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BERECHNUNG DER STAUMAUERN.

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FRANZ KREUTER,

ORD. PROFESSOR DER IX G EN I EU RW1S SEN SCI IA FTEN AN DER KÖNIG L. BAYERISCHEN TECHNISCHEN HOCHSCHULE IN MÜNCHEN.

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Sonderdruck aus der Zeitschrift für Bauwesen, Jahrg. 1894.

Alle Rechte Vorbehalten.

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Vorbemerkung.

Die Entwicklung der Staumauerquersclmitte erschien bisher nur als möglich im Wege weitschweifiger elementarer Rechnungen und versuchsweiser Annahmen. So pflegte man allgemach zu Formen sich durchzuarbeiten, die den Voraussetzungen annähernd entsprachen. Eine strengere, unmittelbarere und einfachere Lösung der Aufgabe galt für ausgeschlossen. Mit der vorliegenden Arbeit wird nun ein neuer Weg betreten und gezeigt, wie man die Aufgabe in einzelne Theile zerlegen und schrittweise einer rechnungsmäfsigen Behandlung zugänglich machen kann, welche gerade zum Ziele führt.

Die zur Erleichterung der Rechnung als statthaft erachteten Vernachlässigungen sind höchst unerheblich. Wenn man einen nach vorliegendem Verfahren berechneten Mauerquerschnitt im Mafsstabe 1 : 200 aufträgt, so wird sich durch die statische Untersuchung auf zeichnerischem Wege eine Ungenauigkeit kaum nachweisen lassen. Mit Hülfe der gewonnenen neuen Gesichtspunkte liefse sich übrigens auch auf jene Vernachlässigungen noch Rücksicht nehmen und die Genauigkeit beliebig weit treiben.

Die Rechnungen sind keineswegs schwieriger und verwickelter als wir sie nach dem heutigen Stande der Wissenschaft für andere grofse Bauwerke — wie eiserne Brücken — durchzufiiren gewohnt sind, und jedenfalls viel einfacher als das seitherige Vorgehen.

I. Einleitung.

Ursprung und bisheriger Stand der Theorie der Staumauern.

Der Gedanke, den Querschnitten von Staumauern eine solche Gestalt zu geben, dafs die Art und Gröfse der Beanspruchung gewisse Grenzen unter keinen Umständen überschritte, die Standsicherheit in Bezug auf jede gedachte wagerechte Lagerfläche die nämliche bliebe und sohin auch die gröfstmögliche Ersparung an Gemäuer erzielt würde, ist zuerst im Jahre 1850 von dem französischen Ingenieur de Sazilly ausgegangen.¹ 2) Den französischen Meistern Graeff, Delocre und Montgolfier gebührt das Verdienst, die erste wissenschaftliche Lösung der Aufgabe ins Werk gesetzt und die gröfste bis in die neueste Zeit bestehende Staumauer, nämlich jene im Gouffre d’enfer bei St. Etienne, für den Furens, einen Nebenflufs der Loire, erbaut zu haben.

Die durch Graeff aufgesellten Grundsätze für die Ausführung von Staumauern³) sind mustergültig und sollten von jedem Ingenieur gelesen werden, der einen solchen Bau auszuführen im Begriffe steht. Die statischen Untersuchungen, welche Delocre, den Grundgedanken de Sazillys aufnehmend und weiter ausbildend, im Aufträge Graeffs anstellte, haben zu einem Querschnittvorbilde geführt, welches bei allen späteren Ausführungen als Muster gedient hat, obschon es den Anforderungen keineswegs so genau entspricht, wie wir es von den Ergebnissen der auf andere Bauwerke bezüglichen statischen Berechnungen heutzutage verlangen.

Delocre⁴) ist bei seinen Untersuchungen von denselben Bedingungen ausgegangen wie de Sazilly, nämlich:

1)    dafs die zulässige Grenze des Handdruckes nirgends überschritten werde,

2)    dafs nirgends ein Gleiten eintrete.

Letzteres ist überhaupt noch nie beobachtet worden.

Staumauern sind bis jetzt — von schlechter Gründung abgesehen — wohl nur wegen Nichterfüllung der ersten Bedingung zu Grunde gegangen, oder vielleicht auch dadurch, dafs, wegen allzugrofser Ungleichartigkeit des Gefüges, die bei keinerlei Gemäuer zu vermeidenden Setzungen zu Ueber-anstrengungen oder Rissen und Trennungen geführt haben. Um so unglaublicher aber erscheint es, wenn man liest, dafs bei neueren Ausführungen, in der Absicht, jedes Gleiten unmöglich zu machen, „Steine verschiedener Gröfse verwendet und jeweils von Zeit zu Zeit langgeformte Felsstücke, in der Art von aufrecht stehenden Bindern auf die hohe Kante gestellt, eingemauert“ wurden. Man hat also aus Furcht vor einer bei geschickter Ausführung gar nicht vorhandenen Gefahr das möglichste gethan, um die Gleichmäfsigkeit der Setzungen zu unterbrechen und somit bei Gemäuer der allerwichtigsten Art gegen eine der ersten Grundregeln für die Ausführung von Mauerwerk verstofsen.⁵) Die von Delocre aufgestellten Differentialgleichungen der Querschnittcurven erwiesen sich als nicht integrirbar, was ihn dahin führte, seine Querschnittform absatzweise, von oben nach unten fortschreitend, aus einer Folge von Trapezen zusammenzusetzen, ähnlich wie de Sazilly, schon 1853, einen Staumauerquerschnitt aus Rechtecken aufgebaut hatte. Delocre unterschied zwei Fälle: Staumauern für weite Thäler, welche er als Körper auf wagerechter Unterlage und im Grundrifs geradlinig verlaufend behandelt, und Staumauern für enge Thäler, die er im Grundrifs bogenförmig gestaltet, erhaben gegen die Wasser-seite, und welche, indem ihre Enden gegen die Thalwände sich stemmen, eine ihre Standfähigkeit erhöhende Gewölb-wirkung äufsern und daher auch geringere Mauerdicken erfordern sollen. Die elementar durchgeführten Berechnungen Delocres sind natürlich höchst weitschweifig.

Im Jahre 1870 veröffentlichte J. B. Krantz⁶) eine Sammlung von Musterplänen für Staumauern verschiedener Gröfse. Den nach de Sazillys und Delocres Vorgänge durchgeführten Berechnungen liegt die Annahme eines Einheitgewichtes von 2,3 t/cbm und einer zulässigen Beanspruchung

4)    Delocre, sur la forme du profil ä adopter pour les grands barrages en magonnerie des reservoirs. Ann. d. p. et ch. 1866.

II. Seite 212.

5)    Vgl. Graeff, a. a. 0. S. 203: „Une des conditions essentielles dans de pareils massifs est d’ailleurs de ne pas employer de materiaux d’echantillon trop different.“

6)    Etüde sur les murs de reservoirs, Paris, Dunod. 1870.

auf Druck von 60 t/qm für das Gemäuer zu Grunde. Die Mauerquerschnitte sind beiderseits durch Kreisbögen begrenzt, wobei selbstverständlich der theoretisch richtigen Gestalt mehr oder weniger Gewalt angethan wird; denn, wenn man bei der Berechnung die ziemlich verwickelten Kraftwirkungen nur halbwegs gelten läfst, so können die sich ergebenden Curven begreiflicherweise nicht von der einfachsten Art sein. In den Erläuterungen werden übrigens sehr gesunde und beherzigenswerthe Anschauungen geäufsert.

Einen werthvollen Beitrag zur Bestimmung von Staumauerquerschnitten verdanken wir Rankine⁷) in Gestalt eines Berichtes über die vorerwähnten französischen Arbeiten, den er, anläfslich in Indien auszuführen gewesener Bauten dieser Art, im Jahre 1871 verfafst hat. Hätte den grofsen Forscher nicht bald darauf schon der Tod ereilt, so würde er wahrscheinlich auch auf diesem Gebiete Licht verbreitet haben. Die in Rankines Todesjahr veröffentlichte Arbeit scheint weniger bekannt geworden zu sein, als sie verdiente. Rankine fügt den durch de Sazilly aufgestellten Bedingungen für den sicheren Bestand von Staumauern noch zwei sehr wesentliche hinzu, nämlich:

3)    dafs der lothrecht gemessene Randdruck in dem Mafse abnehmen sollte, als die Mauerböschung flacher wird; denn die Richtung, in welcher der Druck zwischen den Theilchen am Mauerhaupte auftritt, sei nothwendigerweise die einer Berührenden am Mauerhaupte, und der auf die gewöhnliche Art gefundene lothrechte Randdruck sei nicht der ganze Druck, sondern nur seine lothrechte Seitenkraft. Wofern also die äufsere Mauerböschung flacher sei, als die innere, so solle der Grenzwerth für den äufseren, lothrecht gemessenen Handdruck niedriger angesetzt werden, als für den inneren.⁸)

4)    dafs — worauf die französichen Ingenieure noch nicht Bedacht genommen hatten — an keiner Stelle des Gemäuers eine beachtenswerthe Zugspannung auftreten dürfe, und zwar weder am äufseren Mauerhaupte bei leerem, noch am inneren bei vollem Teiche, d. h. die den beiden Fällen entsprechenden Stützlinien sollen nirgends aus dem mittleren Drittel der Kernfläche des Durchschnitts heraustreten.

Rankine schlug sodann einen beiderseits durch logarith-mische Curven begrenzten Musterquerschnitt vor, bei welchem der lothrechte Randdruck von 9,8 kg/qcm auf der Wasserseite und von 7,6 kg/qcm auf der Landseite nicht überschritten wird. Die Annahme der logarithmisehen Curven für die ganze Querschnittfigur ist eine willkürliche; allein es wird hierdurch den aufgestellten Bedingungsgleichungen, die wiederum als nicht integrirbar sich erweisen, mit einer für die Zwecke der Ausübung als genügend erachteten Annäherung entsprochen. Die Bogenform des Grundrisses hält Rankine für zweckmäfsig, weil sie einer, möglicherweise von lothrechten Sprüngen an der Landseite begleiteten Durchbiegung der Mauer nach aufsen durch den Wasserdruck vorbeugt, vorausgesetzt, dafs die Mauerenden sich fest gegen die Thalwände stemmen. Er ist jedoch, ebenso wie Krantz, der Ansicht, dafs die Berücksichtigung der Bogen Wirkung bei der Berechnung unsicher und daher von zweifelhaftem

7)    Report on the design and construction of masonry dams. The Engineer 1872, Seite 1.

8)    Man vergleiche auch M. Bouvier’s Arbeit in den Ann. d. p. et ch. 1875, II.

Werthe sei. Im Uebrigen ist, was die Ausführung solcher Bauwerke betrifft, Rankines Abhandlung ebenso lesenswerth, wie jene von Graeff und von Krantz.

Nicht unerwähnt darf die treffliche Arbeit Harlachers⁹) bleiben, in der ein Verfahren zur statischen Untersuchung eines gegebenen Staumauerquerschnittes auf zeichnerischem Wege vollständig vorgeführt wird und auch sonst viel Lehrreiches enthalten ist. Die anderweiten, seither in Büchern sowohl als in Zeitschriften veröffentlichten Abhandlungen über den Gegenstand haben wesentliches zur Klärung und Förderung der Frage kaum beigetragen und können deshalb hier füglich übergangen werden.¹⁰)

Bei den bekannt gewordenen Entwürfen von Staumauern hat man sich meist damit begnügt, von den französischen Mustern auszugehen, und getrachtet, dieselben durch versuchsweises Abändern und Nachrechnen allmählich dem gegebenen Falle thunlichst entsprechend zu gestalten. Wenn man aber gewisse Voraussetzungen macht, und wenn man insbesondere nicht übersieht, wo die Grundlagen der Rechnung andere werden, dann ist es in der That möglich, auf rein mathematischem Wege die richtige Querschnittgestalt einer Staumauer von Fall zu Fall selbständig zu entwickeln, wie in nachfolgendem gezeigt werden soll.

II. Grundlagen der neuen Berechnungsweise.

A. Einschränkungen und Voraussetzungen.

Wir halten uns die durch de Sazilly und Rankine aufgestellten Bedingungen vor Augen, wie sie im vorigen Abschnitte unter 1 bis 4 angeführt wurden, machen aber folgende Voraussetzungen beziehungsweise Einschränkungen:

1)    Der Wasserspiegel reiche bis an die Krone der Mauer.

2)    Die lothrechte Seitenkraft des Wasserdruckes auf den vom Lothe abweichenden Theil der Stauwand werde vor der Hand vernachlässigt.

3)    Auf die längs der Lagerflächen der Mauer wirkenden Schubkräfte nehmen wir keine Rücksicht.

Diese Annahmen vereinfachen zunächst die Rechnung. Die ersten beiden sind überdies zu gunsten der Sicherheit, und die dritte wird belanglos, wenn man, wie es schon die französischen Meister gethan, bei der Ausführung des Gemäuers entsprechend zu Werke geht.

Die erste Voraussetzung entspricht dem ungünstigsten Falle, welcher überhaupt denkbar ist, nämlich dem gröfsten Wasserdrücke, der jemals einzutreten vermag.¹¹)

Die von anderer Seite vorgeschlagene Untersuchung des Mauerquerschnittes auf „doppelte“ Sicherheit, dahin gehend, ob eine dem doppelten "Wasserdrücke entsprechende Stützlinie noch innerhalb der Querschnittfläche bleibt, hat keinen Sinn; denn es ist nicht begreiflich, woher, abgesehen vom Schlamm am Boden des Teiches, eine Flüssigkeit von der doppelten Schwere des Wassers kommen, und noch weniger, warum die Mauer, deren Standsicherheit man doch darauf gründet, dafs die Stützlinien innerhalb der Kernfläche bleiben, in dem

9) Das Reservoir im „bösen Loch“ bei Komotau, Technische Blätter 1875, Seite 89 und 169.

10)    Eine sehr stattliche Litteratur besitzen die Italiener. Ein ausführliches Verzeichnifs der betreffenden Schriften findet sich in dem Werke von Lueger „Die Wasserversorgung der Städte“, 3. Heft.

11)    Es würde selbstverständlich keinen Anstand haben, den Berechnungen auch einen beliebig niedrigeren Wasserstand zu Grunde zu legen. D. Y.

Es bezeichne (Abb. 1) u die HöchsterWasserstand Höhe der Mauerkrone über irgend einer wagerechten Schnittebene Al; Y = vu, wo v<l, die Höhe des gewöhnlichen'Wasserstands im Teiche über der nämlichen Schnittebene.

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1) . .

Abb. 3.

Falle, wo eine Stützlinie gar bis an den Querschnittrand vorrückt, „doppelte“ Sicherheit gewähren soll.

Man kann sich übrigens unschwer vergegenwärtigen, dafs an jeder wagerechten Schnittebene einer Mauer, wo der Druckmittelpunkt durch ein gegebenes Moment 9)1 vom hinteren Kernrand an den vorderen verschoben wird, jene „doppelte Sicherheit“ gegen ein Umkanten um den vorderen Rand der Schnittebene von Haus aus genau vorhanden ist.

Ueber die Gröfse des, der ersten Voraussetzung zu verdankenden Sicherheitsgrades kann man sich folgendermafsen Rechenschaft geben.

_Grösst möglichen Wasserstand

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Abb. 1.

Die dem Wasserdruck ausgesetzte Wand sei lothrecht.

Dann ist, mit Bezug auf irgend eine zur Bildebene senkrechte Achse in der Ebene Al, für die Länge Eins senkrecht zur Bildebene, das Moment des gröfstmöglichen Wasserdruckes (Tp;

das gröfste thatsächlich vorkommende Moment aber ist somit die lothrecht gemessene Randspannung an der Vorderböschung sich vermindert. Da ferner infolge der Einschränkungen 1) und 2) bei gefülltem Teiche die Randspannung an der Wasserseite nirgends bis ganz auf Null herabgeht, so besteht auch noch ein Ueberschufs an Sicherheit gegen ein Oeffnen der Fugen daselbst.¹²) Bei Mauern, deren Höhe bedeutend gröfser ist als die zulässige Belastungshöhe des Gemäuers, hat man indessen von der zweiten Einschränkung sich nachträglich freizumachen, wie dies im Schlufsabschnitte gezeigt wird.

B. Grundgestalt der Mauer und Gliederung ihres Querschnittes.

Die einfachste unter den günstigsten Querschnittformen, das sind Formen von durchaus gleicher Standsicherheit, wäre, wie Rankine schon in der 1864 erschienenen dritten Auflage (die früheren sind mir nicht zur Hand) seines „Manual of Applied Mechanics“ gezeigt hat, das rechtwinklige Dreieck mit lothrechter Stützwand, und zwar besteht, wenn y das specifische Gewicht des Gemäuers bezeichnet, und die Druckmittelpunkte aller wagerechten Schnitte an den Kernrändern liegen sollen, das einfache

Verhältnifs (vgl. Abb. 3)

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2) . . .    9»!

wo p das Einheitsgewicht des Wassers bezeichnet. Hier stellt also

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4)

Yy'

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( — j den Sicherheitsgrad dar, welcher

durch die ersterwähnte Voraussetzung herbeigeführt wird.

Derselbe nähert sich, je weiter nach unten man die Wagerechte Al wählt, stetig abnehmend, mehr und mehr der Einheit und wird andererseits um so gröfser, je weiter die betrachtete Fuge nach oben und in der Nähe der Stelle liegt, wo die Mauer dem Anpralle von Wellen und Eisschollen unmittelbar ausgesetzt ist und deren Stöfsen noch eine ver-hältnifsmäfsig geringe Masse entgegenzusetzen vermag.

Die der thatsächlichen gröbsten Füllung des Teiches entsprechende Stützlinie aber läfst sich leicht auffinden, nachdem man die der gröfstmöglichen, bis zur Mauerkrone reichenden Füllung entsprechende Stützlinie hergestellt hat. Es sei nämlich (Abb. 2) N der Druckmittelpunkt an der Wagerechten Al bei leerem Teiche; M jener bei ganz vollem Teiche; MC der dem Wasserstande entsprechende; Cr das Gewicht des über der Wagerechten Al liegenden

Abb. 2.

Mauerklotzes; dann mufs sein

3) . .

9Jlt = G-pi] 9)1= Gp] folglich

Die zweite Einschränkung, nämlich die Vernachlässigung der auf den nicht lothrechten Theil der Stützwand wirkenden lothrechten Seitenkraft des Wasserdruckes, führt zu Querschnittabmessungen, bei welchen im unteren Theile

der Mauer,

wo die Wirkung des Verhältnisses — immer

u

weniger zur Geltung kommt, die dem gefüllten Teiche entsprechende Stützlinie mehr gegen die Mitte hereinrückt und

Beide Stützlinien sind Gerade, welche das mittlere Drittel der Querschnittfigur begrenzen.

Wird aber der Teich nicht bis zum Rande C gefüllt, so kann, wegen der durch Gleichung (3) ausgedrückten Beziehung, die vordere Stützlinie keine Gerade mehr sein.

Die Mauer oben in einer scharfen Kante enden zu lassen, ist aber nicht thunlich, sondern letztere mufs mindestens zu einer Brüstung ausgebildet werden. Aufserdem pflegt man über die Krone einen Weg zu führen. Dies läfst sich bewerkstelligen mittels eines Bauwerkes aus Holz oder Eisen nach Art einer Jochbrücke, mittels Bogenstellungen, oder, indem man die Mauerkrone mit einem vollen rechtkantigen Mauerklotze enden läfst, dessen Kronenbreite der des Weges entspricht. (Abb. 4.) Die Breite k der C Mauerkrone ist demnach in sofern willkürlich, als sie hauptsächlich von der Bauconstruction abhängt, welche man zur Führung des Weges im gegebenen Falle bevorzugt. Allein, auch wenn der Unterbau des Weges nicht aus einem vollen Mauerklotze besteht, mufs man sein Gewicht auf Mauerwerk zurückführen, d. i. einen für die Berechnung der Mauer, sowohl der Gröfse als der Verthei-lung der Last nach, möglichst gleichwerthigen Mauerklotz anbringen, einen Belastungsersatzwerth einführen, wie dies auch bei der Berechnung anderer Bauwerke ähnlich zu geschehen pflegt. Je breiter aber die Krone, und je gröfser und schwerer somit jener wirkliche oder stellvertretende Mauerklotz, um so mehr wird nothwendigerweise die Gestalt des darunter liegenden Theiles von der dem ursprünglichen Dreikant zugehörigen Grundgestalt abweichen müssen.

Abb. 4.

12) Auf diesen Umstand hat in einleuchtender Weise Unger hingewiesen (Centralblatt d. Bauv. 1892. S. 161). D. V.

die Begrenzungen noch der Stetigkeit nothwendiger Weise entbehren müssen.

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Letzteres würde, lothrechte Stauwand und das Grunddreikant vorläufig beibehaltend, erst möglich sein von einer Wagerechten EF (Abb. 5) an, welche

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Abb. 5.

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Der Rumpf endet, wo die

Schon Delocre hat in seinem Mauerquerschnitte drei durch wagerechte Gerade getrennte Theile unterschieden, nämlich einen beiderseits lothrechten Kopftheil, einen mittleren Theil, von welchem er schlofs, dafs er an der Wasserseite noch lothrecht, aufsen aber nach einer Curve geböscht sein müsse, und den Fufstheil, welcher in jener Tiefe beginnt, wo an der lothrechten Stützwand bei leerem Teiche schon durch das Eigengewicht der Mauer der zulässige Grenzwerth der Randspannung hervorgebracht wird, und von wo an die Querschnittform beiderseits durch allmählich sich verflachende Curven zu begrenzen wäre. Aus dem in jedem Werke über Theorie der Bauconstructionen behandelten einfachsten Falle,⁶) wo die Gestalt des Unterbaues einer rechteckigen Mauer ermittelt wird, an deren Grundfläche der gleichförmig vertheilte Druck die zulässige Grenze erreicht, kann man schliefsen, dafs die Begrenzungslinien des Fufses eines Staumauerquerschnittes logarithmische Curven sein werden.

Die Unmöglichkeit, für die ganze vordere und hintere Begrenzung des Mauerquerschnittes, unter Einhaltung der aufgestellten Bedingungen für den Verlauf der Stützlinien, stetige Curven zu finden, liegt aber einfach darin, dafs, wenn man an den zu Grunde gelegten Bedingungen der Standsicherheit festhält, das Gesetz, nach welchem bei einmal festgesetzter Kronenbreite die Mauerdicken mit zunehmender Tiefe unter der Krone wachsen, kein stetiges sein kann. Delocre hat dies, wie oben angedeutet, auch theil weise erkannt; allein er hat gleichwohl bei seinem Versuch einer strengen Lösung übersehen, dafs auch für seinen Mitteltheil

Es ist nämlich zwischen Kopf und Rumpf noch ein Zwischenglied erforderlich, sodafs also nicht blofs drei, sondern vier durch wagerechte Gerade getrennte Gebiete des Staumauerquerschnittes zu unterscheiden sind, deren jedes für sich, jedoch im Anschluls an das vorhergehende berechnet werden mufs, wie aus den nachfolgenden Erwägungen erhellt:

Der rechteckige Kopftheil kann nur der Bedingung ge-nügeiy, dafs der Druckmittelpunkt bei vollem Teiche im vorderen Drittel seiner unteren Grundfläche liege; bei leerem Teiche liegt er in der Mitte. Der Kopf kann sich also unmöglich an einen Theil des Mauerquerschnittes mittelbar anschliefsen, bei welchem durchweg, von oben bis unten, zugleich die hintere Stützlinie im hinteren Drittel verläuft.

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in der Tiefe 2 a unterhalb der Krone läge. ß Der vordere Druckmittelpunkt fiele aber dann, wie man sich leicht überzeugt, inner-

-i- halb des mittleren Drittels. Wir haben da-

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her vor allem die Aufgabe, dies Uebergangs-glied, welches der „Hals“ heifsen möge, so zu gestalten, dafs an seiner unteren Begrenzung EF die beiden Druckmittelpunkte je an die Ränder des mittleren Drittels zu liegen kommen, wie es in dem nun folgenden Rumpfe

durchweg der Fall sein soll.

Grenzhöhe oder zulässige Belastungshöhe erreicht wird, d. i.

jene Höhe, bei welcher die Randspannungen bis zu der mit der Sicherheit verträglichen Gröfse gewachsen sind, und von wo an sie somit nicht mehr wachsen dürfen. Der hier sich an schliefsende Fufs sollte also an jedem wagerechten Schnitt die nämliche gröfste Randspannung aufweisen und zwar womöglich am Yorderrande bei vollem, am Hinterrande bei leerem Teiche.

III. Berechnung des Mauerquersclmittes.

Im Mauerquerschnitte sollen zwei Stützlinien bestehen, deren jede einer besonderen Anforderung hinsichtlich der Standsicherheit entspricht; allein der Verlauf der einen steht mit dem der anderen in gegebenem Zusammenhänge. Wir werden also die Berechnungen der Hauptsache nach in zwei Theile gesondert durchzuführen haben.

A)    Bekannt ist für jede Tiefe u der Wasserdruck auf den Aufrifs der Stau wand und sein Moment in Bezug auf einen beliebigen Punkt einer in jener Tiefe befindlichen wagerechten Schnittebene des Mauerkörpers; ferner das Ver-hältnifs des Abstandes der beiden Druckmittelpunkte an einer gegebenen wagerechten Schnittfläche zu deren Breite x, oder aber das Gesetz der Druckvertheilung über die Schnittfläche, wonach besagtes Verhältnifs sich berechnen liefse. Jener Abstand ist es aber, um welchen die Angrifflinie des über der betrachteten Wagerechten gelegenen Mauergewichtes durch das Hinzutreten des Momentes parallel verschoben wird. Aus diesen Angaben lassen die Mauerdicken % sich berechnen. Man vermag aber nach dem Ergebnis dieser ersten Gruppe von Berechnungen bereits ein Bild des Mauerquerschnittes aufzuzeichnen, das zwar vorläufig noch in wagerechtem Sinne willkürlich verschoben, von welchem jedoch jeder beliebige, gröfsere oder kleinere wagerechte Streifen mit dem entsprechenden Streifen des wahren Mauerquerschnittes inhaltgleich ist, und welches Bild sohin mit dem wahren Mauerquerschnitte im ganzen wie im einzelnen dem Inhalte nach übereinstimmt. Dies beruht auf der Inhaltgleichheit aller Trapeze von gleichen Grundlinien und Höhen, welches Gesetz offenbar auf je zwei übereinstimmende ungemein schmale wagerechte Streifchen des wahren und des in wagerechtem Sinne willkürlich verschobenen Mauerquerschnittes Anwendung findet.

B)    Nachdem die erste Gruppe von Rechnungen, welche vom Abstand zwischen der vorderen und der hinteren Stützlinie ausgeht, die Mauerclicken und somit die einzelnen Flächenstreifchen des wahren Mauerquerschnittes geliefert hat, liegt es uns ob, letztere dergestalt zurecht zu schieben und übereinander anzuordnen, dafs die Schwerlinie des oberhalb jeder beliebigen Wagerechten gelegenen Theiles des Mauerquerschnittes durch einen bestimmten Punkt jener Wagerechten geht; mit anderen Worten, wir haben in zweiter Reihe die Gleichung der hinteren, d. i. der bei leerem Teiche eintretenden Stützlinie aufzustellen. Wird danach diese Stützlinie gezeichnet und jede der vorherberechneten Mauerdicken so aufgetragen, dafs ihre Mitte den, durch das zu Grunde gelegte Gesetz der Druckvertheilung vorweg bestimmten Abstand von der Stützlinie hat, so ergiebt sich der wahre, allen Bedingungen entsprechende Mauerquerschnitt. Das Zu-

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rechtschieben kann auf rechnerischem sowohl als auch auf zeichnerischem Wege erfolgen; im vorliegenden Aufsatze soll jedoch nur der erstere vorgeführt werden.

C) Liefern indessen die vorstehend angedeuteten und ohne Rücksicht auf die lothrechte Seitenkraft des Wasserdruckes ausgeführten Berechnungen eine derartige Querschnittgestalt, dafs die Vernachlässigung jener Seitenkraft als nicht mehr statthaft erscheint, so kann letztere nachträglich noch in Betracht gezogen und die nach A und B erhaltene Querschnittform entsprechend umgestaltet werden nach dem am Schlüsse erklärten Verfahren. Alle die folgenden Berechnungen beziehen sich auf einen von zwei lothrechten Querschnittebenen im Abstande Eins begrenzten Mauerklotz.

aber auch, zur Vereinfachung der Rechnung, die oberhalb AB gelegene Querschnittfläche Fx, welcher das Gewicht Gl entspricht, auf die Höhe b zurückführen, und erhalten die entsprechende mittlere Breite

b'

A. Berechnung der Mauerdicken.

1) Der Kopf.

Ist die Kronenbreite k (Abb. 6) gegeben, so erhält man, wie nicht weiter ausgeführt zu werden braucht, die dem specifischen Gewicht y des Gemäuers und der verlangten Lage des vorderen Druckmittelpunktes entsprechende Höhe des rechtkantigen Mauerklotzes AB CD aus der Gleichung

Da nun, wenn g das Einheitsgewicht des Gemäuers ist,

^l⁼-^l9 5 &₂=F₂Q,

Fx = mb, F₂ = (e+z) -,

so geht Gleichung (7) über in

e+x\

2 ^    6g'

Ist w die Tiefe der Grundebene FF unter dem Wasserspiegel, folglich

7 A) .    .

so erhalten wir aus (7A)

8)    .    .    £² + ( 2m + e)z

mithin

w³p g “^9 ⁵ V

~ = Yi

2*

9)    .

2m + e

I /uz (2m + e\²

V    ■

Abb. 6.

2) Der Hals.

Wir wollen die Aufgabe etwas allgemeiner stellen wie

folgt:

Gegeben sei die obere Grundlinie e des Trapezes (Abb. 7); im Abstand r^e (wo ^<1) von ihrer Mitte greife ein Gewicht

an. Die Höhe des Trapezes sei b. Gesucht werde die Länge z der unteren Grundlinie des Trapezes, sodafs, wenn richtige gegenseitige Lage der beiden Grundlinien AB und FF hergestellt ist, die Mittelkraft aus Gx und dem Gewichte G2 des trapezförmigen Klotzes im Abstand ¹/₆ z von der Mitte durch den Punkt Px dieser Grundlinie gehen müfste. Tritt aber eine gegebene wagerechte Seitenkraft hinzu, deren Moment in Bezug auf irgend einen Punkt der Wagerechten FF gleich 9Jt sei, so soll alsdann die Mittelkraft durch den Punkt P₂ gehen, welcher im Abstande ¹/₆ z auf der entgegengesetzten Seite von Px mit Bezug auf die Mitte liegt.

Wir haben folgende Gleichgewichtsbedingungen, wenn wir beide Male den vorderen Druckmittelpunkt _P₂ als Drehpunkt nehmen:

Nach Gleichung (9) könnte also eine stufenweise Berechnung der Mauerdicken % von Hals und Rumpf erfolgen und ein Bild davon, vorläufig willkürlich in wagerechtem Sinne verschoben, aufgezeichnet werden. Wir wollen indessen diese Gleichung lediglich für das trapezförmig angenommene Halsstück verwenden.

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E/ P₂ 1i P,L \Fl

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G₂

Abb. 7.

Es handelt sich nun zunächst um angemessene Festsetzung der Höhe b. Wenn wir uns vergegenwärtigen, dafs die zu findende Querschnittform so zu sagen nur eine Ausartung des Grunddreieckes (Abb. 3) ist, so erscheint es jedenfalls statthaft, überall, wo dies in ungezwungener Weise geschehen kann, auf jenes Granddreieck zurückzugreifen. Wir wollen demnach den in Abb. 5 dargestellten Fall zu Grunde legen und

machen. Hierdurch wird m = e = k; auch setzen wir der Kürze halber b-\-a = 2a=h, wodurch auch u=h wird; und, wenn wir dies alles in Gleichung 8) einführen, so ergiebt sich

zx²F 3 kx₁

2 h²

h²

weil aber— = k²y (nach Gleichung 5), so folgt xx² + 3 kzx = 8&²

6) G₁(rie + x + fj + G!(y+ )-(<?,+ e,)|;

Io

I⁺ys+i

1,7015,

.    .    —1,70 k.

In dieser allgemeinen Fassung ermöglichen obige Gleichungen nicht allein die Berechnung des Halses, sondern auch des ganzen Rumpfes, wenn man sich nämlich, wie Delocre, mit der Annäherung begnügt, den Rumpf aus einer Folge von Trapezen aufzubauen. Giebt man, von AB nach unten, allen wagerechten Streifen des Querschnittes die nämliche Höhe 6, so ist die Fläche oder auch das Gewicht jedes Streifens proportional seiner mittleren Breite. Wir wollen

10) . .

3) Der Rumpf.

Wiewohl die vorhin aufgestellte Gleichung 9) bereits eine Berechnung der Mauerdicken des Rumpfes auf elementarem Wege gestattet, so soll doch noch die genaue Berechnung vorgeführt werden, die sich zugleich wegen ihrer gröfseren Einfachheit für die Anwendung empfiehlt.

Es bezeichne (Abb. 8) z die Mauerdicke an einer beliebigen wagerechten Schnittebene HJ in der Tiefe t unterhalb des Halsansatzes EF: sohin in der Tiefe t -f- h unterhalb der Krone. N sei der, auf die (senkrecht zur Bild-

ebene gemessene) Längenbeit der Scbnittebene HJ ausgeübte Gesamtdruck, dessen Mittelkraft durch das hintere Drittel gehen, und der sich somit über die Ebene HJ derart vertheilen soll, dafs die Spannung am Rande H zu l)j£_ Null wird. Wir nehmen sonach an, dafs der oberhalb HJ befindliche Theil JAr~    der Querschnittfigur bereits richtig ge

stellt sei, und behalten uns vor, diese M    ¹

Annahme nachträglich zu verwirklichen. 9Jt sei, mit Bezug auf eine in der Ebene HJ gelegene, auf der Bildebene senkrechte Achse, das statische Moment des Wasserdruckes auf die Länge Eins des Aufrisses der Stau wand J C. Dies Moment soll eine Verschiebung der Angrifflinie der Mittelkraft N um ¹/₃x nach vorn bewirken, worauf die Randspannung bei J zu Null wird.

R zu um

Wenn wir nun t um dt wachsen lassen, so nimmt dR = %dt, wonach

P'mC-f

13)

dR

FH

Abb. 8.

Dann haben wir die Bedingungsgleichung

o-A

11) . .

14)

Der Theil EFCD des Mauerquerschnittes, welcher Kopf und Hals umfafst, kann ausgerechnet werden und sei K. Der oberhalb der betrachteten Wagerechten HJ befindliche Theil HJFE der Querschnittfläche des Rumpfes werde durch Ii bezeichnet; dann ist

N=(K+R) g,

Durch Einführung dieses Werthes in 12) ergiebt sich

(h + tf

(K+B)dR

2/

dt, mithin

KR + &<h + W

u

f Cs

für t = 0 wird i? = 0, somit erhält man C=—— , und

R*+2KR =

(h + tJ — W

14 A) . K+R =

1 / (h+tJ—U

V

dies in die Gleichung 12) gesetzt, giebt

{h + t))³

14) .

/y

/%>

8y

Qi+tJ—ä⁴

f K²

Je gröfser t wird im Verhältnifs zu &, desto mehr geht = und die Querschnittform geht in der Tiefe

gegen

und da DJc

•    — = Yi so folgt aus 11)

oder

h-\~t

allgemach wieder in die des Grunddreieckes über, wie es auch nicht anders sein kann. Die Randspannung aber ist stets am einen Rande Null, während sie am anderen Rande einen mit t zunehmenden Werth ß besitzt. Hiervon kann man sich leicht überzeugen, wenn man bedenkt, dafs in Gleichung 11):.

Vr

12) . .

.    1 (h + t)*

'    2y K+R'

14) Wir haben es hier zu thun mit einer Biegungspannung durch nicht senkrecht zur Stabachse wirkende äufsere Kräfte, und zwar mit dem einfachen Falle, wo die Kraftebene mit einer Hauptachse zusam men fällt.

Es sei y der Abstand eines unendlich kleinen Theilchens der Angrifffläche von der mit der Nullachse gleichlaufenden Schwerpunktachse; 0 das Trägheitsmoment, A die Gröfse der Angrifffläche und 9Z das Drehungsmoment um jene Schwerpunktachse; dann ist die in dem Theilchen auftretende Spannung, wie in jedem Lehrbuche entwickelt wird, allgemein

Setzt man hierin N= (K + R)g; K+R nach Gleichung 14 A) und x nach 14), so kommt heraus:

Qi-\-ty — Ä⁴

r(

fiG)

(h + t)³

a)

<f=

wobei y positiv oder negativ zu nehmen ist, je nachdem das betrachtete Fläclientheilchen und der Angriffpunkt der Ivraft N auf ein und derselben Seite oder auf entgegengesetzten Seiten der Schwerpunktachse sich befinden.

In unserem Falle nun handelt es sich zunächst um die Rand-spannung ß und ist somit statt y die Profil weite e einzuführen, wodurch 0 0

— übergeht in —; aufserdem ist wegen der Rechteckform der Angrifffläche (Länge =1)

4) Grenze für die Höhe des Rumpfes.

Der Grenzwerth t₀ für die Höhe des Rumpfes wird aus der Bedingung gefunden, dafs die Randspannung ß einen bestimmten Werth ß₀ nicht überschreiten soll. Indem man in

der Grundgleichung 11)— = ^ setzt, ergiebt sich x₀ 2

69R    „

15)    .    .

— ßo-

/v 2 ^0

A — x

wodurch aus Gleichung a) wird

0

7⁼6

Zur Vereinfachung schreiben wir it₀-\-h = u₀, wodurch

=    und

b

16) . .

a A . 691

Ferner bezieht sich das Drehmoment 9? auf die Mitte unserer rechteckigen Angrifffläche, und zwar soll für unsere Zwecke sein

• • W₀³P = *0²Ä>-

U o²

b)

Beim Grunddreieck wäre

16 A) . .

*o²

ßo

y, daher

Weil aber dem Momente 9)1 der wagerechten Seitenkraft des Wasserdruckes das Gleichgewicht gehalten werden soll durch das

Moment der Kraft N am Arme L So ist in Gleichung b) einzuführen

und zwar entspricht alsdann dem oberen Yorzeichen in Gleichung b) die Spannung ß am einen Rande, dem unteren die Spannung Null am entgegengesetzten Rande, was eben durch Gleichung 11) ausgedrückt wird.

Man kann u₀ am bequemsten durch Versuchsrechnungen bestimmen, indem man vom Wertlie u₀, der für das Grunddreieck gilt, ausgeht.

Soll nicht die lothrecht, sondern die längs der vorderen Böschung gemessene Randspannung den Grenzwerth ß₀ haben, so ist

ß'₀ = ß₀ cos &

in die Rechnung einzuführen, wobei genau genug der

17)    .    .

18) . .

co o

/ fl

fj    M

T.1

k---------z----->

Abb. 9.

19)    .    .    . gröfsere /i₀ = — +

£

N 33)1

20) .

z²

6 3)1

z²

(Uo + £)³V

so wird

/V

(u₀ + 0³P

— ßo ß ■

ßoßrß

und hieraus

-p(!<0+<')³ m-py

v __ (ßo -f- ß )(uo 4~ O3 2y(ß o—ß') (Ko+F)

Böschungswinkel er dem Grunddreiecke entnommen wird, für welches

tan^v=]/V-

Man hat es also eigentlich mit zweierlei Belastungshöhen zu thun: einer geringeren an der Aufsenseite und einer gröfseren an der Innenseite.

AVasnun die Gröfse der~zuiässigen Beanspruchung ß₀ betrifft, so können darüber die Anschauungen weit auseinander gehen. Krantz¹⁵) empfiehlt eindringlichst, mit ß0 nicht höher zu gehen, als bis 60 t/qm. Thatsächlich ist aber diese Grenze bei keiner ausgeführten Staumauer eingehalten, und bei jener im Furens sogar beträchtlich überschritten, weil man dort, statt mit dem wirklichen Einheitgewichte des Gemäuers von g = 2300 kg, nur mit g = 2000 kg gerechnet hat, sodafs an der ungünstigsten Stelle nicht 60 sondern 70 t/qm sich heraussteilen. Bouvier befürwortet auf Grund eigener Versuche die Annahme wesentlich höherer AVerthe für ß₀.

Aus Zerdrückversuchen, welche 1878 von der Baumaterialprüfungsstation in Berlin angestellt und zuerst in der „Zeitschrift für Bauwesen“ 1880, S. 553, veröffentlicht worden sind¹⁶), geht hervor, dafs das Verhältnifs cp der Druckfestigkeit von Gemäuer zu der des unvermauerten Steines in hohem Mafse abhängt vom verwendeten Mörtel. So fand sich bei Cementmörtel aus

Cement ...    1

Sand ....    6

cp 0,55

Die Druckfestigkeit guten Gemäuers ist demnach eine sehr hohe, und zugegeben, dafs ein Ueberschufs an Sicherheit geboten sei, so ist doch nicht einzusehen, warum man gerade mit 35 bis 120facher Sicherheit gegen Zerdrücken rechnen müsse, während die Sicherheit der Mauer gegen ein Umkippen vielfach geringer ist.

Zwischen weiser Vorsicht bei Bemessung des Sicherheitsgrades für so wichtige Bauwerke und übertriebener Aengstlichkeit, die zu grofsartiger Verschwendung führt, ist doch ein weiter Abstand. Eine vom Verfasser vorgenommene Berechnung der Furensstaumauer hat ergeben, dafs bei ß₀ = 10 kg, Uq = 50 m geworden, und fast der ganze Mauerquerschnitt, vom Halsansatze abwärts, als „Rumpf“ nach Gleichung 14) hätte berechnet werden können. Man dürfte daher vollkommen sicher gehen, wenn man

1)    eine gröfsere Anzahl möglichst grofser ATersuchskörper, die in gleicher AVeise gemauert wären, wie die herzustellende Staumauer, zerdrückte; —

2)    den kleinsten der erhaltenen AAerthe der Druckfestigkeit der Versuchswürfel als Mafs für die Druckfestigkeit des Gemäuers annähme; und vielleicht noch

3)    an der äufseren Fläche festeres Gemäuer herstellte als an der inneren, sei es durch Verwendung härteren Steines oder cementreicheren Mörtels.

Für die AVahl des Sicherheitsgrades bleibt dann noch immer ein weiter Spielraum und man kann schliefslich das gewählte ß₀ doch einigermafsen rechtfertigen, was bei Krantz, unseres Dafürhaltens, nicht ausreichend geschieht.

15)    a. a. 0. Seite 21 und 22.

16)    Desgl. in den Mittheilungen aus den Kgl. techn. Versuchsanstalten in Berlin, 1884.

Die Staumauern im oberen Loire-Gebiet sind nämlich aus Granit und Basalt in hydraulischem Mörtel, somit auf die denkbar festeste Art hergestellt.¹⁷) Uebrigens hat auch der V. internationale Binnenschiffahrt-Congrefs in Paris 1892 ausgesprochen (Abth. I, 4. Frage g) „bei guten Materialien ist eine Belastung von 12 kg auf das qcm im Mauerwerke zulässig“.

5) Der Fufs.

Nach dem Vorangegangenen läfst sich ein — wenn auch in wagerechtem Sinne willkürlich verschobenes — Bild des

über der wagerechten Grenzlinie LM (Abb. 9) gelegenen Theils des Mauerquerschnittes (Rumpf, Hals und Kopf), auftragen und seine Fläche K₀ berechnen, entweder durch Zerlegung in wage-rechte Streifen oder mit Hülfe des Planimeters.

Bezüglich der gleichzeitig an den entgegengesetzten Rändern einer wagerechten Schnittebene auftretenden Spannungen müssen, unter Beibehaltung der früheren Bezeichnungen, die Bedingungen bestehen (siehe Gleichung b) in der Anmerkung zu Gleichung 11):

/v 2 'V

.    . kleinere ß' =—

¹    /v

/V

ß₀ soll für den ganzen Fufs festwerthig sein: gleich der zulässigen Beanspruchung des Gemäuers auf Druck.

ß' mufs zunächst für £ — 0, d. h. beim Anschlufs an den Rumpf, zu Null werden, und wir haben vor allem zu untersuchen, ob und unter welchen Umständen ß', für £>0, von £ abhängige positive AVerthe haben und gegen ß0 gehen kann.

AVir betrachten eine in der Tiefe £ unterhalb der Grenzebene LM gelegene AVagerechte ST. Der über ihr befindliche Theil des Fufsquerschnittes habe die Fläche F.

a) Aus den Gleichungen 19) und 20) erhalten wir

jV ßo + ß\

21) . .

\A

¹

   Im Auszuge vorgetragen vor der Institution of Civil-Engineers in London am 21. November 1893.

²

   Sur un type de profil d’egale resistance propose pour les murs de reservoirs d’eau. Ann. d. p. et ch. 1853. II. Seite 191.

³

   Rapport sur la forme et le mode de construction du barrage

⁴

du gouffre d’enfer, sur le Furens, et les grands barrages en general.

⁵

Ann. d. p. et ch. 1866. II. Seite 184.

⁶

Vgl. z. B. Wittmann, Statik der Hochbauconstructionen, erster Theil, Seite 12.

21) . .

ß₀—ß\

Hierin sind z und ß' Functionen von £. AVeil, ähnlich wie früher, _V= (AT₀ + F) g;

(F₀ + F) g _ /V+ ß

21A) .    .

/v 2

SV

Durch Division erhält man

z{K₀ + F)§

22) . .

Man sieht sofort, dafs für ß' = ß₀, z = oo wird, dafs also ß' niemals gleich ß₀ werden könnte.

17) vgl. Delocre, a. a. 0. S. 260.

-Z-----

14-—

ß.T

->

dfl'-t

Abb. 10.

%dß"

9 dF,

dß"

— gt/f, mithin

u

max

max

ßo

max

2g’

26) . .

dF

29

23

ßo

log nat

ßo

ßf;

ßo

23

27)    .    .

29

ßo

. 17ir

Abb. 11.

oder, da N= (K₀ + -F)g, 3)1

28)

j<--------z------

Abb. 12.

Es fragt sich nun, wie müfste sich ß'' mit t" ändern? In Abb. 10 stelle der obere Theil (I), das betreffende Stück des Mauerquerschnittes, der untere (II) die Belastungsfläche für die zu betrach-J tende Wagerechte ST dar.

$zz±zdi    Wenn f wächst um dt\

so darf nur ß" allein zunehmen um dß", weil ja ß₀ festwerthig bleiben soll, und es wird sein müssen

für -welchen Werth schon x = oo wird.

Die Mauerdicken wachsen also ungemein rasch, und die Bedingung ß" = funct (£) ist nur für Höhen, welche sehr wenig gröfser sind als u₀, erfüllbar, somit für die Ausübung nicht zu verwerthen; es bleibt daher nur übrig, vor der Hand ein - für allemal ß" = 0 zu setzen.

b) Soll bei leerem Teiche die Randspannung an der Wasser Seite den festen Werth ß₀ haben, an der Landseite aber Null sein, so mufs stattfinden:

ßo _ Kp + F _

2 x 9?

. z = ²^(K₀ + F)-, dF

* = folglich

K, + F~ ß«dt ’ log nat (K₀ + F) = t' -f- C.

Für t = 0 wird F= 0, daher 6'== log nat K₀, mithin

Fo + F 2g

Ko

2g

K₀ + F=K₀e

wenn man dies in Gleichung 26) einführt, so ergiebt sich

-iFK₀e

Diese Gleichung liefert mit zunehmendem t" sehr rasch

wachsende Mauerdicken; günstig ist es, wenn ~ möglichst

klein wird, wenn man somit leichtes aber festes Gemäuer verwendet.

Bezüglich des g wird man im allgemeinen keine grofse Auswahl haben; dagegen hat man es in der Hand, durch gute Ausführung und mafsvolle Annahme des Sicherheitsgrades, den Werth von ß₀ erheblich über die von Krantz befürwortete Grenze zu steigern.

Die hintere Stützlinie verläuft — nach erfolgtem Zurechtschieben, wovon später — im hinteren Drittel und die

Randspannung an der Vorderböschung ist bei leerem Teiche durchgängig Null. Füllt man aber den Teich, so mufs sein — unter Vernachlässigung der loth-rechten Seitenkräfte des Wasserdruckes —, wenn w den Abstand der beiden T Druckmittelpunkte bezeichnet (Abb.ll)

sm

Ntv = m-, w= vb;

(w₀ + £')³ g

°    ■ P, | = 7>

1    (w₀ + )³

* W    K₀ + F-

Dieser Ausdruck stimmt der Form nach mit Gleichung 12) überein, wonach die Dicken % des Rumpfes berechnet wurden.

Weil aber beim Fufs die Dicken viel rascher wachsen, als beim Rumpfe, und somit die Fläche F des Fufses weit schneller zunimmt, als die Fläche R des Rumpfes, so kann w

das Verhältnis — von der Grenzebene LM an nach abwärts nicht mehr gleich ¹f₃ sein, sondern es mufs, je weiter nach abwärts, um so kleiner werden, und schliefslich gegen Null gehen.

Der Abstand des vorderen Druckmittelpunktes von der

Mitte ist

29) .    .

%

Dieser Ausdruck wird Null für w = — und negativ für

6

%

WC—, sodafs dann beide Stützlinien auf der nämlichen

6

Seite von der Mitte verlaufen.

Aus diesem Verlaufe der vorderen Stützlinie ist aber zu schliefsen, dafs bei gefülltem Teiche die Randspannung an der Vorderböschung mehr und mehr abnehmen, an der Hinterböschung aber zunehmen, und möglicherweise infolge der lothrechten Seitenkraft des Wasserdruckes das zulässige Mafs überschreiten werde.

Ungünstig ist es auch, dafs bei leerem Teiche die längs der sich verflachenden hinteren Böschung des Fufses gemessene Randspannung nach unten zu erheblich wächst. Es bleibt uns noch folgende Annahme übrig:

c) Bei vollem Teiche soll die lothrecht gemessene Randspannung auf der Landseite festwerthig, gleich ß₀, auf der Wasserseite gleich Null sein.

Dieser Fall ist lediglich eine Umkehrung des vorigen, d. h. diesmal mufs die Stützlinie bei leerem Teiche im Abstande c von der Mitte verlaufen, bei vollem im vorderen Drittel. Die Werthe von x, w und c sind die nämlichen wie vorhin. Dies erklärt sich einfach, wie folgt: (Abb. 12.) Am Kernrand der wagerechten Fläche AB greife die Kraft N lothrecht an. Hierdurch erwächst am Rande B eine Spannung ß₀, am Rande A liegt die Nullachse. Nun trete ein Moment 3k hinzu, und bewirke, dafs die Angrifflinie der Kraft N nach N\ um eine Strecke w verschoben wird, und alsdann im Abstande c von der Mitte steht. Will man dagegen umgekehrt bewirken, dafs dieselbe Kraft N durch den

Nun ist aber bekanntlich

JÄ, l /MV d

b'

% + 2e

l b 3 (& + e)

! ISL

v

G₂

so

Abb. 13.

(r'iH- r,)— +F₁x^r F₂<)x 4- F= [l'\ + -^2)3") (*\ + F₂)~FlVe

30)    .    .

Ich

1-

31)    .

1,7

32)    .    .

— 90 k\y

a = —156 Ä:.

0,0635 kg/qcm;

0,078 kg/qcm.

Einflufs des nämlichen Momentes gerade an den Kernrand gerückt werde, so mufs man sie ursprünglich im Abstande tv davon, oder in der Entfernung c von der Mitte angreifen lassen.

Die so zu erhaltende Gestalt des Querschnittes aber ist die den Anforderungen am vollkommensten entsprechende, und zwar aus folgenden Gründen: Die lothrecht gemessene Randspannung ist bei gefülltem Teiche an der Rückwand von oben bis unten gleich Null, wofern man die lothrechte Seitenkraft des Wasserdruckes vernachlässigt; thatsächlich aber ist der Einflufs der letzteren, selbst dort, wo er beträchtlich wird, bei den in der Ausübung überhaupt vorkommenden Höhen, ohne Nachtheil.

An der Vorderböschung des Fufses ist die ohne Berück-.sichtigung jener Seitenkraft berechnete lothrecht gemessene Randspannung festwerthig gleich ß₀, allein thatsächlich findet, je weiter nach unten, und je mehr diese Böschung sich verflacht, eine Entlastung statt. Bei leerem Teiche werden die Randspannungen an keiner Böschung des Fufses, für endliche Werthe von t\ jemals die Gröfse ß₀ überschreiten.

Da die Querschnittfläche, namentlich wenn ein Fufs nöthig wird, mit der Höhe sehr rasch zunimmt, so wäre der Fall denkbar, in dem die Anlage zweier oder mehrerer Stauweiher mit niedrigeren Thalsperren bezüglich der Kosten vortheilhafter sein würde, als ein einziger von sehr grofser Tiefe.

B. Herstellung der Querschnittgestalt,

ohne Rücksicht auf die lothrechte Seitenkraft des Wasserdruckes.

Nachdem wir mit Hülfe der Gleichungen 5), 10), 14), 16), 27) und 28) die erforderlichen Abmessungen gerechnet und, am bequemsten von einer lothrechten Grundachse aus, das verschobene Bild des Staumauerquerschnittes samt den gleichermafsen verschobenen Stützlinien aufgetragen haben, erübrigt uns noch die Aufgabe, die sämtlichen unendlich schmalen wagerechten Streifen ohne Aenderung ihrer Längen % zurecht zu schieben, d. i. dergestalt übereinander anzuordnen, dafs bei jeder beliebigen Wagerechten die Schwerlinie des gesamten darüber befindlichen Theils der Querschnittfläche durch einen Punkt in bestimmtem Abstande von der Mitte hindurchgehe.

1)    Der Kopf — bleibt unverändert.

2)    Der Hals.

Zur Berechnung der Gröfse x (Abb. 13), um welche die Mittellinie des Trapezes vom Lothe ab weicht, haben wir — zunächst wiederum den allgemeinen Fall behandelnd —

y_

d, somit y — dx

/ j / d    \ i    (für die weit unten gelegenen Strei-

E/    R y Pi •    \ V'

Ion wird liiciii tinnäliGriid y = d = £ setzen dürfen).

Hat man d ausgerechnet, ergeben die Gleichungen 6) und 7)

Fx + F₂d

Nach dieser Gleichung könnte man die stufenweise Verschiebung der mittels Gleichung 9) gefundenen Trapeze zur Bildung des Rumpfes bewerkstelligen; wir wollen, sie indessen nur auf den Hals anwenden, indem wir in dieselbe folgende

Werthe einführen: % =

Üyl 1=1,35^=1,35^

*    3,70k    n

'⁵~3x2,70ä:⁻⁰’⁴⁶⁷’

mithin ergiebt sich

2,35 FL    1,7

X = (l + 0,457xi;'B5)f;><-6~^⁰’4fc Der Abstand des durch die Mitte AB gehenden Lothes vom hinteren Rande bei F ist ₂ 0,4jft = 0,45

Somit ist die Rückwand FB des Halstheiles üb erhängend um den Betrag

(0,5 — 0,45) /c= 0,05 h

Dieses geringfügige Ueberhängen, wodurch die verlangten Lagen der Druckmittelpunkte an der Grenzebene zwischen Hals und Rumpf herbeigeführt werden, hat für die Ausführung gar nichts Bedenkliches.

Auf den überhängenden Theil wirkt indessen der Auftrieb des Wassers und erzeugt am Rande F Zugspannung. Es mufs also zunächst festgestellt werden, ob dieselbe so unerheblich ist, dafs sie vernachlässigt werden könnte. Man findet für sie den Ausdruck

33)    .    .

in Kilogrammen auf das Quadratmeter.

Hieraus geht hervor, dafs a wächst mit dem spec. Gewichte und mit der Kronenbreite. Man sollte also bei grofser Kronenbreite leichtes Gemäuer anwenden.

Die specifischen Gewichte von Gemäuer schwanken ungefähr zwischen den Werthen 2 und 3,

für y= 2 wird a = —127k]

» 7 — 3    „

Bei der ungewöhnlichen Kronen breite von 5 m wäre die

Zugspannung in obigen Fällen 127x5

10000

156x5 10000

Da nun aber die Zugfestigkeit guten Cementmörtel-Mauerwerkes 20 bis 30 kg/qcm beträgt, so ist bei der durch das Ueberhängen des Halses verursachten Zugspannung wenigstens 250 bis 300 fache Sicherheit vorhanden und mithin die gänzliche Belanglosigkeit jenes Ueberhängens in jeder Hinsicht dargethan, um so mehr, als die Gegenwirkung einer am wasserseitigen Rande der Mauerkrone etwa zu errichtenden Brüstung und der Umstand gar nicht in Betracht gezogen ist, dafs ja der Wasserspiegel thatsächlich fast niemals bis an die Krone reicht, sondern meist mehrere Meter darunter steht.

3) Der Rumpf.

Die hintere Stützlinie beginnt an der Grenze EF zwischen Hals und Rumpf, dort, wo letztere durch die Schwerlinie der Fläche K geschnitten wird, d. i. in dem Punkte O, wel-

eher im hinteren Drittel von EF (Abb. 14) liegt. Wir wollen daher diesen Punkt als Ursprung des rechtwinkligen Achsenkreuzes wählen, von welchem aus jene Stützlinie aufgetragen werden soll. Das Loth OY sei Grundachse. Wenn nun die Tiefe t vergröfsert wird uni dt, so wächst der Abstand x der Stützlinie von der Grundachse O Y um dx, und die entsprechenden Zuwachse der statischen Momente in Bezug auf den neuen Druckmittelpunkt P müssen im Gleichgewichte sein, d. h. wenn c den Abstand der Mitte des Streifens zdt von P bezeichnet, so müssen wir haben

A—pi

rw

PiT

Rumpffläche ist sehr nahezu gleich dem statischen Momente dieses Streifens in Bezug auf den in der Höhe seines Schwerpunktes gelegenen Punkt jener Stützlinie, dividirt durch die Gesamtfläche oberhalb des betrachteten Streifens.

Man könnte hiernach das verschobene Bild auch ganz willkürlich auftragen; bequemer ist es jedoch, von einer lothrechten Begrenzungslinie auf der Teichseite auszugehen.

Xi

Abb. 14.

czdt= {fzdt-{-K)dx.

4) Der Fufs.

Hieraus folgt 34)    ...    .

dx =

ezdt

34 A) .    .

x==f-

Z+fzdt

ezdt

U+f^dt

, und

Die hintere Stützlinie für den Fufs beginnt an der den Rumpf vom Fufs trennenden Wagerechten LM (Abb. 9) dort, wo die betreffende Stützlinie des Rumpfes endet, nämlich in einem Punkte 0', der im hinteren Drittel der Grenzlinie LM liegt. Durch diesen Punkt geht die lothrechte Schwerlinie der Fläche 2T₀, welche wir diesmal als Grundachse annehmen, mit dem Anfangspunkte 0\

Die Verhältnisse liegen dann genau wie vorhin, und die nämlichen Erwägungen führen zu den Ausdrücken

ezdt

dx

t'

oder

36)    .    .

.    . AfX

K+fzdt

A°.r

annähernd.

Die Ausführung der Integration läfst sich umgehen, sobald man die geometrische und mechanische Bedeutung des Ausdruckes 34) erkannt hat.

Der Zähler des Bruches ist das statische Moment eines unendlich schmalen wagerechten Streifens des Mauerquerschnittes in der Tiefe t-\-h unterhalb der Krone, bezogen auf die hintere Stützlinie. Der Nenner ist die gesamte oberhalb der betreffenden Wagerechten befindliche Fläche des Mauerquerschnittes.

Wir können die Berechnung der x allerdings nicht genau¹⁸), aber doch jedenfalls so scharf, als es für die Zwecke der Ausführung sich vernünftigerweise nur immer verlangen läfst, bewerkstelligen, indem wir das eingangs erwähnte, von einer lothrechten Grundlinie aus aufgetragene, verschobene Bild des Staumauerquerschnittes benutzen und die gesamte Rumpffläche in wagerechte Streifen von gleicher oder ungleicher, jedoch geringer Breite A t zerschneiden, den Flächeninhalt jedes Streifens mit dem wagerechten Abstande seines Schwerpunktes von der hinteren Stützlinie multipliciren, jedes dieser Producte A$ durch die gesamte über dem betreffenden Streifen liegende Querschnittfläche dividiren und die Ergebnisse der Reihe nach zusammenzählen.

Es ist demnach

Der aus Gleichung 35) abgeleitete Satz gilt also auch hier, und der Vorgang zur richtigen Aufzeichnung der hinteren Stützlinie, um danach die wahre Gestalt des Querschnittes zu erhalten, ist für den Fufs der nämliche, wie für den Rumpf.

Man kann, im Mafsstabe 1:200 arbeitend, die Streifen 1 m breit machen und wird ein sehr genaues Ergebnifs erzielen.

A tx =

AJ

K+R

und

35) . .

annähernd.

C) Richtigstellung der Querschnittgestalt

mit Rücksicht auf die lothrechte Seitenkraft des Wasserdruckes.

Die Vernachlässigung der lothrechten Seitenkraft des Wasserdruckes auf den nahezu lothrechten Theil der Staumauer oberhalb der Grenzebene LM zwischen Rumpf und Fufs ist gewifs statthaft. Dieser Theil: Kopf, Hals und Rumpf, bedarf also einer Abänderung nicht. Was dagegen den Fufs betrifft, so ist, wenn seine Höhe beträchtlich wird, wie bereits früher angedeutet, eine nachträgliche Verbesserung seiner Querschnittgestalt, entsprechend der thatsäch-lichen Wirkung des Wasserdruckes allerdings nothwendig.

Dies läfst sich nun gleichfalls auf rechnerischem Wege unter Zuhülfenahme der Zeichnung mit beliebig grofser Annäherung und ziemlich einfach bewerkstelligen. Die gesuchte Lösung mufs offenbar zwischen zwei Grrenzfällen liegen, welche sich nach dem Vorangegangenen mit jeder wün-schenswerthen Schärfe berechnen und darstellen lassen.

Je nach der Wahl der Grenzfälle hat man es in der Hand, den Fufs verschiedenen Bedingungen anzupassen. Zum Beispiel:

In Worten heifst dies:

Der Zuwachs des Abstandes der hinteren Stützlinie

von der lothrechten Grundachse OYj beim Uebergang von der oberen zur unteren Be

grenzung eines schmalen wagerechten Streifens der

18) Es sind ja auch alle Logarithmen und trigonometrischen Functionen nur Näherungswerthe! D. V.

Der erste Grenzfall sei derjenige, in dem wir, bis an die Grundfläche der Mauer hinab, die Randspannung an der einen Stirne stetig wachsen, an der entgegengesetzten Null sein lassen, d. h. der „Fufs“ bleibt weg und die ganze Querschnittfläche, vom Halsansatze abwärts, wird nach Gleichung 14) als „Rumpf“ hergestellt; die Aufserachtlassung der lothrechten Wasserdruck-Seitenkraft aber ist hier ohne weiteres zulässig.

Grenzfall

Wasserseite

1)

2) •

Gesuchter Fall

ßo

X--------

\v

i'~kT

i. /

V]

«£\

jap'-'

Soll

nun

37)    .    .

Ist r die mittlere Höhe des Dreieckes LQV, s die des Trapezes Op'R' TV, so gilt

II'

V'

38) . .

39) . .

dv

40)    . .

41)    .    .

42)    .    .

/y_/v •

'V    /V'J J

Den zweiten Grenzfall stelle der Querschnitt dar, bei dem der Fufs nach Gleichung 27), ohne Berücksichtigung der lothrechten Seitenkraft des Wasserdruckes, erhalten wurde, was aber, bei grofser Ausladung der hinteren Böschung des Fufses nicht angeht. Wenn man daher einen derartigen Querschnitt auf zeichnerischem Wege unter Einbeziehung des gesamten Wasserdruckes statisch untersucht, so findet man, was eigentlich schon das Gefühl lehrt, dafs thatsächlicli die Randspannung an der Vorderböschung des Fufses nicht fest-werthig gleich ßQ ist, sondern, bei der Grenzebene LM beginnend, von ß₀ an stetig abnimmt, an der Hinterböschung dagegen von Null an stetig wächst.

Man hat sonach fbei Mauerhöhe < —):

Randspannung an der Grundfläche bei vollem Teiche

Thalseite

ßi>ßo    ... 0

ß₂<ßo    • • • ß\ > 0

ß

Wir dürfen demgemäfs wohl von zwei entgegengesetzten Grenzfällen sprechen.

Zeichnet man nun die den beiden Grenzfällen zugehörigen Mauerquerschnitte aufeinander, so decken sich Kopf, Hals und Rumpf bis zur Grenzebene LM.

Die Fufstheile dagegen, und mit ihnen die betreffenden Grundlinien, ruhen in bestimmter gegenseitiger Lage aufeinander.

Die Grundlinie VW=z₁ (Abb. 15) entspricht dem ersten, Q'R' = z₂ dem zweiten Grenzfalle.

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Abb. 15.

Tragen wir jetzt an den Rändern Q', R', V, TV, die betreffenden, bei gefülltem Teiche auftretenden Randspannungen als Strecken lothrecht auf, sodafs Q' Q\ = ß₂, R'R'₁ = ß'₂- VV₁=ß₁, WW=ß'₁= 0; und verbinden wir geradlinig deren zusammengehörige Endpunkte, so ergeben sich Flächen, die wir Druckflächen nennen wollen, und deren Inhalte offenbar proportional sind den Gesamtlasten von Gemäuer und Wasser über den entsprechenden Grundflächen.

Zum ersten Grenzfalle gehört sonach als Druckfläche über der Grundlinie FIF das Dreieck VV₁W; zum zweiten Grenzfalle, über der Grundlinie Q R\ das Trapez Q' Q\ Ii' ₁R'.

die Randspannung an der Grundebene thal-seits gleich ß₀ > ß₂ < ßl werden, so mufs augenscheinlich der Rand Q' gegen F und der Punkt Q₁ gegen Vx gehen. Gleichzeitig wird aber sowohl R' als R'x sich gegen IF hin bewegen müssen. Die Curven, welche dabei die Punkte Q\ und Ii\ beschreiben, sind, wiewohl zur Lösung der Aufgabe nicht nothwendig, in der Abbildung veranschaulicht.

Wir gehen nun folgendermafsen vor: Die auf der hinteren Böschung MR' des Fufses ruhende Wasserlast wird auf Mauerwerk zurückgeführt, indem man die Tiefenabstände n der Curve MR' durch das specifische Gewicht y des Gemäuers dividirt und die so erhaltenen Strecken

, n n = —

von der Curve aus lothrecht nach oben aufträgt. Hierdurch erhält man als obere Begrenzung des stellvertretenden Mauerkörpers die Curve Op. Der durch Vernachlässigung des Zwickels CBFMWO begangene Fehler ist unerheblich. Wenn wir mithin den Mauerquerschnitt an der Rückseite nach COp R' begrenzen und im unteren Drittel der Gesamthöhe eine wagerechte Kraft W, gleich der wagerechten Seitenkraft des gesamten Wasserdruckes, angreifen lassen, so wird die Grundfläche QR' genau so beansprucht, wie durch die ohne Rücksicht auf lothrechte Belastung seitens des Wassers gerechnete Mauer bei gefülltem Teiche. Geht man nun von der Sohlenbreite Q' R' = z₂ auf eine Sohlenbreite QR = x über, welche zwischen den Grenzwerthen xx und %2 liegt, so bewegt sich der Punkt p der hinteren Belastungsfläche wagerecht nach p und entsprechend jeder andere Punkt der Curve Op. Das Trapez OpRW kann daher als Parallel-projection des Trapezes Op R' W angesehen werden; ebenso das Dreieck LQV als Parallelprojection des Dreieckes L Q V.

Demgemäfs erhalten wir, wenn wir die hinteren Belastungsflächen Op R' W und OpR W beziehungsweise durch H' und II, die vorderen, L Q Fund L Q V, durch F' und Fbezeichnen und im übrigen die in die Abbildung eingeschriebenen Mafse benutzen, F v H h

vr=r, fis = H';^

wonach sich, wenn man F' und II' planimetrirt oder sonstwie ermittelt hat, r und 5 ausrechnen lassen

f v ’ S Es ist aber auch allgemein, wegen 37) vr= F, lis = H.

Wir müssen nun noch eine Beziehung festsetzen zwischen F und H. Hierfür ist nur die Bedingung gegeben, dafs, wenn F und H gleichzeitig abnehmen, die vordere Randspannung, von ß₂ gegen ßl sich ändernd, durch einen bestimmten Werth ß₀ hindurchgehen mufs, und es erscheint wohl gerechtfertigt, die einfachste Annahme zu machen, bei welcher obiger Bedingung genügt wird, nämlich, dafs

das Verhältnis ~rr festwerthig sei. dh

Wir haben sonach

dv v v dh ⁼ h ⁼ K=<J’

V V' rv r

H⁼⁼⁼W⁼⁼ih⁼⁼s'a'

Nun lassen sich v und h durch % ausdrücken. Es ist

v + h + zx — z. ah + li = x —    ;

j FuJh

a+1-

v + - =

2*

C°    A

BtBUOTEK* 1

*    J

12

'2a

43)    .    .

(x-Zy).

50) ^3 = g

Man bestimme irgendwie die Schwerpunkte des Dreieckes LVQ und des Trapezes Op R" W. Die Schwerpunkte von L VQ und OpRW werden Parallelprojectionen der vorigen sein.

Die Linien L V und MW wollen wir als Gerade und MW überdies als lothrecht betrachten.

Der Abstand des Schwerpunktes der Fläche IR dem Lothe WM ist proportional der Breite li oder gleich

cph\

(ra{\pa + l) + s(l — tp)j

^(ro + s) + rozv + S + s(^Zy —

(Z-Zy %-Zy

\ (7 + 1    (7+1

Durch Einsetzung der Werthe 49) und 50) in die Gleichung 47) erhält man' die Bestimmungsgleichung

51)    .    .

z²ß

von

I /v    /v    /V_/y

I /v    , « 1    /V    /4/i

lcr+1 (7+1

wo cp eine feststehende Verhältnifszahl ist, die auch für alle

sodafs der ent-

Parallelprojectionen von Op R' W gilt

(ro(ipo+l)+s(l— r/))^

(r(7+s) + rc7^+Ä +>S'(|^i-|)

sprechende Abstand für die Fläche H beträgt

(pli.

Aehnlich findet man die Schwerpunktabstände des Dreieckes LVQ und seiner Parallelprojection LVQ von der Geraden L V, jedoch in wagerechter Richtung gemessen, gleich ipv und ipv.

Die der Zeichnung zu entnehmende Breite der ersten Grenzgestalt, VW CD, in der Höhe der Schwerpunkte der V (sie liegen ja alle gleich hoch über der Grundlinie Q'R) bezeichnen wir durch zv; die Fläche dieser Grenzgestalt sei S. Die statischen Momente der Mauertheile V, S, iJ, in Bezug auf die Mitte der Grundfläche z, seien beziehungsweise

as, ©,

Das Gewicht des mittleren Theiles S denken wir uns jedoch dabei im vorderen Drittel von zx angebracht. Hierdurch wird nämlich das Moment der wagerechten Seitenkraft des Wasserdruckes in die Rechnung einbezogen, denn dieses Moment bewirkt eben die Verschiebung der Angrifflinie des genannten Gewichtes aus dem hinteren ins vordere Drittel der Grundlinie zv

23 und © sind demnach offenbar positiv, während § negativ ist. Wir haben nun:

Wir ersetzen nun die sofort auszurechnenden Gröfsen durch ihre Zahlenwerthe:

52)

fcr + 5

=«; —— (7+1

r(7& + $

V ¹

j ?’(7(h’C7+l)+s(l—Cf)

(o+1)2    =C;

(7+1

und erhalten zunächst, nach entsprechender Zusammenziehung: 53) z²(a+2b — Gc) — 2x [zy (b — Gc) — S + 3#]

= 2 Zy [2 S + 3 (CZy — J9)].

"Wir rechnen weiter aus:

' a + 2b — Gc = e;

54)    . < zx(b—0c) — S-\-3B=E]

2Zy [2/S + 3 (czy —jG)] = G. '

und finden schliefslich

55) . .

Durch Einführung von ß₀ statt ß in vorstehende Rechnung erhält man nach Gleichung 55) die gesuchte Strecke z₀. Diese ist nur noch in der richtigen Lage aufzutragen.

Hierzu dienen die Gleichungen 42) und 43), wonach

(7+1 (*°    %l)'

44) =

ra

(7+1

8_r(v>® + *,+ A-|)9*

((/«+ 1) +    g.

(*—

(7+1

+ ~    ' Zy

(7+1

Am günstigsten wäre es wohl, wenn sich z₀ so bestimmen liefse, dafs der Druck an der Grundfläche bei gefülltem Teiche sich gleichförmig vertheilte und dabei den Werth ß0 für die Flächeneinheit annähme.

56)    .    . ho

Vo

Das würde der Fall sein, wenn man in der Grundgleichung 47)

45)    .    .

⁺ 3Zl~2 +

$ = H^-h + <f,h) 9

S(Z—Zy)/z    » — Zy    \

(7+1    (.2    (7+1 P /

Zur Bestimmung der Randspannung ß am thalseitigen Mauer-fufse gilt wieder die Grundgleichung

. . /»-£+*?.

*    z²

46)    .

47)    .    .

Hier bezeichnet N, wie früher, den lothrechten Gesamtdruck auf die Grundfläche z, ^3 dagegen das resultirende Moment aus dem gesamten Wasserdruck und Mauergewicht in Bezug auf die Mitte von z. Es ist demnach:

f2V=₀(F+£ + tf),

' ‘ 1^3 = 23 + ©—£.

Hierdurch ist die Aufgabe gelöst und kann alles weitere ausgerechnet werden, wie folgt:

48)    .    .

49)    .    . N

<7+1

— = ßo und ^3 = 0

setzen und aus diesen zwei Bedingungen nebst 42) und 43) einen und denselben Werth von z₀ erhalten könnte.

Dies wird aber, wie schon die Betrachtung des unteren Theiles der Abb. 15 lehrt, im allgemeinen nicht möglich sein, d. h. nicht für jeden beliebigen Werth von ß₀ zutreffen.

QADCMR in der Abb. 15 stellt im Mafsstabe 1:1200 den Querschnitt dar, welcher nach der vorgeführten Berechnungsweise für die Furens- Staumauer sich ergeben hätte, d. h. bei Zugrundelegung von k—5,7; g = 2; ß₀ = GO. Die gröfste Abweichung von obigem Grenz-werthe für ß, etwa 3 v. H., wird erreicht in der Tiefe von 35 m unter der Krone, indem die Randspannung an der äufseren Stirne bei vollem Teiche hier 6,2, statt 6,0 kg/qcm wird. Dies rührt offenbar von der Vernachlässigung des Zwickels CF WO her, welche eben so gut hätte unterbleiben können. An der inneren Stirn vermindert sich die Randspannung mit der gegen den Boden flacher werdenden Böschung. Sie wird am Rande II des Fufses 4,8 kg/qcm bei vollem und 3,5 kg/qcm bei leerem Teiche.

München, am 14. März 1893.

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F. Kreuter.

Hallo a. S., Buchdruckerei des Waisenhauses.

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