|.

WYDZIAŁY POLITECHNICZNE KRAKÓW

BIBLIOTEKA GŁOWNA

шшшш_

ж!

Łt *

fi

L. inw.

‘i'. ............. •**»“*

gШ : /

Sf#

V 7.

тщшШт

щтт::

¥№№

,- - :

Фа

<]

Щ!

?ï

’ ₍ ярЙ

■ та

;. '    ; S'

ШУ*

4 2Г    ; #•

'7>*

fv

§7 t:¹

rl«i Тш1

Jvr ¹ ,

L;

kV,-,

MS

§Ш

, щ£щ

тт.$шг* ' ткёш

Ham

тш

W%-

W,

gil

r\J

L7*

щ.*

г .*• 7П

•'

. ■'!,:■ •

il > - ; f..!M

⁴ 7. ' - - $дВ&

“Är^fTäf

*&*«*• Ж

Гу.

Жч$

^łr>

т тшкШ % Щ миг" *V-    -ч №Щ

«

ч,л., ,

ill

tv.

‘U-

y"

>4

f?

L-%

fl

ÉA;

»f m&i

ШкШ

"И

?и

ft?

*v j

>€ Зр

'Г

да

Tl

WM.

l-.il Щ»

У'

к^л

KTi

гЖ*1.

'•î

IM

'/

*" 5

»fl#

-'•Л!

' )t

1Ъ

Щ$, ¹Ш Шт

ш.

tv

;«û

ш

•Bmîïï- “ ' v‘ :

ЩИ,?

*♦' « r

ШЖ

3$i

*■-

si

»Ç*

SI

%*.

rl

* . • •- * : ' ’ .

?

,

: .• £

\ -* ■

'

Л

«

h :

lr

;

i

*

\

ff

&

/

.

Т" >

;

>    "Z

■ ‘ %

»

4?

У

С

#

I

y

V

I

i

1

\

♦

4

.

V

V

%

• i

•Л

ф

»

\

Л

0

.

"Г

*

¹

v

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

\

'

4

00000231360

.

«

«

<î-r

Л

Г

ь

J

. *

\

щ

/

/

t

V '

.

S

/

г

Щкк

'Л

/

.

V, ’ * •

у

i

■

. * \ .

■

т?1

V

-

/-

w

' ^ ■

.

V

Î

л

■’•'О«'

. ч

'5

»

/

jjj. - ;

I

•;<. * '

' 'Л X."/*

s*

\

(

♦

■

» . '<•

* :

; У

щ.

'

/ ».

\

V

✓

%À

лл

• *

♦*

уд-

/

0

■

■ ‘ / *

л

■■ -iy

к

\

■

у

л

* L

т

W *Ï-

у

‘

■

_

■

:•/

»

i

ш

I #

. "т ч *

/

Л

Ф

г

/

' -n

*

■VS

%

4-,

. /

*

4

\

, V

2

л

у

* .    /V "

' !    -к -т :

*

ч>

Ч

»

-Т:

'■ *

Г

ЪЩ" ■'

\

- %

/

л~" f'

i

,’Г I

■

'S

ft

Ь'£

%

> ■'• -,

/

L

» ' ;-

С

С.

I

I

V

' J

■

'

(

V..

\

г -

*

Чг -:

/*

;>

• • Y /

■

).

\

;

?

V

I

. \

. 0

• /

»

■

Ч

»

»

>

■-

ч

I

л

* _ •

.

ч.

VfV

Л-

\

»

ч

,

i

i

*

*

Ч

/

■

.у

/

à \ I

V

'

:>

■

s '-

Чг

I

4L-

t

«

. ■»

Y;

■V :

f

<

шж

v-

/

,y

- %

f

.

y.

г <

I

>;,Y

T

Л

’’

;•• . !4;l- .

#

/

>

Cl

%

/

V V

■ÿ

ffî

.

\

^ »,

WM

I!

•X

IS"

ZASADY

ALGEBRY WYŻSZEJ

przez

fyViadiysîawa ^aj q.Cî& fiaiv.'' fîicqj o,

Profesora Matematyki w Szkole Politechnicznej we Lwowie, Członka kor. Akademii Umiejętności w Krakowie i Towarzystwa Nauk ścisłych w Paryżu.

—<•>>

WE LWOWIE.

NAKŁADEM KSIĘGARNI GUBRYNOWICZA I SCHMIDTA

przy placu Katedralnym.

Vîû’i

1884.

Ç»

«к

■'S

■ ч

* /

, Л;

ZASADY

ALGEBRY WYŻSZEJ

przez

®&a tyV$ad\j$£awa %ającz>‘$iowc>Ąiicyo,

Profesora Matematyki w

or. Akademii

Szkole Politechnicznej we Lwowie, Q.złonka к Umiejętności w Krakowie i Towarzystwa Nauk ścisłych w Paryżu.

WÛXàtJi

U bil v

^ELLOt-U^

WE LWOWIE.

NAKŁADEM KSIĘGARNI GUBRYNOWICZA 1 SCHMIDTA przy placu. Katedralnym,

KO 5 И : 512.S ' of 5S')

HUitiEiMiiijimuit

*■

Z drukarni Wł. L. Anczyca w Krakowie.

IF

c_o

PRZEMOWA.

Książka niniejsza streszcza moje wykłady o algebrze wyższej w Szkole Politechnicznéj Lwowskiéj. Jéj przeznaczeniem jest zaradzenie brakowi odpowiedniego dzieła, któ-reby, jako podręcznik, można polecić słuchaczom. Jakoż dawniejsze dzieła, poświęcone tćj gałęzi nauk matematycznych, jako to :

Nauka matematyki, napisana przez Be z out’a a przełożona na język polski przez kapitana artyleryi Józefa Jakubowskiego, 4 tomy, Warszawa, 1781., którój tom 2-gi zawiera w sobie algebrę i przystosowanie algebry do geo-metryi;

Rachunku algebraicznego teoryja przystosowana do geo-metryi linij krzywych przez J. P. Śniadeckiego, /2 tomy, Kraków, 1783., którój tom 1-szy zawiera algebrę na dwie części podzieloną;

Początki algebry przez S. F. Lacroix, przełożone na język polski przez X. E. Sieradzkiego S. P., Wilno, 1818.;

Początki algebry przez Antoniego Wyr wieża, Wilno, 1827., i

Początki algebry przez G. A. H ręczy nę, Krzemieniec, 1830.,

TY

lubo na swój czas w zupełności odpowiadały celowi i, jak szczególnie dzieło Śniadeckiego, odzwierciadlały ówczesny stan nauki, dzisiaj są już przestarzałe i mogą być czytane jedynie dla nieporównanie jasnego rzeczy wystawienia, tudzież dla wzorowéj polszczyzny. W późniejszych zaś czasach wyszło kilka kursów algebry, wszakże traktujących tylko piérwsze téj nauki początki, które wchodzą w zakres nauczania średniego. Jedynie części najnowszćj algebry, teoryi wyznaczników, poświęcono liczne opracowania, między którymi chlubnie się wyróżniają:

1.    p. Władysława Trzaski (Kr e t к o w s к i e g o) : Krótkie wiadomości o wyznacznikach w przypisku do Zasad rachunku różniczkowego i całkowego, Władysława Folkierskiego , tom 1-szy, Paryż, 1870,

2.    p. Adolfa Śągajły: Przekład pracy: Lessons introductory to the modern higher Algebra, by G. Salmon, stanowiący drugi tom jego dzieła: Wykład zupełny Algebry, Paryż, 1874., na nieszczęście nieskończonego z powodu śmierci autora;

3.    p. Dra A. Żelewskiego: Nauka o wyznacznikach z zastosowaniami, Kraków, 1877., i

4.    Dra Maryana Baranieckiego: ТвОГуа wyznaczników, Paryż, 1879., 8° str. XXII., 600.

za-

W ułożeniu téj książki miałem na względzie przygotowanie matematyczne, już nabyte w szkole średniój, i dalsze potrzeby téj młodzieży, która wstępuje do Szkoły Politechnicznej. Stąd tóż początki rachunku algebraicznego przy jąłem jako znane, a z dalszych tych początków rozwinięć wyłożyłem obszerniej te, które uczniom Szkoły Politechnicznej, i jako wstęp do dalszych działów matematyki i jako środek do badania, wydały mi się najniezbędniejszymi. Kierując się zasadą, że wykład matematyki ma doskonalić hardzi éj rozsądek, aniżeli pamięć, że przeto głównym jego

daniem jest uczenie ścisłego i porządnego rozumowania, w rozważaniu szczegółów ograniczyłem się na najfundamen-talniejszych, bacząc głównie na jasność i ścisłość wywodów i na powiązanie szczegółów w całość organiczną. Pomimo tego nie pominąłem w tej książce teoryj, mniej dla technika praktycznego potrzebnych, jeżeli te otwierały źródło nowych myśli i wprowadzały na drogę nowych postępów.

Dlatego też włączyłem do tych zasad badania Abeba o równaniach dających się rozwiązać algebraicznie i poszukiwania p. Puis eux w dziedzinie funkcyj algebraicznych uwikłanych ; albowiem pierwsze stanowią punkt wyjścia w pracach nowszych geometrów, jak pp. J o r dana, Kron-neckera i innych, posuwających teoryją równań algebraicznych do coraz większej doskonałości, a wtóre są źródłem zadziwiających wynalazków, jakimi teoryją rachunku całkowego wzbogacił Riemann, a wciąż wzbogacają geometrowie współcześni, We i er strass, Fuchs i wielu innych.

W dwunastu pierwszych rozdziałach tej książki zamknąłem teoryją funkcyj algebraicznych i naukę o rozwiązywaniu równań algebraicznych; w trzech ostatnich rozdziałach dałem zarys teoryi wyznaczników z przystosowaniem do te-oryi rugowania i do teoryi form kwadratowych, w którym zawarłem wszystkie te wiadomości z algebry nowszej, jakie są niezbędne do zrozumienia méj geometrvi analitycznej, która obecnie wychodzi jako tom 1У. seryi IV. Biblioteki matematyczno-fizycznój, redagowanej w War-szawie przez p. Dra Maryana Aleksandra Baranieckiego.

Na końcu książki zamieściłem zbiór zadań do ćwiczeń, porządkiem rozdziałów ułożony, razem z krótkimi wskazówkami i odpowiedziami.

Na zakończenie jeszcze jedna uwaga.

Pierwotnie zamierzałem zawrzćć w tej książce, oprócz teoryi funkcyj i równań algebraicznych, także teoryją sze-

YI regów i funkcyj przestępnych, wszakże już po wytłoczeniu pićrwszych arkuszów, byłem zniewolony ograniczyć się uwagą samy cli tylko funkcyj algebraicznych i równań algebraicznych, a na wykład teoryi szeregów osobne dzieło poświęcić; tym tłumaczy się, dlaczego, określając zadanie algebry wyższćj (I. 1.), temu zadaniu zbyt obszerne naznaczyłem granice.

Oprócz licznych prac, wymienionych w samym tekście, korzystałem przy układaniu tego podręcznika z dzieł następujących:

edition, Pa-

m-

J. A. Herr et, Cours d’algèbre supérieure, Sk

ris, 1866.

Todhunter, An elementary treatise on the theory oj equations. 3⁰ edit. London.

Wolstenholme, Mathematical problems, 2° edit. London, 1878.

Na poprawność wydania baczną zwróciłem uwagę, wszakże, jeżeli poczet omyłek nie okazuje się zbyt wielkim, głównie w tym zasługa JPana Bronisława Gustawicza, profesora nauk matematyczno-przyrodniczych w gimnazyum św, Anny w Krakowie, który się korekty chętnie podjął i troskliwie ją przeprowadził, za eo Mu na tym miejscu najserdeczniejszą składam podziękę.

Pisałem we Lwowie, we wrześniu 1883 r.

SPIS RZECZY.

Rozdział I. — O liczbach.

Stronica.

1—9

1. Podział działań matematycznych na algebraiczne i przestępne, zadanie algebry wyższej. 2. Liczby całkowite i ułomkowe, dodatne i odjemne. 3. Liczby wymierne i niewymierne. 4. Obszar liczb rzetelnych albo rzeczywistych. 5. Liczby stałe i liczby zmienne. 6. Jedność urojona i jej znaczenie. 7. Obszar liczb urojonych.

8. Liczby zespolone. 9. Moduł i kierunek liczby zespolonej. 10. Liczba zespolona zmienna............

Rozdział li. — 0 działaniach algebraicznych.

10—23

1. Potrzeba uogólnienia określenia działań algebraicznych. 2. Dodawanie i odejmowanie. 3. Mnożenie i dzielenie. 4. Potęgowanie. 5. Pierwiastkowanie. 6. Wielowartościowość pierwiastka. 7. Wartości pierwiastków jedności. 8. Wartość pierwotna pierwiastka jedności dodatnój. 9. Ilość wartości pierwotnych pierwiastka jedności dodatnćj. 10. Wyrażenie pierwiastków jedności dodatnój przez pierwiastki stopni niższych. 11. Potęga ułomkowa i niewymierna liczby zespolonej.............

Rozdział III. — 0 funkcyjach algebraicznych w ogólności.

1. Określenie funkcyi. 2. Funkcyja algebraiczna, wymierna i niewymierna, wymierna całkowita i ułomkowa. 3. Stopień funkcyi całkowitej. 4. Funkcyja całkowita i jednorodna, liczba jej wyrazów, à. Zasadnicze własności tej funkcyi. 6. Określenie ogólne funkcyi algebraicznej i jednorodnej. 7. Funkcyja wymierna i symetryczna, jej rozłożenie na funkcyje symetryczne zasadnicze. 8. Sposób tworzenia funkcyj symetrycznych zasadniczych. 9. Wyrażenie wszelkich fu nkcyj

Till symetrycznych zasadniczych przez takież funkcyje pojedyncze. 10. Wyrażenie wszelkiej 1'unkcyi symetrycznej wymiernej przez funkcyje symetryczne zasadnicze i pojedyncze. 11. Funkcyje przemienne . .

Rozdział IV. — 0 funkcyjach pochodnych.

1. Pierwsze pochodne cząstkowe funkcyi całkowitej. 2. Pochodne wyższe. 3. Pochodne następne funkcyi całkowitej jednej zmiennej. 4. Rozwinięcie funkcyi całkowitej jednej zmiennej podług przyrostu téj zmiennéj. 5. Rozwinięcie funkcyi całkowitej wielu zmiennych podług przyrostów tychże zmiennych. 6. Wyrażenie funkcyi całkowitej zmiennej zespolonój pod postacią zespoloną. 7. Ciągłość funkcyi całkowitej jednej zmiennej. 8. Ciągłość funkcyi całkowitćj wielu zmiennych. 9. Ogólne określenie funkcyi pochodnej. 10. Prawidło ogólne na wynalezienie pochodnej funkcyi złożonej. 11. Pochodna sumy i iloczynu kilku funkcyj, pochodna ilorazu dwu funkcyj, pochodna potęgi funkcyi. 12. Wyrażenie ilorazu przyrostów dwu funkcyj rzetelnych zmiennej rzetelnej przez iloraz pochodnych tychże funkcyj. 13. Przypadek szczególny. 14. Rozwinięcie ścisłe funkcyi rzetelnej zmiennej rzetelnej, podług przyrostu tej zmiennej, razem z podaniem reszty tego rozwinięcia......

Rozdział V. — 0 pierwiastkach funkcyj całkowitych jednej

zmiennej.

1. Określenie pierwiastka. 2. Określenie czynnika pierwiastkowego, podzielność funkcyi przez czynnik pierwiastkowy. 3. Descar-tes'a sposób współczynników nieoznaczonych w zastosowaniu do dzielenia wielomianu przez dwumian (dzielenie syntetyczne, albo Йогпе-rowe). 4. Możność zmniejszenia modułu funkcyi całkowitćj, jeżeli tenże nie jest 0.    5. Istnienie przynajmniej jednego pierwiastka funkcyi

całkowitćj 6. Istnienie tylu pierwiastków funkcyi całkowitćj, ile jćj stopień zawiera jedności. 7. Niemożebnośó istnienia większej ilości pierwiastków. 8. Występowanie pierwiastków zespolonych parami, jeżeli współczynniki funkcyi są rzetelne. 9. Rozłożenie funkcyi całkowitćj na iloczyn czynników pierwiastkowych w przypadku pierwiastków równych. 10. Warunek, aby zachodziły pierwiastki równe. 11. Wykrycie pierwiastków równych. 12. Zastosowanie do przypadku szczególnego. 13. Określenie nieprzywiedlnośei funkcyi całkowitćj. zn _ X

14. Dowód, że funkcyja -- jest nieprzywiedlną, jeżeli n jest

liczbą pierwszą............

Rozdział VI. — 0 funkcyjach symetrycznych pierwiastków i o rugowniku.

1. Związek między pierwiastkami i współczynnikami funkcyi całkowitćj. 2. Wyrażenie sumy jednakich potęg pierwiastków przez

Stronica.

24-33

34—50

51—66

współczynniki. 3. Tożsamo, gdy wykładnik potęgi jest wyższy, niż stopień funkcyi, lub jest odjemnym. 4. Określenie rugownika dwu funkcyj całkowitych jednej zmiennej. 5. "Wyrażenie tego rugownika przez współczynniki obu funkcyj. 6. Waga rugownika. 7. Rugownik dwu funkcyj szczególnych. 8. Twierdzenie zasadnicze o rugowniku.

67-85

9. Wynalezienie pierwiastka wspólnego dwu funkcyj całkowitych jednej zmiennej. 10. Tożsamo w przypadkach wyjątkowych. 11. Ilość rozwiązań dwu funkcyj całkowitych dwu zmiennych. 12. Dochodzenie pierwiastków zespolonych funkcyi całkowitej jednej zmiennej, sprowadzone do poszukiwania rozwiązań rzetelnych dwu funkcyj całkowitych o dwu zmiennych. 13. Określenie funkcyj symetrycznych rozwiązań dwu funkcyj całkowitych dwu zmiennych. 14. Wyrażenie funkcyi symetrycznej rozwiązań dwu funkcyj o dwu zmiennych przez współczynniki tych funkcyj. 15. Rugownik trzech funkcyj o dwu zmiennych. 16. Waga tegoż wykładnika. 17. Ilość rozwiązań trzech funkcyj o trzech zmiennych. 18. Ogólne twierdzenie Bezout’a. .    .    .    .

Rozdział VII. — 0 równaniach algebraicznych.

86—10ö

Str nica.

1. Równań algebraicznych określenie, rozwiązanie równań dwojakie: analityczne i arytmetyczne. 2. Przekształcenie równań wymierne, a w szczególności linijowe. 3. Przekształcenie równania na inne, którego pierwiastki są wielokrotnościami pierwiastków założonego. 4. Przekształcenie równania na inne, którego pierwiastki są o daną liczbę mniejsze od pierwiastków założonego. 5. Przekształcenie równania na inne, którego pierwiastki są odwrotnościami pierwiastków założonego. 6. Dwie klasy równań odwrotnych. 7. Sprowadzenie wszelkich równań odwrotnych do jednej klasy. 8. Zniżenie stopnia równania odwrotnego. 9. Równań dwuwyrazowych rozwiązanie trygonometryczne. 10. Rozwiązanie równań trzywyrazowych. 11. Twierdzenia geometryczne Moivre’a i Cotes’a. 12. Przekształcenie Tschirnhau8en’a. 13. Przekształcenie funkcyi całkowitej i jednorodnej stopnia 2-go na sumę kwadratów. 14. Przekształcenie równania stopnia 5-go podług Jerrarda. 15. Sprowadzenie jakiegokolwiek przekształcenia wymiernego do przekształcenia Tschirnhausen’a.

Rozdział VIII. — Rozwiązanie równań algebraiczne.

1. Równanie stopnia 3-go czyli sześcienne. 2. Rozbiór szczegółowy jego pierwiastków. 3. Równanie stopnia 4-go czyli dwukwa-dratowe. 4. Rozbiór szczegółowy j>go pierwiastków. 5—7. Dowód niemożebności rozwiązania algebraicznego równań ogólnych stopnia wyższego nad czwarty. 8. Istota równań Abeba. 9. Rozłożenie pierwiastków równania nieprzywiedlnego na grupy, jeżeli jeden z jego pierwiastków wyraża się wymiernie przez drugi. 10—11. Sprowadzenie równania nieprzywiedlnego stopnia ₍u., którego pierwiastki tworzą m grup po n pierwiastków, na m równań stopnia n. 12. Rozwią-

Zasady algebry wyższej.

Rozdział IX. — Rozwiązanie równań arytmetyczne.

131 -154

1. Rozwiązanie arytmetyczne składa się z oddzielenia pierwiastków i z rachunku liczebnego tychże. 2 Ilość pierwiastków rzetelnych między danymi granicami, twierdzenie zasadnicze. 3. Geometryczne przedstawienie osnowy tego twierdzenia. 4. Twierdzenie Budan’a. 5. Wnioski wypływające z twierdzenia Budan’a, w szczególności twierdzenie Descartes’a o ilości pierwiastków dodatnych i odjemnych. 6. Prawidło Newton’a na wyznaczenie granic pierwiastków rzetelnych, wywiedzione z twierdzenia Budan’a. 7. Twierdzenie Rolle’a. 8. Geometryczne przedstawienie osnowy tego twierdzenia. 9. Twierdzenie Sturm’a. 10. Uwagi do tego twierdzenia. 11. Zastosowanie do dwu przykładów. 12. Oddzielenie pierwiastków, sposób Sturm’a. 13. Sposób Fourier’a, przypadek szczególny. 14. Przypadek ogólny. 15. Zastosowanie do dwu przykładów ....

Rozdział X.

Rozwiązanie równań arytmetyczne (Dokończenie).

155—169

1. Rachunek liczebny pierwiastków wymiernych, Newtona sposób dzielników. 2. Uwagi do tego sposobu i zastosowanie do przykładu. 3. Rachunek pierwiastków niewymiernych sposobem Newton’a z poprawką Fourier’a, przypadek kiedy granica niższa jest zewnętrzną. 4. Stopień przybliżenia. 5. Przypadek, kiedy granica wyższa jest zewnętrzną. 6. Przykład. 7. Rachunek pierwiastków niewymiernych sposobem Horner’a; ogólny widok tego sposobu. 8—12. Wyjaśnienie wszelkich szczegółów rachunku na przykładzie .

Rozdział XI. — 0 funkcyi algebraicznej wymiernej i ułom-

kowój.

170-184

Stronica.

zanie równań АЬеГа, którego pierwiastki tworzą jednę grupo, a stopień równania jest liczbą pierwszą. 13. Przypadek, kiedy stopień tego równania nie jest liczbą pierwszą. 14. Zastosowanie do równania dwuwyrazowego, zxl — 1 = 0 .

w szczególności rozwiązanie równania

105-130

1. Ułomek właściwy i niewłaściwy, zera i nieskończoności tego ułomka. 2. Moźebność rozłożenia ułomka właściwego na ułomki proste, ogólny kształt tego rozłożenia. 3. Rachunek liczebny liczników ; przypadek, kiedy mianownik ma pierwiastki same pojedyncze. 4. Wzór Leibnitz’a na pochodne iloczynu dwu funkcyj jednej zmiennej. 5. Zastosowanie do rachunku liczników w przypadku, kiedy mianownik ma pierwiastki wielokrotne. 6. Sposób Jana Bernouille’go do tego-samego celu służący. 7. Rozciągnięcie sposobu Bernouillego na przypadek, kiedy pierwiastki mianownika są zespolone .    .    .    .

Rozdział XII. — 0 funkcyjach algebraicznych uwikłanych.

185—206

1. Wielokształtność funkcyi w zmiennej », określonej równaniem algebraicznym F(w;z) — 0. 2—5. Twierdzenie Cauchy’ego o ilości pierwiastków zespolonych równania f(z) = 0 w danym obrębie. 6. Ciągłość pierwiastków w względem zmiennej z równania algebraicznego F(w,z) = 0. 7. Rozwinięcie tych pierwiastków podług zmiennej », wskazanie sposobu tego rozwinięcia. 8. Równoległobok Newto-n’a. 9. Rozkładanie się pierwiastków na grupy około punktów, zwanych wielokrotnymi. 10. Rozkładanie się każdej grupy na gromady tworzące układ, zwany kołowym. 11. Rozwinięcie zupełne pierwiastków. 12. Bieguny funkcyi w, określonej równaniem F(w, z) — 0 i zachowanie się tej funkcyi przy » = oo. 13. Zastosowanie do dwu przykładów. 14. Wielowartościowość pierwiastków równania F(w, z) = 0.

Rozdział XIII. — 0 wyznacznikach.

207—230

1. Przedmiot dalszych rozdziałów. 2—3. Krótkie wiadomości z teoryi podstawień. 4. Określenie i znakowanie wyznacznika kwadratowego. 5. Przemiana wierszy i odpowiednich kolumn nie zmienia wyznacznika. 6—7. Własności zasadnicze wyznacznika, wypływające wprost z określenia. 8. Rozłożenie wyznacznika na wyznaczniki rzędów niższych, uporządkowanie podług elementów jednego szeregu, podwyznaczniki pierwsze lub ilości dołączone. 9. Ogólniejsze rozłożenie podług twierdzenia Vandermonde’a. 10. Wnioski z twierdzenia Vandermonde’a. 11. Mnożenie wyznaczników, sposób p. Sardi. 12. Wyznacznik układu dołączonego, jego wartość. 13. Wartość podwy-znacznika układu dołączonego. 14. Wyznacznik symetryczny i skośny, własności ich podwyznaczników. 15. Przypadek, kiedy wyznacznik symetryczny jest kwadratem. 16. Przedstawienie wyznacznika skośnego pod postacią kwadratu pfafianu........

Rozdział XIV. Zastosowanie teoryi wyznaczników do rozwiązania układu równań algebraicznych.

1. Układ równań stopnia 1-go, wstępne określenia. 2. Warunek konieczny i wystarczający, aby równania układu nie były sprzecznymi (pierwsze twierdzenie p. Rouchć). 3. Oznaczoność lub nieoznaczoność rozwiązania układu równań niesprzecznych (drugie twierdzenie p. Rouchć). 4. Przypadek n równań z n niewiadomymi, 5. Wyrażenia pod postacią wyznacznikową sumy jednakich potęg pierwiastków równania przez współczynniki tegoż i nawzajem. 6. Przypadek, kiedy równania założone są jednorodnymi. 7. Układ dwu równań stopni wyższych, sposób rugowania Euler’a. 8. Zastosowanie tego sposobu do przypadku szczególnego. 9. Wyznaczenie pierwiastka wspólnego.

231—249

Stronica.

10. Sposób p. Sylvester’a. 11. Sposób Bezout’a, udoskonalony przez Biehler’a. 12. Zastosowanie tego sposobu doprz ypadku szczególnego.

Rozdział XV. — Teoryja form kwadratowych.

1. Określenie podstawień linijowych. 2. Przekształcenie ogólne formy kwadratowej zapomocą podstawienia linijowego. 3. Podstawienie prostokątne. 4. Rozłożenie formy kwadratowej na sumę kwadratów, nieoznaczoność tego zadania. 5. Prawo bezwładności form kwadratowych. 6. Rozłożenie zapomocą podstawień prostokątnych. 7. Dowód rzetelności pierwiastków równania Д(S) = 0.    8. Przypadek

pierwiastków równych tegoż równania. 9. ’Wyróżnik formy kwadratowej, jego znikanie. 10. Wyróżnik jest niezmiennikiem ze względu na wszelkie podstawienia linijowe. 11. Rozłożenie jednoczesne dwu form kwadratowych na sumę kwadratów. 12. Rzetelność pierwiastków równania wyróżnikowego Д(Х) = 0, kiedy jedna z form jest wciąż dodatna .............

Zadania do twiczeń

Wskazówki i odpowiedzi

250-267

268-278

279—286

Stronica.

ROZDZIAŁ I.

0 liczbach.

1.    Łączenie dwu lub więcej liczb podług pewnego prawidła nazywa się działaniem matematycznym. Działania matematyczne dzielimy na dwa główne rodzaje : działania algebraiczne i działania przestępne. Do pierwszego rodzaju należy sześć następujących działań zasadniczych : dodawanie, mnożenie i podnoszenie do potęgi o wykładniku całkowitym, odejmowanie, dzielenie i wyciąganie pierwiastka o wykładniku całkowitym, z których trzy pierwsze są działaniami idącymi wprost, a trzy ostatnie działaniami idącymi wstecz. Ilość działań przestępnych czyli wykraczających poza granice algebry jest nieograniczona. Z początków algebry jest znane jedno takie działanie : szukanie logarytmu danej liczby i naodwrót szukanie liczby, której loga-rytm jest dany. W trygonometryi poznano insze działania przestępne, mianowicie szukanie funkcyi kołowej (wstawy, dostawy, stycznej, do-tycznój, siecznej, dosiecznój) danego łuku, i naodwrót szukanie łuku, którego jedna z funkcyj kołowych jest dana.

Algebra wyższa zajmuje się badaniem praw działań algebraicznych na obszarze liczb najrozleglejszym i wykrywa własności wypadków tychże działań. Celem zaś rozwiązania swego zadania, używa jedynie metod arytmetyki i algebry początkowej.

Obszar liczb rzetelnych.

2.    Liczbami pierwotnymi są liczby bezwzględne całkowite 1, 2, 3, 4 . . . . Działania algebraiczne idące wprost, uskutecznione na liczbach bezwzględnych całkowitych, dają zawsze na wypadek liczbę

Zasady algebry wyzszéj.

bezwzględną całkowitą, stąd też ich uskutecznienie jest zawsze może-bne. Inaczej rzecz się ma z działaniami algebraicznymi idącymi wstecz.

Jakoż naprzód, jeżeli mamy od liczby bezwzględnej a odjąć takąż liczbę h, wypadek działania będzie tylko wtedy liczbą bezwzględną całkowitą, gdy odjemnik h jest mniejszy od odjemnćj a. Ażeby więc umożebuić uskutecznienie odejmowania i wtedy, gdy h > a, potrzeba obszar pierwotny liczb bezwzględnych całkowitych rozszerzyć i uzupełnić przez wprowadzenie liczby 0 i obszaru liczb całkowitych odjemnych. Wypadek dzielenia liczby całkowitej a przez liczbę całkowitą Ъ będzie liczbą całkowitą tylko wtedy, gdy dzielna a jest całkowitą wielokrotnością dzielnika b. Chcąc więc umożebnić uskutecznienie dzielenia we wszelkich możebnych przypadkach, należy znowu obszar liczb całkowitych rozszerzyć i uzupełnić przez wprowadzenie liczb ułamkowych czyli ułomków.

Liczby całkowite i ułomkowe, dodatne i odjemne tworzą obszar liczb wymiernych. Ten obszar można obrazowo przedstawić jako ciąg punktów, które w równych od siebie odstępach, leżą na linii prostej czyli osi, nieograniczonej w obu kierunkach. Przedstawicielami liczb dodatnych będą wtedy punkty, które się znajdują na kierunku tej prostej, ciągnącym się od punktu przedstawiającego 0, czyli od początku w jednę stronę, a przedstawicielami liczb odjemnych będą te punkty, które leżą na kierunku prostej XX', ciągnącym się od tegosamego początku 0 w drugą stronę (fig. 1.) :

Fig. 1.

X¹-

Naznaczywszy na tej prostej naprzód punkty mające przedstawiać 0 i liczby całkowite, wówczas punkty pośrednie będą przedstawiały liczby ułomkowe. Punkty przedstawiające liczby ułomkowe o wspólnym mianowniku g, będą leżały tym bliżej siebie, im większym jest ten mianownik. Atoli, jakkolwiek wielkim byłby ten mianownik, to zawsze będą przerzeczone liczby ułomkowe oddzielone od siebie, tak iż przy

przejściu od punktu, przedstawiającego -2-cego ułomek następny ^    ^

do punktu, przedstawiają-

potrzeba przeskoczyć kawałek prostej.

3. Obszar liczb wymiernych nie wystarcza, gdy chodzi o wyciąganie pierwiastka o wykładniku całkowitym chociażby z liczby bezwzględnej całkowitej. Jakoż, jeżeli mamy z liczby bezwzględnej całkowitej a wyciągnąć pierwiastek o wykładniku n, także bezwzględnym całkowitym, wypadek otrzymany będzie tylko wtedy liczbą całkowitą, gdy istnieje liczba całkowita, która wzięta n razy jako czynnik mnożenia daje na iloczyn liczbę a. Jeżeli zaś takiej liczby całkowitej nie ma,

—, gdzie p i q są dwiema liczbami całkowitymi i względem siebie pierwszymi, mielibyśmy wówczas a = co niedorzeczna, gdyż strona pierwsza jest liczbą całkowitą

wówczas wartość pierwiastka j/a nie daje się wyrazić także przez ułomek. Albowiem, jeżeliby było \

strona druga ułomkiem, którego licznik i mianownik są również

liczbami względem siebie pierwszymi. Pierwiastek j/a, gdy a nie jest potęgą liczby całkowitej, jest więc nową liczbą, nie znajdującą się w obszarze liczb wymiernych. Taką liczbę nazwiemy liczbą niewymierną. Ażeby więc działanie wyciągania pierwiastka umożebnić we wszelkich przypadkach, należy obszar liczb wymiernych rozszerzyć i uzupełnić przez wprowadzenie do niego liczb niewymiernych.

Dokładnej wartości na liczbę niewymierną nie można podać, wszakże można taką liczbę zamknąć między dwie liczby wymierne

z nieograniczonym wzrastaniem liczby

i i    których różnica

stać się może podług upodobania małą. Tak np. przez wyciąganie pierwiastka kwadratowego, znajdziemy kolejno 1 < j/2 < 2, 1*4 < j/2 < 1-5, 1-41 < j/2 < 1-42, P414 <c j/2 < 1*415, it.d.

4. Liczby niewymierne razem z liczbami wymiernymi tworzą obszar liczb rzetelnych albo rzeczywistych.

Jeżeli obszar liczb wymiernych przedstawimy obrazowo jako ciąg punktów, które w równych od siebie odstępach leżą na prostej w obu kierunkach nieograniczonej (fig. 1.), to natenczas między dwoma po sobie następującymi punktami będzie przerwa zapełniona punktami, których oddalenie od początku prostej, tj. od punktu 0, nie może być wyrażone przez żadną liczbę wymierną. Te punkty są więc przedstawicielami liczb niewymiernych.

Przez wprowadzenie liczb niewymiernych zamienia się szereg prostolinijowy punktów, służący do przedstawienia liczb wymiernych, na szereg nieprzerwany punktów, mających teraz przedstawiać szereg nieprzerwany liczb rzetelnych. Każdy punkt tej prostej jest przedstawicielem pewnej liczby w obszarze liczb rzetelnych i nawzajem

Punkty na kierunku linii czyli osi liczb rzetelnych, ciągnącym się od punktu 0 ku prawej, będziemy uważali jako przedstawiające liczby dodatne, punkty zaś na kierunku téj osi, ciągnącym się od 0 ku lewej, będziemy uważali jako przedstawiające liczby ódjemne. Odległość jakiegokolwiek punktu na osi liczb rzetelnych od początku téj osi, tj. od punktu 0, jest wartością bezwzględną liczby, mającej ten punkt za przedstawiciela.

każda liczba rzetelna jest miejscowskazem pewnego punktu na tej prostej.

5. Przejście od liczby a do liczby Ъ w obszarze liczb rzetelnych można wyobrazić jako ruch punktu, który przebiega kawałek osi liczb rzetelnych, ciągnący się od przedstawiciela liczby a do przedstawiciela liczby b, w ten sposób, że odległość jego od przedstawiciela liczby b wciąż się zmniejsza. Jeżeli punkt ruchomy spotyka po razu każdy punkt na uważanym kawałku osi liczb rzetelnych, powiadamy wtedy, że jego ruch jest ciągłym albo nieprzerwanym.

Miejscowskaz punktu, mającego położenie oznaczone na osi liczb rzetelnych, nazywamy liczbą rzetelną stałą; miejscowskaz zaś punktu, bieżącego po osi liczb rzetelnych, nazywamy liczbą rzetelną zmienną. Liczba zmienna jest ciągłą między a i b, jeżeli punkt bieżący, który ją przedstawia, przebiega obręb osi od a do & w sposób ciągły.

Liczby stałe oznacza się pospolicie początkowymi literami alfabetu, jak np. przez a, b, c, . .    a na oznaczenie liczb zmiennych

przy-

używa się pospolicie liter alfabetu końcowych, np. ж, ?/, z. . czym różność liter pospołu użytych wskazuje na różność liczb tymi literami oznaczonych.

Niekiedy dogodniej, rozmaite liczby wchodzące do tegosamego zagadnienia, oznaczać jedną literą z rozmaitymi wskaźnikami, tj. z różnymi liczbami szczególnymi u spodu litery podpisanymi, lub z rozmaitą ilością kresek; a więc: liczby stałe przez ul5 a₂,... lub przez u",liczby zaś zmienne przez xt, ж₂,... lub przez x', ж",.•••

Obszar liczb urojonych.

0 funkcyjach algebraicznych w ogólności.

• h|-

. . f|(z) = a0 Zt ZX .. Z .

(X1 4" ^yi)P 4“ (x2 +^У2)Р 4“ • • ' 4” (xm n 4~ ^ymn)P=d04-d1 X + d2X2 4~

(zm + -^r) + Pi (zm_1

V = I В ,

Rozwiązanie równań arytmetyczne.

Oddzielenie pierwiastków rzetelnych.

Машу f(x) Е5Е X3 — 2х — 5, Df(x) = Зх2 — 2, D2f(x) = 6'х, iff(x)=6] a zatym skoro:

D’n+f(Z)^a.Dmy1+(“r)D«.Dv+rr)Du.D";1+..+r|,)Du.Dv+Dmu+.1Y, tj. wzór namieniony, jeżeli jest prawdziwy dla n — m, utrzyma się i dla n — m -f- 1. A że prawdziwości jego dowiedliśmy bezpośrednio dla n — 1 i n = 2, więc utrzyma się on i dla n — 2, 3...., w ogóle, dla jakiejkolwiek wartości całkowitej i dodatnój na n.

(4) . .

Wielowartościowość pierwiastków.

о, о, 0,

1,

Rozłożenie formy kwadratowej na sumę kwadratów.

(b) —.

x2—{A3, {A3({a2 X3) -f (Pi—X2) (P2-X3) (p3—xi)'

Obszar liczb urojonych.

6. Obszar liczb rzetelnych nie wystarcza jeszcze, gdy chodzi o wyciąganie pierwiastka stopnia parzystego z liczby rzetelnej od-jemnój; albowiem w obszarze lic/b rzetelnych nie ma takiej liczby, której potęga stopnia parzystego jest odjemną. Z tego powodu potrzeba znowu rozszerzyć i uzupełnić obszar liczb rzetelnych, przez wprowadzenie pierwiastków stopnia parzystego z liczb rzetelnych odjemnych, jako liczb nowych. Dla wyobrażenia tych nowych liczb użyjemy dotychcza-

ÖB’ = OA.OA' i OB'! = OA.OA';

mamy zatym :

sowego przedstawienia liczb zapomocą punktów, przyczyni ograniczymy się uwagą pierwiastków kwadratowych z liczby odjemnój, jako najprostszych i jedynych, z jakimi w ciągu dalszym mieć będziemy do czynienia. Według tego, co się powiedziało powyżej, można liczbę -)- 1 uważać także jako oddalenie pewnego punktu A na kierunku dodatnym OX osi liczb rzetelnych od początku 0, lub jako promień OA na kierunku dodatnym osi liczb rzetelnych, przyjęty za jednostkę długości (fig. 2.). Podobnie liczbę — 1 można ■X uważać jako promień OA' na kierunku odjemnym OX' osi liczb rzetelnych, którego długość jest także równą jednostce długości.

Fig. 2.

-S

X-—I

A⁹

Poprowadźmy przez początek 0 prostopadłą YY' do osi liczb rzetelnych i weźmy na kierunkach O Y i OY' tej prostopadłej promienie OB i OB', których długość jest także równą jednostce długości, tj. OB = OB' — OA = OA'. Podług znanego twierdzenia geometrycznego jest OB i OB' średnią geometryczną między OA i O A', tj.

y’

OB! = (+1).(-1) = -1 i OB'¹ = (+!)■( —1) = —¹ ; skąd wypływa :

OB = ± ]/- 1

OB'

1.

Jeżeli więc położymy OB = -f- j/—- 1, wówczas położyć należy OB' = — j/— 1, gdyż kierunki promieni OB i OB' są taksamo sobie

można

przeciwne, jak kierunki promieni OA i OA'. A zatym j/— 1 uważać jako promień OB, którego długość jest równa jednostce długości, wzięty na jednym z kierunków OY, OY', np. na pierwszym, osi prostopadłej do osi liczb rzetelnych, a poprowadzonej przez początek O tej osi, lub jako micjscowskaz punktu końcowego В tego pro

mienia ; podobnie — J — 1 będzie promieniem OB', którego długość jest równą jednostce długości, wziętym na drugim z kierunków OY, OY' (a więc na OY') osi YY', lub miejscowskazem punktu końcowego B' tegoż promienia. Stąd też \ — 1 nazywamy jednością, ale dla odróżnienia od jedności rzetelnej, jednością urojoną. Za przykładem

Gaussa (Getyngskie : Gelehrte Anzeigen-, 1831., 64) jedność urojoną będziemy oznaczali literą i; jej określeniem jest więc:

(1) . .

• i = y:

Z tego wzoru wypływa :

i² = — 1, i³ = i², i =r — i, i⁴ = (i²)² = (—1)2 = -f i i t. d.

W ogólności, rozumiejąc przez n liczbę całkowitą, mieć będziemy:

(2) . . i4n = -f- 1, i4n + ¹ — i, i4n +² = — 1, i in + з — — j.

7. Podobnie jak z jedności rzetelnej powstają przez jej uwielokro-tnianie i dzielenie wszelkie liczby rzetelne, tymsamym sposobem można z jedności urojonej wyprowadzić cały obszar liczb, które nazwiemy liczbami urojonymi. Liczby urojone będą więc miejscowskazami punktów leżących na osi YY', która jest prostopadłą do osi liczb rzetelnych i przechodzi przez jej początek O; liczby urojone dodatne będą miejscowskazami punktów na jednym kierunku np. OY, a liczby urojone odjemne miejscowskazami punktów na drugim kierunku OY' osi YY'.

Skoro j/—a² = j/a² (—1)

j/a². У

1 — a i ; pierwiastek więc kwadratowy z liczby rzetelnej odjemnój jest liczbą urojoną.

Jak liczbę rzetelną odjemną — a można uważać jako powstającą z liczby rzetelnej dodatnój -j- a przez obrót promienia dodatnego O A, którego długość równa a, o półokręgu czyli %, wskutek czego promień OA przechodzi do położenia OA', a punkt A do położenia Aj taksamo liczbę urojoną dodatną -f- ai lub odjemną — ai można uważać jako powstającą z liczby rzetelnej dodatnéj -j- a przez obrót promienia dodatnego OA, którego długość równa a, około początku 0 względnie

o ćwierć lub trzy ćwierci okręgu, t. j. lub w kierunku wska-

zanym na fig. 2. przez następstwo liter А, В, Aj B'. Według tego oś liczb urojonych nie jest urojoną sama przez się, lecz jedynie w odniesieniu do osi liczb rzetelnych. Gdybyśmy uważali punkty na osi YY' jako mające miejscowskazy rzetelne, to natenczas urojonymi byłyby miejscowskazy punktów na osi XX'. Na przyszłość będziemy uważali zawsze oś XX' za oś liczb rzetelnych, a YY' za oś liczb urojonych, kierunki zaś OX i OY tych osi będą dodatnymi, a kierunki OX' i OY' kierunkami odjemnymi.

Obszar liczb zespolonych.

8. Łączenie dwu lub więcej liczb rzetelnych, albo też dwu lub więcej liczb urojonych, zapomocą dodawania, daje na wypadek liczbę rzetelną, lub odpowiednio liczbę urojoną. Inaczej rzecz się ma, jeżeli chodzi o łączenie zapomocą dodawania dwu lub więcej liczb, z których jedne są rzetelnymi, a inne urojonymi. Jeżeli w szczególności a i h są dwiema liczbami rzetelnymi, to suma a -}- hi nie jest ani liczbą rzetelną, ani też liczbą urojoną, czyli nie jest wielokrotnością lub częścią ani jedności rzetelnej, ani też jedności urojonej. Liczby kształtu a -j- Ы nazywamy liczbami zespolonymi.

Łatwo spostrzódz, że liczby zespolone mieszczą w sobie, jako przypadki szczególne, tak liczby rzetelne, jako też liczby urojone; albowiem, jeżeli h — o, liczba zespolona a -j- Ы przechodzi na rzetelną a; jeżeli zaś a = o, liczba zespolona a -j- Ы staje się urojoną hi ; stąd też w wyrażeniu liczby zespolonej a -f- hi, liczbę a zowiemy częścią rzetelną, a liczbę h częścią urojoną liczby zespolonej a -f- Ы.

mianowicie drogi O A — a, odbytej.

Aby wyrozumieć znaczenie liczb zespolonych, musimy się przede-wszystkim zastanowić nad znaczeniem geometrycznym dodawania dwu liczb rzetelnych. Do liczby rzetelnej a dodać liczbę rzetelną h znaczy: przebiedz na osi liczb rzetelnych naprzód drogę OA = a, a potym drogę AB = h w kierunku tymsamym lub przeciwnym, według tego, czy a i h mają znaki jednakowe, czy też przeciwne. Atoli, z ruchem wykonanym w pewnym kierunku można w ten sposób zespalać nietylko dalszy ruch tegosamego lub przeciwnego kierunku, ale także ruch, dokonany w jakimkolwiek innym kierunku. Stąd też liczbę zespoloną а-\-Ы można uważać jako zespolenie dwu dróg, odbytych w kierunkach do siebie prostopadłych

na

Fig. 3.

X-

y A’

za

kierunku osi liczb rzetelnych i drogi AB — h (fig. 3.), odbytej na kierunku prostopadłym do osi liczb rzetelnych lub, co wychodzi na jedno, na kierunku równoległym do osi liczb urojonych. Liczbę zespoloną a -j- Ы można więc uważać za miejscowskaz punktu В na płaszczyźnie wyznaczonej przez oś liczb rzetelnych i oś liczb urojonych, którego odległość od osi liczb urojonych jest równa a, a odległość od osi liczb rzetelnych jest równa h. Według tego, jak a > o i h "> o, a <Z o i b > o, a <L o \ <C o X lub a> o i b < o, punkt,

JB?

B”

miejscowskaz liczbę zespoloną a -j- Ы, będzie leżał w ćwiartce płaszczyzny XO Y, FOX', X'OY', lub Y'OX.

Nawzajem, każdy punkt na płaszczyźnie, wyznaczonej przez osi liczb rzetelnych i urojonych, będzie przedstawicielem pewnej liczby zespolonej. Pierwszy pomysł tego przedstawienia liczb zespolonych zawdzięczamy geometrze angielskiemu Wallis’owi (Treatise of algebra. London, 1685. Chapter LXVII), a dalsze rozwinięcie tego pomysłu geometrom francuskim: księdzu Buè (Mémoire sur les quantités imaginaires w Philosoph. Transact, z czerwca 1805) i Argand’owi (Essai sur une manière de représenter les quantités imaginaires. Paris, 1806).

Według tego określenia liczbami zespolonymi równymi są te, które są miejscowskazami tegosamego punktu ; a zatym jeżeli a -j- Ы = c 4 di. wówczas a = ÜÄ ß> — d.

tójsamój prostej przechodzącej przez początek.

na

Dwie liczby zespolone przeciwnymi są te, które są miejscowskazami dwu punktów В i B' leżących w równych odległościach od początku osi

Jeżeli więc liczby zespolone a -j- Ы i c -j- di są przeciwnymi, wówczas a — — с, h — — d.

Dwie liczby zespolone a 4 Ы i a — Ы, które się różnią tylko znakiem części urojonej, nazywają się liczbami zespolonymi sprzężonymi. Takie dwie liczby są miejscowskazami dwu punktów В i В", leżących symetrycznie względem osi liczb rzetelnych.

9. Oddalenie punktu В, o miejscowskazie a 4 Ы, od początku osi O nazywamy modułem albo zamiennikiem liczby zespolonej a -j- Ы, a kąt, jaki z kierunkiem dodatnym OX osi liczb rzetelnych czyni kierunek prostej OB, nazywamy argumentem albo kierunkiem tej liczby zespolonej. Jeżeli a jest liczbą bezwzględną rzetelną, natenczas moduł liczb -f- a, — a, f- ai, — ai będzie równy' a, gdy tymczasem kierunki

tych liczb są odpowiednio równe: тс Зтг

— lub ogólniej 2xtc, (2x4 1)я,

m

(4 x 4 1 )tc

(4x + 3) тс

gdzie X oznacza jakąkolwiek liczbę całkowitą.

Jeżeli r jest modułem liczby zespolonej a 4 hi, a 6 kierunkiem tejże liczby, pisze się za przykładem geometry Français (G er gönne : Annales des Mathématiques z roku 1813):

(1) . .

.    . a 4 bi = rQ

mówiąc, że a 4 hi jest równa liczbie r z kierunkiem 6.

Z trójkąta prostokątnego O AB (ii<i. 3.), w którym O A = a, AB = h, OB = г, С АО В = 0, wypływa :

sin 6 = —

cos 6 = —;

(2) . .

= У a² 4 b²,

przyczyni pierwiastek kwadratowy bierze się co do wartości bezwzglę-dnój, albowiem r oznacza liczbę bezwzględną jednostek długości.

Wskutek (2) zamienia się wzór (1) na

(3)    .    . rg = r (cos 0 -f- i sin 0).

Dla r == 1, wypływa z (3) :

(4)    lg = cos 0 -f- i sin 0, co uwzględniwszy, zamiast (3) można pisać :

(5)    .    .

• • rQ =. r- Ч-

Czynnik lg nazywamy jednością z kierunkiem 0; ta jedność powstaje z jedności dodatnćj przez obrót promienia dodatnego OA — 1 około 0 o kąt 0; według tego określenia jest rg = jedności z kierunkiem 0 uwielokrotnionój liczbą bezwzględną r.

Z określenia liczb zespolonych równych, przeciwnych i sprzężonych, wypływają następujące twierdzenia :

a)    Dwie liczby zespolone równe mają moduły równe, a ich kierunki są albo równe albo różnią się całkowitą wielokrotnością okręgu.

b)    Dwie liczby zespolone przeciwne mają moduły równer a różnica ich kierunków jest równa тс lub nieparzystej wielokrotności półokręgu.

c)    Dwie liczby zespolone sprzężone mają modliły równe, a suma ich kierunków jest równa 2ir lub całkowitej wielokrotności okręgu.

10. Od punktu В, przedstawiającego liczbę zespoloną a bij można przejść do punktu D, przedstawiającego liczbę zespoloną c -j- di, w ten sposób, że wyobrażamy sobie punkt ruchomy, który przebiega od punktu В do punktu D jakąkolwiek liniją (prostą lub krzywą), między tymi dwoma punktami poprowadzić się dającą. Miejscowskaz punktu bieżącego nazywamy liczbą zespoloną zmienną. W liczbie zespolonej zmiennej z s= cc -j- yi jest — mówiąc w ogólności — zmienną tak część rzetelna cc, jako też część urojona y.

Zasady algebry wyższej.

ROZDZIAŁ II.

0 działaniach algebraicznych.

1.    Liczby zespolone mieszczą w sobie, jako przypadki szczególne, tak liczby rzetelne, jako też liczby urojone, określenia więc działań algebraicznych na liczbach zespolonych powinny w sobie obejmować, jako przypadki szczególne, określenia działań na liczbach rzetelnych i na liczbach urojonych. Przejdźmy za porządkiem każde z sześciu zasadniczych działań algebry.

2.    Dodawanie określamy, jak następuje : Do liczby a dodać liczbą b znaczy, przejść od liczby a do sumy w ten sposób, jak się od 0 przechodzi do liczby b.

Niech więc będzie a = r^b = r'^ . Do liczby r'^ przejdziemy od O w ten sposób, gdy na dodatnym kierunku osi liczb rzetelnych weźmiemy (fiy. 4.). promień OQ' — OP' = /, a potym ten promień obrócimy około O o kąt ХОР' — 6'. Jeżeli więc punkt P jest przedstawicielem liczby to chcąc znaleść sumę -f- r'^ , należy na kierunku PX' // OX wziąć promień PP — r', a następnie ten promień obrócić około P o kąt X'PS — XOPr = 6'. Jeżeli PS = PD = OP', wtedy punkt S będzie przedstawicielem sumy, a miejsco-

Fig. 4.

wskaz tego punktu Rt będzie się równał tej sumie.

p’

V-

Trójkąt O PS, w którym OP — r, PS — /, OS — D, a Zl OPS = тс    (6'--6), daje :

R = y|r² -f- r'² -j- 2rr'cos (6'—6) J

=y{r²(cos²6 -f- sin²6) -f r'²(cos²6' -}- sin²6') -f- 2rr'(cos6cos6' + sinösinö')}

. R = |/|(rcos9 4- r'cos0')² -j- (rsinQ r'sinQ')²}

tj. (1) •

a nadto, gdy Z XOS = T, mamy:

rcos 0 -j- r'cos 0'

(2) -

. cos T =

sinT =

rsin 0 4- r'sin 0'.

A zatym, położywszy :

0)\r

(S)    .    .

• • rj + rV = Rt >

będzie

Ai

(4)    .    .    .    . RT = R (cosT 4- isinT) = (rcos0 4* r'cos0') 4-

i(rsin0 4- r'sin0').

A zatym, suma dwu liczb zespolonych jest nową liczbą zespoloną, którój część rzetelna i część urojona jest odpowiednio sumą części rzetelnych i części urojonych obu danych liczb.

Wyrażenie na R pokazuje nadto, że moduł sumy dwu liczb zespolonych nie może być większym od sumy modułów tychże liczb.

w szczegól-

Te dwa twierdzenia dają się rozciągnąć na ilekolwiek liczb, mających być złączonymi ze sobą zapomocą dodawania ności można okazać, że suma liczb zespolonych nie zależy od następstwa, w jakim te liczby do siebie dodajemy.

Odejmowanie liczby b od liczby a jest równoważne dodaniu do liczby a liczby przeciwnej liczbie 6, tj. liczby — b. Jeżeli więc a — r b = r'ÿf natenczas, skoro — b = /Q> ₊ mamy:

• r0 - rV = r9 + rV + *■

3. Mnożenie określamy w sposób następujący: Pomnożyć liczbę a przez liczbę b znaczy, przejść od liczby a do iloczynu w tensam sposób, jak się przechodzi od jedności dodatnéj do liczby b.

Niech będzie a — r^ b = r'^ Liczba r' ^ powstała z 4~ 1 przez uwielokrotnienie promienia dodatnego OA — 1 (fig. 5.) liczbą r i obrót tego promienia uwielokrotnionego OQ' = r o kąt ХОР' = 0'. Ażeby więc otrzymać iloczyn rQ . musimy promień OP=r uwie-lokrotnić liczbą /, wskutek czego otrzymamy promień tegosamego kierunku OR — rrj a następnie ten promień uwielokrotniony obrócić o dalszy kąt ROS = ХОР' = 0', wskutek czego punkt R przejdzie do położenia S. Punkt S jest więc przedstawicielem iloczynu liczb i /

(5)    .    .

Г9

9'-

Jeżeli OS — R, Z. XOS = Г, to R — rr\ Г = 6 + 6'.

Mamy zatym

(в)    .    .

• vrV = (rr'W

t. j. Iloczyn dwu liczb zespolonych jest nową liczbą zespoloną, ktôréj moduł jest równy iloczynowi modułów obu czynników, gdy tymczasem kierunek jest sumą kierunków tychże czynników.

Fig. 5.

P’ \Ą

Taksamo można okazać, że rV • r9 — (rr'V + 9-

!.V

Jest więc :

O/

Y A

tj.*Iloczyn dwu liczb zespolonych nie zmieni się przez przestawienie obu czynników.

Te dwa twierdzenia dają się rozciągnąć na iloczyn ilukolwiek czynników.

Wzór (6) można także tak pisać :

Q’

-X

r₀ . rV = rV • r9

r (cos6 -J- i sin0). r' (cos0' i sin0') = rr' [cos (9    Ö') -j— i sin (6 + 6')]*

Wykonajmy mnożenie na stronie pierwszej, yamiętając, aby za i² podstawić — 1 ; wtedy mieć będziemy :

rr' [cosöcosö' — sin0sin0' i (sin0cos6' -f⁻ cos0sin0')] = rr'[cos(0 -|- 0') -f- isin(0 Ö')],

a stąd wypływają zasadnicze wzory trygonometryi :

■ ■(

(7) .

cos (0 -(- 0') = COS0COS0' — sinOsinO' sin (0 -}- 0') = sinOcos0' cos0sin0'.

Pomnóżmy przez siebie dwie liczby zespolone sprzężone, wówczas będzie :

• rQ . r_Q = (r²)₀ = r²c

A zatym : iloczyn dwu liczb zespolonych sprzężonych jest liczbą rzetelną, a mianowicie kwadra,tern ich wspólnego modułu.

Wzór (8) można także tak pisać:

“ ^ = r-⁹ (^jo “ ("г)

(8) . .

(9) • •

r9

-9-

pomnożenie liczby liczby b. Jeżeli więc a = b = mamy r9 — r . ¹

Dzielenie liczby a przez liczbę b wychodzi na a przez odwrotność

r'g' " ⁹ Л' ’

lub, uwzględniwszy (9). (10) .

r9 *

rl

9 - 9'

A zatym : iloraz dwu liczb zespolonych jest nową liczbą zespoloną, której moduł jest równy modułowi dzielnej podzielonemu przez moduł dzielnika, a kierunek jest równy kierunkowi dzielnej pomniejszonemu kierunkiem dzielnika.

4. Potęgowanie. Powtórzone mnożenie daje :

= (rr'r"...)9 + 9' + 9- ₊ ...

r9

. r'„. . r"

9'

9"' * *

Załóżmy, że wszystkie czynniki są, równe, i że ich ilość równa m, wzór dopiero napisany przejdzie na

m Q.

(11) .    .    . (re )» = (Г-)

A zatym : potęga liczby zespolonej stopnia całkowitego dodatnego

m. jest nową liczbą zespoloną, której moduł jest potęgą stopnia m. modułu liczby, a kierunek jest równy kierunkowi tej liczby zwielokrotnionemu., wykładnikiem potęgowania.

Tosamo twierdzenie utrzymuje się i dla potęg stopnia całkowitego, ale odjemnego. Jakoż, jeżeli potęgę stopnia odjemnego liczby zespolonej określimy taksamo, jak się określa potęgę stopnia odjemnego liczby rzetelnej, tj. jeżeli położymy:

(re)

(12) . .

uwzględniając wówczas wzory (9) i (11), otrzymamy

-mfj

= (r—)_o .

Kładąc w (11) r = 1, mieć będziemy (lfj )m = lmg, czyli wyraźniej (13)    .    .    .    . cos m6 -f- isin mG = (cosö -f- i sin0)m .

Wzór (13) nazywają pospolicie wzorem Moivre’a, lubo nie znajduje się on w dziele: Miscell. anal. 1730 tegoż autora; prawdopodobnie pierwszy Euler go wyprowadził.

Rozwińmy potęgę m. dwumianu cos0 -f⁻ i sin6 zapomocą wzoru Newton’a, i uważmy przytym, że i² = — 1, wzór (13) przejdzie wówczas na następujący :

cos m0 -f- i sin m0 =

cosm0 —

lcosm -2 Qsin²6

cosm~⁴0sin⁴0 — ..

+4 (")

cosm_10sin0

со В

cosm_s0sins0

+( i

сл в

cosm~⁵0sin⁵0

a stąd wypływają wzory:

cos m0 = cosm0 —

(14) .    .

^    ^cosm_20 sin²0 -f*

-j- ^    ^cosm~⁴ 0 sin⁴ 0 —

sinm0 =

cosm_10 sin0 —

СО в

|cosm“³ 0 sin³0 -f-

cn В

cosm—50 sin⁵0 — .

które wyrażają dostawę i wstawę całkowitej i dodatnój wielokrotności łuku przez potęgi wstaw i dostaw tegoż łuku.

5. Pierwiastkowanie jest działaniem odwrotnym potęgowaniu. Niech będzie n liczbą bezwzględną całkowitą. Kładąc

P<p ?

mieć będziemy naodwrót

(Pł )* = r9 сгУИ (P”)nT = h ;

jest więc

pn = r

n<p — 0 = 2x7t

gdzie X jest albo 0, albo jakąkolwiek liczbą całkowitą, dodatną lub odjemną. Stąd wypływa

6 -j- 2X7T

-И

(15)    .    .

Машу zatym :

W tym wzorze oznacza г n wartość dodatną pierwiastka stopnia w. z liczby bezwzględnćj r.

Z wzoru (15) czytamy, że pierwiastek stopnia n. z liczby zespolonej rQ jest nową liczbą zespoloną, której moduł jest równy pierwiastkowi arytmetycznemu stopnia n. z modułu liczby danej, gdy tymczasem kierunek jest nUi częścią kierunku tej liczby, zwiększonego jakąkolwiek całkowitą wielokrotnością okręgu 2%.

6. Pierwiastek z liczby zespolonej jest wielowartościowym. Nie trudno okazać, że pierwiastek stopnia n. z liczby zespolonej posiada tylko n od siebie odmiennych wartości, które otrzymamy, gdy w (15) za x podstawimy n po sobie następujących liczb całkowitych, np. liczby 0, 1, ... n—1.

Jakoż, dajmy na x raz jednę z wartości x' zawartych w szeregu liczb 0, 1, 2. . .n—1, a drugi raz wartość x" = x' -f- hn, gdzie h jest jakąkolwiek liczbą całkowitą, dodatną lub odjemną ; będzie wówczas:

( rv

6 + 2х"тч

(r‘)

(r‘ )

6 -j- 2x'it

2hit

lub, skoro 1

2hTC

= соз2Ьтс -j- i sin2hrc = -j- 1,

(-)

6 -p 2x"tc

(r" )

6 4- 2x'ir.

Podstawienie zatym za x wartości większych lub mniejszych, aniżeli liczby 0, 1, 2 ... n—1, nie daje wartości nowych dla pierwiastka. Pozostaje okazać, że wartości otrzymane przez podstawienie x = 0, 1, 2 ... n—1, są od siebie odmienne.

Niech x' i x" będą teraz dwiema od siebie odmiennymi liczbami, wziętymi z szeregu 0, 1, 2, ... n—1, i załóżmy, że

W tym przypadku powinno być :

6 -|- 2x"tz

6 -f- 2x'rc

2hTc, tj. —-

x"

gdzie h oznacza liczbę całkowitą.; a że to niemożebna, gdyż x'—x" nie jest przez w podzielne, założenie więc zrobione jest fałszywe.

Mamy zatym twierdzenie : Pierwiastek stopnia n. z liczby zespolonej r q ; posiada n od siebie odmiennych wartości; które otrzyma-

za X podstawimy liczby

my, gdy

vyrażeniu ogólnym ^ r n ^

G -j- 2xrc

O, 1, 2, ... n 1.

Tosamo twierdzenie stosuje się i do pierwiastków z liczb rzetelnych. Jakoż podstawmy we wzorze (15) 6 = 0 i 6 — я i uważmy, że r₀ = -f- r a rn = — r, mieć będziemy wówczas :

(16) .

. }'+ г

(r")

(2x -j- l)rc *

W szczególności, kiedy r = 1, będzie

(17) .    .    . У-f- 1=1

2xrc i

(2x -j- l)rc °

Wskutek (17) można wzór (15) także tak pisać:

(18) .

2xtc

(rł)e-V+ 1.

Stąd czytamy, że otrzymamy wszystkie wartości pierwiastka stopnia n. z jakiejkolwiek liczby, gdy jedną z tych wartości pomnożymy przez każdą z wartości pierwiastka tegosamego stopnia z jedności dodatnéj.

7. Zastanowimy się jeszcze nad własnościami pierwiastków z jedności dodatnéj. Wartości pierwiastka stopnia n. z jedności dodatnéj daje wzór:

Załóżmy, że wykładnik n jest liczbą parzystą. Kładąc wtedy

x = O i X = -5-, otrzymamy:

A

=    1 TC = - 1,

У -f 1 = кQ| = + 1 *

nadto, dla x = n — x', gdzie x' jest jedną z liczb 1,2, ...    --1, mamy

u

2xTi —    ¹

2 (n—x')7t

2x'jt

2x'it

Możemy zatym wypowiedzieć twierdzenie: Jeżeli liczba n jest parzystą, wówczas zpomiędzy n wartości pierwiastka stopnia n. z jedności dodatnéj dwie będą rzetelnej a pozostałe będą zespolone i po dwie sprzężone.

Niech teraz wykładnik n będzie liczbą nieparzystą. Przy tym założeniu daje wzór (1), dla x = 0,

a dla x = n—x', gdzie x' oznacza jednę z liczb 1, 2, ... —5—

U

będzie znowu:

2x71

2(n—x')7t    1 2tc

2х'тг — \ 2x'tt

A zatym : Jeżeli n jest liczbą nieparzystą, wówczas zpomiędzy n wartości pierwiastka stopnia n. z jedności dodatnéj jedna będzie rzetelną, a pozostałe będą zespolonymi i po dwie sprzężonymi.

8. Wzór (1) można także tak pisać:

(2) . .

. . У+ 1 =

Stąd czytamy, że wszystkie wartości pierwiastka stopnia n. z jedności dodatnéj otrzymamy, jak skoro jednę wartość tj. 1 podnie-

U

siemy do n po sobie następujących potęg całkowitych. Zachodzi teraz pytanie, czy każda wartość pierwiastka posiada tęsamę własność?

Zasady algebry wyiszéj.

Aby na to pytanie odpowiedzieć, dajmy, że h jest jedną z liczb 0, 1, 2 ... n—1 i uważmy, że jeżeli wyrażenie:

121iXTC

ma, dla % — 0, 1, 2 ... n—1, dać wszystkie wartości pierwiastka

П

|/-f- 1, wówczas reszty wypadające z podzielenia n iloczynów ïrx. przez n muszą być od siebie odmienne, a przeto równe liczbom 0, 1, 2 ... n 1.

Ten wypadek nie jest możebny, gdy h i n nie są liczbami względem siebie pierwszymi; albowiem, jeżeli przez q oznaczymy iloraz, a przez r resztę wypadającą z podzielenia iloczynu Iw. przez n, mieć będziemy wówczas :

hx — nq + r.

Jeżeli hin mają wspólny dzielnik od 1 odmienny, to ten wspólny dzielnik musiałby dzielić bez reszty także r. W tym więc przypadku niepodobna, aby dla x = 0, 1, 2, .. . n—1, reszta r mogła przyjąć każdą z wartości 0, 1, 2, ... n—1. Pozostaje zbadać przypadek, kiedy h i n są liczbami względem siebie pierwszymi. Kładąc:

h.O

nq₀+r₀,

h.l

nqi+ri »

h.2

nq₂-K,

h.(n—1) = nqn_i+rn_i,

łatwo dowiedziemy, że w przypadku, kiedy hin są liczbami względem siebie pierwszymi, reszty r₀, rt, r₂ ... rn_i, są od siebie odmienne, a przeto, skoro każda z nich jest mniejsza od n, przedstawiają szereg liczb 0, 1, 2, ... n—1, wzięty w pewnym porządku.

Jakoż, gdyby reszta rK była równa i*ß , mielibyśmy wówczas:

h.a — nqa = h.ß — nqß , czyli h (a—ß) = n (qa — qß ).

Druga strona tej równości jest przez n podzielna, gdy tymczasem pierwsza strona nie jest przez n podzielna, gdyż ani czynnik //, jako mniejszy od w, ani też czynnik a—ß z tegosamego powodu nie jest

podzielny przez n. Skoro tak rzecz się ma, więc założenie, że reszty r ^ i    są- równe, jest założeniem fałszywym.

pierwia-

2hu

Możemy więc wypowiedzieć twierdzenie: Wartość 1

stka stopnia n. z jedności dodatmj, podniesiona do n po sobie następują- . cych potęg całkowitych, daje -wszystkie wartości tego pierwiastka, jeżeli h i П są liczbami względem siebie pierwszymi.

9. Wartość pierwiastka z jedności dodatnćj, przez podnoszenie którego do potęg całkowitych otrzymać można wszystkie wartości tego pierwiastka, nazywa się wartością pierwotną.

Ilość wartości pierwotnych pierwiastka stopnia n. z jedności dodatnćj jest więc równa ilości liczb pierwszych względem n a od n nie większych. Aby znaleść tę liczbę, dajmy, że:

= p“ qß rï . . . .

gdzie p, q, r, .. . oznaczają liczby bezwzględnie pierwsze, a a, ß> y. . . są liczbami całkowitymi dodatnymi.

Jeżeli z szeregu liczb

(a)

1, 2, 3,..., n wyrzucimy naprzód wielokrotności liczby p, tj. liczby

p p’

p, 2p, 3p,... ^

których ilość jest równa których ilość jest równa n —

otrzymamy wtedy drugi szereg liczb (ß)

— = — (p—1), a które już nie będą P P

podzielne przez p, p²,.. . p« . W szeregu (a) znajduje się -5- wielokrotności liczby q

Ъ 2q, 3q, ... -5- q.

Zpomiędzy tych wielokrotności zostały już wyrzucone te, które były wielokrotnościami oraz liczby p\ w szeregu więc (ß) pozostały tylko te wielokrotności liczby g, w których czynnik uwielokrotniający jest liczbą względem q pierwszą; albowiem, skoro p i q są liczbami pierwszymi bezwzględnymi, przeto iloczyn xg będzie liczbą względem

p pierwszą tylko wtedy, gdy taką liczbą jest czynnik z. W szeregu (ß) znajduje się więc tyle wielokrotności liczby q, ile w szeregu

1, 2, 3,...

jest liczb względem p pierwszych, a zatym

-5—(p—1). Jeżeli te wie-

pq    '

pq

lokrotności wyrzucimy z szeregu (ß), otrzymamy nowy szereg liczb (y), których ilość jest równa ~ (p—1) — — ^ a które nie będą podzielne także przez g, q*, . . .    .

W szeregu (a) znajduje się następnie wielokrotności liczby r

r, 2r, 3r, . . . . — r.

Zpomiędzy tych wielokrotności wyrzuciliśmy już te, w których czynnik uwielokrotniający r był podzieluy przez p i ry, pozostało zatym w szeregu (y) tyle zpomiędzy wielokrotności liczby r, ile w szeregu liczb

1, 2, 3,...

znajduje się liczb względem p i q pierwszych tj.

— (P — Ï) (4—!)•

pqr

Jeżeli zatym te pozostałe wielokrotności liczby r wyrzucimy z szeregu (y), otrzymamy nowy szereg liczb (8), ilość których jest

równa —(p—1) (q— 1)--— (p—1) (q—1) = —fr—l)(q—l)(r—1),

pq    pqr    pqr

a które nie będą podzielne i przez r, r², r:s, . . r‘f itd.

Połóżmy, dla skrócenia :

(4)    .    .

? (u) =

ür (p-i) (q—i) (r—i).

pqr

to natenczas «p (n) będzie oznaczało ilość liczb względem n pierwszych, a od n nie większych, a więc i ilość wartości pierwotnych pierwia-

П

stka    1- Wskutek (3) można (4) także tak pisać:

(5) . <p(p«qßr" ...) — pa—1 qß—1 ł’T—1. .. (p--l)(q—l)(r—1).,.

TJważmy jeszcze, że jeżeli n — nyn₂, to natenczas:'

(6)    .    .    .    <p(n) — <p(nt) <p(n₂).

10. ЛУ założonym dopiero przypadku, kiedy n — nx w₂, mamy także:

2x,7t ’ '2x₂tc

== 1

»I

«2

lub, położywszy :

(7)    .    .

4~

*2

n₂

2у.|Т:

2X)TT

2xtc ’

¹¹ i

»2

Stąd czytamy, że iloczyn wartości pierwiastka z jedności doda-tnćj stopnia ny. przez wartość pierwiastka st. щ. jest wartością pierwiastka z jedności dodatnćj stopnia щ n₂ = n. Zachodzi teraz pytanie, czy tym sposobem można otrzymać wszystkie wartości pierwiastka stopnia n. z jedności dodatnćj? To pytanie sprowadza się widocznie do następującego: czy, dając w wyrażeniu (7) na z,, każdą z wartości 0, 1, 2, . . . . nt—1, a z₂ każdą z wartości 0, 1, 2,...%—1, otrzymamy ntw₂ = w takich liczb na z, które podzielone przez n dają na reszty liczby 0, 1, 2, . . . n—1, wzięto w jakimkolwiek porządku.

t—

Aby na to pytanie odpowiedzieć, oznaczmy przez z/ i z/' dwie czb 0, 1, 2...WJ--1, a przez z'₂ i z₂" dwie zpomiędzy liczb ,    , 2, . . . n₂—1 i połóżmy

n₂ z', -j- n, z'₂ = z', u₂ V' + nl = z",

będzie wtedy:

Щ (x\ — xi”) + °i (x’2 ~ x2 0 — x    x •

Jeżeli założymy, że liczby w, i m₂ S*1 względem siebie pierwsze, wówrczas, skoro ani y.\ — z/' nie jest podzielne przez nx, ani z₂'—z/' nie jest podzielne przez /г₂, różnica z'—z," nie będzie podzielną ani przez ri\ ani przez n1} a więc i przez nx n₂ = n. Skoro tak się rzecz ma, wTięc reszty wypadające z podzielenia liczb у! i z" przez n muszą być od siebie odmienne, stąd zaś wypływa, że dając w (7) na z, każdą z wartości 0, 1, 2, . . . щ—7, a na z₂ każdą z wartości 0, 1,2,... /?2 — 7, otrzymamy na z щ Щ ~ n wartości, które, podzieliwszy je przez n, dadzą na reszty liczby 0, 1, 2 .... n—1.

Mamy więc twierdzenie następujące : Jeżeli n = ty n₂, « П, i n2 są liczby względem siebie pierwsze, natenczas iloczyny, jakie otrzymamy

f/d y każdą z li, wartości pierwiastka ) -f- 1 pomnożymy przez każdą war-n2___

"1

tość pierwiastka [ -j~ 1 , będą П od siebie odmiennymi wartościami pier-

П

wiastka } + 1-

Z równości (7) czytamy nadto, że jeżeli x, jest liczby pierwszą względem n{, a x₂ liczbą pierwszą względem n₂, wówczas x będzie liczbą pierwszą i względem w, i względem n₂, a przeto także względem wl w₂ = n. Ta uwaga, jak również "wzór (6) prowadzi do twierdzenia : Iloczyny każdych dwu wartości pierwotnych pierwiastków n,    n,    n

f -f- 1 i У -j- 1 dają wszystkie wartości pierwotne pierwiastka }'    1,

jeżeli n = 11, n₂, a lit i n₂ są liczbami względem siebie pierwszymi.

Rozszerzenie dwu ostatnich twierdzeń do przypadku, kiedy n pa qß r 7 . .. , nie nastręcza żadnych trudności.

11. Weźmy nareszcie pod uwagę potęgę ułomkową liczby zespolonej rQ . Połóżmy : i podnieśmy obie strony tej równości do potęgi q, mieć natenczas będziemy :

Czyli, założywszy, że p i q są liczby całkowite,

Stąd wypływa :

— p6 — 2xtc

rp = pi

gdzie X oznacza jakąkolwiek liczbę całkowitą; jest więc:

P.I СГ

p6 -j- 2xtt

a następnie:

(8) . .

ha

0)Mr )

P9 -j- 2v.tc

Z wzoru (8) czytamy, że potęga stopnia ułomkowego — . liczby zespolonej jest wielowartościową. Jeżeli p i g są liczby względem

siebie pierwsze, łatwo okazać tymsamym sposobem, jak w artykule 6,, że liczba wartości od siebie odmiennych jest równa q. Oznaczmy przez h jakąkolwiek liczbę całkowitą i połóżmy % — ph, wzór (8) zamieni się wtedy na :

(9)    .    .

æ |*d

p(6 -j- 2h7r).

Dajmy teraz, że w ułomku — tak licznik jak i mianownik z więksi

sza się nieograniczenie i w ten sposób, że ułomek coraz bardziej zbliża się do pewnej liczby niewymiernej [x.

Skoro wzór ostatni utrzymuje się przy każdej wartości ułomka

zmieniającego się przeto utrzyma się on także i wtedy, gdy za

ten ułomek podstawimy granicę, do jakiej dąży, tj. liczbę niewymierną [X. Mamy zatym i dla wykładnika niewymiernego jx :

(10) . .

• • (v ⁼(r")

ja(6 -f- 2hrc).

Skoro {X należy uważać za ułomek o mianowniku nieskończenie

o wykładniku

wielkim, przeto ilość wartości potęgi liczby zespolonej niewymiernym |x jest nieograniczona.

tj

ROZDZIAŁ III.

0 funkcyjach algebraicznych w ogólności.

1.    Wypadek złączenia liczb stałych a, b, c,. . . z liczbami zmiennymi X, y, z,. .. zapomocą jakichkolwiek działań matematycznych jest wyrażeniem matematycznym, którego wartość — mówiąc w ogólności — będzie się zmieniała, gdy za zmienne x, y, zr . . będziemy podstawiali coraz insze wartości szczególne. Takie wyrażenie, którego wartość jest zależna od wartości na zmienne, x, y, z,... i razem z tymi zmiennymi się zmienia, nazywa się tych zmiennych funkcyją.

Funkcyją zmiennych ж, г/, г, oznacza się przez f(x, y, z,...).

Zamiast litery/można użyć jakiejkolwiek innej litery, np. <p, ф,... lub Ъ\ Ф, 4r,. .. Jeżeli do jednego i tegosamego zagadnienia wchodzą rozmaite funkcyje tych samych zmiennych, wówczas na ich oznaczenie używamy rozmaitych liter początkowych, albo dla dogodności jednej litery z rozmaitymi wskaźnikami lub z rozmaitą ilością kresek. Tak np. wyobraźniki f(x, y, z,...), y(x, y, z...), Ą(x, y, z,...) lub fY(x, y, z,...), f₂(x, y, z,...), f\(x, y, z...) będą oznaczały rozmaite funkcyje tychsamych zmiennych x, y, z. . .

Jeżeli zechcemy oznaczyć wartość, jaką f(x, y, z...) przybierze, gdy za zmienne podstawimy wartości szczególne np. x — а, у = b, z = c. .., będziemy pisali f(a, b} c,. . .).

2.    Funkcyją zmiennych, x, y, z,... jest algebraiczną, gdy te zmienne są z liczbami stałymi, wchodzącymi do funkcyi, połączone jedynie zapomocą działań algebraicznych i gdy ilość tych działań jest ograniczona lub do ograniczonej sprowadzić się daje. Funkcyją algebraiczna zmiennych x, y, zr . . jest funkcyją tych zmiennych wymierną, jeżeli żadna z tych zmiennych nie wchodzi do funkcyi z wykładnikiem ułomkowym, czyli₇ jeżeli do wytworzenia funkcyi uskuteczniono ograniczoną ilość działań algebraicznych, z wykluczeniem pierwiastkowania. W każdym innym razie funkcyja algebraiczna zmiennych x, u, z... zowie się funkcyją tych zmiennych niewymierną.

Funkcyja wymierna jest całkowitą, jeżeli celem jéj wytworzenia uskuteczniono na zmiennych tylko cztery następujące działania : dodawanie, odejmowanie, mnożenie i potęgowanie wykładnikiem całkowitym dodatnym. W każdym innym razie funkcyja wymierna zmiennych X, y, z,... zowie się funkcyją tych zmiennych ułamkową.

Tak np. funkcyja :

x;! —

3x² —2x]/ y

г 4-1

jest funkcyją trzech zmiennych x, y, z algebraiczną. Ta funkcyja jest wymierną względem x i z, a niewymierną wrzględem tj, całkowitą względem x, a ułomkową względem z.

3. Funkcyja algebraiczna, wymierna i całkowita zmiennych x, у, £,••• lub krócej, funkcyja całkowita tych zmiennych jest, według powyższego określenia, sumą wyrazów (iloczynów) kształtu:

A x“yßzT...,

gdzie A oznacza liczbę stałą, a wykładniki potęgowania a, ß, у. . . są liczbami całkowitymi dodatnymi. Liczbę stałą A nazywamy współczynnikiem, a sumę wykładników potęgowania liczb zmiennych a -f- ß + -f 7 -f- . . ., zachodzących w jednym wyrazie funkcyi, nazywamy stopniem tego wyrazu. Stopień każdego innego wyrazu funkcyi całkowitej może być — mówiąc w ogólności — coraz inny, atoli każdy z nich musi być liczbą, ilość ograniczoną jedności dodatnych wyrażającą. Największy zpośród tych stopni jest stopniem funkcyi całkowitej.

Jeżeli/(a*, y, z...) jest funkcyją zmiennych x, y, z,., całkowitą, pisze się:

f (x, y, z,. . .) = X A x“ у ß z'f ...

W tym znakowaniu wyobraźnik ( = ) oznacza, że strona pierwsza jest tymsamym wyrażeniem, co strona druga, a litera h wskazuje, że strona druga jest sumą wyrazów kształtu A xa y$ zd ... Wyobraźnik ( = ) nazywa się znakiem tożsamości, a litera I znakiem sumowania czyli dodawania.

Zasady algebry wyższej.

Funkcyją algebraiczną wymierną, lecz ułomkową, można, przez sprowadzenie ułomków do wspólnego mianownika, przedstawić pod po-etacią ułomka, którego licznik i mianownik są funkcyjami całkowitymi.

4. Funkcyją zmiennych x, y, z,... całkowita jest oraz tych zmiennych funkcyją jednorodną stopnia p.: jeżeli każdy jej wyraz jest stopnia p. Tak funkcyją np. x³ -j- y³ -j-z³ — 3xyz jest funkcyją całkowitą i jednorodną stopnia 3. względem trzech zmiennych x, y, z.

Oznaczmy współczynnik wyrazu funkcyi całkowitej, jednorodnej, zawierającego w sobie xa y$ z⁽ ..., jedną literą z wskaźnikami a, ß, y,... tj. przez Аф....у natenczas tę funkcyją można przedstawić pod postacią sumy :

(1)    .    .    . f (X, y, z,...) s= 2 Aaßr .. Xayß ZÏ....;

w każdym wyrazie sumy jest suma wykładników a -J- ß -f- у-j-. .. jednaką i równą p, jeżeli funkcyją jest stopnia p.

Jeżeli w wyrażeniu funkcyi f (x, y, z,...) nie brak żadnego wyrazu, natenczas sumowanie należy rozciągnąć na wszystkie wartości całkowite i dodatne liczb a, ß, у,,.., suma których jest równaj.

Funkcyją całkowitą, jednorodną stopnia p., której nie brak żadnego wyrazu, nazywamy funkcyją zupełną. Ilość wyrazów funkcyi n zmiennych całkowitej, jednorodnej, stopnia p. i zupełnej jest widocznie równa ilości połączeń z powtórzeniami z n liczb klasy j9., tj. liczbie:

_ n(n-j-l) (n -j-2). ■ .(n -f- p— 1)

(n+p-1)!

1.2.3... p

(n 1)! p!

gdzie p! jest silnią z liczby p, tj. iloczynem 1.2.3.. .p, itd.

Funkcyją n zmiennych xv, x^...xa całkowita, ale niejednorodna, stopnia p. zamieni się na funkcyją jednorodną p. stopnia n-j-1 zmień-

nych Xj, x₂,...xn+i, gdy w niej podstawimy

Xn

— za X. , Xn+l

x₂,. .. xn, a potym wypadek podstawienia przez x£₊₁ pomnożymy. Stąd wypływa, że ilość wyrazów funkcyi n zmiennych całkowitej stopnia p. jest równa ilości wyrazów funkcyi n-(-l zmiennych całkowitej i jednorodnej tegosamego stopnia, tj. równa liczbie:

-j-

t-H

(n+p)ł-

n! p!

5. Załóżmy, że funkcyja określona wzorem (1) jest całkowity i jednorodną stopnia p., i podstawmy w niej iloczyny tx, ty, tz,... odpowiednio za x, y, z,...’, mieć będziemy wówczas:

f(tx, ty, tz,...) — X Aaß.,... ta+ß+ï+••• xayß zï ...;

a że w każdym wyrazie funkcyi jest a -|- ß 7 + • • • = p, a przeto tp jest czynnikiem wspólnym wszystkim wyrazom, możemy więc także pisać :

(2) •

. f(tx, ty, tz,. . .)== tP X AaßT _ xayßZ7... е= tp f(x, y, z...)

A zatym : podstawienie w funkcyi całkowitej, jednorodnej stopnia p. za każdą zmienną tejże zmiennej, pomnożonej przez jeden i tensam czynnik t, wychodzi na pomnożenie całej funkcyi przez tp . To twierdzenie daje się odwrócić.

Jeżeli w szczególności za t weźmiemy odwrotność jednej ze zmiennych np. t — wzór (2) zamieni się po rozmnożeniu przez xP i odwróceniu na :

(3)    .

.    . f(x, y, z..

•) = xPf(i,X

A zatym : jeżeli w funkcyi jednorodnej stopnia p. wyłączymy za nawias p. potęgę jednej zmiennej, wówczas w nawiasie pozostanie funkcyja stosunków pozostałych zmiennych do tej, której potęga p. została za nawias wyrzucona. Także to twierdzenie daje się odwrócić.

6. Rozciągając wzór (2) lub (3) artykułu poprzedzającego na jakąkolwiek funkcyją algebraiczną, powiemy, że funkcyja algebraiczna zmiennych x, y, z,... jest tych zmiennych funkcyją wymierną stopnia p., jeżeli podstawienie w tej funkcyi iloczynów tx, ty, tz,... odpowiednio za x, y, z... wychodzi na pomnożenie funkcyi przez tp .

Według tego określenia będzie funkcyja zmiennych x, y, z,... ułomkowa funkcyją jednorodną, jeżeli licznik i mianownik po sprowadzeniu wszystkich wyrazów do wspólnego mianownika są funkcyjami Jednorodnymi i wtedy stopień tej funkcyi będzie równy stopniowi licznika mniej stopniem mianownika.

Tak np. funkcyja ułomkowa dwu zmiennych

x²—3xy x-fy

jest jednorodną stopnia 1., a funkcyja:

Х+У

X²—Зху

jest jednorodną stopnia zmiennych :

— 1.

Funkcyja zaś niewymierna trzech

— 3yz^

3

jest jednorodną stopnia —.

U

7.    Funkcyja wymierna dwu lub więcej zmiennych jest oraz tych zmiennych funkcyją symetryczną, jeżeli się nie zmieni, gdy dwie którekolwiek z tych zmiennych zamienimy jednę na drugą. Tak np. funkcyja całkowita :

a(x³-f-y³-f-z³) _j- b(x²y xy² -f- x²z -\- xz² + y²z -j- yz²) -f- c. xyz -\-+ d(x²+y²4-z²) -j- e (xy + xz + yz) + f(xf y + z) + g

jest najogólniejszą funkcyją całkowitą i symetryczną stopnia 3. trzech zmiennych x, y, z.

Na osobliwą uwagę zasługują funkcyje całkowite symetryczne i takie, które są oraz jednorodne i w każdym wyrazie zawierają te-same wykładniki potęgowe. Takie funkcyje symetryczne nazwiemy zasadniczymi. W powyższym przykładzie są funkcyje:

X³ —y³ -f- z³, x²y 4- xy² 4- x²z + xz² 4- y²z + yz², xyz x² 4- y² 4- z²,    xy 4~ xz 4“ yz>    x~by+z

przypadkami szczególnymi funkcyj symetrycznych zasadniczych trzech zmiennych. Każda funkcyja całkowita i symetryczna daje się widocznie rozłożyć na sumę funkcyj symetrycznych zasadniczych, jeżeli sarna nie jest takąż f unkcyją.

Funkcyje symetryczne zasadnicze są pojedynczymi, podwójnymi, potrójnymi itd., według tego, czy do każdego jej wyrazu wchodzi tylko jedna zmienna, czy też wchodzą dwie zmienne, trzy zmienne, itd. Tak np. w powyższym przykładzie funkcyje symetryczne zasadnicze:

хз _i_ y3    z³^ x² + y²4-z², x 4-y + z są pojedynczymi,

x²y 4- xy² 4~x2z 4" xz2 + y²z 4~ yz²* xy 4-xz4-yz podwójnymi, a funkcyja symetryczna zasadnicza xyz jest potrójną.

8.    Niech z,; z₂,... zn będą liczby zmienne. Funkcyja tych zmiennych symetryczna, zasadnicza a pojedyncza jest funkcyją kształ-tu: z“ -f- z« + z“ + ... -j-z®, tj. sumą jednakich potęg wszystkich zmiennych. Dla skrócenia oznacza się ją przez 2 z“, a więc pisze się:

.. . -f- z*.

¹    П

(1)    .    .    .    2 z“ = z“ 4- z“

Aby otrzymać funkcyją symetryczną zasadniczą i podwójną, po-

trzeba przedewszystkim z n liczb Zj , z₂, połączenia z przemianami (waryjacyje) klasy 2. bez powtórzenia:

zn utworzyć wszystkie

⁷1 ⁷ 2 Z2 Z, Z3 Z1 >

Z1 Z3V z2 z₃ , . . . z3 Z2 i • • •

zu z,

zn z2?

zn zn —1

każde z tych połączeń uważać za iloczyn dwu czynników, a potym dać czynnikowi pierwszemu wykładnik potęgowy a, a drugiemu czynnikowi wykładnik potęgowy ß. Suma tak otrzymanych iloczynów jest funkcyją symetryczną, zasadniczą, podwójną i oznacza się przez 2 z“ zf; jest więc:

= ⁷1 z| + z;-f +••••+ a® zf

+ Z2 Zf + Z2Z3ß + • • • • + Z2 Zu

(2)..    .    2 z“zf

+ z„azP + z>l + ••••+- Z“ZL-

Ilość wyrazów funkcyi (2) jest równa liczbie n(n—1). W razie, gdy a = ß, każdy wyraz wejdzie do (2) po dwa razy, w tym więc przypadku ilość wszystkich od siebie odmiennych wyrazów będzie równa ~ n(n— 1).

Lt

Podobnie, chcąc otrzymać funkcyją symetryczną, zasadniczą i potrójną n zmiennych z,, z₂,... zn , należy naprzód z tych zmiennych utworzyć wszystkie połączenia z przemianami (wraryjacyje) klasy 3. bez powtórzenia, a następnie, uważając każde z tych połączeń za iloczyn trzech czynników, dać czynnikowi pierwszemu wykładnik potęgowy a, drugiemu wykładnik ß, trzeciemu wykładnik 7. Suma tak otrzymanych iloczynów będzie funkcyją żądaną, którą się oznacza przez 2 z“zfzJ; jest więc:

+ Zn ZLl Z1T + Z“ Z,P-1 ZJ + • • • • + Zn ZL Zn—-2*

Ilość wyrazów funkcyi (3) jest równa liczbie n(n—l)(n—2) i wszystkie są od siebie odmienne, jeżeli wykładniki a, ß, y są od siebie odmienne. Jeżeli dwa wykładniki są równe, wówczas każdy wyraz w (3) będzie zachodził po dwa razy, ilość więc wyrazów od

siebie odmiennych będzie równa ^-n(n— 1) (n—2). Jeżeli zaś wszystkie

trzy wykładniki są równe, to każdy wyraz będzie w (3) zachodził po 6 razy, tj. tyle razy, ile jest możebnych przemian' z trzech liczb; ilość więc wyrazów odmiennych od siebie w (3) będzie w tym przypadku równa n(n— l)(n—2).

Stąd już widoczna, jak postąpić, aby otrzymać inne funkcyje symetryczne, zasadnicze i jak znaleść ilość ich wyrazów.

9. Pomnóżmy przez siebie dwie funkcyje symetryczne, pojedyncze X z“ i 2 zy, otrzymamy wówczas:

X z“ . Xzf = X z® zß + £ z“+ß,

a stąd wypływa:

(1)    ... X z*z f ~ X z« . Xzf — X z«+P.

Taksamo pomnożenie funkcyi symetrycznej, podwójnej X z*zf przez pojedynczą X z^ daje :

X y/f 2y . X z = X z“z.p zff -j- X z“ + I Z.f -f- X zfzß+r,

skąd znowu wypływa:

Xz“z/Jz‘i = Xz“z.p. X z V — X z“+ï z| —- X y/f z| + V.

Wyraziwszy zaś funkcyje symetryczne podwójne, zachodzące na stronie drugiej znaku tożsamości w ostatnim wzorze podług (1), mieć będziemy :

(X zf . X zf — X y/f+ ß) X y/f — (X zf+ T . X zf -- X z^+ß+T)

— (Xz“.Xzß + T - Xzf+ß+T),

(3)    .

.    2 z“ZjpzJ = z“z|zJ + S8₁“zßzj +

+ zïzJ4T +

X zi zł z3

lub uporządkowawszy stronę drugą :

(2) . .2 z“ z £ z J = I z“ . I zf . 2 z 7 — 2 z“ . 2 z^ + 7 —- 2 zj⁵.2 zj'+a

— 2z/ . 2z“+ß + 22z“+ß+T.

Stąd widzimy, że funkcyje symetryczne podwójne i potrójne są funkcyjami całkowitymi funkcyj symetrycznych pojedynczych.

Postępując tak dalej, wyrazimy funkcyje symetryczne zasadnicze poczwórne, pięciokrotne, itd. jako funkcyje całkowite funkcyj symetrycznych pojedynczych. Możemy zatym wypowiedzieć twierdzenie : Wszelkie funkcyje symetryczne zasadnicze są funkcyjami całkowitymi sum potęg równych liczb zmiennych, ale rozmaitych stopni.

10. W artykule 7. okazaliśmy, że każda funkeyja całkowita symetryczna jest sumą funkcyj symetrycznych zasadniczych.' Łącząc zatym ten wypadek z twierdzeniem dopiero dowiedzionym, mamy twierdzenie następujące : Każda funkeyja całkowita i symetryczna ilu-kol wiek zmiennych daje się wyrazić jako funkeyja całkowita sum potęg równych, ale rozmaitych stopni, tychże zmiennych.

Taksamo rzecz się ma z każdą funkcyją symetryczną, wymierną; albowiem taka funkeyja jest ułomkiem, którego licznik i mianownik są funkcyjami całkowitymi.

Jeżeli więc wartości sum potęg równych liczb zt , z₂, .. ., zn są nam skądkolwdek znane, natenczas według tego twierdzenia dadzą się obliczyć wartości wszelkich funkcyj wymiernych i symetrycznych tychże liczb. Oznaczmy bowiem przez sa wartość sumy z“ + z*-j- .. .. -j-z“, to wzory np. (1) i (2) dadzą:

(4) -

.    .    2z«z| = sa sß — sa + ß,

(5)    . 2 z* z $ z V = sa вт - ва sß+T — sß sï+K — Sy sa+ß + 2 sa+ß+y. .

W szczególności, kiedy a = ß, zamieniają się ostatnie wzory, podług uwagi zrobionej w art. 8., na następujące:

(4')    ...    2 2 (z, z₂f = (s² — s2a),

(5')    .

. 22 (z, z₂)“zï = si s.. — 2 sa sa+y - sY s2a + 2 s2a+r ; a jeżeli a = ß = у, wzór (5') przejdzie na następujący:

(5") .    .    2.3 2 (z, z₂ z₃)w = sl — 3 sa s.2a + 2 s3a.

11. Funkcyją dwu lub więcej zmiennych nazywamy funkcyją przemienną, jeżeli zmienia tylko znak, zatrzymując tęsamę wartość bezwzględną, gdy dwie którekolwiek zmienne zamienimy jednę na drugą.

Według tego określenia iloczyn — n(n—1) różnic

Zn    Zj ,

zn z2

Z2 Z1 ) Z3 Z1 7    • • *

z3“z2; ' • •

Zn    Zn—1

jakie otrzymamy, gdy w szeregu n liczb zmiennych

• ) z„

Zl, z2 7    • • •

od każdej odejmiemy wszystkie te, które ją poprzedzają, jest funkcyją n zmiennych zv, г₂, ... гп całkowitą i przemienną.

Oznaczmy iloczyn napisanych dopiero różnic, dla skrócenia, przez Ił (z₂—Zj) a jego wartość przez P; niech więc będzie :

(1)    .    .    .    . P = П (z₂—z,).

Aby okazać, że ta funkcyją jest przemienną, weźmy pod uwagę dwie którekolwiek zmienne, np. zrj i Zß, gdzie ß > a.

W tej funkcyi zachodzi naprzód jedna różnica:

(a)    .    .

• zß Zoc

zawierająca obie zmienne, powtóre n—1 różnic, zawierających tylko zmienną za :

(b) .    •

za z, ,

zrx    z 2

za

za 5 zot

Z«~ Z«

Zß — 1 ZK1

z„ — za )-

za 7 • . • •,

zß 4-1 zoc 7 zß 4- 2 za • • • • ?

następnie n—1 różnic zawierających tylko zmienną Zß ; . Zß zx,

zß Z«+17

zß+l Zß »

(С)    .    .

Zß Z2

Zß Z«+27    • • • • 7

Zß+2 Zß 7 • • • •5

zß ‘ za—17 Zß Zß-17 zn Zß,

i nareszcie zachodzi ~ n (n—1) — 2n—3 różnic, nie zawierających ani

za ani Zß . Jeżeli teraz zamienimy za i Zß jednę na drugą, natenczas iloczyn różnic ostatniej kategoryi nie zmieni się, a każda z różnic

działa (b) przejdzie na pewną różnicę działu (c), tak iż iloczyn różnic działów (b) i (c) także się nie zmieni; pozostaje zatym tylko rc^-iica (a), która przejdzie na za — Zß , a przeto zmieni znak na przeciwny. Funkcyja całkowita П (z₂—zt) jest więc funkcyją przemienną, tj. jej wartość P przejdzie na — P, gdy dwie którekolwiek zmienne np. za i Zß, zamienimy j ednę na drugą.

Wiedząc to, oznaczmy przez V jakąkolwiek funkcyją algebraiczną wymierną n zmiennych zx, z₂, .... z„ i względem tych zmiennych przemienną. Iloraz:

-y = S

nie zmieni się przez zamianę dwu którychkolwiek zmiennych, jednej na drugą, a przeto jest funkcyją symetryczną; stąd wypływa :

(2) • .

Y = 8 P,

tj. Wszelka funkcyja algebraiczna i wymierna a przemienna zmiennych z1; z₂, ... z„ daje щ przedstawić jako iloczyn z funkcyi symetrycznej S i iloczynu P różnic, jakie otrzymamy, ydy w szeregu zmiennych od każdćj odejmiemy wszystkie} które ją w tym szeregu poprzedzają.

ROZDZIAŁ IV.

0 funkcyjach pochodnych.

Określenia i znakowania.

1. Niech będzie:

(1)    .    .    .    . f(x, y, z. . .)

2 A x“ yß tS . ... funkcyją zmiennych x, y, z,... całkowitą stopnia a przeto:

(2) . .

Jeżeli w każdym wyrazie téj funkcyi zmniejszymy wykładnik jednej i téjsaméj zmiennej o 1 i zarazem ten wyraz pomnożymy przez wykładnik pierwotny, otrzymamy nową funkcyją całkowitą stopnia (p—1)., którą nazwiemy pierwszą pochodną funkcyi założonej co do uważanej zmiennej. Oznaczając, dla skrócenia, funkcyją założoną (1) przez /, a jej pierwszą pochodną co do zmiennych a?, y,    za

przykładem Cauchy* ego, odpowiednio przez Dxf, Dyf, Dz f, mamy:

D„f

p>

1 a A x“-¹ yP zT ... , S ß Ax“ yß'¹ zï ... ,

D..f

•"

TO

N,

Tak np. jeżeli :

f = x⁸—3x²y -f- 5xy² — 7x² -j- 8y — 1,

3x² — 6xy -j- 5y'² — 14x,

wówczas mamy :

D*f

Dyf = — 3x² -f- 10xy + 8.

2. Postępując z pochodnymi pierwszymi taksamo, jakeśmy postąpili z funkcyją założoną, otrzymamy drugie pochodne funkcyi założonej. Oznaczając pierwszą pochodną co do zmiennej y pochodnej pierwszej Dxf, czyli pochodną drugą funkcyi założonej /, wziętą naprzód co do X a potym co do y, przez DyDxf lub przez Dxyf, mieć będziemy :

(4)    .    .    . Dxy f == 2 a ß Ax““¹ yß-¹ zï ...

Oznaczając taksamo pochodną drugą funkcyi /, wziętą naprzód co do ?/, a potym co do ж, przez Dyxf, znajdziemy:

(5)    .    Dyxf = S a ß A    г-;

Porównanie tych dwu wzorów daje:

DLf

(6) . .

D² f

a to dowodzi niezależności pochodnych drugich co do dwu zmiennych od porządku, w jakim się te pochodne bierze co do tych dwu zmiennych.

Tak np. jeżeli:

f EEE X³ — 3x²y + 5xy² — 7x² + 8y — 1 ,

wówczas :

‘ DyXf Dxyf = — 6x —I⁻ 10y.

Drugą pochodną funkcyi założonej wziętą oba razy co do jednej zmiennej np. x czyli pochodną pierwszą co do x pierwszej pochodnej Dxf, będziemy oznaczali przez Dx2f; jest więc:

(7)    .    .    .    . Dx2f = 2 a (a-l) A x“-²yß zï ....

Так np. w powyższym przykładzie mamy:

6x—6y — 14

Dł-f

DL f EEE 10x.

Pochodne drugie dadzą znowu pochodne trzecie funkcyi założonej

-Л4-Х

itd. Oznaczmy ogólnie przez D y )J' pochodną (x-J-X)¹* funkcyi założo-

x У

néj / wziętą x-razy co do x a X-razy co do y, mieć będziemy wówczas:

(8) Dxj\f=Zą(a—l)..(a—x+i)ß(ß—l)Axa'xyß-Xz^..

x y

Tak np. w powyższym przykładzie jest:

= - 6.

Dy2f~=-10, D³,.yf

3. Weźmy w szczególności pod uwagę funkcyją całkowitą jednej

zmiennej :

(9)    .

. f(z) = a₀zn + а-jzn_1 + a₂zn-2 + .... + an_jZ -f a„ ,

czyli, pisząc w skróceniu:

(9')    .    .

.    . f (z) 5=

x=o

ay zn_x.

Podług powyższego określenia będą pochodne tej funkcyi po sobie następujące funkcyjami stopni o 1 coraz mniejszych, tak iż pochodna n. będzie już funkcyją stopnia 0 czyli liczbą stałą, a przeto pochodna (n—j— i)sza i wszystkie następne będą 0. Oznaczając bowiem te pochodne za porządkiem przez D f (z), D²f(z),..., Dn f (z), mamy :

Х=П—1

Df(z)

-t

I (n- x) a.A z¹¹⁻*

X=0

(10). .

D²f(z)

X=n—2

2    (n— x) (n—x—1) ay zn

—Х-2

y.—U

DT(z)

X=n—3

V (n x) (n X 1) (n—X—2) ay_ zn

—У—3

X=0

I)" f(z) = n ! a₀

4. Niech będzie :

Wzór Taylor a.

X —o

(1)    .    .    .    . f(z) = 2 a, s«-*

funkcyją zmiennej 2; całkowitą stopnia n. Jeżeli zmienną £ zwiększymy przyrostem h, tj. jeżeli w (1) za 2 podstawimy 2; + h, natenczas funkcyją przybierze nową wartość :

(2).....f(z+b)

2 аЛг+Ь)"“*-

x=o

Różnica :

(3)    .    . f(z+h) - f(z)

2 ax {(z+h)n-x — zn~*}

x=o

nazywa się przyrostem funkcyi całkowitej f(z), odpowiadającym przyrostowi h liczby zmiennej z.

zapomocą wzoru Newton’a,

u—x

Rozwijając potęgę dwumianu (z-f-h)

mamy :

(z+ll    zn-'- =

n_ X—2

2!

h²+...+

(n~*)!    1,11—x

(n—X)!    •

Wstawiwszy tę wartość w (3), otrzymamy:

x~-

f(z+h) — f(z)

“ |n

ax {-

® l

(n—x)(n- x-l) ?ll

2!

h²+...+

(n— %) !

⁺ (n—%)!

hn_x

lub, uporządkowawszy stronę drugą podług potęg rosnących przyrostu /г,

tr

X=n—1

f(z-f-h) — f(z) =

i (n—x) ax z¹¹

x=o

h2 x

2!

£ (n—x)(n—x—l)axzn * ² + ... + n! a₀ ,

x=o

czyli :

(4).

. f(z+h) - f(z) ЕЕ -ä Df(z) D"i‘(z) + ...

hn

Dn f(z)

gdzie Df(z), D“f(z), ... D" f(z) są pochodne funkcyi f(z), określone w artykule poprzedzającym.

Wzór (4), podany po raz pierwszy przez Taylor'a (Methodus incrementorum. Londini, 1715), daje rozwinięcie przyrostu funkcyi całkowitej jednej zmiennej podług potęg rosnących przyrostu tej zmiennej.

5. Weźmy pod uwagę funkcyją całkowitą dwu zmiennych x i у stopnia n.

(5)    .

a-f-ß < n.

•    • f(x, У) = - «aß x“ У

Jeżeli bądź zmiennej x udzielimy przyrostu 7i, bądź zmiennej у udzielimy przyrostu Jc} albo też jeżeli jednocześnie zmienną x zwiększymy przyrostem /г, a zmienną у przyrostem fc, otrzymamy wtedy : w razie pierwszym przyrosty częściowe funkcyi założonej f(x-\-li,y)—f(x) i f(x, y-\-k) —f(y), a w razie drugim przyrost całkowity f(xĄ-h, y-\-k) — — f(x, y) tejże funkcyi.

Podług wzoru Taylor’a (4) mamy :

(a) f(x, y+k) — fix, у) ЕЕ yIJy f(x, у) +    f(x, у) + .... +

+ Dÿn f(Xl У) !

tudzież :

(ß) f(x+h, y+k) — f(x, y+k) = -jDx f(x, y+k) + 2 jD“,> f(x, y+k) +

+ ••• +    y+k);

a że podług tegosamego wzoru :

Dx f (x, y+k) —Px f(x, y) = y 13xy f(x, y) + j} Dxy2 f(x, y) + ...

Dxyn-i f(X) У) !

EyDx2y f(x, y) + ....

.... +

kn-l

(n 1) !

D²X, f(x, y+k) - I)x2 f(x, y)

... +

kn-2

(n—2) !

Dx2yn_₂ f(x, y) ,

I>xn f(x, y+k) — Dxn f(x, y) = o,

przeto wzór (ß), gdy w nim za Dxf(x, y+k), Dx2 f(x, y+k),... D”u f(x, y+k) podstawimy wartości, wypływające z ostatnich tożsamości, przejdzie na następujący :

i(x+h, y+k) - f(x, y+k) - yDxf(x,y) + y

... + IL

kn-i

Dxv f(x> У) + • • •

f(x, У) +

1 (n—l)! D

V«ii    Vi 2 kn—²

DX2 f(x, y) + . . . . + 2j (n_2)T ^x“’yn

L—1

Jl"

+ +T Dxn f (X, y).

Dodawszy do téj tożsamości tożsamość (a), otrzymamy osta

tecznie :

(6) f(x+h, y+k) — f(x,y) + 2! Dx*f(x> У) 4~

"I-

4-

4~

71 Dxn f(x. y) 4~

Dxf(x,y) + J f (x> У) +

Dxy f(X’ У) + ^ JV f(x>)') +

ly f(X, У) + • • • f(x,y)H-^-D>f(x,y).

hn—1 к n (4^ï)îTJ " h kn—1    n

I (n—1)! x

Xn—

xyn

Wzór (6) daje rozwinięcie całkowitego przyrostu funkcyi całkowitej stopnia n. dwu zmiennych podług potęg rosnących przyrostów tychże zmiennych.

Położywszy dla skrócenia :

(7) .    . D” f(x, y) = h" D“m f(x, y) + i ™ j h-

hm_2k² Dxm-2y2 f(x, y) -f- . . . .

4"

to H

к Pxm-ly f(X7 У.'

(")

.... 4-

h km-] Dxym-if(x,y) + km Dym f(x, y), gdzie m = 1, 2,.. n, będzie można wzór (6) krócej tak pisać;

(8)    .    . f(X+h, y-f-k) — f(X,y) = yDf(X,y) "H YfD²f(x,y) -f-

4- 4] T)3f(x> У) 4- • • • ■ 4- I)n f(x,y).

W tej postaci napisany różni się on od wzoru Taylor’a (4) tylko tym, że wyrażenia Dm f (x,y) mają teraz wartość, określoną wzorem (7). Stąd już widoczna, co należy rozumieć przez przyrosty częściowe i przez przyrost całkowity funkcyi całkowitej ilukolwiek zmiennych i jak to przyrosty, przez powtórzone stosowanie wzoru Taylor’a, można rozwinąć podług potęg rosnących przyrostów tych zmiennych.

Funkcyja całkowita zmiennej zespolonej.

6. Jeżeli f(z) oznacza funkcyją całkowitą stopnia n. zmiennej z, mamy podług wzoru Taylor’a :

. f(z+h) = f(z) -h y Df(z)    D²f(z) + ... 4*

O).

hn

n!

Dnf(z).

Podstawmy w tym wzorze z — x, li — rji, rozumiejąc przez

X i y dwie zmienne rzetelne, a przez i jedność urojoną J— 1 ; skoro i² = — 1, wzór (1) zamieni się na:

f(x+yi) =

{«w

-f- i

|f D²f(x) +

[f Df(x) - |f D*f(x) + |f D‘f(x) -

Załóżmy następnie, że współczynniki funkcyi f(x) są liczbami zespolonymi ; przy tym założeniu będzie :

(2)    . ' .    .    . f(x) = f,(x) + i f₂(x),

gdzie f,(x) i f₂(x) są funkcyjami stopnia n. o współczynnikach rzetelnych; podobnież będzie, dla m = 1, 2,.. . n,

(3)    .... Dmf(x) = Dmf,(x) + i Dmf₂(x).

Wskutek tego wyrażenie powyższe na f(xĄ-yi) przejdzie na :

A (x) — -у-Щ(х) — ~ D²A(x) + |j D%(x) +

+ f D‘f,(x) - ... J +

+ > 1 f„(x> + У Df,(x) - |f D²f₂(x) - у D*f,(x) +

+ T|- ® 4M + • • •

f(x+yi)

!■

czyli krócej :

(4)    .    .    .    . f(x+yi)

? (x, У) + i Ф(х> У)

położywszy :

PĄ(x) - D²fj(x) +

+ 3y D f₂(x) + y- D A(x) — ...

Ф(х, у) = А(х) + -у-Щ(х) — ^j-D%(x) —

— Р А (х) ~Ь у Р Аг(х) “h

Funkcyje dwu zmiennych rzetelnych ?(х,у) i ф(х,у), określone wzorami (5), posiadają także współczynniki rzetelne, stąd też czytamy z wzoru

?(x»y) = A(x) -

(5) .    .

(4), że funkcijja zmiennej zespolonej z — X + > i jest funkcyją zespoloną, której część rzetelna i część urojona jest funkcyją dwu zmiennych rzetelnych X i y i rzetelną, tj. mającą oraz współczynniki rzetelne“.

Tosamo twierdzenie daje się rozciągnąć na funkcyją całkowitą ilukolwiok zmiennych zespolonych.

Oznaczając przez mod f(x-\-yi) moduł funkcyi f(x-\-yi), mamy wskutek wzoru (5):

(6).    .    . mod f(x+yi) =    y)i² + {ф(х, у) }² .

Podobnie jak zmienną zespoloną x-\-yi-~z można uważać za miejscowskaz punktu bieżącego г na płaszczyźnie, wyznaczonej przez oś liczb rzetelnych i oś liczb urojonych, którego odległości zmienne od tychże osi są odpowiednio у i a?, taksamo funkcyją téj zmiennej w — f(z) = т(х, y) -f- i ф(х, y) można uważać za miejscowskaz drugiego punktu w na téjsaméj płaszczyźnie, odległości którego od namie-nionych osi są odpowiednio ф(х, у) i <p(x, y). Położenie punktu w zależy więc od położenia punktu z; jeżeli punkt z opisuje jakąkolwiek drogę, natenczas i punkt w będzie opisywał pewną drogę, ale od tamtej zależną.

Ciągłość funkcyi całkowitej..

7. Powiadamy, że funkcyją zmiennej z jest ciągłą około wartości Z = a, jeżeli dając sobie liczbę bezwzględną podług upodobania małą e, można znaleść drugą taka,, liczbę ri} aby dla mod h < ą, było :

mod [f(a + h) — f(a) ] < e.

Weźmy pod uwagę funkcyją całkowitą zmiennej г stopnia n. Podług wzoru Taylor’a mamy :

(1)

f(a—(—h) — f(a) =

hn

n!

Połóżmy w tym wrzorze :

(2) b = P<p

tudzież dla m = 1, 2,. . .n

-p D f(a) = (r„ )

⁶m

będzie wówczas :

(3)

f(a+h) — f(a) = (p r,)ęf)+^+ (рйг₂)2т> -f- . . . . + (pn rn )

n*+9n •

Wiadomo, że moduł sumy liczb zespolonych nie może być większym od sumy modułów tychże liczb; wzór (3) daje zatym :

mod {f(a-f-h) — f(a) } < pi^ -\- p²r₂ -f- .... + pn rn .

Oznaczmy przez r największą z liczb rlt r₂,.. wtedy tym bardziej :

rn , będzie

mod { f(a+h) — f(a)} << pr (1 p -f- p² -f- ... pn_ł) = pr

1—pn

gdy p oznacza liczbę mniejszą od 1, będzie jeszcze tym bar

dziej :

mod {f(a+h) — f(a) } < ——

1-p '

Połóżmy teraz :

(4)    .    .

₁~f- = skąd Y] = —

Г+S

otrzymamy natenczas :

(5)    .    .

mo

d {f(a+h) — f(a)} < s dla mod h <1 yj.

A zatym funkcyja całkowita jest ciągłą około kaêdéj wartości skończonej a na zmienną.

8. Taksamo funkcyja np. dwu zmiennych f(x, y) będzie ciągłą około wartości x^a i y=b; jeżeli dając sobie liczbę bezwzględną podług upodobania małą s,» można znaleść drugą taką liczbę yj; aby dla mod h < y) i mod к < yj, było:

mod [f(a+h, b+k) — f(a, b)] < e.

Jeżeli funkcyja jest całkowitą stopnia n., mamy wtedy podług wzoru Taylor’a dla funkcyi dwu zmiennych:

(6) .

. f(a+h, b+k) - f(a, b) = i D f(a, b) + ~ D*f(a, b) + ...

+ -^Dnf(a,b).

Oznaczmy znowu przez p i p' moduły przyrostów h i к, a przez R największy z modułów wyrażeń, które dla m =*1, 2,.. .w, ?'=:#, l,...m wypływają z wyrażenia:

i! (m—i)!

Dxiym-i f(a, b),

mieć będziemy wtedy: mod [f(a+h, b+k) — f(a)] < R [(p+p') + (p+p')² + ... + (p+p')n ]

— P p+p' ~ (Р+Р')п+1

1- (p+p')

Zakładając, że p -f- p' <11, będziemy mieli tym bardziej :

mod [f(a+h; b-j-k) — f(a)] <[ Jeżeli więc położymy:

R (p+pP

¹—(p-bp')

T=^ - s> skt*d 4 = ГРЕ>

wówczas, dla p-j-p'<7], a więc dla p»<Y] i p'<C^, będzie: mod [f(a + h, b-j-k) — f(a)] < e.

Stąd czytamy, że funkcyja całkowita dwu zmiennych X i y jest ciągłą około każdego układu wartości skończonych a i b na zmienne

X i y. Taksamo dowiedzie się ciągłości funkcyi całkowitej ilukolwiek zmiennych.

Prawidło ogólne na wynalezienie funkcyj pochodnych.

9. Niech f(x) będzie naprzód funkcyją całkowitą stopnia n. zmiennej x< Podług wzoru Taylor’a mamy:

f(x-f h) — f(x) = h D f(x) + || D²f(x) -J-...

a gdy obie strony tej tożsamości podzielimy przez h} będzie: fo+hj-fr) ..Df(x) + h_D,f(x) + ____

hn

ïrD”f(x);

hn_1

n!

Dnf(x).

Załóżmy, że się przyrost h zmiennej x wciąż zmniejsza, dążąc do 0. Przy tym założeniu wyrazy strony prawej, począwszy od drugiego, będą się także coraz bardziej zmniejszały i dążyć będą także do 0; albowiem każdy z nich jest iloczynem potęgi dodatnój przyrostu Ji i pochodnej funkcyi założonej, te zaś pochodne przy wszelkich wartościach skończonych na x posiadają wartości skończone. Jeżeli więc przyrost h dąży do 0, natenczas strona prawa dąży do Df(x) jako swój granicy. A że strona prawa jest równa stronie lewej przy każdej wartości na x, przeto także strona lewa, tj. stosunek jednoczesnych przyrostów funkcyi f(x) i zmiennej x, będzie dążyła do Df(x) jako swój granicy, gdy x dąży do 0. Oznaczmy ten wypadek, pisząc:

D f(x) = lim

(1) . .

f(x+h)-f(x)

li

gdzie lim. jest początkiem wyrazu limes, oznaczającego granicę.

A zatym : Pierwsza pochodna funkcyi całkowitej f(x) zmiennej X, jest równa granicy, do jakiej dąży stosunek przyrostu téj funkcyi do przyrostu zmiennej, gdy ten ostatni (a więc z powodu ciągłości f unkcyi i pierwszyj dąży do granicy 0.

Stosując to określenie pierwszej pochodnej do funkcyi Df(x), otrzymamy taksamo:

D²f(x) = lim

Df(x+h) - Df(x)

, dla h = 0, itd.

Tosamo określenie pochodnej rozciąga się na wszelkie funkcyje, nietylko całkowite, byle tylko te funkcyje były ciągłymi około wartości początkowej x na zmienną. Użyjemy tego określenia, celem wynalezienia pochodnej jakiejkolwiek funkcyi jednej zmiennej.

10. Niech będzie f(u, v) funkcyją dwu zmiennych м i », z których każda zależy od jednej i téjsaméj zmiennej x. Zakładając, że:

U = <p(x), Y = ф(х),

f[<p(x), ф(х)] funkcyją jednej zmiennej x.

będzie wtedy f(u, v)

Dajmy na zmienną x wartość początkową x i tę wartość powiększmy przyrostem lr, oznaczmy następnie przez к i l odpowiedne przyrosty funkcyj u i v, tj. połóżmy:

к = <p(x+h) — <p(x),    1 = ф (x+h) — ф(х).

Jeżeli w funkcyi f(u, v) za zmienne u i v podstawimy odpowiednio u-\-k i vĄ-Ï, rozumiejąc przez u i v wartości tych zmiennych, odpowiadające wartości początkowej na x, a przez к i l przyrosty, jakich te wartości doznają, gdy wartość początkowa na x przyrośnie o h, natenczas ta funkcyją dozna przyrostu

f(u + k, y -j— 1) — f (u, v);

pochodna więc tej funkcyi co do zmiennej x wryrazi się wzorem :

Dxf

lim

f(u + k, V + 1) — f(u, v)

li

Dodajmy w liczniku wyrażenia po prawej f(u, v-\-l) i —f(u, v -f-1), mieć wtedy będziemy:

Dxf = lim

i f(u+k, Y-j—1) - f(u, Y+l) } + {f(u, Y I 1) - f(u, y) }

zamiast czego można pisać : Dxf EEE lim

f(u—I—k, Y+l) - f(u, Y+l)

f(u, Y+l) — f(n, Y)

albo też:

Dxf = lim

fiUi-k, v-H) — f(u, T+l) к f(u, V —i—1 ) — f(u, у) 11

• h|-

Załóżmy, że około wartości początkowej x funkcyje u i v są ciągłymi, tudzież że i funkcyja f(u, v) jest ciągłą około wartości na u i v, które odpowiadają wartości początkowej na x. Przy tym założeniu, gdy h dąży do granicy 0, będą także к i l dążyły do 0; a zatym granicą wyrażeń :

f(u-f-k, y+1) — f(u, v+l)

f‘(u, Y-t-1) — f(u, y)

będą pierwsze pochodne funkcyi f(u, v), wzięte odpowiednio co do u i co do v, tj. Duf i Dvf, gdy tymczasem wyrażenia:

к _ <p(x+h) — <p(x)

h =

Ф(х+Ь) — ф(х)

dążą do pochodnych Dx <p Dxu i Г1хф — Dxv, jako swych granic. Mamy więc :

(2)    .    .    .    . Dxf = Duf.Dxu H- Dvf.Dxv.

A zatym: znajdziemy pochodną co do X funkcyi f(u, v) zależnej od dwu zmiennych u i V, z których każda jest funkcyją zmiennej X, gdy pochodne funkcyi f(u, v) wzięte częściowo co do u i co do V, pomnożymy odpowiednio przez pochodne funkcyi U i V co do zmiennej X, i te iloczyny częściowe do siebie dodamy.

To prawidło daje się widocznie rozciągnąć na zmiennych zależnych od jednej i téjsaméj nowej zmiennej. Tak np. jeżeli u, v, w,... są funkcyjami jednej i téjsaméj zmiennej x, mamy:

(3)    . Dxf(u, v, w...) = Duf . Dxu + Dvf. Dx y -p Dwf. Dx w -f- ••

funkcyje ilukolwiek

11. Zapomocą prawidła dopiero wyłożonego można znaleść pochodną sumy, iloczynu, ilorazu i potęgi funkcyi jednej zmiennej. Oznaczmy przez u, г?, w... funkcyje zmiennej x.

1°. Niech naprzód będzie /= ± u ± v ± w A ...mamy natenczas, skoro Du f == ± 1,

(4)    .    .    .    I)x(±u±v±w±....) = ±Dxu±Dxv±Dxw±....

UVW...

Dvf = + 1,

Dvf =

2°. Niech następnie będzie f=uvw... Skoro Du f UV—, D f

v ⁷ w

vw,..=

u w....

.., mamy zatym:

(5)

Dx(uyw. .. .) = uvw.

Dxv

Dxw

3°. Jeżeli/ = wówczas u~vf. Stosując wzór (5), mamy:

Dxv

DlU = vf

Dxf

stąd wynika:

).

Dxf =

Dxu — fDxv

czyli :

(6) . .

• d*(t)

yDxu — uDxy

4°. Niech nareszcie będzie/ = um, gdzie m jest na razie liczbą całkowitą i dodatną. Z wzoru (5), gdy w nim założymy u —v — w = ... i przyjmiemy, że ilość czynników jest równa m, wypada:

.    . I)x (um ) = m um_1 Dx u.

Wzór (7) daje się rozciągnąć i na przypadki, kiedy m jest liczbą

ułomkową, albo odjemną. Jakoż, jeżeli naprzód f = uq , wówczas /ч = uv . Stosowanie wzoru (7) daje za tym:

p up_1 Dx u ,

(7)    .    .

skąd wypada

q f'q_1Dxf

Dxf =

Dx(u )

Cu a*

Jeżeli następnie / = u~m wzoru (6) i (7) :

Dx u.

to skoro f = ——, mamy podług

'll

_ — Dx (um)

Dx f _ Dx (u m) — I)x ( um )

m um_1 Dx u u2m

12. Wynajdziemy jeszcze uwagi godny związek między dwiema funkcyjami rzetelnymi zmiennej rzetelnej i pochodnymi tych funkcyj. Niech f(x) i y(x) będą dwie funkcyje rzetelne zmiennej rzetelnej x i ciągłe około wszelkich wartości rzetelnych na x, zawartych między liczbami a i ó, gdzie b^>a. Załóżmy nadto, że funkcyja <p(x) jest wciąż dodatną (lub odjemną) i wciąż wzrasta, gdy x przybiera coraz większe wartości, idąc od a do b.

u2m

= — mu-m-1Dxu.

Rozumiejąc przez n liczbę całkowitą i dodatną podług upodobania wielką, połóżmy :

przez h liczbę dodatną podług upodobania małą

skąd h = --

f(b) - f(a)

?(b) — <p(a)’

b—a = nh,

i weźmy pod uwagę wyrażenie W =

Łatwo spostrzec, że:

w ==

f (a+h) — f(a) + f(a+2b) — i‘(a+b) + ....+ f(b) — f(b-h)

~ <p(a+h) — tp(a) + <p(a+2h) — <p(a+h) + .. .. + <p(b) — <p(b—h) ’

lub

Li + L₂ + .... + Ln Ml + M₂ -j- .... -f- Mn ’

położywszy :

f (a+h) — f(a) = Lt, f(a+2h) — f(a+h) =5 L₂,..., f(b) - f(b—h) = L <p(a+h)—<p(a) =M,, tp(a+2h) — ?(a+h) = M₂,..<p(b) —<p(b—h)=Mn .

Oznaczmy przez P wartość największego, a przez Q najmniejszego z ułomków

mamy wtedy :

Li L₂

’ M₂ ’ * ' * * ’ Mn

Ln

lub, pomnożywszy te nierówności przez liczby dodatne , M₂,..., M M, P > Li > MiQ, M₂P > L₂ > M₂Q,...., MnP > Ln> MnQ.

Dodając te nierówności stronami odpowiednymi i dzieląc sumy przez liczbę dodatną + M₂ +....+ Mn , otrzymamy :

P>

Li + Ł₂ + ... + Łn

Mi + M₂ + ... + Mn

> Q.

L,

Stąd czytamy, że wartość wyrażenia W jest zawarta między wartością największą i najmniejszą ułomków ^“7

że to wyrażenie jest zawarte między wartością największą i najmniejszą, jaką przyjmie ułomek:

f(x+h) - f(x)

f (x+h) — f (x)

<p(x+h) — ?(x)

czyli

<p(x+h) -- y(x) ’

b—h.

gdy w nim za x będziemy podstawiali a, a+h, a+2h,...

^

Jeżeli n wzrasta nieograniczenie, a przeto h = - nieograni-

czenie maleje, dążąc do 0, wówczas napisany dopiero ułomek dąży do

jako swój granicy.

Pf(*)

Df(x) ’

A zatym, wartość wyrażenia W jest zawarta między największą i najmniejszą w*artością, jaką iloraz pochodnych

Ш(х)

Df(x)

zmienna x przebiega obręb od x = a do x — b w sposób ciągły. Jeżeli więc ten iloraz także jest ciągłym od x — a do x~b, tj. około każdej wartości na x między a i b, wówczas między a i b musi się znajdować taka wartość i na x, przy której ten iloraz jest równy wyrażeniu W. Mamy zatym twierdzenie: Jeżeli dwie funkcyje f(X) г ?00 * sto-

DfÇx)

D'rO)

sób ciągły, gdy X wzrasta w sposób ciągły od x = a do X = b, nadto jeżeli druga funkcyja <p(x) razem z x wciąż wzrasta, nozostając ciągle dodatną (albo ciągle odjemną), wówczas będzie :

simek pierwszych pochodnych

przyjmie, gdy

tych funkcyj zmieniają się w spo-

f(b) - f(a) __ Df®

KO — KO D?(£)

, gdzie a < i < b.

Rozumiejąc przez 6 liczbę dodatną, nie większą od jedności, możemy położyć :

i — a + 9 (b—a),

a wtedy wzór napisany przybierze postać :

f(b) — f(a) Df [a + 6(b—a)]

f(b) — <p(a)    Df [a -j- 6(b—a)]

Wzór (8) jest niezmiernie ważny. Tutaj ograniczymy się wyprowadzeniem z niego kilku wniosków.

13. Połóżmy we wzorze (8) a — 0, b = x i załóżmy, że f(0) = 0 i <f(0) = 0, mieć będziemy wtedy wzór:

f (x) D f (0x)

f (x)    Df (0x) ’

(8) .

(9)    .    .

gdzie O<0<1.

Dajmy następnie, że także Df(0)—0 i Dy(0) = 0. Podług napisanego dopiero wzoru będzie wówczas :

D²f(6'x)

Df(x)

Df(x)

D²f(6'x)

mamy zatym wskutek tych dwu wzorów:

Df (6x)

f(x)

t(x)

D<P (6x)

D²f(66'x) D²<p(66'x)    '

lub położywszy 66' = 6

D"f(6j x)

D^^x)

Postępując tak dalej, tj. zakładając, że i D“f(0) = 0, D²cp (0) = 0, potym że także D*f(0) = 0 i D³'f(0) = 0 itd., znajdziemy wzór ogólny :

(10) . .

f(x)

cp(x)

0 < 6, <; 1.

(11) . .

f(x)

Dmf(6x)

cp(x)

Dm cp (6x)

0 < 6 < 1.

Prawdziwość tego wzoru wymaga: 1° ażeby funkcyje f(x) i 'f(x) były ciągłymi od x — 0 do x = x >■ 0; 2° ażeby funkcyje pochodne obu funkcyi aż do mtéj były także ciągłymi od x = 0 do x — x > 0 ■ 3° ażeby funkcyja <p(x) i jej pochodne aż do (m—l)éJ wciąż wzrastały razem z x i ażeby każda z tych funkcyj była stale dodatną (lub stale odjemną); 4° ażeby funkcyje f(x) i <p(x) i ich pochodne aż do (m—l)éj stały się równymi 0 dla x = 0.

Xю“¹

14. Wszystkim dopiero namienionym warunkom stanie się zadość, gdy położymy :

(m—1)!

Dm-1F(a)

f(x) = F(a+x) - F(a) - j D F(a) - ||D²F(a) - • • •

gdzie F(x) jest funkcyją, dopełniającą warunków żądanych od funkcyi f(x) (np. funkcyją całkowitą zmiennej x), tudzież :

cp(x) = xm.

Skoro Dm f(x) = Dm F(a-f-x) nam w tym wypadku :

a Dm<p(x) = m! , wzór (11) da

(12)    .    . F(a-f-x) — F(a) =

... +

D,n-X

DF(a) + |j“ DsF(a) + ... F(a) + -î”DmF(a+0x)

И ! i—¹

0 < 6 < 1.

(m—1)!

Zapomocą tego wzoru można rozwinąć przyrost jakiejkolwiek funkcyi podług potęg całkowitych i rosnących przyrostu liczby zmiennej. Ostatni wyraz tego rozwinięcia:

ym

~y DmF(a-b6x)

zowie się pospolicie resztą. Ta reszta wyznacza błąd, jaki się popełni

Zasady algebry wyższej.

gdy, obliczając wielkość przyrostu funkcyi, obliczymy tylko (m—1) początkowych wyrazów jego rozwinięcia. Jeżeli bowiem oznaczymy przez P największą, a przez Q najmniejszą wartość, jaką mta pochodna funkcyi F przyjmuje w obrębie ciągnącym się od a do a -j- x, to błąd popeł-

xm    xm

niony będzie zawarty między P i -^y- Q. Wzór (11) jest niczym

innym, jeno wzorem Taylor'a, rozciągniętym na jakąkolwiek funkcyją, byle ta funkcyją i jej pochodne do mtéj włącznie były ciągłymi. Wyrażenie reszty podał pierwszy Lagrange.

Dla m = l i x — h, wypada z wzoru (12):

0<6<1.

Załóżmy, że h > 0. Jeżeli DF(x) >0 od ж = а do x = a h, wtedy F(a-)-b) — F(a)>0; a jeżeli DF(x)<0 od x = a do x — a-fh, wtedy F(a-j-b) — F(a) < 0. A zatym : Jeżeli zmienna X wzrasta, to natenczas funkcyją ciągła téj zmiennej będzie wciąż wzrastała lub wciąż malała, według tego, czy pierwsza pochodna téj funkcyi jest wciąż do-datna, czy też wciąż odjemna.

(13)    .    . F(a-j-h) — F(a) = x DF(a-|-0h),

ROZDZIAŁ V.

0 pierwiastkach funkcyj całkowitych jednej zmiennej.

Pierwiastek i czynnik pierwiastkowy.

1. Niech będzie :

(1) -

.... -f- an

—2

f(z) = a₀zn ayZ¹¹—¹ -f- a₂zn

daną funkcyją zmiennej z całkowitą stopnia n., w której współczynniki a₀,    ,.. .. a* mogą być liczbami rzetelnymi albo zespolonymi. Jeżeli

w (1) podstawimy z = x -j- yi, rozumiejąc przez x i у zmienne rzetelne, otrzymamy przez oddzielenie wyrazów rzetelnych od urojonych:

(2)    .    .    .    . f(x + yi) = <p(x,y) + i 'ф(х,у),

gdzie <p(x, y) i ф(х, у) są pewnymi funkcyjami całkowitymi zmiennych rzetelnych x i у, mającymi także współczynniki rzetelne.

Wartość na zmienną, przy której wartość funkcyi f(z) staje się równą 0; nazywa się pierwiastkiem tej funkcyi, albo pierwiastkiem równania f(z) = 0.

Niech z = a -f- $i będzie pierwiastkiem funkcyi całkowitej założonej ; mamy wtedy :

f(a + ßi) = <f(a, ß) + i ф(а, ß) = 0.

Stąd wypływa:

cp(a, ß) — 0 i ф(а, ß) = 0.

Nawzajem, jeżeli wartości a i ß odpowiednio na x i у przywodzą do zera funkcyje cp(x, y) i <J>(x, y), wtedy wartość z~ a + ßi będzie pierwiastkiem funkcyi założonej f(z).

Moduł funkcyi założonej f(z) jest według (2) :

(3)    .    .    . mod f(z) == У{ср(х,у)}² + {ф(х,у)}².

Jeżeli więc <p(x,y) = Ö i ф(х, у) = 0, wówczas także modf(z) — O; nawzajem, jeżeli mod f(z) = O, natenczas — wskutek (3) — musi być także у(х, у) — 0 i ф(х,у) = 0, gdyż suma liczb dodatnych nie może być 0, chyba że każda z tych liczb jest równa 0. Możemy zatym wypowiedzieć twierdzenie :

Warunkiem niezbędnym i oraz wystarczającym, aby wartość z = « -f ßi była pierwiastkiem funkcyi całkowitej zmiennej z, jest przy wiedzenie się do O modułu tej funkcyi przy téj wartości na zmienną.

2.    Jeżeli z — z, jest pierwiastkiem funkcyi całkowitej f(z), sto-

f(Z)

pnia n.j natenczas iloraz-- ’ będzie funkcyją całkowitą stopnia (n—1).

Jakoż dajmy, że iloraz jest funkcyją całkowi tą f(z) stopnia (n—1) i oznaczmy przez r resztę, będzie wtedy:

r,

f(z) = f (z) (z— zt)

na z Skoro f(zj— 0 wtedy :

tj. strona pierwsza będzie równa stronie drugiej przy każdej wartości a więc i dla z = Zi. Podstawmy zatym w tej tożsamości z = zt.

fi(z₁) nie może się stać nieskończoną, otrzymamy 0 = r.

Atoli reszta r jest od 0 niezależną, a zatym, skoro jest ona = O przy wartości z = zy , będzie zawsze = 0. Mamy więc :

f(z) — fi (z) (z—Zj).

Bóżnica z—Zj, której odjemna jest zmienną z a odjemnik jest pier-wiastkiem zt funkcyi całkowitej fCz), nazywa się téj funkcyi czynnikiem pierwiastkowym. Według tego określenia możemy dowiedzione dopiero twierdzenie tak wypowiedzieć :

Funkcyją całkowita stopnia n. jednej zmiennej równa się funkcyi całkowitej stopnia (n—I) tejże zmiennej, pomnożonej przez czynnik pierwiastkowy, albo też, funkcyją całkowita jednej zmiennej jest pod,zielna przez czynnik pierwiastkowy.

3.    Iloraz f\(z) z podzielenia wielomianu f(z) przez dwumian z—z{ wynajdziemy najprościej, opierając się na twierdzeniu następującym :

Jeżeli dwie funkcyje całkowite téjsaméj zmiennej są sobie równe przy każdej wartości na zmienną (tj. tożsamościowo równe), wówczas współczynniki wyrazów obu funkcyj, zawierające tesame potęgi liczby zmiennej, są równe między sobą.

Tego twierdzenia dowiódł Descartes po raz pierwszy sposobem następującym. Niech będzie :

a₀zn + ajZ“⁻¹ + a₂zn_2 + ... + an-2Z² -f- an-iz + an = b₀zn + b₂zn—2 + ... + b„_₂z² -j- b„_x z -f- bn .

b„ .

Skoro pierwsza strona równa stronie drugiej przy każdej wartości na z, więc ta równość będzie zachodziła i przy wartości z — 0. Atoli dla z = 0, daje ona :

an

Opuśćmy zatym na stronie pierwszej a na stronie drugiej bD i podzielmy obie strony przez z, wypadnie wtedy druga tożsamość :

a₀zn_1 axzn—2 H- .... + a„_₂z + an_i = boZ"-¹ + bxzn-² + . ...

+ bn_₂z -j- bn—X j

która znowu, dla z — Ö, daje:

an—i — bn—i.

Postępując tak dalej, otrzymamy za porządkiem:

an—2 — bn—₂,

ai ⁼⁼ W, ao ~ b₀.

ffz}

Wiedząc to, dajmy, że iloraz ~— jest równy funkcyi:

fi (z) = boZ¹¹“¹ + btzn-² + .. . . + bn_x i, dla tym większej ogólności, załóżmy, że zt nie jest pierwiastkiem funkcyi f(z); będzie wówczas:

(4)

a₀zn + aj z¹¹“¹ + a₂zn-² + a₃zn-³ + . .. + a„_xz -f- an = (b₀zn_l +b₁zn-² + b₂z¹¹-³+b₃zn-⁴+.. .. +bn_₂z+bn_i)(z— zj) + r, gdzie r jest resztą.

Wykonawszy mnożenie na stronie drugiej, mieć będziemy: aoz" + at z¹¹⁻¹ + a₂zn—2 + a₃zn—3 +....+ an-iz + a„

= {b₀zn + (bt — b₀ zx) z"⁻¹ -f- (b₂ — Ц z,) zn_2 + (b₃ — b₂ z,) zn—3 —}— ....

+ (bn-1 — b„—2 Zt) z + (r—bn_x zj)} ; stosowanie zaś twierdzenia Descartes’a daje :

ao—b₀, a.,—-bj    b₀z,, a₂—b₂ b, z1} a₃—b₃ b₂Zj,...

an—i —■ bn—i    bn—2ZX; an —- r bn—izx,

skąd wypływa :

(5)    .    .    b₆™a₀, bt ^aj+b₀z1; b₂ =a₂-f-bxZ| , b₃ — a₃-j-b₂zn....

bn—i == an—i “h bn—2zx, i = a„ -j- bn_iZx.

Wzory (5) dają, jeden za drugim, współczynniki &₀,    bn-i

ilorazu i resztę r, wypadającą przy dzieleniu funkcyi założonej (1) przez dwumian z—zy.

Ten sposób obliczania ilorazu i reszty przy dzieleniu funkcyi całkowitej stopnia n. przez funkcyją stopnia 1. z—z, podał geometra angielski Homer, skąd też ten sposób dzielenia zowie się dzieleniem Homera albo dzieleniem syntetycznym. .

Uważmy, że według (5), każdy następny współczynnik ilorazu równa się równowskaźnikowemu współczynnikowi dzielnej, więcej współczynnikiem ilorazu bezpośrednio poprzedzającym, przez drugi wyraz Z1 dwumianu z—zt pomnożonym.

Tosamo prawidło odnosi się do reszty r, która jest równą ostatniemu współczynnikowi dzielnej, więcej ostatnim współczynnikiem ilorazu, pomnożonym przez drugi wyraz zv dwumianu z—zy. Zapo-mocą kolejnego podstawienia otrzymamy z (5) wzory następujące :

b₀ — aoi b[ = Mi -|- a,, b₂ = a₀zi -j- axzx + a (6) .    . < b₃ = a₀zi -j- axz! a₂zx -Ą- a₃

bn—1 — Ml 4“ alzl “Ь a2 Z1    • • • • + an~l

r = a₀zjl —}— a i Zi -j- a₂zi -f- .... -j- an_izx + an = f(zx).

Stąd czytamy, że będzie r = 0, gdy z, jest pierwiastkiem funkcyi f(z). Mamy zatym drugi dowód twierdzenia, że funkcyją całkowita jednej zmiennej jest podzielna przez czynnik pierwiastkowy.

Ilość pierwiastków.

4. Л'Alembert okazał, że funkcyją całkowita jednej zmiennej stopnia n. posiada n, ani mniej ani więcej, pierwiastków. Aby tego dowieść, udowodnić nam należy naprzód następujące podanie pomocnicze : Jeżeli funkcyją f(z) zmiennej z całkowita stopnia П. nie przywodzi się do zera dla z = a, wówczas można wyznaczyć taki przyrost h, aby mod f(a+h) był mniejszy od mod f(a).

Celem okazania prawdziwości tego podania, rozwińmy f(a-\-h) zapomocą wzoru Taylor’a (IM.), podług potęg rosnących przyrostu h i dla tym większej ogólności, załóżmy, że dla z~a przywodzi się do zera y.—1 początkowych pochodnych funkcyi f(z) [z. nie może być ani

= O, gdyż z założenia f(a) nie jest O, ani == w, gdyż pochodna ntŁ funkcyi stopnia n. jest liczbą stałą, będzie wtedy:

f(a+h) = f(a) ₊-^-D“f(a)4 stąd wypływa :

f(a-ł-h)

(1)

f(a)

= 14

Dv' f(a)

y. ! f(a)

h*+¹

(*4-1)!

hv--f

D*⁺¹f(a) -H • • • • ■+■ ~y D° f(a)]

Dv'⁺¹f(a)

hx+ł+....-f

Dn f(a) ,

—.-44 hn.

n! i(a)

Połóżmy teraz :

(2) h = P(p, tudzież dla m = x, % + 1,... to zamiast (1) będziemy mieli :

Dra f(a)

- (rm )

era

(3)

f(a4-h)

f(a)

1 + (p Yv.)v.cr+4“ (p + (Pnr„)

V. + 1

rx₊i)(x₊i) <p+9

4- ...

*+i

n¥+9n *

Przyrost h, dotychczas dowolny, poddajmy takiemu ograniczeniu, aby jego kierunek (p czynił zadość równaniu warunkowemu:

(4) .

.    7,<p 4* 6X = 7u, skąd <p =

TC — 6x

Skoro (px rx)xcp₊ex równa się teraz (рхгх)л _ _ pxrx, przeto wzór (3), wskutek tego ograniczenia przyrostu h, przechodzi na :

P r* (P ⁺¹ r^+i)(’4-i)'P+9x+1 +••*• + ( P rn )

gdzie ф posiada już wartość, określoną równaniem (4).

Poddajmy następnie moduł p przyrostu h takiemu warunkowi aby różnica 1—pxrx była dodatną, tj. połóżmy:

f(a4~h)

f(a)

n*+9n ,

(5)    .    .

14

i zastosujmy do poprzedzającego wzoru twierdzenie, że moduł sumy liczb zespolonych nie może być większy od sumy modułów tychże liczb. Skoro teraz 1—p*rx >> 0, a więc moduł tej liczby jest równy jej samej, mamy:

mod

lub

mod f(a-l—h) mod f(a) ==

< 1—P* r* -h Py’⁺¹ rx+1 4- • • • • 4- pn rn ,

rv.+l

p — .

< 1-PX rx

rv.

Oznaczmy przez R największą z liczb będzie tym bardziej :

mod f‘(a-j-h) mod f(a)

гн+1

natenczas

й i—рХ I¹—rP (i+p    pn~*⁻¹)î

(x-KPiEf ')•

== 1

Dla p •< 1 jest więc:

mod f(a4~b) mod f(aj

< 1—P⁷’ rx|¹ —

Rp

1—

FI'

Dajmy teraz na p wartość tak małą, aby ułomek dodatny — był równy ułomkowi właściwemu s. Kładąc:

(6) .

—X = e, będzie wtedy p —    .

1—p

Przy tym założeniu mieć będziemy :

mod f(a)

< 1 Yi P* rv. ,

gdzie Y] = 1 —s jest także ułomkiem właściwym i dodatnym; a więc, jeżeli za p weźmiemy liczbę, według (5) i (6), mniejszą od mniejszej

z dwóch liczb —-

R-j-e

wówczas zajdzie ostatnia nierówność;

a że, przy tych założeniach 1 > 1 —Y]px rx >> 0, przeto będzie tym bardziej :

mod f(a+h)

mod f(a)

< 1,

tj. będzie:

mod f(a-j-h) < mod f(a).

Podanie wypowiedziane na początku artykułu jest więc dowiedzione.

5. Wiedząc to, podstawmy w funkcyi f(z) za z wszelkie możebne wartości skończone; funkcyja f(z) przybierze wtedy wartości o modułach rozmaitych, ale mających wartości skończone, pomiędzy którymi jeden będzie najmniejszy. Ten najmniejszy moduł musi być = 0; albowiem, jeżeliby był od 0 odmienny i zachodził przy wartości z —a, to podług dopiero dowiedzionego podania, możnaby znaleść inną wartość z — a + przy której moduł funkcyi byłby jeszcze mniejszym

od założonego najmniejszego. Skoro tak rzecz się ma i skoro moduł najmniejszy funkcyi f(z) nie może zachodzić przy wartości na z nieskończenie wielkiej, gdyż razem z z rośnie i f(z) bez granic, możemy zatym wypowiedzieć twierdzenie :

Funkcyja całkowita jednej zmiennej posiada przynajmniej jeden pierwiastek kształtu a-j-ßi, który jest liczbą mającą moduł skończony.

6. Niech Z) będzie pierwiastkiem funkcyi całkowitej f(z) stopnia «., mamy wtedy (V. 2):

f*0) = f,(z)(z—z,),

gdzie fi (z) jest funkcyją całkowitą stopnia (n—1). Według dowiedzionego dopiero twierdzenia, posiada także /,(z) przynajmniej jeden pierwiastek; oznaczywszy ten pierwiastek przez z₂, mieć będziemy:

fl (z) = f₂(z)(z —z₂),

gdzie znowu f₂(z) jest funkcyją całkowitą stopnia (n—2), posiadającą przynajmniej jeden pierwiastek z₃, tak iż:

f₂(z) = f₃(z)(z—z₃).

Postępując Palej tym trybem, dojdziemy do funkcyi /„_x(z) całkowitej stopnia 1., która także posiada przynajmniej jeden pierwiastek. Oznaczywszy ten pierwiastek przez zn , mieć będziemy:

fn—i(z) = (z zn ) ,

gdzie a₀ jest współczynnikiem przy zn w f(z), jak to ze sposobu syntetycznego dzielenia wielomianu f(z) przez dwumian z—zx bezpośrednio wypływa.

CO •

Mnożąc ten szereg « tożsamości stronami odpowiednymi, otrzymamy: .    . f(z) = a₀ (z— z₁)(z—z₂).. .. (z—zn).

Z tego wzoru czytamy: 1° że funkcyja całkowita stopnia n. staje się 0 przy n wartościach na z, mianowicie przy wartościach:

z —z„

Z-Zj , z — z₂,. . .

że zatym ta funkcyja posiada n pierwiastków; 2° że funkcyja całkowita jest tożsamościowo równa iloczynowi czynników pierwiastkowych, pomnożonemu współczynnikiem a₀ jej wyrazu najwyższego.

7. Pozostaje okazać, że funkcyja całkowita stopnia n. posiada tylko n pierwiastków. W tym celu załóżmy, że liczba zn+i od Zi,    Zn odmienna, jest także pierwiastkiem. Przy tym zało

żeniu będzie :

f(zn+1) ЕЕ a₀ (zn+i — Zj ) (zn+i — Z₂).... (zn+i — zn ) == 0,

tj. przynajmniej jeden z czynników przywiedzie się do zera; a że to niemożebna, gdyż z założenia jest zn-и odmiennym od zy 2₂»-.. i zn, założenie więc, że 2„+i jest także pierwiastkiem, jest fałszywe. Mamy zatym twierdzenie:

Funkcyja całkowita jednej zmiennej stopnia n. posiada n pierwiastkówf ani mniej ani więcej.

Jeżeli funkcyja f(z) staje się 0, wtedy funkcyja f(z)-\-a, gdzie a oznacza jakąkolwiek liczbę stałą, staje się równą a. Możemy zatym wypowiedzieć jeszcze twierdzenie następujące:

Funkcyja całkowita jednej zmiennej stopnia n. przybiera każdą wartość szczególną przy n wartościach na zmienną.

8. Pierwiastki funkcyi f(z) są liczbami rzetelnymi, urojonymi lub zespolonymi. Załóżmy, że współczynniki funkcyi f(z) są wszystkie liczbami rzetelnymi, i że ta funkcyja posiada pierwiastek zespolony a-j-ßi, mieć będziemy wtedy:

f(z) ее [z — (a + ßi)] ft (z),

f(z) = [z — (a—ßi) ]f'(z)

gdzie f\(z) jest funkcyją całkowitą stopnia (n—1). Skoro i nie zachodzi w f(z), więc i musi zniknąć, gdy na stronie drugiej uskuteczni się mnożenie; a że to tym tylko sposobem stać się może, że i przybierze wszędzie wykładniki parzyste, przeto strona druga napisanej tożsamości nie zmieni się, gdy za + i podstawimy w niej — i. Tym sposobem otrzymamy :

gdzie f'fzj oznacza funkcyją, na którą f(z) przechodzi przez podstawienie — i za -\-i. Stąd widoczna, że także г— (a—ß/) jest czynnikiem pierwiastkowym funkcyi f(z), czyli że także a—ß/ jest tej funkcyi pierwiastkiem. Możemy więc wypowiedzieć twierdzenie:

Jeżeli liczba zespolona a-j-ßi jest pierwiastkiem funkcyi całkowitej f(z) i o współczynnikach rzetelnych, to i liczba zespolona sprzężona a—ßi będzie pierwiastkiem tejże funkcyi.

Pierwiastki zespolone funkcyi całkowitej o współczynnikach rzetelnych występują zatym parami i tosamo odnosi się do czynników pierwiastkowych, pierwiastkom zespolonym odpowiadających. Przez pomnożenie dwu takich czynników otrzymamy czynnik rzetelny:

[z- (a+ßi)] [z - (a—ßi)] = (z-a)2 +ß²;

skąd wypływa twierdzenie następujące :

Funkcyją całkowitą jednej zmiennej, mającą współczynniki rzetelne, można sobie zawsze pomyśleć rozłożoną na same czynniki rzetelne, które są częścią stopnia 1., a częścią stopnia 2.

Pierwiastki równe.

9. Twierdzenia, że funkcyja całkowita stopnia n. posiada n pierwiastków, nie należy tak rozumieć, jakoby te pierwiastki musiały być wszystkie od siebie odmiennymi; uznano bowiem za rzecz stosowną, mówić, że funkcyja całkowita stopnia n. posiada n pierwiastków, chociaż niektóre z tych pierwiastków, albo też wszystkie mogą, być równymi sobie.

Załóżmy, że między n pierwiastkami funkcyi całkowitej f(z) stopnia n. zachodzi pierwiastków równych zx, a₂ pierwiastków równych ,. . . ., am pierwiastków równych zm, wówczas, podług twierdzenia końcowego art. 8., będzie:

(1) . .

. f(z) = a₀ (z—Zj)“' (z—z₂)“2 .... (z - zm)“m ,

gdzie :

(2) .

.    . a, a₂ -j- .... -j- am — n.

Można okazać nawet, że w tym przypadku f(z) nie może być równą żadnemu innemu iloczynowi, utworzonemu z tychsamycli czynników, ale mających wykładniki inne.

Przypuśćmy bowiem, że może być także:

f(z)

gdzie :

a₀ (z Z[)^' (z—z.... (z—zm)ßm

ßl ?2 “ł~ • • • * ß™ - n5

rM\\

mielibyśmy wówczas tożsamość : (z—z,)“¹ (z—z₂)“² . . . (z-zm)

(z—Z^¹ (z—Z₂)ß2 .... (z—zm)^m.

Dajmy, że at (z -Z[)^‘ , byłoby :

ßt ; podzieliwszy wtedy obie strony przez

ai—ßi

(z—z₂)“² .... (z—zm)

r/m

= (Z—г-jf¹ .... (z—zmfm.

(z—zt)

Pierwsza strona napisanej dopiero tożsamości, mającej się utrzymać przy każdej wartości na z, przywodzi się do 0, gdy z—zt, druga zaś strona nie staje się wtedy 0; to dowodzi, żeśmy zrobili przypuszczenie fałszywe.

10. Weźmy pochodną pierwszą funkcyi f(z), określonej tożsamością (1), otrzymamy wówczas (IV. 11):

Z wzoru (3) czytamy, że pochodna pierwsza funkcyi założonej (1) jest podzielna przez:

V.m— 1

(4)    .    . fi(z) = a₀ (z—z,)“¹ *(z—z₂)“2 L....{z—zm)

i że funkcya ffz) jest największym wspólnym dzielnikiem funkcyi założonej f(z) i pierwszej pochodnej Df(z) tejże funkcyi. W razie, jeżeli pierwiastki funkcyi założonej są- wszystkie od siebie odmiennymi, a przeto a, = a₂ = .... = am = 1 i m — n, ten największy wspólny dzielnik sprowadza się do liczby stałej a₀. Mamy zatym twierdzenie:

Funkcyja całkowita f(z) posiada pierwiastki równe, lub nie posiada pierwiastków równych, według tego, czy największy wspólny dzielnik tej f unkcyi i jej pierwszej pochodnej zawiera w sobie zmienną z, czy też nie zawiera w sobie zmiennej z.

sza

Skoro pochodna pierwsza Df(z) funkcyi f(z), do której czynnik pierwiastkowy z—zv wchodzi w potędze a₁‘*j, zawiera ten czynnik w potędze (ax — l)®j, więc pochodna druga iff (z) będzie ten czynnik zawierała w potędze (at—2)éj, pochodna trzecia iff (z) będzie ten czynnik zawierała w potędze (aL—3)®->. . ., nareszcie pochodna (aŁ—1) D*1 lf(z) będzie ten czynnik zawierała w potędze l*⁵-* . Stąd wypływa twierdzenie :

Pierwiastek a-krotny funkcyi całkowitej f(z) przywodzi do zera nietylko tę funkcyją, ale nadto (a—1) początkowych pochodnych Df(z), Df(z),... Da—1f(z) tejże funkcyi.

11. Oznaczmy przez Zi , Z₂-, Z₃,.... Zm iloczyny czynników pierwiastkowych, które do funkcyi f(z) wchodzą odpowiednio po razu, po dwa razy, po trzy razy,... po m razy, będzie wówczas :

(5)    .    .

(3)    .    .    . Df(z) = a₀(z—zff' (z—z₂)“² .. .(z—zm)

j *1

I z—Z,

Z—z₂

«m \ -Zm J

.    .    f|(z) = a₀ Zt ZX .. Z .

Jeżeli fi(z) jest największym wspólnym dzielnikiem funkcyi f(z) i pochodnej pierwszej Df(z), to, według powyżej dowiedzionego, twierdzenia, będzie :

fi (z) = a₀ Z₂ Zl... Zr¹-

Oznaczając następnie przez f₂(z) największy wspólny dzielnik funkcyi fx(z) i pochodnej pierwszej Dfx(z), będziemy mieli taksamo:

f₂(z) = a₀ Z₃.... Z“"²-

Postępując tak dalej, tj. biorąc największy wspólny dzielnik znalezionego poprzednio największego wspólnego dzielnika i jego pochodnej pierwszej, otrzymamy następujący szereg funkcyi:

f₃(z) = a₀ Z₄.... Zr³

hn—2(2) - Zm_i Z

fm-i(z) = a₀ Z

fm (z)    = Uq.

Podzieliwszy każdą z funkcyj szeregu f(z), f(z), f₂(z).... fm(z). przez fimkcyją bezpośrednio następującą, i otrzymane ilorazy oznaczywszy odpowiednio przez yx(z), <p₂(z).... <fm(z), będziemy mieli:

SI S

2 Z₃ . . . . 2 Z₃ . . . .

z₃...

cp,(z) = Zx

b(z) = b(z) =

stąd zaś wypływa:

+n(Z) =

Zm ,

r/    _ ?jn—1 (z) r/

• 1    '■‘m—l ——    / \    ) Zim

?m(z)

= 'frn(z).

7 ₌lł(0    7 ₌ ??(?)

Mamy zatym twierdzenie: Fimkcyją całkowitą f(z), mającą pierwiastki równe, można zawsze, zapomocą uskutecznienia samych dzieleń, rozłożyć na pewną ilość funkcyj stopni niższych, z których każda posiada, jako pierwiastki pojedyncze, te pierwiastki f unkcyi założonej, które w niej zachodzą jednakową ilość razy.

12. Dla wyjaśnienia tego postępowania weźmy pod uwagę funkcyją:

f(z) = z⁵ — 15 Z3 — 10 z* + 60 z + 72.

Aby wynaleść pierwiastki równe tej funkcyi, szukamy naprzód największego wspólnego dzielnika funkcyi f(z), jakotóż:

Df(z) = 5z⁴ — 45 z² —20 z+ 60.

W tym celu potrzeba uskutecznić szereg dzieleń. Dla uniknienia wszakże współczynników ułomkowych, mnoży się dzielną lub, jeżeli

«2 możebna, dzieli się dzielnik przez liczbę stosownie dobraną przed uskutecznieniem dzieleń, co na wypadek końcowy wcale nie wpłynie. Skoro wszystkie współczynniki w Df(z) są przez 5 podzielne, dzielimy

a otrzymamy :

zatym f(z) przez --Щ—

z⁵ — 15 z³ — 10 z² 4 60 z + 72 z⁴ —9z² — 4z -f- 12 — z⁵ -f- 9 z³ —j— 4 z'²—12 z    j z

— 6 z³— 6z² + 48z-{- 72

Dzielimy następnie pierwotny dzielnik z⁴—9z²—4z + 12 przez resztę, podzieloną przez —6‘, mieć wtedy będziemy:

z⁴ + O.z³ — 9z² — 4z + 12 — z⁴ — z³ -f- 8z² 4- 12z

z3 _)_ z² — 8z — 12

— z² + 8z -f

+ z² — 8z —

to to

3z² + 2z - 8

3z = 1

■ -ф

■V u

A zatym, oprócz czynnika stałego, jest f\(z) = z³-{- z'² — 8z —12. Szukamy następnie tym sposobem największego wspólnego dzielnika funkcyi f\(z) i I)f₁(z). Dla uniknienia współczynników ułomko-wych, mnożymy naprzód fy(z) przez 9 i otrzymamy:

9z³ + 9z² - 72z — 108 — 9z³ — 6z² -j- 24z

3z² — 48z — 108 — 3z² — 2z 4-    8

- 50z — 100

Podzieliwszy następnie pierwotny dzielnik 3z² 4 2z — 8 przez otrzymaną resztę, podzieloną wprzódy przez —50, znajdziemy:

3 z ² 4- 2 z — 8 — 3z² — 6z

— 4 z — 8 4z 4" 8

z 4-2

3z — 4

A zatym, oprócz czynnika stałego, jest f%(z) = z 2.

Nareszcie mamy f%(z) — /, jako największy wspólny dzielnik funkcyj f₂(z) i Df₂(z).

Ponieważ

f(z)

fl(z)

= z²—z—6, (f₂(z) =

fl(Z)

O / V fo(z)

Z*-Z—6, b(z) = [-U-

z42,

a następnie :

Ыг)

T-iO)

z₂

ъ(х)

z—3,

b(z) = z + ²

przeto ,9 jest pierwiastkiem podwójnym, nyra, czyli :

— 2 pierwiastkiem potrój -

f(z) — (z—3)² (z-f-2)³.

Funkcyja całkowita nieprzywiedlna.

13.    Zapomocą szukania największego wspólnego dzielnika dwu funkcyj f(z) i F(z) można się także dowiedzieć, czy te dwie funkcyje mają pierwiastki wspólne, czy też nie mają pierwiastków wspólnych. Jakoż, jeżeli z,, z₂. . . . zm są pierwiastki wspólne funkcyj f(z) i F(z), to natenczas obie mają iloczyn czynników pierwiastkowych (z—zf), (z—£2),,..., (z—zm) jako czynnik wspólny, który będzie też czynnikiem ich największego wspólnego dzielnika <p(z).

Jeżeli funkcyja f(z) o współczynnikach samych wymiernych może być rozłożona na iloczyn czynników wymiernych, tj. mających także współczynniki wymierne, powiadamy wówczas, że ta funkcyja jest przywiedlną. W razie przeciwnym zowie się ona nieprzywiedlną.

Skoro największy wspólny dzielnik <f(z) dwu funkcyj wymiernych f(z) i F (z) jest także wymiernym, widoczna przeto, że te dwie funkcyje muszą być przywiedlnymi, jeżeli posiadają pierwiastki wspólne. Atoli, ponieważ np. funkcyja f(z) może dzielić funkcyją F(z) bez reszty, łatwo zdarzyć się może, że f(z) jest funkcyją nieprzywiedlną.

Stąd wnosimy, że funkcyja, mająca jeden pierwiastek wspólny z inną funkcyją nieprzywiedlną, musi posiadać wszystkie pierwiastki tejże. Albowiem, jeżeliby funkcyja F(z) nie posiadała wszystkich pierwiastków funkcyi nieprzywiedlnćj f(z), ale tylko niektóre z nich, natenczas funkcyje F (z) i f(z) miałyby wspólny dzielnik wymierny, a przeto funkcya f(z), wbrew założeniu, nie byłaby nieprzywiedlną.

W rozdziale następującym wyłożymy inny sposób na wynalezienie pierwiastków wspólnych dwu funkcyj, jak również znajdziemy warunek, pod jakim w ogóle dwie funkcyje mogą mieć pierwiastki wspólne. Tutaj dowiedziemy jeszcze tylko pewnego twierdzenia, z którego później skorzystamy (YIII. 14.).

14.    Jeżeli П jest liczbą pierwszą, natenczas funkcyja:

—2

2П—1    _j__    2»

Zn — I z - I

jest funkcyją nieprzywiedlną.

Dowód tego twierdzenia podał Eisenstein; polega on na dwu następujących podaniach pomocniczych.

1°. Jeżeli funkcyja całkowita Z zmiennćj Z ze współczynnikami całkowitymi daje się rozłożyć na diva czynniki wymierne Z,, Z₂, tak iż

Z = Z, Za,

to albo wszystkie współczynniki wielomianów Z, , Z₂ są całkowite, albo też dają się wyznaczyć dwie takie liczby całkowite p i l|, że wszystkie współczynniki wielomianów -jj- Z| i — Z, będą liczbami całkowitymi.

Załóżmy, że nie wszystkie współczynniki wielomianów , Z₂ są liczbami całkowitymi. Sprowadziwszy wszystkie wyrazy tych wielomianów do wspólnych mianowników l)y i 1)₂ i oznaczając przez a jakąkolwiek liczbę pierwszą, będziemy mogli pisać :

D₂

yr _ Pi «+Qi

gdzie Pja i P₂a oznaczają sumy wyrazów, które w licznikach wielomianów Zt i Z₂ są podzielne przez a, a i Q₂ sumy wyrazów przez a niepodzielnych. Wskutek tego będzie:

D, D₂

z _ P, p₂ «² + (PiQ₂+ P2Q1) a+Qi Q₂

Przypuśćmy teraz, że a jest jednym z czynników liczby l)v ; skoro Z jest całkowitą, więc Q₂ musi być podzielnym przez a; a że to być nie może, gdyż ani ani Q₂ nie jest podzielne przez a, przeto jeden z czynników Qy,Q₂ musi być — 0. Następnie nie może być = 0, gdyż można zawsze założyć, że ułomek przedstawiający Zx jest sprowadzony do postaci najprostszej. Stąd wypływa, że musi być Q₂ = 0. Skoro tak rzecz się ma, więc jeżeli funkcyje Zt i Z2 nie mają współczynników samych całkowitych, po sprowadzeniu tych współczynników do wspólnych mianowników, każdy czynnik a mianownika jednej funkcyi musi być czynnikiem licznika drugiej funkcyi.

Przez opuszczenie tego czynnika otrzymamy dwie nowe funkcyje, których iloczyn będzie również Z, i co do których tegosamego dowieść można. A zatym, istnieć muszą dwie takie liczby p i q, że wszystkie współczynniki wielomianów —- Z, i -jj- Z₂ są liczbami całkowitymi.

2°. Jeżeli w wielomianie Z jakiegokolwiek stopnia wyraz stopnia najwyższego względem z ma współczynnik — l; gdy tymczasem wszystkie

następujcie są liczbami całkowitymi przez liczbę pierwszą П podzielnymi, a wyraz niezależny od z jest — П, to wielomian Z jest nieprzywiedlnym.

Jakoż w razie przeciwnym mielibyśmy:

at z

{JL-l

+ •••• + a|A_i z H~ a|i.) ( z ~b W z ¹ -f- .... ~f~ bv_x z -|- bv^ ,

gdzie, podług podania dopiero dowiedzionego, 04, a₂,...    , ó₂... są

liczbami całkowitymi, a suma wykładników całkowitych i dodatnych [a -{— V jest stopniem wielomianu Z.

Skoro ostatni wyraz wielomianu Z jest z założenia — + w, więc musi być óv = + w. Atoli n jest liczbą pierwszą, jedna więc z liczb óv musi być równa + 1, a druga = + n.

Niech będzie :

a^ — + 1, by = + n. Z założenia zachodzi tożsamość:

czyli

-1

V—1

z + n ) =    n/(z),

gdzie y(z) jest wielomianem z samymi całkowitymi współczynnikami. Wyraz ± w można w drugim czynniku strony pierwszej opuścić, wskutek czego wypadnie:

z² + by—j z) == Z|J-+V + n/t (z),

(z^+ . ..4-a

JA-1

gdzie /t(z) jest nowym wielomianem z samymi całkowitymi współczynnikami. Wyraz stopnia najniższego jest ±b^_tz, a więc óy_₁

musi być podzielne przez n. Opuściwszy ten wyraz w czynniku drugim strony pierwszej, otrzymamy następnie: (/+ . . . + a^—! z ± l)(zv + ... + by_₃z³-l-by_2Z²) = z!M"' + n/₂(z) gdzie znowu /₂(z) jest nowym wielomianem z samymi całkowitymi współczynnikami. Stąd czytamy, że także óv_₂ z² musi być przez n podzielne, itd. Postępując tak dalej, znajdziemy, że wszystkie współczynniki b^... hw muszą być podzielne przez n, a więc że:

( zlx + ... + а^_! z ± l) zv = z^' + n /y(z),

Zasady algebry wyższej.

gdzie Xv (z) je8^ wielomianem z samymi całkowitymi współczynnikami. Atoli to niemożebna, albowiem współczynnik przy sv po lewej jest = + 1, a więc przez n nie jest podzielny.

Kładąc z = x 1

_X

Weźmy teraz pod uwagę wielomian--- .

0 " ' -L

mamy :

z"—1 z-1

(x+iy-1

— = xn ¹ + n X

D(n—1) n-S

1.2

n(n 1 )

1.2

X -J- n.

Zatym według drugiego podania pomocniczego jest ten wielomian nieprzywiedlnym.

ROZDZIAŁ VL

0 funkcyjach symetrycznych pierwiastków i o rugowniku.

Funkcyje symetryczne pierwiastków funkcyi całkowitej jednej zmiennej.

1. Pomiędzy pierwiastkami funkcyi całkowitej z jednej strony, a współczynnikami téj funkcyi z drugiej strony, zachodzą, uwagi godne związki. Jakoż, niech będą z₁, %.... pierwiastki funkcyi całkowitej zmiennej z stopnia n. :

(i)

f(z) = a₀ zn + at z¹¹“¹ + a₂ z“ ² + ....+ an_i z + an,

mamy wtedy tożsamość :

(2)    .    . a₀zn-|-a₁zn 1 + a₂z ²-f~ • • • • -j- an_i z -}- an

= a₀ (z Zj)(z z₂). . . . (z—zn ).

Jeżeli na drugiej stronie tej tożsamości uskutecznimy wskazane mnożenie, a następnie zrównamy do siebie współczynniki potęg równych zmiennej z po obu stronach, otrzymamy :

(3)

ai —    я.» E Zj, a₂ — a₀ L z, z₂, n₃ =    a₍₎ £ z, z₂ z₃,. . ..

= (— l)Da₀ Szj z₂... zn ,

gdzie Szj, ^z₁z2i hzlz₂z₃,.... oznaczają przypadki szczególne funkcyj symetrycznych zasadniczych (III), odpowiednio pojedynczej, podwójnej, potrójnej.... Te funkcyje symetryczne pierwiastków z₁, 2₂,... ^„wyrażają się wymiernie przez współczynniki funkcyi założonej ; według bowiem (3) mamy ogólnie:

(4)    .    .    . Szjz₂... zx = (—1 )*

av.

ao

Stąd wnosimy, że taksamo rzecz się będzie miała z każdą funkcyją symetryczną zasadniczą, a więc i (III.) z każdą funkcyją symetryczną wymierną tj. że wartość każdej funkcyi symetrycznej wymiernej pierwiastków funkcyi całkowitej f(z) można wyrazić wy' miernie przez współczynniki funkcyi f(z). Że tak rzecz się ma, dowiedziemy, gdy okażemy, że sumy jednakich potęg pierwiastków funkcyi f(z) dadzą się wyrazić wymiernie przez współczynniki tej funkcyi.

2. Weźmy pochodne pierwsze obu stron tożsamości (2), mieć wtedy będziemy:

(5)    .    . Df(z) = na₀ zn_1 -j- (n—l)a₁zn—24-(u—2) a₂zn~³ +....+

+ 2an_₂z + an.

f(z)

f(z)

Z—Zj

z—z₂ ' ‘ ' ' z

f(z)

Zn

Atoli (Y. 3):

n—3

= a₀z¹¹”¹ + (a₀z₁ +a,)zn-2 +(a₀z²j + a, z{ + a₂) z

+ (ao\~l + at z“⁻² + ... + an—i),

= a₀zn~ł-}-(aoZ₂-l-a,)zn_²+(a₀z² + 8l z₂ + a₂) z¹¹⁻³ + ....

+ (ai \    ¹ + ai \    ² + • • • + an—i),

-Щ- EEE a₀zn ^(EoZn + oJz** ² + (a₀ z² + aj Zn + a₂) zn 3+.... Z zn

4* (a0 Zn + ai Zn -(-•••• 4“ an—l)-

Wstawiwszy te wartości w tożsamość (5) i dla skrócenia po

łożywszy :

(6)    .    .    .    . Z“ + *f + .... + Z“ = S,,,

otrzymamy :

na₀z" ¹-f(n—1) atzn 2-f(n—2)a₂z° ³+ .. . . + an_i

= na₀zn 1 + (a₀s, 4* na,)zn 2 4" (aos2 4" ai ⁸i 4- na₂) zn 34-*--. 4“ (a₀ Sn—1 4" aa Sn—2 4" • • • • 4” an—2 ⁸1 4“ n an—l) J

skąd, podług twierdzenia Descartes’a (V. 3), wypływają wzory : (u—1) at = a₀Sj + nat,

(n—2) a₂ = a₀s₂ -f a^ + na₃,

1 .an_i — a₀ 8n_i -(- ax sn_2    -f- an—2 -j- na„_i,

które, przez przeniesienie wszystkich wyrazów na tęsamę stronę znaku równości, przybierają postać:

0 = a₀ s, -j- a, ,

0 = a₀ 8g -J- aj 8j + 2 a₂,

(7)    .    .

0 = a₀ 83 t a, s₂ + a₂ s, + За

0 — a₀ sn_i -f- ai ⁸n—2 “h • • • • 4* a„_₂ Sj -j- (n— 1) an_i.

Z tych wzorów otrzymamy wartości, jednę po drugiej, sum Si, s₂,.. .. Sn—i, a mianowicie będzie np.

(8) . .

⁸i ~ (~ao) ai ) s₂ — (    a₀)    (a^ — 2a₀a₂),

⁸з “ (—ao) (a,    3a₀a₁a₂ -f- 3ao a₃),

—4a³a ), itd.

O in

s₄ = (—a₀)“⁴ (a* — 4a aV₂ -j- 4ajat a₃ -f 2a

Wzory (7) podał po raz pierwszy Newton. Z wzorów (7) można

naodwrót obliczyć stosunki współczynników    —

ao ao

żęliby dane były sumy s₁, s₂,...

an—1

-, je-

ao

Sn—1*

Tym sposobem obliczymy wartości sum jednakich potęg pierwiastków funkcyi założonej, aż do potęg stopnia (n—1) włącznie.

Z wzorów (7) i (8) widoczna oraz, że sa przedstawi się pod postacią ułomka, którego licznik jest funkcyją całkowitą i jednorodną współczynników a₀, at, a₂...., aa stopnia a., a mianownik jest równy a“.

po-

Sn-j-l •>    ⁸n-J-2 )••••}

3. Aby otrzymać wzór na obliczenie sn mnóżmy równości f(zt) = O, f(z₂) = 0,... ., f(zn ) — 0 odpowiednio przez 2“, zг“, otrzymamy wtedy równości:

С" + а„*: = 0

ao zi+ ai z:+m    + an

których suma daje nam wzór żądany :

• a₀ sn^m -j- a} Sn-fm—t -j- .... -j- an_i sm_|_t -f- an sm =*= 0.

(9)    .

Z tego wzoru obliczymy, przez podstawienie w nim m — 0, 1 (s₀ = n) jednę za drugą, wartości sum sn sumy Sn—i, sn_2;-.. już obliczone zostały. Łatwo spostrzec także, że kształt wyrażenia na sa pozostanie dla a >n takisam, jak był dla 0 < a < n.

Sn-j-1 ) Sn-f-2 5 • •

skoro

Zapomocą wzoru (9) można obliczyć także, jednę za drugą, gdy w nim za m będziemy podstawiali za

sumy S—i, S—2

porządkiem —1, —2, —3,.....

Skoro sumy jednakich potęg pierwiastków funkcyi całkowitej dają się wyrazić wymiernie przez współczynniki tej funkcyi, a każda funkcyja symetryczna wymierna tychże pierwiastków jest (III. 10.) funkcyją wymierną sum jednakich potęg pierwiastków, możemy zatym wypowiedzieć twierdzenie : Każda funkcyja symetryczna i wymierna pierwiastków funkcyi całkowitej f(z) jednej zmiennej Z daje się przedstawić pod postacią funkcyi wymiernej współczynników tejże funkcyi.

S—в, • •

Rugownik dwu funkcyj całkowitych jednej zmiennej.

4. Weźmy pod uwagę dwie funkcyje całkowite stopnia m. i n. jednej zmiennej z.

(1) f(z) = a₀ zm + at z¹““¹ -f a2 zm—2 + .. . . + am_i z + a

b₀z" + h₁ z""¹ -f b₂zn-2 + .... + bn-i z -j- bn ,

(2) tp(z)

i oznaczmy przez , a₂,. ß₂,..., ßn pierwiastki drugiej zpomiędzy tych funkcyj, mieć będziemy wtedy :

am pierwiastki pierwszej, a przez ß

(Г)    .    .    . f(z)

•    • ?(z)

a₀ (z— at)(z- a₂). . . . (z am ),

(24    .

bo (z-ßi)(z—Рг)- • • •    (z~ßn).

Wstawmy w funkcyją f(z) za porządkiem każdy z n pierwiastków funkcyi <p(z) i weźmy iloczyn tak otrzymanych wypadków podstawienia :

(3) ад,)ад,).... ад.) = a;(ß,«₂)-• • • (?,-«»)

X (ß2 — al)(ß2    (ß2 am )

■<1

Podstawmy taksamo w funkcyi tp(z) pierwiastków funkcyi f(z) i weźmy wypadków podstawienia :

za porządkiem każdy znowu iloczyn tak otrzymanych

(4)    <p(a,) <p(a₂). . . . rf(am) = b“ (<4—P₁)(al—ß.).. . . («,-ßn )

X («2—ßi)(«2—fe), • •• («2-ßn)

Pierwszy z tych iloczynów jest, oprócz czynnika a" , równy iloczynowi mn różnic, jakie otrzymamy, gdy od każdego pierwiastka funkcyi <p(z) odejmiemy każdy pierwiastek funkcyi f(z); taksamo drugi z tych iloczynów jest, oprócz czynnika b™ , równy iloczynowi różnic, jakie otrzymamy, gdy naodwrót od każdego pierwiastka funkcyi f(z) odejmiemy każdy pierwiastek funkcyi f(z), czynowi tychsamych różnic, co

więc równy ilo-piórwszy, tylko wziętych ze znakami

przeciwnymi. A zatym, jeżeli iloczyn (3) pomnożymy przez ft“ czyn (4) przez (—1)

a ilo-

(*o , to oba będą tożsamościowo równe, tj. będzie:

ao rf(ai)⁽f(a2),<* rf(am) -— a₀ b₀ ri(ßL—aj),

gdzie, dla skrócenia, przez fl(ßt—a,) oznaczyliśmy iloczyn mn różnic: (6)    .    .    . n(ßj~ a,) = (ß,—a,)(ß₁-a₂). . . .

X (ß₂-a,)(ß₂ —a₂). . . .

OQ. OO.

X (ßn aj)(ßn a₂).... (ßn—am ).

Wyrażenie (5) nazywa się rugownikiem danych dwu funkcyj (1) i (2), i oznacza się literą R. Mamy zatym:

5. Funkcyja f(z) jest funkcyją współczynników a₀, a,... całkowitą i jednorodną stopnia 1., a funkcyja <p(z) jest takąż funkcyją współczynników ft₀, b{ , ó₂,...., ba , z pierwszego kształtu wyrażenia (7) wTypływa więc, że rugownik jest funkcyją współczynników u₀, am jednorodną i całkowitą stopnia n., a z drugiego kształtu tegoż wyrażenia wypływa, że rugownik jest funkcyją współczynników bn jednorodną i całkowitą stopnia m. Widoczna następnie, z kształtu pierwszego, że rugownik jest funkcyją symetryczną i całkowitą pierwiastków ß, a z kształtu drugiego, że rugownik jest funk-

h, h

Cfni

cyją symetryczną i całkowitą pierwiastków a. Funkcyje całkowite i symetryczne pierwiastków ß dadzą się wyrazić wymiernie przez współczynniki b₀, bx...., Ъа , pierwiastków a można taksamo wyrazić wymiernie przez współczynniki a₀, aj..., am .

funkcyje całkowite i symetryczne

Jeżeli więc w pierwszym kształcie wyrażenia (7) na R za funk-cyje symetryczne pierwiastków ß podstawimy wartości, wyrażone przez współczynniki ó, lub w kształcie drugim tegoż wyrażenia za funkcyje symetryczne pierwiastków a podstawimy wartości, wyrażone przez współczynniki a, to, podług uwagi poprzód zrobionej, rugownik R wyrazi się jako funkcyja całkowita i jednorodna stopnia n. względem współczynników а₀, a,,. . .., am i stopnia m. względem współczynników ? by •. • », ba •

Mamy zatym twierdzenie: Rugownik dwu funkcyj całkowitych jednej zmiennej Z stopnia m. i n. jest funkcyją całkowitą i jednorodną współczynników obu funkcyj, a mianowicie stopnia n. wzglądem współczynników pierwszej a stopnia m. wzglądem współczynników wtórej funkcyi.

Rugownik dwu funkcyj (1) i (2) będzie więc wyrażeniem kształtu następującego:

bk°b ... bk“

^0 M • • • • П

л-

(8) . .

. E = 2 1 a¹'⁰ a¹/ a? .... a

gdzie czynnik l jest liczbą całkowitą, dodatną lub odjemną, a wykładniki potęgowania i₀, i{,. . . im , k₀ , kx,...., kn są liczbami całkowitymi dodatnymi, przyczym w każdym wyrazie napisanej sumy jest :

m.

(9)    к+ ^2 "h-• • • + im == n, k₀+ki-4-k₂+• • * "ł~kn =

6. Jeżeli wagą wyrazu rugownika nazwiemy sumę wykładników

potęgowania, zachodzących przy poszczególnych współczynnikach i pomnożonych przez wskaźniki tych współczynników, łatwo okazać, że waga każdego wyrazu jest równą iloczynowi mn, tj.:

(10)    1 ij -)— 2i₂ ~j~ . . . , -J— mim lk^ —f⁻ 2k₂ -|— .. . ■*■{— nkn mn.

Jakoż, podług określenia, jest rugownik dwu funkcyj (1) i (2), oprócz czynnika а” &Г , iloczynem mn różnic, jakie otrzymamy, gdy od każdego pierwiastka ß funkcyi (2) odejmiemy każdy pierwiastek а funkcyi (1). Jeżeli więc każdy pierwiastek ß i każdy pierwiastek a pomnożymy przez jeden i tensam czynnik t, wówczas rugownik R zamieni się na tmn R.

Atoli, podług wzorów (3) w artykule 1. pomnożenie każdego pierwiastka a przez t, wychodzi na pomnożenie współczynników

am odpowiednio przez t°, t, #²,...

£m ; taksamo po-

mnożenie każdego pierwiastka ß przez £, wychodzi na pomnożenie współczynników &₀, fr₍, 6₂,..., odpowiednio przez £°, if, £²,..., ćn . Jeżeli więc w wyrażeniu (8) rugownika każdy współczynnik a i b

pomnożymy przez potęgę czynnika t o wykładniku równym wskaźnikowi tegoż współczynnika, to natenczas, jak się dopiero okazało, rugo wnik R przejdzie na tmaR, to zaś nastąpić może tylko wtedy, gdy waga każdego wyrazu jest równa mn. A zatym:

Waga każdego wyrazu rugownika dwu funkcyj całkowitych jednéj zmiennéj stopnia m. i n. jest równa iloczynowi tych stojpni m'n.

7. Aby rzecz lepiej wyjaśnić, weźmy pod uwagę dwie funkcyje, z których jedna iest stopnia 3., a druga stopnia 2.:

a z³ 4- а г -4- a z -4- a ,

O    ¹    1    ¹    2    ¹    3 ⁷

Jeżeli przez ß, i ß₂ oznaczymy pierwiastki funkcyi <p(z), a przez R rugownik obu funkcyj, będzie:

R = b₀ (aoß, -j- axpt -j- a₂ß, -f- a₃^ ^a₀ß₂ 4~ ai Рг ~b aaß2 +

lub wykonawszy mnożenie:

b₀ I ao ( Pi Рг) H~ ao ai ( Pi ß₂) ( Pi + Рг) ~b ao a2 ( Pi Рг^ ( Pi H⁻ Pa) “b “b a0a3 ( Pi + ß₂) “b ai (ßi Рг) ~b ai a2 Pi Рг ( Pi 4~ Pa) ~b ai аз ( Pi “Ь Рг) “b -b a₂ Pi P2 + a2 аз ( Pi + Pa) + аз I*

Pl p2 =

f(z)

Atoli Pi ~b ?2 — —

b₀’

t(z) = ьог² -b \z + V

b₂

bo

skąd znowu wypływa:

b, — 2b₀b₂

Pi -b P2 = ( Pl + Рг) — 2 ß, ß₂ —

ß° + pï = ( ß, + p,)³ — 3 ß, ß, ( p. + ß₂)

Podstawmy te wartości w powyższym wyrażeniu na R, będzie wtedy: aob₂ — aoajb^g + a₀a₂ (bib₂ — 2b₀b₂) + a₀a₃ (зЬоЦЬа — bj)-b

—b aib₀b₂—a,a₂b₀b,b*~Ь а1аз(^Ь₀Ь₁    2b₀b₂) ~b a₂b<jb₂

a₂a₃bobj “j⁻ a₃b₀.

b²₀

3 b₀ bj b₂

ь:

Zasady algebry wyższej.

10

Widzimy więc: 1° że rugownik jest funkcyją całkowitą jednorodną stopnia 2. względem współczynników funkcyi f(z), która jest stopnia 3., a stopnia 3. względem współczynników funkcyi <p(z), która jest stopnia 2., tudzież 2°, że waga każdego wyrazu jest równa 2.3 = 6.

Pierwiastki wspólne dwu funkcyj całkowitych jednej zmiennej.

8. Niech będą dane dwie funkcyje całkowite jednej zmiennej z:

m—2

(l) •

. f(z) = a₀zm -}- ai z

(2) .    • cp(z) = b₀ z¹¹ bx z11 1 -|- b₂ z -f- .... -j- b

Oznaczając przez ax, a₂,..., am i ßt, ß₂,..., ßn pierwiastki tych funkcyj f(z) i <p(2,) a przez R ich rugownik, będzie wtedy:

(3) . .

R = aonb“ П (ft-ot).

Jeżeli dwie dane funkcyje (1) i (2) mają pierwiastek wspólny, lub więcej pierwiastków wspólnych, wówczas ich rugownik musi byó zero; albowiem wtedy jedna lub więcej zpomiędzy mn różnic iloczynu ü(ßj — oCj) przywiedzie się do zera. Nawzajem, jeżeli rugownik dwu danych funkcyj jest równy 0, natenczas te funkcyje mają jeden pierwiastek wspólny, lub więcej pierwiastków wspólnych; albowiem R nie może być zerem, chyba, że jedna lub więcej z mn różnic, zawartych w iloczynie    —at), przywiedzie się do zera. Mamy zatym twier

dzenie :

Rwie funkcyje całkowite jednéj zmiennej mają pierwiastki wspólne lub nie mają pierwiastków wspólnych, według tego, czy ich rugownik jesty czy téè nie jest równy 0.

9. Założywszy, że rugownik funkcyj danych (1) i (2) jest równy 0, znajdziemy pierwiastki wspólne tych funkcyj, jak następuje.

Jeżeli naprzód te dwie funkcyje posiadają jeden pierwiastek wspólny, weźmy pierwszą pochodną rugownika (3), uważanego jako funkcyja współczynników a₀, aly.. .,*an, co do dwu po sobie następujących współczynników, np. a₀ i at. Otrzymamy wtedy:

DaoR = b“f(M-(ß₂)....f( n)[

DtR = b"%)f(W-..-f(P»){-

to

D₀ f(ß,)    f(ß₂)

«0

a0

D. f(ßn )

a0

f(ßl)

to

D f(ßi) D. f(ß₂)

ai

у(м

to

ca.

f(ßa)

Atoli, skoro :

f(ßl) = a0 ßT 4~ ai ß? ¹ + a2ß

mamy:

m—1

, itd.

d8i f(ßi) = ß;

Dao f(ßt) = ß?\

Wskutek tego będzie:

Dao R = b“ ß?f(ß₂).. .f(ßn ) + bom ß” f(ß, )f(ß₃) -.. f(ßn ) +.... .... + b“ ß“ f(ßt) f(ß₂). • • • f(ßn-l),

Dai R ее bom ß;-¹ f(ß₂).... f(ßn ) + bom ß“-¹ f(ßt) f(ß₃)... f(ßn ) +.... .... +bomß:"¹f(ß₁)f(ß₂)....f(ßn_₁).

Jeżeli więc pierwiastek np. ßt funkcyi (2) jest oraz pierwiastkiem ffunkcyi (1), tj. jeżeli f($x) = 0, wówczas ostatnie dwa wzory przywiodą się do następujących :

(4) DaoR ее b“ ß“ f(ß₂)... f(ßn ) i DaiR = bomß-"lf(ß₂).... f(ßn), skąd wypływa :

(5)    .    .

D„ R

ßi j)

*o

a,

10. Jeżeli powtóre dwie dane funkcyje (1) i (2) posiadają dwa pierwiastki wspólne np. ßt i ß₂ , natenczas, skoro pochodne Dao R

i 2>ß| jR stają się równe 0 z powodu, że także /(ß2>) = 0, weźmy po-

2

R i D^R, i w tych pocho-

_•

chodne drugie rugownika D ₂R, D

«0

«dnych podstawmy f($x) =0 i /fß2/) = 0. Mieć będziemy wtedy:

a₀ a,

а0 а1

d’sr =    f(p„),

o

_    .mm m—1    .    „    . m m—X

REEb.ß, p, f(fSs)....f(ß„) + b₀ P,

ß7 f(ß₃) - - - * f(ßn),

Da’R = Ь₀шрГ

Stąd wypływa :

^a0ai ^

= ßl ß2l

podług więc wzorów (3) w artykule 1. są pierwiastki wspólne ßt i ß2 funkcyj (1) i (2) dwoma pierwiastkami funkcyi stopnia 2.:

(5)    .    .    . D jE.z —D R.z -)- D ₂R.

ö» ^    a₀    я

Jeżeli założone dwie funkcyje (1) i (2) posiadają trzy lub więcej pierwiastków wspólnych, można taksamo, przez przejście do pochodnych trzecich lub wyższych rugownika, znaleśó funkcyją stopnia 3. lub wyższego, której pierwiastki są tymi pierwiastkami wspólnymi.

Ilość rozwiązań dwu funkcyj całkowitych dwu zmiennych.

11. Niech będą dane dwie funkcyje całkowite dwu zmiennych x i y, jedna stopnia m., a druga stopnia n. względem tych zmiennych:

i + j < m i + j < n.

(1)    .    . .    f(x, y) = S а.. X¹ yJ

(2)    ...    <p(x, y) = 2 Ьц X¹ yj

Wartości na x i y, które przywodzą do zera jednocześnie obie dane funkcyje , nazywamy rozwiązaniem tych funkcyj. Jeżeli więc ą, yx jest rozwiązaniem funkcyj (1) i (2), to te dwie funkcyje, gdy w nich za у podstawimy yK , będą miały pierwiastek wspólny xx.

Zachodzi pytanie, ile funkcyje (1) i (2) posiadają rozwiązań i jak znaleśó te rozwiązania.

Aby na te pytania odpowiedzieć, uporządkujemy obie funkcyje podług potęg zniżających się jednej i tójsamój zmiennej np. ж,

(!') f(x, У) = ao xm + a! x¹"-¹ + a₂ x (2') cp(x, y) = b₀ xn + bt x¹¹-¹ -f- b₂ x"-² H- .... -f b

4" • • • • 4" am—1 X 4” a

x-fbB .

Skoro z założenia funkcyją f(x,y) jest stopnia m., przeto współczynniki a₀,    , a₂,..., am w jej wyrażeniu (1') są funkcyjami zmien

nej y odpowiednio stopnia 0., 7., 2...... m.; taksamo współczynniki

Ъo^ b₂,...., bn w wyrażeniu (2') funkcyi y(x,y) są funkcyjami

zmiennej у odpowiednio stopnia 0., 7., 2.,...., n.

Jeżeli, podstawiwszy w funkcyjach (1') i (2') za у wartość szczególną, te funkcyje, będące wtedy funkcyjami jednej zmiennej x, mają pierwiastek wspólny, to rugownik tych dwu funkcyj musi być 0. A zatym wartość na у, przy której dane dwie funkcyje, uważane jako funkcyje zmiennej x, mają pierwiastek wspólny, musi być pierwiastkiem rugownika tychże funkcyj.

m—2

Według tego, co się okazało w artykule 6., jest rugownik funkcyj (1') i (2') uważanych jako funkcyje zmiennej x, funkcyją całkowitą i jednorodną stopnia n. względem współczynników a₀, a,,., a stopnia m. względem współczynników Z>₀,    Ьп ; a nadto waga

każdego jego wyrazu jest równą mn. Skoro każdy współczynnik a i każdy współczynnik Ъ jest funkcyją całkowitą zmiennej у stopnia równego wskaźnikowi tego współczynnika, przeto waga każdego wyrazu rugownika jest oraz stopniem funkcyi zmiennej у, którą ten wyraz przedstawia. Stąd wypływa, że rugownik dwu funkcyj (1) i (2), uważanych jako funkcyje jednej zmiennej cr, jest funkcyją całkowitą zmiennej у stopnia mn i posiada mn pierwiastków. Skoro więc rugownik dwu danych funkcyj staje się 0 przy mn wartościach na у, a przy każdej z tych wartości, podstawionej za у, obie funkcyje mają pierwiastek wspólny, przeto dane dwie funkcyje mają razem mn układów pierwiastków. Mamy zatym twierdzenie :

Dwie funkcyje całkowite dwu zmiennych X i y; z których jedna jest stopnia iïi., a druga stopnia n., mają co najwyèéj mn rozwiązań.

To twierdzenie daje odpowiedź na pierwsze pytanie. Odpowiedź zaś na drugie pytanie jest następująca. Tworzymy naprzód rugownik dwu danych funkcyj (1') i (2'), uważanych jako funkcyje jednej zmiennej x, tj. przedstawionych pod postacią (Г) i (2'). Ten rugownik jest funkcyją całkowitą zmiennej y stopnia myi; wynajdujemy wszystkie jego pierwiastki yy, уъ..., ymn . Następnie podstawiamy w danych dwu funkcyjach za у każdy z tych pierwiastków za porządkiem i wynajdujemy, podług art. 9. albo podług art 13. w rozdziale У., pierwiastki wspólne tych funkcyj xr, x%,..., a?mn; pary wartości na x i у, tj. xy, yt; x₂, У2 !••••; œmn,2/mn, wzajemnie sobie odpowiadających, są wszystkimi rozwiązaniami dwu danych funkcyj.

12. Okazaliśmy (IV.), że funkcyją f(z) zmiennej zespolonej z — x 4“ yi-, daje się zawsze przywieść do postaci:

f(z) == <p(x, y) + i ф(х, у) ,

gdzie y(x,y) i $(x,y) są dwie funkcyje całkowite dwu zmiennych rzetelnych x i ?/, mające oraz współczynniki rzetelne.

Stąd wnosimy, że wynalezienie pierwiastków zespolonych funkcyi całkowitej f(z) jednej zmiennej z sprowadza się do wynalezienia rozwiązań rzetelnych dwu funkcyj z dwiema zmiennymi, mających także współczynniki rzetelne; a że to ostatnie zagadnienie zależy od wynalezienia pierwiastków rzetelnych jednej funkcyi jednej zmiennej, która także ma współczynniki rzetelne, przeto przy wyłożeniu sposobów na

VN IV.

IAGELL,

CRA COVIENSIS

wynalezienie pierwiastków funkcyj jednej zmiennej, będziemy się mogli ograniczyć uwagą takich funkcyj, których współczynniki są liczbami rzetelnymi i poszukiwać same tylko pierwiastki rzetelne tychże funkcyj.

Funkcyje symetryczne rozwiązań dwu funkcyj całkowitych z dwiema zmiennymi.

13. Niech będą dane dwie funkcyje całkowite dwu zmiennych x i y:

i + j < m, i + j < n,

(!) • •    •    f(x, y) EEE 2 a.. X¹ yJ,

(2) . .    .    <p(x, y) = 2 b,, x¹ yJ,

a druga stopnia ni oznaczmy mn rozwiązań tych dwu funkcyj.

z których pierwsza jest stopnia m.,

przez , yi , X₂ , y2 ,"••••,    n 1 Ут n

Funkcyja tych rozwiązań będzie funkcyją symetryczną, jeżeli się nie zmieni, gdy dwa którekolwiek z nich zamienimy jeden na drugi, tj. gdy wartości Xi , a?j i jednocześnie y i , y$ zamienimy jednę na drugą.

Zapomocą takiegosamego rozumowania, jakiegośmy użyli, mówiąc o funkcyjach symetrycznych n liczb zl, z₂,.. ., zn , można okazać, że wszelka funkcyja rozwiązań xx yx, x₂ y₂...., symetryczna i wymierna, daje się rozłożyć na same funkcyje symetryczne zasadnicze, tj. takie, których wyrazy poszczególne dają się wyprowadzić jedne z drugich przez proste przestawienie rozwiązań. Te funkcyje symetryczne zasadnicze nazwiemy taksamo, jak pierwej, pojedynczymi, podwójnymi, potrójnymi,..., według tego, czy do każdego ich wyrazu wchodzić będzie jedno, czy też dwa, trzy.... rozwiązania. Sposób tworzenia tych funkcyj symetrycznych zasadniczych nie różni się od tego, jaki poprzód podaliśmy w rozdziale III. dla funkcyj symetrycznych zasadniczych n liczb 2,, z₂,...., zn . Nareszcie można okazać sposobem użytym w rozdziale III., że funkcyje symetryczne podwójne, potrójne,... dają się wyrazić jako funkcyje całkowite funkcyj symetrycznych pojedynczych. Z tego zaś wszystkiego, cośmy tu powiedzieli, wypływa, że wszelka funkcyja rozwiązań xx, yx \ x₂, y₂].... symetryczna i wymierna daje się wyrazić jako funkcyja wymierna funkcyj symetrycznych pojedynczych, których kształt ogólny jest :

(3)    .    .

- -ГО

"OD

-f

fi

aa. a

fi

14. Twierdzenie, jakie mamy udowodnić, jest następujące: Funkcyja symetryczna i wymierna rozwiązań dwu funkcyj całkowitych z dwiema zmiennymi daje się wyrazić wymiernie przez współczynniki tychże funkcyj.

Tego twierdzenia dowiedziemy, skoro się okaże, że funkcyje symetryczne zasadnicze a pojedyncze mn rozwiązań funkcyj (1) i (2) są funkcyjami wymiernymi współczynników ay , 6y tychże funkcyj. Aby okazać prawdziwość namienionego twierdzenia prostszego, podstawmy za przykładem Poisson’a w dwu danych funkcyj ach za x wartość, wypływającą z równości :

(4) .    .

x -f Xy = t,

gdzie t oznacza nową zmienną, a X oznacza liczbę stałą, lecz nieoznaczoną. Mieć będziemy wtedy:

i + j < m, i + j < n.

• f(t—Xy, y) = £ a., (t—Ху)¹ yJ,

. <p(t—Xy, y) = 2 b., (t—Ху)¹ yJ,

Uważajmy te dwie funkcyje jako funkcyje jednej zmiennej y, i utwórzmy ich rugownik. Ten rugownik będzie funkcyją liczby t całkowitą stopnia mn., a współczynniki tej funkcyi będą funkcyjami całkowitymi liczby stałej, lecz nieoznaczonej X. Jego kształt ogólny będzie zatym :

(5) .    .    .    e>(t) = S Б¹»,»—* (X) t¹

i < mn*,

gdzie JP.(X) oznacza funkcyją całkowitą liczby X stopnia (mn—i)., której współczynniki są funkcyjami całkowitymi współczynników ау i b pnia n. względem pierwszych, a stopnia m. względem wtórych ; jest więc ogólnie :

Ö’

sto-

mn—i

(6)    .    .    . Fmn_i(X) = c₀ -j- Cj X -f- c₂X    -f- cmn—i X

Pierwiastki rugownika są tymi wartościami na t, przy których dwie funkcyje (1') i (2') mają pierwiastki wspólne y. A że tymi pierwiastkami wspólnymi mogą być jedynie liczby ylf y₂,....} t/mn, którym znowu odpowiadają liczby x,,    xmn , więc według (4),

pierwiastki rugownika (5) są liczbami następującymi:

X1 + x yt

Xmn + X y

mn*

x2 + X У 2 ł • • •

Suma jednakich potęg i p. stopnia p. pierwiastków rugownika (5) daje się wyrazić pod postacią ułomka (YI. 2), którego licznik jest funkcyją całkowitą i jednorodną współczynników .F₀(X), i^\(X), i^X),..., Fma (X), stopnia pa mianownik potęgą stopnia p. współczynnika F₀(X). Skoro ten ostatni współczynnik od X nie zależy, a pozostałe współczynniki są liczby X funkcyjami całkowitymi, zatym suma potęg stopnia jj. pierwiastków rugownika będzie funkcyją całkowitą, liczby À także p. stopnia. Mieć więc będziemy :

(X1 4" ^yi)P 4“ (x2 +^У2)Р 4“ • • ' 4” (xm n 4~ ^ymn)P=d₀4-d₁ X + d₂X² 4~

.... + dpXp.

Pierwsza strona téj równości jest równa stronie drugiej przy każdej wartości na X, więc podług twierdzenia Descartes’a, wypływa stąd :

(7) .    .

( ){

( )!

xP 4~ x2 4~ • • • • 4“ x n = d

X1_1 У1 + X2 ¹ y₂ + ....+ xP~x у

о. £

I ■)

xi ²y² + x2 ² y² 4“ • • • • 4“ xp nV

4-

p-

4-

В "в

gdzie d₀, d₁, <4,...., dp są funkcyje wymierne współczynników a, ^, ó.j obu danych funkcyj (1) i (2).

Skoro funkcyje symetryczne zasadnicze

pojedyncze rozwiązań funkcyi (1) i (2) dadzą się wyrazić wymiernie przez współczynniki tych funkcyj, przeto rzecz się będzie miała taksamo z wszelkimi funkcyjami symetrycznymi i wymiernymi tychże rozwiązań.

Rugownik trzech funkcyj całkowitych z dwiema zmiennymi.

15. Niech będą dane trzy funkcyje całkowite z dwiema zmiennymi X i у odpowiednio stopnia w., n. i p. :

(1)    .    .    .    f(x, y) == 2 а.. X¹ yJ,

•    •    ?(x, У) = 2 b.. X yJ,

(2) -

(3)    .    .    . ф(х,у) == 2 cy xyJ,

i 4~ j ^ m-i + j < n , i 4- j < P-

Oznaczmy przez , /₂,...., /„p wypadki podstawienia w funkcyi f(x, y) za ж i у np rozwiązań funkcyj cp i ф, przez <pt, cp₂.. . <ppm wypadki podstawienia w funkcyi f(x, у) ш х \ у pm rozwiązań funkcyj ф if i nareszcie przez ф₁₅ ф₂.... фшп wypadki podstawienia w funkcyi ф(x,y) za X i у mn rozwiązań funkcyj f i <p, natenczas każdy z iloczynów :

•• Ф

(4) .    .    . fj. f₂... fn p,

przywiedzie się do zera, jeżeli trzy dane funkcyje będą miały wspólne rozwiązanie i nawzajem, jeżeli jeden którykolwiek z tych iloczynów przywiedzie się do zera, wówczas trzy dane funkcyje będą miały wspólne rozwiązanie, wskutek czego także dwa pozostałe iloczyny muszą się przywieść do zera.

Pierwszy z iloczynów (4) jest z jednej strony funkcyją całkowitą stopnia np. współczynników funkcyi / a z drugiej strony funkcyją całkowitą i symetryczną np rozwiązań funkcyj cp i ф. Jeżeli te funkcyje symetryczne wyrazimy wymiernie przez współczynniki funkcyj <p i ф, wówczas uważany iloczyn zamieni się na funkcyją wymierną współczynników &ij, dj a całkowitą współczynników ay stopnia np. Tak-samo drugi iloczyn (4) będzie funkcyją całkowitą stopnia pm. współczynników hi) i oraz funkcyją wymierną współczynników cy i ay. Nareszcie trzeci iloczyn (4) będzie także funkcyją całkowitą stopnia m n. współczynników су a wymierną współczynników «у , 6y.

Przywiedzenie się do zera któregokolwiek z trzech iloczynów (4) wyraża warunek konieczny i wystarczający na to, aby trzy dane funkcyje (1)—(3) miały wspólne rozwiązanie; stąd wnosimy, że każde z tak otrzymanych równań warunkowych przedstawia jeden i tensam związek pomiędzy współczynnikami ay, óy., cy tychże funkcyj. Skoro tak rzecz się ma, więc, jeżeli np. pierwszy z tych iloczynów przez sprowadzenie wszystkich jego wyrazów do wspólnego mianownika, przedstawimy pod postacią ułomka, to licznik tego ułomka będzie funkcyją całkowitą i jednorodną współczynników trzech danych funkcyj stopnia np. względem współczynników ay , stopnia pm. względem współczynników bij, a stopnia mn. względem współczynników cy . Ten licznik zowie się rugownikiem trzech danych funkcyj. A zatym :

Rugownik trzech funkcyj całkowitych dwu zmiennych, których stopnie są odpowiednio m., n. i p., jest funkcyją całkowitą i jednorodną współczynników tych trzech funkcyj i odpowiednio stopnia np., pm. i nm. wzglądem współczynników pierwszej, drugiej i trzeciej z namienionych f unkcyj. Nadto :

Rugownik zrównany do zera, wyraża warunek konieczny i oraz wystarczający na to, aby trzy dane funkcyje posiadały wspólne rozwiązanie.

16. Dajmy w trzech funkcyjach (1)—(3) każdemu współczynnikowi za wskaźnik taką liczbę, któraby sumę wykładników w tym wyrazie dopełniała odpowiednio do liczby m, n i p, tj. połóżmy:

0') •

można wtedy okazać, że waga każdego wyrazu rugownika będzie równa mnp. Jakoż, jeżeli np. każdy współczynnik Am-i_j w (1') pomnożymy przez p-*—j i w tak przekształconej funkcyi f(x,y) podstawimy tx i t y za X i y, otrzymamy na wypadek tmf(x,y). Stąd wypływa, że jeżeli trzy dane równania przekształcimy przez pomnożenie każdego wyrazu, zawierającego Xх yf odpowiednio przez    ,

if¹¹—i—J, £P-i—■>, to każdemu rozwiązaniu xn y^ dwu ostatnich równań w kształcie pierwotnym będzie odpowiadało rozwiązanie txu ty{, które uczyni zadość tym dwu równaniom, ale przekształconym, i że podstawienie tych wartości w pierwszym równaniu przekształconym da na wypadek tmf(x{, yx). Atoli rugownik R jest iloczynem np czynników zatym, jeżeli w rugowniku R trzech danych funkcyj

f\1 fil' • 4 /np»

(1')—(3'), wyrażonym już przez współczynniki tychże funkcyj, każdy współczynnik Am-i-j pomnożymy przez tm~l~i , każdy współczynnik Bn-i-j przez j!n-i-j i nareszcie każdy współczynnik Cp_i_j przez źp-i—j, wówczas ten rugownik przejdzie na tmnpR. A że to tylko wtedy stać się może, gdy każdego wyrazu waga jest równa mnp, przeto możemy wypowiedzieć jeszcze twierdzenie dodatkowe :

Jeżeli w trzech funkcyjach całkowitych z dwiema zmiennymi współczynnikowi każdego wyrazu za wskaźnik damy różnicą między stopniem funkcyi a sumą wykładników liczb zmiennych w tym wyrazie zawartych; wówczas waga każdego wyrazu rugownika namienionych trzech funkcyj będzie równa iloczynowi stopni tychże funkcyj.

17. Z twierdzenia artykułu poprzedzającego można wyprowadzić wniosek, że trzy funkcyje całkowite z trzema zmiennymi stopnia odpowiednio m., П. i p. posiadają mnp rozwiązań.

Jakoż te funkcyje można przedstawić pod postacią :

f(x, y, z) == 2 Am_i_j x'yJ,

S Bm_i—j X* yJ,

QC

to

CO (N3

+■+

VII VII

?(x, y»z)

Ф(х, у, z) EE 2 Cp_i_jXlyj,

a wtedy współczynniki Am-i-j , Bn-i-j, Op_i_j będą funkcyjami jedynej zmiennej z odpowiednio stopnia (m—i—j)-, (n—i—j)-, i (p—i—j). Rugownik zaś tych trzech funkcyj, uważanych jako funkcyje dwu zmiennych x i y, będzie funkcyją liczby 0 całkowitą, której stopień jest równy wadze każdego wyrazu rugownika, tj. mnp. Ten rugownik przywiedzie się zatym do zera przy mnp wartościach na z;

a że przy każdej z tych wartości na z dane funkcyje posiadają wspólne rozwiązania x,y, przeto istnieje mnp układów wartości na x, y, z, które jednocześnie wszystkie trzy dane funkcyje do zera przywodzą.

Wiedząc to, można sposobem takimsamym, jak w art. 13 i 14. okazać, że każda funkcyją symetryczna i wymierna mnp rozwiązań trzech funkcyj całkowitych z trzema zmiennymi, stopnia odpowiednio

m.

n. i p. daje się przedstawić jako funkcyją wymierna współczynników tychże funkcyj, poczym można utworzyć rugownik czterech takich funkcyj, podstawiając każde z rozwiązań trzech funkcyj w czwartej funkcyi, biorąc iloczyn tych wypadków podstawienia a następnie funkcyje symetryczne, w tym iloczynie zawarte, wyrażając przez współczynniki namienionych trzech funkcyj. Tym sposobem znajdziemy, że cztery funkcyje odpowiednio stopnia mn., p. i y. z czterema zmiennymi posiadają mnp у rozwiązań.

Twierdzenie Bezout’a.

18. Bezout (Théorie générale de Velimination par Faà de Bruno, Baris, 1859, str. 157) dowiódł, że к funkcyj odpowiednio stopnia n,, n₂,...., nk z к zmiennymi posiada П,n₂.... nk rozwiązań.

Aby dowieść tego twierdzenia ogólnego, weźmy pod uwagę naprzód к—1 funkcyj odpowiednio stopnia n1? щ,..., wk_₁ z к zmiennymi X, y,...., u, v. Te funkcyje można przedstawić pod postacią:

— a—ß—. ..—i

(i) •

xa yß ... u’-, x“ yß ... U',

fk-i=£J

*“A-- »S

nk-l

gdzie współczynniki vi„i_a_ß_t

—a - ß —

wskaźnikom.

Oznaczmy przez x,, y lr.., ux; x₂,    w₂ 5 • • i rozwiązania funk-

cyj (1), uważanych jako funkcyje A;—i zmiennych a¹, y,..., «, a przez

4i₂—a—ß—.. .

k—1

-1 1

są funkcyjami ktéi zmiennej v stopnia równego

xf'y ...

-X

P*>    4.2

vys

•"4-<

xiPiyi⁴‘--- ui

funkcyją symetryczną zasadniczą г-krotną tych rozwiązań.

Zakładając, że ta funkcyją symetryczna daje się wyrazić wymiernie przez współczynniki к—1 funkcyj (1), łatwo spostrzeżemy, że,

gdy ją tak wyrazimy, wówczas będzie ona funkcyją ktćj zmiennej V całkowitą stopnia Sp-f-Eq-f-...-f-£t.

Jakoż, jeżeli we współczynnikach funkcyj (1) zatrzymamy tylko wyrazy stopnia najwyższego względem u, mieć będziemy к—1 nowych funkcyj jednorodnych, odpowiednio stopnia    wk_x, z к zmien

nymi X, i/,..., и, V :

(3) . .

xa yß. .    u'' vH 1 a ß

Ь — ^ ani-a-ß—..

Ъ = S    Xayß... ^vn₂-«-ß-. .

?k-i = S ink l_a_ß_.. Xa yß...mvnk-i “-P-

gdzie «, h,... г są liczbami stałymi. Oznaczmy przez a?,, y\,.

*®2 5    ^/2? • •

A;—1 zmiennych x} y,. . . u, a przez -г/л funkcyją symetryczną zasadniczą г-krotną tych rozwiązań.

• ‘i n 1 j

г/₂;.... rozwiązania funkcyj (3), uważanych jako funkcyje

gdzie wykładniki jp,    t są takiesame, jak w (2).

Uważmy, że jeżeli x,    w, jest jakimkolwiek rozwiązaniem

funkcyj (3), wówczas x' = æv, 1/ — yv:. .. u' = m będzie także rozwiązaniem tych funkcyj; albowiem, gdy w (3) za x, у,..., // podstawimy odpowiednio x, //',..., u\ wówczas mieć będziemy np. :

cpt(x',y',. .., u') = vni cp, (X, y,...,u),

'Pi 'q,

У» • •

.. Uj

więc będzie (x\y\. .., O = 0, gdy <p,(x, ?/,. . ., u) = 0.

Funkcyją symetryczna (4), gdy w niej za każde rozwiązanie x’,y',...,u' podstawimy xv, yv,..., uv, zostanie pomnożona przez ^Ip + ïq-H ... +St, ₈цд wnosimy, że gdy ją wyrazimy przez współczynniki funkcyj (3), uważanych jako funkcyje к—1 zmiennych x,y,...,v, będzie ona funkcyją stopnia h p ’L q ...    względem v;

a że funkcyje (3) są złożone z wyrazów stopnia najwyższego funkcyj (1), więc i funkcyją symetryczna (2) będzie także funkcyją zmiennej v tegosamego stopnia.

Wiedząc to, można twierdzenie Bezout’a udowodnić, jak na

stępuje.

Niech będzie:

(5) f .    . fk = S K1Ik_a_ß_xa)?... u'-,

funkcyją stopnia пь. z tymisaraymi к zmiennymi а', v/,..., w, v, co (1). Podstawmy w téj funkcyj za a, y,.. ., u każde z rozwiązań k—1 funkcyj (1), które to rozwiązania są funkcyjami zmiennej v, i dajmy, że ilość tych ‘rozwiązań jest równa pk-i. Oznaczając wypadki tych

podstawień odpowiednio przez f'k , /”,...., /^к    , mieć będziemy,

jako rugownik к funkcyj (1) i (5) (uważanych jako funkcyje k—1 zmiennych X, y, z,. .. u) :

(6) . .

r = fk ç • • • •

Ten rugownik jest stopnia nk pk—1 względem zmiennej V ; albowiem naprzód każdy z czynników jest stopnia nk względem v i powtóre wyrazy najwyższe, jak :

xL y,. . .

x₂ y₂. . .

u₂)    • • • • ( xj*k_i У H-k—i ‘ ‘ * UfV-i)

nk

wyrażone przez współczynniki funkcyj (1) są (podług twierdzenia powyżej dowiedzionego) stopnia nk pk-l względem v.

Skoro tak rzecz się ma, więc rugownik (6) stanie się 0 przy p = nk pk_x wartościach na v, a więc i układ к funkcyj (1) i (5) mieć będzie p = nk pk—1 rozwiązań.

A że, zmniejszając ilość funkcyj (1) i (5) ciągle o jednę, tj. opuszczając po jednej z nich (ostatnią), znajdziemy taksamo :

14—1 ~ nk—1 14—2 5

!J'k—2 ~    °k-2 !Ak-3 ’ • * *

a nareszcie dla dwu pierwszych funkcyj jest p₂ = n₂ щ, jak to się okazało w art. 11., przeto wypływa stąd:

(7)    .    .

= nk nk-i Dk-₂*-- d2 nf

c. b. d. o.

W dowodzeniu tego twierdzenia przypuszczaliśmy, że wszystkie funkćyje są zupełnymi i mają współczynniki ogólne i od siebie niezależne. W razie, gdy funkcyje nie są zupełnymi, lub gdy współczynniki są między sobą zależne, wtedy liczba p, oznacza największą mo-żebną ilość rozwiązań tych funkcyj.

ROZDZIAŁ VIL

0 równaniach algebraicznych.

1. Równość:

1 (z) EEE cIq z -J- at z -j- a₂ z -)- .... -j- an_j z -f- an — O,

której strona pierwsza jest funkcyją całkowitą zmiennej г stopnia n., zowie się równaniem algebraicznym stopnia n. z jedną niewiadomą z. Wartość na z, przy których funkcyja f(z) staje się równą O, czyli pierwiastki tej funkcyi są oraz pierwiastkami równania f(z) — 0. Z rozdziału Y. wiadomo, że równanie algebraiczne stopnia n. z jedną niewiadomą posiada n pierwiastków; wynalezienie tych pierwiastków zowie się rozwiązaniem równania.

Rozwiązanie równań algebraicznych może być dwojakie: analityczne lub arytmetyczne. Przez rozwiązanie równań analityczne należy rozumieć znalezienie wyrażeń, dających pierwiastki wszystkich równań jednego stopnia przez wzory ogólne, nie wiedząc uprzednio, jakie są współczynniki równań w liczbach. Arytmetyczne zaś rozwiązanie równań zależy na wynalezieniu wzorów, dających wprost dokładne lub do prawdy zbliżone wartości pierwiastków równań takich, których współczynniki są liczbami danymi, a które to równania nazywamy równaniami liczebnymi. Rozwiązanie analityczne jest algebraicznym, jeżeli wyrażenia dające pierwiastki równania są funkcyjami algebraicznymi współczynników tego równania. Rozwiązanie równań tak analityczne, jakotóż arytmetyczne, ułatwia się częstokroć przez ich.przekształcenie, przez co rozumiemy wyprowadzenie z danego równania takiego równania nowego, którego pierwiastki mają pewien z góry dany związek

z pierwiastkami równania założonego ; dlatego przed przystąpieniem do wyłożenia sposobów na rozwiązanie równań algebraicznych, zajmiemy się przedewszystkim ich przekształceniem.

Przekształcenie równań wymierne.

2. Najprostszy przypadek przekształcenia równania algebraicznego zależy na tym, aby z równania danego:

(1) . .

. .    f(z) = 0

wyprowadzić nowe równanie :

(2) . .

. .    F(u) = 0,

którego każdy pierwiastek u daje się przedstawić jako pewna funkcyja wymierna pierwiastka 2 równania założonego, tj. tak, aby między odpowiadającymi sobie pierwiastkami 2 i u obu równań zachodził związek :

(3)    .    .

<P(z)

Ф0)

gdzie cp(z) i ty(z) oznaczają funkcyje całkowite samego tylko 0.

Łatwo spostrzec, że jeżeli równanie założone (1) jest stopnia n., wówczas także równanie żądane będzie stopnia n. Albowiem, dla każdego z n pierwiastków z,, 0₂,...., zn równania (1), daje związek

(3) po jednej wartości na u; a więc mieć będziemy n pierwiastków U[, м-2,..., Un równania żądanego (2), które musi być zatym stopnia n. Tegosamego można dowieść także w sposób następujący. Skoro równaniom (1) i (3) stanie się zadość, gdy w nich podstawimy za z którykolwiek z pierwiastków równania (1) i jednocześnie za u pierwiastek tamtemu odpowiadający równania żądanego (2), widoczna więc, że pierwiastki równania żądanego będą pierwiastkami rugownika dwu funkcyj całkowitych f(z) i w\(z) — <p(z), uważanych jako funkcyje jednej zmiennej 0. Ten rugownik jest funkcyją całkowitą i jednorodną współczynników obu funkcyj i stopnia n. względem współczynników drugiej funkcyi; a że współczynniki drugiej funkcyi są znowu funkcy-jami stopnia 1. względem u, przeto rugownik jest funkcyją całkowitą stopnia n. względem u. Zrównawszy namieniony rugownik do 0, mieć będziemy równanie żądane (2), które zatym będzie względem u stopnia n. Najważniejszym przypadkiem tu należącym jest ten, kiedy funkcyja <p(0) i Ą(z) są względem 0 stopnia 1. Wówczas mamy:

a z + b ~ a'z 4- b' ’

gdzie a, />, a\ h', są danymi liczbami stałymi. Z wzoru (41 wypływa :

b'u—b a—a'u

Podstawiwszy tę wartość za 0 w równaniu (1), otrzymamy równanie żądane :

j./ b'u--b \ V a—a'u /

które, po sprowadzeniu wszystkich wyrazów do wspólnego mianownika i opuszczeniu tegoż mianownika, przybierze postać (2), gdzie F(n) jest funkcyją całkowitą i stopnia n. względem u.

Przekształcenie równania (1) zapomocą podstawienia kształtu (4) zowie się pospolicie przekształceniem stopnia 1. albo linijoivym. Nie trudno okazać, że przekształcenie linijowe ogólne daje się sprowadzić do kilku przekształceń prostszych, mających być uskutecznionymi jedno po drugim. Zakładając bowiem, że a' posiada wartość od 0 odmienną, możemy wzór (4) tak pisać :

ba'— ab'

(4')    .    .

a'²

b'

a'

Stąd okazuje się, że przekształcenie zapomocą wzoru (4) jest równoważne czterem przekształceniom następującym :

ba'—ab'

z' = z -f-

b'

z" =

z"' =

u := Z"' -b

z",

V¹

albowiem rugowanie z', 0", 0"' między czterema ostatnimi wzorami daje nam wzór (4).

Jeżeli a' — 0, wówczas wzór (4) jest wypadkiem rugowania 0' między dwoma wzorami:

»    cX

z - b7z

A zatym, trzy wzory:

z/’

a'“

b' '

Przekształcenia zasadnicze równań.

3. Przekształcić równanie na inne, którego pierwiastki są równe danej wielokrotności pierwiastków równania założonego.

Niech będzie:

(1)    .    . f(z) = a₀ z¹¹ -|- аг z¹¹⁻¹ -f- a₂zn-2 + ... -}- an = O

równaniem założonym, i dajmy, że pierwiastki nowego równania mają, być m razy większe, aniżeli pierwiastki równania (1). Oznaczając przez z którykolwiek z n pierwiastków równania (1), a przez u pierwiastek odpowiedny równania żądanego, mieć powinniśmy u — mz. Stąd wypływa z — — , a zatym : m

uu    un_1

— a0 + ai —‘ + an = 0

jest równaniem żądanym. Mnożąc to równanie przez mn , przez co jego pierwiastki wcale się nie zmienią, przywiedziemy żądane równanie do postaci :

(2) a₀ u -(- at mu -j- a₂m u

Przekształcenia tego można użyć, kiedy chcemy równanie, mające współczynniki ułomkowe, zamienić na inne o współczynnikach stałych i któregoby wyraz pierwszy miał za współczynnik -f- 1.

Tak np. mając równanie :

72 z — 108 z² + 90z — 16 = 0,

dzielimy naprzód to równanie przez współczynnik 72 wyrazu pierwszego ; będzie wtedy :

1    г2 . i z

2    ⁺ 4

Następnie stosujemy przekształcenie powyższe, wskutek czego

otrzymamy :

u -j- an mn = 0.

-j- .... -f- an_i m

Z³ -

u³ —

³ o    ⁵

2 mu + i

m² u —

Aby współczynniki w równaniu ostatnim były liczbami całkowitymi, dość położyć m = 6 ) wypadnie wtedy równanie o współczynnikach całkowitych:

u³ — 9u² -j- 45 u — 48 = 0,

którego pierwiastki są 6 razy większe, aniżeli pierwiastki równania założonego.

Jeżeli więc współczynniki równania są liczbami rzetelnymi i wymiernymi, można przyjąć, że one są oraz liczbami całkowitymi, przyczyni współczynnik wyrazu pierwszego jest równy 1, czyli, że równanie jest sprowadzone do postaci najprostszej.

Położywszy w równaniu (2) m = — 1, lub, co na jedno wychodzi, zmieniwszy w równaniu (1) znaki wyrazów stojących na miejscach parzystych, otrzymamy równanie :

(3)    .    .    . a₀un — aŁ un 1 4" a2 un 2 — ... . -ł- (—l)n an'=0,

którego pierwiastki są równe pierwiastkom równania założonego, wziętym ze znakami przeciwnymi. Należy wszakże zauważyć, że mówiąc o wyrazach stojących na miejscach parzystych, zakładamy, iż równanie jest zupełne, tj. że nie brak w nim żadnej potęgi niewiadomej z i że jego strona pierwsza jest uporządkowana podług potęg zniżających się liczby niewiadomej. W razie, kiedy w równaniu brakuje jakiego wyrazu, należy wprowadzić ten wyraz ze współczynnikiem 0.

Tak mając np. dane równanie :

z⁶ 3z⁵ — 4z³ — 4z -f- 7 = 0,

równaniem mającym pierwiastki przeciwne będzie :

u⁶ — 3u⁵    4u³ -f 4u -f 7 = 0.

4. Przekształcić równanie na inne, którego pierwiastki są o daną liczbę mniejsze od pierwiastków równania założonego. Niech będzie dane równanie pod postacią najprostszą :

(!)    •    • f(z) = z¹¹ + p, z" ¹ + p₂ zn 2 + . .. . + p„ = 0.

Oznaczmy przez z którykolwiek z n pierwiastków tego równania a przez u pierwiastek nowego równania mniejszy o a od tamtego pierwiastka, mamy wtedy u — z — a, skąd z — a u. Równaniem żądanym jest więc f(a u) = 0 czyli, po rozwinięciu strony pierwszej zapomocą wzoru Taylor’a :

(6) . .

W praktyce jest dogodniejszym sposób następujący. Załóżmy, że:

(2')    .    .    .    u¹¹ -f- q₄ u H~ % u +....+ qn = 9

jest równaniem żądanym. Jeżeli w tym równaniu podstawimy napowrót z—a za w, powinniśmy otrzymać równanie pierwotne; będzie zatym tożsamościowo, tj. przy każdej wartości na z:

(3) .    .    .    (z—a)n -f- ąx (z—a)n 1 -f- q₂ (z—a)n 2 +.... + qn

n i    n—1 i    n—2 .    i

= Z + Pi z H- p₂ Z + .... + pn.

Pierwsza strona tej tożsamości, gdy ją podzielimy przez z—a, daje na iloraz (z—a/¹⁻¹ -f- qx (z—oę)n_2 -f- .... qn—i, а na resztę qn ; iloraz otrzymany podzieliwszy następnie przez z—a, otrzymamy, jako drugi iloraz, (z—a)n~² -f- qx (z—a.)n~³ -j- .... -f- qa—₂, a jako drugą resztę qn—i; dzieląc drugi iloraz znowu przez z—a, mieć będziemy, jako trzeci iloraz, (z—a)"⁻³ -f- qx (z—a)n-4 -f- .... -j~ qa—з , a jako trzecią resztę qn—₂, itd.

Postępując tak dalej, tj. dzieląc pierwszą stronę tożsamości (3) i każdy następny iloraz wciąż przez z—a, otrzymamy, jeden za drugim, wszystkie współczynniki żądanego równania od ostatniego qn do pierwszego g¹,. Skoro strona druga w (3) jest tożsamościowo równa stronie pierwszej, wyłożony więc szereg dzieleń uskutecznionych na tej stronie drugiej, tj. na wielomianie danego równania (1) i na kolejno otrzymywanych ilorazach, da na kolejne reszty szereg współczynników qn , qn—i,..., qx, równania żądanego. Jeżeli te dzielenia wielomianów przez dwumian z—a będziemy wykonywali sposobem Horner’a, schemat rachunku będzie następujący:

Niech będzie dane np. równanie stopnia 4.:

(4)    .    .

f(z) = z⁴ + pi z³ H- p₂z² -f- p₃ z + p₄ = 0.

Współczynniki ^₄, qs, q₂₎ q1 równania:

(5)    .    .

(2)    .    . f(a) +

Df(a)

D²f(a)

u “h 2!

u² -j- .... -j-

Pnf(«) ц„

= 0.

f(a+u) = u⁴ —h qt u³ + q₂ u² + q₃ u -f- q₄ = 0,

którego pierwiastki są o a mniejsze od pierwiastków równania (4) są resztami, wypadającymi z podzielenia wielomianu f(z) i kolejno otrzymywanych ilorazów przez dwumian z—a; mamy zatym:

1 л    D f(a)

1 4a + px EE —gf- = qt

4!

to

P2

Рз

a² + p₄a a³ + pta²+p₂a

p₄ La a⁴ + pj a³ + p₂a² + p₃a

1 a+pt a²+pja+p₂ а³ + р₄а² + р₂а+р₃ a⁴+p₁a³+p₂a² + p₃a+p₄ = f(a) = q4 a 2a² + pxa 3a³ + 2p₁a² + p₂a

1 2a+px 3a²+2pxa+p₂ 4a³+3pxa²+2p₂a+p₃ = 3a²+pxa

Df(a)

=F 4s

2

1 За+р, 6а²+3р,а+р₂ = '”2 !    ~ Ч2

TTWa)

W tym schemacie mamy pod pierwszą linijką współczynniki pierwszego ilorazu i pierwszą resztę, pod drugą linijką współczynniki drugiego ilorazu i drugą resztę, pod trzecią linijką współczynniki trzeciego ilorazu i trzecią resztę itd.

Wyłożone przekształcenie może posłużyć, aby równanie oswobodzić od jednego wyrazu. Tak np. chcąc równanie założone pozbawić wyrazu, zawierającego potęgę (n—1). niewiadomej, dość a tak wyznaczyć,

aby było gx =

(n—1)!

= tj.

(6) . .

na + Pi = 0,

skąd а = — —¹

Chcąc równanie oswobodzić od wyrazu zawierającego potęgę (n—2). niewiadomej, kładziemy, na wyznaczenie a, q₂ =

(n—2) !

= 0, tj.

(7)    .    .

a² + (n—1) p,a 4- p₂ = 0,

liczba а, o którą należy zmniejszyć pierwiastki równania założonego, jest więc teraz pierwiastkiem równania stopnia 2. itd.

5. Przekształcić równanie na inne, którego pierwiastki są odwrotno-ściami pierwiastków równania żądanego.

Niech będzie:

(1)

f(z) = a₀ z -j- z -j— fi₂ z -f- .... -j—    —1 z “h an = 0

równaniem założonym. Oznaczając przez z którykolwiek z n pierwiastków tego równania nego, mieć powinniśmy u =

przez u pierwiastek odpowiedny równania żąda-

— ; a zatym

u

y

—. Stąd wypływa z =

X

— 0 czyli, mnożąc całe równanie przez un

(2) . .

°£(ł)

= Pn Un 4- p„_i U““¹ 4- .... + Pi U + p₀ = 0

będzie równaniem żądanym.

Łatwo spostrzec, że równanie założone (1) ma jeden pierwiastek równy 0, gdy pn = 0, że ono ma dwa pierwiastki równe 0, gdy pn — 0 i pa—i = 0 itd. W tych przypadkach będzie równanie (2) posiadało jeden lub odpowiednio dwa pierwiastki... itd. nieskończenie wielkie. Mamy zatym twierdzenie : Jeżeli w równaniu algebraicznym współczynniki pewnej ilości wyrazów początkowych stają się równe 0, wówczas równa ilość jego pierwiastków przybiera wartość nieskończenie wielką.

Równania odwrotne.

6. Równanie nazywamy odwrotnym, jeżeli się nie zmieni, gdy niewiadomą zamienimy na jej odwrotność. A zatym, jeżeli a jest

1

pierwiastkiem takiego równania, to i — będzie także jego pierwiast-

GL

kiem. Niech będzie :

(1) . .

danym równaniem. Zmieniając z na —, mnożąc następnie przez zn i dzieląc przez pn , otrzymamy równanie :

Pn—2

zn + px z“-¹ -f p₂ zn—2 4- .... + pn-i Z + pn = 0

(2)

zn -j- -Pn-!- zn—1 +

Pn

Pn

zn 2 +... -f -Pa z _|--= 0.

Pn

Pn

Ażeby równanie (2) nie różniło się od równania (1), konieczna i wystarczająca, ażeby współczynniki tychsamych potęg niewiadomej z były równe między sobą. Mamy zatym :

Pn—2

Pn-l

П — li P“ ¹    P2⁷

jako warunki konieczne i wystarczające na to, aby równanie (1) było odwrotnym. Ostatni warunek daje pl — 1, skąd wypływa pn — 4- 1 lub pn— — 1 ; są więc dwie klasy równań odwrotnych.

(3) Pl =

Pn ’

P2 =

Pn —    ,

Pn

Jeżeli naprzód pn — 7, wówczas (3) dają: Pi ⁼⁼ Pn—11

Pn-i = Pi ;

a zatym równanie jest odwrotnym, jeżeli współczynniki wyrazów równo-oddalonych od pierwszego i ostatniego są równe.

Jeżeli powtóre pQ — — 1, wówczas z (3) wypływają:

Pi —    Pn—11

a zatym równanie jest także odwrotnym, jeżeli współczynniki wyrazów równooddalonych od obu skrajnych są wprost siebie przeciwne. W razie, gdy stopień równania jest parzysty n — 2m, musi być nadto współczynnik pm wyrazu środkowego równy 0.

7. Jakiekolwiek równanie odwrotne można zamienić na równanie odwrotne stopnia parzystego i należące do klasy piérwszéj.

Jakoż niech będzie naprzód dane równanie odwrotne klasy 1. stopnia nieparzystego, np. 5. :

f(z) = z⁵ + pj z⁴ + p₂ z³ -f- p₂ z² + p₁ z 4- 1 = 0.

To równanie posiada widocznie pierwiastek —7, jest więc po-dzielne przez z-\-l. Wykonawszy dzielenie, otrzymamy równanie:

P2    Pn—2

P2    Pn—21 • • •

Pn—1    Pi ;

f(z)

= z⁴ + (p, — l)z³ + (p₂ — Pi -i-l)z² -1- (pt — l)z~b 1 = 0,

z—j—1

które jest odwrotnym żądanego kształtu.

Niech następnie będzie dane równanie odwrotne klasy 2. stopnia nieparzystego, np. 5. :

f(z) = z⁵ + pi z⁴ + p₂ z³ — p₂ z² — Pl z — 1 = 0.

To równanie posiada pierwiastek 1; dzieląc je zatym przez z—7, otrzymamy równanie :

f(z)

z⁴ -]- (Pi + 1) Z³ -f- (P2 + Pl + 1) z2 + (Pl + 1) z + 1 = 0 ,

Z-1

które jest odwrotnym i także kształtu żądanego.

Nareszcie równanie odwrotne klasy 2. stopnia parzystego, np. 6.: f(z) ~ z⁶ -f pj zb -f p₂ z⁴ — p₂ z² — pt z — 1 = 0

posiada dwa pierwiastki -{- 1 i — 1, jest więc podzielne przez (z—l)(z-\-l) — z² — 1. Uskuteczniając dzielenie, znajdziemy znowu równanie odwrotne żądanego kształtu:

f(z)

z²—1

= Z⁴ + Pl z³ -f (p₂—l)z² 4- Pi z 4- 1 = 0.

4“ • • ■ 4“ Pm—1 Z ⁺ -fpmZ 4” Pm + 1 Z

8. Stopień równania odwrotnego klasy 1. a stopnia parzystego daje się zniżyć do połowy.

Jakoż, niech będzie :

(4) z2m -f pt z

2m—1

... —b⁻ P i 2Г —1 = 0

danym równaniem odwrotnym. Dzieląc to równanie przez zm i zbierając po dwa wyrazy równooddalone od skrajnych, mamy:

¹

~ z + ot,

zawarte we wzorze ogólnym (4), wyrażają trzy przekształcenia zasadnicze, których połączenie sprowadza tensam skutek, co przekształcenie linijowe najogólniejsze (4).

(5)

(zm + -^r) + Pi (zm_1

Połóżmy następnie :

(6) . .

z -)--= u

к ,    1

z + -r

zk

Skoro mamy ogólnie:

Yk = u Yk_i — Yk_2 przeto, dla k = 2, 3,.. . m, będzie :

Y₂ = u² - 2, Y₃ = u³ — 2q,

Y₀ = 2, Yt = u,

V₂,    F3;..., Fn będą funkcyjami zmiennej u odpowiednio stopnia

, 3., ... . m. Wstawiwszy zatym te wartości Vt, V₂, F₃,..., Fm równanie (5), otrzymamy równanie stopnia m. względem niewiadomej u:

m—2

(7)

4~ .... 4~ qm—i u -p qm — 0.

um + qL u“-¹ + q₂ u

Rozwiązawszy to równanie, otrzymamy następnie dla każdego pierwiastka u dwa pierwiastki równania założonego (1)„ z równania (6), tj.:

(8) . .

z² — u z -p 1 = 0.

? Wartość na Fk wyrażoną przez u, otrzymamy bezpośrednio także sposobem następującym. Kładąc z +

— u. z — — = ж, mieć bę-

2

dziemy z —

u -p X 1

2 ’ 7

u — X .    ^

—g—, jest więc:

Yk = 4r

2k

|(u H-x)k -P (u—x)k I

2k-i

{iik -p(₂)u

k—2

x²-P

4-

( )•-

-I

przeto ostatecznie :

nuk + ( 2 )n

2k-

(„2-4) + ( 4 ) uk-4 (u²—4)² + . .

Stąd widoczna, że Vk jest istotnie funkcyją całkowitą stopnia h. zmiennej y. Że stopień równania odwrotnego może być zniżony, zauważał poraź pierwszy Moivre r. 1718. (Doctrine of chances).

Równania dwuwyrazowe.

9. Równanie kształtu :

(1) . .

zn — 1=0,

nazywa się równaniem dwuwyrazowym. jest przypadkiem szczególnym równania odwrotnego.

W przypadku, kiedy n jest liczbą parzystą, posiada ono dwa pierwiastki -j-1 i —7, a jeżeli n jest liczbą nieparzystą, wtedy posiada ono pierwiastek -f- 1. Pozbawiwszy równanie (1) tych pierwiastków, otrzymamy nowe równanie odwrotne klasy pierwszej, którego stopień może być zniżony do połowy. Rozwiązanie więc równania

—2

z¹

a że :

= s² + Д- — 2 = и* — 4

Widoczna, że to równanie

2tt

2tt

— -j- i sin — ,

n    n

sn = s° = 1 będą pierwiastkami równania

to natenczas s, s², s³,...

(1) (IL 7).

Oznaczmy przez sa sumę potęg stopnia a. pierwiastków równania (1). Ze związków Newtona (VI. 2.), zachodzących między współczynnikami i pierwiastkami równania, wypływa sa = 0 lub = n według tego, czy a jest, czy też nie jest przez n podzielne.

W przypadku ogólniejszym, gdy mamy dane równanie dwuwyra-zowe kształtu:

(3)    .    .

zn — A = 0,

gdzie A jest liczbą stałą, rzetelną lub zespoloną, mieć będziemy wszystkie tego równania pierwiastki zn г₂,..., zB , gdy jednę z war-

n

tości pierwiastnika [ A pomnożymy przez każdą z n wartości pier-

П

wiastnika \ 1.

Oznaczając zatym przez r moduł, a przez <f> kierunek liczby A, będziemy mieli ogólnie, dla % = 7, 2,. .w,:

(4)    .    .

•    Zx=(r”)i- s“ = (rn)

<f -j- 2xit •

Równania trzywyrazowe.

10. Równanie kształtu:

a) . .

z2n -f- p zn -f- q = 0,

w którym p i q są liczbami danymi, zowie się równaniem trzyivyrazo-wym. Kładąc 2n = w, otrzymamy równanie kwadratowe :

(2) . .

и 2    p и _|_ q —- q ^

które, gdy w nim podstawimy u — v — ^ (IV. 3.), zamieni się na :

(3)    .    .

(ï -1)

= 0.

Podług poprzedzającego artykułu mamy zatym :

V4

13

a następnie:

Zasady algebry wyższej.

Rozwiązanie równania trzywyrazowego (1) sprowadza się zatym do rozwiązania dwu równań dwuwyrazowych (4) stopnia o połowę

niższego.

0. Położywszy:

11. Weźmy pod uwagę przypadek szczególny, a mianowicie gdy p i q są liczby rzetelne, tudzież — q

P*

czyli :

(4)    .    .

zn =

_ i + l/pl

2 — Г ■ 4

---q = r& = r(cos6 -f- isinÖ), a przeto

\ — 4 = r-Q = r(cosö — i sin6)j

równania (4) zamienią się na następujące : zn = r(cos6 -)- isin0),

(4')

z" === r(cos6 — i sinö),

i dadzą:

(5) z2n -f- pzn -]■- q = (zn — rcos6 — irsin6)(zn — rcosÖ -f- irsinö) = = Z2n — 2r СО80 zn -|- r² = 0.

Pierwiastki równań (4') są odpowiednio :

z, = (r")

0 + 2v.~

6 + 2x'rc ?

gdzie x i у/ równa się 0, 1, 2,..

w—1. Pierwiastki równania (5), tj.

(6) . .

z2n — 2r CO80 Zn -j- r² = 0

są zatym :

(?)

0 + 2xrc

l*n

cos

0 -j- 2xTT

+ i sin

gdzie X = Ö, 4, 2,..., w—1.

Taksamo znajdziemy, że pierwiastki równania :

z2n -}~ 2rcos0zn -j— r² = 0, które z równania (6) otrzymuje się przez podstawienie O-j-тг za 0, są:

HC086 +(2*₊D*

(8) . .

(9) Z = ( r n)

0 + (2x + l)rc

Jh i sin

Rozkładając zatym strony pierwsze równań (6) i (8) na czynniki pierwiastkowe i mnożąc przez siebie po dwa czynniki, które odpowiadają pierwiastkom zespolonym sprzężonym, otrzymamy:

z2n — 2 r cosQ zn + r² ==■ П

4=0 V. = n—1

z2n -(— 2 r cos6 zn -f- r² = II

4=0

albo położywszy dla symetryi r — pn :

z²—2rn cos

2ш -f- 6

(10)

(-

—2rn cos

(2x-(-1 )7c—(—0

z-}—r n

Z2n — 2pn Zn C08Ö p2n =

(11)

-D—J /

П I z²

1=0 \

— 2p z cos

2хтг + 6

4- p

••

')

(2x—(—1)тс—1—6

z2n _[_ 2pn zn cogQ _|_ p2n _ Д

4=0

gdzie П jest wyobraźnikiem iloczynu.

Wzory fil) zawierają nader ciekawe twierdzenie geometryczne, dowiedzione po raz pierwszy przez Moivre’a.

Podzielmy obwód koła o promieniu = p na 2n równych części

w punktach A₀, A

z²—2p z cos

2n—1

Al

i połóżmy OP—z, łuk BA₀ =

Aq

0^-

to

4/TV-Z

Natenczas podług twierdzenia Carnot’a będzie :

z² — 2p z cos    _j_ p2 _ PA“x,

(2x-j-l)ic+6

hp²=PA

Fig. 6.

tych założeniach :

z² — 2p z cos

Równości (11) dają zatym przy

24+1 •

OP2n - 2 OBn. OPn. cos (n. BOA₀) + OB2n OP2,,+ 2 OB“. OPn.

cos

=pa²₀.pa;.... ра₂²п_₂, (n.BOA₀) + OB2n = PAj. pa:. . . PA2n l.

Jeżeli /_ BOA{) — 0, a więc jeżeli punkt P leży na promieniu ОД), poprzednie równania zamieniają się po wyciągnieniu pierwiastka kwadratowego na następujące :

OP" _ oa; = + PA₀. PA₂... PA

2n—2 5

2n—1 •

OP" + OA" = + PA, . PA₃... PA

Te równania wyrażają twierdzenie Cotes’a. W pierwszym z nich należy stroDę prawą wziąć ze znakiem -|- lub —, według tego, czy punkt P leży zewnątrz, czy też wewnątrz koła.

Przekształcenie Tschirnhausena.

12. Tschirnhausen podał sposób następujący na przekształcenie równania :

(!)    •    •    • z” + Pi zn_1 4- P2Z"⁻² -+-••• + Pn-1 Z + p„ = o

zapomocą podstawienia :

(2) . .

u = a₀ -f- a,z 4- a₂z² 4- ... -f amzm ,

dm

gdzie w jest liczbą całkowitą, dodatną, od n mniejszą, a a₀, a,,., są liczbami stałymi, na razie nieoznaczonymi. Podnieśmy równanie (2) do potęgi 2.. 3.,...,w., a zapomocą równania (1), które daje:

z” = _ (piz“-¹ + r-₂^² + ... +p„), z"H 1 = — (p, z" + p₂z"~‘ + ... + p„z),

itd.

zniżmy wykładniki zmiennej z tak, aby żaden z nich nie był większym od n—1; tym sposobem znajdziemy :

u² = b₀ 4~ b,z 4- b₂z² -]- ... 4~ bn_i z" ¹,

(3)    .    .

u³ = C₀ 4" clz 4~ C2Z'² 4- • • • 4~ Cn_iZn 1,

u — k₀ 4~ ktz 4- k₂z² 4~ • • • 4 к

11—1 z ,

gdzie 6₀,..., ón-i są funkcyjami całkowitymi i jednorodnymi stopnia 2. względem stałych nieoznaczonych    am ; c₀, c,,..cn_x są funkcy

jami całkowitymi i jednorodnymi stopnia 3. względem tychże stałych itd.

Oznaczmy przez s,, s₂, s₃,. .. sumy pierwszych, drugich, trzecich,... potęg pierwiastków równania (1), sumy pierwszych, drugich, trzecich,... potęg pierwiastków żądanego równania z niewiadomą u; wówczas równania (2) i (3) dadzą:

QQ GG

to H*

+ +’

er¹ го

£ Ю

GO

Sn = nk₀ -f- k| Sj -f⁻ k₂s₂ -f- • • • • H⁻ kn—i sn_i.

A zatym, skoro sumy potęg pierwiastków równania założonego są znane, możemy z wzorów (4) obliczyć sumy potęg pierwiastków równania żądanego, a następnie (YI. 2.) współczynniki tegoż równania.

Tego przekształcenia można użyć, aby równanie uwolnić od pewnej ilości wyrazów. Jakoż stałymi dotychczas nieoznaczonymi a₀, al}...f, am można tak rozporządzić, aby w równaniu z niewiadomą u zniknęła pewna ilość wyrazów. Tak np. chcąc usunąć m wyrazów, następujących po pierwszym, dość położyć (YI. 2.) :

St — 0, s.

Skoro te równania są odpowiednio stopnia I., 2.,..., m. względem Oo, «i,. ..., am , przeto wyznaczenie tych stałych, z których jednę można obrać dowolnie, zależy, mówiąc w ogólności, od rozwiązania równania stopnia m !

13. Zastosujemy ten sposób do równania stopnia 5., przyczyni się okaże, jak to zauważył Jerrard, że usunięcie trzech wyrazów następujących po pierwszym, zależy od rozwiązania równania stopnia 3., a nie stopnia 6., jak tego wymaga teoryja ogólna. Przedewszystkim dowiedziemy następującego podania pomocniczego:

Funkcyją całkowitą i jednorodną stopnia 2. z n zmiennymi można zawsze wyrazić jako sumą v funkcyj stopnia 1., gdzie v < n.

Niech V będzie funkcyją całkowitą i jednorodną stopnia 2. z n zmiennymi x{, ж₂, • drat jednej zpomiędzy zmiennych, np. x\] porządkując ją podług potęg zniżających się tej zmiennej, mieć będziemy:

Y = a xj -f- 2 Q хг 4~ R,

gdzie Q i R są funkcyje całkowite i jednorodne odpowiednio stopnia 1. i 2. n—1 zmiennych a‘₂,..., xn (co najwyżej), gdy tymczasem a oznacza liczbę stałą, od 0 odmienną.

= o,...

• •)

Sm= 0.

xa. Załóżmy, że ta funkcyją. zawiera kwa-

Kładąc :

xi +

11

mieć będziemy :

Y = (X, l/a)² + Yj,

gdzie Fj jest funkcyją całkowitą i jednorodną stopnia 2. n—1 zmiennych x₂,..., xa (co najwyżej).

Jeżeli powtóre V nie zawiera kwadratów, lecz tylko iloczyny zmiennych, wówczas, porządkując V względem dwu zmiennych xl i ж₂, mieć będziemy :

Y = ß Xj x₂ I Qx, + Ii x₂ -|- S

QR

ß (x, + y)(x₂ + -£)

a gdy położymy :

i ^xi + x2 +    \ ^

(X, fry + (X₂ f=py + Y

wypadnie :

Xl— X2

Q-R

Y₂ = S- 5?,

■то

gdzie F₂ jest funkcyją jednorodną całkowitą stopnia 2. (co najwyżej) n—2 zmiennych a?₃,..., xn , gdy tymczasem i X₂ są funkcyjami stopnia 1., mogącymi zawierać n zmiennych aq,..

A zatym, w pierwszym przypadku przedstawiliśmy funkcyją V jako sumę pewnego kwadratu i funkcyi Vl, która zawiera n—i zmiennych (co najwyżej), a w drugim przypadku wyraziliśmy V jako sumę dwu kwadratów i funkcyi F₂, która zawiera już tylko n—2 zmiennych (co najwyżej). Postępując taksamo z funkcyjami jednorodnymi Vx lub F₂, wyrazimy ostatecznie V jako sumę kwadratów, których ilość nie może być większą od n.

14. Niech teraz będzie :

.    . z* + Plz⁴ + p₂z³ 4- p₃z² 4- p₄z 4- p₅ = 0

danym równaniem stopnia 5., które zapomocą podstawienia :

u = a₀ 4~ a₄z 4~ a₂z² 4- a₃z³ 4~ a₄z⁴

(1) •

(2) . .

X\\ .

przechodzi na :

(3)    .    .

u⁵ 4- q,u⁴ + q₂u³ f q₃u² 4- q₄n 4- q₅ = 0.

Ażeby usunąć z równania (3) wyrazy zawierające u⁴, w³, i w², dość wyznaczyć stałe nieoznaczone    «₄ zapomocą równań:

qt = 0,

Ъ = °> Ъ = ⁰ » z których pierwsze jest stopnia 1., drugie stopnia 2. a trzecie stopnia

3. względem namienionych stałych.

W tym celu wyraźmy z równania qx — 0 stałą a₀ przez ax, a₂, «з, ai i wartość otrzymaną wstawmy w równania q₂ — 0 i q₃ — 0. Te dwa równania przejdą wtedy na:

4Î = 0.

q! = o

q₂ jest teraz funkcyją całkowitą i jednorodną stopnia 2. względem a,, a₂, rt₃, «4, więc według podania pomocniczego można równanie q„ — 0 przedstawić pod postacią:

f² + g² + h- 4- k² = 0,

gdzie /, g, h i к są funkcyje stopnia 1. Temu równaniu stanie się zadość, gdy położymy :

f = g l-l

Wyraźmy z ostatnich dwu równań, które są stopnia 1., stałe av i 02 przez «g i a₄ i wartości otrzymane podstawmy w równaniu q'^ — O-mieć będziemy wtedy równanie :

"    Л

q₃ = °>

które jest jednorodnym i stopnia 3. względem a₃ i a₄. Jeżeli jednę z tych liczb obierzemy dowolnie, natenczas drugą otrzymamy przez rozwiązanie równania stopnia 3. A zatym : równanie założone (1) sprowadzi się do postaci u⁵ —H pu -j- q = 0 przez rozwiązanie równania stopnia 3.

Hermite okazał, że równanie stopnia 5. kształtu ub-\-pn -f- q = 0 daje się rozwiązać ogólnie zapomocą funkcyj eliptycznych.

14. Jakiekolwiek przekształcenie wymierne można łatwo sprowadzić do przekształcenia Tschirnhausena. Jakoż, dajmy, że pierwiastek u nowego równania ma być z pierwiastkiem zt pierwotnego równania f(z)~0 połączony zapomocą równania:

-6

-e-

gdzie (p(zt) i §(z\) są funkcyje względem zt całkowite.

<KZ₂) Ф(²з)- « - • ФЮ <Kzi) <p(z₂).... ф(г„) ‘

Oznaczmy przez z₂, 0₃,..., zn wszystkie insze pierwiastki równania f(z) — 0 i pomnóżmy stronę drugą napisanego równania w liczniku i mianowniku przez iloczyn <\>(z₂) ty(z₃).. .. ty(zn); mieć wtedy będziemy :

u = ?(z,)

W napisanym teraz równaniu po prawej jest mianownik funkcyją całkowitą i symetryczną pierwiastków równania f(z) — 0, a więc może być wyrażony jako funkcyją całkowita współczynników tego równania. Taksamo licznik :

ФЫ Ф(г₃) • • . . ФОп)

jest funkcyją symetryczną pierwiastków równania

Z — Zy

= 0, którego

pierwiastki są (V. 3.) funkcyjami całkowitymi liczby Zy i współczynników równania f(z) — 0. Ten więc licznik można wyrazić jako funkcyją

całkowitą współczynników równania ■    ' — 0, a więc jako funkcyją

2/ ~~~ 2/\

całkowitą pierwiastka zx.

Uczyniwszy to, mieć będziemy związek $

u = 6(z,),

gdzie 6(z,) jest funkcyją całkowitą względem z,, a wymierną względem współczynników równania f(z) — 0.

Zapomocą równania założonego f(z) — 0 można 2:" , s”⁺¹, z*⁺\.. .. wyrazić przez potęgi niższe liczby z{, stąd też i stopień funkcyi 6(z,) względem Zy można zniżyć do n—1.

ROZDZIAŁ VIII.

Rozwiązanie równań algebraiczne.

Równanie sześcienne.

1. Już w rozdziale poprzedzającym (art. 10.) pokazaliśmy, jak się rozwiązuje równanie algebraiczne stopnia 2.; przystępując zatym do wyłożenia sposobów rozwiązania równań algebraicznych, zaczniemy od równania stopnia 3.

Równanie stopnia 3. zowie się pospolicie równaniem sześciennym.

Niech będzie :

(1) . .

ax³ -f- 3bx² 3cx -j- d = 0

danym równaniem sześciennym. Zpomiędzy znanych sposobów rozwiązania tego równania podamy to, które się zowie rozwiązaniem

Cardan’a. Podstawmy przedewszystkim x = z — —, natenczas równa-

ct

nie (1) przywiedzie się do postaci prostszej :

(2) . .

z³ -j- qz + r = 0,

gdzie :

(3)    .    .

3c 3b²

a²

3bc 2b³

a²"

a⁸

Aby więc rozwiązać równanie zupełne (1), dość rozwiązać równanie skrócone (2).

(4)    .    .

Celem rozwiązania równania (2), podstawmy w nim : z = u + V,

14

Zasady algebry wyższej.

gdzie u i v są dwiema nowymi niewiadomymi. Równanie (2) przejdzie wtedy na :

Zrobiliśmy tylko jedno przypuszczenie ze względu na dwie niewiadome u i v, mianowicie, że ich suma jest pierwiastkiem równania założonego, możemy zatym podług upodobania zrobić jeszcze drugie przypuszczenie. Załóżmy więc, że :

3u y -j- q = 0,

(5) .....

natenczas mieć będziemy :

(6) .....

Z równania (5) wypływa v =--wskutek tego przechodzi

równanie (6) na:

u³ —I— v³ —j— r = 0.

uc + ru³ —

q³

27

== 0

i daje :

¥±У +

q³

27 ’

a następnie mamy :

tC i-i

V³ = — r — U³ =

]/'    + 27 •

Skoro u-\-v=z, obojętna zatym, czy w wyrażeniach poprzedzających weźmiemy pierwiastniki ze znakami wyższymi, czy też ze znakami niższymi. Biorąc je ze znakami wyższymi, będziemy mieli:

(?) •

Z = U -j- Y =

V-1+Vf+s

I i :

Я Ol

r² q2 ~ ' ~27

:/

A zatym wyrażenie na z jest sumą dwu pierwiastków sześciennych. Skoro pierwiastek sześcienny każdej liczby ma trzy wartości, należy więc zbadać, które z tych wartości wziąć potrzeba. Oznaczmy przez m i n jednę z trzech wartości pierwiastka sześciennego odpowiednio z liczb

a przez a wartość pierwotną pierwiastka sześciennego z jedności do-datnéj, natenczas inne wartości pierwiastka sześciennego z tych liczb będą odpowiednio ma, ma² i na, na.². Gdybyśmy zatym z każdą z trzech wartości pierwiastka sześciennego pierwszej liczby połączyli, zapomocą dodawania, każdą z trzech wartości pierwiastka sześciennego drugiej liczby, to otrzymalibyśmy 9 wartości na z, z których tylko trzy byłyby pierwiastkami równania (2). Aby poznać, które z tych wartości będą pierwiastkami równania, dość zauważyć, że według wzoru

(5) ma być uv — —    Załóżmy więc, że m i n są tak obrane, że

staje się zadość warunkowi mn = —

WCO

widoczna, że wtedy tylko

u — ma i V = na², jakotóż u = ma² i v — na uczynią zadość temu warunkowi. Trzy więc pierwiastki równania (2) są :

ma -j- na²,

Powód, dlaczego znaleźliśmy 9 wartości na z, a nie 3, jest ten,

r    •    .    Q³

że równanie warunkowe (5) zamieniliśmy na u³v³ — — kiedyśmy

m -f- n

ma² -f- na,

z (6) rugowali v zapomocą (5); związkowi zaś w³n³ = — stanie

się zadość, jeżeli jakąkolwiek z trzech wartości na u i jakąkolwiek z trzech wartości na v w nim podstawimy.

2. Załóżmy teraz, że q i r są liczby rzetelne i zbadajmy, przy tym założeniu, szczegółowiej kształt pierwiastków równania (2).

f    T^

Jeżeli naprzód — -j- ~>> 0, wtedy można za wartość arytmetyczną pierwiastka sześciennego odpowiednio z liczb

i n wziąć

L ₊ 1/ЕГ4. ii

2 ⁺ y 4 ' 27

q³

albowiem wtedy:

mn —

V-i+Vi+

ł/_ JL_ lAl I i!

27 ' V 2 У 4 "г 27

V-$

A że za wartość pierwotną pierwiastka sześciennego z jedności dodatnéj można wziąć — cos ~ + i sin —, pierwiastki równania

(2) będą, zatym:

(8)

Zj = m + n,

ч 2tc

z₂ = m l2n + n l4n = (m+n) cos + i (m—n) sin — ,

2tc

2tz

z3 = т14к + п hn ⁼ (m+n) cos -3 — i (m-n) sin -34

1*2    qt

Jeźefó więc + ^y >> 0, wtedy jeden pierwiastek równania (2) jest rzetelnym, a dwa inne są zespolonymi sprzężonymi.

-V-T

y»2

W razie, gdy -7 + 4 = °> mamy m =

t    4 !

a przeto (8) przechodzą na:

(9) Zl = — 2

I Z2 = Z3 = — 2

2rc

cos

П⁸

-j- -~y = 0, wtedy równanie (2) posiada

A zatym : Jeżeli

q'i

Jy < 0, co nastąpi, gdy q jest odjemne,

wszystkie trzy pierwiastki rzetelne, 0 których dwa są równe, r^

Jeżeli nareszcie -7- +

4

kładąc wówczas :

= p(coscp + i simp), a przeto:

tO -s

skąd wypływa:

„o)P-(-!)*

mieć będziemy :

czyli :

(11)    — 2p^ cos ~, z₂ == 2рз cos

O

COS = —

27

i.'-,-:

Н»

;--e

4

!₄*> z3 — P l₄it + P ¹

Z3

oaj-6 оям

W"45

_ Яр* cos^-î.

Ü

W tym więc przypadku wszystkie trzy pierwiastki są rzetelne i od siebie odmienne. Ostatni przypadek nazywa się pospolicie przypadkiem nieprzywiedlnym (casus irreducibilis), a to dlatego, że pierwiastki, lubo rzetelne, przedstawiają się pod postacią wyrażeń algebraicznych urojonych i nie ma sposobu, aby te wyrażenia przywieść do kształtu wyrażeń algebraicznych rzetelnych.

Równania dwukwadratowe.

3. Równanie stopnia 4. zowie się pospolicie równaniem dwu-kwadratowym. Niech będzie :

(1) . .

ax⁴ -J- 4bx³ -j- 6cx² -f- 4dx -f- f — 0

danym równaniem dwukwadratowym. Podstawiając x mamy równanie prostsze (bez drugiego wyrazu) :

(2) . .

z⁴ + qz² -f- rz -j- s == 0,

gdzie :

(3)    .    .

. 2b³— 3abc-f-a²d Г    a;t

3b⁴ — t>ab²c -f- 4a²bd — a³f

a⁴

Zajmiemy się zatym równaniem (2). Celem rozwiązania tego równania połóżmy znowu za przykładem Eu 1er’a, z — u -j- v -f- w. Wprowadziwszy oznaczenia:

u_|_y_|_W = sx

UV-J-VW-j-WU — s₂

UVW = So ,

u²-f-v²-j-w² = a,, u ²v ²-j—v ²w ²~f-w ²u² = a₂, u²v²w² = a₃,

mieć będziemy :

z~sl) z² = a₁+2s₂, z⁴ = aJ + 4a₁B₂+4bJ, lub skoro sj — a₂ -j-2s,s₃,

z⁴ — Oj + 4 Ot s₂ + 4a₂ -}- 8 Sjs₃.

Wskutek tego zamienia się równanie (2) na :

ai + 4s₂ + q^i + s -f- s, (8s₃ + r) + s₂ (4at + 2q) = 0;

a jeżeli na wyznaczenie trzech niewiadomych u, v} w, przyjmiemy dodatkowo dwa związki :

по

4<3i -р 2q = О,

bodzie :

o, -f- 4c5₂ -f-    -{- s = 0.

Z tych trzech równań wypływa :

а, = u² + V² -f- w:

q²

a₂ = U²V² + v²w² -j- w²u² =

I«

s₃ = uvw =

r    r²

— g-, a przeto a₃ = u²v²w² = ^.

A zatym w², v², w² są trzema pierwiastkami równania sześcien

nego :

(4)    .    .

t³ + -

-t² +

№-t)

64

Jeżeli tlt , ts są trzy pierwiastki tego równania, wówczas:

+ ft

v = Hr J/t

W = + ft .

Gdybyśmy każdą z dwu wartości na u złączyli, zapomocą dodawania, z każdą z dwu wartości na v i z każdą z dwu wartości na w, otrzymalibyśmy, skoro z — u-\-v -\-w, 8 wartości na z, z których tylko cztery byłyby pierwiastkami równania (2). Pochodzi to stąd,

że zamiast warunku uvw —--- podstawiliśmy warunek uhfiw* —

Ażeby więc mieć pierwiastki równania (2), należy te wartości na w, -u,

w ze sobą złączyć, które uczynią zadość warunkowi uvw —---.

A zatym, jeżeli r jest liczbą rzetelną dodatną, mamy tylko cztery następujące wartości dopuszczalne na z:

(5) ...    —ft — ft ft, —| tt -j- ft + ft,

У*Г — У7+ УУ, У7 + У7— У7,

a jeżeli r jest liczbą rzetelną odjemną, czterema pierwiastkami równania (2) będą:

00

OOI "i

r²

64'

(в) . .

Уtj -j- ft -f- "ft ,* ft Иг — Vt3 ,

-УУ- У7+ К ■

4. Załóżmy, że współczynniki ą, r, s są liczbami rzetelnymi i zbadajmy szczegółowiej kształt pierwiastków.

Uważmy naprzód, że równanie sześcienne pomocnicze (4) posiada przynajmniéj jeden pierwiastek dodatny. Jakoż, jeżeli w nim podstawimy raz t — 00, a drugi raz t = 0, pierwsza jego strona przejdzie ze stanu dodatnego w stan odjemny; a zatym, skoro strona pierwsza jest funk-cyją zmiennej t ciągłą, musi istnieć wartość na t pośrednia między oo i Ö, tj. wartość dodatna, (przynajmniej jedna), przy której ta strona iest równa 0, tj. musi zachodzić przynajmniej jeden pierwiastek dodatny.

Stąd wynika, że równanie (4) może mieć albo wszystkie trzy pierwiastki dodatne, albo jeden dodatny, a dwa odjemne, albo nareszcie jeden pierwiastek dodatny, a dwa zespolone sprzężone.

1°. Jeżeli wszystkie trzy pierwiastki równania sześciennego (4) są dodatne, wówczas wszystkie cztery pierwiastki równania dwukwadratowego (2) będą rzetelne.

2°. Jeżeli równanie sześcienne (4) ma jeden pierwiastek dodatny, a dwa odjemne, równanie dwukwadratowe będzie miało albo wszystkie cztery pierwiastki zespolone, albo tylko dwa zespolone, a dwa rzetelne. Jakoż, dajmy że tx— a², t₂ — — ß², t₃ — — 7², gdzie a, ß, 7 są liczby rzetelne. Pierwiastkami równania (2) będą wtedy, gdy rj>0:

— a — i(ß+7),    — a-f-i(ß-H), a — i (ß—7), a-+-i (ß—7)

a dla г <C 0:

— a —i(ß—7).

a + i(ß + T), a—i(ß-H), — « + i(ß — ï)

W razie, kiedy ß = 7, dwa zpomiędzy tych czterech pierwiastków będą, rzetelnymi i równymi.

3°. Jeżeli nareszcie równanie sześcienne (4) posiada jeden pierwiastek dodatny, a dwa pierwiastki zespolone, wówczas dwa pierwiastki równania dwukwadratowego (2) będą. rzetelne, a inne dwa urojone. Jakoż, dajmy, że £₁ = a⁸, t₂ = ß-hf?',    £₃=ß—7г.

Skoro ogólnie:

(ß+Ti =

l/УГЧ-т

■co

; l/tib

TB

mamy zatym dla r >• 0, pierwiastki :

— а — 2;л, —а —1— 2jjl, а—2vi, ■ a-j-2vi

a dla r < 0:

а-)-2{л, а—2p, —a-j-2vi, —а—-2vi.

Niemożebność rozwiązania algebraicznego równań algebraicznych ogólnych stopni wyższych nad czwarty.

5. Ruffini (Riflessioni intorno alla soluzione delle equationi algebra-iche generali. Modena 1813. Parte 1. Cap. 1). a następnie Abel (Démonstration de Vimpossibilité de la résolution algébrique des équations générales, qui surpassent le quatrième degré. Oeuvres complètes de N. H.

Abel. T. 1. Christiania. 1839. str. 5) dowiedli, że równanie algebraiczne stopnia wyższego nad czwarty ze współczynnikami ogólnymi nie może być rozwiązane algebraicznie, tj. że jego pierwiastków nie można przedstawić pod postacią funkcyj algebraicznych współczynników. Dowodzenie tego twierdzenia uprościł następnie Wantzel (Serret, Cours dlal-gèh r supérieure).

Załóżmy, że równanie algebraiczne stopnia n. ze współczynnikami ogólnymi (zupełnie dowolnymi):

(!)•••• zn + p^"-¹ -j- p₈zn~* -f ... + pn = 0,

daje się rozwiązać algebraicznie, tj. zapomocą samych tylko działań algebraicznych, natenczas rzecz się będzie miała taksamo z równaniem:

(1') • •    • zn — (zj-t-za-f. .    + (z₁z₂+z₁z₃+ . ..

. . . + Zn_!Zn ) Zn~² -j- . . . . +(-l)n ZjZ₂. . .zn = 0,

zn są liczbami zupełnie dowolnymi i od siebie nie-

w którym 2^, 2₂,.. zależnymi. Jeżeli pierwiastkami równania (1) są liczby zt ,• z₂,..., zn , więc rozwiązanie powinno doprowadzić do tych wartości, stąd też wszelkie pierwiastkowania, jakich wymaga rozwiązanie ogólne, powinny się dać uskutecznić, gdy za współczynniki ogólne p{, ^>₂,..., j)a P°d⁻stawimy współczynniki równania (Г).

Dajmy zatym, że pierwszy pierwiastek, jaki ma być wyciągnięty,

jest:

(2) . .

u = (A,

gdzie A jest funkcyją wymierną, współczynników pLl..., pn , a więc funkcyją symetryczną pierwiastków %, 2₂,..., zn • Pierwiastnik u, skoro z założenia pierwiastkowanie daje się uskutecznić, jest funkcyją wymierną pierwiastków, ale nie symetryczną; albowiem, jeżeliby u było funkcyją symetryczną pierwiastków, możnaby wyrażenie nie-

Г

wymierne ^A wyrazić wymiernie przez współczynniki, a to niemo-żebna. Po uskutecznieniu więc pierwiastkowania będzie u funkcyją

wymierną pierwiastków zu z₂,. • u zmieni się, gdy dwa którekolwiek pierwiastki, np. zx i s₂, zamienimy jeden na drugi. Skoro wszystkie wartości na u otrzymamy, gdy jedne

2n , ale nie symetryczną, stąd też

Г    N

z wartości pierwiastnika \ A pomnożymy przez r po sobie następuj ą-cych potęg wartości pierwotnej s pierwiastnika | -f 1, przeto, gdy f(z\, #₂, 03,. ., zn) jest jedną z tych wartości na u, mieć będziemy:

f(ZiJ z3>-**) Zn ) = £f(z25 Zn Z3?•••> Zn )•

To równanie musi być tożsamościowym, gdyż zx, z₂,..., za są od siebie niezależne ; wskutek tego utrzyma się ono, gdy po obu stronach Zi i z₂ przestawimy, będzie zatym także :

f(Z2, ZH z3ł • • • ? zn) :== £l(z]j z21 Z3; • • Ч zn )•

Pomnożywszy te dwa równania przez siebie stronami odpowie-dnymi, otrzymamy:

S2 = 1

skąd s — — 1.

Można zawsze przyjąć, że r jest liczbą pierwszą, albowiem w razie przeciwnym możnaby pierwiastkowanie zastąpić powtórzonym pierwiastkowaniem, którego wykładnik byłby liczbą pierwszą. Przy tym założeniu musi być r — 2, albowiem tylko wtedy może być e =—1.

Stąd wypływa, że pierwsze pierwiastkowanie, jakie potrzeba uskutecznić, jest wyciąganie pierwiastka kwadratowego.

02} 0₃

Wyciągnąwszy ten pierwiastek, otrzymamy na u funkcyją wymierną pierwiastków zx, z₂,..., zn, która zmienia znak przez przestawienie dwu którychkolwiek z tych liczb, a więc nie zmienia znaku przez kołowe przesunięcie trzech, pięciu i w ogóle nieparzystej ilości tych liczb, tj. przez zastąpienie w szeregu np. 3 liczb zx pierwszej przez drugą, drugiej przez trzecią, a trzeciej przez pierwszą. Przesunięcie bowiem kołowe nieparzystej ilości liczb jest równoważne parzystej ilości przestawień po dwie liczby. Np. chcąc przejść od zx z₂₎ z₃ do z₂, z₃, zx dość zx przestawić naprzód z z₂, a potym z z₃.

6. Jeżeli rozwiązanie algebraiczne równania założonego jest mo-żebne, natenczas będzie potrzeba wypadek pierwszego pierwiastkowania złączyć z innymi podobnymi i ze współczynnikami równania i na nowo pierwiastkować. Postępując w ten sposób dalej, znajdziemy się w obec dwu możebności: albo kolejno otrzymywane wyrażenia będą wciąż takimi, że się nie zmienią przez przesunięcie kołowe nieparzystej ilości liczb zx, 0₂,..., 0n albo dojdziemy do wyrażenia, które tej

15

Zasady algebry wyzszéj.

własności już nie posiada. W pierwszym przypadku musielibyśmy w końcu na jednę z wartości znalezionego wyrażenia otrzymać równość:

Z1 = f(Z|, z2>" . ., zn ),

która powinna być tożsamością, a to niemożebna, gdyż strona druga nie zmienia się, a strona pierwsza zmienia się przez przesunięcie kołowe np. trzech liczb z{, z₂, z₃. Skoro tak się rzecz ma, więc musimy dojść do pierwiastnika :

¹

daje się zawsze sprowadzić do rozwiązania równania stopnia -lub odpowiednio stopnia —g—• i do następnego rozwiązania    lub

odpowiednio n równań stopnia 2. Tego sposobu użylibyśmy, gdy-

/V

byśmy chcieli pierwiastki równania (1) otrzymać zapomocą uskutecznienia samych tylko działań algebraicznych. Jeżeli zaś chodzi jedynie o wynalezienie wartości tych pierwiastków bez względu na rodzaj działań matematycznych w tym celu użytych, to sposób poprzedzający jest zupełnie zbyteczny.

Jakoż, widoczna bezpośrednio, że pierwiastki równania (1) są n

od siebie odmiennymi wartościami pierwiastnika j/ i. Jeżeli więc położymy :

(3)    .    .

V = I В ,

który po uskutecznieniu pierwiastkowania, zmieni się przez przesunięcie kołowe nieparzystej ilości liczb zlf 2₂,..., zn, lubo В przez takie przesunięcie się nie zmienia.

Dajmy, że v = f(z^ z₂, z₃,    zn) jest jedną z s wartości

pierwiastnika (3) (s można uważać za liczbę pierwszą) i oznaczmy

znowu przez e wartość pierwotną pierwiastnika \ -j- 1 , natenczas gdy zi, z₂, z₃ kołowo przesuniemy, będzie:

Zn).

1(^1» z 2, /3, z₄,..., zn) = e t(z₂, Z3, Z|, z₄,...

To równanie, skoro jest tożsamościowym, utrzyma się, gdy w obu stronach uskutecznimy tesame przesunięcia kołowe, będzie zatym :

> zn )

1(z2j Z3) Zl) Z4) * • •» zn ) ⁼⁼ et(z3, Z15 z2r Z4 < f(z3ł ZH Z25 Z4J • • *ł Z*> ) = £ ł(Zl > Z2» Z3ł Z₄, . . . , Zn ).

Mnożenie tych trzech równań daje:

s³ = 1.

Stąd wypływa, że musi zachodzić wyciąganie pierwiastka stopnia Л., jeżeli równanie jest stopnia wyższego, niż drugiego. Te trzy wartości na v oznaczmy przez v, ve, vz².

7. Jeżeli równanie jest przynajmniej piątego stopnia, można przedsięwziąć przesunięcie kołowe pięciu zpomiędzy liczb zl}    za .

Wskutek tego B nie zmieni się, gdy tymczasem 0, skoro się równanie vA — B ma utrzymać, albo pozostanie niezmienionym, albo przejdzie na ve lub też vsA. W drugim przypadku postępując, jak powyżej, znaleźlibyśmy :

s⁵ = + 1.

co niemożebna, gdyż e jest wartością pierwotną pierwiastnika j -f- 1.

Pozostaje zatym pierwsza możebność, że się v nie zmienia przez przesunięcie kołowe pięciu zpomiędzy liczb zt, 0₂,..., zn, gdy tymczasem przy przesunięciu kołowym trzech liczb przechodzi na vb lub vb¹.

Atoli przesunięcie kołowe trzech liczb jest równoważne dwu przesunięciom kołowym pięciu liczb; tak np. chcąc od 0,02% przejść do 0₂0₃01; dość przesunąć kołowo naprzód 0₅0₄0₃0₁0₂, a potym 0₁0₂0₃0₄0₅; albowiem wskutek dwu ostatnich przesunięć kołowych wykonanych jedno po drugim w porządku wskazanym z₅ i z₄ nie zmienią swego miejsca, gdy tymczasem 0₃ zostanie zastąpione przez 0₂, zx przez 0₃, 0₂ przez 01} tj. porządek pierwotny z₃z₄z₂ zostanie zamieniony na 0₂0₃0i, a tosamo daje przesunięcie kołowe trzech liczb zLz₂z₃.

Skoro żadne z tych dwu przesunięć kołowych pięciu liczb nie zmienia v, przeto v nie zmieni się i przez przesunięcie kołowe trzech liczb, co wszakże sprzeciwia się założeniu. To dowodzi, że równań ogólnych stopnia wyższego nad czwarty, nie można rozwiązać algebraicznie.

Równania АЬеГа.

8.    Twierdzenie dowiedzione w artykule poprzedzającym należy tak rozumieć, że rozwiązanie algebraiczne równania stopnia wyższego nad czwarty jest niemożebne tylko wtedy, kiedy jego współczynniki są liczbami ogólnymi i od siebie niezależnymi.

Twierdzenie zatym przestaje być w ogólności prawdziwym, gdy pomiędzy współczynnikami, a więc i pomiędzy pierwiastkami równania zachodzą jakie związki.

Abel okazał, że jeżeli między dwoma pierwiastkami równania nieprzywiedlnego (V. 18.) zachodzi taki związek, że jeden daje się wyrazić wymiernie przez drugi, wówczas rozwiązanie daje się sprowa-/ dzić do rozwiązania równań stopni niższych i że wtedy istnieją przypadki, w których równanie może być rozwiązane algebraicznie. Te równania, nazwane przez Kronnecker’a równaniami АЬеГа, obejmują, jako przypadek szczególny, równania, odnoszące się do podziału koła na części równe, tj. równania dwuwyrazowe zn —1 — 0, a o których dowiódł jeszcze Gauss, że się dają zawsze rozwiązać zapomocą wyciągania pierwiastków, gdy n jest liczbą pierwszą. Te badania АЬеГа podamy w skróceniu podług wykładu Serret’a (Algèbre supérieure 3. édit. part. 5. cap. 3).

9.    Niech będzie :

(1) • -

f(z) == 0

równaniem nieprzywiedlnym stopnia g., i dajmy, że dwa jego pierwiastki 0' i Zi są ze sobą połączone równaniem :

(2) . .

z' = 0Z

gdzie 0% jest funkcyją wymierną liczby % i liczb wiadomych. Funk-cyją 6% można uważać za całkowitą względem % i stopnia, co najwyżej, [X — 1 (VII. 15).

Z założenia jest z' pierwiastkiem równania (1), a przeto /(bz^—O. Stąd wypływa, że % musi być pierwiastkiem równania :

f(6z) = 0.

(3)    .    .

Równanie (3) musi zatym (V. 13.) posiadać wszystkie pierwiastki równania nieprzywiedlnego (1), czyli, innymi słowy, jeżeli z jest jakimkolwiek pierwiastkiem równania (1), to i Qz musi być pierwiastkiem tegosamego równania. Atoli 6% jest jednym z pierwiastków równania (1); a zatym pierwiastkiem tego równania jest także 00%, 000%, itd. Słowem, otrzymamy zawsze pierwiastek równania (1), ilekolwiek razy działanie, oznaczone przez wyobraźnik 0, uskutecznimy na %. Jeżeli, dla skrócenia, położymy, 60%:=0²%, 000% — 00²% — 0³%,‘ itd., to wszystkie wyrazy szeregu :

0"zi, bizl,.. .

Zi,    0%,

będą pierwiastkami równania (1).

Szereg (4) zawiera nieskończoną ilość wyrazów, gdy tymczasem równanie (1) może mieć tylko p. pierwiastków; niektóre więc z ilości (4) muszą się powtarzać nieskończoną ilość razy. Załóżmy, że :

m+n

0zx

dzie wtedy z równaniem (1) pierwiastek 0™% wspólny, a zatym będzie posiadało wszystkie pierwiastki równania (1). W szczególności mieć

będziemy 0°%—zx — 0 czyli 0n% = % , skąd wypływa 0n%k = 0k%. A zatym, wyrazy szeregu (4), począwszy od (п-\~1)ё°, będą ciągle powracały w tymsamym porządku; ten szereg zawiera zatym tylko n od siebie odmiennych pierwiastków równania (1), a mianowicie :

(4)    .    .

= 0%, czyli 0n(0z,) —0m% = 0. Równanie t)V-z = 0 mieć bę-

(5)    .    .

z,, 6zi -, 0 zi, • •

0ZJ .

Jeżeli p. = n, wtedy szereg (5) zawiera wszystkie pierwiastki równania (1). Jeżeli zaś [x >> n, wtedy, rozumiejąc przez z₂ pierwiastek równania (1) niezawarty w szeregu (5), łatwo znajdziemy, że wyrazy szeregu:

6“z₂,..

będą drugą grupą pierwiastków równania (1). Pierwiastki (6) są odmienne od siebie i odmienne od pierwiastków szeregu (5).

(6) . .

z2?

0z₂,

л¹¹-1 0 z₂,

Jakoż, gdyby było 0кг₂ == 0з₂, gdzie &, i są, liczby mniejsze od n, mielibyśmy wtedy także bvzy — blzy (Y. 13.), a to niemo-żebna, gdyż pierwiastki (5) są od siebie odmienne.

Taksamo nie może być 6кг₂ = Ö¹^, gdyż wtedy mielibyśmy 0n_k 0кг₂ — dn~kblzl, tj. z₂ — 0n—k+¹2!₁, co także niemożebne, gdyż z2 jest, z założenia, pierwiastkiem odmiennym od pierwiastków szeregu (5).

Jeżeli ;wówczas szeregi (5) i (6) zawierałyby wszystkie pierwiastki równania (1). Jeżeli zaś jx >• 2n, wówczas pierwiastek zä, nie zawarty w dwu namienionych szeregach, dałby nową grupę n pierwiastków równania (1):

_ П—1

0 z₃

z₃ ,    0z₃ ,    0 z₃,. .

odmiennych od siebie i od pierwiastków w (5) i w (6).

Postępując tak dalej, dojdziemy do twierdzenia :

Jeżeli w równania nieprzywiedlnym f(z) = 0 stopnia [x. jeden z pierwiastków wyraża się jako funkcyja wymierna drugiego pierwiastka z' — 6(Z[), natenczas wszystkie pierwiastki rozkładają się na pewną ilość m 9ruP P° n pierwiastków, tak iż g — mn. Tymi pierwiastkami są liczby :

Il —1

0zt,

(8) . .

0z₂,

z₂

Zni •

m ■)

0Zjn ,

10. Weźmy pod uwagę równania stopnia n.} których pierwiastki są wyrazami jednej grupy w (8):

(z—z.) (z— 0z.) (z— 0 z.). . .. (z — 0    z.) = 0,

czyli :

(9) z" -f Au z““¹ + Ai2 zn~² +

4-Ain —0, gdzie i= 1, 2,..., m.

Współczynniki Au, Ai2,..., Am są funkcyjami całkowitymi i sy-

z. i zależą, jak zaraz zobaczymy,

n—X

metrycznymi liczb zn Qzn. .

od jednego równania stopnia m.

Niech bowiem yi będzie jakąkolwiek funkcyją wymierną i symetryczną liczb zi, bzn..., 0п_1гг Skoro 0 г.,..., 0 zi są same funk-cyjami wymiernymi liczby 0., przeto także y. można uważać jako tunkcyją wymierną samego 0. :

y. = *>.)•

Z powodu związku 0n0. — 0., liczby 0., 60.,..., 6n_10. tylko zamienią się jedne na drugie, gdy liczbę 0. zastąpimy przez którąkolwiek z liczb 60.,..., 6n—10. ; a że y.y jest symetryczną ze względu na te wszystkie liczby, więc nie zmieni się wcale przez takie zamiany. Mamy zatym :

Уi = F(S,) = F(flz.) = F(6sz.) =....= F ф-\), (i—1,2,..., m). a więc także :

²0}*

|F(zO + F(0z,) + ... + F(0n

Niech będzie teraz :

czyli:

(У—yi)(y—Уг)* • • (У—Ут) — °>

(10) . .

Ут + Pi У”-¹ + p2 У“⁻² + . • • 4- Pm—1 У + Pm = 0. równaniem, które jako pierwiastki posiada liczby y{, y₂₎.. ., ym• Twierdzimy, że współczynniki p,, pi;..., pm tego równania dadzą się wyrazić wymiernie przez współczynniki równania założonego (1).

Mamy bowiem przy każdej wartości całkowitej na X :

У* =

Ут =

+ .... +

skąd wypływa :

- - [Fw]x-

X . X ,    . X

У1 + У2 "1“ • • • • + Ут

Znak sumowania £ rozciąga się na wszystkie pierwiastki równania założonego (1); druga strona jest więc funkcyją wymierną i symetryczną wszystkich pierwiastków równania (1). Stąd wypływa, że sumy potęg równych pierwiastków równania (10) można wyrazić wymiernie przez współczynniki równania założonego ; a że znowu współczynniki

Pif p₂,.... równania (10) dają się wyrazić wymiernie przez sumy potęg równych pierwiastków y{, y₂,..., ym (YI. 2.), twierdzenie powyższe jest zatym dowiedzione.

, 6"

Funkcyją wymierna i symetryczna y.x liczb 2., bzv którą można obrać podług upodobania, zależy zatym bezpośrednio od równania stopnia m. Pozostaje okazać, że współczynniki Aa, Ai2,..., Am w równaniu (9) można wyrazić wymiernie przez У; .

11. Niech ф(z.J oznacza którykolwiek z tych współczynników; ф jest podobnie jak y{ funkcyją wymierną i symetryczną liczb 2., 6zi}... ..., 6n-12., która się zatym nie zmieni, gdy 2. zastąpimy przez którąkolwiek inną zpomiędzy tych liczb. Tosamo odnosi się do funkcyi

y\ <p(Zi) czyli [F(z0]\(z0- Mamy zatym :

y, ФОО — -i- |[ i-’f + [1’(Н)]'ф(%,) + ...

... + [F(e”-,z,)]Xł(9n”,^)i

Zakładając w tym równaniu i — 1, 2,.. ., m, otrzymamy rn równań, których suma daje:

gdzie :

(11) . .

\    { S[F(z)]4(*),

•    \ = У1ЧО1) + У2ФЫ +....+ y^(Zm),

a znak sumowania X rozciąga się na wszystkie pierwiastki równania założonego (1). Stąd widzimy, że ty jest funkcyją wymierną i symetryczną pierwiastków rówuania (1), a przeto daje się wyrazić wymiernie przez liczby wiadome.

AYiedząc to, podstawmy w równaniu (11)    —

otrzymamy wtedy m równań następujących:

ht

(12) . .

ф(г,) -j- ф(г₂) + ... 4- 4>(zm) = t У1 <Kzi) + У2 Ф(г₂) + • • • + Утф(гга) = t,, y^(zi) + У 2 *Kz‘i) + • • • + Ут ф(гт) =

У T 4(Zl) -Ь УГ ЧЫ H- • * • -f y” 4(Zm)=tm_1;

których strony drugie można uważać jako wiadome.

otrzymamy wtedy :

?(Уг) <Kzi) 4- ?(У₂)ФЫ + .... 4- ?(Ут)ф(йт) ⁼⁼⁼ t()Rp 4~ t,R₍ 4- .... 4“ tm—2 R m—2 4“ tm_i .

A gdy na wyznaczenie liczb 7?₀, A,,..., R

Aby otrzymać ^(zj, dodajmy do siebie równania (12), pomnożywszy je odpowiednio przez liczby nieoznaczone R₀, R1}..., Am_₂, 1. Położywszy dla skrócenia :

?(y) = У

(13)    .    .

4- łłm—2 у

m—2

przyjmiemy :

?(yi) = 0,..., 'f(yi-i) =* 0, «p(yi+i) = 0, —, cp(ym) = О,

wypadnie z ostatniego równania:

(14)    .    .    . <Kzi) =

tp Rp 4~ 4 Rt 4~ • ♦ • • 4~ tm—2 Rm—2 4“ tm—г

<Р(У»)

" 4 Vi—Ъ Уi+Ъ* • " » ymi ma

Znajdźmy teraz wartości na R₀, i?,... Z założenia, posiada równanie y(y) — 0, jako pierwiastki, liczby

które są oraz pierwiastkami równania (10). A że to ostatnie także yi jako pierwiastek, musi być zatym tożsamościowo :

Ут 4- Piy"¹⁻¹ 4- ... 4- Pm—1 У 4- Pm

J—Ji

= ym_14-Rm-2y

-m—2

4-.-. 4-Rxy 4" IV

Z tej tożsamości wypada więc (Y. 3.) : Rm-2 = Pl 4-У1*

Rm_3 = p₂ 4-Pi yi 4-y-,

R| r= pm—2 4~ Prn—1 y"i 4“ • • • “by" Î Ro — Pm—1 + Pm—2 У; 4- • • • 4- УГ ¹‘

Nadto tasaraa tożsamość daje :

•#*

<p(yt) — ¹¹¹У Г”¹ 4- (m—1) pt у”¹⁻² 4- .... 4- 2 pm-2 yt 4- Pm-г. Wiedzqc to i położywszy nadto'dla skrócenia:

T() — t₀pm_t -f- tjPm—2 4“ • • • • 4- tm—2 Pi 4“ tm_i, 14 — t₀pm_2 4~ 11 Pm—3 4- • • • • 4- tm_2,

ni—2

= t₀p, + t,

— tp-

mieć będziemy :

(16)

Ф(*|) =

т^уГ-Ь тш_2У;

_________________+ ... + т1У1 + т₀

ШуГ + (m~l) Pi УГ⁻² + • • • ^ Pm —2 У i + P

Funkcyja więc ф(z.), tj. którykolwiek ze współczynników Au, Ain w równaniu (9) daje się wyrazić wymiernie przez yv Wzór (16) stanie się iluzyjnym, gdy mianownik strony drugiej jest 0. Tego przypadku można wszakże uniknąć. Jakoż, ten mianownik jest równy iloczynowi (yi—y\)....(y-yi_x)(yi—yi+1)^.^(yi—ym); ażeby więc zniknął, musi być jeden z czynników równym 0, a więc np. Vi = Ук-

Przy tym założeniu dość wziąć:

Ji = (a zj)(a 6z.). . . (a—6“ V),

gdzie a jest liczbą nieoznaczoną, a wtedy równanie yi — yk nie może się utrzymać przy żadnej wartości na a, chyba że jest tożsamościowym ; a to niemożebna, gdyż liczby zk, bzk... są odmienne od liczb £., 6г..... A zatym, jeżeli yi w ten sposób obierzemy, wówczas wzór (16) da na ф(zt) wartość skończoną i oznaczoną.

Z tego badania wypływa, że równanie założone (1), w przypadku uważanym, daje się rozłożyć na m równań (9) stopnia n. i takich, że współczynniki każdego innego z nich są funkcyjami wymiernymi jednego i tegosamego, ale coraz innego, pierwiastka jednego równania (10) stopnia m.

Ostatnie równanie nie jest rozwiązalne algebraicznie, jeżeli jego stopień jest wyższy nad 4., atoli co do równań rzędu n., to okaże się w następującym artykule, że każde z nich można algebraicznie rozwiązać.

Równania АЬеГа, którego pierwiastki tworzą jedne grupę.

12. Niech będzie :

(1) • .

U—1

równaniem stopnia n., którego pierwiastki są z, 60,..., 6 2, gdzie 6z oznacza funkcyją wymierną liczby z i liczb znanych, i taką, że :

n-|-k    к

6 Z = 6 Z.

F(z) = 0

(2) . .

6 z = z,

a przeto

i połóżmy :

Oznaczmy przez e jakikolwiek pierwiastek równania xn — 1

(3)    .    .

ф(г) = (z —J— e 6z —|— s² Q²z -}-... -f- e"

n —l^n

przeto daje się wyrazić wymiernie przez

Punkcyja ф(^) jest więc funkcyją wymierną i symetryczną pierwiastków równania (1), współczynniki tego równania.

Połóżmy <\)(z) = V, to V można uważać już jako liczbę daną

i będzie :

(4)    .    .

z —j- s 0 z -f- e" 0²z -f- .. . -f- £n 1 0 z

Oznaczmy teraz przez 1, en s₂,...? £n_i n pierwiastków równania zn — 1 — 0, a przez v₀, vlf v₂,..., un_i wartości na v odpowiadające tym pierwiastkom, będziemy mieli wówczas [podług wzoru (4)]:

z -f- 0z -\- 0²z -f- .. . -f- 0 z — Уу₀ ,

Z -j- £,0Z -f- £, 0²Z -f- . . . -)- e“ ¹ 0 Z = |/у, ,

(5)

Podstawmy w (3) 0 kz za z, mieć będziemy:

к    /к    k-fl    k+2    n+k —1 \n

<]>(© z) = (^z —J— s 6 z -j— s² 6 z -f- . . . -f- sn_1 Q z j

6z -j- . . . —f- £П 1 0 Z -)- s" 0Z

/ n-k

(e z + en

-k+i

—к—1

... -f- S

= £(u“k)n (z + s0z + e!0²z -f- ••• + en^‘G z )

czyli, z powodu że en = 1

A zatym :

skąd wypływa :

(jj(0kz) = <|>(z).

<KZ) = <K6z) = <Kö*z) = • • • • = ф(6 z ) »

д |<KZ) + ф(6г) +

<KZ) =

... +

ł(eV)).

z + £₂0z + e₂ 0²Z + . .. + e“ ¹ 0 z = fv₂ ,

Z -j- Sn_i 0Z 4“ Sn_i 0 Z -p • • • ~ł~ en__i Ö Z - .

Jeżeli przez A oznaczymy współczynnik przy sn_1 w równaniu (1), to według pierwszego równania (5) będzie :

К - - A.

Wiedząc to, dodajmy do siebie równania (5). Uwzględniając znane własności pierwiastków równania z¹¹ — 1 (VII. 9), mieć będziemy :

(6) • •

A jeżeli równania (5) do siebie dodamy, pomnożywszy je odpo-

s-Д , wypadnie ogólnie :

wiednio przez 1, e, k,

£2

(?)

9z =

-_A + s, k Уу, + s₂ k Уу₂ -j- .... -f 8ПД yVn-i

Wzór (7) daje dla к — 0, 1, 2,..., n—1 wszystkie pierwiastki równania (1).

We wzorze (6) i we wzorach wypływających z (7) należy dać każdemu pierwiastnikowi : tęsamę wartość. Jeżeli się zaś te pierwiastniki będzie uważało w całej ogólności, tj. każdy z nich jako mający n od siebie odmiennych wartości, to wzory (6) i (7) nie będą od siebie odmienne, czyli wzór (6) będzie wyrażeniem wszystkich pierwiastków równania (1). Zachodzi tu wszakże ta trudność, że kiedy równanie (1) posiada tylko n pierwiastków, to wyrażenie (6) posiadać będzie wn_1 wartości, gdy każdy z pierwuastników będzie wzięty w całej ogólności. Tę trudność łatwo usunąć; albowiem jeżeli się za jeden z pierwiastników weźmie pewną wartość szczególną, to tymsamym już wyznaczy się wartość wszystkich pozostałych.

Jakoż, oznaczmy przez e wartość pierwotną pierwiastnika ]/1 i połóżmy s, = e, e₂ == s²,.. ., en_i = e“⁻¹, natenczas będzie :

УV, = Z -j- SÖZ -j- S² 6 Z -f-    ...    --j- En 1 6 Z

(n-l)m

6 z .

Zamieniając z na 0ks, zamieniamy oraz, jak z powyższego ra-

chunku wypływa, \vt

na £~

k \ Vx — En k \V\

|4n

na e

-mk у

Vm

Wskutek tej zamiany nie zmienia się iloczyn :

n / n    \n—m

gdyż przybiera tylko czynnik e(n-k>m. £(п-ь)(п—m> _ £n(n-i<) _ ^ Połóżmy zatym :

_ / n \ II—m

Vm Uvt )

= Ф)

(8) . .

2    n— l

to będzie y(z) = cp(Oz) = <p(6 z) = ... = <p(Q z),

a zatym :

П— 1

Ф) = — mz) + ?(6z) 4- • •• + ?(e z)j-

Funkcyja y(z) jest więc funkcyją wymierną i symetryczną pierwiastków równania (1) i może być wyrażona wymiernie przez liczby wiadome. Oznaczając przez am wartość tej funkcyi, mamy:

(9)    .    .

skąd :

n    / n \n—m

| v„ (Vt, )

— a„, ,

]/Vm =

am

(W

, (m = 2,3,. .

n-1)

Vvn-,

Tym sposobem każdy z pierwiastników Уv₂ , ]/v₃ ,..

m

może być wymiernie wyrażony przez \i\. Wskutek tego wzór (6) przybiera kształt :

(10)

an—i

+ ...

(kD-

To wyrażenie ma tylko n wartości i przedstawia zatym n pierwiastków równania założonego.

W szczególności, jeżeli wszystkie współczynniki w F i 6 są rzetelne, będzie e jedyną liczbą zespoloną w vi zawartą.

Nadto, skoro vn-i powstaje z v₁ przez podstawienie liczby zespolonej sprzężonej en_1 za e, widoczna zatym, że vt i vn-i są liczbami zespolonymi sprzężonymi, a przeto, jeżeli znamy, to i yn_i jest znanym. Mamy zatym:

Nadto z (9) wypływa, dla m—n — 1,

Уу„-1    =

(12) . .

яп—i.

aa-1 daje się wyrazić wymiernie przez współczynniki w F i 0, nie może zatym zawierać innych liczb zespolonych oprócz e; a że także «n—i nie może się zmienić, gdy s zastąpimy liczbą sprzężoną en_1, widoczna zatym, że an-\ jest liczbą rzetelną. Z (11) i (12) wypływa p² =    a więc, jeżeli a oznacza wartość bezwzględną liczby an-i,

będzie f p =\a. W tym razie daje pierwsze równanie (11):

cos

cp -f- 2x71

-J- i sin

+ 2z,Tt 1

¹¹ /

Podstawiwszy tę wartość za \'vl we wzorze (10), będziemy mieli wyrażenie pierwiastków równania założonego (1), zawierające, oprócz

liczb wymiernych, tylko jeden pierwiastnik ^a i nadto wstawy i dostawy ntéJ części łuków: <p-j-2xTr, 2(<p -f-2x7i),..., (п-1)(у-\-2ш).

13. Zastanowić się nam jeszcze wypada nad przypadkiem, kiedy stopień równania (1), którego pierwiastki tworzą jednę grupę, nie jest liczbą pierwszą. W tym bowiem razie rozwiązanie równania może się sprowadzić do rozwiązania równań stopni niższych.

Niech będzie n=pq. Przy tym założeniu można pierwiastki równania (1) podzielić na q grup po p pierwiastków :

(p—i)q

6z,    0z,. . .,    9 z

q-fl 2q*ł~l

6z,    6 Z , 6 z ,. .., 6 z

Z,

2q

(p-l)q+l

(14)    .    .

pq—i

Położywszy :

9'z = 6, z, będą pierwiastki pierwszej grupy:

(15) .    .

(16) . .

2    P—'¹

. z, 6jZ, 6 z,.. . ., 0, z,

gdzie :

(17) .    .

pq

0tz — 6 Z = Z.

Sposobem wyłożonym w art. 10—11. można rozwiązanie równania

(1) sprowadzić teraz do rozwiązania q równań stopnia p., których współczynniki zależą od jednego równania stopnia q. Co do tego ostatniego równania można okazać, że i ono jest równaniem Abel’a.

Jakoż, równanie stopnia q z niewiadomą y jest takim, że każdy inny jego pierwiastek jest funkcyją wymierną i symetryczną p pierwiastków jednej, ale coraz innej z grup (14). Niech yr będzie pierwiastkiem tego równania, utworzonym z pierwiastków pierwszej, a y₂ pierwiastkiem, utworzonym z pierwiastków drugiej grupy (14). Współczyniki równania stopnia p., którego pierwiastkami są liczby pierwszej grupy w (14), są funkcyjami wymiernymi pierwiastka y,, a przeto wszystkie funkcyje wymierne i symetryczne namienionych liczb mogą być wyrażone wymiernie przez yK. Atoli y₂ jest funkcyją wymierną i symetryczną liczb drugiej grupy w (14), tj. liczb :

(p-i)q

6z;

6.6⁴z;    66z,. . .,    66 z ,

a więc także liczb pierwszej grupy w (14). Stąd wynika, że y₂ można wyrazić wymiernie przez у,, a przeto, że równanie stopnia q. z niewiadomą у jest również równaniem Abel’owym.

Jeżeli p i q są także liczbami złożonymi, można w ten sposób dalej rozłożyć równania stopnia p. i q., ostatecznie zaś dojdziemy do twierdzenia : każde równanie Abel’a, którego pierwiastki tworzą jedną grupą, można sprowadzić do równań AbeVa, których stopnie są liczbami pierwszymi.

Rozwiązanie algebraiczne równań dwuwyrazowych.

14. Rozwiązanie równań dwuwyrazowych można zawsze sprowadzić do rozwiązania równań kształtu :

(1) . .

z¹¹ —1=0,

gdzie n jest liczbą pierwszą (VII. 9. i II. 9). Pierwiastki tego równania przedstawiliśmy (VII. 9.) pod postacią trygonometryczną; teraz okażemy, jak je można zawsze przedstawić pod postacią algebraiczną.

Równanie (1) posiada pierwiastek 1 ; usunąwszy ten pierwiastek przez podzielenie równania przez z—1, otrzymamy równanie nieprzy-wiedlne (V. 14.):

(2)    zn_1 -f- zn~² -(-•••■    O,

które jest równaniem Abel’a.

Jakoż, oznaczmy przez r liczbę całkowitą i taką, aby, dla к < n—lj różnica rk — 1 nie była podzielna przez n; widoczna, że wtedy wyrazy szeregu :

r°, r¹., r².,. .    rn~²,

podzielone przez n, dadzą na reszty szereg liczb :

n—1,

1, 2, 3,..

wziętych w pewnym porządku. Stąd zaś wypływa, że jeżeli s oznacza jeden z pierwiastków równania (2), np. :

(3) .    .

£ — *2« = cos

to

— i sin P    P

wówczas wszystkie pierwiastki równania (2) będą wyrazami szeregu :

(4) .    .

r²

£v"-2 *    5

tj. każdy następujący otrzyma się przez podniesienie poprzedzającego do potęgi r.

Równanie (2) jest więc równaniem Abel’a, a wszystkie jego pierwiastki tworzą jednę grupę. Ażeby więc to równanie rozwiązać algebraicznie, można użyć albo sposobu wyłożonego w art. 12. albo co dogodniej, sposobu wyłożonego w artykule 13.

Według tego ostatniego artykułu, jeżeli n—I —- 2m , sprowadzi się rozwiązanie równania (2) do rozwiązania m równań stopnia 2. Zastosujemy ten sposób do równania s¹⁷ — 1 = 0.

Niech będzie dane równanie :

(5)    .    .

z¹⁷ —1=0.

(6) . .

Dzieląc to równanie przez 2—1, otrzymamy równanie Abel’a: zlG -}— z¹⁵ -f- ... -f- z -j- 1 = 0.

Ponieważ teraz n—1 — 16 — 2i, więc rozwiązanie równania (5) lub (6) sprowadzić się powinno do rozwiązania 4 równań stopnia 2.

Łatwo spostrzec, że wartość najmniejsza na r i taka, aby dla к << 16, różnica rk — 1 nie była podzielna przez 16, jest = 3.

Jeżeli więc weźmiemy:

(7)    .    .

2rc

to

ki

£ = I2« = cos Yÿ + i sin ,

TT

to pierwiastki równania (6) będą następujące :

3¹⁵

3²

3

e, £ 7

albo, jeżeli potęgi liczby e zniżymy, zauważywszy, że e¹⁷ = 1 i że równanie (6) jest odwrotnym:

(8) . .

f    s,    s—*,    e⁹,    e⁻⁹,    s¹³,    s⁻¹³,

I    £³,    E~³,    S¹⁰,    £-¹⁰;    £⁵,    E~⁵,

£-¹⁵,

.—11

Połóżmy :

Aby znaleść te pierwiastki, dość wyznaczyć jeden z nich np. s.

(9){U’

К

u₂ = £⁹ -f- £ ⁹, u₃ = £¹³ -f- E⁻¹³, u₄ = £¹⁵ -j- £~¹⁵ , = £³ -f- S⁻³, U₆ = £¹⁰-j- £—10₅ U₇ = £⁵ 4" S⁻⁵, U₈ = E¹¹ + £_1\

natenczas ui}    % będą pierwiastkami równania stopnia 8., na

jakie się równanie (6) sprowadzi, gdy je przez £⁸ podzielimy, a po-

= M, położymy, tj. równania :

tym w nim 0 -f-

я I-i

u⁸ -f- u⁷ — 7u⁶ — bu⁵ -+- 15u⁴ — 10u³ — 10u² — 4u -j- 1 =0.

Jeżeli więc znajdziemy jeden pierwiastek ul równania (10), to pierwiastek s będzie pierwiastkiem rówmania kwadratowego:

. z² — u, z -j— 1 = 0,

(10)

(U) • •

a mianowicie będzie:

(12) . .

T u‘*

Aby otrzymać pierwiastki równania (10), połóżmy :

(13) ut -j- u₃ —- X j , u, I u₄ x₂, u₅ I u₇ x₃, ufi I Ug — x₄,

mieć będziemy wtedy, jak łatwo przekonać się przez wykonanie mnożenia i uwzględnienie, że e¹⁷ = 1,:

(14)

VU3 = X3>    U₂-U4 = X4>    U5-U7 — X2

Jeżeli więc jakim sposobem uda się wynaleść wartości na xlt x₂, хз, wtedy mieć będziemy także wartości pierwiastków w,,.. ., ua ; albowiem, jak z (13) i (14) widoczna, te pierwiastki są po dwa pierwiastkami równań kwadratowych, tak np. w, i u₃ są pierwiastkami równania kwadratowego :

u₆.u₈“Xl.

(15)    .    .

u² — x₄u -J- x₃ = 0;

a zatym :

(¹⁶) U1 = \    + j/- X3

r-4

X, — x₃ .

Х3 +X4 = 7v

Aby wyznaczyć xu "a?₂, x₃, #₄, połóżmy następnie: X, H- X2 = Ун

(17)    .    .

Przez uskutecznienie mnożenia, uwzględniając przytym, że el7=7 znajdziemy znowu, że :

— 1.

x, . x, == — 1 'i

A zatym pary liczb x,, x.₂ i x₃, a?₄ są pierwiastkami równań kwadratowych :

(18) . .

X3 -X4 =

(19)    .    .

Tak np.:

. x² — y, x — 1=0

x² — y₂ x — 1 = 0.

(20)

x, =

łyi + J/ ł yî + 1»

X3

W wyrażeniu na x₃ należy wziąć pierwiastnik ze znakiem (—1); albowiem wartości (16) na ux i uA powinny wypaść rzetelne, gdyż pierwiastki równania (10) są wszystkie rzetelnymi.

Pozostaje obliczyć jeszcze tylko yx i yv Ponieważ :

У, + y₂ = — 1»

gdyż suma yx + ÿ₂ je8t sumą wszystkich pierwiastków równania (10), która znowu jest równa —/, a nadto, skoro uskutecznienie mnożenia okazuje, że iloczyn yx y₂ jest sumą wszystkich pierwiastków równania (10), wziętych po 4 razy, a przeto :

У. y₂ = — ⁴ >

(21) . .

(22) . .

widoczna więc, że yx i y.₂ są dwoma pierwiastkami równania kwadratowego :

(23)    .    .

y² -j— y — 4 = 0

że więc :

= -i (i + PO.

y,=- ł(i-Vn).

(24) y

Wzory (24), (20),. (16) i (12) wyznaczają w zupełuości jeden pierwiastek e równania (6); wszystkie inne otrzymamy z wzorów (8), albo też przez podniesienie s do n—1 po sobie następujących potęg całkowitych dodatnych.

Do rozwiązania więc równania (6) potrzeba zatym rozwiązać 4 równania kwadratowe : jedno (23) dla wyznaczenia yx i y₂, dwa (19)

Zasady algebry wyższej.

17

130 tegosamego kształtu, a więc liczące się za jedno, dla wyznaczenia xt i #₃, jedno (15) dla wyznaczenia щ i jedno (11) dla wyznaczenia e. Poprowadźmy w kole, którego promień = 1, cięciwę odległą od

koń-

środka na 4" (£ “f" ~ ) ? to punkty końcowe tej cięciwy i punkt

co wy promienia, przecinającego prostopadle tę cięciwę, będą trzema po sobie następującymi wierzchołkami siedemnastoboku foremnego. Rozwiązanie równania e¹⁷—1 — 0 rozwiązuje zatym zagadnienie geometryczne : w dane koło wpisać siedemnastobok foremny.

ROZDZIAŁ IX.

Rozwiązanie równań arytmetyczne.

1. W rozdziałach poprzedzających dowiedliśmy rozmaitych własności równań algebraicznych i podaliśmy rozwiązanie algebraiczne równań stopnia 3. i 4. Skoro rozwiązanie algebraiczne równań stopni wyższych nad czwarty, daje się uskutecznić tylko w przypadkach wyjątkowych, dlatego zwrócono się do rozwiązania arytmetycznego tychże, zależącego na wzorach, które dają wprost dokładne lub do prawdy zbliżone wartości pierwiastków równań, mających za współczynniki liczby szczególne, a które to równania zowiemy równaniami liczebnymi.

Ilozwiązanie arytmetyczne równań liczebnych składa się z dwu różnych działań: I. z oddzielenia pierwiastków, tj. z wyznaczenia granic, między którymi leżą wszystkie pierwiastki i każdy z osobna i II. z rachunku liczebnego tychże pierwiastków po uprzednim ich oddzieleniu. Przystępując do pierwszego z tych dwu działań, ograniczymy się uwagą tylko pierwiastków rzetelnych, albowiem dochodzenie pierwiastków zespolonych można zawsze sprowadzić do poszukiwania pierwiastków rzetelnych (VI. 12). Nadto przyjmiemy, że równanie założone jest dane w postaci najprostszej, tj. że jego współczynniki są liczbami rzetelnymi i całkowitymi, przyczyni współczynnik wyrazu pierwszego jest = 1.

Oddzielenie pierwiastków równania opiera się na szeregu twierdzeń, mających na celu wykrycie pierwiastków, zawartych między dwiema danymi granicami, dlatego przedewszystkim zajmiemy się tymi twierdzeniami.

Ilość pierwiastków rzetelnych, zawartych między dwiema danymi

liczbami.

2. Twierdzenie zasadnicze. Jeżeli f(x) = 0 jest danym równaniem, a f(a) i f(b) oznaczają wartości, jakie funkcyja f(x) przyjmuje odpowiednio dla x — a i dla x = b, natenczas między a i b będzie leżała parzysta lub nieparzysta liczba pierwiastków rzetelnych, wedłuy tego, czy wartości f(a) i f(b) mają znaki jednakie, czy też znaki przeciwne.

Jakoż, oznaczmy przez a,, a nia f(x) — 0, przyjmując, że al < czynników odpowiadających pierwiastkom tego równania zespolonym i sprzężonym, będzie wówczas :

a₃ . . pierwiastki rzetelne równa-. .., a przez X iloczyn

a₂ < a₃

f(x) = X(x— a, )(x—a₂)(x-a₃).. .

Podstawmy w f(x) za x naprzód wartość mniejszą od wartości najmniejszego pierwiastka a , a potym wartości coraz większe. Widoczna, że wtedy jeden z czynników (x— a^, fx—a.₂), (x—a,).. a więc i funkcyja f(x) zmieni znak, ile razy x będzie przechodziło przez jeden z pierwiastków an a,, a₃ .... Skoro X przy każdej wartości na x posiada wartość dodatną, więc funkcya f(x) będzie miała przy dwu wartościach na x znaki jednakie lub znaki przeciwne, według tego, czy między tymi wartościami leży parzysta ilość (albo żaden z) pierwiastków, czy też nieparzysta ilość pierwiastków. Twierdzenie, na początku artykułu wypowiedziane, jest więc dowiedzione.

Prawdziwość tego twierdzenia jest bezpośrednim następstwem ciągłości funkcyi f(x). Jakoż, jeżeli zmienna x przechodzi od wartości rzetelnej a do wartości rzetelnej b i jeżeli f(a)^>0 a f(b)<^0, lub przeciwnie f(a) << 0 a,f(b)j>0, natenczas między a i b musi się znajdować przynajmniej jedna wartość (lub nieparzysta ilość wartości na x), przy której funkcya f(x) staje się 0, albowiem funkcya f(x), skoro jest ciągłą, nie może przeskakiwać nagle ze stanu dodatnego w stan odjemny lub naodwrót, lecz musi czynić to w sposób ciągły, a więc musi przejść wprzódy przez 0. Podobnie, jeżeli j(a) > 0 i f(b)>0 lub przeciwnie f(a) <( 0 i f(b) <j 0, wówczas funkcyja f(x) albo wcale nie przechodzi przez 0 między a i albo też przechodzi przez 0 parzystą ilość razy, gdy x przechodzi od a do b.

3. Osnowę tego twierdzenia można przedstawić geometrycznie, jak następuje. Oznaczmy przez у wartość funkcyi f(x), tj. połóżmy:

у = f(x),

i uważajmy wartość zmiennej x jako odcinek OM na osi X'X (Fig. 7.), a wartość funkcyi y jako odcinek ON na osi Y'Y, prostopadłej do tamtej,

odcinając te odcinki, począwszy od początku osi 0, na kierunkach 0X i 0 Y, uważanych za dodatne lub na kierunkach 0X' i OT, uważanych za odjemne, według —X tego, czy x i y są dodatne, czy też odjemne. Nareszcie wykreślmy proste MP/I TY, NP Ц XX aż do przecięcia się W punkcie P. Odcinki OM i ON zowią się współrzędnymi punktu P. A za-tym, wartości odpowiadające sobie na x i y [wskutek równania (1)] przedstawiają współrzędne

TT

aM

Fig. 7

or.

j pewnego punktu na płaszczyźnie --X osi współrzędnych X’X i Y'Y.

Dając na x coraz insze wartości szczególne, otrzymamy z równania (1) wartości na y także co-insze, i mieć będziemy cały szereg punktów, których ciąg nieprzerwany utworzy pewną liniją krzywą. Ta linia krzywa jest miej-geometrycznym równania (1), a nawzajem równanie (1) jest obrazem analitycznym tej linii krzywej.

Jeżeli, dla x = a, jest y = f(z) = 0, wówczas linija krzywa przecina oś X'X w punkcie, który się zowie punktem pierwiastkowym. Widoczna, że jeżeli np. f(a) > 0 i f(b) > 0, gdzie h > a (Fig. 7.), natenczas między a i b musi leżeć parzysta ilość punktów pierwiastkowych, a jeżeli f(a) > 0 a f(b)<0 (Fig. 8.), natenczas obręb od a do b zawierać musi nieparzystą ilość punktów pierwiastkowych.

raz

•>

У

scem

Fig. 8.

Twierdzenie Budana.

4. Weźmy pod uwagę szereg utworzony z n -f-1 iiinkcyj : f(x), Df(x), Dsf(x),....,    D"f(x),

z których pierwsza jest stroną pierwszą równania stopnia n. f(x) — 0, a po niej następujące są pochodnymi funkcyi f(x), odpowiednio pierwszą, drugą,..., n-tą. Jeżeli w tych funkcyjach za x podstawimy war-

tość szczególną (rzetelną) a, natenczas te funkcyj e przyjmą wartości szczególne (rzetelne) z rozmaitymi znakami. O wartościach dwu funk-cyj sąsiednich w tym szeregu powiadamy, że one zawierają przemianę znaków lub następstwo znaków, według tego, czy te wartości mają znaki przeciwne, czy też znaki jednakie.

Wiedząc to i namieniony szereg funkcyj nazywając szeregiem funkcyj Budan’a, należącym do równania f(x) — 0, dowiedziemy twierdzenia następującego: Ilość pierwiastków rzetelnych równania f(x) = 0, zawartych między dwiema liczbami (rzetelnymi) a i b, z których druga jest większą od pierwszej, nie może być większą od ilości przemian, jaką szereg funkcyj Budan’a, należący do równania f(x) •— 0, utrącą, gdy X, wzrastając w sposób ciągły, przechodzi od wartości a do wartości b, a jeżeli jest mniejszą, to o liczbę parzystą.

A zatym, jeżeli szereg funkcyj Budan’a przy założeniach x — a i x — b zawiera odpowiednio Pa i Ph przemian, oznaczając wówczas przez m ilość pierwiastków rzetelnych, zawartych między a i b, mieć będziemy podług tego twierdzenia :

m — P — P, -j- 2 к

a    b ¹

gdzie к oznacza liczbę całkowitą dodatną albo 0. Nadto, jeżeli równanie f(x) — 0 między a i b posiada pierwiastki równe, każdy z tych pierwiastków należy rachować za tyle pierwiastków różnych, ilekrotnym jest ten pierwiastek. (Dowód tego twierdzenia ogłosił В ud an r. 1807 ; Fourier już dawniej podawał je w swych wykładach, wszelako ogłosił je dopiero w roku 1831).

Aby dowieść tego twierdzenia, dość okazać, że jeżeli którakolwiek z funkcyj w szeregu Budan’a, w miarę jak x wzrasta, przechodzi przez 0, wówczas przemiana znaków, zachodząca pierwotnie między tą funkcyją i po niej następującą, przechodzi na następstwo znaków.

za

Dajmy więc, że Dp/(ol) = 0 i, dla tym większej ogólności,

łóżmy, że także _Dpf'/(a) = 0, l)v 1 '/(cl) — 0,.. .

j\V = o,

p+q-i

n. IDnf(a.) nie może być =0, gdyż pochodna nta

gdzie p + g — 1 funkcyj stopnia n. jest liczbą stałą].

Oznaczając przez z przyrost zmiennej dodatny lub odjemny i rozwijając Iff(a.f-z) i /У⁴ \f(a.~fz) podług potęg rosnących tego przyrostu zapomocą wzoru Taylor’a, będziemy mieli (wskutek zrobionych założeń) :

za-

Dpf(a-{-z) =

Z⁴

⁽1!

Dp+qf(a) -f .... 4-

Zn-P

(n—p) !

Dnf(a),

Dp+1f(a+z) =

zq

(q—i)!

Dp+qf(a) + ....+

zn-P-i

(n—p 1)!

Dnf(a).

Przyrost z można dobrać tak małym, ażeby prawe strony tych dwu równości były takich znaków, jak wyrazy pierwsze, które zawierają z w potęgach najniższych. Znaki więc lewych stron będą te-same, co znaki pierwszych wyrazów po prawej, a zatym i stosunek J)v/(cl-\-z): Dv+)f(a-\-z) będzie takiego znaku, jak stosunek

D(p+q)/(a) :

zą

z⁴'¹

д'-

‘ (q-V!

datnym dla z*f> 0, a odjemnym dla 2 < 0.

J)p+ąf(a.) = —. Ten stosunek będzie więc do-

k. zatym : jeżeli X wzrastając przechodzi od wartości bezpośrednio mniejszej od a do wartości bezpośrednio większej od a; natenczas przy-jąwszy, że Dpf(a) = 0, między funkcyjami Dpf(x) i D¹ f(x) będzie chodziła pierwotnie przemiana znaków, która potym przejdzie na następstwo znaków.

Dajmy teraz, że x wzrastając od a do b dochodzi do wartości a, przy której q po sobie następujących funkcyj Budan’a przybiera wartość równą 0. Załóżmy naprzód, że ten szereg q funkcyj zaczyna się od pierwszej, tj. że:

f(a) — 0, Df(a) = 0, D“f(a) = 0,. . . ., D⁴ V(a) = 0,

gdy tymczasem Dąf(a) ^ 0 [że więc a jest ^-krotnym pierwiastkiem równania f(x) = 0/. Według dopiero dowiedzionego podania pomocniczego, zachodzą w szeregu q -f- 1 funkcyj :

f(x), Df(x), D²f(x)......    D,_,f(x), D⁴f(x)

przy wartości bezpośrednio mniejszej x = a — h same przemiany, a przy wartości bezpośrednio większej x — a -j- h same następstwa. A zatym : szereg tych q + I funkcyj, a więc i cały szereg funkcyj Budarfa utrącą q przemian, gdy X wzrastając przechodzi przez q krotny pierwiastek równania f(x) = 0.

Załóżmy następnie, że namieniony szereg q funkcyj nie zaczyna się od pierwszej [że więc a nie jest pierwiastkiem równania f(x) = 0], lecz dopiero od funkcyi Dvf(x), gdzie p > 1; tj. że :

Dpf(a) = 0, Dp+,f(a) = 0,..., Dp+q_,f(a) — 0;

gdy tymczasem ani /)p+q/(a), ani В *f(v.) nie jest 0. Przy tym założeniu, szereg q -j- 1 funkcyj :

Dp+4“¹f(x), Dp+qf(x),

Dpf(x), Dp+1f(x),.. .

utrącą q przemian, gdy x wzrastając przechodzi przez a. Nadto, skoro funk-cyja Dp~\f(x) nie jest = 0, dla x = a, a więc przyjąwszy h dostatecznie małym, wartości Bv~xf(a—1%) i Bp~xf(o.-\-h) mają znaki jednakie, może zajść utrata lub przybytek jednej przemiany znaków między dwiema funkcyjami Bp~'f(x) i Dpf(x), gdy x wzrastając przechodzi przez a. Wypadek ten zajdzie, kiedy q jest liczbą nieparzystą. Jakoż, jeżeli q jest liczbą nieparzystą, wtedy między a—h i a-\-h leży nieparzysta ilość q pierwiastków rzetelnych (równych) równania Bvf(x) = 0, wartości więc Dpf(a—li) i Dpf(a-\-h) mają wtedy znaki przeciwne, gdy tymczasem obie wartości Dv~xf(a.—li) i Dp~xf(a. -j- h) mają znaki jednakowe. A zatym, jeżeli znaki wartości Dp~xf(a. -h) i Dpf(a—h) są jednakie, wówczas w przejściu x przez a zajdzie przybytek jednej przemiany, a jeżeli te wartości mają znaki przeciwne, wówczas zajdzie utrata jednej przemiany.

A zatym : jeżeli q funkcyj po sobie następujących w szeregu Badan’a staje się — 0 przy wartości X = a, nie zaczynających się od pierwszej f(x), wówczas w miarę jak X wzrastając przechodzi przez a, szereg funkcyj Budan’a utrącą q, q—1 lub q-j—I przemian i te liczby są zawsze parzystymi.

Te dwa podania dowodzą prawdziwości twierdzenia Bud an’a. W razie, jeżeliby przy ■wartości x — a jedna z funkcyj np. Bpf(x) — 0 stała się równa 0, wówczas należy podstawić x = a -f- h: gdzie h jest liczbą dodatną podług upodobania małą. Wtedy będzie Dpf(a-\-h) j> 0 lub < 0, według tego, czy funkcyja następująca Dp+\f(a), nie przybierająca wartości 0, jest dodatną, czy też odjemną. Jeżeli zaś Dpf(b) — a Bp+Xf(b) nie jest 0, wówczas podstawić należy x = b — h, i będzie wtedy Bpf(b—h) j> 0 lub < 0, według tego, czy Bp+Xf(b) < 0, czy też 0.

5. Z twierdzenia Budan’a wypływają następujące wnioski :

1° Jeżeli równanie f(x) = 0 posiada m pierwiastków rzetelnych między a i b, gdzie b >> a, a ilość przemian utraconych przez szereg funkcyj Budan’a w przejściu od x = a do b jest, == m j 2k, natenczas równanie posiada co najmniej 2 к pierwidstków zespolonych.

Jakoż, oznaczmy przez mlt m i m' ilość pierwiastków rzetelnych równania f(x), zawartych odpowiednio w obrębach od x — — oo do X = a, od x = a do a = b i od x = b do x = -f- oo, a przez m -j- 2k i m! —(- 2k' ilość przemian znaków, utraconych przez szereg funkcyj Bud an’a w przejściu od granicy niższej do granicy wyższej pierwszego, drugiego i trzeciego z namienionych obrębów. Skoro, dla x = 4- oo, szereg funkcyj Budan’a zawiera same następstwa ków, [gdyż znak wszystkich funkcyj jest wtedy takisam, jak znak wyrazu pierwszego funkcyi f(x), tj. -j-], a dla x — — oo, szereg funkcyj Budan’a zawiera same przemiany znaków, [gdyż wyrazy pierwsze tychże funkcyj, zawierające najwyższe potęgi zmiennej x, zawierają naprzemian potęgi parzyste i nieparzyste zmiennej x\, mamy zatym:

m.

zna-

(m, -1- 2k,) -j- (m -j- 2k) -j- (m' -j- 2k') = n.

Jeżeli więc 2p oznacza ilość pierwiastków zespolonych równania f(x) — 0, będzie wówczas :

2p = n — (m, -f- m -f- m') == 2 (k, -j- к -{- k'),

tj-

2p > 2 k.

2°. Jeżeli równanie f(x) = 0 posiada same pierwiastki rzetelne, natenczas ilość m pierwiastków, zawartych między a i b, gdzie b > a, jest ściśle równą ilości przemian utraconych przez szereg funkcyj Budan’a * w przejściu od X = a do X = b.

Jakoż dajmy, że szereg funkcyj Budan’a zawiera, przy założeniu x~a, Pa przemian znaków, a przy założeniu x = b, Pb przemian znaków. Jeżeli wtedy nie jest m Pa—Pb, to skoro nie może być m j> Pa—Pb, musiałoby być m < Pa—Pb. Atoli ten wypadek jest niemożebny, albowiem wówczas ilość pierwiastków rzetelnych, zawartych między — oo i a lub między b i -f- oo, musiałaby być większą od ilości przemian utraconych w przejściu od x = — oo do x == a, lub odpowiednio od x = b do x — + oo, co sprzeciwiałoby się twierdzeniu Budan’a. Musi być zatym koniecznie m — Pa—Pb.

3°. Stosując twierdzenie Budan’a do obrębu, ciągnącego się od x — 0 do x == -j— oo, i uważając, że dla x = 0 funkcyje Budan’a sprowadzają się do swych ostatnich wyrazów, które są współczynnikami funkcyi f(x), pomnożonymi przez pewne czynniki liczebne, a dlaa?=+oo, szereg funkcyi Budan’a zawiera same następstwa znaków, mieć będziemy twierdzenie, dowiedzione naprzód przez Des-cartes’a:

Ilość pierwiastków rzetelnych i dodatnych równania f(x) nie może być większą od ilości przemian znakôtv, zachodzących w szeregu współczynników tegoż równania.

Nadto: Jeżeli pierwiastki równania f(x) = 0 są wszystkie rzetelnymi, wówczas ilość pierwiastków dodatnych jest ściśle równa ilości przemian znaków, a więc ilość pierwiastków odjemnych ściśle równa ilości następstw znaków, jakie zachodzą w szeregu współczynników tegoż równania.

war-

4°. Jeżeli dla X = b, wszystkie funkcyje Budan'a posiadają tości dodatne, wówczas żaden pierwiastek rzetelny równania f(x) = 0 nie może być większym od b.

Albowiem, skoro szereg funkcyj Budan’a zawiera same następstwa znaków i przy założeniu x = b i przy założeniu x = oo, więc między b i oo nie może leżeć żaden pierwiastek rzetelny równania.

6. Ostatniego twierdzenia dowiódł pierwszy Newton i oparł na nim sposób dochodzenia granic, między którymi leżą, wszystkie pierwiastki rzetelne równania, tj. dochodzenia liczby większej od największego i liczby mniejszej od najmniejszego z tych pierwiastków.

Następujący przykład pokazuje, jak należy postąpić, chcąc zna-leść granicę wyższą pierwiastków dodatnych, tj. liczbę większą od największego z pierwiastków dodatnych, lecz ile można, do niego zbliżoną.

Niech będzie dane równanie :

f(x) == X⁵—3x³-f-x²—8x—10 = 0.

Mamy :

f(x)

x⁵ — 3x³ -f- x² — 8x — 10

= 5x⁴ — 9x² -J- 2x — 8

2!

D^f(x)

D³ f(x)

3!

= 10x² — 3

D⁴ f(x)

4!

5x

D⁵f(x)

5!

=s 1

4~

0    1 I 2] 3 I

Podstawiamy w tych funkcyjach, zaczynając od dołu, za porządkiem, liczby 0, 1, 2, 3,..,, dopóki nie napotkamy pierwszej liczby,

która daje znak dodatny wszystkim tiinkcyjom. Wartość x — 0 daje znak odjemny funkcyi DAf(x)- podstawiamy zatym x—l, ta wartość daje znak odjemny funkcyi Df(x); idziemy zatym do następnej wartości x=2, ta wartość daje znak odjemny jeszcze tylko funkcyi f(x); bierzemy zatym x=3, przy tej wartości szereg Budan’a zawiera same następstwa znaków, więc żaden pierwiastek dodatny nie może być większy od 3.

Aby otrzymać granicę niższą pierwiastków odjemnych, tj. liczbę odjemną, mniejszą od najmniejszego pierwiastka odjemnego, dość zna-leść granicę wyższą pierwiastków dodatnyeh równania f(—x) — 0 i tę granicę wziąć ze znakiem odjemnym.

Twierdzenie Rolle’a.

7. Jeżeli a i b, gdzie a < b, są dwoma po sobie następującymi pierwiastkami rzetelnymi równania f(x) = 0, natenczas równanie Df(x) = 0 posiada między a i b nieparzystą ilość pierwiastków rzetelnych, (a więc przynajmniej jeden pierwiastek rzetelny).

Prawdziwość tego twierdzenia wypływa bezpośrednio z wzoru:

f(b) — f(a) = (b — a) Df [a + 6 (b — a)], 0 < 6 < 1,

który otrzymany z wzoru (13) w art. 14. rozd. IV., gdy położymy f(x) — F(x) i h = b — a. Jakoż, z założenia mamy f(a) = 0 i f(b) = 0, powyższy więc wzór daje Df[a -f- 6 (b — aj\ = 0. Nadto, dla 0 h <Z b — a wypływa z powyższego wzoru:

f(b — h) = (b — h — a) Df[a -j- 6 (b — h — a)],

— f(a -f h) = (b - h - a) Df[a -f h + 6 (b — h — a)].

Skoro między a -j- h i b — h nie leży żaden pierwiastek, a przeto f(b — h) i f(a + h) posiadają tensam znak, widoczna zatym, że Df[a + 6 (b — h — a)] i Df[a -f h + 6 (b — h — a)] będą miały znaki przeciwne, A że to ma miejsce dla każdej wartości dodatnój na h, byle mniejszej od b — a, chociażby do b — a podług upodobania zbliżonej, widoczna zatym, że Df(a) i Df(a -j- b — a) = Df(b) będą miały znaki przeciwne. A zatym, równanie Df(x) — 0 posiada pierwiastki rzetelne między a i ó, a ilość tych pierwiastków musi być koniecznie nieparzystą (art. 2). W dowodzeniu powyższym przyjęliśmy, że ani a ani b nie jest oraz pierwiastkiem równania Df(x) = 0, czyli że a i b są pierwiastkami pojedynczymi rôwnania/(æ) = 0. Wszelako twierdzenie utrzyma się i wtedy, gdy jeden z pierwiastków a i b jest pierwiastkiem wielokrotnym równania f(x) — 0.

8. Treść tego twierdzenia można przedstawić geometrycznie, jak

następuje. Weźmy pod uwagę li-niją krzywą, którą przedstawia równanie

/РУА_

*л

M M’

У = f(x)-

Dając na x wartości x ~ OM i ■X x' = OM' = OM+ MM' =x+h, otrzymamy z tego równania odpowiednio :

Y-J-

л o

Y¹

Fig. 9.

y = MP i y' = M'P' = M'Q -f QP' — MP -j- QP' = y + k.

Poprowadźmy sieczną PP' ; będzie wtedy :

k — у' — У _

tg QPP' ==

QP'

PQ ~ “ h

f(x + h) — f(x)

Jeżeli h wciąż się zmniejsza, dążąc do granicy O, wówczas punkt P' linii krzywej coraz bliżej przystępuje do punktu P, a przeto sieczna coraz bardziej zbliża się do położenia stycznej PT do krzywej w punkcie P. Oznaczając więc przez z kąt, jaki z osią OX czyni styczna PT, mieć będziemy, dla h — 0,

tg i = lim

f(x + h) — f(x)

= Df(x).

Stąd czytamy, że pochodna Df(x) funkcyi fCx) wyraża styczną trygonometryczną kąta, jaki z osią 0X czyni styczna geometryczna do krzywej, przedstawionej równaniem у = f(x).

Jeżeli na x będziemy dawali coraz insze wartości, tj. jeżeli będziemy na linii krzywej przechodzili do coraz inszego punktu, wTówczas będzie się zmieniała wartość funkcyi Df(x), czyli będzie się zmieniał także kierunek stycznej do linii krzywTój.

Punkty na linii krzywej, w których styczna do krzywej jest do osi OX równoległą, zowią się punktami najwyższymi lub najniższymi tej krzywej; w tych punktach jest zatym Df(x) — 0. Według tego twierdzenie Rolle’a można geometrycznie tak wysłowić :

Między dwoma po sobie następującymi punktami pierwiastkowymi krzywêj równania y = f(x) leży nieparzysta ilość punktów najwyższych i najniższych tejże krzywej.

Z twierdzenia Rolle’a wypływa wniosek: że między dwoma po sobie następującymi pierwiastkami równania Df(x) = 0 może leżeć co najwyżej jeden pierwiastek równania f(x) = O ; albowiem jeżeliby leżały dwa, to między tymi dwoma musiałby leżeć przynajmniej jeden pierwiastek równania Df(x) — O, a to niemożebne. Nadto: jeżeli f(x) = 0 posiada same rzetelne pierwiastki, wówczas także Df(x) = 0 mieć będzie pierwiastki same rzetelne, a jeżeli f(x) = 0, dla x = a, ma p pierwiastków równych, wówczas Df(x) = 0, dla X — a, ma p — I pier-wiastków równych.

Twierdzenie Sturm’a.

9. Twierdzenie Budan’a nie daje dokładnej ilości pierwiastków zawartych w obrębie danym, albowiem, jeżeli którykolwiek z wyrazów szeregu funkcyj Budan’a, przechodząc przez 0, leży między dwoma wyrazami mającymi jednakie znaki, wówczas zachodzi utrata dwu przemian, która wcale nie dotyczy pierwiastków rzetelnych równania. Tę trudność pokonał Sturm (Mémoires présentés... par des Savants Etrangers. Paris, 1836), przez użycie innego szeregu funkcyj, który tę własność posiada, że każdy wyraz tego szeregu, gdy przechodzi przez 0, leży zawsze między dwoma wyrazami, mającymi znaki przeciwne.

Niech będzie f(x) — 0 równaniem danym, mającym pierwiastki /i (x) pierwszą pochodną funkcyi f(x). Po-

same nierówne, a Df(x) stąpmy z funkcyjami f(x) i /, (x) tak, jakbyśmy chcieli znaleść ich największy wspólny dzielnik, z tą jednak różnicą, że każdą resztę powinno się wziąć ze znakiem przeciwnym, nim się ją weźmie za następny dzielnik.

Niech /₂ (x), /₃ (x),. ...fm(x) będzie szeregiem kolejnych i co do znaku pozmienianych reszt, a i b zaś niech będą dwie dane liczby rzetelne, przyczyni b ~6> a. Twierdzenie Sturm’a tak opiewa:

Ilość pierwiastków rzetelnych równania f(x) — 0 między a i b jest równa ilości przemian utraconych przez szereg f(x), f, (x), f₂ (x);...., fm(x) w przejściu od X — a do X — b.

Funkcyje f(x) , fx (x),.. ., fm(x) zowią się funkcyjami Sturm’a, a w szczególności/, (x) , f₂ (x).. . . fm (x) funkcyjami posiłkowymi.

Oznaczmy przez q, ,    gm_ 1 kolejne ilorazy, jakie otrzy

mamy, uskuteczniając opisane działanie, a przez c, c, , c₂ . .. cm—2 czynniki liczebne, przez które trzeba pomnożyć kolejne dzielne, celem uniknięcia współczynników ułomkowych, mieć będziemy wtedy związki następujące :

cf(x)    =    q,    f,    (x)    -    f₂ (x)

c,    f; (x)    =    q₂    f,    (x)    —    f₃ (x),

c₂    f₂ (x)    =    q₃    f₃    (x)    —    f₄ (x)

Cm-2^'m—г(х)    qm—l^ra—l(x)    1щ (x).

Stąd czytamy: 1. że ostatnia reszta fm(x) nie może być 0; gdyż z założenia jest ona od x niezależna, a jeżeliby była O, wówczas f(x) i fx (x) = Df(x) miałyby wspólny dzielnik fm—i(x), zawierający w sobie x, a przeto f(x) = 0 miałoby pierwiastki równe, co się sprzeciwia założeniu.

2. Dwie po sobie następujące funkcyje posiłkowe nie mogą być 0 jednocześnie ; albowiem w razie przeciwnym wszystkie następujące funkcyje posiłkowe, nie wyłączając fm(x) , byłyby także 0, a to nie-możebna.

3. Jeżeli którakolwiek z funkcyj posiłkowych jest 0, wówczas dwie jej przyległe mają znaki przeciwne. Jakoż, jeżeli np. /₃ (x) — 0, wówczas trzecia z tożsamości (1) daje /₂ (x) — — /₄ (x), gdyż c₂ >> 0.

Widoczna, że zmiana znaków może zajść w szeregu funkcyj Sturm’a tylko wtedy, gdy jedna z tych funkcyj przechodzi przez 0. Mamy okazać, że szereg funkcyj Sturm’a utrącą jednę przemianę, ile razy x wzrastając przechodzi przez pierwiastek równania f(x) — 0, a nie utrącą żadnej przemiany, gdy x wzrastając przechodzi przez pierwiastek którejkolwiek z funkcyj posiłkowych (oprócz ostatniej, która od x nie zależy).

I.    Załóżmy, że a jest pierwiastkiem równania f(x) — 0 tak, iż /(a) = O. W tym przypadku, gdy x wzrastając przechodzi przez a od wartości bezpośrednio mniejszej a — h do wartości bezpośrednio większej a -j- h, przemiana znaków, zachodząca pierwotnie między f(x) i fx (x) = Df(x), przechodzi na następstwo znaków (art. 4). Szereg funkcyj Sturm’a utrącą więc jednę przemianę znaków.

II.    Jeżeli a jest pierwiastkiem równania fp (x) — 0, gdzie

ale << m, tak, iż /p (a) =0, wówczas dwie funkcyje przyległe /p_i(sc) i /р+1(х) mają znaki przeciwne i dla wartości bezpośrednio mniejszej x " a — hi dla wartości bezpośrednio większej x == a -f- h. Trzy więc funkcyje fp-i(x) , /p (x) , fv+i(x) zawierają w obu razach jednę przemianę i jedno następstwo. A zatym szereg funkcyj Sturm’a nie utrącą ani nie zyskuje w tym przypadku żadnej przemiany. Twierdzenie Sturm’a jest więc dowiedzione.

10. Ażeby otrzymać ilość wszystkich pierwiastków rzetelnych, dość podstawić w szeregu funkcyj Sturm’a raz x = — oo, drugi raz X— -f-oo. Jeżeli nadto podstawimy x = 0, będziemy wiedzieli oraz, ile jest pierwiastków dodatnych i odjemnych.

Przy rachowaniu przemian znaków w szeregu funkcyj Sturm’a może się zdarzyć, że jedna z wartości a lub Ъ przywodzi do zera jednę z funkcyj posiłkowych. W tym razie obojętna, czy téj funkcyi damy znak (-}-), czy też znak (—), albowiem funkcyje przyległe mają znaki przeciwne.

Jeżeli równanie jest stopnia n. i wszystkie jego pierwiastki są rzetelne, wówczas w przejściu od x~—oo do x •— -j- oo szereg funkcyj Sturm’a powinien utracić n przemian. W tym razie ilość wszystkich funkcyj posiłkowych powinna być równa n i wyrazy pierwsze w tych funkcyjach powinny mieć (wszystkie) znaki jednakowe (dodatne).

Należy jeszcze zauważyć, że jeżeli jedna z funkcyj posiłkowych np. fv(x?, gdzie p < m, nie zmienia znaku między x = a i x = ó, wówczas można szereg funkcyj Sturm’a urwać na wyrazie fp(x).

Nareszcie można opuścić zastrzeżenie, aby równanie f(x) — 0 nie zawierało pierwiastków równych. Jakoż, przy tworzeniu szeregu funkcyj Sturm’a okaże się, czy równanie posiada, czy też nie posiada pierwiastków równych. Jeżeli posiada pierwiastki równe, wówczas funkcyje f(x) i / (x) mają największy wspólny dzielnik zawierający w sobie x, którego pierwiastki są pierwiastkami wielokrotnymi równania f(x) = 0. W tym razie wszystkie wyrazy szeregu Sturm’a będą miały wspólny czynnik <p(cc), który można usunąć przez dzielenie, a pomimo to szereg zatrzyma te własności, na jakich się opiera dowodzenie twierdzenia Sturm’a, a mianowicie: wyraz ostatni pozostanie stałym jak przedtym,

/0*0 J AM

?0*O    (p(x)

dwa pierwsze wyrazy

utracą przemianę, gdy f(x) ifx (x)

przejdą przez O, a zresztą każdy wyraz pośredni, gdy przechodzi przez O, będzie leżał między dwoma wyrazami o znakach przeciwnych. Do tego nowego szeregu stosuje się więc twierdzenie Sturm’a: tylko każdy pierwiastek wielokrotny należy liczyć za jeden. Nawet nie potrzeba dzielić przez czynnik ср(ж) ; albowiem jeżeli ten czynnik jest dodatnym przy wartości podstawionej za æ, znaki wyrazów szeregu Sturm’a nie zmienią się, a jeżeli jest odjemnym, wtedy wszystkie wyrazy tego szeregu zmienią swe znaki na przeciwne, a to nie wpływa na ilość zachodzących przemian.

11. Jako pierwszy przykład weźmy pod uwagę równanie: x⁴ — 6x³ + 5x² -j- 14x — 4 = 0.

— 6x3 + 5x2 ₊ 14 x _4₅    = f₄ (x) = 2x³ - 9x² -f 5x + 7,

Mamy :

f(x)EEX*

152x — 457, f₄ (x) = 524535.

f₂ (x) = 17x² — 57x — 5, f₃ (x)

Skoro istnieją cztery funkcyje posiłkowe, a we wszystkich mają pierwsze wyrazy współczynniki dodatne, przeto wszystkie cztery pierwiastki równania są rzetelne. Nadto mamy :

f(x)

f₂ (x)

f₃(x)

f4 (X)

oo

oo

4-

Stąd czytamy, że w przejściu od — oo do 0 ginie jedna przemiana znaków, a w przejściu od 0 do oo giną 3 przemiany. Jeden pierwiastek jest więc odjemny, a trzy pozostałe są dodatne.

Niech następnie będzie dane równanie :

x⁶ + 3x⁴ — 4x3 _p_ 6x² -f- 12x — 18 = 0

Mamy :

f(x)=x⁶-|-3x⁴ — 4x³-f-6x²-|-12x—18,—ßX^=fi (x)=x⁵4-2x³—2x²-j-2x-|-2. f₂ (x) = — x⁴ -f- 2x³ — 4x² — 10x -f- 18, f₃ (x) = — x³ -j- 10x² — 19;

f₄ (x) = 84x² — 9x- 170, f₅ (x) = 2267x —2402, fG(x) = -f

jest więc :

f(X)

fi (x)

f₂ (x) f₃ (x) f₄ (x)

f5 (X)

f6 (x)

oo

oo

Stąd widzimy, że w przejściu od — oo do 0 i od 0 do -J- oo ginie jedna przemiana. A zatym istnieją tylko dwa pierwiastki rzetelne,

z których jeden jest odjemnym, a drugi dodatnym. Ponieważ f(x) i fi (x) nie mają wspólnego dzielnika, przeto nie ma pierwiastków równych, a więc cztery inne pierwiastki są zespolonymi.

Niech nareszcie będzie dane równanie :

f(x) = 2xi — 13x2 _j_ iox — 49 = 0.

Tutaj :

13x²— 15x -t- 98.

f. W =    — 13x +5, f₂ (x)

Skoro pierwiastki równania f₂(x) — 0 są zespolone, a przeto f₂ (x) nie zmieni znaku w całym obrębie od x = — oo do ж = -f co,

wyrazie f₂ (x).

w sze

regu więc funkcyj Sturm’a można poprzestać Z schematu :

na

f(x)

f2 (X)

— co

(CO

-f

widoczna, że istnieją dwa pierwiastki rzetelne, z których jeden jest odjemnym, a drugi dodatnym.

Oddzielenie pierwiastków rzetelnych.

12. Sposób Sturm’a. Twierdzenie Sturm’a daje sposób dowiedzenia się, ile równanie dane posiada pierwiastków rzetelnych. Aby następnie te pierwiastki oddzielić, tj. każdy z nich zamknąć między dwie granice, należy w szeregu funkcyj Sturm’a, utworzonych dla danego równania, podstawić za x szereg wartości szczególnych coraz bliższych siebie, aż dojdziemy do tego, że w przejściu od jednej wartości do bezpośrednio większej będzie zachodziła utrata tylko jednej przemiany. Ilość tych podstawień znacznie się zmiejszy, gdy wprzódy wyznaczymy granice, między którymi leżą wszystkie pierwiastki rzetelne. Te granice zaś można wyznaczyć albo sposobem Newton’a (art. 6.), albo też sposobem następującym.

Sprowadźmy równanie do postaci :

f(x)

cp(x} -    (x) + cp₂ (x) = o,

gdzie <p(xj zawiera wszystkie wyrazy dodatne równania f(x) — 0, po-

Zasady algebry wyższej.

przedzające pierwszy wyraz odjemny, gdy tymczasem <p₂ (x) zawiera pozostałe wyrazy dodatne, a <p, (x) wszystkie wyrazy odjemne co do znaku pozmieniane. Podstawmy w różnicy y(x) — <p, (x) za x coraz większe wartości, aż dojdziemy do takiej wartości 5, przy której ta różnica jest dodatną : b jest wtedy granicą wyższą pierwiastków dodatnych. Jakoż, jeżeli xm jest potęgą, najniższą zmiennej x w (p(x), będzie:

?(x) — b (x) Ф) ! ?, (x)

b (x) 1

xm

Skoro

xm

xm

posiadają współczynniki same dodatne,

a wykładniki zmiennej x w pierwszym wyrażeniu są same dodatne, a w drugim same odjemne, pierwsze więc wyrażenie będzie razem z x wzrastało, gdy tymczasem wtóre będzie wciąż malało, gdy x wzrasta. Wartość na x, która jest większą od ó, nada tej różnicy, a przeto i funkcyi f(x) wartość dodatną, a zatym żaden pierwiastek dodatny nie może być od Ъ większym.

Wyznaczywszy takimsamym sposobem granicę wyższą a pierwiastków dodatnych równania f(—x) — 0, i tę granicę wziąwszy ze znakiem odjemnym, mieć będziemy — a jako granicę niższą pierwiastków rzetelnych równania f(x) — 0.

Weźmy pod uwagę pierwsze z równań, rozbieranych w poprzedzającym artykule:

f(x) = x⁴ — 6x³    5x² -j- 14x — 4.

У

Pisząc to równanie pod postacią :

f(x) = x⁴ — (6x³ —}— 4) —5x² -J- 14x = x⁴ J~ 1 —

6x³ -j- 4

X⁴

J -ł- 5x² -|- 14x,

widzimy, że będzie f(x) 0 dla x > 6. Taksamo skoro :

f(—x) — x⁴ -)- 6x³ -|- 5x² — 14x — 4 = x-^x² -j— 6x 5

14

i )

X-'/

widzimy, że f(—x)    0 dla x > 2 ; a zatym — 2 i -j- 6 są grani

cami pierwiastków. Sposób Ne w ton’a dałby 4 zamiast 6 na granicę wyższą.

Aby oddzielić pierwiastki tego równania, dość w szeregu funkcyj Sturm’a podstawić x = — 2, — 1, 0, 1, 2, 3, 4. Znajdziemy tym sposobem :

f(x)

f₂ (x)

f. (x)

f4 (X)

'+

Stąd czytamy, że między — 2 i —1, jak również między O i -j- 1 leży jeden pierwiastek rzetelny, gdy tymczasem między 3 i 4 leżą jeszcze dwa pierwiastki rzetelne. Aby oddzielić te dwa ostatnie, dzielimy obręb od 2 do 3 na mniejsze przedziały i podstawiamy za x wartości : 3‘7, 3'2, 3’3, 3'4, ЗА, 3‘3, 3'7, 3‘8, 3'9. Dla x = 3'5 znajdziemy szereg znaków —, 0,    -}-• Ten szereg zawiera tylko jednę przemianę,

a więc jeden z pierwiastków uważanych leży między 3 i 3 5, a drugi między 3’5 i 4.

Zapomocą twierdzenia Sturm’a można wprawdzie z pewnością zupełną oddzielić wszystkie pierwiastki rzetelne, ale rachunki, jakich ten sposób wymaga, są niekiedy bardzo uciążliwe. Z tego powodu używa się w praktyce sposobu, podanego przez Fourier’a, a opierającego się na twierdzeniu Budan’a.

13. Sposób Fourier’a. Aby oddzielić pierwiastki równania f(x) = 0 rzetelne, wynajdujemy naprzód granice tych pierwiastków a i b > л, a następnie w szeregu funkcyj Bud an’a:

f(x), Df(x), D²f(x),... ,Dn f(x)

podstawiamy za x szereg wartości zawartych między a i b. Dajmy, że a i ß > a oznaczają dwie po sobie następujące zpomiędzy tych wartości. Jeżeli w przejściu od a do ß szereg funkcyj Budan’a utrącą jednę przemianę, wówczas między a i ß będzie z pewnością zawarty tylko jeden pierwiastek rzetelny. Jeżeli zaś w przejściu od a do ß ilość

utraconych przemian jest > 2, wówczas niewiadoma, ile pierwiastków rzetelnych jest zawartych między a i ß.

Załóżmy naprzód, że w przejściu od a do ß zachodzi utrata tylko dwu przemian znaków, i że to ma miejsce pomiędzy trzema pierwszymi wyrazami szeregu Budan’a tak, iż gdy np. Да) > 0 i /(ß) ]> 0, mamy :

1.

f(x)

Df(x)D²f(x)

a gdy /(а) < 0 i f(ß) < 0, wówczas :

2.

x f(x) Df(x) D²f(x)

•CÖ

gdy tymczasem w pozostałej części szeregu nie zachodzi utrata żadnej przemiany znaków. Przy tych założeniach, równanie D²f(x) = 0 nie posiada żadnego pierwiastka rzetelnego między a i ß, a przeto funkcyja D²f(x) jest w tym obrębie statecznie dodatną (lub odjemną). Jeżeli więc także funkcyja f(x) jest statecznie dodatną (lub odjemną) w tym obrębie, wówczas utrata dwu przemian znaków wskazuje na istnienie dwu pierwiastków zespolonych, jeżeli zaś f(x) zmienia znak w obrębie od a do ß, wówczas utrata dwu przemian znaków wskazuje na istnienie dwu pierwiastków rzetelnych między a i ß. Fourier rozróżnił te dwie możebności sposobem następującym.

Weźmy pod uwagę tylko przypadek, kiedy /(a) > 0 i /(ß) > 0, [gdyż przypadek Да) <C. 0 i /(ß) <C 0 rozwiązuje się w takisam sposób] i uważajmy rzecz geometrycznie. Mamy rozstrzygnąć, czy linija. krzywa, przedstawiona równaniem :

У = f(x),

przecina oś 0X między x = a i cc = ß w dwu punktach, czy też nie przecina tej osi w żadnym punkcie. Ponieważ Df(x) jest naprzód odjemną, a potym dodatną, gdy tymczasem D*f(x) statecznie jest dodatną od x = a do x = ß, uważana krzywa musi (art. 8) w obrębie

od X — a do X — ß zwracać swą stronę wypukłą ku dołowi, jak ta wskazują Fig. 10. i 11.

tl

QÏ

Fig. 10.

Fig. 11.

albowiem wtedy tylko styczna do tej krzywej może swój kierunek zmieniać w ten sposób, że zawiera kąt z osią 0X, którego styczna trygonometryczna będąc naprzód odjemną, przechodzi raz przez 0, aby następnie stać się dodatną.

Zamienione dwie możebności przedstawiają dwie powyższe figury: pierwsza odpowiada przypadkowi, kiedy zachodzą dwa pierwiastki zespolone, a druga odpowiada przypadkowi, kiedy równanie f(x) ma między a i ß dwa pierwiastki rzetelne.

Jeżeli w punktach końcowych Pi Q krzywej, w obrębie od r = a do X — ß uważanej, wykreślimy styczne do tej krzywej PS i QT i te styczne przedłużymy aż do przecięcia się z osią 0X w S i P, to kiedy w przypadku drugim jest zawsze aS -j- Pß <C aß, w pierwszym przypadku jest [albo przez zbliżenie granic może być] aS -j- Pß >aß.

Skoro :

aS= ——

aP

tgaSP

Tß =

ßQ

tgßTQ ’

lub zważywszy, że :

aP = f(a), ßQ = f(ß), tgaSP = — tgXS I ' = — Df(a), tgßTQ=Df(ß),

rÆ =

f(a)

— Df(a)

T,

"CD

Dflß)

możemy zatym wypowiedzieć twierdzenie : Jeżeli

(1)

f(a)

f(ß)

- Df(a)

Df(ß)

wówczas utrata dwu przemian znaków przez szereg Budan’a w przejściu od a do ß >• a, wskazuje na istnienie dwu pierwiastków zespolonych.

Jeżeli wartość wyrażenia

л«).

н- -Щру- jest mniejszą

— Df(a)

od ß — a, nie należy sądzić, że oba pierwiastki są rzetelne; atoli, jeżeli te pierwiastki są zespolonymi, widoczna, że przez zbliżenie do siebie granic a i ß obrębu, można doprowadzić do tego, że ta wartość stanie się większą od ß — a. Należy przeto obręb od a do ß dzielić na przedziały mniejsze, dopóki albo warunek (1) nie zostanie dopełniony, albo dwa pierwiastki, jeżeli są rzetelne i nierówne, nie zostaną od siebie oddzielone.

Do tego przypadku szczególnego można sprowadzić przypadek ogólny, kiedy szereg Bud an’a w przejściu od a do ß utrącą d przemian znaków, jak to pokażemy w artykule następującym.

14. Oznaczmy ogólnie, dla p = 1, 2,...,w, przez dp ilość przemian znaków, jaką w przejściu od a■ = a do x = ß utrącą szereg funkcyj Budan’a, zaczynający się od wyrazu Dv f(x). Ilość dp wskazuje wtedy, ile (co najwyżej) pierwiastków rzetelnych posiada równanie Dv f(x) — 0 między granicami a i ß. Tę ilość nazwał Fourier wskazówką odpowiadającą fnnkcyi Dv f(x) w obrębie od a do ß. Według tego określenia, jest d₀ = d, dn — 0, a nadto dwie sąsiednie wskazówki, jak dp i d +i, mogą się różnić między sobą co najwyżej o 1; tak, iż dp+i albo = dp, albo = dp 1, albo też = dp — 1.

Weźmy pod uwagę szereg wskazówek, odpowiadających wyrazom szeregu Budan’a po sobie następującym:

dp f dp+i,.. ., dn—i, dn — 0

i w tym szeregu idźmy od lewej do prawej, aż napotkamy pierwszą wskazówkę, która jest = 1 ; niech tą wskazówką będzie dp. Równanie Dvf(x) — 0 posiada wtedy jeden pierwiastek rzetelny między a i ß. Poprzedzająca wskazówka dp—i musi być —2 , a następująca jest = 2, I, lub też 0. Jeżeli dPĄ.\ — 2, lub = I, można obręb od a do ß podzielić na mniejsze przedziały tak, aby przedział, zawierający pierwiastek równania Dv f(x) — 0, nie zawierał żadnego pierwiastka równania Dv+1f(x) = 0. W tym przedziale będzie c£p-K — ^•> a w dwu pozostałych będzie dp = 0, tak, iż pierwsza wskazówka = 1 została w nich posunięta bardziej ku lewej. Potrzeba zatym zbadać tylko przypadek, kiedy

d. dl; d

dp-i,

dp—i

- 2,

dp = 1, d

Ten przypadek zgadza się z przypadkiem szczególnym powyżej rozpatrzonym ; możemy zatym rozstrzygnąć sposobem podanym powyżej, czy

p+i

dwa pierwiastki równania Dp lf(x) — O są, rzetelne, czy też zespolone. W tym celu należy zbadać, czy wartość wyrażenia

Dp~'f(ß) ’

I)p f(ß)

— Dpf(a)

i ■> d

jest, czy też może się stać (przez dalsze zbliżenie granic) większą,, lub co najmniej równą różnicy granic ß — a. Jeżeli rzecz się tak ma, a przeto jeżeli te dwa pierwiastki równania D^~xf(x) — 0 są zespolonymi lub rzetelnymi, ale równymi, natenczas utrata dwu przemian znaków zaszła wskutek tego, że jedna z pośrednich funkcyj Budan’a przeszła przez 0, a dwie jej przyległe miały znaki jednakie. Równanie dane ma wtedy dwa pierwiastki zespolone (oprócz innych) i wówczas można od każdej poprzedniej wskazówki dp-2, dps, . . .., d odjąć 2, wskutek czego pierwsza wskazówka = 1 zbliży się ku początkowi-szeregu. Jeżeli zaś przerzeczone dwa pierwiastki są rzetelne i od siebie odmienne, można obręb podzielić na dwa przedziały, z których każdy zawiera tylko jeden z tych pierwiastków. Wówczas dla obu przedziałów będzie dp—i = f, tak iż znowu pierwsza wskazówka = 1 zbliży się ku początkowi szeregu. Powtarzając to postępowanie z nowymi szeregami wskazówek, będziemy cofali pierwszą wskazówkę — 1 coraz bardziej ku lewej tak, iż w końcu dojdziemy albo do tego, że będzie d =■ 1, albo d — 2. W pierwszym przypadku uskuteczni się zupełne oddzielenie pierwiastków, a w drugim trzeba jeszcze zbadać, czy dwa pierwiastki równania f(x) — 0 są rzetelne, czy też urojone.

Jeżeli dwa pierwiastki równania Dpf(x) — 0 są równe, wówczas należy także od poprzedzających wskazówek odjąć 2; albowiem utrata dwu przemian znaków pochodzi stąd, że dwie funkcyje pośrednie Dpf(x) i Dv⁺¹f(x) stają się równe 0 w przejściu x od a do ß.

15. Jako pierwszy przykład weźmy pod uwagę równanie :

f(x) = x⁵ — 3x³ -j- x² — 8x — 10 — 0,

dla którego: Df(x) = 5x⁴ — 9x² -\- 2x — 8

D²f(x)

2!

= 10x³ — 9x i,

D³f(x)

3!

= 10x² — 3

D⁴f(x)

4!

5x,

D⁵f(x)

5!

= + 1.

Pierwiastki tego równania rzetelne są zawarte między — 3 i -j- 3. Podstawiając zatym x — — 3,-2, — 1,0, +1,    2, + 3,

otrzymamy :

x f(x) Df(x) D²f(x) D³f(x) D⁴f(x) D⁵f(x)

•+

rH

+ + + + +°'!; I

*¹r

W przejściu od — 3 do — 2 i od 2 do 3 ginie jedna przemiana znaków, w każdym z tych dwu obrębów leży zatym jeden pierwiastek rzetelny. Przy wartości x — — 1 znika jff(x)', skoroD³/(—1) > Ö, więc if f(x) będzie < 0 dla bezpośrednio mniejszej, a >> 0 dla bezpośrednio większej wartości na x niż — 1 ; stąd pochodzą dwa znaki nad i pod 0. Taksamo, dla x — 0, znika D*f(x), ta funkcyja jest więc > 0 dla bezpośrednio większej, a -< 0 dla bezpośrednio mniejszej wartości, gdyż D°f(x) >• 0. Tak uzupełniwszy znaki, widzimy, że ginie jedna przemiana w przejściu od — 1 do 0, a przeto, że i w tym obrębie leży jeden pierwiastek rzetelny, tudzież, że giną dwie naraz przemiany w przejściu od 0 do 1.

Szereg wskazówek dla przedziału od 0 do 1, odpowiadających funkcyjom :

f(x),    Df(x),    D²f(x),    Dsf(x),    D‘f(x),    D⁵f(x)

jest:

2, 2, 2, 1, 0, 0.

Ponieważ po pierwszej wskazówce = 1 następuje 0, można zatym stosować kryteryum Fourier’a. Znajdziemy:

D²f(l)

P²f(0)

P³f(l)

4    2

—P³f(0) ~ 42 ⁺ T8 < h

Stąd czytamy, że obręb należy bardziej ścieśnić. Podstawmy x = 0'5, natenczas będzie :

f(x)

Df(x)

D²f(x)

D³f(x)

D⁴f(x)

D⁵f(x)

0-5

Dwa pierwiastki wskazane między Oil, jeżeli są rzetelne, leżą między 0 i 0’5, gdyż w przejściu od 0 do 0'5 giną dwie przemiany znaków. Szereg wskazówek dla przedziału od 0 do 0'5 jest :

2, 2, 2, 1, 0, 0,

Skoro teraz:

D²f(Q-5)

D²f(0i

D³f(0-5)

D³f(0)

przeto dwa pierwiastki równania D²f(x) = 0, a więc i równania f(x) — 0 są zespolonymi.

Jako drugi przykład, zbadajmy równanie:

f(x) = x⁶ — 12x⁵ -f- 60x⁴ -j- 123x² -f- 4567x — 89012 = 0. Znajdziemy :

x f(x) Df(x) D²f(x) D³f(x) D⁴f(x) D⁵f(x) D⁶f(x)

-10 +

10    —[—    —j—    -j-    “l⁻    ~f~    —j—

Między — 10 i — 1 leży jeden pierwiastek rzetelny, gdyż w przejściu od — 10 do — 1 ginie jedna przemiana znaków. Gdy x przecho-

Z&eady algebry wyiszéj.

dzi przez 0, giną naraz dwie przemiany, gdyż lff(x) staje się = gdy tymczasem D²f(x) i D*f(x) mają znaki jednakie; to wskazuje na dwa pierwiastki zespolone (oprócz innych). Nareszcie w przejściu od 1 do 10 giną naraz trzy przemiany znaków. Szereg wskazówek dla tego przedziału jest następujący :

d=3, d, — 2, d₂ = 2, d₃ = 2, d₄ = 2, d₅ = 1, d₆ = 0.

Dwa pierwiastki równania lff(x) — 0 są tu równe ; albowiem

D⁴f(x) = 360x² — 1440x + 1440 = 360(x—2)² ;

stąd wnosimy, że równanie f(x) — 0 ma jeszcze inne dwa pierwiastki zespolone; albowiem, skoro D⁴f(2)=0 i D⁵/(2) = 0, utrata dwu przemian znaków pochodzi stąd, że dwie pośrednie funkcyje Budan’a stają się równe 0. Między 1 i 10 leży tylko jeden pierwiastek rzetelny równania f(x) — 0.

ROZDZIAŁ X.

Rozwiązanie równań arytmetyczne. (Dokończenie).

Rachunek liczebny pierwiastków wymiernych.

1. Równanie ze współczynnikami ułomkowymi można zawsze zamienić na inne, którego współczynniki są liczbami całkowitymi, i którego wyraz pierwszy ma współczynnik — 1. Niech więc:

(1)

+ p₂ X“-²

n—1

f(x) = xn + p, X

będzie równaniem tak przerobionym.

Jeżeli równanie, którego pierwszy wyraz ma współczynnik — I, gdy tymczasem współczynniki pozostałe są liczbami całkowitymi, posiada pierwiastki wymierne, to te pierwiastki muszą być całkowitymi.

Jakoż, gdyby ułomek y, w którym r i s są liczbami względem siebie pierwszymi, był pierwiastkiem równania (1), mielibyśmy wówczas :

= — (p, rn 1 + p₂ rn“²s    + pn s“-¹)

a to niemożebna, gdyż ułomek po lewej stronie znaku równości jest nieprzywiedlnym, gdy tymczasem po prawej stronie znajduje się liczba całkowita. Pierwiastki wymierne równania (1) muszą być zatym liczbami całkowitymi.

Newton podał następujący sposób na wynalezienie tych pier

wiastków.

Niech liczba całkowita a będzie pierwiastkiem równania (1) ; mamy wtedy :

an -f- p, a"“¹ + p₂ a"“² + .... + pn-i a ■+■ pn = 0.

Stąd widoczna, że a musi być dzielnikiem ostatniego współczynnika jpn. Podzielmy ostatnie równanie przez a ; położywszy :

Pn Щп—1 7

otrzymamy wtedy :

H⁻ Pn—i “h qn—i — 0 ;

a"⁻¹    p^⁻² -f- p₂ an~³ 4-

skąd wypływa, że także pn_i 4~ #n—i musi być podzielne przez a. Dzieląc zatym ostatnie równanie przez a i kładąc znowu :

Pn—i -f- qn-x — &qn—2 7

otrzymamy równanie :

an-2 pi an-3 p2 an-4 4- .... 4- pn_2 4- qn_S = 0,

które pokazuje, że także j)u_₂ 4- qa—2 musi być podzielne przez a. Postępując tak dalej, dojdziemy w końcu do warunku:

1 + do — 0-

Jeżeli więc liczba całkowita a jest pierwiastkiem równania (1), natenczas musi być ona dzielnikiem ostatniego współczynnika pn i szereg ilorazów:

(2)

Pn

Pn—1 4~ qn-i

qn—27

Pn—2 4~ qn-2

— qn—3,

Pi + q.

musi się składać z samych liczb całkowitych, przyczym ostatni qg musi być równy — 1. Postępując podług tego prawidła z każdym dzielnikiem współczynnika pa , znajdziemy wszystkie pierwiastki wymierne (całkowite) równania (1).

2. Znalazłszy sposobem wyłożonym pierwiastek wymierny a równania, nie potrzebna przeprowadzić osobnego rachunku, aby znaleść

— ; albowiem ten iloraz jest następujący :

n—3 _

iloraz

f(x) .

xn-l

— q, x

n—2

. . — q„_i.

— q₂ X

Jakoż, jeżeli to wyrażenie pomnożymy przez (x—a), otrzymamy:

xn — fai + a) X"-¹ 4- (q, a — q₂ ) X a że, podług (2) :

— (qt 4 a)= Pl

n—2

4 • • • 4 aqn-i ;

qt a — q₂ = p₂

aqu_x = pn

napisany dopiero iloczyn jest pierwszą, stroną równania f(x) = 0.

Nie potrzeba badać także wszystkich dzielników współczynnika pn , tylko te, które leżą między granicami pierwiastków rzetelnych, a i w tym względzie ilość prób można zmniejszyć. Albowiem, jeżeli dzielnik a współczynnika pn nie jest pierwiastkiem równania f(x) — 0, wtedy a 4 w nie może być pierwiastkiem równania f(y 4 m) — 0, którego pierwiastki są o m mniejsze (odpowiednio większe) od pierwiastków równania f(x) — 0, a więc a 4 m nie może być dzielnikiem liczby f( 4 m). Za m najdogodniej wziąć 1. A zatym, zpomiędzy dzielników współczynnika pn należy opuścić te dzielniki a, dla których

nie jest liczbą całkowitą.

lub odpowiednio

f(-V

a -\-l

Jako przykład, weźmy pod uwagę równanie:

f(x) = X⁵ 4 5x⁴ 4 X³ — I6x² — 20x — 16 = 0.

Dzielnikami współczynnika 16 są liczby 4 7, ±2, 4 4 4 8, 4 16; atoli, skoro wszystkie pierwiastki rzetelne leżą między — 5 i 5, należy opuścić dzielniki 4 8 i 4 16. Nadto mamy

fW

45

OL—1’

9

• Skoro 45 nie jest podzielne przez 2, a 9 nie

jest podzielne ani przez 2, ani przez 5, więc dzielniki — 1, 4 1 i 4 4 należy opuścić i próbować tylko, czy trzy pozostałe dzielniki 4 2, — 2 i — 4 nie są pierwiastkami.

Próbujmy naprzód, czy dzielnik 4 2 nie jest pierwiastkiem. Wypisując współczynniki równania założonego w jednym wierszu i uskuteczniając dzielenia (2), mamy :

f(~l)

1 —— ¹⁶ = Рз, —²⁰= 14 —¹⁶=p₅; a—42 — l = qo ,— 7 = q,,— 15 = qa, — I4=q₃, — 8 = q₄, _

0    , — 2 , — 14 ,    — 30

— 28.

A zatym 2 jest pierwiastkiem, nadto

f(x)

5- = X⁴ 4 7x3 4 15X2 4 I4x 4 8 = 0.

X - u

Próbujmy teraz, czy — 2 nie jest pierwiastkiem równania zało-

żonego, lub, co wychodzi na jedno, równania —

= 0. Postępując

00

jak poprzednio, znajdziemy:

8;

Stąd czytamy, że — 2 jest pierwiastkiem, a nadto, że:

f(x)

(x —2) (x 2)

= x3 -f- 5x2 + 5x + 4 = 0.

4;

Próbując nareszcie, czy — 4 nie jest pierwiastkiem, będziemy mieli: 1,    5,    5,

- 1, - 1, - P

0,    4,    4

zatym — 4 jest także pierwiastkiem i mamy ostatecznie :

f(x) == (x — 2) (x -f 2) (x + 4) (x² 4- x 4- 1) = 0.

Dwa pozostałe pierwiastki są zespolonymi i =

— 1 ± i УЗ

Rachunek pierwiastków niewymiernych sposobem Newton’a z poprawką Fourier’a.

3. Newton podał także sposób na obliczenie pierwiastków niewymiernych, który następnie udoskonalił Fourier. Sposób ten zależy na coraz większym zbliżaniu do siebie granic, między którymi leży pierwiastek równania mający być obliczony.

Załóżmy, że między granicami a i ß > a, leży tylko jeden pierwiastek równania f(x) — 0, i żeśmy te granice przez próby tak do siebie zbliżyli, że ani równanie I)f(x) = 0 ani równanie D²f(x) — 0 nie posiada żadnego pierwiastka rzetelnego między a i ß, a przeto, że gdy f(x) w przejściu od x = a do x = ß zmieni znak raz jeden, to Df(x) i D²f(x) w tym obrębie zachowują tensam znak dodatny lub odjemny. Nazwijmy tę zpomiędzy granic a i ß granicą zewnętrzną pierwiastka, dla której iloczyn f(x). D²f(x) jest dodatnym, a tę granicę, dla której iloczyn f(x).D²f(x) jest odjemnym, nazwijmy granicą w ewn ętrzn ą.

I. Dajmy naprzód, że granicą zewnętrzną jest granica niższa a,, natenczas mogą zachodzić dwa przypadki; albo 1°

dla X — a : a dla X = ß : albo 2° : dla X = <x :

a dla o? = ß :

Weźmy granicę a za pierwsze przybliżenie do wartości dokładnej pierwiastka i oznaczmy przez li liczbę dodatną, którą do a należy dodać, aby mieć wartość dokładną pierwiastka zawartego między a i ß poprawka h musi być mniejszą od ß — a ; mieć wtedy będziemy

(IY. 14.):

f(x) > 0, Df(x) < 0, D²f(x) > 0, f(x) < Df(x) < 0, D²f(x) > 0,

f(x) < 0, Df(x) > 0, D²f(x) < 0, f(x) >■ 0, Df(x) >> 0, D²f(x) << 0.

0 =f(a -j- h) — f(oi) -f-    -j- 6h), gdzie 0 < 6 < 1 ;

stąd wypływa :

(1)

f(a)

Df(a -f- Ыг) '

W pierwszym przypadku jest /(a) > 0, gdy tymczasem jDf(x) <C 0 od X — a do x — ß. Skoro lff(x) > 0 od x — a do-X = ß, więc Df(x) ciągle wzrasta (IY. 14.) razem z x; mamy zatym

przeto, skoro Df(x) <C 0, jest

D/(a) < Щa + ÖÄ) < D/(ß),

— Df(ct) > — _D/(a -f- 6Д) > — D/(ß). Jeżeli więc w wyrażeniu powyższym na poprawkę h w mianowniku za — Df(a + Щ podstawimy wartość większą — D/(a), otrzymamy poprawkę cokolwiek mniejszą :

(2)

h, =

f(a)

— Df(a) •

Dodawszy tę poprawkę do a, otrzymamy nowe przybliżenie :

(3)

f(a)

- Df(a)

i będzie :

a < a, < a -}- h.

W drugim przypadku jest /(a) < 0, gdy tymczasem Df(x) > O od x — a do x == ß ; mamy zatym D/(a) >• D/(a -f- 67г) > D/^ß). Kładąc zatym

(2')

ht =

Df(a) ’

mieć będziemy \ < Л, tak, iż nowe przybliżenie:

— f(a)

(3')

Df(a)

będzie bliższym pierwiastka aniżeli a, ale od tego pierwiastka jeszcze mniejszym. Postępując z nowym przybliżeniem a, , jakieśmy postąpili z przybliżeniem pierwotnym a, otrzymamy wartości coraz bliższe pierwiastka, ale wciąż od niego mniejsze :

(4)... .Oj ==a₁

f(a, )

Dffa, ) ’ аз

= a₂

f(a₂ )

Dfte ) ’ ‘

(X3

%з )

Df(a₃ )

itd.

Gdybyśmy wzięli granicę wyższą ß, która z założenia jest wewnętrzną, za pierwsze przybliżenie, wtedy oznaczając przez b! dokładną wartość poprawki, mielibyśmy :

0 = f(ß — h') = f(ß) — h'Df(ß — 6h')

skąd

h' =

f(ß)

Df(ß — 6h')‘

Skoro w pierwszym przypadku —/(ß)>0 i    —7)/(ß—6/i)<— Df(a)

a w położymy :

drugim przypadku /(ß) >0 i К D/(ß — 6/ï) < Df(a), przeto gdy

-со

Df(a) ’

będzie h\ < h', a więc ß > ß — h\ > ß — h. Jako drugie przybliżenie można zatym wziąć:

(5)    .    .

Df(a) '

Wyznaczywszy zatym naprzód a, } a₂ , a₃ . .podług wzorów (4), a następnie ß„ ß₂, ß₃,.... podług wzoru (5), tj. kładąc następnie

(6). . . - ß₂ = ßt-

со.

> ß₃ = ß₂ —

f(P₂)

Щ«₂) ’

Df(a, )

a dokładną wartość pierwiastka uważanego oznaczywszy przez £, mieć będziemy :

а < а, < а₂ < а₃ <... .< i <....< ß₃ < ß₂ < ß, < ß.

4. Możemy także podać, o ile granice nowe pierwiastka są bardziej do siebie zbliżone, aniżeli były dane. Jakoż odjąwszy równanie

(3) od równania (5), otrzymamy:

ßi - ai = ß —

f(ß) — f(a)

Ша)

lub, położywszy ß — a = 5, ß — a, = 5

i •>

f(a + Ь) — f(a)

Щ°0

Atoli według wzoru (12) w art. 14. rozdź. 1У., mamy :

5²

f(a + 5) — f(a) = 5Df(a) -f -x- D²f(a + 85),

U

Wskutek tego będzie :

0 <6< 1.

(7)    .    .

8! !

P²f(q -f 65)

2Df(a)

gdzie wyrażenie w nawiasie po prawej ma wartość dodatną, gdyż w obrębie od a do ß pochodne Df(x) i D²f(x) mają, z założenia, znaki przeciwne.

Z tego wzoru czytamy: 1°. że zbliżenie granic zwiększa się, jak wyrazy postępu geometrycznego ; 2°. że jeżeli różnica 5 między pier-

wotnymi granicami jest    a wartość największa ilorazu

1 . 1

w obrębie od a do ß jest < - ^ , wówczas będzie 5, < ^ +k

tym : Jeżeli granice pierwotne a iß tak do siebie zbliżone, że miały m cyfer dziesiętnych wspólnych, to nowe granice a, i ß, będą miały już 2m -f- к cyfer dziesiętnych wspólnych. Stąd zaś wypływa, że celem obli-

2Df(o)

. A za-

ад

poprzestać na 2m+k cyfrach dziesiętnych; tak obliczony iloraz dodany do a da nam at, a zwiększywszy w at ostatnią cyfrę dziesiętną o I, otrzymamy (bez dalszego rachunku) ß, .

Ażeby jednak zbliżenie do siebie nowych granic było istotnie większym, musi być 2m + к > m-\- 1, tj. m > 1 — k. A zatym, dopiero wtedy należy zacząć stosowanie sposobu Newton’a, kiedy przez próby znaleziono już tak do siebie zbliżone granice, że m > 1 — k.

5. II. Przypadek, kiedy granica wyższa ß jest zewnętrzną, a granica niższa a jest wewnętrzną, rozwiązuje się taksamo. Znajdziemy-wtedy :

czenia a, należy w ilorazie —

Df(a)

(8) . .

Df(ß) ’ ai

ад

Df(P)‘

6. Jako przykład weźmy pod uwagę równanie: #³ — 2x — 5—-0, które posiada tylko jeden pierwiastek rzetelny zawarty między 2 i 3

Zasady algebry wyższej.

21

Машу f(x) Е5Е X³ — 2х — 5, Df(x) = Зх² — 2, D²f(x) = 6'х, iff(x)=6] a zatym skoro:

X j f(x) Df(x)D²f(x) D-if(x)

4-

w obrębie od 2 do 3 jest

2Df(x)

granica wyższa 3 jest granicą zewnętrzną. Największa wartość ilorazu

, a zatym к — 0; nadto, skoro 3 — 2 — 1} jest

I)²f(3)    _ 18

~    2Df(3) ~ 50

m = 0, warunek m > 1 — к nie jes dopełniony, trzeba zatym przez próby granice bardziej zbliżyć, nim się zacznie stosować sposób New-ton’a. Podstawiwszy x — 2‘1, znajdziemy f(2’l) — -f-, Df(2’l) = -j-, J)²f(2'l) —    D³f(2’l) = +;' pierwiastek rzetelny jest więc za

warty między 2 i 2'1 i 2‘1 jest granicą zewnętrzną. Ponieważ teraz m — 1, a przeto warunek m > 1 — к jest już dopełniony, można więc zacząć stosowanie sposobu Newton’a.

Wziąwszy ß = 2‘1 za pierwsze przybliżenie, mieć będziemy:

P. = 2-1

<12-1 )

Dli 2-1 )

= 2 1 — 0-0054

przyczym, skoro 2m + к = 2, należy wziąć wr odjemniku tylko 2 cyfry dziesiętne. Jest więc jeszcze ß, = 2‘10, gdy tymczasem a, —209. Następnie biorąc w odjemniku 4 cyfry dziesiętne, gdyż teraz 2m -\~k— 4, mamy :

= 2-10 — 0-0054 = 2-0946,

ß₂ = 2-10 —

f(2'10)

Df(2D0)

a przeto a₂ = 2'0945. Dalej będzie :

ß₃ = 2-0946 —

f(2 0946)

Df(2-0946) ’

przyczym w odjemniku należy wziąć 8 cyfer dziesiętnych, gdyż teraz 2m -f- к = 8, a zatym a₃ = ß₃ — 0 00000001, itd. Postępując tym sposobem znalazł Fourier:

2- 094 551 481 542 326 591 482 386 540 57 < jako wartość pierwiastka żądanego.

Rachunek liczebny pierwiastków niewymiernych sposobem Homera.

7. Sposób w praktyce dogodniejszy na obliczenie wartości pierwiastków wymiernych lub t iewymiernych podał W. G. Homer (Philosophical Transactions of the Royal Society of London. 1819, Part. II. Page 308).

Żeby dać wyobrażenie tego sposobu, weźmy pod uwagę równanie

0)

f(x) = 2x3 _ 473X2

To równanie ma jeden pierwiastek dodatny zawarty między 200 i 300. Wyprowadźmy z tego równania nowe f(200 -f- x) — 0, którego pierwiastki są o 200 mniejsze. To nowe równanie otrzymamy za pomocą dzielenia Homera, jak to pokazuje schemat następujący:

200

234x — 711 = 0.

- 473

— 234

400    — 14600    — 2966800

73    — 14834    — 296751IX

65400

50566X

400

711

727X

mamy zatym równanie żądane :

(2)

f(200 + x) = 2x3-f 7 27x²-j-50566x—2967511 ₌ o.

Skoro założone równanie (1) posiadało pierwiastek zawarty między 200 i 300, więc równanie (2) będzie posiadało pierwiastek zawarty między 0 i 100. Przez próby znajdziemy, że ten pierwiastek leży między 30 i 40. Znalazłszy to, wyprowadzamy następnie z równania (2) nowe równanie f(230 -}- x) — 0> którego pierwiastki są o 30 mniejsze, aniżeli pierwiastki równania (2). Dzielenie Homera, zastosowane do równania (2), daje :

50566

23610

— 2967511 2225280

7    74176

25410

847“”    99586X

ao co

O -a

— 742231X

60

907X

mamy zatym :

(3)

f(230 + x) = 2x³ -f- 907x2 -f 99586x — 742231 = 0.

Równanie (3) powinno znowu posiadać pierwiastek zawarty między 0 i 10, skoro równanie (3) posiada pierwiastek zawarty między 30 i 40. Znowu przez próby trzeba znaleść największą liczbę jednostek zawartych w tym pierwiastku. Ilość tych prób można wszakże zmniejszyć, gdy wziąwszy a = 230 za pierwsze przybliżenie żądanego pierwiastka równania (1), będziemy szukali drugiego przybliżenia sposobem Newton’a. Tym sposobem znajdziemy:

f\230)

Df(230)

a, — 230 —

Skoro z równania (3) wprost wypływa /(230) = — 742251,

/(230)    742231

Df(230) ~~ 99586

J)f(230) == 99586, a przeto —

leży więc próbować, czy 7 nie jest tą ilością jednostek największą zawartą w żądanym pierwiastku równania (3). Dzielenie Homera stosowane do równania (3) daje :

<M

co

99586    — 742231

742231

6447

921

106033

OX

Stąd już czytamy, że 7 jest nietylko największą liczbą jednostek zawartych w pierwiastku lównania (3), ale, że jest nawet dokładną wartością tego pierwiastka ; albowiem f(237) = 0. Żądany pierwiastek równania (1) jest więc — 237.

Działanie, jakieśmy wykonywali dla znalezienia 237, jako pierwiastka równania (1), wypisuje się, jak następuje;

— 473 400

— 234 14600

— 711 — 2966800

|237

73

400

— 14834 65400

— 296751IX 2225280

327

400

50566X

23610

- 742231XX

742231

727X

60

74176

25410

0XXX

t- o t>- o go co h* co

99586XX

6447

106033

907XX

14

Znak (X) oznacza ukończenie pierwszego dzielenia przez (x—200), znak (XX) ukończenie drugiego dzielenia przez (x—30), znak (XXX) ukończenie trzeciego dzielenia przez (x—7). Trzeciego dzielenia nie potrzeba było uskuteczniać w zupełności, bo się zaraz okazało, że f(237)=0.

W tym sposobie powiedzieliśmy, że potrzeba pewne liczby wynajdywać przez próby, ale zaraz pokazaliśmy, jak ilość tych prób można zmniejszyć. Mianowicie, jeżeli f(x)—0 jest równaniem założonym i jeżeli zapomocą jednego lub więcej działań wyprowadziliśmy równanie f(c-\-x) = 0, którego pierwiastki są o c mniejsze, aniżeli pierwiastki równania założonego i jeżeli to ostatnie równanie ma pierwiastek bardzo mały, natenczas c jest wartością przybliżoną pierwiastka równania

f(c)

f(x) = 0, a więc c —

I)f(c)

będzie — mówiąc w ogólności — więk-

Ąc)

powinno

Щс) '

szym przybliżeniem do tego pierwiastka. A zatym —

dać wartość przybliżoną tej liczby, o którą następnie pierwiastki równania f(c -f- x) — 0 mają być zmniejszone.

8. I)la wyjaśnienia tego sposobu i okazania pewnych ułatwień, jakie do rachunku wprowadzić można, wynajdziemy wszystkie trzy pierwiastki rzetelne a niewymiernie równania :

f(x) = X³ — 3x² — 2x H- 5 = 0

Te pierwiastki są zawarte między 3 i 4, między 1 i 2 i nare-szcze między — 2 i — 1. Celem wynalezienia pierwszego z tych pierwiastków w 5 cyfrach dziesiętnych należy uskutecznić następujące działania :

со

СО

oo со о со

(M w im œ

-IX

•761

7X

•61

—-239ХХ

•167128

6X

7-

•1

CO CO

•1

8 23ХХ

•1264

6-2

8-3564

—-071872XXX

•068273152

—•003598848+

343416302464 — 003255 i 8!637536+ь

•1

1268

6-ЗХХ

•02

6-32

•02

8 4832ХХХ

•050944

8Т534Г44

•051008

6    8-585152+

•0002555616 6-36ХХХ    8-5854075616

00 O

•008

6 368

•008

6-376

008

6-384+

•00004

6-38404

Aby znaleść drugą cyfrę pierwiastka, mamy —

Df(3)

— 0'1a zatym 0-1 jest drugą cyfrą; aby znaleść trzecią cyfrę, ma-

my —

f(B4)

-239

= 0-02..

a zatym 0’02 jest trzecią cyfrą;

f(3-12)    __ 0-71872

DfCS-12) '

a zatym 0-008 jest żądaną cyfrą, aby znaleść następną cyfrę, mamy f(3-128)    __ *003598848

Df(3-128)

0-00004, i t. d.

9. Wynajdziemy teraz drugi pierwiastek, zawarty między 1 i 2, przyczyna będziemy opuszczali znaki dziesiętne, a natomiast, kiedy się

Df(3-1)    8-23

•;

aby znaleść czwartą cyfrę, mamy —

8-585152

8-4832

0 008

= 0-00004, a zatym następną cyfrą jest

będzie przystępowało do szukania cyfr dziesiętnych ułomka, będziemy dopisywali po prawé| jedno zero do pierwszego współczynnika równania przerobionego, dwa zera do drugiego współczynnika, trzy zera do trzeciego i wtedy te współczynniki uważać będziemy za liczby całkowite. Rachunek tego pierwiastka będzie więc następujący :

-2

(1-20163...

—2

i-i

1000X

—992

— 500х

O Ol

—496

to to

—4880000ХХХ

—8ÖÖÖOOOXXX

—487 399 _

“3120601000+

—2927060904

Ï 9354009 6000++

601

to

— 4879399

602

600ХХХ _ 487879700+ 36216

601    - 487843484 36252

602    —48780723200++

6030+

6036

6042

60480++

Należy zauważyć, że cyfrę następującą po 2 w pierwiastku,

że ten ilo-

uważaną jako całkowitą, dać powinien iloraz

8000

48800’ a

raz

jest mniejszy od 7, dla tego wzięliśmy 0 za następną cyfrę, a następnie dodawszy znów jedno 0 do pierwszej kolumny, dwa 0 do diugićj kolumny, trzy 0 do trzeciej kolumny, na wyznaczenie cyfry w pierwiastku, następującej po 0, uważanej jako liczba całkowita, otrzyma«

liśmy

8000000

4880000

10. Wynajdziemy nareszcie trzeci pierwiastek założonego równania, zawarty między — 2 i — 1 czyli pierwiastek dodatny równania f( — x) = 0, tj. X³ -j- 3x² — 2x — 5 = O, zawarty między 1 i 2. Rachunek tego pierwiastka jest następujący :

lO r-i

60Х

co

co co co co

690XX

co

co

co co

СЛ Ю to

o o

O 00

t'- r-l

X¹

889

198

2079

110779

2088

112867000000+

*3495025

112870495025

3495050

-5

(133005

-3000X

2667

—333000ХХ 332337

- 663000000000+ 564352175125

—98647524875++

co co

112873990075++

699000+ 699005 699010 699015++

11. Następne cyfry dziesiętne można rachować sposobem przybliżonym, a mianowicie, zamiast dopisywać zera, będziemy po ukończeniu każdego działania opuszczali jednę cyfrę po prawej w przedostatniej kolumnie, dwie cyfry w trzeciej kolumnie od końca i t. d., dopóki nie zostaną- nam tylko dwie końcowe kolumny. Dalszy rachunek jest więc następujący:

—5

Pierwiastki równania założonego w 5 cyfrach dziesiętnych są zatym:

X, = 3-12804.. x₂ = 1-20163.. x₃ = -1-33005

ich suma — 2-90062 różni się od współczynnika 3 przy x² o mniej niż O'OOl.

22

169190,25

112873990075

55921

I-

-98647524875    (1-33005873

90299639432

11287454929

55921

1128751085,0X

489

I-

1128751574

—8347885443X 7901261018 ' — 446624425XX ~ 338625624 —107998801XXX

489

112875206.3XX

112875208

112875210XXX

12. Kiedy zostały nam już tylko dwie ostatnie kolumny, wynajdziemy dalsze cyfry dziesiętne pierwiastka zapomocą skróconego dzielenia, jak następuje:

11287521,0

—107998801    (1-3300587395679825

101587689

1128752,1

—6411112

5643761

112875,2

11287 5

— 767351 677251 ~9ÖTÖ0 79013

1128,7

- 11087 10158

112,8

—929

902

11,2

to to

to —!

Zasady algebry wyższej.

ROZDZIAŁ XL

0 funkcyi algebraicznej wymiernej i ułomkowej.

Rozłożenie ułomka wymiernego właściwego na ułomki proste.

1. Przez funkcyją algebraiczną, wymierną i ułomkową czyli krócej, przez ułomek wymierny rozumiemy taki ułomek, którego licznik i mianownik są funkcyjami całkowitymi jednej zmiennej lub więcej liczb zmiennych. Ograniczymy się uwagą funkcyj, zależnych tylko od jednej zmiennéj z.

Ułomek wymierny jest ułomkiem właściwym lub niewłaściwym, według tego, czy stopień licznika jest niższy, czy też wyższy od stopnia mianownika. Każdy ułomek wymierny niewłaściwy można, zapo-mocą dzielenia, przedstawić pod postacią sumy dwu wyrazów, z których jeden jest funkcyją całkowitą stopnia, co najmniej równego 0, a drugi jest ułomkiem wymiernym właściwym. W każdym ułomku właściwym można następnie przyjąć, że stopień licznika jest tylko o 1 niższy od stopnia mianownika. Albowiem, gdyby stopień mianownika był równy n, a stopień licznika równy n — /r, gdzie к > 1, to można dodać w liczniku potęgi £n_1, zn~‘²,. . . ,sn_k+1 ze współczynnikami zerowymi, a wtedy licznik przyjmie postać funkcyi całkowitej stopnia (n — 1). Równocześnie można założyć, że w mianowniku współczynnik wyrazu z potęgą najwyższą jest równy 1; albowiem, gdyby miał wartość od 1 odmienną, wtedy, podzieliwszy licznik i mianownik ułomka przez tę wartość, zrobimy ten współczynnik równym 1.

Przy tych założeniach, kształt ogólny ułomka wymiernego i właściwego będzie następujący :

(1) . .

f(z)

q₀ z"-¹ -f qt zn~² +. . . . +qn-»z -f qn_i

F(z) zn + p, zn-H-pa zn~² +. +p„_iz -f pn

Oznaczmy przez a,, a₂, . ...,am wszystkie od siebie odmienne pierwiastki mianownika F (z), a przez bx , &₂ ,... . ,ók wszystkie od siebie odmienne pierwiastki licznika f(z) i załóżmy, że pierwsze są odpowie-dnio oq — , a-2 — ,. . . ,am — krotnymi tak, iż oq -j- a₂ -|-. . . -j- am = n, gdy tymczasem stopnie wielokrotności wtórych pierwiastków są odpowiednio ß, , ß₂,..., ßk tak, iż ßi+ß₄-K . .-f-ßk = n—l.

Zamiast (1) można wtedy pisać :

(2) •

f(z) ₌ q₀(z — b,)P' (z—-b₂)Pł

‘ * F(z) ;

(z —bk )

ßk

(z — at)a' (z —a₂)“²

(Z — flm)

am

Dajmy, że ułomek (1) jest sprowadzony do postaci najprostszej, tj. że licznik i mianownik nie mają wspólnego czynnika zawierającego w sobie zmienną z; wówczas ułomek stanie się 0 tylko dla z=hv — b2=.. .== bk , a oo tylko dla z —ax — a₂ = .. •— am. Stąd też wartości bx, b₂....,bк zowią się zerami, a wartości a,, a₂,...., zowią się nieskończonościami tego ułomka.

Łatwo spostrzec, że ułomek (1) zrywa ciągłość około każdej swej nieskończoności. Jakoż, jeżeli ten ułomek ma być ciągłym około wartości z — a, to (ГУ.) dawszy sobie liczbę bezwzględną e podług upodobania małą, powinna się dać wyznaczyć druga liczba bezwzględna 7] i taka, aby dla mod lu < ■/], zachodziła nierówność :

mod

f(a -f- h)    f(a)

F( a-f- h)    F(a)

< e.

f(U

staje się oo.

F(a)

Otóż ta nierówność nie może zachodzić, gdy a jest nieskończonością ułomka, tj. gdy

2. Ułomek wymierny nazwiemy prostym, jeżeli jego licznik jest liczbą stałą, a mianownik albo funkcyją całkowitą stopnia 1., albo też potęgą całkowitą i dodatną takiej funkcyi. Dowiedziemy twierdzenia następującego :

Ułomek wymierny i właściwy daje się rozłożyć na sumą pewnéj ilości ułomków prostych, których mianowniki mają mianownik ułomka założonego za najmniejszą wspólną wielokrotność.

Połóżmy w tym celu :

(3) .    .

f(z)

-6

У

-e-

CS2

F(z)

Fl(z)

•>

gdzie :

(4) . . . F,(z)

F(z)

= (z

(*—ai)«i

a cp,^ i (f»j(sj oznaczają funkcyje całkowite zmiennej z odpowiednio stopnia (a, —1). i (n—a, — l).y mające współczynniki nieoznaczone, które zatym można przedstawić pod postacią :

(5). . . .<p,(z) =rli0+r,,,(z—a,)-Fr,!2(z—a,)-f.. . . + r

(f>) . . . .    (z) = Sii0 -j- Si,! Z -j-

n — a, —i

l,n - a, —1

Prawdziwości twierdzenia dowiedziemy, skoro okażemy, że współczynniki nieoznaczone ri,o, . r, tak wyznaczyć, ażeby równanie (3) miało miejsce tożsamościowo.

Pomnóżmy obie strony równania (3) przez F(z), będzie wówczas wskutek (4), (5) i (6) :

a,-2 5    Si n~a,

dadzą się

ад=. [ri,o + ri,i(z — П,) H- r,,₂(z — a,) + . .+r Z    + s

1, a, -i

(z —a,)

]?,«

[s. + 9i,i

I, n —    _ 1

n — a, - 1 "1 ,

z    J (z

— a, — i

Pierwsza strona jest z założenia funkcyją stopnia (n—1)- względem z, a po drugićj stronie są oba wyrazy, połączone znakiem funkcyjami zmiennej z także stopnia (n — 1).; nadto, gdy drugą stronę uporządkujemy podług potęg zniżających się zmiennej z, natenczas współczynniki poszczególnych wyrazów będą funkcyjami stopniał, względem n współczynników nieoznaczonych ri,₀,. ., r x a _ v si,o,.s, n Jeżeli więc równanie (3), a więc i ostatnie równanie ma być tożsamościowym, to współczynniki jednakich potęg zmiennćj z po obu stronach muszą być równe między sobą. Równając do siebie te współczynniki, otrzymamy n równań z n niewiadomymi stopnia 7., z których te niewiadome możemy zawsze i tylko w jeden sposób wyznaczyć. Skoro tak rzecz się ma, więc rozłożenie (3) jest zawsze możebne.

Wiedząc to, postąpmy z drugim wyrazem w rozłożeniu (3) tak-

a otrzymamy następnie :

F(z) ’

samo, jakeśmy postąpili z ułomkiem

(7) . .

f(z)

?i(z)

<p₂(z)

_<MZ)

F(z) (z-a,)ai

(Z⁺ ед ’

gdzie :

₍₇.-ф =    г,

Fi (z)

(8) . . .    F₂(z) =

gdy tymczasem <p₂(z) jest funkcyją całkowitą stopnia (a, — 7)., którą można przedstawić pod postacią :

(9) .

2

• b(⁷) = r?,o + r₂,i (z - a₂) H- r₂,₂(z—a₂) + .. + r2>

(z—a₂)

a2 —*

С/. 2 — 1

a §<l(z) oznacza funkcyją całkowitą stopnia (n — ax—a₂ — 1).

Powtarzając to postępowanie, dopóki nie wyczerpiemy wszystkich czynników pierwiastkowych mianownika F(z), znajdziemy ostatecznie :

(10) . .

f(z)

b(⁷)

b(⁷)

(z)

F(z)    (z—a,)“¹

(z — a₂)a2

(z — am)

gdzie nadto:

2

am) + . • . + r

am —1

(11). .<pm(z)=rinjo+rm),(z—am)+rm,₂(z-

Podstawmy w (10) za 'ft(z), y<i(z),. ..,ym(z) wartości (5), (9), (11), a mieć będziemy żądane rozłożenie ułomka wymiernego i właściwego na ułomki proste, a mianowicie będzie :

> am—¹

(z—am)

(12)..

f(z)

ri,0

rU

F(z)

(*-».)“*

(z ai)a'~¹

1’2,0

r₂,i

(z — а₂)“²

(z-a₂)“₂-

ra, a₂—l

l’m,0

(z am )

Km

(z am )

«m — 1

Г"Иат

z am

Rachunek liczników ułomków prostych.

3. Pozostaje wyłożyć sposoby dogodne na obliczenie liczników ułomków prostych, albowiem sposób wskazany w artykule poprzedzającym, a polegający na rozwiązaniu układu równań stopnia 1., prowadzi częstokroć do rachunków zawiłych.

Weźmy pod uwagę naprzód przypadek, kiedy mianownik F(z) założonego ułomka ma same nierówne pierwiastki, tj. kiedy :

(1) -

.    . F(z) = (z — at ) (z — a₂).... (z — an ).

W tym przypadku mamy podług wzoru (12) w art. poprzedź. :

_ ₌₌ г1 ,    _|_    , Гп

(2) . .

F(z) ‘ z-a, z—а₂..... z—ап '

Aby obliczyć liczniki ги r₂,... ,r„ pomnóżmy obie strony równości (2) przez F (z). Położywszy :

(3) • • •

F(z)

F (z)

= F₂0)>- • • •

F(z)

= Fn (z),

będziemy mieli :

(4)    ... f(z) = r, Ft (z) 4- r₂F₂(z) +.... + rn Fn (z).

Pierwsza strona jest tożsamościowo równa drugiej stronie ; równość (4) utrzyma się zatym, jakąkolwiek wartość za z podstawimy. Podstawmy za porządkiem 2 = a₁₅ =02, ....,= an , a otrzymamy :

f(ai) = riFi(ai)₅ f(a₂) = r₂F₂(a₂),... .,f(an ) = rn Fn (an ).

Mamy więc :

f(an )

f(a,) r __ Ы

!>,)’ ²    Fs(a₂)’-’

Uważmy jeszcze, że, jeżeli F (z) = F[ak 4~ (2 — «к)] rozwiniemy zapomocą wzoru Taylor’a podług potęg rosnących różnicy z — au , będzie wskutek (3) :

(5)    .    .

r„ —

Fn (an ) '

F к ('■) =

F(ak ) 4- (z — ak ) DF (ak ) 4- |(z — ak f D² F [ak -}- 6 (z — ak ) ]

z — ak

к = 1, 2,. . ., n.

Stąd wypływa dla z — ak, skoro F(ak ) == 0,

Fk (ak ) = DF(ak ),    (k= 1,2,.. .,n).

Zamiast (5) można zatym pisać :

f(»i)    __    f(a₂)

DF(at) ’ ¹² ~ DF(a₂) ’*•’

z² —7

z³ 4* 2z¹ — oz — 6

(G).

_ F(an)

,n - DF(an )

Rozłóżmy np. ułomek

na

ułomki proste.

Mamy naprzód : z² —7

z² - 7

ri

Г2

r₃

z³4~2z² — 5z—6    (z4~l)(z— 2) (z 4~3) z 4~ 1 z — 2 "z 4-3’

a następnie, skoro f(z) = z¹ — 7, DF(z) = 3z² 4z — 5, jest :

Ostatecznie więc będzie :

' z 4-3’

__za—7_______

z³ + 2z² — 5z — 6 z -|-1

4. Nim okażemy, jak obliczyć liczniki ułomków prostych w przypadku ogólniejszym, kiedy mianownik F(z) ułomka założonego posiada pierwiastki równe, wyprowadzimy wprzódy wzór Leibnitz’a, wyrażający którąkolwiek pochodną iloczynu dwu funkcyj przez pochodne tychże funkcyj.

Niech będzie :

f(z) = UY ,

gdzie u i « są dwie dane funkcyje zmiennej 0. Mamy naprzód (IY. 11.):

Df(z) = u.Dv -f- Du.y.

Stąd wypływa następnie :

D²f(z) = D(u.Dv) 4- D(Du.v)

= ul)²v 4~ Du.Dv

+ Du.Dy 4- D²u.V = uD²v -(- 2Du.Dv -}- D²u.v.

Wnosimy zatym, że będzie ogólnie :

n    n    n-1    2    n—2    n—t    n

. V.

-6

r - fr-Ц

¹ DF(—1) ~ -6

= +■ 1» h =

f(2)

DF(2)    4-15

__ f(-3) __ 2_ _

13 — DF(—3) ~ 10 ~ ^    *

I) f(z)=uDv-)-(in)Du.D v 4~ (2)0 u.I) y 4- ... 4-(") Du. Dy -j- Du

Dowiedziemy prawdziwości tego wzoru, gdy przyjąwszy, że ma miejsce dla n — m, okażemy, że będzie miał miejsce i dla n =m-\-1. Załóżmy więc, że :

ш    ш    m—1    2    m—2    m—1    m

D f(z)=u.Dv-f-(T)Du.D v —{— (™) i ï u. D v -f-...-(-(T)D u.Dy4-Du.v, i weźmy pochodne obu stron ; będzie wtedy :

D    f(z) = u.D v +| 1 4-(T)[Du.Dy 4- {(?)4-(“)}Du.D v 4“......

......4-{(T)4-l}Du.DY4-Dmr.

a że mamy, dla i = O, 1, 2,... ,w —i,

m + 1

i+1

)■

jest więc także :

D’n+f(Z)^a.Dmy¹+(“r)D«.Dv+rr)Du.D";¹+..+r|,)Du.Dv₊Dmu⁺.¹Y, tj. wzór namieniony, jeżeli jest prawdziwy dla n — m, utrzyma się i dla n — m -f- 1. A że prawdziwości jego dowiedliśmy bezpośrednio dla n — 1 i n = 2, więc utrzyma się on i dla n — 2, 3...., w ogóle, dla jakiejkolwiek wartości całkowitej i dodatnój na n.

5. Wiedząc to, załóżmy, że mianownik F(z) założonego ułomka wymiernego, właściwego i przywiedzionego do postaci najprostszej, posiada pierwiastki równe. Niech więc będzie :

(7) . . . F(z) = (z— aj“¹ (z — a₂)“2 Położywszy, dla к — 1, 2,

,    «m

(z — ara) .

m,

(8)... .    (z) = rk)0 -j- i*k,i(z —ak rk,2(z — ak    -j-rk^

ak -i

(z-ak)“k~S

mieć będziemy (art. 2.) :

?i(z)

(z-a,)“¹

f(z)

F(z)

b(z)

?m(Z)

(z - a₂)a2

(z — am )

Km

skąd wypływa:

(9) . . f(z) = 9i(z) F,(z) 4“ Cp2(z)F₂(z)+. . . .+<pm(z) Fm(z) = E'fk (z) Fk (z)

к

gdzie sumowanie rozciąga się na wartości к — 1, 2,...m, a

(10) . . F,(z)

F(z)

F(z)

. ..,Fm(z)

(z—a,)“i’

Aby obliczyć liczniki n,o, • • • • a _v weźmy naprzód pochodne

obu stron tożsamości (9). Podług wzoru Leibnitz’a, dowiedzionego w artykule poprzedzającym, otrzymamy :

(z—a₂)“²

(z — am)

Km

Df(z) = X I 'fk (z). DFk (z) 4- I>fk (z). Fk (z) j ,

D²f(z) = £ ( ?k(z).D*Fk(z)4-2D?k(z).DFu(z)4-FV(z).Fk(z)},

(H)

D f(z) =2

'fu (z).DvFk (z)-)- (m Dfk(z).D

Fk(z) -f-

+ ( ; ) D² о„ (z). Dv~!Fk (z) + .... +])vf k (z). Fk (z) ]

Następnie podstawmy w tożsamościach (9) i (11) z = ak. Ponieważ podług wzorów (7) i (10), każda z m — 1 funkcyj F₁(z),...,Fk-i(z), Fv+i(z):.-., Fm(z) zawiera czynnik pierwiastkowy (z — ak)“k, a przeto, dla z = dk, przywodzą się do zera tak te funkcyje, jakotóż ich pochodne ak — 1 pierwszych rzędów, podstawienie zatym z — ak w tożsamościach (9) i (11) daje równania następujące:

f(ak ) = <pk (ak).Fk (ak ),

Df(ak ) = <pk (ak ). DF(ak ) 4- Dcpk (ak ). Fk (ak ),

(12)

D²t(ak ) = cpk (ak ). D²F(ak )-)-2Dcpk (ak ).DFk (ak )4-D²(pk (ak ).Fk (ak ), .................. ogólnie

D f(ak)='pk(ak)-D Fk(ak)4⁻(i)D'Pk(ak).D Fk(ak)4'"_bF) ?k(ak).Fk(ak), gdzie V < ak — 1.

Atoli z wzoru (8) wypływa:

2

?k (ak )=rk,o, Dcpk (ak )=l!rk,i, Dcpk (ak )=2!rk>0,... ,DV <pk (ak )=v!rkv.

Podstawiwszy te wartości w równaniach poprzedzających, otrzymamy ostatecznie :

f(ak ) — rk>0Fк (ak ),

Df(ak ) = rk,₀DFk (ak ) 4- l!rk)1Fk (ak ),

(13)

D²f(ak)=rk,₀D²Fk (ak) + (î)l!rk)lDFk (ak) + 2!rkoFk(ak),

Dvf(ak) = rk,₀1) k(ak) 4“ (i) 1 • rM D

V—1

Fk(ak)+(2)2!rk,2 D Fk(ak)-f-...

... 4- v!rk vFu(ak),

gdzie V = 0} 1, 2,. ..

Zasady algebry wyższej.

ak -/j к — 1.

♦'•«i*⁴

VNIV,

ÇftACQVlÊNSIS

X'

»AGELL.

m.

Z równań (13) wypadają, jedna za drugą wartości na rk0,..., rk v. Pierwsze daje wartość na rk0. Wstawiwszy tę wartość w drugie równanie, otrzymamy wartość na rkl, poczym trzecie da wartość na rk2j i t. d.

Jako przykład, niech*służy rozłożenie ułomka:

z³(z — l)²(z -f-1)²’

Kształt ogólny rozłożenia jest następujący :

_r₁,o

rl,l

rX,2

r₂,o

Гз,0

*8,1

Z³(z -l)2(Z-p-l)2

Z³

z²

Z ^(z— 1)^Z —1    TZ+r

W tym przypadku mamy : f(z) = z4~2, l)f(z) = 1, D²f(z) = 0,

Fj(z) = z⁴ — 2z² + l, DFj(z) = 4z;! — 4z, I)²Fj(z) = 12z² — 4, at = 0,

F₂(z) = zb + 2z⁴ + z³, DF₂(z) — 5zd -f- 8z³ 4- 3z², F₃(z) = z⁵ — 2z⁴ 4- z³, DF₃(z) e= 5z⁴ — 8z³ 4- 3z²;

a₂ = 1,

a₃ ⁼⁼⁼    1 •

Na wyznaczenie liczników rj,o, rM, ri₎₂; r₂,o, r₂,t; r₃₎₀, r3ji, mamy zatym, wskutek (13), następujące równania:

2    = rii0, l==ri,i, 0 = — 4rJl0 4-2ri₎₂ ,*

3    = 4r₂₎₀, 1 = 16r₂,o 4~ 4r₂,i ;

1 — 16r3i0 — 4r₃₎i,

3,0 5

1 = — 4r

stąd wypada :

СЛ

o    1    ,    3    11    1

ri,o—-2, ri,i — 1, ri,₂—4; r₂,o— g, r₂₎i — — 4?r3,o—~gt гзд—"

A zatym :

z 4-2 z³(z —l)²(z4-l)²

11

~ z³ ^ z² ^ z ' 4(z — l)²    4(z—1)    4(z4-l)²    4(z4-l)*

6. Podamy jeszcze drugi sposób kolejnego obliczenia liczników, dogodny osobliwie wtedy, gdy mianownik F(z) założonego ułomka posiada pierwiastki zespolone, sprzężone.

Połóżmy :

l, a,-

gdzie :

(2) 'fi(z) =r1>0 -j-ri^z-a^-f-r^z—aj)¹+.. . .+r

j(z—ai)

а <h(£,) jest funkcyją całkowitą stopnia (n —at — 1)., gdy tymczasem F\(z) oznacza iloczyn wszystkich pozostałych czynników pierwiastkowych mianownika F(z), tj. :

(3) .    .    . Ft (z) = (z — a₂)“¹.... (z — am )“m.

Mnożąc (1) przez F(z), mamy tożsamościowo :

I,«!“²

(4) f(z) = [r₁₎₀+rM(z—a^-j-r^z—a,)¹-K. -+r

+ <W(z)(z — ai)“».

Jeżeli od obu stron téj tożsamości odejmiemy n,0^1(2), wówczas

zatym i pierwsza

(1)

f(z) ₌ 'fl(z)

-c-

l(z

*    * F(z)

(z— aj“²

F.OO ’

druga strona będzie podzielna przez z —    ;

strona, tj. różnica f(z) — n,o Fi(z), musi być przez 0 — аг podzielną. Położywszy zatym :

(5)    .    .

f(z)— ri,₀ (z)

z — aj

= fi (z),

mieć będziemy :

(6) fx(z) '=■ [r,fl + r,,₈ (z—aj -f

1, «J— i

(z - aj)“¹⁻²] Fj(z)

a,—1

+ Mz)(z — a,)

i fx(z) będzie funkcyją całkowitą.

Jeżeli znowu od obu stron tożsamości (6) odejmiemy n, 1 F₁(z')1 wtedy druga strona, a więc i pierwsza będzie podzielna przez z — at. Położywszy zatym :

(7)    .    •

fi (z) — rM F|(z)

z — a,

= f₂(z)

otrzymamy nową tożsamość :

(8)    f₂(z) = [ri,2• • * + r

Л, v-\ —1

(z — aj)a‘ ³ ]Fj (z)+ (z—aj)a‘

(9) ... ft(z), ад,...

4,-1 (Z),

z których pierwszą określa równanie (5), a każdą po niej następującą równanie :

(10). . .

fk (z) — Г1,иЬ\ (z)

Z-B/j

= fk+i(z), (k = 1,2,.. ., a, — 2) ;

nadto :

] F,(z) + Ф1 (z) (z — a^“1 k-

(a-a»)“*

—к—1

(11) fk (z) = [ri,k+ • • • 4-i’j

Podstawmy w tożsamościach (4), (6), (8), a w szczególności w (11) z = «t, otrzymamy wtedy :

, a,_i

(12) . .

.    r₁₎₀ =

f(ai)

Pi (aa)’

F| (ai)

fk(&1)

łi, a, _i

Fi (a, )

Rachunek tych liczników w)padnie najprostszym, gdy funkcyje fn /₂,.... i liczniki n₎₀,    będziemy obliczali w porządku na

stępującym :

et, —1 •

1-1,0, li (z), 1*1,1, fy(Z)) 1*1,2, • • • , 1 j, cc, —2*

Jako przykład, weźmy pod uwagę rozłożenie tegosamego ułomka, co w artykule poprzedzającym. Mamy :

z + 2

?Ąz— I)-(Z-Fl)²

Kładąc Fy(z) = (z - 1)* (z +1)'¹ = (z% - j;²    - 2z² + 1,

i = Q} mamy :

1*1,0 , 1*1,1 I 1*1.2 I    1*2,0

z3 1 z² z (z—l)²

1*3,0

1*3,1

_1*2,1___

z—i__r (z-ł-i;²¹ z + r

f(0)

1*1,° — Fi(o)

M-l

P,(0)    1

i*i,i =

2    ₀    , z + 2-2(zi-2z²+l)_

łl"    z

-2z³4-4z+l-(z⁴—2z²+l)

z³—2z²+2z+4 ;

1*1,2 =

Ft(0)

TT

Kładąc następnie b\(z) = 2 ⁸ (2    J)² = 2⁵ + 22ł + 2" i at—

mamy :

1*2,0-

f(l)

P,(D

=i, f, = -

z-J-2 — |(z⁵-}-2z⁴4-z³)

(—3z⁴ —9z³—12z²—12z —8); r₂,i =

f,(l) Fi(l) “

Kładąc nareszcie F{(z) ~= (z—l)² = zb — 2z* + z³ i —ly

mamy :

1*3,o:

_S_?)...== J —_ i f—

P,(—1) ~4    4,1

z-j-2-j-Kz5~2z⁴-j-z³)

=J(z⁴—3z³-}-4z²—4z +8)

1*3,1 =

A zatym, jak poprzednio :

z —j— 2

11

z³(z— l)²(z+l)²

Z³

4(z—1)

4(z—1)

4(z —(—l)²    4(z+l)'

7. Jeżeli współczynniki funkcyj /(2) i F(z) nie są wszystkie liczbami rzetelnymi, albo jeżeli pomiędzy pierwiastkami funkcyi F(z) znajdują się i zespolone, wówczas ułomki proste, na które daje się

nie będą wszystkie rzetelnymi. W szczególnym przypadku, kiedy funkcyje f(z) i F(z) mają współczynniki same rzetelne, a więc kiedy pierwiastki zespolone funkcyi F(z) występują

parami, można otrzymać rozłożenie ułomka

ułomki proste, jak następuje.

Niech naprzód będzie % = a + Ы, a₂ = a — Ы, i dajmy, że te pierwiastki są pierwiastkami pojedynczymi funkcyi f(z); mieć będziemy w⁷tedy :

rozłożyć ułomek

F(z) ’

f(*)

F(z)

na same rzetelne

(1) *

ffz)

M + Ni

M — Ni

Ф(г)

4- X

• F(z)

gdzie Ą(z) jest funkcyją całkowitą stopnia (n— 3)., a Fx(z) oznacza iloczyn wszystkich pozostałych czynników pierwiastkowych funkcyi F(z). Złączywszy dwa ułomki proste sprzężone w jeden, otrzymamy :

z— a — bi

— a -f- bi

Fi(z) ’

f(z) _ 2M(z — a) — 2Nb F(z)    (z,— a)²-|-b²

-G-

Fi (²) *

Niech następnie pierwiastek ax — a Ы, a więc i a₂ = a — Ы będzie pierwiastkiem fc-krotnym funkcyi F(z). W tym razie, zamiast zwyczajnego rozłożenia, weźmiemy następujące :

(3) .

2M| (z — a) — 2Nt b F(z) [(z —a)² + b²]

f(z)

2M₂(z — a) — 2N₂b

[(z — a)² + b²]²

2Mk (z — a) — 2Nk b

[(z _ a)² + b²]k

Fi (z)’

gdzie ty(z) jest funkcyją całkowitą stopnia (n — 2k — l). o współczynnikach nieoznaczonych :

n—2k—1

n—2k—2

(4)    .    .    . ф(г) = htz

-j- h₂z

-j- • • • +hn_2k,

a Fv(z) oznacza iloczyn wszystkich pozostałych czynników pierwiastkowych funkcyi F(z), a więc jest funkcyją stopnia (n — 2k).

Łatwo spostrzec, że rozłożenie (3) jest zawsze i tylko w jeden sposób możebne. Albowiem, jeżeli przez F(z) pomnożymy i drugą stronę uporządkujemy podług potęg zmiennej z, to po prawej mieć będziemy funkcyją całkowitą stopnia (n — 1)., tak jaki po pierwszej stronie. Porównanie współczynników jednakich potęg zmiennej po obu stronach da nam zatym n równań, które są stopnia 1. względem 2k liczb niewiadomych i¥j, iVt, M₂, N₂,...., Mk, Ark i n — 2k liczb niewiadomych hi} h₂,. . . ., hn-2k] z których niewiadome można obliczyć zawsze i tylko w jeden sposób. Nam chodzi o wyznaczenie jedynie liczb Nu. ... W tym celu przywodząc (3) do postaci:

(5) f(z) = [(z—a)² -f- b²]k    [2M₁(z—a)—2N,b] [(z —a)² + b²]k-1F₁(z)

+ [2M₂ (z-a) - 2N₂b] [(z - a)² + b²]k~² F,(b) +....

... + [2Mk(z — a) — 2Nkb| F,(z), wyprowadzamy, jak w artykule 6., szereg к — 1 funkcyj całkowitych :

f,(z) =

f(z) — (2Mk (z — a) — 2Nk b]Ft(z)

(z—a)² b²

(6). . . .

(z — a)² —j— b²

fk-i(z) =

fk-g(z) — [2M₂(z — a) — 2N₂b]F, (z)

(z—a)²-f-b²

a następnie w funkcyjach (5) i (6) podstawiamy z — a + Ы.

Tym sposobem otrzymamy к równań warunkowych, z których każde zawióra tylko jednę parę liczb M, N; ale każde insze coraz insze. Oddzielenie części rzetelnych ód urojonych w każdym z tych równań da nam dwa równania stopnia 1. względem pary niewiadomych M₁ N, z których łatwo otrzymać wartości tychże.

(z*+!)»(*-fi) *

Rozłóżmy tym sposobem np. ułomek Kładąc :

(zI 1 )³ (z ) 1 )

_2MjZ—2Nt

2M₂z—2N

2M₃z —2N₃

z² + l

(za+l)²

(z²+ 1)3

mamy :

1 = { (2Mjz - 2N,) (zs + 1)г + (2M₂z — 2N₂) (z² + 1) + (2M₃z — 2N₃) } (z + 1) + A(z² + 1)3.

Stąd wypływa, dla z — i,:

tj- '

1 = 2(M₃i - N₃) (i + 1) = - 2(M₃ + N₃) + 2(M₃ - N₃)i,

M₃ -f- N3 = - -g-

M₃ — N₃=0;

a zatym :

M₃ —    — i*

Następnie mamy :

fl (z) =

l+j(z-l)(z + l)

z² + l

= li

wskutek czego :

г = {(2Mxz 2N₁)(z²+ 1) + (2M₂z — 2N₂)} (z +1)+A(z²-j-l)². Stąd wypływa, dla z — г, :

M₂ — N₂ = 0 ;

i = 2(M₂i - N₂) (i + 1) = - 2(M₂ + N₂) + 2(M, - N₂)i, tj. : M₂ + N₂ = — \

a zatym :

M₂ — N₂ — — i.

Nareszcie mamy :

f₂(z) =

ł + l(z—l)(z + l)

wskutek czego :

i = (2Mtz — 2Nj) (z + l) + A(z² + 1).

Stąd wypływa, dla z —i,:

1 = 2(M)i — N0 (i + 1) = - 2(M, +Nj) + 2(M, - N,)i, tj. :

M] + Nj = — Mj — Nt = 0,

a zatym :

M, = N, == — ₁¹₈.

Aby jeszcze otrzymać A, dość założyć z — — 1 w pierwszej tożsamości, wypadnie wtedy :

Mamy więc ostatecznie :

(Z2_|_1)3(Z + 1) — ₈(z + l)

16(z² + l) 8(z²-f-1)²    4(z²-fl)⁸'

ROZDZIAŁ XII.

0 funkcyjach algebraicznych uwikłanych.

1. Niech będzie dane równanie :

(1)    .    .    .    . F(w, z) = O,

którego strona pierwsza jest funkcyją całkowitą dwu zmiennych w i z, stopnia m. względem w, a stopnia n. względem z, i załóżmy, że ta funkcyja jest nieprzywiedlną, tj., że się nie daje rozłożyć na iloczyn funkcyj całkowitych względem w i г.

Oznaczmy przez w0}    wm—i pierwiastki tego równania, uwa

m od siebie odmiennych kształtów, przedstawionych przez Funkcyja całkowita w — f(z) i ułomkowa

żanego jako równanie z jedną niewiadomą w. Lubo w razie, kiedy m >> J, tylko w przypadkach wyjątkowych dają się te pierwiastki wyrazić przez wzory ogólne, w każdym jednak razie będą one pewnymi, a od siebie odmiennymi funkcyjami zmiennej z. Stąd wypływa, że równanie założone określa zmienną w jako funkcyją zmiennej z, posiadającą

pierwiastki w0l w

wymierna w —

F (z)

są przypadkami szczególnymi funkcyi w zmiennej z, określonej równaniem algebraicznym (1). Tę funkcyją w nazwiemy funkcyją zmiennej z uwikłaną i algebraiczną, pomimo, że jej kształty poszczególne w₀,... .,Wm-1 nie są koniecznie funkcyjami zmiennej z algebraicznymi.

Jeżeli zmienną z, którą uważamy jako liczbę zespoloną z — x -j-yi, będziemy uważali jako miejscowskaz punktu (z) na płaszczyźnie dwu

Zasady algebry wyższej.

osi prostokątnych X'X, Y'Y, to natenczas każdy z pierwiastków równania (1) np. №, który uważamy także jako będący kształtu zespolonego wa — ua -f- vai, gdzie ua i va są funkcyje rzetelne zmiennych rzetelnych x i y, będzie miejscowskazem punktu (iva), którego odległość od osi Y'Y jest = ua , a od osi X'X jest = va Jeżeli punkt (z) będzie zmieniał swe położenie, wówczas także punkt (wa) będzie coraz innym, a jeżeli punkt (z) będzie opisywał jaką krzywą ciągłą na płaszczyźnie osi X'X i Y'Y, wówczas także punkt (wa) będzie opisywał pewną krzywą, tamtej odpowiadającą. Otóż okażemy, że ta krzywa przez punkt (wa) opisana jest także krzywą ciągłą, tj. dowiedziemy, że jeżeli zmienna Z zmienia się w sposób ciągły, to każdy z m pierwiastków wa równania (1) bcdzie się także zmieniał w sposób ciągły.

Zanim przystąpimy do udowodnienia tego twierdzenia zasadniczego, a podanego po raz pierwszy przez Cauchy’ego (Exercices d’Analyse et de Physique mathématique, 1841), dowiedziemy wprzódy innego podania, które także Cauchy’emu zawdzięczamy, a zapo-mocą którego można znaleść ilość pierwiastków zespolonych równania, zawartych w pewnym obrębie.

Twierdzenie Cauchy’ego o ilości pierwiastków zespolonych w danym

obrębie.

2. Niech będzie z zmienną zespoloną z—x-j-yi, a f(z) funkcyją całkowitą stopnia n. zmiennej z ; mamy wówczas :

f(z) = <p(x,y) -j- <I>(x,y)i,

gdzie y(x,y) i $(x,y) są funkcyje rzetelne zmiennych rzetelnych.

Jeżeli zx — xv-\-y\i jest pierwiastkiem funkcyi f(z), natenczas xx i yx wyrażają układ pierwiastków funkcyj y(x,y) i §(x,y) czyli wspólne rozwiązanie równań :

?(x,y) = 0 i ф(х,у) = 0.

Każde z tych równań, wzięte oddzielnie, przedstawia na płaszczyźnie dwu osi prostokątnych pewną krzywą, a punkt, którego współrzędne X\, yx czynią zadość jednocześnie obu równaniom, jest punktem leżącym na jednej i na drugiej krzywej, czyli jest punktem przecięcia się obu krzywych. Możemy więc powiedzieć, że pierwiastki funkcy i {z) są miejscowskazami punktów przecięcia się krzywych y(x,y) = O ¹ $(Х)У/ - О- ^ tego powodu punkty przecięcia się krzywych p(x,y) — O ^ §(xdj) — O można nazwać punktami pierwiastkowymi funkcyi f(z).

Opiszmy na płaszczyźnie osi X'X, Y'Y jakąkolwiek krzywą zamkniętą ABCD (Fig. 12.), natenczas ilość punktów pierwiastkowych leżących wewnątrz tej krzywej otrzymamy zapomocą następującego prawidła :

Niech się punkt, którego współrzędne są x i y, porusza po obwodzie krzywej ABCD w kierunku dodatnym, i załóżmy, że podczas prze-bieżenia całkowitego obwodu tej krzywej ułomek

ę(X.y)

Ф(Х,У)

stając się 0, przechodzi к razy ze stanu

'A

■X

Fig. 12.

dodatnego w stan odjemny а I razy ze stanu odjemnego w stan dodatny ; ilość punktów pierwiastkowych funkcyi f(z), leżących wewnątrz téj krzywej, jest równa ^ (k—I).

Do tego prawidła należy dodać następujące uwagi: 1°. że na samej krzywej nie powinien się znajdować żaden punkt pierwiastkowy; 2°. jeżeli jakowy pierwiastek funkcyi f(z), którego przedstawiciel leży wewnątrz krzywej jest ж-krotny, to ten pierwiastek, a więc i punkt pierwiastkowy odpowiedny, należy liczyć za m pierwiastków, względnie m punktów; 3°. przez kierunek dodatny obwodu krzywej ABCD należy rozumieć ten kierunek, w którym należy postępować naprzód, aby mieć wnętrze po ręce lewej (kierunek strzałki).

Dowiedziemy tego twierdzenia, biorąc pod uwagę naprzód krzywą zamkniętą o obwodzie nieskończenie małym, a potym przejdziemy do krzywej o obwodzie, mającym długość skończoną.

3. Weźmy wewnątrz krzywej punkt E, który nie jest punktem pierwiastkowym, i załóżmy, że punkt ruchomy przebiega nieskończenie mały obwód téj krzywej w kierunku dodatnym i tylko jeden raz; przy tym założeniu mogą zajść cztery następujące przypadki:

na

1°. Ani cp(x,y), ani ty(x,y) nie staje się 0 ani wewnątrz obwodu ani

Ho

obwodzie. W tym przypadku iloraz

całego obiegu, wypowiedziane więc prawidło sprawdza się w tym razie, bo, skoro (p i ф nie staje się 0, wewnątrz obwodu nie ma żadnego punktu pierwiastkowego.

2°. ф(x,y) nie staje się 0 ani wewnątrz ani

czasem y(x,y) może się stać 0. W tym przypadku iloraz

może zmienić znak. gdy punkt ruchomy przechodzi przez położenie,

nie zmienia znaku podczas

na obwodzie, gdy tym-

Ф,у)

Mxdj)

nie staje się 0, a że i nie ma wewnątrz obwodu żadnego punktu pierwiastkowego, więc i w tym razie sprawdza się powyższe prawidło.

dla którego jest y(x,y) = 0. Atoli na końcu obiegu funkcyja y(x,y) przyjmie napowrót znak początkowy; stąd wypada, że ta funkcyja, a więc i iloraz powyższy, stając się 0, musi podczas całkowitego obiegu tęsamę ilość razy przechodzić ze stanu -j- w stan —, co ze stanu — w stan -j-. A zatym k=l i prawidło sprawdza się, gdyż, skoro §(x,y) nie staje się 0, wewnątrz obwodu nie ma w tym przypadku żadnego punktu pierwiastkowego.

3°. y(x,y) nie staje się 0 ani wewnątrz ani na obwodzie, gdy tymczasem ty(x,y) może się stać 0. W tym przypadku iloraz

4°. y(x,y) i $(x,y) stają się 0 wewnątrz lub na obwodzie. Jeżeli te dwie fnnkcyje nie znikają jednocześnie, można wtedy , zapomocą prowadzenia nowych krzywych, pole ograniczone przez obwód pierwotny podzielić na inne pola takie, aby punkty, w których znika y(x,y)0 leżały tylko na jednych, a punkty, w których znika ty(x,y), leżały tylko na pozostałych zpomiędzy tych pól. Tym sposobem, zamiast jednego obwodu, będziemy mieli dwa lub więcej obwodów, podpadających pod przypadki (2° i 3°). Pozostaje nam rozpatrzyć tylko przypadek, kiedy y(x,y) i §(x.y) znikają jednocześnie, tj. kiedy wewnątrz krzywej, otaczającej punkt E, o nieskończenie małym obwodzie (a nie na tym obwodzie) znajdują się punkty pierwiastkowe, przyczym można przyjąć obwód tak małym, aby wewnątrz leżał tylko jeden punkt pierwiastkowy.

Niech a i Ъ będą współrzędne tego punktu pierwiastkowego i połóżmy X = a -f- r cos 6, y = b-\-rsinb, rozumiejąc przez x,y współrzędne punktu bieżącego na obwodzie; będzie wtedy:

z = X -f- yi = a -f- bi 4- r(cos 6 -f- i sinö) — a -j- bi z',

a następnie:

f(z) = f(a —(— bi —z').

Rozwińmy f(a -\-bi-\- z') zapomocą wzoru Taylor’a, podług potęg rosnących liczby z'. Zakładając, że а -\-Ы jest pierwiastkiem w-krotnym? mieć będziemy:

f(a+biH-z')

z'm-f

Dm+1f'(a —bi) (m+1)! Z

/m+l

Dnf(a+bi)z/n

n!

lub położywszy : i zauważywszy, że : z! = re — r(cos6 -j- i sin6),

f(a + bi -f z') = f(z) = <p(x,y) i ф(х,у),

=p₉ = p (cos (f -1- i sin (f)

+ i sin^),....

Рш+11(а+Ы)

(m+1)!

=(^1)^,= PiCcos^-ł-

<p(x,y)-H ф(х,у)=ргт [cos(m6+9) -f i втСтб+^+р, rm+1[cos{(m-f-1 )6~Нрг} 4-isin{(m +1)0 + cpj }]+...+pn_mrn [cos(n6-|-<pn_m)-f i sin(n6 <pn_m)]. Stąd zaś wypływa :

<p(x,y) p COs(m6+y) + PlrCOS{(m+l)e+;Pl} + ---+pn-mrn~mCOS(n6-}-⁽Pn-m)

ф(х,у)    p sin(m0-f<p)-f- p₁rsm{(m+l)6+«p₁}-f-...+pn_mrn_msm(n6-(-(pn_m)

Wartość na r można przyjąć tak małą, aby znak tak licznika jak i mianownika po prawej zależał od wyrazów pierwszych, tj. można tak postąpić, jak gdyby było :

?(x,y)

<КХ,У)

cos (m6 -f- cp) sin(m6 4-cf)

Stąd czytamy, że w miarę jak 6 rośnie od 0 do 2%, licznik cos (mb -j- rf) przechodzi przez 0 i naprzemian ze stanu -f- w stan — i ze stanu — napowrót w stan -f- przy 2m wartościach, które daje wzór:

(2k -f-1) тс — 2<p

2m — 1 ;

2m

dla k = 0, 1, 2,..

a że wtedy mianownik sin (mb-<p) jest od zera odmienny i na przemian równy -f-1 i — 1, widoczna więc, że podczas całkowitego obiegu

stając się 0f

około punktu pierwiastkowego m-krotnego iloraz    ' ■>

przechodzi 2m razy ze stanu -f- w stan —, a ani razu ze stanu — wstań -j-. W tym przypadku jest k = 2m, 1 = 0, a przeto | (k—l) = m, zgodnie z wypowiedzianym twierdzeniem.

4. Twierdzenie Cauchy’ego jest więc dowiedzione dla krzywej o nieskończenie małym obwodzie. Weźmy teraz pod uwagę krzywą zamkniętą o obwodzie skończonym ABCD. Podzielmy zapomocą krzywych poprzecznych pole, ograniczone tą krzywą, na nieskończenie wiele pól nieskończenie małych, tak aby w każdym z tych pól leżał co najwyżej jeden punkt pierwiastkowy, a nadto poprzeczne namienione tak poprowadźmy, aby żadna z nich nie przechodziła przez punkt pierwiastkowy. Ilość punktów pierwiastkowych wewnątrz ABCD znajdziemy, skoro punkt ruchomy poprowadzimy po obwodzie każdego z tych

pól nieskończenie małych, a potym weźmiemy sumę liczb otrzymanych przez stosowanie prawidła Cauchy’ego; oznaczmy tę sumę przez \ h(k — l). Atoli tensam wypadek znajdziemy, gdy opuścimy wszystkie poprzeczne i punkt ruchomy poprowadzimy tylko po obwodzie ABCD. Albowiem każdy punkt na którejkolwiek poprzecznej należy do .obwodu dwu pól i punkt ruchomy przechodzi przez niego dwa razy w kierunkach przeciwnych, tak, że jeżeli w jednym razie zachodzi w nim

ze stanu -f- w stan —, to w drugim razie

przejście ilorazu

Ф fay)

zajdzie w nim przejście tego ilorazu ze stanu — w stan -j-, wskutek czego całkowita suma \Ъ(к—1) wcale się nie zmieni. Twierdzenie Cauchy’ego jest więc w zupełności dowiedzione.

5. Łącząc twierdzenie C auchy’ ego

A)'

r’

Fig. 13.

z twierdzeniem Sturm’a, można zna-leśó ilość punktów pierwiastkowych równania f(z) — 0 zawartych wewnątrz pewnego obrębu, jak następuje. Załóżmy, że ten obręb jest ograniczony kołem, nakreślonym z początku 0 osi współrzędnych promieniem = r (Fig. 13.). *) Oznaczając przez x i у współrzędne OM i MP punktu bieżącego P na obwodzie koła, mamy x² -j-?/² = >'² i to jest równaniem koła uważanego. To równanie możemy zastąpić dwoma następującymi:

(1). .

1 -t2 Г 1 -i-t² ’

2t

У ==v Г+Т²

gdzie t oznacza nową zmienną. Istotnie, jeżeli dodamy do siebie kwadraty równań otrzymamy równanie x² Ą- y- = rJ.

Jeżeli w (1) będziemy zmieniali t, począwszy od — oo do + сю,

raz i w kie-

wówczas punkt bieżący P przebiegnie obwód koła jeden runku dodatnym, a mianowicie wyszedłszy z A’ pójdzie przez В', А, В, aby wrócić napowrót do A'. Podstawmy za x i у wartości (1) w części rzetelnej i urojonej funkcyi f(z):

(2)    ...    . f(z) = rp(x,y) + i ф(х,у)

otrzymamy wtedy, po sprowadzeniu do wspólnego mianownika :

*) W figurze należy punkty przecięcia się koła z osią 1 'I oznaczyć przez В i B’\ przez В punkt nad osią X’X, a przez B' punkt pod tą osią.

(3)

t(xj)

fiO)

n ¹ <KXj)

fłi(0

(l+t²)Q ’

(l-ł-t‘0

gdzie yx(t) i tyy(t) są funkcyje całkowite zmiennej t, a n oznacza stopień funkcyi f(z).

Podług twierdzenia Cauchy’ego ilość punktów pierwiastkowych funkcyi f(z) wewnątrz koła uważanego będzie teraz równa połowie różnicy między dwiema liczbami, które pokazują, ile razy w miarę, jak

iloraz    stają się 0, przecho-

ti(v

dzi ze stanu -f- w stan — i naodwrót ze stanu — w stan -f-.

Ta różnica jest widocznie równa różnicy między dwiema liczbami, które pokazują, ile razy, w przejściu t przez pierwiastek rzetelny funkcyi 4\(t)i następstwo znaków zachodzące między yjt), tyjt) przechodzi na przemianę i naodwrót przemiana na następstwo. Aby wyznaczyć tę drugą różnicę, dość z funkcyj yjt) i ){(t) utworzyć szereg nowych funkcyj w tensim sposób, jakeśmy w twierdzeniu Sturm’a z funk-cyj f(x) i Df(x) wyprowadzili szereg funkcyj Sturm’a, i zbadać, ile ten szereg utrącą przemian znaków, gdy t przechodzi od — o© do -}- od. Ten szereg funkcyj będzie posiadał tę własność, że każdy jego wyraz w przejściu przez 0 będzie leżał między dwoma wyrazami, mającymi znaki przeciwne, przyczym wyraz ostatni nie będzie mógł zmieniać swego znaku. Stąd wnosimy, że stracone lub zyskane przemiany znaków mogą pochodzić jedynie od przechodzenia pierwszego wyrazu y{(t) przez 0. Ilość utraconych przemian znaków jest więc równa ró-

t przechodzi od — od do -j- od,

ъ(0

stając się 0,

żnicy między liczbami, które podają, ile razy iloraz

przechodzi ze stanu — w stan i naodwrót ze stanu -j- w stan —, a więc.- każdemu punktowi pierwiastkowemu wewnątrz koła odpowiada utrata (lub przybytek) dwu przemian znaków.

Ciągłość pierwiastków.

6. Powiedzieliśmy w art. 1., że pierwiastki wQ, wą,.., wm-1 równania, F(w,z) — 0 stopnia m. względem w są funkcyjami zmiennej z ciągłymi. Ta ważna własność wypływa z twierdzenia następującego: Jeżeli dla z = a równanie założone posiada p pierwiastków równych b, p < m, to dla wąrtości na z nieskończenie bliskiéj a będzie ono posiadało p pierwiastków nieskończenie bliskich b.

Podstawmy w funkcyi F(w,z), z — a -j- z', w—bj- w’ i rozwińmy F(b -j- w', aj-z') podług potęg liczby w'] mieć będziemy wtedy:

F(b -f~ a -f- z⁷) — Z₀ -j- Zj wr—|—. . . “)-Zp w p -f-... -f-Zmw ш,

O)

gdzie Z₀,    Zm oznaczają funkcyje zmiennej z' całkowite, przy

czyni Z₀, Zi,..., ^p-i przywodzą się do O dla z' — 0.

Z punktu, którego miejscowskazem jest a = a-f-«V, nakreślmy koło promieniem p, nie obejmujące sobą żadnego pierwiastka funkcyi Zp i załóżmy, że zr jest miejscowskazem punktu na obwodzie tego koła, nadto oznaczmy przez A moduł najmniejszy funkcyi Zp , a przez В moduł największy każdej z funkcyj następujących Zp+1,..., Zm w tym kole.

Równanie (1) można tak pisać:

F(b+w',a+z')=Zp w

/Р (Zą_ _

\Zp w

i.

lub :

(2)    .    .    . F(b + w', a + z') = Zp w'p (1 -f P + Q),

położywszy :

.4-

( P = —Ęr— w* -j—. .

(8) .

Zip

Z₀

• V-

Jeżeli punkt, którego miejscowskazem jest w\ będziemy prowadzili po obwodzie koła, mającego za środek punkt o miejscowskazie hr a promień r mniejszy od 1, będzie wówczas podług twierdzenia o zamienniku sumy liczb zespolonych :

mod P << (r ~h • • • +rm~p) <

A'    w *Утсе1и

Jß

Promień r można tak obrać, aby było — dość położyć:

¹

Postępując tak dalej, otrzymamy szereg a, — 1 funkcyj całko

²

fi(z) będzie funkcyją całkowitą.

³

witych :

A + 2B »

a wtedy będzie mod P << Następnie mamy :

(4)    .    .

mod Q < -д-

1 ( mod Z0 \ rP

. mod Z,

•    rp—i

mod Zp_i\

г Г

gdzie przez r rozumiemy już powyżej wyznaczoną wartość.

Funkcyje Z0i Zn...; Zv—i są funkcyjami ciągłymi zmiennej zr jako funkcyje całkowite) i przywodzą się do 0 dla z' — 0, można

zatym znaleść promień p'mniejszy od p i taki, aby, gdy punkt o miejscowskazie z' leży wewnątrz koła nakreślonego z punktu a promieniem p', moduł każdej z tych fuukcyj był mniejszy od liczby danéj C, która czyni zadość warunkowi :

j.p—i

albowiem wystarczy przyjąć :

■+ г)

<:

1 czyli

1 — г¹’

l'P (1 — г)

Ali

(4) .    .

Arp ~(1 — r)

2(1 — rP )

Gdy tak p wyznaczymy, będzie moduł wyrażenia Q mniejszym od \, przy wszelkich wartościach na z' o module nie większym od p' i przy wszelkich wartościach na w' o module = r.

Załóżmy teraz, że, gdy z' pozostaje miejscowskazem punktu niezmiennego wewnątrz koła p', punkt o miejscowskazie w' przebiega obwód koła r w kierunku dodatnym, i weźmy pod uwagę wyrażenie (2).

Kładąc w'

rp (cospb -f- i sin pb)

r(j, a przeto w'p = rp i oddzielając w tym wyrażeniu (2) część rzetelną od części urojonej, znajdziemy, że stosunek pierwszej do drugiej jest = M ety pQ, gdzie M od 6 nie zależy. Jeżeli więc punkt co' obiegnie cały obwód koła r w kierunku dodatnym, tj. kiedy 0, rosnąc, przyrośnie о 2ку wtedy na-mieniony stosunek stanie się 2p razy równy 0, i stając się O, zawsze będzie przechodził ze stanu -j- w stan —.

O, czyli, że dla nieskończenie małego

Stąd wypływa, że wewnątrz koła r znajduje się p pierwiastków równania F(b -f* w\ a -j- z') z' istnieje p pierwiastków co' nieskończenie małych, a to było do okazania.

Stąd wypływa wniosek : Jeżeli dla z = a wartość co = b jest pierwiastkiem równania F(w.z) — 0 pojedynczym, to dla wartości na z nieskończenie bliskiej a będzie równanie posiadało pierwiastek pojedynczy nieskończenie bliski b i tylko jeden.

Kie trzeba wszakże myśleć, że pierwiastki równania F(w,z) — O są ciągłymi około każdej wartości na z. Jakoż porządkując równanie podług potęg zniżających się zmiennej «?, otrzymamy :

(6)    .    .    . ł‘o(z)wm -f fI(z)w,n-¹ + . .    x(z)w -f fra(z) := O,

gdzie f₀ (z)y fx (z)y..., fm(z) oznaczają funkcyje całkowite (co najwyżej) stopnia n. względem zmiennej z.

Podług znanego twierdzenia (VII. 5.) będzie równanie (6) posiadało jeden pierwiastek nieskończony, gdy fo(z) — O ; tj. jeden z pierwdast-

25

Za*ady algebry wyiwej.

ków zrywa ciągłość, stając się nieskończonym w punktach, których miejscowskazami są pierwiastki równania f₀(z) — 0. Ilość tych punktów jest (co najwyżej) równa n, albowiem równanie f₀(z) — 0, jest. co co najwyżej, stopnia n. Te punkty zowiemy nieskończonościami funkcyi algebraicznej.

Rozwinięcie pierwiastków.

7. Pierwiastki щ,,    wm~i, czyli poszczególne kształty funk

cyi w określonej równaniem algebraicznym :

(1) . .

•    . F(z,w) = 0,

można rozwinąć podług potęg rosnących lub malejących zmiennej z. Zajmiemy się ich rozwinięciem tylko podług potęg rosnących zmiennej z, aby zarazem zbadać ich zachowanie się około tych punktów z , w których dwa lub więcej zpomiędzy tych pierwiastków przybierają wartości równe, tj. około tak zwanych punktów wielokrotnych funkcyi w. Miejscowskazy tych punktów wielokrotnych otrzymamy, skoro zmienną w wyrugujemy między dwoma równaniami :

(2)    .    .    . F(z,w) = 0 i Dw F (z, w) = 0 ;

albowiem pierwiastki równania wypadkowego będą tymi wartościami na z, przy których dwa lub więcej zpomiędzy pierwiastków, w₀, wY,

..., Wm_i posiadają wartości równe.

Nadto, ponieważ przy założeniu, że równanie (1) jest stopnia m. względem w, a n. względem z, czyli stopnia JV = (m + n). względem obu zmiennych, namienione dopiero równanie wypadkowe jest stopnia N(N—1)., ilość więc punktów wielokrotnych funkcyi w, określonej równaniem (1), jest co najwyżej — N(N — 1).

Załóżmy więc, że dla z = а, к pierwiastków (k < m) równania F(z,w) — 0 przybiera wartość fr, i podstawmy w tym równaniu z—a-f-z\ w = Ъ -j- w'- Rozwinąwszy F (a -j- z, b -f- w') zapomocą wzoru Taylor’a podług potęg rosnących przyrostów⁷ z' i nJ otrzymamy nowe równanie :

(3) .    .

. ' . £Aaßw'“z'ß = 0.

W tym równaniu musi zachodzić przynajmniej jeden wyraz niezależny od w' i przynajmniej jeden wyraz niezależny od z' ; albowiem w razie przeciwnym, pierwsza jego strona byłaby podzielna przez pewną potęgę zmiennej w lub zmiennej z', a więc funkcyja F(z₎w) nie byłaby nieprzywiedlną. Nadto, skoro równanie (1) dla z~a ma к pierwiastków⁷ w — Ь, to równanie (3) będzie dla z' — 0 posiadało к pierwiastków w' = 0. Stąd wypływa, że pomiędzy wyrazami od z' niezależnymi ten, który zawiera w' w potędze najniższej, jest stopnia k. Załóżmy nareszcie, że ten z wyrazów od w' niezależnych, który zawiera z' w potędze najniższej, jest stopnia l. Rozwiniemy więc każdy z к pierwiastków równania (1), które dla z = a, stają się = 6, gdy się rozwinie każdy z к pierwiastków równania (3), które dla z' — 0 stają się — 0.

Aby otrzymać rozwinięcia tych ostatnich pierwiastków, załóżmy, że Mz'P jest pierwszym wyrazem rozwinięcia jednego z nich, tj. tym wyrazem, który zawiera w sobie potęgę najniższą zmiennej z\ a wartość dokładną tego pierwiastka oznaczmy przez :

(4)    .    .

. w' = z'^(M -|- R);

gdzie R jest funkcyją zmiennej z', która dla z’ = 0, staje się =» 0.

Podstawmy za w’ wartość (4) w równaniu (3), otrzymamy wtedy równanie tożsamościowe :

2 A^z'^+ß (M -j- R)a =5 0.

W tym równaniu powinny się zatym wzajemnie poznosić wyrazy, zawierające potęgi tegosamego stopnia zmiennej z', a w szczególności te, które zawierają z' w potęgach najniższych.

Wyrazy stopnia najniższego względem z' muszą się znajdować widocznie między wyrazami sumy :

S Aaß iWVl^+ß,

która wypada z podstawienia pierwszego wyrazu Mz'^ w równaniu (1). A zatym, należy jr tak dobrać, aby w szeregu wykładników ;j.a -j- ß, zachodziło więcej wyrazów najniższych.

8. Newton podał następujące wykreślenie geometryczne na wyznaczenie ;л w sposób żądany.

Fig. 14.

Przedstawmy każdy wyraz równania

(3), jak np. Aaßw'az'& przez punkt (a,ß) na płaszczyźnie dwu osi prostokątnych OXi O Y (Fig. 14.), którego współrzędne są X — a i y — ß. Wyrazom niezależnym od z' będą odpowiadały punkty na osi OX (dla pierwszego z nich bę-™ dzie X — к), a wyrazom niezależnym ; " od wr będą odpowiadały punkty na osi O Y (dla pierwszego z nich będzie y=l).

Wyobraźmy sobie teraz prostą,, która się zlewa z osią, OX i obracajmy tę prostą naprzód około punktu k, od lewej ku prawej, aż ona spotka jeden lub więcej punktów, przedstawiających inne wyrazy równania (3), potym obracajmy tę prostą około ostatniego z punktów leżących na jej poprzednim kierunku, także od lewej do prawej, aż znowu spotka ona jeden lub więcej z innych punktów, i t. d. Gdy następnie uważaną prostą będziemy obracali około ostatniego z tych punktów i ciągle w ten sposób będziemy postępowali, otrzymamy liniją wielokątną, zwracającą ku 0 swą stronę wypukłą, idącą od punktu (x = /с, у = 0) do punktu (x=—0, у — l), i taką, że jeżeli którykolwiek z jej boków przedłużymy, to wszystkie inne punkty będą leżały po stronie przeciwnej, aniżeli początek 0. (Na figurze załączonej linija wielokątną składa się z 4 boków : pierwszy łączy 2 punkty, drugi 3 punkty, a dwa ostatnie po 2 punkty). *)

Zobaczymy, że każdy z boków da na ;a taką wartość, że wartość wykładnika a\i -j- ß dla punktów na tym boku będzie mniejsza, aniżeli wartość wykładnika, odpowiadającego któremukolwiek innemu punktowi. Jakoż, jeżeli weźfhiemy pod uwagę bok przechodzący przez punkt (x — а, у = ß) i mający współczynnik kątowy = — ;a, to równaniem tego boku będzie Y— ß — - [a (X—a) czyli Y-\-\lX = aj a-j-ß. Stąd czytamy, że dla wszystkich punktów na tym boku, aja -j- ß posiada wartość stałą i mniejszą, aniżeli dla punktów, odpowiadających innym wyrazom równania (3), gdyż te punkty, jak się poprzód okazało, leżą po stronie przeciwnej tego boku, aniżeli początek 0.

9. Weźmy teraz pod uwagę naprzód pierwszy bok, tj. ten, który wychodzi z punktu (x = /■, y = 0) • na tym boku znajdują się dwa lub więcej punktów, którym odpowiadają wyrazy równania (3) tegosamego stopnia, np. wyrazy :

Aw'k + Ï A„p w'“z'S> + A^w'-z'fc,

które przyjmujemy uporządkowanymi podług potęg zniżających się zmiennej w'. Podstawiwszy w tych wyrazach w' — Mz'^, mieć powinniśmy:

skąd

к \y = ajA + ß = a, ja + ß

ß.

;л =

к—aj ’

Wziąwszy tę wartość na ja i następnie podstawiwszy (4) w (3), zrównajmy do 0 współczynnik wyrazów najniższych, otrzymamy wtedy na wyznaczenie czynnika M równanie :

*) W téj figurze opuszczone litery kil oznaczają punkty, w jakich linija wielokątną przecina odpowiednio oś OX i oś OY.

(5)    .    .    . AMk + S AaßM" -f AK|ß|M«. = О

które jest stopnia (k — a,), względem niewiadomej M i da zatym к — a, wartości na M. Tym sposobem otrzymamy pierwsze wyrazy w rozwinięciach к — a, pierwiastków równania (3), które, dla 3' — stają się = 0.

Weźmy następnie pod uwagę drugi bok linii wielokątnój tj. ten, który wychodzi z punktu (x = 7.,, у = ßJ a dochodzi do punktu (x — a₂, у — ß2>). Niech znowu :

Aa,ß,w'a,7/ßl + SAaßW/az'ß + A^'V^z'^

będą wyrazy równania (3), odpowiadające punktom na tym boku i uporządkowane podług potęg zniżających się zmiennej w'.

Stopień tych wyrazów jest jednaki i niższy, aniżeli stopień wszystkich pozostałych. Dla tych wyrazów mamy :

ai lJ< + ßi == ap, ß — 7.₂[r -j- ß₂, skąd

ß~ß.

ß2 — ßi

п.у — а

7.| - 7-2

Jeżeli znowu za weźmiemy napisaną dopiero wartość, a potym, podstawiwszy (4) w (3), zrównamy do O współczynnik wyrazów najniższych, otrzymamy na wyznaczenie M równanie :

A^M“' + Z АацМ“ + A,iPiMa- = 0,

które jest stopnia (a, —7.₃k względem M i da zatym a, — a₂ wartości na M. Tym sposobem znajdziemy pierwsze wyrazy a, — a₂ następnych pierwiastków równania (3), które dla z'— 0 staje się = 0. Postępując tak dalej, aż dojdziemy do ostatniego boku linii wielokątnój, który da nam pierwsze wyrazy, np. ap — 0 pierwiastków równania (3), przywodzących się do 0, dla z — 0, mieć będziemy pierwsze wyrazy w rozwinięciach wszystkich к pierwiastków; albowiem (k—a,) -f- (a,— a₂) (a-p — 0) = fc.

Wypadek tych dochodzeń można wypowiedzieć jako twierdzenie następujące: Pierwiastki równania SAagW'“z^ = 0, Шге rfto z' — 0 stoją się — 0, tworzą jednę lub więcej grup takich, зе pierwsze wyrazy w rozwinięciach pierwiastków jednej grupy, są wszystkie jednego stopnia •względem zmiennej z'.

10. Nim przystąpimy do wynalezienia drugich wyrazów w rozwinięciach pierwiastków przerzeczonych , dowiedziemy wprzódy pewnej ich własności.

Ograniczmy się uwaga tylko pierwszej grupy h — oq pierwiastków, których wyrazy pierwsze są — Mz'^ , gdzie (x =

-го

ß>

к—а    к - а i

a czynniki M są pierwiastkami równania (5).

Wykładnik ;x jest albo liczbą całkowitą, albo ułomkiem wymier-Oznaczmy ten ułomek , sprowadzony do postaci najprostszej,

nym.

гг

; będzie wtedy widocznie ß=7p, к — а = qq, ßt = YiP>

к — a, =Yi Ъ gdzie 7 i 77 oznaczają liczby całkowite i dodatne, przyczyni 7! > 7. Podzieliwszy równanie (5) przez M ¹ i następnie wstawiwszy powyższe wartości, mieć będziemy równanie :

(5')    .    .    . AM™ + ZA^M™ + A„ißi = 0,

przez

które jest stopnia 7t względem Mą. Rozwiązanie równania (5') da za-tym 7j wartości na 71fq, a każdej z tych wartości będzie odpowiadało q wartości na M, których moduły będą jednakie , a kierunki tworzą

postęp różnicowy o różnicy, którą przyjąć można = —A mianowicie, jeżeli oznaczymy przezr moduł jednej z wartości na Mą, a przez cp kierunek tej wartości, mieć będziemy :

MX = (rq)

gdzie X ~ 0, 1, 2,.. ., q — 1.

Tym wartościom na M\ będzie odpowiadało q pierwiastków, których pierwsze wyrazy, gdy oraz położymy z' = pQ, będą kształtu :

1 JL

(ri p ч )

? + p(6 -f 2Xtc)

Wyobraźmy sobie teraz, że punkt z' krąży około punktu z' = O po okręgu koła o promieniu — p. Po uskutecznieniu jednego obiegu kierunek 6 przyrośnie о 2тг, a zatym napisana dopiero wartość przybliżona pierwiastka przejdzie wskutek tego na :

¹    _E_

(г ч p 4 )

ff ~t~ P [6 4- 2 (X -f- 1) re]

tj. w szeregu wartości przybliżonych q pierwiastków uważanych, war-

tość X®° przejdzie na wartość (X -f- 1)"°^ a wartość ostatniego na wartości pierwszego. Z tego powodu powiadamy, że te wartości przybliżone tworzą t. z. układ kołowy około punktu wielokrotnego z' — 0.

Nie trudno okazać, że także dokładne wartości tych q pierwiastków posiadają tęsamę własność. Jakoż dokładną wartość np. Xęo pierwiastka można podług (4) tak pisać :

Г (r q)

Ф 4" 2лрл

+ K, ] (P

-J    q ?

gdzie В) — 0 dla p — 0. Otóż , jeżeli po okrążeniu punktu z' = 0 przez punkt z ten pierwiastek przechodzi nie ua pierwiastek (X -f-1)*¹, lecz na inny np. vty, mieć będziemy wówczas :

( Г" )

f 4" 2Хря

+ R'x

_p_

P (6 + 2л) ==

•1

«1

j>_.

p6

(pi)

gdzie B\ oznacza to, na co przechodzi RK po okrążeniu jednorazowym punktu z' — 0.

Podzieliwszy obie strony tej równości przez (p ч )• otrzymamy:

«1 ’

(H'x)

2p~

- Rv - (Г)

<p 4" 2vpre

- (r< )

® 4" 2 (X 4~

pierwiastków równania (8), których wyrazy pierwsze są — Mz'⁴ ,gdzie M oznacza którykolwiek z q{q pierwiastków równania (5'). Załóżmy wszakże, dla tóm większej ogólności, że równanie (5') z niewiadomą M ' posiada pierwiastek 5-krotny, gdzie ó < Yn a więc qb < к — et, < k. Przy tym założeniu będziemy mieli q działów po § wartości równych na M; a więc qol pierwiastków w' gromady, wziętej pod uwagę, utw'o-rzy q działówT po § pierwiastków', mających pierwsze wyrazy równe. Weźmy pod uwagę tylko jeden z tych działów, a mianowicie ten,

p

którego pierwiastki mają, jako wyrazy pierwsze, Mz' q, gdzie M jest jedną z namienionych q wartości, i podstawmy w równaniu (3) :

+ w";

(6) . .

w' — Mz"(|

otrzymamy wtedy nowe równanie algebraiczne :

.    .    F(z", w") = O,

(?) • •

które będzie miało h pierwiastków przywodzących się do O dla z" — 0. Sposobem wyłożonym poprzednio znajdziemy znowru pierwsze wyrazy

M'z"lx tych pierwiastków. Pomiędzy tymi pierwiastkami znajdować się musi o takich, które odpowiadają wartościom na ;j.' większym aniżeli p ; są to pierwiastki działu wziętego pod uwagę.

Niech będzie p/=-~- jedna z tych wartości od p większych, sprowadzona do postaci najprostszej. Współczynniki M', tej wartości odpowiadające, będą znowu pierwiastkami równania algebraicznego stopnia < o. Niech będzie M' jednym z pierwiastków' tego równania, a o' stopniem jego wielokrotności. Przy tym założeniu mięć będziemy q' działów' po 5' wartości równych na M\ gdzie q'Z' < o, a przeto qq'V <c ф < k.

Pomiędzy Ô pierwiastkami w" działu, wziętego pod uwagę, będzie więc o' takich, których piérw'sze wwrazy są między sobą równe,

i = Mz" «' = M'z «'

wiastków. W tym celu podstawmy znowu w równaniu (7) :

w" = MV"P + w"',

. Wy najdźmy drugie wyrazy tych pier-

. z" = z"'⁴'

wskutek czego [uwzględniwszy (6 ) ] :

(8) . .

(9)    .    .

z' =■ z"'⁴⁴', w' = Mz"'P4' + M'z

nr P'

I „jn .

i- j

otrzymamy wtedy nowe równanie :

.    .    F(z'", w"') = О,

(10) . .

z którym postąpimy taksamo, jakeśmy postępowali z równaniami

(3) i (7).

Postępując tak dalej, znajdziemy dla któregokolwiek z к pierwiastków równania (3), przywodzących się do 0 dla z' — 0, rozwinięcie kształtu :

(U)

w' = MZP4'q"--f- M'Zp'q"~ -f M"ZP"-    gdzie Zqq'q"- = z'.

Iloczyn qq'q". .. nie może być większym od к• a zatym od pewnego miejsca począwszy, będą po sobie następujące i coraz zmniejszające się liczby całkowite q równe 1.

Podstawiwszy w (11) z’ — z — a, w — w — b, znajdziemy jako rozwinięcie któregokolwiek z к pierwiastków równania (1), przywodzących się do h dla z — a,:

(12)

p'

p"

w = b + M(z - a) ⁴ -f M'(z — а)чч' + M"(z — а)чч'ч" -f

12. Zajmiemy się jeszcze przypadkiem, kiedy, dla z = a, jeden lub więcej z pierwiastków równania (1) staje się oo. Uporządkujmy to równanie podług potęg zniżających się zmiennej w :

m—1

(13) . . . F(Z,W) EEE f₀(z)wm +fi(z)w

Jeżeli z — a jest pierwiastkiem równania fo(z) — 0, wówczas jeden lub więcej z pierwiastków w₀,    «'m-i przybierze wartość oo.

Aby otrzymać rozwinięcie tych pierwiastków, dość podstawić w równa-

niu (13) z = a -f- z' i tr —

ków równania :

i szukać rozwinięcia tych pierwiast-

(14) w'“F(a + /ir)

f„(a -f- z') —{— fj(a -pz/)wr-f-fm(a-j-z')w'm—0,

które dla z' = 0, stają się = 0.

Jeżeli równanie (14) posiada tylko jeden taki pierwiastek, wówczas punkt z' — 0, czyli punkt z — a zowie się biegunem funkcyi algebraicznej w. Jeżeli zaś równanie (14) posiada к pierwiastków równych Odia zr — 0, wówczas punkt z' = 0, czyli z —a będzie punktem wielokrotnym, i ze względu na ten punkt będą owe pierwiastki tworzyły jeden lub więcej układów kołowych.

Ażeby zbadać nareszcie zachowanie się pierwiastków ?r₀, u\,.. w’m-i równania (1) przy z = oo, dość podstawić w tym równaniu

1 1

-y i badać zachowanie się pierwiastków rów ,auia V( , , w)

Zasady algebry wyższej.

26

około punktu z' — 0. Punkt z — 0 okaże się wtedy albo punktem zwyczajnym, w którym wszystkie pierwiastki maja wartości skończone i od siebie odmienne, albo biegunem, albo punktem wielokrotnym.

13. Przykłady. 1°. Niech będzie dane równanie:

F(z,w) = w³ — 8w -f- 2z = 0.

\

Skoro Dw F(z,w) — Зге¹ — 3, przeto punkty wielokrotne odpowiadają wartościom z = ± !• Dla z = -j- 1 jest w = — 2 pierwiastkiem pojedynczym, a w = 1 pierwiastkiem podwójnym; dla z = — 1 jest w — 2 pierwiastkiem pojedynczym, a w — — 1 pierwiastkiem podwójnym. Nadto wszystkie trzy pierwiastki są rzetelne, dla z² < 1, tj. na odcinku ab (Fig. 15.). osi liczb rzetelnych, gdzie bo — oa — 1.

Fig. 15.

Aby zbadać, jak się zachowują około punktu z — -j- 1 te dwa pierwiastki, które dla z —    1 przybierają wartość wspólną -j-

podstawmy w równaniu założonym :

w = 1 -f- w',

z = 1 -J— z'

otrzymamy wtedy :

(2z' + 3w'²) -f- w'! = 0.

Postępując podług prawidła Newton’a (art. 8.) znajdziemy, że dwa pićrwsze wyrazy są stopnia najniższego (linija łamana składa się z jednego boku idącego od punktu (2,0) do punktu (0,1). Mamy za tym 2[l — i, skąd (x = | , i 2 -j- 3M² = 0, skąd M = i У - f Wartości główne uważanych dwu pierwiastków są zatym :

Widoczna, że kiedy z' okrąży punkt a (z' — z— 1—0), wtedy jeden z tych pierwiastków przejdzie na drugi. Następnie mamy :

Wl = 1 -i- у _ f. (z—1)

w₂ =

Stąd czytamy, że obie wartości są we wszystkich punktach na oa rzetelne i dodatne. Gdy z zmieni znak na przeciwny, trzy wartości na w zmienią także znaki na przeciwne ; stąd wnosimy, że tesame dwa pierwiastki, któreśmy oznaczyli przez w, i , będą tworzyły układ kołowy także ze względu na punkt z — — 1, i że w każdym punkcie na ob będą one miały wartości rzetelne, lecz odjmnne Tosamo znaj-

dziemy, gdy w równaniu założonym podstawimy 2 — — 1 -f- z\ w — — 1 -1- w\ a potym postąpimy podług prawidła Newton’a.

Aby zbadać, jakim jest punkt 2 — o©, podstawmy w równaniu

założonym :

— —y i w = —

z    w

otrzymamy wtedy nowe równanie :

(z' -j- 2w'³) — 3z'w'² = 0.

Prawidło Newton’a, zastosowane do tego równania, daje skąd (A = i 1 + 2M³ = 0, skąd M — — У |. Mamy zatym :

w'

³—    1

= - yf z'³

= 00).

z'

skąd czytamy, że wszystkie trzy pierwiastki tworzą układ kołowy, ze względu na punkt (z — —t

Znajdźmy jeszcze rozwinięcie pierwiastka tv₀, który dla z — + 1 staje się równym — 2, podług potęg różnicy 0 — 1.

Podstawiając w danym równaniu z — 1 + z\ w — — 2 -f- w' otrzymamy nowe równanie :

(2z' -f⁻ 9w') — 6w'² ~\~ w'³ = 0.

Prawidło Newton’a daje [a = 1, M —

— I z' = — ! (z — 1) jest wyrazem pierwszym. Połóżmy następnie z’ — z\ w' — — f z' -j- w'\ otrzymamy nowe równanie :

/    24

V 81

I ; a zatym

z'² + 9 w")

+ .... - 0.

Prawidło Newton’a daje następnie, pa = 2, Mx

24    8

a zatym

729    243’

/г — (z — lf jest drugim wyrazem rozwinięcia.

729

Aby otrzymać trzeci wyraz, należy znów podstawić z' — zr, - z'² + w'" w równaniu ostatnim , i t. d. Oznaczając ten

w"

pierwiastek przez mieć będziemy :

w₀ =

2n. Niech następnie będzie dane równanie:

w³ — 3zw -f* z³ — 0.

Punkty wielokrotne daje równanie z⁹ (z³ — 4) = 0. Mamy więc cztery punkty wielokrotne : początek 0, dla którego z — 0 i trzy punkty b, c na obwodzie koła, nakreślonego z początku 0 promieniem

3

= У 4 = 2%, dla których » = (2^), = (2^)2k~ (2%) ₄„ .

O /«

Dla 0 = 0 są wszystkie trzy pierwiastki = 0. Podstawmy w równaniu założonym w — Mz^ i zastosujmy prawidło Ne w ton’a; otrzymamy wtedy dwie wartości najmniejsze na (i, bo linija wielokątna będzie się składała z dwu boków: jeden łączy punkt (3,0) z punktem (1,1), a drugi łączy punkt (1,1) z punktem (0,3). Pierwszy bok daje 3ja = 1 -j- ja, skąd ja = a nadto Ж³ — ЗЖ = 0, skąd

Fig. 16.

M — i УЗ; drugi zaś bok daje l-\-\y—3, skąd ja = 2, a nadto — ЗЖ -{-1=0, skąd Ж = Oznaczmy trzy pierwiastki przez iv₀, wx, w₂, to ich wyrazy pierwsze, w pobliżu punktu z = 0, będą następujące :

w₂= i z².

wo

= 3 2 z 2 j wt = — 3 ^ z 2,

Stąd czytamy, że tylko dwa pierwiastki w₀ i w, tworzą układ kołowy około 0, tj. gdy з okrąży 0 po kole nie obejmującym punktów a, h, c, wtedy w’₀ przejdzie na wx, a wx na w₀.

Aby znaleść zachowanie się tych pierwiastków około punktów a, b, c, połóżmy z — a, gdzie a jest liczbą rzetelną i <( Oa — 2 ³ . Na Oa są wszystkie trzy pierwiastki rzetelne, pierwszy i trzeci są do-datne, a drugi jest odjemny. Ze względu więc na punkt a tylko dwa pierwiastki w₀ i ivt tworzą układ kołowy.

Połóżmy następnie z — ß = a 2k    (2^) 2tc ; pierwiastki

przyjmą wtedy wartości :

w₀

= 3M)„ = -3ł(ai)₄„,

wŁ =

— 3*(а*) я = 3 2 (a ^ )

4rc i

W2 = I (a²) 4я .

A zatym na Ob mają pierwiastki w₁ i tr₂ znaki jednakie

a tv₍₎

ma znak przeciwny. Stąd wnosimy, że pierwiastki щ i iv₂ tworzą układ kołowy ze względu na b.

Połóżmy nareszcie z — 7 —

_2

(2* )₄„, mieć będziemy:

3~

vvo — d ^ (a 2 ) 2jt , w, = —32(7.2)

2тс )

w2=iM8n=ł(a²)2Ir-

A zatym na Oc mają pierwiastki w₀ i w₂ znaki jednakie, a ti\ ma znak przeciwny. Stąd wnosimy, że ze względu na punkt c pierwiastki w{) i w2 tworzą układ kołowy.

Cs* , ko,

Podstawiwszy w równaniu założonym z = - 7, w — mamy nowe równanie :

, otrzy-

w'³ - 3z'² V³ + z'³ = 0.

Prawidło Ne w ton’a daje 3 = 3|л, skąd p. = 1, i    —

skąd M = p — 1 = 3 ^2k _|_ i)ic , gdzie & =» 0, i, 2. Mamy więc:

w' = 1

(2k -j- 1)k

—, jest więc

Trzy pierwiastki są więc od siebie odmienne w pobliżu punktu z’ = 0, lubo dla z’ — 0, stają się = 0, Punkt z' — 0 — biegunem ze względu na każdy pierwiastek.

¹

I

Pierwsza strona tej równości staje się = 0 dla p'—0, gdy tymczasem stiona druga jest = 0 tylko, gdy v — X 4~ 1- A zatym nieino-żebna, ażeby pierwiastek Xty przeszedł na inny, a nie na (X 4- l)y •

Możemy więc wypowiedzieć twierdzenie następujące :

Każda z утр, którą tworzą pierwiastki równania 2A₇cW'"'z'^~0 przywodzące się do 0 dla z' — 0, rozkłada się na pewną ilość gromad takich, że pierwiastki każdej gromady tworzą układ kołowy około punktu wielokrotnego z = 0.

11. Wynajdźmy teraz drugie wyrazy w rozwinięciu к — at =

Wielowartościowość pierwiastków.

14. Weźmy pod uwagę którykolwiek z m pierwiastków, np. n\ , równania F(zyw) — 0. Okazaliśmy (art. 6.), że ten pierwiastek jest funkcyją ciągłą zmiennej 0. Oznaczmy przez w\ i w\ wartości, jakie ten pierwiastek przyjmuje w punktach z = z° i z = z'. Jeżeli punkt z przebiega w sposób ciągły jakąkolwiek drogę, idącą od z₀ do z\ a nie przechodzącą przez żadną z nieskończoności, to natenczas i funkcyją w к będzie się zmieniała w sposób ciągły, przechodząc od wartości początkowej w⁰k do pewnej wartości końcowej. Ta wartość końcowa jest zależna od drogi przebieżonój przez punkt z, a więc nie jest koniecznie = w'k. Jakoż, jeżeli punkt z przebiega naprzód drogę, która nie

20В okrąża żadnego punktu wielokrotnego, w którym pierwiastek u\ staje się równym jakiemu innemu pierwiastkowi wj, to wartości, jakie гг k przyjmie na tej drodze, będą wciąż wartościami jednego i tegosamego pierwiastka Wk, a przeto i wartość końcowa będzie = w\. Jeżeli zaś ta droga okrąży punkt wielokrotny, w którym pierwiastek u\ staje się równym pierwiastkowi w\, to wartości, jakie funkcyja Wk przyjmie na części drogi poprzedzającej okrążenie, będą wciąż wartościami pierwiastka iVk, gdy tymczasem, po dokończeniu okrążenia, będą one wartościami funkcyi w\ ; wartość więc końcowa w punkcie z' będzie więc teraz w\, a nie w'k, jak poprzednio. Rzecz stanie się jeszcze zawilszą, gdy droga punktu z będzie okrążała kilka punktów wielokrotnych, lub też jeden, ale kilka razy.

Tak np. jeżeli weźmiemy pod uwagę pierwiastek w₀ równania przykładu drugiego w artykule poprzedzającym ; to jeżeli droga punktu z okrąży po razu każdy z punktów wielokrotnych 0, «, li w porządku takim, jak następstwo tych liter wskazuje, nim dojdzie do punktu końcowego z\ to po okrążeniu punktu 0 przejdzie w₀ na w{, przy okrążeniu zaś pu.ktu a nie zmieni się и\, a po okrążeniu punktu b przejdzie u\ na гг₂. Stąd widoczna, że na takiej drodze dojdziemy od wartości początkowej ?r₀°, do wartości końcowej гг/₂ a п^е w\-

A zatym pierwiastki w₀,    wm-i równania algebraicznego

F(z,w) = 0 są wielo wartościowymi funkcyjami zmiennej z, tj. każdy z nich może w jakimkolwiek punkcie Z przybrać rozmaite wartości, za-leżnie od drogi, po jakiej do tego punktu dochodzimy.

Aby te pierwiastki uczynić funkcyjami jednowartościowymi potrzeba wyłączyć z płaszczyzny punkty wielokrotne, łącząc każdy punkt wielokrotny z punktem początkowym s°, zapomocą linij poprzecznych, nie przechodzących przez żaden punkt wielokrotny (np. linij prostych) i nie okrążających żadnego z pozostałych punktów wielokrotnych, i zastrzegając, aby droga punktu z nie przecinała żadnej z tych linij poprzecznych.

Ше mogąc wdawać się w badania szczegółowe własności pierwiastków równania algebraicznego F(z,w) — 0, odsyłamy czytelnika w tym względzie do dzieła pp. Briot’a i Bouquet’a: Théorie des fonctions doublement périodiques. 2de édition.

ROZDZIAŁ XIII.

0 wyznacznikach.

1. Zamierzamy jeszcze wyłożyć w zarysie teoryją wyznaczników, gałęź algebry nowszej stosunkowo daty, ale mającą już wielką i coraz bardziej wzrastającą doniosłość. W rozdziale niniejszym podamy określenie i główne własności wyznaczników; w rozdziale następującym zastosujemy" teoryją wyznaczników do rozwiązania układu równań stopnia 1. z ilukolwiek niewiadomymi i do rozwiązania dwu równań jakiegokolwiek stopnia z dwiema niewiadomymi ; w rozdziale zaś XY. wyłożymy naukę o przekształceniu linijowym funkcyj jednorodnych stopnia 2. z ilukolwiek zmiennymi.

Podstawienia.

2. Jeżeli zamiast liczb 1, 2, 3,..., n kładziemy odpowiednio liczby /₂, г'з,...,г„, powiadamy, że na szeregu liczb 7, 2, 3,..., n uskuteczniamy podstawienie, które się oznacza pospolicie zapomocą wyobraźnika :

I—* _r •

CC“

W wierszu niższym tego wyobraźnika pisze się szereg pierwotny liczb, a wiersz wyższy zawiera szereg tych liczb, które mają zastąpić liczby pod nimi stojące w wierszu niższym. Przez liczby wiersza wyższego będziemy rozumieli tesame liczby, jakie się znajdują w wierszu niższym, tylko wzięte w jakimkolwiek porządku.

Podstawienie uskutecznione na jakimkolwiek szeregu liczb nazwiemy podstawieniem albo przesunięciem kołowym, jeżeli każdą z liczb w tym szeregu zastąpimy przez sąsiednią po prawej, a ostatnią przez pierwszą. Podstawienie kołowe na szeregu liczb 7, 2, 3,..., n wyrazi się zatym przez :

to

to 03 03

« c=

I—I o

Podstawienie kołowe uskutecznione na szeregu dwu liczb zowie się przestawieniem tychże liczb.

Nietrudno okazać, że podstawienie kołowe uskutecznione ■ na szeregu П liczb jest równoważne (n — I) przestawieniom po dwie sąsiednie liczfyy tego szeregu. »Takoż, chcąc od szeregu liczb 7, 2, 3,...; n przejść do szeregu 2, 3, 4,..., (n — 1), n, 7, potrzeba przestawić liczbę 7 z 2, potym z 3, z 4, i t. d. w ogóle za porządkiem z każdą z n — 7 liczb, które po 1 następują.

Każde podstawienie jest równoważne pewnej ilości podstawień kołowych. »Takoż, wyjdźmy od pewnej liczby w wierszu niższym i napiszmy obok n ój po prawej tę liczbę wiersza wyższego, która ma ją zastąpić, obok tej drugiej jej zastępczynią z wiersza wyższego i t. d., dopóki nie dojdziemy w wierszu wyższym do tćjsamćj liczby, od której wyszliśmy. Tym sposobem obok siebie napisane liczby utworzą szereg, na którym uskutecznione zostało jedno podstawienie kołowe. Powtarzając tosamo postępowanie, z którąkolwiek liczbą wiersza niższego, nie zawartą w otrzymanym już szeregu, otrzymamy drugi szereg liczb, na którym zostało uskutecznione drugie podstawienie kołowe, i t. d. Tak np' :

35281470

12345678

МШИ и?).

cc —?

СО X

tj. podstawienie po lewej jest równoważne trzem podstawieniom kołowym po prawej.

/pomiędzy tych liczb, gdzie n,    n₂ 4

П₂1 • • • у Пт

Z dwu ostatnich twierdzeń wypływa następujące : Każde podstawienie jest równoważne pewnej ilości flfi&statriefi. Tę ilość można wyznaczyć, jak następuje. Dajmy, że podstawienie na szeregu n liczb jest równoważne m podstawieniom na szeregach zawierających odpowiednio Wj,

.. . -j- nm — n. Skoro podstawienie kołowe uskutecznione na szeregu na liczb jest równoważne na — 1 przestawieniom po dwie sąsiednie liczby, podstawienie zatym uważane jest równoważne : przestawieniom.

3. Liczbę n — m, wyrażającą różnicę między ilością liczb w szeregu poddanym podstawieniu a ilością podstawień kołowych, którym to podstawienie jest równoważne, nazywamy klasą podstawienia. Według tego, czy klasa podstawienia jest liczbą parzystą, czy też nieparzystą, samo podstawienie nazywamy parzystym lub nieparzystym.

Z dwu podstawień, których wiersze niższe są równe, a wiersze wyższe różnią sie przestawieniem dwu liczb, jedno jest parzystym, a drugie jest nieparzystym.

Jakoż dajmy, że w wierszu niższym obu podstawień znajduje się szereg liczb 1, 2, 3,. .., w, gdy tymczasem w wierszu wyższym zachodzące szeregi różnią się tylko tym, że dwie liczby np. ip , i₄ zostały przestawione. Niech więc szereg liczb w wierszu wyższym jednego podstawienia będzie :    &    /b*-~

2 /-/

4-nm)— m

//

(rii —1)4“ (n₂ — l) 4"

“4 (nm l) — (n, 4“ щ 4“

(a)    .    .    .    . AipBbjC

A -(

gdzie A oznacza szereg a liczb poprzedzających ip , В szereg b liczb, leżących między ip i iq , a C szereg c liczb idących po iq ; w drugim podstawieniu będzie wtedy w wierszu wyższym zachodził szereg liczb następujący :

(?)    ...    . Aiq Bip C.

-Łatwo spostrzec, że z szeregu (a) przejść można do szeregu (ß) zapomocą 2b 4“ 1 przestawień po dwie sąsiednie liczby. Jakoż, jeżeli naprzód ip przestawimy za porządkiem z każdą z b liczb zawartych w В, idąc od lewej do prawej, dojdziemy do szeregu :

А В ip iq C ,

a gdy następnie ią przestawimy z ip i z każdą z b liczb zawartych w B, lecz idąc teraz od prawej do lewej, dojdziemy wtedy do szeregu (ß). Podstawienie więc drugie daje tensam wypadek, co podstawienie pierwsze, z dodaniem do niego 2b 1 przestawień po dwie sąsiednie liczby ; a że liczba 2b -\- 1 jest nieparzystą, więc jeżeli jedno podstawienie było parzyste, to drugie będzie nieparzystym.

Podstawienia, odpowiadające n! przemianom szeregu n liczb ł, 2, 3,.. ., n, są w jednej połowie parzystymi, a w drugiej połowie nieparzystymi-, albowiem te wszystkie przemiany otrzymamy zapomocą powtórzonego przestawienia po dwie liczby.

Zasady algebry wyższej.

Wyznacznik kwadratowy rzędu n.

4. Oznaczmy przez aik (a z dwoma wskaźnikami if k) liczby, której wartość będzie coraz inszą, gdy za wskaźniki i, к będziemy podstawiali coraz insze liczby. Dając naprzód na к wartości 1, 2, 3,. . n, otrzymamy szereg n liczb :

ai2’    •••••> aini

a gdy następnie pierwszemu wskaźnikowi i liczb tego szeregu damy wartości 1, 2,..., n, mieć będziemy n szeregów po n liczb:

( all) ai 2?    • •

a2l) a22)    • • •j a2n

ail

ain

(1) . .

ann;

aill ; an2

czyli układ kwadratowi) n² liczb. W tym układzie kwadratowym liczby jednego szeregu poziomego, czyli wiersza mają pierwsze wskaźniki jednakie i, idąc od pierwszego (górnego) wiersza do ostatniego (dolnego), równe liczbom 1, 2, .. ., n. Taksamo liczby jednego szeregu pionowego czyli kolumny mają drugie wskaźniki jednakie i, idąc od lewej ku prawej, równe za porządkiem liczbom 1, 2, ..., n. Liczba więc aik leży w tym układzie na przecięciu się is° wiersza (od góry) i ktéi kolumny (od lewej). .

Napisany układ kwadratowy ma dwie przekątnie ; tę jego przekątnią, która łączy punkt przecięcia się pierwszego wiersza i pierwszej kolumny z punktem przecięcia się ostatniego wiersza i ostatniej kolumny, nazywamy przekątnią główną. Każdą z liczb układu kwadratowego (1) nazywamy elementem tego układu; na przekątni głównej leżą, idąc od góry ku dołowi, za porządkiem elementy «u, a₂₂, аза, ..., «nn, mające oba wskaźniki jednakie.

Weźmy pod uwagę iloczyn n elementów, leżących na przekątni głównej układu kwadratowego (1), ustawiając je obok siebie tak, aby idąc od lewej ku prawej tak pierwsze jak i drugie wskaźniki tworzyły szereg liczb rosnących 1, 2, 3, ..., n, tj. :

all a22 *Ьз ' * * aiui)

i nie zmieniając w tym iloczynie szeregu pierwszych wskaźników, za szereg drugich wskaźników podstawmy każdą z n ! przemian tegoż sze-regu. Tym sposobem otrzymamy razem n! iloczynów. Tak otrzymanym

iloczynom dajmy znaki dodatne lub znaki odjemne, według tego, czy podstawienia, odpowiadające przemianom ich drugich wskaźników, są parzyste, czy też nieparzyste, i weźmy sumę tych wszystkich iloczynów, zaopatrzonych znakami -j⁻ lub — według opisanego dopiero prawidła. Ta suma nazywa się wyznacznikiem układu kwadratowego n² elementów (1), albo krócej, wyznacznikiem kwadratowym rzędu n. Każdy z n! iloczynów zowie się wyrazem, йц «22 • • • я™ zowie się wyrazem głównym wyznacznika.

w szczególności pierwszy iloczyn

Wyznacznik układu kwadratowego (1) oznacza się, sposobem Cauchy’ego, zamykając ten układ między dwie proste pionowe, • tj. przez :

(2) . .

^2lj a22> . . .., a2n

albo sposobem Laplace’a, poprzedzając wyraz główmy, wzięty ze znakami _-t, znakiem sumowania 2, tj. przez:

(•1)    .    .    .    .    ^ i i a₂2 • • . ann ,

albo sposobem Sylwester’a, przez:

(4)    .    .

to

w CO

gdzie dwa szeregi liczb są szeregami pierwszych i drugich wskaźników wyrazu głównego ; liczby drugiego szeregu są niejako cieniem, rzuconym przez liczby szeregu pierwszego, dlatego też to znakowanie wyznacznika zowie się pospolicie znakowaniem cieniowym. Ostatnie znakowanie można, jak to czynią niektórzy geometrowie angielscy, zastąpić następującym :

(5)    .    .

a i 1 2 3.. .n i².

Niekiedy oznacza się wyznacznik układu kwadratowego (1) także przez («, i «22.... (Inn). Mamy zatym np. :

al11 a12

= ^ i aLl a‘22 = a

to to

SI_

cT

Ф1

CS

cT

to

oT

all) a12ł a13

а2П a22? a23 ==^ i atl a22 a33 = ft | 1 2 3 =: П, 1 2 3

12 3

аЗИ a32? a33

= all    a-2‘2    a33    alL a23 a32

4~ ai2    a23    a31    al2 a2l a33

+ al8    a2l    cl₃2    ai3 a22 a315    ^ ^

5. Jeżeli w iloczynie elementów na przekątni głównej układu kwadratowego (1) :

ai 1 a22 a33 • • • annj

zamiast wtórego szeregu wskaźników, będziemy przemieniali pierwszy szereg, zachowując przytym prawidło znaków, tj. dając otrzymanym iloczynom znaki dodatne, lub znaki odjemne, według tego, czy podstawienia odpowiadające przemianom pierwszych wskaźników są parzyste, czy też nieparzyste, to suma tak otrzymanych iloczynów będzie tymsamym wyznacznikiem układu kwadratowego (1).

Jakoż, naprzód ilość wyrazów w tej drugiej sumie będzie także równa n! i wszystkie będą od siebie odmienne.

Jeżeli następnie w każdym wyrazie tej sumy tak poprzestawiamy poszczególne czynniki (co nie zmieni wartości wyrazów), aby pierwsze wskaźniki powróciły do porządku 1, 2, 3,. . ., n, natenczas te wyrazy przejdą na wyrazy wyznacznika, utworzonego pierwszym sposobem, i nie będzie pomiędzy nimi dwu jednakowych, bo i przedtym wszystkie były od siebie odmienne, a przestawienie czynników nie zmieniło ich wartości. Pozostaje okazać, że i znaki tych wyrazów są takiesame, jakimiby były, gdybyśmy je wyprowadzili przez przemienianie drugich wskaźników iloczynu an a₂₂.. .ann. W tym celu weźmy pod uwagę jakikolwiek wyraz tój drugiej sumy np. :

(a)    .    .

aj₁l ai„2 * * • ainn*

Podług prawidła znaków będzie znak tego wyrazu dodatny lub odjemny, według tego, czy podstawienie:

(a) •    •

.    .    / it i₂.. : in \

V 1 2 ... n /

n,

jest parźyste, czy też nieparzyste. Dajmy, że ten wyraz, po Sprowadzeniu szeregu pierwszych wskaźników do porządku 1, 2, 3, .. przechodzi ua :

aikt a2ko • ’ ’ ank *

(ß) - -

w,

Ten wyraz jest także wyrazem wyznacznika, utworzonego pierwszym sposobem, bo kv k₂...kn jest przemianą szeregu 1, 2, 3, .. i ten wyraz ma w namienionym wyznaczniku znak dodatny lub odjc-mny, według tego czy podstawienie :

k₂

(b)    .    .

■ ■ (ï

. .. kn \

n '

jest parzyste, czy też nieparzyste. Atoli przemieniając porządek czynników w (a), aby dojść do (ß), wykonywamy podstawienie odwrotne podstawieniu (a), a pizeto równoważne tójsamój ilości przestawień. Stąd wnosimy, że klasy podstawień (a) i (b) są jednocześnie parzyste lub jednocześnie i ieparzyste, a więc, że wyrazy drugiej sumy, po przestawieniu czynników’ sprowadzającym szereg pierwszych wskaźników do porządku 1, 2, n nietylko przechodzą na wyrazy wyznacznika, utworzonego pierwszym sposobem, ale; że te wyrazy mają także takiesame znaki, jakieby miały, gdybyśmy je byli wyprowadzili z wyrazu głównego axi a₂₂ ... ann przez przemienianie szeregu drugich wskaźników. Z wyrazu więc głównego axl a₂2 • • • «nn otrzymamy wyznacznik dwojakim sposobem : albo przemieniając szereg pierwszych, albo przemieniając szereg wtórych wskaźników i w obu razach zachowując prawidło znaków, powyżej opisane.

Ponieważ wskaźniki pierwsze są liczbami porządkowymi wierszy, a wskaźniki drugie są liczbami porządkowymi kolumn, przeto wypadek tego dochodzenia można wypowiedzieć jako twierdzenie następujące :

Wyznacznik układu kwadratowego elementów nie zmieni się, gdy w tym układzie wiersze i kolumny odpowiadające solde poprzemieniamy jedne na drugie.

Mamy zatym :

(6) . .

altł al2? • • • )al'i

a125 a22î• • • )an2 J

ani, an2,... ,ann

am, a2nj. .. ,a

lin

Własności zasadnicze wyznacznika kwadratowego.

6. Według powyższego określenia, jest wyznacznik układu kwadratowego składników funkcyją stopnia 1. i jednorodną elementów każdego wiersza i każdej kolumny, czyli krócej, każdego szeregu

w tymże układzie; albowiem w żadnym jego wyrazie nie ma dwu elementów; które mają, równe albo pierwsze albo drugie wskaźniki. Stąd wypływają bezpośrednio trzy następujące własności wyznacznika kwadratowego :

1°. Wyznacznik kwadratowy jest równy 0, jeżeli wszystkie elementy jednego szeregu (wiersza lub kolumny) są równe 0.

2°. Wyznacznik kwadratowy, w którym elementy jednego szeregu są wielomianami złożonymi z m wyrazów, jest równy sumie m wyznaczników, mających w tym szeregu za elementy} odpowiednio pierwsze, wtóre, ... mte wyrazy tycli wielomianów.

Tak np. :

an    l i\ a12i ai3 — aii5a12iai3 Ь

a2l +^2l + c2l> a221 a23 a3i + b3l + c3l, a32, a₃₃

a211 a22, a23

a 11 i bj j, al2 -f- bj ₂ i —

a2i + b2l, a₂₂ -f- b₂₂ i

ai 2 I T~ j a

ai l 1

a2i> a₂₂

I a3H a32 7 a33

ail ? ai 2 + bl2

a2i > a 22 + b₂₂

1 1 5 а12 5 ai3

b2l, a₂₂, a23 b₃₄, a₃₂, a33 + blx, a|2 + b₁₂

b₂1, a₂₂ —}— bg^

C11 7ai2 5 ai3

C2I, a22, a23

C3l 1 a32, a33

al2

, itd.

a2li b₂₂

b₂i, a₂₂

1»

21 ?

bj?

3°. Jeżeli się wszystkie elementy jednego szeregu pomnoży przez ten-sam czynnik, wówczas cały wyznacznik będzie przez ten czynnik pomnożony, i nawzajem, aby pomnożyć wyznacznik przez jaką liczbę, dość pomnożyć elementy jednego szeregu przez tęż liczbę.

Tak np. mamy :

xa

a11? a,₂, al3

a211 a22, a23

, al2, a,3 ; ха2и a₂₂, a₂₃

ази a₃₂, a₃₃

!

i хазп a321 азз ;

7. Następnie ze sposobu tworzenia wyznacznika układu kwadratowego wypływa twierdzenie :

4°. Wyznacznik zmienia znak na przeciwny wskutek przestawię nut dwu szeregów równoległych (dwu wierszy lub dwu kolumn).

Jakoż, jeżeli w układzie kwadratowym elementów przestawimy np. dwie kolumny iW i kW, natenczas wyraz główny tak zmienionego układu kwadratowego otrzyma się z wyrazu głównego :

O j j 0/^2    • • • O-nn

pierwotnego układu kwadratowego przez przestawienie wskaźników ifk w drugim szeregu wskaźników. Wyraz główny zmienionego układu

kwadratowego jest więc wyrazem odjemnym wyznacznika układu pierwotnego. A że z wyrazu głównego, wziętego ze znakiem dodatnym, otrzymuje się wszystkie inne przez przemienianie szeregu drugich wskaźników, stosując przy tym opisane prawidło znaków, [tj. dając tym wyrazom znaki dodatne lub odjemne, według tego, czy zachodzące w nich szeregi drugich wskaźników powstały z szeregu drugich wskaźników wyrazu głównego zapomocą parzystej, czy też nieparzystej ilości przestawień], widoczna zatym, że wyrazy wyznacznika układu zmienionego będą równe wyrazom układu pierwotnego, ale wziętym ze znakami przeciwnymi. Mamy zatym np. :    ,

ai

al 2 » a13

al-2î ain aI3

a12- a13> ai

a2lo a22) a23

a22ł a211 a23

a22i a23ł a2t

a32 7 a3 3 7 a3l

a317 a32 7 a33

I a32J a3H a33

, i t. d.

a217 a22 7 a23

a21, a221 a23

ai

al 2 7 a13

a317 a32 7 a33

! a3l) a32) a33

al

a12i ?13

5°. Wyznacznik kwadratowy jest równy 0, gdy dwa szeregi równoległe (diva wiersze lub dwie kolumny) są tożsamościowe [tj. gdy elementy równomiejscowe w tych dwu szeregach są jednakie]. Albowiem przestawienie tych dwu szeregów powinno zmienić znak wyznacznika na przeciwny, a to niemożebna, gdy te dwa szeregi są tożsamościowe.

Uwzględniając własność o>ci!t, możemy to twierdzenie wypowiedzieć ogólniej, jak następuje :

6°. Wyznacznik kwadratowy jest równy 0, gdy składniki równomiejscowe dwu jego szeregów równoległych, są proporcyjonalne. Mamy bowiem np. :

a2l7 Xa2l! a23 a3l7 xa31? a33

ain ai3 ⁼⁼ D* a2l 1 a211 a23 1    a317 a3H a33

Z twierdzeń nareszcie 6°. i 2°. wypływa następujące :

7°. Wyznacznik kwadratowy nie zmieni się, gdy do elementów jednego szeregu dodamy elementy równomiejscowe innego szeregu równoległego pomnożone przez jedną i tąsamę liczbą.

a2l? a22? a23 a3ti a32? a33

Rozłożenie wyznacznika kwadratowego na wyznaczniki rzędów niższych.

8. Jeżeli w wyznaczniku rzędu n. :

. A =

a2n

; aill) an2j • • • ) ann

■V

О. г?

(1) . .

opuścimy jeden wiersz np. ity i jednę kolumnę np. kb~, nie zmieniając porządku pozostałych wierszy i kolumn, to wyznacznik rzędu (n — 1). utworzony z (n — 1) pozostałych wierszy i kolumn i wzięty ze znakiem + lub —3 według tego, czy suma i -f- к liczb porządkowych opuszczonego wiersza i opuszczonej kolumny jest parzystą, czy też nieparzystą, zowie się pierwszym podwyznacznikiem albo pierwszym minorem wyznacznika założonego, należącym do elementu «ik, który leży na przecięciu się opuszczonego wiersza i opuszczonej kolumny. [P. Baraniecki w swém dziele: „Teoryjawyznaczników. Paryż, 1879“ nazywa namieniony wyznacznik, wzięty ze znakiem -J-, podwyznacznikiem a wzięty ze znakiem (—7/+k, ilością dołączoną w wyznaczniku A do elementu Uik]. Oznaczając pierwszy podwyznacznik wyznacznika (1) należący do elementu aw, przez Mik, mamy podług tego opisaąia :

aL,k-{-l3 • • • за1п

СО

Mamy bowiem np.: auXai2 + pa(3, aJ2, aJa =

a2l 4~ ^⁹22    !J-a23? a2a? а2з

a3I Xa₃₂ -j- (xa₃₃, a₃₂, a₃₃

ai 1 )ai2)ai3 4~^ a2l)a22ł a23 a3lîa32îa33

a12»ax2łai3

ail 5

a12) a13

a22)a22?a23

a32)a32)a33

, i t. d.

4“ !J- a₁₃,al2>ai3 a₂₃,a₂₂,a₂₃

а33за32)а33

(2) A1U = (-!)'+* :    a,,k_„

5a

■CU

ai+l,l3—3ai+i,k-l,

ai-l,k + l> • .3ai—l,n

j ani, • • • .,аП]к—i.

an,b+l, • •

Unn

Wiedząc to, możemy udowodnić twierdzenie następujące: Wyznacznik kwadratowy jest równy samie elementów jednego szeregu, pomnożonych przez pierwsze podwyznaczniki należące do tychże elementów, tj. :

(3)    .    .

. A = au Ап. -f- ai2Ai2 +... + aiu Ain,

jak również :

(4) •

• A .— aik Aik -j- a2k A2k + • • • + ank Ank.

Aby dowieść tego twierdzenia, uważmy naprzód, że wyrazy wyznacznika (1), mające aix za czynnik wspólny, otrzymamy, skoro, opuściwszy w wyrazie głównym czynnik an, w pozostałej części tego wyrazu :

a₂2 ^33• • > •ann,

będziemy przemieniali albo szereg drugich albo szereg pierwszych wskaźników i otrzymanym wyrazom damy znaki dodatne lub odjenme podług opisanego prawidła znaków. Atoli suma tak otrzymanych w) razów jest widocznie podwyznacznikiem AX1] a zatym а,, А 1г jest zbiorem, wyrazów wyznacznika (1) zawierających w sobie element a,,.

Stąd wypływa, że chcąc otrzymać zbiór wyrazów wyznacznika (1)} zawierających element aik, jako czynnik wspólny, dość гЧу wiersz, za-pomocą kolejnego przestawiania z każdym poprzedzającym, przenieść na pierwsze miejsce, i taksamo № kolumnę, zapomocą kolejnego przestawiania z każdą poprzedzającą, zrobić kolumną pierwszą, [wskutek czego element aik zajmie miejsce, które zajmował pierwotnie element atl], a potym w tak zmienionym wyznaczniku opuścić pierwszy wiersz i pierwszą kolumnę. Ponieważ wskutek i — 1 razy powtórzonego przestawienia po dwa wiersze i к — 1 razy powtórzonego przestawienia po dwie kolumny wyznacznik założony A przeszedł na (—1)'+*^* A czyli (—l)l+kA, widoczna więc, że gdy w tym wyznaczniku opuścimy pierwszy wiersz i pierwszą kolumnę, powstanie nam podwyznacznik Au. A zatym aik Aik wyraża zbiór wyrazów wyznacznika (!) zawierających aa jako czynnik wspólny.

Ui2 ,

ГС

/ tego twierdzenia i z tej własności wyznacznika kwadratowego, według której taki wyznacznik jest funkcyją jednorodną(Ai, stopnia 1. względem składników któregokolwiek z szeregów, wypływa prawdziwość twierdzenia wypowiedzianego na początku artykułu. Jakoż, jeżeli zpośród wyrazów wyznacznika (1) wybierzemy naprzód te, które w sobie zawierają au, tj. au Au, potym te, które w sobie zawierają tj. a,2 Ai2, i t. d., a nareszcie te, które w sobie zawierają , tj.

Zasady algebry wyższej.

«in w4in , wyczerpiemy wszystkie wyrazy i mieć zatym będziemy :

A = au Ац ai2 Aj2 -f-- • *ain Ain ,

tj. wzór (3). Taksamo znajdzie się wzór (4).

Jeżeli we wzorach (3) za ац,    ajn podstawimy odpowiednio

«ji,    «jn, gdzie j jest jedną z liczb 1, 2, 3,. .., w, ale odmienną

od i, będzie wtedy :

(5) .

•    • aji Ац -j- aj2 A[2 4~ • • • + ajn Ain — 0 ;

!

albowiem strona pierwsza jest równa wyznacznikowi, w którym dwa wiersze ity i jty są tożsamościowe, a taki wyznacznik ma wartość = 0. Taksamo mamy :

(6) . .

• an Aik 4~ a2i A2k 4~ • • • 4~ am Ank — 0 ,

dla l ^ к; albowiem strona pierwsza jest wyznacznikiem, którego dwie kolumny kia i liA są tożsamościowe.

Jeżeli elementy wyznacznika (1) są liczbami od siebie niezależnymi , widoczna, że wtedy — ogólnie — podwyznacznik ylik jest pochodną częściową wyznacznika A co do aik ,

(2') . .

.    . Ałk = D

ik

A.

9. Podanie dowiedzione w artykule poprzedzającym zawiera się jako przypadek szczególny w ogólniejszym, które podał Yandcr-mondb. Dla wielkiej ważności podamy jeszcze dowód tego twierdzenia ogólniejszego.

• Podzielmy dany układ kwadratowy riz elementów :

(7).    .

all , a12, • • • • ? aln a21 i a22 ) • • • •, a2n

anlj an2)    • • • • , ann

na dwa działy, z których pierwszy zawiera w sobie r, a drugi n — r wierszy, kolejno po sobie następujących, zaczynając od pierwszego.

Utwórzmy z r wierszy działu pierwszego i z r kolumn, mianowicie z il®j, . ., 4CJ kolumny, gdzie ix <C l% <4 . . . < it , wyznacznik rzędu r.

Opuszczając przedłużenia r kolumn użytych, utwórzmy z »i — r pozostałych wierszy drugiego działu i z w — r pozostałych kolumn, mianowicie z i*Ąv г{^₀,.. ., 7^' kolumny, gdzie znowu it+\ <2. ir+2 <C • • •

. . .<< in -, wyznacznik rzędu (n — r).

(9)    .    .

ar+l,ir+1 • • • • ar+l,in

a“.ln

a"k₊i ......

i oznaczmy przez i klasę podstawienia :

(10) . .

(8) . .

aUl 5 al,i₃ 7    * * * *7 al,«r ' ’

a2,tr

a*,4 У a2,l₈

ar,lL >

ar,i₃ 7    • • • • >

aMr*

ii i₂ i₃ . . . . in \ 1 2 3 .... n /

powiadamy, że iloczyn wyznaczników (8) i (9), które nazywamy odpowiadającymi хоЫе, wzięty ze znakiem (— I) , da nam pewną ilość wyrazów wyznacznika układu >(.1) ze znakami należytymi. Jakoż, wyrazy główne wyznaczników (8) i (9) dają iloczyn :

. ai,ą a₂,i₂ .... ar,ir. ar+i,ir+1 .... an,in,

który jest także wyrazem wyznacznika układu (7); albowiem szereg pierwszych wskaźników jest szeregiem liczb 7, 2, . ., n, gdy tymczasem szereg drugich wskaźników jest przemianą liczb 7; 2,..., n. Ten iloczyn zachodzi nadto w wyznaczniku układu (7) ze znakiem (— 1) , tj. takimsamym, jak w iloczynie wyznaczników (8) i (9), wziętym ze znakiem ( — 1) .

Z wyrazu (11) otrzymamy wszystkie inne wyrazy iloczynu wyznaczników (8) i (9), skoro będziemy w nim przemieniali szereg drugich wskaźników, albo działu pierwszego, tj. ц i₂.. .7r , albo działu drugiego, tj. «r+i...»*n, stosując prawidło znaków. Widoczna więc, że wszystkie tak otrzymane wyrazy, będą oraz wyrazami wyznacznika układu (7) i mającymi znaki należyte.

Ilość wszystkich wyrazów tak otrzymanych wyznacznika układu (7) jest równa r!(n — r) ! ; albowiem wyznacznik (8) ma r /, a wy-

Jeżeli, celem utworzenia wyznacznika (8), weźmiemy r innych kolumn, np. kolumnę /ф,. . ., gdzie znowu ■< Ją . .<C kr,

znacznik (9) ma (n—г)! wyrazów, ich iloczyn da zatym r ! '(n— г)! wyrazów.

a celem utworzenia wyznacznika (9) weźmiemy (n — r) pozostałych kolumn, mianowicie Jctą

. .,fc‘ną; gdzie znowu Äv+i < /.v+2

htą

r+1’ л'г+2>*

. ..< кn, i jeżeli oznaczymy przez к klasę podstawienia:

k, k₂

za

...k„ \

...n / ,

natenczas iloczyn :

(-I)"

ät,k₍, al,Voł • • • jal,Vr

a»4-i,kn

а2,Ьц a2,k₂, • • *;а2Л'г

an,kr+l'

5 а»ЛП

! ar,kt, ar,k₂, • • • 1 ai’,kr

da nam także r ! (n — r) ! wyrazów wyznacznika układu (7) z należytymi znakami, i te wyrazy będą pomiędzy sobą różne i zarazem odmienne od poprzednio otrzymanych ; albowiem к ₁ k₂.-.kr jest innym połączeniem klasy r. liczb 2, 2,...,w, aniżeli 7, i₂.. . /r , a więc wyraz główny ostatniego iloczynu :

• iar,kr • ar+l,kr_|_p • • • łan,kn

i wyrazy pozostałe, dające się stąd otrzymać, z,apomocą przemieniania szeregu drugich wskaźników w dziale pierwszym ky k₂... kr lub w dziale drugim fcr+1...frn, będą się różniły od wyrazów iloczynu wyznaczników (8) i (9).

Skoro tak rzecz się ma, więc, jeżeli celem utworzenia wyznaczników rzędu r. i (n — r). z wierszy pierwszego i drugiego działu w układzie (7), będziemy brali coraz insze połączenie klasy r. z n kolumn i iloczyn tak otrzymanych wyznaczników będziemy brali ze znakiem -j- lub — 7, według tego, czy szereg drugich wskaźników w iloczynie wyrazów głównych tych wyznaczników powstał z szeregu 7, 2, .‘i,..., n zapomocą parzystej, czy też nieparzystej ilości przestawień, to natenczas mieć będziemy r!(n — r) ! coraz inszych wyrazów wyznacznika układu (7) ze znakami należytymi.

Skoro z n kolumn można

utworzyć ^    ^

n!

r ! ( n — r) !

połą-

r! (n—r) !

czeń klasy r., przeto wypada stąd, że gdy opisanym sposobem utworzymy wszystkie iloczyny po dwa wyznaczniki rzędu r. i (n — r). odpowiadające sobie i te iloczyny zaopatrzymy stosownymi znakami, to

te wszystkie iloczyny dadzą nam

r ! (n — r) ! — n/, tj.

wszystkie wyrazy wyznacznika układu (7) ze znakami należytymi. Mamy zatem twierdzenie :

Jeżeli, podzieliwszy układ kwadratowy n² elementów na dwa działy, z których pierwszy zawiera Г początkowych, a drugi n — r końcowych

wierszy, utworzymy ^ wyznaczników rządu r. z wierszy działu pierw

szego i tyleż wyznaczników rzędu (n — r) ! г wierszy działu drugiego, biorąc celem utworzenia pierwszych coraz insze połączenie po r kolumn, a celem utworzenia wtórych biorąc (n — r) kolumn, poprzód nieużytych,

otrzymamy wówczas ^ ^ ^ par wyznaczników sobie odpowiadających rządu

r. i (n — r). Suma ił oczy muc tych par, wziętych ze znakiem -f- lub —, według tego, czy szereg drugich wskaźników w wyrazach głównych, tych iloczynów powstał z szeregu I, 2, 3,..., n zapomocą parzystej, czy tćż nieparzystej ilości przestawień, jest równą wyznacznikowi założonego układu kwadratowego.

Tego twierdzenia dowiódł po raz pierwszy Vandermonde.

Tak np. :

amai2>ai3,at4 —j an)al2 J !a335a3I au?al3

I a2l)a23 I a42ła4J

n:ma34 I 4“ an»fll4 ! I a32>a.33

а₂Иа22»а23?а24 a3l4a32ia335a3 I

! a2l>a22 ! I al3łn44

а2Иа24 a42)a43

4~ а12,а13 J i a3,»a34    al2’al4 j i ЭЗИаЗЗ J 4~j ai3?al4 j a3 Ma32

I a225a23 a4Ua44    a22’a24 a4l )a43 |    ! a23)a24 a4Ma43 |*

10. Z twierdzenia Vandermonde’a wypływają wnioski : 1°. Wyznacznik kwadratowy rządu n. równa się iloczynowi dum wyznaczników odpowiednio rzędu r. i (n— r)!, gdy w nim elementy na przecięciu n — Г wiérszy i Г kolumn są równe 0.

Tak mamy np. :

a41.1a 4 2 )a4 3 ) a,4 4

о, о, 0,

ar.4ł a55

a,,, a,₂, a₁₃, a₎₄,, a₄₅ i

I a2U a22) a23) a24) a25 j

ai l )

а12) ai8 •    a44) a45 i

a54? a55 I

a₂|, a₂₂, a₂₃

a31) a32l aS3) Я34) a35 a44ł a45

I a3l? a32) азз

0, 0, 0

Nawzajem iloczyn dwu wyznaczników można przedstawić pod postacią wyznacznika, któreyo rząd jest równy sumie rządów obu czynników.

2°. Jeżeli elementy układu kwadratowego leżące po jednej stronie przekątni głównej są równe 0, wówczas wyznacznik tego układu sprowadza sią do wyrazu głównego. Jakoż powtarzając stosowanie wniosku poprzedzającego, mamy np. :

au ) a121 ai3) ai4 j au j a22) a23) a24 j aj i a22 a33,a34 ai i a22 a33 a44 •

0, a44

0, a₂₂, a₂₃, a₂₄

0> Oj a33) a34

0, 0, 0, a₄₄

0) a33) a34

0,    0, a₄₄

Stosując ostatnie twierdzenie, można będzie wyznacznik rządu niższego zamienić na wyznacznik rządu wyższego. Jakoż, mamy np. :

h b,, ba, b3 0, 1, ai, a2 0. 0

ałi, ai2

a₂₄, a₂₂

11 al> a2

0, a₁₄, a12 0, a₂|, a₂₂

= itd.

ii) al2

0. 0

a21, a22 I

1>₂, b.A... są jakiekolwiek liczby.

gdzie а,, «₂ ; b

Nareszcie, jeżeli założymy r~l, wówczas twierdzenie Vandermonde’a przejdzie na twierdzenie dowiedzione w artykule 8.

Mnożenie wyznaczników kwadratowych.

11. Weźmy pod uwagę dwa wyznaczniki rzędu n. :

i (2)    .    . В = bn,bi2,.. • ,bln I,

Ь21 j Ь«2, • • • b2n

(1) .... A =

аи, ai2j • • • a in

a21, a22j • • • >a2n

c21, c22, • • • ,C2n

j C„i, Cn2, . . . ; Cnn

gdzie, dla i,j — 1, 2,..., n,

(4)    .    .

Cij = X aik bjk — ац bji -f- ai₂ bja    ainbjn;

к = 1

powiadamy, że będzie :

(5)    .    .    .    . А В == C

tj., że iloczyn dwu wyznaczników jednakiego rzędu jest nowym wyznacznikiem tegosamego rzędu, którego elementy Cij otrzymamy, skoro erementy b'° wiérsza w jednym czynniku pomnożymy przez równo-miejscowe elementy j*° wiersza w drugim czynniku i te iloczyny częściowe do siebie dodamy. Jakoż, zamieniwszy w wyznaczniku В wiersze i od-powiedne kolumny jedne na drugie, mieć będziemy:

AB =

au> ai2, •.. ,aln a-ji, ^22,...,a2n

Cu, Cj2, . • . ,Ci„

i połóżmy:

(3)    .    .    . C =

Ьц, b₂i,. .. ,bni ,

Ь12, b₂2, • • • ,bn2

ani, an3,... ,aun

bin ) b2n,.. . ,bnB

co także tak pisać można [art. 10.]:

Aß =

au, ai2,..

&nl) &n2) • • • ? ^пп) О

О, Ьц,

-1,

о,.

О, о

21, . . . , ЬП1

0,

О; . . .,    1, bin, Ь2п, • • •, bnn

Przestawmy teraz po prawej kolumnę (п-\-1)*щ z każdą z n poprzedzających , aby zajęła ona pierwsze miejsce, potym (n -j- 2) z każdą z n przed nią stojących, aby zajęła ona wtóre miejsce,...., nareszcie (2n)t% z każdą z n przed nią stojących, aby zajęła ona nte

miejsce. Tym sposobem uskutecznimy na 2n kolumnach podstawienie równoważne n podstawieniom kołowym ; to podstawienie jest zatym równoważne 2n — n=n przestawieniom (art. 2.). Wskutek tego otrzymamy więc:

AB = (- l)n

0,    0, ..., 0, ац; ai2, • • • ; ain

• 5 &ПП

0,    0, . . ., 0, ani, a„2,• •

bu, boi..., b„i, —1,    0, .

bin5 b2n,• • • 5 bnTł, 0,    0, ...,    1

b‘2П5 .... 5

Dodajmy nareszcie po prawej do elementów léi, 2*j,..., nrj kolumny równomiejscowe elementy kolumn (n-\-l)èi, (n -f- 2)éi,..., (2n)6i, ])omnożone odpowiednio przez bu , bv2 , • • ha ; b21, ^22, - •

6„i, bD2,. . ., bull, znajdziemy wtedy, uwzględniając (4), :

AB = (— l)n

сц? C12, ..., ein, a u, ai2, ...j ai„ ] ,

C„i, Cn2, • • Сш1) üni, a„2, • .

О, 0, ..., О, -1, О, ...„О

0. о, ..

0. о

0, 1

czyli, według twierdzenia Vandermonde’a, AB—(—l)n си, си,..., Сщ 11—1

C21j c22, • • ■ ,C2n

0, -

Cnl) Cn2j • • • 7®nn 0,

..,0

.. .0

= v— 1)"“ СЦ, Ci2,. .

c21; C22, • • • 7C2n

tj- :

AB = C,

^nl) Cn2₅ • • • j Cnn

co było do okazania.

Ponieważ w każdym z dwu wyznaczników А,В przed utworzeniem ich iloczynu, można wprzódy wierszo i odpowiedne kolumny zamienić jedno na drugie, przeto ten iloczyn można przedstawić pod postacią wyznacznika czterema sposobami ; a mianowicie można przyjąć, że w (3) elementy aj są wyrażone przez elementy «ik, bjk jednym z czterech sposobów :

Cjj =    aubji    -j-    ai₂bj2    -(-•••    -    Ч-    ai„ bj

(6). .

Су —    aiibij    -j-    ai₂b₂j    ainbnj

Су =    aiibji    -j-    a₂ibj₂    anibjn,

Cjj =    aiibjj    -p    a₂i b₂j    -j-. .    .    .-j~    a.ni bnj.

Należy nareszcie zauważyć, że, jeżeli jeden z wyznaczników А,В jest rzędu n., a drugi rzędu m., gdzie m <C n, natenczas ten drugi należy wprzódy zamienić na wyznacznik rzędu n. sposobem podanym na końcu art. 10.

Wyznacznik układu dołączonego.

12. Oznaczmy znowu przez A wyznacznik układu n elemen-

(1) . .

aa, ai2, . .

ain

a₂n

a₂i, a₂₂,. • •

ani, an2,. • •

a przez A wyznacznik układu n podwyznaczników Ajk , należących do elementów wyznacznika A, czyli wyznacznik układu dołączonego :

Aa, Aj2,...., Ain A₂i, A₂2j • •

(2) . .

a nu

A2n

nl)

An2,..

Pomnożywszy przez siebie te dwa wyznaczniki, mieć będziemy przy uwzględnienia wzorów (3) i (5) w art. 8. :

= A\

Stąd wypływa : (3) .    .    .    .

.    . A = A“-¹,

tj. wyznacznik rzędu П. układu dołączonego jest równy (n — l)éJ potędze wyznacznika układu pierwotnego.

13. Utwórzmy z r początkowych wierszy i kolumn układu dołączonego wyznacznik rzędu r. :

(4) .    .

A A12, .. A A₂₂,..

Ir

2r

A rr

i Arl, Ar2₅. •••)

i pomnóżmy ten wyznacznik, przedstawiwszy go wprzódy pod postacią wyznacznika rzędu n. (art. 10.):

Ап, A

A21, A₂₂₎....,

12,. •

.., Air, Ai]r+i,...., Ain

A2r, A

Ari, A

0,

r2j • • • • , Arr , A

0, ..... 0,

r,r+l.

Arn

przez wyznacznik (1) układu pierwotnego. Uwzględniając wzory (3) i (5) w art. 8., mieć będziemy :

An, A12,..., A,,.

A2r

A21, a₂₂,...,

A, 0, ..., 0, 0, A,    0,

0, . 0, .

Ari,

0, 0

A,

^i,r—f-1, a₂,r+i, • . • г ar,r+i, ar+]ir+i,..., an,r-i-i

ain,

a₂n, • * 3rn, аг+])П; . .

ann

Ar

ar+l,r+l, • • •; 3r-|-l,n

Stą . wypływa :

(5).

!> . !>

>    .t³”⁻

к)

= Ar_1

Mamy zatym twierdzenie : Wyznacznik rzędu r., złożony z Г początkowych wiérszy i kolumn układu dołączonego, jest równy wyznacznikowi rzędu (n — r)., złożonemu z n — r końcowych wiérszy i kolumn układu pierwotnego i pomnożonemu przez (r — l)WSZil potęgę wyznacznika układu pierwotnego.

To twierdzenie daje się wysłowić ogólniej, gdyż którekolwiek wiersze i którekolwiek kolumny można uczynić początkowymi.

Wyznacznik symetryczny i wyznacznik skośny.

14. Nazywając elementy «ik, aki wyznacznika :

(1) . .

an, ai2;.. • •, aln ^21, 8,22,a2n

. A =

8ni, an2... •.. ann

elementami sprzężonymi, nazwiemy sam wyznacznik A symetrycznym, jeżeli każde dwa jego elementy sprzężone są sobie równe а,ъ = aki, a skośnym, jeżeli każde dwa jego elementy sprzężone różnią się między sobą tylko znakiem : uik = — aki. W drugim przypadku musi być oraz a,i = — au — 0, tj. w wyznaczniku skośnym są elementy przekątni głównej równe 0.

Z tego określenia wypływają bezpośrednio następujące własności wyznaczników symetrycznych i wyznaczników skośnych.

1°. Jeżeli założony wyznacznik jest symetrycznym, wtedy jest symetrycznym także wyznacznik układu dołączonego:

(2) • •

. A ==

AU; A12,. • * y Ain

A21, A

•} А2П

n2ł •

Ani,

albowiem, z powodu równości każdej pary elementów sprzężonych, są

w wyznaczniku symetrycznym równomiejscowe wiersze i kolumny tożsamościowymi, st^d zaś wypływa równość dit = An

2°. Jeżeli wyznacznik symetryczny jest równy 0, wtedy jego 'pierwsze podwyznaczniki symetryczne, tj. kształtu Аи, są wszystkie jednakowego znaku. Albowiem, skoro A — 0, twierdzenie artykułu poprzedzającego daje :

= 0,

-A. i i 5 -A-i к

Aki, Ak skąd wypływa :

A» Akk — Aik Aki = 0.

Ай Akk = Af]

ik 7

czyli:

gdyż Aik = At-

3°. Wyznacznik skośny rzędu nieparzystego jest równy 0. Jakoż, jeżeli wyznacznik (1) jest skośnym i jeżeli elementy każdej jego kolumny pomnożymy przez — 1, otrzymamy nowy wyznacznik, którego wartość jest równa (—l)n A. Atoli przez pomnożenie elementów każdej kolumny przez — 1, przechodzą kolumny na równomiejscowe wiersze, wartość więc wjznacznika nie powinna się zmienić; mamy zatym (—l)n A — Aj skąd wypływa A = 0, gdy n jest liczbą nieparzystą.

4°. Jeżeli wyznacznik A jest skośnym, to wyznacznik układu dołączonego będzie również skośnym lub też symetrycznym, według tego, czy jego rzęd jest parzystym, esy też nieparzystym. Albowiem podług dopiero dowiedzionego twierdzenia jest także Ak = (—/)n—1Ai, a zatym Ak = — Ai, lub tćż Ak — A Ai, według tego, czy n jest liczbą parzystą, czy też nieparzystą. Jeżeli n jest liczbą parzystą, mamy nadto Au = 0.

X zt ci u a₂₂ «33 «44 i załóżmy, że jego pod

cc

15. Wyznacznik symetryczny, którego jeden z podwyznaczników symetrycznych rzędu bezpośrednio niższego jest 0, daje się przedstawić pod postacią kwadratu. Jakoż, weźmy pod uwagę np. wyznacznik symetryczny rzędu 4-go : A wyznacznik symetryczny rzędu 3-go: Au = ï ± «и «₂₂ «зз jest 0. Oznaczając przez aik pierwszy podwyznacznik wyznacznika Au, należący do elementu «ik, czyli ilość dołączoną do elementu «ik w Au, mamy, skoro Au = 0, dla i — 1, 2, 3, :

ań <*11 A ai2 «-12 “b ai3 <*13 — 0.

Wskutek tego, jeżeli do elementów pierwszej kolumny w wyznaczniku A, pomnożonych przez an, dodamy elementy drugiej i trze-

ciéj kolumny, pomnożone odpowiednio przez ai2 i a₁₃, wypadnie :

a4i aa -j- a42 a^ -|- a4₃ «i₃

(a)

А =E —

an

9-22 , Я.23 ; а 24

а₃₂, а₃₃, а₃4

lub, uporządkowawszy wyznacznik rzędu 3-go podług elementów ostatniej kolumny i zważywszy, iż a₁₄ = a41 ; a₂₄ = «42, «34 = «43 ; :

(a4i а.ц -j- a₄₂ ai2 -f- a43 au)

au

a is

Uważmy jeszcze, iż skoro ył₄₄ = Ö, mamy a₁₂ — f'au = [ au a₃₃. Wskutek tego, wzór ostatni przechodzi na:

Я 22 i

A = — (a41 [ а.ц -f- a42 /a. >2 -f-

a43

gdzie pierwiastniki ] а.ц , [ a>₂,    a:!3 , należy wziąć odpowiednio ze

znakami ilości ац, ai2, ai3. Dowodzenie niniejsze daje się rozciągnąć na wyznacznik symetryczny jakiegokolwiek rzędu.

16. Wyznacznik skośny rzędu parzystego jest dokładnym kwadratem wyrażenia wymiernego. Weźmy znowu, dla uproszczenia wyznacznik skośny rzędu np. 4-go : A aik = — «ki- Skoro Au ~ 0, więc postępując taksaino, jak w artykule 15., znajdziemy naprzód wzór (a), który, gdy wyznacznik rzędu 3-go uporządkujemy podług elementów ostatniej kolumny, i — au , — «24 , — «34 podstawimy odpowiednio za «41 , «42 teraz na :

^ i «11 «22 «33 «44 ,

w którym

«43

przejdzie

(au «-u -f- a₂i «12 -j~ a,34 «13)

ац

czyli :

A — (ai4 \o-n -j- a₂4 У«.22 -j⁻

a34

У«33 ) •

Atoli ilości au , a₂₂ , a₃₃', są same wyznacznikami skośnymi, a więc — jako takie — dokładnymi kwadratami ; mianowicie mamy w tym przypadku szczególnym: au zzz — «23«32 —«23, a₂₂ =— «i₃«3i=«3t? азз = — «12 «21 ⁼⁼⁼ «12- Nadto jest al2 == «23 «31 •, ai₃ = «12 «23*

A zatym ostatecznie :

A _ (a₄₄ a₂₃ -j- a₂₄ a₃₁ -j- a₃₄ al2) •

Wyrażenie wymierne, którego kwadratem jest wyznacznik skośny rzędu parzystego, zowie się pfafianem, od nazwy geometry niemieckiego Pfaffa, który pierwszy badał jego własności.¹)

ROZDZIAŁ XIY.

Zastosowanie teoryi wyznaczników do rozwiązania układu równań algebraicznych.

Układ równań stopnia I.

1. Niech będzie:

au Xi —|—.... —{— aim Xm =

(1).

X, —(—.... —(— anm xm — ац

danym układem n równań stopnia 1. z m niewiadomymi xx, ж₂,. . xm, gdzie m

xm, które spra-

n. Wartości na niewiadome x^...

wdzają równania (1), nazwiemy rozwiązaniem tych równań.

Cała teoryja układu równań stopnia 1. jest zawarta w dwu twierdzeniach, które w najnowszych czasach udowodnił p. Eugenijusz Rouche (Journal de V école polytechnique. T. XXX. p. 221). Nim te twierdzenia wypowiemy i do ich dowodzenia przystąpimy , damy wprzódy niektóre określenia.

Z układu prostokątnego mn elementów :

a 11, .... у <1im

anm

anl; • • •

utworzonego ze współczynników równań (1), można wyprowadzić rozmaite wyznaczniki, biorąc elementy wspólne pewnej ilości wierszy i ta-kiójsamój ilości kolumn.

Założymy naprzód, że przynajmniej jeden z elementów układu (2) jest od 0 odmienny, a potym przejdziemy do przypadku, kiedy te wszystkie elementy są 0. Przy tym założeniu, pomiędzy wyznacznikami wyprowadzonymi z układu (2) będzie zawsze istniał przynajmniej jeden taki, który jest od O odmienny, i którego rzęd jest wyższy lub równy rzędowi każdego innego wyznacznika od 0 odmiennego. Jeżeliby istniało więcej wyznaczników posiadających te dwie własności, moglibyśmy wziąć podług upodobania którykolwiek z nich.

Tak obrany wyznacznik § nazwiemy wyznacznikiem głównym układu równań (1), a jego rzęd oznaczymy przez p. Liczba p nie może być widocznie większą od mniejszej z dwu liczb m i n. Nadto, przez stosowne uporządkowanie równań założonych, można bez żadnego zastrzeżenia przypuścić, że § jest wyznacznikiem :

all 1 ' • ’ 1 alp

(3) . • • • 5 =

app

apl, • •

utworzonym z p początkowych wierszy i kolumn układu (2). Dodając do wyznacznika Ь jako (p -f- l)szy wiersz elementy równomiej-scowe któregokolwiek z n —p wierszy układu (2), do wytworzenia wyznacznika S nieużytych, a jako (p + 1)szą kolumnę wyrazy w równaniach (1) niezależne od zmiennych, a użytym wierszom układu (2) odpowiadające, otrzymamy n — p wyznaczników rzędu (p -j- 1).

(a = 1,2,.., n — p),

(4)    .    .

. 5p+a =

a,

ap

api, ..., app, ap-f-a, . .., ap+a,p, ap-j-a

które nazwiemy wyznacznikami charakterystycznymi układu równań (1). To określenie wyznaczników charakterystycznych staje się iluzyjnym, gdy p — n. Pomimo tego będziemy mówili, że i w tym przypadku układ równań (1) posiada wyznaczniki charakterystyczne, lub te wyznaczniki są równe 0.

Możemy teraz wypowiedzieć pierwsze twierdzenie p. Rouché’go.

2. Jeżeli wszystkie wyznaczniki charakterystyczne układu n równań stopnia 1. z m niewiadomymi są równe O, wtedy równania układa nie są między sobą sprzecznymi. Ten warunek jest konieczny i oraz wystarczający. Dla skrócenia, przedstawimy równania założone (1) pod postacią:

(5)    .    .    . Xr - Vr = 0,

(r = 1, 2, —, n),

kładąc :

(6) . .

Xr —• &rl X 1 -4 • • • —f— ПГр Xp Vr = Яг аГ)Р+1 Хрц_1 . ,. arm xm.

Widoczna naprzód, że każde rozwiązanie układu równań (5) sprawdza równania :

(7)    .    .

an, • •

• i    i • • • i &ip, Xj \ t j — 0, (ß— 1, 2,... ,p),

apl,. .

Xx —Yj

= 0, (a —1, 2,. .

• •>

n—p);

Xp-Vp

api, ..

^p+at ' ' •) ^p+a,p > -^-р-f-r/.    ^ p+oc

aPP,

albowiem przywodzi one do 0 każdy element ostatniej kolumny w obu wyznacznikach (7) i (7').

Nawzajem każde rozwiązanie układu równań (7, 7'), sprawdza równania (1). Albowiem, jeżeli dodamy do siebie równania (7), pomnożywszy je odpowiednio przez a^{, a^₂ a.,p , gdzie у jest jedną z liczb 7, 2,...,^, lub, co wychodzi na jedno, jeżeli dodamy do siebie wyznaczniki kształtu (7), zastąpiwszy w ostatnim wierszu element 1 przez a^ß, natenczas, skoro te wyznaczniki będą się między sobą różniły jedynie ostatnim wierszem, otrzymamy związek :

= o,

au, • ■ aip, Xi Y

aÏP ’ XT

Tp ’

Zasady algebry wyższśj.

który, gdy ostatnią kolumnę napiszemy pod postacią :

(X, - Yt) +

(Xp-Yp)+ 0 0 + 0

zamieni się na sumę dwu wy znaczników, która jest — 0.

Atoli jeden z tych wyznaczników sam jest równy 0, posiadając dwra wiersze i (p-j-l)szy tożsamościowe, gdy tymczasem drugi sprowadza się do Ъ (X^— V~,)> A zatym, skoro § nie jest 0, więc każde rozwiązanie układu (7) uczyni zadość równaniom :

(t = 1, 2,.. .,p).

XT - YT = 0,

A że wtedy równania (7') sprowadzają się do S (Xp+a — Vp+a) — 0, przeto rozwiązanie namienionc sprawdza także równania :

(a = 1, 2,..n — p).

XP+a "

A zatym, każde rozwiązanie układu (7,7') jest oraz rozwiązaniem równali układu (5).

Weźmy teraz pod uwagę równania układu (7,7'), którymi można zastąpić równania założone. Jedne i drugie dają się znacznie uprościć,

skoro w (7) za X, Xp podstawdmy wyrażenia (6).

Naprzód można wyznacznik w (7) przez opuszczenie ßt(S-> kolumny i (pl)e° wiersza i sprowadzenie ostatniej kolumny na ßte miejsce, zamienić na wyznacznik rzędu p :

(7') za X,,..., Xn , F,,..., Fn

&lp

an,..., a]^_₁, Xi—Yi , a₁₎ß+l,..

api, • •

aP,ß-i> XP X

P 3 ap,ß+l’ • • • 3 aPP

ten zaś wyznacznik jest równy sumie p -f- 1 wyznaczników :

a=p

F-=i

»lip • * 5 ai,ß —i aip. 3ai,ß+n • • • aip an,,..,a₁₍ß,A j, a₁₎ß₊₁,...,aip .

Z pomiędzy p wyznaczników, znajdujących się pod znakiem sumowania; znikają wszystkie [z powodu dwu kolumn tożsamościowych] oprócz jednego, w którym \j. — ß, a który jest równy 8.

Równania (7) sprowadzają się zatym do:

(ß=l,2,...,p).

aip

ац,..., a, ß_₁₅ Vj, aj ß_|_j;. . .

ар1, • • • ? aP)ß~i? '

Co do wyznacznika (7'), to ten jest równy sumie (n A- 1) wyznaczników :

V    =n

S xv

V    = 1

an,...

aipj aiv

api,...

aPP; aP

ap 1, • • • • , app, ap у

ap+a),,,i ap+a,p, ap+av

Każdy z n wyznaczników, pod znakiem sumowania jest równy О, dla V < p, dlatego, że dwie jego kolumny są tożsamościowe , a dla V > p, dlatego, że jest rzędu wyższego niż p, a określając wyznacznik główny układu (1) przypuściliśmy, że wyznaczniki układu (1) rzędu wyższego niż p., są wszystkie równe 0. Pozostaje więc tylko ostatni wyznacznik poza znakiem sumowania, któryśmy poprzód oznaczyli przez 8

ap+«' • •

ap+a,P,ai+a

P+a*

Równania (7') sprowadzają się zatym do następujących:

n -p).

(a — 1, 2,..

Układ równań założonych można więc zastąpić równaniami (8)

i (8').

Ponieważ 8p+a nie zależy od niewiadomych, aby więc równania (8, 8') nie były sprzecznymi, potrzeba, ażeby wyznaczniki charakterystyczne 3P+I, Sp+2,..., 8n były wszystkie równe 0. Nawzajem, jeżeli te wszystkie wyznaczniki są 0, układ równań sprowadza się do równań (8) i skoro 8 nie jest 0, a F,, F₂,..., Fp są funkcyjami stopnia 1. liczb a‘p+i,. . ., xn , mieć wtedy będziemy, dla każdego dowolnie danego układu wartości na Xp+i,..., xn , układ wartości oznaczonych na aą,..., xv ; innymi słowy, równania nie będą wtedy sprzecznymi.

Pierwsze podanie p. Rouché’go jest więc dowiedzione.

3. Drugie twierdzenie p. Rouché’go opiewa tak:

Jeżeli wszystkie wyznaczniki charakterystyczne układu równań stopnia I są równe 0, to ten układ posiada tylko jedno rozwiązanie, lub też jest nieoznaczonym, według tego, czy rzęd jego wyznaczników charakterystycznych przewyższa, Czy też nie przewyższa ilości liczb niewiadomych.

Przypuśćmy więc, że wszystkie wyznaczniki charakterystyczne są. 0, tjże się układ równań założonych sprowadza do (8) i rozróżnijmy dwa przypadki, według tego, czy rzęd p Ą~ 1 wyznaczników charakterystycznych jest wyższy, czy też przynajmniej równy ilości m liczb niewiadomych.

Uważmy nadto, że skoro p < m, rzęd p -j- 1 może przewyższać liczbę m, co najwyżej jednością.

Jeżeli naprzód p — m, co wymaga, aby było n < m ; wyrażenia Fi, F2;..., Vp we wzorze (8) nie będą zawierały niewiadomych i sprowadzą się tylko do wyrazów wiadomych aL, a₂,..., ap . W tym przypadku układ równań posiada tylko jedno rozwiązanie, które otrzymamy zapomocą następującego prawidła :

Wartości niewiadome X,,. . ., xm przedstawiają się pod postacią ułomków o wspólnym mianowniku; mianownik wsyólny wartości na niewiadome X(,. . ., Xm jest wyznacznikiem głównym układu, a każdy licznik otrzyma się, gdy się w tym wyznaczniku głównym, elementy kolumny tegosamego wskaźnika, co uważana niewiadoma, zastąpi przez odpowiedne wyrazy wiadome.

Jeżeli następnie p <j m, układ równań jest nieoznaczonym; albowiem wyrażenia F,Fp we wzorze (8) zawierają w tym razie w stopniu 1. niewiadome £Cp+i)..., xm, które pozostają zupełnie dowolnymi. Prawidło dla tego przypadku jest następujące:

Niewiadome, których wskaźniki są równe wskaźnikom kolumn wyznacznika głównego, wyrażają się jako funkcyje pozostałych niewiadomych, które pozostają dowolnymi pod postacią ułomków mających wyznacznik główny za mianownik wspólny ; każdy licznik jest wyznacznikiem, wyprowadzonym z wyznacznika głównego, przez zastąpienie w nim elementów kolumny tegosamego wskaźnika, co niewiadoma, wyrażeniami V,,. . .,VP.

W dowodzeniu tego twierdzenia założyliśmy, że nie wszystkie elementy układu (2) są równe 0. Jeżeliby się wszakże rzecz miała przeciwnie, równania (1) byłyby sprzecznymi lub nieoznaczonymi, według tego, czy wyrazy wiadome a{, a₂,...., an nie są, czy też są wszystkie równe 0. Przypadek ten obejmiemy teoryją ogólną, gdy się umówimy, aby w przypadku, kiedy wszystkie współczynniki niewiadomych są równe 0; za -wyznaczniki charakterystyczne układu uważać wyrazy iviadome równań założonych.

4. Weźmy pod uwagę układ n równań stopnia 1. z n niewiadomymi X[, x₂₁..., xn :

(9)    .

aiu xn

ail X1    a12X2    •

a21 xl 4~ a22 x2    "ł" a2nxn

ЯН

anl i an2 x₂ I . . . j— ann xn —an .

Oznaczmy przez A wyznacznik n współczynników a^ równań (9), czyli wyznacznik układu n równań (9) :

(10)    ... A

atl 7 a125 • • • 7 aln a21 ? a227 • • • i a2n

ani, an2;. .

i załóżmy, że ten wyznacznik jest od 0 odmienny. Przy tym założeniu, układ (9) mieć będzie tylko jedno rozwiązanie, które podług prawidła Pouché’go wyraża się przez:

. (11) Axk =

^nn

ац,..., a^k— 1, at, a^k+t,..

• ) ain

a₂i,..

&2,k— 1, a₂, a₂,k+ij*.

a2n

Un,k+i) an, an,k+i, • • •, ann

czyli :

(12) Xk =

ац,. .

an. .

• 5 »in

ац,..

aik, •••, ain

, (k=l,2,...,n)

a₂n

a₂i,..

a₂k,•■•, a2n

ann

a n 1, • • • 1 a

Wzór (12) wyrażający rozwiązanie układu równań (1), można otrzymać jeszcze innym syosobem.

Jakoż oznaczmy przez Aik pierwszy podwyznacznik wyznacznika

(10) należący do elementu aik, i pomnóżmy równania (9) : pierwsze przez Aik, drugie przez A₂k,ostatnie przez A„k- Suma tych iloczynów, przy uwzględnieniu równań (4) i (6) w artykule 8. rozdziału XIII., da nam :

Axk — (aj Atk f- a₂ A2k +• • • ~b ftn A„is) 0,

(П')

skąd wypływa :

(12')

xk =3

a i Aik b a₂ Aik "h - • • ~b a« Ank

(k — 1, 2,. . . ,n).

Wzór (12') nie różni się od wzoru (12) co do istoty; jedyna odmiana zachodzi tylko w tym, że licznik wzoru (12') jest uporządkowany podług składników kté* kolumny.

w, pierwiastków przez współczynniki.

5. Zastosujmy to prawidło do równań Newtona (VI. 2), wyrażających związki pomiędzy współczynnikami i pierwiastkami równania algebraicznego z jedną niewiadomą, celem wyznaczenia bezpośredniego sumy np. ktjch potęg, gdzie к <

Pisząc te równania pod postacią :

-b ai — 0 + 2a₂ — 0 b~ 3a₃ = 0

’ a0 8|

(13)

aL ⁸l -f~ a0 s2 a₂ Si -f a, 8j+ a₀ s₃

Uk—i Sj -j- ak—2 s₂ -j- ак-з S₃    ~b ao sk b kat — 0

mamy :

®k ⁼⁼

a0)

al5 ⁰O5    ^7

a2 7 ai> a0l

'°0 ⁰

«2

0,

a,,    a₀,

—kak i

ak—1} aк—2) ak —3} • •

ao

ak—i; ak_₂, ак_з, . .

lub, jeżeli w liczniku № kolumnę przeniesiemy na pierwsze miejsce i zważmy, że mianownik jest równy <z₀k (XIII. 10.) :

(14)    .    .

• sk =

' (“ao)k

ai, a₀, 2a₂, a1; 3a₃, a₂,

0, o, ..., o o, o

a0 7

an

a₀, . .

i kak, ak_i, ak_2, ak_3) •• • 5 0

Nawzajem, można z równań (13) wyznaczyć którykolwiek współczynnik przez sumy jednakich potęg pierwiastków. Pisząc bowiem te równania pod postacią :

I ⁸i ao i ai

-{-0 = 0, 4-0 = 0 4-0 = 0

! s2 ao -\~ ⁸i ai    2a.2

(15) j s:> a₀ 4- s₂ a, -f »i 4- 3a₃

I Sk a₀ Ą- Sk _i at -\- Sk—2 a₂ 4“ st—3 a₃ -p- • *4“ st ak mieć będziemy :

4- как — 0,

a₀ —

-, o

1,    0, o

2, 0, ..., 0

3,    ..., 0

⁸n

82 7 Sl

: s,. 1

8.₂,    S(,

V S2> ⁸l

0,    0,    ..., 0 :

2.    0

3, •

—как, Sk—i, Sk—2, Sk—3,• •

S|

Sk, Sk-l, Sk—2, Sk— 3,.    Sj

a że licznik jest równy (— l)v. 1. 2. 3.....ha*, mamy zatym osta

tecznie :

(16) . . .

ak _ (~l)k

a₀

PT

S>2, Sj

⁸t

•)

Sk , Sk—1, Sk-j-2, Sk—3, • .

6. Przypadek, kiedy równania założone są oraz jednorodnymi: ап X[ +... • 4~aim xm = 0

(17)

ani xt -f . .. .

:'nm    —— 0

zasługuje na osobną wzmiankę.

Skoro równaniom (17) czyni zadość rozwiązanie —

x₂. . . .

xm — 0, o sprzeczności równań nie może być mowy. Tosamo wypływa także stąd, że wszystkie wyznaczniki charakterystyczne układu (17) są 0; albowiem wszystkie składniki ich ostatniej kolumny są 0. Pozostaje więc wypowiedzieć tylko drugie twierdzenie p. R ou che’go dla układu równań kształtu (17),. któro teraz tak opiewa:

Układ n równań jednorodnych stopnia I.2H1 niewiadomymi posiada tylko jedno rozwiązanie X! = x₂ =.. .=Xm = 0 lub jest nieoznaczo-nym, według tego, czy rząd jego wyznaczników charakterystycznych przewyższa, czy też nic przewyższa ilości liczb niewiadomych.

W szczególności, jeżeli ilość równań jest równa ilości niewiadomych, tj. gdy mamy dany układ :

an xt +• • • • 4“ ain xn — 0,

(18)

a„i хг 4-. . . .-f ann xn = 0,

i jeżeli rzęd wyznacznika głównego układu (18) p — n — 1, wówczas oznaczając przez A wyznacznik n² współczynników układu równań (18), mający wartość 0, a przez A\k pierwszy podwyznacznik należący do składnika aik, podług prawidła p. Rouché’go (art. 8) otrzymamy:

(k = 1, 2,..

n—1),

Ann xk xn Ank,

czyli :

(19)    .    .    . X, : x₂    xn = Anl : An3    A

tj. wartości na niewiadome będą proporcyjonalne do piérwszych podwy-znaczników wyznacznika A, należących do elementów jednego wiersza.

Tensam wypadek można bezpośrednio otrzymać, jak następuje : Weźmy pod uwagę podwyznacznik Aik. Ten podwyznacznik można przedstawić pod postacią :

Aik —

an,

alk₅

ain

¹

O rozłożeniu pfafianu na pfafiany niższych rzędów podał autor wiadomość w tomie VII. Rozpraw Akad. Umiej. Wydź. matem.-przyrodn. w Krakowie. Uogólnioną zaś teoryją wyznaczników wyłożył autor w Pamiętniku Akad. Umiej. "Wydź. matem.-przyrodn. tom YI.

1,

ai+l,n

Bnn

ai+1,1, •••;    ai + l,k,    ..

ank)

Pomnóżmy obie strony napisanego dopiero równania przez aą, mnożąc pierwszą kolumnę drugiej strony przez aą, a następnie do elementów pierwszej kolumny dodajmy elementy następnych kolumn, pomnożone odpowiednio przez a?2ł. .., oca . Uwzględniając równania (18) mieć będziemy wtedy:

• A|n.

.(20) . .

Układ dwu równań stopni wyższych.

7. Zastosujemy jeszcze teoryją wyznaczników do wynalezienia ru-gownika dwu funkcyj algebraicznych stopnia wyższego z dwiema zmiennymi, czyli, co wychodzi Da jedno, do wynalezienia wypadku rugowania jednej niewiadomej między dwoma równaniami z dwiema niewiadomymi.

Niech :

(1)    f(x,y)

(2)    <p(x,y) == b₀xn -f- biX"-¹ -f . . . + bn.

a₀xm -j- агх

x,Aik =

О, a₁₂,

aik,

^ln ,

O, ai—1,2)

! Xk

0,

1,

0,

ai+l,k) •

ai+l,n

0,

^2)

ank)

&un

czyli :

pływa :

хг Aik = xk Au.

Mamy zatym x, : хк =    : ylik, skąd, dla к — 2, 3,..

n, wy-

4~ . . . -j- a,„_i X -f- am = 0 X -f- bn = 0

będą dwoma danymi równaniami, odpowiednio stopnia m. i n względem dwu niewiadomych x i у i uporządkowanymi podług potęg zniżających się jednej niewiadomej x. Współczynniki av i bv są funkcyjami drugiej niewiadomej у stopnia p., tj. stopnia równego wskaźnikowi tych współczynników.

Wypadek rugowania niewiadomej x między równaniami (1) i (2) moŻDa otrzymać sposobem Euler’a, jak następuje.

Jeżeli dawszy na у jaką wartość szczególną, równania założone będą posiadały pierwiastek wspólny, a więc i czynnik stopnia 1. wspólny, natenczas otrzymamy wypadki tożsamościowe, czy pierwsze równanie pomnożymy przez n — 1 pozostałych czynników stopnia 1. drugiego równania, czy też drugie równanie pomnożymy przez m — 1 pozostałych czynników stopnia 1. równania pierwszego. Jeżeli więc

pomnożymy pierwsze równanie przez funkcyją liczby x stopnia (n—1)., zawierającą n współczynników nieoznaczonych, a drugie równanie przez funkcyją liczby x stopnia (m— 1)., zawierającą m współczynników nieoznaczonych, a potyin zrównamy do siebie współczynniki wyrazów z tymisamymi potęgami niewiadomej x w obu tak utworzonych równaniach stopnia (m -j- n — 1). względem x, otrzymamy wówczas m -f- n równań stopnia 1. i jednorodnych względem (m -j- n) wprowadzonych stałych. Skoro te stałe nie mogą być wszystkie równe 0, przeto wyznacznik równań (art. 6.) musi zniknąć. Ten wyznacznik, zrównany do 0, jest warunkiem koniecznym, aby dwa dane równania posiadały pierwiastek wspólny x i będzie żądanym wypadkiem rugowania niewiadomej x. Okażemy, że ten warunek oraz wystarcza w każdym przypadku.

8. Aby można przeprowadzić wszystkie rachunki, dajmy, że m=3, n — 2. Mamy wtedy dwa równania :

(1')    ... i =    a₀x³    ~f    atx² -f a₂x    |    a₃    =    0,

= 0.

(2')    .    .    . <p =    b₀x²    -f-    bjX -f- b₂

Pomnóżmy pierwsze równanie przez a₀x -j- a,, a drugie przez Po*² -f- ßja: -j- ß₂, będzie wtedy:

a₀a₀x⁴-f (a₁a₀-f8₀a₁)x3 + (a₂a₀+a₁a₁)x² + (a₃a₀ ~j- a₂a,)x + a₃x, = 0,

b₀ßox4(b, ß₀ A- b₀ßi)x³ -j- (b₂ß₀—f-bj ßj +b₂ß₂)x1—(b₂ßt +bt ß₂)x-[-b₂ß₂=0 ;

porównanie zaś współczynników wyrazów z tąsamą potęgą l'czby x w dwu ostatnich równaniach daje układ 5 równań stopnia 1. i jednorodnych względem 5 stałych a₍₎, a,, ß₀, ßn ß₂:

= o,

ao ao

bo ßo

»i a₀    + а₀ aj    — bt    ß₀    — b₀ ß.

a₂ a₀    -j- at a,    b₂    ß₀ b₍ ß₍    b₀    ß₂    =    0,

b₂ ßi b, ß₂ — o, — b₂ ß₂ = o,

аз ao    а2 ai

a₃ at

których wyznacznik, zmieniony co do znaku i do 0 zrównany, :

(3)    .

au

0,    b₀, o, o 1 = 0,

ai> a05

a2, al5

bi, b₀, o b₂, bj, b„

a3’    a2;

0,    b₂,    bt

0,    a₃,    0,    0,    b₂

jest wypadkiem rugowania ж między równaniami (1') i (2'). Pierwsza strona, tj. wyznacznik B, jest rugownikiem funkcyj f i <p, uważanych jako funkcyje jednej zmiennej x. Ze ten rugownik nie różni się od ru-gownika, otrzymanego zapomocą funkcyi symetrycznych (YI. 7.), dowiódł ogólnie Borchardt (Grelle, Journal für reine und angewandte Mathematik. T. 57. str. 183.). My tu okażemy tylko, że waga każdego wyrazu rugownika jest = 2. 3, jak tego wymaga teoryja ogólna. Jakoż, zastąpmy w wyznaczniku В wszystkie zera literą a, lub odpowiednio literą h z takimi wskaźnikami, aby w każdej kolumnie szereg wskaźników przedstawiał szereg liczb rosnących i ten wyznacznik oznaczmy przez B' ; będzie wtedy :

R' =

b—i, b—2 bi, b₃, b—i

b₂, b1; b0 b₃, b2, bt b₄, b₈, b₂

Oznaczając — ogólnie — przez c*ik element wyznacznika В' wspólny itemu wierszowi i kté* kolumnie, łatwo spostrzeżemy, że suma wskaźników w obu iloczynach cik Cji i Си Cjk jest jednaką ; tak np. mamy c₂₃ c3t = bx &]} a c2i C33 = ó₀ ó₂, tj. w obu iloczynach jest suma wskaźników = 2. Skoro tak rzecz się ma i skoro wszystkie wyrazy wyznacznika otrzymują się z wyrazu głównego zapomocą powtórzonego przestawiania, po dwa drugie wskaźniki, widoczna więc, że w każdym wyrazie wyznacznika В', a przeto i В, suma wskaźników będzie jednaka i równa sumie wskaźników w wyrazie głównym a₀² ó₂³, tj. = 2.3 = 6.

9. Ше trudno okazać, że jeżeli równanie (8) ma miejsce, wówczas dwa dane równania (1') i (2') mają pierwiastek wspólny. Jakoż, oznaczmy przez x którykolwiek z trzech pierwiastków równania f= 0 i dodajmy do elementów ostatniego wiersza w В : elementy pierwszego wiersza pomnożone przez ж⁴, drugiego pomnożone przez ж³, trzeciego pomnożone przez ж² i czwartego pomnożone przez ж, mieć będziemy wtedy, uwzględniając (!') i (2'):

a0’

a—i) b₀,

ai, ao)

a₂,    a₄,

a3>    a2)

a4 7    a3

R SEE

я₀»

1 5    в₀,

О, ь₀, о,    о

bi,    Ь₀, о

= pf + qcp,

а2,

ап Ь₂,

Ь,,

bo

аз

xf,

О, Ь₂, b f, х'-'ф, хф, ф

п₂,

gdzie р jest funkcyją stopnia 1., a q funkcyją stopnia 2. względem x.

Z założenia mamy R — O i / == Ö, a zatym, wskutek powyższej tożsamości musi być także уф musi być ф = O, przynajmniej przy jednej z trzech wartości na x, dla których f — 0. Równania f — O i ф == O mają więc przynajmniej jeden pierwiastek wspólny przy tej wartości na y, dla której R — 0.

Aby ten pierwiastek wspólny wyznaczyć, weźmy pod uwagę trzy

0. Atoli q jest stopnia 2., więc

równania :

f == a₀x³ -j- a,x² -f (a₂x 4- a₃) = O, b₍₎x² + (btx 4~ b₂) = O, = 0.

хф = b₀x:! 4- b,x² 4* b₂x

Jeżeli te równania, uważane jako równania stopnia /. względem dwu niewiadomych a:², x³ nie są sprzeczne, (a takimi nie są one, jeżeli x jest wspólnym pierwiastkiem równań f wówczas :

0 i . ф == O), jest

ao » ai5

a(Jx 4- a.,

0,

bo»

b, x

- b₂

b₍„ bt, b₂x 4- 0

czyli :

(4)    .    .

a₀, aj, a2 0,    b₀,    bj

b₀ -, bn b₂

i⁵

b₂

= 0.

b(, i b i, o

Równanie (4) daje wartość na pierwiastek wspólny równań f — 0 i ф — 0.

10. Sylvester podał inny sposób rugowania, znany pod nazwą dyalitycznego, a który prowadzi do wypadku tegosamego, co sposób Euler’a. Mnożymy pierwsze równanie tj. równanie (1) przez xn~\

•, X , X •

Tym sposobem otrzymamy układ (m 4~ n) równań stopnia (m 4-n — 1),

xn

. x\ гг⁰, a drugie równanie, (2) przez xn

xn~²

względem ж, które uważać można jako równania stopnia 1. i jednorodne względem m 4 n liczb :

X¹, x°.

—l ^fii-j-n—2

Skoro te liczby nie są wszystkie 0 (albowiem ж⁰ —1), więc wyznacznik tego układu równań musi być 0 (art. 6). Ten wyznacznik, do 0 zrównany jest żądanym wypadkiem rugowania niewiadomej ж.

Postępując podług tej reguły z równaniami (1') i (2'), mieć bę

dziemy :

xf = a₀x⁴ -f- a,x³ 4 а₂хй 4 a₃x

a₀x³ + a,x² 4 a₂x -f a:i = 0, b₀x⁴ 4 b,x:i 4 b₂x²

b₀x;i 4 bjX³ 4 b₂x

b₀x- 4 W* Ц — o.

x»<p

x'f

- 0,

A zatym :

a:.,    0

=t= 0

«2

jest żądanym wypadkiem rugowauia ж między (1') i (2'). Tożsamość tego wypadku z wypadkiem (3) jest widoczna.

11. Sposoby rugowania Euler’a i Sylwester’a nastręczają tę niedogodność, że wyznaczniki, do jakich prowadzą, są stosunkowo wysokiego rzędu. Wyłożymy dlatego inny sposób, podany przez Be-zout’a, a udoskonalony w czasach najnowszych przez p. Karola Biehlera (Nouvelles Annales de Mathématiques, 3ème série, tome 1. str. 529). Ten sposób daje wyznaczniki daleko niższego rzędu, a mianowicie rzędu równego stopniowi tego z dwu danych równań, którego stopień jest wyższy.

Niech będą dane dwa równania :

f s a₀xra . cp =ë b₀xn

i załóżmy, że m > w. Połóżmy nadto :

-O

П—t

...4

i _oc

СО

!-*а

'=

СГ и

гГ

T=

er

cr »

\-

i utwórzmy m równań :

f0? = 0; flT ='

(5)    .    .

łm—u—'Ф — o,

hn—n ф    -:

fm-n+1 Ф - ®jf == 0,

fm—i <p — (pn-if = o,

które posiadają- widocznie wszystkie wspólne pierwiastki dwu danych równań. Te równania, jak łatwo się przekonać, są wszystkie co najwyżej stopnia (m — 1). względem x, możemy je zatym uważać jako układ m równań stopnia 1. i jednorodnych względem m liczb æm_1,

g,m—2

mienionego układu, który oznaczymy przez Д, będzie równy 0. Równanie Д = 0 jest więc warunkiem koniecznym, aby dane dwa równania miały pierwiastek wspólny. Wyznacznik Д jest rzędu m., a nadto jest on wyznacznikiem symetrycznym. Jakoż w równaniach (В), gdy je uporządkujemy podług potęg zniżających się niewiadomej x:

■ ku X

. \ ^21 xm

. ., a?¹,#⁰. Skoro te liczby nie są wszystkie 0, wyznacznik na-

+ к, 2 X.

-j— k22 X

m —2

-+"••• к |ra - 0,

. -j- кзщ = 0,

k^ xml -f- km2 x"'~ ~h • • • “h к

mm

współczynniki sprzężone kjk i kki są między sobą równe. Wyznacznik tych równań :

(6) . .

k₂i , k₂

kjm

! kml,

km2i • • * 1

kmm

jest więc symetrycznym.

Pozostaje okazać, że warunek Д = 0 oraz wystarcza, tj., że równania (1) i (2) mają, pierwiastek wspólny, jeżeli Д — 0.

12. Dla uproszczenia badań weźmiemy pod uwagę przypadek szczególny, kiedy m = 3, n — 2, wszakże tosamo postępowanie daje się zastosować bez zmiany do przypadku ogólnego.

Niech więc będą dane dwa równania :

.    f = a₀x³ -j- a,x² a₂x -f- a₃ = 0,

= 0.

.    = b₀x² btx -j- b₂

Mamy teraz :

f₀<p = a₀b₀x² + a₀b,x -f a₀b₂,

(9)

fpf - <p₀f = a₀htx² + (a₀b₂ —a₂b₀ -f a₁b,)x + (a₁b₂-a₃bo) = 0, % — cpLf = a₀b₂x² -f (a,b₂ — a₃b₀)x + (a₂b₂ — a₃b,) = 0;

a zatym :

(10)    .    .    . Д =    a₀b₀,

a₀b

i»

a₀b₂

=0.

a₀b,, a₀b₂ — a₂b₀ -f a^, axb₂ — a₃b₀

a₂b₂ — a₃b

a₀b2; atb₂ — a₃b₀,

Dodajmy teraz do składników ostatniej kolumny w Д składniki pierwszej kolumny pomnożone przez x², a drugiej przez x ; uwzględniając (9), mieć będziemy wtedy :

a₀b₀,

aobn

fo? + 9

а₀Ьц a₀b₂ — a₂b₀ + atbn fjcp — ep₀f a0b2>

aib₂ a3boj

f₂cp — <p,f

czyli :

(11) . .

. Д = ptp — qf,

gdzie p i q są funkcyjami liczby x odpowiednio stopnia 2. i 1., a mianowicie :

(12) . .

a o b i,

a0bl> a0b2 a2b0 + aibn li

aib2 — a₃b₀,

a0b2 J

fo ,

f₂

(13)    .    .

. q =    a₀b₀,

aobi,

aobi, a₀b₂ — a₂b₀ + a₁b₁, cp0 aib2 a₃bo,

a0b2,

'fi

Jeżeli więc A = O i jeżeli przez x rozumieć będziemy jeden z trzech pierwiastków równania (7), wskutek czego także / = O, wówczas tożsamość (11) da nam:

P? = o ;

uważany pierwiastek równania f — 0 uczyni zatym zadość albo równaniu p — 0, albo równaniu tp — 0. Atoli, równanie p = 0 jest stopnia 2. — widoczna więc, że jeżeli A — 0, przynajmniej jeden z trzech pierwiastków równania f — 0 musi być oraz pierwiastkiem równania <p — 0.

Wnioskowanie poprzedzające zawodzi w przypadku, kiedy równanie p = 0 jest równaniem tożsamościowym. Uporządkujmy wyznacznik p podług elementów ostatniej kolumny. Oznaczając przez Aik pierwszy podwyznacznik wyznacznika A » należący do elementu wspólnego itemu wierszowi, a ktéi kolumnie, mieć będziemy :

P — А|:Л 4“ A 23^ 4" Ass^i = ao Аззх2 + Oi Азз + ao А₂з)х + 0₂ A₃₃ + a, A₂3 + a„ Al3)-

Jeżeli więc równanie p = 0 jest tożsamościowym, musi być:

A33 — О, Д₂₃ — 0,    A₁₃ == 0.

Ażeby więc wnioskowanie było prawdziwym, potrzeba, żeby pierwsze podwyznaczniki wyznacznika A nie były wszystkie równe 0.

Jeżeli rzecz tak się ma, znajdziemy pierwiastek wspólny, jak następuje:

Dajmy, że :

A33 —

a₀bi

a₀b₀,

a₀b„ a₀b₂ — a₂b₀ -j- a ₍ bŁ nie jest 0, mieć będziemy wtedy :

А₃зх =    a₀b₀, f₀? — a₀b₂

a«bi, — ?of - Otb₂ — a₃b₀)

lub, gdy x oznacza pierwiastek wspólny równań ? — O i / — 0,

a₀b₂

Аззх = —

aob₀,

a₀bj, atb₂ a₃b₀

- A₃2)

skąd wypływa :

A32

A33

(14)    .    .

Jeżeliby wszystkie pierwsze podwyznaczniki Д.к były równe 0, można okazać, że wówczas dwa dane równania posiadałyby dwa pierwiastki wspólne.

(m — p +1).

Postępując tymsamym sposobem w przypadku ogólnym, doszlibyśmy do następującego twierdzenia, dowiedzionego przez p. ßichler’a: Jeżeli Д = 0 i jeżeli podwyznaczniki rządu (m — I)., (m—2).,. . wyznacznika Д są wszystkie równe 0, a podwyznaczniki rządu (m — p). nie są wszystkie 0, wówczas dwa dane równania posiadają p pierwiastków wspólnych, ani mniej, ani wiącćj.

ROZDZIAŁ XV.

Teoryja form kwadratowych¹).

Podstawienia linijowe.

1. Jako dalsze zastosowanie teoryi wyznaczników, chcemy jeszcze podać krótki zarys teoryi form kwadratowych, tj. funkcyj całkowitych i jednorodnych stopnia 2. W tym celu określimy naprzód, co się rozumie przez podstawienia linijowe, a następnie zajmiemy się przekształceniem form kwadratowych zapomocą takich podstawień.

Jeżeli do jakiejkolwiek danej funkcyi n zmiennych, u?₂,... Xu , za te zmienne wprowadzimy n nowych zmiennych Xl5 X₂,X» , które są z danymi zmiennymi połączone zapomocą wyrażeń kształtu:

Xi    = 1ц    Xi    -f- 112    X₂ +. . .-f- lin    X

(1) . .

X2 I21    Xi    -f- I22    X2 -j-.. . -j- hn    X

x„ = liii Xi ln2 X₂ -f- . . • -j- Ina X

w których współczynniki In ,..., lnn są liczbami rzetelnymi i stałymi, powiadamy, żeśmy tę funkcyją przekształcili linijowo, a równania (1), wyrażające dawne zmienne jako funkcyje jednorodne stopnia 1. zmiennych nowych, nazywamy wzorami przekształcenia linijowego albo podstawieniami linijowymi.

Wyznaeznik w² współczynników hj w podstawieniach (1): nazywamy modułem albo zamiennikiem tychże podstawień. Oznaczmy ogólnie przez L\$ ilość dołączoną, należącą do elementu 1ц w wyznaczniku (2), połóżmy dla skrócenia :

Lij

(3)    .    .

i pomnóżmy równania (1) odpowiednio przez Хц, X₂i,..., X„t a potym weźmy sumę tych iloczynów. Tym sposobem otrzymamy pierwsze zpo-między n równań :

(4)

(2) •    .    • L =

111 7    I127 ...7    Ilu

Ul 7    I22 7 • •

I211

Inl

ln2 7    • •

hm

Xj — Xu xi -)- Х21 x₂ -j-... -j- Xnl X X₂ — Х12 Xi -j- X₂₂ X₂ -\- . . . -j- ХП2 X

Xn — Xin xi -j- X2n Х2 -j-... -j- Xnn xn ;

(n — 1) ostatnich równań znajdziemy, skoro równania (1) będziemy mnożyli odpowiednio przez Xi2, X₂₂,.. ., XJl2; Xln, X2n,..., Xnn, a potym brali sumę iloczynów. Wyrażenia (4), przedstawiające nowe zmienne, jako funkcyje jednorodne stopnia 1. zmiennych danych, nazywamy podstawieniami linijowymi odwrotnymi podstawieniom pierwotnym (1).

Oznaczmy przez Л zamiennik podstawień (4) ; uwzględniając (3) i stosując znane własności wyznaczników (XIII. 13.), będziemy mieli :

IJnt

L„2

Lu,

to

Ln

Li,,

to

to

Li

L2n, • • • j

Lnn

czyli :

(5)    .    .    . L.A = 1,

tj. : Zamiennik podstawień linijowych odwrotnych jest oâivrotyłością zamiennika podstawień linijowych pierwotnych.

2. Jeżeli funkcyją całkowitą i jednorodną przekształcimy linijowo, natenczas stopień tej funkcyi nie zmieni się, a współczynniki funkcyi przekształconej heda, funkcyjami współczynników pierwotnych stopnia I. i jednorodnymi.

w, przez «ij ril liczb stałych i zakładając, że an — «ji, możemy taką funkcyją przedstawić pod postacią sumy podwójnej :

Lubo prawdziwość tego twierdzenia jest nieomal widoczną, wszakże udowodnimy je dla funkcyj jednorodnych stopnia 2. z n zmiennymi хЛ1 ;r₂...., xn . Oznaczając, dla i — 1, 2,w, tudzież dla j = 1, 2, .

(6) .

•    •    x₂,. .xn ) ее S S ay Xi xj ,

i j

gdzie tak sumowanie względem i, jakotćż sumowanie względem j rozciąga się na wartości 1, 5,..., n.

Tak np., skoro «у — ay, mamy :

f(x,, x₂, x₈) = X I ay Xj xj = S (ait x, -f- ai2 x₂ -f ai3 x₃) Xi i j    i

= (Ян:х1+а12Х2+а13Хз)Х1+(а21:Х1+а22х2+а23Хз)Х2~Ь(аз1Х1+а32:Х2Н_аЗЗ:хз)Х3 al lxl~l-a22x2⁻ł-a33x3⁻l—^a23X2X3 ”!~^a3l X3X1^al2XlX2*

Uskuteczniając na funkcyi (6) podstawienia linijowe, tj. podstawiając w niej :

lir X

Xi =

xj - Ï lj. X

s

gdzie sumowanie względem r i s rozciąga się także na wartości 1, 2,..., n i wypadek tych podstawień oznaczając przez F(Xx, XbX, ), otrzymamy :

F(Xj,X₂,..., Xn) = X Sa« (Ebr Xr ) (Slj, X.),

i j    r    s

lub, skoro przy sumowaniu względem r i s wskaźniki i, j zatrzymują tęsamę wartość, :

F(X,,X,,., Xn ) = £ £ S E au lir ljs Xr X₈ .

i j r s

Zmieniwszy porządek sumowania, będziemy mieli następnie:

P(X1;X₂,..., X„) = SSSSau 1„ Ij. Xr X, ;

r s i j

a że znowu przy sumowaniu względem i, j wskaźniki r i s zatrzymują tęsamę wartość, kładąc zatym : znajdziemy ostatecznie:

(8)    .    .    . F(Xn X2;..Xn) гг I S Ars Xr Xs .

Z (8) czytamy, że funkcyja przekształcona jest także jednorodną stopnia 2. względem nowych zmiennych Aj, AT₂,..., Xn , a wzór (7) pokazuje, że współczynniki funkcyi przekształconej, są funkcyjami jednorodnymi stopnia 1. względem współczynników funkcyi pierwotnej. Uważmy jeszcze, że z wzoru (7) wypływa :

(9)    .    .    . Arä == Asr.

3. Podstawienia linijowe (1) nazwiemy podstawieniami prostokątnymi, jeżeli sumę kwadratów zmiennych pierwotnych zamieniają na sumę kwadratów zmiennych nowo wprowadzonych.

Załóżmy, że podstawieuia linijowe (1) są oraz prostokątnymi, a przeto, że zachodzi tożsamość :

(10)    .    .    . Xi 4~ x2 -j~ • • • xn == Xi 4^ X₂ 4~ • • • 4“ Xn,

gdy uskutecznia się na stronie pierwszej podstawienia (1) lub na stronie drugiej podstawienia tamtym odwrotne (4).

Uskuteczniwszy pierwszo podstawienia sposobem poprzednio wyłożonym, mieć będziemy :

(a)

S 2 Ars Xr Xs

ЕЕ X? -f X2 +...+ X²n

— 0, według tego, czy i = j, czy też

gdzie teraz, skoro ay — 1, lab

i ^ :

og.

to""*

to""⁻

OD

Skoro równanie (a) jest tożsamościowe; współczynniki więc wyrazów jednakich po obu stronach znaku tożsamości muszą być równe między sobą. A zatym, jeżeli podstawienia linijowe (1) są oraz prostokątnymi, natenczas wskutek (ß), między n² współczynnikami hj tych

n(n -j-1)

związków nastę-

podstawień zachodzi n -f-pujących :

(11)    .    •    • lir + kr +• • • 4~ łnr == 1;

tudzież :

n (n — 1)

gdzie r = 1, 2,.n;

gdzie r i s są którymikolwiek dwiema, lecz od siebie odmiennymi zpo-między n liczb 1, 5,..., n.

Pomnóżmy równania (1) odpowiednio przez bi, l₂i,..., laj i dodajmy do siebie iloczyny: uwzględniając wzory (11) i (12), otrzymamy wtedy pierwsze z równań :

(13) .    .

——    I——<

to    1C

Ю    *-*

Im X

In2 X

Xn — bn -p bîn X2 -p . . . ““i⁻ Inn Xn 5

(n — 1 ) końcowych otrzymamy, skoro równanie (1) będziemy mnożyli odpowiednio przez ll2 , £22,- • •, la2 ; • • • ; hn, U weźmiemy ich sumę.

Równania (13) przedstawiają podstawienia linijowe odwrotne pierwotnym (1). Z porównania układu równań (1) i (13) widoczna, że w obu zachodzą tesame współczynniki w ten sposób poprzemieniane, że wiersze układu kwadratowego współczynników równań (1) są kolumnami równomiejscowymi w układzie kwadratowym współczynników równań (13).

Podstawienia (13) powinny także uczynić zadość tożsamości (10), czyli powinny być także prostokątnymi.

Podstawmy zatym po prawej w (1) za Xn X₂,. .., Xn wartości (13) i zrównajmy do siebie współczynniki wyrazów jednakich po obu

n(n -p1)

nr")

Ina, a potym

stronach, znajdziemy czynnikami Ц :

dalszych związków między współ-

{14)    .    .    . In 4“ lr2 “P • ■ • ~p lrn - 1,

gdzie r= 1,2, n,

tudzież :

(15)    .    .    . lri lsi -p 1Г2 ls2 ~p • • • bn hn - 0.

gdzie r i s są dwiema którymikolwiek, lecz od siebie odmiennymi zpo-między n liczb 1, 2,..., n.

Związki (14) i (15) są taksamo następstwami związków (11) i (12)> jak podstawienia (13) są następstwami podstawień (1).

Jeżeli więc współczynniki podstawień linijowych (1) uczynią zadość równaniom (11) i (12), to wtedy stanie się zadość równaniom (14) i (15). Te ostatnie nie są więc od tamtych niezale żnymi.

Ponieważ moduł podstawień prostokątnych (13) odwrotnych podstawieniom prostokątnym (1) jest także = jb, przeto podług wzoru (5) mamy :

(16)    . L² = 1

tj. : kwadrat modułu podstawień prostokątnych jest równy jedności.

¹

Rozdział niniejszy jest streszczeniem obszerniejszej pracy autora, zamieszczonej w tomie IX. Pamiętnika Akad. Umiejętn. Wydź. matem.-przyrodn.

Rozłożenie formy kwadratowej na sumę kwadratów.

4. Już przy innej sposobności (YII. 13.) dowiedliśmy możebności i wyłożyliśmy jeden ze sposobów wyrażenia formy kwadratowej pod postacią sumy kwadratów funkcyj stopnia 1. Tęsamę rzecz rozpatrzymy teraz szczegółowiej. Przedewszystkim udowodnimy twierdzenie następujące :

Formą kwadratową z n zmiennymi można zawsze i to nieskończenie wielu sposobami przedstawić pod postacią\ sumy n kwadratów z funkcyj jednorodnych stopnia I., pomnożonych przez współczynniki dodatne, odje-mne lub zerowe.

- ац Xi xj

Jakoż, jeżeli na funkcyi jednorodnej stopnia 2. : f(x1; x₂,. . ., Xn) EEZ

uskutecznimy podstawienia linijowe o współczynnikach nieoznaczonych:

i = 1,2,. . .,n,

Xi =

hr X

r=l, 2,. .., n,

otrzymamy (art. 2.) :

F(Xj, X₂,..., Xn) = X X Ars Xr X

gdzie :

A rs —

^ aij lir Ijs-

n (n — 1)

Xa wyznaczenie ń² współczynników hr, zrównajmy do 0

współczynników Ars , w których wskaźniki r i s są od siebie odmienne, mieć będziemy wtedy :

F(Xi,X₂,...,X„) = Ац ХГ + A₂2 X₂ -j-. ..-j-AnnXn²,

tj. : wielomian pierwotny zamieni się na sumę n kwadratów z funkcyj jednorodnych stopni 1. X{, X₂,...; AA„ , pomnożonych przez pewne współczynniki Ац , A₂₂ ,. . ., Ann.

n(n '-f-1)

pozostałych, które pozostaną nieoznaczonymi. Stąd wypada,

że przy wiedzenie funkcyi założonej do sumy n kwadratów daje się uskutecznić zawsze i nieskończenie wielu sposobami.

5. Sylvester dowiódł następnie twierdzenia: Jakimkolwiek sposobem uskuteczni sie rozłożenie formy kwadratowej z n zmiennymi na sumą n kwadratów, znajdzie się zawsze tąsamą ilość kwadratów doda-tnych, odjemnych i zerowych (tjktórych współczynniki są liczbami do-datnymi, odjemnymi i zerowymi).

Załóżmy, że to twierdzenie jest prawdziwe, kiedy forma zawiera w sobie n zmiennych i starajmy się udowodnić je, kiedy ilość zmiennych jest równa n -f-1. Weźmy zatympod uwagę dwa rozłożenia formy kwadratowej z n -j- 1 zmiennymi :

f = £| A] Xj -j- e₂ A₂ X₂ -j- . . . -j- £n+i A„_|_i Xn+i, f = Tjj Bt Yj -j- rj2 B₂Y₂ +...+ '(jn-i-i Bn^.i Yn'₊i,

— 1 łub 0; przez B₁, B₂,..., Bn liczby stałe i dodatne, a przez Xi, Yj, Y₂,..., Yn funkcyje jednorodne stopnia 1. względem

Z równań Ars — O można otrzymać, mówiąc w ogólności, tylko współczynników lir jako funkcyje n¹ —

n ( u — 1)

n(n — 1)

rozumiejąc przez e,,...,en+i, %,...,7]n+1 liczby -j-1 , A2, • • • ) A

x₂,..

(n-\-l) zmiennych xn x₂,..., xn. Mieć będziemy wtedy tożsamość: (a)    -f e₂A₂X2: -f. . .-f sn+iAn+1Xn+1 = r^BjYj _j-'^₂B₂Y₂ -j-....

• • • Ча+1 Bn+iYn+i.

W tej tożsamości przynajmniej jedna z liczb sM..., sn+i musi być równa jednej z liczb 7]и..., Y]n+i, Albowiem, jeżeli wszystkie liczby e są równe 0, lub równe -j- 1, a wszystkie liczby rt są odpowiednio równe 0, lub równe — 1, natenczas w razie pierwszym obie strony tożsamości byłyby = 0, a więc funkcyja założona f musiałaby być tożsamościowo równa 0; w razie zaś drugim namieniona tożsamość nie mogłaby zachodzić, bo strona pierwsza byłaby dodatną, a druga odje-mną. Niech więc będzie np. e, = rjt i połóżmy :

I Л, X, = ( BTY

Tym sposobem ustanawiamy związek stopnia P° pomiędzy zmiennymi pierwotnymi aą,. . ., a?n+i, zapomocą którego jednę z tych zmiennych można wyznaczyć jako funkcyją stopnia 1. n pozostałych zrriien-nych. [Przypadek, kiedy napisane równanie jest tożsamością, należy wyłączyć zpod uwagi, gdyż wtedy można w (a) opuścić pierwsze wyrazy po obu stronach, i taksamo przypadek, kiedy zawiera on tylko jednę zmienną, np. a?„+i, albowiem wtedy musi być #n+i = 0, co zamienia funkcyją daną na funkcyją z n zmiennymi, dla której prawdziwość twierdzenia jest założona]. Wyznaczmy więc z tego związku :rn+i przez ajj,..., Xn i wartość otrzymaną podstawmy w (a). Obie strony tej tożsamości zamienią się wtedy na rozłożenia na kwadraty tćjsamćj formy z n zmiennymi, a więc, podług założenia będą musiały obie strony zawierać tęsamę ilość kwadratów dodatnych, odjemnych i zerowych. A że liczby e i 7] nie zależą od aą;..., a?n+i, więc już przed uskutecznieniem namienionego dopiero podstawienia, musiała po obu stronach zachodzić tasama ilość kwadratów tegosamego znaku i zerowych.

A zatym twierdzenie Sylvester’a utrzyma się dla formy z n -f-1 zmiennymi, gdy jest prawdziwe dla formy z n zmiennymi. Atoli jest ono widocznie prawdziwe dla form z jedną zmienną, utrzyma się zatym i dla form z 2, 3,..., w ogóle z jakąkolwiek ilością zmiennych.

To twierdzenie Sylvester’a znane jest pospolicie pod nazwą : prawa bezwładności form kwadratowych.

6. Na osobliwą uwagę zasługuje sposób rozłożenia formy kwadratowej na sumę kwadratów zapomocą podstawień prostokątnych ; w tym bowiem przypadku znajdziemy — mówiąc w ogólności — na wyznaczenie współczynników podstawień dostateczną ilość równań.

Niech więc będzie :

(1) •

.    .    f(xt,x₂,..., xn) = £ X ау xj xj

daną formą kwadratową z n zmiennymi xx, ж₂,.. ., xu . Oznaczmy dla skrócenia, przez ffxu x₂,..., жп ), f₂(xlyx₂₎...,xn    fn f*,,®,,«., xn)

pierwsze pochodne cząstkowe tej funkcyi, wzięte względem zmiennych xl}    xa i podzielone przez 2, tj. połóżmy:

fi(xi,x₂,...,x„) == S aljXj , j

^(Х1 ; x2 5 • • • 5 xn ) = ^ a2j Xj

(2) . .

(j = 1, 2,..., n).

in (X,, x₂,. .., xn ) — Ij anj Xj

Niech następnie wzory :

(i= 1,2, —, n, r= 1,2,..n)

33

(3) .    .    . x, = S lir X

Zasady algebry wyśszaj.

258

wyrażają podstawienia linijowe i prostokątne, a więc niech będzie :

(r — 1. 2,. . ., n), tudzież:

r <s< n).

(4)    .    .    . lir A Igr A • • • 4“ br — 1

(5)    lir lis A Ьг bs A • " • A Inr Ins = Oj ( 1 А Г < Ц 1 J Podstawienia (3) zamieniają założoną formę na :

(6)    .    f(x,, x₂,. .., xn ) = S Ars Xr X

gdzie (art. 2.):

(7)    Ars = S i aij hr lj₈.

Aby druga strona w (6) była sumą kwadratów, dość założyć As = 0, dla r A s. Na wyznaczenie więc n² współczynników Ц podstawień prostokątnych (3), mamy naprzód n równań (4), potym

n (n — 1 )

n(n — i)

równań As = 0, a za-

równań (5) i nareszcie

tym razem n-f- n(n — 1) = ril równań.

Celem wyznaczenia tych współczynników uważmy, że wyrażenie (7) na As, wprowadzając do niego znakowania (2), możua tak pisać:

hr &ij ljs - ^ hr b (bs, l‘2s, • • *j his).

Ars =

gdzie fi (Us, bs,. • - , W oznacza wartość, jaką j\ (хл, x₂,...yvn) przyjmie, gdy za a\, .r₂,..., xu podstawimy odpowiednio lls, /2s,..

Mamy zatym, oprócz równań (4) i (5), następujące równania :

bs.

(8)    11rfi (bs, bs

Ins) А 12r ^(Ibj bs, •••, Ins) A ••• A Inr tn (lis, bsvjbs)-0,

r< s< n).

(1 < r< n— 1,

Porównanie równań (8) z równaniami (5) daje, dla s = l,2

b(bs, be," • ", Ins) _ b(bs, bs; • •

Ins)

bs

bs

b,

lub., gdy przez S oznaczymy wartość tych n stosunków pomiędzy sobą równych :

b (lis, bs,..., bs) — Shs = 0, fïGis, bs, • * *, bs)    ^ bs ⁼⁼ (i,

tn (bs, bs, < • •, bs) ^ bs — b.

Wskutek (2) można te równania tak pisać:

(ап — S)lis а^Ьз H~ * - • H⁻ ain l„s = 0, ^21 Ils    (a22 — 8) I2.4 H“ • • • ~Ь Э2п Ins = 0,

(9) . . .

. a„ilis -)- a„2l2s Ч⁻-»«⁻!⁻ (a,m — S)lns— 0, (s—l,2,...₇n).

Te równania są, stopnia 1. i jednorodnymi względem n współczynników Zn, ^2s; • • • 1 las- Według znanego twierdzenia (XIY. 6.) musi wyznacznik tych równań być równy 0, tj. :

ап — S,

(10) . . . Л (S)

a 12,

8-ln

= 0.

a-21,

a22 — S, ..

^2n

ani.

an2>

• • •, ann S

Ażeby więc wyznaczyć współczynniki podstawień prostokątnych (3) tak, aby się forma założona (1) przywiodła do sumy n kwadratów, potrzeba naprzód za S wziąć jeden z pierwiastków równania (10), następnie, po wstawieniu tego pierwiastka za S w równaniach (9) wyznaczyć stosunki bs : ?2s :... : las, a nareszcie mając wartości tych stosunków, potrzeba wyznaczyć same współczynniki lu, £2s,..., lna przy pomocy odpowiednego równania (4), tj.: lu -j- lis +    lis — 1. Bio

rąc na S coraz inny zpomiędzy n pierwiastków równania (10), otrzymamy coraz inszą kolumnę współczynników w układzie kwadratowym tychże; a że tych pierwiastków jest n, gdyż równanie (10) jest stopnia n., widoczna więc, że tym sposobem wyznaczy się wszystkie współczynniki podstawień (3), wskutek których mieć będziemy:

Xn ) — Ali Al -f- A-22 A2 -j- . • • Ч⁻ ^nn Xn.

(11) . . . f(xn x₂,..

Pomnóżmy jeszcze równania (9) : pierwsze przez lu, drugie przez hsy..., ostatnie przez lns, dodajmy do siebie iloczyny i uwzględnijmy

(4) i (7) ; otrzymamy wtedy :

- s,

(12)    ... A

tj.: współczynniki kwadratów w rozłożeniu formy założonej, są pierwiastkami równania (10).

7. Pozostaje jeszcze okazać, że wszystkie pierwiastki równania

(10) są rzetelne. Aby tego dowieść, zróbmy założenie, że dwa zpomiędzy pierwiastków równania Д (S) = 0 są zespolonymi i sprzężonymi ; oznaczmy te pierwiastki przez Sa i . Ponieważ równania (9)

]la *lß + ¹2«    ]2ß + * • • + hm ]nß — °>

wypływającym z (5) dla r = a i s = ß, będzie wówczas :

Pi ~ł~ qi -f~ p2 4~ q2 + • • •-h Pn ~h qn — o,

Inor — 0 i Zfß -j- ?2ß + • • • •

co niedorzeczna, chyba że wszystkie liczby p i wszystkie liczby q są — 0, a to znowu niemożebna, gdyż wtedy musiałoby być, sprzecznie z równaniami (4), lla -j- Zfa -{-... -4- £nß = 0.

Z tego badania wypływa, że jeżeli współczynniki Ъц — Ьц formy założonej są rzetelnymi i między sobą niezależnymi, wówczas wszystkie pierwiastki równania (10) będą rzetelne i od siebie odmienne i wtedy istnieją zawsze podstawienia prostokątne i rzetelne, dające się dokładnie wyznaczyć, które tę formę zamieniają na sumę n kwadratów, inaczej rzecz się ma, kiedy współczynniki funkcyi założonej są takimi, że równanie (10) posiada pierwiastki równe; w tym przypadku, jak się zaraz okaże, podstawienia prostokątne nie dają się dokładnie wyznaczyć.

8. Oznaczmy w tym celu przez Дг8 ilość dołączoną w wyznaczniku Д(S) do elementu wspólnego rtemu wierszowi i stéj kolumnie, przez Дг₈;иу ilość dołączoną w wyznaczniku ДГ8 do elementu, który jest wspólny ntenm wierszowi i vtéi kolumnie wyznacznika /\(S), itd. Nazwijmy nadto ilości dołączone kształtu Дгг, ДГг;ии itd., podwyznaczni-kami symetrycznymi wyznacznika ДЛ8) odpowiednio rzędu (n — l)s°, (n — 2)s° itd., i załóżmy naprzód, że równanie /\(S) = 0, posiada pierwiastek podwójny. Według znanego twierdzenia (Y. 10.) musi ten pierwiastek podwójny przywieść do zera także pierwszą pochodną funkcyi ć\(S) zmiennej S.

Oznaczmy tę pochodną przez A'(S). Skoro A(S) jest funkcyją całkowitą składników an —S, a₂2 —    ann —S znajdujących się

na przekątni głównej, а Ди, Д₂₂,..., ДПп są ilości dołączone do tych składników w Д($), mamy zatym [IY. 10, (3)]:

nn •

służące do obliczania współczynników 1ц, są stopnia 1widoczna więc, że i wartości na te współczynniki, które odpowiadają pierwiastkom Sa i Sß będą zespolonymi i sprzężonymi, a mianowicie, jeżeli, dla

i =    2,..

hr, =Pi + У—Ъ t0 natenczas: lę=p{ —qi |_y. Podstawmy te wartości za lirj, l.^, gdzie i — 1, 2, w równaniu :

• •)

n,

, n,

(13)    .    .    .    Д'(8) = - Д„ — Д₂₂    Д

Dla pierwiastka podwójnego musi być Д'($) == 0, tj.: suma pod-wyznaczników symetrycznych rzędu (n — 1). musi być równa 0; a że te podwyznaczniki mają wszystkie tensam znak, więc każdy z nich musi być równy О (XIII. 14.), tj.: Дгг = 0, dla r — 1, 2,. . ., n. A że następnie Дгг Д₈₈ = Дг;, więc także ДГ8 = 0, dla r < s < w.

Ten wypadek można tak wypowiedzieć : Jeżeli równanie Д(Б) = 0 ma pierwiastek podwójny, to dla tego pierwiastka, przywodzą się do 0 wszystkie podwyznaczniki rzędu (n — l)s° wyznacznika Д(S). Nawzajem: Jeżeli przy pewnej wartości na S mamy ДГ8 =0, dla Г — I, 2,..., n i 8 = 1, 2,..., n, to natenczas ta wartość na S jest pierwiastkiem podwójnym równania Д(3) = 0; albowiem wtedy i A(S) = 0, i [według (13)] A'(S) = 0.

Załóżmy następnie, że równanie A(S) = 0, posiada pierwiastek potrójny, i oznaczmy przez A"(Sj drugą pochodną wyrażenia A(S) co do S. Dla pierwiastka potrójnego jest nietylko A(S) = 0, ale także A'(S) = 0 i A”(S) = 0.

Oznaczając przez Д'гг pochodną wyrażenia ДГ1. co do S, znajdziemy taksamo jak pierwej :

rr; nn 7

Д rr = Дгг;11 • • •    Дгг;г—l,r—1    Д rr;r+l,r-j-l • • • Д

wskutek tego, gdy wyrażenia (13) weźmiemy pochodną, otrzymamy :

n*‘UU5

(14)    .    .    .    Д"(8) — 2 ! X Д

gdzie sumowahie rozciąga się na wszystkie podwyznaczniki symetryczne rzędu (n—2). wyznacznika AfS).

Z wzoru (14) czytamy, że dla pierwiastka potrójnego, także suma podwyznaczników symetrycznych rzędu (w—2). wyznacznika A(S) musi być równa 0; atoli z powodu, że i Дгг = 0 dla r — 1, 2,..., n, są te wszystkie podwyznaczniki jednakowego znaku ; te podwyznaczniki muszą być zatym wszystkie równe 0.

A że znowu :

Дгг;ии Д

rr;vv

- Д rr;uv J

gdyż Дгг = 0, jak również :

rs;uu

rs;vv

- Дгв;иу)

gdyż

więc będzie także :

Air — 0, a A

rs;uv

rs;vu?

— 0,

= 0 i Д

tj.: wszystkie podwyznaczniki rzędu (n— 2). wyznacznika A(S) będą równe 0.

rr;uv

rs;uv

A zatyrn : Jeżeli równanie A(S) = O posiada pierwiastek potrójny, to dla tego pierwiastka przywodzą się do O wszystkie p o dw y znaczniki rzeda (n — I). i (n — 2). wyznacznika A(S). Nawzajem: Jeżeli przy pewnej wartości na S przywodzą się do O wszystkie podwyznaczniki rzędu (n — I). i (n — 2). wyznacznika A CS), to ta wartość jest pierwiastkiem potrójnym równania (S) = 0; albowiem wtedy Д (S) = O, A YS) = O i A"(S) = 0.

Postępując tak dalej, dowiedziemy twierdzenia :

Warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, aby równanie ДCS) = 0 posiadało pierwiastek m-krotny S, jest przywiedzenie się do zera wszystkich podwy znaczników rzędu (n—I)«, Cn — 2). aż do rzędu (n — m -f-1). wyznacznika A(S).

Skoro tak rzecz się ma, to równanie (9), gdy w nich za S podstawimy pierwiastek w-krotny równania A(S) — 0, sprowadzą się do (n — m) od siebie odmiennych i dadzą nam wartości na w — m zpo-między n — 1 stosunków lu : ha : ... : lna, skoro wartości na m — 1 pozostałych dowolnie obierzemy (XIV. 3.). W tym więc przypadku istnieć będzie nieskończenie wiele podstawień prostokątnych o współczynnikach rzetelnych, które daną formę kwadratową przekształcają na sumę kwadratów, mających współczynniki rzetelne i wr części między sobą równe.

Wyróżnik formy kwadratowej.

9. Rugownik pierwszych pochodnych cząstkowych funkcyi jednorodnej, zowie się wyróżnikiem albo dyskryminantem tejże funkcyi. Według tego określenia wyróżnik formy kwadratowej :

(1)    .    .    . f(x,, x₂,..., xn) E- 2 Ï, aijXj xj ,

jest wyznacznikiem:

(2) .    .    . A =

alt> a12)    • • • 5 aln

a2l

a₂₂, .. .

a2n

anlj an2; * • •, ann

Łatwo spostrzec, że pierwsza strona równania Д(S) — 0, dla S — 0, zamienia się na A.

Własność zasadnicza wyróżnika (2) wypływa z twierdzenia ogólnego, dowiedzionego w artykule poprzedzającym. Skoro bowiem A — A(0), więc jeżeli równanie Д(S) — 0 posiada m pierwiastków^

równych O, wtedy wyróżnik J. i wszystkie jego podwyznaczniki rzędu (n — 1)., (n — 2)...., aż do rzędu (n — m -j- 1) włącznie przywiodą się do 0. A że pierwiastki równania /\(SJ =0 są współczynnikami kwadratów, na jakie forma założona (1) zapomocą podstawień prostokątnych daje się rozłożyć, możemy zatym wypowiedzieć twierdzenie następujące :

Forma 'kwadratowa z n zmiennymi, będzie sumą n — m kwadratów, których współczynniki są od 0 odmienne, jeżeli jéj wyróżnik i tego

wyróżnika wszystkie podwyznaczniki rzędu (n — I)., (n— 2).,..... aż

do rzędu (n — m -f-1). włącznie są równe Oj te warunki są konieczne i oraz wystarczające.

10. Niech następnie :

(3)    .    .    .    F(X,, X*..Xb ) == S S Ars Xr Xs

będzie formą kwadratową, na jaką się forma kwadratowa założona (1 ) przekształci zapomocą podstawień linijowych:

(4)    .    .

Xi - - lir Xr

których moduł L jest od 0 odmienny. Okażemy, że wyróżnik formy kwadratowej (3) jest równy wyróżnikowi formy pierwotnej (1), pomnożonemu przez kwadrat modułu podstawień linijowych (4), które formę (1) przekształcają na (3).

X\\

Jakoż, jeżeli, jak zawsze, przez/,, /₂,...,/n oznacz)my połowy pochodnych cząstkowych fuukcyi /'odpowiednio co do xt, x₂,.. i dla skrócenia położymy :

lis = h f 1 Isj l‘2s , • • • , Ins); f2s ⁼ fjOls t l‘2s 5 • • • ; Ins); • • • 5 Ins = fn (lis ) l^s , • • • ; his)

będzie widocznie (art. 6.) :

Ars 1= ile lir -f- f2s Ьг ~h • • • łns lnr>

A zatym, podług twierdzenia o mnożeniu wyznaczników, jest :

; Au, A,2,..

A₂,, A₂₂, ..

Ain

Азп

.S*⁵

i*

to

я    а

TH    см

Anl, Aj,2, ..., A

fnlj fn2) • • • ) fnn

*nl) ln2)• • • ) Inn

Atoli, skoro ogólnie:

mamy podług tegosamego twierdzenia : IJ f|2ł * * * > hn —

^22? • • • i f-n

all? a12?* • •? aln

И? M2?* • •?

bn

a2t ? a22? • • • ? a2n

21 ? '22? • • • ?

Ьп

fnl? hi2? • • • ? hm

Stąd zaś wypada :

a„i> aj,2,..., ann

fnli ln2? • •

hin

(5)

ln

&ln

ii? ‘12?* • •?

lin

2 La A

22? * • *7 2n

a2l? a22?■*••? a2n

21 ?

22 ? • • • ?

Ьп

hilj ln‘2) • •

Inn

Ani, N„2,.. •, A

co było do okazania.

Funkcyją współczynników jakiejkolwiek formy jednorodnej f(xi, ,r₂,.. ., Xn) nazywamy niezmiennikiem albo inwaryjantem tej formy, jeżeli za współczynniki pierwotne podstawiwszy w tej funkcyi współczynniki odpowiedne formy, przekształconej zapomocą podstawień linijowych, wypadek tego podstawienia będzie się równał pierwotnej funkcyi pomnożonej przez wyrażenie, zależne jedynie od współczynników podstawień. Według tego określenia, wyróżnik formy kwadratowej jest niezmiennikiem tejże formy ze względu na jakiekolwiek podstawienia linijowe.

nn

anl) a„2,. .

ann

Rozłożenie jednoczesne dwu form kwadratowych na sumę kwadratów.

11. Zaponmcą podstawień linijowych można jednocześnie dwie formy kwadratowe przekształcić na sumę kwadratów. Niech :

. f(x., x₂,..., x„ ) = £ 2

(1) . .

(2) •

•    • g(xl? x2 ? • • •? Sn) = - -

i j

będą dwiema danymi formami kwadratowymi.

Uskuteczniwszy na (1) i (2) podstawienia linijowe:

. Xi = Z lir X

Г

tudzież na wyznaczenie ri* współczynników hr położywszy, dla

(4)    .    .    .22 ajj b, lj. = 0

(3) .    .

[i = 1, 2,.. .,n, r = 1,2,..n]

(5) .    .    .22 by lir lj, = 0,

otrzymamy :

(G)    .    .    . f — Xï -j- Аз Xi -4~ - - • ~b⁻ An Xn

g = B,X? + B₂X| +...+ B„X²n

(7)    .    .

gdzie, dla r —

Г 00

OJ

•    • Ar — —■ — ay lir ljr,

Równania (4) i (5) przedstawiają razem 2.

n(n — 1)

= ri¹ — n

równań warunkowych ; ażeby więc wyznaczyć wszystkie współczynniki podstawień (3), potrzeba jeszcze między nimi ustanowić dowolnie n związków. W tym celu najdogodniej dać współczynnikom Av lub Bt wartości upodobane.

po

Niech więc będzie n. p. dla r — i, 2,n, Br — bs , dzie br są liczbami danymi. Przy tym założeniu równania (4), (5) i winny wystarczyć na wyznaczenie wszystkich n² współczynników hr, a równania (8) dadzą nam następnie wartości na współczynniki Ar w rozłożeniu funkcyi f.

Aby te rachunki wykonać jak najdogodniej, uważmy, że równania (4) i (5) można tak pisać :

lis lir “f" f2s Ьг H⁻ • • •    lus Ьг — 0    i

gis hr + g‘2s br + • • • -j⁻ gnsbr — 0,

gdzie Jis = J i (li*, bs, • • •, lns)i‘ • • i taksamo <jis — s, bs ,»..,Ьв).... są wartościami połowy pochodnych funkcyj / i g co do xu .... dla Æj — /is, a*2 ——¹ bs , * • • 5 aźn —¹ bs’

Stąd wypływa :

gns

Oznaczmy przez \ wartość tych stosunków, mieć będziemy wtedy : fb — X gis ~ 9,    t._.s X gog = 0,..

(ail —Xbu)lls + (a12    Xb₁₂)l₂₈ +•••+ (aln — X bin) bs —- 0,

(a2l — к b2l) bs + (a22 — ^ b₂₂) l2s + ...-}- (a2n — X b2u) bs = 0,

fis

gis

• •>

bs ^ ges — 9,

czyli :

(a„i—Xb„i)lie + (апз — Xbn2)bs    (аип—Xbnn)be=0;

skąd, po wyrugowaniu stosunków lu : hs :.. . : his, wypada :

(11) Д(Х) == Эц :—Xbjj, a₁₂    Xbjg,..., a i„    Xbin

a₂| — X b₂j, a₂₂    X b₂₂,..., a2n    X b2n

Oni — X bni, an2 X bn2j • • •, ann X bnn

Równania (10) i (11) są równoważne równaniom (4) i (5). Równanie (11) stopnia w-go względem niewiadomej X da nam n wartości na tę niewiadomą: Xn X₂,..., Xn, poczym równania (10) dadzą nam stosunki między współczynnikami podstawienia (3). Same zaś współczynniki otrzymamy, biorąc do pomocy równania (9), w których Br — bc oznaczają liczby dowolnie dane.

Aby nareszcie otrzymać wartość na Ar , pomnóżmy równania (10) odpowiednio przez ?łs, ï2s,..Ins i dodajmy do siebie iloczyny. Uwzględniając równania (8) i (9), otrzymamy wtedy :

B₈= bs

As — X Be = 0

(12)    .    .    . As — Xbs ,

lub, skoro

gdzie X jest pierwiastkiem równania (11).

A zatym : Zapomocą jednych i tychsamych podstawień linijowych można jednocześnie dwie formy kwadratowe f = 2 2 ay Xi Xj i g = 2 Ę bij Xi X,

przekształcić na sumę kwadratów, a mianowicie, jeżeli położymy'.

g == bt Xi -|- b₂ X₂ +.. • ~h bn Xn,

wówczas będzie :

f _ Xj b] Xi -f- X₂ b₂X₂ -f-... -j- Xn bn Xn,

- Caij — X bjj ) Xi Xj .

gdzie X1} X₂,..., Xn są pierwiastki równania wyróżnikowego A(X) = 0 formy f — Xg

j

12. Załóżmy, iż jedna z form, np. g, jest wciąż dodatna, tj. przy wszelkich wartościach rzetelnych na zmienne xl; x₂,..., xn , że zatym staje się —0 tylko dla x^ — x₂ —.. .= xn = 0. Przy tym założeniu, można okazać, że pierwiastki równania (11) są wszystkie rzetelne.

Prawdziwość tego twierdzenia wypływa z uwrag następujących. Pierwsza strona równania (11) jest wyróżnikiem formy f— X<y, a więc równanie Д(Х) = 0, daje te wartości na X (art. 9.), przy których forma f — \g jest sumą kwradratów, których ilość jest mniejsza, niżeli n. Oznaczmy przez X' jeden z pierwiastków równania Д(Х) — 0, i dajmy, że forma /— Уд jest sumą n — m kwadratów, gdzie 1 < m < n.

Przekształćmy formę f — Уд zapomocą podstawień linijowyeh tak dobranych, aby się forma g rozłożyła na sumę kwadratów. Ponieważ z założenia g jest wciąż dodatną, to te kwadraty muszą być wszystkie dodatnymi, gdyż w razie przeciwnym istniałyby wartości na zmienne (od 0 odmienne), przy których ta forma mogłaby się stać O, lub odjemną. Niech więc wskutek tych podstawień g przejdzie na

g' eee X\ + X²₂ +...+ X², a / na / - П a'n Xx Xj ; forma

i J

A'(X) =

a i n a 2n

a'12,

a'22 — X,

/ — Уд przejdzie wtedy na/' — X'/, a jój wyróżnik na: a'n -— X, a 2i î

a ni,

a'

nn

Forma przekształcona f — Уд' musi być sumą tyluż kwadratów, co i forma pierwotna / — \g, stąd wypływa, że X' musi być także pierwiastkiem równania Д'(Х) = 0.

Skoro tak rzecz się ma, więc pierwiastki równania (11), czyli Д(Х) = 0 muszą być oraz pierwiastkami równania Д'(Х) = 0, a że (art. 7.) pierwiastki ostatniego równania są wszystkie rzetelne, więc taksamo rzecz się ma i z pierwiastkami równania (11).

A zatym : jeżeli jedna z form fig jest wciąż dodatna i przywodzi się do zera tylko dla xt = x₂ =.... = xn = 0, to pierwiastki równania wyróżnikowego Д(Х) — 0 formy f — Xg muszą być wszystkie rzetelne.

Nietrudno także okazać, że pierwiastek m-krotny równania (11) przywodzi do zera wszystkie podwyznaczniki wyznacznika A(X) rzędu (n — 1)., (n — 2).,..., aż do rzędu (n — m -j- 1). włącznie. Albowiem, skoro równania A(X) = 0 i Д'(Х) == O mają wszystkie pierwiastki wspólne, więc i stopień wielokrotności pierwiastków wspólnych musi być jednaki.

Zadania do ćwiczeń.

1.    Znaleść moduł i kierunek liczb zespolonych:

(a) z = 7 491236    5-123847 i; (b) z == 5-210099 — 3-277161 i.

2.    Dowieść tożsamości:

(a* -f b²) (c² + d²) == (ac — bd)² 4 (ad + bc)².

3.    Dowieść tożsamości :

(a² 4- b² + c² + d²) (a'² 4- b'² 4- c'² 4- d'²) =

= (aa' — bb' 4~ cc' — dd')² 4“ <ab' 4~ a'b — cd' — c'd)² 4 4“ (ac' — a'c — bd' 4* b'd)² 4~ (ad' 4~ a'd 4" bc' 4~ b'c)².

4.    Okazać, że wyrażenie a³ 4- Z>³ 4~ c⁵ — 3abc jest iloczynem

3 _

trzech czynników kształtu a 4 Ы -j- cs², gdzie s — yl.

5.    Okazać, że wyrażenie a²(aŁ—4bd—c²) — b²(№ — 4ac— d²) 4 c²(c² — 4bd — a²) — d²(d² — 4ac — b²) jest iloczynem czterech

4

czynników kształtu a 4 bs 4~ ce² 4 ds³, gdzie s = } 7.

6.    Znaleść pierwsze pochodne funkcyj :

(a)    ] x;    (b) X² I l—X²;    (c)

x2n

; (d)

7. Dowieść tożsamości :

У(х² 4- a) (x² 4- 2a)

За²

(x² 4 a)^ (x² 4“2a)^"

f x(x»+2a)ł ) I (x²4-a)^ j

8» Znaleść (п-\-1)шщ pochodną funkcyj :

(а) 2a Ух ;

(b) —.

v ' xr

9.    Jeżeli x}l-\-y -j- у \lĄ-x— O, znaleść pochodną funkcyi у względem zmiennej x.

10.    Rozwinąć funkcyją f(x) = x⁴ — 7x² + 3x — 5 podług potęg różnicy x — 1.

, okazać, że :

11.    Jeżeli u — a:n/‘|

xl)x u -}- yRy u = nu, x²Rxeu -f- 2xyD|yu -f* y²Dy*u = n(n — 1 )u.

12. Jeżeli u = f(y •+■ ax) -j- y(y— ах), okazać, że Т)\ш = iff-u,

, okazać, że Dl?u -f- D²pu-\-D%u=0.

13. Jeżeli u —

j4r² Ą-y2, + z²

14. Okazać, że wyrażenie zG + 3az⁵ + 3bz⁴ -j- cz³ -j- 3dz² -f- 3ez + /

jest zupełnym sześcianem,

c — a³

ó—a².

15. Okazać, że wyrażenie г⁵—&#³ -f- сг² -f- dz — e jest iloczynem

12h 9d 5e d²

c²’

zupełnego kwadratu i zupełnego sześcianu, jeżeli —

O

16.    Utworzyć funkcyją całkowitą, której pierwiastkami są:

(b) У» + f2 + i.

(a)    1 i i } 2,    2 i i 1 3 ;

17.    Funkcyją zb — z⁴ + 8z² — 9z—13 posiada pierwiastki ) 3 i 1 rt 2i ; znaleść dwa pozostałe pierwiastki.

18.    Funkcyją z³ — 4z²-\-z-{-c posiada jeden pierwiastek = 3; znaleść c i dwa pozostałe pierwiastki.

19.    Funkcyją z⁴ — 21z³ -j- 166z² — 546z -f- 580 ma pierwiastek kształtu a, ß, a 4- ß i (a — ß)?; znaleść te pierwiastki.

20.    Jeżeli «, 1>, c,. . są pierwiastki funkcyi zn ■Jrp₁zn~l/)₂zn-²

....Ą-pn, okazać, że (1 — p.₂ -f-    —. . .)² + (pŁ — p:] pb — • •• )"’

= (1-1- a²) (1 + b²) (1 + c²)...

21.    Znaleść warunek konieczny, aby funkcyjc z? pz -f- q i s³ -f- p'z -1- q' miały czynnik wspólny z -j- c i okazać, że ten czynnik jest oraz czynnikiem funkcyi pz²-\-(ą— p')z — q'.

22.    Znaleść warunek, aby funkcyją zn — pz² -j- r miała pierwiastki równe.

23.    Okazać, że funkcyja zĄ -f- qz² -f* s nie może mieć trzech pierwiastków równych.

24.    Jeżeli funkcyja f(z) = 2n -f-p{z*~x + p₂zn~² -f-. . . + pn ma

4"

dwa pierwiastki = a, okazać, że wtedy funkcyja y(z) = pxzn~x -j- 2p₂zn~² +    npn ma jeden pierwiastek = a.

25.    Znaleść pierwiastki równe funkcyj :

(a) 7is _ 7za _|_ 16Z — 12;    (b) 8z* + 4z» — 18z² -f- 11z - 2 ;

(c) z⁵ — 13z* 4~ 67 z³ — 171z²    216z — 108.

26.    Znaleść pierwiastki wspólne par funkcyj :

(a)    z» — 3z- — 16z — 12, z³ — 7z² 4- 5z 4- 13 ;

(b)    z³ — 3z² 4- llz — 9, z³ — 5z² 4- llz — 7 ;

(c)    z⁴—2z³ — 7z²4~26z—20, z⁴ 4~ 4z³—2z²—12z4“8.

27.    Okazać, że funkcyja azb -\-bz-\- c, a Ą-bz⁴ -\- czb mają wspólny czynnik kwadratowy, jeżeli b²c² = (c² — a¹ 4~ b²) (c- — a² 4~ àb).

28.    Iloczyn dwu pierwiastków funkcyi az% Ą-bz² 4- cz-\-d jest — 1, a — c

b-d *

okazać, że trzeci jest =

29.    Funkcyja z³—pz²qz— r ma dwa pierwiastki równe, okazać, że trzeci jest pierwiastkiem wspólnym dwu funkcyj z(z — p)~ = 4r,

(z — p) (3z 4- p) 4- 4q — 0.

30.    Znaleść związki między p, q, r, aby pierwiastki funkcyi z³ — pz² 4- qz — у były (a) stycznymi, (h) dostawami, (c) wstawami kątów trójkąta płaskiego.

31.    Okazać, że jeżeli 8p₃ — 4ргр₂ 4~ P* =0, (lub p^p\ — рь)ч to suma, (lub odpowiednio iloczyn) dwu pierwiastków funkcyi z⁴ — p,zs 4- p₂z² — p.dz 4- px będzie równa sumie (lub odpowiednio iloczynowi) dwu pozostałych pierwiastków.

32.    Jeżeli a, ó, c są pierwiastki funkcyi z³ 4~ pz² -\- ąz r, znaleść wartość funkcyj symetrycznych :

(a) (a 4~ b 4“ ab) (b 4~ c 4~ bc) (c 4" a 4~ ca) ;

(b) (a -f- b — 2c) (b 4- c — 2a) (с 4~ a — 2b) ; (с) X (a -f- b)* (a -(- c) ;

a 4" b

(d) X (a 4- b — 2c) (b -)- c — 2a) ;    (e) E

a²

(' + )X1 + У⁵

-o t oS

(g) (b — c)² (c a)² (a — b)².

33.    Jeżeli a, b, c, d są pierwiastki funkcyi zA-{-pzd + ç2² + rs + s; znaleść £ (a -f- b) (c + d).

34.    Jeżeli a, b, c,..., I są pierwiastki funkcyi zn -f-p{zn~¹-\-p₂zll~²+... • • . + Pn , znaleść wartości funkcyj symetrycznych :

(a) £ a²b ;    (b) £ (a + b) (a + c)... (a +1) ;    (c) £

(a + b)²

a²

ab

35.    W równaniu z³ — ISz² + 157z — 510 — 0 usunąć wyraz drugi i rozwiązać je.

36.    Okazać, że trzeci wyraz równania z* + pz² + qz + r — 0 nie może być usunięty, jeżeli p² < 3q.

37.    Okazać, że wyrazy drugi i czwarty równania z⁴ -j-pzz -j- qz2 -j- rz + s — 0 mogą być jednocześnie usunięte, jeżeli 8r—p(4q—p²).

38.    Okazać, że wyrazy drugi i trzeci równania zn -f- p^zn~^p₂zn~²-\-... pa = O mogą być jednocześnie usunięte, jeżeli n razy wzięta

suma kwadratów pierwiastków, jest równa kwadratowi sumy pierwiastków tego równania.

39.    Jeżeli a, b, c są pierwiastki równania z'A + qz + r — 0, zamienić to równanie na inne, którego pierwiastki są (a—bf, (b — c)\

(c — af •

40.    Jeżeli a, &, c są pierwiastki równania z⁹ -j- pz² -f- qz + r = 0, znaleść wartość iloczynu (a— bf (b — af (c—af.

41.    Pierwiastki równania z² + pz² + qz + r — 0 są a, b, c ; przekształcić to równanie na inne, którego pierwiastki są :

(a)    a², b², c² ;    (b) b + c, c + a, a + b ;    (c)

b + c ’ c+a’ a + b ’ C,- ;    (e) b²c², c²a², a²b² ;    (f) ^ka, fkb, Jkc;

a b

bc ’ C£

(g) i (b + с — а),    £ (c + a — b),    | (a + b — c) ;

— > ab

(h) b+c+ka, c+a+kb, a+b+kc; (i)

b+c—a’ c+a—b’ a+b—a’

(j) bc H--, ca + -r-, ab + — ;    (k) b² + c², c² + a², a² + b²;

â»    u    C

1 + ± л +

c b ¹ a

(1)

S& cr

42. Rozwiązać równania odwrotne :

(a) z⁵ — 4z⁴ + z⁴ + z² — 4z +1=0,

(b) zs + 2z⁷ + 3z⁶ + 2z5 — 2z³ — 3z² — 2z — 1 = 0.

43. Jeżeli a, h, c,... sîj. pierwiastki równania odwrotnego: zn -f- pzn_1 + qzn-² +.. . + qz² 4- pz 4- 1 == O,

okazać, że :

= (P² - 2q)² - n.

b + w+--+-j + ^⁺~⁺*

44.    Rozwiązać równanie z⁴ — 45z² — 40z -{-84 — 0, wiedząc, żo różnica dwu jego pierwiastków jest = 3.

+ V • + Pn — 0,

-i

45.    Znaleść pierwiastki równanie zn + pvzn wiedząc, że tworzą one postęp różnicowy.

46.    Rozwiązać równania:

(a) z³— 10z² + 27z— 18 = 0;    (b) z¹ — 10z³ -f 35z² — 50z + 24 = 0 ;

(c) z⁶ — 12z¹ — 2z³ + 37z² -f 10z —10 = 0, wiedząc, że pierwiastki tych równań są -odpowiednio kształtu :

(b) a i 1, b ± 1 ;

(а) а, За, 6a ;

47. Wyrazić przez m i a pierwiastki równania:

(с) 1 ± |/a, b ± У2, ± Vc.

z⁴ + paz³ -f (m² 4" m) a²z- + qa³z + a⁴ = 0,

wiedząc, że one tworzą postęp ilorazowy.

48. Rozwiązać równania :

(a) z³ — 3z — 2 = 0 ;

t-Ji:

(b) z³ -f- 3z =    ;    (c) 3z³ — 6z² — 2 = 0;

(d) z³ -f- 6az² = 36a³.

49.    Wyznaczyć związek między q i r, aby się równanie z³ qZ r — q przywiodło do postaci z² = (z² -f- az + h)², a następnie rozwiązać 8z³ — 36z -{-27 — 0.

50.    Jeżeli pierwiastki równania 2³ + pz² + qz -f- r — 0 tworzą postęp ilorazowy, okazać, że wtedy rp³ — q³ i rozwiązać z³ — z² + 2z — 8=0.

1 1

--1—, okazać, że 2q³ — r(3pq— r),

CC c

51.    Jeżeli pierwiastki а, Ь, c równania z³ + 3pz² -j- 3qz -f- r = O tworzą postęp harmoniczny, tj. ~

tudzież, że równanie rz² -j- 2q²z -\- qr = 0 posiada największy i najmniejszy z tych pierwiastków.

52.    Jeżeli pierwiastki równania z³ + pz² -j- qz Ą- r = 0 tworzą postęp harmoniczny, okazać, że taksamo rzecz się ma z pierwiastkami równania :

(P'l — r)z³ — (р³ — 2pq + 3r)z² Ą- (pq — 3r)z — r = 0.

53.    Jeżeli pierwiastki zespolone równania s³ -f- qz 4- r — 0 są

a i ßb okazać, że ß² = За²    ą.

54.    Jeżeli г, a 4 ]/ß są trzema pierwiastkami równania z* + pz² -j- <p + >' = 0, a /' jest liczbą rzetelną i jeżeli aA + mu² + mt = 0 jest równaniem otrzymanym przez zmniejszenie pierwiastków o r, okazać, że :

ß = — -4- (I4 + 4 — p²)-

55. Rozwiązać równania: (a) z⁴

4z³ + 3z² — 44z — 84 = 0 ; (b) z⁴ — 6z² — 8z — 3=0;

(c) z⁴ — 12z³ 4~ 49z² — 78z -j- 40 = 0 ;

(d) z⁴ — 2az³ + (a² — 2b²)z² -f 2ab²z — a²b² = 0.

56. Znaleść warunek konieczny, aby się równanie z⁴ + pzA + qz² -f- rz 4- s = 0 sprowadziło do postaci :

z¹

z -I

tore

z-\

s — 0.

57.    Jeżeli r²—p²s=0, okazać, że równanie z*-\-pz³-{-qz²-{-rz-\-s==0 może być rozwiązane jak kwadratowe.

O, tudzież 27p⁴

250s, okazać, że wszystkie pierwiastki równania z⁴ 4" pz³ 4- s — 0 są zespolone.

59. Oddzielić sposobem Sturm’a pierwiastki równań;

58.    Jeżeli s > O i p

(a) X⁴ — 4x³ — 3x 4- 23 = 0 ;

(с) X⁵ — 2x⁴ 4- x³ — 8x + 6 =0 ;

(b) X⁴ - 4x³ + X² 4- 6x 4- 2 = 0 ; (d) X⁵ 4- 5x⁴ — 20x² — 19x — 2 — 0.

60.    Oddzielić sposobem Fourier’a pierwiastki równań:

(a) X⁴ 4- 3x³ 4- 7x² 4- 10x 4- 1 = 0 ;

(b) X⁵ — 3x‘⁴ — 24xa 4- 95x² — 46x - 101 = 0.

61.    Znaleść pierwiastki wymierne równań:

(b) 3x³ — 26x² 4- 34x — 12 = 0; (с) X⁴ — X³ — X² 4~ 19x — 42 = 0 ;

(d) X⁵ — 3x⁴ — 9x³ -f 21x² — 10x + 24 = 0.

Zasady algebry wyższej.

(a) 2x³ — 3x²4-2x — 3 = 0;

62.    Współczynniki równania f(x) — O są. wszystkie całkowite, okazać, że jeżeli f(0) i f(l) są, liczbami nieparzystymi, to równanie nie może mieć pierwiastków całkowitych.

63.    Obliczyć sposobem Newton’a pierwiastki równań następujących, leżące między granicami wskazanymi :

X³ — 24x -j- 4 = 0,

X³ — 15x — 5 = 0,

(c)x⁴ — 8x³ +12x2-1— 8x- 4=0,    „

(a)

(b)

między 32 i 3’3 ; „    4 i 4 1;

0 i 1.

64. Obliczyć sposobem Horner’a pierwiastki równań następujących, leżące między granicami wskazanymi:

(a)

X³ + 10x² -f 6x — 120 = 0, X⁴ - 2x³ + 21x — 23 — 0, (с) X⁴ — 5x³ -f- 3x² -f- 35x

(b)

70=0,

między 2 i 3 ; »    1    i    2;

*    2    i    3.

65. Okazać, że wyznacznik :

-i

Zi , zl7 .

z₂ , z₂,

Zn)

П — 1

• • • • ) 2n

jest równy funkcyi przemiennej \l(z₂— z{) (III. 11.).

66. Okazać, że wyznacznik:

0,

ï(a² — b²),

ß(c² - a²),

7(a² — b²), ß(c² — a³), ßv(b² — c²) a(b² — c²),    7a(c² — a²)

aß(a²*— b²)

0,

a(b²— c²) ßY (b² — c²), y<x(c² — a²), aß(a² — b²),

0,

jest równy 0.

67. Dowieść tożsamości :

4 + Mxi

15 ^2+!X2J ^2 Iх2 ^3“HX3) ^3f%

(a)

68. Dowieść trzech następujących tożsamości :

a,    b; c, d

b,    a, d,c

c,    d, a, b

d,    c, b,a

= (a-f-b-f-c-j-d)(a—b-j—c—d)(a— b—c-f-d)(a-bb—c — d);

(b)

о, 1, 1, 1

= (x-j-y+z)(x— y—z)(y-Z—X)(z —X —у) ;

/Д

, о,

1 V¹

Ъ ) !

Xй, О

(c)

О, ni,    ni,    ru ] = — S(S—2r₁₂r₃₄)(S—2rl3r₂4)(S—2r₂₃r₁₄), gdzie

2 r\    2    2 I

1*12, 0,    r₂₃,    1*24

S — r,₂r₃₄ -f- i’₁₃r₂₄ -f- r₂₃rl4.

2 2л    ²

1*13;    1*23,    1*31

ru,

a* £

69. Okazać, że :

0, 1

о,

а, -j- а₂, ..., ai ап . . ., а₂ Д ап

ее - (—2)"⁻¹

О»

»

►c

tt-n

)•

1, a n + at, au + а₂,..

(a)

70. Okazać, że :

— 2а, a-j-b, a-j-c b -f~ a, — 2b, b -f- c c-j-a, с Д- b,

= 4(b -j- c) (e + a) (a -f b) ;

— 2c

>»,

(b)

(b+c)¹,

c,

= 2(bc -f- ca + ab)²;

27ß

(c)

a — b — c,

2a,

2a,

— (a 4- b 4-c)³ ;

2b,

b — c — a,

2b,

2c,

2c,

b 4~ c

2(a 4- b 4- c)⁵

b -f- c * с a

b -j— c

(b + c)(c+a)(a+ b)’

c -j— a ’

a —ł— b

a 4- b ; a 4~ b ’

(e)

— bc

b 4- c

b,

(bc -f- ca -|- ab)⁵

” (b + c) (c + a) (a -f- b) *

a,

— ca

c 4- a ’

a,

b,

— ab

a -j- b

71. Okazać, że:

(s —X,)²,

ХЛ (s—x₂)²,

X3

xt

2s⁵x₁x₂x₃ Xj

-ł —

x₂

Xl »

*3 ,

x₂², (s — x₃)²,

X4

X4

X8

S = x! +X2+X3 +x|-

X1 ,

x2

хз²> (s — x₄)²

... I )

potęg tych pierwiastków, okazać, że wyznacznik :

72. Jeżeli st, z2y.-, zn sq, pierwiastki funkcyi f(z) = zn -f- p,.ćn“4-... a s₀, s,, s₂,... sumy zerowych, pierwszy cli, drugich,....

⁸01 ⁸n

s₂,.. .

8ц—i

' Sn

s₂,    s₃,...

s₃, Я j, . . . . , S„-j_i

S2n-1

Sn-f-1) • • • •)

jest równy iloczynowi kwadratów różnic tychże pierwiastków, to jest : = H(z₂—z.f.

»o,sa S1? ®2

73. Okazać, że jeżeli sp = Zi' -j- z-/ -j-, .. -f- Zn, to

= S(zt--z₂)²(z₂—:z₃)²(z₃—z,)², i t. d.

= S(z₂ — Zj)²,

s0ł plł s2 Si, S₂, S₃

S2? S3? S4

74. Jeżeli w formie kwadratowej f(x{, a?₂,..., a?n>) = S £ лу aj za

zmienne a?1? ж₂,..., ж„ podstawimy nowe zmienne m,, m₂,.. łożywszy :

i .1

Unj pö“

natenczas będzie:

f(Xi, x₂,..

xn) = F(u„ u,,..

Un),

gdzie :

F(u1? u₂,.. .,u„j = — I £ Ли ui Uj = -

an, aio,. .., ain, ui ,

a₂l, a₂2, • •

a₂n, Ug

ani, an2, • • ., ann ? un u,, u₂,..., u„, 0

Д jest wyróżnikiem formy /, а Ду oznacza ilość dołączoną, do elementu ay w tym wyróżniku. Forma F zowie się dołączoną do formy f. 75. Oznaczając przez Д wyznacznik symetryczny:

«„ n, a przez £ДИ ЕД₂, ЕД₃, .... sumę pod wy-

V ± «Ц «i‘2

znaczników symetrycznych tego wyznacznika odpowiednio rzędu 1, '2, 3,..., tj. :

ХЛ-2

aiи a₁₂

XAi == a,i -j- a₂₂    ann

"r • • • an_i)n_i, an-i,n

-f a

a2i? a22

ii? a1:.

a3l? ay3 I

, i t. d.

an,n—1;

Unn

okazać, że : a.| J X, a₎₂,    • • •, a]n

a-22—k,..

a-2i ?

a.gn

ani,

a„n X

Un2,

76. Oznaczmy przez F =

- Ду ni «J formę kwadratową do-

łączoną do formy / = 2 2 xt X\ . Jeżeli, wskutek podstawień pro-

i j

stokątnych Xi — 2 Xir Xr ,

Г

f(xt, x₂,... ; xn ) =    -}- S₂X₂ -f-... -f- Sn Xn ,

to natenczas, wskutek podstawień także prostokątnych щ — - Xir Ur

F(u,, u₂,..

u„ ) —

иг

u"

li__u _²

St ^ B₂

u„²

Sn *

Wskazówki i odpowiedzi.

1. (a) r = 9-054362, 0 -= 327° 49' 48"16.

— 34° 22' 16"68 ;    (b) r = 6*155071,

2. Mamy (a j- bi) (c -f- di) — (ac — bd) -j- i (ad -j- bc), (a — bi) (c—di) = (ac - bd) — i (ad-j-bc).

Mnożenie tych dwu równości stronami odpowiednymi daje wzór

żądany.

3. Podstawić w tożsamości :

(ao — ßv) (a'r/ — ßY) нее (aa' + 77'j (ßß' -r 88') — (aß a = a + bi, ß — c-j-di, 7 — —(c— di), 8 = а — bi

f~

70') (a'ß+7'8) a' == a' -f- b'i,

ß' = c' + d'i, 7' = - (c' - d'i), 8' = a' - b'i.

4.    Uskutecznić mnożenie : (a-j-b-j- с) (a + Ы -f- C£²)(a+ós--j-cs9, pamiętając, że s³ — i, tudzież 1 —J— s —J|-e² = 0.

5.    Podobnie, jak zagadn. (4).

x(2—3x²) .

I¹!— X²

6. (a)

2j/x

; (b)

- ; (c)

2nx2u_1

8. (a) (-1)

„ 8.5...(2n—l)a

2n xn+^

(1+Х²)

(b) (- i)n+1

; (d)

l+x

(i+x»)i

r(r+l). . . .(r+u)a

xr+n+l

9. Mamy : x²(l + y) = y²(l

x)

stąd

l + x’

ЬхУ—

?•

= *“(!) +

(X—ly+^fx—1)‘

— 8 - 7(x - 1) - (x - l)² + 4 (x — l)³ -f (x — l)⁴.

skąd Dx V = — p Dy у = -i-, Di»v =

Df(l)

(x-1) -f

зТ

11. Kładąc : v =

2y

xs ’

Dxyv = -

I )²,v = 0, mamy :

Dx u = nxn_1t'(v) — xn_2yDf(v)j

X²’

Dy    n"*’ Yv) ; a zatym :

xDx u yDy u ее nu,

12. Kładąc: y-\-ax=v, y—ax—w, mamy: u=f(v)-\- '{(w) ; a zatym:

i t. d.

D, u = o[Df(v) - Dcf(»], Dx2U = a²[D²f(v) + l/f(w)],

Uv u — Dt(v)-j-D'f(w), Djj« = D l(v) + D t(w) ; stąd Dx-.-u = ci‘lly*u.

mamy: Dxn = —

13. Kładąc :    + f + -² = r²

i>U< = —

r:i

3x²

7.5 >

i t. d.

14.    Zrównać wyrażenie do (a.r²-f-ß.r+7)', a potym zastosować twierdzenie Descartes’a (Y. 3.), celem otrzymania 7 równań, z których się 3 współczynniki a, ß, 7 ruguje.

15.    Podobnie postąpić, jak w zagadu. (14).

■*_ 6z³+12z²—26z+21 ; (b) zs— 16zü+S8z,-pi92z-+144.

16. (a) z

17. — 1

— Уз.— 18. c = 6, —1, 2.—    19. a 5, ß = 2, —

22. Wyrugowawszy z między f(z) -—0 i Df(z) — 0, znajdziemy

20. W tożsamości: z" -\-piZn~³ +• • •+ V&— (z a)(z W(z~~c^'‘" podstawić z = i, z = — i, a potym dwa wypadki przez siebie pomnożyć.

ar- <(^r

23.    Gdyż ta funkcyja nie może być = (z a) (z b).

24.    Albowiem 7 = nf — Df.

25.    (a) pierwiastek podwójny - 2; (b) pierwiastek podwójny 0*5;

(c) pierwiastki podwójne 2, 3.

28. Gdy a, ß,Y są trzy pierwiastki i aß=»i, to, skoroa-j-ß 4Y=—-,

aß + ßT+T«—-i aßY = — -, mamy a-fß=»—T(a-fß)=~-A cl    a    ci    u

& — d'

stąd 7 =

29.    Mamy bowiem 2a-j-ß — p, a.³ 42a$ — q, aaß — r. Z dwu ostatnich równań wyrugować a, zapomocą pierwszego, a potym wstawić z za ß.

30.    (a) Ma być tga -j- tgß 4 tg? — p, tga tgß tg? = r ; a że tga -f- tgß 4 tgY = tga tgß tgY, skoro a 4 ß 4 у = ic, ^e^> = r ; podobnie (b) p⁴ — 2q -f- 2r == 1 ; (c) p⁵ — 4p⁴q 4 8pr 4 4 £= 0.

32.    (a) (r — q)⁴ 4 p(r — q) 4 r ;    (b) 2p⁶ — 9pq 4- 21r ;

0[p_

4-3;

(c) — 2p3~Hpq—3r; (d) 9q —3p⁵; (e)    (f)

(g) ł (3q—p²) (⁶ Pr - q⁵) -■ ł (pq — 9r)²-

33.    2q.

34. (а) Зр₃ —P1P2 ; (b) iloczyn pod znakiomsumowania —

/(—«)

2a(— 1)

a zatym żądana funkcyja symetryczna = | { sn-i — PiSn-i -Ą-p^Sa-n—

..    l)n pns-1 } ;    (c)

PlPn-i

(ру‘—2рч)Рп-1

f-n⁴—2n] (d) pi — —

35. u:i-j-49u = 0; u = 0, ±_ 7i; z = 6, 6 i ii.

38.    To jest: jeżeli p1⁴ = nfpl⁴— %lh)-

39.    Mamy (b — <)- = b- 4 <•“ — 2bc = (a- 4    4 c') — aa---

i t. d. ; a zatym, gdy u jest którykolwiek pierwiastek żądanego równania, będzie u— — 2q 4 —--з⁴. Rugowanie г między tym równaniem

i danym daje żądane : w⁶ 4 %m⁵ 4 9q²it 4 (27ra 4    ~ 0.

40.    Przy pomocy zagadn. (39) znajdziemy :

Pn

2а bc

Si

3G

•)»2    i-

; w (e) и —    ; w (f)    w (g) u = —

w (h) ?/ = —p + (k-— l)z ; w (i) w =

w (d) w— —

tor«

— г;

w (к) u ~p² — 2q — z² ; w (1) u —

— p — 2z z(p² — 2q — z'²)

; w (j) w = —

А/

4'?.

(a)

i t-.; |    .

(b) ± U ±

-1 ± «• ł •

(ostał⁻

я podwójne).

wszą strona — a¹

-b-

+..)— n = (p² — 2q)² — w.

są pierwiastki równania /(+) = 0, przyczyni 0 i f(3 + z) = 0 mają wspólny pierwiastek />.

Znajd ziem j    s

45. Nieb>v .++ b, u -j- 2b,..a + (n — t)h będą pierwiastki równania. Suma tych pierwiastków — — a suma ich kwadratów

n(n — 1 )b

obem h — — /, a = 2.

— /+ — 2p<i ; a zatym: — рг = na + n(n — / ) ( и — 5)

-j- n(n — l)ah +

Pi² — 2lh — w»² -+-

/А Odjęcie kwadratu pierwszego n:’(n² — 1), o.

równania od n razy wziętego wtórego daje: (u—1)p{²—2np₂=

stąd wypada wartość na />, poczym pierwsze daje wartość na a.

46.    (a) a== 1 ; (b) a — 3, b — 2 ; (c) a = .°>, b —    1, c = 5.

a

47.    Oznaczyć pierwiastki przez .₃,

12

O IQCL

, aß, aß³, zrównać ich iloczyn do a⁴, a sumę dwójek tych pierwiastków do (m² + m)al. Okaże się nadto, że p — q.

48.    (a) 2; (b) 2ł-2    ; (c) £(2ł+2+2 ^ ; (d) —-⁸*

49.    8r² H- q³=0, a=== 2r^, b =    'S*

2+2

czas a =

50. Jeżeli a, aß, aß² są pierwiastki równania szczególnego, wów-

— 3 + i У 7

— 3±iÿ7

55. (a) 5, — 2; (b) pierwiastek podwójny—1\ (c) zmniejszyć naprzód pierwiastki o 3;    (d) równanie sprowadza się do \z(z — a)j²

- 2b²\z(z—a)] — a²h² — 0.

56. p³—4pq 4- 8r = 0.

Ci

fi

59.    (a) Funkcyje Sturm’a są: ... /₂ = 12x² + 9x — S , — 49 lx + 1371, /₄ — — 1 ; znajdziemy zatym, że są dwa

pierwiastki rzetelne, zawarte odpowiednio między 2, 3 i 3, 4.

(b)    Funkcyje Sturm’a są: ... /₂ = 5x²— 76#— 7, f₃ = x—1, /₄ = -)- 1 ; znajdziemy zatym, że dwa pierwiastki rzetelne leżą między

—    1,0, a inne dwa między 2, 3 ;

(c)    Funkcyje Sturm’a są: ... /₂■■= 3xa — 3x² + 86# — 67, /з = 76#² — 23# + 9 ; są trzy pierwiastki rzetelne zawarte odpowiednio między — 2, — 1 ; 0, i] 1, 2 ;

' ЗГс-9, 43651x + 54571,    zystkie

(d)    Funkcyje Sturm’a są: .. . f₂ = 20x3 /з ее 86#² + 187X + 67; /4

pierwiastki są rzetelne i leżą po jednym między    -1,0]

2, 3, a dwa leżą między — 2 i — 1.

60.    (a) Dwa pierwiastki rzetelne zawarte ob    j między

0, 1 i 1, 2]

(b) Trzy pierwiastki rzetelne zawarte odpovsTbdnio między —10,

—    1 ; — 1, 0 ]-■ 1, 10.

61.    (а) I; (b) 1;    (c) 2;    (d) - 3 i 4.

64.    (a) 2 833066480704857...; (b) M57451508098991. ..;

(cj 2-64575131106459059. ..

65.    Gdy od elementów Ä--go wiersza odejmiemy elementy г-go wiersza, wówczas każdy element A-go wiersza będzie podzielny przez 2k — 24 . Stąd widoczna, że wyznacznik jest podzielny przez każdą z\n(n—. 1) różnic iloczynu П(z-₂ — zx). A że pierwszy wyraz tego iloczynu 2₂2₃².. - г"⁻² równa się wyrazowi głównemu wyznacznika, więc oba wyrażenia są tożsamościowo równe.

66.    Albowiem, gdy do elementów ostatniego wiersza dodamy elementy odpowiedne trzech pierwszych, pomnożone odpowiednio przez a, (3, X, mieć będziemy w ostatnim wierszu same 0.

67.    Namieniony wyznacznik jest :

|J-2 ) /'i !Ji A!j-2    Pt A₂,    p₂

p2 *9, Xjpg X₃p₃    X₂ p35 X₂92 X₃p₃

= ;    j+ Pl“X₂, JXjCX, - p₂) EEE On—^KX₂ —g₃) (X₃ —pt)

{A₂ X3, X₃(X₂ — p₃)

68. (a) Wyznacznik jest podzielny przez a -f- b -j- c -}- d, gdyż dodawszy do elementów pierwszego wiersza odpowiedue elementy trzech pozostałych, mieć będziemy w pierwszym wierszu na każdym miejscu

= X( ~ fkrh-4—X₂, !J-i—^2^2

X>—г*-3 ~S~5 X₂g₂—X₃g₃

¹

c -f- a)¹,

²

(a + b)¹

³

(⁴ P'; — ⁹P4 4- 27r)⁴ 4 4(3q — p⁴) }.

⁴

41. Wyrugować z między danym równaniem i nowym równaniem,

⁵

/«.»itу algebry wy żi/ej.

⁶

którym jest w (a) u — z- ; w (b) u——p — z ] w (c) u —

x₂—{A3, {A3({a₂ X₃) -f (Pi—X₂) (P2-X3) (p₃—xi)'

a -b Ъ -)- с -J- d. Taksamo dowiedzie się, że wyznacznik jest podzielny przez a — b + c — (/, a — b — c -f- d i a Ą-b — c — rZ, a więc i przez iloczyn (a -j- b -}- c -j- d) (a — b -j~ c — d) (a — b — c -f- d) (a -f- b — c — d). Skoro tak wyznacznik, jako i ten iloczyn są stopnia 4. względem a, b, c, d i skoro współczynnik np. przy a⁴ w obu wyrażeniach jest = -j-1, oba więc wyrażenia są tożsamościowymi.

(b) Mnożąc drugą, trzecią i czwartą kolumnę, i taksamo drugi, trzeci i czwarty wiersz odpowiednio przez x, y, s, znajdziemy, że ten wyznacznik :

0,

xyz², xy'²z

y,    ху7>’, 0,    x²yz

z,    xy% x²yz. 0

V.

następnie tak post-jpić jak pod (a).

(c) Podobnie postępując jak pod (b), sprowadzi się wyznacznik naprzód do postaci takiej jak (b) :

r12¹34ł

rl 3**24, Г2₃Г14, r23r14) rl3r2tł r12r34>

r12r34? Г13Г24; r23r14 i* 0,    ²*232>14 5 rł3r₂₄

r₁₂r₃₄ :

69. Ten wyznacznik jest:

EFa^-2.. .a„

0. 1

== a|a2••-an

0, 1, 1,.., 1

ai

0, 1 -j-

a2⁵

a2

o, .... 1+ÎÎ

a2

oT

a2

1,-1

I-iL±I 1 +-2

ha„ ’ ⁺an ;

!a„ ’

—1

+...+J-)!h h h"

/1 , 1

«n I--Ь -

4 a 2

“J. h -1,

' 1, 1, -1,..

a» (

чИ(

-j- — -j- . . .

«2

a„.

1,    1,    1,..

1,    о,    о,..

1,-2, 0,..

1. 0, -2,..

= - (-2)

aja₂• • • au

1, 0, 0

(— +

\at a₂

**

72.    Dość podnieść wyznacznik zagadn. 65. do kwadratu.

73.    Mamy np; :

iaiai“ł-'b,P,-ł-c₁7₁-f-..

:a₂ai-f-b₂ß₁4-c₂Yi + - •

aia₂+b₁ß₂4-c₁Y₂+... a₂a₂-{-b₂ß2-bc27‘2+- • •

=(aib₂)(alß₂)+(alc₂)(a,Y₂) + (b₁c₂)(ßlY₂) 4-. • gdzie (a, b₂) — a, b a₂, bal

itd.

Stosując ten wzór znajdziemy :

s0, S)

I ⁸I ) s2 = 1> Z1 1» z2

74. Albowiem z równań: i DXjf = au Xi 4- а₅₂х₂ 4r-* • • 4" ajnxn —iij

к.

~~ Z1 4“ z2 4" • • • “Ь zn, Z1 4" z2 4" • • • 4" zn Z1 4" z2 4 • • • 4 zn ; Z1 4" z2 -f* • • • 4" Zn 1, zi 4-. • • 4- I 1,

itd.

1, Z3

(i = 1,2,. . . ,n).

Wypływa naodwrót :

A-Xk = Alkut + A₂ku2 +•••+ Ankun , (к — 1, 2,.. ,,n).

A że : f(x,, x₂,. ., x„ ) = x, . \ü x f+x₂ . JD* ₂f 4-. . . 4- xu . \ D x#f,

mamy za tym :

ł(Xj , X₂, • • • J ) —

S { Alk«i 4- A2ku₂ +• • • 4~ AnUun }uk

к

4nAiiU‘v

76. Albowiem współczynniki X,, X₂,..., Xn w rozłożeniu funkcyi F są pie- ciastkami równania :

i Ап

-X,

A,₂

A,n

= 0.

A .'2

A2n

An2

Ann

stVjpi.A

Oznaczają .u j wyznacznik I A

XX»,, SX>₂, XX>₃,... sumy podwyznaczników symetrycznych rzędu 1 2, 3,... wyznacznika symetrycznego X», można to równanie tak pisać:

DO

Au A₂₂

A..

A ‘ A "‘ A¹

a przez

(_ X)u 4- (— X)“-¹ SD, + (- X)”⁻² SD₂ -f... h--XSDn_i + D = 0.

Atoli D =

S A,,..., SD₂ = A. SDn_2, SD, = A SD

n—!•

Wskutek tego równanie ostatnie przywodzi się. do:

КЫ4Г

= 8', skąd X —

-Ai 4*

(-)

>4 I—*

XA2A • • • i~

(- )'-A._t+A=0;

и s<

a zatym

ST

MILilTfM PBlITEtlłłlZKA

KIAKÓW

S3

-

*

/•

rSU ■ :    йЙГ' :

w - й -.an

г

г.

.

Ol

сг

>

CV

#

if

f

*

*

<o

to

c

О

ac

ь.

cr

Cî

rn

r~

-J

о

c>

p

Й 4

& Ы

- U C

« и

%

• Ф

4>

—

-S'-

«

t

\

Л

•-a

Л

t

\

4

.* *

/

\

#:

f»

¹ :

/. .

?

•\ ■

/

'

-

X

$t}\i

V

: * j?; '

■X

4

ч . ■

■ /

%

i-iv

m

y-

-J

y

i

i

V

У. ■ 7

••y*

>

, *

i ;

-

V •»

/

t

r

- .    —".

• N '

î

л"’

7*

I

* ■

■

?

/■-

Ш

- Й '

' '

■ V-

Щ.

..

' ■

h ■

yj

;Г:

V

- •; 4” ~

4

' Й.Ч

y

■ t ï; V /

A

%

i

.

/• 3

>

;

y

v4.

y

, S .

»

»

■

!

■ ■ t •; -v

t

■

/

¹ ■*» •

/ 4

v • '

i ;>

s

/:

V

/

V

*

4l;ÿi

V

■

i

Ш

.

.

У*

¹    .. -л ' •

&

л

S ⁴ V

у/'Ш

'

.

I

i

e

I

/• .

Ą *

il

• >

/

ß' . .

’

/

1

у

.

«

I

/

✓

-

/

w

4

. ■

Ш

/

ч

f . \ ..V

У*

■

V .

V

и

ï

.

* '

‘

* ‘Г ■,

p-fOf

m

у.

-■»

i

4

' a

ie

i

■ -

■ i • ,

-. r-

i Ä

\

«

\

V

'

yfv;

:

¥

: > »

* •

■

¹

' ’ /

0\

*:■

i;

<

“VI

V

■.

S';

Г

%

-

₄‘

• -

у

.

Г

4

V

•'4. •

j

•? V

4

i

, *

>

i

t

'

Jr'

\

■ ,•

<

/

:-:}'

%

if

/

\

/

*

V

*

.

.4

i ■ '

<

Î

»

\

f

Î

»

I

f

>

f

n

/

• •

i

*

f -

/

»

.

У

. \ ■

f

/■

) :

1

V

/

♦

y

N

(

' V ..

S /

■

/,

N. ,

f

^ :: :

//

И

.

■

«

■

. ' ■<•

*

à* J

fi

■\af

ц.

ft *'

1 та!

? -TjjP

.s:/' i оЫ

Щт

. .te

il

£v

$3g

h*V

/лив

fi*

LaBEtfS»

л»

,-v

i# i f ' •

i* *

4-

J'-

»•

«à.V

bjë

P*¹!.

ЧТЯЧ1

‘3

Uh

Wfe

K]

V-

■•■ ■• . •

r4

ьт

«*>

►'35

jlüü,'

>Чу;-.-. ,V

■Л

>S/j

£3

^iï

®T*5UW

d’*

I'i

f; ^

'Ша*аа№№&

V?

rSSsl^

läWL * W^-у^л

®Pw

таш

" г!Ж

„ I.

’Si;'?* Ч ЭД’ЩР# ***

L'?"’. v 'fék

Щ

4 Yi ]

i ■

г

fis

".

r»rt

*'***ё£%гч№ ■ <f ■ ЩЩ

r’ л

&À

<«Ш

î;⁻

■£? '. f

mm

Jii

HP

w..- •. ^

1:УУмШг1 £3à.

IÜKB

■*:

ЖУ‘ 1£ИЯВ

>зи

:i-

■* <

'"Ж

f, £*Ä\5J

Z***

ЫщМш

|щ

»ii

*?Ç

fe

;f:

■/шс

да-Т*

•я

у* ‘

ï t

•-V -.

шшЧ<п <-,

- «ыИ« - v-frfV

ШШ'ЯЖ.'М-JiL 9

WBsÈFM&L

,•* ГС;

■ ?r '■

■fv'

'у*¹

Ш!

tfe

fÆ

ЛА

».

SifiS.«..

S Biblioteka Politechniki Krakowskiej

«i

«1

r3

ii

>*• ;

,ч

и-' /

ÿj(R

IC'JM

vV

f’*

feî'jwT '* K

/-чП

5S

'a-

.•Ц

•пГ

3tj⁻ • д,“#;«. ’"•*

V'j”,

: в

W$r

\\

;ii