy2 przetnie promień 5"0S w punkcie B's, przez który wykreślimy równoległą do p. Równoległa ta przetnie promień 5{\0, w punkcie C'; prosta, poprowadzona przez punkt Is, równolegle do linji podstawy, przetnie promień 5°Os w punkcie A's, zaś promień 5,°Os w punkcie D'. Proste As C's i B' Ds przetną się w punkcie S\ promienia Оя.

Ss

Гэ

,1.

9\

Ss

r₈

8X

: 6V

r?

7X

re

6X

Г&

Punkt ten jest perspektywą środka koła rt, stanowiącego podstawę powierzchni. Trapez A'SB' C' Ds jest perspektywą kwadratu, opisanego na kole równikowem r., rzuconem prostokątnie na płaszczyznę poziomą. Cztery dalsze współśrodkowe trapezy odnoszą 5X się do równoleżników r₄ i r₆, r3 i r₇, /•,, r, i r₈ względnie r₉, rzuconych na płaszczyznę podstawy.

Г4

r₃

3X'

r₂

2X

6°

7°

Sr

Гг

8°, 9°

5° 7°    3°    2°

W najmniejszy z tych trapezów wpiszemy elipsę rts; będzie ona perspektywą podstawy powierzchni. Zkolei podnosić będziemy współśrodkowe kwadraty, leżące na płaszczyźnie poziomej, do odpowiednich wysokości i rysować elipsy r₂s, /"g*, ... r®, jako perspektywy kół, wpisanych w te kwadraty. Owo podnoszenie wykonaliśmy w sposób następujący: na prostopadłą do linji podstawy, wykreśloną w punkcie 5°, przeniesiemy szereg punktów 5°, 2X,

Rys. 286.

3X, ... 9' z rys. 286 i rzucimy je z punktu Os na prostą, poprowadzoną w punkcie 5' równolegle do poprzedniej. Przez otrzymane tam punkty 2*, 3X, ... 9S wykreślimy proste równoległe do linji horyzontu, które przetną perspektywę ms osi powierzchni w punktach &?, S”, ... S*. Punkty te, które są perspektywą środków kół równoleżnikowych, połączymy z punktem głównym Os.

Omówmy konstrukcję perspektywy rówmoleżnika np. r*; perspek-

tywę innych otrzymamy w sposób analogiczny. Trapez E' F' G' Hjest perspektywą rzutu poziomego kwadratu, opisanego na kole r₄. Punkty 4's i 4[ rzucimy prostopadle na prostą, przechodzącą przez punkt S\ równolegle do linji horyzontu. Otrzymane punkty 4S i 4\ połączymy z punktem głównym promieniami, na które rzucimy punkty Ers F' G' i H'. Otrzymamy

9*

ms

8X>

SI

ni

₇x,

7s

Щ!

T-_;

z===?!.

W.

5X;

rt

Ds

6Ï²

Bs

8È,

Os.

Cs

4s,

Fs

Pl

\p!

Gs

4EJ4?

~Г4

4Х‘

Es

He

3&

\\У' '

Л?

3х'

Вк

Гг

j_

CŚ

\Gs

51

HS.

3s/2s

\SfP

4)

5.?

2*'

As

Ek

-r

j-

j-

j-

;Is

Hk

Ds

E '—</--<4—

5° 4°    3°    2°

1°

4.

S?

5?

Rys. 287.

trapez ESFSGSHS, w który wrysujemy elipsę r\. Podobnie otrzymamy elipsy rs₂, r\, ... r*.

Płaszczyzny, przechodzące przez oś powierzchni, przecinają równoleżniki w punktach, których miejscami geometrycznemi są południki. Jeden z tych południków leży na płaszczyźnie równoległej do tła; jego perspektywą jest lin ja, przechodząca przez punkty ls, 4S i 4% która jest

podobną, w znaczeniu geometrycznem, do południka powierzchni, danego na rysunku 286. Linja krzywa, opisana na otrzymanych równoleżnikach i południkach, czyli ich obwiednia, stanowi zarys pozorny powierzchni obrotowej.

Z'

Аж

■и

b) Inny, ogólniejszy sposób rysowania perspektywy powierzchni obrotowej, geometrycznie poprawniejszy i ściślejszy, polega na wykreśleniu zarysu istotnego a następnie dopiero zarysu pozornego powierzchni. Zarys istotny, t. j. linję styczności stożka, opisanego na powierzchni obrotowej z oka, jako wierzchołka, otrzymamy, stosując metodę stożków normalnych. W istocie swej zadanie sprowadza się do kilkakrotnego powtórzenia zadania, przedstawionego na rys. 260.

tŁ

Rys. 288.

Przyjmijmy linję horyzontu h (rysunek 290), linję podstawy p, punkt główny Os, punkty głębokości G{ i G2 i prostą as, jako perspektywę osi powierzchni. Poprowadźmy przez oś a i oko płaszczyznę cp i wykonajmy jej kład na tło. Oko padnie, po przeprowadzonym kładzie, na linję horyzontu, jako punkt O⁰. Uważajmy przyjęty na prostej as punkt C\ za perspektywę środka koła równoleżnikowego r, stanowiącego podstawę powierzchni, i połączmy go z punktem głównym promieniem, który przetnie linję podstawy p w punkcie C°₂. Wykreślmy w tym punkcie prostopadłą b° do linji podstawy. Po obrocie płaszczyzny horyzontu na tło oko zajmie położenie punktu 0\ Promień O'Cl przetnie prostą b° w punkcie C₂; łuk koła, zakreślony z punktu Cl, jako środka, promieniem C\C₂, przetnie linję podstawy w punkcie C,. Prosta a°, prostopadła w punkcie C₂ do linji podstawy, jest osią powierzchni obrotowej, sprowadzoną na tło wraz z płaszczyzną a.

Uważajmy prostą a° za rzut pionowy osi powierzchni obrotowej i wykreślmy rzut pionowy e tej powierzchni, t. j. rzut jej południka głównego. Punkt 0° będzie wierzchołkiem stożka widzenia powierzchni;

•V

ЙГ

fck

wyznaczmy rzut pionowy /' linji styczności tego stożka z powierzchnią. Rozpoczniemy od równoleżnika r,, którego rzut pionowy jest odcinkiem r[, a którego płaszczyzna a przecina tło wzdłuż prostej łn, zaś prostą V, poprowadzoną w punkcie O⁰ prostopadle do linji horyzontu — w punkcie Vx. Koło /•* jest kładem równoleżnika rx na tło, jako na pionową płaszczyznę rzutów. Z punktu V] kreślimy styczną do koła r* i punkt styczności V rzucamy prostopadle na tH = r[, gdzie otrzymamy punkt 1'. Z punktem tym schodzi się i punkt 2', który jest rzutem pionowym, symetrycznie względem płaszczyzny tła położonego punktu 2.

Rys. 289.

Zkolei bierzemy pod uwagę równoleżnik r₂, leżący na płaszczyźnie ß, którego kład na tło jest kołem r₂x. Szukamy wierzchołka W stożka obrotowego, stycznego do powierzchni obrotowej wzdłuż równoleżnika /₂, i wierzchołka Wn odpowiadającego mu stożka normalnego. Punkty 0° i W łączymy prostą; do niej kreślimy z punktu Wn prostopadłą n, przecinającą ślad tß w punkcie, łączącym w sobie rzuty 3’ i 4’ oraz punkt S₂. Dwa pierwsze są rzutami punktów zarysu istotnego; punkt S₂ jest środkiem cięciwy, ograniczonej punktami 3, 4, i leży na tle.

W analogiczny sposób znajdziemy punkt 5' == 6', jako rzut prostokątny na tło punktów 5 i 6, leżących na równoleżniku r.A. Punkt S₃ leży

<&

na

tc6

{e>

te

ts

r₄x

G2

ytf'-

rjyź*

rx

rś

r'

ni

£U±

2' \Gi

rS

\n

Win

8°

wn

Gz

a°

№_

-o

2°

•o

78'

Is / к \ is

fS₅X\10°

oïï

n\\m

1142'

г?\\Ж S^

JS

Ko

ci

IS

*%\ 19

is

S°XCz12° Se

xOl

\Z<p=ty\

\b°

ci

śf

\11s

9 o//

Rys. 290.

■o*

'O-

-43

>03

7/

чЗ

к.

"e.

42 &

s2

ę? А/.

s.

-fi

-fi

7П

Nh

‘O

Co

<0

tle i jest środkiem cięciwy 5, 6. W ten sposób, przy pomocy stożków normalnych, znajdziemy dalszą, dowolną ilość punktów, stanowiących

rzut pionowy Г linji styczności I stożka, opisanego na powierzchni obrotowej z punktu 0°. Jedynie punkt 7' = 8' = SA linji /’ wymaga uwzględnienia, że powierzchnia styczna wzdłuż równoleżnika i\ do powierzchni obrotowej nie jest stożkiem lecz walcem. Mamy tu analogon do punktu l' = 2, = S₁.

Punkt 5’ = 6' = £₃ jest punktem zwrotu pierwszego rodzaju krzywej płaskiej l'; zauważmy, że punkty 5 i 6, będące punktami zwrotu krzywej skośnej /, leżą na równoleżniku, który jest miejscem geometrycznem punktów przegięcia południków powierzchni.

л 4 li

Rys. 291.

Teraz przystąpić możemy do wykreślenia zarysu pozornego naszej powierzchni obrotowej, t. j. do wykreślenia perspektywy ls linji /, której rzut prostokątny /' na tło skonstruowaliśmy. Przedewszystkiem zauważmy, że miejscem geometrycznem środków S₂, ... cięciw 4, 2, 3, 4, ... jest linja krzywa, leżąca na płaszczyźnie y. Ponieważ płaszczyzna ta przechodzi przez oś a powierzchni i przez oko, a więc jest płaszczyzną rzucającą — zatem perspektywy S% S₂, ... punktów S,, ... leżeć będą na prostej As i na promieniach, łączących punkty Su S₂, ... z punktem 0°. Cięciwy 1,2, 3,4, ... są prostopadłe do płaszczyzny y, ich perspektywy posiadać będą jeden wspólny ślad zbiegu Z,pm, który otrzymamy, łącząc punkt A z punktem O* i kreśląc w tym ostatnim prostopadłą m do promienia 0XA; punkt przecięcia się prostej m z horyzontem jest szukanym śladem Z/°. Następnie prowadzimy prostą h\ równoległą do linji horyzontu, przecinającą prostą m, w obrębie rysunku, w punkcie Z¹. Z punktu tego, jako środka, zakreślimy, promieniem Z, Ox,

łuk koła, który przetnie prostą h¹ w punkcie M¹; rzut tego punktu na linję horyzontu z punktu Ox jest punktem mierzenia M dla prostych, mających ślad zbiegu w punkcie Z₉M.

Ponieważ punkt Z₉° leży poza obrębem płaszczyzny rysunkowej, więc użyjemy podziałek zbiegu. Jednostką podziałki u jest ósma część odcinka OsOx; podziałkę u, utworzyliśmy w ten sposób, że między linję horyzontu a prostą m wstawiliśmy odcinek, dający się również podzielić na osiem równych części, bez reszty.

2s

1s

5s 6s

Aby punkty 1, 2, 3, ... zarysu istotnego, których rzuty pionowe Ï, 2', 3', ... znamy, otrzymać w rzucie perspektywicznym, postąpimy w sposób następujący: rzucimy punkt St z punktu O⁰ na prostą As; otrzymany tam punkt S‘ połączymy z punktem Z™ prostą q•. Punkt rzucimy z punktu mierzenia M na prostą ta, gdzie odmierzymy S⁹1°=S? 2° = Stlx ; punkty 1° i 2° połączymy z punktem M promieniami, które przetną prostą ql w punktach ls i 2S. Punkty te są perspektywą punktów 1 i 2 zarysu istotnego powierzchni obrotowej, a więc punktami zarysu pozornego. Powtarzając tę konstrukcję dla każdego punktu linji Г, otrzymamy punkty, których miejscem geometrycznem jest linja Is. Tak np. punkty 7S i 8„ krzywej /s otrzymamy w sposób następujący : punkt S₄ = 7' = 8' rzucimy z punktu 0° na prostą a. i otrzymany tam punkt S₄ połączymy prostą ql z punktem Z«/⁰, a równocześnie rzucimy z punktu M na prostą U . Następnie odmierzymy S₄° 7° =    .

4s

= S°8° = Ś₄ 7* i punkty 7° i 8° rzu- / cimy z punktu M na prostą q°, gdzie l/s otrzymamy punkty 7S i 8S krzywej ls. y

Rys. 292.

Krzywa ta ma — począwszy od \ punktu ls — przebieg, uwidoczniony \ w powiększeniu na rys. 292. Posiada ona w punktach 3S, 4S, 5S i 6S punkty zwrotu. W szczególności punkty 3S i 4S są punktami zwrotu pierwszego rodzaju; odpowiadają one punktom 3 i 4, w których promienie, rzucające krzywą / z oka na tło, są styczne do tej krzywej. Punkty zwrotu drugiego rodzaju 5S i 6S, t. zw. dzioby, odpowiadają punktom zwrotu 5 i 6 zarysu istotnego powierzchni.

Wreszcie narysujemy elipsy rs, r®, ..., t. j. perspektywę równoleżników powierzchni. Opiszemy konstrukcję pierwszej z nich. Przyjęty poprzednio na prostej as punkt Q połączymy z punktem głównym 0„ promieniem, który przetnie ślad tłowy płaszczyzny równoleżnika r — w danym wypadku linję podstawy p — w punkcie C°. Odmierzymy od-

15

Bartel. Perspektywa. I.

cinki Cl7° = C₂° 77°, równe promieniowi koła/-, i rzucimy punkty 7° i/7° z punktu Os na prostą, poprowadzoną przez punkt Q, równolegle do linji podstawy. Otrzymamy punkty 7S i IIS. Wykreślimy proste przekątne Cl Gx i Cl G₂, które przetną promienie I°Os i 77° 0₈ w czterech punktach, stanowiących wierzchołki trapezu, opisanego na elipsie rs.. W analogiczny sposób postąpimy przy wyznaczaniu elipsy r“ i dalszych.

Przykładami perspektyw powierzchni obrotowych o osiach pionowych, otrzymanych drogą fotograficzną, są rysunki 288, 289 i 291.

c) Opisany wyżej sposób otrzymania zarysu pozornego powierzchni obrotowej w rzucie środkowym zastosowaliśmy na rys. 293 do kuli.

Prosta as jest perspektywą pionowej osi kuli, punkt Cs perspektywą jej środka, a prosta równoległa do linji horyzontu, śladem tlowym płaszczyzny równika. Przez oś a i oko poprowadzimy płaszczyznę cp i wykonamy jej kład na tło, a następnie punkt Cs rzucimy z punktu 0° na prostą ta, gdzie otrzymamy punkt C°.

Promień, łączący punkt główny Os z punktem Cs, przecina prostą łn w punkcie Cx, w którym kreślimy prostopadłą. Ta ostatnia przecina prostą (0)CS w punkcie (C). Oznaczmy punkt przecięcia się prostych <3S. i ta literą В i zakreślmy z tego punktu, jako środka, promieniem B(C) luk kola, aż do przecięcia się z prostą ta w punkcie (7°. Prosta a°, prostopadła w punkcie C° do prostej ta, jest kładem osi kuli na tło. Zakreślmy z punktu C°, jako środka, promieniem, równym promieniowi kuli, koło k°; z punktu 0° poprowadźmy do tego koła styczne i wykreślmy cięciwę styczności 1°2°. Tym sposobem dokonaliśmy kładu płaszczyzny (p na tło. Koło k°, punkt 0°, styczne, wykreślone z niego, do koła k° i cięciwę styczności 1°2" uważać możemy za rzut prostokątny kuli i stożka widzenia, opisanego na niej, na płaszczyznę tła, jako płaszczyznę rzutu. Środek kuli C° leży na tle, podobnie, jak wierzchołek stożka 0°.

Kład płaszczyzny horyzontu na tło sprowadzi na tło oko, które zajmie położenie punktu (O), przyczem odcinek (O) Os, prostopadły do linji horyzontu, równy jest głębokości tłowej ó. Połączmy punkt (O) z punktem A prostą i poprowadźmy do niej w punkcie (O) prostopadłą. Prostopadła ta przetnie linję horyzontu w punkcie Z", który jest śladem zbiegu prostych, prostopadłych do płaszczyzny cp. Dla dalszej konstrukcji potrzebny nam jest punkt mierzenia M, związany z punktem Z⁹⁰; otrzymamy go, jako punkt przecięcia się łuku koła, zakreślonego z punktu Z⁹⁰, jako środka, promieniem Z⁹⁰ (O), z linją horyzontu h. Ponieważ punkt Z⁹⁰ leży poza obszarem rysunkowym, postąpiliśmy podobnie, jak na rys. 260: wykreśliliśmy prostą h' // h, która przecięła prostą (O) Z⁹⁰ w punkcie Z’; z punktu tego zakreśliliśmy łuk promieniem Z’ (O)

aż do przecięcia się z prostą h’ w punkcie Mx. Prosta (0)MX przetnie linję horyzontu w szukanym punkcie mierzenia M.

Weźmy pod uwagę równoleżnik rx kuli, leżący na płaszczyźnie ß, i opiszmy wzdłuż niego stożek styczny z kulą. Wierzchołkiem tego stożka będzie punkt Wx na osi a kuli; stożek normalny, odpowiadający poprzedniemu, ma wierzchołek w punkcie C°. Połączmy punkt O⁰

'S

Cb

Co

P³

SI,

o •. ko

'o

Ob«

i-

po

S⁵

po

°5

TC'₃ Cp°8°

8e

(0)

6s

i 2st

es

2°

5*

kl

tvsZr

7X

rS

Rys. 293.

z punktem Wx prostą, a z punktu C° wykreślmy do niej prostopadłą. Ta ostatnia przejdzie przez punkt Cx, w którym cięciwa 1 °2° = e° przecina się ze śladem tłowym tß płaszczyzny ß. Równoleżnik r,, obrócony na tło około średnicy, leżącej na tle, jest kołem r,x; odcinek C°X3X, prostopadły do /*", wyraża połowę długości odcinka 3, 4, prostopadłego do płaszczyzny rysunku, którego punkty końcowe leżą na kole e. Perspektywę C\ punktu Cx znajdziemy, jako przecięcie się promienia C”0° ze śladem tłowym t₉ płaszczyzny (p. Rzuciwszy Cx z punktu M na ślad łs, otrzymamy punkt C\. Odmierzmy C\3' — C\4' — C"3X i rzućmy punkty 3' i 4' z punktu mierzenia M na prostą, łączącą punkt C\ ze

śladem Z⁹⁰. Otrzymane punkty 3s. i 4S są punktami zarysu pozornego kuli. W ten sam sposób otrzymaliśmy punkty 5S, 6S, 7S i 8S. Punkty ls i 2S, w których styczne do koła k°, poprowadzone z punktu O⁰, przecinają prostą as, są także punktami szukanego zarysu pozornego kuli w rzucie perspektywicznym. Miejscem geometrycznem wszystkich w ten sposób otrzymanych punktów jest elipsa es.

53. Perspektywa powierzchni obrotowej o osi prostopadłej do tła. a) Jeżeli oś powierzchni obrotowej jest prostopadła do tła, to zadanie wykreślenia jej perspektywy rozwiązać można w sposób, poznany przy kreśleniu zarysu pozornego powierzchni obrotowej, której oś ma położenie pionowe (ust. 52). Tak więc przez oko i oś powierzchni poprowadzimy płaszczyznę, którą następnie położymy, wraz z południkiem, na tło. Wyznaczymy rzut prostokątny linji styczności stożka, opisanego na powierzchni z oka, jako wierzchołka, a następnie linję tę znajdziemy w perspektywie.

Po wykonaniu kładu płaszczyzny <p, przechodzącej przez oko i daną oś a (rys. 294), oś ta zajmie położenie prostej a°, prostopadłej do prostej as w punkcie Ta, śladzie tłowym prostej a. Operujemy trzecią częścią głębokości tłowej, a więc kładem O₀1,s oka, zbliżonego do tła o dwie-trzecie głębokości.

Uważajmy południk, sprowadzony wskutek kładu płaszczyzny у na tło, za rzut poziomy powierzchni, a punkt 0° za rzut poziomy oka, i wykreślmy rzut poziomy linji styczności stożka, opisanego na powierzchni z punktu O. Uwzględnić musimy dwa stożki: jeden opisany i drugi wpisany, inaczej mówiąc: jeden stykający się z powierzchnią od zewnątrz, drugi od wewnątrz.

Ponieważ do konstrukcji użyć możemy tylko „zredukowanego“ oka, którego kładem jest punkt <9₀1/з, więc rozwiązanie zadania wymaga użycia podziałek zbiegu, a mianowicie u₀ i ut. Przyjąwszy jako jednostkę podziałki u₀ 10 mm, otrzymamy jednostkę podziałki u, według równ. (2), ust. 23, str. 65:

3— 1    2

—5— . 10 = -г» = ^ 6'6 mm. o    o

ai =

Styczne s₁1 s₂, wykreślone przy pomocy podziałek u₀ i u, z punktu 0° do południka wewnętrznego, stykają się z nim w punktach 1 i 2, których perspektywą ls i 2, są punkty przecięcia się tych stycznych z prostą as. Weźmy pod uwagę równoleżnik rt, którego rzutem poziomym, w wyżej założonem rozumieniu, jest odcinek I,Ix = r[, to punkt Wx, w którym styczna do południka wewnętrznego w punkcie / przecina prostą a°, jest rzutem poziomym wierzchołka stożka, stycznego do powierzchni obrotowej wzdłuż tego równoleżnika. Prostopadła, wykreślona w punkcie / do prostej I—W., przecina a° w punkcie W"; punkt W"

jest rzutem poziomym wierzchołka stożka normalnego, przy pomocy którego znajdziemy punkty zarysu powierzchni, leżące na równoleżniku rr Połączmy punkty O⁰ i prostą wx, a z punktu W[l wykreślmy do niej

OP

7.

\S*

,S,

âs.

\S3

h_

'■/Os

1.

a°

Li

S'

1уЛЛ1У2 5

6s

10

ri

LÈ.

71.

\\

72

7s,

N six

13

13s

7"

3"i

Vs

U1

Mf/Sf

rl

\2

ТаУМ!

7s/

Wi

Wz

Si

Mi

Li

Пг

да

П/

г?

17/

O/Vz.

ж/

ci,

Пг

7'=S'

12

Si

'ri

13

5'

Cy

я°

'Uo=ćLs

II

Rys. 294.

prostopadłą ny, która przetnie r\ w punkcie Mx. Punkt ten oznaczyliśmy równocześnie liczbami 3’ i 4'. W istocie bowiem, w punkcie tym schodzą się z punktem Mx rzuty poziome leżących na równoleżniku rx punktów 3 i 4 zarysu istotnego powierzchni obrotowej ; punkt Mx jest środkiem cięciwy 3, 4 i leży na tle, jako na poziomej płaszczyźnie rzutów.

Uważajmy tło za rzutnię pionową a prostą as za oś rzutów i znajdźmy rzut pionowy punktów Мг, 3 i 4. Punkt M'[ leżeć będzie na osi a,, dla wyznaczenia zaś punktów 5" i 4" obrócimy równoleżnik r{ około jego średnicy /, 7, na płaszczyznę poziomą rzutów, otrzymując koło /•*. Odcinek M₁4x, prostopadły do r[, wyraża kład odcinka Mx 4, prostopadłego do rzutni poziomej, na tę rzutnię. Odmierzywszy M" 3” = M'[4” = Mx 4x,

::

rł

/А

otrzymamy rzut pionowy punktów 3 i 4. Celem wyznaczenia ich perspektywy rzucimy punkt Mx z punktu 0°, a więc przy pomocy podziałek щ i щ, na a.s; w otrzymanym tam punkcie M\ wykreślimy prostopadłą do as i na nią rzucimy z punktu głównego punkty 3" i 4". Otrzymane punkty 5S. i 4S są punktami zarysu pozornego danej powierzchni obrotowej.

Rys. 295.

Przy pomocy następnych równoleżników znajdziemy dalsze punkty linji l\, stanowiącej rzut poziomy linji styczności stożka, opisanego na wewnętrznej stronie powierzchni obrotowej, a następnie perspektywę tych punktów, których miejscem geometrycznem będzie krzywa l\.

W analogiczny sposób wyznaczymy rzut poziomy /' linji styczności stożka, opisanego na zewnętrznej stronie powierzchni obrotowej, i jej perspektywę /*. Konstrukcję punktów 5, 6 i 7, 8 tych linij podaliśmy na rysunku.

Pozostają do wykreślenia perspektywy kół rs, r₄ i r., których płaszczyzny są równoległe do tła. Rzuty poziome tych kół są odcinkami /*3, r' i r', prostopadłemi do prostej a°. Punkty S'* i &?, które otrzymamy na prostej as, jako rzut punktów S{ i S₂ z punktu 0“, są środkami kół r₃s, r;s' i rf. Promienie tych kół otrzymamy, rzuciwszy punkty А, В i C z punktu 0° na prostą ая. Promień koła r₃s równy jest odcinkowi S? A promień koła r₄s równy odcinkowi S?Bs, a wreszcie promień koła r* równy odcinkowi Sf Cs.

b) Inny sposób otrzymania zarysu pozornego powierzchni obrotowej o osi prostopadłej do tła opiera się na następującem rozumowaniu : płaszczyzny równoleżnikowe są równoległe do tła, a więc perspektywy równoleżników będą kołami. Opiszmy wzdłuż tych równoleżników stożki Ф , Ф₂, ..., styczne do powierzchni obrotowej. Wierzchołki TPj,

... tych stożków leżeć będą na osi a powierzchni obrotowej. Jeżeli wykreślimy perspektywy r;% /•*, ... równoleżników rx, r,, ... i perspektywy Wx, W*, ... wierzchołków Wu W.,, ... stożków Фх, Ф,, ... — to styczne as, bs; c₈, ds; ..., wykreślone z punktów Wx\ W*, ... do kół r;\ r;% ... tworzą wraz z terni kołami zarysy pozorne stożków Фх, Ф.,, ...

W₂,

Gi

a?

Os

\qi as,

45°

5°LL/

Ж/

3°

qf

Cs,

Cs,

\1s

Vf,

Wi

-Is

As

A°

ri

rf

\ \x

Bs/'

Ар/Ip

ly\jlp j/Zp i J/Sp

P_

P_

Гг

Ds

£9

e°'

ofönj

//Bp=4p

ds

S°

4P

а⁰

Rys. 296.

Punkty As, Bs; Cs, Ds; ..., w których proste as, bs, ... stykają się z kołami rx, r*, ... są punktami szukanego zarysu pozornego powierzchni.

Przystąpmy do konstrukcyjnego rozwiązania zadania, biorąc, jako jego przedmiot, kulę (rys. 296). Przez oś a powierzchni poprowadzimy płaszczyznę poziomą i wykonamy jej kład na tło, wraz z przyjętym na niej południkiem e (w naszym przykładzie kołem). Oś a zajmie położenie prostej a", prostopadłej w punkcie Ta, t. j. jej śladzie tłowym, do linji podstawy p\ kład południka e będzie kołem e°.

Zkolei wykreślimy perspektywę es południka e, a to za pośrednictwem prostych, równoległych do linji podstawy a przecinających krzywą e° w punktach 1°, 2°; 5°, 4°; ... Perspektywy tych prostych po-

zostaną równoległe do linji podstawy, a miejscem geometrycznem leżących na nich punktów ls, 2S, 3S, 4S, ... będzie krzywa es (w naszym

GÏ²

-O-

<3.6

przykładzie elipsa). Koła r;\ -ßL r₂s, ..., zakreślone z punktów /s, IIS, ... jako środków, na średnicach 1S2S, 5,6,, ... są perspektywą równoleżników r,, r₂, ... powierzchni obrotowej.

Ä,

'Ga

(As

Sp

Cp

i/A°

c°

s°

a°

e°

\ß°

Styczna s°, wykreślona np. w punkcie 6° do krzywej e°, przecina prostą a° w punkcie Wn, który jest kładem wierzchołka stożka Ф₂, p stycznego do naszej powierzchni obrotowej wzdłuż koła t*₂. Przy pomocy np. prostej przekątnej, poprowadzonej przez punkt WP, wyznaczymy punkt Wp, z którego wykreślimy styczne cs i d₈ do koła r*. Styczne te są tworzącemi zarysu pozornego stożka Ф₂, a ich punkty styczności Cs i Ds punktami szukanego zarysu pozornego powierzchni obrotowej. Ponieważ proste s° i ss przecinają się w punkcie Ts na linji podstawy p, więc, łącząc punkt Ts z punktem 6S prostą ss, otrzymamy na prostej as punkt Wfr wprost, bez pośrednictwa punktu W„.

Rys. 297.

Powtarzając powyższą konstrukcję dowolną ilość razy, otrzymamy odpowiednią ilość punktów szukanego zarysu pozornego powierzchni obrotowej.

Na uwagę zasługują punkty tego zarysu, leżące na prostej as. Aby wyznaczyć je, wyobraźmy sobie, że przez oko i oś a poprowadziliśmy płaszczyznę qo, która przetnie powierzchnię wzdłuż południka e,. Styczne,

poprowadzone z oka do tego południka, przetną oś a w punktach Q, i a prostą as w szukanych punktach Q® i Qs₂. Obróćmy płaszczyznę (p, wraz z promieniem głównym, okiem i południkiem et, około osi a powierzchni tak, aby zajęła położenie poziome, t. j. zeszła się z płaszczyzną południka e. Podczas tego obrotu punkt główny zakreśli łuk koła o środku Ta i o promieniu, równym odcinkowi TaOs, padając na linję podstawy p, jako punkt O®. Równocześnie oko zakreśli na płaszczyźnie zniknienia łuk koła o promieniu, równym poprzedniemu, i padnie na ślad zniknienia, jako punkt On. Jeżeli tło uważać będziemy za pionową płaszczyznę rzutów, to rzut pionowy 0 "n punktu On zejdzie się z punktem O®. Styczne qx i q₂, poprowadzone z punktu On do południka e, przetną oś a w punktach Qx i Q,. Ponieważ punkt On leży na śladzie zniknienia, więc jego perspektywą będzie punkt niewłaściwy, określony kierunkiem 00„ = q. Perspektywą prostych qx i q₂ są proste <7® i q₂, równoległe do siebie i równoległe do promienia OsO,[ = q", styczne do krzywej es i przecinające prostą as w szukanych punktach Q® i Q®.

Dodajmy wkońcu, że prosta as jest osią symetrji prostokątnej zarysu pozornego powierzchni obrotowej.

W rys. 297 powtórzono powyższe zadanie, otrzymując zarys pozorny powierzchni obrotowej, której południkiem jest krzywa e°; pominięto przytem szczegóły konstrukcji, jako pokrywającej się z konstrukcją, podaną w rys. 296. Rys. 295 przedstawia perspektywę powierzchni obrotowej, o osi prostopadłej do tła, otrzymaną drogą fotograficzną.

na

na

c) Zadanie wykreślenia perspektywy powierzchni obrotowej, której oś ma położenie prostopadłe do tła, rozwiązać można jeszcze w sposób następujący: przez oko i przez oś a powierzchni poprowadzimy płaszczyznę i wraz z otrzymanym na niej południkiem obrócimy ją, około jej śladu tłowego, na tło. Oś a zajmie położenie prostej a° (rys. 298), prostopadłej do a., w śladzie tłowym Ta, oko zaś padnie na tło, jako punkt 0°, przyczem odcinek 0"0S, prostopadły do ą„ jest równy głębokości tłowej. Podobnie, jak w przykładzie na rys. 296, poprowadzimy przez punkty/⁰, 1Г, ... proste, prostopadłe do prostej a", które przetną południk e° w punktach 1°, 2°; 5°, 4°; ... Rzućmy punkty 7°, Г i 2" z punktu O⁰ na prostą as, to koło r®, zakreślone z punktu jako środka, średnicy 1S2S, jest perspektywą równoleżnika r, powierzchni obrotowej. W ten sposób otrzymamy dowolną ilość równoleżników powierzchni, poczem wyznaczymy perspektywy wierzchołków stożków, opisanych powierzchni obrotowej wzdłuż tych równoleżników. Tak np. styczne w punktach 5° i 4n do południka e° przecinają się w punkcie Wh na prostej a°. Punkt W}\ rzucimy z punktu 0° na prostą as, otrzymując tam punkt W!It z którego następnie kreślimy styczne cs i da do koła r®. Punkty

styczności Cs i Da są punktami zarysu pozornego powierzchni obrotowej — w naszym przypadku kuli.

Punkty i linji zarysu, leżące na prostej as, otrzymamy, jako punkty przecięcia się prostej as ze stycznemi q" i q", wykreślonemi z punktu 0° do krzywej e⁽⁾.

0°

Os

ri

Чч Bs

3s

[Se

rt

lös

1s

q.l

\b

De,

/ao

3°l

Isx

As

WŁ

e°

4\°.

~CŚ

w!

Cs

1°

Ль

Гг

/ao

r?

Q?

\4°

S⁰/

Rys. 298.

54. Perspektywa powierzchni obrotowej, której oś ma dowolne położenie w przestrzeni, a) Znamy perspektywę ая osi i jej

ślady Ta i Z., (rys. 299); znamy położenie punktu głównego Os, głębo-

Sk”

co

'Î'H.

c:

Kl

VS

*c

~c'

’<tL.

<o'

"oZLY

PS

<0

C«

X?^

tco

c2

JO

CO

CO

4h

cS.

oo

KS|

■OCNJ

.cp

>&,

c?

ŚM

to

coVfC

"cf

*50

\t?

^CO

/ coio

raL^o

рд\

to?

-G

cS

4j

*o

HÎT

'll

N

III

ta,

%/

/ //&

<&

K'

uM

et

>\

oP\

z3'10'

Г/

ri

10*

11'

ГсзЦ

■G

cb

tr_iœ_

S°5

fo

tyr=Zyr

Rys. 299.

"r^-

8 k /

Ы* ¹

kość tłową d i południk powierzchni. W istocie swe] rozwiązanie zadania nie wymaga żadnych nowych koncepcyj poza temi, które poznaliśmy dotychczas. W szczególności zachodzi tu analogja z zadaniem, rozpatrzo-nem w ustępie 52, rys. 290.

Przez oko i oś a powierzchni poprowadzimy płaszczyznę ip i wykonamy jej kład na tło. Oko zajmie położenie punktu 0°, oś położenie prostej a°, równoległej do promienia 0{)Za, a południk k powierzchni, leżący na płaszczyźnie 1/1, będzie krzywą k°. Uważając krzywą tę za rzut prostokątny powierzchni obrotowej na płaszczyznę \p, sprowadzoną za-pomocą obrotu około śladu tv na tło, wyznaczmy rzut prostokątny 4 linji styczności / stożka, opisanego na powierzchni obrotowej, z punktu 0\ jako wierzchołka. Punkty tej linji otrzymamy przy pomocy stożków normalnych, podobnie, jak w przykładach poprzednich (rys. 290, 293).

Tak np. punkt W prostej a° jest wierzchołkiem stożka, stycznego do powierzchni wzdłuż równoleżnika rH, a punkt W" wierzchołkiem stożka normalnego; prosta n, wykreślona z W" prostopadle do promienia, łączącego punkty 0° i W, przetnie prostą d' w punkcie 5' = 6' krzywej Koło r* jest równoleżnikiem i\v sprowadzonym na tło przez obrót około prostej d'; odcinek 5X5', prostopadły do i\, wyraża prawdziwą odległość punktu 5 od tła, równą takiejże odległości punktu 6.

Przy wyznaczeniu punktu 3' = 4' krzywej Г uwzględnić musimy fakt, że odpowiadające mu punkty 3 i 4 leżą na kole szyj nem r₂ i że wzdłuż tego koła styczny jest do powierzchni nie stożek lecz walec obrotowy. Prosta c przecina promień 0°Za w punkcie R, z którego poprowadzimy do koła r₂x styczną; punkt styczności 3x rzucimy następnie na prostą c', gdzie otrzymamy punkt 3'^4'.

Proste b', ć, d' ... przecinają prostą as w punktach T„, Tc, Td, ... przez które przejdą ślady tłowe tß, tr, td ... płaszczyzn równoleżnikowych, mających wspólny ślad zbiegu zß = zr =zó. Ślad ten znajdziemy w ten sposób, że punkt główny O, połączymy z punktem Z,., J_ do promienia OsZa poprowadzimy prostopadłą, na której odmierzymy OsÖx = ó. Punkt Oy połączymy z punktem Za promieniem, do którego poprowadzimy prostopadłą w punkcie Ox. Prostopadła ta przetnie prostą Za08 w punkcie A, przez który przejdzie ślad zbiegu zß = zy = Zö, równoległy do prostej OsO\

Zkolei znajdziemy ślad zbiegu Z,r⁹⁰ prostych, prostopadłych do płaszczyzny Ślad ten jest punktem przecięcia się promienia, wykreślonego w punkcie (O) prostopadle do prostej Ax(0), z prostą zß. Punkt mierzenia M, związany z kierunkiem Zv,⁹⁰, znajdziemy podobnie, jak na rys. 289.

Teraz możemy przystąpić do znalezienia punktów 1₈, 2S, 3S, ... linji 4, t. j. punktów zarysu pozornego powierzchni. Opiszemy sposób otrzymania punktów 5S i 6N. Punkt S:i = 5' = 6' rzucimy z punktu 0° na prostą as i otrzymany tam punkt Ss₃ połączymy z punktem Z,⁹⁰ prostą ql. Następnie rzucimy S\ z punktu mierzenia M na ślad tłowy t₍₎, jako punkt S°s; odmierzymy S°s5° = S°s6u = 5X 5' i punkty 5° i 6° rzucimy z punktu M na prostą qs₃; otrzymane tam punkty 5, i 6S są punktami linji /,. W analogiczny sposób znajdziemy żądaną ilość punktów krzywej ls.

Perspektywą równoleżników powierzchni obrotowej są elipsy r% i\,... Opiszemy konstrukcję pierwszej z nich. Punkt Cx rzucimy z punktu O0 na prostą as, gdzie otrzymamy punkt C\. Punkt ten połączymy z punktem A prostą, która przetnie prostą tß w punkcie C\. Odcinamy C\P= C\II

Zs

3-

Ul

as^uo

2-

Śs

ist

Za^ta.

1*

0¹oĄ

Л\ Os

W?

1s

a.

Mf

Pt

\h

1"

Mi

IZ

Гг

Мг

4"

(я

3-

Es

Mi-8s

Miss —V

6 пр\Мг,

Fs

3X

T2

MhJt5

4-

rs 3-

MF

rś

Мэ

rï

Wi

Г4

5-

as

Im

/X

EF

SÏ

~п7[

FF rï

Rys. 300.

i równe promieniowi koła i\. Punkty P i IP połączymy z punktem A, zaś punkt C\ ze znalezionym punktem przekątnym Z?⁴⁵ płaszczyzn równoleżnikowych; przypomnijmy, że АО = AZ;Aa. 'W punktach przecięcia się prostej C\ZP z promieniami AP i A IP poprowadzimy równoległe do śladu tß, a w otrzymany tym sposobem trapez wpiszemy elipsę r\.

b) Rys. 300 podaje konstrukcję perspektywy powierzchni obrotowej, której oś, nachylona do tła, leży na głównej płaszczyźnie pionu a. Położenie tej osi określone jest jej perspektywą as i jej kładem a° na tło, uzyskanym przez wykonanie kładu płaszczyzny a. Operujemy czwartą częścią głębokości tłowej. Kreślimy rzut prostokątny powierzchni

na tło, pokrywający się z kładem na tło południka, znajdującego się na płaszczyźnie a. Przy pomocy stożków normalnych znajdziemy linję

t. j. rzut prostokątny linji styczności stożka, opisanego na powierzchni obrotowej, z punktu 0°. Krzywą t. j. zarys pozorny powierzchni obrotowej, otrzymamy podobnie, jak w przykładach na rys. 290, 293,    299. Więc np. punkt

Гу

Rys. 301.

Mx = l' = 2’ rzucimy z punktu O⁰ na prostą as; przez otrzymany punkt M8 i przez punkt M{ prowadzimy proste, prostopadłe do prostej as. Na drugiej z nich odmierzymy M'[l" — M”2" = Iх 1' i punkty 1" i 2" rzucimy z punktu głównego Os na pierwszą. Punkty ls i 2S są punktami krzywej Is. Punktom styczności 3' = 4' i 7' = 8' promieni, poprowadzonych z punktu 0° stycznie do krzywej /', odpowiedzą punkty zwrotu 3S, 4, i 7S, 8S linji Równoleżniki powierzchni obrotowej leżą na płaszczyznach, prostopadłych do osi powierzchni. Ślad zbiegu z, tych płaszczyzn znajdziemy w następujący sposób : z punktu O₀'!i wykreślimy prostopadle do prostej a° promień (opuszczony na rysunku), który przetnie prostą a„ w pewnym punkcie. Oznaczmy oddalenie tego punktu od punktu 0.s, literą n i odmierzmy OsÄ— 4n\ ślad zbiegu ze przejdzie przez punkt A, prostopadle do prostej as. Konstrukcję trapezu, w który wpisana jest następnie elipsa r⁸., jako perspektywa równoleżnika r₅, odtworzy czytelnik bezpośrednio z rysunku.

Praktyczną ilustracją zagadnienia, rozpatrzonego w rys. 300, jest fotogram, przedstawiony na rys. 301.

* -jÿjU

,Г-

I 1Ш!

Rozdział V.

Perspektywa obrazów odbitych w zwierciadłach płaskich.

55. Prawo odbicia. Weźmy pod uwagę zwierciadło płaskie z i punkt A, leżący zewnątrz (rys. 303). Promień światła s,, przechodzący przez punkt A, odbija się w punkcie Px od zwierciadła i jako promień s® dochodzi do naszego oka. Prosta ax, prostopadła w punkcie Px do płaszczyzny zwierciadła, czyli t. zw. prostopadła padania, tworzy, jak wiadomo, z promieniem padającym sx i odbitym s® równe kąty a. Jeżeli kąt, jaki promień sx tworzy z prostą at, nazwiemy kątem padania, a kąt, zawarty między promieniem odbitym s® a prostopadłą padania, kątem odbicia, to podstawowe prawo odbicia wyrazi się zdaniem: kąt padania równy jest kątowi odbicia. Promień padający, prostopadła padania i promień odbity leżą na jednej płaszczyźnie, prostopadłej do płaszczyzny zwierciadła.

s?

3)

s*

Рг

аг

Si

\A

Rys. 303.

Ss

Ao

Prawo odbicia stosuje się do każdego promienia, przechodzącego przez punkt A, a więc i do promienia s.,. Przedłużone promienie odbite s j i ej przetną się w punkcie A₀, który stanowi pozorny obraz punktu A. Promień, łączący punkt A i jego obraz A₀, t. z w. promień główny, jest prostopadły do płaszczyzny zwierciadła. Odległość obrazu pozornego A₀ od zwierciadła równa jest odległości punktu A od zwierciadła, czyli: A^~M=MA.

Rys. 304 podaje — nie wymagającą dalszych wyjaśnień — konstrukcję obrazu pozornego punktu A, odbitego w zwierciedle poziomem.

Fotogramy rys. 305 i 320 są praktycznemi przykładami powyższego elementarnego zagadnienia.

f\ \Ц

Ijl

-J

pp

P fP 'M-

sip Mr,

Ш,

iS¹*,

f t 'Л-А - • - •

JJ

i?

Zm

Zm

—— LOS,'

__

■f

Rys. 304.

лчч

■M

'/■ ;—*.....:y :ikMa

'(Ê

111

r i\UV, РГ,

. ;    ■! •: ii si 11

jSSSSk

1Й

I*

Rys. 305. Poniemuń, Litwa.

56. Przykłady odbić w zwierciadłach pionowych.

;/2

Os

z~

oddalone

P_

1.    Wyznaczyć odbicie się parkietu podłogi w ścianie czołowej wnętrza pokoju, która jest zwierciadłem (rys. 306). Posłużymy się częściowym punktem oddalenia Z₄₅1/2 i przy jego po- ZZś mocy wykreślimy perspektywę posadzki, złożonej z kwadratów. Odbity obraz w zwierciedle, przystający do ornamentu posadzki, przedstawi się w perspektywie, jako jej przedłużenie, bardziej od oka.

Rys. 306.

2.    Wykreślić perspektywę odbicia się ornamentu podłogi w lewej ścianie lustrzanej wnętrza (rys. 307). Rozwiązanie zadania sprowadza się do wykreślenia przedłużonego ku śladowi zbiegu Zl ornamentu podłogi.

3.    Wykonać zadanie poprzednie, gdy boki kwadratów, stanowiących ornament, są równoległe względnie prostopadłe do tła (rys. 308 i 309).

Dla szybszego zorjentowania się weźmy pod uwagę rzut poziomy całego układu (rys. 308).

Prosta p jest śladem tła na płaszczyźnie poziomej, proste a i b śladami ścian bocznych wnętrza, punkt O' rzutem poziomym oka, punkt Os

m_ zYy mv\ Osk

bE

h.

P’

bs

as

mi

P_

P_

0|c\i 0ч

i. 307.

rzutem poziomym punktu głównego. Jeżeli A, B, C, D jest jednym kwadratem ornamentu podłogi, to kwadrat A₀B₀C₀D₀ jest jego obrazem, odbitym w zwierciedle a. Promień poziomy, wyprowadzony z o-ka równolegle do a, przebija tło w punkcie Z, który jest śladem zbiegu poziomych promieni, równoległych do zwierciadła. Punkt Z₄, w którym promień, równoległy do prostej b, przebije tło, jest śladem zbiegu prostych, prostopadłych do kierunku a. Ślad zbiegu Z,, prostych

16

Bartel. Perspektywa. I.

równoległych do prostej p, jest punktem niewłaściwym horyzontu. Śladem zbiegu Z₃ promieni prostopadłych do prostej p jest punkt główny Os.

Promień, poprowadzony z oka równolegle do A₀ — B₀, wyraża kierunek odbitych w zwierciedle prostych, równoległych do prostej p. Punkt Z\,

Cot

Bo

Od

,A°/

'cl

Zł Ol

Z'

p_

zi'

Zi /Zi'

90<

zrso°

а Vх

Zl°

cc

0r

Rys. 308.

w którym promień ten przetnie horyzont, jest śladem zbiegu tego kierunku, a punkt ZX — tego śladu rzutem poziomym. Promień prostopadły do O — Z\, czyli równoległy do kierunku B₀C₀, t. j. do kierunku odbitych w zwierciedle prostych, prostopadłych do prostej p, przetnie horyzont w punkcie Z°s, który jest śladem zbiegu wszystkich prostych o kierunku prostej B₀C₀. Tak więc punkty Z\ i Z\ są śladami zbiegu odbitych w zwierciedle kierunków : pierwszy kierunku równoległego a drugi prostopadłego do linji podstawy p.

0°

cc

cc

*Zi

so°.

90⁰

Os

Z45

'bo

Za

Perspektywiczne rozwiązanie naszego zadania podaje rys. 309. Wychodząc z danego punktu głównego Os i śladu zbiegu Z, przy znanem oddaleniu tłowem, znajdziemy ślad zbiegu Zx prostych, prostopadłych do pierwszego kierunku, po-czem, odmierzywszy kąty ZO°Zl = a i Z{O₀Zl = a, równe kątowi nachylenia do tła prostych, równoległych do kierunku O Z, otrzymamy ślady zbiegu Z\ i Z\, które stanowią    Z i /7?

b§

o rozwiązaniu zadania.

äs

Ós

P_

Punkty, w których perspektywy prostych, rów-noległych do tła, przecina-ją prostą as, łączymy ze

śladem Z\, a punkty prze- ł.--

Rys. 309.

cięcia się obrazów perspektywicznych prostych, prostopadłych do tła, z prostą as — ze śladem Z\ — otrzymując perspektywy odbić tych prostych w zwierciedle.

4. Wyznaczyć perspektywę pionowego odcinka A B, odbitego w zwierciedle, umieszczonem na ścianie czołowej (rys. 310). Ponieważ — jak wia-

Г'?

‘’A’ i

4\

Rys. 310.

y-

/А

<2L

■;V

VA;

'"W.\ У- h , ViV«' .-тПГ'~.

ШтмрШ1 Щ

vr

) J>‘ ** N

/>

:■

«ifî

|f

llj

i:

■A

•"■S'a

B0L

5?

il

■■

I ti

ts

Karol Larsson. W zwierciedle. Klisza F. Bruckmanna, Monachjum.

domo — odległość odbitego obrazu punktu od zwierciadła równa jest odległości punktu od tegoż zwierciadła, więc obraz odcinka AB będzie odcinkiem pionowym, leżącym na płaszczyźnie cp, przechodzącej przez ten odcinek prostopadle do tła, a oddalonym od płaszczyzny zwierciadła o odległość, równą oddaleniu odcinka 45 od płaszczyzny zwierciadła. Płaszczyzna (p przetnie płaszczyznę zwierciadła w prostej 7S. — IIS ; z przy-16*

jętego na prostej, prostopadłej w punkcie O, do horyzontu, punktu dzielenia D rzucimy punkt Is na prostą As — Bs, odmierzymy Iх Ax = Iх As i punkt Ax połączymy z D. Na prostej As — Os otrzymamy punkt który jest perspektywą odbitego w zwierciedle punktu A. Odcinek AS₀BS₀, równoległy do ASBS, rozwiązuje zadanie.

r',

Oo²

Ps

-A

Os

Ax

Z?

BS

co

co

<2<s

Es

Bs

bs

Rys. 311.

Rys. 312.

5. Wykreślić perspektywę obrazu pionowego odcinka A B, odbitego w pionowem zwierciedle, znąjdującem się na lewej ścianie wnętrza (rys. 312). Przez odcinek AB poprowadzimy płaszczyznę, prostopadłą do płaszczyzny zwierciadła, i wyznaczymy ich krawędź. Perspektywą krawędzi jest prosta I, — II,. Podobnie, jak w zadaniu poprzedniem, użyjemy

punktu dzielenia D i przy jegojio-mocy znajdziemy odcinek A* B°, rozwiązujący zadanie.

6. W lewej ścianie wnętrza znajduje się otwór; ściana prawa, prostopadła do pierwszej, jest zwierciadłem ; wyznaczyć obraz odbity tego otworu (rys. 313). Przy pomocy punktu mierzenia

mierzymy na krawędzi b — od punktu P począwszy — odcinki, równe odcinkom PI i P2, otrzymując perspektywy 1* i obrazów odbitych w zwierciedle punktów 1 i 2. Dalsza konstrukcja nie wymaga szczególnych wyjaśnień; tłumaczy ją dostatecznie rysunek.

7. Wykreślić odbicie się otworu lewej ściany wnętrza w jego ścianie prawej, przy założeniu, że obie tworzą kąt mniejszy od prostego i równy

zu

-cć-

om

Njó

0s\

Mi

Z'A

MF*-

Ps

fo

r2S

мл

od-

Zs

Ós

ls

p_

2X    j* px

1$

Rys. 313.

kątowi y (rys. 314 i 315). Sytuację w rzucie poziomym podaje rys. 314, gdzie punkt Z' jest rzutem poziomym śladu zbiegu prostych poziomych, równoległych do płaszczyzny zwierciadła a, punkt Z[ rzutem poziomym śladu zbiegu prostych, prostopadłych do zwierciadła, punkt Z₂' rzutem poziomym śladu zbiegu prostych poziomych, równoległych do lewej ściany wnętrza, a wreszcie punkt Z₃' rzutem poziomym śladu zbiegu prostych, do ściany tej prostopadłych.

Ponieważ kąt padania równy jest kątowi odbicia, przeto prosta 6°, będąca odbiciem krawędzi h w zwier-ciedle, tworzy z prostą a kąt y. Ponieważ promień OZ jest równoległy do a, więc promień, wykreślony z oka, a zawierający z nim kąt y, będzie równoległy do bn i przebije tło w punkcie Z,°, którego rzutem

Zi'

Z'ś

ЁШ

1o

шЁШ

2o bo

Z' olzr zi

...

9o°\go°

Rys. 314.

P Z{

o OJ

is/

im

4Xx

co

V-

tê

'Zi

N

Co

>s

5o

ZJ-

Ps

'28 bÈ

1s

X Us

16 P¹

bs

äs

5s '

2s

Rys. 315.

poziomym jest punkt Z₂⁰', leżący poza obszarem rysunku. Punkt Z.!¹ jest śladem zbiegu prostych poziomych, równoległych do prostej b". Prostopadła, wykreślona w punkcie O do promienia OZ₂°, wyznaczy na hory-

zoncie ślad zbiegu Z₃° prostych poziomych, prostopadłych do prostej b°. Rzut poziomy tego punktu oznaczony jest na rys. 314 znakiem Z₃'. Konstrukcyjnie sprowadza się rozwiązanie naszego zadania do wyznaczenia śladów zbiegu Z₂° i Z₃°.

Przystąpmy do rysunku perspektywicznego (rys. 315). Przy danym horyzoncie, punkcie głównym O,, oddaleniu tło wem Os— O⁰ i kącie y, przyjmiemy ślad zbiegu Z, a wyznaczymy ślady Zx, Z%, Z₃, Z₂° i Z₃°. Aby otrzymać perspektywę ń₀s prostej b₀, będącej odbiciem krawędzi b, połączymy punkt ls ze śladem Z, i odmierzymy perspektywicznie równe odcinki 1SI₈ = IS1°. W tym celu rzucimy punkt Is z punktu mierzenia na prostą px, równoległą do linji podstawy/?, odniesiemy 1SIX = IX1* i punkt 1* rzucimy z punktu Mx na promień laZx, jako punkt 1₀S. Ponieważ śladem zbiegu prostej ó₀ jest punkt Z₂° (leżący w naszym przykładzie poza obszarem rysunkowym), więc łącząc go z punktem 1X), otrzymamy prostą b*. Możemy nie korzystać z punktu Z₂°, gdyż prosta ó₀s przechodzi przez punkt Ps. Prosta 2S — Z, przetnie b* w punkcie 2₀s; sposób otrzymania punktów 3₀s i 4₀s odtworzymy wprost z rysunku.

Punktowi Z₃, jako śladowi zbiegu promieni, prostopadłych do lewej ściany wnętrza, odpowiada punkt Z", jako ślad zbiegu promieni, prostopadłych do odbitego w zwierciedle obrazu tej ściany. Łączymy punkty 2% i 4* ze śladem Z₃° a punkty 5S i 6S ze śladem Zt. Otrzymane tym sposobem punkty 5₀s i 6* dopełniają rozwiązania zadania.

57. Przykłady odbić w zwierciadłach nachylonych do ściany pionowej. 1. Wykreślić odbicie ornamentu podłogi w zwierciedle, którego płaszczyzna jest prostopadła do tła. Jeżeli punkt P₀ (rys. 316) jest odbiciem punktu P w zwierciedle m, a r jest prostopadłe do p, to z uwagi na

Po

co,

cc

2d

cc

kątowi 2 a.

Tm

to, że także m jest prostopadłe do P — P₀, kąty, jakie tworzą proste m i r oraz prosta p z prostą P — P₀, są równe i równe kątowi a. Wobec tego kąt, jaki tworzy prosta p z prostą M—P₀, równy jest — jako kąt zewnętrzny trójkąta PP₀M

Rys. 316.

Kąt, jaki płaszczyzna zwierciadła tworzy z pionową ścianą boczną (rys. 317), prostopadłą do tła, przedstawia się w prawdziwej wielkości, mianowicie równy jest kątowi a, jaki prosta rs, poprowadzona w punkcie Ms prostopadle do horyzontu, zawiera z prostą ms, stanowiącą perspektywę krawędzi zwierciadła. Krawędź ta jest równoległa do tła i leży wraz z prostą r na płaszczyźnie również do tła równoległej.

Wykreśliwszy z punktu M₈ prostą q° pod kątem 2 a do linji podstawy p, względnie do prostej px, równoległej do poprzedniej, otrzymamy kierunek odbitych w zwierciedle obrazów

prostych,

wszystkich

równoległych do linji podstawy p, względnie do horyzontu h. Odmierzywszy Ms — ls =

= MS- 11 = 11-21 =

²l — ³l = • • • • i Połączywszy punkty ls₀, 2S₀,

3S₀,.... z punktem głównym, dopełnimy rozwiązania zadania, gdyż obrazy odbite prostych, prostopadłych do tła, będą w tym wypadku również do tła prostopadłe, a ich perspektywy zbiegną się w punkcie głównym.

Jasnem jest, że gdyby kąt a wynosił 45°, to obrazy prostych, równoległych do linji podstawy, byłyby pionowe.

Rys. 318 podaje to samo zadanie z tą różnicą, że krawędź przecięcia się płaszczyzny zwierciadła ze ścianą wnętrza, na której jest umieszczone, nie schodzi się z kra-

h Z45

msi

cc

Ws

Co

31

4*

Pi

2l

2ec

1o

p_

rs

777

-Ms

qs

% 3s,

4-s

Rys. 317.

Z45

5o

4o

rs

2a

wędzią a, jaką ściana ta tworzy z płaszczyzną podłogi.

2. Wykreślić perspektywę odbicia ornamentu podłogi w zwierciedle, nachylonem do ściany czołowej a równoległem do horyzontu (rys. 319). Poprowadźmy przez oko główną płaszczyznę pionu e i wyznaczmy przecięcie się jej z płaszczyzną podstawy, z tłem i z płaszczyzną zwierciadła; następnie połóżmy ją, wraz z otrzymanemi na niej punktami i prostemi, obrót około jej śladu tłowego te, na tło. Kład oka zejdzie się

ms

Os

2§'

CC

Cs

mfi

*cISa

bs

2s

i4s 5s

Rys. 318.

przez

z punktem oddalenia Z₂⁴⁵. Jeżeli zwierciadło zawiera z płaszczyzną pionową kąt a, to odchylenie od poziomu odbitych w zwierciedle promieni, prostopadłych do tła, wyniesie 2 a (ust. 57, pkt. 1, rys. 316).

Punkt Z₅, w którym promień, leżący na głównej płaszczyźnie pionu, odchylony od poziomu o kąt 2 a, przebija tło, jest śladem zbiegu odbitych w zwierciedle prostych, prostopadłych do tła. Odbicia prostych, równoległych do linji podstawy, pozostają do niej równoległe.

Wykreśliwszy z punktu Z₂⁴⁵ prostopadłą do prostej q, a więc prostą, nachyloną do horyzontu pod kątem a, otrzymamy na ślad zbiegu Z3 promieni prostopadłych do zwierciadła. Prostopadła, poprowadzona w punkcie Z₂⁴⁵ do promienia Z₂⁴⁵— Z₃, przetnie 2e w punkcie Z₄, który jest śladem zbiegu prostych, równoległych do krawędzi bocznych zwierciadła; przez punkt Z₄ przejdą więc także proste m,s. i ns. Prosta po-

"o

O'

»    4)

-S Ni

I\)ę,

1з

Os

Zf⁵ h

//

CDs

cc.

Z4

Rys. 319.

zioma z, poprowadzona przez ślad Z₅, jest śladem zbiegu odbitego w zwierciedle obrazu płaszczyzny poziomej. Koło, zakreślone z punktu Z₀, jako środka, promieniem ZbZ^b, przetnie prostą z w punktach^⁰ i Z₂°, które są śladami zbiegu odbitych w zwierciedle obrazów prostych poziomych, nachylonych do tła pod 45°, względnie 135°.

Znajomość punktu Z₅ i np. śladu Zj⁰ umożliwia wyznaczenie perspektywy odbitego w zwierciedle obrazu ornamentu podłogi, jak nas o tern poucza rysunek 319.

3. Na ścianie bocznej danego wnętrza wisi zwierciadło, nachylone do niej pod kątem a. Wykreślić perspektywę odbitej w zwierciedle szachownicy parkietu posadzki (rys. 321). Podobnie, jak w zadaniu poprzed-niem, poprowadzimy przez oko płaszczyznę pionową e, prostopadłą do płaszczyzny zwierciadła, poczem obrócimy ją około jej śladu tłowego tf, przechodzącego przez ślad zbiegu Zx, na tło. Oko zejdzie się po tym

obrocie z punktem mierzenia Mx. W ten sam, co w rys. 319, sposób znajdziemy ślad zbiegu Z₃ promieni prostopadłych do zwierciadła i ślad zbiegu Z₄ prostych, równoległych do jego krawędzi bocznych. Wreszcie znajdziemy punkt Zh, jako ślad zbiegu odbitych w zwierciedle obrazów linij prostych, prostopadłych do ściany, na której wisi zwierciadło.

шшш    .

$ тш.

_lJL

•Vû

■1=^

ét

u-r.— -гчг>

f"

.1

•i* i    ‘

rfu 9 .<

f-.i

■ ■< T

V

t - p

i-i

i'

j W

- )• *•

iC.

Rys. 320.

Klisza F. Bruckmanna, Monachjum

Niechaj prosta ds będzie perspektywą krawędzi płaszczyzny zwierciadła z lewą ścianą wnętrza, to prosta Ds — Es — Z₄ stanowi perspektywę krawędzi, jaką tworzy płaszczyzna zwierciadła z drugą, prawą, ścianą wnętrza. Prosta es, łącząca ślad zbiegu Z₂ z punktem Es, jest perspektywą prostej przecięcia się płaszczyzny zwierciadła z płaszczyzną podstawy (podłogi). Prosta, łącząca punkt Es ze śladem zbiegu Zb, jest perspektywą odbitej w zwierciedle krawędzi b\ proste, łączące punkty /„ Il₈, /Д., ... ze śladem Zb, są perspektywami odbitych w zwierciedle prostych, równoległych do krawędzi b.

Celem wyznaczenia perspektywy odbitych w zwierciedle prostych, równoległych do krawędzi a, a więc prostopadłych do krawędzi b, rozpatrzmy rys. 322. Prosta b₀ jest odbiciem w zwierciedle q prostej b,

o\

te^Zs

\ms

58

<r>s

'Ш

ШГШЗПП.

'Mi

Ÿ2

Ds

18.

ds

\5Î

's

A’

3s

bs

6s

âs

a punkty 1₀, 2₀, 3₀, ... obrazami punktów i, 2, 3, ... tej prostej; proste, poprowadzone z punktów 1₀, 2₀, 3₀,... równolegle do krawędzi zwierciadła, a więc równolegle do promienia O Z₄, przetną pro-Z₂ stą b w punktach Iх, 2х, 3X, ... przyczem E—1' — E—1, Г — — 2' = 1 — 2 i t. d. Szereg punktów N\ Iх, 2X,    ... uważać

P_

nx il* ]

Ж Ex

Rys. 321.

Z?

Cr-¹

bo

3o

można za odbicie szeregu N, 1, 2, ... w zwierciedle piono-wem, przechodzącem przez krawędź e, jaką tworzy nasze ukośnie położone zwierciadło z płaszczyzną podstawy. Szeregi punktów 1₀, 2₀, 5₀, ... i Iх, 2х, 3X, ... uważać tedy można za obrazy wzajemnie odbite w zwierciedle, przechodzącem przez krawędź e a nachylonem do płaszczyzny poziomej pod kątem a. Na rys. 322 zwierciadło to uzmysławia dwusieczna kąta 3XE 3₀.

2o

1o'

j* Jzx /7* ЖЕ N

fZ4

■Z#

Aby więc otrzymać perspektywy odbitych w zwierciedle prostych, równoległych do krawędzi a (rys. 321), wyznaczymy na prostej bs punkty Nsx, Iх, 2X, ... przy uwzględnieniu, że E — N=

Rys. 322.

E — Nx, N—1 = 1 — 2 = 2 — 3 =

= ... = Nx — Г = Iх — 2х =

= 2х — 3х = ... Otrzymane na prostej bs punkty Nx, Iх, 2X, ... rzucimy z punktu Z₄ na prostą Es — a punkty 2“, 3S₀, 4*₀, 5S₀ połączymy ze śladem zbiegu Z₂, dopełniając tym sposobem rozwiązania zadania.

4. Wykreślić obraz pionowego odcinka AB, odbity w zwierciedle, nachylonem do lewej ściany wnętrza pod kątem a (rys. 323). Analogicznie do zadania poprzedniego znajdziemy ślady zbiegu Z₃, Z₄ i Z₅, po-czem wykreślimy perspektywę krawędzi płaszczyzny zwierciadła z płaszczyzną e, poprowadzoną przez odcinek А В prostopadle do zwierciadła. Płaszczyzna e przecina płaszczyznę podstawy wzdłuż krawędzi, której perspektywą jest prosta Bs — Zj, płaszczyznę pionową wnętrza wzdłuż prostej, której obraz perspektywiczny określony jest punktami Is i IIS, a płaszczyznę zwierciadła wzdłuż krawędzi, której perspektywa przechodzi przez punkt IIS i ślad zbiegu Z₄.

o°AjMs

ZsN

te~Ze

Za

AsoU

Zr

ms

"Ns

OLi

\Z*

Aa '

I fCt

¹Mi

'Os-

30 о /Р

~4

Boi

so°

A-

C/s

lis

Ós

<3s

Bsy

~Te

Rys. 323.

Prosta Z₄ — IIS przecina prostą A,s. — Bs w punkcie IIIS, a promień Z₃ — As w punkcie IVS; punkt 1VS jest perspektywą punktu przebicia się promienia, wyprowadzonego z punktu A prostopadle do płaszczyzny zwierciadła, z tą płaszczyzną. Oddalenie punktu odbitego A₀ od punktu IV równe jest oddaleniu punktu A od punktu IV. Przyjmując ślad zbiegu Z₄ za punkt dzielenia, rzucimy punkt 7У„ na prostą 774 — As, odmierzymy IVх — Ax = IVх — As i punkt Ax połączymy z Z,. Punkt A* przecięcia się promieni Z₃ — As i Z₄ — A jest perspektywą odbitego w zwierciedle punktu A, prosta zaś IIIS — A;, perspektywą odbitej w zwierciedle pionowej prostej III—B. Punkt Bs, połączony ze śladem zbiegu Z₃, wyznacza na promieniu IIIS — A* punkt

Punkt Z₅ jest śladem zbiegu odbitych w zwierciedle obrazów linij prostych, prostopadłych do lewej ściany wnętrza, czyli równoległych do krawędzi b; punkt ZG, w którym prosta, poprowadzona w punkcie Ml prostopadle do promienia Z₅ — Ml5 przetnie ślad zbiegu ze, jest śladem zbiegu wszystkich prostych, stanowiących odbite obrazy prostych pionowych, t. j. prostopadłych do poprzedniego kierunku. Prosta IIIS A* B* przejdzie więc przez ślad zbiegu Z₆, leżący w naszym przypadku poza obrębem rysunku.

£=r=

■- PS ¥\4

- Pl g il a

fwi

i- ■'

И

!!

Ш1

;•

та

i; -

ii

ii

ЖУ'*

HI

a jat? .    j| 1 ЧШтвлвйЗ

____;

•yrr^n.~~

(PP

Rozdział VI.

Konstrukcja cieni.

58. Związek między perspektywą prostej a perspektywą jej rzutu prostokątnego na dowolną płaszczyznę. Wiadomo, że rzutem prostokątnym prostej a na płaszczyznę cp jest prosta, podług której płaszczyzna, przechodząca przez prostą a, prostopadła do płaszczyzny (p, tę płaszczyznę przecina.

Płaszczyzny zbiegu płaszczyzn prostopadłych do płaszczyzny (p przejdą przez promień, prostopadły do płaszczyzny zbiegu płaszczyzny rp (a przechodzący przez oko), wobec czego ślady zbiegu tych płaszczyzn przejdą przez punkt Z⁹⁰, jako ślad tego prostopadłego promienia na tle.

Aby więc wykreślić perspektywę rzutu prostokątnego prostej a, wyznaczonej śladami Ta i Za (rys. 325 a), na płaszczyznę (p, której ślady tfp i z(p są dane, znajdziemy przedewszystkiem ślad zbiegu Z⁹⁰ prostych, prostopadłych do tej płaszczyzny. Prosta za, łącząca ślad Z⁹⁰ ze śladem zbiegu Za prostej a, jest śladem zbiegu płaszczyzny o, przechodzącej przez tę prostą, prostopadle do płaszczyzny 99; ślad tłowy ta płaszczyzny a przejdzie oczywiście przez ślad tłowy Ta prostej a, równolegle do za. Krawędź płaszczyzn (p i a jest rzutem prostokątnym prostej a na płaszczyznę (p. Obrazem perspektywicznym tej krawędzi jest prosta a', łącząca punkty Za i Ta.

Rysunek z dzieła: M. Edme-Sebastian Jeaurat, Traité de Perspective, Paris 1750.

Ślad zbiegu Z'a rzutu prostokątnego a prostej a na daną płaszczyznę cp leży więc zawsze na śladzie zbiegu tej płaszczyzny, a to jako punkt przecięcia się tego śladu z prostą, łączącą ślad zbiegu Z., danej prostej ze śladem zbiegu Z⁹⁰ płaszczyzny cp. Wynika stąd, że jeżeli płaszczyzna cp jest prostopadła do tła (rys. 3256), to prosta, łącząca ślad zbiegu Za prostej a ze śladem zbiegu Z'a jej rzutu prostokątnego a na płaszczyznę cp, jest prostopadłą do śladów tej płaszczyzny.

W szczególności, jeśli płaszczyzna cp jest płaszczyzną poziomą (rys. 325 c), to ślad zbiegu Za prostej a i ślad zbiegu Z'a jej prostokątnego rzutu na tę płaszczyznę leżą na prostej, prostopadłej do horyzontu, względnie linji podstawy.

Ślad tłowy T'a rzutu prostokątnego a! prostej a na płaszczyznę cp, leży zawsze na śladzie tłowym tej płaszczyzny, a to jako punkt przecięcia się tego śladu z prostą, przechodzącą przez ślad tłowy Ta prostej a, równolegle do promienia, łączącego jej ślad zbiegu ze śladem Z⁹⁰ płaszczyzny (p. Gdy płaszczyzna cp jest poziomą, to prosta Ta — Ta, równoległa do Za —Za, jest prostopadłą do horyzontu.

Z powyższego wynika też bezpośrednio, że przy danym śladzie tłowym i śladzie zbiegu prostej wyznaczona jest równocześnie perspektywa'jej rzutu prostokątnego na dowolną płaszczyznę.

Punkt Ms (rys. 325 a i 325 6) przecięcia się prostych as. i as jest — jak to bezpośrednio widzimy — perspektywą punktu przebicia się prostej a z płaszczyzną cp. W rys. 325 c prosta a przebija płaszczyznę podstawy w punkcie Ha, który nosi zazwyczaj miano jej śladu poziomego.

Punkt P„ przyjęty na prostej as (rys. 325 a), jest perspektywą punktu P prostej a; punkt P's, w którym promień PSZ<M przecina prostą as, jest perspektywą rzutu prostokątnego P’ punktu P na płaszczy

Za

Z<f-

ty

Ta!

b.)

Ps

Ms

as Ps

Тая

as

Ms

Zao

Za

as

ka

Os

tcc,

Tl

Z'P

t<p

Ta

vZcc

<2s

w ÖS

,/Za

ty

2'a

0K

2^90

z** Ha

Os

a's

Ps

Td

Rys. 325 a, b, c.

c.)

znę cp, nachyloną do tła pod kątem co. Rzut środkowy Ps punktu P i rzut środkowy P's jego rzutu prostokątnego na daną płaszczyznę у wyznaczają położenie tego punktu w przestrzeni. W istocie bowiem, promień, łączący oko O z punktem Ps, przebija płaszczyznę cp w punkcie P\ a promień O — Ps przecina prostopadłą — poprowadzoną w punkcie P' do płaszczyzny cp — w punkcie P. Oczywiście, także rzut środkowy Ps punktu P i rzut środkowy P's jego rzutu poziomego wyznaczają położenie punktu w przestrzeni (rys. 325 c).

a.)    : a

ъРс

a'

P'

S'

<P

Ss*

ai\Ps ÔS

Z 45

-O-

b.)

®Ps

as

Ps

SŚ

P_

Rys. 326 a, b.

59. Cień punktu. Rozróżniać będziemy zasadniczo dwojakiego rodzaju oświetlenie: h środkowe, gdzie źródło światła uważane jest za punkt właściwy, więc leżący w odległości skończonej, i równoległe, w którem źródło światła uważane jest również za punkt, jednak niewłaściwy, t. j. znajdujący się w odległości nieograniczenie dalekiej. Oświetlenie środkowe odpowiada w przybliżeniu oświetleniu sztucznemu; oświetlenie równoległe — słonecznemu.

Ss

Os

Jeżeli punkt S (rys. 326 a) jest źródłem światła a punkt S' jego rzutem prostokątnym na daną płaszczyznę cp, to cień P° punktu P na tę płaszczyznę, którego rzutem prostokątnym na nią jest punkt P\ otrzymamy, jako przecięcie się promienia a światła z rzutem poziomym à tego promienia. W ten sposób otrzymany punkt Pc jest _ śladem promienia a, przechodzącego przez punkt P, z płaszczyzną cp.

¥0X

P%

aś

Se

Pś

Aby zadanie rozwiązać, w perspektywie musi być wyznaczone położenie punktu S,    g

Zf_

Rys. 327.

jako źródła światła, i punktu P, jako tego, który cień rzuca. Oba wyznaczymy ich per- ~~ spektywami Ss i Ps (rys. 327) i perspektywami Sś i P'a ich rzutów prostokątnych na płaszczyznę cp. Prosta as, łącząca punkty Ss i Ps, jest perspektywą promienia a, rzucającego cień punktu P na płaszczyznę cp, a prosta a's, łącząca punkty S's i P's, perspektywą rzutu poziomego tego promienia. Punkt przecięcia się promieni a,s. i a's jest obrazem perspektywicznym cienia P'

punktu P, na płaszczyznę cp. Perspektywę P's cienia punktu P na poziomą płaszczyznę podstawy podaje rys. 326 b. Zwróćmy uwagę, że położenie punktu Pcs nie jest zależne ani od położenia punktu głównego, ani od oddalenia tłowego, ani też od położenia i wysokości horyzontu.

a.)

'-Hr

r!

pr 5:

R'

b.)

Tr

Pa

as

rs

pŁ

Hr

i ri

Wyznaczenie cienia punktu przy oświetleniu równoległem uwarunkowane jest oczywiście znajomością kierunku światła. Jeżeli kierunek ten dany jest promieniem r (rys. 328a), którego śladem na płaszczyźnie cp jest punkt Hr, to prosta r', łącząca punkt Hr z rzutem prostokątnym R’, dowolnego punktu R promienia r na płaszczyznę cp, jest rzutem prostokątnym kierunku światła na tę płaszczyznę.

as

Pś

Zs

Tr

R_

Rys. 328 a, b.

Promień a, poprowadzony przez punkt P, równolegle do kierunku r, przetnie się ze swoim rzutem prostokątnym a' (równoległym do r') w punkcie Pc, który jest cieniem punktu P, na płaszczyznę (p. Rozwiązanie tego zadania w perspektywie, z założeniem, że płaszczyzną (p, t. j. tą, na którą cień pada, jest

Tr

Zr

Ps

Ps

Hr

as

Pr

Pa

<as

\Zs

Ps

PŚ

płaszczyzna podstawy, podaje rys. 328 b. Kierunek r światła wyznaczony jest swoim śladem tłowym Tr i śladem zbiegu, który stale oznaczać będziemy literą Zs. Położenie punktu P, o którego cień chodzi, wyznacza jego perspektywa Ps i perspektywa P's jego rzutu poziomego.

Hf

Tr

WZso

Rys. 329.

Z ustępu poprzedniego wiemy, że rzut prostokątny Z's punktu Zs na horyzont jest śladem zbiegu, a prostokątny rzut T\. śladu Tr na linję podstawy, śladem tłowym rzutu poziomego promienia r. Tak więc prosta r's jest perspektywą rzutu poziomego prostej r, punkt Zs śladem zbiegu wszystkich promieni światła, równoległych do kierunku r, a punkt Zs śladem zbiegu rzutów poziomych tych promieni. Punkt Zs nazywać będziemy stale punktem słonecznym, a punkt Zs rzutem tego punktu.

Prosta as., łącząca punkt słoneczny ZK z punktem Pa, jest perspektywą promienia a, przechodzącego przez punkt P, prosta zaś a's, łącząca rzut Zs punktu słonecznego z punktem P', jest perspektywą rzutu poziomego a promienia a. Punkt Pcs, w którym przecinają się proste as

Zs A

Z'P

âs

i a', jest obrazem perspektywicznym cienia punktu P na płaszczyznę podstawy.

Ps

as

Os

fox

Pff

Zs

Pś

/ / ty

Z90

Rys. 329 podaje uogólnienie przeprowadzonego w rys. 328 b zadania, a mianowicie cień punktu P na płaszczyznę cp, nachyloną dowolnie do tła. Podobnie, jak tam, dany jest ślad tło wy Tr i ślad zbiegu Z„ kierunku światła, a położenie punktu P oznaczone jest jego perspektywą Ps i perspektywą Pa jego rzutu prostokątnego na płaszczyznę cp.

Rys. 330.

Ślad zbiegu Z(J0 prostych, prostopadłych do płaszczyzny cp, połączymy z punktem słonecznym Zs, otrzymując na śladzie zbiegu zą punkt Z', nazwany rzu-t e m punktu słonecznego. Równoległa do Zs — Z₉₀, wykreślona przez punkt Tr, przecina ślad tłowy t₉ w punkcie Tr, który jest śladem tłowym rzutu prostokątnego r', prostej r na płaszczyznę cp. Perspektywą cienia punktu P na płaszczyznę cp jest punkt P₉ przecięcia się prostej a,, przechodzącej przez punkty Za i Ps, z prostą a', łączącą punkty P; i Z'.

Ps

as

Zs

Os

Z90\

Ps

Ps¹

Zs>

Rys. 331.

Ponieważ kierunek prostej wyznaczony jest w perspektywie jej śladem zbiegu, więc kierunek równoległych promieni światła wyznaczony jest punktem słonecznym ZN; kierunek rzutu równoległych promieni na daną płaszczyznę wyznaczony jest rzutem Z' punktu słonecznego na ślad zbiegu tej płaszczyzny. Znajomość tedy śladu tłowego Tr promienia światła r jest dla wyznaczenia perspektywy cienia punktu zbędną, a, co za tern idzie, odpada potrzeba kreślenia prostych ra i r'. Istotną konstrukcję cienia punktu P na płaszczyznę (p podaje rys. 330: dany punkt słoneczny Zs łączymy z perspektywą Ps punktu P, a rzut Zjx punktu słonecznego z punktem P', t. j. z perspektywą rzutu prostokątnego punktu P na płaszczyznę cp. Punkt P,cp, w którym przecinają się proste as i a', jest szukaną perspektywą cienia punktu P na płaszczyznę cp.

Co się tyczy położenia punktu słonecznego, to w odniesieniu do horyzontu zajmować on może trojakie położenie: może znajdować się pod horyzontem, nad horyzontem i wreszcie może być punktem niewłaściwym, oznaczonym kierunkiem.

\\ A

°°8

Jeżeli — jak w rys. 331 — punkt słoneczny leży pod horyzontem, to źródło światła znajduje się przed tłem, czyli za widzem obserwującym obraz, w następstwie czego cień oddala się od tła, a więc i od obserwatora.

Jeżeli punkt słoneczny Zs leży nad horyzon- Zs tern (rys. 332), to dowodzi, że światło pada na twarz obserwatora, że zatem źródło światła znajduje się przed rysownikiem. Wtedy też cień punktu, znaj- 7 dującego się za tłem, pada ku widzowi.

Jeżeli wreszcie założymy, że kierunek promieni światła jest równoległy do tła, to wówczas perspektywa rzutu poziomego tego kierunku jest równoległa do horyzontu, punkt słoneczny Zs i jego rzut Z' są punktami niewłaściwemi tła, wyznaczo-nemi kierunkami rs i r'Hh (rys. 333).

Gdyby punkt słoneczny leżał na horyzoncie, wskazywałoby to, że kierunek światła jest poziomy, że więc cień punktu znajduje się w odległości nieograniczenie dalekiej na płaszczyźnie podstawy. Perspektywa tego cienia leżałaby na horyzoncie. Takie oświetlenie pozbawione jest praktycznego znaczenia.

fis

as

a's

Os h

T ~7 OO

Z90

Pê

Rys. 332.

st

С.

О)

Со

\/\

й>

O',

Coq

0*1 •

Со'',

со

ЪДС

\ Дс

Rys. 334.

Rys. 333.

60. Cienie prostych. Promienie światła, przechodzące przez poszczególne punkty odcinka (rys. 334), tworzą płaszczyznę, której krawędź przecięcia z daną płaszczyzną jest cieniem odcinka na nią. Odnosi się to zarówno do oświetlenia środkowego, jak i równoległego.

A. Cienie prostych na płaszczyznę podstawy.

1. Jeżeli prosta m (rys. 335), wyznaczona śladem tłowym Tm i śladem zbiegu Zm, oświetlona jest środkowo, to, celem wyznaczenia jej cienia na płaszczyznę podstawy, znajdziemy najpierw perspektywę ms jej rzutu poziomego, a następnie cienie rzucone Tcs i Z% jej śladów. Prosta mcs, łącząca oba otrzymane punkty, jest perspektywą cienia prostej m na płaszczyznę podstawy i przechodzi przez punkt НД, t. j. przez perspektywę śladr ooziomego tej prostej.

17

Bartel. Perspektywa. T.

Rys. 335.

Rys. 336.

bowiem, cień punktu niewłaściwego prostej n na płaszczyznę podstawy jest punktem niewłaściwym tej płaszczyzny, a miejscem geometrycznem perspektyw punktów niewłaściwych płaszczyzny podstawy jest horyzont.

2. Cień odcinka А В na płaszczyznę podstawy, przy oświetleniu ś r o d-kowern, uzmysławia rys. 337; oczywiście, że cień ten przechodzi przez ślad poziomy H prostej, wyznaczonej punktami A i B.

Zs

Konstrukcję cienia prostej n, wyznaczonej śladami, oświetlonej jednak równolegle, podaje rys. 336. Wynika z niej, że perspektywa cienia punktu niewłaściwego prostej, t. j. punkt Zcs, leży na horyzoncie. W istocie

Sst

Zcs

Zn

Zs

Tn

Zm

c: я

Tm

ms

Ts,

Zs

nś.

Ts

Zn

ms

P_

Hm

'm’s

Zm

Tń

Tm

Co

sffSs

Co

Oc/>

As

As

Bs

Cö

Cor)

CO

-Ó

Ss

*v.CO

CD

"'CO

Rys. 338.

Rys. 337.

Konstrukcję cienia tego samego odcinka, przy oświetleniu równo-1 egiem, widzimy na rys. 338, a przy oświetleniu równoległem i rów-noległem do tła na rys. 339.

3. Konstrukcję cienia odcinka pionowego, przebijającego płaszczyznę podstawy w punkcie H, podają rys. 340 b — pierwszy."

Rys. 342.

Rys. 340 a, 6.

2?. Cienie prostych na płaszczyzny pionowe.

1. Cień odcinka pionowego АН na płaszczyznę pio-oświetleniu środkowem, podaje rys. 343 a ; cień odcinka

oświetleniu rów-

nową q>, przy

pionowego BH na pionową płaszczyznę ty, PIZ> noległem, widzimy na rys. 343b.

17*

przy oświetleniu środkowem, drugi przy oświetleniu równoległem. Punkt H uważać tu należy za rzut poziomy punktu A.

4. Cienie odcinka, równoległego do płaszczyzny podstawy, przedstawiają rys. 341 i 342.

As

rs

-, oo

Z-S-d,

—, ! oo

Zs

><

Aß

Aś

Bs

7\F

sĄ

L -Bs

Bs

c~

Hs

Be

Rys. 339.

’N

Co

cti

«s

Co

Z;

(on

Rys. 341.

o⁻

As

Bs

h- Zś

Л|л

Bsc

Aś

BŚ

co

Płaszczyzna podstawy, płaszczyzna (p (rys. 343a) i płaszczyzna światła, przechodząca przez odcinek А Н, przecinają się w punkcie, którego perspektywą jest punkt №s, a który jest równocześnie cieniem punktu N tego odcinka na płaszczyznę podstawy. Perspektywą punktu N jest punkt F przecięcia się promienia NcsSs z prostą ASHS.

Odcinek АН jest równoległy do płaszczyzny y, więc cień jego na tę płaszczyznę jest do niego równoległy, a ponieważ płaszczyzna у i odcinek АН są pionowe, więc i cień jego na płaszczyźnie у będzie odcinkiem pionowym, którego perspektywa A* — Ncs będzie prostopadłą do horyzontu.

Со о

■>

Со г,

Va

с->к / Q0 /

«»о

Со

Rys. 343 a, b.

2. Cień odcinka А В — poziomego i równoległego do pionowej płaszczyzny у— na tę płaszczyznę wyznaczyliśmy na rys. 344. Oczywiście, że cień ten, leżący na płaszczyźnie у i równoległy do płaszczyzny podstawy, będzie równoległy do krawędzi obu płaszczyzn, a zatem przejdzie przez ślad zbiegu Z.

Ъ-

■Oo Г

o-

Co

.'«o

Cc

'-So

//

Co

"'Is.

on/

"4

УН

Bs

Vis

Со

"«о

Rys. 344.

Rys. 345.

3. Cień dowolnie wprzestrzeni leżącego odcinka АН na. płaszczyznę pionową у wykreśliliśmy na rys. 345. Odcinek, ograniczony punktem Hs i punktem Acs, t. j. cieniem punktu A na płaszczyznę podstawy, jest cieniem odcinka АН na tę płaszczyznę. Wyznaczmy cienie Ai Щ punktów A i H na płaszczyznę y. Punkt N°, w którym

Rys. 348.

przecinają się proste Acs — Hs, A® — Щ i ślad poziomy płaszczyzny <p, jest punktem załamania się cienia, leżącego częściowo na płaszczyźnie podstawy a częściowo na płaszczyźnie (p. Punkt ten jest cieniem punktu N, którego perspektywę Ns otrzymamy, jako rzut punktu Ncs z punktu Zs na prostą As — H₈. Podobnie rzut punktu Nsc z punktu Z's na prostą A’s — Hs jest perspektywą rzutu poziomego punktu N. ^

C. Cień prostej pionowej na płaszczyznę poziomą. Jako przykłady, wykreśliliśmy cień odcin- Ss ka АН na graniastosłup prosty, stojący na płaszczyźnie podstawy, a to na rys. 346 przy oświetleniu środkowem, na rys. 347 przy oświetleniu równoległem, a na rys. 348 przy oświetleniu równoległem do tła.

Cieniem odcinka АН na płaszczyznę podstawy (rys. 346 i 347) jest odcinek ÂÏHS. Od punktu N° do M° cień leży na ścianie bocznej, po-czem pada na poziomą płaszczyznę rp. Ponieważ ta ostatnia jest równo-

Ns

Al

Hs.

As

Os

Mvr

Ns

Rys. 346.

As

Os

Zs

As

Ps

ns

Os

Hs

ZsH

Hs

Ns

Ns<

Hs

Zs

Hs

Ns

Ps As

Rys. 347.

legła do płaszczyzny podstawy, więc cienie odcinka na te obie płaszczyzny są do siebie równoległe. Perspektywy ich posiadają zatem wspólny ślad zbiegu, którym, przy oświetleniu równoległem (rys. 347), jest rzut punktu słonecznego.

D. Cień prostej, prostopadłej do płaszczyzny czołowej.

1. Odcinek AB rzuca cień tylko na płaszczyznę czołową (rys. 349). Jeżeli AJBS jest perspektywą odcinka, prostopadłego do tła, a odcinek A's Bś perspektywą jego rzutu poziomego, to perspektywą cienia odcinka iß na czołową płaszczyznę (p jest odcinek Ac(fBs, gdyż punkt Bs — według założenia — leży na płaszczyźnie go.

Rys. 349.

Rys. 350.

E. Cień prostej na płaszczyznę dowolną.

1. Cień odcinka PP\ prostopadłego w punkcie P' do danej płaszczyzny cp, na tę płaszczyznę (rys. 351), przy danym punkcie słonecznym ZH, jest odcinkiem, łączącym punkt P's z cieniem Pz punktu P.

Bs

2. Odcinek À В rzuca cień częściowo i na płaszczyznę podstawy (rys. 350). Znajdziemy cienie A\ iß; punktów A i В na płaszczyznę podstawy oraz cień Ac(p punktu A na płaszczyznę czołową cp. Oba cienie (t. z. A\Bl i Ac(fl Bs) przetną się w punkcie Np, leżącym na krawędzi płaszczyzny (p i płaszczyzny podstawy.

<p

Os

Zs

Bs " " /

’As

As

N&

Bs,

Os

Os

®7

'«O

As

Zs

/15

Zs

Ï0X

Ci

X AB

~Zs /,

Co

pi

tr\‘ \

O)

4-

Rys. 351.

Rys. 352.

2. Cień dowolnie położonego odcinka na dowolną płaszczyznę cp (rys. 352). Położenie odcinka PQ wyznaczone jest jego perspektywą P,Qs i perspektywą P’QS jego rzutu prostokątnego na —

wyznaczoną śladami — płaszczyznę cp. Punkt Ms przecięcia się obu perspektyw jest obrazem punktu przebicia się prostej PQ z płaszczyzną y; przez punkt ten przejdzie cień P;rCpp.

jis

ls

As

ZS Z45

Os

Ar

3.S

Ils A Es

as.

A/s

z:

Ms

Zs

Rys. 353.

3. Cień odcinka pionowego ÄÄ na dowolnie położoną płaszczyznę y (rys. 353). Płaszczyzna y wyznaczona jest, jako rów-noległobok, którego perspektywa 4 /4 //4IVs i perspektywa rzutu poziomego są dane. Cieniem punktu A na płaszczyznę gv jest punkt przebicia się promienia światła a, przechodzącego przez ten punkt, z tą płaszczyzną. Promień ten wyznaczony jest swą perspektywą as i perspektywą a.' swego rzutu poziomego. Płaszczyzna pionowa o, poprowadzona przez promień a, przetnie wielo-ścian, ograniczony danym równoległobokiem i jego rzutem poziomym, w trójkącie 1 — Ï — N.

Punkt Ac przecięcia się krawędzi 4 N4 z promieniem as jest cieniem punktu A na płaszczyznę y, a linja łamana A'T — N£ — A's cieniem odcinka AA'.

Zs

Zr

As

Drugim przykładem tego samego zadania jest rys. 354,

Es.

7-4

Z;

Ms

Is

Zs

7Г

Mr

""■rZs

Ms

Ls

A/s

TVs

As

Rys. 354.

^^gdzie posługujemy się śladem zbiegu Zq> płaszczyzny y. Prosta zv, łącząca punkt słoneczny Zs i jego rzut Z', jest śladem zbiegu płaszczyzny światła ą, przechodzącej przez prostą pionową A—A' i przecinającej grania-stosłup w czworokącie, którego perspektywą jest czworokąt M'f Ps Ps Np Punkt Z; jest śladem zbiegu krawędzi, jaką tworzy płaszczyzna y z płaszczyzną Г).

61. Cienie wielokątów. Płaszczyzny światła, przechodzące przez boki wielokąta, utworzą — przy oświetleniu środkowem — ostrosłup, a przy równoległem graniastosłup, którego przekrój płaszczyzną jest cieniem wielokąta na nią. Zadanie wyznaczenia cienia wielokąta na płaszczyznę sprowadza się z reguły do wyznaczenia cienia poszczególnych jego wierzchołków, względnie boków.

1. Przykład cienia prostokąta na płaszczyznę podstawy, przy oświetleniu środkowem, podaje rys. 355, przedstawiający pionową ścianę

Ss-

z otworem. Konstrukcja nie wymaga bliższych wyjaśnień. Widoczna strona ściany odwrócona jest od światła, czyli znajduje się w cieniu własnym.

As

Ds

Cs

sDs

Bs

Ы\

'ÏÏS

As

\ls

Rys. 356.

2. Cień poziomego prostokąta, którego bok leży na czołowej płaszczyźnie gp (rys. 356). Perspektywa As Bs CSDS prostokąta i perspektywa asb;c;d; jego rzutu poziomego, podobnie, jak i punkt słoneczny Zs, są dane. Rozwiązanie zadania sprowadza się do wyznaczenia cieni A i Всу punktów A i В na płaszczyznę gp. Rzecz zrozumiała, że cień A *— B° odcinka AB będzie odcinkiem równoległym do As — Bs.

As

Bs

Cs

Al

0s,

Zs

Ds

Cś

Isc

Zs.

Zs

Bs

As

Rys. 356.

3. Cień czworokąta na płaszczyznę podstawy i cień dowolnego odcinka MN na ten czworokąt, przy o-świetleniu równoległe m (rys. 357). Sprawa cienia rzuconego A% Дг C; IN czworokąta ABCD nie wymaga omawiania, gdyż konstrukcja polega na wyznaczeniu cieni poszczególnych wierzchołków na płaszczyznę podstawy. Co się tyczy cienia odcinka MN, rzuconego na płaszczyznę gp czworokąta, to znajdziemy go w sposób następujący: najpierw wykreślimy cień rzucony MfN£ tego odcinka na płaszczyznę podstawy. O ile cień ten leży w obrębie cienia rzuconego czworokąta, to odpowiadająca mu część odcinka rzuci cień na czworokąt. Część odcinka, której cie-

niem rzuconym jest odcinek Ps N'\ rzuca cień poza obszar czworokąta. Odcinek // /// jest cieniem odcinka I II, leżącego na płaszczyźnie y, którego perspektywę ISIIS otrzymamy, rzucając punkty 7/ i Щ z punktu słonecznego na odcinek ASDS, względnie BSCS. Punkt M‘f, w którym przecina się promień Zs — z odcinkiem Is IIS, jest perspektywą cienia punktu M na płaszczyznę (p. Perspektywa I' //„' rzutu poziomego odcinka I II leży oczywiście na promieniu M' — Z', który jest perspektywą śladu poziomego pionowej płaszczyzny, przechodzącej przez punkt M, a przecinającej płaszczyznę cp wzdłuż prostej I — 1L Promień Zs. — Psc przetnie bok CSDS w punkcie P®, który wraz z punktem My wyznacza perspektywę cienia odcinka MP na płaszczyznę <p.

62. Cienie utworów przestrzennych, ograniczonych płaszczyznami. Mamy tu na myśli przedewszystkiem cienie wielościanów, a więc ich cienie własne i rzucone, a następnie wzajemne cienie rzucone tych utworów na siebie.

1. Rys. 358 przedstawia konstrukcję cienia własnego i cienia rzuconego na płaszczyznę podstawy, prostego, czworościennego graniasto-słupa, oświetlonego z punktu S. Ściany boczne AA В В, В В’CC i CC DD' są w cieniu własnym, a że — jak wiadomo — cień granicy cienia własnego stanowi granicę cienia rzuconego, więc wielokąt A's Acs Brs Q Dcs D's ogranicza cień rzucony graniastosłupa.

2. W rys. 359 czworościenny graniastosłup prosty rzuca cień przy oświetleniu równoległem — na graniastosłup, leżący ścianą boczną

Ms

As

Ai

Ms

Bs Es

M<jÇ<

Zż

—O

Và

Os

zY²

Is

Is

BŚL

Ds

Dl

Cs

Cl

Bs

\Zj

z- CA*

Bs

As

As

Rys. 358.

Cs

Ps

P* '

As²

(Es

mYS

Es

ETNsD

Es

Zs

Ds

Ds

Jsc

Ds

-Ml

Es

Cs

Ps/

Ds

Zs

PS

Ns

Rys. 357.

na

płaszczyźnie podstawy — a częściowo także i na pionową ścianę cp, do której ten graniastosłup przylega. Rysunek tłumaczy się dostatecznie

i nie wymaga omówienia.

Cs

As

<P

cS

--ki.

iyi-

~3k

Zs

ii

As

as

Cś

Bs

Rys. 359.

3. Wystająca z pionowej płaszczyzny bocznej ip, prostopadłej do tła, h Zs belka w kształcie prostego, czworościennego gra-niastosłupa (rys. 360), rzuca cień, który częściowo pada także i na czołową płaszczyznę <p. Wykreślmy perspektywę rzutu poziomego graniasto-słupa ; chcąc wyznaczyć cień jego na płaszczyznę i/j, znaleźć musimy ślad zbiegu Z” rzutów prostokątnych równoległych promieni światła na tę płaszczyznę. Z ust. 59 wiemy, że punkt ten leżeć będzie na śladzie zbiegu zv płaszczyzny ip, a ponieważ płaszczyzna ta jest prostopadłą do tła, więc i na prostopadłej do śladu zv, wykreślonej z danego punktu słonecznego Z,.

As

Gs <P

As

Hs

Gy.

ÊÉ

\Hy

Os

■CO

%r

'«o

ty

bs

Zur

iiscM'

as

CŚ

Gk

Hs

Dś

Zs Zs

Cs

Ai

Fś

Rys. 360.

4. Pozioma, prostokątna ßs belka, równoległa do tła, rzuca cień na gzyms (rys. 361), biegnący w kierunku prostopadłym do tła. Znając położenie punktu słonecznego Zs, znajdziemy ślad zbiegu Z's rzutów promieni światła na płaszczyznę pionową, prostopadłą do tła. Prosta As Z'ś jest cieniem krawędzi iG na płaszczyznę (p. W punkcie BLS cień ten załamie się i pójdzie równolegle do horyzontu, aż do punktu Cl. Dalsza jego część As padnie na ukośną ścianę gzym-su. Aby znaleźć punkt Dl, rzucimy krawędź gzymsu, biegnącą od punktu IV prostopadle do tła, na płaszczyznę (p. Perspektywą tego rzutu jest prosta IVI Os, która przetnie prostą ASZ'S', leżącą również na płaszczyźnie <p, w punkcie Dl. Pozioma, przeprowadzona przez punkt Dl, przetnie prostą IV, O, w szukanym punkcie Dcs, który łączymy z Z”,

otrzymując na prostej Vs Os punkt E°s. Odcinki As — Bcs i Dcs—Ecs są perspektywicznie równoległe, gdyż płaszczyzna g\ jest równoległą do gp. Kreślimy poziomą Ecs Fcs, poczem na płaszczyźnie gp₂ otrzymamy punkt Gcs. Cień Gc Hv krawędzi GH jest do niej równoległy, więc perspektywa jego przejdzie przez punkt główny Os. Ponieważ krawędź HJ belki jest równoległa do tła, więc jej cień Hc Jc będzie do niej równoległy. Wykreślimy więc z punktu Hs równoległą do HSJS i wyznaczymy jej punkt przecięcia się Jcs z promieniem Js Z,.

Zs

Os

Z/i,

Ks

Js

Ls

Hs

#/

As

У/GS

z<p

BsÆ,

Hs

ZD/

Ds

Z/ÆVtt.

/Es

Zs\

Ill's

Gs

it

Fs

ds

<Рг

Pozioma krawędź belki, przechodząca przez punkt J, rzuca cień, zakryty belką; konstrukcję tego cienia, analogiczną do V przeprowadzonej wyżej, odtworzy czytelnik z łatwością z rysunku.

у.

Z"

/i

zi

;;

Rys. 361.

5. Wykreślić cień własny i rzucony, przy oświetleniu równoległem, zespołu geometrycznego, przedstawiającego schody (rys. 362). Rozpoczniemy od wykreślenia cienia rzuconego odcinka AB na schody. Cień ten jest linją łamaną, wychodzącą z punktu Rs. ku punktowi Zs do punktu Ce„ skąd przebiega jako pionowa do punktu Dvs. Od punktu przecięcia się promienia DCSZ'S z najbliższą krawędzią schodów cień będzie znowu linją pionową, aż do punktu Al, w którym pionowa ta przetnie się z promieniem ASZS.

Zkolei wyznaczymy cień krawędzi A F na schody. Cień ten wyjdzie oczywiście od punktu A\, a załamawszy się na dwóch krawędziach, zbiegnie się z punktem Fs.

Płaszczyzna światła, przechodząca przez krawędź AF, czołowa płaszczyzna e, na którą rzuca cień A% punkt A i płaszczyzna ABF, przetną się wzajemnie w trzech prostych, które przejdą przez punkt E. Prostemi temi są: prosta A F, prosta EA\ i prosta pionowa, przechodząca przez punkt E, a będąca krawędzią płaszczyzny ABF i płaszczyzny e. Ia ostatnia prosta i krawędź A F wyznaczają punkt E, którego perspektywą jest punkt Es. Prosta, łącząca punkt Es z punktem A% jest per-

spektywą krawędzi płaszczyzny świetlnej, przechodzącej przez prostą AF, z płaszczyzną e, a więc perspektywą cienia tej prostej na płaszczyznę e. Punkt, w którym prosta ESAC£ przetnie obraz najbliższej krawędzi, łączymy z punktem głównym, a punkt G° z punktem Fe. Łamana linja, łącząca punkt A\ z punktem Fs, jest cieniem odcinka A F na schody. Oczywiście, że odcinek Fs G® jest równoległy do prostej EsAce, gdyż płaszczyzna s jest równoległa do płaszczyzny go, a obie równoległe do tła przecięte są jedną płaszczyzną światła, poprowadzoną przez krawędź AF.

Zj5 ZŚ

fe

fe.

rfe

■o

'S

Ch

fe

fe

‘0

OCo\ / OC0

■b-

Rys. 362.

Linję FG£ Ace wyznaczyliśmy równocześnie i w inny sposób, a mianowicie znaleźliśmy cień Arv punktu A na płaszczyznę czołową (p, połączyliśmy go z punktem Fs, a otrzymany tym sposobem punkt G“ z punktem głównym Os.

Cień rzucony płyty dolnej i płyty bocznej na płaszczyznę podstawy i ścianę czołową ip wyznaczyliśmy w sposób, znany czytelnikowi z poprzednich zadań.

6. Rys. 363 przedstawia poprzedni zespół, jednak w położeniu bocz-nem, przekopjowany z rys. 362. Oświetlenie przyjęliśmy równoległe i równoległe do tła.

Krawędź pionowa 1,1' rzuca cień na poziomą płaszczyznę płyty; obrazem tego cienia jest odcinek l'slc₈. Cień poziomej krawędzi 1, 9 będzie linją łamaną, której części, leżące na płaszczyznach poziomych, są równoległe do tej krawędzi. Perspektywy ich posiadają więc wspólny ślad zbiegu. Części tej linji łamanej, leżące na ścianach pionowych stopni, otrzymamy podobnie, jak linję EsAce w rys. 362.

Nie chcąc korzystać ze śladu zbiegu prostej ISIIS, wyznaczyliśmy cień /// punktu II na górną, poziomą płaszczyznę płyty, podobnie, jak cień Is punktu I. Odcinek ЦЩ jest cieniem odcinka III na płytę.

7. Zespół, przedstawiony na rys. 364, oświetlony jest, podobnie, jak w zadaniu poprzedniem, promieniami równoległemi, a równocześnie i równoległemi do tła.

Cień krawędzi A A' pada całkowicie na płaszczyznę podstawy. Cień krawędzi AB leży częściowo na płaszczyźnie podstawy, poczem załamuje się dwukrotnie, a cień Bca punktu В pada na płaszczyznę poziomą a. Najpierw wyznaczymy cień B⁽ś punktu В na płaszczyznę podstawy; odcinek AcsBs jest perspektywą cienia odcinka_AB na tę płaszczyznę; do punktu 11 cień ten jest istotny. Ponieważ А В jest odcinkiem poziomym,

Га

as

6S

Is

Is

SS

3S

Is

lś

Xs

A' As

Rys. 363.

więc jego cień jest równoległy do tego odcinka, a zatem ACSBCS przejdzie przez ślad zbiegu Zx prostej AB.

Płaszczyzna AA'В przecina płaszczyznę g wzdłuż krawędzi BB', a że przez krawędź AB przechodzi płaszczyzna światła, więc przez punkt В przejść musi także i krawędź tej płaszczyzny światła z płaszczyzną g, bowiem trzy płaszczyzny przecinają się zawsze w jednym punkcie. Prosta Bslca jest perspektywą owej krawędzi płaszczyzny światła z płaszczyzną g, a odcinek 1^2,⁽; cieniem części odcinka AB, który pada na czołową ścianę g pierwszego stopnia.

Promień 2£Zt przecina promień BSBCS w punkcie Bc₀, który jest cieniem punktu BĄ na poziomą płaszczyznę a. Oczywiście, że prosta, poprowadzona przez punkt B°₈, równolegle do r's, przejdzie przez punkt B'„.

Teraz wyznaczymy cień rzucony krawędzi ВС, a to dwoma, nieza-leżnemi od siebie, sposobami: bezpośrednio i przy pomocy cienia rzuconego tej krawędzi na płaszczyznę podstawy.

Pozioma płaszczyzna o przecina pionową płaszczyznę A ABC wzdłuż prostej poziomej, której perspektywy dwóch punktów, a mianowicie punkty Is i B°, są znane. Płaszczyzna światła ó, przechodząca przez krawędź В C, której śladem poziomym jest punkt H, przetnie tę prostą poziomą w punkcie M, który przypadkowo leży także na prostej AA'.

zl*

Os -®--

Мг

Ml

Ds,

cTM

FSC&

fis.

fs

⁶f\

\\ \ w

Ws,

5e

es

ßs

ds

rs

>DŚ

3c

As

<3 s

DO-

di

Es/

ia

rś

as

0°

Hs,

Faktycznie punkt M jest punktem przecięcia się prostej CSHS z prostą 7S. Bns. Prosta MBn jest perspektywą krawędzi płaszczyzny światła ô z płaszczyzną o, czyli perspektywą cienia krawędzi BC na płaszczyznę o. Łączymy punkt N, z punktem 5CC prostej cs, otrzymując na prostej ds punkt 4d. Punkt ten połączymy z punktem Bs, aż do przecięcia się z prostą es w punkcie 5°. Prosta 5ce Cs przetnie prostą fs w punkcie 6f. Cień Ccm punktu C na poziomą płaszczyznę co jest punktem przecięcia się promienia CsCcM, równoległego do rs, z promieniem poziomym, przechodzącym przez punkt IVS.

Rys. 364.

Odcinek CD rzuci cień częściowo na płaszczyznę poziomą co a częściowo na płaszczyznę pionową. Pierwsza część cienia jest odcinkiem C⁽mF^ na prostej, łączącej punkt Ccm ze śladem zbiegu Zx. Odcinek F°DS dopełnia rozwiązania zadania.

Posługując się cieniem rzuconym Hs — Bcs — C⁽s krawędzi H — В — C na płaszczyznę podstawy, znajdziemy cień odcinka BC, rzucony na schody, w sposób następujący: przez punkty Щ, 1Щ i IVCS, stanowiące perspektywy cieni rzuconych punktów II, III i IV na płaszczyznę podstawy, poprowadzimy proste dcs, e's i //, zbiegające się w śladzie Z₂, a będące perspektywami cieni krawędzi d, e i / na płaszczyznę podstawy. Punkty 4CS, 5s i 6's, rzucone w kierunku rs na odnośne proste, są punktami 4cd, 5ce i 6f, w których cień krawędzi BC, rzucony na schody, załamuje się.

8. Wykreślić cienie zespołu dwóch, sześciościennych, prostych gra-niastosłupów (rys. 865). Kilka słów wyjaśnień wymaga najpierw konstrukcja perspektywy samego zespołu. Wychodząc z punktu głównego Os i połowy oddalenia tłowego, oznaczymy punkt O₀'-, jako kład zredukowanego oka, poczem znajdziemy częściowe ślady zbiegu ZJ¹-dla prostych, nachylonych do tła pod 60°. Otrzymawszy następnie właściwe ślady zbiegu Z,⁶⁰ i Z™, połączymy je, jak też i punkt główny Os, z przyjętym punktem Ss, t. j. z perspektywą środka umiarowego sześciokąta, stanowiącego podstawę graniastosłupa. Na prostej, wykreślonej przez punkt Ss równolegle do horyzontu, obierzemy punkt A'„ i połączymy go ze śladami Z™ i Z₂H0, otrzymując na promieniu SsZ[ punkt В' a na promieniu SsZ™ punkt F'. Przez punkty B's i F' kre-

Оог

Es

Es

As.

y,

Ds

2s

Es

Es

3s Es

Gs

Ls

1s :

'k

Zfj

\G$

■■ \Zeo

ifzś

Zeo-

Al

Cj>

Bs

Cś

ISe

Si,

Psi

у*

ki.

ki

c3-

Rys. 36o.

Slimy równoległe do horyzontu i otrzymujemy na promieniu F' Z™ punkt C', zaś na prostej SsZ™ punkt Es. Punkt C' łączymy ze śladem Z™ a punkt E’ z Z"; obie proste przetną się na promieniu A'sSs w punkcie Ds. Prawdziwa długość boku podstawy nie jest nam znana, otrzymać ją można przy pomocy punktu mierzenia. Wykreśliwszy pei -spektywę podstawy, dopełnimy z łatwością obrazu graniastosłupa, stanowiącego trzon zespołu.

Drugi graniastosłup ma być również prosty, o podstawie umiarowego sześciokąta, lecz skręcony wobec pierwszego o 30°. Najpierw narysujemy perspektywę jego rzutu poziomego. Punkt Ss jest perspektywą

wspólnego środka obu sześciokątów. Na promieniu 0»Sa przyjmiemy dowolnie punkt Nś i połączymy go ze śladami zbiegu Z™ i Z™. Uważając punkt Z™ za punkt dzielenia, znajdziemy perspektywę J' przeciwległego punktowi N wierzchołka J, a także i punkt Ls, gdy punkt Ss rzucimy z punktu Z" na poziomą, poprowadzoną przez punkt Nś, odmierzymy Ś\T = Nś Sx i punkt J* połączymy z Z™. Pozioma, wykreślona z punktu L's, przetnie prostą N' Z™ w punkcie Gs. Promień G’s Os przetnie

w punk-

As

promień Nś Z™ w punkcie Hś, a prosta Ls 0„ prostą NŚZ“ cie Kś.

2s

Bez trudności

8s

r5s

6s

'ks

Z45 h

Os h

3s

1s

7s,

Bi

Cs?

6s

Sś

7s-

2i

Bi.

kij

'bi

Dl

P_

D° fi

C°

5i

Rys. 366.

wykreślimy teraz perspektywę drugiego graniasto-słupa i linję jego przenikania się z pierwszym. Punkty //, //;, w których prosta A'sFś przecina boki Gś Hś i Gś Nś, odniesiemy na promienie GsOs\GsZ™, otrzymując tam jeden bok przenikania. Możemy przystąpić do konstrukcji cieni, przyczem ograniczymy się do wyznaczenia cieni własnych i cienia rzuconego jednego graniasto-słupa na drugi, pomijając cień rzucony zespołu na płaszczyznę podstawy.

Punkt G rzuca cień na ścianę cp; otrzymamy go w znany sposób, łącząc punkt Gś z rzutem Zs punktu słonecznego i kreśląc w punkcie Rrs prostą pionową, która przetnie promień GSZS w punkcie G⁽q. Część krawędzi GH rzuca cień na ścianę (p, załamując się na krawędzi AA w punkcie, którego perspektywę oznaczyliśmy przez 1°. Aby punkt ten otrzymać, rzucimy punkt A's z Zś na Gś Hś i otrzymany tam punkt l's odniesiemy na prostą GsOs, jako punkt ls. Promień 1SZS przetnie prostą A'SAS w szukanym punkcie lq. W zupełnie ten sam sposób znajdziemy punkt 2^,, w którym załamuje się cień prostej GN. Podobnie ma się sprawa z cieniem Щ punktu N, rzuconym na ścianę ip, i cieniem 3° punktu 3 na krawędź ЕЕ'.

63. O cieniach koła. Cień koła przy oświetleniu równoległem jest elipsą albo kołem. W istocie bowiem promienie, przechodzące przez punkty koła, są tworzącemi walca eliptycznego, względnie walca obrotowego, który płaszczyzna przeciąć może wzdłuż elipsy lub koła. Ponieważ perspektywą elipsy, względnie koła, jest elipsa, koło, hiperbola lub parabola, więc obraz perspektywiczny cienia koła może być każdą z tych krzywych stożkowych.

Os

gY²

1s

Jk

3s

fis.

%2s

Pl

ks

■■YDs

IBS

S'

Ci

Pl

Bś

fi'

22

'C

Ós

S's

•BŚ;

Di

:/

22

P_

'Ah

j4ś

Ai

42

Di

Rys. 367.

Cień koła przy oświetleniu środkowem jest kołem, elipsą, hiperbolą lub parabolą w zależności od położenia stożka światła względem płaszczyzny, na którą cień pada. Perspektywą cienia koła przy oświetleniu środkowem może być każda stożkowa, zależnie od położenia stożkowej, stanowiącej cień tego koła, względem płaszczyzny zniknienia. Dla czytelnika, który zapoznał się z rozważaniami w rozdziale III, sprawa ta jest zrozumiałą sama przez się. Także i pod względem konstrukcyjnym rzecz nie nastręcza trudności, jak nas o tern przekonują dwa podane niżej przykłady.

Rys. 366 przedstawia konstrukcję cienia koła k przy oświetleniu środkowem. Pionowa płaszczyzna koła, stycznego do płaszczyzny podstawy, jest prostopadłą do tła. Położenie źródła światła określone jest punktami S„ i S'. Elipsę rozwiązującą zadanie, wyznaczyliśmy ośmioma punktami lrs, 2⁽s, ... <%, które są cieniami punktów 1, 2, ... 8 koła k i odpowiadają punktom ls, 2S, ... 8S elipsy k₈. Trapezowi ASBSC₈D₈,

18

Bartel. Perspektywa. I.

opisanemu na elipsie ks i stycznemu do niej w punktach ls, 2S, 3S i 4sy odpowie na płaszczyźnie podstawy, jako cień, czworokąt, styczny do elipsy kes ssr punktach 1%, 2CS, 3⁽s i 4S.

Rys. 367 podaje konstrukcję cienia koła k, którego płaszczyzna ma położenie poziome. Elipsa k,s jest perspektywą tego koła, a elipsa К perspektywą jego rzutu na płaszczyznę podstawy. Przyjęliśmy oświetlenie środkowe z punktu S. Perspektywą cienia kwadratu ABCD, opisanego na kole k, jest trapez AlBsClsDs. Znajdziemy punkty styczności lcs, 2‘s, 3C₈, 41 tego trapezu z szukaną elipsą kcs, a następnie parę jej średnic sprzężonych 3CS 4CS i 5°s 6CS (porównaj z rys. 227 i należącą do niego treścią).

64. Cienie stożków, walców i ich zespołów, a) Weźmy pod uwagę stożek obrotowy, o osi pionowej, którego podstawa spoczywa na płaszczyźnie poziomej (rys. 368). Płaszczyzny światła, styczne do stożka, odgraniczają część oświetloną od części, znajdującej się w cieniu własnym. Cień rzucony tworzących, wzdłuż których owe płaszczyzny światła stykają się ze stożkiem, stanowi cień rzucony stożka.

Konstrukcyjnie rozwiążemy zadanie w następujący sposób: znajdziemy perspektywę W; cienia rzuconego wierzchołka stożka na płaszczyznę podstawy i wykreślimy z punktu W« styczne m⁽s i ncs do elipsy ks. Punkty styczności Ms i Ns łączymy z punktem Ws pro-stemi ms i ns, które są perspektywą tworzących, stanowiących szukaną granicę cienia własnego stożka.

Cień prostej na stożek obrotowy jest elipsą, kołem, hiperbolą lub parabolą, w zależności od położenia płaszczyzny światła, przechodzącej przez daną prostą, względem tworzących tego stożka.

Aby znaleźć cień odcinka PQ na stożek (rys. 368), wykreślimy najpierw perspektywę Psc Qcs cienia rzuconego tego odcinka na płaszczyznę podstawy. Część odcinka P»Ql, a mianowicie odcinek 1⁽S4CS, leżący w granicach cienia rzuconego stożka, wskazuje na tę część odcinka P Q, której cień padnie na stożek. Promienie, łączące punkty lcs i 4CS z punktem Ss, przetną proste ns i mK w punktach 1* i Ą, a odcinek P,Q, w punktach ls i 4S; punkty l's i 4's są perspektywą rzutu poziomego punktów 1 i 4 odcinka PQ. Punkty 4% i 4^ są punktami elipsy es> stanowiącej cień odcinka PQ na stożek; dalsze punkty tej elipsy znajdziemy tak, jak to wskażemy dla punktu 3c(p. Połączmy przyjęty na odcinku lrs 41 punkt 3rs z punktem Ss promieniem i oznaczmy punkt przecięcia się tego promienia z prostą P,Q., symbolem 3,. Prosta W*3CS = cl, przecinająca elipsę ks w punkcie Cs, jest perspektywą cienia tworzącej c stożka; perspektywą tej tworzącej jest prosta cs = CsWs. Punkt 3\ j)rzecięcia się prostej cs z promieniem 3rsSs jest cieniem punktu 3 odcinka PQ na dany stożek obrotowy. Na rys. 368 wskazano konstrukcję punktu 2e₉ elipsy es, leżącego na tworzącej as konturu pozornego. Pro-

sta acs, łącząca punkt styczności As prostej a, z punktem W₈C, przecina prostą P⁽s Q⁽s w punkcie 2CS; promień 2°s Ss przetnie prostą as w punkcie 2CV.

b) Przykładem konstrukcji cienia własnego i rzuconego obrotowego walca, o osi pionowej, stojącego na płaszczyźnie podstawy, a nadto cienia prostej na ten walec (przy oświetleniu słonecznem), jest rys. 369.

fis

Os

Gi*

Ws

Co

<0

0}

bô

Psc

1s.

ns

Ws°

Щ23

ai

mi

As

Wś

■M

Е'ЖД

SŚ

21 3s

4b

g*

ci

ks

Ms

Qs

%î

P_

Rys. 368.

Najpierw wykreślimy perspektywę cienia rzuconego górnej podstawy walca, którą jest elipsa kc₈\ wspólne styczne mcs i ncs do elips k's i kcs dopełniają granicy cienia rzuconego walca. Proste m₈ i ns tworzą granicę cienia własnego walca.

rżącą m

z punktu słonecznego Zs na prostą m, — jako punkt D% — a punkt z tego samego punktu Z₈ na prostą ns, jako punkt Д£. Cień odcinka D h na walec jest elipsą e, podług tej bowiem krzywej płaszczyzna światła, przechodząca przez odcinek A B, przecina walec. Poszczególne punkty perspektywy elipsy e, którą będzie elipsa es, znajdziemy — podobnie, jak w zadaniu poprzedniem. Wyżej omówiliśmy konstrukcję punktów D⁽ę

Teraz znajdziemy perspektywę AC₈BC₈ cienia rzuconego na płaszczyznę podstawy odcinka AB. Część tego odcinka, a mianowicie odcinek DE, rzuci cień na walec. W szczególności cień punktu D padnie na two-a cień punktu E na tworzącą n walca. Punkt Dcs rzucimy

i Ey elipsy es. Aby znaleźć jej punkt dowolny, np. CJ, łączymy dowolny punkt C⁽s odcinka Dc₈ Esc z punktami Zs i Z' prostemi. Prosta Z' Cß = cß przetnie elipsę k's w punkcie Iß, przez który przechodzi prosta cs, perspektywa tworzącej walca, której cieniem rzuconym na płaszczyznę podstawy jest właśnie prosta cc. Punkt Cß przecięcia się promienia ZsCß z prostą cs jest owym dalszym punktem szukanej krzywej es.

Os

6l⁴

As

Es

1*A

\Ms

ks

STS*-

Zi

Es

Fß\fß.

Zi

es

Cs

'AL

2s

! cz

C$>

Ei

A/j

CT

7%c

\ns

/77#

Ze

Ai

EL

1L

JC

Iii

Ds\ Cs.

Di

Fi

ks

Sii

Zs

Mi

Bi

Ci

Ii

P_

Di

Rys. 369.

c) Rys. 370 jest przykładem cieni zespołu walców obrotowych, o wspólnej osi pionowej, przy oświetleniu równoległem. Punkt słoneczny Zs leży poza obrębem rysunku. Konstrukcja granic cienia własnego walców nie wymaga objaśnień, podobnie, jak cień rzucony środkowego trzona na walec, stanowiący podstawę zespołu. Walec górny, albo ściślej, jego dolne koło k, rzuca cień na walec środkowy. Cieniem tym jest krzywa przenikania się dwóch walców, t. j. walca promieni, przechodzących przez koło k, i walca, stanowiącego środkową część zespołu. Na rysunku zaznaczyliśmy konstrukcję kilku punktów perspektywy kß

tej krzywej. Itak: perspektywą cienia punktu 1, koła k, jest punkt le₉. Otrzymamy go w ten sposób, że punkt 1' połączymy z punktem Z' promieniem, który przetnie elipsę k[„ w punkcie 1₉; następnie wykreślimy perspektywę as tworzącej walca, która przetnie promień 1SZS w szukanym punkcie le₉ krzywej k,Dwa punkty tej krzywej zasługują na szczególną uwagę, a mianowicie punkty i 3°. Pierwszym jest punkt, leżący na tworzącej konturowej bs, drugim punkt przecięcia się krzywej k£ z perspektywą cs granicy cienia własnego. Wolno nam przypuszczać, że sposób otrzymania tych punktów odtworzy czytelnik wprost z rysunku.

’ШШ

kf⁴

2$

bs

as

Os Y

Cs

gY²

Z's

21

кГШ

3k

IL

1r-

kl

Zs

Rys. 370.

d) Rys. 371 przedstawia zespół dwóch obrotowych walców, obrotowego stożka i graniastosłupa, oświetlonych równolegle.

Konstrukcja granicy cienia własnego walców nie wymaga wyjaśnień, omówimy natomiast sprawę cienia własnego stożka. Punkt Ws jest perspektywą wierzchołka stożka, punkt WY perspektywą rzutu tego wierzchołka na płaszczyznę a, Ł j. na płaszczyznę koła k, stanowiącego linję przenikania się walca i stożka. Punkt Wca przecięcia się promienia Ws Zs z promieniem WY Z' jest cieniem rzuconym wierzchołka stożka W na płaszczyznę a. Wykreślmy z punktu Wca styczną q do elipsy ks, to prosta, łącząca punkt styczności Ps z punktem Ws, jest perspektywą granicy cienia własnego stożka. W naszem zagadnieniu wchodzi w grę odcinek PSQS perspektywy tej granicy. Część odcinka PQ rzuci cień na walec dolny. Cieniem tym będzie linja przecięcia się płaszczyzny, stycznej do

stożka wzdłuż tworzącej PW, z tym walcem, a więc elipsa. Na rysunku wyznaczyliśmy punkt przecięcia się perspektywy tej elipsy z prostą ns, stanowiącą perspektywę granicy cienia własnego walca. Odcinek W'P'a jest perspektywą rzutu poziomego tworzącej WP\ styczna do elipsy k[s, poprowadzona z punktu Z's, przecina odcinek W'P's w punk-

As

wâ

'Gs,

Es

Ds

\Fß

E$

kf

Vs

L

-o-

M2

Os,

Iks /2

m,H

ms

Gf*-    h

Zś

Di

FI

ki

Ms

E_

-As

1s

p_

Rys. 371.

cie ls. Odnieśmy ten punkt prostopadle do linji horyzontu na prostą PSQS i połączmy otrzymany tam punkt ls z punktem słonecznym Zs promieniem, to promień ten przetnie prostą ns w punkcie l°r

Płaszczyzny światła, przechodzące przez dolne krawędzie płyty, leżącej na słupie, przetną walec górny wzdłuż elips, które stanowić będą granicę cienia rzuconego tej płyty na słup. Czytelnik odtworzy przebieg konstrukcji potrzebnej ilości punktów tych elips bez trudu, wprost z rysunku.

6v4)l

⁷^ÿ-~Z~-

vsâs

ren

WQffîr

ii

ij

|ti

,

!!

ijSlSfegp

''Ч

Rozdział VII.

Perspektywa pośrednia.

65. Perspektywa malarzy a perspektywa architektów.

Każde zadanie perspektywiczne rozwiązać można w dwojaki sposób: bez pośrednictwa innych metod geometrycznego przedstawienia przestrzeni, albo przy ich pomocy, więc drogą pośrednią. O użyciu pierwszego sposobu, t. j. bezpośredniego, względnie sposobu drugiego, decyduje celowość danego zagadnienia perspektywicznego; pierwszym posługują się z reguły malarze, drugim architekci. Perspektywa malarzy nosi także nazwę wolnej; architekci posługują się perspektywą pośrednią.

Malarz ma przed sobą płaszczyznę rysunkową, na której przedstawić ma szereg przedmiotów o znanych mu kształtach i wielkościach. Przystępuje, powiedzmy, do narysowania wnętrza. Kreśli tedy perspektywę krawędzi, schodzących się w punktach zbiegu; szkicuje otwory w ścianach, zachowując proporcje między ich wymiarami a wysokością ubikacji, którą zapełnia meblami. Wszystko to robi w szkicu, pozwalającym na zmiany, przesunięcia, podnoszenia, obniżania, prostowania walących się ewentualnie ścian wnętrza, czy mebli, dostosowywania wymiarów i proporcyj. Nareszcie wnętrze „stoi“. Teraz artysta przedzierzga

Rysunek prof. Tadeusza Obmińskiego.

się na chwilę w konstruktora-perspektywistę i kontroluje swą pracę, sprawdzając jej znamiona geometryczne. Tym sposobem rozwiązuje on do pewnego stopnia odwrotne zadanie perspektywy, polegające na odtwarzaniu rzeczywistości. Winien on zdawać sobie sprawę ze stopnia odchyleń swego szkicu od ścisłej perspektywy geometrycznej, jeśli chce uniknąć zarzutu działania nieświadomego.

Inaczej postępuje architekt. Projekt swój tworzy on metodą rzutów prostokątnych. Najpierw tedy „rozwiązuje“ rzut poziomy, gdzie rozmieszcza poszczególne ubikacje, potem robi „fasadę“, a dopiero po jej wykonaniu przystępuje do narysowania perspektywy. Punktem wyjścia dla niej są gotowe plany budowli, wykonane według zasad geometrycznych rzutów prostokątnych w rozmaitych „widokach“ zgóry, zprzodu, zboku lub w różnych „przekrojach“. Niczego tu ani zmienić, ani przesunąć nie można, jeśli rysowana perspektywa ma być obrazem koncy-powanej rzeczywistości. W pewnych granicach posiada architekt swobodę w dysponowaniu znamionami optycznemi, ale na tern kończy się jego wpływ na charakter obrazu perspektywicznego. Niekiedy i ta swoboda ścieśniona jest do granic warunków, w których obserwowaną być może, lub być ma, projektowana budowla. Warunki te domagają się, by obserwatorowi perspektywy projektu architektonicznego daną była możność oceny wrażeń, jakie odbierze później, obserwując rzeczywistość ze ściśle określonego stanowiska. Gdyby wrażenia te nie odpowiadały oczekiwanym, istnieje jeszcze zawsze możność zmiany rozmiarów, proporcyj i architektury projektowanej budowli. Sprawdzian ten jest jednym z celów perspektywy architektów.

Niestety, celowość ta nie zawsze istnieje w świadomości twórców projektów architektonicznych. Często, może za często, perspektywa projektu narysowana jest przy zupełnem zapoznaniu warunków rzeczywistych, robiona dla „wzięcia“ laików, albo jeszcze częściej i nielaików, na sentyment obrazkowy. Gdyby warunki konkursów architektonicznych wymagały przedkładania perspektyw dla ściśle określonych znamion optycznych i gdyby jury konkursowe istnienie tych znamion w projektach faktycznie sprawdzało — uniknęlibyśmy wielu niespodzianek i rozczarowań po zdjęciu rusztowań z budowanych objektów.

Byłoby błędem nie odróżniać perspektywy architekta od perspektywy malarza. Architekt nie jest malarzem architektury, a malarz architektury nie musi być architektem. Cele obu są różne. Dzieło malarza jest celem samym w sobie, perspektywa architekta tylko środkiem do celu, jakim jest uformowany z drzewa lub kamienia trójwymiarowy Objekt.

Można stworzyć doskonałe dzieło architektoniczne bez posiadania jego perspektywy, ale nikt nie namaluje dobrego obrazu architektury bez znajomości zasad perspektywy.

Rozpatrzenie pytań, czy i pod jakiemi warunkami posiadamy możność odtwarzania (restytucji) z rysunku perspektywicznego, względnie z fotogramu, wymiarów i kształtów przedstawionych niemi objektów, będzie przedmiotem jednego z rozdziałów Ii-go tomu.

66. Metoda punktów przebicia promieni widzenia z tłem.

>0*

a) Jako pierwszy przykład, pozwalający zapoznać się z powyższą metodą, wykreślimy perspektywę sześciokąta, leżącego na płaszczyźnie poziomej. Rys.

a.)

2l

'3e

//

5s

6L

0X

1"=2/

o-

7* 5"=6"2X5X    3"=4"

3!

2’

hvr=p

4i

5'L-

4s

6'

6s

rv\-

373 a przedstawia zadanie i jego rozwiązanie w dwóch rzutach prostokątnych, a mianowicie' w rzucie poziomym i pionowym. Prosta hn = p wyznacza położenie pionowej płaszczyzny tła i jest jej śladem poziomym. Położenie oka określone jest jego rzutem poziomym O' i rzutem pionowym O”. Prostopadła do prostej hn = p, wykreślona z punktu 0\ przecina ją w punkcie O', który jest rzutem poziomym punktu f głównego.

/в

b.)

2s.

3s

1s

of

'4s

1Ś

SŚ2Ś5s Os 4в За

Rys. 373 a, b.

na

Promienie, łączące punkty Ï, 2’, ... 6’ z punktem O', przecinają prostą hn = p w punktach ïs, ... 6'; odcinek lś 3' jest rzutem poziomym perspektywy danego sześciokąta. Rzutem pionowym tej perspektywy jest sześciokąt 1", 2”, ... 6'ś, który otrzymamy, odnosząc punkty 1', 2', ... 6' na promienie, łączące punkty 1", 2", ... 6" z punktem O". Jeżeli płaszczyznę tła л położymy na płaszczyznę rysunku, to otrzymamy perspektywę przyjętego na płaszczyźnie podstawy sześciokąta. Kład ten uskuteczniliśmy w sposób następujący: szereg punktów i.s', 6', ... 3', prostej ha=p, przenieśliśmy na prostą p (rys. 373b), jako punkty 1*, 6*, ... 3$; w punktach tych wykreśliliśmy do tej prostej prostopadłe i odmierzyliśmy

nich wysokości punktów przebicia się promieni widzenia z tłem. Wysokości te są równe oddaleniom punktów 1", 2", ... 6'₈' od osi x na rys. 373 a. Tak tedy nTs = YT:, 2fĘ = 2i t. d.

r-

^Wysokość horyzontu równa jest wysokości oka, t. j. odcinkowi O" Ox = 0₈ Os ; głębokość tłowa wyraża się odcinkiem O 0's.

■ж

WW”'

31

4"

3'

\Ш1

F'

zÿ_

Os

O"

П"

■-EsJX

31

■3k

Al

Ш:

II

ГМ

Mi

As

or

Mi

Mi

il

is

1s.

3s

1"

2l

2s

OiYAŚ

4s

1в

П'

hïr

hat =p

1s

41 Oi2s

3s

Rys. 374.

Pośrednim sposobem, zapomocą punktów przebicia promieni widzenia z tłem, narysowaliśmy perspektywę wnętrza na rys. 180 a — d. Jedyna różnica w konstrukcji polega na tem, że płaszczyznę tła sprowadziliśmy na płaszczyznę rysunku — nie, jak w rys. 373, zapomocą jej przeniesienia — ale przez obrócenie jej około śladu pionowego va.

b) Następnym przykładem omawianej metody pośredniej perspektywy będzie zadanie wykreślenia perspektywy utworu przestrzennego, którego dwa rzuty prostokątne są dane (rys. 374). Utwór ten składa się z sześcianu, na którym spoczywa płyta, zakończona prostym, czworo-ściennym ostrosłupem. Podobnie, jak w zadaniu przedstawionem na rys. 373a, b, prosta h.₇=p oznacza ślad poziomy pionowej płaszczyzny tła, punkty O' i O" rzuty prostokątne oka, a punkt 0's rzut poziomy punktu głównego.

Połączmy punkt 1 z punktem O' i Г z O". Punkt ls przecięcia się promienia 10' z prostą h.T=p jest rzutem poziomym perspektywy punktu 1, znajdującego się na płaszczyźnie poziomej. Prostopadły do osi X rzut 1” punktu l's na promień TO” jest rzutem pionowym perspektywy punktu 1. Powtarzając tę konstrukcję, znajdziemy pokolei rzuty prostokątne perspektyw wszystkich punktów wierzchołkowych danego utworu. Rzut poziomy tej perspektywy będzie odcinkiem ls3's.

. 3's zakreślą koła o wspólnym środku n

Obierzmy na płaszczyźnie tła л pionową prostą n i obróćmy około niej tę płaszczyznę tak, aby zajęła położenie czołowe, t. j. równoległe do pionowej płaszczyzny rzutów. Jej ślad poziomy hn = p zajmie położenie prostej hl; punkty i.', i padną na prostą h\, jako punkty rs, ... 31

Punkt ls, którego prostokątnemi rzutami są punkty i' ill zakreśli, podczas obrotu płaszczyzny л około prostej n, łuk koła, którego rzut pionowy będzie poziomym odcinkiem 1'l°s, przyczem prosta ls 11 będzie prostopadła do linji podstawy p, identycznej z osią х układu prostokątnego. W podobny sposób znajdziemy punkty 2°s, 31 ... III, • • • Al, które połączone utworzą szukaną perspektywę danego objektu.

Zamiast płaszczyzny tła л przenieść możemy szereg punktów ls, ... Al ... 3rs zapomocą skrawka papieru na prostą p, wykreślić w nich prostopadłe i odmierzyć na nich wysokości punktów ls, 2S, równe oddaleniom punktów 1', 2", ... od osi л*, jak to uczyniliśmy na rys. 373 a, b.

c) Omówiony wyżej pośredni sposób rysowania perspektywy ma znaczenie raczej geometryczne; w praktyce stosujemy metodę punktów przebicia w sposób nieco odmienny, przedstawiony na rys. 375 a — c.

Rzućmy wierzchołki 1, 2’, ... danego rzutu poziomego budynku (rys. 375a) z punktu O’, który jest przyjętym rzutem poziomym oka, na ślad poziomy hn = p płaszczyzny tła. Otrzymane punkty 11 Ts, ... 3' stanowią rzuty poziome perspektyw punktów 1, 7, ... 3, a odcinek l's3s rzut poziomy perspektywy danego rzutu poziomego budynku. Rzuty pionowe perspektyw punktów 1, /; 7, VII; ... le^eć będą na promieniach, łączących punkty 1", I"; 7", VII"; ... z punktem O", t. j. rzutem pionowym oka. Odcinek l'śI'ś jest rzutem pionowym perspektywy odcinka pionowego, którego rzutem pionowym jest odcinek I I"; odcinek 1"SVII"S jest rzutem pionowym perspektywy pionowego odcinka, wyrażającego się w rzucie pionowym odcinkiem 7" VII" i t. d. Wyznaczywszy rzuty pionowe perspektyw krawędzi pionowych, przystąpimy do narysowania perspektywy budynku. W tym celu przeniesiemy szereg punktów 11 71 ... 31, Z,' prostej h.^ = p z rys. 375a na horyzont h

8'

3'

a.)

Zi

4<

/ 3Ś

96

An, 5k

6s

0's

Z_"4

z?*

//

vj

3k

hvrsp

\\

\W”

WrZr-

W”

Ws

JIs

Vs”

I"

Же

b.)

MW

Vs

Ws

Vs

urn

\жЗ

Vx

17 77

87

67

57

97

31

0"

11

-73

83

5s"

S3

O'

Г'

гв"

5"6"

3"4"

Ws

Ws

Ils

Же

Же

zr*

1в

7s

6s 5Ś

Os 96    46

36

7s

~E3

5s

4s

3s

__P_

Rys. 375 a, b, c.

(rys. 375 c) i wykreślimy w nich prostopadłe do tego horyzontu. Następnie odmierzymy l'la — 1',' 1”, l'Is =    i t. d. Użycie śladu

zbiegu Z.₂ ułatwi konstrukcję.

67. Metoda dwóch śladów zbiegu, a) Podstawą tej metody jest założenie, że każdy punkt uważać można za przecięcie się dwóch linij prostych.

Przyjmijmy na płaszczyźnie poziomej trójkąt ABC (rys. 376a), prostą ha = p, jako ślad poziomy pionowej płaszczyzny tła, i punkt 0'1/4, jako rzut poziomy oka, zbliżonego do tła о ³А głębokości tłowej. Wykreślmy z punktu O'¹'⁴ dwie proste, w dwóch, dowolnych kierunkach i oznaczmy punkty przecięcia się ich z prostą ha = p przez Z^⁴ i Z₂’⁴. Następnie poprowadźmy z każdego wierzchołka danego trójkąta promienie równoległe do kierunków 0,ii4ZJ* i 0'I,4Z₂l(⁴, które przetną prostą ha=p w szeregu punktów 1, I, 2, II, 3, III. Punkty Z^⁴ i Z^⁴ są

cö

cr

,N

ßs

As

h?r=p

12

z!⁴ oś zÏ⁴

-9-©-P—

JL 3 Ж Iх Iх 2х

Oś

Cs

p_

Iх 3х Шх

O'M

Rys. 376 а, b.

rzutami poziomemi częściowych śladów zbiegu owych dwóch kierunków, a punkt Oś — rzut prostokątny punktu OM/4 na prostą ha = p — rzutem poziomym punktu głównego. Teraz możemy przystąpić do wykreślenia perspektywy trójkąta. W tym celu przeniesiemy szereg punktów prostej h₄ = p z rys. 376 a na prostą p na rys. 3766, np. zapomocą skrawka papieru, oznaczając je jako Iх, Iх, 2х, IIх, О', 3х, IIIх. W odległości równej przyjętej wysokości horyzontu wykreślimy linję horyzontu h, na którą rzucimy prostopadle punkt Oś, jako punkt Os. Odmierzymy czterokrotne odcinki Os Z^⁴ i Oś Z₂,/4, otrzymując ślady zbiegu Zx i Z₂. Pierwszy z nich łączymy z punktami Iх, IIх i IIIх, drugi z punktami Iх, 2X i 3X. Punkty As, Bs i Cs są perspektywami wierzchołków danego trójkąta.

b) Przykład praktyczny zastosowania metody dwóch śladów zbiegu podaje rys. 377 a —d.

Położenie tła względem przedmiotu określa linja hn = p (rys. 377a); punkt O"'⁵ jest rzutem poziomym oka, zbliżonego do tła na odległość, równą piątej części głębokości tłowej. W rysowanym przedmiocie wy-

•o

4

Nb

Si

W,

J.

Nr

TO

■~

b-14

-13

-12

-11

-10

-9

'■d

N CM СУЭ Nt ^

I . , I ■ . I I , , l\. .

Ф:

7i

«o*:

N.

ГО

Tl

ад //ад^о ч °o

Ï?

F7\

N?k-

CNJ

OT±o

C\j

co

NJ-

Rys. 377 a, b, c, d.

xlA хШхШЛxYF

stępują dwa kierunki do siebie prostopadłe; punkty Z^& i Z₂'-‘ są rzutami poziomemi ich częściowych śladów zbiegu. Punkty przecięcia się 1, 2, ... 7, //, ... przedłużonych boków kwadratów z prostą hn = p są rzutami poziomemi śladów tłowych odnośnych prostych. Rys. 377 b przedstawia rzut pionowy rysowanego przedmiotu.

Aby nadać rysunkowi konieczną przejrzystość, narysowaliśmy najpierw (rys. 377 c) perspektywę rzutu poziomego i to na podniesionej ponad płaszczyznę horyzontu płaszczyźnie poziomej. Taką perspektywę nazywać będziemy rzutem sufitowym.

Otrzymany już na prostej Нл = p szereg punktów (rys. 377 a) przeniesiemy na prostą p', jako punkty IXх, VIIIх, ... 9х, a punkt O' rzucimy prostopadle na przyjęty horyzont h, jako punkt główny O,. _

Ślad zbiegu Zx leży w obrębie rysunku, przyczem odcinek O, Z1 równy jest pięciokrotnej długości odcinka 0'Zf¹³ z rys. 377a. Zamiast częściowego śladu zbiegu Zflb użyjemy punktu Zf[i, który leży po prawej stronie punktu głównego w odległości, równej trzeciej części pię-

Os

a.)

Bs

Ae)Cc

hir=p

Z1/4 Ok

—o-®-o-

IBM 1х Г

Os

—®-ó

Ce

P_

2х ГЗХЖХ

or*

Rys. 378 a, b.

Wj

ciokrotnej długości odcinka O ' Zf¹* na rys. 377a. Ślad zbiegu Z₂ zastąpiony więc być może podziałką zbiegu. Dla podziałki w₀ przyjmiemy, jako jednostkę, 6 mm, wobec czego jednostką podziałki będą 4 mm (patrz ust. 23). Aby nie zmniejszać przejrzystości rysunku, przesunęliśmy podziałkę w₀, równolegle do jej położenia, na lewo, tak, aby jej jednostką była nieułamkowa ilość milimetrów, np. 7. Oczywiście, że rów-noimienne punkty podziału wszystkich trzech podziałek, więc w i nowej podziałki w', będą leżały zawsze na jednym promieniu. Łącząc punkty Iх, 2X, ... 9X prostej p ze śladem Zl, a punkty Iх, IIх, ... IXх —

przy pomocy podziałek zbiegu tywę rzutu poziomego słupa. Teraz przystąpimy do narysowania jego perspektywy. W tym celu rzucimy punkty Iх, Iх, 9х, IXх i Vх prostej p’ prostopadle na przyjętą linję podstawy p i rzuty te połączymy ze śladami zbiegu Zx i Z₂, Otrzymamy czworokąt, stanowiący perspektywę

z punktem Z₂, otrzymamy perspek-

kwadratu podstawy słupa. W punktach wierzchołkowych tego czworokąta poprowadzimy prostopadłe do horyzontu i taką samą prostopadłą w punkcie 9x iinji podstawy p. Odmierzymy 9*A[, równe wysokości punktu Alt i punkt A* połączymy ze śladem Zx. Otrzymamy punkt A który połączymy ze śladem zbiegu Z₂. Analogicznie postępować będziemy dalej, korzystając z perspektywy rzutu poziomego słupa. Konstrukcja nie zawiera nowych myśli, nie na-B'iCi stręczy czytelnikowi żadnych trudności przy odtwarzaniu jej z rysunku. Koło widzenia obrazu przechodzi przez punkt As; kąt widzenia wynosi około 31°.

AID)'

Аг

Sr

Jr

K”

H.

c) Jeżeli jeden z kierunków, w którym prowadzimy promienie przez wierzchołki A, B, C danego trójkąta (rys. 376 a), jest prostopadły do tła, a więc i do Iinji podstawy, to odpowiadającym temu kierunkowi śladem zbiegu będzie punkt główny, a konstrukcja perspektywy tego trójkąta przedstawi się tak, jak to widzimy na rys. 378a, b. (Porównaj rys. 376 a, b z rys. 378a, b).

V?

--1---

-J

PA

A E' J* /Ук S* Px K' F*B

Ю О Ю 20    30 40 50cm

Przykładem zastosowania tego sposobu konstrukcji perspektywy pośredniej jest rysunek 380, przedstawiający czołową perspektywę stolika, którego widoki zgóry i zprzodu (rzut poziomy i pionowy), wraz z podziałką, przedstawione są na rys. 379. Śladami zbiegu, przy pomocy których wykreśliliśmy perspektywę, są: punkt połowy oddalenia Z'^ i punkt główny Os.

Rys. 379.

Przyjmijmy głębokość tłową, równą 170 cm w podziałce rysunku, a wysokość horyzontu 112⁻5 cm. Niechaj płyta stołu opiera się o tło, czyli niechaj najmniejsze oddalenie przedmiotowe, mierzone w rzucie poziomym, równe będzie oddaleniu tłowemu.

Rozpoczniemy od wykreślenia perspektywy rzutu poziomego stolika. Bok AB kwadratu ABCD (rys. 379) odetniemy na Iinji podstawy (rys. 380) i jego środek Sx połączymy z punktem Z^.² połowy głębokości. Punkt Ds, w którym prosta SXZ'<* przetnie prostą AOs, jest perspektywą trzeciego wierzchołka kwadratu. Równoległa do p, wykreślona przez punkt Ds, przecina promień ВOa w punkcie Cs. Odcinki ACS i BDS są perspektywą przekątnych kwadratu, a ich punkt przecięcia się S. perspektywą jego środka.

Przenieśmy szereg punktów E\ Jx, Nx, Px, Kx, Fx z rys. 379 na prostą p w rys. 380 i połączmy je z punktem głównym. Na prostych ACs i BDS otrzymamy punkty Es, Fs, Gs, Hs i Js, Ks, Ls, Ms, a także punkty Ns, Ps, Qs i Rs, które są perspektywą wierzchołków kwadratów, składających się na rzut poziomy stolika.

Os

Cf

Bf

Ai

.Et

ET

Cs

Zkolei wykreślimy perspektywę graniastosłupa, stanowiącego płytę podstawową, zakończoną u góry ściętym ostrosłupem. Wysokość graniastosłupa odmierzymy na tle, jako odcinek JXJX i rzucimy następnie z punktu Os na prostopadłą, wykreśloną w punkcie J, do p. Celem wyznaczenia perspektywy S\ wierzchołka ostrosłupa, rzucimy punkt Ss z punktu Z'£ na linję podstawy, odmierzymy S°S°₁, równe wysokości ostrosłupa i punkt S[ rzucimy z punktu Z'>* na pionową, poprowadzoną w punkcie Ss.

-A.....Gs

'Ls\ \

Fs

\ Ks

jrjJs

p_

X-

Sx px So Kx Fxg

A Ex Jx Nx

10 O 10    20    30    40 SOcm

ty" r + .-rrJ----I - — --------I    I 1

Rys. 380.

Prostopadłe do horyzontu, wykreślone w punktach Na i Ps, są obrazami krawędzi bocznych słupa środkowego, którego ściana przednia, równoległa do tła i widoczna, przetnie ścianę czołową ostrosłupa w krawędzi, równoległej do tła.

Proste, poprowadzone w punktach A i В prostopadle do linji podstawowej, leżą na tle; odcinki ich przedstawią się więc w prawdziwej długości. Odmierzywszy AA\, równe wysokości stołu, i A\AS₂, równe grubości płyty, wykreślimy przez A\ i Al równoległe do h, utrzymując czołową ścianę płyty stolika, leżącą na tle. Punkty A{ i B\ łączymy z punktem głównym, a punkty C\ i D\ przecięcia się tych prostych z prostopadłemi, wykre-ślonemi do horyzontu w punktach Cs i Ds, dopełniają perspektywy kwadratu płyty stołu.

Pozostaje jeszcze wykreślenie krawędzi ramy (pudła), podtrzymującej płytę górną stołu, którą znajdziemy, wychodząc znowu z rzutu poziomego, rys. 379. Na prostopadłej, wykreślonej w punkcie Ex do p, odmierzymy wysokość punktu Ex ; punkt Ex połączymy z punktem

głównym, otrzymując na prostopadłej, poprowadzonej w punkcie Es do horyzontu, punkt E\. Dopełnienie rysunku nie wymaga dalszych wyjaśnień.

Przykład pośredniej perspektywy bocznej, wykonanej zastosowaniem metody dwóch śladów zbiegu, z których jednym jest punkt główny, stanowi rys. 381.

A"

Bs,

ĄB°

4"

<3,s

■2°

r-Y

fes

N/.

'7"

Ns

Iх

Os

Zr

2X

Zp

O'*

6X

x_

Шх

IVх.

3X

Ok

4-e

,8s,

7б

6s \ 2s

4X 8*

wx mxNx

\6X 2*

2'

3'

8х/

Z'F

6'

7'

hn=p

N'

!1s

8k

5k

62

2s

/'I

5’

8'

Z.

pi

4х 8х Oś3x 17х ШХ5Х

6х 2х Г Iх

Rys. 381.

Punkty ï, 2\ ... 6’, danego rzutu poziomego słupa rzucimy prostopadle na przyjęty ślad poziomy h.T = p płaszczyzny tła, otrzymując tam szereg punktów Iх, 2X, ... 6X. Punkt Z[1,8 jest rzutem poziomym częściowego śladu zbiegu jednego z dwóch głównych kierunków, do siebie prostopadłych. Do konstrukcji użyjemy śladu zbiegu Zx, który leży na przyjętym horyzoncie h, w oddaleniu od przyjętego punktu głównego Os, równem sześciokrotnemu odcinkowi 0'Z'lie.

Najpierw narysowaliśmy perspektywę rzutu poziomego słupa i to na płaszczyźnie, leżącej pod płaszczyzną podstawy. Perspektywa taka

Połączenie metody punktów przebicia z metodą dwóch śladów zbiegu.

291

nosi nazwę rzutu piwnicznego. Przenieśmy otrzymany na prostej = p szereg punktów 2х, 6X, ... O', ... 4X wraz z punktami Iх, IIх, IIIх i IVх, w których boki kwadratów, stanowiących rzut poziomy słupa, przecinają prostą Л.т = p, na obniżoną linję podstawy p . Rzućmy następnie punkt Os prostopadle na przyjęty horyzont i znajdźmy ślad zbiegu Z₁, odmierzając na lewo od otrzymanego punktu głównego Os odcinek OsZ,, równy sześciokrotnej długości odcinka Os Z[1,e. Punkty Г, IIх, IIIх i IVх połączymy ze śladem Zx, a wszystkie pozostałe z punktem głównym. Wykreślone promienie przetną się w punktach 1', 2', 3', ... 8', wyznaczających rzut piwniczny. Prosta 3'1Ś przetnie horyzont w śladzie przekątnym Zv.

Teraz rzucimy punkty IIIх i 6X prostej p prostopadle na przyjętą linję podstawy p. Pierwszy z nich połączymy ze śladem Zx, drugi z punktem głównym Os i na promienie łączące rzucimy prostopadle do horyzontu punkty 6', 7' i 8'. Otrzymamy punkty 6S, 7S, 8S, a więc i perspektywę krawędzi podstawy, a także krawędzi bocznych trzona słupa. Chodzi o perspektywę wysokości. W punkcie 8y prostej podstawy p wykreślimy do niej prostopadłą, odmierzymy 8х VIIIх równe wysokości trzona i punkt VIIIх rzucimy z punktu Os na perspektywę lewej krawędzi konturowej, jako punkt VIIIs. W analogiczny sposób znajdziemy punkty 4S, As, 2S i Bs, a przez połączenie dwóch pierwszych ze śladem zbiegu Zx, aż do przecięcia się z pionową prostą, przechodzącą przez punkt 3', i połączenie tych punktów przecięcia z punktami 2S i Bs dopełnimy rozwiązania zadania.

68. Połączenie metody punktów przebicia z metodą dwóch śladów zbiegu. Połączenie obu poznanych sposobów daje praktyczne korzyści, o czem przekonamy się na przykładzie rys. 382 a — c.

Arkusz rysunkowy z danym rzutem poziomym budynku przymocujemy tak, jak to wskazuje rys. 382 a. Prostą Ьл=р uważamy za ślad poziomy płaszczyzny tła, punkt O’ za rzut poziomy oka. Punkt O' jest rzutem poziomym punktu głównego. Wierzchołki 1', 2', ... rzucimy z punktu O' na h.r=p, gdzie otrzymamy szereg punktów l's, 2’, ... 6S. Proste a’, b', c, ... przetną linję hn = p w punktach T'.,, T'b, T[, .. a promienie, wykreślone z punktu O', równolegle do tych prostych, w punktach Z[ i Z,.

Rys. 382 6 jest rzutem pionowym budynku.

Punkty Ta, T„, ... T'e rzucimy prostopadle na linję podstawy p. a punkty Z[ i Z, na przyjęty horyzont h. Ślady tłowe Ta, T,„ ... Te połączymy z odpowiedniemi śladami zbiegu, a w punktach l's, 2', ... 6's wykreślimy prostopadłe do p, otrzymując na nich punkty ls, 2S, ... 6S.

Wyznaczenia punktów Is, IIS, ... dokonaliśmy w omawiany kilkakrotnie sposób i pozostawiamy czytelnikowi odtworzenie go z rysunku.

Kąt widzenia obrazu wynosi 58°.

Ï5

rQ

\\

l'

\V

l\

\VJ

Hfl

Hfl

l\J

\\\

fl

\V

%Wq

'Hfl

-i

Sd

KF

/лу

Ta

Щ, чЩ

* Tb

cS

та

QO

\-—Jk

3s

N?

,W

ь 4-

Iw

u\\

Rys. 382 a, b, c.

Xh

CQ

Td

Nł-

fes

N,

69. Metoda śladów zbiegu i punktów mierzenia, a) Na płaszczyźnie poziomej leży prostokąt A BCD (rys. 383a). Pionowa płaszczyzna tła przecina płaszczyznę poziomą wzdłuż prostej Ьл = p. Punkt Ом,г jest poziomym rzutem oka, zbliżonego do tła o połowę swego oddalenia. Punkt O' jest rzutem poziomym punktu głównego a punkt Z’1,2 rzutem poziomym częściowego śladu zbiegu kierunku, równoległego do jednego boku prostokąta. Łuk koła, za-

kreślony z punktu ZM/2, jako środka, promieniem Z'1/2 O "/ä, przetnie prostą Ъл w punkcie M' "r\

Przyjąwszy linję podstawy p (rys. 383 6), przenieśmy na nią z rysunku 383a punkty 1, Oś i 2, jako punkty Iх, Oś i 2X. Rzut prostokątny Os punktu O' na obrany horyzont będzie punktem głównym. Znajdziemy punkt Z, odmierzając od punktu Os dwukrotnie odcinek OŚZ''i-. Podobnie otrzymamy punkt mierzenia M, odpowiadający punktowi Z, odnosząc 0,M, równe dwukrotnej długości odcinka Oś M'4 Punkty Iх i 2X połączymy ze śladem zbiegu Z, poczem odmierzymy 1AX = 1A i 1XBX = IB, a otrzymane na linji podstawy p punkty Ax i Bx połączymy z punktem mierzenia M. Na promieniu IхZ

Os

a.)

b.)

Bą,

/i

'Ce

D,

As)

htr=p

pf’/г

Oś /

Oś

Cx

A* Zx Dx Bx

'0'**

Rys. 383 a, b.

otrzymamy punkty As i Ba. W analogiczny sposób otrzymamy punkty Cs i Ds na prostej 2yZ, odmierzając 2XCX = 2C i 2XDX = 2D i łącząc punkty Cx i Dx z punktem M.

Użycie częściowego punktu mierzenia zmieniłoby konstrukcję tylko o tyle, że na linję podstawy p przenieślibyśmy nie odcinki 1A, I B, 20 i 2 D lecz ich części.

b) Praktyczny przykład zastosowania metody śladów zbiegu i punktów mierzenia przedstawia zadanie narysowania bocznej perspektywy stolika, rozwiązane na rys. 385.

Prostokątne rzuty tego stolika podał nam rys. 379. Niechaj płaszczyzna tła przejdzie przez pionową krawędź Ax A₂ górnej płyty stolika w sposób uzmysłowiony na rys. 384. który przedstawia sytuację stolika, płaszczyznę tła i płaszczyznę horyzontu w rzucie poziomym (w widoku zgóry). Rysunek ten określa także położenie oka względem tła i czę-

ha ;

So

ns

H* H, M

s*~

S,

■P

’ft*

Jx

; /V

JS

E*

ES

ЕЕi

aeF~]j*

ES

Jo A

oś:

PI

'P

RS

ió

ss

Po*

Ko*

OP

Fo*

'Bo

10    O 10    20    30    40    50    60 cm

Rys. 384.

ściowych śladów zbiegu Zt'lr> i Zlh dwóch kierunków wzajemnie prostopadłych, ale równoległych do poziomych krawędzi stolika.

Przyjmiemy horyzont h (rys. 385), na nim punkt główny Os i wykreślimy trójkąt O^Z^Z'¹*, przystający do trójkąta    ,/sZ'₂1/5 na

rys. 384.

Przyjmiemy, że ślad zbiegu Z₂ leży w obszarze płaszczyzny rysunkowej. Odcinek OsZ₂ równy jest pięciokrotnemu odcinkowi OsZ^l\ Dwusieczna kąta prostego Zi,,3O₀,,''Z₂1,s przecina horyzont w częściowym śla-

oh

kw

ió

.г

Mi

zP/hM¹/⁵,

oAzpW⁵ ? A

zYs

Мг

-1

Аг

Ef

-2

ts

Чч

-3

a:

-4

'Cs

DE

Pt

Pt

-5-

~⁶

st

Ri

"Ж

Be

JE

Ei

US

'S?

J?

DS HS MS RS SS NS JS ESAESJSJ⁰

rXSf

NS SS S° Po KS EoxBS

Wl

P_

Wo

Rys. 385.

dzie Zp'lri przekątnych, których istotnym śladem zbiegu (punktem przekątnym) jest punkt Zp, przyczem OsZp = 5 . OsZp'⁶. Łuki kół, zakreślone z punktów Zxla i Z₂1,ä, jako środków, przetną horyzont w punktach Mx,s i które pozwolą wyznaczyć punkty mierzenia Mx i M₂; pierwszy odnosi się do prostych, zbiegających się w śladzie Zx, a drugi do promieni, których śladem zbiegu jest punkt Z₂.

Niedostępny ślad zbiegu Z₁ zastąpimy podziałką zbiegu wx, przyjmując, jako jednostkę dla podziałki w₀, 15 cm w podziałce rysunku

ай

kw

Mi

zYs

M2

AĄ

A,

-7

EÏ

-2

-3

AA

-5

fc-

TSi

SI

Wi

-s

J°

Wi

Bo

Rys. 386.

(patrz rys. 384), co wynosi 9*3 mm. Jednostka podziałki wx wypadnie z równania (2), ust. 23, str. 65, 12 cm w podziałce rysunku, czyli około 7‘5 mm.

Od punktu przecięcia się prostej w₀ z prostą p odmierzmy na tej ostatniej, od ręki prawej ku lewej, odcinek OsA z rys. 384 i połączmy otrzymany punkt A ze śladami Zx i Z₂. Następnie przeniesiemy na linję podstawyp szereg punktów E*, J₀X, Щ ... B*, leżący na prawo punktu A linji ha i przystający do niego szereg E*, J₀X, ... Dp po lewej stronie tego punktu. Otrzymane punkty rzucimy z punktów mierzenia Mx i M2 na proste AZX i AZ₂, a otrzymane tam szeregi A, ... B„ i A ... Ds połączymy ze śladami zbiegu Zx i Z₂. Tym sposobem dojdziemy do perspektywy rzutu poziomego stolika.

Zkolei wykreślimy w punktach Js, Ks i Ms prostopadłe do hory-

zontu, a na pierwszej z nich odmierzymy perspektywicznie skrócony odcinek, równy wysokości płyty dolnej. W tym celu przedłużymy prostą Z₂ Js do linji podstawowej p, wykreślimy J°J\ _L p i równe wysokości płyty i punkt Jpołączymy ze śladem Z₂. Dalsze krawędzie płyty wykreślimy bez trudności. Perspektywę wierzchołka Sx znajdziemy, odmierzając na pionowej, przechodzącej przez punkt Ss, perspektywicznie skrócony odcinek S°SJ.

W punktach Ns, Ps i Rs wykreślimy pionowe, które są obrazami krawędzi bocznych trzona stolika.

0>

kw

Z Z² M,

ZÏ’⁰,

z'/¹⁰

Zp Mz²

Os

1-

г-

-1

з-

Ef

4-

-2

■2

S-

6-

-3

7-

X⁻

4.

8-

Wz

sfy⁴

De,

Co

ГЬ

Dl

Si

-6

So

Во

Wo

Wr

Rys. 387.

Na prostopadłej do p, wykreślonej w punkcie A, odmierzymy odcinek A Ax, równy wysokości stolika, iA₁A₂, równy grubości płyty. Krawędź AXA₂ leży, zgodnie z założeniem, na tle. Punkty Al i A₂ połączymy ze śladami Zx i Z₂, a pierwszy nadto ze śladem Zp, i otrzymamy perspektywę płyty. Pozostają wreszcie do wyznaczenia obrazy krawędzi ramy górnej. Odmierzymy jej wysokość na tle od punktu A₂, jako odcinek A₂ Ex na prostej AXA, połączymy punkt Ex ze śladem Zp, aż do przecięcia się w punkcie Ex, z pionową, wykreśloną w punkcie Es-Punkt E* łączymy ze śladami Zt i Z₂, znajdując następnie, bez trudu, pionowe krawędzie konturowe ramy.

Rys. 386 przedstawia perspektywę tego samego przedmiotu, z tą tylko różnicą, że zmniejszyliśmy wysokość horyzontu, a nadto przesunęliśmy stolik bardziej na prawo tak, że krawędź Аг A₂ płyty górnej, leżąc, jak poprzednio, na tle, znajduje się na głównej płaszczyźnie pionu; AlA₂ na rys. 386 schodzi się zatem z prostą w₀. Inne warunki pozostały bez zmiany, a konstrukcję przeprowadzono w sposób identyczny z poprzednio opisanym.

Zachowując położenie przedmiotu względem głównej płaszczyzny pionu, jak w rys. 385, podwoiliśmy oddalenie i otrzymaliśmy perspektywę stolika, przedstawioną na rys. 387. Wskutek wzrostu oddalenia i ślad zbiegu Z₂ wypadł z obszaru płaszczyzny rysunkowej, wobec czego zadowolić się musimy częściowemi śladami zbiegu Z^w i Z₂l\ Punkt mierzenia Ml leży w obrębie rysunku, natomiast co do drugiego

punktu mierzenia, to użyjemy częściowego punktu

M* ,

V2

(oznaczonego na

M₂

rys. 387 symbolem ~-\, którego położenie względem punktu głównego obliczymy z równania (4), ust. 28, a mianowicie:

3-1*

*s I CO

10

(« + *)]= Y [10-2

tO|

⁴ Dla wyjaśnienia dodamy raz jeszcze, że — oznacza tu użyty ułamek oddalenia, więc w naszym wypadku^; a = OsZ₂4l°, oceniliśmy na '10*2 mm ; b = Os M.₂lw = 11 mm.

Jeżeli jako jednostkę dla podziałki w₀ przyjmiemy 15 cm w po-

działce rys. 384, to jednostką podziałki wx będzie : ax = —-

7‘5 cm

io_1    2_1 n

= —• 15 = 13⁻5 cm, a jednostką podziałki w₂ : a₂ =—-— 15 =

(w podziałce tego samego rys. 384).

Użycie częściowego punktu mierzenia ₉“ pociągnie za sobą odmierzanie na linji podstawy, po lewej stronie punktu A połowy odcinków, odmierzanych po prawej stronie tego punktu. Zresztą konstrukcja nie różni się niczem od przeprowadzonej w rys. 386.

Tylokrotne narysowanie tego samego przedmiotu, w rozmaitych położeniach i dla rozmaitych głębokości tłowych, pozwoliło nam na praktyczne zastosowanie nieomal wszystkich poznanych w ciągu wykładu konstrukcyj, a ponadto posłuży nam, jako materjał porównawczy przy rozpatrywaniu tych wszystkich czynników, które wpływają na charakter obrazu perspektywicznego i stanowią także o jego walorach estetycznych.

c) Dalszym przykładem bocznej perspektywy pośredniej, wykonanej metodą śladów zbiegu i punktów mierzenia, jest rys. 388.

Plany budowli przedstawione są na rys. 390, który informuje nas ponadto, że płaszczyzna tła przechodzi przez krawędź muru i zawiera

¹/s

Zp Zi

\-2

kw

z¹/¹⁰

Pio

Wo

V c ' 01/

Rys. 388.

Mi

___

■ć-

X\

Zz

Oo

h

Yto

v₂

Zp Zł

H

2 4

be

⁷do

Z

4dP°

rh

121

kw

h*

be

“I I

X

d

Wt

к

be

OM

Rys. 389.

4

/?

\

\

■<

У2

.w

-48)--O-

W?JZ

W2

Ł

M

24

eH

4-

<4

24

z kierunkiem długości budowli kąt a, a z kierunkiem jej szerokości kąt (90° — a) = ß.

W obrębie rysunku 388, który wykonaliśmy dwa razy większy od rys. 390, mamy częściowy ślad zbiegu Zp\ ślady Z₂ i Zp, punkt mierzeją

nia Mx i punkt częściowego mierzenia ₉². Po wykreśleniu podziałek

zbiegu w₀ i w₁ narysujemy przedewszystkiem perspektywę rzutu poziomego, a wreszcie samą perspektywę budowli.

Kilka słów wyjaśnienia wymaga sprawa wyznaczenia linji przenikania ścian bocznych <p\ i cp₂ (patrz rys. 391) ze ścianą ostrosłupa,

X ГПТ

tur

[I

Zé

Is

Os

"P

z Y⁵

0,/5&

hr

Rys. 390.

którą to konstrukcję — dla łatwiejszego zorjento-wania się — przeprowadziliśmy w powiększeniu. Krawędź 1, 2 przecięcia się płaszczyzny cpx z górną podstawą płyty, na której spoczywa ostrosłup piramidy, jest w rzeczywistości równoległą do krawędzi MN. Perspektywy obu tych krawędzi posiadają więc wspólny ślad zbiegu, którym jest punkt Zj. Prosta, łącząca punkt 1, ze śladem Z przecina obraz krawędzi podstawy ostrosłupa w punkcie 2S, a prostą MSZP w punkcie Is. Pionowa prosta, wykreślona w punkcie Is, przecina prostą MSWS w punkcie IIs, który wyznacza, wraz z punktem 2S, perspektywę krawędzi przecięcia się ściany (pl ze ścianą ostrosłupa. W podobny sposób znajdziemy perspektywę 4SIVS krawędzi płaszczyzny cp₂ i ściany bocznej ostrosłupa.

Podwoiwszy głębokość tłową, narysowaliśmy ponownie perspektywę tej samej budowli, posługując się śladami zbiegu Zxln i Z,¹'- oraz punk-M

tami mierzenia Mx i ₉’.

Największy wymiar budowli stanowi jej szerokość, która wynosi na rysunku 389, 122 mm. Głębokość tłowa przekracza w obu perspektywach znacznie tę wielkość, bo wynosi w rys. 388 — 180 mm, a w rys. 389 — 360 mm. Promień koła widzenia rysunku 388, które przejdzie przez

//

ffls

/V s

VI

dolny wierzchołek prawego naroża, wynosi 74 mm, wobec czego kąt widzenia obrazu wynosi ponad 44°. Koła kn, w rys. 388 i 389 odpowiadają kątowi widzenia 30°. Promień koła widzenia rysunku 389 wynosi 80 mm, a kąt widzenia 25°.

1s

4s

Ms

Rys. 391.

TT

zXi

Os

a.)

b.)

70. Metoda spółrzędnych. a) Przyjmijmy na płaszczyźnie poziomej trójkąt 1, 2, 3 (rys. 392 a), ślad poziomy hjz = p płaszczyzny tła, rzut poziomy 0's punktu głównego i rzut poziomy O'1,0 oka, zbliżonego do tła na odległość, równą szóstej części oddalenia tłowego. Wykreślmy w dowolnym punkcie S prostej /тл = р prostą y, prostopadłą do niej, i rzućmy wierzchołki danego trójkąta prostopadle na proste h„ i y. Położenie każdego z wierzchołków trójkąta 1, 2, 3, w odniesieniu do prostokątnego układu osi Ьл^р i y, określone jest dwiema spółrzędnemi. Są niemi, np. dla punktu 7, odcinki ST i Sf.

ys

2"

7°

\*/A

Pierwszy z nich nazywa się odciętą, drugi rzędną punktu 1.

2s

2L

3n

2°

\3

3°

О'в

Ido

P_

2' S 3° V 2°    1°3' Oś 2'

3'

'fm

Rys. 392 a, b.

wyznaczymy

Gdy znamy długo- ^ ści spółrzędnych punktu, to jego położenie — w odniesieniu do da- ~hx*ps nego układu osi кл = р i U

w ten sposób, że na

os\hn = p odmierzymy od początku układu S odciętą SI', na osi у od tego samego punktu S rzędną SI”. Prostopadła, wykreślona w punkcie 1' do pierwszej osi, przetnie prostopadłą, poprowadzoną w punkcie 1" do osi y, w punkcie 1. Widzimy, że każdemu punktowi płaszczyzny

odpowiadają — w odniesieniu do danego układu prostokątnego — dwie spółrzędne.

Jeżeli wykreślimy perspektywę osi układu prostokątnego wraz z punktami określającemi spółrzędne, to w wyniku otrzymamy perspektywę 1S2S3S trójkąta (rys. 3926). Proste równoległe do osi y zbiegną się w perspektywie w punkcie głównym ; perspektywy prostych równoległych do osi hj = p będą równoległe do horyzontu.

Jeżeli zamiast punktu oddalenia użyjemy punktu częściowego oddalenia, to wówczas rzędne wszystkich punktów należy zmniejszyć w odpowiednim stosunku. Uskutecznić to można np. zapomocą wykreślenia szeregu podobnego na dowolnej prostej a, przechodzącej przez punkt S. W naszym przykładzie posłużyliśmy się punktem oddalenia Z'£, wobec czego na prostej a odmierzyliśmy odcinek Sl°, równy połowie

rzędnej SI", a przez punkty 2" i 3" poprowadziliśmy promienie, równoległe do 1” 1°. Promienie te przetną prostą a w punktach 2° i 5°. Szereg S, 3°, 2°, 1° przeniesiemy na prostą p w rys. 3926 i rzucimy go z punktu Z'J* na prostą ys. Wykreślone przez punkty 1"₈, 2", i 3"s proste, równoległe do linji podstawy p, przetną perspektywicznie równoległe promienie 0,1', 0,2' i 0,3' w punktach 1,, 2S i 3S.

b) Jeżeli oś y układu odniesienia nie jest prostopadłą do osi Ьл = р (rys. 393a), to wówczas układ odniesienia jest ukośnokątny. Położenie punktu, np. punktu 1 na rys. 393 a, w odniesieniu do tego układu, oznaczone jest — podobnie, jak w układzie prostokątnym — zapomocą dwóch spółrzędnych: rzędnej SI" i odciętej SI'. Punkty 1' i 1" na osiach hjr =p i powstały przez przecięcie się tych osi z promieniami, wy-kreślonemi równolegle do nich przez punkt 1.

Narysowanie perspektywy, odniesionego do ukośnokątnego układu, dowolnego utworu płaskiego, np. linji krzywej C (rys. 393 a), nie wymaga wprowadzenia żadnych nowych sposobów konstrukcyjnych.

Jeżeli punkt O', jest rzutem poziomym punktu głównego, punkt 0',/e rzutem poziomym oka, zbliżonego do tła o ⁴/5 głębokości tłowej, to promień, wykreślony z punktu O'1/5 równolegle do osi y, przetnie oś 6.T w punkcie Z l/s, który jest rzutem poziomym częściowego śladu zbiegu prostych, równoległych do kierunku osi y. Łuk koła, zakreślony z punktu Z'1/5, jako środka, promieniem    przetnie oś h* = p

w punkcie M'lK

Przyjmijmy podstawę p, horyzont h (rys. 3936), a na nim punkt główny Os. Pięciokrotny odcinek Z 1/3O',, przeniesiony z rys. 393a na horyzont, od punktu głównego na lewo, wyznacza tam ślad zbiegu Z promieni, równoległych do osi y układu odniesienia, a odcinek 0'sM'llr‘, odniesiony pięciokrotnie na horyzoncie od punktu O, na prawo, określa położenie punktu mierzenia M dla tego samego kierunku.

Oznaczmy prostokątny rzut punktu Os na podstawę p symbolem O,, poczem przenieśmy szereg punktów S, 8',... 6', 0's,...12' z proste] /1л = р rysunku 393 a na prostą p rysunku 3936 i połączmy te punkty ze śladem zbiegu Z. Następnie przenieśmy szereg punktów S, 5", 4" ... 10" osi у układu odniesienia na podstawę p i punkty tego szeregu połączmy

10

11

;_\10"

11"

9"

12

12"

a)

8"

1"

2"

3"

i—5

6"

4"

hir=p

Z'

12'

\ \Д

5"

11'\3n2'4'1' 5' 10' 6'    97' 8' S

Os

O'*

12s

Cs

11s

9s.

1Ö1

O'

121

b)

8s

3s^r4ś~Z

5s

Os.

31

61

10"1JX9" \12\

31

12'

V '112" 37 4’$

—O- b-b ob-o-o—<o~o—<3—

1V 014'V 5' 10' 6'    9' 8' S

Rys. 393 a, b.

z punktem mierzenia M. Na proste] ys otrzymamy szereg punktów: öl, 6.1, ... 101, przez które wykreślimy równoległe do p.

Tym sposobem przenieśliśmy dany ukośnokątny układ odniesienia z rzutu poziomego do rzutu perspektywicznego. Odpowiadające sobie promienie przetną się w punktach ls, 2S, ... 12s, linji C,, będące] perspektywą krzywe] C.

Rys. 394.

71. Perspektywa aksonometryczna *).

a) Położenie punktu w przestrzeni określić można, odnosząc go do układu trzech, wzajemnie prostopadłych płaszczyzn, przecinających się parami wzdłuż trzech osi: х, у i z. Pozioma płaszczyzna яг (rys. 394) przecina płaszczyznę pionową n₂ układu wzdłuż osi x, a płaszczyznę boczną л₃ wzdłuż osi y. Płaszczyzny л₂ i jt₃ utworzą prostą г, zaś wszystkie trzy płaszczyzny przetną się w punkcie S, który stanowi p o-czątek lub środek tego układu płaszczyzn. Tym sposobem układ

trzech wzajemnie prostopadłych płaszczyzn, zwany też układem

układ

AZl

Al

Яз

дгг Яг

У’

X’

Ах

У,

А’

odniesienia, stwarza trzech wzajemnie prostopadłych prostych, zwanych osiami, które przechodzą przez środek S.

Proste, poprowadzone z danego punktu A, prostopadle do płaszczyzn układu odniesienia, przebijają je w punktach A, A" i A'". Punkty te są rzutami punktu A na odnośne płaszczyzny, zwane płaszczyznami rzutów lub rzutniami. W szcze-

gólności punkt A' jest rzutem poziomym, punkt A" rzutem pionowym, a punkt A'" rzutem bocznym. Pionowa płaszczyzna, przechodząca przez proste AA' i AA”, przetnie oś X w punkcie Ax, płaszczyznę poziomą rzutów wzdłuż prostej A Ax a pionową płaszczyznę rzutów wzdłuż prostej A" Ax. Płaszczyzna równoległa do rzutni pionowej, przechodząca przez proste AA i AA”', przetnie oś у w punkcie Ay, a dwie pozostałe rzutnie wzdłuż prostych A' Av i A” A ,r Wreszcie pozioma płaszczyzna, przechodząca przez proste AA” i AA”, przetnie oś z układu w punkcie Az, a dwie pionowe płaszczyzny rzutów wzdłuż prostych A”AZ i A" Az. Otrzymamy prosty graniastosłup, którego podstawą jest prostokąt SAxAAy, a którego trzy krawędzie schodzą się w punkcie S.

Odcinek AA" wyraża odległość punktu A od rzutni bocznej яъ, czyli jego „szerokość“; odcinek AA” jest „głębokością“ punktu, t. j. jego odległością od rzutni pionowej я₂, a odcinek A A, równy oddaleniu punktu A od rzutni poziomej яг, stanowi jego „wysokość“. Widzimy z rysunku 394, że krawędzie SAX, ŚA„ i SAZ wspomnianego wyżej graniastosłupa, schodzące się z osiami układu odniesienia, równe są odpowiednim

') Patrz autora: „O pewnem zastosowaniu metody aksonometrji do perspektywy środkowej“. Czasopismo Techniczne. Lwów, 1909.

krawędziom tegoż graniastosłupa, przecinającym się w punkcie A. Odcinki SAX, SA„ i SAZ nazywamy prostokątnemi spółrzędnemi danego punktu A i oznaczamy je literami odnośnych osi. Znajomość spół-rzędnych punktu pozwala na wyznaczenie, w sposób jednoznaczny, jego położenia w przestrzeni. Istotnie bowiem, odciąwszy na osi x spół-rzędną SAX = x', a następnie na prostopadłej, wykreślonej na płaszczyźnie poziomej w punkcie Ax do osi x, spółrzędną y = SAy=AxA', otrzymamy rzut poziomy A' punktu A. W punkcie A' prowadzimy prostą równoległą do osi г i odcinamy na niej spółrzędną z = SAZ = A A, dochodząc do punktu A, którego spółrzędne x', у i г' były dane.

b) Perspektywa aksonometryczna jest perspektywą pośrednią, w której poszczególne punkty obrazu otrzymujemy za pośrednictwem ich spółrzędnych prostokątnych.

Niechaj prostokątny układ trzech płaszczyzn, przecinających się wzdłuż osi x, y, z (układ odniesienia), będzie nachylony do płaszczyzny rysunku (tła) w ten sposób, że przekrój tego układu z tłem będzie trójkątem XYZ (rys. 395) (trójkąt śladów aksonometrycznych).

Prostokątny rzut środka układu, t. j. punktu S, na tło (środek akso-nometryczny), będzie punktem S’ przecięcia się wysokości trójkąta XYZ. W istocie bowiem płaszczyzna (p₃, przechodząca przez oś z układu odniesienia i przez promień SS', jest prostopadłą do płaszczyzny poziomej tc₁ i do tła a więc i do krawędzi tych dwóch płaszczyzn, t. j. do prostej XY. Ale prosta XY, jako prostopadła do płaszczyzny gp₃, jest prostopadłą do każdej prostej, znajdującej się na tej płaszczyźnie, a więc i do prostej ZP, która jest jej śladem na tle. Analogicznie prosta XZ jest prostopadła do FA a bok Y Z prostopadły do XM. Proste xs, ys i zs są perspektywą prostokątnego układu osi x, y, z, o środku S, czyli stanowią perspektywiczny układ odniesienia.

Obierzmy na promieniu SS', rzucającym prostopadle środek S układu odniesienia na tło, oko O, w odległości ó od punktu Ss =S'. Rzut prostokątny Os oka O na tło, t. j. punkt główny, schodzi się z punktem S', który jest równocześnie perspektywą S, punktu S.

Wykonajmy kład na tło płaszczyzn gvlt <ps i gp₃, t. j. tych, które przechodzą przez osi x, y, z, prostokątnego układu odniesienia i przez promień główny OSsS. Na płaszczyźnie g?x znajduje się prostokątny trójkąt XSM i oko, leżące na promieniu, wyprowadzonym z punktu S prostopadle do przeciwprostokątnej X M tego trójkąta. Osią obrotu dla tego kładu jest prosta II. Zakreślmy na odcinku XM, jako na średnicy, półkole i wykreślmy w punkcie Ss prostopadłą do tego odcinka, to punkt S'x przecięcia się tej prostopadłej z półkolem będzie wierzchołkiem prostokątnego trójkąta XSxM, stanowiącego kład trójkąta XSM na tło. Przedłużenie odcinka 0.s.5< przetnie koło głębokości, zakreślone z punktu

20

Bartel. Perspektywa. I.

Os, jako środka, w punkcie 0'x, który jest okiem, sprowadzonem na tło przez wykonanie kładu płaszczyzny cpW podobny sposób dokonamy kładów płaszczyzn cp₂ i gr₃. Prostopadła, wykreślona w punkcie Ss do odcinka YN, przetnie koło, zakreślone na tym odcinku, jako na śred-

a.)

\Zs

Oi

z$°

Zi

zf

St

"Vi

QU/M

ÇJ

QS‘

Zs

\N \°

У⁰/

0"\

Юв'

NF

d_

!Sx

Oo

■Qi

d,

Pi

p»'

ÔX

X°

Qx*

Xs

Zz

Pi

ZX Xs=ye=Zs Qij Qsj jQs Ss j

'Zf

b.)

Pxl

Qy

Sx

Rys. 395 a, b.

nicy, w punkcie S", a koło głębokości w punkcie 07 Prostopadła, wykreślona w punkcie Ss do odcinka ZP, przetnie koło, zakreśione na nim, jako na średnicy, w punkcie S7, a koło głębokości w punkcie 07. Odcinki S₈ Sx = Ss S* = Śs S7 = d są sobie równe i równe odległości początku układu odniesienia od tła.

Niechaj odcinek S7Qx, odmierzony na prostej л*°, będzie spółrzędną prostokątną x’ przyjętego w przestrzeni punktu Q, to odcinek SsQ*, be-

dący rzutem pierwszego na oś xs z punktu Ol, jest perspektywą tej spółrzędnej, czyli spółrzędną perspektywiczną x'a. Podobnie otrzymamy spółrzędną perspektywiczną y's = SsQ%, jeśli spółrzędną prostokątną y' = S"Q% odmierzymy na prostej y° i punkt Q'i rzucimy z punktu O” na oś ys. Jeżeli wreszcie odcinek ST Qź jest prostokątną spółrzędną z punktu Q, to odcinek SsQzs=zs, będący rzutem tej spółrzędnej z punktu OT na oś zs, jest spółrzędną perspektywiczną.

.s* ?

Wyznaczmy teraz ślady zbiegu zt, z₂, z₃ płaszczyzn układu prostokątnego, t. j. krawędzie, powstałe z przecięcia się tła z płaszczyznami, przechodzącemi przez oko, równolegle do trzech płaszczyzn układu. Kąt SsPST=ip jest kątem nachylenia rzutni poziomej z tłem; wykreślmy trójkąt prostokątny 0,0° Ax, w którym OsO° = ó jest przypro-stokątną. Naprzeciw niej leży kąt ip. Prosta zx, wykreślona w punkcie Ax prostopadle do zs, jest śladem zbiegu rzutni poziomej nx. Punkty Zf i Z“, w których prosta zx przetnie osi ys i xs, są śladami zbiegu prostych, równoległych do osi у i ac układu prostokątnego, a więc śladami zbiegu prostych, prostopadłych do rzutni pionowej, względnie bocznej. W szczególności punkt Z,⁹⁰ jest śladem zbiegu prostych, prostopadłych do rzutni pionowej n₂, a punkt Z™ śladem zbiegu prostych, prostopadłych do rzutni bocznej jts. Prostopadła, wykreślona z punktu Z" do osi xs, przetnie się z prostą, wykreśloną z punktu Zf prostopadle do osi ys, w punkcie Z;'° osi zs. Punkt ten jest śladem zbiegu prostych, równoległych do osi z układu prostokątnego, a więc śladem zbiegu prostych, prostopadłych do rzutni poziomej jtx. Przy pomocy tych trzech śladów zbiegu, t. j. punktów Z,⁹⁰, Z,⁹⁰ i Zf, wykreślimy perspektywy Q Qs i QT rzutów prostokątnych punktu Q na płaszczyzny układu prostokątnego, a wreszcie i perspektywę Qs punktu Q.

Rys. 395 b przedstawia zestawienie trójkątów SsSlX, SsS"Y i S₈S"' Z wraz ze związanem z niemi okiem 0X. Jeżeli spółrzędne prostokątne odetniemy na osiach jc, y, z, wychodzących z punktu Sx, i ich punkty końcowe Qx, Qu, Qz rzucimy z punktu Ox na prostą, poprowadzoną prostopadle do SxOx w punkcie Ss, to otrzymamy spółrzędne perspektywiczne xs = SsQxs, y's = SsQs i z a⁼ Ss Qs punktu Q.

c) W rozważaniach powyższych wzięliśmy pod uwagę szczególny przypadek perspektywy aksonometrycznej, w której oko znajduje się na promieniu, rzucającym środek prostokątnego układu odniesienia prostopadle na tło. Gdy oko przyjmiemy dowolnie w przestrzeni, a więc gdy środek prostokątnego układu odniesienia rzucimy na tło w kierunku dowolnym, to wówczas otrzymamy ogólny przykład perspektywy aksonometrycznej. Punkt główny Os (rys. 396 a) nie zejdzie się w tym przypadku z rzutem środkowym Ss początku układu odniesienia.

20*

Przyjęty na płaszczyźnie rysunku trójkąt XYZ jest trójkątem śladów płaszczyzn prostokątnego układu odniesienia, a dowolny punkt Ss —

IZs

Ox

a.)

Zś

Zr

M.

0Ü

Lfi

Sk

Si'

[\

At

t/A

oĄ

zf

>L

Qs

9' \r-'

Zf

-f

Oo

~<J

Os к

/Ss

S'

/Г

'Za

V/

Wy

'//

d,

\Ql

Qs

id

tó—■

Xs

Ys

Sb

Zz

Sil

4S*

b.)

Ok

ys

Zs

чу

Qs

)У

QJa

Qz

g?

Qy

4L

Sx

yZf°

Rys. 396 a, b.

rzutem środkowym początku S tego układu. Punkt S' przecięcia się wysokości trójkąta XYZ jest rzutem prostokątnym środka układu od-

niesienia na tło, a punkt Os, przyjęty dowolnie na prostej S'Ss, rzutem prostokątnym oka na tło, t. j, punktem głównym.

punktu Os do-

jak to uczyniliśmy w naszym przykładzie

Zakreślmy na odcinku ZP, jako na średnicy, koło, a w punkcie S’ poprowadźmy do niej prostopadłą, to odcinek S'S'" = d równy jest oddaleniu początku układu odniesienia od tła. Poprowadźmy w punkcie końcowym S' odcinka SsS' prostopadłą do niego, odmierzmy na niej odcinek S' Sx = S' S”' = d i otrzymany punkt Sx połączmy z punktem S„ prostą. Prosta ta przetnie prostopadłą, wykreśloną w punkcie Os do prostej OsSsS', w punkcie Ox. Otrzymane dwa podobne trójkąty S„S'Sy i Ss OsOK, o wspólnym wierzchołku Ss, stanowią kład na tło płaszczyzny, prostopadłej do tła a przechodzącej przez oko O i początek S prostokątnego układu odniesienia. Odcinek Os 0K = ô równy jest głębokości tłowej. Jeżeli głębokość ta jest dana zgóry, to wówczas nie możemy przyjąć

wolnie na promieniu S'Ss; położenie jego będzie wynikiem konstrukcji. W odległości, równej danej głębokości tłowej, poprowadzimy mianowicie równoległą do prostej S'Ss, a punkt Ox przecięcia się tej równoległej z promieniem S*Ss rzucimy prostopadle na prostą S' Ss. Rzut ten będzie punktem Os, t. j. prostokątnym rzutem oka na tło, czyli punktem głównym. Konstrukcja ta poucza nas, że gdy przyjęte są punkty Ss i Оя, to tern samem określona jest głębokość tłowa; gdy natomiast dany jest punkt Ss i głębokość tłowa ó, to położenie punktu głównego Os jest wyznaczone.

Przystąpmy teraz do wykreślenia perspektywy przyjętego w przestrzeni punktu Q, którego spółrzędne prostokątne x', y', z' są dane. Aby wyznaczyć perspektywę spółrzędnej x', czyli spółrzędną perspektywiczną x's, połóżmy trójkąt SSsX, wraz z okiem, znajdującem się na przedłużeniu boku SSs, na tło. Bok SSs tego trójkąta jest równy odcinkowi SsSy = d; drugi bok, równy odcinkowi SsX, leży na tle, a trzeci bok SX znajdziemy, obracając prostokątny trójkąt XMS, około jego przeciwprostokątnej XM, na tło. W tym celu zakreślimy na średnicy XM koło i w punkcie S' poprowadzimy do niej prostopadłą, która przetnie to koło w punkcie S'₀. Odcinek S'₀X jest prawdziwą długością boku SX. Łuk koła, zakreślony z punktu X promieniem XS'₀, przetnie łuk koła, zakreślony z punktu Ss promieniem SsSx, w punkcie SA, który jest szukanym wierzchołkiem trójkąta SsXSA. Na przedłużonym boku SAS, tego trójkąta, w odległości równej odcinkowi SsOx, leżeć będzie punkt 0<, t. j. oko, sprowadzone na tło obrotem płaszczyzny, przechodzącej przez oś x prostokątnego układu odniesienia i przez oko O. Odmierzmy SxQ$ = x' i połączmy punkt QA z punktem Ox. Na osi otrzymamy punkt Qxs, przyczem odcinek SsQx jest spółrzędną perspektywiczną xś? t. j. perspektywą spółrzędnej prostokątnej x'.

W analogiczny sposób znajdziemy trójkąt YSsS'ś wraz z punktem Ox, leżącym na przedłużeniu boku SxSs a wreszcie i trójkąt ZSsS'7 wraz ze związanym z jego bokiem S7Ss punktem 07. Rzut prostokątnej spół-rzędnej y' = Sx Qy z punktu O" na oś ys jest spółrzędną perspektywiczną y's = SsQvs, a rzut spółrzędnej z' = S'7 Qx na oś z punktu 07 — perspektywiczną spółrzędną z's = SsQzs.

Z rysunku widzimy, że:

0'xS'x = 0:S': = 07S7 a także SsSx = SsS =S₈S"'

Pozwala to na zestawienie trójkątów SsXSx, SsYSx i SsZS7 w sposób, uwidoczniony na rys. 396Ö, gdzie OxSx = 0'XSX a SsSx == SsSx. Rysunek ten stanowi podziałkę skróceń perspektywy aksonometrycznej w najogólniejszym przypadku. Jeżeli na osiach х, у, z odmierzymy prostokątne spółrzędne x' — SxQx, y' = SxQ", z==SQz i rzucimy je na osi xs, ys, zs, to rzuty te, a mianowicie x, = SsQx, y's = SsQus\ Z's = S~Ql są spółrzędnemi perspektywicznemi punktu Q.

Pozostaje nam jeszcze wyznaczenie śladów zbiegu Z™, Z™ i Zf prostych, prostopadłych do płaszczyzn jrx, jt₂ i jz₃ układu odniesienia. Ślady te będą punktami przecięcia się osi xs, ys i zs ze śladami zbiegu tych płaszczyzn.

Ślad zbiegu zy płaszczyzny poziomej jest krawędzią płaszczyzny, przechodzącej przez oko równolegle do rzutni poziomej, z tłem. Otrzymamy go podobnie, jak w rys. 396a, a mianowicie: wykreślimy trójkąt prostokątny OsAlO(i, którego bok O „Ax jest równoległy do Z P, bok OsOq — OsOx = ô, a przeciwległy temu bokowi kąt —równy kątowi t/;, jaki rzutnia pozioma zawiera z tłem, t. j. kątowi S'PS'7- Ślad zx przejdzie przez punkt Ax prostopadle do ZP i wyznaczy na osiach ys i xs ślady Z2° i Z!j°. Prostopadła, wykreślona z punktu Z®¹⁰ do XM, przetnie prostopadłą, poprowadzoną do YN z punktu Zjj°, w punkcie Z\°. Dopełnienie rysunku dla otrzymania perspektyw Qs, Qsr i Q7, a także i perspektywy Qs, nie nastręczy żadnych trudności.

d) Jeżeli tło jest prostopadłe do płaszczyzny poziomej układu odniesienia, czyli jeśli perspektywa jest stosowana, to przemiana spółrzęd-nych prostokątnych punktu na spółrzędne perspektywiczne odbywa się analogicznie, jak w ogólnym przykładzie perspektywy aksonometrycznej.

Wierzchołek Z trójkąta XYZ śladów aksonometrycznych jest w tym przypadku punktem niewłaściwym, leżącym w kierunku prostopadłym do boku XY tego trójkąta, a prostokątny rzut początku S układu odniesienia leży na boku XY, jako dowolnie przyjęty punkt S'. (Rys. 397 a).

Uważajmy dowolny punkt Ss za perspektywę punktu S, a przyjęty na promieniu S' S₈ punkt 0„ — za punkt główny. Zakreślmy na odcinku XY, jako na średnicy, półkole i w punkcie *S'wykreślmy prostopadłą do WF,

która przetnie półkole w punkcie S°. Połączmy ten punkt prostemi x° i y° z punktami X i Y. Prostokątny trójkąt XFaS⁰ jest kładem na tło trójkąta, którego bokami są osi x i y układu odniesienia i krawędź XY rzutni poziomej z tłem. Odcinek S°S' = d wyraża oddalenie początku układu odniesienia od tła. Perspektywą tego oddalenia jest odcinek S„ S' — ds.

a.)

Z“

Sx

Ox

Si

Ze

Zx

Zr

Os

0x

Z?

■)У

Qx

Qi

Q"

Sx,

Qs/

Qś

\Q*

'of

У*!

Qï

У*

ds,

SV

Р_

6Т

ь.)

Х°/

О?

S°\

Qz

Ok

•Sx

Rys. 397 a, b.

Wykonajmy kład na tło płaszczyzny e, przechodzącej przez promień główny i początek S prostokątnego układu odniesienia. Płaszczyzna ta jest prostopadłą do tła i przecina go wzdłuż prostej, przechodzącej przez punkty S', Ss i O,. Kład tej płaszczyzny sprowadzi na tło początek S układu odniesienia, promień główny i oko. Wykreślmy w punkcie S' odcinka ds prostopadłą do niego, odmierzmy S'Sx = d i połączmy punkt S' z punktem Ss. Trójkąt S»S'SX jest kładem trójkąta SSsS\ leżącego na płaszczyźnie e. Prostopadła, wykreślona w punkcie Os do prostej S'S,0przetnie prostą S S„ w punkcie 0<, który jest kładem

oka na tło. Przyprostokątna OsOx trójkąta SsOsOx jest głębokością tłową ó.

Z podobieństwa trójkątów SsS'Sx i Ss0₈0x wynika, że d =

d. <%Ss

ds

t. zn. że głębokość tłowa, która, jak widzieliśmy, nie była przyjęta zgóry, ale wynikła z konstrukcji, zależy w prostym stosunku od oddalenia początku układu odniesienia od tła i od odległości perspektywy Sa tego początku od punktu głównego — a w odwrotnym stosunku od odcinka ds. Przyjęcie punktów Sa, S' i Os określa głębokość tłową ô ; gdyby ö było dane, to wówczas moglibyśmy przyjąć dowolnie jeszcze dwa inne czynniki w powyższem równaniu, a czwarty pozostały wypadłby z rachunku lub konstrukcji.

Podziałki skróceń perspektywicznych w kierunku osi л: i у znajdziemy podobnie, jak w ogólnym przykładzie perspektywy aksonome-trycznej, kładąc trójkąty SSsX i SSsY wraz z okiem O (z niemi zwią-zanem) na tło. Kład pierwszego z tych trójkątów jest trójkątem SaXSl* w którym bok XSI = XS°, a bok SsSl = d. Na przedłużonym boku SIS₈, w odległości SsOl'= SsOx, znajduje się kład Ol oka O. Kładem drugiego trójkąta jest trójkąt SaYS" ; bok YSl'= YS°, bok S„S*=d.

Punkt O", leżący na przedłużeniu boku S" S₈ w odległości S₈0x== SsOl = = S₈0x, jest kładem oka. Podziałkę dla osi z otrzymamy, uwzględniając, że punkt Z trójkąta śladów aksonometrycznych jest punktem niewłaściwym, wobec czego oś z i jej perspektywa zs są do siebie równoległe. Wykonajmy kład na tło płaszczyzny, przechodzącej przez oko i oś г układu odniesienia. Osią obrotu jest prosta za. Oko zakreśli koło na płaszczyźnie prostopadłej do osi obrotu i padnie na tło, jako punkt Ol", leżący na prostej /?, poprowadzonej przez punkt główny Oa prostopadle

do z,, przyczem Ol"Ss = OxSs. Wykreślmy promień Ol"Ss, odmierzmy S₈Sr == SsS* i z punktu SI" poprowadźmy prostą zx\\zs. Prosta zx jest kładem osi z układu odniesienia na tło.

Jeżeli odcinek SlQl jest prostokątną spółrzędną x' punktu Q, to rzut S₈Ql tego odcinka z punktu Ol na prostą x₈ jest spółrzędną perspektywiczną л%.. Jeżeli spółrzędną if punktu Q odmierzymy na prostej yx, jako odcinek S"Q!ł, i rzucimy punkt Q'i z punktu 0'1 na oś y₈, to odcinek SsQ’i będzie spółrzędną perspektywiczną yl. Spółrzędną

z' = S" Qx, odmierzoną na prostej zx, rzucimy z punktu Ol” na oś zay otrzymując spółrzędną perspektywiczną za—SaQ\.

Rys. 397 b przedstawia — podobnie, jak rys. 395 b i 396 b — zestawienie trójkątów SsSlX, SsS"Y oraz prostych z₈\\zx wraz ze związanem z niemi okiem Ox. Stanowi on zatem podziałkę skróceń dla omówionego wyżej, szczególnego przypadku perspektywy aksonometrycznej.

KONIEC TOMIJ PIERWSZEGO.

•\

\

r

\

\

\

/

\

i

N

/

/

/

\

\

»

V

л

ч

0

/

У

%

!

Щ

Ш

тШ

Ж eü*

m-te •

W JMPT“

и    Ж|

jfiü

ИПр

яяк* .-тпе.1я:-»т

BIBLIOTEKA GŁÓWNA

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

■■i

кЩ

’ -•

Шшк

Щ1

"t УЩШ>

:: '.уi......

&é щ    Чу^ &-

У mi, ®;:м

МЁ v

11-347802

PK 330/90 too ООП

ÄWt

■

.; : SK |ра ж 4 ⁴ LУ:'-JfI}.

Гл

’ ' WSv.-

■УЗ

||i

!SW

%: ?

Щ

** ЫЖ&

'■v .

ЖЧ ' :

Ka

icn

■ę l -г*

'* ■:» I

; f, Jé

Ийж

«w

*ü

Vu

ч-шп

i«

ЯБг

ft

Ä

тЩШ

ii

>.!•

■î

rifc-j

Ж&

w³™

г жЩ

'$Ч?Т

i -ЩШ;

%Ш

->'■ 1'%

шУшшёё^ШёмШШш

■ ÉÉ»iW%^4fi *

Щ, Ыу«4 'm?$kiïè ДОЖ# ffîfwffî ЩУ’

■шШкмтЁиб* •%

тЬ..

- ■?? !

■■ i

ч-Щ

L . ЛИ

*<$) ,.,■    f':*' Ai ,;Ł ■*:

|il| m'Äi -

У’”* - ♦• ;^.’-■••Г

«ч,

/ ii

V;

■Jvjl

шин

жэд

тж

кз

.^tPk

■Z

wĘm '.......*'к

щт

ф ;J

as

“»

S*S

WkiM

& та

pil

Sili

tel

$Æ4

ÜÉ

Ш§Ш:

ШШ1

Wmâ

’Шш

]л ■

■кж

Ш^даШ&

t    'V

1щж1

ш ■

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

100000231379

mm

fit

им

Ди - Jł

.л

Uli

Щ$й

Шт

Шшт

|В

1

JA

®4ii