&4j

>•

tma

ft

сГ

Ć*

*#

t Jf

«г

: ja

b*

г

J'

#■•*■

m '

M:

* 'У

V ^

< ■<?

, ■> А

/<• t„

i

\.

и

t

Л,

L" it

f

:■

s.

bf

•^ÉifyV

>f-v

Л •

U

L*

Ч* *

■ 1

’-• «*

Еч<

Ж

Ï

i*

w

i *

SW

kl

> .*;

£

"к

stfH

I

ł

Tf

■ I

.4

I < ■

..îii'

to.

* ■

:t

L A

к JW*

♦Й2

X

tf

3

,

*

i

*

л.

>

*tA

•-Ä

»

i

*

■ ■/

Ш

»

f€

:i

г

R

22 -W-

,. Ą\ ■ ■

’ V»    '»

*• :*

<С •

f

«I

.ъ

иг*

X

4

V

V,

fЩ

ft

«

f/S:

m

■

i,

г"

•• %

№

л

Ч ч

,

11

.

.

№5

Г*

Й

#/

Uk** w**

Ж

к V

%

.

Ш 1

Ж

■1

ч

ГД**

ши

Ул

■V

'■

l--*5

rJ

i

j

i

ï %,

N

-,

'Щ

№

л,

y

I

jb

.#•

/

t

*■

иг/i

Г'

<1

ж

K

*•*

ЩЬй

•4

Щ0

\S% ■*

M» •

V

,

Г'

* j

С,ч

i .

4 Hr nfjto

t;

%1

ri4

•<*

fr

PolitechniKa

Biblioteka

KraKowsKa

Główna

1ч!

L»f

\'

* .r«r

к«

>

fSf

»4

К

L4\

■K0

. »r.*

л,

4.1

Щ.

i*^rVh

|/ *

ч»

*1

-

A

/

.

кЛ

Ч к*

Щf.f \

'i

rai

> .%л' Л

xk

ffa»

№*

j&

Ipfef.

|& w

1-f.

ga

*4»v

i»-

5Ä

.%

Ä*

** *

kS

fcv .|

Sü

rK

шШт

mi;

•••'Л

-v^

Г .JF

, m,;« •

'V

си

'■I

4&|fe.

Mfet

•-

HEg

Eçj

l4

tV.,; '

r;

toV*" $4* 1

гч.

•п

,lv‘

V . „4 :

»>

ü.'

t/r\ 1

IW

■***.

.■

Jfcä

;л

*- .,    V-'S^

fll& ₄ ^

isiTN

4*?

А-Ч

■ iü«

i****

gj

I i Г-

Wu%

rÄ

r*

ЛГч,

*'

' _ ; '-BsJ

r.

-‘ÿ

.7

Уг'

Л1

'3^

pf.Ärf'

>ä

,1

^*.1.    V , ' '?* J'rfeSpZe

ÜMksл

Li

V"

V**

l\

\ >*.

MS?,

^- • i

-•

& vra

⁷ ' 14# V

*-4£

7 ■

■t r,-

g-

*r

K--

y;Q|

V- : . . /

jrf' «

mt*A

-ffz ..'тшьЗ

5Lö» :

■■

#ж

fc%5-

ÜHlSS

^*5

9£

S*>si

MT/*

sS

Li»

4kwt

WÊk

fc ;44

ff

I kr

i    isai

.> .•    :

L*

■3

K-

*-* * »*• ^

iST

\ 1

DR KAZIMIERZ BARTEL

PROF. SZKOŁY POLITECHNICZNEJ WE LWOWIE

GE О МБ TR Y A WYKREŚLNA

LWÓW MCMXIX

KSIĄŻNICA POLSKA TO W. NAUCZYCIELI SZKÓL WYŻSZYCH WE LWOWIE. WARSZAWA: GEBETHNER I WOLF. POZNAN: M. NIEMIERKIEWICZ

Ç.C НЛ//^

а?    *'

\. **>*'■-

tsO

Л-

=1

O- -3—

cj£>

cO

yy

сь

5 (5 С of 5л)

1~.-

CZCIONKAMI DRUKARNI „GRAFIA“ WE LWOWIE.

sf

Akc. Nr. Т-ЗЪОЯ 1

Przeważna część tej książki — przeznaczonej dla początkują-*■ cych — powstała w polu, podczas służby wojskowej, do której zmuszony byłem ogłoszoną dnia 1. sierpnia 1914 r. mobili-zacyą. Ostatnie arkusze pisałem w okresie walki o Lwów, w bardzo nielicznych godzinach wolnych od służby wojskowej.

Techniczne wykonanie rysunków zawdzięczam asystentom przy mojej katedrze pp. dr. /Antoniemu Plamitzerowi i Mieczysławowi Teliczce.

Niezwykle trudne warunki, wśród których powstała książka, są dostatecznem usprawiedliwieniem jej braków.

We Lwowie, dnia 24. grudnia 1918.

Dr. Kazimierz Bartel

.

..

SPIS RZECZY

WIADOMOŚCI WSTĘPNE

1.    Przedmiot geometryi wykreślnej........

2.    Uwagi o rysunku geometrycznym........

3.    Elementy przestrzeni. Oznaczenia........

4.    Proste przecinające się i równoległe na płaszczyźnie .

5.

6.

I Proste skośne. Prosta i płaszczyzna

7.    Płaszczyzny przecinające się i równoległe

8.    Pojęcie rzutu środkowego i równoległego

9.    O konstrukcyach geometrycznych .

10

11

ROZDZIAŁ PIERWSZY

GEOMETRYÄ WYKREŚLNH. ELEMENTÓW PRZESTRZENI, UTWORÓW PERSKICH I WIELOŚCIRNÓW

§ 1. ZASADY RZUTÓW CECHOWANYCH

10.    Określenie położenia punktu w przestrzeni

11.    Rzut cechowany prostej......

12.    Podziałka rysunku.......

13.    Kład prostej.........

14.    Kąt nachylenia prostej z płaszczyzną rzutów. Ślad i nachylenie prostej 17

15.    Podział odcinka.........

16.    Płaszczyzny równoległe i kład prostych na nie

17.    Stopniowanie i moduł prostej.....

18.    Dwie proste przecinające się.....

19.    Dwie proste skośne........

20.    j

2| J Dwie proste równoległe. Zadanie ....

22. Wyznaczenie płaszczyzny......

14

15

16

17

18

19

20

22

22

23

23

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

Prosta prostopadła do płaszczyzny

Rzut kąta prostego.......

Linia spadu płaszczyzny.....

Zadania..........

Przenikanie się dwóch płaszczyzn .

Punkt przebicia się prostej z płaszczyzną

Zadania...........

Płaszczyzny równoległe......

Zadania..........<• .

Prosta prostopadła do płaszczyzny Zadania...........

25

26

26

27

29

31

31

32

33

34

35

§ 2. ZASADY RZUTÓW PROSTOKĄTNYCH NÄ DWIE PŁASZCZYZNY

Rzuty punktów................

Rozmaite położenia punktu w przestrzeni...... .    .

Rzuty i ślady prostej na dwie płaszczyzny........

Dwie proste.................

O płaszczyźnie i jej śladach............

39.1

г Kład odcinka i jego podział. Zadanie..........

§ 3. ZADANIA ODNOSZĄCE SIĘ DO WZAJEMNYCH POŁOŻEŃ PUNKTÓW, PROSTYCH I PŁASZCZYZN

34.

35.

36.

37.

38.

41.    Proste i punkty na płaszczyźnie..........

42.    Płaszczyzny dwusieczne.............

43.    Proste i punkty na płaszczyznach, wyznaczonych śladami

44.    Zadania..................

45.    Ćwiczenia.................

46.    O płaszczyznach, przechodzących przez proste i punkty .

47.

48.

I Zadania. Ćwiczenie

49.

50.

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

59.

60.

61.

62.

O płaszczyznach przecinających się i równoległych . Wyznaczenie punktu przebicia się prostej z płaszczyzną .

Dalsze przykłady wyznaczania krawędzi dwóch płaszczyzn .

Zadania..................

O punktach „widocznych“ i „niewidocznych“......

Zadania..................

Ćwiczenia.................

Proste równoległe do płaszczyzny..........

Zadania..................

Ćwiczenia.................

Proste prostopadłe. Prosta prostopadła do płaszczyzny

Płaszczyzna prostopadła do płaszczyzny........

Zadania..................

Ćwiczenia.................

36

39

42

46

47

50

62

63

68

70

73

73

75

77

78

79

80

80

83

83

87

Str.

§ 4. WPROWADZENIE TRZECIEJ PŁASZCZYZNY RZUTÓW

Rzutnia boczna. Rzuty boczne punktów........

Rzuty i ślady boczne prostej...........

Ślady boczne płaszczyzn ............

Przykłady użycia rzutni bocznej do rozwiązania zadań Ćwiczenia...............

§ 5. OBROTY, KŁADY 1 ICH ZASTOSOWANIA O metodzie obrotu. Obroty punktu ........

Obroty prostej..............

Obrót płaszczyzny.............

Kład płaszczyzny rzucającej..........

Kąty nachylenia prostej z płaszczyznami rzutów

Kąty nachylenia płaszczyzny z rzutniami......

Kłady płaszczyzn dowolnie położonych w przestrzeni .

Rzut na dowolną płaszczyznę.........

Podnoszenie płaszczyzn......•    .

Zadania................

Kąt nachylenia dwóch prostych.........

Ćwiczenia...............

Kąt nachylenia prostej z płaszczyzną.......

Zadania................

Ćwiczenia...............

Kąt nachylenia dwóch płaszczyzn........

Zadania.............' .

Ćwiczenia...............

Rzuty wielościanów............

Przykłady...............

Rzuty wielościanów umiarowych........

§ 6. RZUTY UKOŚNE

h—L H-t    >—i    н-ь    i—к    h—i    —-*■    i—к    t—*•    ł—*■    i—*    >—».    h—*-    t—*■    >—*•    V—*.    i—i—»-

м^спслоооооч(л^ысооч^»-*'£10оча' ^

90.

91.

92.

Rzut ukośny punktu O stosunkach skróceń Zadania ....

00 o

Ч* Ю Ю

93.

94.

95.

96.

97.

98.

99.

§ 7. POWINOWACTWO ŚRODKOWE. ELIPSA.

Rzut ukośny układu płaskiego.......... .

Powinowactwo dwóch układów płaskich, złączonych na jednej

płaszczyźnie...............

Rzuty prostokątne i ukośne a powinowactwo środkowe .

Rzut ukośny koła. Elipsa.............

Konstrukcye elips z danych średnic sprzężonych, względnie osi .

Styczne do elipsy...............

Rzuty prostokątne koła.............

Elipsa jako krzywa powinowata z elipsą........

I—‘ I—. I—.    .

■ч 4 O' О - O' Ol Ol    Ol

W o 00 w o » ^    to

§ 8. PRZEKROJE I PRZENIKANIA WIELOŚCIANÓW

101.    Płaskie przekroje wielościanów.........

102.    Przekroje płaskie graniastosłupów ........

103.    Zadanie................

104.    Płaskie przekroje ostrosłupów.........

105.    Zadanie................

106.    Punkty przebicia się prostej z wielościanem.....

107.    Rozwinięcia    wielościanów...........

108.    Przenikanie się wielomianów w ogólności......

109.    Przenikanie    się    ostrosłupów..........

110.    Przenikanie    się    graniastosłupów.........

111.    Przenikanie    się    ostrosłupów    z    graniastosłupami ....

Str.

173

177

181

183

185

186

188

190

191

200

205

§ 9. KOLINEACYA ŚRODKOWA UKŁADÓW PŁASKICH

112.    Rzut środkowy................

113.    Wyznaczenie położenia płaszczyzny metodą rzutu środkowego .    211

114.    Kolineacya środkowa......

115.    Rzuty układów środkowo kolineacyjnych

116.    Przykłady.........

209

212

213

215

ROZDZIAŁ DRUGI

LINIE KRZYWE I POWIERZCHNIE

§ 10. KRZYWE STOŻKOWE

117.    Pęki i szeregi jednokreślne ............

118.    Pęki jednokreślne w kole.............

119.    Twierdzenie Pascala..............

120.    Kolineacya środkowa koła............

121.    Twierdzenie Pascala w zastosowaniu do elipsy, hiperboli i paraboli .

122.    Konstrukcya stycznych do elipsy..........

123.    O kolineacyi i powinowactwie krzywych stożkowych .

219

222

222

224

230

236

238

§ 11. O KRZYWYCH I POWIERZCHNIACH W OGÓLNOŚCI

124.    Określenie i podział linij krzywych.........

125.    Określenie i podział powierzchni.........

126.    O płaszczyznach stycznych do powierzchni......

§ 12. POWIERZCHNIE STOŻKOWE I WALCOWE

127.    Tworzenie i podział powierzchni stożkowych i walcowych .

128.    Płaszczyzny styczne do stożków i walców......

129.    Podział i rzuty powierzchni walcowych rzędu drugiego

130.    O przekrojach walców rzędu drugiego w ogólności ....

131.    Przykłady przekrojów walców..........

132.    O punktach przebicia się prostej z walcem.......

239

239

240

241

242

243

245

247

Str.

133.    Rzuty i podział powierzchni stożkowych rzędu drugiego

134.    Przekroje stożków płaszczyznami.........

135.    Przekroje powierzchni stożkowych wzdłuż dwóch tworzących .

136.    Punkty przebicia się prostej z powierzchnią stożkową .

137.    Przykłady płaszczyzn stycznych do powierzchni stożkowych i wal

cowych................

138.    Przykłady przekrojów powierzchni stożkowych wzdłuż elips

139.    Kołowe przekroje stożka............

140.    Przykłady przekrojów powierzchni stożkowych wzdłuż hiperbol

141.    Przykłady przekrojów powierzchni stożkowych wzdłuż parabol

142.    O rozwijaniu powierzchni stożkowych i walcowych na płasz

czyżnie................

143.    O linii śrubowej..............

254

256

258

259

260

to w O' O'

09 l—

O' CO 40 r-CM CM

Ю OO I" r— CM CM

§ 13. POWIERZCHNIE OBROTOWE

144.    Tworzenie i podział powierzchni obrotowych ....

145.    Płaszczyzny styczne do powierzchni obrotowych

146.    O zarysach powierzchni obrotowych......

147.    Przedstawienie powierzchni obrotowych w rzutach prostokątnych .

148.    O kulach wpisanych w stożek i walec obrotowy

149.    Zadania...............

150.    Punkt na powierzchni obrotowej.......

151.    Płaszczyzna styczna do powierzchni obrotowej w danym punkcie .

152.    Zadania..................

279

. . 282

284

285

. . 286

288

291

292

293

153.    Przekroje powierzchni obrotowych płaszczyznami

154.    Przekroje kuli.............

155.    Przykłady przekrojów walców i stożków obrotowych płaszczyznami .

156.    O punktach przebicia się prostych z powierzchniami obrotowemi .

157.    Płaszczyzny styczne do stożka obrotowego, przechodzące przez

.    .    297

.    .    301

303

316

dany punkt .

158.    Płaszczyzny styczne do walca obrotowego, przechodzące przez

dany punkt ................

159.    Płaszczyzny styczne do stożka obrotowego, równolegle do danej

prostej.................

160.    Płaszczyzny styczne do powierzchni obrotowej, a równolegle do

danej płaszczyzny cc.............

161.    Wyznaczenie linii styczności walca, o tworzących równoległych

do danego kierunku, z powierzchnią obrotową.....

317

318

319

321

162. Zadanie

co t-

163.    O rzutach powierzchni obrotowych, których osi nie są prostopadłe

do płaszczyzn rzutów...........

164.    O stożkach opisanych na powierzchniach obrotowych .

165.    Zadania................

§ 14. POWIERZCHNIE TOPOGRAFICZNE

166.    Plan warstwicowy..............

167.    Przekrój powierzchni topograficznej płaszczyzną rzucającą

340

168.    Uzupełnienie planu warstwicowego.........

169.    Przekrój powierzchni topograficznej dowolną płaszczyzną .

170.    Linie największych spadów powierzchni topograficznej .

171.    Zadanie.................

§ 15. PRZENIKANIE SIĘ POWIERZCHNI

172.    O przenikaniu się wielościanów z powierzchniami .

173.    O przenikaniu się powierzchni........

174.    Przykłady przenikania się powierzchni......

351

352.

ROZDZIAŁ TRZECI

O WYZNACZANIU CIENI

§ 16. CIENIE PUNKTÓW, PROSTYCH, WIELOKĄTÓW I KOŁA

175.    Uwagi wstępne................

176.    Cień punktu.................

177.    Cień odcinka................

178.    Cień koła.................

361

361

362

364

§ 17. CIENIE WIELOŚCIANÓW I POWIERZCHNI

179.    Uwagi ogólne..............

180.    Cienie ostrosłupów i stożków.........

181.    Cienie graniastosłupów i walców........

182.    Cienie punktów i linij na wielościany i powierzchnie

183.    O cieniach zespołów geometrycznych.......

184.    Ćwiczenia...............

185.    Cienie kuli...............

186.    Cień prostej na kulę............

187.    Przykłady...............

188.    Cień powierzchni obrotowej..........

366

368

373

374

379

387

387

390

391

391

ROZDZIAŁ CZWARTY

PERSPEKTYWA ŚRODKOWA

§ 18. PERSPEKTYWA ELEMENTÓW ZASADNICZYCH

189.    Uwagi ogólne................

190.    Perspektywa prostych, leżących na płaszczyźnie podstawowej .    395

191.    Punkty i koło oddalenia......

192.    Proste prostopadłe do tła .    ....

193.    Zadania...........

194.    Proste prostopadłe do płaszczyzny podstawy

195.    Proste, dowolnie położone w przestrzeni .

196.    Perspektywa jako metoda pośrednia

394

397

398

398

.    400

402

403

Uwaga : Rysunki* których liczby zaopatrzone są w gwiazdki * ujęte są w tablice*

Strona:

11.

DOSTRZEŻONE OMYŁKI W TEKŚCIE

Î68. 21. 187. 18. 269. 20. 300.    7.

7. wiersz od dołu » góry

99

99

99

99

99

99

99

99

99

99

99

99

99

99

99

99

99

99

99

„ dołu » góry „ dołu

99

99

» góry „ dołu

99

„ góry

99

„ dołu

99

99

99

99

99

99

99

V góry

99

99

„ dołu

Zamiast : w wpadkach Л, В, C, D, E.

e' i cp.

Czytaj : w wypadkach ЛВС DE.

s i cp.

P'

(г/ V)

(pi' pi') (P' Pi

P(P')

(b' b") О*' РП (p' P")

A'

M'

A"

M"

Rys. 176 pionowy

Rys. 176* boczny

A!

prostodadłej Rys. 225.

AB⁰ CD0 przeciwprostokątną stycznej cp = (m, /)

(łi' I")

Ho (Ho' Ho")

2 (2' 2')

prostopadłej Rys. 255.

A Bn C° D° drugą przyprostokątną stycznej do cp = (m, p)

(h' h")

Ho (Ho Ho")

2 (2' 2")

bo

b°

Go

G°

* = (t, n)

* = (h u)

DOSTRZEŻONE OMYŁKI W RYSUNKÄCH

Str. 13.

a ii

Ol p cn

O co

P p

„    165.

, 211. » 262. „ 269. „ 323.

Na Rys. 20. oznaczyć przez M punkt przecięcia się prostych qi i m.

101 b. zamiast Vn ma być Vn.

113 b. prostą Va Ha" przez a".

176. ma być Rys. 176*.

218*. kąt (H°p Vp Hp) oznaczyć należy literą ß.

290. elipsę oznaczyć należy literą k.

341. zamiast m ma być

^3.

УУ

УУ

УУ

УУ

УУ

УУ

УУ

УУ

УУ

УУ

УУ

УУ

УУ

УУ

УУ

УУ

УУ

471.

oznaczyć należy

/771.

w.

1' i 2' „    „ li 2.

oznaczyć należy prostą H R\ przez ki'.

УУ

УУ

УУ

УУ

WIRDOMOŚCI WSTĘPNE

1. Przedmiot geometryi wykreślnej. Podobnie jak mowa lub pismo, jest wszelki rysunek sposobem porozumiewawczym, służącym celom nauki, techniki lub sztuki.

Prawa rządzące mową lub pismem są przedmiotem nauki gramatyki, względnie ortografii; niezmienne, a więc w dziedzinie nauk ścisłych leżące prawa, którym podlega każdy rysunek, są przedmiotem geometryi wykreślnej. Geometrya wykreślna jest więc, nie ulegająca zmianom, gramatyką wszelakiego rysunku.

Odtworzenie przedmiotu przedstawionego rysunkiem wymaga współdziałania tej władzy naszego umysłu, którą określamy mianem zmysłu przestrzeni. Zdolność wyobrażania sobie ściśle określonych i określone położenie w przestrzeni zajmujących utworów przestrzennych, w najogólniejszem ich rozumieniu, nie jest właściwą w równym stopniu każdemu umysłowi. Są ludzie, którzy patrzą a nie widzą, w podwójnem znaczeniu tego wyrazu : nie umieją spostrzegać i nie posiadają zdolności należytego zapamiętania, względnie odtworzenia tego na co patrzą. Zdolność spostrzegania da się rozbudzić i wykształcić, podobnie jak i pamięć przestrzeni, a nauką, która pośrednio zadanie to spełnia, jest geometrya wykreślna.

Geometrya wykreślna podaje właściwe sposoby notowania, kreślenia tego, co spostrzegamy albo wyobrażamy sobie w przestrzeni, uczy wykresy te odczytywać, badać ich własności i wnosić na podstawie otrzymanych wyników o własnościach utworów przedstawionych rysunkiem. Umiejętność czytania rysunków polega przedewszystkiem na zdolności wywoływania wyobrażeń, ćwiczenie się w tern czytaniu jest ćwiczeniem zmysłu przestrzeni.

Я wreszcie, jak zapomocą praw gramatyki sprawdzamy poprawność z jaką wyraziliśmy myśl swoją pismem, tak geo-metryą wykreślną sprawdzamy poprawność każdego rysunku, który jest również jedynie wyrazem naszych wyobrażeń i pojęć.

2. Uwagi o rysunku geometrycznym. Znajomość geo-metryi wykreślnej łączy się ściśle z umiejętnością wykonania rysunku, który myśl geometryczną wyraża. Od najprostszych zadań począwszy, winną być rysunkowi geometrycznemu poświęcona szczególna uwaga i stała dążność osiągnięcia jak największej w nim biegłości. Rysunek winien być zawsze dokładny i najstaranniej wykonany. W wielkim stopniu zależy osiągnięta dokładność rysunku od przyborów rysunkowych, które jednak ani w części nie zastąpią wprawy, nabytej ćwiczeniami.

Ołówek do rysunku musi być dostatecznie twardy i zawsze ostro, stożkowato zacięty; użycie ołówków w rodzaju „Penkala“ jest tu niemożliwe. Do zacinania ołówków używać należy scyzoryka; wszelkiego rodzaju maszynki nie odpowiadają celowi. Koniec ołówka musi być stale ostry jak rylec, co osiągnąć się da w doskonały, łatwy i szybki sposób tylko zapomocą małego, drobno siekanego, płaskiego pilnika; papier piaskowy, czy szklany, a także i kamień nie zastąpią pilnika. Używanie zbyt twardych ołówków z dwóch względów nie jest wskazane: Przedewszystkiem wzgląd na oczy, które cierpią bardzo zmuszone do dłuższego, wytężającego wpatrywania się w zbyt cienkie, szarej barwy linie, a po drugie, niemożność usunięcia linij wykreślonych, albo raczej wyciśniętych, zbyt twardym ołówkiem.

Papier na rysunki może być bardzo rozmaity. Na ćwiczenia wykonywane tylko ołówkiem nadaje się zwykły papier do pisania, wycieranie linij jest tu jednak tylko wówczas możliwe, gdy do rysowania użyto ołówka średniej twardości, więc np. „Polonia“ Majewskiego Nr. HB. Początkujący, który używać będzie częściej gumy dla wytarcia swych nieudolnych prób rysunkowych, nie może posługiwać się papierem pisarskim i musi także do rysunków wykonanych tylko ołówkiem, użyć papieru rysunkowego. Jakość tych ostatnich, bardzo rozmaita, zależy od ceny i pochodzenia. Rysownik biegły zadowoli się papierem cienkim, dobrze gumowanym o powierzchni gładkiej; początkujący użyje z większą korzyścią papieru grubszego, dobrze gumowanego jednak o powierzchni mniej gładkiej, raczej

szorstkiej. Papier taki znosi bardzo cierpliwie zcieranie linij wykreślonych nietylko ołówkiem ale i tuszem.

Przybornik. Zespół cyrkli i przyrządów do kreślenia tuszem t. zw. grafionów, stanowi przybornik. W handlu występują przyborniki od najtańszych i mało dokładnych aż do kosztownych szkatuł, wykonanych z nadzwyczajną dokładnością. Przybornik zawierać winien w każdym razie : cyrkiel z wkładką na ołówek i grafion, cyrkiel*do kreślenia maleńkich kół t. zw. zerownik i grafion. Nóżki cyrkla powinne dawać się nastawiać prostopadle do płaszczyzny papieru. Grafion służący do kreślenia, a raczej pociągania, tuszem linij narysowanych ołówkiem, winien być zawsze dostatecznie ostry i po każdorazowem użyciu starannie oczyszczony, jednak nie papierem lub bibułą, iylko cienką szmatką, która należy do przyborów rysunkowych.

Kierownica, wykonana z drzewa nie powinna być krótszą od deski rysunkowej, a głowa jej musi być dobrze przymocowaną do lineału. Używania kierownic, w których głowa nastawiać się da względem lineału pod rozmaitymi kątami, zalecić nie można.

Trójkątów, które wykonywane bywają z drzewa, masy papierowej, celuloidu, twardej gumy, metalu a także i szkła, potrzebuje rysownik dwóch: prostokątny trójkąt równoramienny i prostokątny trójkąt, w którym stosunek jednej przyprostokąt-nej do przeciwprostokątnej wynosi 1:2. Kąty jakie przeciw-prostokątna zawiera z przyprostokątnemi są więc w pierwszym trójkącie równe 45°, w drugim wynoszą 30° i 60°. Polecenia godne są przedewszystkiem trójkąty z drzewa w dobrem wykonaniu, a potem dopiero z twardej gumy, celluloidu i masy papierowej. Metal brudzi zbytnio papier, szkło jest zbyt kruchym materyałem, chociaż ze wszystkich wymienianych da się najczyściej utrzymać. Trójkąty z drzewa odczyszczać można tylko gumą lub chlebem. Do kreślenia tuszem nadają się najlepiej trójkąty z drzewa, przy użyciu innych następuje łatwo zalewanie linij.

Deska rysunkowa służąca do przypinania zapomocą pluskiewek, względnie naklejania papieru, powinna być wykonana z zupełnie suchego drzewa lipowego, topolowego, jaworowego lub sosnowego, ujętego w dwie łaty z drzewa twardego. Ściany czołowe tych łat muszą być najdokładniej obrobione, po nich bowiem posuwa się kierownica.

Guma do wycierania śladów ołówka musi być miękka. Wytarcie linij wykreślonych tuszem osiągnąć się da tylko na papierze nie najgorszego gatunku, a na papierach dobrych jest zawsze możliwe, przy pomocy ostrej gumy i ewentualnie bardzo ostrego scyzoryka. Użycie scyzoryka wymaga wprawy i doświadczenia, początkujący posługiwać się nim nie powinien. Usunięcie tuszem błędnie wykreślonych linij, względnie większych plam z tuszu, łączy się z umiejętnością rysowania. Przy pewnej wprawie, a zawsze przy znacznej cierpliwości, wytarcie choćby całej siatki linij, lub dowolnie wielkich plam, bez pozostawienia znaczniejszych śladów, jest zawsze możliwe.

Tusz t. j. czarna farba służąca do pociągania linij wykreślonych ołówkiem, występuje w handlu w dwojakiej formie: płynny, a więc gotowy do użytku i stały w laseczkach, który rysownik przez roztarcie z wodą na szkle matowem lub w miseczce przygotowuje do użytku. Pierwszy, przy małej wprawie w posługiwaniu się grafionem „zalewa“, t. zn. spływa zbyt gwałtownie, zwłaszcza przy kreśleniu grubych linij. Tusz tarty wady tej nie posiada i jest zawsze znacznie czarniejszy.

: ff

Jeżeli rysunek wykonywamy na małych kartkach papieru, względnie w notatce, a więc bez posługiwania się deską rysunkową i kierownicą, to linie równoległe j •    ===z- i prostopadłe do nich kreślimy przy pomocy

Rys. 1.

dwóch trójkątów. Jeżeli trójkąt Î, (Rys. 1.), przytrzymamy lewą ręką, zaś trójkąt 2 oparty \\ stale o 1 posuwać będziemy prawą ręką w kierunkach oznaczonych strzałkami, to proste kreślone wzdłuż prze-ciwprostokątnej trójkąta 2 są do siebie ró- / wnoległe. Przez obrót trójkąta 2, (Rys. 2.),    ^

Rys. 2.

przy zachowaniu położenia trójkąta 1 uzyskujemy możność kreślenia prostych prostopadłych do poprzednich. Jeżeli rysujemy na desce, to kierownica, której głowa posuwać się musi zawsze po lewej krawędzi deski, służy do rysowania prostych poziomych, użycie trójkąta umożliwia kreślenie prostych prostopadłych do pierwszych lub nachylonych do nich pod 30°, 45° i 60° (Rys. 3.). ЛЬу rysunek geometryczny, którego konstrukcya jest

niejednokrotnie zawiłą, uczynić przejrzystym i łatwo czytelnym, nadajemy liniom odpowiednie grubości. W szczególności odróżniamy linie pomocnicze, prowadzące do wyniku, od innnych. W zadaniach początkowych wyróżniać będziemy trojakiego rodzaju linie: dane, pomocnicze i wynikowe. Pierwsze wykreślać będziemy zawsze pełne, średniej grubości, drugie tak cienko, jak tylko | Г® pozwala grafion, a to albo jako linie ciągłe, albo jako złożone z punktów i kresek. Linie wynikowe kreślimy jako ciągłe, czyli jak mówimy pełne i znacznie od danych grubsze. W zadaniach odnoszących się do utworów przestrzennych, więc wielościanów i powierzchni, używać będziemy również trojakiego rodzaju linij, jednak często w innem ich znaczeniu. Linie pomocnicze pozostaną jak poprzednio, liniami najgrubszemi wykreślamy nie tylko wynik, ale także i obrazy danego utworu przestrzennego,jeśli linie wynikowe leżą na tych utworach. Przykład najlepiej sprawę wyjaśni: zadanie wymaga wyznaczenia przecięcia kuli płaszczyzną. Obrazy kuli wraz z wyznaczonym przekrojem wykreślimy grubo, obraz płaszczyzny, która jest dana, średnią grubością, a resztę linij jako linie pomocnicze bardzo cienko i w rozmaity sposób poprzerywane. Linie pomocnicze wykreślać można tuszem barwnym, jednak tylko barwy niebieska i sepia są polecenia godne.

Rys. 3.

Я1е najlepiej pod względem doboru linij wykonany rysunek geometryczny nie jest zupełny, dopóki nie jest opisany, t. j. dopóki punkty i linie nie otrzymają oznaczeń. Staranne opisanie rysunku należy do ważnych zadań rysownika, gdyż dopiero opisanie rysunku czyni go czytelnym.

Do opisywania używać należy pisma według niżej podanego wzoru (Rys. 4.), pismo t. zw. rondowe uważamy dla rysunków geometrycznych za nieodpowiedne.

a bcdefgh i jklmnopqrstuv w х у z

28. Punkt przebicia się prostej z płaszczyzną wyzn

przecinające się na osi rzutów i zamykające z nią

Rys. 145.

Płaszczyzny przechodzące przez dowolny punkt A, pr

g) I II X, a

2. Na płaszczyźnie poziomo rzucającej a (ha na) le

Wskutek tego, gdy punkt A leży na rzutni poziomej,

Va,

2. Proste Л В i 12, В C i 23, C D i 34, Л D i 14 p

Celem dokładnego wyznaczenia rzutu pionowego punkt

Di Di i Fi Fi.

c) Wyznaczyć kierunek płaszczyzn, tnących walec el

Vn

a koło k kulę o środku Wi (Wi' Wi"). Punkt Л {A' A

pionowe tworzących konturowych walca w punktach 

Następnie obierać będziemy na powierzchni równoleż

ślad poziomy wszystkie znajdujące się na nim punkt

b) Wyznaczyć cień rzucony odcinka AB na walec obro

wykreślony z punktu 0° równolegle do a° // b° prze

a bcdefgh i jklmnopqrstuv w х у z

A B CDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWX У Z

1234567890

Rys. 4.

ÄLFÄBET GRECKI

rt

• .i /V .

- .0 !.. ł i

Älpha    I,    i    Iota

К, к Карра Gamma    Л,    л    Lambda

Delta    М,    р.    Му „л

psilon    N,    у    Ny

eta -    H,    s    Xi y

ta    О»    o    Omikron

heta    П,    я    Pi

p Rho

q Sigma r: /

т л Tau

о Ypsilon ri

'P Phi ; , fi

X Chi

'\r Psi

A r o;A[

3.    Elementy przestrzeni. Oznaczenia. Przedmiotem roz^ ważań geometrycznych wogole jest przestrzeń, aw szczeń gólności utwory geometryczne, powstające wskutek rozważań geometrycznych.

Najprostszymi utworami geometrycznymi, stanowiącymi punkt wyjścia dla naszych rozumowań, utworami zasadniczymi, które też zwiemy elementami przestrzeni są: punkt, liniat prosta czyli krótko prosta i p 1 a-szczyzna. Dla jednostajności wykładu oznaczać będziemy stale: punkty dużemi literami alfabetu łacińskiego np. Д В, C... względnie liczbami arabskiemi, proste małemi literami tegoż alfabetu (a, b, c...,), płaszczyzny małemi literami alfabetu greckiego (a, ß, у ...,).

4.    Proste przecinające się i równoległe na płaszczyźnie.

Dwie proste posiadać mogą jeden punkt wspólny, czyli jak mówimy, przecinać się. Wtedy istnieje jedna płaszczyzna, pro-stemi temi wyznaczona, czyli przez owe proste „przechodząca“, albo jak też wyrażać się będziemy, na prostych owych leżąca.

Weźmy pod uwagę dwie proste a i b przecinające się w punkcie P, (Rys. 5.), a na prostej a punkt Л. Jeżeli prosta a obraca się około punktu Л, w kierunku wskazówki zegara, Ь    xan przyjmując położenia ai, as,....

ag ,.... a„, to punkt P posuwa się po prostej b od ręki prawej ku lewej, oddalając się od pierwszego uważanego położenia P i przyjmując położenia Pi, Â>... Przez dalszy obrót prostej a, ruchomy punkt P, znajdzie się po prawej stronie punktu P, zbliżając

B,

Г,

Д,

y ET,.....

Z,

H,

e,

Beta

ËL

ft

P< jP

'ai ja.

Rys. 5.

S*

eu

<2 у bu ' i. ■, vy. г|.т

• y-

, «i ••

ifiD

vV.sO

ona

Л V.’OT

się do niego od ręki prawej ku lewej. Najwidoczniej prosta a, obracając się około punktu Л i przecinając prostą b w punktach coraz dalej leżących od punktu P, osiągnęła pewne położenie graniczne ag, po przekroczeniu którego, jej punkty przecięcia się Pn, Pn+i.... z prostą b, poczęły zbliżać się do punktu P. Owo graniczne położenie prostej a względem prostej b nazywamy położeniem równoległe m, a prostą ag, prostą równoległą do b.

O punkcie przecięcia się prostej a z prostą b w położeniu granicznem mówimy, że leży w odległości nieograniczenie, albo nieskończenie dalekiej na prostej b i nazywamy go punktem niewłaściwym, w odróżnieniu od punktów właściwych, leżących w odległości skończonej na prostej. Dla oznaczenia punktów niewłaściwych używamy znaku oo, pisząc go jako wskaźnik więc np. Poc, a położenie punktu niewłaściwego na płaszczyźnie oznaczamy linią opatrzoną strzałką czyli t. zw. kierunkiem.

Z powyższego widzimy, że przez punkt Л przechodzi jedna prosta ag równoległa do danej prostej b i, że nawzajem prosta b jest równoległa do prostej ag , gdyż punkt niewłaściwy Poo jest punktem wspólnym obu prostych ag i b. Dwie proste równoległe stanowią tedy szczególny przykład prostych przecinających się, gdzie punkt wspólny leży w odległości nieograniczenie dalekiej, czyli jest punktem niewłaściwym. Przeprowadzone rozumowanie poucza nas dalej, że prostą uważać możemy za zbiór (mnogość) nieograniczonej ilości, następujących po sobie, w sposób ciągły, punktów afs właściwych i jednego punktu niewłaściwego.

Rys. 6.

Przez każdy punkt Л, prostej a, prze- -£!-chodzi dowolna, nieograniczona ilość prostych, których mnogość, wraz z prostą a / nazywamy pękiem prostych, a punkt Л b.) wierzchołkiem tego pęku (Rys. 6a.). Przez — punkt niewłaściwy Poo prostej a przecho-dzi również pęk prostych, który nazywamy — pękiem prostych równoległych (Rys. 6b.).

Nieograniczona ilość punktów linii prostej stanowi t. zw. szereg punktów, dla którego prosta ta jest podstawą.

5. Proste skośne. Jeżeli dwie proste a i b znajdujące się w przestrzeni, nie posiadają punktu wspólnego ani właściwego ani niewłaściwego — to położenie ich określamy jako skośne lub wichrowate (Rys. 7.).

/bl

/ cc,

bi

Rys. 7.

6.    Prosta i płaszczyzna. Prosta posiadać może jeden punkt wspólny, właściwy z płaszczyzną, a wtedy ją przebija (Rys. 8.), albo jeden punkt wspólny leżący w odległości nieograni-czenie dalekiej, czyli punkt niewłaściwy. Wtedy mówimy, że prosta jest do płaszczyzny równoległą.

Rys. 8.

'<4^\'

у,'    \^эп.!\

Bu

Bn

Rys. 9.

7.    Płaszczyzny przecinające się i równoległe. Przyjmijmy dwie płaszczyzny a i ß przecinające się w prostej a (Rys. 9.), a na płaszczyźnie a dowolną prostą b równoległą do prostej a. Niechaj położenie prostej b, w odniesieniu do płaszczyzny ß będzie niezmienne i niechaj płaszczyzna a obraca się około tej prostej jako osi i to np. w kierunku wskazówki zegara, przyjmując położenia cci, аз.. ag> an ... Prosta a posuwać się będzie na płaszczyźnie ß od ręki prawej ku lewej, oddalając się od pierwszego uważanego położenia a, przyjmując położenie ai, a >... aż przekroczywszy pewne położenie graniczne ag pojawi się po drugiej stronie prostej a, zbliżając się do niej. Owo graniczne położenie płaszczyzny a, nazywamy położeniem równoległem, a płaszczyznę a., która osiągnęła owo położenie, płaszczyzną równoległą do płaszczyzny ß. O prostej przecięcia się płaszczyzn ag i ß w położeniu granicznem mówimy, że leży w odległości nieograniczenie, albo nieskończenie dalekiej i nazywamy ją prostą niewłaściwą płaszczyzn ag i ß. Podobnie, gdy w miejsce prostej b przyjmiemy

dowolny punkt B, dojdziemy do tegoż samego rezultatu i stwierdzimy, że przez punkt ten przechodzi dowolna ilość płaszczyzn przecinających płaszczyznę ß, ale jedna tylko płaszczyzna do niej równoległa. Płaszczyzny v.g i ß są w tym przypadku wzajemnie równoległe, a prosta niewłaściwa a^o jest prostą wspólną obu płaszczyzn. Podobnie jak przy prostych równoległych — stanowią dwie płaszczyzny równoległe szczególny przykład płaszczyzn przecinających się, przyczem prosta przecięcia się leży w odległości nieograniczenie dalekiej i jest prostą niewłaściwą.

Rys. 11.

Rys. 10.

Przez każdą prostą a (Rys. 10.) na płaszczyźnie я przechodzi dowolna, nieograniczona ilość płaszczyzn, których zbiór wraz z płaszczyzną я tworzy t. zw. pęk płaszczyzn o osi 3. Przez prostą niewłaściwą płaszczyzny я przechodzi również pęk płaszczyzn, który nazywamy pękiem płaszczyzn równoległych (Rys. 11.).

Dowolna płaszczyzna przecina pęk płaszczyzn w pęku promieni, którego wierzchołkiem jest punkt przecięcia się osi pęku z płaszczyzną sieczną. Gdy pęk płaszczyzn jest pękiem równoległym — otrzymany pęk promieni jest również równoległy, punkt bowiem przebicia się osi pęku, którą jest prosta niewłaściwa, jest niewłaściwym wierzchołkiem pęku promieni.

Z rozważań ustępu 4. i powyższego widzimy, że na płaszczyźnie znajduje się nieograniczona ilość punktów i prostych właściwych i jedna prosta niewłaściwa. Owo pojęcie wszystkich punktów względnie prostych danej płaszczyzny określamy mianem układu płaskiego.

Zbiór nieograniczony prostych przechodzących przez jeden punkt w przestrzeni nazywamy wiązką promieni, a punkt ów środkiem albo wierzchołkiem tej wiązki. Jeżeli środek wiązki leży nieograniczenie daleko, to wiązka składa się z promieni równoległych.

8. Pojęcie rzutu środkowego i równoległego. a) Rzuty na prostą. Przyjmijmy na pł. rysunku prostą a (Rys. 12.) i zewnątrz niej punt S, a nadto dowolne punkty Д B, C,.... Wykreślmy proste pi, p?, p’>... łączące punkt S z punktami Д B, C.., to punkty przecięcia się Æ, Br, C....

s~f

Ipi

<P*

pi рг

№    к*«»

fi

c \ B'

a A’ B'

A' B' L

I*

pj

P2

ie .

Rys. 12.

Rys. 13.

Rys. 14.

z prostą a nazywamy rzutami punktów Д В, C... na prostą a. Punkt S nazywamy środkiem rzutów, a proste pi, р-г, рз... promieniami rzucającymi punkty Д В, C,... na pod

stawę a.

Jeżeli środek rzutów jest punktem niewłaściwym płaszczyzny rysunkowej, a więc wyznaczony kierurlkiem, to promienie rzutów są do danego kierunku równoległe (Rys. 13.).

Rzut А', B'... punktów А, B,.... ze środka rzutów S (Rys. 12.), który jest punktem właściwym płaszczyzny rysunkowej, nazywamy rzutem środkowym; gdy środek rzutów jest punktem niewłaściwym, rzut nosi nazwę rzutu równoległego (Rys. 13.).

Szczególny, a dla nas bardzo ważny, przypadek rzutu równoległego stanowi rzut, którego kierunek jest prostopadły do podstawy a, a który nazywamy rzutem prostokątnym (Rys. 14.).

c- c

B’

"br /

. /pi

p₂

1 Ib

Rys. 15.

Rys. 16.

b) Rzuty na /pi jp2 /pa płaszczyznę. Przyjmijmy płaszczyznę я (Rys. 15.) i zewnątrz niej punkt S, to proste, łączące dane punkty Д B,... z punktem S, przebiją pł. я w punktach A', B'...,

które nazywamy rzutami środkowymi punktów Л, B... na płaszczyznę я. Punkt S jest środkiem rzutów, pł. я pł. rzutów albo krótko rzutnią, a proste pi, pi... promieniami rzucającymi. Jeśli położenie punktu C w przestrzeni jest tego rodzaju, że promień p.; rzucający go na pł. я jest do niej równoległy, to rzut punktu C jest punktem niewłaściwym, leży w odległości nieograniczenie wielkiej na pł. я.

Przyjmijmy, że środek rzutów jest punktem niewłaściwym (Rys. 16.), to wówczas promienie rzutów tworzą pęk równoległy i równoległy do danego kierunku, zwanego kierunkiem rzutu. Mówimy w tym wypadku o rzucie równoległym punktów na płaszczyznę.

Jeżeli kierunek rzutu jest prostopadły do rzutni, to mamy szczególnie ważny przypadek rzutu równoległego, zwany rzutem prostokątnym.

Prócz punktów odosobnionych rzucać można na płaszczyznę całe ich skupienia, zbiory, w formie linij, figur i t. d. ; poznanie sposobów kreślenia rzutów tych utworów jest jednem z zadań geometryi wykreślnej.

9. O konstrukcyach geometrycznych. Przy założeniu, że przyrządy rysunkowe, którymi się posługujemy, są dokładne, że ołówek jest ostro zacięty, a papier gładki, rysunek nasz nie będzie nigdy dokładny w znaczeniu matematycznem. Możemy tylko bardziej lub mniej zbliżyć się do tej idealnej dokładności, a stopień tego zbliżenia stanowi o stopniu dokładności rysunku. Rysujemy więc zawsze z pewnym błędem, a staraniem naszem popartem doświadczeniem i wprawą jest, by błędy rysunkowe nie przekraczały pewnych granic.

Jest rzeczą zrozumiałą, że np. linia prosta tern dokładniej wyznaczona jest na płaszczyźnie rysunkowej, im dalej leżą od siebie punkty, prostą tę wyznaczające, że punkt przecięcia się dwóch prostych tern dokładniej jest wyznaczony, im bardziej zbliża się do kąta prostego kąt, jakie proste te tworzą, i t. p. Pamiętając o tern, możemy w wpadkach, w których konstrukcya pozwala na pewną dowolność i pozostawia rysownikowi zastosowanie tej lub innej metody — użyć zawsze tej, która zabezpiecza osiągnięcie najdokładniejszego rezultatu.

Dalsze trudności wynikają z tego, że płaszczyzna rysunkowa jest ograniczona i że potrzebne nam do konstrukcyi punkty i proste leżą poza jej obrębem. W tych wypadkach stosować będziemy szczególne konstrukcye, z których najważniejsze poniżej podamy.

a)    Przez dany punkt P i nie leżący w obrębie płasz-^ czyzny rysunkowej punkt R, prze-

Ai

cięcia się prostych pi i p-2, wykreślić prostą (Rys. 17.).

A_

я<

Bl

Рг

Rys. 17.

Pierwszy sposób. Z punktu —■*-—— P kreślimy dowolnie dwie proste P Л i PB, a do prostej Л В w dowolnem miejscu równoległą Л1 Bi. Równoległa wykreślona z punktu Л1 do Л P przecina prostą wykreśloną z punktu Bi, równolegle do В P, w punkcie Pi, który jest punktem szukanej prostej P /?, gdyż punkt R jest środkiem podobieństwa trójkątów Л В P i Л1 Bi P1.

Pi

Drugi sposób. Z punktu P kreślimy P Л1 ± pi i P Bi ± p2 (Rys. 18.), to prostopadła wykreślona z punktu P do prostej Л2 B2 rozwiązuje zadanie.

Lp fes

W istocie proste Л1 Л2, Bi B2 a także /?].

PR są wysokościami trójkąta R Л-> Лз.

рг

в, ^ Дг

Rys. 18.

b)    Przez niedostępny punkt R, przecięcia się prostych pi i p >, wykreślić równoległą do danej prostej m (Rys. 19.). Kreślimy dobrowolnie prostą Pi P2, a przez punkty Pi i P2 równoległe do danych prostych (qi II pa, <72//pij. Z punktu £) prowadzimy równoległą QM

|А

А.

/V

>9

do m, a następnie odcinamy P> N = P 1 M. Prosta n wykreślona przez punkt N, równolegle do prostej m, rozwiązuje zadanie.

р7

Рг

Rys. 19.

Я c) Wykreślić prostą przechodzącą przez dwa niedostępne __punkty P i Q przecięcia się prostych pip> i <71*72. Z dowolnego punktu C (Rys. 20.) prostej Л В kreślimy пЦра i m//<7->, to prosta M N jest równoległa do szukanej, której punkt E na prostej Л В znajdziemy na podstawie proporcyi Л E: Л D = Л В : Л C. Jeżeli punkt C jest środkiem odcinka Л B, to wówczas Л D = DE.

d) Znaleźć dwusieczną kąta, którego wierzchołek leży poza obrębem rysunku (Rys. 21.). Do prostej pi kreślimy równoległe mi i ni a do prostej p 2 w tych sa- qj mych odległościach równoległe m2 \ n2. Prosta q, przechodząca przez otrzymane punkty M i N równo oddalone od ramion

p_

n,

\л

'/V

b~

E \C

Pu

'/V

P?

Rys. 20.

pi 1 pi, rozwiązuje zadanie.

:»L

ir

7 n>>

Rys. 21.

4» !

C,"

ROZDZIAŁ PIERWSZY

GEOMETRYA WYKREŚLNA ELEMENTÓW PRZESTRZENI, UTWORÓW PŁASKICH I WIELOŚCIANÓW

§ 1. ZASADY RZUTÓW CECHOWANYCH

10. Określenie położenia punktu w przestrzeni. Przyjmijmy dowolny punkt A i postanówmy stworzyć warunki, umożliwiające względne ustalenie położenia tego punktu w przestrzeni.

"O it*

for

Rys. 22.

W tym celu przyjmiemy dowolną płaszczyznę я (Rys. 22.), z punktu A wyprowadzimy prostą p, prostopadłą do tej płaszczyzny i znajdziemy punkt przebicia się A' tej prostopadłej z płaszczyzną я. Punkt A', odcinek A A' i zaznaczenie, po której stronie płaszczyzny я znajduje się punkt Д wyznaczają położenie tego punktu, w odniesieniu do płaszczyzny я. Płaszczyznę я, która z reguły jest płaszczyzną poziomą, nazywamy płaszczyzną rzutów, lub krócej rzutnią, prostą p zwiemy promieniem rzucającym lub krótko rzucającą, a punkt A' rzutem prostokątnym punktu A. Liczbę wyrażającą, w przyjętych jednostkach długości, odległość puntu A od jego rzutu A', czyli długość odcinka A A' nazywamy cechą lub znamieniem punktu A.

Odległość punktu, leżącego nad płaszczyzną rzutów od tejże płaszczyzny, nazywamy „wysokością“ tego punktu;

miarą odległości punktów leżących pod płaszczyzną rzutów od tej płaszczyzny jest „głębokość“ tych punktów. Cechom punktów znajdujących się nad płaszczyzną rzutów dajemy znak dodatni, cecha wyrażająca głębokość punktu otrzymuje znak ujemny. Jeżeli w rysunku występują jedynie cechy ze znakami dodatnimi albo jedynie ujemnymi, to znaki te pomijamy.

A'(7-6)

Rys. 23.

Rzut prostokątny Л', punktu Л, na płaszczyznę я, przy znajomości względnej wartości cechy tego punktu, nazywamy 'rzutem cechowanym punktu Л. Niechaj płaszczyzna rzutów jest płaszczyzną tej kartki; jeśli na prostopadłej, wyprowadzonej w punkcie Л' do płaszczyzny rzutów, odmierzymy 6*7 przyjętych jednostek długości, więc np. 7’6 cm nad płaszczyzną kartki — to otrzymamy punkt Л (Rys. 23.). Punkt B, którego rzut znajduje się w punkcie В' a cecha wynosi — 3 cm, leży o 3 cm pod płaszczyzną kartki. Punkt leżący n a płaszczyźnie rzutów oznaczymy np. literą C bez kreski i bez cechy, która równa jest zeru. fl.by zaznaczyć, że w danym wypadku chodzi o punkt np. Я, którego rzut Л' i cecha np. 7*6 cm są dane, używać będziemy następującego wyrażenia: Dany jest punkt Л (Л', 7‘6). Rzut prostokątny punktu na daną płaszczyznę wyznacza położenie tego punktu względem tej płaszczyzny, jeśli opatrzony jest cechą czyli znamieniem. Metoda geometryi wykreślnej posługująca się cechami, nazywa się metodą rzutów cechowanych i ona będzie przedmiotem naszych rozważań w następnych ustępach.

11. Rzut cechowany prostej. Przez rzut prostokątny prostej rozumiemy miejsce geometryczne rzutów prostokątnych dowolnej ilości punktów tej prostej.

cXd

'ЛА b

CD’

Rys. 24.

Prosta a i promień b (Rys. 24.), rzucający dowolny jej punkt В na pł. я, wyznaczają (ust. 4.) płaszczyznę y, która przecina pł. я w prostej a'. Ponieważ na pł. tej, którą nazywamy płaszczyzną rzucającą, leżą wszystkie promienie rzucające punkty prostej a, więc prosta a' jest miejscem geometrycznem rzutów wszystkich punktów prostej a, jest tedy rzutem prostej a. Widoczne stąd, że rzut linii prostej jest prostą.

Prostą wynaczają dwa punkty; znajomość więc rzutów dwóch punktów i ich cech określa jednoznacznie położenie prostej w przestrzeni, w odniesieniu do danej rzutni. Jeżeli np. płaszczyznę tej kartki uważamy za rzutnię, to w odniesieniu do niej określone jest jednoznacznie położenie prostej a, której rzuty cechowane dwóch punktów, a mianowicie Л i ß są dane, jeśli przytem podana jest jednostka miary w której cechy tych punktów wyrażamy. Napis VJ=1 cm“ na Rys. 25. oznacza, że przyjętą dla tego rysunku jednostką długości jest centymetr.

12. Podziałka rysunku. Odcinek A' B' w Rys. 25. wyraża prawdziwą odległość rzutów punktów Л i В ; rysunek wykonany jest w podziałce (wielkości) naturalnej, co zazna-

B'(3-4L

B'O-41

ÄfS-a

a'

Ä(S'2L

'a'

a:

Ä(S-2L

J=1

cm.

n. W

J“ lm.

. Podziałka 1:100.

2m

•f : :

Rys. 25.

Rys. 26.

Rys. 27.

czarny na rysunku literami n. w. Jeżeli jednak jednostka długości w stosunku do płaszczyzny rysunku jest za wielka, to wówczas rysunek wykonać musimy — w stosunku do prawdziwych wymiarów — w pewnem pomniejszeniu, w pewnej podziałce pomniejszonej. W tym wypadku obok jednostki długości np.: „J—l m(i (Rys. 26.) podać musimy na rysunku stosunek jego wymiarów do wymiarów naturalnych, czyli „podziałkę“. Napis „Podziałka: 1:100“ (Rys. 26.) rozumieć należy w ten sposób, że 1 cm na rysunku oznacza 100 cm w rzeczywistości, że w celu otrzymania naturalnej , prawdziwej długości odcinka A' B' należy odcinek A' B' = /’55 cm pomnożyć sto razy.

Notowanie na rysunku rodzaju przyjętej jednostki długości i stosunku pomniejszenia zastępujemy zazwyczaj umieszczeniem na tymże rysunku pojedynczej lub podwójnej linii prostej, na której odmierzamy pewną ilość w żądanym stosunku pomniejszonych jednostek długości, pisząc obok ostatniej miano jednostki naturalnej.

W Rysunku 27. jednostkę długości metr wyraziliśmy również centymetrem, stosunek więc wymiarów rysunku do wymiarów rzeczywistych ma się tak, jak 1 :100. Rysunek ten wykonany jest w setnem pomniejszeniu, czyli w podziałce 1 : 100.

13. Kład prostej. Rzuty cechowane A'(1'0) i B'(2’2) (Rys. 28.) określają położenie prostej a, wyznaczonej punktami Л i B. Wyprowadziwszy bowiem w punktach Л' i B' prostopadłe pi i p2 do pł. rysunku i odmierzywszy na pierwszej z nich od punktu Л' nad pł. rysunku 1 cm, zaś na drugiej 2m2cm od punktuB' również nad pł. rysunku — otrzymamy punkta Л i В, a więc i prostą a punktami tymi wyznaczoną.

W celu wyznaczenia prawdziwej wielkości odcinka, którego rzut cechowany dwóch punktów jest znany, weźmy pod uwagę punkta А, В, A' i B', będące wierzchołkami trapezu, którego trzy boki i dwa kąty są znane. Bokami tymi są odcinki Л' ВЛ' Л i В' B; ką-kątami, kąty proste Л Al B' i В В' A'. Przez wyrysowanie więc tego trapezu otrzymamy nieznany bok Л B. Na prostopadłych, wyprowadzonych w punktach Л' i B' do prostej a' (Rys. 28.), odmierzymy А' Л°=1’0 cm, B' Bn=2’2 cm; otrzymany odcinek A°B° równy jest prawdziwej długości odcinka Л B. Przeprowadzenie konstrukcyi trapezu Л' Bf A° B° nazywamy wykonaniem kładu odcinka Л B. W istocie bowiem trapez А' В' A° B° powstaje, jeśli trapez А В Л' В', znajdujący się na płaszczyźnie poziomo-rzucającej, położymy około jego boku A' B' na pł. rysunku. Odcinek Л⁰ B° jest kładem odcinka A Bi równy jego długości; odcinki A' A° i B' B° są kładami promieni rzucających AA' i В В'.

Jeśli rysunek wykonany jest w podziałce pomniejszającej, to długość odcinka AB równa jest ilorazowi z długości jego kładu А⁰ ЁР i wykładnika stosunku pomniejszenia.

14. Kąt nachylenia prostej z płaszczyzną rzutów. Ślad i nachylenie prostej. Kąt cp, jaki prosta b tworzy ze swoim rzutem poziomym b', nazywamy kątem nachylenia prostej b z płaszczyzną poziomą. Kąt ten otrzymamy przez wykonanie

/

<A°

P?\

A’<vo)

AB°

■'a°

a-

pl\

n.w.

Rys. 28.

kładu prostej, a więc kładu dwóch jej punktów na pł. rysunku. Kąt bowiem cp° (Rys. 29.) jaki zamyka prosta b°, będąca kładem prostej b, z prostą br, równy jest kątowi cp, bez względu na podziałkę w jakiej wykonany jest rysunek. W istocie bowiem gdy podziałka bt rysunku wynosi np. 1 : n, to boki A B°HbB' są proporcyonalne do boków a \ trójkąta wyrażonego rysunkiem; oba trójkąty są więc podobne, a zatem kąty ich są równe.

B°

by

>°\B?

n.w.

Rys. 29.

Poprowadźmy przez punkt A° prostą bi° równoległą do b', to kąt cpi° jaki tworzą proste b° bi° równy jest oczywiście kątowi cp°, a więc i kątowi cp jaki prosta b zawiera z pł. poziomą. Prostą bi° posłużymy się w wypadku, gdy punkt przecięcia się Hb prostych b' i b° nie leży w obrębie rysunku.

Punkt Hb, którego wysokość (cecha) równą jest zeru, jest punktem przebicia się prostej b z pł. rzutów, a więc elementem wspólnym prostej b i rzutni i nazywa się śladem poziomym tej prostej.

Oznaczmy odcinek A' B'=A° Bi° literą d, zaś różnicę wysokości punktów Л i В równą odcinkowi B° B\° literą A, to stosunek :

/.

= tg cp = v

nazywamy nachyleniem prostej b.

Jeżeli cechy dwóch punktów wyznaczających prostą są równe, to cechy każdego dowolnego punktu tej prostej są równe, a prosta jest równoległą do płaszczyzny rzutów.

15. Podział odcinka. Obierzmy na danej prostej, wyznaczonej punktami A (A', a) i B (B', b) punkt C, którego cecha wynosiłaby c jednostek długości w podziałce rysunku. W tym celu (Rys. 30.) wykonamy kład A° B° odcinka AB, a następnie odmierzymy od punktu B', w podziałce rysunku, odcinek B' N=c. Prosta wykreślona z punktu N, równolegle do p', przecina prostą p° w punkcie C°; prostopadła z C° do p' przecina tę ostatnią w punkcie C', który jest szukanym rzutem punktu C o cesze c. Na Rys. 30., wykonanym w podziałce 1:100 przy przyjętej jednostce miary równej 1 m (1 cm na

na rysunku wyraża lm w rzeczywistości) obrano: a = 0'8m, b = 2‘3 m, c—1'65 m.    _

O'

fo

АУ

A'fa) P’ Cid

B'(b)

Ponieważ A° C° : C° ß° = Ar С : С В', więc punkt С' dzieli odcinek А' В' w tym samym stosunku, w jakim punkt C° dzieli odcinek А⁰ В⁰. Л ponieważ odcinek Л⁰ B°, jako kład odcinka Л В leżącego w przestrzeni, wyraża jego prawdziwą wielkość i położenie względem swego rzutu, więc stosunek podziału odcinka w przestrzeni nie zmienia się wskutek rzutu tego odcinka.

l os Ç

2m

Rys. 30.

Innemi słowy: podzieliwszy odcinek w przestrzeni w pewnym stosunku, a więc także na pewną ilość części i rzuciwszy punkty podziału na rzut tego odcinka, podzielimy ten rzut w tym samym stosunku, względnie na tę samą ilość części* W szczególności, punktowi połowiącemu odcinek w przestrzeni, odpowiada punkt połowiący rzut odcinka, jako rzut punktu połowiącego.

16. Płaszczyzny równoległe i kład prostych na nie. Płaszczyzny równoległe do rzutni poziomej nazywamy płaszczyznami warstwowe mi albo poziomem i. Przez wysokość płaszczyzny poziomej rozumiemy oddalenie jej od płaszczyzny rzutów, którą w odniesieniu do pierwszych nazywamy płaszczyzną porównawczą. Płaszczyzny warstwowe, których wysokości są liczbami całemi, nazywamy głównemi, inne pośredniemi.

Jeżeli cechy końcowych punktów odcinka są duże, to wykonanie jego kładu, ze względu na ograniczoną pł. rysunku, natrafia na trudności, albo też jest nawet niewykonalne. W tych wypadkach kład odcinka wykonujemy na pł. warstwową, przechodzącą przez jeden z punktów końcowych, zazwyczaj przez punkt o cesze mniejszej.

Rys. 31. podaje konstrukcyę kładu prostej [A (Ar, a —18), В (В', b = 19‘8)] na pł. warstwową, przechodzącą przez punkt Л (A', 18). Na prostopadłej wykreślonej w punkcie B' odmierzymy w podziałce rysunku odcinek B' B°, równy różnicy wysokości punktów В i A, więc b — a = l’8 m i punkt B° po-

łączymy z A', otrzymując tym sposobem kład odcinka А В na główną pł. warstwową o wysokości a = 18 m. Oczywiście,

że B° A' B' = cp° równy jest kątowi, jaki prosta (Л B) zawiera z pł. porównawczą.

Rzut punktu C, któryby leżał na prostej (Л В), a miał żądaną cechę np. c=19’l m, znajdziemy podobnie jak w ust. 15., odmie-2m rzając jednak na prostej B' B° J odcinek В' M, równy różnicy wysokości punktów C i A, więc c — a~ V i m.

Pi'

Ci

9,oV-    :

'ÏÏfaj P’ cYcs

1 Ob o

Rys. 31.

Bi

■ ; T

\M 1

TT ?

: ć5 $

B’(b)

Z Rys. 31. czytamy:

ЖС :C' В'=A' C⁰ : C⁰B⁰=B'M : MW°=(c - a) : (b - c) jeśli literami a, b, c, oznaczymy cechy punktów А, В i C. Z równości powyższych wynika, że AHC'ïU~ÏÏ'-**(c — a):'(b — c). . .

. . /.

Г* •

co oznacza, że punkt CT dzieli odcinek Л' B' w stosunku (c—a):(h —c), albo, że wyznaczenie rzutu punktu C o żądanej cesze c na prostej, danej cechowanymi rzutami dwóch punktów A (A', a) i В (B\ b), sprowadza się do znalezienia punktu C', dzielącego odcinek Ж В' w stosunku (c — a) : {b — c). W Rys. 32. przyjęliśmy a = 0’8, b = 2’3, c=l‘6 — odcinek tedy A! B' podzielimy w stosunku (c—a) : (b — ć) = 0‘8: 0*7, a otrzymany punkt C rozwiązuje zadanie.

17. Stopniowanie i moduł prostej. Wyznaczenie rzutów tych punktów danej linii prostej, których cechy są liczbami całemi, nazywamy zestopniowaniem prostej, albo wyznaczeniem jej po działki nachylenia.

Gdy cechy dwóch danych punktów prostej są liczbami całemi, to zestopniowanie prostej wykonać można zapomocą podziałki milimetrowej, dzieląc dany odcinek na części, których ilość równa jest różnicy cech.

Am p’ С’п'Б)

B’(23)

-ST

T ..

".i

J-2cm.

n.w.

Rys. 32.

Zestopniowanie prostej Л (Л⁷, 5’4), В (В', 8" 7) (Rys. 33.) wykonać można zapomocą jej kładu na pł. warstwową 5’4 — powtarzając zadanie w ustępie 16., albo dzieląc dany odcinek według proporcyi (równanie I.), podobnie jak w Rys. 32.

W tym celu w punkcie Ä'(5'4) poprowadzimy dowolną prostą q (Rys. 33.) i odmierzymy na niej kolejno, od punktu A' począwszy, odcinki równe 0'6, 1‘0, 1‘0, 0‘7 dowolnej jednostki długości, a przez punkta podziału wykreślimy równoległe do boku Q Br. Otrzymane punkty na prostej p' posiadają cechy 6, 7, 8 i tworzą podziałkę nachylenia.

Odległość rzutów poziomych dwóch punktów prostej, których różnica wysokości, a więc i różnica cech, równa jest

jednostce, stanowi jednostkę podziałki nachylenia i nazywa się m o d u ł e m (p.) prostej. Modułem np. prostej (Л B), Rys. 34. jest odcinek C D'— D' E' = p. Rys. ten poucza też nas bezpośrednio, że im większy jest kąt nachylenia prostej do rzutni, tern mniejszy E'is) B'(87) P' j est j ej moduli odwrotnie.

Proste nachylone do pł. rzutów pod tym samym kątem, mają równe, moduły. Moduł prostej nachylonej pod 45⁰ równy jest

B°

E⁰/

P°/

A/M

/6

P'

~Ń

BjSv)

AÎ

V \

ч"

2    3 im

Rys. 33.

D°y

C°7

Ä(5'4) Об) D'(7)

J~lm.

Podz/ałka 1:100.

Rys. 34.

przyjętej na rysunku jednostce długości.

Jeżeli w równaniu /. (str. 18.) wstawimy A = /, to według określenia powyżej podanego d stanie się modułem p. prostej, czyli:

—=-= V =-

V-

II.

co znaczy, że nachylenie i moduł prostej są liczbami odwrotnemi.

Położenie prostej w przestrzeni w odniesieniu do pł. tów jest w zupełności wyznaczone, gdy prócz jej rzutu i cechy jednego jej punktu, znany jest jej moduł i wskazany (strzałkę) kierunek jej nachylenia, przez który rozumiemy kierunek następstwa punktów prostej, o cechach malejących.

rzu-

W dalszym ciągu wyznaczać będziemy prostą przeważnie jej podziałką nachylenia czyli jej zestopniowanym rzutem. Liczby podziałki nachylenia nazywamy wskaźnikami tejże podziałki.

18. Dwie proste przecinające się. Przez każdy punkt P prostej a, wyznaczonej np. podziałką nachylenia o module pu, przechodzi dowolna ilość prostych, które prostą a przecinają w punkcie P. ЯЬу określić położenie jednej z nich, np. b (Rys. 35.), musimy dowolnie przyjętym modułem pa zestopnio-wać prostą b' przeprowadzoną dowolnie przez punkt P'{8),

9.

tf

P'(8)

ci'

18

by

17

16

18

15

17

16

J-lm

n.w.

Podziałką 1:100.

Rys. 36.

Rys. 35.

który jest punktem wspólnym prostych a i b. Proste, łączące jednakowe wskaźniki prostych a' i b', są do siebie równoległe i odwrotnie: jeżeli proste, łączące równowartościowe wskaźniki rzutów dwóch prostych, tworzą pęk równoległy — to rzuty owe wyrażają dwie proste przecinające się.

19. Dwie proste skośne. Jeżeli punkt przecięcia się M' rzutów a' i b' dwóch prostych, uważany za rzut punktu prostej b, mąjnną cechę aniżeli uważany za rzut punktu prostej a, to proste a i b nie posiadają punktu wspólnego, nie przecinają się; ich wzajemne położenie określamy jako skośne lub wichrowate. Przez kąt nachylenia dwóch prostych skośnych rozumiemy kąt, jaki otrzymamy, jeśli przez dowolny punkt

w przestrzeni poprowadzimy proste równoległe do danych prostych skośnych.

20.    Dwie proste równoległe. Rzuty prostych równoległych są prostemi równoległemi o zgodnych kierunkach nachylenia i o równych modułach, gdyż proste równoległe nachylone są do poziomu pod tym samym kątem.

Z równości modułów dwóch prostych równoległych i zgodności ich kierunków nachylenia wynika, że proste łączące punkty o jednakowych cechach są równoległe (Rys. 36.). I nawzajem: jeśli proste łączące jednakowe wskaźniki rzutów dwóch prostych a' /j b' tworzą pęk promieni równoległych, to owe dwie proste a i b są równoległe.

21.    Zadanie. Wyznaczyć rzut prostej q, równoległej do danej prostej p, a przechodzącej przez dany punkt P (P', 9-4) (Rys. 37.).

Rzut q' przejdzie przez punkt P' równolegle do p'.

—0-5—i

TO

\9

1— (1 -—

9 Phi) w

Kierunki nachylenia obu prostych są zgodne, moduły równe, należy tylko zestopnio-wac, — w jeden z poznanych sposobów, (np. zapomocą po-działki) — prostą q'<

2m

Rys. 37.

22.    Wyznaczenie płaszczyzny. Położenie punktu w przestrzeni, w odniesieniu do pł. rzutów, wyznacza jego rzut cechowany, a więc również punkt; względne położenie prostej w przestrzeni wyznacza jej zestopniowany rzut, czyli również prosta. Położenie trzeciego zasadniczego elementu geometryi t. j. płaszczyny, wyznaczone jest położeniem dwóch prostych przecinających się lub równoległych, prostej i punktu, względnie trzech dowolnych punktów.

Mówimy, że dwie proste przecinające się, dwie proste równoległe, względnie trzy dowolne punkty wyznaczają płaszczyznę, w tern rozumieniu tego wyrażenia, że:

1)    istnieje jedna jedyna płaszczyzna przechodząca równocześnie przez obie proste, względnie przez trzy punkty, że:

2)    znając położenie dwóch prostych przecinających się

lub równoległych, względnie trzech punktów, znamy położenie płaszczyzny elementami tymi wyznaczonej i że:

3) znajomość położenia dwóch prostych przecinających się lub równoległych, względnie trzech punktów, dozwala na wyznaczenie położeń każdej dowolnej ilości punktów i prostych płaszczyzny, owymi elementami określonej.

Ponieważ prostą wyznaczają dw^a jej punkty, więc gdy dwa punkty prostej leżą na płaszczyźnie, to prosta — a więc zbiór wszystkich jej punktów, leży na płaszczyźnie.

Hb

Hm

'Ha

Proste a' i b' (Rys. 38.) są rzutami dwóch prostych przecinających się, wyznaczają więc położenie pewnej płaszczyzny, którą nazwijmy literą e.

P’

,irr

Połączmy wskaźnik 2 prostej ~ a' ze wskaźnikiem 1 prostej b\ to 2t otrzymana prosta m' jest rzutem prostej m przecinającej zarówno prostą a jak i b, a więc leżącej na płaszczyźnie e, wyznaczonej prostemi a i b.

J=lm

Podziałka 1:75.

b    Na szczególną uwagę zasłu

Rys. 38.

gują proste, leżące na płaszczyźnie a równoległe do rzutni. Rzuty Oe, le, 2e, Je.... tych prostych otrzymamy, łącząc punkty o jednakowych cechach prostych af i b'. Proste te, Jeżące na płaszczyźnie e, a równoległe do poziomej, są liniami łączącemi punkty przebicia się prostych aibz głównemi płaszczyznami warstwo-wemi, a więc także liniami przecięcia się tych płaszczyzn z płaszczyzną e. Proste Oe, le, 2e... nazywamy liniami warstwowemi albo liniami poziomu, rzuty zaś tych linij warstwicami płaszczyzny e.

Linia warstwowa Oe = he leży na rzutni poziomej (pł. porównawczej), jest prostą przecięcia się pł. 8 z tą rzutnią i nazywa się śladem poziomym płaszczyzny 8. Ślad poziomy płaszczyzn oznaczać będziemy stale literą h.

Płaszczyzna prostopadła do rzutni, czyli t. zw. płaszczyzna rzucająca (ustęp 11.), wyznaczona będzie swoim śladem poziomym, z którym schodzą się rzuty wszystkich punktów i prostych,

leżących na tej płaszczyźnie, która tym sposobem rzuca je w swój ślad.

23. Prosta prostopadła do płaszczyzny. Przyjmijmy na płaszczyźnie я (Rys. 39.) trzy proste a, b, c przechodzące przez punkt M, i w którym to punkcie wyprowadźmy prostą p prostopadłą zarówno do prostej a jak i b. Niechaj dowolnie na płaszczyźnie я przyjęta prosta q przecina proste a, b i c w punktach Д В i C. Obierzmy następnie na prostej p punkty Pi i P2, przyczem niech Pi M = p2 M i połączmy je z punktami Д В i C. Z rysunku 39. czytamy:

AÄMPi-AÄMP* i ABMPi-ABMP*

/К

Я" '

Oj •

мг

Р2

Rys. 39.

więc Pi Л = р2 Л, Pi В = р2 В jako odpowiednie boki w trójkątach przystających. Następnie mamy:

Д Л В Pi ^ Д Л В P2 więc

^ Pi Л B=^ P2 Л В jako odpowiednie kąty w trójkątach przystających. Z kolei otrzymujemy:

ДЛСР1~ДЛС P2, a więc Pi Ć = p2 C.

Ä wreszcie:

Д M C Pi Д M С P-2, zatem

^CMPi — ^CMPi, a ponieważ kąty te są kątami przyległymi, więc skoro oba są równe, to każdy z nich musi być kątem prostym czyli: p±c. Tym sposobem dowiedliśmy następującego twierdzenia: Jeżeli prosta p, przechodząca przez punkt przecięcia się dwóch prostych, jest do nich prostopadłą, to wówczas jest prostopadłą do każdej prostej przechodzącej przez ten punkt, a leżącej na płaszczyźnie я wyznaczonej przez owe dwie proste. Mówimy, że prosta p jest prostopadłą albo normalną do płaszczyzny я. Innemi słowy: gdy prosta jest normalną do do dwóch prostych w ich punkcie przecięcia się, to jest normalną do płaszczyzny temi prostemi wyznaczonej.

Przez dowolny punkt Mi płaszczyzny я (Rys. 39.) poprowadzimy proste Ci lj c i pi II p. Kąt, jaki zawierają proste

Przyjmijmy ramię a kąta prostego, jaki tworzą proste a i b, równolegle do pł. rzutów я (Rys. 40.), to rzut a' jest równoległy do prostej a. Ponieważ promień rzucający p jest ± do prostej a, a ta znowu ± do prostej b, zatem prosta a jest _L równocześnie do prostych b i p, a więc prostopadła do płaszczyzny ß prostemi temi wyznaczonej. Л1е z ustępu poprzedniego wiemy, że gdy prosta jest normalną do płaszczyzny, to jest normalną do każdej prostej, leżącej na tej płaszczyźnie; prosta tedy a jest prostopadłą do prostej b', która leży na płaszczyźnie ß^{p, b) i jest rzutem prostej b na pł. я. Ponieważ wkońcu prosta a' jest równoległą do prostej a, więc i a' jest _L do b' — co było do wykazania.

skośne p i ci, równy kątowi jaki tworzą proste pi i ci, jest kątem prostym (ust. 19.), a ponieważ prosta p jest prostopadłą do każdej prostej przechodzącej przez punkt M, a leżącej na płaszczyźnie я, więc jest prostopadłą do każdej prostej płaszczyzny я. Czyli : gdy prosta jest prostopadłą do płaszczyzny, to jest prostopadłą do wszystkich prostych, leżących na tej płaszczyźnie.

24. Rzut kąta prostego. Twierdzenie: Rzut kąta prostego na płaszczyznę jest kątem prostym, gdy jedno jego ramię jest równoległe do płaszczyzny rzutów.

/3

A’

a'

Rys. 40.

le

Ze

'2s

25. Linia spadu płaszczyzny. Prosta le, leżąca na płaszczyźnie e a prostopadła do jej linij warstwowych, nazywa się linią największego spadu, lub krócej linią spadu tej płaszczyzny (Rys.

he ~ Qe

ST;

41.). Ponieważ linie warstwowe яг-

/Г\~

;    2    3 4m

1 os O

Rys. 42.

Rys. 41.

są równoległe do pł. porównawczej, więc na podstawie ustępu poprzedniego rzut ie linii największego spadu

Ze jest prostopadły do warstwie płaszczyzny (Rys. 42.). Kąt nachylenia linii spadu pł. e do płaszczyzny rzutów nazywamy kątem nachylenia p ł. e do pł. rzutów.

Prosta Ze jest _L do he podobnie jak Y г _L he — a ponieważ he jest prostą wspólną (przecięcia się) płaszczyzn s i я„ — więc ogólnie powiedzieć możemy : przez kąt nachylenia dwóch płaszczyzn rozumiemy kąt, jaki tworzą dwie proste tych płaszczyzn, poprowadzone w dowolnym punkcie prostopadle do wspólnej prostej obu płaszczyzn.

Podziałkę nachylenia rzutu Ye, lini-i spadu płaszczyzny, nazywamy podziałką nachylenia płaszczyzny, moduł linii spadu płaszczyzny — modułem tej płaszczyzny. Najczęściej wyznaczać będziemy położenie płaszczyzny jej podziałką nachylenia, którą rysujemy jako dwie blizko siebie Jeżące równoległe proste. Wskaźniki podziałki są oczywiście liczbami całemi, a odcinek ograniczony dwiema liczbami po-rządkowemi jest modułem płaszczyzny; odwrotną wartość modułu nazywamy nachyleniem płaszczyzny. Im większy jest więc moduł, tern mniejsze nachylenie płaszczyzny, czyli tern mniejszą jest styczna trygonometryczna kąta, jaki uważana płaszczyzna zamyka z płaszczyzną porównawczą (rzutów). W dalszym ciągu wykładu używać będziemy zwrotów: dana jest linia spadu, wykreślić linię spadu i t. p. rozumiejąc zawsze przez linię spadu jej rzut.

Płaszczyzna ± do rzutni wyznaczona jest swoim śladem poziomym t. j. prostą przecięcia się z rzutnią ; położenie płaszczyzny równoległej do rzutni wyznacza cecha jednego, dowolnego jej punktu.

26. Zadania. 1. Wykreślić podziałkę nachylenia płaszczyzny e, wyznaczonej prostą a i punktem Л (Rys. 43.).

Na prostej a szukamy punktu M o cesze punktu Л. Prosta ЛМ — jako równoległa do pł. porówtiaw-czej i leżąca na pł., której linii spadu szukamy, jest warstwicą tejże płaszczyzny. W ten sposób linia spadu i jej podziałka są wyznaczone.

Mtßs)

/ Г

А'ага! и

'12

12 Sz

10

OS

Hl

11e

'ho

2m

2. Wyznaczyć płaszczyznę,

Rys. 43.

przechodzącą przez prostą a, której podziałka nachylenia a' jest dana (Rys. 44.).

Przez prostą przechodzi dowolna ilość płaszczyzn; proste równoległe Oe, le,.... przechodzące przez wskaźniki podziatki nachylenia a' są warstwicami jednej z tych płaszczyzn. Rzutem linii spadu tej płaszczyzny jest prosta le prostopadła do tych warstwie. Punkty przecięcia się linii Ve z warstwicami są wskaźnikami podziałki nachylenia płaszcyzny s.

I os G

'2

⁷3

6/

2m

B’(9>У /!в

SV.

5/

7e

7/

/7

\Cfci

'5

6,

56

Лаг

'a'

1 os 0

i 6’

2m

Rys. 44.

Rys. 45.

3. Wyznaczyć podziatkę nachylenia płaszczyzny e, wyznaczonej trzema punktami Л (Л', 5),j В (В', 9), С {С 6). (Rys. 45.).

Z trzech prostych, wyznaczonych danymi punktami, weźmy pod uwagę dwie n. p. а = (ЛВ) i b~{BC), które przecinają się w punkcie B. Zestopniujmy obie proste — fo linie łączące równoliczbowe wskaźniki są warstwicami pł. e i wyznaczają na prostopadłej l'e podziałkę nachylenia.

4. Wykreślić rzut pięciokąta płaskiego, leżącego dowolnie w przestrzeni.

Rozróżniamy wielokąty płaskie od przestrzennych, zwanych także skośnymi. Wielokąt, którego wszystkie wierzchołki, — a więc i boki, leżą na płaszczyźnie, nazywamy płaskim; dowolna ilość punktów przestrzeni połączona prostemi daje wielokąt, którego nie można położyć na płaszczyźnie, który nazywamy wielokątem skośnym.

Ponieważ trzy dowolne punkty wyznaczają płaszczyznę, więc trójkąt jest utworem płaskim.

Z pięciu wierzchołków żądanego wielokąta trzy, np. Л (Л', 3), В (В', 7) i С (C, 9) (Rys. 46.), przyjmiemy dowolnie, dwa dalsze t. j. D i E obrać musimy na płaszczyźnie wyznaczonej trzema pierwszymi.

ÏÏ14)

B'(7)

Eh)

W tym celu zestopniujmy prostą Л' B' i dwa dowolne wskaźniki np. 5 i 6 połączmy prostemi p' i q' z punktem C.

Cm

J-lcm.

ПЖ

Ä(3)

Proste p i q, wyznaczone rzutami p' i q', leżą na płaszczyźnie trójkąta ЛВС, gdyż mają z tą płaszczyzną po dwa punkty wspólne.

Rys. 46.

Zatem każdy punkt tych prostych np. D (D', 4) i E (E3) leżą na płaszczyźnie trójkąta, mogą więc być przyjęte za dalsze wierzchołki pięciokąta płaskiego Д В, C, D, E.

27. Przenikanie się dwóch płaszczyzn. Dwie płaszczyzny przenikają się w linii prostej, którą nazywamy krawędzią tych płaszczyzn. Ponieważ prostą wyznaczają dwa jej punkty, a krawędź jest prostą leżącą równocześnie na dwóch płaszczyznach — więc dwa punkty, leżące równocześnie. na obu płaszczyznach, wyznaczają ich krawędź.

Dowolna płaszczyzna warstwowa przecina dwie płaszczyzny a i ß w dwóch warstwicach, których punkt przecięcia się leży równocześnie na obu płaszczyznach, a więc jest punktem szukanej krawędzi.

Krawędź dwóch płaszczyzn określić więc można jako miejsce ii * geometryczne punktów przecięcia się linij warstwowych obu płaszczyzn, leżących w tych samych , wysokościach, a więc na wspólnych płaszczyznach warstwowych (Rys. 47.). Punkt przecięcia się śladów poziomych obu płaszczyzn jest śladem poziomym Hk krawędzi, której rzut oznaczyliśmy literą k'.

.Przykłady. 1. Obie płaszczyzny zamykają z poziomem jednakowe kąty. W tym przypadku rzut k' krawędzi jest dwusieczną kąta, jaki tworzą warstwice danych

'<r. i

la

3\

к’

o\Hm

J = Jem. П Ж.

Rys. 47.

płaszczyzn. W istocie bowiem niechaj w Rys. 48. e i cp uzmysławiają nam dwie płaszczyzny, nachylone pod jednakowym

/hy Nj/>S

-■''к

'*/u

Hk

Rys. 48.

'rM=A'N, а

po-

Is

В г (2)

Æoi

kątem do płaszczyzny rzutów я, czyli takie dwie płaszczyzny, których linie spadu zawierają z pł. я te same kąty cc. Proste he i Лер są śladami poziomymi danych płaszczyzn. Rzućmy punkt Д obrany na krawędzi k, na pł. я i otrzymany punkt A' połączmy z punktem Hk, śladem poziomym krawędzi k. Prosta kr = {Ar Hk) jest rzutem poziomym krawędzi k. Płaszczyzna, przechodząca przez prostą Л A' i _L do he, przecina pł. e w linii spadu le, a płaszczyznę я w prostej ie, będącej rzutem prostej le. Podobnie płaszczyzna, przechodząca przez prostą A A' i ± do hep, wyznacza linię spadu lq> płaszczyzny cp i rzut Гер tejże linii. Weźmy pod uwagę trójkąty prostokątne Л А' M i Л Л' IV — to ponieważ bok Л Л' jest wspólny, kąty Л M Л' i Л iV Л', będące kątami nachylenia obu płaszczyzn e i cp, według założenia równe — więc oba uważane trójkąty są przystające. Wobec tego nieważ Ге _L he zaś Гер _L Лер, więc punkt Л' jest równo oddalony od śladów obu płaszczyzn, leży zatem na dwusiecznej kąta, jaki owe ślady ze sobą zawierają.

Ж-

2. Podziałki nachylenia obu ^ płaszczyzn są równoległe (Rys. 49.).

J •‘lern

ПЖ

Rys. 49.

Warst wice obu danych płaszczyzn e i cp są wzajemnie równoległe. Ponieważ krawędź określiliśmy jako miejsce geometryczne punktów przecięcia się warstwie dwóch płaszczyzn, więc wobec wzajemnej równoległości warstwie —

wyznaczają te ostatnie tylko jeden punkt w odległości nie-ograniczenie dalekiej, czyli kierunek krawędzi, równoległy do

warstwie. Połączmy dwa punkty np. Ai'(i) i B\(2) prostej l'e z punktami Л2' i B2' o tych samych cechach na prostej Гер — to, wskutek zachodzącej proporcyonalności odcinków, każda prosta, przechodząca przez punkt M, wyznacza na po-działkach Ге i Гер punkty o jednakowych cechach. Prosta więc k', przechodząca przez punkt M i równoległa do warstwie, jest rzutem krawędzi płaszczyzn e' i cp.

28.    Punkt przebicia się prostej z płaszczyzną wyznaczamy w ten sposób, że przez prostą poprowadzimy dowolną płaszczyznę, znajdziemy krawędź tej pł. z pł. daną, a punkt przecięcia się tej krawędzi z daną prostą jest szukanym punktem.

SX

9j/r

•V,

AL

6-

Niechaj zestopniowana linia spadu Ге wyznacza pł. e, a zestopniowana prosta p' prostą p (Rys. 50.). Dowolną płaszczyznę 4¹ przechodzącą przez prostą p wyznaczą dwie war-stwice 7\\r i 9<\r. Prosta k' jest rzutem krawędzi płaszczyzn e i 4r, a punkt P' szukanym punktem przecięcia się prostej p z pł. e.

J-Im.

Podziatka: 1:100.

Rys. 50.

29.    Zadania. 1. Wyznaczyć rzut krawędzi dwóch płaszczyzn, których równowartościowe war-stwice przecinają się zewnątrz płaszczyzny rysunkowej.

Krawędź dwóch płaszczyzn określić także można jako miejsce geometryczne punktów przebicia się prostych jednej

5y,

płaszczyzny z pł. drugą. Prosta _    Ц więc, łącząca punkty przebicia się

i \b’

; / dwóch dowolnie obranych prostych "    ' ⁴    na jednej pł. z pł. drugą, jest kra

5ó\ B\

wędzią owych płaszczyzn.

1У\\

\ ⁴

iß

J ”1 cm. n.w

j la

Rys. 51.

W naszym przykładzie (Rys. \<* 51.), gdzie płaszczyzny cc i ß wy-- znaczone są swojemi podziałkami nachylenia Га i /'ß, znajdziemy rzut k' krawędzi, łącząc rzut A' punktu przebicia się linii la z pł. ß — z rzutem В punktu przebicia się linii /ß z pł. cc.

2. Wykreślić rzut prostej, przechodzącej przez punkt A (A', &6) i przecinającej dwie proste skośne a (a') i b (b').

Pierwszy sposób. Przez punkt A i prostą a, a następnie przez punkt A i prostą b, poprowadzimy płaszczyzny, których krawędź jest rozwiązaniem zadania.

Na prostych a' i b' (Rys. 52.) szukamy punktów M' i N' o cechach równych cesze punktu Д, więc 6’6. Prosta A' Mr jest warstwicą pł. (Л, a), prosta A' N' warstwicą pł. (A, b). Wyznaczywszy punkt przecięcia się B' (7) warstwie 7 obu płaszczyzn i połączywszy go z punktem A' (6*6) otrzymamy żądany rzut p prostej p, przechodzącej przez dany punkt Л i przecinającej dane proste a i b.

M(6bi ^

a’

a’

,\

г.

гг

T2f

IA'(6E)

B'(7)

7ß

'6-6CC

fi-

U’

к'/

7.

гг

У.

C S:

■■■/y

7    6/3

J-lcm. n.w.

U'

Rys. 52.

Rys. 53.

Drugi sposób. Przez punkt Л i jedną z prostych poprowadzimy płaszczyznę a i wyznaczymy punkt przebicia się drugiej prostej z tą pł., a prosta łącząca otrzymany punkt z punktem A, rozwiązuje zadanie (Rys. 53.).

30. Płaszczyzny równoległe. Przeciąwszy pęk płaszczyzn warstwowych płaszczyznami równoległemi, otrzymamy pęki promieni równoległych, jako linie warstwowe, wzajemnie do siebie równoległe. Ponieważ rzuty prostych równoległych są do siebie równoległe, więc otrzymane warstwice płaszczyzn równoległych, a więc i ich linie spadu, są do siebie wzajemnie równoległe. Z pojęcia płaszczyzn równoległych wynika, że ich moduły muszą być równe.

Stąd: równoległe, o zgodnym kierunku nachylenia i tym samym modułem zestopniowane linie spadu, wyznaczają płaszczyzny równoległe.

31. Zadania: 1. Wyznaczyć położenie pł.e, przechodzącej przez punkt А(А',1Г5), a równoległej do pł. cp, której linia spadu l\p jest dana (Rys.

54.). Linia Ts //1\, a po- I72 prowadzona przez punktu, zestopniowana modułem pros tej Гер, stanowi podział-kę nachyleni a pł. e, a więc płaszczyznę tę wyznacza.

2. Przez punkt P (P', 14-6) poprowadzić pro- J-icm. stą równoległą do pł. e, wyznaczonej linią spadu Ve (Rys. 55.). Na pł. e przyjmiemy dowolną prostą a(aj, to bjj a' zestopniowana modułem prostej a, /a’ yJj jest rzutem prostej równoległej do prostej a, a więc także i do płaszczyzny e.

J. Przez punkt P(P', 15) poprowadzić pł. równoległą do dwóch danych prostych skośnych a {a') i b{b') (Rys. 56.). Przez punkt P kreślimy proste pi i рг równoległe do a i b. Płaszczyzna, prostemi temi wyznaczona, jest równoległa do danych prostych; l'e jest linią spadu tejże płasz-

" 13

-'"'-Pu

13A

10

У 12

'Pi

11    14

13

12

11

Anti

le

12

11

■10

n. w.

Rys. 54.

'a'    76

12

J-1 cm. II. W.

Rys. 56.

2,

14

o I/o

15

fP'(14S)

'1

13

'V

, J- lcm

Rys. 55.

n.w.

76

czyzny.

4. Wyznaczyć prostą, przechodzącą przez dany punkt A (A', 9), przecinającą daną prostą a (aj i równoległą do danej płaszczyzny e (Ге ).

1. Sposób. Szukana prosta łączy punkt A z punktem przebicia się prostej a z płaszczyzną cp, przechodzącą przez рипкЫ równolegle do pł. e (Rys. 57.). Prosta Гр, wykreślona przez A' równolegle do Ге i ze- j stopniowana jej modułem p, wyznacza, jako podziałka nachylenia, płaszczyznę cp równoległą do e i przechodzącą przez punkt A. Punkt B' jest rzutem punktu przebicia się prostej a z płaszczyzną cp, a prosta р'=(Л' Bj rzutem prostej przechodzącej przez punktu, przecinającej prostą a w puncie В i równoległej do pł. e.

le

■6

-S

Ю \a'

ЛЬ

8_

\10 /k>

I \    /Л

^    \д/

⁸l

-

У/Г

J⁼lcm

Rys. 57.

n.w.

2. Sposób. Szukana prosta jest krawędzią płaszczyzny a=(A,a)i płaszczyzny cp, poprowadzonej przez punktu równolegle do pł. e (Rys. 58.). Płaszczyznę cp wyznacza — jak poprzednio — jej po-działka nachylenia Г cp. Łącząc punkt Ar z punktem M' prostej a' o tej samej co punkt A' cesze, otrzymamy warstwicę 9a pł. a. Punkt A' i punkt przecięcia się warstwie 8 płaszczyzn cp i a wyznaczają szukaną prostą p'.

ro\a'

10

A'<9)

M'(91

<5 et.

8A—

■7

lv

J= 1 cm

n.W

Rys. 58.

32. Prosta prostopadła do płaszczyzny. Wiemy (ust. 23.), że prosta prostopadła do płaszczyzny jest prostopadłą do każdej prostej, leżącej na tej płaszczyźnie. Ponieważ linie warstwowe płaszczyzny są równoległe do pł. rzutów, więc rzut prostej prostopadłej do pł. musi być prostopadły do warstwie (t. j. rzutu linii warstwowych), rzut kąta prostego jest bowiem kątem prostym, jeśli

P'

6-

Г/г

ii

Nrm

12

,b°

5-

A'(12)

jedno jego ramię jest równoległe do pł. rzutów. Ponieważ dalej warstwicę pł. są prostopadłe do rzutu linii największego spadu, więc: rzut prostej prostopadłej do płaszczyzny ^ojest równoległy do rzutu jej mrß>- linii spadu.

р’Ы [г

/а⁰

4-

Mm)

■15

a'

■i6

3-

! о-p P

■'•O

Rys. 59.

Jeżeli podziałka nachylenia l'e (Rys. 59.) wyznacza położenie pł. e, to prosta b', przechodząca przez dany punkt A(A\ 12) równolegle do l'e , jest rzutem prostej b, prostopadłej do tej płaszczyzny. Jednak do wyznaczenia położenia prostej potrzebna jest znajomość jej modułu i kierunku nachylenia, które znajdziemy w sposób następujący. Wyobraźmy sobie, że prócz prostej b, poprowadziliśmy przez punkt A prostą a, równoległą do linii spadu pł. e. Połóżmy następnie pł. poziomo-rzucającą, przechodzącą przez owe dwie, do siebie prostopadłe proste, wraz z temi prostemi na pł. warstwową w wysokości 11. W tym celu odmierzmy na prostopadłej w punkcie A' do prostej a'

czyli ui = —

poprowadzonej jednostkę długości A' A° = 1 m, w podziałce rysunku. Jeżeli Л'M'— p. jest modułem pł. e, to prosta Л°ЛГ jest kładem a° prostej a. Prostopadła b°, wykreślona w punkcie A° do a o, jest kładem prostej b, przyczem odcinek Л' N' wyznacza jej moduł pa. Jak z Rys. 59. wprost widzimy, kierunek nachylenia prostej bjest przeciwny kierunkowi nachylenia prostej a, a więc i przeciwny kierunkowi le, do której a jest równoległą.

Z trójkąta Л° ЛГ M' czytamy:

A' JL°:p.= pi : A' A°, więc p.. pu — 1 t. zn., że: moduł prostej prostopadłej

p.

dopł. jest odwrotnością modułu płaszczyzny. Tak tedy jeśli prosta jest j_ do pł. to:

1.    jej rzut jest równoległy do rzutu linii spadu pł.,

2.    jej kierunek nachylenia jest przeciwny kierunkowi nachylenia płaszczyzny,

3.    jej moduł, jest odwrotnością modułu płaszczyzny.

33. Zadania: 1. W punkcie A(A',4’4) danej prostej p poprowadzić płaszczyznę prostopadłą (Rys 60.). Znajdziemy moduł p-i szukanej płaszczyzny a, kreślimy prostą Га // p'

6°

flk

ß°

1-^58

Ащ

'5

0-7Л'

44a

3,

<Ö

4.

Sj

TP'fSW-

p°

3m

1 os 0

3m

Rys. 61.

Rys. 60.

i warstwicę 4’4a płaszczyzny a. Odmierzywszy 0’4 pu i 0'6p.i, jak to wskazuje Rys. 60., otrzymamy cechy 4 i 5 prostej Га, a więc podziałkę nachylenia płaszczyzny a.

2. Wyznaczyć odległość punktu A(A',4’3) od prostej p(p j (Rys. 61.). Przez punkt Л poprowadzimy płaszczyznę а

prostopadłą do prostej p i znajdziemy punkt przebicia P. Odr cinek RP rozwiązuje zadanie.

Rzut Га, linii spadu la płaszczyzny a, będzie równoległy do p', a jego zestopniowanie przeprowadzimy jak w Rys. 60.

"7

■k

a’

b’

5°

75

i.

'Л

'5

2;

’3

S?......>

'3

■v ?

’2

Sec,

fTpI

a'

/)

Ta

//l'P

/Р'

1 os O

2m

1    05 O

2m

4 ..

Rys. 62.

Rys. 63.

Prosta p przebija płaszczyznę cc w punkcie P (P5*6), który otrzymaliśmy w znany sposób. Odcinek R! P' jest rzutem odległości punktu A od prostej p, zaś odcinek R' P° = a jej kładem na płaszczyznę poziomą, przechodzącą przez punki A.

3.    Znaleźć odległość dwóch prostych równoległych. Prowadzimy płaszczyznę a, prostopadłą do danych prostych a i b, a odcinek zawarty między punktami przebicia R i В rozwiązuje zadanie (Rys. 62.). Prawdziwą wielkość tego oddalenia, otrzymanego w rzucie cechowanym, znajdziemy, kładąc odcinek RB na jedną z płaszczyzn poziomych.

4.    Znaleźć odległość dwóch płaszczyzn równoległych. Prowadzimy prostą p prostopadłą do danych płaszczyzn a i ß, a odcinek, zawarty między punktami przebicia, wyraża żądaną odległość (Rys. 63.).

§ 2. ZRSftDY RZUTÓW PROSTOKĄTNYCH Ш DWIE

PLÄSZCZYZNY

34. Rzuty punktów. Rozważania, przeprowadzone w § 1, opierały się na wyznaczeniu położenia punktu w przestrzeni zapomocą jego rzutu i cechy, t. j. liczby wyrażającej odległość danego punktu od rzutni. Rzutom towarzyszyły tam

zawsze

liczby, a przeprowadzenie zadań wymaga znajomości podziałki, w której rysunek jest wykonany. Od cechy punktu uwolnimy się, jeśli jego położenie ustalimy w odniesieniu do drugiej płaszczyzny rzutów, na której zaznaczymy w formie odcinka wysokość danego punktu. Tę nową płaszczyznę rzutów przyjmujemy z reguły prostopadle do pierwszej i nazywamy płaszczyznę pionową rzutów, albo krótko rzutnią pionową. Przez wprowadzenie drugiej płaszczyzny rzutów, otrzymaną metodę geometryi wykreślnej nazywać będziemy od jej twórcy metodą Monge’a. (Gaspard Monge, znakomity matematyk francuski, twórca geometryi wykreślnej, jako nauki, ur. 10. maja 1746, urn. 28. łipca 1818 w Paryżu).

Лг

Rzutnia pionowa Л2 przecina rzutnię poziomą Jti wzdłuż prostej X, którą zwiemy osią rzutów. Obie rzutnie dzielą przestrzeń na cztery obszary, których następstwo oznaczone jest liczbami /, II, III i IV na Rys. 64.

Я,

Oś rzutów dzieli każdą z rzutni (Z) na dwie części. Mówić więc będziemy o rzutni poziomej przed S' i za osią x, o rzutni pionowej nad i pod osią x.

Яг

Rys. 64.

Яг

A"

>Фг

P’

A' i A"

/ nają się w punkcie A. Punkt A! nazywamy rzutem poziomym, punkt A" rzutem pionowym punktu A. Jeśli napiszemy : А (A' A") to symbol ten rozumieć należy w ten sposób, że punkt A wyznaczony jest swoim rzutem poziomym A' i pionowym A".

Odległość punktu A od płaszczyzny poziomej rzutów, równą odcinkowi ^4^4', nazwaliśmy wysokością, odległość

Przyjmijmy dowolny punkt A, leżący w pierwszej części przestrzeni i wyznaczmy rzut A! (czytaj Л z kreską) tego punktu na płaszczyznę Jti i rzut A" (czytaj A z dwiema) na płaszczyznę я* (Rys. 65.). Rzuty A! i A" wyznaczają w sposób jednoznaczny położenie punktu A w przestrzeni, na odwrót bowiem proste pi i p2, prostopadłe w punktach do płaszczyzn Я1 i яг, przeci-

n,

Rys. 65.

zaś od płaszczyzny pionowej, wyrażoną odcinkiem AA", nazwiemy głębokością punktu A.

Ażeby określić obszar przestrzeni, w której znajduje się punkt, zachodzi potrzeba względnego oznaczenia wysokości i głębokości punktu. Przyjmujemy więc, że wysokość wszystkich punktów, znajdujących się nad płaszczyzną poziomą rzutów, jest dodatna, zaś punktów, znajdujących się po d rzutnią poziomą — więc w części III i IV — jest ujemna. Głębokość punktów leżących przed rzutnią pionową, a więc w I i IV części przestrzeni, uważamy na dodatną, punkty z a rzutnią pionową, t. j. w obszarach II i III, mają głębokość ujemną. Przez uwzględnienie znaków przy odległościach punktów od rzutni, wyznaczamy położenie tych punktów w odpowiednich częściach przestrzeni.

Płaszczyzna, poprowadzona przez proste P P' i PP"> przetnie oś rzutów x w punkcie Px, rzutnię poziomą Jti w prostej P' Px prostopadłej do osi x, zaś rzutnię pionową я* w prostej P" Px, prostopadłej do tejże osi x. Z Rys. 66. czytamy, że wysokość punktu P równa się odległości rzutu pionowego tego punktu od osi rzutów, zaś głębokość tegoż punktu P równa jest odległości jego rzutu poziomego P'od osi rzutów x. Ażeby rzuty punktu na dwie prostopadłe do siebie płaszczyzny wyrazić się dały rysunkiem na jednej płaszczyźnie rysunkowej, więc na tablicy lub papierze, postępujemy w ten sposób, że jedną z tych płaszczyzn rzutów obracamy około osi x tak,

y?pn\

aż padnie, wraz ze znajdującym się na niej rzutem, na drugą rzutnię.

''PS

Я,

P’

gdy więc rzutnia Я2 padnie na rzutnię я,, prosta P₀" Px pozostanie prostopadłą do osi rzutów X. Ponieważ jednak prosta P' Px jest również prostopadłą do osi rzutów —

Rys. 66.

Jeżeli płaszczyzną rysunku jest płaszczyzna stołu, ą więc płaszczyzna pozioma, to obracamy około osi rzutów x płaszczyznę pionową ль, jak to uzmysławia Rys. 66. Podczas obrotu tego, prosta P" Px prostopadła do osi x nie zmienia swego położenia na rzutni Я2

po dokonanym więc .obrocie rzutni Я2 prosta Po" Px zejdzie się z prostą P' Px, stanowiąc jej przedłużenie.

Я*

Px

Jeżeli płaszczyzną rysunku jest płaszczyzna tablicy, a więc płaszczyzna pionowa, to płaszczyznę tę pozostawiamy nieruchomą, obracamy zaś około osi rzutów x rzutnię poziomą tak, aby jej część przednia padła na dolną część rzutni pionowej (Rys. 67.).

Ki

Pó

Rys. 67.

Rzut poziomy P' punktu P zajmie położenie oznaczoneliterą Po', przy-czem prosta Po'Px stanowić będzie przedłużenie prostej P" Px, prostopadłej do osi rzutów дг.

Tak więc po sprowadzeniu płaszczyzn rzutów do jednej płaszczyzny, będącej płaszczyzną rysunku, rzut poziomy i rzut pionowy punktu leżą na prostej prostopadłej do osi rzutów.

to ’prosta M" Mx

IL

Mn

Mx

1 odwrotnie: dwa punkty, umieszczone na prostopadłej do osi rzutów, są rzutami pewnego, oznaczonego punktu w przestrzeni. Jeżeli bowiem M'\M" są rzutami punktu, umieszczonymi na prostopadłej do osi rzutów x (Rys. 68.), pozostając stale na płaszczyźnie prostopadłej w punkcie Mx do osi rzutów, zajmie, po podniesieniu płaszczyzny pionowej w jej pierwotne położenie, miejsce Mo" Mx.

Rys. 68.

Prostopadłe, poprowadzone w punktach M' i M₀", przetną się w punkcie M, którego rzutami, sprowadzonymi na płaszczyznę rysunku, są punkty M' i M". Z powyższego wynika też wprost, że dwa punkty, nie leżące na jednej prostopadłej do osi rzutów, nie mogą być rzutami jednego punktu przestrzeni.

Każdą prostą prostopadłą do osi rzutów, łączącą dwa rzuty tego samego punktu, nazywać będziemy prostą odnoszącą albo wprost odnoszącą.

35. Rozmaite położenia punktu w przestrzeni. Ponieważ dwie rzutnie dzielą przestrzeń na cztery części, więc mówić możemy o punkcie, znajdującym się w pierwszym, drugim, trzecim lub czwartym obszarze przestrzeni.

a) Punkt leży w pierwszym obszarze (Rys. 69 a.).

Po kładzie rzutni pionowej na płaszczyznę poziomą, którą przyjmujemy za płaszczyznę rysunku, rzuty punktu A leżą

Пг

77

Дх X

■ Дх

7Г

6Д'

Яг

Rys. 69 а.

Rys. 69 b.

po obu stronach osi rzutów, w szczególności, rzut poziomy A' leży pod osią x, rzut pionowy A" nad osią X (Rys. 69 b.). Dotąd oznaczaliśmy rzuty punktu mianem tego punktu, więc dużą literą alfabetu i kreską umieszczoną u góry tej litery, gdy chodziło o rzut poziomy, dwiema kreskami, gdy wyrażaliśmy rzut pionowy. Rzut punktu sprowadzony na rzutnię, będącą płaszczyzną rysunku, otrzymywał u dołu znak małego zera. (Rys. 66, 67, 68, 69 a.). Z tego też powodu winien być oznaczony rzut pionowy (Rys. 69b.) punktu A znakiem Ao". Jeśli jednak zauważymy, że przez kład rzutni poziomej na pionową znak zera przypadłby literze A' — że więc każdy z obu rzutów punktu oznaczony być może u dołu znaczkiem zera, więc pomijamy ów znaczek i oznaczamy rzuty punktu na

■>B

Яг

?ß"

i/

i В'

Aj

ŚBx X

Bx

Я,

rysunku jedynie kreskami. Rzut poziomy otrzymuje jedną, rzut pionowy dwie kreski. Znak A', czytany A z kreską, wyraża rzut poziomy, znak A", czytany A z dwiema, określa rzut pionowy punktu A.

Odcinek A" Ax (Rys.

Rys. 70 a.

Rys. 70 b.

69 a i b.) równy jest odległości punktu A od płaszczyzny poziomej, przedstawia więc wysokość tego punktu; odcinek A' Ax równy jest odległości punktu A od rzutni pionowej, jest więc jego głębokością.

b)    Punkt leży w drugim obszarze przestrzeni.

W tym wypadku rzut poziomy B' punktu В znajduje się na tylnej części rzutni poziomej ; — po obróceniu rzutni pionowej oba rzuty B' i Bo" (Rys. 70 a.) znajdą się po jednej stronie osi rzutów, a mianowicie nad osią rzutów. W Rys. 70b. rzuty punktu В oznaczyliśmy przez B' i B". Jeśli wysokość punktu В, a więc jego odległość od rzutni poziomej, większa jest, aniżeli jego głębokość, czyli odległość od rzutni pionowej — to punkt B" leżeć będzie nad punktem B'.

Wysokość punktu znajdującego się w drugiej części przestrzeni jest dodatna, głębokość zaś ujemną.

c)    Punkt znajduje się w trzeciej części przestrzeni.

?c'

Rzut poziomy C' punktu C leży na tylnej części rzutni poziomej, rzut pionowy C" na dolnej części rzutni pionowej (Rys. 7la.).

Ci x

%    Co"..

>C

iC'

Rys. 71 a.

Rys. 71 b.

Po sprowadzeniu obu rzutni do jednej płaszczyzny, rzut poziomy leżeć będzie nad osią rzutów, rzut zaś pionowy pod osią rzutów X (Rys. 71 b.).

Zarówno wysokość jak i głębokość punktu, znajdującego się w części trzeciej, są ujemne.

d)    Punkt przynależy do czwartego obszaru.

Dx

O’.

'Do

>D-

Rys. 72 a.

Rys. 72 b.

Rzut poziomy D' punktu D leży na przedniej części rzutni poziomej ; rzut pionowy, podobnie jak w przypadku poprzednim, na dolnej części rzutni pionowej (Rys. 72 a.). Po sprowadzeniu obu rzutni do jednej płaszczyzny, oba rzuty leżeć będą pod osią x (Rys. 72 b.).

Wysokość punktu, znajdującego się w czwartej części przestrzeni, jest ujemna, jego głębokość natomiast dodatna.

CM

e) Punkty leżące na rzutniach.

Gdy punkt E leży na przedniej części rzutni poziomej,

to z nim schodzi się równocześnie jego rzut poziomy E', zaś rzut pionowy E" leży na osi rzutów (Rys. 73 a i b.).

Rzut pionowy F" punktu F, leżącego na górnej części rzutni pionowej, schodzi się z punktem F, rzut zaś poziomy F' leży Rys. 73 b. na osi X. (Rys. 73 a i b.).

Punkt G, leżący na tylnej części rzutni poziomej, jest równocześnie swoim rzutem poziomym; jego rzut pionowy znajduje się na osi x (Rys. 74 a i b.).

Punkt H, leżący na dolnej części rzutni pionowej, jest równocześnie swo-im rzutem pionowym; jego rzut poziomy leży na osi rzutów (Rys. 74 a i b.).

36. Rzuty i ślady prostej na dwie płaszczyzny.

Położenie prostej w przestrzeni, w odniesieniu do dwóch płaszczyzn rzutów, wyznaczone jest rzutami tej prostej na te płaszczyzny, a jak z ust. 11. wiadomo, rzut prostej na płaszczyznę jest linią pro-- stą. Jeżeli punkty Л i В wyznaczają prostą p — (Rys. 75 a.), a punkty Л' i Br są rzutami poziomymi tych punktów — to prosta p' (czytaj p z kreską), wyznaczona punktami Л' i B' i leżąca na rzutni pozionej, jest rzutem poziomym prostej p.

F°F”

°EE’

Uli

F’

Rys. 73 a.

..-•i

X Ę" : F’ X

EbE'

<Лг

H'

o GGr

G"--

°HH"

Rys. 74 a.

G°.G'

x H' \G"x

Rys. 74 b.

nr

ВГ

B,

A’

Rys. 75 a.

Cb”

Rys.E75 b.

Prosta p" (czytaj p z dwiema), łącząca rzuty pionowe Д" i B" punktów Л i B, jest rzutem pionowym prostej p. Mając rzuty p' i p" prostej p, odtworzymy tę prostą w przestrzeni, jeśli przez prostą p' poprowadzimy płaszczyznę prostopadłą do rzutni poziomej t. z w. płaszczyznę poziomo-rzucającą (patrz*" ust. IL), a przez prostą p" płaszczyznę prostopadłą do rzutni pionowej, czyli t. zw. płaszczyznę pionowo-rzucającą. Prosta przecięcia się obu płaszczyzn jest prostą p. Nawzajem: rzut poziomy p' prostej p określić można jako przecięcie się płaszczyzny poziomo rzucającej, poprowadzonej przez tę prostą, z rzutnią poziomą, a rzut pionowy p" jako prostą powstałą z przecięcia się płaszczyzny pionowo rzucającej, przechodzącej przez prostą p, z rzutnią pionową. — Po sprowadzeniu obu rzutni, zapomocą obrotu około osi rzutów x, do płaszczyzny rysunkowej, rzut poziomy p' prostej p łączyć będzie punkty Л' i B', leżące pod osią rzutów, a rzut pionowy p" przejdzie przez punkty A" i B", leżące nad osią rzutów x — Rys. 75 b.

/77"

a>.)

Rozważmy rozmaite położenia prostej względem rzutni.

/77'

k) Położenie dowolne. Mianem tem x określać będziemy proste, nachylone do obu rzutni. Przy takiem położeniu prostej oba jej rzuty przecinają oś jc. (Rys. 75 a i b.).

/7'

b)    Prosta pozioma. Tak nazywać będziemy prostą równoległą do rzutni poziomej, a nachyloną do pionowej. „ Wysokość“ wszyst- b > kich punktów takiej prostej jest jednakowa, x jej rzut pionowy m" — Rys. 76 a. — jest równoległy do osi rzutów, a rzut poziomy m' oś tę przecina.

7'

7'

Ryc. 76 a—c.

c)    Prosta czołowa. Mianem tem oznaczać będziemy prostą, równoległą do rzutni c) pionowej a nachyloną do poziomej (Rys. 76 b.). x Wszystkie punkty takiej prostej mają tę samą „głębokość“; rzut poziomy n' jest wobec tego równoległy do osi x, a rzut pionowy przecina tę oś.

d)    Prosta równoległa do osi rzutów. Oba jej rzuty są równoległe do osi rzutów x (Rys. 76 c.).

e)    Prosta pionowa, czyli prostopadła do rzutni poziomej (Rys. 77 a.). Rzut poziomy takiej prostej jest punktem, rzut pionowy prostopadłą do osi rzutów.

f)    Prosta prostopadła do rzutni pionowej. Rzut pionowy s" tak położonej prostej jest punktem — Rys. 77 a. — rzut poziomy s' prostopadłą do osi rzutów.

g)    Prosta leży na jednej z rzutni. Rzut poziomy prostej t, leżącej na rzutni poziomej, schodzi się z tą prostą, rzut pio-

?S"

UW

x_

S’

tr

Rys. 77 a.

Rys. 77 b.

Rys. 77 c.

nowy leży na osi rzutów — Rys. 77 b. Gdy prosta u leży na rzutni pionowej, to schodzi się ze swoim rzutem pionowym, a jej rzut poziomy leży na osi x — Rys. 77 c.

h) Prosta prostopadła do osi rzutów, czyli leżąca na płaszczyźnie e prostopadłej do osi rzutów — Rys. 78 a i b.

Rzuty q' i q" takiej prostej są prostopadłe do osi rzutów i nie wyznaczają położenia prostej q w przestrzeni; wszystkie bowiem x proste, leżące na płaszczyźnie e, mają te same rzuty, a mianowicie q' i q". D o wyznaczeń ia położenia prostej prostopadłej do osi rzutów, potrzebna jest znajomość rzutów dwóch punktów tej prostej. We wszystkich położeniach prostej dwa jej rzuty położenie to wyznaczają, z jedynym wyjątkiem prostej prostopadłej do osi rzutów, gdzie potrzebna jest znajomość rzutów

•B"

Д”

B\

qó

>Ao

Rys. 78 a.

Rys. 78 b.

dwóch punktów prostej. Äby zaznaczyć, że wzięta pod uwagę prosta np. p wyznaczona jest, w odniesieniu do dwóch płaszczyzn rzutów, swoimi rzutami, używać będziemy symbolu: pip' p"), w odróżnieniu od przypadku, gdzie prostą wyznaczają dwa jej punkty, co wyrażamy znakiem tożsamości, pisząc np.

m = (Ą B).

Ślady prostej. Wiadomo z ust. 14., że punkt leżący równocześnie na prostej i na rzutni, a więc punkt przebicia się prostej z płaszczyzną rzutów, nazywa się śladem prostej. W odniesieniu do dwóch płaszczyzn rzutów, mówić będziemy o śladach poziomych i oznaczać je stale literą H

ze wskaźnikami u

ty

dołu, wyrażającymi proste, do których się odnoszą, więc np. Ha , Hb...

Hp i o śladach pionowych, t. j. punktach, w których proste przebijają rzutnię pionową. Te ostatnie oznaczamy literą V ze wskaźnikiem u dołu, wyrażającym miano prostej, do której się odnosi, więc np. Va, Vb... VP.

W przypadku przedstawionym na Rys. 79 a., prosta p przebija rzutnię poziomą w punkcie Hp, rzutnię pionową

w punkcie VP. Rzut pionowy Hp" śladu poziomego HP leży na osi rzutów, podobnie jak rzut poziomy V'p śladu pionowego VP.

Rys 80 a. uzmysławia takie położenie prostej, w którem prosta przebija rzutnię pionową, leżącą poniżej osi rzutów x.

p/ /Р”

rrr\x

/77"

Hm

Vm

Hrrf'-

JCs

Vm

Rys. 80 a.

я,

>cHp

X.

py

Hp

P’

Rys. 79>a.

mn

VŁ

л HpJ

Hp

Hm Vrin л

Y

ПТ/Нт \

Rys. 80 b.

'i Vm

P’

Rys. 79 b.

Ślad pionowy prostej m leży pod osią x, jego rzut poziomy na osi. Po sprowadzeniu obu rzutni do płaszczyzny rysunkowej otrzymamy Rys. 80 b.

Przy położeniu prostej l, podanem na Rys. 81 a., prosta

i"

Жг

V/

l"

Vi

N.

я,

Hu'

Я,

Hr

W-s'

Яг

Rys. 81 a.

Rys. 81 b.

ta przebija rzutnię poziomą w obszarze, rozciągającym się za osią rzutów. Po sprowadzeniu obu rzutni do płaszczyzny rysunku, ślad poziomy Hi prostej / leży nad osią л:

(Rys. 81 b.).

Ślad poziomy prostej r (r' r") równoległej do rzutni poziomej (Rys. 82 a.) jestpunktem niewłaściwym zarówno pros tej jak i płaszczyzny poziomej rzutów. Podobnie ślad pionowy prostej s (s' s") równoległej do rzutni pionowej (Rys. 82 b.) jest punktem niewłaściwym tej prostej.

37. Dwie proste.

1. Proste przecinające się. Punktem wyjścia do wyznaczenia rzutów tych prostych jest pewnik, że proste te posiadają jeden punkt wspólny. Rysujemy rzuty m' i m" prostej m, na niej przyjmujemy dowolny punkt A (Aj A"), przez który prowadzimy prostą p (p' p") przecinającą prostą m (Rys. 83 a.).

Jeżeli więc punkt przecięcia się rzutów poziomych dwóch prostych leży na wspólnej odnoszącej z punktem przecięcia się

Vr Г"

НГ

Ks°°

S"

Vr

S’

Hs X

Hr

ИГ

Hs

Rys. 82 a.

Rys. 82 b.

rzutów pionowych tychże samych prostych — to proste rzutami wyznaczone przecinają się.

2. Proste równoległe. Ponieważ płaszczyzny, rzucające poziomo dwie proste równoległe, są równoległe, więc proste

m"

AT

P'

a"

cZ.

Cy

a'

ß'

c'

b'

Rys. 83 a.

Rys. 83 c.

Rys. 83 b.

przecięcia się tych płaszczyzn z rzutnią poziomą, czyli rzuty poziome danych prostych są równoległe. Ponieważ dalej płaszczyzny, rzucające pionowo dwie proste równoległe, są również równoległe — więc i rzuty pionowe tych prostych są równoległe (Rys. 83 b.). Jeżeli tedy rzuty poziome i rzuty pionowe dwóch prostych są równoległe — to proste, rzutami tymi wyznaczone, są równoległe.

3. Proste skośne. Rzuty dwóch prostych skośnych podaje Rys. 83 c. W punkcie przecięcia się rzutów pionowych c" i d" prostych c i d schodzą się rzuty pionowe dwóch punktów: punktu A (A' A!\ leżącego na prostej с (c', c") i punktu В (В' В"), leżącego na prostej d (d' d"). Podobnie w punkcie przecięcia się rzutów poziomych c' i d' prostych c i d schodzą się rzuty poziome dwóch punktów, a mianowicie: punktu С (С C"), leżącego na prostej с (c' c") i punktu D (D' D"), leżącego na prostej d (d' d").

Jeżeli tedy prosta,łącząca punkt przecięcia się rzutów poziomych z punktem przecięcia się rzutów pionowych, nie jest prostopadłą doosirzutów—toproste rzutami wyznaczone są skośne.

38. O płaszczyźnie i jej śladach. Wiadomo z ust. 22., że dwie proste przecinające się lub równoległe, prosta i punkt, względnie trzy punkty wyznaczają płaszczyznę. Znając więc rzuty tych elementów, przyjętych na płaszczyźnie, znamy położenie samej płaszczyzny, t. zn. potrafimy określić położenie

dowolnych dalszych punktów i prostych, leżących na tej płaszczyźnie. Ponieważ jednak rzuty trzech punktów, względnie dwóch dowolnie na płaszczyźnie przyjętych prostych, nie dozwalają na szybkie odtworzenie i uzmysłowienie położenia tej płaszczyzny względem rzutni, dlatego chętnie wyznaczać będziemy płaszczyzny zapomocą dwóch prostych przecinających się lub równoległych, takich jednak, z których jedna leży na rzutni poziomej a druga na pionowej (Rys. 84 a i b.). Proste te

określają wyraźniej, aniżeli dwie dowolne proste przecinające się lub równoległe, położenie płaszczyzny w przestrzeni i zwą

się jej śladami, gdyż uważać je można za proste przecięcia się (analogia ze „śladem“ prostej!) danej płaszczyzny z rzutniami.

Rys. 84 a.

3U

Jb

hu

Rys. 84 b.

Rys. 84 c.

Prostą a (a a") — Rys. 84 a i b. — leżącą na rzutni poziomej, nazywamy śladem poziomym, prostą zaś b (b' b), leżąca na rzutni pionowej, śladem pionowym płaszczyzny cc, wyznaczonej temi prostemi. Dla uproszczenia, a raczej celem lepszego oryentowania się w rysunku, oznaczać będziemy stale ślady poziome płaszczyzn — dla analogii ze śladami prostych — małą literą „h“ z grecką literą alfabetu, określającą płaszczyznę, jako wskaźnikiem u dołu. Siady pionowe płaszczyzn oznaczane będą małą literą „u“ z odnośną literą alfabetu greckiego (Rys. 84 c.). Symbolem a (ha u a) zastępować będziemy zdanie: „płaszczyzna a, której ślad poziomy ha i ślad pionowy Ua są dane“. Punkt przecięcia się obu śladów, leżący na osi rzutów, oznaczamy literą „Xй ze wskaźnikiem, będącym mianem płaszczyzny, więc w przypadku przedstawionym na Rys. 84 c. Xa.

Omówimy z kolei rozmaite położenia płaszczyzn względem rzutni.

a) Płaszczyzna dowolna. Jeżeli płaszczyzna — jak to widzimy na Rys. 84 a, b, c., nachyloną jest do obu rzutni — to

takie położenie określamy mianem „dowolne“. W tym przypadku oba ślady przecinają się na osi rzutów w punkcie właściwym i oba nachylone są pod kątami

b) Płaszczyzna równoległa do jednej z rzutni. Ślad pionowy üß, płaszczyzny ß równoległej do rzutni poziomej, jest

z.

90°.

Яг

Яг

Vß

Vß

XX

fi?

h₇

Rys. 85 а.

Rys. 85 b.

Rys. 85 с.

równoległy do osi л:; jej ślad poziomy jest prostą niewłaściwą (ust. 7.) rzutni poziomej (Rys. 85 a). Siad poziomy hy, płaszczyzny у, równoległej do rzutni pionowej, jest równoległy do osi jc; ślad pionowy leży w odległości nieograniczenie dalekiej.

c)    Płaszczyzna równoległa do osi rzutów przecina obie rzutnie wzdłuż prostych, śladów, równoległych do tej osi-(Rys. 86 a i b).

d)    Płaszczyzny rzucające. Mianem tern określiliśmy

(ust. 36.) płaszczyzny prostopadłe do płaszczyzn rzutów. Siad pionowy Ve płaszczyzny g, prostopadłej do rzutni poziomej, więc x£ X płaszczyzny poziomo rzucającej (Rys. 87 a i b.), jest prostopadły, a ślad poziomy he nachylony do osi Rys. 87 b. rzutów.

Яг

he

Я,

Rys. 87 а.

Я,

Лг

Vs

Vs

Ve

Xs

ЛГе

y*

ht

hs

Rys. 86 a.

Rys. 86 b.

Rys. 88 a uzmysławia płaszczyznę pionowo rzucającą,

Яг

I'p

a Rys. 88 b podaje jej obraz w rzutach prostokątnych. Siad poziomy jest prostopadły do osi x, ślad pionowy zawiera z nią

Л, M X 90«.

hę.

Rys. 88 a.

e) Płaszczyznę r\ pro-hę stopadłą do osi rzutów podaje Rys. 89 a i b. Oba ślady Rys. 88 b.    tak położonej płaszczyzny

Яг

Vn

Vn

U,

hn

я,

są prostopadłe do osi x.

f) Płaszczyzna przechodzi przez oś rzutów. Oba ślady wszystkich płaszczyzn przechodzących przez oś X, schodzą się z tą osią. Do wyznaczenia położenia jednej z tych płaszczyzn, potrzebna jest znajomość jednego dowolnego punktu tej płasz-

czyzny.

hn

Rys. 89 a.

Rys. 89 b.

39. Kład odcinka i jego podział. Prawdziwą długość odcinka, którego rzuty na dwie płaszczyzny są dane, otrzymamy, wykonując kład

д0    lego odcinka, podob-

nie, jak to uczyni-%    liśmy w ust. 13., na

B"

\k

\'\    iÇ jedną z rzutni. Za

A"

Z2

2L

!j

danie sprowadza się więc do wykreślenia 4,    x_    trapezu, którego bo-

B’

\У’

ip/2    kami równoległymi

\ fi

A%

A'

B°

2-1¹

A°

Rys. 90 b.

Rys. 90 a.

są proste, rzucające punkty końcowe odcinka, jednym z boków nierównoległych jest dany odcinek, a drugim jego rzut.

A' C'< : С В'—А С : C B=A" С" : С" B"

Podzieliwszy więc rzut poziomy danego odcinka w pewnym stosunku i odniósłszy punkty podziału na rzut pionowy, otrzymamy rzuty punktów, dzielących ten odcinek w przestrzeni w tym samym stosunku.

C”

ВГ

Uli

Rys. 92.

W Rys. 90 a wykonaliśmy kład odcinka А В około jego rzutu A' B' na rzutnię poziomą, otrzymując odcinek A° B°; Rys. 90 b podaje kład tego samego odcinka na rzutnię pionową. Wskaźniki „o", umieszczone u dołu liter, oznaczać będą w ciągu całego wykładu punkty, względnie proste, po dokonanym kładzie. Za- /£ miast na płaszczyznę rzutów, dokonać można kładu odcinka na płaszczyznę równoległą do rzutni, poprowadzoną przez ---jeden z punktów końcowych odcinka.

W miejsce trapezu wchodzi wówczas trójkąt, jak o tern dostatecznie wyraźnie poucza Rys. 91.

B"

z₂\

Z2-Z1

A’

Zr

V,

Wykazane w ust. 15. twierdzenie, odnoszące się do rzutu poziomego odcinka, a opiewające, że stosunek podziału odcinka w przestrzeni wskutek rzutu prostokątnego na płaszczyznę poziomą nie zmienia się, odnosi się oczywiście i do rzutu pionowego odcinka. W istocie bowiem czytamy bezpośrednio z Rys. 92.:

B°

Rys. 91.

40. Zadanie. Dane są rzuty trójkąta ABC; wyznaczyć rzuty jego środka ciężkości (Rys. 93.). Wiadomo, że proste, łączące środki boków trójkąta z jego wierzchołkami, czyli t. zw. dośrodkowe, przecinają się w jednym X punkcie, zwanym środkiem ciężkości tego trójkąta. W myśl tego, cośmy powiedzieli w ustępie poprzednim, rzut poziomy O' środka ciężkości O jest punktem przecięcia się O' dośrodkowych Г C i 1Г A' trójkąta А' В' C, a rzut pionowy O" punktem, w którym przecinają się dośrodkowe I" C' i II" A'

rzutu pionowego A" B" C" trójkąta ABC. Wiadomo, że środek ciężkości trójkąta dzieli każdą dośrodkową na dwa takie odcinki, których stosunek wynosi 1:2. Wykreśliwszy więc dośrodkowe Г C' i I" C" otrzymamy na nich punkty ОЧО", przyjmując Г0'=\ГС' i /" O"=\I" C", a wtedy odpada potrzeba kreślenia rzutów drugiej dośrodkowej.

O"

C”

*Лп

В”

_л

А’<Г

О'

fir

Rys. 93.

§ 3. ZADANIA ODNOSZĄCE SIĘ DO WZAJEMNYCH POŁOŻEŃ PUNKTÓW, PROSTYCH I PŁASZCZYZN.

41. Proste i punkty na płaszczyźnie. Dwie przecinające się proste a (a' a") i b (b' b") wyznaczają płaszczyznę cp. Jeżeli punkt A (A' A") (Rys. 94.), obrany na prostej a (a' a"), połączymy z punktem В (В'В"), przyjętym na prostej b (b' b"), to punktami A i В wyznaczona prosta c (c' c") leży na płaszczyźnie cp. Jeden z pewników geometrycznych powiada bowiem, że gdy prosta ma z płaszczyzną dwa punkty wspólne, to ma z nią wszystkie punkty wspólne, czyli, jak mówimy, na tej płaszczyźnie leży.

Płaszczyzna Tb przechodząca przez oś rzutów, wyznaczona jest jednym punktem (ust. 38. f). Dowolny punkt В osi rzutów, połączony z danym punktem A (A' A"), wyznacza prostą m (m' m"), leżącą na płaszczyźnie T¹ (Rys- 95 a). Część prostej m' leżąca pod osią rzutów i część prostej m" znajdująca się nad tą osią, są rzutami tej części prostej m, która leży na płaszczyźnie T1 w pierwszej części przestrzeni; część prostej m' leżąca nad osią x i część prostej m", która leży pod osią rzutów, są rzutami tej części prostej m, która znajduje się na płaszczyźnie -фт w trzeciej części przestrzeni.

3"

b"

a*

A^c

cy■

M'

C'y

(A'

Rys. 94.

B”

42. PŁRSZCZYZNY DWUSIECZNE

53

Punkt C (C C") leży więc na płaszczyźnie tyi, wyznaczonej punktem Л (Л' Л") i osią rzutów, w trzeciej części przestrzeni.

Między płaszczyznami, przechodzącemi przez oś rzutów, znajdują się i takie, które rozciągają się w drugiej i czwartej części przestrzeni. Podobnie jak w przypadku poprzednim, płaszczyzna taka wyznaczona jest a.) przez punkt leżący, jednak nie w pierwszej lub trzeciej, ale w drugiej i czwartej części prze- x strzeni. Prosta r (r' r■") (Rys. 95 b), łącząca dowolny punkt Q osi rzutów z przyjętym / w drugiej części przestrzeni punktem P (P' P^ j leży na płaszczyźnie Ąr₂, rozciągającej się x w drugiej i czwartej części przestrzeni, a wy- ~ \ r^/ znaczonej osią rzutów i punktem P {Pr P").

Części prostych r' i r", leżące nad osią x, są rzutami tej części prostej r, która znajduje Rys 95 a j b się w drugim obszarze przestrzeni na płaszczyźnie 4^2. Części prostych r' i r", leżące pod osią rzutów, są rzutami części prostej r, znajdującej się w czwartym obszarze przestrzeni. Jeżeli na płaszczyźnie 4/2 wyznaczyć mamy punkt, leżący w czwartej części przestrzeni, to najpierw obieramy na płaszczyźnie 4/2 prostą r (r' r"), a na niej dopiero punkt R (R' R"), którego rzuty leżą pod osią .x.

42. Płaszczyzny dwusieczne. Płaszczyzny S/ i 6n przechodzące przez oś rzutów, których punkty są równo oddalone od obu rzutów, nazywamy płaszczyznami dwusiecznemi.

Płaszczyzna d/f przechodząca przez Ią i Ilią część przestrzeni, wyznaczona x jest osią rzutów i punktem, którego „wysokość“ równa jest „głębokości“, a który, jak np. punkt Л (Л' Л") (Rys. 96.), leży w pierwszej, albo jak punkt В (В' В") w trzeciej części przestrzeni. Przez połączenie dowolnego punktu С (С C") osi rzutów z punktem Л (A' A") lub В (В' В"), otrzymamy prostą a (a' a"), leżącą na płaszczyźnie dwusiecznej 6/. Oczywiście, że * a' x=~* a" x, więc: dwie proste,

*B"

7Г

m"/

7Г

'' nr^\P!

r/..

'a"

a’

.A’ .

Rys. 96.

\A’An

i \

\B

Rys. 97.

przecinające się na osi rzutów i zamykające z nią te same kąty, względnie dwie proste równoległe do osi rzutów i równo od niej oddalone, są rzutami prostej leżącej na płaszczyźnie dwu-siecznejó/, rozciągającej się wpierwszym i trzecim obszarze przestrzeni.

rr

Punkt równo oddalony od obu rzutni, znajdujący się w drugiej lub czwartej części przestrzeni i oś rzutów, wyznaczają płaszczyznę 8^ rozciągającą się w drugim i czwartym obszarze przestrzeni. Rzut poziomy Ä' każdego punktu Л (Rys. 97.) płaszczyzny 8n nakrywa się z rzutem pionowym Л tego punktu, gdyż jego „wysokość“ równa jest „głębokości“. Każdy punkt, leżący nad lub pod osią rzutów, uważać można za skupienie rzutu poziomego i pionowego punktu, leżącego na płaszczyźnie 8ц_ Rzuty a' i a" prostej a, leżącej na płaszczyźnie 8IIt zejdą się na jednej prostej. Prosta, przecinająca oś rzutów albo do niej równoległa uważana być może zawsze za skupienie obu rzutów prostej, leżącej na płaszczyźnie dwusiecznej 8ц, rozciągającej się w drugim i czwartym obszarze przestrzeni.

43. Proste i punkty na płaszczyznach, wyznaczonych śladami. Niechaj daną będzie płaszczyzna e, wyznaczona swoimi śladami he i ne, czyli jak piszemy, płaszczyzna e (he Ve) (Rys. 98.). Punkt Hp, przyjęty na śladzie poziomym he, leży

ft?

Vp

Vp

P-

A"

Xe

/л

Hp

A'

Rys. 98.

na płaszczyźnie e, podobnie jak punkt Vp obrany na śladzie pionowym Ue. Prosta p, łącząca punkty Hp i Vp, leży więc na płaszczyźnie e.

Po sprowadzeniu płaszczyzn rzutów do jednej płaszczyzny (Rys. 99), otrzymamy rzuty p' i p" prostej p, leżącej na płasz-

43. PROSTE I PUNKTY NÄ PŁRSZCZYZNRCH, WYZNHCZONYCH ŚLRDHMI

en

U!

czyźnie s {he De), łącząc odpowiednie rzuty punktów Hp i Vp. W szczególności rzut poziomy p' otrzymamy przez połączenie punktów Hp i V'p, zaś rzut pionowy p" przez połączenie punktów H"p i Vp. Punkty Hp i Vp, leżące na rzutniach i równocześnie na prostej p, są śladami tej prostej.

Zatem: gdy prosta leży na płaszczyźnie, to ślady tej prostej leżą na odpowiednich śladach płaszczyzny.

Punkt A (A' Л"), obrany na prostej p (p' p") (Rys. 99.), leży na płaszczyźnie e (he, üb).

Jeśli chodzi o przyjęcie dowolnego punktu na płaszczyźnie, wyznaczonej zapomocą śladów, to obieramy na tej płaszczyźnie prostą, a na niej dopiero punkt.

Proste tworzące. Prosta m {m' m"), leżąca na płaszczyźnie y (hep Vcp) (Rys. 100 a i b), jest równoległą do rzutni poziomej, ślad tedy poziomy Hm tej prostej leży w odległości nieogra-niczenie dalekiej na śladzie poziomym hep płaszczyzny cp, a co zatem idzie, rzut poziomy m' prostej m jest do śladu hep równoległy. Każda prosta, leżąca na płaszczyźnie, a równoległa do rzutni poziomej, jest równoległą do

śladu poziomego danej płaszczyzny i nazywa się prostą poziomą tej płaszczyzny.

Prosta n (n' n"), leżąca na pł. p (hp Dp), jest równoległą do rzutni pionowej (Rys. 101 a i b). Ślad pionowy Vn tej prostej leży w odległości nieogranicze-nie dalekiej na rzutni pionowej i na śladzie pionowym Dp płaszczyzny p, rzut tedy pionowy n" prostej n jest równoległy do śladu pionowego Dp.

ivf> *

n \n"

Hm

<P

h<p

7Ti,

Rys. 100 a.

U" °° Hm

Hm,

hę

Uh

/77'

V<P

Hm i

hę,

Rys. 100 b.

Vn

Ye

ГГ

Ho\Xf

Hn

hę

Rys. 101 a.

Rys. 101 b.

Proste, leżące na płaszczyźnie i równoległe do rzutni pionowej, są równoległe do śladu pionowego danej płaszczyzny i zwą się prostemi czołowemi tej płaszczyzny. Proste poziome i czołowe płaszczyzny określamy także mianem prostych tworzących tej płaszczyzny.

Przez ruch prostej m (Rys. 100 a), stale równoległej do rzutni poziomej i do swego pierwotnego położenia, utworzy się płaszczyzna cp, jeżeli ślad pionowy Vm tej prostej porusza się po śladzie pionowym płaszczyzny cp.

Prosta n, poruszając się równolegle do swego pierwotnego położenia (Rys. 101.), zakreśli płaszczyznę p, jeśli ślad poziomy Hn prostej n przebiega ślad poziomy hp płaszczyzny p.

44. Zadania. 1. Dany jest jeden rzut prostej, leżącej na płaszczyźnie; wyznaczyć rzut drugi.

a) Płaszczyzna wyznaczona jest dwiema prostemi a (a' a") i b (b' b") (Rys. 102.).

Prosta c' przecina proste a' i b' w punktach Æ i B',

b"

■a"

Va

В" С

Va

A"

na

<з"

które są rzutami poziomymi punktów, leżących równocześnie

HZ

prostej c i na pł. (a, b). Wyrzuty

'S

На

ho.

B'

A'

Rys. 103.

Rys. 102.

znaczmy pionowe Л" i В punktów Л i В, to prosta c", łącząca punkty Л" i В ', jest szukanym rzutem pionowym prostej c.

b) Płaszczyzna wyznaczona jest zapomocą śladów (Rys. 103.).

Przy założeniu, że dany rzut poziomy a' jest rzutem prostej a, leżącej na płaszczyźnie a, punkt przecięcia się Ha rzutu a' ze śladem ha jest śladem poziomym prostej а — rzut pionowy H"a tego śladu leży na osi rzutów. Punkt przecięcia się V'a prostej a! z osią rzutów jest rzutem poziomym śladu pionowego tej prostej, który to ślad znajdziemy na śladzie Ua. Przez połączenie punktów H"a i Va otrzymujemy żądany rzut pionowy a" prostej a.

c) Dany rzut prostej jest rzutem pionowym c" i równoległym do osi X.

AZ

B”

ys

Hc° c” \Vc

b”

Ус

x_

Су

C’

Ж /h*

M’

а'

Gdy płaszczyznę wyznaczają dwie proste a (a' a") i b (b'b") (Rys. 104.), xfj to prosta c', łącząca punkty A' i B', jest szukanym rzutem.

Rys. 105.

Rys. 104.

Prosta с (c' c") jest poziomą płaszczyzny (a, b).

Gdy płaszczyzna ô wyznaczona jest zapomocą śladów, to rzut poziomy c' przejdzie przez punkt V'c, równolegle do do śladu poziomego hb (Rys. 105.).

2. Znany jest rzut poziomy P' punktu P, leżącego na danej płaszczyźnie ; wyznaczyć rzut pionowy P".

Przez dany rzut poziomy P' punktu P prowadzimy prostą, którą uważamy za rzut poziomy prostej, leżącej na danej płaszczyźnie; wykreślimy rzut pionowy tej prostej (ust. 41.),

ж ь;

Ve

С" "'•-С

У я/3" Г

a linia odnosząca wyznaczy rzut pionowy P punktu P.

HS-

et”

Và

.3'

3’

кП,

P'

P'

W Rys. 106. płasz-- czyzna wyznaczona jest zapomocą dwóch pro-stych równoległych

cy A’

л\Х‘" a (3' 3") 1 b ib' b"),

Rys. 106.

Rys. 107.

w Rys. 107. zapomocą śladów he i Ve. W tym drugim przypadku użyliśmy do wyznaczenia rzutu pionowego P" punktu P prostej poziomej płaszczyzny e.

3. Wyznaczyć rzuty pięciokąta płaskiego, leżącego dowolnie w przestrzeni.

Z pięciu wierzchołków żądanego wielokąta trzy np. Л (A' A"), В (В В") i С (С С") przyjąć można dowolnie, trzy punkty bowiem wyznaczają płaszczyznę (ust. 22.). Dwa dalsze wierzchołki D i E obrać musimy na płaszczyźnie,

trzema pierwszymi wyznaczonej. W tym celu na jednym boku trójkąta np. В C (Rys. 108.) przyjmiemy dwa punkty 1 (Г 1") i 2 {2! 2") i połączymy je z wierzchołkiem Л. Otrzymane proste 1 Л i 2 Л leżą na płaszczyźnie (Л В C), gdyż mają po dwa punkty z tą płaszczyzną wspólne. Każdy zatem punkt prostych 1 Л i 2 Л, a więc punkty D (.D' D") i E (E' E") leżą na płaszczyźnie (ЛВС) i mogą być uważane za dalsze wierzchołki wielokąta.

B"

i"

D"

A"*

2"

СГ

E"

Jeżeli dane są ślady hcp i Dcp płaszczyzny wielokąta, to rzuty jego wyznaczymy, kreśląc rzuty punktów leżących na rzutach prostych, przyjętych na tej płaszczyźnie.

D'

A'<

₂i\

Rys. 108.

W Rys. 109. przyjęliśmy na płaszczyźnie cp (hep Vep) dwie proste poziome a (a' a") i b (b' b") i jedną czołową c (c' c"), za pośrednictwem których wyznaczyliśmy rzuty wierzchołków pięciokąta.

45. Ćwiczenia.

1.    Dana jest dowolna płaszczyzna a (ha va) i rzut pionowy Л" B" C"D" czworokąta; wykreślić rzut poziomy Л' В' C' Dr tak, aby czworokąt Л B C D leżał na płaszczyźnie a.

2.    Rozwiązać zadanie powyższe dla położeń płaszczyzn i rzutów czworokątów, określonych Rysunkami 110 a—1.

3.    Dane są rzuty dwóch prostych / i m, przecinających się w punkcie Л.

Na płaszczyźnie a = (1, m) leży pięciokąt M N R S T; wykreślić rzut pionowy tego pięciokąta, jeżeli rzut poziomy M' N' R' S' T jest dany.

Vb/&

3-

ka

X //d

Vtp

Hc

\\/c"

TT

2" a"

'HZ /6

,5’

4. Rozwiązać zadanie poprzednie,

jeżeli proste l i m mają położenie następujące:

hep

a¹

Rys. 109.

aj ///?ri, m dowolne;

b)    l II ni, m /l яа;

c)    l i) ni, тЦх;

d)    ///я2, m dowolne; ej I//я i, т±.я 2.

5. Dane są rzuty prostych równoległych / i m, które wyznaczają

płaszczyznę a i rzut pionowy А" В" C" trójkąta ABC, leżącego na tej płaszczyźnie ; wyznaczyć rzut poziomy А' В’ C tego trójkąta.

a.)

C.)

d.)

Va

В"

ß"

e.)

'Va

Va,

Va

/B"

D"

fi"

Ak

C"

D"

fi"

fi"

fia

ha

D"

hfi

la Vq"

'ha

C"

f.)

A"

g>

B"

ß” Va

h.) g»

/_    . fia

K.)

Va

l.)

Va

A"*

B"_ha

fi"

A"

-t-j

C"

fi"

B",

fi"

D"

D"

[C"

ha

fi"

ha

Va

D"

A"

B"

A"

ha=Va

Rys. 110 a—1.

6. Rozwiązać zadanie powyższe, jeżeli położenie danych elementów określone jest Rysunkami 111 a—e.

a.)

а* l7 вп

d.)

w"

ln

e.)

A"

/77"

/77"

’С"

Do

=j

B"

B" ■

B"

nr

C”

)Z

C"

I’

nr

'ГП'

nr

cn

C"

Rys. 111 a—e.

7.    Na płaszczyźnie a = (l, A), wyznaczonet prostą l (I Г) i punktem A (A'A"), leży czworokąt P Q R S. Wykreślić rzut pionowy tego czworokąta, skoro jego rzut poziomy P' Q' R' S' jest dany.

8.    Rozwiązać zadanie poprzednie, jeżeli prosta / zajmuje położenia:

a)    III яг;

b)    III Я 2/    .    .

's

c)    l II x;

d)    l leży na pł. dwusiecznej 8/, względnłe 5//, a dla każdego z tych położeń punkt A znajduje się w I., II., III. i IV. części przestrzeni.

9.    Płaszczyzna a wyznaczona jest dwiema prostemi przecinającemi się i m, których położenie określają Rysunki 112 a—e:

Wyznaczyć rzut pionowy trójkąta leżącego na płaszczyźnie a, gdy jego rzut poziomy jest dany.

10.    Na płaszczyźnie dwusiecznej 8/ leży trójkąt, którego rzut poziomy A'B' C jest dany; wykreślić rzut pionowy tego trójkąta.

a.)

b.)

d.)

e.)

Г/

777"

Г//гг,i"

777"

Г/

l/m"

X_

/77'

V\rfp

m>

777'

/77'

Rys. 112 a—e.

46. O płaszczyznach przechodzących przez proste

i punkty.

a) Płaszczyzny przechodzące przez jedną prostą. Wiadomo (ust. 7.), że przez jedną prostą poprowadzić można dowolną, nieograniczoną ilość płaszczyzn, stanowiących t. zw. pęk płaszczyzn, dla którego owa prosta jest osią.

Jeżeli oś pęku płaszczyzn jest dana, to poszczególne elementy tego pęku wyznaczyć możemy w sposób następujący: na osi p przyjmiemy punkt Д przez który poprowadzimy proste a, b, c,... ; proste (p, a), (p, b), (p, c)... wyznaczają płaszczyzny, będące elementami pęku o osi p.

W odniesieniu do dwóch płaszczyzn rzutów, wyznaczamy najczęściej elementy pęku płaszczyzn o osi p zapomocą śladów tych płaszczyzn. W tym celu łączymy dowolny punkt Ха osi rzutów (Rys. 113 a) ze śladami Hp i Vp prostej p (p' p")

P'7

Ур

Уа

№ JVa

i6“

Va

//â*°

Уг/ /a' toy

V.t

P”

Хр У У /Ху /На Ш

У JHp \Ур \/л

/р'

la

.Да' ht

а■_VT

.С

lâ

На

Rys. 113 а—d.

i otrzymujemy ślady ha i Ua płaszczyzny a. Proste bowiem ha i u a, jako dwie proste przecinające się w punkcie Xa, wy-

znaczają płaszczyznę a; prosta p leży na tej płaszczyźnie, ma bowiem z nią dwa punkty wspólne, a mianowicie punkt Hp(HpH"p) i Vp(Vp V'p).

Zatem: ślady płaszczyzny przechodzącej przez prostą, przechodzą przez ślady tej prostej.

Jeżeli prosta a (a' a") (Rys. 113 b) jest równoległą do rzutni poziomej, więc jej ślad poziomy Ha znajduje się w odległości nieograniczenie dalekiej, to ślady poziome ha, /iß... płaszczyzn, przechodzących przez prostą a, są równoległe do rzutu poziomego a' tej prostej. Siady pionowe Va, tfß.... przejdą przez punkt Va jako ślad pionowy prostej a.

Siady pionowe üy, Vb... płaszczyzn y, ô ... przesuniętych przez prostą a (a' a"), równoległą do rzutni pionowej (Rys. 113 c), są równoległe do rzutu pionowego a" tej prostej.

Z pomiędzy płaszczyzn, przechodzących przez prostą c, wyróżnić należy płaszczyzny rzucające tę prostą (ust. 36.): płaszczyznę poziomo rzucającą e (he Ve) i pionowo rzucającą cp (Лер ücp) (Rys. 113 d).

b) Wykreślenie śladów płaszczyzny wyznaczonej zapo~ mocą dwóch prostych lub trzech punktów. W ustępie 38. zauważyliśmy, że położenie płaszczyzny w przestrzeni chętniej wyznaczamy zapomocą jej śladów, aniżeli prostych dowolnych. Bardzo też często zachodzi potrzeba wykreślenia śladów płaszczyzny, wyznaczonej przez dwie proste przecinające się, równoległe, przez prostą i punkt lub przez trzy punkty.

чЛ'

ГНШ    X

M’

Ь'

ha

Rys. 114.

Konstrukcya śladów płaszczyzny a, poprowadzonej przez dwie proste a (a' a") i b (b' b") (Rys. 114.), opiera się na twierdzeniu, że ślady płaszczyzny przechodzącej przez prostą, przechodzą przez ślady tej prostej (ust. 46 a.). Prosta więc ha, łącząca ślady poziome Ha i Hb prostych a i b, jest śladem poziomym, prosta Uar łącząca ślady pionowe Va i Vb danych prostych, jest śladem pionowym płaszczyzny a. Ślady ha i Va przetną się w punkcie Xa na osi rzutów. Gdy punkt Xa leży w obrębie płaszczyzny rysunkowej, to nie zachodzi potrzeba wyznaczenia wszystkich czterech śladów prostych — trzy ślady wystarczą, czwarty zastąpiony będzie punktem X«.

er-

CM

§ 3. WZAJEMNE POŁOŻENIA. PUNKTÓW, PROSTYCH I PŁASZCZYZN

W Rys. 115. wyznaczyliśmy ślady płaszczyzny a, przechodzącej przez dwie proste równoległe с (c' c") i d (d' d").

Ślad poziomy Hd połączyliśmy ze śladem Hc, leżącym w drugiej części przestrzeni, prostą ha, będącą śladem poziomym płaszczyzny cc. Otrzymany punkt Xa i ślad Vc X wyznaczają jej ślad pionowy Va.

Jeżeli chodzi o wykreślenie śladów płaszczyzny, wyznaczonej zapomocą trzech punktów np. Л, В, C, to łączymy punkty Л z В i np. Л z C, otrzymując tym sposobem dwie proste przecinające się, których ślady wyznaczają ślady płaszczyzny. Połączywszy punkt Л z B, możemy przez punkt C poprowadzić prostą równoległą do poprzedniej i wykreślić ślady płaszczyzny, wyznaczonej przez dwie proste równoległe.

47. Zadania.

%Hc yc

Va

Cf

d’

Rys. 115.

1. Wykreślić ślady płaszczyzny wyznaczonej przez dwie proste przecinające się: poziomą a (a' a") i czołową b (b' b") (Rys. 116.).

Ślad poziomy ha płaszczyzny a jest równoległy do rzutu poziomego a' i przechodzi przez ślad Hb‘, ślad pionowy Va jest równoległy do rzutu pionowego b" prostej b i przechodzi przez ślad Va.

2. Wykreślić ślady płaszczyzny wyznaczonej przez dwie proste, których ślady nie leżą w obrębie płaszczyzny rysunkowej.

Na płaszczyźnie a, wyznaczonej prostemi a (a' a") i b (b' b obieramy dwie proste p (p' p") i q (q' q") (Rys. 117.), których ślady leżą w obrębie rysunku. Ślady poziome Hp i Hq tych prostych wyznaczają ślad poziomy ha, zaś ślady pionowe Vp i Vq określają poło-

bjjl

P"/\

X Hp

a'

— /2'

b' ' ,

!P

'Hp

M" \£L

\ ii

M'

ha

Ja

Va

Ч*\Нд X

Л|3’

Я'\

Hq

Rys. 117.

zenie śladu pionowego u a płaszczyzny a.

Va.

M"

HbjM D

N'\Àx\3 ч

Rys. 116.

48. Ćwiczenie.

Wykreślić ślady płaszczyzny, wyznaczonej dwiema prostemi l, m, prostą / i punktem A, względnie trzema punktami А, В, C w przypadkach podanych na Rysunkach 118 a—s.

a.)

b.)

c.) .

d.)

i"

'ГГ)"

Г/

e.) in f.) A"/¹

9■>

h),

'ГГ)"

тп

"с**

V:

°:ь

.5

'ь,.....⁰ ^    ■

to

СП

’О

À'

В'

A'Al’

'V

° A"

C'

B"

°C

Rys. 118 a—s.

49. O płaszczyznach przecinających się i równoległych. a) Dwie płaszczyzny przecinające się. Wiadomo, że gdy dwie płaszczyzny posiadają dwa punkty wspólne, to posiadają całą prostą wspólną, a mianowicie prostą, łączącą owe dwa punkty. Tę prostą wspólną obu płaszczyzn nazwaliśmy w ust. 27. ich krawędzią. Weźmy pod uwagę płaszczyzny « i ß nachylone do obu rzutni (Rys. 119 a), to prosta k, łącząca punkt przecięcia się Hk śladów poziomych ha i /iß obu pł. z punktem Vk, który powstał jako przecięcie się śladów pionowych Va i

Яг

7Г

Га

Va

üß płaszczyzn / a i ß, jest krawę-dzią tych płasz-Ponie-

к//к у

HL

hß Tik

A cc /

M / я,

,Vß

hß

Ha

ha.

czyzn.

waż punkt Hk jest śladem poziomym, a punkt Vk śladem pionowym prostej k, więc wykreślenie rzutów krawędzi dwóch płaszczyzn sprowadza się do wyznaczenia rzutów prostej, której ślady są dane. Rzut-pionowy H"k śladu poziomego (Rys. 119 b) łączymy ze śladem

Rys. 119 a.

Rys. 119 b.

pionowym Vk, otrzymując rzut pionowy k" krawędzi k; prosta k', łącząca ślad poziomy Hk z rzutem poziomym V'k śladu pionowego, jest rzutem poziomym krawędzi płaszczyzn a (ha Uß) i ß (/iß Uß).

b) Trzy płaszczyzny przecinają się w punkcie. Wyznaczywszy prostą ki (kT ki") jako krawędź płaszczyzn

А'Ц

ha

/Нг

a i ß (Rys. 120.), a następnie prostą ki (ki' ki"), w której płaszczyzna a przecina płaszczyznę y, otrzymamy punkt przecięcia się Л (/Г Л") prostych ki i k2, przez który przecho-X dzi także krawędź ks płaszczyzn ß i y. Punkt Л jest punktem leżącym równocześnie na płaszczyznach a, ß i y.

'к

Rys. 120.

Va

Va/ Vp/ Vy

VP

fia

fr-

hß

Rys. 121.

Rys. 122.

c) Płaszczyzny równoległe. Dwie płaszczyzny, nie mające żadnego wspólnego punktu właściwego, określamy mianem płaszczyzn równoległych. Wiadomo, że dwie płaszczyzny równoległe przecięte trzecią, tworzą z nią krawędzie równoległe. Ponieważ ślady poziome ha, hß, hy (Rys. 121.) płaszczyzn cx//ß//y są prostemi przecięcia się tych płaszczyzn z rzutnią poziomą, ślady zaś pionowe Ua, Uß, Vy... są prostemi, w których rzutnia pionowa płaszczyzny te przecina, więc: ślady poziome jak też i ślady pionowe płaszczyzn równoległych, są równoległe (Rys. 121.). I nawzajem, jeśli ślady poziome i ślady pionowe płaszczyzn są równoległe, to płaszczyzny śladami tymi wyznaczone są równoległe. Wyjątek od tej reguły stanowią płaszczyzny równoległe do osi rzutów X (Rys. 122.), których ślady są zawsze równoległe, ale płaszczyzny przenikają się w ogólności podług prostej właściwej.

d) Przykłady wyznaczania krawędzi dwóch płaszczyzn.

1. Płaszczyzna a (ha Da) jest nachylona do obu rzutni, płaszczyzna ß jest równoległą do

rzutni poziomej (Rys. 123.). Ślad poziomy płaszczyzny ß jest prostą niewłaściwą na rzutni poziomej, ślad poziomy Hk szukanej krawędzi jest więc punktem niewłaściwym, leżącym na śladzie ha płaszczyzny a.

Szukana kra-

Vp    Vh;

Va

Vcc

Vfl

wędź jest zatem równoległa do rzutni poziomej, gdyż posiada na tej rzutni jeden punkt niewłaściwy.

K" Hi-

Vk//

'/Ж k" Hir

Vk

x_

Vk

hß

Л\к'

Hk

H}

Rys. 123.

Rys. 124.

2.    Dwa równoimienne ślady płaszczyzn są równoległe (Rys. 124.). I w tym przypadku ślad poziomy krawędzi jest jej punktem niewłaściwym, leżącym na rzutni poziomej, krawędź więc obu płaszczyzn jest równoległą do tej rzutni.

3.    Położenie płaszczyn cc i ß określone jest Rys. 125. Siad poziomy Hk krawędzi k (k' k") leży w tym

I*

><1

i*

Rys. 125.

Rys. 126.

Rys. 127.

wypadku w obszarze przestrzeni, rozciągającym się poza rzutnią pionową.

4. Ślady płaszczyzn nie przecinają się w pierwszej części przestrzeni (Rys. 126.). Siady poziome ha i Лр płaszczyzn a i ß, przecinają się na rzutni poziomej, leżącej poza rzutnią pionową. Ślady pionowe Va i up danych płaszczyzn przecinają się w punkcie Vk, który jest śladem pionowym szukanej krawędzi, a który leży pod płaszczyzną poziomą. Krawędź k (kr k") leży poza obszarem pierwszej części przestrzeni, jest więc niewidoczną, czemu daliśmy

wyraz kreśląc rzuty tej krawędzi liniami złożonemi z punktów i kresek.

5.    Dwie płaszczyzny poziomo rzucające. W przypadku podanym na Rys. 127. krawędź, będąca prostą pionową, leży w obszarze przestrzeni rozciągającym się za rzutnią pionową.

6.    Ślady pionowe płaszczyzn nie przecinają się w granicach płaszczyzny rysunkowej.

Roż wiązanie pierwsze. Jeden punkt szukanej krawędzi, a mianowicie ślad poziomy Hk, jest znany (Rys. 128.).

Drugi punkt krawędzi otrzymamy przy pomocy trzeciej płaszczyzny y, tnącej * dwie dane wzdłuż prostych a (a'a") i b(b'b"). Punkt przecięcia się Л prostych a i b leży na szukanej krawędzi. Płasz-

yr_VaJ__Jü"_

a" b"

к"

Va j Hk\

yp

Уь_.

Vb

\ \Ч¹У

ho\ \ î a’ /h?

by

a’

Rys. 128.

Vа.

Vß

Va

h:

ho'

he,

'к"

/a".

■'HZ \Vi

У

'! \

! \

la’    h}

Rys. 129.

czyzna pomocnicza y może być oczywiście dowolną, wzgląd na uproszczenie konstrukcyi podyktował nam płaszczyznę y równoległą do rzutni poziomej.

Rozwiązanie drugie. Do jednej z danych płaszczyzn, np. a, prowadzimy płaszczyznę równoległą y (ftY Vy) (Rys. 129.), wyznaczymy krawędź a (a' a”) tej płaszczyzny z drugą daną płaszczyzną, otrzymując tym sposobem kierunek szukanej krawędzi.

7. Zarówno ślady poziome jak i pionowe nie przecinają się w granicach rysunku.

Zadanie rozwiązać możemy w dwojaki sposób:

1°. Dwie dane płaszczyzny a i ß przecinamy dwiema płaszczyznami pomocniczemi y i Ô. Płaszczyzny a, ß i y, przecinają się w punkcie Л, płaszczyzny a, ß i ô w punkcie B. Prosta k, łącząca punkty Л i B, jest krawędzią płaszczyzn a i ß.

2°. Dane płaszczyzny a i ß przecinamy płaszczyzną pomocniczą y (Rys. 130.) i wyznaczamy punkt przecięcia się

Л (Л' Л") tych trzech płaszczyzn. W miejsce drugiego punktu krawędzi płaszczyzn cc i /?, znajdziemy kierunek tej krawędzi. W tym celu przeprowadzimy płaszczyznę ô (hb ds), równoległą do jednej z danych płaszczyzn, np. do a, wyznaczymy

Va,

v>

m,

Vy\

Wa

Va

i Ч /г" b"

,с"

ч^

4i

Ml

ча"

V//a' X

л*

•• \Mc'Z : ■ с'\ /

yd

\| /Л

\\Ь<!

от

1п

к'

'hß

ha

Л'

S³'

Ч ://а

X*-

/?>ч

Rys. 130.

Rys. 131.

krawędź с (с' с") płaszczyzny ô z drugą daną płaszczyzną, a więc z ß, a prosta k (k' k"), przechodząca przez punkt Л (Л' Л") równolegle do prostej c (e' e"), jest krawędzią płaszczyzn a i ß.

8. jedna płaszczyzna jest równoległa do osi rzutów, druga do rzutni poziomej.

W tym wypadku chodzi o wyznaczenie jednego punktu krawędzi, której kierunek, równoległy do osi rzutów, jest znany.

Prowadzimy płaszczyznę pomocniczą y, w naszym wypadku (Rys. 131.) poziomo rzucającą, która przecina płaszczyznę a {ha Va) w prostej а (а' a"), zaś płaszczyznę ß wzdłuż prostej b (b' b"). Punkt Л (Л' Л") przecięcia się tych prostych leży także na krawędzi płaszczyzn a i ß. Rzuty k' i k" krawędzi k, przejdą przez rzuty Л' i A" punktu Л, równolegle do osi rzutów, przyczem rzut pionowy k" schodzi się ze śladem pionowym Uß płaszczyzny ß.

9. Obie płaszczyzny są równoległe do osi

rzutów.

Krawędź będzie w tym wypadku także równoległą do osi rzutów — potrzebny do wyznaczenia krawędzi jeden punkt, znajdziemy, przecinając dane płaszczyzny trzecią płaszczyzną dowolną. Przykład, gdzie krawędź płaszczyzn a i ß znajduje się

w pierwszym obszarze, podaje Rys. 132. Położenie rzutów k' i k'r

krawędzi płasz-czyznaißwRys. 133. dowodzi, że v n N    krawędź ta leży

w drugim obsza-- tyHa x rze. W obu przykładach użyliśmy płaszczyzny Ha poziomo rzuca-jącej у, jako pomocniczej.

l'a!¹"⁷

Кь!\

к"

ha На V

hß

A"

к'

-ß'

VÄ'

'''-h?

Rys. 132.

Vcc

Va

Vß_

vr

x ' ^VèWb^Hb '

hß

ha

Нь\я.

\Ь’

hy

Rys. 133.

Vß

10. Wszystkie ślady przecinają się w jednym punkcie na osi rzutów (Rys. 134.). Punkt Xa jest jednym punktem szukanej krawędzi.

Drugi punkt, a mianowicie punkt A (Æ A"), znaleźliśmy jako przecięcie się danych płaszczyzn, z płaszczyzną pomocniczą y (hy üy).

50. Wyznaczenie punktu przebicia się prostej z płaszczyzną. a) Prosta p (Rys. 135 a.), nachylona do płaszczyzny a, przebija ją w punkcie A, który znajdziemy w ten sposób, że przez prostą p poprowadzimy dowolną płaszczyznę 8 i wyznaczymy jej krawędź k z płaszczyzną a. Punkt przecięcia się

X    A prostych

Vfy'’    pik jest żą

danym punktem. Zazwy-* czaj przyjmujemy płaszczyznę 8 jako poziomo lub pionowo rzucającą, u-zyskując za

Ха.

a.)

b.)

P"

Д”

et

к",

п/

7)

ty

ot

"А’

Rys. 135 a.

Hk.

Va.

b'X vß-

к"

Hb/jHaVśhVb

:<h₇

Ve

p'/he \Л«

Rys. 135 b.

Нь

A'

Ha

к'

hß

hcc

Rys. 134.

ich pośrednictwem najprostszą konstrukcyę. Rozwiązanie zadania w rzutach prostokątnych podaje Rys. 135 b. Przez prostą p (p' p") poprowadziliśmy płaszczyznę poziomo rzucającą e(fteUe), która przecięła daną płaszczyznę a(haVa) w prostej k (k' k"). Prosta k" przecięła p" w punkcie A", który jest rzutem pionowym szukanego punktu przebicia się prostej p z płaszczyzną a. Rzut poziomy A' otrzymamy na p'.

b) Przykłady.

a"

1. Punkty przebicia się prostej a (a' a") z płaszczyznami dwusiecznemi ô/iô// (Rys. 136.). Punkt A' = A", w którym przecinają się rzuty prostej a, Jeżyna płaszczyźnie dwusiecznej ó/j (ust. 42.) i jest jednym z szukanych punktów.

Ha

jUl

/Ha

a/p’

B’

Rys. 136.

Rzuty punktów przebicia się pro-steja z płaszczyzną dwusieczną S/ znajdziemy w sposób następujący: Spo-łówny odcinek P' P" (Rys. 136.) dowolnej prostej odnoszącej i jej środek S połączmy z A' = A". Przez punkt T, w którym prosta S' A' przecina oś rzutów, poprowadzona prostopadła do osi X wyznacza na a' i a" punkty B' i B", które są rzutami punktu przebicia się В prostej a z płaszczyzną S/. Gdyby

Kc VkW

-M-

Vcc

/Ti

p"

/r;

x_

k\

punkt T wypadł po vr\ prawej stronie punktu A' = Л", to punkt В {В' В") leżałby J x na płaszczyźnie dwusiecznej 6/ w trzeciej części przestrzeni.

hu

Hk

hu

Ъу

Rys. 137.

Rys. 138.

2. Jeżeli płaszczyzna a (ha üa) jest równoległą do osi rzutów, a prosta p (p' p") ma położenie jak na Rys. 137., to punkt przebicia A (A' A") leży w drugiej części przestrzeni.

3. Punkt przebicia się A (A' A") prostej p (p' p") z płaszczyzną poziomo-rzucającą a (haVa) wyobraża Rys. 138.

4. Przebicie się prostej p (p' = p"), leżącej na płaszczyźnie dwusiecznej 8ц, z płaszczyzną nachyloną do obu rzutni podaje Rys. 139. Punkt A (A' = A") leży w czwartym obszarze przestrzeni.

yk

•X \Vk

5. Rys. 140. przedstawia konstruk-cyę rzutów punktu przebicia się prostej X poziomej p (p' p") z płaszczyznami dwu-siecznemi. Punkt przecięcia się R{R'=R") \    „ obu rzutów prostej jest punktem przebicia

hec

Rys. 139.

się prostej p z płaszczyzną dwusieczną 8IL Punkty B' i B", tak j^brane na prostych p' i p", że В' Bx = B" Bx — a, są rzutami punktu przebicia sięR prostej p z płaszczyzną dwusieczną ó/f przechodzącą przez pierwszą i trzecią część przestrzeni.

6. Rzuty punktów przebicia się prostej p {p' p") prostopadłej do rzutni pionowej z płaszczyznami dwusiecznemi

Й”Д'

p Тв”

Жч

p"

Bx

Y/p Bx

a

B’ Il

в\

P"

Rys. 141.

Rys. 140.

wyznaczyliśmy na Rys. 141. W punkcie p" schodzą się oba rzuty R' i A ■ punktu przebicia się prostej p z płaszczyzną ó// i rzut pionowy B" punktu B, w którym prosta p przebija płaszczyznę óL Odmierzywszy B' Bx B" Bx, otrzymamy rzut poziomy Br punktu B.

51. Dalsze przykłady wyznaczania krawędzi dwóch płaszczyzn.

1. Płaszczyzna a wyznaczona jest śladami, płaszczyzna ß dwiema prostemi równoległemi a (a' a") i b (b' b") (Rys. 142.). Ponieważ krawędź dwóch płaszczyzn określić można jako miejsce geometryczne punktów przebicia się prostych jednej płaszczyzny z płaszczyzną drugą, więc prosta k (k' k"), łącząca punkty przebicia się R (Л' A") i В (В' В") prostych a i b z płaszczyzną a, jest szukaną krawędzią. Kontrolą dokładności

rysunku jest to, że ślady Hk i Vk leżą na śladach ha i üa płaszczyzny a.

2. Płaszczyzna a (ha u a) ma położenie dowolne, płaszczyzna ß przechodzi przez oś rzutów i przez punkt P (P' P") (Rys. 143.). Szukana krawędź przejdzie przez punkt Ха, a zadanie nasze ogranicza się do wyznaczenia jeszcze jednego jej

a"

b"

Va.

/К/³'

'Va

^Л⁷/л XV, : Vfe

Kc

ßl

7r"

a"

X /të nK'//,"

‘ ^nrr⁻

“SC

£L/r

Hk X

X Ль

л«

\ лгч

\нТ

4-

C"

//с X

V4

hó

/Л1

viSL

ß'\

Лг

г'

C’ i

У",

hy n^Av\ąN^

/rct\A*

Rys. 142.

Rys. 143.

punktu. W tym celu połączmy dowolny punkt Л osi x z punktem P, to prosta a (a' a") leży na płaszczyźnie ß. Punkt przebicia się В (В' В") prostej a z płaszczyzną cc, jest szukanym punktem krawędzi k (k' k").

5. Wyznaczyć rzuty krawędzi płaszczyzny dowolnej' a (ha üa) z płaszczyznami dwusiecznemi ô/ i 8JL

Pierwszy sposób: Na płaszczyźnie dwusiecznej 6/ przyjmujemy prostą a (a' a") (Rys. 144.), a punkt przebicia

\

CC

Va

ki

kl\

k”

\CC

Va

kl

X Xa\

>У1Нк X

•Утx Jßx Hm X

! k₇

\k’

a' \kś

\kś

HH\ha

Rys. 144.

Rys. 145.

się tej prostej z płaszczyzną a (ha va) łączymy z punktem Xa, otrzymując jedną z szukanych krawędzi, a mianowicie ki (ki' ki").

Uważajmy następnie prostą a" za złączenie rzutów b' i b" prostej b, przyjętej na płaszczyźnie dwusiecznej 8n_ Punkt C") jest skupieniem dwóch rzutów punktu przebicia się prostej b z płaszczyzną ó//. Prosta (C' = C", Xa) wyraża rzuty drugiej szukanej krawędzi kz (k.2' I12").

(C

Drugi sposób: Na płaszczyźnie cc przyjmujemy prostą dowolną m (m' m") i szukamy punktów przebicia się jej z płaszczyznami dwusiecznemi (patrz ust. 50 b.).

Konstrukcyjne rozwiązanie zadania podaje Rys. 145., który czytelnik z łatwością odczyta.

4. Ślad poziomy ha płaszczyzny a schodzi się ze śladem pionowym Vß płaszczyzny ß, zaś ślad pionowy u a nakrywa ślad poziomy hß.

Pierwszy sposób: Punkt Ха (Rys. 146.) jest jednym punktem szukanej krawędzi k, której kierunek znajdziemy przy pomocy płaszczyzny у (hy Vy), poprowadzonej równolegle do płaszczyzny ß (hß Uß). Płaszczyzny a i у przecinają się w prostej a (a' a"), równoległej do krawędzi k. Ponieważ punkty Ха, Va, Ху i Ha tworzą równoległobok, więc proste a' i a" są równoległe, a w następstwie tego rzuty k' i k" krawędzi k zejdą się na jednej prostej. Płaszczyzny a i ß przenikają się wobec tego w prostej, leżącej na płaszczyźnie dwusiecznej ô

sŁ

-to

Rys. 147.

Rys. 146.

Drugi sposób: Obierzmy na płaszczyźnie a (ha Va) prostą p (p' p") (Rys. 147). Rzut poziomy p' oznaczony literą r" i rzut pionowy p" oznaczony literą r', wyznaczają prostą r, • leżącą na płaszczyźnie ß, ślady bowiem prostej r leżą nä odpowiednich śladach płaszczyzny ß. Proste p i r przecinają się

A"), który leżąc równocześnie na obu

w punkcie A (A' prostych jest punktem szukanej krawędzi k.

52. Zadania.

1. Znaleźć rzuty punktu przebicia się prostej p (p' p") z płaszczyzną cc, wyznaczoną dwiema prostemi przecinają-cemi się a (a' a") i b (b' b') (Rys. 148.). Przez prostą p prowadzimy płaszczyznę s, jak wr naszym przykładzie, poziomo rzucającą. Szukamy krawędzi k (k' k") płaszczyzny a = {a, b) z płaszczyzną s, a punkt przecięcia się P (P' P") prostych k i p rozwiązuje zadanie.

-----В”

а>\му^" /

i/r

/à

2"

к*~

В"

X.

Х_

Р"

___: \

С’

х_

К-'-

he

А'

~р"В'

°у4.

а’

М'

Л’

.2’

he

Rys. 148.

Rys. 149.

2. Znaleźć rzuty punktu przebicia się prostej p (p' p") z płaszczyzną trójkąta A (А! А"), В (В' В"), С (С С") (Rys. 149.). Szukamy punktu przebicia się P (P' P") prostej p z płaszczyzna wyznaczoną dwiema prostemi A B i В C, które przecinają się punkcie В (В' В").

53. O punktach „widocznych“ i „niewidocznych“. Kierunek rzutów jest równocześnie kierunkiem, w którym patrzymy na odnośną rzutnię, z odległości nieograniczenie dalekiej. Na rzutnię pionową patrzymy więc z przodu, w kierunku strzałki S2 (Rys. 150 a.), na rzutnię poziomą z g ó-ry, w kierunku strzałki si (Rys. 150c.). Przyjmijmy dwa punkty A i В (Rys. 150a i b.)

a.)

Яг

ВГ

А В s?

b.) агчВГ

А’ в;

Rys. 150 a.

Ss

Sz\

QQ

Rys. 150 b.

tak położone, aby ich rzuty pionowe Л" i B" padły na siebie, to punkt В, którego głębokość jest większa od głębokości punktu Л, uważać będziemy za widoczny, gdy patrzymy w kierunku rzutu pionowego. Rzut pionowy B" punktu В nakrywa rzut A" punktu Л. Analogicznie: z dwóch punktów

np. C i D (Rys. 150 c id.), których rzuty poziome nakrywają się, ten uważać będziemy, w odniesieniu * do rzutu poziomego za widoczny, którego wysokość jest większa. Rzut poziomy D' punktu D będzie więc niewidoczny, zakryty punktem C'.

Pojmowanie rzutów jako „widoków“ z przodu względnie z góry, przy równoczesnem uwzględnieniu punktów „widocznych“ i „niewidocznych“, przyczynia się do podniesienia przejrzystości i plastyki rysunku.

c.)

[S,

ć>°

П2 \ Q"

c;aD’

Rys. 150 c.

d.)

°C"

w-

C’°D’

Rys. 150 d.

Zastosujmy uwagi powyższe do rozpatrywanego zadania (Rys. 151.).

Przyjmijmy, że trójkąt ЛВС wykonany jest z materyału nieprzeźro-cл czystego, to w następstwie tego założenia, rzuty tego trójkąta nakryją częściowo rzuty prostej p. W celu wyzna-c czenia rzutów niewidocznej, płaszczyzną trójkąta zakrytej części prostej p, weźmy pod uwagę dwie proste skośne p i Л C. Punkt przecięcia się rzutów pionowych tych prostych jest skupieniem rzutów pionowych dwóch punktów: punktu 1 (Г l") leżącego na prostej Л C i punktu 2 {2' 2") prostej p (p' p"). Głębokość punktu 2 jest większa aniżeli punktu 1, zatem punkt 1 obserwowany z przodu, przysłonięty jest punktem 2, a więc niewidoczny. Skoro rzut pionowy 2" jest widoczny, więc widoczną jest także prosta p" aż do punktu P', leżąca przed płaszczyzną trójkąta.

W podobny sposób zbadamy, która część rzutu poziomego p' jest widoczna. Punkt przecięcia się prostych p' i C'B'

' r\

vr

B"

p"

vr

B’a

■P’

w.

Rys. 151. .

jest złączeniem rzutów poziomych 1Г i ПГ dwóch punktów: punktu II leżącego na boku С В i punktu III przynależnego do prostej p. Ponieważ wysokość punktu III jest większa aniżeli punktu II, więc w widoku z góry punkt III jest widoczny, a zatem i prosta p, na której punkt III leży, jest w rzucie poziomym widoczna. W widoku z góry .część prostej od punktu III do P leży nad trójkątem, więc odcinek III P' jest widoczny.

54. Zadania.

1.    Wykreślić rzuty linii przenikania się płaszczyzny trójkąta Л (А' Л"), В (В' В") i С (С С") z płaszczyzną czworokąta I U III IV (Rys. 152.). Znajdziemy punkt przebicia się Pi {PV Pi") boku III czworokąta z płaszczyzną trójkąta 'i punkt przebicia się P2 [PV P2") boku В C trójkąta z płaszczyzną czworoboku, a odcinek Pi P> rozwiąże zadanie. Części niewidoczne wyznaczymy sposobem podanym w ustępie poprzed- — nim, co czytelnik niechaj przeprowadzi na Rys. 152.

2.    Wykreślić rzuty . krawędzi dwóch płaszczyzn, z których jedną wyznaczają dwie proste równoległe, a drugą dwie proste przecinające się.

Prosta, łącząca punkty przebicia się jednej pary prostych z płaszczyzną wyznaczoną przez drugą parę, rozwiązuje zadanie.

J. Wyznaczyć rzuty prostej przechodzącej przez dany punkt P (Pf P"), a przecinającej dwie proste skośne a (a' a") i b (b' b").

A’

5";

07

ir

ir

ni

-à

6' 2'

8'

3”

Rys. 152.

17"

'W

4'

Pierwszy sposób: Bierzemy pod uwagę płaszczyznę wyznaczoną przez dany punkt i jedną z prostych, szukamy punktu przebicia się M drugiej prostej z tą płaszczyzną i łączymy go z danym punktem P. Prosta M P rozwiązuje zadanie.

Drugi sposób: Szukamy krawędzi płaszczyzn, wyznaczonych przez dany punkt i każdą z danych prostych.

4.    Wyznaczyć prostą przecinającą trzy proste skośne.

Pierwszy sposób: Na jednej z prostych obierzemy

dowolny punkt i wyznaczymy prostą przechodzącą przezeń, a przecinającą pozostałe dwie proste (patrz zadanie poprzednie). Ponieważ przez każdy punkt, przyjęty na pierwszej prostej, przechodzi prosta przecinająca dwie pozostałe, więc istnieje tyle prostych przecinających trzy skośne, ile punktów posiada prosta, więc nieograniczenie wiele.

Drugi sposób: Przez jedną z prostych poprowadzimy płaszczyznę i znajdziemy punkty przebicia się pozostałych prostych z tą płaszczyzną. Prosta, wyznaczona owymi punktami przebicia, rozwiązuje zadanie, leżąc bowiem na płaszczyźnie, która przechodzi przez pierwszą prostą, prostą tę także przecina. Na każdej płaszczyźnie, przechodzącej przez pierwszą prostą, leży jedna prosta przecinająca trzy dane skośne, których zatem ilość równa jest ilości płaszczyzn przechodzących przez prostą, a więc jest nieograniczona.

Zadanie nasze posiada nieograniczoną ilość rozwiązań, czyli, jak się wyrażamy, jest nieoznaczone.

5.    Przez dany punkt Л poprowadzić płaszczyznę równo oddaloną od trzech danych punktów B, C, D. Poprowadźmy

<Xi

płaszczyznę ai ponieważ prosta m jest równoległą do B D, więc płaszczyzna ta jest równo oddalona od punktów В i D. Ponieważ jednak

przez punkt Л proste m, n,p, równoległe do boków tójkąta BCD, a nadto połączmy go ze środkami E, F, G tychże boków (Rys. 153.). Weźmy pod uwagę (m, Л F), to

Rys. 153.

płaszczyzna cu przechodzi przez prostą Л F, więc jest także równo oddalona od punktów В i C, a więc jest równo oddaloną od trzech danych punktów. Prosta F G, łącząca środek dwóch boków trójkąta, jest równoległą do boku B D, a więc i do prostej m, czyli, że płaszczyzna ai = (m, Л F) przechodzi też przez prostą Л G. Jak to z rysunku z łatwością odczytamy, zadanie nasze posiada cztery

rozwiązania,a mianowicie: 1°. płaszczyzna сс1Ее(ш,Л F,ä G, F G); 2°. płaszczyzna ссг аз = (р, Л F, Л E, F Е) i 4°. płaszczyzna = (m, п, р).

55. Ćwiczenia.

1. Wyznaczyć proste przecięcia się płaszczyzn a i ß w następujących przypadkach (Rys. 154 a—1).

(п, Я E, Л G, EG); 3°. płaszczyzna

a.)

\K/3

b.)

c.)

d.)

e.).

vß h ß

Ma

Vß.

Vte\ /Vß

_h£_

MIß

ha

f)

g).

yn» -,

*h.)

Va

ha

haß

к.)

/й! Л/?

Va.

Vß.

Vch

■уе

л.

Vß

/?«

ЛК'. /'iS

/4

•г —

Rys. 154 a—1.

ha

ha

2.    Wyznaczyć w następujących przykładach punkt przebicia się prostej I (Г l") z płaszczyzną a (ha va) (Rys. 155 a—h).

3.    Wyznaczyć krawędź płaszczyzny a (ha va), równoległej do osi rzutów л: z płaszczyzną ß, która wyznaczona jest: a) osią x i dowolnym punktem Л (A' A”), b) dwiema prostemi równołegłemi, c) dwiema prostemi

a.);

b.)

c.)

lny

d.)

la

e.),

Va

Va

ha

f.)

ha

9)

ha \ Va

h.)

przecinającemi się na osi rzutów, d) trzema dowolnie

V&'

■y* r

Va

l”

Przyiętymi punktami w przestrzeni, e) trzema punktami, z których jeden leży na rzutni poziomej, drugi na pionowej, a trzeci na płaszczyźnie dwusiecznej 5/, względnie bu.

4. Wykreślić rzuty krawędzi płaszczyzn dwusiecznych 5/ i bu z płaszczyzną a (ha pa), która ma następujące położenia: a) jest równoległą do osi rzutów, b) jest równoległą do rzutni poziomej, c) jest równoległą do rzutni pionowej.

ha.

la

ha

Rys. 155 a—h.

5.    Wyznaczyć punkt przebicia się prostej p (p' p") z płaszczyzną a, wyznaczoną przez dwie proste równoległe a i b, bez posługiwania się śladami płaszczyzny, w następujących przypadkach: а) аЦЬЦ X, p dowolnie; b) a II bil X, p II с) а II ЬЦ я i, p //«*; d) аЦЬЦ **» P II «iJ e) a // b Ц яг, p _L яг; î) a II b I/ Я1, p leży na 6/, Względnie Ô//.

6.    Płaszczyzna a przechodzi przez trzy punkty Л (Æ Л"), В (В' В") i С (С' С"); wyznaczyć punkt przebicia się prostej p (pr p") z tą płaszczyzną, jeżeli а) p Ц я₁, Ь)р//я₂, c)p = x, d) p Ц x, e)pj_xi, f) p 1*2, g) p leży na 6/, h) p leży na ô/j.

7.    Wyznaczyć krawędzie płaszczyzn dwusiecznych 5/ i Ô// z płaszczyzną a, wyznaczoną przez dwie proste równoległe li m, przyczem: a) l // m // ях, b) l II m II n2, с) 1Ц x,m = x-, d) Z // m // jc.

56. Proste równoległe do płaszczyzny. ЛЬу prosta była równoległą do płaszczyzny, potrzeba i wystarcza, aby była

Va У Vu

Уа

А/

P"j

fP”

P"/ pï

Hi/

Va

pyp-

Ha

ha.

Rys. 156.

Rys. 157.

równoległą do jednej prostej, leżącej na tej płaszczyźnie. Jeżeli zada-* niem naszem p, jest poprowa-dzenie przez ^ dany punkt ы P(P'P") prostej równoległej do pl.

a (ba, Va) —

a.)

a"

(Rys. 156.), to na płaszczyźnie tej przyjmiemy dowolnie prostą а (а a"), do której przez punkt P (P' P") poprowadzimy równoległą p (p' p"). Zadanie nasze jest nieoznaczone, t. j. posiada nieograniczoną ilość x rozwiązań, tyle mianowicie, ile prostych przyjąć można na płaszczyźnie a. a.    Proste    pi    (pi'pi') i p2 (p/ ps")

b”

b.) b

(Rys. 157.) są także równoległe do płaszczyzny a (ha, Va); pierwsza jednak jest Ä. równoległą do śladu poziomego, a druga do śladu pionowego tej płaszczyzny.

Rys. 158 a i b.

Rzuty prostych równoległych do płaszczyzn dwusiecznych ô/ i 8ц> muszą zawierać z osią rzutów te same kąty (ust. 42.). W szczególności prosta а (а' a") (Rys. 158 a.) jest równoległą

do płaszczyzny 5/, zaś prosta b (b' b") (Rys. 158 b.) równoległą do płaszczyzny dwusiecznej ó//.

Vd

57. Zadania. 1. Wykreślić ślady płaszczyzny ß> przechodzącej przez dany punkt P (P' P") i równoległej do danej płaszczyzny a (ha va) (Rys. 159). Równoimienne ślady obu płaszczyzn będę równoległe (ust. 49.), wystarczy zatem wyznaczyć jeden punkt któregoś ze szukanych śladów.

Vp

A*

Rys. 159.

Przez punkt P (P' P") poprowadzimy prostą poziomą p (p' p') szukanej płaszczyzny ß a równoległą do płaszczyzny a. Przez ślad pionowy Vp prostej p, przechodzi ślad pionowy Vß równoległy do Va, a przez punkt Xß ślad poziomy hß // ha.

2. Przez dany punkt A poprowadzić prostą, przecinającą daną prostą a i równoległą do danej płaszczyzny a. Przez punkt Л poprowadzimy płaszczyznę e równoległą do cc, znajdziemy punkt przebicia się prostej a z płaszczyzną e i punkt ten połączymy z danym punktem Л.

bn

\2"

P"

1У

k"

5. Wyznaczyć prostą, która przecina dwie dane skośne a (a a")> b (b' b") i jest równoległą do trzeciej danej prostej с (с c'). Pierwszy sposób: Przez prostą a prowadzimy płaszczyznę a równoległą do prostej c (Rys. 160.), szukamy punktu przebicia się P prostej b z tą płaszczyzną i przez ten punkt prowadzimy prostą p równoległą do c, rozwiązującą zadanie.

a’

W\

d'

Rys. 160.

Dla wyznaczenia płaszczyzny a równoległej do prostej c, obraliśmy na prostej a (a' a") punkt Л (A' A") i poprowadziliśmy prostą d (d' d") // c (c' c"). Płaszczyzna a = (a, d) jest równoległą do prostej c i przecina prostą b (b' b") w punkcie P (P' P").    ■

Drugi sposób: Przez prostą a, a następnie b, popro-

wadzimy płaszczyznę równoległą do prostej c; krawędź tych obu płaszczyzn spełnia żądany warunek.

4. Przez jedną z dwóch danych prostych skośnych poprowadzić płaszczyznę równoległą -do drugiej prostej. Na jednej prostej, np. a, obierzemy punkt, przez który poprowadzimy prostą c równoległą do prostej b. Płaszczyzna e = (a, c) rozwiązuje zadanie.

58. Ćwiczenia.

1.    Przez punkt Л poprowadzić prostą równoległą do dwóch danych płaszczyzn, w następujących przypadkach:

a)    a i ß nachylone do obu rzutni,

b)    a dowolnie położona, ß // jti,

c)    a /I jti, ß II X,

d)    a_L sri, ß II X,

e)    a = bi, ß /I X,

î) a = but ß dowolnie położona.

Uwaga: Szukana prosta jest równoległą do krawędzi obu płaszczyzn a i ß.

2.    Przez dany punkt Л poprowadzić taką płaszczyznę cc, równoległą do

danej prostej p, aby:

a)    a była równoległą do osi rzutów x,

b)    a była równoległą do jti,

c)    a była prostopadłą do яг.

3. Dane są proste skośne l (/' Г) i m (m' m") ; przez prostą m poprowadzić płaszczyznę równoległą do prostej' l i wyznaczyć ślady tej’ płaszczyzny skoro :

a)    l II jtj, m nachylona do obu rzutni,

b)    / II Я2, m II «i,

c)    l II Ъц, m nachylona do obu rzutni,

d)    l II bi, m II X,

e)    l _L xi, m ЕЕ x,

bil.

1) l _L яг, m

4. Dany j'est punkt P (P' P") i proste skośne / (/' l") i m (m' m") ; wykreślić ślady płaszczyzny, przechodzącej przez punkt P, a równoległej do prostych l i m.

59. Proste prostopadłe. Prosta prostopadła do płaszczyzny. Wykazaliśmy w ustępie 24., że aby rzut kąta prostego był kątem prostym, jest koniecznem i wystarczającem, by jedno ramię kąta było równoległe do płaszczyzny rzutów. Stąd wynika bezpośrednio, że prosta jest prostopadłą do prostej poziomej (czołowej), skoro rzuty poziome (pionowe) obu prostych tworzą kąt prosty. ЛЬу z punktu P (P' P") (Rys. 161 a.) poprowadzić prostą prostopadłą i przecinającą daną prostą m (m'm"), wykreślimy p' _L m', odniesiemy punkt A' na prostą m", a punkt Л" połączymy z punktem P", otrzymując rzut pionowy p" szukanej prostej p {p' p"). Podobnie (Rys. 161 b.), prosta q (q' q") przechodzi przez dany punkt a ) \p*

M"

ГП"

P"

Q (Q' Q")> jest prostopadłą do prostej czołowej n(n' n") i przecina ją w punkcie N(N'N").

h li

ПУ ; \P)

M'

⁽P'

b.)

Vv

/nu

r\/N'

or

hv

Rys. 161 a—b.

Äle prócz prostej p (p' p"), prostopadłej do Ä. prostej m (m' m") i prostą tę przecinającą, poprowadzić można z punktu P dowolną, nieograniczoną ilość dalszych prostych również prostopadłych do prostej p, jednak prostej tej nieprzecinających, a więc prostych skośnych. Miejscem geometrycznem wszystkich tych prostych jest płaszczyzna prostopadła do prostej m, a przechodząca przez punkt P. Rzut poziomy wszystkich tych prostych w przypadku, gdy prosta m jest pozioma, musi być prostopadły do m', a więc schodzić się z prostą p'. Płaszczyzna y (Zip. üy.), przechodząca przez punkt P i prostopadła do prostej poziomej m, jest więc płaszczyzną poziomo rzucającą, podobnie jak płaszczyzna v (hv Uv), przechodząca przez punkt Q i prostopadła do prostej czołowej n, jest płaszczyzną pionowo rzucającą.

.b" /an

M"

e p"

2" :

m" r/

"a'

Niechaj daną będzie płaszczyzna a, wyznaczona prostemi a (a' a") i b (b' b") ; wykreślmy rzuty prostej, przechodzącej przez dany punkt P (P' P") a prostopadłej do płaszczyzny a. Przyjmijmy na płaszczyźnie a prostą poziomą m (m' m") i z punktu P' wykreślmy prostą s' _\_m'    —

M'

P'

2'

Rys. 162 a.

(Rys. 162 a.). Prosta s' jest rzutem poziomym nie tylko pewnej określonej prostej s, lecz dowolnej, nieograniczonej ilości prostych, przechodzących przez punkt P, prostopadłych do prostej m, a leżących na płaszczyźnie poziomo rzucającej y, prostopadłej do prostej m. W istocie bowiem rzut kątów prostych, jakie prosta pozioma m tworzy z prostemi leżącemi na

płaszczyźnie p., jest kątem prostym i to zawartym między pro-stemi m' i s'.

Obierzmy następnie na tej samej płaszczyźnie a = (a, b) drugą prostą, a mianowicie prostą czołową n (n' n"), przyczem

p” 37

p"ay

y''

M"

r/j

P"

m"

dla łatwiejszej oryen-5" ny tacyi przeprowadzimy konstrukcyę na drugim rysunku (Rys.

3"

; X 162 b.), będącym ko-pią pierwszego.

rr

3’

4'

Pi'

Rys. 162 c.

Rys. 162 b.

P" Aa

Z punktu P" po-/ prowadzimy prostą s" - prostopadłą do n", to prostą tę uważać możemy za rzut pionowy nie tylko jednej prostej s, lecz dowolnej ilości prostych, przechodzących przez punkt P, prostopadłych do prostej n, a leżących na jednej płaszczyźnie pionowo rzucającej. Wynika to stąd, że prosta n jest równoległą do rzutni pionowej, a zatem rzut kątów prostych, jakie ona tworzy z prostemi, przechodzącemi przez punkt P, jest kątem prostym i to zawartym między prostemi n" i s". Połączmy teraz Rysunki 162 a i 162 b w jeden Rys. 163 c., to proste s' i s" są rzutami jednej prostej, prostopadłej jednak zarówno do prostej m, jak i n, a więc prostopadłej do płaszczyzny prostemi temi wyznaczonej. Л ponieważ proste m i n leżą na płaszczyźnie a = (a, b), więc prosta s (s' s") jest do tej płaszczyzny prostopadłą i rozwiązuje zadanie.

Rozwiążmy to samo zasadnicze i bardzo ważne zadanie, t. zn. wykreślmy ⁴ л rzuty prostej prostopadłej do 7    płaszczyzny a, która jednak wy

7p'

znaczona jest swoimi śladami ha i Va. Prosta m' (Rys. 162 c.), jako ha    rzut poziomy prostej poziomej przyjętej

Rys. 163.

⁴    na płaszczyźnie a, jest równoległą do śladu

poziomego tej płaszczyzny, podobnie jak prosta n", będąca rzutem pionowym prostej czołowej na płaszczyźnie cc, jest równoległą do śladu pionowego tej płaszczyzny.

Zatem: rzuty prostej prostopadłej do płaszczyzny są prostopadłe do śladów tej płaszczyzny, a to rzut poziomy do śladu poziomego, a rzut pionowy do śladu pionowego (Rys. 163.). I wzajemnie: ślady płaszczyzny prostopadłej do prostej są prostopadłe do odpowiednich rzutów tej prostej.

60.    Płaszczyzna prostopadła do płaszczyzny. W punkcie płaszczyzny poprowadzić można dowolną, nieograniczoną ilość płaszczyzn prostopadłych do tej płaszczyzny. Wszystkie te płaszczyzny tworzą pęk, którego osią jest prosta prostopadła, po prowadzona w danym punkcie do płaszczyzny. ЛЬу więc w danym punkcie płaszczyzny poprowadzić płaszczyznę prostopadłą, wyprowadzimy w nim prostą prostopadłą a przez nią poprowadzimy płaszczyznę. Możemy też przez dany punkt poprowadzić prostą leżącą na płaszczyźnie, a w tym punkcie płaszczyznę prostopadłą do tej prostej.

61.    Zadania.

1. Wykreślić ślady płaszczyzny prostopadłej do prostej a (a' a"), a przechodzącej przez punkt A (A' A") (Rys. 164.). Przez punkt A (A'A") prowadzi- -my prostą poziomą m (rn' m") prostopadłą do danej prostej a {a' a"). Przez ślad pionowy Vm prostej m kreślimy ślad pionowy Va płaszczyzny a prostopadle do a",, a przez punkt Ха ślad poziomy ha I a'. Płaszczyzna а (Ла Ua)

ay

-fi

Vm \X<x

ar

'A

/ ho.

Rys. 164.

Vs

D’v:

jest prostopadłą do prostej a (a' a"), gdyż ślady jej są prostopadłe do rzutów prostej, a przechodzi przez punkt A (A' A"), gdyż zawiera prostą m (m' m"), poprowa-* dzoną przez ten punkt.

hr pB’

Rys. 165.

2. Na prostej p (p' p") znaleźć punkt równo oddalony od danych punktów Z A (A! A") i В (В' В") (Rys. 165.). Przez środek C odcinka А В poprowadzona płaszczyzna prostopadła, przecina prostą p w punkcie P (P' P"), rozwiązującym zadanie. Znalazłszy środek С (С' C"), wykreśliliśmy prostą poziomą m (m' m"), przyczem m' _L A' B', wyznaczyliśmy

u ; / и« P" Vky

ślad Vm, a następnie ślady De i he płaszczyzny przechodzącej przez punkt C i prostopadłej do odcinka A B. Przy pomocy pionowo rzucającej płaszczyzny у {hy Vy), poprowadzonej przez prostą p, otrzymaliśmy punkt P (P' P").

3. Wyznaczyć odległość punktu А (Л' A") od płaszczyzny a (ha Da). Z punktu Л prowadzimy prostą p prostopadłą do płaszczyzny a, a odcinek zawarty między punktem A a punktem przebicia się B, prostej p z płaszczyzną a, wyraża odległość punktu A od płaszczyzny a.

aj Płaszczyzna a (ha Da) nachylona jest do obu rzutni (Rys. 166.). Prostopadła p (p' p") przechodząca

przez punkt A (Æ A"), przebija płaszczyznę cc w punkcie В (В' В"). Odcinek Л° B° jest kładem odcinka А В na płaszczyznę poziomą rzutów i wyraża prawdziwą odległość punktu A od płasz-— czyzny a.

Arb

2L

We

U X

\ iw

B%

B°

ha

/he

Rys. 166.

b) Płaszczyzna a jest wyznaczona dwiema prostemi równoległemu W sposób podany w ust. 59. wykreślimy z punktu A prostopadłą do płaszczyzny, znajdziemy jej punkt przebicia i kład odcinka podobnie jak w zadaniu powyższem.

4. Wyznaczyć odległość dwóch płaszczyzn równoległych. Prowadzimy prostą prostopadłą do obu płaszczyzn, a odcinek

Vßy

Ve

P”

В⁰

ЫУк

Н"

В'% / / i \]Ла

Лр/

\к'\ / I

zawarty między punktami przebicia wyraża żądaną odległość. Dla uprosz-v<y czenia konstrukcyi prowadzimy (Rys.

167.) prostopadłą p (p' p") z punktu Ха płaszczyzny a. Odcinek Xa B° — rozwiązuje zadanie.    ,

В'\ Па

/7>

Słlh

Р'

\ha

Rys. 167.

5. Wyznaczyć odległość punktu A od prostej m. Przez dany punkt prowadzimy płaszczyznę prostopadłą do danej prostej, szukamy punktu przecięcia się tej płaszczyzny z tą prostą, a odcinek zawarty między otrzymanym a danym punktem rozwiązuje zadanie.

W Rys. 168. prosta m (m' m") jest poziomą. Płaszczyzna e (hz Ve), przechodząca przez punkt А {Д'Л") prostopadle _ do prostej m, jest poziomo rzucającą i przecina prostą m w punkcie В (В В"). x_

Ve

ПП" By

Ä.

nr

Odcinek А В położony na płaszczyznę poziomą przechodzącą przez prostą m daje odcinek B'A° rozwiązujący zadanie.

he;

Rys. 168.

Odległość punktu Л {A' A") od prostej m (m' m"), mającej dowolne położenie w przestrzeni, wyznaczyliśmy na Rys. 169.

Odcinek Л В położyliśmy na płaszczyznę poziomą, przechodzącą przez punkt Л, otrzymując odcinek A! B°, wyrażający prawdziwą odległość

punktu Л od prostej m.

777»

ВГ

Vn

nn

,НГУп

A.

6. Wyznaczyć odległość dwóch prostych skośnych m i p. Przez odległość dwóch prostych skośnych rozumiemy ich odległość *    najkrótszą, a więc

• odcinek    wspólnie pro

к’

B°'

rv.

7?fi

б/Нк

stopadły do obu prostych. Odcinek ten znajdziemy w ogólnym przypadku    w następujący

<A’

rr

Rys. 169.

sposób: Przez prostą p (Rys. 170.), poprowadzimy płaszczyznę cp, równoległą    do prostej m,

Mi

nu

a następnie rzucimy prostą m w kierunku prostopadłym na tę płaszczyznę. Rzut nu przetnie prostą p w puncie Mi, w którym wyprowadzona prostopadła n do do płaszczyzny cp, przetnie prostą m w punkcie M. Odcinek M Mi jest / wspólnie prostopadły do prostych    /

Rys. 170.

ш i p i wyraża ich najkrótszą od- / r/l ległość.

a) Prosta p{pr p") jest pionową (Rys. 171.). Wspólna prostopadła n (ri n") jest poziomą, jej rzut poziomy ri jest prostopadły do mi Odcinek M' Mi wyraża wprost odległość prostych skośnych m i p.

n” M’[_

b) Obie proste m i p mają dowolne położenie w przestrzeni (Rys. 172.). Na prostej p (p' p") przyjmiemy dowolny punkt P (P' P"), przez który prowadzimy prostą q (q' q"), równoległą do prostej m (m' m"). Proste q i p wyznaczają płaszczyznę <p (/zcp Vcp), równoległą do prostej m.

Rzućmy prostopadle na płaszczyznę q> dowolny punkt N (N' N") prostej m, a przez otrzymany punkt

Ni (N/ Ni") poprowadźmy prostą mi (mirrii") v równoległą do m (iri m"). Prosta mi przetnie prostą p (p' p") w punkcie Ml (Ml' Ml"), z którego wyprowadzimy prostopadłą do płaszczyzny cp. Prosta ta przetnie prostą m w punkcie M(M' M"). Odcinek Mi M jest wspólnie prostopadły do obu prostych skośnych, jego kład Mi"M° wykonany na pł. pionową przechodzącą przez Mi, wyraża prawdziwą odległość tych prostych.

Inny sposób wyznaczenia wspólnej prosto-

/77".

Ä4P,

P"

Mi/P'

nr

AV%

77'

Rys. 171.

M°*

Vq

M"

П"

N"

М'Г

У" /к"

Py

/5^

/77"

Vk

ifc.

ml

НрУ' Vq Wy

/ : '•>

Ml

p'

hy

Vkx

k'

M'

N'

77'

Ni

r/r

\/77t

Rys. 172.

Hq

7.    Dane są: punkt A (A' A") i dwie skośne l (V l") i m (m' m") ; przez punkt A poprowadzić prostą przecinającą prostą l, a prostopadłą do prostej m. Przez punkt A poprowadzimy płaszczyznę cc, prostopadłą do prostej m, a krawędź tej płaszczyzny z płaszczyzną ß = (A, /) rozwiąże zadanie.

padł ej do dwóch prostych skośnych m ip otrzymamy zważywszy, że owa wspólna prostopadła jest równoległą do każdej płaszczyzny prostopadłej zarówno do jednej, jak i do drugiej prostej. Prowadzimy więc płaszczyznę prostopadłą do prostej rn i drugą prostopadłą do prostej p. Wyznaczymy krawędź k obu płaszczyzn, a następnie prostą, przecinającą dane proste skośne i równoległą do krawędzi k (patrz ust. 57. zadanie 3.).

8.    Dane są: punkt A (A' A"), prosta l (V l") i płaszczyzna a (ha, Va); przez punkt A poprowadzić prostą równoległą do płaszczyzny cc, a prostopadłą do prostej l. Przez punkt A poprowadzimy płaszczyznę ß // a, a następnie płaszczyznę у /. Krawędź płaszczyzn ß i у rozwiąże zadanie.

9.    Przez daną prostą p poprowadzić .płaszczyznę prostopadłą do danej płaszczyzny cp. Z dowolnego punktu prostej p prowadzimy prostą q, prostopadłą do płaszczyzny cp; płaszczyzna ty = (p, q) rozwiązuje zadanie.

62. Ćwiczenia.

1. Wyznaczyć odległość punktu Л (Æ Л") od płaszczyzny a (ha na), w następujących przypadkach (Rys. 173 a, b, c, d.).

a.)

b.)

c.)

Д)

2. Wyznaczyć rzut prostokątny odcinka А В na płaszczyznę a (ha va) w następujących przypadkach :

/'«/Г

Vcc/

ha

hcc дп\

\A”

Rys. 173 a—d.

a)    a nachylona do obu rzutni,

b)    a II X,

c)    a ~ bi, dj a ^ 5//.

3. Przez daną prostą l (/' /") poprowadzić płaszczyznę, prostopadłą do danej płaszczyzny a (ha va) i wyznaczyć jej ślady w następujących przypadkach:

a)    l II iti, a dowolnie położona,

b)    I Jti, a „    „

c)    l leży na 5/, a dowolnie położona,

d)    I „    „ 8//, a

e)    l SE- X,

i oo

oo

§ 4. WPROWADZENIE TRZECIEJ PŁASZCZYZNY RZUTÓW

a.)

b.)

c.)

A”°.B 9 o/D"

i

C'’P" i

oA'

oC" o P"

óC"

/5' pi ^

C"°P'

A'\ óc. Ô'*

°B"

d.)

f)

A'ïA”

„pi

X A' B"

pi „pn

\C A B’ c. p C"

O— o——o O O- —o—

МЛл

-A °B

°B

°c

„P"

4.    Wyznaczyć odległość punktu P (P' P") od płaszczyzny, przechodzącej przez punkty A,B, C w przypadkach podanych na Rys. 174 a—f.

5.    Przez każdy z czterech dowolnie w przestrzeni leżących punktów A, B, C i D, poprowadzić płaszczyznę tak, aby wszystkie były do siebie równoległe i równo od siebie oddalone.

R o z w i ą z anie : Weźmy pod uwagę odcinek AD (Rys. 175.) i wyznaczmy punkty E i F dzielące go na trzy równe części. Połączmy punkt В z punktem E, a przez ten

ostatni poprowadźmy prostą e, równoległą do F C. Płaszczyzna ß

Rys. 174 a-ł.

6.

A?

■Л

Rys. 175.

zad, więc mamy w rezultacie 12 rozwiązań.

(e, E В) i płaszczyzny a, y i 5, przechodzące przez punkty A, F i D równolegle do płaszczyzny ß, rozwiązują zadanie. Dalsze rozwiązanie otrzymamy łącząc punkty A z B, A z С, В z С, В z D i C z D i powtarzając tę samą konstrukcyę. Otrzymamy w ten sposób dalszych pięć rozwią-cń. Äle zważmy jeszcze, odnośnie do pierwszego rozwiązania, że punkt В połączyć można z punktem F, a zaś punkt C z punktem E a prostą e poprowadzić równolegle do С E. Wówczas płaszczyzna ß, wyznaczona przez proste e i B F i płaszczyzny przechodzące przez punkty A, C i D, równoległe do ß, stanowią dalsze rozwiązanie zadania, a ponieważ możliwość ta zachodzi dla dalszych pięciu rozwią-

§ 4. WPROWADZENIE TRZECIEJ PŁASZCZYZNY RZUTÓW

63. Rzutnia boczna. Rzuty boczne punktów. Zauważyliśmy, że w pewnych przypadkach (prosta prostopadła do osi rzutów, płaszczyzna przechodząca przez oś) położenie prostej w przestrzeni nie da się określić jej rzutami, a położenie płaszczyzny jej śladami i że w tych przypadkach uciekać się musimy do pośrednictwa poszczególnych punktów przyjętych na prostej, względnie na płaszczyźnie. Wzgląd na korzyści wynikające z wyznaczania położenia prostej jej rzutami, a płaszczyzny jej śladami, ale przedewszystkiem wzgląd na możli-wóść uproszczenia i skrócenia konstrukcyj, odnoszących się do zadań bardziej zawiłych — o czem przekonamy się na długim szeregu przykładów — poleca wprowadzenie trzeciej płaszczyzny rzutów, t. zw. płaszczyzny bocznej rzutów, czyli krótko rzutni bocznej. Płaszczyźnie tej nadajemy położenie prostopadłe do osi rzutów X, a więc prostopadłe do rzutni poziomej i pionowej, albo prostopadłe tylko do jednej z tych rzutni.

i'

Яз

i-Z•

Яг

J®

AÔ

Az

Z'.

<:Ç-'

-X

Ал

\0

+x

A’ i

Яг

-Z

Яз

Rys. 176.

aj Płaszczyzna boczna яз prostopadła do osi rzutów x przecina rzutnię poziomą iti w prostej, którą nazywamy osią rzutów y; prosta przecięcia się płaszczyzn Я1 i яз stanowi os rzutów z (Rys. 176.). Osi x, у i z są wzajemnie do siebie prostopadłe i przecinają się w punkcie O, który nazywamy początkiem lub środkiem tego u-kładu osi. Płaszczyzny rzutów jti, я2 i яз dzielą przestrzeń na ośm części ; za pierwszą część przestrzeni uważamy tę, która leży przed rzutnią pionową, po prawej stronie bocznej a nad rzutnią poziomą. O położeniu dalszych ósemek przestrzeni informuje nas Rys. 176.

Płaszczyzny przechodzące przez dowolny punkt A, prostopadle do osi rzutów, przecinają je w punktach Ax, Ay, Az i wraz z płaszczyznami rzutów tworzą równoległościan prosty. Wierzchołki A', A" i A'" tego równoległościanu są rzutami punktu A. najńaszczyznę poziomą, pionową i boczną. Odcinki OAx, ÖAy, OAz osi rzutów, nazywamy spółrzędnemi punktu A i oznaczamy mianem odpowiednich osi, więc literami x, y, z.

Z Rys. 176. czytamy, że wysokość AA' punktu A, równa jest odległości rzutu pionowego A" od osi x, równa odległości rzutu bocznego A!" od osi у i równa w końcu spółrzędnej OAz = z. Głębokość AA" punktu A, równa jest odległości rzutu poziomego A' tego punktu od osi x, równa odległości rzutu bocznego A"' od osi z i równa wreszcie spółrzędnej у = OAy.

Odległość punktu od rzutni bocznej nazywać będziemy krótko „szerokością“ punktu. Jeżeli punkt znajduje się po prawej stronie rzutni bocznej, więc w I, II, III lub IV części przestrzeni — to szerokość jego określamy jako dodatną, szerokość punktów leżących po lewej stronie rzutni bocznej uważamy za ujemną.

Szerokość A Ä'" punktu A, równa jest — jak czytamy z Rys. 176. — odległości rzutu poziomego ^4/ od osi y, równa odległości rzutu pionowego A" od osi z i równa spółrzędnej je = О A x.

Äżeby spółrzędne punktu wyrazić mogły także i część przestrzeni, w której dany punkt się znajduje, nadajemy osiom rzutów, a przez to i spółrzędnym znaki + lub —.

W szczególności, część osi x rozciągającą się na prawo od początku O, otrzymuje znak +, część osi лг leżącą na lewo od punktu O oznaczymy znakiem —. Część osi y, znajdująca się przed rzutnią pionową i część osi z nad rzutnią poziomą otrzymują znaki + ; część osi у rozciągającą się za rzutnią pionową i część osi z leżącą pod rzutnią poziomą oznaczamy znakami — (Rys. 176.).

W ten sposób wszystkie trzy spółrzędne punktów znajdujących się w I. części przestrzeni są dodatnie, w części II: X = +, у = —, z = + ; w części III: x = +, у — —, z = —; w IV: X = +,    = +, z = — ; w V: x = —, у = +,z = +;

w VI: x =

—, z = + ; w VII: x — —, у = —, z = — ;

w VIII: x = —, у = +, z = —.

Przystępując do sprowadzenia płaszczyzn rzutów na jedną płaszczyznę rysunkową, zauważmy, że rzutnię boczną położyć można na poziomą, albo też pionową, a następnie te dwie rzutnie — w poznany już sposób — (ust. 34.), sprowadzić do jednej płaszczyzny.

Obrotu płaszczyzny bocznej rzutów na rzutnię pionową dokonywamy około osi z, i to dla punktów leżących w częściach przestrzeni na prawo rzutni яз, zgodnie z ruchem wskazówki zegara, leżącego na płaszczyźnie poziomej, dla punktów leżących w częściach V, VI, VII i VIII w kierunku przeciwnym.

Obrót rzutni bocznej na poziomą wykonywamy około osi y, a mianowicie dla punktów znajdujących się w pierwszych czterech ósemkach, w kierunku przeciwnym ruchowi wska-

zówki zegara, przytwierdzonego na płaszczyźnie pionowej, dla punktów znajdujących się w innych ósemkach, w kierunku zgodnym z ruchem wskazówki tego zegara.

Przyjmijmy punkt A w pierwszej części przestrzeni, a po wyznaczeniu jego rzutów A' A" A'" (Rys. 177.), obróćmy rzutnię boczną około osi z, aby padła na pionową, a następnie rzutnię pionową połóżmy na poziomą.

Oś rzutów y leży równocześnie na rzutni poziomej i bocznej; po kładzie płaszczyzny bocznej na pionową, znakiem + oznaczona część osi y padnie na ujemną część osi л% a równocześnie

1Г

-X Ay

*У

+z

■A

A”

-У

Ay i А’

............о

oś —у zleje się z osią +л\ Po sprowadzeniu płaszczyzny pionowej na rzutnię poziomą, cś

-z\+y

Rys. 177.

z nakryje się osią + y, zaś oś +z padnie na oś —у (Rys. 177.).

Punkt Ay po zakreśleniu ćwiartki obwodu koła na płaszczyźnie poziomej, padnie na oś oznaczoną literami — x, + yy po lewej stronie początku układu O. Rzut boczny A wadzeniu płaszczyzny bocznej na pionową, oznaczyliśmy na Rys. 176. literą Ao"\ aby w ten sposób wskazać nowe położenie tego punktu. W Rys. 177. znak o przy A"' opuściliśmy jako zbędny.

///

po spro-

Яг

tZ

Яз

+Z

-V

mc

,''V

Az

■9/Г

Я1

Ao\-

1-e

A*

/к.....Hs.-

+y    }

+x

-л j Az

+z

... /А .»к......6

Ay

A'

Яг

Яз

-z +y

Rys. 178 a.

Rys. 178 b.

Z Rys. 178 a. odczytamy z łatwością przebieg kładu rzutni bocznej na poziomą, dokonanego dokoła osi y. Znakiem +

oznaczona część osi z padnie na oś —x, a zaś —z zejdzie się z osią x.

Ponieważ oś z leży na rzutni bocznej i na pionowej, więc po sprowadzeniu płaszczyzny pionowej na poziomą oś -f z zleje się z osią — y, a oś —z z osią + y. Punkt Az zakreśli ćwiartkę obwodu koła na rzutni pionowej i padnie na oś, oznaczoną literami —x, + z (Rys. 178 b.).

Bez trudności potrafimy wyznaczyć teraz rzuty punktu znajdującego się w przestrzeni na lewo od rzutni bocznej, więc np. w części V. (Rys. 179 a.). Jak w przypadku poprzednim,

Яг

Л-

+Z,

Æs

в.

vp!

'Bô\

Xi

в;

1-Z -у

B”

£■

+z\-y

BL

li

■ąy

By

+x

-X Bx

-y °

⁺y

-Xjßx

-e

«9C

*z

Яз

-z

Яг

A..........

*y\-z

A.

№..

:fin

Rys. 179 a.

Rys. 179 b.

Rys. 179 c.

kład rzutni bocznej wykonać możemy na rzutnię pionową (Rys. 179 b.), albo poziomą (Rys. 179 c.).

Uwaga. Symbol: A (a, b, c) oznaczać będzie punkt A o spółrzędnych x = a, y=b, z=c przyjętych jednostek długości.

Ćwiczenie. Wykreślić rzuty następujących punktów: Л (4, 5, 4); В (4, -3,-3); C (- 3, +4, + 3); D (- 3, —3, — 4));E (1, - 4 +3);

F (4, 6, - 5).

b) Rzutnia boczna jest płaszczyzną poziomo z i;    lub pionowo rzucającą.

——4x ł'-—Z    Ślad poziomy rzutni bocz

nej Jts oznaczać będziemy literą y (Rys. 180 a.), pomijając’ jej ślad pionowy, który dla konstrukcyi przeważnie nie ma znaczenia.

AÔ

У1г

A~

я.

k'

Rys. 180 a.

Rys. 180 b.

Punkt A!" jest rzutem bocznym punktu A. Gdy płaszczyzna яз padnie na rzutnię poziomą,

punkt A'" zajmie położenie Ao"', na prostopadłej wyprowadzonej z punktu A' do osi y. Po sprowadzeniu trzech rzutni do płaszczyzny rysunku, otrzymamy Rys. 180 b., w którym jednak rzut boczny oznaczyliśmy literą A!", pomijając jako zbędny znak o u dołu. Gdy dana jest oś y i rzuty A' i A", znajdziemy rzuM'", uwzględniając,że:    —A'"Ay — z.

B" V3*.

B’”

Br

ł-4

Яз

BV"

\ß’

ЧЗ'

Rys. 181b.

Rys. 181 а.

Ślad pionowy płaszczyzny ptonowo rzucającej, uważanej za rzutnię boczną, oznaczamy literą z. Z korzyścią będzie dla czytelnika, gdy sprawę rzutu punktu В na płaszczyznę pionowo rzucającą яз odtworzy bezpośrednio z Rys. 181 a i b., bez wszelkich z naszej strony wyjaśnień.

64. Rzuty i ślady boczne prostej. Z dwóch

//л

danych rzutów a' i a" prostej a, znajdziemy rzut trzeci a (Rys. 182.), jeśli wyznaczymy trzecie rzuty dwóch dowolnych punktów Л i ß tej prostej.

+Z

-У

В",

В"

Przy tej sposobności zauważyć należy, że łuki, którymi przenosimy punkty z jednej osi na drugą, zastępujemy chętnie prostemi, jak to uwidocznione jest na Rys. 182.

A"

an

-x \By cAy O

+x

A'

A?

a¹

W ogólnym wypadku dwa rzuty prostej (poziomy i pionowy, poziomy i boczny, pionowy i boczny) wyznaczają położenie prostej w przestrzeni.

ß’

By

-z +y

Rys. 182.

Jeżeli jednak prosta leży na płaszczyźnie cp, która jest prostopadłą do którejkolwiek z osi rzutów, a więc prostopadłą do dwóch rzutni, to, jednym z dwóch rzutów, wyznaczających położenie prostej w przestrzeni, musi być rzut na tę rzutnię, do której płaszczyzna cp nie jest prostopadłą.

Gdy rzutnia boczna jest prostopadłą do osi rzutów x, to prosta równoległa do tej płaszczyzny wyznaczona jest rzutem bocznym i jednym z dwóch dalszych rzutów; położenie prostej, równoległej do płaszczyzny poziomej wyznaczone jest rzutem poziomym i rzutem pionowym lub bocznym; prosta równoległa do rzutni pionowej wyznaczona jest rzutem pionowym i jednym z dwóch dalszych rzutów.

By

У² Z,

A"_____

My

z,

Ix

S"

!"

ff

Д"

Rzut boczny l'" prostej / na* płaszczyznę po-ziomo rzucającą (Rys. 183.)    *

/J znajdziemy, łącząc rzuty    ;

Уг

A’

A"'i

boczne dwóch dowolnych Y² punktów Л i В tej prostej.

B’

Rys. 183.

Rys. 184.

■ifi' Podobnie wyznaczyliśmy rzut boczny Г" prostej l (Г l") na płaszczyznę pionowo rzucającą (Rys. 184.).

a'")

Rozważmy z kolei sprawę śladów prostej a (a' a (Rys. 185.), odniesionej do układu trzech wzajemnie prostopadłych płaszczyzn rzutów. Ślad pionowy Va leży, jak widzimy,

+z

-V/

Va

Va

any

am

Ka/

Ki

nad osią rzutów X, jego rzut poziomy Va leżeć będzie oczywiście na osi w,

-Л Hâj

Va ./ tx

+У

-y

cL'

У'

Ka

HZ

Ha

-z-f-y

Rys. 185.

• a w szczególności na tej jej części, którą o-znaczyliśmy znakiem 4-. Rzut pionowy Va śladu pionowego leży na osi + z. Ślad poziomy Ha prostej a leży na obszarze rzutni pozionej, rozciągającym się

przed rzutnią pionowrą, a po lew^ej stronie rzutni bocznej, czyli uważać go można za należący do V. lub VIII. części przestrzeni. Rzut pionowy Ha" śladu poziomego leżeć będzie na osi — a i oczywiście na a"; rzut boczny Ha" leży na osi

4- y i na rzucie а'". ДЬу otrzymać punkt Ha", rzucimy punkt Ha na oś (+у — z) i otrzymany punkt Hay odniesiemy na oś + y, leżącą na rzutni bocznej. Ślad boczny Ha leży przed rzutnią pionową i nad poziomą, a wyznaczenie go tłómaczy wyraźnie Rys. 185.

Rys. 186. przedstawia rozwiązanie zadania następującego : daną jest prosta a {a! a"), wyznaczyć jej rzut boczny za pośrednictwem jej śladów. Szukana

+z -y

Ha

rrr

przejdzie

prosta a przez wyszukać się mające punkty Ha" i Va". Wyznaczenie śladu pionowego Va

Ha

am

Kk

Va

a"

Va

i jego rzutu poziomego Va i bocznego Va nie wymaga wyjaśnień. Ślad poziomy Ha leży w obszarze przestrzeni rozciągającym się za rzutnią pionową i po lewej stronie bocznej. Ślad boczny Ka leży nad rzutnią poziomą a za pionową; najpierw otrzymamy jego rzut pionowy Ka", a na przecięciu się równoległej do ^ osi X z prostą a"', ślad Ka.

Ponieważ

иг

+У

Va

-У

-z ty

Ryc. 186.

y-Zl-y

> KaT

(Г

tz-y

girl

а"

Hl

Va

1°

Ha

ска

ьт

Wà tx

На -У

-X

i-y

Hbm

a'

b"

ЛГ

V6 tx

H-........i*

-y

a'

\v

vif'

rzut poziomy, śladu bocznego, leżeć musi na rzucie poziomym prostej a, więc będzie to punkt przecięcia się K'a prostych a' i z. Podczas obrotu rzutni bocznej około osi z, punkt K'a zakreśli na rzutni poziomej w II. obszarze przestrzeni łuk

z+y

Rys. 187.

-z ty Rys. 188.

koła i znajdzie się w punkcie Kay. Odcinek KaKa' po obrocie zajmie położenie Kay Ka _L X.

Wyznaczenie śladów prostych, równoległych do rzutni bocznej przeprowadziliśmy na Rys. 187. i 188. Siady boczne a więc i ich rzuty są punktami niewłaściwymi. Siady pionowe i ich rzuty wyznaczymy bez trudności. Rzut boczny Ha śladu poziomego, jest punktem przecięcia się pros tych a'" i + Przed sprowadzeniem rzutni bocznej do płaszczyzny rysunkowej punkt Ha" zajmował miejsce Hay; prosta wykreślona z tego punktu równolegle do osi rzutu x, przecina a' w punkcie Ha, który jest śladem poziomym prostej a. Änalogicznie przedstawia się sprawa ze śladem poziomym prostej b (bb", b'") (Rys. 188.).

65. Siady boczne płaszczyzn. Prostą przecięcia się płaszczyzny z rzutnią boczną nazywamy śladem bocznym

tej płaszczyzny i oznaczamy literą k ze wskaźnikiem u dołu, wyrażającym uważaną płaszczyznę. Ślad boczny ka płaszczyzny a wyznaczony jest dwoma punktami, a mianowicie łA punktem przebicia się Уa osi у z tą płaszczyzną i punktem Za, w którym oś z przebija płaszczyznę a (Rys. 189.)

Podczas obrotu rzutni bocznej na pionową, punkt Ya zakreśli ćwierć obwodu koła, punkt У a leżący na osi — л-, -fy połączony z punktem Za,

wyznacza ślad bocz-

ж.

-X Уа

+У

Го"

-AZcl

-л

+У

Жз ,'kcçs

К Ł

V,-'

Уа

ha

Rys. 189.

+z

-у

Va

J\ci

+z

-У

2а

Va

rrr

0_

Xa tX -X. [Za p +z

-Z

ha

ka

ha

Уа

-Z ty

Уа

-Z-ty

Rys. 190 b.

Пу ka

płaszczyzny« (Rys. 190 a.). — Gdy rzutnię boczną obrócimy na pozio-

Rys. 190 a.

mą, to ślad boczny będzie prostą łączącą punkt Уа z punktem Za, leżącym na osi — x, +y (Rys. 190 b.).

Aby znaleźć ślad boczny płaszczyzny przy założeniu, że rzutnia boczna pada na pionową, należy punkt przecięcia się śladu poziomego płasz- N czyzny z osią у przenieść w kierunku zgodnym z ruchem wska-

+z -y

+z

-У

,kr-

vs

Vi

-X

te О Xe/ hs//

-y

Ze

-z\ i-y

-X

ki.

10 As/ Ze /x

-z

* Sn

+У

zówki zegarowej па oś X i punkt ten

Rys. 191.

Rys. 192.

połączyć z punktem przecięcia się śladu pionowego płaszczyzny z osią z. Przy założeniu, że rzutnia boczna pada na poziomą, obracamy punkt przecięcia się śladu pionowego płaszczyzny z osią z w kierunku przeciwnym ruchowi wskazówki zegarowej na oś x i otrzymany punkt łączymy z punktem przecięcia się śladu poziomego płaszczyzny z osią y, otrzymując ślad boczny.

Rys. 191. jest przykładem wyznaczenia śladu bocznego płaszczyzny, która przecina oś z pod płaszczyzną poziomą; rzutnię boczną położyliśmy na pionową. Rys. 192. podaje to samo zadanie, z tą różnicą, że rzutnię boczną obróciliśmy na pozio-

/X,

kpi

Яз

Vp.

ÏÏ1

I /TY"

!// kp \!/

Яг

Rys. 193.

tZ -y

+z -y

kp i Np

mą.

-X

У?'

OWi

\'JXp

Zp tx

-y

+z

-z

+y

Wyznaczenie śladu bocznego płaszczyzny p, która przebija oś z pod

rzutnią poziomą w punkcie ZP, zaś oś у za rzutnią pionową w puncie У p, podają Rysunki 193. i 194 a—-b.

iAp

I/

hp

hp

.-z +y

Rys. 194 a.

Zl

-z+y

Rys. 194 b.

Obrót rzutni bocznej w Rys. 194 a. wykonaliśmy na pionową, w Rys. 194 b. na poziomą płaszczyznę rzutów.

66. Przykłady użycia rzutni bocznej do rozwiązania

zadań.

1.    Wyznaczyć rzuty punktu przebicia się prostej a (a' a") z płaszczyzną a (ha Ua) (Rys. 195.). Przez prostą a, wyznaczoną dwoma punktami A (A' A") i В (В' В"), poprowadźmy płaszczy-

Ax_X znę prostopadłą do

osi rzutów X i uważajmy ją za rzutnię boczną. Wyznaczmy rzut boczny a'" prostej a i ślad boczny ka płaszczyzny a, to punkt przecięcia się P'" prostych a'" i ka jest rzutem bocznym szukanego punktu. Z łatwością wyznaczymy teraz rzut poziomy P' i pionowy P".

2.    Wyznaczyć odległość punktu A (A' A") od osi rzutów X. Przez punkt A poprowadźmy płaszczyznę prostopadłą do osi rzutów X, a uważając ją za rzutnię boczną, połóżmy np.

rzutnię poziomą (Rys. 196.), to odcinek A'" Ax wyraża odległość punktu A do osi x.

3.    Wyznaczyć odległość punktu A (A' A") od płaszczyzny o (ha üa), równoległej do osi rzutów x. Przez punkt A prowadzimy rzutnię boczną prostopadłą do osi rzutów *,

_ wyznaczymy ślad boczny ka płaszczyzny a i rzut boczny A"' punktu A (Rys 197.). z Z punktu A'" kreślimy prostopadłą do prostej ka, a odcinek Л"' B'" równy jest - odległości punktu A od płaszczyzny a.

4. Wyznaczyć rzuty krawędzi płaszczyzn a (ha Va) i ß (/Zß üß), równoległych do osi rzutów x. Przyjąwszy rzutnię boczną prostopadłą do osi x, wyznaczymy ślady boczne ka i danych płaszczyzn (Rys. 198.)

na

-x

Z\

A"\

A'"

VccVp".

hcc.

Va

В"

P'

a7 :

.........

o A ■ \

Ai

у2

д-1

Rys. 195.

A"

Zcc

B",

в’......Ar

h A Уа /^\

A'

'X

Am

Rys. 197.

A"

Rys. 196.

i otrzymamy rzut boczny a'", a także i dwa dalsze r żuty a" i a' szukanej krawędzi.

sz -y

V«.

ка/

Vß

/Æ

a-

-*j£7 +y У/Ж

a:f

+x.

-y

a-

ha

hß

5.    Wyznaczyć odległość dwóch prostych skośnych a (a' a") i b (b' b"). Jeżeli przez prostą b poprowadzimy płaszczyznę e równoległą do prostej a, to odległość prostej a od płaszczyzny e wyraża odległość prostych skośnych a i b.

Уд

-z y-y

Rys. 198.

a"/ cri/b’

ВТ

4.M"

XL"

A"

f' i РУ^в'у^У

M-

-ГУНс НьНс

à"'

У'Нь

\Н5

к'^-УЖ&пж

<3

Rys. 200.*

/На

'а'

с*

Rys. 199.

Niechaj punkt przecięcia się M' rzutów poziomych a' i b' danych prostych (Rys. 199.) będzie rzutem poziomym punktu M, leżącego na prostej b. Oznaczywszy rzut pionowy punktu M literą M", poprowadzimy przezeń prostą c", którą uważajmy za rzut pionowy prostej c, przechodzącej przez punkt M równolegle do prostej a. Rzut poziomy c' prostej c schodzi się z prostą a'. Proste b i c wyznaczają płaszczyznę e, równoległą do prostej a. Wyznaczmy ślad poziomy he płaszczyzny e, a następnie, przyją wszy płaszczyznę rzutów prostopadłą do Нь’/Jhz !Hc poziomej i do płaszczyzny e, wyznaczmy ślad boczny ke tej ostat-• niej, a to łącząc rzut boczny M"'

punktu M z punktem przecięcia się osi y ze śladem he. Ponieważ prosta a jest równoległą do płaszczyzny e, więc jej rzut boczny a'" otrzymamy, kreśląc z punktu Ha prostą równoległą do ke. Odległość prostych równoległych ke i a " równa jest odległości prostych skośnych a i b.

6.    Wyznaczyć odległość punktu P (P' P") od prostej p (p' p") (Rys. 200.*). Wyznaczmy rzut boczny p " prostej p i rzut boczny P’" punktu P na płaszczyznę poziomo rzuca

jącą, a zarazem równoległą do prostej p. Odcinek P'" Q'", prostopadły do pjest rzutem bocznym odcinka prosto- >

padłego do prostej p, rzut boczny bowiem kąta prostego ÄQ P będzie w tym wypadku kątem prostym, gdyż ramię Л Q jest równoległe do rzutni bocznej. Wyznaczywszy punkty Q' i Q" otrzymamy rzuty poziomy i pionowy odcinka, wyrażającego odległość punktu P od prostej p. Prawdziwą wielkość odcinka P £) znajdziemy, wykonując jego kład Po Qo na rzutnię boczną.

7. Wyznaczyć odległość punktu A (A' A") od płaszczyzn dwusiecznych Ô, i ó„ Odcinki N7rB'⁷⁷TWrrC

\Kói

Bm

Ve

■\A”

45°У

С"*

/ kój he

Rys. 201.

(Rys. 201) rozwiązują zadanie.

8. Wyznaczyć odległość prostej а (a' a"), równoległej do płaszczyzny dwusiecznej 6Я od tejże płaszczyzny (Rys. 202).

Wiadomo (ust. 56), że rzuty prostej równoległej do płaszczyzny ó;/ są wzajemnie równoległe, zatem a' // a".

Płaszczyznę e (he De) prostopadłą do osi X u-

Va

Va

ат/

Hä

Ve AvXj,

a"

Va

he

a’

ważamy za rzutnię boczną, wyznaczymy rzut boczny a',r ' prostej a, wykreślimy ślad boczny kh>n płaszczyzny ô//, a odległość n tych dwóch równoległych prostych rozwiązuje zadanie.

67. Ćwiczenia.

7/a

Rys. 202.

1. Wyznaczyć rzuty i ślady prostych, które przechodzą przez punkty

a)    Л (1, 2,3) i В {-2, 4, -5),

b)    C (0, -3, 4) i D (4, -2, +2),

c)    E (2, -2, -3) i F (-2, +2, +3),

d)    G (—5, 3, -3) i H (2, —5, 2).

2.    Dane są rzuty prostej l, przechodząc* i przez punkty A (0, 5, 3) i В (7, —3, 1); wyznaczyć rzuty punktów, leżących na prostej l, a mających głębokość równą 4; 3; 0; —4 i rzuty punktów o wysokości 4, 2; 0; —2; —3.

3.    Wyznaczyć rzuty i ślady poszczególnych boków trójkąta ABC, którego wierzchołkami są punkty:

(4, -1, -(-3, -6,

(8, -9, - , (-6, 7, - ,

--s

DO Oo

f)    A (6, 3, -4), В (3, -4, 6), C (-4, 6, 3),

g)    A (0, 4, 0), В (5, 1, 0), C (3, 0, 6).

są dane :

4. Wykreślić rzuty równoległoboku A B C D, którego trzy wierzchołki

a)    A    (2,    5, 3), В (7, 2, 8),    C (13, 5, 2),

b)    A    (1,    4, 3), В (5, 8, 3),    C (11, 3, 7),

c)    A    (1,    -2, 4), В (6, 5, —10), C (9, -5,    10),

d)    A    (4,    -1, -8), В (-1,    -8, 4), C (-8, 4,    -1).

5. Dane są rzuty punktu A (5, 4, 6). Wyznaczyć rzuty oraz ślady prostej, która przechodzi przez punkt A i jest: а) II do л, b) /I do JT2,

с) II do osi л:,

d) J. do я i,

e) _L do st,,

6. Rozwiązać powyższe zadania, skoro położenie punktu A jest na

stępujące:

a) A (0, -5, 4), d) A (0, 0, 5),

b) A (0, -4, 4), e) A (0, —5, 0),

7. Dane są rzuty punktu P (5, 1, 4) i prostej l, wyznaczonej śladami H (3, 8, 0) i V (10, 0, 8).

c) A (0, -4, -5), f) A (0, -3, +3).

Wyznaczyć rzuty prostej m, która przechodzi przez punkt P, przecina prostą / i jest:    *

a) równoległa do ni,

do 712 .

b)

8. Rozwiązać zadanie 7, jeżeli położenie punktu P i prostej l = (H, V)

określają :

a)    P (2, 7, 5), H (8, 9, 0), V (1, 0, 9), .

b)    P (6, -7, 4), H (3, -4, 0), V (13, 0, 6),

c)    P (7, /, -4), H (2,10, 0), V (5, 0, -8).

9. Dane są rzuty dwóch prostych l i m, przecinających się w punkcie

A (3, 5, 4).

przyczem :

a)    /

b)    I

Skonstruować ślady płaszczyzny a, wyznaczonej prostemi / i m,

c) 1

d) 1

e) 1

f) /

jri, m dowolna,

Я1, m II Я2, jri, m I/ do osi X, jti, m dowolna, si, m II n\, яг, m II do osi X,

l _|_ -'flj ТП Я2,

1 1 si, ш do osi X, l II jti, m l II яг, m l II do osi

l _L «i, m

Я2,

JT2 ,

m _J_ JT2,

JT2.

10. Rozwiązać zadaide 9. w przypadkach a)...ń), jeżeli położenie punktu Л będzie następujące:

aj Л

b)    Л

c)    Л

/-—S    'S

Oj Oj Oj

-4, 6), -4, -5), -4, 4),

d)    Л (3,    -6),

e)    Л (3, -4, -4), !) Л (3, 0, -4),

g) Л (3, 0, 5).

11. Dane są rzuty prostej l i punktu Л, nie leżącego na tej prostej; wykreślić ślady płaszczyzny a (fja va), wyznaczonej elementarni I i Л, które zajmują następujące położenia w przestrzeni:

a)    l U    *i,    Л    (0,    3, -5),

b)    l II    Jti,    Л    (0,    —4, —4),

c)    l II    «i,    R    (6,    -5, + 2),

d)    l II    яг,    Л    (3,    2, —4),

e)    I II    яг,    Л    (3,    -3, -3),

/2. Dane są rzuty dwóch trójkątów R B C i MNP; nie posługując

się śladami płaszczyzn tych trójkątów, wyznaczyć przenikanie się tych trój-

a)    R (2, 2, 4), В (12, 5, 5), C (8, 9, 9);    M (3,    5, 9), N(10, 3, 1),    P (12, 9, 7).

b)    R(2,4,    2), В (10, 2,10), C(6,10,—3);    M( 4,    6, 1), N(5,—3,3),    P (10, 5,10).

c)    R (0, 2,    -4), В (8, 0, 0), C (3, -4, 4) ;    M (0,    -3, 0), N (2, 4, 2),    P (6, -3, 6).

13.    Dane są rzuty punktu P (P' P") i    ślady płaszczyzny a (ha va).

Przez punkt P poprowadzić płaszczyznę ß // do a, skoro :

a)    a II «i, P (0, 6, —6),

b)    a I/ do osi x, P (0, —4, 6),

c)    cc I/ я 2, P (5, —4, —4).

14.    Wykreślić ślady płaszczyzny a i do prostej а (а' а"), a przechodzącej przez punkt Л (R' R"), gdy:

a)    а II я₁₅

b)    а II я1}

c)    а II Jti,

d)    a II Jti,

15.    Dane są rzuty R' B' i R" B" odcinka Л B. Wyznaczyć rzeczywistą wielkość tego odcinka, jeżeli położenie punktów Л i В jest następujące:

a)    R    (0,    --3, 6),    В    (8, 3, 3),

b)    R    (2,    -3, 3),    В    (10, -6, -2),

c)    R    (3,    —3, 3),    В    (12, 6, —6),

d)    R    (0,    3, -7),    В    (7, 4, -2),

e)    R    (0,    3, —3),    В    (10, —5, 5).

16.    Wyznaczyć odległość punktu Л (R' R") od płaszczyzny a (ha va) w przypadkach określonych Rysunkami 203 a—d.

П I II do osi X, R (3, 3, —3),

g)    I JL*i,

h)    l _L Jta,

j)    I II

k)    / //

R (4, -5, 2), R (2, -3, -5), R (3, 0, 3),

R (3, —3, 0).

(0, 5, 6),

(0, -5, -6), (0, -5, 5),

(0, 4, -6),

IF

er

îb

...O'

f!

—o ;

4

te Ir

Rys. 203 a—d.

17. Wyznaczyć rzeczywistą odległość punktu Л (Æ Л") od płaszczyzn dwusiecznych 8/ i 8//, jeżeli położenie punktu Л jest określone:

a)    Л (0, 6, 0),

b)    Ä (5, 0, 8),

e) Л (0, 3, —10).

c)    Л (4, -5, 2),

d)    Л (3, -6, -2),

/8. Wyznaczyć odległość punktu Л (Л' Л") od płaszczyzny a, wyznaczonej przez proste przecinające lub równoległe lim:

a)    / // л,, m II Я2,

b)    / II «i, m II osi X,

c)    / II osi X, m dowolne,

d)    l II m II do osi x.

/9. Wyznaczyć odległość punktu Л (Л' Л"! od prostej l (Ï /")» jeżel położenie tych elementów jest następujące:

a)    Л (0, 5, —5), / dowolne,

b)    Л (0, 4, -8), l 11 *,,

c)    Л (3, —5, 2), l II Я2,

d)    Л (3, —3, —3). I II do osi rzutów x.

e)    Л (3, 8, 2), / leży na 8/,

f)    Л (4, 2, 6), l leży na 8//,

g)    Л (4, 4, 4), l leży na я

h)    Л (3, 6, —6), l leży na я2,

i)    Л (2, —4, —6), / = x,

k)

7Г

Z'

Rys. 204.

20. Wykreślić ślady płaszczyzny przechodzącej przez daną prostą / (/' /") prostopadle do danej płaszczyzny a (ha va), w następujących przypadkach:

a)    / dowolna, a // do x,

b)    / II яt, a dowolna,

(x, Л),

c)    l II я 2, a

d)    / _L , a dowolna,

e)    l _L Я2, a = bi,

f)    / _L яз, a dowolna,

8//,

g)    I II X, a

h)    l leży na 8/, a // x,

i)    l leży na 8//, a dowolna, к) l = x, a = (х, Л).

§ 5. OBROTY, KŁADY I ICH ZASTOSOWANIA

68.    O metodzie obrotu. W dotychczasowych rozważaniach naszych istnieje luka, uniemożliwiająca rozwiązanie zadań, zwłaszcza natury miarowej, t. j. takich, gdzie w rezultacie chodzi o poznanie wielkości odcinków i kątów. Przykład najlepiej rzecz wyjaśni. Niechaj zadaniem naszem będzie wyznaczenie prawdziwej wielkości kąta, którego rzuty ramion są dane. Wiadomościami, któremi dotąd rozporządzamy, zadania tego rozwiązać nie potrafimy, nie znane nam są bowiem spo-spoby, którymi nadaćby można ramionom kąta położenie równoległe do rzutni, lub też wprost ramiona te, bez zmiany zawartego między niemi kąta, na tę rzutnię położyć. Istota rozwiązania omawianego zadania polega na zmianie położenia ramion kąta w przestrzeni, przy zachowaniu danego odchylenia tych ramion. Owóż, zmiana położenia ramion kąta dokonywa się przy pomocy pewnej metody konstrukcyjnej, zwanej metodą obrotów.

Najpierw zajmiemy się poznaniem metody jako takiej, a następnie zastosowaniem jej do rozwiązywania zadań.

69.    Obroty punktu. Mówiąc o obrocie punktu, mamy na myśli jego obrót około danej prostej, zwanej osią obrotu i o dany kąt, przyczem punkt pozostaje stale na płaszczyźnie

Д,

Rys. 205.

prostopadłej do osi obrotu, zwanej płaszczyzną obrotu. Oś obrotu m przebija płaszczyznę obrotu s (Rys. 205.) w punkcie S, który jest środkiem obrotu. Odcinek r, łączący punkt A z punktem S, nazywamy promieniem obrotu. Punkt A zakreśli podczas obrotu około osi m na płaszczyźnie e luk koła, równy danemu kątowi cp i zajmie położenie Ai.

Przeprowadzimy zadanie powyższe w rzutach cechowanych, przyczem niechaj oś m leży na płaszczyźnie porównawczej, a punkt A, który obrócić mamy o -fc <p, niechaj ma cechę 3'4 danych jednostek (Rys. 206.).

Płaszczyzna obrotu, przechodząca przez punkt A _L m, przecina rzutnię wdłuż śladu he ± m. Punkt S' jest środkiem

obrotu, a odcinek S Л' = r' rzutem promienia obrotu. ЛЬу mods dokonać obrotu punktu A około osi m, wykonajmy kład płaszczyzny 8 około jej śladu he na płaszczyznę rysunku, czyli w naszym przypadku na rzutnię. Kład ten ujawni się kładem promienia r na płaszczyznę poziomą i wyznaczy jego p r a wd z i w ą wielkość r°.

fiAF

■A"

A'(3-4)

Ve

>r

,A°

T"

r°

S"j

X_ГП"

'AS""

'A'

jji

ht

Г'

й°

r°

<p

1 os O 1    2    3 4m

/Aï

Rys. 206.

Rys. 207.

Następnie zakreślmy ze środka S promieniem r° łukkoła w żądanym kierunku, obracając tym sposobem punkt w kładzie o dany kąt..ф aż do położenia Ai°. Z kolei wrócić musimy z punktem A i na płaszczyznę obrotu w jej pierwotnem położeniu, t. j. niejako płaszczyznę tę wraz z punktem Ai podnieść, albo raczej obrócić około śladu he o 90°. W tym celu rzucimy punkt 4i° prostopadle na prostą he, a odcinek Ai° A\ wyraża w przyjętej jednostce długości wysokość punktu A i po obrocie, a więc jego cechę. — Konstrukcyjne rozwiązanie tego zadania w rzutach Monge’a podaje Rys. 207.

Poziomo rzucająca płaszczyzna obrotu wyznaczona jest śladem he i i?e; środek obrotu S (S' S"), połączony z danym punktem A (A' A"), daje promień obrotu r (r' r"). Dokonamy obrotu, a rzut pionowy Ai" punktu po obrocie znajdziemy, odmierzając od osi x na prostej odnoszącej otrzymaną wysokość z = Ai' Ai°.

Jeżeli oś obrotu jest równoległą do rzutni np. pionowej (Rys. 208.), to obrót dowolnego punktu o dany kąt wykonamy zupełnie analogicznie: kreślimy ślady he i Ue płaszczyzny obrotu prostopadłej do osi obrotu m (m' m"), wyznaczymy środek obrotu S (S' S"), promień obrotu r (r' r"), wykonamy kład płaszczyzny obrotu i otrzymanym promieniem r° obrócimy punkt A° o dany kąt cp. Po podniesieniu płaszczyzny

obrotu w jej pierwotne położenie, otrzymamy rzuty Ai" i AA punktu Ai, po dokonanym obrocie. Zadanie uprości się w pewnej mierze, jeśli, jak to widzimy na Rys. 209., kład płaszczyzny obrotu i obrót wykonamy na płaszczyznę równoległą do rzutni яг, a przechodzącą przez oś m.

at*-

АЩ

v>

S°

Го

my'*ST

Г"

‘4°

A%

s\

nr

"7

/"'S

А'

А’

I:

hs

®A’r

Rys. 208.

Rys. 209.

70. Obroty prostej. Ponieważ prostą wyznaczają dwa punkty, więc obrót prostej sprowadza się w ogólności do obrotu dwóch jej punktów, o ten sam kąt i w tym samym kierunku. Jeżeli oś obrotu i prosta przecinają się, a punkt przecięcia się M leży w granicach rysunku, to wówczas obrócimy jeden punkt prostej i łączymy go po obrocie z puntem M, który jako leżący na osi obrotu, położenia swego nie zmienia. Gdy prosta jest równoległą do osi obrotu, to i wówczas obrócimy tylko jeden jej punkt o dany kąt i w żądanym kierunku, po obrocie prosta pozostanie bowiem do osi obrotu równoległą.

Przykłady.

Э"

B"

ATA

B”

л ГП"

\ff

ar

B'

a) Obrócić prostą a {a' a") około osi m, leżącej na rzutni poziomej, o dany kąt a (Rys. 210.). Obróciliśmy punkty A' (A' A") i В (В' В") prostej a około josi m o * a, a otrzymane punkty Ai (AA Ai") i Bi (Bi' Bi") wyznaczają prostą ai (ai' ai") po obrocie.

Si!

I Ct

SJbr-

Rys. 210.

b) Około osi m, leżącej na rzutni poziomej, obrócić prostą a, przecinającą oś w punkcie M, o dany kąt cp (Rys. 211.). Zadanie wykonaliśmy w rzutach cechowanych. Punkt A (A', (2)). przyjęty na prostej a, obróciliśmy około m o < cp, a otrzymany punkt А/ połączyli ze stałym punktem M. Wysokość

punktu Al równa jest długości odcinka А/ Ai równa w naszym rysunku 2’5 przyjętych jednostek. Zestopniowanie prostej przeprowadziliśmy według ust. 17.

a'

B"

A'(2)

A°

Bh

S"/M"    A)'

Ir

S,

'po

ч■>

x_

x_

nr

05

p Si ..... \Ai_th

M'

.3;

Bi

4sj-

1 OS О

2    3    4 Sm

nr

В'

Rys. 211.

Rys. 212.

c) Odcinkowi Л B, mającemu dowolne położenie, nadać położenie równoległe do rzutni poziomej (Rys. 212.). Przyjmiemy oś m, przecinającą odcinek R В w puncie M i obrócimy około niej punkt np. A tak, aż znajdzie się na wysokości punktu M.

71. Obrót płaszczyzny. W najogólniejszym przypadku obrót płaszczyzny sprowadza się do obrotu dwóch prostych, przyjętych na tej płaszczyź-nie.Jeżeli pro- a- \k? sta m(m'm")

(Rys. 213.) л_ jest osią, o-koło której obrócić ma- /a[ my płaszczyznę a (ha Da) 7 o cp, to płaszczyzną obrotu dla śladu poziomego ha jest rzutnia pozioma. Styczna hai w pukcie Pi do koła, zakreślonego z punktu m' promieniem iri P, jest śladem poziomym płaszczyzny po obrocie. Tworząca a (a' a") płaszczyzny a, obrócona około m, o ^ cp, zajmie położenie a i (aT ai"), a jej ślad pionowy Va położenie Vai ( Va/ Va,).

Va

П)"

Vau

Si F

A"

: у*

Va,

R'\/P

о -A

nr

7>«

Rys. 213.

Al

_л

\A'i

ha, a;

/А :

va /к nr

НИ/

.Vf»

p—

: ! P'

h y \ A_ m; J A'

Hk

ha

ha,

Rys. 214.

Ślad pionowy Va^ płaszczyzny a po obrocie jest tym sposobem także wyznaczony.

Rys. 214. przedstawia również obrót płaszczyzny a (ha Va) około prostej pionowej m (m' m"), dokonany jednak w inny sposób. Obróciwszy ślad poziomy ha do położenia hat, jak w przykładzie pierwszym, znajdziemy punkt przebicia się A (A' A") osi obrotu m (m' m") z płaszczyzną cc. Ponieważ punkt ten udziału w obrocie nie bierze i przez niego przejdzie cc po obrocie, więc wykreśliwszy tworzącą p (p' p") i jej ślad Vp, otrzymamy ślad pionowy Vat płaszczyzny a po obrocie.

Przykład obrotu płaszczyzny a (ha Va), nachylonej do obu rzutni, do położenia pionowego widzimy na Rys. 215. Przyjmiemy oś obrotu m (m' m") prostopadłą do rzutni pionowej i około niej obrócimy ślad pionowy Va tak, aż zajmie położenie Vai, prostopadłe do jc. Ślad poziomy hai przejdzie przez rzut poziomy A' punktu przebicia się A osi obrotu z płasz-

_ Vy Vk

Vk

P.

Va,

Va,

k”\/r

m"

nr

A’

ha,.

14

ha

P,

czyzną a.

Rys. 215.

72. Kład płaszczyzny rzucającej. Szczególny, a dla dalszych rozważań naszych bardzo ważny, przykład obrotów stanowi obrót płaszczyzn, względnie punktów i prostych, leżących na nich, około śladów względnie warstwie, albo tworzących. Kątami obrotów są kąty, jakie płaszczyzny te zawierają z płaszczyznami rzutów. Po tak dokonanym obrocie, płaszczyzna wraz z utworami na niej leżącymi znajdzie się na płaszczyźnie rzutów, względnie na płaszczyźnie do rzutni równoległej ; dokonaną operacyę nazywamy wykonaniem kładu płaszczyzny. Jako zadanie odwrotne występuje podnoszenie z kładu, t. j. obrót punktów, prostych, czy też linij leżących na płaszczyznach rzutów lub na płaszczyznach do rzutni równoległych, około odnośnych śladów, względnie warstwie o taki kąt, że po obrocie utwory te znajdą się na danej płaszczyźnie.

Z kładem płaszczyzn rzucających zapoznaliśmy się przy sposobności wyznaczenia prawdziwej wielkości odcinka (ust. 13. i 39.). W istocie bowiem wyznaczenie długości odcinka jest kładem płaszczyzny rzucającej ten odcinek na rzutnię poziomą względ-

nie pionową. Wyznaczmy ślady H i V prostej (Л, В) (Rys. 216.), a także ślad pionowy płaszczyzny poziomo rzucającej, przechodzącej przez nią, to prosta Ua° będzie kładem śladu pionowego na rzutnię poziomą, a punkt V° połączony z H wyznaczy kład prostej w granicach jej śla- J%. dów. Л⁰ B° jest kładem poziomym odcinka ЛВ.

V<F В°У/'

-yy.B"

A",

i ha

Kład tejże sa- /цА0 mej płaszczyzny a na

Va

A°

Va

л H°

7'*—Tvï" Н/ i

Vs_

B’ \

b/*

7?'

V/

rzutnię pionową widzimy na Rys. 217.

Ślad poziomy H zakreśli na rzutni poziomej łuk koła o środku V', a punkty Л i В obrócą się na płaszczyznach poziomych, jako płaszczyznach obrotu prostopadłych do osi obrotu Va.

73. Kąty nachylenia prostej z płaszczyznami rzutów. Kątem nachylenia prostej z płaszczyzną nazywamy kąt, jaki prosta tworzy ze swoim rzutem prostokątnym na tę płaszczyznę (ust. 14.). Jeżeli p' (Rys.

218.*) jest rzutem poziomym prostej p, a p" rzutem pionowym tej prostej, to jak z rysunku widzimy: a + y = 90°. Lecz kąt, jaki prosta tworzy ze swoim rzutem na płaszczyznę, jest najmniejszy, jaki zawierać może z prostemi, leżącemi na płaszczyźnie rzutów, a przechodzą-cemi przez jej ślad; zatem ß < у, a więc cc + ß < 90°, czyli: suma kątów nachylenia prostej z obu rzutniami jest mniejsza od kąta prostego.

Przez wykonanie kładu px prostej p (Rys. 219.) na rzutnię poziomą, otrzymamy kąt a, jaki prosta zawiera z rzutnią poziomą; kład p° prostej p na rzutnię pionową wyznacza kąt ß tej prostej z rzutnią pionową. O ile ślady prostej nie leżą

Rys. 216.

Rys. 217.

tiLgiHß

я.

Hp

P°-

'p

Rys. 218.*

w obrębie płaszczyzny rysunkowej, to kłady wykonamy na płaszczyzny równoległe do rzutni, jak to widzimy na Rys. 220.

Niechaj za-B" daniem naszem będzie wykreślenie rzutów — prostej, przeje chodzącej przez dany punkt.A(zl'xl"), z a zawierającej cej z n i ami

Hp

\CC

P"

P'

Hp

vP

Vp

vp

Rys. 219.

A⁰^-"'

P°'P

/V

P"

A"

M.

B'

A'

rzut-

dane

kąty a i ß. Najpierw znajdziemy dowolną prostą, tworzącą z rzutniami żądane kąty, a następnie przez punkt A poprowadzimy do niej równoległą.

Przypuśćmy, że prosta p (Rys. 218.*) jest szukaną prostą i przeprowadźmy rozbiór konstrukcyi. ЛЬу otrzymać ^ a, jaki prosta p tworzy z rzutnią poziomą, obróćmy ją około osi (Vp, Vp') na rzutnię pionową. Otrzymamy prawdziwą wielkość odcinka prostej ograniczonej śladami Hp i Vp, równą odcinkowi Hp Vp i a. Odcinek Hp Vp, jego rzut pionowy Hp" Vp i odcinek Hp Hp" tworzą trójkąt prostokątny z kątem ß przeciwległym bokowi Hp Hp” i z kątem prostym w wierzchołku Hp". Znając ^ ß i odcinek Hp° Vp, wykreślimy trójkąt prostokątny Hp° Hp* Vp, przystający do trójkąta HpHp" Vp a przy jego pomocy rzuty żądanej prostej w sposób następujący. Przez dowolnie na osi .v przyjęty punkt Hp° (Rys. 221.) kreślimy prostą p° pod kątem a do osi X i dowolny punkt Vp uważamy za jej ślad pionowy. Kreślimy trójkąt Hp° Hp* Vp o kącie prostym przy Hp* a kącie ß przy Vp. Bok Hp* Vp równy jest długości rzutu pionowego szukanej prostej p, a ponieważ punkt Vp jest jej śladem pionowym, więc zakreśliwszy pro-

Hp___________ж

Hß Hß

Hp

Rys. 220.

p°y/

y/P"

P’

Vp

A”

A’

Rys. 221.

S’

mieniem Vp Hpx , z punktu Vp jako środka, luk koła aż do przecięcia się z osią л:, otrzymamy rzut pionowy Hp" śladu poziomego prostej p, a więc i jej rzut pionowy Hp" Vp = p". Łuk koła o środku Vp' a o promieniu Vp’ Hp° przetnie prostopadłą, wykreśloną w puncie Hp" do osi jy, w punkcie Hp, który jest śladem poziomym prostej p. Prosta (Hp, Vpj jest rzutem poziomym p' prostej p, przyczem oczywiście HpHp" = Hp°Hpx. Przez A (A' A") poprowadzona ••ównoległa s (s' s") do prostej p(p'p") rozwiązuje zadanie.

Rozważmy jeszcze warunek, który spełniony być musi, aby rozwiązanie zadania było możliwe. Przedewszystkiem łuk Йр* Нр" musi przeciąć oś x, czyli musi być: Vp Vpr z Hp* Vp albo (patrz Rys. 218.*) Hp Vp sin a z. Hp Vp cos ß czyli: sin a z sin (90 — ß), albo ponieważ kąty a i ß są ostre a z 90° — ß czyli a + ß z 90°

wykazaliśmy już, że powyższy warunek jest konieczny, widzimy teraz, że jest on też wystarczający.

74. Kąty nachylenia płaszczyzny z rzutniami. W ust. 25. określiliśmy kąt dwóch płaszczyzn jako kąt zawarty między dwiema prostemi, leżącemi na tych płaszczyznach, a prosto-padłemi w dowolnym punkcie ich krawędzi. Ponieważ owe proste są prostopadłe do krawędzi danych dwóch płaszczyzn, więc płaszczyzna niemi wyznaczona jest do tej krawędzi prostopadłą. Stąd wynika następujący sposób postępowania przy wyznaczaniu kąta nachylenia dwóch płaszczyzn: W dowolnym punkcie krawędzi dwóch płaszczyzn prowadzimy do niej płaszczyznę prostopadłą, wyznaczamy proste przecięcia się z obiema

płaszczyznami, a kąt zawarty między tęmi proste’ kąt, jaki tworzą dwie uważane płaszczymy.

mi, mierzy

Suma kątów, jakie płaszczyzna zawiera z dwiema rzutniami, leży w granicach między jednym i dwoma kątami prostymi. Suma ta osiąga swą granicę dolną, kąt prosty, gdy płaszczyzna jest równoległą do osi x, kąty a i p są w tym wypadku uzupełniające. Suma kątów a i p osiąga granicę górną, dwa kąty proste, gdy płaszczyzna jest prostopadłą do osi x. Dla wszystkich innych położeń płaszczyzny, suma kątów z płaszczyznami rzutów jest większą od kąta prostego, a mniejszą od dwóch kątów prostych. W istocie, dwie nie-prostopadłe płaszczyzny tworzą jeden kąt ostry i jeden roza + ß > 90°.

warty, spełniające się do dwóch kątów prostych; kąt ostry jest wedle umowy kątem, który mierzy nachylenie dwóch płaszczyzn, w następstwie czego musi być cc + ß ^ 180°. Zresztą mamy także: a + p. + 90⁰ > 180°, ponieważ suma trzech kątów naroża trójściennego jest większą od dwóch kątów prostych, więc istotnie:

Celem wyznaczenia kąta, jaki płaszczyzna cp (hep оФ) (Rys. 222.) zawiera z rzutnią poziomą, poprowadzimy, zgodnie z podanym wyżej tokiem postępowania, płaszczyznę e(hsüe) prostopadłą do krawędzi obu płaszczyzn, t. j. do śladu poziomego hep i znajdziemy krawędź k (k' k") tej płaszczyzny z płaszczyzną cp. Kąt a, zawarty między tą krawędzią a śladem poziomym he, rozwiązuje zadanie.

Л1е z ust. 25. wiemy, że krawędź k jest linią największego spadu płaszczyzny cp w odniesieniu do rzutni poziomej,

Ve

Vv

Vk

Hi

k?/k"

X‘fA

Vk

/a"

|x

HU

t. z. taką prostą płaszczyzny cp, która ze swoim rzutem

hr1/

kT

h<p

V—A*

hs/^\hv

Rys. 222.

he

Hi

Rys. 223.

/Vo tworzy najmniejszy kąt. Powiemy więc: kąt nachylenia danej płaszczyzny z rzutnią poziomą lub pionową wyraża się kątem nachylenia linii największego spadu tej płaszczyzny w odniesieniu do rzutni poziomej lub pionowej.

Rzut poziomy kąta a równy jest zeru, gdyż k' i he nakrywają się; rzut pionowy kąta a oznaczyliśmy na Rys. 222. przez a". Wykonawszy kład k° krawędzi k na rzutnię poziomą lub na pionową (ki⁰), otrzymamy prawdziwą wielkość tego kąta. Na Rys. 223. podaliśmy ponadto konstrukcyę kąta nachylenia ß płaszczyzny cp z rzutnią pionową.

Przyjmijmy płaszczyznę cp (hep иФ) nachyloną do obu rzutni (Rys. 224.). Poprowadźmy przez punkt Д obrany na osi płaszczyznę e (he vв) prostopadłą do hep i płaszczyznę

Y (hy Vy)±Vep. Krawędź k

płaszczyzn cp i e obróćmy

około üe na rzutnię pionową, a krawędź kz płaszczyzn cp i y około h\ na rzutnię poziomą. Kąt cc, jaki utworzy zosią x, jest kątem nachylenia płaszczyzny cp z rzutnią poziomą, a kąt ß — Л Vu⁰ H2 jest kątem nachylenia płaszczyzny cp z rzutnią pionową. Wykreślmy z punktu Л prostopadłe m i n do k-2° i kt°, to Л В — Л C, gdyż każdy z tych dwóch odcinków wyraża odległość punktu Л od płaszczyzny cp. W istocie, prostopadła wyprowadzona z punktu Д do płaszczyzny cp jest krawędzią płaszczyzn e i y, prostopadłą do linij największego spadu /?ti/j2 tych płaszczyzn. Po wykonaniu kładów płaszczyzn e i y, a więc i prostych k 1 i &2, odcinki Л В i Л C są kładami tej samej prostopadłej.

vy

Vi

vt

!/

НГ/ Af I _

.. I

\ И m

h₇

\ кг

ht

w?

Rys. 224.

M.

Vnr

Przeprowadzone rozumowanie umożliwi rozwiązanie następującego zadania: Przez dany punkt P poprowadzić płaszczyznę zawierającą z rzutniami dane kąty cc i ß.

Ks,

Xvr

Iß

Wiemy, że musi być: a ^90°, ß 90° a a -f- ß > 90°.

P'

BV

S'

hi

h nr

/V

Rys. 225.*

Najpierw poprowadzimy płaszczyznę cp nieprze-chodzącą przez punkt P, a następnie przez ten punkt płaszczyznę Ąr rów-wnoległą do płaszczyzny cp. Na prostopadłej wykreślonej w punkcie Л do osi x (Rys. 225.*) obierzmy dowolnie punkt M> z którego wyprowadźmy prostą kt° zawierającą z osią X kąt cc. Odcinek ЛС = n, prostopadły do hi°, równy jest odległości

punktu Л od szukanej płaszczyzny. Zakreślmy z punktu Л’ jako środka, promieniem Л Ć koło i drugie z niem współśrod-kowe promieniem Л H°. Do pierwszego koła wykreślmy styczny k2° pod -fc ß do x. Z punktu N wykreślona styczna ЛФ do drugiego koła jest śladem poziomym szukanej płaszczyzny cp, a prosta (Хер, M) jej śladem pionowym.

Oczywiście, że koło zakreślone promieniem AV° z punktu Л jako środka jest styczne do śladu Dtp.

ДЬу módz wykreślić styczną /хФ, musi punkt N leżeć zewnątrz koła H H°, czyli musi być Л H° z A~N, albo biorąc pod uwagę trójkąty prostokątne ACH⁰ i A BN, wyrazimy powyższy warunek w ten sposób :

AC

AB

sin cc    sin (90⁰ — ß)

a ponieważ AC = AB, więc mamy:

sin a 2l sin (90° — ß).

Д ponieważ kąty a i p są z założenia ostre, więc cc    (90⁰ — ß) czyli (a + ß) 90°.

Wykazaliśmy już poprzednio, że dwa warunki są к o-nieczne, aby rozwiązanie zadania było wogóle możliwe:

1) (a + ß) ^ 180° i 2) (a + ß) _> 90°.

Z powyższego widzimy, że warunki te są zarazem w y-starczające.

Płaszczyzna ^ (/7^ i?^), poprowadzona przez punkt P (P' P") równolegle do cp (ЛФ уФ), rozwiązuje zadanie.

na

75. Kłady płaszczyzn dowolnie położonych w przestrzeni. Wykonać kład płaszczyzny a (ha Va) na rzutnię poziomą znaczy, obrócić ją wraz z punktami i prostemi leżą-cemi na niej, około jej śladu poziomego tak, aż padnie na rzutnię poziomą. Wykonanie kładu płaszczyzny, o ile nie są brane pod uwagę inne punkty i proste na niej leżące, sprowadza się do obrotu śladu pionowego tej płaszczyzny około śladu poziomego jako osi obrotu tak, aż ślad ten padnie rzutnię poziomą. Przykład takiego kładu widzimy na Rys. 226 a. Punkt Л, obrany na śladzie üa, obróciliśmy około ha o kąt 180⁰ — \|/, jaki płaszczyzna a zawiera z rzutnią poziomą. Prosta Da⁰, łącząca punkty A° i X«, jest kładem śladu pionowego płaszczyzny a.

Odcinek ХаЛ° równy jest odcinkowi ХаЛ, wobec czego zakreśliwszy ze środka Ха (Rys. 226 b.) promieniem XaA łuk.

aż do przecięcia się z prostopadłą wyprowadzoną z punktu Л' do ha, otrzymamy punkt Л⁰ i tą drogą uzyskamy również rozwiązanie zadania.

Jeżeli na iv& płaszczyźnie <X (ha Va) (Rys.

227 a.) leży prosta а (а' a"), to po wykonaniu kładu tej płaszczyzny prosta ta znajdzie się również na rzutni pozio- x mej. Wyznaczywszy V a°, znajdziemy kład Va° śladu pionowego^ prostej a i połączymy go ze śladem

poziomym Ha. Prosta a° jest kładem prostej a (a' a") na rzutnię poziomą. —

Kład Л⁰ punktu Л(Л'Л") prostej a otrzymamy, rzucając punkt Л' prosto-padledofaa na a°.

Rys. 227 b. podaje kład płaszczy zny a narzutnię poziomą, dokonany wT ten sposób, że ślad pionowy Va prostej a obróciliśmy około ha na rzutnię poziomą i otrzymany punkt Va° połączyli z Ha prostą a°. Prosta (Xa, Va°) byłaby kładem śladu pionowego płaszczyzny a.

/ /s

д°

X Xa}

Va

Va

A'

/-*

ax

het,

Vâi

Rys. 226 a.

«'fia

i*\

A⁰

A'

Лес⁴

Rys. 226 b.

•K

Va

Va

te

A"

/

yj \\a° /

a"

a"

Rys. 227 a.

Yr

Va

/?a

vr

ha

Rys. 228 a.

X«

HS

//al

A⁰

,a°

A"

71'

Va

Va

X_

a’

te'

'5

Art

Rys. 227 b.

xi

a,

Va

XaV^

/1

\A°

'A

A!

ha

Rys. 228 b.

Przykłady kładów płaszczyzny na płaszczyznę warstwową (równoległą do rzutni poziomej) widzimy na Rys. 228 a i b.

la

9a

9*

Sa

7*

7a

6a

Ir

7a

8â

3°

9a

9°

Bk!

Osią obrotu jest w tym przypadku dana warstwica (prosta tworząca) w (w' w") płaszczyzny a. Dowolnie obrany punkt Л śladu pionowego u a. obróciliśmy około w (w' w"), aż padł na płaszczyznę poziomą, przechodzącą przez w. Prosta łącząca punkt Л⁰ z V jest kładem śladu pionowego; prostopadła do w' wykreślona z Xaprzetnie üa° w punkcie Xa°, przez który przechodzi, równolegle do w\ kład h a° śladu poziomego płaszczyzny a. Po-

! ²m

•    •    O-/

niewaz

Rys.229.

D'(2S)

ÄV=Ä°V

/5'

więckorzy-

CtM)

A?

W(is)

stając z tego uprościmy konstruk-cyę zadania, postępując tak, jak na Rys. 228 b.

-f o-s 0    1    2    3    4-m

B”

b)

Płaszczyznę

A"

Kład płaszczyzny a na płaszczyznę warstwową яв, wykonany w rzutach cechowanych, przed-stawia^Rys; 229.

D”

C"

~,r

ß'

D'

С'

А‘

т'

obrotu ' poprowadziliśmy przez li-rfię największego spadu, na warst-wicy 9a odmierzyli 9 9X = 3 m w podziałce rysunku. Odcinek 9х 0' x jest kładem linii największego spadu i tworzy z la kąt cp, równy kątowi, jaki płaszczyzna a zawiera z poziomem. 7a°> Sa°) 9a°... są to kłady warstwie płaszczyzny cc na płaszczyznę warstwową Jte.

Ćwiczenie.

•Вв

Rys. 230 a i b.

Wyznaczyć prawdziwą wielkość trójkąta, którego rzut cechowany, względnie rzuty Monge’a są dane.

a) Rzut cechowany (Rys. 230 a.).

Wykonamy kład trójkąta na płaszczyznę warstwową, przechodzącą przez jeden

z jego wierzchołków, np. C (C [2'5] ). Wyznaczywszy na prostej Л' В' punkt D’ o cesze 2’5 i połączywszy go z punktem C, otrzymamy warstwicę 2’5e płaszczyzny trójkąta. Punkt Л obróciliśmy około tej warstwicy, aż padł na płaszczyznę warstwową я 2*5 i punkt Л⁰ połączyli z D' i C'; kład B° trzeciego wierzchołka leży na prostej (£)', Л⁰).

b) Rzuty Monge’a (Rys. 230b.). Kład trójkąta wykonaliśmy na płaszczyznę poziomą cc, przeprowadzoną przez punkt C (C' C"). Punkt Л (Л' Л") obróciliśmy więc około krawędzi m (mr m") płaszczyzny trójkąta i płaszczyzny a, na tę ostatnią. Punkt Л⁰ łączymy z D' i C i otrzymamy punkt B°, który leżeć będzie wraz z punktem B’ na prostodadłej do m'.

76. Rzut na dowolną płaszczyznę. W § 4. rozpatrywaliśmy wprowadzenie trzeciej płaszczyzny rzutów i zastosowanie jej do rozwiązywania zadań. Owa trzecia rzutnia była z re-góły prostopadłą do osi x, albo do jednej z dwóch rzutni. W pewnych przypadkach chodzie nam będzie (patrz ust. 89.) o wyznaczenie rzutu utworu geometrycznego na płaszczyznę dowolnie położoną; rozpatrzmy więc przedewszystkiem rzut prostokątny punktu na taką płaszczyznę.

Zasadniczo postąpićby można — wyszedłszy z pojęcia rzutu — w sposób następujący: z danego punktu Л poprowadzić prostopadłą do danej płaszczyzny rzutów a, znaleźć jej punkt przebicia, a następnie wykonać kład płaszczyzny cc na jedną z rzutni. Sprawa da się \ jednak znacznie uprościć.

v2/

pi

\H°

\ Pi

Vi\

Al

Ха x

\Hf\W HX

pk/

Hz,

Rys. 231.

Wyobraźmy sobie, że przez dany punkt Л poprowadziliśmy dwie płaszczyzny prostopadłe do cc, przyczem jedną poziomo, a drugą pionowo rzucającą. Każda z nich przecina płaszczyznę a w linii x mĄ/i największego spadu, a więc w prostych prostopadłych do śladów ha i Ua. Przez wykonanie kładu płaszczyzny a wraz z owemi liniami największego spadu pi i pa na jedną z rzutni, otrzymamy jako punkt przecięcia się owych linij żądany kład Л1⁰ rzutu Л1 punktu Л na płaszczyznę a.

Konstrukcyę zadania podaje Rys. 231. Przez punkt Л (Л' Л") poprowadziliśmy płaszczyzny ß (hß i?ß) i y (Tiy i?y)

prostopadłe: pierwszą do śladu ha, drugą do śladu u a danej płaszczyzny a. Następnie wykonaliśmy kład ha⁰ śladu poziomego ha na rzutnię pionową, a wraz z nim i kład Hi⁰ punktu Hi. Prostopadła pi°, wykreślona do ha⁰ w Hi°, jest kładem linii największego spadu p, płaszczyzny a w odniesieniu do rzutni poziomej. Kład p2° linii największego spadu p2 (p2' pa") płaszczyzny a, w odniesieniu do rzutni pionowej, schodzi się z P2". Punkt Л/, będący przecięciem się prostych pt° i p2°, rozwiązuje zadanie.

77. Podnoszenie płaszczyzn. Jako zadanie odwrotne kładu * płaszczyzny występuje t. zw. podnoszenie płaszczyzny, przez które rozumiemy także obrót punktów i prostych, względnie wielokątów albo dowolnych linij, leżących na płaszczyznach rzutów około śladów danych płaszczyzn tak, aż padną na te płaszczyzny. Kilka przykładów rzecz najlepiej wyjaśni.

a. Przypuśćmy, że dany jest kład poziomo rzucającej płaszczyzny a (ha Ua) wraz z kwadratem, który na niej leży (Rys. 232 a.). Tak więc ślad poziomy ha, prosta Ua°J_ha jako kład śladu pionowego Va płaszczyzny cc, a wreszcie kwadrat Л⁰ B° C° D° są dane. Podnieść płaszczyznę a z kładu w jej

B"

Vit c”

Va

?D" C”

A°

Aj

OJ

&~тЖ.

b" В” x

/Л\

Va. ty

A°r~—.

C'

b\ i

harfy

im

rB°

ha

c°

D°

Rys. 232 a.

Rys. 232 b.

pierwotne położenie oznacza to samo, co wykreślić rzuty kwadratu, leżącego na tej płaszczyźnie. Rzut poziomy kwadratu leży na śladzie poziomym ha płaszczyzny a. Ślad pionowy Da płaszczyzny cc jest prostopadły

do osi x w punkcie Xa. Rzuty pionowe А", В", C", D" wierzchołków kwadratu znajdziemy, odmierzając na promieniach odnoszących od osi X ich wysokości. 1 tak np. wysokość punktu Л równa jest odcinkowi A° A', wysokość punktu В odcinkowi

ZFF i t. d.

Wysokości poszczególnych punktów przenieść można

także zapomocą łuków kół zakreślonych z punktu Xa i prostych równoległych do ha względnie .X, jakto przeprowadziliśmy dla punktu B".

Jeżeli dany jest kład płaszczyzny a wraz z kwadratem na rzutnię pionową (Rys. 232 b.), to rzuty tego kwadratu znajdziemy w sposób następujący: Rzućmy punkty C°, D\... na oś x i przenieśmy te rzuty lukami kół o środku Xa na ślad poziomy ha, a otrzymamy rzuty poziome C',D'... wierzchołków kwadratu. Rzuty pionowe C", D"... są oczywiście punktami przecięcia się prostych odnoszących i śladów pionowych płaszczyzn obrotów, przechodzących przez punkty C°, D... prostopadle do śladu Da, który jest osią obrotu. Uwzględniając, że boki kwadratu Л⁰ B° C° D° przecinają oś obrotu Da, i że przez punkty te 1, II i III przejdę także rzuty pionowe odnośnych boków, możemy znaleźć, wyznaczywszy w wyżej podany sposób C' i C", dalsze punkty jak D", Л" i B" przy pomocy tych właśnie punktów I, II i III.

b. Przyjmijmy proste ha i Va°, przecinające się w punkcie Ха na osi X (Rys. 233 a.) i uważajmy je za kład płaszczyzny a dokonany około ha na rzutnię poziomą. Obróćmy płaszczyznę a około śladuhaja-ko osi obrotu tak, aż Ха,

Vp................

La"

v8_i

V«

Ve

Va

Нр Л Ха

A" !

V'

Hp\ X

ślad pionowy Ü a° padnie na rzutnię pionową, czyli podnieśmy płasz-

\ A°

Va

S3(

p°

я:

съугщ а w jej pierwotne położenie. Na prostej Va° obierzemy dowolnie punkt Vp°, przez który wykreślimy prostopadłą do ha, aż do przecięcia się z osią x w punkcie Vp'. Łuk koła zakreślony promieniem X« Vp° z punktu Xa jako środka przetnie odnoszącą, poprowadzoną w punkcie Vp', w punkcie Vp. Prosta (Xa, Vp) jest szukanym śladem pionowym płaszczyzny a. Jeśliby prócz v a° dany

Rys. 233 a.

Rys. 233 b*.

był kład p° prostej leżącej na płaszczyźnie cc, to wyznaczenie rzutów tej prostej, czyli podniesienie jej w przestrzeń w pierwotne położenie przeprowadzimy w sposób następujący: Punkt Hp (Rys. 233 a.) jest śladem poziomym prostej p, którego rzut pionowy Hp" leży na osi x. Punkt Vp° jest kładem śladu pionowego prostej p ; znajdziemy Vp' i Vp i tym sposobem otrzymamy p' i p". Gdyby punkt Л⁰ na p° był dany, to rzut poziomy A! leżeć będzie na prostopadłej do ha.

c. Niechaj dana jest płaszczyzna a (ha Da) а na rzutni poziomej prosta p°; obróćmy prostą p około ha tak, aż padnie na płaszczyznę cc. Postąpić możemy w dwojaki sposób: albo wykonamy kład śladu pionowego Da i zadanie sprowadzimy do poprzedniego, albo jak w Rys. 233b.* obrócimy dowolny punkt prostej p około ha o kąt, jaki płaszczyzna a zawiera z rzutnią poziomą. W tym celu przy pomocy poziomo rzucającej płaszczyzny s (he De) J_a (ha Da) wyznaczymy kąt (p płaszczyzny cc z rzutnią poziomą, a następnie podniesiemy punkt A na płaszczyznę cc, otrzymując jego rzuty Л' i Л" ; (A\ Hp) = p', a (A", Hp") = p".

7a

P’

CL

B¹

C‘

D°

1 trs 0

Rys. 234.

78. Zadania. 1. Wykreślić rzut cechowany kwadratu, leżącego na danej płaszczyźnie cc (Rys. 234.). Położenie płaszczyzny a określone jest zestopniowaną linią największego spadu Za',kąt 1 0 Zx = cp jest kątem nachylenia tej płaszczyzny. Na płaszczyźnie porównawczej przyjęliśmy kwadrat A⁰B°C⁰D°, który obrócimy około śladu ha o kąt cp i który tym sposobem padnie na płaszczyznę a. Płaszczyzny obrotów przejdą przez poszczególne punkty przyjętego kwadratu prostopadle do osi obrotu ha. Obróćmy punkt C°; ze środka obrotu S’ wykreślimy prostą równoległą do 0 Iх i zakre-3m ślimy łuk promieniem SC⁰. Otrzymany ^ punkt Cx rzucimy w kierunku ± do la' i otrzymamy rzut C' punktu C, leżącego na płaszczyźnie cc. Prosta (B°, C°) przecina oś obrotu ha w punkcie /, który łączymy z C i otrzymamy punkt B'. Przy pomocy punktu II na ha otrzymamy punkt A', a ponieważ rzuty prostych równoległych są równo-

ległe, więc rzut kwadratu będzie równoległobokiem. Dwa brakujące boki otrzymamy, kreśląc C' D' // В' Л' i Л' D' // B' C.

<C/

2. Wykreślić rzuty kwadratu, leżącego na danej płaszczyźnie a (ha Da) (Rys. 235.). Punkt V, obrany na śladzie pionowym Da, obrócimy około ha jako osi na rzutnię poziomą i otrzymany punkt V° połączymy z Xa prostą Da⁰, będąca kładem śladu pionowego płaszczyzny a.

C"

Va

D’

ьу

Va,

By

'd"

V,

Or

V Va

HS

На

U.

Boki a° i c° kwadratu Л⁰ B° C° D° przecinają prostą Da° W punktach Va° i Vc°, które podniesione padną na ślad Da ja- * ko punkty Va i Vc.

W    л⁷

Нь'

V°é'

3'

'/i

А'

D’

В⁰]

d'

a°

//

Гдо

b°!

Ha

!d°

ho~

C°

c°

D°

Rys. 235.

Punk i Ha jest śladem — poziomym prostej a, której rzut poziomy a' przechodzi przez ten punkt i przez rzut poziomy Va śladu pionowego Va. Ślady poziome płaszczyzn o-brotu, przechodzące przez punkty Л⁰ i B° prostopadle do ha, przecinają prostą a' i# w punktach Л' i B\ które odniesione na prostą (Va, Ha") = a wyznaczają na niej

rzuty pionowe Л" \B" wierzchołków Л i В kwadratu. Punkt Hb, ślad poziomy prostej b, łączymy z B', otrzymując rzut poziomy b', a na nim punkt C'\ podobnie za pośrednictwem punktu Hd otrzymamy bok gT i punkt D'. W ten sposób rzut poziomy Л' B' C D' kwadratu, który będzie równoległobokiem jest wykreślony. Punkt Hd" łączymy z Л", a na otrzymaną prostą odniesiemy punkt D', otrzymując punkt D" ; c" będzie równoległe do a" i przejdzie przez punkt Vc, oczywiście, że b" będzie równoległe do d".

3. Wyznaczyć odległość dwóch prostych równoległych. Rys. 236 a. podaje rozwiązanie zadania metodą rzutów cechowanych. Ponieważ proste a i b są równoległe, więc linie 8a, 9a, 10a..., łączące punkty tych prostych o tych samych

cechach, tworzą pęk promieni równoległych i л są warstwicami płaszczyzny a, ~ wyznaczonej tern i prostem i.— Około warstwicy 10 a obróciliśmy punkt Л prostej a na płaszczyznę

warstwową Jtm i otrzymany punkt Л⁰ połączyli z punktem 10 prostej a'. Prosta a° jest kładem prostej a, prosta b° Ц a “kładem prostej b na płaszczyznę Jtio. Odcinek n, prostopadły do obu

otrzymanych prostych, wyraża odległość prostych równoległych a i b.

To samo zadanie, rozwiązane w rzutach prostokątnych na dwie płaszczyzny, widzimy na Rys. 236 b. Znaleźliśmy ślad poziomy ha płaszczyzny a, wyznaczonej prostemi a i b, a następnie wykonali kład tej płaszczyzny. W tym celu przyjęliśmy na prostej a (ar a") punkt A (A' A") i obrócili go około ha na poziomą. Punkt Л°, połączony ze śladem Ha prostej a, daje prostą a o; prosta bo л przejdzie przez ślad Hb równolegle do ao.

b’

a’.

ffą

10

10,

П-Л’А⁰^

S,

8/

8cc

A”

Kb"/

A*

9*

10CL

1 os 0    1    2 3m

Rys. 236 a.

■a°

а.) рол

В°Л >

A'(S)

x Hä

A Ha

Па

A°

Нь,

b°

La°

a’

Rys. 236 b.

S'

7 OS 0

b.)

a⁰.

ÛjÎ \

Vć

5а

S'

2m

Y A⁰

c°

A*

4. Z danego punktu A poprowadzić prostopadłą do danej prostej a.

a. Rzut cechowany. Jeżeli punkt A' (Rys. 237 a.) ma cechę 5, to prosta 5u, łącząca ten punkt z punktem 5 prostej a', jest warstwicą płaszczyzny a, wyznaczonej prostą a i punktem A. Punkt В (В', 6) obróciliśmy około 5n

a'

Xе'

JT

P'

Rys. 237 a i b.

tak, aż padł na płaszczyznę warstwową ль, a w ten sposób otrzymaliśmy kład a° prostej a. Z punktu A' wykreślimy prostopadłą do a°, którą następnie podniesiemy na płaszczyznę a. W tym celu rzucimy punkt P° w kierunku prostopadłym do 5a na prostą a' i otrzymany punkt P' połączymy z A'. Odcinek A' P' jest rzutem odcinka prostopadłego do prostej a. Odcinek A' P° wyraża odległość punktu A od prostej a.

b. Rzuty Monge’a (Rys.237b.). Przez dany punkt A (A'A") kreślimy prostą c(c'c") równoległą dodanej prostej a (a' a"). Szukamy śladu pionowego u a płaszczyzny a-i (a, ć) i wykonamy jej kład, otrzymując punkt A° i proste c° i a°. Z punktu A° kreślimy prostopadłą do a°, a odcinek A° P° równy jest odległości punktu A od prostej a. Prostopadła wykreślona z P° do üa Ag, przecina a'⁷ w punkcie -4.

P", który odniesiemy na a' jako P'. Odcinek ■ x Л Р (Л' Р\ FF]    а-

rozwiązuje zadanie.

79. Kąt nachylenia dwóch prostych.

a) Proste przecinające się. Jeżeli dane są proste a (a' a") i b (b' b/f) (Rys. 238 a.), to po wykonaniu kładu płaszczyzny a, wyznaczonej temi prostemi, na jedną z rzutni, albo na płaszczyznę równoległą do rzutni, otrzymamy prawdziwą wielkość kątów, jakie proste te tworzą. Wyznaczywszy ślad poziomy ha płaszczyzny a, obrócimy około niego punkt P (P P") aż padnie na rzutnię poziomą. Proste a° i b°, łączące punkt P° ze śladami Ha i Hb, tworzą kąt cp rozwiązujący zadanie.

W Rys. 238 b. wykonaliśmy kład prostych a i b na płaszczyznę \Jp,

_____a° 6"

b"

P”

b'

a"

px

HZ_X x|X a"

ry *r , B'

>44-'; N 4a-' 5rb^

b°

-P°

Rys. 238 a.

Sa

Aa

За

3.

V'/r

y\Prr

b"

7Г

nr

P'

a’

Rys. 238 b.

-Pfoi.

• 4.

-J¹³

ОТ

2a

л «•/ L

SP

р°

Rys. 239.

równoległą do rzutni pionowej. Osią obrotu jest w tym przypadku prosta m (m' m"), będąca krawędzią płaszczyzny <\r i płaszczyzny а = (a, b).

Rozwiązanie zadania w rzutach cechowanych podaje Rys. 239., gdzie kład prostych a i b wykonaliśmy na płaszczyznę

warstwową яг. Osią obrotu jest warst-wica 2a, a odcinek P' PX równy jest trzem jednostkom długości.

b) Proste skośne. Przez kąt nachylenia dwóch prostych skośnych rozumiemy kąt, jakie tworzą dwie proste, przechodzące przez dowolnie obrany punkt w przestrzeni, równolegle do danych prostych skośnych. Jeżeli na jednej prostej np. a (a' a") (Rys. 240.) obierzemy punkt Л (Æ A"), przez który poprowadzimy prostą c (e' c") równoległą do drugiej prostej b (b' b"), to kąt cp, jaki tworzą proste a i c, rozwiązuje zadanie.

80. Ćwiczenia.

1. Wyznaczyć kąt nachylenia dwóch prostych skośnych a i b, które mają następujące położenia :

C,X-

źl"⁴j

x /НЗ

\łiS x

Ha

b'

a'.

Д'/Y

ha,

/Iх

he С«.

M-

A°

Rys. 240.

O Di

⁴—' ^—-

öi Di

• s*

<N

b) a II ni, b II îta; d) a dowolne, b = x.

2.    Na płaszczyźnie poziomo rzucającej a (ha na) leży krzywa k, której rzut pionowy k" jest kołem; wyznaczyć kład tej krzywej.

3.    Na pionowo rzucającej płaszczyźnie a (ha na) dany jest punkt 5 (S' S"), jako środek sześciokąta umiarowego, leżącego na tej płaszczyźnie ; wyznaczyć rzuty tego wielokąta, jeśli długość boku jest dana.

4.    Wykreślić rzuty trójkąta równobocznego, leżącego na płaszczyźnie a,

jeżeli :

a) a _L Л1, b) а_]_л2, c) a// x, d) a — 5/, e) a — 5//.

5.    Wyznaczyć rzuty pięciokąta umiarowego, leżącego na płaszczyźnie a, która zajmuje położenia określone w zadaniu poprzedniem.

6.    Dane są rzuty trójkąta, leżącego na płaszczyźnie a (ha na) ; wyznaczyć prawdziwą wielkość tego trójkąta, jeżeli

a) a /I x, b) а // 0/, с) a J_ X, d) а // Ô//, e) a ÊEÊ 8/, f) а — Ьц, g) a przechodzi przez л: i punkt P (P P"), leżący w drugiej, trzeciej lub czwartej części przestrzeni.

7. Na płaszczyźnie a (ha na) leży czworokąt Л В C D, którego rzut pionowy jest dany (Rys. 110 a—1, str. 59). Wykreślić drugi rzut tego czworokąta, a następnie wyznaczyć jego prawdziwą wielkość.

8.    Na płaszczyźnie a (ha pa), nachylonej do obu rzutni, leży trójkąt ABC, którego rzut poziomy jest dany. Wykreślić rzut pionowy i rzuty punk-tÓ-w osobliwych tego trójkąta.

i''

Uwaga. Punkt przecięcia się wysokości, środek ciężkości i środek koła opisanego leżą na jednej prostej.

9.    Wyznaczyć kąt nachylenia dwóch prostych przecinających się l i m i rzuty dwusiecznych tych kątów, jeżeli:

я я * и

н* ь*

-§

ra

10. Rozwiązać zadanie poprzednie, jeżeli punkt przecięcia się Л prostych l i m leży w II, III i IV części przestrzeni, a także gdy leży na S/, Ô// i na osi X.

11.    Dana jest płaszczyzna a (ha oa) i płaszczyzna ß = (/, m); na krawędzi obu płaszczyzn wyznaczyć punkty równo oddalone od prostych l i m.

12.    Dana jest płaszczyzna a (ha na) oraz trzy punkty: Л {А' A"), В (В' В") i С (С' С"), nie leżące na tej płaszczyźnie. Wyznaczyć na płaszczyźnie a punkt równo oddalony od tych trzech punktów.

13.    Dane dwie proste / // m. Wyznaczyć rzuty takiej prostej p równoległej do danych, aby odległość prostych / i p wynosiła 5 cm, a prostych m i p 3 cm.

14. Na danej prostej l (/' l") wyznaczyć punkty oddalone od danego punktu Л {А’ A") o daną odległość.

81. Kąt nachylenia prostej z płaszczyzną. W określeniu kąta nachylenia prostej z płaszczyzną, podanym w ust. 14, mieszczą się dwa sposoby rozwiązania zadania.

1. Sposób. Wyznaczymy kąt cp, jaki prosta p zawiera ze swoim rzutem pt na daną płaszczyznę s. W tym celu wyznaczymy punkt przebicia się P (Rys. f_

np

Rys. 241.

241.) prostej p z s, a następnie rzut prostokątny Q\ dowolnego punktu Q na płaszczyznę e. Prosta pi, łącząca punkty P i Qi, jest rzutem prostokątnym prostej p na płaszczyznę e i tworzy z nią kąt cp, który nazywamy kątem nachylenia prostej p z płaszczyzną e. Rozwiązanie zadania w rzutach prostokątnych na dwie płaszczyzny podaje Rys. 242. Prosta p (p' p") przebija płaszczyznę e (he Ds ) w punkcie P (P' P"), który znaleźliśmy przy pomocy płaszczyzny pionowo rzucającej a (ha У a). Z punktu Q (Q' Q") prostej p wyprowadziliśmy prostopadłą q (q' q") do

płaszczyzny e i znaleźli jej punkt przebicia się Qi {Qi Qi"). Prosta pi (pi' pi"), łącząca punkty P i Qi, jest rzutem prostej p

Ыуь

Va,

b"

N₄

Ha

Q"

VA. C

çpn/

Pt

\\

Q'/

У/3

>"

ûx

Hä

: ypO

V’ \ к

я:

Ae\ Va

Hq Vq X

Vr \

IX

\V

' ч/Х

4P

Hw '^Vq

hcc

Q°

P°\

y he

Pt

(а K p,

hp

ar

Hb

Rys. 242.

na płaszczyznę e. Około śladu pionowego и y płaszczyzny y,

wyznaczonej prostemi p i q, dokonaliśmy kładu tej płaszczyzny, a w szczególności kładu prostych p i pi. Kęt (p, zawarty inię-X dzy p° i p,°, rozwiązuje za-И? danie.

//£

Я"

ar

P"

X. 5

Ł0jj.

^    2. Sposób. Z do-

^ wolnego punktu Q prostej p (Rys. 243) prowadzimy prostą q prostopadłą* do płaszczyzny e, a kąt cp, u-zupełniający kąt ^ zawarty między prostemi p i q, jest szukanym kątem. — W Rys. 243. wykonaliśmy kład płaszczyzny y, przechodzącej przez proste p i q, na rzutnię pionową, a otrzymany kąt y\r uzupełnili do 90°, otrzymując kąt cp.

P°\

яя

po'

\QI

л\У

Rys. 243.

82. ZADANIA

CM

82. Zadania.

1. Wyznaczyć kąt, jaki pl. a (ha va) zawiera z osią x. 1. Sposób. Dowolny punkt Л osi x (Rys. 244 a.) rzućmy prostopadle na płaszczyznę a, a otrzymany punkt Ах (Л/Л/')

pyk

mi.

p\

к*.

ml

Vet/'

,P°

.4

X«

ч>"

/Р'

нгт'

Р7 Ч, Rys. 244 а.

ha

Р"

hx

Rys. 244 b.

połączmy z punktem Xa prostą m {m' m"). Prosta ta jest rzutem osi X na płaszczyznę a, a kąt, jaki tworzy z tą osią, rozwiązuje zadanie. Celem wyznaczenia prawdziwej wielkości tego kąta, wykonaliśmy kład m⁰ prostej m około x na rzutnię pionową, otrzymując < ф = -fc то x.

/Va

\Vm

/pm

2. Sposób.

Z dowolnego punktu Л osi rzutów prowadzimy prostopadłą p (p' p") do płaszczyzny a ( ha. Va)

(Rys. 244 b.) i znajdziemy kąt, jaki zawiera z osią rzutów.

W tym celu obrócimy dowolny punkt P pro- / stej p około osi x na /ha    A*

rzutnię pionową. Kąt Ф, uzupełniający do 90 otrzymany kąt \j/, jest szukanym kątem.

2. Wyznaczyć kąt, jaki dowolna prosta m (m' m") zawiera z płaszczyzną dwusieczną <5//. Wyznaczmy rzut boczny m danej prostej (Rys. 245.) a także ślad boczny kb płasz-

X Hm,

--    "S' N

■ Hnvr

ona

j.

Am

/77"'

нр/\

Hm

Ä. \

777'

то

A° \y vr

Hm

\P° У Rys. 245.

czyzny dwusiecznej. Z dowolnego punktu Л (Æ Л" Л'") prostej m poprowadźmy prostopadłą p (p' p" p'") do płaszczyzny bu i znajdźmy kąt, jaki prosta ta tworzy z prostą m. W tym celu wyznaczyliśmy ślady poziome Hm i Hp obu prostych, i ślady ha, Va płaszczyzny cc, na której leżą. Wykonawszy kład tej płaszczyzny na rzutnię pciiomą, otrzymamy proste mo i po, a kąt cp, uzupełniający kąt ^ tych prostych, rozwiązuje zadanie.

3. Wyznaczyć kąt nachylenia prostej p (p' p") z płaszczyzną a (ha Va), przyczem położenie prostej jest takie, że rzuty jej schodzą się ze śladami płaszczyzny (Rys. 246.). Dla

т°/ /т”

А" \P°

ff*

t° /

P"

Va-

Hm & Zm/t

B*

: /

! / koc

Hm Vm

P’

Кв'

Уа

he

,m'

zoryentowania się co do wza-jemnegopołożenia prostej i płaszczyzny, wyznaczyliśmy rzut boczny p'" prostej p i ślad boczny ka płaszczyzny a. Następnie z punktu В (В' В") prostej Ха X p (p' p") poprowadziliśmy pro-^ stopadłą m (m' m") do a i wykonali kład płaszczyzny e(fte ü/), wyznaczonej prostemi p i m, na rzutnię pionową. Kąt <p, uzupełniający kąt m° p°, jest rozwiązaniem zadania.

położeń :

Rys. 246.

S3. Ćwiczenia.

Wyznaczyć kąt nachylenia prostej p z płaszczyzną a dla następujących

b) a J_ я 2, p // Jti;

а) a _Ljti, p dowolnie;

c) a I/ do X, p dowolnie; d) cc // 8/, p // *2; e) a ЕЕ 8/, p dowolnie; i) cc dowolnie, p // JC.

Лг

Уа

Va

znacz-

Vk

84. Kąt nachylenia dwóch płaszczyzn. Ogólnie omówiliśmy rozwiązanie tego zadania w ust. 74. Sprawa da się jednak pod względem konstrukcyjnym nie uproście.

л_

А/К

iß

/а

Щуур

A“

■-"к'

ГУ,

ha

Я,

Hk

Rye. 247.

1. Spos ób. W punkcie Л, krawędzi k płaszczyzn a i ß (Rys. 247.), poprowadzona płaszczyzna prostopadła e, przecina płaszczyznę a w prostej (Л, M), zaś płaszczyznę ß

w prostej Л N, przyczem ślad poziomy he tej płaszczyzny jest prostopadły do rzutu k' krawędzi k i przecina go w punkcie P. Kąt MAN jest szukanym kątem. Prosta A P, leżąca na płaszczyźnie poziomo rzucającej Hk A P i na płaszczyźnie e, jest prostopadłą do krawędzi k i do śladu he; w istocie k, jako prostopadła do s, jest prostopadłą do AP, a ślad he prostopadły dok' jest prostopadły do płaszczyzny rzucającej HkAP, a więc i do prostej Л P.

Przystąpmy do rozwiązania zadania w rzutach prostokątnych (Rys. 248 a.). Wyznaczmy rzut poziomy k' krawędzi k

Vk

Vk

Va.

yp

Va

V<7i

Hk/

P” o Vk'

ix

Ш/

Vf

N}

S⁰'

hcc\

JP ■ /hp

A¹'V

h7k'

hu\

bHp

7/3

'k

y Vf

yx

y>y

A⁰/

hi

A°7y

he'

'Hk

[Hk

Rys. 248 b.

Rys. 248 a.

danych płaszczyzn a i ß i w punkcie dowolnym P wykreślmy he±k', jako ślad poziomy płaszczyzny prostopadłej do krawędzi k. Wykonajmy kład kx krawędzi k na rzutnię poziomą (porównaj Rys. 247. z Rys. 248 a.) i wykreślmy z punktu P prostą (P, Лх) _!_ k x, a otrzymany punkt Л x przenieśmy łukiem koła o środku P na k'. Punkt Л⁰ połączymy z punktami M i N, a kąt M A° N — cp rozwiązuje zadanie. Rzuty kąta у otrzymamy, gdy znajdziemy rzuty A' i A" jego wierzchołka Л. Prostopadła wykreślona z Лх do k' przecina ją w punkcie A', który jest wierzchołkiem rzutu poziomego kąta cp, którego ramiona przechodzą przez M i N. Punkt A' odniesiony na k" i połączony z punktami M" i N" wyznacza kąt M" A" N", będący rzutem pionowym kąta cp, jaki tworzą płaszczyzny a i ß.

Wykreślmy dwusieczną s° kąta cp (Rys. 248 b.) i połączmy punkt przecięcia się B = (s°, he) z punktem Hk. Otrzymana

prosta ha jest śladem poziomym płaszczyzny dwusiecznej ff, której ślad pionowy przejdzie przez punkt Vk.

p-

PA

,a

2. Sposób. Z dowolnego punktu M prowadzimy prostopadłe pi i p2 do danych płaszczyzn a i ß (Rys. 249.). Proste te wyznaczają płaszczyznę e prostopadłą do obu danych, a więc i prostopadłą do ich krawędzi k. Oznaczmy proste przecięcia się płaszczyzny e z a i ß przez > b1 a i b, to kąt cp, jaki tworzą te proste, przecinające się w punkcie Л, jest kątem danych płaszczyzn.

'к

Z Rys. 249. czytamy:

<p + yp- = 180е" i epi + \|r = 180⁰

Rys. 249.

a stąd cp i = cp, to znaczy, że wielkość kąta dwóch płaszczyzn wyraża kąt, którego wierzchołkiem jest dowolny punkt przestrzeni, a którego ramiona są prostopadłe do tych płaszczyzn.

P2

P"

Rozwiązanie zadania wrzu-

I <P1

M* \V/3

Y JA Wykreśliwszy z dowolnie przy-\ jętego punktu M (Mr M") pro-

i_stopadłe pi (p/pi") i рг (p*' pz")

do płaszczyzn a ( ha Va) i ß (hß üß), wykonaliśmy kład płaszczyzny e = (pitpa) około jej śladu pionowego u& na rzutnię pionową, otrzymując szukany kąt cp i = cp.

Va

tach Monge’a podaje Rys. 250.

14.. _

X /Чг

'P*

Rys. 250.

85. Zadania.

1. Obrócić dany punkt Л (A' A") około osi m (m' m'j tak, aby padł na daną płaszczyznę a (ha Ua). Poprowadźmy przez punkt A (Rys. 251.) płaszczyznę e (he Ve) prostopadłą do prostej m i wyznaczmy punkt przebicia się 5 (S' S") tej prostej z e, a także krawędź k (k' k") płaszczyzn a i e. Jeżeli promieniem 5 A ze środka obrotu S’ zakreślimy koło, to punkty przecięcia się A\ i Л2 tego koła z krawędzią k rozwiązują zadanie. W celu otrzymania tych punktów wykonaliśmy kład płaszczyzny e wraz z punktami Л, S i prostą k na rzutnię poziomą, gdzie promieniem 5° Лп zakreśliliśmy koło, które przecięło prostą k° w punktach Л1⁰ i Л2⁰. Punkty te odniesione na prostą k (k' k") dają rzuty Ai i Ai", Лз' i Л2" punktów Ai i A-2, spełniających żądany warunek. (Rys. 251. należy poprawić o tyle, żeby punkt Ai leżał na k', a punkt Ai" na k" jako rzut otrzymanego punktu Æ').

777"

Vt

£'

/.p

sy

'k"

Ae

V'

Лес

■.HA

nr-

//

hy

k°-

/4/°

Zadanie posiada dwa rozwiązania, jedno lub żadne, zależnie od tego, czy prosta k przecina koło, jest doń styczną lub nie przecina go w żadnym punkcie rzeczywistym.

'AL

(A?

A°

ду

//'

// .s

\Hh

ha

Rys. 251.

2. Między dwie prosie a i b wstawić dany odcinek m, równoległy do danej płaszczyzny e. Przypuśćmy, że żądany odcinek m = MN wstawiliśmy między proste a i b (Rys. 252.) przyczem jest m // e. Poprowadźmy prostą (N,P) II a, to płaszczyzna przechodząca przez proste b i (N, P) jest równoległą do prostej a i przecina daną płaszczyznę e w prostej q.

Piß

'OS

Oczywiście, że P Pt = M N = m.

дм«

Nl,

Rys. 252.

Zadanie rozwiążemy więc w sposób następujący : Wyznaczywszy punkt przebicia się Pt prostej a z płaszczyzną e, zakreślimy z niego jako środka, promieniem równym danemu odcinkowi m, koło, a przez prostą b poprowadzimy płaszczyznę równoległą do a. Płaszczyzna ta przetnie płaszczyznę e w prostej q, a ta znowu koło w punktach P i Q. Równoległe do a, wyprowadzone z punktów P i Q,

przetną prostą b w punktach N i Nt. Prosta, wyprowadzona z punktu N równolegle do P P1} przecina a w punkcie M, przy-czem odcinek M N = m rozwiązuje zadanie. Podobnie prosta, wyprowadzona z Ni równolegle do P, Q, przecina prostą a w punkcie Mif przyczem odcinek Mt Nt = m stanowi drugie rozwiązanie zadania.

Przeprowadzenie konstrukcyi w rzutach prostokątnych podaje Rys. 253., którego studyum pozostawiamy czytelnikowi.

Q\

er,

Va

Pt

Vt

qo\

b"

po)

5,

еук"/л

Ni

Vß

-B",

■му/р'

Hd

л_

H5

ci

"--U i Уч-    Hê/j

Hk"

Р'г^"--

Pi

iff' -

Ti Pi'

Vé

V/i

-с

И?' /7f'

P'

j$

__a'___

Куц b

Mi

He

/ \ Hk '

4^-

Ni

Ад

Ля Ле

\Г

A'

Rys. 253.

Zauważymy tylko, że dla wyznaczenia płaszczyzny, przechodzącej przez prostą b {b' b") równolegle do а (a' a"), wzięliśmy pod uwagę prostą с (с' c") // a (a' a") a przecinającą b (b' b") w punkcie В (В' В"), przyczem przyjęliśmy c' = a'. Prosta c przebija płaszczyznę e (he Vs) w punkcie С (С C"), a prostą b w punkcie P2 (/V Pi"). Punkty te wyznaczają prostą q (q' q").

Jeżeli prosta q nie przecina koła zakreślonego z punktu Pi promieniem m, to zadanie nie ma rozwiązań rzeczywistych,

odcinek m jest za krótki. Jeżeli prosta q jest styczną do koła, to wówczas otrzymamy tylko jedno rozwiązanie.

Ml

mi

Mi

Ai

dKp/

Rys. 254.

3. Przez punkt P płaszczyzny я wykreślić na niej prostą, równo oddaloną od dwóch danych punktów w przestrzeni, a mianowicie A i B. Przedewszystkiem rozważmy sprawę następującą: Przyjąwszy proste skośne m i p (Rys. 254.), a na pierwszej punkty A i B, odpowiedzmy na pytanie, kiedy i pod jakimi warunkami punkty Л i В będą równo oddalone od prostej p. W tym celu poprowadźmy przez prostą p płaszczyznę я, równoległą do prostej m i znajdźmy rzut prostokątny m, prostej m na tę płaszczyznę, a to przez wyznaczenie rzutów Л, i ßj punktów Л i B. Rzućmy jeszcze punkty Л i В prostopadle na prostą p i połączmy otrzymane punkty C i D, pierwszy z Ai, drugi z Bu Niechaj M Af, jest wspólną * prostopadłą do prostych m i p niechaj ЛМ = ЖВ, to wówczas Л, M, = M, ß,, Л, C = ß, D a także А С = B D, trójkąty bowiem Л Л, C i ßß,D będą przystające. Ponieważ odcinki AC i B D są oddaleniami punktów Л i В od prostej p, więc widzimy, że: aby dwa punkty A i B, prostej m, były równo oddalone od innej prostej p, to potrzeba i wystarcza, aby punkty te były równo oddalone od wspólnej prostopadłej obu prostych. I na wzajem, skoro dwa punkty prostej m są równo oddalone od prostej p, to wspólna prostopadła tych prostych przecina prostą m w środku M odcinka AB.

W ten sposób zadanie nasze wykreślenia na danej płaszczyźnie я, przez dany punkt P, prostej równo oddalonej od dwóch danych punktów Л i В w przestrzeni, sprowadza się do wyznaczenia na płaszczyźnie я takiej prostej p przechodzącej przez punkt P, aby wspólna prostopadła do p i m = (A, B) przeszła przez środek odcinka Л B.

W tym celu poprowadźmy przez środek M odcinka Л В (Rys. 225.) płaszczyznę e prostopadłą do niego i wyznaczmy krawędź k płaszczyzn e i я. Rzućmy następnie punkt M prostopadle na płaszczyznę я, a na średnicy Ml P zakreślmy koło. Proste pip,, łączące punkt P z punktami przecięcia się Л/iiV, krawędzi k z tym kołem, spełniają żądany warunek

i rozwiązują zadanie. W istocie bowiem prosta (M, N), jako leżąca na płaszczyźnie e, (e 1 A B), jest prostopadłą do Л B;

następnie prosta p jest prostopadłą do N Mx, gdyż P N Mx wspiera się na średnicy, a nadto p jest prostopadłą doM Mx , gdyż MM, jest prostopadłą do я. Wobec tego prosta p jest prostopadłą do płaszczyzny M MXN, a zatem i do prostej MN. Ta ostatnia jest wspólną prostopadłą do prostych (A,B) i p, a ponieważ przechodzi przez środek M odcinka AB, więc prosta p jest równo oddaloną od punktów A i В i rozwiązuje zadanie. Z tych samych powodów prosta pi czyni również zadość postawionemu warunkowi.

K'

—^

/NP

/ I*

><

71

Ki

Mi

Pi

Rys. 255.

fi")

VJC

tt*

m"l

Vk

P\

/c-

Г"

Va A

N7

/7 p"

Jeżeli prosta k Vn'й- byłaby styczną do koła, to zadanie Hk posiadałoby tylko jedno rozwiązanie; gdyby krawędź k nie przecięła koła, ~ zakreślonego

średnicy PM i, to . ’ _ zadanie nie posiada ha żadnego rozwiązania rzeczywistego. Jeżeli odcinek А В jest równoległy do płaszczyzny я, to punkt M, pada na prostą k, a wówczas otrzymamy zawsze dwie proste rozwiązujące zadanie; jedna przejdzie przez punkt M. a druga będzie do niej prostopadłą.

«\ у

Viï*-

M"i

M?

Vài Vk

Ô*

tNT

Ж

&    чЭ’

JM!

Г'

МК :

\ \N?

fi'

ГТ,У

*\ V

n"

A""'/    /

/ ^/лг

Hc

На

__к°_

Rys. 256.

УГ

р:

Р°

Nyfp

на

па

Rozwiązanie omawianego zadania w rzutach prostokątnych podaje Rys. 256., gdzie punkt В (В' В") przyjęliśmy w czwartej części przestrzeni.

86. Ćwiczenia.

1.    Obrócić punkt Л około danej prostej m tak, aby po obrocie padł na daną płaszczyznę a. Prosta m i płaszczyzna a mają następujące położenia:

a) m _L Я1, a : jti;

яi, a J_ JT2;

c)    m _L «, a /I яг;

d)    m i яг, a II m;

e)    m i яг, a dowolnie położona ; k) m // î) m m, a

2.    Wyznaczyć kąt nachylenia płaszczyzn a i ß w następujących przy-

g) rn _!_ а II x;

b) m

h)    m na xi, a — ó/;

i)    m na S//, a

j)    m na 5//, a

8/Z;

1) m II

a = Ô/;

a = ô//.

padkach:

a)    а I . ß J_ яг;

b)    a dowolna, ß I _

c)    a I/ x, ß dowolna;

d) a /I x, ß

я-i;

e) a J_ я., ß

S/;

ад л

Ô/Z;

a j_

S/Z;

, ß II яз;

a i; S/, ß dowolna:

S a, ß dowolna.

3.    Dane są dwie płaszczyzny a i ß i prosta p; wyznaczyć na tej prostej punkt równo oddalony od obu płaszczyzn.

4.    Dane są dwie płaszczyzny a i ß i trzy punkty Л, B, C ; wyznaczyć punkt równo oddalony od obu płaszczyzn i od danych punktów. (W środku koła opisanego na trójkącie ЛВС poprowadzimy prostopadłą do płaszczyzny trójkąta i znajdziemy punkty przebicia się z płaszczyznami dwusiecznemi).

(a, b) poprowadzimy płaszczyznę poziomą я; kra-

5.    Dane są dwie proste równoległe a i b i trzecia prosta c skośna względem dwóch pierwszych; wyznaczyć prostą, która przecina wszystkie trzy dane, a jest równoległą do rzutni poziomej. (Przez punkt przebicia się P prostej c z płaszczyzną a wędź płaszczyzn a i я rozwiązuje zadanie).

6.    Znaleźć prostą równo oddaloną od trzech danych równoległych.

7W Wyznaczyć miejsce geometryczne punktów, które są równo oddalone od obu śladów danej płaszczyzny a, od tej płaszczyzny i od rzutni poziomej. (Wyznaczymy dwusieczną d kąta, jaki tworzą ślady płaszczyzny a, a przez nią poprowadzimy płaszczyznę ß prostopadłą do a. Płaszczyzna dwusieczna kąta, jaki dana płaszczyzna a tworzy z rzutnią poziomą, przecina płaszczyznę ß w prostej, rozwiązującej zadanie).

8. Dana jest prosta a i trzy punkty Л, В, C; obrócić punkt Л około prostej a tak, aż będzie równo oddalony od В i C. (Przez Л poprowadzimy płaszczyznę a prostopadłą do a i wyznaczymy punkt przebicia się S. Promieniem 5Л zakreślimy na a koło i znajdziemy krawędź płaszczyzny a z płaszczyzną symetryi odcinka В Ć. Punkty przecięcia się tej krawędzi z kołem rozwiązują zadanie).

87. Rzuty wielościanów. Poznanie metody obrotów i kładów umożliwia nam zajęcie się pewną grupą utworów przestrzennych, jakimi są, znane nam z nauki stereometryi, wielościany. Wiadomo, że przestrzeń ograniczoną ze wszech stron płaszczyznami, stanowi wielościan. Prostą przecięcia się dwóch płaszczyzn ograniczających wielościan, nazywamy krawędzią tego wielościanu. Krawędzie te tworzą wielokąty, ograniczające wielościan i tworzące jego ściany. Do najprostszych wielościanów należą ostrosłupy i graniastosłupy.

Wielościan ograniczony dowolnym wielokątem i trójkątami, mającymi jeden wierzchołek wspólny, nazywamy ostrosłupem. O w wielokąt nazywa się podstawą, a boki tego wielokąta krawędziami podstawy. Wspomniane wyżej trójkąty stanowią ściany boczne ostrosłupa, a ich boki, z wyjątkiem tych, które stanowią krawędzie podstawy, nazywamy krawędziami bocz nem i. Wszystkie krawędzie boczne schodzą się w punkcie, który nazywamy wierzchołkiem ostrosłupa. Odległość wierzchołka od podstawy nazywamy wysokością ostrosłupa. Ostrosłup, którego wszystkie krawędzie boczne są równej długości, określać będziemy mianem prosty, w odróżnieniu od ukośnego, który warunku tego nie spełnia. Ilość ścian bocznych ostrosłupa nadaje mu miano; mówimy tedy o ostrosłupie trójściennym, czworościennym it. d., zależnie od tego, czy trójkąt, czworokąt, czy też inny wielokąt stanowi jego podstawę. Podstawa i wierzchołek wyznaczają ostrosłup, stwarzają bowiem warunki, umożliwiające wyznaczenie brakujących krawędzi i ścian bocznych.

Wielościan ograniczony dwoma przystającymi wielokątami i równoległobokami, których ilość równa jest ilości boków wielokąta, nosi nazwę graniastosłupa. Owe dwa przystające wielokąty stanowią podstawy, a równoległoboki ściany boczne graniastosłupa. Boki wielokątów podstawowych nazywamy krawędziami podstawy, a boki równoległoboków, nie schodzące się z bokami podstaw, krawędziami bocznemi graniastosłupa. Odległość płaszczyzn podstawowych nazywamy wysokością graniastosłupa. Graniastosłup, którego krawędzie boczne są prostopadłe do płaszczyzny podstawy, określać będziemy jako prosty; inaczej graniastosłup jest ukośny. Ściany boczne graniastosłupa prostego są prostokątami, graniastosłupa ukośnego równoległobokami. Zależnie od ilości ścian bocznych, mówimy o graniastosłupie trójściennym, czworościennym i d. t.

Z określenia graniastosłupa wynika, że jedna podstawa i jedna krawędź boczna, wyznaczają go w zupełności. Graniastosłup, którego jedna tylko podstawa i ściany boczne są dane, nazywać będziemy nieograniczonym.

Weźmy pod uwagę dowolny wielościan, np. ostrosłup czworościenny, którego podstawa znajduje się na rzutni poziomej i wiązkę promieni prostopadłych do tej rzutni. Pewne promienie wiązki przebiją ostrosłup i te będziemy nazywali siecz nem i, inne leżeć będą zewnątrz ostrosłupa, a wreszcie będą i takie, które przecinać będą jedynie krawędzie ostrosłupa i te nazywać będziemy stycznemi. Każda styczna wyznacza z krawędzią, którą przecina, płaszczyznę styczną wie-lościanu. Wszystkie te płaszczyzny styczne utworzą graniasto-słup, którego ściany przechodzą przez pewne krawędzie wie-lościanu. Krawędzie te stanowią zawsze zamkniętą linię łamaną w przestrzeni, czyli wielokąt przestrzenny, który nazywamy zarysem albo konturem uważanego wielościanu. Na zarys wielościanu składają się więc takie jego krawędzie, których płaszczyzny rzucające nie przecinają wielościanu. W odniesieniu do rzutni pionowej otrzymamy drugi kontur wielościanu, podobnie jak w odniesieniu do rzutni bocznej. Wiadomo (ust. 53.), że rzut poziomy jest widokiem z góry z odległości nieograniczenie dalekiej, że rzut pionowy jest obrazem przedmiotu, na który patrzymy w kierunku prostopadłym do rzutni pionowej z odległości nieograniczenie dalekiej, czyli, jak mówimy z przodu. Wreszcie rzut boczny jest równoznaczny z widokiem z boku, w kierunku prostopadłym do rzutni bocznej, zawsze, z odległości nieograniczenie dalekiej. Przy założeniu, że wielościan nie jest przeźroczysty, kontur jego oddziela, w odniesieniu do każdej rzutni, część widoczną od niewidocznej.

Rzut wielościanu na daną rzutnię otrzymamy, znajdując rzuty wszystkich jego krawędzi, a więc także i jego zarysu. Rzuty krawędzi widocznych, do których należą zawsze krawędzie konturowe, wykreślać będziemy liniami pełnemi, w odróżnieniu od rzutów krawędzi niewidocznych, rysowanych zawsze liniami kreskowanemi.

Zastosujmy te uwagi do przyjętego już wyżej ostrosłupa ukośnego, którego podstawa Л B C D spoczywa na rzutni poziomej (Rys. 257). Jeżeli W ( W' W" W'") jest wierzchołkiem ostrosłupa, to konturem jego w odniesieniu do rzutni poziomej będzie wielokąt przestrzenny W В Я D C W, odgraniczający

część widoczną od niewidocznej. W szczególności ściany VМВД,

WÄDi WDC są w rzucie poziomym widoczne, zaś ściana W В C i podstawa ostrosłupa są niewidoczne. Krawędź B Ć, jako należąca do dwóch ścian niewidocznych, jest niewidocznąidla-tego wykresko-waną. Zarys dla rzutu pionowego jest linią łamaną W Л D C W. Krawędź W В

jest w tym rzucie niewidoczną. W rzucie bocznym, na który

У /О¹" /а*

W'",

Si

■■

JCm

IВт Ay

Rys. 257.

<D"

С"

А

|5г

л_

Нт G’" Е'"

Гт

H" F" G"

i Sr

Ï

луч

'/Г

\ВЮ {О A"/ D",

su

Cj

[в

........V

\,

А

|5г

Н'

Rys. 258.

patrzymy w kierunku S3, nie jest widoczną krawędź boczna XV Л. Rys. 258. przedstawia rzuty czworościennego graniasto-

słupa ukośnego, którego podstawa Л B C D leży na rzutni poziomej.

88. Przykłady.

1. Wyznaczmy rzuty prostego ostrosłupa, którego podstawa, dowolny czworokąt, spoczywa na płaszczyźnie poziomo rzucającej, a którego wysokość jest dana.

Wiadomo, że krawędzie boczne ostrosłupa prostego są równej długości, a ponieważ wszystkie przechodzą przez jeden punkt, wierzchołek, więc rzuty tych krawędzi na płaszczyznę podstawy będą odcinkami równej długości. Äby warunek ten mógł być spełniony, wielokąt podstawy musi być wpisany w koło, a rzut wierzchołka ostrosłupa schodzić się ze środkiem tego koła.

Jeżeli e (he Ve) jest płaszczyzną podstawy (Rys. 259.), to czworokąt A"' B'" C" D'" wpisany w koło wraz z bo-kami S/77~A/7}, S'"BT", S/7^C S'" D'" jest kładem rzutu ostrosłupa na płaszczyznę e, dokonanym na rzutnię poziomą. Kład ten uważać m można za trzeci (boczny) rzut ostrosłupa. Podniesiemy podstawę wraz ze środkiem S koła na płaszczyznę-e;    ^

w punkcie S (S' S") wyprowadzimy 1И prostopadłą do e i odmierzymy na niej odcinek S W równy danej wysokości. Skonstruowany w ten sposób wierzchołek W (W' W") połączymy z wierzchołkami czworokąta podstawy, otrzymując rzuty ostrosłupa.

Z łatwością zauważymy, że w rzucie poziomym krawędź D W, cie pionowym krawędź Ć W są niewidoczne.

/Г/

'ht

a w rzu-

ßn

t-

Д’

\D"

<c

(Sm

'В”

s?

Rys. 259.

2. Wykreślić rzuty prostego ostrosłupa, którego wierzchołek znajduje się w środku układu, a podstawa, będąca umiarowym pięciokątem, leży na danej płaszczyźnie а (ha Va ka) (Rys. 260.).

Znajdziemy punkt przebicia się O (O' O" O"') prostej p (P P" p'"), wyprowadzonej ze środka układu prostopadle do płaszczyzny a. Po wykonaniu kładu płaszczyzny a wraz

z punktem O na rzutnię poziomą, wykreślimy pięciokąt Л°....Е° i podniesiemy go na tę płaszczyznę, kreśląc jego rzut poziomy, pionowy i boczny. Rzuty wierzchołków pięciokąta podstawy

!*ï

Y,

Lm

У'

V.

-5>

'A

Mi

mm

Cu/o

s/

Ci

+y -z

E°

D°

Rys. 260.

łączymy ze środkiem układu, w którym leży wierzchołek ostrosłupa W i otrzymamy rzuty krawędzi bocznych, a więc i rzuty całego ostrosłupa.

3. Wykreślić rzuty prostego graniastosłupa o danej wysokości w, którego podstawa (prostokąt) leży na płaszczyźnie a (ha Va) (Rys. 261.).

Prostokąt Л⁰ C° D° przyjęty na rzutni poziomej podnieśliśmy około śladu ha na płaszczyznę a, otrzymując najpierw rzut poziomy А' В' C D', a następnie rzut pionowy A" B" C" D". Na prostopadłych, wyprowadzonych w wierzchołkach podstawy do płaszczyzny a, należy odmierzyć długość krawędzi bocznych.

W tym celu obraliśmy na jedne] z nich, a mianowicie na pi (pi' pi") punkt N (N' N") i wykonali jej kład ptx na rzutnię pionową. Odmierzywszy

Ziza

Лх £x =

w,

G”

,E*

Va.

Ma

Gm

wróciliśmy z punktem £na prostą Pi o-trzymując jego rzuty E' i E". Ponieważ Ht , rzuty pro-    V Ш A HS

stych równoległych są równoległe, więc rzuty krawędzi podstawy górnej będą równoległe do rzutów odpowiednich krawędzi podstawy dolnej.

89. Rzuty wielościanów umiarowych. Wielokątem umiarowym nazywamy taki wielokąt płaski, w którym wszystkie boki i kąty są równe. Na wielokącie umiarowym opisać można koło, podobnie jak w wielokąt umiarowy da się zawsze wpisać koło. Oba koła są współśrodkowe, a ich wspólny środek nazywamy środkiem wielokąta.

W i e I o ś c i a n nazywamy umiarowym, gdy wszystkie jego ściany boczne są przystającymi umiarowymi wielokątami, którego kąty dwuścienne są równe, a naroża są wierzchołkami wielościennych, umiarowych i przystających kątów bryłowych. W każdy wielościan i na każdym z nich da się wpisać i opisać kula. Obie kule są współśrodkowe, który to środek nazywamy środkiem wielościanu. W zakres naszych rozważań wciągniemy wielościany umiarowe rodzaju pierwszego, czyli t. zw. ciała Platona, których jest pięć, a mianowicie: czworościan, sześcian, ośmiościan, dwunasto-scian i dwudziestościan.

H”

Vi

vC

\ ..........Va i

'$''4

Hm

Dm

\ ........)<Рт\^Ур?

a* /

Ä"\Ha Hó\va

1°\

V°

р°>

Н"

£'

Нь.

Pi'

лг

С’

Ti³'

G’/

'F'

со/Нс

Rys. 261.

У«Т

ha,

a) Czworościan ograniczony jest czterema przystającymi trójkątami równobocznymi i stanowi trójścienny ostrosłup prosty, którego krawędzie podstawy i krawędzie boczne są równej długości. Wysokość tego ostrosłupa równa jest przyprostokątnej trójkąta prostokątnego, którego przeciw-prostokątna równa jest krawędzi czworościanu, a którego druga przyprostokątna równa jest promieniowi koła, opisanego na trójkącie równobocznym, stanowiącym ścianę tego czworościanu.

D"

\C" X

л Д"/

'O’

'В

przyczem

Przyjmijmy ścianę ЛВС czworościanu na rzutni poziomej (Rys. 262.), to rzut D' czwartego wierzchołka D leżeć będzie w środku trójkąta ЛВС, zaś wysokość z równa będzie przyprostokątnej Wl)° jrojkąta À D' D\

D°

Л D° = ЛВ.

Rys. 262.

F"

b) Sześcian jest graniastosłupem prostym, którego wszystkie ściany są kwadratami. W Rys. 263. wykonaliśmy prócz rzutu poziomego i pionowego, rzut na płaszczyznę a (ha Va), w sposób omówiony w ust. 76.

•Г/f.£

.и»

Gm!

-k

£Г

Г/ ГУН

1н?

сЧсу

Ни

Rys. 263.

Wykreślmy rzuty sześcianu, którego długość krawędzi jest dana, a którego przekątna główna, t. j. odcinek łączący dwa przeciwległe wierzchołki sześcianu, mapołożenie pionowe. Obrawszy punkt A na rzutni poziomej (Rys. 264.), wykreślmy trzy kwadraty: Л B°C°D⁰, Л b° EnFn i Л F°G°B\ a to w ten sposób, aby kąty, jakie tworzą dwie sąsiednie krawędzie kwadratów, przechodzące przez punkt A, wynosiły 30\ Kwadraty owe uważajmy za rozwinięcie prostokątnego naroża trójściennego o wierzchołku A na rzutnię poziomą. Wyobraźmy sobie, że kwadrat Л C D° obracamy około osi, przechodzącej

przez A równolegle do przekątnej B° D\ a zaś kwadrat Л D°E°F° około osi, przechodzącej również przez punkt A równolegle do przekątnej Z)n F\ W pewnym momencie obrotu wierzchołki, oznaczone literą Z)° w obu kwadratach, zejdą się w punkcie D (D' D"), a odcinek D'A będzie rzutem poziomym krawędzi sześcianu. Punkt D' będzie przecięciem się* pro- x stych, wykreślonych z obu ~ punktów Dn prostopadle do kierunków osi obrotów, a więc do Bn D° i Dn F°. W ten sam sposób otrzymamy punkty F' i В', a więc zarys B' C D E' F' G' sześcianu na rzutni poziomej. А В', Л D' i Л F' są rzutami niewidocznych krawędzi sześcianu, a 8°&

H”

E"

B'"

[n/\F"

A"

G°

F°

S‘

\\

|V

V D< 0°

*D°

C°

Rys. 264.

АС', Л E' i A G' rzutami \ pozostałych trzech krawędzi \ widocznych. Długość przekątnej sześcianu wynosi а Уз, które to wyrażenie, algebraicznie niewymierne, otrzymamy jako przeciwprostokątną А P trójkąta prostokątnego o bokach Л £° = a\2, i Ё° P = a. Punkty B, D i F leżą w tej samej wysokości, a więc na płaszczyźnie poziomej, podobnie jak punkty C, E,G, których wyso-kość jest również wspólna. Nachylenie krawędzi С H, CD i A D dc^przekątnej głównej АН jest jednakowe, gdyż krawędź C D jest równoległa do HE.

Wskutek tego, gdy punkt A leży na rzutni poziomej, odległość tej rzutni od płaszczyzny B D F i tej ostatniej od płaszczyzny poziomej С E G, a tej znowu od punktu H, są równe. Podzieliwszy więc przekątną A" H" na trzy równe części i poprowadziwszy przez punkty podziału / i II poziome, otrzymamy na nich szukane rzuty wierzchołków.

Pamiętając o tem, że rzut poziomy sześcianu w omawia-nem położeniu jest umiarowym sześciokątem i że odcinek,

H"

\>

QK§

E”

<\

C":

ф"

fi

G'

С',

F'<

B'

Rys. 265.

łączący dwa nieprzyległe wierzchołki tego sześciokąta, więc np. B' D' (Rys. 264.) jest przekątną kwadratu, stanowiącego ścianę boczną, wyznaczymyzłatwością rzut poziomy i bez podnoszenia kwadratów, jak to widzimy na Rys. 265. Wykreśliwszy długość przekątnej głównej równą а Уз = Л"Н", podzielimy ją na trzy równe części, a na proste poziome, poprowadzone przez punkty podziału, odniesiemy odpowiednie punkty z rzutu poziomego.

I"

//

c) Ośmiościan ograniczony jest ośmioma równobocznymi trójkątami. Rys. 266. przedstawia rzuty ośmiościanu, którego przekątna główna jest pionową. Rzut poziomy jest w tem położeniu kwadratem, a E" F" jego przekątną.

it._X

B’-—■

eXf'

fi

fi

Rys. 266.

rowym

od rzutni poziomej równa jest przyprostokątnej trójkąta prosto kątnego, którego przeciwprostokątną jest wysokość jednego z trój-

Rys. 267. podaje rzuty ośmiościanu, którego jedna ściana leży na rzutni poziomej. Przez boki trójkąta ЛВС przechodzą trzy dalsze trójkąty, których wierzchołki E, D, F w rzucie poziomym leżą na prostych, łączących środek 5 trójkąta ЛВС z jego wierzchołkami. Ponieważ płaszczyzny tych trzech trójkątów są jednakowo nachylone do poziomu, więc wierzchołki D, E, F są równo oddalone od S' i od rzutni poziomej. Trójkąt D' E' F' jest więc równoboczny, równoległy do poziomej i tworzy jeden bok ośmiościanu. Przez połączenie wierzchołków obu trójkątów równobocznych otrzymamy rzut poziomy dalszych krawędzi, a zarys ośmiościanu na rzutni poziomej będzie umia-sześciokątem. Odległość płaszczyzny trójkąta D E F

kątów, stanowiących rzut ściany bocznej np. Л C D', a przeciw-prostokątną prawdziwa jego wysokość, równa wysokości trój-

D‘" '

'e/

Vcl

F'\

/; \

/ : \

W'

А"\Й

C" \IB

V \Xcc

Ei

ГУЛЧ;

\s/\l

\B

V°

■By

\.

у/

/9'

\ :/

C-

C'"

'ha

Ъ:я

Rys. 267.

kąta ЛВС. Wykreśliwszy trójkąt D'G D \ otrzymamy szukaną wysokość w, równą odcinkowi D'D°. Na Rys. 267. wykonaliśmy także kład rzutu ośmiościanu na płaszczyznę a (ha Va).

d) Dwunastościan ograniczony jest umiarowymi pięciokątami, których w każdem narożu schodzi się trzy (Rys. 268.).

Pięciokąt Ai Аъ Аз А±Аб, leżący na rzutni poziomej, niechaj stanowi podstawę dwunastościanu. Dwa dalsze pięciokąty Ai A2 Bi⁰ Ci⁰ B2⁰ i A-2 Аз Вз° Cö° Bi⁰ niechaj wyobrażają kład dwóch ścian naszego wielościanu, dokonany przez obrót około krawędzi ^4i A2 i A2 Аз. Podnieśmy równocześnie oba te pięciokąty w ich właściwe położenie, to boki ich Л2 B20 zejdą się i utworzą krawędź dwunastościanu. Prostopadłe, wykreślone z punktów B2⁰ do boków Ai A2 i A2 Аз, stanowiących osi obrotu, przetną się w punkcie B2, który połączony z Аз

10

Bartel, Geometrya wykreślna.

daje rzut krawędzi bocznej dwunastościanu. Koło zakreślone ze środka S, przez punkt BA, jest miejscem geometrycznem rzutów poziomych dziesięciu wierzchołków naroży dwunastościanu, których wyznaczenie tłómaczy dostatecznie Rys. 268. Pięciokąt Di' D2' Ds DA DA jest rzutem poziomym ściany,

Рг Рз D" Dl Ds

ftj

Сг/ /Сз

ГГ

BI    Xb i    Увз M

Bt

,Æ\Æ \iïi (Аз №

Cl

В’//

Сз,

'ci

I/

Jö»;

if

Ca\rO£\L/

\ .ÆpV;

^ !Ву³ТУв°3

nr

zamykającej dwunastościan. — Znając rzut poziomy Вз' i jego kład Вз°, znajdziemy jego wysokość w sposób następuj ący : z punktu Вз' wykreślimy prostopadłą do boku A2 Аз. Z punktu / zakreślimy łuk koła promieniem 1Вз\ aż do przecięcia się z prostopadłą, wyprowadzoną do IBi° w punkcie Вз'. Odcinek Вз' Вз* — a jest wysokością punktu Вз, a także punktów Bx, B2, Bi i Вь. Wysokość (a + b), punktów oznaczonych literą C, równą odcinkowi CA Csx znajda dziemy w sposób analogiczny.

Dl

<ъ

Bl

dwunastościanu

gdy jego przekątna główna, a więc przechodząca przez środek i łącząca dwa przeciwległe wierzchołki, jest prostopadłą do rzutni poziomej (Rys. 269). Płaszczyzny trzech pięciokątów, tworzących naroże o wierzchołku A, nachylone są do rzutni poziomej pod tym samym kątem. Wykreślmy kład tych trzech pięciokątów, przy zachowaniu wspólności wierzchołka A, a następnie podnieśmy je tak, ażeby pary sąsiednich krawędzi zeszły się. Osiami obrotów będą proste, przechodzące przez punkt A a równoległe do boków C/C2⁰, Сз⁰ Ci⁰ i CA Ce °. Prosta wykreślona z punktu Вз°, prostopadle do m // Сз°С4°, a więc prosta Вз⁰ I, przetnie prostą, wykreśloną z drugiego punktu Вз⁰ prostopadle do Cs⁰ Ce⁰, w punkcie Вз', który jest rzutem wierzchołka Вз. Na płaszczyźnie poziomej, przechodzącej przez Вз, leżą jeszcze punkty Bi i Bi, których rzut poziomy leży na kole, zakreślonym z punktu A, jako środka,

Wykreślmy jeszcze rzuty umiarowego,

Вз

Rys. 268.

promieniem Л BA. Wykreślmy ze środka obrotu / luk koła, a z punktu Вз' poprowadźmy równoległą do m, to odcinek BA Взх = a jest wysokością punktów В u Вз i Вз. Podnieśmy punkt CA około osi m o ten sam kąt, o jaki podniesiony jest punkt Вз⁰ (więc 11 CA \j I Взх), to koło zakreślone z punktu A promieniem Л CA jest miejscem geometrycz-nem rzutów poziomych punktów, oznaczonych literą C, a mających tę samą wysokość, równą odcinkowi CA CA = (a + b).

ES

ES

EL

чч

Гч D'i \OS

Di

-A

CS

Cl

СГ/ \ CS

EL

\/bs

BÎK/

W ten sposób otrzymamy punkty Ci (CACA'),

ro

г л

£-

Ci (CA CA'),...

"*5

ja

ci

(a+b)

•ci

Ei

DS

\

\ c

П

4/

у⁵'

/ PI \xl m

ф»

ii

AA

А/AA

Ci)

'"o

DS I

•Cl

Cl

Di

ai

Ce (CA CA'). Naprzeciw wierzchołka A leży wierzchołek F naroża, przystającego do naroża o wierzchołku A. Rzut poziomy jego krawędzi jest linią łamaną DA EA DA DA EA D A DA EA DA Di' wraz z pros tern i F' EA,

DS

Rys. 269.

F' EA i F' ~EA: Na boku CA CA wykreślony pięciokąt CA CA DA EA Di" uważajmy za kład ściany Ci C2 Di E\ Di na płaszczyznę poziomą я, przechodzącą przez punkty Cu Ci... Ce, a więc leżącą w wysokości (a-f b) nad rzutnią poziomą. Uważając prostą (CA, CA) za rzut poziomy osi obrotu i znając rzut poziomy DA punktu Di po obrocie, otrzymamy odległość c punktu Di od płaszczyzny я, równą odcinkowi DA DA. Tym sposobem wyznaczone są wszystkie wielkości, potrzebne do wykreślenia obu rzutów dwunastościanu, którego długość krawędzi jest dana.

e) Dwudziestościan ograniczony jest równobocznymi trójkątami, z których pięć schodzi się w każdem narożu. Wykreślenie rzutu poziomego nie nastręcza żadnych trudności. Rys. 270. tłómaczy rzecz w sposób wystarczający. Długość boku pięciokąta ВТ Bz'..Bb', czy też pięciokąta Ci CT.. Сь', równa jest krawędzi bocznej dwu-dziestościanu. Dla otrzymania rzutu pionowego poznać musimy wysokość a punktów Bi, Bz,.. Bö, leżących na płaszczyźnie poziomej i wysokość b punktów Ci, Ci,.. Сь, leżących również na płaszczyźnie poziomej. Pierwszą z nich otrzymamy jako przyprostokątną Bz B2⁰ trójkąta Bz Л Bz°, którego drugą znaną przyprostokątną В/ A jest rzut poziomy krawędzi dwudziestościanu, a którego przeciwprostokątną Л B2⁰ jest długość tej krawędzi. Z kolei wykreślimy trójkąt prostokątny Сь' Сьх 1, w którym przeciwprostokątną Сбх/ równa jest wysokości trójkąta równobocznego Bi'Bb'Cb⁰, stanowiącego

D"

CD

Ci

,C3

x .......&

CifCl

ßiX.

aN

\/B3 y b£J \ TT J"

~D'.

Si

Y:

ßlvC,

A.

в;

ci

BK

(ь-

ci

Ol

LA

; Rys. 270.    _

jedną ścianę; przyprostokątną Csx Сь' = b jest szukaną wysokością.

§ 6. RZUTY UKOŚNE

90. Rzut ukośny punktu. Niechaj dowolny punkt A wyznaczony jest, w odniesieniu do przyjętych rzutni %\ i kz, rzutem poziomymi i rzutem pionowym .4'' (Rys. 271.). Rzućmy punkty A i A', w przyjętym kierunku p, na rzutnię pionową тгг. Otrzymany punkt Au jest rzutem ukośnym punktu A, a punkt A'u rzutem ukośnym rzutu poziomego tego punktu. Punkt Л'и nazywać będziemy rzutem ukośnym poziomym. Położenie promienia p, rzucającego punktu, jak i promienia pi II p, a rzucającego punkt A' na płaszczyznę pionową ЯГ2, wyznaczone jest kątem a, jaki promienie te zawierają z płaszczyzną rzutów ukośnych я 2 i kątem cp, jaki rzut pionowy p", promienia p, zawiera z kierunkiem osi rzutów x.

Znając oba te kąty wyznaczymy z łatwością rzut ukośny i rzut ukośny poziomy dowolnego punktu, ktorego rzuty prostokątne na dwie płaszczyzny są dane.

A".

Хг pn

/

t...........у

AJ

W*'

AL X

W istocie bowiem, wykreśliwszy przez punkt Ax (Rys. 272 a.) promień pi", zawierający z osią rzutów x dany -fc cp, a następnie odmierzywszy na prostopadłej poprowadzonej w punkcie Ax do pi" „głębokość“ y punktu A (A' A"), otrzymamy punkt Ao'. *

Rys. 271.

Au

A"

'P"

A"a

A'u

P"

Bu

/ćc-60\

Ax

9?-45*^

Bu

Wykreślmy z punktu Ao', jako wierzchołka, kąt (90 — a), to otrzymamy punkt Au' a następnie punkt Au, leżący na promieniu p" // pi". Trójkąt Ax Au' Ao' jest kładem trójkąta Ax Au' A' (patrz Rys. 271.) około prostej pi" na rzutnię pionową, przyczem kierunek Ao' Au' opatrzony strzałką jest kładem kierunku rzutu ukośnego, a kierunek Ax Àu', podobnie jak A" Au, rzutem piono- ^ wym kierunku rzutu x i ukośnego.

p?

J»

y\ siB'

\ P°

90-ct.

AP

°Ai

’A’

\A'

Rys. 272 a.

Rys. 272 b.

W Rys. 272 b. wy- / znaczyliśmyrzutukośny poziomy punktu A(A'A") dla cp = 45°, а = 60°, przyczem kierunek rzutów jest przeciwny do poprzednio przyjętego.

Połączmy w Rys. 272 a. lub 272 b. punkt A' z Au', to trójkąt A' Au Ax jest charakterystyczny dla określonego przez się rzutu ukośnego. W istocie, znając ten trójkąt znajdziemy rzut ukośny i rzut ukośny poziomy dowolnego punktu В (В' В") (Rys. 272 a.) jeśli przez punktBx poprowadzimy równoległą do Ax Au', przez punkt B' równoległą do A' Au', a otrzymany punkt Bu odniesiemy na prostą, wykreśloną przez punkt B" równolegle do Bx Bu'.

91. O stosunkach skróceń. Niechaj zadaniem naszem będzie wykreślenie rzutu ukośnego pięciokąta umiarowego B C D E F, leżącego na rzutni poziomej, przyczem trójkąt charakterystyczny Ax A' Au' jest dany (Rys. 273.). Z każdym z poszczególnych wierzchołków pięciokąta postąpimy tak, jak uczyniliśmy z punktem B' w Rys. 272 a., szukając jego rzutu

F” B" °Bu '

A"x

E"

Fu,

(Du

у ukośnego poziomego. Z punk-'I tów więc В, C, D, E i F wykreślimy równoległe do boku A' Au trójkąta charaktery-V stycznego, a z punktów y I B", C", D", E"\ Fj' równo-\Uj    ległe do boku Ax Au' tego

Rys. 273.

4° trójkąta. Otrzymany pięciokąt Ли Bu Cu Du Eu Fu jest rzutem ukośnym danego pięciokąta, (leżącego na rzutni poziomej) na rzutnię pionową. Z Rys. 271. widzimy wprost, że Au Au' = A A' czyli, że rzut ukośny odcinka A A', stanowiącego „wysokość“ punktu, równy jest co do długości temu odcinkowi i do niego równoległy, a więc prostopadły do osi rzutów x.

Rys. 273. poucza nas, że rzut ukośny Bu Cu odcinka В Ć równy jest temu odcinkowi i do niego równoległy, a więc równoległy do osi rzutów x. Z Rys. 272. i 273. widoczne jest, że rzuty ukośne odcinków równoległych do osi rzutów y, więc np. rzut ukośny Ax Au' odcinka Ax A' =j? w Rys. 272., zależne są od kąta cc i mogą też być od danych odcinków większe, mniejsze lub im równe. I tak dla a < 45° Ax Au' > AxA', dla a = 45° Ax Au' = Ах A', a dla a > 45" Ах Au' < Ах A', Д więc: rzuty ukośne odcinków, prostopadłych do rzutni poziomej i równoległych do osi x, są równe tym odcinkom i do nich równoległe ; rzuty ukośne odcinków prostopadłych do rzutni pionowej doznają wydłużenia, skrócenia lub są tym odcinkom równe, zależnie od tego, czy kąt nachylenia a promieni rzutów do płaszczyzny rzutów jest mniejszy, większy lub równy 45°. Kierunki rzutów odcinków prostopadłych do rzutni pionowej są równoległe do przyjętego kierunku, tworzącego z osią rzutów x kąt cp. Oznaczmy stosunek Ах Ли' : Ах A₀' = X (Rys. 272 a.), to zazwyczaj przyjmujemy X = /, X = + albo

\ = a stosunek ten nosi nazwę stosunku skrócenia.

ГГ

G"H"

Fu

Fu

Kąt cp obieramy 30°, 45° lub 60°.

X Px

------\Du &

<P\

P\ 2

P’

92. Zadania. 1. Dane są rzuty prostokątne sześcianu, stojącego na rzutni poziomej ; wykreślić jego rzut ukośny dla cp = 30° i X = 1:2 (Rys.

ДГ

DH’

Rys. 274.

274.). Wyznaczymy rzut ukośny A u Bu Cu Du podstawy sześcianu, a na prostopadłych wykreślonych w wierzchołkach otrzymanego romboidu odmierzymy długość krawędzi bocznej sześcianu. Ściany równoległe do rzutni pionowej pozostaną

N"

Nu.

f/ \

' E, K>

H" N

--4-

kwadratami nie zmienionymi co do długości boku, rzuty u-kośne ścian równoległych do rzutni poziomej i bocznej będą romboidami.

Cr

V>

г ».

Jm

А.

Lu

2. Wykreślić rzut ukośny dla cp = 30\ X = 1:2 przedmiotu, przedstawionego w rzutach poziomym i pionowym. Rys. 275. ,7 л wykonaliśmy zupełnie w ten sam sposób, jak poprzedni.

Н’/Г

ff

Z rzutów prostokątnych otrzymamy rzut ukośny także w inny sposób. Przyjmijmy mianowicie w puncie A" (Rys. 275.)

Гу

Rys. 275.

początek układu trzech wzajemnie do siebie prostopadłych osi X, y i z. Rzut

ukośny tego układu przy cp = 30° będzie xu, yu, zu, (Rys. 276.). Dla stosunków skróceń xu : Vu : zu = 1 : i : 1, spółrzędne x i z nie ulegną zmianie, spółrzędne y skrócą się do połowy.

Wykreślmy rzut ukośny rzutu poziomego naszego przedmiotu. Tak więc A" Au w Rys. 276. równe jest połowie odcinka A" A z Rys. 275. Odcinek Ли Du (Rys. 276.) równy jest połowie długości odcinka AD w Rys. 275. AuBu(Rys.276.) równe jest ЛВ w Rys. 275. Na prostej, wykreślonej w punkcie Du równolegle do zu (Rys. 276.), odmierzy-odcinek E" C z Rys. 275., wykreślimy równoległe do Du Cu i Du Au, aż do przecięcia się z proste-mi, poprowadzonemi przez punkty Cu i Au równoległej do zu. Następnie uzupełnimy ten romboid, poprowadzimy w nim przekątne, wyznaczymy romboid wewnątrz niego, poczem wykreślimy dalsze krawędzie, jak to z Rys. 276. z łatwością odczytamy.

Nu

Lu

'Hu'

A-----

!z</

. ;; V

.....- . nù

ßt,

Liu Lsl. Ou

-Éaju

Rys. 276.

Au

my

rr

§ 7. POWINOWACTWO ŚRODKOWE. ELIPSA

93. Rzut ukośny układu płaskiego. Płaszczyznę, jako pojęcie nieograniczonego zbioru punktów i prostych, nazywamy układem płaskim (ust. 7.); mianem tern określać też będziemy często ograniczony zbiór, czyli grupę punktów, względnie prostych, na płaszczyźnie.

Przyjmijmy płaszczyzny ei i ег (Rys. 277.) przecinające się w prostej p i dowolny kierunek rzutów k. Punktowi Ai na płaszczyźnie ei odpowiada punkt Aa w układzie ea, jako rzut ukośny punktu Ai na płaszczyznę 82. Prostej ai,

należącej do układu si, odpowie prosta w układzie ег, którą otrzymamy jako przecięcie się płaszczyzny 62 z płaszczyzną cp, przechodzącą przez prostą 3i równolegle do kierunku rzutów k. Płaszczyzny ei, ег i cp przecinają się w punkcie P prostej p, przez który przechodzi szukana prosta a2. Każdemu punktowi prostej ai odpowiada jeden punkt prostej 32 i odwrotnie, każdemu punktowi prostej a2 odpowiada jeden jedyny punkt prostej ai, przyczem para odpowiednich punktów leży zawsze na promieniu rzutów, równoległym do przyjętego kierunku k. Punktowi P, uważanemu za element prostej ai, odpowiada tenże sam punkt P, jako równoczesny element prostej 32. Prosta p jest więc miejscem geometrycz-punktów odpowiadających sobie równocześnie w obu układach płaskich ei i 82. Punktowi niewłaściwemu prostej ai odpowiada punkt niewłaściwy prostej a2. Przez przyjęcie kierunku rzutów związaliśmy punkty i proste obu płaszczyzn, czyli elementy obu układów płaskich, w ten sposób, że:

cp

V'

£2

Rys. 277.

nem

1.    Każdemu elementowi jednego układu odpowiada jeden element tego samego rodzaju (więc punktowi punkt, prostej prosta) w układzie drugim. Prostej przecięcia się p obu płaszczyzn, uważanej za element płaszczyzny ei, odpowiada taż sama prosta p na płaszczyźnie 82.

2.    Pary odpowiadających sobie punktów leżą na promieniach, stanowiących wiązkę prostych równoległych, a pary odpowiadających sobie prostych, jak np. ai i 32, przecinają się w punktach, których miejscem geometrycznem jest krawędź p płaszczyzn 81 i 82. Prostej równoległej do krawędzi p na płaszczyźnie ei odpowiada prosta również do p równoległa, a leżąca na płaszczyźnie 62. Tę zależność między elementami dwóch płaszczyzn nazywamy powinowactwem w położeniu środko-wem,albo krótko: powinowactwem ś rod к o wem. Prosta p nosi miano osi powinowactwa, a promienie, na których leżą pary odpowiednich punktów^, promieniami powinowactwa.

94. Powinowactwo dwóch układów płaskich złączonych na jednej płaszczyźnie. Przyjmijmy dwa układy płaskie cpi i ф2 środkowo powinowate o kierunku /гг (Rys. 278.). Prostym ai, bi, ci jakoteż punktom Ai, Bi, Ci na płaszczyźnie cpi, odpowiadają na płaszczyźnie срг proste aa, ba, ca i punkty Aa, Ba, Ca, przyczem odpowiadające sobie proste przecinają się w punktach Pi, Pa, P3 osi powinowactwa p. Rzućmy proste ai, bi, а i punkty Ai, Bi, Ci, w przyjętym nowym kierunku /гз, na płaszczyznę срг i zbadajmy związki, zachodzące między otrzymanemi prostemi аз, Ы, сз i punktami Аз, Вз, Сз, a prostemi аг, ba, ca i punktami А2,Ba, Ca. Przedewszystkiem widzimy, że: 1) każdemu

кз.

.кг

Ai.

Pi

V>S

b,

Cl

Аз'

">

Cal

Ьз

Вз а?

Сз

(fis

punktowi Aa, Ba... odpowiada jednoznacznie punkt Аз, Вз... ; 2) każdej prostej jak np. aa... odpowiada jedyna prosta аз..., przyczem obie posiadają punkt wspólny Pi na prostej p. Z łatwością zauważymy, że płaszczyzny ^4i Aa ^4з, Bi Ba Вз, Ci Ca Сз są do ^\ siebie równoległe, że zatem:

-1 J) punkty odpowiednie, jak

Rys. 278.

Aa i -<4з, Ba i Вз, Ca i Сз, leżą na prostych do siebie równoległych. Związki wymienione pod 1) 2) i 3) znamionują, jak wiemy z ustępu poprzedniego, powinowactwo środkowe, a zatem; między układem płaskim cp₂ a rzutem układu cpi w kierunku /гз na płaszczyznę cp₂, zachodzi powinowactwo środkowe. Oznaczmy rzut układu cpi w kierunku /гз na płaszczyznę срг symbolem срз, to na podstawie powyższych wywodów stwierdzamy między układami cpi срг i срз istnienie następujących związków:

a)    układ    cpi    i    układ    cp₂    są    powinowate,

b)    układ    cpi    i    układ    срз    są    powinowate,

c)    układ    cp₂    i    układ    срз    są    powinowate.

Widzimy stąd, że: dwa układy płaskie, powinowate z trzecim, są między sobą powinowate. O układach takich jak cp₂ i cp₃, leżących na jednej płaszczyźnie, mówimy, że są złączone na jednej płaszczyźnie, w odróżnieniu od

94. powmowacrwo DWÓCH UKŁHDÓW PŁASKICH.

Ot

dwóch układów płaskich, leżących na dwóch różnych płasz

czyznach.

Weźmy pod uwagę (Rys. 279.) płaszczyzny cp i cpi, które niech będą środkowo powinowate; kierunkiem powinowactwa niech będzie kierunek k, a osią krawędź p obu płaszczyzn. Prostej a na płaszczyźnie cp odpowie prosta a\ na płaszczyźnie cpi. Niechaj płaszczyzna cp obróci się około krawędzi p tak, aż padnie na płaszczyznę cpi ; każdy punkt prostej a opisze koło, którego płaszczyzna jest prostopadłą do osi powinowactwa p i przecina ją w punktach O, Oi... Po dokonanym kładzie płaszczyzny cp na płaszczyznę cpi, punkt A zajmie położenie Ao, punkt В położenie Bo, zaś prosta a położenie ao. Roz-

ważmy pytanie, czy między układami cp i <pi, złączonymi zapomocą doko- -nanego obrotu na płasz- \ czyźnie cpi, zachodzi związek powinowactwa środkowego. Punkty A, Ai, Ao wyznaczają płaszczyznę,którą oznaczmy literą a, punkty В, Bi, Bo leżą na płaszczyźnie ß. Proste AAo i В Bo są rów-roległe, gdyż obie leżą na równoległych płaszczyznach Л До O i В Bo Oi, które są prostopadłe do osi p, a na których dokonywa się obrót punktów Л i B; te dwie płaszczyzny przecięte płaszczyzną poprowadzoną przez proste a i ao, dają właśnie owe dwie proste równoległe Л До i В Bo. Płaszczyzny a i ß, jako przechodzące przez ЛЛi // В Bi i Л До // В Bo, są do siebie równoległe i przecinają płaszczyznę cpi w prostych До Дi i BoB\, które są wzajemnie równoległe. Widoczne stąd, że między dwoma układami płaskimi, sprowadzonemi do jednej płaszczyzny zapomocą obrotu około ich krawędzi, zachodzą te same związki, które zauważyliśmy między elementami układów cp i cpi w położeniu przed dokonaniem obrotu. Istotnie bowiem punktom Л1, ßi... jednego układu odpowiadają jednoznacznie punkty До, Bo... w układzie drugim, przyczem punkty odpowiednie, więc np. Л1 i До, Bi i Bo..., leżą na promieniach do siebie równoległych ; każdej prostej np. ai, będącej elementem jednego układu, odpowiada jedna prosta, więc ao w układzie

\’уЛА

cc" i

~\

A°

Ai

<p-t

Rys. 279.

drugim, przyczem obie przecinają się w punkcie, leżącym na osi powinowactwa. Punktom niewłaściwym jednego układu odpowiadają punkty niewłaściwe w układzie drugim.

Z rozważań ustępu tego wynika, że skoro raz dane są dwa układy płaskie i kierunek rzutów (powinowactwa), to stworzona tym sposobem zależność między elementami obu układów pozostaje niezmieniona dla każdego położenia płaszczyzn, obracających się około wspólnej prostej p, a także i wówczas, gdy oba te układy złączą się skutkiem rzutu lub obrotu na jednej płaszczyźnie. Gdy dana jest płaszczyzna cpi, to płaszczyznę cp wyznacza prosta p i jeden dowolny jej punkt np. Л. Punkt Л połączony z dowolnym punktem P prostej p daje prostą na płaszczyźnie cp; odpowiadająca jej prosta na płaszczyźnie cpi wyznaczona jest punktami P i Ли Stąd także powino-nowactwo środkowe dwóch układów płaskich, złączonyc h na j edn ej płaszczyźnie, wyznaczone jest osią powinowactwa i jedną parą punktów o d-p owi e d n i c h.

Jeżeli promienie powinowactwa są prostopadłe do osi, to powinowactwo nazywamy prostokątnem, w odróżnieniu od ukośnego, gdzie promienie tworzą z osią kąt różny od

prostego.

Niechaj dane będą dwa układy środkowo powinowate 91 i cp2, złączone na płaszczyźnie rysunku, a wyznaczone osią p

(A2

32,

fis,

B₂

Ml

i parą punktów odpowiednich Mi i M2 (Rys. 280.). W układzie cpi dany jest czworokąt Ai Bi Ci Di ; zadaniem na-

'Pr/ /Pą■

Cr

M/4

Br

Ai

dr

Rys. 280.

szem jest wyznaczyć czwo-fi- rokąt, odpowiadający w ukła-P dzie q>2 czworokątowi danemu. Prostej ai, łączącej punkty Л1 i Mi, odpowiada w układzie cp2 prosta 32, przechodząca przez punkty P i M2. Rzućmy punkt Ai w kierunku powinowactwa Mi M2 na prostą a-2, to otrzymany punkt Л2 jest powinowaty z punktem Au Prosta Л1 Di przecina oś powinowactwa w punkcie Pi, przez który przejdzie prosta Л2 D2, odpowiadająca pierwszej. W ten

sposób przy pomocy punktów P2 i Рз względnie Pł otrzymamy dalsze wierzchołki szukanego czworokąta.

Dokonajmy teraz wzajemnego przesunięcia, połączonego z obrotem, tych dwóch czworokątów środkowo powinowatych. Punktowi Mi odpowie wówczas, podobnie jak przed wzajem-nem przesunięciem, punkt M2, punktom Æ, Bi, Ci... odpowiedzą punk ty Л-2, B2, C-2... jednak odpowiednie punkty, jakimi są Л1 i Л2, Bi i B2, Ci i C2... nie będą leżały na promieniach do siebie równoległych a odpowiednie proste, więc ai i 32, Л1 Di i Л2 D2, Л1 Bi i Л2 B2, Bi Ci i B2 C2..., nie będą przecinały się w punktach, leżących na jednej prostej. Zapomocą wzajemnego, dowolnego przesunięcia dwóch układów płaskich, złączonych na jednej płaszczyźnie, zniszczyliśmy położenie środkowe tych układów, pozostała jednak nadal odpowiedniość między elementami obu układów polegająca na tern, że każdemu elementowi w jednym układzie odpowiada jeden jedyny element tego samego rodzaju w układzie drugim. O takich dwóch układach płaskich mówimy, że są powinowate w położeniu o g ó 1 n e m albo dowolnem.

,Bi

At.

Cz

bp

аг

Az

Вг

Cecha powinowactwa środkowego. Niechaj dana będzie oś powinowactwa p (Rys. 281.) i para punktów odpowiednich Л1 i Л2 w dwóch układach powinowatych, złączonych na płaszczyźnie rysunku. Prostej ai, przecinającej oś p w punkcie Pr odpowiada w drugim układzie prosta ai, przechodząca również przez punkt P. Punktowi Bi, przyjętemu na prostej ai, odpowie punkt Bi na prostej аг, który otrzymamy, kreśląc przez Bi promień powinowactwa, równoległy do kierunku Л1Л2. Podobnie prostej hi odpowie prosta Ьъ, przechodząca przez punkty Pi i В2, a punktowi Ci punkt C2. Z Rys. 281. czytamy:

Rys. 281.

-= constans = A

A Ai В Bi C Ci AA 2 BB₂~CC₂

co oznacza, że gdy dwa układy płaskie są środkowo powinowate, to stosunek odcinków, ograniczonych punktami odpowiednimi i punktem leżącym na osi, dla każdej pary punktów, jest stały. Wykładnik A tego stosunku charakteryzuje powinowactwo środkowe i zwie się jego cechą.

Jeżeli jedna para odcinków np. Л Ai i ЛЛ» (Rys. 282a.) jest równa, to wówczas wszystkie pary są równe, a powinowactwo nosi nazwę s ym et ryi osiowej.

Bt

Ai.

Ci

Ai.

Ci

p/U

er

Сг

Сг

Вг

Вг

Rys. 282 b.

Rys. 282 a.

W szczególnym przypadku, gdy promienie powinowactwa stanowiącego sy-metryę, są prostopadłe do osi

(Rys. 282 b.), to symetrya osiowa nosi nazwę sy metry i prostokątnej.

95. Rzuty prostokątne i ukośne a powinowactwo środkowe. Z dotychczasowych rozważań wynika bezpośrednio, że między dowolnym wielokątem płaskim a jego rzutem poziomym, tak samo, jak między tym wielokątem a jego rzutem pionowym, zachodzi powinowactwo środkowe, którego kierunek jest kierunkiem rzutów, a osią ślad poziomy, względnie pionowy płaszczyzny tego wielokąta. Przez wykonanie kładu płaszczyzny wielokąta na rzutnię poziomą, otrzymamy na niej dwa układy środkowo powinowate, któremi będę ów kład i rzut poziomy wielokąta. Osią powinowactwa, a więc prostą, na której leżeć będą punkty przecięcia się odpowiednich boków, jest ślad poziomy płaszczyzny wielokąta; promienie powinowactwa są prostopadłe do osi powinowactwa, które tym sposobem jest prostokątne. Podobnie między kładem wielokąta na rzutnię pionową i jego rzutem pionowym zachodzi prostokątne powinowactwo środkowe (patrz Rys. 232b.). Weźmy pod uwagę dowolny wielokąt plaski w przestrzeni, np. czworokąt Л В C D (Rys. 283.) i jego rzuty poziomy i pionowy. Każdemu punktowi, względnie każdej prostej wielokąta odpowiada jeden punkt, względnie jedna prosta na rzutni poziomej i jeden punkt, względnie prosta na rzutni pionowej. Czworokąt Л В C D jest więc powinowaty ze swoim rzutem poziomym А' В' C D' i rzutem pionowym A" B" C" D". Ale wykazaliśmy w ustępie poprzednim, że dwa układy powinowate z trzecim są między sobą powinowate, wobec czego rzut poziomy wielokąta i jego rzut pionowy są powinowate. Sprowadźmy obie rzutnie zapomocą obrotu około

Va,

osi .X do płaszczyzny rysunkowej i zbadajmy rodzaj powinowactwa, zachodzącego między obu rzutami wielokąta. W punkcie przecięcia się Pi prostych a' i a" schodzą się rzuty punktu przebicia się prostej a (a' a") z płaszczyzną dwusieczną <5//,przechodzącą przez II i IV część przestrzeni. Ponieważ jednak prosta a leży na płaszczyźnie a (ha üa), więc punkt Pi, leżąc równocześnie na płaszczyźnie dwusiecznej ó// i na płaszczyźnie cc, jest punktem krawędzi obu płaszczyzn. Miejscem geo-metrycznem punktów przecięcia się rzutów prostych, leżących na płaszczyźnie a,

Va

C"

pi

HS    \Vé    X

Xai

\N

/'

Ha)jHc4 /Щ WK J s/¹ X ■

ttè¹

Hc

Hf

C'    b'

ha

Rys. 283.

jest więc prosta p przecięcia się tej płaszczyzny z płaszczyzną dwusieczną ó/₇. Uważając więc rzut poziomy utworu płaskiego leżącego w przestrzeni za elementy jednego układu, a rzut pionowy tego utworu za odpowiadające im elementy układu drugiego, stwierdzamy, po sprowadzeniu obu układów zapomocą obrotów około osi rzutów x na płaszczyznę rysunku, istnienie między nimi powinowactwa środkowego. Osią tego powinowactwa jest rzut krawędzi płaszczyzny danego utworu płaskiego z płaszczyzną dwusieczną óu> a kierunkiem, kierunek prostopadły do osi x.

Osi powinowactwa, łączącego oba rzuty wielokątów, użyć można przy wykreślaniu tychże rzutów, a także jako linii sprawdzającej dokładność konstrukcyi.

na

Z łatwością zauważymy, cofnąwszy się do rozważań w § 6., że między układem punktów i prostych, leżących rzutni poziomej a ich rzutem ukośnym na płaszczyznę pionową, zachodzi powinowactwo środkowe, którego kierunkiem jest kierunek rzutów, a osią oś x. Po sprowadzeniu rzutni poziomej zapomocą obrotu około osi x na rzutnię pionową, oś powinowactwa nie zmieni swego położenia, a kierunek powinowactwa określony jest rzutem poziomym np. Л' punktu Л i jego rzutem ukośnym poziomym Ли' (porównaj Rys. 273).

96. Rzut ukośny koła. Elipsa. Rzut ukośny koła, przyjętego na rzutni poziomej, na rzutnię pionową będzie linią nie posiadającą, podobnie jak koło, żadnych punktów niewłaściwych, czyli t. zw. linią zamkniętą, gdyż rzuty ukośne punktów właściwych są punktami właściwymi, a koło punktów niewłaściwych nie posiada.

Opiszmy na kole k (Rys. 284.) kwadrat I II III IV, styczny doń w punktach Л, B, C, D i znajdźmy jego rzut ukośny lu Ilu IIIu IVu, to punkty Ли, Bu, Cu, Du są punktami linii, będącej rzutem ukośnym koła. Wierzchołki rzutu ukośnego kwadratu E F G H wpisanego w koło, są dalszymi punktami rzutu

Wu

Cu

Жи

Ku.

■f

Hu

Fu

rB,j

Tu A-

Fu

Du

Px

X_

Vkp,

\D ■?—-

A-/-7

\iS

-4 в

Rys. 284.

koła. Rzuty ukośne dalszych punktów koła otrzymamy w ten sposób, że obierać będziemy ,pu proste przecinające koło i szukać rzutów otrzymanych punktów przecięcia się. (Patrz Rys. 284. proste m, mu, i punkty 1, К i Iu, Ku). Dostateczna ilość w ten sposób otrzymanych pnnktów, połączona linią ciągłą, daje rzut ukośny koła, leżącego na płaszczyźnie poziomej rzutów, na rzutnię pionowa. Z konstrukcyi wynika, że otrzymana linia posiada następujące własności wspólne z kołem: 1) nie posiada żadnych punktów niewłaściwych, 2) dowolna prosta przecina ją w dwóch punktach i 3) z dowolnego punktu poprowadzić do niej można dwie styczne. Äle z ustępu poprzedniego wynika, że między kołem k a linią k u, będącą jego rzutem ukośnym, zachodzi powinowactwo środkowe, którego osią jest oś x, a kierunkiem kierunek P Pu. Linię ku powinowatą z kołem, a mającą z niem wymienione wyżej własności

wspólne, określamy mianem elipsy. Rzut ukośny koła jest więc elipsą.

Z Rys. 284. odczytamy wprost cały szereg dalszych własności elipsy. I tak: średnicom RB, CD, EH koła odpowiadają w elipsie cięciwy Ли Bu, Cu Du, Eu Hu, które jak z kon-strukcyi wynika — podobnie jak u koła — połowią się. Cięciwy te, przechodzące przez punkt Su, który jest rzutem ukośnym środka koła, nazywamy średnicami elipsy.

Punkt Su, połowiący wszystkie średnice, nazywamy środkiem elipsy. Parę prostopadłych do siebie średnic w kole nazywamy średnicami sprzężonemi; posiadają one tę własność, że jedna połowi cięciwy równoległe do drugiej, czyli każda z dwóch średnic sprzężonych łączy środki cięciw, równoległych do średnicy drugiej. Parę średnic elipsy, np. Ли Bu i Cu Du, odpowiadającą parze średnic prostopadłych w kole, nazywamy średnicami sprzężonemi elipsy. Jak to z Rys. 284. widzimy, jedna średnica połowi cięciwy równoległe do drugiej; każda ze średnic jest więc osią symetryi ukośnej dla punktów, leżących na cięciwach równoległych do drugiej średnicy. Stycznej e do koła w punkcie E, odpowiada styczna eu do elipsy w punkcie Eu, przyczem obie przecinają się w punkcie Pi na osi powinowactwa x.

Stycznym do koła w punktach końcowych Л i В średnicy, odpowiadają styczne do elipsy w punktach Ru, Bu, ograniczających średnicę Ru Bu', styczne te są // do średnicy Cu Du, a więc do cięciw do tej średnicy, równoległych. Kwadratowi I II III IV, opisanemu na kole i stycznemu doń w punktach R, В, C, D, odpowiada równoległobok lu Ilu IIIu IVu, opisany na elipsie i styczny do niej w punktach Ru, Bu, Cu i Du. Boki tego równoległoboku są równoległe do średnic sprzężonych Ru Bu i Cu Du elipsy, a więc i do cięciw równoległych do tych średnic.

Na podstawie wykazanej własności średnic sprzężonych elipsy, a mianowicie tej, że jedna połowi cięciwy równoległe do drugiej, potraîimy rozwiązać następujące zadania:

a)    Dana jest elipsa, wyznaczyć średnicę i środek.

b)    Dana jest elipsa, wyznaczyć parę średnic sprzężonych.

c)    Do danej elipsy wykreślić styczne, równoległe do danego kierunku.

Äd a) Kreślimy dwie sieczne m // n (Rys. 285 a.), prosta, łącząca środki / i II cięciw, jest średnicą, a środek S, odcinka

Л B, środkiem elipsy.

'm

г)

Äd b) Wyznaczymy średnicę Л В, a przez środek S elipsy poprowadzona równoległa CD do siecznej m, jest średnicą, sprzężoną z ЛВ (Rys. 285 a.).

Al-Л

fB

ta

Rys. 285 a i b.

Äd c) Kreślimy sieczne m i n (Rys. 285 b.), równoległe do danego kierunku q, łączymy środki / i II cięciw i otrzymamy średnicę Л B. Proste a i b, wykreślone przez punkiy Л i В równolegle do kierunku q, rozwiązują zadanie. O średnicy Л В mówimy, że jest sprzężoną z kierunkiem q. Średnica sprzężona ze średnicą Л В przejdzie przez środekSrównolegledop. Ponieważ koło posiada dowolną, nieograniczoną ilość par średnic sprzężonych, więc to samo odnosi się do elipsy, jako

linii powinowatej z kołem.

Cl

S*

Кг

•jW*

Ob

H<

B'

S'

■F»

A¹

к'

С'

G-

Przyjmijmy koło ki, oś powinowactwa p (Rys. 286.) i punkt S'2, odpowiadający w układzie elipsy środkowi Si koła. Parze średnic sprzężonych Æ Bi i Ci Di w kole, odpowiada para -X średnic sprzężonych .12 B2 i C2 Ö2 w elipsie кг. Przez punkty Si i S-2 poprowadzimy takie koło k, którego środek O leży na osi p, a punkty M i N, w których koło k przecina prostą p, połączmy z punktem Su Średnicom sprzężonym Ei Fi i Œ Hi w kole odpowiedzą średnice

sprzężone Ë2 Fi i Gi H2 w elipsie ki. Ponieważ jednak kąty M Si N i M S'2 N wspierają się na średnicy, więc otrzymane średnice sprzężone elipsy są do siebie prostopadłe. Dowiedliśmy tym sposobem istnienia, między średnicami sprzężonemi elipsy, jednej pary średnic sprzężonych wzajemnie prostopadłych, którą określamy mianem osi elipsy. Punkty końcowe osi nazywamy wierzchołkami elipsy. Własności, które posiadają średnice sprzężone, są oczywiście także własnościami osi, a zatem: każda oś połowi cięciwy prostopadłe do niej, a więc równoległe do drugiej osi. Wskutek tego osi elipsy są osiami symetryi prostokątnej tej krzywej (Rys. 287.).

-c

4-⁵

17

Rys. 287.

Jeżeli elipsa jest narysowana i jej środek 5 dany, to osi elipsy znajdziemy zapomocą koła, zakreślonego ze środka S i przecinającego krzywą w czterech punktach. Prosta, łącząca środki cięciw III i 77/ IV, jest jedną, a prosta poprowadzona przez środek S równolegle do tych cięciw, drugą osią elipsy.

Hz

Сг

Gz

Зг

97. Konstrukcye elips z danych średnic sprzężonych, względnie osi.

кг

/Жг

Жг

MŹ

Ег

a) Niechaj dane jest koło ki, oś powinowactwa p i punkt 5г, odpowiadający środkowi koła w układzie elipsy /гг, czyli jej środek (Rys 288*).

Ulb

Bi

Ai

ml

Hf -''——e—■

л Cl

Rys. 288*.

Opiszmy na kole kwadrat Ei Fi Gi Hi styczny doń w punktach Æ, Bi, Ci i Di i znajdźmy odpowiadający mu równoległobok Ei Fi Gi Hi w układzie elipsy. Odcinki Л-гВ-г i Ci Di stanowią parę średnic sprzężonych elipsy ki. Podzielmy promień koła D1Ś1 np. na trzy równe części i na tyleż części bok Di Fu Połączmy

punkty /1 i h, pierwszy z punktem Л1, drugi z punktem Bi, to:

Д Ai h Si Z A Bi В Fi, a więc h Bi Fi =    /1 Æ Si = ô,

a ponieważ ramię Bi Fi jest prostopadłe do Л1 Si, więc i ramię /1 Æ musi być prostopadłe do ramienia h Bi, a w takim razie punkt Mi musi być punktem koła, gdyż kąty, wspierające się na średnicy w kole, są proste. Ponieważ stosunki zachodzące między odcinkami prostych, po przeniesieniu ich w układ powinowaty, nie ulegają zmianie, więc poszczególne punkty elipsy znajdziemy w sposób następujący: Odcinki S2 D2, Di Ei i D2 F2 podzielimy każdy na tę samą ilość równych części ; punkty podziału /2 i //2 na odcinku S2 Di rzućmy z punktu Л2 a punkty U i 2i z punktu Br, punkty przecięcia się M2 i N2 tych promieni są punktami elipsy £2. Promienie Bi /2, Bi Ib przecinają się z promieniami, łączącymi punkty podziału na odcinku D2 F2 z punktem Л2, w dalszych dwóch punktach szukanej krzywej. Podobnie promienie Л2 J2, Л2 В i Bi ///2, B2 114 przecinają się w punktach elipsy ki.

b)    Jeżeli powinowactwo środkowe dwóch układów płaskich, złączonych na płaszczyźnie rysunku, jest prostokątne,

Сг 2

tRz^i

,№

n.

Bp

Up

5г.

Mp

Dp

Рз

_A

\Pp

D,.

/Т,

7V,

R,

к.

C,

Rys. 289.

t. zn. jeśli promienie powinowactwa sąj prostopadłe do osi, to oczywiście kołu ki w jednym układzie odpowie elipsa Fj w układzie drugim (Rys. 289.). Każdej parze średnic sprzężonych w kole ki, np. Mi N1, Ri Ti odpowiada para średnic sprzężonych M2 Ni, Ri Ti w elipsie kr, parze średnic sprzężonych Л1 Bi i Ci Di w kole odpowie para średnic sprzężonych Л2 Bi i Ci Di wzajemnie prostopadłych, a więc para osi. Poszczególne punkty elipsy, znając jej osi, znajdziemy przez zastosowanie poznanej pod a) konstrukcyi, o czem zresztą poucza nas dostatecznie wyraźnie rysunek.

c)    Zakreślmy na danych osiach Ri Bi = 2a i Ci Di = 2ь elipsy (Rys. 290.), jako na średnicach, koła ki i k2. Każde z nich

uważać można za powinowate z elipsą k, wyznaczoną parą osi Ri Bi i Ći Di. Przy powinowactwie między kołem ki a elipsą k, osią powinowactwa jest Л1В1, a punkty Ci, Ci i Di, D2 stanowią pary punktów odpowiednich; jeśli bierzemy pod uwagę powinowactwo, zachodzące między ki i k, to osią jego jest prosta wyznaczo- Al\ na punktami Ci i Di, a kierunkiem, kierunek do tej osi prostopadły. Punkty Bi i B2 stanowią więc w tym wypadku parę punktów odpowiednich.

/V'

\.i

IÛ2.

Rys. 290.

Wykreślmy przez środek S dowolną prostą ai, a przez otrzymane na kołach ki i ki punkty Pi i P2 proste pi // Ci Di i pi II A\ Di. Uzupełniając Rys. 290. oznaczmy punkt przecięcia się prostej pi z osią Ai Bi literą Z, a prostej p2 z osią Ci Di literą T. Punkt przecięcia się P, prostych pi i p2, jest punktem elipsy k, co wynika z następującego rozważania.

Z Rys. 290. czytamy:

P2 Z : P Z = Pi S : Pi S = Cs S : Ci S = a : b = A Ponieważ promień ai jest dowolny, więc związek ten odnosi się do wszystkich punktów, otrzymanych w ten sam sposób, jak punkt P. Stosunek a : b = A jest cechą powinowactwa, łączącego wszystkie punkty koła ki i otrzymane powyższym sposobem punkty krzywej /г, która, jako powinowata z kołem, jest elipsą. Że i koło ki jest powinowate z elipsą k, wynika z następującej relacyi:

Д P Pi Pi ~ A T S Pi, a zatem:

P Pi Pi P2

Pi Г Pi S

a ponieważ, jak wiadomo, w każdej proporcyi suma lub różnica wyrazów pierwszego stosunku ma się tak do wyrazu pierwszego

(lub drugiego), jak się ma suma lub różnica wyrazów drugiego stosunku do wyrazu trzeciego (lub czwartego) więc:

P Pi + Pi T Pi Pi + Pi *S Bi S _ a

as b

= A

Pi T

P,S

Ten sam związek wyprowadzić można dla każdego punktu elipsy

Cl

k, która jest więc powinowatą także i z kołem ki.

'    d) Wykreślmy (Rys. 290.)

Ar

prostą P R Ц Pi S to:

\s

Di

Rys. 291.

B1 PQ = PTS = b, i PR = WS = a, na czem oprzemy szczególnie dogodną konstrukcyę punktów elipsy przy danych osiach. Na ostrym,nożemodciętym skrawku papieru, odmierzmy połowę osi dużej P R = a i pół osi małej P Q = b (Rys. 291.); następnie

Pi

a.)

i P\

0,4

O'

przykładajmy ów skrawek papieru tak, aby punkt R leżał zawsze na osi małej, zaś punkt \ Q na osi dużej, to punkt P, który zaznaczymy ołówkiem, jest I przy każdorazowem położeniu skrawka papieru punktem elipsy.

ü'2

Or

Pi

b.)

ff м/аув i

P’    . P

a

A SQ'

e) Na danych osiach 2a i 2b (Rys. 292 a.), jako na średnicach, zakieślmy koła ki i ki, a następnie obrawszy parę prostopadłych średnic Pi PT i Qi Qi w kole większem, znajdźmy odpowiadającą im w układzie elipsy parę średnic sprzężonych P Pr i Q Q - Przez punkty Qi i Qi wykreślmy równoległe do osi elipsy i otrzymany punkt R połączmy z Q. Oznaczmy punkty przecięcia się prostej R Q z osiami elipsy, literami T i Uy a środek prostokąta R Qi Q Q* literą M i połączmy punkty R i S prostą.

Z Rysunku czytamy:

Д R Qi Q» 2L A P Pi Pz a dalej 502 = ~QT = b ; V R = SĆh = b ; TTQ = SQi = a,

więc :UT=QT + UQ = a + b........

przyczem punkt M jest środkiem odcinka U T.

Ponieważ ramiona kątów R Qi S i P Pi S są zgodnie prostopadłe, więc kąty te są sobie równe, a że R Qi = P Pi i S Qi = S Pi, więc :

1)

Л SR Qi 21 Д SPPi, a stąd wynika, że 5 R = SP R S Ql = * PS Pi

a dalej, że: S R ± S P......... .

Relacye 1) i 2) dają nam możność wyznaczenia osi elipsy z danej pary średnic sprzężonych. I tak niechaj P P' i Q Q' (Rys. 292 b.) są parą średnic sprzężonych elipsy. W środku jS wykreślmy prostopadłą do średnicy P P' i odmierzmy SR = S P; R łączymy z Q, a ze środka M odcinka R Q zakreślmy koło, przechodzące przez środek 5. Łączymy punkty T i U ze środkiem S i odmierzamy UQ = a = AS = S В i QT = b = CS = SD.

• 2)

bi!

f)    Ponieważ punkt Q (patrz Rys. 292 a), jest do- л wolnym punktem elipsy, więc na podstawie równości 1) otrzymamy dowolną ilość punktów elipsy z danych osi w sposób następujący: Na skrawku papieru (Rys. 293.) odmierzymy odcinek a -f b, a następnie poruszać będziemy tym skrawkiem papieru tak, aby punkty końcowe U i T po-, zostawały przy każdorazowem położeniu na osiach, względnie ich przedłużeniach; punkty Q będą punktami elipsy.

g)    Zanotujemy tu jeszcze, jednakbezpodania uzasadnienia, bardzo praktyczną konstrukcyę punktów elipsy przy pomocy

's

-r

Rys. 293.

skrawka papieru, z danej pary średnic sprzężonych Л В i C D (Rys. 294.). Z punktu C kreślimy C F _L Л B, odmierzymy C E = AS i łączymy E z S. Na skrawku papieru odmierzymy odcinek ЕС F, a następnie ustawiać będziemy skrawek papieru tak, aby punkt E leżał zawsze na prostej ES, a punkt F na A B. Punkty C będą punktami elipsy.

98. Styczne do elipsy. Weźmy pod uwagę elipsę k i sieczną a, przecinającą ją w dwóch punktach A i В (Rys. 295.).

3;

.Bi

£> £

[А

Вз

Rys. 295.

Przyjmijmy, że sieczna ta obraca się około punktu A, to wówczas punkt В porusza się po krzywej, zbiżając się do punktu stałego Л. W pewnej chwili sieczna zajmie położenie graniczne aèt po przekroczeniu którego, poruszający się punkt В znajdzie się po drugiej stronie punktu Л. Owo graniczne położenie siecznej, określamy mianem stycznej krzywej w punkcie Л. Określenie stycznej jest tu zupełnie ogólne i odnosi się do każdej linii krzywej, narysowanej na płaszczyźnie.

Ponieważ w dwóch układach powinowatych złączonych na płaszczyźnie, każdemu punktowi odpowiada punkt, a prostej

\Ci

Ml

ki

Si

______6

—р

_Ъ_.

Rys. 296.

prosta, więc siecznej koła, które spowinowacone jest z elipsą, odpowie sieczna tej elipsy, a stycznej do koła w pewnym punkcie, odpowiada styczna do p elipsy, w punkcie odpowiadają-' * cym punktowi koła. Każda para odpowiadających sobie stycznych w dwóch układach powinowatych przetnie się oczywiście w punkcie na osi powinowactwa.

a) W danym punkcie M elipsy k wykreślić styczną. Jeżeli osi elipsy k są dane (Rys. 296.), to koło ki, zakreślone na osi AB ze środka S, jest powinowate z elipsą. Kierunek tego powinowactwa jest prostopadły do Л B. Danemu punktowi M elipsy odpowiada na kole ki punkt Mi ; styczna Si w punkcie Mi do ki przecina oś powinowactwa p w punkcie P. Prosta (P, M) = s jest szukaną styczną w punkcie M do elipsy k.

Mi,

Si,

fi

Jeżeli znane są średnice elipsy k (Rys. 297.), to koło ki, zakreślone na średnicy Л B, jest w powinowactwie ukośnem z tą elipsą. Prostopadła wykreślona w środku S do Л В przecina ki w punkcie Ci, który odpo-wada punktowi C elipsy k. C Ci p jest kierunkiem powinowactwa.

7r>

Rys. 297.

Przez dany punkt M elipsy k poprowadzimy równoległą do CĆi, a w punkcie Mi wykreślimy styczną Si. Prosta PMes rozwiązuje zadanie.

'P,

mi

ru

Mi

'Cl

V?

\k,

M2

M-

Jl2

B\/ш

\A

A.

№ 71 Ni

b) Z danego punktu P wykreślić styczne do elipsy, której para osi jest dana (Rys. 298.). Na obu osiach, jako na średnicach, zakreślimy koła, powinowate, jak wiadomo, z elipsą. Prostej PCI w układzie elipsy odpowiada prosta / Ci Pi w układzie koła, przyczem punkt Pi leży na pro- 'f mieniu prostopadłym do osi powinowactwa p.

Rys. 298.

Z punktu Pi kreślimy styczne rm i m do

koła ki, a punkty II i III, leżące na osi p, łączymy z punktem P. Proste m i n rozwiązują zadanie ; punkty M i N są ich punktami styczności z elipsą.

c) Równolegle do danego kierunku „a“ wykreślić styczne do elipsy, której para osi jest dana (Rys. 299.). Przez wierzchołek C elipsy kreślimy równoległą do prostej a i punkt/

Cr

m,

Ci

hr

Mr

JL

łączymy z punktem Ci. Styczne mi i m do koła ki, równoległe do proste] Ci /, przecinają oś powinowactwa p wpunk-tach II i III. Proste m

'в

jr>

/V

Nf

Di

Rys. 299.

i п, równoległe do a, wykreślone przez punkty II i III rozwiązują zadanie, są bowiem prostemi powinowatemi z mi i m. Prostopadłe, poprowadzone z punktów styczności Mi i Ni do osi p, wyznaczają na prostych m i n punkty M i iV, w których proste te dotykają elipsy.

!C

С/

0,

/Г

/Т

c) Z danego punktu P wykreślić styczną do danej elipsy (Rys. 300.). Z punktu P wykreślimy sieczne a, b, c i połączymy punkty Л z Bi, Ri z В, В z Ci, C z Bi. Prosta 1 II przecina elipsę w punktach M i N, które połączone z punktem P rozwiązują N zadanie. Uzasadnienie tej niezwykle dogodnej konstrukcyi wymaga wiadomości, które nie leżą w zakreślonym przez nas obszarze i dlatego podane tu być nie może.

d'

n    99. Rzuty prostokątne koła. Ponie

Rys. 300.

waż między danym układem płaskim w przestrzeni, a jego rzutem prostokątnym zachodzi powinowactwo środkowe (ust. 95.), więc rzuty prostokątne koła są elipsami.

a) Gdy dana jest płaszczyzna a (ha üa) a na niej punkt O (O' O") jako środek koła (Rys. 3Q1-), to rzuty koła, o danym promieniu r, wyznaczymy w sposób następujący: Po wykonaniu kładu płaszczyzny a na rzutnię poziomą, zakreślimy z punktu 0°, jako środka, koło o promie-

niu r. Parze średnic sprzężonych Л°Б° i C° D° w kole, odpowie para os[ Л' B' i C' D', względnie średnic sprzężonych w elipsach, stanowiących rzuty koła. Podnie-

Л" B" i D" C

//

Усс,

D”

к”

te

Vcy

//

A'\

___Q2_____IB" Э"

f\

V ' d"

Xcc,

Va Wć

Ç”

br

HS

не л

/Г

C'"

1/7

D'

&D'

's

⁴-

r5'

a'

,/Q\

k°

\b

/d°

\ч

ч«ь

!vtf

o*

Л’\э'

/?cC

Rys. 301.

sienie z kładu punktów Л°, ß°, C°, D° nie nastręcza żadnych trudności. Rys. 301. tłómaczy rzecz dostatecznie.

b) Niech dany będzie punkt O {O', 2) jako środek koła, Jeżącego na płaszczyźnie cc (Rys. 302.), wyznaczonej zestopnio-waną linią największego spadu la'; wykreślmy rzut Ay cechowany koła o danym promieniu r. Zadanie roz-wiązaćby można podobnie jak poprzednie, przez wykonanie kładu płaszczyzny a na rzutnię poziomą, względnie na jedną z płaszczyzn warstwowych.

W Rys. 302. zastosowaliśmy jednak inną metodę, dającą się także użyć w przypadku rzutów na dwie płaszczyzny, a mianowicie użyliśmy płaszczyzny cp prostopadłej do warstwie.

K.__c'

n.w.

1 OS O

Ik

C‘

[1

Rys. 302.

Prosta k° jest kładem krawędzi płaszczyzny a i płaszczyzny cp na rzutnię poziomą, a odcinek C° D° kładem rzutu koła na płaszczyznę cp. Oś Л' B' równa jest średnicy koła, drugą osią jest odcinek C' D'.

c) Rzuty koła, leżącego na płaszczyźnie poziomo rzucającej, podają Rys. 303 a i b. W pierwszym, podnieś-

Яг

i*?

I*

I*

'1чг

Ci

Ь/

Cb

Rys. 303 a.

Rys. 303 b.

liśmy koło z rzutni poziomej, w drugim, z rzutni pionowej.

d) Rys. 304. podaje konstrukcyę rzutów koła, leżącego na płaszczyźnie cp, przechodzącej przez oś rzutów x i punkt O (O' O"). Najpierw wykonano kład O0 punktu O, a następnie podniesiono średnice sprzężone Л⁰ B° i C° D° około osi .X X na płaszczyznę cp. Oś x jest osią powinowactwa między kładem k° i rzutem k' koła, a także między rzutami k' i k'\ Stąd przez punkt/, w którym prosta Л⁰D° przecina oś x, przejdą proste Л' D' i Л" D".

A,

к”

C"

-r

IB"

D'\

[O'

i C'

__\C°

IB'O*

e) Rzuty prostokątne koła k, przyjętego na płaszczyźnie a // x przedstawia Rys. 305. Na płaszczyźnie a (ha Va) przyjęliśmy prostą а (а' а") a na niej punkt S' (S' S"), jako środek

Rys. 304.

koła k. Wykonawszy kład S° punktu S na rzutnię pionową, zakreślimy koło k°, a następnie podniesiemy średnice A° B° i C° D° około śladu Va, jako osi obrotu na płaszczyznę a, otrzymując osi A' B\ <

CO⁷ i А"В", СЧУ' elips

k' i k", będących rzutami 4—oz-%

koła k.    \    ’

S' Д-J

к"

5"

В"

Dn

Va

Ha

/\

100. Elipsa jako krzywa powinowata z elipsą. Z îak- ~ tu, że w dwóch układach środkowo powinowatych każdemu punktowi w jednym układzie odpowiada jeden punkt w układzie drugim, że każdej prostej przechodzącej przez ten punkt w pierwszym układzie, odpowiada prosta przechodząca przez odpowiedni punkt w układzie drugim, a dalej, że punktom właściwym w jednym układzie odpowiadają punkty właściwe w układzie drugim — wynika, że elipsie, przyjętej w jednym układzie, odpowie w układzie drugim także elipsa. Innemi słowy, — elipsa może być spowinowaconą albo P z kołem (ust. 95.) albo z elipsą.

Elipsie więc ki (Rys. 306.), przy / danej osi powinowactwa p i pary ( punktów odpowiednich Oj i O2, odpo- jfc wie elipsa кг w układzie powinowatym. Parze osi Лх Bi i Ci Di odpowie para średnic sprzężonych Л2 B2 i C2 D2 elipsy k-2. Środkowi Oi, elipsy ki, odpowiada środek O2, w elipsie кг.

/à* \

Vb

of\

V,

b° ,

Û’

Is'

h°

A'

C°

Rys. 305.

Ä2

кг

•"S>\

b-

Га

B°

■MB’

Сг

Rys. 306.

'к,

H"a

§ 8. PRZEKROJE I PRZENIKANIA WIELOŚCIANÓW

101. Płaskie przekroje wielościanów. Wyznaczenie przekroju wielościanu płaszczyzną, sprowadza się do wyznaczenia

punktów przebicia się krawędzi wielościanu z płaszczyzną sieczną. Z określenia tego wynika, że położenie płaszczyzny

/\

C" D"

A"

— -V 4' /

\i

siecznej wpływa na przebieg konstrukcyi, która w przypadku, gdy płaszczyzna ta jest rzucającą, przedstawia się najprościej i sprowadza się — jak to widzimy na Rys. 307. — do odniesienia punktów, leżących na śladzie płaszczyzny, na odpowiednie krawędzie w drugim rzucie.

ha

3'

Rys. 307.

Przez wprowadzenie trzeciej płaszczyzny rzutów, prostopadłej dopłaszczyznysiecz-nej i do jednej z dwóch rzutni, sprowadzić się da przypadek, w którym płaszczyzna sieczna ma położenie dowolne, do powyższego. W Rys. 308. chodzi o wyznaczenie przekroju umiarowego ośmiościanu, leżącego jedną ścianą na rzutni poziomej, z płaszczyzną a(haVa), nachyloną do obu rzutni. Przyjąwszy płaszczyznę poziomo rzucającą prostopadłą do a, wyznaczyliśmy rzut ośmiościanu na tę płaszczyznę i ślad boczny ka płaszczyzny a.

Rzut boczny wielokąta przekroju schodzi się ze śladem bocznym ka, rzut poziomy i pionowy otrzymamy przez odniesienie punktów /"', 2"', 3"', 4'", 5"' i 6"' na odpowiednie krawędzie w tych rzutach.

Podany sposób wyznaczenia przekroju wielościanu, polegający na wprowadzeniu trzeciej płaszczyzny rzutów, jakkolwiek ogólny i dający się zastosować do każdego wielościanu, bez względu na jego położenie, nie jest wystarczający. Zauważmy bowiem, że odniesienie punktu z rzutu bocznego na poziomy odbywa się z tern mniejszą dokładnością, im bardziej odnośny rzut krawędzi, na którą punkt przenieść mamy, zbliża się do położenia prostopadłego do osi y, a w przypadku, gdy krawędź ta jest prostopadłą do tej osi, możliwość przeniesienia punktu na nią nawet zupełnie upada. W Rys. 308. widzimy, że odnosząca punkt 6"' na prostą C D' przecina ją pod kątem zbyt ostrym, aby dokładność położenia punktu 6' nie mogła

■«4

być wątpliwą. Z tego powodu posiąść musimy drugi sposób wyznaczenia przekroju wielościanu płaszczyzną, aby zastosować go w przypadku, gdy pierwszy zawiedzie, względnie nie jest dość dokładny.

Wprawdzie posiadamy zawsze możność wyznaczenia punktów przebicia poszczególnych krawędzi zpłasz-czyzną sieczną, ale i ten sposób — jak to zauważyć można przy punkcie 6 (6' 6") — nie da wyniku dokładnego, a następnie chodziłoby o metodę, która z góry wskaże krawędzie, przebijające płaszczyznę sieczną i zaoszczędzi szukania.

O"

D'r

Г En

Wi

■ЯГ

\z

F .Ai

1‘k

i \!

Ù9

6%l

\ę*

5'"¹

/A"

■2‘

\;

If ' *

%з'

V*

Niechaj daną będzie płaszczyzna a (ha Va) i prosta

P (p'p") (Rys. 309.).

Obierzmy na prostej p dowolny punkt В (В' В") i poprowadźmy przezeń prostą, równoległą do dowolnie na płaszczyźnie a przyjętej prostej. ЛЬу sprawę możliwie uprościć, niechaj prosta / (/' l"), przechodząca przez punkt B, będzie prostą czołową, a więc równoległą do Va. Proste p i l wyznaczają płaszczyznę e (he. Ue), która przecina płaszczyznę a w prostej t (/' t"). Ponieważ płaszczyzna e jest równoległą do śladu Va, więc i prosta t (f t") jest do śladu tego równoległą. Punkt przecięcia się P (P' P") prostych t (t' t") i P (P' P ) jest punktem przebicia się tej ostatniej z a. Otrzymaliśmy sposób szukania punktu przebicia się prostej z płasz-

ha

4,

Fm

Em

D"‘

Rys. 308.

czyzną za pośrednictwem płaszczyzny równoległej do śladu pionowego danej płaszczyzny. Metodę tę zastosujemy do

B”

Va.

P"

VS

Ht"/

Hi

H p lГр

\ '• /

Ир %

<Ht\/p'

ha.

i’ А

Rys. 309.

wyznaczania przekrojów wielościa-nów i wtedy też / poznamy jej celowość i zalety. W tern miejscu л_ zauważmy tylko, że kreślenie śladu pionowego Ve jest — zbędne, a prostej t" tylko wówczas potrzebne, gdyby odnosząca punkt Pr przecinała p" pod zbyt ostrym kątem.

Wykreślmy rzuty umiarowego ośmiościanu (Rys. 310.) i wyznaczmy rzuty przekroju płaszczyzną a (ha Va), a to przez zastosowanie poznanej wyżej metody szukania punktów prźebicia prostych z płaszczyznami. Przez krawędzie wielo-ścianu poprowadzimy płaszczyzny równoległe do śladu Va. W tym celu poprowadźmy przez wierzchołki В, C, D, E, F naroży, proste równoległe do Va i wyznaczmy ich ślady poziome Bh,... Fh, które połączmy, uwzględniając także punkt Л, w tym samym porządku, to jakim połączone są odpowiadające im wierzchołki naroży ośmiościanu. Otrzymane w ten sposób odcinki, łączące po dwa ślady, są śladami poziomymi płaszczyzn, przechodzących przez odnośne krawędzie ośmiościanu równolegle do śladu Ua płaszczyzny siecznej. Przedewszystkiem zauważymy bezpośrednio, które krawędzie ośmiościanu przebijają płaszczyznę cc, a które leżą zewnątrz niej; jeżeli bowiem odcinki, jak np. DhEh lub Dh Fh nie przecinają śladu ha, to odnośne krawędzie a więc DE i DF nie przebijają płaszczyzny a. Natomiast odcinki Fh Bh, Fh Ch, ChDh, Dh Ä, Eh Л i Eh Bh przecinają ślad ha w punktach Hi... He, które są śladami poziomymi prostych przecięcia się płaszczyzn, przechodzących przez krawędzie ośmiościanu równolegle do prostej Va, z płaszczyzną a. Proste te są równoległe do Va, ich rzuty poziome są równoległe do osi x i wyznaczają na odnoś-

nych krawędziach punkty 1', 2', 3', 4', 5' i 6', których rzut pionowy otrzymamy zapomocą odnoszących, albo, o ile dokładność

Va

Fa

/ / Â2"

ч

/ : N

ßVj

£"

l\

7\

4"

Ts"y

Bh

A"

W/ /7,"

°v

k-2'

3‘

i D‘

Из

i Dh

Л

A- —

ß'

6'

//ss

\₍

£/>

)CL

Kys. 310.

rysunku tego się domaga, zapomocą prostych równoległych do Va, jak to uczyniliśmy dla punktu 4".

102. Przekroje płaskie graniastosłupów.

a) Prócz poznanych dwóch metod wyznaczania przekrojów, zastosować się da do graniastosłupów metoda odmienna, oparta o pewne związki, zachodzące między jego dwoma przekrojami, względnie między podstawą a przekrojem.

Przyjmijmy graniastosłup, którego podstawa А В C D spoczywa na płaszczyźnie cc (Rys. 311.), a nadto płaszczyznę ß, przecinającą ten graniastosłup. Przypuśćmy, że znany nam jest punkt 1, w którym krawędź A E przebija płaszczyznę ß; znajdźmy punkty 2, 3 i 4, w których dalsze krawędzie boczne przebijają płaszczyznę sieczną ß. Wyznaczywszy krawędź p płaszczyzn a i ß, znajdźmy punkt przecięcia się płaszczyzn

1-\

J\2

'Рз

Rys. 311.

cc, ß i ABE F. Punkt ten leżeć będzie na krawędzi p, na krawędzi płaszczyzn a i А В E F, a także na krawędzi tej ostatniej z płaszczyzną ß. Äle ponieważkrawędź А В płaszczyzny a i ściany bocznej A B E F jest znana, więc znany jest także punkt Pi, jako przecięcie się prostych p i A B. Przez punkt Pi przechodzi oczywiście krawędź płaszczyzn ß i A B E F, a ponieważ punkt 1 tej krawędzi jest także znany, więc znany jest i punkt 2. Przy pomocy punktu P-> otrzymamy punkt J, który połączony z punktem Рз przecina krawędź boczną D H w punkcie 4. Oczywiście, że punkt przecięcia się Pi prostych 14 i A D Jeży na prostej p. Czworokąt podstawy А В C D uważać można za przekrój graniastosłupa płaszczyzną cc, a zatem między dwoma przekrojami graniastosłupa stwierdzamy, w skutku powyższego rozumowania, następujące związki:

1)    Punkty Л i 1, В i 2, C i 3, D i 4 leżą na prostych do siebie równoległych (krawędziach bocznych graniastosłupa).

2)    Proste А В i 12, В C i 23, C D i 34. A D i 14 przecinają się w punktach prostej p, która jest krawędzią obu płaszczyzn siecznych.

Jeżeli punkty Ai 1, В i 2... i proste A Bi 12, BC i 2,3... określimy jako pary punktów, względnie prostych odpowiednich, to w takim razie między dwoma przekrojami graniastosłupa stwierdzamy istnienie powinowactwa środkowego, którego osią jest prosta p, a kierunkiem, kierunek krawędzi bocznych

graniastosłupa. Wiemy z ust. 94., że rzuty dwóch układów powinowatych na dowolną płaszczyznę tworzą dwa układy powinowate, złączone na tej płaszczyźnie — a więc rzuty poziome dwóch przekrojów graniastosłupa są wielokątami powinowatymi. Kierunek tego powinowactwa schodzi się z kierunkiem rzutów poziomych krawędzi bocznych graniastosłupa, a osią powinowactwa jest rzut poziomy krawędzi płaszczyzn siecznych. Analogicznie przedstawia się sprawa z rzutami przekrojów graniastosłupa na płaszczyznę pionową lub jakąkolwiekbądź dowolną. Ponieważ powinowactwo dwóch układów płaskich wyznaczone jest osią i parą punktów odpowiednich, więc w ogólnym przypadku znajdziemy rzut przekroju graniastosłupa, wyznaczywszy krawędź płaszczyzny siecznej i płaszczyzny podstawy i punkt przebicia się jednej krawędzi bocznej graniastosłupa z płaszczyzną sieczną.

Przykład przekroju graniastosłupa czworościennego, którego podstawa ÄBCD spoczywa na płaszczyźnie <x(haVa) równoległej doosix, płaszczyzną ß (hß üß) przedstawia Rys. 312. Płaszczyzny cc i p przecinają się w prostej p (p' p"), która jest osią powinowactwa między wielokątem podstawy Л В C D i szukanym wielokątem przekroju; rzut poziomy p' prostej p jest osią powinowactwa środkowego, zachodzącego między rzutem poziomym Л' В' C' D' czworokąta podstawy, a rzutem poziomym wielokąta przekroju, podobnie jak prosta p" jest osią powinowactwa środkowego, łączącego rzut pionowy podstawy z rzutem pionowym przekroju.

Wyznaczymy punkt przebicia się 3 (У 3") krawędzi bocznej, przechodzącej przez punkt С (С C"') z ß, to dalsze punkty wielokąta przekroju znajdziemy na zasadzie związku, łączącego wielokąty podstawy i przekroju, a polegającego na tern, że odpowiednie ich boki przedłużone przecinają się na osi powinowactwa. Otrzymawszy więc punkt Pi', jako przecięcie się boku В' C z osią p', łączymy go z punktem 3' i otrzymujemy punktu, względnie bok 2' 3'. Przy pomocy punktów Р/ i Рз' otrzymamy punkty 4' i 1', a więc rzut poziomy czworokąta przekroju.

W ten sam sposób przy pomocy punktów Pi",Рч",Рз" i Pi" wychodząc z punktu 3", otrzymamy punkty 2", 4" i 1". Kontrolą dokładności konstrukcyi będzie stwierdzenie, że odpowiednie punkty w obu rzutach leżą na prostych odnoszących.

Między obu rzutami czworokąta przekroju zachodzi powinowactwo środkowe (ust. 95.), którego oś przechodzi przez punkt Xß i jest miejscem geometrycznem punktów przecięcia się Ri, i?2, Rs i Ri rzutów boków czworokąta przekroju. Znając

_л

Va

A"l'

/7'

Ha h*

1V

/Vi

s'*    ;

-i—à

а’/В'

2",

b’

Ç"

Hk

C'-

₄'w

\ Нь \

2'

Vß // Vy \ /__

k"/

3"

Vb

P4P4

!/

R4

яг//J

щ/1

ТЫ/'.™ /■/

ш HpA^Vp

/>V

f\

ять

'j/Ü

'ÎHp

P’

Xß X

/?/

Ra

\!

/Pi

/Р'

h₇\    к' /hß

У/A

Rys. 312.

więc np. bok 34 (J' 4', 3"4") a przez to i punkt Ri, a więc i oś powinowactwa pi, możemy i przy jej pomocy wyznaczyć dalsze dwa punkty czworokąta przekroju. Odpowiednie bowiem boki, jak 1' 2' i Г 2", 2' 3' i 2" 3", 1' 4' i 1" 4", przecinają się w punktach Ri, Ri i Rs na prostej pi, wyznaczonej punktami Xß i /?2. Na Rys. 312. punkty Pi i Pi" nakryły się, wobec czego i punkt Ri zeszedł się z poprzednimi, gdyż w tym przypadku punkt Pi = Ri jest punktem przecięcia się płaszczyzn cc, ß, ô// i ściany bocznej Л В 12 graniastosłupa.

b) Płaszczyzna równoległa do krawędzi bocznych graniastosłupa przecina go w równoległoboku, jeżeli krawędź

płaszczyzny siecznej z płaszczyzną podstawy przecina wielokąt podstawowy.

Przykład takiego przekroju podaje Rys. 313. Przez przyjętą, równolegle do krawędzi bocznych graniastosłupa, prostą l (V l") poprowadziliśmy płaszczyznę a (ha Va), której krawędź k (k' k") z płaszczyzną podstawy ß przecina czworokąt podstawy w punktach 1 (Г 1") i 2 (2! 2").

Przez punkty te poprowadzone pro- ^ ste, równoległe do krawędzi bocznych, są liniami przecięcią się odnośnych ścianbocz-nych z płaszczyzną sieczną, a odcinek 34

(7 4\ 3" 4") stanowi czwarty bok szukanego równoległoboku.

103. Zadanie. Prosty graniastosłup, którego podstawą jest równoległobok, przeciąć taką płaszczyzną, aby przekrój był kwadratem (Rys. 314.). Rzut poziomy A' B' C D' kwadratu schodzi się z podstawą graniastosłupa, której przekątne są przekątnemi kwadratu. Elipsa, wyznaczona średnicami sprzę-żonemi A' C' i B' D', jest rzutem poziomym koła, opisanego na kwadracie.

Vcc

4“

3"

^Vk

^Н:<А^ГВ" D^C"

—i-Li—L_

Vi ł£\ Hï

■Bi

Al

x_

hx

D¹ \A'

ЗГ

Rys. 313.

Wyznaczmy w znany sposób (ust. 97 e.) osi tej elipsy, to oś wielka Г 1Г jest poziomą, a więc równoległą do śladu poziomego szukanej płaszczyzny i równą średnicy koła. Oś mała 11Г W' wyznacza kierunek linii największego spadu (ust. 25.) płaszczyzny siecznej.

Ponieważ pęk płaszczyzn równoległych przecina grania-stosłup w wielobokach przystających, więc istnieje pęk płaszczyzn równoległych, przecinających dany graniastosłup w kwa- „

dracie. Weźmy pod uwagę jedną z tych płaszczyzn, a mianowicie tę, której ślad poziomy ha przechodzi przez punkt IV,

oczywiście równolegle do osi Tli. W celu wyznaczenia śladu pionowego płaszczyzny a, Xa wyznaczmy rzut pionowy linii spadu, a raczej rzut pionowy S" środka koła, którego rzut poziomy S' jest znany. Ponieważod-cinek S' IV jest rzutem połowy średnicy koła, której długość równa jest odcinkowi f 1Г,

więc wykreślmy trójkąt prostokątny S' Sx IV, którego przeciw-prostokątna niechaj równą jest połowie dużej osi elipsy, a otrzymamy przyprostokątną S' Sx, równą wysokości punktu S. W ten sposób otrzymamy punkt S", a także i rzut pionowy S" IV" linii spadu szukanej płaszczyzny cc. Ślad pionowy Da przejdzie przez ślad pionowy Vm prostej poziomo tworzącej m (m' m"), poprowadzonej przez punkt 5. Przy pomocy prostych tworzących otrzymamy rzut pionowy Ä" B" C" D" kwadratu. Rzecz zrozumiała, że każda płaszczyzna równoległa do a spełnia również żądany warunek, t. j. przecina graniastosłup w kwadracie.

Д"

D’V:

Di

D‘\

Va

Vp

±:

С"

m"

Vm

d"

Vd

Vm_Vlj \

irr di

,с°

'S⁰

><х

Л°

Rys. 314.

iß°

Weźmy teraz pod uwagę płaszczyznę ß, przechodzącą przez S (S' S"), ale tak położoną, że jej ślad poziomy /iß przechodzi przez punkt ПГ równolegle do ha, a linia spadu ma kierunek przeciwny linii spadu płaszczyzny cc. Płaszczyzna ß (/iß üß) i wszystkie płaszczyzny do niej równoległe przecinają graniastosłup również w kwadracie. Tym sposobem istnieją dwa układy płaszczyzn, rozwiązujących zadanie.

2. Proste Л В i 12, В C i 23, C D i 34, Л D i 14 przecinają się w punktach Pi, P2, Рз i Pi, leżących na krawędzi p płaszczyzn a i ß.

104. Płaskie przekroje ostrosłupów.

a) Podobnie jak do graniastosłupów, zastosować się dadzą, gdy chodzi o przekroje płaskie i do ostrosłupów, prócz metod ogólnych, poznanych w ust. 101., pewne proste związki, zachodzące między podstawą a przekrojem, względnie ogólnie mówiąc, między dwoma przekrojami.

Rys. 315. wyobraża ostrosłup czworościenny, którego podstawa znajduje się na płaszczyźnie a, a który przecięty jest płaszczyzną ß. Powtarzając rozumowanie przeprowadzone przy sposobności omawiania Rys. 311., zauważymy, że między czworokątem podstawy a czworokątem przekroju zachodzą następujące związki:

1. Pary punktów Л i 1, В i 2, C i 3, D i 4, które nazywać będziemy odpowiednimi, leżą na krawędziach bocznych ostrosłupa, a więc na prostych, przechodzących przez jeden punkt i

an

£ 'S

\4

/1

\X

>\3

D>

/С

?3

!Pi

Rys. 315.

Jeżeli między dwoma układami płaskimi zachodzą powyższe związki, to mówimy, że układy te są środkowo kolineacyjne, a związki owe określamy mianem kolinea-cyi środkowej. Prostą przecięcia się dwóch płaszczyzn, a więc w naszym przypadku prostą p, nazywamy osią kolineacyi, proste łączące odpowiednie punkty, więc krawędzie boczne ostrosłupa, promieniami kolineacyi, a wreszcie punkt, przez który przechodzą te promienie (punkt W w Rys. 315.) środkiem kolineacyi. Szczegółowiej zajmiemy się kolineacyą środkową w § 9., tu zauważymy tylko, że podobnie jak rzuty układów powinowatych są powinowate, tak i przez rzut dwóch utworów

środkowo kolineacyjnych związki, charakteryzujące kolineacyę środkową, zostają zachowane. Stąd powiedzieć możemy, że między rzutem poziomym podstawy a rzutem poziomym przekroju ostrosłupa zachodzi kolineacya środkowa, której środkiem jest rzut poziomy wierzchołka, a osią rzut poziomy krawędzi płaszczyzny podstawy i płaszczyzny siecznej. To samo odnosi się do rzutu pionowego podstawy graniastosłupa, do rzutu pionowego jego przekroju, wierzchołka i krawędzi płaszczyzny podstawy i płaszczyzny siecznej.

У/3

l> \ v₇

Av*

f5"\

\\k-

i3"_____

\i

4"

I\

Ps\ ,

x ^ in BW

Yp\/P"

Xjt

:/

B‘

\k’

/11

Р/

\C’

5’i

\ iZ/y

'Hk

h₇

Фз /hß

Rys. 316.

Przykłady. 1. Pięciościenny ostrosłup ukośny, którego podstawa leży na płaszczyźnie poziomej a, przecięty jest płaszczyzną ß (Rys. 316.). Celem wykreślenia rzutów przekroju wyznaczyliśmy rzuty punktu przebicia się 3(3' 3") krawędzi C W Pi z płaszczyzną p, a to przy pomocy pionowo rzucającej płaszczyz-ny y (hr Vy). Wyzna-— czywszy krawędź P ip' P") płaszczyzn a i p, znajdziemy dalsze wierzchołki pięciokąta przekroju, ko-V rzystając ze związków kolineacyi środ-M kowej, zachodzącej między rzutami podstawy i rzutami przekroju. I tak np. bok В C przecina oś kolineacyi w punkcie Pi (Pi ' Pi "), który połączony z punktem 3(3' 3") wyznaczy na krawędzi bocznej В W punkt 2 (2/ 2").

Z kolei wyznaczymy przy pomocy punktu P> (Р/ P>") na osi kolineacyi p punkt 1 (V 1"), następnie punkt Рз (Рз' Рз"), w którym krawędź Л E przecina oś kolineacyi, umożliwi wyznaczenie punktu 5 (5' 5"), który połączony z punktem Pi (Pi' Pi") przecina krawędź boczną D W ostrosłupa w punkcie 4 (4' 4"). Oś pi powinowactwa, j akie zachodzi między pięciokątami Г 2' 3' 4' 5' i 1" 2" 3" 4" 5", przechodzi przez punkt Xß i jest miejscem geometrycznem punktów przecięcia się /,II,III... odpowiednich boków obu pięciokątów.

£'/ fi"r C" 2" D"

il ;i

2. Płaszczyzna przechodząca przez wierzchołek ostrosłupa przecina go w trójkącie, jeżeli krawędź płaszczyzny siecznej z płasz- ~vä czyzną podstawy przecina podstawę.

Vh

X_

V\

Л>

Jako przykład takiego przekroju niech posłuży Rys. 317., który przedstawia przekrój czworościennego, prostego ostrosłupa płaszczyzną ß (/iß Uß), przechodzącą przez wierzchołek W (W' W"). Płaszczyzna podstawy a przecina ß w prostej k(k' k"), a punkty 1 (1' 1") i 2 (2/ 2") połączone z wierzchołkiem rozwiązują zadanie.

Rys. 317.

nv

.1"

4",

'S"

/Vя V \B"x

D"i

105. Zadanie. Dany ostrosłup czworościenny przeciąć w równoległoboku. Proste ЛС i B D (Rys. 318.) uważać można za ślady poziome płaszczyzn a i ß, przechodzących przez pary przeciwległych krawędzi bocznych ostrosłupa, a prostą N W za krawędź tych płaszczyzn. Płaszczyzna szukanego równoległoboku przetnie płaszczyzny a i ß wzdłuż prostych, które będą przekątnemi tegoż równoległoboku. Punkt przecięcia się tych przekątnych leżeć będzie na prostej N W.

\A"

\C"

iß

2’/

hir"-.

Ji

Rys. 318.

Niechaj płaszczyzna sieczna prze- — chodzi przez dowolny punkt prostej N W, to rozwiązanie zadania a sprowadza się do wykreślenia w jednym rzucie np. pionowym takich odcinków 1" 3" i 2" 4", dla których punkt S" byłby środkiem ; wiadomo bowiem, że rzut równoległoboku jest równoległobokiem.

Wykreślmy przez punkt S' równoległą do W" D" i odmierzmy na prostej W" B" odcinek I" 2" = I" W". Punkt 2" połączmy z S" a otrzymamy przekątną równoległoboku, którego środkiem jest punkt S". W istocie bowiem, gdy weźmiemy pod uwagę trójkąt W" 2" 4" i prostą I" S" II W" 4", to otrzymamy proporcyę:

МГТ⁷ : Ff = 4FS⁷⁷ : S⁷⁷^ a ponieważ W"I"r=I"2", więc 4" S" = S" 2".

//

Wykreśliwszy z punktu S" równoległą do boku W" C", odmierzymy II" 1" = II" W" i połączymy otrzymany punkt 1 z punktem S", otrzymując na prostej W" C" punkt 3". Odcinek 1" 3" jest drugą przekątną szukanego równoległoboku. Zwróćmy uwagę na trójkąt W" 3" 1" i równoległy do jego boku W" 3" odcinek S" II". Z rysunku czytamy:

W" II" : IF~F = JFS⁷⁷ : S" 1", a że W" II" =11" 1", więc też: 3"S" = S" I".

Tym sposobem otrzymaliśmy rzut pionowy równoległoboku przekroju. Rzut poziomy znajdziemy przez odniesienie otrzymanych punktów na rzut poziomy krawędzi bocznych ostrosłupa, albo przez powtórzenie przeprowadzonych konstrukcyi dla rzutu poziomego.

106. Punkty przebicia się prostej z wielościanem znajdziemy w ten sposób, że przez daną prostą poprowadzimy

ly

2"

\K"

B\

VA"

ic

\° \ .

płaszczyznę, wyznaczymy jej przekrój z wielościanem, a punkty przecięcia się wielokąta przekroju z prostą rozwiązują zadanie. Co do wyboru płaszczyzny, poprowadzonej przez prostą, to baczymy zawsze, aby wyznaczenie przekroju jej z wielościa-— nem uskutecznić się dało możliwie najprościej, przy użyciu najmniejszej ^ ilości linij. Stąd używamy najchęt-; ¹ niej płaszczyzn rzucających, a odnośnie do graniastosłupów i ostrosłupów także takich, które przecinają pierwsze w równoległobokach a drugie w trójkątach.

Rys. 319.

Przykłady. 1. Punkty przebicia się Pi (P/PT') i P2 (Рг' Pi") prostej / (/' /") ze sześcianem, którego przekątna główna jest pionowa (Rys. 319.), wyznaczyliśmy przy pomocy płaszczyzny poziomo rzucającej a, przechodzącej przez

prostą /, a przecinającej ten sześcian w pięciokącie 12345. Rzut poziomy tego pięciokąta schodzi się ze śladem poziomym ha płaszczyzny cc, a rzut pionowy otrzymaliśmy, odnosząc poszczególne punkty na rzuty pionowe odpowiednich krawędzi.

2. Na płaszczyźnie, przechodzącej przez oś x i punkt U (U' U"), przyjęliśmy kwadrat Л В C D, jako podstawę gra-niastosłupa ukośnego, którego rzuty przedstawia Rys.

320. Zadaniem jest wyznaczyć punkty przebicia sięprostej p (p' p") z tym gra-niastosłupem.

Przez punkt T (V T"), obrany „ na prostej p(p'p"), poprowadziliśmy л prostą m (m' m") ^ równoległą do krawędzi bocznych.

Płaszczyzna cp = (m, /), której ślady /lep i Ucp wykreśliliśmy, jest równoległą do krawędzi bocznych gra-niastosłupa i przecina płaszczyznę podstawy w.prostej k (k' k"), która przejdzie przez punkt Xq>, a której jeszcze jeden punkt, a mianowicie К (К' К") znaleźliśmy w sposób następujący: Na prostej Л D przyjęliśmy punkt Z (Z' Z"), przez który poprowadziliśmy prostą z (z' z") II x; prosta ta przebija płaszczyznę cp w punkcie К (К' К"), który wraz z punktem XP wyznacza prostą k (k' k"). Ta ostatnia przecina podstawę graniastosłupa w punktach M i N, a równoległobok M N P Q jest tym, w którym płaszczyzna cp przecina graniastosłup. Prosta p {p' p") przecina ten równoległobok w punktach R (R' R") i S (Ś' S")y

JlR"

ßn

[7

Vm,

Г:

!

//

!

: Hm mS/Vrn

nr

Hm \

к'

c°

ir

Z”

Z'[

Q"

au

U*

\:Vp

B°

sr

2sm'

M’

А°У

Rys. 320.

Ux

u°

ä' /'эг-

л_

JL

LT

które są szukanymi punktami przebicia się prostej p z gra-niastosłupem.

3. Niechaj zadaniem naszem jest wyznaczenie punktu przebicia się prostej / (Г l") (Rys. 321.) z ostrosłupem, o podstawie umiarowego sześciokąta, leżącym jedną ścianą boczną na rzutni poziomej.

Ve/Va e- E"

/к'

W"

/m"

Ус/ C" F7

N" Ml

Гч

/"

X\

Ук

/X

C’

N\

FI

<n’

JV

,c°

o°

E° Г

e°

\d'

d°H«\h« Rys. 321.

A'\

D°

Rzuty ostrosłupa wykreślimy w sposób łatwy do odczytania z rysunku. Następnie, ponieważ osiągnięcie śladów prostej / w obrębie płaszczyzny rysunkowej jest niemożliwe, przyjęliśmy na / punkty M(M' M") i N (ЛГ N") i połączyli z wierzchołkiem ostrosłupa W pro-stemi m (m' m") i n(n'n"). Płaszczyzna cp (/ZcpDcp), wyznaczona te-mi dwiema pro-stemi, przecina płaszczyznę pod, stawy a {ha Da) w prostej k {k' k"), a ostrosłup w trójkącie 1 2 W. Punkty Pi {Pi' Pi") i P> (Pa' P2") są punktami, wktó-rych prosta / przebija ostrosłup.

107. Rozwinięcia wielościanów. Przez rozwinięcie wie-lościanu, albo t. zw. siatkę, rozumiemy wykreślenie na płaszczyźnie wszystkich ścian danego wielościanu w takim ich zestawieniu, że, po wycięciu tego wykresu np. z papieru, odtworzenie wielościanu jest możliwe.

1. Siatka ostrosłupa. Ostrosłup czworościenny, ukośny, stoi podstawą na rzutni poziomej (Rys. 322.); prawdziwe długości jego krawędzi bocznych otrzymamy przez wykonanie kładu ścian około krawędzi podstawowych na rzutnię poziomą, jak to uczyniliśmy ze ścianą В C W, albo przez sprowadzenie tych krawędzi zapomocą obrotu do położenia równoległego względem rzutni pionowe], jak to uczyniliśmy z krawędziami Л W i D W. Zestawienie trójkątów, stanowiących ściany boczne, z podstawą Л B C D, wobec znajomości wszystkich elementów nie nastręcza żadnych dalszych trudności.

W"

w°

' D" \b"

C"

dï ;

i/h

f I/

2. Siatka graniasto-słupa. Rozwinięcie grania-stosłupa prostego, którego podstawa znajduje się na rzutni poziomej, sprowadza się do wykreślenia prostokątów o znanych bokach, stanowiących ściany boczne, i do wykreślenia podstaw.

W*

<A

Rys. 322.

Przykład rozwinięcia czworościennego graniasto-słupa ukośnego widzimy na Rys. 323. Jeżeli graniastosłup ten przetniemy płaszczyzną a (ha Va) prostopadłą do krawędzi bocznych, to boki czworokąta przekroju będą prostopadłe do tych krawędzi, a po rozwinięciu ścian bocznych, przejdą w linię prostą, do której krawędzie boczne pozostaną prostopadłe. Zadanie sprowadza się tym sposobem niejako do rozwinięcia dwóch graniastosłupów prostych o wspólnej podstawie, powstałej z przecięcia graniastosłupa płaszczyzną a, a ograniczonych podstawami graniastosłupa ukośnego. Wykreśliwszy rzut boczny graniastosłupa na płaszczyznę prostopadłą do a i rzuty czworokąta przekroju 1 2 3 4, wykonajmy jego kład 1° 2° 3° 4° na rzutnię boczną i rozwińmy go na prostą p. Otrzymamy: 72 = T°2°, 23 = 2°3°, 34 = T°T° i 41 = 44°. Na prostopadłych, wykreślonych w punktach 1, 2, 3, 4 i 1, odmierzymy prawdziwe długości krawędzi obydwu graniastosłupów prostych,

których wspólną podstawą jest czworokąt 1 (1' 1")... 4(4' 4"). Będzie więc 7 Л = T⁷⁷⁷/!⁷⁷⁷, 2B = 2"' ВJC = З⁷⁷⁷^ \4D=4'" D", a wreszcie Л E=BF= ...=DH= R’"Er"=BTT7Frr'...

ПГ

4"

V *fs / '■ X

; A    >

XKs'V

С” X

E.

ht

ha

Г'

\i

Z⁷'

X г:к'3^\ ^

^<х/ \,/ /

р_

/3

/7

!r

УХ

\\

=4

з°

у/

1°

Rys. 323.

108. Przenikania się wielościanów w ogólności. O dwóch wielościanach, które częściowo zajmują tę samą przestrzeń, mówimy, że się przenikają, względnie wzajemnie przecinają. Przestrzeń, należąca równocześnie do obu wielościanów, ograniczona jest w ogólności wielokątem przestrzennym (skośnym). Jego wierzchołki są punktami przebicia się krawędzi jednego wielościanu ze ścianami wielościanu drugiego, a jego boki są prostemi przecięcia się ścian przenikających się wielościanów. Jeżeli wszystkie krawędzie jednego wielościanu przebijają Ściany wielościanu drugiego, to wielokąt przenikania składa się z dwóch części, a przenikanie nazywa się zup einem. Jeżeli jedna lub więcej krawędzi zarówno jednego jak i drugiego wielościanu leży poza obrębem przenikania, to wielokąt przenikania jest jednolity, a przenikanie nazywa się niezupełne m lub częściowem.

Sprawa wyznaczenia wielokąta przenikania dwóch wielo-ścianów polega w zasadzie na zastosowaniu zadania wyznaczenia punktu przebicia się prostej z płaszczyzną względnie z wielościanem. Co do wierzchołków i boków tego wielokąta, względnie ich rzutów, to pamiętać musimy o następujących punktach, które rozumieją się same przez się:

a)    Punkt przebicia się krawędzi widocznej ze ścianą widoczną, jest widoczny,

b)    Prosta przecięcia się dwóch ścian widocznych jest

widoczną,

c)    Punkt przebicia się krawędzi widocznej ze ścianą niewidoczną jest punktem niewidocznym i

d)    Krawędź ściany widocznej ze ścianą niewidoczną, podobnie jak dwóch ścian niewidocznych, jest niewidoczną.

109. Przenikanie się ostrosłupów.

a) Niechaj dane będą, przedstawione w rzutach ukośnych (Rys. 324.¹), dwa ostrosłupy o wierzchołkach Wi i Vks, których podstawy ÄBCD i EFGH spoczywają na wspólnej płaszczyźnie cp. Celem wyznaczenia wielokąta przenikania, połączmy

Wi

/ i EH¹HG¹AB / г EH+HGtAD /    3 EH~EF¹AB

/    4 EH-EF+AD,

/    5 HG¹GF¹AB

' c HG¹GF¹AD 7 AD¹DC-EF

8    AD¹DC¹GF

9    -EF¹FG¹AB ю -EF¹FG¹DC

W?

.9-

CP

*\ / / UM

/ VNS / M \

V-__

Z¹

Щ/W/

s'

■17 I

ÇP

i tę krawędź płaszczyzny, która przetnie drugi graniastosłup w trójkącie. Punkty przecięcia się boków tego trójkąta z krawędzią są szukanymi punktami. Krawędź płaszczyzny, przechodzącej przez krawędź ostrosłupa, z płaszczyzną cp przejdzie przez punkt P i wierzchołek wielokąta podstawy, z którego wychodzi krawędź boczna. Ten sposób szukania wierzchołków wielokąta przenikania wskazuje od razu, które krawędzie biorą udział w przenikaniu, a które leżą po za niem. I tak, jeżeli prosta PA jest prostą przecięcia się płaszczyzny poprowa-wadzonej przez krawędź Wid z płaszczyzną cp, to ponieważ prosta ta nie przecina podstawy ostrosłupa W2, więc i krawędź Wi A nie przebija tego ostrosłupa. Inaczej jest z płaszczyzną przechodzącą przez krawędź W2 H. Przecina ona bowiem ostrosłup Wi w trójkącie Wi III, co oznacza, że krawędź W2 H przebija ten ostrosłup w dwóch punktach, oznaczonych liczbami 1 i 2. Podobnie krawędź W2 E przebija ostrosłup Wi w punktach J i 4, krawędź W2 G w punktach 5i 6. Krawędź Wi D ostrosłupa Wi przebija ostrosłup W2 w punktach 7 i 8, a wreszcie krawędź W2 F ostrosłupa W2 przebija ostrosłup Wi w punktach 9 i 10. Krawędzie W2 B i W2 C nie biorą udziału w przenikaniu. Ponieważ wszystkie krawędzie graniastosłupa W1 przebijają graniastosłup W2, więc mamy przykład przenikania zupełnego, gdzie wielokąt składa się z dwóch oddzielnych części. Teraz należy połączyć otrzymane wierzchołki wielokąta przenikania. W przypadkach prostych, gdzie ilość punktów nie jest wielka, a więc i siatka linij konstrukcyjnych nie utrudnia oryentacyi, ustalenie następstwa punktów, które połączyć należy, nie nastręcza zbytnich trudności ; zazwyczaj jednak rzecz ma się odmiennie, a wówczas postępujemy w sposób następujący:

Bierzemy pod uwagę wierzchołki wielokąta przenikania i notujemy krawędź jednego wielościanu i ściany drugiego, na których punkty te leżą. I tak np. punkty 1 i 2 leżą na krawędzi powstałej z przecięcia się ścian W2 EH i W2 H G, a nadto punkt 1 leży na ścianie AB Wi,a punkt 2 na ścianie A D Wu Do oznaczenia ścian bocznych wystarczą krawędzie u podstawy, które te ściany dostatecznie określają. Jeżeli ściana jest widoczna, to jej krawędzi podstawowej damy znak dodatni (+), inaczej znak ujemny (—). Notatkę naszą, odnoszącą się do punktów 1 i 2, wyrazimy następującym symbolem:

1.

+ EH, + H G, + ЛВ,

+ EH, + HG, + AD.

Przetłómaczone na słowa, symbole te brzmią: Punkt! leży na krawędzi, powstałej z przecięcia się widocznych (+) ścian EH i H G ostrosłupa Wz i na ścianie widocznej Л В ostrosłupa Wi ; punkt 2 leży na krawędzi ścian widocznych EH i HG ostrosłupa W2 i na widocznej ścianie Л D ostrosłupa Wi.

Dla punktów 3 i 4 otrzymamy:

+ EH, — EF, + ЛВ,

+ EH, — EF, + ÄD, przyczem znak — przy ścianie EF oznacza, że ściana ta jest niewidoczna. Jeżeli to samo przeprowadzimy dla wszystkich dziesięciu punktów, to otrzymamy następującą tablicę, którą zestawiliśmy także na Rys. 324.*

2.

3.

4.

-- ЯЬу otrzymać porządek,

+ EH

+ ЛВ

+ EH

+ HG

+ ЛВ

+ EH

-EF

+ EH —EF +ÄD

+ HG +FG +ЯВ

+ HG +FG +ÄD

-EF

+ Л D +CD

+ ÄD +CD +FG

+ FG -EF + Л В

+ FG -EF

+ CD

10

+ HG + ЛВ w jakim otrzymane punkty należy połączyć, postępujemy w sposób następujący^: Wyszedłszy z punktu 1, niechaj czytelnik przekreśli w pierwszym szeregu naszej tablicy wiersz ostatni i np. pierwszy, a więc oba dodatnie i niechaj szuka w następnych szeregach tych samych liter, a więc + Л B i +EH. Znalazłszy je w szeregu 3, niechaj zanotuje obok liczby + 1 liczbę + 3. Przekreśliwszy w tymże samym szeregu 3 ponownie wyraz ostatni, t. j. + Л В i pozostały — EF, niechaj szuka tych wyrażeń z tymi samymi znakami w dalszych szeregach. Znajdzie je w szeregu 9, co zanotuje obok poprzedniej + 3, jednak ze znakiem ujemnym, a to dlatego, że jeden z wyrazów ( — EF) jest ujemny, z czego wynika, że punkt 9 jako leżący na ścianie —EF może być niewidoczny. Przekreśliwszy wyrazy +ЛВ i +FG znajdziemy je powtórnie w szeregu 5, a pozostałą tam parę wy-

13

Bartel, Geometrya wykreślna.

+ 1, +3, — 9, + 5, + 1,

razów + А В i HG w szeregu pierwszym. Tym sposobem łańcuch, którego pierwszem ogniwem był punkt +1, a który przedstawia się w ten sposób:

zamknął się. Otrzymany szereg liczb wskazuje nam bezpośrednio porządek łączenia punktów, stanowiących jeden z dwóch wielokątów przenikania, a ponadto poucza, które krawędzie tego wielokąta są niewidoczne. 1 tak, jeżeli dwie następujące po sobie liczby są dodatnie, to krawędź przenikania tymi punktami określona jest widoczną (np. krawędź 1 + 3). Jeżeli punkt dodatni połączyć mamy z ujemnym, to oznacza to, że odnośna krawędź przenikania jest niewidoczną (krawędź J—9). Punkt —9 połączony z 5 daje krawędź widoczną, a 5 połączony z 1 zamyka wielokąt przenikania również krawędzią widoczną.

Dla pozostałych szeregów naszej tabeli przeprowadzimy, wychodząc z punktu 2, to samo i otrzymamy szereg:

+ 2, +4, -7, — 10, + 8, + 6, + 2,

a więc drugi wielokąt przenikania.

Otrzymanie z tablicy szeregu liczb wskazujących, z wykluczeniem pomyłek zarówno co do następstwa punktów, które należy połączyć, jak i co do „widoczności“ i „niewidoczności“ krawędzi wielokąta przenikania, polega na następującem rozumowaniu: Przekreślając w pierwszym szeregu tablicy wyrazy -f А В i + EH, zaznaczamy tern, że punkt 1 leży na ścianach А В Wi i EHWz; szukając wyrazów AB i EH w dalszych szeregach tabeli, szukamy punktu leżącego na tychże samych ścianach obu ostrosłupów, a więc punktu, który połączony z pierwszym, wyznacza krawędź obu tych ścian. Przekreślając poraź drugi w szeregu 3 wyraz ostatni А В i pozostały — E F szukamy krawędzi ściany E F Wi i ściany А В Wi, która to krawędź wyjść musi z punktu 3, gdyż płaszczyzny ABWi, E H Wi i EFWi przecinają się właśnie w punkcie J. Ściana ostrosłupa, na której leży wierzchołek wielokąta przenikania, musi więc być dwukrotnie przekreślona w tablicy, gdyż uważany wierzchołek jest punktem wyjścia dla dwóch krawędzi wielokąta przenikania, leżących na jednej ścianie. Ściana więc np. A B, na której leżą punkty 1, 3, 9 i 5 wystąpi w tabeli cztery razy, ale będzie ośm razy przekreślona; na ścianie F G leży tylko punkt 8, więc w tabeli naszej wy-

stąpi tylko raz jeden wyraz F G, jednak dwukrotnie przekreślony.

Prosta ЛВ przecina się z krawędzią EH w punkcie M, który jest punktem przecięcia się płaszczyzn Л В Wi, E H Wt i cp, prosta więc 1 + 3 przechodzić musi przez punkt M. Podobnie prosta 1 + 5 przechodzi przez punkt N, w którym przecinają się płaszczyzny ЛВ Wi, H G W-2 i cp. To samo odnosi się do wszystkich boków wielokąta przenikania.

b) Rys. 325. podaje przykład niezupełnego przenikania się dwóch ostrosłupów Wi i W2, których podstawy ЛВС i DEF leżą na dwóch płaszczyznach, a mianowicie cpi i cpa. Zasadniczo zadanie roz

wiążemy w ten sam sposób, jak poprzednie: więc przez wierzchołki obu ostrosłupów i przez ich poszczególne krawędzie prowadzimy płaszczyzny, przy pomocy których znajdziemy punkty przebicia się krawędzi jednego ostrosłupa ze ścianami ostrosłupa drugiego.

Jeżeli punkty prze- <fi'/ bicia się prostej w, łą-czącej wierzchołki obu 0-strosłupów, z płaszczyznami cpi i cp2 oznaczymy przez Pi i Pi, to prosta Pi Л jest krawędzią płaszczyzny cpi i płaszczyzny a, przechodzącej przez prostą w i krawędź Л Wi. Krawędź ta przecina prostą przecięcia się p płaszczyzn cpi i q>* w punkcie Рз, który wraz z punktem P2 wyznacza krawędź płaszczyzn a i срг. Krawędź ta przecina podstawę ostrosłupa Wi w punktach I i II, a proste / W> i II W2 są temi, w których płaszczyzna a przecina ostrosłup W>. Punkty przecięcia się 1 i 2 tych prostych z krawędzią Л Wi są punktami, w których krawędź ta przebija ostrosłup W>. W ten sposób znajdziemy

7Z/L

/ Ł1L*

MU/

W2,

/?

kr-—

Rys. 325.

F.

Pf

hr

<\

punkty przebicia się 3 i 4 krawędzi C Wi z ostrosłupem punkty przebicia się 5 i 6 krawędzi EW2 z ostrosłupem Wi i punkty 7 i 8, w których krawędź F W2 przebija ten sam ostrosłup Wi. Tablicę, na postawie której otrzymamy następ-

+ ЛВ

+ ЛС

+ DE

+ ЛВ

+ ЛС

+ DF

+ЛС —BC

+ DE

+AC -BC

+ DF

+ DE

-EF +AB

+ D£

— EF

-BC

+ AB

+DF —EF

+ DF

— EF

— BC

stwo wierzchołków wielokąta przenikania, zestawioną jak w przykładzie pierwszym, widzimy powyżej. Wielokąt przenikania niezupełnego jest:

które odrzucone na ślad he dają punkty Г i //'.

+ /, + 5, — 7, + 2, + 4, — 8, — 6, — 3, ~h 1. c) Przykład przenikania dwóch trójściennych ostrosłupów, przeprowadzony w rzutach Monge’a, podaje Rys. 326*. Ostrosłup Wi stoi na rzutni poziomej, podstawa ostrosłupa W2 znajduje się na płaszczyźnie poziomo rzucającej e (he Ve). Prosta w (w' w"), łącząca wierzchołki obu ostrosłupów, przebija s w punkcie P (P' P"), a rzutnię poziomą w punkcie Hw (Hw Hw"). Poprowadźmy przez prostą w i krawędź boczną В Wi ostrosłupa Wi płaszczyznę ß, to jej ślad poziomy hß przejdzie przez punkty Hw i В; rzut pionowy krawędzi płaszczyzn e i ß łączy punkty P" i Hb" i przecina trójkąt D" E" F" w punktach /" i II",

Punkty I (/' I") i II (//' II") połączone z wierzchołkiem W2 (W2' UV') dają proste, w których płaszczyzna ß przecina ostrosłup WV Punkty 1 (1' 1") i 2 (2' 2"), w których krawędź В Wi przecina proste IW2 1 II W2, są punktami przebicia się

rt

\ wr

/b" ! \p \c"

E"

D\

F,

!Нь"

HS

A"

&L

Г/

U{

ХЮ"*

XKj-

6"

Hw

X-'-"

къ

Hń

Hb-

■Л

/Уа\

Рл

--жж

// г

⁴v

ч?

XX

X/

Rys. 326.*

tej krawędzi z ostrosłupem UV W ten sam sposób znajdziemy punkty przebicia się J (3' 3") i 4 (4' 4") krawędzi Л Wi z ostrosłupem W2, a to przy pomocy płaszczyzny a, przechodzącej przez tę krawędź i przez prostą w. Z kolei wyznaczymy przy pomocy płaszczyzny cp punkty 5 (5' 5") i 6 (6' 6"), w których krawędź FW2 przebija ostrosłup Vki, a w końcu punkty przebicia się 7 (7' 7") i 8 («S' 8") krawędzi C Wi z ostrosłupem UV

Zestawmy otrzymane punkty i ściany, na których punkty te leżą, osobno dla każdego rzutu, w tablice.

1'

+ AB

ABC +DrE'

1"

- A" B"

- B" C"

— D" E"

2'

+ AB

+ ВС -D' F'

2"

— A" B" — B" C"

— D" F"

3'

A AB

A AC ADE'

3"

— A" B" ¹ + A" C" - D" E"

4'

A AB A AC -D'F'

4"

- A" B" + A" C" - D" F"

— D’ F' \ -E' F'

A AC

5"

- D" F" + EF” A A” C"

6'

— D'F' - E'F'

ABC

6"

- D" F" + E" F" — B" C"

A AC ABC

A D'E'

7"

A A" C" — B" C" — D" E"

8' A AC ABC

-E' F'

8"

+ A" C" — B" C" + E" F"

. ’• ' \ A,

■r

л-

•w

f. I

\\

'i.

te

Sr

gggigl

f;

là.--

Z tablic tych, w sposób omówiony szczegółowo przy zadaniu pierwszem, o-trzymamy wzory połączeń wierzchołków wielokąta, identyczne oczywiście dla obu rzutów, a różniące się tylko znakami, określającymi „widoczność“ i „niewidocz-ność“poszczególnych krawędzi, a mianowicie :

Rys. 327. Cerkiew św. Trójcy w Żółkwi

(Zdjęcie fotograficzne prof. dr. Jana Sas Zubrzyckiego)

Dla rzutu poziomego mamy:

+ r,+J', + 7',+Г, t

-4\ -5',

- 8-6',

Rzut pionowy wielokątów wyrazi się:

- Î", - 3", - 7", — 1" i -27', -4", —5", + 8", —6", -27'.

Zazwyczaj zestawiamy tylko tabelę dla jednego rzutu i z niego po wykreśleniu oryentujemy się, które krawędzie wielokąta przenikania w drugim rzucie są widoczne, a które zakryte.

d)    Przenikania wielościanów spotykamy bardzo często w budownictwie; jedno z nich widzimy na Rys. 327. Dachy, będące czworościennymi ostrosłupami, przenikają się tam z ośmiościennymi ostrosłupami, stanowiącymi trzon wieży. Rozwiązanie tego zadania w rzutach prostokątnych przeprowadziliśmy na Rys. 328. Ze względu na to, że oba ostrosłupy mają wspólną oś pionową, wyznaczenie rzutów wielokąta przenikania jest bardzo proste. I tak, aby znaleźć punkt przebicia się krawędzi Л W ostrosłupa czworo-ściennego ze ścianą boczną E F P N ośmiościennego ostrosłupa ściętego, poprowadźmy л A"/ \Fn I H"\ przez tę krawędź płaszczyznę poziomo rzucającą. Płaszczyzna ta przetnie tę ścianę w prostej

1    II, która wyznacza na krawędzi Л W szukany punkt 1 {!' 1").

Najpierw otrzymamy rzut pionowy 1", a potem, przez odniesienie go na prostą Л W', rzut poziomy V. W podobny

sposób otrzymamy punkty

2    [27 2"), 3 (.3' 3") i 4 (4' 4").    A

Ściana FGPQ przecina ścianę AB W w krawędzi 5 6, która jest prostopadłą do rzutni pionowej. Krawędzie ścian HlRS i В C W, ścian R L T U i C D W, a wreszcie E M N V i Л D W leżą na tej samej płaszczyźnie poziomej, wraz z krawędzią 5 6. Łącząc punkty 5 i 12 z punktem 1, punkty 6 i 7 z 2, <S i 9 z 3, a 10 \ 11 z 4, otrzymamy szukany wielokąt przenikania.

e)    Rys. 329. jest dalszym przykładem stosowanych w bu-

Q1

W"

3"

1/2"

7"

8"

'A"

12"

11"

1°"

,9"

91a

B" G" Г E"

M"

L" P"

J’

8’,

/\ \ i f/\^K

⁶'W,\W'

S’Jf'

.1

v\7L

A’i

Rys. 328.

downictwie przenikań wielościanów. Mamy tu również przenikanie ostrosłupa czworościennego z ośmiościennym, którego konstrukcyjne rozwiązanie przeprowadziliśmy na Rys. 330.

;IU

IIЩ i

mm

Rys. 329. Zakończenie wieży kościoła w Bruśniku, zbudowanego według projektu profesora dr. Jana Sas Zubrzyckiego

110. Przenikania się graniastosłupów.

a) Weźmy pod uwagę dwa graniastosłupy П i Гг, których podstawy znajdują się na płaszczyźnie cp (Rys. 331.). W celu wyznaczenia wielokąta przenikania, więc punktów przebicia się krawędzi jednego graniastosłupa z drugim, obierzmy dowolny punkt P w przestrzeni i poprowadźmy przezeń prostą pi równoległą do krawędzi bocznych graniastosłupa Fi i prostą p> równoległą do krawędzi bocznych graniastosłupa Гг. Prosta p, łącząca punkty przebicia się Pi i Рг prostych pi i рг z płaszczyzną cp, jest śladem płaszczyzny równoległej do krawędzi bocznych obu graniastosłupów, zwanej płaszczyzną kierowniczą. Płaszczyzny, przechodzące przez krawędzie boczne jednego graniastosłupa, równolegle do płaszczyzny kierowni-

czej, przecinają drugi graniastosłup w równoległoboku. W szczególności płaszczyzna przechodząca przez krawędź boczną ЛЛ1 graniastosłupar2 przecina płaszczyznę cp w prostej, przechodzącej przez punkt Л równolegle do prostej p i przecinającej podstawę graniastosłupa Г1 w punktach I i II. Równoległe, wykre- Ł słone do krawędzi bocznych graniastosłupa Г1 przez punkty I i II, przecinają krawędź Л Л1 w punktach 1 1 2, które są punktami przebicia się tej krawędzi z П. W analogiczny sposób znajdziemy punkty przebicia się 5 i 4 krawędzi E Ei graniastosłupa Г1 z Г2, dalej punkty 5 i 6, w których krawędź G G1 prze- ^ bija Г2, punkty 7 i 8 a w końcu 9 i 10. Układamy tablicę, jak to czyniliśmy przy przenikaniu się ostrosłupów, oznaczając w niej ściany boczne graniasto-słupów literami odnośnych krawędzi podstawowych. Tak np. punkty 1 i 2 leżą na krawędzi widocznych ścian bocznych Л ß Л1 BliÄCÄlCi, a ponadto punkt 1 leży na widocznej ścianie EDEi Di a punkt 2 na widocznej ścianie DG Di Gi. Wyrazimy to więc symbolicznie w następujący sposób:

1. +ÄB,+ÄC,+DE,

N"P" U"Ol' R" S"

W"

T”

Iß"

В" E" M

F:

W".

(6"

B,

C,

7"

A",

3"

IG!

17'

H” \C" л

K" J" D"

/ \wy \

4n~—%—sj

\\k

\ V2'

U’

3'

к*

Rys. 330.

F,

A, /

? X/

! 3/

<H

5'

7f

’G,

JT

/p>

У1

ir

2. +ÄB,+ÄC,+DG.

Rys. 331.

Zestawienie dla wszystkich punktów podaje tablica. Zupełnie w ten sam sposób, jak to czyniliśmy przy przenikaniu się ostrosłupów, wyznaczymy następstwo punktów stanowiących wierzchołki wielokąta przenikania, który składa się z dwóch pięciokątów skośnych, a mianowicie:

+ 1, + 3, + 8, —10, +4, +1 i + 2, +5, —7, —9,    6, +2.

b) Przenikanie się niezupełne dwóch graniastosłupów, stojących na rzutni poziomej, przedstawione w rzutach Monge’a, widzimy na Rys. 332. Płaszczyzna kierownicza p. wyznaczona jest prostemi a (a'a")

+ЛВ +ЛС

2 +AB +AC

+FF

+EF

+DG

+DG

+AB

+ AB

+AC

+DE

+DE

—FG

—FG

-BC

—BC

—BC

+DE

+DG

+AB

+ AC

+AB

+AC

-FG

+ EF

-FG

10

+ЛС

-BC +EF

A4

cr

E"

Dl

Et"

BI

Ъ’

не.

Н'а

-ï&rbirpfc- «

с /Д"

в%

■■A

G" D"

A'

hi

Ъ'

Ш,

Wi

ШШ-

y'

,£

iW

ШЖ

8'f

G,

Ef

Al

Ff

Cl

Rys. 332.

i b (b' b"), poprowadzonemi przez dowolnie przyjęty punkt P (P' P") w przestrzeni równolegle do krawędzi bocznych

graniastosłupów. Płaszczyzna ô // p. a przechodząca przez krawędź D Di przecina drugi graniastosłup w równoległoboku, a ten krawędź D Di w punktach 1(1' 1") i 2(2' 2"), które są punktami przebicia się tej krawędzi z grania-stosłupem. Tą drogą otrzymamy wszystkie dziesięć punktów przenikania, których rozmieszczenie dla rzutu poziomego ujmiemy w tabelę.

Wielokąt przenikania otrzymany z tej tabeli jest:

+ T, + T, -\-10', —6', -\-4', -\-2',

—5', —8', —9', -7', —V.

Bez trudności odróżnimy z rzutu poziomego krawędzie widoczne od niewidocznych w widoku z przodu, a więc w rzucie pionowym.

c) Jeżeli podstawy graniastosłupów znajdują się na dwóch płaszczyznach przecinających się w prostej p (Rys. 333.), to

+DE

—DG

+ЛС

2'

3'

4'

5'

6'

8'

9'

10'

+DE

-DG

+ЛВ

+DE

+DE

+ЛВ

+ЛВ

—DG

—DG

+ЛС

+ЛС

+EF

+EF

-BC

—BC

—FG

-FG

-BC

—BC

+ЛС

+ЛБ

—DG

+EF

+ЛС

-BC

-FG

+EF

Si

Ci

(Рг

(4

F,

Э.

Dr

ÄP

fi

j ta.

Рг

tp.

T'-

Są

zi

Rys. 333.

"'Pr

|5.

-'sT

i wówczas zadanie rozwiążemy w sposób wyżej wskazany. Płaszczyzna kierownicza wyznaczona jest prostemi Si i Sa, poprowadzonemi przez dowolnie w przestrzeni obrany punkt S.

Przyjmijmy, że płaszczyzna kierownicza przecina płaszczyzny cpi i q>2 w prostych pi i p2, to proste te wyznaczają kierunki

krawędzi płaszczyzn, poprowadzonych przez krawędzie boczne gra-niastosłupów, z płaszczyznami qn i срг. Krawędź Л Æ przebija drugi gra-niastosłup, w punktach 1 i 2, a krawędź C Ci w punktach 5 i 4; krawędzie boczne D Di i EEi przebijają graniastosłup o podstawie ЛВС w punktach 5, 6 i 7, 8. Zestawimy tablicę, a z niej następstwo wierzchołków wielokąta przenikania:

+ /, -j- 5, — 7, +2, -j- 4, — 8,    6,    3 -f- 1.

d) Przykład przenikania dwóch graniastosłupów prostych, których krawędzie boczne są prostopadłe, widzimy na Rys. 334.

1 ! +ЛВ +ЛС +DF

2 j +ЛВ +ЛС +EF

3    -\-/lC —ВС I -\-DF

+ЛС I -BC j +EF

-ED +DF!+ЛВ

6 I—ED I+DFj-BC

+EF -ED : +ЛВ

+EF —ED —BC

7"

8”

E"

4"

\DTjw"

\X"

A>

sr

er

Fn

x_

A"

B"

C"

x_

гг

'6'

7'

<8'

h'

J°

з^в

Ur

E°

D'

jJT°

n°

Rys. 334.

Rzut poziomy wielokąta przenikania schodzi się z rzutem poziomym graniastosłupa, którego krawędzie boczne są pionowe.

¹

l¹3-9t-5¹l *2¹4 -7-10¹8¹6¹2

лЛ

Rys. 324.¹

oba wierzchołki prostą w, która przebija cp w punkcie P. ЛЬу wyznaczyć punkty przebicia się krawędzi jednego ostrosłupa ze ścianami ostrosłupa drugiego, poprowadźmy przez prostą w

Celem dokładnego wyznaczenia rzutu pionowego punktów 1, 2, 3 i 4, w których te pionowe krawędzie przebijają drugi graniastosłup, wykonaliśmy kład podstawy D E F na płaszczyznę poziomą, przechodzącą przez punkt F, aby módz wyznaczyć wysokości punktów I, II, III i IV, a względnie punktów 1, 2, 3 i 4.

+DF

+ЛВ

-ЛС

—EF

+ЛВ

—ЛС

+ЛВ

+BC

+DF

+EF

+BC

+ЛВ

-AC

-EF

+DF

+BC

-EF

+DF

+ЛВ

+DE

-EF

+DE

-EF

+BC

Rzuty pionowe punktów przenikania zestawimy w tablicę, a z niej otrzymamy rzut pionowy wielokąta przenikania, a mianowicie:

+ i, +5, + 6,—8, -\-4, + 7,—2,—5, —1.

Czytelnik zechce uzupełnić rysunek wykreśleniem kreskowanych odcinków:

ГГ', ГГ i ó⁷⁷^.

111. Przenikanie się ostrosłupów z graniastosłupamL

F,

Gt

Ł>,

6|>

to

Id)

il

Vs

i ЯГ

г-"?

Ху*

AfV

'N ~

<Р

Rys. 335.

a) Weźmy pod uwagę graniastosłup czworościenny, stojący na płaszczyźnie cp (Rys. 335.) i trójścienny ostrosłup W, którego podstawa znajduje się również na płaszczyźnie cp. Äby wyznaczyć wzajemne przenikanie się tych wielościanów, poprowadźmy przez wierzchołek ostrosłupa prostą w, równoległą do krawędzi bocznych graniastosłupa. Płaszczyzny, przechodzące przez prostą w i krawędzie boczne ostrosłupa, przecinają graniastosłup w równo-ległobokach, a płaszczyzny, przechodzące przez prostą w i krawędzie boczne graniastosłupa, przecinają ostrosłup w trójkątach. Niechaj punkt P jest śladem prostej w na płaszczyźnie <p, to proste, łączące ten punkt z wierzchołkami wielokątów podstawy ostrosłupa i gra-

niastosłupa, są śladami płaszczyzn, przechodzących przez odpowiednie krawędzie boczne tych wielościanów, na płaszczyźnie cp. I tak płaszczyzna, poprowadzona przez prostą w i krawędź A W, przecina podstawę gra-niastosłupa w punktach I i II, a ściany boczne graniastosłupa w prostych równoległych do krawędzi bocznych, wychodzących z punktów / i II. Tym sposobem otrzymamy punkty przenikania 1 i 2, a następnie dalsze aż do 9 i 10, które zestawimy, jak w poprzednich przykładach w tablicę, a z niej zestawimy wielokąty przenikania zupełnego:

+ /, +5, +6, -9, -5, -1 i 2, -f-4, 4-5,    10, —7, —2.

b) Rys. 336. przedstawia, w rzutach prostokątnych na dwie płaszczyzny, przenikanie zupełne trójściennego ukośnego ostrosłupa z takimże graniastosłupem. Zadanie rozwiązane jest w sposób omówiony powyżej ; czytelnikowi pozosta-JA wiono zestawie-H, nie tablicy, a z niej wielokątów przenikania dla obu rzutów.

c) Przykład przenikania o-strosłupa z graniastosłupem, wzięty z budownictwa, podaje Rys. 337. Dach, wkształcieczwo-

+AC —AB +DE +AC -RB + DG

+ ЛС +BC + DE

+AC +BC +DG

+DE -EF -AB

+ DE -EF +BC

+DG -FG —AB

10

Dl

x_A\

Dl'

+DG -FG +BC +BC —AB -EF +BC -AB —FG

г/ ву

ha

El

f:

W’

we

O"

.El

/*>

77

7z

4-

7Ш

r7>c^7

i?

>£•

8'

\\

Rys. 336.

rościennego ostrosłupa, przenika się z trzonem wieży, będącym prostym ośmiościennym graniastosłupem.

Rozwiązanie tego zadania w rzutach Monge’a przeprowadziliśmy na Rys. 338., który sam tłómaczy się dostatecznie jasno i nie wymaga słownych wyjaśnień.

bp

SIш

1ШWm.

-A

- -t ?r -

" - ~ - .. - >

«1 ->- АЗ#«

lllggfe, 4l№>ih-r^

Rys. 337. Dzwonnica przy cerkwi Uśpienia M. В. w Czortkowie

(Zdjęcie fotograficzne prof. dr. Jana Sas Zubrzyckiego)

d) Jeżeli podstawy ostrosłupa i przenikającego się z nim graniastosłupa nie leżą na wspólnej płaszczyźnie, to metoda szukania poszczególnych wierzchołków przenikania nie ulega zmianie. Przykład takiego przenikania podaje Rys. 339. Podstawa ЛВС ostrosłupa leży na rzutni poziomej, podstawa DEF prostego graniastosłupa znajduje się na płaszczyźnie

poziomo rzucającej a. Prosta w (w w"), poprowadzona przez

wierzchołek równolegle do krawędzi bocznych graniastosłupa, przebija płaszczyznę a w punkcie P (P' P"). Wykonajmy kład płaszczyzny a, wraz z podstawą graniastosłupa i punktem P, na rzutnię poziomą. Płaszczyzna <5, poprowadzona przez w i krawędź D Di graniastosłupa, przecina płaszczyznę cc w prostej d. Kład d° prostej d, który uważany być może za jej rzut boczny, otrzymamy łącząc punkt Po zDo. Ślad poziomy /zs płaszczyzny <5 przecina podstawę ostrosłupa w punktach / i II; proste I W' i II W' są rzutami poziomymi prostych, w których płaszczyzna ó, przechodząca przez krawędź DDi, przecina ostrosłup. Punkty 1 (1' П i 2 (2' 2") są punktami przebicia się krawędzi DDi z ostrosłupem. Przy pomocy płaszczyzny Y, której ślad poziomy h przechodzi przez punkt C, a która poprowadzona jest przez krawędź boczną W C ostrosłu-

л Ay

P°:

W"

5"

1"/

7"

8"

6" '■ 12"

2[

3"

9"

11" '■ Ю"

С" X

6’\

5"

d°.

'EY

7'

8’

3’

W’

9’

12'

4‘

IV

Rys. 338.

DP

F°

70'

P"

W"

W"

E"

iE"

II

It.

II

/5" S"

(г/

-кз"

E,"

Цр,’

û’j-—7r~rj~

J f Нс /В U"

Ш) ; i

A---

'D"

A'

Di

■er

\N

'/.

e° \fie?

Hen

F’

!*-■

f°

pa, otrzymamy punkty

przebicia się 3(3' 3") i 4(4' 4") tej krawędzi z graniastosłupem.

Rys. 339.

Płaszczyzny e i cp, przechodzące przez krawędzie boczne E Ei i F Fi graniastosłupa, a przecinające płaszczyznę a w prostych e i f, umożliwią wyznaczenie punktów przenikania 5, 6 i 7, 8. Zestawiwszy otrzymane punkty i ściany, na których one leżą, w tablicę, otrzymamy następnie wzór połączeń, wykazujący dwa wielokąty przenikania, które tym sposobem jest przenikaniem zupełnem.

§ 9. KOLINEACYA ŚRODKOWA UKŁADÓW PŁASKICH

112. Rzut środkowy. Z pojęciem rzutu środkowego na prostą i płaszczyznę zapoznaliśmy się w ust. 8. W tym i w następnych ustępach zajmiemy się bliżej tą metodą rzutów, jednak rozważania nasze ograniczymy do wykazania jedynie pewnych związków, które znajdą następnie zastosowanie w metodzie rzutów prostokątnych.

Przyjmijmy płaszczyznę poziomo rzucającą ei (hej Ueó (Rys. 340.) i uważajmy ją za płaszczyznę rzutów, czyli jak w metodzie rzutów środkowych

płaszczyznę obrazu albo tło. Dowolnie w przestrzeni

przyjęty punkt O (O' O") niechaj będzie środkiem rzutów, a więc punktem, przez który przechodzą wszystkie promienie rzutów. Weźmy pod uwagę dowolną prostą m2 (m2' m2") w przestrzeni i znajdźmy jej rzut środkowy na płaszczyznę ei. W tym celu obierzmy na prostej m2 dwa punkty Л2 (Л2'Д2") i B2 (B2' B2"), połączmy je ze środkiem rzutów O (O' O") i wyznaczmy punkty przebicia się Æ (Л/Л1") i Bi (В/ Bi")

mówimy,

zr

Al

А'г

zr

zr

WjA

т'г

ZÏ

,m"

A!

W~\

bi\\bL

he,A

rZ'i

W"'

V€,

Z”

ft

zr

mi.

7”

Z'

/wr

Rys. 340.

>L

O'

Vlß

tych promieni rzutów z płaszczyzną ei. Punkt Лг jest rzutem środkowym punktu Л2 na płaszczyznę ei, punkt Bi rzutem środkowym punktu B2. Prostą mi (mi mi”), wyznaczoną punktami Л1 (Л1' Л1”) i Bi (Bi' Bi”), będącą zarazem prostą przecięcia się płaszczyzny, przechodzącej przez prostą m2 i punkt O, nazywamy rzutem środkowym prostej m2 na płasz

czyznę 81.

Rzut środkowy Zi (Zi' Zi”) punktu niewłaściwego Z2⁰⁰ (Z2'⁰⁰ Z2//co) prostej m2 (m2' m2”) otrzymamy jako punkt przebicia się promienia z (z' z”), przechodzącego przez środek rzutów równolegle do prostej m2, z płaszczyzną obrazu si. Punkt Zi nazywać będziemy śladem zbiegu, albo punktem wzajemnym prostej m2. Prosta w (w'w”), wyprowadzona przez środek rzutów równolegle do prostej mi (mi mi”), przetnie prostą m2 w punkcie W2 (W2' W2”), który nazywamy punktem wzajemnym prostej mi.‘

Rozpatrzmy z kolei pytanie zasadnicze, czy rzuty środkowe Л1 i Bi punktów Л2 i B2 prostej m2, wyznaczają położenie prostej tej w przestrzeni w sposób jednoznaczny, czyli innemi słowy, czy z rzutu środkowego mi prostej m2 odtworzyć możemy położenie tej ostatniej w przestrzeni, jest rzeczą natychmiast widoczną, że punkt Л1 (Ai' Ai”) jest rzutem nie-tylko punktu Л2, ale także wszystkich punktów promienia, przechodzącego przez ten punkt i środek rzutów O. Rzut środkowy Л1 punktu Л2 nie wyznacza więc położenia tego punktu w przestrzeni, a to samo odnosi się do punktu Bi, jako rzutu środkowego punktu B2, a więc i do wszystkich punktów prostej mi, czyli do samej prostej mu Widoczne stąd, że prosta mi, jako rzut środkowy prostej m2, nie wyznacza położenia tej prostej w przestrzeni w sposób jednoznaczny ; prosta mi, jako krawędź płaszczyzny ei z płaszczyzną cp, przechodzącą przez prostą m2 i środek O, jest równocześnie rzutem wszystkich prostych, leżących na płaszczyźnie cp. Między punktami prostej mi znajdują się jednak dwa takie, które wyznaczają położenie prostej m2 w przestrzeni w sposób jednoznaczny. Punktami tymi są: ślad P (P' P”) prostej m2 na płaszczyźnie obrazu zwany śladem tłowym i punkt wzajemny Zi(Zi'Zi"). W istocie znając bowiem oba te punkty, znamy położenie prostej m2, która przejdzie przez punkt P równolegle do promienia OZi.

Jeżeli płaszczyzna rysunku będzie tłem, punkt O (O , 4) środkiem rzutów (Rys. 341.), punkt P śladem tłowym, a punkt Zi śladem zbiegu prostej m2, to położenie tej prostej w przestrzeni wyznaczone jest w sposób jednoznaczny. Wyprowadźmy bowiem w punkcie O' prostopadłą i odmierzmy na niej od płaszczyzny rysunku cztery jednostki długości, a otrzymany środek rzutów O połączmy z puntem Zi, to prosta, przechodząca przez punkt P równolegle do promienia OZi, jest prostą m2.

/0'w

Bi

/ A,

2    3 4m

■ i .....-i

Rys. 341.

82

ZA

n,

'ГПг

Ml

z,

m,

0'*

/+

Zi

Iwr

Si

/Мг

Rys. 342.

Zr

z,

° 0'<3)

Mi

mi

113. Wyznaczenie położenia płaszczyzny metodą rzutu środkowego. Przyjmijmy płaszczyznę ei (Rys. 342.) jako płaszczyznę rzutów, tło, a punkt O jako środek rzutów. Dowolna płaszczyzna 62 przecina tło w prostej p, a płaszczyzna b, przechodząca przez O równolegle do ег, w prostej Zi. Prosta p, zwana śladem tłowym i prosta Zi, zwana śladem zbiegu, wyznaczają położenie płaszczyzny 82 w sposób jednoznaczny. Płaszczyzna 82 przechodzi bowiem przez ślad Iłowy p, równolegle do płaszczyzny, wyznaczonej prostą Zi i środkiem rzutów O. Jeżeli płaszczyzna tej kartki jest tłem, a położenie środka rzutów względem niej wyznaczone jest rzutem cechowanym O' (J) (Rys.

1 O S O /    2    3 4m

Rys. 343.

343.), to znając ślad tłowy p i ślad zbiegu Zi płaszczyzny 82, odtworzymy położenie jej w sprzestrzeni w sposób następujący: przez środek rzutów O i przez prostą Zi wyobraźmy sobie przechodzącą płaszczyznę płaszczyzna poprowadzona przez prostą p, równolegle do 5, jest płaszczyzną 82.

Jeżeli prosta m2 (Rys. 342.) leży na płaszczyźnie £2, to jej ślad tłowy P leży na śladzie tłowym p, a ślad zbiegu Zi na śladzie zbiegu Zi tej płaszczyzny. Jeżeli punkt M2 leży na prostej m2, to jego rzut środkowy Mi leży na rzucie mi tej prostej. (Porównaj Rys. 342. z Rys. 343.).

Poprowadźmy przez środek rzutów O płaszczyznę ш // ei (Rys. 342.) i oznaczmy prostą przecięcia się jej z płaszczyzną £2 literą w2, to prosta, łącząca punkt O z punktem przecięcia się W2 prostej m2 z Wi, jest równoległą do mi.

114. Kolineacya środkowa. Rozważania powyższe naprowadzają nas na istnienie pewnych związków między punktami i prostemi płaszczyzn ei i S2, które to związki dadzą się ująć w następujące zdania:

a)    Każdemu punktowi jednej płaszczyzny odpowiada jeden jedyny punkt na płaszczyźnie drugiej jako punkt przebicia się promienia, przechodzącego przez ten punkt i przez środek rzutów O z płaszczyzną drugą.

b)    Każdej prostej jednej płaszczyzny odpowiada jedna jedyna prosta na płaszczyźnie drugiej, przyczem odpowiednie proste (np. mi i пь w Rys. 342.) przecinają się w punktach, leżących na krawędzi obu płaszczyzn. Punktowi niewłaściwemu jednej prostej odpowiada punkt właściwy na prostej drugiej i odwrotnie. W odniesieniu do Rys. 342. punktowi Z2⁰⁰ prostej m2 odpowiada punkt Zi na prostej mi ; punkt W2 prostej m> odpowiada punktowi niewłaściwemu WirJZ prostej mi.

Jeżeli między układami punktów i prostych na dwóch płaszczyznach zachodzą wymienione pod a) i b) związki, to mówimy, że układy te są środkowo k o li n e а с у j n e, a związki same nazywamy kolineacyą środkową. Punkt O, w którym przecinają się proste, łączące odpowiadające sobie punkty obu układów (środek rzutów), nazywamy środkiem kolineacyi, a prostą p, na której leżą punkty przecięcia się odpowiednich prostych (krawędź płaszczyzn ei i £2), zwiemy osią kolineacyi. Proste Zi i W2, w których płaszczyzny £ i co, przechodzące przez środek kolineacyi O równolegle do ei i £2, te ostatnie przecinają, nazywać będziemy osiami wzajemnemi. Punkty, leżące na osiach wzajemnych, odpowiadają punktom niewłaściwym odnośnych płaszczyzn.

Z Rys. 342. czytamy: odległość środka kolineacyi od osi wzajemnej Zi równa jest odległości osi wzajemnej m2¹ od osi kolineacyi p, a odległość środka kolineacyi od osi wzajemnej W2 równa jest odległości osi wzajemnej Zi od osi kolineacyi.

Podkreślić wkoncu należy, że słowem „kolineacya“ wyrażamy jedynie pewną grupę związków, właściwą metodzie rzutów środkowych, że w równej mierze możemy, zaniechając wprowadzenia nazwy „kolineacya“, posługiwać się mianem „rzutu środkowego“.

115. Rzuty układów środkowo kolineacyjnych. Przyjmijmy płaszczyzny ei i 82 (Rys. 344.*), przecinające się w prostej p i punkt O, który uważajmy za środek kolineacyi (rzutów). Prostej m2 na płaszczyźnie 82 odpowie na płaszczyźnie ei

Liz__\

O)

Zi

£1

Z!°

W2

O-

->

0'

m 7    \ Lr ■■    \

\--X - 'А'г /

V    V./

V<—ni^

ar

S'

zr

wr

Ł1

Wr

Wź

wź

zr

Rys. 344.*

prosta mi, a punktowi Æ prostej m-z punkt Æ prostej nu, przyczem oba punkty leżą na promieniu kolineacyi (rzutu), przechodzącym przez środek O. Płaszczyzna przechodząca przez środek O równolegle do 82, przecina 81 w prostej Zi, która jest jedną osią wzajemną kolineacyi (śladem zbiegu płaszczyzny 82); płaszczyzna co, równoległa do ei a przechodząca przez środek O, przecina płaszczyznę 82 w prostej wz, będącej drugą osią wzajemną kolineacyi (śladem zbiegu płaszczyzny ei). Prosta /721 łączy swój ślad tłowy P ze śladem zbiegu Zi i jest równoległą do promienia OWz.

V Rzućmy w dowolnym kierunku środek kolineacyi O i płaszczyznę es, wraz ze znajdującemi się na niej prostemi i punktami, na płaszczyznę ei. Niechaj punkt O' jest rzutem punktu O na płaszczyznę ei, to prosta Wa' // p jest rzutem osi wzajemnej Wa, przyczem odległość n punktu O' od osi Zi równa jest odległości prostej wa' od osi kolineacyi p. Prosta O' Ai jest rzutem promienia O Ai, a punkt Aa przecięcia się promienia, poprowadzonego z punktu Aa równolegle do 00', z prostą O' Ai, rzutem punktu Aa na płaszczyznę ei, w przyjętym kierunku 00'. Prosta ma', łącząca ślad tłowy P prostej m2 z punktem Aa', jest rzutem prostej ma na ei. Rzućmy jeszcze punkt Wa prostej wa na płaszczyznę ei, to prosta s', łącząca otrzymany punkt Wa' z punktem O', jest równoległą do im, gdyż promień OWa = s jest również równoległy do mi. Zauważmy wreszcie, że prosta ma' będzie równoległą do promienia 0'Zi, gdyż prosta OZi jest równoległą do mi, a rzuty prostych równoległych są do siebie równoległe. Sytuacyę na płaszczyźnie ei, gdy jest nią płaszczyzna tej kartki, przestawia Rys. 345., który porównać należy z Rys. 344*.

Zapomocą rzutu układu 82 na płaszczyznę ei otrzymaliśmy, jak widzimy, dwa układy środkowo kolineacyjne, złączone na

z,

z,

z’c

ytó’

m.

zr

mh

Rys. 345.

płaszczyźnie ei. Rzut O' środka kolineacyi O jest środkiem kolineacyi tych dwóch złączonych układów płaskich, a prostej np. mi w układzie ei odpowiada rzut ma' prostej ma w układzie 82, schodzącym się z układem ei. Gdybyśmy teraz owe dwa złączone na płaszczyźnie ei układy, tak jak je przedstawia Rys. 345., rzucili w kierunku dowolnym na przyjętą płaszczyznę es, to otrzymany układ będzie, jak wiemy, powinowaty z pierwszym. Punktom układu ei = 82 odpowiedzą jednoznacznie punkty w układzie es, a każdej prostej, przechodzącej przez punkty układu ei = 82, odpowie prosta w układzie ез. Otrzymane na płaszczyźnie ез złączone dwa układy płaskie, jako rzut złączonych na płaszczyźnie ei dwóch układów, są środkowo kolineacyjne. Ogólnie powiedzieć więc możemy: rzut

dwóch środkowo kolineacyjnych układów płaskich na dowolną płaszczyznę, daje dwa układy środkowo kolineacyjne, złączone na tej płaszczyźnie.

Środek, oś kolineacyi i jedna oś wzajemna wyznaczają kolineacyę złączoną na jednej płaszczyźnie, w tem znaczeniu, że utworom płaskim w jednym układzie umożliwiają podporządkowanie odpowiednich utworów w układzie drugim. Na podstawie relacyi, że odległość środka kolineacyi od jednej osi wzajemnej równa jest odległości drugiej osi wzajemnej od osi kolineacyi, wyznaczyć możemy, znając środek, oś kolineacyi i jedną oś wzajemną, drugą oś wzajemną.

Gdy znamy środek, oś kolineacyi i jedną parę punktów odpowiednich, to kolineacya jest również wyznaczona, a znalezienie obu osi wzajemnych z łatwością możliwe. Wróćmy do Rys. 345. i przypuśćmy, że punkt O', oś p i punkty Æ i są dane. W celu wyznaczenia osi wzajemnych w2' i Zi, wykreślmy przez Æ dowolną prostą mi, to prosta m2', odpowiadająca jej w układzie £2, przejdzie przez punkty P i Л2'. Punktowi niewłaściwemu W1⁰⁰ prostej mi, odpowie na prostej mi punkt W2 , który otrzymamy, kreśląc przez O' promień równoległy do m\. Oś wzajemna W2 przejdzie przez punkt W2' równolegle do osi kolineacyi p.

Сг

ГР1

a>

Równoległa, wykreślona z punktu O' do m2', przetnie prostą mi w punkcie Zi, przez który przejdzie druga oś wzajemna Zi. O-czywiście, że odległość O' od Zi równa jest odległości osi W2' od osi p.

116. Przykłady.

1. Dane są dwa układy środkowo kolineacyjne £1 i £2, złączone na płaszczyźnie rysunku a wyznaczone środkiem O, osią kolineacyi p i parą punktów odpowiednich Æ i Æ (Rys. 346.). W układzie £1 znajduje się kwadrat Bi Ci Di Ei ; znaleźć odpowiadający mu kolinea-cyjnie czworokąt w układzie £2.

D,

Rys. 346.

O'

Prostej ai, łączącej punkty Æ i Bi, odpowie w układzie sa prosta a%, przechodząca przez punkty Л2 i P. Promień ko-lineacyi Bi O przecina prostą ai w punkcie B?>. Punkt Pi, w którym prosta Bi Ci przecina oś kolineacyi, połączymy z B2, a na przecięciu się otrzymanej prostej z promieniem kolineacyi O Ci leży punkt C2. Podobnie przy pomocy punktu P2 otrzymamy punkt £2, a punkt Рз umożliwi wyznaczenie punktu D2. Czworokąt Bi C2 D2 £2 odpowiada w układzie 82 kwadratowi Bi Ci Di £1, przyjętemu w układzie 81.

2. Dane są dwa układy środkowo kolineacyjne, złączone na płaszczyźnie rysunku, a wyznaczone środkiem, osią kolineacyi i osią wzajemną w2. W układzie ei leży kwadrat Ri Bi Ci Di ; znaleźć odpowiadający mu kolineacyjnie czworokąt w układzie 82 (Rys. 347.)

Przez punkt przecięcia się P prostej h z osią p przejdzie prosta/2. Punktowi niewłaściwemu Li⁰⁰ prostej/1 odpowie

punkt L2 na osi W2, który otrzymamy, kreśląc przez środek O promień — równoległy do li. Wyznaczywszy w ten sam sposób punkt M2, odpowiadający kolineacyjnie punktowi Mi⁰⁰ prostej rm, połączymy go z punktem Pi, otrzymując prostą m2. Punkt L2 odpowiada równocześnie punktowi niewłaściwemu prostej Si, która jest równoległą do li, podobnie jak punkt M2 odpowiada punktowi nie-\c’ właściwemu prostej m. Sposób otrzymania wierzchołków Л2, B2, C2 i D> Mr\ szukanego czworokąta tiómaczy zresztą Rys. 347.

3. Dane są rzuty czworościen-nego ostrosłupa ukośnego, którego podstawa leży na rzutni poziomej, a nadto dana jest płaszczyzna pionowo rzucająca a (ha Va), przecinająca ten ostrosłup (Rys. 348.).

Jest rzeczą natychmiast widoczną, że czworokąt przekroju ostrosłupa jest rzutem środkowym czworokąta podstawy na płaszczyznę sieczną cc, czyli innemi słowy, że między podstawą a przekrojem ostrosłupa zachodzi kolineacya środkowa. Środkiem tej kolineacyi jest wierzchołek W ostrosłupa, osią

LT

П2

fl

LT

O,

■o

l\

-Л-Ng/ тг \

IM"

/ /Р,

?■

jn,

Rys. 347.

kolineacyi p ślad poziomy ha płaszczyzny siecznej a, osią wzajemną Zi ślad poziomy hi płaszczyzny poprowadzonej przez wierzchołek o-strosłupa równolegle do płaszczyzny a.

wL

W”

Va>

Va

\Л°° I

vs.

Pà

D'h

AL

U i* У l

wr

Drugą osią wzajemną, więc W2, jest krawędź płaszczyzny siecznej z płaszczyzną poziomą to, przechodzącą

'A"

przez

ostrosłupa. Ponieważ rzuty dwóch układów środkowo kolineacyj-nych są również środkowo kolineacyj-ne, więc między rzutem poziomym pod-

wierzchołek x/'

Wź

Z?“

ur

uf

P4

иГ

_____sjr

Zi

Pl

Dł

Рз

za

WŚ

ha

hi

Rys. 348.

stawy a rzutem poziomym czworokąta przekroju zachodzi kolineacya środkowa.

Punkt W' jest środkiem, ślad ha osią kolineacyi, ślad hyb = Zi jedną, a rzut poziomy w/ krawędzi Wi drugą osią wzajemną.

Bok Ai Bi przecina oś kolineacyi w punkcie Pi ; punktowi niewłaściwemu prostej Pi Bi odpowiada punkt Wt' na osi w/, który otrzymamy, kreśląc ze środka W' równoległą do Pi Bi. Prosta Pi Wi' odpowiada prostej Pi Bi, a punkty Ai' i В/ punktom Ai i Bu Połączmy punkt Zi, przecięcia się prostej Pi Bi z osią wzajemną Zi, ze środkiem kolineacyi W', to otrzymana prosta jest równoległą do prostej Ai' Bi', gdyż punktowi Zi odpowiada punkt niewłaściwy prostej Ai' Bi'. W ten sam sposób, przy pomocy punktów Pi, Рз, Pi, U-/ i Si, znajdziemy dalsze boki, względnie wierzchołki czworokąta przekroju. Oczywiście, że znając punkty Ai i Bi', wyznaczyć możemy dalsze, jedynie przy pomocy punktów Pi, Рз i Pi, użycie osi wzajemnych wskazane jest jednak względem na dokładność konstrukcyi.

4. Jako dalszy przykład zastosowania kolineacyi środkowej, wyznaczmy rzuty przekroju ostrosłupa ukośnego, którego

podstawa znajduje się na płaszczyźnie e równoległej do rzutni poziomej, z płaszczyzną a (ha Va) (Rys. 349.).

Wyznaczmy krawędź p (p' p") płaszczyzn a i в, a także prostą przecięcia się wz (w2 W2") płaszczyzny a i płaszczyzny

poziomejœ,przechodzącej przez wierzchołek o-strosłupa. Na rzutni. poziomej otrzymamy złączoną kolinea-cyę dwóch układów płaskich, wyznaczoną: środkiem W', osią p' i osią wzajemną w*. W zupełnie analogiczny sposób jak w zadaniu poprzedniem — jednak bez pośrednictwa osi

R"

Vu

wś’

Va>

\PS

Al

'Чг-

\P’

Pk

4    >4/

Ve /х\/\    \рз\Р1РРи^Р\/ш

\DvJ% A7 СП~ВРГу/

А__vir ^_____иЛиАЛ—-

W2/

D\

р4

' .Co

[с?

ЩС

. Р"

Ха

Rb

/ R’

'As

Ai\

Bijn

pi

'Pi /ha Rys. 349.

wzajemnej Zi —

wyznaczymy punkty Л2', В/, СУ i D>', odpowiadające kolinea-cyjnie punktom Л/, Bi, Ci i Di'. I tak np. równoległa do Ri' Bi, wykreślona przez punkt W', przecina oś wzajemną ws' w punkcie R', który połączony z punktem A daje bok ЛУ ВУ rzutu poziomego czworokąta przekroju. Rzut pionowy Ra" B2" C2" D2" czworokąta przekroju otrzymać możemy — uwzględniając, że czworokąt leży na płaszczyźnie a (ha Va) — zapo-mocą tworzących tej płaszczyzny. W Rys. 349. otrzymaliśmy żądane punkty, przy pomocy rzutów pionowych prostych Pi R. P2 T i Рз S.

ROZDZIAŁ DRUGI

LINIE KRZYWE I POWIERZCHNIE

§ 10. KRZYWE STOŻKOWE

117. Pęki i szeregi jednokreślne. Punktem wyjścia dla naszych rozważań stanowić będą: pęk promieni, który oznaczamy symbolem W (a, b,c...), gdzie W jest wierzchołkiem, zaś a, b, c... promieniami, albo, jak się też wyrażamy, elementami tego pęku i szereg punktów, który oznaczamy symbolem p (Л, B, C...). Litera p oznacza tu prostą czyli t. zw. podstawę, a litery w nawiasie są punktami tej prostej, stanowiącymi elementy szeregu. Pęki promieni i szeregi punktów nazywamy utworami zasadniczymi.

Między elementami pęku W (a, b, c, d... ń) i szeregu p (Л, B, C, D... W⁰⁰), powstałego z przecięcia pęku prostą p (Rys. 350.), zachodzi ten prosty związek, że każdemu elementowi w pęku, odpowiada jeden jedyny element w szeregu i odwrotnie.

Punkty szeregu leżą na odpowiadających im promieniach pęku, a promienie pęku przechodzą przez odpowiadające im elementy szeregu. Promień n, odpowiadający punktowi niewłaściwemu A/⁰⁰ podstawy p, jest do niej równoległy. Mówimy, że pęk W (a, b, c...) jest jedno-kreślny i perspektywiczny z szeregiem p (Л, B, C...) i wzajemnie, szereg p (Л, B, C.jest jednokreślny i perspektywiczny z pękiem W (a, b, c...). Słowo „jednokreślny“ wyraża jedno — jednoznaczną odpowiedniość między ..

iv

О Д/Оо

4/61 \C\Ć>    ^

Rys. 350.

\P

elementami pęku i szeregu, a słowo „perspektywiczny“ określa wzajemne ich położenie, to mianowicie, że elementy szeregu leżą na odpowiadających im elementach pęku, względnie, że promienie pęku przechodzą przez odpowiadające im punkty szeregu. Jeśli, zachowując rozmieszczenie punktów na podstawie p i wzajemne położenie elementów pęku W (a, b, c...), utwory te rozdzielimy, np. przez przesunięcie na płaszczyźnie (Rys. 351.), to i wówczas każdemu elementowi jednego utworu odpowie jeden jedyny element w utworze drugim, jednak nie leżący na nim, ani przezeń nie przechodzący. Zmieniliśmy wzajemne położenie obu utworów, nie znosząc jednak od-powiedniości jedno jednoznacznej, zachodzącej między ich elementami. Mówimy wówczas, że pęk W (a, b, c...) jest „jednokreślny“ z szeregiem p (Л, B, C...), pomijając określenie „perspektywiczny“, jako w tym wypadku nie zachodzące.

ĆJl ___Ł

/7 / 8 \ C \ D

'ó

cf

Rys. 351.

Na oznaczenie związku jednokreślności wraz z perspek-tywicznością używamy znaku J, na określenie zaś jednokreślności znaku Z. Rys. 350. przedstawia więc:

W (a, b, c...) J p (Л, B, C...)

(czytaj: pęk o wierzchołku W i elementach a, b, e... perspektywiczny z szeregiem o podstawie p a o elementach Л, B, C...). Rys. 351. wyraża pęk promieni jednokreślny z szeregiem punktów, czyli symbolicznie: W (a, b, c...) л p (Л, В, C...).

Pojęcie perspektywiczności mieści w^ sobie już pojęcie jednokreślności, czyli dwa utwory perspektywiczne są zawsze i jednokreślne, gdy przeciwnie, dw^a utwmry jednokreślne nie muszą być równocześnie perspektywiczne. „Jednokreślność“ charakteryzuje rodzaj odpowiedniości między elementami dwóch utworów, tern mianowicie, że elementowi w jednym utworze odpowiada jeden element w utworze drugim. Perspektywicz-ność charakteryzuje natomiast wzajemne położenie elementów w dwóch utworach jednokreślnych.

Związki perspektywiczności, względnie jednokreślności, założyć się dadzą iakże między utworami zasadniczymi tego samego rodzaju. Itak dwa szeregi, powstałe z przecięcia pęku promieni W {a, b, c...) prostemi pi i pi (Rys. 352a.), są szere-« garni jednokreślnymi z tytułu odpowiedniości swoich elemen-

tów. Z racyi swego wzajemnego położenia, gdzie odpowiadające sobie punkty leżą na promieniach pęku, szeregi owe są równocześnie perspektywiczne. Ponieważ każ-

M2

/т

рг

Вг

Сг

а 6\ с\

P’

Rys. 352 b.

dy z tych dwóch szeregów jest perspektywiczny, a więc i jed-nokreślny z pękiem promieni W (a, b, e...), więc otrzymamy

Rys. 352 a.

następujący łańcuch utworów:

W (a, b, c...) л" pi (/h, Bi, Ci...)    p-2 (Æ, Bi, Сг...).

Punkt przecięcia się prostych pi i рз jest elementem wspólnym obu szeregom. Przez wzajemne przesunięcie podstaw pi i p-2 (Rys. 352 b.) zniszczymy położenie perspektywiczne; otrzymane szeregi będą jednokreślne, a ich punkt przecięcia się nie będzie wspólnym elementem obu szeregów. Jeżeli punkt przecięcia się podstaw dwóch jednokreślnych szeregów jest elementem wspólnym obu szeregów, to szeregi te są perspektywiczne, a wówczas proste łączące ich odpowiednie punkty są elementami jednego pęku promieni.

Dwa pęki Wi (ai, bi, Ci...) i W2 (аз, Ьг, C2...) (Rys. 353 a.), powstałe z połączenia punktów Wi i W2 z elementami szeregu

Vte,

w,

Wz

mi,

777;

Cr

Сг

®2 аг/ ar

Ьг, bi Сг Ci

a-, тг

!аг

b'l

Rys. 353 а.

Rys. 353 b.

p (Л, В, С...), są pękami jednokreślnymi, a z tytułu swego wzajemnego położenia także i perspektywicznymi. Mamy łańcuch utworów perspektywicznych, a mianowicie :

p (Л, B, C...) f Wi (ai, bi, Ci...) л W2 (аг, Ьг, Сг...). Promień, łączący wierzchołki obu pęków, jest elementem wspólnym obu pęków, a przestanie nim być, gdy oba te pęki wzajemnie przesuniemy (Rys. 353 b.). W tym drugim wypadku oba

pęki będą tylko jednokreślne. I nawzajem, jeżeli w dwóch jednokreślnych pękach promieni stwierdzimy, że promień łączący ich wierzchołki jest elementem wspólnym obu pęków, to pęki te są perspektywiczne.

118.    Pęki jednokreślne w kole. Uważajmy dwa dowolne punkty Wi i W2 (Rys. 354.) koła k za wierzchołki pęków, których elementy przechodzą przez punkty Л, B, C... tego

Ÿi2

Ó2

ei

C2.

-JM*²

Rys. 354.

koła. Pośrednictwo koła stwarza między elementami pęków Wi (a 1, b 1, ci...) i W2 (a2, fo, C2...) ег tego rodzaju zależność, że każdemu promieniowi w jednym pęku odpowiada jeden promień w pęku drugim. Ale taką zależność między elementami dwóch pęków określiliśmy mianem jed-nokreślności, powiemy więc, że pęki Wi (ai, bi, Ci...) i W2 (32, b-2, C2...) są jednokreślne. Pęki te nie są jednakże perspektywiczne, gdyż promień łączący wierzchołki Wi i W2 nie jest elementem wspólnym obu pęków. Promieniowi temu, uważanemu za element ei pęku Wi (ai, bi...), odpowie promień 62 w pęku W2 (аг, bi...) styczny w punkcie W2 do koła k. Promieniowi Wi W2 = di, uważanemu za element pęku W2, odpowiada w pęku Wi (ai, bi...) promień di, styczny do koła k w punkcie Wi.

Reasumując powiemy: dwa pęki, których promienie łączą dowolne punkty koła z dwoma jego punktami przyjętymi za wierzchołki, są pękami jednokreślnymi.

119.    Twierdzenie Pascala. Sześć punktów Л BCD Eh, dowolnie przyjętych na kole, tworzy sześciokąt wpisany w tę krzywą. Bez względu na wzajemne rozmieszczenie tych punktów nazywać będziemy boki Л В i DE, В C i E F, C D i Äh bokami przeciwległymi sześciokąta.

Uważajmy punkty Л i C w sześciokącie Л В C D E h, wpisanym w koło k (Rys. 355.), za wierzchołki dwóch pęków, których promienie przechodzą przez dalsze cztery punkty. Na podstawie tego, cośmy powiedzieli w ustępie poprzednim, otrzymane pęki Л (bi, di, ci, fi) i С (Ы, di, es, fi) są jednokreślne.

Proste ED = pi i EF = pa przecinają oba te pęki w dwóch szeregach jednokreślnych, a punkt przecięcia się tych prostych jest elementem wspólnym obu szeregów. Szeregi pi(Bi,Di,Ei,Fi) i pa (B2, D2, E2, Fi) są więc perspektywiczne. Ale wiadomo z ust. 117. (Rys. 352 a.), że dwa szeregi perspektywiczne powstają z przecięcia jednego pęku, czyli, że proste, łączące odpowiednie punkty dwóch szeregów perspektywicznych, przechodzą przez jeden punkt. Punktem tym będzie punkt przecięcia się O promieni Bi B2,

e?-

'рг

Di

F,

O,

-Br

Di

fi

Di Di i Fi Fi.

Id,

\f₂    /b, \bz

Rys. 355.

Weźmy raz jeszcze pod uwagę sześciokąt AB CD Et i wyznaczmy punkty przecięcia się jego boków przeciwległych.

nazwą

Punkty przecięcia się trzech par bokom przeciwległych sze-ściokąta wpisanego w kolo leżą na linii prostej.

Jeżeli dwa z punktów stanowiących sześciokąt wpisany w koło schodzi się, np. punkty Л i В w Rys. 356., to prosta łącząca je jest styczną do koła w tym punkcie. Punkty przecięcia się 1, II i III boków przeciwległych tego sześciokąta leżą i w tym przypadku na jednej prostej p.

Wzór połączeń boków przeciwległych sześciokąta Л B C D E F, przecinających się w trzech punktach /, II i III prostej p przedstawić można w sposób następujący :

Boki ABIDE przecinają się w punkcie Bi, boki В C i Et w punkcie B2, a wreszcie para boków C D i Л F w punkcie O. Ale wiemy z rozważania poprzedniego, że punkty Bi, B2 i O leżą na jednej prostej, a tym sposobem dowiedliśmy następującego twierdzenia, znanego pod twierdzenia Pascala:

A,

s.

'k

Rys. 356.

ЛВ

CD

^ A

ЛВС

^ Л

DEF

DE... 1 EF... II I p. AF... III

120. Kolineacya środkowa koła. W ust. 115. rozważyliśmy kolineacyę środkową dwóch układów płaskich ei i 82 w przestrzeni, względnie dwóch układów złączonych na jednej płaszczyźnie, a jako przykłady utworów środkowo kolineacyjnych braliśmy pod uwagę wielokąty (Rys. 346.). Przedmiotem naszych roztrząsać uczynimy z kolei kolineacyę środkową koła, a mogące zachodzić tu trzy przypadki rozpatrzymy każdy z osobna.

a) Koło ki, leżące na płaszczyźnie ei, nie przecina osi wzajemnej z\ (Rys. 357.). Każdemu punktowi koła odpowie na płaszczyźnie 82 jeden punkt, jako punkt przebicia się promienia, przechodzącego przez ten punkt koła i środek kolinea-cyi (promień kolineacyi) z płaszczyzną 82. Ponieważ tylko punktom leżącym na osi wzajemnej Zi odpowiadają na płaszczyźnie 82 punkty niewłaściwe, a koło ki, wedle założenia, nie posiada z osią Zi żadnych punktów wspólnych, więc miejscem geometrycznem punktów, odpowiadających na płaszczyźnie es punktom koła ki, jest linia krzywa ki, nie posiadająca żadnych punktów niewłaściwych. Każdej prostej na płaszczyźnie ei, przecinającej koło ki w dwóch punktach, odpowiada na płaszczyźnie 82 prosta, przecinająca leżącą tam linię ki również w dwóch punktach. Każdej parze stycznych, wykreślonych z dowolnych punktów do koła ki, odpowie w układzie es para stycznych, poprowadzonych do linii ki z punktów^ odpowiadających poprzednim. Krzywą nie posiadającą żadnych punktów niewłaściwych, którą prosta przecina w dwóch punktach, a do której z dowolnego punktu poprowadzić można dwie styczne, nazwaliśmy w ust. 96. elipsą. Stąd dochodzimy do twierdzenia, że kołu, należącemu do układu ei i nie mającemu żadnego punktu wspólnego z osią wzajemną Zi, odpowiada w układzie 82 elipsa, czyli innemi słowy, że rzut środkowy koła, które nie przecina śladu zbiegu Zi, jest elipsą.

Celem wyznaczenia pary średnic sprzężonych elipsy ki opiszemy na kole ki taki czworobok, którego rzut środkowy na płaszczyznę £2 będzie równoległobokiem, opisanym na elipsie k^. Punkty styczności opisanego na kole ki czworoboku, rzucone z punktu O, jako środka kolineacyi, na płaszczyznę £2

tr

Ег

CO

o:

C/zè

/ Zh

///

*7! A*

'h t'//\ .

ZZ Ег

/i

Z,

VA*

'Ьг\

.te

—b

\P

/-Là?

дг

Z?

/ '-Zßl.

Вг

âj

<3,

Z>

yp.

Cr

D,

&\

Рг\~?

ki

£,

B,

>r

4j

Rys. 357.*

dadzą punkty styczności opisanego na elipsie ki równoległo-boku, które połączone stanowią parę średnic sprzężonych elipsy (ust. 96.). Czworobok (trapez) opisany na kole k\, którego rzut środkowy na płaszczyznę £2 jest równoległobokiem, znajdziemy w sposób następujący: Przez środek S koła ki poprowadzimy prostopadłą do osi wzajemnej Zi, a z punktu Zi styczne ai i bi do koła. W punktach Ci i Di wykreślone styczne będą równoległe do zi II pi utworzą wraz ze stycznemi ai, bi trapez równoramienny h 2i 3i 4i, opisany na kole i styczny do niego w punktach Æ, Bi, Ci, Di. Rzuty środkowe 32 i Ы stycznych ai i bi przejdą przez punkty Pi i P2 równolegle do prostej O Zi, a rzuty I2 22 i З2 42 prostych /1 2i i 3i 4i będą do siebie równoległe i równoległe do osi kolineacyi p. Tym sposobem otrzymamy równoległobok U '22 З2 42 opisany na elipsie, jako rzut środkowy trapezu /1 2i Ji 4i. Punktom styczności Л1, Bi, Ci, Di czworoboku opisanego na kole ki, odpowiedzą punkty styczności Л2, B2, C2, D2 boków równoległoboku opisanego na elipsie fo. Odcinki Д2 B2 i C2 D2 stanowią parę

średnic sprzężonych e-lipsy k2, a punkt S2 jej środek.

Zi

z,

Zł

'Z?

as

32:

Сг/

ds/

4s

Cs

рЛ

кг

Ss

'йг

Zs

Рг

c.

S,

\o,

Ci.

Ia'

di

.At

3i

i*

Al

Zapomocą rzutu w dowolnym kierunku inadowolną płaszczyznę płaszczyzn £1 i £2, albo zapomocą kładu jednej z nich na drugą około osi p, złączymy oba u-kłady na jednej płaszczyźnie, przyczem związki kolineacyi środkowej, zachodzące między tymi układami, pozostają nienaruszone.

Niechaj dane są: środek O, oś p i oś wzajemna zi (Rys. 358.) dwóch układów środkowo kolineacyjnych, złączonych na płaszczyźnie rysunku. Wyznaczmy parę średnic sprzężonych elipsy, odpowiadającej kolineacyjnie kołu ki, należącemu do układu ei.

Rys. 358.

Idąc śladem prze-prowadzonego wyżej rozumowania, wykreślmy przez środek koła ki prostą ai _ Zi i wyznaczmy trapez równoramienny h 2i 3i 4i, opisany na

kole i styczny do niego w punktach Æ, Bi, Ci, Di. Prostym 3i, di i Ci odpowiedzą w układzie elipsy (£2) proste 32, d2 i c* równoległe do promienia OZi, a przechodzące przez punkty P, P2 i Pi. Punktom Л1, Bi i Si prostej ai odpowiedzą punkty Я2, B2 i S2 prostej 32, leżące parami z poprzednimi na promieniach kolineacyi, które przechodzą przez środek O. Punkt S2 jest środkiem elipsy ki, a odcinek C2 D2 // Ci Di średnicą, sprzężoną ze średnicą Л2 B2.

b) Koło fei, leżące na płaszczyźnie ei, przecina oś wzajemną Zi ш dwóch punktach (Rys. 359.*). Podobnie jak w przy-

iZ

Д2

Si

82

гъ

/V

Кг / \

’ i /

ot

iT

1аг

\ /w

ß>

Ö'

ei

кг

~o

Zt

£1

Ki

ai

Rys. 359.*

padku poprzednim, rzut koła na płaszczyznę £2 jest miejscem geometrycznem punktów przebicia się promieni rzutów, przechodzących przez środek O z płaszczyzną £2. Promień ОЛ1 leżący na płaszczyźnie l, // £2, jest równoległy do tej ostatniej, podobnie jak promień O Bu Z wyjątkiem tych dwóch promieni, które przebiją płaszczyznę £2 w punktach niewłaściwych Лг⁰⁰ i Вг⁰⁰, wszystkie inne przebijają płaszczyznę £2 w punktach właściwych. Krzywa tedy Я2, będąca rzutem koła, posiada w tym wypadku dwa punkty niewłaściwe, składa się z dwóch gałęzi i zwie się hiperbolą. Podobnie jak elipsę, przecina dowolna prosta hiperbolę w dwóch punktach, a z dowolnego punktu wykreślić do niej można dwie styczne. Każdej stycznej do koła ki odpowie styczna do hiperboli ; stycznym ai i bi do koła w punktach Ai i Bi, odpowiedzą styczne 32 i £>2, w punktach niewłaściwych hiperboli, zwane jej asympto-tami. Punkt przecięcia się S2 asymptot, odpowiadający punktowi przecięcia się Si stycznych ai i bi, nazywamy środkiem hyperboli.

Niech daną jest kolineacya środkowa dwóch układów płaskich ei i 82, złączonych na płaszczyźnie rysunku, wyznaczona środkiem O, osią p i osią wzajemną Zi (Rys. 360.).

кг

/Ьг

l2

<5;,

' Wi

Вг

3.2

s₂\

wi

Ai//Rh

Zi

'S:

Ег S

P4\i

Pp.

Pr

N1

'мУ/Рз

ГПг Ж,

к,

Wt кг

ВТ

'mi

Rys. 360.

Kołu ki, przyjętemu w układzie ei, a przecinającemu oś Zi w punktach Л1 i Bi, odpowie w układzie 82 hiperbola. Stycznym ai i bi w punktach Ai i Bi odpowiedzą asymptoty 32 i b>r równoległe do promienia O Ai i OBi, a przechodzące przez punkty Pi i P2. Punktowi Si odpowie środek S2 hiperboli, która przejdzie przez punkty M i N, w których oś ko-lineacyi p przecina koło. Poszczególne punkty hiperboli znaleźć możemy przy pomocy prostych, przecinających koło w dwóch punktach. I tak np. prostej mi odpowiada m2, równoległa do ORi i przechodząca przez punkt Ps, a punktom h i //1 koła, punkty /2 i Ih hiperboli. Dwusieczne C2 i c/2 kątów, jakie tworzą asymptoty, są osiami symetryi prostokątnej hiperboli i zwą się jej osiami. Punkty przecięcia się dwusiecznej C2 z hiperbolą tworzą jej wierzchołki.

c) Kolo ki, leżące na płaszczyźnie ei, jest styczne do osi wzajemnej zi (Rys. 361.*). Ponieważ prostej Zi odpowiada na płaszczyźnie S2 prosta niewłaściwa, więc krzywa, odpowiadająca kolineacyjnie kołu jest styczną do prostej niewłaściwej płaszczyzny 82 i zwie się parabolą. Punktowi styczności Zi

W2

CO

Z2°\

\Ьг

U

l! i

Эг

U. -Ц___

Рг

кг\

\\/z’

\'/Zl

dr

'P,

ki

£т

Rys. 361.*

koła ki z osią wzajemną Zi, odpowiada punkt niewłaściwy Z200 paraboli, który jest jej punktem styczności z prostą niewłaściwą płaszczyzny 82. Pękowi promieni Zi (ai, fri...) odpowiada na płaszczyźnie 82 pęk prostych równoległych аз,Ы..., a punktom Æ, Bi... koła ki, punkty Л2, B2... paraboli k^.

Rozpatrzmy jeszcze kolineacyę koła z parabolą w przypadku, gdy oba układy złączone są na jednej płaszczyźnie (Rys. 362.). Prostej mi odpowiada prosta m2, równoległa do promienia OZi, punktowi Mi koła ki punkt M2 paraboli, a stycznej Si do koła w punkcie Mi styczna S2 do paraboli w punkcie M2. Styczna S2 będzie równoległa do promienia r, łączącego środek kolineacyi O z punktem przecięcia się Si stycznej Si z osią wzajemną Zi. Z Rys. 362 widzimy, że:

* S2 m2 = Г П = a.

Wykreślmy w punkcie O prostą OTi _L n, a z punktu Ti styczną U do koła. Prostej Zi Æ = ai odpowie średnica paraboli, a stycznej h styczna h do paraboli w punkcie Æ, prostopadła do średnicy аъ. Taką średnicę, przecinającą parabolę

wpunkcie, wktó-rym poprowadzona styczna jest do owej średnicy prostopadłą, nazywamy osią paraboli, a ów punkt wi erzchoł-k i e m. Prosta a-2 jest więc osią, apunktÆ wierzchołkiem paraboli /?2, odpowiadającej kolineacyjnie kołu ki, leżącemu w układzie ei i stycznemu do osi wzajemnej Zi w punkcie Z i. Parabola przejdzie oczywiście przez punkty przecięcia się Po i Ps koła z osią kolineacyi p. Dogodną konstrukcyę, umożliwiającą wyznaczenie dowolnej ilości punktów paraboli z danej osi, wierzchołka i jednego punktu, poznamy w ust. 121. f.

Sz

Si

Zi

Z-1 \Ti

s~

Si

нпг

kV m

7₂“

Ps

Mi

/ M2

Я.'"

iAz

ti

Ps

u4

dz

кг.

Ai

ai

Rys. 362.

t2

Гг”

Z rozważań powyższych widoczne jest, że między kołem z jednej strony, a elipsą, hiperbolą i parabolą z drugiej, zachodzi ścisłe pokrewieństwo, że krzywe te otrzymać się mianowicie dadzą za pośrednictwem kolineacyi środkowej z kola. Wszystkie one wraz z kołem posiadają dwie własności wspólne:

a) prosta przecina każdą z nich w dwóch punktach i b) z dowolnego punktu poprowadzić można do każdej z nich dwie styczne. Koło, elipsę, hiperbolę i parabolę określamy na zasadzie tych dwóch własności mianem krzywych stopnia drugiego, oznaczając je wspólnym symbolem c². Krzywe te nazywamy też przekrojami stożkowymi lub krótko stożkowemi.

121. Twierdzenie Pascala w zastosowaniu do elipsy, hiperboli i paraboli. Z pojęcia kolineacyi środkowej i z jej podstawowych własności wynika, że sześciokątowi wpisanemu w koło, leżące na płaszczyźnie si, odpowie w układzie drugim sześciokąt, wpisany w tę krzywą stożkową c², która odpowiada kolineacyjnie kołu. W ten sposób własności sześciokąta wpisanego w koło przechodzą na własności sześciokąta wpisanego w każdą krzywą stożkową, a twierdzenie Pascala przyjmuje formę ogólną i brzmi: Sześć punktów krzywej stopnia drugiego wyznacza sześciokąt wpisany w tę krzywą, a boki przeciwległe tego sześciokąta przecinają się w trzech punktach, leżących na linii prostej. Prostą tę nazywać będziemy prostą Pascala.

Z twierdzenia powyższego wynika bezpośrednio następujące: krzywa stożkowa wyznaczona jest pięciu punktami. W istocie bowiem przyjąwszy punkty Л, B, C, D, E (Rys. 363.), znajdziemy punkt szósty F i każdy następny przy pomocy twierdzenia Pascala, przez zastosowanie wzoru połączeó, podanego w ust. 119., a mianowicie:

ЛВС

р-

DE... 1 EF... II Л F... Ill

\U

Boki ABiDE sześciokąta, którego pięć punktów jest znanych, przecinają się w punkcie I. Z drugiej pary boków wyznaczony jest bok В C, co zaś do boku E F, to zauważmy, że jeżeli przez punkt E krzywej c2 poprowadzimy dowolną prostą, to prosta ta przecina tę krzywą jeszcze w jednym punkcie. Punkt ten, na razie nie wyznaczony, niechaj będzie właśnie szukanym punktem F. Bok ^

Rys. 363.

E F będzie więc dowolną prostą m, wykreśloną przez punkt E, a przecinającą bok В C w punkcie II. Punkty 1 i II wyznaczają prostą Pascala p, którą bok C D przecina w punkcie III, i przez który to punkt przejść musi, zgodnie z twierdzeniem Pascala, bok Л F. Punkt przecięcia się więc prostej m z prostą Л III jest szukanym punktem F. W ten sposób wykazaliśmy, że znając pięć punk-

tów krzywej c², znaleźć możemy każdą dowolną ilość dalszych jej punktów, czyli innemi słowy, że pięć punktów wyznacza krzywą stopnia drugiego.

Twierdzenie Pascala pozostaje w mocy, gdy jeden albo i dwa wierzchołki sześciokąta są punktami niewłaściwymi, stosuje się więc zarówno do paraboli jak i hiperboli. To samo odnosi się do przypadku, gdy dwa wierzchołki sześciokąta wpisanego w c² schodzą się, t. j. gdy jeden lub więcej boków przejdzie w położenie graniczne i stanie się stycznemi stożkowej.

Kilka zadań sprawę najlepiej wyjaśni.

a) Danych jest pięć punktów krzywej c²; wykreślić w punkcie 5 styczną (Rys. 364.). Styczna w punkcie 5 zawiera także i punkt 6, łączy bowiem dwa, bezpośrednio po sobie rA ■    ₉₃ następujące, punkty krzywej. Wyzna-

1    ,    czymy punkty I i II prostej Pascala p,

2,

5\6

a punkt przecięcia się III tej prostej z bokiem 2 3 połączymy z punktem 5. Prosta s rozwiązuje zadanie.

4, 5, 6

4,

5,

... II ... III P-

Rys. 364.

J, 4

6, 1 ... I

b) Stożkowa c- wyznaczona jest dwiema stycznemi Si iś> wraz z punktami styczności 1 i 3 i punktem 5; wyznaczyć dalszy punkt tei krzywej (Rys. 365.). Z punktem 1 schodzi się

punkt 2, a z punktem 3 punkt 4. Styczna Si stanowi bok 1 2, stycz-nas--< bok 34. Stosując wzór połączeń niżej przedstawiony, otrzymamy punkt 6 na prostej m, wykreślonej dowolnie przez punkt 5.

1, 2, 3    4, 5, 6

P\

'm

5г

3 Yt -

'm

<Sr

2, 3

Rys. 365.

4,    5... /

5,    6... II

6,    1... III

IP-

c)    Stożkowa с- wyznaczona jest punktami właściwymi 1,2, 3 i punktami niewłaściwymi 4⁰⁰ /5й; znaleźć dalszy punkt tej krzywej (Rys. 366.). Punkty 4X i 5X wyznaczone są kierunkami ; bok 4х 5X jest prostą niewłaściwą płaszczyzny rysunkowej, punkt / prostej Pascala jest więc punktem niewłaściwym prostej 1, 2. Dowolna prosta, wykreślona równolegle do kierunku 5X, uważana za prostą 5X 6 przecina bok 2 3 w puncie II. Prosta Pascala p jest więc równoległą do prostej 1 2. Prosta 3 4“ przecina prostą p w punkcie III który połączony z punktem 1 daje prostą m. Ta ostatnia przetnie prostą, przechodzącą przez punkty 7/i5x, w szukanym punkcie 6 hiperboli.

d)    Dane są asymptoty a\, аг i punkt 5 hiperboli; wy-

<⁵

Rys. 366.

4“,'5“, 6

У»

4°°, 5х...

5“, 6 ...

U 6    ... III

P-

Эг

a i.

аг

ai.

в,

6,.

'т

С\

--"/Гу?

у со

4°°

Rys. 367 а.

Rys. 367 b.

znaczyć dalsze jej punkty (Rys. 367 a.). ftsymptotą nazywamy styczną do hiperboli w jej punkcie niewłaściwym.

Każda z asymptot wyznacza więc dwa punkty hiperboli. Ułóżmy znany nam wzór połączeń. Punkt I

Л 20 2x jx

4 / 5. 6

Г,

jrcc

3“, 4X

4⁰⁰, 5... /

5,    6.../Г

Г, 6... III

P-

prostej Pascala leży na ai, punkt IIх na prostej m, wykreślonej dowolnie przez punkt 5. Äsymptota ач przecina prostą Pascala p // m w punkcie III. Równoległa, wykreślona do ai przez III, przecina prostą m w szukanym punkcie 6 hiperboli.

Oznaczmy punkty przecięcia się prostej m z asymptotami literami Л i B, to ponieważ m // p, ai // III 6 i ач // / 5, więc I III = В 6 i I III — Л 5, a zatem Л 5 = В 6. Wykazaliśmy tym sposobem, że odcinki prostej, zawarte między hiperbolą a jej asymptotami, są sobie równe.

Twierdzenie to zastosujemy zawsze w tych wypadkach, gdzie chodzie będzie o wyznaczenie punktów hiperboli, której asymptoty ai, ач i jeden punkt, np. Л, są dane (Rys. 367 b.). Z punktu Л wykreślimy prostą i odmierzymy Al = 2 B, z punktu В prostą przecinającą asymptoty w dwóch punktach, otrzymamy dalszy punkt hiperboli i t. d.

e) Dany jest kierunek osi i trzy punkty paraboli; wyznaczyć dalszy jej punkt (Rys. 368.). Kierunkiem osi paraboli

\i

j<*‘2co

'r

wyznaczone są dwa, bezpośrednio po sobie następujące, punkty 1" i 2“ paraboli. Prócz nich dane są punkty 3, 4 i 5. Zastosowanie wzoru połączeń umożliwi wyznaczenie dalszego dowolnego punktu paraboli.

V V

Rys. 368.

.M

AJ"

\i

f) Dana jest oś a, wierzchołek Л i punkt 3 paraboli; wyznaczyć dalsze punkty tej krzywej (Rys. 369.). Oś i wierzchołek paraboli wyznaczają cztery jej punkty, ponieważ określają równocześnie styczną w wierzchołku i styczną niewłaściwą do paraboli w jej punkcie ₆ niewłaściwym. Oznaczmy dwa punk-ty paraboli, określone jej wierzchoł-

_kiem Л i styczną w tym wierzchołku,

4^

Rys. 369.

prostopadłą do osi a, liczbami 1 i 2, a punkty niewłaściwe na osi liczbami 4x i 5”. Stosując wzór połączeń, otrzymamy punkt 6 na prostej m, równoległej do osi paraboli. Oznaczmy punkty przecięcia się stycznej w wierzchołku z prostemi m i J ///literami M i N, to z Rvs. 369.

JT

X-

Na tym ostatnim związku opiera się następująca konstrukcya punktów paraboli, której oś a, wierzchołek Л i jeden punkt P są dane (Rys. 370.). W wierzchołku Л paraboli kreślimy styczną m, a następnie prostokąt P Q Pi Q\. Boki д.р Л Q i P Q dzielimy na tę samą ilość 2’i— równych części. Przez punkty 1', 2!, rxA У... kreślimy równoległe do osi а, a punkty podziału na boku P Q łą- liczymy z wierzchołkiem paraboli. r~

Rys. 370.

Punkty przecięcia się 1,11,111... pro-stych, poprowadzonych przez równo-imienne punkty, są punktami paraboli.

g) Dana jest średnica m, styczna s w punkcie przecięcia się Л tej średnicy z parabolą i punkt 3; wyznaczyć dalsze punkty paraboli. Mamy pięć punktów paraboli (Rys. 371.), a stosując wzór połączeń Pascala, znajdziemy w ten sam sposób, co powyżej, dalszy punkt np. 6, a to na prostej n // m„ Otrzymamy proporcye jak w Rys. 369., a w rezultacie:

M_N ₌ II 6 N Л MII'

ci

W,

8

i V

il

3'j

2\

Qi

P1

Rys. 372.

Rys. 371.

Na tej podstawie otrzymamy punkty paraboli, gdy dana jest średnica m, styczna s w punkcie Л i punkt np. P, przeprowadzając konstrukcyę podaną na Rys. 372. Czytelnika uderzy oczywiście powinowactwo między Rys. 370. a Rys. 372.

122. Konstrukcya stycznych do elipsy. Na kole k (Rys. 373.) opiszmy kwadrat, styczny w punktach Л, B, C, D

i weźmy pod uwagę dowolny punkt M tego koła. Oznaczmy punkt M liczbą 1, punktem D, w którym dana jest styczna do koła, określone są punkty 2 i J, punkt Л nazwijmy 4, a punkt В niechaj skupia w sobie punkty 5 i 6. Punkty 5 i 6 połączone dają bok kwadratu styczny do koła w punkcie B. Stosując twierdzenie Pascala do sześcio-

xP

A⁴

4_Xo;

„O.

4.

Rys. 373.

5,

CO

kąta 1, 2, J, 4, 5, 6, otrzymamy prostą Pascala p z następującego zestawienia:

1, 2, 3

4, 5, 6

1, 2

2, 3

3, 4

4,    5... I

5,    6... Il p. 1, 6... III

Wykreślmy w punkcie M styczną m do koła, a oznaczywszy punkty Л, B, D i M liczbami tak, jak to wskazuje Rys. 374, znajdźmy prostą Pascala p dla sześciokąta 1, 2, 8, 4, 5, 7.

1, 2, 8

4, 5, 7

2, 8

8, 4

4,    5... 1

5,    7... III

1, 7... Д/

P-

Widocznem jest, że otrzymana prosta p jest identyczną z poprzednią, i że punkt przecięcia się IV, stycznej m ze styczną do koła w' punkcie Л, leży na tej prostej.

Jeżeli koło k, wraz z opisanym na nim kwadratem i styczną m, rzucimy w dowolnym kierunku na dowolną płaszczyzny to otrzymamy rysunek powinowaty z pierwszym. Kołu k odpowie elipsa ki, średnicom А В i C D średnice sprzężone Л1 Bi i Ci Di tej elipsy. Styczna m w punkcie M do koła będzie, po dokonanym rzucie, styczną mi w puncie Mi elipsy.

m.

N/ C

IY‘

I_[O

5,

Rys. 374.

Prosta Mi Di przetnie średnicę Л1В1 w punkcie /1, który połączony z punktem Ih daje prostą p. Prosta ta przejdzie przez punkt IV1, w którym styczna mi przecina styczną do elipsy

пъ.

N1

Cr

w punkcie Au

"..p

ki

W,i

hr

a;

i?

0/

Rys. 375.

mi.

N/ c

M/y

Przeprowadzone rozumowanie stanowi podstawę do bardzo dogodnego wykreślenia stycznych do elipsy w jej punktach. Dany punkt Mi łączymy z punktem Di ; otrzymana prosta przecina średnicę Ai Bi w punkcie /1. Prosta h Ih wyznacza punkt IVi, a ten wraz z danym punktem Mi żądaną styczną Styczna m (Rys. 376.) przecina średnicę C D koła k w punkcie T, a bok kwadratu, styczny w punkcie C do koła, w punkcie N. Prostopadła wykreślona z punktu M do średnicy CD przecina ją w punk- rn/t cie V.    4

Ponieważ trójkąt TOM jest prostokątny w wierzchołku M, więc:

r²

Rys. 376.

M O² = r² = OT.OU, czyli 07 = Dalej mamy:

A MUT- A N C T, a stąd :

Г²

MJJ_TU_OT—OU ou NC T C~~~O T—7

_r²-OU2 — r{r—OU)~

r + OUft r '

— OU

r²

Z trójkątów podobnych M U D i / O D otrzymamy pro-MU    UD    r+OU

2).

porcyę:

10    OD

Z porównania równań 1) i 2) widzimy, że:

MU MU ,

jy-ę = YÖ’ a s^c* wynika, że /V C = JO, czyli że prosta

1 N jest równoległą do średnicy CD.

N1

iMi/

w.

YB

Rys. 377.

W odniesieniu do elipsy znaczy to, że prosta L Ni (Rys. 375.) jest równoległą do średnicy CD, co w łączności z podanym poprzednio sposobem kreślenia stycznej w danym punkcie elipsy daje bardzo praktyczny sposób wyznaczenia dowolnej ilości stycznych i ich punktów styczności, gdy dana jest para średnic sprzężonych, względnie osi elipsy, jak to widzimy na Rys. 377.

123. O kolineacyi i powinowactwie krzywych stożkowych. Przypuśćmy, że w miejsce koła (Rys. 357.) znajduje się na płaszczyźnie ei elipsa, hiperbola lub parabola i starajmy się dać odpowiedź na pytanie, jakie krzywe odpowiedzą tym liniom na płaszczyźnie £2. Podobnie jak przy kole, zachodzić tu będą trzy przypadki:

W 2.

a)    Elipsa, hiperbola względnie parabola nie są przecięte osią wzajemną Zi. W tym wypadku krzywe, będące rzutem elipsy, hiperboli czy paraboli na płaszczyznę £2 z punktu O, nie posiadają żadnych punktów niewłaściwych, są więc elipsami. Punktom niewłaściwym hiperboli odpowiedzą dwa punkty na osi wzajemnej w-г, która wobec tego przetnie otrzymaną elipsę w dwóch punktach. Punktowi niewłaściwemu paraboli, leżącej na płaszczyźnie £1, odpowie punkt na osi w2 ; elipsa jako krzywa, kolineacyjnie związana z parabolą, będzie styczną do osi wzajemnej

b)    Elipsa, hiperbola i p ar a b o 1 a przeć i ę te są osią wzajemną Zi. Punktom, leżącym na osi zi, odpowiedzą punkty niewłaściwe na płaszczyźnie £2, a krzywym, leżącym na £1, hiperbole.

c)    Jeżeli elipsa, hiperbola lub parabola są styczne do osi Zi, to krzywe, odpowiadające im kolineacyj-

nie na płaszczyźnie 62, posiadać będą jeden punkt niewłaściwy, albo ściślej się wyrażając, będą styczne do prostej niewłaściwej płaszczyzny 62, będą więc parabolami. Parabola, odpowiadająca hiperboli, przetnie oś wz w dwóch punktach, parabola, odpowiadająca paraboli leżącej na ei, będzie styczną do osi wzajemnej w-2.

W dwóch układach powinowatych punktom właściwym odpowiadają punkty właściwe, a punktom niewłaściwym punkty niewłaściwe. Krzywej stożkowej, nie mającej punktów niewłaściwych (elipsie), odpowie takaż krzywa w układzie powinowatym ; stożkowej, posiadającej dwa punkty niewłaściwe (hiperboli), odpowie hiperbola, a paraboli, parabola.

OOO

11. O KRZYWYCH I POWIERZCHNIACH W OGÓLNOŚCI

124.    Określenie i podział linij krzywych. Jeżeli punkt porusza się na płaszczyźnie, według określonego prawa, to miejscem geometrycznem położeń tego punktu jest w ogólnym przypadku linia krzywa płaską, czyli jak się krótko wyrażamy, krzywa płaska. Jeżeli prawo ruchu punktu jest nieokreślone, to krzywa nosi nazwę krzywej graficznej, w odróżnieniu od krzywej, powstałej według pewnego prawa, zwanej krzywą matematyczną. Prawo powstawania krzywych matematycznych, a więc i same krzywe, wyrazić się zawsze dadzą równaniami matematycznemi, krzywe graficzne wyrażają się wyłącznie rysunkiem. Krzywe stożkowe, więc koło, elipsa, hiperbola i parabola, są przykładami krzywych matematycznych, linia wyrażająca kształt, np. liścia kasztanu, jest linią graficzną.

Jeżeli punkt porusza się w przestrzeni według określonego prawa, to miejscem geometrycznem położeń tego punktu jest linia krzywa przestrzenna, zwana także krzywą skośną. Podobnie, jak krzywe płaskie, rozróżniamy krzywe skośne matematyczne od graficznych.

125.    Określenie i podział powierzchni. Niechaj krzywa płaska lub skośna, nie zmieniając swego kształtu, albo zmieniając go w określony sposób, porusza się według pewnego prawa w przestrzeni, to miejsce geometryczne położeń tej

krzywej określamy mianem powierzchni. Poruszającą się krzywą nazywamy tworzącą powierzchni. Jeżeli powierzchnia powstała w wyżej określony sposób, utworzyć się da także ruchem linii prostej, to nazywamy ją powierzchnią prostoliniową albo prostokreślną, w odróżnieniu od powierzchni krzyw o li ni owej, czyli krzywokreślnej, która nie da się utworzyć ruchem linii prostej. Przykładem pierwszego rodzaju powierzchni jest np. stożek, który powstaje gdy koło, zmieniając swój promień, porusza się równolegle do swego położenia, a jego środek opisuje linię prostą. Äle stożek powstać może i w ten sposób, że prosta obróci się około drugiej prostej, która ją przecina. W pierwszym przypadku, poruszające się i zmieniające swój promień koło, w drugim poruszająca się prosta, są tworzącemi stożka. Przykładem powierzchni krzywoliniowej jest np. kula.

W zakres naszych elementarnych rozważań włączymy tylko bardzo ograniczoną grupę powierzchni, a środki badania, któremi rozporządzamy, nie pozwalają nawet na bardziej szczegółową systematykę powierzchni.

Powierzchnie prostoliniowe, dające się rozwinąć na płaszczyźnie, a także i odwrotnie, mogące powstać ze zwinięcia płaszczyzny, bez jej rozdarcia, zagięcia lub załamania, określamy mianem powierzchni rozwijalnych. Powierzchnie, nie dające się rozwinąć na płaszczyźnie, nazywamy powierzchniami nierozwijalnemi, albo skośnemi.

126. O płaszczyznach stycznych do powierzchni. Styczną w punkcie krzywej, leżącej na powierzchni, określamy jako styczną do powierzchni w tym punkcie. Weźmy pod uwragę dowolną powierzchnię (Rys. 378.), a przez jeden z jej punktówr np. Л, nakreślmy na niej dwie linie krzywre ki i &2. Obierzmy następnie na powierzchni trzecią krzywą /гз, przecinającą pierwsze w punktach В i C. Uważajmy krzywe ki i k2 za kierownice, a krzywą kз za tworzącą, która, poruszając się po ki i k-2 i zmieniając odpowiednio swój kształt, opisuje naszą powierzchnię. Proste Ci, c% i Сз, łączące punkty Л, В i C, są siecznemi krzywych fci,ftsifcs, a więc i siecznemi powierzchni i leżą na'.jednej płaszczyźnie ó. Podczas ruchu krzywej ks, punkt В porusza się po krzywej ki, zbliżając się do punktu Л, gdy równocześnie punkt C posuwa się po krzywej k>, zbliżając się również do punktu Л, przyczem sieczne Ci, C2 i сз pozostają

stale na jednej płaszczyźnie 6. W położeniu granicznem krzywa ks zajmie położenie ki, sieczna Ci przejdzie w styczną Si, sieczna C2 w styczną S2, a sieczna Сз w styczną S3. Płaszczyzna a zajmie również położenie graniczne 01 i zawierać będzie styczne Si, s2 i S3. Płaszczyznę 6, w owem położeniu granicznem, nazywamy płaszczyzną styczną powierzchni w punkcie Л. Obrawszy w miejsce krzywej &з inną krzywą jako tworzącą, wykażemy w ten sam sposób jak poprzednio, że styczna, poprowadzona do tej krzywej w punkcie Л, nie identyczna zresztą ze styczną S3, leży również na płaszczyźnie stycznej 01. Widoczne stąd, że styczne, poprowadzone do powierzchni w je- b dnym jej punkcie, leżą na jednej płaszczyźnie, która jest płaszczyzną styczną \ do powierzchni w tym punkcie. I wzajemnie: płaszczyzna styczna do powierzchni w jej punkcie jest miejscem geometrycznem stycznych, poprowadzonych w tym punkcie do krzywych, przechodzących przez ten punkt, a leżących na powierzchni.

Z określenia powyższego wynika bezpośrednio, że 1) dla wyznaczenia płaszczyzny stycznej do powierzchni w danym jej punkcie, wystarczy wyznaczyć styczne do dwóch linij krzywych, poprowadzonych przez ten punkt na tej powierzchni ; 2) jeżeli powierzchnia jest prostoliniową, to płaszczyzna styczna V/ danym punkcie zawiera prostą tworzącą, przechodzącą przez ten punkt, gdyż styczna w tym punkcie do uważanej tworzącej jest właśnie nią samą.

Prosta prostopadła do płaszczyzny stycznej powierzchni w punkcie styczności, nazywa się prostą normalną powierzchni w danym punkcie. Płaszczyzny, przechodzące przez prostą normalną, zwiemy płaszczyznami normalnemi danego punktu powierzchni.

/7

.s

S3

с,

S₂\

\°²

Giy

к, /s,

кг.

Rys. 378.

Сз

\Сг)

§ 12. POWIERZCHNIE STOŻKOWE i WÄLCOWE

127. Tworzenie i podział powierzchni stożkowych i walcowych. Jeżeli prosta, przechodząca przez punkt, po-

rusza się w ten sposób w przestrzeni, że przecina stale daną linię krzywą płaską lub skośną, to powstała w ten sposób powierzchnia nazywa się powierzchnią stożkową. Poruszającą się prostą, w każdem jej położeniu, nazywamy tworzącą powierzchni stożkowej; punkt, przez który przechodzi tworząca, jest wierzchołkiem, a krzywa, którą przecina tworząca, kierownicą powierzchni stożkowej. Jako kierownicę przyjąć można na danej powierzchni stożkowej każdą dowolną linię krzywą, byleby tylko przecinała wszystkie tworzące tej powierzchni. W szczególności przyjąć można jako kierownicę stożka dowolny przekrój powierzchni stożkowej płaszczyzną, t. zw. przekrój płaski, a wtedy kierownica nosi nazwę podstawy. Przekroje stożka płaszczyznami rzutów, nazywamy jego śladami. Mówimy tedy o śladzie poziomym, pionowym lub bocznym powierzchni stożkowej. Ślady stożka są zatem jego podstawami, leżące mi na rzutniach.

Powierzchnia stożkowa rozciąga się nieograniczenie po obu stronach wierzchołka; zazwyczaj ograniczamy się do rozważania części powierzchni, zawartej między wierzchołkiem a przekrojem płaskim (podstawą) i taką ograniczoną część powierzchni nazywamy stożkiem. Odległość wierzchołka od płaszczyzny podstawy, nazywamy wysokością stożka.

Jeżeli wierzchołek powierzchni stożkowej jest punktem niewłaściwym przestrzeni, czyli leży nieograniczenie daleko w danym kierunku, to powierzchnia nazywa się walcową. Tworzące powierzchni walcowej są do siebie równoległe i równoległe do danego kierunku. Część powierzchni walcowej, leżącej między dwoma równoległymi przekrojami płaskimi, nazywamy walcem, a krzywe przekroju jego podstawami. W tern samem znaczeniu, co przy stożkach, mówimy i tu o śladach walca, rozumiejąc przez nie przekroje powierzchni walcowej płaszczyznami rzutów. Odległość obu podstaw nazywamy wysokością walca.

Przedmiotem naszych rozważań uczynimy te powierzchnie stożkowe i walcowe, których kierownicami, a więc także podstawami, są krzywe stożkowe, więc: koło, elipsa, hiperbola i parabola. Powierzchnie te określamy wspólnem mianem powierzchni stożkowych i walcowych rzędu drugiego.

128. Płaszczyzny styczne do stożków i walców. Na tworzącej t powierzchni stożkowej obierzmy punkt Л (Rys. 379.), przez który poprowadźmy krzywą k, leżącą na tej powierzchni. W myśl określenia płaszczyzny stycznej, podanem w ust. 126., tworząca t i styczna s w punkcie Л do krzywej k wyznaczają płaszczyznę styczną o do stożka w punkcie Л. Obierzmy na krzywej k punkt В i połączmy go z punktem A, to sieczna a wraz z tworzącą / wyznaczają płaszczyznę cc, która przecina powierzchnię stożkową wzdłuż tworzących t i h.

(AB)

<r

4'

A4

_5_

T;

'-4M

ki

Rys. 379.

Wyobraźmy sobie, że płaszczyzna cp obraca się około tworzącej t, to punkt В zbliża się do punktu Д a w położeniu granicznem, gdy punkt В zejdzie się z punktem A, sieczna a przejdzie w styczną s do krzywej k w punkcie A, a płaszczyzna cc, w płaszczyznę styczną a. W ten sposób określić można płaszczyznę styczną do powierzchni stożkowej, względnie walcowej, jako graniczne położenie płaszczyzny siecznej, przyczem, jak widzimy, płaszczyzna ta zawiera jedną tworzącą powierzchni i jest styczną do powierzchni w każdym punkcie tej tworzącej.

W danym punkcie powierzchni stożkowej lub walcowej wyznaczymy więc płaszczyznę styczną w sposób następujący: Powierzchnię przetniemy płaszczyzną, przechodzącą przez dany punkt i poprowadzimy w tym punkcie styczną do linii przekroju. Styczna ta, wraz z tworzącą stożka, przechodzącą przez dany punkt, wyznaczają płaszczyznę styczną do powierzchni w każdym punkcie tworzącej, a więc i w punkcie danym.

129. Podział i rzuty powierzchni walcowych rzędu drugiego. Biorąc pod uwagę takie położenia powierzchni walcowych rzędu drugiego, przy których tworzące ich są pionowe, otrzymamy jako ślady poziome tych powierzchni koło, elipsę, hiperbolę i parabolę. Rodzaj krzywej stożkowej, występującej jako ślad poziomy powierzchni walcowej, której tworzące są pionowe, charakteryzuje tę powierzchnię. W przypadku, gdy śladem tym jest koło, walec nazywać będziemy walcem obrotowym (Rys. 380 a), gdy śladem jest elipsa, hiperbola lub parabola, mówimy o walcu eliptycznym

(Rys. 380 b), hiperbolicznym (Rys. 380 c) i parabolicznym (Rys. 380 d). Walec paraboliczny — ponieważ parabola posiada jeden punkt niewłaściwy — ma jedną tworzącą niewłaściwą. W praktycznem przedstawianiu rysunkiem walca parabolicznego, bierzemy pod uwagę ograniczoną część paraboli jako śladu walca, który wskutek tego ograniczony jest dwiema tworzącemi. Walec hiperboliczny składa się z dwóch gałęzi i posiada dwie tworzące niewłaściwe. Podobnie, jak przy walcu parabolicznym, bierzemy pod uwagę tylko ograniczoną część każdej gałęzi walca hiperbolicznego, a to jego tworzącemi.

a.)

b.)

c.)

d.)

й;

Si

tp ts te

tp ts

t”

'O

Rys. 380 a—d.

Prosta a (a' a"), poprowadzona przez środek podstawy (śladu) walca, nazywa się jego osią. Płaszczyzny poziomo rzucające, poprowadzone przez asymptoty hiperboli, jako podstawy walca, noszą nazwę płaszczyzn asymptotycznych.

Płaszczyzny styczne do walca i prostopadłe do rzutni pionowej, dzielą każdą powierzchnię walcową na dwie części, których granicami są tworzące styczności walca z temi płaszczyznami. Tworzące te, oznaczone literami ti i /2 na Rys. 380 a—d, stanowią zarys walca, a ich rzut pionowy, identyczny ze śladami pionowymi płaszczyzn stycznych, jest zarysem, czyli rzutem walca na rzutnię pionową.

Każda płaszczyzna, przechodząca przez oś walca obrotowego, jest jego płaszczyzną symetryi prostokątnej. Walec eliptyczny i hiperboliczny posiadają po dwie takie płaszczyzny symetryi, któremi są płaszczyzny, przechodzące przez oś walca i osi elipsy, względnie hiperboli, stanowiących podstawy. Walec paraboliczny ma tylko jedną płaszczyznę symetryi. Ilość płaszczyzn symetryi znamionuje i wyróżnia walce rzędu drugiego między sobą. W szczególności ważną jest ta charakterystyka przy odróżnianiu walca obrotowego od eliptycznego.

Jeżeli tworzące walca są prostopadłe do jego płaszczyzny podstawy, to walec nazywamy prosty, inaczej ukośny.

130. O przekrojach walców rzędu drugiego w ogólności. Linia przekroju walca z płaszczyzną jest miejscem geome-trycznem punktów przebicia się tworzących walca z płaszczyzną sieczną. Z określenia powierzchni walcowej wynika, że między jej śladem i przekrojem dowolną płaszczyzną, a więc także między dwoma przekrojami, zachodzi ten sam związek, który wykazaliśmy między dwoma przekrojami graniastosłupa (ust. 102.), t. j. powinowactwo środkowe. W istocie bowiem każdemu punktowi Æ, Bi, Ci... linii przekroju ki, leżącej na płaszczyźnie ei (Rys. 381.), odpowiada jeden jedyny punkt

£г

Dz

As.

MĄl

iV

i --

le

Sz

-уРз

Hi

<Сг

Г4

Гг

Ci

Mi

s,

Rys. 381.

Лз, Кг, Ci... drugiej linii przekroju /гг, leżącej na płaszczyźnie e*, przyczem odpowiadające sobie punkty leżą na tworzących walca, stanowiących promienie powinowactwa. Każdej prostej np. Ci, leżącej na płaszczyźnie ei i przecinającej krzywą ki w punktach Ci i Afi, odpowiada na płaszczyźnie ег prosta Сз, przecinająca krzywą ki w punktach Сг i Mi. Każdej stycznej, np. Si do ki w punkcie Mi, odpowiada na płaszczyźnie ег prosta Sn, styczna do krzywej w punkcie M2, leżącym wraz z punktem Mi na jednej tworzącej. Miejscem geometrycznem punktów przecięcia się, odpowiadających sobie prostych na obu płaszczyznach, jest krawędź p tych płaszczyzn, stanowiąca oś powinowactwa.

Jeżeli płaszczyzny ei i &2 są równoległe, to oś powinowactwa leży nieograniczenie daleko, a między obu układami płaskimi zachodzi przystawanie. Płaszczyzny równoległe przecinają więc walec w krzywych przystających.

Wiadomo, że kołu, leżącemu na płaszczyźnie ei, odpowiada w układzie powinowatym 62 elipsa, dalej, że elipsa spowinowaconą jest z elipsą, parabola z parabolą, a hiperbola z hiperbolą (ust. 123.). Stąd wynika wprost, że walec obrotowy przeciąć można zawsze wzdłuż elipsy, walec eliptyczny wzdłuż elipsy, a jak to później zauważymy, także i wzdłuż koła (ust. 131., Rys. 384.), że przekrój walca parabolicznego może być tylko parabolą, a walca hiperbolicznego hiperbolą. Rzecz oczywista, że płaszczyzny, równoległe do tworzących walca, przecinają go w dwóch tworzących. Parze średnic sprzężonych krzywej przekroju, należącej do jednego układu, odpowiada w układzie drugim para średnic sprzężonych krzywej spowinowaconej z pierwszą. Osi paraboli w jednym układzie odpowiada średnica w układzie drugim. Środkowi koła, elipsy lub hiperboli, jako podstawy walca, odpowiada środek krzywej stożkowej, będącej przekrojem odnośnego walca płaszczyzną.

Wiemy z ustępu 94., że rzut dwóch powinowatych utworów (układów) płaskich w dowolnym kierunku i na dowolną płaszczyznę daje dwa układy złączone na tej płaszczyźnie i ze sobą powinowate. Wobec tego między rzutami poziomymi dwóch przekrojów walca zachodzi powinowactwo, którego osią jest rzut poziomy krawędzi obu płaszczyzn siecznych, a kier runkiem, kierunek rzutu poziomego tworzących walca. Podobnie między rzutami pionowymi dwóch przekrojów walca zachodzi powinowactwo o kierunku równoległym do rzutu pionowego tworzących tego walca, a osi, którą jest rzut pionowy krawędzi płaszczyzn siecznych. Gdy jednym z dwóch uważanych przekrojów walca jest jego ślad, to osią powinowactwa jest odpowiedni ślad pozostałej płaszczyzny siecznej.

e&

Gdy oba przekroje walca są jego śladami, a więc leżą na rzutniach, to osią powinowactwa jest oś rzutów x.

Zadanie: „Wyznaczyć przekrój walca płaszczyzną a“, polegać będzie na wykreśleniu rzutów krzywej przekroju, względnie na wyznaczeniu średnic sprzężonych lub osi tej krzywej.

131. Przykłady przekrojów walców.

a) Wyznaczyć przekrój walca obrotowego płaszczyzną a (ha Da) (Rys. 382.). Krzywą przekroju jest elipsa ki, której rzut poziomy W schodzi się z podstawą ki walca.

Rzut pionowy W krzywej przekroju będzie elipsą, a ponieważ między rzutem poziomym i pionowym zachodzi powinowactwo (ust. 95.), więc parze średnic sprzężonych л /нЪУ на,

Ai В2', С2 Di' koła ki' odpowiada para średnic sprzężonych Ai" Bi" i Ci" Di" elipsy ki".

'Ai'

Û2

Va.

BÎ

cqcS

Hc Cr\D"

SI

Hc

W?2

-ш—

ha'

A4

H\c Ci С’г

Rys. 382.

b ) Wyznaczyć rzuty przekroju prostego walca eliptycznego płaszczyzną a (ha Va) (Rys. 383.). Celem wykreślenia rzutu pionowego walca, czyli rzutu pionowego tworzących, wzdłuż których płaszczyzny styczne prostopadłe do rzutni pionowej stykają się z walcem, a więc celem wyznaczenia tworzących konturowych — wykreślimy styczne do ki, prostopadłe do osi X. W tym celu społowimy cięciwę elipsy ki, prostopadłą do osi X i połączymy jej środek ze środkiem Si elipsy. Otrzymana średnica elipsy przecina ją w punktach Mi i N1, które są rzutami poziomymi tworzących konturowych.

Krzywa przekroju jest elipsą, której rzut poziomy ki' schodzi się z podstawą ku Osi Ai B2' i Ci' D2' elipsy kif schodzą się z osiami Ai Bi i Ci Di podstawy ki. Przy pomocy prostej s (s' s") znajdziemy punkt S2", t. j. rzut pionowy środka elipsy ki", a przy pomocy dalszych prostych przyjętych na płaszczyźnie a, średnice sprzężone Ai" Bi" i C2" Di" tejże elipsy.

c) Wyznaczyć kierunek płaszczyzn, tnących walec eliptyczny wzdłuż kół. Nadajmy walcowi takie położenie, aby oś jego a (a', a") była pionowa (Rys. 384.), a płaszczyzna przechodząca przez tę oś i przez małą oś elipsy była płaszczyzną czołową (równoległą do rzutni pionowej). Z dowolnego punktu Si" prostej a" zakreślmy koło promieniem równym dużej półosi elipsy ł?i, a otrzymane punkty C2", Di" i Et", Fi" połączmy ze sobą. Niechaj {Ci", Di") = Ua będzie śladem pio-

Вг

Va

Ni

Vf

а"

Va

El

DS

//-

fes

№ ! и,

DL

AzXBz

Vz ¹

Ml

S"/

1 /,

|a»

es:

Fs

////

л /р!У Pz/Hs/M? PnÀ к'

Bi

Ct NÎ Л л

ci

AÏ\B?

Di

Dl

S"

Pi

At.Az

Di

ki

ii

Рг

Mii

BpKßi

he

Ml1

<5 $

ff-

Di

' mob

Hs

⁵ /а'\

Ni

'ki

Ai

'NŹ

Bz Bi

hp

p\Al

■ Ci

.ha

k'e

Ci

Rys. 384.

Rys. 383.

nowym pionowo rzucającej płaszczyzny siecznej a, to odcinek ЖЖ, przechodzący przez punkt S2 i prostopadły do rzutni pionowej, jest jedną, a odcinek C2 D2 prostopadły do Л2 B2, drugą osią linii przekroju, powinowatej z elipsą ki. Osi te są równej długości, a więc krzywa, niemi wyznaczona, jest kołem. Z tych samych względów płaszczyzna pionowo rzucająca ß (hß Uß) przecina walec eliptyczny również wzdłuż koła. Płaszczyzny równoległe do płaszczyzn a i ß przecinają

nasz walec wzdłuż kół, a stąd wynika, że na powierzchni walcowej eliptycznej istnieją dwa układy kół.

d) Wyznaczyć przekrój walca eliptycznego, którego ślad poziomy jest kotem, pionowo rzucającą płaszczyzną a (ha Da). Przekrój walca będzie elipsą kz, której rzut pionowy schodzi się ze śladem Da (Rys. 385.). Parze x / średnic sprzężonych Th Bi A' i Ci Di w kole ki odpowiada para średnic sprzężonych Rz Bz i Cz Dz w elipsie kz, powinowatej z kołem ki. Osią powinowactwa jest ślad ha płaszczyzny siecznej, kierunkiem, kierunek tworzących walca. Punkty Rz', Bz', Cz i Dz' otrzymamy, odnosząc punkty Rz", Bz", Cz" i Dz na rzuty poziome odpowiednich tworzących. Proste Ri Bi i Rz Bz' przecinają się w punkcie Pi osi powinowactwa ha, podobnie jak i inne proste łączące pary odpowiadających sobie x punktów koła k\ i spowinowaconej z nim elipsy kz. Punktom Mi i Ni odpowiedzą punkty styczności Mz' i Nz' elipsy kz' z rzutami tworzących konturowych walca.

CV\Di

Ah*.

СЧ

s а*

S’iy Bl,

AI

cm’

kk

S3' '

му i

Ун/tf

Va

Ь'у

'P

'ha

ki

av

ВЧ

Сг

ke\ß

'jÈ-iCè

a'. W

'Vy

*dTn'

\sk

k'2

1:

ißl

p2

>?

Рз

Rys. 385.

Ai\

Sb

oi

Ju

/у

TV;

Dl

W\ I /

/к’Ург

h₇

/p3

'Нк

e) Wyznaczyć przekrój walca eliptycznego, którego ślad poziomy jest kołem, płaszczyzną a (ha Da) — (Rys. 386.). Wyzna-

czymy punkt przebicia się 02 (B2' B2") tworzącej konturowej b (b' b") z płaszczyzną a. Punkt ten wraz z osią ha wyznaczają powinowactwo, jakie zachodzi między kołem ki a szukaną elipsą /?2. Znajdziemy parę średnic sprzężonych Л2' B2' i C2 D2 elipsy ki', podobnie jak w zadaniu poprzedniem. Rzut pionowy ki" elipsy ki jest elipsą, której średnice sprzężone otrzymamy, znajdując punkty Æ", B", C2" i D2" na rzutach pionowych odpowiednich tworzących walca.

ty

AS

yh

kL

/a"

PI

CS

Щ/.-

fQ’i

Va

f) Wyznaczyć przekrój walca eliptycznego dowolną płaszczyzną. Oś a (a' a") walca (Rys. 387.) przebija płaszczyznę sieczną a (ha Ua) w punkcie S2 (SV S2"), który wyznacza, wraz z punktem Si i osią ha, powinowactwo zachodzące między śladem ki walca a jego przekrojem k2 (fc/ k2"). Średnice sprzężone WWiCTW elipsy ki' znajdziemy, podobnie jak w Rys. 385. względnie w 386.

■'S"

Ъ” Ar Sl/PI-B" C,'//p’ i N, ; Qn

PS p* Vś

7

’s

Hs

■C,\

Ai

Q,

ha

Ai

kt.

//

У/j

s \l/

B,=

p<

yy

-P

Mi

Średnicy Pi Qi, sprzężonej z kierunkiem prostopadłym do osi x, od- ^~pn powiada na płaszczyźnie a średnica P2 Q2, przyczem punkty Pi" i Q2 są punktami stycz- p,1 ności elipsy ki" z rzutem pionowym tworzących kontu- / rowych. Średnicy /

Rys. 387.

Mi N1, sprzężonej ' ys z kierunkiem równoległym do rzutu poziomego tworzących walca, odpowie w elipsie £2' średnica, której punkty końcowe M2', N2' są punktami styczności elipsy ki' z rzutem poziomym tworzących konturowych.

g) Wykreślić ślad pionowy walca eliptycznego, którego ślad poziomy ki i rzuty tworzących konturowych są dane

(Rys. 388.). Między obu śladami walca zachodzi powinowactwo, którego osią jest oś rzutów jako krawędź płaszczyzn siecznych. Prosta, łącząca ślad pionowy Sz osi a (a' a") walca ze środkiem Si elipsy ki, jest kierunkiem powinowactwa. Punkty / i II, w których osi elipsy ki przecinają oś powinowactwa л:, łączymy z punktem S2, a na ^ otrzymane proste rzucimy w kierunku powinowactwa wierzchołki Æ, Bi, Ci i Di.

Tym sposobem otrzymamy parę średnic sprzężonych Æ Bi i Ci Di szukanego śladu pionowego ki walca.

Punktom Mi i N1, w których średnica elipsy ki, sprzężona z kierunkiem prostopadłym do osi .X, elipsę tę przecina, odpowiedzą na rzutni

pionowej punkty styczności M2 i N2 elipsy ki z rzutem pionowym tworzących konturowych.

h) Dane są rzuty walca eliptycznego, kto-J rego ślad poziomy jest Y kołem ki (Rys. 389.). Wyznaczyć rzuty przekroju te go walca wzdłuż koła, należącego do drugiego układu kół. Przyjmijmy trzecią płaszczy-\ znę rzutów, prostopadłą do rzutni poziomej i [№] równoległą do tworzą-/вТ cych walca. ^Ślad poziomy tej nowej rzutni oznaczyliśmy literą jy

Уь/ b" Вг

а»

M," er

Bl /

Mi¹/

М,\

Di

кг

Di

Вг

' /Яг

Мг₆

г''-

Рк S’

ki

/а1''АСг

Nl’/Sz

х_

Mi\

Ч.

Bt

и.

//

!/

кг

■fś? . №

РУ к/у

У i Dï V^y

SI At ■■ Vù N1

По'

I Сг

\ ч-

Кг У

КВг

К»'

NA 'Vs-У У ->

/St

'Al/

N. \L Dt/ /

/ S'/D’," " pm /С7

■M]///___-—

N’t"

Bu

//

Zi

///о/

am

а¹

с, ц

в/Ri

Rys. 388.

Przyjąwszy na osi walca punkt S2 (S2' S2"), wyznaczmy jego rzut boczny S2'". Prosta Si'" S2"' jest rzutem bocznym osi walca; rzuty boczne tworzących konturowych przejdą przez punkty Ai" i Bi" równolegle do a'". Zakreślmy z punktu S2 koło o promieniu równym promieniowi koła ki i oznaczmy punkty przecięcia się tego koła z zarysem walca na rzutni bocznej literami As" i B2". Uważajmy prostą ka za ślad boczny płaszczyzny siecznej a, prostopadłej do rzutni bocznej, to przekrój walca tą płaszczyzną będzie żądanym przekrojem wzdłuż koła k-2, (porównaj zadanie c w tym ustępie). Każda płaszczyzna równoległa do płaszczyzny a przecina walec wzdłuż koła.

///

(As'", B2"')

Di if

/:

Va/ l’y

/у

/у

/у

Xaj//D7 iy ĆHl

AVA"

ii

Ai

'/

Wyznaczenie osi As Bs i C2 Di elipsy k2 , jako rzutu poziomego koła ki, podobnie jak i średnic sprężonych As" B2" i Ci" D2" elipsy ki", nie nastręcza żadnych trudności i sprowadza się do odnie-Ahî к! Bi sienią odpowiednich punktów z rzutu bocznego na poziomy i pionowy. Punkty styczności M2" i N2" znajdziemy również przy pomocy rzutu bocznego. który podaje ich wysokości, jak nas o tern poucza

rysunek.

7\

V/

7r

1 J.

ha>

Rys. 390.

i ) Wyznaczyć przekrój walca pa-ßr rabolicznego wzdłuż dwóch tworzących — (Rys. 390.). Równolegle do tworzących walca, prowadzimy prostą l (V l"), a przez nią płaszczyznę a (ha Va), której ślad poziomy przecina podstawę walca w punktach 1 (II") i II (II II"). Proste / /1 i 7/ //1 rozwiązują zadanie.

132. O punktach przebicia się prostej z walcem. Äby

wyznaczyć punkty, w których prosta przebija powierzchnię walcową, poprowadzimy przez tę prostą płaszczyznę, wyznaczymy przekrój walca tą płaszczyzną, a punkty przecięcia się prostej z otrzymaną linią przekroju rozwiązują zadanie. Rysunkowo przedstawi się rozwiązanie zadania najprościej wówczas, gdy płaszczyzna, poprowadzona przez prostą, będzie równoległą do tworzących walca, a więc, gdy przetnie go wzdłuż dwóch tworzących. Tak też z reguły postępujemy. Na danej prostej m, której punktów przebicia się z walcem szukamy, obierzemy punkt, przez który prowadzimy prostą p równoległą do tworzących walca. Płaszczyzna cp = (m, p), jako równoległa do tworzących walca, przetnie go wzdłuż dwóch tworzących, względnie w równoległoboku, jeśli bierzemy pod uwagę także krawędzie Л płaszczyzn ograniczających walec z płaszczyzną cp. Punkty przecięcia się otrzymanego przekroju walca z prostą m stanowią rozwiązanie zadania.

M«

b"\

an

i.

ha

Przykłady.

лгУ

rrv

Rys. 391.

a) Rys. 391. przedstawia walec obrotowy, o osi pionowej, przebity prostą m (m' m") w punktach M (M' M") i N (N' N"). Ze względu na położenie walca, rzuty poziome punktów przebicia są znane; zadanie ograniczyło się do wyznaczenia rzutów pionowych tych punktów.

b) Wyznaczyć punkty przebicia się prostej m (m' m") z walcem obrotowym, którego oś jest równoległa do rzutni bocznej (Rys. 392.). Wykreślenie rzutów walca, przy użyciu płaszczyzny bocznej, nie wymaga bliższych wyjaśnień. Prosta p (p' p"), poprowadzona przez punkt P (P' P") prostej m (m' m") równolegle do tworzących walca, wyznacza wraz z prostą m płaszczyznę cp (hep Ł?cp), która przecina płaszczyznę podstawy a w prostej k (k' k"). Przez punkty 1 (1' 1") i 2 (2' 2"), w których prosta k przecina podstawę walca, kreślimy tworzące, które przecinają drugą podstawę walca w punktach / (Г I") i II (//' II"). Prosta m (m' m") przecina prostokąt I 2 11 I w punktach M (AT M") i N (ЛГ N"), które są szukanymi punktami przebicia się jej z walcem.

7”.

.3»

\

P"

.......'/УЛ

H—

IM'"

Va

la"

Vk!

~~M"J

^ - fi"'

/Г"Убго

■Л"

i /2^/X

61 /к*/ >

— V---r —

ß"

pm

!тт

Hp

1" i D"

}Hm

Hm

**— C'

ŻV 114- X

pin

/Р

/I'

R i/Q\ fell Ля-

----i

P'

//

/la'

Z*.

777'

/?«

/9'

Ж~

№>/-Л

'Но

Rys. 392.

133. Rzuty i podział powierzchni stożkowych rzędu drugiego.

f//r ja-

xAi/ /а" is*

J!

4 -Ш-ъ

/г

/

a) W środku S' koła k (Rys. 393.), przyjętego na rzutni poziomej i uważanego za ślad powierzchni stożkowej, poprowadźmy prostą pionową a (a' a") i obierzmy na niej dowolny punkt W (W' W"). Prosta t (t' t"), przechodząca przez punkt W i poruszająca się w ten sposób, że stale przecina koło k, opisze powierzchnię stożkową, zwaną powierzchnią stożkową obrotową. Prosta a jest osią, prosta t w każdem ze swych położeń tworzącą, >Аг a punkt W wierzchołkiem tej powierzchni. Każdy punkt tworzącej opisuje podczas jej obrotu koło na płaszczyźnie prostopadłej do osi, a każda płaszczyzna,

AS X

133. RZUTY I PODZIAŁ POW. STOŻKOWYCH RZĘDU DRUGIEGO

CM

Ol

przechodząca przez oś, jest płaszczyzną symetryi tej powierzchni stożkowej. W dwóch położeniach, a mianowicie h (fi' h") i h (h' h") poruszająca się tworząca jest równoległą do rzutni pionowej, a płaszczyzna e = (/i, h) dzieli powierzchnię stożkową na dwie części. Część powierzchni, leżąca przed płaszczyzną 8, jest widoczna, część pozostała, niewidoczną; proste h i h stanowią więc zarys stożka dla widza, patrzącego z punktu niewłaściwego na rzutnię pionową. Proste h" i k" są zarysem stożka na rzutni pionowej, czyli jego rzutem pionowym.

Zu

.Wo

Rzut ukośny stożka o-brotowego dla cp — 45°, a stosunków skróceń 1 : */г : 1, przedstawia Rys. 394. Przy-jąwszy punkt Su jako rzut ukośny środka koła, popro- / wadzimy przezeń prostą rów- /yu noległą do Xu i drugą równoległą do yu. Odmierzymy następnie Ли Su = Bu Su = r, jeśli r równe jest promieniowi koła, jako podstawy stożka. Odmie-

45°'

-Ou,

Du

~À~u

Rys. 394.

Со

hu

л</

Bu

sś

сл

Du Su

o_

(O

v₇

tîà

■a-

ts

x A"j

ь.

Co!

■rî»

CD

średnicę elipsy, sprzężoną ze średnicą Ли Bu. Z punktu Su wykreślimy równoległą do osi Zu i odmierzymy Su Wu równe wysokości stożka. Styczne, wykreślone z punktu Wu do elipsy ku, stanowią rzut ukośny tworzących konturowych stożka.

b) W środku S' elipsy k (Rys. 395.), uważanej za kierownicę powierzchni stożkowej, poprowadzimy prostą pionową a (a' a") i obierzemy na niej dowolny punkt W (W' W"). Proste, łączące punkt W z wszystkimi punktami elipsy, utworzą powierzchnię stożkową, która posiada trzy płaszczyzny symetryi prostokątnej, a mianowicie: płaszczyznę przechodzącą

przez prostą a i małą oś elipsy, płaszczyznę przechodzącą przez prostą a i dużą oś elipsy, i wreszcie płaszczyznę poziomą, przechodzącą przez wierzchołek W. Prosta a jest jedną z trzech' o s i stożka, dwie dalsze przechodzą przez W równolegle do osi ЛВ i C D elipsy k. Tworzące h i h, leżące na płaszczyźnie czołowej, są tworzącemi konturowemi powierzchni stożkowej, proste h" i h" stanowią zarys powierzchni na rzutni pionowej.

c) Tak więc rozróżniać będziemy dwie powierzchnie stożkowe rzędu drugiego: 1) powierzchnię stożkową obrotową, zwaną krótko stożkiem obrotowym i 2) powierzchnię stożkową rzędu drugiego nieobrotową, którą nazywać będziemy zawsze w skróceniu stożkiem. Słowo „stożek“ odnosić się więc będzie zawsze do powierzchni rzędu drugiego, posiadającej trzy płaszczyzny symetryi prostokątnej (Rys. 395.); „stożek obrotowy“ wywoła zawsze wyobrażenie powierzchni stożkowej rzędu drugiego, posiadającej nieograniczoną ilość płaszczyzn symetryi prostokątnej, a powstałej przez obrót prostej około osi, którą przecina. Podobnie, jak dla powierzchni walcowych rzędu drugiego, jest ta różnica w ilości płaszczyzn symetryi charakterystyczną także i dla powierzchni stożkowych rzędu drugiego.

134. Przekroje stożków płaszczyznami. Między śladem poziomym (podstawą) stożka, czy też stożka obrotowego, a jego przekrojem dowolną płaszczyzną zachodzi kolineacya, której środkiem jest wierzchołek stożka, osią ślad poziomy płaszczyzny siecznej, a promieniami kolineacyi tworzące stożka. Każdemu punktowi śladu poziomego stożka odpowiada jeden punkt krzywej przekroju, leżący z nim na jednej tworzącej. Ponieważ liniami, odpowiadającemi kolineacyjnie kołu lub elipsie są: elipsa, hiperbola lub parabola, więc zarówno stożek obrotowy jak i stożek przeciąć można wzdłuż elipsy, hiperboli lub paraboli. W szczególności gdy płaszczyzna sieczna przecina wszystkie tworzące stożka w punktach właściwych, czyli, gdy nie jest równoległą do żadnej z nich, to otrzymana linia przekroju jest elipsą (Rys. 357.*); gdy płaszczyzna sieczna jest równoległą do dwóch tworzących stożka, to krzywa przekroju posiada dwa punkty niewłaściwe, a wdęc jest hiperbolą (Rys. 359.*); gdy wreszcie płaszczyzna sieczna jest równoległą do jednej tworzącej stożka, to linia przekroju posiada jeden punkt niewłaściwy i jest parabolą (Rys. 361.*).

Z powyższego wynika też wprost, że zależnie od położenia stożka obrotowego, czy też stożka, względem płaszczyzn rzutów, ślady ich mogą być elipsami, hiperbolami lub parabolami, że zatem krzywa, będąca śladem, podstawą, względnie kierownicą stożka, powierzchni tej bynajmniej nie określa i nie charakteryzuje. Elipsa może być śladem poziomym zarówno stożka jak i stożka obrotowego, podobnie jak koło, elipsa i parabola. O tern, czy mamy przed sobą stożek obrotowy, czy też stożek, stanowi nie rodzaj krzywej, będącej podstawą stożka, ale jedynie i wyłącznie ilość występujących tam płaszczyzn symetryi prostokątnej. Jeżeli ilość ta jest nieograniczona, to stożek jest obrotowy, a płaszczyzny prostopadłe do osi przecinają go wzdłuż kół. Jeżeli badana powierzchnia stożkowa posiada tych płaszczyzn symetryi tylko trzy, to jest stożkiem w znaczeniu odrębnem od stożka obrotowego. Sposób umożliwiający rozpoznanie stożka obrotowego, którego rzuty są dane, poznamy przy sposobności omawiania powierzchni obrotowych (ust. 148.).

Jeżeli prosta, łącząca środek elipsy lub hiperboli, które stanowią podstawę stożka, z wierzchołkiem tego stożka, jest prostopadłą do płaszczyzny podstawy, to stożek nosi nazwę prostego, w odróżnieniu od ukośnego.

Z tego, cośmy dotąd powiedzieli o powierzchni stożkowej rzędu drugiego wynika, że stożek ten może być prosty, mając za podstawę zarówno elipsę jak i hiperbolę. Stożek prosty, którego podstawą jest koło, jest stożkiem obrotowym.

Płaszczyzny, przechodzące przez wierzchołek stożka, podzielić się dadzą na trzy grupy. Do jednej należą te, które prócz wierzchołka nie posiadają ze stożkiem żadnych punktów ani linij wspólnych; drugą grupę stanowią płaszczyzny przecinające stożek wzdłuż dwóch tworzących, względnie — o ile bierzemy pod uwagę część powierzchni stożkowej, zawartej między wierzchołkiem a podstawą — w trójkącie. Trzecią grupę stanowią płaszczyzny, leżące na granicy obu wymienionych grup i posiadające po jednej tworzącej wspólnej ze stożkiem, czyli płaszczyzny styczne (ust. 128.).

Ponieważ rzut dwóch utworów (układów) płaskich środkowo kolineacyjnych, na dowolną płaszczyznę i w dowolnym kierunku, daje dwa układy środkowo kolineacyjne, złączone na tej płaszczyźnie rzutów (ust. 115.), więc między rzutami

poziomymi dwóch przekrojów stożka zachodzi kolineacya, której środkiem jest rzut poziomy wierzchołka stożka, a osią rzut poziomy krawędzi obu płaszczyzn siecznych. To samo odnosi się do rzutu pionowego tych dwóch przekrojów stożka; osią kolineacyi jest rzut pionowy krawędzi obu płaszczyzn siecznych, a środkiem rzut pionowy wierzchołka stożka. Między śladem poziomym i pionowym stożka zachodzi kolineacya, której osią jest oś rzutów a środkiem wierzchołek stożka.

Podobnie jak przy walcu, polega wyznaczenie przekroju stożka daną płaszczyzną na wykreśleniu rzutów krzywej przekroju i na wynalezieniu punktów styczności otrzymanych krzywych z zarysami stożka na obu rzutniach.

135. Przekroje powierzchni stożkowych wzdłuż dwóch tworzących. Wiadomo z poprzedniego ustępu, że pewna grupa płaszczyzn, przechodzących przez wierzchołek stożka, przecina go wzdłuż dwóch tworzących. Każda z tych płaszczyzn przetnie ślad, względnie podstawę stożka, w dwóch punktach, które połączone z wierzchołkiem dają owe dwie tworzące przekroju.

Tok rozwiązania zadania jest więc następujący: przez wierzchołek stożka prowadzimy prostą, a przez nią płaszczyznę, taką jednak, której krawędź z płaszczyzną podstawy

przecina podstawę (ślad) w dwóch W punktach. Proste, łączące te punkty 7yP z wierzchołkiem stożka, rozwiązują

W"

zadanie.

x M7 /А” В”i /Ха

В,

A/i

__kKJw

IV' К ]N

/ i 4

Р/

/    Przykłady.

a)    Stożek, którego ślad poziomy jest elipsą (Rys. 396.), przecięliśmy płaszczyzną a (ha Ua), przechodzącą

plM. przez prostą p (p' p"), którą to prostą poprowadziliśmy przez wierzchołek W ( W' W"). Proste Л W i В W są tworzącemi, wzdłuż których płaszczyzna cc przecina stożek.

b)    Weźmy pod uwagę stożek obrotowy, którego wierzchołek leży na rzutni poziomej (Rys. 397.). Płaszczyzna a (ha Ua ), przechodząca przez wierzchołek, przecina płaszczyznę

podstawy stożka w prostej m (m' m"), a koło k (k' k") w punktach А (A' A") i В (В' В").

f⁵ M”B" A" j

A"_N*

ve

Iw

Proste A W i В W rozwiązują zadanie.

а"

v\

v\

Vrr>

Xa W"

к'

Oj W

136. Punkty przebicia się prostej z powierzchnią stożkową znajdziemy, podobnie jak punkty przebicia się prostej z walcem (ust. 132.), więc za pośrednictwem płaszczyzny, przechodzącej przez prostą i przecinającej powierzchnię stożkową — o ile możności — wzdłuż tworzących. Postąpimy więc w sposób następujący:

! /V'

M'\

A \rrv

.ha

Rys. 397.

Przez daną prostą i wierzchołek powierzchni poprowadzimy płaszczyznę, wyznaczymy tworzące, wzdłuż których płaszczyzna ta przecina powierzchnię stożkową, a punkty przecięcia się tych tworzących z prostą są szukanymi punktami.

Przykłady.

py

a) Wyznaczyć punkty przebicia się prostej m (m' m") ~ ze stożkiem obrotowym ' (Rys. /    398.). Pozioma prosta p (p' p"),

P"

777"

fN"

//

JM”

Vm iXaHmS /■ A"

oVlHT

przechodząca przez wierzchołek stożka i przecinająca daną prostą m (m' m") w punkcie P (P' P"), wyznacza z tą ostatnią płaszczyznę cc (ha Va), która przecina stożek wzdłuż tworzących A W i В W. A Punkty M (M' M") i N (N⁷ N"j rozwiązują zadanie.

yVm Pm

X/ \p'

\a-

nr

B\ha

b) Wyznaczyć punkty przebicia się prostej m (mr m") ze stożkiem, który styka się wzdłuż jednej tworzącej z rzutnią poziomą (Rys. 399.). Podstawa stożka, p, elipsa k (k' k"), przyjęta jest na ⁴ płaszczyźnie a (ha Va) i styka się ze śladem ha w punkcie C. Przez

wierzchołek stożka poprowadziliśmy prostą n (n' n"), równoległą do prostej m (m' m") i wyznaczyliśmy ślady płaszczyzny cp=(m, ri). Krawędź e (e' e") płaszczyzn a i cp przecina elip-v6 \л* sę k {k' k") w punktach P (P' P") i Q (Q' Q"), które wraz z wierzchołkiem W wyznaczają przekrój stożka płaszczyzną cp. Boki PIF i PQ, trójkąta P Q W> przecinają się z prostą m w punktach M (M' M") i N (N' N"), stanowiących rozwiązanie zadania.

Учуi D"

& /л

n>

yrv

Уе

'mn

\у

к"

Va

/\ S" v\B”

e" ;\    \

Vb

\    ! D’

\\M’ /

1%\4*

4e,

h’f

\A'

Не

:\

Ve Ç"

кВ’

ha

Rys. 399.

137. Przykłady płaszczyzn stycznych do powierzchni stożkowych i walcowych. Z określenia płaszczyzny stycznej do stożka, podanego w ust.

128., wynika, że płaszczyzna styczna w punk-

cie p (p' p") A

do stożka obrotowego (Rys.

400.) jest styczną w każdym punkcie tworzącej t (/' t"), na której leży punkt P. Styczna m (m m")

/Т7

//

a;

V«

Vpj

/f

fpn j

E_

ty

/ у a”

w-

P”

,m

U \ \ a' W’

P'S

m”    \ß" AV PT/sPAb".

\b,

mn \ Vp

hcc

ЛА

7'

kj

P'

лг \/'P. /

V [/    ' /

\4

■x.f' /

⁷    А/.

w punkcie M śladu poziomego k stożka obrotowego, wyznacza wraz z tworzącą t żądaną płaszczyznę styczną a. Ślad poziomy tej płaszczyzny schodzi się z prostą m; w celu wyznaczenia śladu pionowego, użyliśmy pośrednictwa prostej poziomej p {p' p"), przechodzącej przez punkt P (P' P") równolegle do prostej 777.

Rys. 401. przedstawia rzuty walca eliptycznego i zupełnie z poprzednią analogiczną konstrukcyę śladów płaszczyzny stycznej do walca w puncie P (P' P"), przyjętym na tworzącej t (/' t").

Przy pomocy rzutni bocznej, obróconej około osi y na rzutnię poziomą (Rys. 402.), wykreśliliśmy rzuty stożka obro- / towego, stykającego się z rzutnią poziomą wzdłuż z tworzącej prostopadłej do osi X. Na stożku tym obraliśmy tworzącą ł {t' t") i przez nią poprowa-dzili płaszczyznę styczną Ф (hep i?cp) do stożka. Płaszczyzna cp wyznaczona jest tworzącą t i styczną m (m' m") do podstawy stożka k (k' k") w punkcie M Ш' M").

m”

D"

"/Г

\Mn

O Zc

i c i,

У cc /Hm

-----\B"

\am

\

r'>-

ia"

ha

Tj \ _ л___7----m

7 V \ \ Ta' J

777' ИП

Rys. 402.

IV

h'p

138. Przykłady przekrojów powierzchni stożkowych wzdłuż elips.

a) Stożek obrotowy, o osi pionowej, przecięty jest płaszczyzną pionowo rzucającą a (ha Ua); wykreślić rzuty linii przekroju (Rys. 403.). Między śladem ki stożka a rzutem poziomym elipsy przekroju кг zachodzi — jak wiemy — koli-neacya, której środkiem jest rzut poziomy wierzchołka stożka, a osią ślad poziomy ha płaszczyzny siecznej a. Siad poziomy he płaszczyzny e, poprowadzonej przez wierzchołek równolegle do płaszczyzny siecznej, jest osią wzajemną Zi. Osi Ra! Bi' i Ci Di' elipsy ku' znajdziemy w sposób, omówiony szczegółowo w ust. 120. pt. a). Rys. 357*. Więc:

z punktu W' kreślimy prostopadłą do Zi, a z punktu Zi styczne do ki. Trapezowi równoramiennemu U 2i Ji 4i, opisanemu na kole ki, odpowiada w układzie elipsy prostokąt W 2ï З2' 4Z, który otrzymamy, prowadząc przez punkty Pi i P2 proste równoległe do Zi Bi i rzucając na nie z punktu W' wierzchołki trapezu. Punktom Æ, Bi, Ci i Di odpowiedzą wierzchołki Л2', B2', C2 i D2' elipsy W. Rzut pionowy k.2 elipsy przekroju leży na śladzie pionowym płaszczyzny siecznej.

//

w"

(w*

Ve

va

/Va

[Bl

fBl .

Zi

Zt

he

рЛ

Pt

i’’

Al

Ct

Ci

% Y i \ !

ГМ:,

/1/ /li'S/l    Si

ië\/Dk

A'l-Ak

кг

1,

Di

kt

Dt

ha,

ha

wj

IM*

Сг

/D’z

by

'•

P'

Rys. 404.

te

Kt

ist

Rys. 403.

Inne rozwiązanie tego samego zadania podaje Rys. 404. Dużą oś Л2' B2' elipsy I12' otrzymamy wprost z rzutu pionowego. ЛЬу wyznaczyć oś małą tej elipsy, poprowadźmy przez środek S2 (S2' S2") odcinka Л2 B2, a więc przez środek S2 elipsy ki, prostopadłą p (p' p") do rzutni pionowej i wyznaczmy

punkty przebicia się jej ze stożkiem. Punkty te, stanowiące dwa dalsze wierzchołki elipsy, znajdziemy w sposób następujący: Przez prostą p i wierzchołek W stożka poprowadzimy płaszczyznę у (hy i?y), która przetnie stożek wzdłuż dwóch tworzących, a mianowicie Ci W i Di W. Tworzące te przetną prostą p w szukanych punktach C2 (C2' C2") i Dz {Dz Dz"). Do tego samego wyniku dojdziemy, prowadząc przez prostą p płaszczyznę poziomą p, która przetnie stożek wzdłuż koła o promieniu r. Punkty przecięcia się tego koła z prostą p są punktami C2 (C2' C2") i D2 (D2' Dz").

Va.

Vc.

'kiA

/

/Вг /Ог

,Nz

VL

Мг/ i /

/Act

hï.

\z

.I

Нггу

Ш Mfу

/77' Mij

Mb'

At

У,

Аг

aH

Nt

tu

В,

CÉ

кг

аг-

Вг

у»

У/

■\,у5'г\ \

Ч:

А'г

О'г

BSL

h.

At,

кл

А?

ут \

кр

г.

,AjSex'i \

9И§Г~~~'\Аг

Вг

Wr,

b) Stożek obrotowy o osi pionowej przeciąć dowolną płaszczyzną a. Przez przyjęcie trzeciej płaszczyzny rzutów, prostopadłej do płaszczyzny siecznej (Rys. 405.) i wyznaczenie trzeciego rzutu stożka, sprowadzimy zadanie do poprzedniego. Rzut pionowy elipsy przekroju ki jest elipsą ki", której para średnic sprzężonych Л2" B2" i C.ï" D2" odpowiada osiom Л2' B2' i C2' D2 elipsy ki'. Przechodząca przez oś stożka czołowa płaszczyzna y przecina płaszczyznę a w prostej m (m' mPunkty przecięcza się M2" i N2", prostej m" z rzutem pionowym stożka, są punktami styczności elipsy ki z tworzącemi konturowemi na rzutni pionowej.

n”

Vn

Vc.

<Xe

Ac

Ve.

Ve

в»

bf

Vd\ Mt

d'

ht

h,

e>

tv

Ct/X

Tt

\Tt

\S

cL.

H/rh \M: T

rrv

Ni

fa

КА’г

'kt

z.

Zh

Hys. 406.

Drugi sposób rozwiązania zadania polegać będzie na zastosowaniu związków kolineacyi środkowej, jaka zachodzi między podstawą (śladem poziomym) a przekrojem stożka (Rys. 406.). Ślad poziomy ha płaszczyzny siecznej jest osią

kolineacyi, a ślad poziomy he płaszczyzny, poprowadzonej przez wierzchołek W równolegle do płaszczyzny siecznej, osią wzajemną Zi, kolineacyi środkowej dwóch układów płaskich, złączonych zapomocą rzutu prostokątnego na płaszczyźnie poziomej rzutów. Punkt W' jest środkiem tej kolineacyi. Rozwiązanie zadania nie nastręczy zresztą żadnych nowych trudności. Z punktu W' wykreślimy prostopadłą do Zi, a z punktu Zi styczne do koła ki. Cięciwie styczności Ci Di w kole odpowie oś O/ Da' elipsy ki, a średnicy Æ Bi oś Л2' B2 tej elipsy. Prostej Ci, łączącej punkty Bi i Ci koła ki, odpowiada w układzie elipsy k2 prosta C2', przechodząca przez punkt Pi równolegle do prostej W' Tu Punkty Bi i Ci, cone na C2' z punktu W', wyznaczają wierzchołki В/ i C2' elipsy k^'. Ponieważ cięciwa Ci Di jest równoległą do osi kolineacyi ha=p, więc oś CT Di' elipsy ki' będzie równoległą do cięciwy Ci Di. Znając środek S2' elipsy, odpowiadający punktowi Si i wierzchołki B2' i C2', otrzymamy dwa dalsze wierzchołki jdipsy ki', a mianowicie Л2' i D2', odmierzając Л2' Si' = B2' S2' i D2' Si' — Ci' S2'. Rzut pionowy punktów Л2, Bi, Ci, Di i Si znajdziemy za pośrednictwem prostych tworzących płaszczyzny siecznej, otrzymując parę średnic sprzężonych, wyznaczających elipsę ki". Krawędź m (m' m"), płaszczyzny siecznej a i płaszczyzny czołowej, przechodzącej przez wierzchołek stożka, przecina tworzące konturowe w punktach M2 i N2, których rzuty pionowe M2" i N2" są punktami styczności elipsy ki" z zarysem stożka na rzutni pionowej.

rzu-

c) Wyznaczyć rzuty elipsy, wzdłuż której płaszczyzna a (ha Va) przecina stożek (Rys. 407.). Koło, jako ślad poziomy stożka i rzuty wierzchołka są dane. Podobnie jak w zadaniu poprzedniem, posłużymy się i tu związkiem kolineacyi środkowej, łączącej ślad i przekrój stożka. Ślad poziomy he płaszczyzny e, poprowadzonej przez wierzchołek stożka równolegle do płaszczyzny siecznej a, jest osią wzajemną zi. Ze środka Oi koła ki wykreślimy prostopadłą do osi Zi, a z punktu Zi styczne do ki. Równoramiennemu trapezowi 11 2i 3i 4i, opisanemu na kole ki i stykającemu się z nim w punktach Л1, Bi, Ci i Di, odpowie w układzie elipsy przekroju ki' równoległobok, opisany na tej elipsie i styczny do niej w punktach Л2', B2', C2 i Di'. Odcinki Л2' Bi' i Ç2' Di',

odpowiadające średnicy Ri Bi i cięciwie styczności Ci Di, stanowią parę średnic sprzężonych elipsy ki'.

Rzut pionowy elipsy ki jest elipsą ki", której średnice Ri" Bi" i Ci" Di" są rzutami pionowymi średnic sprzężonych elipsy ki'.

Punkty Mi" i N2", w których elipsa ki" styka się z rzutem pionowym tworzących konturowych, znajdziemy w sposób

ve

Vc

Vn

fi"

Va.

W"

bl

B'È\

tą/Tw*

'/ f

/ /

M

C"

MSt

.07

'Xt

Aa.

P4

PÎ/J VÂ /

■ Ml

V

Oi

N[_

hi

heb

Pi

Zi

A //-

Ml N:

:ANl

-ii

.Ps

Al

121

cV/w*'

As jki

Ds

Zt

Pi

Ра

’S

■4/

Z'£a

Si

Dt

.1

Rys. 407.

następujący: Wykreśliwszy proste Mi W' i Ni W', t. j. rzuty poziome tworzących konturowych, znajdziemy punkty Mi' i Ni', odpowiadające kolineacyjnie punktom Mi i Ni, a będące punktami elipsy ki'. W Rys. 407. postąpiliśmy w ten sposób, że połączywszy punkt Ni z Ci, znaleźliśmy tę prostą w układzie elipsy, jako prostą Pi Ci', a na niej szukany punkt Ni'. Prostej Mi Ni odpowiada w układzie elipsy prosta Ps Ni', przecinająca promień Mi W' w drugim szukanym punkcie, t. j. Mi'. Proste

odnoszące wyznaczą na rzucie pionowym stożka żądane punkty MZ' i NZ'.

d) Wykreślić rzuty elipsy, wzdłuż której płaszczyzna ß (kß üß) przecina stożek, którego podstawa (koło) leży na płaszczyźnie poziomej a (Rys. 408.), a wierzchołek na rzutni poziomej. Krawędź p (p' p") płaszczyzn cc i ß jest osią, a krawędź Zi (zZ Zi") płaszczyzny cc i płaszczyzny e, przechodzącej

чр,

7b? \ Np

jy_Md

Al JSp D’Z \

7~J[----f'~~A

: У iói R”/ j ki

z”

Ma

Vz

W \Vp

% VZ\ Vp Vć

Z2°°

a\p\ C'i Cp c>

)[

Q'X \\

Mk

Mi

A'ù

Z'pA

Vf

Ж7\

\\ п %Вг

Xpt

0)

кг

%À

ßi

',W

ki/l

AT

УZ2°°

ßß

P'p

ТГ he

Rys. 408.

przez wierzchołek Vv równolegle do płaszczyzny ß, osią wzajemną kolineacyi, jaka zachodzi między kołem ki (ki ki") jako podstawą, a elipsą ki (kZ ki") jako przekrojem stożka. Średnice sprzężone AZ BZ i CZ DZ elipsy kZ i średnice sprzężone AZ'BZ' i CZ' D2" elipsy kZ', a także i punkt MZ' znajdziemy w ten sam sposób, jak w Rys. 407.

139. Kołowe przekroje stożka. Koło ki o środku Oi (Rys. 409.) uważajmy za ślad poziomy, a punkt W (W' W") za wierzchołek stożka, przyczem niechaj prosta Oi W jest równoległą do rzutni pionowej. Czołowa płaszczyzna e, przechodząca przez prostą Oi W, dzieli stożek na dwie części, symetryczne względem tej płaszczyzny i przecina go wzdłuż tworzących konturowych W Ai i W Bi. Wykreślmy dwusieczną

7i

Vcc

S"

АУ

Bp

Al

D? ' n„ MïNî\

^ i !

a (a' a") tych tworzących i poprowadźmy przez nią pionowo-rzucającą płaszczyznę cp (hep tfcp) i wyznaczmy tworzące Ci W i Di W, wzdłuż których płaszczyzna ta przecina stożek. Płaszczyzna cp jest drugą płaszczyzną syme-tryi naszego stożka.

-:-^Аг

Ci

Ni

C\

/У'

Ali

Ś~i

Ol

KB'

M’

ha

'Mi

Di

h<p hw Rys. 409.

Pionowo - rzucający płaszczyzna a (/ia Da), prostopadła do prostej а (а' a"), przetnie stożek wzdłuż elipsy, której środkiem jest punkt przebicia się 5 (S' S") prostej а z płaszczyzną «. Osi А В i C D tej elipsy leżą na prostych przecięcia się płaszczyzn г i cp z płaszczyzną sieczną a. Część powierzchni stożkowej, zawarta między przekrojem płaszczyzną a a wierzchołkiem, jest stożkiem prostym (ust. 134.). Wykreślmy z punktów Ai" i Bi" prostopadłe do prostej a" i oznaczmy punkty przecięcia się ich z prostemi W" Bi", względnie W" Ai" literami Л2" i Bi". Połączmy punkty Л2" i B2" prostą, a przez nią poprowadźmy pionowo-rzucającą płaszczyznę \j/ (hy vy). Przekrój stożka tą płaszczyzną będzie linią przystającą do śladu poziomego stożka, gdyż między obu tymi przekrojami zachodzi symetrya prostokątna ze względu na płaszczyznę cp,

jako płaszczyznę symetryi. Przekrój więc stożka płaszczyzną <\r jest kołem. Każda płaszczyzna równoległa do ty przecina stożek wzdłuż koła, podobnie jak płaszczyzny poziome. W ten sposób wykazaliśmy, że powierzchnię stożkową przeciąć można dwoma układami płaszczyzn równoległych wzdłuż kół.

Fakt istnienia dwóch układów kół na powierzchni stożkowej rzędu drugiego, wyróżnia ją od stożka obrotowego, na którym znajduje się tylko jeden układ kół, a to mianowicie na płaszczyznach prostopadłych do osi tego stożka.

140. Przykłady przekrojów powierzchni stożkowych wzdłuż hiperbol.

a) Stożek obrotowy o osi pionowej (Rys. 410.) przeciąć płaszczyzną poziomo-rzucającą a (ha Ua).

\ \ te

Va

V<p

- - W"

/i !

W ! \с/г

/ / Я’г\. Вг

fti

кг I \ V

■    P": -À HC    WHct

■    tct '    \ DP.

^---wo?

Xa

ki

Pu

\Д'г/

‘V sWl

Bi

Ai\

VRi

[2

ci

Ci

Płaszczyzna e (he Ve), przechodząca przez oś stożka równolegle do płaszczyzny siecznej, przecina go wzdłuż tworzących h (ti tj) i U (W h"). Stąd więc, płaszczyzna sieczna a, jako równoległa do tych dwóch tworzących stożka, przecina go wzdłuż л krzywej rzędu drugiego, posiadającej dwa punkty niewłaściwe, a więc wzdłuż hiperboli. Płaszczyzna cp J_ a przecina tę ostatnią w prostej с (с' c"), a stożek wzdłuż tworzących Pi W i Ri W.

hip

hcc/'Hc

Rys. 410.

Punkty przecięcia się P2(P2'P2")lR2(RćR/') tych tworzących z prostą c są punktami przebicia się tej prostej ze stożkiem, a zarazem wierzchołkami hiperboli kz (fa/ k2"). Środek S2 odcinka P2 R2 jest środkiem

hiperboli /?2, środek S2" odcinka P2" R2" jest więc wierzchołkiem hiperboli ki". Płaszczyzny y i <5, styczne do stożka wzdłuż tworzących h i h, przecinają płaszczyznę a w prostych C2 (a' a") i di (di' di"), które są równoległe do tworzących h i /2, przechodzą przez punkt £2 i są asymptotami hiperboli ki. Punkty przecięcia się 1 i 2 śladu ha z kołem ki są punktami hiperboli ki, których dalsze punkty znajdziemy

Vm

4"    /77"

VjL

W ti'

C/\

Va,

\/ \У

/Ä\l

W"

Vw Sel

Vsj-----^

/7",

■ y/'y’jp?. ja"W / Vm A/k/Ihc\\hS i W R"

\\AЩщ—?\\:-

/?«\ s\ he\nv\ \w’ /

xJ Vi

w sposób poznany w ust. 121. pkt. d. Płaszczyzna a przecina pł. czołową, przechodzącą przez oś stożka, w prostej pionowej, która wyznacza na tworzących konturowych punkty Âi (Ai' Ai") i Bi (Bi' Bi"). W punk-.    tach tych    styka się

NÏ    hiperbola z    tworzącemi

konturowemi stożka.

A;

A'

l/y

C'

Ha,

'W.

hsv

rv

b) Stożek obrotowy o osi pionowej przeciąć wzdłuż hiperboli płaszczyzną, Nl    nachyloną    do obu

<3/

ЛА/Й?

y A

Вг*\\р bÀ \zi

h<p

4'

bi

rzutni (Rys. 411.) Przez wierzchołek stożka poprowadzona płaszczyzna 8 (he Ve) przecina go wzdłuż tworzących /1    (t\ ti") i

Rys. 411.

/2 (ti' ti"); płaszczyzna a, równoległa do płaszczyzny e, przetnie stożek wzdłuż hiperboli ki (ki' ki"). Płaszczyzna cp, przechodząca przez oś stożka i prostopadła do płaszczyzny a, przecina stożek wzdłuż tworzących Pi V/ i Pi W, a płaszczyznę a w prostej c (c' c"), która jest, podobnie jak w Rys. 410., osią symetryi krzywej przekroju. W szczególności rzut poziomy c' jest osią symetryi prosto-.kątnej, a więc osią hiperboli ki', prosta zaś c" osią symetryi

ukośnej hiperboli foi". Kierunek tej symetryi ukośnej jest równoległy do osi rzutów x. Punkty przecięcia się P2 (P2' P2") i Ri (Ri' R2") prostej c (c' c") z tworzącemi WPi i W Ri, są punktami hiperboli k2, przyczem punkty P2' i R2' są wierzchołkami hiperboli k.2 . i^symptoty hiperboli k2 (ki' k2") znajdziemy przy pomocy związków kolineacyi, zachodzących między śladem poziomym ki stożka, a jego przekrojem płaszczyzną a. Ślad ha jest osią kolineacyi, ślad hs osią wzajemną Zi (porównaj Rys. 359.*), a punkt W' środkiem kolineacyi dwóch układów płaskich (pł. a i rzutni poziomej), złączonych zapo-mocą rzutu prostokątnego na rzutni poziomej).

//

Stycznym ai i bi w punktach Æ i Bi koła ki odpowiedzą asymptoty 32' i bi' hiperboli fe', przechodzące przez punkty Ha i Hb równolegle do promieni W i /2'. Punkt S2', w którym przecinają się asymptoly 32' i b■/, jest środkiem hiperboli /гг', a punkt S2", leżący na prostej c" i będący środkiem odcinka P2" R2", środkiem hiperboli ki". Âsymptoty ai" i bi" tej ostatniej przechodzą przez punkty Ha" i Hb", równolegle do ti" i ti". Wykreślmy jeszcze krawędź m (m' m") płaszczyzn a i у, to punkty 3 (3' 3") i 4 (4' 4") — podobnie jak 1 (1 1") i 2 (2 2") — są punktami hiperboli k2 (ki ki"). Wykreśliwszy rzuty hiperboli ki, wyznaczymy jeszcze punkty styczności hiperboli ki" z tworzącemi konturowemi stożka tak, jak to uczyniliśmy w Rys. 406. Szukane punkty są punktami przecięcia się rzutu pionowego n", krawędzi n płaszczyzn a i я, z tworzącemi konturowemi stożka na rzutni pionowej. W naszym przykładzie płaszczyzna я przechodzi przez punkt 1, przez który to punkt przejdzie też i krawędź n. Wobec tego punkt 1 jest jednym, a punkt N2" drugim punktem styczności hiperboli ki" z zarysem stożka na rzutni pionowej.

Inne rozwiązanie powyższego zadania polegałoby na wprowadzeniu trzeciej rzutni, prostopadłej do płaszczyzny siecznej. Tym sposobem — podobnie jak w przypadku przekroju stożka wzdłuż elipsy (Rys. 405.) — sprowadzilibyśmy zadanie do poprzedniego.

c) Naśrubek. Jako przykład przekrojów stożka wzdłuż hiperbol posłużyć może znany powszechnie element maszynowy, naśrubek (Rys. 412.), który spotykamy wykonany z żelaza, mosiądzu lub niklu. Geometrycznie wyobrazić sobie możemy powstanie naśrubka w ten sposób, że dwa stożki

obrotowe o wspólnej kierownicy i o kątach wierzchołkowych, równych 120°, przecięte są sześcioma płaszczyznami równo-ległemi do osi stożka, a tworzącemi umiarowy graniastosłup sześciościenny. Następnie stożki te ograniczono dwiema płaszczyznami prostopadłemi do osi. Na Rys. 412, którego odczytanie i odtworzenie przebiegu konstrukcyi pozostawiamy czytelnikowi, narysowaliśmy też rzut ukośny naśrubka, a to dla cp = 30°, a dla stosunków skróceń x:y:z=l:¹^:l.

W"

!z;

V7

А"

-f*

вт

\>

<-44

А о'

Wu

Zu

W.

Г’

w'°

[Ou

Ли

ha.

Уи

It

Rys. 412.

У,

d) Stożek, którego ślad poziomy ki jest elipsą, a który ograniczony jest ponadto przekrojem poziomą płaszczyzną przeciąć wzdłuż hiperboli (Rys. 413.). Zadanie rozwiązaliśmy przy pomocy związków kolineacyi środkowej tak, jak Rys. 411. Stycznym ai i bi do elipsy kx w punktach Æ i ßi, w której oś wzajemna Zi = he elipsę tę przecięta, odpowiadają asymptoty aa (a-2 a*") i Ы (ba⁷ Ы”) hiperboli przekroju fo (fea' kz"). Wyznaczmy średnicę Mi Ni elipsy ki± sprzężoną z kierunkiem prostopadłym do osi X i średnicę M N elipsy ki, sprzężoną z tym samym kierunkiem, to prosta TTi = n jest krawędzią płaszczyzny siecznej a i płaszczyzny, przechodzącej przez średnice M~N i ЖЖ. Punkty M2" i N2", w których prosta n"

przecina proste Mi" M" i NT' N”, są punktami styczności hiperboli kT' z zarysem stożka na rzutni pionowej.

N" Vm 3" T"0" 4" m" M"

' . kl

D" /

/.

Va.

W"

/I

Afjm,

/НаЖ'к IM.OlZ

Щ Vw В",

//

Vm \nF

Jla hi

S’

VJ’

к’

ki

3'/

AT

\M'

ÄT

\ ~~tA î)

ti

°’M>

/Ьг /Т

Jv A

Wwt-

^ \ 0' r\ u

С кг

а’г

4’

/77'

в?

.ЖгГ\Р Ä? Z/

Rys. 413.

141. Przykłady przekrojów powierzchni stożkowych wzdłuż parabol.

a) Stożek obrotowy przeciąć wzdłuż paraboli płaszczyzną rzucającą. Płaszczyzna sieczna musi być równoległą do jednej tworzącej stożka, a mianowicie do jednej z dwóch tworzących konturowych. W przypadku, przedstawionym na Rys. 414., poprowadziliśmy płaszczyznę sieczną a (ha Ua) równolegle do tworzącej t (i' t”). Punkt Л2 (AT AT') jest wierzchołkiem, a punkty Bi (Bi ВТ') i Ci (Ci Ci") punktami paraboli /22 (kT kT'). Oś s' paraboli kT schodzi się z prostą t', a dalsze punkty znajdziemy przy pomocy konstrukcyi, poznanej w ust. 121. pkt. f.

b) Dany stożek obrotowy przeciąć wzdłuż paraboli (Rys. 415.). Na stożku obierzemy tworzącą t (f t") i wzdłuż niej poprowadzimy płaszczyznę styczną & (he Ve). Płaszczyzna a II e przetnie stożek wzdłuż paraboli. Przyjmijmy trzecią rzutnię, prostopadłą do płaszczyzny e i wykreślmy trzeci rzut stożka i ślad ka płaszczyzny siecznej. Tym sposobem sprowadziliśmy zadanie do poprzedniego i przy pomocy rzutu bocznego wyznaczyli wierzchołek Ai' i oś s' paraboli ki'.

W"

w” / Д

Va

Ve

[А"г

//J j

ty /

а"¹

/а\

'кг

/5 " ']кг

Я/_

/СУ

Ą" иИ И'

N" х

х /Р/ В?/4* i .-/s i

AT

, .A

hè\ h<v

\w\

ч \П'

ki

Bi

<Ai

Bi

/V;

te

/Шаг

DA_Hs

t'

m \Аг

S’ ~°ff à ’

h<p

A,

y,

DT

S'

С/

ke

/VJK

/?£

Ля

Rys. 415.

Rys. 414.

Przy pomocy prostej n (n' n"), obranej na płaszczyźnie a, otrzymamy punkt A>" (Rys. 415. należy uzupełnić, dopisując u dołu litery A' liczbę 2), który połączony z Hs" daje prostą s", będącą średnicą paraboli. Punkty C\" i Di" paraboli są znane, dalsze jej punkty otrzymamy przez zastosowanie konstrukcyi, poznanej w ust. 121. Rys. 372. — uwzględniając, że prosta n" jest styczną do paraboli w punkcie Aj".

c) Wyznaczyć przekrój stożka, którego ślad poziomy jest elipsą, wzdłuż paraboli (Rys. 416.). Zadanie rozwiązaliśmy przez zastosowanie kolineacyi środkowej, jaka łączy ślad stożka

z jego przekrojem. Najpierw przez przyjętą tworzącą t(t' t") stożka poprowadziliśmy do niego płaszczyznę styczną s (he Ue), a do niej płaszczyznę równoległą a (ha Va).

Siad ha jest osią koli-neacyi, ślad he osią wzajemną, a punkt W' środkiem kolineacyi. Stycznej ai do elipsy ki w punkcie Ai odpowiada styczna ä2r do paraboli k^ w punkcie Л/.

Dowolnej ilości punktów elipsy ki podporządkujemy punkty paraboli ki', a te, przeniesione na rzutnię pionową, są punktami paraboli ki".

X/As

Vfc

Jls

Ti”

Vw

W"

'aS

Vs

ha

Va

AS

Зг/п'г tä

\ iTf

wiï '

N.

0f\

Ai

\ St

На

-вт

il

У/

М,Г /р

W/f /t/Х«

ai

ki

кг

142. О rozwijaniu powierzchni stożkowych i walcowych nr płaszczyźnie. Wspomnieliśmy w ust. 125., że powierzchnie stożkowe i walcowe należą do grupy powierzchni rozwijalnych na płaszczyźnie. W tern miejscu zajmiemy się kon-strukcyjnem rozwiązaniem tego zadania, przyczem odnośnie

do powierzchni stożkowych, o-'A graniczymy się jedynie do stożka obrotowego.

a) Stożek obrotowy. Rozwinięcie stożka obrotowego (Rys. 417.) jest wycinkiem koła, zakreślonego promieniem

//

z,

Rys. 416.

W”

a"

JL

А"

В" D"

С”

-те

równym długości tworzącej stożka. Długość łuku koła równa jest długości obwodu koła k, które stanowi podstawę stożka. Podzieliwszy więc ćwiartkę Л В koła k np. na cztery równe części, przeniesiemy je na koło zakreślone promieniem ty a otrzymany tam łuk Л В przeniesiemy jeszcze trzykrotnie. Tak tedy otrzymamy w przybliżeniu

ÄB + BC+Cb + DA = fi7l = 2t7c. b) Walec obrotowy. Rozwinięcie tego walca (Rys. 418.) będzie prostokątem, którego podstawa С C równa jest obwo-

Si

CÓ

7r

S{S± ¹30⁰

h*-

_8r

Rys. 418.

dowi koła. Ponieważ jednak ludolîiny jt, jako liczby przestępnie niewymiernej, rysunkowo, przy pomocy linii i cyrkla, otrzymać nie możemy, więc długość odcinka C C może być tylko w przybliżeniu równą obwodowi koła k. Jednym z najbardziej znanych i powszechnie, w obcej literaturze, cytowanych sposobów przybliżonego rozwinięcia koła (t. zw. kwadratury koła), jest konstrukcya podana w r. 1685. przez polskiego jezuitę Kochańskiego. W punkcie D kreślimy styczną do koła, a ze środka 5 prostą 5 Л, zawierającą z promieniem S D kąt 30°. Od punktu A odmierzymy odcinek А В = 3 r, to odcinek BC równy jest w przybliżeniu połowie obwodu koła. W istocie bowiem:

— r tg 30°)², a ponieważ a C D = 2 r, więc :

4r> + (3r-^ = r-(⁴⁰-⁶^

CB^C D² + (Jr

V3

tg 30° =

a zatem:

CB

_vY 40-6V3 _

г .3-1415333.... =

Liczba тс = 3'1415916; błąd więc dla pół obwodu wynosi 0‘0000583 r ; (dla średnicy 2r=l meter otrzymamy błąd wynoszący 0‘06 milimetra).

c) Walec eliptyczny. Przyjmijmy walec eliptyczny, którego ślad poziomy jest kołem (Rys. 419.) i rozwińmy go na płaszczyźnie. W tym celu obierzemy nową płaszczyznę rzutów, prostopadłą do poziomej, a równoległą do tworzących walca i wykreślimy trzeci rzut walca. Następnie przyjmiemy płaszczyznę a (ha Da ha), prostopadłą do tworzących walca i wyznaczymy przekrój hi (ki hi" hi'"). Z kolei wykonamy kład płaszczyzny a wraz z elipsą hi na rzutnię poziomą, a podzie-liwszy.koło podstawy walca na pewną ilość równych części, wykreślimy rzut poziomy i boczny tworzących walca, przechodzących przez punkty podziału. Najpierw rozwiniemy elipsę hi⁰. W tym celu obierzemy na prostej m punkt Bi, który odpowiada punktowi Bi⁰ elipsy hi⁰, a następnie uważając trzy części łuku Bi⁰ Di⁰ elipsy hi⁰ za odcinki linii prostej, przeniesiemy je na prostą m. Tym sposobem otrzymamy punkt Di, a przez dalsze odnoszenie łuków elipsy punkty Ai, Ci i Bi у odpowiadające wierzchołkom elipsy hi⁰. Odcinek Bi Bi prostej m równy jest w przybliżeniu obwodowi elipsy hi⁰. Na prostopadłych, wykreślonych w punktach podziału odcinka Bi Bi, odmierzymy długości tworzących walca, zawartych między rzutnią poziomą a płaszczyzną a. Prawdziwe długości tych tworzących występują w rzucie bocznym i w tym jedynie celu rzut ten wykreśliliśmy. Odmie-rzymy więc B"r Bi" = В Bi,.. D" Di ' — D Di,.. A Ai = =м, Г" Г" = Т7, 2⁷⁷⁷7F⁷=2//, C " Ci'" = CCi,.. i B"'Bi'"=

= B Bi. Otrzymane tym sposobem punkty połączymy linią ciągłą, która jest przekształconą koła, stanowiącego pod-' stawę walca, a której długość równa jest w przybliżeniu obwodowi tego koła. Część płaszczyzny, ograniczonej odcinkami В Bi, Bi Bi, В Bi i linią krzywą BDÄCB, stanowi rozwinięcie walca, ograniczonego przekrojem normalnym płaszczyzną a i jego śladem na rzutni poziomej.

вг

Al

V_ 40/4 07

c?K':>    \

А?

rys*

Л,

Ï]

2)

₇п

£2

/a*

7    \/

—о

6\

I / V

^М2Ы/

Jo;

У*

Ха

2.

c,

Ьа/

г\\£рт/С

i c'4v4

• i /Wt"

je»

кь

'б i

о?

îf

/    4.

" ~А7\

ki

hffr ка Y<x-'    '

М? в

P/fki

.7®

У ^<5

Rys. 419.

143. О linii śrubowej. Przyjmijmy walec obrotowy o osi pionowej (Rys. 420.), a na nim dowolną tworzącą. Wyobraźmy sobie, że tworząca ta obraca się około osi walca ruchem jednostajnym, a równocześnie przyjęty na tej tworzącej punkt porusza się po niej również ruchem jednostajnym. ЛЬу wykreślić drogę wypadkową poruszającego się punktu, podzielmy podstawę walca na dwanaście równych części. Punkty podziału oznaczać będą rzuty poziome poszczególnych położeń poru-

szającej się tworzącej, która w jednostce czasu obróciła się о г/12 część kąta pełnego. Równocześnie poruszający się na tworzącej punkt odbył w jednostce czasu drogę i zajął położenie 1 (Г 1"). W następnych jednostkach czasu punkt poruszający się ruchem jednostajnym na tworzącej, obracającej się około osi a, zajmie położenie 2 (2' 2"),

J (У 3").......12    {12' 12"). Two

rząca wróciła w położenie, z którego wyszła, punkt wzniósł się o odległość k od rzutni poziomej i zakreślił na walcu linię, którą    —

nazywamy linią śrubową.

Wysokość k nazywamy krokiem linii śrubowej.

Kąt, jaki zawiera styczna w pewnym punkcie linii śrubowej    ⁹'

z płaszczyzną poziomą, nazywamy nachyleniem tej linii. Z określenia linii śrubowej wynika, że nachylenie jej jest stałe, t. zn., że styczne we wszystkich jej punktach zawierają z płaszczyzną poziomą ten sam kąt. Jest rzeczą zrozumiałą, że im większy jest krok linii śrubowej, przy stałej średnicy walca, tern większe jest jej nachylenie.

10",

-6"

7’

Aą

rt-

3=

o <o

i 5’

S'

,4'

_a'

3’

r2’

IV

12'

Rys. 420.

§ 13. POWIERZCHNIE OBROTOWE

144. Tworzenie i podział powierzchni obrotowych. Jeżeli linia płaska lub skośna obraca się około stałej prostej a, to powstała w ten sposób powierzchnia nazywa się powierzchnią obrotową. Linia, przez obrót której powstała powierzchnia, jest tworzącą tej powierzchni, zaś prosta a jej osią (Rys. 421.). Każdy punkt tworzącej opisuje podczas obrotu koło, którego środek leży na osi a, a którego płaszczyzna jest do tej osi prostopadłą. Koło takie nazywamy

równoleżnikiem powierzchni obrotowej. Największy równoleżnik nazywa się równikiem, najmniejszy kołem s z y j n e m. Jeżeli w miejsce danej tworzącej powierzchni obrotowej, przyjmiemy inną krzywą, przecinającą wszystkie równoleżniki powierzchni, to przez obrót tej nowej tworzącej powstanie ta sama powierzchnia obrotowa. W szczególności przyjąć można, jako tworzącą, krzywą, wzdłuż której płaszczyzna przechodząca przez oś, przecina powierzchnię. Taką tworzącą nazywamy południkiem powierzchni, a płaszczyznę, na której leży południk, pł. południkową. Wszystkie południki są liniami przystającemi, dla których oś a jest osią symetryi prostokątnej.

_->k

-V -

Rys. 421.

Jeżeli południk powierzchni obrotowej jest linią prostą, to powierzchnia jest prostoliniową (prostokreślną); gdy południk jest linią krzywą, to otrzymana powierzchnia jest krzywoliniową, albo, jak ją też nazywamy, krzywo-к r e ś 1 n ą.

Prostoliniowe powierzchnie obrotowe dadzą się podzielić na trzy grupy:

a)    Jeżeli prosta t, jako tworząca powierzchnię, przecina oś, to otrzymujemy poznany już w ust. 125. stożek obrotowy. (Rys. 422 a). Punkt W, w którym tworząca przecina oś a, nazywamy wierzchołkiem stożka. Każda płaszczyzna, przechodząca przez oś stożka (pł. południkowa), przecina go wzdłuż dwóch prostych, stanowiących południk

i:

stożka. Kąt, jaki tworzą ze sobą te dwie proste, nazywamy kątem wierzchołkowym stożka.

Rys. 422 a—b.

b)    Jeżeli linia prosta t, będąca tworzącą powierzchni obrotowej, jest równoległą do osi a (Rys. 422 b), to otrzymu-jemy walec obrotowy. Podobnie jak przy stożku obrotowym, każdy punkt tworzącej walca obrotowego opisuje koło na płaszczyźnie prostopadłej do osi, a walec rozciąga się — tak jak stożek — nieograniczenie daleko.

c) Jeżeli prosta tworząca i oś powierzchni obrotowe] mają położenie skośne, to otrzymana powierzchnia nosi nazwę skośnej hiperboloidy obrotowej (Rys. 423.). Każdy punkt poruszającej się tworzącej opisuje koło na płaszczyźnie prostopadłej do osi. Koło, opisane przez punkt tworzącej, którego odległość od osi jest najmniejszą, czyli koło zakreślone promieniem równym odległości osi i prostej tworzącej, nazywa się kołem szyj nem hiperboloidy. Hiperboloida obrotowa jest powierzchnią symetryczną względem każdej płaszczyzny, przechodzącej przez jej oś, a nadto względem płaszczyzny koła szyjnego, którego promień jest najmniejszy ze wszystkich promieni kół, leżących na tej powierzchni.

~T

Rys. 423.

Powstanie hiperboloidy obrotowej przedstawić sobie można zapomocą modelu, który czytelnik z łatwością wykona. Weźmy pod uwagę dwa pierścienie jednakowej wielkości, a wywierciwszy w każdym z nich jednakową ilość otworów, połączmy je nitkami tak, abyśmy otrzymali pęk tworzących walca obrotowego (Rys. 424 a.). Wziąwszy tak

1'

/1

Rys. 424 a—b.

wykonany model w ręce, skręćmy oba pierścienie w odwrotnych kierunkach, zachowując równoległość ich położeń (Rys. 424 b.). Tworzące walca przejdą w tworzące hiperboloidy, a im bardziej skręcać będziemy pierścienie, tern mniejszem będzie koło szyjne, aż w przypadku granicznym, gdy odległość tworzących od osi a stanie się równą zeru, koło szyjne zredukuje się do punktu, a hiperboloida przejdzie w stożek obrotowy.

Powierzchnie obrotowe, które nie dadzą się utworzyć przez obrót linii prostej około osi, należą do grupy powierzchni krzywoliniowych (krzywokreślnych). Przykłady takich powierzchni widzimy na Rys. 425. W szczególności przez obrót koła około średnicy, jako osi, powstaje kula (Rys. 425 a.); elipsa, obracająca się około osi większej, zakreśla elipsoidę

wydłużoną (Rys. 425 b.), obrót elipsy około osi małej daje elipsoidę obrotową spłaszczoną, zwaną też sferoi-

dą (Rys. 425 c.). Parabola, obracająca się około osi, zakreśla p a rafa o 1 o i d ę obrotową (Rys. 425 d.); hiperbola, obracająca się około osi, która ją przecina (t. zw. osi „rzeczywistej“), stwarza h i p e r boloi-dę dwupowło-ko wą (Rys.425e.). Jeżeli hiperbola o-braca się około swej drugiej osi, t. zw. osi „urojonej“, to otrzymujemy hiperboloidę obrotową jednopowłokową (Rys. 425 f.), identyczną z tą, którą otrzymaliśmy przez obrót prostej skośnej względem osi.

145. Płaszczyzny styczne do powierzchni obrotowych. Obierzmy na powierzchni obrotowej (Rys. 426.) południk p, a na nim punkt Л. Płaszczyzna, przechodząca przez punkt Л prostopadle do osi powierzchni, przetnie ją wzdłuż równoleżnika r. Płaszczyzna południka i płaszczyzna równika są do siebie prostopadłe, gdyż ta ostatnia jest prostopadłą do osi a powierzchni, leżącej na płaszczyźnie pierwszej. Styczna Si w punkcie Л do równoleżnika r, jako prostopadła do dwóch prostych, leżących na płaszczyźnie południka, a mianowicie do prostej ОЛ i a, jest prostopadłą do płaszczyzny tego południka. W następstwie tego każda płaszczyzna, przechodząca przez prostą Si, jest prostopadłą do płaszczyzny południka p. Poprowadźmy w punkcie Л styczną sa do południka p, to płaszczyznę wyznaczoną prostemi Si i S2 określamy mianem płaszczyzny stycznej do powierzchni obrotowej w punkcie Л, (porównaj ust. 126.). Ponieważ każda płaszczyzna, przechodząca

a.)

oT

Xs

\TS

b.)

/7

o.)

f.)

/ПТА

21

Rys. 425 a—ï.

§1

przez prostą Si, jest prostopadłą do płaszczyzny południka, więc także i płaszczyzna styczna g = (si, S2) jest prostopadłą do tego południka.

Poprowadźmy w punkcie Л normalną do powierzchni (ust. 126.), to ponieważ, według określenia, normalna w pewnym punkcie powierzchni jest prostopadłą do płaszczyzny stycznej w jej punkcie styczności, a płaszczyzna styczna jest prostopadłą do płaszczyzny południka, więc normalna do powierzchni obrotowej leży na płaszczyźnie południka i przecina oś powierzchni. Oczywiście, że styczna S2, leżąca na płaszczyźnie południka, przecina oś powierzchni w punkcie, a punkt ten oznaczyliśmy literą B. Gdy punkt Л opisuje koło równoleżnikowe, to styczna S2 tworzy stożek obrotowy, o wierzchołku В, czyli : styczne, poprowadzone do południków w punk-

Me

ISz

Rys. 426.

tach tego samego równoleżnika, przecinają oś w jednym punkcie. Stąd wynika bezpośrednio, że płaszczyzny styczne, poprowadzone w punktach, które leżą na jednym równoleżniku, przecinają oś powierzchni obrotowej w jednym punkcie. Jeśli równoleżnik jest równikiem albo kołem szyjnem, to styczne, a więc także i płaszczyzny styczne, poprowadzone w ich punktach do południków, są równoległe do osi.

na

Każda z płaszczyzn stycznych do powierzchni, w punktach tego samego południka, zawiera styczną do równoleżnika, przechodzącego przez każdy z tych punktów, podobnie jak płaszczyzna styczna w punkcie Л (Rys. 426.) zawiera styczną Si. Każda z tych stycznych jest prostopadłą do płaszczyzny południka, podobnie jak płaszczyzny styczne do powierzchni, przechodzące przez owe styczne. Wszystkie te proste styczne (prosta Si w Rys. 426.) są tworzącemi walca opisanego powierzchni obrotowej wzdłuż południka. A zatem: płasz-

czyzny styczne do w punktach tego samego południka, powłóczą walec opisany na tej powierzchni. Tworzące tego

powierzchni obrotowej

walca są prostopadłe do płaszczyzny południka. I odwrotnie: walec, którego tworzące są prostopadłe w punktach południka do płaszczyzny tego południka, styka się z powierzchnią obrotową wzdłuż tego południka.

146. O zarysach powierzchni obrotowych. Przyjmijmy dowolną powierzchnię obrotową Ф i zewnątrz niej punkt O (Rys. 427.), który uważajmy za środek rzutów (ust. 8.).

7r

к'

ff

В'

Rys. 427.

Miejscem geometrycznem punktów styczności płaszczyzn, względnie prostych stycznych, poprowadzonych do danej powierzchni przez punkt O, jest linia k, stanowiąca granicę części widocznej i niewidocznej naszej powierzchni, jeśli w środku rzutów wyobrazimy sobie umieszczone oko obserwatora. Linia k stanowi t. zw. z a-r y s albo kontur istotny powierzchni obrotowej, w odniesieniu do punktu O. Wszystkie płaszczyzny, względnie proste styczne do powierzchni, przechodzące przez punkt O, powłóczą, względnie utworzą, stożek opisany na powierzchni, a stąd zarys jej określić można jako linię styczności k stożka opisanego na powierzchni z danego punktu, który jest środkiem rzutu, a zarazem wierzchołkiem stożka.

'В

Tr

hi

A’

B'

Zarys powierzchni zmienia się ze stanowiskiem obserwatora. Jeżeli oko jego znajduje się nieograniczenie daleko, to promienie widzenia są do siebie równoległe, a stożek opisany na powierzchni przejdzie w walec (Rys. 428.), którego tworzące są równoległe do danego kierunku /.

Rys. 428.

Przekrój stożka, względnie walca, opisanego na powierzchni i stykającego się z nią wzdłuż zarysu istotnego — dowolną płaszczyzną, nazywamy zarysem tej powierzchni na owej

płaszczyźnie. Tak więc krzywa k' w Rys. 427. i 428. jest z a-rysem powierzchni Ф na płaszczyźnie e. Jeżeliby płaszczyzna s była prostopadłą do tworzących walca, opisanego na powierzchni Ф i równocześnie rzutnią poziomą, to linia k! stanowiłaby zarys tej powierzchni na rzutni poziomej, czyli wyrażając się krótko, jej rzut poziomy. Podobnie zarysem powierzchni na rzutni pionowej, względnie jej rzutem pionowym, nazywać będziemy przecięcie walca opisanego na powierzchni, gdy kierunek tworzących walca jest prostopadły do rzutni pionowej, z tą rzutnią.

147. Przedstawienie powierzchni obrotowych w rzutach prostokątnych. Dla uzyskania przejrzystości i plastyki rysunku, nadajemy powierzchniom, podobnie jak i wielościanom, podkład materyalny i przyjmujemy, że kształt badanych powierzchni nadaliśmy materyi nieprzeźroczystej. Przy takiem założeniu mówić możemy o częściach widocznych i niewidocznych powierzchni, na które patrzymy z punktu nieograni-czenie dalekiego. W szczególności na rzut poziomy patrzymy z góry, na rzut pionowy z przodu, a na rzut boczny w kierunku równoległym do osi rzutów x. Część powierzchni widzianej z przodu nie pokrywa się bynajmniej z częścią widzianą z góry lub z boku, a granica między częścią widoczną a niewidoczną powierzchni — przy rozmaitych kierunkach patrzenia—nosi nazwę zarysu istotnego powierzchni. Linia zarysu powierzchni zależna jest od kierunku rzutów (kierunku patrzenia, względnie stanowiska obserwatora), względnie od położenia powierzchni.

Rzut cechowany, względnie rzuty prostokątne na dwie płaszczyzny, osi i tworzącej powierzchni obrotowej, wyznaczają w sposób jednoznaczny położenie tej powierzchni i ją samą. Z reguły wyznaczamy jednak powierzchnie obrotowe zapomocą jej zarysów na każdej z płaszczyzn rzutów, a taki sposób przedstawiania powierzchni pozwala określić na pierwszy rzut oka jej rodzaj i ułatwia działania konstrukcyjne. Zarys powierzchni obrotowej o osi pionowej na rzutni pionowej jest rzutem pionowym jej południka, którego płaszczyzna jest równoległą do rzutni pionowej. Południk ten nazywamy p o-łudnikiem głównym. Zarys powierzchni obrotowej o osi pionowej na rzutni poziomej jest kołem, względnie pękiem kół współśrodkowych. Największe z tych kół jest rzutem po-

ziomym równika, najmniejsze, rzutem poziomym koła szyjnego, a pozostałe rzutami charakterystycznych równoleżników.

Rys. 429 a—î. podaje rzuty prostokątne a) kuli, b) elipsoidy wydłużonej, c) spłaszczonej, d) hiperboloidy jednopowłokowej (skośnej), e) hiperboloidy dwupowłokowej i f) paraboloidy obrotowej. Dla całości powtarzamy w tern miej-

Л_

a.)

b.)

C.)

pn I

p’ я

I*

'Ч

CL

scu rzuty stożka i walca obrotowego o osiach

ч.

к-

pionowych (Rys. 430 a—b). Tworzące h (// U") i U {U' U") stanowią południk główny tych powierzchni.

148. O kulach

wpisanych w stożek i walec obrotowy.

Rys. 429 a—î.

Weźmy pod uwagę stożek obrotowy, o osi

pionowej a (a' a") i wierzchołku W (W' W") —Rys. 431. — i poprowadźmy w dowolnie przyjętym punkcie Л (Л' Л") tworzącej /1 (/T U"), prostą prostopadłą do niej, a przecinającą oś stożka w punkcie Wi (WT Wi"). Obierzmy na prostej a' dowolny punkt W\" i zakreślmy ko-ło k" styczne do prostych h i k". Wyobraźmy sobie, że prosta p (p'p") i koło k (k' k") o-    a

brócą się około osi stożka. Prosta p zakreśli stożek obrotowy o wierzchołku Wx (WT Wi"),

Ö.—

tt /    ' ar \(г

ti S\ W tk

ß" Д”

IS

aVL

Rys. 430 a—b.

|<3"

ts

/i'

_л

a koło k kulę o środku Wi (Wi' Wi"). Punkt Л {A' A") opisze podczas tego obrotu koło, będące równoleżnikiem obu stożków i kuli. Stożek o wierzchołku Wi, kto -

tv"

A”t

WÏ

A_

rego każda tworząca jest prostopadłą do odpowiedniej tworzącej stożka o wierzchołku W, nazywać będziemy stożkiem normalnym. W ten sposób każdy stożek obrotowy ma dowolną ilość stożków normalnych i dowolną ilość kul wpisanych w siebie. Wynika stąd dalej, że z dowolnego punktu opisać można na danej kuli jeden stożek obrotowy, który posiada z kulą jedno koło a. wspólne. Środek kuli, połączony z wierzchołkiem stożka, jest osią tego stożka.

sĄw /Л

ti

P’

Z punktu niewłaściwego przestrzeni, a więc równolegle do danego kierunku, opisać można na danej kuli walec, mający z kulą jedno koło wspólne.

Rys. 431.

Walec ten jest walcem obrotowym, o osi przechodzącej przez środek kuli.

Rozumowanie powyższe umożliwi wykreślenie rzutów stożka obrotowego i walca obrotowego, których osi mają dowolne położenie w przestrzeni. Jeżeli

//

TC

P”

/.

’U

*/

Гг,

ti

Tl’

"A

a'/

walca obro-

Д //fi

tą.

oś a (a' a") stożka i jego wierzchołek W ( W' W") są dane (Rys. 432.), to na osi przyjmiemy dowolny punkt S {S' S"), który uważać będziemy za środek kuli. Wykreśliwszy rzuty tej kuli, poprowadzimy styczne //, W do koła r' i styczne k", h" do koła p". Styczne te stanowią rzuty stożka obro-towego, opisanego na przyjętej kuli z punktu W. Styczne do rzutów kuli, równoległe do danego kierunku (Rys. 433.), wyznaczają zarysy towego na płaszczyznach rzutów.

Jak każda powierzchnia obrotowa, posiada i stożek obrotowy dowolną, nieograniczoną ilość płaszczyzn sy-

mctryi prostokątnej, przechodzących przez oś tej powierzchni, w odróżnieniu od powierzchni stożkowej rzędu drugiego, która posiada tych płaszczyzn symetryi tylko trzy (ust. 133.). Możność wpisania w stożek obrotowy dowolnej ilości kul, których środki

leżą na osi tego stożka, stanowi dalszą - właściwość stożka obrotowego, wyróżniającą go od ogólnej powierzchni stożkowej rzędu drugiego. Możemy więc przyjąć następujące określenie : powierzchnia stożkowa rzędu drugiego, w którą wpisać można kulę, jest stożkiem obrotowym.

Walec obrotowy posiada również nieograniczoną ilość płaszczyzn symetryi prostokątnej, przechodzących przez jego oś, a to właśnie wyróżnia go od walca eliptycznego, hiperbo-licznego i parabolicznego. Walce bowiem eliptyczne i hiperboliczne posiadają po dwie płaszczyzny symetryi prostokątnej, a walec paraboliczny tylko jedną. Zresztą podobnie jak dla stożka obrotowego — powierzchnia walcowa rzędu drugiego, w którą wpisać można kulę, jest walcem obrotowym.

CL

f"

fi

F>

- ''i--o'- \p>

VN

P'C

E'

Г'

ÇJ,

en

a"

f"

d”

k”

k'

a'\

Kys. 433.

149. Zadania.

a) Wykreślić rzuty walca obrotowego, ograniczonego dwoma przekrojami prostopadłymi do osi. Położenie osi m (m' m"), promień r i wysokość walca, który opiera się jednym punktem o rzutnię poziomą, są dane. (Kys. 434.). Przyjąwszy trzecią płaszczyznę rzutów, pionową i równoległą do danej osi m (m' m"), wyznaczmy rzut boczny m'" tej osi. Rzuty poziome, pionowe i boczne tworzących konturowych walca tworzą pary prostych równoległych do m', m" i m i oddalonych od nich o dany promień r walca. Prosta t przecina oś y — y w punkcie R\". Odcinek R\" Bi"' = 2r i prostopadły do m'" jest rzutem bocznym koła ki, leżącego na płaszczyźnie prostopadłej do osi, a ograniczającego walec.

ПГ

r rr

Wyznaczenie rzutu poziomego k\ i pionowego ki" koła ki nie wymaga żadnych szczególnych wyjaśnień, podobnie jak wyznaczenie rzutów drugiego koła przekroju k2 (fo' znajdującego się w danej odległości od przekroju ki.

Be

/у

Sz\d”z

cs

/m«

!\\

§Kj>i

t”.

Ci

x_

Podobnie jak w rzucie poziomym, odcinek Ci' Di' _L m' jest osią elipsy ki', a jego punkty końcowe są punktami    „ ;

Al f"

i    j> •    * *    ^    Hmy

Di

Bi

Hm/

О’г

кг

Аг

/а?

и?

Сг

S’jyo'f

er

BT

*Mm

rrv"

AS

Styczności rzutów po-ziomych tworzących konturowych walca— takodcinekFTF^m" jest osią elipsy ki", a punkty I" i II" punktami styczności rzutów pionowych tworzących konturowych. HrrrC^^ b ) Wykreślić rzuty stożka obrotowego, ograniczonego płaszczyzną prostopadłą do osi, którego położenie osi a (a' a"), wierzchołka W(W'W"),kąt wierzchołkowy cp i wysokość w są dane (Rys.

Сг

BS

Rys. 434.

435.). Podobnie jak w zadaniu poprzedniem, przyjmiemy trzecią rzutnię, równoległą do osi stożka, a wyzna-

ÎO II

czywszy rzut a'" tej osi, wykreślimy rzut Ьосгпу^_Л_ ö stożka, przyczem A'" W'" B"' = * ф, a W S

Koło, którego środek O"' przyjęliśmy dowolnie na a'", styczne w punktach V'" i VI"' do prostych h"' i te'", jest rzutem bocznym kuli wpisanej w stożek obrotowy o wierzchołku W. Wykreśliwszy rzut poziomy i pionowy tej kuli, a następnie

Vct

A”

2"A(-

CM

/1\    .f\1\

^.....

rn Î-V4

V'\P”

И("i

Bn

ii

a"/

ir

tz

I'

Z4d’

i /Г'

Жа

i,

\k'

5'

/! /

' 'f⁴'

/в' V

W'"

tS

ha

\\aro \

V'/ '

/ /У /

У ЯГ

O'"    /

\/C    '

/ W Am / \ СЪК

/Га

/ЗА

Rys. 435.

z punktów W i W" styczne W i W, U" i U" do tych rzutów, otrzymamy rzuty tworzących konturowych naszego stożka. Z kolei wykreślimy rzuty k' i k", a wreszcie wyznaczymy punkty styczności 2 i 3", 4" prostych h', U' i U", U"

//

z otrzymanemi elipsami. Punkty te otrzymamy w sposób podany w ust. 98., albo — jak na rys. 435. — w sposób następujący: Wykreślmy rzut boczny r'" równika kuli i rzuty boczne II"' punktów styczności / i II. Prosta W"' Г" -W'" II" jest rzutem bocznym tworzących /1 i h stożka, a)

2'" przecięcia się jej z prostą • / r, I -R,.

VlL

a punkt 1

tS"

a"i

'r

cf-S'

P'

А'" Вjest rzutem bocznym punktów 1 i 2, których rzuty poziome V i 2' szukamy. W analogiczny sposób znajdziemy punkty 3" i 4". Ä Na rzucie poziomym p', południka p kuli, znajdziemy punkty ПГ i IV', łączymy je z W', a punkty 3' i 4', w których otrzymane proste U' i h' przecinają elipsę k', odniesiemy na elipsę k", jako punkty 3" i 4".

pL

a"l

P\

Pi

ä'X'7

A"-

\h&

Rys. 436 a—b.

71

P”' г

aj Punkt P (P' P") na kuli (Rys. 436 а.) Д obraliśmy, przyjąwszy poprzednio równoleżnik r (r' r"), leżący na płaszczyźnie poziomej p. x b) Na elipsoidzie obrotowej (Rys. 436 b.) obraliśmy P za pośrednictwem południka p. Wy- J kreśliwszy rzut poziomy p' tego południka, Г przyjęliśmy na nim punkt P', jako rzut poziomy szukanego punktu. ДЬу uniknąć kreślenia rzutu pionowego południka, obróćmy go wraz z punktem P około osi powierzchni, *5e_ aż zejdzie się z południkiem głównym.

A”

irl

Punkt P zajmie po tym obrocie położenie \ x P! (Pt' Pi"). Wróćmy następnie z południkiem na płaszczyznę s (he Ue), to punkt Pi obróci się około osi a elipsoidy na płaszczyźnie równoleżnikowej p. Punkt P , w którym prosta odnosząca punkt P przetnie ślad vp, jest rzutem pionowym punktu P.

c) Punkt na stożku obrotowym (Rys. 437.) obrać można bądź to za pośrednictwem

przyjętej na nim tworzącej t (f /"), bądź też zapomocą obranego na nim równoleżnika r (r' r").

151. Płaszczyzna styczna do powierzchni obrotowej w danym punkcie. Wiemy z ust. 145., że płaszczyzna styczna w danym punkcie powierzchni obrotowej jest wyznaczoną stycznemi do południka i równoleżnika, które przechodzą przez punkt styczności. Sprawa zatem przeprowadzenia płaszczyzny stycznej w pewnym punkcie powierzchni obrotowej sprowadza się do wyznaczenia owych dwóch stycznych.

в"

i?

Æ.

ДЬу w punkcie Л (A' A") powierzchni obrotowej, przedstawionej na Rys. 438., poprowadzić płaszczyznę styczną, wykreślimy w tym punkcie styczną Si (Si' Si") do równoleżnika r (r' r"), a następnie styczną Sa (Sa' Sa") do południka p, przechodzącego przez ten punkt.

.52\S3

HS\ Нз

'Si

aà

Alb

£z

Rys. 438.

Rzut poziomy Sa' stycznej sa schodzi się z rzutem poziomym tego południka ; \* rzut pionowy sa" znajdziemy w sposób następujący: Punkt Л obrócimy około osi a (a' a") na południk нз\ główny i w otrzymanym tam I punkcie Ai (Ai' Ai") poprowadzimy styczną S3 (S3' S3") do tego południka. Punkt В (В' В"), w którym styczna S3 przecina oś a, połączmy z punktem Л (A' A"), to prosta Sa (Sa' sa") jest styczną do południka p w punkcie Л. Gdyby punkt B" nie leżał w obrębie płaszczyzny rysunkowej, to obrotu wstecznego prostej S3 dokonamy w ten sposób, że jej ślad poziomy Нз obrócimy w położenie Ha (Ha Ha"), zakreślając łuk promieniem а' Нз i otrzymany tym sposobem punkt Ha" połączymy z punktem A". Proste si (si' Si") i Sa (sa' sa") wyznaczają płaszczyznę styczną do powierzchni obrotowej w punkcie Л (A' A").

Uważając punkt В (В' В") za wierzchołek, a równoleżnik г (г' г") za kierownicę stożka obrotowego, widzimy, że płaszczyzna styczna w punkcie Л do powierzchni obrotowej, jest równocześnie płaszczyzną styczną do stożka obrotowego, opisanego na tej powierzchni wzdłuż jej równoleżnika, przechodzącego przez ten punkt.

cn

®£>

C"'

!?'■

V,

ВГ

л.

Уг7

A'

fha

H'ć

D'

0?/

C'\

z?

\\

a'

AM

:\Ha S' у

’S*

C7

4L

hep

Ф/

Ć'*'

Rys. 439.*

152. Zadania.

a) Na danym czworościanie Л В C D opisać kulę (Rys. 439*).

Sześć płaszczyzn prostopadłych w punktach środkowych sześciu krawędzi czworościanu przecina się w jednym

punkcie, który jest równo oddalony od czterech wierzchołków tego czworościanu, a więc jest środkiem kuli opisanej na nim. Celem wyznaczenia tego środka wystarczy poprowadzić płaszczyzny prostopadłe do trzech krawędzi, schodzących się w jednym wierzchołku i wyznaczyć ich punkt przecięcia się. Promień kuli równy jest odcinkowi, łączącemu otrzymany środek z wierzchołkiem czworościanu.

Przy rozwiązaniu zadania odstąpiliśmy od bezpośredniego wyznaczenia owych płaszczyzn prostopadłych do krawędzi naroża, a zastosowaliśmy metodę obrotów, względnie wprowadzenia nowej rzutni.

(A, В, C) tak, aby trójkąt ABC

Obróćmy mianowicie dany czworościan około śladu poziomego /Zcp płaszczyzny cp

///

padł na rzutnię poziomą. Następnie dokonajmy obrotu wierzchołka D około h-p o kąt a, jaki płaszczyzna cp zawiera z rzutnią poziomą. Otrzymane w ten sposób punkty A'", B ", C i Dr" uważajmy za nowy rzut poziomy czworościanu, a przy-jąwszy nową rzutnię pionową, równoległą do krawędzi np. В Д wyznaczmy rzut AIV B1V C1V Dlv tego czworościanu. Z kolei wyznaczmy środek AT", koła opisanego na trójkącie A" B" C"'y a w środku PIV odcinka BIV D,v wykreślmy prostopadłą. Punkt SIV, w którym prosta ta przetnie prostopadłą do rzutni poziomej, wykreśloną' w punkcie AT", jest rzutem pionowym (na wprowadzonej rzutni) szukanego środka kuli. Rziń poziomy 5 schodzi się z punktem M"'. Obróćmy odcinek S' A (posługując się ciągle jedynie rzutami, które oznaczamy wskaźnikami i /v) do położenia równoległego względem rzutni pionowej, to odcinek SlV AiIV równy jest promieniowi kuli, opisanej na czworościanie. Obróćmy wreszcie punkt S (S'" SIV) około Лер o kąt a, a otrzymamy punkty S' i S", które są szukanymi rzutami środka kuli, opisanej na czworościanie. Koła, zakreślone z punktów S' i S", jako środków, promieniem SIV Ailv, są rzutami szu-

kanej kuli.

b) W dany czworościan AB C D wpisać kulę (Rys. 440*.). Środek kuli, wpisanej w czworościan, jest punktem przecięcia się sześciu dwusiecznych płaszczyzn, poprowadzonych przez krawędzie czworościanu. ДЬу zadanie możliwie uprościć pod względem konstrukcyjnym, postąpimy podobnie jak w zadaniu poprzedniem, t. zn. obrócimy czworościan około śladu poziomego Лер płaszczyzny cp, przechodzącej przez jedną ze

ścian tak, by ściana ta padła na rzutnię poziomą. Otrzymamy tym sposobem trzeci rzut A'" B"' C'" D"' czworościanu, przyczem obrót punktu D wykonać musimy o kąt, jaki płaszczyzna cp = (ЛВС) zawiera z poziomem. Przyjąwszy nową oś rzutów у — у, prostopadle do jednej z krawędzi podstawy, np. B'" C", wyznaczymy drugi rzut czworościanu w jego no wem położeniu, przyczem wysokość punktu D równa jest odcinkowi D'" D°=zi.

v<?

•c" jb”

У.

L\

ef'

9f\ X

pF

*3"

z,

cf

'W’

EmA

Hi

Ш-

____ \

a" —

W

/ C’

Ś;

!a'

'S* \

>z

P'

D*

аг

Am\

A---ï

\\

\ OĄWC'/

z,

Nm

/у

-X'

V

^    _    <D°

Rys. 440*.

W celu wyznaczenia kątów, jakie ściany boczne tworzą z podstawą ЛВС, poprowadźmy przez punkt D (D " DIV) płaszczyzny a, ß i y, prostopadłe do krawędzi podstawowych i wyznaczmy punkty przebicia się E, F, G tych krawędzi z płaszczyznami a, ß i у, a także krawędzie e, f i g, jakie płaszczyzny te utworzą ze ścianami bocznemi czworościanu. Kąt, jaki ściana BCD zawiera z podstawą, wyraża się w czwartym rzucie w naturalne] wielkości i równy jest kątowi AIV BIV DIV. Płaszczyzna dwusieczna ścian A B C i B C D jest pionowo rzucającą, a jej ślad pionowy jest dwusieczną kąta AIV BIV DIV. Celem wyznaczenia dwusiecznych kątów, jakie proste e i g zawierają ze ścianą ABC czworościanu, obróćmy te proste do położenia równoległego względem czwartej rzutni. Punkt E'" zajmie położenie Er" ; trzeci rzut krawędzi e zejdzie się ze śladem hß, a rzut czwarty oznaczyliśmy przez ei/v. Podobnie otrzymamy rzut pionowy giIV krawędzi g po obrocie. Wykreśliwszy dwusieczne kątów BIV GiIV DIV i AIV EiIV DIV, przyjmijmy płaszczyznę ji, równoległą do rzutni poziomej, której ślad z czwartą płaszczyzną rzutów oznàczmy literą yr i wykreślmy rzut poziomy (trzeci) ostrosłupa, którego ścianami bocznemi są płaszczyzny dwusieczne kątów, jakie ściany boczne czworościanu zawierają ze ścianą ABC. Wierzchołek tego ostrosłupa jest środkiem szukanej kuli. Siad pionowy (czwarty) jednej z tych trzech płaszczyzn dwusiecznych schodzi się z dwusieczną kąta AIV B1V DIV, a ślad poziomy (trzeci) przechodzi przez punkt JIV prostopadle do yr; płaszczyzna ta jest zatem pionowo rzucającą.

i DIV Gitv CIV

i Ki (Ki

rrr

Oznaczmy ślady dwusiecznych kątów DIV EiIV AIV na płaszczyźnie p. przez Hi (Hi" Hi,v) KiIV) i wróćmy z pierwszym na płaszczyznę a, a z drugim na płaszczyznę y. Przez otrzymane, na śladach ha i hy, punkty H"r i K" wykreślone prostopadłe do śladów tych, są dwoma dalszymi śladami płaszczyzn dwusiecznych, przechodzących przez krawędzie А В i A Ć z płaszczyzną p. Otrzymany tym sposobem trójkąt U" M"' N"' stanowi rzut podstawy wspomnianego wyżej ostrosłupa, którego krawędzie boczne przejdą przez punkty А, В, C i przetną się w wierzchołku S. Przez połączenie punktów A"' i L"', B"' i M"', C" i N'" otrzymaliśmy punkt S'", a przecięcie się prostej AIV LIV z prostą BIV JIV jest punktem SIV. Obróciwszy punkt 5 (S'" SIV) około śladu hep w przestrzeń o kąt, jaki płaszczyzna cp zawiera z poziomem, otrzymamy rzuty S' i S środka kuli wpisanej w dany czworościan, a koła zakreślone z punktów SIV, S'", S" i S', promieniem równym odcinkowi SIV PIV ± Clv DIV, są rzutami tej kuli.

W ogólności istnieje osiem kul stycznych do czterech danych płaszczyzn. I tak: jedna kula t. z w. wpisana, jest styczną do ścian czworościanu, utworzonego przez owe cztery płaszczyzny; cztery kule są t. zw. zawpisane, t. j. styczne do jednej ściany czworościanu i do przedłużeń trzech ścian pozostałych, a wreszcie trzy kule styczne, znajdujące się w szczytach. Szczytem nazywamy przestrzeń ograniczoną przedłużeniami czterech ścian nad jedną krawędzią, którą zwiemy grzbietem szczytu. Szczytów takich jest sześć, t. j. tyle, ile krawędzi posiada czworościan; jednak istnieje tylko jedna kula styczna do szczytów dwóch przeciwległych krawędzi (grzbietów).

153. Przekroje powierzchni obrotowych płaszczyznami.

1.    Linię przekroju powierzchni obrotowej płaszczyzną określić można jako miejsce geometryczne punktów przebicia się linij, przyjętych na powierzchni, z płaszczyzną sieczną. Z reguły bierzemy pod uwagę linie charakterystyczne na powierzchni, więc równoleżniki, południki, a gdy powierzchnia jest prostokreślną jej proste tworzące. Jeżeli powierzchnia jest geometryczną, to linia przekroju jest krzywą geometryczną, a wówczas wyszukujemy elementy, linię tę wyznaczające. I tak np. kalda płaszczyzna przecina kulę w kole, którego rzuty — o ile płaszczyzna sieczna ma położenie dowolne — są elipsami; wyznaczenie przekroju kuli sprowadza się więc do wyszukania osi, względnie średnic sprzężonych elips, będących rzutami koła przekroju. Oczywiście, że do wyznaczenia przekroju kuli zastosować można metodę ogólną, t. zn. szukać punktów przebicia np. równoleżników z płaszczyzną sieczną; jednak użycie tej metody byłoby w tym przypadku pod względem rysunkowym nieekonomiczne, a z punktu widzenia geometrycznego niewłaściwe i nie dość ścisłe.

2.    Rysunkowo najprościej przedstawia się wyznaczenie przekroju powierzchni obrotowej płaszczyzną rzucającą. Niechaj zadaniem naszem jest wyznaczenie przekroju powierzchni obrotowej (Rys. 441.) płaszczyzną pionowo rzucającą a (ha Da). Rzut pionowy linii przekroju schodzi się ze śladem pionowym Da płaszczyzny siecznej. Południk główny przebija płaszczyznę a w pupktach 1 (Г 1") i 2 {2! 2"). Krawędź płaszczyzny a z płaszczyzną równoleżnika r (r/ r") przecina ten ostatni w punktach 3 (5' 3") i 4 (4' 4"), które są punktami szukanej linii przekroju. W podobny sposób, przez przyjęcie dalszych równoleżników, wyznaczymy żądaną ilość punktów linii przekroju. Na Rys. 441. oznaczyliśmy jeszcze punkty 5 (5' 5") i 6 (6' 6"), w których równik przebija płasz

czyznę a.

Punkty linii przekroju są symetrycznie położone względem płaszczyzny e, przechodzącej przez oś prostopadle do płaszczyzny siecznej, czyli w naszym przypadku do płaszczyzny południka głównego. Ślad poziomy he tej płaszczyzny jest osią symetryi prostokątnej rzutu poziomego krzywej przekroju.

jr

\l

4-4

a'

Al,

ha

6'

i*

3',

7',

?/

ri

s4?'

⁴'\ha

Rys. 442.

Rys. 441.

3.    Rys. 442. przedstawia przekrój tej samej powierzchni obrotowej płaszczyzną poziomo rzucającą. Wyznaczenie linii przekroju rozpoczęliśmy od wynalezienia jej punktu „najwyższego“ 1 (Г 1który leży na równoleżniku r (r' rstycznym do płaszczyzny siecznej a (ha Va). Z kolei wyznaczyliśmy punkt 2 {2! 2"), leżący na południku głównym, którego rzut poziomy 2r jest znany. Następną parę punktów linii przekroju znaleźliśmy na równiku, a dalsze na równoleżnikach.

4.    Powierzchnia obrotowa, której rzuty Monge’a podane są na Rys. 443., nosi nazwę powierzchni pierścieniowej. Powstanie ona w ten sposób, że koło, którego płaszczyzna

przechodzi przez pionową prostą a (a a' ), obróci się około tej prostej. Południk główny powierzchni pierścieniowej składa się z kół ki (hi ki") i ki (k2' ki"), a równik z kół współśrodko-wych r (r' r") i s (s' s"). Poziomo rzucającą płaszczyznę sieczną в przyjęliśmy tak, że w punkcie 1 (Г 1") jest ona styczną do powierzchni.

Wyznaczenie poszczególnych punktów linii przekroju widoczne jest bezpośrednio z rysunku. —

Punkty 2(2' 2") i 3(3' 3") leżą na równiku; punkty 4 (4' 4"), 5 (5' 5"),

6 (6' 6") i 7 (7' 7") na równoleżniku n (n n") l względnie Г2 (п' Г2").    1

Płaszczyzna pozioma ß \ przecina

wzdłuż kół równoleżnikowych гз (гз' гз") i n (r± n"), na których leżą punkty 8, 9, 10 i 11 linii przenikania. Na równoleżnikach rs i re wyznaczyliśmy punkty 12, 13, 14 i 15. Rzuty pionowe otrzymanych punktów, połączone linią ciągłą, dają rzut pionowy krzywej, wzdłuż której płaszczyzna e, styczna w punkcie 1 do powierzchni pierścieniowej, powierzchnię tę przecina.

5. Przykład przekroju powierzchni obrotowej, płaszczyzną dowolnie nachyloną do obu rzutni, podaje Rys. 444. Przede-wszystkiem znaleźliśmy punkt „najwyższy“ 1 (V 1") i »najniższy“ 2 (2' 2") linii przekroju. Miano punktu najwyższego nadajemy temu punktowi krzywej przekroju, którego wysokość jest największa; punktem najniższym nazywamy punkt linii przekroju, którego wysokość jest najmniejsza. Oba te punkty leżą na krawędzi k (k' k") płaszczyzny siecznej a (ha Va) i płaszczyzny e (he üe), przechodzącej przez oś a powierzchni prostopadle do pierwszej. Krawędź ta jest osią symetryi prostokątnej dla linii przekroju. Jej rzut poziomy k'= he jest

powierzchnię

к!,

Г”

г!

О" ( 2"

12",

4"\

8"

rS

7"

Vu

*4*4-

а"\ / i V

/ Л Г6 4

Г\’

i³'

11’^

Vß

Ог \

V7

1"

\ri

1SO(lf

⁷'Ys’

[m/io'

he

31

S'

'6'

“fer

Ml

ha

13'

'4' ~ —

: /12'

/2'

W- \

ri

Rys. 443.

osią symetryi prostokątnej rzutu poziomego linii przekroju, a rzut pionowy k" osią symetryi ukośnej, o kierunku równoległym do osi x, rzutu pionowego krzywej przekroju. Celem wyznaczenia punktów 1 i 2, obróćmy krawędź k (k' k"), przecinającą oś a w punkcie A (A' A"), około tej osi na płaszczyznę <p południka głównego. Ślad poziomy Hk prostej k zajmie położenie Ho (Ho' Ho"), a prosta położenie ko (hep ko"), przyczem ko" przejdzie przez punkt A". Prosta ko przecina południk główny w punk-— tach lo i 2o, które obrotem wstecznym przeniesie-va my na krawędź k, otrzymując punkty 1 (1' 1") i 2(2' 2'). Ponieważ osią m vg tego obrotu jest oś a powierzchni, więc punkty lo" i 1", a także 2o" i 2" leżeć muszą na prostopadłej do tej osi.

v±

hS

ча

7"

tfc/c»

/ьЛ_ b”    _

Vd7 d"

■.

vsłj vè Ve Hf Y²" l³"

Vô

Ho

vf

Hh"

d’\6

Г'

h<p

la".

he.

Rys. 444.

Z kolei wyznaczyliśmy punkty 3 (У 3") i 4 (4' 4") linii przekroju, leżące na południku głównym, a więc także na krawędzi f (f j") płaszczyzn a i cp. Punkty 3" i* 4" są punktami styczności rzutu pionowego linii przekroju z zarysem powierzchni na rzutni pionowej i stanowią zarazem granicę części widocznej i niewidocznej tego zarysu. Dalsze punkty linii przekroju znajdziemy jak w dwóch pierwszych przykładach, jako punkty przebicia się przyjętych na powierzchni równoleżników z płaszczyzną sieczną. Płaszczyzna p równika przecina płaszczyznę a w prostej b (b' b"), która wyznacza na równiku powierzchni punkty 5 (5' 5") i 6 (6' 6") krzywej przekroju. Punkty te leżą na granicy części widocznej i niewidocznej rzutu poziomego krzywej przekroju.

Przy wyznaczaniu przekrojów wielościanów płaszczyznami dowolnie polożonemi zauważyliśmy, że przez przyjęcie trzeciej

rzutni dało się zadanie sprowadzić zawsze do

przypadku, gdzie płasz-sieczna

:v

A\X?n

czyzna jest rzucającą, a więc znacznie u-prościć. Tę samą ^ metodę zastosować można i do powierzchni obroto-

Vn

Vn_

hec'

^7” — П"    i%⁹"~

/Л

H'f '

5’

wych, a kładem tego jest Rys. 445.

Przyj ąwszy trzecią pł. rzutów, poziomo rzucającą i prostopadłą do pł. siecznej a, wykreśliliśmy trzeci rzut powierzchni i ślad ka pł. siecznej.

Przeniesienia punktów krzywej przekroju na rzut pionowy dokonać można zapomocą równoleżników, tworzących płaszczyzny cc, albo też wprost uwzględniając wysokości poszczególnych punktów, znane w trzecim rzucie.

154. Przekroje kuli. a) Każdy przekrój kuli jest kołem. Jeżeli, jak w rys. 446., płaszczyzna sieczna jest pionowo rzucającą, to rzut pionowy koła przekroju leży na śladzie pionowym płaszczyzny siecznej, a rzut poziomy jest elipsą. Osiami tej elipsy są odcinki Л' B' i C D', przyczem ta ostatnia, jako prostopadła do rzutni pionowej, równa jest średnicy koła

przy-

h<p

Hf

h.

9'

4"

7’/

Oh-?'

10"

r_

/у

i г:

Rys. 445.

Byvcc

Dy

C"S)S”

Vp

A")

'I

Л"

гЛ

И-

[I

|5'У

О" Г"

P"

Г'

Ж-Ж-

Р'

ha

D'

Rys. 446.

przekroju, czyli C'D' = A"B". Punkty styczności Г i //' elipsy z kołem r' leżą na rzucie poziomym krawędzi płaszczyzny siecznej a i płaszczyzny równika p i odgraniczają część widoczną elipsy od niewidocznej.

b) Rys. 447. przedstawia konstrukcyę przekroju kuli płaszczyzną cc (ha Ua), mającą położenie dowolne. Przez przyjęcie trzeciej płaszczyzny rzutów, prostopadłej do płaszczyzny siecznej, sprowadzilibyśmy zadanie do poprzedniego. W naszym przykładzie wyznaczyliśmy jednak bezpośrednio osi, względnie średnice elips, będących rzutami koła przekroju.

Płaszczyzna у (Лер Ucp), poziomo rzucająca i prostopadła do płaszczyzny siecznej a, przecina ją w prostej k (k' k"),

!з"

BI

której rzut poziomy k' jest osią symetryi jvv prostokątnej elipsy, yń« a więc jej osią. Rzut pionowy k" jest śre-

_ж

_Уъ'Л г*/ У К    i m* dnicą elipsy, będącej

Ул

^^/    ' // yJ    I    rzutem pionowym ko-

/ü”    1/ 5    ' ' P ła przekroju. Punkty

Ni Д”/

Ук X

Vm ;

HkJ

Hń

Cl

\ K X3'\!

Г'/

X X: \\

. P' \l .Hi

W\!H

■    \ \41-2'

hx

ГГ’

P' 3'

НкЛ

ha'

Rys. 447.

Л(А'А") i B(B'B"), ograniczające oś w rzucie poziomym (wierzchołki), a średnicę elipsy w rzucie pionowym, znajdziemy jako punkty przebicia się prostej k (k' k") z kulą, a to w sposób na-w stępujący: Obróćmy prostą k około osi а kuli do położenia równoległego względem rzutni pionowej. Siad poziomy Hk zajmie położenie Hi (Hi H "), a prosta k położenie ki. Prosta ki przecina południk główny kuli w punktach Ai (Ai Ai") i Bi (Bi Bi"), które, sprowadzone obrotem wstecznym na prostą k, dają punkty A (A' A ) i В (В' В"). Środek S odcinka A B jest środkiem koła przekroju, a jego rzuty S' i S" środkami elips. Płaszczyzna ц,

przechodząca przez punkt S, przecina kulę w równoleżniku, a płaszczyznę a w prostej p (p' p"). Punkty C i D, w których prosta ta przecina ów równoleżnik, są punktami przebicia się prostej p z kulą. Odcinek C' D' stanowi wielką oś elipsy na rzutni poziomej, a odcinek C" D" średnicę sprzężoną ze średnicą Л" B". W ten sposób obie elipsy są wyznaczone. Punkty styczności Г i 2' rzutu poziomego koła przekroju z rzutem równika leżą na rzucie poziomym krawędzi m (m' m") płaszczyzny siecznej cc i płaszczyzny równika p. Punkty styczności 3" i 4" rzutu pionowego koła przekroju z zarysem kuli na rzutni pionowej, leżą na rzucie pionowym krawędzi n (ri n") płaszczyzny a i płaszczyzny południka яг.

155. Przykłady przekrojów walców i stożków obrotowych płaszczyznami.

W uzupełnieniu rozważań, przeprowadzonych w ustępach 131., 138., 140. i 141., podamy kilka dalszych przykładów przekrojów walców i stożków obrotowych, przyczem rzuty tych powierzchni rysować będziemy przy pomocy wpisanych w nie kul.

aj Wykreślić ślad poziomy i przekrój płaszczyzną pionowo rzucającą a walca obrotowego, zajmującego dowolne położenie w przestrzeni (Rys. 448.).

Äby wykreślić rzuty walca, przyjęliśmy na rzutni poziomej punkt O (O O"), który uważamy za środek kuli wpisanej w walec. Wykreślone w żądanych kierunkach, styczne pr i q', pi" i p/' do kół ki i W, stanowiących rzuty tej kuli, tworzą rzuty walca.

Rzut pionowy elipsy ki, wzdłuż której płaszczyzna a przecina walec, schodzi się ze śladem pionowym Va tej płaszczyzny, a punkt przebicia się S (S' S") osi m (m' m") walca z płaszczyzną a jest środkiem elipsy ki (k± ki"). Uważajmy poziomo rzucającą płaszczyznę y, przechodzącą przez oś walca za nową rzutnię i wyznaczmy rzut boczny S'" punktu S. Prosta m}", łącząca punkt O z S'", jest rzutem bocznym osi - walca na płaszczyznę y, a styczne ti" i h'" do koła ki i równoległe do m"' stanowią trzeci rzut walca. Punkty M i N, w których proste t\" i W" przecinają prostą m' = h\, ograniczają oś elipsy &3, będącej śladem poziomym walca. Punkt O jest środkiem tej elipsy, a odcinek P Q MN jej drugą osią. Ponieważ między dwoma przekrojami walca zachodzi powino-

wactwo środkowe, którego osią jest krawędź obu płaszczyzn siecznych, więc łącząc punkt Pi, w którym przedłużenie osi P Q przecina oś powinowactwa ha, z punktem S' — otrzymamy średnicę Г1Г elipsy ki. Prostej N P P2 odpowiada

■S°

ъ°

va

-TF",

ïï"

A°

Dp

\P°S

Уг\

то

¹ Ps

60

0°

ГП"

■г--50j

\a

p'i\

P"

2"

p”

Xa

M”

9"

N"

7"

'kl

Рг

⁷ /3'"

/■ \kj,

кг

ha

"PI

/1'P

7!

/ kl 2'

ТГ4

ГЖ'

Ątnj

V.

Рз

-C'

— -Æ \

l\b' \

4'

- rrv

. рг

tfi В'

I’

?5m

m'"

II

Rys. 448.

w układzie elipsy W prosta Ръ Г IV', prostej zaś Q M Ps,

prosta Рз 1Г ПГ. Odcinek III' IV' stanowi średnicę elipsy ki sprzężoną ze średnicą Г II'. W ten sposób zadanie jest rozwiązane. Jeżeli oś powinowactwa ha nie leży w obrębie rysunku, to wówczas nie opierając się na związkach powino-

ДЬу wyznaczyć rzut poziomy kV przekroju walca płaszczyzną a _L я-2, nie posługując się jego śladem poziomym &з, postąpimy w sposób następujący: Prosta b (b' b"), przechodząca przez punkt 5 (S' S") prostopadle do rzutni pionowej,

wactwa, otrzymamy punkty Г, IV, ПГ i IV' wprost z rzutu pionowego, przenosząc je na rzut poziomy odpowiednich tworzących.

Ve

Vm

Pa

Ve,

/ ; \Ve / '■ &’ \ Уп/_П"__ сп/

m”

iK*aL-

Ve\

к?

t?

Bi

JLf

tê

.2"

ча"

J" X

П'

\e'

nr

N7

S'-

■fa.’

y\

Л )/ i

rW /к

ho'

ha fti

fie

Rys. 449.

przebija walec w dwóch punktach, które ograniczają średnicę elipsy ki. W celu wyznaczenia tych punktów, poprowadźmy przez oś walca płaszczyznę pionowo rzucającą 8 i wykonajmy około śladu иь kład, przekroju walca wzdłuż dwóch tworzących, na rzutnię pionową. Prosta bo _L Vb jest kładem krawędzi płaszczyzn a i Ô, a odcinek Л° B° długością średnicy elipsy ki. Odmierzmy S' A' = S' В' = S° A° = S°B° i przystąpmy do wyznaczenia średnicy sprzężonej z otrzymaną. Jej rzut pionowy C" D" jest znany. Znalazłszy rzuty poziome V i 2 punktów

20

Bartel, Geometrya wykreślna.

1 i 2, których rzutami pionowymi są punkty 1 i 2 , wykreślimy proste pT i p%', równolegle do m', na których leżą szukane punkty C i Dr. Punkty styczności Г i 1Г prostych p' i q' z elipsą kU znajdziemy, wykreśliwszy poprzednio proste p" i q i odniósłszy otrzymane na nich punkty I" i 11" na rzutnię

poziomą.

b)    Wykreślić ślad poziomy i rzuty przekroju walca obrotowego płaszczyzną a (ha Da), (Rys. 449.).

Ślad poziomy k walca wyznaczymy, podobnie jak w zadaniu poprzedniem, przy pomocy trzeciego rzutu. Średnice sprzężone Ai Bi i Ci Di, elipsy przekroju ki, otrzymamy przez pośrednictwo osi powinowactwa ha, jakie zachodzi między śladem poziomym walca, a jego przekrojem hi płaszczyzną a. Przedtem jednak wyznaczymy środek Si (Si' Si") elipsy ki (ki ki"), jako punkt przebicia się osi walca z płaszczyzną a.

c)    Walec obrotowy, ograniczony z jednej strony przekrojem kołowym, leży jedną tworzącą na rzutni poziomej; wyznaczyć jego przekrój płaszczyzną ф (hep Пф), (Rys. 450.).

Wykreślenie rzutów walca nie wymaga objaśnień. Żądany przekrój wyznaczymy natomiast w sposób następujący: Wykonajmy kład płaszczyzny poziomo rzucającej cc (ha Da) wraz z krawędzią, jaką tworzy z płaszczyzną y, i kołem k na rzutnię poziomą. Uważając ślad ha za nową oś rzutów, sprowadziliśmy zadanie do rozpatrzonego w ust. 131. a). Kład hep krawędzi płaszczyzn a i cp jest nowym (trzecim) śladem płaszczyzny siecznej. Trzeci rzut krzywej przekroju hi schodzi się z kołem k"\ a średnice sprzężone А'" В są równocześnie trzecim rzutem pary średnic sprzężonych

lVm

!h<p

Va

Z' / \

{/

i №*■

bm

j /r>

A’”

am^CT \

km

’H

Rys. 450.

Cr

777

i C" D

nr

elipsy ki. Przy pomocy prostych równoległych do płaszczyzny a, których rzuty boczne przechodzą przez punkty Л'", B'" i C" równolegle do kv, otrzymamy punkty E', F i G'. Punkt H, t. j. czwarty szukany punkt, leżący na rzutni poziomej, jest punktem przecięcia się śladu hep z a'. Wyznaczenie średnic sprężonych E" F" i G" H" polega na odniesieniu punktów E\ F', G' i H na rzuty pionowe odpowiednich tworzących.

Va /тп

Azą" a."

Hi

Hl" Xe

At

Vl,

//

Vf

Ai а

Mr V

/ DI>

Si/ /2"

у.

i /'

/\з" ^

Ni

Di

'а'

kt . j\ /

-s»

Сг <y\Vc

'Nb

7vc

Va

b"

Vb

Xa

V6

Сг

ha

>Л⁴' —i 1' к'г

Аг/\ ; j/Vi

SŹ

Ci

/В'г

/у

ÏÏV

иг з’ ,

>7

л./

¹ Гпг

Усе.

ск

Вт2

т

M2

г. Г ГГ

he

Rys. 451.

d) Wykreślić rzuty walca obrotowego, którego oś m (m' m") jest daną, wyznaczyć jego przekrój wzdłuż koła, ślad poziomy i przekrój wzdłuż dwóch tworzących, {Rys. 451.).

Przyjąwszy nową płaszczyznę rzutów równolegle do osi m, wykreślimy trzeci rzut walca, a także ślady ka, ha, Va płaszczyzny a, prostopadłej do osi i tnącej walec wzdłuż koła ki. Przy pomocy trzeciego rzutu wyznaczymy osi Æ Bi i Ci Di elipsy ki, jako śladu poziomego walca, a także osi Æ' B2' i С/ D/ elipsy k/, będącej rzutem poziomym koła ki. Średnice sprzężone Æ" B2" i Cu" Di" elipsy ki" otrzymamy przy pomocy prostych poziomo tworzących płaszczyzny siecznej a. Prostopadła, wykreślona z punktu S2" do m", przecina rzuty

к}

z,

Ан

is.

\G

pionowe tworzących konturowych walca w punktach M2" i N2", które są punktami styczności tych prostych z elipsą ki".

ti

//

fY/a /Гг

inf

O"/

ŁA

dA7h^s;.

C"

/ti

P"

tz.

S'"

/3'

am

/hy

tl

;/

//

'D

Ąrn

Rys. 452.

ЛЬу wyznaczyć przekrój walca w dwóch tworzących, a raczej u-1 względniając część walca, zawartego między rzutnią poziomą a płaszczy-/ zną cc, w trapezie, obraliśmy prostą / (/' l") równolegle do tworzących walca i poprowadzili przez nią płaszczyznę г (he Ve). Płaszczyzna ta jest równoległą do tworzących walca i przecina jego ślad poziomy w punktach 1 i 2, a walec w tworzących, przechodzących przez te punkty. Odcinek, łączący punkty 3 (У 3") i 4 (4' 4"), tworzy czwarty bok "szukanego trapezu.

e)    Wyznaczyć ślad poziomy i pionowy walca obrotowego, którego oś a (a' a") jest dowolnie nachylona do obu rzutni (Rys. 452.).

Va

jf

Ve

Vm

W"

m«

po b°

В⁰

Vb

b\

Rzuty walca wyznaczyliśmy przy pomocy kuli o środku O, przyjętym na rzutni poziomej. Wyznaczywszy ślad pionowy S' osi walca, przyjęliśmy poziomo rzucającą płaszczyznę y, przechodzącą przez tę oś za nową (trzecią) rzutnię i wyznaczyli trzeci rzut walca. W tym celu wykonaliśmy kład a'" osi a i równolegle do niego wykreślili styczne W" i U'" do koła r. Punkty Ai B, w których styczne te przecięły prostą a', są wierzchołkami elipsy k\. Drugą parę wierzchołków stanowią punkty C i D, przyczem CD _L AB. Między śladem poziomym ki walca, a szukanym śladem pionowym zachodzi powinowactwo o osi X, a kierunku S O. Średnicę G H znajdziemy, odnosząc punkty Gr i H' na rzuty pionowe odpowiednich tworzących. Średnica EF, sprzężona z pierwszą, jest prostopadłą do X, przyczem ES = E"' S'" = FS. Prostopadła, wykreślona przez punkt S do a", wyznacza na prostych h" i k" punkty I i II, które są punktami styczności tych pro- \a° stych z elipsą k.    \

\а" ^ tï \

Р”

В"

Và>

S"Ą

EL

Ч L”

P"

ïï"'

hep

P\

he

f)    Wyznaczyć przekrój stożka obrotowego wzdłuż dwóch tworzących. Oś stożka, równoległa do rzutni pionowej, jego wierzchołek i kąt — wierzchołkowy cp są dane (Rys. 453.*).

mp

>

rZ\—u\fë—A a'i '

Ir

VA'

-J*

ha

Hb,

Rys. 453.*

Ponieważ oś stożka jest prostą czołowrą, więc kąt, jaki utworzą rzuty pionowe tworzących konturowych, równy jest danemu kątowi wierzchołkowemu cp. Uważajmy ślad poziomy O osi a stożka za środek kuli wpisanej w stożek, to koło r, zakreślone ze środka O promieniem О" I",

jest rzutem poziomym tej kuli, a styczne, wykreślone z punktu Wr do r, stanowią zarys stożka na rzutni poziomej.

Następnie przez wierzchołek stożka poprowadziliśmy prostą poziomą m (m' m"), a przez nią płaszczyznę a (ha tfa). Z kolei przecięliśmy stożek płaszczyzną 8 (he Ue), prostopadłą do jego osi i wykonali kład tej płaszczyzny na rzutnię pionową wraz z uzyskanym przekrojem kołowym i krawędzią b (b' b") płaszczyzn a i e. Prosta bo przecięła koło k° w punktach Л⁰ i B°, które rzucone prostopadle na prostą b", dają punkty Л" i B". Odnieśmy te punkty na prostą b', a otrzymane tam punkty A' i B' połączmy z W', to proste h' i t/ są rzutami poziomymi tworzących, wzdłuż których płaszczyzna a przecina stożek. Proste = h" i b" są rzutami pionowymi tworzących przekroju.

Gdyby oś stożka miała położenie dowolne w przestrzeni, to przez wprowa-/Ж dzenie trzeciej rzutni, równoległej do osi stożka, sprowadzimy zadanie do poprzedniego.

g) Wyznaczyć przekrój stożka obrotowego, o osi pionowej', dowolną płaszczyzną a (ha Va) (Rys. 454.).

Przy pomocy związków kolineacyi środkowej, zachodzących między podstawą a przekrojem stożka, rozwiązaliśmy

w*

Vay

//

A" /77"

■'iAy

YL

Л/Ха i W'

hsr

hey

|'4..

Vt

W" A W" В

//

// _

7,

УСУ

\ : X

N<Ś'

Dn r' \

TNæ,

a'M'\

"Tw' w

ha

l'

Rys. 454.

UL

Vę

r\ \q"

fr Jki

IW

powyższe zadanie w ust. 138. W tern miejscu rozwiążemy powyższe zadanie, stosując ogólną metodę wyznaczania przekroju powierzchni obrotowej, poznaną w ust. 153.

Przy pomocy płaszczyzny e, przechodzącej przez oś a stożka i prostopadłej do płaszczyzny siecznej cc, znajdziemy oś A'B' elipsy kz i średnicę A" B" elipsy W. Ślad poziomy Ял, krawędzi płaszczyzn a i e, jest znany; wynajdźmy, przy pomocy czołowej płaszczyzny jt, przechodzącej przez oś stożka, punkt przebicia się M (M' M") tej osi z płaszczyzną a, to prosta Hk" M" jest rzutem ^ pionowym krawędzi k. Wykreśliwszy rzuty pionowe tworzących, wzdłuż których płaszczyzna e przecina stożek, otrzymamy jako przecięcie się ich z prostą k" punkty A" i B", ograniczające średnicę. Oś C D', względnie średnicę C" D" znajdziemy przy pomocy przekroju stożka płaszczyzną poziomą p, przechodzącą przez środek 5 (S' S").

Ślad poziomy ha płaszczyzny siecznej przecina podstawę stożka w punktach 1 i 2; elipsa kz leży częściowo pod rzutnią poziomą, a taki przekrój stożka nazywamy niezupełnym.

t£

.1"

C°,

on/

Bi

tr \ P'/

B"

A A"]

\0" C"D” \ \

к?

11"

M”

⁴Jd°

<C

Ai a' \0 iS \

t] ' T p’j th he I Jp

hj\B

h) Wyznaczyć ślad poziomy stożka obrotowego, którego oś jest równoległą do rzutni pionowej, a którego wierzchołek i kąt wierzchołkowy a są dane (Rys. 455.). w’

TT

Rys. 455.

Ślad poziomy O (O O"), osi a (a' a") stożka, uważajmy za środek kuli wpisanej w stożek, to wyznaczywszy promień tej kuli WT = О'ЧГ i wykreśliwszy jej rzuty p" i r, otrzymamy rzut poziomy tworzących konturowych, jako styczne do koła r, wykreślone z punktu W'. Ślad poziomy stożka jest elipsą k o osi dużej ЛВ i o środku 5. Płaszczyzna e (he öe), przechodząca przez środek elipsy prostopadle do osi stożka, przecina stożek wzdłuż koła o promieniu M" 1" = M" 2", a punkty przecięcia się śladu

poziomego he z tym kołem ograniczają małą oś elipsy. Celem otrzymania długości tej osi, wykonajmy kład płaszczyzny e na płaszczyznę czołową y, przechodzącą przez oś stożka. Koło ki⁰, zakreślone z punktu M" jako środka promieniem M" 1", jest kładem przekroju stożka płaszczyzną e. Cięciwa C°D° koła ki⁰, równoległa do a", jest kładem małej osi elipsy k. Odmierzywszy C S = D S — C° C"\ otrzymamy drugą oś elipsy, będącej śladem poziomym stożka. Punkty styczności 11Г i IVr rzutu poziomego tworzących konturowych z kołem r, są punktami styczności śladu poziomego stożka (elipsy k) z temi prostemi.

t’s

s'a.”

7”

ftS

s'.

D.

. .''а/

ГВ

té

'k

■Kö

.со.

ЧЧ’

ßs

P [м'Ко/Ч

tr

D°

jdSj"

C°/

am

sr-

Am,

У,

жт

t2

Wm

Rys. 456.

i) Wyznaczyć ślad poziomy stożka obrotowego, którego dana oś a (a' a") jest nachylona do obu rzutni, a którego wierzchołek W (W W") i kąt wierzchołkowy a są również dane (Rys. 456.).

Przez przyjęcie trzeciej rzutni, równoległej do osi stożka, a prostopadłej do rzutni poziomej i wyznaczenie trzeciego rzutu stożka, sprowadzimy zadanie do poprzedniego.

j) Wykreślić rzuty stożka obrotowego, leżącego dowolnie w przestrzeni i wyznaczyć jego przekrój pionowo rzucającą płaszczyzną a (fta na), (Rys. 457.).

Ponieważ stożek nie jest bliżej określony, więc przyjmiemy dowolnie w przestrzeni jego wierzchołek W (W' W⁷') i kulę o środku O (O' O"), a promieniu dowolnym. Styczne tT i tT, do rzutu poziomego r' kuli z punktu W', stanowią rzut poziomy tworzących konturowych, a styczne h" i tT" do rzutu pionowego p" kuli, wykreślone z punktu W", są rzutem pionowym tworzących konturowych stożka. — Chodzi o wyznaczenie rzutów poziomych punktów Л i B, których rzuty pionowe A" i B" są znane.

W tym celu znajdźmy rzuty    :

poziome 7У i TT punktów ~у~вГг\~~

Тз i Ti, leżących na polu-    -⁴- D

dniku głównym kuli wpisanej л w stożek. Rzuty pionowe Тз" i Ti" tych punktów są punktami styczności prostych ts" i h" z kołem p". Szukane punkty leżeć więc będą na prostej p'. Punkty Тз' i TT, ' połączone z W', dają proste tT i tT, na których leżą punkty A' i В , ograniczające średnicę elipsy k'. Wyznaczmy środek S' (S' S") elipsy k (k' k"), to średnicę C D, sprzężoną z AB, znajdziemy jako odcinek ograniczony punktami przebicia się prostej m (m' m"), przechodzącej przez środek S elipsy k prostopadle do rzutni pionowej, ze stożkiem. Punkty te znajdziemy przy pomocy przekroju stożka płaszczyzną s, przechodzącą przez wierzchołek W i prostą m. Płaszczyzna ta przecina kulę w kole ki o środku M (AT M"), a stożek wzdłuż tworzących Si i S2. Wykonajmy kład płaszczyzny e wraz z kołem ki, tworzącemi Si, S2 i prostą m, to odcinek C° D° jest kładem szukanej średnicy C D. Wyznaczywszy rzuty pionowe punktów Ti i Г2

ti ку/ .

O⁰

tl\

ti

Pi

■Г"

■O"

mo

■н /

si

Vc

tĄ \b*

sî

c°

i”.

•w°

û'ï

<F

A"

ti

74

a;

C'

Тз”

! ! il

D'

fi

R'

⁽Ti

m\ /ci

Rys. 457.

ts

i prostych ti, /2, otrzymamy na śladzie Va punkty I" i II", które odniesione na rzut poziomy są punktami styczności prostych t\ i /2' z elipsą k'.

k) Wykreślić rzuty stożka obrotowego, którego oś a (a' a"), równoległa do rzutni pionowej, wierzchołek i kąt

W”

VS

• c"

tf

tl

F",

Km,

kß

Iw

r"'/yMn

Km

-о-

ci V w

сГ,

"К

\£"'

Tr"

/тт

Ус

КГ . Т;

' \ßm\kc

Ж'

у?

fi

\/

D\

д,п

кз

fh-

Гш

Me

\1

С"'-

X-

/_х

/fr

fi

уfl'

оГ

Ai

H"’

Тз

he'

hf

Rys. 458.

wierzchołkowy a są dane, a następnie wyznaczyć przekrój tego stożka płaszczyzną e (he üe), (Rys. 458.).

Wykreśliwszy rzuty stożka, przy pomocy kuli o środku O, (jak w przykładzie h, Rys. 455.) poprowadźmy przez punkty styczności Ti i Г2 płaszczyznę cp (hep рФ) prostopadłą do osi stożka, a uważając ją za nową rzutnię, wykonajmy jej kład

około śladu jako nowej osi rzutów y na rzutnię pionową. Jeżeli oś stożka przebija płaszczyznę cp w punkcie M (M' M"), to znalazłszy kład M'” tego punktu i zakreśliwszy z niego, jako środka, koło ka o promieniu Ti” M” — otrzymamy trzeci rzut stożka. Kład krawędzi płaszczyzn e i cp na rzutnię pionową jest śładem bocznym ke płaszczyzny e. Biorąc pod uwagę nowy rzut stożka i jego rzut pionowy, wyznaczymy osi A!” B”\ C” D'" i odpowiadające im na rzutni pionowej średnice sprzężone elipsy ki”, podobnie jak w zadaniu g) Rys. 454. Przy pomocy płaszczyzny ß, przechodzącej przez oś stożka równolegle do rzutni pionowej, wyznaczymy punkt przebicia się osi stożka z płaszczyzną e. Płaszczyzna у (Uy kr), przechodząca przez oś stożka i prostopadła do płaszczyzny e, przecina tę ostatnią w prostej c (c" ć”). Äby znaleźć punkty przebicia się prostej c ze stożkiem, obróćmy ją około osi stożka do położenia równoległego względem rzutni pionowej. W tym celu przeniesiemy łukiem koła o środku M'” punkt Kc do położenia Ki (Ki K\”) i Ki" połączymy z P” prostą ci". Punkty, w których prosta Ci" przecina proste ti” i k”, rzućmy równolegle do osi у na prostą c", to otrzymamy średnicę 7Г" B” elipsy ki”. Rzutem bocznym tej średnicy jest odcinek A!” B'”. Środek S' (S” S”') odcinka А В jest środkiem elipsy przekroju. Płaszczyzna ó, poprowadzona przez punkt S prostopadle do osi stożka, przecina płaszczyznę e w prostej d (d" d'”), a stożek w kole r. Oznaczmy punkty przecięcia się prostej d z kołem r literami C i D, to odcinek C” D” stanowi średnicę elipsy ki”, sprzężoną ze średnicą A” B”. Odmierzywszy głębokości punktów А, В, C i D, jak to wskazaliśmy dla punktu D, otrzymamy ich rzuty poziome, a więc parę średnic sprzężonych A' B' i C' D' elipsy ki.

I) Dane są oś i wysokość stożka obrotowego, który styka się wzdłuż tworzącej z rzutnią poziomą; wyznaczyć przekrój tego stożka poziomą płaszczyzną a, (Rys. 459.).

Przyjmijmy trzecią rzutnię, równoległą do osi stożka a przecinającą rzutnię poziomą w prostej у i wykreślmy najpierw rzut boczny żądanego stożka. Następnie przy pomocy kuli o środku O (O' O” O'”), wpisanej w stożek, wykreślimy rzuty tworzących konturowych i ich punkty styczności Г, 2! i 3” z elipsami k' i k”. Linia przekroju stożka płaszczyzną a jest parabolą, gdyż płaszczyzna sieczna jest równoległą do jednej

tworzącej stożka. Rzut boczny Pr" wierzchołka stożka, jak również i punkty M'" i N'", odniesiemy na rzut poziomy, otrzymując wierzchołek P' i dwa punkty paraboli, będącej rzutem poziomym krzywej przekroju. Osią tej paraboli jest prosta a

Va

W"/-

W/

P'

W'

\\ /WW"

дг/rr/

3".

A"

k"

\S"/

А л!

N”

Г"

7"

fP"

Mn)

r” 3".

la"

4”‘

Ж"

Л' 6'

2’

k"\

Гз 7"

8"

фжл/.

/р'/v 'Уа'

■//

Ik’

ft

'MS'

JL

S',

41

'i?'"

/сум¹ /hp

5'

РУУа

8'

pW,

Гз\\

JwJkM"'

о УК/lir \

// W

\ byź" ⁴

l//

/te

/Р1ХЗ'"

₄a'"

Rys. 460.

Rys. 459.

156. O punktach przebicia się prostych z powierzchniami obrotowemi.

Punkt przebicia się prostej z powierzchnią obrotową znajdziemy za pośrednictwem przekroju tej powierzchni płaszczyzną, poprowadzoną przez tę prostą, z reguły prostopadle do jednej z rzutni. Punkty przecięcia się danej prostej z linią przekroju rozwiązują zadanie.

Przykłady.

a) Wyznaczyć punkty przebicia się prostej p (p' p") z powierzchnią obrotową (Rys. 460.). Przez prostą p popro-

wadziliśmy poziomo rzucającą płaszczyznę a i wyznaczyliśmy jej przekrój z daną powierzchnią. Punkty M(M' M") i N(N' N") przecięcia się krzywej przekroju z prostą p rozwiązują zadanie.

b) Wyznaczyć punkty przebicia się prostej m (m! m") z kulą (Rys. 461.). Poziomo rzucająca płaszczyzna cc przecina kulę wzdłuż koła o środku S' (S' S").

Wykonajmy kład płaszczyzny cc wraz z kołem przekroju i prostą m, około śladu ha na rzutnię poziomą, to punkty Л⁰ i B°, rzucone prostopadle na m\ a stąd na m", rozwiązują zadanie.

Anj3

S'?

777"

Ś”: !

z{

157. Płaszczyzny styczne do stożka obrotowego, przechodzące przez dany punkt. Płaszczyzna styczna do stożka, przechodząca przez dany punkt P, przechodzi przez wierzchołek W, a więc zawiera prostą, łączącą punkt P z wierzchołkiem stożka.

Äby więc przez dany punkt P poprowadzić płaszczyznę styczną do stożka (Rys. 462.), połączymy ten punkt z wierzchołkiem, wyznaczymy ślad R prostej p na płaszczyźnie kierownicy (podstawy, śladu) i z otrzymanego punktu wykreślimy styczne Si i s2 do kierownicy k stożka. Styczne te wraz z prostą p wyznaczają

żądane płaszczyzny en i 02. Tworzące /1 i /2, przechodzące przez punkty styczności Si i S2 prostych Si i s2, są temi, wzdłuż których płaszczyzny 61 i 02 stykają się ze stożkiem. Jeżeli z punktu R poprowadzić można dwie styczne do podstawy k stożka, to istnieją dwie płaszczyzny, rozwiązujące zadanie. Jeżeli punkt R jest punktem krzywej k, to punkt P leży na stożku, a wówczas istnieje jedna płasz-

„-4=--

o⁶

\b

Si

Rys. 462.

Hm

B’

777'

A’ &

ha_,

Hm

/770 ~ßp\

R!° /g»

Rys. 461.

S2

Si

czyzna, rozwiązująca zadanie, styczna do stożka wzdłuż tworzącej W P R. Jeżeli wreszcie z punktu R nie można wykreślić żadnej stycznej do kierownicy k, to zadanie nie posiada żadnego rzeczywistego rozwiązania.

Zadanie.

Przez punkt P (Pr P") poprowadzić płaszczyzny styczne

W"

Va.

Гр»

' (2

HP\Jy

Sr

S2

Hp \ Vp

S2

Pr

s₂

hec

P’

si

<Jw

a?

do stożka obrotowego, o osi pionowej (Rys. 463.). Łączymy W z P, szukamy śladów Hp i Vp prostej p (p' p")t a przez punkt Hp kreślimy styczne Si i S2 do koła k. Styczne te są śladami poziomymi szukanych л płaszczyzn a i ß, których ślady pionowe przejdą przez punkt Vp. Wykreślenie tworzących stycz-gp ności ti (tZ fi") i h (tZ h"), dopełnia rozwiązania zadania, j    158. Płaszczyzny styczne

ii

s.

/    do    walca obrotowego, prze

7r

chodzące przez dany punkt.

Rys. 463.

Uważając walec obrotowy za    stożek obrotowy, którego

Uń

wierzchołek leży nieograniczenie daleko w kierunku tworzących walca, otrzymamy rozwiązanie zadania takie same, jak dla stożka. Przez dany punkt Л (Rys. 464.) prowadzimy prostą p równoległą do tworzących walca.

ia

\tz

/~--

tt

52

Si

Rys. 464.

Z punktu R, w którym prosta p przebija płaszczyznę podstawy walca, kreślimy styczne Si i S2 do podstawy, a płaszczyzny <x = (p, si) i ß = (p, S2) rozwiązują zadanie. Tworzące /1 i /2 walca, przechodzące przez punkty Si iS2,są temi, wzdłuż których płaszczyzny styczne a i ß stykają się z walcem.

jeżeli podstawa walca leży na rzutni poziomej (Rys. 465.), to płaszczyzny styczne, przechodzące przez punkt А (Л' A"), są poziomo rzucające. Ilość rozwiązań, podobnie jak przy stożku, zależy od położenia punktu A i może wynosić dwa, jeden lub zero.

Va

Ta

"co

Й1

159. Płaszczyzny styczne do stożka obrotowego, równoległe do danej prostej.

I/У

HpYß

Ss

Sz

Przez wierzchołek stożka poprowadzimy prostą c, (Rys.

tź

hß

Si

°3'

'k

466.) równoległą do danej prostej m, a przez nią płaszczyzny styczne do stożka. Zadanie sprowadza się tym sposobem do rozważanego w ust. 157.

h<h

Rys. 465.

Uważajmy podstawę k stożka za kierownicę stożka normalnego (ust. 148.) i wyznaczmy jego wierzchołek Wi.

Jeżeli /i i h są tworzącemi, wzdłuż których płaszczyzny styczne, przechodzące przez prostą сЦт, dotykają stożka, a proste Si i S2 są śladami tych płaszczyzn na płaszczyźnie я,

³|1

à v>

-U

jr

! рг

Si

1C

w,

Rys. 466.

to prosta Si jest prostopadła do pł. W Ti Wi, gdyż W Wi jest prostopadła do płaszczyzny я. Z tego samego powodu prosta s? jest prostopadła do płaszczyzny W T2 W\, a co zatem idzie, pi jest prostopadła do Si, a pi _L Si. Ale prosta pi, jako tworząca stożka normalnego, jest prostopadła do /1, a więc jest prostopadłą do płaszczyzny stycznej cn = (/i,si). Analogicznie prosta pi jest prostopadłą do płaszczyzny stycznej G2 = (h, S2). Stąd wynika dalej, że płaszczyzna Ąr (pi, pL>), jako prostopadła do płasz-

czyzn stycznych c>i i 02, jest prostopadłą do ich krawędzi c. Znając więc wierzchołek stożka normalnego, wyznaczymy tworzące, wzdłuż których płaszczyzny styczne, równoległe do danego kierunku, stykają się ze stożkiem, jeśli przez wierzchołek stożka normalnego poprowadzimy płaszczyznę prostopadłą do danego kierunku i wyznaczymy prostą q, wzdłuż której płaszczyzna ta przecina płaszczyznę podstawy stożka. Prosta q przecina koło k w punktach Ti i Г2, które połączone z wierzchołkiem W stożka, są szukanemi tworzącemi. Styczne Si i S2, wykreślone do koła k w punktach Ti i T2, wyznaczają wraz z tworzącemi /1 i k płaszczyzny styczne 61 i <52, równoległe do danego kierunku.

Przykłady.

a)    Równolegle do prostej czołowej m [m' m' j poprowadzić do stożka obrotowego (Rys. 467.) płaszczyzny styczne.

Prostopadła, wykreślona w punkcie A" do prostej A" W",

.w

i\\

m"

m"

IV.

ti

77"

A")

H”

przecina a" w punkcie Wi", który jest rzutem pionowym wierzchołka stożka normalnego. Płaszczysz/ \b"_л Xa"/    1T2' i Нп/\\в" л zna i]r, przecho

wy

nv

.21

777'

Тг.

Тг

Гг

Si

Ss

Гг

(A

W y a [H_\B

\ q h

rr wi

Wi

dząca przez Wi prostopadle do m, jest w tym przypadku pionowo rzucającą, a jej ślad poziomy hy przecina i,    koło w punktach

thy

Ti

Rys. 468.

Rys. 467.

Ti i Г2. Punkty te, połączone z wierzchołkiem

stożka, dają tworzące ti i /2, wzdłuż których płaszczyzny styczne 01 = (/1, si) i c2 = (/2, S2), równoległe do kierunku m, dotykają stożka.

b)    Wyznaczyć płaszczyzny styczne do stożka obrotowego, równoległe do prostej m (m' m"), (Rys. 468.).

Przez wierzchołek Wi stożka normalnego poprowadziliśmy n (n' n") prostopadłą do m, a przez jej ślad poziomy Hn wykreśliliśmy prostą q _L m'. Prosta q jest śladem poziomym płaszczyzny \J/, przechodzącej przez wierzchołek Wi, prostopadle do kierunku m. Proste h = Ti W i h = T%W wyznaczają wraz ze stycznemi si i S2 płaszczyzny styczne do stożka, równoległe do prostej m.

n<y\

A"    Ti’ НУТТ’В"

mr!'

té'i

tr

{Tl", Ul")

U2

Ss

tź

777'

Ti

c) Jeżeli wierzchołek stożka nie leży w obrębie płaszczyzny rysunkowej (Rys. 469.), to przyjąwszy dowolny równoleżnik stożka (w naszym przykładzie ograniczający stożek), uważamy jego płaszczyznę za rzutnię poziomą i przeprowadzimy konstrukcyę jak w Rys. 467., znajdując punkty Ti {Ti' Ti") i Ъ (7Y Г*"). Proste ti' = {W\ Ti') i k' = (W', 7Y) przecinają podstawę ki stożka w punktach Ui i U2, a proste łi" i t%" == {T2", U2") są rzutami piono- л le uë\ i uî\ V>" _x wymi tworzących, wzdłuż których płaszczyzny 01 = {ti, Si) i 02 = {k, S2) stykają się ze stożkiem.

A j Wy\H' V \D T Wi \\

rv

Kił»

<Śr

TT

tf

160. Płaszczyzny styczne do powierzchni obrotowej, a równo- c ległe do danej płaszczyzny^.

ti

Ui

Ar

Jako przykład powierzchni obrotowej przyjmijmy kulę (Rys. 470.).

4!

Rys. 469.

Gdyby płaszczyzna a była pionowo rzucającą, to ślady pionowe płaszczyzn stycznych do kuli byłyby styczne do koła jako rzutu pionowego kuli, a żądane płaszczyzny dałyby się bezpośrednio wyznaczyć. Jeżeli jednak, jak w naszym przypadku, płaszczyzna a {ha Ua) ma położenie dowolne, to najpierw sprowadzić ją musimy, zapomocą obrotu około osi a (a' a") kuli, do położenia prostopadłego względem rzutni pionowej. Następnie poprowadzimy płaszczyzny styczne do kuli, a równoległe do płaszczyzny a w jej nowem położeniu, a tak otrzymane płaszczyzny obrócimy, aby były równoległe do płaszczyzny a w jej położeniu pierwotnem.

Obrotu płaszczyzny a (ha Ua) dokonaliśmy, obracając jej ślad poziomy ha w położenie ha⁰. Przyjęta na płaszczyźnie a tworząca b (b' b") zajmie, po dokonanym obrocie płaszczyzny, położenie prostopadłe do rzutni pionowej. Prostopadła p', wykreślona z punktu O' do ha, a więc i b', przecina je w punktach Л i B'. Odcinki О'Л i O'B' są rzutami poziomymi promieni obrotów. Po dokonanym obrocie punkty Л i В zajmą położenie Ло (Ло Ло") i Во (Во' Во"), a płaszczyzna а

Vn

N"

Ma

V(p

Fi'

\a» FJ'

\vâ \Уа \ N Во B"\Vb

I\

b"

\\

EÔ\»E"

Ni

VbF Ao

At6

Al

C"

Âa : VÂ

■Ж

X°r>

/5'

m"

-%Л7

[во

;/

[Ao

E> I

rrr

/XV

lä

N Fax

/Co O< N'

Fo

Do

h<f

P’

'he

\h°

b/ \h°v

Rys. 470.

położenie a⁰ (ha° Va⁰). Płaszczyzny e° (hs° Ue°) i cp°(/z p° ücp°), równoległe do płaszczyzny a⁰ i styczne do kuli, pierwsza w punkcie Fo (Fo' Eo"), druga w punkcie Fo (Fo' Fo"), musimy obrócić około osi kuli do położenia równoległego względem płaszczyzny a (ha Va). W tym celu przeniesiemy lukami kół, zakreślonymi z punktu O' jako środka, punkty Co i Do na prostą p' i wykreślimy przez punkty C i D równoległe do ha, otrzymując ślady poziome he i hep szukanych płaszczyzn.

Równoległe do Va, wykreślone z punktów Xe i Xcp, stanowią siady pionowe tych płaszczyzn. Podobnie zapomocą obrotów wstecznych punktów £o i Fo otrzymamy punkty styczności E (E E") i F (F F") płaszczyzn e i cp z kulą.

Płaszczyzny s° i cp° przecinają oś a kuli, pierwsza w punkcie M (AT M"), druga w Д/ (N' N"). Przez punkty te przejść muszą płaszczyzny s i cp, co służyć może do sprawdzenia dokładności rysunku. Ślad pionowy Ve przejdzie przez ślad Vm poziomo tworzącej prostej m (m' m"), a ślad pionowy Vn prostej n//m leżeć będzie na śladzie pionowym vv płaszczyzny cp.

161. Wyznaczenie linii styczności walca, o tworzących równoległych do danego kierunku, z powierzchnią obrotową.

Rozwiązanie tego zadania poprzedzimy rozważaniem następujących tematów:

a) Dana jest powierzchnia obrotowa i rzut poziomy p' jej południka; wyznaczyć na tym południku punkty styczności płaszczyzn stycznych, równołegłych do danei prostej’ k.

Ft

Przyjmijmy najpierw (Rys. 471.), że prosta k jest równoległą do płaszczyzny południka. Wiadomo z ust.

s’à

Л/V" ч

punkt i że krawędź płaszczyzny tego \ \ w południka z płaszczyzną styczną jest Al\'Л styczną do południka w uważanym

punkcie i przecina oś powierzchni. A—.-

ДЬу uniknąć kreślenia rzutu piono- -⁷f~-wego południka p, obróćmy go około Ы/ osi powierzchni tak, aby zeszedł się kyA' / & z południkiem głównym. Równocześnie obróćmy prostą k (k' k") tak, aby zajęła położenie ki równoległe do rzutni pionowej. Styczne Si" i Sz" do zarysu powierzchni obrotowej na rzutni pionowej, równoległe do ki", stykają się z tym zarysem w punktach Ei (Е/ Ei") i Fi (Fi' Fi"). Wróćmy z tymi punktami na południk p — a zadanie będzie rozwiązane.

145., że płaszczyzna styczna w danym punkcie powierzchni obrotowej jest prostopadłą do płaszczyzny południka, który przechodzi przez ten

E" ; Ve

,H

F'l

a'

Ф'

Rys. 471.

Łuki kół, zakreślone z punktu a' promieniami a' Ei i a' Fi', przecinają prostą p' w punktach E' i F', których rzuty pionowe leżeć będą na śladach pionowych Ve i Vф płaszczyzn obrotów, przechodzących przez punkty Ei i Fi prostopadle do osi a powierzchni.

Ей

\P"

О”

'si

ап

У<Р

F”

7*

А" л

Va

к"

2L

1’кНк

<р\

ÎE’

V \кг

А’/

AÏ

O' pi \Fi

El

аг

F'¹

Rys. 472.

W4 \ а" ! \s"

к"

<A"

Jeżeli prosta k (k' k") nie jest równoległą do płaszczyzny południka (Rys. 472.), to południk dany obrócimy około osi a (a' a") powierzchni aż padnie na południk główny, a prostą k {k' k") obrócimy około prostej IIla o kąt cp, równy kątowi, jaki płaszczyzna południka p zawiera z płaszczyzną południka głównego. Wykreślimy styczne Si// i S2" równoległe do ki"y a punkty Ei {Ei' Ei") i Fi (/V Fi") sprowadzimy zapomocą obrotu około osi a na płaszczyznę południka p, otrzymując punkty E {E' E") i F {F' F"), rozwiązujące zadanie.

X__

f2_

П/

H\[A’

b) Na danym równoleżniku r (r' r") powierzchni obrotowej (Rys. 473.) wyznaczyć punkty stycznościj płaszczyzn stycznych, równoległych do danego kierunku k (k' k").

Szukane płaszczyzny są styczne do stożka opisanego na powierzchni wzdłuż danego równoleżnika, a wyznaczenie owych płaszczyzn stycznych do stożka, równoległych do

nr

w w¹

Rys. 473.

danego kierunku, uskutecznimy przy pomocy stożka normalnego (ust. 159.).

W punkcie Л" wykreślimy styczną s" do krzywej, będącej rzutem pionowym powierzchni obrotowej, a następnie normalną Л" Wi". Prostopadła л", wykreślona z Wi" do k", przecina r" w punkcie H", który rzucimy na prostą n', otrzymując punkt H'. Przez ten punkt wykreślona prosta q' J_ k' przecina koło r' w punktach 7V i Гг', które są rzutami poziomymi szukanych punktów Ti (ГГ TY') i Гг (Гг' Гг").

\a*

e? V/

VC" \

Ei\

\

Oj di

Оз 04

—pff*

Fi\P"

i .

/г/^ч

к"

Нк_

£U_

Fi

D," /.гг

щй-%¹

Р2

vAi

Pii к}

Нк

Sl~~l

Fl

fri

//r'

Vó

а;

p>

■ï

F/

/?cc

Jiï

W2,

6’

a'

/y/\X

1    /N

Pf ;//i

2'

fil

-l

*C’i

hx.

'S'

hß

Rys. 474.*

Teraz przystąpić możemy do wyznaczenia linii styczności ls walca opisanego na powierzchni obrotowej (Rys. 474.*), a zadanie nasze polegać będzie na złączeniu obu wyżej przeprowadzonych. Więc wziąwszy pod uwagę południk, leżący na płaszczyźnie я, równoległej do danego kierunku k (k' k")y wyznaczymy na nim punkty styczności Л {A' A") i В (В' В") tworzących walca, równoległych do kierunku k. W tym celu obrócimy prostą k do położenia ki {ki ki"), równoległego do rzutni pionowej i wykreślimy styczne Si" i S2" do zarysu powierzchni na rzutni pionowej. Otrzymane punkty styczności Ai {Ai Ai") i Bi (В/ Bi") obrócimy około osi powierzchni na płaszczyznę я, otrzymując szukane punkty Л i B. Jeżeli punkt przecięcia się prostej Si" z prostą a" oznaczymy literą O", to przez punkt ten przejdzie rzut pionowy s" promienia, stykającego się z powierzchnią w punkcie Л i równoległego do danego kierunku k. Punkt A" leżeć więc będzie na s".

Styczne c" i d" do rzutu pionowego południka głównego w punktach C" i D", a równoległe do k", są śladami pionowymi pionowo rzucających płaszczyzn y i <5, stycznych do walca, którego kierownicą jest południk główny powierzchni obrotowej, a którego tworzące są równoległe do danego kierunku k {k' k"). Punkty С (С' C") i D {D' D") są punktami szukanej linii ls, leżącymi na południku głównym. W punktach C" i D" styka się ta linia z rzutem pionowym powierzchni. Ponieważ prosta s' jest osią symetryi prostokątnej rzutu poziomego krzywej Is, więc znając punkty C i D', otrzymamy z łatwością punkty Ci (CT Ci") i Di {Di Di"), leżące z pierwszymi na tych samych równoleżnikach.

//

Z kolei wyznaczymy punkty E i F, leżące na płaszczyźnie ß, prostopadłej do osi лг. W tym celu obróćmy płaszczyznę ß około osi a powierzchni tak, aby padła na płaszczyznę a, a równocześnie obróćmy o ten sam kąt prostą k. Kąt obrotu płaszczyzny ß, a więc i prostej k wynosi 90°. Ta ostatnia po dokonanym obrocie zajmie położenie ki {k2' ku"), przyczem кг' J_ k'. Równolegle do ki" wykreślimy styczne 62 i /2" do rzutu pionowego powierzchni, a punkty styczności Ei {Ei Ei") i Fi {Fi' Fi") przeniesiemy zapomocą obrotu wstecznego około osi a {a' a") na płaszczyznę ß, gdzie otrzymamy punkty E {E' E") i F {F' F") krzywej ls. Symetrycznie do nich rozmieszczone są punkty E\ {Ei Ei") i Fi {Fi Fi").

Następnie obierać będziemy na powierzchni równoleżniki, na których, przy pomocy stożków normalnych, znajdziemy po dwa punkty, podobnie jak w Rys. 473.

Punkty Я (Я' К") i L (Z/ L") na kole szyjnem znajdziemy, kreśląc średnicę K' L' _L s' i odnosząc punkty K' i U na rzut pionowy tego koła.

162. Zadanie.

Wyznaczyć linię styczności walca opisanego na powierzchni obrotowej, gdy kierunek tworzących walca jest równoległy do rzutni pionowej (Rys. 475.). Zadanie to stanowi szczególny przykład, omówionego w ustępie poprzednim.

Punkty А (A' A") i В (В' ß") na południku głównym otrzymamy jako punkty styczności prostych Si i S2, równoległych do kierunku k {k' k").

Na równoleżnikach

к"

A”

6i

Ol

Г"

'Y\

/к"

/E".

Oi

otrzymamy punkty szukanej linii przy pomocy stożków normalnych (np. punkty C(<7 C") i D{D' D'j. Rzuty pionowe punktów, leżących na równiku, względnie kole szyjnem, leżą na rzucie pionowym a" osi powierzchni (punkty E i F).

GA

H”

E'

к’

V-

a'

к'

A'

п/ ri U

163. O rzutach

powierzchni obrotowych, których osi nie są prostopadłe do płaszczyzn rzutów.

Zarys powierzchni obrotowej na rzutni pionowej jest rzutem prostokątnym zarysu istotnego powierzchni, albo innemi słowy, jest przekrojem walca opisanego na powierzchni, którego tworzące są prostopadłe do rzutni pionowej, z tą rzutnią. Podobnie rzut

D' A

//'

F'

Rys. 475.

poziomy powierzchni jest przekrojem walca o tworzących pionowych, opisanego na tej powierzchni, z rzutnią poziomą.

Gdy oś powierzchni jest pionowa, to linia styczności walca opisanego na powierzchni, prostopadle do rzutni pionowej, jest południkiem głównym. Rzut pionowy tego południka, albo innemi słowy przekrój walca opisanego na powierzchni, jest linią przystającą do południka głównego.

Jeżeli oś powierzchni obrotowej ma położenie dowolne względem rzutni, to wykreślenie np. rzutu pionowego tej powierzchni wymaga wyznaczenia linii styczności walca, o tworzących prostopadłych do rzutni pionowej, opisanego na powierzchni i wynalezienia rzutu pionowego tej linii. To samo odnosi się do rzutu poziomego powierzchni. Najpierw wyznaczyć musimy linię styczności walca, o tworzących pionowych, opisanego na powierzchni, a następnie rzut poziomy tej linii, czyli przekrój tego walca rzutnią poziomą.

Kilka przykładów sprawę najlepiej wyjaśni.

a) Wyznaczyć rzut pionowy stożka obrotowego, którego oś a (a' a") równoległa do rzutni bocznej i rzut boczny są dane (Rys. 476.).

W"

кц/

la"

аЛ

\ V?

B’"

q"_

M"j

C'\

,/Y'"

C"\

<S"(

W*

A”

Am

к?

к\

rzutów, a więc równoległą do rzutni pionowej. Płaszczyzna <\r przetnie płaszczyznę postawy stożka w prostej q (q" q'"), a koło ki (ki" ki") w punktach M {M" M'") i N (ЛГ N"'). Wykonajmy kład ki⁰ koła ki

Rys. 476.

Opisany na stożku walec, o tworzących prostopadłych do rzutni pionowej, sprowadza się do dwóch pionowo rzucających płaszczyzn, stycznych do stożka wzdłuż tworzących ti i U. Tworzące te znajdziemy przy N„ pomocy stoż-j ka normalnego, kreśląc z jego wierzchołka W i płaszczyznę >]/, prostopadłą do kierunku

około jego średnicy Л ß na płaszczyznę, przechodzącą przez oś stożka, a równoległą do rzutni bocznej, to podwójna długość odcinka № N"' równa jest cięciwie M" N" elipsy ki". Punkty M" i N" są punktami styczności prostych ti" i W' z elipsą ki".

b) Wykreślić rzut pionowy i boczny kuli wraz z jej równikiem, dwoma równoleżnikami i dwoma południkami. Rzuty osi a (aa'") i środka O (O" O"') kuli, a także i jej promień są dane.

Walec, o tworzących prostopadłych do dowolnej płaszczyzny, opisany na kuli, jest walcem obrotowym. Rzut prostokątny kuli, będący przekrojem tego walca płaszczyzną rzutów, prostopadłą do jego tworzących, jest więc zawsze kołem, o promieniu, równym promieniowi kuli. Koła, zakreślone z punktów O" i O'" (Rys. 477.*) danym promieniem kuli, są rzutami tej kuli na płaszczyznę pionową i boczną.

if

ат

IR'"

ET

Г”

Mi"j

AV

ftjx-

Ni"

G"'j

yi

-J~U>

ГГ.|ГЪ /л i / />Л/

i O!"

OT

<V

T"

- Vw/

y,n^r

rT

P”! pl

.r;

\/

\ /»*

Z)"'

Гг

АУ?

- CD

N2

Мг

nP

1'"

ITT⁵

Ж"'

Äs" •••

К"

Rys. 477.*

Punkty Æ (Лх" Лх'") i Ä2 (Лг" Лг///) są punktami, w których oś a (a" a ") przebija kulę. Średnica A" B" J_ Ai" Ач" jest rzutem pionowym równika r, a równoległe do niej cięciwy E" F" i J" K" są rzutami pionowymi równoleżników ri i n. Wyznaczenie rzutu bocznego r'" równika i rzutów bocznych 71"' i Тчг" równoleżników nie nastręcza żadnych trudności. Mała oś elipsy r"' jest rzutem prostokątnym średnicy A" B" na prostą a"', oś duża równa jest średnicy C" D'" koła. Mała oś elipsy rF", będącej rzutem bocznym równoleżnika n, jest rzutem prostokątnym E'"F'" cięciwy E" F" na a'"; długość osi wielkiej G"' 77'" tej elipsy jest równą długości cięciwy E" F".

AF" Л2

///

Każda płaszczyzna, przechodząca przez oś kuli, przecina ją wzdłuż koła wielkiego (południka), a płaszczyznę równika wzdłuż prostej, która przechodzi przez środek kuli. Każda średnica koła równikowego i oś Л1 Bi kuli stanowią parę wzajemnie prostopadłych średnic jednego południka. Rzut tej pary średnic koła południkowego na płaszczyznę boczną stanowi parę średnic sprzężonych elipsy, będącej rzutem bocznym południka. Elipsa pF", wyznaczona parą średnic sprzężonych i P'" Q"', przyczem ta ostatnia jest dowolnie przyjętą średnicą elipsy r"', jest rzutem bocznym południka pi. Rzut pionowy tego południka jest elipsą pi", wyznaczoną osiami 7ÎF4W⁷ i P" Q".

///

Płaszczyzna ф, poprowadzona przez środek kuli, równolegle do rzutni bocznej, przecina ją wzdłuż koła wielkiego, którego rzut boczny stanowi zarys kuli na bocznej płaszczyźnie rzutów. Płaszczyzna ф przecina równoleżnik n (n" rF") w punktach Mi (Mi" Mi'") i N1 (NF' NF"). Punkty Mi"' i N1 są punktami styczności elipsy rF" z kołem, będącem rzutem bocznym kuli. Podobnie otrzymamy punkty M2 (M2" M2"') i N2 (/V2" NF") na równoleżniku Г2 (Г2" rF").

///

Płaszczyzna ф przecina południk pi w punktach I i II, których rzuty pionowe /" i II" są bezpośrednio znane, a których rzuty boczne /'" i //'" są punktami styczności elipsy pi z kołem konturowem kuli. Prosta III jest krawędzią płaszczyzny ф i płaszczyzny południka pi, jest średnicą w kole pi i ma położenie równoległe do rzutni bocznej. Д1е rzut średnicy koła, równoległej do płaszczyzny rzutów, jest osią elipsy, będącej rzutem tego koła (patrz przykłady w ust. 99.). Średnica /'" //'" jest więc osią elipsy pF", którą też otrzymać można, bez pośrednictwa rzutu pionowego, ze średnic sprzężonych Л1"' Л2'" i P'" Q'", przez zastosowanie poznanej w ust. 97. Rys. 292 b. konstrukcyi.

c) Wykreślić rzut pionowy powierzchni obrotowej, której oś — równolegta do rzutni bocznej — i rzut boczny są dane (Rys. 478.*).

Rzut pionowy naszej powierzchni jest śladem pionowym walca, o tworzących prostopadłych do rzutni pionowej, opisanego na tej powierzchni, albo innemi słowy, jest to rzut pionowy linii styczności walca, którego tworzące, styczne do powierzchni, są prostopadłe do rzutni pionowej.

Biorąc pod uwagę rzut boczny i poziomy, wyznaczymy — podobnie jak w Rys. 475. — linię styczności walca, opisanego na powierzchni obrotowej, uwzględniając kierunek

an

\a">

’W

rt

£0\

И«

Лл\ л Dm

07,

rt

C"

B'"

Оз

впж~-~

Я"'

km

v\

Г'т

m°

prrr

Ж\‘

E’’j

07

D"

..cr..\==

Ö4 f\

mw:

\ G"’

P"\

V"

T"‘

fi

JL.

A"

Pt"

IS”

EÏ

Dl

„f

Ci

K" 5Г

⁵    1 в"

нГ

Ml

L"

\R"

Rys. 478.*

jego tworzących, równoległy do osi y. Więc styczne, równoległe do k'", dotykają zarysu powierzchni w rzucie bocznym w punktach Лi B'" szukanej linii. Z kolei szukać będziemy punktów tej linii na równoleżnikach powierzchni, aby zaś uniknąć kreślenia rzutu poziomego, wykonywać będziemy kłady tych równoleżników na płaszczyznę, przechodzącą przez oś powierzchni równolegle do rzutni bocznej. I tak np. rzut boczny równoleżnika n jest odcinkiem n'", a kład jego na

wspomnianą wyżej płaszczyznę kołem n°. Z punktu Wi"', który jest rzutem bocznym wierzchołka stożka normalnego, wykreślimy prostopadłą do kierunku k'", otrzymując na ri" punkt C". Z punktu tego wykreślimy prostopadłą do rzutu pionowego a" osi powierzchni i odmierzymy po obu stronach prostej a" odcinek * = C"' C°. Otrzymamy punkty C" i Ci" szukanego zarysu powierzchni na rzutni pionowej. W podobny sposób znajdziemy dowolną ilość dalszych punktów tego zarysu; konstrukcyę dla punktów D" i Di", E" i El", F" i Fi" podaliśmy na rysunku.

Druga część naszej powierzchni obrotowej złączona jest z pierwszą walcem obrotowym i takimże walcem zakończona. Z rzutu pionowego pierwszego widoczna jest część elipsy o osi dużej K" Ki" i małej półosi, równej rzutowi prostokątnemu odcinka ]"' K"' na prostąjfa". Rzut boczny, a także i pionowy linii styczności walca, opisanego na owej drugiej (dolnej) części powierzchni obrotowej, wyznaczymy zupełnie w ten sam sposób, jak dla części pierwszej. Styczne równoległe do k'" stykają się z krzywą, stanowiącą rzut boczny powierzchni w punktach G'" i H"r. Rzut pionowy G" punktu G leży na prostej a".

Poprowadźmy styczną do linii G'" M"' H"\ równoległą do k"', względnie prostopadłą do a" i oznaczmy punkt styczności literą M"'. W znany sposób, przy pomocy kładu równoleżnika, znajdziemy rzut pionowy M" punktu M, a także punktu Mi, przyczem odcinek M" Mi" równy jest podwójnej długości odcinka M'" M°. Z konstrukcyi wynika wprost, że punkty M" i Mi" są punktami zwrotu linii zarysu i że krzywa M" G" Mi" jest niewidoczną. Idąc od punktu M ku punktowi H, rzut pionowy linii styczności, walca opisanego na powierzchni, jest widoczny.

164. O stożkach opisanych na powierzchniach obro

towych.

1. Niechaj zadaniem naszem będzie wyznaczenie na południku głównym danej powierzchni obrotowej, np. kuli, punktów styczności płaszczyzn stycznych do tej powierzchni, a przechodzących przez dany punkt S (S' S").

Poprowadźmy w tym celu z punktu S prostopadłą. s (Rys. 479.) do płaszczyzny południka głównego a i oznaczmy punkt przebicia się tej prostej z płaszczyzną a literą Л.

Poprowadźmy następnie z punktu Л (Л' A") styczne e (e' e") • ^    do południa głównego p (p' p"), to płaszczyzny

e = (s, e) i cp = (s,f) stykają się z powierzchnią obrotową w szukanych punktach E (E' E") i F (F' F"), leżących na południku p (p' p").

Gdybyśmy w miejsce południka głównego przyjęli południk dowolny, leżący na płaszczyźnie a (Rys. 480.), to zadanie powyższe rozwiążemy w sposób następujący: Z danego

A" S"

Ai A”

S"

S"

A.

S”

e"

E,!

er

Fi

Ei

■a"

VcC

Bi

F”%

Fi

Fn

Pb

Pij .

x\

/hcc

S'

A я *kT'

hß

Ar

e' üF' P' ! iE’ hcc

Fi

F’

a'

S'

A'\

s\

Rys. 479.

Rys. 480.

punktu 5 (S' S") poprowadzimy prostopadłą s (s⁷ s") do płaszczyzny a (ho. üa), a następnie obrócimy tę płaszczyznę wraz z punktem Л (A' A"), około osi powierzchni, do położenia płaszczyzny południka głównego ß. Styczne a (e/ ei") i fi (fi /i"), wykreślone z punktu Ai (Ai Ai") do południka głównego, stykają się z nim w punktach Ei (Ei' E\") i Fi (Fi' Fi"). Zapomocą obrotu wstecznego około osi a (a' a"), wrócimy z tymi punktami na płaszczyznę a, otrzymując na danym południku p (p' p") punkty E (E' E") i F (F' F"), w których

płaszczyzny styczne do powierzchni obrotowej, przechodzące przez punkt S, dotykają tej powierzchni.

2. Przyjmijmy powierzchnię obrotową (Rys. 481.), a na niej równoleżnik r (r' r"), zaś zewnątrz powierzchni dowolny punkt S (S' S"). Wyznaczmy na tym równoleżniku punkty styczności płaszczyzn stycznych do powierzchni, a przechodzących przez punkt S.

S"

mn

W tym celu uważajmy równoleżnik r za równoleżnik

stożka obrotowego, opisanego na powierzchni obrotowej. Styczne Hn w punktach Л" i B" do rzutu pionowego powierzchni przecinają prostą a" w punkcie W", który jest rzutem pionowym л wierzchołka stożka. Płaszczyzny \H' styczne do tego stożka, prze-\ chodzące przez punkt S, wy-j znaczają na równoleżniku r szukane punkty Si i S2. Prosta m, łącząca punkt S z wierzchołkiem W, przebija płaszczyznę p równoleżnika r w punkcie H. Styczne si (si' Si") i S2 (s2' S2"), wykreślone z punktu H (H' H") do równoleżnika r, wyznaczają wraz z prostą m (m' m") płaszczyzny styczne do stożka wzdłuż tworzących W Si i W S2, a do powierzchni obrotowej w punktach Si (Si' Si") i S2 (S2' S2").

3. Przystąpmy wreszcie do wyznaczenia linii styczności stożka opisanego na danej powierzchni obrotowej z dowolnego punktu S (Rys. 482.*).

Przedewszystkiem wyznaczymy punkty charakterystyczne szukanej linii, którymi są:

a)    Punkty Л (Л' Л") i В [В' В"), leżące na południku, którego płaszczyzna л przechodzi przez punkt S, a które znajdziemy jak w Rys. 480. Punkt Л (Л' Л") jest punktem najwyższym, a punkt В (В' В") najniższym szukanej linii.

b)    Punkty С (С' C") i D (D' D"), leżące na południku głównym, a będące punktami styczności płaszczyzn pionowo

ду

Г"

rrv

S'v

W”

ВГГ

sF?

B”-

Vp

W’

i a"

■sś

a’_

Rys. 481.

rzucających z powierzchnią i przechodzących przez punkt S. Rzuty pionowe tych punktów są punktami styczności stycz-

S? S"R”

W"

Tf

fil'⁰⁰

7/

a'{

C"

d”

gT

AÇ"

H"

rï , /Jr dw"

vs

vv

Щ.

/N" rn

-ii.”

\n

J.?

Нг

Vw

! a"

ВЩВ"

4i~

/1

H'

\    w__

Li

fF',

G'

E'

н'с

ha

\ n>\

г

ШТ,'

v\

rrv

В'

ч>

hL

hß j

F'

h%

УЖ'

ту

П’

ÏÏ!

N'

\v

Ws*

Rys. 482.*

R" do rzutu piono-

// _

nych c" i d", wykreślonych z punktu S wego powierzchni. Na południku, zawierającym z płaszczyzną к ten sam kąt, jaki ta ostatnia tworzy z południkiem głównym,

leżą punkty E (E' E") i F (F' F"), przyczem ich rzuty poziome są symetrycznie położone względem prostej hn.

c)    Punkty G (G' G") i J (J'J") leżące na południku, którego płaszczyzna ß jest prostopadła do osi x. Punkty te znajdziemy tak, jak punkty E i F w Rys. 480. Więc z punktu S' prowadzimy prostopadłą do płaszczyzny ß, a punkt przebicia się T (T' T") obrócimy około osi a na płaszczyznę cc, oznaczając jego nowe położenie przez Ti {TT TT'). Z punktu TT' kreślimy styczne gi" i ii" do rzutu pionowego powierzchni. Punkty styczności Gi (GT Gi") i Ji (JT Ji") prostych gi i U z powierzchnią obrócimy około osi a na płaszczyznę ß, otrzymując tam punkty G (G' G") i J (J' J"). Symetrycznie do nich leżą punkty К i L.

d)    Punkty M (M' M") i N (N' N"), leżące na równiku r (względnie na kole szyjnem), są określone poziomo rzucającemi płaszczyznami, stycznemi do powierzchni. Śladami poziomymi tych płaszczyzn są proste m' i n', styczne do koła r' w punktach M' i AT.

Wyznaczywszy owe punkty charakterystyczne szukanej linii, przystąpimy do konstrukcyi punktów pośrednich, leżących na równoleżnikach powierzchni. Punkty te znajdziemy sposobem podanym w Rys. 481. Jako przykład niechaj posłużą punkty I (Г I") i II {IT II"). Bierzemy pod uwagę równoleżnik ri (ri' n"), leżący na płaszczyźnie e i znajdziemy wierzchołek W (W' W") stożka opisanego na powierzchni obrotowej wzdłuż tego równoleżnika. Prosta S' W przebija płaszczyznę e w punkcie H {H' H"). Punkty styczności T i IT, stycznych do rT z punktu H', wyznaczają rzuty poziome szukanych punktów. Punkty I" i II" leżą na rT' = Ve.

W miarę, jak przyjmowane równoleżniki zbliżają się do równika, wierzchołki stożków, opisanych na powierzchni wzdłuż tych równoleżników, oddalają się od rzutni poziomej. W pewnem położeniu prosta, łącząca punkt S z wierzchołkiem takiego stożka, jest prostą poziomą, a jej ślad z płaszczyzną równoleżnika leży nieograniczenie daleko. Wyznaczmy punkty szukanej linii styczności, leżące na takim równoleżniku. Z punktu S" poprowadzimy prostą równoległą do osi rzutów *, a punkt przecięcia się WT' tej prostej z prostą a" jest właśnie rzutem pionowym wierzchołka stożka, o który chodzi. Z punktu WT' wykreślimy styczne do rzutu pionowego powierzchni, a cięciwa

styczności jest śladem pionowym płaszczyzny równoleżnika, wzdłuż którego stożek styka się z powierzchnią. Wykreśliwszy rzut poziomy tego równoleżnika, poprowadzimy przez punkt Wi' prostopadłą do prostej /ь i otrzymamy, jako przecięcie się jej z rzutem poziomym równoleżnika, punkty НГ i IV'.

Uwaga. Gdy powierzchnią obrotową będzie kula, to linią styczności stożka opisanego na niej jest koło, którego rzuty, przez wprowadzenie trzeciej rzutni, dadzą się z łatwością wyznaczyć.

165. Zadania.

1.    Przez daną prostą p    poprowadzić    płaszczyzny

styczne do powierzchni obrotowej.

Każda płaszczyzna styczna    do    stożka    albo    do    walca,

opisanego na danej powierzchni obrotowej, jest styczną do tej powierzchni w jednym punkcie krzywej styczności. Obrawszy więc dwa dowolne punkty Л i В д prostej p (Rys. 483.) za wierz- jf-chołki stożków, opisanych na powierzchni Ф, wyznaczymy ich linie styczności a i b, które przecinają się w punktach E i F.

Płaszczyzny e=(p,E) i cp = (p, F) rozwiązują zadanie.

Jeślibyśmy punkt В przyjęli jako punkt niewłaściwy prostej p, to otrzymamy walec opisany na powierzchni obrotowej Ф, a rozwiązanie zadania nie dozna zresztą zmiany.

2.    Przez daną prostą a (a' a") poprowadzić płaszczyzny styczne do kuli.

Pierwszy sposób. Na kuli opiszemy walec, którego

tworzące są równoległe do prostej a; płaszczyzny styczne do walca,a przechodzące przez prostą a, rozwiązują zadanie. Äby módz poprowadzić płaszczyzny styczne do walca, bez poprzedniego wyznaczenia

52

cc

'I

Rys. 483.

S2

s’ \ Si

Rys. 484.

Bartel, Geometrya wykreślna.

CM

CM

jego śladu, poprowadzimy przez środek kuli płaszczyznę a prostopadłą do prostej a (Rys. 484.), a przez punkt przebicia się Л tej prostej z płaszczyzną a styczne Si i S2 do koła k. Płaszczyzny przechodzące przez prostą a i styczne Si i S2 rozwiązują zadanie, które, jak widzimy, posiada dwa rozwiązania.

Niechaj punkt O (O' O") jest środkiem kuli, a prosta a (a' a") daną prostą (Rys. 485.). Przez środek kuli poprowadziliśmy prostą poziomą b (b' b") prostopadłą do a (a' a"),

1Ш

V<p

v7

А"

Va

\z

Ha^ / Iva

Xe/ \Vi

На

VA

HU. AŁ

A’

h<p

d’

Hd

Zr

T'

Ab

₄a'

D°

O'

ha

/£'

\d°

c°i

Hc\

H'

hr

Rys. 485.

a przez nią płaszczyznę a (ha Ua) również do a prostopadłą. Punkt przebicia się prostej a z płaszczyzną a oznaczyliśmy literą Л (Л' Л"). Wykonajmy kład płaszczyzny a na płaszczyznę p równika r kuli, a to około krawędzi b (b' b") tych obu płaszczyzn. Prostą a' uważajmy za ślad poziomy płaszczyzny obrotu, to kład punktu Л na płaszczyznę równika będzie w punkcie Лх, przyczem А' Л* = z jest odległością punktu A" od prostej b", równą odległości punktu Л od płaszczyzny p. Po dokonanym obrocie punkt Л zajmie poło- • żenie Л⁰. Styczne c° i cf°, wykreślone z punktu Л⁰ do koła r', przecinają prostą b (b' b") w punktach E (E' E") i F (F' F"), które połączone z punktem Л (Л' Л") dają proste c (c' c") i d (d' d"). Płaszczyzna e (he Ue), wyznaczona prostemi a (a' a") i c (c'c") i płaszczyzna ф (/icp оФ), przechodząca przez proste a (a' a") i d (d' d"), rozwiązują zadanie.

W'

Vj3

'Mn

Vj

B°

B'

S”/

'd”

кп/

O"

Va!

XL

h₇

\Vd

Л

C°

Hd

'a¹

^Bn

rA'

ha.

■■

\ I \S' i O' S°

d\ d°

/k°

h/3

Rys. 486.

Drugi sposób. Z dowolnego punktu prostej a, jako z wierzchołka, opiszemy na kuli stożek. Płaszczyzny styczne do tego stożka, a poprowadzone przez prostą a, są styczne do kuli i rozwiązują zadanie.

Najdogodniej jest obrać punkt na prostej a tak, aby oś stożka była równoległą do jednej z rzutni, gdyż wówczas rzut

* koła styczności stożka z kulą na płaszczyznę równoległą do osi jest linią prostą.

Niechaj punkt O (O' O") jest środkiem kuli, a prosta a {a! a") tą prostą, przez którą poprowadzić mamy płaszczyzny styczne do kuli (Rys. 486.). Poprowadźmy przez środek kuli czołową płaszczyznę cc i wyznaczmy punkt Л (Л' Л"), w którym cc przecina prostą a (a' a"). Uważajmy punkt Л za wierzchołek, a prostą czołową Л O za oś stożka opisanego na kuli. Zarys tego stożka na rzutni pionowej stanowią styczne, wykreślone z punktu A" do rzutu pionowego kuli. Cięciwa styczności M" N" jest rzutem pionowym koła styczności k stożka i kuli. Pionowo rzucająca płaszczyzna ß (hß üß) tego koła, przecina prostą a (a' a") w punkcie В (£Г B"). Styczne c i d, poprowadzone z punktu В do koła k, oraz dana prosta a wyznaczają żądane płaszczyzny. W celu otrzymania rzutu poziomego stycznych c i d, wykonaliśmy kład płaszczyzny ß, wraz z kołem styczności i punktem B, na rzutnię poziomą. Styczne c° i d°, wykreślone z punktu B° do koła k°, przecinają ślad hß w punktach Hc i Hd, które połączone z punktem B' dają proste c' i d'. Rzuty pionowe stycznych c i d schodzą się ze śladem pionowym płaszczyzny ß. Płaszczyzny y {a, ć) i 8 = (a, d) stanowią rozwiązanie zadania.

§ 14. POWIERZCHNIE TOPOGRAFICZNE

166. Plan warstwicowy. Powierzchnia obszaru ziemi wraz z jej wzniesieniami i zagłębieniami, a więc powierzchnia nie dająca się określić geometrycznie, nosi nazwę powierzchni topograficznej. Do przedstawienia takiej powierzchni używamy z reguły metody rzutów cechowanych ; zarówno metoda Monge’a, jak i rzut ukośny nie byłyby tu celowe i stąd nie wchodzą w rachubę.

Celem otrzymania geometrycznego obszaru powierzchni topograficznej, weźmy pod uwagę obszar ziemi, znajdujący się nad morzem. Przybrzeżną część spokojnego zwierciadła morza uważajmy za płaszczyznę, którą przyjmijmy za płaszczyznę porównawczą (rzutów). Płaszczyzny warstwowe, przyjęte w pewnych równych odstępach od płaszczyzny porównawczej,.

przetną uważany obszar ziemi wzdłuż linij ciągłych, które nazywamy warstwicami powierzchni topograficznej. Oznaczmy każdą z warstwie liczbą, wyrażającą odległość płaszczyzny, na której leży, od płaszczyzny porównawczej w metrach i rzućmy je wszystkie prostopadle na płaszczyznę porównawczą, to otrzymane tam linie krzywe, zaopatrzone w cechy, tworzą t. z w. plan warstwicowy, charakteryzujący dany obszar powierzchni topograficznej. Każda z warstwie, którem to mianem określamy nie tylko przekrój powierzchni topograficznej płaszczyzną poziomą, ale także i rzut tego przekroju na płaszczyznę porównawczą, jest miejscem geometrycznem punktów o jednakowej wysokości. Oczywiście, że im mniejszą jest różnica wysokości poszczególnych warstwie, tern charakterystyka terenu, wyrażona planem warstwicowym, jest bardziej szczegółowa i dokładna.

Rys. 487. przedstawia plan warstwicowy obszaru powierzchni topograficznej w podziałce 1:20.000. Rzut oka na cechy i przebieg warstwie pozwala natychmiast na zoryentowanie się w terenie. I tak widzimy, że w okolicy punktu Л teren jest najniższy i tworzy t. zw, kotlinę, następnie wznosi się, o czem pouczają nas warstwice o cechach 234, 235, 236, 237... ąsL W kierunku wschodnim teren wznosi

237

238

'238

237

Г\

Iz

1з ;

236

237

\237

239

ф₂34

'239

*35/236/237

237

238

__239

L\

240

J- 17n

Podziatka 1:20.000.

Rys. 487.

się dalej i tworzy szczyt o wysokości 240‘5 m; podobnie podnosi się teren ku południowi, a zaś ku północy spada.

Wysokość warstw, t. j. odległość dwóch uważanych płaszczyzn warstwowych, przyjmujemy zależnie od podziałki rysunku i celu, jakiemu rysunek ma służyć.

Kształt obszaru powierzchni topograficznej, zawarty między dwiema warstwicami nie jest bliżej określony. Przyjmujemy

jednak, że w tym obszarze powierzchnia nie zawiera żadnych szczególności i że stanowi taką powierzchnię prostoliniową, której tworzące są w przybliżeniu prostopadłe równocześnie do obu warstwie.

167. Przekrój powierzchni topograficznej płaszczyzną rzucającą. Weźmy pod uwagę powierzchnię topograficzną (Rys. 488.) i przetnijmy ją poziomo rzucającą płaszczyzną a. Ponieważ rzut poziomy linii przekroju schodzi się ze śladem

poziomym ha płaszczyzny

mu-

101 \100 \99    98

f? J mmmm w siecznej, więc wykonać

simy kład tej płaszczyzny,

wraz z linią przekroju, na jedną z płaszczyzn warstwowych i (aby przejrzystości rysunku nie zaciemniać), u>° przenosimy ten kład w inne miejsce na płaszczyźnie rysunkowej. Przyjętą prostą p uważajmy za krawędź płaszczyzny siecznej z płaszczyzną warstwową o wysokości 95 m i przenieśmy na nią szereg punktów A\ B', C,... z prostej ha. Na prostopadłych, wykreślonych w punktach A', B', C',... prostej p, odmierzymy różnice wysokości poszczególnych punktów od płaszczyzny porównawczej i płaszczyzny warstwowej o wysokości 95 m. Otrzymane punkty A, B, C,... łączymy o ile możności prostemi, otrzymując w rezultacie linię ciągłą, stanowiącą w przybliżeniu żądany przekrój, czyli, jak go w odniesieniu do powierzchni topograficznej nazywamy, profil

ha

101

100

iw

100~

99

98

97

96

95_

C\ D\ E' F G H'

P<

99

198    /97

.97 \S8    90

FB

W\ :

A’    B’

K,

P

-à ' 6—6—■<!>—-o——6-ô———

C I)' P'E' F' G' H’

Rys. 488.

Ют

poprzeczny.

Jest rzeczą oczywistą, że im gęściej występują warstwice i im mniejszą jest ich różnica wysokości, tern dokładniejszą i bardziej do prawdy zbliżoną będzie otrzymana linia przekroju (profilu). Między punktami D i E kształt powierzchni nie jest znany, to jednak pewne, że między obu tymi punktami znajduje się punkt najniższy linii przekroju, od którego począwszy linia ta, a więc i teren, poczyna się wznosić ku

punktowi E. Punkt P' przyjmiemy w środku odcinka C D', a wysokość punktu P, a więc i jego cechę, znajdziemy również tylko w przybliżeniu z profilu poprzecznego, przy założeniu, że od punktu C ku punktowi P teren spada w tym samym stosunku, w jakim następnie podnosi się ku punktowi D.

-ISO

⁴200

200

-ISO

-160

168. Uzupełnienie planu warstwicowego. Wrysowanie warstwie pośrednich w dany plan warstwicowy nazywamy u z u p ełnieniem . tego planu. Zadanie polega na wyznaczeniu rzutów punktów o równych, żądanych cechach, leżących na powierzchni topograficznej, między dwiema płaszczyznami warstwowemu

-M

T-136

-m

■120

110

-100

JO.

Rys. 489.

Uwzględniając końcową uwagę w ust. 166., nakreślimy w pewnych odstępach rzuty tworzących powierzchni topograficznej, ograniczonej dwiema warstwicami, podzielimy je w żądanym stosunku, a otrzymane punkty o równych cechach połączymy linią ciągłą. W ten sposób włączyliśmy warstwicę 110 między 100 i 120 i warstwicę 128 i 136 w plan warstwicowy, podany na Rys. 489.

169. Przekrój powierzchni topograficznej dowolną płaszczyzną. Linia przekroju powierzchni topograficznej płaszczyzną jest miejscem geometrycznem punktów przecięcia się warstwie tej powierzchni z warstwicami płaszczyzny siecznej o tych samych cechach. Tym sposobem otrzymaliśmy punkty Л', B', C w Rys. 490. Chcąc otrzymać punkty pośrednie, określające dokładniej przebieg linii przekroju powierzchni płaszczyzną a, obieramy na powierzchni proste, prostopadłe w przybliżeniu do dwóch sąsiednich warstwie i szukamy punktów, w których proste te przebijają płaszczyznę sieczną. Tak np. prosta MN przebija płaszczyznę a w punkcie P, prosta RS w punkcie T.

Punkt przebicia się prostej z powierzchnią topograficzną znajdziemy przy pomocy przekroju powierzchni dowolną płaszczyzną, przechodzącą przez daną prostą.

SI

■fe

ty

C-"'

ft

<s

5т

Rys. 490.

170. Linie największych spadów powierzchni topograficznej. W dowolnym punkcie P powierzchni topograficznej poprowadzić można nieograniczoną ilość prostych stycznych, których miejscem geometrycznem jest płaszczyzna я, styczna w punkcie P do powierzchni (patrz ust. 126.). Nachyleniem płaszczyzny я, a więc nachyleniem jej linii największego spadu L, określamy nachylenie powierzchni topograficznej w punkcie P. Linia L posiada największe nachylenie ze wszystkich stycznych, poprowadzonych do powierzchni w punkcie P.

Linie skośne, leżące na powierzchni topograficznej, których nachylenie w każdym punkcie jest większe, aniżeli nachylenie każdej innej linii, przechodzącej przez ten punkt, nazywamy linią największego spadu, lub krócej linią spadu tej powierzchni. Dodajmy, że nachyleniem linii krzywej w pewnym punkcie nazywamy nachylenie stycznej, poprowadzonej w tym punkcie do tej krzywej. Idąc więc od pewnego punktu powierzchni topograficznej w kierunku najbardziej stromej stycznej do punktu sąsiedniego, z tego punktu znowu w kierunku najbardziej stromej stycznej do punktu sąsiedniego i t. d., przebiegniemy linię największego spadu powierzchni. Linia ta jest prostopadłą do warstwie, przechodzących przez jej punkty. Na Rys. 487. podaliśmy rzuty trzech linij największego spadu, a mianowicie h', W i W, które określają także kierunek ścieku wody po terenie.

171. Zadanie.

Dany jest plan warslwicowy terenu, przez który przebiegać ma poziomo droga w wysokości 234 m. Oś drogi i jej szerokość są dane; wyznaczyć przecięcie się skarp bocznych drogi z terenem i jeden profil poprzeczny.

Z Rys. 491. widzimy, że oś drogi do punktu Æ jest linią prostą, następnie tukiem kota o środku S' aż do punktu Bi,

230

\23J

\232

2.31

\230

230

/231

/232

If

23i

.....;

---233\.    ■

-Mr-

.—r~

sNnN

хл

233

...... 1^1 ■

аза—

ft

<2>

Xk' /

/

XI

;Xfx

1>P

xxxx'x⁴

Гх

V/

,\

231    230/P 4>29

229/

о N

>xx

W\ \

1232    \ /

/229

229'

231    232

2Ü

•    I. ir'pb^-1"¹ ''X'liyLT——-<>-0-О 6-о—!2aafco-

А В’ C D’E’Fr Gr H’ К

Ю 15    20

25m

Rys. 491.

a dalej znowu prostą. Uwzględniając szerokość drogi równą 5 m, wykreślimy proste ograniczające jej koronę i przystąpimy do wyznaczenia płaszczyzn skarp bocznych. Ponieważ korona drogi leżeć ma w wysokości 234 m, a więc wyżej, aniżeli punkty terenu, więc droga wraz ze skarpami zbudowana być musi z ziemi nawiezionej, czyli jak technik się wyrazi: „droga leżeć będzie w nasypie“. Skarpy, którym damy nachylenie V = 2 : 3, są dla części drogi biegnących prosto płaszczyznami, zaś dla części drogi leżącej w luku stożkami obrotowymi, których tworzące mają nachylenie 2:3, a których rzuty wierzchołków leżą w punkcie S.

Przyjąwszy linie spadów U' i lę' płaszczyzn skarp, ze-stopniujemy je modułem ³/г i wykreślimy warstwice, a także warstwice stożków skarpowych i łączących się z nimi dalszych warstwie płaszczyzn skarpowych. Warstwice stożków utworzą pęk łuków kół o wspólnym środku S. Warstwice terenu przecinają się z równowartościowemi warstwicami płaszczyzn, względnie stożków skarpowych w punktach, których miejscem geometrycznem są szukane linie przekroju skarp z terenem. Potrzebne punkty pośrednie tych linij przekroju znajdziemy, podobnie jak w Rys. 490., przyjmując na powierzchni topograficznej proste i znajdując ich punkty przebicia się z płaszczyznami skarp.

Przekrój terenu wraz z drogą płaszczyzną pionową a, prostopadłą do osi drogi (profil poprzeczny), wyznaczyliśmy w sposób omówiony przy Rys. 488.

§ 15. PRZENIKANIE SIĘ POWIERZCHNI

172. O przenikaniu się wielość inno w z powierzchniami.

Ściany danego wielościanu przecinają powierzchnię w liniach krzywych, a krawędzie przebijają ją w punktach. Linia przenikania składa się więc z tylu krzywych płaskich, przecinających się na krawędziach wielościanu, ile ścian przecina powierzchnię. Jeżeli więc powierzchnia jest rzędu drugiego, to na przenikanie się jej z jakimkolwiekbądź wielościa-nem składa się szereg krzywych rzędu drugiego. Będą to zazwyczaj tylko luki, części tych krzywych.

Przykład przenikania się walca obrotowego z prostym trójściennym graniastosłupem podaje Rys. 492. Rzut poziomy linij przenikania schodzi się ze śladem poziomym walca. Ściana boczna BCEF, podobnie jak ściana Л C D F, przecina walec w części elipsy. W celu wyznaczenia rzutu pionowego tych części elips, znajdziemy przedewszystkiem punkty 1" i 2", odnosząc punkty 1' i 2' na prostą Ć" F". Następnie weźmy pod uwagę poziomą płaszczyznę a, która przetnie graniasto-słup w prostokącie / II III IV. Punkty У, 4', 5' i 6' odniesiemy na üa, otrzymując rzuty pionowe 3", 4", 5" i 6" czterech punktów linii przenikania. Jeżeli kąt, jaki prosta Ą В zawiera z osią rzutów, zbliża się do kąta prostego, to dokładne otrzy-manie punktów Г i 77', nie jest możliwe. W tym wypadku wykonamy kład ЛВС⁰ ściany ЛВС na rzutnię poziomą* odmierzymy wysokość z płaszczyzny a i przez punkt Gft poprowadzimy prostą 1° 11° równoległą do Л B. Prostopadłe, wykreślone przez punkty 7° i 77° do Л B, przecinają ją w punktach Г i 1Г. Najniżej położonymi punktami linij przenikania są punkty 7 i 8, których rzuty poziome są punktami styczności stycznych do koła k, a równoległych do C' F'. Styczne te przecinają boki Л C° i BC° w punktach 777° i IV⁰, przyczem 777° 1V° jest równoległe do Л B. W odległości Zi od D" osi X wykreślimy równoległą i odniesiemy na nią punkty T i 8', otrzymując Q rzuty pionowe punktów 7 i 8.

i"

?"

C"

'W

\ 10Ą— m\ \s"

PL S'A/' *

ńi

IR”}

гг

B" Z1 f x

JL

"I

Ę"

¥°l° VO

!c°

:r

6'

17 0

2'

Ю'

Ж'\

/4'

Я/f

.ж"

3'

F'

у'

Rys. 492.

Dalszą parę punktów charakterystycznych szukanych linij stanowią ich punkty styczności z tworzącemi konturowemi walca. Jeżeli przez a' poprowadzimy równoległą do osi л-, to punkty 9' i 10', w których prosta ta przecina koło k, są rzutami poziomymi szukanych punktów. Ich wysokość Z2, a więc i rzuty pionowe, znajdziemy przy pomocy rzutu bocznego, względnie kładu ściany Л В C°.

Przenikanie się prostego, czwór ościenne go graniasto-slupa ze stożkiem obrotowym przedstawia Rys. 493. Krawędzie boczne graniastosłupa są równoległe do osi лг, a jego ściany, których płaszczyzny oznaczyliśmy literami a, ß, y i Ô są tak dobrane, że pierwsza (a) jest równoległa do osi x

cc

CC

i przecina wszystkie tworzące stożka, druga (ß) jest płaszczyzną czołową, a więc równoległą do dwóch tworzących stożka, płaszczyzna у jest równoległą do tworzącej / (/' t" ł"') stożka, a wreszcie płaszczyzna ô jest poziomą i prostopadłą do osi stożka. Linia przenikania graniastosłupa ze stożkiem składać się więc będzie z czterech krzywych stożkowych, a mianowicie: z elipsy, która powstanie z przekroju stożka płaszczyzną a, z hiperboli, wzdłuż której płaszczyzna ß przecina stożek, z paraboli, która leżeć będzie na płaszczyźnie y

W'

/Л,

kp

ka

y'

Jvn

Я-

B"

En\

%Ж°'кюрг

M" i

law

ГЕМ

Г”'Gr'⁷ i • r~-

;/fy

Jm\Km

/ /?

a" ;

■ i U 07%'

!f"

/f? G"

7f

.i

//

//

Ô'

XX

k.

II

\ \ V П ; //    . '

OnIT VA/' o' N'J G’J J

hß

Rys. 493.

i z koła, wzdłuż którego płaszczyzna ô przecina stożek. Linie te przecinają się w punktach, leżących na krawędziach bocznych graniastosłupa.

Przez bezpośrednie odniesienie punktów A'" i B'" na rzutnię poziomą i pionową otrzymamy oś A' B' i oś A" B" elips, będących rzutami elipsy, wzdłuż której płaszczyzna a przecina stożek. Drugie osi tych elips otrzymamy, jeśli przez środek odcinka AB poprowadzimy płaszczyznę poziomą e i wyznaczymy koło przekroju stożka tą płaszczyzną. W rzucie

poziomym, otrzymamy punkty C i D', ograniczające drugą oś w rzucie poziomym. Punkty C" i D" są wierzchołkami elipsy w rzucie pionowym. Płaszczyzna ß, jako równoległa do dwóch tworzących stożka, przecina go wzdłuż hiperboli o wierzchołku E (E' E" E'"). Rzut pionowy tej hiperboli przedstawi ją w prawdziwym kształcie i wielkości, a rzut pionowy tworzących konturowych stanowi jej asymptoty. Płaszczyzna y, równoległa do tworzącej t stożka, przecina go wzdłuż paraboli o wierzchołku H (H' H" H'"), a wreszcie płaszczyzna 6 przetnie stożek w kole o promieniu r. Punkty F i G, w których koło to przecina krawędź boczną graniastosłupa, są punktami hiperboli; punkty / i К należą do paraboli. Punkty, w których elipsa, leżąca na płaszczyźnie .a, przecina pozostałe dwie krawędzie boczne graniastosłupa, są punktami hiperboli (punkty M i N)r względnie paraboli (punkty P i 0. Płaszczyzna czołowa, przechodząca przez oś stożka, przecina płaszczyznę у w prostej p, a parabolę w punktach 111(111" III'") i IV{IV" IV'").

W"

TT

\.

U"'

2"

Ą-’ IX" V” XI"D"

w va

,?c,\ Ш .

i-ÆX

-о

Punkty III" i IV" są punktami styczności rzutu pionowego paraboli z rzutem pionowym tworzących konturowych stożka.

Г с"

15’Х

2'

6’

16/,

7Г

IX

[к.

у 5\

10’\

ъс

XI

Rys. 494.

Przenikanie się czwo-rościennego, prostego ostrosłupa z walcem obrotowym, o osi pionowej (Rys. 494.), składać się będzie z czte- a rech łuków elips, przecinających się w punktach 1 (Г 1"), 2 (2' 2"), 3 {3' 3") i 4 {4' 4"), leżących na krawędziach bocznych ostrosłupa. Nie wyznaczyliśmy osi, ani też średnic sprzężonych tych elips, lecz poszczególne ich punkty. W tym celu obieraliśmy na ścianach ostrosłupa proste, przechodzące przez wierzchołek W {W' W") i szukali ich punktów przebicia się z walcem. Ponieważ walec jest obrotowy i rzuca w swój,

ślad poziomy wszystkie znajdujące się na nim punkty, więc nadanie przedstawia się rysunkowo bardzo prosto.

Przenikanie się czworościennego, prostego graniasto-słupa z kulą widzimy na Rys. 495. Linia przenikania składa się z czterech przystających części kół, leżących na płaszczyznach poziomo rzucających i przecinających się na krawędziach bocznych graniastosłupa. Sposób wyznaczenia rzutu pionowego poszczególnych punktów tych kół tłómaczy dostatecznie wyraźnie rysunek.

6"

10]

o O"

7" 8"

P"

3".

-Vp-

1'i

гг"

'[W

Va

AVB"

C\ Dn_X

X A"

B"

dl

iv

JlL-i

riió а'О'

Ao

iiL

\\

ä'

\Hri

4>

'A'A

Г/

Rys. 496.

Rys. 495.

Prosty czworościenny ostrosłup przenika się z kulą {Rys. 496.), przyczem wierzchołek ostrosłupa leży w środku kuli. Jest rzeczą zrozumiałą, że linia przenikania składać się będzie z łuków kół, które przecinają się w punktach, leżących na krawędziach bocznych ostrosłupa. Najpierw wyznaczymy punkty 1, 2, 3 i 4, w których krawędzie boczne ostrosłupa przebijają kulę. W tym celu obrócimy krawędź Л W około osi pionowej, przechodzącej przez wierzchołek ostrosłupa, do położenia równoległego względem rzutni pionowej. Prosta Æ W przebija kulę w punkcie lo (1 o' /o"), z którym wrócimy na krawędź Л W, otrzymując szukany punkt 1 (1' 1"). Punkty 2, 3 i 4 mają tę samą wysokość, co punkt Î. Z kolei oirzy-

mamy punkty 5, 6, 7 i 8. Punkty pośrednie linii przenikania otrzymamy przy pomocy przekrojów kuli i ostrosłupa płaszczyznami poziomem i.

Rys. 497. podaje przenikanie się prostego gra-niastostupa trójściennego z półkulą, leżącą wzdłuż równika na rzutni poziomej. Linia przenikania składa się c"'a z łuków dwóch kół przecinających się w punktach 1 (V 1") i 2(2' 2"). Do wyznaczenia punktów linii przenikania użyto rzutu bocznego.

173. O przenikaniu się powierzchni. Linia przenikania się dwóch powierzchni, t. j. miejsce geometryczne punktów, leżących równocześnie na obu powierzchniach, jest w ogólności krzywą skośną. Celem wyznaczenia poszczególnych punktów

MĄ

л ,.t_

3f4n

A"pr 8" А в’

Ö'-

v>

rl

O"

2"

5"!

Sr

к-JP ²i

Rys. 497.

ii •

-6’}

Rys. 498. Refektarz w klasztorze Benedyktynek w Sandomierzu

(Ze zbiorów prof. dr. Jana Sas Zubrzyckiego)

tej linii, przecinamy obie powierzchnie płaszczyznami i znajdujemy linie przekroju powierzchni temi płaszczyznami. Każda para otrzymanych krzywych, leżących na jednej płaszczyźnie siecznej, przecina się w pewnej ilości punktowy które są punktami linii przenikania. Wybór płaszczyzn siecznych zależy od rodzaju i położenia przenikających się powierzchni i winien byc taki, aby linie przekroju były rysunkowo najprostsze i najdogodniej położone. Niekiedy okaże się korzystniej użycie w miejsce płaszczyzn powierzchni i wyznaczenie linii przenikania za ich pośrednictwem.

W tern samem znaczeniu, co przy przenikaniu wielościa-nów (ust. 108.), mówimy i tu o przenikaniu częściowem i zu-pełnem. W pierwszym przypadku linia przenikania jest krzywą ciągłą, w drugim składa się z części (gałęzi).

174. Przykłady przenikania się powierzchni. a) Przenikanie się dwóch walców obrotowych przed-stawia Rys. 499. Rzut poziomy linii przenikania schodzi się

z kołem ki. Poziomo rzuca-

jąca płaszczyzna a, przechodząca przez osi obu walców, przecina każdy z nich wzdłuż dveoch tworzących, względnie w prostokącie. Punkty 1 (/' 1"), 2 (2' 2")y 3 (3' 3") i 4 (4' 4"), w któ-X. rycłi tworzące te przecinają się, są punktani linii przenikania. Płaszczyzna ß // cc przecina walec o osi poziomej b (b' b") wzdłuż dwóch tworzących, których rzut pionowy oddalony jest o odcinek e od prostej b". Tworzące te przecinają jedną z dwóch prostych, wzdłuż których płaszczyzna ß przecina walec, w punktach 5 (5' 5") i 6 (6' 6") linii przenikania. Przy pomocy płaszczyzny у // a, a stycznej do wralca o osi a, otrzymaliśmy punkty 7 (7' 7") i 8 (6' 6"). Wyznaczywszy

™ /I"    1" i 2"

"7 if j ur i '

'VI I I/ 7"

Д,7    : \

Ki

JL

F°)

A°

PU

i? 7

U'

br.

h<l

____¹ № ,

73’ j nß.

Rys. 499.

symetrycznie względem poprzednich położone punkty 9 (9' 9 ') i 10(10' 10"), znaleźliśmy jeszcze punkty 11(11' 11") i 12(1212"), a także punkty 13 (13' 13") i 14 (14' 14"). Połączywszy rzuty pionowe wyznaczonych punktów, otrzymamy rzut pionowy linii przenikania, złożonej z dwóch części.

C”

Jo

f" ПО

Bo

2” \

Ш" I J6"

wm

Шо

ко

10"

D"

Л.

B'

8'

7'

hj

a¹

S' 1 C

D'

10'

к'

ki

Rys. 500.

b)    Dalszy przykład przenikania się walców podaje Rys. 500., gdzie walec obrotowy o osi pionowej przenika się z jednej strony z walcem obrotowym, a z drugiej z walcem eliptycznym. Linie przenikania wyznaczono przy pomocy przekrojów walców płaszczyznami poziomemi, o czem dostatecznie jasno poucza nas rysunek. Przykłady przenikań walców w budownictwie stanowią sklepienia. Zdjęcia fotograficzne dwóch z nich podają rysunki 498. i 505.

c)    Przenikanie się powierzchni pierścieniowej z walcami obrotowymi widzimy na Rys. 501. Oś powierzchni pierścieniowej leży na rzutni poziomej i jest prostopadłą do rzutni pionowej. Płaszczyzna równikowa a jest płaszczyzną czołową i zawiera oś a (a' a") jednego z walców. Poszczególne punkty linii przenikania wyznaczyliśmy przy pomocy przekrojów przenikających się powierzchni płaszczyznami czo-łowemi a, p, y, 8 i e.

W szczególności płaszczyzna równikowa a przecina walec wzdłuż tworzących konturowych, a te przecinają równik w punktach 1 (V 1") i 2 (2' 2") szukanej linii przenikania. Płaszczyzna czołowa p, styczna do walca, przecina pierścień wzdłuż koła r (r' r"). Punkt 3 (3' 3") jest dalszym punktem linii prze-

nikania. Płaszczyzna у, przecinająca pierścień wzdłuż koła ri(ri'ri"), umożliwia wyznaczenie punktów 4(4' 4") i 5(5' 5").

Linia przenikania jest krzywą symetrycznie położoną względem płaszczyzny czołowej a; punkty 1,    2, 3,

4 i 5 odnoszą się do części, znajdującej się przed — tą płaszczyzną. Rzut pionowy części krzywej przenikania, leżącej z a płaszczyzną cc, schodzi się z linią, wyznaczoną punktami 1", 2", 3", 4" i 5".

k”

2"

5"

r"

G<L

1"

[>

Ti**,

C",

Ô"

\£>"

\x

7r'

j-4'

■4-

-f

а' Пг' Л«1 г/ /У' Л/ /' 5Л

Л/*-i n; 5

Гг

Л.1 I

С'

1Л'

/fr'

Rzut pionowy linii przenikania walca, którego oś jest prostopadłą do rzutni pionowej, z pierścieniem jest kołem ki". Poszczególne punkty А', B', C... rzutu poziomego krzywej przenikania znaleźliśmy za pośrednictwem równoleżników pierścienia, leżących na płaszczyznach y,

8, ß, Ô...

Rys. 501.

W”

/fr"

ls"

AJ' ;

lan

d) Przenikania się _a kuli z walcem i ze stoż-

XI

[а" У

X-

kiem przedstawiliśmy na Rys. 502 a i b. Oś a walca obrotowego przechodzi przez środek kuli, linia przenikania składa się z kół ki (ki'ki")\kz(Wk*").

Podobnie ma się sprawa z przenikaniem się stożka obrotowego z kulą, przyczem oś stożka przechodzi przez środek

кг

a’

\ a’'

Rys. 502 a i b.

kuli. Na linię przenikania składają się dwa koła, a mianowicie koła ki i ki.

e)    Przykład przenikania się walca obrotowego ze stożkiem obrotowym, przyczem osi obu powierzchni przecinają się w punkcie O (O' O"), widzimy na Rys. 503. Do wyznaczenia poszczególnych punktów linii przenikania użyto pośrednictwa kul. Punkt O uważajmy za środek kul, a rzut pionowy jednej z nich oznaczmy przez ri". Kula ta przeniknie się z walcem w kole ki, a ze stożkiem w kole kz.

Rzuty pionowe obu tych kół są odcinka-mi ki" =JIFr7F7    д”

i ks" = 1" II". Koła ki i k3 przetną się w punktach 7 i 8, które są dwoma punktami linii przenikania. Rzuty pionowe 7" i 8" tych punktów schodzą się w punkcie А'Д M przecięcia się odcinków ki" i ks".

Tym sposobem, przy użyciu dalszych kul, otrzymamy żądaną ilość punktów linii przenikania obu powierzchni. Na uwagę zasługują jeszcze punkty 11 i 12, leżące na tworzących V W i VI W stożka.

Na Rys. 503. podaliśmy ponadto przenikanie się walca obrotowego, o osi pionowej a, z walcem obrotowym o osi b, przecinającej pierwszą, a równoległą do rzutni pionowej. Linię przenikania wyznaczyliśmy, jak nas o tern poucza rysunek, przy pomocy płaszczyzn pionowo rzucających, a równoległych do osi b.

f)    Wyznaczenie linii przenikania dwóch powierzchni stożkowych rzędu drugiego przeprowadziliśmy na Rys. 504. Ślad poziomy stożka o wierzchołku Wi jest kołem ki ; ślad poziomy stożka o wierzchołku Wi, znajdującym się w czwartej

W”

к?

yf

„ /p”

AMT-,

Ab.

в"

\ пЖ

АЖ’Х'

!

D’

il.

С’

е> W_

—/75'-

flÆsl__

3’

э»

,Ж”

су/

ч»

[/ 10”, г<<

1V

S'

10'

CL

ХЖ12'

Rys. 503.

części przestrzeni, jest kołem ki. — ЛЬу wyznaczyć poszczególne punkty linii przenikania obu stożków, łączymy ich wierzchołki prostą w (w' w") i przez nią prowadzimy płaszczyzny, takie jednak, które przecinają obie powierzchnie. Przekroje te będą tworzącemi powierzchni, a punkty przecięcia się tych tworzących punktami szukanej linii przenikania.

Wi

Ai

AJ

L"

OS

vnr

W'r

13"

XX

Ш" £

ol

tr

,m« oSß"

F"

... X X

JF

•X

N.

W’

7Г,

75'/

—- iiÇ-.

'Oz

'Аг^=

wi

L\

M\

ht

Ы,

ha

Rys. 504.

Płaszczyzna a, której ślad poziomy /za, przechodząc przez ślad poziomy H prostej w, jest styczny do koła ki, styka się ze stożkiem Wi wzdłuż tworzącej Л Vki, a stożek W2 przecina wzdłuż prostych IW2 i II W2. Punkty 1 (/' 1") i 2 (2' 2"), w których tworząca Л Vki przecina tworzące IW2 i IIW2, , stanowią parę punktów linii przenikania. Płaszczyzna p przecina stożek Wi wzdłuż tworzących III Wi. IV Wi i styka się ze stożkiem W2 wzdłuż tworzącej В Vk_>. Tworzące te przecinają się w punktach 3(5 3") i 4 (4' 4") szukanej linii przenikania. Z kolei weźmy pod uwagę płaszczyznę y, której ślad poziomy h\ przechodzi przez punkt C, w którym wspólna styczna do kół i k?,' styka się z kołem ki. Na tworzącej C W2 otrzymamy punkty 5 i 6 linii przenikania. Płaszczyzna ô przecina każdą powierzchnię sfożko- I wą wzdłuż dwóch tworzących, a te przecinają się w punktach 7, 8, 9 i 10, które należą do linii przenikania. W ten sposób, postępując dalej,

Mli

Ц;-

A;

Rys. 505. Krużganek w klasztorze Benedyktynek w Sandomierzu

(Ze zbiorów prof. dr. Jana Sas Zubrzyckiego)

•otrzymamy żądaną ilość punktów, które połączone na obu rzutniach, dają rzuty linii przenikania.

g) Przenikanie się powierzchni stożkowej rzędu drugiego z walcem eliptycznym, którego ślad poziomy jest kołem ki, przedstawia Rys. 506. Przez wierzchołek W (W' W") stożka prowadzimy prostą w (w' w"), równoległą do tworzących walca, a przez nią płaszczyzny tnące równocześnie obie powierzchnie. Liniami przekroju będą tworzące powierzchni, a punkty przecięcia się tworzących, które leżą na poszczególnych płaszczyznach siecznych, są punktami linii przenikania.

Płaszczyzna a, której ślad poziomy ha jest styczny do śladu poziomego k stożka, dotyka się stożka wzdłuż tworzącej Л W, a walec przecina wzdłuż tworzących, przechodzących przez punkty / i II koła ku Tworzące te przecinają się w punk-

к! O2

Л" X"

hé Tsp

1 fr H»

о!

О/,

W"

И"

/5⁷

4M" ил W FI:    B" C’A"

/XTV" хут" F"

A_

\wr

/1

\i\

/vU

J/ж

⁵>h r' .1 /......m

hrp-

<5

ZE

/64

•4o

he

,E

Лк

'ЛИ

ki

hec

Rys. 506.

tach 1 (1' 1") i 2 (Z 2") linii przenikania. Podobnie płaszczyzna ß styka się ze stożkiem wzdłuż tworzącej В W, a walec przecina wzdłuż prostych, wychodzących z punktów III i IV koła ku Tworząca styczności i tworzące przekroju przecinają się w punktach 5 (3' 3") i 4 (4' 4") linii przenikania. Przy pomocy płaszczyzn y, S, e, cp, p...., przechodzących przez prostą w, otrzymamy dalsze punkty linii przenikania, która w naszym przypadku składa się z dwóch części. Przenikanie jest więc zupełne.

h) Wyznaczyć linię przenikania dwóch walców eliptycznych, których ślady poziome są kołami (Rys. 507.).

Ol

G"

Оз

\/4

11"\ \

/Т

8f/iOK

Г’6"

ryte

\РЬ

Wy

ar/

Ши"

7"3^71

и"

Н”и

L" G "

Г R” H" Мп D" у -

Ą4i"____£ПР"- — -

Ни

/иг

N,

hß

к w.

ХМ)

hr

О/

М 114'

17

hl

'S

1Шд4'

тО>

/ь¹

'С

he

СГ>

ha

-МП

5.

со⁴

чв

TJ?:

"о

?>-

Si

Rys. 507.

Przez dowolny punkt P (P' Pr/) w przestrzeni prowadzimy proste t i u, równoległe do tworzących walca. Płaszczyzny równoległe do płaszczyzny я = (/, n) będą równoległe do tworzących obu walców i przecinać je będą wzdłuż tworzących. Więc np. płaszczyzna a // я, której ślad poziomy styka się z kołem k w punkcie Л, jest styczną do walca o osi b, a przecina drugi walec wzdłuż dwóch tworzących, których śladami poziomymi są punkty 1 i II. Tworząca styczności przecina owe dwie tworzące w punktach 1 (Г 1") i 2 (2' 2") linii przenikania. Płaszczyzna ß, styczna do walca o osi b, przecina drugi walec wzdłuż dwóch tworzących, które przecinają tworzącą styczności w punktach J (3' 3") i 4 (4' 4"). Każda z płaszczyzn у, X, e i cp, równoległych do płaszczyzny я, przecina walce w dwóch tworzących, a te wyznaczają po cztery punkty linii przenikania. Tym sposobem otrzymaliśmy potrzebną ilość punktów linii przenikania, które, jak widzimy, jest przenikaniem zupełnem.

(Rzut pionowy linii przekroju walca o podstawie ki płaszczyzną p jest widoczny, winien więc być wykreślony linią pełną, a nie kreskowaną, jak to przez pomyłkę zrobiono na Rys. 507.).

ROZDZIAŁ TRZECI

O WYZNÄCZÄNIU CIENI

§ 16. CIENIE PUNKTÓW, PROSTYCH, WIELOKĄTÓW

I KOLÄ

175.    Uwagi wstępne. Nauka o geometrycznem wyznaczaniu cieni rozróżnia zasadniczo dwa przypadki: 1) źródło światła pojęte jest jako punkt geometryczny, leżący w odległości skończonej (oświetlenie środkowe) i 2) źródło światła leży w odległości tak dalekiej, że promienie, które wysyła, uważać można za równoległe (oświetlenie równoległe).

'\

Rys. 508.

Przedmiotem naszych rozważań będą wyłącznie kon-strukcye cieni przy oświetleniu równoległem, przyczem kierunek promieni przyjmujemy zazwyczaj w ten sposób, że promienie światła są równoległe do przekątnej p sześcianu (Rys. 508.), którego krawędzie są równoległe do osi układu prostokątnego. W dalszej kon-sekwencyi tego założenia rzut У poziomy promieni zawierać będzie z osią X — jako równoległy do rzutu poziomego p' przekątnej p sześcianu — kąt 45°; to samo odnosi się do rzutu pionowego promieni światła.

176.    Cień punktu określamy jako ślad promienia, przechodzącego przez ten punkt, z rzutnią albo z płaszczyzną, na

którą cień punktu pada. Dla danego kierunku p (p' p") promieni

(Rys. 509.), punkt A {A' A") rzuca cień na płaszczyznę poziomą, a jest nim mianowicie punkt Ah. Cień punktu В (В' В") znajduje się na ~ płaszczyźnie pionowej, jako punkt Bu. Punkt Au, będący śladem pionowym promienia a (a' a"), nazywać będziemy cieniem nieistotnym punktu Л, podobnie jak punkt Bh, który jest śladem poziomym promienia b (b' b"), przechodzącego przez punkt В СВ' В").

177. Cień odcinka. Promienie, przechodzące przez punkty danego odcinka, leżą na jednej płaszczyźnie, zwanej płaszczyzną światła, której przecięcie się z rzutniami stanowi cień odcinka.

A"

\P” j\

an

B”

bn

В/ Bh

Р/

ay/Ah

4AV:

B’

7Г

Rys. 509.

B"

A”

C"

A”

Am Ah

S⁷

\p"

A Ca

x_

>;

4............\

Bh

/\\ ! ■

^Bv

В'

Rys. 510 a i b.

W przypadku, podanym na Rys. 510 a, odcinek rzuca cień tylko na rzutnię poziomą, ślady bowiem obu promieni, przechodzących przez punkty Л i B, ograniczające odcinek, są śladami poziomymi. Rys. 510 b. przedstawia cień odcinka Л B, który pada częściowo na obie rzutnie. Punkt Л rzuca cień na rzutnię pionową, punkt В na poziomą. Wyznaczywszy cień nieistotny Ah punktu Л i połączywszy go ze śladem Bh, otrzy-

mamy cień odcinka Ä В na rzutnię poziomą. Część tego cienia, a mianowicie Äh Cx, leży na rzutni poziomej, rozciągającej się za rzutnią pionową, stanowi więc cień nieistotny. Druga jego część CxBh jest częścią istotną cienia, jaki odcinek rzuca na rzutnię poziomą. Odcinek Äv Cx jest cieniem istotnym odcinka, leżącym na rzutni pionowej, a odcinek Cx Bv, częścią nieistotną tego cienia.

Punkt Cx jest punktem przecięcia się trzech płaszczyzn,, a mianowicie: dwóch rzutni i płaszczyzny światła, przechodzącej przez odcinek Ä B. Rzuty C' i C" punktu C, którego cień Cx leży na osi rzutów, otrzymamy jako punkty przecięcia się rzutów odcinka z rzutami promienia, przechodzącego przez punkt Cx.

Rys. 511 a. przedstawia cień odcinka ЛВ prostopadłego do rzutni poziomej, Rys. 511 b. podaje cień odcinka CD, którym jest prostopadły do rzutni pionowej.

B’h

A”

Bv

Bh

C”D"

Bv

P\ i A"

? i*

Av Ah

?4

\ <2 к

a" \/

p'/

А/ a7

B’

C"

D/i

A' /

a'/afy

; / Ah    Av

a’4>

p'

Ch

D'

Rys. 512 a i b.

Rys. 511 a i b.

Z przyjęcia kierunku promieni światła, którego rzuty są nachylone do osi л: pod 45‘\ wynikają korzyści konstrukcyjne, skoro się zważy, że dla każdego punktu np. Л (Л' Ą") Rys. 512 a., punkty Äv, Äv, Äh i Äh' tworzą kwadrat. Punkt Äh otrzymamy więc, kreśląc przez Äv równoległą do osi x i odmierzając na niej Äv Äh = Äv Äv.

Przykład zastosowania tej konstrukcyi podaje Rys. 512 b., gdzie wyznaczono cień odcinka B Ć, prostopadłego do osi xr przyczem punkt В leży na rzutni pionowej, a punkt C na poziomej.

Cień wielokąta sprowadza się do wyznaczenia cieni jego boków, jak to bezpośrednio widzimy na Rys. 513. Bok ЛС

B"

trójkąta ЛВС rzuca cień na płaszczyznę poziomą, dwa pozostałe także częściowo i na rzutnię pionową.

A",i

Bv Bh

P'!

РУ

/ Ah

Ch

8'

A"

Rys. 513.

178. Cień kola. aj Oświetlenie środkowe. Promienie, łączące dany punkt świetlny S _л z punktami koła, tworzą powierzchnię stożkową rzędu drugiego, która w przypadku, gdy promień, łączący punkt S' ze środkiem koła, jest prostopadły do płaszczyzny koła, jest stożkiem obrotowym. Miejsce geometryczne punktów przebicia się tworzących tego stożka promieni z rzutniami, czyli ślady tego stożka, stanowią cień linii koła na płaszczyzny rzutów. Ponieważ stożek rzędu drugiego przeciąć można wzdłuż koła, elipsy, hiperboli lub paraboli (ust. 134.), więc takiemi liniami mogą być cienie koła przy oświetleniu środkowem. Zadanie sprowadza się więc do wyznaczenia przekrojów stożka płaszczyznami rzutów.

О” И"

Pn

kh

B'

O'

'к'

Rys. 514 a.

b) Oświetlenie równoległe. Promienie, przechodzące przez poszczególne punkty koła, równolegle do danego kierunku światła, tworzą walec eliptyczny, względnie obrotowy, jeśli promień, przechodzący przez środek koła, jest prostopadły do jego jpr płaszczyzny. Ślad otrzymanego walca promieni stanowi cień koła. Tak tedy wyznaczenie cienia koła sprowadza żl się do wykreślenia śladu, względnie śladów walca, którego kierownicą jest to koło, a kierunkiem tworzących, kierunek promieni światła. Między kierownicą tego walca (kołem) a jego śladem (cieniem) zachodzi powino- д' wactwo środkowe lub przystawanie; cień więc koła na płaszczyzny rzutów może być elipsą lub kołem.

Kilka przykładów sprawę dostatecznie wyjaśni.

Koło k (k' k") (Rys. 514 a.) rzuca cień tylko na rzutnię poziomą. Cień ten jest kołem kh o środku Oh, który to punkt jest śladem poziomym promienia, przechodzącego przez środek O (O' O") koła k. Promień koła kh równy jest promieniowi koła k. W istocie bowiem, ponieważ płaszczyzna koła jest równoległą do rzutni poziomej, więc przekrój walca o kierownicy k, a o tworzących równoległych do danego kierunku p (p' p"), płaszczyzną x poziomą rzutów jest linią przystającą do tej kierownicy.

Koło k (k' k") (Rys. 514 b.) rzuca cień tylko na rzutnię pionową i to w kształcie elipsy, której parą średnic sprzężonych Äv Bv i Cv Dv jest cień średnic sprzężonych ЛВ i CD kołak.

Wiadomo bowiem z ust. 96., że parze średnic sprzężonych w kole odpowiada para średnic sprzężonych w elipsie, spowinowaconej z tym kołem.

b.)

A"

P”

Pis

C"Dn k" B”

O":

Dv

kv

Av'

Br

Cv i X

D’

a{.....Q'r-.....}b’

Rys. 514 b.

A”

C" D" кп B”

kv

Pn'

JL

Bv

PI

Kh\

A’\

ęĄć-

'B¹

Dv

D’

Rys. 515.

Koło k (kr k") (Rys. 515.) rzuca cień w części na rzutnię-poziomą, a w części na pionową. Cień na rzutnię poziomą

jest kołem o środku Oh, jak w Rys. 514 a., a cień na rzutnię pionową jest elipsą o środku Ov. Średnice sprzężone tej elipsy .znajdziemy, jak w Rys. 514 b.

?/>

C5

\=

{%

■■J

La

Oh jBv

Rys. 516.

Cień koła k (,k' k"), leżącego na płaszczyźnie poziomo wrzucającej a (Rys. 516.), na każdą z rzutni jest elipsą. Średnice sprzężone tych elips są cieniami średnic sprzężonych AB i CD koła k na obie rzutnie.

§ 17. CIENIE WIELOŚCMNÓW I POWIERZCHNI

czworo-

179. Uwagi ogólne. Weźmy pod uwagę dowolny ścian AB CD, płaszczyznę я (Rys. 517.) i rozważmy sprawę oświetlenia i ocienienia tego czworościanu, przy oświetleniu równoległem, o danym kierunku p.

Wszystkie promienie, równoległe do kierunku p, tworzą t. zw. wiązkę promieni równoległych, wśród których wyróżnić możemy trzy grupy:

a)    promienie przebijające jedynie płaszczyznę я,

b)    promienie odbijające się od ścian czworościanu i nie dochodzące do płaszczyzny зг, i

Wyłączmy z wiązki promieni równoległych grupę a) i weźmy pod uwagę dwie pozostałe. Promienie pi,pa..., należące do grupy b), oświetlają ścianę ЛВС, a promienie grupy c) odgraniczają część wielościanu, znajdującą się w świetle, od tej, do której promienie nie dochodzą i która jest w cieniu własnym. Z Rys. 517. widzimy, że płaszczyzny światła, przechodzące przez boki trójkąta ABC, tworzą graniastosłup trójścienny i odgraniczają ściany A CD,

c) promienie przechodzące przez krawędzie wielościanu i tworzące t. zw. płaszczyzny świetlne, które przecinają płaszczyznę я.

!a

\p

А В D i BCD, znajdujące się w cieniu własnem.

Ah'

Jeżeli punkty przebicia się promieni a, b i c, przechodzących przez punkty A,

Ch

В, C, oznaczymy literami Ah,

Rys. 517.

Bh i Ch, to trójkąt Ah Bh Ch jest przekrojem graniasto-słupa, którego ściany przechodzą przez boki trójkąta ABC, równolegle do danego kierunku p, z płaszczyzną я. Obszar płaszczyzny я, ograniczony trójkątem Ah Bh Ch, jest obszarem nieoświetlonym przez grupę b) promieni i nosi nazwę cienia rzuconego czworościanu. W granicach cienia rzuconego mieszczą się cienie wszystkich punktów i prostych, dających się pomyśleć na wielościanie.

Krawędzie AB, BC i СЛ wielościanu, odgraniczające jego część oświetloną od leżącej w cieniu, stanowią granicę cienia własnego tego wielościanu. Widocznem jest, że cień Ah Bh Ch, granicy cienia własnego wielościanu, jest granicą jego cienia rzucone go. I na odwrót, z granic cienia rzuconego wielościanu odtworzyć możemy wprost granice cienia własnego.

Z rozważań powyższych widocznem też jest bezpośrednio, że cień rzucony wielościanu uważać można zâ rzut ukośny tego wielościanu na daną płaszczyznę i w danym kierunku.

180. Cienie ostrosłupów i stożków. Wyznaczyć cień jakiegokolwiekbądź utworu przestrzennego znaczy wykreślić granice jego cienia własnego i granice cienia rzuconego.

Jeżeli dany jest ostrosłup, którego podstawa spoczywa na rzutni poziomej (Rys. 518.), to wyznaczenie Vi}    jego cieni rozpoczniemy

H    od wykreślenia cienia jego

X_Ą4_D^

wierzchołka i to zarówno istotnego Wv, jak i nieistotnego Wh. Następnie W    wykreślimy z punktu Wh

p/

-c

Rys. 518.

dwie takie proste Wh В i Wh D, przechodzące przez wierzchołki podstawy, w o-brębie których mieszczą się pozostałe wierzchołki. Proste Wh В i Wh D są cieniami krawędzi bocznych W В i W D ostrosłupa, a więc śladami poziomymi płaszczyzn świetlnych, przechodzących przez te krawędzie, które stanowią więc granicę cienia wła-

Zu

Wu

wff

\\

\ Ne

f»

4U

AU

■pp

Au

Pi

’P

y Vu

Rys. 519.

snego ostrosłupa. Obszar rzutni poziomej, ograniczony wielokątem В C D Wh B, jest cieniem rzuconym ostrosłupa na rzutnię poziomą. Część tego cienia, leżąca nad osią rzutów,.

leży w drugim obszarze przestrzeni i jest cieniem nieistotnym. Wierzchołek ostrosłupa rzuca cień istotny Wo na rzutnię pionową; odcinki, łączące punkt Wo z punktami przecięcia się odcinków Wh В i Wh D z osią rzutów, ograniczają obszar cienia rzuconego ostrosłupa na płaszczyznę pionową rzutów i są śladami pionowymi płaszczyzn świetlnych.

Rys. 519. jest przeprowadzeniem poprzedniego zadania w rzutach ukośnych. Poprowadziwszy płaszczyznę boczną przez punkt Л, przyjmiemy układ osi Xu, yu i Zu, a następnie

YJ”

l\

/I

/I

\p"

\ ! d!

t!

V Wv Wh

X /fi

dl

t?

w t/i

P'/ Тг

Ti"

AV Ti I    i Hn/Tł

/ni

■W____X

W/

W'i

IB

iffl n>_

fi

Ti

fi'''/Ti ;ф

Rys. 520 a.

Rys. 520 b.

spółrzędne poszczególnych punktów, przyczem stosunki skróceń X : y : z = 1:1:1.

Wyznaczenie cienia własnego i rzuconego powierzchni stożkowej sprowadzić się da do wyszukania płaszczyzn stycznych do tej powierzchni, a równoległych do danego kierunku światła (porównaj ust. 159.). Przez wierzchołek stożka (Rys. 520 a.) poprowadzimy promień, równoległy do danego kierunku p (p' p") i wyznaczymy jego ślady Wh i Wo. Styczne, wykreślone z punktu Wh do podstawy k stożka, są śladami poziomymi płaszczyzn stycznych do stożka i równoległych do kierunku p, a więc płaszczyzn świetlnych. Proste h (// h'•') i /2 (t■/ h"), łączące wierzchołek stożka z punktami Ti i Г2, są tworzącemi, wzdłuż których płaszczyzny świetlne dotykają

Przy podanym toku konstrukcyi dochodzimy do granicy cienia własnego stożka, wyznaczywszy poprzednio granicę cienia rzuconego. Zastanówmy się z kolei nad bezpośrednim sposobem wyznaczenia granic cienia własnego stożka obrotowego, który zastosować moglibyśmy w przypadku, gdy rzut pionowy wierzchołka stożka, albo cień rzucony tego wierzchołka, leżą poza obrębem płaszczyzny rysunkowej. Weźmy pod uwagę (Rys. 520 b.) stożek normalny (ust. 159.) do danego, posiadający z nim wspólną podstawę k. Przypuśćmy, że przy pomocy cienia rzuconego wyznaczyliśmy granice cienia własnego stożka, t. j. tworzące W Ti i W Г2. Jeżeli punkt Wi (WT W/') jest wierzchołkiem stożka normalnego, to tworząca Wi Ti jest prostopadła do płaszczyzny światła, która styka się z danym stożkiem wzdłuż tworzącej W Ti. Podobnie tworząca Wi Г2 jest prostopadłą do płaszczyzny światła, stykającej się z danym stożkiem wzdłuż tworzącej W T2. Płaszczyzna Ti Wi Г2, której ślad poziomy oznaczyliśmy literą q, jako prostopadła równocześnie do obu płaszczyzn światła, stykających się z danym stożkiem, jest prostopadłą do krawędzi tych płaszczyzn, a więc do danego kierunku światła p (pr p").

stożka. Tworzące te stanowią więc granicę cienia własnego. Ponieważ, jak to z rozważań ustępu poprzedniego widoczne jest, cień rzucony granicy cienia własnego stanowi granicę cienia rzuconego, więc cień rzucony tworzących /1 i /2 zakreśli granice cienia rzuconego stożka. W naszym przypadku, ponieważ punkt Wh jest cieniem nieistotnym wierzchołka stożka na rzutni poziomej, więc stożek rzuci częściowo cień na rzutnię pionową.

Na podstawie tego rozumowania wyznaczymy granicę cienia własnego stożka obrotowego w sposób następujący: Znalazłszy wierzchołek stożka normalnego, poprowadzimy przezeń płaszczyznę prostopadłą do danego kierunku światła, wyznaczymy jej ślad na płaszczyźnie podstawy stożka, a punkty przecięcia się tego śladu z podstawą, połączone z jego wierzchołkiem, stanowią szukaną granicę cienia własnego. ЛЬу zaś przez punkt Wi poprowadzić płaszczyznę prostopadłą do prostej p (ust. 59. i 60.), poprowadziliśmy przez ten punkt prostą czołową n (n' n") prostopadłą do kierunku światła p (p' p") i znaleźli jej ślad poziomy Hn. Prosta q _L p' jest śladem po-

ziomym szukanej płaszczyzny, a punkty Ti i Г2, w których ślad ten przecina podstawę k stożka, połączone z wierzchołkiem l¥, dają tworzące /1 (// U") i /2 (/2' /2"), ograniczające cień własny.

Cień własny stożka obrotowego, którego tworzące nachylone są do rzutni poziomej pod 45°, wyznaczyliśmy przy po-

ar/%

ts.

>3:

ar* ' tn \

Нп X

К>- Щ-

■W*

77"

■я

wту*

If'wî m

Нп

Rys. 521 а—с.

mocy stożka normalnego na Rys. 521 a. Rzut poziomy tego cienia — przy założeniu, że rzuty promieni światła nachylone są do osi л: pod 45° — obejmuje wycinek koła k, równy czwartej ^—— części jego powierzchni. Jeżeli kąt, jaki zawierają tworzące stożka z rzutnią poziomą, maleje, to maleje też część stożka, znajdująca się w cienu własnym (Rys.

521 b.). W przypadku, gdy prosta q p' jest styczną do koła k (Rys. • У 521 c.), istnieje tylko jedna płasz- / czyzna światła, styczna do stożka wzdłuż tworzącej t (/' t"). Od tego stożka począwszy, następne, których tworzące zawierają z rzutnią    /

poziomą kąt mniejszy, znajdują / się całe w świetle i nie rzucają cieni na płaszczyzny rzutów.    j //

Konstrukcyę cienia stożka obrotowego o osi pionowej, kto- ш rego wierzchołek leży na rzutni

_к”

Tin

w.

Тг

Kr-

\ti

7i'

Rys. 522 a.

poziomej, podają Rys. 522 a. i b. Podobnie, jak w Rys. 520 a., poprowadzimy przez wierzchołek promień, równoległy do danego

kierunku p (p' p") i znajdziemy jego ślad Wa (W Wa") z płaszczyzną podsławy cc. ? Styczne wykreślone z punktu Wa do koła k (k' k") stykają się z nim w punktach Ti (TT TT') i T2 (TT TT'), które połączone z wierzchołkiem stożka, dają tworzące h (tT h") i h (tT k"), ograniczające cień własny. To samo zadanie, rozwiązane jednak przy pomocy stożka normalnego, widzimy na Rys. 522 b. (porównaj Rys. 520 b.).

Cień własny stożka, którego tworzące zawierają z rzutnią poziomą kąt 45°, wyznaczyliśmy przy pomocy stożka normalnego na Rys. 523 a. Im bardziej maleje kąt, jaki tworzące stożka zawierają z rzutnią poziomą, tern większa część stożka znajduje się w cieniu własnym (Rys. 523 b.). Jeżeli krawędź q (q' q") płaszczyzny, poprowadzonej przez wierzchołek Wi stożka normalnego, prostopadle do kierunku światła, z płaszczyzną podstawy stożka

■w7

W/ Hn I Ti ftr

rWn

S'

T. ri

p'

U*

I

П' Г Hn\âTwj

k'

Ti

Rys. 522 b.

Wf

П”.

ja"

Тг

KsHn    jTi' k"

П”,

П¹⁷

ja"

p*-

if

tr-

W"

W"

p'/

Tri

H'n

Ti

W la'

Rys. 523 a—c.

JL

Hn

t'/

W \St' n!

я\

jest styczną do tej podstawy (Rys. 523 c.), to wówczas istnieje tylko jedna płaszczyzna światła, styczna do stożka wzdłuż tworzącej t (f t"). Stożek taki i stożki, których tworzące zawierają

z rzutnią poziomą kąty mniejsze, znajdują się (z wyjątkiem podstawy) w cieniu własnym.

181. Cienie graniastosłupów i walców. Krawędzie gra-niastosłupa, przez które przechodzą płaszczyzny światła, odgraniczają część oświetloną od części znajdującej się w cieniu własnym, czyli stanowią granicę tego cienia (Rys. 524.). Przez które krawędzie boczne i które krawędzie podstawy przejdą płaszczyzny światła, przekonamy się, wyznaczywszy poprzednio cień rzucony graniastosłupa na rzutnię poziomą.

E"

G"

p_

Mm

wy.

(ЖЖ

III

Fv

Fh

Gv Gh

B",

---~2

P'

Hh

Ul

fF'

f'

H'

Rys. 524.

Najpierw wyszukamy cień EhFhGhHh podstawy górnej na rzutnię poziomą, a następnie połączymy ze sobą punkty В i Fh, D i Hh. Proste В Fh i D Hh są śladami poziomymi płaszczyzn światła, przechodzących przez krawędzie B F, względnie D H. Dalsze płaszczyzny światła przechodzą przez krawędzie F G i G H. Ściany więc B C F G i C D GH graniastosłupa są w cieniu własnym. Cień istotny krawędzi F G leży na rzutni pionowej, krawędź G H rzuca częściowo cień na obie rzutnie, podobnie jak krawędź B F.

Cienie walca obrotowego, o osi pionowej, podaje Rys. 525. Poziomo rzucające płaszczyzny światła stykają się z^walcem wzdłuż tworzących e (e' e") i f (/' /"), które stanowią granicę cienia własnego. Na cień rzucony walca składać się będzie cień koła k (k' k") i cień tworzących e i /. Koło k rzuca cień częściowo na obie rzutnie (porównaj Rys. 515.), podobnie jak tworząca / (patrz Rys. 511 a.).

E" В*

A" F" C" D"

kh

an en

Bv\

.2L

Eh)

Fh

Dv

P'S

F'k7'

eh

A'{

k'

e7E>

Dr

Rys. 525.

182. Cienie punktów i linij na wielo ściany' i powierzchnie. Cień punktu na dowolny utwór przestrzenny uważać możemy za punkt przebicia się promienia, przechodzącego przez dany punkt, z tym utworem. Cień prostej na wielościan lub powierzchnię jest przekrojem płaszczyzny światła, przechodzącej przez tę prostą, z danym wielościanem, względnie powierzchnią. Oczywiście, że cień ten jest miejscem geome-trycznem cieni punktów prostej na dany utwór przestrzenny i da się sprowadzić pod względem konstrukcyjnym zawsze do tego zasadniczego zadania. Cień dowolnej linii płaskiej lub skośnej na powierzchnię, względnie wielościan, jest linią przenikania się walca światła z daną powierzchnią, względnie

wielościanem. Tworzące tego walca są równoległe do danego kierunku światła i przechodzą przez punkty linii rzucające] cień. O ile chodzi o oświetlenie środkowe, to w miejsce walca światła występuje stożek, którego wierzchołkiem jest punkt świetlny, a którego tworzące przechodzą przez daną linię.

Kilka niżej podanych przykładów sprawę dostatecznie

wyjaśni.

Bc m

fip

ki

1У

Р/

hr:

,Cc/ki

A’k\/h7

ш    ! Bi w

DV-Т/к'з

iß

D'

he

Rys. 526.

a) Wyznaczyć cień odcinka Л В na graniastosłup (Rys. 526.). Promień światła, przechodzący przez punkt Л (A' A"), przebije graniastosłup w punkcie Ac (Ac Ac"), promień poprowadzony przez punkt В (В' В") w punkcie Bc (Bc Bc"). Punkty Ac i Bc są cieniami punktów Л i В na graniastosłup. Płasz- -czyzna światła, przechodząca przez H\ Db odcinek AB, przecina krawędzie bocz- v ' ^ ne ki (ki ki") i ki (kß k-i") w punktach Cc i Dc, których rzuty poziome Cc i Dc są znane. Äby znaleźć rzuty pionowe tych punktów, poprowadźmy przez krawędzie ki i ki płaszczy- x zny y i ö równoległe do kierunku światła i wyznaczmy punkty С (С C") i D (D' D"), w których płaszczyzny te przecinają prostą Л B. Płaszczyzny y i ó, są poziomo rzucające; ich ślady poziome, równoległe do p', c, oznaczyliśmy literami hy i hb. Na płaszczyznach tych leżą promienie światła, które, przechodząc przez punkty C i D, przecinają krawędzie ki i ki w szukanych punktach Cc i Dc.

Proste, wykreślone z punktów C" i D" równolegle do p", przecinają proste ki" i ki" w punktach Cc", względnie Dc". Linia łamana Ac" Cc" Dc" Bc" jest rzutem pionowym cienia odcinka AB na graniastosłup. Część tego cienia, a mianowicie Ac Cc, jest w rzucie pionowym niewidoczna.

Poziomo rzucające płaszczyzny światła e i cp, przechodzące przez krawędzie ks i ki, odgraniczają część oświetloną graniastosłupa od części, znajdującej się w cieniu własnym.

b)    Wyznaczyć cień rzucony odcinka AB na walec obrotowy (Rys. 527.). Tworzące h (iT h") i /2 (/2' U"), wzdłuż których płaszczyzny y i ó, równoległe do kierunku światła p (p' p"), stykają się z walcem, stanowią granice jego cienia własnego. Punkły С (С' C") i D (D' D"), w których prosta Л В przebija płaszczyzny y i <5, ograniczają odcinek, którego cień pada na walec. Cienie Cc (Cc Cc") i Dc (Dc' Dc") punktów C i D leżą na tworzących /1 (// U") i /2 (U' h"), a znajdziemy

A"/

Яг

.a

^fcS

P*

<3"!

hr/ i

E'

Fc.

Gc

F’

hô

G'\

je w ten sam sposób, jak cienie punktów C i D w Rys. 526. Płaszczyzna światła, przechodząca przez odcinek Л B, przecina walec wzdłuż elipsy, której część, zawarta między punktami Cc i Dc, jest cieniem odcinka CD na walec. Cień dowolnego punktu F (F F") odcinka CD na walec znajdziemy jako punkt przebicia się promienia światła, przechodzącego przez ten punkt, z walcem. Äby wyznaczyć punkt odcinka CD, który rzuca cień na tworzącą konturową, zauważmy, że rzut poziomy tego cienia, a mianowicie punkt Ecr, jest znany. Punkt ten rzucimy w kierunku p' na Л' В', a otrzymany tam punkt E odniesiemy na А" В". Tym sposobem otrzymaliśmy rzuty punktu E (E E"), którego rzut poziomy cienia jest punktem Ec . Promień, wykreślony przez punkt E" równolegle do p", przecina rzut pionowy tworzącej konturowej w punkcie Ec".

c)    Wyznaczyć cień odcinków AB i CD na stożek obrotowy (Rys. 528.). Pionowy odcinek A B obraliśmy tak, że przechodząca przez niego płaszczyzna światła a przechodzi przez oś stożka, a więc przecina go wzdłuż tworzących. Promień, poprowadzony przez punkt Л (Л' A"), przebija stożek w punkcie Ac (Ac Ac"), który jest cieniem punktu Л na stożek. Część tworzącej / (/' t") stożka, ograniczonej punk-

Płaszczyzna światła ß, przechodząca przez odcinek CD, przecina stożek wzdłuż hiperboli, taką więc krzywą jest cień rzucony odcinka А В na stożek. Wyznaczmy cień Wh wierzchołka stożka na rzutnię poziomą i cień Ch punktu C. Prosta • Wh Ch, która jest śladem poziomym płaszczyzny y, przechodzącej przez punkty W i C równolegle do kierunku światła, przecina koło k w punkcie IV.

tami Ac i /, jest cieniem części odcinka А В na stożek. Odcinek IB jest cieniem pozostałej części odcinka А В na rzutnię poziomą.

Ж C'f

W"

E"

№ \ Как

P”

Wt

л В"

D"f jjn'f jiir!’ 1

JA

Ch

P'

Act

т

ff

hß

h‘x Лш ж

C'SD

ET

Rys. 528.

Prosta WIV jest tworzącą, wzdłuż której płaszczyzna cp przecina stożek, a punkt Cc (Cc Cc") punktem przebicia się promienia światła, przechodzącego przez punkt С (С' C"), ze stożkiem, a więc cieniem tego ostatniego na stożek. Ponieważ rzut poziomy cienia odcinka C D na stożek jest odcinkiem, więc wyznaczenie rzutu pionowego tego cienia (hiperboli) sprowadza się do wynalezienia rzutu pionowego punktów, leżących na stożku, których rzut poziomy jest znany. Punkt Ec" wyznaczyliśmy przy pomocy tworzącej W III stożka, a punkt Fc" przy pomocy koła (równoleżnika) ki, którego rzut poziomy kV przechodzi przez punkt Fc.

d) Wyznaczyć cień odcinka A B na stożek (Rys. 529.). Płaszczyzna światła, przechodząca przez odcinek Л B, przecina stożek wzdłuż elipsy; szukany cień będzie więc częścią tej krzywej. Wykreśliwszy cień rzucony stożka na rzutnię poziomą, otrzymamy granice jego cienia własnego, któremi są tworzące WI i WII. Ślady poziome Wh I i Wh II płaszczyzn światła y i ó, stycznych do stożka wzdłuż tworzących WI

u>

co

i W11, przecinają cień Ah Bh, odcinka Л В na rzutnię poziomą, w punktach Ch i Dh. Punkt Ch jest cieniem punktu С (С C"), a punkt Dh cieniem punktu D (D' D") na rzutnię poziomą. Ponieważ tworząca W /, promień C Ch i prosta Wh I leżą na płaszczyźnie światła yy więc punkt C (C C") jest punktem przebicia się odcinka A B z tą płaszczyzną, a punkt Cc (Cc Cc") punktem styczności promienia C Ch ze stożkiem,

a więc cieniem' punktu C (C' C") na stożek. Z tych samych powodów punkt Dc (Dc Dc") jest cieniem punktu D(D'D") na stożek. Punkty odcinków Л C i B D nie rzucą cienia na stożek, gdyż promienie, przez nie przechodzące, nie przebiją go. Jako punkty graniczne, przez które przechodzące promienie nie przebijają ale stykaj ą się ze stożkiem, występują punkty C i D. Dalsze punkty cienia odcinka C D na stożek znajdziemy podobnie jak punktów C i D. I tak obrawszy punkt Eh na odcinku Ah Bh znajdziemy jego rzuty E' i E", poczem łączymy punkt Wh z Eh prostą aż do przecięcia się z kołem k w punkcie III. Odcinek W' III przecina promień E' Eh w szukanym punkcie Ec. Punkt Ec" leży na rzucie pionowym tworzącej W III, która w tym przypadku jest tworzącą konturową. Punkt Ec (Ec' Ec") jest punktem przebicia się promienia światła, przechodzącego przez punkt E(E' E"), ze stożkiem. Prosta Wh Ill jest śladem

A”,

C'¹/

A’

E”,

my

P’

EC

E’

la¹

CĆM#

ah

EbSTw

F’4

D’

Fti \kh \

V/

те

Rys. 529.

poziomym płaszczyzny, przechodzącej przez ten promień i przez wierzchołek stożka, a odcinek W ÏII tworzącą, wzdłuż której płaszczyzna ta przecina stożek.

183. O cieniach zespołów geometrycznych. Złączenie przynajmniej dwóch utworów geometrycznych nazywać będziemy krótko zespołem. Tak więc dwa wielościany, dwie powierzchnie, wielościan i powierzchnia stanowią zespół geometryczny. Każdy poszczególny utwór geometryczny, wchodzący w skład zespołu, stanowi element. Elementy zespołu mogą się wzajemnie przenikać lub też nie.

Zadaniem naszem jest poznanie na kilku przykładach sposobów wyznaczania cieni, jakie jeden element zespołu rzuca na drugi. W zadaniach naszych uwzględnimy jedynie widoczne części cieni, a pominiemy zupełnie — ochraniając przejrzystość rysunków — cienie rzucone na płaszczyzny rzutów.

a)    Wyznaciyć cienie zespołu dwóch graniastosłupów (Rys. 530.). Najpierw wyznaczymy cień podstawy górnej graniastosłupa, stojącego rzutni poziomej, na górną podstawę drugiego graniastosłupa.

Zadanie sprowadza się do wyznaczenia punktów przebicia się la, lia, lila i IVa promieni światła, które przechodzą przez punkty 1, II, III i IV, z płaszczyzną poziomą a. Następnie wyznaczymy w sposób omówiony w ust. 182. pkt. a) cień odcinków AC i AD na gra-niastosiup, otrzymując linię łamaną Dc Ac Bc Cc.

b)    Wyznaczyć cienie zespołu graniastosłupa i walca (Rys. 531.). Wykreślenie cienia górnej podstawy graniastosłupa na walec nie wymaga bliższych wyjaśnień. Cień walca na graniastosłup jest linią przenikania walca światła, przechodzą-

па

41

I&

В”    С"

Ж"1" Ж"

Шла

Ша

Y i j

D"

D'6

Bi

Ci

pn-

P'/

А'

2»

fP

DĆĄ1.

V/2

ßc

hp

la

ЖЧ

Сс

ÏÏÔ,

щ}

жА

С[

/hj

Rys. 530.

co

CC

cego przez koło k (k' k), z bocznemi ścianami graniastosłupa. Część tej linii, widocznej w rzucie pionowym, składa się z dwóch łuków elips, leżących na płaszczyznach poziomo rzucających. Rzut poziomy cienia koła k na graniastosłup jest więc linią łamaną Ac Cc Ec. Poziomo rzucająca płaszczyzna a, przechodząca przez konturową krawędź boczną graniastosłupa, przecina koło k (k' k") w punkcie A (A'A"); promień wykreślony przez punkt A", równolegle do kierunku p", przecina rzut pionowy krawędzi konturowej w szukanym punkcie Ac". W analogiczny sposób wyznaczyliśmy punkty Cc" i Ec", a także punkty pośrednie Bc (Bc Bc"), Dc (Dc Dc")... szukanych elips.

h” S»

Д”Вп С" D"

~~

Al

Вс

Р*\

Р'/

4P

Ас

А'

ha

Вс

В'

Ш”1" Жя

mH ш,

Лес

va

! £1

оМа

п

D".

Р"

р'

,5'

И'.

'She \Dc Aß-

Ее

je_i_£-L

Ж

С".

V6

кТ

а"!

Ь'

\ к'л

if-

O'

Sa

0} hj D’ /А'

A'°

Rys. 532.

ne

* Rys. 531.

c) Wyznaczyć wzajemne cienie rzucone walca obrotowego, złączonego z kwadratową płytą (Rys. 532.). Cień koła k (k' k") na płytę jest kołem ka, którego środek Sa jest cieniem środka S, a którego promień równy jest promieniowi koła k. Cień punktu A (A' A") na walec jest punktem prze-

bicia się promienia światła, przechodzącego przez punkt Л, z walcem. Płaszczyzna 8, przechodząca przez krawędź Л D, jest pionowo rzucającą; jej przekrój z walcem jest elipsą &2, której rzut pionowy kV' schodzi się ze śladem Vb. Płaszczyzna światła, przechodząca przez krawędź ÄB, jest równoległą do osi rzutów X i przecina walec wzdłuż elipsy /гз, której środkiem jest punkt O (O' O"). Ponieważ rzuty promieni światła nachylone są do osi x pod 45°, więc pł. 8, a temsamem i pł. światła, przechodząca przez krawędź Л В, zawiera z rzutniami kąt 45°, a co zatem idzie, rzut pionowy elipsy kz jest kołem kz", zakreślo-nem z punktu O" stycznie do rzutu pionowego tworzących konturowych walca.

d) Wyznaczyć wzajemne ocienienie zespołu, przedstawionego Rys. 533.

Ostrosłup rzuca cień na płaszczyznę a podstawy górnej gra-niastosłupa, a krawędź 111 tego ostatniego na ostrosłup.

ЛЬу wykreślić cień tej krawędzi, znaj- / dziemy cień rzucony ostrosłupa na rzutnię poziomą i cień rzu-

vu

j-Ą

Pn

Yn W¹

J”

Sr

Wh

t/>

■ -lu

/!

WÛ

Ш’

Th

//

w.

О/

i]Ih

/6’

S’

Rys. 533.

eony Ih Uh odcinka III na cieniem punktu VI odcinka / II na rzutnię poziomą. Prosta, wykresjona przez punkt Vlh równolegle do p', przecina odcinek Г 1Г w punkcie V7', który odniesiemy na prostą 1" II jako punkt VI".

Promień, poprowadzony przez rzut punktu Vlh na oś równolegle do p", przecina odcinek I" U

rzutnię poziomą. Punkt VIh jest

7r

w punkcie VI".

Promień światła, przechodzący przez punkt VI (VI VI"), leży wraz z krawędzią W C ostrosłupa na jednej płaszczyźnie, której śladem poziomym jest prosta Wh C. Punkt 6 (6' 6") jest punktem przecięcia się promienia światła VI VIh z krawędzią W C, a więc cieniem punktu VI na ostrosłup. Płaszczyzna światła, przechodząca przez punkty I (Г 1") i W ( W' W"), jest w naszym przypadku poziomo rzucającą i przecina ścianę AB W ostrosłupa wzdłuż prostej G W. Punkt 1" jest rzutem pionowym punktu, w którym promień światła, przechodzący przez punkt /, przebija ostrosłup, czyli jest cieniem rzuconym punktu I na ostrosłup. Cień, jaki odcinek I VI rzuca na ostrosłup, załamie się na krawędzi В W, a punkt odcinka I VI, którego cień pada wiaśnie na krawędź В W, znajdziemy w sposób następujący: Siadem poziomym płaszczyzny światła e, przechodzącej przez krawędź В W, jest prosta В Wh, która przecina prostą Ih Ilh w punkcie Vh. Punkt ten jest cieniem punktu V odcinka III na rzutnię poziomą i takimże cieniem punktu 5 krawędzi В W. Promień światła, poprowadzony przez punkt Vh, leży na płaszczyźnie e i przecina krawędź В W w punkcie 5 (5' 5"), a krawędź I II w punkcie V (V' V"). Część krawędzi IIV rzuci cień na ścianę Л В W ostrosłupa; ponieważ płaszczyzna światła, przechodząca przez tę krawędź, jest pionowo rzucająca, więc rzut pionowy cienia tej krawędzi na ostrosłup schodzi się ze śladem pionowym tej płaszczyzny.

e) Wyznaczyć wzajemne ocienienie zespołu, podanego na Rys. 534. Wykreślenie cieni własnych, podobnie jak i cienia rzuconego ostrosłupa na płaszczyznę e, nie wymaga wyjaśnień.

Poziomo rzucająca płaszczyzna a, przechodząca przez wierzchołek W równolegle do kierunku światła, przecina krawędź D G w punkcie Л (A' A"), a ostrosłup wzdłuż prostej I W. Punkt Ac' jest rzutem pionowym cienia punktu Л na ostrosłup. Równoległa do D" G", wykreślona przez Ac", jest rzutem pionowym cienia, jaki część odcinka D G rzuca na ścianę IW 2. Siad pionowy z?ß, pionowo rzucającej płaszczyzny ß, przechodzącej przez punkt В (В' В"), przecina bok 1" W" w punkcie Bc". Prosta, wykreślona z tego punktu, równolegle do Ve, jest rzutem pionowym krawędzi, jaką tworzy płaszczyzna światła ó, przechodząca przez bok D F z płaszczyzną ściany 2 W 3. Wyznaczywszy punkt Dc", otrzymamy załamanie się cienia, jaki krawędź D G rzuca na ostrosłup. Płaszczyzna światła ô przecina ścianę 3 W 4 ostrosłupa wzdłuż proste], którą musimy wykreślić, a która dopełni granicę cienia rzuconego przez płytę na ostrosłup. Płaszczyzna światła y, która przechodzi przez krawędź F N, ]est poziomo rzucająca i przecina płaszczyznę ściany bocznej 3 W 4 w prostej k (k' k"). Promień światła przechodzący

W"i

przez

yp

We

Ve

шди;

В”

fr

Prosta

Fc JWé

к”

punkt F (F F"), leżący na płaszczyźnie y, przecina krawędź k w punkcie Fc, którego tylko rzut pionowy Fc oznaczyliśmy na rysunku.

Мп

im

\31Г

}б

Fc' Fc" jest rzutem pionowym krawędzi, jaką płaszczyzna światła ô tworzy ze ścianą 3 W 4 ostrosłupa.

И'

Fc jest bowiem punktem przecięcia się płaszczyzn y, ô i płaszczyzny 3W4.

hVkl

F’

L! D'

f) Wykreślić cienie zespołu, przed-sławionegonaRys.

Rys. 534.

535. Promień światła, poprowadzony przez pkt. P(P/P'/), przebija stożek w punkcie Pc, którego rzut pionowy Pc" naznaczyliśmy na rysunku. Pionowo rzucająca płaszczyzna światła e, przechodząca przez krawędź P R, przecina stożek

wzdłuż elipsy, której rzut pionowy jest odcinkiem A" B"y a której środkiem jest punkt S (S' S"). Płaszczyzna światła, przechodząca przez krawędź P Q, przecina stożek wzdłuż elipsy, przystającej do poprzedniej. Osiami rzutu pionowego tej elipsy są odcinki Ai" Bi" i Ci" Di", środkiem punkt Si". Elipsa ta zetknie się z tworzącą konturową stożka w punkcie Mi. Nie posługując się osiami, wyznaczyć można poszczególne punkty

W”

|a»

'Л

We

lœ

tej elipsy przy pomocy przekrojów płaszczyznami poziomemi. I tak płaszczyzna ß przecina stożek wzdłuż koła ki (ki' ki"), a krawędź płaszczyzn ß i e \wâ    przecina to koło w punk

R”

v§_

/X

mc'

\Mi

M*

¥~f

;'Ą

Wyznaczenie cienia własnego stożka i jego cienia rzuconego na płaszczyznę górną płyty nie wymagają вп wyjaśnień.

iSc

tach 1 (1' 1") i 2 (2' 2"). Uważając punkty te za rzut boczny punktów h i 2i szukanej elipsy, otrzymany ich rzut pionowy, ~ odmierzając Г N' — 2' N' = = h"

’T

P’R>

(A

śt

к’

Ir

■2Г

P:

h.r

g) Wykreślić cienie zespołu, podanego na Rys. 536. Koło k(k' k") pierścienia rzuca cień na stożek.

rD-

Rys. 535.

Wykreśliwszy cień rzucony stożka na rzutnię poziomą i takiż cień kh koła k, wyznaczymy cienie Ac, Bc, Cc,... poszczególnych punktów koła к na stożek, podobnie jak cienie punktów prostej А В na stożek w Rys. 529.

h) Wykreślić cienie zespołu, przedstawionego Rys. 537. Cień rzucony koła к (к' k") na walec, znajdziemy jako miejsce geometryczne punktów przebicia się promieni światła, poprowadzonych przez poszczególne punkty В (В' В"), С (С С ')...

tego koła, z walcem. Płaszczyzna światła ó, styczna do tego walca wzdłuż tworzącej L (ti h"), przecina koło k w punkcie D (D' D"), którego cień Dc (Dc Dc") pada na tę tworzącą. Stożek obrotowy o wierzchołku W2 rzuci cień na walec, stanowiący trzon naszego zespołu. Cień ten wyjdzie z punktu Æ. Promień światła, poprowadzony przez punkt 1 (V 1") odcinka Æ Æ, przebija walec w punkcie lc (lc lc"). Płaszczyzna

y/n

\a”

Wa vis

Y/h,

P”

Bl

X /Ш” I”

P’s

>.h

ï/

'kh

a/l

Bh

C'\

ww

!..

k>

r¥

ha.

Rys. 536.

światła, styczna do walca, przecina odcinek Лi Л2 w punkcie 2 (2' 2"), którego cień 2c pada na tworzącą /2 (/2' U").

i) Wykreślić cienie zespołu podanego na Rys. 538. Zespół składa się z ośmiościennego, prostego graniastosłupa, na którym wspiera się płyta, złożona z walca i stożka o wierzchołku W (W' W"). Na płycie spoczywa trzon walcowy. Wykreśliwszy cienie własne, przystąpimy do wyznaczenia wzajemnych cieni rzuconych.

Walec świetlny, przechodzący przez koło ki {ki ki"), przenika się ze ścianami bocznemi graniastosłupa, a linie przenikania się (elipsy) stanowią granicę cienia rzuconego przez to koło na grąniastosłup. Poszczególne punkty tych elips znajdziemy przy pomocy płaszczyzn świetlnych ß, y..., które poprowadzimy przez krawędzie graniastosłupa, względnie do tych krawędzi równolegle (np. płaszczyzna cp).

.W"

wn;

\p”

j a"

IП ęrr /ГГГ ß« I

вь

Cc Fc

Dc

Ec

f”

■JO" к”/ /S"    i i

\HÏ"\

~йг Щ

am

ęć \Н\

W’IWÎ.

ий

D" H”

лу

чЧ1

чЦ

-Di

Pb

Вс

В'

hß

3'

fi

/4)а

ki \кг

k’,Jy

У’с

ki

/f'

leć

/ D>

/ fT^-ôLDc-^-

4 » р

nó

Rys. 538.

Rys. 537.

Tworząca t (/' t"), stanowiąca granicę cienia własnego górnego walca, rzuci cień na stożek. Cień ten będzie łukiem hiperboli, gdyż płaszczyzna światła, przechodząca przez tworzącą t, jest poziomo rzucająca, a więc równoległa do dwóch tworzących stożka. Punkt Л (Л' Л") tej hiperboli wyznaczyliśmy przy pomocy koła równoleżnikowego k (k' k") stożka.

184.    Ćwiczenia.

Wykreślić cienie zespołów, przedstawionych na Rysunkach 539. i 540.

185.    Cienie kuli. Walec świetlny, opisany na kuli, styka się z nią wzdłuż koła wielkiego, które stanowi granicę cienia własnego kuli. Przekroje tego walca z rzutniami stanowią cień rzucony kuli.

W"‘

J*

w! B„

кг i Ai H” A

Ke" k” D" gj

Df s.

■    \ Ч /г

Н!\ [ЕЬ Х1Угja/

Vf

ho,

Rys. 539.

Ma Rys. 541. rozwiązaliśmy zadanie przy pomocy rzutu bocznego na płaszczyznę poziomo rzucającą, równoległą do kierunku światła. Wykreśliwszy rzut boczny kuli i rzut boczny Sh° śladu poziomego promienia, przechodzącego przez środek kuli, otrzymamy przez połączenie punktów S° i Sh° rzut boczny p° kierunku światła. Rzut boczny granicy cienia własnego kuli jest średnicą Л°В° J_ p°, rzut poziomy elipsą o osiach Л' B' i C' D', a wreszcie rzut pionowy elipsą, wyznaczoną średnicami sprzężonemi Л" B" i C" D⁷⁷. Wierzchołkami E" i F" tej ostatniej elipsy są punkty końcowe p, średnicy koła, prostopadłej do p" ; druga para wierzchołków, ograniczająca małą oś elipsy, leży na p", przy-czem S" G" = a = S" H" = S\^=

= S' В'. Ponieważ promienie światła nachylone są do obu rzutni pod tym samym kątem (ust. 175.), więc oba rzuty koła, jako granice cienia własnego, są przy-stającemi elipsami.

//

Ponieważ osi elipsy są jej osiami symetryi prostokątnej, więc punktowi F' odpowie symetrycznie punkt J\ a punktowi E' punkt K'. Podobnie punktom C" i D" odpowiedzą punkty symetryczne J" i K". Ponieważ proste, łączące punkty / z F i E z К są poziome, więc proste ]" F" i E" К są równoległe do osi rzutów

Cień kuli na rzutnię poziomą jest elipsą o środku Sh, cień na rzutnię pionową elipsą o środku Sv. Osi wielkie tych

elips schodzą się z kierunkami p' i p" i równe są odcinkowi Ah° BhQ. Osi małe obu elips równe są średnicy kuli.

Jeżeli chodzi o wyznaczenie jedynie cienia własnego kuli,, to na podstawie konstrukcyi Rys. 541. postąpimy w sposób następujący: kreślimy C D' _L p' (Rys. 542.) i wpiszemy w koło kwadrat, którego boki wyznaczą na poziomej średnicy

W¹⁷

It’ i a”

YP

'ra

[S’

E’l

)cc

шп

Do

n-F,

Sàk

Ebi

Do?

Tri

л.

[S'

W'/'

’A

V/

Ш’

Rys. 540.

koła punkty E', F', a na pionowej punkty J' i K'. Szukana elipsa jest prostokątnie powinowata z kołem, przyczem osią tego powinowactwa jest prosta C' D'. Kreślimy E' E2 Ц C' D' i łączymy E2 z S', a przez punkt E' prowadzimy równoległą do p', otrzymując punkt Eu Odcinek Ei S' = Л' S' = B' S'= а równy jest małej„osi szukanej elipsy (por. ust. 97., Rys. 290.).

Wyznaczenie rzutu pionowego granicy cienia własnego kuli nie wymaga wyjaśnień.

Na Rys. 543. wyznaczyliśmy cień własny kuli, stosując metodę poznaną w ust. 161. Promień światła p (p' p"), poprowadzony przez środek O (O' O") kuli, obrócimy do położenia pi, równoległego względem rzutni pionowej, a to około prostej pionowej m (mr m"), która przechodzi przez ślad poziomy Hp

Ox

--/S’

S'

*ö-

Mi

to

O

Ipo

Rys. 541.

promienia p. Tworzące walca, równoległe do kierunku pi, stykają się z południkiem głównym kuli w punktach Æ (Лх' Л1") i Л2 (Л2' Л2"). Z punktami tymi wróciliśmy na płaszczyznę światła, przechodzącą przez środek kuli, oznaczając je jako

Л (A' A") i В (В' В"). Odcinki Л' В' i С' D' stanowią parę osi elipsy, będącej rzutem poziomym granicy cienia własnego kuli; odcinki A" B" i C" D" są parą średnic sprzężonych

elipsy, stanowiącej rzut pionowy koła, odgraniczającego część oświetloną kuli od części leżącej w cieniu. Osią wielką tej elipsy jest odcinek E" F" J_ p" i równy odcinkowi C D'; oś mała G" H" równa jest osi Л' B'.

186. Cień prostej na kulę jest kołem, miejscem geome-trycznem bowiem promieni światła, przechodzących przez prostą, jest płaszczyzna. Wyznaczenie cienia prostej na kulę sprowa-

pi -SV P”

Pi

G"y

\B?

Zb;

Fn

Gy

A

sl

\/

bl

aK

----p

ч • i A

Hn

P" \l

/ : кнг,Ж

/77»'

Er

fi

R”

ML

m'l

Pi

Hp>

%

V/

Ег,

£/\

E'

S?

Rys. 542.

A-

р/

sA

R о S'

Rys. 543.

dza się więc do wykreślenia przekroju kuli płaszczyzną światła, przechodzącą przez tę prostą.

rr

Na Rys. 543. wyznaczyliśmy cień odcinka R S na kulę. Płaszczyzna światła e jest poziomo rzucająca, a rzut pionowy jej przekroju z kulą elipsą, styczną do zarysu kuli w punktach V" i VI". Część tej elipsy, ograniczonej punktami Sc i Tc", jest rzutem pionowym cienia, jaki odcinek 5 T rzuca na kulę.

187.    Przykłady.

a)    Wyznaczyć cień zespołu, przedstawionego na Rys.

544.    Linia przenikania kuli z ostrosłupem składa się z łuków czterech kół, których rzuty są elipsami. Wyznaczywszy cień własny k (k' k") kuli, przystąpimy do wykreślenia cienia, jaki kula rzuca na ścianę ЛВО ostrosłupa. Linia tego cienia rzuconego jest łukiem elipsy, jaka powstanie z przecięcia walca świetlnego, przechodzącego przez koło k, z płaszczyzną Л В О. ЛЬу wyznaczyć cień np. punktu L (L' L") koła k na ścianę ЛВ O, poprowadziliśmy przez ten punkt promień światła i wyznaczyli, przy pomocy płaszczyzny po-ziomo rzucającej e, jego punkt przebicia Lc z tą ścianą.

b)    Wyznaczyć cień ~ zespołu, podanego na Rys.

545.    Kilka słów wyjaśnień wymaga jedynie konstruk-cya cienia kuli na stożek. д.

Wykreśliwszy cień rzucony k'a kuli na płaszczyznę poziomą a i cień rzucony ra' równoleżnika r na tę płaszczyznę, wrócimy z punktem przecięcia się AT a elipsy k'a-i koła Га na równoleżnik r, otrzymując punkt Mc". Przy pomocy cienia rzuconego Wa' Я', tworzącej W К stożka, który przecina elipsę k'a w punkcie Ra', otrzymamy punkt Rc (Re Rc") cienia, który leży na tworzącej konturowej stożka.

188.    Cień powierzchni obrotowej. Cień własny powierzchni obrotowej jest linią styczności walca promieni, opi sanego na tej powierzchni. Na Rys. 546. powtórzyliśmy więc konstrukcyę, opisaną szczegółowo w ust. 161. (por. Rys. 474.).

ну

P”

El

—K"

A”

D”

T"

C” D>

Ov h<p

D'

F'

Vo'<e

hß

P’

E'

hay

A'

hs/

h₇

Rys. 544.

Jednak, prócz cienia własnego, posiada powierzchnia cień, jaki na nią rzuca koło k (k' k"). ЛЬу wyznaczyć cień punktu N (A/' N") na powierzchnię, obrócimy go wraz z promieniem, który przez niego przechodzi, na płaszczyznę południka głównego ß. Punkt Ni (iVT Ni") rzuci cień Nic na południk główny. Cień ten sprowadzimy zapomocą obrotu około osi powierzchni na płaszczyznę południka a, otrzymując tam punkt Nc (Nc Nc").

G"

OT

źeM

aW vcc

V kl \Sa3”Eâ Oh

2c'

1S

Ф'

Sal

\:~Л-

EaKT

c0a

H ka.

Ri\

E'

hó

:■

ki

/fi y*

/ he

Rys. 545.

Dalsze punkty cienia koła k (k' k") na powierzchnię znajdziemy (podobnie jak cień linii na stożek) przy pomocy cienia rzuconego. Cień koła k na rzutnię poziomą jest kołem kh, cień równoleżnika r (r' r") kołem rh. Koła te przecinają się w punktach lh i 2h. Te ostatnie są cieniami punktów 1 (1' 1") i 2 (2' 2") koła k (k' k") na rzutnię poziomą. Promienie światła, • przechodzące przez punkty 1 (1' 1") i 2 {Z 2"), przecinają równoleżnik r (r' r") w punktach lc {lc lc•") i 2c (26 26")» które są cieniami pierwszych na powierzchnię. Tym sposobem, obie-

\r

af

p] \ P”

0i 0г

Pi X

/77"

/?"

“Plvj-

^3?

fs

SR

Ve

D"

0Л

fS

SI

-ъ

Vi

Tr\

-•Ss-'

чж-

,Г

-хжз

Ö'

S'

tb

J-

Rys. 546.

rając dalsze równoleżniki, otrzymamy żądaną ilość punktów krzywej, będącej cieniem koła k na powierzchnię.

ROZDZIAŁ CZWARTY

PERSPEKTYWÄ ŚRODKOWA

§ 18. PERSPEKTYWA ELEMENTÓW ZASADNICZYCH

189. Uwagi ogólne. W § 9. zajmowaliśmy się rzutem środkowym punktu i prostej na dowolną płaszczyznę, a nadto związkami kolineacyi środkowej, jakie zachodzą między dwoma układami płaskimi, gdy jeden jest rzutem drugiego. W tej części naszych rozważań zajmiemy się rzutem środkowym,

jako metodą geo* metrycznego przedstawiania utworów przestrzennych. Metoda ta nosi nazwę perspektywy środkowej albo Unijnej. Samem słowem „perspektywa“

bardzo często rzuty ukośne (§ 6.), a więc metodę rzutów równoległych; dlatego, aby uniknąć nieporozumień, dodajemy przymiotnik „środkowa“. Określenie perspektywy środkowej mianem „Unijnej“ ma za zadanie podkreślić czysto geometryczny charakter tej metody w przeciwstawieniu do perspektywy malarskiej, gdzie uwzględniane

tl »,

ft

JLlP¹

Si

fr'l

W?:

is

TT

*_—>57

*    -—

- -5^ — V>

,/i

J&.u

(J

Rys. 547. Bramka do plebanii w Krasiejowie koło Monasterzysk

(Rysunek prof. dr. Tad. Obmińskiego)

określają

są ponadto momenty natury estetycznej, a także wpływ powietrza, barwy i oddalenia.

'(tz

M2

O’

h,

ai

'P

3Ci

Rys. 548.

Przyjmijmy płaszczyznę poziomą ят, pionową Я2 (Rys. 548.) i dowolny punkt O, nie leżący na żadnej z tych płaszczyzn, a będący środkiem rzutu, albo jak się też mówi okiem. Płaszczyzna ят, zwana płaszczyzną podstawy, przecina płaszczyznę Jt2, stanowiącą płaszczyznę rzutów, a zwaną tłem, wzdłuż prostej podstawowej p. Płaszczyzna ar, przechodząca przez środek rzutów równolegle do ят, przecina tło w prostej h, którą nazywamy linią horyzontu lub krótko horyzontem. Rzut prostokątny O' środka rzutów na tło, nazywamy punktem głównym, a odległość środka rzutów od tła, a więc odcinek Ö O', krótko oddaleniem. Płaszczyzna 0.2, równoległa do płaszczyzny яг, nosi nazwę płaszczyzny zniknie n i a. Prostą z, wzdłuż której płaszczyzna zniknienia przecina płaszczyznę podstawową, określamy mianem prostej zniknienia. Odległość horyzontu od linii podstawowej, równą odległości środka rzutów od prostej zniknienia, nazywamy wysokością horyzontu.

Porównując rozważania nasze o kolineacyi (ust. 113.) z powyższemi określeniami, widzimy, że środek kolineacyi odpowiada środkowi rzutów, oś kolineacyi prostej podstawowej, oś wzajemna wz horyzontowi h, a oś wzajemna Zi, prostej zniknienia z.

190. Perspektywa prostych, leżących na płaszczyźnie podstawowej. Rzut środkowy (perspektywiczny) prostej /, przyjętej na płaszczyźnie ят, jest krawędzią Г płaszczyzny, przechodzącej przez tę prostą i środek rzutów O, z tłem jt* (Rys. 549.). Połączmy dowolny punkt Л prostej / ze środkiem rzutów O, to punkt Л', w którym promień ОЛ przebija tło, leży na prostej V i jest rzutem środkowym punktu Л. Prostą V określić więc można jako miejsce geometryczne rzutów środ-kowycji wszystkich punktów prostej /. Perspektywę punktu niewłaściwego Z⁰⁰ prostej / otrzymamy, prowadząc przez środek rzutów promień równoległy do prostej / i znajdując punkt przebicia tego promienia z tłem. Punkt ten, oznaczony na Rys. 549. literą Z', leży na horyzoncie i nosi nazwę śladu zbiegu prostej /. Promień O Z'nazywać będziemy promieniem zbiegu prostej /. Przez punkt Tl, w którym prosta l przebija tło, przechodzi perspektywa V tej prostej, a punkt ten nazywamy śladem tłowym prostej l.

Яг

аг

/V

Z<

/774    X.

Cb'

:a>

./xî

Z00

Тт

Rys. 549.

Jakkolwiek dwa dowolne punkty np. Æ i B' wyznaczają prostą V na tle, a więc także i prostą / na płaszczyźnie podstawowej, to jednak z reguły posługiwać się będziemy przy wyznaczaniu obrazów perspektywicznych prostych, a więc i położeń tych prostych w przestrzeni, ich śladami tłowymi i śladami zbiegów.

Przyjmijmy na płaszczyźnie лл prostą m // l i oznaczmy jej ślad tłowy literą Tm. Rzut środkowy punktu niewłaściwego Z", prostej m, jest punktem Z'. Proste równoległe, leżące na płaszczyźnie podstawowej, mają wspólny ślad zbiegu na horyzoncie. Ślady tłowe tych prostych leżą na linii podstawowej.

Obróćmy płaszczyznę ai około horyzontu h, a płaszczyznę ju około prostej p w kierunku wskazanym strzałkami tak, aby padły na tło (1*2), to wówczas otrzymamy obraz przedstawiony na Rys. 550., jeśli płaszczyznę tego rysunku przyjmiemy za tło. Punkt 0° jest kładem środka rzutów na tło, O⁰ Z' kładem promienia zbiegu, a proste 1° i m° kładem prostych l i m na tło. Proste Г i m' są rzutami środkowymi (perspektywami) prostych / i m. Je- z, żeli punkty A°, B°,... przyjęte na prostej 1° rzucimy z punktu 0° zł na prostą V, to otrzymane tam punkty A', B',... są perspektywami punktów Л, B,.,.. prostej /

o°

llM_ä

lr

m<

A',

Ti

(porównaj Rys. 549.).

10

m°

Z Rysunków 549. i 550.    ,

A°

B°

C°

Zł

Rys. 550.

widoczne jest, że kąt nachylę- zł nia promienia zbiegu z linią horyzontu, równy jest kątowi, jaki prosta /, względnie proste do niej równoległe, a leżące na płaszczyźnie podstawy, zawierają z linią podstawową albo z tłem. Oczywistem też jest, że każdy punkt horyzontu jest śladem zbiegu prostych równoległych, a nachylonych do tła pod kątem równym kątowi nachylenia promienia zbiegu z tłem, względnie równym kątowi, jaki kład promienia zbiegu zawiera z horyzontem.

191. Punkty i koło oddalenia. Na szczególną uwagę zasługują ślady zbiegu Z'i Z'i35 prostych, leżących na płaszczyźnie podstawy, nachylonych do tła pod 45° i 135°. Ślady te, leżące na horyzoncie (Rys. 551.), nazywamy punktami oddalenia. Ponieważ prostokątny trójkąt O' 0° Z\b jest trójkątem równoramiennym i przystającym do trójkąta O' 0° Z'п5г więc O' Z'45 = O' Z' 135 = O' 0° = d, czyli, że odległość punktu głównego od każdego z dwóch punktów oddalenia, równa jest odległości środka rzutów od tła. Koło, zakreślone promieniem d, .przechodzące więc przez punkty oddalenia, zwie się kołem oddalenia.

192. Proste prostopadłe do tła. Z pojęcia śladów zbiegu wynika wprost, że ślad zbiegu prostych, leżących na płaszczyźnie podstawy, a prostopadłych do tła, jest punktem głównym. Proste a', b' i m' (Rys. 552.) są rzutami środkowymi prostych a, b i m, prostopadłych do tła, a leżących na płaszczyźnie Jti. Proste Г i m' na Rys. 553. są rzutami środkowymi prostych, leżących na płaszczyźnie podstawy, a prostopadłych do tła, proste n' i s' perspektywami prostych prostopadłych do tła, leżących jednak dowolnie w przestrzeni.

o°

0°

a’

b’

0’ h

135°

fZhs

jZhs

W/ fr

a/ b'

Ta\ TtKTm/ jTn P

Ta.

45°

Tb P \ Tm

/a°

no

Ъ°

то'

a°

b°

m°

Rys. 552.

Rys. 551.

193. Zadania.

1) Wykreślić rzut środkowy kwadratu, leżącego na płaszczyźnie podstawowej, której kład na płaszczyznę rysunku jest dany.

a) Para boków kwadratu jest prostopadła do linii podstawowej (Rys. 554.). Ślady tłowe Ta i Tb prostych a i b łączymy z punktem głównym i otrzymujemy rzuty środkowe tych prostych. Ślady tłowe Tc i Tb przekątnych kwadratu połączone, pierwszy z punktem oddalenia Z'45, drugi z punktem oddalenia Z'135, dają perspektywy prostych c, d i przecinają . dwie poprzednio otrzymane proste w punktach А', В', C' i D które są perspektywami wierzchołków kwadratu. Roki А' B'

Z'46

Ts

s>

ni

Tl Tm

'mi

\Tn

Rys: 553.

i C' D' otrzymanego czworokąta są równoległe do linii p, ślady tłowe bowiem prostych Я В i C D są punktami niewłaściwymi prostej p, a jak wiadomo, przez ślady te przejść muszą^ proste Л' B' i Td C' D'. Rzut środkowy kwadratu jest więc w tym przypadku trapezem. Wynika też stąd, że wykreśliwszy proste a', b' i c', otrzymamy punkty C' i D kreśląc przez B' i D' równoległe do p.

b) Kwadrat leży dowolnie na płaszczyźnie podstawowej (Rys. 555.). Promień,

zfó

A°

a°

D°

AL

d°

*0°

S’

O'

b'

d'

Z /35

\ci

B'

TbY

B°

b°

C°

Rys. 554.

Tc

P_

Z\

Za

ar

b'

/Ъ

A'

X'

Td

Tc

Ta

Tb

B°

a°

co

A°

Co

Cfo

b°

D°

Rys. 555.

wykreślony z punktu 0° równolegle do a° // b° przecina horyzont w punkcie Z\ , który jest śladem zbiegu prostych a i b. Podobnie otrzymamy ślad zbiegu Z2' prostych c i d. Proste a' = Zi'Ta i b = Zi'Tb są obrazami perspektywicznemi prostych a i b, zaś proste c' = Z2'Tc i d'^ZTTd perspektywami prostych c i d. Czworokąt A' B' C D' jest rzutem środkowym danego kwadratu.

2) Wykreślić perspektywę ornamentu geometrycznego, leżącego na płaszczyźnie podstawowej. Kład tej ostatniej na tło, którem jest płaszczyzna rysunku, jest dany.

z'45

AAA?

Rys. 556.

194. Proste prostopadłe do płaszczyzny podstawy. Siad zbiegu każdej prostej równoległej do tła jest punktem nie-

Rozwiązanie zadania tlómaczy dostatecznie Rys. 556. Obrazy prostych prostopadłych do tła zbiegają się w punkcie głównym O'; perspektywy prostych równoległych do linii podstawowej wyznaczyliśmy przy pomocy prostych, nachylonych do tła pod 45°, których śladem zbiegu jest dany na horyzoncie punkt Z'45.    /

właściwym, którego kierunek określony jest kierunkiem tej prostej. Äby wykreślić perspektywę odcinka Л В (Rys. 557Д połączmy punkty Л i В ze środkiem rzutów 0, a następnie poprowadźmy przez nie prostopadłe do płaszczyzny tłowej-Perspektywa prostej / ± p jest prostą V, łączącą punkt Tl z punktem O'. Punkt A', w którym promień Л 0 przecina prostą T, jest rzutem środkowym punktu Л. Niechaj prostopadła, wykreślona z punktu В do tła, przebija go w punkcie C, to punkt przecięcia się B' prostych В O i C O' jest perspektywą punktu B. Odcinek 7VB', prostopadły do linii podstawy p, jest rzutem środkowym odcinka А B, na płaszczyznę jt₂. Zauważmy jeszcze,, że odcinek C Ti jest rzutem prostokątnym odcinka А В na tło.

m’

Ti

1Сг

OLA

fA‘

7'

9[i

Rys. 557.

O'

Z“

Z'

912

rv

A'

z~

rn

4'

rrv-

A'j

« V 7/7

Tm

no

Tl

Hh

'A°

Rys. 555.

Rys. 559.

Wykonajmy kład płaszczyzny podstawy л\ na tło, którym niechaj będzie płaszczyzna rysunku. Rzut poziomy odcinka jest punktem A° (Rys. 558.), rzut prostokątny na tło

odcinkiem Ti C. Przez punkt Л° kreślimy prostą n°, pod 450 do linii podstawowej p. Rzut środkowy n' prostej n° jest prostą, łączącą ślad tłowy Tn z danym śladem zbiegu Z\5. Proste V i n' wyznaczają szukany punkt A'. Punkt B' leży na promieniu C O', przyczem A' B' jest równoległe do C Tl.

Odcinek A' B' jest rzutem środkowym odcinka Л B, prostopadłego do płaszczyzny podstawy.

195. Proste dowolnie położone w przestrzeni. Ślady tłowe i ślady zbiegu takich prostych leżą poza obrębem linii podstawy i horyzontu (Rys. 559.).

A’

Ti

Z'

O'

Tm

Rys. 560. jest obrazem perspektywicznym dwóch prostych równoległych, nie leżących na płaszczyźnie podstawy i dowolnie nachylonych do tła. Punkt A' jest rzutem środkowym punktu, który leży na prostej l.

Rys. 560.

B sa

ii

. >■

b *1

I-

Гщ

ь- i

шШй

•Ci

Штs

• .3^——*

tï

__    . —v-j

-I

Rys. 561. Wschodnia ściana rynku w Pruchniku kolo Jarosławia

(Rysunek prof. dr. Tad. Obmidskiego)

196. Perspektywa jako metoda pośrednia. Wykreślenie rzutu środkowego, z danych rzutów prostokątnych, stanowi ważne zadanie geometryczne, które na jednym przykładzie rozpatrzymy. W przeciwstawieniu do rozważań poprzednich metoda zadania naszego, którego podstawą są dane rzuty prostokątne, jest metodą pośrednią.

i*r.

g? Ï7/F

If

Fi

VcC

Of

К_WL

G"

H"

H F”

e"

CI'\dT~

л C".

A"

B" . P" P”

x_

to

to

Cd

Cl //

to

to

Co

^ve

=>

O.

TSSP

i°’

Rys. 562.

Rys. 562. przedstawia zespół geometryczny dwóch gra-niastosłupów i jednego ostrosłupa. Poziomo rzucająca płaszczyzna a jest tłem, prosta h (h' h") horyzontem, a punkt • Oi (0/ Oi") punktem głównym. Środek rzutów leży na prostopadłej, wyprowadzonej w punkcie Oi do płaszczyzny tła. ДЬу rysunek perspektywiczny robił właściwe wrażenie, musimy

oddalenie oka od tła przyjąć dostatecznie wielkie. Zasadą praktyczną jest, aby oddalenie to nie było mniejsze od póttora-krotnego największego wymiaru przedstawionego rysunkiem przedmiotu. Wzgląd na ograniczoną płaszczyznę rysunku nie pozwala zazwyczaj na oznaczenie rzutów oka, posługujemy się więc zazwyczaj t. zw. zredukowanem oddaleniem oka.

ir

шШй

W naszym przykładzie przyjęliśmy oddalenie zredukowane do jednej trzeciej, t. zn. odcinek Öl, W = OT, fO' wyraża trzecią część odległości oka od tła. Punkt jO GO', {O") nosi nazwę zredukowanego środka rzutów (oka).

AM

'•'■ fflfwï

*p

i .i

j j;.

...ms

§|l- '••1 ? Я

IP

•4

t,

'f/S,

*ч\⁴

s.

-■*•» 'jgt .

r^A..

WOROCttta !VłruC?«f>

Rys. 563. Kap'iczka w Worochcic

(Rysunek proi. dr Ta.!. Obmińskiego)

Promień, wykreślony z punktu {O', równolegle do prostych n II s II г II m, przetnie horyzont w punkcie |Zn', który stanowi tak zwany zredukowany ślad zbiegu wiązki promieni równo egłych; promień w) kreślony z punktu {O', prostopadle do pierwszego, wyznacza na horyzoncie drugi zredukowany ślad zbiegu \Zi, a mianowicie ■dla wiązki promieni o kierunku prostopadłym do pierwszej. Przedłużmy proste m, n, r, s aż do przecięcia się ze śladem ha i oznaczmy punkty przecięcia literami Tm, Tn, 77, 7 s. Prosta / przecina ślad ha w punkcie Ti, a prostopadłe c, d, h, f wykreślone do ha wyznaczają na niej punkty Tc, Td, Th, Tf. Przygotowawszy tak Rys. 562., przystąpić możemy do wykreślenia rzutu środkowego.

Przyjmiemy więc linię podstawy p i linię horyzontu h (Rys. 564.), uwzględniając wysokość horyzontu, równą odległości prostych równoległych p" i h". Na horyzoncie przyjmiemy punkt główny Oi, a jego rzut prostokątny na linię podstawy p oznaczymy literą P (porównaj Rys. 562.). Odcinek Oi', \Zn przeniesiemy trzykrotnie od punktu Oi na lewo, otrzymując ślad zbiegu Zn wiązki prostych, równoległych do osi rzutów X. Odcinek OT, \ZT, przeniesiony na prawo od punktu głównego Oi, wyznaczy na horyzoncie zredukowany ślad zbiegu \Zi prostych prostopadłych do rzutni pionowej. Z kolei przeniesiemy na linię podstawy p szereg punktów Tc, Tl, Th, Td i Tn, Tf, Ts, Tr, Tm, znajdujących się na podstawie ha

Hi

Ei

Fi

>w

~6~П'

ei

Zf

p3/

Zn

:oi—

izT

Лё

G'y/

ZI

rr

■Ш

Zf

c-

'I

'с/'

ß'

p.

/Р

Td Th Tl Тс P Tn Tf Ts

Tm

Rys. 564.

w Rys. 562., przyczem punkt wyjścia stanowi punkt P. Ślady tłowe, jakimi są punkty Tm, Tr, Ts, i Tn, łączymy ze śladem zbiegu Zn, otrzymując perspektywy prostych m, n, r, s. Prosta gT, łącząca ślad tłowy Td z punktem głównym Oi, jest rzutem środkowym prostej d, poprowadzonej z punktu D (D D") prostopadle do tła. Proste n' i d' przecinają się w punkcie D', który jest rzutem środkowym punktu D;

prosta Tc Oi przecina prostą m' w punkcie C'. Odcinek C D' jest perspektywą krawędzi CD. Połączmy punkt Tl z punktem Oi, a odcinek Oi Ti podzielmy na trzy równe części. Punkt podziału Pi połączmy ze śladem zbiegu \ZT, a przez punkt Tl poprowadźmy równoległą T do prostej Pi, \ZT.

Prosta V jest perspektywą prostej I (patrz Rys. 562.), a odcinek Л' B' rzutem środkowym boku ЛВ. W istocie bowiem:

A Ol Ti ZT ~ A Ol Pi iZT.

W punktach A', B', C', Tm i Tn wykreślimy prostopadłe do prostej p, odmierzymy Tml — Tn II = B" Bi", a punkty / i Ii połączymy ze śladem zbiegu Zn. Tym sposobem otrzymamy perspektywę AT BT CT DT prostokąta Ai Bi Ci Di. W analogiczny sposób wyznaczymy punkty FT i HT, następnie czworokąt E' F' G' Ha wreszcie ET FT GT HT.

\'rEC^

bl ;r ::;a

f 6ŁÓv "'A    *

i-

f£6il

ir.

CQ

0

C3«d Ф

( •*«

O

i

ŸC

V

V

№

\\

»

щ

'в

h

i

т*

lW

*

i%]

Ä

г*-.

gif J

ж

>

ц

i

il

?

да«

Ą f

ш

i,

i '

- »?

№

ipj

С

J

ŃK

**

i

»•«3

&

Ц,.    .-*j

. *

Я

№

Т|

I*

f j

«4

ЩУР

S i

E*

■fi

>

г

P

** ?

i*

3

V- .;

«V■

У

Mî

J&r

1

,

.

£

■ .

îgs

«

r ■

*• 1

sfi&

ЩЩ

. x-v

Г

"ÄU - »

'

•4

% ;:

ж

1 s

ч»5

T.'.'

W*

г*:>

г Ж*

*. i

»»

rv.

feś

ш

»

Sbr *£

t

,*V

;

L *>

W\Jr

5§j

V

,, Г *

4

*

лл

^7>

i I

î₅

b

,v-T

'•«в* , Щ1

m- sf ^

SM

2j J

r*-.*

O •’

L

<'■■!■

5fvf

-•

ГЛ/

\ -74

¹

Щя

P

54

,,

1

-*7

*

s

8k«k

41

;/v д

V i

**1

er

h j

#

■ г

SK

ЯЫ

T

гчгряг-''

Sf-e^ÉÉ-IaSi-

*** * f

■A

Ж

\S

wm

~:

«te

ш/'_

*

âèr

Sig%J . :>дг :• 2

Ш|

4t

4" 'Ijte

шш

%

*«*

:Ч

Я

■С

Щ

4Ы|

ИШмЯ

iko.'

śi^

i

«fi:

ШЛИ

& #

. y

^ Ć⁴ *> '<

#»■4^

sä

[Ы

/

р*¹

"Ч-*

■    4

fr: 4

:f ;Sü

; * ..

£5

f ₍.::'    -л.

ЙввН№

ä . и

ЛОТ"

В . щ

а

-1 »

«ч!

И-

':~г7-

• р|м» #

+

"4*3Mri" jt- *ч. \

#Жй- *

лА

<

!$ЖмЯ

*

»V

Л

V

ЩСР⁵-

■t

'■* i

,4е.

mv

J

i -i

1ш

F ж

м

'

-

л

if'-

*rjC

■

tlJt ' : **•*

/7*,.

.

;

pi

■ '•■ i

* •

i

ж

3, * ,

rJyiji' *'*

.%

.

?**"?

1#У

1

s .. ль

!&

л t

J

[V

? » У-.’N'

F/J

’ я .'М -

»>•:

/ •

/

■' ш-*Шг-

ТС'

.

t

, л..

'J

-

. li

ЧШЗш

-V. #*

MltW

'; У - '

J

'Ł<

'0

$ " i.

-<Г

>» ^ .

■W'-

W

:>v-

. . -ь

Ж

1,-

te Ж ,•' •;, ;

f

. f -i*'

*■»»► «р

Ł ••4<V

.

lt

i

MW

®v

'•-ÿ

J»¹

Ж⁵⁴.

Æ1*

- йЖй\1

г * VT- - *-:i

•t

ж

V

*w

ŁyfCa..

ъ&Ш

sas

V

*

>*й?

Г

'rj

йй

л

к - - : Щ

' $?Д.

Ai;

ù?T **>йр

- ■■i

i

V

<À\

ï Tpi

■

s

Sb

J7

y.)

fiKIfw

♦

Г/

11

.4

!ЧЦ

#?> .\v

sr

4J

■

> i

Wv W.

i^r

-аи

V

>s

%

W .

1

M

ijj*

;<* iW

M

POLITECHNIKA К! AKOWSKA КА G..ÓWNA

'*»#*?*

йж^,

i

с

i

.. inw.

24*04

!*    ¹ ^am. 4S0/55 20.000

*T&

' ■.

I

W?

?

■*#

ftE

№C

(W-

i*jWł

'rziÆGm

JL\-

. s

%

'i

-•>

*f,jF %#

r*i

V

AJy

%

J

!

K Ł

4

I> 4.

4* '■*

• «»

i

fi

Æ

К

I

w

F« i

V'

f»

*зц

«•ÄSTSSSST“

Ï

;-i

R,. ;

Ы.

te

hF

t,;

jÿÊf*

4^^

у

fl

;

»