•’S > •■•:••.

**■ Xnàt&t

li

w w**.

mm

O, ■

Bas

M*

. «2* • ' ’

K>< .1

ST^ż.

' TT

!»

r

■mm

S jm ¹

ÄÄ

^SÉÜI

>;■

0

ü

r-

m

PU

L

W>j

:

kr.:

$3

m

uty. -TT r

» - '

PI

Wm

c#l

; •;

te

r*

. *

H

m

1

TZkl: '

.

a

te

w

%

\-m

M ï

m

v

■

m

■śf,-.- MŁ4

u

*’

.

S?

■

-;

« ~

L*

*

¥■'

V.

yp •

-■

i,

SSw-

Ł--jgp

î4ââÉ*

r.:..v,

m

• ■;

•p

I

F

^ V

P-

PI

È&

i

h

!5S

:.

ć. 7

n

'r.

■:*

Biblioteka Politechniki Krakowskiei

100000293396

\

/

J-

«

-

h

/

■/

\

\

f

■

r'

v

V

/

i

/

%

*r

i

i

:$•

>

r -

w

A

.

Dr. STEFAN BANACH

PROFESOR UNIWERSYTETU J. K.

RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY

TOM IL

KSIĄŻNICA-ATLAS

S. A. ZJEDNOCZ. ZAKŁADY KARTOGR. I WYDAWN. T. N. S. W.

LWÓW — WARSZAWA

S. A.

KSIĄŻNICA-ATLAS

Lwów, Czarnieckiego 12 — Warszawa, Nowy Świat 59

poleca:

St. Banach

RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY

T. I. — Cena zł 8,—.

K. Bartel

RZUTY CECHOWANE

Wydanie II. — Cena zł 12,—.

O. N i k o d y m

DYDAKTYKA MATEMATYKI CZYSTEJ W ZAKRESIE GIMNAZJUM WYŻSZEGO

Część I. Liczby naturalne.

Biblj. Pedagog.-Dydaktyczna. T. III. — Cena zł 16,80.

W. Sierpiński

WSTĘP DO TEORJI

FUNKCJI ZMIENNEJ RZECZYWISTEJ

Cena zł 4,80.

W. Sierpiński

WSTĘP DO TEORJI LICZB

Cena zł 4,—.

Dr. STEFAN BANACH

PROFESOR UNIW. J. K.

RACHUNEK

RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY

TOM II

*-«r

oA^°

w»*. — •

KSIĄŻNICA

S. A. ZJEDNOCZ. ZAKŁADY KARTOGR. I WYDAWN. T. N. S. W.

LWÓW — WARSZAWA

'■Aa

Àk

K!

2273

Zakłady Graficzne Ski Akc.

Książnica-Atlas we Lwowie.

diii

Q?

l.

Rozdział I.

Całka nieokreślona. Metody całkowania.

§ 1. Funkcja pierwotna. Powiadamy, że funkcja F(x) jest funkcją pierwotną funkcji f(x), w pewnym przedziale (skończonym lub nieskończonym), jeżeli w każdym punkcie tego przedziału:

= /(•*•)

(1)

d F Cr)

Przykłady:

1. Funkcja y — sin x jest funkcją pierwotną funkcji y — cos x w przedziale (—co, -j-co), gdyż:

d sin x

— COS X.

**

cji y =

X

TT-—= w przedziale (— 1 < jc < -f- 1), gdyż :

(/I —x¹

d (]/1 — x¹)

l/l

— 1 < X < 1.

Funkcję pierwotną nazywamy również całką nieokreśloną i oznaczamy symbolem:

\ f (x) d x.

Na mocy (1), jeżeli c oznacza dowolną liczbę, to

rf x

= / to

Zatem F (x) c jest również całką nieokreśloną funkcji f(x). Możemy więc napisać:

J f(x)dx = F (x) -f- c.

Naodwrót, jeżeli przyjmiemy, że funkcje F₁ (x) i F₂ (jc) są całkami nieokreślonemi funkcji f(x) w przedziale {a, b), to

= f(x) — f(x) = 0.

d[*i(*) —J**(*)]

dx

Wynika stąd na podstawie twierdzenia, o wartości średniej (T. I str. 161), że

F₁ (x) — f 2 (x) = constans.

Znając więc jedną funkcję pierwotną, otrzymamy wszystkie inne, dodając do niej dowolną stałą. Powstaje pytanie, jakie funkcje posiadają całkę nieokreśloną. Otóż udowodnimy później, że każda funkcja ciągła posiada całkę nieokreśloną.

Uwaga.

Jeżeli mówimy, że F (x) jest całką nieokreśloną funkcji f(x) i nie podajemy przytem w jakim przedziale, to rozumiemy zazwyczaj, że przedziałem tym jest dowolny przedział, w którym funkcja / (x) jest określona.

I*

§ 2. Zasadnicze wzory. Zamiast pisać j 1 dx piszemy j dx. Zatem

1. j dx — x -j- C, (C oznacza dowolną stałą),

d(x -j- C)

= 1.

gdyż

2. \ xn dx = —i

gdyż pochodną funkcji \~= x + C,

\ “ = l°g (— x) + Ct

dx

xn+1 + C,

n =)= — 1,

7Z —j— 1

X > o,

x.

jest xn.

Oba te wzory sprawdzamy przez różniczkowanie. Możemy je zastąpić jednym wzorem :

3. i x

-i

dx =

^    = log | x | + C.

Podobnie różniczkowaniem sprawdzamy następujące

wzory :

4. )axdx

log a

5. ( ex dx = ex + C;

a > 0,    a~J= 1 ;

6.    j sin x dx = — cos x -j- C\

7.    j cos x d x = sin x -j- C ;

8.

dx

-x²

= arc sin x -(- C = — arc cos x -j- C' ;

9.

1 -j- x

= arc tgx -j- C = — arc cot x -j- C\

§ 3. Niektóre własności całki nieokreślonej.

Niechaj w przedziale (a, b)

Ponieważ

\ f (x)dx — F (x), j (f {x) d x —    (x).

d [F(.y) ± ⁽P (.r)]

= /(*) ± (p (x)

] [/(*) ± ⁽P W] dx = F {x) ±⁽P Cr)

więc

czyli Jj [/(x) ± <P W] d v — \ f(x) d x ± \ (p (x) dx.

A zatem: Całka sumy równa się sumie całek poszczególnych składników (jeśli istnieją całki składników).

Jeżeli c oznacza dowolną liczbę,

d[o-F(x)] dF(x) dx

\cf(x)dx — cF (.r),

\ cf(x) dx = c \ f(x)dx.

wówczas

zatem

czyli

dx

= cf(x),

À więc: Czynnik stały możemy wyjąć przed znak całki.

Przykłady:

1. j(3 x² — 2 x-f~7) dx — j 3 x²dx — j 2 xdx-j- j 7 dx = = Z\x²dx — 2\ xdx + 7 f tfx = 3 . £x³ — 2 . -i x² + + 7.x + C = xs-x² + 7x-f C;

x³ 4-i

x⁵

dx —

— \x ²dx-j-J* ⁵dx =

— 2 x² -f- 4 x³ —

~2*

-2

4x⁴

3. |^5V*

3 j/x³

-ł + 1

4 y x* -j— C ;

dx — j x àdx —

X'

-1

ł + c-;

p= ) dx = 5 \ x'² dx — 3 ) x⁵ dx —

1/ x

c 1 ł+1 o 1

ł+i    «+1

x~⁴⁺¹ + c=    — y V?

f+i

x —

Ili    J    J

4. \x]/xdx = j x.x™dx=jx™⁺¹

dx —

—r—x²ÿjr-f- C;

5.

,-î

^x — —    —--[- C’,

x]/ x

— 5 x -{- 3 x²e* — 4

-5---dx —

x²

= \ (2 a:* - 5 x^¹ -f 3 e" - 4 x:"²) x =

3 _    .

— f x y x    5 log | x | -j- 3    -f-4-c.

x

X²]/ X

| 2 x²ÿ.r

§ 4. Całkowanie przez podstawienie. Istnieją pewne metody wyznaczania funkcji pierwotnej. Jedną z takich metod jest t. zw. metoda całkowania przez podstawienie.

Załóżmy, że w przedziale (ab)

■ ■ (1)

j fix) dx — F (x)

Przypuśćmy, że funkcja x = cp (t) jest ciągłą wraz z pierwszą pochodną w przedziale a ^ t ^ ß i niechaj . a ^ cp (f) ^ b dla wszystkich punktów t przedziału    {a, ,p )

Przy tych założeniach, jak wiemy, funkcja złożona v ' '

dt = F' [cp (0] <p' (t).

F [(p (/)] jest określoną dla a f ^ ß i dF[(p (*)]

Ponieważ F' (x) = f(x),

więc

dF[(p (;t)]

dt = f[<P(t)](p'(t),

stąd

\f[<p(t))(p' (t)dt = F[<p(t)]    ...    (2)

Jeżeli więc nie możemy bezpośrednio obliczyć całki (1), to jednak czasem będziemy mogli obliczyć cąłkę (2), czyli wyznaczyć funkcję F [cp (0]. Znając tę funkcję łatwo otrzymujemy funkcję pierwotną F(jĄ dla tych wartości na x, które przyjmuje funkcja x — <p (t) w przedziale a t ß-

Zauważmy jeszcze, że na mocy (1) i (2)

\ f(x) dx = \f [<p..(t)] cp' (t) dt, dla * = cp (t) . (3) Wzór ten otrzymujemy formalnie podstawiając x—cp(t), dx = cp (t) dt.

Przykłady :

1. f (a -f- b x)n d x, n ={=:    1, b =}= 0.

Połóżmy a -j- bx — t, czyli x

t — a

Stąd dx = — -> zatem o

dt

2.

j (a -f- bx)n dx=\ tn . —

^log | a -f- bx\.

: a Ą- b x

Podstawienie to samo co poprzednio.

i a^> 0.

3.

dx

]/ a — x²

Połóżmy x=yat, dx = |/a dt, więc

dx

dt

więc

dx

y a — x²

]/ a — at² J V1 — t2 = arc sin -== -f- C.

= arc sin t,

Uwaga.

Zamieniając litery x i t ze sobą we wzorze (3) otrzymujemy :

\ /    (*)] ⁽P (x) d x = J / (0 d dla t — y (x).

Formalnie wzór powyższy otrzymujemy kładąc:

⁽P (*) = t,

zaś

(p' (x) dx— dt.

Z całką powyżej podanego kształtu spotykamy się bardzo często, nie zawsze jednak łatwo to zauważyć.

4. / =

dx.

Przykład y: r 2 x -j- i

Połóżmy x² -{— x -(- 1 = t, (2 x-\-1) dx — dt.

Zatem I = \ ^ = log | t | -}- C,

/ = log | x² -j⁻ x -f- 1 | -f- C.

5. I = j (a + b x'²)'¹ xdx, (b 4= 0, n =j= — 1). Połóżmy a-\-bx²=t, 2bxdx — dt,

więc

a więc

xdx =

d t.

JL tnH

2 b 72 —{— 1

/ ₌ JL (a + bx²)

2 b n -f- 1

Zatem / = \ tn —^ dt= —

więc

n+1

6. 1 =

dx

]/ x² -J- a Połóżmy ]j x² -\-a -j- x — t,

stąd

,V** + a

-j- 1 ] dx — dł,

a więc

dx = dt,

' zatem I —

V*² +

| y = log 111 = log | 1/jc³ + a + * |.

7. /=Jsin"x cos x dx.

Połóżmy ż = sinx, dt—cosxdx, zatem I—\t"dt, sin x"⁺¹

72 “j— 1

więc I —

tn+i

n —f⁻ 1

zaś I = log | 11 — log | cos x j,

gdy n — — 1.

8. 1 =

f xdx

(x² -f 1)" ’

n=t=l.

Połóżmy x* -}- 1 = t,

2 x dx — dt.

Zatem

a.

3 I

2 (n — 1) t

71 —1

Podobnie otrzymamy

x dx

J »Y² + 1

2 (n — 1) U² + l)n = |log(*² + l).

§ 5. Całkowanie przez części. Załóżmy, że u, u są funkcjami zmiennej x, ciągłemi i posiadającemi pochodne w przedziale (a, b).

Mamy wówczas

czyli

(u v)' = u v -f- u u', uv = (u v)'— vu.

jąc, że

Biorąc całkę nieoznaczoną obu stron i uwzględnia-\ (uv)' d x = uv, otrzymujemy j (u v) dx = u v — j (v u) dx, o ile obie całki istnieją.

Używając różniczek, możemy wzór ten napisać w formie następującej :

j udu — uv — \ udu .    .    .    .    (2)

Formuła (2) pozwala nam obliczanie całki )udv sprowadzić do obliczenia całki \vdu, która może być łatwiejszą do wyznaczenia.

Metoda ta nosi nazwę całkowania przez części.

Przykłady:

1. r=\ xex dx. Połóżmy

Zatem

du — dx v — )exdx — ex. I — xex — | ex dx — xex — ex.

u = x dv — ex dx

2. \ log xdx.

d x

Połóżmy u — log x du

v — J d x = x. 1 — x log x — j d x = x log x — x.

*=ł=- 1.

dv — dx

Zatem 3. I — \ xn log xdx,

Połóżmy u = log x

du—

dx

n+l

dv — xn dx

Zatem

■rn+1 log x

n -f- 1 n -f-1

xn dx =

■rn+1 log x

n —f⁻ 1

xn+1

(n -j- 1)

§ 6. Całki funkcyj elementarnych.

1.

c,

ax

f" C->

log a

3. j log x dx = x (log x — 1) -J- C,'

x"⁺¹

72 —1

= log \x I + C.

2. \ ax dx —

«4=-i

5 ex dx — ex -f- C.

(§ 5, przykład 2)

4.    | sin x d x = — cos x -j- C,

| cos x dx — sin x -f- C.

— sinx dx — dt.

5.    j tg x dx = — log | cos x | -j— C. Połóżmy cos x — t,

Zatem j t g x dx =

\ sin x

dx —

\ — di ) t

cos x

= — log \t\= — log | cos X |.

6. | cot x dx = log | sin x | -j⁻ C.

Używamy podstawienia sin x — t.

dt

7. ) cosec x dx — log j tg

2si„|

sin x =

cos — •

dx

Zatem i cosec x dx =

dx

² cos² §

2 sm — cos —

Li    Li

tg f

Połóżmy

, x

tg2

dx

²    -> x

C0S 2

dt.

Zatem j cosec x dx —

= log | 11 = log tg

8. j sec x dx = log cot £ ^— xj j -j- C.

Połóżmy

jz

dx — — dt,

więc j secx dx = —\ sec (~ — t^jdt= — \ cosec tdt,

zatem :

I

) sec x dx = — log {tg

CO rs.

< JT

cot i g

= log cot -

9. j arc sin x dx = x arc sin x -j- \ 1 — x² -j- C.

log

dx *

l/T^x²

du—

Całkujemy przez części kładąc u = arc sin x

u — x,

więc : j arc sin x d x = x arc sin x —

du = dx

(’ x d x

J J/7^7²'

Celem wyznaczenia ostatniej całki, połóżmy:

1 — x² == t,

— 2 x dx — dt, więc xdx— — ^dt,

zatem

x dx

¥ Tt

V i —

10. | arc cos x dx = x arc cos x —

]/ 1 — x² -j~ C. Postępujemy podobnie jak poprzednio, lub opieramy

jt

się na wzorze arc sin x -4- arc cosx = —•

11. | arc tg .r dx = x arc tg x — ^ log (1 -j- x²).

dii =

Połóżmy u = arc tg x dv — dx

więc \ arc tg x dx — x arc tg x — ^

U — X ,

x dx

Celem wyznaczenia ostatniej całki, połóżmy 1 -|- x² = t, 2 x dx — dł, x dx = \ dt, x dx

j r+*² j t

12. \ arc cot x dx = x arc cot jc -f- log (1 -j- x²)-

Postępujemy podobnie jak poprzednio lub opieramy się na wzorze

więc \

= ł log \i I = I log (1 + x²)-

i    M

arc tg x -f- arc cot x = — ■

| 13. | arc sec x dx — x arc sec x — log {]/ x² — 1 -f- | x j).

Połóżmy u = arc sec x

du =

dx

x \ ]/ x² — 1

dv = dx

V = X,

zatem \ arc sec x dx — x arc sec x — Ponieważ

x dx

dx

]/ x² — 1

x | ]/ x² — 1 log | ]/ x² — 1 -f- x\ (§4 przykład 6),

zatem dla x >> 1

* dx

zaś

JT | "J/ JC² — 1

log (V-r² — 1 -\-x),

dla x < — 1,

x dx

— log | j/²² — 1 x | ==

= = log ()/²² — 1 + |² D-

= log(]/²² — 1 — x), w obu więc wypadkach możemy napisać x dx

\x\]/x² —

+ log(}/²²—1-f J²j). ).

14. j arc cosec x dx = x arc cosec x

arc sec x -f- arc cosec x — ^

Postępujemy jak poprzednio lub opieramy się na wzorze :

§ 7. Wzory redukcyjne.

1. Wyznaczyć całkę: In = \ sin" x dx (n całkowite).

Przyjmijmy na razie, że n^-1 i n-0. Ponieważ sin" x = sin"⁻²x sin²x — sin"⁻² x—sin"“2² cos2²,

więc

/«==/„-₂ — j sin"“2² cos² ² dx .    .    (1)

Połóżmy u = cos ²

n —2

du — — sin ² dx

sin

*cos²rf², y = jsin" 2²cos²rf²= — j sin"“2² cos2² d²

dv — sin więc

cos² sin" ** , i’sin"² ,

irrT-+JS=i<,x =

n -1

cos² sin

In    In -2

Wstawiając otrzymany wynik w związek (1) mamy cos ² sin"“1²

x , n — 1 ,

Zauważmy, że ostatnia formuła jest ważna dla wszystkich n 0, a więc

i sin" x d x = —

stąd

cos x sin

cos x sin

(1*)

sinn ^ x cł X

(2)

Formułę powyższą stosować możemy z korzyścią gdy n > 0.

Przykład:

J sin⁶ x d x = —

cos x sinu x

-4- I | sin⁴ x clx,

j sin⁴ x dx = —

cos x sin⁸ x

-j- f f sin² x d x.

cos x sin x

$ sin² x dx — —

O- '

\ sin⁶ x dx — — | cos x sin⁵ x

ł" i x>

- TT—7 COS x sin⁸ x —

6.4

5.3

zatem

6.4.2

x.

6.4.2

Aby otrzymać wzór redukcyjny dla n 0, napiszmy formułę (1*) w następujący sposób:

cos x sin

n -1

In

Kładąc

mamy 1-K =

cos x sin

-K+1

V-

K+2 ’

więc

cos x

sin^ x

(K— 1) sin^ ¹ x

(3)

Dla K = 1 mamy :

log tg

dx

sin x

(§ 6 przykład 7).

Przykład:

1.

cos x

cos x

J sin³ x

2 sin² x

J sin x + ł lOg | tgf |.

2 sin² x

2. Podobnie postępując, otrzymujemy:

j cos" x d x =

x dx

sin x cos"⁻¹ x , n — 1 f

--cos

n

i dx

sin x

K— 2

eosKx (K—1) cos^¹ x ' K—1

K^l .    .    .

• • (4)

dx

COSK 2X

■ • (5)

3. Wyznaczyć całkę: ln —

(n całkowite do-

dx

(x² + 1)" ’

datnie). Mamy: Ix — arc tg x. Przyjmijmy teraz, że n !• Zastępując w liczniku czynnik 1 przez różnicę (x² -f³ 1) — x², otrzymujemy :

f x²dx

J (*•+!)-

4.lrr-'=

II. W niektórych wypadkach chcąc wyznaczyć całkę |

Lemmat 2.

F [<p (0] = \f[<p (O] y’ (t)dt dla a < t < ß.

Niechaj funkcja cp Cr) nieujemna posiada całkę nie

Ax1=f’ (£1) A tx (a<^<4)

i ! /(•*, y) do — j j F(x, y) do.

wówczas albo t' = a, t" = b, albo też t' — b, t" —

Vn =yn + &'nkn; 0<#„<1, 0<^;<1.

W1 / Cr, y, z) dr = i n ^ Cr, *) ^

¹

Funkcja y = ]/1 — x¹ jest funkcją pierwotną funk-

²

§ 4 przykład 7.

³

§ 4 przykład 8.

(¹² + 1)

J (¹•+!)-

du =

Połóżmy w drugiej całce du = dx

x dx

zatem :

x dx

<a:² + 1)" !,= f x² dx

(2n — 2) (x² -f D

n-1

*)

J(¹² + D"

(2/2 — 2) (x²-f 1)"

-i

dx

(2/2 — 2) (x²-f 1)

«“=1 ’

a więc: 7„ = 7„_₁4

czyli: /„ =

(2/2 — 2) (x²-j- l)n_1 2 n —

!_/

2/2 — 2 "⁻¹’

(2 n — 2) (x² + 1) Otrzymaliśmy więc wzór redukcyjny:

n —1

2/1-

dx

ć/x

3 (x² + i)n

(2/2 — 2) (x*+.l)B“¹

(*>D

2n — 3

2/2 — 2 J (x²-fl)n

......(6)

Przykład:

dx

(x² 4-1)³

⁴ J (a-² + D*

r dx

\ (x² + l)²

4 (x² + l)²

x i i r dx 2 (xHD + ï)x^TT

dx

,    ^ = arc tg x, zatem :

f dx    *    ,__3__x__ ,    3

\(x²-|-l)³    4(x²4"l)² ' 2 .4 x²4-l '2.4

arc tg x.

Zadania:

Wyznaczyć następujące całki: 1) J amxdx

m.v

ax+hdx

m log a

gax + h

f C,

2)    J «

3)    (

J a 4~ bx

⁴⁾ S<^"% »(* + !> -™log !a 4”bxn

log ! a 4~ bx | 4"

(a + bx)

n +1

f c, (n 4= — i),

5)

A®⁶*    ^

Rachunek różnićzkowj

i całkowy.

nb

“1“ c.

6)

dx

7" arc sin — x -f- C, b    a

\ 2 i »2 9 Varc tg — x -f- C,

dx — log | x² — x -f- 5 j -f- C,

d x = log | x³ — 3 x² -f- .v — 11 -f- <7,

J 1/a²— b²x²

⁷>

8)

9)

10)

dx

x² — x -f- 5 3 x² — 6 x -j- 1

x³ — 3 x² -f- x — 1

/' (x)

/(*)

dx = log | / (x) | -j- (7,

11) j sin (ax -j- b) dx =

cos (ax -f- b)

h O,

12) j x sin (x² -j- 1) dx =

COS (x² -f- 1)

13)

dx

.! x (log x)"

14)

(n — 1) (log x) [tg x -j- 3 tg² x -f⁻ 5 tg³ x]

-f- (7, n 4= 1,

COS² X

dx = % tg²x-f tg³x

-f-f tg⁴ x-f-<7,    . ₆

15) | [sin°x — 5 sin³x -j- sin x] cos xdx = X — -f sin⁴ x 2 sin2 x C,

-[(* + *>*

16)

dx

h + c,

17) \ sin ax cos bx =—^

cos (a -f- b)x

cos (a — b) x

a -f- b

18) f sin ax sin bxdx= — | sin (a b) x

[    <H-b

sin (a -j- b) x .

a — b

sin (a —b)xj ^

19) | cos ax cos bxdx — £

a — sin (a — b)x

dx

: sin²x cos² x

= tg x — cot x -f- C,

21) \ x ]/l -j- x dx — § (1 -f- x)²

| (1 -J- x)J ~ł~ C,

22)

dx

. a² cos² x -\- b² sin² x

arc tg

gtgx) + C,

23)

tg xdx

J a cos² x -j— b sin² x

^log|a-|-ótg²x| + C,

24) J eax cos xdx =

eax (sin x -j- a cos x)

25) i eax sin xdx = —

1 -|— a2 eax (a sin x — cos x)

T+a²"

26)

27)

i a -f- b sin x -f- c cos x sin 2 x b    c

+ 2log ltg + i n)\ + 2 log 1*0*1»

\ (arc tg x)

' 1+X²“

dx =

|log | tg x\ +

dx = 4 (arc tg x)³,

28)

dx = — Î (* +1V- f Cy + l)(i -

ii

y x 4-1—y x 4~ i

- (x+1) -f (x4-1) * - f (x4-1 y - §(x4-i) \

Wskazówki:

1) mx — t, 2) ax 4“ b = t, 3), 4) a-\- bx — t,

5) a 4~ bxn — t, 6), 7) 4r == t, 8) x²— x-\- 5 = /,

9) x³ — 3 x² 4⁻-*' — 1 = t, 10) f (x) = t,

11) ax 4~ b = /,    12) x² 4“ 1 — t, 13) log x = t,

14) tgx = /,    15) sinx=/, 16) Pomnożyć licznik i mia

nownik przez ]/x-\-a—Vx, 17), 18), 19) Iloczyn zamienić na sumę np. sin ax cos ftx — ^ [sin (a 4~ b) x 4~ 4- sin (a — b) x],    20) tg x = t,    21) } l 4~ x = U

22), 23) tg x = t. 24), 25) Zastosować do obu całek całkowanie przez części, a następnie rozwiązać otrzymany układ równań. 26) Zastąpić sin 2 x przez 2 sin x cos x. 27) arc tg x = ł. 28) x 4~ 1 = t⁶-

Rozdział If.

Całkowanie funkcyj wymiernych.

§ 1. Rozkład wielomianu na czynniki. W algebrze*) udowadnia się, że każdy wielomian Q{x) da się przedstawić w postaci iloczynu:

a) (x— ß) ... (y — y) .    (1)

Q (x) = A (y

gdzie A jest współczynnikiem, stojącym przy najwyższej potędze, zaś a, /?, ..., y są pierwiastkami równanie Q (x) = 0. Czynniki powyższego iloczynu: x — «, x — ß, ... x—7 nazywamy czynnikami pierwiastkowemu Jeżeli niektóre czynniki pierwiastkowe wielomianu Q (y) są równe, to zbierając je razem otrzymamy przedstawienia :

Q (x) — A (x — a)' (y — ß)s ... (.y — y)

• (2)

gdzie /•, s ... t są liczbami naturalnemi, przyczem /•-f-s-j-...-j-ź = n [n oznacza stopień wielomianu Q (x)].

Prz ykłady :

1. Wielomian 3 jc⁸ -j- 3 x — 6 ma pierwiastki a — 1, ß — — 2,

zatem

3 x^ -j— 3 x — 6 = 3 (x — 1) (x + 2).

2.    Wielomian x⁴—1 ma pierwiastki « = 1, ß= — 1,

7 = i, i = — t,

więc y⁴ — 1 = (x — 1) (x -j- ł) (y — 0 (y -j- i)

3.    Wielomian y³ — 2 y² -f- y = y (y — l)².

*) Dowody twierdzeń § 1 i § 2 znajdzie czytelnik w książce dr. S. Ruziewicza i E. Żylińskiego, Wstęp do matematyki I. (Lwów, 1927) str. 263-69 i 183-87.

Jeżeli czynnik pierwiastkowy X — a występuje w przedstawieniu (2) w potędze r, wówczas a nazywamy pierwiastkiem /-krotnym.

Pierwiastki a, ß ... y mogą być zespolone. Ważnem dla nas będzie następujące twierdzenie z algebry: jeżeli wielomian Q (x) o współczynnikach rzeczywistych posiada /-krotny pierwiastek zespolony a~\-bi, wówczas posiada również /-krotny pierwiastek z nim sprzężony a — bi.

Jeżeli więc Q (x) jest wielomianem o współczynnikach rzeczywistych, to jeśli w rozwinięciu (2) występuje czynnik [x—(a-\-bi)]'\ to występuje również czynnik

|.r — (a — 6/)]'.

Łącząc te oba czynniki razem otrzymamy:

[x — (a -}- bi)Y [a* — (a — bi)\' —

— [(x — a) — b i]' [Cr — a) -j- b i]' — [Łr — a)² -j- 6²]' =

gdzie

= u² px-\- q)'\ p = — 2 a, q — a² -\- b*.

Wielomian x² p xq ma pierwiastki a Ą- bi, i a — bi i nie da się przedstawić w postaci iloczynu wielomianów stopnia pierwszego, o współczynnikach rzeczywistych. Postępując podobnie z pozostałemi pierwiastkami zespolonemi, dojdziemy wkońcu do przedstawienia wielomianu Q (x) w postaci :

Q(x) = (x—a)r(x—ß)s.. .(ax2jt-bx+c)ł. (dx² + ex+f)u (3)

W rozwinięciu powyższem liczby a, ß, ... a, b, c, d,e,f... są rzeczywiste, wielomiany zaś a x'² -j- b x -j- c, dx² -f- ex f, ... nie dadzą się już przedstawić w postaci iloczynu wielomianów stopnia pierwszego o współczynnikach rzeczywistych.

Przykłady:

1)    .v³ -j- 1 = (.r² — x -f- 1) (.r -j- 1),

2)    x³ — 1 = Łr² -f- x -|- 1) (x — 1),

3)    a*⁴ -j- 1 — (a² -j- x 1/2 -\- 1) (a² — je 1/2 —}— 1),

4)    a⁴ — 1 = (x² -j- 1) (x — 1) (a -f- 1),

5)    Rozłożyć na czynniki następujące wielomiany: a) x² — 5 jc —J— 6, b) jc³ —f- 3 jc² — 6 a, d) a⁸ — 1, e) x³ (x² — 3 x -f 2)² (a³ + l)².

C) A*'⁵- 1,

§ 2. Rozkład funkcji wymiernej na ułamki proste. Funkcją wymierną nazywamy funkcję określoną jako iloraz dwu wielomianów, w tych punktach, w których dzielnik się nie zeruje. A więc funkcja wymierna

gdzie P (a)

P(x)

da się przedstawić w postaci ułamka i Q (a) są wielomianami.

Jeżeli licznik jest stopnia równego lub wyższego niż mianownik, wówczas,, wykonując dzielenie, otrzymamy

Q(x)’

P(x)

R (a)

Q(x)

Q (*)’

gdzie W (a) jest pewnym wielomianem, zaś R (a) jest wielomianem stopnia niższego niż Q(a).

Przykłady:

A³ -f A + 1

1.

x + *+T

2.

A²+ 1 A⁵ -f A³ — A² + A + 3

A³ -j- 2 A — 1

A³ -f 2 A — 1

Przypuśćmy, że mamy daną funkcję wymierną

P( A)

Q(x) ’

gdzie P(x) i Q (a) są wielomianami o współczynnikach rzeczywistych. Załóżmy jeszcze, że wielomian Q(x) przedstawiony jest w postaci (3) str. 21.

Twierdzenie. Jeżeli licznik funkcji wymiernej

P(x)

jest niższego stopnia niż mianownik, wówczas funkcję tę możemy przedstawić w postaci:

Q (a)

p ix)

Q (x) (x — a)

r + 7:

r— 1

⁺ -x

(x—ßr

Gx + H

(x — ß)

lx + K

(a xr² -f- b x -f- c) N x -j- P {dx² -j- ex -f- /)

+ 7-T

x — ß " ' r (ax² -j- bx -f- c)1 Lx + M ax² -f &x-f c

7^7 + •

Qx -j- R

Sx -f- T dx² -j- ex -j- f

(dx² -f- ex -f- /)“ ¹

W rozwinięciu powyższem A, B, C, ... są liczbami stałemi. Rozwinięcie powyższe nosi nazwę rozkładu funkcji wymiernej na ułamki proste.

Uwaga 1.

Równość (2) zachodzi dla wszystkich x rzeczywistych, z wyjątkiem liczb a, ß, y ..., t. j. pierwiastków rzeczywistych równania Q (x) = 0.

Każdy czynnik wielomianu Q(xr) występuje jako mianownik w rozwinięciu (2) we wszystkich potęgach począwszy od potęgi, którą ma w rozwinięciu (1), a skończywszy na potędze pierwszej.

Liczniki ułamków wchodzących w skład rozwinięcia (2) są albo liczbami stałemi albo wielomianami stopnia pierwszego, zależnie od tego, czy mianownikiem jest wielomian stopnia pierwszego podniesiony do potęgi, czy wielomian stopnia drugiego podniesiony do potęgi.

Chcąc wyznaczyć liczby A, B, C , mnożymy obie strony związku (2) przez Q (x). Uwolniwszy się w ten sposób od mianowników, porządkujemy wedle potęg zmiennej x wielomian otrzymany po prawej stronie. Ponieważ równość pomiędzy wielomianem P(x) a wielomianem będącym po prawej stronie zachodzi dla wszyst-

kich wartości na x²), więc współczynniki stojące przy równych potęgach zmiennej x są równe. Otrzymujemy w ten sposób szereg równań, z których wyznaczamy niewiadome A, B, C ...

Uwaga 2.

Przed rozkładem danej funkcji wymiernej na ułamki proste należy zawsze sprawdzić:

1° Czy stopień licznika jest niższy od stopnia mianownika,

2° czy licznik i mianownik są względnie pierwsze.

Przykłady:

Następujące funkcje wymierne rozłożyć na ułamki

proste :

2 x — 1 x² — 5 x -f- 6

Ponieważ x² — 5 x -j- 6 = (x — 3). (x — 2), więc po-

łóżmy

x² — 5x-f 6 x — stąd mnożąc obie strony przez x² — 5 x -j- 6 otrzymujemy

zatem

więc

? skąd A = 5, B — — 3.

2 x — 1 = A (x — 2) 4- B (x — 3), 2x — 1 — x {A Ą- B) — 2 A — 3 B, A -f B = 2 2 A -f 3 £= 1

A zatem

x² — 5 x -j- 6 x — 3 x — 2

₀ 3x² + 3x+12

(x — 1) (x -j- 2) x

Li»

Użyjemy tutaj innej metody, która prowadzi do celu w wypadku, gdy mianownik posiada tylko pierwiastki rzeczywiste jednokrotne.

Połóżmy

3 a² -f 3 x -f- 12

stąd

(x—1) (x -f- 2) x x — 1 ¹ x-j-2 1 3 -f 3 a* -f 12 =

= A (x -f- 2) x -)- 5 (x — 1) x -f- C (x — 1) (jc —j— 2). Kładąc pokolei x = 0, 1, —2 otrzymujemy:

12 = — 2 C, 18 = 3 A, 18 = 6 5,

a zatem

więc

3.

A — 6, 5 = 3, C = — 6, 3x²-f- 3r-f 12 (x — 1) (x -(- 2) x x — 1 ¹ x -f- 2

5(x)

(x — a) (x — ß) (x — y) ’ gdzie P (x) jest wielomianem stopnia niższego niż 3; «, ß, y są między sobą różne.

Połóżmy:

5 Cr)

stąd

(.r — a) (.r — ß) (x — y) x — a x — ß'x — y P (x) = A (x — ß) (x — y) -f -f- 5 (x — a) (x — y) -f C (x — a) (x — ß).

Kładąc pokolei x = a, ß, y otrzymujemy:

A- m__. B=____

(a — ß) (a — y) ’ (ß — a) (ß — y) ’

_ P (y)

C~~ (y — a) (y — ß)

4.

3 x² -f x -f 2 __ A (x+1) (x— 1)2_x + 1 ^(x— l)²

3x²+x+2 = +x—l)²+5(x+l) + C(x + l)C*—D (1)

zatem

a więc zatem

3x² +x + 2 = *²U + Cr) + *(-2A-f B)-{-A + B— C, A-\-C = 3, —2AJrB= 1, ^4-5—<7=2, A=l, 5 = 3, <7= 2.

Możemy też w inny sposób wyznaczyć współczynniki A,B,C. Kładąc w (1) pokolei x =— 1, -j-1, otrzymamy

4 = 4 A, 6 = 2 B, więc A=l, 5=3.

Celem wyznaczenia współczynnika <7 zróżniczkujmy (1) obustronnie : 6 x -f- 1 = 2 A (x — l)-f-5-f C.2 r. Kładąc teraz x = 1, mamy

7 = B+2C więc <7=2.

Metody tej możemy używać z korzyścią, w wypadku • gdy mianownik funkcji wymiernej posiada pierwiastki rzeczywiste wielokrotne.

5.

x⁴-f- 1

x²(x — l)(x-hl)²

A ,5 C ____

X X² x — 1 (x -j-1)² X -f-1

więc x⁴ -j- l = ix(x— 1)(x-f- l)² -j-5(x— 1) (x -)— 1 )² —j— -f <7x² (x -f l)² + D x² (x — 1) -f E x² (x - 1) (x -f- 1).

a więc

Kładąc pokolei x = 0, 1, —1, dostajemy 1 = — 5; 2 = 4(7; 2 = —2 5, 5 = — 1, (7 = £, 5 = — 1.

Otrzymujemy więc:

x⁴ 4" 1 = Ax (x — 1) (x 4“ i)² — (■* — 1) (x 4~ i)² 4-4~ i x² (x 4“ l)² — *² (x — 1) 4“ 5x² (x — 1) (x 4~ 1)-Różniczkując obustronnie otrzymujemy:

4 x³ = A [(x — 1) (x 4- l)² 4- x (x 4- l)² 4-4- 2 x (x — 1) (x 4- 1)] — (x 4- l)² — 2 (x— 1) (x 4" 1) + 4- x (x 4- l)² -j- x² (x -j-1) — 2 x (x — 1) — x² 4-4~ E [2 x (x — 1) (x —(~ 1) 4" *² (x 4" 1) 4" x² (x — !)]•

- dx

zatem

Kładąc teraz x = 0, — 1, mamy

0 = — A + 1 ; — 4 = — 5 — 2 E, 4 = 1, E =

2*

x² + 2x—1    _ A . BxĄ-C

⁶* (x— l)(x² + 1)~ x — l“¹" x² + l ’ więc x² -f- 2 x — 1 = A (x² -j- 1) -j- (B x -j- C) (x — 1).

Kładąc x = 1, mamy 2 — 2 A, zatem .4 = 1. Wymnażając i porównując współczynniki mamy

1=4+ B, 2 = — B-j-C, —1 = 4 — C,

B = 0, (7=2.

więc

4    , Bx-\-C . DxĄ-E

(x -f 1) (x² + 1)² ~~ x + 1 ⁺ (x² -f l)² x² + 1 *

Uwalniając od mianowników i porównując współczynniki otrzymujemy:

AĄ-D = 0, £ + Z) = 0, 24+i? + £ + Z) = 3, BĄ-C + E-\-D=. 0, 4+ C 4-^ = 1,

a zatem 4 = 1, B= 1, (7 = — 1, I) ——1,    = 1.

8. Rozwinąć na ułamki proste funkcje wymierne stojące pod znakiem całki w zadaniach podanych na końcu tego rozdziału.

7.

3x² + 1

§ 3. Całka fimkcyj wymiernych. Rozbijając funkcję wymierną na ułamki proste sprowadzamy całkę funkcji wymiernej do całek typu :

[ A dx    ,    ,

a)    A l°8 a I’

Adx

3 (x — a)r

(/•— l)(x — a)

(r+4),

A x —j— B

3 (a x² -f- b x -f- c)

[przyczem wielomian a a⁻² -{- b x -j- c nie posiada pierwiastków rzeczywistych, a zatem b~ — 4 ac <4 0].

Aby wyznaczyć całkę typu c), zauważmy, że :

a x² -f- b x -f- c =

a(x2+*-x + i)

4+A)'

b²

4 a²

ft: j o

ax² -j- bx Ą- c

*{x+Ł) +

-f-    ? a zatem

4 ac — b²

. (i)

Wprowadźmy nową zmienną z określoną związkiem

4 ac — b²

2²

. • (2)

a więc

(/ 4 ac — ó²

.    .    (3)

Z uwagi na (1), (2) mamy a.x²    bx c =

4 a c — Ir

{z² + I)-

Używając więc podstawienia (3) otrzymamy: Ax + B

) (ax² 4~ bx -f- c)r

dx~

■ MzĄ-N

\ {PT'1)

rdz-

M, N oznaczają pewne liczby stałe.

' Mz -f- N \ (z² -f i)

Do całki drugiej stosujemy wzór redukcyjny [str. 17, wzór (6)] ; kładąc zaś w pierwszej całce z² -f- 1 = t (str. 9, przykł. 5), otrzymamy

zdz

Lecz :

- dz =

M\

zdz

3 U² +

1-+N\

dz

J(2² + l)r

1’ zdz

z² 4-1

2 (/• — 1) (z² -f- 1) i log (2² 4- 1).

(/■ 4= 1) ;

Przykład:

5x-f- 3

) (2 x² — 4 X 4- 10)

2 x²— 4 x + 10 = 2 (x² — 2 x -j- 5) = 2 [(x — l)² + 4] = — 2 (x — l)²-f8.

Połóżmy 2 (x — l)² = 8 z² więc jc = 1 —2 z, zatem 2 x² — 4 x -f- 10 = 8 (z² -f⁻ 1) ; dx = 2 dz, więc :

f 5 x -f- 3 _ i

3(2x² — 4x+10)²    )

zdz

16

(z² + 1)

f lO^-f-8 8² (z² -f- 1)

»+*S

a² dz =

Lecz

zdz

U² + l)²

(z² 4-1)²

(z² 4- 1)²    2 (z² 4- 1)

-f- 4 arc tg z, (por. str. 1 7, 6.),

a zatem

5x4-3

(2x² -4x4-10)

dx =

₂2    + ł arc tg z =

— 5 4-4 z

32 (z² 4- 1)

x — 1

Kładąc zpowrotem z — —-— mamy

2 x— 7

5 x -f⁻ 3

(2 x² — 4x-|- 10)

dx —

+ ł arc tg —— + C.

4 (2 x² — 4x4- 10)

Zadania:

Wyznaczyć następujące całki :

5 x³ -j- 1

dx —

) (x -f- 1) (2 x -j- 1)

= -f x² — 4^ x 4“ 4 log | x -f- 1-1 —j— f log | 2 x -f- 11,

2)

x*dx

3)

) (x — l)² (x + l)2 X + 1 J (X - 1)

g dx —

x , Q , x 1

î^T + î'og ï+ï|-

(x — l)² ’

4)

xrfx

(x + 2) (x + 3)²

dx

3    | , (x -f~ 3r

2 t 2x + l 7= arc tg ——=— >

^ )x² + x+l 1/3

m f    x²dx

⁶⁾ 3 (x² + 1) (x² +' 4) r 3 x² — 5 x -f 2 ] x³ — 2 x² -f- 3 x —

— f log I x — 2 j -f- ii log (x- -}- 3) gl

|/3

= 1 arc tg

-dx =

CO I H

— £ arc tg x,

y₃

8)

x -j- 1

arc tgÿ=,

x⁴ — 3 x³ -j- 3 .v² — x

- — Il

rfx =

(x-l)²

+log

9)

â⁴ — x⁴ 4 a3 l0§

a -f" x

2^3 arc tg*; a > 0,

10)

f rf-r

J x³ 1

log I x -f-11-ł ï°g (^² — x -f- 1 ) —{-

2 x — 1

~f3~’

4j log I X- 1 I - fi- log (x² -f- x -j- 1) -

1    2 x -f- 1

^arclg -JT’

Ti= log

x y 2

r^-T²’

■h|m

a,

ICO H

arc

CfQ

J x³ — 1

V3

dx

1 -j- x y 2 -f~ x²

1 — x y 2 -f - x²

2 1/2

13)

dx

xG—1

= łlog

cx—i) y je²—x —f~ i (x -f-1) y x² -j- x -f- ï

2ys

x]/ 3 — x²’

14)

x⁵

(x² + 1)

3dx =

4x² + 3

15)

X²

1 — X⁶

dx = ilog

4 (x² + 1) x³ + l x³— 1 ’

16)

x²dx

17)

x*’ — 10 x³ -j— 9 6 x⁵

2*4 log ^

x³ —9

dx

X⁶

18)

(5 — 7 x³)

12 x¹⁵    ,

](x⁴ -bl)²⁰^⁻"

+iog (x⁴ 4-1 yj,

5 (5 — 7 x³)² ’

3 x⁴ (x⁸ — 3 x⁴ + 4) + 30

2 U¹ + 1)

19) \

dx

!    — a) (x — ß)Y .

x=ß-{-j--'> dx

1 — Z

(x — n) (x — ß) = (a — ß)

x —

et 4- ß ; kładąc --

x —

(1 —z)

dz-,

(1-z)²’

to! 3

= z mamy

zatem

dx

(1— *)

2 n -2

) [(x — a) (x — ß)] " (a — ß)

2 n -1

zn

dz.

Wyznaczyć tą metodą całki :

a)

dx___ f dx

3 x -j~ 2)³ ’    \ (x²

-l)⁵’

c)

dx

J (*² ~

Wskazówki:

1), 2) wydzielamy część całkowitą, pozostałą funkcję wymierną rozbijamy na ułamki proste. 3), 4), 5), ... 13) rozbić na ułamki proste. 14)x²=f, 15), 16), 17) x³ = ł, 18) x⁴ = ł.

(x² — a²)³’

Rozdział III.

Całkowanie funkcyj algebraicznych.

§ 1. Jeżeli pod całką występuje zmienna x w rozmaitych potęgach ułamkowych, to oznaczając przez p najmniejszy wspólny mianownik wykładników, przez podstawienie x = zp uwalniamy się od potęg ułamkowych.

Przykłady:

1. 1 =

dx

dx

; kładąc x = zr',

d x = 6 z⁵ dz, mamy 6 z⁵ d z

f z²dz

) (1 + z²) z3 6 « _ / = 6 \x — 6 arc tg |/x.

2. / =

= 6 z — 6 arc tg z, zatem

j/jt

dx; kładąc ³ = z⁴, dx=4=z⁵dz mamy

z²

Jl+z

f z⁵ dz

¹

§ 4 przykład 8.

²

Równość zachodzi dla wszystkich x różnych od a, ß, y ... wedle założenia. Dla x = a, ß, y,... równość zachodzi na mocy ciągłości.

³

4 z³dz —

⁴.lrr-'⁼

** rto

-j-z¹j — 4 log |^+1 i, zatem

x -fi i/¹³—²i/¹+⁴ i/¹—⁴ !°g (V¹+!) •

. z¹⁵    1

= ⁴(g-J +

/ =

Uwaga 1.

Podobnie postępujemy, jeżeli pod eałką występuje dwumian    w rozmaitych potęgach ułamkowych.

Podstawieniem axĄ- b = zp (p jak poprzednio) uwalniamy się od potęg ułamkowych.

Przykład:

dx

więc / = ^

X ]/x -(- 1 2 zdz J (z² — 1) z

zatem

Uwaga 2.

O — rr tu

< * £ —

^ Z ^

; '■* + 1 = z⁹, dx = 2 zrfz, < ^ >-

'    ,    <fz

g“«*

/=log

X -J- 1 — 1

a'x -j- 6'

maitych potęgach ułamkowych, wówczas podstawieniem ax -j- b    /

j~x — zI> \P jak poprzednio) uwalniamy się od potęg ułamkowych.

Jeżeli pod całką występuje wyrażenie 5 X

•> w roz-

Przykład:

'-i    i -

z²—1’

dx

2 zdz

(z² —l)²’

więc

i = ] (z² — 1) . z .

— 2 zrfz

z²

(z² — !)²

Jz²— 1

dz —

= — 2 z — log

zatem /= —

²l/^_Iog *

Rachunek różniczkowy i całkowy.

§ 2. Całki dwumienne. Całki typu:

| xm (axn -f- b)p dx,

gdzie m, n, p są liczbami wymiernemi nazywamy całkami dwumiennemi.

Jeżeli p jest liczbą całkowitą, wówczas wyznaczamy

całkę metodą podaną w § 1.

Przypuśćmy teraz, że p nie jest liczbą całkowitą.

Podstawmy :

dz.

(az -f- b)” dz =

x — z", dx = — z

n

Jeżeli z>0, wówczas:

i xm {axn -f- b)p dx = — \

J    n

dz.

m + l

——- +p- 1

Z n

az + b\p

. m -f-1

Widzimy zatem, że, jeżeli “

witą, wówczas całkę dwumienną przekształcimy na całkę funkcji wymiernej podstawieniem :

az(a jest mianownikiem liczby p).

m-fl

jest liczbą eałko-

Jeżeli zaś

-}- p jest liczbą całkowitą, wówczas

dojdziemy do funkcji wymiernej podstawieniem azĄ-b

= ta (a jak wyżej).

d z ić do jedna z liczb

A więc całkę dwumienną można sprowf całki funkcji wymiernej, jeże’

m+l, S±I + p

n    n

jest liczbą całkowitą.

I— J xa(l — x²) 2

Przykład:

mamy tu m = 3, /z = 2, p = — f. Ponieważ    = 2,

n

więc całkę powyższą sprowadzimy do całki funkcji wymiernej.

x² = z, xdx—^ dz,

/= -g- f z (1 — z)~±dz.

aa

o<

Połóżmy:

zatem

Połóżmy teraz 1 — z = /², (ć>0), dz~ — 2 tdt,

więc 1= —

i²

o/1 — — t

zatem

fl/l-*² =

l/l-z 2 — x²

f l/'l—z,

Vi^7²

§ 3. Całkowanie funkcyj wymiernych R (x, y)*), (y = 1/ax² -}- bx c). Całkowanie funkcji wÿlniernej R (x, y), (y = l/a jc² -j- bx -j- c) sprowadzamy do całki z funkcji wymiernej jednem z następujących trzech podstawień: 1) a^> O.

— x]ja = t .    .    .    .    (1)

]jax²-\-bx Ą-c ax²-\-bx-\-c = ax² -j-2 x]/at -Ą-t², bx -j- c = 2 x \!a t -j-1².

i² — c

X ô -r- 2 y~ał

Połóżmy

stąd

więc

Zatem podstawiając :

*) Funkcją wymierną R (x, y) dwu zmiennych nazywamy funkcję, określoną jako iloraz dwu wielomianów zmiennych (x,y), w punktach, w których mianownik jest różny od zera. Przyjmujemy zawsze milcząco, że współczynniki wielomianów są rzeczywiste i że wielomiany te są względnie pierwsze.

otrzymujemy : dx =

^ — )J aï¹ Ą-b t — ]/ a c (b — 2]/at)*

dt,

x j/ a -j- t

j/a t² -j- bt — ]/ a c

b—2]/at

Przy powyższem więc podstawieniu wyrażamy ^ax² bx-\- c, dx

wymiernie zapomocą zmiennej zatem j R (x, y) dx przejdzie w całkę funkcji wymiernej zmiennej ł.

Przykład:

1=

dx

y^² —f— 6 jr —f— 5

a == 1 > 0,

Ponieważ

więc kładziemy: ]/x² -\- 6 x -j- 5—x = t,

stąd

ć² —5 6—-2

dx =

— f² + 6f-5

(6 — 2 f)²

dt,

— t²-\- 6 t— 5

a więc

2 dt

logi 3 —1\,

zatem

6—2 t

1= — log 13 -\-x— y*² + 6 x-\- 5|.

stąd

2) c>0.

Połóżmy yax²-|-ÓA:-j-c = x^-f-y°5

—(—    —{— C = A*² /² —(— 2 X Ź y c -j-c,

ax-f-& = xź²-j-2

2*Vc — Ô

a-/²"’

a.r

Zatem podstawiając: x

otrzymujemy : dx =

₀J/ c t² — btĄ-a]j c

d t,

]/ax²-\- bx-\-c

xt+y

c-

a — i²

A więc i teraz po podstawieniu, \ R (x,y) dx przechodzi na całkę funkcji wymiernej.

Przykład:

dx

[/— x² — 3 x -j- 4

mamy c — 4    0.

stąd

Połóżmy: ]/—x²— 3 x-\- 4 = xt-{-2,

n2t² + 3t — 2

(*² + l)²

4 / + 3.

1+f²’

1/— x²— 3x + 4 =

dx —

dł,

2 t² 3 t — 2

f² + l

więc

I= —

2 dt

zatem

2 arc tg t,

]/— x² — 3x-)-4 — 2

.W² + 1

1= — 2 arc tg

‘3) b² — 4ac>0.

Oznaczając przez a, ß, pierwiastki równania ax² -f- 6x-j-c= 0, mamy ax²-\- bx-j~ c = a(x— «)(x—ß). Połóżmy

]]ax² -j- bxĄ-c = ]/a (x — a)(x— ß) = t(x — a), a(x — a) (x — ß) = t² (x — a)², a (x — ß) — t²(x — a), aß — üt — t² ’

stąd

zatem podstawiając: x =

otrzymujemy :

a(ß— a)t

2a(ß    aUdf^ yax2_jrbxjrC

A więc przy powyższem podstawieniu, \ R (x, y) d x przechodzi znowu w całkę funkcji wymiernej.

dx

(a — t*)

a —1~

dx

Przykła d:

]/— x²-\-4x— 3 Mamy: b²— 4ac = 4²— 4.1.3 = 4 ^>0;

— x²-f- 4 x— 3 = — (x— 1) (x— 3),

ponieważ

więc połóżmy: ]'—(x—l)(x — 3) = (x—1) t.

Stąd :

/² -f- 3

•r = ?+T dx

4 tdt

(**+D

2» ]/a.r² -j- bx -j-c

2ł

a więc / =

2 dt

2 arc tgt = — 2 arc tg    ^

Uwaga.

Jeżeli a <C 0 i c<C0, wówczas zawodzą dwa pierwsze podstawienia. W tym wypadku możemy zawsze użyć podstawienia trzeciego. Gdyby bowiem było a 0, c 0 i b² — 4ac<^0 wówczas wielomian ax²-\-bx-\-c byłby stale ujemny, zatem j/ax²-f- bx-\-c byłby dla każdego x liczbą zespoloną.

§ 4. Niektóre szczególne przypadki całek funk-cyj wymiernych R (x, y) [y = |lax²-\-bx-\- c\.

1) Całkę kształtu:

dx

]/ax² -f- bx-\-c

a<C 0, b² — 4ac>0,

możemy obliczyć również w następujący sposób:

Mamy

ax

+ta+e.__^Vîiî_

ö²— 4 ac

Połóżmy

(*Vî

2f\

ô²— 4 ac

*²,

czyli

2 ja

|/ô²— 4 ac

¹-;-;--Z.

Zatem :

|/ô²— 4ac

dx — ---

c?z, ax² -J- ôje —f— c =

b² — 4 ac

więc

dz

V|a | J l/l— z²    Vf

arc sin z,

zatem

JV

dx

ax²-f- bx -f- c

M\a

arc sin

2 ax-\- b l/ó²— 4 ac

Przykład:

dx

]/ô x— 6 x² — 1

L.

5 x — 6x² — 1= —

Połóżmy:

(Jrl/6 2 Ve)

— 2¥

więc podstawiamy x =    4“ tV z\ dx — ^ dz;

5 x — 6 x² — 1 = 2*4 (1 — z²),

a zatem

1

7= arc sm z,

J 21/6

dx

Vô Y-6 .Y² — 1

dz

U/i=P të

dx

więc

1/6

j/ö x — 6 x² — 1 arc sin (12 x — 5) =

1/6

arc sin (—12 x-j-5).

2) 1 =

dx

(x — a) 1/ax² -f-bx-\-c

Połóżmy x — a = —i czyli x—a -j---

Z    Z

Jeżeli x wówczas z0, zatem dla x^> a otrzy

mamy :    _

^ax^ + bx + c = j/+    = i yi^+M

(L — aa² ba-\-c, M — 2 aa-\-b, N=a). dx = —

z-{-N

Ponieważ

dz

z²’

więc

/= —

dz

]/Lz² + Mz + N Podobnie postępując otrzymamy:

(x>a).

dz

TJLz² + Mz-{-N

(x < a).

Przykład:

dz

(x— 1) ]/x² —j— 1

Połóżmy

stąd x = 1 —J— — z

zatem dla x^> 1, z^> 0, więc ]/x² -f- 1 = — ]/2z²-j- 2 z-f-1,

dx = —

dz

z²’

yp+i =]/^±|£±i,

stąd

1= —

dz

1/2 z² + 2 z + 1 Stosując do ostatniej całki podstawienie

)/2z* + 2z-fl=]/^z-\-t (str. 35).

î=log (4 ^-f-2 — 2 ]/2 I/2 z² + 2 2+1).

= —-—t > otrzymamy dla x 1 x — 1

li„g 2 * + 2-2^21/^+!

otrzymamy /

1/2

Kładąc wreszcie 2

(jr—1)]/jc² + 1    1/2

Można łatwo sprawdzić, że powyższy wzór zachodzi również dla x 1.

3) J=

Axdx

J (a.r²-j-y) ]/ax²-f-c

Całkę powyższą obliczamy podstawiając ]/ax² -j⁻ c = t.

t² —

Mamy : a x² -f - c = /², x²

c    1

xdx — — tdt.

Zatem

Adt

at²-\-(ay — ac)

Całkę ostatnią obliczamy w sposób poznany w rozdz. II.

Przykład:

xdx

(2 x²-\- 1) |/x²-f- 4

Połóżmy Stąd /=j

l/x² + 4 = t. — = —7= log

2 t² 7    2 1/14

i t %

t+n ’

więc

4) / =

/= -4= io. frMj-lg

2 y i4 öi/x²+4+yi

Adx

Podstawmy:

J («x² -f- 7) J/ax² -\-c

]/ax²-\- c = a4,

stąd

x²

t²-a

zatem xdx

ctdt

{t²— a)²¹

dx

]/'ax²Ą-c dx xdx

x²1

dt

t² — a

a więc

Adt

J 7/²-j-(«c — y a)

Przykład :

1=

dx

(2 a² + 1)1/x² + 4 Kładąc ]/x² 4c — xł, otrzymujemy, jak poprzednio

zatem

dx

t²-l ]/x² + 4

dt

1 — t²'

[ dt

J

1/^+4,

/= —

ż²-f 7

y?

arc tg

1/7

Ponieważ t —

więc I— —

y?

arc tg

y'x²+4

x]/7

Uwaga. Całkę typu:

Ax-\-B

--—dx

(ax² -f-y) ]/ax²-\-c

wyznaczamy, rozbijając ją na sumę dwóch całek typów 3) i 4).

J (a*²-f-ßx-(- y) ]jax² bx-j- c (ß² — 4 a y <<0, a =4= 0).

(.4 x -j- B) dx

• • (1)

Całkę powyższą staramy się sprowadzić do całki typu i' {Ax-\-B)dx J (ax² -f- y) ]/ax²-\-c

a) Jeżeli a:a = ß:b, wówczas podstawieniem sprowadzamy naszą całkę do typu (1).

b) Jeżeli a, ß nie są proporcjonalne do liczb a, b czyli, jeżeli ab—aß^O, wówczas podstawiamy:

• (2)

ei+i

z +1

Liczby p i q tak dobieramy, by naszą całkę sprowadzić do całki typu (1).

Przy powyższem podstawieniu otrzymamy :

___(LzĄ-M)dz__

a, =ap² + bpJr c,

cl=aq² -\-bq-\-c.

(ai 2² + ßiz + 7t) V«i+ b^ z + cx (znak zależy od tego, czy — 1, czy też z — 1), gdzie L = (Ap-\-B) (p— q), M=(Aq JrB)(p — q), a₁ = ap² -\-ßp -(-y, ß₁ = 2apq+ß(p-\-q)ßr2y, bx = 2apq-\-b(p +q) -f 2 c, Vi — aQ^ ßq    7■>

Wyznaczamy więc p, q tak, by ßt — 0 i bl — 0.

Należy w tym celu rozwiązać układ równań

. • (3)

2 apq -\-ß (p-\-q) +2y=0 2 apq -ß- b(p-\- q) + 2 c = 0

Można wykazać, że równania (3) mają rozwiązania rzeczywiste, jeżeli ab — aß^=0 i ß² — 4ay<[0.

Przykłady:

a) 1=

(2 x-j-1) dx

(x²-f 2x-j-6)l/2 x²-|-4x— 1

Ponieważ współczynniki wielomianów x² -j- 2 x, 2 x² 4 x są proporcjonalne, więc podstawiamy

2.2 ¹

Przy tem podstawieniu otrzymamy

/_ l    (2 z— 1 )dz

J (z²+ 5) ]/2l² —3

/=

(2 x — 5) ć/x

(3 x²— 10 x + 9) 1/5 x²— 12 x-f 8

Użyjemy podstawienia x=

pzĄ-q

Liczby p i q wyznaczymy z równań (3) [str. 43].

stąd pq = 2,p-{-q=3,

6 pq—10 (p -j-<7)-}-18 — 0,

10 pq—12 (p-\~ q)= 0,

więc p = 1, <7 = 2.

z -f- 2

Podstawiając więc x —

2> — 1, t. j. x>l

*+l’

otrzymamy dla

/=

(3z + l)^

(2 z²H-l)V^² + 4

₃f_z-dJ-__

J(2î*+1)Vï> + 4

_L_f____

' J (2 ^² 4-1) 1/^ + 4

Całki ostatnie obliczyliśmy w przykładach do typów 3) i 4), (str. 41, 42).

Zatem :

r 3    , Vz² + 4 — l/-|

2 VU °gV?+4 + f| I/'7

arc tg

y*²+4.

2]/7

1/5 x²— 12 *+8,

x— 1

3 wyB*«—12 je —|— 8 — (x—1)1/•!_[__

2 1/Ï4 °g ]/bx²— 12 x + 8 + (x—1)

]/ö x²— 12 x + 8 Cr— 2)1/7

Formuła powyższa ważną jest dla x+l.

ponieważ 2 =

więc / ==

1/7

arc tg

• • (1)

2+2

Przyjmując teraz, że w podstawieniu x 2 + —1, a zatem x+l, otrzymujemy

3 ,..V*+*-n 1

2 ]/l4 *l/z² + 4 + l/i 1/7

y?+i=-

3 w 1/5 x²—12+ + 8 —(x—l)l/| 2 J/Ï4 °gl/5a:² — 12 x + 8 + (x— 1) j/+

Ponieważ 2

więc /

arc tg

2I/7

V 5 2² — 12 x + 8

--»

x— 1

, 1    y 5 x²—12 x -+ 8

+ -7= arc tg--,=--

1/7    (x—2)1/7

Widzimy więc, że formuła (1) jest prawdziwa dla wszystkich wartości zmiennej x. (Dla x = 1 ważna z powodu ciągłości pochodnej i funkcji podcałkowej).

§ 5. Uwagi tyczące się przekształcenia całki

i R(x,y)dx. Jakkolwiek podstawienia podane w § 3 sprowadzają całkę \R{x,y)dx do całki funkcji wymiernej,

to jednak częstokroć celem uniknięcia żmudnych rachunków, dogodną jest rzeczą funkcję R (x, y) odpowiednio przekształcić.

Zauważmy, że jeżeli n jest liczbą naturalną, zaś

y— ]/ a x²-\-bx-\-c, wówczas y'ln={ax²-\-bx-\-c)n, y2n+i— y-n . y — (ax²-\-bx-\-c)n y.

Widzimy stąd, że wszelki wielomian H(x, y) zmiennych y da się przedstawić w postaci

H{x, y) = Wi (x) -\-yW₂ (x),

gdzie W₁ (x) i W₂ (x) są wielomianami zmiennej x. A zatem funkcja wymierna R{x,y), jako iloraz dwóch wielomianów, da się przedstawić w postaci:

R (x, y) =

Wl(x)+ffW,(x)

Wa (x) + y Wt (x) '

gdzie U⁻,, Ili,, II',, li⁻, są pewnemi wielomianami.

Mnożąc licznik i mianownik przez W₃ (x) — y ii⁻,(a), z uwagi na to, że [W₃ (x) — y W₄ (x)] [W₃ (x) -\-yWŁ (x)] = — W\ (x) — y² W\ (jc) = Px (x), (gdzie Px {x) jest wielomianem), otrzymamy

R (x, y) =

Kładąc więc

P2 (x) + y Ps (x) _ P j (x) Pi (x) P₃(x)y2 Pi (x)y PA (x) y²

Pi (x)

_ p ï (•*•)

” Pi (X)

Pi (x)

Pi(x)

T(x),

Pi (x)

S(x)

R(x,y) = T(,x)Ą---

PĄx)

Pt (x) ■ V

= S (x) mamy

• • (1)

Widzimy stąd, że funkcję wymierną R (x,y) (y = ]/ax²-{-bx-\-c) możemy zawsze sprowadzić do postaci (1), gdzie T(x) i S (x) są funkcjami wymierne mi.

1.

2.

Przykłady:

x + Vx² — 1 _

(x 4~ y^²— l)²

x — ]/x² — 1 = 2x² — l-j-2x Vx» — 1,

(x — ]/x² — 1) (x ]/x² — 1)

więc

x 4" y*²—i

x — yx²-1

2 x² — 1 4

2 x³ — 2 x

|/x² — 1

P(x) 4- Q (x) y _ P² + QV + 2PQÿ

P(x) — Q{x)y

_P²-\- Q²y²

p2- Q2ÿ2

p2 - Q²ÿ²

2 PQÿ2 (P²-Q²y²)y

Na mocy (1) (str. 46) mamy:

rfx.

Pierwsza całka po prawej stronie jest to całka z funkcji wymiernej, całkę tę badaliśmy w rozdziale II.

Celem obliczenia całki

cję wymierną S (x) w postaci :

\ dx, przedstawiamy funk-

S(x) = W(x)

P(x)

Q (x) ’

gdzie W (x), P (x), Q (x) są wielomianami, przyczem stopień wielomianu P(x) jest niższy od stopnia wielomianu Q (x). Rozkładając wreszcie funkcje

f x.

na ułamki proste, sprowadzamy obliczenie całki j —— obliczenia całek kształtu:    " ^

W(x)

P(x)

S(x)

Q(x)

dx do

dx,

dx

(A x 4" B) dx

(ax²-{-ßx^ry)ry '    ^

(x — a)ry

Podamy teraz proste metody obliczania całek powyższych typów.

W(x) dx

[W (x) jest wielo-

a) Całki typu: mianem].

]/ax² -f- bx-\-c '

Jeżeli H^(x) jest stopnia n^l, wówczas można wykazać, że całka tego typu da się zawsze przedstawić w postaci:

W (x) dx

J ]/ax² -J- bx-\- c

(Ax

-j- C) |/ax² -f- ftx-j- c -f- D j

dx

]/ax²-J- bx-\-c

gdzie A, B, .-. . C, D są odpowiedniemi stałemi.*)

Celem wyznaczenia tych stałych, różniczkujemy obustronnie i mnożymy następnie przez ]/ax² -\-bx-\-c. Porównując z obu stron współczynniki stojące przy równych potęgach zmiennej x otrzymujemy szereg równań, z których stałe A, B ... C, D obliczamy.

sprowadzamy do obliczenia

A zatem

W {x)dx

]jax²-\-bx-\-c

• Tę ostatnią wyznaczamy zapo-

całki

dx

J ]/ax²-f-ńx-f-c mocą jednego z podstawień podanych w § 3 (str. 35).

Przykład:

] ]/5 x²— 6 x — 1 dx =

]/5 x² — 6 x — 1

= dx.

Połóżmy 5 x² — 6 x —

|/5x²— 6 x— 1

Ldx = (Ax + B)l/z x² — 6 X — 1 +

+ <?

dx

]/ö x² — 6 x— 1

*) Istnienie takiego rozkładu przyjmujemy bez dowodu.

różniczkując obustronnie otrzymujemy 5 x² — 6 x — 1

1/5 x²— 6 x —

(Ax-\-B) (10 jc — 6)

= = A 1/5 x² —6x —1 +

1/5 x² — 6 x — 1

ZT5

I/ 5 x² — 6 x— 1

mnożąc obustronnie przez pierwiastek i porządkując mamy

5x² — 6w— 1 = 104**+(5fi — 9 A)x+(C — A — 3B),

zatem 10^ = 5, 55-94 — 6, C — A — 3 B = — 1,

R____3 r>--7

n    1 O » ⁰    5 i

stąd

i)

) j/ö Jt² — 6 x — 1 dx = =(^ x—jóq) y₅ x²—6 x—1 —

a więc

afx

^ J j/ö Jt² — 6 x — 1

Co się tyczy całki ostatniej, to kładąc ]/§ x² — 6 x — 1 = jc j/ 5 -\-t

otrzymamy :

dx

] y5x² — 6x —1

b) Całki typu

log 110 x—6 — 2 ]/ 5 j/5-Jt²

1/5

— 6x—1 .

W (x) dx (x— a)¹']/ ax² -\-bx-{- c

«■

[^(x) jest wielomianem stopnia niższego od /•].

Jeżeli /•= 1, to wielomian W(x) redukuje się do stałej; otrzymujemy zatem całkę badaną na str. 40, ustęp 2). Jeżeli r^> 1, można wykazać (dowód pomijamy), że całka tego typu da się przedstawić w postaci:

Rachunek różniczkowy i całkowy.

2)

r    ⁴/—

1    yx

] ]/ x + l/x

dx —

= 12 [£ x* — |    + i x * — i x* + xt* — arc

tg (or*)

tfx

3) \ l/+i_?

J J/ 2 je —(— 3 (x + 2) (3x + 5) 2 -J⁻ x

J ]/3 — x

4)    ;

dx =

= 2 arc tg

—+3^7 (V-+*),

1 /2 x + 3

V * + ²’

*,r?Vi+**>

6) jx³1/(1 - .r*)³ dx = — \ j/r“a-² [xc — I x⁴ + ix² f ],

+ log(x + ^9 + 4),

5)

x³

|/l —f- JC²

dx —

7)

dx

J ]/9 + je² 4- 3    I/94-4 + 3

8)

G?X

l/l+ 4x — 5x²    1/5

9)

dx

10)

y—2—5x—3 x² y 3

dx    n .

= — 2 arc tg

1    . 5 x — 2

7= arc sm--

/    3

= -4= arc sin (6 x + 5),

--J

1/2 x

11)

y 2 x—x'

x²dx

(H co

l/l + X + X² —

,41+x+x__

— i log 11 + 2 x + 2 l/l + X + X²1,

12)

x dx

l/l — 2 x — 3 x²

1    . 3 x+1

- —-= arc sm —-

3 y 3    ²

4/l — 2 x — 3 x² +

13)

x -j— 3

l/l —4 je

dx = — £ ]/l — 4 .T² -j— § arc sin 2 x,

14)

11 x⁴ — 195 a²

l/x² +6*-f 5 = £(11 je³ — 77 x²-}-105 x — 175) ]/x²4-6 jc + 5,

dx —

15)

dx

(jc— 2)³ ]/3 x² — 8 je —f- 5 6 x—13

2 (x—2)

— flog

]/3 x² — 8 x -f- 5 —

2x — 3 -f- 1/3a:² — 8x + 5

16)

dx

(x-fl) l/l—x²

17)

dx

xl/14-x²

log

1+Vl+Jt*’

dx

¹⁸⁾ J (x -f⁻1)³ j/x² 4“ 2 x -j⁻ 2

l4-l/x²4-2x4r2

l/x²4~2 x-f-2

2 (x4-l)²

+ flog

x-)⁻ 1

19)

x²dx

1/2

ax — x 4~ f a² arc sin -

³ £±^1/2 +

20)

f__dx

J (* + />) V*³

-1 Vi—ß

— arc cos

14~

x4-p

dla |p| < 1.

2)

1 yx

J ]/ x 4~ y x

dx —

arc

t g (*A)

3)

4)

x —(— 2

2 x-J-3 ' (x-f-2) (3 x + 5) 2 -)-x

tfx

= 2 arc tg

1/2 x + 3 |/ x + 2’

J j/3 — x

rfx = -fy(3-x)² (V- + *),

X²—2 1 /—j—2 3—yi+* >

6) jx³ y(l — x²)¹ tfx = —iy 1 -x²[xc —fx⁴ + £x²-j-§],

5)

X³

]/l+x²

rfx

7)

c?x

J ]/9 —(— x² —j— 3    ]/9 —f- a*² f— 3

flog (x-f-J/9 “b*²),

8)

dx

]/1 —}— 4 x — 5x²    y5

9)

dx

]/—2 — 5x — 3 x² y 3

1    . 5 x — 2

7= arc sin--

/ f;    o

= ~^= arc sin (6 x -f- 5),

10)

dx

y₂x

— — 2 arc tg t

y₂x—x²

11)

x²rfx

yi+x+x²—

jyi+x+x² \2    __

— !log|l-f 2x +2yi -f-x + x²|,

12)

x dx

]/l — 2x — 3x²

^j/l — 2x- 3x² +

3|/3

= arc sin

13)

14)

x —j— 3 l/l —4x2 11 x4, — 195 x2 ]/x² -\- 6 x -f- 5 = £(11 x³ —77x²-j-105x — 175)l/x² + 6x + 5,

dx — — £ l/l — 4 x² -}- § arc sin 2 x,

dx —

15)

dx

(x — 2)³ ]/3 a:² — 8 jc-|- 5 6<x—13

2 (x—2)

— flog

]/3 Jtr² — 8 x -f- 5 —

2 x — 3-f-]/3x² — 8x -f-~5

16)

dx

17)

(x+1) l/l—x2 dx

— log

1 +l/l +

18)

dx

l/x² -|- 2 x-j- 2

J(x4-1)³1/x² + 2x + 2

1 +l/x² + 2x:f2

2 (x-j- 1)

+ flog

19)

x²dx

1/2

ax — x + f a² arc sin -—

3a_t ïy2ax-x* +

20)

f__dx

J (* + />) V*²

—1 l/i—p²

= arc cos

1 -f- px

x+p

Rozdział IV.

Całki funkcyj wykładniczych, logarytmicznych trygonometrycznych i cyklometrycznych.

§ 1. Uwagi ogólne.

Bardzo częstym przypadkiem całek powyższych funkcyj jest całka typu

i fVp W] fp'(x) dx

omawiana w rozdziale I, str. 8.

Przykłady:

1. I— f sin (ax)ax dx (a^> 1).

ax — t, axdxloga = dł

=— f sin t d t log a

Kładąc

otrzymujemy: / więc 2. I— ) (log Kładąc

dx

cos t

log a’

cos (a*)

log a

dx

C.

dt

log X = t, X otrzymujemy : I= \ t³dt — \i⁴, cos x dx.

sinjc = f, cos x dx=dł otrzymujemy: I=\ełdt—e\

8. I=\e

sin x

Kładąc

więc /=£(log Jf)⁴

więc I— e

sin x

-fc.

4. I— \ sin³ * cos³ a: dx,

Kładąc

/= \ sin²x cos²* cos* dx— $ sin²* (1—sin²*) cos* dx. sin x — t,

/³ th

1= j /² (1 — t²) dt—¹— —    ■>

o 5

sin³* sin⁵* , ^

5

mamy

więc

5. / =

sin²*

dx,

J cos⁴* sin² * dx cos²* cos²*

= !tg² x

dx

więc

cos²*

Kładąc tg* — /,    mamy: I— \ P dt — ’

/=^ + c.

6. /— \ (arc sin *)³

dx

Vi -ï²

Kładąc arc sin x — t,

dx

= dt,

l/l—x*

otrzymujemy: I—\t&dt = \ti, więc / = \ (arc sin x)* -j- C.

§ 2. Całki funkcyj wykładniczych i logarytmicznych.

i/(a*) dx,

I. Całki typu:

podstawieniem ax — t, sprowadzamy do całki

¹ i^dt

log a J t

Przykład:

I— $ ]/l —ax dx. Połóżmy ax — t,

zatem I —

log a

1 — ł — z², otrzymamy:

Podstawiając

2 f z²dz

log a ) 1 — z²    log a ^ Z    11 -f-z

Stąd, kładąc z = ]/1 — f = ]/l — ax, otrzymamy :

1 — l/l— a*

¹ “h ]/l — a*

/ = _—— 2 l/l—a⁻* -j- log log a

II. Całkę typu: \ W (.r) ax dx,

gdzie W (.r) jest wielomianem, wyznaczamy metodą całkowania przez części.

Kładąc u — W(x), du = W' (x)dx,

dv = ax dx,

ax

v=-₅

log a

W(x)ax

-———| W' (x) ax dx. log a

Ponieważ stopień wielomianu W' (x) jest niższy od stopnia W (.r), więc postępując tak dalej dojdziemy wreszcie do

otrzymujemy : j W (o:) ax dx =

log a

Î ax dx

ax

log a

Prz ykład :

I = \ (x² —2 x-f-3)axdx.

Całkując przez części otrzymamy:

I_Cr²— 2x-\-S)ax

log a

Stosujemy do ostatniej całki ponownie metodę całkowania przez części,

zatem: f (2 x—2)axdx =

—-— j(2r — 2) ax dx. log a

(2 x—2)ax

log a

a więc:

x²-2x-\-3 2x — 2

log a

(log a)

\2

—* — i 2 ax dx, log a

2 *

(log a)³j a

III. Całkę typu :    \ W (log a-) dar,

gdzie W jest wielomianem, sprowadzamy do całki poprzedniego typu podstawieniem log x — t.

Mamy bowiem x = eł, dx= eł dt,

j W (log x) dx = \ W (t) eł dt.

zatem

Prz ykład :

/ — \ [(log ar)² — 2 (log ar) -f- 3] dx.

log x=t,

/= j [t² — 2 ć-f 3] e‘dt.

Całkując przez części, jak w zadaniu poprzedniem 1= (t² — 4 t-\- 7)e',

/ = [(log ar)² — 4 log ar -j- 7] x.

Podstawiamy:

zatem

otrzymamy

zatem

IV. Całkę typu: j ar" (log ar)m dx

(m całkowite dodatkowe, n całkowite), możemy wyznaczyć podstawieniem log x = t, jeżeli n — — 1, lub metodą całkowania przez części, jeżeli n=j= — 1.

Połóżmy mianowicie:

u — (log ar)"¹,

dv=xn dx,

du —m (log ar)1 arn+t

v = -—j—r>

dx

ar

a więc

j xn (log x)mdx =

arn+1 (log x)m

n —(— 1

\ arn+1(log ar)"¹"¹ dar.

Postępując tak dalej dojdziemy wreszcie do całki: s xn+mdx.

Całki typu: \ W (ar) (log ar)"¹ dar [m 0 całkowite, W (ar) wielomian] sprowadzają się do całek poprzednich.

Przykład :

dx

du = 2 log x — » v = x² — 3 .v,

/ = J [2 x — 3] (log x)² dx. Całkujemy przez części. Zatem u = (log jc)²,

d v — (2 x — 3) d x, więc I={x² — 3x) (log x)² — 2 j (x — 3) log x dx.

Całkujemy jeszcze raz przez części. Zatem :

\ (x — 3) log x dx — (|- x² — 3 x) log x — i (£ x — 3) dx, więc I=(x² —3 x) (log x)² — (x² — 6 x) log ar -{-£ x²— 6 .v.

§ 3. Całki funkcyj trygonometrycznych.

u, v,

do całki funkcji wymiernej podstawieniem

I. Jeżeli R (u, v) jest funkcją wymierną zmiennych wówczas całkę J R (sin x, cos x) dx sprowadzamy

= t.

tg2

Mamy bowiem:

sin x =

X X

2 sin —cos — Ł i

sin² |+.cos²|

l-M²

CO

to I V!

• rH

CO

Ponieważ

więc

sin* |+cos³1 x = 2 arc tg t, dx =

2 dt

1 + f²

1 — t²

1-f f²

I t — ł

I = i log

Więc :

Ponieważ sin x, cos x i dx wyraża się wymiernie zapomocą zmiennej t, więc \ R (sin x, cos x) dx przy pomocy tego podstawienia przechodzi w całkę funkcji wymiernej.

Przykład :

1.

dx

J 3 sin x— 4 cos x

X

Podstawiamy tg —

La

= t. Zatem

2 dt

1 + /²

dt

\    6 t 4 (1 — t²)

J i + t² i +1%

czyli / = i

'S

'-i    *+2

dt = ^log

t-h

|tgf + 2 ’

¹

4 z³dz —

II. W niektórych wypadkach chcąc wyznaczyć całkę | R (sin x, cos .r) dojdziemy do celu szybciej, używając innego podstawienia.

a) Jeżeli R (u, v) jest funkcją nieparzystą ze względu na zmienną n, to znaczy, jeżeli mamy R (u, v) — = — R (—u, v), wówczas podstawiamy:

cos x — t,

sin x ⁼⁼ ]/1 — t²,

dx —

dt

(0<x<jt)

Fi-t

b) Jeżeli R (h, v) jest funkcją nieparzystą ze względu na zmienną v, wówczas podstawiamy:

sin x — t,

cos x

dx

dt

CO| £

<•*<+

h-t*

c) Jeżeli R («, v) jest funkcją parzystą ze względu na u i v, t. zn. jeżeli:

R (u, v) — R (—u, —v), wówczas używamy podstawienia:

<•*< +

tg x = t

sin x =

l/l+ c’

cos x —

. —— •> dx

fl+c

dt

1+t

1. / =

Przykłady: sin³ x cos² x-\-t

Funkcja podcałkowa jest nieparzysta ze względu na sin x, gdyż

sin³ x

cos² x -j- 1 podstawiamy więc cos x = t.

[t² — 1

Jf² + 1

Zatem : / =

A więc :

2. /=

_(—sin x)?J

cos² x —f~ 1

dt =

S(*

f²-f-F

I = cos x — 2 arc tg (cos x).

dt= t — 2 arc tg t

cos³ x ^ 4 sin² x —1

Funkcja podcałkowa jest nieparzystą ze względu na cos x, używamy więc podstawienia sin x — t.

Mamy zatem :

1 — t²

4 /² — 1

dt —

dt,

III. Jeżeli mamy obliczyć całkę typu

\ sin⁵* cos*x dx (s i k całkowite), wówczas z ustępu II, str. 59 wynika, że

gdy s jest nieparzyste, to podstawiamy cosx = ć,

» ^ »    »    »    w    sin x    t,

gdy s i k jest parzyste, to podstawiamy tgx=ć.

Jeżeli s i k nie są liczbami całkowitemi, wówczas podstawiając sinx=f, otrzymamy:

h — 1

f sin® x cos* x dx = \ ts (1 — t%) ² d t.

Ostatnia całka jest całką dwumienną, którą umiemy wyznaczać w wypadku, gdy jedna z liczb —, —, ~y jest liczbą całkowitą (str. 34).

Przykład :

² x dx.

x cos

I= i Vtg x dx—\ sin^

wiając :

więc

a więc

I== — i sinx + Ąlog

2 t—1 2f + l ’

2 sin x — 1

3. / =

dx

2 sin x -f- 1

sin² x — 4 sin x cos x -j- 5 cos² x

Ponieważ funkcja podcałkowa jest parzysta ze względu na sin x i cos x, więc podstawiamy tgx=n.

Mamy zatem

du

du

więc

(a — 2)² + l

I — arc tg (tg x — 2).

= arc tg (u — 2),

Ponieważ -y = 0, więc całkę obliczamy podsta-sin x = t,

IV. Całkę typu :    ) IV (.r) sin m .r

gdzie W (x) jest wielomianem, wyznaczamy metodą całkowania przez części.

du = W' (x) dx,

Kładąc bowiem u = W(x),

v — — mcos mx.

więc

1 W1 -j- 1/2 cot jc —{— cot a: 2 ]/2    ^1—|/2 cot .r -f- cot x

1    . 1/2 cot x

~7=arc tg---->

V 2    1—cotjr

-t²

t²

zatem

I = \tt (1 — t²fdt.

Kładąc t — ]/ z, mamy I = ^\ z~x    dz.

1 — z

Podstawiając wreszcie —-— — w4¹

otrzymujemy

dw

² Jm⁴ + r

Rozbijając funkcję podcałkową na ułamki proste¹) i całkując otrzymamy

1 ,    w]/2 Ą-w² ,    1    ₄

«,⁴ + l~4]/2l08l-»f2 + ®> ⁺ 2V2ar'3 S1 Ponieważ

dw

w\/_2

/cos² X

sin² x

]/cot X,

dv = sin mx dx,

otrzymamy :

\W(x) sin mxdx = — ^ W(x) cos mx-\-^\W' (x) cos mxdx.

Postępując tak dalej, obniżamy stopień wielomianu i wreszcie dojdziemy do całki j cos mx dx lub j sin mx dx.

Przykład:

I = \ (x² — 2 x -\- 3) sin 2 x dx.

Całkujemy przez części, zatem I — — ^ (*² — 2 jc —(— 3) cos 2 x -f- ^ j (2 x — 2) cos 2 x dx, j (2 x — 2) cos 2 x dx — ^(2 x — 2) sin 2x—^ j 2 sin 2 x dx, więc

I = — £ (a:² — 2 x -j- 3) cos 2 x -j- ^ (* — 1) sin 2 * -j-.    -f- i cos 2 x.

Uwaga.

Funkcję sin* * (k >> 0 całkowite) można zawsze przedstawić w postaci sumy sinusów i cosinusów wielokrotności x.

Mamy, jak wiadomo:

stąd

sin² x — \ — 4 cos 2 x, sin³ x — ^ sin x — \ cos 2 x sin x.

a więc

Ale cos 2 x sin x — \ sin (2 x x) — \ sin (2 ^ — *). sin³ x = § sin x — \ sin 3 x.

Ogólnie, mając już takie przedstawienie dla sin* x, otrzymamy z niego analogiczny wzór na sin*⁺¹ * przez pomnożenie obu stron przez sin x i uwzględnienie związków :

sin x cos v x = £ sin (v -f- 1) x— | sin (v — 1) x, sin x sin vx = % cos (u— 1) x — \ cos (u-|- 1) x.

Wynika stąd, że całka typu j W (*) sin**cf* (Ä>0 całkowite) sprowadza się do całki typu poprzedniego.

Przykład:

I = \ (*³ — 1) sin² * dx. Ponieważ

zatem

sin² x = % — cos 2 x,

/ = £ \(x‘d — 1) dx — \ J (*³ — 1) cos 2 * dx.

Stosując do drugiej całki metodę całkowania przez części, mamy:

i (a:³—1) cos 2 x dx— | (a:³— 1) sin 2 x—§ j a:² sin 2 x dx, i x² sin 2 x dx = — ^ x² cos 2 a* -{- \ x cos 2 a: dx,

J x cos 2 xdx = ^ x sin 2 x-\-\ cos 2 x,

zatem I x⁴ — x — £ [2 x³ — 3 x — 2] sin 2 x —

—    [2 a*² — 1] cos 2 x.

§ 4. Całki funkcyj cyklometrycznych.

I. J /(arc sin a-) dx przez podstawienie arc sin x=t przechodzi w całkę: \ f (t) cos t dt. Jeżeli więc f (t) jest wielomianem, wówczas całkę tę obliczamy metodą całkowania przez części (str. 62).

Przykład :

/ = \ (arc sin x)² dx.

Podstawiamy : arc sin x = t. Zatem I — \ t² cos t dt. Całkując przez części otrzymamy:

I—t² sin t — 2 \ i sin t dt,

Zatem

j / sin t dt — — t cos t -f- \ cos t dt — — t cos t -f- sin f. /=(/² — 2) sin t -j- 2 t cos /.

Ponieważ sin t = x, cos t = ]/1 —x², więc I — [(arc sin x)² — 2] a* —|- 2 |/l — a*² arc sin x.

II. j W (a-) arc sin x dx (gdzie W (x) jest wielomianem), wyznaczamy metodą całkowania przez części.

dx

Kładąc bowiem u = arc sin x, du

otrzymujemy :

j W (x) arc sin x dx — Wx (x) arc sin x —

f W±(x)

Jl/1-*²

d x.

Przykład:

I = \ 2 x arc sin x dx.

Całkujemy przez części, a więc :

I = x² arc sin x —

x² dx

]/l-X‘

Obliczając ostatnią całkę metodą podaną na str. 48 otrzymamy :

x²dx

—    ]/l—x² -j- ^ arc sin x,

więc 1= a:² arc sin x -f- \ x ]/l — x² — \ arc sin x.

III. \ W (x) arc tg x dx (gdzie W (a:) jest wielomianem) rozwiązujemy metodą całkowania przez części.

Kładąc bowiem : u = arc tg jc, du —

dx

ï+p’

dv — W(x)dx, v = j PP(x) dx — Wx (x),

mamy :

j W (x) arc tg x dx = Wx (x) arc tg x —

Wx (x) dx

J 1 -\-x

Prz ykład:

/ = j x arc tg x dx.

Całkujemy przez części. A więc:

f x²

/= i x² arc tg JT — i \

dx.

x J

l+x*dX

j x arc tg x dx = \ x² arc tg a* — £ x -f- \ arc tg x.

Rachunek różniczkowy i całkowy.

zatem

1 -\-x

dx = x— arc tgx,

§ 5. Przykłady funkcyj niecałkowalnych elementarnie. Poznaliśmy poprzednio szereg metod, pozwalających w pewnych wypadkach wyrazić całkę nie-znaczoną danej funkcji przez funkcje elementarne. Nie należy jednak sądzić, że potrafimy wyznaczyć w ten sposób całkę nieoznaczoną dowolnej funkcji ciągłej. Można np. udowodnić, że całki:

e—dx,

x

COS X

dx

sin x ,

-— dx,

x

nie dadzą się wyrazić przez funkcje elementarne.

Wykazano również, że całki dwumienne nie dadzą się elementarnie wyrazić, z wyjątkiem trzech wypadków, które poznaliśmy poprzednio (str. 34). Podobnie całka

dx

Jl!w(x)

gdzie W (x) oznacza wielomian trzeciego lub wyższego stopnia, tylko w pewnych wyjątkowych wypadkach wyraża się elementarnie.

Przykłady, f dx log x

mentarne. Wprowadzając bowiem nową zmienną przez podstawienie x = ev, otrzymujemy

\ejdy-

1. Całka

nie da się wyrazić przez funkcje ele-

\ dx

J log x

Ponieważ całka po prawej stronie nie wyraża się przez funkcje elementarne, to samo dotyczy danej całki.

i sili x    *

J —2 dx przy pomocy całkowania przez czę-. x

ści wyraża się następująco : sin x

2. Całka

r cix

sin x , f cos x

dx.

Po prawej stronie mamy całkę nie dającą się wyrazić przez funkcje elementarne. A więc i dana całka również nie da się w ten sposób wyznaczyć.

Zadania:

1)

2)

i’ dx

J ]/•! -\-eix

3)

dx

-dx = log ] e* — 11 +1 log (ex + 2),

— l-hVl + e²*

+i+yr+^’

aex are tg—— s b

i log

O*

{a, b 0),

. a?ex -f- b^e x

4)    j xŁex dx = ex (x⁴ — 4 x³ + 12 x² — 24 x -j- 24),

5)    j ex (x²    jc —J— 1) = ex(x²— jk* —|— 2),

6)    j [(log x)² — 2 log x] dx — x [(log x)² — 4 log x -|- 4],

7)    \ (log x)⁶dx — x [(log x)⁵— 5 (log x)⁴-j-20 (log x)³— — 60 (log x)² -j- 120 log x — 120],

8)    j x² (log x)² dx = ^ [(log x)²

1 . / 1

7= arc tg -p

— f logx-ff],

9)

dx

tg

3 -f- cos x ]/ 2 10) j sin³x |/cos x dx = 2 (f cos² x — £) cos x l/cos x,

“>

sin² x

cos⁶ x

dx = (i + ^tg² x) tg³x,

12)

dx

== arc tg (l/f tg x),

7 cos² x-f 2 sin² x ]/l4

13) j cos x cos 2 x cos 3 x —

. /sin 6 x , sin 4 x , sin 2 x ,    \

=łl——4--r—t-—2“- + *)’

5 —J— 3 sin x -j- 7 cos x sin 2 x

X

= ł log | tg x I -f- I log tg +2

15)    J sin⁵ x dx = —cos 5 j -f ïf cos ^ x — ł cos x->

16)    j cos² x sin³ x dx = y¹^ cos 5 x — ^ cos 3x— 2 cos x].

₁ COS X

³ sin³ x

18) \ x³ cos x dx — (3 x² — 6) cos x -f- U*³ — 6 x) sin x,

14)

J sin⁴ x

§ cot X,

+ I log

4- X tg2 ’

—dx = x tg x -f- log ! cos x |, cosJ x

20) ) (arc sin x)² dx =__

= x (arc sin x)² + 2 ]/l — x² arc sin x — 2 x, arc tg x

19)

21)

X²

dx — —

arc tg x -j- log

jx|

l/r+?'

22)

X²

arc tg x dx =

J 1 x²    __

== (x— \ arc tg x) arc tg x — log ]/l -f- x²,

23) \ arc sin x

l/l —x²

dx = x — ]/1 — x² arc sin x.

W skazo wki :

13) Zamienić najpierw iloczyn cosinusów na sumę.

22) Przedstawić licznik

19) Całkować przez części, ułamka w postaci x² -f-1 —-1 i rozbić na dwie całki, następnie całkować przez części. 23) Całkować przez części.

Rozdział V.

Całka określona (pojedyńcza).

A x

,    ... t—l *A, n ,

£₂, Źn oznaczają punkty wybrane

'f rr U.

§ 1. Definicja całki określonej. Niechaj funkcja y = f(\r) będzie określoną i ograniczoną w przedziale (ab) (a<^b). Podzielmy przedział (ab) na dowolną liczbę odcinków (niekoniecznie równych), których długości są odp. : A Niechaj

dowolnie, po jednym z każdego odcinka.

Utwórzmy sumę:

A = f&) Axx +/($₂) Ax% + ... +/(£„) Axn.

Znaczenie geometryczne sumy A jest szczególnie proste, gdy funkcja f(x) jest w przedziale (ab) nieujemną. W tym bowiem wypadku, iloczyn f(^₁)Ax₁ równy jest polu prostokąta o podstawie Axx i wysokości /(£-,_). Suma A przedstawia zatem łączne pole prostokątów o podstawach Ax₁, Ax₂, ... Axn i o wysokościach /(£A),

/(£*), ••• /(£„)• (Rys. i).

Zbiór odcinków Axt, A _r₂, ... Axn, nazywać będziemy podziałem <5. Długość największego odcinka, wchodzącego w skład podziału ó, oznaczać będziemy symbolem | ó |.

Ciąg podziałów {    } nazywamy ciągiem normal

nym, jeżeli lim j ón | = 0 , innemi słowy, jeżeli długość

największego odcinka, wchodzącego w skład podziału ó zdąża do zera, gdy n dąży do nieskończoności.

Dzieląc np. przedział (a b) na dwa, trzy, cztery, pięć i t. d. równych odcinków, otrzymujemy ciąg normalny podziałów.

Rys. 1.

za-

Obierając dowolny ciąg normalny podziałów {ó i tworząc dla każdego podziału <5„ sumę odpowiednią A otrzymujemy ciąg sum {.An}. LUa danego ciągu podziałów {<5„} możemy otrzymać rozmaite ciągi M,,}, leżnie od tego, jakie punkty £ obierzemy.

Określenie: Jeżeli funkcja f(x) ma tę własność, że przy każdym ciągu normalnym podziałów {<5„}, ciąg sum {A,,}, jest zbieżny (bez względu na to, jakie punkty £ obierzemy), wówczas powiadamy, że funkcja f(x) jest całkowalną w przedziale (a, b).

Wykażemy, że, jeżeli funkcja f(x) jest całkowalną, to dla każdego ciągu normalnego podziałów {<)„} odpowiednie sumy Mn} zdążają zawsze do tej samej granicy.

Przypuśćmy bowiem, że / (x) jest funkcją całkowalną w (ab). Jeżeli obierzemy dwa ciągi normalne podziałów M„} i {Ó'n} i przez {An}, {A'n) oznaczymy-odpowiednie ciągi sum, wówczas ciąg podziałów [óx, o ₁, o₂, o ₂, ... ôn, ó„, ...] jest również ciągiem normalnym Zatem, wedle założenia, ciąg sum Mx, Ät, A₂, A ₂, • • •] iest ciągiem zbieżnym. Ponieważ ciągi częściowe ciągu zbieżnego są zbieżne do tej samej granicy, więc: lim ^„ = 1^ A’n.

n —> oc

Widzimy zatem, że ciągi sum {An} i {A'n} są zbieżne do tej samej granicy.

Wspólną granicę ciągów {An} odpowiadających ciągom normalnym podziałów, nazywamy całką określoną funkcji / (x) w przedziale a b.

Całkę określoną oznaczać będziemy symbolem :

b

j f (.x) dx.

Uwaga 1.

Niechaj funkcja y = f(x) będzie ciągłą w przedziale zamkniętym (ab). Wykażemy później, że funkcja taka iest funkcją całkowalną. Załóżmy, że f(x)^>0 dla <C x <C b. Oznaczmy przez D obszar zawarty między krzywą, osią xow i rzędnemi x = a, x=b. (Rys. 2).

Utwórzmy dowolny podział <5 odcinka (ab\ Niechaj M₁, m₁, M₂, /n₂, ... oznaczają największe wzgl. najmniejsze wartości, jakie funkcja f (x) przyjmuje w odpowiednich odcinkach podziału ó. Oznaczmy przez |l5 §₂ • • •

MX

a Axi Ax₂

Rys. 2.

wzgl. |'₂ ... punkty, w których funkcja przyjmuje powyższe maxima, wzgl. minima.

Zatem

Niechaj :

A=f£l)Axx+f(£i)Ax₂ + ... = M₁Axx+M₂Ax₂ + ... Ä—f{k'dAx₁-\-f{%'z)AxiAr... = mi A x₁ -f- m.₂ A x₂ -j- • • •

Prostokąty o podstawach Axu Ax₂ ... i wysokościach odpowiednio Mu M₂ ... pokrywają obszar D.

Prostokąty zaś o tych samych podstawach, a o wysokościach ml5 m₂... mieszczą się w obszarze D.

b

lim An = lim A'n = j f(x) dx,

Ponieważ dla każdego ciągu normalnego podziałów {d„} mamy:

więc postąpimy zgodnie z intuicją, określając pole obszaru D, jako wartość całki :

\ f{x) ci x.

Uwaga 2.

b

W całce określonej \f(x)dx (w przeciwieństwie do

a

całki nieokreślonej !) zamiast x możemy napisać inne litery. A więc:

\f(x)dx=\f(t)dt = \f(z)dz i t. d.

Przykłady:

1. Funkcja y — c jest w każdym przedziale całkowalna i

\ c dx = c(b — a).

Tworząc bowiem jakikolwiek podział d i obierając punkty S₂ ••• Źn dowolnie po jednym z każdego odcinka wchodzącego w skład podziału d, mamy

/(§i) = c, /(§,) = c, ...

zatem

A = c A xt -j- c A x₂ -{- ... = c (b — a).

W myśl zatem definicji:

b

\ c dx ==z c (b a).

Obrazem geometrycznem funkcji y = c jest prosta równoległa do osi xów. Jeżeli c 0, całka powyższa przedstawia nam pole zawarte między tą prostą osią r°w i rZę(jnemi x — a, x = b.

2. Funkcja y=x jest w każdym przedziale całkowalną i

r ^ b2~a2 \xdx==-2---

Utwórzmy dowolny podział d odcinka (ab). Obierając punkty    • • • dowolnie po jednym z odcinków

A .Yj, A x₂ ... podziału ô i kładąc /(x) = x otrzymamy:

W/l

/(i=    /(&) =

zatem

A = A xx +1₂ A x₂ +...    £„ A x„.

Jeśli oznaczymy przez x₁, x₂, ... .r„ środki odcinków Axt, Ax₂ ... A x„, to :

A = xlAx₁-\-x₂Ax₂-{- ...-{-xnAxn +(si — ^1)^^ +

I (^2    ^*2) ^ *^*2 I • • • 1 (b/i A Xn.

Oznaczmy punkty podziału (t. j. końce odcinków wchodzących w skład podziału d) literami

Zatem :

a<ax<a₂ <a₃...<a„ = &.

ai ~\~a

2 ’

a2~ł~al

zl = ax — a,

•U =

zlx₂=a₂— al5 .y₂

i t. d.

gdzie |ä| = |(li— a*! ) Zl jtj -f(f₂ — x₂) Axa-\~... |<

^ I xi I I ^ I | la — -**2 11 ^ I K⁻ • • •

Ponieważ | £,—^ | < i zl ^ , ||₂—.v₂|<^zlx₂ it.d., więc |Â|<£4*₁|d|-f£4jr₈|<5|-j-... = £(ô — a)\ô\.

Jeżeli zatem obierzemy dowolny ciąg normalny podziałów { ón }, to

An =

+ Rn, przyczem | Rn | < £ (b — a) | ó„ [. Ponieważ lim |<5n| = 0, więc lim Rn = 0,

b² — a²

zatem

lim A „ =

b* — a²    .    »    b² — a²

—--> a więc \xdx—-

2    i    2

a,

Zatem

a² — a²

x₁Ax₁-\-x₂Ax₂-\~... xn Axn = b² —a².

o2 _ 2

a2 a 1 I 2 '

b² — a²

Więc

b² —a²

2 + Ä’

Obrazem geometrycznym funkcji y = x jest prosta. Jeżeli 0 a b, to całka określona przedstawia pole zawarte między tą prostą osią xow i rzędnemi x = x — b ; polem tern jest oczywiście trapez.

3. Jeżeli funkcja f (x) jest w podziale (ab) wszędzie, z wyjątkiem skończonej liczby punktów, identycznie równa zeru, wówczas

j f(x) dx= 0.

Niechaj k oznacza liczbę punktów, w których funkcja jest różna od

zera, zaś M maximum funkcji i f(x) w przedziale (ab). Dla dowolnego podziału ô oczywiście

mamy

A \ < 2 kM\ó\.

Jeżeli więc {ötl ) jest dowolnym ciągiem normalnym podziałów, zaś {An} ciągiem odpowiednich sum, wówczas

A„\ < 2kM\d„

n = 1, 2, ...

n —> oo

Ponieważ lim |(5„|=0, więc lim An = 0, zatem

l>

j f(x) dx — 0.

§ 2. Niektóre własności całek określonych.

Z definicji całki określonej łatwo wynikają następujące twierdzenia :

Twierdzenie 1.

Suma dwu funkcyj f(x) i (p (x) całkowalnych w przedziale (ab) jest funkcją całkowalną i

l>    I,    b

J [/ Cr) -j- ⁽f Cr)] dx = | /' (x) dx -j- j (f Cr) dx.

Dowód.

Jeżeli ó jest dowolnym podziałem, wówczas mamy

A=f(Źi) ^*1 + /(la) Ax₂ + ...

A' = (p (£,) A x₁ + (p (|₂)

A + A' = [/&) + cp (&)] AXl+ [/(|₈) + <P (la)] A x₂ +...

Jeżeli więc { ón } jest dowolnym ciągiem normalnym podziałów, wówczas

lim (AnJrÄn)'=^ lim 4„ + hm Ä,

n •>

n = oo

Tl = Cxj

n = oc

więc funkcja f (x) -f- cp (x) jest całkowalna w (ab) i

J [/ Cr) + (p Cr)] dx — \ f U) dx -f ( (p (x) dx.

Podobnie udowodnić można następujące twierdzenie :

Twierdzenie 2.

Iloczyn liczby stałej c przez funkcję / (ar) całkowalną w (ab) jest funkcją całkowalną i

b    b

\ c f (x) dx = c \ f (x) dx.

Przykłady:

1. Opierając się na przykładach § 1, wyznaczyć wartość następującej całki:

1

I= \ (6x-j- c) dx.

O

Mamy

zatem :

więc :

2. Jeżeli funkcje f (x) i <p (a*) różnią się w przedziale (ab) tylko w skończonej liczbie punktów, wówczas zakładając, że jedna z nich jest całkowalną, możemy twierdzić, że druga jest również całkowalną i że nadto

f>    b

\ f (x) dx — \ q) (.y) dx.

Przypuśćmy bowiem, że (p (x) jest funkcją całkowalną w (ab). Na mocy przykładu 3, str. 74, mamy:

\ if(x) —

cf) (.v)j dx — 0

Ponieważ :

/(•*) = [/W — fP (.r)] + (p (x)

mocy (1) otrzymujemy żądany

na

więc funkcja f(x), jako suma dwu funkcyj całkowalnych jest całkowalną i związek.

§ 3. Całkowalność funkcji ciągłej. Niechaj funk-cja y = f(x) będzie funkcją ciągłą w przedziale Utwórzmy dowolny podział ó odcinka (ab). Oznaczmy

przez Mx, il/₂, ••• największe zaś przez , m₂, ... najmniejsze wartości, jakie funkcja f(x) przyjmuje, odpowiednio w odcinkach A xly A x₂ ... podziału ó. Połóżmy:

N — My A Xy —j- M₂ ^ ^2 ~f~ • • • s = mx A x₁ -f- m₂ A x₂ -f-...

. . (1)

A=f(£₁)Ax₁ + /(|₈)żljr₂ + ...

Liczbę S nazywamy górną sumą, zaś s dolną sumą, odpowiadającą podziałowi <5.

Mamy oczywiście :

Lemmat 1.

nor-

Jeżeli f (x) jest funkcją ciągłą w przedziale (ab), zaś { (5„ } oznacza dowolny malny ciąg podziałów odcinka (ab), wówczas

lim (Sn — sn) = 0 n —>oo

(Sn, sn oznaczają sumy górne wzgl. dolne odpowiadające podziałowi Ó„).

Dowód.

Niechaj ô będzie dowolnym podziałem. Zachowując poprzednie znakowania mamy na mocy (1):

(2)

S — s = (My — my) Axy Jr(M₂ — m₂)Ax₂-\r...

Ponieważ funkcja f(x) jest jednostajnie ciągłą w pize-dziale (ab), więc obierając sobie dowolną liczbę e^> , znaleźć możemy takie r)^>0, że, jeżeli | £    5 !    ,

wówczas [/(£;')—/(ni<£* Przypuszczając, że |o    °-

M₁ —    <e.

M₂ — m₂<£, ...

czyli :

A więc :

S — s*CeAx₁-ireAx₂Jr..- = e(Ax₁-\-Ax₂Jr...),

jeżeli 'j ô | V •

0<N— s<£ (b — a),

. (3)

Ponieważ lim |ô„j = 0, więc istnieje takie N, że dla

n —> co

każdego n^> N będzie | ón \ <7 >}. Mamy stąd na mocy (3):

0 Sn — s„ <s (6 — a)

dla n^> N.

Ponieważ s może być dowolną liczbą dodatnią, więc lim (Sn—sn) — 0.

¹

w⁴ -j- 1 = {w² -f- w V 2 + 1) {w² — w V 2 + 1).

Lemmat 2.

Niechaj Ô i ó' będą dwoma podziałami (ab).

Jeżeli f(x) jest funkcją ciągłą w (ab), zaś S oznacza górną sumę odpowiadającą podziałowi Ô, s' dolną sumę odpowiadającą podziałowi ô', wówczas

S>s

(czyli każda suma górna jest równa lub większa od jakiejkolwiek sumy dolnej).

Dowód: Niechaj :

S = MX Ax₁ -j- M₂ A x₂ -4-..s — m[Ax[-\- m₂Ax₂-\- ...,

Załóżmy na razie, że f(x)^>0 dla    (Rys. 2).

Niechaj w tym wypadku D oznacza obszar między krzywą y—f(x), osią a*ow i rzędnemi x — a i x=b. Łatwo zauważyć, że prostokąty o podstawach Axx, Ax₂ ... i wysokościach Mx, M₂ ... pokrywają całkowicie obszar D, i że w obszarze D mieszczą się całkowicie wnętrza prostokątów o podstawach Ax\, A x₂ ... i wysokościach odpowiednio m 'v m '₂ ... Wynika stąd, że prostokąty o podstawach Axx, Ax₂ ... pokrywają prostokąty o podstawach A xv Ax₂ ... Ponieważ S jest sumą pól pierwszych prostokątów, zaś s' sumą pól drugich, więc

S>s.

Jeżeli teraz funkcja f (.v) nie jest funkcją nieujemną w (ab), to kładąc

f(x) — fix) — m

[m oznacza najmniejszą wartość funkcji /(jr)]

mamy :

/ (.v) ^ 0 dla a x b.

Zatem S (gdzie S oznacza górną sumę funkcji fix), odpowiadającą podziałowi ó, zaś s dolną sumę, odpowiadającą podziałowi ó').

Lecz

S — Mi A Xj —A x₂ ~l⁻ • • • —

= iMi — m) A Xi -f- (^2 — m2) Axg +.. .

iMx M₂, ' oznaczają największe wartości funkcji fix) w przedziałach A xt, A x₂ ...).

S = S — m ib — a).

Zatem

Podobnie otrzymamy

s = s — m ib — a).

Ponieważ

więc

czyli

S>s,

S —m ib — a)^ s — m ib — a), S>s.

Twierdzenie.

Funkcja y = fix) ciągła w przedziale iab) jest w tym przedziale całkowalna.

Dowód.

Niechaj {ó„} oznacza dowolny ciąg normalny podziałów, {Sn}, {sn} sumy górne wzgl. dolne, odpowiadające podziałom ón, zaś {A„} sumy określone w g 1-Jeżeli p i q są dowolnemi liczbami naturalnemi, wówczas na mocy lemmatu 2

Sp

A zatem

Sp SQ<ź>Sc, Sq.,

Sq Sp fź-Sp Sp.

Wynika stąd :

■ • (1)

Ponieważ na mocy lemmatu (1) lim (Sn — s„) = 0, więc obierając dowolną liczbę £^>0, znajdziemy takie N, że dla n^> N

0 < Sn — s„ < £.

Jeżeli więc p^> N i q^>N, wówczas na mocy (1)

— £ < Sp — SQ <£,

czyli

SP—SQ |<fi.

Widzimy stąd, że ciąg {Sn} spełnia warunek Cau-chy’ego, jest więc zbieżny.

Ponieważ :

sn =Sn — (Sa —sn),

więc na mocy lemmatu 1 :

lim sn =lim S„

■ . (2)

Z uwagi na to, że

s„ < A„ < S„

wynika na mocy (2) istnienie granicy

lim A„.

A zatem funkcja f(x) jest funkcją całkowalną dziale (ab).

§ 4. Niektóre warunki całkowalności. W ustępie tym podamy (bez dowodu) pewne warunki całkowalności funkcyj nieciągłych.

Twierdzenie 1.

Funkcja ograniczona i posiadającą skoń-

oną liczbę punktów

îaie (aó) jest w tym p._ ------- **v w w c***,<t.

Wynika stąd łatwo, że funkcja ograniczona i posia-ająca skończoną liczbę punktów nieciągłości w (ab),

w prze-

CL O

o. CD

w prze-

jest całkowalna w każdym przedziale częściowym (a, ß)

Ważnem jest również następujące:

Twierdzenie 2.

Jeżeli funkcja jest całkowalna w przedziale (a, b), wówczas jest również całkowalna, w każdym przedziale częściowym (a,

(a < a </?<£)•

a: log x

Przykłady:

(0 <C x <C 1) jest ciągła we-

1. Funkcja f (x) — -

— x

wnątrz przedziału (0, 1). Jeżeli określimy ją w końcach przedziału w ten sposób, że /(0) = 0, /(1) = — 1, to jak łatwo sprawdzić

lim f(x) — f (0), lim f (x) = f (1).

x —> + 0

Funkcja ta jest zatem również w końcach przedziału ciągła, a więc całkowalna w przedziale (0, 1).

2. Funkcja / (x) = sin

0 <x< 1, /(O) = 5, jest . funkcją całkowalną w przedziale (0, 1), gdyż posiada w tym przedziale tylko jeden punkt nieciągłości x = 0, a ponadto jest ograniczona.

3. Funkcja : f(x) = 1 dla 0 ^ x <C 1,

= 0 = 3

jest całkowalna w przedziale (0, 3). Jest bowiem ograniczoną i posiada tylko dwa punkty nieciągłości, x= 1 i x = 2.

§ 5. Rozkładanie przedziału całkowania.

Twierdzenie.

Jeżeli a < ń < c i jeżeli funkcja f (x) jest całkowalna w przedziale (a, c),

Rachunek różniczkowy i całkowy.

\ f (x) dx -(- J / (x) dx = \ f (x) dx.

Dowód.

Utwórzmy ciąg normalny podziałów {ó„} odcinka (a, c) taki jednak, by punkt b był punktem podziału każdego ón. Oznaczamy przez {^ł„} ciąg sum odpowiadających podziałowi {$„}. Sumę An możemy przedstawić następująco :

An = [/(£') A x' +/(^) Ax'₂-\-...\-\-

+ [nzi)Ax;)+fg;)Ax'; + ...],

gdzie Ax\, Zi x' ..., wzgl. A x", A x'ź ... oznaczają odcinki podziału ón, mieszczące się w (a, b), wzgl. (b, c).

Oznaczając przez An sumę zawartą w pierwszym nawiasie, zaś przez A'„ sumę w drugim, mamy

. . (1)

An = A'n -f“ A

Jeżeli założymy, że funkcja / (x) jest całkowalna w (a, c), wówczas na mocy twierdzenia 2, § 4, będzie również całkowalna w (a, b) i (b, c), a ponadto :

lim An = j f(x) dx, lim A'n = f /(x) dx,

lim A'ń

wówczas :

= \ f(x) dx.

b

Stąd na mocy (1) wynika nasze twierdzenie. Przykład:

Niech dana będzie funkcja / (x) określona w przedziale (0, 1) w sposób następujący:

/ (x) = x dla 0 <; x < ib

» I-Cx^l.

Funkcja ta jest ograniczona i ciągła w całym przedziale (0, 1) z wyjątkiem punktu x = zatem całkowalna. Mamy :

— ł "h ł ⁼ t-

(Por. przykłady do § 1).

§ 6. Niektóre nierówności dla całek określonych.

Twierdzenie.

Jeżeli funkcja całkowalna y=f(x) w przedziale (a, b) spełnia warunek:

dla: a<x<&, wówczas m(b — a) ^ \ f (x) dx M (b a).

a

Dowód.

mamy :

Dowód wynika z uwagi, że dla każdego podziału (5 m (b — a)< A < M (b — a).

Uwaga.

j /(*) dx> 0.

Z poprzedniego twierdzenia wynika, że jeżeli f (•*) ^0, wówczas

Możemy bowiem przyjąć m — 0.

Wynika stąd łatwo, że jeżeli dla funkcyj f (x) i (p (•**) całkowalnych w (a, b) zachodzi nierówność

dla a x b,

/ (*) < <P (x),

wówczas

J / (x) dx    j gp (jf) dx . . . . (1)

a    a

Mamy bowiem (p (x) — f(x) ~^>0, dla a <1 x ó,

zatem

Î (*) — /W] rfx>0,

a

więc

Î fp (x) dx — \ f (jr) dx ^ 0.

Stąd zaś wynika nierówność (1).

Przykłady.

1. Przez wyznaczenie extremôw łatwo się przekonać, że dla f(x) = x (1 —x) jest

(0 < x < 1).

0 </(*)<£

Przyjmując we wzorze poprzednim m = 0, M = \ otrzymujemy nierówność

o <; \ x (i — x) dx <;

o

Istotnie, obliczając całkę w znany sposób, otrzymamy wartość spełniającą tę nierówność.

2. Funkcja f (*) = xx (x^> 0) jest ciągła w przedziale (0, 1), jeżeli się umówimy, że / (0) == 1 (tom I, str. 192, przykład 1). Jak łatwo sprawdzić (por. tom. I, str. 185, zad. 4), funkcja ta osiąga tam minimum dla

.r =

i_

e, wynoszące e e, które jest zarazem jej wartością najmniejszą. Z drugiej strony oczywiście / (x) ^ 1

% M= 1.

(0 x 1). Możemy zatem przyjąć m

e e < j xx dx < 1    (e

W ten sposób dostajemy nierówność

_ _L

« —0*692.

0

W tym wypadku dokładna wartość całki nie da się elementarnie wyznaczyć.

3. Jeżeli f(x) i y (x) są funkcjami ciągłemi w (a, b), wówczas dla każdego A

1(1) = \ [f(x) + Aę) (*)]² dx > 0,

-    a    b

stąd

1(1) = p\(p² (x) dx + 2h\f(x)cp (x) dx +

a    a

. . (2)

-f j p (x) dx > 0.....

Ponieważ wielomian

aA² + 2 öA + c

jest tylko wtedy dla każdego A nieujemny, gdy ó² — ac<0, czyli ó²<ac,

zatem na mocy (2)

[ j / (x) (p (x) dxf < \ P (*) dx• j P dx *    ⁽³⁾

a    a

j qp² (x) dx (4)

(x) dx.

lub \\ f (x) (p (.r) dx | ^-j/ ji f Dla go (jc) = 1, otrzymujemy

\\f(x)dx\<p-ä\/\P(x)dx. b    ’    ³

Nierówność (3) wzgl. (4) (która, jak możną' nić, zachodzi dla każdej pary tunkcyj całkowalnych!, nosi nazwę nierówności Schwarza.

§ 7. Granice całki. Wprowadźmy następujące określenie : jeżeli funkcja f (ar) jest całkowalna w (a, b) a<^b, wówczas połóżmy:

\ f (x) dx = — \ f (x) dx,

b    a

\ f (x) dx — 0.

Twierdzenie.

Jeżeli a, b, c są dowolnemi liczbami, wówczas:

$ f (x) dx -j- j f(x) dx = j f (x) dx .    .    (1)

a    b    a

pod warunkiem, że wszystkie powyższe całki istnieją.

Dowód.

Jeżeli a<^b <Cc, wówczas związek (1) wynika z twierdzenia § 5.

Przypuśćmy, że a<c<6. Zatem

f / (x)    dx    -f-    \ f    (.r)    dx    — j f(x) dx,

a więc:

stąd:

Jeżeli przypuścimy, że a=c, wówczas twierdzenie jest oczywiste. Mamy bowiem w tym wypadku

i / (•*) dx ~t î f (x) dx = 0 — \ f (x) dx.

a    b    a

Podobnie, jeżeli b = c, lub a = b.

Uwaga 1.

Wzór powyższy możemy również napisać w następującej postaci :

= o.

J/W dx+] f (x) dx+] f (x) dx

a    b    c

Uwaga 2.

Liczby a, b występujące w całce

! / (x) dx

na

nazywamy granicami powyższej całki bez względu to, czy a^b lub a^> b. Liczbę a nazywamy granicą dolną, b zaś granicą górną.

§ 8. Funkcje górnej (dolnej) granicy całki.

Jeżeli funkcja / Lr) jest całkowalną w (a, b), zaś a jest dowolnym punktem przedziału (a, 6), wówczas możemy określić nową funkcję F (x) wzorem :

F (x) = \ f (t) dt

Funkcja F (x) będzie określoną dla wszystkich .r przedziału (a, b). Funkcja F (x) jest więc funkcją górnej granicy całki z funkcji / (x).

Podobnie możemy rozpatrywać funkcje dolnej granicy całki z funkcji / (x), t. j. funkcję

<P(x) = jf( ł) dt

Jasną jest rzeczą, że (.r) = — F (x).

Należy pamiętać o tem, że funkcja górnej, względnie dolnej granicy zależy jeszcze od obioru punktu n.

Twierdzenie.

Funkcja F(x) = \f(t)dt jest funkcją ciągłą

a

w każdym punkcie przedziału (a, b).

Dowód.

Niechaj .v₀ i ;r₀ -\- X będą dowolnemi punktami przedziału (a, b). Mamy:

*0 +    *t>

F (x„ + l)-F(x„) = \f (t) dt - I f(t) dt =

zatem na mocy twierdzenia § 7

•*0+ ^

F(xa + X)-F(x₀) = \f(t)dt . . . (1)

•«o

Przypuśćmy, że | / (x) | < L dla a < x < b.

Na mocy twierdzenia § 6 str. 83 i (1):

I F (*o +    ~ F C*r₀) I -< L |    -|- A — x₀ | -■= L | A |.

Widzimy stąd, że:

I F(xo + X) — F (x₀) | = 0.

X

A zatem funkcja j / (t) dt jest funkcją ciągłą.

Uwaga.

Oczywiście funkcja (x) = \ f (t) dt jest również funkcją ciągłą, gdyż

<ï> (x) = — F (.x).

Przykłady:

1. Całka F (x) =

^ yriest funkcją ciągłą dla x^> 0. Jak

1

łatwo się przekonać [por. tw. 3, § 9] jest F (x) = log

2. Podobnie F (x) = J

jest funkcją ciągłą dla

O

wszelkich x. (Mamy tutaj F (x) — arc tg x (por. tw. 3, § 9).

3. Całka F(x) =

dt

]/(l — t²) (1 — A²*²)

(0<A<1) jest

S^— d t ciągłej dla

wszelkich x. (Dla t — 0, jako wartość funkcji podcałkowej przyjmujemy 1).

również funkcją ciągłą dla 0<r<l. Funkcja ta jednak nie da się wyrazić przez funkcje elementarne. Jest to t. zw. całka eliptyczna.

4. To* samo dotyczy całki F (x) — ^

§ 9. Całka określona a funkcja pierwotna.

Twierdzenie 1.

Jeżeli funkcja f (.r) jest całkowalna w (a, b), a a b i a <; .r , wówczas pochodna funkcji f f{t) dt istnieje i równa się funkcji podcałkowej w każdym puhkcie, w którym funkcja ta jest ciągła.

Dowód.

Przypuśćmy, że f (x) jest funkcją ciągłą w punkcie x₀ przedziału (a, b). Obierając zatem dowolną liczbę £    0 możemy znaleźć takie r)^> 0, że dla każdego

punktu x przedziału (a, b), spełniającego nierówność

. . (1)

zachodzić będzie:

czyli

| f (x) —/W I ^ £>

/ (jr₀) — £ < f (*X / W + s- • •

x

Kładąc F (x) — J f (t) dt zauważymy, że

X

\fW dt,

F (x) — F (x₀)

x — x₀

zatem, jeżeli x spełnia nierówność (1), wówczas na mocy nierówności (2) i twierdzenia z § 6 :

F(x) — F(x₀) x — x₀

Ponieważ e obraliśmy dowolnie, więc

F Cr) — F (x₀) x — x₀

F'(x₀) istnieje i F’(x₀) = f (x₀).

Z twierdzenia powyższego wynika odrazu następujące: Twierdzenie 2.

Funkcja / (x) ciągła w przedziale (a, b) posiada w tym przedziale funkcję pierwotną. Funkcją pierwotną jest funkcja

czyli

/ (.r₀) — s <

lim

xu

■v„

f W £-

^(x) = j f(t) dtĄ-c.

Uwaga.

Twierdzenie (1) można również wypowiedzieć dla funkcji Cr) =    dt.

X

Mamy bowiem

I f (t) dt= — f f(t) dt.

x    a

Należy jednak zauważyć, że d>'(x) = —f(x).

Twierdzenie 3.

Jeżeli F(x) jest funkcją pierwotną funkcji /Cr) ciągłej w przedziale (a, b), wówczas

\f(t)dt=F(x) — F (a), a a ö, a x b.

Dowód.

.r

Ponieważ F(x) i \ f (t) dt są funkcjami pierwotnemi

a

funkcji /Cr), więc różnią się tylko o stałą. Zatem

\ f (t) dt = F (.r) + c.

Kładąc x — u, otrzymamy 0 = F (a) -j- c. Wynika stąd, że c = — F(o), zatem:

)f(x)dx=F(x) — F(a).

Uwaga.

Kładąc w poprzednim wzorze x—b, a = a otrzy

mamy :

• • U)

\f(t) dt = F (b) — F (a) .    .

obliczyć całkę okre-

nam

Wzór powyższy pozwala śloną, gdy znamy funkcję pierwotną, t. j. całkę nieokreśloną.

Dla krótkości piszemy wzór (1) często w innej postaci. Np. ]f(t)dt = F(t)\

2    i²

\tdt= 2

Jt

Przykłady:

2

1. Wyznaczyć całkę: \ sin x dx.

Ponieważ

i sin a: dx = — cos x,

TC

więc

2

J sin x dx —

0

1

2. Wyznaczyć całkę j x" dx

0

\ xn dx 1

j xn dx 0

— cos f -f- cos 0 = 1.

n^> — 0.

Ponieważ

więc

3. Wyznaczyć całkę J

Ponieważ

x²

xn+1

^Tï’

72+1

X²

.    « , dx

) aó x3 0

r

)    dx = i log (a³ + x³), więc

a > 0.

JT

4

4. Wyznaczyć całkę J

sin⁴

COS⁶ X

- dx.

Mamy

sin⁴ x

tg⁴ x

= tg⁴ x (1 -f- tg² x). Kładąc więc tg x = t otrzymujemy

COS⁶ X

COS² X

r sin⁴ X

J cos⁶ x dx = +⁴(1 + t²)

dt    t* _ tg⁵ x

1 -|- t²    5    5 ’

Jl

a stąd

sin⁴ x cos⁶ x

tg⁵f

tg⁵ 0    1

st

5. Wyznaczyć całkę In = j sin" .r dx (n naturalne).

0

Dla całki nieoznaczonej j sin" x dx otrzymaliśmy (por. str. 15) wzór rekurencyjny

cos x sin"⁻¹* , n — 1

[ sin" x dx = Stąd

sin" ²xdx.

SI

TC

ST

In

— \ sin" x dx — 0

cos x sin

n —2

x dx.

Jeżeli n + 2, to pierwszy wyraz po prawej stronie równa się zero, więc

-2*

K = n—~I,

Przy pomocy tego wzoru oraz z uwagi na to, że Iq = Ix = 1 otrzymujemy łatwo przez indukcję

/₂ „ = j sin

0

SI

T    1

= j sin²-" + 1JC dx = — m ' 0    *

hn + l

2 /i

co to

2/1 + 1

§ 10. Twierdzenie o wartości średniej (całkowe). Jeżeli funkcja f(x) jest całkowalną w przedziale (a, 6), wówczas wyrażenie:

-— i / (*) dx b — a a

nazywamy dziale (a, b).

Ważnem jest następujące:

wartośćią średnią funkcji f (x) w prze-

Twierdzenie (całkowe o wartości średniej).

Jeżeli funkcja f (x) jest ograniczona i ciągła wewnątrz przedziału (a, b), wówczas istnieje taki punkt £ wewnątrz tego przedziału (t. zn. a    b), że:

/ (f) = Î f (*) dx•

6/    “ a

Dowód.

Połóżmy:

Funkcja F (x) jest funkcją ciągłą w (a, b) i na mocy § 9, posiada wewnątrz tego przedziału wszędzie pochodną:

F' (x) =f (x) a < x < b .    .    .    (2)

u rr

Zatem z twierdzenia o wartości średniej poznanego w rachunku różniczkowym wynika, że istnieje liczba , spełniająca związek:

F (b) — F (a) = (b — a) F' (|)    a<£<ó .    (3)

Ponieważ na mocy (1)

więc na mocy (2) i (3)

\fW dt=(b — a) /(I).

Stąd otrzymujemy nasze twierdzenie.

Przykłady:

1. Średnia wartość funkcji / (x) = x (1—x) w przedziale (0, 1) wynosi

S / (x) dx = i.

O

Ponieważ jest to funkcja ciągła, więc dla pewnego

co łatwo spraw-

X = ê (0 < § < 1) mamy £(! — £) =

dzić bezpośrednio.

2. Średnia wartość funkcji f (x) = x sin x w przedziale (0, tc) wynosi

n j x sin * dx = 1.

O

Wobec ciągłości tej funkcji, dla pewnego § przedziału (0, ji) jest £ sin £ = 1. (Łatwo bezpośrednio udowodnić, że istnieją co najmniej dwie takie wartości £).

Zadania.

1) Wyznaczyć następujące całki określone:

a)

dx

b)

J a² -\- b² x² 4 ab'

O

§1/6-

f x^dx

J ]/4 + 2x

0

15)

c; ;

= s log I

«y

x² — x-\-l    3]/3

2 jr

ej j cos mx cos nx = 0 przy m =j= n,

= jr

m = n

(m, /z całkowite, dodatnie),

1 ^

f) j arc sinxrfx= 1,

r-r--= 1,

dx

g)

x² -f- 1

X* - j- x² -j- 1

dx

ji

2 I/2’

1 -f- COS X

.V f_dx

) a² cos² x -\-b² sin² x 0

j) j y*² -j-1 dx

0

JZ

2 ab

a> 0, 6>0,

î= + *log(l +V2).

V2

2) Wykazać, że średnia wartość promienia wodzącego elipsy

1--£ COS (f

równa się połowie jej małej osi. (Jak wiadomo

1la² — b²

5    £ = ~- 5

P =

gdzie a, b oznaczają połowę dużej i małej osi). Należy wyznaczyć średnią wartość funkcji

1 - £ COS (f

w przedziale (0, 2 tri).

3) Obliczyć średnią wartość funkcji

f (*) =

cos² x

sin² x -j- 4 cos² x w przedziale (0, —) i sprawdzić bezpośrednio, że wynik wynoszący jest wartością funkcji f (x) dla pewnego x S tego przedziału.

4) Przyjmując w nierówności

m (b — a) < ) /(x) d x < M (b — a)

za m i M najmniejszą i największą wartość funkcji f (x) = x (1 — x)² w przedziale (0,1), wykazać, że

0 j x (1 — x)² dx ^⁴t,

O

następnie zaś sprawdzić to bezpośrednio, obliczając całkę.

5)    Obliczyć w granicach od 0 do x całkę funkcji / (x) określonej w sposób następujący :

f (x) = 1 — x f(x) = 0 / (x) = (2 — x)

dla 0 ^ x ^ 1,

„ lO<2,

„ 2 < x < 3

i sprawdzić bezpośrednio, że otrzymana funkcja jest ciągła w przedziale (0,3) i że jej pochodna w każdym punkcie wewnętrznym tego przedziału istnieje i równa się / (x).

6)    Przy pomocy wzoru na str. 16 (przykład 2) wykazać, że:

rc

2/1+1

x dx =

2.4 ... 2 n

375 ... (2/T+1V

COS

2 /i

X 6?X =

1.3 ... (2n — 1)

2.4 ... 2/i

dla wszystkich naturalnych n.

Rachunek różniczkowy i całkowy.

Rozdział VI.

Przekształcanie całek określonych. Całkowanie ciągów i szeregów.

§ 1. Zamiana zmiennych w całkach określonych. Przypuśćmy, że w całce określonej :

i f (x) dx

a

chcemy użyć podstawienia x = (p (ł).

Wzór na zamianę zmiennych w całkach określonych jest następujący:

⁶    ß

Î /(•*) dx= ]f[(p (01 dł,

gdzie

<p (cc) = a, ff (ß) = b.

Wzór powyższy udowodnimy przy założeniach:

1.    Funkcje <p (t) i qp'(t) są ciągłe w (cc, ß).

2.    Funkcja / (.*•) jest określona i ciągła dla wszystkich wartości, jakie funkcja x — (p (t) przyjmuje w przedziale (a, ß).

<P(ß)=b.

3.    cp (cc) — a

Dowód.

Oznaczmy przez M wzgl. m największą wzgl. najmniejszą wartość funkcji

Niechaj

x = <p(t)

F(x) = \ f(x) dx

a < t ß.

m x M.

Na mocy twierdzenia o podstawianiu w całkach nieokreślonych (str. 7)

F [<p (0] = \f[<p (O] y’ (t)dt dla a < t < ß.

Stąd

fi

x—S

rH CM

\ f[y (/)] <P' (t) dt = F[y (ß)] — F[(p (a)] = — F (b) — F (a)

Ponieważ

J/to dx = F(b) — F(a)

więc z porównania ostatnich dwóch równości, otrzymujemy żądany wzór.

Nieraz nie potrafimy wyznaczyć całki nieoznaczonej danej funkcji, a mimo to zdołamy obliczyć całkę określoną w pewnych granicach przy pomocy stosownej zamiany zmiennych.

Uwaga.

Gdybyśmy zamiast założenia 3. mieli

y (ß) = a (p (d) — b

wówczas, jak łatwo stwierdzić, mielibyśmy zamiast związku (1)

j f [y (#)] y'(t) dt — F (a) — F(b)

(L

Stąd na mocy związku (2)

».

j /(*) dx = J f [y (t)] y' (t) dt.

Przykłady:

1. Wyznaczyć całkę

/ = j x l/l + *² dx.

l/i 4- x² = t, x — ]/1² — 1 Mamy dla t — 1 x = 0, t = ]/ 2 x = 1.

t dt

l/*²— T’

Podstawmy

czyli

Ponieważ

rfx

więc

PF

KF

I = \ t dt =

1

2. Wyznaczyć całkę:

co

2 - 2-

log (1 + x)

1 _j_ x²

û?x.

Połóżmy

x = t g t, dx

dt

cos² t

Nowe granice całkowania będą, jak łatwo widzieć, 0 i f. Zatem

r log (i 4~x)

Jt

1 +x²

dx =

log (1 4- tg t) dt 1 4- tg²1 cos²1

j log (14-tg t) dt =

O

Jl

= 1log

.o

sin f 4- cos t

Jl

y₂

COS

(?-o

dt—\ log

0

⁼ f l°g y2 rf/ 4~ 1 log COS (x — /)    — j log cos ż df.

⁰    o    o

COS t

cos t

Jt

Jt

Jt

Jl

Kładąc w drugiej całce f-— t=u, dt — — du, mamy

4~

Jl

\ log

O

COS

(f t) dt= j

j — log cos u du log cos u du.

Jt    o

Zatem dwie ostatnie całki się

znoszą.

Otrzymujemy więc

Jl

iog OJ- x)

i I 2 d. X -

l -j- x²

4

[ log 1/2 dt

°° a

log 2.

3. Wyznaczyć całkę:

Jl

x sin x

1    n dX*

1 -f- COS² X

Mamy

Jl

Jl

x sin x 1 -f- cos² x

dx =

x sin x

Jl

x sin x

1 -j- cos² x

Jl

1 -f- cos² x

dx.

Kładąc w drugiej całce x = jz—t, dx= — dt, mamy

f — t) sin (Jt — t) ₌

J 1 cos² (jv — t)

Jl

x sin x

Jl

1 -f- cos² X

dx— —

Jl

Jl

2

f (ji — t) sin t

1 cos² t

d t.

Pisząc znowu x zamiast t, mamy

Jl

Jl

x sin x 1 -f~ cos² x

— dx =

x sin x 1 -|- cos² x

2

dx -j-

sin x

1 -f- cos² x

dx —

Jl

Jl

x sin x

dx=

f sin x dx

n J1 -j- COS² X

Obliczając tę całkę w znany sposób, otrzymujemy ostatecznie

x sin x

Jl²

1 -j- cos² x

dx = —

Zadania:

1) j (l — I/*²)* dx

o    o2

Podstawienie x — sin³ <p.

Wyznaczyć następujące całki oznaczone : 3 Jt

2)

a+^=(f-f)sS (->0).

Podstawienie x = a cos go.

3)

dx

= log

2 + ^5 1+1/2

]/x² + a2 Podstawienie x = a tg (p.

4) { 1/2

0

na²

ax — x² dx = Podstawienie x = 2 a sin² (p.

§ 2. Całkowanie przez części. Przypuśćmy, że funkcje f (x) i (p (x) są ciągłe wraz z pochodnemi w przedziale (a, b).

F (x) = f (x) (p (x).

Niechaj

Mamy F¹ (x) = /(*) <p' U) + f''(x) V (x).

Ponieważ

b

\ F' (x) dx = F(x) | , więc j [/ (x) (p' (.r) + /' (*) <P W] dx = f(x) (p (x) \.

Stąd

1 / W 9°' W dx — f(x) (p (x) | — ( f (x) <p (x) dx .    (1)

Przykłady:

1. Wyznaczyć całkę:

Jt

! X cos x dx.

0

Przyjmując we wzorze (1) / Cr) = .r, zaś (p (x) = sin x, otrzymamy

jt

jt

jt

\ x cos x dx =

o

2. Wyznaczyć całkę:

x sin x

| — [ sin x dx =

O 0

— 2.

x¹ 2 (1 — x)³ dx.

Przyjmując f Cr) = x², <p (x) = —

j x²(l —x)³dx = 0

(l-*)⁴

^    ? dostajemy

O    ^

dx.

Pierwszy wyraz po prawej stronie równa się zeru. Całkując jeszcze raz przez części, otrzymujemy

<i—*r.dx.

\ j x (1 —x Y dx —

0

Pierwszy wyraz znowu odpada, zaś

TO

Zatem

J (1 — *)⁵ dx =

0

i (i

o

₁ (1— x) — 1° ₆

— 6 0*

— x)Bdx = -gV

§ 3. Całkowanie ciągów i szeregów. Udowodnimy twierdzenie następujące:

Twierdzenie 1.

Jeżeli ciąg funkcyj {«„(x)| ciągłych w przedziale (a,b) zdąża w tym przedziale jednostajnie do funkcji u (x), wówczas ciąg funkcyj

ji un (0 dt| zdąża jednostajnie do funkcji $ u (t) dt

w przedziale (a,ó). Dowód.

| un (x) — u (*) | < s Zatem dla n > N na mocy § 6, str. 83

dla a^.x^Cb.

Z jednostajnej zbieżności ciągu {«„ (.r)} wynika, że funkcja u(x) jest funkcją ciągłą (T. I, str. 215 i 218) i ponadto, że do każdej liczby e 0 dobierzemy taką liczbę N, że dla każdego n^> N będzie zachodzić nierówność :

X

a),

\a[un(t)~u(t)]dt <£(x — a)<e(ó —

czyli

f    *

\unU) — \u(t)dt <e{b — a) dla

Ponieważ e jest dowolną liczbą dodatnią, więc ostatnia nierówność wskazuje, że ciąg funkcyj: j f un (t) dtj zdąża jednostajnie do funkcji j u (t) dt.

a

Uwaga.

Z powyższego twierdzenia wynika dla x = b

b    b

Um \un{t)dt = \u(t)dt.

n—>oo a    b

możemy

A więc przy ciągu jednostajnie zbieżnym znak całki zamienić ze znakiem granicy.

Analogiczne twierdzenie można wypowiedzieć dla szeregów Jednostajnie zbieżnych.

Twierdzenie 2.

Jeżeli funkcje {/„(a:)} są ciągłe dla a^Cx^Cb i je-

00

żeli szereg 2fn (x) jest jednostajnie zbieżny w (a,b),

n = 1

oo X

{a .r - b)

przyczem f (x) jest sumą tego szeregu, wówczas szereg:

7i = l a jest jednostajnie zbieżny i

(a x b)

2\fn (t) dt = ] f (t) dt

n =1 a

W szczególności

2 ) fn (0 dt = I f (t) dt.

n—i a    a

Dowód wynika łatwo z określenia jednostajnej zbieżności szeregu i twierdzenia 1.

Przykłady:

1. Ciąg {«„(x)}, gdzie un (x) = xn jest jednostajnie zbieżny do funkcji u (x) = O w przedziale (O, ^), bo

dla O x

Na mocy tw. 1 jest więc

lim \u„ (t)dt = \u(t)dt = O

n—>oo o    ⁰

dla O x Istotnie, całka :

*    jcn+1

dąży jednostajnie do zera, gdy n oo.

2. Połóżmy: un (x) ~n²x dla0^x<Ç—>

Tl

u„{x)=— dla-<x<!l. x n

Jak łatwo zauważyć, funkcje un (x) są ciągłe w przedziale (O, 1). Mamy an (0) = O, zatem

lim un (0) = 0.

oo

— jest un (x) = — ? a więc x    x

lim un (x) = —•

Zatem ciąg {«fl(x)} jest zbieżny do funkcji u (x) = — (x^> 0),

x

dla której u (0) = 0. Zbieżność ta jest niejednostajna, gdyż funkcja « (x) jest nieciągła dla x = 0. Obliczając

całkę ]un (x) dx, otrzymujemy:

) un (x) dx = \ un (x) dx -j- i un (x) dx —

X

n

Widzimy zatem, że w tym wypadku ciąg całek jest rozbieżny, mimo to, że ciąg funkcyj jest zbieżny. Założenie jednostajnej zbieżności w tw. 1 jest więc istotne.

o ę<    v Gos n jc

. bzereg 2^    —₂— jest jednostajnie zbieżny w każ

dym przedziale, bo tutaj | fn (*) | =

szereg 2 — jest, jak wiadomo zbieżny (por. T. I, str. 219).

Oznaczając jego mocy tw. 2

ł + log n.

cos n x

2’

zaś

sumę przez / (x), otrzymujemy

na

* °°

\ fit) dt = ±7

cos n t

dt

sin n x

— 2, -^8 —

/1=1

W szczególności dla x = f- oraz x = jt dostajemy :

— 4- — —

334-53

\ f(t) dt = ^

\f(t)dt= 0.

O

§ 4. Całkowanie szeregów potęgowych. Przypuśćmy, że szereg potęgowy

• • (1)

a₀ -f- a₁ x + a₂ x² + ... an xn + ...

posiada promień zbieżności R. Zatem szereg powyższy jest zbieżny dla — R < x < R, zaś jednostajnie zbieżny, w każdym przedziale (a, b), gdzie —R a b R.

Niechaj fix) będzie sumą szeregu (1). Na mocy twierdzenia 2 mamy:

(— R<x< R)

Zatem

X

j anxn dx -f- ...

O

an

" ’ Tl -f- 1

xn+1+...    (2)

Szereg powyższy jest jednostajnie zbieżny w każdym przedziale (a, b)y gdzie — R <C a <^b <C R-

Uwaga 1. Jeżeli

wówczas

F (x) — \ f (x) dx, ]fix)dx = F{x) — F(0).

O

an

Stąd na mocy (2), kładąc /'’(O) = C otrzymujemy F(x) = j/(x) dx = cJra₍₎xJr^-x‘² -j-.

O    ^

xn+l-\-...

“ n + 1

Szereg powyższy przedstawia więc całkę nieokreśloną funkcji f (x) dla —i? <*<7?.

Przykład:

Całkując w granicach od 0 do x znane szeregi potęgowe (T. I, str. 235 — 36)

fqr?⁼¹-<² + i⁴ + ... + (-i)"/²"+... ÿï=i = ¹+i^H

1.3

2.4

t2n -f ...

1.3... (2 n — 1)

2.4 ... 2 n

zbieżne dla |ż|<^l, otrzymujemy szeregi arc tg x ==

x2n+1

+ ..•

arc sin x =

£ i 1 -y³ ■ 1.3 ^ 1 ' 2 3'2.45

X ² n-f-1

1.3... (2n-l)

~27TT. . 2n 2 n +T‘ '

zbieżne również dla |^| < 1. Kładąc w ostatnim

5    = ł+ł.

6    2 ' 2 3.2³

szeregu x = £, dostajemy

to M.

co

.    5.2⁵ ‘ ’ ' *

Ten szereg nadaje się dobrze do obliczania liczby Jt.

Uwaga 2.

Jeżeli dana funkcja f(x) da się rozwinąć na szereg potęgowy, wówczas całkę tej funkcji otrzymamy całkując ten szereg wyraz po wyrazie. Sposób ten otrzymania całki dogodny jest wówczas, jeżeli innemi metodami wyznaczyć jej nie możemy.

Przykłady: 1. Całki

sin x

dx

nie można wyznaczyć dotąd poznanemi metodami, gdyż

nie należy do znanych

sin x

funkcja pierwotna funkcji ———

nam funkcyj elementarnych. Ale bardzo jest łatwo obliczyć ją, korzystając z rozwinięcia na szereg. Mamy bowiem

H ! iO

x2n+l

(2/i + D!

a więc, dla x + 0 sin x

X‘^

i _

' 5!

(2n + l>!

Szereg po prawej stronie jest zbieżny również dla x = 0 do granicy 1.

3!

sin x

Funkcja

X

w postaci nieoznaczonej, ale posiada wartość graniczną sin x

przedstawia się wprawdzie dla .y

lim

1 (por. T. I, str. 73—74). Jeżeli więc przypiszemy jej w punkcie x = 0 wartość 1, to otrzymamy funkcję ciągłą dla wszystkich x, przedstawioną przez ostatni szereg potęgowy.

Całkując wyraz za wyrazem, dostajemy szereg sin x

dx= (b — a) —

b³ —a³ . b⁵ — a⁵

3.3!

5.5!

fo 2/1 + 1 ^2 71+1

(2n + l) (2n + l)!

bardzo szybko zbieżny, przy pomocy którego łatwo obliczyć całkę z żądaną dokładnością.

2. W teorji wahadła matematycznego dowodzi się, że czas jednego wahnienia dany jest

+ (-!)"

wzorem

T= 2

d (p

9 J ]/l — Ä² sin² <p

w którym / oznacza długość wahadła, g wartość przyśpieszenia ziemskiego, zaś k — sin —, przyczem a jest kątem zawartym między położeniem pionowem a skraj-nem (0 < a < n).

Występująca po prawej stronie całka nie da się wyrazić przez funkcje elementarne, można ją jednak obliczyć przy pomocy rozwinięcia w szereg. Zastępując

w rozwinięciu funkcji -—-__

na str. 108 zmienną t przez k sin go, otrzymujemy 1

W-    = 1 +ł (A sin +

1.3.5

2.4.6

Szereg po prawej stronie jest zbieżny jednostajnie nierówność'6 (°’ f)' Ist°‘nie’ jeg0 ogólny

podanem w przykładzie

(k sin gp)G

(k sin <jp)⁴ -(-

wyraz spełnia

1.3.5...(2/1 — 1)

2.4.6...2n

(k sin cp)² "

sin

to I a

•>

t. zn. jego wartość bezwzględna nie przekracza bezwzględnej wartości wyrazu ogólnego szeregu, otrzymanego przez podstawienie w rozwinięciu funkcji -——-g

wartości t — sin Ten ostatni zaś szereg jest zbieżny, bo 0 sin y <1 1. Możemy zatem (por. str. 105) całkować obustronnie w granicach 0, y :

dcp

j j/l — Ä² sin² y    2

0

2.4

JT    2

— =--f- \ k² j sin cp d(p -f-

9    o

jt

Æ⁴ j sin⁴ (p d(p -j- ...

Jak wiadomo (por. str. 93) mamy

1.3.5 ... (2 n — 1) n

n

T

2.4.6 ... 2 n

i sin²" cp d<p =

0

Wstawiając to w otrzymany szereg, dostajemy ostatecznie :

T—jz

- l-h(ł)²*

1.3.5

(2.4.6

Przez dodanie odpowiedniej liczby wyrazów tego

T z dowolną dokładnością.

szeregu możemy obliczyć

czas

§ 5. Całkowanie i różniczkowanie według parametru. Niechaj funkcja K(x,ł) będzie określona i ciągła w prostokącie

Ponieważ dla każdej wartości zmiennej t w przedziale (a,b') całka

\ K (ar, t) dx

istnieje, zatem możemy zdefiniować w przedziale (a', b') funkcję f(t) kładąc

• . (1)

/ (t) = j K (ar, ł) d x .

Wykażemy, że funkcja f(t) zdefinjowana wzo- . rem (1) jest funkcją ciągłą.

Jeżeli bowiem t' jest dowolnym punktem przedziału (a,6'), zaś {ź„} jest dowolnym ciągiem punktów tegoż przedziału, zdążających do t\ wówczas na mocy jednostajnej ciągłości ciąg funkcyj (zmiennej ar) {K (.r, ż„)} zdąża jednostajnie w (a, b) do funkcji K (x, t').

Zatem, na mocy twierdzenia o całkowaniu ciągów,

mamy

t>    b

lim J K (or, tn) dx = \ K (x,t') dx, stąd na mocy (1)

A więc funkcja f(t) jest funkcją ciągłą.

Udowodnimy teraz twierdzenie następujące :

Twierdzenie 1.

Jeżeli funkcja K (ar, t) jest ciągłą i posiada pochodną cząstkową względem t, ciągłą w prostokącie a < a- < b, a < t < b\ wówczas pochodna funkcji

f (t) =] K (x,t) Za

wzorem

istnieje i wyraża się

a < t b'

/ (t) = J Kt (a-,/) dx

Dowód.

Niechaj t' i t' -j- X będą dowolnemi punktami przedziału (a, b). Mamy:

dx,

stąd na mocy twierdzenia o wartości średniej :

K Cr, t' Ą-X) — K (x, t')

= K\ (x, t' + # X) (0 <# < 1)

Zatem

f(t' + A) — fjt’)

ij K\ (x, t' -j- ïï X) dx.

Jeżeli teraz X będzie dążyć do zera, to na mocy jednostajnej ciągłości

K’t (x, t' + êX) będzie dążyć jednostajnie do

Zatem lim

X —^ 0

K't (x, Ï).

fit'+ X) — f(t')

= \K't(x,t') dx.

Udowodniliśmy tedy nasze twierdzenie.

Twierdzenie 2.

sto kącie

Jeżeli K(x,t) jest funkcją ciągłą w pro-a^.x^.b,    a'^Ct^b',

wówczas całka z funkcji

f{s) = \K (*, s) dx

wyraża się wzorem:

\ f (s) ds = \ {\ K (x,s) o?s} dx (a'< « < b')

a    a a

t b    b t

c z yli : J {j K (x, s) c?x} ds — \ {J K (x, s) ds) dx.

Dowód.

Połóżmy

b ł

(1)

F(t) = \ {$ K (x, s) ds} dx

* «

Wówczas na mocy twierdzenia 1 i z uwagi na to, że

\ K(x,s) ds} = K (x, t)

b

mamy

F' (t) = \ K (x, t) dx = f(t).

a

Zatem

F (t) — \ f (t) dt + C.

a

Żeby stałą C wyznaczyć, połóżmy t = a, więc F (a) = C. Lecz na mocy (1)

b a

F (a) — \ {\ K (x, s) ds) dx = 0.

Zatem

<7=0,

więc

czyli

i /(s) ds = j [ \ K (x, s) ds) dx.

Uwaga.

Kładąc w szczególności a = a , t = b', mamy

b' b    frr

i, U K (x, s) c?x} ds = j {f K {x, s) d s} dx.

a a    aa'

Zatem, przy powyższych założeniach, porządek całkowania nie wpływa na wynik.

Dotychczas przyjmowaliśmy, że granice całkowania są liczbami stałemi. Zajmiemy się teraz całkami, których granice są funkcjami zmiennej t.

Niechaj funkcje (p (t), (t) będą funkcjami ciągłemi i mającemi ciągłe pochodne w przedziale (a b'), i niech ponadto

a (p (t) by a yj (t) <! b dla a t b'.

Załóżmy, że funkcja K (x, t) jest określona i ciągła w prostokącie    a^t^b' i że posiada w tym

prostokącie cząstkową pochodną względem t, ciągłą.

Otóż przy powyższych założeniach, można wypowiedzieć następujące :

Twierdzenie 3. Pochodna funkcji

v> (O

f (t) = j K (x, t) dx

<p (O

istnieje i wyraża się wzorem:

ip (/)

f (t) = J K'ł(x,t)dx-ł-K[y)(t),i]y>'(t)-K[<p(t)it]ę>(t).

<p b)

Dowód.

Połóżmy

j K (.x, t) dł — F (t, u, v).

Mamy oczywiście:

f(t) = F [t, (p(t), y(t)\.

Opierając się na twierdzeniu o różniczkowaniu funkcji złożonej, otrzymujemy

f (f ) = F't (t, k, v) + F'u (t, «, u) «'+ F'v (t, u, n) ^-

Ft (t, u,v) = ] K't (jc, t) dx,

u

F a (t, u,v) = — K (u, t),

F'v (t, u, v) = K (V, t),

więc f (ł) = \ K 't (x, t) d t -f- K (v, 0^' — K (u, t) u .

U

Stąd zaś po podstawieniu u — cp (/), v = 'ip (t), otrzymujemy nasze twierdzenie.

Przykłady:

1. Mamy:

Ponieważ

2

jxndx=

l

2 n+1— 1

n-\- 1

(*=t=-D

A więc, różniczkując ze względu na n, otrzymujemy

2

Î xa log X dx =

(n -j- 1) 2 ⁷¹⁺¹ log 2 — 2 n+1-f- 1

(n + l)

2. Mamy, jak łatwo sprawdzić:

dx

3V

( | « | < 1)

Różniczkując ze względu na a, otrzymujemy

sin² x

J (1 4- a sin² x)

dx =

31

4 (1 + a)

3. Mamy:

dx

jt

1 -f- a cos x ]/1 — a2 Różniczkując ze względu na a, dostajemy

(M < i)

Jl

cos x dx

Jta

(1 -j- a cos x)

(1-a²)

zaś całkując od 0 do / ze względu na a, mamy po lewej stronie

Jl

SrfaS

dx

Jl

1 -j-a cos x

dx

1 -f- Cl cos X

■ Jl

f log (1 + t

J    COS

COS A-)

dx,

zaś po prawej stronie

da = jt arc sin t.

JT

J ]/l — a

o

Ostatecznie mamy dla |/|<^1

Jl

log (1 -f-1 cos x)

cos x

dx = jt arc sin t

4. Kładąc f (x) =

dt

dla x 0,

mamy

xu

XIJ

dt

Różniczkując ostatnią całkę ze względu na mamy

dt

dx

- =— — y--= 0.

t xy x

A więc jej wartość nie zależy od x. Kładąc jc=1, otrzymujemy jako wartość tej całki f{y).

f(xy)=f(x)Jrf(y).

Stąd

Udowodniliśmy w ten sposób podstawową własność funkcji log x = f (x).

Zadania :

to,'-*

1) Obliczyć całkę

dx

]/l — jc⁴

na 4 miejsca dziesiętne przy pomocy rozwinięcia w szereg.

2) Sprawdzić, że całkując wyraz za wyrazem szereg

a następnie mnożąc obustronnie przez n -j- 1, otrzymujemy analogiczny szereg na (1 -|-.r)"⁺¹.

3) Całkując w granicach od 0 do x szereg Maclaurina

funkcji

l/l +x²

wyprowadzić wzór

log (x + 1/l +*²) =

1    x³ . 1.3 x³ 1.3.5

jest niejedno-

— nx

dt

1 . 3 xu 2.4 11

Jl/l

0

6) Wykazać, że dla |x|<l log (1 -f- t)

1 . 3.5 .rlfi 2.4.6 Tö

,, x

dt == —

<M I CM

H I

CO

U) I 03

Jt⁴

8) Udowodnić przez różniczkowanie całek względem parametru następujące wzory:

x + y

— xy

7) Z następujących całek wyprowadzić nowe przez różniczkowanie i całkowanie względem parametru

ea — 1

a)    j eax 0

2 a

b)    ! 1/2

0

dx =

ax — x² dx

jt a

—— (por. str. 102, zad. 4),

Li

c) \

dx

a² cos² x -f~ ö² sin² x

JZ

„—7 (por. str. 96, zad. 1 i), 2 ab

d) j 0

cos bx dx =

(e

— ajx

cos b Jt — 1).

a)    arc tg x -f- arc tg y — arc tg ^

b)    arc sin x arc sin y = arc sin (x|/1 — y² -\-y]/l — jc²).

9) Dla jakich wartości n wolno różniczkować całkę \xn dx = 0

Rozdział VIL

Całki niewłaściwe.

§ 1. Całka funkcji nieokreślonej w kilku punktach. W rozdziale tym określimy pojęcie całki, w wypadkach, gdy funkcja podcałkowa jest nieokreślona w kilku punktach, lub gdy jest nieograniczona, lub wreszcie, gdy przedział całkowania jest nieskończony.

Przypuśćmy, że funkcja / (r) jest określona w (a, b) wszędzie poza skończoną liczbą punktów rx <Cr₂ • • ••***• Załóżmy, że funkcja f (x) jest funkcją ograniczoną.

Określmy funkcję / (x) dowolnie w punktach xx,x₂, ... xk. Nową funkcję, określoną już w całym przedziale (a, b), oznaczmy przez cp (r). Jeżeli funkcja cp (r) jest całkowalna w (a, b), wówczas całkę

b

j cp (.r) dx

nazywamy całką niewłaściwą funkcji /(r).

Gdybyśmy określili funkcję / (r) inaczej w punktach

*1, x2-> ••• •**, to otrzymalibyśmy inną funkcję (p (r). Lecz jak łatwo zauważyć

\ [gp (r) — (p (r)] dx = 0,

gdyż (p (r) — cp (r) jest wszędzie zerem poza punktami *1, r₂, ... xk. Zatem, jeżeli funkcja (p (r) jest całkowalna, to cp (r) jest funkcją całkowalną i

—    b

i cp (x) dx — \ cp (r) dx.

Widzimy stąd, że całka niewłaściwa nie zależy od tego, jak funkcję f(x) określimy w punktach xu x₂, ... xh. Całkę niewłaściwą oznaczać będziemy jak poprzednio:

b

j / (x) dx.

Przykłady.

1. Niechaj / (x) = sin ~ dla x 0.

Jeżeli położymy q)(x)=f(x) dla at =4= 0, a gp(0) = 0, wówczas, jak łatwo zauważymy, funkcja (p (x) posiada tylko jeden punkt nieciągłości x — 0.

Funkcja (p (x) jest więc całkowalna w każdym prze

dziale.

Wynika stąd, że np. całka niewłaściwa

istnieje i równa się całce \    (x) dx.

Ó

sin x

Podobnie funkcja - posiada całkę niewłaściwą

w każdym przedziale. x

2. Funkcja x log x posiada całkę niewłaściwą w każdym przedziale    jest bowiem ciągła dla

x —>0

x^> 0, a ponieważ lim x log x = 0, jest w tym przedziale ograniczona.

§ 2. Całka funkcji nieograniczonej. Załóżmy, że funkcja / (x) jest określona w przedziale (a, b) z wyjątkiem, być może, punktu a i że ponadto jest nieograniczona.

$ f{x) dx,

Jeżeli funkcja f (x) jest całkowalna w każdym przedziale (a-\-e,b), gdzie £^>0, a-\-s<^b i jeżeli istnieje granica

lim

wówczas granicę tę określamy jako całkę niewłaściwą    b

j / (x) dx.

Przykład : Funkcja y =

f= jest funkcją ciągłą w każdym punkcie przedziału (0, 1) wyjąwszy punkt .r=0. Mamy

]/ x

x II *

2 —2 l/e

(e>0)

• a zatem

lim

= 2.

]/ x

E—>+0

A więc całka niewłaściwa funkcji y = jj= w przedziale (0, 1) jest równa 2. Zatem:    Mx

]/ x

Jeżeli funkcja f(x) posiada w (a, b) skończoną liczbę punktów, w otoczeniu których staje się nieograniczoną, wówczas rozbijamy przedział (a, b) na skończoną liczbę przedziałów takich, by w każdym z nich istniał jeden tylko punkt, w otoczeniu którego funkcja staje się nieograniczoną. Jeżeli w każdym z tych przedziałów funkcja posiada całkę niewłaściwą poprzednio określoną, wówczas sumę tych wszystkich całek nazywamy całką niewłaściwą w przedziale (a, b).

Przykład : Funkcja

(0 x <1 1) staje się w otoczeniu punktów x = 0 i x = 1 nieograniczoną. Aby więc

V*(l— x)

zbadać czy istnieje całka niewłaściwa w (O, 1), badamy granice całek:

lim

£-> + 0 J

l    dX    lim [    dX

' j/x(l — x)    e—> + 0 J ]/X (1—X)

s    ł

Ponieważ

dx

]/x (i—

= arc sin (2 x — 1),

więc granice powyższe wynoszą odpowiednio:

lim [arc sin 0 — arc sin (2 s — 1)] =

co i a

lim [arc sin (1 — 2 s) —

®—> + o

arc sin 0] =

A więc

dx

]/ x (1 — x)

§ 3. Całki w przedziale nieskończonym. Niechaj funkcja f (x) będzie określona dla wszystkich x^> a.

Załóżmy, że w każdym przedziale a ^Cx^b funkcja /(.r) jest całkowalna.

Jeżeli istnieje

lim | / (x) dx

• • (1)

wówczas granicę tę nazywamy całką niewłaściwą funkcji f (x) w granicach od a do --{-oo i oznaczamy ją symbolem :

j / (x) dx

(2)

W wypadku tym mówimy również, że całka (2) jest zbieżna. Jeżeli zaś granica (1) nie istnieje, wówczas mówimy, że całka (2) jest rozbieżna.

Przykład: Funkcja y =

~~2 jest ciągłą dla x^> 1.

Ponieważ

dx — 1 —

-f oo

zatem

lim

b—> + oo

—^dx— 1,

*²

a więc

= 1.

.r²

Analogicznie określamy całki niewłaściwe:

1 / (x) dx= lim \ f (x) dx,

— 00

b —> — oo b

+ ⁰⁰    a    +oo

\ f{x)dx— j f(x)dx-\- i f(x)dx.

Przykład:

Niechaj

/(■*)

00

Mamy

dx

1 + „t²

lim

dx

.7

1+*²

lim arc tg a = — •

-^ oo

dx

dx

jz

— oo

t+p “ i r+x» are ■a>=2 ■■

+ 00

Zatem

dx

dx

+ 00

dx

— rt.

l+x² Jl+<r²‘rjl+*²

O

§ 4. Kryterjum istnienia całki niewłaściwej.

Niechaj funkcja <p (x) nieujemna posiada w (a, o) [a<6] całkę niewłaściwą. Jeżeli funk-

— oo

— 00

cja f ix) jest całkowalna w każdym przedziale (a, b) [a<V<&] i jeżeli

a <C,x^.b

/ (*) | < 9 (x)

wówczas istnieje całka niewłaściwa

j / (x) dx.

Dowód.

Niechaj {e„} będzie dowolnym ciągiem malejącym liczb dodatnich zdążających do zera. Niechaj nadto

(a < b)

a en <C b

Utwórzmy szereg:

a +

^ cp (x) dx -\- j 9 (x) dx -f- 5 9 ix) dx -j- ... -\-

a+ ej

a + e₂

a + e₃

a + £n-1

■Ą- \ q) (x) dx .......(1)

a + e/i

Zauważmy, że jeżeli Sn oznacza sumę n pierwszych wyrazów tego szeregu, to

Sn= \ 9 (x) dx.

a + en

Zatem szereg jest zbieżny i suma jego równa się całce niewłaściwej funkcji cp (x) w (a, b).

Ponieważ wedle założenia

/ (x) I < cp (x)

(a < x ^ b)

więc

ß    ß    ß

|i f(x) dx\<i \f(x)\dx<\ cp ix) dx (a<a<ß<6),

a zatem szereg:

a + ex

I f(x)dx + \ f (x) dx -f (/(*)</*+ ...4-

a-l-£₂

a + £s

a + en—i

+ i f{x)dx-\- ...    .

a + en

• . (2)

jest szeregiem bezwarunkowo zbieżnym, gdyż wyrazy jego są co do modułu mniejsze niż odpowiednie wyrazy szeregu (1).

Oznaczając przez sn sumę n pierwszych wyrazów szeregu (2), mamy

Sn =

b

i / (*) dx,

a więc istnieje

a + en

b

i / (x) dx.

lim

n —> oo a + en

Ponieważ granica powyższa istnieje dla każdego ciągu {e„} spełniającego wyżej podane warunki, zatem

b

lim j / (x) dx

e—> + 0 a + e

istnieje, funkcja / (x) posiada więc całkę niewłaściwą w (a, b).

Przykład :

Całka

cos x

]/x

dx istnieje, bo

COS X

]/x

a istnie-

nie całki \ wykazaliśmy poprzednio (str. 122). Jeżeli s<l, wówczas istnieje całka niewłaściwa

(a > 0)

Mamy bowiem

lim

dx

lim

i- (a¹-⁸

1 — s

Jeżeli funkcja f (x) jest ciągła w (O, a) z wyjątkiem punktu x=0 i jeżeli iloczyn: f(x)xs jest ograniczony w (O, a), przyczem s<C 1, wówcz as istnieje

j / (;c) dx.

O

(0 < *<a)

Mamy bowiem J f (x) xs | ^ A ? zatem

A ponieważ funkcja — (s 1) posiada całkę niewła-x

ściwą w (0, 1), więc na mocy poprzedniego twierdzenia istnieje całka niewłaściwa (1).

W szczególności, jeżeli istnieje

lim / (x) x

*—> + 0

wówczas istnieje całka (1).

(*<D

Np. lim

*-^> + 0

]/sin x

= lim

•* —0

1/^

= 1.

A więc istnieje

dx

]/ sin x

Dla całek w przedziałach nieskończonych można wypowiedzieć analogiczne kryterjum. A mianowicie :

¹

(1— *)⁵

²

— 2*    5

³

   Wykazać, że dla | x I < 1

Niechaj funkcja cp Cr) nieujemna posiada całkę niewłaściwą:

-f- oo

j cp (x) dx.

Jeżeli funkcja f (x) jest całkowalną w każdym przedziale (a, b) (a<^b), i jeżeli

(a

I / (*) | < (p (x)

wówczas istnieje całka niewłaściwa

+ 00

]    / (x) dx.

Dowód przebiega podobnie, jak przy poprzedniem kry terj um.

Podobne kryterjum można wypowiedzieć dla przedziału (— co, -j- co).

Przykład:

oc

1.

COS X

dx istnieje, bo

COS X

1 -f- X

<r+,

2’

a funk-

oc

cja

1 -j- x²

posiada całkę niewłaściwą

dx

ji

1 +*² 2

2. Jeżeli j xsf{x) j <CA dla x^> a^> O i s^> 1, wówczas

00

istnieje \f(x)dx. Zakładamy przytem, że funkcja f(x)

a

jest całkowalna w każdym przedziale (a, b) (a <C b).

A

| / W | <C —i’ a ponadto lim [b

oo

Mamy bowiem

dx

— = lim

X    b —> + 00

-s + l

— a-s+1]

— s -f-1

(S — 1) *'

§ 5. Zastosowanie do szeregów.

Twierdzenie.

Jeżeli f (x) jest funkcją ciągłą, nieujemną i malejącą, określoną dla wszystkich x^>l,

to szereg nieskończony 2 f(n) jest zbieżny

oo

71=1

wzgl. rozbieżny, zależnie od tego, czy całka

00

f f(x)dx istnieje, czy nie.

Dowód.

Zauważmy, że w przedziale (n, n -J-1) największą wartością funkcji f (x) jest f(ń), najmniejszą zaś f (n -f- 1). Zatem, wedle twierdzenia na str. 83

n+l

f(n + 1) < î / (*) dx < f(n), n = 1, 2,

n+l

A więc

/(2)+/(3) + ...+/(n + l)< j /Wij<

</(D+/(2)+ •••+/(«)•

00

Jeżeli istnieje całka J f(x) dx, to ciąg sum częściowych sze-

oo    1

regu 2 f (ń) jest ograniczony, a więc ten szereg jest

n =1

oo

zbieżny.

Załóżmy naodwrót, że szereg 2 f (n) jest zbieżny.

n — 1 n

Wedle ostatniej nierówności ciąg {j /(a:)ö?a:} jest,

oo    1

n =1

z powodu zbieżności szeregu 2 f (n), ograniczony. Ciąg ten jest niemalejący, bo

i / (x) dx = \ f (x) dx-\- j f(x)dx ^ J / (x) dx,

11    n    l

n +¹

gdyż / (x) >0.

A więc ciąg { \ f (x) dx} jest zbieżny do pewnej

granicy g. Do każdego e O istnieje zatem takie N, że dla każdego całkowitego n^> N jest

— e < ] / (x) dx < g + s.

Niech x będzie dowolną liczbą większą od N 1. Wówczas istnieje całkowite n > N takie, że n < xn -f-1.

/i +1

Mamy

!/(f) dt=\f(t) dt+\f (/) dt = \f(t)dt- s /«) dt,

1    1    n    1    x

“j f (t) dt < f f (t) dt<Ÿf «) </?,

1 1 1

n+1

zatem

a ponieważ n'y N, więc tern bardziej

Ostatnia nierówność zachodzi dla każdego .r^W-f-l. Tem samem udowodniliśmy, że ze zbieżności sze-

oo    oo

regu 2 f (n) wynika istnienie całki f f(x) dx, tj. drugą

n = 1    t

część naszego twierdzenia.

Przykłady:

1. Niech f (x) — x n

j /(*) dx

x~a+'

— a 4~ i

= log X

dla a 4= 1

dla a = 1

f f{t) dt = —^~

1 1

= log x

Stąd natychmiast widać, że nasza całka istnieje jedynie dla a^>l. A zatem, wedle ostatniego twierdze-

00 \

nia, szereg nieskończony 2 — jest zbieżny przy a^>l,

n 1 H

rozbieżny przy a ^ 1. (Por. T. I, str. 199—200).

2. Niech f (x)

Zatem

a xa_1

dla a =f= 1

dla a — 1

X log X Jak łatwo widzieć, mamy

I / (x) dx = log log

\ f (t) dt — log log x — log log 2.

a więc

2

oo

Zatem całka ) f (t) dt nie istnieje, z czego, wedle

2

naszego twierdzenia, wynika rozbieżność szeregu

oo

n =2 n log n Uwaga.

Twierdzenie pozostaje prawdziwe, jeżeli funkcja / (.r) jest określona i posiada własności wymienione w założeniu dla x K. Należy w niem wówczas zastąpić

oc    oo    oo

2 f (/?) oraz j f (x) dx odpowiednio przez 2 f (ii)

n=1    1    n=K

OO    •

i \ f (.r) dx. Korzystaliśmy z tego przy ostatnim przy-

K

kładzie.

§ 6. Całki niewłaściwe jednostajnie zbieżne.

Niech K (jt, s) będzie funkcją ciągłą określoną dla x a, a ^ s ^ ß i posiadającą tę własność, że całka niewła-

oo

ściwa j K Cr, s) dx istnieje dla każdego s przedziału (a, ß).

Definicja:

oo

Całkę \ K (x,s) dx nazywamy jednostajnie zbieżną ze

oo

względu na s w (u, ß), jeżeli do każdego e O istnieje a takie, że

\ K(x,s)dx <1 £

dla każdego c)>4 i każdego s z przedziału (a, ß).

Definicja ta jest podobna do definicji szeregów nieskończonych jednostajnie zbieżnych. W istocie, całki jednostajnie zbieżne posiadają analogiczne własności, któ-remi się teraz zajmiemy.

Mamy oczywiście :

j/f(x,s)djr=SÄ(x,s)rfx-f \ K (x, s) dx -j- ...    (1 )

cl

a +1

Szereg po prawej stronie jest jednostajnie zbieżny, bo z powodu jednostajnej zbieżności całki, do dowolnie obranego e > 0 istnieje A > a takie, że przy każdem A, p > 0 i każdem s z przedziału (a, ß) jest

n +2

n+1

J K (;r,s) dx -f- \K (x,s) dx + . • • + \ K (x, s) dx

( K (x, s) dx

Tl

Ponieważ wyrazy szeregu (1) są ciągłemi funkcjami parametru s, więc jego suma jest funkcją ciągłą zmiennej s w (a, ß). Całkując szereg (1) wyraz za wyrazem w granicach a, ß, ze względu na s, dostajemy szereg zbieżny przedstawiający całkę funkcji, stojącej po lewej strony równości (1) wziętą w tych samych granicach:

a+1

\ ds \ K (.r,s) dx — j ds j K (.x,s) dx -j-

a~\~ 2

-f- j ds j K (x, s) dx

a+1

Zmieniając w każdym wyrazie prawej strony porządek całkowania, co wedle twierdzenia 2, str. 113 jest dozwolone, otrzymujemy :

aĄ-1

(l

j ds \ K(x, s) dx= \ dx \ K (x, s) ds +

(2)

K (x, s) ds -{-...

a+2

+ \ dx

a+l

00

a+n

czyli j ds j K {x,s) dx— lim ] dx \ K (x,s) ds

(L

n ~—)    a

Udowodnimy teraz, że istnieje całka niewłaściwa

oo \ dx \ K (x,s) ds.

Kn

Gdyby tak nie było, to istniałby ciąg rosnący do -f- co liczb większych od a : Kx <1 K₂ <C Ka <i • • • taki, że ciąg całek

\ dx \ K (x,s) ds

byłby rozbieżny. Zatem i szereg nieskończony

k₂

Rx ß

\ dx \ K (a-,s) ds -j- j dx \ K (x,s) ds -f- ...

byłby rozbieżny. Ale ten szereg jest zbieżny, bo powstaje on w ten sam sposób, co szereg (2), przez całkowanie jednostajnie zbieżnego szeregu:

oo i K (x, s) dx — \ K (x,s) dx -j- \ K {x,s)

Kx

w granicach a, ß i przez następną przemianę porządku całkowania. Tern samem udowodniliśmy zbieżność całki

oo \ dx \ K (x, s) ds.

Wobec tego możemy równość (3) napisać:

00

oo

S ds \ K (ar,s) dx — j dx j K (x, s) ds

(4)

Załóżmy teraz, że funkcja K (x,s) oprócz poprzednio uczynionych założeń, spełnia jeszcze następujące:

1° Istnieje pochodna K's (x,t) ciągła w każdym punkcie obszaru, w którym jest określona funkcja K (x,s).

oo

2° Całka niewłaściwa j Ks(x,s)dx jest zbieżna jed-

a

nostajnie ze względu na s w przedziale (a, ß).

Udowodnimy, że w takim razie funkcja \ K (jc,s) dx posiada ciągłą pochodną i że    a

oo

00

oo

Istotnie, szereg

oo

a-H

a-j-2

j K's (x,s) dx = J K's (.r,s) dx -j- \ K's (x,s) dx -f- ... (5)

a    a    a+1

jest zbieżny jednostajnie, co udowadnia się tak samo jak dla szeregu (1). Ale szereg ten powstaje przez różniczkowanie wyraz za wyrazem szeregu (1). Zatem jego suma, która z powodu jednostajnej zbieżności jest funkcją ciągłą, jest, wedle znanego twierdzenia z teorji szeregów (T. I, str. 223), pochodną sumy szeregu (1), co było do okazania.

Udowodniliśmy więc twierdzenie następujące: Twierdzenie 1.

oo

a) Jeżeli dla funkcji K(x,s) określonej i ciągłej dla x^a, a < s < ß istnieje całka niewłaściwa

j K (x,s) dx

przy każdem s z przedziału (a, /?) i jeżeli ta całka jest w tym przedziale jednostajnie zbieżna, wówczas jest ona ciągłą funkcją parametru s.

b) Przy tych samych założeniach istnieje

całka

ß

i dx \ K (.v, s) ds,

a    a

przyczem zachodzi równość

00

00

j dx \ K Cr,s) ds = \ ds \ K (x,s) dx.

c) Jeżeli funkcja K {x,s) spełnia poprzednie założenia, a ponadto dla x^a, a s <1 ß posiada ciągłą pochodną K's(x,s), dla której całka niewłaściwa

oo

j K 's (x,s) dx

oo

istnieje i jest jednostajnie zbieżna, wówczas całka

\ K (x, s) d x

posiada w przedziale {a, ß) ciągłą pochodną ze względu na s, daną wzorem

00

00

Ts S K^dx= \

Ks (;r,s) dx.

Do stwierdzenia jednostajnej zbieżności całki wystarcza często następujące twierdzenie:

Twierdzenie 2.

Jeżeli (p {x, s) jest funkcją ciągłą i nie-ujemną zmiennych x, s w obszarze x^- a, a^.s^.ß, dla której całka

oo

\    (x,s) dx

istnieje i jest jednostajnie zbieżna, wówczas dla każdej funkcji K (x,s) spełniającej nierówność | Ä" (*, s) |    (*, s) i ciągłej w tym

samym obszarze, całka niewłaściwa

oo

\ K (x, s) dx

również istnieje i jest jednostajnie zbieżna.

j K (.r, s) dx

Dowód. Istnienie całki

a

dla każdego s przedziału a, ß, wynika z twierdzenia na str. 124—25, gdyż dla każdego s mamy

Cr > a)

j K Cr, s) | < p Cr, s)

i ponadto dla każdego s istnieje całka:

oo

j p (a-, s) ds.

Wobec jednostajnej zbieżności całki

oo

j p (x,s) dx

a

do dowolnie obranego eß> O istnieje    a takie, że

oo

1 p Cr, s) ds <C s

C

przy każdem c>i i każdem s z (a, ß). Ponieważ przy każdem dß> c jest

ti    cl    d

| \ K(x,s) dx | < J | K Cr,s) | dx < \ (p (x,s) dx,

ccc

więc również

oo

| j K (x,s) ds | J p (x, s) dx < e.

oo

A zatem całka

j K (x, s) dx

a

jest zbieżna jednostajnie w (a, ß).

Uwaga.

Jeżeli w szczególności funkcja p (x, s) nie zależy od s

i całka

oo

\ p CO dx

istnieje, to całka ta jest oczywiście jednostajnie zbieżna. W zastosowaniach najczęściej spotykamy się z tym wypadkiem.

Przykład y :

| e x sin sx dx

1. Całka

oo

jest zbieżna jednostajnie ze względu na parametr s w każdym przedziale. Mamy bowiem | e~x sin sx ^ e~x, a całka

\ e x dx

jak łatwo widzieć istnieje. W istocie

a

f e~x dx = — e~x, więc \ e~x dx — 1 — e~a.

O

Przechodząc do granicy dostajemy

oo

\ e x dx — 1.

e x dx

Ponieważ całka

nie zależy wcale od parametru s, więc jest jednostajnie zbieżna ze względu na ten parametr w każdym przedziale. Wobec poprzedniej nierówności to samo odnosi się do danej całki. Zatem przedstawia ona funkcję ciągłą parametru s.

e x (sin s x -)- s cos s x)

1 + s²

Aby wyznaczyć tę funkcję, zauważmy, że j e~x sin sx dx = —

a więc

[ e x sin sx dx =

e a (sin sa -j- s cos sa)

1 + s²

1 + s²

Gdy a rośnie nieograniczenie, drugi wyraz prawej . strony, jak łatwo widzieć, zmierza do zera.

Otrzymujemy więc

oo

j e x sin sx dx

O

1-f-s²'

Całkując obustronnie w granicach O, y ze względu na s, dostajemy, z uwagi na jednostajną zbieżność naszej całki: .

y °°

$ ds 1

O

f 1 — cos xy = \e -

o    x

sin sx dx =

dx \ e x

O

dx = log (1 -f- y²).

-■8

sin sx ds =

Różniczkując zaś naszą całkę ze względu na s, otrzymujemy

xe x cos sx dx.

Ponieważ j xe x cos sx| xe x, a całka

00

j xe~* dx,

O

jak łatwo sprawdzić, istnieje, więc całka otrzymana przez różniczkowanie jest jednostajnie zbieżna, a zatem

00

1 — s²

! xe- cos sxdx = Ts-(1 + sy

00

2. Całka

dx

x² + s²

jest jednostajnie zbieżna ze względu na s w każdym przedziale (a, ß), przy 1 < a < ß. Istotnie, w takim przedziale mamy nierówność

oo

Całka

dx

x² -f- 1    .*

lim arc tg x = —

—^ oo    2

istnieje i nie zależy od parametru s. Stąd, podobnie jak w poprzednim przykładzie, wynika jednostajna zbieżność danej całki i jej ciągłość w (a, ß).

Całkę tę łatwo wyznaczyć, z uwagi na to, że

X

arc tg—?

. * arc tg —

a zatem

dx

dx

— = lim

X —> oo S

TC

X² -f- s²

Całkując w granicach 1, y otrzymujemy

oo

Ił

cc

ds

dx

oo

r j*a + sa    3

1 o    o

dx

ds

U

arctg — — arctg

dx,

oo

a więc

arctg — — arctg

Tf

dx = 2 l0g U'

Różniczkując daną całkę, otrzymujemy

oc

(x% -f- s²)

2 dx.

Całka ta jest również jednostajnie zbieżna w (a, ß), bo

oo

2’

(x² + s²)²P'(x² + 1) jak łatwo stwierdzić, istnieje.

a całka

dx

(■r + 1)

oo

Zatem

— 2s

(x² -|- s²)

dx =

JT

2 s²’

oo

czyli

dx

JT

(x² -f- s²)²    4 s³

Podobnie należy postępować przy rozwiązywaniu poniżej podanych zadań na różniczkowanie i całkowanie całek niewłaściwych.

Zadania:

1) Wyznaczyć następujące całki niewłaściwe :

oo

Ö5 ! h-*.

a)    \ e ax dx =

b)    f e~ax cos bx dx — f- ,₉

O    â    ^

(a>0)

(a>0)

c)

dx

JT

j/a² — x² 2

(a> 0)

d) ii

dx

— cos x

Nie istnieją. Udowodnić to.

oo

e) \ sin x dx

O

oo

f)

arctg x

1 +x²

dx =

9)

x⁵ dx

a⁵ r

]/a² —x² 15 (Użyć podstawienia x = a sin (p).

(a>0)

2) Wykazać istnienie następujących całek:

00

a)

oo

b)

f /sin x\²

(Przyjmujemy, że dla x = O funkcja podcałkowa jest równa 1).

oo

cj

log x

dx

(«>0)

3) Wykazać, że następujące całki nie istnieją:

oo

a)

x dx

a² cos² x -J- x² .

(a>0)

sin x

dx

(Dla x = O j. w.)

oo    |

c) \ sin — dx. i    x

00

jest zbieżny przy

4)    Wykazać, że szereg 2*    ,    , + a „

każdem a 0.    n=2

5)    Wykazać zbieżność szeregu

n= i

6)    Różniczkując i całkując całki: 1) a, b, wyprowadzić nowe całki.

00 _^2_ —

7)    Różniczkując całkę I (a) = [ e x* dx ze względu

i)

na a, a do otrzymanej całki wprowadzając nową

oo

— log

Tl

zmienną y — — > wykazać, że 1 (a) = — 2 /, czyli I' (a)    x

I(a)

= — 2. Całkując obustronnie, otrzymujemy

. Porównując

log I (a) = — 2 a -j- C, I {a) = C e obie strony dla a — 0, dostajemy

co

/ (a) = e~2a Î e~xi dx.

0

8) Wykazać jednostajną zbieżność całek:

CO

aj i e

0

oc

b) j e

0

ax x cos x dx —

a²—1

(a² + 1)

dla a ^ 1.

Rozdział VIII.

Zastosowania rachunku całkowego.

§ 1. Obliczanie pola. Określiliśmy poprzednio pole ograniczone krzywą ciągłą y — f(x), prostemi x — a, x = b i osią x-ów jako całkę z funkcji f(x) w przedziale (a, b), przy założeniu / (x)    0.

\ [g (x) — /(*)] dx.

Podamy teraz definicję pola ograniczonego prostemi x — a, x = b oraz dwiema krzywemi ciągłemi, y — f(x), y = g (x), przy założeniu f{x)X^g (x). Mianowicie określamy je jako

Definicję tę można uzasadnić intuicyjnie w sposób następujący :

Jeżeli obie funkcje / (x), g (x), są nieujemne, wówczas (Rys. 3) pole powyższe jest różnicą pola ogra-

Rys. 3.

niczonego krzywą y = g{x), prostemi x = a, x = b i osią x-ów i pola ograniczonego krzywą y = f(x), prostemi x — a, x = b i osią x-ów, zatem jest równe

b    b

j g(x) dx — j / (x) dx.

Jeżeli zaś funkcje / (x), g (x) mają dowolny znak, to, wobec ich ograniczoności, istnieje stała c taka, że funkcje A (x) = / (x) + c, gx (x) — g (x) -f- c są nie-ujemne. Pole zawarte między krzywemi y=f₁(x), y — 9i (x) i prostemi x = a, x = b jest oczywiście przystające do pierwotnego i równe

i [gi W — A (*)] dx = \ [g (x) — / (x)] dx.

Przykłady:

1. Wyznaczyć pole P ćwiartki elipsy. Ćwiartka elipsy

Sr-

b© t

x²

a² jest ograniczona prostemi x = 0, x=a, osią x-ów i krzywą

y = ^ ]/a² — x²

a__

A więc P

stąd P

] ]/a² —x² dx,

O

Zatem pole elipsy wynosi abiz.

2. Wyznaczyć pole P ograniczone przez proste x=a, x — b (0 a <C b) i parabolę y² — 2 px.

Mamy tu /(x) '= — ]/2 px, g (x) == -f- ]/2 px,

zatem

P = j 2 ]/2 p x dx = § 1/2 p (b5 - ab

p=b- f c y?=? - iog

2) Pole ograniczone osią x-ów, prostą x=l i krzywą :

tH I co

Dla a = O otrzymujemy, kładąc b = x, ]/2 pa* = #, znany wzór na pole odcinka paraboli P — xy.

Zadania:

Obliczyć następujące pola:

1) Pole ograniczone hiperbolą x = c (c a).

*²

a²

*/²

₆a=l i prostą

a) y — x ]/l — x²

b) u = ]l 1 — J-²

jr

p=r

3) Pole ograniczone krzywemi y = sin³ x, y — cos³ x

i osią y-ów.    P = ]/ 2 — •

CO I to

4) Wykazać, że jeżeli y —f (ar), y = y> (x) są funkcjami ciągłemi w przedziale (a, b), takiemi, że odpowiednie krzywe mają tylko skończoną liczbę punktów wspólnych, to pole ograniczone temi krzywemi i prostemi x = a, x = b wyraża się całką

P= \ I/o*) — tp (x) I dx.

5) Opierając się na znanym wzorze na pole wycinka kołowego, wykazać (podobnie, jak na str. 71—72), że pole ograniczone prostemi r —1\, r—r₂ i krzywą r — f (<p), przyczem f((p) oznacza funkcję ciągłą nie-ujemną w przedziale    go <; g?₂ i    — ru

/ (Wz) ⁼ r₂ (współrzędne biegunowe), wyraża się całkę

<p 2

i i P (<P) dtp.

<pi

10

Rachunek różniczkowy i całkowy.

§ 2. Obliczanie długości łuku. Przypuśćmy, że

funkcje

(1)

x = /(O, y = <P(t), z^'ip (t)

są określone, ciągłe i posiadają ciągłą pochodną dla a <; t ß. Zbiór wszystkich punktów przestrzeni o współrzędnych (x, y, z) odpowiadających tej samej wartości zmiennej t, tworzy pewną krzywą.

A3

Rys. 4.

Zmienną t nazywamy parametrem, funkcje (1) przedstawieniem parametrycznem tej krzywej.

Utwórzmy dowolny podział ô odcinka (a, ß).

Niechaj punkty a <C 4    4 • • • ß będą punktami

podziału Ô. Oznaczmy przez: A, Au A₂, ... B (Rys. 4) punkty krzywej, odpowiadające wartościom parametru

Ax₁ = f{t₁) -/(a),

Ax₂= f (4) — / (4)-

6) Korzystając ze wzoru zad. 6 obliczyć pole:

a) lemniskaty r² = a² cos 2 cp (— ?    <P ^ “t“ ?)> P= a²,

cos cp sin cp cos³ -f~ sin³ 9°

6,1 liścia Descartesa r =

(0<gp<g)

o-

7) Obliczyć pole ograniczone osiami współrzędnych

(a > 0, b > 0)

i krzywą ÿ =

(x² -J- a²) (x² -j- ó²)

a, 4, 4 ... ß.

Połóżmy :

Podobnie określmy Ayx,Ay₂, ...; A zx, A z₂, ... Długość cięciwy A Ax wyraża się wzorem

A Ax = ]lA x\-\- A y\ A z\.

Zatem długość linji łamanej A Ax A₂ ... wynosi

L = ]/ A x\-\- A y\-\- A z\-\-]l A x\-\~ A y\-\- A z\-\~...    (2)

Na mocy twierdzenia o wartości średniej

Ax₁=f’ (£1) A tx (a<^<4)

Jeżeli więc położymy:

wówczas :

(4 *,)* = /'* (4M +

Postępując podobnie dla A y, Az, otrzymamy

M A x\-\- A y\Ą- A z\ =

= ]/[/ ² (4) -\- <p'² (tx) +^'²(^i)] At\-\-(px -f- ox -\-tx) A t\.

Opierając się na nierówności :

VN<yia + ói<yia|+y |&|,

i kładąc :    ]//’²<f) + <f'² (0 + V'²(Ô = F (0,

otrzymamy :

f(4) ^ 4 <    < f(<,)

(3)

+y i +®i+ri i

Postępując podobnie dla A x₂, A y₂, A z₂ ... i kładąc P = F (fj) żl /i -f- F(t₂) A ł₂

R = y| + ai + | A tx -j- ]/\ Q₂ + a 2 + r2 I A t₂ -f- • • • (4)

otrzymamy na mocy (2) i (3) nierówność:

(5)

P<Z<P-f R.

10*

Oznaczmy przez Q największą z liczb: p1? q₂, podobnie określmy er, T.

Ze względu na (4) mamy wówczas

| R |    ~\/ Q -f- ⁰ -f⁻ V (ß — a)•    • • • (6)

Obierzmy teraz dowolny ciąg normalny podziałów {ó^}, Oznaczmy, podobnie jak poprzednio, dla podziałów <5„ liczby Pn, Rn, Ln, gn, o„, tn. Mamy więc wobec

(5) i (6):

Rn |

Qn ~F⁻ Gn H⁻ ^ n (7)

Z jednostajnej ciągłości funkcyj */'² (t), ty’²(t), ty'² (t) i z uwagi na (3) wynika

n •>

lim Qn = 0, lim on — 0, lim Tn — 0.

A więc według (7)

lim Rn — 0.

Ponieważ, jak łatwo widać,

lim Pn = j F(t) dt,

zatem na mocy (7) ciąg {Ln} jest zbieżny i

lim Ln = j F(t) dt = j Yf'*(t)'+9>'a(t) + ty'*(f) dt.

Granicę ciągu {Ln} nazywamy długością danej krzywej ; oznaczając długość literą s, widzimy, że

Uwaga 1.

Przypuśćmy, że funkcje f (t), ty (t), ty (t) posiadają w przedziale (a, ß) pochodne ciągłe, poza skończoną

liczbą punktów. Jeżeli całka (w znaczeniu zw^yczajnem lub niewłaściwem) :

ß___

i V/’s« + ?>’a(0 + V’²(f) dt

istnieje, wówczas wartość tej całki nazywamy również długością danej krzywej. Można wykazać, że ciąg liczb {Ln} określonych jak poprzednio, zmierza przy każdym ciągu normalnym podziałów {ó„} do wartości tej całki.

Uwaga 2.

Często krzywa dana jest wzorami y = d (x), z = ß(x), przyczem funkcje a (x), ß (x) posiadają ciągłe pochodne. Jest to pewien rodzaj przedstawienia parametycznego, jak odrazu widzimy, pisząc

x = t, y — a (t), z = ß (t).    t *2)

x₂

Zatem s

5 ]/l -j- a'² (x) -j⁻ ß'² (x) dx. *1

W szczególności, dla krzywych płaskich (ß — 0), otrzymujemy często używany wzór

X₂

= i l/l -j- y ² dx.

Przykłady:

1. Obliczyć długość łuku paraboli y² = 2 px od wierzchołka aż do punktu (x, y).

Przedstawienie parametryczne otrzymamy kładąc

t²

y— t.

Stąd

Śl/i+p^=Ąf»⁸+p²+fiog

2. Obliczyć długość łuku cykloidy

x — a(t — sin t), y = a (1 — cos t),

s = j j/a² (1 — cos t)²-\- a² sin² tdt=a \]/2 (1 —eosź) dt =

h

— — cos (o <; 4 ■< 4 ^2 n)

= 2 a i sin — dt = 4ta\ cos -k 2    \    2

W szczególności, kładąc 4 — 0, t₂ = 2 n otrzymujemy długość całego łuku 8 a.

3. Obliczyć długość łuku linji śrubowej x = r cos t, y — r sin t, z — at

w granicach tt, t₂.

h__h _

s = J l//*² sin² t -)- r² cos² t -j- a² dt — J J/ r² -f-

a² dt,

zatem

L = yr² + a² (4 — 4)-

Zadania:

Obliczyć długość łuku następujących krzywych:

1) Cyssoida x = 2 r sin² t, y — 2r sin² t tg t w granicach 0, t.

]/l —j— 3 cos²1

cos t

Z + Vl -1-3cos² i) — 2-j- V3log (2 + 1/3)]).

— l'âlogfl/IÎ

2) x=t², y = /w granicach 0, ]/3 (s = 2 j/3).

cos

3) Linja łańcuchowa

w granicach x₂.

\a (ea — e a)

/ £2    _*a\    / £l

\ea — e a / — i a \ea

«'*)]•

4) y

x³

6 a²

w granicach O, x.

(s = X -Ą- z)

5) Krzywa przekroju walca parabolicznego (y Ą- z)² — 4 ax

ze stożkiem eliptycznym, x² -j- y² — z² — 0 od początku układu do punktu (x, y, z).

(s = z 1/2)

(Wskazówka: obrać x jako parametr).

§ 3. Objętość bryły obrotowej. Niechaj funkcja y = f (x) będzie ciągła i nieujemna w przedziale (a, b) [a 6], Oznaczmy przez D obszar zawarty między krzywą y — f (x) osią x-ów i rzędnemi x = a, x = b. Przypuśćmy teraz, że krzywa y = f (x) wykonała całkowity obrót około osi jr-ów i że obszar D przy tym obrocie opisał bryłę T. Zajmiemy się wyznaczeniem objętości bryły T.

Utwórzmy w tym celu dowolny podział <5 odcinka {a, b) i oznaczmy przez Mu m₁, M₂, m₂ ... największe wzgl. najmniejsze wartości, funkcji / (x) w poszczególnych odcinkach podziału d. Zauważmy, że prostokąty o podstawach A xl5 Ax₂..., a o wysokościach odpowiednio Mt, M₂ ..., pokrywają całkowicie obszar D. A więc bryła powstała przez całkowity obrót tych prostokątów zawiera w sobie bryłę T. Jej objętość wyrazi się wzorem

W= Jt(Ax₁ Ml~\- A x₂M²₂-\- ...).

Podobnie prostokąty o podstawach A x₁, Ax2 a o wysokościach m₁, m₂ ... zawierają się całkowicie w D, zatem bryła przez nie opisana zawiera się w bryle T.

-'•i

i! i

~T

WU-M~

il

Rys. 5.

Oznaczając przez w jej objętość, mamy:

w = Jt (A xt m\ -j- A x₁ m\-\- ...).

Jeżeli {ó„} oznacza dowolny ciąg normalny podziałów, wówczas, jak łatwo zauważyć:

lim Wn = lim w n

n = oo

n = oo

= n \ p (x) dx.

A zatem postąpimy zgodnie z intuicją, określając objętość bryły obrotowej T wzorem

V = jt f p (x) dx.

Prz ykłady:

1. Obliczyć objętość kuli o promieniu r. Kula powstaje przez obrót półkola

y = ]/r² — x²

dokoła osi x-ów.

V = Jt j (r¹ — x¹) dx = f r³ n

Zatem

— r

zgodnie ze znanym wzorem.

2. Obliczyć objętość bryły powstałej przez obrót cy-kloidy x = a (t — sin t), y~a (1 — cos t), (0 <Cź<^2 n) dokoła osi jc-ów.

Gdy t zmienia się od 0 do 2 x rośnie od 0 do 2 a Ji, bo

dx

dt

= a (1 — cos 0 > 0 dla 0 <11 <C 2 n.

2 an

Wobec tego y jest funkcją zmiennej x w przedziale (0, 2 a n), zatem

V = n j y¹ dx.

0

Wprowadzając zmienną t, otrzymujemy

Ji \ [a (1 — cos t]¹ a (1 — cos t) dt = 5 a³ n¹.

0

Zadania:

Obliczyć objętości następujących brył obrotowych:

1) Warstwa kulista powstała przez obrót łuku

y = ]/r¹ — x¹

dokoła osi x-ów w granicach xu ,r₂ (— r xi < r)

31

(v= r¹ (x₂ —

tarnej).

3) Bryła otrzymana przez obrót łuku asteroidy

x = r cos³ t, y =

r sin³ t, (o < t < -j

dokoła osi .r-ów.

16

r³ Ji).

4) Bryła powstała przez obrót krzywej

y² (x — 4a)=ar(r — 3 a) (0 < x < 3 a)

dokoła osi x-ów.

~ (15-16 log 2).

5) Bryła powstała przez obrót krzywej (y² — b²)² — a³ x

dokoła osi y-ów (— b ^ y b). (Wskazówka : objętość

+ b

wyraża się tu wzorem ot \ x²dy).

256 b⁹n 315 ~aT

§ 4. Pole powierzchni obrotowej. Niechaj funkcja y — f (x) będzie ciągłą wraz z pierwszą pochodną i nieujemną w przedziale (a, b) [a b]. Przypuśćmy, że krzywa C, która jest obrazem funkcji / (x), opisała całkowitym obrotem około osi x-ów powierzchnię W. Zajmiemy się wyznaczeniem pola powierzchni W. Obierzmy dowolny podział ô odcinka (a, b). Oznaczmy przez a=xt <C- • • punkty podziału Ó. Niechaj Au A₂... będą punktami krzywej C, odpowiadającemi odciętym x₂ ...

Linja łamana A, Ax, A₂, ... B zakreśli powierzchnię, która będzie utworzona z pobocznie stożków ściętych. (Rys. 6).

Pole tej powierzchni wyrazi się więc wzorem

f(xi) + f(x₂)

P=2n]/ńx\+Ay\

+ 2 u ]/Axl+Agl fjsŁkfbt! ₊

gdzie Ayi = f(x₂) — f(Xl), A ya =f(xa) — f(xa) ...

Rys. 6.

Zauważmy, że na mocy twierdzenia o wartości średnie], mamy:

'I A x\-\- A y\ — |/l -f-    A *1

l/l + /'³k) Axlt

gdzie ^ jest liczbą zawartą między xx i x₂. Jeżeli położymy

«1 =

-/(fi),

wówczas

k I < 111 /(ii) - /k) I + [/(fi) - f k) I ]•

Zatem

P=S + R,

gdzie

C7V

cn

Q>

'"Ul“""

h-

_________

S= 2 «1/1 + /'² (I,) /&) 4»,+

+ 2 Jt ]/l + /' ² (£„) /(|s) /)!« + ■■■

Â = 2îrl/l+/'²(§7)SiM + 2îtl/l+/'!!(S)M*s + --

Oznaczając przez r) największą z liczb |ex|, |e₂|..., a przez M największą wartość |/'(.r)| w (a, b), mamy

| /? | < 2 Ji]/l    (ń —a) f].

Jeżeli teraz obierzemy sobie dowolny ciąg normalny podziałów {(5„} i liczby Pn, i?n,    określimy po

dobnie jak poprzednio, to :

Pn - &n “ł“ Rn-

Łatwo zauważyć, że

lim Sn = 2 n j f{x) ]/l -f- f'²(x) dx.

Na mocy zaś jednostajnej ciągłości funkcji f{x) w przedziale (a, b) wynika, że

lim i)n = 0,

więc

lim Rn = 0.

71 -> OO

Zatem lim Pn =

71-> OO

2 Jt j f (x) l/l + /'² W rf*.

A zatem postąpimy zgodnie z intuicją, określając pole powierzchni obrotowej wzorem :

(1)

A = 2n\f{x)]/l+f²(x) dx

Uwaga.

Załóżmy, że funkcja f (x) ciągła i nieujemna w przedziale (a, b) posiada, poza skończoną liczbą punktów, pochodną ciągłą i że istnieje całka (w znaczeniu zwy-czajnem lub niewłaściwem) :

\f(x) ]/l + f ² (x) dx.

Można wykazać, że przy tych założeniach również istnieje lim Pn i równa się powyższej całce pomnożo-

71-OO

nej przez 2 n. Dlatego też i w tym wypadku pole powierzchni obrotowej określamy wzorem (1).

Prz ykłady :

1. Obliczyć powierzchnię kuli:

Mamy tu

/ (x) = ]//² — x²

r (x) =

]/r² — x²’

+r

zatem A = 2 jt \ ]//•² — jc² /1 -[

r² —

= 2 Ji j /• dx = 4 r² jt.

2. Obliczyć pole powierzchni otrzymanej przez obrót cykloidy x = a (t — sin t), y = a (1 — cos ł), (0 t 2 n) dokoła osi x-ów. (Por. str. 153).

Wprowadzając zmienną t otrzymujemy:

a sin t

2 n

cos t)\ 1 -f

a (1 — cos t)

A ⁼⁼ 2 ji J a (1 —

O

64

. a (1 — cos 0 dt= — a² ?r.

o

Zadania:

Obliczyć pola następujących brył obrotowych:

1) Paraboloida obrotowa powstała przez obrót paraboli y² — 2 p x dokoła osi x-ów, w granicach 0, x.

, y_l

a² "i" b²

= 1,

(a >b)

a) dokoła osi x-ów

A = 2 Jt b² -j ń) dokoła osi gr-ów

a²b

Va² — ń²

arc sin

]/a² — ó²

A = 2 n a² -f

ań²

log

-f ]/a²—ń²

]/a² — ń²

W wypadku ńj pole jest dane wzorem

dy.

A — 2 jt 1 x2 - 6

3)    Czasza kulista powstała przez obrót koła

y² — 2 rx = 0

dokoła osi x-ów, w granicach 0, h. A = 2 rrch.

4)    Pierścień powstały przez obrót koła o promieniu /• dokoła prostej leżącej w tej samej płaszczyźnie, której odległość od środka koła wynosi a r. Obliczyć również objętość tej bryły.

V = 2 ar²n².

A = 4 a /• n²,

Rozdział IX.

Całka określona podwójna.

Warunki całko walno ści.

§ 1. Definicja całki określonej podwójnej w prostokącie. Niechaj funkcja z = f(x,y) będzie określoną i ograniczoną w prostokącie D, określonym nierównościami a ^ x b, a y ^ b'. (Rys. 7). Po-

Rys. 7.

dzielmy prostokąt D na dowolną liczbę prostokątów (niekoniecznie równych) o polach A o±, A o₂ ... A o„. Oznaczmy przez ?h), (|t, V2) ••• (£«, V n) współrzędne punktów wybranych dowolnie po jednym z każdego prostokąta. Utwórzmy sumę:

A =f(iu Vi) A °i + /(£2, Va) à o₂ -f- ... f(Çn, rjn) A on.

Łatwo zauważyć, że jeżeli f(x, y) > 0 w prostokącie D, wówczas suma A przedstawia sumę objętości prostopadłościanów, o podstawach A ox, A o₂ ... i o wysokościach f(iu r)t), /(£₂, rj₂) ...

Zbiór prostokątów A ox, A o₂ ... nazywać będziemy podziałem Ô. Przez |ó| oznaczać będziemy długość największej przekątni prostokątów A ol, A o₂ ...

Ciąg podziałów {ón} nazywamy normalnym, jeżeli lim | <5„ | = 0.

Określenie. Jeżeli przy każdym ciągu nor malnym podziałów {()„} odpowiedni ciąg sum {An) jest zbieżny (bez względu na to, jakie punktj obierzemy), wówczas powiadamy, że funkcja f(x,y) jest całkowalna w prostokącie D.

Można udowodnić (podobnie, jak w wypadku funkcji jednej zmiennej, str. 70), że jeżeli funkcja f(x,y) jest całkowalna, wówczas sumy {An} zdążają przy każdym ciągu normalnym podziałów zawsze do tej samej granicy. Tę wspólną granicę nazywamy całką o kr e śloną (podwójną) funkcji f (x, y) w prostokącie D.

Całkę określoną podwójną oznaczać będziemy sym

bolem :

H f(x, y) do lub H f(x, y) dx dy.

D    D

Uwaga 1.

Jeżeli funkcja z = /(x, y) jest ciągła i nieujemna w prostokącie D, wówczas objętość obszaru zawartego między powierzchnią z=f(x,y), płaszczyzną poziomą (x, y) i płaszczyznami równoległemi do osi z, przecho-dzącemi wzdłuż boków prostokąta D określamy, jako wartość całki:

(Wykażemy później, że każda funkcja ciągła w prostokącie jest całkowalna).

Intuicyjnie definicja ta jest usprawiedliwiona. Niechaj bowiem ô będzie dowolnym podziałem. Oznaczmy przez Mu M₂ ...; ni!, m₂ ... największe, wzgl. najmniejsze wartości funkcji / (x, y) w prostokątach podziału ó, zaś

przez (§j, rjt), (£a, rj₂), ... wzgl. (ft, ?h), (la, ^2) ••• punkty, w których funkcja te wartości przyjmuje. Połóżmy:

S = f(źi, %) /I    ^2) ^ <*2 + ••• =

= ilfx A o₁-\- M₂ A ö₂ —(— ...

S =f(lu Vi) A ox -j- / (fa, y i) A a₂ + ...=

= m₁ A ox -\- m₂ A a₂

*r-

Rys. 8.

Prostopadłościany odpowiadające sumie S pokrywają w zupełności uważany obszar, prostopadłościany zaś odpowiadające sumie s, mieszczą się w nim całkowicie. Ponieważ obierając dowolny ciąg podziałów {<5„} mamy:

lim S„ = lim sn = ( j f(x, y) do,

n= oo    n — oo    I)

postąpimy zgodnie z intuicją, określając objętość danego obszaru, jako wartość powyższej całki.

11

Rachunek różniczkowy i całkowy.

Uwaga 2.

W całce określonej: \\ f (x, y) dx dy zmienne x, y

D

nie grają istotnej roli, dlatego też zamiast x, y możemy pisać inne litery. A więc np.:

W f (x> y) dx dy = \ \ f (n, v) du dv = f j f (w, ł) dw dt.

D    D    D

Przykłady:

1. Funkcja z = c jest w każdym prostokącie całkowalna i

j\cdo=c|Dj

D

(| D \ oznacza pole prostokąta D).

Tworząc bowiem dowolny podział ô i obierając punkty (£x,    (£₂, r)₂) ... dowolnie z każdego prosto

kąta wchodzącego w skład podziału Ô, widzimy, że

/ (!i, Vi) = c, f (fa, Vi) = c, . • •

zatem

A = cAo₁-\-cAo₂-\-... = c |-DI*

W myśl więc definicji:

O)

c\D

Obrazem geometrycznym funkcji z — c jest płaszczyzna równoległa do płaszczyzny (x, y). Jeżeli c^> 0, wówczas całka określona (1) przedstawia nam objętość prostopadłościanu o podstawie D i wysokości c.

2. Wyznaczyć całkę podwójną \\ y dx dy po kwadracie D o wierzchołkach (0, 0), (1, 0), (1, 1), (1, 0).

Funkcja / (x, y) — y jest ciągła, a zatem, na podstawie już wspomnianego twierdzenia, całkowalna. Aby obliczyć jej całkę, dzielimy kwadrat prostemi równole-głemi do osi współrzędnych na n² równych kwadratów. W każdym z nich obieramy za fjt prawy górny wierzchołek. Ponieważ pole każdego kwadratu wynosi

—ä otrzymujemy dla sumy 2 f (£,, rjt) A o n£

wartość

1 12 —2 2r]t. Ponieważ liczby fj ₍ mają wartości    »

przyczem każda z tych wartości występuje w n kwadratach, tworzących jeden poziomy szereg, więc badana suma ma wartość

4 (-+-+...+-)*

n² \n n    n)

n(n— 1)

2 n²

T-H I cm

2 /i

Przechodząc do granicy dla n —> co dostajemy Si y dx dy = %.

D

Wynik ten łatwo otrzymać w sposób elementarny. Wystarczy zauważyć, że badana całka przedstawia objętość graniastosłupa prostego, którego podstawą jest trójkąt prostokątny równoramienny o boku 1, a wysokość jest równa 1.

§ 2. Warunki całkowalności.

Twierdzenie 1.

Suma dwóch funkcyj f (x, y) i g) (x, y) całkowalnych w prostokącie D jest funkcją całkowalną i 1 i [/ (*, y) + (P (x, g)]da = \\f (x, y)do-\-\\(p (x, y) do.

D    D    D

Twierdzenie 2.

Iloczyn stałej c przez funkcję f(x,y), całkowalną w prostokącie Z>, jest funkcją całkowalną i

\\ c f (x, y) do c \ \ f (x, y) do.

D    D

Twierdzenia powyższe wynikają bezpośrednio z określenia całki podwójnej; dowody przedstawiają się podobnie, jak dowody odpowiednich twierdzeń rozdziału V (str. 75—76).

Twierdzenie 3.

Funkcja z — f (x, y) ciągła w prostokącie D jest w tym prostokącie całkowalna.

Dowód tego twierdzenia przeprowadza się podobnie jak odpowiedniego twierdzenia dla całki pojedynczej (rozdział V, str. 79). Określamy w tym celu pojęcie sumy górnej S i sumy dolnej s, odpowiadającej podziałowi Ó, podobnie jak dla całki pojedynczej. Zatem

S=M₁Ao₁ Ą-M^A o₂s^=m₁Aol-]rmiAo₂-\-...,.

gdzie Mt, M% ... wzgl. mu m₂ ... oznaczają największe względnie najmniejsze wartości funkcji / (x, y) w prostokątach A al, A o₂ ...

O sumach tych można wykazać, że dla każdego ciągu normalnego podziałów {Ó„} zachodzi:

(1)

lim (Sn — s„) = 0

n—> oc

ponadto, że dla dwóch podziałów <5 i ó' mamy zawsze

(2)

S>s

Dowód tych własności otrzyma czytelnik, robiąc w dowodach lemmatów 1, 2 (rozdział V, str. 77—78) odpowiednie widoczne zmiany. Mając już własności (1) i (2) udowadniamy nasze twierdzenie, podobnie jak twierdzenie na str. 79, przyczem dowód tam podany przenosi się tutaj prawie bez zmian.

Ogólniejszem twierdzeniem jest następujące :

Twierdzenie 4.

Funkcja określona i ograniczona w prostokącie D, jest w tym prostokącie całkowalna, jeżeli wszystkie jej punkty nieciągłości leżą na skończonej liczbie krzywych, będących obrazami geometryczne mi funkcyj ciągłych [kształtu y — (p {x) lub x = ty (*/)].

Dowód tego twierdzenia pomijamy.

Prz ykła d :

Niech / (x, y) oznacza funkcję określoną w prostokącie D o wierzchołkach (0, 0), (3, 0), (3, 1), (0, 1) w sposób następujący:

/ (x, y) — — 1 dla 0 ^ x 1 i dowolnego y

dla 1 <1 x 3 i dowolnego y.

f (x, y) = 2

Jak łatwo widzieć, funkcja ta jest ograniczona i ciągła w każdym punkcie, z wyjątkiem punktów położonych na odcinku prostej x = 1 leżącym w danym prostokącie. Na mocy tw. 4 funkcja / (x, y) jest w tym prostokącie całkowalna.

§ 3. Całka podwójna jako całka iterowana.

Poznamy teraz twierdzenie, które pozwoli nam obliczać całkę podwójną przy pomocy całek pojedynczych.

Twierdzenie.

Jeżeli funkcja / (x, y) jest ciągła w prostokącie D (a <1 x <1 ö, a y ^ b'), wówczas:

i | f (x, y) da = \ {! f(x, y) dy} dx = j {) f (x, y) d x} dy.

D    aa'    a' a

Dowód.

Utwórzmy dowolne podziały <3 i ó' przedziałów (a, b) i (a', b') przy pomocy odcinków A , A x₂ ... wzgl. Ayi, Ay₂ ...

Niechaj a = xt < x₂ < ... wzgl. a == yx < y₂ < będą końcami odcinków podziału ó i ó'. W punktach podziałów ó i ó' poprowadźmy proste równoległe do osi y-ów wzgl. x-ów. Otrzymamy w ten sposób podział Ö prostokąta D na szereg prostokątów. Niechaj A o ih oznacza prostokąt podziału Ó, którego rzuty na osi układu są odpowiednio Axir A yk. Oznaczmy wreszcie przez

b’

Ayk

A8/k

y*

AYj_

a!=yi

AyL

I AXi AX2 i

AXi

£L=Xi X2

Xi

Rys. 9.

mih wzgl. Mik najmniejszą, wzgl. największą wartość funkcji f(x, y) w prostokącie A oik.

Połóżmy

F (x) = J f (x, y) dy

a!

(1)

Obierzmy dowolnie punkty |j, £₂ •••» odpowiednio w odcinkach A xx, A x₂ ... i niechaj

A = F&) A xx-\- F (£₂) A x₂

(2)

Na mocy (1)

Ponieważ

więc

Podobnie:

F (si) = \ f (si, ÿ) dy =

ar

z/2    Us

= Ï / (li, y) dy + i f (£2, y) dy + . ..

y i    y2

mu<f (£i, y) < M1X dla yx < y < y₂,

Z/₂

mxl Ayi< \f (li, y) dy < zl */u.

yi

ya

m₁₂ A y₂ < J / (§!, ÿ) < Af« ^ ÿ₂

02

(3)

i t. d.

Zatem na mocy (3)

™\\A yx + ™i2^#2 + ---< F (Żi) < MX1 A yx +

~b ^12 A y₂ -j- ...

Analogicznie postępując otrzymamy:

™2i A yx -f m₂₂ A y₂ + ... < F(Ç₂) < M₂₁ Ayx-\--f- M₂ 2 ^ #₂ ~f* • • •

Ponieważ Aoik = AxiAyk, więc na mocy (2) dostajemy :

mn A on -{- m₁₂ A o₁₂    m₂₁ A o₂₁ -J- m₂₂ A o₂₂

^ A ^ A/jj A olx -j- M₁₂ A ox2 —|— ... —(— Af₂₁ A o2X -j-+ M₂₂ A o₂₂

Oznaczając przez s i S pierwszy, wzgl. trzeci człon powyższej nierówności, otrzymamy:

(4)

s<

Jeżeli teraz obierzemy dwa ciągi normalne podziałów {d„} i |ó',} odcinków (a, b) i (a', b'), wówczas odpowiedni ciąg podziałów {ó„} prostokąta D będzie także ciągiem normalnym.

sn An Sn

. (5)

Według (4)

Ponieważ lim sn = lim Sn = \ \ f (x, y) do, więc na

n—^oo    n—^ oo    D

mocy (5) dla każdego ciągu normalnego podziałów {ó„}, istnieje lim An ; zatem wobec (2) funkcja A¹ Cr) jest całkowalna w przedziale (a, b) i

j F (x) dx = lim An = \ \ f (x, y) do.

a    n—^⁰⁰    D

Stąd na mocy (1)

b b'

W f (x, y) do = \ {\ f (x, y) dy} dx.

D    aa'

Podobnie otrzymamy

b' b

i 1 / (•**, y) do = \{\ f (x, y) dx) dy.

D    a' a

Uwaga.

Można udowodnić twierdzenie ogólniejsze. Załóżmy, że funkcja f (x, y) jest całkowalna w prostokącie D i że dla każdego x funkcja f (x, y) uważana jako funkcja zmiennej y jest funkcją całkowalną. Przy tych założeniach możemy twierdzić, że:

b'

1) funkcja F (x) walną w (a, b),

= \ f (x, y) dy jest funkcją całko-

ar

²) W f (x, y) do = \ {\ f (x, y) dy] dx.

D    aa'

Przykłady.

1. Obliczyć \\x²ydxdy po prostokącie ograniczonym prostemi x — 2, x — 5, y — 1, y = 3.

Mamy tu

= )dy

1

x³y

3    5

J \ x² y dx dy — \ dy \ x²y dx =

Ï 2

(125 h — 8u) dy

1-1 I co

117 y2 3    2

= 156.

Możemy również całkować w odwrotnym porządku:

5    3

j j x²y dx dy = \ dx \ x²y dy =

2 1 5

lj (9 x² — x²) dx = 4 •

x²y

U = 1

2. Wykazać, że

H ! (M

« rt,

— 156.

i \ f W ⁽P (y) dx dy = [j / (x) dx] . [\ cp (y) dy],

przyczem / (x), (p (y) oznaczają funkcje ciągłe w przedziale (a, b) wzgl. (c, d), a całka podwójna odnosi się do prostokąta D ograniczonego prostemi ar = a, x — b, y = c, y = d.

Mamy tu

H /(*)    (y) dx dy — \dx.\f (x) (p (y) dy.

Wzór ten możemy np. zastosować do poprzedniego przykładu.

3. Jeżeli funkcja f (a-, y) określona i ograniczona w prostokącie i) (a < a < ô, a y b') we wszystkich punktach tego prostokąta jest równa zeru, z wyjątkiem punktów położonych na skończonej liczbie krzywych ciągłych postaci y = cp (ar) lub x — îp (y), wówczas

n / (*, y) dx dy = 0.

• d

Ponieważ, jak łatwo widzieć, jedynemi możliwemi punktami nieciągłości funkcji / (a⁻, y) są punkty owych krzywych, więc funkcja ta jest całkowalna (tw. 4, str. 164). Oznaczmy przez ft (ar, y) funkcję równą funkcji / (x, y) w całym prostokącie, z wyjątkiem krzywych postaci x='ip(y), na których przypisujemy jej wartość zero i połóżmy /₂ (x, y) = f(x, y) — /i (a*, y). Funkcje fx (ar, y) i h (x-> y) s4 całkowalne z tego samego powodu co poprzednio. Wobec / (a-, y) = /i (x, y) -f- /₂ (ar, y), mamy

H / (*, y) dx dy = H /i (x, #) dy + j j /₂ (ar, y) dx dy.

D    D    D

Wystarczy oczywiście okazać, że obie całki po prawej stronie są równe zeru.

Dla pierwszej z nich mamy na mocy naszego twier

dzenia :

b b'

S i fi (•*-, y) dx dy = \dx\ fx (x, y) dy.

D    a a'

Funkcja /j (x, y) przy dowolnie ustalonem x = x0 jest funkcją zmiennej y, która jest równa zeru dla wszelkich y, pomijając skończoną liczbę wartości, odpowiadających punktom przecięcia prostej x = x₀ z krzy-wemi wyjątkowemi. Zatem (por. str. 74)

1 f (*o> y) dy = 0

a'

przy każdem x₀, z czego natychmiast wynika, że całka po prawej stronie jest równa zeru.

Dla funkcji /₂ (x, y) dowód jest podobny.

§ 4. Całka podwójna po obszarze. Niechaj co będzie obszarem domkniętym ograniczonym (por. T. I, str. 239). Załóżmy, że funkcja z — f (x, y) jest w obszarze co określoną i ograniczoną.

*•<

Q>

Rys. 10.

Niechaj D będzie dowolnym prostokątem (a x ń, a <1 y ^ 6'), zawierającym w swojem wnętrzu obszar co. Określmy nową funkcję F (x, y) w prostokącie D następująco :

F (x, y) = f (x, y) dla punktów (x, y) należących do co, F (x, y) —    0 dla innych punktów prostokąta D.

Jeżeli funkcja F (x, y) jest całkowalna w prostokącie Z), wówczas powiadamy, że funkcja / (x, y) jest całkowalną w obszarze ft); całką podwójną nazywać będziemy wartość całki J J F (x, y) d o.

D

Całkę podwójną po obszarze co oznaczamy podobnie, jak poprzednio, t. j. symbolem j j / (x, y) do lub i! f(x,y)dxdy.    "

m A więc według definicji:

¹

Stożek ścięty (wzór znany z geometrji elemen

²

Elipsoida obrotowa powstała przez obrót elipsy

i ! /(•*, y) do — j j F(x, y) do.

OJ    D

Uwaga.

Jeżeli prostokąt D zastąpimy przez inny prostokąt D\ również zawierający obszar ca, to otrzymamy tę samą wartość całki. Łatwo to stwierdzić w wypadku, gdy prostokąt D jest całkowicie zawarty w D'. Jeżeli tak nie jest, wystarczy obrać trzeci prostokąt D" zawierający D i D'. Całki po Z) i po D' są równe całce po D”, a więc i między sobą.

Określenie.

Obszar domknięty co nazywamy obszarem regularnym, jeżeli jego brzeg składa się ze skończonej liczby krzywych dających się przedstawić w postaci y = cp (x), lub x = ty (y).

Twierdzenie 1.

Funkcja f(x,y) ograniczona i ciągła w obszarze regularnym co jest w tym obszarze całkowalna.

Dowód.

Obierzmy dowolny prostokąt D i określmy funkcję F (x, y) jak poprzednio. Łatwo zauważyć, że wszystkie punkty nieciągłości tej funkcji leżą na brzegu obszaru co. Funkcja F (x, y) jest więc całkowalna na mocy tw. 4, str. 164.

Przykłady:

1.    Wielobok domknięty jest obszarem regularnym. Istotnie, jego brzeg składa się ze skończonej liczby odcinków, będących obrazami funkcyj ciągłych typu y = ax -j- b lub x — c.

2.    Elipsa domknięta jest również obszarem regularnym. Jeżeli np. dana jest równaniem b²x2 J\-a²y² — a² b², to jej brzeg składa się z dwu krzywych:

-s | ce

]/<3²-X²,

y = + - l/a² — x² i y

3,

gdzie — a x < a.

3. Jeżeli obszar domknięty co składa się ze skończonej liczby obszarów regularnych co±, co₂, ... cok, z których żadne dwa nie mają wspólnego punktu wewnętrznego, to, jak łatwo zauważyć, sam jest obszarem regularnym. Jego brzeg składa się bowiem ze skończonej liczby krzywych ciągłych postaci y = cp(x) lub x = yj (y), z których każda należy do brzegu jednego z obszarów co₁ ... cok. Obszar co nazywamy sumą obszarów ftą ... cok.

Twierdzenie 2.

Jeżeli funkcja f {x, y) jest ciągła w obszarze regularnym co, będącym sumą dwu obszarów regularnych co₁ i co₂ (bez wspólnych punktów wewnętrznych), wówczas

\ \ f (x, y) do == \ \ f (x, y) do -J- \ \ f (x, y) do.

(O    COj    0)o

Dowód.

Obierzmy dowolny prostokąt D pokrywający obszar co. Oznaczmy przez F(x, y), Ft (x, y), F₂ (x, y) odpowiednie funkcje dla /(x, y) odnośnie do obszarów co, col5 co₂. Mamy zatem:

CÜ2

Wi

Rys. 11.

\\f{x, y)do = \\F(x,y) do; \\f(x, y)do=\ \ Fx (x, y) do;

co    D    w,    U

(1)

!!/(»,y) da = \\ f2 (*,y) do

co₂    D

Zauważmy, że funkcja

(2)

<P (x, y) = F (.r, y) — Fi (x, ÿ) — F₂ (x, y)

jest równa zeru, poza, być może, punktami położonemi na wspólnej części brzegów obszarów co₁ i co₂. Ze względu na regularność obszarów co, cox i co₂, na mocy twierdzenia na str. 169 otrzymujemy:

j f (p (x, y) do = 0.

D

Stąd z uwagi na (1) i (2) wynika nasze twierdzenie. Uwaga 1.

Twierdzenie 1 pozwala nam określić pole dowolnego obszaru regularnego co. Jako definicję tego pola, które

będziemy oznaczać symbolem | co |, przyjmujemy formułę

co\ = \\do.

(O

Całka po prawej stronie istnieje, gdyż funkcja f(x,y) — 1 jest oczywiście ciągła w każdym obszarze domkniętym co. Jeżeli obszar co jest prostokątem otrzymujemy na pole wartość tę samą, co przy zwyczajnej definicji (por. str. 162, przykład 1).

Uwaga 2.

V=\\ f(x, y) do.

Jeżeli funkcja / (x, y) jest ciągła i nieujemna w obszarze regularnym co, to punkty (x, y, z), dla których Cr, y) należy do obszaru co, zaś z spełnia nierówność 0 z f (x, y), tworzą bryłę, której objętość określamy wzorem :

Podobnie jak poprzednio (str. 161), łatwo się przekonać, że definicja powyższa zgodna jest z intuicyjnem pojęciem objętości.

Przykłady:

1. Zastosujemy twierdzenie powyższe do obliczenia całki funkcji / (x, y) określonej w przykładzie na str. 165 Prosta x — 1 dzieli prostokąt D na dwa prostokąty nie posiadające wspólnych punktów wewnętrznych. Oznaczając lewy prostokąt przez Dy, prawy przez D%, mamy

H f (x, y) do = \\ f (x, y) do + j j / Cr, y) do =

D    £>!    d₂

= \\{—\)do-\-\\2do = —1.1 -(— 2.2 == 3.

2. Oznaczmy przez co dowolny wielobok domknięty i podzielmy go w dowolny sposób na skończoną liczbę wieloboków :

Ct)^, co2 ... con.

Połóżmy f (x, y) — ck wewnątrz cok {k = 1, 2 ... n), gdzie cl5 c₂ ... cn oznaczają stałe dowolne. Na brzegach wieloboków funkcję określmy w sposób dowolny, jednak tak, aby była ograniczona. Na mocy tw. 4 (str. 164) funkcja / (x, y) jest całkowalna w wieloboku co. Twierdzenie ostatnie pozwala obliczyć tę całkę:

H /(*, y) do = \\ ct rfa + ij c₂ do + ... + jj cn do =

CO    COj    COo    con

con\.

- C1 I œi I C2 I W2 I “ł~ . . • Cn

§ 5. Warunki całkowalności. Twierdzenie o średniej wartości. Dla funkcyj całkowalnych w dowolnym obszarze regularnym co są prawdziwe twierdzenia analogiczne do twierdzeń z § 2 (str. 163):

Twierdzenie 1.

Suma dwóch funkcyj f {x, y) i <p (x, y ) całkowalnych w obszarze regularnym co jest funkcją całkowalną i

! i [/ (*, y) + <P (x, y)] do = \\ f (x, y) do +

Twierdzenie 2.

Iloczyn stałej c przez funkcję /(x, y) całkowalną w obszarze regularnym co jest funk-c j ą całkowalną i

W cf (x,y) do = c\\ f (x, y) do.

OJ

Twierdzeniu 3 z § 2 odpowiada twierdzenie 1 z § 4.

bardzo

Dowody twierdzeń powyższych wynikają łatwo z definicji całki podwójnej po obszarze régulai-nym i wspomnianych twierdzeń z § 2.

Uwaga.

Jeżeli funkcje f (.r, y), y (x, y) są całkowalne w obszarze regularnym co i spełniają tam nierówność / (.r, y) cp Cr, y), wówczas

H f (x, ÿ) do < j { (p(x,y) do.

CO

co

Istotnie, nierówność ta jest na mocy tw. 1 równoważna z nierównością

11    (x, y)~f O*⁻, */)] da > 0.

CO

Z definicji całki podwójnej wynika natychmiast, że całka funkcji nieujemnej jest również nieujemna.

Dla funkcyj dwu zmiennych zachodzi twierdzenie o średniej wartości, podobne do udowodnionego poprzednio w wypadku jednej zmiennej (str. 83):

Twierdzenie 3.

m < /(x, y) < M, wówczas m | co | ^ j j f (je, y) do M | co |.

Jeżeli funkcja f (x, y) jest całkowalna w obszarze regularnym co i spełnia tam nierówność

CO

Istotnie, z ostatniej uwagi wynika łatwo, że H rn do < j j / (x, y) do < \ j M do,

CO    CO    co

zaś na mocy tw. 2 i definicji pola mamy

\\ m do = m \ co \ i \ \ M do — M \ co \ .

CO

CO

Uwaga.

Podobnie, jak w wypadku jednej zmiennej, określamy jako średnią wartość funkcji f (x, y) całkowalnej w obszarze regularnym co, liczbę

§ 6. Całka podwójna po obszarach, jako całka iterowana. Przypuśćmy, że co jest obszarem regularnym określonym nierównościami

a < x < b, cpx (x) < y < cp₂ (x),

gdzie 9?! (x) i <p₂ (x) są funkcjami ciągłemi w (a, b) i cpx (.r) <C cp₂ (x) dla a <^x b. Obszar taki nazywać będziemy obszarem norm alnym (względem osi x-ów).

c<c

r*

1/

cl

Rys. 12.

Niechaj D będzie dowolnym prostokątem określonym nierównościami a ^ x b, a ^ y ^ b', pokrywającym obszar co.

Jeżeli funkcja f(x,y) jest funkcją ciągłą w obszarze co, wówczas, jak wiemy:

(1)

n f (X, y) do = j j F (x, y) do

co    D

gdzie F (x, y) = f (x, y) w punktach obszaru co, zaś F (x, y) = 0 w pozostałych punktach prostokąta D.

Funkcja F (x, y) przy stałem x, uważana jako funkcja zmiennej y, posiada co najwyżej dwa punkty nieciągłości; punktami temi mogą być punkty P, Q, w których prosta równoległa do osi y, wykreślona w punk-

12

Rachunek różniczkowy i całkowy.

cie x osi i-ów przecina obszar co. A zatem, dla każdego x istnieje całka

h'

j F(x, y) dy.

a'

(2)

Stąd na mocy uwagi na str. 168 wynika, że H F(x, y) do == ( {j F (x, y) dy) dx

D    aa'

Obierając dowolne x i kładąc yx = cpx (x), y₂ = (p$ (x), możemy napisać:

V    Ul    i] o    b'

\ F(x, y)dy = \ F (x, y) dy -}- \ F (x, y) dy -(- \ F (x, y) dy.

a'    a'    Ul    .1/2

Ponieważ F(x,y) — 0 dla a^.y<^yx i dla y$<ly^b',

//

więc

U2

\ F (x, y) dy = \ F (x, y) dy.

a'

Ul

Zauważmy jeszcze, że dla

Ui < y < #2, F (x, y) = f{x, y).

A więc

l>'    I/o    (po (x-)

\ F (x, y) dy = \ f (x, y) dy = ( / (x, y) dy.

a'    Ui    <f>i (x)

Stąd na mocy (1) i (2)

b <po (x)

\\ f (x, y) do — \ {j f(x,y) dy} dx.

CO

a q>₁ (a:)

Uwaga.

Podobne rozważania stosują się do obszaru normalnego względem osi y-ów, określonego nierównościami

(fi (y) < * < <P₂ (y)

a < y < b

W wypadku tym mamy

b <p₂(y)

9>2 (u)

\\f(KU)do=ldg J f{x,y)dx=\ j f (x, y) dy dx.

CO

a (fi (y)

Jeżeli obszar co da się rozbić na skończoną liczbę obszarów normalnych co₁, co₂ wówczas

ii f(x,y) do = ii f (x,y) do -f j J / (x, y) do -f ...

co    co₁    co₂

Celem obliczenia całek po obszarach co₁,m₂ stosujemy wyżej wypowiedziane twierdzenie.

Przykłady:

1. Obliczyć całkę podwójną funkcji / (x, y) = x² -f xy + 2 i/²

po trójkącie D ograniczonym osiami współrzędnych i prostą y = — x -f- 1.

Jak łatwo widzieć, trójkąt ten jest obszarem normalnym, określonym nierównościami

o<x< i, o<^<ęi—x.

Zatem Otrzymujemy

cpi (x) = 0, Ç9₂ (x) = 1 — x.

Ü (x² -J- xy -f- 2 y²) do — J dx J (x² -j- xy -j- 2 y²) dy

D    0    0

(1 - X)²

X² (1 — x) + X ₂

(1 - x)³l

djf===24

i dy j (x² -\-xy-1- 2 y²) tfx

0 0

Trójkąt nasz można również określić nierównościami 0 < */ < 1, 0 < x < 1 — y. Czytelnik łatwo sprawdzi, że całka

ma tę samą wartość.

2. Obliczyć całkę f j (2 x -|- 3 y -f- 1) dx dy po polu

CO

trójkąta o wierzchołkach (—1, —1), (2, —4), (1, 3).

Wyznaczamy najpierw w znany sposób równania prostych, na których leżą boki trójkąta (podane na ry-

0,3)

-V

W-t

H-1)

CJ-

(O

v>

(2,-4

Rys. 13.

sunku). Następnie rozkładamy trójkąt na dwa obszary normalne co byśmy również użyć prostej y = — 1).

Jak wiemy

i \ (² x -j- 3 y -f- 1) dx dy = j ( (2 x -f- 3 y -j- 1) dx dy -f-

«i

-j- H (2 x -f- 3 y -}- 1) dx dy.

COo

oo₂, przy pomocy prostej x = 1. (Mogli-

»■»

Ponieważ obszary cot, co₂ są normalne, możemy każdą z całek po prawe] stronie zamienić na całkę ite-rowaną. Otrzymujemy:

+i

\\ (2x-f3 y-\-l)dxdy = | dx j (2 x-j-3 ÿ +

©i    - 1    - X -2

cfx,

2

=T*xv+h)'+B\'~J^*

+1

= ] (-²2Ł x² -f- 9 a: — f) c/x = 4.

Podobnie

i i {2x-\-Sy-{-l) dxdy — J dx ]' (2 a: -f- 3 y -j- 1) dy,

2    - 7 A + 10

©₂

= 1 2xg+iy‘+y ⁺

1    ,/ —

2

= J (60 x² —198x + 156)rfx= — 1.

- A -2

dx,

Ostatecznie

J J (2 x -f- 3 y -j- 1) dx dy = 3.

CO

Aby wyznaczyć średnią wartość funkcji 2 x —{— 3 z/ —1 w uważanym trójkącie, należy otrzymaną wartość całki podzielić przez pole trójkąta, wynoszące jak łatwo sprawdzić 9. Otrzymujemy zatem jako średnią tość

war-

3-

3. Obliczyć pole obszaru co ograniczonego parabolą i/² = 2x i cięciwą łączącą punkty (2, — 2) i (8, 4).

Prosta x — 2 dzieli obszar co na dwa obszary normalne: Obszar co₁ określony nierównościami 0<Cx^2, — ]/ 2 x^ y    j/2 x, i obszar co₂ określony nierów

nościami 2 x 8, x — 4 y ^ ]/2 x.

Rys. 14.

Zatem j \ dx dy — J \ dx dy -f- J f dx dy,

2    g

S 2 ]/2    ar dx    J    (|/2 x —ar^-4) dx

0    2

= 18

Pole obszaru co można obliczyć jeszcze w inny sposób. Mianowicie można go uważać za obszar normalny, określony nierównościami :

3 + 4    + 4 /    Ił²

= 18.

0)1

<2r2)

,2.2jS

0)2

(Sr4)

A więc H dxdy= J dy \ dx=\ ÿ + 4 — ^ rfu ®    —2 \    2/

4. Obliczyć pole obszaru normalnego co określonego nierównościami w których /x (ar), /₂ (ar) oznaczają funkcje ciągłe w przedziale (a, 6), spełniające nierówność (ar) <T /₂ (x) dla a<x<b (por. str. 143 — 44).

fi (x)

b h(x)

Mamy tutaj | co | = j j do — j dx j dy.

CO    a

dy = h (x) — /i (x). h (*) h

I MI = i t/2 (*) — fx (*)] dx.

h (x)

Ale

Zatem

5. Obliczyć objętość kuli x² -j- ÿ¹ -f- z¹ = i ¹. Płaszczyzna (x, y) przecina tę kulę wzdłuż koła x¹-j-y~ = r'i, którego wnętrze wraz z brzegiem oznaczymy przez co. lak łatwo widzieć, półkula znajdująca się powyżej płaszczyzny (x, y) jest zbiorem wszystkich punktów (x, y, z) o tej własności, że punkt (x, y) należy do co, zaś z spełnia nierówność 0    ]/r¹ — x¹ — #¹.

Na mocy naszej definicji objętości (str. 174) otrzymujemy jako szukaną objętość całej kuli

V= 2 S J |/r¹ — x¹ — p do

CO

-f-Pr¹ —x¹

S l/r¹ x¹ — */¹    = J

— Pr¹ — je¹

Kia ■ Kia

(r¹ — x¹) cos¹ cp dcp =

= S O-¹ — *¹)-

Zatem

F = 2 ^    (r¹ — x¹) dx = f r²

— r

6. Obliczyć objętość części wspólnej dwóch walców kołowych o tym samym promieniu r, których osi przecinają się pod kątem prostym.

Obierzmy jako osie tych walców oś z-ów i oś y-ów. Ich równania są wówczas

*2 _|_    ₌ r2 i x2 *2 ₌ ,.2

Część wspólna obu walców jest oczywiście określona nierównościami x² -f- y² ^ r², x² -f- z² r².

Ponieważ jej wyobrażenie sobie lub narysowanie przedstawia pewne trudności, możemy rozumować w sposób następujący :

Jest ona symetryczna ze względu na płaszczyznę (x, y). Wystarczy zatem wyznaczyć jej górną połowę, określoną nierównościami „r² -j- y²    r², x² -{- z² r²,

z 0. Oznaczmy przez (xo, y₀) dowolny układ liczb spełniający pierwszą z tych nierówności. Na to, by punkt (x₀, y₀, z) należał do badanej górnej połowy, potrzeba i wystarcza, by 0 z |/r² — x². A więc jest ona identyczna ze zbiorem wszystkich punktów (x, y, z) takich, że (.r, y) należy do koła x² -|- y² = r², zaś z spełnia powyższą nierówność. Oznaczając przez co wnętrze koła •X*² + ź/² = r² wraz z brzegiem, otrzymamy jako objętość całej części wspólnej całkę

V =2 [ I |/r² — x² dx dy,

+ Vr'²—x²

= 2 J dx J ]/r² — x² dy == 2 \ 2 (r² — x²) dx =

—y r"- — JC²

x³l + r 16

Zadania:

1) Obliczyć następujące całki podwójne: a) J J cos² y do po kwadracie (Wynik £).

b)    ) i |/4 -f- x -f- y do po obszarze normalnym określonym nierównościami    0 x 5 — y.

(Wynik ff ).

c)    J \ ]/a³ — x³ — y ³ do po obszarze normalnym określonym nierównościami

0 x a, ]/

<7 X

-x³ <y<]/a³ — x³.

(Wynik f a⁴ 5).

d) (i ycos³ y -j-x³sin³y rfo po prostokącie 0<^x^l, 0 < y < f. (Wynik f).

e)

r³

a³ y³

—K~do po trójkącie ograniczonym osią

r    .    ^

- x; /• > 0,

x-ôw, prostą x = a i prostą y — -a > 0. ^Wynik    •

5)    Obliczyć objętość ograniczoną paraboloidą eliptyczną

jj2

^ + ^ i płaszczyzną z = k {k > 0). (Wynik ^ abk^Jt).

6)    Współrzędne środka ciężkości obszaru płaskiego co, obłożonego jednostajnie masą, są średniemi wartościami funkcyj x i y, t. zn.

Mf)

rSS

x do, rj

y do.

Wyznaczyć współrzędne środka ciężkości: a) półkola jc²-j-ÿ² r², y^> 0, b) trójkąta z przykładu 2,

3 ji'

str. 180. (Wynik a) 0,

Va³-y³

Wi

^j, w którym r oznacza pro-

Rozdział X.

Całka krzywolinijna.

§ 1. Łuk pojedynczy. Załóżmy, że funkcje: x = f{t), y = q>{t), z = ip(t) (a < t < b) (1)

są ciągłe w (a, b). Zbiór wszystkich punktów przestrzeni, których współrzędne (.v, y, z) odpowiadają tej samej wartości zmiennej ł, nazywamy łukiem pojedynczym (lub krótko łukiem), jeżeli punkty, odpowiadające różnym wartościom parametru t, są różne, innemi słowy, jeżeli równania :

f (t') = / (O, ^ (O = <jP (O, ^ (O = V> (O

pociągają t' = T.

Punkty .A, R, odpowiadające skrajnym wartościom a, 6 parametru t, nazywamy końcami łuku. O tym łuku

Rys. 15.

mówimy, że łączy punkty A i B. Łuk pojedynczy oznaczamy również symbolem AB.

Przedstawienie parametryczne łuku pojedynczego, przy pomocy funkcyj spełniających wyżej podane warunki, nazywamy przedstawieniem normalnem.

Pr z ykła d y :

Łukiem pojedynczym jest : a) odcinek, b) linja łamana A, At, A₂ ... An, pod warunkiem, że sąsiednie odcinki mają tylko jeden punkt wspólny, niesąsiednie zaś nic nie mają wspólnego, c) łuk koła (odpowiadający kątowi środkowemu a, gdzie 0 <C. ci <Z % n) ■> d) obraz geometryczny funkcji y=f(x) ciągłej w przedziale (a, b). Przedstawienie parametryczne w tym wypadku jest następujące :

x = t, y    z = 0, (a < t < b).

Mając jedno przedstawienie parametryczne normalne łuku pojedynczego, możemy otrzymać nieskończenie wiele innych. Wystarczy w tym celu obrać dowolną funkcję ciągłą t = a (s), ściśle monofoniczną w jakimś przedziale (a', b') i przyjmującą na końcach tego przedziału wartości a, b. Nowem przedstawieniem normalnem będzie :

x = f [a (s)] = fx (s), y = (p [a (s)] =    (s),

z = ip[a (s)] = tyj («),    (a' < s < b').

Jeżeli łukowi AB nadamy pewien kierunek, to znaczy, obierzemy np. jako początek punkt A, jako koniec punkt B, wówczas zdarzyć się mogą dwa wypadki : albo punktowi A odpowiada wartość parametru t = a, albo wartość t — b. W pierwszym wypadku powiadamy, że przedstawienie parametryczne jest zgodne z obranym kierunkiem, w drugim zaś wypadku, że jest niezgodne. Jeśli przedstawienie jest niezgodne z obranym kierunkiem, wówczas kładąc t= — s, otrzymujemy zgodne przedstawienie :

x=f(—s)= fx (s), y — <P ( s) = cpx (s), z =    (—s) —    (s), (— b < a < —a).

Przykłady:

1.    Przedstawienie normalne odcinka łączącego punkty A (xx, yx, zx) i B (*₂, yz₂) otrzymujemy, kładąc np:

* =    + (*2 — *i) t, v = y\Jr (ź/2 — ź/i) t,

z = zx -j-(z₂ — zx) t

dla O^ź-^1. Przedstawienie to jest zgodne z kierunkiem od A do B.

2.    Przedstawienie normalne górnej połowy elipsy

b²x² -j- a²*/² = a²ö² otrzymamy, kładąc x — a cos t, y — b sin t, z = 0 dla 0    ^ rc. Inne przedstawie

nie normalne dostaniemy, kładąc np. ź = s², a więc

x = a cos s², y = b sin s², z — 0, dla 0 s <1 ]/;x.

§ 2. Całka krzywolinljna po łuku pojedynczym. Przypuśćmy, że luk pojedynczy A B dany jest przedstawieniem normalnem :

x = f (/), y = rp (t), z = yj (/), (a < t < b) (I) i ponadto, że funkcje (1) mają pochodne ciągłe w przedziale (a, b). Obierzmy na łuku A B kierunek od A do B i załóżmy, że przedstawienie parametryczne (I) jest zgodne z obranym kierunkiem. Niechaj funkcja P(x,y,z) będzie określona i ciągła dla wszystkich punktów łuku A B. Utwórzmy dowolny podział ô odcinka (a, b) i oznaczmy przez t₀ = a <C /i <C 4 • • • końce odcinków Atx,At₂ ..., wchodzących w skład tego podziału. W odcinkach powyższych obierzmy dowolnie po jednym punkcie 'tfj, $₂ ...

Połóżmy

xo=f(t₀)> *i =f(t₁), x*==f (4) i t. d.

Ci=/(#i), §₂ = /(#2>, •••; % = qp(^i), ^₂ = ęo(^₂),...;

Ci = W (#i>, £2 = W (#2) • • •

Utwórzmy sumę:

G — P (Cl,??l,Cl) (Jfi— *₀) + P(t₂, t?₂, £,) (jf₂ — Xj) -f-... (1)

Kładąc F (t) powyższą napisać następująco:

P [fit), ÇP (t), ty (t)\, możemy sumę

G = m ) [ / (t, ) — / («] + F (tf₂) [ / (4) — / (t, )] +... (2)

Na mocy twierdzenia o wartości średniej istnieją ► punkty , ^2 ... spełniające warunki :

/&)—/(*>)=/'Wto- a (4<^Oi)

/(4)—/(4)=/'TO(4 —4), (4<^<4)it. d. (3)

Połóżmy: F(#₁) = F(#')-f-ej, ^($₂) — Fity -f- e₂ ...

Stąd na mocy (2) mamy:

G = G’ -f- i?

gdzie G' = ^Oty/' (#;) zl 4 -f F(^) f (ty Att + ... (5) i? = %/'(#')/! 4 + £2/'04) zi 4 -f ...

Jeżeli przez rj oznaczymy największą z liczb: [£j[, |e₂.|, ••• zaś przez M największą wartość funkcji |/' (/) | w przedziale (a, ó), wówczas:

1 i? | < Mr) A 4 -f MV A 4 -f- ... = Mi] (b — a)    (6)

Obierzmy dowolny ciąg normalny podziałów {ó„} i niechaj {Gn} będzie ciągiem sum odpowiednich, utworzonych podobnie jak suma G. Według (4), przy podob-nem określeniu sum G„ i Rn, mamy:

Gn = G’n + Rn

\Rn I < Mr\n (b — a)

zaś

Wobec (6)

Lecz

lim Gn — ) F (t) f (t) dt.

(4)

(7)

(8)

Wskutek jednostajnej ciągłości funkcji F (t), mamy lim rjn = 0, więc na mocy (8) lim Rn — 0. A zatem:

lim <?„ = } F (t) f (t) dt = |P[/(f), <p(t), v(/)1 f'U)dt.

Granicę ciągu {Gn} nazywamy całką krzywo-linijną funkcji P(x,y,z) wziętą po łuku AB w kierunku od 4 do 5; oznaczać ją będziemy symbolem

(10)

Î P(x, y, z) dx

ab

A więc otrzymaliśmy wzór:

\ P (x, y, z) dx — j P [/ (t), q> (/), yj (/)] fit) dt (11)

au

Uwaga 1.

Można wykazać (dowód pomijamy), że wartość wyrażenia (10) nie zależy od przedstawienia parametrycznego (I), byleby ono było zgodne z obranym kierunkiem na łuku. Innemi słowy, jeżeli łuk AB będzie dany innem przedstawieniem normalnem i zgodnem z obranym kierunkiem, wówczas, postępując podobnie jak poprzednio, otrzymamy tę samą wartość na wyrażę nie ilO).

Uwaga 2.

Jeżeli na łuku obierzemy kierunek od B do A wówczas, jak wiemy, przedstawienie:

x=f(—s), y =    —s), z = y> (—s), (— b < .s- < — a)

jest przedstawieniem normalnem łuku A B, zgodnem z kierunkiem od B do A. Zatem

j P(x, y, z)dx= j P [f (— s), (pi—s), 'Ipi—s)] [—f\—s)]ds.

BA

Podstawiając s = — t otrzymujemy : ! P Cr, !/, z) dx =

BA

A więc:

i P (x, y, z) dx = — j P (x, y, z) dx

(12)

BA

AB

Uwaga 3.

Jeżeli na łuku AB obierzemy dowolny punkt C, odpowiadający wartości parametru t = c (a c b), wówczas

\ P (x, y, z) dx = j P [/(/), cp (t), yj CO] f (t) dt,

a

i p (X, y, z) dx = î P [f(t), g> (.t), y> (f)] f (t) dt.

CB    c

Zatem na mocy (11):

) P (*, y, z) dx = \ P (x; y, z) dx -f- \ P (x, y, z) dx.

Ä'b

ćPb

AC

Uwaga 4.

Podobnie określamy całki krzywolinijne, oznaczone symbolami :

) P (x, y, z) dy, $ P {x, y, z) dz.

AB

AB

Dla całek powyższych zachodzą związki:

AB

J P (x, y, z) dy = \ P [f (t), cp (t), \p (/)] cp' (t) dt,

a

dt

Zatem

2 JT

\ Cr² -j- y²) dy = \ r³ cos t dt — 0.

j4ß    o

Podobnie otrzymujemy

2 JT

i (x² -j- i/²) dx — j — /•³ sin t dt= 0,

Aß

2 JT

s (x² + y²)rf^= j r² a dt =

AB    o

2. Obliczyć całkę \ x dy po łuku

x = a cos t, y — a sin t (0 t f)

w kierunku przeciwnym do kierunku przedstawienia parametrycznego.

Mamy tu

j x dy = —

2 a jrr².

u -,

a cos t . a cos t dt = —

§ 3. Całka krzywolinijna po linji krzywej.

Załóżmy, że krzywa C składa się ze skończonej liczby łuków pojedynczych AAl5 AtA₂, A₂AS,... Obierzmy na

*A2

A<

A3

*A

Rys. 16.

tych łukach takie kierunki, by punkt, który jest końcem dwóch sąsiednich łuków był w jednym łuku początkiem, w drugim końcem. Przypuśćmy np., że obraliśmy kie-

Rachunek różniczkowy i całkowy.

13

AXA₂, ... Kierunki tych łuków określają nam pewien kierunek na krzywej. Jeżeli funkcja P (x, y, z) jest określona i ciągła we wszystkich punktach krzywej C, wówczas przez całkę krzywolinijną po krzywej C (w obranym kierunku) z funkcji P (x, y, z) rozumieć będziemy sumę całek po poszczególnych lukach⁶).

runki: AA

A więc wedle definicji

) P (x, y, z) dx = \ P (x, y, z) dx -f \ P (x, y, z) dx -f- ...

a₁a₂

AAX

Niechaj krzywa dana będzie przedstawieniem parame-trycznem

x = f (t), y — (f (t), z = yi t) (a < t < b)

Przypuśćmy, że w przedziałach (a, at), (al5 a₂) ... (a <C a₁ a₂ <ć • •. <C b) funkcje powyższe są ciągłe, mają pochodne (na brzegach jednostronne) ciągłe i że ponadto funkcje te, rozpatrywane w przedziałach (a, ax), (al5 a₂), (a₂, a₃) i t. d., dają przedstawienie normalne

łuków AAU At A₂, A₂A₃ ... zgodne z obranym kierunkiem. Łatwo zauważyć, że przy powyższych założeniach mamy:

j P (.ï, y, z) dx = j

C    a

Jeżeli pochodna f'{ł) nie istnieje w punktach a,, a₂,.. wówczas całkę powyższą należy rozumieć w znaczeniu niewłaściwem.

Podobne uwagi stosują się do całek:

\ P (.⁶•, y, z) dy, j P Cr, y, z) dz.

c    c

Przykłady:

1. Obliczyć całkę

j (x A 2 y — z) dx

AB

po linji łamanej łączącej punkty A (0, 0, 0), C ( 1,0, 0), B (1, 1, 1). Na podstawie poprzedniego możemy obliczyć całkę od A do C, następnie całkę od C do B i otrzymane wyniki dodać.

Ponieważ wzdłuż odcinka A C mamy y — z = 0, pierwsza całka jest zwyczajną całką oznaczoną:

1

j (x -j- 2 y — z) dx = J x dx — 4

AC    0

Druga całka jest równa zeru, ponieważ x jest stałe na odcinku CB.

2. Obliczyć całkę

i (*² + y) dx

AB

od punktu A (0, 0) do punktu 5(0,1): a) wzdłuż odcinka łączącego te punkty, b) wzdłuż krzywej składającej się z odcinka AC łączącego punkt A z punktem C (1, 0) i (mniejszego) łuku koła jednostkowego łączącego punkty C i B, c) wzdłuż linji łamanej ACB.

W wypadku a) całka jest równa zeru, ponieważ x jest stałe na odcinku A B,

W wypadku b) mamy

S U² -\- y) dx= Î (x² 4- y) dx -f- \ (x² -f y) dx.

AB    AC    CB

Pierwsza całka jest zwyczajną całką oznaczoną, przy-czem y — 0 na AC.

Drugą całkę obliczymy kładąc x = cos t, y — sin ł

dx

przyczem należy uwzględnić, że

(° <*<!)’

dt

= — sin t.

Zatem

S C*² -\-y) dx= i A-² dx = i-,

AC    0

JT

\ (JT²    y) dx= — \ (cos² t-\- sin t) sin t dt — — (f-j-3)-

CB    0

Stąd

J (x² 4- y) dx — —

AB

W wypadku c) całka

i (x² -j-y) dx = £

AC

według poprzedniego. Aby obliczyć całkę po odcinku CB, użyjemy przedstawienia parametrycznego x=l— t,

Otrzymujemy

i (x² -\-y)dx = — j [(1 — t)² + t] dt = — -|.

CB    0

Zatem w tym wypadku

Î (x² -f- y) dx = ^    1 ⁼

AB

§ 4. Praca, jako całka krzywolinijna. Wiadomo, że jeżeli punkt materjalny przesuwa się prostolinijnie z punktu A (x\, yx, zx) do punktu B (x₂, y₂, z₂) i poddany jest działaniu stałej siły P, równoległej do osi x-ów, wówczas praca tej siły wyraża się wzorem:

L = P(x₂ — Xj).

Przypuśćmy teraz, że funkcje (I) (str. 189) określają ruch punktu materjalnego po krzywej (C). Załóżmy, że podczas ruchu punkt podlega działaniu siły równoległej stale do osi x-ów zmieniającej jednak swoją wielkość. Niechaj P (x, y, z) oznacza wielkość tej siły w punkcie (x, y, z), położonym na krzywej C. Utwórzmy dowolny podział ó odcinka (a, b) przy pomocy punktów a <i tx < t₂ ... Niechaj wartościom t = a, tx, t₂, ... odpowiadają na krzywej punkty A₀, A,, A₂, ... o współrzędnych odpowiednio (x₀, y₀, z₀), (x₁,y₁,z₁)... Wyrażenia:

P (x₀, y₀, z₀) (xt — x₍₎), P (xu yu zt) (x₂ — xx), ...

. . przez stałą siłę P (x₀, y₀, z₀), względnie

oznaczają pracę wykonaną na odcinku A₀ Aj, wzgl. Ax A

P (xu yi> zi), ••• A zatem sumę

0 = P (x₀, y₀, z₀) (xt — *₀) -f P (xu yu zx) (x₂ — xt) + ...

uważać możemy za przybliżoną wartość pracy wykonanej przez siłę działającą.

] P (x, y, z) dx, c

Ponieważ dla każdego ciągu normalnego podziałów {d„} ciąg odpowiednich sum {Gn} zdąża do całki krzy-wolinijnej :

więc zgodnie z intuicją postąpimy, jeżeli całkę powyższą uważać będziemy za pracę wykonaną przez zmienną siłę P (x, y, z) wzdłuż krzywej C.

Uwaga.

Jeżeli siła zmienia wielkość i kierunek, to oznaczając przez P (x, y, z), Q (x, y, z), R (x, y, z) jej rzuty na osie układu, pracę tę określamy wzorem:

L — 1 P{x,y, z) dx-\- \ Q (ar, y, z) dy -f \R (x, y, z) dz.

ccc

Piszemy to zwykle krócej, mianowicie

L= \ P (x,y, z) dx + Q (x, y, z) dy + R (x, y, z) dz.

c

Przykład:

Obliczyć pracę wykonaną przez siłę stałą co do wielkości i kierunku, np. siłę ciężkości przy przesunięciu punktu wzdłuż danej krzywej.

Przyjmując, że kierunek siły jest zgodny z dodatnim kierunkiem osi z-ów (co zawsze można osiągnąć, obierając odpowiednio układ współrzędnych), mamy tutaj

P (x, y, z) — Q (x, y, z) = 0, R (*, y, z) = c,

przyczem c oznacza stałą dodatnią.

Jeżeli krzywa dana jest parametrycznie

x—f (0, y = V Ct), Z = ty(t) (a < t < ß)

a ruch odbywa się w kierunku zgodnym z tern przedstawieniem, wówczas otrzymujemy

L — f c dz — \ c yS (t) dt — c [ïp (ß) — yj (a)].

Oznaczając początek i koniec krzywej przez (xi,y₁,z₁) i (*a, U2, z₂), mamy

L = c (z₂ — a-i).

na

Widzimy, że w tym wypadku praca nie zależy od drogi, ale jedynie od różnicy poziomów mierzonej osi z-ów.

§ 5. Krzywa zamknięta. Krzywą, złożoną z dwóch łuków pojedynczych, mających ze sobą tylko końce wspólne, nazywamy krzywą pojedynczą zamkniętą.

Krzywą taką jest koło, elipsa, trójkąt, wielokąt i t. p.

Krzywą pojedynczą zamkniętą możemy również określić przy pomocy przedstawienia parametrycznego:

X = /(O, U = ⁽P (*), z = W (0, (a < t < b) (1)

w którem funkcje / (t), (p (t), yj (t) są ciągłe i spełniają warunki następujące :

1) / (a) = / (b), cp (a) = cp (6), \p (a) = y> (b),

2) jeżeli dla dwóch różnych wartości parametru t', t" zachodzi    (p (t') = (p (t"), ip (t') = yj (ł"),

¹

j dx i ]/r¹ — x¹ — y² dy.

²

— ! r¹ —

Przy całkowaniu ze względu na y należy uważać x za stałe. Możemy zatem wprowadzić nową zmienną (p przez podstawienie

y — |/r¹ — x¹ sin cp, dy = ]/r¹ — x¹ cos <p dcp. Wówczas

³

   Wyprowadzić przy pomocy całek podwójnych znane wzory na pole: a) trójkąta, b) trapezu, c) wycinka kołowego, d) elipsy.

⁴

   Przy pomocy zamiany całki podwójnej na iterowaną wykazać, że

a    x    aa

a)    j dx i / (x, y) dy = \ dy \f (x, y) dx

0    0    0 ]]

dla każdej funkcji / (x, y) ciągłej w trójkącie ograniczonym prostemi y — 0, x = a, y — x (a 0).

a    V a³ — x³

b)    \dx j / (x, y) dy = dy \ f (x, y) dx

0    0    o

dla każdej funkcji / (x, y) ciągłej w dodatniej ćwiartce koła x³ -f- y³ = a³.

⁵

   Wykazać, że objętość odcinka kuli wyraża się wzorem V — Tc w³ [r —

mień kuli, zaś w wysokość odcinka.

⁶

Oczywiście o ile całki po tych tukach istnieją.

wówczas albo t' = a, t" = b, albo też t' — b, t" — a.

Innemi słowy, w przedstawieniu (I) każdemu punktowi na krzywej z wyjątkiem jednego, odpowiada tylko jedna wartość parametru t; temu wyjątkowemu punktowi odpowiadają dwie wartości parametru, mianowicie t = a i t = b. Przedstawienie zapomocą funkcyj o wyżej podanych własnościach nazywamy przedstawieniem normalne m.

Wymienimy kilka ważnych własności krzywych zamkniętych pojedynczych, leżących w płaszczyźnie :

a) Każda taka krzywa C dzieli płaszczyznę na dwa obszary, z których jeden — ograniczony — co, nazywa

się wnętrzem krzywej C, drugi zaś — nieograniczony — co', nazywa się zewnętrzem krzywej C. Krzywa C jest brzegiem każdego z obszarów co, co'.

b)    Dwa dowolne punkty obszaru co (wzgl. dwa dowolne punkty obszaru co') dadzą się połączyć linją łamaną, nie mającą nic wspólnego z krzywą C.

c)    Każdy łuk pojedynczy, którego jeden koniec leży w co, drugi zaś w co', przecina krzywą C.

Własności powyższe czytelnik łatwo sprawdzi intuicyjnie dla koła, trójkąta, wieloboku. Dowód w ogólnym wypadku jest trudny i dlatego go pomijamy.

Na krzywej C możemy obrać dwa kierunki. Jeżeli krzywa C jest płaska, wówczas jeden z nich nazywa się lewym, drugi prawym. Zakładając, że poza kilkoma punktami krzywa C posiada styczną, kierunek lewy możemy scharakteryzować w sposób następujący:

Wykreślmy w dowolnym punkcie M krzywej odcinek MB prostopadły do stycznej i (oprócz punktu M)

Rys. 17.

położony całkowicie wewnątrz krzywej C. Jeżeli wektor MB, tworzy z kierunkiem stycznej (obranym zgodnie z kierunkiem krzywej) kąt: -f- £, wówczas kierunek obrany na krzywej jest kierunkiem lewym. Poglądowo określenie to możemy wypowiedzieć w ten sposób, że

obiegając krzywą w kierunku lewym, mamy jej wnętrze po lewej ręce.

Jeżeli krzywa C dana jest przedstawieniem normal-nem, wówczas przedstawienie to może być zgodne lub niezgodne z obranym kierunkiem na krzywej. Przedstawienie jest zgodne, jeżeli podczas wzrastania parametru t od a do b, odpowiedni punkt na krzywej obiega ją w kierunku obranym. Jeżeli przedstawienie nie jest zgodne z obranym kierunkiem, wówczas kładąc: t— —s otrzymujemy przedstawienie zgodne (por. str. 188).

Przykłady:

1.    Kładąc x = a cos t, y — b sin t (0 t 2 n) otrzymujemy normalne przedstawienie parametryczne

ii 2

elipsy ^ -h~

= 1, zgodne z kierunkiem lewym.

2.    Normalne przedstawienie parametryczne kwadratu o wierzchołkach (0,0), (1,0), (1,1), (0,1) możemy określić np. w sposób następujący:

dla 0 t 1 »    l<ć<2

„ 2 < t < 3

y = t— 1

x = t x = 1

Łatwo sprawdzić, że określone w ten sposób funkcje x—f(t), y — <p (t) są ciągłe w przedziale (0,4) i spełniają warunki 1) i 2). Jeżeli t rośnie od 0 do 4, punkt [/ (t), (p O0] obiega kwadrat w kierunku lewym, przechodząc przez każde położenie tylko raz [z wyjątkiem (0, 0)].

Zastępując w tych przykładach t przez —s, otrzymalibyśmy przedstawienia normalne zgodne z kierunkiem prawym.

§ 6. Całka krzywolinijna po krzywej zamkniętej. Przypuśćmy, że krzywa pojedyncza zamknięta dana jest przedstawieniem parametrycznem normalnem :

[a < aj < a₂ ... < b]

funkcje powyższe posiadają pochodne (na brzegach jednostronne) ciągłe. Jeżeli P (x, y, z) jest funkcją określoną i ciągłą w punktach krzywej C, wówczas na mocy § 3

x = f(t), (p — (p (t), z = ty (t), a^Ct^Cb. Załóżmy, że w przedziałach (a, at), (a, a₂) ...

! p fo y, z) dx= ± \ P [f (t), (p (t), ty (()] /' (t) dt,

C    a

przyczem znak zależy od tego, czy całka powyższa jest wzięta w kierunku zgodnym z przedstawieniem parametrycznem, czy w przeciwnym.

Jeżeli na krzywej obierzemy dwa punkty A i B,

wówczas, zakładając, że łuki AmB i BnA mają kie-

Rys. 18.

runki zgodne z kierunkiem obranym na krzywej, możemy napisać:

\ P U, y,z) dx= j P (x, y, z) dx -j- \ P (x, y, z) dx.

AmB

BnA

§ 6. Całki krzy wolinijne po krzywych zamkniętych płaskich. Niechaj dwie krzywe pojedyncze zamknięte płaskie Cu C% mają tylko łuk pojedynczy AB

Zatem

i p (*> y) dx -f- j P (x, y) dx — \ P (x, y) dx -J- \ P (x, y) dx,

Cl    C₂    Li    U

a więc

wspólny. Załóżmy nadto, że wnętrza cox, co₂ krzywych Cx i C₂ nie mają ze sobą nic wspólnego. Przypuśćmy, że krzywa Cx składa się z łuków Lx i AB, zaś krzywa C₂ z łuków L₂ i AB. Łuki Lx i L₂ tworzą krzywą pojedynczą zamkniętą C, której wnętrze co zawiera

ĆY

C,

(JÜ2

C₂

C₂

Rys. 19.

w sobie obszary cox i co₂. Jeśli obierzemy na krzywych Cx i C₂ kierunek lewy, wówczas kierunki łuków Lx i L będą na krzywej C zgodne z kierunkiem lewym krzywej C. Ponieważ łuk AB będzie na krzywych Cx, C2 przeciwnie skierowany, więc

î P (•*•, y) dx — \ P (x, y) dx -f- j P (x, y) dx,

Ci

Li

Ali

J P (x, y) dx = j P (x, y) dx -f- \ P (x, y) dx.

C₂

l₂

BA

f P (x, y) dx = \ P (x, y) dx -f- 1 P (x, y) dx.

c    Cl    c₂

Załóżmy, że brzeg C obszaru co składa się z kilku krzywych pojedynczych zamkniętych Ct, C₂ ... Kierunkiem lewym krzywej C\ względem obszaru co nazywać będziemy ten kierunek, przy którym, obiegając krzywą Ci, będziemy mieli obszar co po lewej ręce. Zatem kierunek

C*

C3

C4

Rys. 20.

lewy względem obszaru zależy od tego, czy obszar leży wewnątrz, czy zewnątrz danej krzywej zamkniętej. Np. dla obszaru zawartego między dwoma kołami współśrodko-wemi, kierunek lewy względem obszaru jest na kole wewnętrznem przeciwny do kierunku na kole zewnętrznemu Podobnie określamy kierunek lewy na krzywych Cx, C₂ ... względem co. Obierając na każdej krzywej Cj, C₂, ... kierunek lewy względem obszaru co, całką krzywolinijną wziętą po brzegu C w kierunku lewym nazwiemy sumę całek wziętych po krzywych Clf C₂ ...

A więc

î P (xi y) dx — j P (x, y) dx -f j P (x, y) dx -f-

C    <7,    C₂

Jeżeli obszar domknięty co jest sumą dwu obszarów domkniętych cou co₂ nie mających ze sobą punktów we-

wnętrznych wspólnych, to zakładając, że odpowiednie brzegi C, Cu C₂ składają się ze skończonej liczby krzywych zamkniętych, możemy napisać

\ p (*, y) dx = \ P (x, y) dxĄ- \ P (x, y) dx.

c    Ct    c₂

Całki są brane w tym samym kierunku.

Intuicyjnie ostatni związek będzie jasny, jeżeli zauważymy, że jeśli jakiś łuk mieści się w C, wówczas

to-t

Rys. 21.

występuje bądź tylko w Ci, bądź tylko w Cg i to z tym samym kierunkiem co w C; jeśli natomiast jakiś łuk nie występuje w C, a występuje w Cu wówczas występuje również w C₂, lecz z kierunkiem przeciwnym niż w C₁.

§ 7. Twierdzenie Greena. Niechaj obszar normalny co określony będzie związkami

O funkcjach ft (x) i /₂ (x) zakładamy, że są ciągłe w (a, b). Przypuśćmy, że mamy daną funkcję P (x, y), określoną i ciągłą wewnątrz i na brzegu obszaru co. Załóżmy nadto, że pochodna

«s ! Ö5

jest ograniczona i ciągła w każdym punkcie wewnętrznym obszaru co. Przy tych założeniach wyprowadzimy związek :

ïP^y)dX = -\) 8u

(1)

— do

CO

gdzie C oznacza brzeg obszaru co, zaś całka krzywoli-nijna jest wzięta w kierunku lewym.

Dowód.

Łatwo widzieć (por. uwagę 2 na str. 191), że

j P (x,y) dx = \ P [r, A (.r)] dx — j P [r, /₂ (x)] dx (2)

b k ( x)

Lecz

do —

! idxd»■

CO

<*2 I

Ponieważ

Î2 (x)

\ J dy — P [x, f₂ (r)] — P [x, fx (r)] dla a < x < b,

więc

dP

CO

dy

do — { [P (x, f₂ (x)] — P [x, A Cr)] dx (3)

Porównując (2) i (3), otrzymujemy

\ P (x, y) dx =    \ \

dP

— do.

dy

co

Gdybyśmy założyli, że obszar co da się rozbić na skończoną liczbę obszarów cox, co₂, ... normalnych względem osi r-ów, to i w tym wypadku wzór (1) jest prawdziwy.

Oznaczając bowiem przez Cx, C₂ ... brzegi obszarów co₁, co₂ ..., mamy wedle znanego twierdzenia (str. 203):

j P (x, y) dx — J P (x, y) dx + \ P (x, y) dx-[-...

(-2

c

Stosując przed chwilą udowodnione twierdzenie, otrzymamy

j P (x, y) dx = — \} P (ar, y)do—\\ P (x,y) do — ...

<’h

COo

Zatem j P (ar, y) dx= — j j P (ar, y) do.

C    co'

Przy odpowiednich założeniach co do brzegu co, postępując podobnie jak poprzednio, dostaniemy:

dP

CO

Łącząc oba wzory, możemy napisać:

\ [P (x, y) dx-\- Q (ar, y) dy] =

dQ d P'

do.

CO

Ten wzór zawiera jako szczególne przypadki (dla Q — 0, względnie P = 0) oba poprzednie wzory i nosi nazwę twierdzenia Green a.

Prz ykład :

Stosując twierdzenie Greena do całki

\ (2 o* — 3 y) dx -f- (or— y) dy,

przyczem C oznacza koło jednostkowe, obiegane w kierunku lewym, otrzymujemy :

P (x, y) = 2 x — 3 y, Q (a-, y) = x — y,

dQ

Zatem

\ (2 x — 3 y) dx -f- (x — y) dy — J J 4 do — 4 Jt.

CO

Łatwo sprawdzić ten wynik, obliczając daną całkę bezpośrednio.

§ 8. Zastosowania twierdzenia Greena. Twierdzenie Greena Jest Jednem z podstawowych twierdzeń teorji całek podwójnych. Zastosowania Jego są szczególnie ważne w fizyce matematycznej.

Zasadnicze znaczenie wzoru Greena polega na tem, że pozwala przekształcać całki krzywolinjowe na całki podwójne i naodwrót.

Podamy tutaj kilka bezpośrednich konsekwencyj :

mamy

= 1,

mamy

Zatem

ł i (* dy — y dx).

c

Całki brane są w kierunku lewym.

2. Oznaczmy przez co wnętrze krzywej zamkniętej C. Niechaj funkcje P („r, y) i Q (x, y) ograniczone i ciągłe wewnątrz co, posiadają pochodne cząstkowe

ÔP . dQ d y ¹ d x

ciągłe i ograniczone w co. Udowodnimy twierdzenie następujące :

Twierdzenie 1.

Warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, by dla każdej krzywej zamkniętej C' położonej wewnątrz co zachodził związek

i P (x, y) dx-\-Q (x, y) dy = 0,

c

jest, by w każdym punkcie (x, y) obszaru co zachodziła równość:

O krzywej C' zakładamy, że stosuje się do niej twierdzenie Greena.

Dowód.

d

Przy założeniu, że — mamy na mocy twierdzenia Greena

'c: I

dQ

d x’

J [P (x, y)dx-{- Q (x, y)] dy = ^ ^

OM H

dP

co'

⁹y

do = 0.

Warunek jest więc dostateczny.

Przypuśćmy teraz, że dla każdej krzywej pojedynczej zamkniętej C' mamy

\ P(x, y) dx -{- Q (x, y) dy = 0.

C'

Na mocy twierdzenia Greena otrzymujemy d_Q _dP d x d y

do= 0

(1)

a>'

Przyjmując, że w pewnym punkcie (.r₀, y₀) obszaru co mamy np.

= a> 0,

⁹Q(xo, */₀)    d P(xo, y₀)

znajdziemy na mocy ciągłości tak małe koło K o środku (x₀, y₀), że w każdym punkcie tego koła zachodzi związek

dQ dP

dy

Zatem

dQ dP

dx

dy

C>

(Ä oznacza pole koła K).

To zaś jest sprzeczne ze związkiem (1), zachodzącym dla każdego co', a zatem i dla koła K.

Podobnie postępujemy przy a 0.

Uwaga.

Załóżmy, że dla każdej krzywej pojedynczej zamkniętej C' położonej wewnątrz co mamy

i P (*, y)dxĄ-Q {x, y) dy = 0.

C'

Przy założeniu powyższem możemy twierdzić, że jeśli A i B są dowolnemi punktami obszaru co, to całka

J P (x, y)dx + Q (x, y) dy

AB

(gdzie AB jest łukiem położonym w co, łączącym punkty A i B) nie zależy od łuku AB, lecz tylko od punktu początkowego A i końcowego B. Innemi słowy, wartość powyższej całki jest dla wszystkich łuków łączących punkt A z punktem B ta sama.

Połączmy bowiem punkty A i B dwoma łukami AmB i AnB nie mającemi nic wspólnego ze sobą poza punktami A i B. Biorąc pod uwagę krzywą zamkniętą AmBnA, mamy

$ P (.r, y)dxĄ-Q (x, y) dy = 0,

AmBnA

14

Rachunek różniczkowy i całkowy.

Rys. 22.

więc

\ P(x, y) dx + Q (x, y) dy -\-

Am B

-j- J P (x, y) dx + Q (x, y) dy= 0,

BnA

zatem

\ P (x, y) dx-\- Q (x, y) dy =

AmB

(1)

= J P {x, y) dx -f Q (x, y) dy

An B

Załóżmy, że łuki AmB i An B mają oprócz punktów A i B jeszcze skończoną liczbę punktów odosobnionych i skończoną liczbę łuków wspólnych. Wykażemy, że i w tym wypadku zachodzi związek (1). Oznaczając bowiem przez P, Q ... /?, S pokolei punkty wspólne odosobnione i końce odcinków wspólnych, łatwo widzieć, że na mocy tego cośmy udowodnili, całki krzywolinijne wzięte po odcinkach AP, PQ, ... łuku AmB są odpowiednio równe całkom wziętym po odpowiednich odcinkach łuku AnB. Zatem

O'

AnB

AnB

Związek (1) zachodzi również, jeżeli łuki AmB i AnB mają nieskończenie wiele punktów wspólnych. W tym wypadku dowód jednak jest trudny i dlatego go pomijamy.

Rys. 23.

| P (x, y) dx Q (x, y) dy

Czytelnik łatwo zauważy, że naodwrót, z założenia, że całka

AB

nie zależy od łuku AB, lecz jedynie od punktu początkowego i. końcowego, wynika, że dla każdej krzywej zamkniętej C' mamy:

5 P (x, y) dx + Q (x, y) dy — 0.

Załóżmy, jak poprzednio, że co jest wnętrzem krzywej zamkniętej C. Niechaj funkcje P (x, y) i Q (x, y) będą określone i ciągłe w co i niechaj posiadają w każ-

d P . dQ .

¹ Tx c'«le-

dy

S,

nB

dym punkcie co pochodne cząstkowe Przy tych założeniach wykażemy twierdzenie następujące:

Twierdzenie 2.

Warunkiem koniecznym i wystarczającym dla istnienia funkcji F (x, y) określonej w co, której cząstkowemi pochodnemi byłyby funkcje P(x,y) i Q(x,y) jest, by w każdym punkcie obszaru co zachodził związek dP dQ

dy

Dowód.

Konieczność wykazaliśmy w tomie pierwszym (str. 250). Jeżeli bowiem

dV

dV

— = P(x,y) i — = Q (x, y),

dy

d P _ d²V dy dxdy

Dostateczność: załóżmy, że w obszarze co

wówczas

CG CG

dP

(1)

Na mocy uwagi na str. 209 wartość całki 1 P (x, y)dx-\-Q (x, y) dy

AB

nie zależy od łuku AB, lecz tylko od punktu początkowego A i końcowego B.

Funkcję V (x, y) otrzymamy w następujący sposób. Obierzmy w co dowolny punkt A (x₀, y₀). Wartość funkcji V (x, y) w dowolnym punkcie B (*, y) obszaru co określimy, kładąc

V{x,y) = \ P (x, y)dx -f- Q (x, y) dy, V (x₀, y₀) = 0,

AB

gdzie AB jest dowolnym łukiem łączącym punkty A i B. Celem wyznaczenia pochodnych cząstkowych funkcji V (x, y) zauważmy, że jeśli punkt C obszaru współrzędne (x -)- h, y), to możemy napisać

V (x -f- h, y) = j P (x, y) dx -\- Q (x, y) dy,

ABC

gdzie łuk ABC składa się z łuku AB i odcinka prostolinijnego BC równoległego do osi jr-ów.

co ma

Zatem

F(.r 4-h,y)= j Pdx -\- Qdy j Pdx Ą- Q dy*), ab    bc

| Prfx -f- Q dy.

BO

więc

V (* + h, y) — F (je, ÿ)

x + h

Ponieważ \ P dx -\- Q dy = j Pdx,

BC

1

- \ P(x,y)dx.

*1 X

więc

V (x -f h, y) — V Cr, y)

Stąd na mocy twierdzenia o wartości średniej (str. 94) V(x-\- h, y) — F Cr, y)

Zatem, z uwagi na ciągłość funkcji P (x, y), mamy

dV

dx

= P (x, y).

Podobnie otrzymamy

dV

s— = Q (x, y)-

dy

Uwaga 1.

Można wykazać, że przy założeniach twierdzenia poprzedniego funkcja F (.r, y) określona jest poza pewną stałą. Wystarczy oczywiście stwierdzić, że jeżeli funkcja F (x, y) spełnia wewnątrz krzywej C związki

dV

= o,

wówczas F (x, y) — const. Otóż, łącząc dwa dowolne

punkty A, B obszaru co, łukiem prostym położonym całkowicie w co, mamy

dV[f{t),cp{t)\ _ dV

dt

dx

f (t) +

dy

cp' (t) = 0,

gdzie x — / (f), y = cp (t) jest przedstawieniem normal-nem łuku AB.

Zatem V [f (t), cp (t)] = const. Stąd wartość funkcji V (x, y) w punkcie A równa się wartości funkcji w punkcie B.

Uwaga 2.

Ostatnio otrzymane wyniki są analogiczne do twierdzenia o istnieniu funkcji pierwotnej dla funkcji ciągłej jednej zmiennej. Wykazaliśmy bowiem, że przy pewnych założeniach istnieje funkcja posiadająca zgóry dane pochodne cząstkowe i że dwie takie funkcje różnią się tylko o stałą.

Przykłady:

1. Funkcje P (x, y) = x² y, Q (x, y) — 0 nie spełniają warunku naszego twierdzenia, bo

dP

dQ

-z— = 1 zaś — — 0.

dy

Jak się już przekonaliśmy (por. str. 195, przykład 2), całka j P (x, y) dx -j- Q (x, y) dy może przybierać różne wartości dla różnych krzywych łączących te same dwa punkty.

2. Dla P (x, y) = x -f- y, Q (x, y) — x — y² mamy

= 1.

dP ÔQ

dy

Istnieje więc funkcja V(x, y), dla której

dV

dV

Z pierwszego równania wynika

V (x, y) = $ x² -f xy -f cp (y),

gdzie cp {y) jest pewną funkcją zmiennej y. Wyznaczymy ją przy pomocy drugiego równania:

dV

Stąd

= x <p' (y) = x y². cp'{y) = - \

cp (y) — — y³ -f- C (C stała dowolna).

cojn^

Ostatecznie

V (x, y) = i x² -f xy — £ y³ + C.

Rozdział XL

Odwzorowania ciągle. Zamiana zmiennych w całkach podwójnych.

§ 1. Odwzorowania. Jeżeli każdemu punktowi A pewnego zbioru E¹) przyporządkowany jest jakiś punkt B innego zbioru Eu przyczem każdy punkt zbioru Ex odpowiada co najmniej jednemu punktowi zbioru E, wówczas powiadamy, że mamy określone jednoznaczne odwzorowanie zbioru E na zbiór Ex.

Zbiór Ex nazywamy obrazem zbioru E. Może się zdarzyć, że zbiór ten jest częściowo lub całkowicie zawarty w zbiorze E, albo z nim identyczny.

Przykłady:

Obrazem

1.    Niechaj zbiorem E będzie koło o środku w punkcie O i o promieniu r. Każdemu punktowi A zbioru E przyporządkujmy środek B odcinka O A. zbioru E będzie koło współśrodkowe o promieniu \ r.

2.    Niechaj E będzie dowolnym trójkątem. Każdemu punktowi zbioru E przyporządkujmy rzut jego na oś •r-ów. Obrazem będzie odcinek położony na osi r-ów.

Jeżeli punktowi A o współrzędnych x, y odpowiada punkt B o współrzędnych x\ y, wówczas odwzorowanie określimy, podając dwie funkcje

(1)

x =f Cr, y), y = (p (x, y)

określone w zbiorze E, wyznaczające współrzędne punktu B, gdy znane są współrzędne punktu A.

Przykłady:

3. Jeżeli w przykładzie 1. p, q oznaczają współrzędne środka O, wówczas odwzorowanie powyższe jest określone funkcjami

xJrP r₌y + q

y

4. Odwzorowanie w przykładzie 2. określone jest funkcjami

x = x, y = 0.

5. Każdemu punktowi A (x, y) zbioru E przyporządkujmy punkt B (x, y), którego współrzędne określają funkcje :

x' = x cos a — y sin a, y = x sin a -j- y cos a.

Obrazem jest zbiór, jaki otrzymamy, obracając zbiór E o kąt a dokoła początku układu.

§ 2. Odwzorowania ciągłe. Odwzorowania jed-no-jednoznaczne. Jeżeli funkcje (1) określające odwzorowanie są ciągłe, wówczas odwzorowanie takie nazywa się odwzorowaniem ciągłem.

Odwzorowania podane w przykładach 1 — 5 są ciągłe. Jeżeli dwom różnym punktom zbioru E odpowiadają zawsze dwa różne punkty zbioru Ex, wówczas odwzorowanie takie nazywamy odwzorowaniem jedno-jednoznacznem.

W przykładzie 2 mamy odwzorowanie nie

Odwzorowania w przykładach 1, 5 są jedno-jedno-znaczne. jedno-jednoznaczne.

Niechaj zbiór E będzie odwzorowany jedno-jedno-znacznie na zbiór Ex. Jeżeli A oznacza dowolny punkt zbioru E, zaś B odpowiedni punkt zbioru Eu wówczas odwzorowanie, które każdemu punktowi B zbioru Ex przyporządkowuje odpowiedni punkt A zbioru E, nazywa się odwzorowaniem odwrotnem.

Aby otrzymać funkcje określające odwzorowanie odwrotne, należy rozwiązać równania (1) ze względu na x, y.

Jeżeli odwzorowanie zbioru E na zbiór Ex jest jedno-jednoznaczne i ciągłe, i jeżeli odwzorowanie odwrotne jest również ciągłe, wówczas powiadamy, że odwzorowanie zbioru i? na zbiór E₁ jest obustronnie ciągłe.

Dla krótkości mówimy często, że zbiór Ex jest ciągłym (jedno-jednoznacznym) obrazem zbioru E.

Przykłady:

1.    Odwzorowanie odwrotne dla przykładu 1 (patrz również przykład 3) określają funkcje:

x—2 x — p y = 2 y' — q.

2.    Odwzorowanie odwrotne dla przykładu 5 określają funkcje:

x — x cos a -]- y sin a, y = y cos a — x sin a.

3.    Odwzorowania podane w przykładach 1 i 5 są obustronnie ciągłe.

Podamy teraz kilka twierdzeń o odwzorowaniach ciągłych i jedno-jednoznacznych (dowody pomijamy).

Twierdzenie 1.

Odwzorowanie ciągłe jedno-jednoznaczne pojedynczego łuku (względnie krzywej zamkniętej) jest pojedynczym łukiem (względnie krzywą zamkniętą). Odwzorowanie takie jest obustronnie ciągłe.

Twierdzenie 2.

Obrazem ciągłym i jedno-jednoznacznym obszaru jest obszar.

Twierdzenie 3.

Obrazem ciągłym i jedno-jednoznacznym krzywej pojedynczej zamkniętej C i jej wnę-

trza co jest krzywa pojedyncza zamknięta C' i jej wnętrze co'. Przy odwzorowaniu tem obrazem krzywej C jest krzywa C', obrazem zaś jej wnętrza obszar co'.

Odwzorowanie takie jest obustronnie ciągłe.

§ 3. Wyznacznik funkcyjny (jakobjan). Jeżeli funkcje x — f (x, y), y = cp (x, y) określone w otoczeniu punktu x, y, posiadają w tym punkcie pochodne cząstkowe pierwszego rzędu, wówczas wyrażenie:

fx (x, y) (py (x, y) — fy (x, y) (px (x, y) =

fx (x, y), fy (x, y)

<px (x, y), (py (x, y) I

nazywamy wyznacznikiem funkcyjnym lub j a-kobjanem tych funkcyj. Jakobjan oznaczamy symbolem :

D (x, y)

D (x, y)

lub

D (/, p)

D (j:, y)

Przykład:

Jeżeli :    x — r cos cp, y = r sin (p

D (ar, y)

wówczas:

= r.

dx d y d x dy D (r, (p) d r ' d<p d cp ' d r

Udowodnimy teraz następujące:

Twierdzenie.

Jeżeli funkcje x'=f(x,y), y' — (p{x, y), ciągłe w obszarze co, posiadają pochodne cząstkowe ciągłe, wówczas do każdego punktu (x, y), w którym jakobjan jest różny od zera, można dobrać takie otoczenie, że odwzorowanie, określone temi funkcjami, będzie w tem otoczeniu jedno-jednoznaczne*).

*) Można również wykazać, że odwzorowanie to będzie w tem otoczeniu obustronnie ciągłe.

Dowód.

Załóżmy, że w punkcie A (x₀, y₀) jakobjan jest różny od zera, t. zn.:

fx C**0> ź/o) ty y (•*<>> ź/o) fy C*b> ź/o) x (x0, ź/o) "j- 0    (1)

Przypuśćmy, że twierdzenie jest nieprawdziwe. A zatem w każdem otoczeniu punktu A istnieją dwa różne punkty A' (x, y), B' (x -j- h, y -f- k) spełniające związki

f(x-{-h,y-\-k)=f(x,y), ty (x-\-h, y -{- k) — (p (x, y) (2)

Obierzmy ciąg kół o środku w punkcie A (jr₀, y₀) i o promieniach {/■„} zdążających do zera. W każdem z tych kół znajdziemy dwa różne punkty A {x„, yn}, Bn {xn~\~hn,yn-f-Ä„}, dla których zachodz związki:

f(x„ -|- hn, yn -J- kn) =f(xn, yn), ty (xn + hn, yn + ka) = <p (xn, yn).

Na mocy twierdzenia o wartości średniej mamy:

/ (xn H⁻ hny y -j— kn) f (xn, y„) —

hn fx (L) Vn) ~f~ hn fy (^„,    7]n)    =    0,

ty (xn + hn, yn + kn) — cp (xn, yn) = h n ty x (^«i Vn) “f" kn (py (i„, Tj n) = 0,

(por. T. I, str. 268) gdzie

irrt

n == xn H⁻    hn, ^n = yn -f- $n kn,    n = Xn -f- ffy łln,

¹

Przyjmować będziemy, że zbiory E i Ex są płaskie, założenie to nie jest jednak konieczne.

Vn =yn + &'nkn; 0<#„<1,    0<^;<1.

Ponieważ hn i kn nie są równocześnie zerami, więc ostatnie związki dają f* (L, Vn) ty y (in, V n) ~ fy Un, V n) ty'x Un, Vn) = 0

Ponieważ

lim rn — 0,

więc

lim xn — x₀,

lim yn = z/₀,

lim hn = 0, lim kn — 0.

Przechodząc do granicy, otrzymamy z uwagi na (3) i założoną ciągłość pochodnych cząstkowych:

fx (*o> yo) 9>'y (xo, y o) — fu (*o> y o) ⁽fx {x₀, y₀) = o.

To zaś Jest sprzeczne z nierównością (1). A zatem istnieje takie otoczenie punktu x₀, y₀, w którem odwzorowanie Jest jedno-jednoznaczne.

Przykład :

Niech dany będzie układ równań

x = / (*, y), y = y (x, y),

przyczem funkcje f (.x, y), (p (x, y) są ciągłe i posiadają ciągłe pochodne cząstkowe w otoczeniu punktu (jc₀, yQ), w którym jakobjan jest różny od zera i niechaj

/ (*o> yo) = a, (p (x₀, y₀) = b.

/ (x, y) — au (p (*, y) = b

Punkt ten zmienia się w sposób ciągły wraz z (au ńi).

Uwaga 1.

Jeżeli jakobjan w każdym punkcie obszaru co jest różny od zera, to odwzorowanie w otoczeniu każdego punktu tego obszaru jest jedno-jednoznaczne. Może się jednak zdarzyć, że odwzorowanie całego obszaru nie jest jedno-jednoznaczne.

Na mocy ostatniego twierdzenia istnieje koło K o środku (x₀, y₀), w którem odwzorowanie określone po-wyższemi równaniami jest jedno-jednoznaczne i ciągłe. Wedle twierdzenia 3 na str. 218 obrazem koła K jest pewna krzywa zamknięta C i jej wnętrze ct), do którego należy w szczególności punkt (a, b). Odwzorowanie jest nadto obustronnie ciągłe. Jeżeli zatem (at, bt) jest dowolnym punktem wewnątrz krzywej C, to wewnątrz koła K istnieje dokładnie jeden punkt spełniający równania

i*

Weźmy np. odwzorowanie określone funkcjami x — ex cos y, y = ex sin y (— co x, y <C -f- co)

Jakobjan wynosi e2x, jest więc zawsze różny od zera. Mimo to dla x = 0, y = 0 i x — 0, y = 2 otrzymujemy x = 1, y — 0. Odwzorowanie nie jest więc jedno-jednoznaczne. Z drugiej strony, jeżeli jakobjan jest w jakimś punkcie równy zeru, to odwzorowanie może być mimo to w otoczeniu tego punktu jedno-jednoznaczne. Np. odwzorowanie określone funkcjami

(1)

X = y' = y\ (— co < X, y < + oo)

jest odwzorowaniem jedno-jednoznacznem ; odwzorowanie odwrotne określone jest funkcjami

b = Vb'-

Jakobjan odwzorowania (1) wynosi 9 x² y²; jest więc równy 0 dla x = 0, lub y — 0.

Uwaga 2.

Przypuśćmy, że funkcje x'=f(x, y), y' = f(x,y) są ciągłe wraz z pochodnemi cząstkowemi pierwszego rzędu w obszarze spójnym (T. I, str. 238). Jeżeli założymy, że odwzorowanie określone temi funkcjami jest jedno-jednoznaczne, wówczas można udowodnić, że jakobjan jest stale ^ 0 lub stale 0. Dowód pomijamy.

Prz ykłady :

1. Jakobjan odwzorowania linjowego x' = «i * + bx y -f cu y' = a₂ x -\- b₂ y c₂,

wynosi a₁b₂ — a₂bx. Jeżeli jest różny od zera, to — jak wiadomo z teorji równań linjowych — można równania powyższe rozwiązać ze względu na x, y, przy-czem otrzymuje się równania podobnej postaci. Mamy tu zatem odwzorowanie ciągłe i jedno-jednoznaczne całej płaszczyzny (x, y) na całą płaszczyznę (x, y). Jeżeli jednak jakobjan (który w tym przykładzie nie zawiera zmiennych x, y) jest równy zeru, to jak wiadomo z ge-ometrji analitycznej, odwzorowaniem płaszczyzny x, y jest linja prosta albo punkt. W tym wypadku odwzorowanie jest ciągłe, ale nie jest jedno-jednoznaczne.

2. Wprowadzenie współrzędnych biegunowych x = r cos cp, y = /• sin cp,

możemy uważać za odwzorowanie płaszczyzny zmiennych r, cp na płaszczyznę (x, y). Jakobjan tego odwzorowania wynosi, jak wiemy, r (str. 219). Dla r= 0 i dowolnego cp otrzymujemy x = 0, y = 0, t. zn. wszystkie punkty prostej /• = 0 przechodzą w początek układu płaszczyzny (x, y). W otoczeniu punktu (/•, cp), którego v 4= 0, odwzorowanie jest jedno-jednoznaczne, a odwzorowanie odwrotne dane jest wzorami

1lxi + y*

= arc cos

/• = ]/x² -j- y², cp = arc sin

przyczem wybór znaku pierwiastka, oraz wartości kąta cp jest jednoznacznie określony ze względu na ciągłość odwzorowania.

Ponieważ punktom (/•, cp) i (r, cp -(- 2 nri), gdzie n oznacza dowolną liczbę całkowitą, odpowiada ten sam punkt płaszczyzny (x, y), każdy punkt tej płaszczyzny jest obrazem nieskończenie wielu punktów płaszczyzny (r, cp).

W zastosowaniach przyjmuje się zwykle r>0 i ogranicza się często kąt cp przez warunek 0 ^ cp 2 jv. Łatwo się przekonać, że obrazem ciągłym i jedno-jedno-znacznym wnętrza prostokąta określonego nierównościami 0    a, 0 ^ cp 2 Ji, jest obszar otrzymany

z wnętrza koła x² -\- y² ^ a² przez usunięcie z niego odcinka osi x-ów : 0 x a, y — 0.

3. Odwzorowanie

x' = x-{-y, y' = xy

— x — y, a więc jest

jest ciągłe, ale nie jest jedno-jednoznaczne dla całej płaszczyzny x, y. Istotnie, punktom (x, y) i (y, x) położonym symetrycznie ze względu na prostą y — x i w ogólności różnym, odpowiada ten sam punkt (x, y'). Wyznacznik funkcyjny wynosi tutaj równy zeru na prostej y — x. Aby znaleźć obraz płaszczyzny x, y przy tern odwzorowaniu, zauważmy, że przy danem (x, y') liczby x, y są pierwiastkami równania drugiego stopnia

z² — x z -j- y = 0.

Jak wiadomo, równanie to posiada wtedy i tylko wtedy rzeczywiste pierwiastki, gdy x'² — 4 y ^ 0. A więc obrazem płaszczyzny (a*, y) jest zbiór punktów

—, lub na tej

(x\ y') położonych poniżej paraboli y paraboli.

Na mocy twierdzenia na str. 219 odwzorowanie nasze jest jedno-jednoznaczne w otoczeniu każdego punktu (x₀, y₀) nie leżącego na prostej y — x. Istotnie, rozwiązując równania określające odwzorowanie ze względu na x, y, dostajemy

lub

x +]/x'*—4y' 2

x' — |/x' 2 *=-2

-4 y

x' — ]/x' y =-2

x -f- ]/x':

’ y =-2

'2

-4 y

Dla pewnego otoczenia punktu x₀, y₀ zachodzi pierwsza lub druga z tych możliwości, zależnie od tego, czy •*o > y o, czy też x₀ < y₀.

Jeżeli natomiast x₀ = y₀, to odwzorowanie nie jest jedno-jednoznaczne w żadnem otoczeniu punktu (x₀, y₀), bo w każdem otoczeniu znaleźć można dwa punkty symetryczne ze względu na prostą y = x, których obrazem jest ten sam punkt płaszczyzny (x, y').

Jeżeli nasze odwzorowanie jest w pewnym obszarze spójnym co jedno-jednoznaczne, to ten obszar nie może zawierać żadnego punktu prostej y — x, a więc leży całkowicie powyżej lub poniżej tej prostej. Stąd wynika, że jakobjan ma w obszarze co stały znak (por. uwagę 2).

Zadania:

1)    Wykazać, że przy odwzorowaniu x = x¹ 2 — ÿ², y'=2xy obrazem płaszczyzny (x, y) jest cała płaszczyzna (x\ y). Odwzorowanie to nie jest jedno-jednoznaczne w żadnem otoczeniu punktu (0, 0).

2)    Wykazać, że przy odwzorowaniu x =x, y =x²-\-y² obrazem płaszczyzny (x, y) jest zbiór punktów płaszczyzny (x, y), położonych powyżej paraboli y' = x'² lub na tej paraboli. Odwzorowanie nie jest jedno-jednoznaczne w otoczeniu punktów osi jc-ów.

§ 4. Zamiana zmiennych w całkach podwójnych. Niechaj co i co' będą obszarami regularnemi, których brzegami są krzywe zamknięte pojedyncze C, wzgl. C'. Przypuśćmy, że funkcje

(a)

x' = f{x,y),    y=(p{x,y)

są określone i ciągłe wraz z pierwszemi pochodnemi cząstkowemi w pewnym obszarze domkniętym D, zawierającym w swojem wnętrzu co. Niechaj P (x', y ) będzie funkcją ciągłą w co'. Jeżeli w całce

15

gdzie e = + 1.

Wzór powyższy ważny jest przy następujących założeniach:

mmm

il P(x\ y) dx dy =

(Or

— s 11 P [/(•*, y), <p (x, y)]

D (/, cf)

D (x, y)

dxdy (I)

1.    Funkcja P(x, y') jest określona i ciągła w pewnym obszarze domkniętym D' zawierającym nietylko co\ lecz również cały obraz obszaru co przy odwzorowaniu (a).

2.    Funkcje / i cp odwzorowują jedno-jednoznacznie krzywą C na krzywą C'.

3.    Jeżeli punkt obiega krzywą C w kierunku lewym, wówczas odpowiedni punkt krzywej C' obiega ją wedle 2. w kierunku lewym lub prawym.

W pierwszym wypadku ma być s = 1, w drugim 1. Zatem s nie zależy od funkcji P(x\ y ), lecz tylko od odwzorowania określonego funkcjami / i cp.

Uwaga.

Z założenia: 1. wynika istnienie całki po prawej stronie równości (I). O jedno-jednoznaczności odwzorowania wnętrza krzywej C nic nie zakładamy.

Dowód przeprowadzimy jedynie przy pewnych założeniach dodatkowych. W ogólnym wypadku dowód pomijamy. Założymy mianowicie, że :

a)    Krzywa C posiada przedstawienie normalne spełniające warunki podane na str. 194.

b)    Obszar co (wzgl. co') da się rozbić na skończoną liczbę obszarów normalnych względem każdej z osi x, y, (wzgl. x\ y).

c)    Funkcje / (x, y) i cp (x, y) posiadają cząstkowe pochodne drugiego rzędu, ciągłe w co.

d)    Istnieje funkcja F(x', y), określona w D' i spełniająca związek

K' y) = P{x\ y)

CD

mamy :

w obszarze co'.

Na mocy twierdzenia Greena (str. 206)

i F (x y y) dx = c

= — H p(x\ y) dx dy

cor

oy

dx dy =

cof

(2)

Całkę krzywolinijną obliczamy w kierunku lewym na krzywej C’.

Niechaj funkcje

x=a (0, y = ß(t)

będą przedstawieniem normalnem krzywej C, zgodnem z kierunkiem lewym.

Zatem, na mocy założenia 2., funkcje *’=/[<* (<), i* (0] = u(<), ff' = go [<*(*>, /S(f)] = »(f) (3)

*i>

Co<<

będą przedstawieniem normalnem krzywej C'.

Ponieważ funkcje /, 9? mają cząstkowe pochodne ciągłe, a według założenia krzywa C spełnia warunek a), więc możemy przyjąć, że przedział (t₀, ł±) da się rozbić na skończoną liczbę przedziałów, w których funkcje a (/), ß (t) mają pochodne (na końcach przedziałów pochodne jednostronne) ciągłe, a zatem funkcje u (0 i a (ż) mają również w tych przedziałach pochodne (na końcach jednostronne) ciągłe. Na mocy więc (3) mamy

(4)

\ F (x, y) dx = s \ F[u (t), v (f)] u (t) dt

gdzie s — + 1 zależnie od tego, czy obiegając krzywą C w kierunku lewym, obiegamy krzywą C również w kierunku lewym, czy w przeciwnym (patrz str. 194).

15*

Ze związku (8) otrzymujemy (poza skończoną liczbą punktów) :

u (t) = f, [a (», ß (<)] a' (ł) + f'„ [a (#), ß (f)] ß (t). Stąd i z (4) wynika:

\ F (x, y) dx'= e \ F [« (0, V (0] fx [a (t), ß (*)] a' (0 dt +

C'

+ s i ^ [m (0, V (f)] fy [a (t), ß (0] ß' (t) dt.

*0

Łatwo zauważyć, że całki stojące po prawej stronie powyższej równości, są odpowiednio równe całkom:

\ F [f (x, y), (p (x, y)] f'x (x, y) dx,

c

j F [f(x, y), (p (x, y)] f'„ (x, y) dy,.

c

przyczem obie całki oblicza się w kierunku lewym.

Opuszczając dla krótkości zmienne x, y, możemy więc napisać :

\ F (x, y) dx = ej F (/, <p) fx dx -j- s \ (/, gp) f'y dy (5) C'C    c

Zastosujmy do całek stojących po prawej stronie twierdzenie Greena. Mamy:

= \FX’ (/, 9>) fy+Fy, (/, <P) <p'y\ fX + F (/, <P) fx ⁹ [F(f, (p)fy\

—    (/, <p) fx 4~ Fy, (/, go) çpx] fy -f- F (f, <p) fx'y.

Zatem z twierdzenia Greena i na mocy (5) wynika :

Stąd na mocy (1) i (2)

i j P(x, y) dx dy =

co'

dx dy.

(O

\ F (x, y ) d x =

C'

nF(fi<p)f'\ d[F(f,y)f'g\

dx

dx dy.

A więc I F (x, y) dx = —8 \ \ F'y, (/, go)

d (/, y)

D (x, y)

dx dy.

D (/, g>) D Cr, i/)

Uwaga 1.

Jeżeli brzeg obszaru co' składa się z kilku krzywych zamkniętych C[, C'₂, ... C'n, to twierdzenie poprzednie będzie również prawdziwe, jeśli brzeg obszaru co składa się z takiej samej liczby krzywych zamkniętych Ci, C₂, ... Cn, które funkcje /, cp odwzorowują jedno-jednoznacznie odpowiednio na krzywe C[, (X ... Należy jeszcze założyć, że jeżeli punkt obiega krzywe Ct, C₂ ... w kierunku lewym, wówczas odpowiedni punkt obiega krzywe C[, C'₂, ... C'n, albo stale w kierunku lewym, albo stale w kierunku prawym.

Dowód przebiega podobnie jak poprzednio, jeśli oprzemy się na ogólnem twierdzeniu Greena (str. 205/6).

D (/, <f)

D (x, y)

w obszarze co. Na mocy formuły (I)

Uwaga 2.

Załóżmy, że jakobjan

nie zmienia znaku

H P (x, y) dx dy =

r d (/, cp)

D (x, y)

oj’

dxdy

(6)

D (/, cp)

Ponieważ lewa strona ma wartość dodatnią, więc funkcja e

musi być nieujemna, założyliśmy bo-

Liczba s = + 1 i zależy tylko od funkcyj / i cp, nie zależy natomiast od P. Kładąc P Cr', y') = 1 otrzymamy :

£

D (.r, y)

H dx dy = J J

dx d y.

CO

D (x, y)

wiem, że jakobjan nie zmienia znaku. Z uwagi na to, że s = + 1, wynika, że:

£ D y)

D (x, y)

Zatem na mocy (6) mamy w tym wypadku H P (x,y) dx dy' =

D ( f, fp)

D {x, y)

D (x, y)

co'

CO

dx dy

(ii)

Uwaga 3.

Można udowodnić, że wzór (II) zachodzi również wtedy, jeżeli założymy, że

1)    obszary co, co' są regularne i

2)    funkcje / (x, y) \ cp Cr, y) odwzorowują jedno-jednoznacznie wnętrze obszaru co na całe wnętrze obszaru co'.

Nie zakładamy natomiast, że na brzegu odwzorowanie jest jedno-jednoznaczne.

Przykłady:

1. Obliczyć całkę jj (x²    y²) dx dy po wycinku ko

łowym co, ograniczonym osią r-ów, prostą u = x tg a (0 a <C 2 n) i kołem x² y² = 1.

Połóżmy x = r cos cp, y = r sin cp.

Równania te odwzorowują jedno-jednoznacznie wnętrze prostokąta D (0    /•    1, 0 cp a) płaszczyzny

(r, (p) na wnętrze wycinka co, przyczem jakobjan

D (x, y)

D (r, cp)

ma stały znak. Zatem

ii (x*Ą-y*)dxdy =

$ $ (r² cos² (p -f- r² sin² cp) r dr dcp —

CO

D

i    Q

= d(p J r³ dr = — •

0    0    4

Dla obliczenia całki po całem kole jednostkowem nie moglibyśmy stosować naszego twierdzenia, ponieważ odwzorowanie nie jest jedno-jednoznaczne w żadnem otoczeniu punktu r = 0. Ponieważ jednak otrzymany wynik jest ważny dla każdego dodatniego a 2 Jt, więc przechodząc do granicy dla a —> 2 Jt, otrzymamy dla całki po całem kole wartość f.

Ponieważ w ten sposób możemy rozumować dla każdej funkcji ciągłej, zatem w kole jednostkowem można zawsze wprowadzać współrzędne biegunowe przy całkowaniu po całem kole, mimo to, że założenia naszego twierdzenia nie są tu spełnione.

Wynika to zresztą również z uwagi 3 i własności naszego odwzorowania (por. przykład 2, str. 223).

2. Obliczyć objętość elipsoidy

*² ÿ² z²

? + b* ⁺ ^

Ponieważ elipsoida jest symetryczna ze względu na płaszczyznę (x, y), mamy

V= 2

x² y²

1--« — —5 dx dy,

a²

przyczem obszarem całkowania co jest elipsa

= 1.

Połóżmy x = au, y = bv. Łatwo sprawdzić, że wzory te określają jedno-jednoznaczne odwzorowanie koła jednostkowego K płaszczyzny (u, v) na elipsę co. Ponieważ

= a.b> 0,

D (*, y)

D (u, v)

otrzymujemy

— ~ dx dy = Jj ]/l

— u² — v² ab du dv.

Wprowadzając współrzędne biegunowe u = r cos (p, v — r sin (p (por. przykład poprzedni), dostajemy

nyi-»*

K

— v² du dv

2 n    i__

= \ d<p\ r]l 1 — i-² dr = f Jt.

Ostatecznie

V = f ab c jt.

3. Oznaczmy przez / (ar, #), cp (x, ÿ) dwie funkcje ciągłe i posiadające ciągłe pochodne cząstkowe w otoczeniu punktu (jr₀, yQ). Załóżmy nadto, że ich jakobjan

D (/, g>)

D (x, y)

jest różny od zera w tym punkcie.

Odwzorowanie określone przez równania

x = f (x, y), y ⁼⁽P (x, y)

jest w pewnem otoczeniu punktu (x₀, yQ) jedno-jednoznaczne. Jeżeli zatem dokoła punktu (x₀, y₀) opiszemy koło Kr o dostatecznie małym promieniu /■, to obrazem tego koła będzie pewna krzywa zamknięta K'r wraz z wnętrzem. Pole tej krzywej wynosi

Oznaczając przez mr, Mr najmniejszą wzgl. największą wartość jakobjanu w kole K„ mamy na mocy twierdzenia o średniej wartości (str. 176)

dx dy Mr | K

d (/, g>)

Kr

5 \ dx dy = e

D (/, y)

K'r

Kr

D (x, y)

dx dy.

D (x, y)

czyli

Kr |

Kr

D (/, <p)

D (x, y)

dx dy Mr.

Jeżeli promień r zdąża do zera, to liczby mr, Mr z powodu ciągłości jakobjanu dążą do jego wartości w miejscu (x₀, y₀). Zatem

lim

i-->0

\Kr\

Kr

D (/, (p)

D (x, y)

dx dy =

D (/, y)

yK=Xo

y = y o

Mnożąc obustronnie przez s, otrzymujemy

lim

\K'A = e g (/, y)

1^1    D(x,y)x = Xo

y — yo

>

Widzimy zatem, że wartość bezwzględna jakobjanu jest równa granicy ilorazu K'r i Kr, zaś jego znak jest dodatni lub ujemny, zależnie od tego, czy odwzorowanie zachowuje zwrot obiegu, czy go odwraca. Mamy tu pewną analogję do znanych własności pochodnej funkcji jednej zmiennej.

Zadania:

1) Przy pomocy zamiany zmiennych używanej w przykładach poprzednich obliczyć:

a) Objętość części

elipsoidy

2 „2 - 4- — -h

² ' ó² '

położoną w dodatniej ósemce układu współrzędnych, między płaszczyznami x = 0, y = 0, z = 0 i płaszczyzną

* i Ł

a ‘ b

b)    Objętość wyciętą z kuli x² -j- y² -j- z² = r² przez walec kołowy x² -f- y² = a² (a <^ /•).

F=f Ji [r® — (r² — a²)*].

c)    Współrzędne środka ciężkości (por. str. 186, zad. 6) dodatniej ćwiartki elipsy

= 1.

V = gäbest (5 1/2 — 4).

x²

co

-— ? J] ==    -    .

3 jz

2) Wykazać przy pomocy zamiany zmiennych, że odwzorowanie jr' = ]/ÿ, y'

znaczne dla y 0, jest równopowierzchniowe, t. zn. że obrazem dowolnego obszaru domkniętego płaszczyzny (x, y) (położonego powyżej osi x-ów) jest obszar domknięty o tem samem polu.

a²

2 x}/y, jedno-jedno-

Rozdział XII.

Całka wielokrotna.

§ 1. Całka potrójna. Niechaj D będzie zbiorem punktów w przestrzeni, o współrzędnych (a*, y, z), spełniających nierówności : a x a , b^Cy ^.b ', c^Cz^ć.

Zbiór D jest oczywiście prostopadłościanem o objętości r = (a — a) (b' — b) (c — c) i o przekątni

l — y (a' — a)² -f- {b' — ń)² -j- (c — c)².

Podzielmy D na skończoną liczbę prostopadłościanów o objętościach Ar₁, Ar₂, ....

Zbiór tych prostopadłościanów nazywać będziemy podziałem Ô. Przez |ó| oznaczać będziemy długość największej przekątni prostopadłościanów Axu Ar₂, ....

Ciąg podziałów {ó„} nazywamy normalnym, jeżeli lim j ón | = 0.

n—>oo

Przypuśćmy, że w prostopadłościanie D jest określona ograniczona funkcja / (jc, y, z). Utwórzmy dowolny podział ô i wybierzmy z każdego prostopadłościanu, wchodzącego w skład podziału <5, dowolnie po jednym punkcie. Oznaczmy współrzędne obranych punktów przez (!i> fi), (ia,V2,Ss\ •••• > utwórzmy sumę:

A=/(l„*h, ?i)    +

Jeżeli dla każdego ciągu normalnego podziałów {ó„} odpowiedni ciąg sum {^4,,} ma granicę, wówczas powiadamy, że funkcja / (x, y, z) jest całkowalna w D. Można wykazać (podobnie jak dla całki pojedynczej), że w tym wypadku ciągi {An} zdążają do wspólnej granicy, którą nazywamy całką potrójną funkcji / (x, y, z) w prostopadłościanie D.

Oznaczamy ją symbolem

Hi / (*, U, z) dt lub Î\\ f Cr, y, z) dx dy dz.

D    D

rem

Zbiór D nazy-

§ 2. Całka wielokrotna. Niechaj D będzie zbio-punktów przestrzeni czterowymiarowej o współrzędnych (.*, y, z, t), spełniających nierówności: a <; x a, à ÿ ■< b\ c <; * <; c, a? t <; d'. wamy przedziałem przestrzeni czterowymiarowej. (T. I, str. 285).

Jako miarę tego przedziału (którą nazywamy również objętością) uważamy liczbę

t = (a' — a) (b' — b) (c — c) (dr — d).

Przekątnią przedziału D nazywamy liczbę

l = W - a)² + W - W + (c — c)! + (d’ - d)²

Dzieląc przedział D na skończoną liczbę przedziałów o miarach A rlf A r₂, ... otrzymujemy podział ó. Największą przekątnię przedziałów wchodzących w skład podziału ô oznaczamy przez J «31. Ciąg podziałów {ó„} nazywamy normalnym, jeżeli lim | ón | = 0.

n —^ oo

Niechaj / (x, y, z, t) będzie funkcją określoną i ograniczoną w przedziale D. Obierzmy w każdym z przedziałów Avti Ar₂, ... dowolnie po jednym punkcie o współrzędnych (^, rju /), Qs, y₂, Ç₂, t₂), ... i utwórzmy sumę

f Vii Ci» t\) A tx -f- /(c₂, y₂, Ç₂, t₂) A t₂ -J- ...

Jeżeli dla każdego ciągu normalnego podziałów {ó„} odpowiedni ciąg sum {An} ma granicę, wówczas powiadamy, że funkcja/ (x, y, z, t) jest całkowalna w przedziale D. Wspólną granicę ciągów {^ł„} nazywamy całką

poczwórną funkcji f (x, y, z, t) w przedziale D. Oznaczamy ją symbolem

S S! i f (x, y, z, t) dz lub j j j j f (x, y, z, t) dx dy dz dł.

D    1)

Analogicznie określamy całkę wielokrotną w przestrzeni o dowolnej liczbie wymiarów.

§ 3. Warunki całkowalności. Twierdzenia 1, 2, 3, 4 (§ 2 str. 163) są ważne również dla całek potrójnych i wielokrotnych. W twierdzeniach 1, 2, 3 należy za D przyjąć prostopadłościan, względnie przedział. Dowody tych twierdzeń są podobne. W twierdzeniu 4 należy poczynić następujące zmiany. W wypadku całki potrójnej zakładamy, że punkty nieciągłości leżą na skończonej liczbie powierzchni, będących obrazami geo-metrycznemi funkcyj ciągłych kształtu z = / Cr, y), lub x = W (y, z), lub y = yj (x, z). W wypadku całki poczwórnej zakładamy, że punkty nieciągłości leżą na skończonej liczbie utworów, będących obrazami geome-trycznemi funkcyj ciągłych t = f(x, y, z), lub x = cp (x, z, t) i t. d. Analogiczne zmiany należy uwzględnić przy większej liczbie wymiarów. .

§ 4. Całka wielokrotna, jako całka iterowana.

Twierdzenie.

Jeżeli funkcja f(x,y,z) jest ciągła w prostopadłościanie D (a^x^a, bś^y^b', c <V), wówczas

a' b'

H S / (*, y, z) dv = \ [\ {!/(*,#,*) dz) dy] dx.

D    a b c

Dowód tego twierdzenia jest podobny do dowodu twierdzenia z § 3, str. 165.

Analogiczne twierdzenie zachodzi dla całek wielokrotnych.

Uwaga.

Można udowodnić twierdzenie ogólniejsze. Załóżmy, że / (x, y, z) jest funkcją całkowalną w D i że dla każdej pary wartości x, y funkcja / (x, y, z), uważana jako funkcja jednej zmiennej z, jest całkowalna. Przy tych założeniach można twierdzić, że

c'

1)    F (x, y) = j / (x, y, z) dz jest funkcją całkowalną

C

w prostokącie D' (a x < a, b < y <; b').

2)    Ml / (x, y, z)dv = \) (1 / (.r, y, z) rfz} o?o.

d    nr c

Przykład.

Obliczyć całkę jjj (.r² -f- y² -f- z²) dv po prostopadło-

D

ścianie D określonym nierównościami 0 x a, 0 <1 y b, 0 z -< c.

Otrzymujemy

111 C*-² + */² + z²) dtf = f [$ {! (*² + ³/² + z²) dzj dy] dx

dy dx —

a³bc , a&³c , aôc³ abc

— (a²-f ö²-f c²).

zawierającym w swojem wnętrzu obszar co. Określmy w D nową funkcję F (x, y, z) w następujący sposób : F Cr, y, z) = f (x, y, z), jeżeli punkt (x, y, z) należy do co ; F (x, y, z) = 0 dla innych punktów prostopadłościanu D.

Jeżeli funkcja F (x, */, z) jest całkowalna w D, wówczas powiadamy, że funkcja / (jc, z) jest całkowalna w co. Całką potrójną funkcji / (x, y, z) po obszarze o) nazywać będziemy wartość całki j \ f F (x, y, z) dr. Całkę

D

potrójną po obszarze co oznaczać będziemy podobnie jak poprzednio, t. j. symbolem jjj f (x, y, z) dr lub HS f(x,g, z)dxdy dz.    ®

co A więc według powyższej definicji

S Si f (*, y, z) dr =\\\ F (x, y, z) dr.

CO

Odnosi się tutaj (jak czytelnik łatwo sprawdzi), przy odpowiednich zmianach, uwaga na str. 171.

Obszar domknięty co nazywamy obszarem regularnym, jeżeli jego brzeg składa ze skończonej liczby powierzchni, dających się przedstawić w jednej z postaci z = f (x, y), y = cp (*, z), x = y> (y, z).

Czytelnik łatwo sprawdzi, że twierdzenia 1 (str. 171) i 2 (str. 172) są również ważne dla całek potrójnych (przy odpowiednich zmianach).

Jako definicję objętości obszaru domkniętego regularnego co przyjmujemy formułę

co | = j j j d o.

CO

:-S *

Te same definicje i twierdzenia stosują się do dowolnych całek wielokrotnych.

Czytelnik łatwo wypowie twierdzenia 1, 2, 3 (§ 5, str. 175) dla całek wielokrotnych. Dowody są podobne.

Jako średnią wartość funkcji / (x, y, z) w obszarze co określamy całkę

SSS / (*> U, z) dr.

§ 6. Całka wielokrotna po obszarach, jako całka iterowana. Niechaj cox będzie obśzarem regularnym położonym w płaszczyźnie (x, y), zaś co obszarem regularnym położonym w przestrzeni trójwymiarowej określonym jak następuje: punkt (x, y) należy do co1? <Pi (*, y) < z < g)₂ (x, y), gdzie <px (x, y) i (.y, y) są funkcjami ciągłemi określonemi w cot. Obszar taki nazywać będziemy obszarem normalnym względem płaszczyzny (x, y). Obszar co ograniczony jest powierzchniami z—cpy (x, y), z = y>2 (x, y) i pobocznicą walca, o podstawie cox, którego tworzące są równoległe do osi z-ów. Niechaj będzie dowolnym prostopadłościanem określonym nierównościami a x a, b y b ’, c z ^ c, pokrywającym co. Jeżeli funkcja /(x, y, z) jest ciągła w co, wówczas, jak wiemy

¹

î P (x, y) dx dy

²

co'

chcemy wprowadzić nowe zmienne x, y, związane ze zmiennemi x, y równaniami (a), to uskuteczniamy to przy pomocy wzoru

Rachunek różniczkowy i całkowy.

³

5. Całka wielokrotna po obszarze. Niechaj co będzie obszarem ograniczonym i domkniętym, położonym w przestrzeni trójwymiarowej (por. T. I, str. 285).

W1 / Cr, y, z) dr = i n ^ Cr, *) ^

®    n

gdzie i? Cr, y, z) = f (x, y, z) w co, zaś F Cr, ÿ, z) = 0 w pozostałych punktach D.

Funkcja F (x, ÿ, z), uważana jako funkcja zmiennej z, posiada co najwyżej dwa punkty nieciągłości; punktami temi mogą być punkty, w których prosta równoległa do osi 2-ów przechodząca przez punkt (x, y) przecina brzeg obszaru co. A zatem dla każdego (x, y) istnieje całka

î F Cr, y, z) dz — W Cr, */).

Stąd na mocy uwagi na str. 238 wynika, że

Hi f(x,y,z)dt = \\\ F (x, y, z) dr =

(1)

c'

==H {\ F(x, y, z) dz) da

D' c

gdzie D' oznacza prostokąt (a x a, b ^ y t>). Lecz łatwo można zauważyć, że przy stałem (x, y) mamy:

®1

cr

<P2 (X, y)

! F (x, y, z) dz =

<P 1 (x, y)

W (x, y) = \ F (x, y, z) dz

C

q>2 (x> y)

=    \    / (*, y, z) dz

⁽Pl (x, y)

jeżeli (.r, y) należy do col5 zaś

c'

W (x, y) — j F (x, y,z) dz = 0 w pozostałych punktach D'.

C

A więc

(2)

I} W (x, y) do = \ \ W (x, y) do.

D'    03!

Zatem na mocy (1), (2)

<P2 (x, y)

\\\ f (x, y, Z) dt = ni ï f(x, y, z) dz) do.

»    ®1 <Pl (x, y)

Analogiczny wzór otrzymuje się dla obszaru normalnego ze względu na płaszczyznę (y, z) lub (z, x).

Przykład.

1. Obliczyć całkę 5 5 i (2 jc —j— 3 y — z) dx dy dz po

CO

graniasto słupie trójkątnym co, ograniczonym płaszczyznami z = O, z = a, x = O, y — O, x - y — b (a^> O, b 0).

Mamy tutaj <p₁ (x, y) = O, (<*» y) = a• Obszarem cot w płaszczyźnie (x, y) jest trójkąt ograniczony prostemi x = O, y = O, x -f- y — b.

Zatem

\ (2x -f- 3 y — z) dx dy dz — \\ {j (2x-j- 3y — z) dz) do.

O)

Ponieważ

C0₁ o

to 85

to

\ (2 x -)- 3 y — z) dz = (2 x -j- 3 y) a —* - 3

O

zatem otrzymujemy jako wartość danej całki

do =

to »

21

dy —

= -| aó³ — \ a² b².

2. Obliczyć objętość obszaru normalnego ze względu na płaszczyznę (x, y).

Przy zachowaniu oznaczeń używanych poprzednio,

mamy

<P2 (x,ll)

V = [jj dx dy dz=\\ {    \ dz) do,

CO    ®i <Pi(x,y)

<Pi (x, y)] do

czyli

v=\\ [% (*, y) —

(por. str. 182, przykład 4).

Zadania.

1) Obliczyć całkę potrójną

n J (1 —    dx dy dz

po prostopadłościanie ograniczonym płaszczyznami x= ± 1, y=± 1, z—± 1.

2) Współrzędne środka ciężkości bryły jednorodnej co są średniemi wartościami funkcyj x, y, z, t. zn.

1= j~T in Xdr, =    \ydt, Ç =

|m| co    I¹⁰! co

M CO

\\\ zdv.

Wyznaczyć środek ciężkości:

y^

a) dodatniej ósemki elipsoidy -j-    -j—% = 1

noc

b) stożka kołowego o promieniu r i wysokości w. (Wynik a) £ = J a, V = î b, £ = f c; b) na wysokości, w odległości od podstawy).

3) Obliczyć* całkę potrójną j jj a:² sin y dt po obszarze co

CO

normalnym ze względu na płaszczyznę (y, z), zawartym między tą płaszczyzną a powierzchnią

x — 1 -j- cos y

8 31

Wynik — •

Spis rzeczy.

Rozdział I.

Całka nieokreślona. Metody całkowania.

1.    Funkcja pierwotna................

2.    Zasadnicze wzory................

3.    Niektóre własności całki nieokreślonej......

4.    Całkowanie przez podstawienie..........

5.    Całkowanie przez części.............

6.    Całki funkcyj elementarnych...........

7.    Wzory redukcyjne.........•......

Rozdział II.

Str.

. 10

11

14

Całkowanie funkcyj wymiernych.

1.    Rozkład wielomianu na czynniki.......

2.    Rozkład funkcji wymiernej na ułamki proste .

3.    Całka funkcyj wymiernych..........

20

22

27

Rozdział III.

Całkowanie funkcyj algebraicznych.

32

2.    Całki dwumienne..................

3.    Całkowanie funkcyj wymiernych R (x, y).......

4.    Niektóre szczególne przypadki całek funkcyj wymiernych

R (x, u) iy — Va x² + b x + c].............

5.    Uwagi tyczące się przekształcenia całki / R (x, y) dx . . 45

34

35

38

Rozdział IV.

Całki funkcyj wykładniczych, logarytmicznych, trygonometrycznych i cyklometrycznych.

1.    Uwagi ogólne...................

2.    Całki funkcyj wykładniczych i logarytmicznych . . .

3.    Całki funkcyj trygonometrycznych.........

4.    Całki funkcyj cyklometrycznych...........

5.    Przykłady funkcyj niecałkowalnych elementarnie . .

Rozdział V.

Całka określona (pojedyncza).

1.    Definicja całki określonej..............

2.    Niektóre własności całek określonych........

3.    Całkowalność funkcji ciągłej............

4.    Niektóre warunki całkowalności...........

5.    Rozkładanie przedziału całkowania.........

6.    Niektóre nierówności dla całek określonych.....

7.    Granice całki...................

8.    Funkcje górnej (dolnej) granicy całki........

9.    Całka określona a funkcja pierwotna........

10. Twierdzenie o wartości średniej (całkowe)......

54

55

57

64

66

69

75

76

80

81

83

86

87

89

93

Rozdział VI.

Przekształcanie całek określonych. Całkowanie ciągów i szeregów.

1.    Zamiana zmiennych w całkach określonych.....

2.    Całkowanie przez części.....

3.    Całkowanie ciągów i szeregów . .

4.    Całkowanie szeregów potęgowych .

5.    Całkowanie i różniczkowanie według parametru ... 111

98

. 102

104

107

Rozdział VII.

Całki niewłaściwe.

1.    Całka funkcji nieokreślonej w kilku punktach .... 120

2.    Całka funkcji nieograniczonej

3.    Całki w przedziale nieskończonym . . . .

4.    Kryterjum istnienia całki niewłaściwej . .

5.    Zastosowanie do szeregów........

6.    Całki niewłaściwe jednostajnie zbieżne . .

123

124

128

. . 131

Rozdział VIII.

Zastosowania rachunku całkowego.

1.    Obliczanie pola......

2.    Obliczanie długości łuku . .

3.    Objętość bryły obrotowej .

4.    Pole powierzchni obrotowej

143

146

io \o

tH tH

Rozdział IX.

Całka określona podwójna. Warunki całkowalności.

1.    Definicja całki określonej podwójnej w prostokącie . . 159

163

2.    Warunki całko walności.......

165

3.    Całka podwójna jako całka iterowana

170

4.    Całka podwójna po obszarze.....

5.    Warunki całkowalności. Twierdzenie o średniej wartości 175

6.    Całka podwójna po obszarach, jako całka iterowana . 177

Rozdział X.

Całka krzywolinijna.

1.    Łuk pojedynczy...................

2.    Całka krzywolinijna po łuku pojedynczym......

3.    Całka krzywolinijna po linji krzywej.........

4.    Praca jako całka krzywolinijna ...........

5.    Krzywa zamknięta .................

6.    Całka krzywolinijna po krzywej zamkniętej......

6 a. Całki krzywolinijne po krzywych zamkniętych płaskich

7.    Twierdzenie Greena.................

8.    Zastosowania twierdzenia Greena..........

187

00 o

T—I tH

CO SD

196

198

201

201

204

Rozdział XI.

Odwzorowania ciągłe. Zamiana zmiennych w całkach podwójnych.

216

1.    Odwzorowania

2.    Odwzorowania ciągłe. Odwzorowania jedno-jednoznaczne 217

3.    Wyznacznik funkcyjny (jakobjan) ....

4.    Zamiana zmiennych w całkach podwójnych

. 219

225

Rozdział XII.

Całka wielokrotna.

to to M to IC to ^ OJ CO OJ w co O GO <i <i os en

1.    Całka potrójna...................

2.    Całka wielokrotna..................

3.    Warunki całkowalności...............

4.    Całka wielokrotna, jako całka iterowana.......

5.    Całka wielokrotna po obszarze............

6.    Całka wielokrotna po obszarach, jako całka iterowana

Zauważone ważniejsze błędy.

W tomie I. :

Str. Wiersz .42    od    dołu 14

Zamiast

Ma być Leibnitza

Leignitza

„    13 / (»> (x), / <« - » (x), / <" - a (x) / +i) (x), / <"> (x), / (« - 0 (x)

/(" + *) (0), / ("-i) (0)

/ (") (0), / (« - a) (0)

9 /(")(0), /(«-²)( 0), n=£l /(«+i) (0), /(n-i)(0), n > 0 3, 4, 5, ...

<    — 3. 2 = — 6

— 5. 4. — 6 = 120

2, 3, 4, 5, ...

— 2. 1 = — 2

— 4. 3. —2 = 24

W tomie II. s

SJ T3 R R

cl.

05 O CO 00

£■§ o J2,

(a, b)

fit)

(a, ß)

F(x)

log | COS X x sin x

log | sin x | cos x sin x

w* w-- W'    W' S^<    1+^    »—*■

<1<100CO Ol a p, a N a a 3 a a a *a «

COtO*.K W    to

dx

j sin^⁻² x j sin ax cos bx

dz

musząc dodatkowe xn + 1 (log x)m~i dx j xn+m dx

(l-/²) znaczoną podziale

f_dx

j sin K~² x \ sin ax cos bx dx mnożąc

dodatnie

x n (log x)m - ¹ dx j xn dx

(1-Ż²)⁻* oznaczoną dx = przedziale

Str. Wiersz 79 z góry 8 89 od dołu 4

91    z góry 4

92    »    »    3

95 od dołu 4 97 z góry 7

Zamiast

m₂

F (a)

V₂

Ma być

F (a)

dx =

i co

100 „    „    5

1 = i t. d.

2/2 — 1

104 od dołu 9

Un (t)

Un (0 dt

104 „    „    3

105 z góry 10

..

Il M 8 ⁸¹

X

107 od dołu 10    \

0

.r

dx + S a ₂ .*2 0

xx    x

\ a^dx \ a^x dxĄ- \ a₂ x²

0    0    o

108 „ „ 7 132 „ „ 9

strony

stronie

k₂

133 z góry 12

\ K (x, s)

K (x, s) dx

133 od dołu 4 201 „    „3

206 z góry 6    — 1 $ P

(*, y)do— ...

K's (x, s) § 6 a

o.

Ma

NK*-SS"*--

o>i    «2

dy

206 „    „    7

-n

CO

Ty)do

dy

CO

[O

Tto

KSIĄŻNICA.ATLAS S. A.

Lwów, Czarnieckiego 12 — Warszawa, Nowy Świat 59

poleca następujące wydawnictwa:

Banach S., Sierpiński W., Stożek W.: Arytmetyka i geometrja dla V kl. szk. powsz. (nowy program)

—    Arytmetyka dla I kl. gimn. (nowy program) . .

—    Arytmetyka i geometrja dla kl. I szkół średnich

(dawny program) . •.............

—    Arytmetyka i geometrja dla kl. II szkół średnich

(dawny program)...............

Bartel K.: Geometrja wykreślna.........

Klebanowski S., Pęczalski M., Sierzputowski T. : Rachunki z geometrją dla III kl. szkół powsz. . .

—    Rachunki z geometrją dla IV kl. szkół powsz. .

Łomnicki A.: Geometrja. Cz. I. Elementarna . . .

—    Geometrja. Cz. III. Początki geom. analitycznej .

—    Tablice matematyczno-fizyczne czterocyfrowe . .

Mihułowicz J. : Podr. arytmetyki dla kl. IV zł. 2*50,

dla kl. V zł. 3-20, dla kl. VI zł. 3 -, dla kl. VII

—    Arytmetyka i algebra, podr. dla semin. naucz. Cz. I (dawny program) zł. 4 20, Cz. II (dawny pr.)

Rybczyński W.: Repetytorjum matematyki . . . .

Sieczka F., ks. dr. : Ćwiczenia matematyczne do rozwiązania ustnego. Cz. I. Arytmetyka i algebra .

—    Wskazówki metodyczne do Ćwiczeń matematycznych. Cz. I................

Sierzputowski T. i Klebanowski S. : Elementarz rachunkowy. Cz. I (dawny program) zł. 1*05. Cz. II (dawny program)...............

—    Rachunki dla I kl. szk. powsz. (nowy program)

—    Rachunki dla II kl. szk. powsz. (nowy program)

—    Wskazówki do Elementarza rachunk., cz. I i II po

Sierzputowski T.: Arytmetyka I zł. 1*60, Arytmetyka II zł. 210, Arytmetyka III (dawny program) zł. 2 65, Arytmetyka IV............

Sieckel S.: Pojęcie granicy i jego zastosowanie . .

Straszewski F.: Trój mian kwadratowy......

Weigel KRachunek wyrównawczy.......

1-60

2-10

4*—

3-50

8‘—

8*—

3*50

365

3-60

1*50

KSIĄŻKICA-ATLAS S. A.

Lwów, Czarnieckiego 12 — Warszawa, Nowy Świat 59

• poleca:

S. Steckel

POJĘCIE GRANICY I JEGO ZASTOSOWANIE

Cena zł 4,80.

Podręcznik ten zawiera pięćset zadań, ćwiczeń i zagadnień, obejmujących teorję ciągów nieskończonych i granicy funkcji, oraz zastosowanie pojęcia granicy w różnych działach matematyki szkolnej.

P. Straszewski

TRÓJMIAN KWADRATOWY I DYSKUSJA ZAGADNIEŃ DRUGIEGO STOPNIA

Wyd. III.

Z licznemi zadaniami. — Cena zł 4,50.

Książka niniejsza przeznaczona jest dla uczniów klas wyższych szkół średnich. Układ materjału jest taki, że wywody analityczne poprzedzają interpretację geometryczną.

W. Rybczyński

REPETYTORJUM MATEMATYKI W ZADANIACH

Dla uczniów gimnazjum wyższego, w szczególności do użytku abiturjentów. — Cena zł 3,65.

mo-

Książka przeznaczona jest do użytku uczniów gimnazjum wyższego, a przedewszystkiem abiturjentów, którzy dotychczas nie posiadają odpowiedniego podręcznika, gącego ułatwić im przygotowanie się do egzaminu dojrzałości z matematyki.

?

■

t

■

fZ

Cs

\

v

V \

-Î

)

-

m

.ff

,r~

V

4

i

! -

'1 ;

\

Hi«

■

■•.... .

>

*

&

/

i '

f

♦

r i

t ‘-i

.

“1*

■% ■■■<:9ts0Ęmi

Biblioteka Politechniki Krakowskie;

M '

m

•!

p Æ

3? » a /

jfc;

~ 1

fe IFa

i,

» *

I

I -V

- *'

1-301193

' >*

A

m

. ■■

%1

%%

di

|§ft

■fi

ó- :m *

' •. W sV

jtë&iiSs

E^.y,:

ii *    •.    u.’?: ■ m

®V. : ‘4

ii*

.

Ü

'•w?;

N@T?T

i;

>

r «sEciSj

wj&

il

m

11

" i

siW

&

•.W.

;VW

.

MH

H

V

P|

t/

wMl

WM

i

' W

1

^ "«.■ ', i

t

r4

aawc-«

:f l

■ÆS

r%

ZA

T-

3

ÏM

5,8

' V

Si

;w

:tv w ' j

ZSM

:;

M

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

s

100000293396

Km

Ëfl

*

F"

H