'W»!

it

.v

UNTERSUCHUNGEN

ÜBER DIE

BEWEGUNG DES WASSERS IN CANÄLEN

UND FLÜSSEN.

YON

MAU,

&JÄ

U v:"vSs,

,.; IT' r" **]:

v.

KÖNIGL. KREIS-BAU1NPECTOR.

, <:30f4^

u*/

«** ■

(MIT 1 TAFEL ABBILDUNGEN.)

V:;

(SONDERABDRUCII AUS DER ZEITSCHRIFT FÜR BAUWESEN, JAHRG. 1890.)

fr

ft#/

BERLIN 1890.

VERLAG VON ERNST & KORN

WILH. ERNST.

X

«ft

r\

Ul

UV

VS?

<« S

V Wx

IW-

mm.

*6.

'i

'₄

§

v;

Biblioteka Politechmki Krakowskiei

100000301186

E x p \s \ t u v

d. k.l. Dion.

r--

raka

r,

d- w.

64-

Ex p os it d. k. k. Dion.

ns. d. w.

,    Krlfeau

DUjiy Nr. 66.

UNTERSUCHUNGEN

ÜBER DIE

BEWEGUNG DES WASSERS IN CANÄLEN

UND FLÜSSEN.

VON

MAU,

KÖNIGL. KREIS - BAUINPECTOR.

(MIT 1 TAEEL ABBILDUNGEN.)

(SONDERABDRUCK AUS DER ZEITSCHRIFT FÜR BAUWESEN, JAHRG. 1890.)

BERLIN 1890.

VERLAG VON ERNST & KORN

WILH. ERNST.

<1

ov^EC -

GfBUOTEKA

GLÖWNA

tsLelt

& CKn\CO\VA S

*> X jg,

V>«4 *£/

Hl

Akc. Nr. J

sr

gen.

eine neue Formel aufgestellt, welche mit nur einem veränderlichen Coefficienten alle Messungsergebnisse in sich begreifen soll.

jßm

Betrachten wir die durch den symmetrischen Querschnit^Jw\r''~ iy» Füll EEy p eines Canals in einer Secunde fliefsende Wassermenge, so wird^V«ö^    '

diese einen Rauminhalt =F- v und ein Gewicht von der GrÖfse F-v-p haben, wenn v die mittlere Geschwindigkeit und p das Gewicht der Raumeinheit Wasser bezeichnet. Nehmen wir an, die Bewegung sei eine gleichförmige, sodafs die treibenden Kräfte den widerstehenden gleich sind, und betrachten den Vorgang nicht vom dynamischen, sondern vom statischen Standpunkte aus, was zulässig ist, da an Stelle jedes seinen Platz verlassenden Wassertheilchens sofort ein anderes unter genau denselben Bedingungen treten mufs, so haben wir es mit einem Körper auf einer um den Winkel cp geneigten schiefen Ebene zu tliun, der mit einer Kraft von F-vp cos cp normal auf seine Unterlage drückt und mit einer Kraft von F-v-p sirup auf der schiefen Ebene herabzugleiten strebt. Die normalen Druckkräfte werden — feste Wandungen vorausgesetzt — durch diese aufgehoben; die auf die abwärts gerichtete Bewegung wirkende Gleitkraft F- v-p sin cp mufs durch die am benetzten Umfange entstehenden, sog. Reibungskräfte vernichtet werden.

Es ist daher vornehmlich nöthig, Annahmen über die Gröfse und Vertheilung dieser am benetzten Umfange auftretenden Reibungskräfte zu machen, und es ist klar, dafs diese Annahmen äufserst einfach gehalten werden müssen, wenn die Möglichkeit der rechnerischen Durchführbarkeit und der allgemeinen Anwendbarkeit für alle Profile und Materialien gewahrt bleiben soll.

Die Versuche haben unzweifelhaft erwiesen, dafs der Widerstand, welchen der benetzte Umfang der Bewegung des abfliefsenden Wassers entgegensetzt, nach dem Grade der Rauhigkeit der benetzten Fläche verschieden grofs ist. Es geht aber aus den Versuchen ebenso unzweifelhaft hervor, dafs der Widerstand selbst der glattesten Wände nicht gleich Null wird.

Wenn auch die theoretische Hydrodynamik in den Forschungen ihres ersten Theiles über die Bewegung idealer d. i. „nicht reibender“ Flüssigkeiten glänzende Erfolge aufzuweisen hat, so stehen hiergegen die Ergebnisse des zweiten Theiles dieser Wissenschaft, welcher die Bewegegung realer d. i. „reibender“ Flüssigkeiten behandelt, erheblich zurück. Neben der theoretischen Ermittlung des bekannten Ausflufscoefficienten und der Bestätigung des Poiseuilleschen Gesetzes, nach welchem die Ausflufszeit einer durch Haarröhren strömenden Wassermenge direct proportional der Länge der Röhre, umgekehrt proportional dem Druckunterschiede an beiden Enden und der vierten Potenz des Durchmessers ist,¹) dürfte die Bestimmung des Coefficienten der „inneren Reibung“ des Wassers, welchen Meyer ==0,0132²), Helmholtz und Piotrowski =0,014061 für Centimeter und Secunde aus Versuchen ermittelt haben, als das für die praktische Hydrotechnik wichtigste Ergebnifs zu bezeichnen sein. Für die dieser Abhandlung gestellte Aufgabe, welche für die Praxis von ganz aufserordentlicher Bedeutung ist, konnte eine streng wissenschaftliche Lösung bis jetzt noch nicht geliefert werden. Mit Recht darf als Grund der Schwierigkeit und Fruchtlosigkeit dieser Forschungen nicht etwa die Unzulänglichkeit der mathematischen Rechnungsweisen, sondern die Unzulänglichkeit der grundlegenden Anschauungen über das Wesen der Materie betrachtet werden; erst wird die Frage endgültig entschieden sein müssen, ob die Materie stetig den Raum erfüllt (Stetigkeitshypothese), oder ob sie aus einzelnen Massentheilchen zusammengesetzt ist (Molecularhypothese), bevor man mit der Wirklichkeit übereinstimmende Werthe aus theoretischen Untersuchungen über Flüssigkeitsbewegungen erwarten darf, bei denen gerade die von den kleinsten Theilen der Flüssigkeit im Innern ausgeübten Kräfte trotz ihrer ver-hältnifsmäfsigen Kleinheit doch sehr beträchtlich in die Erscheinung treten.

Jene im V orstehenden angedeutete Aufgabe konnte daher nur in der Weise behandelt werden, dafs von den verschiedenen Forschern die aus besonderen Versuchen erhaltenen Ergebnisse durch die passendsten und einfachsten mathematischen Formeln ausgedrückt wurden. Leider zeigte sich sehr bald, dafs diese Formeln wohl für solche den Versuchen ähnliche Verhältnisse

annähernd richtige Werthe lieferten, allein für abweichende Verhältnisse sind die Ergebnisse der Formeln weder unter einander noch mit der Wirklichkeit in Uebereinstimmung zu brin-In neuerer Zeit haben zwei schweizerische Ingenieure

Die Formel ist ebenfalls auf graphisch-empirischem Wege abgeleitet und ergiebt, da alle untersuchten Verhältnisse berücksichtigt sind, meistens auch überall nur mittlere Abweichungen, sie bleibt aber jede Erklärung über die Natur ihrer Coefficienten schuldig.

Wenn wir nun im Nachfolgenden den umgekehrten Weg einschlagen, nämlich unter von vornherein gemachten Annahmen eine Formel über die Bewegung des Wassers in Canälen abzuleiten, so darf dieses Verfahren einen Anspruch auf strenge Wissenschaftlichkeit aus den oben angeführten Gründen durchaus nicht erheben, vielmehr wird ein solcher erster Versuch, auf möglichst elementarem Wege die in Rede stehenden Erscheinungen zu beschreiben, die weitgehendste Nachsicht in Anspruch nehmen müssen.

1.

vor-

p-S-V

x v²,

p - F-v

oder Wp =

die

= Rp cos cp ist. Die-

einheit entfallende Antheil

a/i {J)

«/i (J)

Wy =

• v² ist.

R²

• v² = yfs (J) v²-

sin cp oder = J, wenn wir

mufs. Letztere ist =

i) j

{ R²

V².

R²J

ii)

V²

₂ • \RJ-

iii)

Wenn dies doch der Fall sein sollte, so würde bei absolut glatten Wandungen das Eintreten einer gleichförmigen Bewegung unmöglich sein, da Reibungskräfte zur Vernichtung der Gleitkraft nicht würden entstehen können. Demgemäfs müssen wir annehmen, dafs die vom benetzten Umfange geleistete Widerstandskraft zunächst aus zwei Theilen besteht, von denen der eine von dem Grade der Rauhigkeit der vom Wasser berührten Flächen allein abhängt, während wir den anderen als von dem Material dieser Flächen abhängig denken. Der Kürze und Anschaulichkeit halber nennen wir den ersteren den „Rauhigkeitswiderstand“, den letzteren den „Adhäsionswiderstand“, ohne dafs hierbei moleculare Wirkungen besonders ins Auge gefafst werden sollen, vielmehr mag diese Bezeichnung nur andeuten, dafs die entsprechende Kraft durch mechanische Eingriffe nicht zum Verschwinden gebracht werden kann. Die Versuche haben nun ferner auch ergeben, dafs die Form des Querprofils nicht ohne Einfiufs auf die Geschwindigkeit des fliefsenden Wassers ist. Wir wollen auch diesen berücksichtigen und ihn als „Profilwiderstand“ bezeichnen, sodafs also die gesamte auf den fliefsenden Wasserkörper ausgeübte Hemmungskraft in drei Theile: den Rauhigkeits-, den Adhäsions- und den Profil-Widerstand zerlegt ist.

Um die Gröfse dieser Kräfte zu bestimmen, nehmen wir als gemeinsame Eigenschaften aller drei an, dafs sie gleich-mäfsig auf der benetzten Umfangsfläche vertheilt und dem Einheitsgewichte der Flüssigkeit proportional sind, ferner, dafs alle drei mit dem Neigungswinkel des Canals, aber vielleicht nach verschiedenen Functionen von cp, veränderlich sind, und endlich, dafs die von ihnen hervorgerufenen Widerstandskräfte nach dem Quadrat der Geschwindigkeit des fliefsenden Wassers wachsen. Wir unterscheiden die drei Kräfte dadurch von einander, dafs wir den Adhäsionswiderstand unabhängig von dem durch den Wasserkörper auf die Flächeneinheit seiner Unterlage ausgeübten (specifischen) Druck, den Rauhigkeitswiderstand dagegen diesem Druck umgekehrt, den Profilwiderstand läufig — diesem Druck proportional annehmen. Diese Voraussetzungen lassen sich zwar mit den Anschauungen der Statik über Reibung nicht überall ganz in Einklang bringen, allein es darf hierbei auch nicht übersehen werden, dafs die Reibungskräfte bei Flüssigkeiten in ganz anderer Weise in Wirksamkeit treten müssen als bei festen Körpern. Von einer eingehenden Begründung der gemachten Annahmen glauben wir im Interesse der Kürze und mit Rücksicht darauf absehen zu dürfen, dafs zu diesem Zwecke die Aufstellung neuer, ebenfalls nicht zweifellos nachweisbarer Voraussetzungen erforderlich sein würde. Es bleibt nur möglich, das Zutreffende der Annahmen an der Uebereinstimmung der daraus abgeleiteten Formelergebnisse mit den Ergebnissen der Messungen zu prüfen.

Bezeichnen wir nun den von der Flächeneinheit des benetzten Umfanges s gelieferten Adhäsionswiderstand mit ßp, so wird, da die Fläche des ganzen vom betrachteten Wasserkörper berührten Bettes s-v ist, der Adhäsionswiderstand der ganzen Umfangsfläche = ß-p-s-v sein. Nach den obigen Annahmen ist derselbe noch einer Function des Gefälles (J = tg cp) und dem Quadrate der Geschwindigkeit des Wassers proportional zu setzen, und wir erhalten dann die Gröfse des gesamten Adhäsionswiderstandes Wju — ß-p -s -v - f₂{J) ■ v². Der auf die Gewichtseinheit des fliefsenden Wasserkörpers ausgeübte „specifische“ Adhäsionswiderstand ergiebt sich hieraus — ß - f.₂ (J) -v², wenn wir für das Verhältnifs bekannte gebräuchliche Bezeichnung R (= mittlerer Radius) einsetzen.

Um in ähnlicher Weise den auf die Gewichtseinheit des fliefsenden Wasserkörpers ausgeübten specifischen Rauhigkeitswiderstand Wv zu bestimmen, ist zu beachten, dafs, wie bereits erwähnt, das auf dem Umfang lastende Gewicht des Wasserkörpers = F-v -p cos qj und demnach der auf die Flächen-

F-v-p cos cp s-v

sem specifischen Normaldruck, also der veränderlichen Gröfse R, ist mithin der Rauhigkeitswiderstand umgekehrt proportional zu setzen. Bezeichnen wir nun, wie oben, mit ap den von der Flächeneinheit des benetzten Umfanges ausgeübten Rauhigkeitswiderstand, so wird vom ganzen Umfange, entsprechend den gemachten Annahmen, eine Hemmungskraft von der Gröfse

ps - v - v² ausgeübt, von welcher der auf die Gewichtseinheit des fliefsenden Wasserkörpers entfallende Antheil q/i (J) p-s-v R F-v-p Endlich möge yp den von der Flächeneinheit des benetzten Umfanges herrührenden Profilwiderstand bezeichnen, dann ist der gesamte Profilwiderstand Wn = y - f₃(J) - Rps ■ v • v² und der specifische Profilwiderstand

R - p - s - v F - v - p

Wir haben somit für die auf die Gewichtseinheit des flie-fsenden Wasserkörpers ausgeübte Hemmungskraft den Ausdruck

+ yfsiJ) jV²

gefunden, welcher bei gleichförmiger Bewegung ebenso grofs als die auf dieselbe Gewichtseinheit ausgeübte Gleitkraft sein Fv-p F-v • p

unsere Betrachtungen lediglich auf Fälle mit so kleinem Neigungswinkel a beschränken, dafs der Sinus mit der Tangente vertauscht werden kann. Wir erhalten dann die Gleichung + y/s(«7)} welche ausdrückt, dafs die Summe sämtlicher wirkenden Kräfte, geschätzt nach der Bewegungsrichtung, verschwunden mufs.

Aus Gleichung I ergeben sich durch sehr einfache Umwandlungen — afi GZ) + ßf₂ (J) ■ R -ß yfz (J)R² und *-y

Von der Fortsetzung der statischen Betrachtung sehen wir unter Hinweis auf das nie zum Verschwinden zu bringende Kräftepaar (Moment) ab.

2.

Um nun zu zeigen, dafs die vorgetragenen Ausführungen nicht ganz abseits von den durch die Messungen ermittelten

von

y, ferner af₁(J)=aJ, ß f.ßJ) =/

IV)

gen in der veröffentlichten Keihenfolge wiederholt und es ist R²J

überall der Werth für

+ ß‘2R + y‘2R² = 2y,

+ 59,01/    + 375,0217/ = 0,0062657,

+ 375,0217/ + 2530,2476/ = 0,038938,

also

0,00004505

R‘ +

R‘²

y = 0,0001509 +

0,3048²

3'

4'

1'

6'

7‘

8‘

Werthen liegen, wenden wir die letzten Gleichungen auf die dem Herrn Wirkl. Geheimrath Dr. G. Hagen im Jahrgang 1881 S. 403 u. ff. der Zeitschrift für Bauwesen veröffentlichten Messungen an, welche von dem Captain Allan Cunningham in den Jahren 1874 bis 1879 an dem Ganges-Canal mit der gröfsten Sorgfalt ausgeführt sind. Zu diesem Zwecke eignet sich am besten die Gleichung II, da die rechte Seite derselben eine nach Potenzen von R entwickelte Function darstellt. Um jedoch die nähere Bestimmung der Functionen von J zu vermeiden, müssen wir annehmen, dafs dieselben für kleine Werthe von J nahezu constant sind und als in die Coefficienten a, ß, y eingehend gedacht werden können. Setzen wir nun die linke

R2J

Seite der Gleichung II —— <

und yfs (Jj=/, so erhalten wir die Gleichung y = a' + ß‘R + y‘ R²,

aus welcher die Werthe der neuen Coefficienten a‘, ß³, y‘ bestimmt werden können, da die Werthe für y sich aus den Messungsergebnissen berechnen lassen.

Werden die R als Abscissen, die y als Ordinaten angenommen, so kennzeichnet Gleichung IV eine parabolische Curve, welche die Ordinaten-Achse in der Entfernung a' vom Anfang schneidet und deren Achse senkrecht zur «-Achse steht; die Curve steigt mit erhabener Krümmung zu dieser Achse fortwährend, ihre Tangente bildet an der Stelle R = 0 mit der Abscissen-Achse einen Winkel, dessen Tangente ß' ist.

In umstehender Tabelle I sind die erwähnten Messun-y beigesetzt; die letzte Spalte

enthält R in Metermafs. Diese Zahlen sind auch für die graphische Darstellung benutzt, während für die Rechnung das englische Fufsmafs (1 Fufs englisch = 0,3048 m) beibehalten ist. Es verdient bemerkt zu werden, dafs die Werthe von y unabhängig von jedem Mafssystem sind.

Die in Abb. 1 der beiliegenden Zeichnungen dargestellten Werthe von y lassen nun deutlich mehrere Gruppen erkennen, von denen jede für sich das oben angeführte Parabelgesetz befolgt. Von den 43 Messungen bilden die Kr. 101 bis 127 und Nr. 197 in 11 Messungen die erste Reihe; Nr. 151 bis 163 und Nr. 212 bis 217 bilden mit ebenfalls 11 Messungen eine zweite Reihe; Nr. 201 bis 205 stellen in 4 Messungen eine dritte Reihe dar, Nr. 221 bis 225 in 5 Messungen eine vierte Reihe, und endlich wird eine fünfte Reihe durch die 7 Messungen Nr. 131 bis 139 gebildet. Für die noch übrig bleibenden 5 Messungen Nr. 173 bis 181 ordnen sich die Werthe y in keine den anderen ähnliche Reihe; es darf angenommen Averden, dafs, wenn diese Messungen thatsächlich fehlerfrei sind, hier die Glieder, mit denen sie entsprechende Reihen bilden würden, ausgefallen sind.

Bei der Bildung der einzelnen Reihen waltet keinerlei Willkür ob, vielmehr scheiden sich die einzelnen Reihen in der graphischen Darstellung so offenbar von einander und zeigen trotzdem im allgemeinen denselben Curvenlauf, dafs zweifellos auf eine Verschiedenheit in den Grundelementen geschlossen werden mufs.

Gehen wir von der ersten Reihe, für welche R den weitesten Spielraum von 0,21m bis 2,42 m aufweist, aus und bestimmen die Coefficienten a', / und /. Nach der Methode der kleinsten Quadrate ergeben sich dieselben aus den drei Gleichungen:

na³

a'ZR + ß‘2R² + y'2R³ = 2yR, a‘2R- + ß'ZR* + /Xß⁴ - 2yR*.

Setzt man für n, Xß, Xß² usw. die zutreffenden Zahlen-werthe ein, so lauten die Gleichungen:

11a'

59,01a'

375,0217a' + 2530,2476/i' + 17296,23/ = 0,261949, und es ergeben sich daraus a', ß‘, / wie folgt:

a' + 6,7469365/ + 46,920565/ = 0,00069849025, a' + 6,3552228/ + 42,878127/ = 0,00065985426, a' + 5,3645454/ + 34,092882/ = 0,00056960909. Hieraus durch Subtraction:

0,3917137/ + 4,042438/ = 0,00003863599, 1,3823911/ + 12,827683/ = 0,00012888116, woraus folgt: / + 10,319879/ = 0,0000986332,

/ + 9,279344/ = 0,0000932306.

Hieraus erhält man: 1,040535/ = 0,0000054026,

/ = 0,000005192,

/ = 0,00004505, a‘ = 0,0001509, sodafs die Gleichung der Curve lautet:

y = 0,0001509 + 0,00004505 jß + 0,000005192ß2 und zwar für englisches Fufsmafs.

Zur Verwandlung in Metermafs dient die Bemerkung, dafs y dieselbe Gröfse behalten mufs. Sei R = 2 ■ Rf, wo R‘ die Gröfse von R in Metermafs bezeichnet und .N = 0,3048 ist, so erhält man

0,000005192

0,3048

= 0,0001509 + 0,0001478 R‘ + 0,00005589i2'².

Man könnte also sagen, von jedem Quadratmeter der Umfangsfläche wird (für p = 1000 kg) ein Rauhigkeitswiderstand von 0,1509 kg, ein Adhäsionswiderstand von 0,1478 kg und ein Profilwiderstand von 0,05589 kg ausgeübt, wenn in diesen Zahlen nicht noch die Werthe der Functionen fx (J), f₂{J) und fs(J) enthalten wären.

Die aus der Curvengleichung berechneten und in die graphische Darstellung eingetragenen Werthe für y lassen den Verlauf der Curve deutlich erkennen. Es ist für

2'

y — 0,0001509 | 0,0002011 | 0,0002618 | 0,0003328 | 0.0004142

R= 5'

IJ = 0.0005059 I 0,0006081 | 0,0007207 | 0,0008436

Wenn somit die entwickelte Formel den Ergebnissen dieser ersten Reihe mit nahezu überraschender Genauigkeit folgt, so leuchtet doch bei der Betrachtung der übrigen Reihen ein, dafs sie in gleicher Weise zur Berechnung ähnlicher Werthe der Coefficienten nicht ausreichen. Entweder sind der Messungen zu wenige, oder sie liegen so dicht zusammen, dafs bei der Ungenauigkeit jeder einzelnen Messung die wahren Curven-elemente mit Sicherheit nicht erhalten werden können. Es ist zu bedauern, dafs dem Verfasser das Werk des Captain Allan Cunningham nicht zugänglich ist, um feststellen zu können, ob thatsächlich Unterschiede in der materiellen oder geometrischen Beschaffenheit der Profile vermerkt worden sind; es würden

Tabelle I. Messungen am Ganges-Canal.

Nummer

der

Messung

in engl. Fufs

in engl. Fufs

R² • J

in Meter

Bemerkungen.

liglgSilgSIgiSSSiagSSSiSgSSsSgSSSSaKSsSsiii

7,94

4,06

0,000189

0,0007229

7,65

3,87

207

8089

7,19

3,70

222

8383

6,88

3,85

228

7281

6,14

5,43

5,00

3,26

1,95

0,69

4,20

3,65

2,99

2,94

2,94

2,72

2,52

9,34

8,42

7,84

7,26

6,78

6,18

3,86

4,20

4,07

2,26

1,69

6,88

9,02

8,72

8,21

7,96

7,46

7,05

6,79

6,53

6,32

4,84

4,50

4,37

4,18

4,07

3,67

3,74

3,43

2,43

1,61

0,60

1,24

4,83

3,20

2,79

2,51

2,54

2,20

4,02

3,58

3,43

3,22

3,39

3,05

1,35

1,34

1,79

0,87

0,44

3,85

3,17

3,12

3,01

3,07

2,94

2,81

2,80

2,70

2,63

2,86

2,82

2,79

2,74

2,71

220

245

240

195

203

113

025

473

253

208

200

145

151

227

217

215

214

221

171

088

125

215

148

090

228

191

200

198

208

160

146

145

144

140

295

291

297

304

0,000306

6158

5164

5100

3509

2978

1949

2868

2701

2209

2310

2744

1663

1981

0,0012254

12004

11233

10879

8840

7021

7194

12280

11115

9987

13277

7281

15464

15623

14730

13983

10302

9190

8527

8423

8084

8449

7410

7283

7075

0,0006902

2,420

2.332 2,192 2,097 1,871 1,655 1,524 0,994 0,594 0,210 1,280 1,113 0,911 0,896 0,896 0,829 0;768 2,847 2,566 2,390 2,213 2,067 1,884 1,177 1,280 1,241 0,689 0,515 2,097 2,749 2,658 2,502 2,426

2.274 2,149 2,070 1,990 1,926 1,475 1,372

1.332

1.274 1,241

t-H t-H t“H t-H rH rH rH i—i rH LO IO lO lO lO IO lO (M C'J Cvj CVl CM CM

ohne Reihenglieder.

^ ^    co to ps tO CO W CO CO W J—‘

WW

CD CD

'

CD CD

CO

Nummer

R²

R³

R+

Nummer

Ry

R"-y

101

103

7,94

7,65

7,19

113

197

6,88

6,88

r—I    CM

rH rH t-H

6,14

5,43

124

5,00

3,26

125

1,95

127

0,69

63,0436

58,5225

51,6961

47,3344

47,3344

37.6996

29,4849

25,0000

10,6276

3,8025

0,4761

500,5662

447,6971

371,6950

325,6607

325,6607

231,4755

160,1030

125,0000

34,6460

7,4149

0,3285

3974,50

3424,90

2672,49

2240,54

2240,54

1421.26

869^36

625,00

112,95

14,46

0,23

101

103

105

113

197

117

124

125

127

0,0007229

0,005741

8089

6188

8383

7281

7281

6158

5164

5100

3500

2978

1494

6028

5009

LO CO

2804

2550

1144

581

103

0,045582

47336

43338

34464

34464

23215

15227

12750

3730

1132

711

ZR₃₃ =    59,01

375,0217    2530,2476    17596,23

■^1/33 —

0,0062657

0,038938

0,261949

11 • 0,0001509 + 0,00004505 • 79,97 + / • 590,5075

= 0,0054081,

hierdurch die vorgetragenen Anschauungen auf die einfachste Weise eine wesentliche Bestätigung finden können. Nichtsdestoweniger läfst sich erkennen, dafs die Curve jeder anderen Reihe von einem dem Anfangspunkte der ersten Reihe benachbarten Punkte unter nahezu demselben Tangentenwinkel ausgeht und einem der ersten Curve annähernd confocalen oder äquidistanten Lauf verfolgen mufs. Nehmen wir z. B. für die zweite Reihe an, dafs hier die Werthe a! und ßJ gleich denen der ersten Reihe wären, also beide Reihen sich nur durch abweichende

Geometrie der Querschnitte unterschieden, so erhalten wir y‘ aus der Gleichung:

11 • 0,0001509 + 0,00004505 2R + / • ZR* = 2y oder in Zahlen:

woraus y‘ = 0,000009158 folgt.

Aus der entsprechenden Curvengleichung y = 0,0001509 + 0,00004505 • R -f 0,000009158 R*

/= 0,000013356.

sind die nachfolgenden Werthe zur graphischen Darstellung der Curve erhalten.

y — 0,0001509 | 0,0002051 | 0,0002776 | 0,0003685 | 0,0004776

y— 0,0006151 | 0,0007509 j 0,0009150 | 0,0010974 | 0,0012981' Für die dritte Reihe würde man den Profilcoefficienten

unter denselben Voraussetzungen aus der Gleichung 4 • 0,0001509 + 0,00004505 • 33,91 + / • 288,1645

= 0,005980

erhalten und zwar

Zur Curvenzeichnung sind die Werthe der nachfolgenden Tabelle aus Gleichung

y = 0,0001509 + 0,00004505 • R + 0,000013356 R2 berechnet:

R= 7 ?/ = 0,001121 | 0,001366 | 0,001638 ’

Wenn nun auch keineswegs mit Sicherheit behauptet werden kann, dafs sich die Curven der einzelnen Reihen lediglich durch die Profilcoefficienten unterscheiden (bei der fünften Reihe ist dies sicher nicht der Fall), so erscheint doch zweifellos erwiesen, dafs die bei weitem genaueste Curve der ersten Reihe der entwickelten Formel genau folgt und dafs die Curven der übrigen Reihen diese Formel im allgemeinen ebenfalls bestätigen, zum mindesten ihr nicht widersprechen.

Tabelle II a. Messungen an der Weser.

geführten Messungen (s. Tabelle Ilb) berechnet und in Abb. 1 zur Darstellung gebracht. Sie schliefsen sich, wie die Abbildung zeigt, ungefähr der ersten Reihe der Ganges-Messungen an.

Hierbei möge noch beiläufig darauf aufmerksam gemacht werden, dafs die Coefficienten selbstverständlich nur dann con-stant sein und bleiben können, wenn in der Stetigkeit aller in Betracht kommenden Factoren eine Unterbrechung nicht eintritt. Die Messungen V und VI des Verfassers sind bei überbordvollem Strom ausgeführt, dasselbe wird vermuthlich auch bei den Ganges-Canalmessungen Nr. 101, 151 und 201 der Fall gewesen sein, da von hier ab das Wachsen der Werthe von y die Einführung anderer Coefficienten in die bezügliche Formel erfordert. Zur Berechnung der Coefficienten-Werthe können demnach nur Messungsreihen benutzt werden, bei denen ein regelmäfsiges Aendern der Werthe für R (auch für J) stattfindet.

3.

Vor der weiteren Behandlung der erhaltenen Gleichungen dürfte es angezeigt sein, dieselben mit den bekannten empirischen Formeln zu vergleichen. Man sieht auf den ersten Blick, dafs Gleichung III mit der bekannten Baz in sehen Geschwindigkeitsformel identisch ist, wenn von den Functionen des Gefälles J,    f₂(J) fs (J) abgesehen und der Profilcoefficient

unterdrückt, d. i. y = 0 geseszt wird. Wir haben dann

-1/ *

• yRj.

V)

a! + ß'R

Nummer

R² ■ J

V²

0,8289

1,0383

1,0726

1,1084

1,1241

1,3851

1,4764

1,8690

2,2107

2,3881

(M CO lO (M CO O Cl O lO H IO MO IO CD H CO Ci CO Ci

t-Ht—lOOOrHrHr-HrHr-H

0,000780

0,0002225

540

2353

CM lO

185

159

154

182

Tabelle Ilb. Messungen am Linth-Canal.

2434

2783

2498

2986

3148

4489

4432

4506

Bazin hat für a! und ß‘ Zahlenwerthe angegeben, und zwar ändert sich nach ihm a‘ zwischen den Grenzen 0,0000045 bis 0,00070, während ß‘ zwischen den verhältnifsmäfsig dicht zusammenliegenden Werthen 0,00015 bis 0,00024 angegeben wird, eine Thatsache, die unseren Annahmen in keiner Weise widerspricht, da sicherlich die Umfassungswände bezüglich der Rauhigkeit a? gröfsere Verschiedenheiten aufweisen werden, als bezüglich der Adhäsionskraft. Aus den Ganges-Messungen haben wir a! — 0,0001509, ß‘— 0,0001478 erhalten; diese Gröfsen ändern sich etwas, wenn sie unmittelbar aus den Messungen berechnet werden.

Nummer

1,5672

1,8078

1,9740

2,1693

2,2914

2,4663

2,5254

2,6262

2,7042

2,7989

r—I r—I rt ri r-H H r—i r—I H rI

Ci Ol Ol Ol ^ 03 to H o

0,00029

0,000666

30

689

• 31

32

33

0,00034

34

35

36

37

754

830

826

918

911

963

973

0,001020

Zur Vergleichung sind die Werthe von y aus den vom Verfasser im Jahre 1882 in der Weser ausgeführten Wassermessungen in vorstehender Tabelle II a berechnet und in Abb. 1 ebenfalls durch Zeichnung dargestellt. Diese y decken sich fast genau mit den y - Wertlien der fünften Reihe, aber auch sie sind viel zu ungenau, um zur Berechnung der Curvenelemente dienen zu können, jedoch lassen sie nichtsdestoweniger die annähernd parabolische Natur des Curvenlaufes erkennen. Ferner sind in gleicherweise die von Legier am Linth-Canal

aus-

Unter Zugrundelegung der Gleichung

y = a'i + ß\ R

ergeben sich a\ und ß\ aus den beiden Gleichungen na\ + ß\2R = 2y, a\2R + ß\ 2R*=2Ry.

Setzt man hierfür die entsprechenden Zahlenwerthe ein, so

VI)

hat man

11 «'i +

oder

59,01 ß\ = 0,0062657, 59,01 a\ -F 375,0217 ß\ = 0,038938,

a\ + 6,3552228 ß\ = 0,00065985426,

+ 5,3645454 ß\ = 0,00056960909.

Hieraus folgt 0,9906774/^ = 0,00009024517 und endlich ß\ = 0,00009109, a\ = 0,00008095.

Für Metermafs behält a\ denselben Werth, ß\ wird gleich 0,00009109 0,3048

0,00028 angiebt, sodafs also der Adhäsionscoefficient mit dem bezüglichen Bazinschen Coefficienten übereinstimmt. Der Rauhig-

0,0002988, wofür Bazin (für Canäle in Erde)

y = ßJ2 R-

—|/f

Vt,

Es ist ß‘₂ =

aus

0,0062657

0,00010619 in engl. Fufsmafs und

0,3048

= rund 53,5, was mit der üblichen An-

<7=

aus

—    23 +

\RJ

= <Pi (J) >

\R

0,00155

schreiben:

woraus man

RR

v-

J=y=

2 n cf.₂ (J)

n‘

dy

RV

Da nun R und v von

v Jo

gleichen Dimensionen sind und gleichzeitig verschwinden, so

leuchtet ein, dafs

keitscoefficient a\ weicht von dem durch Bazin angebenen Werth 0,00038 allerdings recht erheblich ab, jedoch dürfte sich diese Erscheinung durch die stärkere Veränderlichkeit der Rauhigkeit überhaupt wohl erklären lassen.

Die Gleichung VI, welche aus Gleichung IV dadurch erhalten ist, dafs der Profilcoefficient / = 0 gesetzt wurde, stellt eine Gerade dar, welche die «/-Achse in der Entfernung a\ vom Coordinatenanfang schneidet, und gegen die x - Achse um einen Winkel geneigt ist, dessen Tangente ß\ ist. Setzen wir nun auch noch a\ = 0, d. h. bleibt auch die Rauhigkeit unberücksichtigt, so wird aus Gleichung VI die Gleichung

VII)

Die Linie der y geht jetzt durch den Coordinatenanfang; R2J

führen wir für «/ seinen Werth —— ein und lösen die Gleichung u

nach v auf, so ergiebt sich die Gleichung

VIII)

die bekannte Eytelweinsche Geschwindigkeitsformel, in welcher zu setzen ist. Der Coefficient C berechnet sich den Ganges-Messungen sehr leicht.

0,00010619

59,01

= 0,00034839 in Metermafs; daraus ergiebt sich

VO,00034839 nähme für (7(51) genau genug übereinstimmt.

Man erkennt hieraus, dafs unsere Formel die beiden bekannten Geschwindigkeitsformeln in sich schliefst und dafs die Bazinsche Formel durch Hinzufügung eines neuen Coefficienten der älteren Eytelweinschen Formel hergeleitet werden kann. Ueberraschend ist, wie bei der empirischen Ermittlung der Bewegungsgesetze des Wassers zuerst durch Eytelwein nur der am wenigsten veränderliche Coefficient, welcher der Haupthemmungsursache entspricht, berücksichtigt, dann als weitere Hemmungskraft von Bazin der Rauhigkeitswiderstand hinzugefügt wurde, wodurch die Geschwindigkeitsformel an Genauigkeit und Anpassungsfähigkeit erheblich gewann.

Von den übrigen gebräuchlichen Formeln wäre noch die Ganguillet-Kuttersche zu berücksichtigen. Dieselbe lautet: 0,00155

11

1 + {23 + 0,00155 J} — und läfst sich, wenn man 23 +

23 + 0,00155t/ = {p2 (7) setzt,

# V R -j- U <f ₂ (7) _ -B .y-j

- + cPi(J)

n

- ntp₂(J) l² 2ncp₂(J)

-^>+7

erhält.

Setzen wir r ncf₂(J) -n² so lautet die obige Gleichung y = m‘ -f- n‘ \ R + s‘ R, worin die Coefficienten m‘, n‘, s‘ in ganz ähnlichem Sinne mit J veränderlich sein würden, wie unsere Coefficienten a‘, ß‘ und y‘.

Aus der Ganguillet-Kutterschen Formel läfst sich für y ebenfalls ein dreigliedriger, nach Potenzen von R geordneter Ausdruck ableiten. Unter Voraussetzung eines constanten J. d. h. der UnVeränderlichkeit der Coefficienten m‘, n‘, s', stellt diese Function eine hyperbolische Curve dar, die von einem auf der «/-Achse in der Entfernung m‘ vom Coordinatenanfang liegenden Punkte ausgeht, wo sie die «/-Achse berührt. Die erste Ableitung

dR 2y^

läfst erkennen, dafs die Curve mit wachsendem R steigt und ihre Tangente sich dem Werthe s' asymptotisch nähert. Das negative Vorzeichen der zweiten Abeitung zeigt, dafs die Curve hohl zur x-Achse ist, wodurch sie sich wesentlich von unserer Curve IV unterscheidet. Da die Ganges-Messungen durchaus eine nach unten erhaben gekrümmte Curvenform verlangen, so liegt auf der Hand, dafs die Ganguillet-Kuttersche Formel diese Messungen nur unvollkommen beschreiben kann.

Fassen wir daher das, was aus dieser vergleichenden Betrachtung folgt, dahin zusammen, dafs in dem beiden älteren Formeln die Function y als gerade Linie erscheint, in der jüngsten dagegen als Curve mit hohler Krümmung dargestellt ist, so ist erklärlich, dafs jede dieser Formeln nur innerhalb gewisser Grenzen einer Reihe von Messungsergebnissen mit genügender Genauigkeit zu folgen imstande sein kann und dafs sich bei Ausdehnung dieser Grenzen nach R = 0 und R = oo ganz erhebliche Abweichungen zeigen müssen. Es liegt daher der Gedanke nahe, diese Grenzwerthe der Function y festzustellen, um daraus Anhaltspunkte für den Gültigkeitsbereich der einzelnen Formeln und Aufschlufs über die Natur der Function y zu erhalten.

4.

R-J

Zu diesem Zwecke ist die Gröfse y = —— einer näheren

Betrachtung zu unterziehen. Dieselbe besteht aus drei GrÖfsen, von denen im allgemeinen zwei als unabhängig veränderlich angesehen werden können, während die dritte dann als abhängig veränderlich einen bestimmten Werth annehmen mufs. Einige Fälle sind hiervon ausgeschlossen, nämlich J = 0 und R = 0. Wenn J — 0 ist, mufs v = 0 sein, gleichgültig wie grofs R ist, und ebenso mufs, wenn R = 0 ist, v = 0 sein, gleichgültig, welchen Werth J hat. Erst wenn R und J gleichzeitg = 0 sind, wird die Function y verschwinden müssen. Setzen

wir R — 0, so wird «/ = 7 nicht = 0 sein, sondern sich einer

Constanten nähern wird, was ja auch mit den vorher behandelten Ganges-Messungen, sowie mit den später mitzutheilenden Bazinschen Messungen übereinstimmt.

IX)

x)

.    = y ist gleichfalls unbestimmt. Aus

Der Werth

= const. ist. Bildet man nämlich aus diesen Versuchen

XI) R²

v²) o

r

= —, allein auch für das Rechteck wird 2 ’

Vollkreis Rm =

Rm nicht unendlich. Bezeichne b die Breite, t die Tiefe des

und Rm = ~

Rechteckes, so ist R =

Wir wollen

Cm (Rm ' Jm )

oo___o

Vm

Cm ( R»i' Jrn)    f)

0    v

— = const für den Fall, dafs 0

und

= oo

aber, entsprechend den Werthen R für unendliche Rm aber unendlich werden.

ß‘

er

und es

Rm

7?²

bleibt

a!

ßJ

Rm

vm = oo, so wird für endliche Rm der Endwerth ym =

= 0,

■JO

oo

const

const, für

const

unendliche Rm dagegen =

oo. Eine Entscheidung, welche

un-

Für R = 0 ist

y — a‘ — aft(J)

und es ist nöthig, dafs, wenn nun noch J — 0 gesetzt wird, ft (J₀) = 0 wird, damit für R und J= 0 ebenfalls y = 0 wird.

Für J = 0 ergiebt sich:

y == afi(Jo) + ßf> (Jo) ß + y fs (Jq)Cc.

vVo

der Zusammenstellung der Messungen, welche Darcy und Bazin an sechs rechteckigen Canälen ausgeführt haben und welche in den Abb. 2, 3 und 4 graphisch dargestellt sind, läfst sich jedoch mit gröbster Sicherheit schliefsen, dafs auch

V²J 0

neue Eeihen mit constantem R und trägt die zu den bezüglichen Gefällen gehörigen y als Ordinaten, die Gefälle als Abscissen auf, so zeigt die Abb. 2a, dafs die neuentstandenen Curven für die R= 0,10, ==0,15 und =0,20 die y-Achse für J= 0 schneiden und sich asymptotisch für J = oo einer der x- Achse parallelen Linie nähern. Wir haben also aus Gleichung X, da fi (Jo) ⁼ 0 sein mufs, = const. R² = ßf₂ (J₀) R + y/g (J₀)R².

Auch ist aus Abb. 2a abzuleiten, dafs

= const. R² = ßf₂ {Jx )R + yfz («/«)R2

sein mufs, woraus sich gewisse Bedingungen für die Functionen f₂(J) und f₃(J) ergeben würden.

Vorläufig möge als erwiesen gelten, dafs für J = 0 oder R = 0 die Function y einen constanten Werth annimmt, und wir wenden uns nun zu den bei weitem wichtigeren oberen Grenzwertlien, d. li. wir wollen den Werth y=ym zu bestimmen suchen, wenn R bis zu seinem gröbsten Werthe Rm zunimmt.

Hier ist zunächst die Bemerkung einzuschalten, dafs Rm nicht für alle Querschnitte = oo wird, was man gewöhnlich anzunehmen pflegt. Für die aus geschlossenen Curven gebildeten Querschnitte ist dies selbstverständlich, z. B. ist für den r² tc

2r7t

b-\-2t

das Rechteck zu den geschlossenen Querschnittsformen rechnen und können daher sagen, dafs für geschlossene Querschnitte Rm endlich, für offene unendlich ist. Ferner ist für den oberen Grenzwerth von y noch der Werth Jm ins Auge zu fassen. Wir wollen nur zwei Fälle berücksichtigen: 1) J ist in der Versuchsreihe fortwährend constant = Jm , und 2) J ist derart veränderlich, dafs Jm = 0 für R = Rm wird.

Endlich kommt der Grenzwerth von v = vm in Betracht. Wird Jrn — 0, so ist auch vm = 0 und es wird

—=oo für den Fall, dafs Rm = co.

dagegen ym =

Rm endlich bleibt.

Ist J constant und Jm nicht = 0, so wird

Cm (Rm ' Jm) ~ <^-> fÜl' Jim

00

Cm (Rm • Jm) = const für ein endliches Rm.

In diesem Falle könnte vm — const, oder = oo, oder

für endliche Rm endlich,

Fm einen Anhalt zur Beurtheilung dieses Falles zu gewinnen, greifen wir auf die Gleichung I

j_(A ₊ ^ + /U

\r²^r^⁷\

zurück. Es mufs hier die linke Seite constant bleiben, während auf der rechten Seite R = Rm und v = vm werden. Ist nun

Rm = oo, so verschwinden die Brüche und J = y‘v²m.

Für vm = oo müfste / = 0 sein, ein endliches vm liefse den Profilcoefficienten als endliche Gröfse bestehen.

Ist Rm eine endliche Gröfse, so verschwinden die Brüche ~jy2~ un(f ~r5~ nicht; für vm = oo müfste dann die ganze Klam-

Ctf ß*

mergröfse verschwinden, d. h. y‘——    + tt~ sein; ein

endliches Rm gestattete einen endlichen positiven Werth der Klammergröfse.

Im Sinne unserer Annahmen bedeutet dies, dafs wenn für Rm sämtliche Hemmungswiderstände verschwinden, eine gleichförmige Bewegung nur bei unendlich grofser Geschwindigkeit zustande kommen kann; bleibt jedoch irgend ein Hemmungswiderstand wirksam, so kann die Geschwindigkeit nur einen endlichen Grenzwerth erreichen. Verfolgen wir die Annahme

const oo für unendliche Rm dagegen = — = const. Die zweite Annahme ergiebt für endliche Rm den Endwerth y oo const

von beiden Annahmen die richtige ist, läfst sich von vornherein nicht treffen. Da es auch der Vorstellung mehr zusagt, dafs die sämtlichen Widerstandskräfte nie ganz verschwinden können, so wollen wir vm endlich annehmen, obgleich die Messungsergebnisse dies anscheinend nicht bestätigen, und erhalten nun für die Endwerthe von y die folgenden Gröfsen:

1.    ym = oo für Rm = oo und Jm = 0,

2.    ym = ⁰⁰ für Rm = oo und Jm constant,

3.    ym — endlich für Rm endlich und Jm = 0,

4.    ym = endlich für Rm endlich und Jm const.

Allgemein wird demnach ym für offene Querschnitte

endlich, für geschlossene nimmt es dagegen einen endlichen Werth an.

Unsere Formel IV (y = a‘ + ß‘R + y‘R²) vermag, wie leicht ersichtlich, den vorgehenden Bedingungen zu genügen, indem sie für endliche Rm ein endliches, für unendliche Rm ein unendliches Rm ergiebt. Es verdient bemerkt zu werden, dafs für den Fall vm = oo die obige Formel nicht imstande ist, die hieraus abgeleitete Bedingung eines endlichen ym für Rm — oo zu erfüllen.

d²y

und

dt²

XIII)

Aus unserer Gleichung IV würden wir erhalten

wobei das Vorzeichen

ym & "j- ß Rm y Rm 5

XV)

= ß‘ — 2/ Rm = n.

dR

in die durch Gleich-

woraus

XVIII)

R)².

iL

74    74

Rm — R\²

Rm

00.

,7= 0,0015;

J = 0,0049.

b) Rm = endlich.

a) Rechtecke von annähernd gleicher Breite.

b = 1,983 m; ,7 = 0,0015; b = 1,990 m; ,7= 0,00208; b = 1,990m; ,7= 0,0049;

Da die später aufzuführenden Messungen sich hauptsächlich auf rechteckige Querschnitte erstrecken, so wird es zweckmäfsig sein, die Curve der y für diesen Fall genauer zu untersuchen.

Der Werth von y ändert sich nicht, wenn der mittlere Radius R durch die wirkliche Tiefe t ausgedrückt und in y eingesetzt wird, nur dafs jetzt y erst = ym wird, wenn t den Werth oo erreicht. Denken wir uns nun die Werthe von y als Ordinaten, die t als Abscissen aufgetragen, so wird sich eine Curve ergeben müssen, die steigend und hohl zur x-Achse verläuft und sich einer dieser Achse Parallelen im Abstand ym

fl 7/

asymptotisch nähert. Es müfste demnach — 0 für t — 00 negativ sein. Nehmen wir nun für die Abscissen statt der t-Werthe die R-Werthe, so erhalten wir unsere y - Curve, welche wie erstere ebenfalls hohl zur x- Achse gekrümmt sein und an dem Punkte R = Rm die Ordinate y=ym zeigen mufs. Die Tangente in diesem Punkte ist aber nicht der x-Achse parallel geblieben, sondern hat sich nach dem Coordinatenanfang zu geneigt. Sei y=m-\- nR die Gleichung dieser Tangente, so wird an der Stelle R

ym = m + n Rm sein müssen.

XIV)

des dritten Gliedes negativ zu setzen ist, damit die zweite Ableitung negativ und die Curve hohl gekrümmt ausfällt.

Endlich ist noch dy

R=Rm

Setzt man nun ßJ = n -f- 2 y‘ R Setzung der rechten Seiten von Gleichung XIII und XIV zu bildende neue Gleichung, so wird:

XVI) nt -j- Ti Rm — cd -f- {11 + 2 y‘ Rm) Rm — y‘ R²in, xvn) a' = m —y Rin folgt.

Benutzt man die aus XV für ßJ und in XVII für a‘ erhaltenen Werthe zum Einsetzen in die allgemeine Gleichung IV, so wird y = m — yR%% + {n + 2 y' Rm) R — / R².

Hieraus erhält man leicht

y = m + nR — / (Rm

Für R= 0 wird yQ = m — y‘ R²m, woraus /= und schliefslich XIX) erhalten wird.

Die letzte Gleichung läfst erkennen, dafs für Rm = 00 oder für sehr breite Canäle das letzte Glied als Constante p genommen werden kann, wodurch dann die Function y eine gerade Linie darstellen würde.

Es ist nun zu prüfen, ob und wie die Ergebnisse der Messungen diesen Herleitungen entsprechen. ⁴ der, als in jüngster Zeit auch an den Wasserbautechniker Aufgaben herantreten, denen er mit Hülfe der unzuverlässigen Erfahrungsformeln kaum zu genügen vermag. Die umfangreichsten derartigen Messungen haben die französischen Ingenieure Darcy und Bazin ausgeführt und in dem Werke „Re-cherches hydrauliques“ veröffentlicht. Im Nachfolgenden sind 17 Messungsreihen berücksichtigt, wovon drei in trapezförmigen Querschnitten mit Rm = oo angestellt wurden. Hauptsächlich ist jedoch bei der Auswahl der Messungsreihen das Material der Canäle in Betracht gezogen und es sind deshalb die aus rauhen Brettern hergestellten fast sämtlich (12) aufgeführt. Die übrigen (5) mögen zur Vergleichung und Ergänzung dienen. Demnach ordnen sich die Messungsreihen wie folgt:

A. Canäle aus rauhen Brettern, ä) Km —

Reihe Nr. 21: symmetrisches Trapez Reihe Nr. 22: unsymmetrisches Trapez J = 0,0049;

Reihe Nr. 23: Dreieck

Reihe    Nr.    10:    b=    1,987m;    ,7=    0,0059;

Reihe    Nr.    8:    b—    1,990m;    -7=    0,00824;

Reihe    Nr.    11:    b =    1,982 m;    ,7=    0,00839.

ß) Rechtecke von verschiedener Breite. Reihe Nr. 19: b = 0,80 m; ,7= 0,0043; Reihe Nr. 20: b— 0,48m; ,7= 0,0060.

y) Halbkreis.

Reihe Nr. 26: d = 1,40m; ,7= 0,0015.

B. Canäle aus anderen Materialien.

a)    Rm = 00 fehlt.

b) Rm = endlich.

¹

   Mein, des Sav. Etr. t. 9 1846.

²

   Meyer, Pogg. Ami. Bd. 113, S. 384; 1861.

³

Reihe: Coefficienten - Berechnung.

⁴

Wenn nun auch Wassermessungen in einer sehr grofsen Menge ausgeführt worden sind, so ist doch die Zahl derjenigen, die sich zur Berechnung von Coefficienten oder zur Verwendung bei wissenschaftlichen Untersuchungen eignen, ganz aufserordentlich gering. Diese Erscheinung ist um so auffallen-

b)    Rm = endlich.

a) Glattgehobeltes Holz.

Reihe    Nr.    28:    Rechteck    b    = 0,10m;    ,7= 0,0047;

Reihe    Nr.    29:    Rechteck    b    = 0,10m;    ,7=0,0150.

b) Glatter Cement.

Reihe    Nr.    2:    Rechteck    b= 1,812 m; ,7= 0,0049;

Reihe    Nr.    24:    Halbkreis d    = 1,25 m;    ,7=0,0015.

c) Ziegel.

Reihe Nr. 3: Rechteck b= 1,911m; ,7= 0,0049.

Die folgenden Tabellen III enthalten die Elemente der Messungen und die aus denselben berechneten Werthe für y. Die unter A.a), A. b)a) und B.a) angeführten Reihen sind in den Abbildungen 2 bis 4 graphisch dargestellt. Man übersieht leicht, dafs die einzelnen Messungen nicht immer mit der wün-schenswerthen Genauigkeit sich aneinander anschliefsen, sodafs besonders bei geringer Anzahl und Ausdehnung der Einzelmessungen eine sichere Ermittlung der Coefficienten kaum erwartet werden kann, und zwar umsoweniger, als es sich um die Berechnung von drei verschiedenen Coefficienten handelt. Mit Rücksicht hierauf erschien es zweckmäfsig, neben der nach der Methode der kleinsten Quadrate durchgeführten Berechnung

Nr.

R-J v -

Tabellen III. Messungen von Darcy und Bazin.

R²J

R-J

v²

■v

R²J

y = -P"

f—-¹ h—¹

tO(-‘OlX)GO-<IOJCT^CCtNDI--‘

Reihe 21. Trapez. J = 0,0015.

0,730    0,0000292

0.892 1,021 1,102 1.175 1,228 1,281 i;339 1,376 1,415 1,452

R485    0,0000760

0,102 0,148 0,179 0,205 0,227 0,247 0,264 0,278 0,292 0,306 0,319 0,334

Reihe 9. Rechteck. J = 0,0015, b = 1,983 m 0,548    0,00003541

0,724 0,945 1,106 1,234 1.343

1.420    0.00006884

0,084

0,124

0,180

0,219

0,251

0,278

0.304

411

459

520

559

699

725

4379

5436

5869

6220

6432

Canäle aus rauhen Brettern.

Reihe 23. Dreieck. J = 0,0049.

Reihe 22. Trapez. J = 0,0049.

1,090

1,436

1,612

1,765

1,905

1,985

2.089

2,150

2.247

2,308

2,365

2.416

0,0000254

0,079 0,110 0,137 0,158 0,174 0,190 0,203 0,216 0,226 0,236 0,246 0,255

Reihe 6. Rechteck. J = 0,00208. b -    1,990 m

0,635    0,00002787

0,819 0,962 1,076 1,152 1,259 1,324 1,374 1,440 1.487 1,552

1,587    0.00006517

0,074

0,111

0,138

0,161

0,183

0,198

0,215

0,231

0,244

0,258

0,268

0,281

287

354

399

409

450

452

490

495

513

530

550

3793

4287

4651

5206

5112

5464

5894

5977

6252

6207

0,100

0,129

0,151

0,167

0,182

0,196

0,208

0,219

0.229

0,239

0,248

0,256

1,258

1,531

1,694

1,837

1,940

2,008

2,081

2,143

2,203

2,257

2,299

2,363

0,0000308

346

387

406

432

467

490

518

531

Reihe 19. Rechteck. J = 0,0043, b = 0,80 m 0,868    0,00002419

1,059 1,261 1,384 1,497 1,561 1,648 1,708

549

571

0,0000615

0,065

0,091

0,111

0,126

0,140

0,152

0,163

0.172

0'189

0,202

0.213

3182

3332

3547

3782

4008

4212

4346

CD CO fr

4684

4856

0,00005016

Reihe 7. Rechteck. J = 0,0049, b = 1,990 m 0,826    0.00002358

1,127 1,325 1,479 1,612 1,711 1,808 1,898

MfriOOI>ODQO^(MCO

rH rH l—I rH

Reihe 10. Rechteck. J= 0,0059. b — 1,987 m 0,910    0.00001956

1.213 1,595 1.847 2.039 2,206

2,349    0,00004675

0,052

0,078

0,115

0,144

0.169

0,190

0,209

2415

3051

3586

4044

4377

Reihe 8. Rechteck. J=0,00824, b = 1,990 m 1,074    0.00001427

1,348 1,594 1,776 1,902 2,053 2,186 2,268 2,357 2,447

0,045

0,070

0,088

0,104

0,120

0,131

0,142

0,154

0,165

0,174

0,184

0,192

2241

2523

2831

3264

3370

3477

3814

4033

4186

0,057

0,083

0.104

0422

0;i38

0,154

0.167

0,179

0,191

0,202

0,213

0,222

Reihe 11.

0,045 0,068 0,102 . 0,129 0,153 0,172 0,189

2658

3030

3356

3602

3944

4171

4353

4635

4772

5027

Reihe 20. Rechteck. J= 0,0043, b = 0,80 m 1,087    0,00002654

1,218 1,281 1,290 1.423 1,505 1,558 1,602

1,673    0,00003701

0,072

0,086

0,093

0,097

0,106

0,113

0420

0,126

0,131

2970

3149

3358

3311

3401

354S

3694

IO o

4410

0,00004448

0,00005063

OCD’OOfrOÜltJ^WEC^

Canäle aus glattgehobeltem Holz.

Reihe 29. Rechteck. J=0,015, b =0,10 m

0,0092    0,571    0,00003946

6=0,10 m

0,0090 | 0,273    0,00005108

0,0284    0.658    0,00008756

7520

5308

8289

8698

8899

8722

5962

6295

6525

r-H O J rH r-H

Nummer

. J=:0,00839, Reihe 26. Halbkreis. .7=0,0015, d —1,40 m

0,119    0,795    0,0000342

0,351    1,689    0,0000653

Canäle aus glattem Cement.

Reihe 24. Halbkreis. J=0,001,5 d = 1,25 m

112    0,921    0,0000209

= 1,982 m 1,080    0,00001431

1,394 1,830 2,100 2,306 2,495 2,664    0,00004241

Reihe 2. Rechteck. J= 0,0049, 6 = 1,812 m 1,018    0,0000127

1,338 1,537 1,731 1.853 1,984 2,081 2,171 2,258 2,326

0,051

0,077

0,098

0,114

0,131

0.145

0.158

0.170

0,181

0,193

0,203

0,212

167

205

220

253

267

292

309

329

348

363

0,0000380

cT ö'cT d'ö'ö'ö'dd' öod

I C    CO

419

440

483

528

550

603

597

627

628

652

659

260

302

314

338

355

382

392

387

401

411

0,0000408

Canäle aus Ziegeln.

R°-J

⁰⁰ öödoddödoöoo

fr

®

fr

o ö CD CO OO '-J Ci'bi'fr lol-'CC 11 w ^ H ^ C3 ci o ^ o

fr

CD

b = 1,911 m 0,0000239

294

375

335

517

522

579

568

614

0,0000659

2*

+    2,901/3'    + 0,758109 /

= 0,0006986.

der Coefficienten a', ß' und / noch für sämtliche Reihen die Coefficienten a\ und ß\ zu ermitteln für den Fall, dafs / = 0 angenommen wird. Es müfste sich der Einflufs der Profilform in der Abweichung der beiden Coefficienten deutlich erkennen lassen, da diese viel sicherer berechnet werden können, als jene drei.

A.a. Die offenen Profile.

Reihe Nr. 21: Trapez mit lm breiter Grundlinie, beiderseits um 45 ⁰ geneigten Seiten wänden; J — 0,0015.

Die drei Bestimmungsgleichungen für a', ß', / lauten: 0,758109 a' + 0,208575633 ßl + 0,059426132181 y‘

= 0,000049008508.

2,901a'    +    0,758109 ßJ + 0,208575633/

= 0,000179908.

12 a'

Aus denselben ergiebt sich

y = 0,00000508 + 0,0002563 R — 0,0001397 R².

Für / = 0 ist

y = 0,00001129 + 0,0001941 R.

Reihe Nr. 22: Trapez mit 1 m breiter Grundlinie, eine Seitenwand senkrecht, die andere um 45° geneigt; y = 0,0049.

Die drei Bestimmungsgleichungen:

Reihen eine nennenswerthe Beweiskraft für die drei Coefficienten nicht beigelegt werden. Berücksichtigen wir, dafs auch bei den Ganges - Canal - Messungen sich die erhabene Krümmung der y- Linie deutlich herausgestellt hat und sich dasselbe Gesetz bei dem Canal mit dreieckigem Querschnitt wiederholt, so dürfen wir wohl unsere Annahme solange als erwiesen betrachten, bis sie durch genaue Versuche als unzutreffend sich herausstellt. Uebrigens können aus dem übrigen Messungsmaterial noch eine grofse Anzahl einschlägiger Reihen beigebracht werden, die unsere Annahme bezüglich der erhabenen Krümmung unterstützen würden, nur ist hierbei selten die Art des Querschnitts genau genug angegeben. In Abb. 5 ist eine kleine Zusammenstellung mehrerer Messungsreihen dargestellt, deren Elemente die Tabelle IV enthalten. Sie dürfte wohl genügen, um zu zeigen, dafs selbst die riesigen Wassermengen des Mississippi nach den Messungen bei Vicksburg das erörterte Gesetz befolgen. (Die abweichenden Messungen bei Columbus deuten auf die fehlende Stetigkeit der Querprofile.) Viel besser als die Coefficienten des Trinoms schliefsen sich die des Binoms aneinander an. Es läfst sich aus ihnen zwar durch Mitteln der Wertlie für a\ und ß\ die allgemeine Gleichung

y = 0,00001093 + 0,0001849 R bilden, jedoch genügen die Ergebnisse nicht, um aus ihnen die Natur der Functionen a\ = a f\ (J) und ß\ = ß fJ₂ (J) herleiten zu können.

0,448628 a' + 0,095065594 ß‘ + 0,020856886 /

= 0,0000213470466,

2,23 a' + 0,448628 ß‘ + 0,095065594/

= 0,0001021006,

12 a'    +    2,23 /3'    + 0,448628/

= 0,0005183,

Tabelle IV.

Nummer

ergeben

y = 0,00001083 + 0,0001815 R — 0,00003663 R².

Für / = 0 ist

y = 0,00001179 + 0,0001690 R.

O« 4^ CO tO ¹

9,497

15,886

17,484

19.538

19.566

Reihe Nr. 23: Dreieck, beide Seiten um 45 ⁰ geneigt; J=0,0049.

CD

Die drei Bestimmungsgleichungen:

20,081

0,476698 a' + 0,101998694 ß‘ + 0,022510200886 /

= 0,0000241906729,

2,324a'    + 0,476698 ßJ + 0,101998694/

= 0,0001139049,

12a'    +    2,324/3'    + 0,476698/

= 0,0005260,

CD CO

21.953

22.085

22,413

22.673

Mississippi.

Vicksburg.

1,074    0,00002227

1.694 1,926 2,118 2,OOS

Columbus.

2,121 | 0,00006800

Carrolton.

1,807 1,794 1,229 1,212

0,00174

3029

4811

6379

4365

266

396

CO Ci

0,00609

0.00002051

1713

0,00303

260

342

384

114

124

Seine ä Poissy.

ergeben

y = 0,00002096 + 0,0000596 R + 0,0003606 R². Für / = 0 ist

y = 0,0000971 + 0,0001917 R.

Wenn, wie dies in 4. nachgewiesen ist, die Curve der y eine nach der x- Achse erhaben gekrümmte Linie bilden soll, so ist dazu nöthig, dafs die zweite Ableitung einen positiven Werth hat, und dieses erfordert ein positives Vorzeichen des dritten Gliedes. In den obigen drei Versuchsreihen ist dies nur bei dem Dreieckquerschnitt der Fall. Die beiden Trapezquerschnitte ergeben negative Profilcoefficienten und deshalb hohl gekrümmte Curven. Da nun aber die einzelnen Messungen der Reihen 21 und 22 recht erhebliche Abweichungen untereinander zeigen, ihre Anzahl auch mit Rücksicht auf das Wachsen von R bis oo eine recht geringe ist, so kann diesen

cDOD-aaoi^cotcn-i

-J 05 Ol 4^ CO tO I—¹

2,164

2,341

3.426

3.788

4,137

4,328

4,836

5,135

5A48

0,704

0,705

0,720

0,719

0,723

0,791

0,887

0,045

1,015

Saöne.

io to

of of cc co A^ Ai' A

CO

OCO M tc

CO o + o

pOppppp

00 IO (M (M l> Ol lO 00 CD 00 O GO CM (M ^ »O »O LO CDI>C-

0,000090

0,000848

87

57

60

50

54

62

67

0,000075

0,0000400

959

1291

1656

1636

1616

1841

1976

2138

0,00124

133

146

146

139

153

177

A. b. Die geschlossenen Profile.

Reihe Nr. 9. Die drei Bestimmungsgleichungen:

0,335494 a' + 0,084227454 ß‘ + 0,022118885746 /

= 0,00002075074961,

ergeben

1,44 a'    + 0,335494 ß‘ + 0,084227454/

= 0,00008546283,

7 a'    +    1,44/3'    + 0,335494/

= 0,00038761,

7 a'

ergeben

+    0,8581 ßJ + 0,122491 /

= 0,000211301,

y = 0,00001665 + 0,0002534 22 — 0,0002793 i2².

y = 0,00000418 + 0,0002394 R — 0,0001911 R². Für / = 0 ist

Für / = 0 ist

y = 0,00000631 + 0,0001948 22.

y = 0,00002538 + 0,0001458 R.

Reihe Nr. 6. Die drei Bestimmungsgleichungen:

Reihe Nr. 19. Die drei Bestimmungsgleichnngen: 0,261454 a' + 0,04472848 ß‘ + 0,007988662054 /

0,511926 a' + 0,117867022 /3' + 0,028227807366 /

= 0,00002940227647,

2,362 a' + 0,511926/3' + 0,117867022/

= 0,00013044727,

12a'    +    2,362/3'    + 0,511926/

== 0,000622,

ergeben

= 0,0000113631, 1,624 a' + 0,261454/3' + 0,04472848/

= 0,0000678442,

11a'    +    1,624/3'    + 0,261454/

= 0,0004347,

y = 0,00001241 + 0,0002028 22 — 0,0001192 22².

ergeben

y = 0,00000963 + 0,0002761 22 — 0,0002984 R\

Für / = 0 ist

y = 0,00001455 + 0,0001691 R.

Für / = 0 ist

y = 0,00001825 + 0,0001706 77.

Reihe Nr. 20. Die drei Bestimmungsgleichungen:

Reihe Nr. 7. Die drei Bestimmungsgleichungen:

0,310466 a' + 0,056185754 /3' + 0,010609166822 /

= 0,00001368028150,

ergeben

1,832 a' +    0,310466/3, + 0,056185754/

= 0,00007703734,

12 a' +    1,832/3'    + 0,31046/

= 0,00046969,

0,10208 a'+ 0,011336714/3' + 0,001288111488/

= 0,00000348435349,

0,944a' +    0,10208/3'    + 0,011336714/

= 0,00003176405,

9 a'    +    0,944/3'    + 0,10208/

= 0,00029786,

ergeben

y = 0,00001388 + 0,0001536 R + 0,00007 R².

y = 0,00000208 + 0,0004352 22 — 0,00129 R². Für / = 0 ist

Für / = 0 ist

y = 0,00001524 + 0,0001702 R.

y = 0,00001270 + 0,0001732 R.

Reihe Nr. 26. Die drei Bestimmungsgleichungen:

Reihe Nr. 10. Die drei Bestimmungsgleichungen:

0,151091 a' + 0,025937157 ß* + 0,004676179475 /

= 0,00000612409714.

0,957 a' +    0,151091/3'    + 0,025937157/

= 0,00003649472,

7 a' +    0,957/3'    +0,151091/

= 0,00024104,

0,970449 a' + 0,28730976 ßJ + 0,0878056564 /

= 0,000057927193,

3,433 a' +    0,970449/3' + 0,28730976/

= 0,0001985924,

13 a' +    3,433/3'    + 0,970449/

= 0,0007181,

ergeben

ergeben

y = 0,00001213 + 0,0001952 — 0,0001131 R².

y = 0,00000987 + 0,0001872 R — 0,00004767 R². Für / == 0 wird

y = 0,00001054 + 0,00017481t!⁰.

Reihe Nr. 8. Die drei Bestimmungsgleichungen:

Für / = 0 ist

y = 0,00001819 = 0,0001403 R.

0,229147 a' + 0,035799645 ßJ + 0,005838981523 /

= 0,00000879235798,

B. Canäle aus verschiedenen Materialien, b) Geschlossene Profile.

«) Glattgehobeltes Holz.

Reihe Nr. 28: Rechteck. Die drei Bestimmungsgleichungen:

ergeben

1,569 a' +    0,229147/3'    + 0,035799645/

= 0,00005711038,

12 a' +    1,569/3'    + 0,229147/

= 0,00040024,

y = 0,00000346 + 0,0002729 2t' — 0,0003033 R².

0,00349286 a'+0,000085902902/3'+0,0000021811314146/'

= 0,00000002982709593,

0,1496 a' + 0,00349286/3'    +0,000085902902/

= 0,0000012495143,

7 a' +    0,1496/3'    +0,00349286/

= 0,000055992,

Für / = 0 ist

ergeben

y = 0,00000732 + 0,0001991 R.

Reihe Nr. 11. Die drei Bestimmungsgleichungen:

0,122491 a' + 0,01906164/3' + 0,003117238855/

= 0,00000448020171,

0,8581a' + 0,122491/3' + 0,01906164/

= 0,000029271784,

y = 0,000002115 + 0,0006588 R — 0,01261 R².

Für / = 0 ist

y = 0,00000418 + 0,0001788 22.

Reihe Nr. 29: Rechteck. Die drei Bestimmungsgleichungen: 0,0013709 a'+0,000020^7 8^/0,00000048141660594/

00000000829066205,

Für / = 0 ist

ergeben

ergeben

0,0796 ar +    0,0013709ßJ +0,000025103788/

= 0,0000004663219, +    0,0796 ß¹ +0,0013709/

= 0,000028036,

ergeben

y = — 0,000000941 + 0,0006726 R — 0,01517 R\.

y = 0,000002538 + 0,0001928 R.

ß) Glatter Cement.

Beilie Nr. 2: Eechteck. Die drei Bestimmungsgleichungen:

0,279343 + + 0,048178301 ß‘ + 0,00867692885 /

= 0,0000088113713,

1,733+ + 0,279343 ß' + 0,048178301/

= 0,0000516071,

12 +    +    1,733 ß*    + 0,279343/

= 0,0003260,

ergeben

y = 0,0000052 + 0,0001465 R — 0,00003442 R².

Für / = 0 ist

y = 0,00000467 + 0,0001558 R,

Beilie Nr. 24: Halbkreis. Die drei Bestimmungsgleichungen:

0,746845 + + 0,201433 ß‘ + 0,05602824/

= 0,0000279114,

2,8964 +    + 0,746845 ß‘ + 0,201433 /

= 0,0001050091,

12+    + 2,89F4 ß‘ + 0,746845/

= 0,000416005,

y = 0,00000628 + 0,0001472 R — 0,0001148 R-.

Für / = 0 ist

y = 0,00001142 + 0,0000963 R.

y) Ziegelmauerwerk.

Beilie Nr. 3: Becliteck. Die drei Bestimmungsgleichungen:

0,349605 + + 0,067158341 ß‘ + 0,013455854 /

= 0,0000189090796,

1,943 + + 0,349605 ßJ + 0,067158341/

= 0,000099499,

12 +    +    1,943 ßJ    + 0,349605/

= 0,0005640,

y = 0,00001144 + 0,0001988 R + 0,0001157 R².

Für / = 0 ist

y = 0,00000916 + 0,0002337 R.

6.

Die Ergebnisse der vorstehenden Coefficienten-Berechnungen sind der bequemen Uebersicht wegen in den nachfolgenden beiden Tabellen V und VI zusammengestellt, und zwar enthält die erste Tabelle die Coefficienten des dreigliedrigen Ausdrucks für die geschlossenen Querschnitte, während in der zweiten Tabelle die Coefficienten des zweigliedrigen Ausdrucks für y (wenn /=0 gesetzt wird) aufgeführt sind.

Von den vierzehn Eeihen der Tabelle V hat sich nur bei drei Messungen ein positives / ergeben, sodafs bei weitem die gröfsere Anzahl der Versuche unsere Annahme bestätigt, und wir können daher den Satz als erwiesen betrachten, dafs bei geschlossenen Querprofilen die Curve der y eine hohl nach unten gekrümmte Linie darstellen mufs.

Nach den früheren Ausführungen bezeiclinete n die Tangente des Neigungswinkels für den Punkt Rm, und es war nachgewiesen, dafs diese Gröfse n immer positiv bleiben mufs, da die y-Curve stetig steigen mufs. Um nun zu zeigen, inwieweit die berechneten Curven auch dieser Bedingung entsprechen, ist in Tabelle V den Messungsreihen der Werth n — ß—2 y Rm beigesetzt. Es zeigt sich, dafs derselbe nur für vier Beilien positiv ausfällt; die Curven der übrigen zehn Beilien haben also einen Culminationspunkt vor R — Rm, von welchem ab die y- Curve fällt. Ob diese Erscheinung auf die Ungenauigkeit der Versuche oder auf die Unrichtigkeit der Annahme eines constanten Profilcoefficienten zurückzuführen ist, lafst sich mit Sicherheit nicht entscheiden. Vermuthlich ist letzteres der Fall und es wird angenommen werden müssen, dafs dieser Coefficient, von einer gewissen Gröfse für R=0 ausgehend, mit wachsendem R bis zu einem gewissen Wertlie für R = Rm abnimmt. Da nun / nicht zuverlässig erhalten worden ist, so kann dies von den Coefficienten + und ß‘ auch nicht erwartet werden, und es ist daher nicht möglich, die Functionen    ßf₂[J)

und yf₃(J) zu entwickeln. Die sechs ersten Versuchsreihen müfsten, da sie an Canälen vom selben Material und nahezu gleicher Breite angestellt sind, in den Veränderungen von + und ß‘ lediglich den Einflufs der verschiedenen Gefälle erkennen lassen. Bedauerlicherweise sind dieselben hierzu nicht genau und umfangreich genug, namentlich fehlen auch Versuche mit geringen Gefällen.

Besonderes Interesse verdienen die Beilien Nr. 28 und 29. Die graphische Darstellung der y-Curven, Abb. 3, zeigt auf das deutlichste die hohle Krümmung derselben; die aus den Messungen berechneten Coefficienten stellen Curven dar, wie aus der Abb. 3 ersichtlich, die recht deutlich auf den Punkt R = Rm ym = 0 hinweisen. Diese Erscheinung, in Verbindung mit den negativen Werthen der zehn Messungen für die Tangente n läfst sich nur dadurch erklären (vorausgesetzt die zweifellose Biclitigkeit der Messungselemente), dafs vm — oo sein müfste. Bei der Unzulänglichkeit des Materials mufs diese Frage unentschieden bleiben, jedoch zeigen die Messungen an den sehr schmalen Canälen, dafs über die Bewegung des Wassers durch sorgfältige Versuche im Experimentirsaal Aufschlüsse erhalten werden können, welche die Möglichkeit bieten, auch für die Erscheinungen bei der Bewegung der grofsen Wassermassen in natürlichen Flufsläufen Anhaltspunkte zu gewinnen.

Zwar sollte es nicht Aufgabe der vorliegenden Abhandlung sein, möglichst viel Coefficienten zu berechnen, allein diese Arbeit ist nicht zu umgehen, um die Biclitigkeit der zugrunde gelegten Anschauungen zu erhärten. Es ist daher noch die Tabelle VI zusammengestellt aus den Coefficienten des Binoms, um zu zeigen, dafs ein gesetzmäfsiger Zusammenhang zwischen den an kleinen Canälen gewonnenen Ergebnissen und den Erscheinungen an gröfseren Wasserläufen stattfindet.

Der Coefficient ß\ in der Tabelle VI zeigt in den Messungsreihen von 9 bis 11 ein fast stetiges Steigen mit wachsendem Gefälle und zwar von 0,000146 bis 0,000199 für J = 0,00015 bis J = 0,00839; nimmt man hierzu, dafs wir für ß‘ bei den Ganges-Messungen den Werth 0,0001478 erhalten haben und dafs ferner der Coefficient der inneren Beibung für Wasser durch andere Versuche auf 0,00014 (für 1 Meter-

Tabelle V.

Reihe

Nr.

ß‘

n — f]‘ — 2 y‘ Um

2 Km

—J Ol CO

t-¹ to (-* M• O © 05 H GO O

0,00159

0,00208

0H0490

0,00590

0,00842

0,00839

0,0015

0,0043

0,0060

0,00001665

0,00000963

(0,00001388)

0,00000987

0,

0,

CO

0,00001213 0,... .1241 0,00002080

co CO CO 00

0,0049

0,0150

0,000002115 - 0,000000941

to

CO 4*-

0,0015

0,0049

0.00000628

(0.00000521)

CO

0,0049 I (0,00001144)

Rauhe Bretter.

—    0,0002793

—    0,0002984 (+ 0,0000700)

—    0,0000477

—    0,0003033

—    0,0001911

—    0,0001131

—    0,0001192

—    0,0002900

Glatte Bretter.

I    —0,01261    I

— 0,01517

Glatter Gement.

I    —0,0001148    I    -1-0,0000037

|    (+ 0,0000344)

Ziegelmauerwerk.

(0,0001988)    I    (+0,0001157)    |    —

0,0002534

0.0002761

(0.0001536)

0,0001872

0,0002729

0,0002394

0,0001952

0,0002028

0,0004352

-    0,000300

-    0,000320

+ 0,000095

-    0,000334

-    0^00143 + 0.000037 + 0,000107

-    0,000184

1,983

1,990

l'990

1,987

1,990

1,982

M00

1.800

Rechteck.

71

71

7

Halbkreis.

Rechteck.

0.0006568

0^006726

0,0001472

(0,0001465)

-0,000602 - 0,000844

o o

t-H H

oo

1.250

1,812

1,911

7!

7)

Halbkreis.

Rechteck.

Tabelle VI.

Reihe

Nr.

ß‘

Querschnitt.

Rauhe Bretter.

26

21

19

22

23

10

20

11

0,00150

0,00150

0,00150

0,00208

0,00430

0,00490

0,00490

0,00490

0,00590

0,00600

0.00824

0.00839

0,00002538

0,0001458

1819

1129

1825

1455

CO O

0971

1054

1524

732

631

1403

1941

1706

1691

1732

1690

1917

1748

1702

1991

1948

Rechteck 6 = 1,983. Halbkreis cZ = 1,25.

Trapez symmetrisch 6 = 1,0. Rechteck b = 1,990.

„ 6 = 0,800.

„    6= 1,990.

Trapez unsymmetrisch. Dreieck.

Rechteck 6 = 1,987.

„    6    =    0,480.

„    6    =    1,990.

„    6    =    1,982.

G’-

cA o

/C #

28

29

0,00490

0,01500

0,00000418

0,00000254

24

0.00150

0,00490

0,00001142

0,00000467

0,00490

0,00000916

Glatte Bretter.

I    0.0001788

0^001928

Glatter Gement.

I    0.0000963

0,0001558

Ziegelmauer werk.

I    0,0002337

Rechteck 6 = 0,10.

„ 6 = 0,10.

Halbkreis d = 1,25. Rechteck 6 = 1,812.

Rechteck 6 = 1,911.

Secunde) ermittelt ist, so dürfte diese Ueberstimmung wohl auf einen ursächlichen Zusammenhang’ der fraglichen Zahlenwerthe mit grofser Sicherheit hindeuten.

Die Coefficienten a\ müfsten nach den Entwicklungen entsprechend der Gleichung IX mit dem Gefälle in geradem Ver-hältnifs stehen. Die berechneten Werthe a\ nehmen jedoch mit wachsendem Gefälle ab, und es mufs daran erinnert werden, dafs dies durch die Vernachlässigung des Profilcoefficienten, der keinenfalls für R = 0 verschwinden dürfte, zu erklären ist.

Es konnten in der vorliegenden Arbeit nicht wohl alle von Darcy und Bazin angestellten und veröffentlichten Versuchsreihen berücksichtigt werden, da einerseits die Bewältigung der mechanischen Rechenarbeit die Kräfte des Verfassers übersteigen würde, andererseits auch aus den vorgeführten Bei ¹ spielen deutlich hervorgeht, dafs diese Versuche zur schliefs-lichen Bestimmung der Gefäll- Functionen doch nicht ausreichend sein würden.

Wenn daher vorläufig auch nur als erwiesen betrachtet

R2

werden kann, dafs die durch die Gröfse y = —- J als Ordi-

nate für R als Abscisse beschriebene Curve sich durch einen dreigliedrigen Ausdruck darstellen läfst, dessen letztes Glied bei Querschnitten mit endlichem Höchstwerth von R ein negatives, bei Querschnitten mit unendlichem Höchstwerth von R ein positives Vorzeichen erhält, so wäre doch die Ausführung weiterer Versuche a!^ dringend erforderlich nachgewiesen, um auch die praktische Wasserbaukunst auf die theoretische Grundlage zu stellen, welche sie bis jetzt entbehrt.

h.

£ 1,0

■r,

' Ls

Halle a. S., Buchdruckerei des Waisenhauses.

c

\%n \

0,0017

_ii

Abb. 1.

JB ewe g ung

de s W

assers m

0,00007

Canal ei i u ii(l F1 ii s

Abb. 2 .

f-

s en..

Abb. 3.

0,0000010

0,000'^9

laä. ittyho

c/4 o,i

2021

/7

0,000007

29.JGa he

0,000006

ii)

Abt). 2 el.

X,

000007

t—14

0,000005

0,0011

4-

:A

20.

0,00001

ff

4-

000003

xfi«?

Nt:t

-A

;—jr^l'——|— ~ a

-----------!-------p*—r~—r—

0,000003

\y

V*'"

iS,

000003

- 3L.

-*A~.

l»

■^80

■4-----*Wso

j--^

0,000002

0,000001

0,0012

T\

155

r-

0,00002

y)

zr.o

t\~~

//

II

A_

<V'/:

OOOOOJ----

-■+

0,000

0,0 05¹

0,070.

lozo'o

\?zo'o

loco'o

0,035'

0,010,

0,015

0,050

o7 75

158

160

/y-

m~/—i

tT = 0/001    0/002    0/303    0/001

0,005    0/006    0,007    0,008    0,000

Äbb. 5 .

780

•N

th

£,

⁼ O/OOO 0/025    0,050 0015 O/OO 0 125 O/t SO 0,175    0,200 0,225 0,250 0,275 0/300 0,325 0/350    0/315 0,100    0,125    0,15O    0,175

0,0000

f,

0,0008

Hr J.

X, ²

221

WS

162

[115

*21*/

0,0036

c7 =

Oru

O00008

Abb. 4.

Offene Otiersclinitte.

0/0030

0,0032

T----

0,0030

2Z1

223

-f-4

_a:___

1t 1

163

ff

V*

’117 \

T___

0,00006

pm

wx

s-

0,0022

$CG UL CL>Pi n'sxir

127

71$

Velsett

0,0020

ATZ

0,0018

4;

>2

_L_

Saoruz

72l><

12X

vrix

*f

137

TT

XX-

XI

vz n

opoio

0,00002

M-

0,0008

-4

i—

,38

0,0006

j Ga ng '8-1 cm cd

O OOOi

0,0000/ ,

0,0001

.    i>

-4-

0,0002 i

o,oooc

R= 0,0

0,1    0,2    0,3    0,1+    0,5    0,6    0,7    0,8    0,9

1,0 1,1 1,2

1,3 1A 1,S    1,6

R in 7/7 .

1,7    1,8    1,9    2,0    2,1    2,2 2p 2,1    2,5    2,6    2,7    28    2,9

0,00000

R» 0,000    0,025    0,050    0,073 O/IOO 0,125 0,150    0,175 0,200    0,225    0,250    0,275 0,300    0,328    0,350    0,313    0,100    0,123

0,0000

0,0

ip

0,0

Bp 8,0

10/0    11/0    18/0    16/0    18,0 ipo 12,0 1'fO

Ernst & Korn, Berlin.

Lith.. Anst,-v. Bo£dari Gisevius,BerliiiW.

A ^

* BI?Li°r£MT

i fitÖMrx/i

\frow§£^

toäg*-*,

r (s

/>

&4tT*v$k

%

$

%

U

m

\

t

A

0

•/

♦

/

>

\

\

1 >

l

;

V

X •;

-

4h

C

i

:

■i.,

■ /

i

✓

x

■ WM

\

*

.

i

y

%

)*v

■■■■

*►

*

\

/

4

%

.

%

w •’    •    ■ .......

** - '

V

■v*

i

+

*

*

Vi;-'

/

*

•S '£Ü|    A, P

4

IWpilHII^i

4

V

j

'C*'

mm

■

;    -    - - : ^    ^ ?. 7*    ^

. »

*

■*

i

4.

%

i

4

X

<1

i

I

f

I.

#

&

»* *4^

4-'^-\ “ V

f

if##

■d

►

jgi

4**

53-j

I

i

" t

f'H V

*

a

■ 1,

.

.VW

€

V

j

■:

'|

-V

^ j| I

%

fäßt

i

-    ‘    i

■Ä

V

r*

«Ä

*' .1

.*■

%

JSu.

w

$Lr

V*

*■ ,

Kir

^ ;;

•-

■ >N

3gt / >'

K

■v

r|- ■•>

ür" «4

/V<>«

.ii

i

cjn

i3öf )i

I

' 4Sr'

f

•JF

_ * %³

sä

m

WfcSL

T

.<

A

r#

f

sei

s&r , -r Hifi’ *

M

v«*

>-/

Y;

' >

•«f

}

'V % *

V'B ’■ ;

\

i v Jr

-r U,.

t , I

.. -&*?

,

-iß*

5-J

♦?

t*:.

•V*'

'

Biblioteka Politechniki Krakowsk.ej

"t-

POLITECHNIRA KRAKOWSKÄ BIBLIOTEKA GLÖWNA

1.36389

Zzr 480/55 20.000

r*l

bo'os

M

[V"

»4,

■FO

1

¹

e B.’b+cieka »