WYDZIALY POLITECHNICZNE KRAKOW

BIBLIOTEKA GtÖWNA

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Biblioteka Politechniki Krakowskiej

100000298997

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.

Praktische

Unterrichtskücher für Nautechniker.

III.

Die Festigkeitslehre

Statik im Hochbau

c. Das größte Biegungsmoment,

V. Berechnung der Trägheitsmomente und Widerstandsmomente gegebener Profite,

Zweiter Nbschnilk: Berechnungen.

Beispiele.

8.69

6. Berechnung der Dachkon st rnktionen. a. Das einfache Sparrendach.

s^yvs + H,2. .

IT'

11. Die Widerlager.

Die Zangen a f und c d.

Die Festigkeitslehre

und die

Statik im Hochbau

tnif zahlreichen Beispielen, ausführlichen Berechnungen und Tabellen zu Holz-, Sleln- und EifenKonstruKkionen.

Unter Berücksichtigung der deutschen Normalprofile für die Bedürfnisse der Praxis, zum Selbstunterricht und Schulgebrauch bearbeitet von

H. Mesmer, KrchileA,

Direktor der Großherzoglichen Baugewerk- und Maschinenbauschule zu Varel a. d. Jade.

fünfte verbesserte Auslage.

Mit 233 Holzschnitten.

Ludw. Hofstetter, Verlag. 1903.

114310

Korworl ^ur Meilen Aufsage.

Sie zweite Auflage meiner „Festigkeitslehre und Statik im Hochbau", welche beit III. Band meiner „Praktischen Iluterrichtsbücher für Bautechuiker" bildet, erscheint zwar in demselben Umfange wie die erste Auflage, aber es sind doch vielfache Verbesserungen und Ergänzungen in dieselbe aufgenommen worden, besonders habe ich der Benutzung der deutschen Nvrmalprofile, soweit es dein Zwecke des Werkes entspricht, in ausgibigem Maße Rechnung getragen. Von einer Erweiterung des Inhalts habe ich jedoch Abstand genommen, weil ich überzeugt bin, daß eine solche für den Bautechniker nicht erwünscht ist und das Buch alle Ansprüche, die an ein derartiges Werk gestellt werden, auch vollständig erfüllt hat. Es beweist dies wohl am besten der schnelle Absatz der ersten Auflage.

Wie bei allen Bänden meiner „Praktischen Unterrichtsbücher" war ich auch bei der „Festigkeitslehre und Statik im Hochbau" vorzugsweise bestrebt, bei möglichst kurzer, allgemein verständlicher Fassung, ein brauchbares und hinreichend vollständiges Hand- und Hilfsbuch sowohl für den praktischen Bautechniker, als auch für den Baueleven zu bearbeiten. Aus diesem Grunde sind alle Berechnungen nur mit Hilfe der niederen Mathematik durchgeführt und praktische Beispiele und Aufgaben nebst vollständiger Ausführung der Rechnung resp. Lösung, in großer Zahl hinzugefügt, sodaß es mit leichter Mühe möglich ist, jede im Hochbau vorkommende statische Berechnung ohne besondere Schwierigkeit auszuführen, wobei selbstredend die nötigen mathematischen Kenntnisse vorausgesetzt sind. Zur Ersparung zeitraubender Rechnungen sind zahlreiche und vollständige Tabellen ebenfalls beigegeben und werden jüngere Techniker bei Rechnungsübungen mit Befriedigung wahrnehmen, wie leicht jeder Fehler durch Vergleichung mit der übersichtlich geordneten Rechnung der Beispiele erkannt und wie dadurch das schnelle Verständnis für derartige statische Berechnungen gefördert wird.

Angenehm wäre es mir, wenn irgend welche Wünsche bezüglich weiterer Vervollkommnung des Werkes mir mitgeteilt würden; dieselben sollen nach Möglichkeit bei etwa erscheinenden ferneren Auflagen gern berücksichtigt werden.

Meine jetzt komplet erschienenen „Praktischen Unterrichtsbücher für Bautechniker" stellen in ihrer Gesamtheit, bei sehr billigem Preise, eine vollständige wertvolle Bibliothek für jeden Bautechiker dar, aber es bildet auch jeder einzelne Band ein selbständiges, einzeln käufliches Werk.

Außer dem vorliegenden sind folgende Bände erschienen:

I. Darstellende Geometrie (2. Auflage);

II. Technische Naturlehre und Mechanik;

IV. Baukonstrnktionen des Maurers;

V. Baukonstruktionen des Zimmermanns;

VI. Veranschlagen im Hochbau;

VII. Säulenordnungen;

VIII. Das Entwerfen der Fassaden, Grundrisse und Gesimse;

IX. Die Kontorarbeiten des Bauhandwerkers;

X, Lehrbuch der gesamten niederen Mathematik von Otto und Diesener, zugleich „Mathematische Vorschule" zu den praktischen Unterrichtsbüchern für Bautechniker.

H. Diesener.

Inhalt.

I. Das Wesentlichste und Notwendigste aus de» Resultaten der Festigkeitslehre.

Seite

Einleitung.....................

1.    Absolute oder Zugsestigke t.............

2.    Rückwirkende oder Druck-Festigkeit...........

3.    Zerknickungs- oder Strebe-Festigkeit..........

4.    Scheer-, Schub- oder Gleitungs-Festigkeit........

5.    Relative oder Biegungs Festigkeit...........

6.    Drehungs- oder Torsions-Festigkeit..........

7.    Tabelle der Festigkeits-Koeffizienten...........

Belastungen, welche den statischen Berechnungen der Hochbau-konstruktionen zu Grunde zu legen sind........

1.    Eigengewichte verschiedener Materialien.........

2.    Eigengewichte von Mauern Pro qm Ansichtsfläche.....

3.    Eigengewichte hölzerner Zwischendecken.........

4.    Eigengewichte flacher gewölbter Decken.........

5.    Verkehrslast für Zwischendecken...........

6.    Totalbelastung von Zwischendecken und Dächern......

Belastung der Dachkonstrnktionen............

1.    Eigengewicht der Dächer...............

a.    Holzdächer..................

b.    Metalldächer.............. . . .

2.    Verkehrslast für Dächer...............

3.    Totalbelastung der Dächer..............

Belastung der Straßenbrücken.............

1.    Veränderliche Belastung...............

2.    Eigengewicht eiserner Straßenbrücken ..........

3.    Totalbelastung eiserner Brücken . ...........

GO GO 00 00    <1 <]    <] CS GS OS Üt CH ^ rfu

1. Die Freiträger Beispiele .

II. Statik.

Erster Abschnitt: Allgemeines.

H- O

Seite

2. Frei auf zwei Stützen ruhende Träger

a.    Die Reaktionen der Stützen ....

b.    Die Lage des Bruchquerschnittes .    .    .

c.    Die Berechnung des größten biegenden Momentes (Beispiele.) ...    14

12

13

14

3 Formeln für die Berechnung einfach belasteter Träger ... 23

Beispiele.....

4. Berechnung der Stützen

28

34

5. Tabelle der Trägheitsmomente

Beispiele.......

35

37

6.    Berechnung der Trägheitsmomente und Widerstandsmomente

gegebener Profile..................

a.    Querschnittstafel..................

b.    Beispiele....................

7.    Auf mehr als 2 Stützen ruhende Träger........

Beispiele.....................

39

39

. 44

47

48

54

8. Tabellen

a.    Träger und Stützen von Holz mit rechteckigem Querschnitt .... 54

b.    Träger und Stützen von Holz mit quadratischem Querschnitt ... 62

c.    Tabelle des Kreisring-Querschnittes

cl. Tabelle    des    Kreis-Querschnittes

n.    Tabelle für hochstegige i-Eisen. (Deutsche Normalprofile) .... 75

o.    Tabelle des halben Kreisring-Querschnittes

63

65

66

69

70

70

71

72

74

76

Zweiter Abschnitt: Berechnungen.

1. Die Balkon und Erker-Konstruktionen

Beispiele.

77

2. Verstärkte Balken

a.    Verdübelte Balken

Beispiele . .    .

b.    Verzahnte Träger

c.    Verbolzte Balken

Beispiele . .    ,

97

98

99

. 102

103

3. Berechnung der Belastungen für Balken, welche durch Säulen unterstützt find....................

Seite

108

4    Berechnung der Hängewerke.......

a.    Das einsäulige Hängewerk........

Beispiele..............

b.    Das zweisäulige Hängewerk........

Beispiele...............

c.    Hängewerk mit drei Hängesäulen......

d.    Hängewerk mit fünf Hängesäulen......

Beispiel..............

5    Die Sprengewerke...........

0. Berechnung der Dachkonstruktionen . . . .

a.    Das einfache Sparrendach........

Beispiel..............

b.    Das einfache Kehlbalkendach.......

Beispiel..............

c.    Das Kehlbalkendach mit einfach stehendem Stuhl

Beispiel . . . ...........

d.    Das Kehlbalkendach mit doppelt stehendem Stuhl

Beispiel..............

6. Das Dach mit Forsträhm........

Beispiel..............

f.    Das Dach mit dreifach stehendem Stuhl . . .

Beispiel . . . .v..........

g.    Das Dach mit liegendem Stuhl......

Beispiel..............

h.    Mansardedächer............

i.    Pultdächer . . ...........

k.    Dächer von Holz und Eisen.......

l.    Einfache Dächer aus Eisen........

Beispiel..............

113

113

116

120

121

132

135

138

143

146

146

147

149

151

152

155

157

159

163

164

166

169

173

175

178

183

186

189

198

7.    Die Stabilität der Mauern .......

Beispiel............

8.    Die Stabilität der Futter- und Kaimauern

Erfahrungsregeln für Futtermauern . . .

9.    Das Gleiten der Mauern auf der Basis

Beispiel.............

10.    Berechnung der Stabilität der Gewölbe .

11.    Die Widerlager...........

. 201

203

205

206

CO 00

209

Seite

12. Berechnung der eisernen Träger gewölbter Treppen.....218

Beispiel

220

13. Übungen

222

1.    Berechnung der Eisenkonstruktionen eines Wohn- und Geschäftshauses

mit Keller, welcher zwischen eisernen Trägern gewölbt ist, mit Laden, Schaufenstern rc. . . ................

2.    Berechnung der Eisenkonstruktionen eines Erkers mit darüber liegendem

Balkon.....................

222

232

3.    Berechnung der Stabilität eines Dachbinders und der Holzstärken

desselben.....................

4.    Berechnung der Eisenkonstruktionen bei Herstellung eines größeren

Ladens in einem Wohn- und Geschäftshause.........

5.    Berechnung der Eisenkonstruktionen einer Kirche, deren Turm nur mit

einer Seite auf der Mauer steht............ .

6.    Berechnung der Eisenkonstruktionen einer Treppe.......

238

251

265

270

I. Das Wesentlichste und Notwendigste aus den Resultaten der Festigkeitslehre.

Einleitung.

Jeder feste Körper fetzt denjenigen äußeren Kräften, welche eine Änderung seiner Form oder eine Trennung seiner Teile herbeizuführen suchen, einen größeren oder kleineren Widerstand entgegen, und es muß daher angenommen werden, daß zwischen den kleinsten gleichartigen materiellen Teilchen des Körpers, einer Gruppe von Atomen, den sogenannten Molekülen, eine Kraft thätig ist, durch welche diese Teilchen zusammengehalten werden. Diese Kraft ist die Kohäsionskraft.

Die Wirkung dieser Kraft besteht aber einesteils darin, daß sie der Verschiebung und Trennung der Moleküle einen Widerstand entgegensetzt, anderenteils darin, daß sie innerhalb gewisser Grenzen die verschobenen Moleküle wieder in ihre ursprüngliche Gleichgewichtslage zurücktreibt, wenn die Wirkung derjenigen Kraft, welche dieses Gleichgewicht störte, aufhört. In diesem letzteren Sinne nennt man die zwischen den Molekülen wirkende Kraft Elastizität.

Bis zu demjenigen Stadium der Verschiebung, welches als die Grenze der vollkommenen Elastizität bezeichnet wird, findet eine nahezu vollständige Zurückführung der Moleküle in ihre ursprüngliche Gleichgewichtslage statt; über diese Elastizitätsgrenze hinaus aber werden die Moleküle nur unvollständig oder gar nicht in ihre ursprüngliche Gleichgewichtslage zurückgebracht, sondern nehmen eine andere Gleichgewichtslage an.

Der Widerstand, den die Kohäsionskraft der vollständigen Trennung der Moleküle, also der Zerstörung des festen Körpers entgegensetzt, wird die Festigkeit des Körpers genannt. Je nach der Art der Belastung und der durch dieselbe bewirkten Formveränderung werden mehrere Arten der Festigkeit unterschieden.

1. Absolute ober Zug-Festigkeit heißt der Widerstand, den die inneren Kräfte eines festen Körpers denjenigen äußeren Kräften entgegensetzen, welche ihn in der Richtung seiner Längenaxe zu dehnen, beziehungsweise zu zerreißen bestrebt sind. Fig. 1.

Außer vom Material hängt die Größe des Widerstandes hierbei lediglich von der Größe des Normal-Querschnittes ab. Bezeichnet P die ziehende Kraft, F den Inhalt des Normal-Querschnittes und C die Belastung pro Flächeneinheit, die sogenannte spezifische Belastung, so kann

P = C . F sein.

-ft

itf;

Fig. 1.

Fig. 2.

st

!<------

Fig. 3.

Fig. 4.

Die Größe des nach dem Material zu bestimmenden Koeffizienten 6 wird durch Versuche bestimmt; die Werte sind aus der betreffenden Tabelle zu entnehmen.

2. Rückwirkende oder Druck-Festigkeit

wird der Widerstand genannt, den die inneren Kräfte dem Zusammendrücken, beziehungsweise dem Zerdrücken in der Richtung der Längenaxe des Körpers entgegensetzen. Es kann demnach kein Zerbrechen, sondern nur ein Zermalmen des Körpers erfolgen.

Fig. 2.

Der Widerstand ist ebenfalls proportional der Größe der spezifischen Belastunng und des Normal-Querschnittes.

3.    Zerknickungs- oder Strebe-Festigkeit

nennt man den Widerstand,, den die inneren Kräfte des Körpers dem Zerbrechen desselben nach vorangegangener Biegung entgegensetzen, wenn die Kraft in der Richtuug der Längsaxe des Körpers wirkt. Fig. 3.

Die Zerknickungsfestigkeit hängt außer vom Material von der Länge 1 und dem kleinsten Trägheitsmomente (T min.) des Normal-Querschnittes ab. Der die Abhängigkeit vom Material ausdrückende Koeffizient ist hierbei nicht die spezifische Belastung, sondern der Elastizitätsmodul E.

Der Elastizitätsmodul E ist diejenige Kraft, durch welche ein prismatischer Körper von 1 qcm Querschnitt ans das Doppelte seiner Länge ausgedehnt bezw. auf die Länge Null zusammengedrückt werden würde, wenn dies überhaupt möglich iväre.

4.    Scheer-, Schub- oder Gkeitungs-Festigkeit ist der Widerstand, den die inneren Kräfte solchen äußeren Kräften entgegensetzen, welche einen Teil des Körpers zu verschieben, beziehungsweise abzuschieben bestrebt sind. Die angreifende Kraft wirkt in der Richtung des Normal-Querschnittes. Fig. 4.

Die Scherfestigkeit folgt demselben Gesetze, wie die Zug- und Druckfestigkeit.

5.    Relative oder Biegungs-Festigkeit ist der Widerstand, den die inneren Kräfte einer Biegung, beziehungsweise dem Zerbrechen des Körpers, wobei die äußeren Kräfte senkrecht gegen die Längenaxe des Körpers gerichtet sind, entgegensetzen. Fig. 5.

Die Fasern des Körpers werden teils gezogen, teils gedrückt, während eine Faserschicht ungespannt bleibt. Diese schneidet alle Normal-Querschnitte in einer geraden Linie, welche die neutrale Axe genannt wild und durch die Schwerpunkte der Querschnitte geht. Sie liegt horizontal, wenn, unter Annahme vertikal wirkender Belastung, die vertikale oder horizontale Schweraxe des Querschnittes eine Symmetrieaxe desselben ist.

Die Biegungsfestigkeit eines Körpers wird bestimmt durch die Größe des zulässigen Angriffsmomentes M, und zwar ist dieses

M = S . W,

unter 8 den Festigkeitskoeffizienten des Materials und unter W das Widerstandsmoment des Normal-Querschnittes verstanden. Hierbei ist

W = T : a,

wenn T das auf die neutrale Axe bezogene Trägheitsmoment, a den Abstand der am stärksten gespannten Faser von der neutralen Axe bezeichnet.

6.    Drehungs- oder Torsions-Festigkeit ist der Widerstand, den die inneren Kräfte solchen äußeren Kräften entgegensetzen, welche den Körper um seine Axe zu drehen bestrebt sind. Fig. 6. —

rn

Ft

vr

Fig. 6.

Das Trägheitsmoment eines Körperteilchens ist das Produkt ans seiner Masse und dem Quadrat seines Abstandes von einer Schweraxe. Das Trägheitsmoment eines Körpers ist die Summe aus den Trägheitsmomenten der einzelnen Teilchen. Unter dem Trägheitsmoment der Querschnittsfläche eines Körpers versteht man die Summe der Trägheitsmomente des gezogenen und gedrückten Teils, mit der neutralen Axe als Drehungsaxe.

Das Widerstandsmoment einer Querschnittsfläche ist der Quotient aus dem Trägheitsmoment, bezogen auf die neutrale Axe, dividiert durch den Abstand der am stärksten gezogenen Faser tidft der neutralen Axe.

(Siehe: Band II, die technische Naturlehre und Mechanik.)

_7. Tabelle der Festigkeits-Koeffizienten._

Material.

Kilogramm pro qcm

Zug.

Druck.

Abscheerung.

Schmiedeeisen......

Bombiertes Eisenwellblech . .

Eisendraht.......

Gußeisen .......

Gußstahl, gehärtet . . . .

750

750

600

500

500

1200

250

500

200

3000

3000

2200

Material.

Kilogramm pro qcm

Zug.

Druck. Abscheerung.

Eichenholz...........

Buchenholz...........

Kiefernholz...........

Tannenholz ..........

Glas.............

Basalt............

Granit............

Rüdersborfer Kalkstein.......

Roter Sandstein.........

Heller Sandstein, guter harter . . . . GewöhnlichesZiegelmauerwerkmitKalkmörtel Gutes Ziegelmauerwerk mit Zementmörtel Bestes Ziegelmauerwerk mit Zementmörtel Poröse Ziegel, leicht gebrannt . . . .

Poröse Ziegel, hart gebrannt.....

Tuffstein ........: . .

Marmor ...........

Guter Baugrund.........

Beton ............

SooSlllliiiiiiiMii

11

12—14

co sc CD

Ci tsS

Die Werte sind Kilogramme pro qcm; in die Formeln sind daher die Längen in Zentimetern und die Belastungen in Kilogrammen einzuführen.

Belastungen, welche den statischen Berechnungen der HochbausronstrnKlionen fit Gründe fit legen sind.

1. Eigengewichte verschiedener Materialien.

Ziegelmauerwerk, frisch trockeu

In »Kilogrammen pro Kubikmeter.

do.

Kalksteinluauer, frisch .

do. trocken Sandsteinmauer, frisch do. trocken

Beton........

Tonerde, trocken.....

do. stark durchnäßt .    .

Lehm, trocken .....

do. stark durchnäßt . .    .

Gewöhnliche Dammerde, feucht

.    1600    kg

. 1550 „

. 2500 „

. 2450 „

. 2400 „

. 2050 „

. 2000 „

. 1550 „

. 1950 „

. 1460 „

. 1800 „

. 1600 „

Sand oder Kies, feucht.......

Steinschotter...........

Ziegelmauerwerk aus porösen oder Lochsteinen

Kiefernholz ............

Eichenholz............

Torf .............

Roggenschüttung .........

Asphalt............

Basalt.............

Granit.............

Sandstein............

Sehr grober Kies.........

Eis

Steinkohlen Gußeisen . Schmiedeeisen

2. Eigengewichte von Mauern pro qm Ansichtsfläche.

.    220    kg

. 880 „

. 1100 „

. 1300 „

3. Eigengewichte hölzerner Zwischendecken.

Fachwerk mit Ziegelsteinen, -1 Stein stark.

do.

Massives Mauerwerk, Desgl.

Dcsgl.

Desgl,

Desgl.

ll

2l I

Bezeichnung

der Deckenkonstruktionen.

Entfernung

der Balken von Mitte zu Mitte:

1,2 m

0,9 m

Stärke der Balken in Zentimetern: 20

25    |    30

Gewicht in Kilogramm pro qm

25

20

25

25

30

Balken mit einfacher Dielung . Einfache Kassettendecke ohne Stuck

60

80

56

120    140    110

SS

do.

mit halbem Windelboden und Stuck . . . .

Balken mit gestrecktem Windelboden . . Balken mit halbem Windelboden . . . Balken mit ganzem Windelboden . . ,

280 330 310 200 230 190 250 300 280 350 400 380

cö    8 3 § §

rH    CO CM CO xh

Anmerkung. Für jede Vermehrung der Balkenhöhe um 2,5 cm er-höht sich das Gewicht der Zwischendecken um cirka 25 kg pro qm.

4. Eigengewichte flacher gewölbter Decken.

Art der Decken.

kg pro qm.

Stein stark mit Hintermauerung Fuß-

Decke aus Ziegelmauerwerk,

bodenlager und Dielung .......

Desgl., A Stein stark...........

Desgl., 1 Stein stark...........

Desgl., A Stein stark, aus porösen oder Hohlsteinen Wellblechdecke mit Beton, 13 cm stark . . . . .

400

250

650

130-150

250-350

5. Berkehrslast für Zwischendecken.

Belastung

der Zwischendecken von:

kg pro qm.

Belastung

der Zwischendecken von:

kg pvo qm.

Wohnräumen re......

Tanzsälen .......

Werkstätten mit schweren Maschinen .......

Heu- und Fruchtböden . . .

150—250

400

500-700

400-450

Kaufmannsspeichern .    .    .    .

Salzspeichern......

Belastung durch    Mensch en-

gedränge; genügende Annahme .......

760

600

400

6. Totalbelastung von Zwischendecken und Dächern.

In Kilogrammen pro Quadratmeter.

Balkenlage mit einfacher Dielung, ohne Stakung .    .    .

do. mit gestrecktem Windelboden und Lehm-Estrich do. ausgestakt und verschalt in Wohnhäusern

do.

do.

bei Tanzsälen und Werstätten . .

Balkenlage in Kornspeichern........

do. in Salzspeichern........

Dachbalkenlage in Wohngebäuden einschl. Dachdruck Gewölbte Decken zwischen eisernen Trägern, A Stein stark, mit Hintermauerung, Fußbodenlagern und Dielung Gewölbte Decken zwischen eisernen Trägern,

Mauerung, Fußbodeulagern und Dielung Gewölbte Decken aus porösen Steinen . . .

in Fabrikgebäuden .... unter Durchfahrten re. . . .

Wellblechdecken in Wohnhäusern in Fabriken

do.

do.

do.

.    .    350    kg

Stein stark, mit Hinter-

| zum Nachweis

.    600-750 „

500-550 „ 600 „ . 1000 „ .    1250 „

500—1000 „

Dachflächen in der Horizontalprojektion gemessen, einschl. Schnee- und Winddruck, entsprechend der Neigung:

bei Ziegcldecknng.....

„ Schieferdeckung . . .

„ Metall- und Glasdeckung „ Holzzemcntdeckung . .

„ steilen Mansardedächern ,

250—300 kg 200-240 „ 125—150 „

.    350 „

.    400 „

Belastung der DachlronstruKlionen.

In Kilogrammen pro Quadratmeter.

1. Eigengewicht -er Dächer.

a. Holzdächer.

Einfaches Ziegeldach.........

Doppel- und Kronendach (Ziegeldach) . . . Gewöhnliches Schieferdach (englischer Schiefer) (deutscher Schiefer)

Desgl.

Holzzementdach Dach mit Holzschalung und Zink- oder Eisenblech und Theerpappe . . .

do.

Falzziegeldach

Mittleres Gewicht. .    .    100    kg

110-125 „

Glas auf Winkeleisen .... Schiefer auf do.    ....

Ebenes Eisenblech auf Wiukeleisen Eisenwellblech auf Zinkwellblech auf Gußeiserne Platten

do.

do.

b. Metalldächer.

30 „ 50 „ 20 „ 25 „ 15-20 „ 70 „

Winddruck normal zur Windrichtung Schneedruck........

2. Berkel,rslastfür Dächer.

'    120 „

•    75 „

3. Totalbelnstung der Dächer.

In Kilogrammen pro qm Horizontalprojektion, tl—Höhe des Daches, 8—Tiefe des Daches.

Art der Bedachtuug.

h:s =

1: 211: 311:411:511 :6[ 1: 7 1: 8 1:91:10

Anfaches Ziegeldach......

Doppel- und Kronenziegeldach . .

Falzziegeldach........

Gewöhnliches Schieferdach (englisch) Desgleichen Holzzementdach Dach mit Zink oder Eisenblech . . Dach mit Theerpappe.....

(deutsch) .

360

380

290

240

300

280

260

270

260

250

220

co CO

180

250

1:10

200

190

bis

160

160

5 £ I    |    I

o 00 1    1    1    1

1:48

250

140

140

132 130 130 125

Brücken.

Belastung der Straßenbrücken.

1. Veränderliche Belastung.

Belastung.

Bemerkungen.

kg pro qm.

Straßen- und Pferdeeisenbahn-Brücken .

Menschengedränge.

150

200

280

400

Fußsteige u. Ziehwege.

Menschen, Tiere und Fuhrwerk .

Stege für öffentlichen Verkehr .

Privatverkehr . . . Ziehwege in Städten . . . . Stege für leichtes Fuhrwerk. .

400

do.

200

400

150

2. Eigengewicht eiserner Straßenbrücken.

a.    Wenn die Fahrbahn 0,20 m stark beschottert ist:

42.1 + 900 kg. (1 — freie Spannweite in Metern.)

b.    Wenn die Fahrbahn doppelte Bohlenlage hat:

28.1 + 600 kg.

3. Totalbelastung eiserner Brücken.

a.    Wenn die Fahrbahn 0,20 m stark beschottert ist:

42.1 + 3600 kg.

b.    Wenn die Fahrbahn doppelte Bohlenlage hat:

28.1+ 1300 kg.

Pro qm in Kilogrammen.

II. Statik.

Erster Köschnikl: Allgemeines.

1. Die Freiträger.

Bezeichnet man mit:

M das größte Biegungsmoment,

W das Widerstandsmoment des Profils,

8 die zulässige Spannung oder den Festigkeitskoeffizienten des Materials,

so ist

M = S . W,

und ergiebt sich hieraus die Fundamentalformel

Jedes durch die Belastung eines Trägers erzeugte Moment nennt man „Kraftmoment" oder „Moment der äußeren Kräfte". Damit der Träger nicht bricht, müssen die im Innern des Trägers tätig werdenden Kräfte ein Moment erzeugen, welches dem Kraftmomente gleich ist und diesem entgegengesetzt wirkt. Dieses widerstehende Moment heißt das „Moment der inneren Kräfte."

Dieses ist nun

wenn T das auf die neutrale Axe bezogene Trägheitsmoment des Profils und a der Abstand der am stärksten gezogenen Faser von der neutralen Axe ist; es ist aber auch

T : a = W,

gleich dem Widerstandsmoment des Profils, und demnach

M = S . W.

Hat man nach der Fundamentalformel das erforderliche Widerstandsmoment eines Trägers berechnet, so entnimmt man entweder aus einer von den Hüttenwerken herausgegebenen Profiltafel ein entsprechendes Profil, oder man konstruiert selbst unter Benutzung des später Folgenden ein dem berechneten W genügendes Profil; letzteres jedoch nur in seltenen Fällen.

Aus der Tabelle der Festigkeitskoeffizienten sind die angegebenen Werte in die Formeln einzuführen.

Die meiste Verwendung finden jetzt die deutschen Normalprofile, welche in den betreffenden Tabellen genau angegeben sind.

Gußeiserne Träger dürfen im Allgemeinen nicht über mehr als zwei Stützen verlegt werden. Sie sind so anzuordnen, daß bei vertikal gerichteter Belastung die Flansche, bezw. die größere, wenn deren zwei verschiedene vorhanden sind, die gezogenen Fasern enthält und außerdem horizontal liegt. Hieraus ergeben sich die in beit Figuren 7 bis 10 skizzierten, verschiedenen Angriffsweisen entsprechenden Anordnungen. Die Figuren 9 und 10 zeigen, daß die Anwendung eines gußeisernen Trägers ausgeschlossen ist, sobald die elastische Linie wechselweise nach ver einen oder der anderen Seite konvex ist, da im Wendepunkte eine Umkehrung des Profils nötig wäre. Anordnungen gußeiserner Träger in P-Form, wie Fig. 9 und 10, sind also unzulässig.

-Jr

■f*

Fig. 7.

Fig- 8.

Fig- 9.

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dr

Fig- 10.

Die Anwendung der Fundamentalformel setzt voraus, daß die Richtungslinien aller äußeren Kräfte in einer Ebene liegen, die den Querschnitt in einer Symmetrieaxe oder einer normal zu dieser gelegenen Axe schneidet; es muß demnach bei vertikal gerichteten äußeren Kräften die horizontale oder die vertikale Schweraxe eine Symmetrieaxe des Querschnittes sein.

Die Fundamentalformel ist daher brauchbar für die Berechnung von Trägern mit rechteckigem Querschnitt, mit I- oder L-Querschnitt, unter Voraussetzung kongruenter Flanschen; sie ist jedoch nicht anwendbar bei L» oder 2-Querschnitt. —

Beim Freiträger liegt der gefährliche Querschnitt, d. h. derjenige, welchem das größte Biegungsmoment entspricht, stets an der Einklemmungsstelle.

Ist in Fig. 11 der Träger von der Längei an seinem freien Ende B durch die zentrierte Last P beansprucht, so liegt der gefährliche Querschnitt an der Einklemmungsstelle A und bas größte Biegungsmoment ist dann:

M = P1.

Weil nun aber

W — M: S,

so ist auch

Ist in Mg. 12 die Last gleichförmig über den gangen Träger A B verteilt, so nimmt man dieselbe als im Schwerpunt s zentriert ein. Der

Hebelarm der Last ist dann in Bezug ans die Einklemninngsstelle A — I, demnach

M — P1:2, nnd W=P1:2S.

t-

AMWWWW

hT<

MH

gig. 11.

Fig. 12.

Beispiele.

1.    Ein schmiedeeiserner Freiträger von 1,0 m freitragender Länge ist am freien Ende durch eine zentrierte Last von 1600 kg beansprucht; welches Profil muß er erhalten?

Auflösung. Das erforderliche Widerstandsmoment ist W = P1: S = (1600.100): 750 — 213,33, ans Zentimeter bezogen. Das Profil Fig. 13 mit W = 239 genügt also; desgleichen Normal-Profil Nr. 20 mit W = 216.

Anmerkung. Die Prvfilmaße der eisernen Träger rc. sind stets in Millimetern angegeben.

2.    Ein Träger von — 1,50 m freier Länge, der an einem Ende fest eingemauert ist, trägt an seinem freien Ende eine zentrierte Last von Pj = 600 kg, im Abstande von 1₂ = 0,90 m von der Einklemninngsstelle eine solche von P₂ — 800 kg und ist in seiner ganzen freien Länge gleichförmig mit P—700kg belastet; welches Profil muß er erhalten, wenn er von Schmiedeeisen gefertigt wird?

Auflösung. Fig. 14. Das größte Biegungsmoment ist

11

8 2 00

L«?j

Fig. 13.

M = p.U_ + Pl.i₁₊p₂.i

oder:

|<~—-----.

150

+ 600.150 +

M = 700 • g

800.90 = 214500.

45«.

Es ist demnach 214500

286,

sodaß das Profil Fig. 15 mit W = 296, oder Normal-Profil Nr. 23 mit W = 317 genügend ist.

Wäre der Träger in Gußeisen auszuführen, so ergiebt sich:

W — 214500 : 500 = 429. Die beiden Profile Fig. 16, a mit W — 438 und b mit W = 440 würden also ausreichen.

3. Welche Last vermag ein Balken aus Eichenholz, welcher an dem einen Ende befestigt ist, an dem anderen freien Ende mit Sicherheit zu tragen, wenn er 1 = 1,57 m freie Länge, einen quadratischen Querschnitt von 0,26 m Seite und ein Widerstandsmoment von 2929 besitzt?

Fig- 15.

!*—3~

2it::

-R-

&:

Ljh-J

zut::i

Fig- 16.

Auflösung. Es ist

W = P1: S, oder:

1492,48 = rd. 1490 kg.

2929 = P. 157 : 80, und hieraus: 2929.80

157

4. Ein kieferner Balken von 3,0 m freier Länge ist an einem Ende befestigt und trägt an seinem freien Ende 1000kg; welches Profil muß derselbe erhalten, wenn sein Eigengewicht = 95 kg mit in Rechnung gezogen werden soll?

t-

200

-_y

3 SO

Auflösung. Das Eigengewicht wirkt als gleichförmig verteilte Belastung und ist als im Schwerpunkte zentriert anzunehmen. Es ist demnach

M = 1000.300 + 95.150 = 314250,

und hiernach

W = 314250: 60 = 5237,5.

Das Profil Fig. 17 mit W = 5395 ist also ausreichend, dessen Höhe = 34 cm und dessen Breite = 28 cm ist, oder ein Querschnitt von 26.35 cm mit W = 5278.

Fig. 17.

2. Frei auf zwei Stutzen ruhende Triiger.

Der Bestimmung des erforderlichen Widerstandsmomentes hat hier die Lösuug folgender Aufgaben voranzugehen.

1.    Die Bestimmung der Auflagerdrücke oder der Reaktionen der Stützen.

2.    Die Aufsuchung der Lage des gefährlichen Querschnittes, des

Bruchquerschnittes.

3.    Die Berechnung des größten biegenden Momentes.

ä. Die Reaktionen der Stützen,

d. h. den Widerstand, den die Stützen dem durch die Träger auf sic über-trageueu Drucke entgegensetze», bezeichnet man gleichnamig mit der Bezeichnung der Stützen; in Fig. 18 also mit A imb B. Sollen die Stützen die Belastung tragen können, so müssen die Momente der Belastung den Momenten der Stützen gleich sein; P muß also Resultierende zwischen den Seitenkräften A und B sein.

Die zentrierte Last P greift im Abstande a von A und im Abstande b von B an. Hieraus ergeben sich die Momcnten-Gleichungen:

1.    AI — P d, da sich verhält A : P = b : 1, und

2.    P a = B1, da sich verhält B : P = a: 1,

je nachdem A oder B als Drehungs-

Punkt angenommen wird, Aus den Gleichungen 1 und 2 folgt, daß

Ai

<-

Fig. 18.

->j

>!

A — Pb : I lind B — P a : 1.

NB. Wenn die Belastung über irgend eine Strecke des Trägers oder über den ganzen Träger gleichmäßig verteilt ist. nimmt man dieselbe als in ihren: Schwerpunkte zentriert an und behandelt sie wie die Last P in Fig. 14.

Beispiel Der in Fig. 19 schematisch dargestellte Träger ruht frei auf den Stützen A und B; im Punkte I trägt er die zentrierte Last 900 kg, im Punkte II die zentrierte Last 600 kg, aus seiner A ganzen Länge ist er mit 1200 kg und auf eine Länge von 2,0 m von B ab mit 3000 kg gleichförmig verteilt belastet.

Die Reaktionen der Stützen sind 900.2,0 , 600.0,50 , 1200.1,50

JjOO

All

1,50

| JT

[900__3ßQ_

Fig. 19.

3000.1,0

600

>!

3,0

3,0

3,0

1200

900.2,0 + 600.0,5 + 3000.1,0

3,0

, oder:

900.1,0 . 600.2,50

3,0

— 2300 kg, und

1200.1,50 , 3000.2,0

3,0

3,0

3,0

3,0

, oder:

3,0

— 3400 kg.

Sa A j-B stets gleich der gesamten Belastung sein muß, so hätte man nach der Berechnung von A auch B einfacher erhalten, wenn man A von der Gesamtlast abgezogen hätte; cs hätte demnach ergeben

B — (1200 > 3000 + 900 + 600) — 2300 — 3400 kg.

Will man aber sicher gegen Rechnenfehler sein, dann ist stets die Berechnung für beide Reaktionen auszuführen.

b. Die Lage des Bruchgnerschnittes.

Durch den Brnchquerschnitt eines Trägers wird derselbe derartig in 2 Teile geteilt, daß die Belastung des links gelegenen Teiles gleich dem Auflagerdrucke der linksseitigen Stütze und die Belastung des rechts gelegenen Teiles gleich dem Anflagerdrncke der rechtsseitigen Stütze wird. Bei symmctischer Belastung eines Trägers liegt demnach auch der gefährliche Querschnitt in der Mitte desselben.

Beispiel. Die Reaktionen des in Fig. 20 dargestellten Trägers sind:

— 3200 kg, und B = 8000 - 3200 — 4800 kg.

, 8000.2,0

5,0

A = ————

2,«->

3,oo

<■

¥■

2,A°

-V-

■Aa

TW,

ZW

JK_

y<

■>!

Fig. 20.

Den Abstand x des Bruchquerschnittes C findet man aus der Gleichung A — 3200

8000

2,0

• (x — 2,0) — 4000 x — 8000, woraus

x — 11200: 4000 = 2,80 m, und demnach y = 2,20 m; oder

ans der Gleichung B = 4800

8000

• (y — 1,0) — 4000 y — 4000, woraus

y — 8800 : 4000 — 2,20 m, und demnach x — 2,80 m.

NB. B : 8000 = (y — 1,0): 2,0, und A : 8000 = (x — 2,0): 2,0, oder: 4800: 8000 = (y — 1,0): 2,0, und 3200 : 8000 = (x — 2,0): 2,0.

2,0

c. Das größte Biegungsmoment,

d. h. das auf den gefährlichen Querschnitt C bezogene Moment, bestimmt man, indem man die Trägerteile A C oder B C, Fig, 20, als bei C

horizontal eingeklemmte Freiträger ansieht. In Bezug auf den Querschnitt C des als Freiträger anzusehenden Trägerteils A C wirkt die Reaktion A = 3200 kg als zentrierte Last am Hebelarme 280 cm mit dem Drehnngspunkte C. Dem hierdurch erzeugten Momente entgegen wirkt der auf A C fallende Teil der 8000 kg, nämlich

0,80

2,00

8000.

2,80 — 2,00

am Hebelarme

2,00

8000 .

= 8000.0,4,

tH i CM

80

- (280 — 200) cm = — — 40 cm.

Wird nun das durch die Reaktion bewirkte Moment ein für allemal positiv angenommen, dann ist das Biegnngsmoment für den gefährlichen Querschnitt C gleich

M — 3200.280 — 8000.0.4.40 — 768000.    '

Soll der Träger ans Schmiedeeisen hergestellt werden, dann ist das erforderliche Widerstandsmoment W = 76800 : 750 — 1024.

17

iS 353

und würde das Profil Fig. 21 mit W —1035, oder Normal-Profil Nr. 36 mit W — 1089 genügen.

Für B C ist in Bezug ans C das Biegungsmoment

2,2 - 1,0 1

.J

(ji'ij

Fig. 21.

M = 4800.220-8000-

• — ■ (220 — 100) =

4800.220 — 8000.0,6.60 — 1056000 — 288000 — 768000, also dasselbe als für A C. —

2,0

Kann bei einer Verteilung der Belastung wie in Fig. 22 und 24 nicht sofort angegeben werden, auf welcher der verschieden belasteten Strecken des Trägers der Bruchquerschnitt liegt, so untersucht man diejenigen Querschnitte, in denen die Belastung sich ändert, durch die Differenz zwischen Auflagerreaktion und Belastung des bezüglichen Trägerteils.

Diese Differenz, welche positiv oder negativ sein kann, nennt man die dem betreffenden Querschnitte entsprechende Vertikalkraft und bezeichnet sie mit V, Vi, Vii rc.

Ergiebt sich nun für den einen dieser Querschnitte die Vertikalkraft positiv, und für den benachbarten negativ, so liegt der Bruchquerschnitt zwischen beiden, da diesem die Vertikalkraft Null entspricht. Man hat jedoch nicht nötig, die Vertikalkräfte selbst zu berechnen, sondern nur bereit Vorzeichen.

Beispiel. Bei dem in Fig. 22 dargestellten Träger AB sind die Auflager-Reaktionen:

4000 , 8000.3,7 . 12000.2,1

— 15700kg.

A 2

B = (12000 + 8000 + 4000) — 15700 — 8300 kg.

4,0

4,0

Die Vertikalkräfte, welche den Querschnitten I, II und III entsprechen, sind:

Vi — 15700 — 8000

4000.0.6

4,0

V„ — 15700 — 8000

4000.1,6

4,0

Vin = 15700— 8000 — 12000 —

= + • • • 4000.2,2

4,0

<-0,60^ <----.1,00-----> <r-0;60—^------------------>,

IIIIB

JT IC

HW.

OL

k-

t,no-

Fig. 22.

Der Rruchquerschnitt C muß demnach zwischen II und III liegen. Sein Abstand x von B ergiebt sich aus der Gleichung:

4000. x

8300 —

12000. (x —1,8)

4,00

0,6

8300 — 1000 x + 20000 x — 36000, oder 21000 x — 44300, woraus x — 44300: 21000 = 2,109 = 2,11 m. Das größte Biegungsmoment ist also:

4200.211    211    12000.31    31

M= 8300.211 —

400

60

• 2 ' oder

M = 1432595.

Soll der Träger aus Schmiedeeisen hergestellt werden, dann ist

17

LjeeJ

Fig. 23.

W — 1432595 : 750— 1910,1.

Das Profil Fig. 23 mit W — 1954 oder Normal-Profil Nr. 45 mit W — 2054 ist also ausreichend.

Es ist einerlei, ob bei der Berechnung der Vertikalkräfte von A oder B ausgegangen wird. Man konnte also auch setzen:

Vin = 8300 —

4000.2,4

4000.1,8

4,0

Vii — 8300 -

Der Wert der Vertikalkraft für den Querschnitt III ist z. B. derselbe, ob V m als Resultante der auf der Strecke AIII oder der auf

4,0

12000 — —

BIII wirkende» Kräfte dargestellt wird, es erfährt nur das Vorzeichen eine Änderung.

Wenn ans dem Träger, außer gleichmäßig verteilten Lasten, noch zcnti irrte Lasten ruhen, so sind auch für die den Angriffspunkten dieser entsprechenden Querschnitte die Vertikalkräfte zu ermitteln. Für jeden solchen Querschnitt ergeben sich alsdann 2 verschiedene Werte für die Vertikalkraft, je nachdem man die bezügliche zentrierte Last zu dem linksseitigen oder rechtsseitigen Trägerteile rechnet.

Nehmen verhältnismäßig \ große zentrierte Lasten, oder nur zentrierte Lasten den Träger in Anspruch, so kommt es vor, daß der eine dieser Werte V desselben Querschnittes positiv, der andere negativ ist. In einem solchen Falle entspricht der Bruchquerschnitt dem betreffenden Lastangriffspunkte.

f.—I/O»--.....

-2,50-

<-

'8000

20(10

Fig.'24.

Beispiel.

Für den in Fig. 24 dargestellte» Träger sind die Reaktionen: 2000.0,5 + 8000.3.0

6000

4,0

= 9250 kg.

B = 6000 + 2000 + 8000 — 9250 = 6750 kg.

Nimmt man die Vertikalkraft Vi als Resultante der ans der Strecke AI ruhenden Lasten an, so ergeben sich die beiden Werte:

6000.1,0

Vi — 9250 —

V'i —9500

6000.1,0

4,0

• - und

4,0

8000 — —

ist demnach:

Der Bruchquerschnitt liegt also bei I. Das größte Biegungsinoment

M — 9250.100

6000.100 100

— 850000.

Als Material Schmiedeeisen angenommen, ist also:

W — 850000: 750 — 1133.

Das Profil Fig. 25 mit W= 1137 oder Normal-Profil Nr. 38 mit W = 1274 genügt also.

Bei der Beanspruchung eines Trägers durch Einzellasten kann man auch in der Weise verfahren, daß bei der Bildung der dem Angriffspunkte einer zentrierten Last P entsprechenden Vertikalkraft stets P mit in Rechnung gezogen wird. Erhält man dann für V einen negativen Wert, der, positiv

400

¹⁷    325

U /SP..J

kleiner als P ist, so liegt der gefährliche Querschnitt im Angriffspunkte von P.

Beispiele.

1. Die in Fig. 26 dargestellte Angriffsweise ergibt die Reaktionen: A = 2000 + (8000.3,25 + 9000.1,4 + 2000.3,0) : 4,0 — 13150 kg. B — 2000 + 9000 + 4000 + 8000 — 13150 — 9850 kg.

<------------

, *20(10

UM

ff

*k--------iz*»—

•*3000

Fig 26.

Die Vertikalkraft Vi wird Vi = 9850 — 9000 —

4000.1,4

4.0

550.

Da nun 550 kleiner als 9000 ist, so liegt der Brnchqnerschiiitt bei I Das größte Biegmigsmoment ist nun:

4000.140    140    _____

M — 9850.140 —

folglich, als Material Schmiedeeisen angenommen,

W— 1281000: 750 — 1708,

sodaß das Profil Fig. 27 mit W = 1759 oder Normal-Profil Nr. 42| mit W — 1754 gelingend ist.

400

2~ — 128100,

2000

1000

2100

800

15 HW

a£

j nr

iojl___________________

Ui-

V___

ytfl. 27.

Fig. 28.

2. Der in Fig. 28 dargestellte Trtiger ist nur durch zentrierte Lasten in Anspruch genommen; seine Auflager-Reaktionen sind:

A — (2000.3,0 + 800.2,5 + 1000.2,0 + 2400.1,0): 4,0 — 3100 kg. B — 2000 + 800 + 1000 + 2400 — 3100 — 3100 kg.

Die Vertikalkräfte sind:

Vi — 3100 — 2400 — + 700.

Vji — 3100 — 2400 — 1000 — — 300.

F'g. 3!.

Fig- 3u.

Da nun 300 kleiner als 1000 ist, so liegt der Bruchquerschnitt

bei II.

Das größte Biegnngsmoment ist nun:

M = 3100.200 — 2400.100 — 380000, und demnach das erforderliche Widerstandsmoment W — 380000 : 750 — 480,

wenn als Material Schmiedeeisen zur Vertvendung gelaugt.

Das Profil Fig. 29 mit W — 480, oder Normal-Profil Nr. 28 mit W — 547 ist also ausreichend.

Ein häufig vorkommender Fall, der eine ziemlich einfache Behandlung gestattet, ist folgender.

In Fig. 30 sei die dem Bruchqnerschnitte C entsprechende Vertikalkraft = Rull und die Strecke AB sei gleichförmig belastet. Da die Belastungen von AC und BG gleich den Reaktionen A und B sind und in

Bezug ans C am Hebelarme wirken, unter x die Länge der Strecken

t/,5    260

U«'J

_V

F'g. 29.

AC und BC verstanden, so ist das größte Biegnngsmoment:

. Ax Ax M = A x--— — - , und

,r „    Bx    Bx

M — B x---g

und demnach

Ax

W = —, oder

<-

•s

-r

1200

->■<-

3/M

Beispiele.

1. Für den in Fig. 31 dargestellten Träger sind die Reaktionen:

1200.2,0

3600

3,0

= 2600 kg.

B — 3600 + 1200 — 2600 = 2200 kg. Für den Querschnitt I ist die Vertikalkraft:

3600.2,0

Vi — 2200 —

3,0

- 1200 — - 1400 kg.

Da Vi als Resultante der auf der Strecke IB wirkenden Kräfte dargestellt worden ist, und 1400 größer als 1200 ist, so muß der Brnchquerschnitt zwischen I und B liegen. Sein Abstand x von B ergibt sich aus der Gleichung:

3600. x

3,0    '

2200 =

woraus

3.2200

3600

— 1,833 m.

Wird als Material Schmiedeeisen angenommen, so ist ein Widerstandsmoment erforderlich von B.x

2200. 183,3 2.750

sodaß das Profil Fig. 32 mit W = 270 oder Normal-Profil Nr. 22 mit W = 281 genügend ist.

28

= 268,84,

r~

____E..

2C00

.-..y

III

00

210

bs

Sr-

21)

32.

Mg. 33.

Mg. 34.

2. Bei einer Velastnng des Trägers wie in Fig. 33 ergeben sich die Reaktionen:

1200.3,5

2400.1,0

— 1650 kg;

B= 1200 + 2400 — 1650 — 1950 kg.

Da B kleiner als 2400, so liegt der Brnchquerschnitt zwischen I und B. Der Abstand x von B ergibt sich ans der Gleichung:

2400. x

2,0 '

4,0

4,0

1950 =

woraus

2.1950

2400

— 1,625 in.

Als Material Gußeisen angenommen, ist das erforderliche Widerstandsmoment

316,87.

w_ 1950.162,5 —    2.500

Das Profil Fig. 34 mit W = 322; oder in Schmiedeeisen: Deutsches Normal-Profil Nr. 23 mit W = 317, ist also ausreichend.

F'g. 35.

Fig- 36.

Ist die Stütze ß des Trägers nicht am Ende desselben angeordnet imb ist der um die Länge b überragende Teil durch die Last P in Anspruch genommen, Fig. 35, so ergeben sich die Reaktionen:

Pb

A= —

, und

P(b + 1)

Der Träger muß bei A von oben nach unten gestützt werden. Znr Ermittelung der Lage des gefährlichen Querschnitts und des größten Biegnngsmomentes verfährt man nach den bisher gegebene» Regeln. Außer dem größten Moment zwischen den Stützen ist auch dasjenige außerhalb derselben zu untersuchen, da hier der gefährliche Querschnitt des überragenden Trägerteils liegt, welcher letztere als Freiträger zu behandeln ist.

—JA

L—Uw

225.

■Hfl

Ai

Bi

+______H_______

¹ soll

~jk_

600

u.

.IPA

Beispiele.

1. Bei dem in Fig. 36 dargestellten Träger sind die Reaktionen:

1000.1.0

800.2,5

8000.0,75

2,0

2,0

600.1,0

2,0

2,0

= 4200 kg.

B = 800 + 1000 + 600 + 8000 — 4200 = 6200 kg.

Die Vertikalkräfte für die Querschnitte A und I sind:

VA = +.....

Vx — 4200 — 800 — 1000 —

8000.1,5

3,5

— — 1640 kg.

Der Bruchquerschnitt liegt also zwischen A und I. Sein Abstand x vom Trägerende Ai ergibt sich aus der Gleichung:

8000.x

4200 — 800 +

3,5    '

woraus

8000

1,4875 m.

Das größte Biegungsmoment ist nun:

— 161875.

M — 4200 . (148,75 — 50) — 800.148,75 — 8000.148,75    148,75

350

Das Biegungsmoment über der Stütze B ist:

Mb =600.100-+

~ — 174285,7 = 174286.

8000.100 100

350

Da nun Mb größer ist als Mc und offenbar auch größer als M so ist das Widerstandsmoment des Trägers nach MB zu berechnen. Es ist also

W = 174286 : 750 = 232,4,

die Verwendung von Schmiedeeisen vorausgesetzt, und wird demnach ein Träger mit dem Profil Fig. 37 und W = 238, oder Deutsches Normal-Profil Nr. 21 mit W = 246, genügen.

A3

4000

60 0

500

1WO

1^00

ij)0

4,00

'*113

tt50_

um;

Fig. 37.

Fig. 38.

2. Für den in Fig. 38 dargestellten Träger, der nur durch zentrierte Lasten beansprucht wird, sind die Reaktionen:

A = (1000.4,0 + 600.2,0 + 500.1,0 — 1400.0,5): 3,0 = 1667 kg; B — 1000 + 600 + 500 + 1400 — 1667 = 1833 kg.

Dem Querschnitt I entspricht die Vertikalkraft

Vi = 1833 — 1400 — 500 = — 67 kg.

Da 67 kleiner als 500 ist, so liegt der Bruchquerschnitt bei I, und ist demnach das größte Biegungsmoment:

Mi — 1833.100 — 1400.150 = — 26700.

Ein negatives Maximum stellt aber positiv genommen ein Minininul dar, woraus folgt, daß sämtliche Momente zwischen A und B größer sind als Mi.

Für Mn ergibt sich z. B.

Mn = 1667.100 — 1000.200 = — 33300.

demnach:

Die größten Momente sind die über den Stützen A und B und ist

Ma = 1000.100 = 100000, und Mb = 1400.50 = 70000;

von diesen ist das erstere das größte und muß deshalb dieses für die Berechnung des Widerstandsmomentes verwendet werden. Es ist demnach, bei Verwendung von Schmiedeeisen,

'j

W = 100000: 750 — 133,33 ....

Das Profil Fig. 39 mit W — 135, oder Deutsches Normal- ^ Profil Nr. 17 mit W — 139, ist demnach genügend.

...»

Fig. 39.

3. Formeln für die Berechnung einfach belasteter Träger.

Nr.

Angriffswcise.

Erforderliches

Widerstandsmoment.

Anslager-

Reaktioncn.

I.

PI

w~~

Fig- 40.

II.

I±

\r

-fc-—>i

Ph

Fig- 41.

-------⁶-

-......*

Pb

III.

\C

P ab

I*.

p r •

Fig. 42.

18

Pa

B =-r-

Nr.

Angriffsweise.

Erforderliches

Widerstandsmoment.

Auflager-

Reaktionen.

!<*

IV.

tz

r"T

PL8

CD

R.

Igo

A = P B = P.

Fig. 43.

is-

Pe

Ar=p

B —P.

giß- 44.

~S~

»<-

2~

cr

Ph Ico

VI.

16 8

L.

L.

giß- 45.

<r

IIP

16

VII.

PI

a-F

B — -I*-

giß. 46.

VIII.

28

Ä^P.

öig. 47.

Nr.

Aiigriffsweise.

Erforderliches

Widerstandsmoment.

Auflager-

Reaklivne».

IX.

QO hj CC H-

h—

•H

Fig. 48.

A —-A-P.

X.

PI

-ß

88

B = -^-P.

Fig. 49.

XL

17

A = P.

WM,

Mg. 50.

XII.

pi

12 8'

Hi

B=i

F'g. 61.

"T

PI

XIII.

/?

68

L.

26

Nr.

Angriffswcisc.

Eisordorlichcs

Widerstandsmoment.

Anslager-

Realtionen.

-----tf.------e-----r

XIV.

J.

(T

12 S

Fig- 53.

■x

W = P.

XV.

.1

Ml

ii

F'g. 54.

*■--------------1

II

—fe—>

8a² + 3b(4a + b)

24 (a + b). S

XVI.

A² a

P(2b + a)

21

!<-

Pa

21

3'fl- 55.

i«

P (2 c + b)

XVII.

21

P (2 a -f- b)

F'g. 56.

21

Nr.

Angriffsweise.

Erforderliches

Widerstandsmoment.

Anflager--

Reaktionen.

Ist A<P oder B>P, so wird

W =

A² a

"T

S!

2P8

XVIII.

Ist A>P oder B<P, so wird

W =

P(21-a)+P[ä,

21

B² a.

2p g' P₁(21-al)+Pa

Fig. 57.

Ist a= at und P — Plf so wird

21

Pa

28

oder

rC-------

A<P₁₊^

XIX.

so wird

W= -

Ät

A'² a 1

2(P“,l+Pa)S

Pja

ÜL.

JstB<

Pb

oder

2 ^Pl 21

Fig. 58.

A>Pi + o wird W —

Pa

r'

B²1

Pb

Ist B <

so wird

tsö j hd

■M

W=^

B²1

2 PS

JstB>

Pb

P P, b

so wird

___

5fr-

P,

W = 2S1(P+2Pi)' P

Pi a

giß. 69.

2 +_T

Jsta —b— o wird

W=r^(P + 2P₁).

Die vorstehend aufgeführten Formeln gestatten die Ermitlelnng der Auslagerdrücke und des erforderlichen Widerstandsmomentes bei allen im Hochbau vorkommenden Fällen. In den Formeln XVI bis XX ist die Kenntnis der Auflagerdrücke zur Bestimmung des Widerstandsmomentes erforderlich, in den übrigen Fällen aber auch, um die Stabilität der Stützen zu prüfen.

Es sind in der Tabelle Formeln zur Berechnung von Trägern aufgeführt, für solche Träger, welche an beiden Enden oder an einem Ende frei aufliegen, oder auch an beiden Enden eingespannt sind. Vielfach gestatten die Baupolizei-Behörden jedoch in allen Fällen nur die Anwendung der Formeln für Träger welche an beiden Enden frei aufliegen. Die anderen Formeln sind hier ebenfalls angeführt, weil sie zuweilen benutzt lverden können.

Sind für einen Fall zwei verschiedene Widerstandsmomente angegeben, so ist das Trägerprofil stets nach dem größeren zu bestimmen.

In den folgenden Beispielen ist Unterstützung durch Mauermerk vorausgesetzt, welches in vielen Fälleit die Anwendung einer besonderen Anflagerplatte bedingt, bereit Zweck es ist, den Druck der Träger gleichmäßig über eine größere Fläche des Mauerwerks zu verteilen.

Die erforderliche Auflagerfläche wird bestimmt, indem man den Auflagerdruck durch die für zulässig erachtete Druckspannung des Mauerwerks dividiert.

Diese zulässige Belastung beträgt:

a.    für gewöhliches Ziegelmauerwerk 7 kg p. qcm;

b.    für gutes Ziegelmauerwerk in Zement 11 kg p. qcm;

do.

desgl. 12—14 kg p. qcm;

c.    für bestes

d.    für ausgezeichnetes Ziegelmauerwerk (beste Klinkersteine) in

fettem Zement 25 kg p. qcm.

Beispiele.

1. Ein Keller soll mit \ Stein starken gewölbten Kappen von 2,20 m Spannweite zwischen schmiedeeisernen Trägern überdeckt werden.

0,26

Die freitragende Länge der Träger ist — 4,50 m; welches ist das erforderliche Träger-profil? Fig. 60.

Fig. 60.

Auslösung. Das Gewicht der Kappe einschl. Verkehrslast und Fußboden beträgt 750 kg pro qm, weil stets die höchste Belastung anzunehmen ist, wenn keine bestimmten Angaben über dieselben gemacht sind. Die auf jeden Träger entfallende Last ist demnach —

2,20.4,50.750 — 7425 kg, und das erforderliche Widerstandsmoment nach der Formel Nr. IX der Tabelle:

P 1    7425.450

= 557,

8S 8.750 sodaß das Profil Fig. 61 mit W = 589 oder Normal-Profil Nr. 30 mit W = 659 genügend ist.

Jeder Auflagerdruck ist =

7495

~~ = 3712,5 = Tb. 3715 kg.

U---S

Fig. 61.

Die erforderliche Auflagerfläche, unter Voraussetzung gewöhnlichen Malierwerks, ist hiernach =

3715:7 = 531 qcm.

Das Profil Nr. 30 der deutschen Normalprofile hat eine Flanschen-breite von 12,5 cm, es würde also eine Auflagcrlänge desselben von 531 : 12,5 = 42,48 cm erforderlich sein. Man verwendet daher besser Platten ans Gußeisen mit 26 cm Länge, 21 cm Breite und 2 cm Stärke, welche ausreichend sind. Die erforderliche Länge der Träger ist = 4,92 m einschl. Auflager.

2. Es soll der erforderliche Querschnitt der Balken eines Wohnhauses    ji"

berechnet werden, wenn die    J§f.

größte freitragende Länge    jp

derselben =5,40 m, ihre    |jj"

größte Entfernung von Mitte zu Mitte 0,95 m ist, und die Balken ans der Mittelwand gestoßen sind. Fig. 62.

Auflösung. Das Gewicht der Balkenlage eines Wohngebäudes einschl Verkehrslast beträgt 500 kg pro qm. Die Belastung jedes Balkens ist daher für die größte freitragende Länge =

5,40.0,94.500 = 2538 kg.

Werden die Balken aus Kiefernholz gefertigt, so ist nach der Formel Nr. IX der Tabelle:

3j50

Fig. 62.

j?

i*

2538.540

= 2855,25.

8.60

Es würden Balken mit folgenden Querschnitten genügen:

a.    26    cm    hoch,    26    cm    breit,    mit W = 2929;    676 qcm    Querschnitt;

b.    29    cm    hoch,    21    cm    breit,    mit W = 2944;    609 qcm    Querschnitt;

c.    28    cm    hoch,    22    cm    breit,    mit W = 2875;    616 qcm    Querschnitt;

d.    30    cm    hoch,    19    cm    breit,    mit W = 2850;    570 qcm    Querschnitt;

e.    31    cm    hoch,    18    cm    breit,    mit W = 2883;    558 qcm    Querschnitt.

Hieraus ergibt sich, daß Hölzer mit quatratischem Querschnitt niemals

zu Balken und überhaupt nicht da zu verwenden sind, wo sie auf Biegung in Anspruch genommen werden. Der Balken unter a hat nämlich pro m 0,0676 cbm, der unter b 0,0609 cbm, der unter c 0,0616 cbm, der unter

30

d 0,0570 cbm und der unter e 0,0558 cbm Inhalt; der erste ist also der teuerste, der letzte der billigste, bei fast gleicher Tragfähigkeit.

Der Auflagerdruck jedes Balkens ist an jedem Ende —

2538

₂    — 1269 kg.

Unter der Voraussetzung gewöhnlichen Mauerwerks ist also an Auf-lagerflächc erforderlich : 1269 : 7 = 182 qcm, für den Balken e also eine Auflagerlängc von mindestens 182 : 18 — 10,2 cm — Stein,

welche also auch für die übrigen Querschnitte vollkommen ausreichen würde.

Ans praktischen Gründen gibt man den Balken häufig eine Auflager-länge gleich der Höhe des Balkens oder wenigstens — 1 Stein = 25 cm, welche also in allen 5 obigen Fällen mehr als genügend ist. Aus ebensolchen praktischen Gründen ist auch oft der Balken unter b oder c dem unter e vorzuziehen.

Die Strcichbalkeii, welche nur halb so schwer als die Vollbalkcn belastet sind, erfordern nur W — 1428 und demnach bei gleicher Höhe mit den anderen Balken entsprechend geringere Breite, jedoch nimmt man niemals

weniger als 10 bis 12 cm Breite an. Für die kurzen Balken ist P — 3,5.0,94.500 — 1645 kg, demnach 1645.350 8.60

die Dimensionen für die Streichbalken werden aber auch hier, wegen der erforderlichen gleichmäßigen Höhe, Verwendung finden.

3. Die in Fig. 63 skizzierte Wand, welche eine Stärke von 0,25 m hat, soll durch einen schmiedc-eiscrnen Träger unterfangen werden; die Wand ist ans gewöhnliche» Ziegelsteinen hergestellt.

Auflösung. Die Strecke 01) wird von einer gleichförmig verteilten Belastung in Anspruch genommen; dieselbe ist —

(3,20 . (4,00 + 3,80) — 2.1,20. 2,60). 4,25.1600 — 7488 kg, oder, mit Rücksicht auf das Eigengewicht des Trägers, abgerundet auf 7600 kg.

Die Lastverteilung entspricht in diesem Falle der Formel Nr. XVII der Tafel und ist hier a — 0,80 m, b — 2,00 m, c — 0,40 m, 1 —

— 1200;

i=

§:

1,211

r>\n

l)

4_.

Fig 63.

*e

mm

3,20 m, P — 7600 kg, und 8 — 750. Es ergeben sich demnach die Reaktionen:

7600. (2,0,4 + 2,0)

2.3,2

B — 7600 - 3325 — 4275 kg, und ist das erforderliche Widcrstaiidsiiiomciit

3325.200 2.7600

— 3325 kg,

3325

750

•(so 4

j — 548,625.

Das Profil Fig. 64, mit W = 589, oder Normal-Profil Nr. 28 mit W — 547, genügt also vollkommen.

Die de» Träger stützenden Pfeiler sind aus gewöhnlichem Ziegelmauerwerk aufgeführt, und ergeben sich demnach die Auflagerflächen:

-----js—-y

bei A — 3325 : 7 = 475 qcm, und bei B — 4275 : 7 = 611 qcm.

Die Auflagerplatte bei A wird 25 cm breit und 19 cm lang, die bei B würd 25 cm breit und 25 ein laug, unter der Voraussetzung, daß die stützenden Pfeiler 25 cm stark find. Die Stärke beider Platten ist mit 1,5 cm ausreichend Die Länge des Trägers beträgt 3,64 m einschl.

Auflager.

Fig. 64.

---

Z!

4. Die in Fig. 65 dargestellte, 0,25 m starke Scheidewand soll durch einen schmiedeeisernen Träger unterstützt werden.

wm

=i

IM

Ü.OL

Auflösung. Die gleichförmig verteilte Belastung der Strecke A C betrügt:

(1,4- 7,6 — 0,5. (1,2.2,8 -f 1,0.2,6-) . 0,25.1600 — 3064 kg, und mit Rücksicht auf das Eigen-gewicht des Trägers:

P = rb. 3100 kg.

Die Strecke D ß hat eine Be-

Wß

•M

jlgpifl

==

«m

3"s

____*

^.-4-

lastung von

(2,6.7,6 — 0,5. (1,2.2,8 +

1,0.2,6)). 0,25.1600 — 6712 kg, oder, mit Rücksicht auf das Eigengewicht des Trägers:

i    zj

! i    I    !

Fig. 65.

Pi — rd. 6800 kg.

Es ist hier Formel XVIII der Tafel anzuwenden, und sind demnach, da a = 0,80 in, a, — 2,0 m, 1 — 4,0 m, P = 3100 kg und Pt = 6800 kg, die Reaktionen:

— 4490 kg;

3100 . (2.4,0 — 0,8) + 6800.2,0

2.4,0

B = 3100 + 6800 — 4490 = 5410 kg.

Da A größer ist als P, weil 4490 > 3100, so ist das erforderliche Widerstandsmoinent, da 8 — 750,

II 2<>

Fig. 66.

B²at

2P, S

, oder

5410.5410.200

2.6800.750

= 573,88.

Das Profil Fig. 66 mit W = 595, oder Normal-Profil Nr. 30 mit W = 659 ist also vollkommen ausreichend. Die Pfeiler A und B werden aus guten Steinen in Zement aufgeführt und 25 cm stark; cs sind demnach an Anflagerflächeu erforderlich:

bei A = 4490.11 = 409 qcm, und bei B = 5410: 11=492 qcm.

Venvcudet werden, unter der Annahme, daß die stützenden Pfeiler 25 cm stark sind, bei A eine Platte 25 cm lang. 17 cm breit, und bei B eine solche 25 cm lang und 20 cm breit, beide 1.5 cm stark. Der Träger erhält eine Länge von 4,37 m einschl. Auflager.

5. Die in den Figuren 67 und 68 skizzierten Mittelwand eines Wohnhauses von 0,51 m Stärke wird auf der Strecke AB unterbrochen, und soll dieser Teil durch schmiedeeiserne Träger überdeckt werden, welche also die Balkenlage des Erdgeschosses und die durch die Säule bei C übermittelte Last zu tragen haben.

Die zentrierte Last, welche durch die Säule bei C übertragen wird, setzt sich wie folgt zusammen:

1. das Gewicht des betreffenden Mauerwerks —

2,0.4,0 — 3,3.2,0--1.2,0.0,3). 0,51.1600 = 816,00 kg;

2. das Gewicht der oberen Balkenlage =

l'_⁸ ±⁵,⁶⁴.2,0.500= .

. . 5720,00 „

Summa des durch die Säule auf den Punkt C übermittelten Gewichts...........

wofür mit Rücksicht auf das Eigengewicht der Säule rd. 6800 kg gesetzt werden, welche also in C zentriert angreifen.

6536,00 kg,

Die gleichförmig verteilte Belastung durch die Balkenlage des Erdgeschosses beträgt:

5,51 + 5,67

3.0.500 = 8385 oder rd. 8400 kg.

Die Lastverteilung ist die unter Nr. XX. der Formeln dargestellte und ist hierin a — 2,0 m, d — 1,0 m, 1 — 3,0 m, P — 8400 kg und Pi — 6800 kg.

-MUM-

k-

_2Z oo

|gp9|B|

!Ü

Si

io

<.____2,.ss

—2;öö_.

-M

!@e

KIP

1^7 > 's

----S^UL___J)j L =

II

P,

Mg. 67.

j.

Fig. 68.

Es ergeben sich demnach die Reaktionen 8400    6800.1,0

2    ⁺"    3,0

B — 8400 + 6800 — 6467 — 8733 kg. Pb

Da B größer ist als ~ oder 8733 >

— 6466,66... — 6467 kg, und

8400.1,0

2800, so ist das erforderliche Widerstairdsmoment: -~(P + 2P₁) =

200.100

3,0

oder 8733 >

281

2.750.300 977,77 ... — 978.

- (8400 + 2.6800) —

Dielener III.

Verwendet werden 2 Träger des Profils Fig. 69, welche jeder ein Widerstandsmoment von 512 haben, das ausreichend

978

ist, da für jeden einzelnen erforderlich: W — —-

— 489, oder

des Normal-Profils Nr. 28 mit W — 547.

Fig. 69.

Werden die Pfeiler A und B aus bestem Ziegelmaucr-werk in Zementmörtel aufgeführt, dann sind die erforderlichen

Auflagerflächen:

A — 6467 : 14 — 461 qcm, und B —8733:14 —625 qcm.

Verwendet werden Platten von 0,64 m Länge und 0,12 in Breite, bei 1,5 cm Stärke, welche also mehr als genügen. Erforderlich sind 2 Träger ä 3,24 m lang einschl. Auflager.

6.    Zu einem Freiträger, der 1,50 m freie Länge hat, mit einer gleichförmig verteilten Last von 800 kg und einer am freien Ende wirkenden Last von 500 kg beansprucht wird, sollen Eisenbahnschienen von 10,5 cm Höhe verwendet werden, deren Widerstandsmoment — 90 ist; wie viele solcher Schienen sind nötig?

Auflösung. Das größte Biegungsmoment ist

iF,n

M = 500.150 + 800 •    — 135000,

und demnach das erforderliche Widerstandsmoment:

W = 135000 : 750    180.

Es werden also 2 solcher Eisenbahnschienen, jede mit W — 90, zusammen also mit W — 180, ausreichend sein.

7.    Ein an beiden Enden frei aufliegender Träger von 2,0 m freitragender Länge ist mit 11500 kg gleichförmig belastet. Wie viele Eisenbahnschienen von 13,08 cm Höhe, deren jede ein Widerstandsmoment von 140,4 hat, sind erforderlich?

Auflösung. Das erforderliche Widerstandsmoment ist nach Nr. IX der Formeltafel

11500.200

383,33 . . .

8.750

Es sind demnach notwendig 383,3 :140,4—3 Eisenbahnschienen.

4. Berechnung der Stütze».

Bei der Beurteilung der Tragfähigkeit einer Stütze sind 4 Momente zu berücksichtigen, und zwar sind diese das Material, aus dem die Stütze gefertigt ist, das Trägheitsmoment des Querschnittes, die Länge der Stütze und die Art ihrer Befestigung am Kopf- und Fußende.

In der folgenden Tabelle ist die Zusammenstellung der Formeln enthalten, welche das erforderliche Trägheitsmoment T ergeben. In diese Formeln ist beim Gebrauche die freie Länge 1 der Stütze in Zentimetern und die Belastung P in Kilogrammen einzuführen. Der Elastizitätsmodul ist hier, wie überall, unter Voraussetzung fünffacher Sicherheit bei Schmiedeeisen, von sechsfacher Sicherheit bei Gußeisen und von zehnfacher Sicherheit bei Holz, angenommen auf

2000000 kg pro qcm bei Schmiedeeisen,

1000000 kg pro qcm bei Gußeisen und 110000 kg pro qcm bei Holz.

Ein Säulenende ist bei Gußeisen stets als vertikal eingespannt anzusehen, wenn es sich auf eine horizontale Anflagerplatte stützt, welche durch angegossene Verstärknngsrippen mit der Säule verbunden ist. Beim Hochbau ist stets Formel II und III anzuwenden, und zwar Formel II bei Berechnung hölzerner Säulen und Stützen und solcher eiserner Säulen, deren Fußende keine angegossenen Nippen besitzt, während Formel III Anwendung findet bei eisernen Säulen, welche diese Nippen haben, z. B- auch bei den bei Schaufenster-Anlagen üblichen gußeisernen sogenannten durchbrochenen Wänden, deren Fußenden stets mit angegossenen Rippen versehen sind.

5. Tabelle der Trägheitsmomente.

Nr.

Angriffsweise.

Bemerkungen.

Trägheitsmoment für Schmiedeeisen.

Tläghcits-moment für Gußeisen.

Tlägheits-moment für Holz.

Das untere Ende ist fest eingeklemmt, das obere frei beweglich.

PI²

12 pst²

2 PI²

1000000

5000000

55000

F'g. 70.

Fig. 71.

Beide Enden stehen frei aus. Das obere Ende liegt stets vertikal über dem unteren, bczw. in der Richtung der Achse.

PI²

6 PI²

PI²

4000000    10000000

110000

3*

Nr.

Angriffsweise.

Bemerkungen.

Trägheitsmoment für Schmiedeeisen.

Trägheitsmoment für Gußeisen.

Trägheitsmoment für Holz.

f->

III.

Das untere Ende ist fest eingespannt, das obere ist frei beweglich und liegt stets lotrecht über dem

PP

3 PP

PP

8000000 10000000

220000

Flg- 72.

unteren, bezw- in der Richtung der

Achse.

IV.

mm

Fig. 73.

Beide Enden sind fest eingespannt und liegen stets lotrecht übereinander, bezw-liegen beide in der Richtung der Achse.

PP

3PP

PP

16000000 20000000

440000

Bei der Berechnung der Tragfähigkeit einer Säule ist aber außer dem zulässigen Trägheitsmomente auch die nötige Sicherheit gegen Zerdrücken zu berechnen. Sollte der Querschnitt des als erforderlich berechneten Trägheitsmomentes hierbei nicht genügen, so sind die Querschnitts-Dimensionen entsprechend zu vergrößern. Aus diesem Grunde ist es notwendig, stets gleichzeitig das erforderliche Trägheitsmoment T und den erforderlichen Querschnitt F zu berechnen. Der letztere ergibt sich aus der Formel

F — P: 8,

worin F den Normalquerschnitt in Quadratzentimetern, P die Belastung in Kilogrammen und 8 den Festigkeitskoeffizienten für Druck bedeutet. Demnächst ist das entsprechende Profil derartig anzunehmen, daß es beiden Bedilignilgeu genügt.

Beispiele.

1. Es soll der Querschnitt der in den Figuren 67 und 68 zur Unterstützung der Gurtbögcn und der Balkenlage angeordneten gußeisernen Hohlsäulen bestimmt werden.

Die Belastung einer Säule beträgt, wie dort berechnet ist, 6800 kg. Der Säulenfuß ist mit angegossenen Rippen versehen, weshalb sich das erforderliche Trägheitsmoment nach Formel III ergibt; es ist dann 3P1²

3.6800.330.330

10000000

10000000

222,15.

schnittes ist

Der Flächeninhalt des zulässigen geringsten Quer

F = 6800:500= 13,6 qcm.

Das Profil Fig. 74, dessen Wandstärke also 12 mm beträgt, mit T — 327 und F — 33 ist also mehr als ausreichend.

Anmerkung. Schwächere gußeiserne Säulen, als die vorstehend angegebene, werden niemals verwendet.

Sollten die Verstärkungsrippen fortfallen, dann käme Formel II zur Anwendung und es wäre 6P1²

6.6800.330.330

10000000

= 444,31,

l- 7?___J

Fig- 74.

UO

...»

10000000

während F ebenfalls = 13,6 qcm erforderlich ist.

Das Profil Fig. 75 mit T = 450 und F = 37 würde für diesen Fall ausreichend sein; die Wandstärke ist ebenfalls = 12 mm.

i.—ss. _J

Fig- 75.

2. Welchen Querschnitt muß eine gußeiserne, 3,0 m lange, am Fuße mit angegossenen Rippen versehene Hohlsäule erhalten, wenn sie mit 90000 kg belastet ist?

Auflösung. Nach Formel III ist das erforderliche Trägheitsmoment des Querschnittes:

3.90000.300.300

10000000

= 2430,

während

20 ft

F = 90000 : 500 = 180 qcm ist.

Der Querschnitt Fig. 76 mit einer Wandstärke von 35 mm hat T = 6452 und F = 181 und wird also genügen. Da das Trägheitsmoment desselben jedoch sehr bedeutend ist, so können hier die Verstärkungsrippen fortfallen, denn die Säule würde nach Formel II beanspruchen:

's"

WO,

Fig. 76.

6.90000.300.300

10000000

= 4860,

also noch bedeutend weniger als der wegen der Druckfestigkeit zur Verwendung kommende Querschnitt ermöglicht.

3. Die Tragfähigkeit einer 4,0 m hohen durchbrochenen gußeisernen Wand mit dem in Fig. 77 dargestellten Querschnitte zu bestimmen.

■ti

Auflösung.

Ul

Das Trägheitsmoment jedes der beiden Hohlpfeiler ist T —1528, 4» mithin, unter Vernachlässigung der die ^    beiden Pfeiler verbindenden Wand, das

Gesamtträgheitsmvment

Fig. 77.

1 = 2.1528 = 3056.

Die Wand wird zunächst auf Zerknickungsfestigkeit in Anspruch genommen und ist demnach

3 PI²

10000000 '

woraus

1.10000000

31®

oder

3056.10000000

3.400.400

= 63667 kg.

Außerdem wird die Wand aber auf Druck in Anspruch genommen und ist hier aus der Gleichung:

F = P : S,

P = S . F = 500.2 . (12,0. 2 + 7,0.2). 2,5 = 500.190 = 95000 kg. Die Stütze darf daher höchstens mit 63667 kg belastet werden, da sie anderenfalls keine genügende Sicherheit gegen Zerknicken bieten würde.

4. Eine aus Gußeisen herzustellende Säule von 4,20 m Höhe soll mit 30000 kg belastet werden; welches Profil muß sie erhalten, wenn sie als Flügelsäule, d. h. mit kreuzförmigem Querschnitt, ausgeführt werden soll, oder wenn eine Hohlsäule zur Verwendung kommt, wenn beide ohne angegossene Fußrippen hergestellt werden?

250.

Fig- 78.

119 genügt also nach beiden Richtungen.

Auflösung Das erforderliche Trägheitsmoment ist nach Formel II der Tafel:

6.30000.420.420 10000000

Der erforderliche Querschnitt ist:

F = 30000 :500 — 60 qcm.

= 3175,2.

Das Profil Fig. 78 mit 1 = 3285 und F =

-r

160

Fig. 79.

Nr.

Soll eine Hohlsäule verwandt werden, dann genügt das Profil Fig 79 mit T = 3180 und F = 82. Dieselbe hat ein bedeutend geringeres Gewicht als die Flügelsäule; man zieht letztere jedoch zuweilen vor, weil an derselben Gnßfehlcr weniger leicht verborgen bleiben können, als an der Hohlsäule.

Anmerkung. Die Platten ain Fuß- und Kopfende der Stützen werden in der Weise angefertigt, daß ihre    u-

Stärke vom Rande nach der Mitte zn etwas zunimmt, jedoch dürfen dieselben am Rande nicht schwächer als 2 cm sein.

V. Berechnung der Trägheitsmomente und Widerstandsmomente gegebener Profite,

a. Querschnittstafel.

Profilform.

Trägheits-moment bezogen auf die horizontale Schwerachse:

T.

Trägheitsmoment bezogen auf die vertikale Schwerachfe:

Abstand

Widerstands

moment

Flächeninhalt

a.

W.

F.

T,.

I.

Fig. 80.

bh³

hb³

bh²

12

12

h-

■1

II.

b⁴

b⁴

b³

12

12

b²

Mg. 81.

III.

rm-T-g.

bi hx³)

Tö(h-h,)

b»+₍b-bi)³ • h.)

6b(bh*-bi bx s)

Nr.

Profilform.

Trägheitsmoment bezogen auf die horizontale Schwerachse:

T.

Trägheitsmoment bezogen auf die vertikale Schwerachse:

Abstand

Widerstands

moment

Flächeninhalt

a.

W.

F.

T,

r~~a—»

—r-t

IV.

l2(h3 +

(h — b) b²)

T, =T

^<hs +

(h — b) b²)

b (2 h — b)

Fig. 83.

r*i

v.

y(b a³ +

bt a,³ — b₂ a₂³)

Fig. 84.

f q Tq + sq (Tq — g) z_

*q lq + 5Kq(Tq —q) ‘ i

eh = h — a

Wj = —-

ai

r‘i

Ohne vorhergegangene Bestimmung der neutralen Achse:

Desgleichen:

^(bb₂³+

T>1

Tm

Fig. 85.

bi hi ³) + b b₂ bi hi

b b₂ + bi hi

h₂

hi bi³)

bb₂+b₁h₁

Nr.

Profilsornt.

Trägheitsmoment bezogen ans die horizontale Schwerachse:

T.

Trägheitsmoment bezogen auf die vertikale Schwerachse:

Abstand

Widerstands

moment

Flächeninhalt

a.

W.

F.

T,.

r>n

VII.

T.|

Fig- 86.

o-cr o-OOj

(b a³ -(- 12

a,³ — a₂³ — as³)

((a —

b³ + (a,~

(a₂ -)- a₃)

(b - b₂) ³)

b₂ bj² +

2 h₂ b₃ . (h-h₂)): (2 . (b₄ h +

Wi= —

ba+bi at —

^2—^3 a3

ai

b₃ h₂))

r-'-i

"f

VIII.

k-T-<

4” 12 (a4-b4

a^—b²+ch

Fig. 87.

+ ch³)

IX.

N-

lJ

LjlJ

"T—r

uü

Fig. 88.

^2 (a4 b⁴

+ai⁴-bi⁴)

a² —b² +

ai² —bj²

1 /D⁴

X.

L.

si

TT d⁴

Fig. 89.

16

■)

Ti = T

D²

n d²

?rd⁴

XI.

f:

"iS'

(fl + d) sGv I

D(b+D)-

n d²

9Zr.

Profilsorm.

Trägheitsmoment bezogen auf öic horizontale Schwerachse.

T.

Trägheitsmoment bezogen (ms die vertikale Schwerachse:

Abstand

Widerstands-

uiomcnt

Flächeninhalt

a.

W.

F.

Tv

XII.

fr.

F'g.Ä"

n

— d⁴ =

64

n r⁴

Ti=T

n d³

32

7rd²

n r³

= n r*

32 D

(D⁴-

71

XIII.

4-n

T, = T

F'g. 92.

d ~ 4R (R⁴ - r⁴)

₄(D^-d)

=7t(R²—r²)

XIV.

giß- 93.

0,110(R⁴-r⁴) — 0,283 R² — r² (R — r)

£ GO

4-

'S

1—0,4244 R³ — r³

R² - r²»

— R — a,

fi

-~-(R²—r²)

XV.

TZ ;

0,110 r⁴

a =

0,5765 r;

9-1 —

0,4244 r

W = 0,19 r³;

n r²

W,

In der vorstehenden Tafel der Querschnitte sind diejenigen Formeln enthalten, deren man bedarf, um die einem gegebenen Profil entsprechenden Werte für das Trägheitsmoment, das Widerstandsmoment lind de» Normalgncrschnitt zu berechnen.

Hierbei bedeutet:

T das Trägheitsmoment, bezogen ans die horizontale Schwerachse, Ti das Trägheitsmoment, bezogen ans die vertikale Schwerachsc, W das Widerstandsmoment,

tralen Achse und

F den Flächeninhalt des Normalgnerschnittes, a den Abstand der am stärksten gezogenen Faser von der neu

tralen Achse.

a, den Abstand der am stärksten gedrückten Faser von der neu

Zwischen T, W und a besteht das Verhältnis

W = T : a,

woraus sich ergibt, daß, wenn die Abstände a und at ungleich sind, der Querschnitt 2 verschiedene Widerstandsmomente besitzt, nämlich:

W = T: a und W, — T:a,.

Soll das dem Träger zuzumutende größte Biegungsmoment bestimmt werden und bezeichnet man mit 8 die größte zulässige Zugspannung und mit 8i die größte zulässige Drnckspaniuiug, so wird das kleinere der beiden Momente:

M = S W und M, — 8i Wt

das gesuchte größte zulässige Angriffsmoment sein.

Die vorteilhafteste Ausnützung des Materials ist dann vorhanden,

wenn SW = 8, Wj ist, also ⁸ ~

S T

— — —, woraus sich ergibt:

8 : 8 — Si: alz oder S : Sx = a: ai.

Für Gußeisen ist z. B. 8 — 250 und 8i —500, mithin verhält sich 250:500 — a: a,,

d. h. das günstigste Verhältnis für Gußeisen ist dasjenige, wenn sich

a: a, — 1 : 2

verhält.

Bei der Berechnung von Trägern kommt man selten in die Lage, die Werte W und W, ermitteln zu müssen, da die Anwendung gußeiserner Träger gegenwärtig eine sehr geringe ist. Bei Bedarf an schmiedeeisernen Trägern ist man dagegen stets gezwungen, im Handel vorrätige Fa»;on-eisen, besonders die sogenannten „Deutschen Normalprofile," zu verwenden, und findet dann in den Tafeln, welche die betreffenden Firmen gratis abgeben, das Widerstandsmoment für jedes Profil angegeben.

Ist es notwendig, eine Bestimmung des Wertes T zu treffen, so multipliziert man den Wert W mit der halben Höhe des Trägers.

Die Qucrschnittstafel findet häufige Anwendung bei der Berechnung gußeiserner Stützen, da hier oft das Borhandensein von Modellen auf die Wahl des Querschnittes einen großen Einfluß ausübt.

Dasselbe gilt für die Beurteilung der Tragfähigkeit von Stützen mit T« und I-Querschnitt, welche häufig zur Armierung der Balkonträger, zu Streben rc. verwendet werden. Hierbei kommt es darauf an, das kleinste Trägheitsmoment eines gegebenen Querschnittes zu bestimmen. Es müssen daher für die Querschnitte III, VI und VII der Qnerschnitts-tafel die Trägheitsmomente T und T, miteinander verglichen und das kleinste in die Formeln für die Tragfähigkeit der Stützen eingeführt werden.

b. Beispiele.

1. Die Tragfähigkeit einer 3.0 m langen schmiedeeisernen Strebe mit dem Querschnitt Fig. 95 zu berechnen.

Anmerkung. Die Querschnitts-Dimensionen sind stets in Millimetern

angegeben.

b=2oa

⁴«#:j

7l 4 120

Auflösung. Das Trägheitsmoment, bezogen auf die horizontale Schwerachse, ist nach Nr. VI der Querschnittstasel:

T = -l-.(20.2³ + 2. 10³) +

20.2.2. 10

12¹ 2

— 660.

Fig. 95.

20.2 + 2.10    4

Das auf die vertikale Schwerachse bezogene Trägheitsmoment ist

Die Strebe ist außer gegen Zerknicken aber auch auf Druck in Anspruch genommen, und ist demnach:

F = 20.2 + 10.2 = 60 qcm,

sodaß die Strebe einem Drucke von 60.750 = 45000 kg widerstehen kann.

Da die Strebe jedoch gegen Zerknicken nur mit 29333 kg in Anspruch genommen werden darf, so darf sie überhaupt nur mit 29333 kg belastet werden.

woraus

P=r

4000000'

4000000. T 4000000.660

300.300

29333,33 . . . kg.

2. Die Tragfähigkeit eines 4,0 m langen kiefernen Stieles timt

18

2 - cm Stärke zu berechnen.

Auflösung. Das auf die horizontale Schwerachse bezogene Trägheitsmoment ist nach Nr. I der Querschnittstafel:

18.213

hb³

12

12

13891,5,

und das auf die vertikale Schwerachse bezogene Trägheitsmoment

21 .18.18.18

T, —

hb³

12

12

10206.

Da Tj kleiner ist als T, so wird, unter Voraussetzung loser Enden, die Tragfähigkeit gegen Zerknicken aus Ti —

110000. T

P.l²

110000 '

110000.10206

I²

400.400

— 7016,625 kg.

Der Querschnitt des Stiles ist:

F = 21.18 = 378 qcm,

und kann derselbe demnach einem Drucke von 378.60 — 22680 kg widerstehen. Die Belastung des Stiles darf demnach höchstens 7016 kg betragen, wobei vorausgesetzt ist, daß derselbe nicht durch Löcher geschwächt wird.

3. Die Tragfähigkeit einer kreisrunden Säule aus Gußeisen, 4,30 m lang mit 120 mm äußerem und 80 mm innerem Durchmesser, zu berechneu. Auflösung. Das Trägheitsmoment ist:

' <12‘ - ⁸‘>

3,14.16640

64

— 816,4, oder

rd. 820.

Ist die Säule mit angegossenen Rippen versehen, so beträgt ihre Tragfähigkeit gegen Zerknicken:

10000000. T

10000000.820

3 l²

3.430.430

— 14782,7 kg.

Der Inhalt des Querschnittes ist:

3,14

- (12² — 8²) — 62,80 qcm,

demnach die Tragfähigkeit gegen Zerdrücken:

62,8.500 = 31400 kg.

Die Säule darf also in diesem Falle mit höchstens 14782 kg belastet werden.

Erhält die Säule keine angegossenen Rippen, so ist 10000000.T

10000000.820

6 l²

6.430.430

— 7391,4 kg,

und darf die Säule in diesem Falle nur mit höchstens 7391 kg belastet werden.

Querschnitt von

4. Wie groß ist die Tragfähigkeit eines kiefernen Balkens mit einem 25

30

cm, wenn derselbe 6,0 m freitragende Länge hat?

= 3750.

Auflösung. Das Widerstandsmoment ist „r bh² 25.30.30 6

P 1

Die Tragfähigkeit ist demnach, da W

= 3000 kg.

88 W 8.60.3750

600

fps*

-ms Tt

5. Die Tragfähigkeit einer schmiedeeisernen Säule und eines schiniedeeisernen Trägers mit dem Quer-schnitt Fig. 96 und 4,35 m freitragender Länge zu berechnen.

Auflösung. Die Trägheitsmomente sind:

T = ~(14.22³ - 12,6.18,5³) = 5774,46, und

~ ((22 — 18,5). 14³ + (14 — 12,6)³ . 18,5) = 804,56 = rd. 805.

Die Tragfähigkeit der Säule ist demnach unter Voraussetzung loser Enden, da nur das kleinste Trägheitsmoment in Rechnung gezogen werden darf:

_____v

Fig- 96.

T,=

4000000. T

4000000.805

I²

435.435

16995,6 kg.

Der Inhalt des Querschnittes ist:

F = b h — bi Ir, = 14.22 — 12,6.18,5 = 74,9 qcm, und demnach die Tragfähigkeit gegen Druck:

74,9.750=56175 kg.

Die Säule darf also nur mit höchstens 16995 kg belastet werden. Das Widerstandsmoment des Profils ist:

05

• (bh³ - 6,11,3) =

6.22

• (14.22³ -— 12,6.18,5³) =

524,95 = rd. 525,

und demnach, bei gleichförmiger Belastung, au beiden Enden frei aufliegend :

■8 SW

8.750.525

= 7227,6 kg.

6. Die Tragfähigkeit der in Fig. 97 skizzierten durchbrochenen gußeiserne», 5,30 m hohen Wand zu berechnen.

435

Auflösung. Das Trägheitsmoment ist:

T = -¹- - (13,0⁴ — 10,0⁴ + 9.O⁴ — 6,6⁴) = 1935,3772.

P= -

= 22966,3842 kg.

Die Tragfähigkeit der Säule ist demnach gegen Zerknicken: 10000000.1935,3772

3.530.530

MN

's

il;iü

MIO

-IM

l--£

f 6 b* {

-----mnn.

9 üj

/so'

_W_

.E

£00

«-■

900

IM

->l

Fig. 97.

Die Tragfähigkeit gegen Zerdrücken ist:

F = 13.0- — 10,0² + 9,0² — 6,6² — 106,44 qcm,

und demnach

P — 106,44.500 — 53220 kg.

Die Stütze darf also nur mit 22996 kg belastet werden, da sie anderenfalls keine Sicherheit gegen Zerknicken bieten würde.

7. Auf mehr als 2 Stützen ruhende Träger.

Träger, welche ans mehr als 2 Stützen ruhen, ohne auf einer derselben gestoßen zu sein, heißen kontinuierliche Träger. Es kommt bei denselben zunächst darauf an, die über den Stützen auftretenden Biegungsmomente festzustellen.

Der Umstand, daß die Anordnung der Höhenlage der Stützen bei den kontinuierlichen Trägern von sehr großem Einfluß, sowohl auf die Tragfähigkeit des Trägers, als auf seine Reaktionen ist, machen dieselben gewissermaßen zu einem gefährlichen System, da durch ungleiche Fundierung und ungleiches Zusammendrücken der Stützen sehr leicht Änderungen der Höhenlage derselben veranlaßt werden können, welche zuweilen die Tragfähigkeit des Trägers erhöhen, ebenso oft aber auch erniedrigen.

Ein weiterer Mangel ist der, daß die unten angegebene Gleichung nur dann richtig ist, wenn die Unterstützung in einem Punkte erfolgt, was aber im Hochbau nicht einmal annähernd der Fall ist.

Ans diesen Gründen ist die Anwendung kontinuierlicher Träger im gewöhnlichen Hochbau möglichst zu vermeiden, zumal eine Materialersparnis damit nicht verbunden ist. Zu Ungunsten des Kostenpunktes kontinuierlicher Träger spricht übrigens der Umstand, daß der Preis pro Gewichtseinheit der gewalzten Träger in der Regel gleichzeitig mit der Länge derselben zunimmt.

Bei Berechnung kontinuierlicher Träger ist ferner darauf zu achten, daß durch gewisse partielle Belastungen die Momente und auch die Reaktionen wesentlich größer sind, als infolge totaler Belastung. Einige Beispiele mögen als Erläuterung dienen.

Beispiele.

1. Der in Fig. 98 dargestellte Balken eines Wohngebäudes ist in seinem Querschnitt und seinen Reaktionen zu berechnen. Die einzelnen Balken liegen 0,94 m von Mitte zu Mitte auseinander und sind mit 500 kg pro qm belastet.

\B

\Ä

Fig. 98.

Auflösung. Die Belastung des ersten Feldes ist:

die des zweiten:

Pi — 500.5,6.0,94 — 2632 kg;

P₂ — 500.6,0.0.94 — 2820 kg.

Da M₀ = 0 und M₂ =: 0, so wird:

2632.5,62

2820.6,02

demnach

0 = 2M,.(5,6 + 6,0) +

23,2 Mj = — 20634,88 — 25380 — — 46015;

, oder

Mt — —

46015

23,2

= — 1983,4 = rb. 1984.

Folglich ist

198400

3306,66 . . .

die Formel:

0 = 2 Mt (li + 1₂) + E"'.,

Ein Balken von 31 cm Höhe und 21 cm Breite, mit einem Widerstandsmoment von 3363 wird also erforderlich sein.

Die Reaktion A ergibt sich aus der Gleichung:

5.6

A . 5,6 — 2632 •

(NB. Die Formel, nach welcher 0 berechnet ist, lautet:

0 — 2 (lj 4~ 1₂) Mo li -)- M₂1₂ —j— E' —|— E" -f- E'", worin P, at - at 2> + Pt xt (!,«- x,») + P₂ yt (I, l-^²)

E-

P> <h 02² — a2²) ~|~ P2 X2 p2² — X2²) .

1₂

E" =

Qi (ci H~ ) (2 1|² — bt ² — ct ²)

41,

Q₂ (c₂+b₂)(21₂²-b₂2-c₂^)

41₂

, und

E'"    -

X, l,²

— Für das gegenwärtige Beispiel lautet

2 =~¹⁹⁸⁴'

woraus

A — (2632.2,8 — 1984): 5,6 — 961,7 — 962 kg. Die Reaktion C erhält man aus der Gleichung:

— — 1984,

6,0

C. 6,0 — 2820 •

woraus

2820.3 — 1984

6,0

1079,3 — 1079 kg.

Der Druck auf die mittelste Stütze B ist demnach:

B — 2632 + 2820 — 962 — 1079 — 3411 kg.

Man nimmt jedoch in der Regel an, daß die Stütze B in der Mitte zwischen A und C liege, da dies in Wirklichkeit wenigstens annähernd meist der Fall ist. Es ist dann, unter P die Gesamtbelastung des Trägers AC verstanden:

J-. (2632 f 2820) — 3407,5.

Im obigen Falle also ist: B =

Diesener III.

Die Differenz ist hier also sehr unbedeutend, sie wird aber größer, wenn die beiden Felder sehr verschieden lang sind, und ist dann die genauere Rechnung vorzuziehen.

2. Der in Fig. 99 dargestellte von Frontwand zu Frontwand durchgehende Balken eines Wohnhauses wird durch 2 Mittelwände unterstützt. Der Abstand der Balken von einander ist von Mitte zu Mitte 0,94 in; es soll der erforderliche Querschnitt, sowie der größte Druck ans eine der Mittelwände bestimmt werden.

Auflösung. Um das größte Moment der Mittelstütze B und die größte Reaktion derselben zu bestimmen, sind die Felder AB und BC total belastet, das Feld CI) nur mit dem Eigengewicht belastet anzunehmen.

Das Eigengewicht der Balkendecke mit halbem Windelboden beträgt 300 kg pro qm, die Totalbelastung 500 kg pro qm; es ist daher belastet:

das erste Feld    AB    mit:    500.5.5.0,94 — 2585 — rd.    2590    kg;

das zweite Feld    BC    mit:    500.1,5.0,94— 705 — rd.    700    kg;

das dritte Feld    CD    mit:    300 .6,5.0,94 — 1551 — rd.    1550    kg.

5JL7

Lf

Hl

Fig. 99.

Zwischen den Momenten M₀, Mx und M₂ besteht die Beziehung:

1,

O = M₀.5,5 + 2 Mj . (5,5 + 1,5) + M₂ . 1,5 + 700.1,5²

2590.5,5‘²,

zwischen den Momenten Mlr M₂ und M₃ die Gleichung:

1550.5,5²

2, 0 = M, . 1,5 + 2 M₂ . (1,5 + 5,5) + M₃.5,5 + 700.1,52

Da M₀ — 0 und M₃ — 0, so gehen die Gleichungen 1 und 2

über in:

1,    14    M,    +    1,5    M₂    +    393,75 + 19586,875 — 0    und

2,    1,5    M₂    +    14    M₂    +    11721,88 + 393,74 = 0    oder

1,    14    Mx    +    l,5 M₂ +    19981 = 0 und

2,    1,5    Mj    —f— 14 M₂ —12116 = 0.

Die erste Gleichung mit 1,5, die zweite mit 14 multipliziert, ergiebt:

1,    1,5 . 14 M, + 2,25 M₂ + 29971 — 0 und

2,    14 .1,5 Mt -j- 196 M₂ + 169624 — 0; die erste von der

zweiten Gleichung subtrahiert, giebt: 193,75 N₂-fl 139653 — 0, und hieraus ist:

M₂ = — 139653 : 193,75 — — 720,8 — — 720.

Diesen Wert in die erste Gleichung eingesetzt, ergiebt:

14    + 1,5 • — 720 + 19981 — 0 oder

14 Mi = 1080 — 19981 = — 18901 und Mj — —18901: 14 = — 1350,07 — — 1350 kgmeter.

Der Druck auf das Auflager A wird gefunden aus der Gleichung

5,5

A. 5,5 — 2590 -

= — 1350,

woraus

A = (2590.2,75 — 1350)' 5,5 — 1049,5 = 1050 kg; der Druck auf das Auflager B ergiebt sich aus der Gleichung:

700.1,5,

1050. (5,5 + 1,5) + B. 1,5—2690 •

/M

\ 2

l,ö)

720,

woraus:

B = (— 7350 + 11007,5 + 525 — 720) :1,5 — 2308 kg.

Besteht der Balken aus Kiefernholz, daun ergiebt sich:

W — 134800 : 60 = 2246,66 ....

Ein Balken von 29 cm Höhe und 16 cm Breite mit W — 2243 würde genügen.

Hätte man hier annäherungsweise

B = ~ • (2590 + 700) — 2056,25

O

gerechnet, so hätte man circa 12 °/₀ zu wenig erhalten.

Für gleichmäßig belastete Träger mit 2 und 3 gleich langen Feldern sind die Auflagerdrücke und das erforderliche Widerstandsmoment nach den folgenden einfachen Formeln zu bestimmen. Die Minimalwerte der Auflagerdrücke sind nur dann zu berechnen, wenn dieselben negativ werden, da in diesem Falle für eine Verankerung des entsprechenden Trägerendes Sorge getragen werden muß, um ein durch partielle Belastung erstrebtes Abheben zu verhüten. In den folgenden Formeln bezeichnet:

P — Eigengewicht,

K — Verkehrslast und Q — Totallast pro Feld.

Beispiel.

Die in Fig. 100 a dargestellte Decke des Kellers eines Wohnhauses ist durch 4 Stein starke Kappen von 2,4 m Spannweite, welche zwischen schmiedeeisernen Trägern gewölbt sind, hergestellt. Die Träger sind in der Mitte durch gemauerte Pfeiler unterstützt.

Jedes Trägerfeld hat eine Länge von 2,5 m; rechnet man pro qm 750 kg Totalbelastung, so ist:

tz — 2,5.2,4.750 — 4500 kg.

Fig. 100.

K-------------------------^------------->1

Fig. 101.

cO

QO

00

A max = — (6 P -f 7 K), ^(6P-K).

A min —

'b-T- = a

= AV

10 s

^(11P + 12K), ₁₀ (11 P - K),

A max —    (8 P + 9 K),

20 (8P-K)'

A min —

B min —

B max —

Kontinuierliche Träger.

Erforderliches

Widerstands

moment.

Auflagerdrücke.

Das Eigengewicht jedes Feldes beträgt ansschl. Fußboden, welcher zur veränderlichen Belastung gerechnet wird, pro qm 325 kg, und ist demnach P = 2,5.2,4.325 — 1950 kg, und folglich die veränderliche Belastung

K = 4500 — 1950— 2550 kg.

—187,5.

Das erforderliche Widerstandsmoment ist nun nach der ersten Formel 4500.250

8.750

.y

■TI

*/ !

Fig. 100 b.

Fig. 100 a.

Das Profil Fig. 100 b mit W —187, oder Normal-Profil Nr. 19 mit W = 187 ist also ausreichend.

Der Maximaldruck auf die Mittelstütze wird

B = — • 4500 — 5625 kg.

Werden die massiven Pfeiler aus gutem Ziegelmauerwerk in Zement hergestellt, so ist ein Pseilerquerschnitt von

5625:11 — 512 qcm

erforderlich und genügt demnach ein Pfeiler von 25 cm im Quadrat, der aber mit einer 1,5 cm starken gußeisernen Unterlagsplatte abgedeckt werden muß.

Der Maximaldruck auf A wird:

A max —

₁₆ (6.1950 + 7.2550) — 1846,8 — 1847 kg.

Der Minimaldruck auf A braucht nicht berechnet zu werden, da derselbe possitiv wird, denn 6 P ist größer als K.

Wird das Mauerwerk von gewöhnlichen Mauersteinen in Kalkmörtel ausgeführt, dann ist die erforderliche Auflagerfläche 1847 : 7 — 263,8 — 264 qcm.

Der Träger hat eine 9,1 cm breite Flansche; soll keine Auflagerplatte verwendet werden, dann muß der Träger ein Auflager erhalten, welches 264: 9,1 — 29 cm lang ist.

8. Tabellen.

a. Träger und Stützen von Holz mit rechteckigem Querschnitt.

b — Breite, h — Höhe.

Dimensionen

Flächen

inhalt

Trägheitsmomente

cooo<iaaüxrfxojtoi-i

CO CO CO CO CO CO CO CO CO CO CO CO 00 00 00 00 00 CD 00 00 OO 00 00 00    ^

72

80

88

96

104

112

120

128

136

144

152

160

90

99

108

117

126

135

144

153

162

171

180

Tt =

bh³:12 hb³:12

Widerstandsmoment W ----bh²: 6

486

667

887

1152

1465

1829

2250

2731

3275

3888

4573

5333

750

998

1296

1648

2058

2531

3072

3685

4374

5144

S££EEEEESSSSSS5SSSS5SSSS

189

110

120

130

140

150

160

170

180

190

200

210

220

230

240

250

260

132

143

154

165

176

187

198

209

6000

6946

1109

1440

1831

2287

2813

3413

4094

4860

5716

6667

7718

8873

10139

11520

13021

14647

1584

2014

2515

3094

3755

4504

5346

6287

llilllsl!lllilllili8liisllgg|sg$|₈|$ggsg|8S|g|gg

108

133

161

192

225

261

300

341

385

432

481

533

150

182

216

254

294

338

384

434

486

542

600

662

202

240

282

327

375

427

482

540

602

667

735

807

882

960

1042

1127

264

310

359

423

469

265

594

662

K—

Fig. 102.

Die Dimensionen sind in Zentimetern angegeben. Der Flächeninhalt F in Quadratzentimetern.

T = dem größten Trägheitsmoment, bezogen auf die horizontale Schwerachse.

T, — dem kleinsten Trägheitsmoment, bezogen auf die vertikale Schwerachse.

W — dem Widerstandsmoment, bezogen auf die horizontale Schwerachse.

r⁶

Dimensionen

₍-°    ^ ^ ^ ^    ^ ^ ^ ^ ^ ^ T—'    CQ Ol OQ 03 CQ G^l oa 03    03 G<1 CTCI Oq C^l CO CO CO CO CO CO CO CO CO CO CO CO CO CO CO CO CO CO CO ^

2-f

* *4

" ?

Trägheitsmomente

T, = bh⁸: 12 | hb³:12

Widerstandsmoment W = bh² : 6

I^OOiCttO<I^Ha^toSa5COO<IH^MQOüUÄ^tOOQOCi^K)CGOOi^K)Oa05^K)OaOiKOCD§2QCT^WMHO

7333

2218

8489

9761

2329

733

11153

12672

14323

16111

18043

20123

22357

24750

26630

2440

2551

2662

2773

2884

2995

3106

3217

3328

2197

3438

2744

3375

4096

4913

5832

6859

8000

9261

10648

12167

13824

15625

17576

19683

21952

24389

27000

29791

32768

2973

3656

4437

5322

6318

7431

8667

10033

11535

13181

14976

16927

19041

21323

23781

26421

29250

32274

35499

3938

4779

1872

2016

2160

2304

2448

2592

2736

2880

3024

3168

3312

3456

3600

3744

3888

4032

4176

4320

4464

4608

2563

2746

2929

3112

3296

3479

3662

3845

4028

4211

4394

4577

4760

4943

5126

5309

5493

5676

5859

3430

3659

808

887

970

1056

1146

1239

1337

1438

1542

1650

1762

338

392

450

512

578

648

722

800

882

968

1058

1152

1250

1352

1458

1568

1682

1800

1922

(Siehe Fig. 102.)

Die Dimensionen sind in Zeiitimetern angegeben. Der Flächeninhalt F in Quadrat-zentimetern.

T — dem größten Trägheitsnivment, bezogen auf die horizontale Schwerachse.

Tj = dem kleinsten Trägheitsmoment, bezogen auf die vertikale Schwerachse.

W = dem Widerstandsmoment, bezogen aus die horizontale Schwerachse.

2048

425

488

702

782

o<

1049

1146

1248

1354

1465

1580

1699

1822

1950

2082

2219

525

597

CO

Statik.

Dimensionen

Flächen

inhalt

Trägheitsmomente

F

llElglEIIEllllllllsllsIlllslElsllllllBIllElllllllil

T =

bh³:12

Tj =

hb³:12

Widerstandsmoment W ---bh²:6

5732

6804

8002

9333

10805

12423

14195

16128

18229

20505

22964

25611

28454

31500

34756

38229

5120

6141

7290

8574

10000

11576

13310

15209

18240

19531

21970

24604

27440

30486

33750

37239

40960

6551

7776

9145

10667

12348

14197

16223

18432

20833

23435

26244

29269

32519

36000

39721

43691

47916

52405

8262

9717

3887

4116

4345

4573

4802

5031

5259

5488

5717

5945

6174

6403

6631

6860

7089

7317

4500

4781

5063

5344

5625

5906

6188

6469

6750

7031

7313

7594

7875

8156

8438

8719

9000

5803

6144

6485

6827

7168

7509

7851

8192

8533

8875

9216

9557

9899

10240

10581

10923

11264

11605

7370

7779

674

756

842

933

1029

1129

1234

1344

1458

1577

1701

1829

1962

2100

2276

2389

640

723

810

903

1000

1103

1210

1323

1440

1563

1690

1823

1960

2103

2250

(Siehe Fig. 102.)

Die Dimensionen sind in Zentimetern angegeben. Der Flächeninhalt F in Quadratzentimetern.

T — dem größten Trägheitsmoment, bezogen auf die horizontale Schwerachse.

Tj — dem kleinsten Trägheitsmoment, bezogen auf die vertikale Schwerachse.

W = dem Widerstandsmoment, bezogen auf bteji^ horizontale Schwerachse.

2403

2560

771

864

963

1066

1176

1291

1411

1536

1667

1803

1944

2091

2243

2400

2563

2731

2904

3083

918

1023

Nr.

155

156

157

158

159

160

161

162

165

166

167

168

169

170

171

174

175

176

177

178

179

180

181

182

183

184

185

186

187

188

189

190

191

192

193

194

195

196

197

198

199

200

201

202

203

204

205

206

207

Dimensionen

17

17

17

17

17

17

17

17

17

17

17

17

17

17

17

17

18

18

18

18

18

18

18

18

18

18

18

18

18

18

18

18

18

18

19

19

19

19

19

19

19

19

19

19

19

19

19

19

19

19

19

19

19

5*

Trägheitsmomente

T -----

bh³ : 12

T,

W : 12

Widerstandsmoment W = bh² : 6

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

O l> ^

co co co

6 ZD 00 M

►Jx 4^ 4^ ro Ol

459

476

493

510

527

H CO)OG4 ^ CD I> <X> ^ iT3 »O tiO iQ CO

360

378

396

414

432

486

11333

13120

15085

17237

19584

22135

24899

27884

31099

34551

38250

42204

46421

50911

55681

60740

10289

12000

13891

15972

18251

20736

23438

26364

29525

32928

36583

40500

44686

49152

53906

58956

64313

69984

12667

14663

16859

19264

21888

24740

27829

31165

34757

38616

42750

47169

51883

56900

62231

67885

73872

80201

86881

8188

1133

8598

9007

9417

9826

10235

10645

11054

11464

11873

12283

12692

13101

13511

13920

14330

9234

9720

10206

30692

11178

11664

12150

12636

13122

13608

14094

14580

15066

15552

16038

16524

17010

17496

11432

12003

12572

13146

13718

14290

14861

15433

16004

16576

17148

17719

18291

18862

19434

20005

20557

21149

21720

1250

1371

1499

1632

1771

1915

2066

2221

2383

2550

2723

2901

3086

3275

3471

1083

1200

1323

1452

1587

1728

1875

2028

2187

2352

2523

2700

2883

2976

3267

3468

3675

3886

1267

1397

1533

1675

1824

1979

2141

2309

2483

2663

2850

3043

3243

3449

3661

3879

4104

4335

4573

(Siehe Fig. 102.)

Die Dimensionen sind in Zentimetern angegeben. Der Flächeninhalt F in Quadratzentimetern.

T — dem größten Trägheitsmoment, bezogen auf die horizontale Schwerachse.

Tj — dem kleinsten Trägheitsmoment, bezogen auf die vertikale Schwerachse.

W = dem Widerstandsmoment, bezogen auf die horizontale Schwerachse.

Dimensionen

Nr.

Flächen

inhalt

Trägheitsmomente

208

209

210

211

212

213

214

215

216

217

218

219

220

221

222

223

224

225

226

227

228

229

230

231

232

233

234

235

236

237

238

239

240

241

242

243

244

245

246

247

248

249

250

251

252

253

254

255

256

257

258

259

260

F

T =

bh³: 12

T, --

hb³ : 12

Widerstandsmoment W = bh² : 6

15435

17747

20278

23040

26042

29293

32805

36587

40648

45000

49652

54613

59895

65507

71458

77760

84422

91487

98865

106667

18634

21292

24192

27344

30758

34445

38416

42681

47250

52134

57344

62890

68782

75031

81648

88643

96026

103808

112000

22306

25344

28646

32223

36086

40245

44713

49500

54617

60075

65885

72057

78938

85536

14000

14667

15333

16000

16667

17333

18000

18667

19333

20000

20667

21333

22000

22667

23333

24000

24667

25333

26000

26667

16978

17750

18522

19294

20065

20837

21609

22381

23153

23924

24696

25468

26240

27011

27783

28555

29327

30098

30870

20409

21296

22183

23071

23958

24845

25733

26620

27507

28395

29282

30169

31057

31944

S8S8gB82SäS8£&8£S888^SSS8fcfc88gS82!isii§ligilisigilg8S

(Siehe Fig. 102.)

Die Dimensionen sind in Zentimetern angc geben. Der Flächeninhalt F in Quadratzentimetern.

T — dem größten Trägheitsmoment, bezogen auf die horizontale Schwerachse.

T\ =5 dem kleinsten Trägheitsmoment, bezogen auf die vertikale Schwerachse.

W = dem Widerstandsmoment, bezogen auf die horizontale Schwerachse.

05tOl--‘OODOO<]02ÜXl4^05bOi-‘0,XiQO-<3a3ÜXrf^ODbOMOCDQO«<ia5Üi^a5tOH-¹0<DOO^aa5üi^03I>Oh-^OCDOO^lCTaO«^.C)ÖL-CI-^

Dimensionen

Flächen

inhalt

Trägheitsmomente

F

T,= bh³:12 hb³:12

ssgissISsslSsisiisgSÜIii

696

720

00 ^

792

816

840

864

888

912

936

960

650

675

700

725

750

775

800

825

850

875

900

925

950

975

1000

702

T =

ISlilliliiiiiiiiiiilllllllllliilililil

32831

33719

34606

35493

24334

25348

26362

27376

28390

29404

30418

31431

32445

33459

34307

35487

36501

37515

38524

39543

40557

28800

29952

31104

32256

33408

34560

35712

36864

38016

39168

40320

41472

42624

43776

44928

46080

33854

35156

36458

37760

39062

40364

41666

42968

44270

45572

46874

48176

49478

50780

52083

39546

Widerstandsmoment W = bh² : 6

(Siehe Fig. 102.)

Die Dimensionen sind in Zentimetern angegeben. Der Flächeninhalt F in Quadrat-zentimetern.

T — dem größten Trägheitsmoment, bezogen auf die horizontale Schwerachse.

Tj = dem kleinsten Trägheitsmoment, bezogen aus die vertikale Schwerachse.

W — dem Widerstandsmoment, bezogen aus die horizontale Schwerachse.

Nr.

Dimensionen Flächeninhalt

Trägheitsmomente

bh³:12

T, =

hb³ : 12

mbex*

stands-

rnoment

W ---bh*: 6

IIS§SSgll§igSg§§§lg§IISIISll§§i|gggglllSIgg|8S|gggggg

lllllEiliglllllSIlllllllllEllllsgsgllssglllllilgllggg

47563

52843

58500

64547

70997

77864

85159

92896

101088

109748

118889

128525

138666

49392

54875

60750

67030

73728

80858

88434

96469

104976

113969

123462

133468

144000

56908

63000

69512

76459

83853

91709

100042

108864

118190

128035

138411

149333

65250

71995

79189

86848

94985

103615

112752

122411

132607

143354

154667

74478

81920

89843

98260

41011

42475

43940

45404

46869

48333

49798

51262

52727

54191

55656

57121

58586

45927

47567

49208

50848

52488

54128

55769

57409

59049

60690

62330

63970

65610

53051

54880

56709

58538

60368

62197

64026

65856

67685

69514

71344

73173

60973

63005

65037

67070

69102

71135

73167

75200

77232

79264

81297

69750

72000

74250

76500

3397

3644

3900

4164

4437

4709

4989

5278

5616

5868

6175

6491

6933

3528

3785

4050

4325

4608

4901

5202

5513

5832

6161

6498

6845

7200

3925

4200

4485

4779

5082

5395

5717

6048

6389

6739

7098

7467

4350

4645

4949

5264

5587

5921

6264

6617

6979

7352

7733

4949

5120

5445

5780

(Siehe Fig. 102.)

Die Dimensionen sind in Zentimetern angegeben. Der Flächeninhalt F in Quadratzentimetern.

T — dem größten Trägheitsmoment, bezogen auf die horizontale Schwerachse.

Tj ----- dem kleinsten Trägheitsmoment, bezogen auf die vertikale Schwerachse.

W ----- dem Widerstandsmoment, bezogen auf die horizontale Schwerachse.

33

r*

410

411

412

415

CD t>

Dimensionen

^ 4^ 00 O O CD

Flächen

inhalt

1050

1080

1110

1140

1170

1200

992

1023

1054

1085

1116

1147

1178

1209

1240

1056

1088

1120

1152

1184

1216

1248

1280

1122

1155

1188

1221

1254

1287

1320

1190

1224

1258

1292

1326

1360

1260

1295

1330

1365

1400

1332

1368

1404

1440

1406

1443

1480

1482

1520

1560

Trägheitsmomente

T, -bh³:12 hb³:12

107188

116640

126633

137180

148298

160000

84651

92837

101535

117927

120528

130854

141753

153241

165333

95832

104811

114333

124416

135075

146325

158184

170667

108086

117906

128304

139296

150898

163127

176000

121479

132192

143517

155471

168071

181333

136080

147738

160043

173014

186667

151959

164616

177957

192000

169189

182900

197333

187843

202167

208000

78750

81000

83250

85500

87750

90000

79443

81925

84408

86890

89373

91855

94338

96820

99303

90112

92843

95573

98304

101035

103035

106496

109227

101822

104816

107811

110806

113801

116795

119790

114637

117912

121187

124463

127738

131013

128625

132198

135771

139344

142917

143856

147744

151632

155520

160401

164622

168843

178334

182907

197730

Wider

stands

moment

W -----bh²: 6

6125

6480

6845

7220

7605

8000

5291

5627

5973

6329

6696

7073

7461

7859

8267

5808

6165

6533

6912

7301

7701

8112

8533

6358

6738

7128

7530

7942

8366

8800

6942

(Siehe Fig. 102.)

Die Dimensionen sind in Zentimetern angegeben. Der Flächeninhalt F in Quadrat-zentimetern.

T — dem größten Trägheitsmoment, bezogen auf die horizontale Schwerachse.

Tj — dem kleinsten Trägheitsmoment, bezogen auf die vertikale Schwerachse.

W ----- dem Widerstandsmoment, bezogen auf die horizontale Schwerachse.

7344

7758

8183

8619

9067

7560

7986

8423

8873

9333

8436

8664

9126

9600

8905

9380

9867

9633

10133

10400

b. Träger und Stützen von Holz mit quadratischem Querschnitt.

Quadratseite

Flächeninhalt

Widerstands

moment

Widerstands

moment

Trägheits

Moment

CDQO<ia5Cn^OOtOl-*

CO lO tH r—I CD l>» iQ * 03 CO 1-0 GO

88S88S88S888888888SS8SSS^5SKSSES

S8SS88SSSS88.S5Slg8SSSSSSgSSSSSiKSBtiS

lllilllllülüllillllligiggiiiss

Sg8S8SSfeSS8-88B-gi&SS-g-8!E:888a»!eg-gSS88fe8SgS-g

CQ_t>

r-Ttß

's

^_____

Z^\    z'Tx

0/    \tt

Fig. 103.

Quadratseite a in Zentimetern.

Flächeninhalt = F in Quadratzentimetern.

Widerstandsmoment W, bezogen auf eine der Quadratseite parallele Schwerachse.

Widerstandsmoment Wlz bezogen auf eine Diagonale des Normal-Querschnittes.

bx = ganze Diagonale, ht = halbe Diagonale des Querschnitts.

Trägheitsmoment ----- T.

SS

C000<!050n^05t0h^

c. Tabelle des Kreisring - Querschnittes.

(Hohle kreisrunde Säulen.)

Dimensionen

Flächeninhalt

8888222228g88ggg8888S§S32S3gggggg§8§§§§gggg22g8§88

rH rH rH rH rH rH rH rH rH tH rH rH r-t pH -p—I rH rH ri t-H tH tH t—I rH i—I rH rH t—I pH rH rH t—I rH tH pH pH rH pH pH rH tH rH t—I pH tH t—( pHI rH tH tH tH

76

70

64

60

86

80

74

70

66

96

90

84

80

76

106

100

94

90

86

80

116

110

104

100

96

90

84

120

114

110

106

100

94

130

124

120

116

110

104

100

140

134

130

126

120

114

110

150

144

140

12

15

18

20

12

15

18

20

22

12

15

18

20

22

12

15

18

20

22

25

12

15

18

20

22

25

28

15

18

20

22

25

28

15

18

20

22

25

28

30

15

18

20

22

25

28

30

15

18

20

S95Sfe!SSSS5lSSSS3SS$eSS8S$S5S8S3e88S5SS88SSSSeSSSa)8SS288S

rH    HHH    HHHH    tH

, Widerstands

MHMMMMH    1    '

wiohohoococoqooo<ioi Moment

155

120

140

iOCDl>-QO^COCO©r-l(MCO

196

221

to to

rf- 05 co m

296

317

337

363

385

398

296

338

363

Trägheits

moment

327

373

408

427

450

M 00

J)

601

625

601

696

774

817

933

782

911

1019

1080

1134

1201

997

1167

1311

1395

1468

1564

1641

1467

1656

1766

1866

1994

2102

1815

2056

2199

2329

2498

2643

2726

2214

2517

2698

2863

3082

3271

3381

2668

3042

3267

_<z

Fig. 104.

Die Dimensionen sind in Millimetern angegeben.

D == äußerer Durchmesser.

d = innerer Durchmesser.

cf — Wandstärke.

Normal-Querschnitt:

Flächeninhalt = F in Quadrat-zentim eiern.

W ----- Widerstandsmoment, bezogen auf Zentimeter.

T — Trägheitsmoment, bezogen auf Zentimeter.

Dimensionen

Nr.

Flächeninhalt

Widerstands

moment

Trägheits

moment

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

ISSBEIsSESgglssSEggi

72

73

74

75

76

77

78

79

80

81

82

83

84

85

86

87

88

89

90

91

92

93

94

95

96

97

98

99

100

101

102

8gg8§|g|g§illIglgg|g||gligg|§gg§gg|ISg§gSggggggggggg

S888g8888ä;gg@gsg@§Sgö:K8gg>=!88g8SSS3SSgs=SSISg5SS8g«äiSäS5ggSS!S

ssisiiiüüiiüiüiiiüüüiiiis

3474

3751

3992

4135

4434

3180

3636

3912

4168

4511

4814

4995

5379

3754

4303

4637

4948

5369

5743

5968

6452

6831

7311

7977

8576

866

827

906

978

1022

1122

1025

1127

1221

1279

1411

1491

1565

1735

1788

1880

2093

2114

2225

2485

2466

2599

2912

2846

3003

3372

8942

9747

10334

11321

12222

12778

14022

14098

15493

16782

17585

19405

22362

23475

26024

28464

30557

34010

36988

38943

43490

46240

48742

54593

56925

60066

67450

(Siehe Fig. 104.)

Die Dimensionen sind in Millimetern angegeben.

D — äußerer Durchmesser.

d — innerer Durchmesser.

d Wandstärke.

Normal-Querschnitt:

Flächeninhalt = F in Quadrat-zentimetern.

W =• Widerstandsmoment, bezogen auf Zentimeter.

T = Trägheitsmoment, bezogen auf Zentimeter.

Nr.

Bemerkungen.

CDOOOOJC^^ WMK

CDQO^Oitn^OOfcOt“¹

S£fcS£SifcSSfee:g§Sg38Sggg88g8i3ggg8gBS2g5£S5S:s;5SSS

gfefcÖSfcfcfefefcSSSSSSSgSSSÄKlSggKBttBgSSSSSiKSSiSS

lIlEBllllllgElSlillsllEllllsIlEIElSsEEEgssssgsß^too

S2Sg$&gSK'&S&££$&3S8ä£SäSS33&S'& s sg b g § S S'8 S § S fe Vg S S K S

SSgS2S$slSliil88583KS8SSg5Ss!^l§llsi§iliig'8SS8'S^lll

HH(^NCC^^iOCOI>05    HHHH

Fig- 105.

d — Durchmesser in Zentimetern.

F = Flächeninhalt in Quadratzentimetern.

T — Trägheitsmoment, bezogen auf Zentimeter.

W = Widerstandsmoment, bezogen auf Zentimeter.

Diesener III.

JS

Dimen

sionen

Statik.

COGO<]CIiÜ^^.OODOI—¹

ese8gg5ssssssg8ss8gsseci8cgig«cgccccecgre4?egrr

8£S3ggS££fcgfc8;5£g£fc!iS8ägSggg8ggggg3gS2gg58S5SSSS;KM(- Flächeninhalt

______ F

Trägheits-Moment T II

-es Kreuzquerschnittes.

fQ iQ QO O CO OQ CO

!g!SSs§sl!is“S|||ssgs|g5g|sgg$gg8ggs„g8

S3

r⁶

gggggSSggiggggaggsaassaggaiaggSgSgigSggSggSgggSgggSfcS

Dimen

sionen

16,2 1,8

16.1    2,3 16,8 2,1

18    1,8 18 2,0

18.9    2,1 18,4 2,3

18.2    2,6 18,9 2,7

19 1,9 19,2 2,4 19,8    2,2

19.6    2,8

20

20

2,0

2,5

Flächeninhalt

Trägheitsmoment T

Bemerkungen.

20,7

20,8

20,3

21

21,6

21,6

21

22

22,5

22,4

23

23,4

2,3

2,6

2,9

2,1

2,4

2,7

3,0

2,2

2,5

2,8

2,3

2,6

23.2    2,9 24 2,4

24.3    2,7

24    3,0

25    2,5 25,2 2,8

26    2,6 26,1 2,9

27 2,7

r-l    HH hh hhhhhhhhhhhhhhhhh

645

814

841

965

1053

702

800

1013

1136

883

983

1194

1210

1329

1546

|7l

1096

1435

1439

1788

1345

1689

1719

1976

2010

1635

2038

2298

2356

1970

2399

2658

2353

2807

3059

2790

3264

3530

3285

3775

3842

4344

4469

4975

5168

5947

6811

Fig. 106.

h — Seitenlange des Querschnittes in Zentimetern.

b ----- Stärke der einzelnen Flügel des Querschnittes in Zentimetern.

F----Flächeninhalt des Normal-Querschnittes in Ouadratzentimetern.

1— Trägheitsmoment, bezogen auf Zentimeter.

Allgemeines.

f. Tabelle hohler viereckiger Pfeiler mit viereckigem Hohlraum.

Dimensionen

Dimensionen

10

10

10

10

11

11

11

11

11

OaOOCJOCtiCtfÜONDCOtNObObDtNStOhDbOtOI-LI-tH-MMh-il-ii-AI-il-L

12

12

12

12

12

13

13

13

13

13

13

13

14

14

14

14

14

14

15

15

15

15

15

15

16

16

©o»©^qqqqtqcoqtqt

l>I>CDCDG000I>[>CD02G000I>CDOO020200G0l>-    -- - ---- - - -

HHOOOiXtMHHOOaJCON

rH rH 1—1 1—1    1-n 1—1 1—1 T—I 1—1    J—t 1—I

bo    bO M 03 bD J» MM KW fcö b£ DO MMMOitOWMMMtOMMMtOMMM

00 üx 00 Qt Iso © "cd üx'o üx'o'bo ÜX DO Td u O 00 Ü» lob ÜX O 00 M C?X b 00 ox'tob 00 bx K)

105

120

61

75

88

96

115

132

81

95

co >o t>

87

102

CD CO

694

725

774

02 O

1020

1112

1020

1313

1387

1528

1620

1328

1547

1730

1833

1924

2040

03 1-1

1981

2226

2368

2655

2860

2491

2811

2999

3167

3385

3568

3081

3491

19

19

19

20

20

20

21

21

21

22

22

22

23

23

23

24

24

24

25

25

25

26

30

30

Die Dimensionen sind in Zentimetern angegeben.

3733

3952

4241

4486

O 00

5232

5740

5547

6368

7020

6641

7659

8480

7872

9115

10132

9247

10745

11988

10773

12561

14060

12460

14572

16360

14315

16788

18900

19219

16345

21692

24748

34948

39852

f-i

TH 3

A — äußere Quadratseite des Querschnittes, a = innere Quadratseite des Querschnittes, d = Wandstärke des Querschnittes.

F = Flächeninhalt des Querschnittes in Quadratzentimetern. T — Trägheitsmoment, bezogen auf Zentimeter.

5*

SS

C000^1050xrfx03t0l-A

SSoODo2oCDOo!<]Jj§üiij£cot§£2o5oO^H"lK^,"ah“lH-i|~'¹

g. Tabelle hohler viereckiger Pfeiler mit kreisrundem Hohlranm.

Dimen

sionen

10 7,6

670

715

751

952

1019

1073

1311

1484

1527

1760

1889

1997

Bemerkungen.

Dimensionen

SS

36    17

JL

37

17

38    17

13

13

14

14

14

14

14

14

15

15

15

15

15

15

16

16

16

16

16

16

16

17

*■

39

40

41

42

17

17

17

8,6

8,0

11,6

11,0

10,4

10,0

9,0

8,4

12,0

11,4

13,0

10,6

10,0

9,4

13,0

12,4

12,0

11,6

11,0

10,4

10,0

14,0

* CZj Fig. 108.

43

18

44

45

46

47

Die Dimensionen sind in ₄g

49

50

D — äußere Quadratseite g₄

52

53

(M H (M CO ^ T—I

d=. Durchmesser des Hohl- 54 2879 raumes der Pfeiler.

2957 3201

55

56

F ---- Flächeninhalt des 57 123 3390 Querschnittes in Quadrat- 58 130 3500 137 3599 146 3728 157 3835

Zentimetern.

59

60

CO lO CO o (M CO xti iO

18

18

18

18

18

19

18

19

19

19

19

19

20

19

20

20

20

20

20

T — Trägheitsmoment, 61

bezogen auf Zentimeter. 62

63

4301 NB. Zwei Pfeiler dieses oder 64 des vorigen Profils werden 65 häufig zu einer sogenannten ^ durchbrochenen Wand in ähnlicher Weise wie die 69 Profile unter h vereinigt. 70

4059

4443

4572

161 4743 171 4887 177 4970 135 5074

66

68

20

22,5

22,5

22,5

22,5

25

25

25

25

Dimensionen

Bemerkungen.

Dimensionen

cooo-^cam^cotNOt-¹

l> t> CD GO GÖ t>" ca QO t» O Ö" 05 o7 00 00^ 1-71-T Ö" o" o7 00 C<f 1-7 t-7 o o“ 05 CO (N ^ 1-T o ö'

rH tH    tH tH rH rH    rH rH rH rH rH rH i—< rH rH r—I i-H H

OOOH-HH(NO]!NCOCOCOCOCOCOrJi^^^i#rHiGuGiiOistiOlOCO0CDCOCOCDCO

i-H rH    i—I    rH rr rH i rH rH rH rH rH    r—I    r— rH H rr — r— rH rH rH r—I    rH    i—I    *— H H rH r— —    T—I    rH rH

OriNCG^ißCD^OOOaOHtMW^.GCD^COOaOHlNCO^

rlrtHr-iHHHHHH(M(N(M(N^(M(MlNN(NCGWCOCOCG

85    920

92    965

98 1001 96 1284 104 1352 111 1411 120 1887 137 2060 142 2103 des Pfeilers. 133 2493 142 2622 152 2729 157 2790 163 2844

171    2911 146 3227 157 3397 167 3542 173 3625 188 3794 197 3871

172    4326 183 4515 190 4625 197 4724 206 4853 216 4960 203 5766 215 6007 223 6150 230 6279 241 6449 251 6594 257 6677

Tie Dimensionen sind in Zentimetern angegeben.

D = äußere Qnadratseite des Pfeilers.

d — innerem Durchmesser

b = Stärke des inneren flachen Pfeilers.

a ----- äußere Quadratseite des Pfeilers.

S — Wandstärke des quadratischen äußeren Pfeilers.

b ---- Stärke des inneren flachen Pfeilers.

F ----- Flächeninhalt des Querschnittes in Quadratzentimetern.

T --- Trägheitsmoment, bezogen auf Zentimeter.

WWGDWWMtStNSDGtdlOMlOtGW'-'MMi-^    M i-* h- HM

H^WMHOCOGDH105a'^WtOH‘OCOGO<iaiG9^WWHO

H-t—1|—IH-^1—^l—1|—^r-‘t—‘•I—¹>—‘■I—‘H-‘H-1|—1(—^ — I—‘■I—‘■I—1|—‘t—I

0a0505ÜiÜ'0iÜ'^Üi^tP>.#i.W^Ü50J^W0:03tGMWK)MHMHHKOOOO

COOO^OJOt^WlGH

(Ol IO CO^O GnOOD    XN O q_    iOviO 0^00    oo^oq^o^

rH t-h" i-T o7 i-T i-T rH of oT h i-T r-T c^T cd t-T 1-h c<T r-T (oT oi r7 oo 1-T o7 0Q r-T co i-T ol oT G<f 1—T n c<f

72

81

89

94

80

90

99

105

118

100

121

109

143

156

121

133

140

117

147

l>rHC^Tf<(NHHXict'^COr-I>(N(M UO ro    I>    ^    lO l> 00 lO    CO    t—    05    CO    00    05

1—1 r—I    t—I    t—I    i—l i—l i—i tH tH    r—I    i—l    1—i    i—I    t—I    rH

805

975

1107

1212

1303

1353

1445

1596

1889

2060

2104

2196

2279

2462

2565

2607

2656

2772

2896

2912

3141

3283

3570

3616

3775

3936

4124

4292

4693

4788

5198

5440

F'W

■ >1

—t

i<--------^

1)

r~

Fig. 109.

9?. ⁴"

>!6K

21

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

44

45

Dimensionen

Bemerkungen.

Dimensionen

H B bj b

: 120100 20 20 40 67 ! 126105 21 21 44 77 ! 132 88 44 22 58 85 : 132110 22 22 48 89 > 138115 *3 23 53101 ! 144 96 48 24 69111 ’ 144120 24 24 58 116 I 154120 22 22 55122 i 150125 25 25 63130 ' 156104 52 26 81 141 156130 26 26 6h 141 180128 20 20 58154 162135 27 27 73 Iö4 Metern angegeben.

168112 56 28 94176 168140 28 28 78183 182106 52 26 89192 174145 29 29 84 203 180120 60 30 96 216 180150 30 30 90225 220117 33 22 80248 240100 40 20 80267 240160 20 20 76278 242105 44 22 90296 252105 42 21 88309 210164 30 30 103309 240110 48 24 99316 252168 21 21 84322 264120 44 22 97 355 264176 22 22 92370 276115 46 23 106406 240178 30 30 116407 276184 23 23 101423 238151 51 34 141438 288120 48 24 115461 288192 24 24 109481    ,    ,    m    .

270192 30 30 130518 bi = obere Brette.

300125 50 25 125521 240200 40 40 160533 her Flanstbrn 300200 25 25 119544 312208 26 26 128612 300206 30 30 143643 schnittes in Quadratzentimctern. 324216 27 27 139685 280218 40 40 183 733    r ^    .

336224 28 28 149764 bezogen auf Zentimeter.

330221 30 30 156782 360236 30 30 170933

4V >iV

k-$.

B__4

v_.

-£->1

Fig- Hl.

Tie Dimensionen sind in Milli

H = ganze Höhe.

B = Breite.

h — Stärke der Flansche, b =- Stärke des Steges.

ii

M____B____'

Fig. 112.

Die Dimensionen sind in Millimetern angegeben.

H — ganze Höhe. B = untere Breite.

b = Stärke des Steges und

F ----- Flächeninhalt des Quer-

W = Widerstandsmoment,

1    200180 40

2    216 216 54

3    210189 42

4    220198 44

5    240200 40

6    230207 46

7    252210 42

8    24M240 60

9    240216 48

10    280220 40

11    2641220 44

12    250225 50

13    252252 63

14    276230 46

15    294 231 42

16    200234 52

17    264 264 66

18    288 240 48 L9 270243 54 ZO 308242 44

11    276 J76 69

12    300250 50 ?3 280252 56 ?4 322 253 46 !5 288288 72 56 290261 58 17 312260 52 !8 336264 48

19    300300 75 10 300270 60 !1 324270 54

12    3502.5 50

13    310279 62

14    312312 78

15    336280 56

16    320288 64

17    324324 27

18    348290 58

19    330297 66 0 378297 54

1    369300 60

2    340306 68

3    392308 56

4    350315 70

5    406319 58

6    420330 60

i 20 76 257 18 81 321

21    84 297

22    92 342

20    88 359

23    101 391

21    97 416

20    100 440

24    109 444 2m loO 478

22    106 478

25    119 5(>2 z\ 110 509

23    116 546

21    110 553

26    128 564

22    121 586

24    127 621

27    139 632

22    121 636

23    132 669

25    138 702

28    149 705

23    132 727

24    144 760

29    160 783

26    149 789

24    144 826

25    156 859

30    171 867

27    160 884

25    156 933

31    183 957

26    169 967

28    172 986

32    1951052

27    1821082

29    1851096

33    2071154

27    1821175

30    1961213

34    2201262

28    1961311

35    2331377

29    2101456

30    2251612

k. Tabelle für Träger aus Schmiedeeisen.

1. Deutsche Normalprofile.

Profil-Nr.

Dimensionen

Bemerkungen.

CD 00

toi M- eol M-

80 42    ,9

90 46    ,2

100 50 ,5 110 54 4,8 120 58 5,1 130 62 5,4 140 66 5,7 150 70 6,0 160 74 6,3 170 78 6,6 180 82 6,9 190 86 7,2 200 90 7,5 210 94 7,8 220 98 8,1 230102 8,4 240106 8,7 260113 9,4

28011910.1 30012510,8 32013111,5

34013712.2 36014313,0 38014913,7 40015514,4

42516315.3

CO tfl T-ti

5,9

6,3

6,8

7,2

7,7

8,1

8,6

9,0

9,5

9,9

10,4

10,8

11,3

11,7

12,2

12,6

13,1

14,1

15,2

16,2

17,3

18,3

19,5

20,5

21,6

23,0

6,0

7,1

8,3

9,6

11,1

12,6

14,3

16,0

17,9

19,8

21,9

24,0

26,2

28,5

31,0

33,5

36,2

41,9

47,9

54,1

61,0

68,0

76,1

83,9

92,3

45017016,2 47517817,1 50018518,0

24,3

25,6

27,0

103,7

115,2

127,6

140,5

19,6

26,2

34,4

43,8

55,1

67,8

82,7

99,0

118

139

Xi

Fig. 113.

Die Dimensionen sind in

(H CO CO

446    5798

io cd

7658

CO TU

h = Höhe, b — Breite, d ----- Stärke des Steges, t = Stärke des Flansches. 61,4 Neigung tut Flansch: 14°/0 oder ca. 1 : 7.

53,7

956    97,5 in Kilogrammen.

789 12622 931 15827 1098 19766

1274 24208 1138 107,5 1472 29446 1349 118,3 1754 37266 1672 133,0 bezogen auf die horizontale Schwerachse.

Gr ----- Gewicht pro Meter

W ------ Widerstandsmoment,

2054 46204 2004 147,7 2396 56912 2424 163,6 2770 69245 2871 180,2

T ----- Trägheitsmoment, bezogen aus die horizontale Schwerachse.

T₁ ----- Trägheitsmoment, bezogen auf die vertikale Schwerachse.

F ---- Flächeninhalt des Querschnittes in Quadratzentimetern.

to

Statik.

2. Andere gebräuchliche Profile.

Laufende Nr.

Dimensionen

Bemerkungen.

C000<l0501^05fc0l-^

SgS882gS£:|g88g88a!88£S838888g8g88S888§§8S88§ S B ! S; 8 S Hg ^ S ^ ^ S g 3 g || 3 g

's    rH    tH

^ co io i>

^ M- t-l l-A (_l (-1.

Ir* bo co i-¹ oo o o o

OXOÜ1000005Q5

^ E 05 ob o co oobbbco Sb co cob oo 00 oob co C oob -o<iSoo oo'b'b oo'Sb'b o O. Sbo

h-l_QC M.

W 00 o <1 mto

CO 00

05 05®

O O IQ

hhod

5 Sb Sb 5 S £ coinbbbo h5w Sb S 5 5 o m b £ Cb 05 C £b ES obin o'S S 5 o'S

IS-⁰⁵ ggggs s s    Z 8 gsgs s s a|ga ggs Z gggss s 8

____    ___CO (M_CO    co    CO    ^

iSisilllElllElsslESsSEslllEslliESEEEEEII'S

(Siehe Fig. 113.)

Die Dimensionen sind in Millimetern angegeben.

h    -----    Höhe.

b    —    Breite.

d    —    Stärke    des    Steges.

t    —    Stärke    der    Flansche.

Gr — Gewicht pro Meter in Kilogrammen.

W — Widerstandsmoment, bezogen auf Zentimeter.

Die Profile sind so gewählt, daß sie den weitgehenosten Anforderungen Rechnung tragen. Die Auswahl ist aus den Listen der bedeutendsten Hüttenwerke Deutschlands erfolgt, welche fast überall vorrätig sind.

Laufende Nr.

Dnnensionen

Bemerkungen.

CO

<M

CO

05

dqoooo®oo<oooomwü»w^8o«ü'd

rH    i—1    H 1—1    i—H i—1 rH i—I 1—1 i—l

138

117

142

127 5

126

138

300

320

146,8

135,2

CO co

140

142

317,5

135

11

10

11

12

11

14

11

10

9,5

10

11

15

8,75

11,5

20

10

11

14

12

12,5

14

13

16

15,2

17

13

14,5

12

13

12,5

14

17,5

15

13

14

14,5

13 5

17,25

15,3

16

20

14,75

15

19

14

16,25

17

17

13

20

20

350

140

17

16,5

CO CO

144

11

20,75

18,45

350

315

348

400

CD O

400

398

400

396

410

400

398

4^ 4^

338

450

450

475

475

500

500

152

145

SSSSgSSSSSSgSSSSSSSSSS

14

15

16

20

12,1

16

14

16

16

17

12

18

15

17,5

13,2

17

18

18,2

18

20

18

22

18

23

18,6

23,5

21,6

17

21

20

18

18,5

22

21,25

18

22 2

25,4

21

21

25,6

23

23

26

25

26

26

iO >0 O D HO iO CO 05 iO 10^05 «O OC KO O «OO tO CD lO^O OiCSOlj^CO'ttftCGOCOiO) ißist O rH 05 iO OD ^ ^ g 05^0 gl if^iß CO H

I>X l>    S 3 OO" CO lC ^ *5 Ol" of    OXX    Ö CD    00 CO    OD 00 t>"    05    '-<t”io^-¹~~ICOCO'’-‘'i—¹

CO CO CO    CO    ^    CD io    00    05    00    i—l i—(    1—' 1—1

oo h x o oo ^

Oi H w rf Tji x CM CO CO CO CO CO

380

381

393

406

429

449

451

480

519

529

(Siehe Fig. 113.)

Die Dimensionen sind in Millimetern angegeben.

553

589

676

690

712

759

763

935

948

960

— Höhe.

— Breite.

— Stärke des Steges.

— Stärke der Flausche.

Gr — Gewicht pro Meter in Kilo-

n- e, er p-

grammen.

W ------ Widerstandsmoment, bezogen auf Zentimeter.

Die Profile sind so ausgewählt, daß sie den weitgehendsten Anforderungen Rechnung tragen. Tie Auswahl ist ans den Listen der bedeutendsten Hüttenwerke Deutschlands erfolgt, welche fast überall vorrätig sind.

-arL

26,16

23,60

20,92

13,08

11,80

10,46

85,50

78,00

68,40

h — Höhe in Zentimetern.

F — Flächeninhalt des Querschnittes in Quadratzentimetern. G = Gewicht pro Meter in Kilogrammen.

1    Trägheitsmoment, bezogen aus die horizontale Schwerachse und aus Zentimeter.

Ti “ Trägheitsmoment, bezogen auf die vertikale Schwerachse und auf Zentimeter.

W = Widerstandsmoment, bezogen auf die horizontale Schwerachse und auf Zentimeter.

65,31

59,60

52,20

5521,50

4083,60

2812,20

299,47

280,75

243,32

422,20

346,90

268,46

b) Gekuppelte Schienen.

Ug. 114.

Fig. 115.

42,75

39,00

34,20

32,66

29,80

26,10

919,00

691,59

470,26

149.37

140.38

121,66

140,40

117,50

90,00

T,

I. Tabelle für Eisenbahnschienen.

a) Einfache Schienen.

ih

jli

m. Tabelle für breitfützige ^Eisen.

(Deutsche Normalprofile )

Profil-Nr.

Dimensionen

F Gr T T, W W,

Bemerkungen.

6|3

7|3-

8|4

10|5

12|6

14|7

140

16|8

160

18|9

000000*0^0

5,5

8,5

10

11,5

13

4,64

5,94

7,91

10,16

12,02

17,0

22,8

29,5

20110

180    14,5

200 100 16

37,0

45,4

CO l> CO 00 >o —¹ —< CM CI CO

____JQ.

4*-

9'

'mrnrn

Fig. 116.

Li.

134

213

Die Dimensionen sind in 446 21,7 55,8 Millimetern angegeben.

709 30,5 78,8 Neigung im Fuß 2°|₀, auf jeder Seite des Steges 4°|₀. — Breite.

323    1073 41,8 107,0 ¹ ”

h ---- Höhe.

d = Stärke des Flansches und Steges in der Mitte.

B\

CO

iy]r(|iN CCH|N ^^1« »o CO I> t-(|n H |<N

n. Tabelle für hochstegige ^-Eiseii.

(Deutsche Normalprofile.)

0,29

0,53

0,88

35

35

4,5

2,95

2,3

1,63

3,34

0,93

1,36

40

40

3,75

2,9

2,70

5,56

1,35

45

45

5,5

4,65

3,6

4,23

8,74

1,88

50

50

5,64

4,4

6,33

13,1

2,54

60

60

7,91

6,2

12,8

26,4

4,25

-X.

<a.

!<"

//

!>-

mm i

Fig. 117.

70

70

10,6

8,2

23,1

48,4

6,62

1,97 Neigung im Fuß 2°|₀, auf jeder Seite des Steges 2°|₀. F ----- Flächeninhalt des 3,71 Querschnittes in Quadrat-6,23 Zentimetern.

9,76

2,76

8,8

80

80

13,6

10,6

38,8

81,5

9,70

919

90

90

10

17,0

13,3

61,4

129

13,6

10|10

12112

14114

100

120

140

100

120

140

11

13

15

20,8

29,5

39,8

16,2

92,7

195

18,5

23,0

189

389

31,5

31,0

347

734

49,5

Gr — Gewicht pro Meter in Kilogrammen.

14,4 t — Trägheitsmoment auf 20,3 x bezogen.

Tt = Trägheitsmoment aus g bezogen.

45.6    W = Widerstandsmoment

73.7    auf x bezogen.

^---Widerstandsmoment auf g bezogen.

27,5

r⁴

SSfeÖSfcfcefeSSSgSSgggggSglggSSggSgSBSSSiSSKKSSSS

Statik.

o. Tabelle des halben Kreisring-Querschnittes.

Dimensionen

Bemerkungen.

33SS8a:S3SaSSS8SSS8S3838S3SS8S88SS88SS88888SSga8a88

SSggSSSgggegggogoogggoogggogggooogo^ggogooggogoggg

iisgSslllilllSiil£|SI|£££|ig|gäEgigg|ggis5,S8g£

affß- ns.

Tie Dimensionen sind in Millimetern angegeben. B --- äußerer Radius, r = R — d = innerer Radius, d — Wandstärke.

^ ----- Minimal - Trägheitsmoment, bezogen auf Zentimeter.

¹

₂-(2.20³ + 10.2³) = 1340.

Weil T kleiner ist als T₁₍ so ist in die betreffende Formel 660 einzuführen, und ergibt sich unter Voraussetzung loser Enden:

²

P.P

Zweiter Nbschnilk: Berechnungen.

1. Die Balkon- und Erker-Konstruktionen.

Es konimt hier natürlich nur die Eisenkonstruktion in Betracht, welche zum Tragen des Balkons bezw. Erkers bestimmt ist, und trifft man die Anordnung in der Regel nach einem der folgenden drei Prinzipien.

1. Zum Tragen des in den Figuren 119 und 120 dargestellten offenen Balkons dienen wagerecht herausgestreckte Träger, welche die von ihnen zu tragende Last, ohne jegliche Unterstützung übernehmen müssen, und sind deingemäß die Dimensionen der Träger zu berechnen.

T'"1

°/j ⁸ o\s s

am

(

Die möglichst weit in die „>

i____

F'g. 119.

Mauer hineingreifenden Träger 1 müssen in dieser kräftig verankert werden. Zu diesem Zwecke ist die in Fig. 119 angegebene Zugstange z nebst Ankerplatte, deren Konstruktion aus der Figur ersichtlich ist, sehr zu empfehlen. Beide sind fest in Zement zu vermauern und ist der Platte die größte Ausdehnung in der Längenrichtung der Mauer zu geben. Es empfiehlt sich außerdem das Herauskragen mehrerer Schichten des Mauerwerks unter dem Träger und deren Abdeckung durch eine Eisenplatte, jedoch ist diese Konstruktion bei der statischen Berechnung außer Acht zu lassen.

Die unter den Trägern angebrachten schrägen schmiedeeisernen Stangen s, Fig. 119, dienen in diesem Falle nur zur Befestigung der hohlen Gips- oder Zementkonsole, sodaß eine Berechnung derselben unnötig ist. Damit jedoch die Träger keinen Druck auf die Stange ausüben können, sind die Löcher, durch welche die Bolzen bei C gehen, in ovaler Form, sowohl im Träger als in der Stange anzuordnen.

2. Die Tragfähigkeit des Trägers wird durch eine Stange BC, welche ihn am freie» Ende B unterstützt, vergrößert, bezw. können seine Dimensionen durch diese Konstruktionen geringere werden: Fig. 121.

A€«_________

1!

Mg. 120.

9,A

st

Fig. 121.

In der Regel wird die den Fußboden bildende Kappe gegen den Frontträger gespannt und der Träger AB, Fig. 121, durch das Gewicht der Seitenbrüstnng gleichmäßig belastet und auf Biegung in Anspruch genommen. Der Punkt B ist außerdem der Angriffspunkt für eine zentrierte Last Q, welche sich zu-sammensetzt aus der Summe der durch den Eckpfeiler und den Frontträger herbeigeführten Belasiungen und demjenigen Teile der gleichförmigen Belastung des Trägers AB, welcher auf die Stütze B als Druck wirkt. Durch ein Kräfteparallelogramm kann nun diese zentrierte Last Q zerlegt werden in eine in der Richtung des Trägers AB wirkende Kraft P und in eine in der Richtung der Stange BC übergehende Kraft P¹.

Die Stütze B C wird durch die Kraft P¹ auf Druck und Zerknicken in Anspruch genommen, ist also als Strebe zu konstruieren, während die Kraft P in dem Träger AB eine Zugspannung hervorbringt. Für den Träger ist eine Verankerung im Mauerwerk erforderlich, welche am zweck-

mäßigsten wie bei a in Fig. 122 angeordnet wird. Die Strebe muß sich ans eine iw Manerwerk liegende Ankerplatte stützen, welche entweder lotrecht, wie bei c in Fig. 123, oder rechtwinklig zur Richtung der Strebe, wie bei b in Fig. 122, angeordnet werden kann. Die Platten müssen sehr sorgfältig in Zement vermauert werden.

'S;

Ni*

co

Fig. 122.

Q.

Fig. 124.

Fig. 123.

3. Der Träger soll an seinem freien Ende B durch eine nach oben gehende Zugstange verstärkt werden: Fig. 124.

Durch eine derartige Konstruktion wird in dem Träger eine Druckspannung P hervorgebracht, die ihn auch gegen Zerknicken beansprucht, und außerdem wird er durch die Seitenbrüstung auf Biegung in Anspruch genommen. Um den Druck des Trägers auf das Mauerwerk zu übertragen, ist die Anordnung einer wagerecht liegenden Auflagerplatte unter demselben erforderlich. Die Zugstange BC, durch die Kraft Pi auf Zug beansprucht, erfordert wiederum die Anordnung einer Ankerplatte, welche wie bei der zweiten Konstruktion entweder lotrecht oder rechtwinklig zur Richtung der Stange angenommen werden kann. Die sorgfältigste Vermauerung in Zement ist hier ebenfalls notwendig.

Außer diesen 3 Arten der Ausführung könnte man noch Kombinationen der ersten mit der zweiten oder dritten ausführen. Wenn dies geschehen sollte, was jedoch nicht erforderlich ist, so ist zu empfehlen, bei der Berechnung dies außer Acht zu lassen.

Berechnung der Eisenkonstruktionen des offenen Balkons Fig. 119 und 120.

Die Träger CD sollen als Freiträger ohne jede Unterstützung berechnet und konstruiert werden.

1. Der Frontträger AB.

Freitragende Länge 2,50 m.

Die Belastung desselben besteht aus dem Brüstungsmauerwerk der Frontmauer des Balkons und der ^ Stein starken in Zement gemauerten Kappe des Fußbodens, welcher der Träger als Widerlager dient. Bezeichnet man durch

P die gleichförmig verteilte Belastung durch das Frontmauerwerk,

Pi die Belastung durch die Kappe,

1 die Länge des Trägers,

li die größte Länge der Felder, in welche die Anker c die Kappe teilen, x das Verhältnis zwischen der Spannweite und Pfeilhöhe der Kappe, die sogenannte Verdrückung,

W das Widerstandsmoment des Profils, bezogen ans die horizontale Schwerachse desselben, und

Wx das Widerstandsmoment des Profils, bezogen auf dessen vertikale Schwerachse,

P, xl?

so ist die größte Spannung im Träger:

-)•

2P + P,

4WJ²

Diese Formel gibt nicht den genauen Wert der Spannung 8, sondern nur einen Näherungswert, und zwar einen etwas zu großen. Ist der Träger von Schmiedeeisen, so darf 8 den Wert von 750 nicht übersteigen.

Die Lasten sind in Kilogrammen und die Längen in Zentimetern in die Formel einzuführen.

tb²

Für einen D-Träger ist, wenn b die Breite, h die Höhe, d die Stegstärke und t die Flanschenstärke bedeutet:

W,=

während eine 13,08 cm hohe Eisenbahnschiene, welche wegen ihrer großen Flanschenbreite häufig angewendet wird, Wt — 33 besitzt.

Im obigen Falle ist das Gewicht der 0,13 m starken Vorderbrüstung des Balkons:

2.1,0.0,78.0,13.1600 = 324,48 kg.

Das Gewicht des mittelsten Balkonpfeilers beträgt:

0,25.0,25.0,78.1600 — 78 kg.

Die letztere Last wirkt als zentrierte in der Mitte des Trägers und nimmt denselben in gleichem Maße in Anspruch, als eine doppelt so große gleichmäßig verteilte Last. Es ist demnach

P — 324,48 + 2.78 = 480,48 kg,

oder rd. 480 kg anzunehmen

Das Gewicht einer 4 Stein starken Kappe beträgt einschl. Verkehrs

last 485 kg pro qm, und ist deshalb:

Pi = 1,125.2,5.485 = 1364 kg.

In der obigen Formel ist, wenn die Verdrückung der Kappe = 1:16 angenommen wird, x = 16, und lx: 1 = 1: 3, sodaß, wenn eine 13,08 cm hohe Eisenbahnschiene Verwendung findet,

W = 140,4 und Wx = 33

zu setzen ist. Demnach ist die größte Spannung im Träger:

1364.16.1²

250

2.480 + 1364

16

140,4

125

- (16,52 + 18,37) =

4.33.32 125.34,89

= 545,15;

die Eisenbahnschiene genügt also vollkommen.

—>■

und

Sollte ein Träger des Profils Fig. 125 mit W = 160

1,1.8*

tb²

W> = -TS

= 23,47

11

____y

k.

angewendet werden, so wäre die größte Spannung:

1364.16. I²

250

2.480 + 1364

S 16

es würde demnach auch dieser Träger genügen. Der Horizontalschub der Kappe ist:

Pxx _ 1364.16

160

4.24.3²

Fig. 125. = 611,25;

= 2728 kg.

Die durch den Horizontalschub der Kappe in den einzelnen Ankern hervorgerufenen Spannkräfte kann man mit Hilfe der folgenden kleinen Tabelle berechnen, wobei vorausgesetzt ist, daß die Anordnung der Anker in gleichen Abständen von einander erfolgt.

Anzahl der Anker

Belastung von Anker Nr.

1.

2.

3.

4.

5,

Bemerkungen.

4h

16

4h

16

"II

11

15

^H

30

11

^H

30

4h

15

H = dem Horizontalschub der Kappe.

11

13

112

~H

56

th

11

-.^H

112

Diesener III.

Sämtliche Zwischenanker werden meist gleich stark gemacht und erhält jeder Endauker die Hälfte des Querschnittes eines Zwischenankers. Werden z. B. 5 Anker angeordnet, so berechnet man die drei Zwischenanker für eine Spannkraft von -f H und den ersten und letzten für eine solche von -f- H. Werden mehr als 5 Anker angeordnet und bedeutet n die Anzahl der gleich langen Felder, in welche die Anker den Träger teilen, so rechnet man auf jeden Zwischenanker die Belastung H: n und auf jeden Endanker eine solche von H: 2 n.

Im obigen Falle kommt nach der Tabelle auf jeden der beiden Zwischenanker ^ • 2728 — 1000,266 . . . kg. Da die Anker von Schmiedeeisen gefertigt werden, so können dieselben pro qcm mit 750 kg beansprucht werden; der erforderliche Querschnitt ist demnach:

F — 1000,266 ...: 750— 1,33 qcm, sodaß ein 1,3 cm starkes Rundeisen mit F— 1,327 qcm genügend ist.

Jeder Anker endigt jedoch vorn in einer Schraube, deren Bolzenstärke nach folgender Tabelle zu bestimmen ist.

Tabelle über die zulässige Belastung der Schraubenbolzen.

(Aus: „Ingenieurs Taschenbuch" vom Verein „Hütte".)

Nr.

Bemerkungen.

Nr.

O^GO<IOjOi^WK)H

C0_ 02 iQ -H [> 02 O CM xh tC

co 02 t-T cd"icToTcd io"od

t—< r—I i—4 CM C<1 Cd

Durchmesser des Bolzens in Millimetern.

T —

Tragkraft der Schraube des Bolzens in Kilogrammen.

H(M^^100I>C0 020

r—I H t—< T—I H r—I r—I t—I rH Cd

31,7

3295

34,9

38,1

41,3

44,4

47,6

50,8

57,1

63,5

69,8

3870

4790

5480

6485

7385

8650

10900

13900

16750

Aus der vorstehenden Tabelle ergibt sich, daß der Durchmesser des oben auf 13 mm berechneten Bolzens auf 19 mm zu vergrößern ist, da ersterer nur 430 kg Tragkraft in der Schraube hat, während er von 1000 kg beansprucht wird. Die Verstärkung braucht aber event, nur am Ende in dem Schraubengewinde erfolgen, da die Tabelle unter Berücksichtigung der durch die Drehung der Mutter hervorgerufenen Torsionsspannung aufgestellt ist.

Der erste und letzte Anker wird von einer Last beansprucht, welche — ~ - 2728 — 363,73 kg

ist, und ist demnach erforderlich:

F — 363,73 : 750 — 0,485 qcm,

sodaß ein 8 mm starkes Rundeisen mit F — 0,5024 qcm genügend ist. Man verwendet jedoch aus praktischen Gründen selten zu diesen Zwecken schwächeres Rundeisen, als mit einem Durchmesser von 10 min, dessen Schraubenbolzen also auf 12 bis 13 mm zu verstärken ist.

2. Die Freiträger CD.

Freitragende Länge 1,125 m.

Die Belastungen und deren Hebelarme in Bezug auf den gefährlichen Querschnitt D sind folgende:

Das Gewicht des Eckpfeilers —

0,25.0,25.0,95.1600 — 95 kg, am Hebelarme 112,5 cm.

Der Druck des Frontträgers AB —

0,5 - ^324 + 78 +    — 542 kg,

am Hebelarme 112,5 cm.

Das Eigengewicht des halben Frontträgers AB =

32,66 kg pro m, also —

0,5.2,75.32,66 = 44,9075 = 45 kg, am Hebelarme 112,5 cm.

Das Gewicht des an der Einmauerungsstelle bei D telegenen Balkonpfeilers, wie der Eckpfeiler — 95 kg,

am Hebelarme 12,5 cm.

Das Gewicht der Seitenbrüstung des Balkons:

0,75.0,95.0,13.1600 = 148,2 — rd. 148 kg,

75

am Hebelarme 25 + -^- — 62,5 cm.

Das größte Biegungsmoment ist demnach:

M = (95 + 542 + 45). 112,5 + 95.12,5 + 148.62,5 —

,10,5

87162,5 Kilogrammzentimeter, und folglich das erforderliche Widerstandsmoment W — 87162,5 : 750 — 116,22.

Fig. 126.

Eine gut erhaltene Eisenbahnschiene von 13,08 cm Höhe mit W —140,4 genügt also, jedoch ist in diesem Falle ein Träger mit dem Profil Fig. 126 und W = 129 vorzuziehen.

Die Kraft y, welche die beiden Anker z auf Zug in Anspruch nimmt, wird dadurch bestimmt, daß man von dem Widerstände, der sich

6*

einem Abheben des Trägers infolge seiner Einmauerung entgegenstellt, absieht, und dieselbe aus der Momenten-Gleichung

y.45 = 87162,5

berechnet; hieraus ist

y = 87162,5 : 45 — 1936,94 kg,

sodaß jeder Anker mit

1936,94: 2 — 969 kg

gezogen wird.

Es sind demnach dieselben Dimensionen anzuwenden, wie für die Zwischeuanker zur Aufnahme des Horizontalschubs der Kappe, d. h. für die Bolzenstärke 13 mm. und für die Schraube 19 mm bei Verwendung von Ruudeiseu.

Die Ankerplatte erhält die Dimensionen von 12 cm und 24 cm bei 2 cm Stärke und beträgt der durch dieselbe auf das Mauerwerk ausgeübte Druck:

6,7 kg pro qcm;

1937 12.24

derselbe ist also kleiner als 7 kg.

Wie viel Mauerwerk auf der Ankerplatte ruhen muß, damit die angestrebte Verankerung wirklich bestehe, ist nicht genau zu berechnen. Über-

§f

Fig. 127.

Mögliche Berechnungen und die Erfahrung zeigen aber, daß man diese Konstruktion mit ausreichender Sicherheit selbst in dem obersten, 0,38 m in seinen Frontwänden starken Geschoß eines Gebäudes anwenden darf, unter der Voraussetzung, daß die Träger in einem Pfeiler und nicht in einem Fenster oder der Tür zu liegen kommen.

Die Verankerung der Kappe des Balkon-Fußbodens, wie sie in Fig. 119 und 120 dargestellt ist, ist für die mittleren Anker nicht anwendbar, wenn sie in der Tür des Balkons liegen. Können die Anker nun nicht mit den Balken verbunden werden, so ist die Anordnung einer vor den Balkenköpfen liegenden 13,08 cm hohen Eisenbahnschiene, wie Fig. 127, zu empfehlen. —

Zur Berechnung des unter 2. aufgestellten Konstruktionsprinzips setze man an Stelle des Freiträgers C D den in Fig. 122 dargestellten durch eine Strebe armierten Träger. Die Seitenbrüstung des Balkons ergibt für den Träger eine gleichförmige Belastung von 148 kg — nach der vorigen Berechnung —, welche mit Rücksicht auf das Gewicht der Eisenkonstruktion aus 200 kg abgerundet wird.

Das Biegungsmoment, welches der bei D liegende Balkonpfeiler hervorbringt, kann um so mehr unberücksichtigt bleiben, wenn die Auskragung unter dem Träger beibehalten wird, sodaß sich die Last des Pfeilers direkt auf diese überträgt.

Das größte Biegungsmoment ist:

M = W.S,

und da

88

nach Nr. IX der Formeltafel, und

PI

so ist auch und die Biegungsspannung aus der Formel I, oder

W.S = P1:8, , 200.112,5 _

2812,5 kgcm,

Si = M : W

8, — 2812,5 : W.

In dem Punkte C greift eine zentrierte Last Q an, bestehend ans: dem Gewicht des Eckpfeilers — der halben Belastung des Frontträgers — . 542 „ dem halben Eigengewicht des Frontträgers —    45    „

der halben Belastung von 0 D — 200 : 2 — 100 „

Zusammen Q — 782 kg.

Diese Last erzeugt in dem Träger CD eine Zugspannung

782.112,5

. .    95 kg

Q.l

iT +

60

1466,25 kg,

wenn l— 112,5 cm die freie Länge und Ii — 60 cm die Höhe bezeichnet, und ist daher, wenn F der Flächeninhalt des Trägerquerschnittes ist, die Zugspannung

S₂ = 1466,25 : F.

Die Gesamtspannung des Trägers C D ist nun

2812,5    1466,25

W ⁺ F

<■----°-

S = S! + S₂ =

Wird das Profil Fig. 128 mit W = 35 unb F =

0,5 . (10 — 2.0,7) + 2.5.0,7 — 11,3 qcm verwendet, so ergibt sich eine Spannung:

2812,5 35    ⁺

1466,25

—±

F'g. 128.

80,36 + 129,76 = 210,12,

die also bedeutend kleiner ist als 750, sodaß der Träger weit mehr als genügende Sicherheit bietet.

Der durch die Last Q in der Strebe erzeugte Druck ist:

782.127,5

Pi =

60

= 1661,75 —rd. 1662 kg;

folglich ist, da die Strebe von Schmiedeeisen gefertigt wird, unter Voraussetzung loser Enden, das erforderliche Trägheitsmoment

1662.127,52 4000000

Ist der Querschnitt der Stange quadratisch mit der Seite b, so ist T = b⁴:12 — Nr. II der Querschnittstafel —,

— 7,004.

oder

woraus

und

7,004 —b⁴:12, b⁴ — 12.7,004 — 84,05,

b —^84,05 — 3,03 cm;

mit Rücksicht auf die Belastung der Strebe durch die Gipskonsole ist aber die quadratische Querschnittsseite der Stange — 3,5 cm anzunehmen.

Der Fuß der Strebe stützt sich auf eine Platte b, welche bei 1,5 cm Stärke mindestens eine Auflagerfläche von

1662 : 7 — 238 qcm

erhalten muß; eine Platte von 15 und 16 cm wird also genügen.

Erhält die Platte eine vertikale Lage, wie bei e in Fig. 123, so ist der Druck auf dieselbe gleich dem Zuge im Träger — 1466,25; die Auflagerfläche muß also mindestens — 1466,25: 7 — 210 qcm sein und wird eine Platte von 14 cm Breite und 15 cm Länge bei 1,5 cm Stärke ausreichen.

Die zur Verankerung des Trägers dienende Platte a müßte mindestens dieselben Abmessungen erhalten, da sie ebenfalls einen Druck von 1466,25 kg zu übertragen hat. Man nimmt diese Platte jedoch etwas größer, hier etwa 20 cm im Quadrat. Der durch diese Platte gehende Schraubenbolzen erhält nach der Tabelle eine Stärke von 2,22 cm, bei Verwendung von Rundeisen.

Die Berechnung der Bolzen, welche zur Verbindung von Strebe und Träger, sowie von Träger und Anker dienen, geschieht in folgender Weise.

Ai

!

Fig. ^129.

Um die Festigkeit eines Niet- oder Schraubenbolzens bestimmen zu können, hat man zunächst die Anzahl der aus Schubfestigkeit beanspruchten Querschnitte festzustellen. Bei der in Fig. 129 dargestellten Überblattungs-

Fig. 130.

nietung ist nur eine Trennungsstäche x y vorhanden, während bei der zweischnittigen Nietung, Fig. 130, jeder Bolzen mit 2 Querschnitten Widerstand leisten muß. Es werden hiernach einschnittige, zweischnittige und mehrschnittige Bolzen und Niete unterschieden.

Bezeichnet

P die von der Verbindung zu übertragende Last in Kilogrammen, n die Anzahl der Bolzen,

F den Querschnitt eines Bolzens in Quadratzentimetern,

so erhält man:

für den einschnittigen Bolzen F — P:525 n,

F — P : 1050 d,

F =: P : n₁ 525 n.

„    „ zweischnittigen    „

„    „ ni-schnittigen    „

— 1,396 — 1,4 qcm,

Die Verbindung der Strebe mit dem Träger des obigen Balkons wird durch zwei einschnittige Schraubenbolzen hergestellt, welche zusammen die Kraft 1466,25 kg, d. h. den den Träger in Anspruch nehmenden Zug, übertragen müssen. Da hier n — 2, so wird der erforderliche Querschnitt 1466,25

525.2

+ 1,4 = 1,95+ 1,40 — 3,35 cm,

sodaß 2 Bolzen von 1,4 cm Durchmesser, mit 1,6 cm starker Schraube, der jeder 1,54 qcm Flächeninhalt des Querschnittes hat, genügen. Dieselbe Stärke erhalten die beiden Bolzen, welche das Flacheisen mit dem Träger verbinden. Dieses Flacheisen, welches den Zug auf die Ankerplatte a überträgt, erfordert bei 1 cm Stärke, mit Rücksicht darauf, daß es durch die Bolzen geschwächt wird, eine Breite von 1466,25 1.750

wofür aus praktischen Gründen 5 cm genommen wird.

Der Abstand a der Bolzenmitte vom Ende des Eisens in Fig. 129 und 130 muß, damit das letztere nicht ausreißen kann, mindestens

a — F: 5

betragen, wenn F den Inhalt des Bolzenquerschnittes und b die Stärke des schwächsten der miteinander zu verbindenden Eisen bedeutet.

In obigem Falle ist das obere Ende der Strebe, sowie die untere Flansche des Trägers zum Zwecke der Aufnahme der Bolzen entsprechend breiter zu machen. Die Flanschenstärke wird hierdurch von 0,7 cm auf circa 0,4 cm gebracht und wird deshalb

a — 1,54 :0,4 = 3,85 cm oder rd. 4 cm

genommen werden.

Werden auf jeder Seite des Steges 2 Bolzen angeordnet, wie in Fig. 131, so ist der Abstand c der Bolzenmitten von einander mindestens

c — a ~|- (1

anzunehmen, unter d die Stärke der Bolzen verstanden.

Die Verbindung der Strebe mit dem Träger kann auch durch einen Bolzen hergestellt werden- Derselbe wird dann in der Mitte der Flansche angeordnet, nachdem in den Steg ein entsprechender Ausschnitt gemacht ist; Fig. 132. Der erforderliche Querschnitt ist in diesem Falle F — 2.1,4 — 2,80 qcm,

und genügt deshalb ein Bolzen von 1,9 cm Durchmesser mit F — 2,83 qcm. Zur Verbindung der Strebe mit der Platte b ist ein Bolzen von 1,4 cm Durchmesser vollkommen ausreichend, da derselbe keiner Kraft außer der Torsionskraft der Schraube zu widerstehen hat.

Is

fr

Fig. 131.

giß. 132.

Zur Verbindung der Strebe mit der Platte e soll ebenfalls nur ein Bolzen dienen. Die Kraft Px — 1662 kg zerlegt sich in 2 Komponenten N und P₂, von denen die letztere jedenfalls die kleinere ist, wenn die Neigung der Strebe, d. h. der 2$. a, Fig. 123, kleiner als 45° ist; und dies ist fast stets der Fall. Nimmt man

P₂ — 1662 -2 -831 kg an, so ist für den Bolzen ein Querschnitt von

831 :525 — 1,6 cm

mit 1,8 cm starker Schraube erforderlich. In der Regel nimmt man auch hier 2 Bolzen von derselben Stärke, wie die zur Verbindung von Träger und Strebe berechneten.

Die Berechnung der unter 3. beschriebenen Konstruktion wird bei Gelegenheit der Berechnung eines Erkers erfolgen.

Berechnung des in den Figuren 133, 134, 135 und 136 dargestellten Erkers.

Die Fig. 136 zeigt den Durchschnitt eines Gebäudes, in dessen I. Obergeschoß ein Erker mit darüber befindlichem offenen Balkon angeordnet ist.

Die ganze Last des Erkers einschl. Balkon soll von den im I. Obergeschoß herausgestreckten Trägern aufgenommen werden und zwar ist das unter 3. besprochene System anzuwenden, d. h. das freie Ende des Trägers wird durch eine Zugstange armiert.

Fig. 133 zeigt einen Schnitt durch den ganzen Vorbau und die gesamte Eisenkonstruktion; Fig. 134 und 135 die Grundrisse des Balkons bezw. des Erkers.

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Fig. 136.

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Fig. 133.

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Fig. 134. Grundriß des Balkons.

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Fig. 135. Grundriß des Erkers.

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1,19.

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1. Berechnung der Frontträger AB unter dem Balkon.

Freitragende Länge 1,55 m.

Durch die Träger A B, Fig. 134, wird das Widerlager der -j- Stein stark in Zement gemauerten, die Decke des Erkers und den Fußboden des Balkons bildenden Kappe hergestellt; außerdem sind sie bestimmt, das Gewicht des Frontmauerwerks des Balkons, sowie das des mittels der Bolzen an sie angehängten Architravs aufzunehmen. Die größte Spannung in den Trägern ist nach der oben gegebenen Formel zu berechnen. In diese ist, unter der Voraussetzung, daß die Träger über dem Pfeiler J gestoßen sind, 1 — 1,55 in und li = 1,30 m zu setzen, d. h. die Kappe soll durch 2 zu beiden Seiten des Mittelpfeilers und des Gurtbogens und durch 2 an den Enden liegende Zugstangen c verankert werden.

Das Gewicht der 0,13 m starken Brüstung ist für den Träger AJ — 1,3.0,78.0,13.1600 = 210,912 = rb. . 211 kg;

das Gewicht des Architravs beträgt

1,3.0,67.0,25.1600 = 348,4 = rd. . . 349 „

zusammen — 560 kg.

Es ist also P == 560 kg.

Die halbe \ Stein starke Kappe wiegt:

1,55.1,125.485 — 846 kg.

Es ist also Pi — 846 kg.

Verwendet werden 2 Eisenbahnschienen von je 3,35 m Länge und 10,46 cm Höhe, deren jede ein Widerstandsmoment von

W — 90 und Wi = 26

besitzt, und ist demnach bei ^ Verdrückung der Kappe:

155

16

•(

2.560 + 846

846.16.130²

2.90

155

16 -(10,92 + 45,77)= lß

4.2.26.1552 155.56,69

= 550,

d. h. die beiden Schienen bieten ausreichende Sicherheit, da hier 8 kleiner als 750 ist.

Der Horizontalschub der ganzen Kappe beträgt:

Pix

2.846.16

= 3384 kg.

Es ist also jeder der beiden mittleren Anker mit 3384:2 = 1692 kg gezogen, und beansprucht einen Querschnitt

F = 1692 : 750 = 2,26 qcm.

Ein 1,7 cm starkes Rundeisen mit F= 2,27 qcm genügt also; dasselbe endigt in einem Schraubenbolzen von 2,4 cm Durchmesser.

Jeder der an der Seitenbrüstung liegenden Anker ist durch eine Last von 1692 : 2 = 846 kg

in Anspruch genommen; ihr Minimalquerschnitt ist demnach F = 846: 750 = 1,13 qcm,

und genügen deshalb 1,2 cm starke Rnndeisen mit F = 1,13 qcm, die in 1,7 cm starken Schrauben endigen.

In der Frontmauer liegt parallel zu den Trägern A B eine 13,08 cm hohe Eisenbahnschiene, welche das zweite Widerlager der Kappe bildet und die Anker derselben aufnimmt. Dieselbe ist 3,70 m lang.

2. Die Träger C D.

Freitragende Länge 3,10 m.

Die Träger CD sind gleichförmig belastet durch die 0,13 m starke Vorderbrüstung mit

2.1,3.0,78.0,13.1600 = 421,8 = rd. 422 kg.

Die Belastung, welche durch den Pfeiler J übertragen wird, setzt sich in folgender Weise zusammen:

Das Gewicht des Pfeilers J =

(0,78 + 2,55 + 0,67 + 0,78). 0,25.0,25.1600 = . 478 kg.

Der Druck der Träger AJ und JB =

560

846

. 1406 „

Die Hälfte des Eigengewichts dieser Träger = 2.1,55.26,10 = 80,91 =rd. . . .    .    .    .

81 „

zusammen = 1965 kg,

wofür eine gleichmäßig über den Träger verteilte Last von

2.1965 = 3930 kg

gesetzt werden kann. Es ist daher in der betreffenden Formel P = 422 + 3930 = 4352 kg, oder mit Rücksicht auf das Eigengewicht der Träger,

P — 4500 kg

zu setzen.

Der Fußboden des Erkers wird durch eine y Stein starke Kappe ge-gebildet, deren Gewicht—750 kg pro qm ist; es ist daher

P, — 3,10.1,125.750 — 2615,625 = rd. 2626 kg.

Die Verankerung der Kappe wird wie in Fig. 120 aus-4> geführt, d. h. es ist 1, — } 1.

|    Verwendet werden 2 Träger des Profils, Fig. 137,

1,2.10²

deren jeder ein W — 270 und ein Wt —

Mg. 137.

mit W = 281.

Ist die Verdrückung der Kappe — so wird 2.4500.+ 2616

— 40

besitzt und 3,10 m Länge hat, oder Normal-Profil Nr. 22

310

2.270

310.(21,50 + 12,70) _ 310.34,2

16

2616.14 \ 4.2.40 .9)

16

16

663,75.

Da nun 8 kleiner als 750 ist, so genügen die angeführten Träger. Der Horizontalschub der Kappe beträgt:

4578 kg,

Pi n _    2616-14

sodaß der Zug in den beiden mittleren Ankern —

11

3Q • 4578 = 1678,6 kg

ist, und der in den Seitenankern —

~. 4578 = 610,4 kg.

Durch Vergleichung mit den für die obere Kappe berechneten Ankern ergibt sich, daß hier Anker von derselben Stärke verwendet werden können.

3. Die armierten Träger CE und DF.

Freitragende Länge 1,125 m.

Die über jeden Träger gleichförmig verteilte Belastung durch die Seitenbrüstung beträgt:

0,78.0,75.0,13.1600 — 121,68 — rd. 122 kg, wofür mit Rücksicht auf das eigene Gewicht der Eisenkonstruktiou, 200 kg zu setzen sind. Die Last der Pfeiler über den Auskragungen bei E und F wird durch die Auskragungen aufgenommen.

Die in C bezw. in D angreifende Last setzt sich folgendermaßen

zusammen:

Das Gewicht des Eckpfeilers —

(0,78 + 2,55 + 0,67 + 0,78) . 0,25.0,25.1600 — . 478,00 kg.

Die halbe Belastung der Träger A J oder JB =

0,5.560 4- 0,25.846 =..........

Die Hälfte des Eigengewichts der Träger AJoder JB =

(2.1,55.26,10): 2—...........

Die durch den Pfeiler C oder D übertragene Last:

1.    die Hälfte des Seiten-Architravs —

0,5.0,75.0,67.0,25.1600=........

2.    die Hälfte der Seitenbrüstung des Balkons =

0,5.0,75.0,78.0,13.1600=........

Die halbe Belastung der Träger C D =

. ^ 422 + 1965 +

491,50 „

40,46 „

100,50 „

60,84 „

0,5

. 1847,50 „

Die Hälfte des Eigengewichts der Träger CD mit 2.3,10.31,9 _

31,9 kg pro m =

98,89 „

Die Hälfte der Belastung der Träger CE oder DE = 200:2=...............

oder rd. 3220 kg= Q.

100,00 „

zusammen = 3217,69 kg,

Das Schema der Armierung stellt Fig.

,-r..

138 dar.

Der Druck in den Trägern CE und DF beträgt, da Q : P, = 0,8 : 1,0:

3220.1,0

Pi

'-X

'4

p,=

0,8

4025 kg;

FF

OB

das biegende Moment desselben ist 200.112,5

(------------

''i ''Ap

= 2812,5 kgcm.

Fig. 138.

Das Profil Fig. 139 mit W = 36 und F = 11,3 qcm wird genügen, denn für dasselbe ist die zulässige Spannung Ä + Zi- 2812,5    4025 _

W ⁺ 1' —    36    '    11,3    ' ¹

also kleiner als 750; desgleichen kann Normal-Profil Nr. 11 mit W = 43,8 Verwendung finden.

Fig. 139.

Das erforderliche kleinste Trägheitsmoment ist 4025.100.100 4000000

Für das vorstehende Profil ist ferner das auf die vertikale Schwerachse bezogene Trägheitsmoment

Ti - ((10 - 8.6) . 53 + (5 - 4,5)3.8.6) = 14,67,

= 10,06.

sodaß das angewendete Profil auch die erforderliche Sicherheit gegen Zerknicken gibt. Die Herstellung einer soliden Verbindung zwischen den Front-trägern CD und den Trägern CE und DF wird jedoch ein stärkeres Profil als das berechnete wünschenswert machen; derselbe Grund ist für die Verbindung der Hängeeisen mit den Trägern CE und DF maßgebend, um für diese das Profil Fig. 140 zu verwenden, welches W — 239 hat. Die Träger CE und DF erhalten also das Profil Fig. 140 oder Normalprofil Nr. 20 mit W — 216 und jeder eine Länge von 1,40 m.

Der Druck der Träger CE und DF wird, außer durch die unter ihnen auf den Auskragungen liegenden Auflagerplatten, auch durch die in der Frontmauer liegende, der Fußbodenkappe zum Widerlager dienende, 13,08 cm hohe und 3,70 m lange Eisenbahnschiene auf das Mauerwerk übertragen.

eisen ist P —

Fig. 140.

Der Zug in dem Hänge-

3220.1,28

ja

0—I

X/

Fig. 141.

5152

525.2

— 5152 kg.

Die Verbindung von Hängeeisen und Träger wird durch 2 einschnittige Niete oder Bolzen bewerkstelligt; Fig. 141. querschnitt jedes Bolzens ist:

— 4,9 qcm.

0,8

Der Minimal-

Zwei Niete je 2,5 cm stark mit F — 4,9 qcm genügen also.

Der Abstand der Nietenmitte vom Ende beträgt, da die Stegstärke des Trägers — 0,8 cm ist,

a = F : b = 4,9 :0,8 = 6,15 cm.

Der Abstand der Nietenmitten von einander ist

6 — a fi- ä — 6,15 + 2,50 = 8,63 cm.

Der Minimalquerschnitt des Hängeeisens ergibt sich aus:

F — 5152 : 750 — 6,87 — 6,9 qcm.

Bei einer Stärke des Eisens von 1,2 cm ergibt sich mit Rücksicht auf die Schwächung durch die Löcher für die Nietbolzen die erforderliche Breite —

+ 2,5 — 5,75 + 2,5 = 8,25 cm,

6,9

1,2

wofür 9 cm genommen werden können.

Das Hängeeisen endigt in einem 4 cm starken Schraubenbolzen, dessen Mutter auf einer starken möglichst großen Platte ruht. Diese muß den Druck von 5125 kg mindestens auf eine Fläche von

5125:7 — 732,14 qcm

verteilen, weshalb sie, bei 2 cm Stärke, 26 cm Breite und 29 cm Länge erhält. Außerdem ist jedoch sehr zu empfehlen, der Platte ein sorgfältig aus guten Steinen und Zement hergestelltes Auflager zu geben.

Die Schraubeubolzen, welche die Träger CB mit den Trägern CE und DF verbinde», haben die Reaktion C der Stütze zu übertragen.

Diese ist nach der obigen Berechnung —

1847,50 + 98,89 = 1946,39 — 1947 kg.

Gelangen zwei Bolzen zur Verwendung, so ist der Minimalquerschnitt eines jeden:

1947

525.2

— 1,85 qcm.

Bolzen von 1,6 cm Stärke mit F = 2,009 qcm genügen.

In Fig. 141 ist ein zweimal gekröpftes 1,2 cm starkes Hilfsblech, welches mittels zweier 1,6 cm starker Bolzen mit den Trägern CE und DF verbunden ist, angeordnet; an das Hilfsblech sind die Träger CD befestigt. Die hierzu dienenden Bolzen erhalten, anstatt der vorhin berechneten 1,6 cm, eine Stärke von 2,0 cm, da es vorkommen kann, daß dieselben ungleich beansprucht werden.

Der Minimalabstand der Bolzenmitten vom Blechrande ist — 1,85 : 1,2 — 1,54 cm.

Hier ist at = 3,0 cm und ex — 6,0 cm angenommen.

4. Die über der Öffnung GH liegenden Träger.

Freitragende Länge 2,85 m.

Die beiden Träger GH sind verschieden belastet, da der nach innen liegende, außer dem entsprechenden Teile des Frontmauerwerks, noch die Balkenlage des I. Obergeschosses zu tragen hat, welche auf ihm allein ruht. Die Belastung durch das Frontmauerwerk setzt sich wie folgt zusammen: Das Eigengewicht des Frontmauerwerks; dasselbe beträgt, wenn in der Mitte über der Öffnung GH in deni III. Obergeschoß ein 1,30 m breites und 2,20 m hohes Fenster liegt:

(2,85 . (0,38 . (4,0 + 3,8) + 0,25.1,5) —

(1,4.3,3 -f 1,3.2,2). 0,38). 1600 — . 10678 kg.

Seite: 10678 kg.

NB. Das Gewicht der Fensteranschläge ist hier vernachlässigt, dagegen sind die Fensterbrüstungen voll gerechnet. In dieser Art_

verfährt man gewöhnlich.

Der betreffende Teil der beiden oberen Balkenlagen:

2.0,5.5,7.2,85.500 —......

Der betreffende Teil des Dachdruckes:

0,5.6,08.2,85.250— .... . . .

Transport: 10678 kg.

8122,5 „

2166

zusammen — 21966,5 kg,

oder rd. 21970 kg.

Die hiervon auf jeden der beiden Träger entfallende Last ist — 21970: 2 — 10985 oder rd. 11000 kg, wovon auf jede Seite, vom Stützpunkt ab,

11000 : 2 — 5500 kg

kommen, die sich auf eine Länge von 0,725 m gleichmäßig verteilen.

Die Belastung durch die Balkendecke des I. Obergeschosses ist —

0,5.5,57.2,85.500 — 3968,625 oder rd. 3970 kg.

Fig. 142 zeigt das Schema der Angriffsweise des inneren Trägers. Der Last 3970 entspricht Nr. IX der Formeltafel und ist demnach

3970.285

W,=

8.750

= 189.

Den Lasten 5500 entspricht der Spezialfall der Nr. XVIII der Formeltafel, wo a = at und P = Pi, und ist demnach

5500.72,5

W, =

2.750

= 266.

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Fig. 142.

Fig- 143.

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Fig. 144.

Für den inneren Träger ist also das Gesamt - Widerstandsmoment W = W, + W₂ = 189 4- 266 — 455; dagegen ist dasjenige für den äußeren Träger

W = W₂ = 266.

Verwendet werden die Trägerprofile Fig. 143 und 144, von denen das erstere W — 480 und das zweite W — 269 hat, oder die Normal-profile Nr. 28 und 22 mit W — 547 und 281.

Der Druck auf jedes Auflager ist —

0,5.3970 + 5500 — 7485 kg, mithin die erforderliche Auflagerfläche —

7485 : 7 — 1069,3 qcm,

bei Ausführung der Pfeiler in gewöhnlichem Mauerwerk. Die Auflagerplatten erhalten bei 2 cm Stärke eine Länge von 51 cm und eine Breite von 21 cm. Würden die Träger mit guten Steinen in Zement untermauert, so genügt eine Auflagerfläche von

7485:11 — 681 qcm,

fodaß bei gleicher Stärke und Länge eine Breite der Platten von 14 cm ausreichend wäre. Im ersten Falle werden beide Träger 3,27 m lang, im zweiten Falle 3,13 m lang.

//

"V

Fig- 145.

Ist die Grundrißform des Balkons oder Erkers kein Rechteck, sondern ein I Trapez, wie Fig. 145, so läßt sich der 1 Horizontalschub der Fußbodenkappe nicht mehr in so einfacher Weise, auch selbst nicht näherungsweise, bestimmen, als dies beim Rechteck möglich war.

Es empfiehlt sich daher, auch hier für die Berechnung des Frontträgers die oben mitgeteilte Formel anzuwenden, zumal die so erzielten Resultate etwas zu groß sind und wegen der Geringfügigkeit des Gegenstandes nicht wohl von einer Materialverschwendung gesprochen werden kann.

2. Verstärkte Balken.

Unter verstärkten Balken versteht man diejenigen Träger, welche aus einer Vereinigung mehrerer Balken mit parallelen Längenaxen entstanden sind. Dieselben kommen in den verschiedensten Vereinigungen zur Aus-führung und können für bedeutende Belastungen Anwendung finden.

Legt man zwei Balken nebeneinander oder aufeinander, so trägt jeder für sich die Hälfte der gemeinschaftlichen Belastung. Für die Berechnung solcher Balken ergibt sich unter Voraussetzung gleichförmiger Belastung, wenn n die Anzahl der Balken, 1 die freie Länge derselben und a den Abstand der von der neutralen Achse entferntesten gezogenen Faser bedeutet:

P1    T

M = %-=n — .S = nWS.

8    a

Vereinigt man die Balken so miteinander, daß sie sich nicht einzeln, sondern gemeinschaftlich biegen müssen, und ein Verschieben in der Längenrichtung nicht eintreten kann, und außerdem ihre Endflächen eine Ebene bilden, welche durch die Biegung nicht zerstört werden kann, so darf man dieselben als einen Balken betrachten und erhöht sich in diesem Falle die Tragkraft bedeutend.

Die am meisten zur Verwendung kommenden Vereinigungen verstärkter Balken sind folgende:

Diesener in.

a. Verdübelte Ballen.

Sind 2 Balken, wie in Fig. 146, aufeinander gelegt, durch Schraubenbolzen miteinander verbunden, und ist durch Doppelkeile oder durch genau eingepaßte Hölzer, sogenannte Dübel, die Verschiebung unmöglich gemacht, so entsteht ein einfach verdübelter Balken. Ist h die Höhe jedes einzelnen

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l!

**----

4.-.

Mg. 146.

Balkens, also 2 h die Höhe des ganzen Trägers, b die Breite desselben und M das Biegungsmoment, so ist, wenn man beide Balken als einen betrachtet, also eine durchaus solide Verbindung annimmt, welche Schwächungen der Hölzer nicht herbeiführt, da

PI

M = W.S, W =

M- b • (2h)²S

b k² „

-0-' M== also für den Fall einer gleichförmig verteilten Last P und frei aufliegenden Enden ist

P] _ b (2 h)² 8 _ 4 b h² S __ 2bh²S

ein solcher Träger würde also viermal so viel als ein Balken von der Breite b und der Höhe h tragen, demnach doppelt so viel als die beiden einfach zusammengelegten Balken, aus welchen der Träger gebildet ist. Jeder einzelne Balken hat nämlich

b k²8

die beiden einzelnen Balken also zusammen

oder

2bh²S

bh²S . ,

3    ' ^ h-

die beiden einzelnen Balken würden halb so viel tragen, als wenn sie zu einem Träger in obiger Weise vereinigt werden.

Durch die Keilöffnungen sind aber Längsfasern der Balken durchschnitten, welche also auf die Tragfähigkeit des Trägers keinen Einfluß mehr haben können. Haben die Keileinschnitte eine Höhe k,, so haben

Nimmt man die Keilfasern als voll durchgehend, also als tragend an, dann ist

P1 _ (2 h)³

12 h

die abgeschnittenen Fasern, wenn dieselben als durchgehendes Holz für sich betrachtet werden, eine Tragkraft

Pi

61

und wenn man z. B. hx = -5- setzt,

O

8 b h² S 6.8²1

Stellt man die abgeschnittenen Fasern in Rechnung, so hat man das

bh³

Trägheitsmoment des verbleibenden Querschnittes — ^ - —

(2 h)ä —ht8 12

und es ergibt sich die Festigkeitsgleichung, wenn der Abstand a der am

stärksten gespannten Faser von der neutralen Achse hier — h ist, da

T    PI

W = — mtb M =

Pi

b h² S

481

88'

PI

b . (2 h)³ — ht³

12h

, PI (2h)³ — hi3 , oder -Tr —

12 h

• b 8, oder

nimmt man wieder 1b — so ist

O

8 h³ —

PI

_ 8((2h)³-h₁a)b.S. 12hl '

(i)S

8 h³

h³

12 h

•bS=

512

12 h

4095 h³ b S 4095 h²bS

512.12. h

6144

0,6665 h² b 8.

• b 8 = 0,6667 h²b S.

Hieraus folgt, daß die abgeschnittenen Fasern auf die Tragfähigkeit des Trägers einen sehr geringen Einfluß haben, wie auch nicht anders zu erwarten, da diese Fasern zunächst an der neutralen Achse liegen, und solche Fasern überhaupt auf die Tragkraft eines Balkens einen sehr geringen Einfluß auszuüben vermögen.

Beispiele.

1. Ein kieferner Balken von 20 cm Breite und 28 cm Höhe kann, wenn er an den Enden frei aufliegt und gleichförmig belastet ist, bei 8,0 m freier Länge tragen:

8 WS

8.20.28.28.60

61

6.800

1568 kg.

Legt man zwei solcher Balken auf- oder nebeneinander, so ist die Tragkraft derselben —

2 P = 2.1568 — 3136 kg.

Werden diese beiden Balken in der oben angegebenen Weise verbolzt und verkeilt, so ist die Tragfähigkeit derselben, wenn man die zerschnittenen Fasern nicht berücksichtigt:

4.8.20.28.28.60

— 4.1568 — 6272 kg.

Wird die Tiefe der Keilschnitte in jedem Balken — ™

genommen, und diese in Rechnung gezogen, dann ist 8 . ((2.28)3 _ g3). 20,60

6.800

= 4 cm an-

= 6253,71 kg,

12.28.800

oder rd. 20 kg weniger, als vorher berechnet wurde. Der Träger kann also mindestens mit 6250 kg belastet werden, aber er ist auch ohne Gefahr mit 6272 kg zu beanspruchen, da ja zehnfache Sicherheit in der Rechnung enthalten ist.

2. Ein an den Enden frei aufliegender verdübelter Träger, der aus 2 quadratischen kiefernen Hölzern von 25 cm Seite gefertigt ist und dessen Keile 6 cm hoch sind, soll eine Last von 10000 kg tragen; wie weit darf derselbe frei liegen?

Auflösung. Es ist P = 10000, b = 25, h = 25, h, = 6 und 8 = 80, demnach ist:

8. ((2 h)³ — ht³) b S

12 h P

, oder

8 . ((2.25)³ — 6³). 25.80

= 665,5 cm = 6,655 m.

, 12.25.10000 3. Ein verdübelter kieferner Träger von 9,0 m freitragender Länge,

dessen Keile eine Höhe von yy der ganzen Höhe des Trägers erhalten

sollen, soll mit 10000 kg belastet werden; welche Dimensionen muß er erhalten?

Auflösung. Es ist P = 10000, 1 = 900, 8 = 80 und hx = ~ •

O

2 h

Nimmt man b = — an, d. h. die Breite gleich dem dritten Teile der ganzen Höhe, dann ist

PI

V — 0,6665 h² b 8,

und hieraus

h²

PI

h³ =

folglich

Nun ist

10000.900.3. 8.0,6665. b.S ~ 8.0,6665.2 h . 80 10000.900.3 8.0,6665.2.80

h —^31650 — 31,631 — rd. 22 cm.

, oder

— 31648,5 — rd. 31650 cbcm;

2 h    2.32

21,3 — rd. 22 cm,

und

hi = ~rr

h 32

— — 4 cm.

Der ganze Träger erhält also eine Höhe von 64 cm, eine Breite von 22 cm und seine Keile werden 4 cm hoch.

Anmerkung. Folgende Konstruktionsregel wird vielfach zur Berechnung verdübelter Balken angewendet.

Man berechnet einen gewöhnlichen Balken, welcher den Verhältnissen entspricht und gibt dem verdübelten Träger 1,1 der gefundenen Höhe.

Zur Höhe der Keile nimmt man ~ der Trägerhöhe, macht die Entfernung der Keile voneinander gleich der Trägerhöhe und sprengt den Träger um seiner Länge.

In dem letzten Beispiele ist unter Anwendung dieser Regel, wenn 2 h.

b = — gesetzt wird und h die Höhe eines vollen Balkens bezeichnet,

PI bh² 2 h. h²

W —

88 6

3.6

, oder

PI h³ .

8S ⁼ T' "der

10000.900.9

— h³, oder h³ — 126562,5 — rd. 126570,

8.80

und demnach

h — ^/l 26570 —50,208 cm —rd. 50 cm für die Höhe des vollen Balkens, und demnach

50.1,1 — 55 cm

für die Höhe des verdübelten Balkens. Die Breite desselben ist

2.55

2h

36,66 — rd. 37 cm.

Die Keile erhalten eine Höhe von 55:10 — 5,5 cm und sind 55 cm circa voneinander entfernt. Die Sprengung des Balkens ist

900 : 60 — 15 cm.

Der hier berechnete Träger hat 55.37 — 2035 qcm Querschnittsfläche , der oben berechnete 64.22— 1408 qcm Querschnittsfläche; der hier berechnete ist also teurer, sein Widerstandsmoment ist aber auch größer, nämlich — 18125, während das des oben berechneten — 15020 ist.

Die hier angeführte Konstruktionsregel liefert also eine größere Stärke, aber auch eine größere Tragfähigkeit des verdübelten Trägers, als der oben berechnete.

b. Verzahnte Träger.

Die Fig. 147 zeigt die Verbindung der verzahnten Träger. Der Unterschied gegen die verdübelten Träger ist einzig und allein der, daß hier die Verbindung gegen eine Verschiebung der aufeinander liegenden Hölzer, anstatt durch Keile oder Dübel, durch der Länge nach keilförmige Einschnitte — die Zähne — hergestellt wird. Die Tiefe der Zähne beträgt ca. ^ der Trägerhöhe, ihre Länge ist in der Regel nicht größer als die Trägerhöhe. Die Entfernung der Bolzen voneinander soll in der Regel 2 Zahnlängen nicht übersteigen, jedoch ist in der Mitte der zu beiden Seiten eines Stoßes befindlichen Zähne stets in Bolzen anzuordnen; überhaupt sind die Bolzen stets in der Mitte der Zähne anzubringen. Die Sprengung ist wie beim verdübelten Träger.

Ng. 147.

Bei der Berechnung verzahnter Träger kann ein Unterschied gegen die verdübelten Träger nicht eintreten, da es gleichgültig ist, in welcher Weise die Balken miteinander verbunden werden, wenn diese Verbindung nur vollständig gegen eine Verschiebung der einzelnen Hölzer in der Längsrichtung schützt.

Bei einer Biegung der Träger wird der obere Balken einer Druckwirkung ausgesetzt, es kann also die Tragfähigkeit der Träger nicht viel beeinträchtigen, wenn der obere Balken nicht in einer Länge durchgeht, sondern gestoßen wird. In dem unteren Balken, der bei der Biegung einer Zugwirkung ausgesetzt wird, darf ein Stoß der Hölzer nicht angeordnet werden, ohne daß eine solche Verbindung hergestellt wird, welche vollständig imstande ist, die Zugwirkung aufzunehmen, was jedoch sehr schwierig ist. Man läßt deshalb verzahnte oder verdübelte Träger in der

Müssen längere verzahnte oder verdübelte Träger gefertigt werden, so ordnet man besser nicht zwei, sondern drei Hölzer übereinander an und verteilt die Stöße so, daß in keinem vertikalen Schnitte mehr als ein Stoß vorkommt und die Stöße möglichst weit voneinander entfernt sind; Fig. 148. Für die Tragkraft dürfen jedoch nur das obere und untere

Regel nur so lang anfertigen, als man das untere Holz aus einem Stück erhalten kann. Jedenfalls darf das untere Holz in der Mitte des Trägers nie gestoßen werden und ist dann das Mittelstück möglichst lang zu machen.

i:

rrrrzTTTri

Fig- 148.

Holz in Rechnung gebracht werden, während das dritte, nur die Verbindung herstellend, als nicht tragender Teil betrachtet wird, da in ihm die neutrale Achse liegt.

Alles, was hier über verzahnte Träger gesagt ist, gilt auch für die verdübelten Träger, und umgekehrt. Der schwierigeren Arbeit wegen, die sehr große Sorgfalt erfordert, zieht man den verzahnten Trägern meist die verdübelten vor.

c. Verbolzte Balken.

Die Tragfähigkeit von Trägern kann noch mehr erhöht werden, als durch verdübelte oder verzahnte Balken zu erreichen ist, wenn man die Balken so miteinander verbindet, daß sie nicht fest aufeinander liegen, sondern einen Zwischenraum zwischen sich lassen, wie in Fig- 149.

FI

\h

—WW—*

rrv MM C

ifc

!:

\h

ÜFh-s

Hi

Fig- 149.

Die beiden Langhölzer a und e sind durch die zwischengelegten, etwas eingeschnittenen oder besser eingekämmten Klötze c auseinander gehalten und durch die Schraubenbolzen d zusammengezogen und fest miteinander verbunden. Die Einkämmung hat den Vorteil, daß die durchschnittenen Fasern nicht losreißen und Risse bilden können, was bei dem einfachen Einschneiden häufig der Fall ist. Eine solche Verbindung ist

aber nur anwendbar für Träger von geringerer Höhe, denn wenn die Hölzer c zu hoch genommen werden, kann leicht ein Kippen derselben eintreten, wodurch die Haltbarkeit und die Tragkraft des Trägers gestört wird. Um die Sicherheit zu erhöhen, werden deshalb die Hölzer c, wie in Fig. 150, etwas länger gemacht und durch jedes derselben 2 Bolzen gezogen. Ein Kippen dieser Hölzer ist nicht zu befurchten, selbst wenn ihre Höhe — der 1,5 fachen der Hölzer a und e wird, während sie bei der Konstruktion Fig. 149 höchstens nur dieser gleich sein darf.

_A_

WKBkrt;

hi\

„.'fe____

Fig. 150.

Ist die Belastung eines verbolzten Trägers gleichförmig verteilt und liegen die Enden frei auf, dann erfolgt die Berechnung desselben nach der Gleichung

PI _ (3 m² + h²). b h S

3 (h + m)

Hierin ist h gleich der Höhe der Hölzer a und e, beziehungsweise ausschl. der Höhe der Einschnitte, ni gleich dem Abstand der Schwerpunkte der in Rechnung gestellten Querschnitte der Hölzer a und e, 1 gleich der freitragenden Länge, b gleich der Breite.

Legt man die in Fig. 150 in der Seitenansicht angegebenen Bezeichnungen zu Grunde, dann kann man auch die'Formel anwenden:

Pl _ b.qP — ht3).S

Beispiele.

_____1. Werden 2 Hölzer von 32 cm Höhe und 20 cm Breite so miteinander verbunden, daß der Zwischenraum 20 cm beträgt und sind die diesen Abstand sichernden Hölzer 4 cm tief in die horizontalen Balken eingeschnitten, also 28 cm hoch, so .ist, unter Abrechnung der Einkämmungen,

h — 32 — 4 — 28 cm

und, für diese Höhe h,

+ 28 = 56 cm.

Soll der Balken 4,0 m frei liegen und ist 8 — 80, so ist die Trag. kraft des Balkens nach der ersten Formel:

8 b . (3 m² + h²). h 8 _ 8.20 . (3.56² + 28²). 28.80 1.3 . (h + m)

400.3 . (28 + 56)

36238,2-rd. 36200 kg.

Hätte man die zweite Formel benutzt, dann ist H — 84 cm und hi — 28 cm zu setzen, und es wäre:

8.b.(H³ — V).S _ 8.20.(84³- 28³). 80 _

—    6.H.1    —    6.84.400

36244,5 —rd. 36200 kg.

Berechnet man den Träger nach der zweiten Formel unter Anrrch. nung der Einkämmung, dann ist H — 84 cm und h, — 20 cm, folglich 8.20. (84³ _ 203). 80 ~    6.84.400

— 37124 —rd. 37100 kg.

Man erhält also durch die Verkämmung eine etwas erhöhte Tragfähigkeit des Trägers, berechnet ihn jedoch meist, ohne die Verkämmung in Rechnung zu ziehen.

2. Ein Träger von 8,0 m freitragender Länge soll mit 30000 kg gleichförmig belastet werden; welche Dimensionen muß er erhalten?

In diesem Falle sind in der Gleichung

(3 m² + h²). b h S 3 (h + m)

drei Unbekannte enthalten, m, h und b. Zur Berechnung ist es nötig, zwischen diesen Unbekannten ein bestimmtes Verhältnis anzunehmen. Setzt

PI

2h

man z. B. rn — 2 h und b — —, so ergibt sich mit einer Unbekannten h:

O

o h

(3.(2h)²+h²).^.h.S

PI

3. (h + 2 h)

9 V,

(12h² + h²y~.h.S

13h².2h. 8

9h

3.9

oder

PI 26 h³ S

27

woraus

h3 —

P . 1.27 8.26.8 ~ 2088'

27 PI

und

.— 3/277p. 1 h v 208.8

V:

27.30000.800 208.80 33,896 oder rd. 34 cm.

— z/38942,3077 =

Demnach ist m = 2.34 — 68 cm,

23 cm

TT“ = 22,6 =

und die ganze Trägerhöhe —

H = m + h = 68 -f 34 = 102 cm.

Werden nicht 2, sondern 3 Balken a, c und d, Fig. 151, mit« einander verbolzt, so wird die Tragkraft gegen die aus 2 Balken be« stehenden Träger nur ganz unbedeutend erhöht. Der Balken a enthält nämlich die neutrale Achse, trägt also zur Erhöhung der Tragfähigkeit wenig bei, sondern ist nur als verbindendes Glied zu betrachten. Benutzt man die im Querschnitt angegebenen Bezeichnungen, dann ergibt sich die zur Berechnung nötige Gleichung wie folgt.

bh³

₁₂ , und da

Das Trägheitsmoment eines der einzelnen Balken ist —

2 dieser Balken mit ihrer Mitte um m von der neutralen Achse entfernt sind, so ist das Trägheitsmoment des ganzen Querschnittes: b h³ -f- 8 b h m²

i'i 4

ri

u-m

Fig. 161.

Da ferner der Abstand der entferntesten gezogenen Faser von der

neutralen Achse — m -f-

~ ist, so ergibt sich für den an den Enden frei

aufliegenden gleichförmig belasteten Träger die Gleichung:

P1

b h (Ix² + 8 m²), S 2 (2 m-f-h)

Wird bei diesem Träger der mittlere Balken fortgelassen, so geht derselbe in den vorher betrachteten über und findet man dann, daß, wenn man bei beiden Trägern die Holzstärken und Zwischenräume beibehält, sich die Tragkraft beider wie 49,5:49 verhält. Träger aus 3 Balken verbolzt sind also nicht zu empfehlen, da ihre Tragkraft nur um ein sehr geringes größer ist, als die der Träger mit 2 Balken von gleichen Holzstärken und Zwischenräumen, ihre Kosten dagegen um mindestens -f höher sind, als die der letzteren.

Ist der Träger, wie in Fig. 152, aus 4 Balken zusammengesetzt, so ergibt sich zur Berechnung die Gleichung:

P1 _ 2 b h S. (h* 4- 6 m² + 6 m,²)

3 (2 ni! + h)

wenn die Balken von der Länge 1 durch die Last P gleichförmig belastet sind. Setzt man m₁ = 3 m, so erhält man:

PI _ 2b hS . (h² + 60m²)

3 . (6 m + h)

Mehr als 4 Balken verwendet man in der Regel nicht zu einem verbolzten Träger. Ist mit einem solchen die erforderliche Tragfähigkeit

ji

ii

ii

“*r~2

4--m

CT

“!i

i,

ixn im--* -'-

jr

ii®

Fig. 152.

nicht zu erreichen, so legt man 2 Träger nebeneinander und vereinigt sie meist dadurch, daß man die zwischengelegten Hölzer durch beide Träger hindurchgehen läßt, wie in Fig. 153. In einem solchen Falle können die Zwischenhölzer auch höher gemacht werden, als bei einfachen Trägern.

Tji

JL2

U-i

Fig. 153.

Die Tragfähigkeit eines solchen Trägers ist doppelt so groß, als die eines einfachen derselben Konstruktion.

Beispiele.

1. Ein verbolzter Träger soll aus 3 Hölzern von 32 cm Höhe und 20 cm Breite mit 28 cm hohen Zwischenhölzern, welche 4 cm in jeden Balken eingelassen sind, hergestellt werden; es ist also h = 28 cm, m = 56 cm und b — 20 cm. Ist ferner die freitragende Länge 1 — 4,0 m und 8 — 80, so kann der Träger belastet werden mit:

8 b h (h² + 8 m²) . 8

8.20.28. (28² + 8.56²). 80

1.2.(2m + h)

8.20.28.25872.80

400.2 . (2.56 + 28)

400.2.140

82502,4 — rd. 82500 kg.

2. Ein Träger von 10,0 m Länge soll aus 4 übereinander liegenden Balken, wie Fig. 152, hergestellt werden. Die Belastung beträgt gleichförmig verteilt 100000 kg. Welche Dimensionen muß der Träger erhalten?

Setzt man, in Fig. 154,    = 3 m, h —in, b = h und 8 — 80,

so findet man:

X"

f₃₀

ir-

PI _ 2.h.h.S(h² + 60h²) 3. (6h + h)

, oder

90 = 'Zit /

100000.1000

2 . h.h . 80.61 h²

30 = im J0ztm

in-

woraus

3.7 h

I /i 130

h® =

100000.1000.21

8.2.80.61

26895,5,

90 =

¹ folglich

h = v/26895,5 — 29,963 — rd. 30 cm. Dann ist also:

30

Fig. 154.

b = h = 30 cm, m = h = 30 cm, iNi — 3 in — 3.30 — 90 cm.

Die Awischenhölzer werden also 30 cm hoch, während die Balken bei 4 cm Überschneidung 30 + 2.4 = 38 cm hoch werden.

3. Berechnung -er Belastungen für Balken, welche durch Säulen

unterstützt find.

1. Der Balken ist, an den Enden frei aufliegend, gleichförmig über seine ganze Länge 1 durch die Last L belastet und in der Mitte durch eine Säule gestützt.

3L

Die Belastung des halben Balkens ist demnach in den Endunterstützungen die Last

16

P —n, und in der Säule

5L

Pi=^-

Das Biegungsmoment ist also

LI 3LI _LI

32 — 32 '

M = =r-*

2. Der Balken ist an den Enden frei aufliegend und in gleichen Entfernungen, — i, zwischen den Enden durch 2 Säulen unterstützt; die

O

Belastung L ist gleichförmig über die ganze Länge 1 verteilt.

Jedes Balkenfeld von der Länge ~ ist mit — belastet; der Druck in den Endunterstützungen ist also:

3L L

P 24    8 '

und der Druck in den Säulen

9L 3L

Pl 24    8

Das Biegungsmoment ist demnach:

M = 18    24    72

für die Balkenenden von den Auflagern bis zu den Säulen. Für das mittlere, zwischen den Säulen liegende Balkenstück ergibt sich das Biegungsmoment:

LI LI LI

LI

M =

3. Der Balken ist unterstützt und belastet wie bei 2, aber die Säulen sollen so aufgestellt werden, daß der Balken überall gleiche Stärke erhält. Bezeichnet 1, die Länge der Seitenfelder, 1₂ die des Mittelfeldes zwischen den Säulen, so muß

108

L li L1₂

72

108

sein, oder

_IO8J1 _31i

72

Es ist aber

1 = 18 + 21,=

71,

~2'

und folglich

21

und

d. h. es verhält sich

1, = y oder rd. = 0,3 1, 1₂ = rd. 0,4 1,

1, : 1₂ :1, = 3 : 4 : 3, wenn der Balken überall gleiche Stärke erhalten soll. Der Druck in den Auflagern der Enden ist:

3 L1

3 L . 0,31

81

81-' obci

p _ 3.0,3 L _ 0,9 L

0,1125 L,

und der in den Säulen:

„ _5 L lj . L1₂    _ 5 L . 0,31

i~~8T ⁺

5 L . 0,3 ,    L.0,4 _ 1,5 L

81

L . 0,41.

+ 21

+ 0,2 L;

P,=

= 0,1875 L + 0,2 L = 0,3875 L.

4. Der Balken liegt an den Enden frei auf und ist in gleichen Zwischenräumen durch 3 Säulen unterstützt. Die Belastung L ist gleichförmig über die ganze Länge 1 des Balkens verteilt.

Der Druck in den Auflagern der Enden ist:

3L

P = -^r,

32

in den den Enden zunächst stehenden Stützen:

l\ = 9L

32'

und in der mittelsten Stütze:

p _ ⁸ T    L

^    32 L    4

Bezeichnet man allgemein mit n die Anzahl der Teile, in welche der Balken durch die Unterstützungen geteilt wird, so ist der Druck in den Endauflagern:

3L

P = lü'

der in den zunächst stehenden Säulen:

9L

Pl 8 n'

und in allen zwischen diesen angebrachten Unterstützungen:

P-L.

P2- —*

Soll bei dreimaliger Unterstützung des Balkens durch Säulen die Lastverteilung derartig sein, daß der Balken überall gleiche Stärke erhält, so muß zwischen den Endstützen und den ersten Säulen 0,21 und zwischen den übrigen Säulen 0,31 liegen, d. h. es verhält sich lj: 1₂:1₂: li = 2 : 3 : 3 :2.

Der Druck in den Endauflagern ist dann P — 0,075 L, derjenige in den zunächst liegenden Säulen:

Pi —0,275 L,

und der in der Mittelsäule:

P₂ = 0,3 L.

5. Der Balken liegt an den Enden frei auf, ist gleichförmig über seine ganze Länge belastet und an einer beliebigen Stelle durch eine Säule unterstützt: Fig. 155.

"M

gig. 155.

Ist L die Belastung des ganzen Balkens, so ist die Belastung der Längeneinheit des Balkens:

q = -r-

Der Druck in A ist demnach:

p _ 3 qli _ 3 L

2-

und demnach die Belastung der Strecke AB —. q I, und die der Strecke BO —ql

81 '

derjenige in 0 —

Pi

__3 q 1z _ 3 L I2

81 '

und derjenige in B —

P2 — -o¹ ' (li +12) —

5 q 1 _ 5 L1 _ 5L

81

6» Der Balken liegt an den Enden frei auf, ist gleichförmig über seine ganze Länge belastet und an 2 beliebigen Stellen durch Säulen unterstützt; Fig 156.

Ng. 156.

Bezeichnet q wieder die Belastung pro Längeneinheit, so ist der Druck in A —

p _ 3 q lt 8 '

und das Biegungsmoment für das Balkenstück AB —

qli²

Für die Unterstützung bei B erhält man:

P. = ^-Gx + i«),

und das Biegungsmoment für CB =

qla² 12

Der Druck in C ist:

p₂ = y-(la + y

und derjenige in B —

P₃

3qla

das Biegungsmoment für CD =

1-1?

Anmerkung. Ist in den Fällen 1 bis 4 der Balken nicht frei aufliegend, sondern an den Enden fest eingespannt, so ist der Druck in den Endauflagern —

L: 2 n,

und derjenige in den Säulen, wenn diese gleichmäßig verteilt sind, oder die Teile n gleiche Länge haben, —

L: n.

(L: ii = q 1: n = q 1: 2, denn q = L : 1).

Ist in Mg. 155 der Balken an seinen Enden A und C fest eingespannt, so ist der Druck in dem Punkte B —

-i-.(l₁ + l₂) = ql:2,

und in A und C —

L:2n = ql:2n = ql:2.2 = ql:4.

7. Der Balken ist an einem Ende

. ------->j fest eingespannt und an einer beliebigen

\c Stelle durch eine Säule gestützt. Die Belastung ist gleichförmig über den Balken verteilt; Fig. 157.

Es ist 1 — der Länge des Balkens, li — der Entfernung der Stütze B von der Einklemmungsstelle A, L = der Gesamtlast und q — der Belastung pro Längeneinheit, also:

\A_

Ll

Fig. 167.

so ist der Druck in B =

L — q. 1,

P = L1:21,

wenn A als Drehungspunkt angenommen wird, und daher der Druck in A =

Pi = L — P — L —

LI

2L

L'(

21,

4. Berechnung der Hängewerke.

Jede Unterstützung, welche ein Balken oder Träger durch ein Hängewerk erhalten soll, bedingt in demselben eine Säule, und man unterscheidet daher einsäulige, zweisäulige re- Hängewerke.

a. Das einsäulige Hängewerk.

(Einfacher Hängebock.)

7/

>s

ff,*.?*--}

l/

■V-

~T"

\l

T)

HZ

x .

--vi

M.

SO

IP

-Xd*!

v —

Fig. 158.

In Fig. 158 ist der Balken BC in seiner Mitte durch die Hänge-säule AD gehalten. Diese wiederum ist durch die Streben AC und AB; welche oben in sie eingesetzt sind, und unten in dem Balken BC stehen, gefaßt. Sollen mehrere Balken durch den Hängebock Unterstützung finden, so wird an der Hängesäule ein Träger D befestigt, auf den sich dann die Balken legen, oder dieser Träger wird auf den Balken BC unter oder neben die Säule AD gelegt und die Balken werden an ihn angehängt.

Bezeichnet P die Belastung des Punktes D, so ist P gleichzeitig der Zug, dem die Hängesäule ausgesetzt ist und dem sie widerstehen muß. Eine Hängesäule aus Holz muß deshalb einen tragenden Querschnitt haben, welcher

F = P : S qcm

Diesener III.

enthalten muß. Bezeichnet a die Breite der Säule in der Richtung BC und b die hierzu lotrecht stehende Stärke, so muß

a. b — F = P : S qcm

sein. Bezeichnet man ferner mit ax die Tiefe der Versatzung, event, einschließlich der Länge des Zapfens, mit welcher die Streben in die Hängesäule eingesetzt sind, so muß die Breite der Säule, anstatt der Breite a,

«1 = a -f- 2 ax

werden, da nur die durchgehenden Holzfasern tragen können.

Wird der Angriffspunkt D der Kraft P nach A verlegt, d. h. nach dem Kreuzungspunkte der Mittellinien der Säulen und der Streben, so zerlegt sich die Kraft P hier in die Komponenten Sx, welche in die Richtung der Streben AB und AC fallen und bei gleicher Neigung der Streben einander gleich sind.

Ist a der Neigungswinkel der Streben gegen den Horizont, so ist, da von der Last P nach jeder Seite hin die Hälfte in Rechnung zu ziehen ist,

Si=-

2 . sin a '

denn es ist:

sin a — -

Ph <n

-:SV

ist auch:

Setzt man A D = h, B D = C D — b, und A B = A C — 1, so

also:

sin a — h: 1,

PI

S‘ = 2h

Nimmt man nun die Belastung des Balkens BC oder der Fläche, welche durch das Hängewerk gestützt werden soll, als gleichförmig verteilt an und bezeichnet dieselbe mit L, so ist:

p=4l.

und demgemäß:

Si =

16 h

16 sin a

Man verlege nun den Angriffspunkt der Kraft 8, von A nach B und C und zerlege dieselbe in die Komponenten H und V, von denen die erstere horizontal liegt und ziehend auf den Balken BC wirkt, während V vertikal gerichtet ist und auf die Unterstützung des Hängewerks bezw. des Balkens BC drückend wirkt.

Es ist dann:

cos « — 8:8,,

folglich:

oder:

H = Si. cos a —

2 sin a

- cos a,

P. cos a

2. sin a

P

-g- - cot a,

und da cot a — b : h, so ist auch:

Pb

H = =-r-

2h

Setzt man nun noch den Wert für P ein, dann ist auch:

5 L. cot a

16

16 h

aus

ist:

Die vertikale Kraft ist:

folglich auch:

V — Sj . sin a, sina — V : S₁; Sj = P : 2 sin a

Sj. sin a = ~

v=*

oder, da P = L, auch:

Cfc| t-«

v=i •

3

Da außerdem noch die Belastung von B oder 0 —ist, so ist der

ganze in B und 0 wirkende vertikale Druck:

3B 5B 16 ' 16

An ihrem Fußende hat die Strebe die Neigung auszuweichen, also das von dieser Stelle bis zum Ende des Balkens BC stehende Holz wegzuschieben, die Länge dieses überstehenden Holzes muß also so angenommen werden, daß dasselbe der schiebenden Kraft Widerstand zu leisten imstande ist.

Bezeichnet lj die Länge dieses Balkenteils und bj die Breite desselben, so ist die der Abschiebung widerstehende Fläche:

bezeichnet S₂ den Festigkeitskoeffizienten gegen Schub, dann muß:

H^b, !, S₂,

8*

cm feiu.

bi S₂

Kaun der Balken nicht dieser berechneten Länge st entsprechend lang gemacht werden, so ist eine Sicherung der Strebe gegen Ausgleiten durch Schraubenbolzen oder Eisenbänder herbeizuführen, welche auf Biegung und Zug beansprucht sind. Berücksichtigt man die Reibung, welche zwischen dem Strebenfuß und der Versatzuug stattfindet, und setzt diese — R, so ist bei Bestimmung der Länge st anstatt H nur H — R in Rechnung zu stellen. Als Reibungskoeffizient kann 0,3 angenommen werden, und ist dann:

R — 0,3 . V.

Der über A liegende Teil der Hängesäule ist in derselben Weise zu berechnen.

Der Balken BC ist durch Eisenschienen an der Hängesäule zu befestigen, welche auf Zug in Anspruch genommen werden.

Beispiele.

1. Die Spannweite eines einfachen Hängebocks sei 6,0 m und die Belastung durch die 5,0 m breite, durch den Bock zu unterstützende Balkendecke pro qm — 400 kg; welches sind die einzelnen Kräfte, wenn a — 30« ist?

Auflösung. Die gesamte Belastung durch die Balkenlage ist: L = 400.5,0.6,0 = 12000 kg,

und folglich:

5.12000

— 7500 kg.

und hieraus:

p=fL

Ist 2$.a = 30®, so ist:

Si =

7500

7500

2 . sin 30°

2.0,5

7500 kg,

H — 7500 . cos 30° = 7500.0,866 = 6495 kg. Es ist ferner:

5.12000

16

16

3750 kg,

ar

V₁=J³~L + r⁵-L =

12000 anr- .

16

—2— — 6000 kg.

2. Ein einfaches Hängewerk ist durch eine hölzerne Balkendecke von 20000 kg Gewicht belastet, welche gleichmäßig über den Hängewerksbalken verteilt sind; die Höhe der Hängesäule sei h = 3,75 m und die freie Länge des Hiingebalkens — 12,0 m; wie stark sind die Dimensionen der Hölzer und des Hängeeisens zu machen?

p=tl

Auflösung. Die gesamte Belastung ist L = 20000 kg, demnach

5.20000

12500 kg.

Die Hängesäule wird auf absolute Festigkeit in Anspruch genommen; wird dieselbe aus Kiefernholz angefertigt, daun ist:

F = P : S = 12500:100 — 125,0 qcm.

Wird die Säule quadratisch angenommen, dann wird die Seite des Querschnittes —

Vl25 = ll,2 —12 cm.

Die Breite a der Säule muß jedoch um die Tiefe der Versatzungen, = a₁₍ der beiden Streben vergrößert werden, sodaß dieselbe

d = a + 2 ax = 12 + 2.3,5 — 19 cm

wird.

Der Querschnitt der Hängesäule ist also — 13 und 19 cm.

Das Hängeeisen, welches die Hängcsäule mit dem Häugebalken verbindet, muß einen Querschnitt erhalten:

F — 12500 : 750 = 16,6 = 17 qcm.

Es werden jedoch 2 Eisen, auf jeder Seite des Balkens eins, verwendet, welche einen Querschnitt von

17 : 2 — 8,5 qcm

erfordern. Verwendet werden Eisen von 6 cm Breite und 1,5 cm Stärke, welche F = 9 qcm haben, und durch je eine Kramme und 2 Nägel an der Hängesäule befestigt werden; besser ist es, wenn ein 2 cm starker Bolzen durch die Häugeeisen und die Säule gezogen wird. Nach unten endigen beide Eisen in 2 cm starken Schraubenbolzen, welche durch ein quer über dem Balken liegendes 8 cm breites und 1,5 cm starkes Eisen gehen, auf dem die Muttern der Bolzen aufliegen.

Die Hängestreben werden gegen Zerknicken und gegen Zerdrücken in Anspruch genommen. Die Kraft, durch welche die Strebe beansprucht wird, ist

PI 12500.7,08 2.3,75

=11800 kg.

S* = 2h

(1 — z/3,752 _|_ 6,02 = z/50,0625 = 7,075 = 7,08 m).

Die Festigkeit gegen Zerdrücken ist demnach:

F — 11800 : 60 — 196,6 — rd. 200 qcm.

Setzt man das Verhältnis der Breite b der Strebe zu ihrer Höhe h, also b : h = 5 : 7, und demnach b = 5 h: 7, folglich auch

yb,h = 200, oderh² ==?

280,

200.7

dann ist:

h = V 280 = 16,7 = 17 cm, 5.17

uO

12,14 = 13 cm.

Der Querschnitt der Hängestreben ist also = 13 und 17 cm.

Da die Breite b der Strebe nicht größer sein darf, als die Stärke b der Säule, so konnte man auch sagen:

h = 200 :13= 16 cm.

Würde man die Breite der Strebe größer machen, als die Stärke der Säule berechnet ist, so müßte man diese mindestens ebenso groß nehmen.

Die Festigkeit gegen Zerknicken ergibt sich in folgender Weise. Es ist das erforderliche Trägheitsmoment:

8i l²

110000 110000

PI²

11800.708.708

= 53772.

13

110000

Die gegen Zerdrücken genügende Strebe hatte einen Querschnitt von

jY cm; dessen kleinstes Trägheitsmoment ist jedoch nur 3112, welches also

gegen Zerknicken nicht genügt. Es muß vielmehr eine Strebe mit dem 27

Querschnitt cm verwendet werden, dessen kleinstes Trägheitsmoment

Tj = 54128 ist, und demnach genügt. Da die Breite der Strebe nunmehr 27 cm ist, so muß auch die Stärke der Säulen ebenfalls mindestens 27 cm betragen; den Querschnitt der Säule wird man demnach in diesem 20

Falle mindestens ^ cm stark annehmen müssen.

Der Hängebalkeu ist in der Mitte unterstützt, seine freitragende Länge ist demnach = 6,0 m, und seine Belastung:

2    —10000 kg.

20000

Das erforderliche Widerstandsmoment ist:

12500,

10000.600

8.60

wenn der Balken an beiden Enden frei aufliegend angenommen wird. Er kann aber hier als an beiden Enden fest eingespannt betrachtet werden, und ist dann:

8333,3.

w _ 10000.600 — 12.60

Erforderlich würde ein Balken von 30 cm Breite und 41 cm Höhe sein, mit W = 8405. Da derselbe aber nicht leicht aus einem Stück zu beschaffen ist, so ist ein verdübelter Balken von 41.1,1 = 45,1 cm Höhe und 30 cm Breite zu verwenden = 30.46 cm.

(8z — -- S gegen Druck, für Holz — 60:15 — 4).

Die Auflagerfläche des Balkens auf der Mauer ergibt sich in

folgender Weise. Der vertikale Gesamtdruck auf die Mauer ist:

3L , 5L L 16 ' 16 2

V,=

20000 1AAAA .

—— — 10000 kg.

Demnach ist bei gewöhnlicher Ausführung des Mauerwerks die erforderliche Auflagerfläche:

Die Länge des vor dem Fußende der Strebe überstehenden Balken-

teils ist:

li-

cm.

Es ist:

8, b

(denn cos a = H : Sx;    = H : cos a; cos a = b : 1,

TT 1    S h \

folglich Sx = woraus H — —b—ltnj> demnach

11800.600 1 b, S₂ 708.30.4

1,=

8. b

— 83,3 — 84 cm.

F = 10000 : 7 — 1429 qcm.

Der Balken hat eine Breite von 30 cm, er muß also mindestens

1429 : 30 — 48 cm

weit auf der Mauer aufliegen, die Mauer muß demnach eine Stärke von mindestens 2 Stein —0,51 m erhalten.

Der Überstand der Hängesäule über die Streben ist mindestens gleich dem Überstande des Balkens über die Strebe, also — 84 cm zu machen. Hätte man hierbei die Reibung in Rechnung gezogen, dann ist anstatt

nur

H — R =: H — 0,3 V

zu setzen. Es wäre dann

11800.600

708

10000,

er

0,3 V =

0,3-^- = 0,3 -

^* = 1875,

er

H — 0,3 V — 10000 — 1875 — 8125 kg;

demnach ist, unter Anrechnung der Reibung:

8125

30.4

— 67,6 = 68 cm.

b. Das zweisäulige Hängewerk.

(Doppelter Hängebock.)

In Fig. 159 ist der Hängebalken CD durch die beiden Hängesäulen AB und A,BX gestützt, welche so angenommen sind, daß CB — BBX— BXD ist. Die Hängesäulen werden durch die Streben AC und AXD, sowie durch den Spannriegel AA, gehalten. Ist L die Belastung, welche das Hängewerk aufzunehmen hat, so verteilt sich dieselbe so auf die Auflager C

und D und die Punkte B und B₁₍ daß C und D die Last Pi = — L und

9

B und Bx die Last P = — L aufzunehmen haben. Verlegt man die

Kräfte P von B und B, nach A und A₁₍ so kann man sie in die Komponenten K und H zerlegen. Von diesen geht K in die Streben und H in den Spannriegel über. Ist a der Neigungswinkel der Strebe, so ist

PI,

9L1

sin a 24 sin a ~ h 24 h ' wenn lt die Länge der Strebe und h ihre Höhe ist.

t----

/y

N C// /Q. \

/s%.

,x K-->! sNXlJ) !

11¥,

!    ' yT7

->k-

K^r.----v_

Pi

p,

Fig. 159.

Die den Spannriegel belastende Kraft, welche horizontal liegt, ist

9L . cotd PI _ 9L1

z 1T — 24 h '

_ PI _ 9L1

241g a    h 24 h

H = P. cot a =

H = Z- =

tg«

24

oder

Wird die Kraft K nun nach dem Fußende der Strebe, nach C, verlegt und in die horizontal wirkende Kraft Hx und die vertikal wirkende Kraft V zerlegt, so ist, da cos a — Hx: K,

= K . cos a —

= P. cot a,

P. cos a

sin«

V = K.siiHt=rP = ^

K = P: sin a,

P — K . sin a ist.

Ht beansprucht den Hängebalken auf Zug, die Kraft V bildet mit P, zusammen den Druck auf die Unterstützung.

Beispiele.

1. In der Dachbalkenlage eines Wohnhauses sollen 7 Balken, welche 1,0 in von Mitte zu Mitte voneinander entfernt sind, durch ein zwei-säuliges Hängewerk von 12,0 m Spannweite gestützt werden; der Raum ist 8,0 m lang und liegen die beiden Balken an den Enden desselben auf den Querwänden. Der mittelste Balken dient als Hängebalken und sind die Träger unter den Balken anzuordnen.

und

da aus

Die Säulen sollen den Hängebalken in

drei gleich große Felder teilen und die    |    j    j    !    ¹    |

Streben einen Neigungswinkel gegen den    |    j    l    j |

Horizont von 40° erhalten. Es sind die |

Dimensionen des Hängewerks, sowie diejenigen der Balken und der Träger zu berechnen, wobei die durch das Dach herbeigeführte Belastung nicht direkt das Hängewerk belastend anzunehmen ist, son-dern als mittelbar durch die Balkenlage f übertragen. Fig. 159 und 159a.

Auflösung. Die Last, welche das Hängewerk zu tragen hat, besteht aus der Balkenlage und dem auf diese übertragenen Dachdrucke.

Die Belastung durch die Balkenlage ist, da die Hälfte der beiden letzten Felder durch die Wandbalken getragen wird:

L1 =12,0.7.1,0.500= . . . 42000 kg Die Belastung durch das Dach ist ebenso L₂ — 12,0.7,0.250= .

Die Gesamtlast ist demnach: L — 63000 kg.

Von der Gesamtlast L = 63000 kg wirken auf die Stützpunkte C und D die Lasten

'401    1

t">

I—-

-t'

TI

ot

Fig. 159a.

. . 21000 „

Pl 24

3L 3.63000

24

7875 kg,

und auf die Punkte B und B, die Lasten

9.63000

9L

84

83625 kg.

Die Hängesäulen werden durch die Last P = 23625?kg in Anspruch genommen und zwar auf absolute Festigkeit. Es ist demnach ein Querschnitt der Säulen erforderlich von

F = 23625 :100 — 236,25 — 237 qcm.

Bei quadratischem Querschnitt würde nun die Säule 15,4 — 16 cm Seite erhalten müssen. Für die Breite der Säule kommt aber für die beiden Versatzungen 2.3,5 — 7 cm, und, wenn Spannriegel und Streben Zapfen mit Versatzungen erhalten sollen, 2.9—18 cm hinzu, sodaß für letzteren Fall die Breite der Hängesäulen

16 -s- 18 — 34 cm

betragen müßte, während die Stärke mit 16 cm genügend ist.

Die Hängestreben werden durch die Last K = P : sin a gegen Zerknicken und Zerdrücken in Anspruch genommen. Es ist nun

23625

23625

sin 40°

Die Länge der Strebe ist:

0,64278

36754,5 = rd. 36760 kg.

li =

4,0

cos a

cos 40°

4

0 766Ö5 — ⁵'22m ausschl. Zapfen.

Das gegen Zerknicken erforderliche Trägheitsmoment ist demnach:

K.V

36760.522.522

110000

91059.

110000

Gegen Zerdrücken ist ein Querschnitt erforderlich mit

F — K : 8 — 36760 : 60 — 612,6 — rd. 613 qcm.

Nimmt man die Breite der Streben gleich der berechneten Stärke für die Hängesäulen —16 cm an, dann muß die Höhe 39 cm werden, da

bll³:12 —91059 oder

h³ =

16 h³:12 = 91059 unb 91059.12

67544, folglich li — V67544 — rd. 42 cm

Der Querschnitt 16.42 cm hat ein Trägheitsmoment T = 98784, T] —14336, und einen Querschnitt F — 672 qcm, würde also ausreichend sein.

Können Hölzer dieses Querschnittes nicht beschafft werden, dann sind die Streben als verdübelte Träger zu konstruieren.

Die Höhe der Streben würde hier, wenn die Höhe der Dübel — 0,1 der ganzen Höhe angenommen wird,

hx — 42.1,1 — 46,2 cm — 46 cm, oder jedes Stück 16 cm breit und 23 cm hoch werden-

sein muß.

16

Soll jedoch das kleinste Trägheitsmoment in Rechnung gezogen werden, hier also Tj — 14336, dann genügt der Querschnitt von 16.42 cm nicht, sondern es würde ein solcher von

hb³:12 = 91059 oder:

296

h.18³:12 = 91059 oder: 91059.12

16³

verwendet werden müssen, dessen Höhe h sich also auf 296 cm, bei einer Breite von 16 cm, berechnet; die Breite müßte also dann erheblich größer angenommen werden. Es ist jedoch nicht notwendig, das Trägheitsmoment Tj hier in Rechnung zu ziehen, sondern es genügt die obige Berechnung.

Der Spannriegel wird auf Druck und Zerknicken in Anspruch genommen und zwar durch eine Kraft

Hierin ist

h = Vli² — 1* — y'5,22² — 4,0² = y'l 1,2484 = 3,35 m.

Die Belastung des Spannriegels ist demnach:

= 56417,8 — 56420 kg.

2.23625.400

335

Das erforderliche Trägheitsmoment ist nun:

82066.

56420.400.400

110000

Der erforderliche Querschnitt ist:

F = 56420 : 60 = 941 qcm.

Bei einer Breite von 25 cm wird der Spannriegel eine Höhe von 36 cm erhalten. Dieser Querschnitt hat

T = 85750 und F = 900 qcm.

Wenn die erforderliche Breite des Spannriegels auf 25 cm festgestellt ist, jo müssen nunmehr auch die Hängesäulen und die Hängestrebeu dieselbe Breite erhalten, ihre Stärke bezw. Höhe kann dagegen auch entsprechend verringert werden.

Tt kann hier ebenfalls unberücksichtigt bleiben.

Der Hängebalken wird auf Biegung in Anspruch genommen, auf jeder der 3 Strecken CB, BB^ und BiD, durch eine Kraft P₂ = 4,0.1,0.500 = 2000 kg;

das erforderliche Widerstandsmoment ist demnach

1666,6.

2000.400

8.69

Außerdem wird der Hängebalken auf Zug beansprucht durch die Kraft 2 Hx = 2 K . cos a = 2.36760.0,76605 — 56319,996 —

rd. 56320 kg.

Der hierfür erforderliche Querschnitt ist demnach F = 56320 : 100 — 563 qcm.

Das Widerstandsmoment von 1666,6 erfordert einen Querschnitt des Balkens von 18 cm und 24 cm — 432 qcm, welche, mit vorstehenden 563 qcm addiert, eine erforderliche Querschnittsfläche von 996 qcm ergeben. Der Balken muß demnach bei einer Breite von 25 cm eine Höhe von 40 cm erhalten — 1000 qcm Querschnitt, oder als verdübelter Balken eine Höhe von 44 cm.

Die übrigen Balken werden nur ans Biegung beansprucht und erhalten gemäß dem berechneten Widerstandsmoment von W — 1666,6 einen Querschnitt von 18 cm Breite und 24 cm Höhe. Soll nach unten eine glatte Decke hergestellt werden, so ist natürlich die Unterkante sämtlicher Balke» in eine Ebene zu legen, sodaß die Hängebalken dann mit ihrer Oberfläche höher als die übrigen Balken liegen.

Sollen die Balken gefalzt werden, dann muß die Breite um mindestens 4-5 cm vergrößert werden; man tut aber gut, dann lieber ein Profil von 21 cm Breite und 26 cm Höhe anzuwenden. Das Falzen der Balken ist jedoch nicht zu empfehlen.

Will man diesen Balken die Höhe des Hängebalkens mit 40 cm bezw 44 cm geben, daun wäre eine Breite von nur 12 cm erforderlich, welche man jedoch aus praktischen Gründen auf niindestens 15 bis 16 cm erhöhen wird. Gefalzt dürfen diese Balken aber nicht werden, sondern es müssen zur Auflage der Zwischendecke Latten an die Balken genagelt werden, was jedenfalls in allen Fällen vorzuziehen ist.

Die Träger bei B und Bi werden durch je 4 Balkenfelder von B und Bi aus gleichförmig belastet, und zwar ist diese Last:

— 4444,4,

P₃ — 4,0.4,0.500 — 8000 kg. Das erforderliche Widerstandsmoment ist also

8000.400

12.60

wenn der Träger an beiden Enden als fest eingespannt angenommen wird. Es würde in diesem Falle ein Querschnitt von 26 cm Breite und 32 cm Höhe mit W = 4437 erforderlich sein.

Werden die Träger nicht als fest eingespannt, sondern als frei aufliegend berechnet, so ist

8000.400

8,60

6666,6,

O'

sodaß dieselben als Träger von 28 cm Breite tmb 38 cm Höhe mit W — 6739 konstruiert werden müßten. Sie können jedoch ans jedem Binder gestoßen, und als verdübelte Träger von 28 cm Breite und 42 cm Höhe ausgeführt werden.

Wenn es möglich ist, wird man in solchen Fällen am besten tun, die Träger ans den Hängebalken zu legen und zwar, anstatt 2 deren 4 Stück unmittelbar an jede Seite der Hängesäulen. Für jeden einzelnen Träger ist dann

W — 6666,6 : 2 — 3333,3

erforderlich, für den ein Querschnitt von 24 cm Breite und 29 cm Höhe mit W — 3364 ausreichend wäre.

Würden die Streben noch durch einen anderen Konstrnktionsteil belastet, so ist diese Last für die Berechnung des Querschnittes wie folgt in Rechnung zu ziehen. Man zerlegt die vertikal wirkende Kraft K, in Fig. 160 in 2 Komponenten, von denen K₂ senkrecht zur Richtung der Strebe, K3 in die Richtung der Strebe fällt. Die erstere beansprucht die Strebe auf Biegung, während K₃ zu der Last K addiert werden muß, wenn die Strebe gegen Zerknicken und Zerdrücken berechnet wird. Es ist in diesem Falle natürlich auch eine Berechnung auf Biegungsfestigkeit anzustellen und der größte der sich ergebenden Querschnitte zu verwenden.

Der Überstand der Hängesäulen über die Streben bezw. über den Spannriegel ist

Kt

K,

Fig. 160.

1₃

h₂

bi St '

wenn di — der Breite der Streben ist, oder 23625

— 236,25 cm = 2,36 m.

25.4

Kann diese Länge nicht erreicht werden, dann ist eine Sicherung durch Eisenkonstruktion herzustellen.

Der Überstand des Hängebalkens über die Streben ist:

36760.400 522.25.4

Die Reibung ist bei dieser Berechnung außer Acht gelassen. Würde dieselbe aber auch in Rechnung gezogen, so wird man bei größeren Hängewerken doch selten den erforderlichen Überstand erreichen können. Man nimmt deshalb häufig die Hängesäule und den Balken etwas stärker an, als die Streben sind, wodurch die der Abscherung widerstrebenden Flächen vergrößert werden. Bei einsäuligen Hängewerken zieht man auch wohl einen Bolzen wagerecht durch beide Streben und die Hängesäule, während

1₂

K.l

li di 81

282 cm = 2,82 m.

bei zweisäuligen Hängewerken Zuganker über Strebe, Hängesäule und Spannriegel gelegt werden.

Am Fußende wird die Strebe mit dem Balken durch einen oder mehrere Bolzen oder durch eine EisenkonstrAktio» wie Fig. 161 verbunden-In beiden Fällen ist die Konstruktion lotrecht zur Richtung der Strebe anzuordnen. Die schiebende Kraft H₂ der Strebe ist hierbei in 2 Komponenten zu zerlegen, von denen die eine, Vlf senkrecht zur Richtung des

Eisens, dasselbe auf Biegung in Anspruch nimmt, während die andere, V₂, in der Richtung des Eisens liegend, dasselbe auf Zug beansprucht. Hierbei ist für die Berechnung des Eisens außer der Reibung R der durch den Überstand a d bewirkte Widerstand in Abrechnung zu bringen und zwar

LI

Fig. 161.

Rj = 4 . a d . b,

wenn b — der Breite des Balkens ist. Wird ad — 40 cm angenommen, dann ist

H₂ = Hx — R — Rx =

56320

0,3.23625 — 4.40.25 =

17072,5 = rb. 17080 kg.

Es ist ferner die Kraft

V, = H₂ . cos 40° — 17080.0,76605 = 13091,78 — rd. 13100 kg.

Demnach ist das erforderliche Widerstandsmoment 13100.100

8.750

— 218,3 = rd. 220,

oder für jede Seite des Eisens

W, —220:2 = 110.

Der erforderliche Querschnitt ist, da V₂ = H₂ . cos 50« = 17080.0,64279 = 10978,85 = rd. 10980, F = 10980: 750 = 14,64 = 15 qcm,

oder für jede Seite des Eisens:

Ft = 15 : 2 = 7,5 qcm.

Das Eisen wird eine Stärke von 3 cm und eine Breite von 15 cm erhalten, dessen W = 112,5 und dessen F = 45 qcm ist.

Jedes der Hüngeeisen erfordert:

F = Ä

23625 2 S — 2.750

= 15,7 = 16 qcm.

Verwendet werden 2 Eisen von 2 cm Stärke und 8 cm Breite, welche durch einen durch die Hängesäule gehenden Bolzen von 3 cm Stärke gehalten werden. Jedes Hängeeisen muß unten in einem Schraubenbolzen von 4,5 cm Durchmesser endigen, welche durch ein quer über

dem Träger bezw. dem Balken liegendes Eisen von 2 cm Stärke und 13 cm Breite gehen.

Die Dimensionen haben sich also wie folgt ergeben:

• 2 Hängesäulen ä 4,0 m lang, 25 cm stark und mindestens 30 bis 36 cm breit, bei einem Überstande über den Spannriegel von 3,68 in, wenn keine Eisenkonstruktion verwendet wird.

2 Hängestreben ä 5,40 m lang, 25 cm breit, 30 bis 40 cm hoch;

bei Verdübelung 34 bis 44 cm hoch.

1 Spannriegel 4,20 m lang, 25 cm breit, 36 cm hoch.

1 Hängebalken 12,75 m lang, 25 cm breit, 40 ein hoch; bei Verdübelung 44 cm hoch.

cm breit, 24 cm hoch, oder: cm breit, 26 cm hoch, oder:

15 cm breit, 40 cm hoch.

2 Träger ä 8,60 IN lang, verdübelt, 28 cm breit, 42 cm hoch, oder:

6 Balken ä ] 2,75 in lang,

4 Träger ä 8,60 m lang, 24 cm breit, 29 cm hoch.

4 Zuganker über Spannriegel, Hängesäule und Hängestrebe, von 1,5 cm starkem, 8 cm breitem Eisen und 3 Bolzen dazu mit 3 cm Durchmesser, wenn der Überstand der Säulen über den Spannriegel von 3,68 m auf ca. 60 cm verringert wird.

2 Korbeisen am Fuße der Streben 3 cm stark, 15 cm breit, auslaufend in Schraubenbolzen mit 5 ein Durchmesser; hierzu ein Quereisen 4 cm stark, 20 cm breit, da die Balken den erforderlichen Überstand über die Streben von 2,82 m nicht erhalten können.

4 Hängeeisen ä 1,0 in lang, 2 ein stark, 8 cm breit, auslaufend in 4,5 cm starke Schraubenbolzen; hierzu 2 Schraubenbolzen 3 cm stark, 30 cm lang, und 2 Quereisen unter den Unterzügen bezw. Balken 2 cm stark, 13 cm breit.

2. Auf einem nicht unterstützten Balken soll eine Wand aufgeführt werden, die als Hängewerkswand mit 2 Säulen konstruiert werden soll. Die Wand ist 5,0 in hoch, 11,25 in lang und 12 cm stark; 'bte Hängesäulen sollen von Mitte zu Mitte 3,75 m voneinander entfernt sein, die Höhe der Streben ist — 4,40 in anzunehmen. Welche Dimensionen erhalten die Verbandslücke?

Auflösung. Fig. 162. Das Gewicht der Wand ist:

L, — 5,0.11,25.0,12.1600 — 10800 kg.

Außerdem hat das Hängewerk den betreffenden Teil der Balkenlage zu tragen. Dieser ist, wenn die Balken 1,0 m voneinander entfernt sind, Lo —— 1,0.11,25.500 — 5625 kg.

Folglich ist:

L — L, + L₂ = 10800 + 5625 — 16425 kg.

Es ist ferner

9 . 16425

24

6159,3 — rb. 6160 kg,

er

Px

3.16425

24

2053,1 — rb. 2060 kg.

Die Hängesäulen erfordern einen Querschnitt F = 6160: 100 = 52 qcm,

was einer Quabratseite von 8 cm entspräche. Die Säulen sinb wegen der Stärke der Wand aber 12 cm stark zu machen; die Breite würde demnach mit 8 + 2.3,5 = 15 cm genügen; man wird aber aus praktischen Gründen mindestens 16 bis 18 cm verwenden.

sC

h=4;*t0

Ri xC/a\

V—^

Bi

; a\D

X t

K *-■

US, 75

K K-

tp

11,25

i„\

-) n

F'g- 162.

Die Hängeeisen erfordern einen Querschnitt 6160

8,21 = 9 qcm,

750

F =

für jede Seite also 9:2 = 4,5 qcm.

Es werden Eisen von 3,0 cm Breite und 1,5 cm Stärke verwendet, da geringere Dimensionen für Hängeeisen in der Regel nicht zur Auwendung kommen.

Die Hängestreben werden belastet durch:

k = 21l.

h

li = V4,4² + 3,75- = v/33,4225 = 5,78 m,

Es ist:

und demnach:

T, 6160.5,78 K

4,4

8092 kg.

Das erforderliche Trägheitsmoment ist:

8092.578.578 110000

und der erforderliche Flächeninhalt des Querschnitts F — 8092 : 60 — 135 qcm.

24577,

Verwendet werden Hölzer von 12 cm Breite und 30 cm Höhe mit T — 27000 und F = 360 qcm.

Der Spannriegel hat der Last

2 PI

2H= h

gegen Zerknicken und Zerdrücken zu widerstehen. Es ist:

6160.375.2

440

=10500,

und demnach

10500.375.375

110000

=13424,

und

F — 10500: 60 = 175 qcm.

Zur Verwendung gelangt ein Querschnitt von 12 cm Breite und 24 cm Höhe, mit T = 13824 und F = 288 qcm.

Ist der Balken, auf dem das Hängewerk steht, 25 cm breit, dann ist der Überstand des Balkens über die Strebe 8i — E

li b 8i

1₂ =

6160.3,75 -0,3.6160

25.4.4,40

Der Überstand der Säulen über die Strebe ist:

K — Rj

1₃ =

- 48,3 — 49 cm.

da Ri = 0,3 H = 0,3.10500 — 3150,

so ist:

8092 — 3150

= 1,03 m.

Da dies bei der Höhe der Wand von 5,0 m nicht möglich ist, so müssen eiserne Schienen, welche auf beiden Seiten über Streben und Spannriegel gelegt werden, die schiebende Kraft der Streben aufnehmen. Dieselben werden 1,5 cm stark und 4,0 cm breit.

Diesener III.

12.4

Es sind also folgende Dimensionen der Hölzer und Eisen erforderlich:

2 Hängesäulen ä 5,0 m lang, 12 cm stark, 16 cm breit.

4 Hängeeisen 4 0,80 m lang, 3,0 cm breit, 1,5 cm stark, mit zwei 3 cm starken, 18 cm langen Schraubenbolzen und 2 Stück 35 cm langen, 2 cm starken und 8 cm breiten Quereisen.

2 Hängestreben ä 6,0 m lang, 12 cm stark, 30 cm hoch.

1 Spannriegel 3,75 m lang, 12 cm stark, 24 cm hoch.

4 gebogene Schienen 4 1,30 m lang, 1,5 cm stark. 4,0 cm breit, mit 4 Schraubenbolzen 4 14 cm lang, 2 cm stark.

Die vorteilhafteste Stellung der Hängesänlen bei zweisäuligen Hängewerken.

Bisher ist das mittlere Feld BBi in Fig. 163, weil dasselbe als an beiden Enden fest eingespannt betrachtet werden muß, weniger in Anspruch genommen, als die beiden Seitenfelder. Das so zuviel verwendete Material in dem Balken kann nur dann erspart werden, wenn man die drei Balken-

Hu-

CA

X s*

K *V

Kj

A\

fL-JL

"k

Fig. 16B.

selber gleich stark in Anspruch nimmt. Wird gleichförmige Belastung vorausgesetzt, so ergibt sich für die Berechnung der Querschnitts-Dimensionen:

8 b h² S

Für die Seitenfelder: Lt =—^—.

10U2Q

für das Mittelfeld: L₂ = ~^

Setzt man diese Werte einander gleich, so ist:

8bh² S 12 b h² S

61

6 li

' oder

woraus

i ~ V

2

2 st — 31, oder 1 = lj.

Bezeichnet L die ganze freitragende Länge des Balkens CD, sodaß L = 2l + li,

so ist auch:

i,

und hieraus

3L

1,=

T = 0,4286 L,

wofür in der Regel 0,4 L angenommen wird.

Es muß daun:

2 1 = L — 0,4 L = 0,6 L,

also:

1 = 0,3 L

sein; d. h. es verhält sich

1: U : 1 = 3 : : 3.

Die Belastung der Punkte B und Bj wird natürlich nun auch eine andere. Auf den Seitenteilen des Balkens liegen jetzt:

Li = 0,3 L,

und auf dem mittleren Teile:

L₂ — 0,4 L.

3

Von der Belastung Lt gehen ■ ^ - nach C und D über; der Druck in ß und D ist also:

3.0,3 L

0,1125 L,

während in B und B, übergeht D, und die Hälfte der Last L₂; es

O

5 t , L₂

rLi+~r'

ist demnach:

Pr

ober:

0,3875 L.

5.0,3 L , 0,4 L

Die Zerlegung und Verteilung der Kräfte auf die einzelnen Konstruktionsteile ist genau wie oben vorzunehmen.

9*

Die vorteilhafteste Richtung der Streben, d. h. bei welcher dieselben den geringsten Querschnitt erfordern, ergibt sich, wenn der Neigungs-

ll

Fig. 164.

Winkel a der Streben = 41° 40' ist; Fig. 164. Beim ein- und zweisäuligen Hängewerk erhält man diesen Winkel, wenn man d — 0,7 1 macht.

c. Hängewerk mit 3 Hängesäulen.

Ist das Hängewerk wie in Fig. 165 angeordnet, daß also der Hängebalken AB in F, Gr und L durch die Hängesäulen CF, DGr und EL gestützt wird, welche ihrerseits wieder durch die Streben AC und BC, und AD und BD, sowie durch den Spannriegel CE gehalten

<£

Kij

Fl

JCi

Ur

V-t

t-P»

UP

—-A*-----h

Pi

Gr

pW

I ai

B Ei

___li__________T±__

lo

WP

—»l

\ XL

\

->i

Fig- 165.

werden, so verteilt sich die gleichförmig über A B ausgebreitete Belastung L, unter der Voraussetzung, daß die Längen ch — — l fjnb, derart, daß in A und B die Lasten

Po-

3L

32'

in F und L die Lasten

9L

P=32'

und in G die Last

Pi =

8 L=jL

;32

wirken, von denen P und Pi direkt in die Hängesäulen als Zugkräfte übergehen.

Wird die Kraft P», welche in G wirkt, mit ihrem Angriffspunkte nach D verlegt, so ergeben sich die beiden Komponenten K, welche in die Streben AD und DB übergehen. Ist cti der Neigungswinkel dieser Streben gegen den Horizont, so ist

Pi

K= V 2 sin ai

8 sin ai

Ist DG —lr und

AD — BD — lg

AG

21i

21

COS (ti

COS Kl

4 cos cti

2 cos Kl

so ist auch:

P,lg _ Jj]o

2h

Verlegt man nun die Kräfte K von D nach A und B, so findet man hier die Komponenten ED und V. Von diesen ist die horizontale Kraft

Pi cot K,

Hi = K . cos Ki

Pi . cos a,

L COt Ki

2 . sin Kl

Die vertikale Kraft ist:

to|y

CO f¹

Wird ferner der Angriffspunkt der Lasten P von F und L nach C und E verlegt, und ist a der Neigungswinkel der Streben AC und BE mit dem Horizont, so erhält man die horizontale Kraft

H — P . cot K,

welche in den Spannriegel C E übergeht, und die Kraft Klr welche in die Streben AC und BE übergeht; es ist dann

K,

sin«

während die vertikale Kraft

wird.

Vi = Kx sin a = P

Der vertikale Gesamtdruck, welcher in die Unterstützungen A und B übergeht, ist nun:

v₀ = p0 + v ₊ y₁ = Po + iL ₊ p=g + | + §,

oder:

CQ

v₀ = -

Soll der Hängebalken überall gleiche Neigung zum Bruche haben, so ergibt sich die Entfernung der Hängesäulen voneinander in ähnlicher Weise wie beim zweisäuligen Hängewerk. Man erhält dann:

AE — LB — 0,201, und FG = GL = 0,301,

oder es verhält sich:

und

und

Setzt man für P den oben gefundenen Wert ein, so ist

9 L

32 sin a '

Kt

9 L cot a

32

Bezeichnet 1₂ die Länge der Streben A C und BE, so ist

h

sin a - -T—i

1₂ '

cot a —

4h'

und es ergibt sich:

iz _ Pia _ 9 Ll2 Kl — h — 32 h '

und

PL

4 h 128 h

Die Kraft K, wird nun noch nach A und B verlegt und ergibt hier die horizontale Kraft

Ha — Kx cos a

P cos a

sin a

— P . cot a — H,

AF:FG:GL:LB = 2:3: 3: 2. Die hieraus sich ergebenden Belastungen sind dann:

Po — 0,075 L,

P = 0,275 L,

Pj = 0,3 L;

hiernach sind demnächst die Werte von K, K,, H, Hlf H₂, V, Vx und V₀ zu ändern.

II)

r,

Mg. 166.

Das dreisäulige Hängewerk kann auch so, wie in Fig. 166, ange-ordnet werde», daß die beiden äußeren Streben AE und BE die mittlere Säule E G stützen, während die beiden inneren Streben AC und BD, welche unmittelbar unter den äußeren liegen, und event, mit diesen verbolzt und verdübelt werden, in Gemeinschaft mit dem Spannriegel CD oder mit den Streben A CG und DG die Säulen CF und DL

unterstützen. Zuweilen werden auch die Streben CG und DG in Gemeinschaft mit dem Spannriegel CD angeordnet.

Bei jedem Hängewerk mit mehr als 2 Säulen sind diese stets verdoppelt als sogenannte Doppel- oder Klappsäulen anzuordnen, während Streben und Spannriegel ohne Schwächung auszuführen sind. Bei Berechnung des Querschnittes der Säulen darf die Doppelsäule, deren beide Hälften durch Bolzen gut miteinander zu verbinden sind, nur in der Stärke berechnet werden, welche sich nach Abzug des Ausschnittes für Streben bezw. Spanuriegel ergibt.

Vier- und mehrsäulige Hängewerke werden in ähnlicher Weise wie dreisäulige berechnet und soll hier noch die Berechnung eines fünfsäuligen Hängewerks durchgeführt werden.

d. Hängewerk mit 5 Säulen.

Die in Fig. 167 dargestellte Konstruktion besteht ans vier ineinander stehenden, zu einem System vereinigten Hängewerken. Die mittlere Hänge-

Hs

Hs E

Vo--V*

Vi+Ps

Ki,

Ei

Vo-V

Kz

Kl\P₂

Hs^HA

K ^

L Bi jZK

-> .------------—> rjyr

y Wi

K,

4L H

-~f-K

K j>₂ K

HK

/ /o?

rPi

Ft

Vj

rzTx'

,ir₂ ä VÄ₂

vy

Fig. 167.

säule EN ist durch die Streben EM und EO gehalten, welche sich mit ihren Fnßpunkten M und 0 an den Stellen in den Balken einsetzen, an welchen dieser durch die Hängesäulen DM und FO unterstützt wird. Diese letzteren werden durch die Streben AD und BF, sowie durch den Spann-

H,=

Pi.l

LI

4h

16 h

es ist also

und FZ —

b

lieget DF gehalten. In die Räume AM und OB sind dann noch einsäulige Hängewerke eingeschaltet, deren Hängesäulen CL und GB durch die Streben AC und CM, sowie OG und GB gehalten werden.

Der Balken AB wird durch die Hängesäulen in 6 gleiche Teile geteilt und ist dann, bei gleichförmig verteilter Belastung L über den ganzen Balken, der Auflagerdruck in A und B:

P =

CO GO

3 L 3L

8.6    48

Der Druck in den Punkten L und B ist:

9L 9 L 9L

Pi =

8 n    8.6    48'

und der Druck in den übrigen drei unterstützten Punkten M, N und 0 ist

L    L

P₂ =

P — L , P — 3L

16 ¹¹ r i6

Setzt man nun den Neigungswinkel der Streben AC, CM und OG, BG, sowie AD und BF — a, so ergeben sich zunächst aus Pj die Komponenten K, welche in die Streben AC, CM, OG und BG übergehen. Es ist dann:

Pi

2 sin a 32 sin a '

und da, wenn 1₂ die Länge der Strebe AC und h die Höhe der Säule CL bezeichnet, sin a = h: 1₂ ist, so ist auch:

P1J2 _ 3L1₂

K=z

2h

32 h

H — K . cos a,

Verlegt man K nach A und M und nach 0 und B, so erhält man hier die horizontale Kraft

und die vertikale Kraft

V =- K . sin a.

Setzt man für K die oben gefundenen Werte ein, so erhält man, da

cos a — xv- ist,

61₂

fl =

Px cos a 2 sin a

Pl _i_

2 6h 12h

hj

- cot a —

3 L cot a _ Pi li

32    “ — ~2 IT

1 _ 3 LI,

LI

32h    32.6h    64h '

Pi sin a

2 sin a

Pi _ 3L 2 — 32

In dem Punkte N wirkt die Kraft

P₂ = L : 6.

Diese verlegt man von N nach E und zerlegt sie dort in die Komponenten Kv Ist «! der Neigungswinkel der Streben EM und E 0,

so ist:

K,

P₂

2 sin %    12 sin

Ist ferner EN = h, und EM = E0 = 1₃, so ist

,    h,

tg «i =T-

6 h.

li

I3

hi

sin et,'

' und oder sin a, — -!-¹' •

1₃

Es ist demnach auch:

Kt =

Pol

Ll₃

2 *3 _ _

2 hi    12 hi *

Verlegt man nun die Kräfte K, nach den Punkten M und 0, so

findet man:

H, = K,. cos %

in die Richtung von AB fallend, und

Vi = Ki. sin «1

vertikal gerichtet

Es ist dann auch

Bi —

P₂ COS «1 _ P₂ cot «1 _ L cot Kl

2 sin Ki

12

P₂li

2 h,

P₂1

LI

V,=

12hi 72hi ’

_ P₂ sin K, _ P₂

2 sin Ki

2 12

Die Hängesäulen DM und FO sind nun jede durch die Kräfte V, Vi und P₂ beansprucht, und demnach der ganze in diese Säulen übergehende Zug:

Vo

= V + Vi+P₂ = § + ^ + il

33 L 11 L

96

32

Verlegt man diese Kräfte nach D und F, so erhält man horizontal in den Spannriegel DF übergehend:

11 L cot a

H₂ — V₀ cot K, —

Voll _

32

hg

Vpl    11 LI

6 ha    192hg

und, in die Streben AD und BF übergehend, die Kräfte:

11L1 32 h₂ '

k₂

Vo

11 L

Vols

sin a 32 sin u h:

wenn iz die Länge der Streben AD und BF bezeichnet.

Verlegt man jetzt K₂ nach A und B, so findet man horizontal ge

richtet :

Ha — K₂ cos a —

Vo cos a

sin a

V₀cot a

11 L cot ei    V o i i

32

Vo 1

11 L 1 6 h — 192h'

und in vertikaler Lage:

V₂ — K₂ sin a — Y₀

11 L

32

Der gesamte in die Auflager bei A bezw. B übergehende Druck beträgt nun:

3D

Va = V + V₂ + P = ₃₂

HDD _ L

32    ⁺ 16 ~~ 2

Der horizontale Hängebalken AB wird durch die Kräfte H in den mittleren Feldern auf Druck beansprucht und durch die Kräfte in den vorletzten Feldern, sowie durch H und H₃ an den Enden A und B auf Zug. Die Druckkraft in demselben ist demnach — 2 H, und die an den Enden wirkende Zugkraft—'

2 . (H + H, + Ha).

Der Spaunriegel D F wird durch die Kraft 2 H₂ auf Druck und Zerknicken in Anspruch genommen.

Beispiel.

Ein Hängewerk nach Fig. 167 hat 24,0 m Spannweite und ist mit 30000 kg gleichförmig belastet. Die Höhe der Säulen DM = FO ist — 3,0 m; wie stark sind die einzelnen Konstruktionsteile zu machen?

Auflösung. Die Größenverhältnisse der auf die einzelnen Konstruktionsteile wirkenden Kräfte sind folgende:

D — 30000 kg; hj = 3,0 m.

1    24

AM — 2 lj == ~z~ = ~ = 8,0 m;

= 0,375; ,4 « = 20° 33'22", t»a log 0,375 =

3,0

tg a =

0,574313 — 1

8,0

2 . mim log 0,5454611 — 1 — 2 .0,35113 — 0,70226 8009 = rd. 8000 kg.

= 2812,5 = rb. 2810 kg.

tgch =

3,0

0,75; 4:    = 26» 52' 12".

3L L 30000

4,0

48

16

16

1875 kg.

3L

3.30000

16

16

= 5625 kg.

P’ = TT

30000

5000 kg.

P,

5625

2 sin a

2 . mim (log 20° 33' 22")

5625

5625

5625

H = K . cos a = 8000.0.93634 = 7490,72 = rd. 7500 kg. Pi _ 5625 2

P₂

5000

5000

5000

2 sin o, 2. sin 36° 52' 12" ~ 2.0,6 4166,6 = rb. 4170 kg.

H, = K,. cos«^4170.0,8 = 3336 = rb. 3340 kg. P* 5000

1,2

V, = ^

₂    — 2500 kg.

V« = V + V, + P₂ = 2810 + 2500 + 5000 = 10310 kg, ober 11 .L

Vo

11 .30000

32

32

= 10312,5 = rb. 10310 kg.

H₂ = Vo . cot a, = 10310 . 1,334 = 13753,54 = rb. 13750 kg.

29362 = rb. 29360 kg.

Vo

10310

0,35113

H₃ = K₂. cos a = 29360.0,93634 = 27390,94= rb. 27400 kg. V₂ = V₀ = 10310 kg.

sin a

V₃ =

3000

= 15000 kg.

2 H = 2.7500 = 15000 kg.

H₄ = 2 . (H + H, + H₃) = 2 . (7500 + 3340 + 27400) = 76480 kg.

2 H₂ = 2.13750 = 27500 kg.

Die Säulen CL und GR. Dieselben werben durch die Kraft P4 auf Zug beansprucht und ist demnach der erforderliche Inhalt des Querschnitts

F = 5625 :100 — 56,25 qcm.

Die Streben AC, CM, OG und GB. Die Länge derselben ist la = h : sin a;

h = lt . tg a = 4,0.0,375 — 1,50 m,

folglich:

1z—1,5:0.35113 —4,27 m.

Diese 4 Streben werden durch die Kraft K auf rückwirkende und Zerknicknngs-Festigkeit in Anspruch genommen. Es ist demnach erforderlich: gegen Zerdrücken ein Querschnitt

F — K : S — 8000 : 60 — 133,33 qcm,

gegen Zerknicken ein Trägheitsmoment

8000.427.427

— 13260.

110000

Ein Querschnitt von 21 cm Breite und 26 cm Höhe, mit Tt — 20065 und F — 546 qcm ist ausreichend.

Die Säule EN. Dieselbe wird durch die Kraft P₂ auf absolute Festigkeit beansprucht. Der erforderliche Querschnitt ist demnach:

F — 5000 : 100 — 50,0 qcm.

Die Streben EM und EO. Die Länge derselben ist

h,

3,0

sin «i

0,6

— 5,0 m.

Die Kraft Ki nimmt die Streben ans Druck und Zerknicken in Anspruch und ist demnach erforderlich: gegen Druck ein Querschnitt

Kt 4170 F"~ 8

gegen Zerknicken ein Trägheitsmoment

4170.500.500

60

69,5 qcm,

9478.

110000

Ein Quebschnitt von 18 cm Breite und 26 cm Höhe, mit Tt — 12636 und F —468 qcm ist genügend.

Die Säulen DM und EO. Dieselben werden durch die Kraft V» auf Zug beansprucht; sie erfordern folglich einen Querschnitt

F — 10310 : 100 — 103,10 — 104 qcm.

Die Streben AD und BF. Die Last K₂ beansprucht dieselben auf Druck und Zerknicken, demnach ist erforderlich: gegen Druck ein Querschnitt

F — 29360 : 60 = 489,4 qcm,

gegen Zerknicken ein Trägheitsmoment

' 29360.854.854

110000

— 194661.

Die Länge der Streben ist:

lg — h..: sin a — 3,0:0,35113 = 8,54 m.

(sin a — h₂: 1z).

Für diese Streben wird am zweckmäßigsten ein verdübelter Balken angewendet werden »nd für jede Hälfte desselben ein Trägheitsmoment von 194661 :2 — 97331 erforderlich sein. Es würden also 2 Hölzer von 33 cm im Quadrat mit je einem Trägheitsmoment T = 98827 aus-

33

reichend sein, da ein Balken von ^ cm Querschnitt Ti — 197653 hat.

Die verdübelte Strebe muß nun eine Breite von 33 cm und eine Höhe von 66.1,1 — 72,6 cm erhalten.

Der Spannriegel DF. Denselben nimmt die Kraft 2 H₂ auf Druck und Zerknicken in Anspruch. Es ist deshalb erforderlich: gegen Druck ein Querschnitt

F =

27500

60

458,33 qcm,

gegen Zerknicken ein Trägheitsmoment

Tr=

=160000.

' 27500.800.800 110000

Bei Anwendung eines verdübelten Trägers wird ein Querschnitt von 33 cm Breite und 2.32.1,1 — 70,4 cm Höhe genügen, da das kleinste

33

Trägheitsmoment eines Querschnittes von ™ cm = 191664 ist.

Der Hängebalken AB. Auf der Strecke MO wird derselbe in einer Länge von 8,0 m durch die Kraft 2 B — 15000 kg auf Druck und Zerknicken beansprucht, während ihn auf Zug die Kraft H₄ = 76480 kg in Anspruch nimmt. Es wird demnach erfordert: gegen Druck ein Querschnitt

Fi = 15000 : 80 = 187,5 qcm, gegen Zerknicken ein Trägheitsmoment

— 87273,

15000.800.800

110000

gegen Zug ein Querschnitt

F₂ — 76480 : 80 — 956 qcm.

Der gesamte erforderliche Flächeninhalt des Querschnittes ist also F — F, -s- Fz — 187,5 + 956 — 1143,5 qcm.

Der Balken wird außerdem auf Biegung am stärksten beansprucht in den Feldern LM und OB, durch die gleichförmig verteilte Belastung:

5312,5 = rd. 5310 kg.

Bl + P₂ _ 5625 + 5000

Das erforderliche Widerstandsmoment ist also:

4425.

5310.400 _

8.60

Znr Verwendung kommt ein verdübelter Balken von 33 cm Breite und 70 cm Höhe, bei 4 cm tiefer Verdübelung und 37 cm Höhe des unteren Stückes. Dieses letztere hat dann 33.35 —1155 qcm undurchbrochenen Querschnitt und = 104816, während das obere Stück, welches von L bis M und von 0 bis E keinen Stoß erhalten darf, eine Breite von 33 cm und eine Höhe von 31 cm mit W — 5285 erhält.

Der Balken erfordert an Auflagerfläche

F = y₃: 7 = 15000 : 7 — 2143 qcm,

wenn gewöhnliches Ziegelmauerwerk angenommen wird. Bei einer Breite von 33 cm muß der Balken eine Auflagerlänge von 2143:33 — 65 cm erhalten.

Der Überstand des Balkens über den Fußpunkt der Streben AD und BF müßte betragen:

1*

234 cm,

H + Hs —E_(7500 + 27400) — 0,3 . (2810 + 10310)

bS

33.4

was unmöglich ist. (E — 0,3 . (V + V₀)).

Es muß also eine Sicherung des Fußendes der Streben bei A und B durch Eisenkonstruktionen erfolgen, wie sie beim zweisäuligen Hängewerk angegeben ist.

Die Dimensionen der einzelnen Hölzer ergeben sich nun wie folgt:

1.    Der Hängebalken AB. 25,30 m lang, 33 cm breit, 70 cm hoch, verdübelt mit 4 cm hohen Dübeln; das untere Stück wird 37 cm, das obere 33 cm hoch.

2.    Die Streben AD und BF. 2 Stück ä 9,0 m lang, 33 cm breit und 73 cm hoch, verdübelt.

3.    Der Spannriegel DF. 8,0 IN lang, 33 cm breit und 70 cm hoch, verdübelt Hierbei ist angenommen, daß, obgleich die mittelste Säule über den Spannriegel hinausgeht und oberhalb desselben noch einen Bolzen erhält, der Spanuriegel also in der Mitte gestützt wird, dies keinen Einfluß auf denselben ausübe. In Wirklichkeit wird man aber bei der Berechnung des Spannriegels in diesem Falle nur seine halbe Länge mit 4,0 m in Rechnung ziehen brauchen, sodaß sich dann eine bedeutend geringere Stärke für denselben ergibt.

4.    Die Säulen D M und F O. Dieselben werden Doppelsüulen ä 4,50 m lang, aus je 2 Stücken von 21 cm Breite und 21 cm Stärke, welche zu je einer Säule von 21 cm Breite und 42 cm Stärke verbolzt werden. Der nicht durchbrochene Teil von 42 — 33 — 9 cm Stärke gibt 9.21 == 189 qcm Querschnittsfläche, welche also für den erforderlichen Querschnitt von 104 qcm ausreicht.

5.    Die Säule EN. Dieselbe wird aus praktischen Gründen ebenso stark als die Säulen DM und FO angenommen, besteht also aus 2 Stücken ä 4,50 m lang, 21 cm breit und 21 ein stark.

6.    Die Streben AC, CM, OG und GB. Es sind erforderlich 4 Stück ä 4,50 m lang, 21 cm breit und 26 cm hoch.

7.    Die Streben EM und EO. Dieselben erhalten ans praktischen Gründen dieselbe Breite wie die vorigen. Es werden also erfordert 2 Stück ä 5,30 m lang, 21 cm breit und 26 cm hoch.

7. Die Säulen CL und GR. Die Länge derselben ist 1,75 m, da sie bis an die Streben AD und BF gehen. Zur Verwendung kommen verbolzte Doppelsänlen von 21 cm Breite und 33 cm Stärke, deren jede aus 2 Hölzern von 21 cm Breite und 16,5 cm Stärke besteht. Die nicht durchbrochene Stärke hat also 12.21 — 259 qcm Querschnittsfläche, also bedeutend mehr als erforderlich ist.

9. Die Hängecisen werden sämtlich doppelt und müssen demnach

erhalten:

Pi

5625

28    2.750

— 3,75 qcm.

Es werden Eisen von 1,5 cm Stärke und 3 cm Breite zu verwenden sein, die an den Säulen durch einen Bolzen zu befestigen sind, der auf Abscherung zu berechnen ist.

10.    Die Kopfenden der Streben sind sämtlich durch eine Eisenkonstruktion zu sichern, mit Ausnahme desjenigen bei E.

Bei C und G empfiehlt es sich ein Korbeisen über die Streben AD und BF so zu legen, daß es durch einen Bolzen an den Säulen CL und GR befestigt wird.

11.    Die Fußenden der Streben bei A und B sind durch Bolzen oder durch Korbeisen gegen Abscherung zu sichern.

5. Die Sprengewerke.

Die Sprengewerke unterscheiden sich in Bezug auf ihre Tragkraft nicht von den Hängewerken, sodaß unter gleichen Verhältnissen die für diese gegebenen Formeln und Gleichungen sofort auf die Sprengewerke angewendet werden können. Man hat hier nur zu berücksichtigen, daß die horizontalen Kräfte, welche im Fußpunkte der Streben auftreten, in die Widerlager übergehen.

Ist in Fig. 168: st — Iz — -jj- und der Balken EF in B und C durch die Streben AB und CD und den Spannriegel BC gestützt, so er-

©tatit.

hält man. bei gleichförmiger Verteilung der Belastung L, in B und C die vertikal gerichteten Kräfte:

144

9L

P = 24'

während in den Auflagern bei E und F die Kräfte:

p _3L

so —

24

wirken.

_K

jr

ff

Pn

J'n

ZM

»,

ii.

1.

Fig. 168.

Die Kraft P zerlegt sich in die Kräfte K und H, von denen

sin a 24 sin a 8 sin a

in die Streben AB und CD übergeht, während

3 L cot a

H = P . cot a —

den Spanuriegel CB beansprucht.

Verlegt man dann die Kräfte K nach A und D, so findet man hier die Komponenten

H₁ = H = P . cot a,

in horizontaler Richtung als Kraft, welche das Bestreben hat, das Widerlager umzuwerfen, und

V = P,

als vertikale Kraft, welche in Gemeinschaft mit P» das Widerlager auf Druck beansprucht.

Soll der Balken EF so unterstützt werden, daß er überall gleich stark wird, und nimmt man an, daß der Spaunriegel BC mit dem Balken EF nach Art der verdübelten Träger durch Bolzen und Keile verbunden ist, so muß

1₈ z= BC = 0,75 1,

er

EB = CF = 1, = 0,125 1

genommen werden. —

Die Streben der Sprengewerke erhalten nicht immer gleiche Neigung, sondern werden auch so ausgeführt wie Fig. 169 zeigt.

Ist L die gleichförmige über AB verteilte Belastung, so ist die vertikal in C wirkende Kraft

5L

's

P = 1T

j)

•if

welche sich in die Seitenkräfte K und *||jr Ki, die in die Richtungen der Streben fallen, zerlegt. Ist « der Neigungswinkel der Strebe CD und ß derjenige der Strebe CE, so ist

P cos ß

Fig- 169.

Hi

Vr'^Ka

sin (« -s- ß)

5 E cos ß ~i 8 sin («+ßyy

sin a

P cos a

8 sin «

5 E cos a

und

8 sin (a -j- ß)

sin (« -j- ß)

K _

¹ sin ß 8 sin ß

■]*

In D und E erhält man dann die horizontalen Kräfte:

H — K . cos a

P cos ß cos a

sin (« + ß)

1:

Bi

— Kx cos ß |

P cos ß cos «

sin (a + ß)

Der vertikale Druck in D ist:

V = K. sin «

P cos ß sin a ~|

J;

sin (a + ß)

und derjenige in E:

sin ß |

P cos a sin ß

sin (« -f- ß) V + Vt ist dann = P = L;

O

der Gesamtdruck auf die Widerlager ist folglich bei D:

V + Po^V + j^L,

und derjenige bei E:

Vi+Po = Yi + j|L.

Diesener III.

10

¹

der auch, da cot «! = --,

6. Berechnung der Dachkon st rnktionen. a. Das einfache Sparrendach.

Wird die Belastung eines Sparrens, Fig. 170, mit D bezeichnet, so wirkt im Stützpunkte b eine vertikale Kraft P = L, und in den Stützpunkten a und c je eine Kraft

Die Kraft P zerlegt sich in die beiden Komponenten 8, welche in der Richtung der Sparren wirken; verlegt man nun den Angriffspunkt der Kräfte 8 von b nach a und c und zerlegt 8 hier in die Komponenten V₂ und H, so wirkt erstere lotrecht drückend auf die Unterstützung des

V,=

(a

Hl

S'j£.

\\j

■V-^i S

./

Sj

Fig. 170.

Balkens und H wagerecht ziehend auf den Balken a c. Der Gesamtdruck auf die Unterstützung des Balkens, welcher durch einen Sparren ausgeübt wird, ist demnach:

v=v₁ + v₈ = -1-l+-1l = l.

Die Vertikalkraft V₂ muß —

s=tL

angenommen werden, weil in b keine Last absorbiert werde» kann. Zu diesem Vertikaldrucke auf die Unterstützung des Balkens kommt noch der durch den Balken ausgeübte Druck.

Die bei b auftretende Horizontalkraft 8, kann außer Berechnung bleiben, weil sie durch die entgegengesetzt wirkende zweite Kraft Hi aufgehoben wird.

Die Kraft H hat das Bestreben, den Sparren zum Ausgleiten zu bringen und außerdem den Balken a c ju zerreißen. Die Kraft

H = ~ . cot a — V₂. cot a

wirkt auf Zug, während der Balken a c außerdem auf Biegung in Anspruch genommen wird.

Der Gesamt-Sparrenschub ergibt sich aus den Kräften V und H;

es ist:

Si = fH² -f V² =    ■ cot a )² -f L² — ^4 • cot2 « + L² =

+ 1-

Der Neigungswinkel ß ergibt sich aus

2. tga.

cot a

1^ = 2.

— • cot a

Für die Bestimmung der Querschnittsdimensionen des Sparrens ist zu beachten, daß derselbe durch die Kraft 8 auf Zerdrücken und Zerknicken und durch die Kraft L auf Biegung in Anspruch genommen wird.

Beispiel.

Ein mit einem einfachen Ziegeldache versehenes Gebäude hat eine Tiefe von 6,0 m, eine Höhe des Daches von 3,0 m und sind seine Sparren von Mitte zu Mitte 1,0 m von einander entfernt. Die Balken sind nur an den Enden durch Manerwerk gestützt; wie groß ist der Ge-samtdrnck auf das Mauerwerk und welche Dimensionen müssen Balken und Sparren erhalten, wenn letztere keine Unterstützung haben?

Auflösung. Die Länge der Sparren ist:

1 — V3² + 3ä = v/18‘= 4,243 in.

Die Belastung eines Sparrens ist demnach:

L — 4,243.1.0.264 — 1120,152 = rd. 1120 kg.

Der Gesamtdruck des Sparrens auf die Mauer ist:

Vf⁺¹=

• 2,236 = 560.2,236 = 1252,16 kg.

Si =

, /cot² a    / cot² 45° . 11ori

L. Y—£ f- 1 = 1120 • Y ^--hl — 1120 *

•Vf

1120

1120

10*

Der durch einen Balken ausgeübte Druck ist

. 250 — 750 kg,

a _ 6,0.1,0

s₂ = ^~-

sodaß der Gesamtdruck auf die Mauer beträgt:

8» — Sj + S₂ = 1252,16 + 750 — 2002,16 — rd. 2000 kg. Die Auflagerfläche des Balkens muß also

2000 : 7 — 286 qcm

betragen.

Der Balken wird auf Biegung in Anspruch genommen durch 2.750 — 1500 kg,

und ist folglich ein Widerstandsmonient erforderlich von:

1500.600

— 1875.

8.60

Durch die Kraft H wird derselbe aber noch auf Zug in Anspruch genommen. Es ist H= L 2

Der erforderliche Querschnitt ist demnach:

F = H: S = 560 : 80 = 7 qcm.

— - cot a —

1120

• cot 45° — 560.1 — 560 kg.

18

Ein Balken von ^ cm Querschnitt mit W — 2028 und F —

26

468 qcm genügt also beiden Ansprüchen.

Wird die Mauer nur ly Stein stark — 38 cm, so ergibt sich eine Auflagerfläche des Balkens von:

38.18 — 684 qcm,

welche also auch mehr als genügend ist.

Die Kraft 8 ist =

1120 _fin ,

~2— — 560 kg.

— 916,52.

110000

Der Sparren beansprucht also gegen Zerknicken ein Trägheitsmoinent PI² _ 560.424,32 110000

Gegen Zerdrücken ist erforderlich eine Querschnittsfläche F — P : 8 — 560 : 80 — 7 qcm.

= 990,03.

Auf Biegung beträgt das erforderliche Widerstandsmoment 1120.424,3 8.60

Verwendet werden Sparren von 15 cm Breite und 20 cm Höhe, welche W = 1000, T = 10000 und F —300 qcm haben, also nach jeder Richtung hin genügen.

b. Das einfache^Kehlbalkendach.

In Fig. 171 seien die Sparren a b und bc in der Mitte durch den Kehlbalken es fest unterstützt. Bezeichnet L wieder die Gesamtbelastung

5

eines Sparrens, so komnit auf die Stützpunkte e und f je -g- L, auf a

3    3

und b je - g- L, und auf c und b ebenfalls je ~ L.

äx \\ s

'//■

/.

•*-—XiX¹

\l™^XSä

pi

a\

</

\C H.

\l

W

5¹ “ V

F'g. 171.

Der Vertikaldruck in b ist demnach:

p=4l,

und in e und f:

p-=tl-

Es wird nun P zerlegt in die Komponenten 8,, welche in der

Richtung der Sparren wirken, und Hv welche senkrecht zur Richtung von

P wirken; es ist dann die Kraft

CI P 3 t

8i = —-= L : sin «,

sin a 16 .

welche sich nach den Stützpunkten a und c hin fortpflanzt.

Der Vertikaldruck Pi wird zerlegt in die Komponenten S₂, in der Sparrenrichtung wirkend, und Hj in der Richtung des Kehlbalkens wirkend.

Es ist die Kraft

82 — Pj : sin «

00 Ol

I,; sin et,

und pflanzt sich dieselbe ebenfalls nach den Stützpunkten a und c fort. Der gesamte Sparrenschub ist nun:

So = Sj -f- S₂,

welcher sich in die Vertikalkomponente Vi und die Horizontalkomponente H; zerlegt, und zwar ist:

H₂ = S₀ . cos a — (Sx + S₂). cos a =

cos a =

/i3

ll6

— L. cos « : sin a =

13

lß L.cota;

Vi = 8₀ . sin a — (St + S₂). sin a =

(-- L : sin a + ~ L: sin a Mo    8

L: sin a . sin a =

(13

\16

16

• sin a =

Hierzu kommt noch der Vertikaldruck der Sparren bei a und c mit je " L, sodaß der Gesamtdruck ist:

13

L+~L=L

V=:V, + V₂ = ₁₆

d. h. der Gesamtdruck eines Sparrens wirkt auf seinen Fußpuukt. Die beiden Kräfte

16

H = P:tg« = —L:tga

heben sich gegenseitig auf.

H, wirkt drückend auf den Kehlbalken und ist

H₁=P₁:tga = AL:tga.

Der Gesamtdruck auf den Kehlbalken ist also

2 Pi — 2 • L: tg « =

j- L : tg «.

Die Kraft H₂ wirkt ziehend auf den Balken a c und ist:

13

Hs — Vi: tg a = j- L : tg a.

Auf die oberen Sparrenteile b e imb b f wirkt die Kraft 8, auf Druck und Zerknicken, auf a e und a f die Kraft S₂ in demselben Sinne; jeder

Sparrenteil wird außerdem auf Biegung beansprucht durch eine Kraft -•

Der Kehlbalken e f wird durch die Kräfte H, auf Druck und Zerknicken beansprucht, während H₂ auf den Balken a c ziehend wirkt, und V, in die Unterstützung übergeht.

Der Gesamtdruck des Daches auf die Unterstützung ist:

8 = VH/+ V2 ~

oder:

/(w)+LS=VL'((

13

16 tg a

■)’+>>

L - V¹ + ('

13

16 tg a

Der Neigungswinkel wird gefunden aus:

13

-- L: tg öl

16

L. tg «

16 tg a

13

16

13

Beispiel.

Die Sparren eines Gebäudes von 6,0 m Tiefe haben eine Neigung gegen den Horizont von 40° und wird das Dach als einfaches Kehl-balkendach mit Doppelziegeldach ausgeführt. Es sind die Sparren und Kehlbalkenstärken, die auf den Balken wirkende Zugkraft und der Gesamtdruck auf die Unterstützung zu berechnen, bei 1,0 m Sparrenentfernung von Mitte zu Mitte.

Auflösung. Die Last L ist =

3,916.1,0.290 — 1135,64 — rd. 1140 kg, da die Länge des Sparrens beträgt:

— 3,916 m.

cos 40°

0,766

1 =    3.0

Es ist ferner:

L : sin et — L : sin « =

8

H = AL;tga =

3.1140

16.0,643 5.1140

8.0,643

3.1140

16.0,839

— 332,42 — rd. 335 kg.

— 1108,08 — rd. 1110 kg.

— 254,7 — rd. 255 kg.

Bei Berechnung der Sparrenstärke ist nur die Berechnung des am stärksten in Anspruch genommenen Teils, also des unteren, nötig.

Hier ist:

403,63;

1110.200.200

110000

= 237,5.

Hi = 4- L : tg a

5.1140

13

H₂ = jg- L : tg a

8.0,839 13.1140

849,2 = rd. 850 kg.

16.0,839

Der Gesamtdruck auf die Unterstützung ist:

— 1103,9 = tb. 1105 kg.

L.^/l + (-

1140-y 1 +

13    \²

16 tg a

— 1140 -

Vh

13²

16².0,839²

169

= 1140- Vl + 0,9378 =

180,204

1140 - Vl,9378 = 1140.1,39 = 1584,6 = rd. 1585 kg.

F = 1110 : 80 = 14 qcm; 570.200

8.60

Es werden Sparren von 10 cm Breite und 12 cm Höhe verwendet, welche T = 1440, Tx = 1000, F = 120 qcm und W = 240 haben, also vollkommen genügen.

Zur Berechnung der Stärke des Kehlbalkens ist, da seine Länge

= 3,0 in,

2.850.300.300

110000

1390,9 = rd. 1400.

2.850

80

21,2 = rd. 22 qcm.

Verwendet werden Hölzer von 10 cm Breite und 17 cm Höhe mit Tx = 1417, T = 4094 und F = 170 qcm, welche also ausreichend sind.

Die Sparren können auch 9.13 cm und die Kehlbalken 9.16 cm stark genommen werden.

c. Das Kehlbalkenbach mit einfach stehendem Stuhl.

Dasselbe entsteht, wenn die Kehlbalken in der Mitte durch ein Rähm, welches auf sogenannten Dachstuhlstielen ruht, gestützt werden; Fig- 172.

Liegen die Kehlbalken in der Mitte der Sparren und ist L die gleichförmig über den ganzen Sparren verteilte Belastung, so ist die Belastung in d und e =

Px = 4-L,

und in a und b, und in b und c =

V- ⁼ 16

sodaß der Druck in b —

3 x 8 L'

ist. Die Kraft P wird in die Komponenten S, zerlegt, welche in die Richtung der Sparren fallen, und ist:

Si

2 sin «    16 sin a

Ho

v

s'//\

Hl«.

■ft \

Bä

-------

C /'/¹    \ ¹

y^ZV,f—TV

\y

Pi

------------

7 ly^xs n¥—rv$\a

\y

CH,

Fig. 172.

Die in d wirkende Kraft Pi wird in die Komponenten N, welche lotrecht zum Sparren, und S₂, welche in der Sparrenrichtung liegen, zerlegt. Es ist dann:

Ist 00

L . cos a,

N = Pi. cos a —

er

ist 00

S₂ = Pi . sin a =

Die Kraft N zerlegt sich nun wieder in die Komponenten H, in der Richtung des Kehlbalkens, und Vi in vertikaler Richtung. Es ist:

Vi = N . cos a = Pj# cos a . cos a = Pj. cos² a = L . cos² «.

o

H = N . sin a = Px. cos a . sin a = P, ♦ — sin 2 a = -

2    lo

L . sin 2 «.

Der gesamte Sparrenschub ist: So = Sj -j- Sä

3 L -j- 10 L . sin² «__L . (3 + 10 sin⁸ a)

16 . sin «

16 . sin «

—- - cot «

16

Der Sparrenschub S₀ zerlegt sich in die Horizontalkomponente

| 3 + 10 sin² « j =

Y L - «in «) '

L . cos «

Hi — S₀ . cos « —

. (3 + 10 sin² a) — (

• L cot a + 4~ L . sin 2 «,

16 sin a

3L

16 sin a

cos « —

16

und in die Vertikalkomponente V₂ = S₀ . sin « —

(-

4~ 4- L . sin a) • sin a —

16 sin a

^ L + L . sin² a.

Der vertikale Gesamtdruck auf die Unterstützung ist nun: V=:V₂ + P₂ = Al + |-L . sin« +^L =

- - L -j- L . sin « == 4- • (3 4~ 5 . sin «).

CO 00

Der Vertikaldruck Vi wird durch den Kehlbalken auf das Rahm f übertragen und geht in den Dachstuhlstiel über. Bezeichnet n die Anzahl der Gebinde, welche ihren Druck auf einen Stiel übermitteln, so ist derselbe:

2n 5 . L . cos⁸ a

5n L . cos⁸ a

Vs = 2nV₁ 4

Der Kehlbalken hat dem Horizontaldruck 2 H mit rückwirkender Festigkeit zu widerstehen, während ihn die Kraft Vx an jedem Ende auf Biegungsfestigkeit beansprucht.

Die Gesamtbelastung der Unterstützung an den Enden ist nun durch die Dachkonstruktion:

8 — VV² 4- Hi² —    - (34-5sin a)j² + ^ . cot« (34~ lOsin²«)j

L²

^ • (3 4- 5 sin «)² 4-

L²

256

cot²« • (3 4-10 sin⁸ «)² —

Beispiel.

Über einem Gebäude von 8,0 m Tiefe soll ein Dach als Doppel-Ziegeldach mit einem in der Mitte der Sparren liegenden Kehlbalken und einfach stehendem Stuhl konstruiert werden. Die Sparren sind 1,0 m von Mitte zu Mitte auseinander zu stellen und ist alle 4,0 m ein Binder anzuordnen. Die Höhe des Daches ist — 4,0 m.

Auflösung Die Länge des Sparrens ist:

1 - v'4² + 4² — V 32 — 5,6569 — 5,657 m.

Die Belastung des Sparrens beträgt:

L — 5,657.1,0.290= 1640,53 = rd. 1650 kg.

Demnach ist:

4L²

L²

• (3 + 5 sin d)² -j-

— - \/4 . (3 -f— 5 sin a)³ -s- cot² a . (3 + 10 sin² a)². Io

256

256

• cot² a (3 -f- sin² «)² —

P =    -1650 — 619 — rd. 620 kg;

P₂ = A. 1650 = 310 kg;

Pt = 4- • 1650 — 1032 — rd. 1040 kg.

Si =

Es ist ferner: P .

— • sm a =

- sin 45° — 309,5.0,707 — 218,82 — rd. 220 kg.

N = P,. cos « = 1032.0,707 — 729,62 — rd. 730 kg.

82 —Pi. sin « = 1032.0,707 — 729,62 — rd. 730 kg.

V, = N . cos a — 729,62.0,707    — 515,84 —    rd. 520    kg.

H = N . sin a = 729,62.0,707    — 515,84 —    rd. 520    kg.

80 —8, -st 82 — 218,82 + 729,62 — 948,44 — rd. 950 kg. Hi = S₀ . cos a — 948,44.0,707    — 670,55 —    rd. 670    kg.

V₂ = So . sin a — 948,44.0,707    — 670,55 —    rd. 670    kg.

Y = V, + P₈ = 670,55 -st 310 — 980,55 = rd. 980 kg. Vg = 2n Vi — 2.4.515,84 — 4126,72 — rd.4130 kg.

Der Sparren beansprucht: gegen Zerknicken ein Trägheitsmoment

730.283.283

— 531,5;

gegen Zerdrücken einen Flächeninhalt des Querschnittes

110000

730

— 9,12 — rd. 10 qcm.

gegen Biegung ein Widerstandsmoment (da P — 1650 : 2 — 825 kg),

— 486,4.

825.283

8.60

Verwendet werden Sparren von 12 cm Breite und 16 cm Höhe, mit P — 4096, ^ — 2304, F — 192 und W = 512, welche also vollkommen genügen.

Für de» Kehlbalken ist das erforderliche Trägheitsmoment: 2 H. 400.400

2.520.400.400

110000

110000

— 1513.

Gegen Zerdrücken ist notwendig:

2.520

80

13 qcm.

12

Es würden hier Hölzer von cm Querschnitt mehr als genügen,

wenn die Kraft Vi den Kehlbalken nicht an seinen Enden auf Biegung beanspruchte. Jeder halbe Kehlbalken ist daher als ein an seinem freien Ende belasteter Freiträger zu berechnen und erfordert ein Widerstandsmoment

520.200

60

— 1733.

Es müßten deshalb Kehlbalken von 18 cm Breite und 24 cm Höhe verwendet werden, welche W = 1728, T = 20736, Ti = 11664 und F — 432 qcm haben. Soll die Breite, wie bei den Sparren, 12 cm betragen, dann muß die Höhe mindestens 29 cm werden, da dieses Profil W = 1682 hat.

Die Belastung des Rähms kann wie die der Stuhlsäule mit 4130 kg angenommen werden. Dasselbe wird auf Biegung beansprucht, und ist demnach:

4130.400

— 2294,4,

12.60

wenn angenommen wird, daß es über mehrere Stiele hinweggeht und an den Stößen fest verbunden ist.

Ein Querschnitt von 21 cm Breite und 26 cm Höhe mit W — 2366 ist ausreichend. Um zu große Stärke der Dachrähme zu vermeiden, ist es zu empfehlen, die Entfernungen der Binder voneinander nicht zu groß anzunehmen.

Die Dachstuhlstiele erfordern gegen Zerknicken:

4130.200.200

110000

= 1501,8,

und gegen Zerdrücken

4130

— 51,6 — 52 qcm.

Verwendet werden, wegen der Breite des Rahms von 21 cm, Hölzer 1 s

von cm Stärke mit T = 10033, T, = 3845 und F — 273 qcm.

Aus vorstehender Berechnung geht hervor, daß die Kehlbalken, Nähme und Dachstuhlstiele sehr ungünstige Dimensionen erhalten und ist diese Konstruktion deshalb keine einpfeblenswerte.

NB. Ich mache darauf aufmerksam, daß die statische Berechnung häufig für die Hölzer der Dachkonstruktion bedeutend größere Stärken ergibt, als in der Praxis verwendet werden. Es ist aber zu berücksichtigen, daß für Holzkonstruktiouen bei der statischen Berechnung stets zehnfache Sicherheit in Rechnung gezogen ist. Begnügt nian sich dagegen in der Praxis mit einer geringeren Sicherheit, so ist das für die Dachkonstruktionshölzer allenfalls zu gestatten, bei Balken, Trägern rc. dagegen nicht. Die in der Praxis meist verwendeten Stärken sind im Band IV meiner „Praktischen Unterrichtsbücher für Bautechniker" genügend angeführt, hier dagegen kann nur die genaue statische Berechnung, mit zehnfacher Sicherheit für Holz, Platz greifen.

d. Das Kehlbalkendach mit doppelt stehendem Stuhl.

Unterstützt man den Kehlbalken durch 2 Rühme und diese in den Bindern durch Dachstuhlstiele, so entsteht das Kehlbalkendach mit doppelt stehendem Stuhl; Fig. 173.

80

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\£s

Fig. 173.

Bezeichnet L die gleichförmig über den Sparren verteilte Belastung und liegt der Kehlbalken d e in der Mitte der Sparren, so ist der Vertikaldruck in d und e —

5 T 8"L'

Pi =

3

und in jedem Endpunkte a und c, und b und c = — L, sodaß in c die

p,=iiL

wirkt.

Die Kraft P zerlegt sich in die beiden in die Sparren übergehenden Komponenten

Last

und in a und b die Last

8i

2 sin a

16 sin a

Der Vertikaldruck P, wird in die Komponenten S₂, in der Richtung des Sparrens, und N, senkrecht zur Sparrenrichtung, zerlegt. Es ist:

5

N = Px . cos « = -3- L . cos a;

O

L . sin a.

8g — Pi. sin a —

Die Kraft N wird wieder zerlegt in die Komponenten H, in der Richtung des Kehlbalkens, und Vi in vertikaler Richtung. Es ergibt sich:

H = N. sin a — Px . cos a . sin a = Pj • — sin 2 « =

~ L . sin 2 a;

5,7 8 L

•Tsin2« = I6 Vi = N . cos a — Pi. cos a . cos a —

~ L . cos² a.

Der gesamte Sparrenschub ist:

So = S, + 8s

5 L sin a

3 L -f- 10 L sin² a

16 sin «

16 sin a

L . (3 -)- 10 sin² a) 16 sin a

welcher sich nach den Stützpunkten a und b der Sparren fortpflanzt.

Der Sparrenschub S₀ zerlegt sich nun in die Horizontalkomponente Hi und die Vertikalkomponente V₂. Es ist:

Hi = S₀. cos « —

Der vertikale Gesamtdruck auf die Uiiterstütziing ist nun:

V = v₂ + P₂ = Yq (3 + 10 sin⁸ a) +    • (3 + 10 sin² a + 3) =

CO

• (3 + ö sin² a).

^•(6 + 10 sin² a) =

Der Vertikaldruck Vi wird auf die Rahme bei d und e übertragen und geht in den Dachstuhlstiel über. Bezeichnet man die Anzahl der Gebinde, welche ihren Druck auf einen Stiel übertragen, mit n, so ist:

5

V₃ — n. Yj — n • — L. cos²«.

O

Der Kehlbalken hat dem Druck 2 H gegen Biegung und gegen Zerdrücken zu widerstehen.

Die Gesamtbelastung der Unterstützungen durch die Dachkonstruktion ist an den Enden:

s = VV² + Hi² =

y -~ • (3 + 5 sin² a)j -f- ^ cot a . (3 + 10 sin² «)j ^ - \/4 • (3 -)- 5 sin² a) -f- cot⁸ a (3 + 10 sin⁸ a).

Ist die Entfernung des Rahms vom Ende des Sparrens nicht gering, so wird der Kehlbalken an seinen Endpunkten von der Kraft Vi auf Biegung in Anspruch genommen, und ist demgemäß zu berechnen. Man wird daher gut tun, wenn man die Rühme in nicht zu große Entfernung von den Endpunkten der Kehlbalken anordnet, höchstens 30 cm.

Beispiel.

Ein Gebäude von 9,5 m lichter Tiefe erhält einfaches Ziegeldach mit Kehlbalken und doppelt stehendem Stuhl. Die Höhe des Daches beträgt 4,50 m; die Sparren und Balken sind 1,10 m von Mitte zu Mitte von einander entfernt und ist auf jedem vierten Balken ein Binder anzuordnen. Es sind alle Holzstärken, auch die der Balken, zu berechnen; die Mittelwand unter den Balken befindet sich in der Mitte derselben.

Auflösung. Die Länge des Spurrens ist:

Die Belastung eines Sparrens beträgt:

L — 6,54.1,10.264 — 1899,216 = rd. 1900 kg;

folglich ist:

P = ~ • 1900 = 712,5 — rd. 750 kg.

Pi =

• 1900 — 1187,5 = tb. 1190 kg;

16

P, — -> -1900 — 356,25 — rd. 360 kg.

Es ist ferner (da sin « — 4,5 : 6,54 — 0,688, und cos « = 4,75 : 6,54 — 0,726), auch

S,=

720.6,54

2 sin ft

2.4,5

— 523,2 — rd. 530 kg.

N = Pi. cos « = 1190-

4,75

6,54

= 864,3 — rd. 870 kg.

8z = P, . sin «=1190-

4,5

6,54

818,8 — rd. 820 kg.

H = N . sin « = 870.0,688 = 598,56 = rd. 600 kg. Vt = N . cos « = 870.0,726 = 631,62 = rd. 630 kg. So = S, + S« = 530 + 820 = 1350 kg.

Ki = 8» . cos « = 1350.0,726 = 980,1 = rd. 980 kg. V₂ = So. sin « = 1350.0,688 = 928,80 = rd. 930 kg. V = V₂ + P₂ = 930 -f 360 = 1290 kg.

V₃ = n . V, = 4,630 = 2520 kg.

8 = V V* + Hi⁸ = V'l290² + 980² = 1620 kg.

Die Sparren beanspruchen auf der am stärksten beanspruchten Strecke ad:

gegen Zerknicken ein Trägheitsmoment

S₂. 1*

820.327.327

110000

= 797,1;

110000

gegen Zerdrücken eine Querschnittsfläche

F = 820 : 80 = 10,25 qcm;

gegen Biegung ein Widerstandsmoment, da — 1900 : 2 = 950,

— 432,

950.327

12.60

wenn die Sparren als fest eingespannt angenommen werden.

Verwendet werden Sparren von 12 cm Breite und 15 cm Höhe, mit F = 180, T = 3375, T, = 2160 und W = 450, welche also mehr als genügen.

Die Kehlbalken werden durch den Druck 2H in Anspruch genommen, und zwar gegen Zerknicken mit einem Trägheitsmoment

2462;

2.600.475.475

110000

gegen Zerdrücken mit einer Querschnittsfläche

15 qcm.

2.600

80

12

Verwendet werden aus praktischen Gründen Hölzer von yg cm Querschnitt, welche ebenfalls mehr als genügen.

Das Dachstuhlrähm wird durch die Kraft V₃ auf Biegung beansprucht; es ist demnach

1528.

2520.440

12.60

Verwendet werden Hölzer von 25 cm Höhe und 15 cm Breite, mit W —1563, die also ausreichend sind.

NB.    In der Praxis    verwendet    man in solchen Fällen Rühme    von

15 bis 16    cm Breite und    18 bis 22    cm Höhe, was    mit Rücksicht    auf

die in Rechnung gestellte    zehnfache    Sicherheit auch    zulässig erscheint.

Man wird    jedoch stets gut    tun, die Binderentfernung    nicht zu groß    an

zunehmen, um nicht zu starke Rühme zu erhalten.

Die Dachstuhlstiele werden durch die Kraft V₃ auf Zerknicken und Zerdrücken beansprucht und ist demnach erforderlich:

== 1059;

2520.215.215

110000 F= 2520: 80 —31,5 qcm.

Stiele mit einem Querschnitt von 15 cm int Quadrat, mit T — 4219 und F — 225 qcm sind mehr als ausreichend.

12

Die Kopfbänder dienen nur zur Längenverstrebung und erhalten eine Stärke von -- cm.

Der Balken ab, welcher in seiner Mitte unterstützt wird, ist gleichförmig belastet auf seine freitragende Länge von 4,75 m, und wird in der Mitte dieser Länge bei f und g durch die zentrierte Last V₃ auf Biegung beansprucht. Das Maximalbiegungsmoment ist demnach:

•1, worin Pi — V₃,

V₃ + 2Pi

11

Diesener III.

7481.

475.7560

8.60

Es würde für den Balken ein Querschnitt von 28 cm Breite und 40 cm Höhe mit W — 7467 erforderlich sein. Um für den Binderbalken diese ungewöhnliche Stärke zu vermeiden, überträgt man durch einen Überzug, auf welchen der Stiel gestellt wird, die zentrierte Last auf drei Balken. Es ist dann erforderlich:

W — 7467 : 3 = 2489.

Der Balken erfordert hierbei einen Querschnitt von 19 cm Breite und 28 cm Höhe, mit W — 2483, sodaß event, eine tveitere Verteilung durch Verlängerung des Trägers erfolgen kann.

Wirkt die zentrierte Last so auf den Balken, daß dieser durch eine Querwand gestützt wird, dann ist dieselbe außer Ansatz zu lassen. Die Zwischenbalken und Binderbalken erfordern in diesem Falle:

2493,75.

und also ein Widerstandsmoment erforderlich von:

.(V₃ + 2V₃) =

475 . (2520 + 2.2520) _

88

8.60

475.2520

8.60

Erforderlich ist hier ein Querschnitt von 13 cm Breite und 40 cm Höhe, mit W = 3466, oder von 26 cm Höhe und 22 cm Breite, mit W = 2475; vorzuziehen wäre aber ein Querschnitt von 21 cm Breite und 27 cm Höhe, mit W = 2552.

e. Das Dach mit Forsträhm.

Die Sparren werden hierbei unter der Forstlinie durch ein auf Stuhlsäulen ruhendes Rähm gestützt und die Längenverstrebung durch Kopfbänder zwischen Forsträhm und Stuhlsäulen hergestellt. Ruht der Binderbalkeu auf einer Querwand oder ist er an der Stelle, wo der Dachstuhlstiel auf ihn drückt, anderweitig unterstützt, so kann die bei d, Fig. 174, angegebene Stuhlschwelle fortfallen.

Bezeichnet L die Belastung eines Sparrens, dann ist der Druck in a und b, und in c und d — demnach der Druck in der Säule:

P = L,

und derjenige auf die Stützmauern:

Pl 2 '

Zerlegt man die Kraft P in die Komponenten Sv in den Richtungen der Sparren liegend, und N hierzu normal, dann ist:

sin a

-9r :Si =

: S], folglich

Si

-Tprsina;

cos a

tz!

folglich

cos a.

->

II l a y

e H!

V">!

Sk

SF-z..

Fig. 174.

Die Kraft N zerlegt sich in die Vertikalkomponente Vi und die Horizontalkomponente H, welche letztere durch die Kraft — H aufgehoben wird. Es ist:

COS a — Yt : N, folglich XT    L

= N. cos a — — • cos « . cos a, welche Kraft drückend auf die Stnhlsäule wirkt, und zwar mit Vi — “ • cos² « — 2 Vi — P . cos² «.

ll*

Si setzt sich in der Sparrenrichtung nach dem Fußende des Sparrens fort und zerlegt sich hier in die Horizontalkomponente

Hi — Sx . cos a,

und in die Vertikalkomponente

Vz — Sj. sin a.

Das Stück des Forsträhms zwischen je 2 Bindern enthält n Sparren; dann wird dasselbe auf Biegung in Anspruch genommen durch die Last (n + 1). P. Nimmt man cm, die Sparren sind unter sich und mit dem Forsträhm fest verbunden, dann wird diese Last auch auf die Stuhlsäule übertragen, und hat diese nur einer Kraft von

2V₁ + (n + l).P = L.cos²« + (n + l).L = L.((n + 1) +

cos² a)

mit rückwirkender Festigkeit zu widerstehen.

Der Vertikaldruck auf die Unterstützung ist:

™ + Si. sin a.

Die Stabilität des Binders wird noch bedeutend erhöht, wenn die in Fig. 174 einpunktierten Zangen es hinzugefügt werden, was jedenfalls zu empfehlen ist.

Beispiel.

Über einem Gebäude von 5,0 m Tiefe soll ein einfaches Ziegeldach mit Forsträhm konstruiert werden; die Sparren ruhen am unteren Ende auf Sparrenschwelleu und beträgt die Höhe des Daches der Tiefe; welche Stärken müssen die Hölzer des Daches erhalten, wenn die Sparren 1,0 m von Mitte zu Mitte von einander entfernt sind, und zwischen je 2 Bindern 3 Leergebinde sich befinden?

Auflösung. Die Belastung eines Sparrens bis zu seinem Fußpuukte

beträgt:

L — 3,006.1,0.233 = 700,398 — rd. 700 kg, da die Länge des Sparrens

Es ist demnach:

1 = V2,5²+ 1,67² = 3,006 m ist.

Si = 350 : sin a = 350 -

P = 700 kg.

Pi = 700:2 = 350 kg.

1,67 _ 350.3,0

3,0

1,67

= 628,74 =

rd. 630 kg.

N = 350 . cos « = 350 • 2,5

3,0

= 291,66 = rd. 300 kg.

2V₁ = L.cos²a = 700 •

2,5²

3,0²

= 486,1 = rd. 490 kg.

H, — 8.. cos « — 630.0,83 — 522,9 = rd. 530 kg.

V₂ = S,. sin a = 630.0,56 — 352,8 = rd. 360 kg.

L. ((n + 1) + cos* «) — 700 . (4 + 0,69) = 3283 = rd. 3290 kg.

Die Sparren erfordern: gegen Zerdrücken eine Qncrschnittsfläche

F = 630 : 80 = 7,87 qcm; gegen Zerknicken ein Trägheitsmoinent

— 515,45;

630.300°. 300 110000

gegen Biegung ein Widerstandsmoment

— 437,5.

700.300

8.60

Verwendet werden Hölzer von 11 cm Breite und 16 cm Höhe mit F = 176 qcm, T = 3755, T, = 1775 und W — 469, welche also ausreichend sind.

Das Forstrühm hat einer Last (n + 1). P gegen Biegung zu widerstehen; es ist demnach:

4.700.400

-    1555,5.

12.60

Verwendet wird ein Rühm von 18 cm Breite und 23 cm Höhe mit W= 1587, welches also genügt; in der Praxis würde auch ein Quer-

16

schnitt von cm zur Ausführung kommen können.

Die Dachstuhlstiele haben einem Drucke von:

2 Vi (n + 1). P = L . ((n    1) + cos⁸ a) — 3290 kg

Widerstand zu leisten. Sie erfordern daher: gegen Zerdrücken eine Querschnittsfläche

gegen Zerknicken ein Trägheitsmoment

F — 3290:80 — 41,125 qcm;

3290.160.160

110000

— 765,67.

15

Verwendet werden Hölzer mit einem Querschnitt von jg- cm, deren T, — 5063 und F — 270 ist, die also mehr als genügen. Bei einer Rähmstärke von cm würde hier ein Querschnitt von |^! cm ausreichend sein.

Die Sparreuschwellen haben, wenn sie nicht mehr voll untermauert sind, einem Drucke von:

(n + 1). (V₂ + P₁) = 4. (360 + 350) — 4.710 — 2840 kg

mit Biegungsfestigkeit zu widerstehen. Es ist deinnach:

— 1577,7.

2840.400

12.60

Zur Verwendung kommen Hölzer von 20 cm Breite und 22 cm Höhe mit W = 1613, welche also ausreichend sind.

Der Balken a c wird durch die Kraft 2 Hi auf Zug in Anspruch genommen, und erfordert demnach einen Flächeninhalt des Querschnitts:

— 11 qcm.

2.530

100

Liegt der Balken nun frei, dann würde ihn die direkt auf ihm ruhende Stuhlsäule mit der Kraft 2 Vj -f- (n 1). P in seiner Mitte auf Biegung beanspruchen. Es wird dann:

= 6854,16.

3290.500

4.60

Es müßten verwendet werden: Balken von 26 cm Breite und 40 cm Höhe, mit W — 6933. Es wäre hier also jedenfalls ein Überzug anzuordnen, sodaß wenigstens 3 Balken die Last anfnehnien, jeder also W — 6854,16 : 3 = 2284,72 erfordert. Der Querschnitt würde dann mit 21.26 cm, dessen W — 2366 ist, ausreichend sein. — Ist der Balken in der Mitte oder deren Nähe oder durch eine Querwand unterstützt, dann wird er natürlich bedeutend schwächer, und erfordert nur, wie alle übrigen

1,0.500.500 8.60

mit W — 578 und F — 204 qcm.

— 521, und einen Querschnitt von 12.17 cm,

Balken, W

f. Dach mit dreifach stehendem Stuhl.

Bei diesem Dache wird vorwiegend jetzt Zangenverband und Trempel-wand angewendet, sodaß die Kehlbalken fortfallen; Fig. 175.

Es sei L wieder die Belastung einer Seite der Dachkonstruktion, dann ist, wenn die Unterstützung bei d und e in der Mitte der Sparren sich befindet,

³ T.

² TS-l = p'=Tl-p* = T6-L'

Zerlegt man P in die Komponenten St in der Sparrenrichtung und

und cos a =

p

N hierzu senkrecht, dann ist, da sin « — S,:

Si — o • sin a = ,y. L . sin «:

Die Kraft N wird wieder zerlegt in die Vertikalkomponente

XT    P

= N . cos a = —-2

Vi

3

• cos² a = — L . cos² a, da cos a — Yj : N,

und in die Horizontalkomponente H, welche durch — H aufgehoben wird.

’"'T

ds&np

yf

f\ts

IksJSLJPjL_____/j

i,*p

j\

/»,

's--

L X ST

1,50

!M

ff

6,oo

s/M,u

k.lv

>ll<-

F'g- 175.

Die Last Pj wird zerlegt in die in der Sparrenrichtung liegende Komponente und ist, da

sin n = S₂: Pj,

S₂ = Pi. sin a — p— L . sin a,

und in die hierzu senkrechte, welche, da

cos « — Ni: Plf ergibt 5

-Tr- L . cos a.

Ni — P] . cos a:

Tie Kraft Nt zerlegt sich in die Komponenten V₂ vertikal und Hi horizontal gerichtet; und zwar ist aus:

cos a = V₂: Nt und sin « = Hj: Nv

In den Bindern wird der Schub im Sparren von der Strebe aufgenommen und ist deshalb hier:

S₃ = S₁ + S₂ = l-L.sina + |-L.sin« =

sin a -

(i6 + t) _ TfTL 'sin a'

Die Strebe überträgt diesen Druck auf die Unterstützung und wird hier zerlegt in die Vertikalkomponente V₄ und die Horizontalkomponente H₃. Für die zwischen den Bindern liegenden Gebinde ist der Sparrenschnb

1 q

16

\T₂ = N, . cos « —

io 00

r    5

L . cos a . cos « = -=■

L . cos² a;

Hi — Ni . sin a = L . cos a . sin a = ~ L . sin 2 a.

16

S₀ = S₁ + S₂ = ^-L.sin a,

welcher sich in die Vertikalkomponente V₈ und in die Horizontalkomponente H₂ zerlegt. Ist ß der Neigungswinkel der Strebe gegen den Horizont, dann ergibt sich aus:

sin a = V₃: S₀ und cos a = H₂: S₀,

V₃ — So. sin a = L . sin a. sin a = L . sin² «;

13

13

H₂ = So . COS tt r=

16

Aus sin /? — V₄: S₃, und cos /9 = H:j: S₃, ergibt sich ferner:

i q

V₄ = S₃. sin ß — —— L . sin a . sin ß;

L. since. cos« — —— L . sin 2 «.

16

13

L . sin a . cos ß.

H₃ = S₃. cos ß — iß

Der vertikale Gesamtdruck, welchen die Dachkonstruktivn auf die Endunterstützungen der Balken ausübt, ist:

V = V₃ + P₂ + V₄ = ~ L . sin² a -f- L -)- ~ L . sin « . sin ß — jg- • (13 sin² a + 3 + 13 sin a . sin ß) —

~ • (3 + 13 sin a . (sin a -j- sin /?)).

Die Gesamtbelastung der Unterstützung durch die Dachkonstruktion ist:

s^yvs + H,². .

Beispiel.

In Fig. 175 sei die Wandstärke der Unterstützungen 0,38 m, die Tiefe des vorderen Raumes 6,0 in, die des Hinteren Raumes 5,86 m; das Dach wird Schieferdach mit einer Neigung 1 : 3 und 1,50 m hoher Trempelwand und erhält ein Forsträhm und zwei Dachstühle, welche letzteren in der Mitte der Sparren angeordnet sind, sowie Zangenverband. Welche Dimensionen müssen die Hölzer erhalten, wenn die Binder 4,40 m voneinander entfernt sind?

Auflösung. Die Belastung eines Sparrens ist bei 4,40:4 — 1,10 m Sparrenentfernung:

1^= 1,1.7,8.208 = 1784,64 kg,

da bei einer Tiefe des Gebäudes von 13,0 m, die Länge des Sparrens beträgt:

1 = v/4,3² + 6,5- = 7,8 in.

Es ergibt sich nun, bei einer Belastung durch 4 Gebinde: L = 4.1784,64 = rd. 7140 kg.

P = -I- L = 4- • 7140    2680 kg.

Pi =

L = —— ■ 7140 = 4470 kg.

P₂ = T- L = -> - 7140 = 1340 kg.

16

16

8, = —— L . sin a = 1340 •

4,3

16

OS -81

00 LO

= 739,2 = rd. 740 kg.

N = -- L . cos a = 1340 •    = 1116,6 = rd. 1120 kg.

Io    7,0

Vi= N . cos a = 1120.0,833 = 932,96 = rd. 940 kg. 8₂ = Pi. sin « = 4470.0,551 = 2462,97 = rd. 2470 kg. N,= P₁.cosa = 4470.0,833 = 3723,51 = rd. 3730 kg. V₂ = Nt. cos « = 3730.0,833 = 3107,09 = rd. 3110 kg.

= N,. sin a = 3730.0,551 = 2055,23 = rd. 2060 kg. S₀ = S₃ = 8, + S₂ = 740 + 2470 = 3210 kg.

V₃= S₀ . sin « = 3210.0,551 = 1768,71 = rd. 1770 kg. H₂= So . cos « = 3210.0,832 = 2673,93 = rd. 2680 kg. V₄ = S₃ . sin § = 3210. sin 60° = 3210.0,866 =

2779,86 — rd. 2780 kg.

H₃= Ss . cos ß = 3210. cos 60° = 3210.0,5 = 1605 kg.

V — y₃ 4- p₂ -f- v₄ = 1770 + 1340 4- 2780 = 5890 kg.

s = VV² + H₃2 = V3110- + 1605- = V9672100 + 2578025 = v 12248125 = 3499,7 = rd. 3500 kg.

Jeder Sparren wird auf Druck in Anspruch genommen durch ein Viertel der Kraft 8z —

2470 :4 — 617,5 — rd. 620 kg,

auf Biegung durch die Kraft:

₂    - 895 kg.

L, __ 1790

Demnach ist:

620.390.390

110000

857,3;

F = 620 : 100 — 6,20 qcm; 895.390

12.60

= 485,

wenn man den Sparren als fest eingespannt annimmt. Hölzer von 13 cm Breite und 15 cm Höhe mit F= 195, T — 3656, Tx = 2746 und W = 488 genügen also.

Das Forsträhm wird auf Biegung beansprucht durch die Kraft 2 V, —2.940 = 1880 kg, und ist demnach, bei gleichförmig verteilter Belastung,

1880.440

1148,8.

12.60

Ein Querschnitt von 16 cm Breite und 21 cm Höhe, mit W = 1176, ist ausreichend; in der Praxis wird auch 15.20 cm genügen, oder, wenn die Kopfbänder gut mit Versatzung konstruiert werden, auch 14.18 cm.

Die Dachstuhlriihme werden durch die Kraft V₂ = 3110 auf Biegung beansprucht, und ist folglich, bei gleichförmig verteilter Belastung:

3110.440

12.60

1900.

18

Hölzer mit dem Querschnitt von cm und W = 1875, oder von 17

2g cm mit W = 1915, sind also ausreichend; in der Praxis wird auch ein Querschnitt von ^ cm genügen, oder, bei Kopfbändern mit 93er»

15

satzung, 2q cm.

Die Trempelrähme werden in der Regel ganz untermauert, sodaß sie in ihrer ganzen Länge fest aufliegen. Ist dies nicht der Fall, so werden sie durch eine Kraft:

(V₃ — 1770 kg + P₂ = 1340 kg) = 3110 kg auf Biegung beansprucht, und ist dann:

3110.440

12.60

1900,

Ein Querschnitt von u cm mit F = 288, T = 7776 und T, =

16

IO

6144 ist also mehr als ausreichend, event, auch 13.16 cm oder 15 cm im Quadrat.

Die Dachstnhlstiele werden auf Druck in Anspruch genommen durch die Kraft V₂ = 3110 kg, sodaß sich als erforderlich ergibt:

=3664;

3110.360.360 110000

F = 3110 : 100 = 32 qcm.

Ein Querschnitt üon ~ cm mit T = 6804 und T₁ = 4116, sowie

lö

14

18

17

sodaß hier ein Querschnitt von ~ cm mit W — 1875, oder von ^

mit W — 1915 genügt; in der Praxis wird auch event, ein Querschnitt 12

von -g cm ausreichend fein.

Im ersteren Falle beim Aufliegen des Rähms auf der Mauer kann 13

man den Querschnitt — - . cm annehmen.

cm

Die Forsträhmstiele werden durch die Kraft 2 V, = 2.940 = 1880 kg auf Druck beansprucht; demnach ist erforderlich:

1880.560.560

1880

110000

= 5359;

100

23,5 qcm.

F = 252 qcm ist also genügend, oder cm mit 1\ = 3887 und F =

15

238 qcm, event, kann auch ein Querschnitt von cm Verwendung finden.

16

Die Trempelstiele werden durch die Last V₃ auf Druck beansprucht,

deshalb ist:

554,1;

3110.140.140

110000

F = 3110:100 = 31,10 qcm.

13

Verwendet werden Hölzer mit ^ cm Querschnitt, deren F =

12

195 qcm, T = 3656 und Tt = 2746 ist, oder mit jß* cm Querschnitt

mit F = 192 qcm und Tx = 2304.

Die oberen Zangen werden durch die Kraft

Hx = 2060

aus Druck in ihrer halben Länge beansprucht. Es ist also erforderlich:

— 1918,

2060.320.320

110000

und

F — 2060 : 100 — 20,60 = 21,0 qcm; oder, wenn doppelte Zangen angeordnet werden,

T= 1918:2 = 959, und F = 21 : 2 = 10,5 qcm.

Mit Rücksicht auf die Bolzenlöcher und die Einkämmung werden im erste» Falle Hölzer von 11 cm Breite und 21 cm Höhe mit T = 8489, T, = 2329 und F = 231 qcm, im zweiten Falle Hölzer von 9 cm Breite und 18 cm Höhe mit Ti = 1094 und F = 162 qcm verwendet.

Die unteren Zangen werden durch die Kraft

H₂ = 2680

auf Zug in Anspruch genommen, und ist demnach notwendig:

F = 2680 : 100 = 26,8 qcm = 27 qcm, oder, wenn doppelte Zangen verwendet werden,

F = 27 : 2 = 13,5 qcm.

Zur Verwendung gelangen im ersten Falle Hölzer von 8 cm Breite und 16 cm Höhe mit F= 128 qcm, im zweiten Falle Hölzer von 12 cm Höhe und 8 cm Breite mit F = 96 qcm.

Die Strebe wird beansprucht durch die Kraft 8z = 3210 kg

auf Druck, und durch die Kraft

H, = 2680 kg

auf Biegung. Es ist demnach, da die Länge der Strebe beträgt,

3,6

3,6

sin 60°    0,866

3210.416.416

110000

= 4,16 m, erforderlich:

5050;

=1548.

= 3210: 100 = 32,10 qcm; 2680.416

12.60

Verwendet werden Hölzer von 13 cm Breite, gleich der Stärke der Sparren, und 27 cm Höhe mit W = 1580, T = 21323, Tx = 4943 und F = 351 qcm; in der Praxis würde event, auch ein Querschnitt von 13

20 cm genügen.

g. Das Dach mit liegendem Stuhl.

Die gleichförmig über den Sparren, Fig. 176, verteilte Last ist L; demnach ist die an jedem Ende des Sparrens, in a und b und in c und b wirkende Kraft:

16

p,=

und die bei d und e wirkende Kraft:

P, = 4 L.

Vj

k-

tel

Fig- 176.

In b wirkt die Last P₀ zweimal, nämlich ans jedem Sparren, folglich ist bei b die Vertikalkraft:

p=tl-

Dieselbe wird zerlegt in die in der Sparrenrichtung wirkenden Komponenten 8,, und ist, da 8in« —P<>:8i,

Si —

Po

sin a

2 sin a

16 sin a

Die Kraft P-, welche im Punkte d wirkt, wird zerlegt in die in der Sparrenrichtung liegende Komponente S₂ und in die hierzu senkrechte Komponente N; es ist dann, da sin« —8z: P,, und cos« — N:P>,

8z —Pi . sin a = —- L . sin a;

5 ,

—— L . cos a.

N = Pj . cos « =

sin ß: sin (90 — a) — N: S₃,

woraus:

Die Kraft N wird wieder zerlegt in die Horizontalkomponente H und in die in der Richtung der Stuhlsäule liegende Komponente S₃; bezeichnet ß den Neigungswinkel der Stuhlsäule gegen den Horizont, dann ist:

5 L. cos a . cos (ß — «)

8 sin ß

Es ist nämlich:

sin ß : sin <f — N : H;

es ist aber auch:

/$= 90° - (<? — «); ß = 90° — <1 -f- a;

<5 — 90° — ß -f- a, oder: d — 90" — (ß — et);

es verhält sich demnach:

sin ß: sin (90° — (ß — «)) = N : H,

woraus:

N . sin (90° —iß — «))

N. cos (ß — «)

sin ß

5 L . cos (ß — a). cos a

sin ß

8 sin ß

Es ist ferner:

sin ß: sin y — N: S₃;

oder:

S₃ =

N . sin (90 — «) _ 5 L . cos a . cos a

5 L. cos* a

sinß

8 sin ß

8 sin ß

Wird der Angriffspunkt der Kraft S₃ von d nach f verlegt, so ergibt sich hier die Horizontalkomponente, da cos /? = H, : S₃,

5

5- L . cos⁸ a . cot ß,

Hx = S₃. cos ß --

5 L . cos² « . cos ß _

8. sin ß

Vt = S₃. sin ß

und die Vertikalkomponente, weil sin/? — V,; S₃, 5 L. cos² a sin ß

8 sin ß

Werden ferner die Kräfte 8> und S₂ zu einer Kraft S₄ vereinigt und deren Angriffspunkte nach a verlegt, so ist:

+ —

~ 8

s* = s₁ + s₂ =

16 sin u

L . sin a —

16 sin a

3 L -f- 10 L . sin² a

16 sin a

• (3 + 10. sin² «).

Die Kraft S₄ wird zerlegt in die horizontale Kraft H₂, welche sich aus cos « = H₂: 8, ergibt:

H₂ = S₄. cos a

L . cos a

• (3 -|- 10 . sin'² a) —

16.sin a

~ ■ cot a . (3 + 10. sin² «),

und in die vertikale Kraft V₂, welche ans sin a — V₂: S₄ gleich ist:

L. sin a 16. sin a

~ • (3 + 10 . sin² a).

Der gesamte Vertikaldrnck auf die Unterstützung ist:

= V₂ + P₂=r — • (3 + 10. sin² «) + T³- L =

V₂ — 8₄. sin a —

• (3 4" 10 • sin² a) =

I t-H <1

, • (3 4- 3 + 10 . sin² a) — -- • (6 + 10 . sin² a) —

16    lo

(3 4- 5 . sin² a).

O

Die totale Belastung der Unterstützung durch die Dachkonstruktion ist: 8 = -v/V² + H₂².

Der Neigungswinkel derselben gegen den Horizont wird gefunden aus:

. V

tgr=-H

nach dann:

Ist die Stuhlsäule dem Sparren parallel, so ist a — ß und dem-

5 t +

— L. cot ß;

O

5 T

— L . cos ß . cot ß;

O

5 L . cos ß. cos (ß — ß)

8 sin ß

8g

H1 =

5 L . cos² ß 8 sin ß 5

- L . cos² ß. cot ß.

Beispiel.

In Fig. 176 sei das Dach als Doppel-Ziegeldach gedeckt, die ganze Tiefe —12,0 m und die Höhe — 4,40 m; die Neigung des Dachstuhls sei ß = 50°; welche Dimensionen müssen die Hölzer erhalten, wenn die Binder 4,0 m von einander entfernt sind?

Auflösung. Die Belastung eines Sparrens ist:

L=r 7,44.1,0.280 = 2083,2 = rd. 2090 kg,

da die Länge des Sparrens.

ist. Es ergibt sich nun:

1 — H- 4,4² — V'55,36 — 7,44 m

P = -§- L = -§- • 2090 — 783,75 — rd. 790 kg.

O    o

3.2090

16

16

391,875 = rd. 395 kg.

Pt — ™L = ^- 2090 — 1306,25 — rd. 1310 kg.

Si —

Po

4,40

395 : 0,591 = 668,3 — rd. 670 kg. S₂ = P,. sin « — 1310.0,591 = 774,21 — rd. 780 kg.

sin«

= 395:

7,44

N = Pi. cos « = 1310 • -

6,0

7,44

1310.0,806 = 1055,86 =

rd. 1060 kg.

5 L . cos « . cos (ß—«)

5.2090.0,806. cos (50° — 36" 15')

8 sin ß

5.2090.0,806 . cos 13° 45'

8. sin 50°

10450.0,806.0,971

8 . sin 50"

8.0,766

8z —-

1334,6 = rd-1340 kg.

5.2090.0,806°

5 L . cos² a

5.2090.0,806.0,806

8. sin ß

8 . sin 50°

8.0,766

1107,8 = rb. 1110 kg.

Ht = S₃. cos ß= 1110. cos 50°= 1110.0,643 = 713,73 = rd. 720 kg. Vi = S₃. sin ß = 1110.0,766 = 850,26 = rd. 850 kg.

S₄ = Si + S₂ = 670 + 780 = 1450 kg.

H₂ = S«. cos « = 1450.0,806 = 1168,7 = rd. 1170 kg.

V₂ = S₄. sin a = 1450.0,591 = 856,95 = rd. 860 kg.

V = V₂ + P₂ = 860 4- 395 = 1255 kg.

Die größte Kraft, durch welche der Sparren auf Druck und Zerknicken beansprucht wird, ist S₂, folglich ist erforderlich: ein Trägheitsmoment

780.372.372

110000

= 981,2,

und ein Querschnitts-Flächeninhalt

F = 780:100=7,80 qcm.

Die Last — nimmt den Sparren auf Biegung in Anspruch und ist demnach das erforderliche Widerstandsmoment:

W =

1045.372

12.60

= 539,91.

Verwendet werden Sparren von 13 cm Breite und 16 cm Höhe mit F = 208 qcm, T = 4437, Tt — 2929 und W = 555, die also genügen.

Die Zange» werden durch die Kraft H auf rückwirkende und Zer-knickuiigs-Festigkeit in Anspruch genommen- Es ist demnach nötig:

F— 1340:80= 16,75 qcm;

— 5969,09;

1340.700.700 110000

oder, wenn Doppelzangen verwendet werden:

F = 16,75: 2 = 8,375 qcm;

T - 5970: 2 = 2985.

T = 20205, T\ = :is auch ein Qner-

Im ersteren Falle werden genügen:

der

Zangen von 26 cm Höhe und 14 cm t 5945 und F — 364 qcm; event, wäre 15

schnitt von 20 cm ausreichend;

im zweiten Falle:

cm ausreichen dürfte.

’ 20

Die Dachstuhlstiele werden belastet durch je 4 Sparren, sodaß sie also auf Druck und Zerknicken in Anspruch genommen werden durch:

Zangen von 21 cm Höhe und 12 cm Breite, mit T = 9261, T, = 3024 und F — 252 qcm, für welche event ^

1953,6

4.8z — 4.1110 — 4440 kg. Es ist demnach erforderlich ein Trägheitsmoment 4440.220.220

110000

und ein Querschnitt

F = 4440 : 80 = 55,5 qcm. 15

Verwendet werden Säulen von

cm Stärke, mit T — 5120,

16

T> — 4500 und F = 240 qcm, die also mehr als genügen.

Die Dachstuhlrähme werden auf Biegung beansprucht von der Kraft: 4.8z —4.1110 —4440 kg,

und ist also ein Widerstandsmoment erforderlich von

— 1850.

4440.400 12.80

Verwendet werden Hölzer von 15 cm Breite und 27 cm Höhe mit W = 1823, die also ausreichend sind; genügen dürfte aber auch ein

Querschnitt von ^ cm, oder von ~ cm.

12

Diesener III.

Hat der Binderbalken keine Unterstützung durch eine Querwand, so ist er, außer seiner gleichförmig verteilten Belastung, durch H, auf Zug und durch Vx auf Biegung beansprucht.

Es ist demnach erforderlich:

= 4108,16, und

BM _ 1570.1570.540 W — 2 P S ~    2.2700.60

F = Hj: S = 720 : 80 = 9 qcm. In der Formel für Reaktion A:

850.4,0,

2700

Ptb

5,4

und in der obigen Formel für W ist nämlich:

P = 5,4.1,0.500 = 2700 kg, Pi—Vi = 850 kg,

A = 1350 + 630 = 1980 kg, B = 3550 — 1980 = 1570 kg, 2700.4

Pb

Pb

5,4

= 2000 kg und demnach B -<—p-

Ein Balken von 24 cm Breite und 31 cm Höhe mit W = 3844 würde ausreichen: der Flächeninhalt dieses Querschnittes ist = 744 qcm, welche mit den vorstehend berechneten 9 qcm eine erforderliche Querschnittsfläche von 753 qcm ergeben. Es wird also ein Balken von 24 cm Breite und 32 cm Höhe mit F = 768 und W = 4096 zu verwenden sein, wenn sich keine Querwand unter dem Balken befindet; ist dies der

cm ausreichend.

20

Fall, dann wäre ein Querschnitt von

h. Mansarde-ächer.

Bezeichnet L die Belastung jedes oberen Sparrens b c, in Fig. 177, T    T

so sind die Punkte b mit 2" und der Punkt c mit 2 - -- - = L belastet.

Von dieser letzteren Kraft pflanzt sich in jeden Sparren, und zwar in seine Richtung, eine Komponente

2 sin a

bis an den Fnßpnnkt b fort und wird hier zerlegt in die Horizontal« komponcnte

H, —. Sx . cos a —

L. cos a

2 sin a

Ni fcr¹

- cot a,

und in die Vertikalkomponente

Vi — 8,. sin « —

L . sin a

2 sin a

In jedem der Punkte b ist aber bereits ein Vertikaldrnck

V __L.

V°- 2

vorhanden, folglich hat jeder Punkt b einen Vertikaldruck

V₂=Vo +V! = L

zu ertragen.

Bezeichnet ferner Lt die Belastung eines unteren Sparrens ab, so

- auszuhalten; der in den

to tr¹

hat jeder Punkt b noch einen Vertikaldruck Punkten b wirkende gesamte Vertikaldruck ist demnach:

V = L + ^.

Zerlegt man diese Kraft in die beiden Komponenten S₂ und Hs, erstere in der Richtung des Sparrens liegend, letztere horizontal, so ist, da sin ß — V : S2 und cos ß — H₂: S₂,

V — 8₂. sin ß'

S₂=r V

Si.

sin ß '

H₂ = V . cot ß — S₂. cos ß.

17

s«kA-v’

gt—J-V

,z

Fig. 177.

Die Kraft S₂ pflanzt sich in der Richtung des Sparrens a b nach seinem Stützpunkte a fort und zerlegt sich hier in die Horizontal-Komponente Hg — S₂. cos ß = V . cot ß = H₂, und in die Vertikal-Komponente

Vs = S₂. sin/$= V, weil cos ß — R₃;S₂ und sin ß = YH: S₂ ist.

vorhanden, sodaß

Im Punkte a ist außerdem der Vertikaldruck der gesamte Vertikaldruck im Punkte a gleich

V + ^ = L+^1 + i^L + L,,

12*

d. h. gleich der Gesamtbelastung der Sparren a b und b c ist. Hierbei ist Voraussetzung, daß die Verbindung der Sparren in den Punkten b eine derartige ist, daß eine Drehung der unteren Sparren um ihren Stütze Punkt a unmöglich wird. Es ist demnach noch zu untersuchen, unter welchen Bedingungen dieser Voraussetzung entsprochen wird.

Eine Drehung des Sparrens ab um seinen Fußpunkt a versuchen die Kräfte Hx und V herbeizuführen, und zwar in entgegengesetztem Sinne, und ist demnach festzustellen, unter welchen Bedingungen diese beiden Kräfte sich im Gleichgewicht befinden. In Beziehung auf den fixen Punkt a ist b f der Hebelarm von 8, und a f derjenige von V; die Bedingungsgleichung für das Gleichgewicht ist demnach:

Ht.bf = V.af.

Es ist aber:

b f = a b . sin ß, und a f = a b . cos ß,

folglich auch:

H, . a b . sin ß — V. a b . cos ß,

oder:

(l+t)

- cot a. a b. sin ß =

• ab . cos ß, oder:

—. cot Ct —

• cot ß, oder:

8i — V. cot ß.

Nimmt man an, daß die Sparren a b und b c gleich lang sind, und demnach L = Llf so ist:

2

— L . cot ß, oder:

O

cot et — 3 . cot ß,

d. h. bei gleicher Länge und gleicher Belastung der oberen und unteren Sparren findet Gleichgewicht statt, wenn die Kotangente des Neigungswinkels des oberen Sparrens sich zur Kotangente des Neigungswinkels des unteren Sparrens verhält wie 3:1.

Bei gegebener Höhe und Tiefe des Daches ist nun die Lage der Punkte b so zu bestimmen, daß die unteren und oberen Sparren gleiche Länge erhalten.

Bezeichnet t die halbe Tiefe und h die Höhe des Daches, und setzt man af — x und bf = y, so ist:

ab — \/x² + y², und bc — V(t — x)²-j- Ö¹ — y)².

Da nun ab —bc sein soll, so muß auch

Vx²-{-y² = y/(t — x)⁸ -j-sb — y)⁸, oder x- + y² = t- — 21 x -f x² -j- h⁸ — 2 h y + y² sein.

h —y' y

und hieraus:

,    —' oder

h —y

3 hx — 3xy —ty —xy, oder: 2. ty-s-2xy —3hx, oder y. (t + 2 x) = 3 h x.

Aus den Gleichungen 1. und 2. können nun x und y leicht berechnet werden Aus Gleichung 1. ist:

y —

und aus Gleichung 2. ferner:

cot a =

cot a: cot ß — 3 : 1,

Hieraus ist:

Es ist ferner:

1. t³ + h² = 2. (t x + h y).

und da sich verhält:

so ist auch

- und cot ß = -y

t² + h² — 2 t x

2h

folglich:

t + 2x '

t² + h² — 21 x

2h

’ t + 2x

diese Gleichung aufgelöst, gibt:

t³ + t h² — 2 t²x -\- 2 t²x + 2 h²x — 41 x² = 6 h²x; t³ + t h² — 4 t x² = 4 h²x; t. (t² + h² — 4 x²) — 4 h²x;

4 h²x

t² 4- h² — 4 x² =

4- h²x

4ls + iii = t> + h!;

I    :._t⁸+ha.

h⁴

4 t² '

X + T = V^-⁺—■

und hieraus:

h² V t⁴ + t² h² + h⁴ _ — hs+Vt* + t³h» +h«

2t

2t

2t

folglich:

_ t² + h² — (— h² + V t⁴ + tä h² + h* 2h

t² + h² + ha+ yt⁴ + t² h² -f- h⁴ t² + 2 h² + V t⁴ +1² h² + h⁴

2h

Nimmt man die Höhe des Daches gleich der halben Tiefe an, also h — t, so ist für diesen Fall:

— t² + V t⁴ -I- t² , t² -f t⁴ _ — t² + V 3 t⁴ _

2t

— t² + t²V3 _t« (— 1 ±V3) _    — l±x/3 .

2 t —    2 t    '    2    '

, _ t² + 2 t² + V t⁴ -f t². t² + t⁴ _3tä + V3"*4 y—    ""    — 2t

t 3 + VT t. -

3 t* + t⁸ . V 3 _ tM3 + V 3) _

2t

2t

Durch Konstruktion kann nun die Lage des Punktes b wie folgt bestimmt werden; Fig. 178. Man schlage über der ganzen Tiefe einen

■ ./.tefw

m x

/„ j '

“*13    1______

Fig 178.

'h

Halbkreis, schlage dann mit der halben Tiefe als Radius um a und c Kreis bögen, welche den Halbkreis in h und i schneiden, und ziehe die Linien ah und ci. Der Schnittpunkt b dieser Linien ist der Punkt, in welchem beide Sparren zusammenstoßen müssen.

Zieht man bf und hg senkrecht auf ad, b e parallel ad, und die Linie dh, so ist A a b f ~ ahg, und verhält sich demnach af:bf = ag:hg, oder, wenn af —x und bf = y gesetzt wird,

x ; y = a g : h g.

Da ah — ad — dh ist, so ist A adh ein gleichseitiges und folglich

ag=r dg= — t,

wenn t die halbe Tiefe bedeutet.

Es ist ferner

hg = y ah² — ag²= y

Die obige Proportion lautet dann:

X: y = -f- t: -J V 3, oder x: y = 1: V 3,

woraus

y=x. V 3.

Es ist aber auch A abf ^ bce, folglich verhält sich: ce:be = af:bf,

bst aber ce = t — y, und be=t — x, so verhält sich auch:

(t — y): (t — X) — X: y,

woraus

t y — y² — t x — x².

Setzt man in diese Gleichung den obigen Wert für y ein, so ist t x V 3 — (x \/3)² = t x — x²; t x |/ 3 — 3 x² = t x — x²;

— 2 x² — tx — t x v/ 3 = t x (1 — V 3);

2 x — t • (y/~3 — 1),

Setzt man diesen Wert für x in die Gleichung

y = X • V 3

ein, so ergibt sich: y — V 3 • t •

_t 3-V3. _t 2 '

3t — t • /3

die Konstruktion ergibt also die für das Gleichgewicht aufgestellten Bedingungen.

Da das Dreieck a dh gleichseitig ist, so ist der Winkel ß— 60 °, und ergibt sich dann der Winkel« — 30°.

i. Die Pultdächer.

Lehnt sich der Sparren ab, wie in Fig. 179, gegen die Wand und ist L die gleichförmige Belastung desselben, dann wirkt in a und b eine

Kraft i in vertikaler Richtung. Die im Punkte b wirkende Kraft wird

zerlegt in die Komponenten 8, und Hlf von denen die erstere in die Richtung des Sparrens fällt, die zweite senkrecht zur Wand b c wirkt und diese umzuwerfen versucht. Es ist dann:

8i —    : sin ß;

Hl— ^ ♦ cot a.

u%

ST-,

Fig. 179.

F'g. 180.

Die Kraft 8, pflanzt sich in dem Sparren nach seinem Fußpunkte a fort und zerlegt sich hier in die Horizontal-Komponente

8z — S, . cos ß,

und in die Vertikal-Komponente

V, = Si . sin ß,

oder, wenn man für Si den obigen Wert einsetzt, dann ist:

TT    _£

² sin ß Vi =

L

. cos « — -g- • cot ß;

DO tT¹

L .

— : sin ß . sm ß = - - •

Im Punkte a ist aber bereits der Vertikaldruck vorhanden, folglich ist der gesamte Bertikaldruck im Punkte a —

— L,

d. h. gleich der Belastung des Sparrens ab.

Der Gesamtdruck auf die Unterstützung bei a ist:

S = |/V² + H

Die Wand b c hat der Horizontalkraft H, zu widerstehen.

Ist der Sparren, wie Fig. 180, mit der Wand verbunden, dann ist

der bei b vorhandene Vertikaldruck in die Komponenten S,, in der

Richtung des Sparrens liegend, und N senkrecht hierzu, zu zerlegen, und zwar ist:

- cos «.

Der sich in der Richtung des Sparrens nach a fortpflanzende Druck Si wird hier in die Komponenten

H₂ = Si . cos «,

in horizontaler Richtung, und

Vg — Si. sin «,

in vertikaler Richtung, zerlegt.

• sin st .cos «;

Setzt man für St den Wert ein, dann ist: _ L

“—T

- sin² st.

Vg =    - sin « . sin « —

Im Punkte a wirkt aber bereits der Vertikaldruck demnach ist der gesamte im Punkte a wirkende Vertikaldruck:

V = 2™ • sin²st + ^- = ^--(1 + sin² st).

Der Gesamtdruck aller im Punkte a wirkenden Kräfte ist die Resul-taute 8 zwischen H₂ und V; dieselbe ist demnach:

s=vvMrH^r

Die Kraft N = ~ • cos a ist zu zerlegen in die Horizontal-Kom-

ponente und in die Vertikalkomponente Vi, und zwar ist:

Hi^rN.sin«;

Vi = N. cos st.

Setzt man für N seinen Wert ein, dann ergibt sich: L .

— —— • sin st . cos st;

V i = —— • cos st . cos st — —

L

-- • COS² st.

Der Vertikaldruck V, pflanzt sich nach dem Fußpunkte c fort und ist demnach der in den Fußpunkten a und c wirkende Vertikaldruck

d. h. der gesamte Sparrendruck geht auf die Punkte a und c über.

Die Wand bc hat dem Drucke U, durch ihre Stabilität Widerstand zu leisten, welche durch den Vertikaldruck V, vergrößert wird.

k. Dächer aus Holz und Eisen.

-A

Fig. 181.

1. Das Dach in Mg. 181 ist derartig konstruiert, daß die hölzernen Sparren ab und bc durch eine Eisenstange a c zusammengehalten werden, deren Durchbiegung wieder durch eine Eisenstange b d verhindert wird. Bezeichnet L die Belastung eines Sparrens, so wirken in a und c die Kräfte

v₀ =

und in b ebenfalls zwei Kräfte

Pl ⁼~Y'

in vertikaler Richtung, sodaß also in b die Kraft

P —L

wirkt. Diese Kraft wird zerlegt in die Komponenten

8i — L : 2 sin «,

welche in die Richtung der Sparren fallen. Bezeichnet man die Höhe b d mit h und die Länge ab des Sparrens mit 1, so ist:

sin « = h : 1,

und demnach:

V + V, =    . (1 + sin⁸ <»)+-£-. cos⁸ a =

—    • (1 -|- sin² « -|- cos² «) —

—    • sin²« -j-    - cos² « —

-+T

ins

CM 1-1

- (sin² « + cos² «) —

+ ^r-l=L,

S,=L.l:2h.

Wird der Angriffspunkt der Kraft 8i von b nach a verlegt und hier in die Horizontal-Komponente

H = Si . cos «

L. cos «

2 sin «

L

2 • cot«,

L . sin a L

und in die Vertikal-Komponente Va = S . sin a

2 sin a

zerlegt, so ist auch, wenn man die halbe Tiefe ad = t setzt,

cot et = t: h,

und

H = L t: 2 h und V, = A.

In den Punkten a und c wirken nun vertikal die Kräfte:

VO+V;

k-T 2 ~L'

Die Gesamtbelastung des Punktes a ist demnach S = VH* + V»,

und der Neigungswinkel dieser Kraft gegen den Horizont ergibt sich aus:

L cot a

= 2 . t;ga.

cot a

Die hölzernen Sparren haben dem Druck 8i auf ihre Längsrichtung zu widerstehen und werden auf relative Festigkeit durch die Last L gleichförmig beansprucht. Die eiserne Zugstange a c wird durch die Kraft 2 H auf Zug in Anspruch genommen; dagegen hat die eiserne Stange b d nur den Zweck, das bei b unter den Sparren liegende Rähm festzuhalten, welches nur dazu dient, eine Längenverbindung bezw. Längenverstrebung derselben herzustellen. Aus diesem Grunde können auch noch Eisenstangeu nach Art der Kopfstreben, von den Stangen b d aus nach dem Forsträhm angeordnet werden.

Der Druck V ist von der Unterstützung aufzunehmen.

2. Ist die Zugstange nicht horizontal, sondern geneigt, wie in Fig. 182, so ist der gesamte Vertikaldruck im Punkte a —

Ih,

V = L.

Der Vertikaldruck gegen den Binder ist im Auflager:

Fig. 182.

derselbe zerlegt sich in 2 Komponenten, eine in der Richtung des Sparrens, die andere hierzu senkrecht. Die erstere ist:

8, — Vi. sin a = ~ • sin a,

die zweite:

Ni

8z — H. cos (a — «,),

Bezeichnet man den Zng in der Strecke a d mit H, so muß dieser ebenfalls in 2 Komponenten zerlegt werden, von denen die eine wieder in der Richtung des Sparrens, die andere hierzu senkrecht liegt. Hiervon ist die erste:

und die zweite:

N₂ = H . sin (a — «,).

Die in die Richtung des Sparrens fallenden Komponenten müssen von diesem aufgenommen werden; soll aber Gleichgewicht herrschen, dann müssen die zum Sparren senkrecht gerichteten Komponenten sich das Gleichgewicht halten.

In der Richtung des Sparrens wirken die Kräfte:

s = s, + s

~ - sin a -)- H . cos (a — a,).

Die zum Sparren senkrecht gerichteten Kräfte sind:

Nj — Nj>, oder

• cos « = H . sin (a — «,),

woraus

L. cos a

2 sin (a — «,)

Setzt man diesen Wert in die obige Gleichung für H ein, so ist: L . cos a . cos (« — «,)

2 . sin (a — «,) cos a . cos (cc — sin (« — «,)

sin a . sin (« — «,) + cos a . cos (« — «,) sin (a — «i) cos . (« — (a — a,))\ _ sin (a — «i)

L cos (« — a + «i)

■S —

- sin ec -j-

2 ' (sin « +

--■(

2 \

T'(-

«i)j

L. cos

2 sin (a — «i)

Verlegt man den Angriffspunkt der Kräfte H nach d, so ist die hier wirkende Vertikalkraft:

sin (a — a,)

L. cos « . sin «x sin (a — «i)

welche von der senkrechten Stange b d aufgenommen werden muß.

2 . L . cos a . sin ax 2 . sin («— «i)

Wird nun noch der Angriffspunkt der Kraft 8 nach b verlegt, so erhält man in b wirkend:

= Vo.

L . cos a . sin «, sin (a — «j)

Bezeichnet man die halbe Tiefe mit t, die Höhe mit h, den Abstand de mit hi, die Länge ab mit 1 und ad mit lv so ist:

sin a = h : 1, cos « — 1:1, sin «, = h,: 1 cos «i — 1:1,.

Man erhält also:

sin (« — «0 — sin « . cos «i — cos « . sin «i —

h t    t    h,

t ' i,    r' t ~

-₁t|    • (li — h]).

Die Werte der Kräfte ergeben sich nun hiernach: L. cos «!

2 . sin (« — «i)

L.t

21,-

1.1

V-Oi-h,)

2 . (h - ln)

L . cos a

L.t

2 . sin (« — «j)

21-

1.1

• (h — hj)

L.l

V«=

2 . (h - Ir.)

L . cos «. sin «i sin (« — «i)

L.t.h

L.h,

1-1.-

V-(h-hi)

h — h,

1.1

Anmerkung. Da die Dachkonstruktionen aus Holz und Eisen in Bezug auf die Zerlegung der Kräfte ebenso behandelt werden, wie die Dächer, welche ganz aus Eisen konstruiert sind, so wird hier von der weiteren Behandlung abgesehen.

1. Einfache Dächer aus Eisen.

Die einfachsten Dächer aus Eisen sind diejenigen, welche ebenso konstruiert sind, wie die in Fig. 181 u. 182 aufgeführten, nur wird die Längsverbindung und Verstrebung durch an die Sparren gebolzte leichte eiserne Kreuze hergestellt.

1. Ist der Sparren, wie in Fig. 183, in der Mitte einmal unterstützt, und bezeichnet L die Belastung eines Sparrens, so ist die Belastung

Die im

16

bind) Vertikaldruck bei a und c = Jjr L und bei e — 4* L.

Auflager des Binders senkrecht aufwärts wirkende Kraft ist daher:

= V.

L-rlL=iL

Die Kraft V ist zu zerlegen in die Komponente S, in der Richtung des Sparrens und Na senkrecht hierzu. Es ist dann:

— j|-L . sin «;

13

Ni = — L . cos a.

16

Ps Ps

\»

NX

/'a

<A

/«Tv

'4

Fig- 183.

Bezeichnet man den Zug in der wagerechten Stange ab mit H und zerlegt denselben in die in der Richtung des Sparrens liegende Komponente S₂ und die hierzu senkrechte Komponente N₂, so ist:

S₂ —- H. cos a;

N₂ = H. sin a.

Wenn an den Auflagern a und b Gleichgewicht herrschen soll, dann müssen 8i und S₂ vom Sparren aufgenommen werden, während sich N und N₂ das Gleichgewicht halte» müssen.

Es muß demnach

Iß

Ni = N₂, oder L . cos u 11 . sin a

sein, und hieraus ist:

H =

13 L . cos «    13

16 sin a

16

L. cot a.

P,=

-⁵-L

Der Druck im Sparren ist:

13

8 — 8, -)- S₂ = L . sin « -)- H . cos «,

16

ober, für H den Wert eingesetzt,

13

13

16

16

13

— L . (sin a -j- cos « . cot a) — lb

13 j /sin⁸ a cos a . cos « \_

16    sin «    /

13 T /sin²a -j- cos² a\_

16 L \ sin« /

Bl.

13 L

sin a

16 sin a

Der im Punkte e bezw. f vorhandene Vertikaldrnck

16

wird in die beiden Komponenten

S,= P

ÖL

2 sin a

16 sin a

von denen die eine in den Sparren, die andere in die Strebe übergeht, zerlegt.

Der Druck in den Streben d e und d f vereinigt sich int Punkte d und wirkt hier als Zug auf die Stange cd, sodaß derselbe gleich ist:

5L

P₂ = 2 •    —

16 sin a

ÖL

8 sin «

Der im unteren Teile des Sparrens a e wirkende Druck ist nun 13 L 16 sin a

8g — 8    8 g —

ÖL

18 L

16 sin n

16 sin «

8 sin «

Der in c wirkende Vertikaldruck aus jedem Sparren —

16

p₈=4l

geht in die Stange cd über, und sind die in den Sparren liegenden Komponenten S₄ ohne Einfluß auf die Konstruktion.

Bezeichnet t die halbe Tiefe, h die Höhe des Daches und s die Länge des Sparrens, sodaß d e — d f = | s, und

so ist:

s — V t² + h²,

13

16

IT'

Fig. 184.

Dieselbe ist in die in der Sparrenrichtung liegende Komponente Sj und die hierzu senkrechte Komponente Nt zu zerlegen, und zwar ist:

Si — “j L . sin a;

13

N,=

S₀ =

9 T h _ 9 T 8

8 L:T—8L,1.’

L:A

P =5 ² 8

2. In Fig. 184 ist die Zugstange ab nicht wagerecht, sondern von a und b aus nach der Mitte zn ansteigend. Bezeichnet L die Belastung eines Sparrens, so ist im Punkte e ein Vertikaldrnck

P =

00 I Ol

L,

und in a und c ein solcher —

p,=4l

vorhanden. Es ist demnach die Kraft, welche bestrebt ist, den Binder im Auflager a aufwärts zu biegen —

Y_t 3 j _13

y-L~l6L-16

l.

Sj

f\

\JV>

ti

S,

ff

-A-i

ft

.. L.cos«.

Io

Bezeichnet man den Zug in der Stange a d mit H, so ist dieser gleichfalls in die Richtung des Sparrens und senkrecht darauf zu zerlegen; es ergeben sich dann diese Komponenten:

S₂ = H. cos (« — ß);

N₂ = H . sin (tt — ß).

Soll nun «in Punkte a Gleichgewicht herrschen, dann müssen die Kräfte 8, und S₂ vom Sparren aufgenommen werden, und Nt und N2 müssen im Gleichgewicht sein; es muß also

fein, woraus

Ni = N₂, oder 13

^ L . cos a = H . sin (a — ß)

h = !4l.

COS ß

16

Die Vertikalkraft

sin (ß — ß)

U.

welche in der Mitte e des Sparrens wirkt, geht in den Sparren und in die Strebe de über; erstere ist:

₈ ^ P ___

⁸ sin ß 8 sin a

die letztere, wenn y der Neigungswinkel der Strebe mit dem Horizont ist,

S₄ = ^-sin y

5L

8 sin y

Der Gesamtdrnck in dem Teile a e des Sparrens ist nun:

13

S = Sj + S₃ 4- S₃ = -=! L. sin ß + H. cos (ß — ß) -|

L •

5L

8 sin)'

13

CD CO

L . sin ß +

COS ß . COS (ß-ß)

ÖL

16

sin (ß — ß)

8 sin y

lß L . sinß 4

13

10 L . cos ß . cot (ß — ß) +

ÖL

8 sin y

13

10 L . (sin ß -{- cos ß . cot (ß — ß))

ÖL

8 sin y

Ans den Zugstangen a d und b d gehen die Kräfte H, und aus den Zugstangen d e und d f die Kräfte S₄ ans den Punkt d über und wirken hier ziehend auf die Stange cd. Der Zug, dem diese Stange zu widerstehen hat, ist:

V — 2 H . sin ß 2 S₄ . sin y.

Bezeichnet t die halbe Tiefe, h die Höhe des Daches, ist dg — hj, 1 — der Länge des Sparrens, L — der Länge der Stange ad, 1₂ = der Länge ei und iz — der Länge der Stange de, so ist:

1 — v/t² + h»;

1₄ — yt² hj²; sin ß = h: 1; cos ß — t: 1; sin /S = h₄ : li; cos ß = t: 1₄;

sin (ß — ß) — sin ß . cos ß — cos a . sin ß— h t t h

1 li

h t — th

lll

V- - (h -hl);

lll

cos (« — ß) = cos cc. cos /9 -|- sin a . sin ß —

Jl i i A Ai—

1 • 1, ^ 1, • lt -t² -f- h h

11,

cot (« — ß) =

(t. 1. t. li + 1). h h

cot ß — cot a

P + 1

1. h .    . h] . (lit — th,)

ht — t ht t. (h — hi) ’ sin y —    ——

*2 -¹3

Es ist demnach: H = ^L-

16

i.t. (h—hi)

r—I j t—<

1,

L' h —hi '

13

S = XL.

(r+i-

t² + i

t. (h—hi)

h.(h — h,)+tf + l l.(h-hi)

V = 2 H sin ß = 2 S₄ sin y —

16

13-

Iz — lg

5 L sin y

8 sin y

13

8L'T=h^

(¹³'TAhr+4

JS.

.x'

ff

x=;

cp

id

QO

3. In Fig. 185 ist ein Poloncean-Binder dargestellt. Bei demselben sind die Sparren a b und he in ihrer Mitte durch die auf ihnen senkrechten Streben dg und es gestützt, deren Fußende mit den Sparrenenden a, b und c durch die Stangen ag, gb, bf und f c verbunden ist. Zwischen

den Punkten g und f befindet sich eine Zugstange, welche das Ausgleiten der Sparren in den Punkten a und c verhütet und die event, durch eine lotrechte Stange b i gestützt wird, um ihr Durchbiegen zu verhindern.

Ist « der Neigungswinkel der Sparren, ß derjenige der Zugstangen a g und fc gegen den Horizont, und L die Belastung des Sparrens, dann ist:

Pi =

Po =

Ar

16 L'

yL und

Al.

16

Die Kraft P, zerlegt sich in die Komponenten Ri in der Richtung des Sparrens und Ni in der Richtung der Strebe dg; es ist: sina = Ri:P₁₍ woraus Ri = Pi . sin a; cos a — Ni: Plf woraus Ni = Pi . cos a;

Ri

oder es ist:

5 L sin a

Ni

5 L cos a

Bezeichnet h die Höhe, t die halbe Tiefe des Daches, und 1 die Länge des Sparrens, dann ist:

8in a = h: 1, cos « = t: 1,

Pih

Ri =

5Lh

81 '

Ptt _ 5 L t

81

Die Kraft N, geht in die Zugstangen a g und b g über, wenn man ihren Angriffspunkt von d nach g verlegt, und zerlegt sich in die beiden Komponenten N₂.

Da

sin (a — ß) — Ni : a g = Ni : R, wenn die Länge von ag=rl]f und Pi — bi ist, so ist auch:

Pi cos a

sin (a — ß) —

hx t

iri

n₂ — PltUl

PA

lhi t

Der Druck in den Auflagern ist:

Lu

hi

Po =

16

Die Kraft N₂ zerlegt sich im Punkte a ebenfalls in eine in der Richtung des Sparrens liegende Komponente

R₃ — N₂ cos (et — ß), und in die hierzu senkrechte Komponente

N₄ = N₂ . sin (et ■— ß).

13 L . cos et

Soll nun am Auflager Gleichgewicht stattfinden, dann muß N₃ = N₄ sein, oder:

16

folglich die nach aufwärts strebende Kraft V des Binders — j

CO ko

L, welche

in die Richtung des Sparrens und senkrecht darauf zu zerlegen ist. Die erstere ist:

R₂ =

13 L . sin a

16

— V . sin et,

die letztere:

N₃ — V . cos a —

13 L . cos et

16

N₂. sin (et— ß),

woraus

N.

13L.cos et

die Kraft

16 sin (et— ß)

Der Sparren wird auf Druck beansprucht, sowie auf Zerknicken durch

R — Ri ~\~ R₂ -1— Rs —

'S    i 3

™ L . sin « + L. sin a + N₂. cos (a — ß) =

23 T .    , 13 T cos et . cos (et—ß)

T7T L . sin a -j- — L--— „■ — —

16    16    sin    (et — ß)

23    13

— L . sin « -)- —— L . cos    et.    cot (et — ß) —

16

16

- (23 sin et + 13 cos et. cot (et — ß)).

Kraft

die Kraft

Die Zugstangen a g und b g werden auf Zug beansprucht durch die

cos et

sin (et — ß)

Die Stangen cl g und e f werden auf Druck und Zerknicken durch Ni = ~ L . cos et

XT 13 T N₂=^r L-

16

in^Anspruch genommen.

Bezeichnet M den Zug im Stabe f g, dann wirken in den Punkten f und g die Kräfte Ni, 2 N₂ und M. Soll in diesen Punkten Gleichgewicht vorhanden sein, so müssen die Komponenten nach jeder der beiden aufeinander senkrechten Richtungen im Gleichgewicht sich befinden.

Die in die Richtung des Druckstabes cl g fallenden Komponenten sind Nlf Nb, N₆ und N?: dieselben haben folgende Werte:

Ni = Pj . COS et,

N₅ = N. sin (« — ß),

Ne —Nz.sin(cr — ß),

N₇ = M. sin et.

Die hierzu senkrechten Komponenten sind M,, Mä und M₃, und deren

Werte:

Mi — N₀. cos (et — ß),

M₂ — N₂. cos (et — ß),

Mg = M. cos et.

Für den Gleichgewichtszustand ergeben sich deiunach die Gleichungen:

1,    Pi . cos a -)- M. sin « = N₀. sin (et — ß) 4- N₂. sin (et — ß);

2,    N₂. cos (et — ß) = N₀. cos (et — ß) -J- M . cos et.

Aus der ersten Gleichung folgt:

Pi. cos et -j- M sin et — (N₀ -f- N»). sin (« — ß), oder:

1,    No+N₂ =

aus der zweiten Gleichung folgt:

M. cos et — (N₂

2,    N,-N₀ =

Pi cos et -)- M sin et

sin (et — ß)

- N₀) . cos (et — ß), oder:

M. cos et cos (et — ß)

Addiert man die letzten mit 1, und 2, bezeichneten Gleichungen, so

ergibt sich:

woraus

2 N:

Pi cos et -)- M sin et

M cos et

sin (et — ß) M sin et

cos (et — ß) M cos et

sin (et — /S) _r sin (a — ß) ~~r cos (a — ß) ' Pi cos a

Pi cos et

oder:

2N,

sin (et — ß)

•(

sin a

sin (« — ß)

cos a \ cos (a — ß)/'

2N;

Pi cos et

sin (et — ß)

sin er

cos et

Aus Gleichung 2, ist ferner:

sin (et — ß)

cos (et — ß)

M cos et cos (et — ß)

Die Stange b i hat keinen konstruktiven Charakter und kann event, fehlen. Die Kraft P braucht nicht weiter in Rechnung gezogen zu werden, da sie keinen Einfluß auf die Stärke des Sparrens ausüben würde.

N„ = N;

Es werden nun beansprucht:

Die Sparren a b und b c auf ihre halbe Länge gegen Druck und Zerknicken durch die Kraft Ri, und auf Viegungsfestigkeit durch die Kraft

— L . cos a.

N =

Die Stangen ag und cf werden auf Zug beansprucht durch die

Kraft N,.

Die Stangen bg uni) bf nimmt die Kraft N₀ auf Zug in Anspruch. Die Stangen d g und e f werden auf Zerknicken und Druck durch die Kraft Ni beansprucht, während

die Stange g f durch die Kraft 2 M auf Zug in Anspruch genommen wird.

Beispiel.

In Fig. 185 sei die Tiefe des Gebäudes 10,0 m, der Winkel a = 36°, der Winkel /? — 14° 10', und demnach Winkel (« — ß) — 21° 50'. Die Sparren und Nähme werden von Holz, alle übrigen Konstruktivns-teile von Schmiedeeisen angefertigt; welche Dimensionen müssen die Hölzer und Eisenteile erhalten, wenn das Dach mit Zink gedeckt wird, die Sparren 1,05 m und die Binder 4,20 m von Mitte zu Mitte voneinander entfernt sind?

Auflösung. Es ist:

Lj

1,05.1.2.142

denn

woraus

demnach

cos a — t: 1, oder cos 36° — 5,0 :1,

1 = 5,0: cos 36° = 5,0:0,809 —6,18 m;

h = V 6,18- — 5,(? — V 13,1924 — 3,63 in, und

Li =

1,05.6,18.2.142

— 921,438 = rd. 950 kg

für die Belastung eines Sparrens. Durch die Nähme wird aber die Belastung von 4 Sparren auf jeden Binder übertragen, sodaß L = 4.950 = 3800 kg

ist. Es ergibt sich nun:

p __ 3    _ 3.3800

16

16

712,5 — rd. 715 kg.

p>=4l=

p₀ = JL L =

5.3800

3.3800

2375 kg.

rd. 715 kg.

Ri = Pi . sin a —715. sin 36» = 715.0.588 = 420,42 = rd. 420 kg. Ni = Pi. cos a — 715. cos 36» = 715.0,809 = 578,435 = rd. 580 kg.

16

16

n₂ =

13 L . cos a

13.3800. cos 36°

13.3800.0,809

R₂

16 sin (et— ß) rd- 4880 kg. 13 L . sin a

16 sin 21° 50'

16.0,372

13.3800 . sin 36°

13.3800.0,588

16

16

16

Ns

1815,45 = rd. 1820 kg. 13 L . cos et

13.3800.cos 36°

13.3800.0,809

16

16

16

2497,79 = rd. 2500 kg.

R₃ = N₂ . cos (a — ß) = 4880 . cos 21° 50' = 4880.0,928 = 4528,64 — rd. 4530 kg.

R = R, + R₂ + R₃ = 420 + 1820 + 4530 — 6770 kg.

P, cos a \ I

sin (a — ß)l " \sin (et — ß) r cos (et — ß)

2375 . cos 36° \ / sin 36° sin 21° 50' / ' V sin 21" 50' "T" cos 21° 50' 2375.0,809 \ . Z0,588    0,809

0,372    / : io,372 "h 0,928

(9760 — 5165): (1,58 + 0,872) —

4595 : 2,452 — 1873,9 — rd. 1880 kg.

1880.0,809

(2Na-(2.4800 —

(9760

N₀ = N₂

M. cos «

4880

cos (a — ß)

4880 — 1640 — 3240 kg.

sin et

cos ft

cos 36°

0,928

Die Sparren a b und b c, deren freitragende Länge 3,09 m ist, werden gegen Zerknicken ein Trägheitsmoment beanspruchen von:

6770.309.309

110000

110000

- = 5876;

gegen Druck einen Querschnitt:

F — 6770:80 — 85 qcm; gegen Biegung ein Widerstandsmoment:

N.l

\ L . cos a.. 1

12 8

12 8

0,5.3800.0,809.309

12.60

= 660.

Verwendet werden Sparren von 13 cm Breite und 18 cm Höhe, mit W = 702, F = 234 qcm und T = 6318, die also genügen.

Die Freisparren werden nur auf Biegung in Anspruch genommen und erfordern also W = 660.

Zur Verwendung kommen Hölzer von 13 cm Breite und 18 cm Höhe, mit W = 702.

Das Forsträhm wird auf Biegung beansprucht durch die Last: 2 P = 2 .715 — 1430 kg,

und ist demnach erforderlich:

1430.420

12.60

— 844.

Verwendet werden Hölzer von 15 cm Breite und 18 cm Höhe, mit

W = 810.

Die beiden Pfetten nimmt eine Kraft P, = 2375 kg

auf Biegung in Anspruch, und ist demnach notwendig:

1386.

2375.420

12.60

Zur Verwendung kommen Hölzer von 17 cm Breite und 22 cm Höhe, mit W — 1371.

Die Längenverstrebnng wird durch schmiedeeiserne Kopfstreben hergestellt, welche an den Stangen d g und e f, sowie an der Stange b i, und unter dem Forsträhm und den Pfetten, mit 1,5 cm starken Bolzen befestigt werden. Die Kopfbänder erhalten einen Durchmesser von 3 cm bei Rundeisen.

Die Stange» a g und c f werden durch die Kraft N₂ auf Zug beansprucht und ist demnach erforderlich:

F — 4880 : 750 — 6,5 qcm.

Schmiedeeiserne Stangen von 3 cm Durchmesser mit F — 7,07 qcm werden also genügen.

Die Stangen b g und b f nimmt die Kraft N₀ auf Zug in Anspruch; es ist also erforderlich:

F = 3240 : 750 — 4,32 qcm.

Verwendet werden ebenfalls Stangen von 3 cm Durchmesser.

Die Stangen d g und e f werden durch die Kraft Nt beansprucht, und zwar ist erforderlich:

2,23,

gegen Zerknicken ein Trägheitsmoment 580.124.124

4000000

gegen Zerdrücken ein Querschnitt

F — 580: 750 — 1 qcm.

(d g = 3,09 . t g 21⁰ 50' = 3,09.0,401 — 1,24 m.)

Stangen von 3 cm Durchmesser mit T — 3,976 und F — 7,07 genügen also.

Die Stange f g wird auf Zug in Anspruch genommen durch die Kraft 2 N — 2 .1880 — 3760 kg; es ist also erforderlich ein Querschnitt

F — 3760 : 750 — 5,02 qcm.

Eine Stange von 3 cm Durchmesser würde also auch hier genügen. Dieselbe Stärke wird man der Stange b i geben.

Die Bolzen, welche die verschiedenen Verbindungen der Stangen herstellen, werden zweischnittig; die am stärksten in Anspruch genommenen sind diejenigen der Stangen ag und cf. Es ist also erforderlich ein Querschnitt

F — 4880: 1050 = 4,65 qcm.

Es werden Bolzen von 4 cm Durchmesser verwendet mit F — 12,57 qcm, deren Schraubengewinde ebenfalls ausreichend ist.

Die Ftacheisen, durch welche die Bolzen gehen, erfordern, bei 1,5 cm Stärke, eine Breite von:

4,34 -j- 4,0 — 8,5 cm mindestens.

4880

1,5.750

Hierbei müssen die Bolzen vom Ende des Flacheisens mindestens a = F: b = 12,57 : 1,5 — 8,5 cm

entfernt sein.

Die Entfernung der Bolzen voneinander muß mindestens a + d = 8,5 + 4 = 12,5 cm betragen.

7. Die Stabilität der Mauern.

Unter der Stabilität oder Standsicherheit eines Körpers versteht man denjenigen Widerstand, den derselbe einer Kraft entgegensetzt, welche bestrebt ist, ihn um eine Kante seiner Unterstützungsfläche zu drehen und umzuwerfen.

Man nennt einen Körper in sich stabil, wenn eine bestimmte Kraft nötig ist, um ihn umzustürzen. Trifft eine Vertikale aus dem Schwerpunkte eines Körpers die Unterstützungsfläche desselben, dann ist der Körper stabil; wird die Unterstützungsfläche von dem Lote nicht, getroffen, dann ist der Körper nicht stabil.

Die Stabilität eines Körpers ist abhängig von seinem Gewicht, von der Größe seiner Unterstützungsfläche und von der Lage seines Schwerpunktes.

Die Stabilität eines Körpers ist das statische Moment aus seinem Gewichte und dem Lote von dem Drehungspunkte bezw. der Drehungskante auf die aus dem Schwerpunkte gezogene Vertikale. Dieses Moment muß

für den Gleichgewichtszustand gleich sein dem Momente der umwerfenden Kraft, bezogen auf denselben Drehungspunkt.

Hieraus ergibt sich, daß die Stabilität eines ans einer horizontalen Ebene ruhenden Körpers um so größer ist, je größer das Gewicht des Körpers, je breiter seine Untcrstützungsfläche und je tiefer sein Schwer' Punkt liegt.

Ist a b c d in Fig. 186 der Querschnitt einer senkrechten Mauer, dann müssen für den Gleichgewichtszustand derselben, wenn a b horizontal und a die Drehungskante ist, die Momente der schiebenden Kraft P, mit dem Hebelarme a h = y, und des Gewichtes G der Mauer, mit dem Hebelarme a i — x, gleich sein; also cs muß:

sein.

P.y = G.x

Wird der Querschnitt einer Mauer so angeordnet, daß derselbe wie in Fig. 187 eilt Trapez ist, dessen äußere Seite der schiebenden Kraft P

<*#

V\

\ s/,‘

cTx

JsL

i

'c

Fig. 186.

Fig. 187.

entgegen geneigt ist, so ist natürlich die Stabilität der Mauer eine größere, als beim rechteckigen Querschnitt. Je größer nämlich G und x wird, je größer kann auch P und y sein. Wird der Angriffspunkt der Kraft P mehr nach der Unterstützungsfläche a b zu, von e nach ei verlegt, so wird y kleiner — y,, und kann demnach P desto größer sein.

Soll eine Mauer bei gegebener Länge und Höhe einem Drucke widerstehen, dessen Größe, Richtung und Angriffspunkt gegeben sind, so ist die Breite der Basis der Mauer zu bestimmen, d. h. ans der Gleichung

P . y — G. x

ist x bezw. G zu berechnen.

Die so erhaltene Breite genügt natürlich nur für den Gleichgewichtszustand. Die Mauer muß aber dem Drucke mit gehöriger Sicherheit widerstehen und, um diese zu erlangen, berechnet mau die Breite der Basis der Mauer für einen zwei- bis dreimal so großen Druick als der gegebene ist.

Beispiel.

In Fig. 186 sei die Kraft P = 1500 kg, y = 3,5 m, die Höhe de — 4,30 in und die Länge — 4,50 m; wie stark ist die Mauer zu machen?

Auflösung. Es muß P . y — G . x sein; nimmt man die Stärke — 0,38 m an, dann wäre, wenn man 1 cbm Mauer — 1600 kg rechnet,

G = 4,5.4,3.0,38.1600 — 11764,8 — rd. 11800 kg,

und

x — 0,38 : 2 — 0,19 m.

Es müßte also:

1500.3,5 — 11800.0,19, oder 5250 — 2242

sein; es ist demnach hier die Stärke der Mauer mit 0,38 m zu gering angenommen.

Nimmt man nun die Mauerstärke mit 0,64 m an, berechnet aber gleichzeitig die Kraft mit der nötigen Sicherheit, also:

P = 2.1500 — 3000 kg,

so müßte sein:

3000.3,5 — 4,5.4,3.0,64.1600.0,32, oder 10500 — 19814,4.0,32 — 6340,608.

Die Stärke der Mauer von 0,64 m wird also ebenfalls nicht genügen, wenn man die Kraft P für die nötige Sicherheit zweimal in Rechnung gezogen hätte, dagegen genügt sie für Gleichgewichtszustand.

Die Stärke der Mauer wird aber vollkommen ausreichend mit 0,64 m an der oberen Kante sein, wenn die Kraft P mit 2.1500 kg in Rechnung gestellt und die untere Fläche verbreitert wird.

Der Querschnitt der Mauer erhält also eine Form wie in Fig. 187; bezeichnet man f b mit n, und af mit n,, so ist der Abstand der vertikalen

Schwerlinie Si Ot — a g = --n + n,, und der Abstand gb = -^~ n. Der Abstand agi der vertikalen Schwerlinie 8^ Gu ist — ni und der Ab-

O

stand gi b — ~r Di + n. Bezeichnet 1 die Länge der Mauer, h die Höhe

O

und g das Gewicht eines Kubikmeters Mauerwerk, so ist das Gewicht des rechteckigen Teiles = n . h . 1. g, und dasjenige des dreieckigen Teiles gleich

n, h

~2~ ’¹ • e-

Die Stabilität der Mauer ist nun gleich der Summe der Produkte ans den Gewichten beider Teile und den Abständen ihrer vertikalen Schwerlinien von der Umdrehnngskante.

Die Stabilität 8 ist demnach in Bezug auf die Drehnngskante a:

5iA.lg =

2 ⁸

(y n +    )¹ nh 1 g + yiif

(y n + ui ) • nhlg + -lnl²hlg = h 1 g • (-

^Jn Bezug auf die Drehnngskante b ist die Stabilität: -ln.n.h.l.g+(lni n)

yg. h.l.(n» +

nä -f- ¹¹ Hi +

1—i j CO

rH CO

•g •

nt² -j-

Es ist nun:

2.1500.3,5 — 4,3.4,5.1600 . (|n² + n. n, + y n,²j, oder 10500 — 30960. ( 0,5 . O,64² + 0,64 . n, + ~ u,²) —

30960. (0,2048 + n, . (o,64 + ~ nx)j —

6340,608 + 30960 nt. (o,64 + | iiij, oder:

10500 — 6340,608 — 19814,4 lij + 10320 n,², oder:

4159,392 — 10320 n,² + 19814,4 nlf oder:

4159,392 10320    '

9907,2 \2 10320 /

lli + 0,96 — 0,403 + 0,9216 — 1,3246; n, = 1,3246 — 0,96 — 0,3646; es ist also a k —iii —0,37 m.

Ist die Mauer nach beiden Seiten geböscht, so berechnet sich die Stabilität in ähnlicher Weise, indem man den Querschnitt in ein Rechteck und 2 Dreiecke zerlegt.

Ist die Mauer mit Verstärkungspfeilern versehen, so ist bei Berechnung der Stabilität für den Pfeiler nur die Länge desselben in Rechnung zu ziehen, sonst aber wie oben zu verfahren.

Ist die Mauer belastet, so wird die Stabilität derselben vergrößert, und zwar um das Moment der Belastung in Beziehung auf die Drehungskante.

iV -st

Hl² +

19814,4 10320 19814,4 10320

ill + (

— 0,403 -st 0,96²;

8. Die Stabilität der Futter- und Quaimauern.

Die Stabilität dieser Mauern ist eine zusammengesetzte, wenn Erd-und Wasserdruck gleichzeitig wirken und bisweilen noch die Wirkung eines Erdankers hinzukommt.

Bezeichnet, in Fig. 188, H, die horizontale Komponente des Erddrucks, dessen Höhe h,, H₂ diejenige des Wasserdrucks, dessen Höhe h₂, und Hz diejenige des Zuges des Erdankers, dessen Höhe h₃ ist, 6 das Gewicht der Mauer mit dem Abstaude g ihres Schwerpunktes von der Drehungskante, so ist für Quaimauern:

G. g —

H,.|—H₂.^-Hs.h₃,

und für Futtermauern, bei welchen Hä = 0 ist,

G.g = H,

H₃. h₃.

i/t

^    Niedrigster 'Wassersttin J..

___*__

Wassers 1.i

T~

jlii-

H----

Fig. 188.

Fig. 189.

Für solche Mauern, wie in Fig. 189 dargestellt, welche eine im Verhältnis m geböschte Vorderwand und lotrechte Hinterwaud mit der Höhe h haben, und für welche die Kubikeinheit des Mauerwerks das Gewicht g₂ hat, ergibt sich für vollkommene Stabilität die obere Breite der Mauer:

I.    x — —

und, wenn der Erdanker fortgelassen wird,

II.    x ——

m-i+V    :

m² h²

(H, h,-H₂h₂)+ -g- -

m h + VäTg,

Soll für den letzteren, gewöhnlicheren Fall die Ufermauer als Quaimauer dienen, also h, = h werden, so wird

Hl 2 1^2

(H^—H,h,) + —

m h + x 77T~-

y 3 h g₂

Soll für denselben Fall die Stirn der Mauer senkrecht, also m — 0 werden, so ergibt sich aus Formel II:

(H, h, — H₂ h₂).

Soll gleichzeitig ht — h und m — 0 werden, so ist

x=V,-3ir(H'+H-Tr)'

Bei den Futtermauern, für welche Hä = 0 ist, geht Gleichung II

über in:

m² h²

mll + V/3ir^'Hlhl

Soll die Futtermauer bis zu ihrem Kopse hinterfüllt, also h, — h werden, so erhält man:

,,ih+V-4,

TT , Bl²h²

Hl + ™'3.......

Wird die Stirn der Futtermauer senkrecht, also in — 0, so ist:

- Hi di.

/ ²

x = '/3Tg,

Wird gleichzeitig hx = h und in = 0, so ist:

X = V^-a

In den vorstehenden Formeln ist für den Erddruck zu setzen:

worin gi das Gewicht der kubischen Einheit Erde und a den Reibungswinkel der Erde bezeichnet, ein Wert, welcher bei einer völlig durchweichten Bodeumasse, für welche a — o ist, in

TT _hx² „

Hl — ~2'gl

übergeht.

Erfahrungsregeln für Futtermauern.

Man ziehe zwei horizontale Linien in der Entfernung h = der Höhe der Fnttermauer, zwischen denselben eine nach dem natürlichen Böschungswinkel des Materials geneigte Linie und teile den so gefundenen natürlichen Abhang a des zu stützenden Erdreichs in 6 gleiche Teile, so ist bei gewöhnlichen Futtermauern, die keine Erschütterung zu erleiden haben, I a zur unteren Stärke ausreichend; bei Erschütterungen ist £ a als Stärke auf der Mitte der Höhe anzunehmen; bei parallelen Futtermauern an den Seiten einer Straße gibt |a die untere Stärke.

Soll eine Futtermauer auf der vorderen Seite mit einer Böschung ausgeführt werden, die | ihrer Höhe beträgt, so gebe man der Mauer zur oberen Stärke | des natürlichen Abhanges.

Die Stärke einer Fnttermauer soll, wenn der natürliche Böschungswinkel des Materials unbekannt ist, bei i bis \ Böschung mindestens betragen:

Bei 2,5 m Höhe, 0,50 m obere unb 0,90 m untere Stärke,

„ 1,25 m „ „ 1,70 m „

„ 4,0 m    „    0,85 m „

„ 5,0 m    „    1,00 m „

Die Stärke einer senkrechten Futtermauer, welche Strebepfeiler erhält, die je nach Form und Stärke der Mauer in einer Entfernung von höchstens 2,5—3,0 m voneinander angeordnet werden, soll mindestens = | a betragen. Die Breite des Teiles, wo die Strebepfeiler mit der Mauer in Verbindung stehen, die Wurzel derselben, soll mindestens gleich der doppelten Mauerstärke, also = |a sein. Ihre Stärke soll mindestens betragen:

ii 15,0 „    ,,    0,15 „

c-.y

Hat die Mauer, welche mit Strebepfeilern versehen wird, auch eine Böschung, so inuß die obere Stärke der Mauer mindestens ans T'T a festgesetzt werden. Wird die Mauer höher als 2,5 m, so wird bei einer Böschung der Mauer von | der Höhe, für jede 30 cm Erhöhung 1 cm zur Stärke addiert: bei Dossierung auf jede 24 cm 1 cm, und bei Dossierung auf jede 16 cm 1 cm.

Die Maße der Strebepfeiler sollen mindestens folgende sein:

Bis 2,5 m Höhe (— h), 0,4 h Breite und 0,26 h Stärke, ii 4,0 „

ii 5,0 „ ii 0,5 „

„ 7,5 „

„ 9,0 „

„ 10,0 ii 12,5 „ ii 15,0 „

0,35 „ 0,32 „ 0.30 „ 0.29 „ 0,27 „ 0,25 „ 0,24 „ 0,23 „

„ 0,22 „    „

ii 0,19 „    „

„ 0,17 „ „ „ 0,15 „ „

„    0,14 „

„    0,13 „

ii 0,12    „

ii 0,11    „    „

Das Banket muß mindestens die doppelte Stärke der unteren Mauer-stärke erhalten.

Werden die Fugen rechtwinklig zur Böschung gelegt, so muß hierbei sehr vorsichtig verfahren werden, damit dem Regen und der Nässe das Eindringen in die Fugen unmöglich gemacht wird.

Die Futtermauern dürfen nur nach vollkommener Austrocknung hinterfüllt werden.

9. Das Gleiten -er Mauern auf der Basts.

Ein seitlicher Druck gegen eine Mauer kann nicht allein ein Umwerfen der Mauer bewirken, sondern er kann die Mauer auch auf ihrer Basis fortschieben, also ein Ausgleiten derselben herbeiführen. Die seitlich wirkende Kraft hat hierbei die Reibung zu überwinden, welche die Mauer auf ihre Unterlage ausübt.

Da sich die Größe der Reibung ergibt, wenn man den Druck mit dem Reibungskoeffizienten multipliziert, so ist, wenn F die Reibung, f den Reibungskoeffizienten und L das Gewicht der Mauer bezeichnet;

F = f. L.

Für den Zustand des Gleichgewichts ist also, wenn P die schiebende Kraft bezeichnet,

P — F = f .L;

ein Fortschieben der Mauer kann also nicht stattfinden, wenn P kleiner als f.L ist.

Bezeichnet 1 die Länge, b die Stärke, h die Höhe und g das Gewicht der Kubikeinheit einer Mauer, so muß also

P < f. b h g 1, oder

«H

sein.

b hgl

Soll bei gegebener Länge und Höhe einer Mauer für einen bestimmten Druck die Stärke bestimmt tverden, so folgt ans der Gleichung

P = f.L = f.bhlg,

an

h— P fhlg

sein muß. Diese Stärke der Mauer entspricht jedoch nur dem Gleichgewichtszustände; um die nötige Sicherheit zu erhalten, führt man die doppelte Kraft in die Rechnung ein, sodaß also

h— 2P fhlg

wird.

Erhält die Mauer auf einer Seite eine Böschung und ist x die Breite derselben, dann ist mit Rücksicht auf die Sicherheit:

xglli

woraus

2 P = g 1 h • (b 4~|-j — b g 1 h 4

4P = 2bglh4-xglh, oder 4P — 2bglh = xglh,

- oder

4P

gib

2 b.

Die Breite oder Stärke einer Mauer an ihrer Basis muß nun in jedem Falle für den Widerstand gegen Umkanten und für den Widerstand gegen Gleiten berechnet werden und hat dann die Mauer die sich ergebende größte Stärke zu erhalten.

Beispiel.

Für das obige Beispiel würde die gegen Gleiten erforderliche

3000

Stärke sein:

0,159 in.

, _ 2P _    2.1500

~fhlg — 0,63.4,3.4,5.1550    18895,275

Die in dem oben angeführten Beispiel berechnete Stärke, mit 0,64 m oben und 0,64 + 0,37 —1,01 m unten, wird also auch gegen Gleiten mehr als genügend sein.

10. Berechnung der Stabilität der Gewölbe.

Der einfachste Fall ist ein Tonnengewölbe bezw. ein Gurtbogen mit symmetrischen Hälften und symmetrischer vertikaler Belastung. Ein solcher Bogen wird nur dann im Gleichgewicht sein, d. h. stehen können, wenn, nach Zerlegung der in den einzelnen Schwerpunkten der Wölbsteine wirkenden Kräfte in vertikale und horizontale Komponenten, alle diese Komponenten in derselben vertikalen Ebene liegen, alle horizontalen Komponenten untereinander im Gleichgewicht sind, d. h. sich gegenseitig aufheben, und sämtliche vertikale Komponenten mit der Resultante aller Gewichte im Gleichgewicht stehen.

Der Widerstand, d. h. die Widerlagsstärke, wird also der möglichst kleinste sein, wenn die Neigungswinkel der einzelnen Widerstandsrichtungen gegen die Vertikale die möglichst kleinsten sind. Betrachtet man nun die eine Bogenhälfte für sich und legt durch den Schwerpunkt derselben eine Vertikale, so ist, um die Masse im Gleichgewicht zu halten, eine gegen den Scheitel wirkende Kraft nötig, deren Richtung durch den Durchschnittspunkt der Schwerlinie und der Widerstandslinie des Widerlagers geht.

Da nun die vertikale Komponente des Widerstandes gleich dem in der Schwerlinie wirkenden Gewicht sein muß, so muß auch der Druck im Bogenscheitel gleich der horizontalen Komponente des Widerstandes und ebenfalls horizontal sein.

Es kommt also darauf an, zu ermitteln, unter welchen Bedingungen die horizontale Komponente des Widerstandes, und folglich auch der Druck im Scheitel der möglichst kleinste ist, während die vertikale Komponente, d. h. die erforderliche rückwirkende Festigkeit des Widerlagers, also das zu wählende Material, sich ganz einfach aus dem Gewicht der Wölbung und der darauf ruhenden Last ermitteln läßt, nachdem die Widerlagsstärke gefunden ist, aus welcher hervorgeht, auf wie viele Quadratzentimeter Querschnitt sich die Last verteilt.

Wenn man nun die Schwerlinie der einzelnen, vom Scheitel aus numerierten Gewölbeteile, und zwar in dem Schwerpunkte des Steines 1

Diesener III.

die Schwerlinie für sein Gewicht, durch den Schwerpunkt von 1 und 2 — als einen Körper gedacht — die Schwerlinie für die Gewichte von 1 und 2 zusammengenommen rc. anträgt, dann in den Durchschnittspunkten dieser Schwerlinien mit der Richtung der im Scheitel angreifenden horizontalen Kraft die Parallelogramme der Gewichte und dieser Kraft konstruiert, die so gewonnenen Resultanten verlängert, so sind die Punkte, wo jede derselben die zugehörige Fuge schneidet, die Angriffspunkte der Kräfte, welche auf diese Fuge drücken, sodaß die Widerlagsfuge eben der Resultante aus der ganzen Last des Bogens und dem auf den Scheitel wirkenden Horizontaldruck zu widerstehen hat.

Dazu ist nun notwendig, daß sämtliche Angriffspunkte innerhalb der Fugenflächen liegen, damit kein Stein Gefahr läuft, ausgelautet zu werden, und daß die Winkel der Drücke mit den Fugen nicht zu viel vom rechten Winkel abweichen, um die Reibung auf der Fuge überwinden zu können, weil sonst ein Ausgleiten der Wölbsteine stattfinden würde. Vermehrung der Reibung kann man fast stets durch Mörtel erreichen.

Die Verbindungslinie der Angriffspunkte nennt man die Mittellinie des Druckes; bei stetiger Belastung des Bogens wird sie eine stetige Kurve darstellen, während sie bei ungleichmäßiger oder nur auf einzelne Punkte wirkender Belastung abgerissen erscheinen würde. Da aber in der Natur eine Belastung auf einen Punkt nicht möglich ist, so wird die Mittellinie des Druckes an stärker belasteten Stellen keine Ecke, sondern nur eine karniesförmige Biegung bilden und sich dabei in der Regel der oberen Wölbungslinie etwas nähern, dann aber steiler als zuvor wieder fortsetzen.

Durch Anbringung solcher Einzelbelastuugen, oder was dasselbe ist, durch Vermehrung der Wölbsteine an einzelnen Stellen, ist man also imstande, die Richtung der Drucklinie zu verändern. Man hat nun die-selbe so zu legen, wie sie die möglichst kleine Horizontalkraft braucht, mit anderen Worten, wie sie unten am Widerlager möglichst steil envet.

Das Minimum des Druckes wird man erreichen, wenn man die Mittellinie des Druckes so zu legen weiß, daß sie, ohne irgendwo aus der Bogenmaffe herauszutreten, einen Punkt mit der äußeren und einen mit der inneren Wölbnugslinie gemein hat und der Berührungspunkt mit der äußeren Wölbnugslinie höher liegt als der mit der inneren, gleichviel, welcher von beiden Punkten näher am Scheitel liegt. Hingegen wird der Horizontalschub sein Maximum erreichen, wenn der Berührungspunkt der Drucklinie mit der äußeren Gewölbelinie tiefer liegt, als der mit der inneren; dies ist also zu vermeiden. Alle zwischen diesen liegenden Drucklinien werden möglich, alle darüber hinausliegenden unmöglich sein, d. h. die Grenze der Stabilität überschreiten.

Bezeichnet L das Gewicht einer Bogenhälfte einschl. Belastung, b die wagerechte Entfernung der Schwerliuie dieses Gewichtes vom Angriffspunkte der Drucklinie des Bogens auf dem Widerlager, P den horizontalen

Druck im Scheitel, h die Höhe von der Mitte der Widerlagsfuge bis zum Angriffspunkt des Scheiteldrucks, so ist:

P . h = L. b,

woraus

P_M

h

Es wird nun P um so kleiner sein, je größer h und je kleiner b ist, d. h. je steiler die Drucklinie steht und je näher der Schwerpunkt der Widerlagswand gerückt wird; dies kann man nun erreichen durch eine höhere Wölbungslinie und durch Übermauerung der Spitze und des Wider-lagers. Am besten genügt beiden Anforderungen ein Spitzbogen mit Wimpergen und Fialen über den Widerlagern.

Zur Prüfung der Stabilität eines gewölbten Bogens konstruiert man seine Drucklinie. Bleibt dieselbe innerhalb des Bogens selbst, so hält er; berührt oder durchschneidet dieselbe die innere Gewölbelinie, so wird an dieser Stelle, der Brechungsfuge, der Bogen nach außen brechen; berührt oder schneidet sie die äußere Gewölbelinie, so wird der Bogen an den betreffenden Stellen einwärts sinken; fällt die Drucklinie am Scheitel unter die innere Gewölbelinie, so hat der Bogen das Bestreben, nach aufwärts zu brechen, wobei die Bogenanfäuge nach innen fallen und die Scheitelstücke emporgehoben werden. Je preßbarer das Material ist, um so weniger darf sich die Drucklinie den Gewölbeslächen nähern. Die Fugenfläche muß jedenfalls größer sein, als nach der rückwirkenden Festigkeit des Materials nötig wäre, weil dasselbe an den Knoten stets preßbarer fein wird als in der Mitte, und weil die Mittellinie des Druckes nie genau in der Mitte der Fugen auftreffen wird. Wenn man aber einen Bogen mit der Absicht konstruiert, dies zu erreichen, so wird er jedenfalls größere Stabilität besitzen als jeder andere Bogen, welcher dieser gedachten Mittellinie des Druckes entspricht. Bei sehr preßbarem Material kann man diese Lage der Drucklinie annähernd dadurch herbeiführen, daß man die Gewölbestärke am Widerlager vermehrt oder die Wölbungslinie mit Beibehaltung des Scheitels und Widerlagers etwas weniger krümmt, oder endlich die Gewölbestärke durchgängig vermehrt.

Bezeichnet 8 die Spannweite und e die Stärke des Gewölbes am Scheitel, so ist bei Spannweiten von 25,0 m und mehr:

1 Q e=24S-

Für Spannweiten, welche kleiner als 25,0 m sind, ist e — (0,0347 d + 0,325) m,

worin d bei kreisförmigen Gewölben den Durchmesser der inneren Gewölbelinie, bei gedrückten Korbbögen aber die doppelte Pfeilhöhe der inneren Gewölbelinie bezeichnet.

14*

Hierbei ist überall vorausgesetzt, daß die Stärke des Gewölbes vom Scheitel nach den Widerlagern zu wächst, und daß sie an den Widerlagern nahezu doppelt so groß. als am Scheitel ist.

Für kreisförmige Gewölbe ist auch:

e — 0,346 V r,

wenn r der Radius der inneren Gewölbelinie ist, und für gedrückte Bögen

e — 0,412 V r,

worin r die Pfeilhöhe der inneren Gewölbelinie bezeichnet.

Alle vorstehenden Formeln beziehen sich auf Hausteine.

Rändelet gibt für Gewölbe aus Hausteinen von mittlerer Härte folgende Formeln:

Für starke Brückengewölbe ist:

0 =    8 + 0,314 j m,

für mittlere Gewölbe ist:

(i 8 +0,167) m.

und für unbelastete leichte Gewölbe ist:

8 + 0,078 j m.

Hierbei ist überall vorausgesetzt, daß die Stärke des Gewölbes an den Widerlagern doppelt so groß als am Scheitel ist.

Für halbkreisförmige Gewölbe aus Backsteinen oder Bruchsteinen gibt Rondelet folgende Regeln:

Ist das Gewölbe im Scheitel horizontal abgeglichen, so ist:

48

e — - 8.

Ist das Gewölbe bis zur halben Höhe hintermauert, und dann im Rücken parallel mit der Leibung abgeglichen, so ist:

_ 1 Q e ~~ 36 S'

Ist endlich das Gewölbe bis zur halben Höhe hintermauert und von da an bis zum Scheitel verjüngt abgeglichen, so ist die Stärke im Scheitel:

_ 1 a e 48 S'

und da, wo die Ausmauerung aufhört, ist

_ 1 Q ⁶    32    S*

Die Gewölbe aus Backsteinen und Bruchsteinen kommen vorzugsweise beim Hochbau vor und haben selten große Spannweiten.

Die Backsteine lassen riicksichtlich der Gewölbestärken keinen anderen Unterschied als ihre Breite zu und man hat es daher in den meisten Fällen mit I Stein starken Gewölben zu tun. Bei Spannweiten bis zu

6,25 in genügt die Stärke von | Stein und bei größeren Spannweiten die Stärke von 1 Stein.

Da, wo es nötig erscheint, bringt man in Entfernungen von 0,95 bis 1,25 m Verstärkungsgurte an, welche entweder durchgehends von gleicher Stärke sind und um | Stein nach oben vorspringen, oder deren Stärke von dem Scheitel nach den Widerlagern hin zunimmt.

Bei lagerhaften Bruchsteinen sind 0,21 m für i Stein Stärke und 0,45 m für 1 Stein anzunehmen.

Bei Bögen aus Backsteinen über Maueröffnungen in 2 bis 3 Geschosse hohen Gebäuden hat man erfahrnngsmäßig folgende Verhältnisse als zweckmäßig festgestellt:

Für Spannweiten von . . . 1,88 m eine Stärke von 1 Stein.

.. 2

11. Die Widerlager.

Bei den vorhergehenden Bestimmungen ist angenommen, daß die Widerlager absolut fest sind, es sind demnach nun noch die Bedingungen zu ermitteln, unter denen dies der Fall ist, d. h. es sind für die Widerlager die Stabilitätsbedingungen festzustellen.

Der Widerstand des Widerlagers besteht darin, daß es sich weder um die äußere Kante seiner Basis dreht, noch daß es sich auf der Basis fortschieben läßt, also ausgleitet. Der ersten Bedingung wird entsprochen, wenn die Resultante aus allen bei der Drehung in Betracht kommenden Kräften durch die Basis des Widerlagers hindurchgeht und die Basis in einem Punkte schneidet, dessen Abstand von der vertikalen Schwerlinie des Widerlagers höchstens nur f des Abstandes dieser Schwerlinie von der Umdrehungskante beträgt.

Der zweiten Bedingung wird entsprochen, wenn der Winkel, den die Resultante mit der vertikalen Schwerlinie des Widerlagers bildet, kleiner als der Reibungswinkel ist.

Bei symmetrischen Gewölben ist der Druck gegen ein Widerlager der in der Widerlagsfuge stattfindende Normaldruck. Diesen Normaldruck kann man in das Gewicht des Gewölbeschenkels und in den im Gewölbe stattfindenden Horizontalschub zerlegen. Das Gewicht greift im Schwerpunkte des Schenkels, der Horizontalschub aber greift in der Scheitelfuge des Gewölbes an, und ist es zweckmäßig, den Angriffspunkt so anzunehmen, daß er um } der Höhe des Scheitels vom höchsten Punkte desselben absteht.

Konstruiert man in Fig. 190 den Gewölbeschenkel ab cd und das Widerlager ab ekle, macht von dem Punkte aus, in welchem die Richtung des Horizontalschubs und die vertikale Schwerlinie des Gewölbeschenkels sich schneiden, d. i. der Punkt 1, den Horizontalschub

H = 1 m

fnf

Id

und das Gewicht des Gewölbeschenkels G = ln,

eh

h,

_____i

GJs

L,

Fig. 190.

konstruiert das Parallelogramm lmpn und zieht die Diagonale 1 p, so ist diese die Resultante aus dem Horizontalschub und dem Gewichte des Gewölbeschenkels. Macht man ferner von dem Punkte aus, in welchem die Richtung dieser Resultante und die vertikale Schwerlinie des Widerlagers sich schneiden, d. i. der Punkt q, q t = 1 p,

gleich der eben gefundenen Resultante, und q s = Gx,

wenn Gi das Gewicht des Widerlagers bezeichnet, konstruiert das Parallelogramm qsrt und zieht die Diagonale q r, so ist diese die Resultante aus allen bei der Stabilität des

Widerlagers in Betracht kommenden Kräften.

Diese Resultante schneidet die Basis des Widerlagers im Punkte u und es darf nun für eine vollkommene Sicherheit gegen das Drehen um die Kante f höchstens

uv —

4-fk

sein.

Soll ferner genügende Sicherheit gegen das Gleiten des Widerlagers auf seiner Unterlage f k vorhanden sein, so muß der Winkel, den die Resultante mit der vertikalen Schwerlinie des Widerlagers macht, d. i. der Winkel u q v, kleiner als der Reibungswinkel sein.

den Abstand

Bezeichnet h die Höhe des Widerlagers, hi die Höhe des Gewölbes vom Widerlager bis zum Angriffspunkte der Horizontalkraft H, b die Breite der Basis des Widerlagers, a den Abstand der Schwerlinie des Gewölbeschenkels von der inneren Kante des Widerlagers, und --

der Schwerlinie des Widerlagers von der äußeren Kante f, so ergibt sich für den Zustand des Gleichgewichts die Momentengleichung:

H.(h + h,):=G.(a + b) + G₁.-|.

Da aber nicht nur Gleichgewicht stattfinden soll, sondern eine vollständige Sicherheit des Widerlagers gegen Drehung um die äußere Kante

seiner Basis verlangt werden muß, so führt man den Sicherheitskoeffizienten

2,25 ein und lautet dann die Gleichung:

2,25 8. (h + h,) = G. (a + b) + G, • \•

Das Gewicht des Widerlagers hängt aber nun von den Dimensionen desselben ab, also auch von der Breite seiner Basis. Bezeichnet 1 die Länge des Widerlagers und g das Gewicht der Kubikeinheit des Mauerwerks, so ist:

Gi = gbhl,

oder setzt man 1=1, so ist:

gibt sich:

G, = g b h.

Setzt man in die obige Gleichung den Wert für G, ein, so er

2,25 8 . (h + h,) = G. (a + b) + g b h . |-.

oder

2,25 H. (h + hx) = G. (a + b) +    • b², oder

4,5B.(h + h,) = 2G. (a + b) + ghb², oder 4,5 8 . (h + +) = 2 G a + 2 G b + g h b², oder 4,5 H . (h + hx) — 2 G a

2Gb

b² +b -

— gh + b², oder 4,5 8.(11 + 11!) — 2 Ga

gh

gh

woraus

4,5 H . (h + +) — 2 G a

gh

Ist h verhältnismäßig sehr groß, so können diejenigen Glieder, welche h im Nenner haben, vernachlässigt werden, auch kann man ht gegen h unbeachtet lassen. Für diesen Fall ist:

4,5 8

Um die Breite zu bestimmen, welche die Basis des Widerlagers haben muß, damit es auf seiner Unterlage nicht fortgeschoben werden kann, sei der Winkel u q v mit « und der Reibungskoeffizient mit f bezeichnet. Für das Gleichgewicht gegen Gleiten muß daun

tg« = f

sein.

Zur Bestimmung des Winkels « ergibt sich Folgendes. Zerlegt man die Resultante q r in die Horizontalkomponente q qx und in die Vertikalkomponente q q₂, so ist:

tg«

<141

4 <8

G -f- Gi

Es ist q qt — H und q q₂ — G + Gt, folglich ist auch: tg« =

Es muß daher für den Gleichgewichtszustand gegen Gleiten sein:

Es ist nun aber ferner:

Gi — g b h,

und daher auch:

G + gbh

Wird diese Gleichung auf b reduziert, so ergibt sich die Breite der Basis des Widerlagers, wenn Gleichgewicht stattfinden soll:

H — f. G fgh

Um aber genügende Sicherheit zu erhalten, wird der Sicherheits-kveffizient 2 eingeführt, und ergibt sich dann:

2H —f.G fgh

Es sind nun beide Werte von b mit einander zu vergleichen, und ist der Basis des Widerlagers diejenige Breite zu geben, welche dem größeren der beiden Werte entspricht.

Hat das Widerlager keinen rechteckigen Querschnitt, so ist bei Bestimmung der Breite seiner Basis in Bezug auf die Drehung die betreffende Stabilitätsformel in die Gleichung einzuführen.

Gewicht des Gewölbeteils c d g h und als Gewicht Gi des Widerlagers der Mauer h i k I einzuführen ist.

Ist das Gewölbe übermauert oder belastet, s wie in Fig. 191, so ist die Berechnung genau die-f selbe wie vor, nur ist darauf zu achten, daß bei \d Anwendung derselben Formeln für G nicht das h Glicht des Gewölbeschenkels c d e f, sondern das

■P

Für die Stärken der Widerlager halbkreisförmiger Gewölbe gibt Rondelet Folgendes au.

Fig. 191.

Ist das Gewölbe im Scheitel horizontal abgeglichen, so soll die Stärke der Widerlager A der Spannweite betragen.

Ist das Gewölbe bis zur halben Höhe hintermauert und daun im Rücken parallel mit der Leibung abgeglichen, so soll die Stärke der Widerlager i der Spannweite betragen.

+ 6    0,3 w.

Ist das Gewölbe bis zur halben Höhe hintermauert und von da an bis zum Scheitel verjüngt abgeglichen, so soll die Stärke der Widerlager tV der Spannweite betragen. —

Die Stärke b der Widerlagsmanern kann auch nach folgender Formel berechnet werden. Bezeichnet W die Spannweite des Gewölbes, h die Pfeilhöhe und H die Höhe der Widerlagsmauern von der Kämpferlinie des Gewölbes bis zur Sohle des Fundaments, so ist:

3 W. (W — h)

8 . (W + h)

Schiefe Tonnengewölbe beurteilt man so, als wären sie aus sehr vielen sehr kurzen geraden Tonnengewölben zusammengesetzt. Für das ganze schiefe Gewölbe gelten dann diejenigen Stabilitätsbedingungen, welche für eine solche kurze gerade Strecke gelten.

In Bezug auf die Stabilitätsbedingungen der Kloster-, Kuppel- und Kreuzgewölbe gelten dieselben Regeln, welche für die Tonnengewölbe gegeben sind. Die Widerlager der Klostergewölbe sind im allgemeinen ebenso stark zu machen, wie das Widerlager eines Tonnengewölbes von derselben Spannweite, während Rondelet f dieser Stärke für ausreichend hält.

Kuppelgewölbe erfordern ein halb so starkes Widerlager, als ein Tonnengewölbe von derselben Spannweite.

Die Stärke der Widerlager eines Kreuzgewölbes soll doppelt so groß sein, als für das Widerlager eines Tonnengewölbes von derselben Spannweite; als Widerlager beim Kreuzgewölbe sind aber nur Pfeiler erforderlich, welche auch nur lf der oben angegebenen Stärke erhalten brauchen, wenn die Kappen über dieselben hinweggehen und bis zu den äußeren Seiten derselben reichen.

Soll ein größerer Raum durch Kreuzgewölbe überdeckt werden, so ist nach Rondelet folgendes «

Verfahren anzuwenden.

Fig. 192.

Ist ab cd, Fig. 192, die Grundfläche eines mit Kreuzgewölben zu überspannenden Raumes, a so zieht man zunächst die Diagonalen und legt durch deren Schnittpunkt e die Parallelen f g und h i zu den Seiten des Grundrisses. Zieht man ^ nun noch in den so entstehenden Quadraten oder Rechtecken die Diagonalen, so ist der Grundriß des Gewölbes entworfen.

Nimmt man dann die halbe Pfeilerhöhe von der Sohle bis zum Kämpfer und trägt sie von x nach y ab und teilt e y in 12 gleiche Teile, so ist ein solcher Teil die halbe Diagonale der Grundfläche des Mittelpfeilers, welche ein Quadrat ergibt.

Die Grundfläche der mittleren Seitenpfeiler ergibt sich, wenn man an den halben Mittelpfeiler k m p o den ganzen Mittelpfeiler lnp m ansetzt, sodaß dieselbe ein Rechteck k 1 n o bildet, dessen eine Seite die Seite des

Die Eckpfeiler erhält man, wenn man die Seiten der Zwischenpfeiler bis zum Durchschnitt verlängert. Der Grundriß der Eckpfeiler ist dann ein Quadrat, dessen Seite gleich der längeren Seite der Zwischenpfeiler ist.

Mittelpfeilers und dessen andere Seite das 1,5-fache der Seite des Mittelpfeilers ist.

Zwischen dem Mittelpfeiler und den Zwischenpfeilern, sowie zwischen diesen und den Eckpfeilern werden Gnrtbögen gespannt.

12. Berechnung der eisernen Träger gewölbter Treppen.

In neuerer Zeit wird hier häufig eine Konstruktion massiver Treppen aus Ziegelsteinen angewendet, bei denen die Gcwölbekappen von Podest zu Podest aufsteigen und als Widerlager, sowohl für diese als für die Podest-kappen, eiserne Träger dienen. In Fig. 193 ist der Grundriß einer solchen Treppe dargestellt, bei welcher der Lauf I von dem Träger ab nach dem Träger ai bi aufsteigt und der Lauf II von dem Träger ai b, nach dem Träger, welcher lotrecht über ab liegt. Das untere Podest III wird

1.W

*v,

^SO-p

o-h'p

—7F

Jfy''

SS"

C'

ft

Fig. 194.

Fig- 193.

durch eine Kappe gebildet, welche von dem Träger ab nach einem in der Wand liegenden Träger cd gespannt ist, das mittlere Podest IV durch eine von dem Träger at b, nach, dem Träger c> dx gespannte Kappe und das obere oder Austrittspodest durch eine Kappe wie die untere. Die Träger c d und c, ch sind nötig, wenn die Wände, gegen welche sich die Podestkappen lehnen, schwächer als 2 Steine sind, weil Wände unter 0,51 m dem Horizontalschub der Kappen schlecht widerstehen. Es empfiehlt sich aber auch bei 2 Stein starken Wänden den Träger einzulegen, wenn die Wand ein Fenster oder eine sonstige Öffnung enthält. Als Träger c d und c, dt werden häufig, der breiten Flanschen wegen, 0,13 m hohe Eisenbahnschienen verwendet, welche auch vollkommen genügen.

In Fig. 194 sei Pi das Eigengewicht eines Treppenarmes, P die Tvtalbelastung des Treppenarmes, a die Länge der Sehne des steigenden

Bogens, d die Pfeilhöhe desselben, h seine Höhe und c die Horizontal-Projektion desselben. Die Belastung des Trägers bi durch den Treppenarm II ist nun:

P.c.

(4c + 1i't)

8 aa

oder setzt man

c'(4c + 1vt)

8 a²

— X,

so ergibt sich die Formel:

L = x . P,

während die durch den unbelastet gedachten Arm I herbeigeführte Entlastung

L, =r (x — 1). Px

ist-

Im Folgenden werden L und Lt gleichförmig auf je eine Hälfte des Trägers verteilt angenommen.

Gleichmäßig über den ganzen Träger ist außerdem eine Belastung Q, welche gleich dem Gewichte der halben Podestkappe einschl. der ans dieser ruhenden Belastung ist.

Fig. 195 zeigt das Schema der Belastung des Trägers bv Bei a, wird nun der Druck von oben nach unten ausgeübt, während bei bi durch den entlastenden Arm ein Abheben angestrebt wird. Zur Untersuchung der Stabilität dieses Auflagers ist es nötig, die Reaktionen b, max und b> min zu ermitteln. Ist bx min negativ,

{. ist eine Un,-rst-tzun, Bon oben eiferte«, sodaß unter Umstanden die Anordr ng einer .WWW MM, Auflagerplatte oberhalb des Trägers forderlich " Ä \ Ta sein kann.

«f-

Die Totalbelastung der Treppe wird pro qm mit 700 kg angenommen, wovon die Hälfte auf das Eigengewicht und die Hälfte auf die zufällige Belastung zu rechnen ist. Die zulässige Spannung nimmt man hier höchstens zu 700 kg pro qcm an.

Die Auflagerdrücke ergeben:

7001    ,., .    ._

Yö~- (4b + c.(5x + l));

Fig. 195.

ai max

bj max —

7001

₁₆ • (4b + c.(3 — x));

bi min ==

7001

16

• (2 b — c. (5 x — 6)).

Das erforderliche Widerstandsmoment des Trägerprofils ist:

a, max

W = 0,02041 .

b + 2cx

Sind die Dimensionen beider Treppenarme ungleich, so sind die Abmessungen des größeren Armes in die Formeln einzuführen. In der Regel werden nur die in dem höchsten Geschoß zu verlegenden Podestträger berechnet, und erhalten dann alle anderen Träger dasselbe Profil.

In die Formeln für die Anflagerdrücke sind die Maße in Metern einzuführen, worauf sich die Auflagerdrücke in Kilogrammen ergeben. In die Formel für das Widerstandsmoment sind die Maße in Zentimetern einzuführen.

Bei der Formel für das Widerstandsmoment ist angenommen, daß der Horizontalschub des Treppenarmes durch die Podestkappe auf die Außenmauer übertragen wird. Um den Druck der Podestkappe nach beiden Seiten möglichst zu verringern, empfiehlt es sich, beide Träger durch Bolzen x, Fig. 193, miteinander zu verbinden.

Man wendet als Kappenträger solcher Treppen vielfach gebrauchte Eisenbahnschienen an, die sich häufig in einem Zustande befinden, der keine lange Dauer derselben verspricht. Werden Eisenbahnschienen verwendet, dann soll man wenigstens nur durchaus gute benutzen.

Die folgende Tabelle gibt eine Zusammenstellung der Koeffizienten x, wie dieselben den gangbarsten Treppenverhältnissen unter Annahme verschiedener Verdrückungen des steigenden Bogens entsprechen.

Tabelle der Koeffizienten x.

Steigung in

Anstritt in

Verdrückung a: d (Fig. 194) =

cm

cm

12

14

16

20

21

24

1,03

1,15

1,27

1,52

18

26

1,04

1,16

1,27

1,51

16

31

1,01

1,11

1,21

1,41

13

34

0,94

1,02

1,10

1,23

Beispiel.

In Fig. 193 sei die Tiefe des Treppenhauses 2,80 m, die Länge 5,66 in, die Breite der Treppenläufe und Podeste 1,40 m und die Höhe des Geschosses von Oberkante Fußboden bis Oberkante Fußboden 4,30 in.

Werden 18 cm Steigung angenommen, so ergeben sich 430:18 — 24 Steigungen, sodaß jeder Treppenarm 11 Auftritte erhält, deren jeder 286: 11 — 26 cm breit ist. Es ist ferner, nach Fig. 194, c = 2,86 m, d — 1,40 m. h — 4,30 : 2 = 2,15 in, a = ^ 2,86'-' > 2,15-' - \/l2,80 = 3,58 in. und, wenn a:<l— 14 angenommen wird, nach der vorstehenden Tabelle x— 1,16.

Die Auflagerdrücke ergeben: 700.2,8

. (4.1,4 4- 2,86 . (5.1,16 + 1)) — 3068 kg;

at max

16

bi max —

700.2,8

16

- (4.1,4 4- 2,86 . (3 4-1,16)) — 1331 kg;

bi min

700.2,8

16

. (2.1,4 — 2,86 .(5.1,16 — 6)) —4

Das erforderliche Widerstandsmoment ist:

3068^

140 4- 2.286.1,16

W = 0,02041 -

— 239,086 — 239.

Es werden Träger des Profils Fig. 196 mit W — 239, oder Normal-Profil Nr. 21 mit W = 246 genügen, während eine 13,08 cm hohe Eisenbahnschiene mit W = 140 ungenügend wäre, wenn man die notwendige Sicherheit nicht außer Acht lassen will. Es empfiehlt sich der nötigen Widerlager wegen, stets solche Profile zu wählen, welche möglichst breite Flanschen haben.

Alle Träger a b und ai bt werden nach Fig. 196 ausgeführt, während die Träger c d und ct ch aus 13,08 cm hohen Eisenbahnschienen gefertigt werden können, welche der größeren Sicherheit wegen durch je 2 Bolzen mit den Trägern a b zu verbinden sind.

Sollen für die Träger Auflagerplatten vermieden werden, so müssen die Pfeiler unter denselben aus guten hartgebrannten Ziegelsteinen in Zementmörtel aufgeführt werden.

LäJ

~5

—4

Fig. 196.

Folgende Regeln sind noch bei der Herstellung massiv gewölbter Treppen nach vorbeschriebener Art zu beachten.

Da nur bei Anwendung eines flachen Bogens die Mittellinie des Druckes annähernd mit der Bogenaxe zusammenfällt, so ist das Verhältnis a : d — 12 das äußerste, welches angewendet werden darf. Da aber außerdem infolge zu großer Pfeilhöhe leicht die nötige Höhe zwischen den einzelnen Podesten verloren geht und die untersten Stufen eine zu hohe Aufmanerung erhalten müßten, so ist es besser, das Verhältnis a: d — 16 bis 20 zu nehmen.

Es empfiehlt sich, stets zu beiden Seiten jedes Podestes einen Widerlagsträger anzuordnen, von denen der eine in der Front- bezw. Mittelmauer liegende eine 13,08 cm hohe Eisenbahnschiene sein kann, während der andere stets rechnungsmäßig zu ermitteln ist. Für diese I-Träger sind Profile mit möglichst großen Flanschen zu wählen, wobei 90 mm als das Minimum derselben anzunehmen ist. Die Widerlagsträger sind durch 1,5 cm bis 2,0 cm starke Anker zu verbinden, welche in 2,0 cm bis 2,5 cm starken Schraubenbolzen endigen. Außerdem sind neben den Bolzen, oder so, daß die Bolzen durch sie hindurchgehen — also in Röhrenform —, Steifen zwischen den Widerlagsträgern anzuordnen.

Der Anschluß des steigenden Bogens an den Träger ist durch ein möglichst großes Seitenstück, welches der Form des Trägers genau anzupassen ist, herzustellen.

Die steigenden Bögen und Kappen müssen aus durchaus guten Steinen und gutem Zement in sorgfältigster Weise hergestellt werden, wobei nicht zu übersehen ist, daß kein Stein verwendet werden darf, der nicht mindestens eine Viertelstunde lang im Wasser gelegen hat. Nur bei einer solchen Ausführung dürfen Kappen mit so geringer Pfeilhöhe angewandt werden.

Es ist durchaus nötig, daß die Lehren unter Bögen und Kappen bis zur vollständigen Erhärtung des Zements, d. h. mindestens 3 Wochen lang nach der Anfertigung der Treppe, stehen bleiben.

Die Erfüllung dieser Bedingungen ist um deshalb notwendig, weil die Konstruktion dieser Treppen weniger auf einer regelrechten Herstellung der Gewölbe als auf der Verwendung guter Ziegelsteine und guten Mörtels — Zement — basiert. Für die Haltbarkeit ist also mehr gutes Material und vorzügliche Ausführung, als zweckmäßige und richtige Konstruktion maßgebend.

13 Übungen.

NB. Als schmiedeeiserne Träger werden ausschließlich I-Träger verwendet, wenn nichts anderes angegeben ist.

1. Berechnung der Eisenkonstruktionen eines Wohn- und Geschäfts-hauscs mit Keller, welcher zwischen eisernen Trägern gewölbt ist, mit Laden, Schaufenstern re.

Berechnung der Eisenkonstruktion des in den Figuren 197 bis 201 dargestellten Wohn- und Geschäftshauses. Fig. 197 ist der Grundriß des Kellergeschosses, Fig. 198 derjenige des Erdgeschosses, Fig. 199 der des I. Obergeschosses, Fig. 200 der des II. Obergeschosses und Fig. 201 der Querschnitt des Hauses.

A. Schmiedeeiserne Träger zur Unterstützung der Kappen im Keller, der Vorder- und Hinterfront und der Mittelwände.

1. Die Träger a im großen Keller vorn.

Freitragende Länge 5,87 m. Die Belastung jedes Trägers besteht aus der Kappe nebst dem Fußboden und ist einschl. zufälliger Belastung pro qm mit 750 kg angenommen, also —

5,87.2,18.750 — 9597,45 oder rd. 9600 kg.

Das erforderliche Widerstandsmoment ist demnach:

— 939,2 — rd. 940.

9600.587

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B

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Mg- 197.

Fig. 198.

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Fig. 200.

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'•ife----1"-----

F'g. 201.

Ein Trägerprofil von 355 mm Höhe, 142 mm Breite, 13 mm Stegstärke und 16,5 mm Flanschenstärke, mit einem Widerstandsmomente von W — 960, oder Normal-Profil Nr. 34, mit W — 931, ist also ausreichend, und sind zu verwenden:

2 Träger dieses Profils ä 6,27 m lang, und 4 Auflagerplatten ä 0,35 m lang, 0,20 m breit und 0,02 m stark.

Die Auflagerplatten ergeben sich in folgender Weise. Jedes Ende der Träger ist mit 9600 : 2 — 4800 kg belastet, sodaß, unter der Voraussetzung gewöhnlichen Mauerwerks, eine Auflagerfläche erforderlich ist:

F — 4800 : 7 — 686 qcm.

Nimmt man also die Auflagerlänge der Träger mit 20 cm an, so ist die Breite der Platte ebenfalls — 20 cm und die Länge derselben — 686 : 20 — 35 cm anzunehmen

2. Die Träger b im kleinen Keller vorn.

Freitragende Länge 5,87 m.

Die Belastung ist —

5,87.1,92.750 — 8452,8 = rd. 8460 kg.

Demnach ist:

8460.587

Verwendet wird dasselbe Profil wie unter 1, und sind erforderlich:

1    Träger dieses Profils 6,27 m lang, und

2    Auflagerplatten 4 0,35 m lang, 0,20 m breit und 0,02 m stark.

Der Träger c im Keller des Seitenflügels.

Freitragende Länge 2,80 m.

- 2,8.750 — 3276 = rd. 3280 kg.

Die Belastung ist —

1,60 + 1,52

Es ist demnach:

3280.280

8.750

153,06 — 153.

Ein Trägerprofil mit 175 mm Höhe, 91,5 mm Breite, 9 mm Steg-stärke und 10 mm Flanschenstärke, welches ein Widerstandsmoment von 174 hat, oder Normalprofil Nr. 18, mit W — 162, ist also genügend. Zur Verwendung kommen:

1    Träger dieses Profils von 3,20 m Länge, und

2    Auflagerplatten 4 20 cm lang, 20 cm breit und 1.5 cm stark.

4. Die Träger d über der Kellertreppe vom Hofe aus.

Es werden verwendet 4 Eisenbahnschienen 4 1,60 m lang, 13,08 cm hoch, mit W —140,4, welche nur die Brüstung des darüber liegenden Fensters und 1 Stück des Fußbodens zu tragen haben, für welche Zwecke sie weck mehr als genügen-

5. Die Träger e über dem Hanpteingange.

Freitragende Länge 2,30 m.

Die Belastung setzt sich wie folgt zusammen:

a.    Der Architrav — 1,05.2,3.0,64.1600 = 2456,96 kg.

b.    Das Mauerwerk des I. Obergeschosses —

(4,0.2,3 — 1,1.2,8). 0,51.1600 . . .— 5460,67 „

c.    Das Mauerwerk des II. Obergeschosses —

(3,6.2,3— 1,1 . 1,8). 0,38.1600 . . .= 3830,40 „

d.    Das Mauerwerk des Dachgeschosses —

(2,0.2,3 —1,6.0,5). 0,25.1600 . . .— 1720,00 „

e.    Das Dach = - ⁷y--2,3.250

f.    Die Balkenlagen —

6,0 + 6,26 + 6,39

— 2228,13 „

3.2,3 •

3.2

500 ... = 11723,60 „

iS

•Oi-

Statik.

Es ist demnach:

W =

27450.230

8.750

— 1052,25 —1053.

Verwendet werden drei Träger, welche jeder ein Widerstandsmoment W = 1053 : 3 = 351

erfordern, sodaß ein Trägerprofil von 262 mm Höhe, 96 mm Breite,

10    mm Stegstärke und 14,5 mm Flanschenstärke mit W — 406, oder Normal-Profil Nr. 24, mit W = 357, ausreichend ist.

Zur Verwendung kommen:

3 Träger dieses Profils ä 2,70 m lang, und 2 Auflagerplatten ä 64 cm lang, 20 cm breit und 2 cm stark, da die Pfeiler von Klinkern in Zement aufgeführt werden, also mit

11    kg pro qcm belastet werden können.

NB. Das Kubikmeter Mauerwerk ist mit 1600 kg, das Quadratmeter Balkenlage einschl. Verkehrslast mit 500 kg, das Dach, in der Horizontalprojektion gemessen, mit 250 kg pro qm angenommen. Alle Dimensionen der Querschnitte werden in Millimetern angegeben.

6. Die Träger f unter der ersten Mittelwand in der Durchfahrt.

Freitragende Länge 2,30 m.

Die Belastung beträgt: a. Manerwerk —

((0,64.0,6 + 4,0.0,51 + 3.6.0,38). 2.3 —

(1,3.2,8).0,51 + (1,3.2,6.0,38). 2,3). 1600 = 2400,00 kg. b. Das Dach —

7,75.8,20

• 2,3.250

c. Die Balkenlagen —

O 6,22 + 1,70 . 2

- 2,3.500

= 4585,63 „

— 13662,00 „

oder rd. 20650 kg. Demnach ist:

Summa 20647,63 kg,

20650.230

791,58 = 792.

8.750

Da 2 Träger nebeneinander liegend zur Verwendung kommen, so ist für jeden ein Widerstandsmoment von

W = 792 : 2 = 396

erforderlich, sodaß ein Träger-Profil von denselben Dimensionen wie unter 5, oder Normal-Profil Nr. 24, mit W — 357, genügend ist.

Verwendet werden:

2 Träger des Profils unter 5, ä 2,70 m lang, und 2 Auflagerplatten ä 51 cm lang, 20 cm breit und 2 cm stark, da die Pfeiler ebenfalls von Klinkern in Zement aufgeführt werden.

7. Die Träger g unter der zweiten Mittelwand in der Durchfahrt.

Freitragende Länge 2,30 m.

Die Belastung besteht aus:

a.    Mauerwerk —

((0,6 + 4,0 + 3,6). 2,3- (2,1 . (3,45 -f 3,05))). 0,38.1600 .......

b.    Balkenlagen —

3 • 1,⁷ ^ 1,8 - 2,3.500

— 3167,68 kg.

— 6210,00 „

oder rd. 9380 kg. Es ist also :

Summa 9377,68 kg,

9380.230

= 359,56 = rd. 360.

8.750

Da 2 Träger verwendet werden, so ist für jeden erforderlich:

W = 360: 2 = 180.

Ein Trägerprofil von 174 mm Höhe, 88 mm Breite, 8,5 mm Stegstärke und 12,5 mm Flanfchenstärke mit W — 192, oder Normal-Profil Nr. 19, mit W — 187, genügt also.

Zur Verwendung kommen:

2 Träger dieses Profils von je 2,70 m Länge, und 2 Auflagerplatten ä 38 cm lang, 20 cm breit und 1,5 cm stark.

8. Die Träger h über der Durchfahrt am Austritt der Treppe.

Freitragende Länge 2,30 m.

Die Belastung beträgt:

a.    Mauerwerk —

((0,6 + 4,0 + 3,6). 2,3 — (2,53.3,45 + 2,53 . 3,05)). 0,38.1600

b.    Balkenlagen —

— 614,08 kg.

1,8

1,8

i~ + i,o+2-i

• 2.3.500

= 4255,00 „

Statik.

'OC

Demnach ist:

4900.230

8.750

= 187,83 = 188.

Bei der Verwendung von 2 Trägern nebeneinander ist für jeden

erforderlich:

W= 188: 2 = 94,

fodaß ein Trägerprofil von 150 mm Höhe, 75 mm Breite, 6,5 mm Stegstärke und 9,5 mm Flanschenstärke mit W = 110, oder Normal-Profil Nr. 15 mit W = 99 ausreichend ist.

Verwendet werden:

2 Träger dieses Profils ä 2,70 m lang, und 2 Auflagerplatten ä 38 cm lang, 15 cm breit und 1,5 cm stark.

9. Die Träger i über dem hinteren Torwege.

Freitragende Länge 2,30 m.

Die Belastung setzt sich zusammen aus:

a.    Mauerwerk =

(((1,05 + 4,0 + 3,6). 2,3 - (1,5 . (2,28 + 1,8).

0,51) + (2,0.2,3 — 1,5.1,5). 0,25)). 1600 = 12176,00 kg.

b.    Das Dach =

1425,00 „

2,6.2,3.250

Summa 13601,00 kg,

oder rd. 13600 kg. Es ist also:

521,23 = 521.

13600.230

8.750

Es werden 3 Träger nebeneinander liegend verwendet, und ergibt sich demnach für jeden ein erforderliches Widerstandsmoment von

W = 521:3 = 174,

sodaß ein Trägerprofil von 175 mm Höhe, 91,5 mm Breite, 9 mm Stegstärke und 10 mm Flanschenstärke mit YV = 174, oder Normal-Profil Nr. 19 mit W = 187, genügend ist.

Verwendet werden:

3 Träger dieses Profils ä 2,70 m lang, und 2 Auflagerplatten ä 51 cm lang, 20 cm breit und 2 cm stark.

10. Die Träger k unter der Mittelwand im Laden.

Die Träger werden auf der Säule gestoßen.

Freitragende Länge links von der Säule 2,90 m.

Die Belastung betragt:

a. Mauerwerk —

((0,7 + 4,0 + 3.6). 2,9 - (1,3 . (2,8 + 2,6))). 0,38.1600 . . b. Balkenlagen —

6,22.1,7

• 2,9.500

—10366,40 kg.

= 17226,00 „

c. Das Dach — 7,75 + 8,2

• 2,9.250

— 5781,88 „

oder rd. 33400 kg. Demnach ist:

Summa 33374,28 kg,

33400.290

1614,33 = 1614.

8.750

Da 3 Träger nebeneinander verwendet werden, so ist für jeden derselben W= 1614: 3 = 538

erforderlich, sodaß ein Trägerprofil von 300 mm Höhe, 123 mm Breite, 10 mm Stegstärke und 14 mm Flanschenstärke mit W = 637, welches verwendet werden soll, oder auch Normal-Profil Nr. 28 mit W = 547, ausreichend ist.

Der Teil rechts von der Säule hat eine freitragende Länge von 2,0 m, bei entsprechender gleichartiger Belastung wie der linke Teil.

Die Träger sollen nun in der für den linken Teil berechneten Stärke über beiden Teilen als kontinuierliche Träger verwendet werden, sodaß erforderlich sind:

3 Träger obigen Profils ä 5,74 m lang, und 2 Auflagerplatten ä 51 cm lang, 42 cm breit und 2 cm stark.

11. Die Träger l über den Schaufenstern der Vorderfront.

Freitragende Länge 1,92 in.

Die Belastung besteht aus: a. Mauerwerk =

(1,05.0,64.1,92 + (4,0.1,92 — 1,1.2,28). 0,51 +

(3,6 . 1,92 — 1,1 .1,8). 0,38 + (2,0.1,92 — 0.6.0,5).

= 10696,48 kg.

0,25) .1600 . . b. Balkenlagen =

o 6.22

3 • y "

• 1,92.500

= 8956,80 „

c. Das Dach =

7 75

—• 1,92.250

= 1860,60 „

Es ist demnach

21550.192

689,6 = rd. 690.

8.750

Über jedem Schaufenster werden 3 Träger nebeneinander verwendet, welche jeder ein Widerstandsmoment

W = 690 : 3 = 230

erfordern. Ein Trägerprofil von 210 mm Höhe, 100 mm Breite, 9 mm Stegstärke und 12 mm Flanschenstärke mit W = 270, oder Normal-Profil Nr. 21 mit W — 246, genügt also.

Verwendet werden:

6 Träger dieses Profils ä 2,17 m lang, und 2 Auflagerplatten ä 64 cm lang, 20 cm breit und 2 cm stark.

12. Die Träger m über der Ladentür.

Freitragende Länge 1,60 m.

Die Belastung beträgt:

a. Mauerwerk —

— 8352,80 kg.

(1,05.0,64.1,6 + (4,0.1,6 — 1,1.2,28). 0,51 + (3,6.1,6 — 1,1.1,8). 0,38 + (2,0.1,6 — 0,6.0,5). 0,25.1600 .

b. Balkenlagen —

s.-⁶^

• 1,6.500

= 7464,00 „

c. Das Dach —

7 7R

• 1,6.250

= 1550,00 „

Summa 17366,80 kg,

oder rd. 17400 kg.

Verwendet werden 3 Träger nebeneinander von 175 mm Höhe, 91,5 mm Breite, 9 mm Stegstärke und 10 mm Flanschenstärke, mit je einem Widerstandsmoment von 174, sodaß das gesamte Widerstandsmoment

W = 3.174 = 522 hinreichend genügt, da erforderlich ist:

17400.160

8.750

464.

3 Träger des Normal - Profils Nr. 18, mit W = 3.162 = 486 genügen ebenfalls.

Verwendet werden:

3 Träger eines der obigen Profile ä 1,60 m lang.

13. Die Säule n unter den Trägern der Mittelwand im Laden.

Freie Höhe 4,0 m.

Der Druck auf die Säule beträgt:

n. Die halbe Belastung der Träger unter 10, welche

für die linke Seite berechnet ist = 33400: 2 = 16700,00 kg.

b. Die halbe Belastung der Träger unter 10 für die rechte Seite:

1.    Mauerwerk —

((0,7 + 4,0 + 3,6) .2,0-1,3. (2,8 +

2912,32 „

2,6)). 0,38.1600 — 5824,64 : 2

2.    Balkenlagen —

• 2,0.500 = 11880 : 2 . . — 5940,00 „

o 6,22+1,7 ³--2-

3.    Das Dach —

1993,75 .,

• 2,0.250 = 3987,5 : 2 . . .

7,75 + 8,2

c.    Das halbe Eigengewicht der Träger unter 10 — O 5,74 ³ ' 2

d.    Die halbe Last der Sprengewände —

- (4,0 + 3,6). 0,13). 1600 . . .

• 54

464,94 „

— 5793,63 „

Summa 33804,64 kg,

oder rd. 33850 kg.

— 1624,8 — 1625,

Hiernach ist erforderlich ein Trägheitsmoment

3.33850.400.400 10000000

da der Säulenfnß mit angegossenen Rippen versehen wird.

Es ist ferner erforderlich ein Flächeninhalt des Querschnitts:

F = 33850 : 500 = 67,7 = rd. 68 qcm.

Verwendet wird ein kreisrunder Querschnitt mit 150 mm äußerem und 100 mm innerem Durchmesser, also mit 25 mm Wandstärke. Derselbe hat ein Trägheitsmoment T = 1994 und einen Flächeninhalt des Querschnittes F — 98 qcm, genügt also nach beiden Richtungen vollkommen.

14. Die durchbrochenen Wände o der Vorderfront.

2 Stützen mit freier Höhe von je 4,0 in.

Der Druck auf jede Stütze beträgt:

a.    Die halbe Belastung der Träger unter 11 —

— 10775,00 kg.

21550:2 .....'..............

b.    Das halbe Eigengewicht derselben —

138,45 „

(3.31,9.2,17): 2 ..............

— 8700,00 „

c.    Die halbe Belastung der Träger unter 12 —

17400:2 ...................

d.    Das halbe Eigengewicht derselben —

55,20 „

(3.23.1,60): 2 ................

Summa 19668,65 kg,

oder rd. 19700 kg.

945,6 — rd. 950,

Es ist demnach erforderlich ein Trägheitsmoment

3.19700.400.400 10000000

und ein Flächeninhalt des Querschnitts

F = 19700 : 500 — 39,4 — 40 qcm.

Verwendet wird das Profil Fig. 202, dessen Füße mit angegossenen Rippen versehen werden, und dessen Trägheitsmoment

"T

iJ

Fig. 202.

) • 2 = 2205

ist, und welches einen Flächeninhalt des Querschnitts

3,14.7²

t-T

II⁴ 3,14.7⁴

16

^ —165 qcm

F = 2.(ll²

hat. Dasselbe entspricht also beiden Forderungen weit mehr als erforder-lich ist. Außerdem sind die Zwischenstücke zwischen der vorderen und hinteren Säule bei der Berechnung vernachlässigt.

2. Berechnung der Eisenkonstrnktionen eines Erkers mit darüber liegendem Balkon.

Berechnung der Eisenkonstruktionen des Erkers mit darüber liegendem offenen Balkon, wie er in Fig. 203 im Grundriß und in Fig. 204 im Querschnitt dargestellt ist. Fig. 205 zeigt den Grundriß der Eisen-konstruktion des offenen Balkons, Fig. 206 und 207 geben die Grundrisse

der Eisenkonstruktionen des Erkers im II. und I. Obergeschosse. Die Konstruktion ist derartig auszuführen, daß jedes Geschoß seine eigene Eisenkonstruktion erhält.

ik

3,20

f,

1,110

Lj80__

0j?8

2,00

0,51

Fig- 203.

■m

es

___

j!

1s

0,51

Fig- 205.

-...........dl

»■

ab

Fig. 204.

a. Der offene Balkon.

1. Der Frontträger i k.

Freitragende Länge 2,0 m,

Die Belastung ist:

— 787,50 kg.

.= 748,80 „

a. der Fußboden mit der Kappe —

3,2 + 1,8    0,84    75Q

b. die Brüstung = 2,0.0,9.0,26.1600

Es ist demnach:

1550.200

8.750

= 51,66 — 52.

Eine Eisenbahnschiene von 2,20 m Länge und 13,08 cm Höhe, die ein Widerstandsmoment von 140,4 hat, genügt demnach vollkommen, auch für den Seitenschub der Kappe, welcher sie als Widerlager dient; derselbe wird außerdem durch die Anker n bedeutend verringert. Als zweites Widerlager der Kappe dient eine Schiene von gleicher Höhe, welche in der Frontmauer liegt.

2. Die Freiträger 1 m.

Freitragende Länge 1,50 m.

steht aus:

Die Belastung des Trägers an jeder Seite des Balkons 6e-

a.    der halben Belastung des Trägers i k —

1550: 2 ....................

b.    der halben Eigenlast desselben —

(2,0.32,66): 2 ................

c.    der auf den Trägern stehenden Seitenbrüstung —

1,55.0,9.0,26.1600 ..........

— 775,00 kg.

32,66 „

— 580,32 „

Summa 1387,98 kg,

oder rd. 1400 kg.

Der Träger ist au einem Ende fest eingespannt, demnach ist sein Maximal-Biegungsmoment:

M — 1400.150 — 210000. Hiernach ergibt sich als erforderlich:

W — 210000 : 750 — 280.

Verwendet werden an jeder Seite 2 Träger von 147 mm Höhe, 85 mm Breite, 9 mm Stegstärke und 12 mm Flanschenstärke, welche jeder ein Widerstandsmoment von 150, je 2 also ein solches von 2.150 — 300 haben und demnach genügen. Die Träger erhalten außerdem Ankerbolzen p, welche mit einer Ankerplatte versehen und fest vermauert sind. 2 Träger des Normal-Profils Nr. 18 mit W = 162 sind ebenfalls ausreichend.

Gebraucht werden:

4 Träger obiger Profile ä 2,10 m lang.

b. Der Erker des II. Obergeschosses. 1. Der Frontträger es.

Freitragende Länge 2,0 m.

1,1.50o) : 2

= 687,50 kg.

Die Belastnng beträgt: a. Der Fußboden — '3,20 + 1,80

b. Das Manerwerk —

(2,0.0,38.3,85 — 2,4.0,38.1,1). 1600. . . = 3076,48 „

(Summa 3763,98 kg,

oder rd. 3770 kg.

Es ist also erforderlich: 3770.200 8.750

Eine Eisenbahnschiene von 2,20 m Länge und 13,08 cm Höhe, mit W — 140,4, genügt also, und wird dieselbe außerdem durch die Anker n gesichert.

»V

e-C <

Fig. 206.

2. Die Freiträger gh.

Freitragende Länge 1,50 m.

Die Belastung des Trägers an jeder Seite des Erkers ist:

a.    Die halbe Belastung des Trägers es auf —

= 1885,00 kg.

3770:2 ......".....

b.    Das halbe Eigengewicht desselben —

32,66 „

(2,0.32,66): 2 ............

c.    Eine Seitenwand des Erkers —

(1,5.3,85.0,38 — 0,38.2,4.0,6). 1600. . . = 2635,68 „

Summa 4553,34 kg,

oder rd. 4560 kg.

Demnach ist die Maximalbelastung am Ende des Trägers — M — 4560.150 — 684000.

Es ist also erforderlich:

W — 684000: 750-= 912.

Verwendet werden an jeder Seite des Erkers 2 Träger von 230 mm Höhe, 112 mm Breite, 14 mm Stegstärke und 20 mm Flanschenstärke, von denen jeder ein Widerstandsmoment von 492 und je 2 ein solches von 2.492 = 984 haben, also vollkommen genügen. Ankerbolzen p wie oben.

Gebraucht werden 2 Träger des Normal-Profils Nr. 28 mit W — 547, oder 4 Träger obigen Profils, von 2,10 m Länge.

2. Tie Freiträger c d.

Freitragende Länge 1,50 m.

Die Belastung des Trägers an jeder Seite des Erkers ist:

a.    Die halbe Belastung des Trägers a b =

— 1925,00 kg.

3850:2 ...............

b.    Das halbe Eigengewicht desselben —

32,66 „

(2,0.32,66): 2 ............

c.    Eine Seitenwand des Erkers —

(1,5.3,9.0,38 — 2,4.0,6.0,38). 1600 ... — 2681,28 „

Summa 4626,49 kg,

oder rd. 4650 kg.

Die Maximalbelastnng am Ende des Trägers ist demnach: M = 4650.150 = 697500.

c. Der Erker des I. Obergeschosses. 1. Der Frontträger ab.

Freitragende Länge 2,0 m.

Die Belastung beträgt: a. Der Fußboden = 3,2 -f 1,8

• 1,1.500) : 2

— 687,50 kg.

b. Das Mauerwerk —

(2,0.3,9.0,38 — 2,4.1,1.0,38). 1600 . . . = 3137,28 „

Summa 3824,78 kg,

oder rd. 3850 kg.

,1

il

Fig. 207.

Demnach ist erforderlich:

3850.200 8.750

Eine Eisenbahnschiene von 2,20 m Länge und 13,08 cm Höhe genügt also, und wird außerdem wie oben befestigt.

128,3= 128.

Es ist also ein Widerstandsmoment notwendig =

W = 697500 : 750 = 930.

Verwendet werden an jeder Seite 2 Träger von 258 mm Höhe, 105 mm Breite, 14,5 mm Stegstärke und 17 mm Flanschenstärke, deren jeder ein W = 505, je 2 also ein W = 2.505 = 1010 haben, und demnach vollkommen genügen. Ankerbolzen p wie oben.

Gebraucht werden:

4 Träger dieses Profils ä 2,10 m lang, oder des Normal-Profils Nr. 28 mit W = 547.

An den Ecken der Erker werden die Träger lotrecht durch starke Ankerbolzen mittels Schrauben bezw. Platten miteinander verbunden.

Die Stützen q dienen nur zur Befestigung der Konsole rc.

NB. Die Berechnung ist in der Weise erfolgt, daß die Eisen-konstruktion jedes Geschosses auch nur das betreffende Geschoß trügt.

6. Die Träger x über der Öffnung im Erker -es l. Obergeschosses.

Freitragende Länge 3,20 m.

Die Belastung besteht aus der Balkenlage und dem Architrav. Die erstere wird nur von dem inneren Träger aufgenommen, jedoch wird der äußere, weil er einen Teil des Erker-Fußbodens zu tragen hat und aus praktischen Gründen, ebenso stark ausgeführt.

Die Belastung des inneren Trägers ist:

a.    Balkenlage =

— 4104,00 kg.

F, 1 9

—• 3,2.500 .....

= 652,80 „

b.    Architrav —

(0,5.3,2.0,51.1600) : 2

oder rd. 4760 kg.

Summa 4756,80 kg,

Demnach ist ein Widerstandsmoment erforderlich — 4760.320

8.750

253,8 — 254.

Verwendet wird eilt Träger von 235 mm Höhe, 93 mm Breite, 10 mm Stegstärke und 9,25 mm Flanschenstürke, mit W — 259, der also genügt. Da der äußere Träger dieselben Diniensiouen erhält, so sind erforderlich:

2 Träger dieses Profils ä 4,60 m lang, oder des Normal-Profils Nr. 22, mit W — 281, damit dieselben für die Seitenträger des Erkers gleichzeitig als Auslage dienen können. Unterlagsplatten sind hier nicht erforderlich, denn es ist an Auflagerfläche notwendig:

F = 4760: 11 = 433 qcm,

weil die Pfeiler aus Klinkern in Zementmörtel hergestellt werden, und die Auflagerfläche eines Trägers = 70.9,3 = 651 qcm betrügt, also ausreichend ist.

e. Di e Träger y über der Öffnung im Erker des II. Obergeschosses.

Freitragende Länge 3,20 m.

Die Belastung beider Träger besteht aus: a. Mauerwerk =

(((3,8+3,5). 0,38+1,25.0,26). 3,2—(2 . (2,3+

2,2) .0,38). 1,1+0,5.0,51.3,2). 1600 , . . . = 11153,68 kg.

Seite = 11153,68 kg.

Für den inneren Träger: Summa — 13144,84 kg,

oder rd. 13150 kg.

701,3 — 700.

b.    Das Dach —

3,2 •

c.    Die Dachbalkenlage —

• 3.2.500 . . .

6.8

• 250

Übertrag — 11153,68 kg.

— 2720,00 „

= 4208,00 „

Von diesen 18081,68 kg trägt jeder der beiden

Träger die Hälfte mit............

Der innere Träger hat außerdem zu tragen, die Balkenlage —

5 13

- 3,2.500 .............

Summa —18081,68 kg.

— 9040,84 kg.

— 4104,00 „

Es ist demnach erforderlich ein Widerstandsmoment: 13150.320

8.75.0

Ein Trägerprofil von 245 mm Höhe, 150 mm Breite, 13 mm Stegstärke und 21,5 mm Flanschenstärke mit W — 732, oder Normal-Profil Nr. 32, mit W — 789, genügt also.

Da der äußere Träger dasselbe Profil erhält, so sind erforderlich: 2 Träger dieser Profile ä 4,08 m lang.

An Auflagerfläche ist erforderlich, da die Pfeiler aus Klinkern in Zementmörtel aufgeführt werden:

F = 13150:11 = 1196 qcm für den inneren Träger, und F = 9050 :11 — 823 qcm für den äußeren Träger.

Die Auflagerfläche jedes Trägers beträgt an jedem Ende 70.15 = 1050 qcm. Für den inneren Träger ist demnach eine Anflagerplatte von 44 cm Länge und 25 cm Breite bei 2 cm Stärke erforderlich, während die Auslagerfläche des äußeren Trägers genügend ist; man wird jedoch des gleichmäßigeren Auflagers wegen eine Platte unter beiden Trägern von 51 cm Länge und 25 cm Breite verwenden.

3. Berechnung der Stabilität eines Dachbinders und der Holzstärken

desselben.

Die Stabilität des in den Figuren 208 und 209 dargestellten Binders, sowie die erforderlichen Holzstärken desselben zu berechnen. Die Entfernung der einzelnen Binder voneinander beträgt von Mitte zu Mitte 4,50 bis 5,10 m. Für die Belastung wird deshalb die größte Entfernung von 5,10 m in Rechnung gezogen. Das Dach wird mit Steinpappe auf Schalung gedeckt.

Berechnungen.

Die Gesamtbelastung eines Binders beträgt demnach, bei 150 kg

pro qm:

L = 2.5,1.8,485.150 — 12982,05 kg.

_„360-'

ps

ti

13,00

Ng. 208.

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V»

2,-S

fc

ff

Ng. 209.

Dieselbe verteilt sich in folgender Weise:

P,= 2.1,8.5,1. 1,50..............

P₂ — 2,775.5,1.150- 2122,875 — rd. 2125 kg für jede Seite; für beide Seiten also:

2.2122,875 —2. P₂............

Pz = 1,53.5,1.150 — 1170,45 — rd. 1170 kg für jede Seite; für beide Seiten also:

2.1170,45 —2. Pz ............

— 2754,00 kg

— 4245,75 „

— 2340.90 ..

Seite — 9340 65 kg.

P₄ — 2,38.5,1 . 150— 1820,70 — rd. 1820 kg für jede Seite; für beide Seiten also:

2.1820,70 = 2. P₄.........

Übertrag — 9340,65 kg,

= 3641,40 kg. Summa — 12982,05 kg.

Die Last P₄ ergibt die beiden Komponenten St und M, von denen S, in den Sparren ab übergeht, während M die beiden Komponenten S0 und H ergibt, deren erstere in die Strebe d 1 und deren letztere in die Zange cd übergeht. Es ist nun:

Sj = P₂. sin a == 2125 . sin 15° = num (log 2125 + log sin 15°) = num (3,3273589 + 9,4129962 — 10) = num log 2,7403551 = 549,99 = rd. 550 kg.

M = P₂ . cosß = 2125 . cos 15° = num (log 2125 + log cos 15°) = num"(3,3273589 + 9,9849438 — 10) = num log 3,3123027 = 2052,6 = rd. 2055 kg.

_ M . sin ß _P₂. cos ß . sm ß__2125 . cos 15° . sin 33°

Sill (ß + ß)

sin (15° + 33°)

sin (ß + ß)

mim (log 2125 + log cos 15° + log sin 33° — log sin 48°) — num (3,3273589 + 9,9849438 — 10 + 9,7361088 — 10 — 9,8710735 + 10) — num (23,0484115 — 19,8710735) — num log 3,1773380 —

1504,3 — rd. 1505 kg.

M. sin ß P₂. cos « . sin ß

= P₂. sin ß — 2125 . sin 33° —

COS ß

num (log 2125 + log sin 33°) — num (3,3273589 + 9,7361088 - 10) — num log 3,0634677 —

1157,3 —rd. 1160 kg.

Die Last P> ergibt die beiden Komponenten 8 und E. Es ist B = Pi 2

woraus sich die horizontale Kraft H₀ ergibt, welche jedoch für die Kon» strilktion ohne Einfluß ist, da sie durch die Kraft — H₀ aufgehoben wird.

cos ß

- COS ß,

Die sich aus R ergebende vertikale Kraft ist:

Pi . COS ß . COS ß

Ph cm ,

— R. cosa —

Pi. cos² ß

und demnach die ganze in b wirkende Kraft:

P — P,. cos² ß.

Diese Kraft P wird durch die Säule b h, welche mit dem Forsträhm und den Sparren durch eiserne Anker, fest verbunden ist, auf den Punkt

h übertragen und zerlegt sich in die Komponenten H₂ und N. Es ist

N =    • cos 6,

und

Po

P . COS d. COS 6

P. cos² ä

^ = N.cosd

und folglich die ganze in h wirkende vertikale Kraft:

P₀ = P . cos² d,

wozu noch zweimal H aus den Zangen fh und dh tritt.

Die von b aus in den Sparren übergehende Kraft ist:

P,. sin a

und die in die Zange i h übergehende Kraft:

H₄ = 4° • sin d.

2

Es ist demnach:

P = Pi. cos² a = 2754 . cos² 15«

n um (log 2754 -f- 2 . log cos 15°) — num (3,4399639 + (9,9849438 — 10). 2) = nuni log 3,4098515 —

2569,5 = rd. 2570 kg.

Po = P . cos² d + 2 H = 2570 . cos² d + 2.1160 = num (log 2570 + 2 . log cos 4° 50') + 2.1160 = num (3,4099331 + 2 . (9,9984529 — 10)) + 2320 = num log 3,4068389 + 2320 —

2555 + 2320 = 4875 kg.

Q Pi. sin a

S==“^~

2754. sin 15«

num (log 2754 + log sin 15° — log 2) =

num (3,4399639 + 9,4129962 — 10 — 0,3010300) =

num log 2,5519301 —

356,4 = rd. 360 kg.

• sin d =

Po

H-=-i

4875

2— sin 4° 50'

mini (log 2438 -f log sin 4° 50') —

num (3,3870337 + 8,9256089 — 10) =

num log 2,3126426 —

205,42 = rd. 210 kg.

„ P .    2570

N = — • cos 3 = —-— - cos 4° 50 —

num (log 1285 + log cos 4° 50') —

Diesener III.

16

Statik.

IC

num (3,1089031 + 9,9984529 — 10) = nurn log 3,1073560 —

1280,5 = rb. 1280 kg.

Die Last P₃ setzt sich zusammen aus:

s + H₄ = 1505 + 210 = 1715 kg.

Dieselbe zerlegt sich in die Komponente S₀, welche in die Strebe d 1 übergeht, und M, senkrecht zur Strebe d 1. Es ist dann:

S₀ = P₅ • sin ß;

Mi — Pg . cos ß;

Mi wird in die Komponenten Hi und M₂ zerlegt, von denen die erstere in die Zange a f übergeht, während M₂ biegend auf die Strebe d 1 wirkt. Es ist:

Hi — Mi . sin (ß — J); M₂ = Mi . cos (ß — 4).

Es ergibt sich also:

S₀ = Pg sin ß = 1715 . sin 33° = num (log 1715 -f- log sin 32°) — num (3,2342641 + 9,7361088 — 10) = num log 2,9703729 —

934,05 = rb- 935 kg.

M, = P₅ . cos ß = 1715 . cos 33° = num (log 1715 + log cos 33°) = num (3,2342641 + 9,9235914 — 10) = num log 3,1578555 —

1438,3 — rd. 1440 kg.

H, = Mi. sin (ß — d) = 1440 . sin (33« — 4° 50') =

1440 . sin 28» 10' = num (log 1440 + log sin 28» 10') = num (3,1583625 + 9,6739769 — 10) = num log 2,8323394 —

679,73 = rd. 680 kg.

Mj, — Mj . cos (ß — 4) — 1440 . cos 28» 10' — num (log 1440 + log cos 28° 10') — num (3,1583625 + 9.9452609 — 10) = num log 3,1036234 =

1269,5 = rb. 1270 kg.

Die Last P₈ ist —1170 kg und ergibt die beiden Komponenten S₂, welche in den Sparren, und ulr welche in die Strebe e m übergehen. Für die Punkte e und t ist ein gemeinschaftlicher Angriffspunkt angenommen, weil beide ganz nahe bei einander liegen und fest miteinander verbunden sind. Es ist:

Ui — P₃ . sin y — 1170 . sin 62° — num (log 1170 + log sin 62°) — num (3,0681859 + 9,9459349 — 10) = num log 3,0141208 —

1033,1 = rd. 1035 kg.

Ms — P₃ . cos y — 1170. cos 62° — num (log 1170 -f- log cos 62°) — num (3,0681859 -f 9,6716093 — 10) = num log 2,7397952 =

549,28 = rd. 550 kg.

Ms zerlegt sich in die Komponenten S₂ und M₄, von denen S₂ in den Sparren übergeht und M₄ biegend auf die Strebe e m wirkt. Es ergibt sich:

S₂ == Mg. sin (y — «) — 550 . sin (62° — 15°) —

550. sin 47° =

num (log 550 -f- log sin 47°) —

num (2,7403627 + 9,8641275 — 10) =

num log 2,6044902 —

402,25 = rd. 405 kg.

M₄ — M₃ . cos (y — «) — 550. cos 47° mim (log 550 -f- log cos 47°) — num (2,7403627 + 9,8337833 — 10) = num log 2,5741460 —

375,1 = rd. 375 kg.

Die im Punkte k angreifende Kraft ist:

P₆ = Uj + So + s, = 1035 + 1505 + 935 = 3475 kg.

Dieselbe ergibt die Komponenten n₂ und M₆; erstere geht in die Strebe e m über, letztere wirkt auf diese biegend und ist dann:

u₈ = Pg . sin y — 3475 . sin 62° — num (log 3475 + log sin 62°) — num (3,5409548 + 9,9459349 — 10) = num log 3,4868897 = 3068,2 = rd. 3070 kg.

M₅ = P₃. cos y — 3475 . cos 62° = num log 3475 + log cos 62°) — num (3,5409548 + 9,6716093 — 10) = num log 3,2125641 = 1631,4 = rd. 1635 kg.

Mj ergibt die Komponenten s₂ und M₆, von denen die erstere in die Strebe dl übergeht, während M₆ biegend auf die Strebe dl, und M5 biegend ans die Strebe e m im Punkte k wirken. Es ist nun:

s₂ = M₅. sin (y —*ß) = 1635 . sin (62° — 33°) = num (log 1635 -f- log sin 29°) — num (3,2135178 + 9,6855712 — 10) = num log 2,8990890 — 792,66 — rd. 795 kg.

Mg = M₅. cos (y — ß) = 1635 . cos 29° — num (log 1635 + log cos 29") — num (3,2135178 + 9,9418193 — 10) = num log 3,1553371 =

1430 kg.

Die Last P₄ setzt sich nun zusammen aus beit durch den Sparren ab und die Zange af übermittelten Kräften, sodaß sich ergibt:

P₄ = S + S₁+S₂ + H₁+H₂ =

360 + 550 + 405 + 680 + 210 = 2205 kg.

Hieraus ergibt sich in horizontaler Richtung aus den im Sparren wirkenden Kräften:

Mg — (S -j- Si + S₂) .cos a —

(360 + 550 + 405) . cos 15° = 1315 . cos 15» = num (log 1315 + log cos 15°) — num (3,1189258 + 9,9849438 — 10) = num log 3,1038696 — 1270,2 — rd. 1270 kg.

In vertikaler Richtung ergibt sich:

Vi— (8 + 8, + S₂). sin ct =

1315 . sin 15° = num (log 1315 + log sin 15") — num (3,1189258 + 9,4129962 — 10) = num log 2,5319220 = 340,3 -----rd. 340 kg.

Aus den in der Zange a f wirkenden Kräften ergibt sich:

Die Horizontalkraft

Mg ----- (Mi —(— H₂). cos 4 —

(680 + 210). cos 4» 50' = num (log 890 + log cos 4° 50') — num (2,9493900 + 9,9984529 — 10) -----num log 2,9478429 = 886,84 ----rd. 890 kg;

die Vertikalkraft

V₂ = (H, + H₂). sin 4 =

890 . sin 4° 50' —

num (log 890 + log sin 4° 50') —

mim (2,9478429 + 8,9256089 — 10) = uum log 1,8734518 = 74,723 = rd. 75 kg.

Die gesamte Horizontalkraft im Punkte a, welche durch das Rahm und den Stiel auf die Mauer übertragen wird, ist demnach:

Hs = H₃ + H₄ = 1270 + 890 = 2160 kg.

Desgleichen ist die Vertikalkraft

v= v, + Vä= 340 + 75 = 415 kg.

Die auf den Punkt 1 durch die Strebe d 1 übertragene Kraft ist —

So + s, + s₂ = 1505 + 935 + 795 = 3235 kg.

Dieselbe zerlegt sich in die Horizontalkraft H₆ = 3235 . cos ß =

num (log 3235 + log cos 33°) — num (3,5098743 + 9,9235914 — 10) = num log 3,4334657 = 2713,1 = rd. 2715 kg,

und in die Vertikalkraft

V₃ — 3235 . sin ß =

num (log 3235 -f log sin 33°) = num (3,5098743 + 9,7361088 — 10) = num log 3,2459831 = 1761,9 = rd. 1765 kg.

Die ans den Punkt m durch die Strebe e m übertragene Kraft ist — u, + Uz = 1035 + 3070 = 4105 kg.

Dieselbe zerlegt sich in die Horizontalkraft H₇ — 4105 . cos y = 4105 . cos 62° — num (log 4105 -f- log cos 62°) — num (3,6133132 + 9,6716093 — 10) = num log 3,2849225 = 1927,2 = rd. 1930 kg,

und in die Vertikalkraft

V₄ = 4105 . sin y = 4105 . sin 62° = num (log 4105 + log sin 62°) — num (3,6133132 + 9,9459349 — 10) = num log 3,5592481 — 3624,5 — rd. 3625 kg.

Die Summe aller auf die Mauer wirkenden Vertikalkräste ist nun: V + V₃ + V₄ = 415 + 1765 + 3625 = 5805 kg.

Diese verteilen ihren Druck auf

5,10.0,51 = 2,60 qm

Fläche des Mauerwerks, was also mehr als genügt.

Das Rühm hat eine Auflagerfläche von

18.210 — 3780 qcm;

erforderlich sind:

5805 : 7 — 830 qcm;

es ist also auch die Auflagerfläche des Rähms mehr als ausreichend.

Durch das bei a liegende Rühm werden die in diesem Punkte wirkenden Vertikal- und Horizontalkräfte gleichmäßig auf die Mauer verteilt. In Rechnung gezogen für die Stabilität der Mauer wird nur das Stück derselben bis zu den Nächstliegenden Fensteröffnungen von 2,10 m Länge. Dasselbe hat ein Gewicht von:

G=((5,10.0,51 + 0,13.0,64).4,22 — (2,10.2,24.0,51)). 1600=8310 kg. Es ist demnach das statische Moment von G, auf x bezogen = 8310.0,26 = 2160,

welches aber durch die Vertikalkräfte 5805 vergrößert wird, die als Gegengewicht wirken.

Um die Stabilität nachzuweisen, dürfte das Moment ans der Kraft Uz, ebenfalls bezogen auf den Drehungspunkt x, nicht größer als 2160 sein; es ist dieses Moment =

H₅.4,0 = 2160.4 = 8800,

welches zwar größer als das Moment des Gewichts der Mauer ist, aber durch das Moment — 8800 vollständig aufgehoben wird, da dieses ihm infolge der festen Verbindungen das Gleichgewicht hält.

Die Horizontalkraft He braucht für die Stabilität der Mauer ebenfalls nicht in Rechnung gezogen werden, da sie durch den Stiel am auf«

18

gefangen wird, welcher cm stark ist und im Verein mit der Mauer

mehr als genügt, um der Kraft von 2715 kg widerstehen zu können.

Die Strebe em wirkt mit der Horizontalkraft H₇ — 1930 kg

auf die Mauer. Die Momenten-Gleichung hierfür ist:

1930.0,50 = (0,52.2,10 + 0,13.0,64). 2,40.1600.0,26 oder:

965 = 1173,12.

Da in dieser Gleichung die rechte Seite, d. h. die Stabilität der Mauer, größer ist als das Moment der Horizontalkraft, so genügt auch hier die Stärke der Mauer mit 0,52 m, zumal der obere Teil der Mauer und die Vertikalkräfte außerdem als Gegengewicht wirken und die Stabilität der Mauer verstärken.

Berechnung -er H o l z st «i r k e n.

Die Streben dl und fp,

Dieselben werden durch die Kräfte

So + S! + s₂ = 1505 + 935 + 795 = 3235 kg

auf Druck- und Zerknickungsfestigkeit beansprucht, und außerdem durch die Kräfte

M, + Mg = 1440 + 1430 = 2870 kg auf Biegung Die freitragende Länge ist — 3,70 m.

Das notwendige Trägheitsmoment, auf Zentimeter bezogen, ist 3235.370-110000

Gegen Druck ergibt sich ein erforderlicher Querschnitt:

F = 3235 : 60 = 54 qcm.

4027.

Das erforderliche Widerstandsmoment, ebenfalls ans Zentimeter bezogen, gegen Biegung ist:

2870.370

12.100

885.

16

Verwendet werden Hölzer von ™ cm Stärke, mit einem Trägheitsmoment T = 12348, einem Flächeninhalt des Querschnittes F — 336 qcm und einem Widerstandsmoment W = 1176. Dieselben genügen also allen Bedingungen vollkommen.

Die Streben e m und g q.

Freie Länge 2,44 m.

Dieselben sind auf Druck und Zerknicken in Anspruch genommen durch die Kräfte:

Ul + u₂ = 1035 + 3070 = 4105 kg,

und auf Biegung durch die Kräfte:

Mg + M₅ = 550 + 1635 = 2185 kg.

Es ist demnach erforderlich:

4105.244.244

110000 F = 4105: 60 = 69 qcm; 2185.244 12.100

= 2222; ■

= 445.

16

Verwendet werden Hölzer von 288 und W = 864, welche also nach allen Richtungen hin genügen.

18

cm Stärke, mit T = 7776, F =

Die Zangen a f und c d.

Dieselbe» werden zunächst auf Biegung im Punkte h beansprucht durch die Kräfte:

Po + N = 4875 + 1280 = 6155 kg, und zwar auf die Länge i li = li n — 4,50 m.

Die Teile ah und ch sind durch die Kräfte

»i ft- H₂ = 680 + 210 = 890 kg

auf Zug in Anspruch genommen, und ist demnach der erforderliche Querschnitt:

F = 890: 100 = 8,9 = 9,0 qcm.

Die Strecken d f und f h werden auf Druck in Anspruch genommen durch die Kräfte:

moment:

H = 1160 kg.

Es ist demnach, bei 3,60 m freier Länge, das erforderliche Trägheits

1160.3602

110000

= 1030;

der erforderliche Querschnitt:

F = 1160: 60 = 20 qcm.

12

Verwendet werden Hölzer von -jg cm Stärke mit einem Trägheitsmoment T — 5832, einem Flächeninhalt des Normalquerschnitts F = 216 qcm und einem Widerstandsmoment W = 648, beide also mit W = 2.648 = 1296.

Auf den Zangen ruht aber noch im Punkte h die durch die Säule b h übermittelte Last = 6155 kg, für jede Zange also = 3078 kg, welche dieselben auf Biegung in Anspruch nimmt. Es ist demnach das erforderliche Widerstandsmoment:

Wx =

3078.450

W₂ =

8.100

3078.360

1732, und

= 1385, folglich

8.100

W = Wi + W₃ = 1732 ft- 1385 = 3117.

Die zu verwendenden Hölzer haben aber nur ein Widerstandsmoment von 1296 und würden also nicht genügen, wenigstens nicht für zehnfache Sicherheit, wenn die Sparren nicht derartig mit der Säule b h verbunden würden, daß sie einen Teil der Belastung übernehmen könnten. Soll

14

dies nicht der Fall sein, dann sind für die Zangen Hölzer von — cm

Stärke zu verwenden, die ein Widerstandsmoment von 1577, beide also ein solches von 2.1577 = 3154 haben, also dann genügen.

Die Sparren a b und b c.

Dieselben sind oben, in der Mitte und unten befestigt. Sie werden auf Druck- und Biegungsfestigkeit in Anspruch genommen durch die Kräfte:

S + S, + S₂ = 360 + 550 + 405 = 1315 kg.

Es ist also erforderlich:

und

F = 1315 : 60 = 22 qcm,

5304,

1315.666.666

110000

da die Länge — 6,66 m ist.

cm Stärke, mit T — 5322 und

13

Verwendet werde» Sparren von yy

F — 221 qcm, welche also genügen.

Jeder Sparren wird außerdem auf Biegung in Anspruch genommen und zwar mit der größten Länge

<lb = bf = 3,66 m.

Die Maximalbelastung beträgt also:

0,9.3,66.150 = 495 kg,

und ist demnach erforderlich:

W =

= 227.

495.366

8.100

Die zu verwendenden Sparren haben W = 626, genügen also auch hier.

Die Säule bh,

Dieselbe wird auf Zug in Anspruch genommen durch die Kräfte P₀ + N = 6155 kg,

und ans Zerknicken durch die Kraft

P = 2570 kg.

Es ist demnach erforderlich, bei 1,20 m Länge,

= 339.

F = 6155 :100 = 61,55 = 62 qcm; 2570.120.120

110000

Verwendet wird eine Säule mit quadratischem Querschnitt, dessen Seite = 18 cm, mit F = 324 qcm und T = 8748, die also mehr als ausreichend ist.

Die Pfetten und das Forsträhm.

Dieselben haben als größte freitragende Länge 5,10 in.

Die Belastung beträgt also höchstens bei gleichförmiger Verteilung: 3,60.5,10.150 = 2754 kg.

=1756.

Demnach ist das erforderliche Widerstandsmoment: 2754.510

8.100

18

Verwendet werden Rahme von -^r cm Querschnitt, mit W = 1875,

welche also genügen. Werden die Kopfbänder gut mit Versatzung eingesetzt, dann verringert sich die freitragende Länge bedeutend und genügt

dann eine Stärke von

21

cm vollkommen.

Die Stiele a m und c q.

Ihre freie Länge betrügt 2,0 m, die Strecke a n ist = 1,15 m, u o = 0,75 m und o in = 0,10 m.

Die Beanspruchung auf Druck und Zerknicken beträgt:

v + v₃ + V₄ = 415 + 1765 + 3625 = 5805 kg.

Die Beanspruchung auf Biegung ist im Punkte n, nach Fig. 210, So + s, + s₂ = 1505"+ 935 + 795 = 3235 kg, und im Punkte o:

2,00

u, + u₂ = 1035 + 3070 = 4105 kg. Es ist demnach erforderlich:

2111;

5805.200.200

110000

u.

1,15

. JO⁵..

, 3235

Mg- 210.

Hob

F = 5805: 60 = 97;

W = 359150:100.8 = 449, da Reaktion a =

3235.0,85 , 4105.0,10

2,0

2,0

= 1580,

mib Reaktion m = (3235 = 4105) — 1580 = 7340.

Die Vertikalkraft n ist:

Vn = 1580 — (3235 + 4105) = — 5760,

und die Vertikalkraft o ist:

V₀ = 1580 — 3235 = — 1655.

Da nun 1655 kleiner als 4105 ist, so liegt der Bruchquerschnitt bei o. Das größte Bicgnugsmomeut ist demnach:

M max = 1580.190 — 4105.10 = 359150, welches bei der obigen Berechnung des Widerstaudsmomeutes eingeführt ist.

Verwendet werden Hölzer von ™ cm Stärke, mit T — 5227, F =

16

320 nnd W — 1066, welche allen Bedingungen also vollkommen genügen.

Bei der Berechnung ist durchweg angenommen, daß die ganze Konstruktion aus Kiefernholz gefertigt ist. —

4. Berechnung der Eisenkonstruktionen bei Herstellung eines gröszeren Lodens in einem Wohn- und Geschäftshouse.

Es sollen die Eisenkonstrnktionen des in den Figuren 211, 212 nnd 213 skizzierten Gebäudes berechnet werden. Fig. 211 ist der Grundriß des Erdgeschosses, Fig. 212 der des I, II. und III. Obergeschosses, wobei die Mauerstärken der beiden oberen Geschosse aus dem Schnitt, Fig. 213, zu entnehmen sind. Zum Zwecke der Herstellung eines größeren Ladens sollen die Scheidewand gh nnd die Mittelwand ih durch je zwei schmiedeeiserne I-Träger, die Mittelwand no und die Scheidewand kl durch je einen schmiedeeisernen I-Träger unterfangen werden. Die Träger ih werden in der Mitte durch eine gußeiserne Hohlsäule unterstützt, während der Träger kl mit einem Ende auf dem Träger no ruht. Der Ladeneingang, die beiden Schaufenster und der Torweg werden mit je 3 schmiedeeisernen I-Trägern überdeckt. Den Ladeneingang bilden 2 gußeiserne durchbrochene Wände.

1. Berechnung der Träger ab,

Freitragende Länge 2,34 m.

NB. Bei der Berechnung sollen die Fensteranschläge, sowie das Eigengewicht der Träger vernachlässigt werden, dagegen wird das Brüstnngs-mauerwerk der beiden oberen Geschosse ebenso stark angenommen, als das entsprechende Frontmauerwerk.

Es ist zunächst die durch den 1,16 m breiten Fensterpfeiler übertragene Belastung zu berechnen. Der Abstand von Mitte zu Mitte der Fenster beträgt 2,48 m; demnach überträgt der Fensterpfeiler:

a. an Mauerwerk —

(2,48 . (4,3.0,51 + (4,0 + 3,75). 0,38 + 1,5.

0,25) — 1,32.3,53.0,51 — 2.2,45.1,32.

= 14140,80 kg.

0,38). 1600 .................

b.    den betreffenden Teil der 3 oberen Balkenlagen = 0,5.2,48 . (5,73.2 + 5,60) .500. . = 10577,20 „

1776,30 „

c.    den betreffende» Teil des Dachdruckes — 0,5.2,48.5,73.250

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Mg. 211.

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Fig. 213.

Die Last des 1,16 m breiten Fensterpfeilers verteilt sich auf die Öffnungen ab und bc im Verhältnis von 1,02:0,14, Figuren 214 und 215, und zwar entfällt auf ab der Anteil:

23297,33 kg,

26495.1,02 1,16

wovon auf jeden der 3 über der Öffnung ab liegenden Träger:

23297,33 : 3 — 7766 kg

kommen.

Der innere Träger erhält durch die Balkendecke des Erdgeschosses eine Mehrbelastung von:

0,5.2,34.5,4.500 = rd. 3160 kg. Die Angriffswcise dieses Trägers zeigt Fig. 214.

Die Auflagerreaktionen sind:

3160 , 7766.0,51

2,34

3273 kg;

b = 3160 + 7766 — 3273 = 7653 kg.

4r³-*-

Der Abstand x des Bruchquerschnittes von b ergibt sich aus der Gleichung:

7766 , 3160

7653 =

1,02 ¹ 2,34

• x,

woraus

k— ® >'

Fig. 214.

x = 7653 : 8964 = 0,854 m. Es ist nun: bx_ 7653.85,4 2 S 2.750

— rd. 436.

Verwendet wird ein Träger von 260 mm Höhe, 97,75 mm Breite, 12,5 mm Stegstärke und 15 mm Flanschenstärke mit W — 436, welcher also genügt; desgleichen wird Normal« Profil Nr. 26 mit W — 446 ausreichen.

2l3±

Der äußere und der mittlere Träger ab .» werden, außer durch das Gewicht des Fenster-

.......Pfeilers, noch durch das Brnstnngsmanerwerk des

IflfpNEH ersten Obergeschosses belastet, und zwar kommen von dem Gewichte des letzteren auf jeden der !. x J beiden Träger:

*____L°J.

Fig. 215.

0,5.1,32.1,04.0,25.1600 = 275 kg.

Die Angriffsweise dieser Träger zeigt Fig. 215.

Die Reaktionen sind:

7$66.0,51 -st 275 - (l,02 + -¹y*-j

2,34

1890;

b = 7766 + 275 — 1890 = 6151.

Der Abstand x des gefährlichen Querschnitts von b ergibt sich ans der Gleichung:

6151 =

7766

woraus

1,02

•x,

6151.1,02

7766

= 0,808 m

ist-

Das erforderliche Widerstandsmoment ist demnach: 6151.80,8

W ==

2.750

= 332.

Verwendet werden 2 Träger von 235 mm Höhe, 91,5 mm Breite, 13 mm Stegstärke und 14 mm Flaiffchenstärke, mit W = 348, welche also ausreichend sind; desgleichen Normal-Profil Nr. 24, mit W = 357.

Die Gesamtbelastung der Auflager a und b ist:

bei a = 2 . 1890 + 3273 = 7053    kg;

bei b = 2.6151 + 7653 = 19955    kg.

Unter der Voraussetzung, daß der Pfeiler bei a aus guten Steinen in Zementmörtel aufgeführt wird, ist hier die erforderliche Auflagerfläche =

7053 :11 = 641,18 = 642 qcm.

Es sind deshalb über ab nötig:

1 Auflagerplatte 15 cm lang, 51 cm breit, 1,5 cm stark;

1    Träger des zuerst berechnete» Profils    von    2,49 m    Länge;

2    Träger des zuletzt berechneten Profils    ä 2,49    m laug.

2. Die Träger b e.

Freitragende Länge 1,60 m.

Die 0,14 in langen, den Auflagern b und c zunächst gelegenen Strecken sind durch die betreffenden Fensterpfeiler mit je 26495 — 23298 = 3197 kg belastet, wovon auf jeden Träger

3197 : 3 = rd. 1070 kg    „

Der innere Träger erfährt außerdem E

kommen.

durch die Balkenlage des Erdgeschosses eine Mehrbelastung von:

U~

A3*.

1JO

II

0,5.1,6.5,4.500 = 2160 kg.

Die Angriffsweise dieses Trägers zeigt Fig. 216. Nach Nr. VII der Formeltafel entspricht der Last 2160 kg ein Widerstandsmoment:

Ug. 216.

W,=

2160.160

8.750

57,6,

und den Lasten 1070 kg, nach Nr. XVIII der Formeltafel, wo P = P ist, ein Widerstandsmoment:

W,=

= 9,9.

1070.14 '2.750

Es ist daher ein Gesamt-Widerstandsmoment erforderlich:

W = W, + W₂ = 57.6 + 9,9 = 67,5 = 68.

Verwendet werden drei Eisenbahnschienen von je 1,60 m Länge und 10,46 cm Höhe, deren jede W = 90 besitzt, die also mehr als genügen.

Das Gewicht der über dieser Öffnung befindlichen Fensterbrüstnng beträgt 275 kg.

Demnach sind die Gesamtanflagerdrücke bei b und c:

b = c= 1070.3 +    + 275 = 4565 kg.

3. Die Träger g h.

Freitragende Länge 5,40 m.

Die beiden Träger gh dienen zur Aufnahme der 3 Geschosse hohen, 0,25 m starken Scheidewand. Das Gewicht dieser Wand beträgt, nach

Abzug von 3 Türöffnungen, deren Breite — 1,40 w, und deren Höhen 2,80 m und 2.2,60 m sind:

0,25.1600. (5,4 . (4,3 + 4,0 + 3,75) — 1,4 . (2,8 + 2.2,6)) = 21548 kg, wovon jeder Träger

II

SäS.

Fig. 217.

trägt.

21548 : 2 = 10774 kg

Die Lastverteilung zeigt Fig. 217.

Danach ergibt sich — nach Nr. XVIII der Formeltafel, wobei P = Pi ist —:

= 718.

5387.200

2.750

Ein Trägerprofil von 245 mm Höhe, 150 mm Breite, 13 mm Stegstärke und 21,5 mm Flanschenstärke, mit W — 732, oder Normal-Profil Nr. 32, mit W = 789, ist also ausreichend.

Der Druck auf das aus besten Klinkern in Zement hergestellte Auflager h beträgt 10774 kg; es ist demnach die erforderliche Auflagerfläche —

10774 : 14 = 770 qcm.

Eine Anflagerplatte von 20 cm Länge, 39 cm Breite und 1,5 cm Stärke, sowie 2 Träger obigen Profils ä 5,90 m lang, sind demnach zu verwenden.

4. Die Träger c d.

Freitragende Länge 2,34 m.

f—M—x------¥l-

Der äußere und der mittlere Träger erhalten das Profil der entsprechenden Träger, welche über ab liegen. Der innere hat im Abstande von 0,44 m von c den Druck der Träger g h — |    10774 kg aufzunehmen. Seine Angrisisweise zeigt

I Fig. 218. Mit Rücksicht auf die unter 1. ge-wonnenen Resultate ergeben sich für die Re-1 aktionen c und <1 die Werte:

=16401 kg; d = 7766 + 3160 + 10774 — 16401 = 5299 kg.

c — 7653 +

Fig. 218.

10774.1,9

2,34

Die dem Querschnitt I entsprechende Vertikalkraft ist: 7766    3160

1,02 ' 2,34

(■

Vi = 16401 -während sich ergibt:

Vii = 16401 — 10774

0,11 — 10774 = -}----

7766 . 3160

1,02 ¹ 2,34

• 1,02 = —

Der Bruchquerschnitt liegt also zwischen I und II im Abstande x von c, und zwar ist:

16401 —10774 —

(-

woraus

7766 , 3160 1,02 ⁺ 2,34 5627 — 8841 x = 0,

-j • x = 0, oder:

x = 5627: 8811 = 0,63 m.

Das größte Biegungsmoment ist nun:

M max = 16401.0,63 — 10774. (0,63 — 0,44) — 8841.0,63 •

6535,05 kgm,

0,63

denn 8841 ist die Belastung pro Längeneinheit des links vom Bruchquerschnitte gelegenen Trägerteils.

Das erforderliche Widerstandsmoment ist demnach:

W = 653505 : 750 = 872.

Ein Trägerprofil von 320 mm Höhe, 136 mm Breite, 16 mm Stegstärke und 19 mm Flanschenstärke, mit W = 919, oder Normal-Profil Nr. 34, mit W = 931, ist also genügend.

Die Gesamtdrücke auf die Auflager c und d betragen: 10774.1,9

c = 19955 +

2,34

= 28703 kg,

d = 7053 + 10774 —

10774.1,9

= 9079 kg.

2,34

Die bei d erforderliche Auflagerfläche ist 9079 : 11 = 826 qcm, bei Verwendung von guten Steinen in Zementmörtel.

Verwendet werden:

2 Träger ä 2,52 m lang des unter 1 zu Fig. 215 berechneten Profils,

1 Träger 2,52 m läng des oben zu Fig. 218 berechneten Profils,

und

1 Auflagerplatte 18 cm lang, 51 cm breit, 1,5 cm stark.

Diesener III.

17

5. Die Stützen b und c.

Freie Höhe 5,50. in.

Die Totalbelastung der Stützen beträgt:

b = 19955 + 4565 = 24520 kg; c = 24520 + 8748 = 33268 kg.

Werden die Stützen an den Fußenden mit angegossenen Rippen versehen, so sind die erforderlichen Trägheitsmomente:

3.24520.550²

Tb =

Tc =

10000000 3.33268.550²

= 2225,19 = rd. 2230;

10000000

= 3019,07 = rd. 3020.

Zur Verwendung gelangen die in den Figuren 219 und 220 dargestellten Querschnitte; der erstere hat ein Trägheitsmoment

Tb = 2.1311 = 2622,

der zweite ein solches

Tc = 2. 1527 = 3054,

beide genügen also.

ln rra

sä

«B

,_3

V--

Fig. 219.

Fig. 220.

Die zur Fundierung der Stützen dienenden Pfeiler werden aus besten Klinkern in Zement aufgeführt, weshalb an Auflagerfläche erforderlich ist:

bei b = 24520 : 14 = 1750 qcm, bei c = 33268 :14 = 2377 qcm,

desgleichen bei Ausführung in lagerhaften Bruchsteinen mit Zementmörtel. Die an den Stützen angegossenen Auflagerplatten werden:

bei b = 64 cm lang, 28 cm breit, 2 cm stark, bei c = 64 cm lang, 38 cm breit, 2 cm stark.

6. Die Träger es,

Freitragende Länge 2,62 m.

Jeder der beiden 1,55 m breiten, an den Seiten der Durchfahrt liegenden Fensterpfeiler ruht in der Länge von 0,65 m auf den Trägern es; Fig. 221.

erforderlich ist.

Ein Trägerprofil von 194 mm Höhe, 112 mm Breite, 14 mm Stegstärke und 17,5 mm Flanschenstärke mit W = 364, oder Normal-Profil Nr. 24, mit W = 357, genügt also.

------J,92u------>jr—

,f

— _2,§L.___

Fig. 222.

Das Gewicht des Brüstungsmauerwerks beträgt 275 kg, welches sich auf den äußeren und mittleren Träger verteilt. Den Belastungszustand eines jeden dieser Träger stellt Fig. 222 dar.

XVII der Formeltafel zu

Die durch einen Fensterpfeiler übertragene Last besteht aus:

a.    dem betreffenden Frontmauerwerk, nach der Berechnung unter 1, =

1600.(2,87.5,513 — 4,8342)......

b.    dem betreffenden Gewicht der drei oberen Balkenlagen —

0,5.2,87 . (2.5,73 + 5,60) .500 . . . . = 12240,55 „

c.    dem entsprechenden Teil des Dachdruckes —

0,5.2,87.5,73.250

= 17580,96 kg;

oder rd. 31880 kg.

. . . . .= 2055,64 „ Summa — 31877,15 kg,

Auf die Träger e f kommt hiervon der Anteil: 31880.0,65

1,55

= 13370 kg,

und auf jeden derselben:

13370 : 3 — 4457 kg.

Der innere Träger ist außerdem gleichförmig belastet durch das Gewicht der Balkenlage des Erdgeschosses:

0,5.2,62.5,4.500 = rd. 3540 kg.

Die Lastverteilung zeigt Fig. 221. Der Last 3540 entspricht ein Widerstandsmoment f~JiS*-f------1,34—

3540.262

W! =

8.750

= 154,6,

der Last 4457 ein solches 4457.65 2.750

sodaß ein Gesamt-Widerstandsmoment

W = Wi -f W, = 154,6 + 199,8 = 354,4 = 355

W₂ =

= 199,8,

L-

Fig. 221.

Für die Lasten 4457 ergibt sich wieder W₂ = 199,8;'

ber Einfluß der Last von 275 kg ist nach Nr.

bestimmen, in welcher Reaktion A = Reaktion e

P 275

a = 65

und b — 132 zu setzen ist. Es ist demnach:

Wi =

>+-^)

Das erforderliche Gesamt-Widerstandsmoment ist also:

W = Wt + w₂ = 18 + 199,8 = 217,8 = 218.

Es wird also ein Trägerprofil von 200 nun Höhe, 100 mm Breite, 9 mm Stegstärke und 11 mm Flanschenstärke, mit W = 239, oder Normal-Profil Nr. 20, mit W = 216, ausreichend sein.

Der Druck auf jedes Auflager beträgt:

e = f = 3.4457 + 275 + 0,5.3540 = 15416 kg.

Bei guten Steinen in Zementmörtel ist demnach an jeder Seite an Auflagerfläche erforderlich:

275

2.750

= 18.

F = 15416:11 = 1402 qcm.

Es werden verwendet:

2 Auflagerplatten ä 28 cm lang, 51 cm breit, 1,5 cm stark;

1    Träger des zuerst berechneten Profils, 3,18 m lang, und

2    Träger des zuletzt berechneten Profils ä 3,18 m lang.

7. Die Träger i r und r h.

Freitragende Länge 2,11 m.

Die Mitte der 1,40 m breiten Tür liegt symmetrisch über der Mittelstütze r, und sind demnach beide Träger gleichartig belastet. Die durch das Mauerwerk übertragene Belastung setzt sich zusammen aus:

1. Gewicht der Mittelwand —

0,38.1600 .(2,11 . (4,3 + 4,0 -f 3,75) —

-±f- • (2,8 + 2.2,6))..........

2. Die Balkenlagen der 3 oberen Geschosse = | 2 5,73 + 6,07j

=12054 kg.

(■

5.6 + 5,94

.2,11.500 . . = 18537 „

3. Der Dachdruck — iÄ 2,11. 250

wovon auf jeden der beiden Träger

Summa = 33683 kg,

33683 : 2 = 16842 kg

kommen. — Die Balken sind auf der Mittelwand gestoßen angenommen. —

Außerdem hat jeder dieser Träger eine durch die Balkendecke des Erdgeschosses herbeigeführte Belastung zu tragen und zwar —

5,4 + 1,43

(■

•2,11 .

500) : 2 = 3603 kg.

m- 223.

Die Angrifssweise des Trägers zeigt

J,M.

Die Auflagerdrücke sind: 3603 , 16842.1,41

h-,= --

r=16842 + 3603 —13057 = 7388 kg.

2,11

.18»

Der Abstand x des gefährlichen Querschnitts von i ergibt sich aus der Gleichung:

'fr-

Fig- 223.

13057=

(■

16842    , 3603

1,41

2,11

•x,

woraus

, _    13057

X — 11944,7 + 1707,6 Das erforderliche Widerstandsmoment ist also 13057.95,6

W —

— 0,956 m.

2.750

= 833.

Ein Trägerprofil von 320 mm Höhe, 136 mm Breite, 16 mm Stegstärke und 19 mm Flanschenstärke mit W = 919, oder Normal-Profil Nr. 34, mit W = 931, ist also genügend.

Der Gesamtdruck auf jedes der Auflager i und h ist =

2.13057 = 26114 kg,

mithin bei besten Klinkern in Zement die Minimalauflagerfläche der Untermauerung :

F = 26114: 14= 1866 qcm.

Es werden verwendet.'

2 Auflagerplatten ä 37 cm lang, 51 cm breit, 1,5 cm stark, und, wenn die Träger als kontinuierliche in einem Stück von i bis h genommen werden,

2 Träger obigen Profils ä 4,96 m lang.

8. Die Säule r.

Freie Länge 5,50 m.

Die Totalbelastung der Säule ist:

4.7388 = 29552 kg,

wofür mit Rücksicht ans das Gewicht der Eisenkonstruktion 31000 kg gesetzt wird. Der Säulenfuß soll keine angegossenen Rippen erhalten.

Das erforderliche Trägheitsmoment ist:

= 5627.

6.31000.550²

10000000

Der Minimalquerschnitt beträgt:

F — 31000 : 500 — 62 qcm.

Der Querschnitt Fig. 224, mit T = 5743 und F — 151 qcm, ist also ausreichend.

Soll der Säulenfuß angegossene Verstärkungsrippen erhalten, so ist das erforderliche Trägheitsmoment:

F'g. 224.

3.31000.550²

= 2814.

10000000

Der Querschnitt Fig. 225, mit T = 2863 [ und F — 102, wird für diesen Fall genügend sein. Das Fundament der Säule wird aus guten Ziegelsteinen in Zement hergestellt; die erforderliche Auflagerfläche beträgt demnach

F = 31000 : 11 = 2819 qcm, sodaß eine an die Säule angegossene Auflagerplatte von 45 cm Länge, 64 cm Breite und 2 cm Stärke zur Verwendung kommen muß.

i¹

;'c C= i

Fig- 225.

iip

9. Der Träger kl.

Freitragende Länge 4,19 m.

Der Träger dient zur Unterstützung einer 0,13 m starken Scheidewand, welche in jedem Geschoß, und zwar genau in der Mitte des Trägers, eine Tür von 1,0 m Breile und 2,20 m Höhe hat. Das Gewicht der Scheidewand beträgt:

(4,19 . (4,3 + 4,0 + 3,75) — 3,10.2,2). 0,13.1600 = 9129 kg.

.1,5®

f—

Mfia.

*J

k-

-\19-

->!

Fig. 226.

Die Lastverteilung zeigt Fig. 226.

= 485.

Das erforderliche Widerstandsmoment ist

4565.159,5

2.750

Ein Trägerprofil von 258 mm Höhe, 105 mm Breite, 14,5 mm Stegstürke und 16,9 mm Flanschenstärke, welches ein Widerstandsmoment von 506 hat, oder Normal-Profil Nr. 28, mit W — 547, genügt also.

Unter der Voraussetzung guten Materials ist bei 1 eine Auflagerfläche erforderlich von:

F = 4565 :11 = 415 qcm.

Verwendet werden:

1 Auflagerplatte 13 cm lang, 38 cm breit, 1,5 cm stark, und 1 Träger des oben berechneten Profils von 4,57 m Länge.

10. Der Träger n o.

Freitragende Länge 4,22 in.

Derselbe wird durch die 0,13 m starke Korridorwand und durch den Träger kl belastet. Die Lage der 1,0 m breiten und 2,20 m hohen Türöffnungen ergibt das in Fig. 227 dargestellte Schema der Lastverteilung.

l____1,y§—

k-

!*

________2,76.

—ff *

i-*..

giß.-227.

Die Belastung der Strecke ul beträgt: (( 0,52 +    - (4,3 + 4,0 + 3,75)

0,5.2,2.3). 0,13.1600 .....

oder rd. 1900 kg.

Die Belastung der Strecke II bis III ist:

1,0

-t'²'²-⁸ •

((l,68 + ^-). (4,3+ 4,0 + 3,75)

0,13.1600 .............

oder rd. 5400 kg.

In k greift außerdem die zentrierte Last:

9129 : 2;== 4565 — rd. 4600 kg

an. Die Auflagerdrücke betragen:

>■'

n = ^4600.1,4 -

1900 . (4,22 — -0 = 1900 + 5400 + 4600 — 5689 = 6211 kg.

4- cT

C<

: 4,22 .

= 5689 kg,

Den Querschnitten II und k entsprechen die Vertikalkräfte:

V11 = 5689 — 1900 = +.....

5400

Vk = 5689—1900 —

1,68

• 1,3 — 4600 = — 4990 kg.

Da 4990 größer ist als 4600, so liegt der Bruchquerschnitt zwischen II und k. Sein Abstand x von II ergibt sich aus der Gleichung:

5400

1,68 -X'

5689 = 1900 +

woraus

(5689 — 1900) . 1,68

5400

= 1,18 in.

Das größte Biegungsmoment ist nun:

0,52 \    5400

2 )

M = 5689.2,7 —

1900 - (2,7

1,18

m *¹⁴⁸ • -i

8486,5 kgm.

Das erforderliche Widerstandsmoment ist demnach:

W = 848650: 750 = 1132.

Verwendet wird ein Träger 4,66 m lang, mit einem Profil von 400 ni Höhe, 140 mm Breite, 16 mm Stegstärke und 17 mm Flanschenstärke, dessen Widerstandsmoment = 1200 ist, oder Normal-Profil Nr. 38, mit W = 1274.

Die Auflagerflächen erfordern bei Verwendung guten Materials:

bei 0 = 6211 :11 = 565 qcm, bei n = 5689 : 11 = 517 qcm.

Verwendet werden:

bei 0 eine Auflagerplatte 25 cm breit, 23 cm lang, 1,5 cm stark; bei n eine Auflagerplatte 25 cm breit, 21 cm lang, 1,5 cm stark.

Wollte man anstatt des einen Trägers zwei Träger verwenden, so empfiehlt es sich, den einen zur Unterstützung der Wand und den anderen, vollständig außerhalb der Wand liegend, zur Aufnahme des Trägers kl zu bestimmen und demgemäß zu berechnen.

5. Berechnung der Eisenkonstruktione» einer Kirche, deren Turm nur mit einer Seite auf der Mauer steht.

Berechnung der Eisenkonstruktion der in den Figuren 228, 229 und 230 dargestellten Kirche. Um dem Turme keine zu großen Dimensionen zu geben, ihn aber doch massiv ausführen zu können, werden drei Fronten desselben auf Eisenkonstruktionen gestellt, zu welchem Zwecke zwei gußeiserne Säulen in der Kirche, und zwar innerhalb der Orgel-Empore angeordnet sind.

1. Die Träger ab und cd.

Freitragende Länge 0,925 m.

Dieselben sind gemeinschaftlich belastet durch das Dach, der nach Westen liegende außerdem durch die Balkenlage.

Die Belastung durch das Dach ist =

3,78

. 250 = 437,0625 = rd. 450 kg.

0,925--^

Um eine bessere Verankerung herstellen zu können, werden an jeder Seite drei Träger nebeneinander verwendet, von denen also jeder

450 : 3 — 150 kg

zu tragen hat.

Der westliche Träger ist außerdem durch die Balkenlage belastet —

9,925 -    - 500 = 874,125 = rd. 875 kg.

Derselbe ist also mit 150 + 875 = 1025 kg belastet.

Sein erforderliches Widerstandsmoment ist demnach: 1025.92,5

4.750

= 31,6.

Aus praktischen Gründen werden im Ganzen 6 Träger ä 1,20 m lang, mit einem Querschnitt von 250 mm Höhe, 140 mm Breite, 10 mm Stegstärke und 14,5 mm Flanschenstärke verwendet, deren jeder ein Widerstandsmoment von 529 hat, oder Normal-Profil Nr. 24, mit W — 357, welche weit mehr als ausreichend sind.

2. Die Träger b c.

Freitragende Länge 4,51 in.

Zur Verwendung kommen ebenfalls 3 nebeneinander liegende Träger, welche gemeinschaftlich die östliche Turmmauer, die oberste Balkenlage des Turmes und den betreffenden Teil der Turmspitze tragen. Der westliche Träger ist außerdem durch die Balkenlage der Glockenkammer belastet.

k._

A--M ü

i!

il

h'

i!

Fig. 228.

k!

-i

Fig. 229.

k-

\r

zf^X

Fig. 230.

Die Belastung, welche durch die Turmmauer übertragen wird, setzt sich wie folgt zusammen:

1.    I. Obergeschoß des Turmes —

(3,5.0,64.4,51 — 1.8.1,4.0,64). 1600 . . = 13583,36 kg,

2.    II. Obergeschoß des Turmes =

(3,5.0,51.4,51 — 2 . 1,3.0,7.0,51). 1600 = 11395,44 „

3.    Die Attika =

= 1172,60 „

4,51.0,25.0,65.1600

4. Die oberste Turmbalkenlage = ³'⁹⁸ -500

4,13-

= 4109,35 „

• 250

1027,34 „

5. Die Belastung durch die Turmspitze — 3,98    4,13

2 ' 1

Summa = 31288,09 kg,

oder rd. 31300 kg.

Die hiervon auf jeden der drei Träger entfallende Last ist dem

nach =

31300 : 3 = 10433,3 oder rd. 10430 kg,

wovon auf jede Stütze

10430 : 2 = 5215 kg

kommen, die sich auf eine Länge von 1,555 m gleichmäßig verteilen. Die Belastung durch die Balkendecke der Glockenkammer ist —

4,51 •    • 760 = 7266,512 = rd. 7270 kg,

welche gleichmäßig über den ganzen Träger verteilt sind.

Das Schema der Belastung des westlichen Trägers zeigt Fig. 231. Es ist nun 7270.451

8.750 5215.155,5

2.750

Für den westlichen Träger ist demnach das Gesamt-Widerstandsmoment:

rd. 544;

'52.15

w₂ =

rd. 608.

----4M2S—

k-___:-----l_________-J

Fig. 231.

w = Wi + W, = 544 + 608 — 1152.

Ein Trägerprofil von 400 nim Höhe, 140 mm Breite, 16 mm Stegstärke und 18 mm Flanschenstärke, mit einem Widerstandsmoment von 1241, ist also genügend; desgleichen Normal-Profil Nr. 38, mit W — 1274.

Für die beide» andere» Träger wird aus praktische» Gründe» das' selbe Profil verwendet, sodaß erforderlich sind:

3 Träger obigen Profils ä 4,51 m lang.

3. Die Träger b e und c f.

Freitragende Länge 3,78 m.

Verwendet werden je drei nebeneinander liegende Träger, welche gemeinschaftlich die südliche bezw. nördliche Mauer des Turmes, die beiden Balkenlagen des Turmes und den betreffenden Teil der Spitze tragen:

Die Belastung setzt sich wie folgt zusammen:

1.    I. Obergeschoß des Turmes —

(3,5.3,78 - 1,7.0,7.2). 0,64.1600 . . . — 11110,40 kg,

2.    II. Obergeschoß des Turmes —

(3,5.3,78 —2.1,3.0,7). 0,51.1600 . . .— 9310,56 „

3.    Die Attika =

982,80 „

3.78.0,25.0,65.1600

4.    I. Turmbalkenlagc —'

• 3,78.500 . . . 5. II. Turmbalkenlage — 4,13-^f

= 3657,15 „

•500

— 4109,35 „

6. Die Turmspitze — 4,13    3,98

^-•250

1027,34 „

Summa — 30197,60 kg,

oder rd. 30200 kg.

Auf jeden der drei Träger entfallen demnach:

30200: 3 = 10067 kg — rd. 10070 kg,

welche gleichförmig verteilt sind.

W=^

= 630,41 = rd. 630.

Es ist demnach erforderlich ein Widerstandsmoment: 10070.378

.8.750

Ein Trägerprofil von 300 mm Höhe, 142 mm Breite, 12 mm Stegstärke und 14 mm Flanschenstärke, mit W — 676, ist also ausreichend, ebenso Normal-Profil Nr. 30, mit W — 659.

Au Auflagerfläche ist bei gewöhnlicher Ausführung des Manerwerks für die Träger erforderlich:

10070: 7 — 1439 qcm,

sodaß die Träger auf der westlichen Giebelmauer 101,34 cm lang aufliegen müßten, wenn sie keine Unterlagsplatten erhalten sollte», was nicht ausführbar ist. Es sind deshalb 2 eiserne Unterlagsplatten nötig.

Zur Verwendung kommen:

6 Träger obigen Profils ä 4,80 m lang.

2 Unterlagsplatten ä 70 cm lang, 70 cm breit, 2 cm stark.

4. Die Säulen b und c.

Freie Höhe 6,50 m.

Die Belastung einer Säule setzt sich folgendermaßen zusammen:

1. Die halbe Belastung der Träger ab =

2-^0

2

662,50 kg.

1025

2. Die Belastung durch die Träger b c = 7270

3 . (5215.3,7325)

— 58394,97 „

= 15100,00 „

3. Die Belastung durch die Träger b e bezw. cf = 30200: 2 . ..................

Summa = 74157,47 kg,

oder, mit Rücksicht auf das Eigengewicht der Träger,

rd. 75000 kg.

Das erforderliche Trägheitsmoment ist demnach, da die Säulen am Fußende angegossene Verstärkungsrippen erhalten,

rd. 9507.

3.75000.650.650

10000000

Der Minimalquerschnitt ist:

F = 75000:500 = 150 qcm.

Ein kreisrunder Querschnitt von 250 mm äußerem und 206 mm innerem Durchmesser, also mit 22 mm Wandstärke, einem Trägheitsmoment T —10334 und einem Normalquerschnitt F = 158 qcm, ist also genügend.

An Auflagerfläche ist erforderlich, bei gutem Material:

75000:11 = 6819 qcm.

Es ist demnach oben und unten an der Säule eine angegossene Platte von 83 cm im Quadrat und 3 cm Stärke nötig. —

6. Berechnung -er Eisenkonstruktionen einer Treppe.

Berechnung der Eisenkonstruktionen der in Fig. 232 dargestellten Treppe. Die Höhe des Geschosses, von Oberkante Fußboden bis Oberkante Fußboden, beträgt 4,32 m; bei 24 Steigungen ergibt sich demnach eine Höhe derselben von 18 cm. Der Koeffizient der steigenden Bögen ist x — 1,16.

Der Treppenlauf I wiegt belastet:

P = 1,32.2,86.700 = 2643 kg,

und unbelastet:

?! = 2643 : 2 = 1322 kg.

Die Belastung des Trägers ab beträgt demnach durch den Lauf I:

L —x . P —1,16.2643 = 3066 — rd. 3070 kg, und die Entlastung infolge des Armes IV:

Li = (x — 1). P, = (1,16 — 1). 1322 = 212 = rd. 220 kg.

In der Mitte e des Trägers a b wirkt als zentrierte Last der durch den Träger es übertragene vierte Teil des Gewichts des Podestes abdc =

• 2,8.1,3.700 = 637 = rd. 640 kg.

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Fig. 233.

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. Fig. 232.

Die Angriffsweise des Trägers ab zeigt Fig. 233. Die Auflager-Reaktionen sind:

640

3070.2,14 — 220.0,66

2,8

= 2615 kg;

b = 640 + 3070 — 220 — 2615 = 875 kg.

Den Abstand x des Bruchquerschnittes erhält man aus der Gleichung:

3070

2615 =

1,32

•x,

woraus

2615.1,32

3070

= 1,124 m.

Das erforderliche Widerstandsmoment ist demnach: 2615.112,4

2 . 750

195,9 = 196.

Ein Trägerprofil von 180 mm Höhe, 100 mm Breite, 8 mm Stegstärke und 12 mm Flanschenstärke, mit W = 210, ist genügend; desgl. Normal-Profil Nr. 20, mit W = 216.

Die bei a erforderliche Auflagerfläche ist, unter der Voranssetzung, daß gute Steine und Zement verwendet werden,

F = 2615: 11 = 238 qcm.

Der Träger hat 25 cm Auflage und 10 cm Flanschenbreite, also 250 qcm Auflagerfläche, und ist deshalb keine Auflagerplatte nötig.

Der Träger e f ist mit dem halben Gewichte des Podestes belastet,

also mit

2.640 =1280 kg.

Sein erforderliches Widerstandsmoment ist demnach:

1280.130 8.750

Eine 13,08 cm hohe Eisenbahnschiene mit W = 140,4 ist also mehr als ausreichend.

Für die Widerlager a c und b d werden ebenfalls 13 cm hohe Eisenbahnschienen verwendet, welche ebenso wie die Schiene e f mit dem Träger a b fest zu verbinden sind. Außerdem sind die Träger a c, e f und b d durch die Bolzen g miteinander zu verbinden.

= 27,7 = 28.

IS. 61 s

Hofbuchdruckerei von C. A. K a e m m e r e r & C o., Halle a. S.

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Biblioteka PoMtechniki Krakowskiej

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