■Sk

WYDZIAŁY POLITECHNICZNE KRAKÓW

BIBLIOTEKA GŁÓWNA

Kgi;

| 1'

m t

!'•

L. inw.

# *1

ŁŁ

.w

[i!

I:;

.y-y

wm

Willi

f-t

u;

■ V.v’:

[t i

SM

\r.

..

•i

lii

...

pi

liPSlIl

11

it

[i!

wM

; .i

J

V

f

/

V

\

/

v

f

i

\

\

*

ti

\

i

/

i

■ /

y

i

V

V

/

. \;

I

!

■r ■

/

y

*■>

l

/

%

V

\

y

t

■

r

y-

\.

i-

■H

/

%

• -

—£■

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

/

♦

\

v

t

*

00000231345

\

I

)

t

. v

■■jfjk-

.

•**<

r

i

l

ł

V

$

t

*

)

(P

/

/

f

\

\

l

*v

ty

I

w.

#

/

\

\

Inż. Dr. KASPER WEIGEL

PROFESOR POLITECHNIKI LWOWSKIEJ

RACHUNEK WYRÓWNAWCZY

WEDLE METODY NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW

ORAZ

JEGO ZASTOSOWANIA PRZY R0ZMIERZAN1U KRAJU

KP

KSIĄŻNICA POLSKA

TOWARZYSTWA NAUCZYCIELI SZKÓŁ WYŻSZYCH LWÓW-WARSZAWA MCMXXIII

..

4:

KiD 5l9.l8i(0W:5l&rOf^

i

WSZELKIE PRAWA ZASTRZEŻONE

co

cer

en ■

Sssa:

Luj

CjO >

m

era

o-

uo <

na ■

<73

r'-«4

S522

I. ZWIĄZKOWA DRUKARNIA WE LWOWIE, UL. LINDEGO 4.

A

Wiift iLG

PRZEDMOWA.

samym początku parę uwag, które — dotycząc głównie jej przeznaczenia oraz sposobu korzystania z niej — uzupełniają także do pewnego stopnia i jej treść przez podanie kilku najważniejszych dat z dziedziny historji rachunku wyrównawczego.

na rachunku prawdopodobieństwa, stanowi „metoda najmniejszych kwadratów¹'1,, wymagająca, aby suma

Oddając do użytku publicznego książkę p. t. „Rachunek wyrównawczytl, uważam, za wskazane dorzucić na

Główną podstawę tego rachunku, opartego

kwadratów błędów spostrzeżeń była najmniejszą.

na

Przed pracami, omawiaj ącemi powyższą metodę, zasługują wzmianę dwie, oparte na innych zasadach: jedna z roku 1770-go, w której znany matematyk francuski j. Lagrange przedstawił teorję błędów spostrzeżeń, opartą na rachunku prawdopodobieństwa, a druga z roku 1792-go, w której niemniej sławny P. Laplace podał metodę wyrównania spostrzeżeń, wyprowadzoną przy pomocy dwu przez niego przyjętych warunków¹).

Pierwsza publikacja metody najmniejszych kwadratów wyszła z pod pióra A. Legendre’a w roku 1805-ym ²) — jako dodatek dzieła „Nouvelles methodes pour la determination des orbites des cometesu — p. t. „Sur la methode des moindres car renu; drugą ogłosił w roku 1808 Amerykanin Andrain.

Właściwym jednak wynalazcą rachunku wyrównawczego, opartego na metodzie najmniejszych kwadratów, jest słynny niemiecki matematyk i astronom K. F. Gauss, który — mimoto, że ogłosił zasady swej teorji wyrównawczej dopiero w roku 1809-ym w dziele p. t. „Theoria mołus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientiumu (Hamburg), — wynalazł ją jednak jeszcze w roku 1794-ym (1795-ym) i zastosował w praktyce przed ukazaniem się publikacji Legendre’a. Zarazem trzeba wyraźnie zaznaczyć, że dopiero w dziełach Gaussa napotykamy na odpowiednie uzasadnienie powyższej metody, jak też, że nie poprzestając na

9 Warunki te były: a) suma błędów spostrzeżeń jest równą zeru, b) suma bezwzględnych wartości błędów jest najmniejszą.

²) Karta tytułowa nosi datę 1806 r.

wyżej wymienionem dziele, ogłosił Gauss z biegiem czasu jeszcze pięć dalszych dzieł, dotyczących metody najmniejszych kwadratów.

Nie mogąc na tern miejscu podać całkowitej — dziś bardzo rozległej — literatury, odnoszącej się do rachunku wyrównawczego i teorji błędów przypadkowych, poprzestaję na wyliczeniu nazwisk najwybitniejszych autorów, bez względu na to, czy ich dzieła względnie rozprawy mają charakter teoretyczny, czy też praktyczny.

Najwybitniejszymi autorami zagranicznymi są między innymi:

T. Engeworth

I.    Encke,

G. Fechner,

E.    Forest,

Ch. Gerling,

J.    Glaisher,

G. Hagen,

P. Hansen,

F.    Helmert, W. Jordan,

L.    Kruger,

A. Marków,

M.    Merriman, C. Peirce,

P. Pizzetti,

H. Poincare,

S.    Poisson,

L. Puissant,

A. Sawicz,

G. Schiaparelli, Ch. Schols,

O. Schreiber,

O. Stone,

T.    Tbiele,

S.    Wellisch,

Th. Wittstein,

T.    Wright,

G. Zachariae.

E.    Abbe,

G.    Airy,

C. Andrae,

J. Bertrand,

F.    Bessel,

M. Bienayme,

H.    Bruns,

E. Catalan,

W. Chauvenet A. Ciarkę,

M. Crofton,

P. Czebyszew,

E. Czuber

I.    Diengler,

Znaczną część wymienionych tu nazwisk znajdzie czytelnik w uwagach niniejszej pracy wraz z przytoczeniem odpowiednich rozpraw.

Najważniejsze dzieła, dotyczące tego przedmiotu a napisane w języku polskim, przedstawiają się następująco.

Pierwszym autorem polskim, który zajął się metodą najmniejszych kwadratów, był Wł. Folkierski, omawiając ją w II-gim tomie „Zasad rachunku różniczkowego i całkowego* (Paryż, 1873) w rozdziale „Zastosowania rachunku całkowego do rachunku prawdopodobieństwa*.

.Rok 1879-y przynosi nam drugą pracę z tej dziedziny p. t: vTeorja najmniejszych kwadratów. Według wykładów prof. D. Zbrożka napisał August Witkowski...* (autograf, Lwów 1879), a wkrótce potem ogłasza prof. D. Zbrożek w Pamiętniku Akademji Umiejętności w Krakowie, (W. mat.-przyrodn ) T. IX, (1884) pracę p. t. „Zastosowanie wyznaczników w teorji najmniejszych kwadratów*.

Następną pracę znajdujemy w Y-ym tomie „Prac matematyczno-fizycznych “ (Warszawa 1894) p. t. „O metodzie najmniejszych kwadratów* pióra Wł. Gosiewskiego, po której następuje w niedługim czasie „Rachunek wyrównania błędów spostrzeżeń na podstawie metody najmniejszych kwadratów* (Kraków 1896) B. Gustawicza.

Serję prac polskich z tej dziedziny kończą: praca A. B. Daniele-wieża w YHI-ym tomie „Dzieł i rozpraw matematyczno-fizycznych u (Warszawa 1904) p. t.: „Metoda najmniejszych kwadratówu oraz szereg rozpraw, ogłoszonych przeważnie w Czasopiśmie Technicznem (Lwów) i Zeitschr. £. Yermessungswesen (Wiedeń)x).

Po tych uwagach, odnoszących się do historji rachunku wyrównawczego, przechodzę do omówienia przeznaczenia książki, jak i podania wskazówek, jak należy z niej korzystać.

Rozpoczynając pracę nad „Rachunkiem wyrównawczymi, chciałem początkowo dostarczyć odpowiedniego podręcznika studentom Politechniki Lwowskiej, uczęszczającym na moje wykłady „Teorji błędów i rachunku wyrównawczego.“ Spełnienie tego zadania nie okazało się jednak tak prostem, jakby można o tern sądzić z pozoru.

Podczas gdy studenci, kształcący się na inżynierów mierniczych, muszą znać bardzo szczegółowo rachunek wyrównawczy wraz z jego zastosowaniem do wszelkich zagadnień z dziedziny miernictwa i geodezji wyższej, należy podać studentom, kandydatom na inżynierów budowy i inżynierów-leśników ten sam przedmiot w zakresie znacznie mniejszym, uwzględniając jednak przytem specjalne potrzeby obu tych zawodów.

Widząc, że nawet przy układaniu podręcznika szkolnego będę musiał uwzględnić przynajmniej dwie kategorje czytelników, zmieniłem pierwotny zamiar, uzupełniając książkę ustępami, mogącemi być użytecznemi jednostkom pracującym naukowo; przez co powstała trzecia kategorja czytelników.    s ¹

Prócz tego należało jeszcze koniecznie uwzględnić mające niebawem nastąpić rozmierzanie Polski i z tego powodu omówić bardzo szczegółowo metody wyrównawcze, odnoszące się do iryangulacji, zajmującej aż trzy obszerne rozdziały (IX. X. i XI).

Wskutek tego wzrosła objętość książki do tak znacznych rozmiarów, że musiałem zdecydować się na pominięcie rozdziału, traktującego o badaniu błędów systematycznych podziału kół poziomych i pionowych, śrub mikrometrycznych i t. p.; rozdział ten wybrałem z tego powodu, że jest on wyczerpująco omówiony w znanem dziele P. R. Helmerta p. t. „Die Ausgleichungsrechnung n. d. Methode der kleinsten Quadrate“ (Lipsk, Berlin 1907) na str. 436. i d.

Nieodzowne wiadomości z dziedziny teorj i błędów, potrzebne do należytego zrozumienia rachunku wyrównawczego, starałem się podać

w sposób zwięzły, poprzestając na najelementarniejszych twierdzeniach rachunku prawdopodobieństwa. Przy wyznaczaniu kształtu funkcji prawdopodobieństwa (p(e) wolałem posiłkować się sposobem, podanym przez H. Poincarego w Calcul des Probabilites, (Paryż 1912), aniżeli wywodami A. Markowa, podanemi w jego „Wahrscheinlichkeitsrechnung“ (tłumacz, z rosyjskiego, Lipsk, Berlin 1912), opartemi na pojęciu „nadzieji matę-matyczneju, jakoteż nadzwyczaj interesuj ącemi poglądami profesora Dra A. Łomnickiego we „Fundamenta mathematicae“ (t. IV, Warszawa), nie chcąc odwracać uwagi czytelnika od tematu właściwego przez wprowadzanie pojęć, ogólnie mniej znanych.

W pracy mej posługiwałem się dość znaczną ilością dzieł i rozpraw, cytując je bądź w tekście samym, bądź też w uwagach, umieszczonych u dołu stronnic; najwięcej korzystałem z ostatnio wymienionego dzieła Helmerta, z I-go tomu podręcznika W. Jordana p. t. „Handbuch der Ver-messungskunde“ (Stuttgart 1920), jakoteż w jednym dowodzie z dzieła O. Eggerta p. t. „Einfiihrung in die Geodasie“, (Berlin 1907). Nieliczne ustępy, dotyczące geodezji wyższej, starałem się przedstawić zgodnie z wykładami Kolegi Dra Łucjana Grabowskiego, profesora Astronomji sferycznej i geodezji wyższej w Politechnice Lwowskiej. Pozatem znajdzie czytelnik bardzo wiele miejsc, opracowanych w sposób zupełnie samodzielny.

Nakoniec poczuwam się do miłego obowiązku wyrażenia podziękowania asystentowi Politechniki Lwowskiej p. Janowi Lechowiczowi za pomoc w przeliczaniu niektórych przykładów jak i „Książnicy“ T. N. S. W. za staranne wydanie książki.

Lwów, w maju 1922 r.

/ /

T r e s c.

Str.

Przedmowa autora..............

Rozdział I. W hutom ości podstawowe.

§ 1. Rodzaje błędów spostrzeżeń. Zadanie rachunku wyrównawczego .

§ 2. Pojęcia i twierdzenia rachunku prawdopodobieństwa, potrzebne dla dalszych wywodów............. .    .

§ 3. Krótki zarys teorji błędów przypadkowych. Funkcja prawdopodobieństwa <p(e)................

§ 4. Wyznaczenie funkcji prawdopodobieństwa........

§ 5. Krzywa prawdopodobieństwa. Znaczenie parametru h.....

§ 6. Miary dokładności spostrzeżeń...........

&

Rozdział II. Zasady rachunku wyrównawczego.

§ 1. Błędy pozorne. Metoda najmniejszych kwadratów......

§ 2. Rodzaje zagadnień rachunku wyrównawczego .    . K.....

§ 3. Prawo przenoszenia się błędów...........

§ 4. Wagi spostrzeżeń...............

III

Ol

CO i> rH tH t—1 Cł

w Di to <1 to -o

Rozdział III. Wyrównanie spostrzeżeń bezpośredni eh.

§ 1. Wyrównanie spostrzeżeń bezpośrednich o dokładności jednakowej

§ ²- t »    „    Tt    »    n r    rÓŻneJ *    •    *

§ 3. Różnice spostrzeżeń. Wyrównanie par spostrzeżeń......

§ 4. Zastosowanie metody wyrównania spostrzeżeń bezpośrednich do spostrzeżeń zawarunkowanych jednym związkiem.......

Rozdział IWs~ Wyrównanie spostrzeżeń pośrednich.

§ 1. Równania błędów. Równania normalne....... .    .

§ 2. Rozwiązanie równań normalnych sposobem Gaussa.....

§ 3. Kontrole rachunkowe............'

§ 4. Jednostkowy błąd średni p.₀........

§ 5. Błędy średnie wielkości wyrównanych......

§ 6. Wyprowadzenie wzoru na jednostkowy błąd średni sposobem drugim

(krótszym) .................

§ 7. Przykłady wyrównania spostrzeżeń pośrednich.......

00 lO H    cc

lO co    o

00 00 00 <1 •o wo*o^

CD CD C5

Str.

§ 8. Równoważne systemy równań błędów. Błędy średnie funkcji niewiadomych .................

§ 9. Dodatkowe uwagi o wagach spostrzeżeń pośrednich.....

Rozdział V. Wyrównanie spostrzeżeń zawarunkowanych.

§ 1. Równania odchyłek..............

§ 2. Wyrównanie spostrzeżeń zawarunkowanych metodą spostrzeżeń pośrednich. Jednostkowy błąd średni p,0 § 3. Wyrównanie spostrzeżeń zawarunkowanych przy pomocy metody spół-czynników nieoznaczonych (korelat)

§ 4. Równania kontrolne ....

§ 5. Bezpośredni sposób wyprowadzenia wzoru na jednostkowy błąd średni [x₀ 129 § 6. Błąd średni funkcji wyrównanych spostrzeżeń .

§ 7. Związek między spostrzeżeniami pośredniemi a zawarunkowanemi.

Wybór metody wyrównania ............1

§ 8. Przykłady wyrównania spostrzeżeń zawarunkowanych.....1

Rozdział YI. A) Wyrównanie spostrzeżeń pośrednich z warunkami. B) Wyrównanie spostrzeżeń zawarunkowanych z nie-wiadomemi.

§ l.A) Sprowadzenie zagadnienia .4) do wyrównania spostrzeżeń pośrednich 149

§. 2. Rozwiązanie bezpośrednie ..........-.

§ 3. Metoda pierwsza (Hansena i Helmerta) z zastosowaniem równoważnych

systemów równań błędów............

§ 4. Metoda druga (Bessela).............

§ 5. Specjalne przypadki wyrównania spostrzeżeń pośrednich z warunkami 161 § 6. B) Wyrównanie spostrzeżeń zawarunkowanych z niewiadomemi

Rozdział YII. Uzupełnienie i wskazówki dotyczące rachunku wyrównawczego.

§ 1. Możliwość zastosowania metody najmniejszych kwadratów. Warunek

Gaussa dla błędów spostrzeżeń...........

§ 2. Wyłączanie spostrzeżeń. Błąd maksymalny .    .    .

§ 3. Wyznaczenie niewiadomych przy pomocy redukowania równań błędów (metodą Schreibera)

Rozdział VIII. Zastosowanie rachunku wyrównawczego do pomiarów wysokości.

§ 1. Rodzaje zagadnień..............

§ 2. Ciąg niwelacyjny wyrównany metodą par spostrzeżeń .

§ 3. aj Wyrównanie ciągu niwelacyjnego zamkniętego, b) Wyrównanie ciągu niwelacyjnego nawiązanego na początku i końcu do punktów

stałych..............

§ U Wyrównanie punktu węzłowego.......

§ 5. Sieci niwelacyjne. Wybór metody wyrównania.

§ Jk, Wyrównanie sieci niwelacyjnej metodą spostrzeżeń zawarunkowanych 178.

-    »    n    „    „    „ pośrednich . . 182

§ 8. Uwzględnienie przy niwelacji wpływu zmiany przyspieszenia ciężkości 185 § 9. Wyrównanie trygonometrycznych pomiarów wysokości .    .    .    .186

Oł o

118

. 119

. 121 . 125

. 131

CO co

CO

150

151

157

. 162

co co

. 170

(M CC

.    . 174

175

. 176

Str.

Rozdział IX. Tryangulacja. (Cześć pierwsza). Wyrównania stacyjne.

. . 188

§ 1. Pomiar kątów a kierunków

'§~!2. Wyrównanie stacyjne w przypadku, gdy suma kątów powinna być

równą kątowi pełnemu ...    .......

§ 8. Wyrównanie kątów mierzonych w różnych kombinacjach .

§ 4. ^    „    „    „    we wszystkich kombinacjach .

§J5. Pomiary kierunkowa. Wyrównanie pełnych seryj kierunków .

6.    „    „    (Ciąg dalszy). Wyrównanie częściowych (nie-

. 211

.    . 189

.    . 192

. 195 . 204

pełnych) seryj kierunków a) Metoda przybliżona .

b)    Metoda ścisła...........

c)    Przemiana wyników wyrównania stacyjnego w serję pełną kier. 228

218

Rozdział X. Tryangulacja. (Część druga). Wyrównanie przy ^ygondmetryeznem oznaczeniu punktów przez wcinanie. (Wyrównanie spółrzędnych).

§ L Wiadomości wstępne. Związek między zmianą kierunków i spółrzędnych

§ 2. Wyrównanie wcipania wprzód.......:.

jjjj. Przykład wyrównania wcinania wprzód.........

§ 4. Wyrównanie wcinania wstecz...........

§ 5. Przykład wyrównania wcinania wstecz.......•

§ 6. Wcinanie obustronne (skombinowane) ...    .....

§ 7. Przykład wyrównania wcinania obustronnego.......

§ 8. Wyrównanie przy równoczesnem wyznaczeniu spółrzędnyck kilku punktów. (Wyrównanie sieci wypełniającyck) .

§ 9. Zredukowane równania błędów w zastosowaniu do metody wyrównania

spółrzędnyck. (Zred. równ. Sckreibera).........

§ 10. Dokładność wyznaczenia punktu. Elipsa błędu średniego .

IM (M (M

to to to to

CM CO ^

Tłi iO lO

. 260

to to

-O OS

Rozdział XI. Tryangulacja. (Część trzecia). Wyrównanie sieci tryangulacyjnycli AJ o znaczeniu lokalnem, B) obejmujących większe obszary.

JM, —4) Wiadomości wstępne............

§ 2. Warunki sieci tryangulacyjnej ..........

§ 3. Wyprowadzenie wzorów na ilość warunków sieci tryangulacyjnej

§ 4. Kształt warunków sieci............

§ 5. , Wskazówki praktyczne, odnoszące się do sieci tryangulacyjnych .

§ 6.- Przykład wyrównania sieci tryang. o znaczeniu lokalnem .

§ 7. B) Nieco o rozmierzaniu kraju. Powierzchnia odniesienia. Rodzaje

sieci pierwszorzędnych .............

§ 8. WTpływ metody spostrzegania na postępowanie przy wyrównaniu sieci

tryangulacyjnej...............

§ 9. Sieci podstawowe. Wyznaczenie odpowiedniej ilości spostrzeżeń kątów

w sieci o danym kształcie............

§ 10. Przykład wyznaczenia ilości spostrzeżeń kątów w sieci podstawowej 309 § 11. Sieci wieńcowe § 12. Sieci łączne i wypełniające

277

. 279 . 281

283

. 287 . 293

298

301

303

315

Str.

Rozdział XII. Nieco o formułach interpolacyjnych, urobionych na podstawie doświadczeń.

§ 1. Uwagi wstępne..............

§ 2. Zastosowanie szeregu potęgowego jako formuły interpolacyjnej .

§ 3. Formuły interpolacyjne w przypadku zjawisk okresowych

327

. 328 . 329

Uwaga. Kandydaci na inżynierów budowy i inżynierów leśników mogą poprzestać na zgłębieniu pierwszych pięciu rozdziałów w całości, oraz na prze-studjowaniu z rozdz. VIII-go pierwszych siedmiu, z rozdz. IX go pierwszych pięciu, z rozdziału X-go pierwszych siedmiu i z rozdziału XIA pierwszych sześciu paragrafów, przyczem mogą, bez szkody dla zrozumienia dalszych ustępów, pominąć ustępy, zawarte między trzema gwiazdkami * *).

W podobny sposób mogą korzystać z niniejszej książki uczniowie szkół mierniczych, opuszczając jeszcze dodatkowo rozdział II-gi prócz § 1-go.

Ważniejsze omyłki druku.

Str. 10. wiersz 3. z dołu (w uwadze) zamiast Ou ma być On 16. z góry należy skreślić słowo wyznaczoną zamiast G-ausa ma być Gaussa

n

2l:

1_ ma być: 1_:

14.

15.

17

• • n ii

21

ii

16.

T)

ii 18.

„    19.

* ¹⁹*

„ 19.

„ 20.

„ 20.

„ 21.

ii

V)

V)

ii

cd oo ^    ló    ifi ^    d cd    H ci O    oi    O od

₁_|    —(    T-i    i—li—I    i—I    .-i I ,-H

ii

ii

z dołu

„ ograniczoną ma być ograniczona krzyemi „    „ krzywemi

z góry

„    „ po słowie : muszą należy dodać obie krzywe

z dołu zamiast -{-w ma być z góry

n ii

Ti

ii jak „    „ niż

z-\-de ma być e+ds

ii

li

ii

ii

O O rH

li

ii

ii

ii 41. „    42.

7Y

V)

V!

Y>

„ n— oo

n—oo „

str. 16 „    „ str. 18.

Wellisełi ma być Wellisch derl. Astr. ma być Beri. Astr. z dołu wzór (5) zamiast £₁/e₂/ ma by® si'h'

„    „ zamiast jak i lx —1₂ ma być jak i —lx —1₂

z góry

i 19. z góry zamiast Ln

V)

dołu „ uwadze „

V)

V63-43

ma

być ^64*43

ii

10. z dołu zamiast

8. ii    ii

8. „ ,,

3. z góry

16. „ ..

12.    „    i.

z dołu

z góry

Jjn

an (ln d⁻ -r)

ma

być

Lr

li Li

ln

ma być

Ir

ar lr

11    ^r

ar (lr d~ -?■)

ii

i'

V)

an lr ttn sr u

wszystuie ma być wszystkie

df

dln

ma być

dy

dlr

— 290*5 cm-f-1890*3cm₂ ma być —290*5 cm +1890*3 cm

należy skreślić słowo: kwadratowych, z równania ma być z wyrównania [83] min

Mo,

ściślej sęym „

ii ii [38] = min

„    „ p]=0,

„ ściślejszym

Str. 51. wiersz

z góry zamiast

[e²]=

77

77

77

77

77

O po 05 05 rfs.

77

77

77

77

77

77

77

77

77

77

z dołu z góry

77

77

77

77

77

77

ii 60.

77

6. z dołu

77

być [>]²= gdy »    » gdyż

11    11 i ty

sumę z iloczynów ma być sumę iloczynów otrzymany ma być otrzymamy L% = 0-6    „    „ L₂ = 5-0

ii Vk

ma

je

0-6 v

77

5-0 v

„ 61.

77

16. „ „

h>

77

Pi

77

77

77

77

77

77

CO 00

77

77

CO bO to

77

77

77

dk

yy

77

77

77

z góry

77

5?    y-\-

10-00 m 10-00 m | 20-00 m j ma być 10-00m 115-00m I 20-00 m

V=

„    96.

77

ii H6.    i-,

22. „ „

5. „

77

*>²

ma byó ^

[Ay°

„ (wzór (16)) zamiast (i^₂.l)

ma

być [i^₂.l)²

„ 113.

77

6. z dołu (wzór (20))

dF

dF

77

de* ”

77

» 117.

77

17. z góry (wzór (4**))    „

ma

być

/ioo\²

\W) ’

jjij= ma być jj.;²=

6. „    „ (wzór (11))

„ 125.

„ 142. na figurze 10. należy przestawić kąty przy wierzchołku X: 8) na lewo, a 7) na prawo

3. z dołu (wzór (22)) zamiast B/B/] ma być jj)8,,8//]

1. „ ,, (wzór (22))    „    3/S/]=[_p    ma być [^S/S/]+

„    17. z góry zamiast 1.740-400 ma być 1740400

11. z dołu

77

77

77

77

77

CD CD

CD CD

„ 216. „ 257.

77

77

77

77

spostzzeżenie ma byó spostrzeżenie

77

4. z góry

77

fir)’ ma byd (m)°

77

ma

9. „    „    „ § 7. Przykład obustronnego wyrównania,

być § 7. Przykład wyrównania obustronnego wcinania.

ROZDZIAŁ PIERWSZY.

Wiadomości podstawowe.

§ 1. Rodzaje błędów spostrzeżeń. Zadanie rachunku wyrównawczego.

Wyniki najstaranniejszych spostrzeżeń fizycznych wielkości nie mogą hyc nigdy ścisłe t. j. bezbłędne.

Głębsze zastanowienie się nad przebiegiem jakiegokolwiek spostrzeżenia (pomiaru) uświadamia nas, że na niezgodność wyniku spostrzeżenia z prawdziwą wartością spostrzeganej wielkości wpływa bardzo wiele częstokroć nawet bardzo nieznacznych przyczyn.

Przyczyny te można podzielić na dwie grupy. Pierwszą obejmują takie, z których istnienia oraz prawdopodobnego ich skutku możemy sobie zdać sprawę mniej lub więcej dokładnie. Natomiast przyczyny, należące do grupy drugiej są nam albo zupełnie nieznane, lub tak mało uchwytne, że nie możemy powiedzieć nic pewnego o ich wpływach na wynik; o ich istnieniu przekonywa nas fakt, że spostrzeżenia dokonane nad jedną i tąsamą wielkością w warunkach (jak się nam wydaje) jednakowych, różnią się z reguły między sobą choćby tylko bardzo nieznacznie.

Oczywiście, że pierwsza grupa przyczyn jest dla wyników otrzymywanych przy spostrzeżeniach mniej szkodliwą, gdyż znając owe przyczyny choćby nawet i powierzchownie, możemy w każdym razie znacznie zmniej -szyć ich działalność szkodliwą na wynik przez zastosowanie odpowiednich poprawek oraz należytego postępowania przy pomiarze, czego — rozumie się — nie możemy uczynić w odniesieniu do drugiej grupy przyczyn.

Sprawę tę będę się starał objaśnić na przykładach.

Przy pomiarze długości taśmą stalową wpływają na niedokładność wyniku — między innemi — następujące przyczyny: niedokładne wytyczenie kierunku prostej, nieścisłe ułożenie taśmy wzdłuż wytyczonego kierunku, zwisanie jej z powodu niedostatecznego napięcia, niedokładne oznaczenie na terenie początku i końca taśmy, nieodpowiednia jej długość, wpływ temperatury i t. p.

Wszystkie te przyczyny są nam jednak o tyle znane przed rozpoczęciem pomiaru, że możemy ich wpływ szkodliwy ograniczyć, jeśli nie

Dr. K. Weigel. Rachunek wyrównawczy.

zupełnie to przynajmniej bardzo znacznie, wykonując opisane wyżej czynności pomiarowe bardzo starannie, stwierdzając długość taśmy na komparatorze, oraz mierząc — o ile nam zależy na bardzo dokładnym pomiarze — także i temperaturę taśmy przy jej użyciu.

Oczywiście, że mimo tego postępowania nie potrafimy usunąć w zupełności szkodliwego wpływu wymienionych przyczyn na wynik, a gdy jeszcze weźmiemy na uwagę istnienie przyczyn, o których działalności możemy mieć zaledwie bardzo słabe pojęcie (n. p. natury fizjologicznej) i przyczyn zupełnie nam nie znanych, zrozumiemy łatwo, dlaczego przy kilkakrotnym pomiarze tej samej długości, mimo stosowania jednakowej metody pomiaru, otrzymamy wyniki niezupełnie zgodne.

Weźmy teraz na uwagę pomiar przyrządem znacznie delikatniejszym, a więc n. p. aneroidem. W przyrządzie tym odpowiada podniesieniu się lub opadnięciu wierzchniej pokrywy puszki o wypompowanem powietrzu o 4 pp przesunięcie się wskazówki o około 1 m\m. Można zatem łatwo sobie wyobrazić, że przy tego rodzaju przenośni (1 : 250) w tak drobnym przyrządzie, jest niemożliwe dokładne zdanie sobie sprawy z bardzo wielu przyczyn mających wpływ na ostateczny wynik. Wprawdzie potrafimy ocenić mniej lub więcej dokładnie wpływ niektórych przyczyn działających w tym przypadku i niektóre z nich unieszkodliwić — przynajmniej do pewnego stopnia —, a to, albo przez odpowiedną kompensację mechanizmu, albo drogą rachunkową, jednak pozostała liczba przyczyn będzie tak wielką, że wyniki uzyskane pewnym aneroidem przy pomiarze tej samej wysokości, będą z reguły odbiegały od siebie jeszcze bardziej, niż to miało miejsce przy pomiarach taśmą stalową.

Każda z przyczyn uczestnicząca w danym przypadku jest powodem niezgodności wyniku, wywołując tak zwany błąd cząstkowy lub elementarny, wszystkie zaś w danym przypadku uczestniczące składają się na całkowity błąd spostrzeżenia.

Błędy (całkowite) występujące przy spostrzeżeniach dzielimy na trzy kategorje: błędy grube, systematyczne i przypadkowe.

1. Błędy grube. Błędy te wynikają z powodu przeoczenia obserwatora i różnią się zwyczajnie swą znaczną wielkością od innych, tak że po zestawieniu spostrzeżeń nad tą samą wielkością, możemy z reguły poznać, które z nich są obarczone błędem grubym.

Przykłady z praktyki mierniczej : Licząc przy pomiarze prostej ilość przyłożeń taśm lub łat mierniczych, zaznaczono w raptularzu o jedno przyłożenie za mało lub za wiele popełniając przezto błąd 20 m względnie 5 m; lub kończąc pomiar prostej odczytano t. zw. reszlę na nieodpowiedniej stronie taśmy, otrzymując zamiast właściwej wartości reszty, wielkość uzupełniającą ją do 20 m.

Oczywiście, że można popełnić przez przeoczenie i bardzo nieznaczny błąd, tak że nie będzie go można wykryć przez zestawienie kilku spostrzeżeń; w tym przypadku wejdzie on do później omawianego rachunku wyrównawczego, jednak wpływ jego będzie — praktycznie biorąc — o ile mamy do dyspozycji większą ilość spostrzeżeń bardzo nieznaczny na wynik wyrównania, a to właśnie ze względu na jego nieznaczną wielkość.

2.    Błędy systematyczne. Są to błędy występujące w szeregu spostrzeżeń wedle pewnego prawa związanego ściśle z okolicznościami, wśród których wykonywano pomiary. 0 ile przyczyny wywołujące owe błędy działają stale jednakowo podczas wykonywania szeregu spostrzeżeń, będą miały błędy systematyczne wszystkich spostrzeżeń wartość stałą; nazywamy je wówczas błędami stałemi.

Jako przykłady tego rodzaju błędów mogą posłużyć błędy występując* przy pomiarze kąta teodolitem o ekscentrycznie osadzonej osi alhidady. Każdy odczyt jest z tego powodu obarczony dwoma błędami systematycznemi, z któryck jeden zmienia się wzdłuż obwodu limbusu wedle prawa sinusoidy, drugi pozostaje w kaźdem miejscu stały.

3.    Błędy przypadkowe. Działanie przyczyn błędów przypadkowych zależy od okoliczności, które zmieniają się w czasie między spostrzeżeniami (od poprzedniego spostrzeżenia do następnego), a których związku ilościowego ze spostrzeżeniami nie można wykazać.

Logicznie można uzasadnić, że przy rozważaniu błędów tego rodzaju można zastosować rachunek prawdopodobieństwa¹), określając je jako błędy, które mogą pojawić się w szeregu spostrzeżeń z równem prawdopodobieństwem jako dodatnie lub jako ujemne.

Teorja błędów zajmuje się tylko błędami przypadkowemi. Błędy innego rodzaju muszą być przed zastosowaniem rachunku wyrównawczego, albo zupełnie usunięte ze spostrzeżeń, lub conajmniej przez odpowiednią metodę pomiaru tak zredukowane, by nie miały praktycznego wpływu na wynik wyrównania. Ostatnia uwaga odnosi się do błędów systematycznych, którym często możemy nadać przez odpowiednie postępowanie podczas pomiaru charakter błędów przypadkowych, tak że uzyskane wyniki spostrzeżeń mogą być użyte do rachunku wyrównawczego.

Przykład. Ponieważ przy pomiarze kąta występują prócz wyżej wymienionych błędów systematycznych jeszcze i błędy podziału limbusu o charakterze systematycznym, nadaje się im charakter błędów przypadkowych, przez pomiar tegoż kąta na odpowiednio obranych częściach limbusu teodolitu, uzyskując na pewnych jego częściach wyniki za duże, na innych za małe, czyli nadając wedle poprzednich uwag powstającym błędom charakter błędów przypadkowych, gdyż każdemu błędowi o pewnej wielkości w sensie dodatnim, będzie odpowiadał równy błąd w sensie ujemnym.

Ponieważ, jak już wspomniałem, spostrzeżenia dokonane nad jedną i tą samą wielkością nie mogą dać z reguły zgodnego wyniku, wynika

ł) Kries. Die Prinzipien der Wahrscheinlichkeitrechnung. Eine logische Unter-suchung 1886. str. 217.

ztąd konieczność zastosowania jakiegoś racłmnku wyrównawczego dla uzyskania jednoznacznej wartości spostrzeganej wielkości; a chcąc, aby uzyskana wartość była najbardziej prawdopodobną, należy ów rachunek wraz ze związaną z nim teorją błędów przypadkowych oprzeć na rachunku prawdopodobieństwa.

Po tych uwagach zastanówmy się nad zadaniami, jakie mają spełnić rachunek wyrównawczy i teorja błędów.

Rachunek wyrównawczy podaje nam:

1.    sposoby, jak należy zużytkować rachunkowo spostrzeżenia, — o ile były dokonane w większej ilości, jak zachodziła potrzeba —, aby uzyskać jednoznaczny wynik, który nam przedstawi zarazem najbardziej prawdopodobną wartość mającej się wyznaczyć wielkości (względnie mających się wyznaczyć wielkości),

2.    dokładność każdego spostrzeżenia, wartości uzyskanych wyrównaniem i ich funkcyj,

3.    możność uzyskania jedynie odpowiednich wzorów empirycznych przez wyznaczenie formuł interpolacyjnych najbardziej odpowiadających w tym celu dokonanym spostrzeżeniom.

Sprawa pierwszorzędnej wagi dla badaczy naukowych, a więc i inżynierów pracujących nad ustaleniem wzorów empirycznych na podstawie dokonanych doświadczeń.

Teorja błędów zaznajamia nas z prawami, jakim podlegają przypadkowe błędy spostrzeżeń; jest więc — jak widzimy — nauką podstawową dla rachunku wyrównawczego.

Rachunek wyrównawczy ma zatem, jak to wynika z powyższych rozważań, znaczenie bardzo doniosłe i to tak dla badań naukowych, jak i celów praktycznych, a to dzięki okoliczności, że nietylko podaje nam najbardziej prawdopodobną wartość mającej się wyznaczyć wielkości, lecz zarazem i dokładność jej wyznaczenia, co się uskutecznia przez obliczenie błędu „prawdopodobnegou w praktyce zwykle „średniego“ wartości uzyskanej z rachunku.

W praktyce zależy nam z reguły na tern, aby uzyskać wynik o pewnej z góry określonej dokładności, a jedynego sposobu sprawdzenia, czy tak postawione zadanie zdołaliśmy spełnić, dostarcza nam właśnie rachunek wyrównawczy.

Ale i na tern nie koniec; bo nawet w przypadkach, w których stwierdziliśmy, że nie osiągnęliśmy żądanej dokładności, orjentuje nas rachunek ten, czy możliwem jest uzyskanie jej przez odpowiedne pomnożenie ilości spostrzeżeń, czy też należy użyć innych dokładniejszych przyrządów lub metod, by sprostać postawionemu zadaniu.

Ze względu na to, że teorja błędów — owa podwalina rachunku wyrównawczego — opiera się na rachunku prawdopodobieństwa, podaję w następnym rozdziale te zasady tegoż rachunku, które będą potrzebne dla niektórych dowodów odnoszących się do teorji błędów.

§ 2. Pojęcia i twierdzenia rachunku prawdopodobieństwa potrzebne

dla dalszych wywodów.

aj Prawdopodobieństwo pojedyncze. '

Nazwijmy ilość przypadków sprzyjających pewnemu zdarzeniu s, zaś ilość przypadków, w których owe zdarzenia może wogóle zajść w, a otrzymamy na określenie matematycznego prawdopodobieństwa tego zdarzenia wzór:

(1)

p=—•

w

Zatem prawdopodobieństwo pewnego zdarzenia w znaczeniu mate-matycznem jest stosunkiem liczby przypadków sprzyjających temu zdarzeniu do liczby wszystkich przypadków, w jakich to zdarzenie może zajść, t. j. do liczby wszystkich możliwych przypadków¹).

G-ranice p są ™=0 i — =1. Pierwszy wzór odpowiada niemożności,

drugi pewności zajścia tegoż spostrzeżenia. Zaś prawdopodobieństwo, że zdarzenie owo nie zajdzie równa się 1—p.

Przykłady. Prawdpodobieństwo wyrzucenia dwoma kostkami w sumie liczby 12 jest równe -Jg-, gdyż na 36 wszystkich możliwych przypadków jeden zaledwie sprzyja temu zdarzeniu (na obu kostkach 6). Zaś prawdopodobieństwo wyrzucenia dwoma kostkami w sumie liczby 8 równa się j⁵^-, gdyż mamy tu pięć przypadków sprzyjających, a mianowicie: 2-)-6, 3 + 5, 4 + 4, 5 + 3, 6 + 2.

b) Prawdopodobieństwo zdarzeń wykluczających się

w z aj em n i e.

Jeśli mamy wyznaczyć z jakiem prawdopodobieństwem z kilku zdarzeń wzajemnie się wykluczających (t. j. nie mogących zajść równocześnie) A, B, C,... .N, którekolwiek zajdzie, to prawdopodobieństwo tak określone równa się sumie prawdopodobieństw pojedynczych wszystkich owych zdarzeń. Oznaczając zatem prawdopodobieństwa owych zdarzeń przez pa, pb, pn.. ,pn ottzymamy powyżej określone prawdopodobieństwo:

(2)

P(a+b+c+....+n)—Pa+Pb-\-Pe-\' • • • • +!?«•

*) Definicja ta nie jest w zupełności zadawalająca, co stwierdził między innymi i znany matematyk H. Poincare poprzedzając ją w swych wykładach o rachunku prawdopodobieństwa następującem zdaniem: L’on ne peut guere donner une definition satisfaisante de la Probabilite. — H. Poincare. Calcul des Probabilites. Paris 1912. (Wyd. 2-gie) str. 24.

Przykład. Do próżnej urny wrzucono k kul, c czerwonych, b białych i n niebieskich, a zatem k=c-\-b-{-n. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wyciągając z urny jedną kulę wyciągniemy czerwoną lub niebieską?

Prawdopodobieństwo wyciągnięcia kuli czerwonej jest: pc=-—, zaś niebie-

n    *

#kiej    , zatem prawdopodobieństwo, o które się pytamy będzie określone

łC

wzorem:

c+n

Pc+n— £    •

Oczywiście, że prawdopodobieństwo to jest równocześnie równe prawdopodobieństwu niewyciągnięcia kuli białej, które wedle poprzednich uwag wypada:

c-\-n

e) Prawdopodobieństwo dwu zdarzeń niezależnych, czyli prawdopodobieństwo złożone.

Prawdopodobieństwo, że kilka zdarzeń niezależnych od siebie A, B> C,...N zajdzie równocześnie (lub bezpośrednio po sobie), równa się iloczynowi prawdopodobieństw pojedynczych tych zdarzeń. Zatem:

(3)

P a.b.c....n)~Pa - Pb -Pc* • • 'Pn*

Przykład. W urnie znajduje się Jc kul, c czerwonych, n niebieskich, i b białych; jakie jest prawdopodobieństwo, że — wyciągając z urny trzy kule po jednej i wrzucając wyciągniętą przed wyjęciem następnej do urny — wyciągniemy właśnie kule o trzech kolorach?

Jeśli po wyciągnięciu każdej kuli wrzucamy ją z powrotem, będą prawdopodobieństwa pojedyncze wyjęcia kul każdego z wymienionych trzech kolorów:

—, zatem jako odpowiedź na nasze pytanie otrzymamy wynik: łc

c.n.b

Pe.n.Tc

k³ *

Natomiast prawdopodobieństwo wyciągnięcia r razy po sobie kuli białej przy tern samem postępowaniu będzie określone wzorem

(3*)

tor-©'-

Wzór ten ma bardzo ważne znaczenie dla późniejszych wywodów. d) Prawo liczb wielkich.

Dotychczas omawialiśmy prawdopodobieństwa zdarzeń, których przyczynę powstania znaliśmy zupełnie dokładnie. N. p. wiedzieliśmy, ile jest kul w urnie każdego koloru, wiele z nich mamy naraz wyciągnąć i t. d. Są jednak przypadki, w których nie znamy dokładnie przyczyn pewnych zdarzeń; chcąc wyznaczyć ich prawdopodobieństwo uciekamy się do doświadczeń, których liczba musi być jednak bardzo znaczną.

"Wnioskujemy tu następująco: jeśli jakieś zdarzenie, na bardzo wielką ilość n wszystkich możliwych przypadków t. j. doświadczeń, zaszło w pewnych okolicznościach m razy, należy słusznie przypuszczać, że zajdzie ono i w przyszłości w tych samych okolicznościach w liczbie, której stosunek do ilości wszystkich możliwych przypadków (w przyszłości) będzie

yyi

ten sam jak poprzednio t. j. —.

Sprawą tą zajmował się między innymi Bernoulli wykazując, że

omawiane prawdopodobieństwo różni się bardzo nieznacznie od —

(twierdzenie Bernoulliego); w praktyce przyjmujemy je zatem równe temu stosunkowi.

e) Prawdopodobieństwo przyczyn. Twierdzenie Bayesa.

Załóżmy, że zdarzenie A miało miejsce, oraz

że n przyczyn Pi,

Pn wzajemnie się wykluczających mogło je wywołać, t. j. że w rzeczywistości wywołała je z nich tylko jedna.

ozna-

Przypuśćmy dalej, że prawdopodobieństwo, z jakiem zdarzenie A byłoby nastąpiło, gdyby była działała przyczyna Pi wynosi p{. Natomiast prawdopodobieństwo a priori — czyli prawdopodobieństwo przed zdarzeniem —, że przyczyna Pi uczestniczyła w tym przypadku czmy (p^.

Pamiętając o naszem założeniu, że zdarzenie A miało miejsce, pytamy się: jakie jest prawdopodobieństwo a posteriori — t. j. po zdarzeniu A —, że je wywołała właśnie przyczyna P*?

Prawdopodobieństwo to oznaczymy literą x i będziemy się starali znaleść je drogą pośrednią.

Prawdopodobieństwo, że przyczyna Pi uczestniczyła w tym wypadku, a uczestnicząc byłaby wywołała zdarzenie A jest wedle c) prawdopodobieństwem złożonem z prawdopodobieństwa a priori (p^, że Pt w tym przypadku uczestniczyła, oraz z prawdopodobieństwa pi7 z jakiem zdarzenie A byłoby nastąpiło, gdyby była działała przyczyna Pi; a zatem prawdopodobieństwo złożone jest: (pj) p{.

na-

L>*

Prawdopodobieństwo tak otrzymane równa się jednak prawdopodobieństwu otrzymanemu i następującem rozumowaniem: nasamprzód leży przyjąć, że zdarzenie A miało miejsce, a potem (gdy już miało miejsce) przypisać wywołanie go przyczynie P{.

W ten sposób rozumując otrzymamy również prawdopodobieństwo złożone, którego pierwszą częścią jest wedle b) suma: (pj) Pi + (Pi) + + (pn)pn, zaś drugą prawdopodobieństwo a posteriori x\ zatem ostatnio omawiane prawdopodobieństwo złożone wypadnie:

(4)

*{(Pi) Pi+(P₈) P₂ +

Jak już wspomniałem oba te prawdopodobieństwa złożone są sobie równe. Zatem:

+ (P») Pn}-

(5)

{Pn) Pn

__(P)Pi

(Pi) Pi + (Pl) J>2 +

(H)

p.2) = vVD;

(22)

Fig. 5.

§ 3. Kontrole rachunkowe.

= Ou+[6/3] Q1.2 + [C/S] Q,a

§ 8. Równoważne systemy równań błędów. Błąd średni funkcji

[f]

0*0003

§ 2, Rozwiązanie bezpośrednie.

®1 4" ®2 ^2 4" ^3 4"

§ 7. Wyrównanie sieci niwelacyjnej metodą spostrzeżeń pośrednich.

(7)

2

Fig. 19.

#.-y

33

Tryangulacja (Część trzecia). Wyrównanie sieci

[g/]fc6 + tt>i

a, $4 -j- a, 4- a, 4-bx &x+bt&%+bt&,+

-sin (g8.9—ós+óg) sin (au.is—óu+duO sin (<*16.17—<

¹

Ostatnią rozprawę prof. Dra A. Łomnickiego o znaczeniu czysto teoretycznem znajdzie czytelnik w IY-ym tomie „Fundamenta matłiematicae“.

(Pi) Pi + (Pl) J>2 +

Jestto twierdzenie Bayesa, które ująłem w definicję następującą:

Prawdopodobieństwo a posteriori, że pewna przyczyna Pi wywołała zdarzenie A równa się stosunkowi iloczynu prawdopodobieństwa a priori, że przyczyna Pi uczestniczyła w tym przypadku przez prawdopodobieństwo, z jakiem zdarzenie A byłoby nastąpiło, gdyby była działała przyczyna Pi do sumy iloczynów prawdopodobieństw utworzonych w ten sam sposób dla wszystkich n przyczyn mogących uczestniczyć w tym przypadku.

Przykład. Mamy r urn, z których każda zawiera k kul różnego koloru. Urny podzielono na n kategorji Kl, K₂.... En; do pierwszej niech należy at urn, do drugiej a₂ urn... do n-tej an urn. W każdej urnie należącej do pierwszej kategorji niech będzie między innemi po b±- kul białych, w drugiej po b₂ . . . • w n-tej po bn kul białych.

Przypuśćmy, że ktoś sięgnąwszy do dowolnej urny wyjął kulę białą. Pytamy się — po tym fakcie dokonanym — , jakie jest prawdopodobieństwo, że wyjęto ją z urny należącej do pierwszej kategorji ?

Prawdopodobieństwo, o które się pytamy, jest poprzednio omawianem

prawdopodobieństwem a posteriori x— —

Ol) V\

2 (p) p i

Prawdopodobieństwo a priori (px) znajdziemy rozumując następująco: przyczyną wyciągnięcia kuli białej z urn pierwszej kategorji jest okoliczność, że na r urn at urn należy do kategorji pierwszej, a zatem

ai

Zaś prawdopodobieństwo pit z jakiem wyciągnęlibyśmy wówczas (t. j. gdyby ta przyczyna była działała) kulę białą z dowolnej urny pierwszej kategorji jest stosunek ó, do &, zatem

Pism-y-’> przeto: k

«i \.

^ ~n-

2 ab

Przykład szczegółowy. Pięć urn podzieliliśmy na dwie kategorje, z których pierwsza zawiera trzy, druga dwie urny. W każdej urnie mamy 10 kul, między któremi jest w urnach pierwszej kategorji po 6 białych, zaś w urnach drugiej kategorji po 3 białe kule. Zatem r=»5, n— 2, a* = 3,. a₂=2, ó₁=6, &, = 3.

Pytamy się po wyciągnięciu kuli białej, jakie jest prawdopodobieństwo (a posteriori), że pochodzi ona z urn kategorji pierwszej.

Wstawiając do wzoru na x liczby szczególne otrzymamy:

3.⁶

3.6 + 2.3“T'

Wyznaczając dla kontroli prawdopodobieństwo tego samego rodzaju, że wyciągnięta kula biała pochodzi z urn kategorji drugiej otrzymamy:

2.3

~ 376 + 273 ~ 4

zaś (pewność), że pochodzi z urn jednej lub drugiej kategorji

*i+*2=₄ + ~T

-=1.

§ 3. Krótki zarys teorji błędów przypadkowych. Funkcja prawdopodobieństwa cp (e).

Wiadomości podane o błędach przypadkowych w § 1-szym są zbyt ogólnikowe, aby mogły nam wystarczyć dla dalszych wywodów; należy je przeto nieco uzupełnić dla uzyskania jaśniejszego poglądu na tę

sprawę.

na doświadczeniach

Przedewszystkiem należy znaleść prawo, któremu podlegają błędy przypadkowe. Nie mając jednak dostatecznych podstaw, aby dojść do niego samem rozumowaniem, musimy oprzeć się a dopiero mając za sobą wyniki doświadczeń dostosować do nich odpowiednią hipotezę. Wszelkie zaś hipotezy — choćby najbardziej trafiające do przekonania — nie poparte licznemi doświadczeniami, nie mogą być tu miarodajnemi.

Natomiast należy wymienić trzy hipotezy wykazujące większą lub mniejszą zgodność z doświadczeniami; wynikiem wszystkich trzech są prawa o kształcie funkcyj wykładniczych.

Hipoteza pierwsza. Błąd spostrzeżenia jest wynikiem współdziałania bardzo wielkiej liczby przyczyn niezależnych, z których każda podlega temu samemu prawu. Prawo to ma spełnić tylko jeden warunek, a mianowicie: że błędom o tej samej absolutnej wielkości przysługuje

prawdopodobieństwo równe.

Hipotezę tę analizował Laplace.

Hipoteza druga analizowana przez Bessela. Błąd spostrzeżenia jest wynikiem współdziałania bardzo wielkiej liczby przyczyn niezależnych,

które działają wprawdzie wedle dowolnych praw i między dowolnemi granicami jednak z tern ograniczeniem, że błędy dodatnie i njemne o tej samej wielkości pojawiają się w szeregach spostrzeżeń w tej samej ilości, że prawdopodobne wartości kwadratów błędów elementarnych są wielkościami tego samego rzędu.

oraz

Hipoteza trzecia. Błąd spostrzeżenia jest wynikiem współdziałania bardzo wielkiej liczby. przyczyn niezależnych, z których każda, gdyby działała sama, wywołałaby błąd bardzo mały w stosunku do tych błędów, jakieby powstały z kombinacji działania wszystkich innych przyczyn.

Hipotezę tę poddał analizie Crofton.

Szczegółowe omawianie tych hipotez wykracza poza ramę niniejszego dzieła, czytelnik chcący się zajmować niemi dokładniej znajdzie je wystarczająco szczegółowo omówione w dziele E. Czubera¹), lub odnośnych publikacjach²).

Chcąc jednak uzmysłowić czytelnikom sprawę powstawania błędów spostrzeżeń z błędów cząstkowych, zajmę się nieco bliżej hipotezą Ha-gena³), która jest tylko szczególnym przypadkiem hipotezy pierwszej. Hipotezę tę — popartą również doświadczeniami — wybrałem nie z tego powodu, aby usiłować przekonać czytelników o jej bezwzględnej słuszności, ale tylko dlatego, że — ze względu na swą prostotę — nadaje się najlepiej do osiągnięcia wyżej wspomnianego celu.

Hagen przyjął, że błąd spostrzeżenia jest sumą bardzo wielkiej liczby, niezależnych, równych, bardzo małych błędów cząstkowych, przyczem każdy z nich może wpływać na wynik spostrzeżenia z takiem samem prawdopodobieństwem w sensie dodatnim jak i ujemnym.

Przyjęcie to nie jest wprawdzie ścisłem, choćby z tego powodu, że wyklucza błąd cząstkowy o wielkości równej zeru, podczas gdy — jak to zaraz obaczymy — błąd całkowity przyjmuje przez współdziałanie błędów cząstkowych najczęściej właśnie tę wartość; okoliczność ta dowodziłaby zatem, że cząstkowe błędy podlegaj ą innemu prawu, j ak całkowite błędy spostrzeżeń. Mimo to, można, ze względu na zgodność wyników tej hipotezy z doświadczeniami, uważać ten sposób przedstawienia rzeczy ża bardzo zbliżony do prawdy; boć przecie przyjęto, że błędy cząstkowe są bardzo małe, różnią się przeto tylko bardzo nieznacznie od zera.

*) E. Czuber. Theorie der Beobachtungsfehler, Lipsk 1891. str. 78 i t. d.

²)    Laplace. Theorie analyt. des Probabilites H. Art. 23; Bessel. Untersuchungen uber die 'Wahrscheinlichkeit der Beobachtungsfehler, 1838. Astr. Nachrichten, tom XV. Nr. 358—359; Crofton. Ou the Proof, of the Law of Errors of Obseryations 1870, London Philos. Transact., 160, str. 175.

³)    Hagen. Grundztige der Wahrscheinlichkeitsrechnung, 3-cie wyd. 1882.

Nazywając błędy cząstkowe v, a całkowite (spostrzeżeń) £, otrzymamy dla n błędów cząstkowych następujące wyniki:

Błąd

całkowity s

Składające się nań błędy cząstkowe

Wielkość _    .

błędu II0^ pojawienia całkowitego Sl§ bł- całkowitego

£'

Ą-v-\-v + vJr...JrV + v + v

nv

(1) -

£"

Ą-v+v-\-v-\-. . . Ą-v-{-v—v (n—2)v

ty-

e'"

4-v+v+v+ . . . -\-v—v—v (n—Ą)v

fe)-(ł)

(1)

Sini2+1)

Ą-v-\-v + v

(i)

—v—v—v — {n—4) v

fe)-©

£(n)

Ą-v—v—v.....—v—v—v —(n—2)v

—n v

Przyjmując zaś w szczególnym przypadku n«~8, otrzymamy wyniki zestawione poniżej :

Błąd

całkowity

Prawdopodobieństwo błędu całkowitego (w przybliżeniu)

Wielkość

błędu

całkowitego

Ilość pojawienia się

Oznacz, bł. całk. wedle absol. wielk.

£'

e"

£'"

eW

£(5)

£(6)

—2 v

£(?)

£(8)

(!)-i (f)— 8 (D-28 (|)-B6 (i) = 70 (|) = 56 (!)=28 (ł)=8 (l)=l

£4

ei

*0

—*i -*2 “£3

2=0

2=206

= cv> 0-004 /₂56    0-031

²⁸/₂₅6 =cv> 0-109 oo 0-219 ⁷⁰/₂5 6    0-273

⁶⁶/₂₅6 =^0-219 /25G =cvd 0-109 ⁸/₂ 5 6 =CV) 0-031

^256    0-004____

^=CV) 0-999

(z powodu skróceń), ma być =1.

86/

i256 ~

28

P(+e)-P(-e),

Z powyższych zestawień widać, że powstałe wedle hipotezy Hagena błędy spostrzeżeń e spełniają następujące warunki:

1.    prawdopodobieństwo jednakowo wielkich błędów dodatnich i ujemnych jest równe,

2.    prawdopodobieństwo popełnienia błędu mniejszego jest większe, niż błędu większego,

3.    największe prawdopodobieństwo posiada błąd £o=0.

Nazywając przeto PE prawdopodobieństwo pojawienia się błędu e

widzimy, że *):

(3)

czyli że Ps jest funkcją parzystą (symetryczną) błędu e.

Te trzy wymienione właściwości błędów utworzonych wedle hipotezy Hagena charakteryzują jednak i przypadkowe błędy spostrzeżeń uzyskane drogą eksperymentalną, czyli że doświadczenie popiera hipotezę Hagena.

Gdybyśmy chcieli przedstawić związek między wielkością błędu a jego prawdopodobieństwem wykreślnie, otrzymalibyśmy biorąc do wykresu wyniki zestawione w tabelach — szereg odcinków stojących oddzielnie obok siebie. Otóż, aby uzyskać odpowiedni wykres dający możność sumowania prawdopodobieństwo błędów (co jest nam potrzebne dla wyznaczenia prawdopodobieństwa błędu zawartego w pewnych granicach), podzielimy oś odciętych na odcinki o wielkości 2v=Ae i wykreślimy nad

Ps

jak na fig. 1. dla n=8*

niemi jako podstawami prostokąty o wysokości

Jo/ !

i*£ R,

<~t-

^AE

ae

At

-£*

'4

•£*

*e*

Fig. 1.

*) Prawdopodobieństwo błędów będę oznaczał nadal przez P, gdyż p chcę zachowań dla wielkości t. zw. wag, które będą występowały przy późniejszych rozważaniach.

Prawdopodobieństwo, ze błąd jest zawarty w granicach od a= do b=¹~j-e₃ równa się — jak to wprost widać na rysunku — powierzchni trzech prostokątów odnoszących się do tych trzech błędów, gdyż prawdopodobieństwo to równa się wedle § 2. b) sumie prawdopodobieństw Pi + P₂ + P₃, którym odpowiadają na rysunku wspomniane prostokąty.

którą odcięliśmy dla każdego błędu na osi rzędnych

nazywamy funkcją prawdopodobieństwa oznaczając ją przez cp (e), a jeśli równocześnie przejdziemy ze skończonej ilości n mierny błędy v nieskończenie małe, przemieni się de w różniczkę de, tak, że otrzymamy związek:

de

A zatem przyjęliśmy, że prawdopodobieństwo PB odnosi się do błędów leżących w granicach między e— v, a e+v, lub wedle nowego

. , Ae czenia między e—=-A

ozna

a e+

ce

Wielkość

na n— co, oraz przyj-

(4)

PE=cp (e) d e.

Prawdopodobieństwo popełnienia błędu e t. j. błędu zawartego w granicach między e, a e + de ^lub e prawdopodobieństwa cp (e) pomnożonej przez różniczkę błędu de.

(Oczywiście, źe twierdzenie powyższe jest zupełnie niezależne od hipotezy Hagena, którą podałem nieco szczegółowiej ze względu na łatwość przedstawienia jej na wykresie (fig. 1.)).

“T’

cLe\

a ⁶' + '2_J równa się wartości funkcji

§ 4. Wyznaczenie funkcji prawdopodobieństwa¹).

Przypuśćmy, że spostrzegliśmy n razy pewną wielkość otrzymując za każdym razem inny wynik:

In•

Po dokonaniu spostrzeżeń pytamy się, jakie jest prawdopodobieństwo, że prawdziwa wartość spostrzeganej przez nas wielkości jest zawarta w granicach między L, a L+dL.

Prawdopodobieństwo to jest znanem nam z § 2c prawdopodobieństwem przyczyn (str. 6).

I tak nazywając (p^ prawdopodobieństwo a priori, że wartość spostrzeganej wielkości jest zawarta w granicach między L a Z-f-dZ, zaś Pi prawdopodobieństwo, z jakiem wyniki naszych spostrzeżeń wypadłyby w granicach między lx a -f d/j, Z₂ a Z₂ + dZ₂,.....ln a Zn+dZn, gdyby

spostrzegana wielkość była zawarta w granicach między Z, a L+dL, otrzymamy wedle twierdzenia Bayesa (§ 2, (B), str. 8):

Pt—:

(Pd Pi

(1)

2(Pi)Pi

W poprzednim ustępie ustaliliśmy wzór na prawdopodobieństwo pojawienia się błędu £ w granicach między £, a e-\-de: Pe=(p(e)d£. Wedle tego wzoru prawdopodobieństwo błędu spostrzeżenia l nie jest zależne od wielkości samego l.

Otóż Poincare przyjmuje zamiast (p{e) ogólniejszy kształt funkcji prawdopodobieństwa mianowicie cp (Z, L) taki, że prawdopodobieństwo Pi — popełnienia błędu dli — przedstawia się:

(2)

(l; Li) dli.

Natomiast prawdopodobieństwo a priori (p^ zależy tylko od interwału dL i od wszystkiego, co wiemy o Z, zatem:

(3)

CPi)=ip(L)dL.

Mając w ten sposób wyznaczoną pierwszą część licznika wzoru Bayesa wyznaczoną, przystąpmy do jego drugiej części.

Prawdopodobieństwo pi otrzymamy tworząc iloczyn prawdopodobieństw: (p(liL)dli.q)(l₂L)dl₂.....(p (lnL) dln=pi (a to wedle § 2 c), gdyż

z takiem prawdopodobieństwem otrzymalibyśmy w szeregu spostrzeżeń jedno po drugiem spostrzeżenie l (t. j. o wartości w granicach między l a l-\-dl), gdyby spostrzegana wielkość była Z (t. j. w granicach między Z a Z dL).

A zatem licznik szukanego wyrażenia przedstawi się w formie: ip (Z) dL. cp (Zj Z) dlx cp{l₂L)dl₂.. ..g> (lnL) dln.

Zaś mianownik otrzymamy całkując powyższe wyrażenie względem samego Z od —co do -f-oo, tak że po uproszczeniu przez stałe czynniki licznika i mianownika dli: dl₂.... dln otrzymamy ostatecznie:

(4)

Pl

rp (Z) dL. <p (Z, Z). ff(/₂Z). . . . (p (lnL)

\%p{L)dL.cp(ZtZ)cp(l₂L).....(p{lnL)

J —00

Aby uzyskać możność przeprowadzenia dalszych wywodów, należy oprzeć się na założeniach Graussa.

Przypuśćmy, że dokonaliśmy w = co ilość spostrzeżeń pewnej wielkości Z (w tych samych warunkach) i że błędy poszczególnych spostrzeżeń są tylko przypadkowe (t. ^n.₇ że P(-\-e)=P(—£)). Jeżeli zestawimy wszystkie spostrzeżenia uporządkowane wedle wielko . i, to — ze względu na przypadkowy charakter błędów spostrzeżeń — wyniki poszczególnych spostrzeżeń względnie ich błędy ugrupują się symetrycznie względem

Połóżmy dla uproszczenia :

wielkości L, t. j. każdemu spostrzeżeniu większemu od L o pewną wielkość odpowie spostrzeżenie mniejsze od L o takąsamą wielkość. Przy tego rodzaju ugrupowaniu się spostrzeżeń względem wielkości ń, które będzie

21

miało miejsce przy ilości spostrzeżeń n = oo , będzie oczywiście —, średnia

Tb

arytmetyczna utworzona ze wszystkich spostrzeżeń, przedstawiała ze stanowiska rachunku prawdopodobieństwa wartość najbardziej prawdopodobną wielkości L w granicach między L: a będzie zależał od wielkości interwałów dl.

Biorąc analogję z tego przypadku także i dla skończonej ilości spostrzeżeń n możemy przyjąć, że średnia arytmetyczna nie dostarcza wprawdzie w tym przypadku wartości najbardziej prawdopodobnej, staje się jednak przy rosnącej ilości spostrzeżeń — o ile błędy ich są nieznaczne i niezależne — coraz bardziej prawdopodobną wartością wielkości L.

Temi wywodami da się usprawiedliwić założenie Gaussa²), który przyjął średnią arytmetyczną utworzoną ze skończonej ilości n spostrzeżeń jako wartość najbardziej prawdopodobną wielkości L.

JL-ł-dL, przyczem interwał dL

nam

Dalsze przyjęcia Gausa:

(5)

ip(L) = 1 i cp(l, L) = (p (L—l) są w związku z poprzedniem, przyczem to ostatnie założenie oznacza, że prawdopodobieństwo pojawienia się błędu pewnego spostrzeżenia jest niezależne od wielkości samego spostrzeżenia.

Przyjmując założenie Gaussa, należy zatem nadać funkcji <p taki kształt, jaki wynika z przyjęcia średniej arytmetycznej za wartość najbardziej prawdopodobną wielkości L.

W tym przypadku jest jednak dL wielkością stałą, a zarazem mia-

działa

nownik wzoru (4)-go staje się równy jedności (jedna przyczyna

ględnieniu założeń (5) otrzymamy:

jako pewnik); przeto po uwz

PL=dL.(p(L-l,).cp(L-l₂)

(p(L—ln)•

(6)

Dla Pl — max. musi być iloczyn:

<P(L—h)'<f>(L—li).....

cp (L—ln)=max

(7)

logqp(L—ZJ+log cp{L—Z₂) +

lub:

(log oznacza logarytm naturalny o podstawie e),

log cp (.L—Zn)=max.

a w następstwie:

(8)

dcp(L—Z,)

dcp(L—Z₂) cp (L—l,) d (L—l,) ² cp(L—Z₂) d )L—Z₂)

—— -• -t-.... -1

dcp(L—ln)

(p (L ln) d (L Iji)

-0. (9)

a otrzymamy powyższe równanie w kształcie:

F (J>\)F (l^ +•

F{h) = 0.

(9*)

21

Zarazem jest jednak z powodu .£=—

l\ + 4 d~

Po zróżniczkowaniu i porównaniu obu równań (9*) i (10) wypadnie (ze względu na to, że L jest wielkością stałą):

F'{ln) dln = rf/j -f- dl-2 +

Równanie to jednak może istnieć tylko pod warunkiem (o ile mamy przynajmniej po trzy wyrazy po obu stronach), jeśli:

2^) = ^) =

Weźmy na uwagę dowolny z tych wyrazów, więc F'(l,) to:

q>' (L—lj)

(p'{L—li)\' d (L—li)

F' (ZA) dlA +- F' (Z₂) dl₂ +

a przez całkowanie otrzymamy:

F {li) —

+ ln= nL.

(10)

dln. (11)

F'(ln)=A (wielkości stałej).

(12)

(13)

(14)

Ponieważ 2F(li) =0, przeto i A2(L—l;)-\-nB=0.

i    i

Pierwszy człon ostatniego równania jest jednak zerem, gdyż

n

2(L-li)=nL—lx—l₂ —.....-4-0,

przeto i drugi człon tegoż równania nB=*0, a zatem:

B=0.

W obec tego Fili)

dcp(L—li)

(p(L—Zj~‘ diL-k)

Całkując to wyrażenie otrzymamy:

Z<p(i-Zi)=^(X-/l)²+6'/, lub cp(L—.e°' {e podstawa log. natur.)

iQ CD

Badanie prawa błędów wykazuje, — jak poprzednio zaznaczono — że największe prawdopodobieństwo ma błąd =0, zaś najmniejsze błąd największy ujemny czy dodatni (—oo, +co); zatem stała \A musi mieć wartość ujemną (inaczej byłoby przeciwnie).

Połóżmy więc l!₂A=—A², a dla uproszczenia L—/,=■£*, oraz ec'—C to otrzymamy:

(p(£i) = Ce-»*\

(17)

Prawdopodobieństwo popełnienia błędu e (w granicach między s, a (e+df) wyrażone wzorem: P£=q)(s) ds, przedstawi się po wstawieniu wartości za (p (e):

zas prawdopodobieństwo popełnienia błędu w granicach między £1? a f₂:

P*²=C\    (porówn. § 2. b), (Str. 5).

" ei

(19)

Jeśli rozciągniemy obszar możliwości popełnienia błędu od — oo do -f oo, przejdzie prawdopodobieństwo w pewność, zatem

e-h’*de= 1.

p+OQ

CJ

«/ -OO

(20)

oraz ds=

dt

Podstawiając he — t, £=— otrzymamy:

— (gdyż h jest wielkością stałą),

cr⁺"

h J —oo

e~t3dt= 1.

(20*)

Powyższa całka jest znaną pod nazwą całki Laplace’a, a wartość 1 ej wynosi Vu, przeto:

£vs-i, c-A

W ten sposób wyprowadzone prawo błędów, zwane zazwyczaj krótko 'prawem Gaussa, odnosi się j ednak tylko do błędów przypadkowych {*• j-» gdJ ?( + «) — (p (—«)}.

Podobnie jak założenia Gaussa tak i wyprowadzone z nich prawo Gaussa należy odnieść właściwie do błędów, które powstałyby przy n= oo ilości spostrzeżeń. Błędy powstałe przy tej ilości spostrzeżeń możemy jednak zidentyfikować, lub conajmniej uważać za bardzo bliskie z błędami „prawdziwemiu, pod któremi rozumiemy różnice między wartością prawdziwą, a wartościami otrzymanemi ze spostrzeżeń.

Zatem prawo Gaussa odnosi się przedewszystkiem do błędów prawdziwych spostrzeżeń, które będziemy oznaczali nadal wyłącznie przez f.

a w następstwie:

—h% £²

Ps=

Łe-h*£id£.

(21)

§ 5. Krzywa prawdopodobieństwa. Znaczenie parametru h.

Przyjmując pewne wartości dla parametru h, możemy wykreślić t. krzywą prawdopodobieństwa, przedstawiającą nam związek między <jp(£), a £.

taki wykres, przyczem

zw-

Figura 2. (patrz str. 18.; przedstawia nam e są odciętemi, a (p (c) rzędnemi.

Oś <p(f) jest osią symetrji krzywej. Dla £=0 osiąga <jp(0) wartość

dla £=-+-00 oraz £=—go wartość zera. Krzywą charakteryzują dwa punkty przegięcia Pt i P₂, leżące symetrycznie względem osi q>{t). Poło-

Dr. K. Weigel. Kachunek wyrównawczy.

zenie ich znajdziemy przez dwukrotne zróżniczkowanie względem £ rów-otrzymuj ąc:

2 hz

nania ęp(f)=

-j=e

-ftłeł

<?'(£)

-Ee

—ft²8²

a następnie:

(1)

#>"(«)

2 hs

—ft*e²

4:h⁵

, łt ł 2 hz

Ele~~h £ =—=e

®*(2    £²—1).

(2)

cp(c)

-oo

Jju.

iwć

(ty

T-a&P

♦<S

Fig. 2.

Z warunku <jp"(f) = O wynika, że 2A²e²—1=0, a dalej:

£ =—~r (wartości odciętych punktów przegięcia). h \Z

(3)

Wstawiając tę wartość do wzoru na (p{ć) otrzymamy:

~.e    /h* ^ ² = ~T==~ (j ako wartość rzędnych p. przegięcia).

V TC    V S TC

Prawdopodobieństwo popełnienia pewnego błędu n. p. e = a przedstawia nam rządna odpowiadająca £=a o grubości df, jest to zatem wielkość nieskończenie mała (co zresztą wynika ze związku PB=*q) (e) d e); zaś prawdopodobieństwo popełnienia błędu w granicach między e = a, a £ = 6 przedstawia nam powierzchnia między krzywą, a osią e ograniczoną rzęd-nemi cp(a) i (p(b), co odpowiada całce:

(4)

e-**de.

(5)

Całkowita powierzchnia zawarta między krzywą prawdopodobieństwa, a osią e oznacza prawdopodobieństwo popełnienia w ogóle jakiegoś błędu e (w granicach od £ = — co do -t-oo); a jako prawdopodobieństwo równe pewności odpowiada jedności, jak to przedstawia równanie:

e-»*de=1.

h r+ °° YtzJ-oo

(6)

Zajmijmy się następnie zbadaniem znaczenia, parametru h.

Porównując dwa szeregi błędów, z których pierwszemu odpowiada parametr hl} zaś drugiemu parametr h₂, zauważymy z łatwością, że w obu szeregach będzie pewien błąd Hhg o prawdopodobieństwie jednakowem; nazwijmy go ew. Natomiast, o ile ń₂ > ń.,, wszystkie błędy o wartości absolutnie (bez względu na znak) mniejszej będą miały w szeregu drugim (t. j. o h₂) 'prawdopodobieństwo większe, niż te same błędy w szeregu pierwszym (o hj), zaś błędy bezwzględnie większe prawdopobieństwo mniejsze w szeregu drugim, niż w szeregu pierwszym.

Okoliczność ta wskazuje, że szereg drugi (o hj) jest dokładniejszy niż pierwszy.

ht r⁺⁰°

—oo

(6*)

Rozumowanie to wynika z warunków: e~n^tde — 1

Jeśli bowiem powierzchnie zawarte między obu krzyemi o osią e są równe jedności, muszą ze względu na ich kształt przecinać się w dwu punktach W' i W" leżących symetrycznie po obu stronach osi <p(g), którym odpowiadają błędy —ew względnie + ew (lub krótko -ł-g?„).

(pia

YT

-<f

W²

-Cw

---*<fw

Fig. 3.

a s== 4- OB

Odciętym między e——go, a g=»—ew oraz między g = -f-będą odpowiadały mniejsze rzędne <p(g) krzywej h₂ niż odpowiedne rzędne krzywej hx, odwrotnie będą rzędne cp (g) odpowiadaj ące odciętym w granicach między —ew, a -\-ew większe dla krzywej o parametrze h% niż odpowiedne rzędne krzywej o parametrze hv Różnice te ilustruje bardzo dobrze fig. 8.

między —co

Prawdopodobieństwo, popełnienia błędu w granicach między £wr a +ew jest dla drugiego szeregu (t. j. o h.₂) większe niż dla pierwszego szeregu i odwrotnie prawdopodobieństwo popełnienia błędu w granicach —ew oraz +sw a +co jest mniejsze dla szeregu drugiego

za

jak pierwszego. Zatem słusznie uważamy drugi szereg spostrzeżeń dokładniej szy.

Parametr h nazywamy miarą dokładności; uważamy bowiem pewne spostrzeżenie za m razy dokładniejsze od drugiego, jeśli przy pierwszem spostrzeżeniu prawdopodobieństwo błędu zawartego w granicach między e7 a eĄ-de jest równe prawdopodobieństwu błędu zawartego w granicach między m£, a m(E+d£) przy spostrzeżeniu drugiem.

Chcąc określić cyfrowo dokładność spostrzeżenia podlegającemu prawu

, należy obrać za jednostkę dokładności spostrzeżenie, przy którem

prawdopodobieństwo popełnienia błędu w granicach między £, a £-\-de wynosi: ¹)

(7)

jL e~*d£\

prawdopodobieństwo popełnienia błędu w granicach między m £: a m (e + d £} jest przy tego rodzaju spostrzeżeń równe:

(8;

^e-^^dE.

Yrc

Kładąc m=h, otrzymamy zgodność ostatniego wyrażenia (8) z wy-h

rażeniem — e~h's3 dla dowolnych wartości £; parametr h oznacza więc

przy wyborze jednostki tego rodzaju bezpośrednio dokładność.

G-auss nazwał h miarą dokładności.

Chcąc wyznaczyć h dla pewnego szeregu błędów e₂₇ .... £n należy postąpić w sposób następujący.

Prawdopodobieństwo, z jakiem należy spodziewać się pojawienia tych błędów podczas dokonywania spostrzeżeń, równa się wedle § 2 c (str. 6) iloczynowi prawdopodobieństw poszczególnych błędów, a zatem:

Px. P₂ . . .. Pn—    : e~h’[es],²) (przyczem [ee]=^e²).

mn

(9)

Najodpowiedniejsze, t. j. najbardziej prawdopodobne, będzie takie hy które odpowie najbardziej prawdopodobnemu pojawieniu się wspomnianych błędów £, a zatem to h, któremu odpowiada Px. P₂. . . . Pn=max,

J) E. Czuber. Theorie der Beobachtungsfehler, Lipsk, 1891, str. 122.

²) tJzyłem tu po raz pierwszy symboliki Gaussa, która przyjęła się w rachunku wyrównawczym, mianowicie [es] zamiast Se²; odtąd będę ją stosował stale, n. p. [ab] zamiast Soó i t. p.

§ 6. Miary dokładności spostrzeżeń.

rH

Chcąc je uzyskać należy przyrównać pochodną tego wyrażenia względem h do zera:

d(Pt.P,..,Pn)

n hn~

dh

hnZh[££\e-hiw

~Wn “

(10)

lub:

a wreszcie :

n—2h² [f£]=0,

Ą1-. _JL.

2[m]

(11)

"Im'

1 I[e£]

y-^- nazywamy błędem średnim spostrzeżeń (patrz ustęp

(12)

Wyraz

następny) oznaczając go przez dzP‘, zatem:

h%

(13)

h możemy zatem otrzymać wprost z błędów spostrzeżeń. Realne znaczenie ma tu oczywiście tylko znak + .

Wreszcie należy zauważyć, że o ile h dozwala nam ocenić dokładność dokonanego szeregu spostrzeżeń, spełnia to samo zadanie również i p, jako wielkość odwrotnie proporcjonalna do h.

Błąd p może być zatem użyty dla porównywania dokładności szeregów spostrzeżeń.

Związki (12) i (13) mają znaczenie ścisłe w myśl uwag podanych w § 4-tym tylko dla n = oo; dla skończonej ilości spostrzeżeń n przedstawiają się jako przybliżenia.

§ 6. Miary dokładności spostrzeżeń.

W poprzednim ustępie wykazaliśmy, że prócz h może być użyty jako miara dokładności spostrzeżeń błąd średni p. Prócz błędu średniego mamy jeszcze dwa błędy, których możemy użyć do tego samego celu; są to : błąd przeciętny i prawdopodobny.

1. Błąd przeciętny#.

Błąd ten otrzymujemy tworząc średnię arytmetyczną z bezwzględnych wartości błędów szeregu t. j.:

[NJ

(i)

#=d_

n

Dla uzyskania ogólnego wyrażenia na ten błąd, należy wyjść z definicji prawdopodobieństwa błędu. Oznaczając przez P, prawdopodobieństwo błędu |fij|, możemy napisać związek:

(2)

pt-z

n

w którym w* oznacza liczbę, ile razy błąd |e,-| ma się pojawić w szeregu spostrzeżeń na liczbę n wszystkich spostrzeżeń.

Mnożąc obie strony równania (2) przez w|£i| otrzymamy:

n Pi\£i\^ ni\£i\.

Tworząc takie same związki dla [fij, |fi₂| i t. d. i dodając je otrzymamy dalej :

»-Pi|£il-»i|£₁|

ttP₂|£₂!=rc₂|£₂|

lub:

n[P\e\] = [\e\),

— -1*1*1]-*

n    1 IJ

[W]

(3)

(4)

Wyrażenie oznaczone [Pje|] jest jednak dla n = cc całką: h P+⁰⁰

jelc—;h2e2ds, zatem dla n—cc :

co

(5)

h p+°°

Wstawiając do ostatniego wzoru £ zamiast jej, musimy wziąć na uwagę, że całkowanie należy przeprowadzić w granicach od 0 do + co

mnożąc równocześnie wynik przez dwa.

//¹TW    f n

(i \£\e-**de=2\

\ J —co    J o

+ CO

£ e—h*eidej.

Ostatecznie więc otrzymujemy wyrażenie na błąd przeciętny w formie :

Vw-J o

ee-¹** de.

(6)

W celu rozwiązania powyższej całki położymy he = t₁ a zatem będzie: d£= —; po wstawieniu tych wartości otrzymamy:

ee-h*e2 de

/*00

Jo

1

"jpj.

te-*dt.

(7)

Ponieważ

te~* dt*= —

tO M.

e-^+C,

(8)

przeto

/•OO

Jo

zatem:

/»00

Jo

2 /*²

a ostatecznie:

(9)

tyjz

0*5641896

(10)

Widzimy zatem, że błąd & jako odwrotnie proporcjonalny do h może również jak i fi być użyty jako miara dokładności spostrzeżeń.

2. Błąd średni fi.

I £ml (*+°°    /•<»

- = \    Emrp{e)dE — 2\ £m(p(£)d£.

J —oo    J 0

Stosując analogiczne rozumowanie do błędów spostrzeżeń podniesionych do dowolnej skończonej potęgi m~>0, możemy napisać ogólnie (dla n=oo ):

¹

Ustęp ten opracowałem posługując się częściowo dziełem H. Poincare, Calcul des Probabilites. Paryż 1912, str. 169 i dalsze.

²

   d(p(L—lj)^(p'(L—li)

(p(L—li)’ d(L—U)    (p(L—li)

i) Dokładne omówienie tej kwestji znajdzie czytelnik w dziele: H. Poincare, Calcul des Probabilites. Paryż 1912, w rozdz. X-tym i XI-tym.

(H)

Praktyczne znaczenie ma jednak tylko wykładnik potęgowy m = 2 (z powodów, o których mowa później); w ten sposób utworzony błąd nazywamy, jak wspomniałem przy końcu § 5-go (str. 21) błędem średnim fi szeregu spostrzeżeń. Zatem otrzymamy (ściśle dla n= oo):

£*e-hi*²de. *)

Stosując, jak poprzednio, łi£=t, przekształcimy powyższą całkę na :

f, przeto:

„•-M

n

(12)

i r

h³Jo

t*e-t2dt]

/-* GO

ponieważ j

t* e~*dt=

OO

Jo

£² d£

V Jo

4A³’

następstwie:

(13)

2A²’

lub ostatecznie:

(14)

0-7071068

(15)

P =

Zatem    średni fi może być użyty jako miara dokładności szeregu

spostrzeżeń. Zarazem należy zaznaczyć, że fi odpowiada w krzywej prawdopodobieństwa odciętym obu punktów przegięcia. (Fig. 2, str. 16).

3. Błąd prawdopodobny ę.

Poprzednie błędy są, jak widzieliśmy wartościami przeciętnemi natomiast błąd prawdopodobny q ma znaczenie zupełnie

ogólnie —

inne; wymaga tedy zastosowania innego rozumowania. Jak wiadomo jest:

^ f e~h7e2d£=l = PCX) (pewność); Y^rJ-oo

(16)

t. j. prawdopodobieństwo pojawienia się błędu zawartego w granicach między —co a +oo jest pewnością.

Przyjmując za P dowolną wartość od zera do jedności i oznaczając ją przez Px, można wyznaczyć błąd a: odpowiadający przyjętemu prawdopodobieństwu Px ze związku:

hj+x V n)-x

E-n*s*d£=-Px.

J) [es] oznacza — jak wspomniałem — wedie symboliki Gaussa ls².

Rozwiązanie zagadnienia polega tn zatem na znalezieniu odpowiednich granic całkowania.

Specjalne znaczenie ma w tym przypadku błąd, którego prawdopodobieństwo JP=¹/₂. Błąd ten nazwał Bessel błędem prawdopodobnym p; zatem PQ ==¹/₂.

p jest zatem graniczną wartością, która może być z równem prawdopodobieństwem przekroczoną, jak i nie przekroczoną, czyli z równem prawdopodobieństwem możemy popełnić błąd większy od p, jak błąd mniejszy od p. Wartość p znajdziemy przeto ze związku:

CTl'

^-Q

(17)

e~tldt=

e^de

(przyczem hs^t, więc e=

-=!)•

Dla całki ^

\ e~fi dt=® (t) są obliczone tablice, z Jo

których można

znaleść jej wartość dla argumentu t, lub odwrotnie wyznaczyć t dla znanej wartości ®(t).

Dokładną wartość na t = hę można wyznaczyć z szeregu:

(ęh)³ | (ęh)⁵    (ęh)¹ i (ęh)¹

in

»(<>*) = ~ —{?*

10

42

216

Jednym lub drugim sposobem wyznaczone ęh wynosi na 7 miejsc dziesiętnych:

p h=0-4769.363

0-4769363

zatem :

(18)

Zatem — jak widzimy — może być i p użyty jako miara dokładności spostrzeżeń.

Łatwo udowodnić wyrażając h kolejno przez trzy wspomniane błędy i zestawiając otrzymane wyniki, że między błędami #, p i p istnieją następujące związki:

^,=0-7978846 // =

0-4769363

p = 1-1829372 p,

p = 1-4826021 p,

(19)

0-4769363V2

P = 0-4769363Vtt £=0-8453476 #= 0-4769363V2 ^=0-6844898^.

Z powyższego zestawienia widać, że największym z tych błędów j est błąd średni, mniejszym od niego przeciętny, zaś najmniejszym prawdopodobny.

W praktyce posługujemy się w rachunku wyrównawczym tylko błędem średnim p, a to dlatego, że przy skończonej ilości spostrzeżeń jesteśmy w stanie błąd ten wyznaczyć stosunkowo jeszcze najdokładniej. Wpraw-

gdyż nie znając

dzie bardzo rzadko możemy obliczać go z wzoru

prawdziwej wartości szukanej wielkości nie możemy znać i poszczególnych e i musimy posługiwać się t. zw. błędami pozornemi ó; zobaczymy * jednak później, że rzecz ma się podobnie i przy użyciu błędów pozornych.

Błędem przeciętnym d posługują się niekiedy empirycy, a to głównie ze względu na łatwość obliczenia, jak i obrazowego przedstawienia tego błędu.

Błąd prawdopodobny q ma znaczenie teoretyczne. Wyznaczyć go można łatwo wprost z błędów spostrzeżeń biorąc po zestawieniu błędów wedle

ich wielkości absolutnej przy nieparzystej liczbie n wartość +1 j-go

błędu, lub przy parzystej liczbie n interpolując dla uzyskania jego

war-

tości liniowo

Tl    ( Tl \    •

między -tym, a l-^ + lj-szym błędem. Oczywiście, że ten

tylko

sposób wyznaczenia błędu prawdopodobnego dostarcza go w dość grubem przybliżeniu. Ola dokładniejszego wyznaczenia tego błędu należy użyć drogi pośredniej przy zastosowaniu związków (19)-tych, a więc najkorzystniej przy pomocy błędu średniego p.

Błędy „średnieu tworzone na

nam

wzór błędu p przy pomocy formuły

01]

dla wykładnika parzystego m>0, lub przy pomocy formuły

wykładnika nieparzystego m> 0, wykazują przy tej samej skończonej ilości n również mniejszą dokładność wyznaczenia jak błąd średni p.

Dla uzyskania pewnej orjentacji, z jaką dokładnością można obliczyć ze skończonej ilości błędów e błędy p, 3 i p., podajemy bez dowodu dokładność wyznaczenia powyższych błędów określoną błędami średniemi.

^o = 0-85544-p (błąd śr. błędu ę),

dla

Y«

(20)

g& — 0w5551-pr    „

^-0-70711-Ł    „

Mn

Dla porównania dokładności wyznaczenia błędu średniego p. przy pomocy różnych potęg błędów e podajemy poniżej wzory na błąd _ średni p wraz z odpowiednimi błędami średniemi; wskaźniki przy p oznaczają tu potęgi błędów' £ użyte przy obliczeniu x).

t) Sprawa dokładności tych błędów zajmował się Gauss (1816), a następnie, Encke derl.Astr. Jahrb. 1834, str. 289-298; obaj jednak podali liczebne wyniki nie dla błę-Bów średnich lecz dla prawdopodobnych.

^₁⁼⁼¹*²⁵³³1^

0-8557    „

/^3

z błędem średnim

0-7555

/*i

0-7071

V⁻

\n

0-7871

v»

(21)

P *

y w

0-6902 \/[!f!D „

y w

^₄ = 0-7598

0-8165

/*4

0-9422

-Tj=—Pt

V«

Z obu powyźszycłi zestawień wynika słusznie uprzywilejowane stanowisko* błędu średniego ([x = [x₂) w rachunku wyrównawczym.

-V“

widzimy, że „dokładność średniaiŁ

Biorąc na uwagę błąd średni \x

wyznaczenia tego błędu rosnąca szybko przy niewielkiej liczbie spostrzeżeń powiększa się przy większych ilościach n stosunkowo niewiele. I tak wynoszą, średnie odchylenia błędu średniego wyrażone procentowo:

dla n = 4

„    = 10

„    = 12

dr 35-3°/₀ n ±28-9°/0 dr 25-0% [X dr 22-4% jx ± 20-4°/₀ [x

(22)

„ =22

dr 15-1% 9*

„ =50 .

±10-0 Ó/₀'(X

Wzory i zestawienia powyższe, mimo, że odnoszą się do błędów prawdziwych e i mają znaczenie przybliżenia, stanowią dobrą orjentację dla obioru ilości spostrzeżeń.

ROZDZIAŁ DRUGI.

Zasady rachunku wyrównawczego.

§ 1. Błędy pozorne. Metoda najmniejszych kwadratów.

Dotychczas mówiliśmy o błędach 'prawdziwych e, t. j. o różnicach między prawdziwemi wartościami spostrzeganych wielkości, a wartościami otrzymanemi jako wyniki spostrzeżeń. Błędy te są nam w praktyce — z wyjątkiem bardzo rzadkich przypadków — z reguły nieznane, a to z powodu niemożności poznania prawdziwej wartości spostrzeganej wielkości. Z tego powodu mają wszelkie wzory zawierające błędy prawdziwe znaczenie tylko teoretyczne, są zatem nie przydatne dla rachunku wyrównawczego. W rachunku tym posługujemy się przeto innemi błędami t. zw. pozornemi, t. j. różnicami między wartościami spostrzeganych wielkości uzyskanemi z wyrównania a wartościami spostrzeżeń.

Jeśli spostrzeżenia odnoszą się bezpośrednio do wielkości, której wartość mamy uzyskać rachunkiem wyrównawczym, czyli gdy są bezpośrednie, błąd prawdziwy e jest określony związkiem:

(1)

£ = X-l,

X oznacza prawdziwą wartość spostrzeganej wielkości

przyczem

błąd pozorny d przedstawia się w tym przypadku następująco:

zaś

ó=oc—l f

(1*)

przyczem x oznacza równania.

wartość spostrzeganej wielkości uzyskaną z wy-

Mimo to, że dopiero w następnym § 2-gim poznamy szczegółowo wszelkie rodzaje spostrzeżeń, do których może byc stosowany rachunek wyrównawczy, musimy już obecnie zająć się prócz omówionych spostrzeżeń bezpośrednich przynajmniej jeszcze jedną kategorją spostrzeżeń t. zw. spostrzeżeń pośrednich, aby mieć możność wyprowadzenia ogolnej metody wyrównawczej, która — w pewnych przypadkach z dołączeniem pewnych warunków — mogłaby być zastosowaną do wszelkiego rodzaju spostrzeżeń.

W przypadkach, gdj⁷ nie możemy spostrzegać bezpośrednio wielkości X uciekamy się do drogi pośredniej spostrzegając szereg wielkości L będących funkcjami (tego samego ogólnego kształtu) wielkości X\ spostrzeżenia tego rodzaju nazywamy pośredniemi.

Oznaczając wartość spostrzeżenia przez L, otrzymamy w tym przypadku wzory na błędy prawdziwe e i pozorne ó:

(2)

(2*)

ó=f(x)—L.

Spostrzeżenia L choć dokonane bezpośrednio nazywamy w tym przypadku pośredniemi, ponieważ chodzi nam o znalezienie wartości wyrównanej wielkości x (a nie L).

Przechodząc dalej do przypadku ogólnego spostrzeżeń pośrednich, przyjmiemy, że spostrzeżenia nasze są funkcjami (tego samego kształtu ogólnego) k niezależnych wielkości X, Y, Z bardziej odpowiedne x, y, z,. . . . chcemy wyznaczyć rachunkiem wyrównawczym.

Oczywiście, że rachunek wyrównawczy będzie tylko możliwy, gdy k, ilość t. z w. niewiadomych, będzie mniejszą od ilości spostrzeżeń n {k< n).

Błędy prawdziwe i pozorne przedstawiają się zatem w ogólnym przypadku spostrzeżeń pośrednich:

s=f(X, Y, Z,

<5=/(ac, y, z,.

przj^czem jednak L pochodzą z obserwacyj bezpośrednich, o czem zawsze pamiętać należy przy układaniu związku (3*).

Chcąc wyprowadzić ogólną zasadę wyrównania obierzemy przy wywodach drogę następującą. Nasamprzód weźmiemy na uwagę spostrzeżenia bezpośrednie o dokładności jednakowej i wyprowadzimy opierając się na prawie Gaussa, zasadę wyrównania dla tego najbardziej prostego przypadku. Następnie ustalimy zasadę wyrównania dla przypadku ogólniejszego, t. j. dla wyrównania spostrzeżeń bezpośrednich o dokładności różnej ; wreszcie postąpimy w sposób analogiczny w przypadku spostrzeżeń pośrednich.

których wartości naj -

)-L

)-L.

(3)

(3*)

a) Spostrzeżenia bezpośrednie o dokładności j ednako wej.

znaczenie

W końcowym ustępie § 4- go wspomnieliśmy, na str. 17., że prawo Gaussa {§ 4-ty wzór (21)} odnosi się przedewszystkiem do błędów prawdziwych (oczywiście przypadkowych); obecnie, kiedy poznaliśmy błędów pozornych, należy zastanowić się, czy można zastosować je i do błędów pozornych ó.

Spraw a ta jest jednak juz przesądzoną, a to z chwilą przyjęcia założenia Gaussa, że najbardziej prawdopodobną wartością spostrzeganej wielkości jest średnia arytmetyczna utworzona ze skończonej ilości spostrzeżeń.

O ile tedy oczyściliśmy wyniki naszych spostrzeżeń z błędów systematycznych i liczba spostrzeżeń nie jest zbyt małą, możemy zastosować prawo Gaussa i do błędów pozornych przyjmując na prawdopodobieństwo pojawienia się błędu ó wzór:

(4).

Pd=Ąe-x2didó

przyczem % oznacza miarę dokładności błędów pozornych.

Związek między a błędami pozornemi jest analogiczny jak wyprowadzony w § 5-tym i podany na str. 21. wzorem (12)-tym związek między h, a błędami prawdziwemi; a zatem:

(5).

X 2_ n

X ~2[óó]

Z porównania obu tych wzorów wynika dalej

(6).

Z²:A²=[ee]:[<M].

Ponieważ w każdym konkretnym przypadku wyrównania sumy [ee] i [óó] są stałemi, przeto stosunek kwadratów miar dokładności dla błędów pozornych i prawdziwych jest stały, czyli

(7)

i)

(przyczem C oznacza liczbę stałą dla pewnego przypadku wyrównania).

Prawdopodobieństwo pojawienia się wszystkich n błędów <5 w szeregu naszych spostrzeżeń jest wedle § 2-go c) rozdz. I-go prawdopodobieństwem złożonem i przedstawia się wzorem (ze względu na stałą wielkość %):

(8)

—Z² [<M]

Wyrażenie to, jako zależne od poszczególnych ó—x—l przybiera dla danych wartości l, a zmieniającej się wartości x różne wartości. Różnym systemom błędów d powstałym z przyjęcia różnych wartości na x będą odpowiadały różne wartości wyrażenia (8).

Tę wartość x, która spowoduje, że prawdopodobieństwo określone wzorem (8) osiągnie swą wartość największą, zatem wartość odpowiadającą najbardziej prawdopodobnemu systemowi błędów (5 obrał Gauss wartość wyrównaną.

za

(Porównaj § 4-ty rozdz. I-go).

Warunek:

(9)

(ŁdSJe

może być tylko spełniony gdy:

X² [ód] = min.

(10)

a ze względu, że #²=const.:

(ID

[óó]=min.

Zatem wyrównanie spostrzeżeń bezpośrednich o jednakowej dokładności polega na wyznaczeniu takiej wartości x, dla której suma kwadratów błędów (pozornych) jest najmniejszą.

Metodę tę nazwał Legendre metodą najmniejszych kwadratów; nazwa ta jest i obecnie używana powszechnie, choć właściwszą byłaby metoda najmniejszej sumy kwadratów.

b) Spostrzeżenia bezpośrednie o dokładności różnej.

Jeśli spostrzeżenia bezpośrednie nie były dokonane z jednakową dokładnością, odpowiadają poszczególnym błędom prawdziwym £i, e₂, różne miary dokładności hu h₂,. . . ,hni zaś błędom pozornym d1? d₂, . również różne miary dokładności %lf i prawdziwy odnosi się do innego szeregu błędów).

W tym przypadku przybiera wzór (8)-my kształt

En

Ón

Xn- (Każdy błąd pozorny jak

-i a-

71.

Xl • %2

(8*).

a wartość wyrównaną x znajdziemy z warunku

^.r[^M]=max.

X,Xt

(9*)

Z warunku (9*) wynika, że:

(10*)

[XX ó<5]=min.

mo-

Między poszczególnemi miarami dokładności błędów pozornych i prawdziwych zachodzi jednak związek (7), przeto równanie (10*) zemy napisać także i we formie:

[Móó]=min. lub

[~1

L w J

=mm.

wedle związku (13)-go § 5-go rozdz. I-go (str. 21).

Liczby p nazywamy wagami spostrzeżeń.

Odkładając dokładniejsze omówienie wag do § 3-go niniejszego rozdziału, napiszemy związek (12) w kształcie:

\p <5 ó\=min.

(11*)

W przypadku spostrzeżeń o dokładności różnej wyrównanie polega na wyznaczaniu takiej wartości x, dla której suma iloczynów z kwadratów błędów pozornych i odpowiadających im wag jest najmniejszą.

Biorąc na uwagę zamiast błędów d (spostrzeżeń różnodokładnych)

—, lub dYp i stosując do nich jako do błędów {*

szereg błędów % d, hd,

spostrzeżeń o dokładności jednakowej wzór (ll)-ty, otrzymamy dla błę-

związki (12), zaś dla

-a ! O,

W rachunku wyrównawczym nie posługujemy się jednak wielkościami h, lecz wprowadzamy w ich miejsce liczby p, których związek z wielkościami h jest określony proporcją:

hx ²: h₂ ²:.......: h^^p^ :p₂:

pn=

-2• 2~ * ' * •

f* 1

f*n

(18)

dów % <5 związek (10*), dla błędów h d względnie

błędów dYp związek (11*) jako zasadę wyrównania.

W obu tedy przypadkach a) i b) opiera się wyrównanie na jednym związku zasadniczym.

c) Spostrzeżenia pośrednie.

Mimoto, że celem wyrównania spostrzeżeń pośrednich jest wyznaczenie wartości wyrównanych x, y, z, . . ., odnoszą się błędy d w tym przypadku do spostrzeżeń L, zatem — zależnie od tego; czy dokonano je z dokładnością jednakową czy też różną — prawdopodobieństwo równoczesnego pojawienia się tych błędów w szeregu dokonanych spostrzeżeń L będzie określone wzorem (8)-mym względnie (8*).

Wyrównanie spostrzeżeń pośrednich przeprowadzimy zatem wyznaczając także wartością;, y, z, ...., dla których — w przypadku spostrzeżeń o dokładności równej, — jest:

\ód\=min

— zaś w przypadku spostrzeżeń o dokładności różnej, — jest:

\p dd] =min.

O ile związki (2*) i (3*) (na str. 28) nie mają kształtu liniowego, muszą być przed wyrównaniem sprowadzone do tego kształtu sposobem podanym później.

Związki (ll)-ty i (11*) przedstawiają zatem ogólną zasadę, wyrównania dotychczas omawianych spostrzeżeń.

§ 2. Rodzaje zagadnień rachunku wyrównawczego.

Zależnie od rodzaju spostrzeżeń przeznaczonych do wyrównania przybiera rachunek wyrównawczy różne formy, przeto konieczną rzeczą jest dokładne zapoznanie się z rodzajami spostrzeżeń, aby mieć możność wyboru odpowiednej formy wyrównania.

W tym celu zestawię najważniejsze rodzaje rachunku wyrównawczego, omawiając równocześnie spostrzeżenia wchodzące w grę w danym przypadku.

1. Wyrównanie spostrzeżeń bezpośrednich o dokładności a) j ednakowej, próżnej.

a) O spostrzeżeniach bezpośrednich równodokładnych mówiliśmy już w poprzednim paragrafie. Me wymagają one zresztą żadnych dalszych objaśnień.

j- jedną i tą samą (sprawdzoną) taśmą i możliwie z jednakową

Jako przykład może posłużyć pomiar pewnej długości dokonany n. p. taśmą stalową kilka lub kilkanaście razy w tych samych warunkach

starannością.

ma

różnemi meto-

b) Wyrównanie spostrzeżeń bezpośrednich o dokładności różnej miejsce, gdy okoliczności towarzyszące pomiarom nie były jednakowe; a więc gdy dokonano spostrzeżeń różnemi przyrządami darni, nie zachowano przy każdym pomiarze tej samej staranności i t. p.

N. p. mierząc bezpośrednio pewną długość mierzono ją początkowo taśmą stalową, następnie łatami mierniczemi układając je od oka prostopadle do pionu, a wreszcie zastosowano do pomiaru łatami libele nasadkowe układając łaty w ten sposób dokładniej do poziomu i t. p.

na

Wyrównanie tego rodzaju przeprowadza się, jak wspomniałem — zasadzie {§ 1. (11*)}:

[p <5(5]=min.,

a stąd wypływa konieczność znajomości odpowiednich wag p. Jak je stosownie obrać, o tern będzie mowa w późniejszych paragrafach.

2. Wyrównani

spostrzeżeń pośrednich (pośredniczących):

a)    o wagach równych,

b)    o wagach różnych.

I te

spostrzeżenia omawialiśmy w poprzednim § 1., dlatego ograniczę się w tern miejscu tylko do kilku uwag uzupełniających poprzednio podane wiadomości.    “

a wielko-

W przypadkach, gdy między błędami prawdziwemi s ściami X, F, Z,..... zachodzą związki liniowe kształtu:

~~Lń

X-\- b-iYCi ZĄ-

mają i związki między błędami pozornemi d, a wielkościami x, y, z, . . .. oczywiście również kształt analogiczny:

(1*) •

-U

ói=aiX+bi y + CiZ+

przyczem L są wielkości obserwowane bezpośrednio.

Kładąc —Li=U piszemy zazwyczaj związki (1*) w kształcie:

(1**)

ói=aiX+biy + CiZ+

nazywając je równaniami błędów.

Spółczynniki a, b, c,. . . . przy niewiadomych równań błędów (x, y, z,. . . .) uważamy za wielkości bezbłędne, tak że całkowity błąd równania odnosi się do wyrazu wolnego l jako utworzonego ze spostrzeżenia. Przy związkach nieliniowych kształtu ogólnego {§ 1. równ. (3) i (3*)}:

(2)

ói=fi(x, y, z,.....)—Li,

musimy sprowadzić fi (%, y, z,....) do kształtu liniowego, co uskuteczniamy rozwijając U (x, y, z,. . ..) w szereg Taylora i opuszczając w nim uryrazy rzędów wyższych niż pierwszy, oczywiście pod założeniem, że mamy do dyspozycji odpowiednio przybliżone wartości niewiadomych

z₀> 2/oj ³oj

¹)-

otrzymamy (3)

oraz

Oznaczając %=x₀-\-Ź, y = yo^~rl^ z==zo+^

df dfi , dh

-T—

dy oz

..... dfi    df dĄ    dfi df df

Przyjmując, źe w przybliżeniu    . dy -dj/o» ds dZ)

kładąc dla uproszczenia

di—fi (#012/o i zoj • • • •) d ^ x

UYf

£-j- ....... —Li.

(2*)

dfi

dfi

dx₀

b{,

df

(4)

Ci

fi(%oiyoizoi' • • >)—Li=li,

dz₀

(5)

otrzymamy i w tym przypadku związek liniowy:

+ Zj.

wnicy).

(2**)

Jako przykład niech posłuży wyznaczenie stałych tachymetru (odległo-

ói=‘ai^ + bif]-³ t-Ci^+

Wzór na odległość D mierzoną optycznie tachymetrem w poziomie opiewa: D^Kl-ł-k; przyczem K i h są stałe przyrządu, zaś l oznacza wielkość odcinka łacie między skrajnemi nitkami poziomemi przyrządu.

odczytanego na

na nowo z

razie potrzeby przeprowadzić wyrównanie

Odczytując na łacie ustawianej kolejno w znanych odległościach D odcinki l (przy poziomej osi celowej lunety przyrządu), otrzymamy dla wyznaczenia stałych K i k, n związków kształtu

Di — KliĄ-k.

Jeżeli ilość spostrzeżeń n jest większą od 2 (t. j. od ilości niewiadomych), należy wyznaczyć wartości obu stałych rachunkiem wyrównawczym.

Aby równania błędów ustawić w sposób odpowiedni, należy zasadniczo oddzielić wielkość spostrzeganą od niewiadomych, tak aby przybrały kształt (1*) względnie (2).

W naszym przypadku są wielkościami spostrzeganemi odcinki l odczytywane na łacie, oraz odległości D. Wpływ błędów odcinków l odgrywa jednak przy wyznaczaniu stałych większą rolę niż wpływ błędów odległości D, co łatwo stwierdzić kładąc w przybliżeniu K—~ i urabiając błąd ek —

£d -+- -jj Si:

n. p. dla D=100m i l—1'OOm będzie wpływ błędu odległości: Ł,qq    0'03m=₌t:(M)3, zaś wpływ błędu odcinka l: H

100 m

0-0025 m = q=0-25.

1-00 m²

W praktyce przyjmujemy zatem odległości D jako bezbłędne.

W konsekwencji wyjdziemy przy układaniu równań błędów ze związku

A-

k

który po oznaczeniu K-=x, k — y przybierze kształt:

t<-2i=3—U.

.r

Wprowadzając do rachunku wartości przybliżone niewiadomych xn i y0 uzyskane z dwu spostrzeżeń o różniących się znacznie l: lub przyjęte zkądinnąd (przy zwyczajnych tachymetrach K wynosi około 100, k około 0-30 m) i rozwi-

jając, jak poprzednio zaznaczono, -— w szereg Taylora, nadajemy powyższemu

zwdązkowi kształt liniowy; zatem

A i/p

Ói=-

xo ²

i--

x₀ \ x₀

lub po oznaczeniu —

A ?/o

X₀²

di^aig + hy + Ai,

di

X₀

D>~lh

x₀

—li—Xi:

przyczem £=X—Xq , v==y_y^

’Z-Q    na *°> że odcinki l są odczytywane na łacie w różnych od

ległościach A nie można ich uważać za szereg spostrzeżeń równodokładnych.

praktyki wiemy, że dokładność odczytu odcinka l jest odwrotnie proporcjonalna do odstępu łaty od przyrządu, zatem wagi poszczególnych spostrzeżeń, względnie rownan błędów, utworzymy

C² C²

na

podstawie związku

V: V:

■ K²

C²

4 = ziUU m, A =śh(J rn, otrzymamy przyjmując (7=100 m :

ih = 4-00, jp₂ == 1 -00, ^3 = 0-44, p₃=0*25, ^=0-16.

D ²’

Ze względów praktycznych jest wskazane wstawić w równaniach błędów poszczególne D w cm, otrzymując ó również w cm.

Inny sposób ustawienia równań błędów przy przypadku wyznaczania stałych tachymetru podajemy w § 9-tym rozdziału IY-go.

3. Wyrównanie spostrzeżeń zawarunkowanych.

Jeżeli prawdziwe wartości spostrzeganych przez nas wielkości stoją ze sobą w pewnych związkach, lub, co wychodzi na jedno, mają spełnić pewne warunki, nazywamy spostrzeżenia odnoszące się do nich spostrzeżeniami zawarunkowanemi.

Oczywiście wyrównanie może mieć miejsce tylko wtedy, gdy ilość warunków r jest mniejszą od ilości spostrzeżeń n.

W przypadkach, gdy warunki są związkami nieliniowemi, należy je sprowadzić do kształtu liniowego sposobem podanym poprzednio.

Jako przykład może tu posłużyć wyrównanie kątów w trójkącie płaskim. Prawdziwe wartości kątów trójkąta płaskiego spełniają jeden warunek, a mianowicie: suma kątów trójkąta płaskiego równa się 180°. Natomiast kąty spostrzegane a, (3 i y nie spełnią go z reguły, tak że porównując ich sumę z 180° otrzymamy pewne nieznaczne „odchylenie11 od 0 (w sensie dodatnim lub ujemnym). Wartość' owego odchylenia nazywamy odchyłką co. Zatem:

(6)

a + /3+y—180°=w.

Związek ten nazywamy równaniem odchyłki. Oczywiście, że liczba równań odchyłek odpowiada liczbie warunków v.

początku zagadnienia należy

Chcąc spełnić warunek postawiony na udzielić spostrzeganym kątom takich poprawek d (błędów pozornych), aby:

(a + da) -j- (/? + óp) -ł- (y+óy)—180 °=0, lub po odjęciu równania pierwszego od drugiego:

(7*)

da ~b + óy + (o = 0.

poprawkami d należy uzupełnić

Ten związek między odchyłką (o, warunkiem, jaki poprawki, jako błędy przypadkowe, mają spełniać, a mianowicie :

[dd]—min.,

o ile spostrzeżenia były równodokładne, względnie

[p dd]=min.,

o ile ich dokładność nie była jednakowa.

*    4. Wyrównanie spostrzeżeń pośrednich z warunkami.

Zagadnienie powyższe ma średnich mają spełnić pewne warunki.

miejsce, gdy niewiadome spostrzeżeń po-

Wyobraźmy sobie, źe spostrzegaliśmy l nieskończoną ilość razy (t. j. przyjmijmy w, które dąży do nieskończoności). Mnożąc każde spostrzeżenie przez liczbę a mnożymy temsamem i otrzymane poprzednio błędy przez a; zatem szereg błędów zmieni się na aeffl£₂, .... i t. d.

Błędy te odpowiadają wielkościom allt al₂, .... Zatem średni błąd wielkości al otrzymamy z wzoru    J-:

P(al) =    P-

(1)

2. Suma spostrzeżeń.

Weźmy na uwagę przypadek, gdy funkcja f (Z^, L₂) jest sumą wielkości Lt i .L₂, a zatem

(2)

L%)^LXĄ-Lt.

Wstawiając za L{ i Lz wartości niezależnych od siebie spostrzeganych wielkości i Z₂, otrzymamy:

^2)⁼⁼^id_4i

f (Z,, Z₂)==Z₁ 4- Ci + Z₂ + g₂, przeto:

/■(Z1? L₂)—f(lx, Z₂) = g₁+£₂ (w znaczeniu algebraicznem), lub:

ponieważ jednak:

(2*)

(3)

£/ — fi + £2-

Prawo to przybiera jednak kształt mwy, gdy przejdziemy do błędów średnich.

Przyjmując i w tym przypadku, że spostrzegaliśmy obie wielkości n — oo razy, możemy utworzyć dla błędów wartości przeciętne różnych potęg błędów. Tworząc je specjalnie dla potęg drugich, otrzymamy riL związków na ef kształtu:

(4)

s²f= ² + 2 e₂ 4- s²₂ •

Związki te powstałe z n² kombinacyj błędów £/, fi₁//, £₁,///. ... i błę-.... przedstawiają się następująco:

dów £₂', £₂

//

///

(ilość członów w)

(ilość

wierszy n)

£₁'£₁, + 2<?₁/£₂/+£₂'£₂' £₁,£₁' + 2£₁/£₂"+£₃//£₂" £₁'£₂/ + 2£₁'£₂'- + £₂'"£₂'"

'    ->r⁽2,ei'/£₂' + e.₂,e₂/

£''£''+ 2 £''£'' + £''£''

£l',e₁" + 2E₁"s₂'" + £₂/,/£₂

III

[£/£/] = W£₁/£₁/+2£₁ '[£₂] + [£₂£₂] + U £x ''El " + 2 £j x/[£₂] + [£₂£₂] +

£l//,£₁"'-t-2£₁//,£₂/+£/₂£i'

£₁/,/£₁/// + 2£₁/,,£₂/,+£₂'/£₂,/

£₁,//£₁/', + 2£₁/,'£₂//,+£₂///£₂"/

■+nei'"ei

///

+ 2£₁//,[£₂] + [£₂£₂]+ . . .

Suma wszystkich n'² kombinacyj przedstawia równaniu zaznaczono, sumę kwadratów błędów

Łącząc ze sobą odpowiedne wyrazy, otrzymamy:

I>/ £t]=n[ex Cl ] + 2 [ej [c₂] + n [s₂s₂],

a dzieląc przez ilość kombinacyj (t. j. wszystkich przypadków):

nam,

jak w powyższem

(5*)

[£/£/J_(gl £13_j_ 2 [£l] [g2] 1 [£2£2] ,

n²    71    Ti²    Tl

(6)

Ponieważ sumę kwadratów błędów ‘prawdziwych podzieloną przez ich ilość określiliśmy jako błąd średni p, przeto ze względu na n² błędów fy, a tylko po n błędów si i e₂ jest (ściśle dla n= 00):

o    [£2£2l o

u¹*, oraz = n .

[£/ £f]

n²

[£i £l ]

(7)

Natomiast zdąża wartość wyrażenia

przy rosnącej do nieskończoności liczbie spostrzeżeń n ze względu na parzystość funkcji prawdopodobieństwa obu grup błędów si i e₂ do granicznej wartości równej zeru. Innemi słowy będzie odpowiadał każdemu iloczynowi    ilo

czyn —£,(*)#;(Ł), a zatem suma ich da jako wynik zero.

Ostatecznie będzie więc dla n = 00:

(8)

P²t = P'\ + p\-

Oczywiście, że ten sam wzór jest ważnym tak dla l^—l^ jak i ^ — Z₂, oraz —l±+l₂.

Przykład. Odległość D pomierzono w dwu częściach. Pierwszą jej część pomierzono łatami mierniczemi, drugą taśmą stalową.

Wyniki pomiaru były następujące :

Długość części pierwszej ^ = 105-21 m, części drugiej D₂ = 215-84 m. Znając średnie \iD błędy obu pomiarów ^ i p,₂, należy obliczyć błąd średni p.# całkowitej długości D.

Wartości błędów średnich pi i p₂ można uzyskać w sposób dwojaki.

Pierwszy sposób polega na obliczeniu błędu średniego z błędów spostrzeżeń przy pomocy odpowiedniego wzoru na p] zauważyć jednak należy, że liczba spostrzeżeń powinna być w tym przypadku dość znaczną x).

W sposób drugi można otrzymać błąd średni obliczając go z wzoru empirycznego, ustawionego na podstawie licznych doświadczeń, dokonanych w średnich warunkach pewnym przyrządem oraz pewną metodą. Sposób ten bywa używany bardzo często w praktyce.

wyznaczenie błędu średniego przy po-

na

Empiryczny wzór (uproszczony) mi arze długości J) łatami lub taśmą wynosi:

¹

s- Welliseh. Theorie und Praxis der Ausgleichungsrechnung, Wiedeń, Lipską 1909 zawiera na str. 48. w uwadze wartość ph wyznaczoną tym wzorem na 11 (względ-dnie 13) miejsc dziesiętnych: p^=0-47693627620₄₅....

²

Jak się później przekonamy wynosi stosunek yj: h² w przypadku spostrzeżeń bezpośrednich »:(»—1). Porównaj także E. Czubera artykuł w pierwszym tomie Monatshefte f. Math. u. Physik, oraz E. Czuber, Theorie d. Beobachtungsfehler, Lipsk, 1901, str. 156.

³

W praktyce sa nam wartości *₀, y₀,    znane z    z dokładnością

usprawiedliwiającą powyższe założenie. W przypad ach wątpliwych możemy po znalezieniu wartości ę, n, r,.... zbadać wpływ wyrazów rzędów wyższych (drugiego rz.)

wartościami przybliżonemi

p.2) = vVD;

i) Por. końcowy ustęp § 6. rozdziału I. (str. 26.).

przyczem v wynosi dla pomiaru łatami 0-003 m'i* dla pomiaru taśmą st. 0-005 zaś D jest określone w metrach.

W naszym przypadku będzie zatem:

^ — O-OOSYIÓB^Im =00 4r 3-1 cm, zaś p,₂ == 0-0051/215-84 m = CO ±7-3 cm.

Prowadząc na razie rachunek w metrach otrzymamy 0-000009.105.21 = 0-000947.. 0-000025.215-84=0-006396. .

0-006443 m².

= -1-7-96 cm, okrągło 8 GTYl.

Zatem ij.b w cm będzie: g/>=1/63-43 cm Jak widzimy wynik różni się dość znacznie od sumy utworzonej w bezwzględnej wartości błędów j^j i |p.₂|, która wynosi 3-1 cm4-7-3 cm = 10-4 cm.

W przypadku, gdy suma składa się z całego szeregu wielkości l₂. . . ln, otrzymamy jej błąd średni przy pomocy

+^²2+ • • • -^²n=M,

przyczem g₂,. . . fin są błędami średniemi poszczególnych l.

wzoru:

(9)

3. Funkcja liniowa spostrzeżeń.

Jeśli f{Lt, L₂,. . . Ln) jest funkcją liniową prawdziwych wartości Lv L.,,...Ln, kształtu:

f (Lx, Zf₂,.. . Lr) = <z₀ 4* ax Lx + a₂ L₂ 4- . .. 4-arL to po wstawieniu w miejsce L wartości spostrzeganych lx, Z₂, funkcja

(10)

Z,., będzie

f (Zi, Z₂,. . . Z,) — ao "4* a^lx 4-    ^2    • 4" olt Z,.

(10*)

obarczona prawdziwym błędem

(U)

Ef—f (Lx, L₂... Lr)—f (lx, Z₂...Z,.).

Zestawiając oba te związki i odejmując drugi od pierwszego, otrzymujemy wielkość Ef wyrażoną przez błędy ev e₂,...£v odnoszące się do spostrzeżeń Z. Przytem, ponieważ Li = liJr£i, będzie:

, L₂,... Ln) — a₀ + ai (lx + si) 4- a₂(Z₂ + e₂) 4-f(l\,    Z₂, . . . ln) — an 4-Z₂

(Zn 4" £)•)

4~ ft₂ Z.

4-

Z^.

£f

+ «2f2

4-

(12)

= al£l

Aby zastąpić błędy prawdziwe średniemi, przeprowadzimy rozumowanie analogiczne jak w przypadku opisanym pod 2).

Wyobrażając sobie, że spostrzegliśmy każdą wielkość l n razy (przy-niech dąży do 00), moglibyśmy utworzyć znów w,² związków kształtu £t—al£^-\-a^£x-\-...arEr, a podnosząc je wszystkie do potęgi drugiej sumując i dzieląc przez n² otrzymalibyśmy ostatecznie:

czem n

[£/£/] K ax ągj [a₂a₂£₂e₂]

v.    “l    T “

n'¹

4-... .4-

(13)

przyczem R oznacza sumę wszystkich, wchodzących tu w grę podwójnych iloczynów w kształcie 2 at ak [ej [e*j. Ponieważ suma błędów e przy n dążącem do co równa się zeru, przeto wszystuie wyr zy tego kształtu są zerami, a więc i j£ = 0.

cS

Wyrażając ostatnie równanie przez błędy średnie, otrzymamy ze względu, że    zaś ^^ ~^:

(14)

^/2=a₁²^i²+«2²iM2²+ • • .a,²^.²=[a>²]=[aa^].

4. Funkcja nieliniowa spostrzeżeń.

Gdy funkcja f(Li} Li}. . .Lr) nie jest liniową funkcją prawdziwych wartości wielkości Llt L.₂,...Ln należy po wstawieniu za Z₂,.. .4. wartości 4+£i? l₂+e₂,. . .lr+Er, rozwinąć ją w szereg Taylora opuszczając'pod założeniem, że błędy popełnione są małe, wyrazy rządów wyższych niż pierwszy. (W praktyce jest to przyjęcie prawie wyłącznie uzasadnione). Otrzymamy zatem:

f(Lu ^21 * • • Lr) = f(l± +C11 4 + £2 > • • • 4+ £»•) = /’ (4? 4 > * • • 4) 4“ T~T £1 +

a/*

a dalej :

⁺ąci+-

df

"dC’

(15)

4(A,    . . .Lr) f(4> 4,. . -4)—£/—

df

df

df

s2+--’dlr£>"

Przypadek ten sprowadziliśmy więc do omawianego poprzednio.

azt £l + a 4

Kładąc dla uproszczenia

a/¹

af

a/¹

—fr, dojdziemy — po za-

a/j"¹’a4 f*’"'dir stosowaniu analogicznego rozumowania jak poprzednio — do następu-j ącego wyniku:

ZV²=/iVi²+/₂ V₂²+- • ■fr²Vr²=[ffy[i].

Przypadek zawiera zatem w sobie wszystkie poprzednio omawiane.

Ogólnie możemy powiedzieć, że kwadrat błądu średniego funkcji spostrzeżeń bezpośrednich równa się sumie iloczynów z kwadratów pierwszych pochodnych cząstkowych tej funkcji wzglądem poszczególnych spostrzeżeń i kwadratów średnich błędów tychże spostrzeżeń.

Oczywiście, że w ten sposób uzyskany średni błąd może być tak dobrze dodatni jak i ujemny (dh g)-

(16)

Przykład pierwszy. Powierzchnię P wyznaczono planimetrem typu Amslera, umieściwszy biegun wewnątrz jej pola. Wzór na wartość powierzchni wyznaczonej w ten sposób opiewa:

P=cztiC₁ n-\-C₂;

n oznacza w tym związku ilość obrotów kółeczka liczbowego, zaś i C₂ są stałe o dymensjach powierzchni, (znak 4- odnosi się do przypadku, gdy P>C,₂, w przypadku odwrotnym należy zastosować znak —.

Wszystkie trzy w grę tu wchodzące wielkości są — jako wynikłe ze spostrzeżeń — obarczone błędami, (pomimo, źe Cx i C₂ nazywają stałemi planimetru). Wartości ich są w przypadku omawianym w przykładzie:

z błędem średnim p.₁ =-ł-Q2 cm²,

„    „    Hn — drO‘02

M-o — —ł— 2 • 1 cm²

(przyczem wartości wielkości Ct i C₂ wyznaczono oddzielnie).

Funkcja P= ± Gi n -f C₂ zawiera iloczyn dwu spostrzeganych, a więc w tym przypadku zmiennych wielkości, jest przeto funkcją nieliniową.

Ponieważ P<[(7₂, o czem przekonano się w przybliżeniu inną drogą, przeto będziemy stosowali wzór :

Cx —100*0 cm2 n₂ — 2-905

1890-3 cm² „

P— —C^nĄ- C₂ = —290-5 cm -j-1890-3 cm₂ = 1599*8 cm².

Dla wyznaczenia p,P średniego błędu powierzchni P należy obliczyć

na-

samprzód: ft

df

df

df

ą oraz fss=— — 1;

Ą---2-906, _/„=—100-0cm²,    1.

Po wstawieniu tych wartości oraz wartości na błędy średnie poszczególnych spostrzeżeń, otrzymamy kwadrat średniego błędu p,P² w centymetrach kwadratowych do potęgi czwartej :

zatem:

a stąd

dCx

dn

M-p²=(—2-905 x 0*2)²-f (—100-0 X 0-02)²-l- 2-1²

P,-P²⁼⁼⁼ (0*338-f-4’000 -j-4*4:i0) cm⁴=8-748 cm⁴, J*p=db2'958 cm²; okrągło [ap = ±3-0 cm². Przykład ten poucza nas

które z wchodzących tu w grę wielkości należy pomierzyć staranniej, a które z powodu małego ich wpływu na wynik ogólny mogą być wyznaczone z mniejszą starannością.

Gdybyśmy przyjęli, ze obie t. zw. stałe są rzeczywiście wielkościami bez-błędnemi, otrzymalibyśmy jako wynik ±2 cm², a zatem wynik o ±1 (33%), natomiast przez opuszczenie tylko icpływu błędu stałej C. w P-p=db2-9 cm², zatem tylko o ±0-1 cm² błędny (3-3%).

Przykład drugi. W trójkącie płaskim zmierzono podstawę b, oraz oba kąty pizyległe a i y. Jaki jest błąd średni powierzchni trójkąta obliczone)

p_ 1 a2 sina siny .

“ Yb sin(a + y) ’ jeŹeli błędy ®rednie spostrzeganych ilości są gj, \ia i y.y.

(Dwa ostatnie błędy rozumiane w mierze analitycznej).

f _sin (a + Y) cos «—sina cos/a-j-y)

da 2    sin²(a-(-y)

_ i_i2 ■ cos a—sin a ctg (a-j-y)

~ T Sm T ^~sin(a + y)-CtgX“PCt^a + ^)=P{<*g «-ctg(a + y)}

/ ₌    i ^2s^n (g + T) cos 01—sin y cos (a + y)

y dY ² ~~    sin^Ta + y)    sina = P{ctgy—ctg(a + y)}

l*²p-Pjrp ^²+ {ctg a—ctg (a + T)} 2    2 -j- {ctg y—ctg (

sin y =

a + y)}Vy²J

cm

HI

wzorem

£2 ^&² + {ctg a ctg (a + Y)} V«² + {ctgv—ctg (a + Y)}Vy²

\iF=P

V-p= P

VW

sin² y

sin² a

i^«²+

sin² a

sin² y

sin² (a + Y)’

Przechodząc do konkretnego przypadku przyjmijmy:

6 = 201-64 m, a=.44°15/, y=61°23',

•fTj ±0 071 m, błędy śr. kątów niech wynoszą w mierze stopniowej ±1', zatem w mierze analitycznej [ire= u;,=-4-

lf

= ±0-00029.

P'

bardzo małe wielkości pod pierwiastkiem pomnożymy yLi7 1i !xy przez 10000, dzieląc równocześnie P przez 10000.

Rachunek przedstawia się następująco (przy użyciu maszyny do rachowania).

0-697791.0-877844

Ze względu na

P=ió²

sin a sin y

40658-6896

sin (oc + y)

1Ó^Ó*=CX;1'293118 mS> w

10000 jrK= 10000 h₇ = ±2- 9.

ctg a= 1-026529 ctg (a + Y) = — 0*279832

ctg a—ctg(a + Y) =

8438

0-963006

2x710

201-64

= 12931-1476m².

— OJ 7•0423

^Aioooo^j²=

OJ 49 • 59

(10000 f*a)²=8-41

etg y= 0-545595 ctg (a + Y=—0-279832

1-306361

ctg Y— °tg (a -f- y) =    0-825427.

Licząc następnie na.4 względnie na 2 miejsca dziesiętne otrzymamy: {ctg a —ctg (a + Y)}²⁼⁼l *7066

{ctg y—ctg (a-f y)}²⁼=0-6813 2 • 3879 x 8 •41 — 20-0822 = OJ 20 *08    49-59 +20-08 = 69-67

(1-2931 xV69-67)m²=±l -2931 x 8-347 m² = ±10-7935 m², ^=±10• 79m².

5. Błąd średni powstały z kilku przyczyn błędów.

Zastanówmy się nad przypadkiem, w którym błąd spostrzeżenia jest błędem wypadkowym powstałym z sumy błędów składowych występujących wskutek działania od siebie niezależnych, a nam znanych przyczyn. Prawdziwy błąd e spostrzeżenia l niech będzie zatem:

(17)

przyczem każdy z błędów po prawej stronie równania niech będzie wynikiem działania przyczyn od siebie niezależnych.

Stosując w tym przypadku rozumowanie podane pod 2. i 3. możemy określić kwadrat błędu średniego p'¹ wzorem:

(18)

p ² ==r [if 2 -j-    > 2 _j_    '■' 2 _j_

gdzie fi', p", p"',... są błędami średniemi powstałemi z błędów e', s", s'"

Wzór ten jest ważny i wtenczas, gdy jedna z przyczyn działa systematycznie lub stale, traci jednak swą ważność dla więcej tak działających przyczyn.

Bardzo dobrze ilustruje nam ten przypadek błąd średni kierunku przy pomiarach kątów poziomych.

Pomiar kierunku składa się z dwu czynności, z nastawienia lunety przyrządu na cel, oraz z dokonania odczytu na limbusie. Te dwie niezależne od siebie przyczyny wywołują dwa niezależne błędy składowe. Jeśli przeprowadzając pomiary posługiwano się odpowiedniemi częściami limbusu, mają oba te błędy charakter przypadkowy, a jako takie podpadają pod przypadek omawiany powyżej.

Oznaczając błąd średni nastawienia przez y.n, zaś odczytu przez p,₀, otrzymujemy na określenie błędu średniego spostrzeżenia kierunku wzór:

(19)

[^Jcr— Vp'n^"ł~ M* ²₀ •

Ponieważ kąt jest różnicą dwu kierunków, przeto błąd średni kąta (xw obliczamy z wzoru:

(20)

V‘k,t VP'/;?' ^ “b f^/cr ^

Z powyższych dociekań wynika bardzo ważna wskazówka dotycząca pomiarów kątów poziomych.

Mając n. p. pomierzyć kąty zawarte między trzema kierunkami, możemy to wykonać (zazwyczaj) w sposób dwojaki: a) metodą pomiaru kątów, b) metodą kierunkową.

Przy pierwszym sposobie mierzymy kąty zawarte między kierunkami pierwszym i drugim, a następnie między pierwszym i trzecim. Błąd średni obu tych kątów wynosi p.^ — [1^2, natomiast błąd średni kąta zawartego między kierunkiem drugim a trzecim, obliczonego z różnicy kątów poprzednich będzie

^2    2 p.²fo. —-P-2 \j.lir.

Spostizegając natomiast metodą kierunkową otrzymamy błąd średni każdego kąta jako różnicy dwu kierunków o błędach średnich

V*kt ~    2 ,

przyczem nakład pracy pomiarowej będzie mniejszy niż poprzednio.

Dlatego to używamy dziś przy pomiarach przeciętnych prawie wyłącznie metody kierunkowej. Natomiast przy tryangulacji I-dnej posługujemy się metodą pomiaru kątów we wszystkich kombinacjach, która w tym przypadku okazała się z innych względów najbardziej stosowną, a zarazem najdokładniejszą.

§ 4. Wagi spostrzeżeń.

. W końcowym ustępie § 1. drugiego rozdziału (na str. 31.) określiliśmy wagi spostrzeżeń p jako liczby proporcjonalne do kwadratów dokładności h.

Ponieważ błędy średnie są wedle § 6. (2) pierwszego rozdziału od-wrotnie proporcjonalne do h, mianowicie:

y'~hM ’

przeto wagi p są to liczby dodatnie odwrotnie proporcjonalne tów błędów spostrzeżeń.

Dla wyznaczenia wag mamy zatem związek:

1 . 1

(1)

do kwadra-

Pi Ps

Jestto jeden z najważniejszych związków rachunku wyrównawczego.

■Pn

(2)

Ze związku, na wagi widać, że można je wszystkie pomnożyć lub podzielić przez pewną liczbę bez zmiany wpływu na tok wyrównania; zarazem należy nadmienić, że o ile znamy błędy średnie odpowiadające naszym spostrzeżeniom, określamy przez przyjęcie jednej wagi zupełnie ściśle wagi reszty spostrzeżeń.

Przyjmując dowolną liczbę dodatnią jako wagę pewnego spostrzeżenia, przyjmujemy równocześnie możność istnienia spostrzeżenia o wadze równej jedności. Aby jednak mieć możność porównywania dokładności różnych szeregów spostrzeżeń, nie przyjmujemy pewnej liczby jako wagę dowolnego spostrzeżenia, lecz przyznajemy wagę równą jedności spostrzeżeniu (pewnego gatunku) dokonanemu w pewnych określonych warunkach.

W grę tu wchodzić mogą jakość przyrządu, którym się posługujemy, wartość spostrzeganej wielkości, o ile stwierdzono doświadczeniem, że błąd średni spostrzeżenia zależy od niej i t. p.

na

Sprawę tę będę się starał objaśnić na przykładach. Wzór empiryczny błąd średni pomiaru długości łatami mierniczemi jest: [ił=v^lD, przyczem, o ile pod D rozumiemy długość w metrach, wynosi =0-003 ra¹/*. Jaką wagę należy przyjąć dla D mierzonego taśmą stalową, jeżeli długości 100 m mierzonej łatami nadaliśmy wagę równą jedności, (czyli gdy przyjęliśmy dla spostrzeżenia o wadze równej jedności pewien przyrząd, oraz zależność błędu od wielkości)?

Wzór empiryczny na błąd średni przy pomiarze taśmą stalową długości D opiewa również — ID, przyczem jednak vt —0005 m'¹*.

Waga pomiaru długości D łatami będzie — w obec powyżej zaznaczonego przyjęcia —:

1 1

Pd :Pioo-^d: p.

a ponieważ j9₁₀₀ = l:

100

Pd

p\₀₀ ^    100 v\ 100 .

(i²D    Dv²t D ’

natomiast waga pomiaru taśmą tej samej długości pv' będzie na podstawie analogicznie utworzonej proporcji:

100 9

a zatem mniejsza.

Pd ’=■

100 v*t____

Dv%t D 25 N. p. waga pomiaru długości 300 m łatami będzie:

p₃₀₀—£-0-33,.., zaś pomiaru tej samej długości taśmą:

p'3oo = ł tsf “ A = 0-12.

Oczywiście, że mogliśmy byli przyjąć dla 100 m mierzonych taśmą wagę p = 1 (lub równie dobrze dla 2)—1000 m), trzeba jednak, zdecydowawszy się raz na pewne przyjęcie, umieć wyznaczyć wagi dla reszty spostrzeżeń.

wag

Podobnie jak przy pomiarach długości postępujemy przy obiorze dla pomiarów niwelacyjnych. Kwadrat błędu średniego jest tu pro-

porcjonalny do długości ciągu niwelacyjnego, błąd średni wynosi zatem dla długości ciągu D:

pD=C^D. (Wzór empiryczny).

oraz

C jest tu stałą zależną od jakości przyrządu niwelacyjnego, metody stosowanej przy pomiarze.

Przy wyrównywaniu 'pomiarów niwelacyjnych przyjmuje się zazwyczaj wagę p — 1 dla ciągu o długości lkm, zatem waga ciągu o długości 600 m spostrzeganego tymsamym przyrządem (lub przynajmniej tego samego

<7.1

=oo 1-67.

<7.06

typu) przy zastosowaniu tej samej metody pomiaru wynosi

Dla pomiarów tryangulacyjnycb używamy teodolitów przystosowanych do rzędu sieci tryangulacyjnej, dlatego wystarczy tu przyjąć wagę równą jedności dla pojedynczego pomiaru kierunku lub kąta. (O czem dokładniej przy tryangulacji).

Błąd średni spostrzeżenia o wadze p=~ 1 nazywamy jednostkowym błędem średnim oznaczając go przez p₀. W rachunku wyrównawczym ma on znaczenie bardzo ważne, gdyż określa nam porównawczą miarę dokładności przy spostrzeżeniach o dokładności różnej.

Pi¹ p₀²

Z proporcji pi: 1 =

(3)

Po²

Pi = "~~2

Pi²

Zatem wagę pewnego spostrzeżenia można określić jako stosunek kwadratu jednostkowego błęau średniego do kwadratu błędu średniego samego spostrzeżenia.

Definicja ta jest znaczenia pierwszorzędnego dla przyjmowania wag spostrzeżeń a priori (t. j. przed wyrównaniem).

może być

co

Pamiętając ją, oraz stosując ją z należy tern zrozumieniem rzeczy, uchronimy się od przyjęcia a priori wag nieodpowiednich, przyczyną otrzymania zupełnie bezwartościowych wyników wyrównania.

Przyjmując zatem jako wagi liczby odwrotnie proporcjonalne do kwa-dratów błędów średnich—-it przyjmujemy temsamem jednostkowy błąd

średni p₀ «=VC.

pi

na

oznacza długości boków

Warunki te przechodzą po wstawieniu do nich spostrzeganych wartości •s i a i sprowadzeniu ich do kształtu liniowego na:

[s sin a] -\--[s cos a 3 a] + [sin a 3 s] = 0

P

[s cos a]--[s sin a S«] + [cos a 3 s] = 0

P

[a] -0—2) 180° + [3 a]

(4)

= 0

Ponieważ 3 a i ós nie są w tychsamych dymensjach, gdyż 3 a wyrażamy n. p. w sek. kąt. zaś S s w cm, przeto należy w tym przypadku przedstawić warunek wyrównawczy [M 38]= min. w formie:

f-1

LP‘ PJ

\±]-

Li^ P]

= min.

Oznaczmy błędy pozorne kątów przez 3X zaś długości przez 3S, zatem:

, przyczem 3X i odpowiadają (5*)

min. =

(5)

wprawdzie ilościowo sekundom kąt. względnie cm, są jednak wielkościami nie-mianowanemi.

nowicie :

Teraz dopiero możemy przejść na wagi „kątowe“ i „długościowe" mia

f-1

IP p\

= fh»0x²] + [Ps§s²] w równaniu tern oznaczono

(5**)

zaś ps

/ 1 cm \2 \Pscm)

(6)

a więc p są również wielkościami niemianowanemi. Mamy tu zatem dwa różne błędy śr. jednostkowe a priori, jeden wynosi 1" drugi 1 cm.

|A₀ otrzymane z równania będzie wielkością niemianowaną (jak to wynika z powyższych przyjąć dla błędów średnich), a mianowicie:

Po"

Po

1"

oraz g₀

|x₀ cm

1 cm

Zaś błędy średnie poszczególnych spostrzeżeń będą się składały z błędów

kątowych:

Px"

1"

Szczegółowe omówienie wag spostrzeżeń pośrednich nastąpi w § 9-tym rozdz. IY-tego. * * *

Po" (t —    ,/— > P'A

1 "Yjp*

Y£’

oraz

dług. (analogicznie) gs cm — —•    (7)

ROZDZIAŁ TRZECI.

Wyrównanie spostrzeżeń bezpośrednich.

Po należytem opanowaniu omówionych poprzednio podstawowych wiadomości, możemy wreszcie przystąpić do samego przeprowadzenia rachunku wyrównawczego, stosując go po koleji do spostrzeżeń wyszczególnionych szczegółowo w § 2 rozdz. II.

§ 1. Wyrównanie spostrzeżeń bezpośrednich o dokładności jednakowej

(t. j. o wagach równych).

Wielkość, której wartość prawdziwą oznaczamy przez X, spostrzeżono n razy otrzymując następujące wyniki:

j J • • ' • • ^n•

Jeśli nas nic nie upoważnia do przyjęcia róónych dokładności dla poszczególnych spostrzeżeń, musimy przyjąć a priori, że dokładność wszystkich spostrzeżeń była jednakowa, a zatem, że i wagi ich są równe. Dla uproszczenia możemy więc przyjąć je wszystkie równe jedności, a tern samem będzie się odnosił jednostkowy błąd średni do każdego 'spostrzeżenia.

Ponieważ — jak wspomniałem — nie jesteśmy w stanie wyznaczyć prawdziwej wartości X spostrzeganej wielkości, ma nam rachunek wyrównawczy dostarczyć jej wartość, wedle założeń G-aussa, najbardziej prawdopodobną x, którą ściśle można nazwać wartością wyrównaną.

Rachunek wyrównawczy nie będzie się zatem odnosił do błędów prawdziwych

si=X-li,

(1)

lecz do błędów pozornych:

(1*)

ói=x—1{.

W § 1 rozdz. II określiliśmy w tym przypadku warunek wyrównania równaniem:

Jeśli jednak mamy znaleśó taką wartość x, któraby spełniła powyższy warunek, musi być:

dx

dx

0, lub:

(3)

(3*)

2 <5, -|-2 d₂-j- ... +2 ón= 0.

Powyższe równanie możemy przedstawić w postaci dwojakiej :

[d] = 0, lub [:x—l\=nx—[Z]= 0.

Pierwsze orzeka, że suma błędów przypadkowych równa się zeru, drugie dozwala nam wyznaczyć x ze spostrzeżeń Z, mianowicie:

1.

2.

[I]

se=Ł—.

(4)

(4*)

(5)

A zatem wartość x, uzyskana wyrównaniem w przypadku spostrzeżeń równodokładnych, jest średnią arytmetyczną utworzoną ze wszystkich n spostrzeżeń.

Wynik ten nie mógł zresztą wypaść inaczej, gdyż tak kształt funkcji prawdopodobieństwa, jak i warunek wyrównania są oparte na założeniu G-aussa, identycznem z właśnie otrzymanym wynikiem. Innemi słowy przyjęcie średniej arytmetycznej za (równodokładnych) spostrzeżeń jest równoznaczne w rachunku wyrównawczym z przyjęciem [dó] min. i odwrotnie.

Przejdźmy nąstępnie do określenia związku między błędem średnim p} a błędami pozornemi ó.

Wyjdźmy ze znanego nam już wzoru na p

2 [«] n

wartość najbardziej prawdopodobną

(6)

Zauważyć przytem należy, że błąd średni p jest miarą dokładności szeregu spostrzeżeń l (por. § 6 rozdz. I), a wobec jednakowej ich dokładności odnosi się do każdego spostrzeżenia l. Inńemi słowy p jest błędem średnim każdego spostrzeżenia l przed wyrównaniem.

Następnie przejdźmy do wyznaczenia błędu średniego średniej aryt

metycznej.

Prawdziwy błąd średniej arytmetycznej określa nam różnica:

X X — S

zaś jej błąd średni otrzymamy jako błąd średni funkcji kształtu

l\ 4 i ,

x—--1---h • • • "r

n n

In    [-1]

(7)

(8)

Kwadrat błędu średniego funkcji liniowej wynosi wedle rozdz. II, (§ 3 ust. 3) (14), (str. 41):

p/=[a a pp]

(9)

Dr. K. Weigel. Rachunek wyrównawczy.

zatem w naszym przypadku będzie (ponieważ a ——^ :

7% /

=KV+^,+---^

A dalej wynika z proporcj i:

Vx'¹~ px²' P²'

Jeśli zatem przyjęliśmy wagi spostrzeżeń równe jedności, odpowiada średniej arytmetycznej waga px — n^ t. j. ilość spostrzeżeń, z której ją utworzono.

Natomiast ze względu na równania: hx²: h²= —

px

spostrzeżenia), twierdzimy, że dokładność średniej arytmetycznej jest razy większa niż dokładność pojedynczego spostrzeżenia.

Po tych wywodach możemy przystąpić do wyprowadzenia związku między błędami pozornemi ó, a błędem średnim p.

Błąd prawdziwy spostrzeżenia l, określa nam związek: X—U — ti zaś błąd pozorny związek: x—li—di.

Żtąd wynika, że ą—A=X— x, lub

=di 4- X—x = di 4- ex.

Podnosząc n takich związków, utworzonych dla wszystkich spostrzeżeń, do kwadratu i sumując je, otrzymamy:

£i² = V 4- 2 dtex + ex²    .

£₂² = d₂² 4- 2Ó₂£* + £x²

Pt¹

2 P , U p ²=    , lub px=—

n

\n

Px =

P¹

Px

2 — W*

(U)

:    hx=h^n, (przyczem h oznacza dokładność pojedynczego

P

(12)

£n² — dnl + %Ón£X +

(13)

[ce] = [dd] + 2[ó] ex + nex².

Ponieważ [ó] O, przeto ze względu na skończoną wartość ex i 2[ó]sx = O, a gdy ponadto wstawimy. zamiast kwadratu błędu prawdziwego średniej arytm. kwadrat jej błędu średniego, (t. j. założymy, że sx²=px²), będzie miał powyższy związek kształt następujący:

[eej —[dd]H-npx

(14)

wedle poprzednich wywodów px

P¹

a ze

—, przeto: n

[££] = [dd] + ^²,

względu, że [££] = w^², ostatecznie:

p=y

m.

n — 1

n—1 ’ Przeto ze względu na (6)-ty związek § 1-go rozdz. Ii-go: %²: h²=[ee]: [ód] jest %² :h²=n: (n—1).

Ponieważ

[££]

P²

n—1’

(15)

*** Wzór lo-ty można wyprowadzić sposobem, ściślejszym.

Ponieważ £*=8; -j- (X—x), przeto sumując n związków utworzonych w ten-sam sposób dla wszystkich n błędów, otrzymamy:

[e] = [$]-f n(X—x), a stąd, ponieważ [S] == 0 :

X—

i ostatecznie:

n(X—x)² — nex²=—.

n

Zatem ze względu na związek [£e] = [o8]-ł-w£a;², będzie dalej :

(16)

M-paj+4^

Tv

Ponieważ [e]² musi być wielkością dodatnią przeto [ss]>[88].

Nie mogąc wyznaczyć prawdziwej wielkości —,

ft

stąpić ją wartością przeciętną (średnią) tego wyrażenia.

[e2] — (£i +e2+ * * • • Zn)² =

będziemy się starali za-

+ £2

+ 2 e₁e₂ + 2 £₂£3 + •••• -(- 2 e₃ + 2 e₂e₄ + . . . . + 2 s₄ + . • . .

£i

-f- . . . . + £ ²n—1 ”1” en + 2 Sn—l£n

Przeto ogólnie przedstawi się:

(przyczem i przyjmuje wartości od 1 do n—1, zaś A; od 2 do w).

dąży jednak przy rosnącej do 00

Przeciętna wartości sumy iloczynów

ilości n do zera, ze względu, że funkcja prawdopodobieństwa tych błędów — jako przypadkowych — jest funkcją parzystą. (Z praktycznego punktu widzenia

przedstawia —^ nawet przy niewielkich ilościach n wielkość zaniedbywalną).

Powracając do poprzednio omawianego związku, otrzymamy ze względu,

że W!-M

(w przecięciu):

[«]=[»] +

, lub: n [J.²= [88] +{a², a ostatecznie:

(17)

|X² =

P*]

(18)

Zatem wzór na błąd średni jjt, wyrażony przez błędy pozorne opiewa :

(18*)

i) Ścisłe sposoby wyprowadzenia tej formuły podali: Helmerł, Astr. Nachr. tom, 88 Nr. 2096-97. Helmert, Spr. pr. Akademji umiej. (1904) XXX., oraz Wellisch, Th. u. Pr. d. Ausgleichungsr. (1909), § 26, str. 99.

Ponieważ i ten drugi sposób wyprowadzenia formuły na błąd średni p. spotkał się z zarzutami Bertranda *), podaję przeto w krótkości przebieg ścisłego dowodu Helmerta na związek między a błędami pozornemi 8.

Prawdopodobieństwo pojawienia się jednego po drugim (czyli jednoczesnego pojawienia się) błędów ev e₂, .... en w szeregu spostrzeżeń jest określone wyrażeniem :

(tDe“ł’¹“Wei*²"

. • d en.

(19)

Oznaczając różnicę X—x przez u, możemy przedstawić błędy prawdziwe w sposób następujący:

£x — 8^ + u £2⁼⁼^2+W en_i = 8„_i + u

en=—Sj—3₂....—8n_i+w, a sumę kwadratów błędów:

(20)

[ee] = [88]-f nu².

Podstawiając w wyrazie na prawdopodobieństwo te wielkości, otrzymamy na iloczyn de₁dei. . . .dsn wyrażenie:

(21)

111. d . d 8₂. . . . d 8ra_i. du;

(u przyjęto tu jako zmienną, gdyż system błędów o₁, 8₂,    może odpo

wiadać nieskończenie wielu różnym systemom błędów pr. sv fi₂,. . . .sn), przyczem |/| oznacza wyznacznik następujący:

— n.

11 =

— 1 —1 —1

Zatem po wstawieniu tych wartości do wzoru (19) otrzymamy i

(i)'-

-vm-hW d\d%₂....d 0n_i. du.

Wyrażenie na prawdopodobieństwo pojawienia się błędów §1? 8₂,. . . (jednego po drugim) otrzymamy, całkując powyższe wyrażenie (od —co do +oo) ze względu na zmienną u; a zatem będzie:

-*WdZxdl₂.. . .d*n-i

+ 00

e—tfnu³ du —

¹

) Bertrand. Calcul des Probabilites, art. 160 i 162.

I—00

(22)

. d lxd 8₂.. .. d 8n_i.

Danej sumie kwadratów [88] odpowiada ta wartość dokładności /?, która powoduje największą wartość poprzedniego wyrażenia (najbardziej prawdopodobna wartość h).

2 PS]

■4S-

to

Zatem ma być: hn~¹e—:ŁJM=max., wówczas jednak musi być:

(»— l)hn~²— 2/tn[8B] = 0

m .

2 h²

że zaś

¹ -=p², przeto:

2 h²

(28)

W — 1

Dokładność wyznaczenia p² z kwadratów błędów pozornych, wynosi:

MuPLi) ¹

Przechodząc następnie do błędu średniego średniej arytmetycznej, otrzymamy:

z^² = —

n

ux —

[ód\

(25)

n{n—1)

Snmę [dd] tworzymy, ze względu na jej znaczenie dla dokładności wyrównania, zazwyczaj w dwojaki sposób. Pierwszy polega na podniesieniu różnic di=x—lt do kwadratu i zesumowaniu wyników. Drugi kontrolny opiera się na wzorze, który w łatwy sposób otrzymamy jak następuje.

Przez podniesienie związków x—di=ll x d₃ =Z₂

do kwadratu, zmieniamy j e następu-jąco:

x²—2xóx -f d₁²=Z₁2 x²—2x d₂ + d₂²=4²

x²—2xón+ón²=ln², ,

X Ón — tji

a tworząc ich sumę otrzymujemy równanie:

(26)

(27)

nx²+[óó} = [U},

które po wstawieniu wartości za x przejdzie w związek:

rm

n~ + [dd]=[ZZ], tak, że ostatecznie będzie:

[«]=[«]

w m

(Wedle znaków przyjętych w matematyce ma to równanie kształt:

2ó²=2l²

Zaznaczyć wreszcie należy, że bardzo korzystnem, a niekiedy nawet koniecznem dla wykonania rachunku j est przyj ęcie wartości przybliżonej x₀. Ma to szczególnie wielkie znaczenie, gdy wartości spostrzeżeń odpowiadają wielocyfrowym liczbom (użycie równania kontrolnego na [dd] może być wówczas bez x₀ nawet prawie zupełnie niemożliwem).

*'+T-

Oznaczając wartości spostrzegane przez L, otrzymujemy ze związku: L=x[)+l wielkości Z, któremi możemy znacznie wygodniej operować rachunkowo, zaś wynik wyrównania i wszystkie tu występujące błędy pozostaną bez zmiany, gdy błąd wielkości Z jest równy błędowi wielkości L. Należy tylko uwzględnić, że x=

TŁ

Przykład. Aby przyzwyczaić czytelnika do odpowiedniej formy przeprowadzania rachunku wyr., podaję przykład zestawiony schematycznie wraz z równaniami kontrolnemi. Bezcelowego wyznaczania wyników na wiele miejsc dziesiętnych należy bezwarunkowo unikać. Najpraktyczniej zrobimy przyjmując l w liczbach całkowitych, obliczając średnią, błędy pozorne i błąd średni na jedno miejsce dziesiętne, zaś kwadraty błędów na dwa miejsca dziesiętne.

Przedmiotem wyrównania jest osiem wyników otrzymanych przy pomiarze tej-samej długości taśmą stalową.

Liczba

porząd.

L (w m)

l (w cm)

Błędy średnie

Bo U

Uwaga

w cm

212-23

3-3

10-89

to

tó

00

1-7    2-89

co

co

14

7-7    59-29 196 P*

-V,

181-52

181-52

=+5*1 cm

8.7

-+1‘8 cm

Ot

CO I>

co

O    CO CD (M

(M (M CO (N Cd

6-3

to

39-69    0

5-29    16

13

0-3

4-3

6-7    44-89 169

0-09    36

18-49    4

kontrola dla [8B]

312-50

[Bo]=494-00—312-50= 181-50

Sumy : x₀=212-20m [/]    50

50    16*5    16-1 181-52 494

[8]= +0-4

= 6-3

x = 212-263 ± 0-018 m, okrągło x— 212-26 -+- 0-02 m.

Ponieważ wyniki pomiarów są dane z dokładnością, która waha się w centymetrach, przeto przyjęliśmy za jednostki w rachunku wyr. centymetry, oszczędzając sobie trudu przez przyjęcie wartości przybliżonej xQ. Wartość wszelkich nawet i na drugiem miejscu dziesiętnem zupełnie takie same. Byłoby więc bezcelową pracą, zachować dokładniej, jak podano w przykładzie.

Nakoniec możemy się zapytać, czy osiągnęliśmy przez wyrównanie przeciętną średnią dokładność pomiaru taśmą. Z wzoru empirycznego na śr. bł. pomiaru taśmą wynika: 0005V212⁻2 m^zh^'3 cm. Ponieważ śr. bł. [J. odnoszący się do poprzednio podanych spostrzeżeń wynosi ^=±5-1 cm, przeto wystarczyłoby właściwie jedno względnie dla kóntroli dwa spostrzeżenia, aby osiągnąć żądaną dokładność, podczas gdy przez ośmiokrotny pomiar tej samej długości zmniejszyliśmy błąd jej na |T„ —-f-1 ‘8 cm.

Natomiast inaczej ' wyglądałaby sprawa, gdyby powyższe rezultaty odnosiły się do pomiaru łatami mierniczemi. Przeciętna dokładność tak wykonanych pomiarów byłaby określona przez empiryczny wzór na bł. śr. : 0003V212,2 = ±4*4 cm. Jak tedy widzimy, nie wystarczyłby wówczas jeden pomiar, gdyż błąd średni pojedynczego pomiaru wynosi p. = ^^5*1 cm. Oczywiście daje nam i w tym przypadku wynik wyrównania znacznie większą dokładność, jak przeciętna.

Przy sposobności warto poruszyć jeszcze jedną sprawę. Przypuśćmy, że chcemy osiągnąć dokładność pomiaru długości taką, aby błąd średni ostatecznego wyniku nie przekraczał 4 cm. Na podstawie dwu pierwszych spostrzeżeń przeprowadzamy rachunek prowizorycznie i przekonujemy się, że błąd średni wy-

10

nosi ±10 cm, a zatem bł. śr. =>cm—±-_7*1 cm; otóż chcemy wiedzieć, ile

razy należy jeszcze powtórzyć pomiar, aby zredukować bł. śr. wyniku z ±7-1 cm do ± 4-0 cm.

Ponieważ p,²a.= ‘b₎ zatem (pod założeniem, że błąd średni nie zmieni się,

t. zn. stosując tę samą dokładność pomiaru) otrzymamy:

= 6-3,

wyników wyrównania powinno się podawać z dokładnością większą o jedno miejsce dziesiętne jak wartości spostrzegane. Okoliczność, że [8] nie jest ściśle

, nie

z powodu zaokrąglenia wartości — ^

n /

zerem, lecz wynosi -j-0-4 (wynika to ma widocznego wpływu na dokładność obliczenia bł. średnich, i tak w przykładzie

^-=6’25 i [S]=0, wypadają oba błędy średnie

tymsamym, liczonym przy

g/²    100

16

a zatem należy wykonać 7 spostrzeżeń, t. j. jeszcze 5 dodatkowych.

§ 2. Wyrównanie spostrzeżeń bezpośrednich o dokładności różnej.

Spostrzeżeniom o dokładności różnej odpowiadają różne wagi p. Zasadę przyjmowania wag a priori omówiliśmy dokładnie w ' § 4-fcym Ii-go rozdz. Mimo to, ze względu na wielką doniosłość tej sprawy, powrócimy do niej raz jeszcze pod koniec niniejszego ustępu, podając odpowiedni przykład.

Jak już wspomniano w § 2-gim Ii-go rozdziału, wyrównanie tego rodzaju spostrzeżeń odbywa się na zasadzie [pdd] = min., a zatem suma iloczynów kwadratów błędów pozornych i wag musi być najmniejszą.

Przypuśćmy, że spostrzegaliśmy bezpośrednio pewną wielkość n razy, lecz każdym razem z inną dokładnością, w obec czego spostrzeżeniom .. ln odpowiadają różne wagi p₂,... pn. Chcemy wyznaczyć na

lit l₂, .

podstawie rachunku Wyrównawczego najbardziej prawdopodobną wartość spostrzeganej wielkości X.

Jeżeli x ma być wartością „wyrównaną“, musimy je znaleśó z warunku: [jpóó]=min., t. zn. należy znaleśó x na podstawie równania:

(1)

d\póó\ _A dx

Tworząc jak poprzednio błędy pozorne ó, jako różnice wartości wyrównanej x a spostrzeganej otrzymamy n równań kształtu:

(2)

Ói =x—1{.

Wstawiając te wielkości do poprzedniego równania, otrzymamy: d[p ód] p^dóx% _ p₂dó₂²

dx

dx

dx

pnd Ón“ ₌₀

dx

(1*)

2pióx -ł- 2p₂ ó₂ + . . .2pnón=0.

co *

U^=0], lub l> (*—*)]-0.

Ostatnie równanie możemy napisać także w kształcie:

[p]x=[pl], zatem:

[Pi*

(4)

Wyrażenie to nazywamy średnią arytmetyczną ogólną; otrzymujemy je dzieląc sumę z iloczynów wartości spostrzeżeń i odpowiadających im wag przez sumę wszystkich wag. Kontrolę rachunkową daje nam w tym przypadku równanie: [2?ó]=0 (w miejsce poprzedniego [ó] = 0).

Przejdźmy teraz do omówienia błędów średnich. Ponieważ spostrzeżenia nasze nie tworzą szeregu o pewnej stałej dokładności h, lecz każde z nich należy do innego szeregu o różnych dokładnościach hv h₂, . .. hn, odpowiadają im przeto różne błędy średnie fit, ... pn. Aby jednak uzyskać miarę porównawczą dla ich dokładności, wyobrażamy sobie pewne spostrzeżenie o wadze p — 1 i o odpowiadającym mu błędzie średnim fi0 (przyczem jest rzeczą zupełnie obojętną, czy spostrzeżenie takie istnieje faktycznie w zespole naszych spostrzeżeń). (Por. końcowe uwagi § 4, rozdz. II).

Błąd śr. spostrzeżenia o wadze p — 1 nazywamy jednostkowym błędem średnim.

Najprościej dojdziemy do wyznaczenia tego błędu przez zamianę zespołu naszych spostrzeżeń o wagach i błędach śr. różnych na szereg spostrzeżeń o wagach p—1, o wspólnym błędzie średnim, który wedle powyższych uwag będzie oczywiście jednostkowym błędem średnim p₀.

Wiemy na podstawie prawa przenoszenia się błędów (rozdz. II. § 3, 1), że mnożąc wartość spostrzeżeń przez pewną (bezbłędną) liczbę a, mnożymy równocześnie i błąd średni tegoż spostrzeżenia przez a, otrzymując w miejsce poprzedniej wartości ±P wartość bł. śr. ± a\i. Wraz ze zmianą błędu średniego zmienia się jednak i waga spostrzeżenia i tak, jeśli wynosiła poprzednio pi, będzie po pomnożeniu spostrzeżenia przez «, ^wynosiła na podstawie związku:

Pl • Pal =

już nie Ph ale p”⁼&

lO

Mnożąc tedy wartość spostrzeżenia przez a, dzielę wagę tegoż spostrzeżenia przez a².

Skorzystajmy z tego twierdzenia w naszym przypadku. Chcąc zamienić spostrzeżenie li o wadze pt i błędzie śr. ± Pi na wielokrotność tegoż spostrzeżenia o wadze p — 1 i jednostkowym błędzie śr. żhp0: należy je pomnożyć przez Vp;, (przez co otrzymuje się wielokrotność tegoż spostrzeżenia o wartości ZjVpi, wadze — =1 i jedn. bł. śr. ±^₀).

Pi

W ten sposób można wszystkie spostrzeżenia llt l₂,...ln o wagach

Pu Pu • • ’Pn zamienić na ich wielokrotności l{ ipi, Z₂Vp₂ » • • • lJpn o wagach równych jedności, należące do jednego szeregu, którego miarą dokładności jest jedn. błąd śr. p₀.

Błędy prawdziwe tych wielokrotności mają wartości: eJPu e^Pw -ejpn-

Zatem jednostkowy błąd średni p₀ otrzymamy wedle wzoru: ff₁g₁²+jP₂g₂²+ . . .pneJ ₌ [p £g]

Po²

(6)

Aby przejść do związku o błędach pozornych d, zastosujemy rozumowanie analogiczne jak przy spostrzeżeniach równodokładnych.

Jak tam mamy i tu w związków kształtu:

g i = dj-f-X—z,

a podnosząc każdy z nich do kwadratu i mnożąc przez jt?, otrzymamy n równań:

(7)

Pi £i £i =Pi Mi + 2p₁ó₁(X-x)-\-p₁(X—x)2 Pi f2 f2 = Pi Ó2 Ó2 + 2p₂Ó₂(X-x) + p₂ (X-x)²

(8)

Pn Bn £n =pnÓnÓn+2pn Ón (X-x) + pn (X— X) 2 [pgg]= [pdd] +2[p ó](X—x)Ą-[p](X—x)². Wobec [pd]=0 będzie dalej:

zaś w sumie:

Nieznaną nam wielkość (X—x)² zastąpimy, jak poprzednio, wielkością najbardziej nadającą się do tego, t. j. kwadratem błędu śr. średniej arytmetycznej ogólnej p².

Błąd ten otrzymany w sposób analogiczny jak dla średniej arytm. zwyczajnej. Wzór na średnią arytm. ogólną możemy przekształcić w sposób następujący: ó

,_ML _ ty„ + AT-f

[P]    \p\''Pl+ \p}-p-'

lj, \]p !i •

(9)

"[p]

Ponieważ wszystkim wielokrotnościom spostrzeżeń Z;Vp; odpowiada jedli, błąd średni p₀, przeto będzie wedle prawa przenoszenia się błędów:

Pl ? I P% .. 2 ,    I Pn .. 2_

+■■■+^0 - [p]

Kładąc w poprzednim związku (na p₀), (X— x)²=‘(ix², otrzymamy: [p££] = [pćd] + p₀?, nfi₀²=[pód] + y₀². a ostatecznie:

sV²

(10)

(11)

[póó]

n-1 ’

i/[pdd]

V n-1

oraz:

(12)

[pdd]

[pód]

[p](n—1)

[p] (w-1)

(13)

Oczywiście, że i w tym przypadku wprowadzimy do rachunku x0 wartość przybliżoną śr. arytmetycznej ogólnej podwójnie, raz tworząc poszczególne pó² i sumując je, zaś drugi raz wyrachowując [pdd] ze związku kontrolnego, który zaraz wyprowadzimy. Jeśli podniesiemy n związków kształtu:

x ~~ d j⁼ l i

do kwadratu, pomnożymy każdy przez odpowiednie p, i je mujemy, otrzymamy równanie:

oraz

wyznaczymy .[pdd]

razem zesu-

[p]x²—2z[pd]-j- [pdd]=[pZZ].

(14)

Ponieważ [pd]=0, a x²—

[pl]²

przeto otrzymamy:

[pl][pl\

[P]

-f [p dd] = [p 11]; a ostatecznie równanie kontrolne na [p dd] będzie

miało kształt:

[póó] = [pll\

[P]

(15)

Przykład pierwszy. Powierzchnię P, wynoszącą około 201 cm², wyznaczono na planie czterema planimetrami, a) biegunowym Amslera, b) kompensacyjnym (Amsler-Coradi), c) wózkowym kulistym Coradiego id) tarczowym Coradiego. Chcąc uzyskać wynik bardzo dokładny, dokonano planimetrem a) osiem, pl. b) cztery, pl. c) i d) po trzy spostrzeżenia.

Wyniki tych pomiarów były następujące:

śr. arytm. z 8 spostrzeżeń pl. a): 201-27 cm², błąd śr. = -4-0*20 cm² =*20 mim²

n 4-0-05 cm²=5 m/m2 „    „ [J.c = ±0-04 cm² = 4 m/m²

„    ;j^ = rt0-02 cm²=»2m/m².

pl. 201-17 cm², „ pl. c): 201-24 pl. d) : 201-18 cm², „

4

Przyjmując wagę p = l dla pojedynczego pomiaru planimetrem otrzymamy wagi dla pojedynczych pomiarów innemi planimetrami ze związków:

cm

Ha² ’

Pa

25

Vc -

2 > Pb

' Ha* 400 !Xj² 25

= CX) 0-06

V‘cl

16

— OJ 1-56

Pd - 1

-----OJ 6-25.

4

Ponieważ waga średniej arytm., utworzonej z n spostrzeżeń, jest n razy większą od wagi pojedynczego spostrzeżenia, przeto otrzymamy wagi dla wymienionych spostrzeżeń:

Ha

f^²

Pl = 8pa= 8.0-06 = OJ0-5,    - 201-27 cm²

_p₂ = 4pj = 4.1-00= 4-0, X₂ = 201-17 cm2 i>₃ = SPe =3.1-56- OJ4-7, L₃ - 201-24 cm2 p₄- B^= 3.6-25 - OJ 18-8, Z₄ = 201-18 cm².

Resztę rachunku wykonamy w zestawieniu schematycznem, jak to miało miejsce przy obliczaniu poprzedniego przykładu.

zuL(wcm²) l w m/m² p pl

pil p U

“4"

Błędy średnie i uwagi

rH

201-27

17    0-5    8-5 - 7-97

3-99

31-80 144-5

OJ | to

•17

•24

•18

7    4-0 28-0 2-03 —    8-12

14    4-7 65*8? _ 4-97

23-36

8 18-8150-4! 1-03 — 19-36

a;₀=201-10 Sumy: 28 0 252-7

27-48

27-35

16-48 196-0

=^7, m/m²

116-10 921-2

19-94 1203-2

184-32 2464-9

/184-32

V 3“ 28

=+l’5 m/m²

[P)

= 9-03

Kontr, [p 88] = 2464-9 —

252-7²

28-0

184-28.

x— 201-190 cm² z bł. średnim Ze względu, źe wagi obliczono na 1 miejsce

2^0-015 cm².    dziesiętne, wyznaczono pl,    na 2 miejsca j

dziesiętne.

Przykład drugi. Pięć ciągów niwelacyjny eh o różnych długościach Lv

L₂, Ls, Z,₄ i Lg, nawiązanych do pięciu punktów stałych (t. j. o danej wysokości), schodzi się w jednym punkcie t. zw. węzłowym. Należy wyznaczyć najbardziej prawdopodobną wysokość punktu węzłowego Hw, oraz jej błąd średni.

Wysokości punktów stałych:

= 251-386 m H₂ =247-248 „

#₃ = 262-851 „ tf₄ = 259-475 „

H₅ = 241-382 „

Wzniesienia między p. sta-łemi, a p. węzł. z niwelacji:

\--6-118 m

ń₂ = — 1-950 „

7i₃ = —17-601 „ ń₄ =—14-179 „

— -j- 3-846 ,,

Długości ciągów:

Ll =0‘4 km L₂ =0-8 „

Lo — 1 "2 „

i₄ = 0-6 „

4 = 1-6 „

L oznaczają tu długości ciągów, a nie odległości punktów stałych od punktu węzłowego; najprościej otrzymujemy je mnożąc podwójny średni odstęp

łaty niw. od przyrządu przez ilość przestawień przyrządu. Dla przyjęcia na podstawie długości L wag wystarczy wyznaczyć L w km. na 1 miejsce dziesiętne. (I tak, jeśli śr. odstęp łaty od przyrządu wynosił 50 m, a ilość przestawień cztery, będzie L w km = 4 X 0-1 km = 0-4 km).

Dodając h do H, otrzymujemy pięć różnych wyników na Hw: 245-268, 245-298, 245-250, 245-296 i 245-228.

Fig. 4.

Empiryczny wzór na błąd śr. przy niwelacji jest [a = vYL (uproszczony). Chcąc uzyskać przy wyrównaniu jako miarę dokładności p,0 jednostkowy błąd średni na 1 km,

wyznaczymy wagi ze związku znanego: pi: 1=—₂ •—wstawiając do powyż

si fV

szego równania liczby L odpowiadające ilości km ciągów; zatem będzie:

A=só^⁼²'⁶’ A-ólb^¹'³’

= CV)0-2, p₅

1-2 v

1-6 v

C\j0-6.

(Ze względu, że przyjmujemy wagi na podstawie bł. śr. wyznaczonych (uproszczonym) wzorem empirycznym, a nie na podstawie bł. śr., jakie odpowiadają w rzeczywistości spostrzeżeniom, wystarczy obliczać wagi zazwyczaj na jedno miejsce dziesiętne).

Przebieg wyrównania wykazuje tabela następująca:

Ew (w m)

l w mjm

pl

pB

p BB

pU

Błędy średnie i uwagi

245-268

48

2-5; 120 0

1-14

2-85

' 8-25

5760-0

•298

78

1-3

L01-4

28-86

37-52

1083-12

7909-2

T /25B8-97 ⁼⁼ V 4

= + 25'2 w/w

•250

30

0-8

24-0

19-14

15-31

293-03

720-0

•296

76

0-2 15-2 j — 26-86

5-37 144-24

1155-2

[J-sc

“V

2538-97

4.5-4

•228

0*6! 4-8 41-14 — 124*68

1015-35

38-4

+ 10"8łw/m

Sumy:

5-4 265-4:

42-8442-89

2538-97

15582-8

I[p3]=—0-05

#₀ = 245-220 m [pZ]

b]

49-14 mjm

[pif

[P]

43043-92

* = 245*239₁łn z bł. średnim -4- 0-0108 m.

Kontr. . . 2538-98

(pr.₀ = dt 25⁻2 mjm jest błędem śr. na 1 km długości ciągu przed wyrównaniem).

Można także wyznaczyć błędy śr. poszczególnych spostrzeżeń, choć w praktyce zależy nam tylko w niektórych przypadkach na ich wartości. W naszym

przypadku będą błędy średnie obliczone na podstawie wzoru p.j-= -ł-[^=3 -4- 16*0 mjm, p-₂ — -4-22-9 mjm, p₃ = 4-28-2 mjm, p.₄ = 56-3 mjm, p,₅ = 32-5 mjm

1*0 ;

Pi

§ 3. Różnice spostrzeżeń. Wyrównanie par spostrzeżeń.

Z n spostrzeżeń, dokonanych nad pewną wielkością, można utworzyć n. -H ₀ — różnic spostrzeżeń kształtu:

u

1% ^1 ⁼⁼

^3    — dz, 1 j ^3    —

(1)

£4    = di' 1, Z₄ l₂ = C?4₍ 2 j

Zn 11—dH'

z których jednak tylko w—1 jest niezależnych.

Dla dalszych wywodów jest ważną kwestją znaczenie różnic d, oraz pytanie, czy można z nich tworzyć wartości średnie, tak jak to ma miejsce przy błędach prawdziwych.

Biorąc na uwagę różnicę dk,t- = dk — U, możemy ją napisać także następuj ąco:

1)

n, 2) *

•    • l-n    In—i — dn> n—1,

dk, i — X—li—(X-ljc) = £i — Eh , lub

dh,i — x—li—(x- lk)=ói—ók, zatem: dk, i—h — li —    — Ek — ói — djc.

Różnica dk,i jest więc nietylko różnicą spostrzeżeń lk—li, ale zarazem i różnicą ich prawdziwych oraz pozornych błędów Ei—ek i ói—ólc.

Z drugiej strony jest lk—li funkcją spostrzeżeń 4 i Zi? której wartość prawdziwa X—X równa się zeru.

Różnica między wartością prawdziwą X—X=0, a 4—U jest prawdziwym błędem funkcji lk—U:

(3)

X X (4 li) — Ef — l; — 4 — Ek — £;— — dk,

Mamy zatem szczególny przypadek, w którym błąd prawdziwy funkcji równa się wartości samej funkcji wziętej ze znakiem przeciwnym.

Wedle prawa przenoszenia się błędów jest średni błąd funkcji 1—h lub 4—li określony wzorem:

(4)

Ci

!M

p/=p²+p²=2p²,

o ile weźmiemy na uwagę m spostrzeżeń Z (ściśle dla m dążącego do oo). Ponieważ pf%

[EfEA

zaś Ef——d, przeto

P/²

[dd]

(5)

Kładąc

i/[dd]

V m

= D, otrzymamy związek

(6)

D=p^2.

Średnia różnica D równa się błędowi średniemu p pomnożonemu

(7)

przez V2.

Jak wspomniałem, możemy utworzyć z n spostrzeżeń Z n^-~^

róż

nic d kształtu:

dk,i = ói—dk.

Podnosząc je do kwadratu i sumując, otrzymamy:

[dd] = (n-l)[óó]-2[óiók], n—1

—2— związkach (n— 1) razy).

(8)

(gdyż każdy d² powtórzy się w n

Sumę 2 [di ók] wyznaczymy z równania:

[d]²=0=[ód] + 2[didyfc] (gdyż [d], a więc i [<5]²== 0), zatem:    — 2 [d; dA]=[ód].

Rugując w poprzednim związku — 2[d/d/J otrzymamy: [dd] = (n—1) [dd]+[dd]=n [dd].

^^

Ponieważ wszystkich, różnic d j est n —^—> przeto :

(10)

L--£M-_ 2„',

/l—1    w—1

W~2 2~

[M]

(U)

zaś [óó] = (w—l)p², a /^ =

Biorąc do pomocy ścisły związek wyprowadzony w § 1 rozdz. III-go

otrzymamy dalej :

n—1

[£?

(patrz wzór 16-ty): [gf] = [dd] + -

Tb

[ód] = (n — l)fi²=nfi² —

Ml =w fi²—(n—l) [i²=[i². n

M2

"Wstawiając wartość na do równania na [ee], zmienimy kształt

tego związku na następujący:

[e£] = [dd]-f ^², lub nfi²—fi² = [<5ó], otrzymując

zatem

(12)

odwrotnie: fi²

(13)

n— 1

Możemy zatem przy pomocy różnic spostrzeżeń udowodnić w sposób ścisły (dla n dążącego do go) prawdziwość powyższego związku.

Teorją różnic spostrzeżeń zajmował się pierwszy Jordan 1869, a niezależnie od niego Breger. Pewne nieścisłości teorji Jordana skorygował Andrae, a w polemice, która się na ten temat wywiązała i trwała do roku 1873, względnie 1876, także Zachariae i HelmertJ).

Na teorji różnic spostrzeżeń opiera się wyrównanie par spostrzeżeń. W praktyce mamy do czynienia z wyrównaniem:

1. pary spostrzeżeń a) równo- b) różnodokladnej,

2. par

a)

b) różnodoMadnych.

1. Wyrównanie pary spostrzeżeń.

Dla uproszczenia sprawy omówimy przypadek spostrzeżeń różnodoMadnych, a po wyprowadzeniu wzorów ogólnych, przejdziemy do przypadku 1 a), w którym dokładność spostrzeżeń jest jednakowa (jp = l).

Dwa spostrzeżenia l i Z', odnoszące się do jednej wielkości, nazywamy parą spostrzeżeń. Zakładając, że wagi ich p i p' są różne, otrzymamy ich wartość wyrównaną, tworząc z nich średnią arytmetyczną ogólną:

(14)

pl+p'l' p+p'

’•) Astr. Nachr. (1869) t. 74, str. 209—226 (Jordan); t. 74, str. 283—284 (Andrae), (1872) t. 79, str. 219—222 oraz str. 257—272; (1872) t. 80, str. 67—70 Zachariae; t. 80, str. 189—190 (Jordan); (1873) t. 81, str. 49—52 (Helmert), t. 81, str. 51—56 (Jordan); t. 81 str. 225—267 Zachariae; (1876) t. 88, str. 127—131 (Helmert).

Zamiast użyć na błędy średnie wzorów poprzednio wyprowadzonych, stosujemy w tym przypadku wzory zawierające różnicę spostrzeżeń d — V—l. Ponieważ

ó=x—l

pl+p'1' pl+p'l

p'

--=

P+P'

= p T(i-i') = P+P' v '

p+p'

p+p'    p+p'

pl+p'l' pl'Ą-p'l'

p+p'    p+p'

przeto wstawiając te wartości do wzoru na błąd śr. p₀, otrzymamy:

(15)

a ó'=x—U —

p+p'

d.

₂_1

[pMl-

pp,2+p'p²

(p+p')²

d² =

(P+P')

(.p+po²

pp'd²

pp'

p+p

Td i

(16)

Vp+p

zaś błąd średni wielkości wyrównanej będzie ze względu na związek

px²

Po²

Po

PP'

d²:

O] P+P' (P+P')

—-—-r^PP'-p+p

W przypadku wag równych (p=p' = 1) upraszczają się wszystkie wzory znacznie, będzie zatem:

Px

(17)

x=

l+l'

(14*)

d=l'—l, d=-

bo a,

(15*)

d²

P2=z 2’

«T|| &

(16*)

Px² =

d²

4 i P* — 2

(17*)

a ze względu, że pXo²

Po* .

Chcąc uzyskać miarę dokładności dla spostrzeżeń wszystkich par, możemy, o ile wiemy na podstawie doświadczenia, że błędy prawdziwe jakoteż i średnie spostrzeżeń l są zależne od wielkości związanych z po-szczególnemi l, 'tak przekształcić wszystkie l, aby odnosiły się do pewnej idealnej wielkości X₀. Znając bowiem empiryczne wzory na fi₀ i fii} możemy n. p. dla spostrzeżeń lt i Z/ i-tej pary utworzyć wagę pi=

Mnożąc każde spostrzeżenie przez odpowiadający mu Vj9, otrzymamy 2 r wielokrotności spostrzeżeń kształtu: }/p₁ lv    Vjp₂ hi ^Pz W i •• •

1(Pr h j ^Pr h •

Jednostkowy błąd średni tego szeregu będzie — wedle wzoru (6)-go § 2-go rozdz. Iii-go, podanego na str. 57. — określony związkiem:

Pl (g₁² + V²)+jP₂(g²₂ + g₂/2)+ .... Pr (g?.² + g/²) _ %[PPP\

Po

i t. d.

P\

2r

(18)

Ponieważ jednak wedle poprzednich wywodów 2 p₁²=d₁²r... 2pr²=d,.², przeto: fto²=

lub

(19)

Kładąc dQ²

[pdd]

(średnie d), otrzymamy: (20)

w 2 ao

(jedn. bł. śr. przed wyr.) p₀²=~~-

d₀

(21)

(jedn. błąd śr. po wyr.) px²=—^

do

Pxtc==zhi ^

(22)

Wyznaczając błędy śr. fi₀ i fix wyrównawczy, pomijając wszystkie błędy śr. pi oraz

możemy uprościć sobie rachunek Z^-

Znaczenie błędów śr. p₀ i poznamy najlepiej na przykładzie.

Dla przeprowadzenia pomiarów wodnych założono wzdłuż rzeki r reperów (punktów stałych wys.), nawiązując niwelację do dawnego reperu R o danej wysokości. Wszystkie spady między reperami pomierzono dwa razy, uzyskując w ten sposób r par spostrzeżeń. Jeśli oznaczymy długości ciągów niwelacyjnych między reperami Lv ...Lr, możemy, ze względu na empiryczny wzór dla błędu średniego niwelacji ciągu o długości L: [xi=vVi/, przyjąć wagi dla

v².l 1

poszczególnych par spostrzeżeń p — —2~T=_W» przyczem, chcąc uzyskać później

. X/ Xj

{x₀ na długość 1 km, należy wstawić do wzoru na p wielkości L w km (jednak jako wielkości niemianowane).

Dr. K. Weigel. Rachunek wyrównawczy.

Przebieg wyrównania będzie następujący.

Pary spostrzeżeń (spadów między reperami) są:

V>

s2 > S2'

Pa

d-^ —    y (^2 — Sg ®2 j *

S₂+V 2 J • ■

«l+v

#2 —

sr, s/ o wagach: Pr j

dr = Sr Sr ,

a;,.

sr -f- s,/

di

V2

M'2 —

d₂

d,.

V2

*1

H*₂ =

dr

wyznaczenie tych bł. śr. może być pominięte bez uszczerbku rachunku wyr.

H'0 —

d₀

V2 '

=V^V4[fj’

d₀

(20)

(21*) i (22*)

p₀ jest jednostkowym błędem śr. t. j. spostrzeżenia o wadze p = \ przed wyrównaniem, zaś [iXo jednostkowym błędem śr. wyrównanego spostrzeżenia o wadze £> = 1, czyli po wyrównaniu. (Oba błędy śr. na 1 hm dł. ciągu).

Błąd średni wysokości każdego reperu można obliczyć w sposób dwojaki. Przyjmując wysokość reperu R za bezbłędną, otrzymamy (oznaczając g.B. błąd średni wysokości reperu Bi przed wyr., zaś (g.)Bi błąd śr. wysokości tegoż reperu po wyrównaniu)

sposobem pierwszym

sposobem drugim:

[J-Hi =

i-i KN

-^[dd)i

(23)

^ofLVl

(24)

Ściśle rzecz biorąc nadają się wzory sposobu drugiego tylko do obliczenia błędów śr. wysokości ostatniego reperu t. j. Rn, gdyż obliczenie ma tu miejsce przy pomocy jednostkowych błędów śr., odnoszących się do ciągu R—Rn. W tym też przypadku dadzą obie metody wynik zgodny (pomijając błędy z powodu zaokrągleń). Dla błędów śr. innych wysokości otrzymujemy drugą metodą tylko wyniki przybliżone.

Przykład liczbowy.

■'s

25

¹

Dokładność wyznaczenia błędu ja wedle wzoru (15)-go wynosi 0¹35 p dla n=5, 028 p dla n—10, 0-15 p dla n=20.

²

Wyrównanie par spostrzeżeń.

Przypuśćmy, że spostrzegliśmy r par spostrzeżeń, odnoszących się do r wielkości jednego gatunku, to znaczy, że wszystkie lx l\, Z₂ l\ , ... 1,1/ są długościami, wysokościami lub t. p., oraz że każdej parze sp. odpowiada inna waga p.

Wyrównanie polegać będzie na utworzeniu r wielkości wyrównanych xt, x₂,....xr, (z których każda będzie średnią arytmetyczną utworzoną ze spostrzeżeń należących do odpowiedniej pary), a następnie na wyznaczeniu fiv fi₂,....pri błędów śr. pojedynczych spostrzeżeń każdej pary, oraz pXi, fiXi1 ... ,pXr, błędów śr. wielkości wyrównanych. Błędy px, fi₂₁ .... pr nazywamy błędami śr. przed wyrównaniem, zaś błędy śr. pXl, Pxt, • • •. Pxr błędami śr. po wyrównaniu.

Fig. 5.

L. p.

Oznaczenie

spadu

Spady w m

s'

Długość ciągów L w km

Wagi p

z R na Rl

5-835    5-830

1-2

1-2

CNJ0-8

z Rt na i?₂

6-314    6.322

1-8

1-8

(TSJ0-6

z R₂ na R₃

4-918    4-912

1-4

1-4

C\j0-7

z R₃ na R₄

8-129    8-138

2-5

——=0-4

2-5

Wyrównanie: (d, fi w mim).

L. p.

d — s'—s

I!

toll ^

to

a,

'ta o

Wyrównane wartości spadów x wraz z błędami śr. (w m)

1    —5

5

-=-4-3-5

V2

-—4-2-5

1-2 25 20-83 ^ = 5-832₅ (±0-002₅)

+ 8    —=±4-9

V2

^±4-0

1-8 64 35-56 r₂ = 6-318 (±0-004)

L =-4-4-2

V2

1-4 36 25-71 :r₃ =4-915 (+0-003)

-JL=±6-4

V2

2-5 81 32-40 #4 = 8-133₅ (±0-004₅)

Suma: 114-50

v+H

1-i/irddl 1-1/114-50

114-50

h)=

±3-78 m\m jedn. śr. błąd na 1 km przed wyrówn.

±2-68 mjm „    „

„    „ 1 km po wyrówn.

Błędy śr. wysokości poszczególnych reperów- (po wyrównaniu): (ścisł.) ^]j[dd]{

= ^25 =±2-5 mjm

=±4-7 „

(ii)JJj=.ł4'm=±B-6 „

(eK = łV206=±7-2 „

(Niezgodność obu wyników na

obliczone wzorem

(e)j?.¹⁼⁵ 2*68^1*2 =^t2‘9 mjm (e)ff,= 2*68y3-0=^₌4'6 „ (,«)Sj-2-68Vr4=±5-6 „ (rtifi = 2-68V6:9=±7-0 „ (y.)s z powodu zaokrągleń).

obliczone wzorem p,,

(przybl.)

§ 4. Zastosowanie metody wyrówn. spostrzeżeń bezpośrednich do spostrzeżeń za warunkowanych jednym związkiem. (Wyrównanie do stałej

sumy).

Jeśli spostrzeżenia zawarunkowane mają spełnić tylko jeden warunek, da się ich wyrównanie sprowadzić do wyrównania spostrzeżeń bezpośrednich.

O spostrzeżeniach zawarunkowanych w ogólności mówiliśmy w ust.

3-cim § 2-go rozdz. II., podając równocześnie odpowiedni przykład.

W przypadku, gdy warunek nie ma kształtu liniowego, należy go sprowadzić przed zastosowaniem rachunku wyrównawczego do formy liniowej przez rozwinięcie go w szereg Taylora z pominięciem wyrazów rzędu większego niż pierwszy.

Prawdziwych wartości Xv X₂,...Xn spostrzeganych wielkości, spełniających warunek :

(1)

f{XX₂,...X„)=0, nie będziemy mogli wyznaczyć, musząc się zadowolnió najbardziej praw-dopodobnemi ich wartościami xlt x₂,. . .xn, spełniającemi warunek:

(2)

f(xu ®₂,. . .Z„) = 0.

Podstawiaj ąc za xi=li-f tSj, x% = l₂ 4- d₂, .. .. xn = ln -f- <5n, otrzymamy pomijając wyrazy rzędów wyższych niż pierwszy:

X2J...Xn)—1%) • • • ln)

df

df

A -i

dlx dl₂

df

' dln

Ón= 0.    (2*)

Oznaczając dla uproszczenia pochodne cząstkowe

**s

przez a,:, bę

dziemy mieli następnie:

(2**)

> ^2?' * • ln) d⁻ ój -j-a₂ó₂ 4* ... anón = 0.

Natomiast wartości spostrzeganych wielkości l nie sprawdzą funkcji do 0, lecz będzie:

(3)

f(lx, l2J.. ./„) = (o,    (o^0, zatem:

(4)

axd\ -\-a₂d₂Ą-. . ,anón + ctł=0.

Wyrównanie można w tym przypadku przeprowadzić przez sprowadzenie spostrzeżeń zawarunkowanych do spostrzeżeń bezpośrednich.

Przyjmijmy dla ogólności, że spostrzeżenia l nie były o dokładności jednakowej, że zatem odpowiadają im wagi pu p₂,...pn.

Wartość wyrównana dowolnego spostrzeżenia Zi} może być przedstawioną przy pomocy dwu spostrzeżeń niezależnych, z których jedno otrzymujemy wprost jako

zaś drugie ze związku [ad]-fto=*0, wstawiając za d; wielkość ^-j-fifgdg*{-.... -\-CLi(Xi—li)-j- • •. + dn+Ct)=0, zatem [a d]—cii di

-(‘-i)

Oi

a właściwie ®i = gp(^i-. .4, Z*,. . .Z„)—

[ad]—aj dj

(6)

[a d]—a* ói

d'i jest błędem pozornym spostrzeżenia ^Zi—    =Z/.

Spostrzeżeniu Z< odpowiada waga jt?i, zaś wagę p/ spostrzeżenia ^4—możemy obliczyć w sposób następujący.

"Warunek, który spełniają błędy pozorne d, dotyczy oczywiście i błędów prawdziwych g; zatem jest: [ag] + to=0, lub

at st + a₂ £₂ + ... ah gA+a{ (.X—li) + ake*+ ... an gw+ co=0,

przyczem

ai

a dalej X~li

co [ae]—aiEi ,

-----—--,~w obec czego:

Cli

tti

—Xi —

K)

[ae\—aiEi

ai

a₁g₁-ł-g₂g₂4-...aaC^-{-a^£fe-ł-...-ł-an sn. ^

a%

Przechodząc do błędów średnich, otrzymamy przeto (błąd śr. a priori

wielk. li—

a> f

[aV²]—a,²^²

Cli²

zaś

[aa]

i m

«i²

Pi

Pi

ai

a ostatecznie

(8)

Pi'

ai²

[ aa I    aiL

I P J Pi

(9)

Średnię arytmetyczną ogólną otrzymamy wedle wzoru

M.

[pV

Pi+Pi

aipi+pi')

(10)

a ponieważ Pi+p/

Pi

[ aa ] 1 P I

I aa ]

l P J

a*²

Pi

zatem Xi— li—

przeto

a{\pi

Pi

a i²

Pi+p/

Pi

[aa]

LP J

-=*

[aa]

UM

tH

Do dalszych wywodów dotyczących błędów średnich najlepiej użyć różnicy spostrzeżeń d.

W naszym przypadku

Cbi

di

(12)

(jedn. błąd śr. przed wyr.) y₀²=d²

Pi Pi'

6>²

(O

Pi+Pi'

i?r r‘~m

(13)

(bł. śr. spostrz. U przed wyr.) pi

Po

= 0)

V Pi

V[¥]

zaś

(14)

(błąd śr. wartości wyr. zj fix,

Po

^Pi+p/

(15)

(czyli błąd średni po wyrównaniu).

W przypadku, gdy f(lXi l2r. . .ln) na kształt sumy, t. j. gdy 4+4 + ...+4,—A=oj (dla A=const.), wzory upraszczają się znacznie, otrzymamy j e przy wagach różnych pi, p₂,...pn, kładąc we wzorach poprzednio wyprowadzonych al—a₂==...=an—1. A zatem będzie:

T    Pi

Xi — li—(0

[ł]

(11*)

OJ

!*i =

O) —

ym vm

ZBjS —

<■->

rH I

Jeszcze bardziej uproszczą się wzory w przypadku f(lx, /₂,...4) = =*4+4 + 4+ •• *4, t. j. gdy: 4+4+• • *4—A = o) (przyczem A=const.), a px=p^ . . .p»—1.

Wzory te przybierają wówczas następującą postać:

Xi—li—— j /Ł

; zaś pXi=—Vw^I.

(11**)

O)

Pi

(12**)

¹¹ fn

Przykład pierwszy. W trójkącie płaskim pomierzono kąty z jednakową dokładnością, uzyskując następujące wyniki :

Ot I-* 05

o ot o

2=179°    59'    35".

Warunek jaki mają spełnić wyrównane wartości kątów xa, xp i xy, odpowiadający równaniu (2-mu), jest:

—180°=0.

Ponieważ suma kątów mierzonych wynosi 179° 59'35", przeto otrzymamy z równania (3-go) wartość to :

179° 59' 35" —180° 00' 00" = -25" = u>.

Wartości wyrównane spostrzeżeń otrzymamy ze związku (11**):

25"

xa=a—

to

25"

44° 15'38"-33

70° 38' 23"-33

= 65°05'58"-33

179° 59' 59"-99.

Ze względu, że spostrzegaliśmy kąty — jak o tern pouczają nas poniżej obliczone błędy średnie — z dokładnością mniejszą niż na 10", można podać wyniki wyrównane w sekundach lub conajwyżej w dziesiątych sekund, dostosowując ich sumę w zupełności do 180°.

Wyrównane spostrzeżenia są zatem;

za= 44°15'38"-3 ap— 70°38'23"-4 Xy= 65° 05' 58"-3

2 = 180° 00'00".

Błędy średnie otrzymamy z wzoru (12**) dla wszystkich trzech spostrzeżeń: (przed wyrówn.) p,=

25"

V3

= ±14"-4,

(po wyrówn.) f/,^

25"

V2 = ll"-8.

Przykład drugi. Jako przykład drugi podajemy wyrównanie ciągu niwelacyjnego między dwoma znakami (markami) wysokości i i 5.

Dane są wysokości punktów A i B oraz (z niwelacji) 3 wzniesienia, t. j. między p. A i 1, 1 i 2 oraz 2 i B] wreszcie znane są długości ciągów cząstkowych La.\ Bi. 2 i B2.B.

Ha= 312-351 m Sb — 316-125 m

h₁ = -j-5‘315 m, 7ż₂ = —4-229 m h?t — -f 2-695 m

B^.i=l-8 km L\. 2 = 0-9 km L2.B— 2-5 km

A H = H;>—Ha— 4- 3-474 m

2 A= + 3-781 m.

Wedle wzoru (3)-go otrzymamy to z równania:

2 h—A 71= (0 = 3-781 m—3-774 m—1 mjm.    >

Wagi wzniesień spostrzeganych przyjmiemy — jak dotychczas przy wyrównaniu spostrzeżeń uzyskanych przez niwelację — równe cyfrowo odwrotno-ściom długości ciągów, ze względu, że w wyprowadzonych poprzednio wzorach znajdują się odwrotności wag, przeto

Pi

= 1,8, —=0-9, —

= 2-5

[P]

= 5-2.

Wzniesienia wyrównane uzyskamy z wzoru (11*):

xx — +5*815 m

7-0

-. 1*8 mjm = + 5*315m — 2*4 mjm — +5*312, Gm

x₂ — —4*229 m

5*2

. 0*9 mjm — —4*229 m — 1*2 mjm = —4*230,2 m

7*0

#3 = + 2*695 m--——. 2*5 mjm — + 2*695 m — 3*4 mjm — + 2*691,6 m

O * Li

Błędy średnie otrzymamy z wzorów (12*): 7 m/m

b)

V[ł]

V5*2

2= + 3*774 m

= ±3*1 w/m (jedn. błąd śr. na długości 1-go km).

^    V5*2

7*0 .- ₍

VI*8m/m =-4-4*1 m/m, |x₂

7*0

V5*2

Vo*9 m/m =-t- 2*9 m/m,

M-3 =

7*0 ,-

V2*5 m/m =-ł- 4*9 m/m, jako błędy średnie przed wyrównaniem; zaś

V5*2

m/m =±3*3 m/m, ^ł=—V4*3.0*9 m/m ==± 2*6 m/m.

7*0

V2*7.2*5 m/m =nt 3*5 m/m, jako błędy średnie wzniesień po wyrównaniu.

Przykład trzeci. W trójkącie pomierzono dwa boki oraz dwie odpowiadające im wysokości hx i h₂;

bx i b

ponieważ należało znaleść rachunkiem wyrównawczym nietylko powierzchnię trójkąta, lecz także i wyrównane wartości mierzonych wielkości, przeto zastosowano przy wyrównaniu jako równanie odchyłki (wynikające z podwójnego obliczenia powierzchni):

\W~~    =u)*

Liniowe równanie odchyłki wyrażonej, przez poprawki wielkości spostrzeganych, jest zatem

«lA + «2 §2 + «3 ®3 -P «4 S₄ + U) = 0,

5 przyczem ax =

rH

Fig. 6.

'i

to

, 0Ł — o(Ój), —

dó₂

T’ ai=ói~

•y,

Wartości spostrzeżeń są następujące:

ó₁₌=79*35m, hx = 129*36 m, 5₂ = 142*66m, /j₂=71*86m. Odchyłka w = 5132*36—5125*77 = 6*59 m².

v²d d ~~ v² 100 ~ 100

zatem

Przyjmując, że spostrzeżeniu 100 m długości odpowiada waga równa jedności, •trzymamy odwrotności wag spostrzeżeń z wzoru —

Vi

= 0*79, —=1*29, ¹ =1-43, —=0*72.

Dalszy ciąg rachunku przedstawia się schematycznie:

L. p.

aa

Długość 8 w cm spostrzegana

Długość

wyrównana

Błędy sredn.

przed po wyrówna- wyrównaniem

nin

1    64-7 0-79 4186 51.1    3307 —3-l|    79-35 m 79-319 m 5-6 cm 4-7 cm

2    39-7 1-29 1576 51-2    2033 —3-1 129-36 „    129-329 „ 7-2 „ 6-5 „

3 —35-9 1-43 1289 51-3

1843 +3-11 142-66 „    142-691 „ 7-6 „

cb

CD .

4 —71-3 0-72 5084 51-3    3660 +3-1    71-86 „    71-891 „ 5-3 „

8 (cm)

Faal IP J

10843

[“]

100 w,

100 w

cm = dr 6*3 cm.

Początkowy warunek przedstawia się po wyrównaniu: 5129-12— 5129-10 = = 0-02 m² (zamiast poprzednich. 6*59 m²). Zgodność zatem wystarczająca.

ROZDZIAŁ CZWARTY.

Wyrównanie spostrzeżeń pośrednich (pośredniczących).

§ 1. Równania błędów. Równania normalne.

O spostrzeżemacłi pośrednich mówiliśmy w §§ 1-szym i 2-gim rozdziału drugiego. Z rozważań tych wynika, że £*+<$*, wartość spostrzeżenia poprawiona o błąd pozorny di} t. j. wartość „wyrównanau spostrzeżenia, da się zawsze przedstawić przy pomocy związku liniowego niewiadomych niezależnych kształtu:    *

lub

Li+ói=aix+biy + ciz+...

Li-j-<h=    birj + Ci^+ .... +f(z₀, y0lz₀

to t—

Pierwsze równanie odnosi się do przypadku, gdy spostrzeżenia są liniowemi funkcjami wyznaczanych wielkości stałych #, y, z,...; drugie ma miejsce, gdy związki między spostrzeżeniami a wielkościami stałemi x, y, z,... nie mają kształtu liniowego, gdy zatem Li-\-di=‘fi(x} y, z,...). Przez rozwinięcie funkcji f{x, y, z,...) w szereg Taylora, z opuszczeniem wyrazów rzędu wyższego niż pierwszy, sprowadzamy ją w tym przypadku do kształtu liniowego, tak że związek ostatnio wymieniony przybiera kształt równania (2). Oczywiście może mieć to miejsce tylko wówczas, gdy x₀, y₀, z₀,. . ., wartości przybliżone niewiadomych, są tak bliskie wartościom x, y, z,. . ., że opuszczenie wyrazów rzędów wyższych niż pierwszy nie będzie miało wpływu na wynik wyrównania w znaczeniu praktycznem.

Ale nawet w przypadku liniowego związku między spostrzeżeniami a niewiadomemi wprowadzamy do rachunku bardzo często wartości przybliżone xQ, y₀, 2₀,..., a to celem uniknięcia operowania liczbami wiel-kiemi. Równanie (1) przybiera wówczas kształt równania (2).

Związki na błędy pozorne d, przedstawiają się ze względu na równania (1) i (2):

to t-¹

di=di x 4- bi y + Ci z 4-. . • . + k, względnie di— a,i i + bi + Ci £+ ^ • • • + li•

Spółczynniki an bi: cif. . . równania pierwszego są wielkościami bezbłędnemu, znanemi ze związków między spostrzeżeniami z niewiadomemi, zaś wyraz wolny U=—Li jest wartością spostrzeżenia Ln wziętą ze znakiem ujemnym.

W równaniu (2*) oznaczają spółczynniki a{) bn c,,... cząstkowe pochodne funkcji fi(x, y, z,. ..) względem niewiadomych x, y, z,. . ■, a zatem:

CLi

dfi dti    dfi    dfi dĄ dfi

dx Ł dx₀’ ¹ dy    C% dz adz₀¹''

przyczem uważamy je za wielkości bezbłędne: niewiadomemi są w tym przypadki poprawki wartości przybliżonych:

£=*x—x₀, n = y—y^ ę=z-z0:...

zaś wyraz wolny l, oznacza tu różnicą między przybliżoną a spostrzeganą wartością funkcji:

li fi(% o?    } ^01* ' * *)

Jak tedy widzimy, kształt równań określających błędy pozorne jest w obu przypadkach jednakowy, o ile nazwiemy niewiadome równań ogólnie x, y, z, . . . (bez względu na ich znaczenie), a mianowicie:

ó,;=aix + biy + c*z + ... . Ą-li]

równania tego kształtu nazywamy równaniami błędów, a liczba ich odpowiada ilości spostrzeżeń n.

Dla uproszczenia dalszych wywodów będziemy traktowali oba przy-* padki (1*) i (2*) równocześnie, co jest możliwem, o ile nadamy spółczyn-nikom b, c,. . ., niewiadomym x, y, 0,. . . oraz wyrazom wolnym l odpowiednie znaczenie zależne od tego, czy odnoszą się do przypadku (1*) czy też (2*).

Przyjmując dla ogólności, że spostrzeżeniom L odpowiadają różne wagi p, otrzymamy n równań błędów o wagach pi} p₂,.. .pn) z których należy — jak to wykazano w końcowych ustępach § 1-go i początkowych § 2-go rozdz. Ii-go — przy pomocy warunku:

(3)

[póci] = min.

znaleść najbardziej prawdopodobne wartości niewiadomych x, y, 0,. . . pod założeniem, że ilość niewiadomych k<in.

Równania błędów w liczbie n przedstawią się następująco: ói = alx+biy + ciz+. . ..+lv z wagą ^ d₂ = a₂x + b₂y + ąz + . . .. + l₂,    „

P2

(4)

Pn•

ón an x -j- bn y cn z    ln „    „

Jeżeli niewiadome x, y, 0,... mają spełniać warunek (B)-ci, muszą być cząstkowe pochodne sumy [p óó] względem niewiadomych równe zeru,

zatem:

d[póó\    d\p6S[ A

dx ’ dy ¹ dz

(5)

liczba tak utworzonych związków odpowiada liczbie niewiadomych, a zatem k.

Weźmy na uwagę pierwszy związek {równań (5)}: Q_d[pdd] _d[pdd\ ddj^dfpdd] dd? dx dói dx ~ dó.y. ćx d[p ód]

d[pdd] dón ddw dx ’

(5*)

ponieważ

dói

2 pióif zaś -^z±=ai, przeto

O X

^-[~^ =2p₁a₁d₁ + 2p₂ a₂ d₂ + . ... + 2 pn an ón=0, lub

[paó]=0.

Analogicznie przekształci się związek drugi (równań (5)}: q_ d[pdd] __d[p dd] ^dt djjpdd] dd₂    d[p óó] dón

dy ddt dy dó₂ dy ⁺ ’"' dón dy

dói

(6*)

(5**)

ze względu, że

dói

dy

—bi, na:

d [p dd]

dy

= 2jt?₁ dA + 2p₂ b₂ d₂ + ... .2pnbnón=0, lub

(6**)

Trzeci i każdy następny związek aż do &-tego włącznie urobimy również analogicznie, otrzymując [pcd]=0,.. . [p/?d]=0, zatem ogólnie: [pi d]=0. (dla i równego a, 6, c.. .k).

Tych k związków kształtu równania (6)-go nazywamy równaniami normalnemi. Ponieważ ilość ich odpowiada ilości niewiadomych, przeto rugując z nich przy pomocy n równań błędów wszystkie błędy d, otrzymamy k równań, z których wyznaczymy jednoznacznie k niewiadomych

[p b d] =0.

(6)

Po wspomnianem podstawieniu przedstawi się nam pierwsze równa nie normalne w postaci:

p^ax{axx-\-b^yĄ-c^z-f-+P₂ a2 («2x + V + C2 z +

+ In) — 0)

+pnan (anx-\-bny+cn -f [paa]x+[pab]y -\-[pac]z-\-... .[/?«/]=0,

a po wymnoźeniu i zesumowaniu kolumnami

(6*j

zaś drugie przy analogicznem postępowaniu:

pab]x+[pbb]y-\-[pbc]+.... +[p^]=0,

dalej trzecie jako:

[pac]x-\-[pbc]y-\-[pcc]z-\-...

]pd]=0

wreszcie ^;-te równanie normalne w postaci:

[pak]x-\-[pbk]y -\-[pck]z    .. .

+[p*q-o,

(przyezem [paa]=jo₁a²₁+P₂«²2+ • • • -JP^²? [pab] =pxaxb^ +^₂a₂6₂+ .... +

Pn bji • « . . X t. di)»

Zestawiaj ąc wszystkie równania normalne, otrzymamy zatem k równań

kształtu:

(6)

\paa\x-\-\pab\y+ \pac\z-\-.... +[p«ł] = 0 \pab\x+\pbb\ y+\pbc\ zĄ-.... +[/)6^]=0 \pa<\x+\pbc\ y+\pcć\z+...• + [/>c£]-=0

*4-.... + [pAsł]—0.

(7)

"W przypadku wag równych przybierają równania normalne postać: \aa\x+ \ab\ y + \ac\ z+.... +[ał]=0 \ab\xĄ-[bb\ y + [6c] z +.... + [bA] = 0 [ac\ x+\bc\ y + jrc] z+.... + [c£]=0

[aA;] cc 4- [6Aj] 1/+[cAs] ¹ 4-.... 4- [fcl] = 0.

Z równań tych wyznaczamy jednoznacznie wszystkie niewiadome, a następnie z równań błędów wartości poszczególnych ó.

§ 2. Rozwiązanie równań normalnych sposobem Gaussa.

Przy niewielkiej ilości równań normalnych, (t. j. 1 lub 2) jest obiór metody rozwiązywania równań normalnych rzeczą stosunkowo dość obojętną; o ile jednak mamy do czynienia z ilością większą (t. j. 3 lub więcej), należy wedle ogólnego zdania wybitnych pracowników w tej dziedzinie zastosować specjalną metodę rozwiązywania równań normalnych, obmyślaną przez Gaussa.

Metoda wyznaczników może być z korzyścią stosowana przy rozwiązywaniu dwu równań normalnych, natomiast począwszy od trzech równ. norm. nastręcza — jak uczy doświadczenie — więcej roboty rachunkowej ¹).

Metoda G-aussa jest metodą rugowania niewiadomych; zaletą jej jest wielka przejrzystość rachunku, dalej łatwa do zapamiętania budowa formuł, jak i możliwość bardzo ścisłej kontroli w ciągu całego rachunku.

Prócz metod ściśle rachunkowych można zastosować w praktyce i sposoby wykreślne rozwiązywania równań normalnych. Jednym z takich sposobów jest sposób podany przez autora²), który daje nam możność wyznaczenia niewiadomych, błędów śr. i t. p. z dowolną żądaną dokła-

dnością, przy stosunkowo niewielkim nakładzie pracy. Sposób ten nadaje się specjalnie wówczas, gdy liczba równań jest znaczniejsza (a więc od 3 począwszy).

Dla uproszczenia wzorów podamy sposób Gaussa dla tfrzech równań normalnych o wagach równych; wzory, które wyprowadzimy, mogą być stosowane i dla spostrzeżeń o wagach różnych, o ile przeistoczymy każdą sumę kształtu [aa], [aft],... na sumy z wagami, a więc na [paa\, [pab] i t. d. Mając rozwiązać system równań normalnych:

[aa]    x 4- [ab] y + [ac] z+[al]=0

[ab]    x+[bb] y + [bc] z+[bt\=0

[ac]    x+[bc] y+[cc] z+[el]=0,

mnożymy pierwsze równanie kolejno przez ilorazy

[ab] [ac]

[aa]⁷ [aa]

(1)

(przy więk-

szej ilości równ. norm. przez

[ad] [ae]

[aa] ⁷ [aa]

i t. d.\ uzyskując równania:

[ab]x-f

[ab][ab]

[ab] [ac] [ab] [al]

[aa]

[aa]

[aa]

[ac]x-f

[ab] [ac]

[aa]

y-1

[ac] [ac]

[aa]

z-i

[ac] [al]

[aa]

(2)

Odejmując pierwsze równanie systemu (2)-go od drugiego równania normalnego, a drugie równ. syst. (2)-go od trzeciego r. norm., otrzymujemy dwa równania wolne od niewiadomej x:

\[bb]

[ab] [ab]

[aa]

[m

[ab][ac]

[aa]

}y+{[*c]

jy + {[cc]

[ab] [ac]

[aa]

[ac] [ac]

[aa]

js+[M}

j 0+[cZ]

[ab] [al] _n [aa]

[ac] [al]

[aa]

0.

Równania te nazywamy równaniami normalnemi raz zredukowanemu; wedle symboliki Gaussa piszemy je w następującej formie skróconej :

(3)

[bb. 1] y+[bc. 1] »■-f [bl. 1]=0 [bc.l] y+iccA] z+\cl. 1]=0,

(ogólnie (Je—1) równań normalnych raz zredukowanych).

o liczniku składającym się

Jedynka umieszczona w klamrze oznacza ilość przeprowadzonych redukcyj, a więc w tym przypadku jedną, zaś litery umieszczone w klamrze wskazują nam sumę, z której powstał zredukowany wyraz; dalej należy pamiętać, że pierwsza redukcja odbywa się przy pomocy odjęcia od sumy redukowanej ilorazu o mianownika [aa] z iloczynu dwu sum powstałych z kombinacji litery a z literami sumy redukowanej, jak to widać na wyrazach:

[bb.l]=[bb]

[ab] [ab]

[aa]

, [bc.l]=[bc]

[ab] [ac]

[aa]

[bl.l]=[bl]

[ab][dC\

[aa]

Pewną kontrolą, czy wyraz został dobrze zredukowany stanowi i ten szczegół, że wyraz zredukowany, pojęty algebraicznie, równa się zeru. Zatem, gdy zamiast np.

[ac] [al\

(ac) (al)

Ki]=M

to wyrażenie to: (gąj(«Q-(«)(rf)_

(aa)    a¹

[aa]

napiszemy (cl)

(aa)

Druga redukcja, przeprowadzona analogicznie jak pierwsza, przez pomnożenie pierwszego równ. zredukowanego przez

[bc-1] :

[bb.l]

odjęcie go

•od drugiego r. zred., daje nam w przypadku 3 niewiadomych jedno równanie normalne zredukowane 'podwójnie:

[bc. 1] [bc.l]

[bc.l](bl.l]

[Ó6.1]    ’

(ogólnie (k—2) równań normalnych zredukowanych podwójnie).

Oznaczając wedle symboliki Gaussa analogicznie jak przy redukcji

{ki]

[bb.l]

12+[cZ. 1]

pierwszej

[cc. 1]

[bc. 1] [bc. 1]

[bb.l]

[cc.2], [cl. 1]

[bc.l][bl.l]

[cZ.2]

[bb.l]

otrzymujemy, jako wynik drugiej redukcji w naszym przypadku:

[cc. 2] z— [cl. 2]=0.

(4)

Zestawmy w 3 grupach równania normalne nieredukowane, raz oraz dwa razy (w naszym przypadku) redukowane, a otrzymamy:

[aa] x+[ab] y + [ac] z+[al]=0 •    [ab]x-{-[bb]y-ir[bc]z-\-[bl]=0

[ac] x + [bć] y+[cc]2+[cZ]=0 [bb.l]y-\-[bc.l]z-\-[bl. 1]=0    ] równ. normalne

[bc. 1] y-\-[cc. 1] z-{-[cl. 1]=0 j [cc.2>+[cZ.2]=0 } równ. norm. 2 razy reduk.

Z tych trzech grup równań (w przypadku 3 niewiad.) weźmy z każ-dej po pierwszym równaniu i zestawmy je w nową grupę równań: [aa]x-\-[ab]yĄ- [ać\z-\- [al] r=0 [bb.l\y+[bc.\]z+[bl.l]=0 [cc.2]£+[cZ.2]=0.

Równań tych mamy w naszym przypadku 3, ogólnie przy k niewiadomych będzie ich &, tak, że możemy z nich wyznaczyć wszystkie niewiadome jednoznacznie, poczynając od ostatniego równania.

Ten system równ. normalnych przysposobionych do wyznaczenia niewiadomych nazywamy systemem zredukowanych równań normalnych, lub krótko zredukowanemi równaniami normalnemi.

równ.

normalne

1 reduk.

(5)

(6)

(7)

(8)

Począwszy od równania ostatniego wyznaczamy wstecz przy pomocy ostatnio zestawionych równań (8) niewiadome x, y, z.

W przypadku wag różnych, zmieniają się wszystkie sumy kształtu [aa], [ab]...., [66.1], [óc.l]...., [cc. 2], [cZ.2], na sumy: [paa], [pab]... [pbb.l], [pbc.l]...., [pcc. 2], [cl. 2], co nie wymaga bliższych objaśnień.

Jak to obaczymy wkrótce, będzie nam potrzebną do wyznaczenia błędu śr. suma [dó], względnie suma [pdd]. Znając wartości niewiadomych, możemy obliczyć wartości błędów pozornych ó, tern samem d², a wreszcie i [dd], zaś w przypadku wag różnych pó² i ostatecznie [pdd].

¹

Pierwszym, który zastosował metodę wyznaczników do rachunku wyrównawczego był prof. Politechniki Lwowskiej D. Zbrożek, umieszczając w IX t. Pamiętników Akademji Umiejętności w Krakowie (1884 r.) „Zastosowanie wyznaczników w teorji najmn. kwadr.“.

*) Dr. K. Weigel. G-raphische Ausgleichung der yermittelnden,... Beobachtungen, osterr. Zeitschrift f. Yermessungswesen, 1910.

§ 3. Kontrole rachunkowe.

Wspomnieliśmy już poprzednio, że sposób Gaussa daje nam możliwość kontroli rachunkowej, niezbędnej przy żmudnych obliczeniach rachunku wyrównawczego. Kontrole te mają tern większe znaczenie praktyczne, że dotyczą różnych stadjów rachunku, a każda część skontrolowana może być uważana za wolną od błędów rachunkowych, o ile kontrola wypadła zadowalająco.

1. Kontrole spółczynników równań normalnych, oraz zredukowanych równań normalnych.

Dodając spółczynniki niewiadomych i wyraz wolny w każdem równaniu błędów, otrzymamy pewne liczby, które wzięte ze znakiem przeciwnym sprawdzą nam tak utworzone równania do zera; zatem dla 3 niewiadomych:

+6t d-Cj -\-l\ +s₁=0

~bC2

an +bn +cn + ln +s„=0, przyozem suma ich jest również równą zeru,

[a]+[6]+[c]+[Z]+[s]—0. ■>

Ostatnie równanie dostarcza nam dowodu, że wszystkie s obliczono dobrze. Mnożąc każde równanie przez a z odpowiednim wskaźnikiem otrzymamy:

al av 4-a* 6t +a, ct + ^ Z, +ai sx =0

a2 a2 + ®2 ^2 + ®2 C2 ”b®2 ^2 + ^2 S2

an an-\-an bn-\-an cn+an ln+an sn=0, a sumując te równania:

[aa] -j- [a6] -f- [ad] -f- [al] -f- [as] =0.

Analogicznie otrzymamy, sumując poprzednie równania pomnożone przez odpowiednie 6, c, l i s:

[ab]    -f- [66] -f [bc]+[6Z]+[ 6s]=0

[ac]    + [6c] +[cc] +[eZ] +[cs]=0 [al] + [6Z] -f- [cl] -f- [ll] -f- [Zs]=0 [as] + [6s] + [es] + [Zs] + [ll] = 0.

Zestawiając powyższe równania kontrolne schematycznie będziemy mieli (dla 8 niewiadomych):

b) Kontrola spółcz. równ. norm.:

a) Kontrola wyrazów s:

ci

si

[aa] [ab]

[ac\ | [cti\

C2

S2

[ab] [bb]

[bc] | [bl\

[bs]

[Cl]

[ac] [bc]

an

bn

Cn

In

Sn

[al] [bl]

[cl]

[U]

[as]

[bs]

[ls]

Os]

[a]

[b]

[i]

W analogiczny sposób można utworzyć dalsze kontrole spółczyn-ników zredukowanych równ. normalnych.

Zatem w przypadku 8 niewiadomych będziemy mieli prócz kontroli

a) i b):

c) Kontr. sp. 1. redukcji:

d) Kontr. sp. 2. red.: e) Kontr. sp. 3. red.:

[bb.l][bc.l\ [bl. 1] [bs. 1]

[cc 2] [cl. 2] [cs. 2]

[11.3] [Ls. 3]

[bc. 1] [cc. 1] [cl. 1] [cs. 1]

[cl.2] [11.2] [Zs.2]

{Zs. 3] 0*. 3]

[bl.l] [cl. 1] [ZZ.l] [Zs.l]

[cs. 2] [ls. 2] [ss. 2]

[bs.l][cs.l] [Zs.l][ss.l]

Przyczem [ZZ.3]=[ZZ.2]

[cl. 2] [cl 2]

; zaś [Zs.3] i [ss.3] są wyrazy

[cc. 2]

utworzone w sposób analogiczny. Ostatnia kontrola e) jest potrzebną ze względu na wyrażenie [ZZ.3], którem posługujemy się przy kontroli [óó]? (o czem później)¹).

ł) Inny sposób kontroli używany zazwyczaj przez instytuty geodezyjne podaję w końcowym przykładzie § 7-go. (str. 101.).

Dr. K. Weigel. Kachunek wyrównawczy.

Wszystkie te kontrole, uzyskane dla przypadku spostrzeżeń o wagach równych, można z łatwością wyprowadzić i dla spostrzeżeń o wagach różnych. Wszystkie sumy kontrol od b) do e) włącznie będą zawierały wówczas i wagi p; a zatem będziemy mieli zamiast [aa], [ab] i t. d.... [pad], [pab] i t. d.... aż do sumy [/m.3] włącznie, którą otrzymamy w miejsce sumy [ss.3].

2. Kontrola sumy [ód] względnie [pdd].

Sumę [dd] względnie [pdd], wyznaczoną wprost z równań błędów, możemy otrzymać także i inną drogą, uzyskując w ten sposób kontrolę tej sumy mającej — jak obaczymy później — bardzo ważne znaczenie przy wyrównaniu spostrzeżeń pośrednich.

Dla ogólności przyjmijmy, że wagi spostrzeżeń są różne, że zatem mamy wyprowadzić nowy związek na [p dd], który — w przypadku wag równych — przejdzie na [dd].

Weźmy na uwagę równanie błędów: di=aiXJrbiy-\-CiZJrli. Mnożąc je przez pik, otrzymamy:

zaś mnożąc przez pidi’.

Pi li ói=pi ai lixJrpi bi l{ y+Pi Ci U zĄ-pi li U

(1)

Pi di ói=pi aióiX+ pi bi di y +pi Ci d{ z Ą-p{ l{ d{.

(2)

Dodając do siebie n równań kształtu (1), a następnie n równań kształtu (2), otrzymamy dwa równania:

[pld]=[pal]x+[pbt]y+[pcl\z+[pll]

[p dd]=[pa d] x+[pb d] y+[ pc d] z-+ [ pl d].

Ponieważ [pad]=[pbd]=[pcd]=0 jako równania normalne, (co stwierdziliśmy przy wyprowadzaniu równ. normalnych), przeto

[p dd]=[pl d], lub    ( )

\pdd\ = [pal\x+\()bl\y+[pcl\&-ir[pll\.    ( )

W równaniu tern wyrugujemy niewiadome x, y, z przy pomocy sj^stemu zredukowanych równań normalnych.

Wstawiając za x wyrażenie uzyskane z pierwszego zr. r. norm.

_ _ [.Pab3..    \Pac3 , [.Pal]

. -[paa] [pad] [paa]

oraz:

otrzymamy:

[pal] [pal]

[paa]

lub: [p dd]=[/?ZZ.l]-f-[^dZ.l]y-f-[pc/.l]s; wstawiając następnie (z 2. r. zred.)

[pbc. 1] [pbl. 1] y [pbb: 1]Z

[pbl.l][pbl.l]

[pbb. 1]

[p dd]=[p/Z.2]-f-[pcZ.2]z;

[p dd]=[/?ZZ]

[p6d]=[pll.l]

(1*)

(2*)

{[Pbl]

[pab][pal]

[pbb. 1]

[paa]

otrzymamy dalej :

{[poi A]

[pbc.l][pbl.l]

[pbb. 1]

z, lub:

rugując wreszcie i z przy pomocy związku:

[pcl.2]

[pcc.2]

otrzymamy ostatecznie:

\p <5ó]=[pZZ.2]

[pcl ,2][pcl .2]

[pcc.2]

= \pll. 3].

Dla spostrzeżeń o wagach jt?=l przejdzie powyższy związek w równanie kontrolne:

(5)

[dd]=[ll. 3].

Zauważyć należy, że suma [ZZ.3] względnie [pil.3] jest sprawdzona kontrolą e), jak to poprzednio uwidoczniono; o ile zatem ta kontrola wypadła zadowalająco, mamy gwarancję, że wyrażenie to jest wolne od błędów rachunkowych.

Powyższy dowód, przeprowadzony dla trzech niewiadomych, może być uogólniony dla k niewiadomych, w którym to przypadku wypadnie:

(4)

\p dó\=\pll .JĄ,

jako k-ta redukcja sumy [pil].

§ 4. Jednostkowy błąd średni p₀.

W przypadku, gdy spostrzeżeniom odpowiadają wagi różne, obieramy jako miarę dokładności spostrzeżeń błąd śr. spostrzeżenia o wadze p = 1, nazywając go jednostkowym błędem średnim p₀.

Przy wyrównywaniu spostrzeżeń równodokładnych (/?=1) odpowiada ten błąd każdemu spostrzeżeniu, nazywamy go więc wówczas krótko błędem średnim fi (bez wskaźnika o).

Dla ogólności przyjmijmy, że spostrzeżeniom naszym odpowiadają wagi różne; wzór wyprowadzony dla tego założenia będzie oczywiście ważny i w szczególnym przypadku wag p= 1, jak to miało miejsce w wywodach poprzednich.

Natomiast ograniczymy się ze zrozumiałych powodów tylko do trzech niewiadomych, uogólniając potem otrzymany wzór dla k niewiadomych.

Napiszmy system zredukowanych równań normalnych w następującej formie:

[Pal\ _

[paa] ¹

[Pab\ ' , [Pgc]

[paa] [paa]

[pbc. 1] ^

y== [pbb.l]Z~~Jpbb. 1]

[pbl.l]

= w₂

(1)

[pcl. 2]

[ pcc. 2]

w₃.

"Wyrażając niewiadome x, y, z przez wielkości u₁₇ u₂, u₃, otrzymamy: z=u₃

y=U‘2

x=ut

[pbc.l] [pbb.l] 3 [pab]

[paa]

(,,    [pbe-l]    \    M

1 ²    [pbb.l] V    [paa]

u₃, a ostatecznie:

z=u₃

[pbc-1] [pbb.l] 3 [pałĄ [paa]

[Pab 3 [pbc.l]

[paa] [pbb.l]

Wartości te, wstawione do równania błędów di=aix-srbiyĄ-CiZĄ-U, przekształcą je następująco :

x=ui

w₂-f

[pac]

[paa]

u₃.

ux +

g«.+

[pab] [pbc.l] [paa] [pbb.l]

[pac3

[paa] ³

u₃ +

-\-bi

m₂ +

[pbc. 1] [pbb. 1]

I uz

+CtW₃+Zj. (2)

Po uporządkowaniu prawej strony tego równania podług u₁₇ ut i w,, otrzymamy dalej :

ó^Oi^ +| bi

a oznaczając bi—a{

—a;

[pab]

[pad]

[pab]

[paa]

[pbc. 1] [pbb.l]

[pac]

[pad]

„ {pac\

[paa]

di=aiu₁ + bi' u₂+Ci" u₃+h.

Ci—ai

—ai

[P^b]

[paa]

d', ci—

= Ci, c/

[pbc. 1]

[pbb. 1]

b'=Ci" :

(2*)

Związek ten przedstawia nam równanie błędów o niewiadomych ult u₂, u₃. Biorąc na uwagę n takich równań, można z nich wyznaczyć, stosując metodę najmniejszych kwadratów, najbardziej prawdopodobne wartości u₁₇ u₂ i u₃.    •

Natomiast prawdziwe wartości niewiadomych ux', u₂ i u₃ będą zawarte w n analogicznie utworzonych związkach, o ile zastąpimy błędy pozorne prawdziwemi, a zatem:

(2**)

Ei= tti ux' + bi' u₂' + Ci" u₃' + li.

Odejmując ostatnio otrzymany związek od poprzedniego, otrzymamy :

(3)

di—£i=ai(ux —u^ + bi' (u₂—u₂')-ł-Ci" (u₃— u₃'), lub : di=at A uj -j-bi Au₂ -j~Ci" A u₃ -f- £j.

Związek ten jest również równaniem błędów, w którem wyraz wolny

(5)

[p dd]=[pa d] 4 m, + [p 6'd] 4 m₂ + [pc"d] A m₃ + [p ed].

Ze względu na poprzednio utworzone równania normalne są jednak sumy [pad]=[p5'ó]=[pc"ó]=0, przeto pozostaje:

(5*)

[p dó]=[p£<5]=pą£₁d₁+p₂£₂<5₂+ .... +p„£„dn.

Wyrażając w sumie [p fó] wszystkie d przez 4m przy pomocy równań błędów (8), otrzymamy:

[pdd]=p₁£₁(a₁4M₁ + &₁/4M₂ + c//4M₃ + £ą)+p₂£'₂(a₂4Mą + &'₂4M₂ + c₂//4M₃+£₂) +

......“hPn^nifln 4 Mą -f- 6,/4m₂ -(- Cn'' A M₃ ~j-£n),

lub porządkując wyrazy podług 4Mj? 4m₂ i 4m₃:

[p dd]=[paf]4Mą +[p&'£]4m₂ +[pcn£]Auz+[p ee\.

Wreszcie po wstawieniu wartości niewiadomych z równań normalnych, przekształci się ten związek na:

(5**)

[p dd]=[p ££]

jest błędem prawdziwym e. O ile waga spostrzeżenia Li była pn jest oczywiście także wagą, odpowiedniego £*.

Najbardziej prawdopodobne wartości niewiadomych Au1} 4m₂, 4m3 otrzymamy zatem na podstawie równań normalnych kształtu:

[paa]Aui-{- [pab']AM₂+[pac"]4M₃ +[pa£] =0 [j9a5/]dw₁ + [2?6/6/]dM₁ + [^>6/c//]4M₃ +[pb' f] =0 [pac"]Au₁-ir[pb,c"]Au₂-ic[pc"c"]Aui -\-[pc" e\=0.

ona

(4)

Łatwo jednak udowodnić, rozwijając sumy [pafr'], [pac"], [pb'cn] że wartości ich są równe zeru.

[P«&]

[paa]

N. p. [pab']=pxax(b,-ai [^] )+Pi<h(b

j, a zatem [paó']=[pa6]—[paa]-^|^==0.

+P« On

(ł„

— CLn

[pa5]

2 ®2

[paa]

Taksamo łatwo udowodnić, że i [pac,,]—[pb,c"]=0. Równania normalne przybierają w obec tego kształt:

[paa] 4 Mą + [p«£] =0 [p6'6']4M₂ +[p6'e] =0 [pe"c"]4M₃ +[pc"£]=0,

(4*)

[pc"£]

[pv±I

[pb'br]

Utwórzmy z w równań błędów kształtu

di^aiAu^ +5'4m₂ + c" i 4m₃ + £; sumę [pdó], mnożąc każde z tych równań przez odpowiednią wielkośćp;d;. Poszczególne równania przedstawią się wówczas:

Pi di ói—pi ai di A Mą +p; W di A m₂ +Pi c/' di A m₃ +p, £; dt,

zaś 4 Mą = —

[pac]

[paa]

4m₉= —

, Au{

[pc"c"]

.    (4**)

(3)

a suma ich:

[pas]²    [p&'£p_ _ _[pe^e]\

[paa]    [pb'b']    [pc"e"] ’

r p cc]

Po

przyczem, jak widzimy ilość wyrazów ujemnych odpowiada liczbie niewiadomych.

Weźmy na uwagę [pasy.

[pae]²=(p₁a₁£₁)²+(p₂a₂e₂)²+

+2pxaip₂ a₂ Eie2 +

+ 2pxax p₃ a₃ exc₃ + 2p₂ a₂pz a₃ c₂ c₃ +

(pnansn)²+

+ 2ptaipnan£xsn+2p₂a₂pnan£₂en+.... +2pn-iOn-ipnan£n-ten.

Dla n rosnącego do co , będzie wartość przeciętna sumy powyższych iloczynów podwójnych zdążała do zera pod założeniem, że prawdopodobieństwo pojawienia się błędów £ wyraża się funkcją parzystą; pozostają zatem do omówienia wyrażenia kwadratowe, wypisane w pierwszym rzędzie :

(Pi«ifi)²+(.P₂ «₂ «₂)²+

(6)

Jr{pnan£n)‘l=[p²a²E²}.

Sumę tę możemy napisać także następuj ąco:

[p'ia²£²]=pxa₁².px£₁¹+p₂a₂².p₂£₂'¹+... .pnan²pn£n².

Przeciętną wartość tej sumy (biorąc na uwagę znów nieskończenie wiele razy powtarzane spostrzeżenia) otrzymamy, zastępując — jak w dawniejszych wywodach — kwadraty błędów prawdziwych kwadratami odpowiednich błędów średnich. Zatem

[p²a²£²]=pxax²px px2jrp^a₂²p₂ p₂²-\- . . .. -\-Pna²PnPn²^

Ze względu na zasadnicze równanie ^²:    ²= —:    lub p²

Pi -L

będzie dalej :

P o²

Pi ’

[p²a²£%]=px a₁²p₀²+p₂a₂ip₀²+... .pnan%p₀²=p₀²[paa], czyli [p²a²£²‘]==[pa£]2,=pQ²‘[pad\. Analogicznie postępując, otrzymamy również

[pb'£]²=p₀²[pb'b'], [pc"c]²=^₀²[pc"c"].

Po wstawieniu tych wartości do związku na [p dd] będzie:

[pc"c"\    „

a gdy uwzględnimy jeszcze znany nam związek zasadniczy

[jt? dd]=[^9 cc]—

[paa]

[paa]

Po²

[pb'b']

[pb'b‘]

Po²~

(7)

(7*)

¹ wyrugujemy [>ce]=rc^₀²,

Tb

otrzymamy ostatecznie dla 3 niewiadomych:

[pód]=(n—3)p₀²,

Po²

\pdd\

n—3

(8)

Ponieważ w równaniu na [pdd] mamy tyle wyrazów ujemnych ile niewiadomych, gdyż każda niewiadoma wytwarza w tym związku wyra-

Błędy średnie poszczególnych spostrzeżeń wyznaczamy podług znanego związku:

ipi

W przypadku, gdy wagi spostrzeżeń są równe jedności

(j^i =. . . =jt?n=l), zmieni się powyższy wzór na:

(8**)

m

n—k

§ 5. Błędy średnie wielkości wyrównanych oc, y, 2....

W niektórych przypadkach wyrównania spostrzeżeń pośrednich możemy poprzestać tylko na wyznaczeniu wartości niewiadomych, jednostkowego błędu średniego p₀, oraz błędów średnich spostrzeżeń ; natomiast w przeważnej ilości przypadków wyrównań prowadzimy rachunek dalej, celem uzyskania błędów śr. wyrównanych wielkości x, y, z,...

Weźmy dla uproszczenia wywodów na uwagę spotrzeżenia tylko o 3 niewiadomych, przyjmując jednak dla ogólnego traktowania zagadnienia, że spostrzeżeniom L odpowiadają wagi różne.

Związek między spostrzeżeniami L a niewiadomemi x, y, z przedstawia się wedle wzoru (2)-go § 2-go (str. 33.) w ogólnej formie (dla spostrzeżenia Li):

ói=fi(x, y, z) —Li, lub Li+di=fi{x, y, z);

równania tego kształtu możemy nazwać równaniami błędów we formie ogólnej.

żenie kształtu

[pii]

[pii]

domych wynosi k, otrzymamy wzór ogólny:

itł₀²=—^₀², przeto w przypadku, gdy ilość niewia-

M

n—k

względnie

-y-r

—k

{8*)

Natomiast wartości x, y, z, uzyskane z wyrównania przedstawiają się we formie ogólnej następująco:

Ln)

x—cpx (Li, L%,

V⁼⁽Py(Li, L%,

Z=(pz (Li, L

Wyraz wolny l w liniowych równaniach błędów określiliśmy jako różnicę między przybliżoną wartością spostrzeżenia f(x₀, y₀, z₀) a spostrzeżeniem L, mianowicie:

Ln)

(2)

■n

Ln).

li f(^0> Vo) ^0) Li)

przyczem x₀, y₀, 0O są przybliżonemi wartościami niewiadomych.

Nadając temu związkowi kształt równania (1), otrzymamy:

Li~\~li==f (xo, ?/₀₎    ).

Ponieważ równania (2) mają ważność dla dowolnych spostrzeżeń, zachowują ją przeto i dla spostrzeżeń A+Zt- o błędach ćk=0; ztąd wynika, że możemy x₀, y₀ i z₀ przedstawić w formie równań (2), zmieniając tylko każde L na (Z+Z):

Xq cpx (Zj -f- Zj , L-2 + Z₂,. . . . Ln ln)

^ Ty (A + h > A + Z₂,. .. . A+ln)

zo⁼ T* (A + Ji j Z₂ + lL,.... A 4-Z„).

Każdy z tych związków możemy rozwinąć w szereg Taylora z zaniedbaniem wyrazów rzędów wyższych niż pierwszy, o ile x₀, y₀ z₀ są tak zbliżone do wartości z, z/, 2, że powstałe wskutek tego Z są wielkościami odpowiednio małemi.

Wówczas będzie:

(4)

X0—Tx (A? Zg, . . . . A)4~

Vo Ty (A j A j • • • • A)

Cu Cl.

*i4

d(px

Cl; Cl.

^04-t* (A > A, • • • • A)4-

Cl.

Z₂+ . .

Cu Cu

ln

■■ a a

^4    (5)

dLx

Z₂+ • •

z» •

a A

Związki (5), połączone ze związkami (2), wytwarzają nowe związki, (6), w których dla uproszczenia oznaczono d cpx

a*

d%

dLi

a mianowicie:

dA

— /A

W?

=7i, zaś x—xQ=Ź, y—y₀=y, z~zo=^ (⁵*)

§ ■ - CCX [ OJg l>2 ł~ • • • • A Z]

— A 4~ A A 4~ • • • */4 ln— [/? Z]

—£=yj A +y₂ A + • • • -y» A= [y zj.

Równaniom tym odpowiadają równania błędów (1), które — przez rozwinięcie w szereg Taylora z zachowaniem wyrazów tylko rzędu pierwszego — przemieniamy na liniowe kształtu:

ói=di £+hi y -f- Ci £ -f- U,

przyczem, jak to zaznaczyliśmy jeszcze w § 1 rozdz. II-ego,

(zaś li=fi(zo, y₀» *0) —A)•

(A

a/-

az₀

Wstawiając do równań (6) prawdziwe wartości lx\ Z₂',. .. 4', otrzy mamy i po lewej stronie tych równań prawdziwe wartości

—i', —V', — przyczem Ś' = X—x₀, y'=Y—y₀, ^'=Z—e₀; będzie zatem: ''

■\ j Cj

ay₀

az₀

— 5/== #1 Zj' + a₂ l₂ + . • • • + &n ln — [o Z⁷] —Z/+/4 Z₂/ +.. • • 4-/4 Zn'—[/? Z'] Q—y-i Z₁/ 4- y₂1% -4 • • • • 4"    Zn⁷—\y l'\

Równania błędów odpowiadające równaniom (8) są kształtu analogicznego do (7):

(9j

0—tti    tj' -\-Ci ę-{-li i

(przyczem każdy błąd pozorny równa się oczywiście zeru).

-^uguj^c w równaniach (8) poszczególne V przy pomocy związków kształtu (9), otrzymamy:

= ai(-«i£'—<bi V'~ci£') + a*(—a₂ Ź'~b-2 V'~c2 £') + - + o»(—a£'-bnr)'-et,')

lub

a analogicznie: oraz:

V=[a o] i' + [b a] Tj' + [c a] £',

(10)

y,!=[*P]£'+[b p] n'+[> £', £'=[«y]t'+l>y] y'+[Gy] £'•

Ponieważ rj' i są od siebie niezależne, a równania (10) ważne dla ich dowolnych wartości, przeto muszą być spółczynniki

[a $=[ay] = [b a]=[by]=[ca]== [c /3]=0, [a a]=[bp]=[cy]= 1.

zaś spółczynniki

Mnożąc każde z równań błędów kształtu (7) :

(U)

dj=cii £ + bi rj4-Ci £ -j- U

przez odpowiednie a* i sumując je wszystkie, otrzymamy:

[ad]=[aa]|-f-[6 a] rj-{-[c a] £+[aZ], lub ze względu na (11): [ad]=§+[aq;

ponieważ jednak wedle (6): —f=[aZ], przeto

(12)

[ctd]=0, a analogicznie i [/3<5]=0, oraz [y<5]=0.

Po tych wywodach przejdźmy do błędów śr. niewiadomych x, y, z. Wstawiając do równania (2) prawdziwe wartości spostrzeżeń, t. j. Li + Si zamiast Li, otrzymamy prawdziwe wartości niewiadomych X, Y, Z jako związki:

X— (px (Ly + £y , L₂ + £2 ? • • • *    + £n)

(18)

Y= (py (l/| + J L₂ + £2 1 • • • • Ln 4~ ^m)

Z—(pz(LlJr£i, L.₂Jr£<i,....LnJr£n). które pod założeniem odpowiednio niewielkich £ przedstawią się we formie liniowej :

X Cpx {Ly , L₂ ,    . Ln) 4~

dq)

Y <py(Ly, Z₂,.....Ln)-{

o, CL/

Cl/ cl

Z—    (L,, L₂,.... Ln)4

Cl/ o.

£i

-c₂+..-.4

dLx

a ostatecznie ze względu na równ. (2), oraz

dLx

ea + . • • .4-

4 £i4

£n

£n

d(px

dL

= «i»

ÓCPy

d Li

d(pz

(13*)

X—x=    + a₂ + .. . . + ansn — [as]

Y—y~fi\ £1 +/?₂ e₂+ ... . -\-pn£n=[@£]

Z—z=yi £x + y₂ es+ .... +y«c»=[yc].

Przecłtodząc z błędów prawdziwych na średnie, otrzymamy wedle prawa przenoszenia się błędów (§ 3. rozdz. Ii-go, (14), str. 41.): JMJ²=[aa₁«/t]=a₁² yx² + a₂ V₂² + • • • •    Pn

(15)

Py%=[PP    + & V₂² + • • • • Yfin Pn*

py² =[yy ^]=yi>i²+72>2² + •••• + y«² ,m»²-Ze względu, że przyjęliśmy różne wagi poszczególnych spostrzeżeń, będą i p, błędy śr. poszczególnych spostrzeżeń różne; możemy je jednak wyrazić przez jednostkowy błąd średni przy pomocy znanej relacji

/M,²

/Mn²

Pi

Równania (15) przejdą tedy na związki:

Px

■-f

Po j Py

4f]

Po

^²=[

(16)

* * * Rachunek wyrównawczy, przeprowadzony wedle metody najmniejszych kwadratów, powinien nam dostarczyć takich wartości niewiadomych, których błędy średnie byłyby najmniejsze, (t. zw. najdokładniejszych wartości niewiadomych).

Aby się przekonać, czy twierdzenie to odpowiada rzeczywistości, załóżmy ze sumy:

dajmy uwzględniając równ. (11), czy związki, wyprowadzone z tych warunków, zgadzają się ze związkami, wynikającemi z równań normalnych.

= mm.

[?]

= mm., oraz

= min. i zba-

Weźmy nasamprzód na uwagę    Jeśli ta suma ma osiągnąć

wartość minimalną z uwzględnieniem trzech związków (11), odnoszących się do spółczynników a, wówczas należy wedle zasad analizy dodać owe trzy związki, pomnożone przez pewne spółczynniki nieoznaczone, do sumy

i znaleśó bezwzględną minimalną wartość funkcji utworzonej w ten

sposób.

Przyjmując (dla otrzymania przejrzystych wzorów) spółczynniki nieoznaczone: —2Qi.i, —2 Qi.2 i —2Qi.₃, otrzymamy — mnożąc przez nie odpowiednie związki (11) — trzy nowe związki: —2 Qi.i([®a] —1) = 0,

I" aa 1

1 P J

—2Qi.2[6a]=0 i —2 Qi.s[c a]=0, które, dodane do Qv mającą być sprowadzoną do bezwzględnego minimum; zatem

utworzą funkcję

=    2 Qi.i([aa]—1)—2 Q\&[ba]—2 Qi.Ąca]= min.

(17)

dQ

Przyrównując pierwsze pochodne do zera, otrzymamy n równań

kształtu:

———2--2 Qi.ia.i—2 Qi.ibi—2 Qi.zCi~0, lub:

O CCi    Pi

Ui—Pidi Q\.\JrPibi Q\.‘iJrPiCi Ql.₃*

Mnożąc to równanie obustronnie przez «*, otrzymamy Ct>i &i~Pi cii Cli Q\AJrPi ai bi Ql.2+Pi Cli Ci Ql.3 ,

(18)

a sumując n tych związków (dla i= 1, 2, . . .ń) i pamiętając, że wedle (11) jest [a a]=1:

1 = [paa] QiA+[pab] Q\.2+[pac] Qi,₃.

Taksamo otrzymamy, mnożąc (18*) przez bi i cf, oraz sumując tak otrzymane związki:

(19)

0=[pab] QiA+[pbb] Qi.₂Jr[pbc] Qi.3 0=- [pac] Q\A-\-[pbc\ Qi.2+[pcc] Qi.₃.

Spółczynniki QiA, Q₁₋₂ i Qi.₃ , uzyskane na podstawie tych równań, a wstawione do równań typu (18), wyznaczą nam poszczególne a, przy pomocy których obliczymy z pierwszego związku (6) a zarazem i x.

W analogiczny sposób otrzymamy przy pomocy funkcji:

&, = [“-1-2 Q2.iW]-2 Q₂,([6/8]-l)-2 Q₂.s[<!j3]=min.

fii—PiCli Cb.l+Pi&i Q-2.2JrPiCi Q’2.3

i pochodnych kształtu trzy związki :

(18*)

0=[pad\ QiAJr[pab] Q₂.%-]r[pac\ Q₂.3 l=[i»«*] Q2A+[pbb] Q₁.₂Ą-[pbc] Qi.3 0=|>ac] Q₂.i + [>&c] Q₂.2 + [pcc] Q₂.3, z których wyznaczymy rj, względnie y, zaś przy pomocy funkcji:

! (w*)

A: = [ "(( ]—2 Q₃.l[ay]—2 Qss[by}—2 Q₃.₃([cy]—l)=min.

i pochodnych kształtu yf a, Q₃.i+p* b{ Q₃.₂ + c> Q₃.3 ostatnie trzy związki:

(18**)

0=[paa] Qa.i+[/M**] Q₃.2+[pac] Q₃.3 0=[pab] Q₃AJr[pbb] Q₃$+[pbc] Q₃.3 1 =[pac] Q₃a + [pbc\ Qz2+[pcc\ Q₃.₃, z których wyznaczymy £, względnie ostatnią niewiadomą 2.

Mnożąc każde z w. równań (18) przez odpowiednie d i sumując je, otrzymamy:

(19**)

[ad)=[pad] QiA+[pb d] Qi.₂+[>cd] Qi.z lub ponieważ wedle równ. (12) [ad]=0:

0=[pa d] Qi.i+[pb ó] Qi.2+[pc d] QiA.

(20)

Prawa strona tego równania może stać się dla dowolnycłi (wedle przyjęcia) wartości $i.i, $1.2 i $1.3 tylko wtedy zerem, gdy:

[paó]=0, [p&ó]=0 i [pcd]=0.

Ostatnie trzy równania są jednak równaniami normalnemi, napisa-nemi w formie skróconej, a ztąd wniosek, że niewiadomą £ — względnie# —

otrzymujemy identyczną z rachunku

min. jak z równań normal-

nych₇ t. j. z warunku [pód]= min.

(20*)

Analogicznie otrzymamy z n równań (pochodnych) (18*): [)8(5]=0=|pad] Q₂A + [pbóJ $₂.2+[pcó] $2.3,

a z n równań (18**):

[yd]=Q=[pa#\ Q₃A-\-[pbd]Qz.₂+[pcó] $₃.₃,

(20**)

które to związki mogą istnieć dla dowolnych wartości Q tylko pod warunkami :

[pad\=0, [phó]=0 i [pcd]=0.

Z tego wynika, że wartości niewiadomych wyznaczone z rachunku yx²— min., [iy²— min. i    min. są identyczne z wartościami tych nie

wiadomych obliczonemi z warunku [pdd]= min. Metoda najmniejszych kwadratów błędów spostrzeżeń pokrywa się więc z metodą najmniejszych kwadratów błędów śr. niewiadomych, a zarazem odpowiadają niewiadomym równań normalnych najmniejsze błędy średnie.

Mnożąc każdy z n związków (18) przez odpowiednie ilorazy i sumując je, otrzymamy

(21)

[    J⁼[aoG$i.i+[6a] #i-2+[ca] $1.3,

lub ze względu na związki (11):

[ aa 1

L v J

$1.1 •

(22j

Analogicznie otrzymamy z n związków (18*) i (18**):

$ $2.2+ [c/?] $2.3 Rp~] ⁼ [ay] ^³-1 + ^ $3-2 + [cy] $3.3,

(21*)

(21**)

a ostatecznie ze względu na (11):

$3.3.    * * *

Wstawiając te wartości do równań (16), zmienimy je na ^²=$i.i^o², ^²=$2.2^o², ^²= $3.3^0²-

Oczywiście, że o ile wagi spostrzeżeń są równe jedności, przejdą związki (22) i (22*) na:

$i.i=[aa], $2.2=M, $3.8=[yy].

(22**)

W przypadku trzech niewiadomych możemy wyznaczyć $1.1, $2.2 i $3.3 z 9 równań (19), (19*) oraz (19**), w ogólnym przypadku o k niewiadomych z analogicznie utworzonych k% równań, przyczem ilość wyrażeń potrzebnych dla utworzenia błędów śr. niewiadomych będzie oczywiście k. Równania te nazywamy równaniami wag.

Postępowanie powyższe wymagałoby rozwiązania ogólnie k² równań

&(&_i-l)

wag. Liczba ich zredukuje się jednak ogólnie do —-, gdyż udowo-

dnimy, że $i.₂=$2.i, $1.3= $3.1, i t. d.

n równań (18) przez odpowiednie ilorazy —

P

* * * Mnożąc każde z i sumując je, otrzymamy:

ze względu na równ. (11):

=    Ou+[6/3] Q₁.₂ + [C/S] Q,a

= $i.2;

zaś mnożąc każde z n równań (18*) przez odpowiednie ilorazy — i su-

P

mując je, otrzymamy:

ffl

= [« «] $2.i+[6 «] $2,2+[c a] $2 3, lub .ze względu na równ. 11):

HM-

$21- Zatem $i.₂=$2.i.

Analogicznie postępując, możemy łatwo udowodnić, że wszystkie $ o przestawionych wskaźnikach są sobie równe, a zatem:

$1.2= $2.1

Ą-t\

$2.3= $3.2

(24)

i*

ogólnie $<.*=$*,.

W obec tego redukuje się ilość równań wag, potrzebnych dla wy-

Jc(k-j-1)

znaczenia $t.i, $₂.₂,. • • $*.*, do -^- równań, gdyż lc spółczynników

Z

Jc(k— 1)

Qu możemy wyznaczyć tylko równocześnie z--^-spółczynnikami QiJt1

co potrzeba razem

na

—h—- równań. W przypadku gdy &=8, będziemy

Z

mieli zatem 6 koniecznie potrzebnych równań wag.

Z równań (19) wybieramy w' tym celu tylko pierwsze równanie, z (19*) dwa pierwsze równania, dodając do nich wszystkie 3 równ. (19**).

Równania te przedstawiają się we formie zredukowanej, przydatnej wprost do wyznaczenia potrzebnych spółczynników Q:

[paa]QiA+ !><*&] Qi.2+ [pac]Qi.₃=l [paa]Q 1.2+    [pab]Q₂2+    Oac]0₂.3=O

(25)

[ pbb. 1] 02.2 "b \_pbC • 1] 02.3 = 1 \paa\ 0i.3+    |>a&]0₂.3+    I>ac]0₃.3=O

[Z>66.1] 02.3 "b [ pbC • 1] 03.3 = 0

[pcc. 2] 03.3=1.

Poczynając od równania ostatniego, a kończąc na pierwszem, wyznaczamy wszystkie spółczynniki: 0₃.₃, Q>.₃, 0i.₃, następnie 0₂.2, 0i.2, a wreszcie i 0i.i.

Mając liczebne wartości wszystkich Q, obliczamy na podstawie równań (23) kwadraty błędów średnich /ix², p* i pz². "Wag niewiadomych dostarczają nam odwrotności spółczynników Q o parze wskaźników jednakowych :

Px

fi\ _    1

(26)

fly²

Nakoniec wspomnieć należy o związkach, jakie zachodzą między niewiadomemi rj, £ i spółczynnikami Q.

Mnożąc równania normalne, pierwsze przez Qi.i, drugie przez Qi.%, trzecie przez 0i.₃ i dodając je razem, otrzymamy:

0i.i

02.2

03.3

{0i.i [ paa] 4- 0i.2 [pab] + 0U3 [pac]} |" + {0i .1 [pab] + 01>2 [ pbb]4- 0i.s [pbc])r}-f-+ {0i.i [pac]+ 0i.2 [pbc]+ 0i.3[pcc]} £+ 0i.i |>a^]+ 0i.2[pM]+ 0i.s OcZ]=0. Ze względu na równania (19) jest spółczynnik przy niew. | równy jedności, a spółczynniki przy r\ i £ są równe zerom, przeto

—1= 0i.i [ pal] + 0i.2 [pbl] + 0i.3 [pcl]; analogicznie otrzymamy, mnożąc równania normalne przez 0i.₂, 02.2, 02.3, a następnie przez 0i.₃, 0₂₃, 0₃.₃, ze względu na związki (19*) i (19**):

—    *1= 01.2 [P«(|+ 02.2[pÓ/]+ 02 Ąpcl] i

—    £= 01.3 [pal] + 02.3 [pbl]+ 03.3 [pcl].

Są to wzory odnoszące się do t. zw. nieoznaczonego rozwiązania

równań normalnych.

(27)

(27*)

(27**)

§ 6. Wyprowadzenie wzoru na jednostkowy błąd średni p₀ sposobem

drugim (krótszym).

* * * Weźmy na uwagę związki między prawdziwą wartością spostrzeżenia LiĄ- £i i prawdziwemi wartościami niewiadomych X, Y, X,..., oraz między wyrównaną wartością spostrzeżenia Z* + <h i wartościami niewiadomych, uzyskanemi z wyrównania x, y, z,. . . (w ogólnej liczbie k):

Li + E^fiW, Y, Z,...)    ( )

Li-\-ói=fi{x, y, z,...).    ( )

Przyjmijmy, że każdemu spostrzeżeniu L odpowiada inna waga p. Mnożąc równanie (4*) przez pL £{, otrzymamy: .

(5)

Pi Si £i —Pi £i ói=Pi cii £i (X— x)Jrpi bi £i (Y— y)+PiCi£i (Z— z) + .. zaś mnożąc je przez pidi'.

Pi £i di—pi ói di=pi di ói (.X—x)+pi bi di (Y—y)Ą-pi c{ di (Z—z) + • • • (&*) Sumy tych związków dla i od 1 do w wypadną:

[p££]— [pfd]=[/?a£] (X— x)+[pbs\ (Y-y)-\-[pc£](Z—z)+ ...    (6)

[p£d]—[pdd]=[pad](X—x)+[pbd}{Y—y)Jr[pcb](Z—z)-\-... (6*) Wobec tego, że [pad] = [pb d] = [pc d]= . . . = 0, otrzymamy dalej, sumując oba równania (6) i (6*):

[pce]—[p 66]=[pa s]{X— x)+[pb£\(Y— y)+[pc£] (Z—z)+...    (7)

Kładąc ze względu na równanie (14) § 5-go (str. 90.)

X—x=[o£], Y—p=[0e], Z—z=[ys],.. przekształcimy związek (7) na następujący:

(8)

Znając odpowiednie wartości przybliżone niewiadomych x₀, y₀, z₀,...> przyczem niech będzie X=z₀4-£', Y=y₀+'rj', z=«o+£V--, zaś x=xo+$> y=yo+v, x=z₀+z₀₇.. możemy oba związki (1) i (2) rozwinąć w szereg Taylora z pominięciem wyrazów rzędu wyższego niż pierwszy.

Otrzymamy wówczas:

Li-\-£i=fi(x o, y₀, z₀,a>i -Ą-bit}'-{-Ci    -f-...

LiJrói=fi(x₀, y₀, 2₀, • • • ) + &> | + ł/ + c* £+ . . . j

przyczem

(1*)

(2*)

dfi

dfi

dfi

bi

Ci. ...

ai, -z—

dy₀

Odejmując równanie (2*) od równ. (1*), otrzymamy ą—'di=Oi (£'—!) + & fe' —«?) + <*,■ (£' — £)+ • •

dx₀

dz₀

(4)

lub ze względu na równania (3):

£i—di=ai(X—x) + bi(Y—y)+ci(Z—z). . .

(4*)

[pee]—[p óó]=[pa e][ae]Ą-[pb e][(le]-)r[pc e][ys]-\-. . ..

Weźmy na uwagę iloczyn sum [pae\[aE\

[pa e] [ae]= {px a₁ s₁ +p₂ a₂ e₂ + ... +pn an en) (ai £t + a₂ e₂ + . . . an sn).

Po wymnożeniu, otrzymamy wyrazy dwojakiego kształtu:

Pi di di Et Ei, oraz (p,: a; ak -4-pk ak ) £{ £k.

Ze względu na założenie, że funkcja prawdopodobieństwa błędów e przedstawia się jako funkcja parzysta, suma wyrazów kształtu drugiego będzie zdążała — przy rosnącej liczbie spostrzeżeń n — w przecięciu do wartości granicznej zero; a zatem otrzymamy w tym przypadku:

[pa c][ac]=[paaee]=pxa₂ atsx²+p₂a₂ a₂s₂²+ . .. +pnanan£n². (9)

Przeciętną wartość tej sumy wyznaczymy, zastępując, ze względu

śr. fi₀². Poło-

LA—i, każdy wyraz piEi² kwadratem jedn. błędu

Th

na fi₀²

żymy zatem w przecięciu:

[pa ć] [as]=[a o] p₀ ².

(10)

Analogicznie otrzymamy:

[pb £\[pe\=[bp][i₀², [pcf][ye]=[cy]V- • • Wedle równ. (11) § 5-go (str. 89.) są jednak sumy [aa]=[bp]=[cy]= . . .=1; zatem wracając do równania (8), otrzymamy:

[P <*]=0 óó] + ^₀² + /tV+ • • -^o²=l>^] + £/*o²> n [i(?—[p dó]-\-k p², a wreszcie:

ijpóó]

n—k *    *

[poo]

względnie [i₀=^

(10*;

(11)

(12)

§ 7. Przykłady wyrównania spostrzeżeń pośrednich.

1. Przykład pierwszy (o znaczeniu dydaktycznem).

W celu wyznaczenia a, kąta skrzyżowania się dwu kierunków, pomierzono taśmą stalową, przyjąwszy punkt skrzyżowania za początkowy, a jedną z prostych za oś a%c-ów, odcięte X i rzędne P, otrzymując

10-00 m

X=

5-00 m

10-00 m

20-00 m

7=

23-54 m

47-03 m

70*54 m

94-14 m

Ponieważ odcięte nie przekraczają 20 m, t. j. długości taśmy stalowej, przeto możemy je uważać za bezbłędne, natomiast przyjmiemy wagi spostrzeżeń Y wedle

100: Y. (Zatem waga dla Y=100m równa

v²100

v² Y

znanego wzoru pY się 1).

Równania błędów mają tu kształt:

Y+%=m.X, l = X.m—Y.

Kładąc X=a, m—x, —Y—l, otrzymujemy je w znanej nam formie:

8 = axĄ-l.

Aby nie przeprowadzać rachunku liczbami wielkiemi, wprowadzimy wartość przybliżoną x₀, tak że wyrównanie będzie się odnosiło tylko do poprawki przy pomocy której otrzymamy wartość x ze związku a:—;r₀-j-ę.

Wartość przybliżoną x₀ wyznaczymy z pierwszego. równania, zatem

23-54

x₀ =

= CAj4-71.

5

Wstawiając do równań błędów wartość cr₀-j-zmienimy je na

Schematycznie zestawiony rachunek wyrównawczy przedstawia się nastę

pująco :

L. p.

X—a Y=—l

A =

v P ax₀ — Y

100

paa paX pXk

pal

1    5*00m 23*54m    1*0 cm

4-3    107-5 21-5    4-3 —1-48 —31-82    9*42

2 10-00 „ 47-03 „

<N

t—I

210-0 147-0 102-9 +2-04 +42-84 8-74

3 15-00 „ 70-54 „ 11-0 „

1-4    315-0 231-0 169-4 +3-57 +74-97 17-84

4 20-00 „ 94-14 „    6-0 „

1-1    440-0 132-0    39 6 —3-91 —86-02 16-82

S=1072 5 5 31-5 3 1 6-2

—0-03 52-82

531-5

0-4956,

kontrola: 316-2—0-4956 x 531-5 = 52-79.

1072-5

Ze względu na to, że przy wyznaczaniu wyraziliśmy X w cm, podczas gdy a pozostały w m, należy dla uzyskania właściwej wielkości £ podzielić przez 100 :

100

a ostateczna wartość na tang a jest:

= — 0-004956,

tang a=sc=4-71—0-004956 = 4-705044; a=78°0'3//-7.

Błąd średni spostrzeżeń Y wynosi:

t/52B2₌y₁₇.₆₁ = ±4.2 ] 4 — 1

cm = ±0-042 m.

Błąd średni niewiadomej x, t. j. tang a, otrzymamy z równania

przyczem 1072-5 ^1.1=1,

Ze względu, że V$i.i przedstawia odwrotność metrów —, musimy do

fW

wzoru na \ix wstawić g, nie w cm lecz w m, a przeto |a.= 0-042VÓTM093= ±0-001281;

.i)

= 0-00093.

w obec czego wynosi

|x«=d= ll/,ł4.

2. Przykład drugi. Aby mieć możność sprowadzenia stałej C biegunowego planimetru kompensacyjnego Coradiego 1. 11419 — będącego własnością I. Kat. Miernictwa Politechniki Lwowskiej — do jednostki powierzchni, dokonano 50 spostrzeżeń przez planimetrowan. e jednej i tej samej powierzchni P= 15.005 mjm przy 5-ciu różnych długościach vamienia wodzącego.

Łącząc 10 spostrzeżeń dokonanych przy tej samej długości ramienia wodzącego w średnie, otrzymano osi atecznie pięć spostrzeżeń wypadkowych, a zarazem i ich błędy średnie, których użyto dla wyznaczenia wag.

Przy użyciu planimetru biegunowego mamy dla wyznaczenia powierzchni P związek zasadniczy:

P=C.o,

przyczem C oznacza stałą planimetru (powierzchnię odpowiadającą jednemu obrotowi kółeczka liczbowego), zaś o ilość obrotów tegoż kółeczka.

Ponieważ (7=2pur, (p promień kółeczka liczb., r długość ramienia wodzącego), zaś r=r₀-\-mi₁ przyczem rn jest odstępem punktu początkowego podziału od wodzika, i wartością odstępu podziału, zaś m ilością odstępów podziału (odczytem na ramieniu wodzącem), przeto :

a dalej

C=2 pxr₀ +2 p- i.m=x-j-my, P— C. o= (x-}~ my) o, o =

x-\-my

i Ze względu na to, że spostrzegano ilości obrotów kółeczka liczbowego, odnoszą się równania błędów do ilości obrotów o, które były (średnie z 10 spostrzeżeń) :

dla m—100, o—1-9989,    p.= -ł-0,00010.

„    t»=125,    o=l-5982,    j*=±0-00025,

„ m —150,    0=1*3304,    -t- 0-00015,

„ m= 175,    o=l-1408,    p.= ±0-00033,

„    m=200, o = 0-9965,    ^=±0-00017.

Równania błędów mają kształt następujący:

X+m{y

—oi z wagą

const.

K-²

Aby uzyskać kształt liniowy można, albo użyć rozwinięcia w szereg Taylora} albo pomnożyć każde równanie przez {x -f- m, y), dzieląc równocześnie wagi równań przez (ar+mj-y)², przyczem należy użyć wartości przybliżonych *₀ i y₀.*)•

Wartości przybliżone niewiadomych uzyskujemy z pierwszego i ostatniego równania, mianowicie ponieważ P=10005 m/m²,

10005

a;₀ + !OOy₀

1-9989

10005

5006-25 m/m²,

= 10040-14m/m²: y₀— 50-34 m/m².

Po pomnożeniu równań błędów przez (x₀ -f-    y₀), uzyskujemy równania

błędów kształtu:

a:₀ + 200 y0 x₀= —28*00 m/m²,

0-9965

—OiX—Oimiy z wagą

const.

g.P(x₀-+-miy₀)i

Po wstawieniu liczebnych wartości i przyjęciu stałej w liczniku wyrażenia na wagi =1 (t. j. fx₀= 1), otrzymamy:

—    1-9989*—199-89 y+10005 = ^, ^ = 3-98, —1-59 82*—199-77₆y+10005=8₂, p₂ = 0-41, —1-3304*—199-56 y+10005 = §₃, i?₃ = 0-79, —1-1408 * —199-64 y-f 10005 =8₄, p₄ = 0-12,

—    0-9965 * —199-30 y+10005 = 8&, p₅ = 0-39.

’) Porównaj § 9-ty niniejszego rozdziału strona 115—117.

Wstawiejąc do powyższych równań wartości przybliżone na x i y, oraz mnożąc je przez —1, otrzymujemy (pomijając przy o znaki ujemne jako bezprzedmiotowe) :

1-9989 £+199*89 yj + 1-4934=5^^=3-98,

1-5982 ę+199-77₅r₍+ 4-9239 = 5₂, ^ = 041,

1-3304;+199-56 yj + 3*599'2 = 5₈, ^ = 0-79,

1-1408 £+199-64 y) + 12-9352 = o₄, p₄ = 0-12,

0-9965 ; +199-30 r,+ 0-1400=5₅, p₅ = 0-89.

Dalszy rachunek przeprowadzimy z uwzględnieniem dwu miejsc dziesiętnych, wprowadzając równocześnie dla uniknięcia wielkich różnic spółczynników równań błędów nową niewiadomą y/ = 10 +

Prowadząc rachunek schematycznie, otrzymamy:

2-00

2-00

1-49

— 5-49

[pa

1-60

2-00

4-92

—8-52

[pb

1-33

2-00

3-60

—6-93

1-14 2-00

12-94

— 16-08

[pl

1-00 1-99 —0-14    —2-85

[ps

7-07 9-99    22-81

—39-87

a]

*]

«]

18-92

20-38

20-59

— 59-88

+ 0-01

20-38

22-74

24-58

— 67-71

—0-01

20-59

24-58

49-10

—94-27

0-00

— 59-88

— 67-71

= +0-01

= —0-01

— 94-27 =0-00

+ 221-86 =0-00

0-00

Schemat rozwiązania równań normalnych.

a]

Kontrole spółczynników zreduk. równań normalnych.

6.1] 1.1] 8.1]

[pa

18-92

[pb

+ 0-79

+ 2-40

—3-21

= —0-02

[pb

20-38

[pab]

[paa]

1-0772

[pl

+ 2-40

+ 26-69

— 29-10

= -0-01

[pl

20-59

[paa]

= 1-0883

1[p*

—3-21

— 29-10

+ 32-35

= +0-04

[ps

— 59-88

[pas]

[ppa]

=—3-1649

—0-02

—0-01

+ 0-04

wyraz

redukujący

6.1]

1.2]

s. 2]

[pb

22-74

— 21-95

+ 0-79

[Pl

+ 19-40

— 19-35

= +0-05

[pl

24-58

—22-18    +2-40

[pbl.l]

[pbb. 1]

= 3-0380

[ps

— 19-35

+ 19-31

= —0-04

— 67-71

+ 64-50    —3-21

[pbs. 1]

[pbb.1]

4-0632

+ 0-05

—0-04

x=x₀-{-k= — 25-8158 m/m¹, y=y₀ + yj = 50-3096 m/m¹.

Wartości na £ i +, wstawione do ostatnio przekształconych równań błędów, dostarczają nam poszczególne 8, z których urabiamy [p 88].

8,=—0-153, 8₂ = 2-406, S₃=+0-502, 8₄=+9-422, 8S = —3-958,

[p 88]=0-093 + 2-373 + 0-199 +10-653 + 6-110= 19-428 z dostateczną zgodnością z wyrazem [pil. 2]= 19-40.

=yą⁴²⁸

= V 6-476 = -+- 2-545 m/m¹.

Błąd średni [x₀

Błędy średnie obu niewiadomych obliczymy, posługując się spółczynnikami

@1.1 i @2.2 •

[bl

I]

49-10

-94-27

«]

wyraz

redukujący

— 22-41

+ 65-17

1.1}

wyraz

redukujący

1.2]

+ 26-69

— 29-10

— 7-29

+ 9-75

+ 19-40

— 19-35

Z ostatniej kolumny 2-giej części schematu otrzymujemy:

+ =—3-0380, Yj

100

0-0304.

8.2]

«-l]

zaś z ostatniej kolumny 1-wszej części schematu:

\p8 +221-86 -189-51 +32-35 —13-04 +19-31 £=—1-0772 yj'—1-0883=2-1842.

wyraz

redukujący

wyraz

redukujący

Dla wyznaczenia tych spółczynników ustawimy równania wag wedle wzoru (25) § 5-go (str. 94.):

18-92 &.1 + 20-38 @i.₂=l 18-92 0L2 + 2O-38 @2.2=0

20-38 01.2+22-74 @2.2 = 1> lub po redukcji 0-79 @2.2= 1.

Z równań tych otrzymamy:

@2.2=1*266,    @1.2= —1*3 6 3₅,    0!.!= 1-522,

a w następstwie będą błędy średnie niewiadomych

M.*= M-oV@1.1= żb3-265 m/m

Ib/

N V0₂.2=±O-O282.

*** 100 100

Błędy średnie spostrzeżeń przekształconych przed wyrównaniem obliczymy

wedle wzoru znanego

p₂ = ±3-98 m/m¹,

jj-3 = +2-86 m/m

[+ = ±4-08 m/m¹.

1^₄ = ±7-36 m/m¹,

Odczyt na ramieniu wodzącem m₀, odpowiadający stałej C₀= jednostce powierzchni, otrzymamy z równania :

m₀

C₀—x

zatem przyjmując C₀—10000 m/m¹, otrzymamy

10025-8168

m₀ =

50-3096

199-28,

zaś w razie przyjęcia C₀= 5000 mjm¹

5025-8168

m₀

50-3096

99-90.

B. Przykład trzeci przeprowadzony z kontrolą odmienną.

Z mimośrodkowego stanowiska D sieci tryangulacyjnej wykonał prof.

Is

N-

Fig 7.

wraz

Schwerd¹) pomiar ośmiu kątów metodą repetycyjną.. Wyniki pomiarów z ilością repetycyj podaje nam następujące zestawienie.

Ponieważ do ustalenia pięciu kierunków wychodących z D potrzeba tylko czterech kątów, przeto z ośmiu mierzonych kątów są cztery niezależne, zaś reszta kątów (tj. również cztery) pozostaje z tamtemi w związkach.

L. porz.

Kąt

BA

Ilość

repe

tycyj

Wyniki

spostrzeżeń

//

90

19

25

59-42

Oznaczając wyrównane wartości kątów: BN przez %, BU przez y, BA przez z, BW przez t i wyrażając resztę kątów przez nie, otrzymamy 8 równań błędów, które po uwzględnieniu przybliżonych wartości tych kątów

BW

AW

HW

BH

80

34

18

43-61

70

14

52

44-33

(1)

20

20

15

18

34

43

58-80

45-60

x₀= 6°59'34"-51, y₀=18°43'45"-60, z₀=19°25'59"-42 i f₀=34⁰18'43"-61

i wprowadzeniu wyrazów kontrol- i

NA

40

12

26

24-65

(2)

BN

NH

60

20

11

59    34-51

44

11-60

*)' F. M. Schwerd. Die kleine Speyerer Basis. Speyer 1822, obacz także F. R. Hel-mert, Die Ausgleichungsrechnung nach d. Methode d. kl. Qu., Lipsk 1907. Wyd. Il-gie, str. 43 oraz 159 i dalsze.

nych Si—ai-\-bi~{-Ci-\-di bez uwzględnienia wyrazu wolnego l przedstawiają się zestawione schematycznie:

Równania błędów •

II

Wagi przyjęto (ze względu na wielką ilość repetycyj) równe ilościom repetycyj.

0-00

0-00

90

80

Przy podanym tu sposobie kontroli nie uwzględnia się wyrazu wolnego przy tworzeniu sumy spół-czynników a, b, c i d.

Liczby uwidocznione drukiem półtłustym stanowią kontrolę.

— 0-14

—0-79

0-00

+ 0-26

0-00

— 0-51

-1

+3

70

20

20

40

60

20

(3)

Kontrola wyrazów równań normalnych jest przedstawiona w naszym przypadku z powodu czterech niewiadomych pięcioma tabelami.

paa pab

pac

pad

pas

pab

pbb | pbc

pbd

pbs

+ 20

— 20

— 40

+ 20

+ 20

+ 40

+ 60

+ 60

+ 20

— 20

— 20

+ 20

+ 120

-20

-40

+ 60 * 2

-20

+ 60

-20

+20i

.    +90

+ 90

pac pic pcc pcd pcs

pad pbd pcd pdd j pds

<N co -ŚH ńS

+ 70

— 70    .

+ 80 +80

— 70    +70    .

— 20

+ 20 .

(4)

CD

+ 40    .

CO

-20-70 +170 +80

2 -40    .    +200 —70 +90 *    2

Wyrazy wolne ze znakiem przeciwnym

—pal

—pil

—pcl

—pdl

—psi

— 9-8

+ 9-8

— 15-8

+ 15-8

V.

6 +10-4

— 10-4

8 —10-2

+ 10-2

2 +0*2

-5*6

-20*2

+25*6

Kontrolę stanowią tu również liczby uwidocznione drukiem półtłustym.

Równania normalne wraz z systemem równań wag, odnoszącym się do % przedstawiają się schematycznie:

(5)

‘O

Wyrazy wolne (znak —)

+ 120

— 20

— 40

+ 0-20

20

+ 60

20

—5-60

(5)

40

+ 200

70

—20-20

— 20

70

+ 170

+ 25-60

+ 60

+ 20

+90    +80

0-00

Wyrazy ostatniego wiersza (druh półtłusty) przepisane z schematów (4), (gdzie zajmowały ostatnie miejsca na prawo), są jako [pas\, [p&s],    , [pds]

i — [plĄ sumami pierwszych 4-ech kolumn schematu (5), stanowiąc temsamem kontrolę rachunkową. Kolumna, oznaczona w nagłówku (i;), odnosi się do równań wag związanych z niewiadomą

Dzieląc pierwsze równanie przez [paa]— +120-0, otrzymamy:

£—0*1667 Yj—0*3333 £ + 0-0t— +0-001667; oraz +0-008333 w kolumnie (ę).

Równanie to mnożymy kolejno przez \palĄ——20, [pac\——40, [pad\— 0, [pas] =+60 i podpisujemy pod odpowiednie wyrazy równań sum (5). Pod wyrazami wiersza pierwszego równ. (5) podpiszemy zatem: +1, —0*1667, —0-3333, 0*0, +0*001667 i 0-008333; pod wyrazami wiersza drugiego te same liczby, pomnożone przez \pab\~—20 i t. d., otrzymując następujący schemat:

(0

fi

Wyrazy wolne (znak —)

+ 120-0

1-0

— 20-0 — 0-1667

40-0

0-3333

0-0000

+ 0*20 + 0-001667

+ 1-00 + 0.008333

20*0

20-0

+ 60*0 + 3-3333

+    6.6667

20-0

5-60

0-03333

0-1667

(5*)

— 40-0

40-0

+ 6-6667

+ 200-0 + 13-3333

70-0

—20-20 — 0 06667

0-3333

+ 20-0

70-0

+ 170*0

+ 25*60

+ 60-0

60-0

+20*0

10-0

+ 90*0

20-0

+ 80*0

000

+ 0-10000

+ 1*00

+ 0-5000

Kontrolę stanowi tu ostatnie równanie sum (drukiem półtłustym) oraz równanie: +1-0 —0-1667 —0-3333 +0-0 =+0-5000, (4. cyfry wzięte z wiersza

pierwszego i ostatnia cyfra u dołu na prawo oznaczone drukiem pochyłym), które

jest identyczne z równaniem

: [ffH , [pab] , [v™\ . [yad]_ 1 \paci\ [paa\ [paa\ [jpaa\ [paa] ^aS '

> Odejmując, począwszy od 2-giej kolumny drugiego wiersza, wyrazy redukuj¹¹®) j- cyfry podpisane, od właściwych cyfr równ. (5*), otrzymujemy system raz zredukowanych równ. normalnych oraz raz zred. system równań wag dla niew. £ i tj.

(5)

00

Wyrazy wolne (znak —)

+ 56*6667

6*6667

20*0000

5*5667

+ 0*1667

6*6667

+ 186*6667

70*0000

— 20*1333

+ 0*3333

(6)

70*0000

— 20*0000

+ 170*0000

+ 25*6000

+ 30-0000

+ 110-0000

+ 80-0000

- 0-1000

+ 0-5000

Cyfry (drukiem półtłustym) ostatniego wiersza, otrzymane jak i inne drogą redukcji ze schematu (5*) (patrz ostatni wiersz (5*)) są równocześnie sumami kolumn schematu (6), stanowią przeto kontrolę rachunkową.

Redukcja wyrazów ostatniego wiersza daje nam wyniki następujące:

+ 60*0—60*0 = 0, +20*0+10*0=30*0, +90*0 + 20*0=110*0, +80*0,

0*0—0*1 = —0*1, oraz +1*0—0*6=+0*5.

Sumy kolumn dają wyniki identyczne.

Pod cyfry systemu równ. (6) wpisujemy odpowiednie wyrazy redukcyjne analogicznie, jak to miało miejsce w schematycznem zestawieniu równ. (5*), otrzymując dalszy schemat (6*), przyczem ze względu na symetrję wyrazów zreduk. równ. normalnych podajemy go w formie nieco uproszczonej :

00

Wyrazy wolne (znak —)

+ 56*6667

i-o

6*6667

0-11765

— 20*00000 —    0-35291

5*5667

0-09823

+ 0*1667

+    0-00294

+ 1*0000 +    0-01765

— 6*6667

+ 186*6667

0-7843

70*0000

2-3529

— 20*1333

0-6549

+ 0*3.333

—    0-0197

(6*)

0-1176

— 20*0000

70*0000

+ 170*0000

7-0588

+ 25*6000

1-9646

0-0588

0-3529

2-9469

0-0882

+30-0000

+ 110-0000

—    3-6295

+ 80*0000

—    10-5882

- 0*1000

+ 0-5000

+ 1*0000

+    0-5295

na zgodności liczb

Schemat ten zawiera również dwie kontrole. Pierwsza polega (półtłustych) cyfr ostatniego wiersza, otrzymanych drogą redukcji z

ostatniego wiersza schematu (5*) z sumami kolumn schematu (6*), o czem była mowa poprzednio; druga jest zawarta w równaniu (druk pochyły) :

1-0—0-11765 —0-35294=0-5204! (zgodność dostat.).

Analogicznie otrzymamy dalsze dwa schematy:

Wyrazy wolne (— znak)

(5)

(VI)

(0

+ 184-8824 - 72-3529

1'0\—    0-389240

(7)

! — 72-3529

+ 162-9412

28-1627

—    20-7882

—    0-111836

+ 23-6354

+    8 0917

+ 0-3530

+    0 001899

+ 0-0588

—    0-1374

+ 0-1176

+    0-000632

+ 0-3529

—    0-0458

+ 1-0000 +    0'005380

0-3892

44-1904

0 2156

+ 113-5295

+ 90-5882

+ 2 8469

-    12-6967

+ 0-4118

+ 0-4705

+    0 0719

+ 1-0000

0-6108

Kontrola: 1-0 —0-38924=+0-61076,

oraz zgodność sum kolumn z wyrazami otrzymanemi z ostatniego wiersza syst. (6*) przy pomocy redukcji. (Zgodność osiągnęło w tym przypadku dostateczną, gdyż różnice są dopiero na czwartem miejscu dziesiętnem n. p. w 3-ej kolumnie mamy +2.8469 z redukcji zaś — 20-7882 + 23-6354= +2-8472 z sumowania kolumn, różnica wynosi 0-0003).

+ 134-7785

l-o

Wyrazy wolne (znak —)

(5)

00

(0

CO

+ 15-5437

+    0-11533

+ 0-1962

+    0-00146

+ 0-3987

-+■    0-00296

+ 0-3892

+    0-00289

+ 1-0000 +    0-00742

(8)

+ 134-7786

+ 15-5436

+0-1962

+ 0-3986

+0-3892

+ 1-000

Kontrola: 1*0= 1-Q; wyrazy otrzymane drogą redukcyjną z przedostatniego i ostatniego wiersza syst. (7) zgadzają się dostatecznie (różnice na 4-tem miejscu dziesiętnem).

(6)

zestawienie systemu zredukowanych równań

(0

(*))

(5)

+ i-oooo ;

0-00742 I

+ 1-0

liczb Q

oraz

+ 1 0000

+    0-00538

+ 0-3892

-j-    0-00289

0-1 +

+ 1-0000 +    0-01765

+ 0-1176

+    0-00063

+ 0-8987

+    0-00296

+ 1-0

Z systemów (5)—(8) tworzymy następnie schematyczne normalnych i równań wag.

Wyrazy wolne (znak —)

+ 1-0000 0-00833

+ 0-2000 0-00167

—    40-0000

—    0-33333

+ 120-0000) —20-0000 0-11667

0-T

+ 0-1667

0 00294

— 5-5667

_    0 09823

- 20-0000 —    0-35294

6-6667

0-11765

+ 56 6667

o-t

+ 0-3530

+    0-00190

+ 0-1962

+    0-00146

0-1 +

— 20-7882

_    0-11184

—    72-3529|

-    0389241

+185 *8824]

o-i

+ 15-5437

+    0-11533

+ 134-7785

10

00-0

+ 80

06 +

+ 20

09 +

Ostatni wiersz przedstawia równanie sum, które po wstawieniu wartości niewiadomych musi być spełnione jako ostateczna kontrola.

Wyznaczenie wartości niewiadomych oraz liczb Q przeprowadzimy wedle następujących schematów:

(+0-38924 t=)

+0-11533 +0-00146 +0*00296 +000289 +0-00742 [z (9)] = 02.4

-0-11184

+0-04489

+0 00190 +0-00057

— $3.4

= 04.4

(10)

+0-00063+0-00538 +0-00115 +0-00112

[* (9)1

0-38924 X liczby z (10)]

(11)

—0'06695 +0-00247 +0-00178 +0-00650 = (?₁₋₃    = <2₂.3 | = 03.3

(wartości powyższe otrzymuje się przez dodanie cyfr w poszcz. kolumnach).

(+0-35294 t=) (+0-11765 ę=)

-0-09823 +0-04070 -0 00788

+0-00294

+0-00052

+0-00029

+0-01765

+0-00104

+0-00021

[z (9)]

[0*35294 X liczby z (10)] [0-11765 X liczby z (11)]

(12)

-006541

= *)

+0-00375 +0-01890

= 01.2 j ⁼ 02.2

(+0-33333 r=) (+0-16667 ri=)

+0-00167

-0-02232

-0-01090

+0-00833

+0-00082

+000063

[z (9)]

[0-33333 X liczby z (11)] [0-16667 X liczby z (12)]

(13)

-003155 f 0-00978 = 01.1

Kontrole przy pomocy równ. sum wykazują:

60 £    +20 yj +90C    +80 t= — 0-0003 (ma być 0-0000)

60 0i.i + 2O 01.2+90 01.3 + 80    QlA= 1-0000    ( „    „    1-0000)

60 0i.2 + 20 02.2 + 90 02.3 + 80    02.4= 1*0000    („    „    1-0000)

60 01.3 + 20 02.3+90 03.3+80    0₃.₄= 1-0000    ( „    „    1-0000)

60 0L4+20 02.4+90 03.4+80    ©4.4=1-0005    ( „    „    1-0000)

(Zatem zgodność dostateczna}.

Suma [p83] obliczona bezpośrednio z równań błędów z uwzględnieniem wag wynosi :

[p 83]= 17-0953.

Kontrolę stanowi wyraz [pil. 4], obliczony w sposób następujący: bezpośr. z równ. błędów z uwzględnieniem wag mamy [pZZ]=21-7600, od tej liczby należy odjąć wyrażenia, otrzymane z 5-tej kolumny syst. (9):

—(0-2 x 0-00167 + 5-5667 x 0-09823 + 20-7882 x 0-11184 + 15-5437 x 0-11533);

[pUA]=[p 83]= 17-0952.

Błąd średni jednostkowy p,₀=^/^-5₌y.

17-0953

V4-2738=H₌2"-067.

Ponieważ wagi przyjęto równe ilościom repetycyj, przeto jest to błąd średni kąta uzyskanego z jednej repetycji.

8—4

¹

Xj=+-l*28 mjm

§ 8. Równoważne systemy równań błędów. Błąd średni funkcji

niewiadomych.

Równania normalne można ustawić nietylko w przypadku, gdy liczba spostrzeżeń n jest większą od liczby niewiadomych k, lecz także, gdy n—k.

Korzyść zastosowania w tym przypadku równań normalnych do wyznaczenia niewiadomych polega na równoczesnem uzyskaniu wartości

Q11} Q₂₂,........Qkk. Przyjmując następnie jedn. błąd śr. fi₀ wedle od-

powiednego wzoru empirycznego (wyprowadzonego na podstawie licznych doświadczeń), jesteśmy wstanie, znając wartości poszczególnych Qr obliczyć błędy śr. niewiadomych.

Przypuśćmy, że wyrównując dwa systemy równań błędów, otrzymaliśmy identyczne równania normalne. Obu tym systemom odpowiadają

te same wartości niewiadomych oraz wag

a Helmert nazywa je równo-

rachunku wyrównawczym system zredu-

ważnemi systemami błędów.

mo-

(Błąd ten ma w tym przypadku znaczenie teoretyczne, gdyż tylko przy znaczniej szych ilościach repetycyj można przyjmować wagi równe ilościom repe-tycyj. Wskazanem byłoby tu raczej przyjęcie wagi równej jedności dla kąta 50 lub 100 razy repetowanego, w naszym przypadku otrzymalibyśmy wówczas inne

wagi na początku; błąd średni kąta 50 razy repet. !*(₅₀)=^

= ±0"-2067).

14-2738

50

±0"-292r

4-2738 100

Wartości niewiadomych uzyskane wyrównaniem są: (por. związki (2)) x=x₀+£= 6°59'34//-478, y=y₀ + rł=,18°43'45/7-535, z=z₀_|_ę₌ 19°25'59"-353, t= t₀ + t = 34°18'43"-725.

Błędy średnie niewiadomych otrzymujemy na podstawie związków (23)

I

^=!AoVęi7=2,/-067Vo-00978 = ±0/'-204, ^=^₀V^I-27,-067V0:01890=±0⁷⁷'284, ^=M^I=2//-067V0-00650=±0,/-167, ^=fA₀V«4l=:2'/-067V0-00742 = ±0//-178.

Wartości wyrównane spostrzeżeń uzyskujemy, wyrażając kąty spostrzegane przez kąty wyrównane x, y, z i t:

BA= 19°25'59"-353, HW= 15°34'58"-191,

51T=34⁰18,43'/-725,

^JF=l4°52'44"-372,

zaś 100 razy repet. [A(ioo)—

§ 5-go:

BN= 6°59/34//-478, BH= 18°43'45"-535, NH= ll⁰44'll"-057,

iV^=12°26'24/7-875.

Specjalne znaczenie ma w kowanych równań normalnych. System składający się ogólnie z k równań o k niewiadomych, odpowiadający zatem ilości spostrzeżeń koniecznie potrzebnych do wyznaczenia wartości niewiadomych z, y, z,... żerny uważać za system równań błędów o błędach pozornych ó=0.

Dzieląc każde zredukowane równanie normalne przez spółczynnik jego pierwszej niewiadomej, a więc przez [paa], [pbb. 1], \pcc.2] i t. d., oraz przyjmując owe wartości jako wagi poszczególnych równań, otrzymujemy system równań, który, jak to łatwo można stwierdzić, jest systemem równoważnym z pierwotnym systemem równań błędów, oraz powstałemi z niego równaniami normalnemi. Ten specjalny system równoważny nazywamy systemem zupełnie równoważnym.

Ograniczając się tylko do 3 niewiadomych, otrzymamy dla systemu

błędów

Pz

(1)

óx=axx-\-biyĄ-c₁z-\-ll o wadze: px 4=a2 x-\-b₂y-\-c₂ 0+/₂ „

Ón an X -f- bny “f- Cn 2 d⁻ In 77

Pn :

zupełnie równoważmy system równań błędów w kształcie:

x-\

[pab]

[pad]

y+

[pac]

[paa]

[pbc.l]

[pal]

[pbb. 1]

Połóżmy —

[pal]

[paa]

Zi, ~

[paa]

[pbl.l] o [pbb. 1]    ”

[pcl. 2]

[pcc. 2]    ”

[pbl.l]

[pbb. 1]

= 0 o wadze: [paa]

[pbb. 1]    (2)

[pcc. 2].

X,ł'>

[pcl. 2]

[pcc. 2]

(3)

Ponieważ wielkości te są od siebie niezależne, możemy je uważać

za niezależne spostrzeżenia o wagach [paa], [pbb. 1], [pcc.2] i poddać je w połączeniu z innemi odpowiedniemi spostrzeżeniami na nowo wyrównaniu (drugiemu). Z powodu przeprowadzenia ponownego wyrównania, otrzymają spostrzeżenia %v %₂ i %₃ pewne poprawki, czyli błędy pozorne A1} A₂ i A₃ • w ten sposób otrzymamy związki dla (pozornych) spostrzeżeń %:

X₁ + A₁=x+

[pab]

[paa]

y+

[P^]

[paa]

[pbc.l] m [pbb. 1]    ”

o wadze [paa]

„ [pcc. 2],

*2 + 4~

*3+4=

odpowiadające ogólnemu kształtowi równań błędów:

Li+di=fi(x, y, z,

Metoda ta wyrównania, wprowadzona przez Helmerta, ma bardzo doniosłe znaczenie przy wyrównaniu sieci tryangulacyjnych, szczególnie w przypadkach, gdy kąty (kierunki), obserwowane na poszczególnych stanowiskach (stacjach) sieci, nie mogą być uważane jako niezależne spostrzeżenia.

Z powodu zależności od siebie kątów na poszczególnych stanowiskach przybywają do warunków geometrycznych sieci tryangulacyjnych jeszcze i warunki stacyjne, komplikując w wysokim stopniu przeprowadzenie wyrównania. Otóż metoda Helmerta dozwala nam przeprowadzić wyrównanie na każdem stanowisku stacji osobno, a otrzymane wyniki wstawić przy pomocy równoważnego systemu zredukowanych równań normalnych z odpowiedniemi wagami do warunków sieci, poddając je ponownemu wyrównaniu.

Sprawę tę omówimy obszerniej w § 3-cim rozdz. Yl-go A, § 3-cim rozdz. IX-go, oraz w § 8-ym rozdz. XI-go B.

System równoważny (4) posłuży nam do wyznaczenia błędu średniego funkcji niewiadomych uzyskanych wyrównaniem.

Weźmy na uwagę funkcję niewiadomych uzyskanych wyrównaniem, a zatem

U= F(x, y, z).

Kwadratu błędu średniego tej funkcji nie możemy urobić wedle wzorów podanych w § 3-im rozdz. Ii-go, gdyż wielkości x, y, z, jako uzyskanie z wyrównania, nie są niezależne, powstały bowiem z warunku [j9(5d]=min.

Natomiast możemy przy pomocy zredukowanych równań normalnych wyrazić x, y i z przez niezależne wielkości %lf %₂ i %₃₎ uważane za spostrzeżenia o błędach pozornych równych zeru, t. zn. przez niezależne spostrzeżenia zupełnie równoważnego systemu równ. bł.

Możemy zatem położyć ogólnie

TJ=F(x, y, z)=(p(xv %₂, %₃),

(przyczem oczywiście    y<p²) i zastosować przy obliczaniu y<p² wzory

omawiane w

§ 3-cim rozdz. Ii-go, więc:

yu

(5)

Wyrażając w systemie zredukowanych rownan normalnych

o wadze Px = [paa\.

xĄ

[pab]

\pad\

y+

[pac\ [paa] [pbc. 1] [pbb. 2 ]

z = Xi

z=X2

niewiadome x, y i z przez x₂ i #₃, otrzymamy:

P₂=[pbb.l]

Pz=[pcc.2]

(6)

*=%3

y=x*

x=Xi

[pbc.l]

[pbb. 1]

[pab\ {[pac] [pab] [pbc.l] [paa]

%% —

[paa] [paa] [pbb.l]

*3*

Oznaczmy dla uproszczenia:

dU

dU

dU

dx Fx ’ dy~F*' dz~Fz i utwórzmy pochodne równania (B);

%i jest zawarte tylko w trzecim związku równań (7), zatem dU dU dx _ dx

— — — = FA    ?

dXi &x ÓX\

Cl/

rl

natomiast %₂ jest w drugim i trzecim związku równań (7), przeto:

dJLJ>IŁ *}L + bJ!Ł ^=F^Ł+Fd^ ,

&X% dV dXt dx d%₂ ²dX2 ldXz wreszcie %₃ znajduje się we wszystkich trzech związkach (7), zatem:

(9)

d77_dZ7 dz dx₃~ dz d*₃ ¹ dy d%₃

dy dU dx

dz

Cl/

„ dy „ dx _    \-F₂~-\-F₁— ■

dXz dXz dXz d^₃

Pochodne występujące w równaniach (9) znajdziemy przy pomocy równań (7).

dx

dy

dx _ [pab] dz

dy

[pbc. 1]

[pbb. 1] ¹

’ dfo [paa] ’ d%₃    ’

[pac] [paó] [pftc.l] d#₃ l[paa] [paa] [p/>6.1]

Po wstawieniu tych wartości do związków (9) otrzymamy:

ć>Xi

dx

(10)

dU

ć>Xi

Cl>

9*3

^_[p6c.l]

[pM.l]

[pab] [paa]

[po^l ² [paa]

=F₉-

■ [pac]

[paa]

(U)

Oznaczmy dla uproszczenia

et [pgfe]

² [paa]

oraz (F₂. 1)

^ = (^..1),    ^3-

[pbc 1]

[póft.l]

[pac]

[paa]

(12)

(P^. 1) = (^3.2), wówczas będzie:

dD

dU

dU

.1), zaś

Wstawiając te wartości do wzoru (5), otrzymamy:

^²=^²^² + (^.l)²^²+(^3.2)²P,₃²-

#Xi

(^3-2).

(13)

będzie

Ze względu na wagi spostrzeżeń    i %s [por. równ. (6)]

z**.²

M>²_ PO²

Z*o²

^o²

P₂ [p66.1]

A [P«o.l

przeto związek (14) przejdzie na związek:

El I (-F,4) , (fi-a>ł

\paa\ [p66.I] [pcc. 2]

P₃ [pcc. 2]

(15)

}/*o*

(16)

a waga „wyrównanej “ funkcji U=F(x, y, s), t. zn. waga tej funkcji po wstawieniu za z, y, 2 wartości uzyskanych z wyrównania przedstawi się wzorem:

Pu= 1:

f J’ił _ _

1 [peta] [p66.i] [pcc.2] )

(17)

O ile wszystkim spostrzeżeniom L odpowiadały wagi p = l, odpadają wagi we wszystkich tu przytoczonych wzorach z wyjątkiem oczywiście wag P₁ = [aa], P<, = [bb. 1], P₃=[cc.2]; związki (16) i (17) przedstawią się wówczas we formie nieco uproszczonej, a mianowicie:

ei , (jyi)²,

[66.1] ⁺ [cc.8] j' ’

E¹ , (-F.-i)², (EDI i.

[66.1] r [cc.2] I

P₃ są, jak podaliśmy w formułach (8), pochodnemi cząst-kowemi funkcji U—F(x, y, 2) względem niewiadomych x, y, 2; redukcję P₂ na (P₂.l), oraz P₃ na (P₃.2) przeprowadzamy wedle równ. (12) (przy wagach równych jedności oczywiście z opuszczeniem wag p).

Prócz tej formuły na błąd śr. funkcji x, y, 2, mamy jeszcze i drugą, którą wyprowadzimy drogą inną, za pośrednictwem niezależnych spostrzeżeń L.

\aa\

(18)

Pc l:

[aa]

(19)

Kładąc 3=*₀+§, y = yQ+rj, z=z₀+ę, otrzymamy U= F (x, y, z)=P(z₀ + f, y₀+?7,

a po rozwinięciu w szereg Taylora z zachowaniem wyrazów tylko rzędu pierwszego:

dF , dF dF n+Tz ’

lub ze względu na związki (6) § 5-go, (str. 88.), oraz (8) § 8-go:

U=F(xo, y₀, 0o)=P₁[aZ]—P₂[^Z]—P₃ [yZ].

Ponieważ spostrzeżenia P, a zatem i wielkości Z są niezależne, możemy zastosować przy tworzeniu błędu średniego fiu wzory na przenoszenie się błędów", wymienione w § 3-cim rozdz. Ii-go.

U=F(xo, y₀, z₀) +

(20)

(21)

Zatem otrzymamy wedle wzoru (16) (str. 41.):

[Au

-(i)-.-©

P²2 +

d~

(d    ,

(a ) ^

3    <=J

dU

{Mf^Fl*a‘2+2Fl •FV“<ft+2i?i Fi «<r<+

+ F^pi-‘+ZFiFtpiy,+ + F\Vi\

a ponieważ

(f)

2_

P*

+-22^

®t A

f2i^^₃

Pi

+ ^₂²-

A' A

Pi

ł-2.F₂Pl

A yi

³ Pi

>P₀²-

(23)

+    ^3²

7i 7;

Pi

Tworząc sumę wyrażeń zawartych we wzorze (23), otrzy

mamy :

[lV% = <

Po ²?

(24)

+ F.

■ ₂[ yy ³ L p

lub ze względu na związki (22), (22*) i (24) § 6-go (str. 92. i 93.):

[AU²~

(25)

Po²-

Fx² ^1+2^ _F₂ ^i.2+1 F± F₃ Qi.₃ ' F^Q₂.₂+2F,F₃Q₂.3 F₃*Qs.3 .

AYyrażenie ujęte w klamrę jest zarazem odwrotnością wagi funkcji

TT    •    ¹

U i a więc -    ■

W praktyce używamy wzoru (16) lub (25) zależnie od tego, który w danym przypadku przysparza mniej pracy rachunkowej.

Przykład. (Ciąg dalszy ust. 3-go § 7-go, str. 101 —109.).

Wyrównana wartość kąta NH wynosi:

U— 11°44/11 "-057 = 7/—x.

Licząc wedle wzoru (16), otrzymamy Fi — — 1, P₂=4-l; P₃ = 0, Fi = 0.

Wartości wyrazów, wchodzących w skład wzoru (16), przedstawiają się następująco :

[paa]

[pcd. 2]

[pcc. 2]

zatem: (F₂.1) = 1—01667 = 0-8333,    . 1) = 0—0-8338= -0-3333

C^4 • i)=o—0=0

(Fo .2)=—0-3333+ 0-11765.0-8333 = — 0-2353 (F4.2) = 0 + 0-3529.0-8333=0'2941 (¹₄.3) = 0-2941 —0-3892.2353 = 0-2025.

[pbc.1] [pbbTl]

[pab]

[paa]

= —0-11765,

-0-1667

[pac]

[pad]

0-3333,

[pbd. 1]

[pbb. 1]

0-3529,

— —0-3892,

Odwrotność wagi

i—

jest więc:

l² 0-8333²    0-2353²    0-2025²

0-02119,

Waga

Pu 120-0 ¹ 56-6667 ¹ 135-8824    134-7785

g,p²=4-2738.0-02119, |xF=±0"-301.

= 47 odpowiada 47 pomiarom repetycyjnym, podczas gdy

0-02119

przed wyrównaniem wynosiła tylko 20 (wykonano tylko 20 pomiarów repety-cyjnych).

Wedle wzoru (25) przedstawia się rachunek prościej w tym przypadku ze względu, że U jest funkcją tylko dwu niewiadomych x i y.

Vu²=H ² (Ą² Qui + 2 Ft F, Qu2+F₂ 2 Wstawiając wartości szczegółowe otrzymamy:

^=4-2738 (0-00978—0-00750+ 0-01890)=4-2738.0-02118 = 0-09052, P^==t0,"301.

Jak widzimy, wypadł wynik zgodny przy zastosowaniu obu wzorów.

§ 9. Dodatkowe uwagi o wagach spostrzeżeń pośrednich.

Wagi spostrzeżeń omówiliśmy obszernie w § 4-tym rozdz. Ii-go, mimoto powracamy jeszcze do tej sprawy, a to w tym celu, aby rozprószyć wszelkie wątpliwości, jakie mogłyby nasunąć się czytelnikowi w tej kwestji.

Wedle teorji są w równaniach błędów spółczynniki przy niewiadomych bezbłędne, natomiast w praktyce pochodzą one często albo ze spostrzeżeń, albo — przy funkcjach nieliniowych — tworzy się je jako pochodne cząstkowe przy użyciu przybliżonych wartości niewiadomych’; w obu tych przypadkach są zatem spółczynniki przy niewiadomych wielkościami błędnemi¹).

” xV»!+rv»,+^Vt²+....+/t<²’

f*o

(3)

gdzie jedn. błąd średni y₀ jest urobiony w ten sam sposób dla pewnego ściśle określonego l₀ i związanych z tą wielkością spółczynników a, b, c. . przyczem często, o ile nam nie zależy na wartości y₀, kładziemy go równym dowolnej stałej C.

Ti powodu nieznajomości prawdziwych wartości niewiadomych, zastępujemy je wartościami przybliźonemi, otrzymując zamiast wzoru (3):

p=

<4)

lub ew. p

W pierwszym przypadku, o ile mamy funkcję liniową, przedstawi się związek między prawdziwemi wartościami spostrzeżenia spółczynników oraz niewiadomych, następująco:

£i—(a-\-£a) X-\-(bĄ-Ei) Y-\-[c-\-Ej) Z-\-. . . . —L Ei — (CL-j- £a) X-\- {b + Ei) 1 -\-(c-{-Ec) Z-]- . . . . +Z, f=Ei—Xsa— Ysb—Zec— . . . = aX-\-bY^cZĄ-. . . l.

lub

(1)

a wreszcie:

Przechodząc z błędów prawdziwych na średnie, otrzymamy dalej : fi²=X²fia'²+ Y² fib² + Z² y² + .... +pi²

(2)

+ • • • • +^2 Wzór (4) odnosi się także i do funkcyj nieliniowych, przyczem jednak — jak wiadomo —

dF

dF

dF

a dx₀ ’ b dy₀ ’ C dz₀ *' * ' zatem ya, yb, yc,...., są błędami śr. pochodnych cząstkowych, o ile w nich zachodzą wielkości obserwowane (t. j. błędne).

W ten sposób urobione wagi równań błędów wystarczają z reguły przy zastosowaniu rachunku wyr. w praktyce.

W przypadku funkcyj nieliniowych należałoby — biorąc rzecz ściślej — uwzględnić przy spółczynnikach równań błędów błędy, powstałe wskutek zaniedbania przy rozwijaniu funkcji w szereg Taylora wyrazów rzędu wyższego niż pierwszy.

W sprawie ostatnio poruszonej, która ma jednak w praktyce wyrównawczej z reguły znaczenie niewielkie, odsyłam czytelnika do powyżej zacytowanej rozprawy.

Natomiast może być poprzednio opisana metoda, uwzględniająca błędy spółczynników równań błędów, zastosowana z korzyścią w praktyce.

Weźmy jeszcze raz na uwagę przykład omawiany przy końcu ustępu 2-go § 2-go rozdz. Ii-go (str. 33.-35.).

W tym przypadku jednak możemy je utworzyć, ze względu na zasadniczy związek liniowy D= Kl-\-k, w sposób bardziej prosty, mianowicie:

Ai=Kli+k—Di=liX+y—Di,

przyczem A oznacza całkowity błąd pozorny tego związku.

Wedle poprzednich uwag o tworzeniu wag, otrzymamy dla wag

związek:

(4*) .

T»

__₌_*>!_

*0    ²    + yDi

przyczem y₀², jako kwadrat błędu średn. dla 100 m długości, będzie:

² (0-0025)2100²+(0-03)².100,

ponieważ wedle uproszczonych wzorów empirycznych:

yi— dt v'D= ->-0-00251). yn= -\—v^D= -4- 0-03 yD.

Z powyższych uwag wynika, że wpływ błędu yD jest zaniedbywalny w obec wpływu błędu yr, w praktyce możemy zatem przyjąć

(4**j

V*'²100²    /100\

Pi~ xQiv'*Di ~\d)

jak to ma miejsce w przykładzie na str. 83.—85.

Jak z powyższego wynika, może być metoda opisana w niniejszym paragrafie użyta także do nadawania równaniom błędów kształtu bardziej prostego, o ile —jak w tym przypadku — da się ustawić przy jej pomocy związek liniowy, przez co unika się rozwijania związków w szereg Taylora.

Należy jednak pamiętać, że w takich przypadkach, tak błędy A, jak i błąd średni y₀ odnoszą się do całego wyrażenia Kl + k—D, a nie do Z, jak poprzednio.

O ile stała K jest równą w przybliżeniu 100, jest także w przybliżeniu D—.CnjIOO Z, zatem

/100\² 1 {1)) ~ l² ’

Dla wyznaczenia stałych tachymetru ustawiliśmy tam przyjmując, że odległości D są bezbłędne, równania błędów kształtu:

Di—yo

ł,= -

x₀

¹ v+(~y"

X₀ \ X₀

i) O wagach (*»)*.

Pi=

dzieląc przeto równanie błędów przez Z, otrzymamy:

CL    1    Di

Vi=—=K-\—r-k—-y-, przyczem p = l. H    li    li

Ostatnio podany kształt równań błędów nadaje się najlepiej dla celów praktycznych.

ROZDZIAŁ PIĄTY.

Wyrównanie spostrzeżeń zawarunkowanych.

§ 1. Równania odchyłek.

Z uwag przytoczonych w ust. 3-cim § 2-go rozdz. Ii-go wynika, że spostrzeżenia zawarunkowane odnoszą się do wielkości, których wartości prawdziwe nie są niezależne, lecz czynią zadość pewnym określonym (lecz między sobą niezależnym) związkom.

Oczywiście może być mowa o wyrównaniu tylko wówczas, gdy ilość spostrzeżeń n przewyższa ilość związków czyli warunków r.

Przypuszczając, że czytelnik nabrał już pewnej rutyny w dziedzinie rachunku wyrównawczego, przeprowadzimy wszelkie wywody w źormie ogólnej i nieco zwięźlejszej, niż to dotychczas miało miejsce.

Związki, którym czynią zadość prawdziwe wartości spostrzeżeń, zestawmy w formie ogólnej :

In ~ł~ ^n) ~~ 0 In “1“ ^n) ⁼⁼ 0

4(4+£i> 4+£2>

ilość r.

(1)

4 (4 +£u 4+£2?

In 4" £»)— O

fr(li+Si, l₂~\~S₂,

Związki te nazywamy równaniami warunkowemi, lub krótko warun

kami.

Spostrzegane wartości Ą,. . . ,ln: wstawione do równań warunkowych, nie spełnią ich do zera. Różnice o powstałe w ten sposób, nazywamy odchyłkami równań warunkowych, które to ostatnie przechodzą na r równań odchyłek (w kształcie ogólnym):

4?

Ir) —

Ir) —(O 2

: ilość r.

(2)

ln) = (Or-

fr (Zj, Z₂ >

Rachunek wyrównawczy ma nam dostarczyć zamiast błędów prawdziwych £ takie błędy pozorne ó, — które w tym przypadku nazywamy

'poprawkami, — aby spostrzeżenia uzupełnione niemi spełniły warunki (1), zatem:

4 (4 + 1 4+^2 ) 4 (4d-d₁₇ 4 +^2 j

In + dn) — 0 In + Ón) ~ 0

(3)

4d~dn)—-0.

fr (4 d-dj, 4 d-d₂,

Zastosowując do równań (3) rozwinięcie w szereg Taylora z pominięciem wyrazów rzędów wyższych niż pierwszy, otrzymamy je w kształcie liniowym:

zaś kładąc

4 (4> 4?

4 (4 > 4

4(4> ^

2)

df,

In) d--Ój +

4) d

Cl,

dfr

d4

dń d4 ,

—i=a- —r~=bi

d₂-b • • • • d—

d₂ d- • • •

O; CŁ>

ón=0

d4

(3*)

Ófr

d4

dfr

d4

dn = 0,

(4)

oraz

dk ‘

zastępując poszczególne 4 przez coi (równ. (2)), będziemy mieli r liniowych równań odchyłek wyrażonych poprawkami:

u, d, d~a₉ d₉ -f-b₁ó₁ + b,ó₂ +

dli

dli

+ an Ón-ł-G)^ 0 d~ bn ón -(- g)₂=0

(5)

d“ fn dra d~ G>1--0.

d₁ + r₂d₂ +

Jak widać z równań (5), jest w ogólnej liczbie n poprawek tylko r poprawek zależnych, zaś pozostaje ('n—v) są niezależne.

Jeśli tedy wybierzemy z pośród n poprawek (n—r) niezależnych, oznaczymy je przez x, y: z,. . . ., możemy utworzyć n związków między poprawkami a niewiadomemi, które będą niczem innem, jak dobrze nam znanemi równaniami błędów.

Z tego wynika, że spostrzeżenia zawarunkowane można wyrównać

metodą spostrzeżeń pośrednich.

Prócz tej metody wyrównania możemy zastosować jeszcze i drugą, która wynika z utworzenia [p dS\—min. przy równoczesnem uwzględnieniu v warunków postawionych na początku zagadnienia, t. j. równan (5).

§ 2. Wyrównanie spostrzeżeń zawarnnkowanych metodą spostrzeżeń pośrednich. Jednostkowy Mąd średni p₀.

Na podstawie związków (3*) lub (5) (ewentualnie na podstawie odpowiedniej figury przedstawiającej związki wykreślnie) można się łatwo zorjentować, które poprawki w liczbie (n—r) są niezależne. Bardzo często

spotykamy tego rodzaju związki, że pozwalają na wybór kilku systemów (n—r) niezależnych poprawek. Oczywiście zdecydujemy się wybrać taki system poprawek jako niewiadome równań błędów, który będzie wymagał najmniejszego nakładu pracy rachunkowej przy wyrównaniu, t. zn. taki, któremu będą odpowiadały równania normalne o największej ilości spół-czynników przy niewiadomych równych zeru.

Dla uproszczenia wywodów przypuśćmy, że obrany przez nas system niezależnych (n—r) poprawek zawiera początkowe poprawki od do ón_r- w tym przypadku otrzymamy (n—r) równań błędów kształtu:

d, ==x

n—r równ. błędów

oraz r równań odchyłek (5) ogólnego kształtu:

di=Of®+6iy-f Ci*+......

razem n równań błędów, przyczem na wyrazy wolne li złożą się pewne odchyłki io.

O ile spostrzeżeniom odpowiadają różne wagi p, przeprowadzimy wyrównanie na podstawie warunku [pdd] — min., uzyskując przy pomocy równań normalnych wartości niewiadomych, a następnie i błędy średnie.

Jednostkowy średni błąd fi₀ spostrzeżeń pośrednich jest określony związkiem:

Po

-4

[póó]

n —k

(1)

przyczem k jest ilością niewiadomych.

W przypadku sprowadzenia wyrównania spostrzeżeń zawarunkowa-nych do wyrównania spostrzeżeń pośrednich o (n—r) niewiadomych będzie zatem:

,-y

[póó]

n—(n—r)

(2)

Ponieważ jednostkowy błąd średni pozostaje ten sam przy zastosowaniu dowolnej metody wyrównania, opartej na metodzie najmniejszych kwadratów, przeto wzór (2) jest ważny i dla metody wyrównania, którą przedstawimy w § 3-cim.

Przykład. Dla ustalenia czterech kierunków zmierzono na stanowisku O sześć kątów.

Ponieważ trzy kąty wystarczają do ustalenia czterech kierunków, przeto tylko 3 kąty są niezależne.

Między wszystkiemi 6 kątami zachodzą trzy związki:

(3)

(l) + £i — (2)—e2 + (4) + £4~0

(1)    + £i —(3)—£3 + (5) + £5=:0

(2)    + 8₂—(3)—£3 + (6) + £6⁼⁼®>

które spełniają także i wyrównane wartości kątów:

(4)

(l) + 8₁-(2)-8a+(4) + 8₄ = 0

(1)    + 8₁-(8)-83 + (6)4:8.=0

(2)    + 5₂-(3)-B₃ + (6) + 8₆ = 0.

Równania odchyłek otrzymamy, wstawiając do związków (4.) niepoprawione wartości spostrzeżeń:

(5)

(1) -(2) + (4)=u>₁

(!)—(3)-f-(5)=G>₂

Fig 8.

(2) —(3)4-(6)=o>₃

zaś równania odchyłek wyrażone poprawkami będą:

• -8.

-83

•    + $4    •    •    + wl — 0

. + 3₅ . +w₂ —0

•    •    +^6+U>3⁼®

(6)

powstałe przez odjęcie związków (5) od (4)).

Kładąc %₁=x, \=y, 83= z, (możemy to uczynić, ze względu, że niema żadnego związku odnoszącego się do wszystkich tych poprawek, czyli ze są one niezależne, co zresztą widać z fig. 8), otrzymamy równania błędów:

1 z=l =l₃ = 0

ż₄= —wt = — (l) + (2)—(4) l₅ — — o) ₂ = —(l) + (3)—(5) lQ = — w₃ = — (2j + (3)—(6),

S4=— x+y

⁸5 ⁼ “ *

'6““

• -h₄

• — y+z+h,

przyczem

(7)

I [pth]

zaś jedn. błąd średni ogólnie (dla wag rożnych) |x₀—y -

Dalsze szczegóły wyrównania nie wymagają bliższych objaśnień.

§ 3. Wyrównanie spostrzeżeń zawarunkowanych przy pomocy metody spółezynników nieoznaczonych (korelat).

Jak już wspomniano przy końcu § 1-go, należy w tym przypadku utworzyć [p dd]=min. przy równoczesnem uwzględnieniu v równań odchyłek (równ. (5) § 1-go, str. 119.).

Opierając się na zasadach analizy, utworzymy dla uzyskania względnego min. sumy [pdd], podobnie jak to miało miejsce w § 5-tym rozdz. IV tworzeniu równania 17-go, funkcję iQ=min., na którą złożą się:

przy

[p dd], oraz wszystkie równania poprawek, pomnożone przez (na razie nieoznaczone) spółczynniki (korelaty), przyczem dla uzyskania równań, podobnych kształtem do równań normalnych, oznaczymy owe spółczynniki: _2Jfc — 2fc₂,. . . . — 2kr.

Zatem otrzymamy z uwzględnieniem związków (5) § 1-go :

i3=[póó]—2^(fadj+mj—2&₂([6ó] + w₂) — . .. — 2&r([rd] + a>,.)=min.

Bezwzględne min. tej funkcji wymaga spełnienia w warunków:

0

’ dd₂ U’

2jpi dj—2 (ai kx + bx k₂ + cx &₃ + .. . . +rx kr)=0 2 p₂ d₂—2 (a₂ &[ + d₂ &₂ -j- c₂ &₃ + . . . . +7*2 &»•)=0

O)

ddA

di?

d ón

0, czyli:

(2)

(3)

2 dn 2    4" k₂ 4- cn k₃ 4- • • • • 4- 7*n k,.)—0.

Po uproszczeniu każdego równania przez 2 i podzieleniu przez odpowiednią wagę p, otrzymamy n równań poprawek kształtu:

— (ax kx 4-6j k₂ +cx kz 4-.•... 4-rx kr)

Pi

d-2=1 («2 kx +b₂ k₂+c₂ k₃ + • • • • +r₂ k,)

ó, =

Pi

(4)

ón— ~    | T)nk₂-\-cnk₂-\-.

• • 4" n ^r) •

Celem wyznaczenia r spółczynników nieoznaczonych kx, k₂, . . .kr wyrugujemy przy pomocy równań poprawek (4) wszystkie poprawki w równaniach (5) § 1-go, t. j. w równaniach odchyłek, uzyskując r równań korelat o r niewiadomych.

Pierwsze równanie korelat, urobione z pierwszego równania odchyłek kształtu: a₁óx-sra₂d₂ + . . . . +anón-\-<oi = 0, przedstawi się następująco:

a\ bi

$ ^    ^

fcO    b

kx-f

b2

Pi

k₂-\-

aic₁

ai ri

Pi

Pi

krĄ-

a₂ c₂

4“

an bn

a n cn

&₂4------

Pn

Równanie to, uporządkowane wedle korelat k, przybiera postać analogiczną jak pierwsze równanie normalne:

4-

an rn

kr-bcDj =0.

• •. 4*

[?]

Afr4" —0,

(5)

(z tą różnicą, że wagi znajdują się tu w mianownikach).

odchyłek:

Analogicznie otrzymamy drugie równanie korelat z drugiego równania

a. b, ₇    b,²

~Jzr¹k₁+-~k₂-\

bl rl

Pi

Pi

Pi

a₂b

bJ

Pi

kx + k₂ -j

b% c₂

P2

P2

-² h+

an bn

bJ

Pn

--k₂Ą

Pn *

bn rn

Pn

Pn

kr~\~ (o₂—0,

lub ostatecznie:

[?]

kr -j- q)₂ — 0 ■

(6)

Postępując w ten sposób utworzymy, jak wspomnieliśmy, r równań korelat; równania te zestawione poniżej, posłużą nam do wyznaczenia wszystkich r niewiadomych, któremi są w tym przypadku korelaty.

¹

Dokładne omówienie tej kwestji znajdzie czytelnik w rozprawie: Dr. K. Weigel, „TJeber die Behandlung d. Fehlergl., dereń Koeffizienten b. d. Unbekannten nicht fehlerfrei sind“. Oester. Zeitschr. £ Yermessungswesen t. XI, 1913.

[f]

[?]

kr+(o₂=0

(7)

f rr1

■⁺k>\

kr-\-(Or = 0.

Równania (7) mają kształt równań normalnych, a różnią się od nich tylko tern, że przy tworzeniu spółczynników równań korelat bierzemy na

któremi posługujemy się w ten

wartości

uwagę zamiast wag p ich odwrotności ~ sam sposób, jak wagami przy równaniach normalnych. Mając obliczone —, utworzymy n. p.:

— —■ b^ c₁ -\---b₂ c₂ -f* •. •. H------bncn.

Pi

P2

Pn .

Sposoby rozwiązania równań korelat są oczywiście identyczne ze sposobami rozwiązywania równań normalnych.

Z reguły posługujemy się w tym celu systemem zredukowanych równań korelat kształtu:

4-

[—

kr 4~ Ct)₁

[—.llftr+(a.₂.l)=0

•s

[ir³ ]fc3+    +

«)-»

przyczem znaczenie użytych tu symbolów jest następujące n. p.:

ac

[f ■]-[?]

[“]

(w₂.l) = ws

ffl-

[?]'

[?■][?>]

•1)

(W3.2)==(ft)₃.1) —

(9)

(fi>3.1) = ©₃

[?]".

T aa]

L P J

K-3)=(w₄.2)

i t. d.

O ile wagi wszystkich spostrzeżeń są równe jedności, upraszczają się przytoczone tu wzory; w szczególności przybierają równania poprawek (4), równania korelat (7), oraz system zreduk. równ. korelat (8) kształt’

ói—ai kx -f* bi k₂ 4~ Ci k?j 4-

[aa\ kx + [a&] k₂ 4-[a&] kx+[bb\ k₂-\-

r; kr

(4*)

[ar\ &r 4-^ = 0 \br\ kr+(o₂= 0

(7*)

[**r] kr+cor=0,

[ar] A*i 4 k₂ +

[aa\ kx + [a&] k₂ +.....4- [ar] Av+

[&&.1] k₂ + ... + [br. 1] kr 4- (co₂.1)

=0

(8*)

[rr. (r— 1)] kr4-(a>,. (r — 1))=0.

Po wyznaczeniu wartości korelat z równań (8) wstawiamy je do równań poprawek (4), uzyskując poszczególne poprawki przy pomocy związków kształtu (ogólnie):

di — — (a* ky -j-~ bt k₂ 4- c?- k% 4~

Pi

4-nkr).

Jedn. błąd średni przed wyrównaniem wyznaczamy wedle wzoru (2) § 2-go (str. 120), zatem:

Po —

t:d] (dla przyp- was p⁼¹>

(10)

zaś błąd średni przed wyrównaniem spostrzeżenia o wadze pi wedle znanego wzoru:

Pi

Po²

Pi

(U)

Błędów śr. określonych wzorem (11) zazwyczaj nie obliczamy, zadowalając się wyznaczeniem jedn. błędu śr. p₀ jako miary dokładności spostrzeżeń.

Wracając do 'przykładu opisanego w § 2-gim (str. 120. —121.) przedstawimy przebieg wyrównania przy zastosowaniu metody spółczynników nieoznaczonych.

Napiszmy równania odchyłek (6) § 2-go w formie schematu:

0)

On '

+ !• -1

O),

(-0)

r-ł

(=0) (12)

+ 1 w, ( —0)

rH

CS

54.

który nam ułatwi utworzenie spółczynników równań korelat (7):

r«ai 1^1

L p J 1>2 i>2 i>*

P 3 Pb

1 \ab] 1 F ac 1

J_ JPi’ Li? J

[—1= ¹ , [---] = — + — +--

L i> J j>₃ L ^ J i>s    ps    Pg

i>2

(13)

O ile wszystkie wagi są równe jedności, przyjmują związki uproszczony:

(13) kształt

[aa]=3, [«&]=!, [ae]--1, [66] = 3, [6c]=l, [cc]=3.

(14)

§ 4. Równania kontrolne."

1. Kontrola spółczynników równ. korelat.

Kontrolę tę możnaby przeprowadzić, urabiając równania kontrolne analogiczne do równań zestawionych w ust. 1-szym § 3-go rozdz. IV. (str. 80.); przypuszczając jednak, że czytelnik nabrał już pewnej wprawy

w przeprowadzaniu rachunków wyrównawczych, pominiemy sposób „szkolny “ kontroli, opisany w powyższym ustępie, podając go w formie używanej przez biura tryangulacyjne i t. p. instytucje; wzory i sposoby, które tu przytoczymy będą analogiczne do wymienionych w końcowym przykładzie § 7-go rozdz. IY-go (str. 101.—109.).

Dla uproszczenia wywodów przyjmiemy, że mamy tylko 3 równania warunkowe, a więc i 3 równania poprawek kształtu równań (5) § 1-go, natomiast ilość spostrzeżeń niech wynosi n.

Przedewszystkiem utworzymy sumy spółczynników równań poprawek, odnoszących się do poszczególnych spostrzeżeń kształtu:

~b b{ -f- Ci

jednak bez odchyłki o>*, zatem w naszym jmzypadku przedstawią się tak utworzone związki (z kbntrolą sumaryczną) schematycznie:

Kontrola spółczynników równ. odchyłek i poprawek.

Pi

bi i ct

S2

Pi

az

C3

S3

Pz

(1)

an

bn

Sn

Vn

M [b]    [e]

Następnie utworzymy schemat dla kontroli współczynników równań

korelat:

*53

•ela

►o

CS

CC i

eia.

•e;g

to

CS

CS

531 a.

05

M (-0)

Cc

Ostatnie równanie służy nam dla kontroli wyrazów równań korelat raz zredukowanych, gdyż suma wyrazów raz redukowanych każdej kolumny równań (4) musi nam dać wyniki zgodne z wyrazami otrzy-manemi z redukcji równania sum; przeprowadzając zatem redukcję wszystkich wyrazów schematu (3>go, otrzymujemy schemat raz zredukowanych równań korelat wraz z kontrolą sum:

"'2

["]■ [?]¹ [? ]

wypisane we wierszach ostatniej kolumny,

Sumy

tworzone bezpośrednio ze współczynników a, b, c i —

P

ze sumami odpowiedniemi ostatniego wiersza powstałemi przez sumowanie wyrazów poszczególnych kolumn.

Równania korelat wraz z kontrolnem równaniem sum przedstawiają się schematycznie:

muszą się zgodzie

! kx

ko

ko

Wyrazy

wolne

e a*

-O

(=0)

o-

(=0)

(3)

*e|§

Cr*

(=0)

Wyrazy

wolne

Cr-

rH

£ a, § a

T—i

(o₂.l)

(=0)

1—1

(o₃.1)

(=0)

PSI

iH

[0.1]

(=0)

W ten sam sposób otrzymamy schemat dwa razy zreduk. równania korelat (w przypadku trzech korelat ostatniego) wraz z kontrolą sum:

k.A

Wyrazy

wolne

[f-*]

(w₃.2)

(=0)

[H

[cu. 2]

(=0)

Wyrazy umieszczone nad sobą, otrzymane niezależnie drogą redukcji z schematu (4-go), muszą być sobie równe.

(5)

Schemat zredukowanych równań korelat z dodaną ze schematu kontrolą sum przedstawia się zatem:

k.

kA

Wyrazy

wolne

ys r*|8.

[f]

(=0)

rH

[M

(6)

[f-³]

■O §•

(w₃.2)    (=0)

(—0) {ze schematu (3)-go.{.

Po wyznaczeniu wartości korelat z równań schematu (6)-go (lub pierwszych równań schematów (5)-go, (4)-go i (3)-go) wstawiamy je do równania sum schematu 6-go (lub (3)-go), otrzymując w razie zgodności dostateczną kontrolą uzyskanych wyników.

Ten sposób prowadzenia i kontrolowania rachunku jest analogiczny ze sposobem przeprowadzonym cyfrowo w ostatnim przykładzie § 7-go rozdz. IV-go (str. 101. i dalsze).

Kto nie posiada dostatecznej wprawy w rachowaniu, może obrać drogę wprawdzie dłuższą, lecz obfitującą w liczniejsze kontrole, mianowicie sposób analogiczny do podanego w ust. pierwszym § (3)-go rozdz. IY-go (str. 80. i dalsze).

2. Kontrola sumy [pdd].

Prócz zwykłego sposobu uzyskania [p dd] z równań (4) § 3-go kształtu

ogólnego di=— (a* kx + bi k₂ + c* &₃ 4- • • • • +rikr)₎ przez podniesienie poszcze-

Pi

gólnych d do kwadratu pomnożenie przez odpowiednie wagi i zesumo-wanie, mamy jeszcze drugi sposób urobienia wspomnianej sumy, którego użyjemy jako kontrolnego.

Mnożąc każde równanie poprawek (4) § 3-go przez odpowiednie p d, otrzymamy po zesumowaniu wszystkich równań:

Pi dx^=ax d₂ kx+bx óx k₂+ . .. . +rx dx kr p₂ d₂²=a₂ d₂ kx + b₂ d₂ k₂ + ., .. + r₂ d₂ kr

Pn dn ~    kx I ' k₂ ""t" * * * ■ “I⁻ n &n ky

(5)

[p dd]= [a d] kx + [ó d] k₂ -f- ... . + [r d]kr.

Ponieważ wedle równań (5) § 1-go są:

[a d]= —- (ov [6 d]= —&)₂,. . . . [r d]= —o)r

przeto wzór (5) przeistacza się na:

(6)

[p dd]=-[w&]

{dla przypadku wag równych (_p = l) będzie [dd]=—[w4]}.

Związek powyższy (6) stanowi prawie całkowitą kontrolą dla przebiegu rachunku począwszy od równań odchyłek, zawiera bowiem tak poprawki jak i korelaty w połączeniu z odchyłkami. Kontrola, dostarczona wzorem (6), jest zatem najważniejszą dla całkowitego rachunku. Prócz tej kontroli używa się również i wzoru kontr., podanego w następnym paragrafie pod 1).

§ 5. Bezpośredni sposób wyprowadzenia wzoru na jedn. błąd średni p₀.

W § 2-gim niniejszego rozdziału wyprowadziliśmy wzór na jednostkowy błąd średni drogą pośrednią [(2) § 2]. Mimo zupełnej ścisłości powyższego dowodu, podaję w krótkości sposób wyprowadzenia na jednostk. błąd śr. drogą bezpośrednią.

Eliminując w związku (6) § 4-go:

[p dd]=—[a)k\

poszczególne k przy pomocy systemu zredukowanych równań korelat (4) § 4-go, otrzymamy po odpowiedniem zgrupowaniu wyrazów zredukowanych związek:

[pdd]=-^±

.....I M

£i a,

(1)

Ponieważ równania odchyłek (5) § 1-go odnoszą się oczywiście także i do błędów prawdziwych e, przeto:

[ae]=wlf [6c]=o>₂, [ce] = o>

. .. [re]=aii

(2)

a w następstwie:

[6e.l]=(fi),.l), [cc.2]=(0)₃.2). .. .[rc.(r-l)]=(w,.(r—1)).

(2*)

W obec tego można przekształcić związek (1) w następujący:

|>£.1]²₊[C£.2]

[póó]

a e]

're.(r—l)]²

-i r—.ii f-.si

p\ ip j ip j

rr .

«]

(3)

Przeciętna wartość każdego wyrazu prawej strony równania (3) wynosi ², o czem można się łatwo przekonać przez odpowiednie przekształcenie ich liczników. I tak n. p., biorąc na uwagę [ae]², zastąpimy ten wyraz ze względu na wywody, przeprowadzone przy końcu § 4-go rozdz. IY-go (wzór (6), str. 86.), sumą

[a²s²]=[aa ee]

(4)

a kładąc w miejsce kwadratów błędów prawdziwych kwadraty błędów średnich, sumą

[aa fifi].

Z uwagi na znany związek fi²

(4*)

równa się

Po²-,

(5)

w obec czego otrzymamy, wstawiając razu po prawej stronie związku (3):

j fi₀ ² za licznik pierwszego wy

aa

a e]²

aal ac

P J P

(6)

W analogiczny Sposób można dowieść, że wartości przeciętne wszystkich r wyrazów, znajdujących się po prawej stronie równania (3) *), są równe fi₍₎²; zatem

~h

x) I tak biorąc na uwagę [b e. 1]²= I [b ej

ab

aa

|[ «]\*

\aa 1

L p J

= [b e]²—2-

aa

[ae\ [6e] +

[ae]², łatwo dowieść, że przeciętna wartość [óe]² równa się [bb ee],

a ostatecznie

p,₀²; ponieważ wartość przeciętna iloczynu [ae][ó£] równa się

[p dd]=r p,?

\pSS\ ..    1'/«<>■’i.

\ r

^o²

Przykłady wyrównania spostrzeżeń zawarunkowanych podano w § 8. niniejszego rozdziału.

Po

§ G. Błąd średni funkcji wyrównanych spostrzeżeń.

Na wyznaczeniu wartości wyrównanych spostrzeżeń i jednostkowego błędu śr. nie kończymy zazwyczaj rachunku wyrównawczego. Z reguły bowiem stanowią wyrównane spostrzeżenia lub ich funkcje bądź to przedmiot dalszych wyrównań, bądź też zależy nam z innych względów na wyznaczeniu ich błędów średnich.

"Weźmy na uwagę dowolną funkcję wyrównanych spostrzeżeń

Z₂-f-ó₂,

rozwijając ją w szereg Taylora z opuszczeniem wyrazów rzędów wyższych niż pierwszy, otrzymamy:

F{h, hi

(1)

7A dF, dF, , 'dF, l"⁾⁺dT₁dl+dT₂d2++dTnón-

Nazwijmy F' prawdziwą wartość funkcji F, a zatem funkcję, utworzoną przy pomocy wartości prawdziwych 1+e:

F' — F{1 i+£u Zg + C2).....Al+•£«):

którą rozwińmy jak pod (2) w szereg Taylora z zachowaniem wyrazów rzędu pierwszego:

(2)

(3)

h) +

dF

dF

dF

(4)

F' = F(ll, l₂,

Błąd prawdziwy funkcji F jest różnicą związków (3) i (1), lub (4)

Ó1P-TT

dl2    2

dLei+dł, e' ⁺ --'dUe"

i (2), zatem, jeśli położymy dla uproszczenia wzorów

dF

dlx

. . . -Ty-—Fn, będziemy mieli na £f wyrażenie następujące: d ln

aa

[i,₀², zaś [ae]² odpowiednio

^₀², przeto wartość przeciętna [ó« . I]²

ab

równa się: p,₀²

położyć zamiast

>e.l]

₂t J ₊uy

\aa 1 r aa 1

L i? 1 Li? J

co zatem idzie, możemy

ts>

-.li

V J

kwadrat jedn. bł. śr. p₀². W ten sam sposób można

przeprowadzić dowód dla wszystkich wyrazów prawej strony równania (3), uzyskując wzór (7).

f/=[.P£]—lnb po podniesieniu

do kwadratu:

(6)

£/2=[Fe]²-2 [JPe][^d]+[JPd]².

Do pierwszego wyrazu prawej strony równania (6) możemy zastosować prawo przenoszenia się błędów, zastępując je wartość ją przeciętną, nie możemy jednak tego sposobu postępowania uwzględnić na razie przy dalszych dwu wyrazach, ponieważ oba zawierają poprawki ó, uzyskane z wyrównania, a więc wielkości zależne.

Chcąc więc uzyskać wzór na błąd średni funkcji na podstawie równania (6), należy w niem zastąpić sumy [i^d] przez odpowiednie sumy wielkości niezależnych.

Jak już wspomnieliśmy w § 5-tym, spełniają także i błędy prawdziwe równania poprawek, zatem, ograniczając się dla uproszczenia wzorów tylko do trzech warunków, otrzymamy:

(7)

[ae]=-.w„ [be]=—<y₂, [cc]=-o)₃,

a po wstawieniu tych wartości do równań korelat, związki:

~ ab

aa

YP

■kx -f-

&₂-f-

ac

kz—[a f]—0

ab'

kx +

bb 1

k%

’ bc

iP

ks—[b f]=0

(8)

ac

kx +

bc

cc

.P

k₃ — [c e]=0.

nam

Równania (8), rozwiązane metodą eliminacyjną Gaussa, dostarczają korelat k, wyrażonych wielkościami nięzależnemi :

aól bc Ji

' ab

ac

=[ae]

[^•1]

YP

¹J | [cc.2]

aa

YP

[f ■]

aa

1 ai

J P

bb

— .1

,P

■■

bc

[be. 1

(9)

rs.i

Yp

bb

—.1

YP

TM

Weźmy na uwagę równania poprawek (4) § 3-go kształtu:

1

ói=— (a; Ł +bi k₂ + Ci k₃),

Pi

pomnóżmy każde z nich przez odpowiednie wyrażenie F, zatem (w naszym przypadku dla <h przez Fi):

Fió,=

— (<2j Fi kx 4- bi Fi k₂ +CiFik₃)

Pi

(10)

a wstawiając za k wartości ze związków (9) i sumując wszystkie Fd, otrzymamy:

[Fd]=

[fHJ? ±-!!

\f]    [“■'] [fa]

(11)

Rugując ze związku (6) sumy [F<5] przy pomocy równania (11), możemy utworzyć wartości przeciętne prawej strony równania (6), zastępując równocześnie £>² wartością błędu średniego fif².

Weźmy nasamprzód na uwagę [Fe]².

Przeciętna wartość [Fe]² równa się ze względu na końcowe wywody § 4-go rozdz. IY-go (str. 86.) sumie:

[FFfifi];

że jednak fii²=

Pi

przeto

[FF^]=p^J \

to

Jest to błąd średni funkcji przed wyrównaniem, to jest błąd śr. jakibyśmy uzyskali, wstawiając do funkcji niewyrównane wartości l.

Przejdźmy następnie do wyznaczenia przeciętnej wartości drugiego wyrazu wzoru (6).

Wedle związku (11) jest —2 [Fe] [Fó]= aF

~bF

cF

.2

aa

[Fe][ae]-f

bb

[Fe] [6 e. l]-f

— .2

[Fe] [ce.2]    (13)

ił p:

Przeciętne wartości iloczynów sum, zawierających błędy prawdziwe e,

P₀ j    ą.

są: [Fe][ae]

=oo [aF

[Fe] [6 e. l]=[Fe] [b e]—[Fe]

j" aa]

L P J

j" aa]

L P J

[?■ ]-

[Fe][ce.2]=[Fe] [ce]

[f]« [f>

e.l]

f aa]

L P J

[»]

O*

T—I

= CV5

■,[f]

aa

[?*]"

Po wstawieniu tych wartości do równania (13) otrzymamy wartość przeciętną wyrażenia — Z[F e][F 6\:

MJ

bF

— .1

i [fl i?

.1

f—.2

(15)

Pozostaje jeszcze wyznaczenie przeciętnej wartości trzeciego wyrazu wzoru (6), t. j. [i*Td]².

Podnosząc związek (11) do potęgi drugiej, otrzymamy prócz 3 wyrazów w potędze drugiej, jeszcze i 3 podwójne iloczyny (w przypadku tylko 3 warunków).

Przeciętna wartość każdego podwójnego iloczynu będzie jednak, — przy rosnącej liczbie spostrzeżeń n — dążyła do granicznej wartości zera (ponieważ cp (e)=(p(—e)), przeto pozostają do omówienia tylko wyrazy w potędze drugiej.

Przeciętne wartości wyrazów:

W

są:

\hb li 2

(16)

[CE. 2]²

zatem wartość przeciętna [.Fd]² jest z uwzględnieniem wzoru (11):

.1

(17)

iET.lv

l[“] [“•■

Wstawiając do wzoru (6) w ten sposób, uzyskane wartości przeciętne (12), (15) i (17) i równocześnie zastępując sf przez kwadrat błędu śr. otrzymamy ostatecznie:

^'² = ^0

■m

\aFV T L V IP

bF

.1

.2

[.

aa

i“,

L P

r cc

L p

(18)

.2

Wyrażenie zawarte w klamrze {...} jest równocześnie odwrotnością wagi funkcji F ^t. j. =—-j.

Wzór (18) bywa używany także i w innej formie, a to dla zaznaczenia, że wyraz, ujęty w klamrę, składa się z dwu części, z których pierwsza, pomnożona przez g₀², daje g/, kwadrat błędu śr. funkcji F

przed wyrównaniem, zaś druga, pomnożona również przez p₀², wykazuje wpływ wyrównania na /zF²-, aby to uwydatnić we wzorze piszą często:

^=^{1-11},

(?] IM [?•>]

W przypadku wyznaczania błędu średniego wyrównanego spostrzeżenia k, należy położyć F{— 1, zaś resztę F— 0, a następnie obliczyć fii2 wedle wzoru (18).

O ile spostrzeżenia l były dokonane z tą samą dokładnością, otrzymamy w miejsce wzoru (18j wzór nieco uproszczony z powodu, że wszystkie wagi będą równe jedności; a zatem w tym przypadku będzie:

[aF]²    [6JP.1]² [cF. 2]

[aa] [bb. 1] [cc.2]

Zazwyczaj zależy nam na wartości nie ‘kilku różnyęh, lecz tylko jednej funkcji F spostrzeżeń Z, oraz wyznaczeniu jej błędu średniego. Wyrażenie, ujęte we wzorze (18) w klamrę, jest przy r warunkach

r-tą redukcją sumy

prowadzamy automat., redukując wyrazy równań korelat.

Kładąc dla uzyskania kontroli (przy 3 warunkach):

sj—aiĄ-biCi~\-Fi~8i-\-Fi, możemy przedstawić równania korelat wraz z wyrazami, odnoszącemi się do błędu średniego funkcji, następującym schematem:

T \FFA

przyczem 1= ^-1

zaś II

(19)

}'

[FF]    \ff 1

I, zatem ogólnie . r! ; otóż redukcję tę prze-

(21)

k₃

W yrazy wolne

kF

CS

‘Ci

ffl

Cr

cr

-Cl

a,

a,

ffl

Ci

a,

§|a,

ffl

’ (22)

Cr

ffl

*8 I 8*

CS

ffl

Ostatnie równanie jest równaniem kontrolnem dla korelat k.

Wyrównana wartość funkcji F jest wedle wz. (2):

(21)

F(l1}l₂.....4) + |Wó], przyczem kontrolę

(22)

stanowi równanie:

uzyskane na podstawie równania (4) § 3-go.

Wreszcie wspomnieć należy, że prócz równań kontrolnych.:

ln-\-dn)=0, które dają nam możność spraw-

[<u&], oraz [adJ + co^O, [6 ó] +ct>₂=0, [c<5]-fo)₃=0 itd., mamy jeszcze ogólnie r kontrol w początkowych równaniach warunkowych kształtu: fL (4 -f , Z₂ + d₂, dzenia, czy opuszczenie wyrazów rządów wyższych, niż pierwszy w równaniu (3*) § 1-go było uzasadnione.

§ 7. Związek między spostrzeżeniami pośredniemu a zawarunkowanemi.

Wybór metody wyrównania.

Pod koniec § 1-go zaznaczyliśmy, że wyrównanie spostrzeżeń zawarunkowanych można sprowadzić do wyrównania spostrzeżeń pośrednich. Sprawę tę omówiliśmy dokładnie w § 2-gim, podając równocześnie odpowiedni przykład.

Uzupełniając wywody § 2-go, należy stwierdzić, że i odwrotnie każde wyrównanie spostrzeżeń pośrednich można sprowadzić do wyrównania spostrzeżeń zawarunkowanych metodą spółczynników nieoznaczonych czyli korelat.'

war-

Weźmy na uwagę n równań błędów o k niewiadomych. Otóż ilość k jest równocześnie ilością ‘spostrzeżeń „konieczny ćha, t. j. ilością spostrzeżeń, które koniecznie (niezbędnie) należy wykonać,, aby wyznaczyć tości niewiadomych bez rachunku wyrównawczego; reszta spostrzeżeń w liczbie (n—k) są to spostrzeżenia „nadliczbowet. j. przekraczające ilość niezbędnych spostrzeżeń, a przez to właśnie powodujące wyrównanie.

Rugując k niewiadomych z reszty (n—k) równań błędów, przy pomocy k równań błędów, otrzymamy n—k=r związków między n poprawkami ój poczem zastosujemy przy wyrównaniu metodę spółczynników nieoznaczonych.

Zazwyczaj nie potrzeba przechodzić z jednej metody wyrównania na drugą dopiero po ustawieniu równań błędów, względnie równań odchyłek, lecz można od początku zastosować jedną z podanych metod wyrównania.

Oczywiście obieramy zawsze tę metodę, która nastręcza mniej pracy rachunkowej. Dla wyboru metody łatwiejszej mamy tedy następujące ogólne wskazówki.

Zazwyczaj zabiera przy wyrównaniu najwięcej czasu rozwiązanie równań normalnych, względnie korelat. Biorąc ten moment głównie na uwagę, obierzemy w przypadkach:

§ 7. Związek między spostrzeżeniami pośr. a zawarunk. Wybór metody wyrównania.

187

(1)

pośrednich lub zawarunk. pośrednich.

k~> r metodę spostrzeżeń zawarunkowauych (korelat) k—„r k < r

„    „ pośredn. lub zawar. (2)

„ pośrednich.

Wstawiając za k ilość (n—r), otrzymamy regułę (l)-szą we formie: jeżeli n—r>r, lub w>2r, należy obrać metodę sp, zawarunkowanych n—r=r, „ n=2r, można „ ' n—r<r, „ w<2r, należy „

Są to oczywiście tylko ogólne wskazówki, gdyż prócz reguły (2)-giej względnie (l)-szej należy jeszcze wziąć na uwagę pracę rachunkową przy tworzeniu wag, jakoteż i okoliczność, przy której metodzie otrzymamy więcej spółczynników równań normalnych, względnie rown. korelat równych zeru.

Sprawę obioru metody przy wyrównaniu sieci tryangulacyjnych, omówimy w rozdziałach traktujących o sieciach tryangulacyjnych.

§ 8. Przykłady wyrównania spostrzeżeń zawarunkowanych.

Przykład pierwszy. Weźmy jako przykład pierwszy wyrównanie spostrzeżeń podanych jako wyrównanie do stałej sumy w § 4-tym rozdz. IH-go (przykład pierwszy, str. 70. — 71.).

Wyniki pomiarów kątów trójkąta płaskiego wynosiły tam przy wagach p = 1: 44° 15'30"

Y=

[3= 70° 88' 15" 65° 05' 30"

2=179° 59' 35".

Równanie warunkowe — w tym przypadku jedno — [por. równanie (3) § 1-go) opiewa :

a-f-“ł~ $ H⁻ H⁻Y "k    180® — 0,

zaś równanie odchyłki [por. równ. (2) § 1-go]:

a+P+.Y— 180°=w=— 25";

zatem równanie odchyłki wyrażonej poprawkami 8 [por. równanie (5) § 1-go]:

8&-f-8(j-t-óy— 25" —0,

(przyczem «₁ = a₂==a₃ = 1).

Jednemu warunkowi odpowiada jedno równanie korelat [(7) § 3-go].

j^jfc+tó = 0, zatem w naszym przypadku, gdy wszystkie a ip są równe 1

25"

8"*33.

3 k—25"=0, k

Równania poprawek są w obec tego [por. równanie (4) § 3-go].

S«=fc=8"-33

fy=&=8"-33

8y=;&=8"-33.

Dodając poprawki do spostrzeżeń, otrzymujemy ich wartości wyrównane, które tu (jak i poprzednio) odpowiednio zaokrąglamy:

(a)= 44°15'38"-3 (0)= 70° 38' 23//'4 (y)= 65°05/58"-3

S = 180°00'00".

Błąd śr. p, otrzymamy — ze względu na wagi p=l— wspólny dla wszystkich 3 spostrzeżeń wedle wzoru (10) § 3-go, lub (7) § 5-go:

[»]

-^=V[8Sl=V208-l7 = ±14'/-4.

r

Kontrola [§B]=—co k— 25 X 8-33 — 208-25 (różnica 0-08 w tym przypadku dopuszczalna: rachuiąc przy pomocy &=8-333, otrzymalibyśmy wyniki 208-317 i 208-325, zatem z różn. 0-008).

Błąd śr. wyrównanych spostrzeżeń, wspólny w tym przypadku dla wszystkich 3 kątów, obliczymy z wzoru (20) § 6-go:

M*(«)² = ^ (^)²=I* (y)²=p*.² j[iW]

[aF]

[aa] V

Weźmy na uwagę funkcję F, przedstawiającą wyrównany kąt (a):

(a) = 180° — ($)—(7) = F.

d F

Ponieważ: —~=F* = 0, da

dF

dF

= F₂ = -1,

zaś ai—a₂ — ai = 1, przeto

[aa]= 3, [aK] = 0—1 — 1 = —2, a [KF]=0+1+ 1 =+2 ; wstawiając te wartości do wzoru na fj.(«)², otrzymamy:

pt{a)2=|x2{2—1}=^!, a |A(«₎ = jAV|=±14//-4xO-818-±ll,/-8. Analogicznie postępując, otrzymamy te same wartości dla i p,(y).

dfi

07

Przykład drugi. W sieci niwelacyjnej, którą wykreślono schematycznie na fig. 9-tej, przedstawiając ciągi niwelacyjne między poszczególnemi punktami linjami prostemi, pomierzono następujące wzniesienia:

,r, (I— 11)=^ =2-515 m, dl. ciągu Lt = 3*2km (II—III)=/*₂ = 3-862 „ „    „ X₂ —1-5 „

(I—III)=A₃ = 6-369 „ „

(II—IV) = £₄ = 6-585 „ „

(III-IV) = A₅ = 2-714 „ „

ID

Fig. 9.

Przyjmując, że wysokość p. I-go jest znana, należy dla wyznaczenia wysokości pozostałych trzech punktów sieci pomierzyć co najmniej trzy niezależne wzniesienia, n. p. hv hz i A₄, lub hv A₂ i hb i t. p. Ilość wzniesień h koniecznych (do wyznaczenia wys. punkt.) jest w tym przypadku 3; ponieważ pomierzono n — 5 wzniesień, przeto ilość warunków r otrzymujemy ze związku:

r—n—k— 2.

(Wyrównując metodą spostrz. pośredn., otrzymalibyśmy 3 równania normalne).

Dokładne zdanie sobie sprawy z ilości warunków jak i ich kształtu jest rzeczą pierwszorzędnej wagi.

Nieuwzględnienie pewnego warunku przy wyrównaniu powoduje niespełnienie go przez spostrzeżenia wyrównane. Dodanie warunku nadliczbowego, a więc identycznego z jednym lub z kilku już zastosowanemi, powinno nam dostarczyć kore-

latę (współcz. nieozn.) dla tego warunku jako wyraz nieoznaczony jj w praktyce wypadnie jednak owa korelata z powodu zaokrągleń rachunkowych zamiast -jp

3 i w rezultacie skazi wyniki wyrównania (w tym przypadku

0*0003

n. p.

00001

nawet znacznie).

W obu przypadkach tak nieuwzględnienia, jak i dodania nadliczbowego warunku, będą przeto rezultaty wyrównania błędne.

Aby tego uniknąć, mamy odpowiędnę wzory określające nam przy poszczególnych zagadnieniach wyrównania ilość i rodzaj warunków. Wzory te poznamy później w części drugiej niniejszej książki, przy omawianiu wyrównania sieci niwelacyjnych i tryangulacyjnych.

W każdym razie należy zwrócić baczną uwagę na to, aby znając już liczbę warunków r, nie użyć przy wyrównaniu warunków od siebie zależnych (identycznych). »

W omawianym przykładzie można użyć przy wyrównaniu trzech par niezależnych warunków, odnoszących się do wzniesień wyrównanych, a mianowicie:

- }'ł>-

-K — ^4+^5 + ^5

\ + ^1    — hS~~^3+ ^4+^4— 85 =0 )

K4"^i4~k₂4*S₂—h₃—o₃    — 0 /

K +    —k₃—i₃+hi+^i — h₅ — 'Bb=^0 1

4-^2 + ⁸2

—ń₄—B₄4-/^5 4-3₅=0 /

Oczywiście, że można jeszcze ułożyć zestawienia nowe, zmieniając wszystkie znaki w poszczególnych warunkach, co jednak pomijamy jako rzecz bez znaczenia.

Z zestawionych trzech par warunków wybierzemy taką, która przysporzy nam jak najmniej pracy rachunkowej przy wyrównaniu, t. j. zawierającą najmniejszą ilość spółczynników równań odchyłek, a przez to ułatwiającą ustawieni© równań korelat; w naszym przypadku zatem pierwszą.

Równania odchyłek przedstawią się zatem z uwzględnieniem wartości poszczególnych wzniesień:

\-\-h%— A₃ = Wj = 4-8 mim —4-= io₂ = — 9 mjm,

zaś równania odchyłek wyrażone przez poprawki 8 :

4-8-0=0 -S₄4-§₅—9-0=0.

°i4-S₂—33 + =2

Pi

rozumiejąc w tym związku pod Li ilość km.

Wyrównanie przeprowadzimy jak zwykle przy pomocy schematów. Nasamprzód zestawimy spółczynniki równań odchyłek wraz z wyrazami s

i odwrotnościami wag

Przyjmując przy wyrównaniu wzniesień (wzgl. spadów) — jak dotychczas — (aby jedn. błąd średni wypadł na 1 km długości ciągów), otrzy-

1 km

wagi pi

mujemy ich odwrotności równe poszczególnym L, zatem

L km

tworząc dla kontroli wyrazów s także i równanie sum;

na podstawie tego schematu ułożymy drugi dla kontroli spółczynników równań korelat.

tH

a]

*]

»]

t-H

tH

cć

+ 7-4

+ 1.5

+ 8-9

to

t-H

tH

bO

31 —1

— 1    2-7

+ 1-5

+ 7-5

+ 9-0

— 1 —1 2-4

co

+ 8*9

+ 9-0

+ 1 +1 3-6

(Kontrola polega na zgodności wyrazów

, utworzonych w ostatniej kolumnie

bezpośrednio z poprzedniego schematu z temi samemi wyrazami, otrzymanemi przez sumowanie kolumn; n. p.

= lXlx3-2 + lx2xl‘5 + (— 1)X(— l)x2-7 = 3-2+3-0 + 2-7=8-9,

którą to liczbę otrzymujemy również, sumując liczby kolumny pierwszej: 7-4+l-5 = 8-9 i t. cL).

Następnie przechodzimy do ustawienia schematów równań korelat:

Wyrazy

wolne

Wyrazy

wolne

ka

Wyrazy

wolne

+ 7-4 + i-o

+ 1-5

+ 0-2027

+ 8-0 + 1-0811

+ 7-196

1-0

-10-622 —    1-4761

+ 7-4

+ 1-0

+ 1-500

+    0-2027

+ 8-000 + 1-0811

+ 1-5 + 1-6

+ 7-5

+ 0-304

9-0

-f 1-622

+ 7-196

(+    7-196)

-10-622

10-622)

(-

+7-196

1-0

— 10-622 +    1-4761

2 +8-9

4- 8-9

+ 9-0

+ 1-804

— 1-0 + 9-622

(+8-9) (+9-0)

(- 1-0)

Pierwszy z trzech ostatnich schematów przedstawia równanie korelat bez redukcji, drugi — raz zredukowane, trzeci — system zredukowanych równań korelat. Rozwiązanie przeprowadzono jak w trzecim przykładzie wyr. spostrz. pośr. w § 7-mym rozdz. IV-go. Liczby pierwszego wiersza schematu równ.

korelat dzielimy przez + 7*4=^—j, uzyskując + 1*0, + 0*2027 i +1*0811; liczby te mnożymy przez +1*5 =1—1; dla otrzymania wyrażeń redukcyjnych

IP J

wiersza drugiego: (1*5), +0*304 i +1*622, analogicznie postępujemy z wier-

-fi

szem trzecim, mnożąc te same liczby przez +8*9

redukcyjne od spółczyn. równ. korelat, otrzymujemy raz zreduk. równ. korelat, zatem +7*5—0*304=+7*196, —9*0 — 1*622 = —10*622; ze względu, że mamy tu tylko jeden wiersz do sumowania, musi nam dać te same wyniki zredukowane równanie sum, zatem +9*0—1*804=7*196, —1*0—9*622= —10*622. W sche

. Odejmując wyrażenia

macie drugim dzielimy wyraz wolny —10*622 = (w².1) przez +7*196 = |^    . lj

dla uzyskania ostatniej korelaty.

Z ostatniego schematu otrzymujemy k₂ i A+ (zmieniając odpowiednio znaki) : fca = 1*4761,

kx — —1*0811—0*2027 &₂= —1*0811—0*2992=—1*3803.

Dołączone do ostatniego schematu równanie sum wykazuje po wstawieniu wartości na kx i fc₂ dostateczną ■ zgodność:

8*9 }fc, +9*0 k₂—1*0= —12*2847 + 13*2849—1*0= +0*0002.

Sumę [j?88] wyznaczymy dla kontroli podwójnie [p 88]=—[g)&]= 11*0424 +

odpowiednie

.    U),²    (to„.l)²

+ 13*2849 = 24*3273 i z wzoru redukcyjnego [jj88]=—¹ -¹---’

wyrazy dla rachunku znajdujemy w ostatniej kolumnie ostatniego schematu

, [p88]=8*Ox l*0811 + 10*622x 1*4761 =

mianowicie 0+

“i

= 24*3279.

Tao]

IP J

(<o₂.l) i

K-l)

[ ■]

Po=

[P Sc]

Vl2l165 =CSJ±3*5 mfm (błąd śr. niwel. na Z schematu dla równań poprawek obliczymy następnie:

1 km dług. ciągu).

3*2

= —4*42 m/m

1*5

1*5

= +0*12 „

— 2*7

= +3*72 „

—2*4

= -3*54 „

Wartości poszczeg. 8, wstawione do równań odchyłek, powinny je* sprawdzić do zera:

(si +s₂ —S₃    +wi =°)

— 4*42 + 0*14—3*72 + 8*00=0*00 (m/m)

(S₂ ~S₄ +8₅    +<i)₂ =0)

+ 0*14 + 3*54 + 5*31 — 9*00= —0*01 (m/m).

3*6

= + 5*31 „

Wreszcie otrzymamy wzniesienia wyrównane ze schematu:

Wzniesienia

spostrzegane

2-515

3-862

6-369

6-585

2-714

Poprawki 8

— 4,4    +0,1

+ 3,7

— 3,5

+ 5,3

Wzniesienia | wyrównane

2-510,₆    3-862, j

6-372,₇

6-581

2-719,

Wyrównane wzniesienia spełniają warunki (do zera wzgl. do 0-1 m/m):

(/*₂+8₂)= + 3-862, t m

— (A4 + 84)--6-681,₅ „

+ (^5 + ^5)= +2-719,

+ /żj +8l — +2-510,₆ m + /t₂ + S₂ = + 3-862,

— (fy? +8₃)= — 6-372,

3 »■

0*000, ₀ m

—0-000,

m.

Przykład trzeci. Przeprowadzając we wrześniu r. 1918-go pomiary stereo-fotogrammetryczne nad Morskiem Okiem w Tatrach, założył autor następującą sieć tryangulacyjną o znaczeniu lokalnem.

b= 92-06 m

<3

ai== 49°15'02"-5¹) a₂= 78 58 45 -0 a₃= 48 31 02 -5 39 57 09 -5

777

a₄ =

a₅= 12 33 07 -5 a₆ = lll 52 22 -5 a₇= 15 37 18 -0 a₈= • 3 15 17 -5

Ponieważ dla wyznaczenia kształtu wi eloboku o p punktach wierzchołkowych wystarczy 2 p — 3 niezależnych elementów konstrukcyjnych, przeto ilość spostrzeżeń koniecznych k jest 5; ilość warunków r otrzymamy zatem ze związku:

n—k—n—2^ + 8 = 9—8 + 3=4.

Trzy warunki otrzymujemy z dowolnych trzech trójkątów czworoboku, których suma kątów daje nam 180°. Uwzględniając tylko te trzy warunki, t. zw. trójkątowe wynikające n. p. z trójkątów VII— VIII—XI, VIII—IX—XI i VII—IX—XI nie otrzymalibyśmy zamkniętego czworoboku, tworząc go przy pomocy kątów wyrównanych, gdyż kierunek 1-^ VIII nie przechodziłby przez punkt VIII-my, choć byłby równoległy do kierunku VIII—IX. Aby te dwa przeciwne sobie kierunki zeszły się na jednej prostej, należy uwzględnić jeszcze warunek boków, czyli „boczny“ lub „sinusowy". Warunek ten otrzymamy, obierając dowolny wierzchołek czworoboku lub punkt

te*

'o

IX

Fig. 10.

Wyrównanie przeprowadzono tak, jak gdyby spostrzeżeniami były kąty: ' w rzeczywistości dokonano spostrzeżeń metodą kierunkową, a właściwe wyrównanie tej sieci podano w § 6-tym rozdz. XI-go.

przecięcia się przekątni jako punkt „środkowy“ („centralny“) i tworząc dla stosunku boków schodzących się w tym punkcie stosunek iloczynów sinusów odpowiednich kątów równy jedności, n. p.:

m n

o p    sin(04 + ^) sin(g₃-t-$₃) sin(g₈ + S₅) sin(«₇+S₇)

sin(a₈-pS₈) sin(«₂-f-8₂) sin(a₄-f8₄) sin(a₅-f 8₆)

lub ewent.

n o p m dla punktu centr. VIII-go : (tn-fo) b

sin (a, + 8, -j-a,+ 8a) sin(«₅+8₅) sin(g₇+8₇)

sin(a₈+3₈) sin(a₂+o₂) sin (a₅+&₅+a₆-ł-S₆)

Warunki boczne sprowadzamy ze względu na ich kształt do kształtu linjowego przy pomocy logarytmowania, uwzględniając, że log sin (a,: + 8,-) = log sin

przyczem df oznacza poprawkę logarytmiczną na 1".

Teoretycznie jest obojętnem, który punkt obierzemy za centralny; natomiast dla dokładności rachunkowej jest najkorzystniejszy warunek, odpowiadający punktowi skrzyżowania się przekątni jako punktowi centralnemu. Po nim jest najkorzystniejszym warunek utworzony ze względu na punkt centralny, leżący poza polem największego trójkąta czworoboku, a więc utworzony ze względu na punkt YHI-my. Ponieważ warunek boczny pierwszy zawiera 8 poprawek kątów, zaś drugi tylko 6, obierzemy warunek drugi, t. j, utworzony dla punktu centralnego VIII, nastręczający mniej pracy przy układaniu spółczynników równań korelat, jako czwarty warunek sieci¹).

Zestawiając wszystkie cztery równania warunkowe, otrzymamy:

!• al "P^i ~Pa2 "t~^2 "t~a3 ~P^3 ~P a8 + ^8 180 ° = 0

2.    a4+ ^4+ a5+^5+a6+^6    “P ^7—180°—0

3.    CCj -f-Sj +§g +a7 ~ł~^7 ~Pa8 ~P ^8    180°=0

sin (ad +S₁ -j-a₂ -f-o₂) sin (a₅ + S₅) sin («₇ +^7) sin (a₂ -p S₂) sin (a₆ + S₅ -f- a₆ -f- §₆) sin (a8 "P ^8 )

Warunek czwarty sprowadzamy do kształtu linjowego przy pomocy loga-ryimowania, zmieniając go na:

4*) log sin(ał-fa₂)-bd/ij 2 (5₁ + 3₂)-}-log sin a₅ ~\-dĄ 8₅ -f- log sin a₇ -j- df₇ §₇ +

—log sin a₂—d/₂§₂ — log sin (a₅+a₆) — d/s, 6 («₅ +ae)—l°g sin «g d/₈§₈ = 0. Kąty spostrzegane nie spełniają tych warunków do zera, dostarczając nam odchyłek co:

1.    Oj-ł-ctg + aj,    .    .    . +a₈ — 180°=a)₁

2.    .    .    . «₄ + *5 4-a6 ~P a₇ •    180°= w₂

8.    .    . .    . -p-a₆+«7 + a8    180° = (i>₃

4. log.sin(a₁4*a₂)"plog sina₅+log sin a₇—log sin a₂—log sin (a₅ d-a₆)

—•log sin a₈ = co₄.

c    (m-\-o)

4.

1 = 0.

a3

. a8

as go co co

15'

58

Cd iO (M P-

2)

a6

CO tH rH rH

Ol H tO CD

57'

33

52

37

O O tH

CO <M GO

"■o

ai

•5 ₃₎

•5 a₇

■o

«8

07) H lO CO

H O CO H

Cm GO I>

180° 00' 07"-5 o>₁= -t-7"‘5

2\ 179° 59' 57"-5

—2"*6.

W₂ =

180° 00' 00"’5 o)₃= -j-0"*5.

i) Dokładne omówienie sieci tryangulacyjnej znajdzie czytelnik w rozdziale poświęconym sieciom tryangulacyjnym Xl-tym A (§ 2).

Ze względu, że bok najdłuższy sieci wynosi zaledwie okołc 1300m, użyjemy przy logarytmowaniu warunku czwartego logarytmów 6-ciocyfrowych, zestawiając równocześnie odpowiednie df, t. j. poprawki logarytmiczne na 1".

{Poprawki, odnoszące się do kątów między 90° a 180°, mają oczywiście znaki ujemne).

popr. na 1"

log sin (otj + otg) — log sin 128° 13' 47"-5

9-895165

— 1-7

log sin a₅

= log sin

12° 33' 07"-5

9-337114

+ 9-4

log sin a₇

= log sin

15° 37' 18"-0

9-430211

+ 7-6

28-662490

log L (licznika)

popr. na 1"

log sin <7₂

= log sin

78° 58' 45"-0

9-991916

+ 0-4

log sin (a₅-|-®₆) — log sin 124° 25' 30"-0

9-936384

1-5

; log sin a₈

= log sin

3° 15' 17"-5

8-754177

+ 37-0

28-662477

log M (mianownika)

28-662490—28-662477 = +0-000013 ;

co₄ = +13-0 w jednostkach 6-go miejsca log.

Równanie odchyłki, wyrażone przez poprawki §, otrzymamy dla warunku czwartego (wedle 4*) w jednostkach 6-go miejsca log.:

—1*7 (8₁ + 8₂) + 9*4S₅ + 7-6 §₇—0-4 §₂ + l*5 (§₆ + §₆)—37-0 S₈ + 13-0=0, zaś po uporządkowaniu wedle poszczególnych 8:

— 1-7— 2-1 S₂ + 10-93₅+l-5 §₆+7-6 §₇ —37-0 §₈ +13-0=0; dodając do niego 3 pierwsze, będziemy mieli równania odchyłek w następującego. zestawieniu schematycznem:

*1

§8

co

+ 3-0

+ 1-0 +1-0

+ 1-0

+ 1-0

— 1-7

— 2-1

+ 1-0 + 1-0 +1-0 +1-0 + 1-0 + 1-0 + 1-0 + 10-9    +1-5    +7'6 —37*0

+ 7-5 (=0) — 2-5 (=0) + 0-5 (=0) —13-0 (=0).

Ponieważ równania warunkowe, a tern samem i równania odchyłek, możemy w przeciwieństwie do równań błędów (przy wyrówn. spostrz. pośr.) pomnożyć lub podzielić przez dowolną liczbę, pomnożymy 3 pierwsze równania przez 10, aby uzyskać we wszystkich równaniach spółczynniki niewiele różniące się; równania odchyłek przybiorą tedy ostatecznie kształt następujący:

to'

ęłj « o" a

+ 10-0 +10-0

4-100

4-10-0

4-10-0

4-10-0

4-10-0

1-7 — 2-1

4-10-9

4-10-0 4-10-0 4- 1-5

4-10-0 4-10-0 4- 7-6

+ 10-0 — 37-0

4-75-0 — 25-0 4- 5-0 * + 13-0

Chcąc uzyskać przy wyrównaniu równocześnie i błąd średni boku (VII-XI) = 5, wyrazimy B przez podstawę b i kąty spostrzegane (najprościej w tym przypadku):

B=b

sin a₃ sin 48° 31' 02"*5 sin«₈ sin 3° 15' 17//-5

log B= 3-084467, B= 1,214-69m., a następnie obliczymy cząstkowe pochodne tej funkcji podług a₃" i ag", zatem:

dB b cos a₃

92-06 m,

da₃"

IB

p" . sin a₈ p' b sin a₃ cos a₈

p". sin² a₈

^ctg«₃=4-0-0052(^

~~n ctg a₈ ~    0*1036

dag"

Schemat kontrolny spółczynników równań odchyłek wraz z pochodnemi F przedstawia się następująco:

s'

1 4-10-0

4-10-0

1-7

4-18-3

2 4-10-0

2-1

4- 7-9

3    +10-0

+ 0-0052

+ 10-0052

+ 10-0

+ 10-0

+ 10-0

+ 10-9

+ 20-9

+ 10-0

+ 10-0 i + 1-5

+ 21-5

+ 10-0

+ 10-0

+ 7-6

+ 27-6

+ 10-0

+ 10-0

— 37-0

—0-1036

— 17-1036

+ 40-0

+ 40-0

+ 40-0

— 20-8

— 0-0984

+ 99-1016

(o

+ 75-0

— 25-0

+ 5-0

+ 13-0)

Dr. K. Weigel. Kachunek wyrównawczy.

Na podstawie schematu a) ułożymy schemat b), który nam dostarczy spół-czynników równań korelat (z kontrolą).

b)

«]

b]

c)

F]

s']

[a

+400-0000

+200 0000

- 408-0000

• -098400

+ 191-01600

[b

[«

+2000000

+400-0000

+200-0000

+200-0000

+ 400-0000

+ 200-0000

- 296-0000

— 1-03600

+ 800-00000

+ 502-96400

[d

—408-0000

+2000000

-296-0000

+1555-1200

+3-83320

+1054-95320

[F

0-9840

1-0360

+    3-8332

+0 01076

+    1-82396

+502-9640 +1054-9532

Dalszy przebieg .rachunku jest analogiczny do przeprowadzonego w przykładzie poprzednim z tą tylko różnicą, że wagi p mamy w obecnym przykładzie równe jedności. Tworzymy zatem jak poprzednio schemat równań korelat, dodając jednak i wyrazy odnoszące się do funkcji (pod kolumną k#):

+191-0160

+800-0000

+1-82396

c)

*1

k-2

Jcz

Wyrazy

wolne

Jiji

+400-0000

1-0

+200-0000 +    0 5000

408 0000 1-0200

+ 75-0000

+    0-1875

-0-98400

—    0-00246

+4000000    +2000000

+ 200-0000    —25-0000

296-0000

204-0000

+200-0000    +200-0000 +4000000

+ 200-0000

-408-0000    +2000000    -296-0000 + 1555-1200

—    408-0000

+ 100-0000

+ 5-0000

+ 37-5000

-1-03600

—    0-49200

204-0000    +

416-1600

+13-0000

—    76-5000

+3-83320

+    1-00368

0 9840.

0-9840

+ 1-0360 +    3-83320

1-00368

0 4920

0-1845

+0-01076

+    0-00242

2    +191-0160    +8000000    +5029640 -1054 953201 +680000

+ 191-0160    .    +    95-5080 —    194 83632|    + 35-8155

+ 1-82396

—    0-46990

C*)

Wyrazy

wolne

li i;

+400-0000

1-0

+200-0000 +    0 5000

+ 200-0000 0 5000

—250000

—    0-0625

+200-0000 + 200 0000

+300-0000 + 100-0000

92-^000

100-0000

+200-0000 + 200-0000

— 92-0000 + 100-0000

-325000

—    12-500

+ 1138-9600    +89-5000

+ 100-0000

12-500

—0-54400

+2-82952

0-5440

+    2-82952

+ 0-1845

+0-00834

+800 0000 + 800-0000

+407-4560

+    400-0000

+1249-78952

+    400-0000

+ 32-1845 — 50-0000

+2-29386

(Rachunek przeprowadzono na 4 miejsca dziesiętne prócz wyrazów związanych z pochodnemi F, które obliczono ze względu na dokładność i zgodność rachunku na 5 miejsc dziesiętnych).

+200-0000

1-0

-1920000

—    192-0000

0-5440

0-5440

+ 7-4560

+    7-4560

Wyrazy

wolne

C**)

Wyrazy

wolne

kj?

—    192 0000

—    0-9600

+1038-9600

+    184-3200

+ 2-82952 0-52224

+849-78952 —    7-15776

kj,

- 20-0000 — 01000

+ 102 0000 19-2000

+ 0-1845

+    0-0544

+ 82-1845 .+    0-7456

—    0-54400

—    0 00272

+ 2-82952

+    0-52224

+ 0-00834 +    0-00148

+ 2-29386 — 0-02028

Wyrazy

wolne

ki,

+ 854-6400    + 82-8000

1-0    + 0-096883

+ 2-30728

+ 0-0026997

00934

i- 0-00063

+ 2-30728

+    2-30728

+ 0-1301

+    0-2235

+ 0-00686 +    0-00623

0-0935

+ 0-00064

2 + 856-94728 + 82-9301    + 2-31414

+ 856 94728    + 83-0236    + 2-31350

Zredukowane równania korelat układamy w schemat

d)

*1

Wyrazy

wolne

&/<

+4000000 + 1-0000

+200 0000 0-5000

-408-0000 — 1 0200

+ 75-0000

+    0-1875

—    0-98400

-    0-00246

+400-0000 — 1-0000

+200-0000 +    5-0000

+200-0000 +    0-5000

—    25-0000

—    0-0625

+200-0000 + 1-0000

-1920000

—    0-9600

— 20-0000 — 0-1000

-    0.54400

—    0-00272

-0187500

-0-098821

-0003496

+0-062500

+0-048442

-0-003496

+854-6400

1-0000

+ 82-8000 +    0 096883

+ 2-30728

+ 0-0026997

+0-100000

-0-093008

0 0934

+ 0-00063

* 6

g*

a ^

£.8

42 5

£ Wg W- O d «

gg&

• r-l O

pi ⁰ >* 1*

-0-289817

+0-107446

=/ć₂

+0 006992

-0096883

— ^3

PM t*

Wartości korelat wstawione do równań korelat sprawdzają je w przybliżeniu do zer:

1)    —115-9268+1-3984+ 89-5283+ 75-0 = —0-0001

2)    42-9784—1-3984—19-8766—25-0=+0-0002

3)    —57-9634 + 21-4892 + 2-7968 + 28-6774 + 5-0=0-0000

4)    +118-2453 + 21-4892—2-0696—150-6647+13-0=+0-0002.

Wartości poprawek obliczone wedle schematu a) są:

—2"-8982

+0"‘0185

-2"-6636

-2"-6947

+l"-0745

+0'"9991

+0"-408i

+0"-7564

8 zaokr. na 2 m.

dz.

—2"‘66

—2"*69

—2"-90

+0"-02

+1"00    +0"-41

+0"'76

Suma [ó8] uzyskana w sposób bezpośredni wynosi 25*645, zaś kontrolnym wzorem redukcyjnym 25-647 (jako suma iloczynów 5-tej kolumny schemalu

+ 82-8x0-096883).

-i/25-645

d: 75-0x0-3875 +

P2"-53.

Jednostkowy błąd średni [a

Poprawki 8, zaokrąglone na 2 miejsca dziesiętne, spełniają początkowe równanie odchyłek w przybliżeniu do zer:

1)    _2"-66 — 2//-69 — 2"-90 + 0"-76 + 7"-50= + 0"-01,

2)    l"-07 + 0"-02 + l"-00 + 0,/-41 + 2"-50 = 0"-00,

3)    — 2"-66 + l,/-00 + 0"-41+0"-76 + 0"-50=+0"-Ol,

4)    4-52 + 5-65 + 0-22 +1-50 + 3-12—28*12+ 13-0= —0-1 i.

(warunek boczny bez różnicy na 6-tem miejscu log.).

Wartości kątów wyrównanych (a) podaje następujące zestawienie:

1) 49°14/59"-84

3) 48°30/59//-60

5)    12⁰33'07"-52

7) 15°37/18//-41

2) 78°58'42//-31    4) 39°57'10"-57 6) lll°52'23"-50 8)    3°15'18"-26

Jak widzimy spełniają kąty (a) warunki sieci 0"-01 (z powodu zaokrągleń):

49⁰14'59"-84 («•)    111 52 23-50

15 37 18 -41 3 15 18 -26

- («,)

(“2)

Os)

Os)

49°14/59//-84 78 58 42 -31 48 30 59 -60 3 15 28 -26

(*4)

O5)

0₆)

O7)

39°57'10//-57 12 33 07 -52 111 52 23 -50 15 37 18 -41

Oi)

0₇)

Os)

2 180°00'00"-01

log sin {Oi) + («*)} log sin («₆) log sin (a₇)

9-895174

9-337114

9-430214

i8o°oo'oo"-oo

log sin (a₂) log sin {(«„) +0₆)} log sin (a₈)

i80°00'00"-00

9-991915

9-916382

8-754205

(log (£) liczn.)

28-662502 (log (M) mian.) log (L) — log (ilf) —0-000000.

28-662502

Długość boku sieci B przed wyrównaniem wynosi:

15=1,214-69 mr

zaś po wyrówn. (i?) (t. j. obliczona przy pomocy kątów wyr.): (_B) = 1,214-60 m.

Błąd średni tej długości przed wyr. p.w= I = 2-53Vo-Ql076 =-f-Q-26s m, zaś po wyrównaniu    P-2?=+Vl—II=2-53V0-0U063 =±0-06₄m;

przyczem I=[jFF], (patrz schemat b), I— II=[FF. 4], (patrz schemat d); kontrolę otrzymamy, tworząc II jako sumę iloczynów wyrazów ostatniej kolumny

schem. d: 0-984x0-00246+........+2-30778 X 0-0026997 = 0-01013, zatem:

1—11=0-01076—0-01013 = 0-00063.

ROZDZIAŁ SZÓSTY.

A) Wyrównanie spostrzeżeń pośrednich z warunkami.

B) Wyrównanie spostrzeżeń zawarunkowanych

o niewiadomych.

A)

§ 1. Sprowadzenie zagadnienia Aj do wyrównania spostrzeżeń pośrednich.

Jak wiadomo z ustępu 4-go § 2-go rozdz. Ii-go, ma wyrównanie A) bardzo ważne znaczenie przy wyrównaniu większych systemów sieci łryangulacyjnych. Kąty względnie kierunki należy w tym przypadku wyrównać nietylko na poszczególnych stacjach (stanowiskach), ale także i z uwzględnieniem geometrycznych warunków sieci.

Niewiadome (t. j. kąty względnie kierunki) uczestniczą tu zatem tak w równaniach błędów, jak i w równaniach warunkowych.

Dla ilości niewiadomych k, spostrzeżeń n i warunków r, przyczem n>k—r, zaś k>r przedstawia się zagadnienie A) w formie następującej :

=ai x-\-bi y+Cj z-\-.....-Mi

równ. bł. \ w ilości =n )

M₂

(1)

d₂=a₂ z-M₂ y+c₂ 2+

dn=anx-\-bny + cnz-\-.....+ln

(ilość niewiadomych k) ' .

warunki w ilości r

A₀~i-A₁x-i-A₂y-j-A₃ z-\-B₀ + B₁ x-\-B₂ y+B₃ z-\-

(2)

(warunek wyrówn.)

(ilośó niewiadomych, k)

[p <5<5]=min.j względnie [d<5]=min.

(B)

przyczem zauważyć należy, że w praktyce zachodzi z reguły przypadek wyrównania spostrzeżeń o wagach p=1, w obec czego ma zastosowanie wzór (4) b.

Wyrażając przy pomocy r związków (2) pozostałą resztę niewiadomych, t. j. (k—r), rugujemy w równaniach błędów (1) r niewiadomych, otrzymując w ten sposób n równań błędów o Je—r) niewiadomych.

N. p., jeśli ilość warunków r=2, przedstawiają się równania, służące do rugowania dwu niewiadomych, następująco:

x—AJ zAJ t-\-.......

y=BJ z+BJ t+.......

(ilość niewiadomych k—2).

ilość

warunk. r

-)(

Po wstawieniu związków (2*) do równań błędów otrzymamy zatem:

Ó₁ = C₁' Z-Ą-dJ t +

£>2 = C₂ ' Z -j- d2 ' t -j-

+v

ilość równ. błędów n

(1*)

-(-In

| ón=cn' z+dn't+

(ilość niewiadomych k—2).

W ten sposób zredukowaliśmy powyższe zagadnienie do wyrównania spostrzeżeń pośrednich.

Aby wyrównanie mogło mieć miejsce musi być — jak wspomnieliśmy &>r, oraz n>(k—r).

Błąd średni jest — ze względu na Je—r) niewiadomych — określony

wzorem:

llo

[póó] n — (fe—r)

1.PPÓ]

n—k+r

względnie

a)

O*

(4)

n- (k—?•)

n—k+r

Wzór (4) jest oczywiście ważny dla każdej formy wyrównania spostrzeżeń pośrednich z warunkami.

Metoda opisana w § 1-szym nadaje się do zastosowania gdy warunków r jest niewiele; zazwyczaj jest ich ilość w większych sieciach tryan-gulacyjnych dość znaczna i wtedy posługujemy się inną metodą bezpośrednią, która może być przeprowadzoną w różnych formach.

§ 2, Rozwiązanie bezpośrednie.

Biorąc na uwagę systemy równań (1) i (2) § 1-go i zakładając dla ogólności, że spostrzeżeniom odpowiadają różne wagi p, wyznaczymy niewiadome z warunku: [p dd] = min. z uwzględnieniem rachunków (2) § I-go-

Mnożąc poszczególne warunki przez spółczynniki nieoznaczone kształtu 2ki i dodając jo do sumy [pdd], utworzymy funkcję:

Q=[pdd]->rZkx{AQ+Axx+Aęiy + .y) + 2k<i{.Bę₎+BxxJrBiy-\-.■ (1) której pochodne cząstkowe podług x, ?/, z. . . zrównamy z zerem.

W ten sposób otrzymamy, k równań kształtu:

dQ

[pa d] -}- Ax kx -f- Bx k₂ -f- Ox kz -f-. . . =.0

ilość równ. k

Oj

[pó d]+A₂ kx -j- B₂ k₂ + C% k₃ -1- .. . — 0

(2)

dz

[pc d] + A ₃ kx -f- Bz k₂ -|- Cz kz 4-. . . —0

Po wyrugowaniu w równaniach (2) wszystkich d przy pomocy n równań błędów jrówn. (1) § 1-go} i dodaniu do nich r równań warunkowych uzyskamy razem    równań:

' [pad\xĄ-[pab}y-\-[pac\z-\-AxkxĄ-B^-^ Cxkz-{-....-\-[pal]=ę)

[pab] x + [pbb]y + [póc]0-r •••. + A₂kx + #2^2 + C₂kz+-....-\-[pbl]=§

(ilość k + r)

[pac]    x-\-[pbc]y + [pcc]zJr....+Askx + B₃ k₂ + C₃kz + ....+ [pcż]=0

Axx + AJ2y + Azz+ Bx x-f-B₂ y + Bz 0+ Cxx-\-C₂ y+C₃ 0+

(r) <

+ B₀=0 + C₀=0

z których obliczymy wartości tak niewiadomych jak i korelat.

Równania te rozwiązujemy metodą eliminacyjną Gaussa. Jednostkowy błąd średni, utworzony w tym przypadku dla k niewiadomych równań błędów i r warunków, będzie zgodnie z wzorem (4) § 1-go:

„ _y~b^r.

y n—k+r

Metoda wyrównania przedstawiona w niniejszym paragrafie jest w praktycznem zastosowaniu uciążliwą, a przytem mało przejrzystą; z tego powodu posługujemy się nią w formach odmiennych, jednej podanej w § 3-cim, drugiej w 4-tym. W obu przypadkach składa się wyrównanie z dwu oddzielnych części.

§ 3. Metoda pierwsza (Hansena i Helmerta) z zastosowaniem równoważnych systemów błędów.

1. Część pierwsza.

Pod założeniem, że równania błędów wystarczają do wyznaczenia nie-‘ wiadomych, wyrownuj emy j e oddzielnie od połączonych z niemi warunków, oznaczając w ten sposób uzyskane wartości niewiadomych przez $₀, yQ, z₀

Zredukowane równania normalne, wynikające z tego wyrównania, kształtu (2) § 8-go rozdz. IY-go (dla k= 8):

[pac]

#0 +

[pab]

[paa]

y ₀+

2/o +

[paa] [bcA] [bb.l]

z₀⁼Xi ⁰ wadze [paa\

Z0=X2 n

» [pbb. 1]

(1)

„ [pcc. 2] [jp6Z . lj __[pcZ.2] [pM.!]’

55

y

[paa] ’

są wedle § 8-go rozdz. IY-go systemem zupełnie równoważnym z pierwotnym systemem błędów ó.

Wartości a?₀, y₀, z₀ są uzyskane bez uwzględnienia warunków kształtu (2) § 1-go, musimy je przeto poprawić o pewne wielkości f, y i £, aby mogły czynić zadość tym warunkom.

Przyjmując, że mamy przy spostrzeżeniach pośrednich dwa warunki, które'mają spełnić niewiadome, otrzymamy do uwzględnienia w drugiej części wyrównania warunki kształtu (przyjmując r— 2):

przyczem %₁==

[pcc. 2]

-^0 + ^1 (a?0 + f) + ‘^2 (2/0 + *?) +^3 (⁰O+^)~0 . -®0 + -®l (*0 + l) + -®2 (2/0 + ^) + -®3 (2?0+^)=:^‘

(2)

2. Część druga.

Chcąc uzyskać wartości poprawionych niewiadomych równania (2), należałoby uwzględnić równocześnie równania błędów części pierwszej ; aby tego uniknąć, wyrazimy poprawione niewiadome przez niezależne spostrzeżenia pozorne x₂ i #₃ równ. (1), poprawione o Alf A₂ i A₃ ze względu na dodane do niewiadomych poprawki £, rj i f; związki wzoru (1) przejdą zatem na następujące:

(*o+!)

[pab]

[paa]

(2/o + *?) +

(2/o + ^) +

[P«c] [paa] [póc. 1] [p&5.1]

(*o+ £)=&+4 o wadze [paa]

(*o+S)-^2 + ⁴

„ [pbb.l]

(3)

„ [pcc.2].

Odejmując związki wzoru (1) od związków wzoru (8), otrzymamy:

[P^]

[paa]

[pbc. 1]

[p56.1]

(2:0 + £)⁼⁼#3+^

3 55

£4

[P^b]

[paa]

«?+

f]+

lub w formie uproszczonej :

o wadze [paa]

3    55.

„ [pbb. 1] ‘ „ [pcc.2]

(4)

£ + a₂/77 + a₃/ ^~Al o wadze [paa]

55 [pbb.l]

„ [pcc. 2].

2 55

^A

3 55

Po wyznaczeniu Ay, A,

i A₃, otrzymamy niewiadome £,77 i £ ze związków (4) względnie (4*), wyrażone przez A w sposób następujący.

Dla wyznaczenia poprawki £ pomnożymy związki wzoru (4) ko-

lej no przez 1

[pab]

a%' i —

[paa]

= — a₃", otrzymując po ich zesumowaniu:

[pac] [pab] [pbc. 1] [paa]^[paa] [pbb. 1]

= —a₃' + a₂,p₃,/=

[pab]

[paa]

A /[^qc3 [Pabl    4 ₌

²    3[paa] [paa] [pbb. 1]) ³

Al-a₂'A₂-a₃"A₃. (5)

Aby otrzymać poprawkę 77, pomnożymy związki wzoru (4) kolejno przez 0, 1 i

[pbc. 1]

[pbb. 1]

p₃", a po ich dodaniu wypadnie nam:

(5*)

V~A‘ [pab.    ^"4.

(5**)

zaś mnożąc związki (4) kolejno przez 0, 0 i 1, otrzymamy ostatnią poprawkę

Przy większej ilości niewiadomych muszą być obliczone dla użycia wzorów (5) odpowiedne wyrazy a₃", a₄

.... i t. d. Ponieważ wyrazy te są potrzebne zresztą tylko dla obli-

III

III

> ft"".

y

czenia wag niewiadomych, przeto w przypadku, gdy nam nie zależy na wagach niewiadomych, nie obliczamy f, 77 i £ przy pomocy związków (5); natomiast użyjemy ich do wyprowadzenia dalszych wzorów.

Niepoprawionę wartości niewiadomych x₀, y₀ i z₀, wstawione do równań warunkowych (2), nie spełniają ich do zera, wywołując odchyłki co:

(6)

(7)

A₀ + At xo + A₂ y₀ + A₃ zu~col B₀ -{-Bix₀ 4- B₂ y₀ +B₃ z₀ = qj₂.

Z porównania związków (6) i (2j wynika dalej :

Ai A₂ 77+A3

bv §*+i?₂ 77+^3 ę+o).}—0.

Rugując w równaniach wzoru (7) niewiadome przy pomocy związków (5), otrzymamy:

Ay (Ay-a₂'A₂ - a₃"A₃)+A₂ (A₂-p₃"A₃) + A₃ A₃ + coy =0 By (4, —a₂'A₂- a₃"A₃) + B% (A,—/V'4) + B₃ A₃ +co₂= 0,

a ostatecznie po uporządkowaniu wyrazów podług A równania odchyłek:

(8)

Ay Ay + (A₂— a₂'Ay) A₂-\-(A₃    a₃"Ay /3₃"A₂) A₃ + <^=0

B\ 4 +(P₂ — a%By) A₂ -\-(B₃ a₃"By (3₃"B₂) A₃A-o)₂—0.

Po zastąpieniu wyrazów a i /? odpowiedniemi wyrazami redukcyj-nemi wedle związków (4) i (5) przemienią się wyrazy, zawarte w klamrach, w sposób następujący:

Po wstawieniu tych wartości do równań (8), otrzymamy równania odchyłek we formie:

A₁ Ax-\-(A₂.1) A₂-\-(A₃.2) 4₃ + ^==0

Bt AX + (B₂.1) A₂-\-(B₃.2)4₃* + <y₂=0, do których

Bi f^i' Bi — B₂

[pab\

[paa]

B^(B₂.1)

[P«c] ,

[paa] ¹

A₃ a₃"A₁ [3₃"A₂— A₃

[pbe.l] [pbb. 1] [pbe.l] , [pbb. 1] l ²

[pałĄ

[paa]

[pab]

[paa]

^}=(4,-2)

^}=(5₃-2)

(10)

dołączymy wagi: [paa]j [pbb. 1), [pcc. 2].

Z równań odchyłek (10) tworzymy następnie w znany sposób równania korelat:

(J₂.l)²    (A₃.2)²

\[paa] ' [pbb.1] [pcc. 2]

}^!+{

A,BX , (J₂.l)(i?₂.l)

[paa]

[pfc&.l]

M₃.2)(I?₃.2)

AxBa

[paa]

| Ag + Ct)! =0

(^•1) (Ą-l) , (ila.2)(Ą.2)|    / P,²

[p£6.1]    [pcc. 2] j ¹ ^ 1 [paa] ' [pbb.l]

| “I- W2 ~ 0)

[pcc . 2]

(^•2)²

[pcc. 2]

(B₂.1)²

(U)

które zazwyczaj piszemy w formie uproszczonej :

(12)

{AA] kxĄ-{AIł\ A*₂ + o)₁=0 {}A\-f { BB) k₂ + ca₂ = 0.

Po wyznaczeniu wartości korelat z równań (12) obliczamy poszczególne poprawki A z równań poprawek

[paa] (

Ax kx-\-Bx k ^²⁼[P^ 1] (^² ‘ l]^l^~(^2 • 1)^2^

^=raK²⁾*‘+(i?-²^)

4=

(18)

zaś wartości 27 i £ ze związków (4) względnie (5).

Zazwyczaj wyznaczamy niewiadome £₀, 2/₀ i z₀ w pierwszej części wyrównania na podstawie równań normalnych (1), tak że po obliczeniu poprawek 27 i £ będą wartości niewiadomych x—(x₀+^), y=(y₀+y) i z= (z₀ + £); można jednak obliczenie niewiadomych x, y i z zupełnie pominąć, a odchyłki ca wyznaczyć na podstawie równań odchyłek kształtu:

Ao + A₁x₁ + (A₂.l)x₂+(A₃.2)^3= 1 Bo+&i %i + (B₂.1)x₂ + (B₃.2)%₃= 2>

(6*)

urobionych w analogiczny sposób z równań (6), jak urobiliśmy równania (10) z równań (7).

Po obliczeniu odchyłek co wyznaczamy kx i k₂ z równań (12), poprawki Au A₂ i A₃ z równań (13) a wreszcie (®₀+l)i (Po+y) i (z₀+£) z równań (3).

Błąd średni jednostkowy p₀ możemy utworzyć wedle trzech formuł:

Po

-v

[ PM]

■n—k+r

(14)

Po

= V["

y n

Po

-m

n= ilości spostrzeżeź,

„ niewiadomych, „ warunków

k=

r~

(15)

(16)

wzór (14) odnosi się do całkowitego wyrównania, wzór (15) do pierwszej wzór (16) do drugiej części wyrównania, zatem

dł=ai(a?₀ + |) + 6ł(y₀+.iy)+Ci(«o + ę)+. •..

ói, = aixQ

+ bi Vo

zaś A są określone wzorami (4) względnie (13).

Prócz bezpośrednich sposobów tworzenia sum ={paa] 4₁²+[/?6ó.1]4₂²+[ pcc. 2] A₃ ²+

[pód], [pd'd'] i {AA} = (przyczem A są poprawkami pozornych spostrzeżeń %if Xn X%i' • ■ •)? urabiamy je dla kontroli w sposób następujący:

[AA} = -[cok]

[p ó'.lć\ (dla ilości niewiadomych = k)

{AAy {BB.iy {CC.2}

[póó]=[pó'ó'] + {AA}.

/ ilość wyrazów odpo- \ | ’ ’ l wiada ilości war. r ) |

(17)

), wyznaczymy łatwo, posługując się pozornemi spostrzeżeniami {Xx~\-As)i (#₂+ń₂), ; sposób ten dozwala nam uwzględnić tylko drugą część

Biorąc rzecz teoretycznie, powinniśmy otrzymać tesame wyniki na y₀ przy użyciu wszystkich trzech wzorów (14), (15) i (16); w rzeczywistości będą wartości otrzymane z tych wzorów z reguły nieco różne. Błąd średni [ij, funkeji niewiadomych F(x, y, s,

(#3+^3).....

wyrównania.

Oznaczając pochodne cząstkowe funkcji podług niewiadomych przez Fiy F₂, F₃,...., zaś pochodne podług pozornych spostrzeżeń %u Xzi- • -przez /j, fg, /g,. .,, przyczem wedle wzoru (13) § 8-go rozdz. IV. jest

(18)

fi=Fu 4=^.1), /*3 = (^3-2),...

otrzymamy wedle wzoru (18) § 6-go rozdz. V-go zastosowując go zamiast do spostrzeżeń (£+d) do pozornych spostrzeżeń (%Ą-A):

Pl<

=/«„²{{//}

M/P M/.ip {C/.3}

M-dt} {B-B.l}    {CC.2}

(19)

(ilość wyrazów równa ilości war. r)

lub w formie uproszczonej :

pj²=p₀²(I—II);

(19*;

przyczem {/*/*} ==I, zaś —II jest sumą wszystkich wyrazów ujemnych wzoru (19).

Wedle związków wzoru (18) z uwzględnieniem wag poszczególnych

X jest:

Ml

F,* , (iyl)² , (2^.2)*

[paa] [p&ó.l]    [pcc.2]

(30)

(ilość wyrazów równa ilości niew.)

inne wyrazy zawarte w klamrach {....} należy urabiać przez redukcje wyrazów pierwotnych:

A,FX , (A₂.1) QF,.l) r(A₃.2)(F₃.2) \paa] '    [p65.1]

U4i=V_+

'    ¹ [paa] [p&5.1]

[■df\    . (B₈.2)(^,.2)

’    ’ [paa] [p55.1]    [pcc.2]

V (Ą.D² , (5₃.2)² ,

¹    ' [pad]⁻¹⁻[p56.1]

C^i , (Ć7,.l)(i^:l) , «7₃.2)(F₃.2)

(-

[pcc.2]

(Ą-2)⁸ ,

[pcc.2]

(21)

[pcc.2]

[paa]

{OĆ7}

Ci

[pó5.1]

[pcc.2]

(• 2)² ,

[paa] [pód.l]

[pcc.2]

Waga funucji JPF—^°

1-11

(22)

Wzorów (19) i (22) można użyć, do wyznaczenia błędów średnich i wag niewiadomych, kładąc, gdy chodzi o px\ F± — 1, F₂ = F₃= 0, gdy o p,: ^=0, ^₂=1,    =0 i t. d.

Metodę powyższą stosujemy także, gdy równania błędów zawierają niewiadome brakujące w równaniach warunkowych; w tym przypadku bowiem możemy przyjąć, że równania warunkowe zawierają wszystkie niewiadome, lecz że spółczynniki niewiadomych, niewystępuj ących w równaniach warunkowych, są zerami.

Wówczas należy jednak niewiadome brakujące w równaniach warunkowych umieścić w równaniach błędów jako niewiadome początkowe, aby wypadły z wyrównania przy redukcjach początkowych. Dalszy przebieg wyrównania przeprowadzamy tak, jakby tych niewiadomych nie było.

Oczywiście, że przy obliczaniu jedn. błędu średniego należy w ilości k uwzględnić wszystkie niewiadome, a zatem także i te które wypadły przy początkowych redukcjach.

Cały rachunek daje się przeprowadzić wygodnie schematami.

§ 4. Metoda druga (Bessela).

Dopiero od czasu

wprowadzenia przez Helmerta do rachunku wyrównawczego pojęcia równoważnych systemów równań błędów zyskała metoda opisana w § 3-cim ogólne uznanie, podczas gdy dawniej posługiwano się w praktyce przeważnie metodą Bessela, zastosowaną przez niego przy pomiarze stopni w Prusiech Wschodnich w latach 1832 —1835.

pracy jest przy metodzie Bessela większy, niż przy metodzie opisanej poprzednio, należy przeprowadzać wyrównania nowych sieci tryang. wedle § 3-go. Natomiast nie można pominąć metody Bessela ze względu na to, że wielką ilość wyrównań dotychczasowych sieci przeprowadzono właśnie tą metodą; że zatem przy studjum tryan-gulacji, która nie da się pomyśleć bez wyrównania, napotka czytelnik przykłady wyrównania tryangulacji obliczonej metodą Bessela¹).

Dla uproszczenia zestawimy wzory dla k= 3 i r= 2.

W części pierwszej rozwiązujemy równania normalne, wynikające z rownan błędów, bez spółudziału równań warunkowych

na

Ponieważ nakład

[paa]    x₀ + [ pab] y₀ +[pac] *₀+[pal]=0

[pab]    x₀ + [pbb]yQ + [pbc] zQ+[pbl]=0

[pac]    x₀ + [pbc] y₀ + [pcc ] zQ+[pcl]=0

(1)

uzyskując wartości niewiadomomych, odpowiadające części pierwszej *o, Vo ? z0'

Ponieważ możemy znaki spółczynników nieoznaczonych przyjmować jako dodatnie lub ujemne, przyjął Bessel spółczynniki nieoznaczone kach ujemnych, zatem: —2 kx, —2 &₂,. ..., przez co warunek (1) §-go zmienia się (przy k= 3, a r— 2) na:

Q=[pdd] — Z kx(A₀+Axx+A₂y+Azz)—Zk₂ {BQ +Bxx+B₂y+Bzz)=mm. (2)

o zna-

W konsekwencji otrzymamy równania (2) i (3) § 2-go w kształcie następującym:    N

[pa ó]—A₁k₁—B₁ k₂=0 [pb ó]—A₂ kx—B₂ k₂ = 0 [pc ój A ₃ kx Bg k₂⁼0

cc

+ + +

W M fct

¥¥¥

+ + +

^ ^

►O "O o

ts -o *

+ + +

« w «

<s e e ą a, s.

J** i*¹ ^ + + + ta to ta

00 fco M

J* J⁶* J*¹

02 to 1—1

J) Die k. PreuBische Landestriangulation, Hauptdreiecke. I Teil, Berlin 1870.

Alx+A₂y + A₃z+A₀=0 Blx-\-B₂y-\-Bi z-\-B₀=0

Ostatnie równania przechodzą po uwzględnieniu równań (1) na:

[ paa] £ + [ pab] rj+[ pac] f=Ax kx -f Bt k₂=[1]

[pab] ę+[pbb]rj+[pbc] ^A₂k₁ = B₂ fca=[2]    ’

[pac] \+[pbć\ ri+[pcc\ę=Az k₁Ą-Bz k₂=[3]

A₁§+A,ij+A, f+&>i = 0 Bl^+B₃ £+g>₂=0, przyczem i o>₂ określa wzór (6) § 3-go.

Oznaczając błędy pozorne pierwszej części wyrównania przez ó', drugiej przez ó", mamy kształt równań błędów odnoszących się do części pierwszej wyrównania:

ó/ = ai x₀ -f- bi yQ + Ci z₀ + h |

(6)

natomiast kształt równań błędów odnoszących się do całkowitego równania jest:

ói=ai x-\-biy+ciz-\-li.=ó, + ó".

Równania błędów pierwszej części wyrównania w odniesieniu do niewiadomych x, y i z są zatem (wedle (7)):

ói =cbiX-\-bi y -{-CiZ-\-[li—ó").

(7)

(8)

Po przeprowadzonej pierwszej części wyrównania możemy wyrazić niewiadome x₀, y₀, z₀ ze względu na związki (27) § 5-go rozdz. IV-go (zastępując we wzorach tam użytych £ przez x₀, rj przez yor £ przez z₀):

(9)

—    xQ=[pal\ QU\Jr[pbl] Q\.2-\-[pel] QU3 —yo=[Pai] Ql.2 + [pbl] Q2.2-H.pcl] Q₂.8

—    z₀=[palJ Q\.z-\-[pbl] Q₂.8+[pdJ Q₃.3,

zaś niewiadome x, y i z (w obec kształtu równań (7)):

(10)

—x=[pa(l—d")] QUi+[pb{l—ó"j) Q\.‘2+[pc{l—d'')] Ql.3 —y=[pa(l—ó")] Qi.2+[pb{l—ó")] Q2&+[pe(l—d")] Q₂.3 — z=[pa(l— ó")] Q\A+[pb(l— ó")] Qi.₃-\-[pc{l—d")] Q₃.₃,

(przyczem wartości poszczególnych Q są nam znane z pierwszej części wyrównania).

Z porównania związków (9) i (10) wynikają dalej równania:

(U)

Ź=[paón] Qi-\+[pbdn] Qi2-\-[pcdn] Qu3 rj=[paón] Q\.2Jr[pbó''] Q-₂.2 + [pcó"] Q₂.3 ę=[pad''] Q\.₃+[pb d''] Q2.s + [pcón] Q₃.3.

Ponieważ

[pa ó"]=[pa d]—[pa ó‘]

[pb d"]=[pb d]—[pb d']

[pc ó"]=[pc ó]—[pc d'],

zaś z powodu dokonania pierwszej części wyrównania

[paó']=[pb ó']=[pcó']=0,

przeto uwzględniając równania (3) i (4) otrzymamy:

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

[pad"]=Axkx+Bx k₂=[ 1] [pbd"]=A₂kx + B₂k₂={2]

[pG ó"]=A₃ kx+B₃ fc₂=[3],

a ostatecznie:

1= Qi.i [1]+ $1.2 [2]+ $,.s[3]= Qia (Ax kx+Bx k₂) + $,.₂ (A₂ &x + £₂ &₂) +

4- $1.3(A₃ kx-\-Bz k₂)

11~ $1.2 [1]+ $2.2 [2]4" $2.3[3]=i$i.2 (Ax kx -\-Bx &₂)-f- $2.2 (A₂    +    ^2)"^

+ $2.3 (A₃ kx-\-Bz k₂)

$1.3 [l]"h $2.3 [2]+ $3.3 [3]= $1,3 (Ax kx-Ą-Bx żfc₂)+ $₂.3 (-d₂ fel~ł~-&2 ^s)4“

4- $3.3 (^3    4" -S3 &₂)-

Wartości te, wstawione do równań (5*), przeistoczą je na:

Ax ($1.1 [1]4* $1.2 [2]4- $1.3 [3])4-A₂ ($1.2 [1]4- $2.2 [2]4- $2.3 [3])4-4~A₃ ($1.3 [1] 4- $2.3 [2] 4- $3,3.[B] + ^ = 0 Bx ($1.1 [1]4- $i.2 [2]4- $1.3[3])4-5₂ ($1.2 [1]4- $2.2 [2]4- $2.3 [3]) 4-4~B₃ ($1.3 [1] 4- $2.3 [2] 4- $3.3[3] + cł>₂~0'

Wprowadzając do rachunku t. zw. spółczynniki przenoszące:

SI* — Ax $u44₂ $1.2 4*-d.3 $1.3 $2—Ax $i.24-A₂ $2.2“ł~A₃ $2.3 yiz=Ax $1.3 + -d₂ $2.3 4" -4₃ $3.3}

<2QX=:BX $i.i + i?₂ $1.2 4-5, $1.3 S3₂ ~Bx $1.2 4* B% $2.2 4* B₃ $2.3

5&₃=Bx $1.3+ 5₂ $2.3 -\-Bz $3.3,

otrzymamy równania (15)-te we formie następującej :

«i [!] + «* P]+ *3 [B] 4<^i=0 ®i[l] + ®.[2]4-»₈[3j4-«₂i=0;

zaś po wstawieniu wartości za [1], [2] i [3] z równań (4) względnie (5) (wyrażając je przez kx i k.₂):

[31 A\kx + [%l B]k₂ + cox =0 [A 93]^4-[®5]*₂ + 6>₂=0,

(IB)

z których znajdziemy wartości ohu korelat kx i k₂.

Analogicznie otrzymamy, wstawiając z równań (16) wartości na % i 93 do równań (14):

(19)

£=0^4-®! K

•?^=9l₂ kx 4-93₂ ^

ę=«₃^;4-®3 K

i rugując przy ich pomocy £, i £ w równaniach (5*):

} (20) } (18*)

'a , (a, *,+ą *,) ■+a , («, +ą, *,) •+ b, (a, *i ■+ą *, > ■+■«v=o

B₁ (%k₁ + 0j *,) + B, («, *, + », kt)+ B, (», kt + ą *,) ■+ <c₂=0,

po uporządkowaniu podług k:

[51 A]kx + [A 93]^ + o)₁=0

©]*i + [®-»]*« +"8=0*

Z porównania równań (18) i (18*) wynika, że

(20)

[5t.B]=[4ffl], czyli

Sly    "k-^2 ^2"b-^3 ®3>

który to związek służy nam za kontrolę.

"W obec równania (20) można równania (18) napisać w dwu postaciach:

(18**)

[51 A]kt + [A ©J^ + w^O [5U3] *! + [£©] jfc + fiy=0,

lub:

(18***)

[A 51] kt +[^'©] *8 + ^=0 [il ©J^+Usj^-bWi-0.

Po wyznaczeniu wartości korelat otrzymamy z równań (19) wartości rj i £, które, dodane do poprzednio uzyskanych wartości a?₀, y₀ i 2, dostarczą nam wartości z, y i 2, odnoszących się do całkowitego wyrównia.

Obliczenie błędów średnich przeprowadzamy wedle wzorów podanych przy metodzie poprzedniej ; zatem na jednostkowy błąd średni mamy trzy formuły:

[pdd]

n—k-\-r

i[pó'ó']

[p ó"d"]

n— ilości spostrzeżeń ) „ niewiadomych „ warunków )

k=

(21)

przyczem równania kontrolne na sumy, zawarte w licznikach, są: [p d'd']=[pll .k]

[pó'd']= —[&>&] =

(&= ilości niewiadomych)

(ayl)² , (a>a.2)²

(22)

ilość wyrazów =r

[p dd]=[£> d'd']=[p d"d"].

¹) W wyrazie [pll.k] oznacza k ilość redukcyj, odpowiadającą ilości niewiadomych, zaś w wyrazie —[toA:] oznaczają k wartości korelat, zatem [to&]=tojk^Ą-.....“f" fo* •

Błąd średni fis funkcji niewiadomych F(x,y, z,...) obliczamy wedle formuły (19) § 3-go, przyczem znaczenia poszczególnych wyrazów podają wzory (18), ^20) i (21) § 3-go. Wzory te nadają się również do obliczenia błędów średnich samych niewiadomych.

Zauważyć należy, że użyte w tych wzorach wyrażenia {AA}, {BB}, {CC} są nam znane, gdyż

(23)

to

[AA}=[%A], [BB}^B], {<7C} = [(SC]....

Waga funkcji Pt

przyczem I—II oznacza wyrażenie we wzorze (19) § 3-go, ujęte w klamrę nawiasową { }.

§ 5. Specjalne przypadki wyrównania spostrzeżeń pośredni cli

z warunkami.

Przy wyrównywaniu pow-yżej określonych spostrzeżeń mogą zajść trzy szczególne przypadki, które choć w krótkości omówić należy.

a)    Równania warunkowe nie zawierają niektórych niewiadomych równań błędów.

b)    Równania warunkowe wykazują więcej niewiadomych niż równania błędów.

c) Spostrzeżenia pośrednie nie wystarczają bez uwzględnienia warunków do wyznaczenia niewiadomych.

a)    Sposób postępowania, jaki w tym przypadku należy zastosować, omówiliśmy już przy końcu § 3-go. Przypadek ten zachodzi bardzo często przy wyrównaniach sieci tryangulacyjnych.

ze-

b)    Jeżeli warunki wykazują więcej niewiadomych niż równania błędów, wówczas należy przy rozwiązaniu bezpośredniem wedle § 2-go stawić niewiadome w takim porządku, aby niewiadome brakujące w równaniach błędów znalazły się przy rozwiązywaniu równań normalnych na samym końcu, a więc po korelatach.

części, otrzymujemy po wstawieniu do warunków spostrzeżeń równoważnych %, uzyskanych z wyrównania pierwszego, spostrzeżenia zawarunkowane z niewiadomemi, które omówimy w § 6-tym.

c) W przypadku, gdy spostrzeżenia pośrednie nie wystarczają do wyznaczenia ich niewiadomych, należy przy rozwiązaniu bezpośredniem wedle § 2-go przestawić porządek niewiadomych, tak aby niewiadome, których nie można wyznaczyć przy pomocy równań błędów, stały się niewiadomemi końcowemi.

Przy podziale wyrównania na

dwie części przechodzimy również na

Przy podziale wyrównania na wyrównanie spostrzeżeń zawarunkowanych z niewiadomemi.

B)

§ 6. Wyrównanie spostrzeżeń zawarunkowanych z niewiadomemi.

Choć spostrzeżenia tego rodzaju spotykamy w praktyce dość rzadko, mimoto należy je omówić, choć w krótkości, o to tak, ze względu na możliwość natrafienia w praktyce na tego rodzaju zagadnienia, jak i ze względu na to, że wyrównanie tych spostrzeżeń stanowi najogólniejszą formą wyrównania, z której wszystkie dotychczas omawiane dadzą się wyprowadzić.

na

Liniowe równania warunkowe mają w tym przypadku kształt

stępujący;

£ ^ ( A₀-{-A₁ (Ji + d₁) + .4₂ (7₂ + ó₂)-P • • ■An(ln+dn)-t-a₁z+b₁ y+ .. . = ) ‘o { B₀-\-Bl ó₁)-\-B₂ (l₂-\-ó₂) A-.. .Bn(ln-hbn)-\-a₂ x-\-b₂ y.. . — (

III    ‘

ilość spostrzeżeń n

ilość niewiad. k

przyczem n>r—k, k<^r.

Oznaczając w każdem równaniu odpowiednio

^0+^1 li +^-2 1% +

B₀ -p Bi l\ + B₂ Z₂ -p

An lH—Oj

Bn ln=oi₂

(2)

otrzymamy równania (1) we formie następującej;

An + a± xJrbly-\-. Bnón-\-a₂x + btyĄ-.

Ax -p.4₂ ^2 "k B\ ój -P B₂ ó₂ -p

• + —0 • + co₂ = 0

(3)    ■

0 ile wprowadzimy do rachunku wartości przybliżone niewiadomych x₀, y₀. . ., będą poszczególne (o zawierały oczywiście wyrazy ax₀, by₀,. . a w miejsce niewiadomych x, y,. . . należy umieścić ich poprawki 47,. . .

Wyrównanie spostrzeżeń zawarunkowanych z niewiadomemi można przeprowadzić trzema sposobami:

a)    sprowadzając je do wyrównania spostrzeżeń zawarunkowanych bez niewiadomych,

b)    przechodząc na wyrównanie spostrzeżeń pośrednich i

c)    metodą bezpośrednią.

a) Przejście do wyrównania spostrzeżeń zawarunkowanych bez niewiadomych osiągamy łatwo, rugując niewiadome ze związków (1) lub (3) przy pomocy odpowiednio z nich wybranych k związków; pozostałe związki w liczbie (r—k) nie zawierają wówczas niewiadomych. Dalszy ciąg wyrównania następuje wedle § 3-go rozdz. V-go, przyczem ilość równań korelat będzie (r—k), a więc jedn. bł. śr.:

(4)

[pód]

r—k

b) Przy sprowadzaniu zagadnienia do wyrównania spostrzeżeń pośrednich należy wziąć na uwagę, że r warunków uzależnia tylko r spostrzeżeń, zatem pozostała reszta, t. j. (w—r) spostrzeżeń niezależnych w połączeniu z k danemi niewiadomemi, a więc razem (n + k—r) niewiadomych będzie do uwzględnienia przy wyrównaniu spostrzeżeń pośrednich. Dalsze przeprowadzenie wyrównania następuj'e wedle § 1-go i § 2-go rozdz. IY-go.

Jednostkowy błąd średni jest określony wzorem:

-i

[póó]

[pód]

n—(n+k—r)

r—k

(4*)

c) Metoda bezpośrednia polega na wyznaczeniu związków, wynikających z [pdd]=min. przy uwzględnieniu równań (3). Tworzymy zatem funkcję £2, na którą składają się [p óó] i równanie (3), pomnożone przez spółczynniki nieoznaczone i wyznaczymy jej względne minimum.

Q=[p <5<5]—2kx{(ó^-\-[A d]+a^x+bty+ ...)—2A₂(«a-ł-[2?d] +

+ a₂x+b₂ymin.

(5)

Warunek (5) powoduje (n+k) równań kształtu:

-^-0-2pl <5,-2    *,-2 B, *,-2 C, *₃

<Sl>\ o,

dd₂

0=2jp₂ d₂—2.4₂ kx—^B₂ k₂ —2 C₂ k₃.. .

0=2pnón — ZAn^ — 2Bnk₂—2 Cnk₃

(6j

0= —2    —2 a₂ k₂ —2 a₃ &₃

dy

=0= —2    —2 b₂ k₂ —2 ń₃ &₃

które możemy napisać także we formie następującej :

p₁ó₁ = A₁kl-ł-B₁k₂-\-Clk₃-{- . . . . P% — A₂ ^2 ^2 ^2 d⁻ ^2 k₃ .

Pndn—Anki-\-Bnk₂-\-Cnk₃-\-.. ■

0=aj kj -f- a₂ k₂ -j- a₃ k₃ • 0= bi k₂ -f- b₂ k₂ -f- b₃ k₃ -f-.. ..

(6*)

Równania te w połączeniu z równaniami (3) (celem wyrugowania poszczególnych ó) dostarczają nam — dla wyznaczenia r korelat i k niewiadomych — (r-\-k) równań kształtu:

IfMfMfh-

.. +a₁x+b₁y-f .. . +0^=0

\Ap\ ⁺ [^] k<1 + \l>~\ ^ ⁺ ' ' ¹ ⁺ °¹ X + b¹ V+ ¹ " ' ⁺"2 = 0

’ ' ¹ +fl53a2+^3 2Z+ • • • +W₃=0

¹

J¹. i?. Helmert. Die Ausgleicłmngsrecłmung n. d. M. d. kl. Qu. Lipsk i Berlin 1907. wyd. 2-gie, str. 288—290.

®1    4" ®2 ^2 4"    ^3 4"

6X + &₂ ^2 + ^3 ^3 +

Rozwiązanie tych równań przeprowadza się sposobem, podanym przy rozwiązywaniu równań normalnych względnie korelat.

Jednostkowy błąd średni określa nam poprzednio podany wzór (4). Wzory kontrolne na [póó] są:

i [pdi]

[p dd]= — Gik,

, K.2)²

["] [“'] [f->]"'

(ao)}²

{««!

{bco.iy

p.l) '

(8)

(8¹)

przyczem wyrazy ujemne pochodzą ze zredukowanych równań (7) po wyeliminowaniu wszystkich korelat; równania te mają następujący kształt ogólny:

—    [aa} x— [ab] y—

—    [ab] x—{bb) y—

+ {act)}=0 -h {6 o>}=0

(9)

(wyrazy ujęte w klamry nawiasowe mają znaczenie symboliczne).

Wzór na błąd średni funkcji niewiadomych x, y₎. . . i wyrównanych

zatem dla:

spostrzeżeń lt + óv Z₂ + <5₂..

(®j Vi • • • 4“    ^2 4" ^2? ¹ ¹ • ln~\~ d»)

podajemy dla r—3, k—2, odsyłając czytelnika dla poznania szczegółów i wyprowadzenia go do dzieła Helmerta¹):

\Ą/y iMiY \ę/₂y    ^

J , U J (¹\-3)² W-4)²|

o²

ff

Ib

AA

1 KM

(aaj

{66.1}

, (10)

przyczem /)

dF

zaś Ft

dF

dF

Tjl __

dx ’    ² dy

Wyrażenie zawarte w klamrze nawiasowej we wzorze (10) jest oczywiście odwrotnością wagi funkcji •

Pf

Jak już wspomniano na wstępie, jest zastosowanie wyrównania powyżej opisanych, spostrzeżeń w praktyce mierniczej dość ograniczone; spotykamy się z niem przy wyrównywaniu sieci trójkątów o kątach, mierzonych metodą repetycyjną, (o ile nie mierzono ich uzupełnień do kątów pełnych), przy wcinaniu wstecz z wyrównaniem, o ile użyjemy przy wyrównaniu równań warunkowych, które zawierają w sobie niewiadomą t. z w. orientacyjną i w przypadkach, omawianych w § 5-tym pod b) i c).

ROZDZIAŁ SIÓDMY.

Uzupełnienia i wskazówki dotyczące rachunku wyrównawczego.

§ 1. Możliwość zastosowania metody najmn. kwadratów. Warunek Gaussa

dla błędów spostrzeżeń.

Wszystkie dotychczas wyprowadzone wzory i metody wyrównawcze, oparte na zasadzie teorji najmniejszych kwadratów, są ważne, o ile błędy wyrównywanych spostrzeżeń są przypadkowe, t. j., gdy ich prawdopodobieństwo jest określone funkcją parzystą:

(1)

fp(+E)=(p(—e).

Warunek (1) ma miejsce, gdy błędy spostrzeżeń zależą od składających się na nie przypadkowych błędów elementarnych w sposób liniowy; natomiast przy nieliniowej zależności od błędów elementarnych nie muszą mieć błędy spostrzeżeń charakteru czysto przypadkowego, który może być zakłócony przez jednostronnie działające przyczyny błędów.

Ponieważ musimy się liczyć z tym przypadkiem w praktyce, nasuwa się pytanie, czy i wówczas można stosować przy wyrównaniu metodę najmn. kwadratów, osiągając przezto wartości zbliżające się bardziej do prawdziwych, niż uzyskane innemi sposobami.

Na pytanie to odpowiemy ogólnikowo, że im silniejszy wpływ mają przy powstawaniu błędów spostrzeżeń przyczyny działające jednostronnie, tem hardziej oddala się kształt funkcji prawdopodobieństwa tych błędów od kształtu (1) (t. j. tem mniej mamy prawo uważać ją w praktyce jako parzystą), a zarazem tem bardziej odbiegają wyniki, uzyskane metodą najmn. kwadratów, od wyników najbardziej prawdopodobnych.

r*CG    r* —CO

\ £'(p{£'-\-x) d£'= \

Jo    Jo

(4»)

Wyjątek stanowią przypadki, w których można z błędów £ wydzielić ich część stałą x, odpowiadającą jednostronnie działającym przyczynom, tak aby:

+

x — V efp(s)d£. J —OO

(2)

Oznaczając pozostałą po wydzieleniu x część błędów przez f', t. j. e—x=e', otrzymamy ze względu na znany warunek

p + OO

\ cp{£)d £— 1

•) -GO

(3)

wstawiając do równania (2) wartość £=£,-Jrx:

£'(p (e' -Jrx)d£,=Oj lub

r* "r⁰⁰

J-00

(4)

£' (p (£' -\-x) d£'.

Równania (4) okrejlają nam t. zw. warunek Gaussa, który spełniają pozostałe po wydzieleniu stałej części x błędy £'.

cp (£' + x)=g)' (e') nie jest wprawdzie funkcją parzystą ani c, ani s'7 ma jednak tę własność, że momenty statyczne powierzehni, zawartych między krzywą y' = cp' (£') a osią e' po obu stronach osi y', są sobie równe, lub co na jedno wychodzi, że środek ciężkości całkowitej w ten sposób powstałej powierzchni leży na osi y', oraz że przeciętna wartość sumy iloczynów [e/ £k'] — dla ilości spostrzeżeń rosnącej do co — dąży do zera.

Ta ostatnia właściwość jest bardzo ważną, uprawnia nas bowiem do tworzenia z błędów £' wartości średnich, jak i do stosowania przy wyrównaniu metody najmn. kwadratów, tak jak gdybyśmy mieli do czynienia z błędami czysto przypadkówemi.

Wydzielenie części stałej błędów x uskuteczniamy albo przy pomocy przeciętnej wartości bardzo wielu (teoretycznie go wielu) błędów £, albo (najczęściej w praktyce) przez wprowadzenie do wyrównania nowej niewiadomej. W tym drugim przypadku muszą być oczywiście warunki pomiarów i z niemi związany kształt równań błędów tak dobrane, aby wyznaczenie owej niewiadomej było możliwe.

§ 2. Wyłączanie spostrzeżeń. Błąd maksymalny.

Obie w nagłówku wymienione kwestje, stojące ze sobą w ścisłym związku, należą do najdrażliwszych w teorji błędów. Zajmowało się niemi mnóstwo autorów między innymi Peirce, Gould, Airy, Winlock, Chau-venet, Stone, Jordan, Helmert, Newcomb, Lehmann-Filhes, Bertrand, Czu-ber i Wellisch. Aby otrzymać pewne kryterjum w tej sprawie, budowano mniej lub bardziej zawiłe teorje, oparte na zasadach rachunku prawdopodobieństwa.

Ze względu na nikłe znaczenie obu kwestyj dla rachunku wyrównawczego możnaby całą sprawę pominąć milczeniem, gdyby nie niektóre teorje wygłaszane na ten temat, mogące wprowadzić studjującego na zupełnie fałszywe tory.

Ponieważ prawo Gaussa dopuszcza istnienie błędów w granicach od — gc do -f- od, nie możemy, opierając się na niem, wyprowadzić wzoru na błąd maksymalny o wielkości skończonej.

Aby jednak uzyskać pewną orjentację na powyżej poruszone kwe-stje, możemy zgodnie z prawem Gaussa obrać drogę następującą¹).

Prawdopodobieństwo, że pewien błąd e jest zawarty w granicach między —m, a -\-m jest określone wzorem (o ile ma zastosowanie prawo Gaussa):    ²

(1)

e-hi²²dE,

który zmieni się dla wartości s i m wziętych absolutnie (t. j. bez względu na znak) na następuj ący:

pm

2 hrm Jo

e-^^de.

(2)

Kładąc hs=t. więc e= granicę całki, otrzymamy

w.

, ds~^ i uwzględniając zmienioną górną

2 r.mli

°«o

Natomiast prawdopodobieństwo, że błąd £, wzięty absolutnie, jest większy od m, przedstawia się wzorem:

pin

e~t2ds

e~t% dt.

(3)

PC°₌1_P™

m    a

2 r°° Ytt j„

e~² dt= 1—=

e~t2dł.

(4)

można znaleśó w tablicach, obliczonyc'

2 r

Wartość wyrażenia — ^ dla różnych stosunków ——ir t. j. w tablicach, podających prawdopodo-

[i

bieństwo pojawienia się błędu e w granicach między 0 a ifi) odejmując od jedności wartości P™, wyszukane w tablicy dla różnych i, otrzymujemy dla różnych i wartości P^.

możemy ze związku

Kładąc P°°_

(5)

w=1-50 w, P=0-1336, „=1-75/*, „=0-0801, =2-00.0,    „=0-0455,

=2-25 0,    „=0-0244,

= 2-50 0,    „=0-0124,

„=2-75 0, „=0-0060,

„ =3-00 0, „ =0-0027, „=4-00 0,    „=0-000063,    „

„=5-00 0, „=0-00000057 „

(6)

= 370 = 15.800 = 1,740-400

Ostatnie dwie wartości na P są wyznaczone przy pomocy wzoru Schlomilcha na P°°

m •

Zestawienie powyższe, które ma wartość orjentacyjną i to tylko dla większej liczby n (począwszy od kilkunastu spostrz.), poucza nas, że przy 22 spostrzeżeniach można oczekiwać jednego błędu e większego niż 2 fi; pojawienie się dwu (lub ewent. więcej) błędów większych niż 2 fi może , zatem wzbudzić podejrzenie, czy przy wykonywaniu tych spostrzeżeń nie zaszły takie okoliczności, które uprawniałyby nas do wykluczenia owych spostrzeżeń. Dopiero, gdyby odpowiednio przeprowadzona rewizja okoliczności, towarzyszących pewnemu spostrzeżeniu (o ile to jest możliwem do wykonania po skończonym pomiarze), dowiodła prawdziwości naszych podejrzeń, należy owe spostrzeżenie wykluczyć. Oczywiście najpewniej można wyłączyć pewne spostzzeżenie już podczas pomiaru, a nie dopiero na podstawie teoretycznych rozumowań.

znaczenie

Jak tedy widzimy, mają wzór (5) względnie zestawienie (6) tylko orjentacyjne i to właściwie dla błędów prawdziwych e, mogą nam jednak być wskazówką i w przypadku błędów pozornych, o ile n nie jest zbyt malem.

Tak zw. błąd „dozwolony*, nie mający nic wspólnego z błędem maksymalnym, ma ważne znaczenie przy układaniu instrukcyj pomiarowych. Przy określaniu wartości tego rodzaju błędów nie należy brać na uwagę błędów maksymalnych, lecz jedynie minimalną dokładność, jakiej dostarczyć nam powinne przeprowadzane pomiary.

(4)

d n bn y -|—    cn z ~|— ln

4'=[pab] y+[pac] z+[pal]

Pn

§ 3. Wyznaczenie niewiadomych przy pomocy redukowania równań

błędów.

Znany geodeta niemiecki jenerał Schreiber wprowadził do rachunku wyrównawczego zredukowane równania błędów z wagami ujemnemi.

Sposób ten bywa używany z korzyścią przy wyrównaniach dotyczących tryangulacji (przy wyrównaniu spółrzędnych punktów, wciętych wstecz i t. p. zagadnieniach).

Postępowanie przy sposobie Schreibera jest następujące.

Mając danych n równań błędów (dla uproszczenia wzorów o 3 niewiadomych) kształtu:

dj = ax x 4- bx y+cx z+lx d₂=a₂a;+ó₂y-l-c₂2;+4

z wagą p₁

Pi

(1)

bn—an x -p bn y -f- cn z-j- ln    „

którym odpowiada pierwsze równanie normalne

[paa] x+[ pab] y -f- [ pac] z+[pal]=0,

Pn i

(2)

tworzymy (w+1) równanie błędów

Ax'=[pab]y + [pac]z+[pal\ z wagą^--^-

a dołączając je do równań (1), w których opuszczono wyrazy zawierające pierwszą niewiadomą, otrzymujemy (n + 1) równań błędów, zawierającyck o jedną niewiadomą mniej, niż system (1):

4 y +

b₂y+

d₉/ =

C₂S+4

z wagą Pi

Pi

(3)

— 1

”    ” [paa]'

System błędów (4) jest równoważny z systemem (1) ze względu na niewiadome y i s; a można się, o tern łatwo przekonać, tworząc równania normalne dla systemu (4), które będą identyczne z raz zredukowanemi równaniami normalnemi systemu (1).

Ze względu, że oba te systemy dostarczają tychsamych niewiadomych y i z, wynika z ich porównania z uwzględnieniem równ. (2):

dj=d—aiX

4'= — [paa]x, a dalej

[pd'ó']=[p dd]— 2 [pa d]z + [p aa]#²;

4':2 [paa]

ponieważ [pad]=0, zaś [paa]xl= — A/ x

przeto

(5)

[p d'd']=[p dd]-f

V;2

[paa] [p dd]=[p <5/d/]

a ostatecznie

MM

[jpaa] ’

(7)

System (4) daje nam zatem niezmienioną sumę kwadratów błędów pozornych przy uwzględnieniu odpowiednich wag.

Zamiast systemu (4) można, postępując analogicznie jak przy systemie (1), utworzyć nowy system (w+ 2) podwójnie zredukowanych równań • błędów o niewiadomej z:

i-l cs

Ci z + li

c₂z+h

z wagą Pi

Pi

Ón / — cnz ln „ „ V' = [pać\z+[pal] „    „

Pn

(8)

[paa]

M'= [bc.\]z+[bl.l\ „    „

-1

[bb.iy

który jest równoważny z systemem (1) ze względu na niewiadomą z7 przyczem podobnie jak poprzednio można udowodnić że:

[pdd]=[p d"d"]

IM' 4"] IM' 4"3

[pbb. 1]

[paa]

(9)

System równań błędów (8) dostarcza nam oczywiście ostatniego równania normalnego kształtu

(10)

[pcc. 2] z—[pcl. 2]=0.

Przeprowadzając jeszcze jedną redukcję równań błędów, otrzymujemy (n + 3) równań błędów kształtu:

Pi

d2 ' ' ' —

dn’" = ln

Pn

Ai"' = [pal]

(U)

[paa]

A₂"' = [pbl.l] „

-1

”    [p£d.l]

⁷¹ [pcc. 2]

Suma kwadratów błędów, mnożonych przez odpowiednie wagi, dostarcza nam jak przy sposobie Gaussa:

[pU]

[paa]

[pM.8]=[pdd]. (12)

ROZDZIAŁ ÓSMY.

Zastosowanie rachunku wyrównawczego do pomiarów wysokości.

§ 1. Rodzaje zagadnień.

Przy wyrównywaniu pomiarów wysokości, a więc wzniesień lub spadów, napotykamy w praktyce na cztery rodzaje zagadnień rachunku wyrównawczego, które należy bliżej omówić.

a) Najprostszy przypadek zachodzi, gdy ciąg niwelacyjny, założony wzdłuż drogi, rzeki i t. p. jest tylko w jednym swym końcu nawiązany do pewnego punktu stałego (reperu) o wysokości znanej z innych pomiarów, lub gdy w braku punktu stałego, przyjęto wysokość jednego z punktów ciągu.

Jak wiadomo składa się ciąg niwelacyjny z szeregu wzniesień względnie spadów między poszczególnemi punktami, które po wyrównaniu pomiarów głuźą jako punkty stałe dla dalszych celów. Ponieważ niwelujemy między poszczególnemi punktami ciągu conajmniej dwa razy, już choćby ze względu na błędy grube, przedstawia się omówione tu zagadnienie rachunku wyrówn. jako wyrównanie par spostrzeżeń.

b) Również często zdarza się w praktyce zagadnienie wyrównania, spowodowane przez założenie ciągu zamkniętego, t. j. powracającego po przejściu przez szereg punktów do punktu początkowego (stałego). W tym przypadku wyrównujemy wzniesienia względnie]⁵ spady, uwzględniając warunek [A]=0, względnie [s]=0. Zastosujemy tedy metodę wyrównania do stałej sumy, lub spostrzeżeń zawarunkowanych.

Oba wspomniane sposoby wyrównania stosujemy także wjj przypadku, gdy ciąg niwelacyjny jest nawiązany obu końcami do punktów stałych.

c) O ile mamy do dyspozycji kilka punktów stałych odpowiednio rozmieszczonych, staramy się złączyć ciągi, nawiązane do nich, w jednym wspólnym punkcie, zwanym ^wązłowym^. Wyrównanie redukuje się w tym przypadku do utworzenia średniej arytmetycznej ogólnej i kilku wyrównań do stałej sumy, (choć można w tym przypadku i podobnych, zastosować wyrównanie spostrzeżeń zawarunkowanych).

d) Najbardziej zawiły problem wyrównania przedstawiają sieci niwelacyjne, powstające przez zespolenie kilku ciągów. Sieci niwelacyjne wyrównujemy metodą spostrzeżeń zawarunkowanych lub pośrednich, zależnie od tego, która metoda nastręcza mniej pracy rachunkowej. 0 ile sieć ma tylko jeden lub bardzo mało punktów stałych, okazuje się z reguły wyrównanie metodą spostrzeżeń zawarunkowanych jako korzystniejsze, przy większej ilości punktów stałych jest zazwyczaj wskazana metoda wyrównania spostrzeżeń pośrednich. W poszczególnych przypadkach należy zawsze zbadać sprawą obioru metody przed wyrównaniem, jak to zrobiono poniżej przy dokładnem omawianiu wyrównania sieci niwelacyjnych.

Omówione tu rodzaje wyrównania mogą być zastosowane także i przy trygonometrycznych pomiarach wysokości, które również krótko omówimy.

§ 2. Ciąg niwelacyjny, wyrównany metodą par spostrzeżeń.

Ponieważ ten przypadek wyrównania omówiliśmy dość wyczerpująco w ust. 2. § 3-go rozdz. Iii-go (str. 64), podając ponadto także i przykład liczbowy, przeto pozostaje już niewiele szczegółów do omówienia.

raz jeszcze wzory dotyczące tego

Dla przypomnienia zestawiono sposobu wyrównania.

Pary spostrzeżeń, otrzymane przy pomiarze, niech będą:

h-y, ńj' | h%, ha ,

S1J sl'l ®2>    S2'i

dla każdej pary spostrzeżeń tworzymy

hi~\-hi    ,

--, ewent. xt

Xi

hr, hr'\ (wzniesienia), lub Sr, Sr', (spady).

Si~\-Si'

oraz

różnice di=hj—hn ewent. di—sj—s*.

Następnie urabiamy wragi p dla wyznaczenia błędów średnich. Aby te ostatnie otrzymać na 1 km długości, należy przyjąć wagi

L oznacza ilość kilometrów długości, wzdłuz której niwelowano

przyczem

między poszczególnemi punktami. L najłatwiej obliczyć, przyjmując przy niwelacji stały odstęp o łaty od przyrządu (w m) i mnożąc go przez podwójną ilość przestawień przyrządu 2 i\ wówczas ilość L przydatna do dalszych wzorów przedstawi się:

Z,=0002io (o ile o przyjęto w m).

(Zazwyczaj przyjmujemy o—bOm wówczas L=0'l.i).

O ile chodzi o pomiary bardzo dokładne, należy jeszcze przy wynikach x uwzględnić odpowiednie poprawki ortometryczne (patrz § 8-my niniejszego rozdziału).

§ 3. a) Wyrównanie ciągu niwelacyjnego zamkniętego, b) Wyrównanie ciągu niw., nawiązanego na początku i końcu do punktów stałych.

a) Wyrównanie ciągu niwelacyjnego zamkniętego przeprowadzamy, posługując się wzorami § 4-go rozdz. Iii-go.

Ze względu, że warunek ma tu kształt sumy

2(h-\-ó)=0, względnie ^(s-fó^O, mają zastosowanie wzory (11*) i (12*) § 4-go tego rozdz. (str. 70).

Po wyznaczeniu odchyłki

ustawiamy równanie odchyłki

ót + d% +

(o=2hj ewent. (o*=2s,

Dalsze wzory są d₀=

—U 5-

dd

-tMj]przed

H. 4r.

bł. śr. jM₀=rb

wyrówn.

po wyrówn.

+(o — 0;

wzory (11*) i (12*) § 4-go wspomn. rozdz. przybierają ze względu na

(jak poprzednio) kształty następujące:

Xi=h —

Li

Li

względnie Xi=Si—

^L= , (błąd śr. jedn. na 1 km długości),

Yj^jbłąd śr. wzniesienia hi (wzgl. spadu si) przed wyrównaniem, zaś

gXi = (o^[L]—Li. yLi błąd śr. wzniesienia (wzgl. spadu Si) po wyrównaniu.

Oczywiście, że i w tym przypadku należy uwzględnić przy wzniesieniach względnie spadach poprawki ortometryczne, o ile mamy do czynienia z pierwszorzędnym ciągiem niwelacyjnym, założonym dla celów rozmierzania kraju.

b) Sposób wyrównania nie ulega zmianie, gdy ciąg niwelacyjny jest nawiązany na początku i końcu do dwu punktów stałych.

Zamiast poprzednio podanego rachunku mamy w tym przypadku do uwzględnienia:

V[£l

Pi=(0

[h-\-d]—AH= 0, ewent. [s+ój—4 5^=0,

przyćzem AH—HK—HF (t: j. różnicy wysokości stałego punktu końcowego mniej wysokość punktu stałego początkowego), zaś As ab oznacza spad z punktu P na K.

Odchyłkę co otrzymujemy z równań:

[łi\—AH=(o, ewent. [s]—As]>K=(o.

Szczegółowy przykład wyrównania tego przypadku podaliśmy w § 4-tym rozdz. III (przykład drugi str. 71).

§ 4. Wyrównanie punktu węzłowego.

I ten przypadek wyrównania jest nam znany; omówiliśmy go w § 2-gim rozdz. Iii-go, podając jako przykład wyrównanie punktu węzłowego 5-ciu ciągów niwelacyjnych (przykład drugi str. 60).

Mimoto, że wspomniany przykład odnosi się do niwelacji zwyczajnej (fi₀, błąd śr. na 1 km wynosi tam około ±25 m/m), używa się tego sposobu w praktyce bardzo często i przy wyrównywaniu drugorzędnych sieci niwelacyjnych krajowych, a to ze względu na wielkie uproszczenie pracy rachunkowej, jakie pociąga, za sobą użycie tej metody.

Aby wykazać, jak znaczne uproszczenie nakładu pracy rachunkowej następuje przy zastosowaniu metody wyrównania przy pomocy punktu węzłowego, omówimy następujący przykład.

Z sześciu punktów I, II,

III, IV, V i VI niwelacyjnej sieci I-rzędnaj (uważanych w tym przypadku jako stałe) poprowadzono ciągi niwelacyjne do wspólnego punktu węzłowego W, wyznaczając wysokości punktów sieci drugorzędnej.

17

71

na-

Fig. 11.

* Użycie przy wyrównaniu powyższej sieci II-rzędnej metody spostrzeżeń zawarnnkowa-nych wymaga, wedle wskazówek udzielonych w paragrafie stępnym, uwzględnienia 5-ciu warunków n. p.

[*+»],"+■[*+*]“-(*„-4>=-o- [*+<+[*+<-(Ą,-iy-⁰.

[*+⁸],n + (y*+⁵C    Hm>⁼⁰’ [,1 + 5liv + E;‘ + ³]',—fy,v—11 n>= °'

[*+< + [*+S]”-(tfTI-ffT)=0,

a w następstwie obliczenia 5-ciu spółcz. nieoznacz. k (korelat).

Natomiast przedstawia się wyrównanie tej sieci przy zastosowaniu wyrównania wysokości punktu węzłowego bardzo prosto.

Oznaczając długości poszczególnych ciągów:

IW=LV IIW=L₂, IIIW=L₃, IVIV=L„ YW=L₅ i VIW=L₆, otrzymamy wysokość wyrównaną punktu W z wzoru:

lJ lJlJl,

Hw~ i    i i    i r r

W    W

przyczem Ht = Hi +    , H₃ = Hn+[h]ii i t. d.

Jedn. błąd średni na 1 kmp,₀ będzie (przy uwzględnieniu poszczególnych L jako liczb, odpowiadających długościom poszczególnych ciągów w km):

M*o —

przyczem przez Ą- oznaczono różnice Hw—Hi.

Zaś błąd średni wysokości wyrównawczej Hw przedstawia się:

\xw=

V' Ul

Wi]

Po wyrównaniu wysokości punktu węzłowego Hw wyrównujemy wzniesienia (wzgl. spady) między punktami I—W, II— W,. . . .IV—W, jako spostrzeżenia dające stałą sumę, lub jako zawarunkowane (o jednym warunku), uzyskując wysokości poszczególnych punktów pośrednich.

Sposobu tego można użyć także i przy sieciach niwel. bardziej zawiłych, o większej ilości punktów węzłowych; w tym przypadku należy podzielić punkta węzłowe na I-rzędne, II-rzędne i t. d. i przeprowadzić kolejno wyrównanie ich wysokości. Mimoto, że sposób ten daje nam wtedy wyniki tylko 'przybliżone (tern bardziej odchylaj ące się od ścisłych, im więcej użyto punktów węzłowych), stosuje się go z reguły przy wyrównywaniu sieci niwelacyjnych rzędów wyższych niż II-gi, a nawet przy sieciach II-rzędnych, głównie ze względu na bardzo znaczne uproszczenie pracy rachunkowej. Sposób ściślejszy wyrównania przy większej ilości punktów węzłowych przedstawiono w § 7-mym (str. 182.).

§ 5. Sieci niwelacyjne. Wybór metody wyrównania.

Jak już wspomnieliśmy w ustępie d § 1-go, wyrównujemy sieci niwelacyjne metodą spostrzeżeń zawarunkowanych lub pośrednich. Ponieważ wybór metody wyrównania jest przy sieciach niwelacyjnych okolicznością bardzo ważną, mogącą spowodować znaczne uproszczenie pracy rachunkowej, omówimy tę sprawę nieco szerzej.

Aby w sieci niwelacyjnej składającej się z p punktów, z których jeden jest stały (lub którego wysokość przyjęto), wyznaczyć jednoznacznie wysokości (p—1) pozostałych punktów sieci, należy pomierzyć (p—1) odpowiednich niezależnych wzniesień (spadów).

Jeśli więc w sieci niwelacyjnej, składającej się z p punktów, z których jeden jest stały (lub jako taki przyjęty), pomierzono n wzniesień (spadów), otrzymamy w razie zastosowania metody spostrzeżeń zawarun-kowanych n—(p—1) nadliczbowych pomiarów, a zatem ilość warunków r będzie określona związkiem:

(1)

r=n—(p—l)=n—2?+l;

stosując zaś w tym samym przypadku metodę spostrzeżeń pośrednich, otrzymamy n równań błędów o

k==p—1

(2)

(niezależnych) niewiadomych.

Dociekania te dają się łatwo uogólnić dla sieci niwelacyjnych o p' ilości punktów stałych.

Przyjmując, że sieć niwel., składająca się z p punktów, posiada p' punktów stałych, należy dla wyznaczenia jednoznacznego wysokości reszty {p~p') punktów pomierzyć tylko (p—p') odpowiednich niezależnych wzniesień (spadów).

O ile zatem pomierzymy n wzniesień (spadów), będzie ilość warunków (przy zastosowaniu met. spostrz. zawar.).

r=n—(p—p/)=n—p-\-p/,

zaś (przy zastosowaniu met. spostrz. pośredn.) ilość równań błędów

7c=p—p'

(1*)

(2*)

niewiadomych.

Ponieważ najwięcej czasu zabiera przy wyrównaniu zazwyczaj rozwiązywanie równań korelat względnie równań normalnych, wybieramy tę metodę wyrównania, dla której wypadnie mniejsza ilość wspomnianych równań; zatem

metodą spostrzeżeń zawarunkowanych, gdy

n—(p—p')<p—p' lub n<%(p—p')

metodę spostrzeżeń pośrednich, gdy

(3)

n—(p—p')>p—p' lub n>Z(p—p').

G-dy n=Z(p—p'), należy obrać tę metodę, dla której w danym przypadku wypadną spółczynniki równań korelat wzgl. normalnych bardziej wygodne dla rachunku; zazwyczaj obieramy wówczas jednak metodę spostrz. pośrednich, a to ze względu na łatwiejszy sposób wyznaczenia błędów średnich wyrównanych wysokości punktów.

Dr. K. Weigel. Rachunek wyrównawczy.

12

§ 6. Wyrównanie sieci niwelacyjnej metodą spostrzeżeń zawarunkowanycli.

"Wyznaczywszy ilość warunków sieci ze związku

r=n-pĄ-p'

należy zwrócić baczną uwagę, aby wszystkie, użyte przy wyrównaniu warunki, były niezależne, t. j. aby żaden warunek nie mógł być wyprowadzonym z pozostałych, (co można łatwo stwierdzić). Mając do wyboru kilka systemów warunków, wybieramy oczywiście ten, który nastręcza najmniej pracy rachunkowej, a więc warunki o jaknajmniejszej ilości spólczynników, względnie takie, dla których wypadnie największa ilość spół-czynników równań korelat równa zeru.

Dla zrozumienia powyższych wskazówek objaśnimy tę sprawę na przykładach, przedstawionych na fig. 12. (I i II oznaczają tu punkta stałe).

i)

I'

n -O.

h.

h,

■F

[^9

>D

A k- B Fig. 12.

/i, C

Przykłady.

Przykład aj dostarcza nam warunków r—n—p-\~p,= 10—9-f-2 = 3 (ilość równań normalnych k byłaby równą p—p' = 7); jako warunki obierzemy:

\    + 8₂ + ^3 + 83 + ^4 + 84 +^₅ + 8₅ —(Hii — Hj) = 0

^2 + ^2 — K—^8--K —^9 "b ^10 + ^]0

^3 “b ^3 d⁻ ^4 ”b °4 “b^6 d~ ^6    ^7    ^7    ^10    ^10

= 0.

Przykład b) Ilość warunków r=n—p-\-p' =11 — 9 + 2 = 4:

h + _ h% - 8₂ + hz + 8₃    - S₄ + h₅ + S₆ - (Hn-Hi) = 0

k% ^2+^8 + ^8——^9 +^10 + ^10

ho + 8, — h*n—81fl—h,. —8.,

- K - s₄ + K +\- h₇ - 8₇ + hn + 8n

Przykład c) Ilość warunków r—n—pJrp' = 11 — 9 + 2 = 4:

hy + 8 j hg 8g hQ 8

\ +^2"~^7— 57 +^9 +^9—

^3 — ^3 — ^4 ~'^4 + K + ^5 ~ K — ^6 + ^10 + ^10 + Kl + $11 — 0

h + §6 + K + ⁵7 + K +\- (Hn-Hi)

= 0.

= 0.

Jako większy przykład liczbowy podajemy wyrównanie sieci niwelacyjnej, założonej na obszarze delty Wisły i Nogalu, opierając się na publikacji Biura dla przepr. głównej niwelacji *) i dziele A. Abendrotha (patrz fig. 13).

G 70

>693

3»-

,too

11

9-

AL

39

JO.

700

ii

jfć

130

Fig. 13.

Punkty 670, 3, 1. 70 i 130, pochodzące z poprzednio wyrównanych ciągów wzgl. sieci, przyjęto jako stałe. Strzałki oznaczają wzniesienia.

Ponieważ w=16, p = 14, p'— 5, przeto ilość warunków

r~n—p-f-p' —16—14 + 5 = 7.

(Metoda spostrz. pośrednich wymagałaby k—p—p'—14—5 = 9 równań normalnych).

Przy wyrównaniu uwzględniono następujących 7 warunków niezależnych.

^5    7    \    ^6 +^7+7 +/I3 +§₃

-^12 — *11 — ^11 + \ + S₅ + ^4 + S₄ — (H₃ —Hx )

*10 ®10    *9    ^9 —*8 —^8 +ńg +B₆ + ^ii +§n

*13    ^13    *14    +4    70 7^12    T?₇o) “9

+ *16 + ^16—*15—^15 +*9 + ^9 + *14 + ^14 ~~*1 6 ~~76 "i” *1 3    73    ("®7O -®13o) '

=0 = 0 = 0 = 0

= 0.

Schematyczne zestawienie wzniesień wedle warunków dostarcza nam 7 od

chyłek w:

+ li

*3

-*4

(i?67 0 ff₃)

+ 3-4276 + 0-7559

—    1-4526

—    0-5900

—    2-1320

8-30

5-30

4-81

1-07

+ *3

+ 1-4526 — 1-5212

4-81

*5

—h₆ —0-0289 + ń₇ +0-0917

2-73

0-84

1-75

wi

+ 0-0089

19-48

w₂ —0-0058

10-13

b Hohen iiber N. N. von Festpunkten und Pegeln an Wasserstrassen. Zeszyt XVII, Berlin 1913. i A. Abendroth, Die Ausgleichungspraxis in der Landesyermessung, Berlin 1916. (str. 230 i dalsze).

+ 0*5900 + 1*5212

—    3-7457

—    13*5052 — (H₃— Hx) +15*1420

+ Ti

w₃

+ ^io + ^12

^14

-Cą-Ąo)

W5

i> co 10 Ci

, OMOCO T“' I ^    + ói ć> cb ’

+ 111 +

Ss-c s- Ss- Ss*

w. t£>    06    05

O

+ 0-0289 —0-9271 — 2*1462 —0*7010 + 3-7457

0-84

7-64

2-16

7-25

9-55

+ 0-0023    17*04

w₄ +0-0003    27-44

+ 0-7010 + 13-5052

—    8-6913

—    0*7941

—    9-7260

0-0052

Ci 05 00 -O

u< + Ci ti Ci 00 <X> O*

23*98

0)₆

+ 2*1462 . + 0-7941 — 14-6605 + 11*7186

to CO 05 to

O CO 05 05

0-0016    18-91

li w m

+ A₁₃

\

C®7 0    -®130^

+ 3*6913 — 11*7186 + 8-0280

. to Ci

T—i

GO O

g)₇

+ 0-0007

8-58

Ponieważ każde wzniesienie niwelowano tam i z powrotem i to nie zawsze przy użyciu zupełnie tej samej drogi, wypisane powyżej spady są średniemi arytmetycznemi ogólnemi wzniesień, mierzonych tam h' i z powrotem h":

Ł p'h'+p"h"

~~ p'+p"    ’

-j~n% (L' ^cz^a km Przy pomiarze w jednym kierunku,

przyczem p' =

zaś L" liczba km przy pomiarze w kierunku powrotnym).

Dla utworzenia odwrotności wagi każdego wzniesienia należy przeto wziąć na uwagę błąd średni wzniesienia h (jako średniej arytm. ogólnej) :

Ho² . p'+p"’

L'L"

zatem

Ph p'+p"    1

1    L'+L"

a w razie L' — L"=L, — =

Ph

L"

W ten sposób utworzono odwrotności wag

dla wszystkich wzniesień;

ponieważ, jak łatwo wykazać,

[tHt]

jest sumą odwrotności wag wznie-

jest sumą odwrotnoćci wag

sień zawartych w pierwszym warunku,

wzniesień zawartych w drugim warunku i t. d., zestawiono zarazem sumy odwrotności wag dla każdego warunku.

Schematyczne zestawienie równań odchyłek przedstawia się':

⁵9    ⁵10    S12    ³13    ⁵14    S15 S16

■m

I -j-1 -j-1 —1 —1

to/ot

+8-9 19-48

II

III

IV

.+1.-1 -1 +1 .    .    +1    +1 .    .

.    . . .    +1    .

-6-8 1018

-1 -1

Hi

r—i

+2-3 17-04 +0-3 27-44 -5-2 23-98

VI

• +1

t-H

+1

-1-6 18-91

VII

T—ł

-1

+0-7    8-58

T—ł

8-30 5-30 4-81

1-07 2-73 0-84 1-75 7-64 2-16 7 25 9.55 3 69 6-48 6-56 8’09

210

Jeżeli przy układaniu warunków pamiętano o tem, żeby wzniesienia wspólne dwom warunkom wystąpiły w nich ze znakami przeciwnemi, można i spółczyn-niki „niekwadratowe“ równań korelat utworzyć mechanicznie, mianowicie będzie:

—=—2-73 i t. d.

i*

Pz

= —4-81,

r acl 1

IP J    Pi

= —1-07,

Schemat równań korelat będzie zatem:

k₃

Jc₆

hrj

Wyrazy

wolne

+ 19-48

— 4-81

1-07

+ 8-9

II

4-81

+ 10-13

2-73

— 0-84

— 5-8

III

1-07

2-73

+ 17-04

9-55! — 3-69

+ 2-3

IV

- 0-84

— 9-55 | +27-44

7-25

2-16

+ 0-3

_ 3-69 — 7-25

+ 23-08

6-56

_ 6-48 —5-2

VI

2-16

6-56

+ 18-91

2-10! —1-6

VII

6-48

2-10

+ 8-58

+ 0-7

2 +13-60

+ 1-75

0-00 ; + 7-64 j — 0-90

+ 8-09

0-00

—0-4

Kównania powyższe spełniają następujące wartości korelat:

^ = —0-3334, k₂ =. +0*4690, kz = +0-1397,

+0-2057,

&₅=+0-4860, k₆ = +0-3209,

&₇ = +0-3613,

Pi

które wstawione do równań poprawek kształtu 8,-=— (ai&₁ + &i&₂+. . .) (przy-

czem a, b, c i t. d. są tu +1 wzgl. —1) dostarczają poprawek:

Oj — —2-8 m/m, B₂ = —1-7 m/m, B₃= +3-9 m/m, S₄= +0-5 m/m,

Sj₃ — —0-8 m/m, B₁₄ = —1-1 m/m, B₁₅ = —2*6 m/m, B₁₆ = —0*1 m/m.

B₉ — +0-2 m/m, B₁₀ = +2-0 m/m, Bjj — +0-6 m/m, B₁₂ = +1*3 m/m,

§₅ = —0-9 m/m,

B₆ = —0 2 m/m,

B₇ = +0*8 m/m,

S8 = —¹⁻⁵

Sumę [p BB]= — [w k]

((+.1)²

'Wnr

otrzymujemy (z dostateczną

zgodnością kontroli) 8-08, zatem

jedn. błąd średni pojedynczego pomiaru na 1 km dł. p,₀/==^~+^

±1-07 m/m,

lV

zaś jedn. bł. śr. podwójnego pomiaru na

1 km dł. l^o,,=^=±0'76 m/m.

W obu błędach, średnich p.₀ jest zawarty przymus nawiązania t. zn., że na ich wielkość wpływają także błędy punktów stałych.

¹

J¹. i?. Helmert. Die Ausgleicłmngsrecłmung n. d. M. d. kl. Qu. Lipsk i Berlin 1907. wyd. 2-gie, str. 288—290.

²

Porówn. F. R. Helmert. Ueber d. Maximalfehler einer Beobachtung. Zeitschr. ±. Yermessungsw. (niem.) tom VI. 1877. str. 181 i d., oraz tegoż autora: Die Ausgl. n. d. M. d. kl. Qu., Lipsk, Berlin 1907 wyd. 2-gie, str. 864—366.

§ 7. Wyrównanie sieci niwelacyjnej metodą spostrzeżeń pośrednich.

W sieciach o wielkiej ilości punktów stałych może być często

n>2(p—p');

3\

6\

110

w takich przypadkach należy j e wyrównać wedle (3) § 5-go metodą spostrzeżeń pośrednich.

Jako niewiadome równań błędów występują tu:

aj poprawki (p—p'J niezależnych wzniesień (spadów), lub lepiej b) poprawki wysokości (p—p'J punktów sieci.

Fig. 14.

Sposób ustawienia n równań błędów objaśni najlepiej następujący przykład (patrz fig. 14.).

Punkty A, B, C i D związano siecią niwelacyjną z punktami stałemi

i, n i iii.

00

co

w=10, p=7, p'= 3; w obec ezego : n>2(p—p')

10>2(7—B).

Ilość warunków (dla spostrz. zawar.) byłaby r—n—p-\-p' = 10—7 + 3=6, zaś ilość niewiadomych k—p—p'= 1—3 = 4. Obieramy zatem metodę wyr. spostrz. pośrednich.

a) Poprawki (p—p') wzniesień (spadów) jako niewiadome.

Dla 6-ciu niezależnych warunków ustawiamy 6 równań odchyłek wyrażonych poprawkami, a wybierając z nich 4 niezależne jako niewiadome, ustawiamy 10 równań błędów. (Por. § 2 rozdz. V-go, str. 119.).

1)    d-dj + dg—d₃ —d₄

2)    . —d₂ -f~d₃

3)

• -d₅ -d,

4)

⁶)

.    .    . Jr(oi =0

d₇ .    . -ł-ó₁₀ + ct)₂=0

d₇ .    .    . + Ci>₃ = 0

+ d₈ + d₉ —d₁₀ + <y₄=0 .    -d₉

6)

+ d₄ +d₅

•    +<y₅—0

•    d~    ⁼ 0

p V4, 74, 74,74, 74, 74, 74, 74, 74, 74o

(przyczem a>b = —h₁—h₉—(Hi—Hn) a>₆ = 4+4—(Hm — Hi).

Dla ustawienia równań błędów jest korzystnem, przyjęcie takich poprawek jako niewiadome, które, należąc do wzniesień (spadów) niezależnych, znajdują się w największej ilości równań odchyłek; w naszym przypadku przyjmiemy zatem

ó₁=x, d₂ = y, d₃ =0 i d₇=ń

Podstawiając te wartości w równaniach poprawek, otrzymujemy:

dIl=x-\-y—0-j-Wj, d₅ — — a>₆    d₄= x y-\-z (ox co₆

d₆ =—d₅ -f- d₇ -j-cł>₃ = -\-x-\-y—0-Md-a>id-a>3 + <u₆, dl0= Ą-y z-\-1    &)₂

d₉ = -z+a>₅, d₈=-d₉+dl0-w₄ = +z+?/-^+<—m₂-&>₅, lub po uporządkowaniu :

d₄ =

<5₂ .=

d₃ = .••+* •

d₄ =+»+«/—0    .d-«i

d₅ = —Z-yd-0    (Wj + Wg)

d₆ =+z-{-7/—0 +ź+(a>₁ + a>3 +w₆) „ d₇ =    .

d₈ =+x+y—z + t— (o>₂—o>₅) d-a>₅

. +7/—0+£— W₂

74

„ 74 „ 74 » 74o*

Po znalezieniu wartości niewiadomych z 4 równań normalnych otrzy-

d₉ = —z

^io⁼

mujemy wyrównane wartości wzniesień: hxĄ-x, h₂-\-y, h₃+zik₁ + t, a zarazem wyrównane wysokości punktów A, B, C i D.

Jedn. błąd średni na 1 km będzie (o ile L przyjęto jako liczby, odpowiadające odpowiednim długościom ciągów w km):

-i

[pód]

n—Je

Również łatwo można wyznaczyć błędy średnie wzniesień wyrównanych wzgl. wysokości wyrównanych (Ha-, HB, Hc i Ho).

(Szczegółowe omówienie wyrównania spostrzeżeń pośrednich nastąpiło w rozdz. lY-tym).

b) Poprawki (p—p') wysokości jako niewiadome.

Sposób ten jest bardzo przejrzysty i dozwala szybciej ustawić równania błędów wprost z figury.

Weźmy na uwagę przykład omawiany poprzednio. Z wzniesień spotrzeganych obliczamy nasamprzód przybliżone wartości wysokości punktów A, B, C i D n. p.:

Ha    hX7 H£' = Hn+h₈, Ho'=Hm—h₅, HB' — Hi-{-hx+h₂.

Oznaczając poprawki wysokości punktów A, B, C i D przez x=AHa, y=AH/?, z=AHc i t—AHD, otrzymujemy równania błędów ze związków między wyrównanemi wzniesieniami i wysokościami:

hx -f- d x==Ha' + x— Hi, zatem:    = -\-x

*h%    ó 2~Hd'J- t—Ha¹ — x, <J₂ =

^3    3~H£'t—Hc'—z, d₃ =

h, +ó k = Hc'+ z-Hh h₅ -j- d ₅ = Hm \ + óe = HB'+y-Hm, hr -f-ó ₇ — Hb' -\-y—Ho' — 2, ó₇ =

h8 +ó₈=HB'+y-Hu,

+d ₉ —H\i

<*4 =

—Hc' —z, d₅ =

óR =

.    . Ą-t

• —z Ą-t -\-{Hi —Hm+hx+h₂—h₃ Ą-hb) ,+z .+(Hui—Hi—hi — h₅)

. —z

+y • +y—z

+y •

4-(i7ii—Hm.—hG-\- h₈)

+(Hu—Hm+h₅ —hr, + h₈)

— HA'—X, Óg =—X    .

hi₀+ói0=HB'+y—HA'~x, óXg = —x+y .

•    4- (Hu—H\—hx — hg)

•    —Hi—hx-\-h₈—hx0).

Wagi tych równań są jak poprzednio p^y-, p₂=y-. .pl0=y—

Lx    Lx 0

przyczem L odpowiada ilości km drogi, odbytej przy niwelowaniu między poszczególnemi punktami.

Jedn. błąd średni p₀ —

g-J, gdyż n—Jc= 10—4=6. Wyznaczając przy rozwiązywaniu równocześnie i wartości spółczyn-

ników Qi.i, Qi.2, Qi.3> Qi.4, Qż.2 i t. d. aż do $4.4, obliczamy łatwo i błędy średnie wysokości punktów :

f^A (lx    Pc — lh—

f^y~    Qi.2 j f^D~ (ł>t ⁼ A*oV Q4,4>

Szczegółowe omówienie wyrównania spostrzeżeń pośrednich znajdzie czytelnik w ustępach rozdziału IY-go.

Metoda spostrzeżeń pośrednich bywa często używaną w przypadkach, gdy sieci niwelacyjne mają wprawdzie dość dużo punktów, których wysokości należy wyznaczyć, lecz stosunkowo niezbyt wiele punktów węzłowych. Dzielimy wówczas wyrównanie na dwie części. Nasamprzód wyznaczamy tylko punkty węzłowe metodą spostrzeżeń pośrednich; następnie wyrównujemy poszczególne ciągi między punktami węzłowemi, względnie między punktami stałemi i węzłowemi jako spostrzeżenia, których suma jest stałą.

§ 8. Uwzględnienie przy niwelacji wpływu zmiany przyspieszenia

eiężkości.

Warunki występujące przy wyrównaniu sieci, względnie ciągów niwela-cyjnych układaliśmy w poprzednich ustępach pod założeniem, że poziomy geodezyjne są powierzchniami równoległemi.

Założenie tor wystarczające przy niwelacji dla celów technicznych, nie może mieć miejsca przy niwelacji sieci lub ciągów I-rzędnych, które mają służyć także i celom naukowym.

Jak bowiem wiadomo, poziomy geodezyjne nie są w rzeczywistości powierzchniami równoległemi z powodu zmiany przyspieszenia siły ciężkości wraz z szerokością geograficzną; nie jest więc rzeczą obojętną, w którem miejscu weźmiemy na uwagę odstęp dwu poziomów geodezyjnych.

Dokładne omówienie tej sprawy należy do geodezji wyższej i moźnaby ją tu zupełnie pominąć, gdyby nie konieczność zastosowania przy warunkach sieci i ciągów niwelacyjnych I-rzędnych pewnych poprawek, bez których uwzględnienia, wyniki wyrównania byłyby błędne. W geodezji wyższej rozróżniamy wzniesienia dynamiczne i ortometryczne, jakoteź dwie odpowiadające tym wzniesieniom poprawki, t. j. dynamiczną i ortometryczną, przy pomocy których zmieniamy wzniesienia uzyskane z niwelacji ścisłej, uważane za bezbłędne, na odpowiednie wzniesienia dynamiczne względnie ortometryczne.

Ponieważ poprawki dynamiczne wymagają wykonania szeregu pomiarów grawimetrycznych w punktach rozmieszczonych wzdłuż ciągu niwelacyjnego, poprzestajemy zazwyczaj przy przeprowadzaniu niwelacji I-rzędnej na uwzględnieniu poprawek ortometrycznych, tembardziej, że po dokonaniu potrzebnych pomiarów grawimetrycznych możemy zawsze łatwo przejść ze wzniesień ortometrycznych na dynamiczne.

Ponieważ poprawki ortometryczne muszą być uwzględnione w warunkach wyrównania, przeto podajemy dwa wzory (przybliżone), z których pierwszy zawiera poprawkę ortometryczną wzniesienia między dwoma punktami A i B, drugi poprawkę,- jaką trzeba uwzględnić przy obliczaniu wysokości ortome-trycznej (ponad poz. morza) punktu B z danej wysokości ortom, punktu A.

Oznaczając wzniesienia między poszczególnemi punktami ciągu AB otrzymane z niwelacji ścisłej przez SA', szerokość graficzną punktu B przez średnią arytmetyczną szerokości geograficznej punktów A i B przez <p₀, oraz szerokości geograficzne punktów pośrednich tego ciągu przez <j> (zmienne), otrzymujemy następujący wzór na AB wzniesienie ortometryczne punktu B nad A: przyczem spółczynnik (3=cv)0'0053.

Drugi wyraz strony prawej tego wzoru jest poprawką ortometryczną wzniesienia punktu B nad punktem A.

Przy niwelacji z północy w kierunku południa odpowiada znak poprawki znakowi wzniesienia, t. j. gdy punt B leży wyżej niż A, należy ją dodać, gdy zaś leży niżej niż A, odjąć; przeciwnie ma się rzecz przy niwelacji z południa na północ znak poprawki jest zawsze przeciwny znakowi wzniesienia.

Drugi wzór, który tu podajemy odnosi się do wysokości ortom, (ponad poziom morza) HA i HB punktów A i B.

Z pojęcia wysokości ortometrycznej wynika, że dla uzyskania HB nie wystarcza dodać do HA wzniesienia ortom. hA, lecz trzeba uwzględnić jeszcze nie-równoległość poziomu geodezyjnego A z poziomem morza (geoidą zerową), co uzyskujemy przy pomocy w praktyce używanego wzoru (przybliżonego):

HB=HA+hA + £ sin (<^+<Pij)sin {oa—^b)Ha.

§ 9. Wyrównanie trygonometrycznych pomiarów wysokości.

Aby przy trygonometrycznym pomiarze wysokości zmniejszyć niekorzystny wpływ spółczynnika refrakcji k, staramy się wykonać pomiar wzniesienia punktu B nad punktem A ze stanowiska, znajdującego się mniej więcej na osi symetrji obu tych punktów.

Wyznaczając z jednego stanowiska wzniesienia między kilku punktami, nie jesteśmy w stanie uczynić zadość temu warunkowi, co ma ten skutek, źe poszczególnym wzniesieniom odpowiadają różne wagi.

Wzór przybliżony na trygonometrycznie wyznaczone wzniesienie hA punktu A nad punktem obserwacyjnym I (wysokością przyrządu na stanowisku I) przedstawia się:

1 -k

dA\

(1)

hA=dAtg aAĄ

przyczem dA oznacza odległość poziomą punktów I i A, aA kąt wysokości kierunku IA, zaś B średni promień ziemski dla odpowiedniej szerokości geograficznej.

1-k, 2 <2R d"-

Analogicznie jest hB= dB tg aB-i

Różnica hB—hA=hA daje nam wzniesienie punktu B nad A.

Przy pomiarze staramy się tak obierać stanowiska, aby można było wyznaczyć jak największą ilość wzniesień, które Jordan w tym przypadku nazywa „przekątniamiu wysokości.

W ten sposób wyznaczone wzniesienia (przekątnie) tworzą zazwyczaj sieci, które możemy nazwać „sieciami wysokości^.

Wyrównanie sieci wysokości przeprowadzamy w sposób analogiczny jak wyrównanie sieci niwelacyjnych; wszystkie wskazówki, jakie podaliśmy poprzednio przy niwelacji, mają więc i tn pełne zastosowanie. Natomiast musimy omówić dokładniej sprawę przyjmowania wag dla poszczególnych wzniesień.

Jeżeli pominiemy stosunkowo nieznaczny wpływ błędów odległości IA i IB, a przyjmując błędy średnie kątów aA i aB równe, oznaczymy je przez yia) zaś błąd średni spółczynnika k przez otrzymamy na błąd średni wzniesienia z A na B

dB%—dA²

dB²-dA²

y (2)

hAB =hB—hA= dn tg aB—dA tg aA-f

wzór następujący:

a f( dB V , ( dA \²)^² (dB

\\cos²as/ ^"Icos²^/ j

(3)

Ponieważ kąty aA i aB są zazwyczaj stosunkowo małe tak, że cos a^=cv)COS Ob=cv>l, możemy dla wyznaczenia wag użyć wzoru jeszcze bardziej uproszczonego, mianowicie

lin^{dAl+dB²)

Biorąc R dla gp = 50° (co mniej więcej odpowiada i naszym warunkom), oraz przyjmując ^<*=±5" zaś ^=0*0325, ułożył Jordan następujący wzór na yh², którego odwrotności możemy użyć jako wagi po wstawieniu odpowiednich dA i dB w km:

• (*h

Wzór (5) dostarcza nam dr/** w m.

lic?

p²

dB²-dA²

2 jK

(4)

=0*0005876 (^²+^²)+0*000006485 (dB²—dA²)².

(5)

KOZDZIAŁ DZIEWIĄTY.

Tryangulacja (Część pierwsza). Wyrównania

stacyjne.

§ 1. Pomiar kątów a kierunków.

W ustępie 5-tym § 3-go rozdz. Ii-go (str. 44.) zastanawialiśmy się nad dokładnością kąta, wyznaczonego metodą kątową i metodą kierunkową. 2 uwag tam przytoczonych wynika, że z wyjątkiem pomiarów bardzo dokładnych, jak to ma miejsce przy tryangulacji I-rzędnej, należy posługiwać się w praktyce raczej metodą kierunkową, jak kątową.

Mim oto używamy w pewnych przypadkach także i przy pomiarach mniej dokładnych metody kątowej, n. p. gdy mamy powody przypuszczać, że stanowisko przyrządu jest niedostatecznie stałe, kąty małe i t. p. Z tego powodu należy dorzucić parę uwag o obu metodach.

Jeśli na pewnem stanowisku (pewnej stacji) są do pomiaru tylko dwa kierunki, pomiar ich jest (pomijając zastosowanie metody repety-cyjnej) identyczny z pomiarem kąta, zawartego między obu temi kierunkami. Natomiast występuje różnica obu metod pomiarów już przy trzech kierunkach; w tym przypadku, jakoteż ogólnie, gdy Kr kierunków zbiega się na stacji, należy zdecydować się na jedną z obu metod.

Podczas gdy przy pomiarach kątowych mierzymy każdy z poszczególnych kątów osobno, polega metoda kierunkowa na uzyskaniu odczytów, odpowiadających poszczególnym kierunkom. Odczyty odnoszące się do K, kierunków, zbiegających się na stacji, nazywamy serją (pocztem)¹) kierunków. Takich seryj dokonujemy zazwyczaj kilka lub kilkanaście zależnie od dokładności, jaką zamierzamy osiągnąć.

Przy wyrównywaniu spostrzeżeń, dokonanych obu omawianemi metodami, należy uwzględnić następujące uwagi.

*) Nazwa używana w „Przepisach obow. przy pomiarach metodą tryg. i polig....“ M. R. P. Warszawa 1920.

O ile przy pomiarach zastosowano metodą kątową, wyrównanie może się odnosić tak do kątów jak i do kierunków, gdyż każdy kąt możemy rozłożyć na dwa odpowiednie kierunki. Uważając kąty jako wielkości spostrzegane, przeprowadzamy wyrównanie kątów; równie dobrze możemy jednak, zastępując kąty różnicami kierunków (kt—krp—krfi, uważać kierunki jako wielkości spostrzegane i w konsekwencji przeprowadzić wyrównanie kierunków.

Wynik wyrównania będzie w obu przypadkach jednakowy, tylko w przypadku pierwszym otrzymamy jednostkowy błąd średni p₀₁ odnoszący się do kąta, zaś w drugim do kierunku.

Oznaczając jedn. błąd średni kątowy przez (^₀)Łi, zaś jedn. błąd śr. kierunkowy przez (p₀)jcn otrzymamy związek:

(1)

(fto)kr^l 2,

odpowiadający wzorowi (20) w ust. 5-tym § 3-go rozdz. Ii-go (str. 44.), z którego równocześnie wynika, że pomiar kierunku ma wagą dwa razy

wiąkszą nie pomiar kąta.

Ze stanowiska teoretycznego jest zatem zupełnie obojętnem, czy przy

też kie-

pomiarach, wykonanych metodą kątową, wyrównamy kąty, czy runki; natomiast biorąc rzecz ze strony praktycznej, należy obrać w tym przypadku sposób nastręczający mniej pracy rachunkowej.

Przejdźmy następnie do wyrównania spostrzeżeń dokonanych metodą kierunkową.

względu na

ze

O ile na stacji zbiega się więcej kierunków niż dwa, co ma zresztą miejsce z reguły w sieciach tryangulacyjnych, musimy metodę spostrzegania przeprowadzić wyrównanie kierunków, a nie kątów.

Po tych uwagach o kątach i kierunkach możemy przyjść do wyrównań stacyjnych.

§ 2. Wyrównanie stacyjne w przypadku, gdy suma kątów powinna być równa kątowi pełnemu. (Warunek kołowy).

Dokładniejsze pomiary kątowe przeprowadzano dawniej bardzo często metodą repetycyjną (z powtarzaniem).

Dla uzyskania kontroli mierzono tą metodą prócz (Kr 1) kątów, utworzonych przez bezpośrednio po sobie następujące kierunki, także i kąt między kierunkami: ostatnim i pierwszym.

Kontrola wynikająca z tego sposobu pomiaru miała na celu nietylko wyrównanie błędów przypadkowych pomiaru, lecz także i wyrugowanie błędu, powstającego przy pomiarach repetycyjnych wskutek bardzo nieznacznego przesuwania się limbusu pod wpływem ruchów alhidady.

o zna-

Ze względu na to, że i dziś jeszcze musimy się czasem posługiwać repetycyjnemi pomiarami kątów (przy sieciach tryangulacyjnych

czeniu lokalnem jest użycie tej metody przy braku precyzyjniejszych teodolitów nawet i dziś wskazane), omówimy krótko ten przypadek wyrównania.

ifi

Fig. 15.

Pr

fh²

Pn² + Po

Pr²

Jeżeli ilość repetycyj poszczególnych kątów nie była jednakowa, należy wprowadzić do rachunku wagi, które przyjmujemy przy niewielkiej liczbie powtarzań, t. j. 2 lub 3, równe r², zaś przy większej liczbie powtarzań, równe wprost r.

Żadne z tych przyjęć nie jest ściśle, dlatego podajemy także i właściwy wzór, aby czytelnik mógł się zorjentowaó, które z nich j est odpowiedniej sze w pewnym konkretnym przypadku, mianowicie:

r2 Pn² + Po2 r p^+Po²’

(1)

przyczem p₁ oznacza błąd śr. pojedynczego pomiaru kąta, (uważany tu jako jednostk. bł. śr.),’ pr błąd średni r razy repetowanego kąta, pn błąd średni nastawienia na cel, p₀ błąd średni odczytu, przy pomiarze kierunku.

Po obiorze odpowiednich wag przystępujemy do wyrównania kątów na podstawie warunku:

(a+óa) + (/?+ dj) + (y4- óy)-— 360°=0.

(2)

Znalazłszy następnie wartość odchyłki o ze związku

(3)

(4) *

a-\-(3-\-y—360°= co,

układamy równanie odchyłki wyrażonej przez poprawki ó:

-f--j- óy -f- co=0,

poczem wyrównanie następuje wedle zasad wyłuszczonych w § 4-tym • rozdziału Iii-go (jako spostrzeżeń mających dostarczyć stałą sumę), lub wedle metody opisanej w § 3-cim rozdz. V-go (jako spostrzeżeń zawa-runkowanych).

W analogiczny sposób postępujemy przy wyrównaniu kątów, których suma jest nam z góry daną. Przypadek ten ma miejsce, gdy kąty mierzone na pewnej stacji są zawarte między dwoma kieruukami „stałemiu, t. j. ustalonemi na podstawie poprzednio przeprowadzonego wyrównania.

Oznaczając kąt zawarty między kierunkami stałemi przez ęo, otrzymuj emy j ako warunek wyrównania:

Z powyższego wynika, że odchyłkę oj rozdzielamy na poszczególne kąty odwrotnie proporcjonalnie do ich wag, a więc przy wagach jednakowych równo na poszczególne kąty.

Jednostkowy błąd średni p₀ obliczamy wedle znanej formuły:

co

następnie wyznaczywszy odchyłkę oj ze związku:

*

<p=u,

ułożymy, jak poprzednio, równanie odchyłki wyrażonej przez poprawki d:

d«-f-d^+dy -f- oj=0.

Choć obie metody wyrównania były omówione wyczerpująco w poprzednio zacytowanych rozdziałach z podaniem przykładów (dla spostrz. zawarunkowanych w § 8 rozdz. Y-go str. 187.), podajemy w krótkości przebieg wyrównania oraz odnośne wzory.

Poprawki poszczególnych kątów obliczamy przy użyciu metody pierwszej wyrównania z wzoru

(3*)

₍4*)

o    Pi

Oi— — OJ~v

przy użyciu metody drugiej z równań poprawek, które w tym przypadku przybierają kształt:

Pi

(6)

ponieważ jednak z jedynego równania korelat

[}]

(7)

można wyznaczyć

OJ

(8)

jest ostatecznie poprawka d,, obliczona przy użyciu metody spostrzeżeń zawarunkowanych, także równa

*    Pi

o i— — OJri-

ł]

(5*)

Po

Błędy średnie kątów są:

przed wyrównaniem fii=p₀

v -V

⁷⁻¹ a,

ił]

po wyrównaniu

\ipi(.p\ p^)    <*> v¹ (\¹1

V m -mMy]

ł) <“>

Stosunek błędu średniego po wyrówn. do błędu średn. przed wyrównaniem wynosi

P J

iii

Pi

(12)

Jeżeli wagi przyjęto przed wyrównaniem jednakowe, przechodzą powyższe wzory na następujące, o ile ilość kątów mierzonych wynosi n:

O)

Px

(10*)

(11*)

zaś stosunek błędów średnich po i przed wyrównaniem jest:

Ti— 1

(12*)

Przy znaczniejszej liczbie n jest zatem zysk dokładności niezbyt wielki

Pi

§ 3. Wyrównanie kątów mierzonych w różnych kombinacjach.

Kontrolę kątów mierzonych na stacji możemy uzyskać nietylko przez pomiar kąta dopełniającego do 360°, ale także mierząc sumy pewnych kątów, czyli wykonując pomiar kątów w różnych kombinacjach.

Sposób ten pomiaru okazał się w praktyce niekorzystnym, (z wyjątkiem pomiaru kątów we wszystkich kombinacjach, czyli t. zw. metody Schreibera, której wyrównanie omówimy obszernie w następnym paragrafie), z tego względu, że komplikuje w znacznym stopniu późniejsze wyrównanie sieci, obejmującej tę stację.

Choć w ,obec tego staramy się nie wykonywać pomiarów kątów w różnych kombinacjach, może zajść ten przypadek w praktyce (n. p. przy uzupełnianiu dawniejszych spostrzeżeń nowemi, o ile nie można z powodu zniszczenia niektórych punktów tryang. pomierzyć wszystkich poprzednio obserwowanych kierunków i t. p.).

Wyrównanie możemy przeprowadzić metodą spostrzeżeń pośrednich lnb zawarunkowanych, o ile jednak ma nastąpić później wyrównanie sieci tryangulacyjnej obejmującej tę stację, wyrównujemy spostrzeżenia stacyjne wyłącznie metodą spostrzeżeń pośrednich.

Ustalenie ilości niewiadomych (spostrzeżeń niezależnych) względnie warunków wynika z następującego rozumowania.

Jeśli na stacji zbiega się Kr kierunków, wystarcza do jednorazowego ich ustalenia {K,— 1) niezależnych kątów, ilość niewiadomych jest zatem wtedy:

k=Kr—1;

(1)

zaś ilość niezależnych warunków:

r—n—{Kr—l)=n—Kr+l,

przyczem n oznacza liczbę kątów spostrzeganych.

Biorąc na uwagę także i ten przypadek, że na ogólną liczbę Kr kierunków jest Kr' kierunków stałych, otrzymamy ilość niewiadomych

k=Kr—Kr/,

(2)

zaś ilość warunków

(1*)

(2*)

r=n—(Kr—Kr')=n—Kr+K,.',

Ilość warunków r podajemy, aby w przypadkach, w których ograniczamy się wyłącznie do wyrównania stacyjnego, można było wybrać metodę^wygodniejszą, t. j. nastręczającą mniej pracy rachunkowej.

Równania błędów układamy na podstawie spostrzeżeń kątów, zestawionych w raptularzu polowym, posługując się z reguły dla uniknięcia pomyłek odpowiednim szkicem polowym. Można je także ułożyć, posługując się warunkami, jakie kąty mają spełniać na odnośnej stacji; sposób ten jako dłuższy bywa jednak używany bardzo rzadko.

Najczęściej obieramy jako niewiadome x, y, z,.... kąty (wyrównane), które poszczególne kierunki zawierają z jednym przez nas (jako początkowym) obranym kierunkiem, a wyrażając wszystkie pomierzone kąty przez niewiadome, uzyskujemy w łatwy sposób n równań błędów, odpowiadających n spostrzeżeniom.

Tak też postąpiliśmy w 3-cim przykładzie § 7-go rozdziału lY-go (str. 101.), na który powołujemy się w tern miejscu.

W wspomnianym przykładzie przyjęto ze względu na niejednakową ilość repetycyj poszczególnych kątów wagi spostrzeżeń różne; zazwyczaj mierzymy każdy kąt jednakową ilość razy i przyjmujemy w takim razie wagi spostrzeżeń jednakowe.

O ile ma nastąpić później wyrównanie sieci tryangulacyjnej, której jeden z punktów stanowi powyższa stacja, wyrównanie stacyjne stanowi pierwszą część wyrównania sień przy pomocy spostrzeżeń pośrednich z warunkami. Po wyrównaniu stacyjnem następuje dalsze wyrównanie sieci

13

Dr. K. Weigel. Rachunek wyrównawczy.

metodą Hansena-Helmerta, o-pisaną w § 3-cim rozdz. Yl-go (str. 1B1.), lub — jak to zazwyczaj dawniej miało miejsce — metodą Bessela, wyszczególnioną w § 4-tym (str. 157.) wspomnianego rozdziału.

O ile miałaby być przy wyrównaniu sieci użyta metoda druga (Bessela), muszą być obliczone także i wartości spółczynników nieoznaczonych równań wag, t. j. poszczególne Qi.i, Q₂.2 i t. d., co też uczyniono w przykładzie, na który się powołujemy.

W rzadkich przypadkach, gdy celem naszym jest przeprowadzenie tylko wyrównania stacyjnego, posługujemy się metodą spostrzeżeń zawa-runlcowanych jeżeli

t- . gdy

o"

r<k,

n-(Kr-Kr')<Kr-Kr' • n<2 (Kr—Kr').

(3)

(4)

₍₄*)

G-dy niema ńa pewnej stacji kierunków stałych należy położyć 2T/ = 1.

Biorąc na uwagę przykład 3-ci § 7-go rozdz. 7-go rozdz. IY-go (str. 101., wyrównanie stacyjne dla punktu D sieci prof. Schwerda), otrzymujemy w obec 8-miu pomierzonych kątów przy 7Tr=5-ciu kierunkach (w obec braku kierunków stałych) ilość warunków r ze związku (2):

r—n—Kr -f-1 = 8—5-fi = 4,

t. j. r—k, gdyż wedle związku (4):

n=2(Kr—l) t. j. 8 = 2(5—1).

O ile nie miałoby nastąpić później wyrównanie całkowitej sieci tryangu-lacyjnej, możnaby w tym przypadku przeprowadzić wyrównanie równie dobrze metodą spostrzeżeń zawarunkowanych.

4, w grę tu wchodzące, warunki ułożylibyśmy również na podstawie szkicu kierunków (patrz fig. 6-ta str. 72), otrzymując:

04    —a₆—S₆—a₇ —o₇ =0

a₂-f §₂ — a4 — S4 — a5 — ³5 = 0 as + 8₅ — a₇ — s₇ — a₈ -r-Bg = 0 — 04—    + \ —a₃ — 83 = 0.

Następnie po wyznaczeniu odchyłek w z analogicznych związków : aj —a₆ — a₇ = -f-0"-26 a₂ — a₄ — a₅ = —0"-79

wypadłby schemat równań odchyłek następująco :

I.

II.

III.

IY.

a₅ — a₇ —a₈ = —0/f,51 — x₁ +x₂ — a₃ = — 0"-14

*1

0)

+ • 4-

T—i

+ 0-26 —0-79 — 1 —0-51 —0-14

V 90

/fi 0

/7 0    ¹/20

1/ ¹/2Q

0'0111 00125 0-0173 0-Ó500! 0-Ó500 0-0250 0*0167 0*0600

¹    I

40

Zaś równania korelat przybrałyby kształt: 00528

+ 0-0167 k₃—0-0111 &₄ +0-26 = 0 0-1125 &₂ — 0-0500 k₃ + 0-0125 &₄—0-79 = 0

—0-51 = 0 + 0-0879 &₄— 0-14=0

Ostatecznie otrzymalibyśmy wartości poprawek po wyznaczeniu z równań korelat wartości kx, fc₂, k₃ i ze związków kształtu

— (cii kx + bi k₂ + Ci k₃ + di fc₄),

0-0167 kx — 0-0500 &₂+ 0-1167 k3 —0-0111^ + 0-0125^

Pi

oraz jednostkowy błąd średni (kąta raz mierzonego):

-K

t*o

, (gdyż r= 4).

Aby natomiast wyznaczyć błędy średn. kątów wyrównanych, należałoby użyć wzoru (18) § 6-go rozdz. V-go, kładąc przy wyznaczaniu błędu średniego kąta (oraz jego wagi) F±— 1 zaś resztę F=0] analogicznie należy postąpić przy wyznaczaniu błędów średnich innych kątów wyrównanych.

§ 4. Wyrównanie kątów mierzonych we wszystkich kombinacjach

(metodą Schreibera).

Metoda ta polega na pomiarze kątów, powstałych ze wszystkich kom-binacyj kierunków zbiegających się na stacji, jak to przedstawiono na figurze 16-tej.

Kr(Kr-1)

kątów.

Przy Kr kierunkach należy zatem pomierzyć

Na załączonej figurze przyjęto Kr(K—1)    4.3

Kr=4, przeto

2 =6 kątów, a mianowicie (1,2), (1,8), (1,4), (2,8), (2,4) i (3,4).

Oznaczając wartości wyrównane trzech pierwszych kątów x, y i z, otrzymamy wedle wywodów § 2-go rozdz. Y-go sześć równań błędów: di, 2= x <5i,3=    • y

di,4=

02,3=—x-\-y    •—(2,3)

d₂,4=— X .+0— (2,4) d₃,4 =    •—y + Z — (3,4)

.¹Ve,3,

3,4

. .-(1,2) .-(1,3)

.    0-(l,4)    (1)

Fig. 16.

‘3

Oczywiście, że równania (1) możemy urobić odrazu z figury załączonej, biorąc na uwagę kąty wyrównane, n. p.: (l,2) + di,₂=a;, zatem ói!2=x—(1,2); (2,3) + d2;3=y—x: zatem d₂,₃= — x+y—(2,3) i t. d.

Równania normalne, wraz z dodanem do nich równaniem sum, przedstawiają się następująco:

3x— y— z—(1,2)-}-(2,3) +(2,4)=0

(2)

—    #+3 y— z—(1,3)—(2,3) + (3,4)=0

—    x— y+Zz— (1,4)—(2,4)—(3,4)=0

X+ y+ Z—(1,2)—(1,3)—(1,4)=0.

Zamiast rozwiązywać równania normalne algorytmem Gaussa, t. j. sposobem podanym w § 2-gim rozdz. IV-go, otrzymujemy wartości niewiadomych, dodając do każdego równania normalnego podpisane równanie sum. Zatem będzie:

(3)

(4)

4 z—2. (1,2)—(l,3) + (2,3)—-(l,4) + (2,4)=0 4 y—2. (1,3)—(1,2)—(2,3) — (1,4) + (3,4)=0 4«—2.(1,4)—(1,2)—(2,4)—(1,3)—(3,4)=0

lub ostatecznie:

2. (1,2) + {(1,3)—(2,3)} + |(l,4)-(2,4)}

Wartość wyrównana kąta, mierzonego metodą Schreibera, równa się średniej arytmetycznej ogólnej, utworzonej z wartości otrzymanej przy bezpośrednim jego pomiarze z wagą 2 i z wartości tegoż kąta, otrzymanych drogą pośrednią przy pomocy reszty kątów, obranych za niewiadome, z wagami równemi jedności.

(Dla ułatwienia w rachowaniu można przyjąć na x, y i z wartości przybliżone x₀, y₀ i z₀ i wyznaczyć ich poprawki |, rj i £).

Przy Kr kierunkach stacyjnych będziemy mieli w mianowniku każdego równania (4) liczbę równą ilości kierunków zatem Kr, zaś licznik będzie się składał z podwójnej wartości kąta mierzonego i (Kr—2) wartości tegoż kąta, otrzymanych z pomiarów pośrednich jak wyżej.

Błąd średni pomiaru kąta przed wyrównaniem otrzymamy ze znanego wzoru

zatem w omawianym przypadku ze względu na wagi równe, n=6, k= 3:

(4)

»=W

[dó]

(B)

W przypadku iT,. kierunków stacyjnych jest w = zatem ze względu na wagi równe

jr,(jrr-l)

k=K— 1;

2[dd]

{Kr—1) (I£r—2)’

Kr(Kr-l)

(4*)

(jrr-i)(jrr-2)

ponieważ n—k—

Natomiast jest błąd średni kierunku (przed wyrównaniem) y'

{Kr-1)

* * * Przechodząc do równań wag, otrzymamy ze względu na przyjęcie wag równych przy pomiarze poszczególnych kątów (więc QiA=[aa], <9i.2=M, Qi.3=[ay],--Q2.2=[/3/3], Q2.3=[/3y]....Q₃.3==[)7].-..)> biorąc na uwagę Z⁻,, kierunków stacyjnych:

M-

Kr— 1 równań wag

(ńT?.—1) [aa]—

—[aa]+(ńT,.—1) [a/3]— —[aa]—

O O i-¹

(6)

[ay]+. .=1.

Równ. sum:    [aa]-|-    [a/3] 4-

Po dodaniu równania sum do poszczególnych¹* równań wyniknie :

(7)

[^y] i t. d.:

Analogicznie otrzymamy z równań wag o niewiadomych [a/3], [/?/?],

m=Y;

z równań wag o niewiadomych [ay], [/3y], [yy]:

Kr "

(7*)

[«y]=^

A,.⁷

[yy]=

. .i t. d.

Błędy średnie kątów wyrównanych (po wyrównaniu) są zatem

^=^,'[yy]=^ yj itd- (⁸)

Zaś wagi kątów wyrównanych są:

Px=Py=Pz=...

Kr

(9)

o ile przyjęto wagę kąta p=1.

Analogicznie otrzymamy błędy średnie kierunków wyrównanych

(8*)

^i/=^2,==,^3/=^4/==

(4,1) + (4,2) + (4,3) t (1,2) + (1,3) + (1,4)

4/—1':

zatem wagi kierunków wyrównanych:

^ = ^ = ^3 = ^4=

o ile, jak wyżej wspomnieliśmy, waga kąta raz mierzonego p=1.

Przyjmując wagę kierunku raz mierzonego p' = 1, otrzymamy błędy średnie kątów wyrównanych, wstawiając do wzorów (8)    2:

(9*)

flx    [Ay— [lz — •    •    • -

(8**)

zaś błędy średnie kierunków wyrównanych:

2

r7) (jak wyżej);

Kr

w obec tego, o ile przyjęto wagę kierunku raz mierzonego px = l, będą wagi kątów wyrównanych:

Kr

(9**)

zaś kierunków wyrównanych:

W przykładzie, omawianym powyżej, będą zatem wagi kątów i kierunków wyrównanych dla przyjęcia p=l (ponieważ P,.—4):

Pm = Py=Pz=* 2,

P₁=P₂=P₃=P₄ = 1;

natomiast dla przyjęcia V—1 :

P/ = P/ = P/=1,

P₁'=P₂' = P₃, = 'P₄' = ²-

Zamiast wyrównania kątów możemy przeprowadzić wyrównanie kierunków. Oznaczając kierunki wyrównane przez 1', 2', 3', 4', otrzymamy biorąc na uwagę przykład tu omawiany (dla K,— 4), z równań (4), napisanych w kształcie:

(2,1) + (2,3) + (2,4) (1,2) + (1,3) + (1,4)

2'-l'

y=-

(3,1) + (3,2)+(3,4) (l,2j + (l,3) + (l,4)

3'—1'

₍4*)

1'

(1,2) + (1,3) + (1,4)

3'

(3,1) + (3,2)+ (3,4)

2 /___ (2,1)+ (2,3)+(2,4)

4' =

(4,1)+ (4,2)+ (4,3)

(10)

Wzór (10) będzie opiewał przy Kr kierunkach stacyjnych:

v=

2'

(1*%) + (1,3) + CM) + (1?5)+ .. .

Kr

(3,1)+ (8,8)+.(3,4) + W+    .

3' =

(3,1) + (3,2) + (3,4) + (3,5) + •

Kr

(10)

Kr

₄, ₌    (4,l) + (A,3) + (4,3) + (4,5)+... #

Biorąc na uwagę wzory (9*) i (9***), widzimy, że pomiary kątów we wszystkich kombinacjach, dokonane w awu położeniach lunety, są K

równoważne z krotnym pomiarem serji, obejmującej wszystkie Kr kie-runki, czyli t. z w. pełnej serji kierunków; albowiem w obu przypadkach przysługują wyrównanym kierunkom wagi , o ile wagę pojedynczego

kierunku, obserwowanego w dwu położeniach lunety, przyjęto równą jedności.

Przyjmując za Schreiberem wagę kierunku, mierzonego tylko w jednem położeniu lunety, równą jedności, otrzymamy przy v pomiarach kątów w jednem i v pomiarach kątów w drugiem położeniu lunety, (a więc przy 2v pomiarach w jednem położeniu lunety)

wagę wyrównanego kąta

Po " K

JT2v— g

(U)

tu*)

zaś wagę wyrównanego kierunku P,2V=vKr.

Ponieważ na stacjach, należących do jednej sieci tryangulacyjnej, ilość kierunków nie będzie w ogólności jednakowa, a zatem i wagi kie-

każdej stacji mogłyby wypaść różne,-o ileby

runków wyrównanych na każdy kąt na każdej stacji pomierzono tę samą ilość razy, (co skomplikowałoby znacznie wyrównanie sieci), obmyślił Schreiber sposob pomiaru, dostarczający nam prawie zupełnie równych wag kierunków wyrównanych na każdej stacji.

Przyjmując, że przy tryangulacji I-rzędnej, (przy której używamy dziś prawie wyłącznie tej metody) waga kierunku wyrównanego ma wynosić około 24, oraz że kąty mają być obserwowane tam i z powrotem tę samą ilość razy w pierwszem, jak i w drugiem położeniu lunety, ułożył Schreiber dla spostrzeżeń kątów tabelę następującą.

Ze względu na to, że każdy kąt ma być obserwowany w obu położeniach lunety (I i II) tę samą ilość razy, przyjął Schreiber w powyższej tabeli ilość powtarzań 2 v zawsze równą liczbie parzystej, przez co wypadły wagi przy 5-ciu i 7-miu kierunkach 25, względnie 28.

Aby jednak dokonać pomiaru każdego kąta w jednym i drugim kierunku (tam i z powrotem) w obu położeniach lunety, należałoby przyjąć v jako liczbę parzystą.

W powyższej tabeli Schreibera ma to miejsce z wyjątkiem pomiarów przy 5-ciu i 8-miu kierunkach stacyjnych. W tych przypadkach należy

przeprowadzić pomiarów tam i z powrotem (t. j. v-*-l pojedynczych) Z

w pierwszem,

Kr ilość kierunków stacyjn.

kk_lzA

r 2

ilość ką-1 pomierzo- wyrówna-tów    nego

(z jednego pomiaru w jednem położeniu lunety)

Waga kierunku

P'x,

nego

liczba

powtarzań

(pomiarów)

y, z—

waga kątów wyrównanych

Pi waga kierunków wyrównanych

z 2 v pomiarów (po v w obu połoź. lunety)

(M CO ^ lO    N 00

T—I    rH OJ OJ

r-l CO CO O lQ

oo

1-0

24

12-0

24

1-5

2-0

2-5

3-0

35.

4-0

16

12

10

12-0

12-0

12-5

12-0

14-0

12-0

24

24

2B

24

28

24

v—1    .    ,

takichsamych pomiarów w drugiem położeniu lunety,

oraz jeden pomiar (pojedynczy) w jednym kierunku w pierwszem, zaś drugi pomiar (pojedynczy) w kierunku powrotnym w drugiem położeniu lunety.

Dla wyeliminowania systematycznych, a zmniejszenia wpływu przypadkowych błędów podziału mierzymy każdy kąt tam i z powrotem (t. j. podwój nie)

na

tern samem miejscu limbusuJ), przesuwając po każdem

ł) Sposób wykonania pomiaru podaliśmy tu wiernie wedle Schreibera, zaznaczyć jednak należy, że sposób tu podany można zastąpić lepszym, rugującym prócz innych błędów także i systematyczny błąd, powstający wskutek posuwania się limbusu pod wpływem ruchu alhidady; w tym celu należy, zamiast mierzyć każdy kąt w kierunku odwrotnym (z powrotem), pomierzyć (w tern samem położeniu) kąt uzupełniający go do kąta pełnego.

powtarzaniu (podwój nem) limbus o

180°

—=d°, a prócz tego baczymy, aby

żadnego kierunku nie obserwować 2 razy w tern samem położeniu limbusu. Aby uczynić zadość temu ostatniemu żądaniu, należy zmienić dla poszczególnych kątów początkowe położenia limbusu przy parzystej

d° 180°

~K~ V Kr'

ilości Kr o 6°

d°

180°

przy nieparzystej o ó°

Kr--1 V(Kr.....1)’

Dla lepszego zrozumienia powyższych uwag podajemy plany obserwacyj dla Kr— 2, 3, 4 i 5, (przyczem, jak wspomnieliśmy, przy 5-ciu kier. stać. podobnie jak przy 8-miu nie wypadają wszystkie pomiary tam i z powrotem w tern samem położeniu lunety).

Kr= 2,    = 1, 2.v= 24, v= 12, d°

180°

12

-=15°.

Kąt

Ii,2 Il,2    Ii,2 Ii,2 Il,2 Ii,2 Hi,2 Ul,2 Ul,2 Ul,2 Ul,2 Ul,2

1,2 0°

15°

30°

45°

60°

75° 90°

105°

120°

135°

150°

165°

Pomiar

podwójny w jednym i drugim kierunku

Kr= 3, Kr

Kr—

to

— = 3, 2 v=16, v = 8, vK,= 24, d°=*=

180°

180°

= 22-5°, 5°— ₂₄

7-5°.

Kąt

Ii,2

Ii,2

Ii,2

Ii,2

Hi,2    Hi,2

IIii2 Hi₎₂

CO CO r-t H. 03

OT O

• O Ci

22-5°    45°    67-5°    90°    112-5°    135°    157-5°

30    52-5    75    97-5    120    142-5    165

82-5    105    127-5    150    172-5

37-5    60

Pomiar

podwójny j. w.

K,;=^K,Kr₂~

180°

180°

= 6, 2 v= 12, v = 6, v(Z;.-1) = 18, d°= —-

30°, 8°= lg

= 10°.

Kąt

Il,2

Ii,2 Ii,2

IIi,2

Hi,2 II₁₍₂

CN CO    CO^    Tjł

r-l tHI r-1 C3 C-J CO

o    O    O    O    O    O

O    O    O    O    O    O

rH    (N    05    1-1

30°

40°

50°

50°

40°

30°

60°

70°

80°

80°

70°

60°

Kr= 5, Kr

K,.~ 1

= 10, 2v=10, y=5, vZ,= 25, d°

180°

3 6°, 8°

180°

25

7-2°.

Ii.a

Ii Ha

II1>2

II

i,2

CO    ro CO    iO ^    iO_

i-T h cf ci ci co co ■*£

0°

36°

72°

36

72

72

108

144

7-2    43-2

79-2    79-2    115-2    151-2

Pomiar podw. pod w. pojed.

pojed.

(powr.)

podw. podw.

(Pomiary, odnoszące się do kolumn 1-szej,

2- giej, 5-tej i 6-tej, należy wykonać w jednym i drugim kierunku, odnoszące się do

3- ciej w jednym, zaś odnoszące się do 4-tej

w powrotnym kierunku).

Jedn. błąd średni kąta mierzonego w obu położeniach lunety, lub co na jedno wychodzi, jedn. błąd średni kierunku, obserwowanego w jednerrt poł. lunety, znajdujemy z wzoru

00 =

2v[óó]

(Kr—l)(Kr—2y

(12)

zaś błąd śr. średniej wartości kątów z wzoru

/*•=

2[dd]

(Kr—1) (Kr—2)

(13)

Jeśli pomiędzy Kr kierunkami stacyjnemi znajdują się 2 kierunki stałe, pochodzące z tryangulacji dawniejszej, do której nawiązujemy nasze pomiary, należy uważać oba kierunki stałe jako jeden kierunek i w obec tego pomierzyć każdy kąt, wynikający z kombinacji kierunków niestałych w ilości 2 razy tak wielkiej, jak kąty wynikające z kombinacji kierunków stałych i niestałych, zaś pomiaru kąta stałego nie włączać do wyrównania. (Kąt stały mierzymy tylko dla upewnienia się, czy z czasem nie zmieniło się położenie odnośnych punktów tryangulacyjnych).

Aby mieć możność zastosowania w tym przypadku wzorów (4) (t. j. średni arytmetycznej ogólnej), należy wszystkie kąty, powstałe z kombinacji z drugim kierunkiem stałym, odjąć od kąta stałego, otrzymując w ten sposób kąty, z których jeden kierunek jest pierwszym kierunkiem stałym. Jeśli zatem kierunki pierwszy i piąty są stałemi, zaś drugi,

I tO

trzeci i czwarty niestałemi, należy ze względu na (5) — (l)=<jP, utworzyć różnice:

ę>-(2,5) = (l,2), cp—(3,5)=(1,3), <p-(4,5)=(1,4).

Po tej przemianie będzie każdy kąt spostrzegany tę samą ilość razy i wyrównanie następuje jak przy czterech kierunkach, z których jeden tylko jest stały, a zatem w myśl uwag podanych na początku paragrafu niniejszego.

Plan obserwacyj będzie w tym przypadku następujący.

Kąt

Il,2

Il,2

ll

II,

Ii

n₂    ii i >₂    ii i >2

O ' r-l

30°

60° 60°

90°    90°

120°

150°

CU

•0*0

70

70

130

40

80

80

100 100

i 160

140

50

110 110

170

Pomiar

podwójny tam i z powrotem

pojed.

pojed. pojed. pojed. w jednym w drugim w jednym w drugim kierunku kierunku kierunku kierunku

podwójny tam i z powrotem

Kąt

Il,2

Il,2

ll ,2 i    Ul,2

nlf8

Hi,2

CO' ^ Th

oT of co

o o o

Cl r-l

o O O io co

60

Pomiar

podwójny tam i z powrotem

To samo postępowanie można zastosować przy większej ilości kie

runków stałych.

Przy tryangulacji II-rzędnej przyjmujemy ilość powtarzań 2w=12 (zamiast 24), przez co waga kierunku wyrównanego spada do 12 (przy założeniu, że waga raz obserwowanego kąta równa się jedności). Plan

tych samych zasadach jak przy tryangulacji

obserwacyj układamy I-rzędnej. * * *

Zalety pomiarów kątów Schreiber w kilku publikacjach¹); najważniejsze z nich są następujące.

1. Wszystkim kierunkom sieci odpowiadają po wyrównaniach stacyjnych w przybliżeniu jednakowe wagi.

na

we

wszystkich kombinacjach wyszczególnił

i) „Die Kgl. PreuB. Landestriangulationa, Hauptdreiecke, II część, 2 rozdz. Berlin 1874. Schreiber, „Ueber die Anordnung von Horizontalwinkelbeobacbtungen auf d. Station“ Zeitscbrift f. Yermessungswesen (niem.) 1878 i Schreiber „Bichtungsbeobach-Winkelbeobacbtungen<l, Zeitschr. f. Yermessungswesen, 1879.

tungen u.

2. Wpływ błędów podziału limbusu jest zmniejszony do nieszkodliwego minimum.

3. Wyrównanie daje się przeprowadzić w sposób nadzwyczaj prosty i łatwy.

4.    Możliwość wykonywania obserwacyj na stanowiskach mniej pewnych (n. p. na wysokich wieżach obserwacyjnych) ze względu na krótkotrwały pomiar każdego kąta z osobna.

5.    Osiągnięcie znacznej dokładności, przy wyzyskaniu odpowiedniem czasu poświęconego obserwacjom.

§ 5. Pomiary kierunkowe. Wyrównanie pełnych seryj kierunków.

Wyrównanie pełnych seryj kierunków przedstawia się bardzo prosto.

Jak wiadomo obserwujemy przy zastosowaniu metody kierunkowej po kolej i wszystkie kierunki nasamprzód w jednem położeniu lunety, a następnie po jej przerzuceniu powtarzamy tę samą czynność w porządku odwrotnym. Dla kontroli, czy położenie przyrządu nie uległo zmianie podczas pomiarów, rozpoczynamy i kończymy każdy pomiar kierunków w jednem położeniu lunety, celując do Mg o samego sygnału.

Tworząc z odczytów obu mikroskopów (nonjuszów) średnie, otrzymujemy z pełnej serji po dwa spostrzeżenia dla każdego kierunku z wyjątkiem dla kierunku pierwszego, któremu odpowiadają cztery spostrzeżenia.

Spostrzeżeń kontrolnych nie używa się z reguły do dalszych rachunków, natomiast, gdyby okazała się między niemi a odpowiedniemi spostrzeżeniami początkowemi różnica większa, niżby spodziewać się należało po przypuszczalnych błędach odczytu i nastawienia, powtarza. się pomiar na nowo. Przy pomiarach, dokonywanych teodolitami o przypuszczalnie minimalnych błędach nastawienia i odczytu można wspomnianą różnicę, o ile jest niewielka, przypisać nieznacznemu przesunięciu się limbusu pod wpfywem ruchu alhidady i rozdzielić ją na poszczególne kierunki, usuwając w ten sposób ze spostrzeżeń wspomniany błąd systematyczny.

Przypuśćmy, że wykonaliśmy na pewnej stacji s seryj pomiarów kierunkowych pełnych (t. j. nie opuściliśmy przy pomiarach żadnfego

180°

kierunku), przesuwając po ukończeniu każdej serji limbus o-dla wy

eliminowania systematycznych błędów podziału.

Jeżeli ilość kierunków stacyjnych będzie Kn otrzymamy dla każdej serji Kr spostrzeżeń jako średnie obserwacyj, dokonanych w obu położeniach lunety z uwzględnieniem wartości odczytanych na obu (ewentualnie więcej) mikroskopach (noniuszach).

"Wszystkie tak otrzymane serje kierunków redukujemy do jednego kierunku (teoretycznie dowolnego), przyjmując go równym 0°0'0", lub równym azymutowi (ewent. pozornemu) tegoż kierunku.

Po redukcji będą zatem wszystkie spostrzeżenia, odnoszące się do obranego przez nas kierunku, jednakowe.

seryj do kierunku pierwszego

Redukując kierunki poszczególnych otrzymamy

(I)

(II) (III) (8)

ilość

rH CS CO

^ ISO

bT-

II

III

//

//

L"

III

iii

l'"

(1)

Kr

ilość s,

przyczem, jak wspomnieliśmy,    ..

Oznaczmy kąty, zawarte między kierunkami wyrównanemi 2-gim a 1-wszym przez a:, 3-cim a 1-wszym y, 4-tym a 1-wszym sit. d., czyli

III

III

l₂' + ó₂'-l₁'-ó₁' = l₂" + ó₂"-l₁"-ó₁"=l₂"' + d2 l₃'+óz/—l₁,—ó₁,=lz" + d₃"—l₁"—d₁"=lz,"+d₃",—l₁f"—ói'"

III

III

—(5/"=

(3)

i utwórzmy Kr.s równań błędów o (s-\-Kr—1) niewiadomych 3 ' 3 " 3

x, y, s,

kształtu:

Kr~ 1

(I)

(II)

ii

v=v>

d₂' = ć₁/+a;+Z₁'—^₂', ó₃/ = di/4-y4-/i/—V» ć₄/ = ó₁/+s +^'—i

,5 // — 3 //

— °1 >

<5₂// = d₁//+a;+/₁//—1₂", ó/'=ói"+y+l,"-l₃", ót"=d,"+z + lt''—lt

ilość

Kr

III)

(*)

(4)

III

di"'=di

III

V"=V"+*+V"-V"> <V"=V"+»+V"-4

di'"=6i'" + z+li'"-lt'",

Eównania normalne, odpowiadające równaniom błędów (4), przedstawiają się w schematycznem zestawieniu następująco (przy przyjęciu wagi kierunku, mierzonego w jednej serji, równej jedności):    ,

V <V'

ól

III

Wyrazy

wolne

Kr

Kr

Kr

Krk'-[i'] Krlx"-[l"}

W-W" 3

(5)

111 1 1 1 1 1 1

[4 3 [43 [43—[43 Pi3—P*]

Ol

Po odjęciu drugiej części (5*) od pierwszej części (5) równań normalnych otrzymamy:

<4' + A,, + <V" + • • • • =Pi]—P]+[43+[43+p43+ • • • • ⁼⁰j

w obec czego dostarczą nam równania (5*) wartości niewiadomych x, y, z, t. j. wartości kątów wyrównanych:

(6)

M-E4]

_    9

(7)

stępujący.

Dla wyznaczenia jednostk. błędu średn. postąpimy w sposób na

Po znalezieniu wartości niewiadomych x, y,    . wyznaczymy z s

początkowych równań normalnych po koleji niewiadome dl', d/', dt

x+y~+z+ ... [43

tu

(uwzględniając, że

Kr

JflJ

Kr.s)'

<V=

Kr

K.

Kr.S

ńr,.

A/,=

ńr,.

-4"

Pi 3

P3 ^P"]

5    Kr• S Kr

Pij P3 , P'"3

A"

(8)

///

Kr

K.

Kr.s

Kr

Z uwagi na równanie (2) przedstawią się równania (8) we formie uproszczonej następuj ąco:

Kr

Kr.S

[*"]

Kr

IŁ A „i Kr.8'°X

W"] m

Kr

. (8*)

Aby otrzymać poszczególne <5, potrzebne dla obliczenia jednostkowego błędu średniego, należy każdą serję skręcić o odpowiednią wartość —<Sr Pierwsza serja skręcona o —6^ dostarczy nam z uwagi na równ. (3)

v-<v=v-<v

L'Ą- x—-ÓJ

A'+*-V

W ^

Z₃⁷ ó

V-V=V+*-<V

serja druga:

(9)

h" — d₁" = lx,,—*x"

l₁" + x—d₁"

h"+y-<V'

U"-*"

lz"—ó

h"-Ó₁" = l₁"+Z-Ó ₄"

II

analogicznie wszystkie pozostałe.

im kierunków

Odejmując kierunki skręcone od odpowiadającyck wyrównanych (wedle równania (7)), t. j. od

[W

i t. d.,

(7*)

otrzymamy (ze względu na

równanie (2) i (7)) dla serji I-wszej

^ —li'—x+ó₂/ =

f-M-i /₊[y_[y=d₂/

ft ¹ s s

,jy

<V

,jy

[^1] w, /

1    ——u4

analogicznie wyznaczymy poszczególne ó reszty seryj. Wzór ogólny na jednostkowy błąd średni

im

(U)

przedstawimy we formie następującej :

-1/    L oo \

(U*)

względu, że n=Kr.s, zaś k=s-\-Kr— 1, przeto n-k=Krs—

a to ze

—(s-J-irr—l)=s (A",.—1)—(A",.—!) = ($ 1) (A?’ !)•

jjj * ^ Wagi kątów wyrównanych x, y, s i t. d. otrzymamy z rownan wag, które możemy ustawić w liczbie k²—(s-\-Kr—l)².

Aby wyznaczyć wagę kąta x, weźmiemy na uwagę system równań wag, pozostaj ący w związku z niewiadomą x, zatem:

(V)    (<V0    W")

(*)    (y)

"W yrazy

wolne

[«"/?]    .... m m

*1

▼H rH rH

tH rH rH

(12)

=1

K-1

=0

(12*)

Mnożąc pierwsze równanie drugiej części (t. j. równań (12*)) przez 2, a następnie tworząc sumę drugiej części równań, otrzymamy

Kr[a' p]+Kr[a" p]+Kr[a'" $]+ .... +2 a[0P\+s[§y]+ ... .^2. (13) Odejmując od powyższego związku sumę równań części pierwszej, t. j. Kr[a' (3]+Kr[a''p]+Kr[a'''(3]+ .... +sM+s[/?y]+ .... =0. (14) dochodzimy do związku

*m=²

P*.

(15)

Dla wyznaczenia [@y] pomnożymy drugie równanie części drugiej przez 2 i postąpimy jak poprzednio. W tym przypadku zmieni się związek (13) na

Kr[a'(3]+Kr[a"P]+Kr[a'"(3]+ .... +*[/?/?]+2s[/3y]+ ... .=1, (13*) a po odjęciu od niego związku (14), wypadnie

#r]=i

(16)

W analogiczny sposób możemy wyznaczyć wszystkie spółczynniki równań wag, odnoszące się do dalszych kątów y, z,. . ., otrzymując:

2

=_ P = P =

s » x

p,= ...

(17)

m=

przechodząc wreszcie z wag kątów Pu na wagi kierunków Pkr, dochodzimy

P &

ze względu na znany związek PAi!= —-=—.

2 2

do wzoru na wagę kierunku (wyrównanego na stacji)

(18)

Pjcr~* * $

Pomiary kierunkowe, dokonane w s pełnych serjach, dostarczają nam, przy przyjęciu wagi kierunku obserwowanego w dwu położeniach lunety równej jedności, kierunków o jednakowych wagach równych ilości seryj s.

Wyrównanie stacyjne przedstawia się zatem, jak już wspomnieliśmy, bardzo prosto.

Po przeprowadzeniu redukcji wszystkich seryj do jednego wspólnego kierunku, tworzymy sumy [ZJ, [Z₂], [Z₃], [Z₄] i t. d., a dzieląc je przez ilość seryj, otrzymujemy kierunki wyrównane [1], [2], [3], [4] (wedle wzoru (7)). (Dla uproszczenia rachunku bierzemy na uwagę tylko sekundy względnie dziesiętne minut i t. p.).

Kierunki, w ten sposób wyrównane, mogą być użyte jako niezależne spostrzeżenia z odpowiedniemi wagami =s przy dalszem wyrównaniu sieci try angulacyj nej.

Chcąc wyznaczyć jednostkowy błąd średni kierunku (na stacji), należy obliczyć wedle wzoru (8*) skręty dla poszczególnych seryj; odejmując je od poszczególnych spostrzeżeń, otrzymamy po kolej i wszystkie d, przy pomocy których urobimy następnie y wedle wzoru (11*).

przykładzie zaczerpniętym z tryangulacji (IY-rzędnej), wykonanej przez autora w roku 1920 w Zakopanem, uwidocznia nam schemat podany poniżej.

na

Postępowanie to, przeprowadzone

jStanowisko (stacja) 7, celowe do p.: <$ (kościoła parafialnego), S (willi Sanato, wieżyczki półn.), VIII i VI; seryj dokonano 3, zatem s= 8, Kr=4; spółrzędne dwu pierwszych punktów były znane z poprzednio przeprowadzonej tryangulacji IV-rzędnej j>.

St. 7.

Celowe do p.:

1(1')

II (*")

(III V")

[k]:s

6 Kp

359° 59'

60"

60"

60"

180

60

14 34

51

51

57

159

53

VIII

43 44

21

18

18

57

19

VI

73 32

69

69

57

195

65

2=

201 = [Z']

198 = [/"]

192 =[*'"]

591= [Z]

197= —

2: Kr=

50-25——

Kr

49-5

Kr

48-0

[i"']

Kr

147-75 = -^

Kr

49-25= J3-

K.y*s j

197

m

= 49-25= u

Kr.s

III

II

Kr

Krs — 8/= —1-00

w P"3

K,.s -\" = -0-25

W P'"]

Krs

-8/"=+1*25

Ł—8

59-00

59-75

61-25

180-00

50-00

50-75

58-25

159-00

20-00

17-75

19-25

57-00

l, —o

68-00

68-75

58-25

195-00

197-00

197-00

197-00

591-00 : 3= 197 197 : 4=49-25

Kr

49-25

49-25

49-25

+ 1-00 + 0-25 — 1-25

+ 8-00 + 2-25 -5-25

—1-00 + 1-25 —0-25

— 3-00 — 3-75 + 6-75

0-00

0-00

0-00

1-00

0-06

1-56

9-00

5-06

27-56

1-00

1-56

0-06

s —1 = 3—1 = 2 Kr—1 = 4—1 = 3 (s-l)(X-l) = 2.3=6

9-00

14-06

45-56

20-00

20-74.

74-74

= 115-48, [x=

115-48

i₌4//-39.

[1] = 0° O' O"

[2] =14°34/ 53"

[3] =43°44/ 19"

[4] =73° 33' 5".

Powyżej opisanej metody obserwacyjnej używa się przeważnie przy tryangulacjacli Ii-go-, III-cio- i IV-to-rzędnych. Ze względu na to, że

Kierunki wyrównane:

(i pierwszy zredukowany do 0°0'0")

o wagach Pkr = 3.

wszystkie kierunki muszą być po kolej i spostrzegane, co nie jest zawszę moźliwem, szczególnie gdy posługujemy się heliotropami, nie stosujemy jej z reguły przy tryangulacjacłi I-rzędnych.

Opuszczenie pewnego kierunku w serji czyni ją częściową lub niepełną, powodując w następstwie skomplikowane wyrównanie tak stacyjne, jak i sieci tryangulacyjnej.

Ze względu na ewentualny nieznaczny ruch teodolitu podczas pomiaru nie należy tworzyć, seryj o wielu kierunkach (nie ponad 6—8); z tego samego powodu powinniśmy się starać wykonać każdy pomiar, obejmujący wszystkie kierunki, w jaknajkrótszym czasie, co oczywiście wymaga dość znacznej wprawy.

§ 6. Pomiary kierunkowe. (Ciąg dalszy). Wyrównanie częściowych (niepełnych) seryj kierunków.

a) Metoda przybliżona. (Yollanda i Clarka).

Jak wspomnieliśmy, nastręcza spostrzeganie wszystkich kierunków po kolej i dość znaczne trudności, szczególnie przy długich celowych, tak że czasem musimy przy pomiarach kierunkowych zrezygnować z obserwacji wszystkich kierunków, w następstwie czego powstają serje częściowe.

Ścisłe wyrównanie stacyjne częściowych seryj kierunków jest dość uciążliwe i powoduje ponadto bardzo zawiłe wyrównanie sieci tryangulacyjnej *), gdyż wyniki wyrównania stacyjnego mogą być użyte przy ą wyrównaniu sieci tylko w połączeniu z odpowiednim systemem równań wag, za pomocą t. zw. spółczynników przenoszących (str. 159).

Wprawdzie Helmert podał dwa sposoby, upraszczające wyrównanie sieci tryangulacyjnych (jeden dla wyrównania kątów sieci, uwidoczniony na str. 151. i d., drugi dla wyrównania kierunków, opracowany na str. 223. i d., mim oto stosujemy przy wyrównywaniu sieci IY-to, III-cio a nawet bardzo często i II-rzędnych, zamiast metody ścisłej przybliżone metody wyrównania, a najczęściej metodę Yollanda i Clarka, ogłoszoną w rOrdnance trigonometrical survey of Great Britain and Irelandu 2).

Dla lepszego zrozumienia tej metody powróćmy na chwilę jeszcze raz do ostatnio omawianego przykładu.

V. V', 8,

Po wyznaczeniu wartości —, można dla uzyskania poszczególnych skrętów

s

postąpić także i w sposób następujący.

Nasamprzód odejmuje się kierunki wyrównane

///

od kierunków spostrze-

1)    Patrz rozdz. VI. § 4. (str. 167 i d.) Metoda Bessela.

²)    London 1868 str. 62—66.

ganych Z/ li" i t. d., stawienie:

uzyskując w powyższym przykładzie następujące ze-

T-H cl có

0"*00 0"-00 00    —2-00

00 —1*00 00    +4-00

to to

0"-00 + 4-00 — 1-00 —8-00

2: +4-00    +1-00    —5-00.

Zesumowane kolumny dostarczają nam wyrażeń A

, Ę!

a dzieląc je przez ilość kierunków Kn otrzymujemy: [Z']    [Z]    [Z"]    [Z]    [Z'"]    [Z]

Kr

Kr.s

Kr

Kr.s

Kr

Kr.s’

t. j. wedle (8*) § 5-go:

’1

//

V".

Zatem w przypadku omawianym jest: 4-00

4-1-00, §/'

1-00

4-0-25, 8/"

5*00

1-25;

odejmując każde o, od spostrzeżeń odpowiednich seryj, otrzymujemy serje skręcone, jak to miało miejsce poprzednio, a więc

59-00, 59-75, 61-25,

50-00, 50-75, 58-25, i t. d.

a ostatecznie przez odjęcie wartości kierunków skręconych od wyrównanych błędy pozorne:

-1-1*00, +0-25, —1-25, + 3-00, +2-25, —5-25, i t. d.

Na tern postępowaniu opiera się metoda przybliżona Clarka, którą podajemy dla lepszego zrozumienia w odpowiednio opracowanej formie.

Przypuśćmy, że obserwowaliśmy w poprzednim przykładzie (§ 5-ty str. 209.) podane kierunki w 6-ciu serjach, z których dwie pierwsze były pełne, zaś cztery dalsze częściowe. Dla łatwiejszego rachunku łączymy serje o jednakowych kierunkach w serje wypadkowe o wagach równych ilości seryj składających się na nie, na podstawie zasady, omówionej w poprzednim paragrafie. Wyniki w ten sposób urobionych spostrzeżeń niech będą następujące:

Sr. z I-szej i II-giej serji 0"

1 0° 0'

waga == 2

Śr. z III-ej, IV-tej i V-tej serji 0° 0°

14    34

43    44

h-4 OT

r-i 00

Ser ja VI-ta

CO O

00 CO O

to O

waga = 3,

Serję YI-tą, w której brakuje kierunku pierwszego, należy zorjentować do dowolnego kierunku, zawartego w poprzednich serjach, (przyjmując ów kierunek w odpowiedniem zaokrągleniu). W naszym przypadku obierzemy w tym celu kierunek 3-ci, zaokrąglając go do 43° 44' 20".

waga = 1.

Dalszy rachunek prowadzimy tylko w trzech serjach z uwzględnieniem odpowiednich wag poszczególnych seryj.

la)

1. p' = 2

2. p" = 3    3. p'" =

[p<]

60"

300

51

18

OT to m co O co

314

116

197

lO co co CO

60-00

52-33

19-33

65-67

201=[Z/]    129==[Z//]    138

197-33

JM]

. LblJI

Kąty x, y i z przedstawiają się w pierwszem przybliżeniu:

a;,= 14⁰ 34'52"-33, y' = 43°44'19"-33, «' = 73°33,5"-67.

Odejmując

od spostrzeżeń, zawartych w odpowiednicłL wierszach, otrzymujemy — jak przy serjach pełnych (sposobem drugim) — następujące zestawienie.

Ib)

1.

2.

3.

0"-00 — 1-33 + 1-67 + 3-33

H PI CO

0"-00

—    1-33    + 6"-67

—    1-33    +0-67

—0-67

2=    +3"-67

: Kr= : 4

— 2"-66

4-0"-67

(8 )=_==: + 0"-92    —0"-89    + 0"-22

Kr

(Kr oznacza tu ilość kierunków każdej serji, więc Kr' = 4, Kr" = 3, Kr'"=3).

2

K)

Skręcając spostrzeżenia zestawione w tabeli la o uzyskane wielkości — poddajemy je dalszemu wyrównaniu dla uzyskania dokładniejszych wyników.

II a)

l.p' = 2 2.p" = 3 3.-p'" = l [ph] [pi]

[PlH

[Pi]

359°59/ 14 34 43 44 73 32

59"-08

50-08

20-08

60"-89

51-89

18-89

58"-78

19-78

58-78

300-83| 314-61 116-61 194-94

lO CO CD co

60-17

52-44

19-44

64-98

cr" = 14<)34/52"-27

y"=43 44 19 -27 z"— 13 33 4 -81

Wyniki wyrównania drugiego, odjęte od spostrzeżeń pierwotnych, dostarczają nam nowych różnic, z których obliczamy — jak poprzednio — ponowne skręty, uwidocznione w tabeli II b.

II b)

1.

2.

3.

t-H <m co

—0"-17    —0"-17

—1-44    —1-44    + 6"-56

—1-44    +0-56

— 5-98

+ 3/56 + 4-02

+ 3"-97    — 3"-05    +1,,-14

II

+ 0"-99    —1"-02    + 0"-38

Postępowanie to powtarzamy tak długo, aż wyniki, osiągnięte z dwu ostatnich wyrównań, będą się różniły między sobą o wielkości zaniedbywalne.

Illaj

1. p' = 2    2. p" = 3 3. y"=l

[pk]

359° 59' 14 34 43 44 73 32

59"-01

50-01

"20-01

68*01

61/7,02

52-02

19-02

58"-62

19-62

58-62

301-08

314-70

116-70

194-64

o cc co co

60-22

52-45

19-45

64-88

III b)

1.

2.

3.

—0"-22    —0"-22

+ 6"-55 + 0*55 — 5-88 + l"-22

— 1-45    —1-45

+ 1-55    —1-45

+ 4-12

2= + 4//-00    —3"-12

: K= : 4

&)=

= + 1//-Q0    —l"-04

+ 0"-41

IV a;

[pH\

l.p' = 2 2. p" = 3 3. +" = 1 [pk] |[pi]

CO LO

359°59'    59//,00    61"-04

14 84    50-00    52-04    58"-59    314-71

43 44    20-00    19-04    19-59    116-71

73 32    68-00

301-12

58-59    194-59

oo Ct> Cw O*

60-22

52-45 xly—14°34/52//-23 19-45 yiy=43°44/19'' • 2 3 64-86 zIV=-73°33,04,/-64

Ze względu na minimalne różnice wyrównanych kierunków w obu ostatnich tabelach, uważamy wyrównanie za skończone.

Dla uzyskania poszczególnych 8 należałoby właściwie jeszcze raz obliczyć skręty poszczególnych seryj i otrzymane w ten sposób wyniki odjąć od kierunków wyrównanych," ze względu jednak na minimalny efekt tej czynności, obliczamy je, odejmując spostrzeżenia zestawione w tabeli IV a) od wyników końcowych, wskutek czego otrzymujemy następujące zestawienie.

l"

§///

p'l²'    p"S2//    p'"

lim

1 ! + l"-22 — 0"-82

2-9768    2-0172

-R

— Tc

CO

+ 2-45    +0-41; —6//-l4! 12-0050 0-5043 37-6996 n= 10 (tj. ilości spo-

I    j    strzeżeń wyrówny w.)

k—s-\-\KĄ—1 = 3 + + 4—1 = 6

— 0-55    +0-41    —0*141    0-6050    0-5043    0-0196

— 3‘14

+ 6-271 19-7192

39-3129

2 —0-02

0-00    —0-01 35-3060    3-0258 77-0321 J+=

[p88]= 115-3639

y io-6

= ±5//"37.

Identyczne wyniki (z pominięciem drobnych różnic, powstających wskutek zaokrąglania obliczeń) otrzymujemy, stosując wzory, podane w dziele p. t. vPrze-pisy obowiązujące przy pomiarach metodą trygon i poligon, i t. d., część IPga^, wydanem przez Ministerstwo Robót Publicznych w Warszawie 1920).

Ml

Im]

Rozpoczynamy wyrównanie od zestawienia I a, które uzupełniamy sumami

197-33."

odpowiednich kolumn [P]= 201, [Z//]= 129, [P"]=138 i

O ile ser ja jest pełną, należy obliczyć skręt dla niej wedle odpowiednio przekształconego wzoru (8*) § 5-go :

Kr

przy serji częściowej należy od sumy

\M\ LM J

odjąć te sumy

l [p])

które od"

powiadają brakującym kierunkom serji, zaś od ilości wszystkich kierunków Kr, kierunki brakujące (R,.)°.

W tym przypadku będzie opiewał wzór na skręt serji:

Kr-{Kr)»

Wracając do poprzednio omawianego przykładu, otrzymamy skręty dla poszczególnych seryj.

1.

2.

3.

197-33 —0-00 — 201-00

197-33    197-33

—65-67    —60-00

— 129-00    —138-00

— 3-67

+ 2-66    -0-67 :

Kr-(Kr)»=

— (§!)=    —0-92    +0-89

—0-22

Dalszy rachunek polega na obliczaniu poprawek dla wartości, uzyskanych w pierwszem wyrównaniu i poprawek dla skrętów poszczególnych seryj.

Poprawki wyników pierwszego wyrównania (zest. I a) uzyskujemy dla każdego kierunku, tworząc średnie arytmetyczne ogólne ze skrętów z uwzględnieniem wag seryj.

1.    —2x092 + 3x89

= +083; 4

0-83

+ 0"*17,

• 2.

0-61

2x0-92 + 3x0-89 — 1 x 0-22=+061; —-

6

f 0"-10,

3.    —2x0-92 + 3x0-89 — 1 x0-22=+0-61; 4

0-61

f0"-10.

4. —2 + 0-92

— 1 x0-22=—2-06;

2-06

■0"-69.

(poprawki kierunków)

W podobny sposób otrzymujemy poprawki skrętów z poprawek kierunków.

1.    + Q."-17,    + 0"-17,

+ 0-10,    +0//-10

+0-10,    +0-10

— 0-69

2.    +0-10,

3.    +0-10,

4.    —0-69,

2=    —0"-32,    +0"-37,    —0"-49

—0"-08.

+0"-12,    —0"-16 (poprawki skrętów).

jak poprzednio ze skrętów

Z uzyskanych poprawek skrętów obliczamy seryj — dalsze poprawki kierunków:

+ 0"-20: 5= +0"-04, 0"-04: 6 = 0"*01, 0"-04: 6 = 0"-01, -0"*32 : 3= —0"-ll,

a z nich dalsze poprawki skrętów:

—0''-05, +0"-06, — 0"-09

:3

—0"-01, +0"-02, —0"-03.

Przeprowadzając raz jeszcze to samo postępowanie, otrzymujemy dalej + 0"-04 : 5=+0"-01,    +0"-01 : 6=0"-00,    + 0"-01 : 6 = 0"-00,

popr. kier.:

—0"-05 : 3 =—0"-02, które możemy uważać za ostateczne.

Dodając do każdego kierunku, uzyskanego z wyrównania pierwszego, sumę odpowiadających mu poprawek kierunkowych, oraz do skrętów, obliczonych początku, sumę poprawek skrętów dla każdej serji osobno, otrzymujemy kierunki wyrównane i serje definitywnie ustalone.

na

Kierunki wyrównane:

0° 0' 0"-00 + 0"-17 + 0"-04 + 0"-01= 0° 0' 0"-22,

2.    14    34    52    -33 + 0    -10 + 0    -Ol-j-O    -00 = 14°34'52"-44,

3.    43    44    19    -33 + 0    -10 + 0    -01 + 0    -oO=43°44'19"-44,

4.    73    33    5    -67—0    -69—0    -11 — 0    -02 = 73°33' 4"*85.

1.

Sumaryczne skręty poszczególnych seryj wynoszą:

l"

l"'

— 0"-92    +0"-89

—0-08    +0-12

— 0-01    +0-02

—0"-22 —0-16 —0-03

2—1"-01    +l"-03    —0"-41

Ustalone kierunki spostrzegane są zatem (po odjęciu skrętów od spostrzeżeń pierwotnych):

l"

V"

rfi. 03 fcO

359°59' 14 34 43 44 73 32

58"-99    6i"-03

49-99    52-OB

19-99    19-03

67-99,

58"-59

19-59

58-59

Odejmując je od kierunków wyrównanych otrzymujemy błędy pozorne 3.

V"

p' §/2 p" 3//2 p'"l"rl

1 + l"-23 — 0"-81

3-0258    1-9683

2    +2-45    +0-41 — 6"-15

12-0050 0-5043

37-8225

J ‘

n—k

w= 10, &=8 + 4—

— 1 = 6

: \l =

8    —0-55    +0-41    —0-15

0-6050 0-5043

0-0225

4    —3-14 ‘    .

+ 6-26

19-7192

39-1876

[A =

-^115.3645

0-01

+ 0¹01

—0-04

35-3550 2-9769

77-0326

= ±5,,-37.

[p3S]= 115-3645

Metoda przybliżona Yollanda i Clarka nie podaje dokładności wyników, t. j. błędów średnich względnie wag wielkości wyrównanych.

Przy dalszem wyrównaniu sieci tryangulacyjnej używamy zazwyczaj wyników uzyskanych powyższą metodą, tak jakby pochodziły ze seryj pełnych. Wagi kierunków można także przyjąć równe ilościom spostrzeżeń poszczególnych kierunków, co jest jednak tylko dość grubem przybliżeniem. (Porówn. zestawienie wag w ustępie c) we wzorach (39) i (41).

b) Metoda ścisła.

Głównym twórcą metody ścisłej jest znany geodeta niemiecki F. W. Bessel, który zastosował ją przy tryangnlacji, przeprowadzonej

w latach 1832-1835 w Prusiech Wschodnich dla pomiarów stopni ’).

%)

Całość wyrównania, obejmującą w części pierwszej wyrównanie stacyjne, zaś w części drugiej wyrównanie sieci tryang., przedstawiliśmy w ogólnych zarysach w § 4-tym rozdziału VI-go.

Fig. 17.

Równania błędów ustawiał Bessel w sposób następujący. Jako niewiadome wprowadził kąt, zawarty między kierunkiem 0° lim-busu a kierunkiem do pierwszego celu, oraz kąty, zawarte między kierunkiem pierwszym i resztą kierunków.

[P"']

[P'] ■

[P"}

W ten sposób uzyskiwał dla poszczególnych seryj następujące równania błędów.

Serja I. ói'=x'—li', d₂'=x'+y—V, Pi'

+ V, p./

V\

Serja II.

ói"=x"—l₁", px" d^"=x'"—lx

-y-h",Pz"\d₂'"=x'"-y-l%'", p₂"' dz"=x" +z—Z₃",Pz" d₃'"=x"'—z—i₃"', pz

Serja III. i t. d.

III

> Pi"

(1)

III

Niewiadome t. zw. orjentacyjne as', x", as"', .. są różne dla każdej serji, natomiast pozostają kąty y, z,... niezmienione. Wprowadzenie wag jest tylko potrzebne dla urobienia ogólnych wzorów, przyczem kierunki niespostrzegane otrzymują wagi =0; zresztą są wszystkie wagi p=1. Zatem |>']+[*>"]+[*>"'] + . . . — [Pi]+M+[#»]+ • • • — OL a O] równa się ilości obserwacyj kierunków.

Równania normalne będą miały kształt ogólny:

[p']x'    .

.    [p"]as"

....+p₂'y +p₃'z +....—O' Z'] =0 .... +p₂"y +p₃"z + .... — \p" Z"] =0 [p"']x"'.... +pi"¹ y-\-p₃,n z+ . • • .—[p'"V"]=0

(2)

p₂' x' +p₂" x" + Pz'x' +P3" X" +

+[Pi]y •    + • • • • —[^2 4]

+[p₃]z+- • • •— Os43

-o

=0

Z pierwszej części równań normalnych (2) wyznaczymy z łatwością: P*'y+Pa'*+- • • •— [P'l']

—x' =

[P']

—as" =

p₂"y+Pz" z+ • • • - —[p" *"]

[P"l

(3)

—x'" =

p^'" y+Pz'" z+ ■ ■ ■ - —\p"' Z"']

[p"‘ j

Wartości te, wstawione do reszty równań normalnych (2), dostarczą nam równań kształtu:

(4)

(pb)y+(pc)«+ ... .(&Z)=0 (6c)2/+(cc) #+ ..... (cZ) =0

przyczem

(66)=[p₂]

[*']

Pa'

Pa⁷'

(&0=

[P'1

Pa'-

I>"]

P2"

P2"—•

[P"J

Pa"

{cc)=[p₃]

Pz

Pz"

[pf³' [p"i

Pz"—-

Rozwiązując równania (4), otrzymujemy wartości kątów wyrównanych y=[ 1, 2], z=[ 1, 3] i t. d.

Przy tworzeniu spółczynników równań (4) można łączyć ze sobą serje jednakowo spostrzegane. Natomiast przy wyznaczaniu [dd] należy brać na uwagę każdą serję osobno.

Błąd średni kierunkowy (odpowiadający obserwacji kierunku w jednej serji) urabiamy wedle wzoru:

(6)

[p\ odpowiada ilości spostrzeżeń kierunków, s ilości wszystkich seryj, zaś Kr ilości kierunków stacyjnych.

Dla użytku późniejszego wyrównania sieci tryangulacyjnej, obejmującej omawianą stację, należy utworzyć równania wag, posługując się spółczynnikami równań (4).

Jako niewiadome wystąpią w nich

M=$2.2i [i®y]=$2.3, [yy]=$3.3 i t. d.:

tH O

(bb) $2.2 + (&C) $2.3 +

(7)

(bb) $2.3 + (fic) $3.3+

=1

Cbc) $2.3 +(cc) $3.3 +

(W § 4-tym rozdziału Yl-go oznaczono niewiadome ogólnie przez x, y, z...., przeto i niewiadome równań wag były tam

$1.1? $1.2) $1.3) • • • ■ $2.2) $2.3* •• • 1 t. d).

Zamiast ustawiać równania błędów w sposób podany powyżej, możemy ułożyć je na wzór związków (3) i (4) § 5-go (str. 205.), otrzymując dla poszczególnych seryj następujące równania błędów.

Serja I.

(bl)—    [p₂

Pi'

[*']

[p'l']Ą

Pi"

P₃'

iP']

[P'1'h1

[P"3

P₂"

[P"]

0"Z"]+ ....

Serja H.

óił—óif+x+ll'—L'

V=V+y+V-V

V'

<5₂,/=<5₁"=a; H

.00

przyczem można dla uproszczenia rachunku złączyć spostrzeżenia seryj o wszystkich tych samych kierunkach, poddając ich średnie wyniki wyrównaniu z wagami, odpowiadającemi ilości seryj złączonych.

Dalsze postępowanie uwidoczniono na następującym przykładzie.

Celowe do p

S. I. p' — 3

S. II. S. III.

p" — 2 p"' — 1

H N CO'i

0° O7 41 12 104 23 158 41

0"-0

0"-0

25-5

39-0

W serji I. złączono 3 serje, w serji II. 2 serje.

(9)

Dla ułatwienia rachunkowego przyjmiemy jako przybliżone wartości kątów: (l,2)=41°12/25'/, (1,3)= 104°23'35// i (1,4)=158°41'40";    (10)

przybliżone wartości kierunków odpowiednich przedstawiają te same wartości, jeżeli kierunek (1) obierzemy 0°0/0//. Oznaczając dalej poprawki kątów przybliżonych, uzyskane wyrównaniem, przez x, y i z, otrzymamy na podstawie zestawienia (11):    ____

S. II.

S. I. p'— 3 p" = 2

S. III.

p'"= 1

l"

V"

1 o"-o

0"-0

(11)

0-5

0-5

4"-5

4-0

5*5

5-0

9-5

4*5

następujące równania błędów:

Serja I. p' — 3

Ser ja II.

p" = 2

Serja III.

p"' = l

//

(12)

8a/' = 8₁"+a?—0-5    %₂"/=\'"+x—4-5

8₃,, = 8₁/y.+y—5*5    5-0

S₄" = S₁/'+0—9-5    S₄//' = S₁/'/+0—4-5

Równania normalne z uwzględnieniem wag poszczególnych seryj przedstawia następujące zestawienie schematyczne:

—    -\-x—0*5

V=V+r-⁴*°

V V' 5i

Wyrazy

wolne

3.3

CO

• co co

to to tO •

• CO r-l 1—1 T”ł

CO IM H ®

• CO r—t

• CO

—    13-5 —31-0

—    14-0

7-0

— 28-0 — 23-5

Z trzech pierwszych równań wyznaczymy: —3 x—3 y +13*5

—2x-2y— 2z+31-0

i Si

ni

—x—y—2+14,0

a po wstawieniu tych związków do trzech ostatnich, otrzymamy równania normalne o niewiadomych x, y i z.

(15)

4-1667 x—1-8333 y+0-8333 z+ 9-9167 = 0 —1-8333 <r + 4-1667y—0-8333 11-0833 = 0 — 0-8333 x—0-8333 ^ + 2*1667 a—11-0833=0.

.Równania te dostarczają nam wartości niewiadomych: a5 = l"*1136, y— 4"*6136, £=7" *3181, zatem i kątów wyrównanych:

[1,2]=41°12'26*"114, [1,3]=104°23'39" 614, [1,4] = 158°41'47"-318. (16)

Dla wyznaczenia poszczególnych S należałoby właściwie obliczyć wartości 8X', 8X" i    i użyć równań błędów (12); można je jednak wyznaczyć spo

sobem prostszym.

Odejmując od kierunków uzyskanych wyrównaniem (przyjmując pierwszy 0°0'-00") kierunki przybliżone, otrzymamy:

0"-000, 1"-114, 4"-614, 7//-318;

poszczególne l® (patrz zestawienie (11)), odjęte od tych wartości, dostarczają nam następujących wyników w zestawieniu schematycznem:

Seria I

Ser ja II

Ser ja III

(17)

0-000 + 0-614 + 0-614

+ 1-228

0-000 + 0-614 —0-886 — 2-182 — 2-454

—3-386 —0-386 + 2-818 —0-954

:3

■Kr=

Kr

+ 0-409

—0-614    —0-318

Odejmując mujemy poszczególne o.

2

— od wartości, zestawionych w kolumnach schematu (17), otrzy-

Kr

8"

8'"

p'V²

1 —0-409

2    +0-205

3    +0-205

+ 0-614 + 1-228 —0-272 — 1-568

—    3-068

—    0-068 + 3-136

0-5019    0-7540

0-1260    3-Ó160    9-4126

0-1260    0-1480    0-0046

4-9172    9-8345

Fo

[p ssj

n—k    (18)

, &=6

Fo

28-8408

2 +0-001 +0-002 p' = 3

p" = 2    p"'= 1

0-000    0-7539    8-8352 19-2517

[p 8S]=28-8408

= +2"-685.

(p.₀ jest błędem śr. kierunku serji pojedynczej, czyli błąd średni kierunku, spostrzeganego w obu położeniach lunety).

Oznaczając niewiadome równań wag

5)    [1)3]    ,)

„ [1,4]    „

dla kąta [1,2] przez 0₂.₂, 0₂.3, 02.4 02.3) 03.3) 03.4 02.4) 03.4) 04.4)

otrzymamy dla ich wyznaczenia 6 następujących równań wag:

4-1667 02.2—1-8333 0₂.₃-O-8333 0₂.₄=1

(19)

4-1667 02.3-1-8333 0₃.₃-O-8333 0₃.4=O -1-8333 02.3+4-1667 0₃.₃-O-8333 0₃.₄=1

4-1667 02.4—1-8333 0₃.₄—0-8333 0₄.₄=O — 1-8333 0₂.₄+4-1667 0₃.₄—0.8333 0₄.₄=O —0-8333 0₂.4—O-8333 0₃.₄+4-1667 0₄.₄=1.

Równaniom tym odpowiadają następujące wartości poszczególnych 0: 02 ₂=0-3788,

(20)

02.₃-= 0-2121, 03.3—0-3788,

0₂₄=O-2273, 03.4=0-2273, 0₄.₄=O-6364.

Błędy średnie i wagi kątów wyrównanych są wedle § 5-go rozdz. IY-go

(str. 92.):

1-57.

Wartości poszczególnych Q są potrzebne dla wyznaczenia spółczyn-ników przenoszących, o ile ma później nastąpić wyrównanie sieci tryan-gulacyjnej, obejmującej kąty [1,2], [1,8] i [1,4] metodą Bessela. (Porównaj równ. (16) § 4-go rozdz. Yl-go, (str. 159). Natomiast przy zastosowaniu metody Helmerta (§ 3 ci rozdz. Yl-go) nie potrzeba przeprowadzać wyrównania stacyjnego w całości, poprzestając na utworzeniu systemu równoważnego z odpowiedniemi wagami.

e) Przemiana wyników wyrównania stacyjnego w serję pełną (wedle Helmerta)¹).

Jak już wspomnieliśmy poprzednio, powoduje wyrównanie stacyjne, przeprowadzone metodą Bessela, komplikacje w później szem wyrównaniu sieci tryangulacyjnej.

*) Die europaische Langengradmessung in 52° Breite von Greenwich bis War-schau. I. Heft, Hauptdreiecke und Grundlinienanschlusse von England bis Polen. Berlin 1893, str. 37—42; oraz Helmert, Astronom. Nachr. tom 134, w 1893, str. 281—296 „ IJber eine Vereinfachung bei der Einfuhrung von Stationsergebnissen in der Ausgleichung eines Dreiecksnetzes.

. To było powodem, dla którego Helmert przy zestawieniu tryangu-lacyj dla pomiaru stopni równoleżnika (52°) w Europie, mając do dyspozycji wiele wyrównań stacyjnych, przeprowadzonych metodą Bessela, zastosował przy wyrównaniach sieci tryang. nową metodą, zmniejszającą znacznie nakład pracy rachunkowej.

Metoda ta dozwala nam przemienić wyniki wyrównania stacyjnego w pełną serją kierunków o odpowiednich wagach, przyczem każdy kierunek w połączeniu z przysługującą mu wagą wstawiamy do późniejszego wyrównania sieci jako spostrzeżenie niezależne (a zatem bez spółudziału spółczynników przenoszących i t. d.).

Przypuśćmy, że wyrównanie stacyjne (przy K kierunkach) dostarczyło nam kątów [1,2], [1,3], [1,4], .... [1, K], oraz z niemi związanych spółczynników równań wag:

$2.Ar,

$3.A'j $4. A',

(22)

$2.2 7 $2.3 , $2.4 7 $3.3 , $3.4 , $4.4,

Qk.k-

Przy pomocy wzoru (25) § 8-go rozdz. IV-go (st. 114.) można wyznaczyć odwrotności wag qhA wszystkich kątów, zawartych między powyżej danemi kierunkami; np. q₂ s=F₂ ² $2.2+2 F₂ Fz Q₂.z-\-Fz² $3.3, a ponieważ

óF

+ $3.3 •

dF

> = -i ,f₃=

dx

dy

= +1, przeto 52.3= $2.2—2 $2.3+

Postępując analogicznie z innemi kątami, otrzymamy dla kąta [1,2] odwrotność wagi <712= $2.2

,7 51.3= $3.3 77 5l.4=$4.4

„    »    [1,3]

,,    »    [1,4]

CO

77    52.3⁼⁼ $2.2— 2 $2.3+$3.3

77    52.4 = $2.2 ~ 2 $2.4 + $4.4

(23)

„    » [3,4]

77    ^3.4 = <9:3.3 — 2 $3.4 + $4.4

i t. d.

Chcąc zastąpić wyniki równania serją kierunków niezależnych o wagach różnych, należałoby, oznaczając odwrotności wag kierunków przez <71, #2,• • • <7a', położyć wedle prawa przenoszenia się błędów:

51. a = 5i+5a,

52. a’ = 52 + 9a'?

(24)

5i.?=5i+5₂, 5i.s=5i+5₃

5-2.3=52 + 9-3

5(a— i).a= 5 a-i + 5a'-

Dla Kr>3 mogą być równania, objęte wzorem (24), spełnione tylko w przybliżeniu, natomiast dla K,.= 3 otrzymujemy związki ścisłe:

01.2=0i+0j, 01.8= 01+?3

02.3= 02 + 03

(Kr= 3).

(25)

Ztąd wynika ważne twierdzenie, odnoszące się do wyrównania stacyjnego o trzecb kierunkach:

Wyniki wyrównania stacyjnego przy trzech kierunkach można zawsze zastąpić ściśle jedną serją kierunków o odpowiednich wagach, wyznaczonych wzorem (25).    ’

Aby otrzymać jednoznaczne wartości poszczególnych q dla Kr>3, postąpił Helmert w sposób następujący.

Kładąc

Si=2qi.h

(26)

dla stałego wskaźnika «, a h zmieniającego się od 1 do Z z wyłączeniem i, oblicza się na podstawie związków, zestawionych we wzorze (23), bezpośrednio :

Si—2 Qu+(Kr—2) Qi'i—2 2 Qi.h,

kontrolując obliczone Si przy pomocy wzoru:

S=2Si=2 (K-1) 2 Qi.i-3 2Qi.jt.

Ponieważ wskaźniki poszczególnych Q rozpoczynają się od 2, przeto w obu ostatnich wzorach należy położyć Qi.i=0, Qi.A=0; poszczególne Qi.jt wstawiamy do powyższych wzorów bez powtarzania.

Jak już wspomnieliśmy, nie mogą nam dostarczyć związki wzoru (24) dla Kr>3 wartości ścisłych; najodpowiedniejsze wartości poszczególnych qj uzyskujemy sposobem Helmerta, zastosowując do powyższych związków metodę najmniejszych, kwadratów, t. j. wyznaczając poszczególne qi z warunku, że suma kwadratów różnic lewych i prawych stron związków (24) ma być najmniejszą (minimum).

Wynikają ztąd równania normalne, którym poszczególne qi muszą czynić zadość, mianowicie:

(27)

(28)

(Kr-l)g1 +

02 +

03 +

0₁ + (K,—1) 02 +

03 +

0i +

02 + (Aj. 1) 03 +

+ 0A=

+ 0Ar=$2

+ 0A'=S₃

(29)

01 +

03 +

02 +

Równań tych nie ma nych przypadkach, gdyż ogólny wzór na gólnych Si oraz ich sumy S opiewa:

+ (Kr-1) 0A'=®A'*

potrzeby ustawiać i rozwiązywać w konkret-0i dla znanych wartości poszcze-

Si

(30)

Dla kontroli posługujemy się wzorem:

2qi 2 (Kr-1)

Po obliczeniu odwrotności wag dla poszczególnych kierunków stacyjnych wedle wzoru (30), a następnie i wag kierunków, wstawiamy uzyskane wyrównaniem stacyjnem kierunki w połączeniu z obliczonemi wagami jako niezależne spostrzeżenia do warunków sieci tryangulacyjnej, uzyskując znaczne uproszczenie rachunkowe.

Przy trzech kierunkach stacyjnych otrzymujemy z równań, zestawionych we wzorze (2B), ściśle:

O2.3,

#1.2+<71.3—<72.3

<7l.2—

= Q'2.2—(?2.3j

(32)

= (?3.3— (?2.3>

— 3'l.2-b<7l.3_f-0,2.3

W tym przypadku obliczamy odwrotności wag kierunków wprost z wartości spółczynników równań wag Q.

Stosując powyżej opisaną metodę do wyników liczbowych przykładu, podanego w ustępie b) (poprzednim), otrzymamy ze względu na wartości poszczególnych 0, zestawione na str. 223., opierając się na związkach (23):

Ji.2= 02.2=0*3788,

21.3=03.3=0*3788,

21.4=04.4=0-6364,

22.3=02.2—2 02.3+03 3=0-3788—04242+ 0-3788=0-3334,    1

22 4= 02 2— 2 02 4+04 4=0-3788—0-4546 + 0-6364=0-5606,

23.4= 03^3-2 03^4 + 04.4= 0-3788— 0-4546 + 0-6364= 0-5606.

Uwzględniając, że 2i.&=2*.*ł zestawimy następnie wartości poszczególnych s; wedle wzoru (26):

(34)

=2i.2 + 2i.3+2i.4=1‘3940, s₂ =22.1 + 22.3+22.4= 1*2728,

⁵3    = 23.1 + 23.2 + 23.4= 1*2 7 28,

5₄    = 24.1+ 24.2 + 24.3= 1-7 5 76,

lub lepiej wedle wzoru (27) wprost z poszczególnych Q (bez obliczania g^):

s, = 1-3940 + 0-0 + 0-0

= 1-3940,

(35)

s₂ = 1-3940 + 2 x 0-3788—2 x 0-4394= 1-2728, s₃ = 1-3940 + 2 x 0-3788—2 x 0-4394= 1-2728, s₄ = 1-3940 + 2 x 0-6364—2x0-4546 = 1-7576,

S'=Ssi=5-6972.

Kontrola sumy S wedle wzoru (28) daje wynik identyczny:

Następnie obliczymy ostateczne wartości poszczególnych q wedle wzoru (30): 1-3940    5-6972

q\~    2    2x3x2

1-2728    5-6972

2x3x2 1-2728    5-6972

2    2x3x2

1-7576    5-6972

= 0-2222,

«2

0-1616,

0-1616,

(37)

24

2x3x2

0-4040.

vffi= 0-9494.

Kontrola Sj, wedle wzoru (31) wykazuje zgodność dostateczną:

5-6972

. S2<=“2^r

Wyrównanie sieci możemy przeto przeprowadzić kierunkami, uzyskanemi z wyrównania stacyjnego, nadając im wagi:

0-9495.

(38)

»    [⁴]>    ^4+~⁼²’⁴⁸-

24

= 4-50,

= 6-19,

(39)

Stopień przybliżenia powyżej podanej metody możemy skontrolować, tworząc z powrotem z <£,• odwrotności wag kątów i porównując je z wartościami, uzyskanemi wyrównaniem ścisłem.

Wedle wyrówn. ścisłego (33):

2i 2—0*3788 20=0-3788 gi 4=0-6364 22.3=0‘3334 22.4=0*5606 23.4=0*5606

Różnice te są nieznaczne i nie mogą mieć wpływu praktycznego na wyniki wyrównania.

Dawniej przed poznaniem metody Helmerta przyjmowano w niektórych przypadkach wagi równe ilości spostrzeżeń poszczególnych kierunków j w naszym przykładzie otrzymalibyśmy wedle tego sposobu wagi następujące [por. b) (9)]:

(Pi)=5, (Pi)=Gi (PsH⁶’ =

które spowodowałyby obniżenie dokładności wyrównania sieci tryangulacyjnej.

Wedle sposobu Helmerta:

2i.2=2i +    = 0-3878

2i.3⁼⁼2i +23⁼⁼0*3878

2i.4=2i +24 = 0’6262

22.3=22 + 23⁼⁼⁼0*3232 ?2.4 = 22 +24 = 0,5656 23.4=23 +24~0'^^⁸

Różnica w °/₀:

1-60

(40)

co 5 6

(41)

Przy poszczególnych wyrównaniach stacyjnych, należących do jednej sieci tryangulacyjnej, wypadają zazwyczaj nierówne jednostkowe błędy średnie y₀, mimoto nie uwzględniamy z reguły tej okoliczności przy wyrównaniu sieci.

W niektórych — zresztą rzadkich — przypadkach może być to jednak wskazanem; jak wtedy postąpić, poucza Helmert w swem dziele o rachunku wyrównawczym x), przyczem uwzględnia również źródła błędów sieci tryangulacyjnej.

F. R. Helmert, AuśgleicłningsrecłLnung n. d. Methode der kl. Quadrate, 2-gie wydanie, Lipsk i Berlin, 1907, str. 533—535.

.    ROZDZIAŁ DZIESIĄTY.

Tryangulacja (Część druga). Wyrównanie przy trygonometrycznem oznaczeniu punktów przez wcinanie. (Wyrównanie spółrzędnych).

§ 1. Wiadomości wstępne. Związek między zmianą kierunku

i spółrzędnych.

Trygonometryczne oznaczenie punktów przez wcinanie ma miejsce, gdy chodzi o wyznaczenie spółrzędnych bądźto punktów pojedynczych, bądźto naraz całego systemu punktów w nawiązaniu do już istniejącej sieci tryangulacyjnej.

Sieci wypełniające I-rzędne (ewent. poszczególne punkty sieci I-rzęd-nej), jakoteż sieci rzędów wyższych wyrównywamy, posługując się z reguły tą metodą.

Jako niewiadome występują tu poprawki spółrzędnych, oraz t. zw. niewiadome orjentacyjne, znane nam z wyrównań stacyjnych, a wyrównanie odnosi się do spostrzeżeń pośrednich, któremi są zazwyczaj kierunki, rzadziej kąty (kąty n. p. przy tryang. I-wszo- i II-go-rzędnej); oba rodzaje spostrzeżeń wchodzą do równań błędów ostatecznie j ako azymuty kierunków.

O ile wyrównanie dotyczy punktów I-wszo-, Ii-go- i III-ciorzędnych, należy je przeprowadzić na płaszczyźnie przy zastosowaniu wiernokątnego odwzorowania, t. j. po odpowiednio przeprowadzonej redukcji kierunków; przy punktach IY-rzędnych przeprowadzamy całkowity rachunek wyrównawczy z reguły bez żadnych redukcyj na płaszczyźnie, stosując płaskie spółrzędne prostokątne.

Dodać również należy, że przy punktach rzędu I-go i Ii-go uskutecznia się nasamprzód wyrównanie stacyjne, które, ze względu na zastosowanie w tych przypadkach z reguły metody pomiaru kątów we wszystkich kombinacjach z uwzględnieniem kierunków stałych *), przedstawia się bardzo prosto.

Patrz końcowy ustęp § 4-go rozdziału IX-go, str. 202. i 203.

Omawiana tu metoda bywa jednak najczęściej używaną w praktyce przy tryangulacji IY-rzędnej i wyznaczaniu punktów nawiązywanych do niej, przyczem najchętniej wyrównywamy spółrzędne poszczególnych punktów dla siebie, choć nierzadko stosujemy wyrównanie do kilku punktów naraz (n. p. do t. z w. par punktów, trójek i t. p.).

Pomijając sprawę przejścia z kierunków sferoidalnych na kierunki na płaszczyźnie x),' jako należącą do dziedziny geodezji wyższej, omówimy problem wyrównania na płaszczyźnie przy użyciu spółrzędnych prosto

kątnych.

,X

Równania błędów układamy, biorąc na uwagę azymuty pozorne (a) (kąty zawarte między dodatnim kierunkiem osi z-ów, a danym kierunkiem, liczone w umówionym sensie, t. j. w kierunku posuwania się wskazówek zegarów).

Ponieważ tg(a)i.2

y<i— y.

(patrz

fig. 18.), przeto

Oc-2} -OCjp t j80°

•r y

Fig. 18.

darc tg

y<L—y\

d (a)i.2

X₂—Xi

dx±

dxl 4

Ponieważ

d arc tg

xt—xx

dxx

zaś

d arc tg

y*—yi

X₂—Xx

(a)i.2=arctg

y%—y\

*2—-®1

Zmiana spółrzędnych o nieznaczne wielkości dxx, óyv óx₂₁ óy₂, mogące być uważane w przybliżeniu jako wielkości nieskończone małe, wywołuje nieznaczną zmianę azymutu pozornego oda, przyczem zmiana ta, liczona w kierunku

(1.2) czyli zmiana azymutu (a)i.₂, wynosi:

d arc tg

y*—y\

dy±

darc tg

y%-y\

-X\

<*2/2-

y*-y i

d arc tg ——— «₂— *1

dx₂

ó x₂

(2)

(y*-yĄ

\x₂-x₁)

² (*2 —^l)²

y₂—y₁ _sin (a)i.2 S²1.2

x₂—xx

$1.2

(3)

cos (a)i.2

i+(*=ł)

V x₂> xx f

$\₂

$1.2 ’

b Dla przemiany tej, dotyczącej tak kierunków stałych, jak i spostrzeganych, należy nasamprzód obliczyć spółrzędne przybliżone punktów wyznaczanych.

a analogicznie:

d arc tg

y*—Vi

•^2    *^1

y*—y 1

sin (0)1.2

da;₂

S²1.2

$1.2

d arc tg

y₂—

(4)

cos (a) 1.2

<^2

$*1.2

$1.2

przeto będzie ostatecznie:

sin (o)L2 s _ cos (0)1.2

<5 (0)1.2

$1.2

da^

$ 1.2

&Vi

sin (o)i..2

$1.2

óx.₂ +

cos (o)i.₂

$1.2

dyr (⁵)

Zmiana azymutu pozornego (0)2.1, a więc liczona w kierunku przeciwnym, przedstawia się zatem:

sin (0)2.1

d (0)2.1

$2.1

da?! 4

cos (0)2.1

sin (o)₂.i

cos (a)₂.i

$2.1

$2.1

$2.1

dy₂, (⁶)

przyczem, ze względu na użycie płaskich spółrzędnych prostokątnych (0)1.2=(0)2.1 ±180°, zaś si.2=$2.i.

Chcąc mieć poszczególne <5 (o) wyrażone w sekundach kątowych, należy równania (5) i (6) pomnożyć przez zamiennik ę" = 206265''; związki między zmianą azymutu a zmianami spółrzędnych przedstawią się wówczas następująco:

d (a)" 1.2

sin (a) 1.2 „

cos (q)i.₂

sin (a) 1.2

Sl.2

Sl.2

Sl.2

COS (0)1.2

*1.2

(5*)

d (a)"₂.i

sin (a)2.i

cos (a) 1.2

S2.1

S2.1

C>,/dy₁4

sin (a)2.i

#2.1

ę" dfipa—

cos (a)2.1

(6*)

q" óy.₂.

"Wzory powyższe są pierwszorzędnej wagi dla rachunku wyrównawczego spółrzędnych, przeto niejednokrotnie będziemy z nich korzystali w niniejszym rozdziale.

W dalszych wywodach będziemy zajmowali się głównie pomiarami kierunkowemi, dodając tylko niezbędne uwagi, jak należy postępować w razie dokonania pomiarów kątowych.

§ 2. Wyrównanie wcinania wprzód.

Wcinanie wprzód bez wyrównania polega na rozwiązaniu trójkąta z następujących wielkości danych: podstawy i dwu kątów przyległych.

W praktyce tryangulacyjnej dostarczają nam długości podstawy spółrzędne dwu punktów tryangulacyjnych (ustalone na podstawie po-

S2.1

miarów ,i wyrównań poprzednio przeprowadzonych), a zamiast kątami posługujemy się pozornemi azymutami odpowiednich kierunków.

Jednoznaczne wyznaczenie punktu P na miejsce, gdy przy pomocy odpowiednich pomiarów ustalimy położenie dwu kierunków (t. j. ich azymuty pozorne), zdążających z dwu punktów tryangulacyjnych do punktu P.

Wykonanie pomiarów nadliczbowych (t. j. w liczbie większej, jak to jest konieczne) powoduje wyrównanie.

Pomiary nadliczbowe mogą tu być rodzaju dwojakiego.

¹

Gradmessung in Ostpreussen. Berlin 1838.

rr>

Fig. 19.

Przedewszystkiem możemy ustalić kierunki wcinające punkt P, t. zn. kierunki zewnętrzne, (bo zmierzające doń z zewnątrz), przez nawiązanie ich do kilku kierunków stałych, t. j. kierunków między ustalonemi punktami tryangulacyjnemi. Ponieważ wystarczyłoby nawiązanie każdego kierunku zewnętrznego (wcinającego) tylko do jednego kierunku stałego, przeto (patrz fig. 19.) nawiązanie kierunków HP, JP, KP..., do więcej niż jednego kierunku stałego, powoduje na każdej z tych stacyj H, J, K..., wyrównanie stacyjne.

Prócz tego wystarczają dla ustalenia położenia punktu P tylko dwa kierunki zewnętrzne, zatem wcięcie punktu P z więcej punktów tryangulacyjnych, które będziemy dla krótkości nazywali stałemi, niż dwu, powoduje również wyrównanie.

Z tego powodu dzielimy wyrównanie na dwie części, z których pierwsza obejmuje wyrównanie stacyjne, druga właściwe wyrównanie spółrzędnych szukanego punktu P.

a) Wyrównanie stacyjne ze względu na nawiązanie do

kierunków stałych.

Przypuśćmy, że pomierzyliśmy na stanowisku O, z którego wcinamy punkt P, prócz kierunku do P jeszcze m kierunków stałych w serjach pełnych.

Azymuty pozorne kierunków mierzonych możemy wyrazić przy pomocy związków

(a),=arc tang

Vi—y o

Q>

(i)

Vo

(opuszczając przy (a) wspólny wskaźnik o), przyczem (a)i należy rozumieć w mierze kątowej.

Związków tych mamy tyle ile spostrzeżeń, zatem m+1 (m kierunków stałych i jeden do punktu P).

(a)i — arc tang

yj—yo

Pość

m+1

(o)₂ = arc tang

x\ Xq

y%—y±

x₂—x₀

a*)

(o)m==arc tang ——— ę

xm

(a)p — arc tang

yp—jh

Xp Xq

Oznaczając przez K z odpowiednim wskaźnikiem średnią, utworzoną dla każdego kierunku z s seryj (t. z w. kierunek średni) i uzupełniając ją odpowiednią poprawką (błędem pozornym) nietrudno zauważyć, że różnice odpowiednich azymutów pozornych {a)i — (a)₁ równają się różnicom . odpowiednich kierunków wyrównanych Ki+—Kx—

Możemy zatem utworzyć m różnic kształtu:

(a)₂-(a)₁=ir₂+£₂-;r₁-£₁

(a)₃ —(a)₁=K₃ +^₃ —Kx—

(2)

(a)m—(a)t=Km+d-m—K₁ — &1 (a)p—(a)x*=Kp+&p— Kx— &x

W każdem z tych równań mamy wyraz stały

(3)

(®)i    &x⁼z j

przyj ąwszy to oznaczenie do dalszych wywodów, ustawimy m+1 równań błędów:

=—K\ —z+(a\ &₂ = —K₂ —z+(a)₂

= — Km— z + (a)m

d-p = —Kp — z+(a)p = —Kp —z-j-ę arc tang

yp yp

Xp—X₀

Ze względu, że wszystkie (a) z wyjątkiem (a)p są bezbłędne, a w wy-

tylko xp i yp są niewiadomemi, zawierają powyższe równania

rażeniu

yP—yo

xp—x₀

błędów trzy niewiadome xp, yp i z (t. zw, niewiadomą orjentacyjną).

Stosując metodę równoważnych systemów błędów, wyznaczymy z początkowych m równań z₀ przybliżoną wartość, niewiadomej z.

Odnośne równanie normalne będzie:

mz₀=[(a)—ńT]™, zaś

(5)

[(q)-iTK

Metoda równoważnych systemów równań błędów dozwala nam uważać uzyskaną wartość z₀ za spostrzeżenie o wadze m, (o ile wagi poszczeg. równań p=1), które może być użyte do dalszego wyrównania dla wyznaczenia poprawki óz.

W stawiaj ąc

, (6)

z=z₀+óz

do ostatniego równania błędów we wzorze (4), otrzymamy

&p=—Kp—z₀—óz-\-q arc tang

yP y o

xp x₀

lub

yP—yo.

(7)

Błędy &p i dz są od siebie niezależne, zatem wedle prawa przenoszenia się błędów będzie:

Pó²=p&²+p²)

przyczem błędy równania (7) zastąpiliśmy odpowiedniemi błędami śred-niemi.

(8)

Równanie (8) posłuży nam do wyznaczenia wagi równania (7), o ile zastąpimy kwadraty błędów średnich odwrotnościami odpowiednich wag,

111.,

—=--!--, lub

Pd p& Pz

p& . Pz

Pó^-,--

p&+pz

W przypadku, gdy wagi równań (4) są równe jedności, a co za tern idzie waga pz=m, otrzymamy wagę równania (7)

gdyż:

(8*)

(9)

P6 =

(9*)

m+1

Natomiast, jeżeli pomiary przeprowadzono w s serjach, będzie waga

(9**)

Pd=8

m+l

Jeżeli serje były niezupełne i przeprowadzono wyrównania stacyjne (bez uwzględnienia kątów stałych) wedle wskazówek § 6-go b) rozdz. IX-go

(str. 218. i d.), należy wyznaczyć wagi poszczególnych kierunków metodą Helmerta wedle § 6-go c) powyższego rozdziału (str. 223. i d.) i uwzględnić je tak przy obliczaniu średniej wartości z₀, jak i przy tworzeniu wagi p$. Wzór (5) otrzyma wówczas kształt:

m:

(5*)

zaś Pd

Pp • m: .

pp+m:⁹

przyczem [p {(a)-K}^ =Pl {(a)₁-K₁}+p₂{(a)₂-K₂} + ... .

[^li ⁼ P1+P2+ • • • • +Pm, zaś pp jest wagą ostatniego równania błędów.

Wyrównania stacyjne, przeprowadzone w sposób podobny na wszystkich n stanowiskach, z których wcięliśmy punkt P, dostarczają nam ostatecznie równań błędów kształtu (7) w ilości n.

Dla dalszego wyrównania przemieniamy zazwyczaj x) kierunki zewnętrzne na wewnętrzne (t. j. na kierunki z P do punktów stałych).

punktów stałych, otrzymamy do dalszego

Oznaczając dla uproszczenia punkty tryangulacyjne, z których wcięliśmy punkt P przez 1, 2,. . . .n i przyjmując, że przeprowadziliśmy na każdym z nich pomiary kierunkowe o s1? s₂,. . . .sn serjach pełnych z nawiązaniem do mi,

wyrównania n równań błędów kształtu:

dj =q arc tang ^—— —(Zi +0o)=tlSO° o wadze pi =sr

X^’—Xp

yi—yP

m₁

«*! +1

x₂ xp

““(/^2+⁰o)±18O° „    „

P2=S₂

m₂ + l (10)

ón=Q arc tang

Pn — Sn

mn

mn-\-1

x₃ xp

W równaniach powyższych przemieniono kierunki zewnętrzne na wewnętrzne przez przestawienie w wyrażeniach arc tang porządku spół-rzędnych i przez dodanie do poszczególnych K kąta ±180°.

"W szczególnym przypadku nawiązania kierunku wcinającego tylko do jednego kierunku stałego, otrzymamy przy pomiarach, dokonanych jedną serją, wagę kierunku

P~T*

*»

zaś o ile spostrzegaliśmy kierunki w s serjach

p= -i'

0 Przepisy obowiązujące i t. d. Min. R. P. Warszawa, 1920, oraz austr. instrukcja polig. z roku 1904-go uwzględniają wspomnianą przemianę kierunków; niewiadomą z9 oznaczono tam literą o (średnia orjentacja).

b) Wyrównanie spółrzędnych.

Po ukończeniu pierwszej częs'ci wyrównania, która polega na wyznaczeniu niewiadomej z₀, przedstawiającej się w przypadku wag równych jako średnia arytmetyczna, utworzona z różnic (a)—K (por. wzór (5)), przystępujemy do dalszego wyrównania, posługując się równaniami błędów, zestawionemi we wzorze (10).

Weźmy na uwagę równanie błędów, odpowiadające kierunkowi wewnętrznemu P—7; wedle wzoru (10) napiszemy zatem

(Ki+z₀)±18O° z wagą p{.

(10¹)

y—yP

•ftp

Kładąc Ki+z₀=(K₀)i, t. j. kierunkowi zorjentowanemu, zatem Ki+z₀+ -4-180°= (K₀± 180°)t i rozwijając arc tang —-— w szereg Taylora, z po-

Xi Xp

minięciem wyrazów rzędu wyższego niż pierwszy, przekształcimy równanie (10¹) na:

di=Q arc tang

yt—yp

Xi Xp

180").; (U)

Si

sj

przyczem xp', yp', są spółrzędnemi przybliżonemi punktu P, (a)j oznacza przybliżony azymut pozorny kierunku P— 7, sj przybliżoną odległość między punktami Pil (na płaszczyźnie), zaś ó x i dy są poprawkami, które, dodane do spółrzędnych przybliżonych xv' i yp',x) dostarczą nam spółrzędnych wyrównanych punktu P: xp i yp. (d, należy rozumieć w sek. kątowych).

Zamiast rozwijania powyższej funkcji w szereg Taylora można, korzystając z poprzednio wyprowadzonego wzoru (5¹), dojść do tych samych wyników, kładąc

q arc tang

y~yP

Xi—Xp

q arc tang

yt—yp

X[—xp'

d(a)"p.i

(12)

(ze względu na to, że punkt 7 jest stałym); następnie, ponieważ (przy stałym punkcie 1)

„ sin (a)i

n cos (a)i

Si

„ sin (a)/

sj

ÓX—()

dy, lub w przybliżeniu „ cos (a)j

Si

dy,

otrzymamy po dokonaniu podstawienia wartości za d(a)"P.i wzór identyczny z (11).

(U*)

di—cii óx-\-bi óy-\-(a)i'—(^ro±180°)j;

kładąc wreszcie (a)/ — (^(,±180°) = ^, otrzymamy dla wszystkich n kierunków zewnętrznych n równań błędów w postaci:

(13)

Dla uproszczenia wzoru (11), położymy następnie „ sin ((»)/

Si'

a równanie (11) przejdzie na:

Cli

~Q

„ cos (ay

Si'

bi, oraz ę arctang

„yj-y*

Xi — Xp'

=(«Y>

di=aidx-\-bidy+li z wagą pim

Wartości óx i dy, uzyskane z wyrównania, otrzymamy w tych samych dymensjach, w jakich wyraziliśmy s', a zatem zazwyczaj w metrach.

Ponieważ Ba; i By będą zazwyczaj znacznie mniejsze od jednego metra, przeto, chcąc je otrzymać w dm, należy s' pomnożyć przez 10. Gdy ponadto-wyrazimy długości nie w metrach lecz w kilometrach, kładąc s' (m) = S' (km), otrzymamy:

di

20.6265 sin (a)/

Si'

1 bi

20-6265 cos (a)/

Si'

(14)

lub oznaczając 20.6265 sin (a)/=£, —20-6265 cos (d)i ==M\:

a{=

sr

(15)

Przy użyciu tak obliczonych spółczynników otrzymujemy Ba; i By w decy

metrach.

Wartości 20-6265 sin (a)/ i —20-6265 cos (a)/, t. zw. spółczynników kierunkowych na odległość jednego kilometra można znaleść w * dziele Jor dana Handbuch d. Yermessungskunde w dodatku tomu I-go (1920), na stronach [10]-tej i [ll]-tej.

Ponieważ Jordan podał je dla kierunków zewnętrznych, należy tam podane znaki zmienić na przeciwne.

Z równań normalnych kształtu

(16)

[paa]    d x+[pab] 6 y -f [pal]=0

[pab]    d x+[pbb] d y -f [pbl]=0

otrzymamy obie niewiadome dx i dy.

Jednostkowy błąd średni kierunku określa wzór:

-v

[Pdd]

n—2

• [Por. następny ustęp c)\

(17)

Dla wyznaczenia błędów średnich niewiadomych, układamy równania wag (w kształcie zredukowanym):

[paa] Q\.\Jr[pab] Qi.₂=1 [paa] Q\.₂+[pab] Q₂.₂=0 [pbb. 1] Q₂.2 = 1,

oraz błąd średni położenia punktu:

(21)

W zacytowanych poprzednio instrukcjach pomiarowych: polskiej i austrjackiej, obowiązującej dotychczas w Małopolsce, oznaczono

[paa]=av [pab]=b„ [pbb]=b₂,

[paa] ’

(20)

1]

z których wyznaczamy spółczynniki Qi.i i Q₂.2,

Q-2.2

Qi.i

[P bb\

[paa]

[p&6.1]

a następnie błędy średnie spółrzędnych.

$2.2

[pbb]

[paa][pó&.l]

P()Y$2.2 —    pj?

[pbb] [pab]=B [pab] [paa] ¹

przeto [pbb .l]=b₁ .B] wzory na błędy średnie spółrzędnych mają w obec tego kształt następuj ący:

u,

Spółrzędne wyrównane punktu P otrzymujemy, dodając do spółrzędnych przybliżonych x' i y' poprawki óx i óy, zatem

fly

[Ax Py

b2

(21)

x=x'-\-óx, y—y'-\-óy.

Kontrole rachunkowe, omawiane w § 3-cim rozdz.) IY-go na str. 80.—83. (a przynajmniej najniezbędniejsze z nich), powinne znaleśó zastosowanie w ciągu rachunku.

[pdd] możemy skontrolować albo wzorem:

(22)

[p óó]=[pll.%], lub: [pdó]=[pll]-\-[pal] dx-\-[pbl]óy,

(ostatni wzór patrz (4) § 3. rozdz. IY-go, str. 82.).

O ile wagi spostrzeżeń są równe, t. z. zastosowano przy pomiarach kierunkowych tę samą ilość seryj s i nawiązano się do tej samej ilości m punktów stałych, można je przyjąć równe jedności bez uszczerbku rachunku; natomiast jedn. błąd średni [x₀ będzie miał wówczas znaczenie inne, jak też i wartość inną.

Me będzie to już błąd średni kierunku, obserwowanego w obu położeniach lunety (z jednej serji), lecz błąd średni kierunków, użytych przy wyrównywaniu zatem błąd średni kierunku, otrzymany przy pomiarze w s

spółrzędnych; serjach przy nawiązaniu się do m punktów stałych.

Wartość tego błędu będzie oczywiście odpowiednio mniejszą niż wartość błędu średniego omawianego poprzednio.

Przy wyznaczaniu spółrzędnych mniej ważnych punktów rzędu IY. można pominąć wagi kierunków wcinających, o ile nawiązano je do kilku kierunków stałych. M p. przy nawiązaniu kierunku wcinającego do trzech kierunków stałych otrzymujemy bez uwzględnienia ilości dokonanych seryj wagę -|=0-75, przy nawiązaniu do kierunków czterech A=O80, zaś do kierunków pięciu -|=0⁻83. Wynikające z przyjęcia wag równych różnice spółrzędnych są przy krótkich celowych dla punktów podrzędniejszych bez praktycznego znaczenia.

c) Wzór ścisły na błąd średni jednostkowy.

* * * Błąd średni jednostkowy fi₀ obliczamy w praktyce wedle wzoru (17) ustępu b).

[w—jrrr

Aczkolwiek używany w praktyce, nie jest on jednak ścisłym; nie należy bowiem zapominać, że właściwe równania błędów mają kształt podany wzorem (4) ust. a).

, otrzy-

Wprowadzając do rachunku wartość przybliżoną z₀

mamy powyższe związki (dotyczące na każdym punkcie stałym kierunków zewnętrznych) w kształcie następującym:

= — óz+(a)x —Kx —2₀=—dz+V &₂ = — óz+(a)₂ —K₂ —z^—óz+l./

(23)

— Ó~ -f" (®)m P-m — Ó Z~\~lm

d-p=-\-apdx-\-bpóy—óz+(d)p'—Kp—z₀= -\-apóx+bpdy—óz+lp

przyczem ze względu na kierunki zewnętrzne:

n sin (a)/

,, cos (a)pf

(24)

Cif) — Q

Związków podanych wzorem (28) mamy m + 1 dla każdego punktu stałego, z którego dokonaliśmy wcięcia p. P, przyczem m odpowiada ilości kierunków stałych, więc dla punktu stałego I-go będziemy mieli mj + l? dla Ii-go m₂ +1 równań i t. d.

W całym tym systemie równań błędów o liczbie ńK będziemy mieli [w] równań dla kierunków stałych i n równań dla kierunków do punktu P, zatem N=[m\-\-n; zaś niewiadomemi będą óx, óy punktu P, oraz tyle różnych óz, z ilu stanowisk wcięliśmy p. P, zatem n.

Stosując do równań błędów, zestawionych we wzorze (23), metodę rugowania niewiadomych wprost z równań błędów przy pomocy wag ujemnych, podaną w § 3-cim rozdz. Yll-go (str. 170.), otrzymamy dla każdego stanowiska m+2 równań, z których bierzemy do dalszego rachunku tylko dwa ostatnie (jako zawierające niewiadome óx i óy):

z wagą 1

A=apóx+bpdy+[l']+lp „    „

przyczem [l'] oznacza sumę poszczególnych l' od lx' do lm' włącznie, która równa się zeru, albowiem [P]=[(«)—ńT]”⁴—m

■9-p'=apóx+bpóy + ln

Sp'

=0.

(25)

Pary równań błędów, ustawione w podobny sposób dla wszystkich punktów stałych, dostarczają nam tych samych równań normalnych, jak poprzednio (por. wzór (12)), mianowicie (przy przyjęciu, że poszczególnym d• odpowiadają wagi =1):

m-\-1

aa

óx-\-

m+1

ab ó y 4-

iw + 1

al

(26)

ab

ó oc-\-

m+1

bb óy+

m+1

bl

- *)•

m+1

Chociaż równania normalne wypadły przy użyciu obu sposobów jednakowe, otrzymamy jednak inne wzory na błędy średnie.

Wzór na jednostkowy błąd średni, uwzględniający tak pomiary kierunków stałych jak i kierunków wyznaczających punkt P (a zatem ściślejszy od wzoru (17), ma kształt ogólny:

_7i *

(N = ilości wszystkich kierunków, n+2= ilości niewiadomych). Ponieważ N=[m]-\-n, przeto N—⁽ż—n=[m\—2, a

Po' =

(27)

(27*)

Sumę [##] można przekształcić przy pomocy wzoru (4) § 3-go rozdz. lY-go {[p d6]=[pal]x-\-[pbl]y-{-.. .-{-[pil]) następująco (przyczem trzeba uwzględnić w sumie [pil] tak poszczególne l' jak i l):

to

Ą óx+[£k    T], ( 8)

lub [$■#]=£

M+1

al]ÓX + [w+l bl\dV+[l'l'] + \-rn+i¹¹ } <²⁸*>

Wzór (27*) wyprowadziliśmy pod założeniem, że poszczególnym & przysługiwały wagi =1; o ileby dokonano pomiaru każdego kierunku w s serjach, należy sumę [##] pomnożyć przez liczbę s.

Porównując wzór (27) z wzorem (17):

Po

-i

[pM]

n—2

*) O ile z pewnego punktu stałego wcięto v punktów Pv P₂. . . ,PV) będą miały spółczynniki równań normalnych (26) kształt

m-f-v—1

aaj i t. d., względnie trzeba przy obliczaniu spółczynników równań (16) uwzględnić wagi m-}-v—1

p =—"_l_y—• W praktyce postępujemy tak z reguły tylko przy zagadnieniu opisanem w § 8-mym.

należy zauważyć, że

lub ponieważ p,■=

m-

mt+1*

będzie w następstwie:

[p<W]=[

wi+1

al

j <5 2+ J

bl

M**i4

(29)

m-J-l

Oba wzory (27*) i (17) różnią się zatem tem, że w pierwszym są uwzględnione wszystkie kierunki, tak do punktów stałych jak i do punktu P, w drugim zaś tylko te ostatnie (odwrócone o ±180°).

Pierwszy wzór ma znaczenie teoretyczne, jako wzór ścisły, drugi bywa używany id praktyce, jako określający dokładność kierunków, użytych bezpośrednio do wcięcia punktu P. * * *

§ 3. Przykład wyrównania wcinania wprzód.

W celu wyznaczenia spółrzędnych punktu 8 (półn. wieżyczki willi Sanato) w Zakopanem, wcięto go z czterech punktów o znanych spółrzędnych, mianowicie pp. 8, p. tr. 22, p. tr. IX i p. tr. 7.

Spółrzędne tych punktów są:

x₈ = 53692-50, a;₂₂ = 52788-70, *ix= 55191-70,-®₇ = 53153-22 yg = 296286-65, y₂₂ = 297018-84,    296793-34, y₇ = 298125-96.

Dla uzyskania kierunków wcinających, zestawiono spostrzeżenia K oraz wyrównania stacyjne na każdym z tych punktów w następujących czterech zestawieniach.

Stanowisko p. p. 8.

{a)-K

(o)

K₀

Gwt. f p. tr. II

—5"-3 + 5"-3

0°00'00"

196°44'27"

248°55,13//

28°53,32//-2

28°53/42,,-7

28°53/32//-2

225°38/09//-7

28°53/37/'-5

225°38/04/,-5

277°48'50"-5

= 28°53'37"-5

^=37-5, *₀

Stanowisko p. tr. 22.

(a)—K

(«)

Ko

Gwt. f

0⁰00'00"

17°54,52,,*7

17°54,52/'-7

17°54'52,/-7

0"*0

295°26,41"

313°21'33"-7

Dr. K. Weigel. Bachunek wyrównawczy.

16

42"*0, z₀= 270⁰43'42"*0.

Wszystkie tu wymienione punkty należą prócz wyznaczanego punktu S do sieci IY-rzędnej.

Po wyznaczeniu spółrzędnych przybliżonych punktu S w naszym przypadku z obu trójkątów IX, S, 8 i 22, S, IX (zazwyczaj wyznaczamy je, rozwiązując tylko jeden trójkąt), a mianowicie:

#' = 53728*64 m, y' = 296023*45 m,

Stanowisko p. tr. IX.

(a)-K

0°00'00"    1 53°37'00"*2 153°37'00"*2 153°37'00"*1 —0"*1

t208°14'47"*l 223°04'38"*1 + 0"*1

Ghlb. f

S 54°37'47"

p. tr. 2    69°27r38,/    153°37'00"*0 223'04'38"*0

[(a)—K] 0"*2

0"*1, so=153o37'00"*l.

Stanowisko p. tr. 7.

(a)-K

(«)

K. p.$

p.tr.YIII

0<>00'00" . 14°34'53" 43°44'19"

270°43'43"*4

270°43'40"*6

270°43'43"*4

314°27'59"*6

270°43'42"*0

285°18'35"*0

314⁰28'01"*0

—1"*4

+ 1"*4

przystępujemy do obliczenia azymutów przybliżonych (o)' oraz spółczynników równań błędów a, b i l, przyczem przemieniamy kierunki zewnętrzne na wewnętrzne. Obliczenie to (Nr. 1) przedstawia się dla punktów 8 i S następująco.

pp. 8

y₈ = 296286*65 y^= 296023*45

#8 = 53692*50 #s=53728*64

Ig Ay= 2*4202859 lg J#= 1*5579881 n

Nr 1

y&—ys=Ay= +263*20 Ax-\-Ay— +227*06

x₈—xs=Ax=— 36*14 lg tg 9=0*8622978

® = 82°10'53"*8 97°49'06"*2 277°49'06"*2

Ax—Ay— —299*34

(a)⁽s.8=

(&)'8.s—

pp. 8

lg sin 9 = 9*9959 lg cos 9=9*1336

lga= 2*8850 lg 6=2*0237

lg (4#+4y) = 2*3561406 lg (4#—-4y)=2*4761648 w

Nr 1

compl lg s= 7*5756 lg p = 5*3144 lg s=2*4244

a— +767*4 6=+ 105*6 (a znak Ay, b zn. przeciwny jak Ax)

lg tg (6 = 9*8799758 (j/ = 37°10'53"*8 (<*)&*+45°= 142°49'06"*2 (kontrola).

W analogiczny sposób obliczamy spółczynniki a i ó, azymuty pozorne, oraz odległości, odnoszące się do resztujących kierunków.

Dalszy rachunek przeprowadzimy przy pomocy schematów, zalecanych przez poprzednio zacytowane przepisy pomiarowe (polskie i austr.).

Punkt

K₀±:1S0⁰

*-(«)'-

(ir„±180°)

pp. 8.

p. tr. 22 p. tr. IX p. tr. 7

4-767-4 4-109-5 4- 60-0 4- 91-3

4-105-6 4-103-4 — 111-7 4- 25-0

97°49'06//,7

133°21'31"-8

28°14,46"*5

105°18'21"-8

97°48/50//-5

133°21,33/^7

28°14,47//-1

i05°i8'35"-o

-fl5"-7

l"-9

— 0"-6 —13"-2

paa

pab

pal

pbb

pbl

S»|t4> w|te tolh* C»|bS

892601

5995

2400

5557

54025

5661

4468

8032

104

24

7434

5346

8318

1105

98

45

1522

— 803

417

220

2    406554

56740

7101

21515

4- 832

=ai

=h

oraz

s₁ = —(a₁ + b₁-\-l₁)== —470395 s₂ = — (bx 4- &₂ 4- g = _ 79087.

Wprowadzając do rachunku wielkości:

[pbb]    [pab]    &₂    &

[pab]    [paa]    b± ai

——— =S, otrzymamy w dalszych schematach:

B,

[pbl] [pal] l₂ \

[pab] [pad] b₁ al

pil

8(«) + Z

+    2-28    164-33    3-46

—    2-78    1-81    3-86

—    3 06    0-24    6-24

— 14-65 116-16 143-08

282-54 156-64

3-85132 0-28126 — 2

2-13258

2-92012

0-06918—2

0-98930

log h log 8 x log Z, 8 x

«8a;+&8w

= 8 (a)

bly

«8a;

5-67246 n —14;66 +1-24 —13*42 +15-7 4-89811 n — 2-09 +1-21 — 0-88 — 1-9

0-06334 w — 1-15 —1-31

2-46 — 0-6

0*14422 n| — 1-74 +0-29 — 1-45 —13-2

= 8"-8

156-64

4—2

0-94693

log

log8y

2-37694

0-68976—1

0-98023—2

log (a₀

—    i log \

—    ł log B

log Y-y

-1-15703

-1-39385

0-57239—1

0-78942 — 1

(kontr.)

±0+96 m Z₂By= +    9-76 [ [p 8o]=

+0-022 m [pll]= +282-54 j =156-6

lt 8 a:= —135-70)

0-34204—2

+ ł!og^

• log V-x

V*-¹)

Yx

Ys= 296023-45 + 0-01 = 296023-46+0-10 m Xs= 53728-64—0-02 = 53728-62 ±0-02 m Ys~^Iyx‘^    4:0*098 tn.

-0-23682

7-64804

0-00445

oT* CO* 60⁻* | 6 0O,|fCr'

0-01466

Logarytmy:

3-85132

2-92012

8-24220

8-16623

7-44871

iH <N i-l 1 W IN I -J-łO * <»* ""i    (5 I** !■© "H

4-75389

4-33274

9-14477

9-57885

9-37952

8-06918

Liczby:

0-01747 -1-0-01466

—0-00281 S

Ba; —0-01911

log -A 8 y

bi

i**

0-13956

0-37918

+ 0-23962 + 0-01173

7-21395

0-00164

0-01747

TI6I0-0—FS

5-60912

4-75389

(log8«)= —

log '-L 8 y

ai

T»

ai

(+s,,+iłU

V«i «i/

(drugie równ. normalne)

0 Wzory te odpowiadają poprzednio wy prowadzony na wzorom, zestawionym pod (20) w § 2-gim.

(pierwsze równ. normalne)

Chcąc wyznaczyć błąd średni p,/ wedle wzoru ścisłego (27*), należy uwzględnić jeszcze [Ż,Z/], oraz zmienić mianownik na [tn]—2. Obliczenie |a₀' możemy przeprowadzić w sposób dwojaki.

Ponieważ [W] wynosi wedle schematów stacyjnych:

[l'l')= 2 X 5-3²+2 x0-l²+2 x 1*4²=60’12, przeto [33']=[pa?]B;r+[i)&?]8y+[pW] + [^/]=156-6 + 60-l2 = 216-72.

Drugi sposób wyznaczenia [33] polega na wyznaczeniu wartości poszczególnych 3 dla każdej stacji.

Dodając związki objęte wzorem (28) i dzieląc je przez +1, otrzymujemy w obec tego, że [/'] jest dla każdej stacji równą zeru, niewiadome orjentacyjne

dla każdej stacji: o z;

Ui.s

£ x-\

rrii+l

Wj + 1

Znając wartości Be dla każdej stacji, obliczamy poszczególne 3 wedle wzorów: 3ijt=Pf.jS;—8 2; (dla kier. nawiązujących) runko w wcinających).

oraz

3j.s—ml8 Zi; (dla kie-

Zatem: 8 si

2-28

—=0-76, 8z₂

2-78

1-39, Be₃

3-06

1-02,

8z₄

14-65

4-88 ,

a w następstwie wartości 3, zestawione stacjami są:

—0-1 + 1-02=+0-92 + 0-1 + 1-02= + 1-12 —2 x 1"02 = — 2-04

—1-4+4-88= +3-48 + 1-4 + 4-88=+6-28 —2x4-88 = — 9*76

— 5-3—0*76= —6*06    +1-39

+ 5-3—0-76= +4-54    —1-39

+ 2x0-76 = + 1-52

Sumy kwadratów błędów, zestawione dla poszczególnych stacyj, są:

0-846 1-254 4-162

2=0.

^=0.

36-724

20-612

2-310

1-932

1-932

12-110

39-438

95-258

59-646 +    3-864 +    5-202 + 147-806 = 216-58=[33]

z wystarczającą zgodnością z poprzedniem obliczeniem.

=±6"-6,

' [33]

W-2

-i / 216-6

V 7=2

[m] ilość kierunków do punktów stałych.

§ 4. Wyrównanie wcinania wstecz.

Przy zagadnieniu wcinania wstecz punktu P wykonujemy pomiary kierunkowe względnie kątowe teodolitem (ew. przyrządem uniwersalnym), ustawionym w punkcie P.

Ustalone temi pomiarami trzy kierunki do punktów stałych wyznaczają jednoznacznie położenie punktu P względem trzech punktów stałych, do których celowano, (o ile wszystkie cztery punkty nie leżą obwodzie tegosamego koła, t. zn. niebezpiecznego).

Ustalenie kierunków w liczbie większej jak trzy powoduje wyrównanie.

na

Równania błędów odnoszą się do kierunków wewnętrznych (z punktu P do punktów stałych), a jako niewiadome występują poprawki spółrzędnych punktu P: dx, dy oraz niewiadoma orjentacyjna óz.

Przedewszystkiem należy dla przybliżonego zorjentowania kierunków pomierzonych wyznaczyć spółrzędne przybliżone xy' punktu P przy pomocy trzech najkorzystniej do tego nadających się kierunków.

Po obliczeniu spółrzędnych przybliżonych punktu P,

następnie

i przybliżonych azymutów kierunku z punktu P do punktów stałych, orjentujemy kierunki pomierzone, skręcając je tak, aby przynajmniej jeden z nich był zgodny z odpowiadającym mu azymutem (przybliżonym).

W przypadku użycia do tego celu kierunku, przy pomocy którego wyznaczono poprzednio x' i y', będą oczywiście 3 kierunki zgodne z odpowiadaj ącemi. im azymutami.

Skręt ten odpowiada kątowi

ZQ=(a)h —Kh

(1)

przy użyciu do orjentacji kierunku (P—H); dodając zatem z₀ do wszystkich innych kierunków K, otrzymamy kierunki zorjentowane w przybliżeniu

(K)i=Ki+z₀.

W ten sposób przeprowadzona orjentacja kierunków jest jednak tylko przybliżoną; właściwą (P'₀)i uzyskalibyśmy, skręcając poszczególne kierunki o skręt z, zatem

(2)

(2*)

(ńT₀)i== Ki+z=Ki+z₀ + ó z = (k₀)i+ó z.

Aby kierunki (2T₀)i, obarczone błędami spostrzeżeń Ki, odpowiadały wyrównanym pozornym azymutom (a)i} należy je poprawić o błędy pozorne di) w obec czego równania błędów przybiorą kształt następujący:

di=(a)— (2T₀ )i = (a)i - (kQ )<— ó s,

(3)

przyczem (a)i~ę arc tang

y~yP

Xi—Xp

Przekształcając wzór (8) analogicznie, jak to miało miejsce przy wcinaniu wprzód, otrzymamy:

ói= aióxJrbió y—óz+li,

(4)

przyczem

u sin (a)/

, bi=-ę

u cos {d)i'

(5)

O/i— Q

wagi równań błędów (4) należy przyjąć równe jedności, o ile spostrzeżenia pochodzą z jednej serji. Wagi spostrzeżeń, dokonanych w s serjach, są równe s; ma to jednak wpływ tylko na wielkość błędu średniego p₀ bez zmiany błędów px i fir

W praktyce przyjmuje się zazwyczaj przy pomiarach, dokonanych w s serjach pełnych, również wagi równe jedności; chcąc otrzymać wła-

Si'

ściwą wartość jednostkowego błędu średniego (t. zn. dla jednej serji) należy otrzymaną wartość na fi₀ pomnożyć przez ^s¹).

Z równań błędów, odpowiadających n kierunkom do punktów stałych =a₁ óx+b₁ óy-óz-\-lx d₂ = a₂ óx-\-b₂ óy—óz+l₂

Pi = l ^2 + 1

(4)

ón=anóx+bnóy—óz+ln

Pn= 1

o sumie: [ó]=[d\óx-\-[b]óy—ndz+[l\ rugujemy niewiadomą óz przy pomocy równania sum, podzielonego przez liczbę spostrzeżeń.

Ponieważ [ad]==[6 d]=[c d]=0 (jako równania normalne), zaś w obec ci — c2~ —cn=—1 jest [cd]=—[d]=0, przeto i

(6)

92    92    Tl    Tl

Odejmując równanie (6) od poszczególnych równań błędów, otrzymujemy zatem równania błędów zredukowane:

(7)

ó' = {a'-l^)óx+{b'-ln)óy+l W Ól = (a2 — ^')°Z+ (*2—    Óy + h

[n)iy + L~[n

które, kładąc ai—^=Ai, 6,—®=2?f, l— ~=L;, możemy napisać we

92    Tl    Tl

formie uproszczonej :

dj =A^ óx-{-B₁ óy-\-Lx óx+B₂

(7*)

ón=An óx+Bnóy + Ln

(wagi jak poprzednio =1).

Następnie tworzymy równania normalne niewiadomych óx i óy:

(8)

[AA]    óx+[AB]óy + [AZ]=0

[AB]    óx+[BB] óy+[BL]=0,

z których wyznaczamy óx i óy. Błąd średni jest tu ściśle

¹

Spółrzędne przybliżone xp' i yP' obliczamy z dwu kierunków wyznaczających najkorzystniej punkt P, (t. j. z celowych niezbyt długich i mniej więcej prostopadłych do siebie).

#.-y

ze względu na 3 niewiadome.

b Por. uwagi końcowe ustępu b) § 2-go.

O ile spostrzeżeń dokonano w s serjach pełnych, zmienia się błąd

średni na

,ls[dd] ] n-3

M;s-

(9*)

Następnie wyznaczamy na podstawie równań wag (por. wzory (18)

i (19) § (2)-go):

Py=

Q-2.2

[BB. 1]

Qi.i—

[BB]

[AA]

Q2.2

[BB]

[AA][BB.iy

(10)

t*x

[AA][BB. 1]    *][AAj

[BB]

, (11) '

(12)

Jeżeli kierunkom K przysługują wagi różne, natenczas należy do wyrugowania niewiadomej — 6 z użyć zamiast równania (6), równania następującego:

[pó] [pa] t [pb] [P] [P]    ‘ J>]

(13)

dy~dz+w\

Spółczynniki równań błędów zredukowanych mają wtedy znaczenie:

Ai=

[pb\

m.

Li=k

Bi—bi--r—y

[p]

zaś równania normalne dla wyznaczenia óx i óy są:

[pAA] dx-{-[p AB] dyĄ-[pAL]=Q [p AB]dx-\-[p BB]dy+[pBL]=0. Błąd średni jednostkowy obliczymy z wzoru :

[P]

[P]

(14)

l/[P **]

V n-3

(15)

zaś błędy średnie spółrzędnych z wzorów :

Upbb.i)’

[lx — Hy

[pBB]

[pAA]’

a wreszcie:

(16)

(17)

Przyjęcie różnych wag kierunków jest konieczne (z wyjątkiem, gdy chodzi o wyznaczenie podrzędnych punktów IV-rzędnych), o ile pomiary kierunków przeprowadzono serjami częściowemi (niezupełnemi).

Po przeprowadzeniu ścisłego wyrównania stacyjnego wedle wskazówek, podanych w § 6-tym b) rozdz. IX-go, wyznacza się wagi kierunków metodą Helmerta, opisaną w § 6-tym c) rozdz. IX-go.

,    f j) ddl    ,    \

Wzór (15) p₀=—-—A określa nam wówczas jednostkowy błąd średni n—o    \

kierunku, mierzonego w obu położeniach lunety.

(m- ^9)4.+(^- m) iy+M- Ło

(19)

Wyrugowanie niewiadomej orientacyjnej —3 z można także przeprowadzić metodą, podaną w § 3-cim rozdz. VII-go. Do n równań błędów, w których opuszczamy niewiadomą —3z, kształtu:

3i,, = al3x+bi3y-{-li należy wtedy dołączyć n-j-1 równanie

A"=[a[óz + [b\óy+[ą

z wagą 1

(18)

z wagą —— •

Równania normalne, odpowiadające temu systemowi błędów:

są identyczne z równaniami, zestawionemi we wzorze (8). I tak

[AA)Ą(a*-[c^y[aa}-2^-

W²

-A, =[aa\— nl L J n

[AB}=[ab]

w²

=[“*]

[<*][*]

i t. d.

O ile równaniom błędów odpowiadają wagi różne, należy, zestawiając je z opuszczeniem niewiadomej —3 z, dodać do nich ra+1 równanie 1

[P]

z wagą —

Tak utworzony system równań błędów będzie zawierał n równań

kształtu:

i n-f-1 równanie:

3i" = at3x+bi3y + li z wagą p{

A"=[pa] 3z+[p b] 3y-{-[pl] z wagą —

(18*)

[P]

Równania normalne dla tego systemu są identyczne z zestawionemi pod (14), gdyż w obu przypadkach otrzymujemy zgodnie:

(,___i M²

MM

[.V]

[pa][pb]

[pab]~ MMj«5y + {[pal]--M

+{[pbb]J^yy+{[pbi}--TlĄ

[pb][pl\

H'

(19*)

§ 5. Przykład wyrównania wcinania wstecz¹).

Dla wyznaczenia spółrzędnych p. 58-go, spostrzeżono z tego punktu 5 kierunków do punktów stałych: 2, 15, 16, 4 i 1, należących do sieci tryang. IV-rzędnej.

J) Przykład ten wzięto z instrukcji polig. austr. „Instruktion z. Ausf. d. trigon. und polygon. Vermessungena, Wiedeń 1904. str. 110 i 111, wzór XI b.

Wyniki średnie spostrzeżeń:

Spółrzędne punktów stałych: x₂ = — 111178-68, y₂ =-20272-86 a;l5 = —110873*76,    y₁₅ = —18722-27

#₁₆= —111044-47,    y₁₆=—18152-68

xk = —111354-16, xx — —112370-96, y ₄ = —18755-73.

K₂ =    0° 00'05"

Z₁₅ = 80°23'03"

Z₁₆ = 120°47'30"

— 17784-32

Z₄ =146°40/56//

=245° 53/23//

Do wyznaczenia spółrzędnych przybliżonych x' i y' punktu 53-go użyto kierunków do p. 2-go, 16-go i 1-go, uzyskując:

y' = —18834-72.

x'——111643*57,

Dalszy rachunek przeprowadzimy we formie nieco skróconej.

tg O)

,_Ay₌yi—?/o

Ax Xi—x₀

lS

Ay

sin (a)'

Ig

Ax

cos (a)

7 = ¹gs/

k₀=Ki+z

— 1438-14

15

+ 464-89 + 112-45

287°54'50"

3-1794

287°54'50//

16

+ 769-81 + 682-04

8°18'39"

2-8910

8°18,18//

+ 599-10 + 1050-40

48°42'15//

2-9580

48°42/15"

+ 289-41 +    78-99

74°35/45//

3-0372

74°35/41//

727-39

173°48/08//

2-8643

173°48,08//

Dla uzyskania poszczególnych &₀, skręcono cały pęk promieni o z₀ =287°54/45'/ = (a)'p.2—Z₂ = 287°54/50/’/—0°00'05".

Następnie oblicza się w sposób analogiczny, jak to miało miejsce przy wcinaniu wprzód (§ 3-ci), spółczynniki równań błędów a, b, l, które redukujemy na +, B i L.

rH

O) lO CD    H

14

a=p'>W b=_

s'

s'

Z=(a)'—A —

— 129-8 + 38-3 + 170-7 + 182-5 + 30-4 + 292-1

—    42-0

—262-3

—    150-0

+ 21

50-3

+ 280-3 — 224-3

+ 25

5-4

5-0

5-0

1-0

5-0

0-0

+ 58-4

— 44-9

Schemat dla utworzenia spółczynnikówT równań normalnych przedstawia się:

AA

AB

AL

BB

BL

LL

+ 35419 + 404    + 4370

+ 12611    —11803

+ 15401 +    784

15

+ 25 + 256 + 25 + 1 + 25

+ 64916    —17755    + 73    +164101    —4588    +332

Rozwiązanie równań normalnych:

+ 64916

[B

— 17755

-0*27349

[M]

0-27349 X 0-0287= +0-0079

[B

+    73

[AL]

[^]

+ 0-00113

—0-0011

8 x — + 0-0068

B]

R.l]

[B

+ 164101

—4855-8

+ 159245-2

[B

4588

+ 20-0

4568-0

[BL. 1]

[BBA]

0-02869    8y=+0-0287

L]

L-1]

L. 2]

[B

+    332

0-08

331-92

— 131-06

200-86

Spółrzędne wyrównane punktu 53-go są:

a:₅3 = —111643-57 + 0-01= —111643-56 y₅₃ = — 18834-72 + 0-03=— 18834-69.

O ile zależy nam na wyznaczeniu niewiadomej orientacyjnej 80, wyznaczamy ją z równania normalnego (pierwszego):

(por. zw. (6) § 4-go)

n    n    n

8 s=58-4 x 0-0068—44-9 x 0-0287 + 5-0=4/,-ll.

Sumę [83] można wyznaczyć bezpośrednio albo z równań błędów zredukowanych, lub z pierwotnych; aby w tym drugim przypadku nie obliczać 8z, przeprowadzamy pozorną redukcję spółczynników równań pierwotnych. Oba te sposoby zestawiliśmy na str. 252.

0*89    (\LL. 2]= 200-86 kontr.)

[3 (a)]

Alx Bly L 3

a 3a?    63y

a8a; + 63w = 3 (a)

3 (a)

PM] L

33

2 —1-28 +0-08 - 5-6-20 -0-88 -1*21 15 -0-14 -6-24 +16+9-62 +0-26 --7-53 161+0-76 -3 02 -    —7-26 +1-16 -4-31

4 j+0-84 -0-15 —    —0-31 +1-24 -1-44

1 —0-19 +9-33 —    +4-14 +0-21 +8-04

-2-09

-7-27

-3-15

-0-20

+8-25

-1-20

-6-38

-2-26

+0-69

+9-14

+16

-6-20

+9-62

-7-26

-0-31

+4-14

38-44

92-54

52-71

010

17-14

£ -0-01 0-00 0 -0 01

-4*46

-o-oi

0 —0-01 200-93

$2.2

[BB. 1]

i/ ^ _V²⁰⁰~⁹³

^ yw-3 )    2

= ±10-"0

2>

0-0000063, $1.1

[BB]

[AA]

to

164101

0-0000063 = 0-0000159.

64916

y*x = P-V$i.i=±10-0 x 0-0040=±0-040w, ^=p.Y$2.2=±10-0 X 0,0025=-ł-0,025 m,

h>3 = YfAa:² + ^²==t0-047 m.

Przeprowadzając wyrównanie metodą podaną w § 4-tym, objaśnioną wzorami (18), (18*), (19) i (19*), otrzymamy jako równania błędów (por. zw. (18)): 3₂" = — 129-83z— 42-0 3 y .

. p= 1

3₁₆"= + 38-33a:—262-3 3^+21 3₁₆" = + 170-7 3 a?—150-0 3 y 8₄" = +182-5 3a;— 50-33y + 4 S/' =+ 30-4 3 a:+280-3 Sy .

A" = +292-1 3 a:—224-3 3y+25 p= — i.

(dostatecznie zgodne z poprzedniemi), zaś

.Równania normalne, odpowiadające związkom objętym wzorem (19), są: + 64619 3 a;— 17754Sy+    72 = 0

—17754 8s+164101 3y—4588 = 0 niewiadome nie różnią się od poprzednio wyznaczonych:

3 x= +0-0068,    3 y=+0-0287.

Sumę kwadratów błędów utworzyiny z uwzględnieniem odpowiednich wag;

a zatem

a 3 a:

bly

3"

p 3" 3"

1.0

O rH O O

2-09

+ 13-73

3-15

+ 3-80 + 8-25

+ 1-99    —6-45    +25

+ 20-54

TT

— 84-38

/_    A',2\

l nw )

\"2

[p S//S/,/]———

(zgodność dostateczna- z rachunkiem poprzednim).

- Dalszy rachunek identyczny jak przy metodzie pierwszej.

f 200-92

§ 6. Wcinanie obustronne (skombinowane).

Jeżeli dla wyznaczenia położenia punktu P użyto kierunków zewnętrznych i wewnętrznych, a więc obustronnych, będziemy mieli przy wyrównaniu równania błędów dwojakiego rodzaju: dla kierunków zewnętrznych i wewnętrznych.

a) Postępowanie używane w praktyce przy wyznaczaniu punktów mniej ważnych.

Po wyznaczeniu spółrzędnych przybliżonych %' i y' punktu P, ustawiamy równania błędów dla kierunków zewnętrznych, przemienionych przez dodanie do nich względnie odjęcie od nich kąta 180° ¹).

Dla w ten sposób przemienionych kierunków zewnętrznych w ilości nz otrzymamy nz równań błędów kształtu:

ÓS=aidx-\rbidy+li' z wagą pi

»¹,•+1

przyczem di=Q" ^    g."—, li=(a\—(K₀Az 180°)

Si    Si

(1)

a nii oznacza ilość kierunków stałych, użytych przy nawiązaniu. (Por. wzory (9¹), (10), (11), (11¹) i (13) § 2-go).

Równania błędów w ilości nv. odnoszące się do kierunków wewnętrznych (właściwych, t. j. wciętych wstecz) mają wedle wzoru (4) § 4-go kształt

ói=aióx-ł-bióy—ó z+li z wagą =1

(2)

przyczem li=(a)j—(&₀)i, zaś at i b{ mają znaczenie jak wyżej.

równania

Po wyrugowaniu z równań (2) niewiadomej —6 z przy pomocy

nw nw nw    nw

otrzymamy n=nz+nw równań błędów o niewiadomych óx i óy, a mianowicie nz równań kształtu:

(3)

Tfti

ói'=aióx+bi^y-ł-li, z wagą

wii+1

i nw równań kształtu:

* (4)

di=Aidx+Bióy+Li z wagą =1,

przyczem A t= a{——, Bi=bi— —

Ttuo    ^w

Li=li—— •

nw

Równania normalne możemy utworzyć albo dla wszystkich równań (4) naraz, albo lepiej osobno dla każdej grupy równań ns i nw osobno, a wyniki razem zesumować.

Pierwsza grupa dostarcza nam równań normalnych:

zaś druga :

[paa] dx-\- [pab] ó x -f- [pal']=0 [pab\ ó x+[pbb]ó y+[/?&/']=(),

[AA] dx+[AB]dy+[AL]=0

[AB) dx+[BB\óy+[BL}= 0,

a obie razem:

(5)

([paa] -f [AA]) ó x+([ pab] -f [AJB]) ó y+[ pal'] 4- [AL].=0 {[pab]+[AB]) óx+{[pbb]+[BB]) ó ij+[pbl'] + [BL\=0.

O ile kierunkom wewnętrznym przysługują wagi różne, należy użyć przy rugowaniu niewiadomej — ós równania (13) § 4-go, spółczynniki drugiej grupy równań normalhych będą wówczas zawierały odpowiednie wagi.

Jednostkowy błąd średni należy obliczyć wedle wzoru:

(6)

Po

T I[PÓ'Ó'] + [ÓÓ]

V n-s a to ze względu na trzy niewiadome dx, óy i ós.

(Niewiadome orjentacyjne kierunków zewnętrznych odpadają, gdyż wzór (6) odnosi się tylko do kierunków, użytych do wcięcia punktu P. Wzór ścisły na fi₀ podajemy poniżej przy omawianiu sposobu b).

Dalsze szczegółowe omawianie toku wyrównania jest zbyteczne.

Po wyznaczeniu spółczynników Qi.i i Qz.2 z równań wag, utworzo-rzonych na wzór równań normalnych (5), obliczamy

Py=PoiQ-22, Px=Po⁾iQi.U a następnie i fiP='ipx²+Py²-

fiy i fix można wyznaczyć bez rozwiązywania równań wag przy pomocy wzorów, urobionych analogicznie jak (20) § 2-go i (16) § 4-go.

W praktyce przyjmują często wagi kierunków zewnętrznych równe \ przy nawiązaniu do kierunków: od 1-go do 4-rech, natomiast równe 1, gdy nawiązanie nastąpiło do więcej kierunków.

b) Wyrównanie ścisłe. Postępowanie nadające się przy wyznaczaniu punktów ważniejszych.

* * ^ Przyjmijmy dla uproszczenia, że wagi kierunków zewnętrznych jak i wewnętrznych, wynikające z pomiarów, są równe jedności.

ł) Przepisy pomiarowe polskie, austr. i niemieckie podają jako mianownik wyrażenia pod pierwiastkiem »—2; przyjęcie to nie wytrzymuje krytyki, jak to wykazano w rozprawie: Dr. K. Weigel „Zur Berecłmung des mittl. Fehlers einer beobacht. Richtung beim Einschn. u. Einscbal. von Punkten“, austr. Zeitschr. f. Vermessungs-wesen. 1912. W osta,tniem wydaniu Handb. d. Vermessungskunde Jordana z r. 1920 str. 418. uwzględniono pow. uwagi.

Wedle uwag § 2-go c) możemy przedstawić wpływ kierunków zewnętrznych (nieprzemienionych) na wyrównanie punktu P, ustawiając dla każdego stanowiska zewnętrznego dwa równania błędów kształtu przedstawionego wzorem (25) § 2-go.

Oznaczając spółczynniki tych równań wedle stanowisk zewnętrznych, otrzymamy n. p. dla stanowiska I:

ói, = aióx-l^bióy->rli, z wagą =1

Ai,=aióx+bidy+li' „    „

Pi'= —

(7)

jeżeli z punktu I nawiązano się do do m* punktów stałych.

Dla nz stanowisk zewnętrznych będziemy mieli zatem 2 nw równań błędów, przyczem należy pamiętać, że liczba wyrugowanych — d z wynosi nz. Dla uniknięcia pomyłek, podajemy znaczenie spółczynników równ. (7):

„ cos (ay

8/

Kierunki wewnętrzne w liczbie nw dostarczą nam wedle wzoru (18) § 4-go nw-\-1 równań kształtu

ai=—Q

„sin (ay

Si'

» li' {d)i (-Ko)**

liczba: nv>-\-1

di" = ai" óx + bi" óy + li" z wagą =1

(8)

A"=[a"]óx+[b"]óy+[ln] „    „

p" =

nw

//_

„cos (ay

, li"=(ay-(k₀)i.

przyczem a"= +£

Równania normalne, utworzone dla każdego stanowiska zewnętrznego osobno i odpowiednio zesumowane, a zatem dla wszystkich nz kierunków zewnętrznych są (por. wzór 26) § 2-go):

s/

Si'

wi-f-1

óx+

wi+1

ab

al'

(9)

ra+1

óx+

m-\-l

bb

Mi5i

bV

zaś dla nz kierunków wewnętrznych (wedle wzoru (19) § 4-go):

fiy+{a"in]

yy+[b"l"}

{[a" a"]

nw

m w' j

min a

}(10)

W?/?

Ostateczne równania normalne dla wyznaczenia 3x i 3y otrzymujemy przez zesumowanie odpowiednich spółczynników obu równań (9)

i (10); a zatem

Ścisły wzór na jednostkowy błąd średni musi uwzględniać nietylko błędy kierunków, użytych dla wcięcia punktu P, ale także i błędy, popełnione przy spostrzeganiu kierunków stałych, których ilość na poszczególnych stanowiskach zewn. jest wedle poprzednio przyjętego oznaczenia: m1? m₂,... . i t. d., a zatem razem [m\.

W tym celu powróćmy do pierwotnych równań błędów na stanowiskach zewnętrznych.

Dla stanowiska I przedstawiają się te równania w sposób następujący: $i.i = — Ó0i+(a)i.i—Ki%\—z/

&i.2 =—3 Zi + (a)i'2—Ki'2—Zi

óx i t. d.

= — ÓZi + li.i

= —+ 4 2

= —dZi = lL

&i.p — — ózi~\-ai dx-\-bi óy-\-{a)i,pl—Ki,p—2/= —3 Zi+ai 3x+bi 3y+l'

&i.m— —3 Zi~\-(a)i,m—Ki,m—z^

(U)

(Zi' oznacza wielkość przybliżonego (średniego skrętu na stanowisku I, —3zi niew. orjentacyjną; aby uniknąć zbyt zawikłanych oznaczeń, przyjęto ilość kierunków stałych m zamiast jn;).

Znając po rozwiązaniu równań normalnych wartości na 3x i 3y, możemy wyznaczyć 3zi z równania, utworzonego przez zesumowanie równań wzoru (11) i podzielenie wyniku przez ilość równań. Zatem ze względu że (0>)i. 1 — Ki.\ -j- {d)i,2 —    • •

. . (a)i.m Ki.m

---=Zi ,

(12)

liA + li.2 + .... +/i.to = 0,

a w następstwie otrzymamy (jako pierwsze równanie normalne):

da; 4

bi

m+1

3y-\

k'

m+1

(13)

(14)

a ztąd:

3»i

3x 4

m+1

<5^4

li'

-.— •

m-fl

(15)

m 4-1

Wstawiając tę wartość na 3zi do równań, zestawionych we wzorze (11), otrzymamy:

3x 4

bi

& i. 2

w 4-1

“łu-(5^I6xĄ

JW+1

3y 4

m+1

bi

m4-l

3y+

U'

m+1

It.m ^

da;4

bi

U'

&i.P

m+1

m+1    m+1 ^    m+1

^05; 3 x+bi 3 y 4- l/^.

Oznaczając snmę kwadratów wszystkich #, uzyskanych w ten sposób dla wszystkich stanowisk zewnętrznych przez [#$], otrzymamy z uwagi, że ilość wszystkich kierunków spostrzeganych N—[m\-\-nz-\-n jednostkowy błąd średni:

wzór na

A" 2

A"²

N— (2 + 1+w,)

[m\+nw— 3

(17)

A"¹

- odpowiada sumie [«5<5], zawartej we wzorze (6).

nw

Dalszy rachunek, jako analogiczny do przeprowadzonych poprzednio, nie wymaga bliższych objaśnień. * * *

§ 7. Przykład obustronnego wyrównania.

Jako przykład podajemy wyrównanie punktu I w Zakopanem.

oraz p. tr. 8.

Spółrzędne wymienionych punktów, należących do sieci IY-rzędnej, są:

Punkt ten wcięto wprzód ze stanowiska p. tr. 8, nawiązując się do kierunków (p. tr. 8—j* Gwt.) oraz (p. tr. 8 — f Gb.), i wstecz, celując do punktów f Gb.

j* Gb. (Krzyż na Gubałówce)

298386-68

51949-70

f Gwt. (Giewont) p. tr. 8

298759-74    295529-13

58173-92    54288-92

"Wyrównanie stacyjne na stanowisku p. tr. 8 :

Celowe do p.:

{a)-K

(«)

K₀=K+z₀

f Gwt. f Gb.

0°00'00"

89°33'39"

344°10'20"

39044/44//

39°44'38"

39044/44//

129°18'17"

39044/41//

129°18'20"

23°55/01//

[(a) — K]. . .1'22"

:2 = 41// waga kierunku (p. tr. 8—I) jest -J. z₀ = 39°44'41".

Kierunki wewnętrzne, spostrzegane na stanowisku p. tr. 8, są:

0°00/00,/

f Gwt. f Gb. p. tr. 8

93°17'04" 163°05'02".

Dla uzyskania spółrzędnych przybliżonych punktu I-go, rozwiązano trójkąt p. tr. 8—I—f Gb., otrzymując:

£' = 5459069, y' = 295662-97.

Przy pomocy spółrzędnych przybliżonych obliczono następnie azymuty (pozorne) przybliżone]:

(a)/IfGwt=40°50'05"-6, (a)'i, Gb= 134°07'01"-7 i (a)'I>8 =203°55'05"-l jak też i spółczynniki poszczególnych równań błędów, zestawione poniżej w schemacie.

(Obliczenie spółczynników przeprowadzono w sposób identyczny jak przy poprzednich przykładach w § 3-cim i § 5-tym).

Orjentację kierunku zewnętrznego (p. tr. 8—I) uzyskano przy wyrównaniu stacyjnem na punkcie tr. 8-mym.

Kierunki wewnętrzne zorjentowano, skręcając je o kąt 203°55/05,/-l — 163°05,02/,-0—40°50'03//-l (kierunek 3-ci).

Przy tworzeniu spółczynników równań normalnych zmieniono kierunek zewnętrzny o ±180°.

Równania błędów.

Kierunki zewnętrzne (przemienione o ±180°)

Punkt

(«)'

K₀dtl8O°

(a)'-(*„±

±180°)

p. tr. 8

—253-3

+571-1

203°55'05"-l

203°55'01"-0

+4//-I

Kierunki wewnętrzne

l"=

Punkt

zreduk.

zreduk.

(<?)'

K    TCq—:KĄ-Zq

zreduk.

+    +

fG-wt. 28-5 90 4 +    +

f Grb. 39-0 100-9

//

//

225-0 1    40⁰50'05"-6 OWOO" 40°50'03"-l +2*5 +3*5

154-2 1 134°07'0l"-7    93°17'04" 134°07'07"-1 -5-4 —44

p.tr. 8 253-31914 571-1 879-1 1 203°55'05"-1 163c03'02" 203°55'05"-l O-O +10

185-8 -0-1 575-9 -01

=203°55'05,/-l—163°03,02"-0 =40⁰50'03"-1

OS CO

-10

*l£

m₌

61-9 — 192-0 n

Następnie tworzymy spółczynniki równań normalnych, oznaczając je [pAA\ [pAB\ i t. d.

Spółczynniki równań normalnych :

pAA

pAB

pAL

pBB

pBL

pLL

l-H (M CO

96440

20340

15559

+ 42774 + 8172 + 10181 + 86634    — 72560

—    693    +217438

+ 316    + 50625

_ 444    + 23778

—    191    +143717

+ 1561    +11-21

— 788    +12-25

+ 678    +19-38

+ 379    + 1-00

S +97761    —204899    —1012    +435558    +1830    +43-82

Dla kontroli można było utworzyć wyrazy    [p-BS¹] i t. d. i wpro

wadzić je do późniejszego rachunku, co jednak pominięto, aby nie powiększać materjału rachunkowego.

Schemat rozwiązania równań normalnych:

4- 97761

— 204899

[PAB]

1012

[pAA]

[pAJĄ

[pAA]

2-09592

= -0-01035

2-09592 X 0-04767 = 0- 09991

0-01035

§ x— + 0⁻l 10 m

B]

BA]

[pB

4-435558

—429451-9

4-6106-1

[PL

4-    1830

2121-1

291-1

[pBL. 1]

[pBB. 1]

0-04767 8y= +0-048 m

L]

L.1]

L. 2]

[pL

10-47

+ 33-35

13-88

+ 19-47

4- 43-82

yi=295662-97 + 0-05 = 295663-02,    ^=54590-694-0-11 = 54590-80.

Obliczenie błędów średnich.

a%x

bly

b (a)' = a%x+b 3 y

zreduk.

h=L—o(a)' p p§b

H IM B5 i I w

—    27-929 4-27-224 4- 3-142 — 1-573 + 4-300 4- 1*802

—    27-929 4-27-224

—0-71

4-1-57

4-6-10

—0-71

--4-4-1

2    4-6-96

0-00 4-0-1 4-0-1

2-32

19-72 (kontrola 19-47)

-tr

= _4-4'/-42

$2.2

435558

= 0-000730.

0-000163, $i.i=

97761x6106-1

ja* = 4-42^0-00073 = ±0-119 w, [a2/=4-42'\/0-000163 = ±0-057 m P-p = V ² + ^2/² = ± ⁰'13 2

6106-1

m.

Aby wyznaczyć wartość błędu średniego, obliczonego wedle wzoru ścisłego (z uwzględnieniem kierunków nawiązania), napiszemy wedle wzoru (15) § 6-go str. 256 :

3-39

f 1-"13.

m+1 ^"^m + 1    + l m+1

Błędy pozorne kierunków zewnętrznych otrzymamy zatem wedle związków wzoru (16) § 6-go :

¹

Przemiana kierunków zewnętrznych nie jest konieczną; przeprowadza się ją dla ujednostajnienia znaków spółczynników oj i ii, zatem tylko dla uniknięcia ewent. pomyłek. (Por. przytoczone poprzednio przepisy pomiarowe polskie i austr.).

33

3— l-13= + l-87 3₂ = —3—1*13 =—4*13 |X3-39=+2-26

3-50

17-06

5-11

2=0-00 2 = 25-67

Dodając do [33]=25-67 kwadraty błędów pozornych (zreduk.) kierunków wewnętrznych:

7-56+ 0-38+4-12= 12-06, otrzymamy {(17) § 6}:

iv=y

25-67 + 12-06

- 2 + 3—3

+ 4"-34.

§ 8. Wyrównanie przy równoczesnem wyznaczeniu spólrzędnych kilku punktów. (Wyrównanie sieci wypełniających).

Przy wyrównaniu spólrzędnych kilku punktów postępujemy po-podobnie, jak to miało miejsce przy * wyrównaniu spólrzędnych jednego punktu.

Ilość punktów wyznaczanych P, R, S,... niech będzie v. Na ilość wszystkich kierunków spostrzeganych N składają się tu również kierunki stałe i do wyznaczanych punktów na stanowiskach zewnętrznych: [m]+nz, oraz kierunki wewnętrzne na v stanowiskach wewnętrznych : nlv. Te ostatnie tworzą także dwie grupy, z których jedna obejmuje kierunki do punktów stałych, zaś druga do punktów wyznaczanych.

Kształt równań błędów dla kierunków stałych i zewnętrznych będzie zatem dla stanowiska (zewn.) / następujący:

ilość rrii

tfi.l = —ÓZi + li &i. 2 = —d 2j + £₂

ilość Vi

^i.m    Ć Z{ + łm

&i.p~—dZi-\-cii pd xp-\-bi'P dyp-\-l'i

&i.r = —d Zi + di.ró xr + bi.rdy,. + l'i ,r

&i.s——dzi+ai.s ó xs+bi.s d ya+l't .s

■p

rH

przyczem óxp, dyp są poprawki spólrzędnych przybliżonych punktu P, dxr, dyr punktu R, zaś dxs, óys punktu S.

Równania błędów dla kierunków wewnętrznych w ilości nj dla stanowiska (wewn.) P wraz z dodanem do nich (nw' -f- l)-wszem równaniem

(sumy) o wadze p"

ó"p.i=apA óxp+ bpA d yp

d p.2^¹ dp'2 d Xp-}- bp ^ó yp

przedstawią się: nw

+ l"pA -\-l"p.2

ilość n

p.r

o — cip.r <5 Xp “(~ bp,r ó yp    &p.r d xr bptT d yr ,

ó"

A" = [a\dxp+ [b]dyp—ap.ró xr—bp.róyr—ap,só xs—bp,ad ys-\-[ln] ostatnie równanie z wagą p"

p.s

dp.s d Xp “j⁻ bps d yp

dp.s ó xs bp.s dys-\-l p S ^ ^

nj

(Przez dodanie ostatniego równania z wagą p"

liśmy z powyższych nj równań błędów niewiadomą orjentacyjną — dzp na stanowisku P. Znaczenie poszczególnych spółczynników a i b objaśnia wzór (5*) § 1-go).

W podobny sposób rugujemy z równań (1) niewiadomą dz*, przy-czem m pierwszych równań, jako niezawierających po wyrugowaniu niewiadomych, odpada.

Do dalszego rachunku pozostają zatem na stanowisku (zewn.) / następujące równania:

b*i.p ⁼⁼ ai.p d Xp -f- bj'p d yp Ó'i.r =

Ó'i.s =

+ ai.róxr+bLrdyr

nw

wyrugowa-

iloŚĆ V;

• JrQi.sdxsJrbi'SdysĄ-l'i.s

A' —ai.pó XpJrbi.p óyp+aóxr+bLrdyr+audxs-{-bu óys+[l'\ ostatnie równanie z wagą p'=

(3)

nti-\-Vi

——— pochodzi ztąd, że ilość wszystkich kierunków mi+Vi

(Waga p'

zewnętrznych na stanowisku I wynosi

Wzorując się na równaniach objętych wzorem (2), ustawiamy równania błędów dla wszystkich stanowisk zewnętrznych; dla wszystkich v stanowisk wewnętrznych układamy równania błędów wedle Wzoru (3).

Dla utrzymania przejrzystości rachunku najlepiej utworzyć równania normalne dla każdego stanowiska osobno, a następnie złączyć je w jeden system równań normalnych przez dodanie do siebie odpowiednich wyrazów poszczególnych systemów ¹).

i) Obacz przykład, podany dla ustawiania ostatecznych równań błędów przy końcu § 9-go.

Postępowanie to objaśnimy na następującym przykładzie. Przypuśćmy, że ilość stanowisk wewnętrznych wynosi 4, t. j. I, II, III, IY, zaś ilość stanowisk wewnętrznych (punktów wyznaczanych) 2, t. j. P i R.

Napiszmy pierwsze równania normalne dla każdego z tych 6-ciu punktów, w sposób następuj ący: dla p. I: [AxAi\óxp+[AiBi\óyp+

(4)

+[J₄Ck] ó xr-\-[A!iDli] d yr-\-[AiiL^\—0

„ „ II: [^₂^₂](5a;₁₎+[^₂5₂]dyJ,+[4₂ai](5arr-l-[4₂Z)₂]dyr+[4₂L₂]=0 „ „III: [AzA^ÓTpĄ^AzB^dyp+lAzC^dTr+lAzD^óyr+lAzL^b » » IV:

„ „ P: [ApAp] <5xp-\-[ApBp]óyp-\-[Ap Cp\ ó xr-\-[ApDI\ óyr-sr[ApLp\=0 ■n -n P; [ArAĄ óxp-\-\ArBĄ óyp-\-\Ar CĄ dxrĄ-\Ar DĄ6yr-\-[ArLĄ=01 to pierwsze równanie normalne dla systemu całego będzie:

(5)

[AA\dxp+[AB\dyp+[AC]dxr+[AD]dyr+[AL\=0, przyczem [AA]=[AiAi]+AtA₂]+[AsAs]+ . +[ApAp]+[ArAr], zaś [AB],

[AC], [AD] i [AL] są utworzone w sposób analogiczny.

Z równań normalnych, utworzonych w ten sposób, uzyskujemy poprawki spółrzędnych punktów wyznaczanych P, R, 8,. .. .

Jednostkowy błąd średni możemy wyznaczyć przy pomocy dwu wzorów, z których każdy ma inne znaczenie, a więc także i inną wartość.

Jeżeli użyjemy przy wyznaczaniu błędu średniego tylko kierunków wcinających, a więc kierunków zewnętrznych i wewnętrznych, wyznaczających bezpośrednio położenie punktów P, R, S,...., otrzymamy wzór

\A"²1

|_ Wj, J

5

(6)

n—3 v

przyczem n=nz+nW) t. j. sumie wszystkich kierunków spostrzeganych z wyłączeniem kierunków stałych [:m], zaś poszczególne pi dla każdego kierunku zewnętrznego obliczamy wedle wzoru:

(7)

)•

mi+Vi—1

nti+Vi

mi+Vi

Jeśli zatem na stanowisku I nawiązaliśmy się do m,i=4 kierunków stałych, a prócz tego spostrzegliśmy dwa kierunki zewnętrzne do punktów wyznaczanych, będzie waga owych kierunków:

Pi— 1

(O ile zamiast ó" użyjemy d, określonych wzorem (4) § 6-go, odpada

wyraz

we wzorze (6)).

I niezawśze można spostrzegać kierunki do wszystkich v punktów wyznaczanych.

ł) Waga pi wynika z dodania do równań (3) równania A'— .... z wa-przyczem v* opatrzyliśmy wskaźnikiem i ze względu, źe ze stanowiska

Powyższy wzór na p bywa zazwyczaj stosowany w praktyce, choć wzór scisły musi uwzględniać także błędy, popełnione przy spostrzeganiu kierunków stałych.

Jeśli ilość wszystkich spostrzeżeń jest iVr=[w] + n=[w2] + w₃ + Mi/,, punktów stałych czyli stanowisk zewn. S, wzór ścisły na jednostkowy błąd średni przedstawia się :

(8)

P"²1

UJ.

JST—3v—8

(Na ilość niewiadomych składają się po 3 niewiadome dla p. wyznaczanych, oraz S niewiadomych orj. na stanowiskach zewnętrznych).

Wyrażenie [p 6'd"]— -I

L J

, znajdujące się we wzorze (6)

można obliczyć także z redukcji [LL\, utworzonej dla ostatecznego kształtu równań normalnych.

Ponieważ ilość niewiadomych tych równań wynosi (po poprzednim wyrugowaniu wszystkich niewiadomych orjentacyjnych) 2 v, przeto tyle razy należy przeprowadzić redukcję wyrazu [LL].

Ostatecznie będzie zatem

(9)

[p ó'd'] + [<S"<S"] - [^1 = [LL. (2 *)].

L IV iv j

Sumy, potrzebne dla obliczenia błędu p', wyznaczymy w sposób podany w § 6-tym h).

Po znalezieniu wartości poszczególnych d xp, óyp, óxr, Syr, óxs, óys, obliczamy niewiadome orjentacyjne każdego stanowiska zewnętrznego.

Na stanowisku I otrzymamy zatem dla wyznaczenia niewiadomej ózi równanie następujące (por. równ. (1)):

[»];;”+»,-.P+di.,+3v..+ -.-

mi+Vi

0=—ó»i-\

&i.p

mi 4- vi

dxpĄ

hi

■V

nti+Pi

óyP+

6 QCr +

hi. r

6yA—a%\* -dxs+

hi.

\n

mii + Vi

mi+Vi

. (10)

rnii+Pi

Suma [Z]=0 ze względu na przeprowadzoną poprzednio orjentację przybliżoną. [Por. (12) i (13) § 6 bj].

Po znalezieniu wartości niewiadomej ds,, wyznaczamy z rownan (1) poszczególne & na stanowisku I.

W analogiczny sposób uzyskujemy poszczególne # dla wszystkich stacyj zewnętrznych, z których tworzymy sumę [##].

d"²

[<5"d"J-—

•*w

wyznaczamy z równań (2).

Wzory wyprowadzone powyżej odnoszą się do przypadku, gdy wagi wszystkich kierunków przyjęto na wstępie równe jedności.

O ile spostrzegano kierunki serjami pełnemi, lub gdy zamiast kierunków wykonano pomiary kątowe we wszystkich kombinacjach (wedle metody Schreibera), przyjmujemy przy przeprowadzaniu wyrównania wagi równe jedności, natomiast jeśli jedn. błąd średni ma się odnosić do jednego pomiaru kierunku, należy błąd fi₀₁ uzyskany rachunkiem, pomnożyć przez pierwiastek właściwej wagi. N. p. przy pomiarach w s serjach pełnych przez "\s.

Jeżeli z jakichkolwiek słusznych powodów musiano przyjąć dla poszczególnych kierunków wagi różne (n. p. z powodu spostrzegania kierunków serjami częściowe mi), — należy wedle uwag § 3-go rozdz. Yll-go

przyjąć

[P"] ^'ak°    ostatniego równania błędów (2), zaś —

jako wagę A' ostatniego równania błędów (3), o ile wagi kierunków wewnętrznych były pp₂".. ..., zaś zewnętrznych pp₂'... .

W przypadku pomiarów kątoiuych w różnych kombinacjach lepiej nie stosować powyżej opisanej metody wyrównania spółrzędnych, lecz albo postąpić wedle wskazówek § 3-go rozdz. Yl-go, t. j. ustawić dla każdego stanowiska system równoważny spostrzeżeń i spostrzeżenia te, jako niezależne wprowadzić do dalszego wyrównania sieci tryangulacyjnej, opisanego w rozdziale następnym, albo po ułożeniu warunków sieci wraz z warunkami stacyjnemi, przejść na wyrównanie spostrzeżeń pośrednich sposobem, opisanym w § 2-gim rozdz. Y-go.

Wybór metody zależy od tego, która z nich wymaga mniej pracy rachunkowej.

Chcąc wyznaczyć błędy średnie niewiadomych, należy utworzyć (z ostatecznych równań normalnych) równania wag, które dostarczą nam wartości spółczynników: Qi.i, Qi. 2,    $2 2> Q2a> • • • i t. d.

Błędy śr. spółrzędnych punktów P, R, S,. . . będą wówczas określone

wzorami:

(.Px)p²⁼⁼Po² Ql.ll {Py)pi==Po^ $2.2j (Px)r²~Po² Qs.3) (Py)r²⁼⁼Po² QiAj

(Px)s²⁼⁼ Pq² Qs.t>} (Py)s² — Po² $6.6). • •

(U)

zaś dla obliczenia błędów śr. wyznaczenia poszczególnych punktów, uży-jemy wzorów:

Pp²=(Px)p² + (Py)p\ Pr²=(Px)r² + (Py)r%, P.²= (Px)*²+{Py)*²-

(12)

Błędy śr. odległości punktów obliczamy jako błędy funkcji niewiadomych wedle wzorów (16) lub (25) § 8-go rozdz. IY-go.

Jako wzór przybliżony, wystarczający zazwyczaj dla praktyki, podaję:

Pr^ + Ps²

Pp.r²

Pp.s²

Pp²+Ps²

Pr.s²

i t. d.

(13)

Ze względu na oszczędność miejsca nie podajemy przykładu liczbowego, odsyłając czytelników do dzieł, podających je w formie przystępnej x) i ustępu ostatniego § 9-go.

§ 9. Zredukowane równania błędów w zastosowaniu do metody wyrównania spółrzędnych. (Zred. równ. Schreibera).

bardzo wielkie zastosowanie

Metoda wyrównania spółrzędnych ma przy tryangulacji państwowej.

Jak już wspomnieliśmy poprzednio, używamy jej prawie wyłącznie przy wyznaczaniu punktów rzędu Iii-go i IY-go, bardzo często przy wyrównywaniu spółrzędnych punktów rzędu Ii-go, a także niekiedy, gdy wyrównanie dotyczy punktów rzędu I-go.

Aby zmniejszyć nakład pracy, spowodowanej wielką ilością równań błędów, ustawił Schreiber 6 twierdzeń, dla układania zredukowanych równań błędów, których treść da się także ująć w 3 względnie 5 ciu regułach, podających wskazówki dla niejako mechanicznego tworzenia równań błędów.

Twierdzenie I.

Jeżeli niewiadoma óz znajduje się we wszystkich n równaniach bł. kształtu:

dŁ=— <5 z-j- ax ó x+b\d y +... z wagą=1

można je zastąpić (n+l) równaniami bŁ, wolnemi od niewiadomej d z, kształtu:

<J₁, = a₁<S*+&₁dy+...+J₁ z wagą =1

dn=—óz+anóx-\- bndy+...

ón' = andx+bnóy + ...+ln » A=[a]óxĄ-[b]dy-\-...-\-[l]n,    „

Równanie normalne dla późniejszego (t. j., gdy się zna dx i óy)

wyznaczenia ó z, opiewa :

0= —n d z+[a] ó x-\-[b\ ó y+...+[7].

Twierdzenie II.

Równania błędów, różniące się ze sobą tylko wyrazami wolnemi i wagami, kształtu: d₁=adx+bdy+ .. .+lx z wagą pi

można zastąpić przez jedno o wyglądzie :

J=adz+ódy-K.+^zwagą=|>].

Pm

dn=adx-\-bóy.. • 4-

i) Jordan. Handb. d. Yerm. tom I 1920 a) sposób mniej ścisły (używany często w praktyce) str. 432-441, b) sposób ścisły str. 445-448; dla punktów IY-rzędnych: Wellisch. Th. u. Prax. d. Ausgl. t. II 1910 str. 120-130 (wedle instr. pomiar, austr.).

Twierdzenie III.

można zastąpić równaniem:

Równanie błędów: óx=adx+b óy+...+lx z wagą=jt?,    A=raóx-\-rbdy+...+rl z wagą=

r'l‘

Twierdzenie IY.

z wagą = 1

= 1,

O ile niewiadoma óz znajduje się tylko w dwu równ. kształtu: <?! = —ó z

d₂ = —dz+aóx+bóyJr...Jt-l „

można oba te równania zastąpić jednem, uwolnieniem od niewiad. óz: A=a ó x~\~b óy ~\-l z wagą = -|-.

Twierdzenie Y.

równoważy równanie zastępcze:

A=:^adx-\-^b dy    zw.—

Dwa równania bł., różniące się między sobą tylko wyrazami wolnemi, kształtu : dx = aóx-{-bdyJr...Jrli z wagą =1

d₂ = aóx+b dy-ł-...+l₂

Twierdzenie YI.

=v₂,

z wagą

1-5

iH Ico

Jeśli w szeregu równań błędów znajdują się dwa, z których jedno różni się tern od drugiego, że prócz innego wyrazu wolnego odpowiada mu waga = r/₂ (przy-czem reszta wag = 1):

Ó₁ = adxJrbóy-\-...+li z wagą =1 ó₂ = a ó x-\- b ó y +... +l₂

zastępujemy owe dwa równania błędów jednem:

A=Qaóx-\-Q bdy-\-...-\-5Ll\ l2 z wagą

(Twierdzenie to wynika z twierdz. Il-go i Ill-go; wedle Ii-go: jest

A' = a d x+b ó y+.

= 1*6, a mnożąc je przez 3, otrzymamy wedle Iii-go: A=3ad x-\-+ 3 b <5y+... + 2/₁ +Z₂ z wagą —

-)•

Wszystkie tu przytoczone twierdzenia opierają się na rozumowaniu, przeprowadzonem w § 3-cim rozdz. YH-go, względnie można je wyprowadzić, stosując zasady równoważnych systemów równań błędów.

Aby ułatwić ustawianie równań błędów, podał Schreiber 3, względnie 5 reguł, które są właściwie tylko ścislemi, o ile na stanowiskach stałych nawiązano się wyłącznie do jednego kierunku stałego.

Łatwo jednak można wykazać, że reguły te są, biorąc rzecz praktycznie, do użycia i w przypadkach nawiązania się do kilku kierunków stałych.

Reguła I.

Równania błędów d* i ó₂, odpowiadające kierunkom przeciwnym, dostarczają jednego równania bł.:

4=^+^ z wagą =|, (porówn. twierdz. Y-te)

cemu

na:

z wyjątkiem, gdy lub d₂ odpowiadają jedynemu kierunkowi wcinają-stanowiska stałego; jeżeli n. p. d₂ odpowiada jedynemu kierunkowi wcinającemu, zamienia się reguła I

Regułę I aj.

"Wzory ścisłe, których należałoby właściwie użyć dla określenia wag kierunków zewnętrznych przy nawiązaniu się do m kierunków stałych, są:

mĄ-v—l

fyyi

P=* m+T {⁽⁹*} § 2_g°    1 pĄ

Wzór pierwszy ma zastosowanie, gdy na stanowisku stałem zmierzono prócz m kierunków stałych tylko jeden kierunek wcinający (t. zn. do punktu wyznaczanego), drugi, gdy pomierzono v kierunków wcinających; wzór pierwszy jest zatem zawarty w ogólniejszym wzorze drugim, o ile v—l.

m+v

{(7) § 8-go}.

Przyjmując, że w praktyce nawiązujemy się przeciętnie do dwu kierunków stałych, otrzymamy następujące wagi dla kierunków zewnętrznych (dla m= 1, =2, i =3, oraz v=l, =2, =3):

m=ęl

m= 1

m= 3

p=\=0'75 p₌3=0*75, p=|=0-80 p=i=0-80, ^=|=083.

v=l, p=\—0-50, p= |=0-67, v=2, p=f=0-67, i>=3, p=f=0*75,

Dla uproszczenia przyjmuje Schreiber, zastosowując poprzednio podane twierdzenia równań błędów, wagę kierunku zewnętrznego =2‘} o ile v=l, zaś wagi kierunków zewnętrznych =1, o ile v>l, co odpowiada w przybliżeniu powyższemu zestawieniu.

Reguły Schreiberowskie, oparte

na

tern założeniu, są następujące:

d=2df+ d₂ z wagą    (porówn. twierdz. Yl-te).

Reguła II.

Każdemu kierunkowi jednostronnemu (wzdłuz ktorego celowano tylko w jednym kier.) odpowiada, o ile V>1, równanie:

1 (porówn. poprzednie uwagi).

d1 = ...

Reguła II a).

O ile natomiast v— 1, t. j. kierunek ow jest jedynym kierunkiem wcinającym, zmienia się wzór poprzedni

z wagą -§•

z wagą

na:

(porówn. poprzednie uwagi).

¹    i,.

Reguła III.

Prócz tego należy dołączyć na każdej stacji o v kierunkach wcinających równanie (wynik, z twierdz. I-go) :

A=ói + d₂-(-d, + • • • • cl) z wagą = —

v~r 1

b) z wagą

waga —^ odnosi się do przypadku, gdy stanowisko stanowi jeden z punktów wyznaczanych, zatem gdy kierunki wcinające są wewnętrznemi; waga --—-, gdy stanowiskiem jest punkt stały, t. j., gdy kierunkami wci-

V-\-Ł

nającemi są kierunki zewnętrzne (w liczbie v).

Równanie dodatkowe (reg. III) odpada w tym drugim przypadku, gdy v=l, gttyż jest wówczas zawarte całkowicie w regule IIa).

Dla lepszej orjentacji podajemy następujący przykład, odpowiadający przykładowi liczbowemu, przytoczonemu w I-szym tomie Handb. f. Yermessungskunde Jordana 1920. § 109 str. 435 (kier. wewnętrzne) oraz § 111 str. 445 (kier. zewnętrzne).

12

zr

19 /

/4

20

<1

/5>

10

rl

8,

'6 )>17j

f f/8

15

Fig. 20.

Ogólna ilość spostrzeżeń wynosi 42, z tego przypada na stanowisko 6    kier.    wewnetrzn.

II

III.....1

2 kier. zewnętrzne i 5 kier. stałych 1 „ zewnętrzny i 8    „ stałe

VI.....2    „ zewnętrzne i 4    „    „

(Porównaj fig. 20; kierunki do punktów stałych oznaczono dla przejrzystości rysunku krótkiemi strzałkami).

Ze względu na opuszczenie równań błędów, odnoszących się do kierunków stałych, oraz wyrugowanie wszystkich niewiadomych orjentacujnych 8 z, należy wedle metody ścisłej, podanej w § 8-mym, ustawić pozostałe równania błędów, odnoszące się do kierunków wcinających, w sposób następujący :

IV

stanowisko P.

stanowisko P.

§1 -§2 “ §3 = §4 =

1,

1,

1,

§5 =

1,

^    =    ••    •••••• p -

+ §2 + §3 + §4 ~ł~§5 + §6J P~

1,

§7 = ••

§8 — • '

^9 = * '

§10= • '

§11 “ • '

Ar =8₇ 4-^8+§9+°₁₀"k§l₁» P~

P= 1 P= 1 P= 1 P = 1 P= ¹

_i

stanowisko I.

12“ • • • Aj = 8₁₂

(lub tylko :    ₂ = . . .

•P =

v=

/ lub f 8 I tylko: \ 8

stanowisko II.

§13= *......

§i 4 “••••;• •

Au = 8^ 0 -fi.8j ^, pz:=

! 3 =

14 =

,p =

).

p— -

stanowisko III.

stanowisko IV.

§15-

Am—

(lnb tylko :    ₅ =

§16”

O?

lO

łV

§17    ^

Aiv⁼⁼⁼ ®i 6 “k §17 > V ⁼⁼

P=

( Iub (

ltylko: \

*16 ” §17 =

•P =

p=

-a|05 -a|oi    h-*- h-L

stanowisko V.

§18= • • * Ay =§18 (lnb tylko: S₁₈ = . . .

I—*

(iub i

^tylko: \

stanowisko VI.

§19=.......

§20 ........

Ayi=S₁₉+B₂₀, p =

§19 =

§20 =

•P=

6

!■)

Natomiast stosując reguły Schreiberowskie, należy ustawić następujących 16 równań błędów (wolnych również, jak i poprzednie od niewiadomych orjen-tacyjnych):

a) równ. bł. kierunków spostrzeganych obustronnie jako: kierunki tylko wnętrzne, lub wewnętrzne i zewnętrzne lecz nie jedyne,

we-

§9

'10

'4

>17 P = »3 P = *19 P = >14 P =

>16 P = *20 P =

to|h-

(reguła I)

b) równ.~bł. kierunków spostrzeganych obustronnie jako: kier. wewn. i jedyne kierunki zewnętrzne,

² ^7 + ^15 2 8₁₁4-8i₂ p=£ 2 85 H~ g p—\-,

(reguła la)

c)    równ. bł. kierunków spostrzeganych

jednostronnie,

d)    równania dodatkowe dla kierunków wewnętrznych,

f §i “

l *13 =

_ i (reguła II)

— j

e) równania dodatkowe dla kierunków zewnętrznych.

+ $2 + 83 + $4 +^5+^6ł P——

87 +8a+§9+$₁₀ + &ii,

*13+*14 ‘    ⁸19+*20

*16+*17

p=—h (reguła Ilia)

—ł

p = —-Ł (reguła III b).

p=

§ 10. Dokładność wyznaczenia punktu. Elipsa błędu średniego.

Przy wszystkich wyrównaniach, omawianych w niniejszym rozdziale, określa nam dokładność wyznaczenia punktu P wzór (21) § 2-go b):

PP¹=pJ+Py¹

(przyczem px i py oznaczają błędy śr. spółrzędnych punktu "P).

Taksamo mają znaczenie ogólne wzory (11) § 8-go:

Px% = Ql.l Po¹, Py¹ = $2.2 Po¹.

O ile wyrównanie dotyczy tylko jednego punktu (wyrównywanego pojedynczo), a równania normalne mają kształt:

[paa\ dx+[pab] dyĄ- [pal]=0 [pab] <5 x+[pbb] dy-\-[pbl]=0,

można przedstawić Q\.\ i $2.2 we formie następującej (por. (20) § 2-go b)):

Q\.\=

[pbb] _[pbb]

Q-2.2=

[paa\[pbb. 1]~ a [paa] _[paa]

[paa] [pbb .1]    a '

przyczem a=[paa][pbb. l]=[paa][pbb]—[pab]*.

Przechodząc do błędów średnich spółrzędnych, otrzymamy w tym

przypadku

(2)

a błąd średni wyznaczenia punktu P będzie określony wzorem:

[paa]+[pbb]

pP

Po •

(3)'

Chcąc omówić wyczerpująco sprawę dokładności wyznaczenia punktów, należałoby, idąc za wzorem Helmerta*), rozpatrywać j ą ze stano-

ł) Helmert. Ausgleichungsrechn. n. d. M. d. kl. Qu. 1907 (wyd. 2-gie) str. 298—327, § 6. Partiell aąuiyalente Beobachtungsreihen. § 7. Fehlerelipsen.

wiska znacznie ogólniejszego, uwzględniając nietylko dowolną ilość niewiadomych, ale także dowolny sposób wyrównania (zgodny z zasadą teorji najmniejszych kwadratów), co jednak wymagałoby wprowadzenia nowych pojęć pomocniczych, jak również i dość wiele miejsca, które ze względu na ograniczone rozmiary całości, musi być zarezerwowane na inne partje, o większem znaczeniu praktycznem.

Z tych powodów ograniczymy dalsze wywody do przypadku wyrównania spółrzędnych punktu pojedynczego, jednym ze sposobów, podanych w §§: 2-gim, 4-tym lub 6-tym.

Nasamprzód zastanówmy się nad wpływem zmiany układu spółrz. na błędy pp, px i py.

O ile jest zupełnie jasnem, że przez równoległe przesunięcie osi układu nie nastąpi zmiana żadnego z błędów pp, fix i fiy) należy zbadać, czy sprawa ma się tak samo przy skręceniu układu spółrzędnych.

Po •

nr ,    , [paa]+[pbb]

Weźmy na uwagę fiP =-—--

Licznik [paa\-\-[pbb\ możemy ze względu na

cos (a),-

a>i— —

sin (d)i

q—-—

Si

bi=Q

Si

zastąpić

przez ę

₂ \p sin²(a)

s²

Hi

pcos*(a)l_ Ap 1

> \-Q Ud

: zatem

(4)

(5)

[paa]+[pW]=ę²^J.

Mianownik

o=[paa][pbb .l\=[paa\ [pbb]—[pab]²=

⁼ (7?iai²+i³2a2²+ • • * +PnOn*) (Plbl²+Pi V + • * * +Pnbn²) ~    1    (6)

— (Piai ^₁+j»2a2⁶2+- * * +PnUnbn)²J

po wykonaniu zaznaczonych działań otrzymamy zatem:

Pi « i² Pi bi² +Pi ai *Pz bi²+

Pi <*iPi K+P* at%P% V+

+Pi<h²Pnbn²

+p₂ a₂²Pn br?

+pnan²Pnbn²

—pnan²Pn b²

Pndn²Pibi2jrPnanlPibi2jr........

—pxax²pxb₁²—p₂a₂²p₂bi'Ł +........

—-2 px ax bxpz a₃ b₂—2p₂ a₂ b₂pz az ń₃ +

—2px ax bxpz az bz—2pz aib₂pliaibi-\-....

—%PiaibiPn aibŁ.................

a następnie, łącząc ze sobą odpowiednie wyrazy:

Th ² P2 V~² p₁ ax bx p₂ a₂ b₂ +p₂ a₂ ² px bx ²=px p₂ (ax b₂—a₂bx)2 Pi ai²Pz bz ²—%Pi ai biPz az bz +Pz az ²Pi bi ²=PiPz («i bz~azbi)²

p₁ ax²pnbn'l—%px ax bxpnanbn+pn a²px bx²=pxpn (ax bn—an bx) a w sposób analogiczny):

bO

Pz Pz (a2 bZ ®3 ^2) PzPk («2 bi~W

to

P2 Pn (®2 bn ®n b%)

Pn—1 Pn (fln—1 bn an bn—\) •

Biorąc na uwagę dowolny człon, n. p. o wskaźnikach i.k, przekształcimy go analogicznie jak poprzednio licznik wzoru (3):

—sin (a)i cos («)*+ sin (a)/c cos (a)i

Si. Sjc

Q² sin² {(a)*—(a)i}.

Poszczególne człony wzoru (8) są zatem zależne tylko od kątów, zawartych między poszczególnemi kierunkami, zaś niezależne od wielkości azymutów pozornych, t. j. od skręcenia układu spółrzędnych.

Na błąd średni wyznaczenia punktu

Pi Pk («i bu—au bi) =Pi pu q ² ^

PiPk

Si² sk²

fip—/t₀

[paa}-\-[pbb]

(9)

nie wpływa przeto zupełnie skręt układu spółrzędnych, t. zn., że pP, obliczony przy dowolnie przyjętym układzie osi spółrzędnych, pozostaje bez zmiany. Natomiast ze względu na związki:

„ 2_.. >[?““]_

Py — Po

Po

₂p²r sin² (a)j o 1/ s² J

(10)

cos²(a)] . T sin²(a)l

[p~\ 1

błędy spół-

wykazujące zależność fi£ i py od sum

rzędnych px i py są zależne od przyjęcia kierunków osi spółrzędnych, a tem-samem mogą byó i z reguły są w każdym kierunku inne, mimo że suma kwadratów błędów śr. dwu kierunków prostopadłych jest zawsze równa kwadratowi błędu średniego fip².

Aby znaleśó kierunki, w których błędy średnie osiągają swą największą i najmniejszą wartość, postąpimy w sposób następujący.

Przypuśćmy, że dla uzyskania pary błędów średnich spółrzędnych, składającej się z błędów najmniejszego i największego, trzeba obrać układ spółrzędnych, skręcony od poprzednio obranego o kąt cp.

Przez skręcenie układu spółrzędnych o kąt cp zmienimy poszczególne (a) na (a) + gp, zatem spółczynniki równań błędów przejdą na:

cos{ a)-{-cp\

sin \(a) + cp)

a' = —ę

a w następstwie zmienią się także i odpowiedne spółczynniki równań normalnych

, b'

)-

[pa'a']=()* sin² {(a)t + <p) + Ą sin2 \^ + ?} +

cos²(a)j sin²gp+J^-sin(a)cos(a)j sin 2 j [pa' a']—[paa] cos² cp -j- [ pbb] sin² cp+[pub] sin 2 cp]

[p^b^^fEL cos² {(o)t +    cos² {(a₂ + <jp} +......

\®1

|^sin²(a)J sin²ęp— j^-sin (a) cos (a) j sin2<jpj> [pb'b']—[pb^cos2, cp-\-[paa] sin ²cp—[pab] sin2 cp.

cos² cp-\-

cos² 90+

)-

(11)

(11*)

Natomiast, jak wykazano, jest a niezależne od skręcenia układu.

Pochodne obu związków (11) względem cp, przyrównane do zera, dostarczają nam równań: d[pa'a']

d cp

{[paa] — [pbb]\sin2 <p + 2[pa&] cos 2 <p=0

(12)

d[pb'b']

d cp

— {[paa\—[pbb]} sin 2 cp—2 [pab] cos 2 cp=0,

(12*)

z których obu wynika zgodnie:

tang 2 cp

2 [pab] [paa\—[pbb\

(13)

Równaniu temu odpowiadają dwie wartości kątów, t, j. cp i cp±90°. Oznaczając błędy średnie spółrzędnych w układzie, skręconym o kąt cp, przez fix' i py’, otrzymamy ze względu na związki (11):

{[paa\ sin² cp+[pbb] cos² cp—2 [pab] sin cp cos cp[ o o *

[pa'a/]_pg_ j[-paa] cos² cp+[pbb] sin² cp—2 [pab] sin cp cos cp}.

1+cos 2 cp

²=^₀

(14)

Biorąc na uwagę sin² cp

1—cos 2 cp

cos²ęp

(IB)

cos 2 90=(1+tang² 2 90) /a == |l -4-

4 [pab]

([paa]—[pbb])

([paa]-[pńft])²+4[pad]2 ([pad]—[pbb])*    ’

Dr. K. Weigel. Rachunek wyrównawczy.

18

otrzymamy po podstawieniu

V([paa]—[pbb])t+^[pab\l= W:

(16)

cos 2 (p=

[paa\—[pbb\

(17)

a następńie ze względu na równanie (13):

sin 2ęp

2 [pab]

(18)

Wstawiając te wartości do związków (15), uzyskamy

sin² (p

W— [paa]+[pbb]

cos *(p

W-\-[paa]—[pbb]

(19)

a rugując te wartości w równ. (14), po odpowiedniem uporządkowaniu wyrazów, ostatecznie:

Vx²=P o²

przyczem oczywiście px²-\-Pyi²=Pp²>

Przyjmując wartość W z równania (16) jako bezwzględną, otrzymujemy na podstawie równania (13) kąt gp, o który należałoby skręcić obraną oś z-ów, aby po wprowadzeniu jej do położenia z', uzyskać w kierunku tak otrzymanej osi najmniejszy błąd śr. px..

W praktyce przyjmujemy zazwyczaj jako oś z-ów kierunek, odpowiadający największemu błędowi średniemu. Aby znaleść kąt ^>=gp±90°, jaki ten kierunek zawiera z kierunkiem, przyjętym początkowo jako oś z-ów, należy ze względu, że 2xp—2 gp±180°, położyć:

[paa\-\-[pbb]— W

²=p₀

[paa]-\-[pbb]-\- W

2a

(20)

tang 2 xp

—2 [pab]

-{[paa\-[pbb]}’

(21)

przyczem właściwy kwadrat kąta 2 ip wynika ze znaków licznika i mianownika.

Po obliczeniu W z wzoru (z ewent. kontrolą):

W= +^{[paa]—[pbb§²-\-4:[pabY otrzymamy:

—2[pab\_ — [[paa]—[pbb]\

sin 2 tp

cos 2 tp

(22)

(w kierunku tp)

min —Po ²

[pqq]+[pft&]— W

(23)

2a

(w kierunku ^±90°).

Znając kąt tp, p dym kierunku przy pomocy związków:

i pmin, możemy wyznaczyć błędy średnie w każ-

sin² a

px²=f^²max cos² a+p Pyl=P\ax sin² a+p²min cos² a,

min

}    (24)

przyczem fix oznacza błąd śr. w kierunku, zawierającym z kierunkiem fimax kąt a, zaś fiy kąt a + 90°.

Na załączonej figurze przedstawia krzywa kreskowana, odpowiadająca równ. (24) t. zw. krzywą błędów średnich, powstałą wskutek naniesienia w każdym kierunku odpowiedniego błędu średniego.

max

[A

v\

Przyjmując początek układu spółrzędnych w punkcie P, a kierunek osi x-ów zgodny z kierunkiem fimax, określimy elipsą o półosiach fi i fimyn i środku spadającym z punktem P równaniem następuj ącem:

QC²

1. (25)

Z/' ma*

y ^min

Elipsa ta może nam również posłużyć do wyznaczenia błędu średniego w dowolnym kierunku a (licząc od osi fi wax), a to z powodu, że styczna do owej elipsy, poprowadzona pod kierunkiem 90°+a, odcina na prostopadłej , przechodzącej przez punkt P, odcinek równy błędowi średniemu w kierunku a.

W myśl tego twierdzenia przedstawia PC błąd średni w kierunku a, zaś PD błąd średni w kier. 90° -f- a. (Patrz fig. 21).

(-y;

p:

Fig. 21.

/'

ot

0*-*

CC*$Q*

77

(/

Elipsę tę nazywamy przeto elipsą błędu średniego.

Przedstawienie dokładności Wyznaczenia punktu przy pomocy elipsy bł. śr. ma tę wyższość nad równaniami (25), że dla narysowania elipsy potrzebną jest nam tylko znajomość kąta oraz obu półosi fimax i fi min, podczas, gdy krzywą błędów średnich trzeba wyznaczać na podstawie równania (24) punkt za punktem.

W praktyce poprzestajemy zatem tylko na wyznaczeniu (i ewent. narysowaniu w odpowiedniej skali) elipsy błędu średniego.

Prócz wymienionej elipsy możemy wyobrazić sobie nieskończoną ilość spółśrodko wy ch podobnych elips (o środku P) t. zw. elips błędów.

Rachunek prawdopodobieństwa, zastosowany do elips błędów, poucza nas, że każda elipsa błędu jest miejscem geometrycznem równoprawdo-podobnych położeń wyznaczanego punktu. Powiększając liniowo wymiary poprzednio wyznaczonej elipsy w stosunku 1:1*17741, otrzymamy t. zw. elipsą prawdopodobnego położenia punktu P; prawdopodobieństwo, że wyznaczony punkt leży wewnątrz pola tej elipsy jest takie same jak prawdopodobieństwo, że leży zewnątrz jej pola, a oba są równe ¹/₂.

Jestto t. zw. prawdobne położenie punktu P¹).

Zastosowując przytoczone powyżej wzory do przykładu, podanego w § 5-tym niniejszego rozdziału (str. 252), obliczymy nasamprzód

35508

tang 2 ^

— 2 [pdb]

= 0*356929

2^=19°38/34"*7, <{;=9⁰49'17"*4,

a następnie

2 [pab] [paa\— [pbb\ 35508

99482

sin 2 <1/

cos 2 ty

0*336158 0*941806

= 105629,

oraz

z=[paa][pbb.l]=[paa][pbb\ — [pab]²= 64619 x 164101— 17754*= 10288838003.

Wobec tego otrzymamy największy błąd średni w kierunku o azymucie

tp=9°49/17//*4,:

H¹ max—1^0

y [paa\+[pbb\+ W = 10.₀₂y

p*TOOS=± 10*02 x 0*0040= ±0*040 m,

64619 + 164101 + 105629

2x10288838003

zas [x min

[paa]-\-[pbb]-^ W

10*02

64619 + 164101 — 105629

2x10288838003

Hmm=±10*02 x 0*0024= ±0*024 m

błąd najmniejszy w kierunku prostopadłym, zatem o azymucie: 99°49,17,/*4. Wymiary elipsy prawdopodobnego położenia punktu P są:

półoś wielka =±0*047 w, półoś mała +±0*028 m.

l) Literatura, traktująca o elipsach błędów, jest bardzo rozległą. Prócz poprzednio wymienionego miejsca w zacytowanem dziele Helmerta, należy tu wyszczególnić: A. Bravais, Sur les probabilites des erreurs de situation d’un point, Mem. pres.... a 1’ Academie d. sc. de 1’ Inst. de France t. IX.; Andrae, Fehlerbest. b. d. Aufl. d. Po-thenotschen Aufgabe, Astr. Nachr. tom 47, 1857, Nr. 1117; Schols, Theorie des erreurs d. le plan et d. 1’espace w rocznikach Szkoły politechn. w Delft, t. II 1886; Helmerł, Studien ii. rat. Verm. im G-ebiete d. h. G-eodasie, Zeitschr. f. Math. u. Physik, 1868. str. 73 i dalsze, i t. d.

ROZDZIAŁ JEDENASTY.

¹

APbb] 2    ₂ [Paa\

Px¹=Po¹-^, Py¹=Po2JLj-J

Tryangulacja (Część trzecia). Wyrównanie sieci

tryangulacyjnych.

A) O znaczeniu lokalnem, B) obejmujących większe obszary (kraje).

AJ

§ 1. Wiadomości wstępne.

Sieci tryangulacyjnych używamy tak przy zagadnieniach, dotyczących dziedziny miernictwa, jak i geodezji wyższej.

W geodezji wyższej posługujemy się niemi przy pomiarze stopni¹) (południków, wzgl. równoleżników) i przy rozmierzaniu kraju, w miernictwie przy pomiarach miast, wykonywaniu większych zdjęć i t. p. Podczas

gdy sieci, zakładane dla celów geodezji wyższej, obejmują często całe kraje, lub przynajmniej znaczne ich połacie, mieszczą się sieci używane w miernictwie na niewielkich obszarach, tak, że mogą być traktowane w praktyce jako utwory płaskie.

Mimoto, że zasady ogólne wyrównywania sieci tryang. są w jednym i drugim przypadku tesame, występują przecież w ciągu wyrównywania obu typów sieci różnice, spowodowane wielkością obszaru, kształtem sieci, ewent. uwzględnieniem zakrzywienia ziemi, oraz dokładnością pomiarów” i rachunku.

Z powodu tych różnic, okazało się wskazanem, omówić oba rodzaje sieci oddzielnie, rozpoczynając od sieci łatwiejszych do opanowania, t. j. tych, które nazwaliśmy sieciami o znaczeniu lokalnem, lub krótko „lokal-nemiu, w przeciwieństwie do sieci, obejmujących wielkie obszary, które, jako zakładane dla celów państwowych, możemy nazwać krótko „państwowemu.

Dokładność wyników, osiągniętych w sieciach państwowych jest z reguły o wiele większą od dokładności wyników, otrzymanych przy pomocy sieci lokalnych. W wyjątkowych przypadkach może być jednak odwrotnie; trafia się to w bardzo wielkich miastach o gruntach bardzo

Wyrównanie tych sieci, jako zbyt specjalnych, pomijamy.

drogich, jakoteż przy wytyczaniu osi długich tunelów, gdzie pomiary, oparte na sieci tryang. państwowej, okazują się często za mało dokładne ; natomiast mogą w tych przypadkach sieci lokalne, jako obejmujące stosunkowo niewielki obszar, dostarczyć wyników zadowalających przy zastosowaniu odpowiednich metod pomiarowych.

Pomiary przeprowadzane w sieciach lokalnych są dwojakiego rodzaju : długościowe i kątowe ewent. kierunkowe.

Uniknąć można pomiarów długościowych przez nawiązanie się do dwu punktów sieci państwowej (lub włączenie ich wprost do sieci), przez co uzyskuje się zarazem i orjentacją całej sieci (na podstawie azymutu kierunku, łączącego dwa punkty).

Jeżeli łączność sieci lokalnej z siecią państwową nie ogranicza się do owych dwu punktów podstawowych, lecz prócz tego nawiązano się do innych kierunków stałych, należy przeprowadzić wyrównanie sieci wedle § 8-go rozdz. X-go (str. 260).

Sieć tak założona jest właściwie siecią wypełniającą. Najczęstszym powodem założenia sieci lokalnej jest brak odpowiedniej ilości punktów tryangulacyjnych (ewent. brak wszelkiej tryangulacji), lub niewystarczająca ich dokładność.

W obu tych przypadkach należy przeprowadzić pomiar przynajmniej jednej długości, t. z. podstawy (bazy) i to oczywiście z dokładnością odpowiednią dla celu.

(Przy pomiarach dokładnych należy długość podstawy zredukować do poziomu morza, lub innego przyjętego w państwie poziomu odniesienia).

Orjentacja sieci następuje przy pomocy wyznaczenia azymutu jednego boku sieci jedną z metod, używanych w geodezji wyższej (najczęściej z koresponduj ących wysokości słońca)x).

Bardzo często nie jest możliwy pomiar żadnego z boków sieci; wówczas należy obrać podstawę poza właściwą siecią i przejść z niej pomiarami kątowemi na jeden z boków sieci.

Sieć, łączącą podstawę z bokiem właściwej sieci, nazywamy siecią podstawową, lub także rozwinięciem podstawy.

Odkładając dokładne omówienie sieci podstawowych do drugiej części B niniejszego rozdziału, zauważymy tylko, że najkorzystniejszy kształt sieci postawowych jest rombowy, względnie podwójnie rombowy.

Przy racjonalnem rozwinięciu należy mierzyć poszczególne kąty odpowiednią ilość razy, którą można wyznaczyć rachunkowo, co jednak

*) Przy pomiarach o dokładności odpowiadającej sieciom IY-rzędnym, można użyć sposobu podanego w dziele F. G. Gauss, Die trigon. u. polygon. Rechnungen in d. Feldmesskunst 1893. rozdz. IX-ty, str. 618, lub w „Przepisach obowiąz. przy pomiarach met. tryg. i poligon....¹¹ M. R. P. Warszawa 1920. cz. I str. 35—37 i cz. II str. 160—162.

czynimy tylko przy rozwinięciach podstawy dla sieci państwowych lub sieci o bardzo ważnem znaczeniu. (Porównaj część B § 9-ty).

Przy spostrzeganiu kątów sieci lokalnej używamy zazwyczaj metody kierunkowej; z powodu stosunkowo krótkich celowych nie zachodzi obawa, aby przy pomiarze serji kierunków niektóre z nich nie mogły być obserwowane, (jak to ma miejsce przy długich celowych); serje będą tu zatem z reguły pełne.

W przypadkach wyjątkowych (stanowisko chwiejne) stosujemy metodę pomiarów kątowych, która zajmuje jednak nieco więcej czasu.

Aby uniknąć zawiłych wyrównań stacyjnych, spostrzegamy kierunki w serjach pełnych, lub kąty niezależne (ewent. wyjątkowo we wszystkich kombinacjach).

Seryj częściowych lub pomiarów kątów w różnych kombinacjach należy, o ile możności, unikać.

(Sprawę tę omówiono krótko w części B niniejsz. rozdz.). Jako metodę wyrównawczą będziemy stosowali metodę spostrzeżeń zawarunkowanych.

§ 2. Warunki sieci tryangulacyjnej.

Warunki, które musimy wziąć na uwagę przy wyrównywaniu sieci są pochodzenia dwojakiego.

Jedne z nich mają swe śródło w pomiarach stacyjnych (na stanowiskach), drugie wynikają z geometrycznego kształtu sieci.

Od warunków rodzaju pierwszego uwalniamy się, wykonując na sta-' nowiskach pomiary wielkości niezależnych, więc albo kątów niezależnych lub kierunków w serjach pełnych.

Jeżeli jednak, jak to ma często miejsce przy pomiarach kątowych, pomierzymy na stanowiskach wewnętrznych sieci wszystkie kąty dookoła, powstaje t. zw. warunek kołowy (zamknięcie horyzontu).

Jak uwzględnić warunki stacyjne, wynikające z pomiarów kątów w różnych kombinacjach i seryj częściowych, podajemy w części B niniejszego rozdziału.

Taksamo powstają warunki stacyjne na stanowiskach o kierunkach stałych¹), o ile je wciągnięto do pomiarów.

Bez względu na to, jakiemi pomiarami posługiwaliśmy się, czy jak to z reguły ma miejsce, kierunkowemi, czy też w wyjątkowym przypadku kątowemi, należy przy wywodach, odnoszących się do warunków, wziąć na uwagę kąty, jako elementy konstrukcyjne danej sieci.

Niech będzie ilość punktów sieci p, to ilość niezależnych elementów, koniecznie potrzebnych do utworzenia p-boku wynosi, jak wiadomo:

(1)

k=%p—3;

9 W takich przypadkach należy sprawdzić, czy nie byłoby ekonomiczniej, przeprowadzić wyrównanie spółrzędnych metodą, podaną w § 8-mym, rozdz. X-go (str. 260).

oznaczając ilość elementów danych przez d (znanych z pomiarów poprzednich i obecnie spostrzeganych), otrzymamy na ilość warunków sieci (w) wzór:

(2)

(w)—d—k—d—2

Na ilość d składają się znane lub pomierzone podstawy (bazy) b i kąty (Kt), (również znane lub pomierzone) zatem:

(3)

(w)=b+(Kt)-2p+3.

Wzór ten nie może być zastosowany w powyższej formie przy sieciach, wiążących sobą sieci tryangulacyjne już wyrównane, t. j. przy t. zw. sieciach łącznych.

Bardzo często oddzielamy dla przejrzystości nietylko warunki, wynikające z przymusu nawiązania, ale także powstałe z pomiaru więcej jak jednej postawy, t. z w. warunki podstawowe, posługując się wzorem, który jest ważny dla jednopodstawowych sieci, wolnych od warunków nawiązania:

w= 1 + Kt—2p+3= Kt—2p 4- 4,

(4)

przyczem Kt odnosi się tylko do kątów mierzonych; każda dodatkowo dana (pomierzona) podstawa, jakoteż kąt stały powodują tyleż nowych warunków, które trzeba dodać do ogólnej liczby warunków, określonej wzorem (4).

Przy sieciach zawiłych nadaje się ten sposób wyznaczania ilości warunków lepiej, niż wzór (3).

Na ilość ogólną warunków sieci składają się następujące warunki:

a)    trójkątowe, czyli poligonowe wtr,

b)    stacyjne, w3t,

c)    boczne, wb,

d)    podstawowe, wp, a prócz tego, o ile zachowano łączność z pomiarami dawniej szemi:

e)    war., wynikające z nawiązania wn, (spowodowane przymusem nawiązania).

Przy omawianiu spostrzeżeń zawarunkowanych zwróciliśmy uwagę, że przeprowadzenie wyrównania sieci z nieuwzględnieniem pewnych warunków, lub wprowadzenie do wyrównania warunków identycznych (zawartych w już uwzględnionych) powoduje fałszywy wynik całkowitego rachunku.

Dlatego niedość jest wyznaczyć ilość ogólną warunków wzorem (3) lub (4), lecz trzeba wiedzieć dokładnie ilości warunków każdego rodzaju, przyczem musi być:

(5)

( w) = Wtr + Wst -f IV b + WP + Wn.

Jeżeli do określenia ilości warunków użyto wzoru (4), będzie:

(6)

W=Wtr+Wst + Wb.

a ponadto trzeba będzie do w dodać warunki, wynikające z nawiązania wn i warunki podstawowe wp.

§ 3. Wyprowadzenie wzorów na ilość warunków sieci tryang.

Przy dalszych wywodach będziemy posługiwali się następuj ącemi określeniami. Niech oznaczają

l linie sieci, wzdłuż których celowano,

„ obserwowane tylko w jednym kierunku,

„    „    obustronnie, zatem l = Z₁-f7₂,

(linie, obserwowane jednostronnie na punktach stałych celem nawiązania sieci, nie wchodzą tu w rachubę).

p ilość wszystkich punktów sieci,

Pi

„ punktów sieci, będących zarazem stanowiskami,

Pw 77

Kt „

„    , wciętych tylko wprzód (z zewnątrz), zatem p=Pi-{-pw1

kątów, pomierzonych w sieci,

, Kr „ kierunków, spostrzeganych w sieci, zatem Kt=Kr—pi, 2r,.=2    K^^l^ + ^—pi.

kierunkowych:

(1)

Wzór (4) § 2-go, określający ogólną sumę warunków bez uwzględnienia warunków podstawowych i nawiązania, możemy napisać przy pomiarach w—Kt—2^?-|-4=2 Z₂ + ^—2p—Pi~\~4, lub w— 2 l₂ 4-ł\—3jp-\-Pw+4.

a) Warunki trójkątowe czyli poligonowe.

Jeżeli w wieloboku o pi wierzchołkach pomierzymy p{ kątów, t. zn. wykonamy pomiary, celując obustronnie wzdłuż pt linij, będziemy mieli do uwzględnienia jeden warunek, odnoszący się do kątów wewnętrznych lub zewnętrznych pr boku, a to ze względu na to, że jeden (obustronny) kierunek jest tu nadliczbowy.

Celując obustronnie nie wzdłuż plecz wzdłuż Z₂ kierunków, mamy tyle kierunków nadliczbowych, a więc i warunków, ile wynosi różnica

(2)

l₂—(Pi—l), zatem

Wtr = Z₂ P‘ “ł~ 1 •

(Punkta, wcięte w liczbie pw, nie wchodzą tu w rachubę).

Kształt tych warunków jest liniowy. (Obacz § 4-ty).

b) Warunki stacyjne.

Jak już wspomnieliśmy, redukują się warunki stacyjne wst przy spostrzeżeniach kątowych do warunków kołowych; ilości warunków stacyjnych, wynikających z istnienia stałych kątów, względnie kierunków na stacjach, najlepiej nie uwzględniać przy obliczaniu ogólnej liczby warunków, lecz po ustaleniu liczby warunków bez przymusu nawiązania, dodać

wynikające z nawiązania.

do niej warunki w

Przy pomiarach kątowych wyrównywanych jako kątowe, będzie zatem liczba warunków stacyjnych wst równą ilości warunków kołowych, zaś przy wyrównaniach kierunkowych, odpada ten rodzaj warunków zupełnie.

c) "Warunki boczne (sinusowe).

Szereg trójkątów, z których leżące obok siebie mają tylko jeden bok wspólny, a trójkąty początkowy i końcowy nie przylegają do siebie żadnym bokiem, tworzy t. zw. łańcuch trójkątów.

Łańcuch trójkątów, składający się z p punktów, wymaga (prócz podstawy) 2j9—3 linij, które nie muszą być celowemi obustronnemi.

Obliczenie w łańcuchu trójkątów długości dowolnego boku z danej podstawy przy zastosowaniu twierdzenia sinusowego, można przeprowadzić tylko przy pomocy związku jednych i tych samych kątów, czyli, jak to nazywamy, jedną drogą.

Natomiast powoduje pomiar {(2p—3) + l} linij w łańcuchu tryang. o p punktach możliwość obliczenia pewnego boku sieci dwoma drogami, t. j. z zastosowaniem innych kątów w twierdzeniach sinusowych.

Ponieważ stosunek owego boku sieci do jej podstawy można wyrazić dwoma stosunkami iloczynów sinusów pewnych kątów, otrzymujemy, porównując oba te stosunki ze sobą, t. zw. warunek boczny lub sinusowy o kształcie nieliniowym. (Obacz § 4-ty).

Ilość warunków bocznych sieci otrzymujemy z różnicy między ilością wszystkich linij sieci, a (2_p—3):

(3)

wb=l—2>p+3.

d) "Warunki podstawowe.

Pomiar względnie istnienie drugiej podstawy w sieci powoduje również możliwość obliczania pewnego boku dwoma drogami, zatem warunek kształtu analogicznego jak warunek c).

Ilość warunków podstawowych równa się zatem ilości podstaw sieci, zmniej szonej o j edność :

(4)

wp=b—1.

ej Warunki wynikające z nawiązania.

Każdy kąt przejęty do sieci z dawniejszych wyrównań jako stały, a taksamo nawiązanie sieci do więcej, niż jednego kierunku stałego, powoduje po jednym warunku nawiązania.

Przy wielkich systemach, łączących dwie już poprzednio wyrównane sieci, powstają warunki „zamknięcia poligonu¹¹, o których będzie mowa w części B niniejszego rozdziału.

Kontroli, czy ustalona ilość warunków każdego rodzaju jest właściwą, dostarcza nam do pewnego stopnia związek

(5)

{w) = Wtr + wst -f- W/j -f- Wp Wn,

lub z wyłączeniem warunków podstawowych i nawiązania:

(6)

W = Wtr-\-Wst + Wb.

§ 4. Kształt warunków sieci.

a) Warunki trójkątowe czyli poligonowe dostarczają równań odchyłek o kształcie liniowym.

I tak będzie przy wyrównaniu a) kątowem (wedle fig. 22-giej, przyjmując że trójkąty są płaskie):

a2 “b ^2 d- az ~ł~ ^3 Hr ai 4~ d₄ —180°=0 +ó₅ + «₆ + d₆—180°=0

. +w₁=:=0    1

.    . + d₅ + d₆ d-<w₂=0 J

przyczem a)₁=a₂ + a₃ + a₄—180

Ct,2==ai +a5+ a6—ISO.

•    ^2+^3 + ^

di .

| (warunki)

(równ.

odchyłek),

[3

5'

Fig. 22.

Zamiast równań (1) możemy użyć także następujących dwu równań: di + d₂ + d₃ + d₄ + d₅ + d₆ + Oj' = 0

dx .    .    . +d₆ + d₆+(u₂ =0.

Równania (1) są jednak korzystniejsze dla rachunku niż równ. (1*). /?) Przy wyrównaniu kierunkowem będą się odnosiły poszczególne d do kierunków, zatem będzie wedle fig. 23-ciej :

.    +fc>i=0    |

.    . —d₇+d₈—d₉+ó₁₀ + ct)₂=0, J

(1*)

• —d₂ -j- d₃ — d₄+d₅—d₆+d₇

— dj + d₂

przyczem: 0^ = {(3)—(2)} 4- {(5) - (4)} + {(7)—(6)}

o>₂ = {(2)-(1)} + {(8j-(7)1 + {(10)-(9)},

lub (x)l = 052.3 + «4.5 + «6.7 *)

C0₂ = cc 1.2 + a^.8 + 0?9.10 •

b) Warunki stacyjne kołowe mają również kształt liniowy, a równ. odchyłek nie różnią się od równ. (1); przy wyrównaniach kierunków odpada ten rodzaj | warunków.

równ.

odchyłek ^ -JO^\

f;

3 ^

L-s

Fig. 23.

S>

c) Warunki boczne, a) Wyrównanie kątowe.

Punkty sieci, dookoła których grupują się trójkąty, nazywamy punktami środkowemi (centralnemi).

Tworząc stosunek boków sieci, schodzących się w punkcie środko-kowym E (na fig. 24.), otrzymujemy warunek boczny

a.b.c.d

b.c.d.a

^ sin (a₃+d₃) sin (a₅+d₅) sin (a₇+d₇) sin (gj + dj) — sin (a₂ + d₂) sin (a₄ + d₄) sin (a₆ + d₆) sin (a₈ + d₈) *

i) Pisowni tej jako prostszej będziemy używali nadal.

(Stosunek iloczynu kątów po jednej stronie promieni, wychodzących z punktu środkowego, do iloczynu kątów, znajdujących się po drugiej stronie promieni).

Sprowadzenie tego warunku do kształtu liniowego przeprowadzamy P z reguły, nadając mu formę logarytmiczną; otrzymamy zatem ze względu, że

log sin (a;+ói)=log sin cti+dfi ót,    (5)

!Oj

11

12

przyczem df oznacza poprawkę logarytmiczną dla 1"

na 7-em, względnie przy sieciach o znaczeniupodrzędniejszem na 6-em miejscu:

log sin ax +log sin cc₃ +log sin a₅ + log sin a₇ — C —log sin a₂ —log sin a₄ —log sin a₆ —log sin a₈ +

+ dfl #1 “ df2 Ó2 + dfZ ^3 — dfk ^4 + dh Ó5 “ df6 ^6 +

+ df₇ ó₁ — dfs ó₈ =0.

Oznaczając sumę logarytmów co, otrzymamy ostatecznie: df₁'óx-df₂.d₂ + df₃.ó₃-dfi.d,+df₅.ó₅-df₆.ó₆ + d/₇.ó₇-df₈.ó₈ + (o=0. (7)

Fig. 24.

ff

(6)

I<p

\^>

<S>

.■sr

W braku rzeczywistego punktu środkowego, można przyjąć za punkt środkowy do-wolny punkt danej figury, o ile stosunek zbiegających się w nim boków możemy wyrazić stosunkiem sinusów odpowiednich kątów; w czworoboku może byó nim także i przecięcie się obu przekątni, a zatem punkt pozorny.

W czworoboku obierając (E) jako punkt środkowy (patrz fig. 25), będziemy mieli wedle równania (7):

o\<7

Fig. 25.

dfx 6X — df₂ ó₂ + df?> ó₃ — dfk d₄ + dfh ó₅ — dffi ó₆ + + df₇ d₇—dfg d₈4-<ł>=0;

& natomiast obierając jako środkowy punkt .4, otrzymamy, biorąc na uwagę stosunek boków, przecinających się w tym punkcie:

(7*)

b.c.a

l) Przy wartościach kątów między 90°, a 180° zmieniają poprawki logarytmiczne znaki na przeciwne.

lub po uporządkowaniu:

(rf/3.4    6^3)d₃ + d/3.4d₄ — dfh ó₅ +d/*₆ d₆—d/7.8 d₇ + (d/"₈ — d/7.8) d₈ 4-o)=0.    (10)

Poprawki log. d/3.4 i d/7.8 odnoszą się do kątów (a₃ + a₄) i (a₇ + a₈).

Równanie poprawek, utworzone w czworoboku dla punktów zewnętrznych, uważanych za środkowe, wykazują prócz wyrazu wolnego tylko 6 członów, podczas gdy równ. popr., odniesione do punktu środkowego pozornego, 8 członów. Ostatnie jest zatem mniej korzystne, o ile chodzi o nakład pracy rachunkowej, gdyż im mniej wyrazów zawierają równania odchyłek, tern prostszy kształt przybierają zazwyczaj równania korelat.

Natomiast, o ile chodzi o dokładność rachunkową, jest równanie odchyłek, ustawione ze względu na punkt E, najkorzystniejsze.

Z innych punktów, t. j. właściwych czworoboku, dostarcza nam ten rachunkowo najdokładniejszego równania odchyłek, który leży poza polem największego trójkąta (utworzonego z trzech pozostałych punktów).

O ile zatem nie chcemy mieć równania odchyłek o 8-miu członach, należy obrać zamiast punktu (E) punkt A dla sieci, zaznaczonej na fig. 25-tej.

Jordan wykazał, że stosunek dokładności rachunkowej równań odchyłek, ustawianych ze względu na punkty E, A, B, C, D, obierane jako środkowe, równa się stosunkowi powierzchni

□ {ABCD): A (BCD) :A{ACD):A {ABD): A {ABC).J)

Najdokładniejsze (pod względem rachunkowym) równanie poprawek otrzymamy ze względu na punkt środkowy E, a przy 6-ciu członach ze względu na punkt A; coraz mniej dokładne wynikną kolejno dla punktów B, Di C (jak to widać na fig. 25-tej).

/?) W podobny sposób otrzymamy warunki boczne przy wyrównaniu kie-runkowem, zastępując kąty różnicami odpowiednich kierunków.

Biorąc na uwagę ten sam kształt sieci jak poprzednio, otrzymamy zamiast 12 kątów 16 kierunków (fig. 26-ta\

Otrzymamy zatem ze względu na punkt wewnętrzny jako środkowy:

1 sin(ai.₂—di + dg) sin (<*4.5—dt+ds) sin (g7.8-d7+d₈) sin (aio.n—dio+dn) sin (a2.3—d2+Ć3) sin (05.6— ds+de) sin (as.9—ds+dg) sin (an.12—dn-ł-di2)’

*"7\

//

/

13

14,

/J

16

\ ⁹

7_Aic

Fig. 26.

(U)

*) Pierwszym, który podał teorję, dotyczącą tej kwestji, w nieco odmiennej formie jak Jordan, był jenerał duński Zachariae (Den danske Gradmaaling tom Il-gi str. 483—487).

zaś w kształcie liniowym:

0=d/1.2 ó₂—df\,₂ di-f-d/4.5 ós—d/4.5 d4+d/7.₈ d₈—d/*₇.₈ d₇+d/io.n dn—

—df10.11 dio+d/2.3 d3+d/2.3 ^2—d/5.6 d6+d/5.6 ós—d/s.g d₈ + d/s.g d₉—

—df11.12 di2 + df11.12 dn + co,

przyczem co=log sin ai.2+log sin <*4.5+ —log sin a₂.3—log sin a₅.₆

Równanie odchyłek uporządkowane będzie zatem:

—d/1.2 di + (d/1.2+d/2.3) d2—d/2.3 d3—d/4.5 d4+(d/4.5 + d/5.6) Ó5— d/5.6 óe—

—d/1.8 d₇ + (d/l.₈ -j- d/s.g) d₈— d/s.g dg— d/lo.11 dio + (d/lo.n+d/li 12) dn—

—d/11.12 di2-j-<u=0.

W analogiczny sposób ustawiamy równania odchyłek w przypadku, gdy nie ma właściwego punktu środkowego; w czworoboku otrzymamy na tej samej zasadzie jak związek (8) równanie warunkowe względnie odchyłki w kształcie następującym (patrz fig. 27-ma), obierając jako środkowy punkt A:

(13)

(14)

A)

.^0

-A(E)

4 f

.'L.

NCo

Fig. 27.

I _ sin(q₈,₉—d₈+d₉) sin-(g₄.fl-—dj+dę) sin(a1L12— dn + di₂)

sin (aio.i2 —(5io+di2) sin (a₇.₈—d₇ + d₈) sin (04.5— ś₄+ó₅)

(d/4.5    d/4.6)    d/4,5 ds-J-d/4.6 ^6 +d/7.8 d7—(d/7.8 + d/s.g) dg ~h d/s.9 d₉ -f-

d/10.12 dio— d/11.12 <5ii—(d/io.12—d/11.12) di2 +w=0.

a.b.c

b.c.a

(15)

(16)

Przy wyrównaniu lcierunkowem dostarcza nam punkt środkowy (J^) równanie odchyłki o 12 członach, zaś inne punkty tylko o 9 członach.

d) Warunki podstawowe tworzymy analogicznie jak warunki boczne z tą różnicą, ze stosunek iloczynów sinusów odpowiednich kątów równa się tu nie jedności, lecz stosunkowi podstaw.

za bezbłędne, przeto kształt równań odchyłek będzie takisam, jak przy warunkach bocznych, z tą tylko zmianą, że wyraz wolny równa się tu:

Ponieważ podstawy uważamy

[log sin aj—(log 5,-log b₂),

przyczem [log sin a] oznacza sumę logarytmów sinusów odpowiednich kątów z uwzględnieniem znaków jak poprzednio, zaś (log^—log b₂) odpowiada logarytmowi stosunku podstaw — •

bi

10

\2

'5

C/

b?

i3

7

₆J

Fig. 29.

Fig. 28.

Dla sytuacji, przedstawionej na fig. 28-mej, otrzymamy ze względu na:

bic bi._s^n (ftę + dę) sin(a₄ + d₄)

/    cb₂ b₂ sin    sin(a₃4-d₃)

—dfxdx—df₃ ó₃+dfióli->rdf₆d₆ + o)=0,

(17)

(18)

przyczem:

(0= —log sin ax—log sin a, + log sin a₄ -flog sin a₆—log ój+logó Przy wyrównaniu kierunkowem będzie analogicznie (patrz fig. 29-ta);

j*

(19)

(20)

bx    sin (« 9.10— d₉ + dio) sin («6 7 — ó₆+ó₇)

sin (aL2—di + d₂) sin (a₄.₅— <h+ó₅)

a ostatecznie:

dfi.₂di—df\,<2,d2-\-df₄5d₄—df₄.*,ó*,——^9.ioÓ9-t-rf/9.iodio+fc>=0, (21)

przyczem

(o = — log sin ai.₂—log sin a₄.₅+log sin a₆.₇ + log sin a₉.i₀—log bx -f log b₂. (22) ej Warunki, spowodowane nawiązaniem, są, o ile nawiązanie dotyczy kątów lub kierunków stałych, kształtu liniowego.

O warunkach zamknięcia poligonu, występujących przy sieciach nawiązanych do sieci, ustalonych na podstawie wcześniejszych pomiarów i wyrównań, lub przy sieciach „ wieńcowychu, będzie mowa w części B niniejszego rozdziału.

Liczbowy przykład wyrównania sieci o znaczeniu lokalnem podano w § 6-ym na str. 293).

§ 5. Wskazówki praktyczne, odnoszące się do sieci tryangulacyjnych.

a) Podział systemu większego na sieci różnych rzędów, b) Przykłady ustawiania równań warunkowych sieci, c) Wybór najkorzystniejszych warunków w sieciach promienistych i w czworoboku, a) W niektórych przypadkach może się zdarzyć, że sieć tryangula-cyjna (n. p. miejska) zawiera dość znaczną liczbę punktów

W takich razach przeprowadzenie wyrównania w całej sieci odrazu byłoby bardzo niepraktyczne, a to tak ze względu na wielkość pracy, jak i łatwość wkradnięcia się choćby pozornie małego błędu do rachunków, odpowiadających całemu systemowi.

Dlatego dzielimy sieci tego rodzaju na rzędy (pbdobnie jak sieci państwowe), przyczem bezwarunkowo muszą być sieci rzędów wyższych zawarte w sieciach rzędów niższych.

Wyrównanie przeprowadzamy stopniowo, zaczynając od sieci rzędu I-go, (które może mimoto odpowiadać dokładnością IY-rzędnej sieci państwowej).

Wyrównane punkty sieci rzędu niższego uważamy przy wyrównywaniu sieci rzędów wyższych za bezbłędne.

Jeżeli jakaś większa sieć o znaczeniu lókałnem składa się z sieci rzędu I-go, Ii-go, Iii-go i IV-go (co tylko jest możliwem przy sieciach tryangulaeyjnych wielkomiejskich, wówczas są punkty I- i Il-rzędne stanowiskami, punkty III-rzędne punktami z reguły wciętymi tylko wprzód, zaś punkty lY-rzędne znów stanowiskami, wyznaczonemi przy pomocy wcięcia wstecz.

Sieć II-rzędną wyrównywamy w nawiązaniu do ustalonych punktów sieci I-rzędnej metodą, podaną w poprzednim rozdziale. (Porównaj § 8-my

rozdz. X-go). Wyrównanie to przeprowadzamy częściami, w obrębie poszczególnych partyj sieci pierwszorzędnej (nie całej sieci II-rzędnej naraz).

^\£

ks

18

nr

17

780

Fig. 30.

W ten sposób uzyskuje się nawet w bardzo trudnych przypadkach sioło    sunkowo niewielkie systemy i tak sieci

I-rzędne miasta Berlina i Lipska obejmowały wszystkiego po 8 punktów.

Podział na sieci różnych kate-goryj należy przeprowadzić przed rozpoczęciem pomiarów na podstawie rekonesansu i na każdem stanowisku

wykonać oddzielnie pomiary, odnoszące się do sieci różnych rzędów. (Im wyższego rzędu sieć tern mniejsza ilość seryj kierunków).

b) Figura 30-ta przedstawia nam sieć „promienistą“, często używaną jako sieć o znaczeniu lokalnem.

Przypuszczając, że wykonaliśmy pomiary kierunkowe (serjami pełnemi), otrzymamy ilość warunków wedle równania (6) § 3-go, ze względu źe

l₂ = l= 10,

*1 = 0,

V — ?>t=6,

2^=°r

6=1

w—2 x 10—3 x 6 + 4=6 ;

ponieważ wp—wn—0, przeto ilość wszystkich warunków wynosi 6.

Kontrola przy pomocy wzoru (5) § 3-go dostarcza nam, ze względu że (Kt)= 14 (na stanowiskach zewn. po 2 kąty, zaś na stanowisku F 4 kąty niezależne, razem 14), oraz ze względu, że 6=1:

(m>)=1 + 14—12 + 3 = 6.

Na ogólną ilość warunków składa się:

wtr=l₂—pj+1 = 10— 6 + 1 = 5 warunków Wf)= l—2p + 3 = 10—12 + 3=1    „

razem 6 warunków.

• |

Równania odchyłek, odpowiadające tej sieci, są:

\    ^2    ^3    ^4    ^5    ^6    ^7    ^8    ®9 ®10 ^11 ^12 °13 ^14 ^15 ^16 ^17 ^18 ^19 ^20    ⁴⁰

I -1

II .

III; . IV .

rH rH

+ I •

r-H

+ *

-1 +1 . .

. —1+1—1

H-¹

-1 +1 +1 . .

.    —1 to.

=0

vi A

rH    cs

' +

t-H    t-H    ^

+    1    +

rH co

I <

f-H

+    •    •    •

rH rH

I +    ' •

rH rH

‘    1    +    '

t-H

*    U_1

lO

*    ' ^

rH    ^

' 4-

s s e s

o> W    c*»

:0

■0

=0

przyczem

2, f₂=dA.2 + df₂.z, f^-dh.3, /₄ = -cZ/4.5, /₅=C?/₄.5+rf/5.6, /₆ = -^/₅.6, A = -df,.₈,    /₈=<*A.8 + rf/8.9, f, = -d/8.9 ,    /l°⁼ dflO.il ,    /ll=#10.U + <*/li.l2 ,

fi2=-dfu.l2, /l3=— d/l3.14, /l4==<Ź/l3.14 + d/l4.15, /l5= — «/i4.15•

sieć, nawiązaną do dwu punktów

Figura 31-a przedstawia nam stałych (n. p. tryangulacji państwowej); prócz tego zorientowano sieć dodatkowo do dwu kierunków stałych, co spowodowało dwa warunki nawiązania.

Ilość wszystkich kierunków pomierzonych (2T,.)= 22, ilość kierunków pomierzonych w samej sieci Kr— 20.

Ilość linij bez uwzględnienia linij nawiązania

Z=ż₂ = 10, ^ = 0; a dalej p=pi— 6, pw=0, &=1, w obec tego:

2 Z₂—3p + 4=20—18 + 4=6 ;

ponieważ ^=6—1 = 0, wn=2, gdyż kierunki (1) i (5), jak też (6) i (9) mają spełniać stałe kąty, przeto ogólna ilość warunków jest 8.

Równanie kontrolne:

—2p + 3,

a ponieważ (X,)=(Z,)—^=22-6= 16, przeto (w) = l + 16—12 + 3=8.

Dr. K. Weigel. Rachunek wyrównawczy.

= 2 warunki

Przechodząc do poszczególnych kategoryj warunków, otrzymamy:

wtr— l₂ —Pi + 1 = 10—6 + 1 = 5 warunków Wb—l—2p + 3=10—12 + 3 = 1 warunek

wn

razem 8 warunków.

I)

Ov

22.

20

21

19

H\c

17)

16

15

i)

Hi

10 A

Fig. 81.

Warunek boczny wynika ze stosunku boków, zbiegających się w punkcie M:

1 m.n.o.b n.o.b.m

sin («i8.i9—$18+^19) sin («n.i₂—811 + ^12) sin (g₆₋₈—8e + 8g) sin (1X21.22—$21 + ^22 sin (a₂0.22—820 + S22) sin (047.18 — 817 + ^is) sin (a10<11—810+^11) sin (0C6.7—86+87/

&1.5—81 + 85—~=$.LMN= 0 «₆.9—S₆+S₉—^MNO=Q.

zaś warunki nawiązania są:

stawia się’:

Schematyczne zestawienie równań odchyłek, wyrażonych poprawkami, przed

S. S₂ 8„ 8, 8. 8

^7    ®8    ^9    ^10 ^11 ^12 ^13 ^14 ^15 ^16 Ó17 ^18 ^19 ^20 ^21 ^22 W

II

I 4-

r—i rH

III

tH rH

T—I

IV

-1+1

rH rH

rH

t—i rH

4-

rH

Mł

■O

w,

w3

:0

■O

— 1+1—1+1 . .

w4

.0

-1 . . +1

—1 +1

w5

VII

VIII .

w₇ =0

.    . h₆ hij hs .    ....    ^17 hiS htf hi0 /+ h^i w8 =0

+1

przyczem

h&=df&j—d/7.8, h'} =—dfqj , /&₈=d/6.8, Tuo—d/10.11 > 7*ii=—d/10.11—d/n.1'2, ^12= = d/n.i2, ^17 = d/i7.i8, ^18=—df17.18—d/is.19 , h₉ = d/l8.19 , ^20 = d/20.22, 7*21 = —d/21.22,

^22= —d/20.22 "fi 21.22 •

c) O ile ze stanowiska teorji jest zupełnie obojętne, które warunki uwzględnimy przy wyrównaniu, byleby tylko wszystkie były niezależne (i co z tego wynika, była zachowana odpowiednia ilość każdej kategoiji), nie tak się przedstawia rzecz w praktyce.

Tak ze względu na nakład pracy przy obliczeniach, jak i na dokładność, staramy się dobrać takie warunki, dla których ułożone równania korelat wykazywałyby jak największą ilość spółczynników równych zeru.

0 ile w sieci nie zachodzą warunki boczne, da się to przeprowadzić bez trudności; natomiast istnienie tych ostatnich komplikuje wyrównanie, nadając spółczynnikom kształt mniej wygodny do liczenia.

Z tych powodów umieszczamy warunki boczne (i w ogóle sinusowe) z reguły jako ostatnie, a resztę warunków tak dobieramy, aby o ile możności spółczynniki [ab\ [ać\.. .. [bc\ i t. d. były zerami.

Da się to uskutecznić w sieciach promienistych; n. p. sieci pierwszej ustępu b) fig. BO-ta) odpowiadają ze względu na:

[aa]    — [bb] = [cć]=[dd]=[ee] = 6,

[ab] =[ac]=[ad]=[ae]=[bc]=[bd]=[be]=[cd]=[ce]=[de]^0,

. +[a/]fc₆ + u>₁=0

•    + \ff] &6 ⁰⁾2 ⁼ 0

.    ^6 + °⁾3=0

•    "ł~[d/]^₆ + w₄ = 0 6&₅+[>/]A;₆-ł-w₅ = 0

[fl/J \ + [bf] k₂ + [cf] k₃ + [df] k, + [ef] k₅ + [ff] k₆ + «₆ = 0.

następujące równania korelat:

6*!

Pięć pierwszych równań dostarcza nam związków:

[g/]fc₆ + tt>i

k%

k₃

[&/] + ₂

[cf] k₆ +(<)₃

[df] k₆+(»4

wartości te o niewiadomej k₆:

wstawione do ostatniego równania, dostarczą nam jednego równania

_ i ([afY+WY+WY+WY + W)} k₆ + (0₆-jr ([«/] 0>, + [bf] <>>₂+[c/] 6)3 +

¹    + [d/K + [e/R) = °-

+ ¹ W1

+1

Po wyznaczeniu wartości na ke obliczamy z poprzednich pięciu równań wszystkie pozostałe korelaty.

Postępowanie to można zastosować także i w sieci o kształcie czworobocznym. Przyjmując, że spostrzegaliśmy (jak zazwyczaj) kierunkix), otrzymamy ze

względu na

Kr—12, p=pi=4:, pv — 0,

l₂=l=6, lx = 0, 6=1,

w=2l₃ + l₁—3p+pw+4=12 + 0—12 + 4=4 warunki. wtr=l₃—pi-Jr'\- = §—4+1 = 3 warunki, wb=l—2^) + 3=6—8 + 3 = 1 warunek

razem 4 warunki.

Kontrola: (w) = 6 + (Kt)—2p + 3 = 6 + (Kr) — p₄—2p + 3=1 + 12—4—8 + 3=4.'

12

11

jo

(E)

Fig. 32.

Aby [a6]=[ac]=[6c]=0, należy obrać następujące warunki trójkątowe (poligonowe):

—(1)—5₁ + (2) + 5a—(11)—S₁₁ + (12)+B₁₂ —{—(5)—5#+(6) + S₆—(7)—B₇ +

+(8)+8r} = 0,

-(2)-S₂ + (3) + 3₃-(4)-3₄+(5) + S₅-{-(8)-8₈+(9) + S₉-(10)-Si0 +

+(11) + 8₁₁} = 0,

_(l)_8l + (3)+6.-(4)-§₄ + (6)+8₆-(7)-B₇+(9)+8₉-(10)-8l0+

+ (12) + S₁₂ = 0;

warunek boczny można utworzyć, albo ze względu na pozorny punkt środkowy (.E), lub o 6-ciu członach, uwzględniając uwagi (dotyczące dokładności) § 4-go c).

'6

'7

*8

’10

'12

O)

II

+1

+1

+1

(l)₂

III

+ 1 &)₃ =0 w₄ =0

*) O ile spostrzegano kąty, nie zmienią to wcale zasad opisanego tu postępowania.

*i

d%

d₃

d₆

d₈

*10

*n

Spółczynniki ostatniego równania odchyłek są wypisane w równaniu (14) § 4-go c),

Równania korelat są w tym przypadku:

8h

.    "4" \ad\ fc₄ -(-    = 0

.    + [bd] fc₄ +    — 0

8 kz +[c<i]fc₄ + (»)₃=0 [ad\ kx + [bd\ k₂ + [cd\ k₃ + \dd\ kw + o>₄ = 0.

Postępując analogicznie jak poprzednio przy wyrównaniu sieci promienistej, otrzymamy dla wyznaczenia ostatniej korelaty fc₄ :

{[dd]—| ([ad]² + [ód]² + [cd]²)} kk + w₄—|([ad] (Oj +[bd\ w₂ +[cd]o>₃)=0, a następnie, znając wartość na &₄ :

kx = — i(M*₄ + Wi), k₂ = — l{[bd]k₄ + w₂), k₃ = — |([cd}Ł₄ + u>₃).

§ 6. Przykład wyrównania sieci tryangulacyjnej o znaczeniu lokalnem.

W § 8-ym rozdz. V-go podaliśmy na str. 142. jako trzeci przykład wyrównania spostrzeżeń zawarunkowanych wyrównanie sieci, założonej przez autora we wrześniu 1918. r. nad Morskiem Okiem w Tatrach dla zdjęć stereofoto-grammetrycznych.

Wyrównanie to, mające znaczenie przykładu „szkolnego⁴⁴, jest tak przeprowadzone, jakby należało postępować, gdyby spostrzeżeniami były kąty (niezależne na kaźdem stanowisku).

Ponieważ w rzeczywistości przeprowadzono pomiary metodą kierunkową, przet© obecnie podajemy właściwe wyrówanie sieci, zastosowując równocześnie uwagi, podane w § 5-ym.

Prócz podstawy b = 92-06 m z błędem średnim ±0*9 cm (z ośmiu pomiarów łatami), pomierzono 12 kierunków na czterech stanowiskach sieci: VII, VIII, IX i XI; wyniki tych pomiarów podajemy poniżej.

Stan. VIII.

Stan. VII.

Gel

do !

Kierunki spostrzegane

Kąty

Cel

do

Kierunki

spostrze

gane

Kąty

XI

0° 0' 0"

49°15'02-"5

VII

0° 0' 0"

a1.2

48°31'02"-5

IX

49 15 2-5

XI

48 31 2-5

*4.5

VIII

128 13 47-5

78 58    45-0

*2.3

IX

88 28 12-0

39 57    09-5

*5.6

Stan. XI.

Stan. IX.

Kierunki spostrze-°-° gane

Cel

Kąty

Cel

do

Kierunki

spostrze

gane

Kąty

VIII

0° 0' 0"

12°33'07,,/5

10

IX

0° 0' 0"

*7.8

15°37'18"-0

VII

12 33 7-5

11

VIII

15 37 18-0

*10.11

9 1 XI

124 25 30-0

111 52 22-5

*8.9

12

VII

18° 52 35*5

3 15    17-5

*11.12

Ponieważ mamy tu tylko jedną podstawę, a sieci nie nawiązywano do tryangulacji państwowej (w .obec czego niema. warunków nawiązania)■, wyznaczymy ilość warunków z równania

w= 2 + ^ —3p+pw-+-4:. l% = l=6, Zx = 0, p=pi=ó, pw— 0, zatem w= 12 —12+ 4=4.

X/

V//

.3

//

5/

Fig. 33.

Z tego będzie w^—l^—2?i+ 1 = 6—4+1 = 3 [warunki trójk. (polig.)] i wb—l—2^> + 3=6—8 + 8=1 (warunek boczny).

Warunki trójkątowe obierzemy ściśle wedle sposobu, podanego w § 5-ym, a warunek boczny ten sam, jak w trzecim przykładzie § 8-go rozdz. V-go str. 143).

o)₄=+13"-0.

Spółczynniki (i w₄) warunku czwartego otrzymamy najwygodniej na podstawie następującego rachunku schematycznego.

W obec czego będą poszczególne odchyłki w: tói=ai.2+aii.i2—«5.e—*7.8= 52°30'20"-0 — 52°30'17"-0 = + 3"-0, W2=a2.3+«4.5—«8.9—ai0.ii=127°29'4?/,-5—127°29'40,,-5= + 7"-0, w₃=ai.3+a4.6 + a7.9+aio.i2 — 360°= 360°00'05"-0—360° =+ 5"-0, (z § 8-go rozdziału V-go)

(Punkt środkowy: VIII).

| Poprawka | log na 1"

9-895165

9-337114

9-430211

— 1-7 + 9-4 + 7-6

logsinai.3 =log sin 128°13'47//*5 logsina7.₈ = log sin 12 33 7*5 log sin aio.n=logsin 15 37 18-0

Poprawka log na 1"

logsina₂.3 = log sin 78°5'8/45,/-0 logsina7.g = logsinl24 25 30-0 log sin aii.i2=log sin 3 15 17-5

9-991916

9-916384

8*754177

4- 0-4

1-5

4-37-0

28-662477

28-662490—28-662477= 4-0-000013; zatem (w jednostkach 6-go miejsca log.) w₄= 4-13*0.

Łącząc ze sobą spółczynniki przy tychsamych poprawkach, otrzymamy czwarte równanie odchyłek w jednostkach 6-go miejsca log:

4-1*7^+ 0*4$₂—2*1 8₃ —10-9 S₇ 4-9-4 8₈ +1 5 8₉ —7-6 8l₀4-44-6 8n—37-0 8lg 4-

+ 13-0=0.

Dodając do niego 3 pierwsze, urobione wedle wskazówek. § 5-go, otrzymamy 3 równania odchyłek w zestawieniu schematycznem:

'5

'6

80    8

*10

*11    *12

O)

-1 4-1

4-1

4-4-

4-1 -1

-1

+1

4-1

4- .

-1

4-1 -1

4-1    -1

+1

4-1

4-1-7 4-0-4

—2-1

—10-9 4-9-4 4-1-5

—7-6 4-44-6

-370

+13-0

Prócz wyrównania powyższej sieci wyznaczymy także i błąd średni (po wyrówn.) boku B (patrz fig. 33); ponieważ

sin «₄.5 sin an.i2 ’

—0-0052 ,

B=b

przeto:

B ł '

0 g °4 5=

B    B

-^Tyctgan.i2= 4-0*1036, F₁₂=—ctgan.i₂=

^5 =

—ji ctg “4.5— 4-0-0052,

P

—0-1036.

Fn =

(Porówn. odnośne pozycje w przykładzie 3-cim § 8-go rozdz. V-go, str. 145.). Równania korelat przedstawiają się w zestawieniu schematycznem:

Jc%

Jc₃

Wyrazy

wolne

8-0

8-0

8-0

— 103-2

— 46-8

— 20-8

—    103*2

—    46-8

—    20*8 4-3632-8

4-3*0

4-7-0

4-5-0

4-13*0

(=0)

(=0)

(=0)

(=0)

— 95*2

—38-8

— 12-8

4-3462-0

4-28-0

(=0)

Powołując się na

wzory § 5-go, wyznaczymy &₄ z równania:

{[dd]—i ([ad]² 4- [bd]*+[cd]²)} &₄ 4- w₄ —([ad] <o₁ -f [bd] w₂ 4- [cd] co₃) = 0,

mianowicie:

[<^1=3632-80

[drf]²: 8= 1331*28 [M]²:8= 273-78 [cd]²:8=

54-08

[ad] Wj = — 309-60 [tó](»₂=_ 327-60 [cd] w₃ =—104-00

—741-20:8=—92*65

1659-14

3632-80—1659-14=1973-66 k₄ = —0-05353,

1973-66A:₄ 4-13-0 + 92-65=0,

następnie obliczymy hv *₂ i *₃ :

1-06554,

jc _ Q>t+Mh

1*18815,

w₃ -\-[cd] kt

0-76418.

ks —

Sprawdzając z powyźszemi wartościami na * równanie sum, otrzymamy:

—95-2^—38-8*2 —12-8*₃ + 3462-0*₄ +28-0= 101-4394+46-1002 + 9-7815 —185-3209+28-0=+0-0002.

Poprawki 8, obliczone na podstawie równań

8j=ai *j + ói *₂ + <?j *₃ + di *4, są:

8t = + l"-789,    8₄= +l,/-952,    8₇ =+0//-281,    8₁₀ = — 0"-017

§ — +0-101,

8₃ = —1-840,

Poprawki te spełniają wszystkie 4 warunki w przybliżeniu do zera, powodując odchyłki zaledwie na 3-ciem miejscu:

[a8]+Wl = — 0-003, \b 8] + u)₂= +0-001, [c8] + a)₃ =+0-002, [d8]+a)₄=+0-007, Bezpośrednie obliczenie [88] z błędów powyżej wymienionych dostarcza nam:

[88]= 16-033,

kontrolny wzór: [88]=—to*=16-031 (zgodność dostateczna); w obec czego otrzymamy błąd średni jednego kierunku:

8₅ = —2-254, 3₆ =+0-302,

S₈ = —0-625, S₉=+0-344,

8j j = —0*134 8t2 = +0-151.

/16-0328

m—y 4

t2"-02.

Zestawienie kierunków i kątów wyrównanych.

Stan. YII.

Kierunki

Kąty

XI

0° 00' 01"-74

49° 15' 00"-86

IX

49 15    02-60

*1.2

78 58 43-06

*2.3

Kierunki

VII

XI

IX

Stan. VIII.

0° 00' 01"-95

48 31    00-25

88 28    12-30

Kierunki

VIII

VII

XI

Kąty

48°30'58"-30

39° 57    12-05

Stan. IX.

Kąty

*4.5

*5.6

0° 00' 00"'28

12 33    06-87

124 25    30-34

12° 33' 06"-59

111 52    23-47

Stan. XI.

*7.8

*5.9

Kąty

Kierunki

10

IX

359° 59' 59"-98

15° 37' 17"-89

*10.11

11

VIII

15 37    17-87

12

VII

18 52    35-65

3 15    17-78

*11.12

1214-64 m.

Długość loku VII—XI, obliczona przy pomocy kątów wyrównanych, wynosi sin 48°30'58"-30

sin 3°15'17"-78

Błąd średni (po wyrównaniu) długości (B) obliczymy na podstawie wzoru: H-²(b)

[«F]

[IF.iy    [cF. 2]² [dF. 3]

przyczem

[„]=[&!,. !]=[«•2]=8, [6F.1]=[6J], [cF.2]=[cF\,

[aa]

[bb. 1]

[cc. 2]

[d+3]

= —0-2020, = — 0-0932, = — 0-0984

[aF]= +0-0052—0-1036—0-1036 [bF]= +0-0052 + 0-0052—0-1036 [ciP]= +0-0052—0-1036 [dF]= +44-6 x 0-1036 + 37-0 x 0-1036= +8-4537g.,

[<ŁF] = +8-45376 2*60580

[iad\ [aF]

\bd\ [6^]

0-54522

[cd] [cF]

0-25584

[dF .$]= + 5-04690,

[dd. 3]= 1973-66 (spółczynnik przy &₄ po wyeliminowaniu kv kv kz) [dF. 3]²: [dd. 3]=25-47120 : 1978-66 = 0-01291,

[FF] =    0-02152

[aF]

►w 00

0-00510

0-00109

[cF]

■0-00121

^'=(^0-00121 = ±0-0703 m V‘\B)=d~ 7-0₃ cm.

,= —0-01291

[dF. 3]2 [dd. 3]

[FF.4i\= +0*00121,

na

Błąd jest to błąd średni (B), pochodzący z tryangulacji; chcąc wyznaczyć całkowity błąd średni tego boku, wynikający tak z tryangulacji jak pomiarów długości b, należy uwzględnić jeszcze wpływ błędu podstawy b bok (B).

Ponieważ (B) :b —1214-64: 92-06= 13-194, a ^=±0-9 cm, przeto:

(x//(g)=±13-194 X 0-9 cm—-4-11‘83 cm.

Całkowity błąd średni długości (B) jest zatem:

cm.

^ = ^7-03²-f 11-832 cm=±13-7₍

Jak tedy widzimy, przeprowadzono pomiary tryangulacyjne znacznie dokładniej, niż pomiary długościowe, co tłumaczy się użyciem zwyczajnych łat mierniczych do pomiaru podstawy.

B)

§ 7. Nieco o rozmierzaniu kraju. Powierzchnia odniesienia.

Rodzaje sieci I-rzędnych.

Rozmierzanie kraju polega na wyznaczeniu sytuacji punktów, oznaczonych na terenie w sposób trwały, na podstawie pomiarów, dokonanych w sieci je łączącej.

W tym celu obieramy pewną powierzchnię (dającą się matematycznie określić) jako podłoże i odrzutowujemy na nią wszystkie punkty, zaznaczone przez nas na terenie.

Powierzchnię tę nazywamy powierzchnią odniesienia.

Wielkości, które nam oznaczają położenie rzutów owych punktów na przyjętej przez nas powierzchni odniesienia są długości i kąty, mianowicie odległości rzutów poszczególnych punktów i kąty między niemi zawarte.    .    .

Przy rozmierzaniu kraju obieramy jako powierzchnię odniesienia elipsoidę obrotową spłaszczoną o wymiarach, wyznaczonych z dotychczasowych pomiarów stopni południków.

Elipsoid takich mamy kilka ¹). W Europie zastosowujemy zazwyczaj elipsoidę Bessela, utworzoną na podstawie pomiarów 10 południków, a to głównie dlatego, że mamy dla niej obliczoną największą ilość tablic pomocniczych.

Po wyborze elipsoidy odniesienia musimy ją jeszcze ułożyć w pewien ściśle określony sposób względem punktów, zaznaczonych na obszarze zdjęcia.

ma

Przypuśćmy, że przystosowanie elipsoidy odniesienia do obszaru zdjęcia nastąpić w punkcie P.

O ile punkt ten leży na geoidzie zerowej (w poziomie morza), wówczas przykładamy do niego tak elipsoidę, aby kierunek normalnej do elipsoidy zlewał się z pionem pnnktu P, a oś biegunowa elipsoidy zachowała połoienie równoległe do kierunku osi obrotu ziemi; w tym przypadku będzie astronomiczna szerokość geograficzna (otrzymana z obserw. astron.) punktu P identyczną z szerokością geograficzną tego punktu na elipsoidzie odniesienia.

Gdy punkt P nie znajduje się na geoidzie zerowej, przykładamy elipsoidę do punktu P₀, znajdującego się na geoidzie w pionie punktu P, przyczem normalna do elipsoidy w punkcie P₀ musi się zgadzać z kierunkiem pionu punktu P.

na

nego

runkiem boku sieci tryangulacyjnej (I-rzędnej), oraz długości geograficznej

Z przytoczonych tu uwag wynika, że w państwie, w którem zamierzamy przeprowadzić tryangulację, obejmującą cały jego obszar, obieramy jeden punkt P, jako punkt wyjścia i dostosowujemy w nim przyjętą przez nas elipsoidę odniesienia; w tym celu musimy przeprowadzić tym punkcie pomiary: szerokości geograficznej (astron.), azymutu dowol-kierunku, wychodzącego z owego punktu, będącego zarazem kie-

o ile możności —

(astronom.)

• Aby rozmierzanie kraju przeprowadzić w sposób — jednolity, a zarazem nie obliczać i nie wyrównywać zbyt wielkich i zawiłych sieci tryangulacyjnych, należy nadać najgłówniejszej sieci taki kształt, by obejmowała jaknajwiększe obszary, nie składając się ze stosunkowo znacznej liczby punktów. Sieci tej nadajemy przeto ogólny kształt wieńca, opasującego znaczny obszar kraju i stąd jej nazwa sieć

„■wieńcowau.

i) Prócz wspomnianej elipsoidy Bessela (1841) używano także elipsoidę Clarkea (1880)- w nowszych czasach podali Hełmert (1907) i Hayford (1909) wymiary elipsoid na podstawie dalszych pomiarów; którą z elipsoid obierzemy przy rozmierzaniu pewnego kraju, jest dosc obojętne.

Sieć wieńcowa musi zawierać w sobie punkt P o znanych spółrzęd-nych geograficznych i bok o wyznaczonym azymucie.

Dla wyznaczenia długości poszczególnych boków nie mierzymy prawie nigdy jednego z nich w całości, lecz zakładamy osobną podstawą (bazę), której długość mierzymy bardzo starannie przyrządami precyzyjnemi.

Z podstawy przechodzimy szeregiem trójkątów do jednego boku sieci wieńcowej, podobnie jak to miało miejsce przy sieciach o znaczeniu lokalnem; sieci, służące temu celowi, nazywamy, jak wiadomo, siećmi podstawowemi.

Ponieważ sieć wieńcowa pozostawia wewnątrz wielkie obszary, nie objęte pomiarami, przecinamy je siećmi „łącznemiil.

Sieci te, nawiązane obu swemi końcami do boków sieci wieńcowej, zachowują zazwyczaj w całej swej rozciągłości mniej więcej jeden kierunek i zmiejszają znacznie obszary, nie objęte tryangulacją.

Mimoto pozostają jeszcze nieuwzględnione dość znaczne obszary, na których zakładamy sieci wypełniające, które w pewnych przypadkach mogą redukować się tylko do poszczególnych punktów. ,

Sieci I-rzędne mogą być zatem siećmi:

a)    wieńcowemi,

b)    łącznemi,

c)    wypelniającerini.

Pierwsze dwie grupy sieci wyrównujemy każdą z osobna zazwyczaj jako spostrzeżenia zawarunkowane; natomiast w wyjątkowych przypadkach, w których przeprowadzam}⁷- wyrównanie obu sieci a) i b) równocześnie, może się okazać wskazane zastosowanie metody spostrzeżeń pośrednich.

Sieci, należące do grupy c) wyrównujemy, albo w sposób, podany w rozdziale X-ym, albo metodą spostrzeżeń zawarunkowanych; zazwyczaj wypadnie tu korzystniejszą metoda wyrównania spółrzędnych (wedle § 8-go rozdz. X-go str. 260.), a tylko wyjątkowo metoda spostrzeżeń zawarunkowanych (ze względu na liczne warunki nawiązania).

Dodać jednak należy, że równoczesne wyrównywanie systemu, złożonego z sieci a) i b), jako zbyt wielkiego, nie jest wskazanem, a to ze względu na to, że mały błąd, który mimo wszelkich rachunków kontrolnych może pojawić się czasami w obliczeniach, obraca wtedy w niwec pracę kilkunastu lat, gdyż powoduje fałszywe wyniki w całej sieci, złożonej z systemów a) i b).

Sieci rzędów wyższych, jako sieci wypełniające, należy wyrównywać wedle sposobu, podanego w § 8-mym rozdz. X-go; wyjątkowo tylko mogą zajść przypadki, w których okazałoby się korzystniejszem przeprowadzenie wyrównania sieci Il-rzędnej metodą spostrzeżeń zawarunkowanych.

§ 8. Wpływ metody spostrzegania na postępowanie przy wyrównaniu

sieci tryangulacyjnej.

Przy tryangulacji pierwszorzędnej używamy dziś prawie wyłącznie metody pomiarów kątów we wszystkich kombinacjach (patrz § 4-ty rozdz. IX-go str. 195.), a to głównie dlatego, że metoda ta dostarcza nam kątów względnie kierunków, które wolne prawie zupełnie od błędów systematycznych, mogą być użyte jako niezależne spostrzeżenia do wyrównania sieci tryangulacyjnej.

Dawniej posługiwano się przeważnie metodą kierunkową (Bessel), choć nie brak i w nowszych czasach tryangulacyj, dokonanych tą metodą.

Metoda ta, nie rugująca błędów systematycznych w tym stopniu jak poprzednia, dostarcza nam także na każdej stacji kierunków niezależnych o wagach równych, o ile spostrzeżeń dokonano serjami pelnemi.

nam z wyrównania stacyjnego kie-ma miejsce wtedy, gdy ilość

Zazwyczaj jest to prawie nie do osiągnięcia przy tryangulacji pierwszorzędnej, tak że serje zamieniają się na częściowe, co powoduje znaczną* komplikację w wyrównaniu stacyjnem i sieci.

Trzeci przypadek, dostarczający runków niezależnych o wagach różnych kierunków stacyjnych wynosi 8. [Por. rozdz. IX-ty § 6 c) (25)].

Przypadek ten niema jednak znaczenia w sieciach I-rzędnych, w których zazwyczaj schodzą się na stacjach conajmniej 4 kierunki.

Z tych to powodów odgrywa metoda Schreibera (spostrz. kątów we wszystkich kombinacjach) tak ważną rolę przy tryangulacji I-rzędnej.

Mimoto należy omówić i te przypadki, w których spostrzeżeń dokonaliśmy innemi metodami, nie dostarczającemi nam na każdej stacji niezależnych wielkości. >.    -

Ma to miejsce przy spostrzeganiu kierunków w serjach częściowych,

lub kątów w różnych, dowolnych kombinacjach.

O ile spostrzegano kierunki w serjach częściowych, należy przeprowadzić wyrównania stacyjne wedle § 6 b) rozdz. IX-go, najlepiej sposobem podanym tam na przykładzie. (Str. 221. i dalsze).

Po przeprowadzeniu wyrównań stacyjnych można przy dalszem wyrównaniu obrać trzy sposoby postępowania.

Pierwszy sposób najdawniejszy, używany przez Bessela, wymaga dla przeprowadzenia dalszego wyrównania utworzenia t. zw. spółczynników przenoszących, [patrz (16) związek § 4-go rozdz. Yl-go AJ], które są zależne od spółczynników równań wag Qi.i, $2.2, i t. d., znanych nam z wyrównań stacyjnych.    ...    _ .    . ,

Kąty, uzyskane wyrównaniami stacyjnemi, nie spełnią warunków

sieci, wywołując w poszczególnych równaniach warunkowych (liniowych) odchyłki co [patrz równ. (6) § 3-go rozdz. Yl-go A) str. 153].

Ostateczne równania korelat tworzymy przy pomocy tak spólczyn-ników przenoszących, jak i spółczynników równań warunkowych [patrz równ. (18) § 4-go rozdz. Yl-go A) str. 159].

Po wyznaczeniu korelat otrzymujemy poprawki kątów stacyjnych ze związków, zestawionych we wzorze (19) § 4-go zacytowanego ustępu.

Przeprowadzenie całkowitego wyrównania tą metodą jest jednak bardzo uciążliwe.

O wiele bardziej przejrzystego, a zarazem prędzej do celu wiodącego sposobu dostarczył nam w nowszych czasach Helmert; sposób ten polega na zastosowaniu równoważnych systemów równań błędów.

"Wyrównanie stacyjne nie musi być przeprowadzone w całej pełni; wystarczy tylko urobić na każdej stacji pozorne spostrzeżenia %1} %₂> %3?••• z odpowiedniemi wagami.

Zamiast wyznaczać poszczególne odchyłki co, odnoszące się do warunków (liniowych) sieci z równań (6) § 3-go rozdz. VI A), wyznaczamy je najszybciej z równań (6*) § 3-go (str. 155.) tego rozdziału, t. j. ze zredukowanych równań odchyłek, w których miejsce wyznaczanych kątów zajmują równoważne spostrzeżenia %1}    i t. d.

Znając wartości poszczególnych odchyłek co, tworzymy równania korelat, których spółczynniki urabiamy przez odpowiednią redukcję spółczynników równań warunkowych sieci. (Patrz z w. (11) i (12) § 3-go rozdz. VI-go AJ str. 154.).

Po znalezieniu wartości korelat wyznaczamy przy pomocy związków. (13) i (3) wartości wyrównanych kątów sieci.

Natomiast, o ile przeprowadzono wyrównania stacyjne z wyznaczeniem wartości przybliżonych kątów, wyznaczamy poszczególne co z równań (6) a dalsze wyrównanie sieci przeprowadzamy przy pomocy równań (10) i (11).

Trzecia metoda (również Helmerta) polega na zamianie wyników wyr. stać. na pełną serję kierunków.

Metoda ta wymaga wprawdzie przeprowadzenia całkowitych wyrównań stacyjnych wraz ze spółczynnikami równań wag $2.2 > Qz.z i t. d., zamienia jednak wyniki wyrównania stacyjnego w serje pełne kierunków (o wagach różnych), a temsamem ułatwia w wysokim stopniu przeprowadzenie wyrównania samej sieci.

Sposób ten podaliśmy dokładnie wraz z' odpowiednim przykładem w § 6c) rozdz. IX-go, str. 223.

Wprawdzie wagi kierunków, dostarczone tą metodą nie są zupełnie ścisłe, o ile ilość kierunków stacyjnych jest większa niż 3, mimoto są wyniki, otrzymane tą metodą, zupełnie zadowalające w porównaniu z wynikami dostarczonemi metodami poprzedniemi.

Szczególnie dobre wyniki otrzymujemy, o ile ilość kierunków stacyjnych jest niewiele większą niż 3, a więc n. p. 4 lub 5. Jest to dość szczęśliwa okoliczność, gdyż sieci wieńcowe i łączne mają przeważnie stacje o 4 kierunkach.

Podobnie ma się sprawa, gdy na stacjach spostrzegano kąty w różnych kombinacjach. Nasamprzód przeprowadzamy wyrównanie stacyjne (jako wyrówn. spostrzeżeń pośrednich) i to albo kompletne wraz z wyznaczeniem spółczynników równań wag, jeżeli dalsze wyrównanie miałoby być przeprowadzone przy pomocy spółczynników przenoszących, lub polegające tylko na wyznaczeniu równoważnych spostrzeżeń %1} %₂, i ich wag, o ile zastosowalibyśmy przy dalszym rachunku sposób Helmerta, podany w § 3-cim rozdz. VI A).

Prócz obu tu wymienionych sposobów można także przemienić wyniki wyrównania stacyjnego w pełną serję kierunków sposobem, opisanym w § 6 c) rozdz. IX-go.

W praktyce należałoby użyć sposobu drugiego (równ. syst. równ. błędów), o ile zależałoby nam na osiągnięciu możliwie największej dokładności (n. p. przy sieciach wieńcowych), zaś sposobu trzeciego przy wyrównaniu sieci I-rzędnych o znaczeniu mniejszem (n. p. krótkich sieci łącznych i t. p.).

Sposobu, podanego jako pierwszy, nie używamy dziś ze względu na wymagany przezeń wielki nakład pracy rachunkowej.

■Obecnie posługujemy się w praktyce najchętniej sposobem drugim.

§ 9. Sieci podstawowe. Wyznaczenie odpowiedniej ilości spostrzeżeń kątów w sieci o danym kształcie.

Jak wiadomo z poprzednich uwag nazywamy siecią podstawową sieć trójkątów, łączącą pomierzoną podstawę b, z bokiem właściwej sieci tryangu-

za pośrednie-na dokładność wyznaczenia

lacyjnej B.

Ponieważ długość boku B wyznaczamy z długości b twem trójkątów sieci podstawowej, przeto długości B mają wpływ: kształt trójkątów sieci podstawowej, dokładność pomiarów kątowych, a także i ilość pomiarów kątów sieci.

Kształt sieci podstawowej zależy przedewszystkiem od warunków terenowych. Nie jest rzeczą łatwą znalesc prostą 5    10 km długą w po

ziomie lub spadku nieprzekraczającym 3%, który należy przyjąć jako możliwie największy przy pomiarze łatami sztywnemi.

nego

Nie badając bliżej wpływu kształtu sieci na dokładność przeniesienia, należy zaznaczyć, że najkorzystniejsze przenoszenie się błędów wykazują sieci t. zw. rombowe, t. j. o kształcie pojedynczego lubpodwój-romba. (Patrz fig. 34-ta a) i b)).

Między

składające się z dwu przystających równoramiennych trójkątów, zbudowanych po obn stronach podstawy b, względnie sieci podwójne, składające się z dwu sieci pojedynczych, zbudowanych symetrycznie jak wyżej.

siećmi rombowemi są najkorzystniejsze sieci: pojedyncze,

Helmert dowiódł¹), że najkorzystniejsze warunki przeniesienia są w sieci rombowej, gdy kąty <p, leżące naprzeciw podstawy, wynoszą 83°82/.

Uwagi tu przytoczone mogą być jednak uważane tylko jako ogólne dyrektywy przy zakłałaniu sieci, gdyż kształt ich zależy, — jak wspomniałem, — głównie od terenu.

Natomiast jest zawsze w naszej, mocy zwiększenie dokładności przeniesienia przez zastosowanie odpowiedniej dokładności przy spostrzeganiu kątów, j ak też przez dokonanie spostrzeżeń poszczególnych kątów w odpowiedniej ilości.

Chcąc zatem uzyskać najlepsze warunki przeniesienia dla pewnej sieci, należy wprzód zbadać, które kąty sieci mają większy, a które mniejszy wpływ przy przenoszeniu się błędu podstawy b na błąd boku B i stosownie do tego każdy kąt sieci pomierzyć odpowiednią ilość razy.

Przeznaczaj ąc na pomiary kątowe sieci pewną ilość spostrzeżeń, wyzyskamy je tylko wówczas w sposób odpowiedni, j eśli w danym przypadku potrafimy oznaczyć takie ilości pomiarów poszczególnych kątów sieci, które spowodują przy zastosowaniu pewnej dokładności stosunkowo najmniejszy błąd boku 13.

aJ

4>

'I

Fig. 84.

— da się, podobnie jak warunek boczny w sieci, wyrazić stosunkiem iloczynów sinusów odpowiednich kątów; jeżeli zatem

Stosunek

B sin («*+<$,•) sin (ai+di) .. .

b sin (ai+<?*) sin (am+óm) ...

(1)

to postępując analogicznie, jak przy warunkach podstawowych, otrzymamy: log —= log sin ai+log sin ar + ... . —log sin log sin am

dft ójc dfm óm .....,

(2)

+ dfi&i+dflól+

przyczem df są poprawki logarytmiczne dla 1", które w tym przypadku, jak w ogóle przy wyrównaniach sieci, dokładniejszych niż rzędu IV-go, należy wziąć na 7-em miejscu log.

*) Fr. R. Helmert, „Stu di en uber rationelle Vermessungen“... III str. 45. Zeitschr. f. Math. u. Pbysik 1868.

Wzór na błąd średni funkcji kątów (kierunków) wyrównanych (por. wzór (18) § 6-go rozdz. Y-go) opiewa:

r^i

1 v J

m: im [a

[fi [“•■] ■[?■*]

(3)

!°gf

Wzór ten możemy zastosować także i dla wyznaczenia błędu funkcji , nadając poszczególnym dĄ znaczenie F:.

Zastępując zatem w dalszych wywodach dfi przez Fi, oraz kładąc dla uproszczenia

Jg

A*=log —— (log sin Wj + log sin cti+.... — log sin ak— log sin am—

czyli

będziemy się starali znaleść dla poszczególnych kątów (kierunków) takie

(5)

AF=[dfd]=[FÓ],

wagi p, aby odwrotność wagi funkcji logy:

1 \FF]

P~[ p J

[?]' [f ■

T aa\ \bb

[—.2

L P

(6j

była minimum.

Wyznaczenie poszczególnych p, spełniających powyższy warunek, przeprowadzamy w następujący sposób pośredni.

Wzór (6) możemy przy r warunkach wyrównania określić także przy pomocy symbolu:

(6*)

H?i

Jeśli jednak we wzorze (6*) położymy pt=—,, a F,=h, przejdziemy

Pi

na

wzór, kontrolujący przy wyrównaniu spostrzeżeń pośrednich sumę

(7)

[p'dd]=[p'll.r]

o ile liczba niewiadomych wynosi r.

Korzystając z analogicznego wyglądu związków (6*) i (7), możemy

położywszy Pi=-^7, utworzyć pozorne równania błędów:

Pi

..4-Fi, o wagach Pi'=—

di=aiI+6jII+CiIII+ • •

Pi

(8)

a na kształtu:

stępnie przez rozwiązanie odpowiadających im równań normalnych

Dr. K. Weigel. Rachunek wyrównawczy.

20

+[?]-«

III 4-..

(10)

wyznaczyć    =    = m^n*

Dla lepszego zrozumienia wytłumaczymy sprawę przy pomocy następującego przykładu.

Przypuśćmy, że równania odchyłek sieci podstawowej, sprowadzone do kształtu liniowego, są następujące:

-f- o, =0 -f- (O 2 ⁼0 -f-w₃ =0 4- ct>₄=0;

(U)

a, $4 -j- a, 4- a, 4-bx &x+bt&%+bt&,+

C1 + C₂ ^ + C₃ &z -f-

d\ 4- d₂ i}₂ 4- dz d₃ +

zaś równanie, powstałe ze stosunku —

■^l^i + ^2 ^2 + ^3 ^3 +

Ze spółczynników równań (11) i (12) tworzymy następujące pozorne równania błędów:

(w kształcie liniowym), opiewa:

=4.

(12)

I d⁻ XI 4~ Cj III 4~ di IV 4-    , —

Pi

Q>2 l4~^2 ll4~c2 III4-^2 1^4“-^2 ⁼ ^2J -

Pi

=Pl

~Pi

cl$ 14~ ó₃ II 4~ c₃ III 4- dz IV 4~ F%— ó₃, —

Pi

~Pi'

(13)

Następnie na podstawie powyższych równań błędów układamy równania normalne {o kształcie równ. (9)} o czterech niewiadomych I, II, III i IV.

Rozwiązanie powyższych równań normalnych dostarczyłoby nam:

|^J=min., jednak dla z góry obranych wag p.

Ponieważ mamy właśnie za zadanie wyznaczyć owe wagi, trzeba przeto zastosować jeszcze następujące rozumowanie, aby dojść do żądanego celu.

Wagi kątów przyjmiemy równe ilości spostrzeżeń, a przeznaczając na całą sieć pewną ilość spostrzeżeń W, otrzymamy warunek :

Równania normalne (9) spełniają przy pewnych przyjętych wagach min.; przy zmianie poszczególnych wag, zmienią się

p warunek

[?]-

spółczynniki równań (9), t. j.

Iaa]

[jy Lpj

i t. d., a w konsekwencji dal-

dd

szej niewiadome I, II,..., poprawki d, a wreszcie i suma

Zmiana poszczególnych p jest jednak ograniczona warunkiem [p]~W, oraz tern, że wagi p mogą być tylko liczbami dodatniemi.

Przypuśćmy, że zestawiliśmy wszelkie możliwe kombinacje wag p, których [p]=W i — zastosowując je do równań normalnych (9), utworzonych z pozornych równań (13) — znaleźliśmy, że ze wszystkich sum

pewna z nich jest najmniejszą, czyli, że obrawszy pewne wagi p,

[f]

r ^ i

znaleźliśmy takie d, które, spełniając J=min., dostarczają nam~=min.

Starajmy się następnie zbadać, w jakim stosunku pozostają ze sobą odpowiadające sobie pi i dt.

W tym celu połóżmy p^w? (na znak, że wagi są liczbami dodatniemi) i szukajmy

uważając znalezione d za wielkości stałe.

Wedle zasad analizy należy wyznaczyć warunki, wynikające z następującego związku:

r ós i

I— =min. z uwzględnieniem warunku [p]=[w²]= IF,

IP J

— PF)=min.,

(15)

dla zmieniających się wartości w.

Otrzymamy zatem n związków, odpowiadających n równaniom błędów, kształtu:

d O

dWi

d,²

na

—f- k² w i, lub wr

di²=k²wii:.

Oznaczając przez | d* | wartość absolutną błędu d,-, napiszemy dalej podstawie równania ostatniego:

| Ói\ = JcWi²: W i

,_\M.

7. J

(16*)

(17)

ponieważ jednak [«>ś²]=TF, przeto

k ’ w ' w, -

Pi = Wi² =

di

[|*|]

oraz

[|*|]

Pi j di |. W’

(18)

(19)

Tworząc z poszczególnych

tecznie:

[?]

•o a. ^

otrzymamy osta-

min.

(20)'

W P

Kształt związku (20) wskazuje, że warunek -^= min. będzie spełniony, gdy [|d|]²= min., względnie gdy

(21)

Ze związków (19) i (21) wynika, że wagi kątów, przyjęte przy tworzeniu równań normalnych, muszą być proporcjonalne do bezwzględnych wartości błędów | ó j, obliczonych na podstawie niewiadomych, uzyskanych z tychże równań normalnych.

Ponieważ analiza nie podaje nam sposobów dla utworzenia [|d ]=min.,. posługujemy się w praktyce sposobem, zdążającym do tego przez stopniowe przybliżanie się.

Jak to wykazał Helmert, muszą wypaść wagi niektórych kątów sieci, (a conajmniej waga jednego kąta) równe zeru, przeto należy po ustawieniu równań błędów zastanowić się, które z wag przyjmiemy równe zeru.

Dla sieci rombowych daje nam w tym kierunku dyrektywy Helmert, wykazując, że kąty po obu stronach przekątni rombów nie mają by© wcale mierzone.

Przy innych kształtach sieci możemy również zazwyczaj korzysta© z doświadczeń, zrobionych w podobnych warunkach.

W przypadkach, w których nie możemy z góry określić, których kątów nie należy obserwować, przyjmujemy wagi wszystkich kątów (kierunków) równe jedności, a po rozwiązaniu równań normalnych, obliczamy poszczególne ó. Wagi kątów (kierunków), dla których wypadły ó bardzo małe w stosunku do innych, przyjmujemy równe 0, zaś wagi innych kątów (kierunków) równe absolutnym wartościom otrzymanych <5; zatem p= <5|. Postępowanie to powtarzamy tak długo, aż | ó |, obliczone z ostatnich równań normalnych, będą w przybliżeniu równe ostatnio przyj ętym wagom.

Właściwe wagi względnie ilości pomiarów obliczamy następnie na

1A1

W.

podstawie związku

Przyjęcie wag kątów (kierunków), odpowiadających bardzo małym | ó jako równych zeru, powoduje ułatwienie rozwiązania równań normalnych, gdyż są to kąty (kierunki) o bardzo małym wpływie na dokładność długości boku B, co się objawia w rachunku przez to, że przeważna ilość społczynnikow równania błędów, odpowiadającego temu kątowi (kierunkowi) jest równa zeru. zeru, wyznaczamy zatem łatwo tyleż niewiadomych, przez co pozostała

Pi [i«i]

(22)

Z równań błędów, których ó przyjęliśmy równe

ilość niewiadomych zmniejsza się z wielką korzyścią dla przeprowadzenia rachunku.

Jeżeli sieć ma kształt rombowy, ułatwiają nam zadanie w wysokim stopniu wskazówki Helmerta.

W sieciach tych należy wedle nich:

a)    nie mierzyć wcale kątów po obu stronach dłuższych przekątni obu rombów,

b)    kąty, leżące naprzeciw dłuższej przekątni rombu małego, pomierzyć tern większą ilość razy, im bardziej są rozwarte,

c)    kąty po obu stronach podstawy mierzonej obserwować stosunkowo małą ilość razy,

d)    kąty w obu rombach naprzeciw podstawy, a szczególnie kąty te rombu drugiego, pomierzyć największą ilość razy i to w tern większej ilości, im bardziej są ostre.

Pozostałe 4 kąty, wiążące romb mały z dużym w obu wierzchołkach mniejszej przekątni dużego rombu, należy wreszcie pomierzyć tern większą ilość razy, im są bardziej ostre.

Inne metody wyznaczania wag kątów w sieciach podstawowych podaje prof. L. Kruger w publ. pruskiego Instytutu geod. *).

§ 10. Przykład wyznaczenia ilości spostrzeżeń kątów w sieci podstawowej.

wraz z obliczeniem

Jako przykład podajemy projekt sieci podstawowej

ilości spostrzeżeń kątów, odpowiadającej najkorzystniejszemu rozwinięciu podstawy, opracowany przez studentów Iii-go roku oddziału mierniczego Politechniki Lwowskiej.

Na podstawie prowizorycznych wyników spostrzeżeń, dokonanych z dokładnością 10,/    20",

a mianowicie:

grupę

(4) =    0° 0'0"

(1)= 0° 0' 0"

St I -1(2)= 74°29'50" St. II (5)= 73°15'0"

(6) = 146°55/0//

(3) = 149°19'50"

4,

(10)= 0° 0' 0"

(7)= 0° 0' 0"

St. III (8)=16°32/10" St.IV (11) = 15°22'10" (9) = 31°50'10"    (12)=31°55/ 0"

10

11

T2

obliczono kąty:

74⁰29'50"

73°40/0/,; a₇ 8=16°32/10,/, a8.₉=15°18'0", = 15⁰22'10", an.i2= 16°32/50";

*1.2*= *5.6 =

a₂ 3=74°50/0"

a4.5=73°15,0"

*10.11

podstawa &==8560,102 m.

Fig. 35.

i) L. Kruger. Ueber d. Bestimmung der Winkelgewichte in Basisnetzen. Berlin 1920. (Yeroff. d. preuss. geod. Institutes).

Sieć podstawowa wymagałaby przy wyrównaniu uwzględnienia czterech warunków, trzech trójkątowych, n. p. z trójkątów (I, II, III), (I, II, IV) i (II, III, IV) i jednego bocznego, ustawionego n. p. ze względu na punkt II jako centralny.

Równania warunkowe we formie linjowej są zatem:

= 0,

1* <*1.2 + a5.6+a7.9 + &2 —    + ^6—^5+^9—^7— 180°

2.    «2.3 +“4.6+*10.12 + ^3— ^2 + ^5 — *4+^12— ^10 — 180°=0,

8.    “4.6+“7.8 +“11.12+ ^₆—^4+^8—^7 +^12⁻¹~^11—180°=0,

4. log sin 0^.2+log sin a₁₀.i2+log sin a₇.₈—log sin a₇.₉—log sin a₂.₃—log sinn.12 + d/i.2 ^2 — d/.₂3l + d/io.i2 ^12 — df10.12 S10 + d/₇.8 $8 — df1.8 $7 — &f 1.9^9 + C?/₇.9^,7 — ^/2.3^3 + d/2.3 $2 — cif n.\2 ^12 + df U.12 ^ll = 0,

(przyczem, jak wiadomo df oznacza poprawkę log na 7-em miejscu log sin af.ft dla 1").

Ostatni warunek da się przedstawić krócej:

4. g>4—dfi.2    + {df2.3—d/i.₂) $2—d/2.3 3s— (df?.₈ — df7.9) 3₇ + d/₇.₈ 3₈ +

—d/7.9 •%—d/10.12 3io+d/11.12 -^ii—(d/11.12—d/10.12) 3'i2=0.

Po wstawieniu wartości liczebnych poszczególnych df, otrzymamy ze względu, źe

d/i.2=5*8, d/₂.₃=5,7, d/₇.₈=70*9, d/₇.₉= 33-9, d/i₀.i2=33-8, d/n.i₂ + 70-9:

4. 5-8+11 -55*7    -37*0 3₇ + 70-9    -33-9 3₉ — 33-8 3₁₀ + 70-9 3n +

—37-1 3'j2-f~o>₄ = 0.

Funkcja: log — = log

B. (I-III)

sin ai,₃ sin «₅.6 sin 0c10.11 sin a₇.9 —d/5.6—d/io.ii^n + ^/io.ii 3io—d/₇.₉ S₉ + d/7.₉ 3₇;

(I-III). &

log

+■ d/1.3 ^3—d/1.3 Ji + d/5.6    +

zatem równanie dodatkowe będzie we formie skróconej, po uwzględnieniu wartości liczebnych poszczególnych df, ponieważ d/i.3=—35*5, df^=6'l, d/io.ii= 76’6 : o. A=35-5    — 35-5 S₃ — 6-1 3₅ +6-1 3e +33*9 S₇ —33-9 3₉ + 76-6 3₁₀ +

— 76-6 3n.

Przy pomocy spółczynników owych pięciu równań tworzymy pozorne równania błędów, przyjmując wagi kierunków w myśl uwag Helmerta:

1 1 11 iii

(a) \ (b)    (c)

IV

(d)

(F)

*1 = -¹

5-8

+ 35-5

+ 11-5

+1

5-7

— 35 5

o? o? o?

OJ 01    #>

ł—¹ h-Ł

6*1

+ 6-1

S7

’9

—37-0 + 70-9 — 33-9

+ 33-9

—33-9

*10

11

12

+ 1 +1

—    33-8 + 70-9

—    37-1

+ 76-6 — 76-6

OOOOO OOOOO rf^ł^cn ^h^OT I ^

(Suma spółczynników na każdej stacji równa się zeru).

Wagi kierunków wynikają z ilości spostrzeżeń kątów, które przyjęto: *1.2=1, +3=4, *4.5,= 1, *4.6=4, +8=0, +9=8, *10.11 = 0, *11.12 = 8, w obec czego wagi kierunków, odpowiadające ilości spostrzeżeń, są:

i+=*1.2 + *1.3 = 5, P% =*1.2= 1, p₃ =*1.3=4, p₄ = *4.5 + *4.6=&, Ph =*4.5=1, P6~*4.6 = 4, p₇ — *7.8+ *7.9= 8, p₈ =*7.8 = 0, pQ = *7.9 = 8, pi 0 = t’io.11 + *10.12 = 8,

i>n =*10.11=0, P\₂ =*10.12=8.

Z powodu przyjęcia jj₈=pn = 0, są wedle uwag, przytoczonych w § 9-tym,

także i:

s8 — ^11 — 0.

Okoliczność ta daje nam możność wyznaczenia obu ostatnich niewiadomych IV i III z odpowiednich równań błędów, a mianowicie:

111+709 IV=0 —III + 70-9 IV—76-6 = 0,

w obec czego

IV=76-6:141-8 = 0-5402,

111= —70-9 x 0-5402 = —38-300.

Wartości te, wstawione do poprzednio ustawionych równań błędów, przekształcają je na równania o dwu niewiadomych.

Poniżej zestawiono w ten sposób zredukowane równania błędów, dodając w zestawieniu schematycznem wagi p\ i ich odwrotności, przyjęte do wyrównania

odpowiadające

I-go, Bi, wynikające z pierwszego wyrównania, oraz

Pu

wyrównaniu powtórnemu. .

II

Wagi dla wyr.

(P)    (*')

I-go

Pl

Wagi

dla wyr. zornewyi-. n.g^

I-g° §i pn

Błędy po-

₁ Błędy po-— zornewyr. pu Ii-go Sn

o? <y? ęy/

co to - -

tH tH

.    +32-367

-1 + 6-212 + 1 —38-579

05 O

cb + ó

0-143    —    7-12

10-000 + 0-06 0-145    +    7-06

— 1 +88-300 — 1    +1    — 6-100

S₆ =    +1    .    —32-200

— 1    .    +52-213

.    —52-213

B.=

0-200    —    7-26

1-000 + 0-06 0-250    +    7-20

0-125    +12-81

0-125    —12-81

-00-0 to + cb

13-0

13-0

0-077    +12-72

0-077    —12-72

*io

12

— 1 +58-341 + 1 —58-341

co 00

0-125

0-125

+ 12-78 — 12-78

13.0

13-0

0-077    +12-70

0-077    —12-70

= 79-76

[|8|]n =79-76

.Równania normalne pierwszego wyrównania są:

2-700 1—2-000 11—15-265 = 0 — 2-000 1+2-700 11—44-207 = 0

Wobeę tego przeznaczamy 440 spostrzeżeń, t. j. nastawień na cel, dla powyżej omówionej sieci. (Gdybyśmy mieli podstawę przypuszczać, że fjt₀ będzie większy, lub chcieli uzyskać dokładność większą niż 5:750000, należałoby zwiększyć odpowiednio liczbę spostrzeżeń).

jedną serję przypada 4 nastawienia,

na

zaś wartości niewiadomych:

1=39-401, 11=45-559.

Po wstawieniu tych wartości do równań błędów otrzymamy powyżej wyszczególnione 3i (t. j. z pierwszego wyrównania), których wartości bezwzględne, odpowiednio zaokrąglone, przyjmujemy jako wagi dla wyrównania drugiego (pn)-Ze względu na zmienione w ten sposób wagi zmienią się równania normalne Ii-go wyrównania na następujące:

20-4321—20-00011+105-992 = 0 — 20-0001 + 20-43611—142-934 = 0.

Równania te dostarczają nam następujących wartości niewiadomych: 1=39-489,    11=45-642,

przy pomocy których obliczamy 3n (błędy pozorne wyrównania drugiego).

Suma [| 8 J] jest w obu przypadkach jednakową i wynosi 79-76; okoliczność ta (jakoteź minimalne różnice między przyjętemi wagami pU} a bezwzględnemi wartościami | in j) jest dowodem, że osiągnęliśmy [j8j] = min.

Aby wyznaczyć ilości spostrzeżeń kątów sieci podstawowej, należy przyjąć pewną stałą ilość spostrzeżeń (nastawień na cel) W.

Chcąc tę ilość przyjąć odpowiednio, należy ją tak dobrać, aby błąd boku B przy przyjęciu pewnego błędu kątowego p.₀ nie przekraczał pewnej przez nas ustalonej maksymalnej granicy.

Długość B, obliczona przy pomocy prowizorycznie pomierzonych kątów i podstawy ó, wynosi:

B=b

sin aL3 sin a₅.₆

sin a₇.₉ sin a₁₀.n

= 29970-924 m.

Nie chcąc, aby błąd boku B, pochodzący z tryangulacji, przenosił n. p. B: 750000, przyjmiemy

p.K=—1-0*04 m.

Zmianie długości B o 0-04 m, odpowiada zmiana log o 5‘8 jednostek na 7-em miejscu log.

Jeżeli

4-4767001

Mąd io« (Ł)

który oznaczmy przez p?jB, wynosi ±5*8, a średni

błąd jednostkowy kątowy p.₀ = Hbl"-5 (przyjęcie dość niekorzystne), otrzymamy ze względu na związek

0Si]

-L

1-5

79-76

425-5 x).

J) Liczba ta ma być ze względu, że a ilość seryj musi być parzystą, podzielną przez 8.

Ilość spostrzeżeń 7 poszczególnych kierunków otrzymamy zatem :

W

[|*|]

dla kierunku i — 7t— | 8; [

[|*|]

k- lk= |8*

[I⁸!]

, i t. d.

Ponieważ chcemy wykonać pomiary kątowe, a nie kierunkowe, należy przejść na kaźdem stanowisku z kierunków na kąty.

Uskuteczniamy to^ biorąc na uwagę na kaźdem stanowisku 8 o znakach dodatnich i ujemnych i przeznaczając dla każdego kąta taką samą ilość dodatnich jak i ujemnych 8, zamienionych oczywiście również na dodatnie. I tak biorąc na uwagę stanowisko I, otrzymamy, ze względu, że

8₁₌= — 7.12, 8₂ = +0*06, 8₃=+7-06,

ilość nastawień przeznaczonych

dla kąta ai.2

Ii.2=2 8

[|*|]

= 0-06.

zaś dla kąta

^1.3=2 | 8₃

tmi

7-06

tO

mr

Postępując w ten sposób na wszystkich czterech stanowiskach, wyzna-

2 W 880

czymy poszczególne Ii%lc ze względu na

11-03:

[| 8 |]    79-76

7i.₂=0-66, ^.3= 77-87, 7₄.₅=0-55, 7₄.₆=80-41, 7₇.₉=140-30, /₁₀.₁₂= 140-08, przyczem jako kontrolę mamy związek 2 7= TU=440.

Z ilości nastawień obliczymy następnie ilość seryj dla każdego kąta, uwzględniając, że obserwowanie kąta w jednej serji wymaga czterech nastawień [dwu w jednem, dwu w drągiem położeniu lunety (w kierunku odwrotnym)].

Dzieląc uzyskane poprzednio liczby przez 4, otrzymamy ilość seryj. Aby jednak ilości seryj były liczbami parzystemi, a najmniejsza ilość seryj była równa 4, zaokrąglamy odpowiednio ścisłe wyniki obliczeń, jak to uwidoczniono w następującem zestawieniu.

Ilość

Kąt a

nastawień seryj ! seryj usta-teoretyczna teoretyczna {łona ostat.

rH rH

/•-S    /-S /•-\ /--N

(N CO CD H

0-66

77-87

0-55

80-41

140-30

140-08

t> l> tH O 00 (N

H ^ H H O O

6 ó ó ó ió th co 00

03 03 tO

to to O ^

2    439-87

109-98

110¹)

O ile możnaby przypuszczać, że z powodu nie dość licznej ilości spostrzeżeń [a₀ przekroczy wartość 1"*5, należałoby ilość nastawień, a tem samem i seryj odpowiednio zwiększyć, gdyż błąd długości B byłby wówczas większy od B : 750000.

Ponieważ prócz błędów tu omawianych wpływa na dokładność wyznaczenia długości B także i błąd pomiaru podstawy 6, przeto jest wskazanem, przyjmować dla rombów pojedynczych ilość W conajmniej równą 400, zaś dla rombów podwójnych conajmniej równą 1000.

Przypuszczalny błąd średni wyrażenia log -—, a zarazem i log B (ze względu

b

na przyjęcie postawy b jako bezbłędnej) będzie w jednostkach 7-go miejsca log:

^o—=k3‘8024p,₀ -

[1811    79-76

o ile zatem p,₀—1//-5, wynosi ^=±5-703 (na 7-em miejscu log.*).

Długość B, obliczona z kątów obserwowanych prowizorycznie, wynosi

loe(Ł)

29970-924 m,

— 4-4767001.

Jeśli zatem wyznaczyliśmy poprzednio W—4A0 dla [x₀=l"-5 i jjljj : B= 1 : 750000, powinniśmy otrzymać obecnie B z tą właśnie dokładnością.

Zmianie długości B o 1 m odpowiada zmiana logarytmu o 145 jednostek

o 5*708 jednostek 7-go miejsca od-

7-go miejsca, zatem zmianie logarytmu

powiada zmiana B o —— X 5-703 m = 0*0393 m, t. j. \>.B : B= 1 : 760000, a za-145

tem <1:750000.

Eachunek ostatnio przeprowadzony jest tylko kontrolą rachunkową, czy przyjęcie W—4:40 było odpowiednie dla dokładności B.

Błąd średni \iB nie jest jednak całkowitym błędem długości B; dla otrzymania całkowitego błędu średniego należy uwzględnić obok błędu tu obliczonego, pochodzącego z tryangulacji, jeszcze błąd, powstały wskutek bezpośredniego pomiaru podstawy, pomnożony przez stosunek powiększenia

Oznaczając błąd długości B, powstały z tryangulacji, przez fit, zaś błąd podstawy (z pomiaru bezpośredniego) przez fip, otrzymamy całkowity błąd średni wedle wzoru

Po wyznaczeniu ilości seryj dla każdego kąta należy sporządzić plan przeprowadzenia spostrzeżeń (obserwacyjny) każdego kąta.

Dla wyrugowania błędów systematycznych i przypadkowych podziału limbusu postąpimy tu analogicznie, jak przy spostrzeganiu metodą Schreibera.

Jeżeli ilość seryj pewnego kąta wynosi s, to ilość pomiarów tegoż kąta (obserwacyj lewego i prawego ramienia) jest 2s, co odpowiada przy metodzie Schreibera ilościom v i 2v.

Kładąc s=v, możemy zastosować plany spostrzeżeń, przedstawione w § 4-ym rozdz. IX-go (str. 201 i d.), oraz wszelkie wzory tam wyprowadzone.

Zamiast spostrzegać kąt w każdej serji w obu położeniach lunety, obserwujemy go 2 razy, zmieniając jednak kierunek pomiaru (tam i z powrotem), przez s/₂ seryj w jednem, a przez dalszych s/₈ seryj w drugiem położeniu lunety. Jestto sposób używany przez Schreibera.

Zdaniem autora j est lepiej spostrzegać pewien kąt a raz bezpośrednio, a drugi raz w tern samem położeniu lunety pośrednio przez obserwację kąta (360—a), gdyż w ten sposób ruguje się błąd systematyczny, powstający przez przesunięcie się limbusu pod wpływem ruchu alhidady.

Prócz tego przy pomiarze więcej kątów na pewnem stanowisku, nie należy spostrzegać więcej niż raz pewnego kierunku na temsamem miejscu limbusu.

oma-

W myśl tych uw£g będzie 'plan obserwacyjny kątów dla poprzednio wianego przykładu następujący:

Stano- Kąt wisko

Ilość

<Z®=

® seryj

pomia- =

rów

180®

Podwójne pomiary w położeniu lunety

I-em

Il-em

I    (1.2)    4    8 45®

„    (1.3) 18 36 10®

0®

45®

2-5® 2-5®, 12-5®, 22-5®, 32-5®, 42-5® i t. d.

90®

135®

92-5®, 102-5®, 112-5®, 122-5, 132-5 i t. d.

(4.5)    4    8    45®

(4.6)    20    40    9°

0°

45®

4-5® 4-5®, 18-5®, 22-5®, 31-5® 40-5° i t. d.

90°

185°

94-5®, 108-5®, 112-5®, 121-5®, 130-5 i t. d.

III (7.9)    32    64    5®37'-2

5-37', 11®04', 16®42',    95®37', 101®04', 106®42/,

22®19 i t. d.    112019' i t. d.

IV (10.12) 32    64    5®37-'2

§ 11. Sieci wieńcowe.

Jak już wspomnieliśmy w § 7-ym, opierają się wszelkie inne siecią założone celem rozmierzania kraju, zazwyczaj na sieci wieńcowej, (fig. 36).

Z tego powodu, jak też i ze względu na znaczną jej długość, musi być siec wieńcowa szczególnie dokładnie pomierzona 1 obliczona.

Pomiary przeprowadzamy dziś prawie wyłącznie metodą Schreibera, mierząc kąty we wszystkich kombinacjach (str. 19B. i d.) i przemieniamy je następnie na każdem stanowisku na kierunki niezależne o wadze około 24.

Wyrównanie sieci wieńcowych można przeprowadzić dwoma metodami: jako wyrównanie spostrzeżeń pośrednich, lub (z reguły) zawarun-kowanych.

Przy zastosowaniu metody pierwszej występują jako niewiadome w ilości 2 (p—2) spólrzędne geograficzne poszczególnych punktów sieci z wyjątkiem dwu początkowych punktów wyjścia, gdyż azymuty geograficzne

♦N»

fNi

OB

ro

iP'

CA

-A

On

NJ

Oo

On

Os

<*>

><

so

ot

<n ><

cc

<o

Os

©O

Oo

Co

O'

*5

O*

ro

Lr.

'Ol

♦NO

07

Cm

On

Ci

OJ

On

c»

ON

CK

Os

NO

O*

On

ON

sS

X)

SR

Nl

Os

On

o\

♦są

ja

On

U

On

Cs

On

CU

>c

Fig. 36.

poszczególnych kierunków, uzyskane ze spostrzeganych kątów, są funkcjami szerokości i długości geogr. odpowiednich punktów. Tym sposobem należy posługiwać się w przypadkach, gdy różnice długości geograficznych między skraj nemi punktami zachodniemi względnie wschodniemi a punktem początkowym przekraczają 8°. O ile różnice te są mniejsze, okazuje się z reguły korzystniejszą metoda druga, przy której przeprowadzamy wy-

równanie najodpowiedniej na płaszczyźnie; wzory Kriigera¹) któremi się wtedy posługujemy, wystarczają jednak tylko, o ile wyżej wymienione różnice długości geogr. nie przekraczają ±8°.

W przypadku, przedstawionym na fig. 36., wymaga użycie metody spostrzeżeń pośrednich rozwiązania 2(25—2)=46 równań normalnych.

Przy zastosowaniu drugiej metody wyrównawczej, t. j. spostrzeżeń zawarunlcowanych występują w sieciach wieńcowych prócz znanych nam warunków sieci jeszcze warunki zamknięcia poligonu i one to właśnie powodują, że wyrównanie przeprowadzamy najkorzystniej po uskutecznionej redukcji kierunków na płaszczyźnie. Ilość warunków sieci otrzymujemy wedle wzoru (3) § 2-go, lub (1) § 3-go.

W sieci, przedstawionej na fig. 36-tej, mamy kierunków pomierzonych 102, punktów (stanowisk) £>*=25, przeto kątów pomierzonych (KO=102—25=77. Ponieważ pw=0, przeto p=Pi-

Wobec tego, że prócz kątów pomierzono jeszcze i jedną podstawę b (względnie otrzymano jej długość z rozwinięcia sieci podstawowej), jest ilość warunków sieci (wedle wzoru (3) § 2-go):

(1)

(w) = 1 + 77—50+3=31.

Ponieważ nie mamy tu warunków nawiązania, otrzymujemy tę samą ilość warunków także przy pomocy wzoru (1) § 3-go (ze względu że *=4 = 51, 4=0, pw=0):

(1*)

w= 102—75+4=31.

Warunków ściśle trójkątowych mamy tyle, ile trójkątów, t. j. 26, natomiast poligonowych: 4—£>» +1=51—25 + 1 = 27.

Różnica ta powstaje stąd, że jeden warunek poligonowy należy do warunków zamknięcia poligonu, jaki tworzy siec wieńcowa.

Ponieważ staramy się, aby warunki zawierały, jaknajmniejszą ilość spółczynników, przeto będzie korzystniej dla rachunku, jeśli uwzględnimy przy wyrównaniu warunek, zawierający kąty poligonu wewnętrznego. Otrzymamy zatem, wychodząc z (pozornego) azymutu podstawy, po przeprowadzeniu redukcji kierunków na płaszczyznę:

**8.4+04—^8+**16.13 + ^13— <^16 + . • • +**98.95 + 095—Ó98 — (9 — 2) 180° = 0). (3) Ilość warunków bocznych określa nam wzór:

(4)

(5)

Wb—l—2 p+3=51—50+3=4.

Dwa z nich wynikają z iloczynu stosunków boków:

i-ii ii-iii    xxiy—xxv xxv-n

* in-iy " ’ xxv-h * i-ii ’

VI—X VIH-X IX-X XI-X XII-X

vnT=x* ix-x -xi-x xn-x* vi-x

zaś dwa dalsze należą do warunków zamknięcia poligonu.

i) Dr. L. Kruger. Konforme Abbildung d. Erdellipsoids in d. Ebene, Potsdam 1912.

O ile przeprowadzono redukcję kierunków na płaszczyznę, dają się i dwa ostatnie warunki przedstawić we formie bardzo prostej, jako rzuty boków wewnętrznego (lub zewnętrznego) poligonu na przyjęte osie układu; zatem, oznaczając boki poligonu wewnętrznego przez s z odpowiedniemi wskaźnikami, zaś przez (aj pozorne azymutjT kierunków, otrzymamy:

(sn.iv +-4n.lv} sin |(a)n.iv +Óh.iv} + {siv.vi+^iv.vi} sin |(a)iv.vi+óiv.vi} + •••

(6)

• • • + { Sxxiv.ii + dxxiv.ii} sin {(a)xxiv.n + dxxiv.n}=0,

(sn.iv +^ii.iv } cos {(a)n.iv+4ii.iv} + {siv.vi+^iv.vi} cos {(0)iv.vi4-div.vi}~K*.

••• + {sxxiv.ii +4xxiv.ii } cos {(a)xxiv.ir+dxxiv.n}=0, przyczem A oznaczają poprawki boków, a <5 poprawki azymutów.

Tak poprawki boków, jak i poprawki azymutów należy zastąpić poprawkami odpowiednich kierunków.

I tak biorąc na uwagę pierwszy wyraz przedostatniego warunku

(7)

{sn.iv + diuv} sin ((a)n.iv + dii.iv} = Viv — Vu,

^zastąpimy An.ivf oraz dn.iv przez poprawki odpowiednich kierunków. Ponieważ

(8)

sn.iv _sii.iv sn.ni_sin csio.n sin 02.3 b sii.m b    sin ais.ie sin 059.10

zaś (a)n.iv= (0)11.1+ ae.4 (przyczem (a)n.i jest azymutem pozornym,. otrzymanym z redukcji azymutu astronom.), przeto

log (sn.iv +^n.iv}=log ft+log

sin aio.11 sin a₂.3

sin 015.16 sin a₉.i₀

f d/10.11 dn +

—d/10.11 dio + rf/2.3 Ó3—rf/2.3 d₂ df[5.16 di6“j~ df15.10 dis—d/9.10 dio-f-

+ d/9.10 dg;

(9)

tak samo jest

log sin ((o)n.iv +dn.iv}=log sin (a)n.iv +rf/‘/iuvd₄—^/'n.wdg.¹).    (10)

Z równań (7), (9) i (10) otrzymujemy

(U)

(yiv—Vu)=log 5n.iv — df2.3 d₂+df2.3 ^3+óf'iu\ ^4— óf'n.iY dó + | -\-df₉so dg—(dfg,io-\-dfio.n) dio+d/10.11 dn+c?/"15.16 dis—d/is.i© dis, /

przyczem

log 5n.iv = log b+log

(12)

sin ttio.ii sin of₂.₃

sin 0515.16 sin a₉. w

flog sin (a)iuv.

Oznaczając zmianę log Sa.iy, odpowiadającą zmianie długości Susy ‘ o lm przez A /Sn.w, otrzymamy, delogarytmując równanie (11):

<*i.k

df"——, w czwartej df'——, df" — -\~.

') Znaki df'ik i df"iJc zależą od tego, w której ćwiartce znajduje się .azymut w pierwszej jest df'—-}-, df"=—, w drugiej df=—, df"=-{-, w trzeciej df'—+,

Vi\—yn— Siny

d/2.3

4 <Sn.iv

Ó₂ 4

df2.3

df' ii.iv

dr n.iv

df' 9.10

4 <Siijv

4Sn.iv

4 <Sii.iv

4 Sn.iv

d₉ +

d/*9.10 ~\-df10.11

4 Sh.iy

^io 4

d/io.ll

4 Sn.iv

*u4

d/l5.16 .

4ŚlUV

d/*15.16 o

¹⁵ 4Sh.iv

(13)

1-5 *

Analogicznie postąpimy z wyrażeniem

{sii.iv 4- 4n.iv } cos {(a)iuv 4- <hi.iv }=®iv—$n •

(14)

Ponieważ

log cos {(a)iuv 4-^n.iv}=log cos (a)iuv4-^/’//n.iv^4—df"ii.iv<5₆> *) (15) otrzymamy, kładąc

sin a₁₀.n sin a₂.3

log    ==log 5 + log

log(a;iv—£n)=log (4V—d/2.3 Ó2+d/2.3 ós+d/^njyó*—df"n.iv 064-

4- df3.1.0 3g — (df3.io+dflo.h) <ho+dfio.n <5n -1- df15.16 3\*,—df15.16 <5i6.

Wprowadzając do rachunku 4Cn.iv, zmianę log Cn , odpowiadającą

zmianie długości Cj o 1 m, przemienimy związek (16) przez delogarytmo-wanie na następujący:

sina₁₅.i6 sin 09.10

4“ log cos (a)n.iv •

(16)

(17)

d/9.10

df2.3

df"

df'' my

4 Ch.iv

df15.16

4 C11.IY

W podobny sposób utworzymy różnice spółrzędnych innych, bezpośrednio po sobie następujących, punktów poligonu wewnętrznego; sumując je, otrzymamy:

X\Y — X\i —

d/2.3

4 C n.iv

d/9.10 + d/10.11

ó₂4

Ó3 4

II.IV

4 Cn.iv -

<ho4

4 Cii.iv

d/10.11

4 Cii.iy

4 Cii.iv

44

-4 Cii.iv

ó₉ -f

ón +

*1.

df15.16

4 C n.iv

^16 •

(18)

X\y—Xn =

Xyi—X\Y =

r1Y 1    ¹

¹¹    4 Cii.iv

rY11    ¹

IV 4 Civ.vi

2dfd

2df3

y\i—yi\=

s"+-~

¹¹    4 S iuv

o^¹ |    ¹

Iv 4 Sv.vii

2dfÓ

2df 3

(19)

Xu—#XXIV =

cl

XXIV 4 Cxxiv.ll

2df3

yu—yxxi\=

sl

XXIV

4 Sxxiv.n

2df3

df

0=(os+2

df

3.

0=COrj-ł-2

W ten sposób będą miały warunki zamknięcia poligonu również kształt liniowy.

AS

x) Patrz uwaga na str. 818.

Zaznaczyć wypada, że tak warunki boczne (5) jak i trójkątowe muszą zawierać kąty, względnie kierunki zredukowane na płaszczyzną, tak że całe wyrównanie przeprowadzamy na płaszczyźnie.

Przeprowadzenie tej redukcji nie należy wprawdzie do rachunku wyrównawczego, mimoto podajemy ogólne zasady, dotyczące tej kwestji, a to ze względu na trudności, które mogą tu się wyłonić.

Najkorzystniej postąpimy, zastosowując Gaussowskie odwzorowanie wiernokątne (hanowerskie) na płaszczyznęx).

W tym celu przeprowadzamy redukcją wszystkich kierunków spostrzeganych do kierunków linij prostych, łączących punkty w płaszczyźnie odwzorowania.

Ponieważ wzory redukcyjne kierunków zawierają spółrzędne płaskie odnośnych punktów, musimy mieć do dyspozycji dostatecznie przybliżone spółrzędne płaskie poszczególnych punktów sieci.

Postępowanie będzie zatem następujące.

Przypuśćmy, że wyznaczyliśmy w punkcie II-gim (patrz fig. 36-ta), przyjętym jako początek układu spółrzędne geograficznego oraz «n.i, azymut kierunku ILI. Znając z rozwinięcia sieci podstawowej długość II—I równą b (zredukowaną na poziom morza), obliczamy spółrzędne geograficzne, oraz spółrzędne płaskie punktu I-go.

Po wyznaczeniu przepełnień sferycznych w poszczególnych trójkątach, jest wskazane przeprowadzić prowizoryczne wyrównanie kątów w trójkątach, aby przy ich pomocy obliczyć z dostatecznem przybliżeniem tak spółrzędne geograficzne²), jak i płaskie wszystkich punktów sieci.

Po uskutecznieniu wyżej wspomnianej redukcji wszystkich kierunków spostrzeganych, przeprowadzamy wyrównanie sieci na płaszczyźnie, najlepiej sposobem, podanym przez Krugera³). Jestto t. zw. wyrównanie grupami.

Sposób ten przedstawia się w ogólnych zarysach następująco.

*) Patrz: Dr. L. Kruger. „Konforme Abbildung d. Erdellipsoids in d. Ebene“r Potsdam 1912. lub Kruger, „Formeln z. konformen Abbildung d. Erdellipsoids in. d. Ebene“, Berlin 1919. Zamiast powyższego odwzorowania, można zastosować także podwójne odwzorowanie wiernokątne na płaszczyznę; mniej wygodnem dla rachunku jest użycie spółrzędnycb niepłaskicb, a więc geograficznych lub Soldnerowskich. Natomiast należy dodać, że przy bardzo rozległych sieciach jest wskazane zastosowanie spółrzęd-nych, geograficznych.

²)    O ile rozporządzamy kartami, z których można odczytać spółrzędne geograficzne poszczególnych punktów z dokładnością 1", można przy zastosowaniu wzorów, podanych w zacytowanej poprawie Krugera, wyznaczyć z nich wprost przybliżone spółrzędne płaskie.

³)    Ueber d. Ausgleichung v. bedingten Beobacht. in 2 Gruppen, 1905. Publikacja Inst. Geod. w Potzdamie.

Równania poprawek, pochodzące z zamknięć trójkątowych, niech będą: a. d. -J- da do -f- do

Mi + A ó₂ + b₃ d₃

Ci d₁-f-c₂ d₂ +c₃ d₃

+ ®o⁼0 -t-£>o=0

+ c₀ =0

(20)

zaś równania odchyłek powstałe z reszty warunków: ai dx -f- a₂ d₂ + a₃ d₃

A A +A A+A A

Równania odchyłek zamknięć trójkątowych są względem siebie t. z w. funkcjami wolnemi¹), t. j.

= a₀=0

=(3₀=0.

(20*)

I" a£>1 \acl    \bcl_

. ..=0.

O ile wszystkie równania byłyby funkcjami wolnemi, rozwiązanie równań korelat byłoby nadzwyczaj łatwe; każdą korelatę wyznaczylibyśmy niezależnie od innych przy pomocy związków

ifniri?].......

&! =

co

(21)

Aby i równania (20*) przemienić na funkcje wolne, pomnożymy równania (20) przez spółczynniki nieoznaczone (>i.i, (>1.2, ęi.3. . • i dodamy do pierwszego równania (20*), następnie przez (>₂.i, (>2.2, (>2.3... i dodamy do drugiego równania (20*) i t. d.

W rezultacie otrzymamy zamiast równań (20*) równania:

Ai -\-A₂ d₂+A₃ d₃ +

Bx d₂ -j- B₂ d₂ + R₃ d₃ +

-\-Aq—0

(22)

przyczem

A₂-=aipi.i + ńj(>i.2+Ci{?i.3+

Bi=^ai Q2.i + bi (>2.2+o*- (>2.3 + .... +A-²)*

Aby tak równania (20), jak i przekształcone związki (22) były funkcjami wolnemi, muszą być spełnione warunki:

(28)

które z powodu w tym przypadku wag równych przechodzą na [aA]=[bA]=[cA]= ... =0, [aB]=bB]=[cB]= ... =0.

Równania (24) dostarczają nam jednak dla związków (20) równań korelat o kształcie równań (21).

1)    Nazwę tę wprowadził duński uczony T. N. Thiele.

²)    pik nie jest tu ogólnie równe pfci.

Dr. K. Weigel. Rachunek wyrównawczy.

(25)

Kładąc zatem w powyższych równaniach zamiast a₀, 6₀, c₀, sumy [aa], [6a], [ca],.... a zamiast k1: k₂, k%, a następnie zamiast a₀, b₀, c₀, k\, k₂, kzi

(>1.1 >    (>1.2 , (>1.3

a zamiast

sumy [a/?], [bp], [c/3],..

(>2.i j (>2.2 • (>2.3....., otrzymamy wartości wszystkich spół-

czynników a mianowicie wobec wag równych:

(>i.i

[a a]

[aa] ’

Q 1.2= —

[ba\

[66]

(>1.3

[c a]

(>2.1

[a/3]

[aa]

(>2.2

[6/5]

[66]

(>2.3

[cp]

(26)

Związki te maj ą w rzeczywistości kształt j eszcze prostszy ze względu na to, że sumy [aa], [66], [cc] są utworzone ze spółczynników równań odchyłek, powstałych z zamknięć trójkątowych; sumy te wynoszą zatem przy wyrównaniu kątów 3, zaś przy wyrównaniu kierunków 6.

Po wyznaczeniu poszczególnych ę wstawiamy ich wartości do związków (23), a po obliczeniu wartości A i B, ustawiamy równania korelat, odpowiadające równaniom odchyłek (22).

Ilość równań korelat, które muszą być rozwiązane równocześnie, wynosi zatem tylko tyle, ile mamy warunków oprócz warunków, odpowiadających zamknięciom trójkątowym.

Dla lepszego zrozumienia tego sposobu podajemy następujący przykład.

Niech będą równania odchyłek, odnoszące się do kątów pięcioboku, przedstawionego na fig. 37-ej, następujące:

0)

^7    ^8    ^9    C10    ^11    ^12

h-¹

rH

• rH

• rH

wi

• rH

• tH

• T—ł

(jl>2

=0

• rH

• rH

W₃

w5 =0 “6

VI df\ dfi . dfi dfh . dfn —dfs . dfi0 —dfn

Cztery równania początkowe odpowiadają warunkom, wynikającym z zamknięć trójkątowych, piąte warunkowi kołowemu, zaś ostatnie warunkowi bocznemu.

Przyjmując wagi spostrzeżeń równe, otrzymamy cztery pierwsze korelaty:

b __j, _ W2 7, _ W3 r. _

Ki    2 ’ Kl —    3 > k3---g > ^4 —

co odpowiada rozdzieleniu odchyłek w poszczególnych trójkątach na równe części, t. j. przeprowadzeniu wyrównania pierwszej grupy.

Dla przekształcenia obu ostatnich równań odchyłek i wyznaczenia k₅ i Jc6 obliczymy nasamprzód:

Te

3,

°>4

10,

Fig. 37.

[aa]=l, [&a]=l, [ca]=l, [da]=l, [a^dĄ-dĄ, PS]-#,-*/,, [cfl-dfi-df,, W]=df.„-dAv

a następnie :

Pl.l =

—JL

3>

Pi.2=—

P 2.1

d/ą dfx

P2.2 =

df₅—djk

-g-—, P2.3

Pi.3=—b

Pl.4=—i»

df%    dfrj

dfn—df^

Spółczynniki obu ostatnich równań zmienią się zatem na:

A    3’ A₂    3> A I» A    3’ "A    T> -^6—T> -^7--1> Ag--1")

Ao~ T? A11 dfj—df₁

Bi⁼dfi -{-

dfi—df!

> B₂=—df₂A

to

df% — dfx

? -64 — d/4 4

dh—dfk

d/fi-d/₄

₈ ,

B₉ = ^~i, Bllt=df₁₀+^i=^, Bn = —d/u4    ₈

{(i)₅ i (o₆ pozostają bez zmiany).

Korelaty fc₅ i Z?₆ obliczymy zatem z dwu równań:

B₅--d/g -r

-®8 — d/₈ 4

d/n d/l0

•®12

dfs—dfr,

d/11 d/i ₀

[-4-4] &5 + [-4-®] ^6 /" W5 ~ 0

[-4-6[ &₅ 4" [-®-B] &₆ ~ł~ W6 ⁼

Ogólne równanie poprawek przedstawia się wobec przekształcenia obu ostatnich równań poprawek:

%i=di ki 4-bi k₂ 4-Ci k₃ 4-di k^-\-Ai k₅ -\-Bi k₆;

a ponieważ przez rozdział odchyłek w poszczególnych trójkątach uwzględniliśmy już pierwsze cztery człony w związku na 8, przeto kąty, uzyskane z wyrównania pierwszej grupy, należy jeszcze tylko poprawió o:

A { k₈ 4* B i kg,

aby otrzymać ich ostateczne wartości.

Przez uwzględnienie tych poprawek nie zmienia się sumy kątów w poszczególnych trójkątach, gdyż jak łatwo zauważyć jest:

Ax-\-A₂ 4-A₃ = 0, At+A₅ A-Ag = 0, A₇ +A₈+A₉ = 0, ^₁₀4-^it+-4₁₂=O, Bi+B₂+B₃ = 0, Bi+B₅+B₆=^0, B₇ + B₈+B₉=0, B₁₀+BU+B₁₂=0.

jące z

znacznie nakład pracy rachunkowej bez uszczerbku jego dokładności¹).

Gdy się zważy, że w sieciach tryangulacyjnych, a szczególnie we wieńcowych, większą ilość warunków stanowią właśnie warunki, wynika-zamknięć trójkątów, musi się przyznać, że sposób ten zmniejsza

i_) Inny sposób, upraszczający w równej mierze wyrównanie sieci tryangulacyjnych zastosowanie warunków kierunkowych, podaje S. Wellisch w swej książce:

przez

„Theorie u. Praxis d. Ausgleichungsrechn.“ Wiedeń, Lipsk 1910, str. 148, oraz w rozprawach: „Netzorientierung durch Einfuhrung v. Richtungsbedingungsgl.“ austr. Zeitschr. f. Vermessungswesen, 1913, str. 178 i „Neue Methode d. spharischen Netz-ausgleichung....“ 1915, Rozpr. Akademji Umiejętności we Wiedniu, t. 92.

W przypadku wag różnych przechodzą równania (26) na:

a'

aa

aa

, (>1.2

aa

(>1.3 =—

aa

a (i

bp'

cp

(?2.1

aa

J ^2.2

[bin

(>2.3=--

bb

§ 12. Sieci łączne i wypełniające.

W sieciach łącznych występują prócz innych warunków, także i warunki zamknięcia poligonu, a to z tego powodu, że mamy tu z góry dane

spółrzędne conaj mniej dwu punktów po obu końcach sieci (patrz fig. 38).

Ilość warunków otrzymamy najpewniej wedle wzoru (1) § 3-go, uwzględniając ponadto warunki kątowe, nawiązania i warunki zamknięcia polig.

W sieci, przedstawionej na fig. 38., jest ilość linij (bez kierunków nawiązujących) Z=Z₂ = 13, Zj—0, a dalej p=Pi=8, pw=0, zatem: w>=26—24+4=6, (jest to zarazem i wtr, gdyż m><,= 13—8+1 = 6). Prócz tego należy uwzględnić (wobec tego, że ilość warunków bocznych Wh =13—16+3=0, wp=b—1 = 1) jeszcze jeden warunek podstawowy, cztery warunki z powodu obserwacji 4 kątów stałych sieci wieńcowej i trzy warunki zamknięcia polig., zatem razem 6+1+4+3=14.

Ze względu na warunki za-D mknięcia poligonowego należy wyrównanie sieci łącznych przeprowa-³⁰ dzić również na płaszczyźnie.

Oprócz 6-ciu warunków, wynikających z zamknięć trójkątów, będziemy mieli zatem jeszcze:

15

10

-Zi

//

11

73

12

17.

18

21

25

IV

19

21,

zd

CV1

26

28

Fig. 38.

29

¹

) Nie chcąc obniżać ilości seryj kątów <*1.3, a₄.6, a₇₋₉ i (*10.12 > należałoby przyjąć je: 20, 20, 36 i 36 przy ogólnej sumie 120 seryj.

-sin (g₈.9—ós+óg) sin (au.is—óu+duO sin (<*16.17—<5i₆+<5i7) sin (022.23—^22+^28) sin (05.6—<5₅+(5₆) sin (a₂.3— <5₂+<5₃) sin (aio.11—<5io+<5n) sin (ai2.i3— <5i2+<5i3

^ sin (6*25.26—^25+^26^ Sm (0528.29—^28 + ^29) BA

sin (05i8.i9—<5i8 —1— <5ig) sin (0520.21—^20+^21)    CD'

■051.4—(A)—<5i —J— <54 = O, 055.7—(B)—d5 + (57==0, 05₂4.27 — (C) — <5₂4+<527=0? 0*28.29—{D) — ($28 + <5₂9 = O, {Cl) B.A + 0*5.6 — <5s + ^6 + 0*8.11—^8 + <5ll + 05i6.i9— <5l6 + +9 + 05₂5.27 — ^25 + <527 +

±2 x 180°—(o5)c.£>=0,

|sj?.2++b.i} sin {(05)5.2+^.2} + {57.722+^2.222} sin {(05)7.222+^2.227} +

+ {5777.6' + +77. c} sin {(05)777.6’ + $ 111.c}—iy o—Vb)—O?

{5i?.7+^2}.2} COS {(05)5.7+ <5^.7} + {57.777+ +.777} cos {(05)7.777+^7.777} +

+ {sm.c -\-Am.c} cos \{a)m.c-\- dm.Ą—(*o—x_b)==0.

Po sprowadzeniu warunków do kształtu liniowego przeprowadzamy wyrównanie w sposób podany w § 11-ym.

Krótkie sieci łączne mogą być wyrównane korzystniej metodą spostrzeżeń pośrednich.

Prócz sieci łącznych, założonych między dwoma bokami jednej i tej samej sieci wieńcowej, zakładamy je w pewnych przypadkach także między sieómi, których orjentację astronomiczną przeprowadzono oddzielnie. Przypadek ten może zajść przy rozmierzaniu bardzo obszernych krajów, których nie można objąć jedną siecią wieńcową.

Dla połączenia obu istniejących sieci w jedną całość należy zatrzymać spółrzędne sieci ważniejszej (większej) jako wielkości stałe i dołączyć przy pomocy sieci łącznej drugą, istniejącą (mniejszą) sieć z zachowaniem jej kształtu, ustalonego poprzedniem wyrównaniem, (pomijając natomiast jej orjentację astronomiczną).

Wobec tego, że uważamy spółrzędne jednej tylko sieci za stałe, odpadają tu warunki zamknięcia poligonowego i nie ma potrzeby przeprowadzać wyrównania na płaszczyźnie, lecz na przyjętej elipsoidzie odniesienia.

Ze względu na bardzo małą ekscentryczność elipsoidy odniesienia, ułatwiamy sobie rozwiązanie poszczególnych trójkątów elipsoidalnych A, B, C, o krzywiznach w odnośnych punktach: ka, ks i ko, obierając dla

i odtwarzając na niej

każdego trójkąta kulę o krzywiźnie k=

trójkąty (.A'B'C') o bokach równych odpowiednim bokom trójkątów elipsoidalnych {ABC).

Oczywiście, że suma kątów w poszczególnych trójkątach wynosi tu 180 °+£, przyczem e oznacza przepełnienie (eksces) sferyczne.

W warunkach podstawowych i (bocznych) zastępują długości boków sinusy, odpowiadających im kątów środkowych.

Sieci wypełniające wyrównywamy zazwyczaj metodą, podaną do* kładnie w § 8-mym rozdziału X-go (str. 260), lub przechodząc ze spostrzeżeń zawarunkowanych na pośrednie.

W pewnych przypadkach może się jednak okazać korzystniejszą metoda spostrzeżeń zawarunkowanych.

Sposób przeprowadzenia wyrównania jest wówczas analogiczny, jak przy sieciach łącznych.

O ile sieci wypełniające I-rzędne, a także czasami i sieci II-rzędne wyrównywamy w niektórych przypadkach metodą spostrzeżeń zawarunkowanych, należy przeprowadzać wyrównanie sieci III- i IV-rzędnych bezwarunkowo jako wyrównanie spólrzędnych.

ROZDZIAŁ DWUNASTY.

Nieco o formułach interpolacyjnych, urobionych na podstawie doświadczeń.

§ 1. Uwagi wstępne.

Zagadnienia, związane ze zjawiskami przyrody lub naukami tech-nicznemi, wymagaj ą ód nas często ustalenia przybliżonego kształtu funkcyj o jednej lub większej ilości zmiennych.

0 ile znalibyśmy prawdziwy kształt funkcji, powodowałoby zastosowanie kształtu przybliżonego (bez oglądania się na spostrzeżenia) tylko błędy teorji; natomiast w przypadkach ustalania kształtu funkcji na podstawie doświadczeń, występują prócz błędów teorji także i błędy spostrzeżeń.

Tak w jednym jak i drugim przypadku możemy zastosować metodę najmniejszych kwadratów, (wychodząc z założenia, że suma kwadratów różnic między wartościami danemi, a obliczonemi formułą przybliżoną, ma być minimum.

Pomijając przypadki, gdzie chodzi tylko o błędy teorji, zajmiemy się w tym ustępie sposobami urabiania formuł przybliżonych na podstawie doświadczeń jako sprawą, mającą w praktyce bardzo ważne znaczenie.

W tym ostatnim przypadku postępujemy w sposób następujący.

Po zorjentowaniu się co do ilości zmiennych- niezależnych funkcji, przedstawiamy ją, zależnie od jej charakteru, jako szereg wedle rosnących potęg zmiennych niezależnych, a zatem jako szereg potęgowy, lub (o ile funkcja ma charakter okresowy) jako szereg trygonometryczny Fouriera.

Ze względu na to, że omawiana tu sprawa nie wchodzi ściśle w zakres niniejszej książki, a czytelnik znajdzie ją przedstawioną wyczerpująco w dziełach i rozprawach specjalnych¹), poprzestaniemy tylko na krótkim opisie obu tu zacytowanych sposobow.

§ 2. Zastosowanie szeregu potęgowego jako formuły interpolacyjnej.

O ile spostrzegana przez nas wielkość f(p,q) nie posiada cech funkcji okresowej, rozwijamy ją w szereg potęgowy, otrzymując:

(1)

'‘CP,?) = ś>o + (>iP + (>2 ? + (>3.P² + (>4 Q²+QzP<łJr • • •

przyczem poszczególne q są wielkościami stałemi.

Ponieważ szereg, przedstawiony wzorem (1), odpowiada szeregowi Taylora, przeto przedstawienie powyższe funkcji f(p, q) jest tylko wówczas usprawiedliwione, gdy funkcja f(p,q) i jej w grę wchodzące pochodne są w interwale, odpowiadającym naszym spostrzeżeniom, ciągłe i skończone.

Pomimo, że stwierdzenie tego a priori jest dla nas zazwyczaj niemożliwe i często tylko funkcja sama jest w obrębie naszych spostrzeżeń ciągła, a o jej pochodnych nie możemy stwierdzić niczego pewnego, używamy sposobu niniejszego (ewentualnie z pewnemi modyfikacjami) tak, jakby wszystkie poprzednio określone warunki były ściśle wypełnione.

Jest to możliwem z tego powodu, że spostrzegane wartości funkcji f{p, q) nie są bezbłędne i że wobec tego formuła na funkcję będzie wyznaczona w granicach błędów spostrzeżeń.

Oczywiście, że w tych przypadkach ma formuła, w ten sposób uzyskana, charakter czysto interpolacyjny i nie można jej używać do wyznaczania wartości pochodnych.

W praktyce postępujemy w sposób następujący.

Bez pomocy zasady najmniejszych kwadratów obliczylibyśmy przy n spostrzeżeniach tyleż stałych q. Z drugiej strony chcemy mieć formułę wprawdzie odpowiednio dostosowaną do spostrzeżeń, ale także i — o ile możności — jak najbardziej prostą.

Na podstawie prowizorycznych obliczeń względnie wykazów możemy się zawsze zorjentować, które stałe mają dla formuły znaczenie największe ; tę też ilość stałych uwzględniamy w pierwszym naszym rachunku głównym.

Równania błędów, odpowiadające temu rachunkowi, o ile przyjmiemy na razie tylko 3 stałe i oznaczymy ę₀=x, ę^y, (>₂=z, Pi=bi, qi=Ci, f(Piqj)=—h, niech będą:

(2)

di=x+biy+CiZ+li.

Po wyznaczeniu niewiadomych x, y i z obliczamy błąd średni p, który jest tu średniem odchyleniem funkcji od wartości spostrzeganych, przy pomocy wzoru:

-Vs-v

[ll.k]

n—k ⁹

(3)

t. j. przy trzech niewiadomych p=V —

] n— o

O ile błąd \i wypada większy, niż przypuszczalny błąd średni spostrzeżeń, należy ponawiać rachunek z uwzględnieniem dalszej względnie dalszych stałych (jako niewiadomych), tak długo aż p stanie się mniejszym od przypuszczalnego błędu średniego spostrzeżeń.

Przeprowadzając wyznaczenie niewiadomych wedle schematów, zastosowanych w trzecim przykładzie § 7-go rozdz. IY-go, mamy tę korzyść, że rachunki, użyte przy obliczeniu pierwszem, mogą być w całości użyte przy obliczeniu drugiem i t. d., przez co żadne obliczenie nie jest zmar-nowanem, (chociaż wartości stałych, wyznaczonych poprzednio, zmieniają się). Taksamo i obliczenie każdorazowej sumy [oć] z wzoru [ll.k] wymaga tylko za każdem dorzuceniem nowej niewiadomej uwzględnienia dalszego wyrazu redukcyjnego.

Aby się zorjentowaó, które stałe mają większy wpływ na formułę, ułatwiamy sobie przy większej ilości zmiennych p, q,r,. . spostrzegając funkcję f {p, q, r. . . .) w warunkach, dla których nasamprzód wszystkie zmienne prócz p są zerami, następnie wszystkie zmienne prócz q są zerami i t. d., uzyskując w ten sposób przybliżone wartości stałych. Ostateczne wartości stałych wyznaczamy następnie, biorąc na uwagę wszystkie spostrzeżenia x).

Wreszcie zaznaczyć należy, że formuły tak uzyskane mają ważność tylko w obrębie wykonanych doświadczeń i użycie ich ekstrapolacyjne może doprowadzić do wyników bezużytecznych.

' § 3. Formuły interpolacyjne w przypadku zjawisk okresowych.

W tym przypadku przyjmiemy jako ogólny kształt funkcji okresowej następujący:

F(cp) = Qo + Qi sin («i +<P) + Q» sin («2 + 2 (p) + ę₃ sin (az + 3 cp) + .. .., (1) przyczem cp jest zmienną niezależną, a poszczególne ę i a wielkościami stałemi.

Związek (1) przybiera kształt liniowy, przydatny do rachunku przy użyciu metody najmniejszych kwadratów, po rozwinięciu poszczególnych wyrazów:

sin (ai + <p') = sin a₁ cos 2 (p+cos at sin <p sin (a₂ + 2 q>) = sin a₂ cos 2qp+cos a₂ sin 2 cp

i) "W niektórych przypadkach jest raczej wskazanem nie wyznaczać stałych przy pomocy wszystkich spostrzeżeń; n. p. przy wyznaczaniu stałych aneroidu wyznaczamy przy stałej temperaturze stałą nastawienia wskazówki i stałą posuwania się wskazówki, a następnie przy stałem ciśnieniu jeszcze raz stałą nastawienia wskazówki i stałą temperatury. Powodem tego jest możliwość zmiany stałej nastawienia wskazówki przy wysokich ciśnieniach.

otrzymamy z uwagi, że F(ę>), wielkość spostrzegana, jest obarczona pewnym błędem ó:

F((p) + ó=ę₀+y₁ cos (p+y₂ cos2 <f>+y% cos39p+. .

Ą-xi sin rp+x₂ sin 2 <jp+z₃ sin 3 qp+ ..

Rachunek przedstawia się bardzo prosto, jeśli amplitudę (p będziemy zmieniali o jednakowy interwał, wyczerpując w ten sposób spotrzeżeniami całkowity okres.

Zmieniając <p, otrzymujemy odpowiednie F‘ zatem

amplitudzie cp=0 niech odpowiada spostrzeżenie F0 n    = i »

(5)

n    (p=2i „

»    <P=(n—l)i    „

przyczem w«'=2ti:; (ewentualnie wi=360°).

Równania błędów, przedstawione ogólnie równaniom (4), przedstawią się po oznaczeniu dla uproszczenia:

(6)

Kładąc:

(3)

q₁ sin al=y1 sin a₂=y₂

ę₁ cos a₁=x1 Qt cos a₂=a:₂

a— 1, b=cos(p, c=sinęp, d=cos2ęp, e^sin2 qc,. . . .Z=—F{ w zestawieniu schematycznem:

CN CO

tH rH rH r-H

cos O eosć cos 2 i cos 3 i

sin 0 sin i sin 2 i sin 3 i

cos 0 cos 2 i cos4ć cos 6 i

sinO sin 2 i sin 4 i sin 6 i

(7)

Równania normalne, utworzone na podstawie powyższych równań błędów, mają ze względu, że :

\aa]=n,

[ab]=[ac]=[ad]=[ae] = .... =0,

[»]-£

[bć]=[bd]=[be]= .... =0,

§ CM

[cd]=[ce]=.... =0,

[dd]=

t>0| §

[de]— .... =0,

§ !<m

l>] =

postać następuj ącą:

•    8 |<M

* .

§ |<N

X. .

.    - [cF]=O

K>| 8

(9)

.    — [cŁF]=0

fc©| 3

i⁴

.    - [eF]=O

Wartości poszczególny eh. niewiadomych liczymy zazwyczaj, ponieważ

[F]

(10)

t. j. średniej arytmetycznej wszystkich spostrzeżeń F, od tejże wartości, zatem

-^0 = ^0 + ^))    ^2    +4 • • *

przyczem ze względu na równania (10j i (11) jest

(U)

[/]=0.

Podstawiając w równaniach (9) wartości na F, określone wzorem (11), otrzymuj emy:

9    2

(/*₀+/'₁cosi+/'₂cos2ś+ . . .)+ -(>o(H-cosi+cos2i-f...), (13) n    n

a ostatecznie ze względu że (1-f-cos ^-j-cos2i+ . . .)⁼[a^]—

y^-ifo+A eosi+/₂cos3£+....)?

analogicznie

(14)

Podobnych wzorów użyj emy do wyznaczenia dalszych stałych więc n. p. —    cos2i+f₂ cos4i+ ..

£«,=— (f₀+fi sin2«+/’₂ sin4«+ . . n

Błąd średni p określa nam wzór:

(15)

n—k’

(16)

Sumę [ó<5] można tu również otrzymać w sposób bardzo prosty, wychodząc z wzoru [óó]=[ll ,k\) po wprowadzeniu wartości średniej ę₀ i przeprowadzeniu nieznacznej transformacji, otrzymamy ostatecznie

(17)

przyezem ęi²=xi²+yii.

Ponieważ każdą niewiadomą możemy wyznaczyć oddzielnie, przeto i tu będziemy postępowali jak w § 2-im, wyznaczając nasamprzód n. p. 3 niewiadome i tworząc błąd średni fi.

O ile błąd ten wypadnie większy, niż przypuszczalny błąd średni spostrzeżeń, wyznaczymy dwie następne niewiadome. Postępowanie to powtarzamy tak długo, aż wreszcie sprowadzimy wartość błędu fi poniżej przypuszczalnego błędu średniego samych spostrzeżeń, co będzie dla nas rękojmią, że błędy teorji są w tym przypadku zaniedbywalne, a kształt funkcji jest dostatecznie dostosowany do dokonanych spostrzeżeń.

Tak uzyskana formuła ma jednak tylko charakter interpolacyjny.

Lwów, 21/IY 1922.

BIBLIOTEKA PCLMECS.HIB7II

KRAKÓW

0-01

0-02

0-03

0-04

0-05

0-06

0-07

0-08

0-09

0-10

0-11

0-12

0-13

0-14

0-15

0-16

0-17

0-18

0-19

0-20

0-21

0-22

0-23

0-24

0-25

0-26

0-27

0-28

0-29

0-30

0-31

0-32

0-33

0-34

0-35

0-36

0-37

0-38

0-39

0-40

0-41

0-42

0-43

0-44

0-45

0-46

0-47

0-48

0-49

w²

0-0001

0-0004

0-0009

0-0016

0-0025

0-0036

0-0049

0-0064

0-0081

0-0100

0-0121

0-0144

0-0169

0-0196

0-0225

0-0256

0-0289

0-0324

0-0361

0-0400

0-0441

0-0484

0-0529

0-0576

0-0625

0-0676

0-0729

0-0784

0-0841

0-0900

0-0961

0-1024

0-1089

0-1156

0-1225

0-1296

0-1369

0-1444

0-1521

0-1600

0-1681

0-1764

0-1849

0-1936

0-2025

0-2116

0-2209

0-2304

0-2401

0-2500

Tablice kwadratów i pierwiastków

od n=0 do n—8.

0-1000

0-1414

0-1732

0-2000

0-2236

0-2449

0-2646

0-2828

0-3000

0-3162

0-3317

0-3464

0-3606

0-3742

0-3873

0-4000

0-4123

0-4243

0-4359

0-4472

0-4583

0-4690

0-4796

0-4899

0-5000

0-5099

0-5196

0-5292

0-5385

0-5477

0-5568

0-5657

0-5745

0-5831

0-5916

0-6000

0-6083

0-6164

0-6245

0-6325

0-6403

0-6481

0-6557

0-6633

0-6708

0-6782

0-6856

0-6928

0-7000

0-7071

0-51

0-52

0-53

0-54

0-55

0-56

0-57

0-58

0-59

0-60

0-61

0-62

0-63

0-64

0-65

0-66

0-67

0-68

0-69

0-70

0-71

0-72

0-73

0-74

0.75

0-76

0-77

0-78

0-79

0-80

0-81

0-82

0-83

0-84

0-85

0-86

0-87

0-88

0-89

0-90

0-91

0-92

0-93

0-94

0-95

0-96

0-97

0-98

0-99

W²

0-2601

0-2704

0-2809

0-2916

0-3025

0-3136

0-3249

0-3364

0-3481

0-3600

0-3721

0-3844

0-3969

0-4096

0-4225

0-4356

0-4489

0-4624

0-4761

0-4900

0-5041

0-5184

0-5329

0-5476

0-5625

0-5776

0-5929

0-6084

0-6241

0-6400

0-6561

0-6724

0-6889

0-7056

0-7225

0-7396

0-7569

0-7744

0-7921

0-8100

0-8281

0-8464

0-8649

0-8836

0-9025

0-9216

0-9409

0-9604

0-9801

1-0000

0-7141

0-7211

0-7280

0-7348

0-7416

0-7483

0.7550

0-7616

0-7681

0-7746

0-7810

0-7874

0-7937

0-8000

0-8062

0-8124

0-8185

0-8246

0-8307

0-8367

0-8426

0-8485

0-8544

0-8602

0-8660

0-8718

0-8775

0-8832

0-8888

0-8944

0-9000

0-9055

0-9110

0-9165

0-9220

0-9274

0.9327

0-9381

0-9434

0-9487

0-9539

0-9592

0-9644

0-9695

0-9747

0-9798

0-9849

0-9899

0-9950

1-0000

1-01

1-02

1-03

1-04

1-05

1-06

1-07

1-08

1-09

1-10

1-11

1-12

1-13

1-14

1-15

1-16

1-17

1-18

1-19

1-20

1-21

1-22

1-23

1-24

1-25

1-26

1-27

1-28

1-29

1-30

1-31

1-32

1-33

1-34

1-35

1-36

1-37

1-38

1-39

1-40

1-41

1-42

1-43

1-44

1-45

1-46

1-47

1-48

1-49

1-0201

1-0404

1-0609

1-0816

1-1025

1-1236

1-1449

1-1664

1-1881

1-2100

1-2321

1-2544

1-2769

1-2996

1-3225

1-3456

1-3689

1-3924

1-4161

1-4400

1-4641

1-4884

1-5129

1-5376

1-5625

1-5876

1-6129

1-6384

1-6641

1-6900

1-7161

1-7424

1-7689

1-7956

1-8225

1-8496

1-8769

1-9044

1-9321

1-9600

1- 9881

2- 0164 2-0449 2-0736 2-1025

2-1316

2-1609

2-1904

2-2201

2-2500

1-0050

1-0100

1-0149

1-0198

1-0247

1-0296

1-0344

1-0392

1-0440

1-0488

1-0536

1-0583

1-0630

1-0677

1-0724

1-0770

1-0817

1-0863

1-0909

1-0954

1-1000

1-1045

1-1091

1-1136

1-1180

1-1225

1-1269

1-1314

1-1358

1-1402

1-1446

1-1489

1-1533

1-1576

1-1619

1-1662

1-1705

1-1747

1-1790

1-1832

1-1874

1-1916

1-1958

1-2000

1-2042

1-2083

1-2124

1-2166

1-2207

1-2247

1-51

1-52

1-53

1-54

1-55

1-56

1-57

1-58

1-59

1-60

1-2288

1-2329

1-2369

1-2410

1-2450

1-2490

1-2530

1-2570

1-2610

1-2649

1-61

1-62

1-63

1-64

1-65

1-66

1-67

1-68

1-69

1-70

1-71

1-72

1-73

1-74

1-75

1-76

1-77

1-78

1-79

1-80

1-81

1-82

1-83

1-84

1-85

1-86

1-87

1-88

1-89

1-90

1-91

1-92

1-93

1-94

1-95

2-2801 2-3104 2-3409 2-3716 2-4025

2-4336 2-4649 2-4964 2-5281 2-5600

2-5921 1-2689 2-6244 1-2728 2-6569 1-2767 2-6896 1-2806 2-7225 1-2845

2-7556 2-7889 2-8224 2-8561 2-8900

2-9241 2-9584

2- 9929

3- 0276 3-0625

3-0976 3-1329 3-1684 3-2041 3-2400

3-2761 1-3454 3-3124 1-3491 3-3489 1-3528 3-3856 1-3565 3-4225 1-3601

3-4596 1-3638 3-4969 1-3675 3-5344 1-3711 3-5721 1-3748 3-6100 1-3784

3-6481 1-3820 3-6864 1-3856 3-7249 1-3892 3-7636 1-3928 3-8025 1-3964

1-2884

1-2923

1-2961

1-3000

1-3038

1-3077

1-3115

1-3153

1-3191

1-3229

1-3266

1-3304

1-3342

1-3379

1-3416

1-96

1-97

1-98

1-99

3-8416

3-8809

3-9204

3- 9601

4- 0000-

1-4000

1-4036

1-4071

1-4107

1-4142

2-01

2-02

2-03

2-04

2-05

2-06

2-07

2-08

2-09

2-10

2-11

2-12

2-13

2-14

2-15

2-16

2-17

2-18

2-19

2-20

2-21

2-22

2-23

2-24

2-25

2-26

2-27

2-28'

2-29

2-30

2-31

2-32

2-33

2-34

2-35

2-36

2-37

2-38

2-39

2-40

2-41

2-42

2-43

2-44

2-45

2-46

2-47

2-48

2-49

2-50

w²

4-0401

4-0804

4-1209

4-1616

4-2025

4-2436

4-2849

4-3264

4-3681

4-4100

4-4521

4-4944

4-5369

4-5796

4-6225

4-6656

4-7089

4-7524

4-7961

4-8400

4-8841

4*9284

4- 9729

5- 0176 5-0625

5-1076

5-1529

5-1984

5-2441

5-2900

5-3361

5-3824

5-4289

5-4756

5-5225

5-5696 5-6169 5 6644 5-7121 5-7600

5-8081

5-8564

5-9049

5- 9536

6- 0025

v»

1-4177

1-4213

1-4248

1-4283

1-4318

1-4353

1-4387

1-4422

1-4457

1-4491

1-4526

1-4560

1-4595

1-4629

1-4663

1-4697

1-4731

1-4765

1-4799

1-4832

1-4866

1-4900

1-4933

1-4967

1-5000

1-5033

1-5067

1-5100

1-5133

1-5166

1-5199

1-5232

1-5264

1-5297

1-5330

1-5362

1-5395

1-5427

1-5460

1-5492

1-5524

1-5556

1-5588

1-5620

1-5652

6-0516 1-5684 6-1009 1-5716 6-1504 1-5748 6-2001 1-5780 6-2500 1-5811

2-51

2-52

2-53

2-54

2-55

2-56

2-57

2-58

2-59

2-60

2-61

2-62

2-63

2-64

2-65

2-66

2-67

2-68

2-69

2-70

2-71

2-72

2-73

2-74

2-75

2-76

2-77

2-78

2-79

2-80

2-81

2-82

2-83

2-84

2-85

2-86

2-87

2-88

2-89

2-90

2-91

2-92

2-93

2-94

2-95

2-96

2-97

2-98

2-99

3-00

6-3001

6-3504

6-4009

6-4516

6-5025

1-5843

1-5875

1-5906

1-5937

1-5969

3-01

3-02

3-03

3-04

3-05

9-0601

9-1204

9-1809

9-2416

9-3025

1-7349

1-7378

1-7407

1-7436

1-7464

3-51

3-52

3-53

3-54

3-55

12-8201

12-3904

12-4609

12-5316

12-6025

1-8735

1-8762

1-8788

1-8815

1-8841

6-5536 1-6000 6-6049 1-6031 6-6564 1-6062 6-7081 1-6093 6-7600 1-6125

6-8121

6-8644

6-9169

6- 9696

7- 0225

1-6155

1-6186

1-6217

1-6248

1-6279

3-06

3-07

3-08

3-09

3-10

3-11

3-12

3-13

3-14

3.15

9-3636

9-4249

9-4864

9-5481

9-6100

1-7493

1-7521

1-7550

1-7578

1-7607

3-56

3-57

3-58

3-59

3-60

12-6736

12-7449

12-8164

12-8881

12-9600

1-8868

1-8894

1-8921

1-8947

1-8974

9-6721 1-7635 9-7344 1-7664 9-7969 1-7692 9-8596 1-7720 9-9225 1-7748

3-61

3-62

3-63

3-64

3-65

13-0321 1.9000 13-1044 1.9026 13-1769 1.9053 13-2496 1.9079 13-3225 1.9105

7-0756

7-1289

7-1824

7-2361

7-2900

7-3441

7-3984

7-4529

7-5076

7-5625

7-6176

7-6729

7-7284

7-7841

7-8400

7-8961

7- 9524

8- 0089 8-0656 8-1225

8-1796

8-2369

8-2944

8-3521

8-4100

8-4681

8-5264

8-5849

8-6436

8-7025

8-7616

8-8209

8-8804

8- 9401

9- 0000

1-6310

1-6340

1-6371

1-6401

1-6432

1-6462

1-6492

1-6523

1-6553

1-6583

1-6613

1-6643

1-6673

1-6703

1-6733

1-6763

1-6793

1-6823

1-6852

1-6882

1-6912

1-6941

1-6971

1-7000

1-7029

1-7059

1-7088

1-7117

1-7146

1-7176

1-7205

1-7234

1-7263

1-7292

1-7321

3-16

3-17

3-18

3-19

3-20

3-21

3-22

3-23

3-24

3-25

3-26

3-27

3-28

3-29

3-30

3-31

3-32

3-33

3-34

3-35

3-36

3-37

3-38

3-39

3-40

3-41

3-42

3-43

3-44

3-45

9-9856

10-0489

10-1124

10-1761

10-2400

10-3041

10-3684

10-4329

10-4976

10-5625

10-6276

10-6929

10-7584

10-8241

10-8900

10- 9561

11- 0224 11-0889 11-1556 11-2225

11-2896

11-3569

11-4244

11-4921

11-5600

11-6281

11-6964

11-7649

11-8336

11-9025

3-46 11-9716 3-47 12-0409 3-48 12-1104 3-49 12-1801 3-50 12-2500

1-7776

1-7804

1-7833

1-7861

1-7889

1-7916

1-7944

1-7972

1-8000

1-8028

1-8055

1-8083

1-8111

1-8138

1-8166

1-8193

1-8221

1-8248

1-8276

1-8303

1-8330

1-8358

1-8385

1-8412

1-8439

1-8466

1-8493

1-8520

1-8547

1-8574

1-8601

1-8628

1-8655

1-8682

1-8708

3-66

3-67

3-68

3-69

3-70

3-71

3-72

3-73

3-74

3-75

3-76

3-77

3-78

3-79

3-80

3-81

3-82

3-83

3-84

3-85

3-86

3-87

3-88

3-89

3-90

3-91

3-92

3-93

3-94

3-95

13-3956

13-4689

13-5424

13-6161

13-6900

13-7641

13-8384

13-9129

13- 9876

14- 0625

14-1376

14-2129

14-2884

14-3641

14-4400

1-9131

1-9157

1-9183

1-9209

1-9235

1-9261

1-9287

1-9313

1-9339

1-9365

1-9391

1-9416

1-9442

1-9468

1-9494

14-5161 1-9519 14-5924 1-9545 14-6689 1-9570 14-7456 1-9596 14-8225 1-9621

14-8996

14- 9769

15- 0544 15-1321 15-2100

15-2881

15-3664

15-4449

15-5236

15-6025

1-9647

1-9672

1-9698

1-9723

1-9748

1-9774

1-9799

1-9824

1-9849

1-9875

3-96 15-6816 1-9900 3-97 15-7609 1-9925 3-98 15-8404 1*9950

3- 99 15-9201 1-9975

4- 00 16-0000 2-0000

4-01

4-02

4-03

4-04

4-05

i 4-06

4-07

4-08

4-09

4-10

4-11

4-12

4-13

4-14

4-15

4-16

4-17

4-18

4-19

4-20

4-21

4-22

4-23

4-24

4-25

4-26

4-27

4-28

4-29

4-30

4-31

4-32

4-33

4-34

4-35

| 4-36

4-37

4-38

4-39

4-40

4-41

4-42

4-43

4-44

4-45

4-46

4-47

4-48

4-49

n²

nl

Y»

16-0801

16-1604

16-2409

16-3216

16-4025

16-4836

16-5649

16-6464

16-7281

16-8100

16-8921

16- 9744

17- 0569 17-1396 17-2225

17-3056

17-3889

17-4724

17-5561

17-6400

17-7241

17-8084

17-8929

17- 9776

18- 0625

18-1476

18-2329

18-3184

18-4041

18-4900

18-5761

18-6624

18-7489

18-8356

18-9225

19-0096

19-0969

19-1844

19-2721

19-3600

19-4481

19-5364

19-6249

19-7136

19-8025

19-8916

19- 9809

20- 0704 20-1601 20*2500

2-0025

2-0050

2-0075

2-0100

2-0125

2-0149

2-0174

2-0199

2-0224

2-0248

2-0273

2-0298

2-0322

2-0347

2-0372

2-0396

2-0421

2-0445

2-0469

2-0494

2-0518

2-0543

2-0567

2-0591

2-0616

2-0640

2-0664

2-0688

2-0712

2-0736

2-0761

2-0785

2-0809

2-0833

2-0857

2-0881

2-0905

2-0928

2-0952

2-0976

2-1000

2-1024

2-1048

2-1071

2-1095

2-1119

2-1142

2-1166

2-1190

2-1213

4-51

4-52

4-53

4*54

4-55

4-56

4-57

4-58

4-59

4-60

4-61

4-62

4-63

4-64

4-65

4-66

4-67

4-68

4-69

4-70

4-71

4-72

4-73

4-74

4-75

4-76

4-77

4-78

4-79

4-80

4-81

4-82

4-83

4-84

4-85

4-86

4-87

4-88

4-89

4-90

4-91

4-92

4-93

4-94

4-95

4-96

4-97

4-98

4-99

20-3401

20-4304

20-5209

20-6116

20-7025

20-7936

20-8849

20- 9764

21- 0681 21-1600

21-2521

21-3444

21-4369

21-5296

21-6225

21-7156

21-8089

21-9024

21- 9961

22- 0900

22-1841

22-2784

22-3729

22-4676

22-5625

22-6576

22-7529

22-8484

22- 9441

23- 0400

23-1361

23-2324

23-3289

23-4256

23-5225

23-6196

23-7169

23-8144

23- 9121

24- 0100

24-1081

24-2064

24-3049

24-4036

24-5025

24-6016

24-7009

24-8004

24- 9001

25- 0000

2’1237

2-1260

2-1284

2-1307

2-1331

2-1354

2-1378

2-1401

2-1424

2-1448

2-1471

2-1494

2-1517

2-1541

2-1564

2-1587

2-1610

2-1633

2-1656

2-1679

2-1703

2-1726

2-1749

2-1771

2-1794

2-1817

2-1840

2-1863

2-1886

2-1909

2-1932

2-1954

2-1977

2-2000

2-2023

2-2045

2-2068

2-2091

2-2113

2-2136

2-2159

2-2181

2-2204

2-2226

2-2249

2-2271

2-2293

2-2316

2-2338

2-2361

5.01

5-02

5-03

5-04

5-05

5-06

5-07

5-08

5-09

5-10

5-11

5-12

5-13

5-14

5-15

5-16

5-17

5-18

5-19

5-20

5-21

5-22

5-23

5-24

5-25

5-26

5-27

5-28

5-29

5-30

5-31

5-32

5-33

5-34

5-35

5-36

5-37

5-38

5-39

5-40

5-41

5-42

5-43

£-44

5-45

5-46

5-47

5-48

5-49

25-1001

25-2004

25-3009

25-4016

25-5025

25-6036

25-7049

25-8064

25- 9081

26- 0100

26-H21

26-2144

26-3169

26-4196

26-5225

26-6256

26-7289

26-8324

26- 9361

27- 0400

27-1441

27-2484

27-3529

27-4576

27-5625

27-6676

27-7729

27-8784

27- 9841

28- 0900

28-1961

28-3024

28-4089

28-5156

28-6225

28-7296

28-8369

28- 9444

29- 0521 29-1600

29-2681

29-3764

29-4849

29-5936

29-7025

29-8116

29- 9209

30- 0304 30-1401 30-2500

2-2383

2-2405

2-2428

2-2450

2-2472

2-2494

2-2517

2-2539

2-2561

2-2583

2-2605

2-2627

2-2650

2-2672

2-2694

2-2716

2-2738

2-2760

2-2782

2-2804

2-2825

2-2847

2-2869

2-2891

2-2913

2-2935

2-2956

2-2978

2-3000

2-3022

2-3043

2-3065

2-3087

2-3108

2-3130

2-3152

2-3173

2-3195

2-3216

2-3238

2-3259

2-3281

2-3302

2-3324

2-3345

2-3367

2-3388

2-3409

2-3431

2-3452

5-51

5-52

5-33

5-54

5-55

5-56

5-57

5-58

5-59

5-60

5-61

5-62

5-63

5-64

5-65

5-66

5-67

5-68

5-69

5-70

5-71

5-72

5-73

5-74

5-75

5-76

5-77

5-78

5-79

5-80

5.81

5.82

5.83

5.84

5.85

5-86

5-87

5-88

5-89

5-90

5-91

5-92

5-93

5-94

5-95

5-96

5-97

5-98

5-99

30-3601

30-4704

30-5809

30-6916

30-8025

30- 9136

31- 0249 31-1364 31-2481 31-3600

31-4721

31-5844

31-6969

31-8096

31-9225

32-0356

32-1489

32-2624

32-3761

32-4900

32-6041

32-7184

32-8329

32- 9476

33- 0625

33-1776

33-2929

33-4084

33-5241

33-6400

33-7561

33- 8724 83-9889

34- 1056 34-2225

34-3396

34-4569

34-5744

34-6921

34-8100

34- 9281

35- 0464 35-1649 35-2836 35-4025

2-3473

2-3495

2-3516

2-3537

2-3558

2-3580

2-3601

2-3622

2-3643

2-3664

2-3685

2-3707

2-3728

2-3749

2-3770

2-3791

2-3812

2-3833

2-3854

2-3875

2-3896

2-3917

2-3937

2-3958

2-3979

2-4000

2-4021

2-4042

2-4062

2-4083

2-4104

2-4125

2-4145

2-4166

2-4187

2-4207

2-4228

2-4249

2-4269

2-4290

2-4310

2-4331

2-4352

2-4372

2-4393

35-5216 2-4413 35-6409 2-4434 35-7604 2-4454

35- 8801 2-4474 I

36- 0000 2-4495 i

6-01

6-02

6-03

6-04

6-05

36-1201

36-2404

36-3609

36-4816

36-6025

2-4515

2-4536

2-4556

2-4576

2-4597

6-51

6-52

6-53

6-54

6-55

42-3801

42-5104

42-6409

42-7716

42-9025

2-5515

2-5534

2-5554

2-5573

2-5593

7-01

7-02

7-03

7-04

7-05

49-1401

49-2804

49-4209

49-5616

49-70.5

2-6476

2-6495

2-6514

2-6533

2-6552

7-51

7-52

7-53

7-54

7-55

6-06

6-07

6-08

6-09

6-10

36-7236

36-8449

36- 9664

37- 0881 37-2100

2-4617

2-4637

2-4658

2-4678

2-4698

6-56

6-57

6-58

6-59

6-60

43-0336

43-1649

43-2964

43-4281

43-5600

2-5612

2-5632

2-5652

2-5671

2-5690

7-06

7-07

7-08

7-09

7-10

49-8436

49- 9849

50- 1264 50-2681 50-4100

2-6571

2-6589

2-6608

2-6627

2-6646

7-56

7-57

7-58

7-59

7-60

6-11

6-12

6-13

6-14

6-15

37-3321

37-4544

37-5769

37-6996

37-8225

2-4718

2-4739

2-4759

2-4779

2-4799

6-61

6-62

6-63

6-64

6-65

43-6921

43-8244

43- 9569

44- 0896 44-2225

2-5710

2-5729

2-5749

2-5768

2-5788

7-11

7-12

7-13

7-14

7-15

50-5521

50-6944

50-8369

50- 9796

51- 1225

2-6665

2-6683

2-6702

2-6721

2-6739

7-61

7-62

7-63

7-64

7-65

6-16

6-17

6-18

6-19

6-20

37- 9456

38- 0689 38-1924 38-3161 38-4400

2-4819

2-4839

2-4860

2-4880

2-4900

6-66 44-3556 6-67 44-4889 6-68 44-6224 6-69 44-7561 6-70 I 44-8900

2-5807

2-5826

2-5846

2-5865

2-5884

7-16

7-17

7-18

7-19

7-20

51-2656

51-4089

51-5524

51-6961

51-8400

2-6758

2-6777

2-6796

2-6814

2-6833

7-66

7-67

7-68

7-69

7-70

6-21

6-22

6-23

6-24

6-25

38-5641 2-4920 38-6884 2-4940 38-8129 2-4960

38- 9376 2-4980

39- 0625 2-5000

6-71

6-72

6-73

6-74

6-75

45-0241 2-5904 45-1584 2-5923 45-2929 2-5942 45-4276 2-5962 45-5625 2-5981

7-21

7-22

7-23

7-24

7-25

51- 9841

52- 1284 52-2729 52-4176 52-5625

2-6851

2-6870

2-6889

2-6907

2-6926

7-71

7-72

7-73

7-74

7-75

6-26

6-27

6-28

6-29

6-30

39-1876

39-3129

39-4384

39-5641

39-6900

2-5020

2-5040

2-5060

2-5080

2-5100

6-76

6-77

6-78

6-79

6-80

45-6976

45-8329

45- 9684

46- 1041 46-2400

2-6000

2-6019

2-6038

2-6058

2-6077

7-26

7-27

7-28

7-29

7-30

52-7076

52-8529

52- 9984

53- 1441 53-2900

2-6944

2-6963

2-6981

2-7000

2-7019

7-76

7-77

7-78

7-79

7-80

6-31

6-32

6-33

6-34

6-35

39-8161

39- 9424

40- 0689 40-1956 40-3225

2-5120

2-5140

2-5159

2-5179

2-5199

6-81

6-82

6-83

6-84

6-85

46-3761

46-5124

46-6489

46-7856

46-9225

2-6096

2-6115

2-6134

2-6153

2-6173

7-31

7-32

7-33

7-34

7-35

53-4361

53-5824

53-7289

53- 8756

54- 0225

2-7037

2-7055

2-7074

2-7092

2-7111

7-81

7-82

7-83

7-84

7-85

6-36

6-37

6-38

6-39

6-40

40-4496

40-5769

40-7044

40-8321

40-9600

2-5219

2-5239

2-5259

2-5278

2-5298

6-86

6-87

6-88

6-89

6-90

47-0596

47-1969

47-3344

47-4721

47-6100

2-6192

2-6211

2-6230

2-6249

2-6268

7-36

7-37

7-38

7-39

7-40

54-1696

54-8169

54-4644

54-6121

54-7600

2-7129

2-7148

2-7166

2-7185

2-7203

7-86

7-87

7-88

7-89

7-90

6-41

6-42

6-43

6-44

6-45

41-0881

41-2164

41-3449

41-4736

41-6025

2-5318

2-5338

2-5357

2-5377

2-5397

6-91

6-92

6-93

6-94

6-95

47-7481

47- 8864

48- 0249 48-1636 48-3025

2-6287

2-6306

2-6325

2-6344

2-6363

7-41

7-42

7-43

7-44

7-45

54- 9081

55- 0564 55-2049 55-3536 55-5025

2-7221

2-7240

2-7258

2-7276

2-7295

7-91

7-92

7-93

7-94

7-95

6-46

6-47

6-48

6-49

41-7316 2-5417

41- 8609 2-5436 41.9904 2-5456

42- 1201 2-5475 42-2500 2-5495

6-96

6-97

6-98

6-99

48-4416

48-5809

48-7204

48- 8601

49- 0000

2-6382

2-6401

2-6420

2-6439

2-6458

7-46

7-47

7-48

7-49

55-6516

55-8009

55- 9504

56- 1001 56-2500

2-7313

2-7331

2-7350

2-7368

2-7386

»²

56-4001 2-7404 56-5504 2-7423 56-7009 2-7441

56- 8516 2-7459

57- 0025 2-7477

57-1536' 2-7495 57-3049; 2-7514 57-4564 2-7532 57-6081 2-7550 57-7600 2-7568

57- 9121

58- 0644 58-2169 58-3696 58-5225

2-7586

2-7604

2-7622

2-7641

2-7659

58-6756 2-7677 58-8289 2-7695

58- 9824 2-7713

59- 1361 2-7731 59-2900 2-7749

59-4441! 2-7767 59-5984! 2-7785 59-7529 2-7803

59- 9076 2-7821

60- 0625 2-7839

60-2176 2-7857 60-3729 2-7875 60-5284 2-7893 60-6841 2-7911 60-8400! 2-7928

60- 9961; 2-7946

61- 1524! 2-7964 61-30891 2-7982 61-4656,! 2-8000 61-6225 2-8018

61-7796

61- 9369

62- 0944 62-2521 62-4100

62-5681

62-7264

62- 8849

63- 0436 63-2025

2-8036

2-8054

2-8071

2-8089

2-8107

2-8125

2-8142

2-8160

2-8178

2-8196

7-96 68-3616 2-8213 7-97 63-5209 2-8231 7-98 63-6804 2-8249

7- 99 63-8401 2-8267

8- 00 64-0000 2-8284

t

y

V

$

/

l

f

i

• V

/

», r

&

i.

i.

'

\

\

&

✓ V

<*

- \

■

s ‘

•ł'r-

.

'\y

'

/

H

;,j/rv

;

>

\

^ \ -

■>

'A

' ■*(/

Bi

&

¹ ,-i.r

MM

r-

.

t

/•:

j

. ,w

■y-

"■7:-

' .

r

/

!

<

v

■

\

>

/

V.

4:

. ś

. / ■

j -

*

/

i

,7

.

. ii

V •

J,

\

V

.

$

y

ł

X‘

\

i ,

\

■ \

\

W

O

* I

m ■

'i

K

/■ \

*

■

7

i

\

/

,v

I.

.

%

y ,•

(

\ .

r

; W.

#

' ,5

f

Si;

s

V

■

■;-Vv:v ■

i ■.

:wsrM

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

'-■■lis

100000231345

„J ■

Hfjj- .

im,-

mmSm

;-!i

Bi

>v

MS

lii

II

ai

Ii

Ii

*61:

li

iii

II

■

iii!

II

m.

mmmm

■BBbsy u

sili

IjW:

Jłjsjf

a]

.Cl

iii

ifi

B&

¹

Helmert, Ausgleichungsrecbnung n. d. M. d. kl. Qu., Lipsk i Berlin 1907-str. 876—434; I. P. Gram, Ueber d. Entwickelung reeller Funkt. in Reiben mittels d. M. d. kl. Qu., Journal f. d. reine u. angew. Mathem. tom 94, 1883; C. Runge, Ueber die Yergleicbung empir. Formeln, Zeistchr. f. Matb. und Physik, tom 45, 1900. i. i.