THEORIE

DER

VERBUNDBAUTEN IN EISENBETON

VERBUNDBAUTEN IN EISENBETON

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VERBUNDBAUTEN IN EISENBETON

UND

IHRE ANWENDUNG.

VON

G. BARKHAUSEN

Professor, Geheimem Regierungsrate in Hannover,

Mit 17 Abbildungen im Texte.

WIESBADEN.

19#

C. W. KREIDEL’s VERLAG. 1907.

Biblioteka Politecliniki Kiakowskiej

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THEORIE

DER

VERBUNDBAUTEN IN EISENBETON

UND

IHRE ANWENDUNG.

VON

Gr. BARKHAUSEN,

Professor, Geheimem Begierungsrafce in Hannover.

der

öffentlichen Arbeiten

Mit 17 Abbildungen im Texte.

WIESBADEN.

C. W. KREIDEL’s VERLAG. 1907.

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IH3N06-I

Alle Rechte Vorbehalten.

Sonderabdruck aus dem Organ für die Fortschritte des Eisenbahnwesens in technischer Beziehung,

Jahrgang 1906.

Druck von Oarl Bitter in Wiesbaden.

Akc. Nr.

Inhaltsübersicht.

Soite

Seite

4. Feststellung des Gegenstandes...........

II. Bezeichnungen.................

III.    Die Grundgleichungen für Beanspruchung durch Biegungsmomente und Längskräfte.............

IV.    Die Lösung der Grundgleichungen..........

A. Eine Druckeinlage bekannten Querschnittes <p‘ ist vorhanden ................. .

a)    Lösung für Entwurfsarbeiten, unbekannt x, h, <p a) Der Körper wird ohne Druckeinlage nur gebogen,

tp' — D = 0 . . . ............

ß) Der Körper wird ohne Druckeinlage gebogen und

gedrückt, cp‘ = 0.............

y) Der Körper wird mit Druckeinlage nur gebogen, D = 0    ................

b)    Lösung für Entwurfs-Nachprüfungen, unbekannt x, öe, Öb ..............

a) Der Körper wird ohne Druckeinlage nur gebogen,

<p‘ = D = 0...............

ß) Der Körper wird ohne Druckeinlage gebogen und

gedrückt, <p‘ = 0.............

y) Der Körper wird mit Druckeinlage nur gebogen, ' D = 0    ................

c)    Lösung [für Ermittelung der Tragfähigkeit vorhandener Verbundkörper, unbekannt x, D, M a) Der Körper wird ohne Druckeinlage nur gebogen,

^ = D = 0...............

ß) Der Körper wird ohne Druckeinlage gebogen und

gedrückt, cp‘ = 0.............

y) Der Körper wird mit Druckeinlage nur gebogen, D = 0.................

B. Zug- und Druck-Seite haben gleiche Einlagen <p .    .

a)    Lösung für En twurfsarbeiten, unbekannt x, h, cp 7

a) Der Körper wird nur gebogen, D = 0.....

ß) Der Körper wird nur gedrückt, M = 0.....

b)    Lösung für Entwurfs-Nachprüfungen, unbekannt x, öe, Ob..............

a) Der Körper wird nur gebogen, D — 0.....

ß) Der Körper wird nur gedrückt, M — 0.....

c)    Lösung für Ermittelung der Tragfähigkeit vorhandener Verbundkörper, unbekannt x, D, M 8 a) Der Körper wird nur gebogen, D = 0 . . ß) Der Körper wird nur gedrückt, M = 0 . .

V.    Die Aufnahme der Querkräfte........

A.    Nur wagerechte Einlagen sind vorhanden . . .

VIII.    Anwendungsbeispiele mit Zahlenrechnung ....

A.    Volle Verbunddecke ..........

B.    Rechteckiger Plattendurchlals.......

C.    Rippenplattenbrücke auf fünf Stützen ....

1.    Die Fahrhahndeckplatte .......

2.    Die Rippen............

D.    Rippendecke für 800 kg/qm Last......

E.    Gewölbequerschnitt...........

F.    Die Eisenbahn-Verbundschwelle......

IX. Formeln zur Ermittelung von Durchbiegungen . .

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00 CO GO

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10

18

13

13

15

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19

20

22

23

. . 25

Theorie der Yerbundbauten in Eisenbeton und ihre Anwendung.

Von G. Barkhausen, Professor, Geheimem Regierangsrate in Hannover.

I. Feststellung des Gegenstandes.

sprechend hohem Grad von Zuverlässigkeit der Ergebnisse bieten könnten.

Wie auf den meisten jGebieten des Bauwesens spielt die Verbundbauweise in Eisenbeton auch im Eisenbahnwesen eine I beträchtliche Rolle, und ihre Verwendung für Hochbauten, \ übersichtlich geordnete Reihe von Formeln mitgeteilt,¹) die

aber die Beanspruchung von Verbundkörpern gleichzeitig durch

Mit diesen Einschränkungen hat der Verfasser bereits eine

Brücken, Querschwellen und andere Teile wächst schnell. Daher habe ich auch im »Technischen Fachblatte des Vereines Deutscher Biegungsmomente und Längskräfte, also die Berechnung von Eisenbahn-Verwaltungen«, dem »Organ für die Fortschritte des Gewölbequerschnitten nur teilweise, und das Vorhandensein von Eisenbahnwesens« eine umfassende Behandlung der theoretischen zwei Eiseneinlagen, in der Druckzone und in der Zugzone des

Beton, wie es bei Bogen und Stützen unvermeidlich ist, gar

Grundlagen dieser Bauweise und ihrer Anwendung mitgeteilt, die namentlich die möglichst einfache aber vollständige Lösung nicht berücksichtigt.

der gewöhnlichen Aufgaben ins Auge fafst. Diese wird hier nun auch in der Sonderausgabe etwas erweitert veröffentlicht, j In zwei Beziehungen soll zunächst eine Beschränkung der Allgemeinheit vorgenommen werden.

Zunächst wird die Zugwirkung des Beton bei der Ermittelung der Widerstandsfähigkeit der Verbundkörper ganz

geteilt,¹) so dafs diese innerhalb enger Genauigkeitsgrenzen keine Schwierigkeit bietet, doch hat die übliche Art der Herstellung von Verbundbauten noch nicht den Grad von Sicherheit und Vollkommenheit erreicht, der vorausgesetzt j werden mufs, wenn man sich auf den Widerstand des Beton

Zweitens soll auch für den Beton eine unveränderliche Elastizitätszahl eingeführt w-erden, da diese die Betrachtung j wesentlich vereinfachende Annahme innerhalb der tatsächlich zuzulassenden Spannungen keinen erheblichen Fehler zur Folge hat. Auch in dieser Beziehung liegen aus neuerer Zeit schärfere Behandlungswreisen vor, ²) sie führen aber immer noch zu Verfahren, die den für die Bauausführung erwünschten Grad von Einfachheit nicht haben, und die Feststellungen dieses Gebietes durch Beobachtung sind noch nicht so sicher, dafs die verwickelteren Verfahren auch einen ent-

auch hier betont werden, dafs sich diese nur zur Nachprüfung ausgeschaltet. Zwar hat der Verfasser auch für deren Be- fertiger Entwürfe oder Ausführungen, nicht zur Aufstellung rücksichtigung bereits vergleichsweise einfache Formeln mit

gegen Zug verlassen will. Alle Vorschriften über Berechnung von Verbundbauten fordern deshalb auch vorläufig noch die Vernachlässigung dieses Teiles des Widerstandes der Betonkörper.

Diese UnVollständigkeiten sollen hier vermieden werden, aufserdem wird gröfsere Einfachheit der Ergebnisse angestrebt, als in den angeführten und den meisten sonstigen Veröffentlichungen dieses Gebietes erzielt ist.

Gegenüber den staatlichen Vorschriften in Preufsen²) mufs statischer Berechnungen für geplante Bauwerke eignen, da sie das Bekanntsein der Abmessungen der Bauwerke voraussetzen.

Ferner lassen die staatlichen Vorschriften zu hohe Scherspannungen zu, und machen über die Aufnahme der Querkräfte sowie über Ersatzhaftspannkräfte teils unvollständige, teils unzutreffende Angaben. Diese Mängel sollen hier vermieden werden. Die Behandlung der Rippenplatten wird den staatlichen Vorschriften gegenüber wirtschaftlich günstiger gestaltet.

Im Folgenden sollen zunächst die theoretischen Grundlagen in übersichtlicher Reihenfolge entwickelt werden, daran knüpfen sich dann Ausführungen von Zahlenrechnungen, bei denen die Aufgaben des Eisenbahnbaues besonders berücksichtigt werden sollen, und weiter Formeln zur Ermittelung von Durchbiegungen, die bislang fast ganz fehlen.

II. Bezeichnungen.

Als Bezeichnungen werden die heute überwiegend eingebürgerten beibehalten. Es bezeichnet:

M das Biegungsmoment der äufseren Kräfte für den zu untersuchenden Querschnitt und die Tiefeneinheit, positiv, wenn es den links vom untersuchten Querschnitte liegenden Körperteil mit dem Zeiger der Uhr zu drehen sucht;

*) Deutsche Bauzeitung 1905, S. 4, 26, 30, 144. **) Zentralblatt der Bauvenvaltung 1904, S. 253.

i) die Längskraft für den zu untersuchenden Querschnitt Und die Tiefeneinheit, positiv, wenn sie den links vom untersuchten Querschnitte liegenden Körperteil nach diesem Querschnitte hin zu bewegen sucht;

Q die Querkraft für den zu untersuchenden Querschnitt und die Tiefeneinheit, positiv, wenn sie den links vom untersuchten Querschnitte liegenden Körperteil nach oben zu bewegen sucht;

3) die ganze Längskraft einer Stütze ohne Biegung; d den Hebel der Zugeinlage bezüglich der Mittelkraft aller Druckwirkungen.

III. Die Grundgleichungeil für Biegungsmomente und Längskräfte.

Für das in Abb. 1 dargestellte Stück eines Verbundkörpers können bezüglich der Momente und Längskräfte folgende und sb den auftretenden und den zulässigen Kantendruck Gleichungen aufgestellt werden, in denen berücksichtigt ist, im Beton;

öe und se die auftretende und die zulässige Spannung im Eisen, positiv als Zugspannung;

Eb die unveränderlich angenommene Elastizitätszahl des Beton;

Ee die Elastizitätszahl des Eisens; n das Verhältnis Ee: Eb; r das Verhältnis (7b : öe und sb : se; m das Verhältnis <7e Eb : öh Ee und se Eb : sb Ee; h die Höhe des Verbundkörpers; a den nach Gründen der Herstellung anzunehmenden, daher stets bekannten Abstand des Schwerpunktes der Eiseneinlage von der Aufsenfläche des Verbundkörpers ;

Abb. 1.

6b (Sb)

ra

J,.

■M-

TT

((n-DZsb^r)

W(n-U ZH

⁷ tx/3-a x6b focsb)

2 ( 2 J

b die Teilung der Zugeiseneinlagen; f den ganzen Querschnitt einer Zugeiseneinlage: (p die Querschnittsgröfse der Eiseneinlage der Zugseite des Querschnittes für die Tiefeneinheit, cp = f : b ; (p‘ die Querschnittsgröfse der Eiseneinlage der

SCN)

Tiefe = 1

K—

izse)

Druckseite des Querschnittes für die Tiefeneinheit;

(p“ die Querschnittsgröfse unter 45 ⁰ hinaufgezogener Eiseneinlagen;

cpx die geradlinig durchgeführte Zugeinlage am Auflager, j einschliefslich des Querschnittes der Druckeinlage cp voll gerechnet wird, dann die Spannung der Druckeinlage selbst noch

TO

dafs, wenn die Querschnittsfläche des Beton in der Druckzone

<px — t — sp" ;

i die Dickenabmessung eines Einlageeisens des Querschnittes f;

u die Umfangsfläche der Längeneinheit einer Eiseneinlage des Querschnittes f;

ux die Umfangsfläche der Längeneinheit einer Eiseneinlage

X _

mit der Gröfse (n — 1) cp‘

ca

anzusetzen ist, weil das

Eisen dieselbe Längenänderung annehmen mufs, wie der Beton in der unmittelbaren Umgebung. Ferner ist eine genügend geringe Höhenabmessung des Querschnittes der einzelnen Einlagen

I vorausgesetzt, um die Ungleichförmigkeit der Spannungsverteilung

a die für Berechnung von f aus i malsgebende Verhältnis- innerhalb diesei Höhe veinachlässigen zu düifen. Schliefslich

wird vorausgesetzt, dafs Zug- und Druck-Einlage beide gleich

für die Tiefeneinheit, ut == u : b;

zahl, a — f: i²;

ß die für Berechnung des Umfanges u aus i mafsgebende Verhältniszahl, ß — u : i ;

x die Höhe des gedrückten Teiles des Querschnittes, also die Höhe der Druckzone;

x₁ die Scherspannung im Beton;

r₂ die Haftspannung des Eisens im Beton;

g die Eigenlast eines Verbundkörpers für die Flächeneinheit;

weit, um a, von der Aufsenkante entfernt sind, was in den zwei Einlagen erfordernden Fällen auch stets zutreffen wird. Für die Ausführung ist zu betonen, dafs das angenommene Mafs a auf der Zugseite streng eingehalten werden mufs; kleine Abweichungen auf der Druckseite haben keinen erheblichen Einflufs auf die Spannungen.

Die vorläufig noch allgemein beibehaltene Annahme, dafs

die Oberkante, der Nullpunkt der Druckspannung und das p die Belastung des \ erbundkörpers für die Flächeneinheit; j Ende der Zugeinlage nach eingetretener Formänderung in einer q die ganze Last des Verbundkörpers für die Flächen-

b₀ die Rippenbreite eines Verbuud-Rippenkörpers; ip das Verhältnis b₀ : b;

1 die Stützweite eines Verbundkörpers; c die Breite eines Stützenquerschnittes;

Geraden bleiben, liefert die Bedingung:

Gl. 1) <Jb: (Eb . x) = <7e: (Ee. (h — a — x)), oder x (1 -j- m)

— h — a.

Die Gleichgewichtsbedingung der Längskräfte lautet: Gl. 2) D +va.-^ — (a

,x — a 1) <*b <P “

Gl. 3a) M + D(h/₂— a)—

SS

(h — 2 a) — 0;

für das Ende der Druckeinlage als Drehpunkt: Gl. 3 c)

a) = 0.

Die Gleichgewichtsbedingung der Drehmomente lautet: für das Ende der Zugeinlage als Drehpunkt:

— (li — a — x/₃) — (n — 1) , x —

w—r

für den Mittelpunkt des Betondruckes als Drehpunkt:

Gl. 3 b) M — D (h/₂ — x/₃) — cp ö₆ (h — a — x/₃) — (n—1)

<P' X x a (x/₃ — a) = 0.

M — D (h/₂ — a) — (h — 2a)

+~ w»

Mittels dieser drei Gleichungen können alle vorkommenden Fälle behandelt werden. Es kann Vorkommen, dafs aus gegebenen Lasten und zulässigen Spannungen die Mafse des auszuführenden Verbundkörpers berechnet werden sollen, dann sind unbekannt:

a)    die Gröfsen x, h und op.

%

Bei Nachprüfung von Entwürfen kommt es darauf an, die Spannungen zu berechnen, die der entworfene Verbundkörper unter gegebenen Belastungen erleidet, dann sind unbekannt:

b)    die Gröfsen x, tfe, <Tb.

Wenn bestimmt werden soll, welche Lasten ein vorhandener, ausgemessener Verbundkörper bei Einhaltung der zulässigen Spannungen tragen kann, sind unbekannt:

c) die Gröfsen x, M, D.

Die Lösungen der drei Grundgleichungen für diese drei Fälle sollen hergestellt werden. Dabei ist aber noch zu unterscheiden ob:

A)    eine nach äufseren Verhältnissen angenommene Druckeinlage (p‘ vorhanden, also gegeben ist, oder ob:

B)    bestimmt ist, dafs die Druckeinlage <p‘ der Zugeinlage (p gleich sein soll, wie es bei Verbundbogen die Regel bildet.

Aufserdem müssen zum Zwecke der Darbietung möglichst einfacher Formeln unter A in jedem der Fälle a, b und c die Sonderfälle

a) (p‘ — D = 0, Körper ohne Druckeinlage und ohne Längsdruck; lediglich in einem Sinne gebogener Plattenquerschnitt;

ß) (p‘ = 0, D o Körper ohne Druckeinlage mit Längsdruck; in einem Sinne gebogener Plattenquerschnitt mit Längsdruck;

y) (p‘ >0, D — 0, Körper ohne Längsdruck mit Druckeinlage; nur in einem Sinne gebogener Plattenquerschnitt mit Eisenverstärkung in der Druckzone berücksichtigt werden.

Unter B sind in jedem der Fälle a, b und c die Sonder fälle:

a) D = 0, der Verbundkörper mit zwei gleichen Einlagen wird nur gebogen, und

ß) M = 0, der Verbundkörper mit zwei gleichen Einlagen wird nur längs gedrückt, zu berücksichtigen.

IV Nie Losung der Grundgleichungen.

A. Die Druckeinlage <p ist gegeben.

a) Für Entwürfe. tfb ist = s^,, tfe == se. Gesucht werden x, h und (p. Nach Gl. 1) folgt unter Einsetzung der Verhältniszahl m h — a = x (1 —m), also h—2a — x (1 -f- m) — a. Wird weiter in Gl. 3a) statt li — a—x/₃ die Gröfse li — 2 a -j- a — x/₃ eingesetzt, so liefert sie:

S4 (3a — x) — M

(n — 1) sb (p•

D/.-V

Werden die beiden Ausdrücke für h — 2a gleich gesetzt, so entsteht eine Gleichung, die von den Unbekannten nur x enthält, und die nach Potenzen von x geordnet die hierunter aufgeführte Form gibt, dann nach Lösung für x die Berechnung von h nach Gl. 1) und von (p nach Gl. 2) gestattet:

— x³

2 4- 3 m

A. a)

+ x²(l + m) J-~ —(n— 1) cp' J -j- xj

h = a + x (1 + m) ; (p = r 4- (n — 1)    ?')

2 sb

-|— (2 4~ m) (n — 1) a <p‘ = (n — 1) (p‘ a²;

se

zunächst — x³

Für den Sonder fall a), <p‘ — D = 0, folgt durch Einsetzen dieser Werte in die vorstehenden allgemeinen Gleichungen 2 + 3m

= 0, also

A. a. a)

Der Sonderfall ß) liefert aus (p‘— 0, D 0 zunächst:

— x³

2 4~ 3m.    2 /i t -v ^

—+ x (i + m>rSl

2 M — Da

2 sb

= 0 also:

A. a. ß)

X

h = a + x (1 -f m); (p = r -

3 1 -f- m 1 | -p. |    /-p.o 1

X"22 + 3m^l ⁺ V ⁺

4 (2    3 m) sb (2 M — Da) j

3 (1 + rn)

Schliefslich entsteht im Sonder falle y) aus 99'    0, D = 0:

— x³

2 4- 3 m

— x² (1 4" ra) (n — 1) 9?' 4~ x

A. a. y)

Sb

f (2 4- m) (n — 1) a (p‘ = (n — 1) a² (p‘;

h = a 4- x (1 4- m); cp = r j | + (n — 1)

cp'

b) Für Entwurfs-Nachprüfungen. Gesucht werden x, (7b und (7e.

M4-D/₂ (h —2a)

Aus Gl. 3 a) folgt (7b =

x/2 (h — a — x/g) 4- (n — 1) <p-—-

(h— 2 a)

aus Gl. 1): öe = öb n

h — a — x . _    .

--: wird (7e in Gl. 2)

x

eingesetzt und diese dann nach (7b gelöst, so folgt (7b

x/s + (fl-l)v' ~~a

. Werden nun die beiden

— n 99

Werte von cfh einander gleich gesetzt, so entsteht eine Gleichung, die von den Unbekannten nur x enthält. Ordnet man sie nach Potenzen von x, so kann man danach x und dann (7b und (7₀ nach den obigen Ausdrücken berechnen. Es folgt:

A. b)

-    + x M (n — 1) cp¹ +    + -~

x³ y + x²

_|—(h —2 a) | n (h — a) cp — (n — 1) a cp ² ‘

(h

, (7b

Ö₀ = ll(7b

2a) (1199 — (n— 1) 99') j = AI j(n—l)a9?' -f n(h—a)9?j

2 M -f D (h — 2 a)__

x (h — a — x/₃) -|- 2 (n — 1) w‘ —-— (h— 2a)

x

h — a — x

Für den Sonderfall a) 99' = 1) = 0 folgt hieraus

x²

-|~ x n M99 — Mn (h — a) 99. oder

A. b. a)

x — 1199

1 -|-

2 (h — a)

n 99

X (h — a

x/₃);

i <?e — **

Der Sonder fall ß) 99'= 0, D 0 liefert hier:

A. b. ß)

*³®+*²

-f- x 1199 M -f

D (h — 2a)

- J = n (h — a) 991 AI 4

D (h — 2 a) 1

(7b —

2M + D(h — 2a)

x (h — a — x/₈)

. (7e — n (7b

Im Sonder falle y), 99'> 0, D = 0 entsteht aus A. b):

x² y + x M | (n — 1) 99' -f- n 99 j = M j (11 — 1) a cp¹ -|- n (h — a) 99 | also:

A. b. y)

x = j (n — 1) 99' 4‘ n 99 j y 14-2

2 AI

(n — 1) a 99' -f- n (h — a) 99

( (n — 1) 99' 4- n

x (h — a — x/₃) 4- 2 (n — 1) 99'    &

; (7e = n (7b

~~ (h — 2a)

c) Für Ermittelung der Tragfähigkeit eines vorhandenen Yer b u n db a u w er kes; (7,, ist = se, (7b = sb, gesucht werden x, AI und D. Nach den Gl. 1), 2) und 3c) folgen ohne weiteres:

A. c)

— sb

x    ,.x-a

T + (A-D —

99'

se 99; AI = (h — 2a)

T+*s° + -¥

(a - x/₃).

kann deshalb nicht = se festgelegt, sondern mufs als dritte Unbekannte berechnet werden. Nach Gl. 1) ist ffe = n sb

Im Sonderfalle a), cp¹ — D — 0, stehen "den drei Gleichungen nur die beiden Unbekannten x und M gegenüber, ö,

h — a — x •

~JS

Wird das mit cp' = D = 0 in Gl. 2) eingesetzt, so folgt die Gleichung für x: x² + 2 x n cp — 2 n cp (h — a). Daraus und aus Gl. 3a) folgt:

A. c. a)

x = n cp

1+2

n cp

®b X ,,    I \

— (h ~ a — x/₃).

Für den Sonder fall ß), cp¹ = 0, D+> 0, liefert die allgemeine Lösung A. c:

A. c. ß)

li — a

; D = sb ~2--se Cp; M =

Sb x

tx) : co

+ se <p (h — 2a) |

werden.

Im Sonder falle y), (p¹ +> 0, D = 0, mufs wieder für die ausfallende Unbekannte D <7e als Unbekannte eingeführt

x

— mit D —0 in Gl. 2) eingesetzt, so folgt die Gleichung:

Aus ihr und Gl. 3c) folgt dann :

Wird wieder aus Gl. 1) 6e — n sb

/

x² + 2 x [n (p + (n

1) cp‘] = 2 [n (p (h — a) + (n — 1) cp¹ a].

A. c. y)

x = (n (p + (n — 1) cp') y 1+2

M = <7e (p (h — 2a) +

n cp (h — a) + (n — 1) <p‘ a [n cp + (n — 1) 9?']²

S^-(3a-x).

B. Auf beiden Seiten des Yerbundkörpers ist dieselbe Einlage vorhanden, Bogen.

In den allgemeinen Gleichungen 1) bis 3c) ist überall <pl = cp zu setzen, so dafs kein bekanntes (p‘ mehr vorhanden ist, die obigen Lösungen treffen daher nicht mehr zu.

a) Für Entwürfe. ö₀ ist — se, öh = sb, gesucht werden x, h und cp. Wird aus den Gl. 1) und 3c) h — 2a entwickelt,

M + -+ (x/„ — a)

so entsteht die Gleichung h

2a =

ß/2 + ^Se

== x (1 + m) — a.

Hieraus folgt cp—-

6 M + sb x (x — 3a)

6 se[ x (1 + m) — a]

2 se

Einen zweiten Ausdruck für cp erhält

man aus

Gl. 2)

sbx

,    x — a

(n — 1) sb-

/ x

---. Werden die beiden Werte von cp einander gleich gesetzt, so entsteht eine Gleichung, die von

— se

den Unbekannten nur noch x enthält. Ordnet man diese nach Potenzen von x und benutzt sie zur Ermittelung von x, so sind dann auch h und cp nach den vorstehenden Ausdrücken zu berechnen. So ergibt sich:

B. a)

x³ sb I 2 + 3 m + (n — 1) r j — x² | 3 (m + 1) D [1 +- (n — 1) r] + 4 (n — 1) r sb a j

1) r sb a² | = 3 (n — 1) r a | 2 M + D a j; h == a + x (1 + m);

3 D a [1 + (n — 1) (m + 2) r] — 3 (n

cp =

sb x — 2 D

x 6 M [1 ■— (n— 1) r]

2se 1

(n

Da dieser Fall auf der Annahme des Vorhandenseins zweier gleicher Einlagen beruht, so kann hier cp‘ = 0 nicht in Frage kommen. Die Sonderfälle beschränken sich also auf die beiden: a) D = 0, der Körper ist nur einer biegenden Wirkung ausgesetzt, wie die mit zwei Einlagen ausgestattete Eisenbahnschwelle, und ß) M = 0, der Körper ist nur einem Längsdrucke ausgesetzt, wie jede in ihrer Schwerachse belastete, von Momenten freie Stütze.

Der Sonder fall a), I) = 0, liefert:

Im Sonder falle ß), M = 0, ist überhaupt keine Zugeinlage da, und x wird oo , also sind die allgemeinen Grundgleichungen nicht zu verwenden. Ist der ganze Längsdruck der Stütze = 2), die Tiefe des Querschnittes == c, so bestehen bei voller Ausnutzung des Eisens nur die beiden Gleichungen:

Gl. 4) Gl. 5)

B. a. a)

x³ 1 +

2 -f 3 m

(n—l)r

— x² 4 a — x 6

(n— 1) r

— 3 a² = 6a — ; h = a -(- x (1 -f- m) ; )    sb

⁽P =

sbx

2 se 1 — (n — 1) r a

...........2) — sb h c — 2 cp (n — 1) sb = 0 und

...............nsb = sG.

Je nachdem nun die Mafse h und c, ober cp, die halbe Eiseneinlage, angenommen werden, mufs also sein :

B. a. ß)

cp

2) — sb h c

2 (se — sb)

oder h c =

® — 2 cp (se — sb)

sb

, bei quadratischer Stütze für c = h

9?=--

2) — sb li²

2 (se — sb)

oder h

“V

2) — 2 cp (se — sb)

Sb

•. Setzt

b) Für Entwurfs-Nachprüfungen. Gesucht werden x, <Tb und 6e. Nach Gl. 1) ist öe = n öb man diesen Wert in Gl. 2) ein, so kann diese auf die Form gebracht werden:

r n (h — a — x) cp — - ~

w?obei zugleich cp‘— cp berücksichtigt ist. Mittels derselben Einsetzung kann man Gl. 3c) auf die Form bringen:

(3a — x) = M--(h — 2a).

Teilt man diese beiden Gleichungen durch einander, so fällt —— weg, und es bleibt eine Gleichung über, die von den Unbekannten

nur x enthält. Ordnet man sie zur Berechnung von x nach Potenzen dieser Gröfse, und fügt die Ausdrücke für <Jb und öe hinzu, so folgt:

x²

(n

1) (x — a) cp

- D,

~ [n 99 (h a x) (h 2a) -f *

x³ + x²|

h -f x 6 cp (2n — 1) D -j

h — 2a

= 69? n

(h — 2a)²

B. b)

0b = x

2 M — D (h —2a)

+ ~D“. " h — a — x

Ld

x²

, Öq — n (Jb

2 n cp (h — a — x) (h — 2 a) ~]--—- (3a — x)

3

Für den Sonder fall a) D = 0 folgt hieraus, wenn die Gleichung für x erst mit D ausmultipliziert wird:

B. b. a)

x = cp (2 n — 1)

nh — a (p (2n -- l)²

i ; öb =

2 ncp (h — a — x) (h — 2a) -f-

(3 a — x)

Oe = n öh

li — a — x

Im Sonderfalle ß), M — 0, ist nach Gl. 4) und 5) für eine Stütze mit Längsdruck:

B. b. ß)

^b -

h c -J- 2 (n — 1)9?

c) Für Erm i 11e 1 ung der Tragfähigkeit eines vorhandenen Verbundbauwerkes. öe ist = se, <7b = sb; gesucht werden x, M und D. Nach den Gl. 1), 2) und 3c) folgt unmittelbar:

B. c)

SfcX

1 -f- m '

(n — 1) sb

— se

; M = cp se (h —2 a) -f (3 a

LO ö

(h — 2 a).

Für den Sonder fall a), D = (), verschwindet die eine der drei Unbekannten. Da aber die drei Gleichungen bestehen bleiben, mufs eine andere Gröfse als unbekannt eingeführt werden, wofür zweckmäfsig 6e gewählt wird. Nach Gl. 1)

ist: öe = n sb

; wird das mit D = 0 in Gl. 2) eingesetzt, so entsteht eine Gleichung nur mit der Unbekannten x,

nach deren Lösung dann tfe und M zu berechnen sind. So folgt:

B. c. a)

x=(2n

(2 n

<P

, <Te — n sb

; M = cp ö₀ (h — 2 a)

sb x .    .

— (3 a —x).

Im Sonderfalle ß), M = 0, sind wieder die Gl. 4) und 5) zu verwenden, welche liefern:

B. c. ß)

2) = sb h c -f- 2 (p (n — 1) ; (Je = nsb.

Bezüglich der Aufnahme der Querkräfte ist bei den Verbundkörpern ganz besondere Vorsicht geboten, weil dabei Zug-    und die aus diesen hervorgehenden Schrägspannungen aufzu-

und Scherspannungen in Frage kommen, für die der Beton nur    nehmen. Die in den preufsischen Bestimmungen zugelassene

vergleichsweise geringe, und bei den bisher üblichen Herstellungs- j Scherspannung von 4,5 kg/qcm ist gegenüber der heutigen

Herstellungsweise des Beton sehr hoch gegriffen.

wohl in den Zugzonen der Verbundkörper feine Risse, die in den Biegungs-Zugspannungen ihre Ursache haben; diese sind oder weniger genau lotrecht gestellten, mit den Zug- oder Druck-

jedoch unbedenklich, da ja die Eiseneinlagen ohne Berück- ; Einlagen nicht fest verbundenen Bügel aus Drähten, oder gar sichtigung irgend welcher Zugspannung im Beton bemessen sind. ; dünnen Bandeisen sehr wenig geeignet sind, die Scherspannungen Sie können nur Bedenken erregen, wenn durch sie der Zugang aufzunehmen. Einen Widerstand leisten sie nur gegen wagerechte von rosterzeugenden Dämpfen oder Gasen zum Eisen erleichtert I Scherspannungen, gegen die lotrechten sind sie nutzlos; aber wird, oder wenn die Flächen etwa kostbare Stückarbeiten oder j auch ihr Widerstand gegen die wagerechten wird ein befriedigender

nur, wenn man zu ganz anderen Ausbildungen übergeht, als sie jetzt üblich sind. Wie überaus hohe Spannungen die angenommene Wirksamkeit der lotrechten Bügel voraussetzt, und wie verwickelt und ungünstig ihre statischen Verhältnisse sind, hat der Verfasser an anderer Stelle nachgewiesen.*)

Stützen oben liegen müssen. Die Schrägeinlagen können fehlen, wo der Beton für sich allein im Stande ist, die Scherspannungen

V. Die Aufnahme der Querkräfte.

weisen unsichere Widerstandsfähigkeit hat. Man beobachtet

Malereien tragen sollen.

Statisch bedenkliche Verletzungen der Verbundkörper sind bisher fast ausschliefslich, aber sehr häufig, dadurch ent' standen, dafs nicht genügend für die sichere Aufnahme der aus den Querkräften erwachsenden lotrechten und wagerechten Scherspannungen, und der unter 45⁰ gerichteten Zugspannungen gesorgt wurde, woraus in der Nähe der Lager unter 45° geneigte, nach der Mitte hin steigende Risse entstehen. Besonders gut sind diese Zerstörungen bei Rippenkörpern in den Rippenflanken zu erkennen, bei vollen Platten werden sie oft verdeckt, w⁷enn sie nicht bis zur Unterfläche durchgehen, andern Falles erscheinen sie als entlang der Auflagerung laufende Risse in der Unterfläche.

Der Entstehung dieser Schrägrisse wird am sichersten durch Verwendung von unter 45 ⁰ geneigten Eiseneinlagen begegnet, die am besten vom Auflager nach der Mitte hin fallen, aber auch die entgegengesetzte Neigung haben können, weil für die ganz in Beton eingebetteten Eisen keine Gefahr des Ausknickens vorliegt.

Diese schrägen Einlagen werden am einfachsten durch Aufbiegen der unteren Einlagen nach der Oberkante gewonnen, das bei frei aufgelagerten Tragkörpern möglich ist, weil nach den Enden das Biegungsmoment, also der erforderliche Querschnitt der Zugeinlage abnimmt, das aber bei über den Stützen durchlaufenden Verbundkörpern sogar nötig ist, weil bei diesen die in den Öffnungen unten erforderlichen Einlagen über den i

Besonders ist zu betonen, dafs die häufig verwendeten, mehr

Bezüglich der statischen Verfolgung der Aufnahme der Querkräfte ist zu unterscheiden, ob es sich um eine Stelle handelt, an der nur wagerechte Zug- und Druck-Einlagen vorhanden zind, oder ob es möglich ist, die Querkraft durch unter 45 ⁰ geneigte Eisen aufzunehmen.

V. A. Nur wagerechte Einlagen sind vorhanden.

Für diesen Fall führt die Untersuchung der Kraft zum Ziele, die die Zugeiseneinlagen für die Längeneinheit aus dem Beton zu ziehen sucht. Bei der Länge nach veränderlicher Längskraft D hängt diese von der Veränderung von D und M ab. Wenn aber D auch veränderlich ist, so pflegt diese Veränderlichkeit für die Längeneinheit in allen Fällen der Bauausführung doch eine so geringe zu sein, dafs sie vernachlässigt werden kann; ist sie unveränderlich, so hat sie auch theoretisch keinen Einflufs auf die die Einlage lösende Kraft, die demnach in allen Fällen als allein von der Veränderlichkeit des Biegungsmomentes abhängig angesehen werden kann.

*) Zeitschrift für Architektur und Ingenieurwesen 1902, S. 243.

Denkt man sieh in Abb. 1 die Mittelkraft aus den be- !

kannten Kräften

und (n — 1) (p‘ gi —-—, und deren

/L    X

Querschnittes f nun f/<p" . 1,414 . q .

Q — 2,5 d

. Die Umfang-

fläche eines Schrägeisens für die Längeneinheit ist 1,414 u, Hebel d gegen die Zugeinlage ermittelt, so wird das Wider- I also ist die auftretende Ausscherspannung der Schrägeisen:

Standsmoment des Querschnittes gemessen durch Z d — öe <p d, !

also mufs Z d = M sein. Differenziert man diese Gleichung V. B. 2)

t₂“ =

nach der Körperlänge z, so erhält man als Veränderung für

dM

f q Q — 2,5 d (p“u Q

die Längeneinheit

d (Z d)

,    , d M

oder da--— = Q, und d z

d unveränderlich ist:

Qu' Q-

—• Nun mufs d

dZ

durch die

'I welche die zulässige Haftspannung nicht übersteigen darf. Demnach hat man zur Minderung der Gefahr des Ausscherens der Eisen aus dem Beton ein Mittel, indem man die Zahl der Eisen

unter entsprechender Verkleinerung des Querschnittes des ein-

Haftfestigkeit der Längeneinheit der Eiseneinlage im Beton zelnen Eisens vermehrt aufgenommen werden, daraus folgt die Haftspannung der Zug-

eiseneinlage im Beton mit:

Zieht man alle in der Mitte der Öffnung unten liegenden

V A. 1)

T2 =

fQ

<p d u

da je eine Einlage des Querschnittes f und der Umfangsfläche u in der Teilung b = fly wiederkehrt, und Q auf die Tiefeneinheit bezogen ist.

Eisen nach und nach in bezüglich der Zahl der Eisen wachsenden Gruppen nach oben, so dafs über den Lagern alle Eisen oben sind, so erzielt man in der Regel eine Aufnahme der Querkräfte, die | das tatsächliche Erfordernis übersteigt. In einem solchen Falle j ist es empfehlenswert, diejenigen Eisen, die nicht zur Aufnahme i der Querkräfte nach oben gezogen zu werden brauchen, unten

liegen zu lassen. Hat man zwei Reihen von Einlagen, so ist Dieselbe Kraft, die das Eisen aus dem Beton zu ziehen die Erzielung des erforderlichen Querschnittes cp“ um so leichter, sucht, mufs nun durch die Scherfestigkeit des Beton nach der

Druckseite übertragen werden, um hier den ihr gleichen Betrag der Druckspannungen aufzuheben. Demnach entsteht auf der ganzen Höhe h — a — x bis zur Unterkante der Druckzone in wagerechten, wie in lotrechten Ebenen die Scherspannung:

V. A. 2)

Tl =

CL!e©

die zugleich auch als gröfste Schrägspannung auftritt. Es ist

indem man gleichzeitig die oberen Eisen nach unten und die unteren nach oben zieht; dabei werden die ersteren, nach der Mitte zu steigenden auf Druck beansprucht, was wegen der Einhüllung in den Beton unbedenklich ist.

Die Gröfse des Momentenhebels d ist zur Benutzung dieser Formeln aus den angegebenen, bekannten Kräften* zu ermitteln (Abb. 1). Ist keine Druckeinlage (p‘ vorhanden, so ist d = h — a — x/₃.

zu empfehlen, diese Spannung nicht über 2,5 kg/qcm steigen ; zu lassen, und da, wo dieser Wert überschritten wird, mit der j

VI. llippenkörper.

Rippen-Tragkörper unterscheiden sich theoretisch von den zweiten Art der Aufnahme der Querkraft durch Schrägeisen früher behandelten vollen Platten nicht, denn sie entstehen aus zu beginnen.

V. B. Aufnahme der Querkraft durch Schrägeisen.

Wird die nach den vorstehenden Angaben berechnete Scherspannung rl > 2,5 kg/qcm, so fange man an, die unten liegenden Einlagen unter 45 ⁰ nach oben zu ziehen. Der Querschnitt (p" dieser Schrägeisen wird berechnet, indem man zuerst dem Beton wieder 2,5 kg/qcm Scherspannung auferlegt, also für die Querkraft Q nach :

V. B. 1)

(p" —

1,414 (Q — 2,5 d)

j jenen dadurch, dafs man die keine Zugeinlagen enthaltenden, gezogenen Teile des Betonkörpers, die oben nicht in Rechnung gestellt sind, nun tatsächlich wegläfst. Der ganze Erfolg ist entsprechende Verminderung des Eigengewichtes, übrigens bleiben die statischen Verhältnisse unverändert, somit kann man die früher entwickelten Fälle ohne weiteres auf die Rippen-Verbundkürper an wenden. Ergänzend kommt nur hinzu, dafs der gewöhnlich aus mehreren Einzeleisen bestehende Einlagenquerschnitt f einer Rippe den Einheitsbedarf (p auf die Breite einer Rippenteilung zu decken hat, somit folgt die Rippenteilung b aus b cp — f mit:

se

VI. 1)

Da Q in der Nähe der Stützen am gröfsten wird, so wird i auch cp" hier am gröfsten, das heifst, die schräg hinaufgezogenen Eisen müssen in der Nähe der Stützen am dichtesten liegen, in der Nähe der Mitte der Öffnungen können sie auf gewisse Strecken nach V A. ganz fehlen.

Auf die Längeneinheit mufs auf diese Schrägeisen die Änderung von Q, der Regel nach q, übertragen werden. Die auf oder wenn ri die zulässige Scherspannung ist, mufs sein: die Einlage zu übertragende Kraft ist also unter Berücksich-

Die. lotrechte und wagerechte Scherspannung im Beton wird bei der Rippenbreite b₀ gemäfs V. A. 2) nun

VI. 2)

db₀ ’

tigung der oben festgelegten Verteilung auf Beton und Eisen ! VI. 3)

Q —2,5 d

b₀ —

fQ

MH.q. Q

oder für eine Teilung der Einlagen des

(p d

Die Haftspannung wagerechter Einlagen folgt aus V. A. 1)

die Gröfse M¹ bekannt

Die Festlegung der schräg gezogenen Einlagen und die    jedenfalls die Form kq*bs, und da nun

der Haftspannungen bleibt die unter Y B 1) und 2) angegebene,    ist, die dieses Moment erreichen darf, so folgt die auszuführende

wenn man zu Y B 1) berücksichtigt, dafs der Querschnitt der Rippenteilung aus:

in den Rippen schräg gezogenen Eisen :

VI. 4)

Q--db₀ 2,5

VI. 7)

M¹ *)

k q¹

f" = 1,414

<P

se

; <p“ —

und die Zugeinlage einer Rippe aus

betragen mufs. Sollte die Querkraft gleich für eine ganze yj gj

f    ’

Rippenteilung ermittelt sein, so stellt dieser Wert Q —• dar.

(p

Die Haftspannung der heraufgezogenen Eisen ist:

f = b cp.

VI. 5)

^2"

f Q f/y? — db₀ 2,5

^ <p____Q üff

Bezüglich der Gröfsen k und q¹ mag angeführt werden, dafs sie für ungünstigste Aufstellung der gleichmäfsig verteilten Verkehrslast p, für die Eigenlast g und für die ganze Last q ¹ zu setzen sind:

u"

Die Deckplatte erhält so diejenige Dicke h¹ = x, die sie befähigt, voll als Druckgurt des T-förmigen Querschnittes einer Rippenteilung zu wirken. Nun hat die Deckplatte des Rippenkörpers aber noch eine zweite Aufgabe zu erfüllen, sie mufs als tragende Platte unter der wirkenden Last von Rippe zu Rippe quer zu den Rippen wirken. Bemifst man nun die Dicke der Deckplatte nach dem einen dieser beiden Gesichtspunkte, so entspricht sie im allgemeinen dem andern nicht, und da man die gröfsere der beiden geforderten Stärken auszuführen hat, so wird die Platte in einer der beiden Beziehungen nicht ausgenutzt.

Deshalb soll nun noch gezeigt werden, wie die Rippenplatten in solcher Weise ausgestattet werden können*), dafs die obere Platte als Tragplatte von Rippe zu Rippe und als Druckgurt des Rippenquerschnittes grade genügt und voll ausgenutzt wird. Für die Deckplatte sollen dabei wieder die oben angegebenen Bezeichnungen, jedoch unter Hinzufügung des Kopfzeichens 1 benutzt werden.

Zunächst ermittele man M und D für den ganzen Rippenkörper und dann je nach Lage des Falles gemäfs IV. A. a) oder B. a) mit ihren Sonderfällen die Höhe x der Druckzone, die nun zugleich die ganze Stärke der oberen Tragplatte, also h1 sein soll; ebenso berechne man dem Falle entsprechend die ganze Rippenhöhe h und den Querschnitt der Zugeinlage cp für die Tiefeneinheit.

Da nun für die obere Platte h¹ = x bekannt ist, so folgt für alle Fälle die Höhe x¹ der Druckzone der Deckplatte aus:

M = k q¹ b₂

q¹

VI. 6)

xl =

h¹ — a¹

und der Querschnitt cp¹ der Zugeinlage je nach Lage des Falles aus den Lösungen IV. A. a) oder B. a) mit den Sonderfällen.

Damit sind nun alle Querschnittsgröfsen der Deckplatte als Tragplatte bekannt, also kann nach IV. A. c) oder B. c) und den Sonderfällen davon berechnet werden, welches Moment M1 und welche Längskraft I)¹ die Deckplatte mit ihren Abmessungen tragen kann. Anderseits sind die Art der Lagerung der Platte und ihre Belastung bekannt, die wohl ausnahmslos einem der Sonderfälle D¹ = 0 entsprechen wird. Ist die Rippenteilung b, so hat bei der Belastung q¹ das gröfste Angriffsmoment

*) Deutsche Bauzeitung 1905, S. 4, 26, 80, 144.

q-f 2p 4q + P

1/40 1/50 — 1/10

Diese Werte sind nicht für alle Fälle ganz scharf, geben aber genügende Annäherung.

Damit sind die Abmessungen der Deckplatte in den Öffnungen und die Rippenteilung so festgelegt, dafs die Platte in beiden Richtungen voll ausgenutzt wird. Da die durchlaufenden Platten ihre gröfsten Momente aber in der Regel über den Stützen erleiden, so müssen hier meist Verstärkungen vorgenommen werden, die etwa in den Vierteln der Rippenteilung b beginnend, als Ausschrägungen der Platte gegen die Rippen erscheinen, und zugleich die Aufnahme der aus den Querkräften erwachsenden Scherspannungen verbessern.

Für diese Verstärkung der Platte in Rippenmitte sind die folgenden Gesichtspunkte mafsgebend. Über der Rippe ist das

q¹ b²

Moment M\, in der Regel = — —

nur in seltenen Fällen auftretende Druck D¹; die nach oben gezogene Zugeinlage cp¹ und die nach unten gezogene Druckeinlage cp'¹ sollen dieselben bleiben, wie in den Öffnungen, da die Änderung der Einlagen unbequem wäre, auch wird die zulässige Eisenspannung se beibehalten, folglich sind die Unbekannten, nach denen die allgemeinen Gleichungen zu lösen sind) die ganze Plattenhöhe h^ in Rippenmitte, die Höhe x^ der untern Druckzone und die Betondruckspannung cq,¹.

Der Fall B zweier gleicher Einlagen braucht nicht behandelt zu werden, da er bezüglich der Deckplatte eines Rippenkörpers wohl nie vorkommt.

Für den Fall A. des Vorhandenseins einer bekannten Druckeinlage cp'¹ liefern die allgemeinen Gleichungen nach Einführung der neuen Bezeichnungen:

VI. 9)

in einem Mittelfelde . . in einem Seitenfelde . . über einer Stütze . . . .

, bekannt, ebenso der

Öl. 2) (7,,¹    !

D¹ -f- <p¹ se

ö- + (n~ !) <P

/1 (xli — al) '

Wird Gl. 1)

a¹ gelöst und in diese Lösung der gefundene Wert

nach h\

von (7t,¹ eingesetzt, aufserdem noch a¹ abgezogen, so folgt:

*) Über die Gröfsen k und q¹ vergleiche Deutsche Bauzeitung 1905, S. 4, 26, 30, 144.

2 a¹ = xxx 4*

se

r x\²

l--f- (n — 1) (p‘l (x\ — a¹)

a¹.

n (D¹ 4 9?¹ se)

Werden ferner diese Werte von (7b¹ und 14 — 2 a¹ in Gl. 3 c) eingesetzt, so entsteht die von den Unbekannten nur xxx enthaltende Gleichung:

Se

~x¹²

f- 4 (n ~ 4 9>'¹ (x\ — a¹)

n(l)¹ 49?¹se)

a¹

x\ (3a¹ — x\)

D¹ 4 99¹ se

y 4 (n ]-) <P

(i x'i

a¹

= 0.

x\

Wird diese Gleichung nach Potenzen von xxx geordnet und dabei

D¹4- 99¹ se

D¹

= q gesetzt, so folgt der Gleichungsatz

zur Berechnung der drei Unbekannten:

— X1 4,    3

VI. A.

fl^¹

| -f- n (n — 1) g'¹1 q    -j- 2a¹

<Pn) j — n(n— 1) aWg'¹    4 a¹ D¹ -f- se (99¹ +    (pn)

(I)¹ + (p¹ se) 1 —

4 a¹ (£? — 1) ] + (n— l)rJp<1sc a¹

(n 1)

(7b¹ =

x¹

Qj co

+ (n— 1) <pnB₆ +xV

(D¹ + (pl se) [2 (n — 1) <p

(n — 1) (p

¹⁾¹ 4- ^Se

2I4(n—l)f/

₁ xxj -— a¹

; 14 — a¹ 4- x\ 1 4~

Se

n^b¹

D¹ 4 se (99¹

= 0;

x\

Im Sonderfalle a), g'¹ = D¹ = 0, ist q — 1, und der Lösungsatz lautet:

VI. A. a)

x\ =

3 n<H

14

9 M\

2 n 991² se

1 ; db¹ =

2 g¹ se #

hli = a4x\ 14

Se

¹¹ (7b¹ - '

Bei den vorkommenden Aufgaben ist dieser Fall ä) der weitaus häufigste.

Für den Sonderfall ß) q)ll = 0, Dx;>0, vereinigt sich der allgemeine Lösungssatz VI. A. zu:

VI. A. ß)

x1 X 1

n £>

6 se

(D¹ 4~ 499¹ s₀) j y/

36 se (2 M\ — D¹ a¹)

n Q (D¹ -f- 4 g¹ se)²

(7b¹ =

2 ^ 4- y1 se .

x¹

hli = a¹4xl) 14-

Se

Der Sonder fall y), 9?'¹ ;> 0, Dx = 0, liefert q — 1 und den Lösungsatz:

— x\ ⁴ — xXj ³ 4

J_nj4

I 3

f- (n — 1) g'¹1 4- x¹!² 4 n

M¹

2 se

(n — 1) <pn g¹4

a¹ — (n — 1) cp¹¹

VI. A. y)

4 x\ 8 n (n —

2 se

f-al SP¹ + ~~~ ⁽P

— 4 n (n — 1) a¹ g'¹

M¹

se

(7b¹ =

2 g¹ x\ se

X¹!² + 2 (n — 1) SP'¹ (x¹! ~ a¹)

; 14 — a¹4x\    1 4

Se

n (7b¹ . ’

Da für alle Lösungen VI. A. die Druckzone x\ unten, die Zugeinlage q¹ oben eingeführt ist, so ist das an sich negative Stützenmoment Mxx positiv in die Formeln einzusetzen.

Deckplatte, als auch der Rippen ganz den unter V und VI 2) bis 5) gegebenen Regeln; zu beachten ist nur, dafs sich f (n den Rippen in der Regel aus mehreren dünnen Eisen zusammen setzen wird, dafs also auch der Umfang u der Längeneinheit mehrerer Eisen entspricht. Da u mit der Zahl der f bildenden den Punkten verbunden, welche in den Vierteln der Rippen-    Einzeleisen wächst, so ist es für Erniedrigung der Haftspannung

teilung b in der Unterkante der mittlern Plattendicke x¹ liegen;    günstig, die Rippeneinlage aus vielen dünnen Einzeleisen zu bilden,

so ergibt sich die nötige Ausschrägung der Deckplatte gegen die Rippen.

Die Höhe 14 wird in der Rippenmitte von Plattenoberkante nach unten abgesetzt, und das untere Ende wird mit

In einer Fortsetzung dieses Aufsatzes soll die Anwendung der gegebenen Formeln auf bestimmte Einzelfäile durch Vor-Die Aufnahme der Querkräfre folgt sowohl bezüglich der führung einer Reihe von Zahlenbeispielen gezeigt werden.

VII, Ersatzhaftkräfte.

Umfangsfläche ux

ß⁽h

somit mufs bei sicherer Aufnahme

yja f

des Querkraftteiles xpxx (h — 2 a) durch den Beton für die geradlinig durchgeführte Zugeinlage die Gleichung bestehen:

Namentlich hei Trägern auf zwei Stützen wirken an den Enden vergleichsweise grofse Querkräfte, die mit den vorstehend erörterten Mitteln aufgenommen werden, ln vielen Berechnungen findet man nun, dafs diese Querkräfte in vollem Betrage benutzt werden, um die Ilaftspannungen an den im Balken- oder Platten-Ende verbliebenen unteren Zugeinlagen zu berechnen und danach Eiseneinlagen für sogenannte »Ersatz-haftkräfte« festzusetzen, sodafs dann in manchen Fällen an den Enden mehr Eisen liegt, als in der Mitte. Diese Berech- je nachdem man den Querschnitt <px aus der zulässigen Haft-nungsgrundlage ist nur dann richtig, wenn ausschliefslich wage- Spannung r₂, oder die auftretende Haftspannung r₂ aus dem rechte Einlagen vorhanden sind, deshalb die ganze Querkraft vorhandenen Querschnitte cpx berechnen will.

Werden keine besonderen Eiseneinlagen an den Enden zu-

VII. 1) xp xx =

ßcpx r₂

yjai

oder r₂

mit den Lösungen cpx = xprx \'af

xpxx yja f

ß<P\

wirklich von der Scherwirkung im Beton aufgenommen, aus diesem also mittels der Haftspannungen in entsprechender Weise gefügL so ist bei dieser Verteilung der Querkraft die Spannung auf die Einlagen übertragen werden mufs. Sind aber schräg in den schräg gezogenen Eisen: gezogene Eisen da, so wird nur ein Teil der Querkraft vom Beton aufgenommen, mehr braucht dann aber auch nicht durch Übertragung mittels der Haftspannung in die unten verbleiben-

VII. 2)

ö „ ₌ Q — (h —2 a)

SP — 9h

den Einlagen gedeckt zu werden. Der von den schräg gezogenen Einlagen aufgenommene Teil der Querkraft hat mit den Zugeinlagen nichts zu tun. Die Aufnahme des Biegungsmomentes erfolgt in diesem Trägerteile zum Teile durch die mittels der Haftspannung in die Zugeinlagen übertragene Kraft, zum Teile durch die wagerechte Seitenkraft der Spannkraft der Schrägeisen.

Hiernach ergibt sich am Ende der ersten Einheit der Trägerlänge, wo das Moment M = A . 1 = Q . 1 ist, bezüglich des Verhältnisses des vom Beton aufgenommenen Teiles der Querkraft zu der Haftspannung der geraden Eiseneinlagen das folgende.

Die Untersuchung der Aufnahme der Biegungsmomente am Trägerende zugleich durch die Spannkraft der geradlinig zu Ende geführten und die wagerechte Seitenkraft der Spannkraft der schräg gezogenen Eisen führt zu umständlichen Rechnungen, die praktisch wenig Bedeutung haben, weil die Aufnahme der Momente hier in der Regel reichlich gesichert ist. Diese Berechnungen sollen deshalb hier nicht weiter behandelt werden.

Ist in der Teilung b eine Rippenbreite b₀ vorhanden, so

steht für 1 cm Breite des Tragkörpers nur 1 -

er er*

- = 1 . xp zur

Aufnahme von Querkraft im Beton zur Verfügung. Die Höhe des Querschnittes, der Querkraft aufnimmt, ist etwas zu klein, also zu ungünstig berechnet = h — 2 a, also kann der Beton an Querkraft aufnehmen: xp . 1 . (h — 2 a) rx, und von den schräg gezogenen Eisen mufs dann Q — xp xx (h — 2 a) aufgenommen werden; für volle Platten ist xp — 1 und xpxx (h — 2a) meist schon )> Q, so dafs keine Schrägziehung nötig ist. Die Scherkraft' im Beton für die Körpertiefe 1 ist dann in lotrechter, wie in wagerechter Ebene xprv

Bestehen nun die Einlagen aus Eisen des Querschnittes f und bleibt von der ganzen Einlage für 1 cm Körpertiefe unten der Teil cpx liegen, so wiederholt sich ein volles Eisen in der Teilung bx = f : cpx; auf diese Teilung sind dann f = ai²qcm Querschnitt vorhanden, die Querabmessung eines Eisens ist i = Vf :    der auf Teilung vorhandene Eisenumfang u ist

ßi — ß yjf: a, somit der auf die Tiefe 1 vorhandene Eisen-

ß⁽ßi

VIII. Amvendungsbeispiele mit Zahlenrechniing.

Die nachfolgenden Zahlenbeispiele sind so gewählt, dafs sie für das Eisenbahnwesen bedeutungsvolle Aufgaben behandeln, eine möglichst vielseitige Verwendung der mitgeteilten Formeln ergeben und vielfache Hinweise auf für die Ausführung wichtige Umstände zulassen.

VIII. A. Volle Verbunddecke.

Eine flache Verbunddecke ist für p = 400kg/qm = O,04k{r/qcm Nutzlast auf zwei gleichlaufenden Tragwänden herzustellen, die 1 = 470 cm Stützweite ergeben. Zunächt soll angenommen werden, dafs es möglich sei, die Decke in beiden Wänden völlig fest einzuspannen. Bei 18 cm geschätzter mittlerer Dicke wird die später nachzuprüfende Eigenlast zu g = 0,01 . 0,01 . 0,18 . 2400 = 0,043 ker/qcm bei 2400 kg/cbm Gewicht des

Das Moment eines

Kiesbeton mit Eiseneinlage eingeführt.

1 cm tiefen Streifens ist mitten für die ganze Last q = 0,04-{-

kgcm

0,043 = 0,083 kg/qcm Mm = n (

'    Jj 4L

ql² 0,083.470²

ql²

24

= 765

cm

umfang ux = ß Vf: a : bx =

ßyji

und an der Auflagerung Ms = —

12

kgcm

0,083.470²

12

1530

yja f

a ist für den Kreis — jt: 4, für das Quadrat = 1;

= 4.

Auf die Längen- und Tiefen-Einheit mufs durch Haftspannung xpxx aufgenommen werden, zur Verfügung steht die

«    = JT,

y/af

cm

Als zulässige Spannungen werden zur Vermeidung grofser Durchbiegungen eingeführt : sb = 35 kg/qcm, se= 1000 kg/qcm, dementsprechend Ee = 2100000 kg/qcm, Eb = 170000 kg/qcm, 2100000

also n

170000

= 12,4, m = -

1000 . 170000 35 . 2100Ö00

= 2,3,

m —|— 1 = 3,3,    2 -j- 3 m — 8,9, r —

35

= 0.035.

1000

Da es sich um schwache Einlagen handelt, wird a = 2 cm gesetzt, um noch sichere Einhüllung zu erzielen.

Die Platte soll ohne Drackeinlagen gebildet werden, Druck hat sie nicht aufzunehmen, also entspricht sie mit D = cp' = 0 dem Falle IV A. a. a) und liefert für die Mitte:

1 . n = 3,14

qcm

6 . 765

8,9 . 35

= 3,84 cm; h = 2 -f 3,3 . 3,84 = 14,65cm

3,84

und 9o = 0,035 . —= 0,067

u

qcm

cm

1 cm dicke runde Ein-

0.785 . 1,76

nach V. A. 1) r₂ =

0,067.11,37 . 3,14 0,058 kg/qcm. Die Scher- und Haft-Spannungen fallen in der vollen Platte somit überall sehr gering aus.

Diese Berechnung setzt* völlig feste Einspannung der Platte an beiden Tragwänden voraus. Dies kann 'L aber mittels der Gebäudemauern wegen der Nachgiebigkeit gegen verbiegende Momente bei irgend erheblicher Höhe, und wegen der Unmöglichkeit, die Enden der Zugeisen in annähernd unnachgiebige Verbindung mit den Mauern zu bringen, fast nie auch nur annähernd erzielt werden. Die unvermeidliche Nachgiebigkeit hoher Mauern und ' selbst der sorgfältigsten' Befestigungen der Zugeisen in den Mauern entfernt das Plattenende soweit vom Zustande fester Einspannung, dafs von einer solchen kaum die Rede sein kann.

Ein sicherer Grad der Einspannung, 'nämlich der des durchlaufenden Trägers, ist zu erzielen, wenn man die Decke bei Anordnung mehrerer Räume neben einander durch die stützenden Mauern ununterbrochen durchlaufen lassen kann, aber auch dann ist eben nur der Grad der Einspannung eines durchlaufenden Trägers," nicht völlig feste Einspannung erzielt, die oben angenommen wurde.

Da hiernach die Annahme völliger Einspannung auf sehr schwachen Füfsen steht, namentlich, wenn es sich um blofs einen;Raum überspannende Decken^handelt, so soll nun an diesem Beispiele gezeigt [werden, um wieviel zu schwach die Decken unter der fälschlich gemachten Annahme”^ der festen Einspannung werden.

cm

1²jt

— = 0,785 qcm, die Teilung dieser Ein-4

0,785 : 0,067

In der Einspannung am Wandauflager .wird:

lagen haben f =

lagen mufs sein b

= 11,7 cm.

6.1530

8,9 . 35

5,42

cp = 0,035 -₂

5,42 cm; h = 2 -f 3,3 . 5,42 = 19,9Cm;

= 0,095

qcm

cm

, sodafs die Teilung der 1 cm

0,785 0,095

ist entweder unter zu starkem Eisenaufwande ganz beizubehalten, oder es sind an den Einspannrändern Eisen zwischen die der Teilung von 11,7 cm einzulegen, die etwa im Viertel der Spannweite umgebogen werden und aufhören.

dicken Einlagen hier b =

= 8 3 cm wird. Diese Teilung

Die durchschnittliche Dicke der Decke ist kleiner, als 14,65 -f 19,9

17,275 cm, also ist das Eigengewicht reichlich

koch eingeführt.

Die gröfste'Querkraft am Auflager ist Q =

19.5    kg/cm; da keine Druckeinlage vorhanden ist, folgt nach

V am Schlüsse d = h — a--— = 19,9 — 2

O

16,1 cm, somit die Scherspannung im Beton V. A. 2) rx =

19.5

IM

genommen wird. Trotzdem müssen alle in der Mitte unten liegenden Eisen nach den Enden hin nach oben gezogen werden, da die Zugspannungen der Einspannung oben wirken. Die gröfste Quer-

0,083 . 470

Moment

Ist die Decke frei aufgelagert, so hat sie in der Mitte das kgcm

0,083.470²

= 2290

cm

- aufzunehmen. Würde sie

5,42

= 1,21 kg/qcm die vom Beton ohne Hülfe des Plisens auf-

Abb. 2.

p - 0,0 k Kg/cm. q~- 0,0k3 „

also nach vorstehender Rechnung mitten mit h = 14,65 cm,

ausgeführt,

qcm

cp = 0,067 u-so ergäben sich nach IV A. b. a) die Gröfsen:

cm

- cp¹ = o, D = 0, M = 2290

x= 12,4.0,067

2.2290

V¹⁺²

14,65 — 2

12,4.0,067

3,84

3,84(14,65 — 2

o

14,65 — 2 — 3,84

kgcm

cm

1 = 3,84 cm ;

= 105 kg/qcm ; c7₀= 12,4.105

= 3000 kg/qcm, also wegen des dreifachen

3,84

Momentes dreifach zu hohe Spannungen, der Endeinspannung soll man also sehr vorsichtig sein, sonst

Mit der Annahme

1/2----4* - - - -- l/z---

1-070 cm.

*j q--0,083

rechnet man verdeckt mit zu hohen Spannungen.

Ist die Platte frei aufgelagert, so mufs g wegen der gröfsern Dicke schätzungsweise mit 0,01.0,01.0.27.2400

0,105.470²

— 0,065 kg/qcm, also q mit 0,105 und M kgcm

kraft in der Mitte, ist bei der Belastung nach Textabb. 2: Q = A =

3.0.04.470

= 2910

cm

eingeführt werden. Demnach wird nach IV A. a.a)

32

32

1,76 kg/cm, hier ist d =h — a----

o

nun x =

6.2910

3 84

14,65—2---= 11,37, somit die Scherspannung im

3

= 0,155 kg/qcm, und bei u =

Beton V. A. 2)    =

1 76

11,37

8,9 . 35 7,48

cp = 0,035 müssen also in b =

= 7,48 cm, h = 2 -f 3,3.7,48 = 26,6 cm,

= 0,131

0,785

0,131

qcm

cm

. Drähte von 1 cm Dicke

= 6 cm Teilung liegen.

Bezüglich der Scher- und Haftspannungen ist diese Platte nun wegen der gröfsern Dicke noch gesicherter, als die unter der Annahme der Einspannung berechnete.

Es gibt aber ein anderes Mittel, zu geringerer Dicke zu kommen, ohne die Spannungen zu erhöhen, das ist namentlich bei Platten, deren Grundrifs sich nicht allzuweit vom Quadrate entfernt, die vierseitige freie Auflagerung. Für solche Platten kann man mit genügender Schärfe annehmen, dafs die Lasten sich auf die beiden Tragwirkungen im umgekehrten Verhältnisse der dritten Potenzen der Seitenlangen verteilen.

Böte der oben angenommene Raum in der zweiten Richtung 700 cm Stützweite, und wird das Eigengewicht der nun entstehenden Platte mit g = 0,01.0,01.0,23.2400 = 0,055 kg/qcm, also q = 0,095 kg/qcm eingeführt, so kommt auf die kurze

= 0,073 kg/qcm, auf die lange

Traglänge 0,095

7³

0,095

4,7³

7³ + 4,7³

= 0,022 kg/qcm, daraus folgt das Moment

und der Überfüllung kann mit g — 0,01.0,01 . 0,7 . 2000 = 0,14 kg/qcm eingeführt werden. Die Verkehrslast besteht aus einem Schwellendrucke von 10 t, der sich mittels der Querschwellen und Bettung auf 23 + 2.40 = 103 cm Länge und 270 + 2.40 = 350 cm Breite verteilt, also eine Belastung 10000 103.350

0,417 kg/qcm entspricht einer Überschüttung aus gewöhnlichem 0,417

0,01.0,01 . 1400 Die Deckplatte wird zunächst zur annähernden Mafsbestimmung ohne Berücksichtigung der Eigenlast nach IV A. a. a) berechnet. Wegen der vergleichsweise ruhigen Belastung werden eingeführt: sb = 45 kg/qcm, se = 1200 kg/qcm, Ee = 2100000 kg/qcm, Eb = 160000 kg/qcm, n = 13,1, n — 1 = 12,1, r = 0,0375,

= 2,04, m + 1 — 3,04, m + 2 = 4,04, 2 + 3 m

von p =

Boden von

— 0,277 kg/qcm gibt. Die ganze Auflast q —

= 3 m über dem Durchlässe.

7³ + 4,7³

der kurzen Traglänge bei freier Lagerung mit

0,073.470²

— 8,12, a = 1,5 cm, (n — 1). r = 0,454.

Bei 1 = 1,3 m gegebener Stützweite der Deckplatte ist 0,417.130²

= 2010

kgcm

cm

, der langen mit

0,022.700²

1330

kgcm

= 880

kgcm

cm

;x=V

6.880

= 3,8;

cm

8,12.45 Das Eigengewicht ist also

Für die kurze Tragrichtung folgt also nach IV A. a. a) / 6.2010 X=V^

h = 1,5 + 3,04.3,8 == 13,1 cm. g = 0,01.0,01.0,14.2400 = 0,0335, folglich q = 0,45 kg/qcm.

. 35

= 6,21 cm; h = 2 + 3,3 . 6,21 = 22,5 cm;

(p — 0,035 .^L = 0,109

b_ 0,785 0,109

= 5,09 cm; h = 2 + 3,3 . 5,09 = 18,8 cm; cp = 0,035.7+ = 0,089

qcm

cm

und bei 1 cm dicken Einlagen

7,2 cm, für die lange Tragrichtung x =

\/

6.1350

8,9 . 35

5,09

qcm

cm

,- also bei 1 cm Durchmesser der Einlagen b =

Der Durchlafs soll im Lichten 1,5 m hoch, 1,2 m breit sein, die Bauhöhe ist also 1,5 + 2.0,14 — 1,78 m. Der Erdschub wird dargestellt durch das Gewicht eines 1400 kg/cbm wiegenden Erdkörpers, der ein Yiertel der Höhe zur Grundlinie hat, er beträgt also nach Textabb. 3 in der Mitte der Decke

Abb. 3.

K----*    *

0,785

— 8.8 cm.

Die Platte ist also mit 22,5 cm Dicke und

- S$-

0,089

1 cm starken Einlagen mit 7,2 cm Teilung nach der kurzen, mit 8,8 cm Teilung nach der langen Seite zu bilden, in letzterer Richtung ist sie^dann etwas zu stark, da sie nur 18,8 cm dick zu sein //brauchte.

Die vierseitig'frei gelagerte Platte ist also gegen die zweiseitig frei gelagerte von 26,6 cm auf 22,5 cm verschwacht, sie

0,1017*

ä>

100 , 100

R-

d, SS-

----’-o —L--->

fcss

*-7fr-

= 25,3 —

enthält nun aber in 1 qm Grundfläche

an gekreuzten Einlagen, während die zweiseitig gelagerte 100    m

—— = 16,7 — Einlagen nach einer Richtung erfordert. Uber 6    qm

7,2 ¹ 8,8

qm

0,765    \

!-<—■*— ^rk

^ae

0,165 K9/gcm.

---13017

--i

die Ausführung der einen oder andern Lösung entscheidet, wenn vierseitige Lagerung überhaupt möglich ist, der Kostenvergleich.

VIII. B. Rechteckiger Plattendurchlafs in einem Eisenhahndamme.

Für den rechteckigen Durchlafs soll höchstens die Sohle an Ort und Stelle eingestampft werden, übrigens besteht er aus fertig einzubringenden seitlichen und Deck-Platten (Textabb. 6). Die Oberkante liegt 40 cm unter Schwellen-Unterkante oder 70 cm unter Schienen-Oberkante. Die ständige Last des Gleises

0,01.0,01.0,77 . 1400 = 0,108 kg/qcm, in Mitte des Bodens 0,01 . 0,01.1,18 . 1400 == 0,165 kg/qcm. Der ganze Erddruck 0,108 + 0,165

gegen die Seitenwand ist

. 164 = 22,4 kg/cm,

164 2.1,18 + 0,77

— 88 cm unter der Oberkante

er greift —-

O

des Trapezes an, folglich erhält die Decke einen Längsdruck

1,18 + 0,77

von 22,4

164 — 88

164

10,4 kg/cm, der Boden von 22,4.

88

164

— 12 kg/qcm. Das Biegungsmoment der Decke ist bei 130 cm 0,45 . 130²

0,5

Stützweite nun

= 954 —

kgcm

= 7,5 cm und die heraufgezogene Eisen von

63,5

0,5

Die Deckplatte ist also in dem in Textabb. 4 dargestellten

0,067

= 63,5 cm, also braucht nur jedes

7,5

0,0079 = 8,5 .Zugeisen nach

oben gezogen zu werden. Die Querkraft am Ende der ersten

Abb. 4.

0,^5 Kg,/gern.

Schrägziehung ist noch 29,2 — 9,02 . 0,45 = 25,15 kg/cm,

25,15

nach Y. A 2) ist also hier die Scherspannung —

9,02

k-

= 2,78 kg/qcm, für eine zweite Schrägziehung wäre daher nach V. B. 1):

Zustande. Wegen des Längsdruckes soll die Decke eine Druckeinlage erhalten, die zu <p‘ = 0,05

qcm

cm

bei a = 1,5 cm fest-

1,414 (25,15 — 2,5 . 9,02)

1200

Die Teilung dieser zweiten Heraufziehung müfste also

SP" =

0,0031 qcm/cm.

0,5

162

= 21,5te

- = 162 cm sein, also wäre jedes

gesetzt wird. Die doppelte Einlage ist für die Handhabung

der fertigen Platten günstig. Es handelt sich also nun um den | zugeisen hinaufzuziehen, was kaum noch lohnt.

Fall IV A. a), für den sich ergibt:    Am Ende * der zweiten Schrägziehung ist die Querkraft

0,0031

7,5

— x³

~ -f x². 3,04 j¹-4 6    '    ’    (2.45

8,12

12,1 . 0,05 j -f

2.954— 10,4.1,5

2.45

f 4,04.12,1. 1,5.0,05j =12,1.0,05.1,5²

noch Q = 29,2 — 2 . 9,02.0,45 = 21,1 kg/cm, somit beträgt hier die Haftspannung der Zugeinlagen nach V. A. 1)

0,5 . 21,1

0,067.9,02.0,8 . 3,14

= 6,95 kg/qcm,

oder — x³ . 1,37 — x² . 1,49 -f x . 21 = 1,36, oder — x³ — x². 1,085 -j- x . 15,3 = 0,99.

Setzt man x = 3 ein, so ist die linke Seite —{— 9,15, für J vier Mittel in Frage: x = 4 wird sie — 20,2, sie soll aber -f- 0,99 sein. Eine einfache Zwischenrechnung gibt die Lösung der Gleichung mit x = 3,37 cm; h = 1,5 -f 3.04.3,37 = 11,7 cm; <p = 0.0375

(-»'

was zu hoch ist.

Für die Verminderungen der Haftspannungen kommen

1) Vermehrung und Verseilwächung der Eiseneinlagen, um bei Aufrechterhaltung des Querschnittes

+ 12,1

3,37 — 1,5

3,37

0,05^)

10,4

1200

= 0,067

qcm

cm

Die Druckkräfte sind im Beton

45 . 3,37

76 kg/cm, im Druck-

3,37 — 1,5

eisen 12,1 . 0,05 .

r * ³>37 hegt ——

Mittelkraft beider beträgt 91,1 kg/cm und liegt:

3,37

45 = 15,1 kg/cm, erstere Kraft

= 1,12 cm, letztere 1,5 cm unter Oberkante, die

mehr Umfangsfläche zu erhalten; da die Teilung der Zugeinlagen aber schon 7,5 cm beträgt, so ist auf diesem Wege nichts Wesentliches zu erreichen, die Teilung würde für die Einbringung des Beton zu eng werden.

2) Die vorhandenen Eisen an den Enden durch Anbinden neuer zu gabeln, empfiehlt sich auch nicht, weil die Verbindungen teuer und zeitraubend sind, die Teilung wenigstens an den Seiten auch wieder zu eng werden

würde.

76 . 1,12 -j- 15,1 . 1,5

91,1

= 1,18 cm unter Oberkante, d be-

trägt also 11,7 — 1,18 — 1,5 = 9,02 cm, tpse ist = 0,067.1200 = 80,5 kg/cm, somit D -f- 9?se = 10,4 -f 80,5 = 90,9 kg/cm, was genügend genau mit 91,1 kg/cm Druck übereinstimmt.

130.0,45

Die gröfste Querkraft am Auflager ist Q =

= 29,2 kg/cm, wegen zu grofsen Eigengewichtes etwas zu hoch berechnet.

V. A. 2) rx =

Demnach ist die Scherspannung im Beton nach 29,2 9,02

= 3,25 kg/qcm. Da das 2,5 kg/qm über-

3)    Die Verwendung mechanischer Mittel zur Erhöhung des Haft Widerstandes durch Anlöten, Ankerben, Durchstecken und dergleichen ist bezüglich vieler Mittel

umständlich und teuer, bezüglich anderer unzuverlässig. Zur Verwendung dieses Mittels müfste man von vorn herein zu anderen Einlagen greifen, als Rund- oder Quadrat-Eisen.

4)    Vergröfserung des Widerstandshebels d, also der Platten dicke. Dieses Mittel ist vergleichsweise einfach und sicher wirksam. Um von 6,95 kg/qcm auf

6,95

zu

steigt, ist das Heraufziehen einiger der unteren Eisen nach oben zu empfehlen, nach V. B. 1) ist der Querschnitt der

1,414 (29,2 — 2,5 . 9,02)

1200 ~ Durchmesser ist:

heraufzuziehenden Eisen q" =

0,0079 qcm/cm. Für Drähte von 8

0,8².7t

mm

= 0,5 qcm, dabei erhalten die oberen Druckeisen

die Teilung b =

0,5

0,05

= 10 cm, die unteren Zugeisen b

= 14 cm

4 kg/qcm zu kommen, müfste d auf 9,02

gebracht werden, was bei h = 14 —}— 1,5 —J— 1,18 = 16,7 cm Plattendicke genügend genau erreicht wird.

Die zulässige Querkraft der Stelle, avo d = 9,02 cm bleiben kann, wenn r₂ = 4,5 kg/qcm werden soll, folgt nach V. A. 1) 0,5 . Q

0,067 . 9,02.0,8 ” 3,14

die Länge z der Stelle, avo diese Querkraft erreicht wird 29,2 — z . 0,45 = 13,6 mit z = 35 cm.

Nach Vergröfserung ATon d auf 14 cm ist nun aber nach

aus 4,5 =

4,5

mit Q = 13,6 kg/cm, und

aus

29 2    x

V. A. 2) Tx nur noch — —= 2,1 kg/qcm, und die Haft- r/

Spannung nach V. A. 1) r₂ —

0,5.29,2

= 6,25 kg/qcm,

0,067 . 14.0,8 . n folglich überhaupt keine Schrägziehung der Eiseneinlagen mehr

= 3 cm macht die linke Seite zu 7,44, x = 2 zu — 2₅4i, Zwischenreclmung liefert die Wurzel x = 2,85 cm;

h — 1,5 + 2,85.3,04 = 10,17 cm,

45.2,85 — 2.29,2

cp =

nötig, wenn man zur Verminderung von r₂ auf 4,5 kg/qcm

2 . 1200 1 — 0,454

2,85 — 1,5

= 0,0372

qcm

cm

2,85

6,25

= 19,4 cm, also h auf 19,4 -j- 1,5 -f- 1,18 = 22,1 cm verstärkt. Die Deckplatte mufs also von beiden Enden her auf etwa 25 cm Länge 22,1 cm dick sein, und ist j == 0,283 qcm verwendet, so mufs die Teilung b = dann auf weiteren

noch d auf 14.-

4,5

Werden Drähte von 6

mm

Durchmesser mit f =

0,6² 7t

0,283

0,0372

10 cm Länge auf 11,7 cm Dicke einzuschrägen.

Abb. 5.

Die Seitenplatte erhält aus der Deckplatte einen Längsdruck von D = 29,2 kg/cm und die aus Textabb. 3 hervorgehenden Erddrucke, welche nach der obigen Ermittelung 10,4 kg/cm Gegendruck der Decke und 12 kg/cm Gegendruck der Sohle bewirken. Die Zunahme des Druckes ist 0,165 — 0,108 _

10,0 Kg/cm.

12 Kg./cm.

29,2 Kg./cm. '<0,108 Kg./'gern.

'c¹

■=j-

CO

= 7,6 cm sein

Die gröfste Querkraft tritt mit Q = 12 kg/cm unten auf. Der Widerstandshebel d folgt aus folgender Rechnung. Die Summe der Betondrücke ist 2,85.45 . x/₂ = 64,2 kg/cm, die Kraft im

2,85 — 1,5 2,85

9,55 kg/cm, beider Mittelkraft wirkt von Betonaufsenkante um • 64,2 . —-f- 9,55 . 1,5

O

64,2 + 9,55 "

1,5 — 1,02 = 7,65 cm. Nach V. A. 2) ist die Scherspannung

Druckeisen nach Textabb. 1 12,1.0,0372.45

= 1,02 cm, folglich ist d = 10,17 —-

im Beton ohne Schrägeisen rx ==

12

7,65

1,57 kg/qcm, und

0/65-0,0003m x \ “

die Haftspannung nach V. A. 1) r₂ =

12.0,283

0,0372 . 7,65. 0,6 . jt = 6,3 kg/qcm; soll t₂ nur 4,5 kg/qcm betragen, so ist d auf

7,65 . 6,3

4,5

= 10,7 cm, also h auf 10,7 -f- 1,5 + 1,02 =

164

A 0/65 Kg./gern. 29,2 Kg./cm.

13,2 cm zu vergröfsern.

0,0003476 kg/cm³, also der Belastungszustand der Seitenplatte der in Textabb. 5 dargestellte. Nach der Regel, dafs das Moment da am gröfsten wird, wo die Querkraft verschwindet, folgt die Stelle des gröfsten Biegungsmomentes Textabb. 5 aus:

Soll r₂ = 4,5 kg/qcm bei d = 7,65 cm eingehalten werden, so folgt die dabei zulässige Querkraft Q nach V. A. 1) aus Q . 0r283

0,037 2 . 7,65.0,6 T 7t Abstand x vom Unterende, wo diese Querkraft wirkt, ergibt

0,165 + 0,165 — 0,0003476 x

4,5 =

sie ist Q = 8,5 kg/cm, und der

0 = 12 —

0,165 + 0,165 - 0,0003476 x

-------x

oder x² — 2.x. 475 = —

mit x = 80 cm. Das

Moment selbst beträgt demnach

M = 12 80 _j ²\°’¹⁶⁵ +:°»¹⁶⁸ ~ 0,0003476 ,r80;. 80 0,165 + 0,165 — 0,0003476.80 0,165 + 0,165 — 0,0003476.80

= 960 —

80²

460

kg cm _

-- . 0,4672 =

Die Seitenplatte soll zwei gleiche Eiseneinlagen mit a = 1,5 cm

erhalten, um sie einfach herstellen und sicher zur Baustelle Verteilung

cm

bringen zu können, also tritt der Fall IV. B. a), und zwar mit D = 29,2 kg/cm, M)= 460kgcm/cm, a = 1,5 cm, sonst mit den Werten der Deckplatte ein.

sich aus (Textabb. 5) 12 —

i x = 8,5 oder x² — 2 x . 476 = — 20150 mit x = 23 cm.

Die Seitenplatte mufs also am Unterende 13,2 cm dick | sein und auf 23 cm Höhe auf 10,17 cm eingeschrägt werden. Wird sie am obern Ende freien Umkehrens wegen ebenso geformt, so ist sie hier bei der etwas kleinern Querkraft von 10,4 kg/cm (Textabb. 5) etwas zu stark.

Die Bodenplatte hat auf ihren Rändern zu tragen 2.29,2 + 2 . 0,01.0,1017 . (1,64+0,14) 2400 = 67,1 kg/cm, wenn von dem Gewichte der geringen Endverstärkungen ab-: gesehen wird. Der Bodengegendruck ist bei gleichmäfsiger 67,1 140,34

moment in der Mitte ist M =

= 0,48 kg/qcm (Textabb. 3), das Biegungs-0,48 . 130²

= 1015

kgem

cm

das

x³.45 {8,12 + 0,454) — x² (3 . 3,04 . 29,2 . 1,454 + 4.0,454.45 . 1,5} — x {6.460 (1 — 0,454) — 3 . 29,2 . 1,5 ist D = 12 kg/cm. (1 + 0,454.4,04) — 3.0,454.45 . 1,5²} = 3.0,454 . 1,5 (2.460 + 29,2 . 1,5} oder x³. 386 — x². 509 — x . 995 = 1970 oder x³ — x². 1,317 — x . 2,57 = 5,1.

Eigengewicht der Bodenplatte ruht auf dem Boden auf, ohne Biegung zu erzeugen, der Längsdruck aus den Seitenwänden

Da sich die Anordnung zweier Einlagen bei dünnen Platten als nicht besonders wirksam erweist, die Bodenplatte auch an Ort und Stelle hergestellt werden kann, so soll sie nur eine

CI

No

Co

-X

9/1

' 23

Einlage oben in der Zugzone erhalten, somit liegt bei cp¹ = 0,

lagen ist f = 0,5 qcm und die Teilung b =

0,48 . 130

== 22,9 cm zu verstärken, die Scherspannung im Beton ist

31,2

dann Hach V. A. 2) tx

20

1,56 kg/qcm. Bei d =

4.8,12.45(2.1015 — 12.1,5)1

_______

h = 1,5 -f- 4,22.3,04 = 14,3 cm, cp = 0,0375

11,4 kann die aus V. A. 1) nach 4,5 =

0,5 . Q

= 0,069

qcm

cm

. Bei 8 mm Durchmesser der Ein-

Die Querkraft am Ende ist

Hebel d — 14,3 — 1,5 —

4,22

0,5

= 7,25 cm.

0,069

= 31,2 kg/cm und der

— = 11,4 cm. 3

Soll nun wieder

nach V. A. 1) die Haftspannung r₂ 4,5 kg/qcm sein, so folgt

0,5 . 31,2

das erforderliche ;Mafs d aus 4,5 =

„    ,    , 4,22

d = 20 cm, die Plattenenden sind also auf 20 -f- 1,5 -j--—

O

Abb. 6.

0,069 . d . 0,8.7t

mit

0.069.11,4.0,8.7t mit Q = 17,7 kg/cm folgende Querkraft aufgenommen werden. Die Stelle, wo diese wirkt, folgt aus 31,2 — x . 0,48 = 17,7 mit x = 28 cm. Die Bodenplatte ist also an den Rändern 22,9 cm dick zu machen, und auf 28 cm Länge von jeder Seite auf 11,4 cm Dicke einzuschrägen.

Hiernach erhält der ganze Durchlafs die in Textabb. 6 dargestellte Anordnung. Die Ecken sind so ausgebildet, dafs die vier Platten die Kräfte richtig auf einander übertragen.

<w,

r*

103

8, mm. b-10

-r —

-V) i :    !    : !

VIII. C. Rippenplatten-Brücke auf fünf Stützen.

Die Brücke für Straßenverkehr hat die in Textabb. 7 und 8 in Quer- und Längs-Schnitt dargestellte Anordnung. Die Fahrbalmdecke ruht beiderseits überkragend auf fünf Rippen, jede Rippe auf fünf stützenden Pfählen. Auch die Rippen kragen beiderseits über, um den Strafsendamm ohne I Endstützmauer mit Böschung gegen die Brückenenden schütten zu können. Ungünstigste Aufstellung einer Walze und rvon Menschengedränge hat bei Einsetzung des 1,5 fachen der ! Nutzlast die in Textabb. 7 und 8 angegebenen Einheits-I belastungen q, Momente M und Querkräfte Q geliefert; von ¹ letzteren sind nur die gröfsten Werte eingeschrieben, da die

Abb. 7.

-fr~

i\

~\--

äT

Kl

k— J7J--->|

6mm.-] <-6mm. b-7,6 i ! b=7,6

<$

$3

Ci

166.8

vfr-

CN

C'xl

120

4-

cx

,8mm i 0=7,25 -------

-*---

•O

wj7

Ci

II !

» ¹    C5TI

^ ¹ 8 mm})=15,0 I

I [8mm,1=7,7

M = —1226 Kg. cm.

-S-4

8 mm,b=1 5,0

• •J#••

■ s \_\

8mm,b =7,7

<N

'«f

70,2

102.2*

M --6828500 Kgctm²/²} \ ^30 ({= 9180 Kg.

K-

h-----80---*»«■--

--13S

k- 60

l I

-~Y~-9 ~°'603 Kg/»rm

-- 135

.-±-

—H

Abb. 8.

fv

¹ f S4 3l§*2*8-f—o98

Cr. /

fco

I Cox

112*2.7 f

-fSfStS'räfSri . _ _

! i—y—\—y— ?~j 12 x2,7 iß

j

300 00 Kg.

1000

C2T

Querschnitte der Quere und Länge nach unveränderlich durchgeführt werden sollen*).

— 1226

kgcm

cm

Da D¹ = (p¹¹ = 0 ist, so trifft VI. A. «) zu,

und es mufs sein:

0. 1) Die Fahrbahndeckplatte.

Wegen der unmittelbaren Belastung werden folgende Werte

= -”--11,6 . 0,065

9 . 1226

2 . 11,6.0,065² . 1000

--1

eingeführt, sb = 35 kg/qcm, se = 1000 kg/qcm, E₀ = 2100000 j

1000.180000

kg/qcm, Eb = 180000 kg/qcm, n = 11,6, m =

35.2100000

= 2,45, n — 1 — 10,6, m -f- 1 = 3,45, m -)- 2 = 4,45, 2-J-3 m = 9,35, r = 0,035, a¹ = 2 cm, D¹

beide = 0, also liegt der Fall A. a. a) vor kgcm

Mx = 750

cm

2.0.065.1000

= 26,8 kg/qcm; h₁¹=2-j-4,86

Cu CU

a sind

für

in der Platte zwischen den Rippen:

4,86 cm; <T₁,¹ =

1000

11,6.26.8

geformt werden, dafs ihre Stärke mitten über den Rippen mindestens 22,5 cm beträgt, welches Mafs unten noch ver-gröfsert wird.

(1 +

4,86

) = 22,5 cm. Die obere Platte mufs also so

C. 2) Die Rippen.

x¹ =

6 . 750

9,35 . 35

= 3,72 cm ; h¹ = 2 + 3,72.3,45 = 14,8 cm

3,72

tpl — 0,035 . —^

qcm

0,065 -— . Einlagen von 8 mm Durch-

Die drei mittleren Rippen sind bei ungünstigster Last-j Verteilung fast gleich, und so belastet, dafs die in Textabb. 8 j angegebenen Momente und Querkräfte entstehen. Die äufsere

j Rippe hat weniger zu tragen, wird daher schwächer, doch sollen hier nur die drei gleichen mittleren berechnet werden. Die 0,065 angegebenen Momente und Querkräfte beziehen sich auf eine ~ 7,7 cm leilung. Da nur eine Einlage angeordnet ist, wird ganze Rippenteilung von b = 135 cm, müssen also bei Anwen-3 72

—L— = 11,56 cm. Aus der gröfsten Quer- i 3

kraft der Öffnung von — 30,81 kg/cm unmittelbar neben der j

cm

0 5

messer und f¹ = 0,5 qcm Querschnitt erhalten b¹ =    ’

d¹ = 14,8 — 2

Rippe folgt nach V. A. 2) die Scherspannung rx

30,81

düng der Formeln aus IV und V durch dieses Mafs beziehungsweise durch die Rippenbreite b₀ geteilt werden.

Wegen der mehr mittelbaren Belastung wird hier eingeführt:

___ sb = 40 kg/qcm, se = 1200 kg/qcm, Ee = 2100000 kg/qcm,

¹¹^6 ; Eb = 150000 kg/qcm, r = 0,0333, n = 14, n — 1 = 13

— 2,67 kg/qcm. Da das über 2,5 kg/qcm hinausgeht, sollen nach ;

1,414.(30,81 — 11,56.2,5) m =

1200 . 150000

V.B. 1) Eisen des Querschnittes cp"¹.— qcm

40 . 2100000

= 2,14, m -j- 1 = 3,14, m -j- 2 = 4,14,

1000

= 0,002828

cm

2 -j- 3 m = 8,42. Da hier starke Einlagen nötig werden, wird schräg hinaufgezogen werden, also Eisen a = 8 cm angenommen, eine Druckeinlage (p‘ wird nicht eingeführt, um beim Stampfen der Rippen nicht behindert zu sein,

von 8 mm Durchmesser in der Teilung b¹ =

0,5

0,002828

177 cm, ebenso ist D = 0, also tritt der Fall IV. A. a. a) ein.

177

das heifst jedes -—— = 23ste Eisen wäre hinaufzuziehen. Bei

In den Öffnungen ist:

6 .6828540

7,7

135 . 8,42.40

= 30 cm;

der Last q = 0,643 kg/qcm für die Einheit wäre die Haftspannung der schräg gezogenen Eisen nach V. B. 2) t2 0,5.0,643 (30,81 — 2,5 . 11,56)

//i_

0,002828.0,8.7t. 30,81

— 2,93 kg/qcm.

Am Ende der ersten Aufziehung ist noch Q = 30,81 — 11,56.0,643 = 23,4 kg/cm, somit nach V. A. 2) die Beton-23,4 U~56

scherspannung rx ¹ =

= 2,03 kg/qcm, und nach V. A. 1)

die Haftspannung t^¹ =

0,5 . 23,4

= 6,2 kg/qcm.

0,065.11,56.0,8.3,14 Um diese Spannung auf 4,5 kg/qcm zu vermindern, müfste

dx =

11,56 . 6,2

.    „30 w qcm

68,5 qcm. Werden diese Eisen in 10 cm Teilung gelegt, so

müssen die Rippen mindestens b₀ = 6 . 10 = 60 cm breit sein.

Da eine Druckzone von 30 cm erforderlich ist, mufs die obere

Platte statt 14,8 cm beziehungsweise 22,5 cm (VII. C. 1)

30 cm dick gemacht werden, womit die oben schon als nötig

nachgewiesenen Verstärkungen reichlich angebracht sind.

30

= 15,9 cm gemacht werden, welches Mafs

Bei fehlender Druckeinlage ist: d = 102,2 — 8--— =

O

weiter unten aus anderen Gründen noch vergröfsert wird. 84,2 cm, u ist = 12.2,7.7t — 102 qcm/cm. An der Stelle des Übrigens müssen tatsächlich nicht die 23sten Eisen, sondern alle    gröfsten Momentes in der Öffnung ist die gröfste Querkraft:

hinaufgezogen werden, weil sie wegen der über den Rippen ne-    Q = 9184 cm, also nach VI. 2) die Betonscherspannung:

gativen Momente hier alle oben liegen müssen. Dieses negative Moment ist auf der Mittelrippe am gröfsten mit M,¹ =

4,5

rx =

9184.67,5

135.0,5.84,2 . 60

= 1,82 kg/qcm, die Haftspannung

*) Die vollständige Vorführung der Ermittelung der Werte von M unu Q verbietet der Platzmangel. Sie folgt den allgemeinen Regeln der Statik und hat mit den Besonderheiten der Verbundbauweise. die hier zu behandeln sind, nichts zu tun.

nach V. A. 1) r₂ =

67,5 . 9184

= 1,07 kg/qcm.

0,5 . 135.84,2.102 Für die Aufnahme der Querkraft von 34440 kg an der Stütze müssen Eisen des Querschnittes VI. 4) f" = 1,414

34440.67,5

135.0,5

— 84,2 . 60,2,5

1200

= 25,6 qcm schräg hinauf gezogen

Beispieles C. 2) mit a = 4 cm. Die Rippen sollen eine Druck-— erhalten, da die Druckeinlagen bei

einlage <p' = 0,15

qcm

rill

2 7² Jt

werden. Eines der Eisen hat ■ * ■- ■ — 5,7 qcm, also müssen 25,6

starken Körpern zur Wirkung zu bringen sind, D ist == 0,

kgcm

0,128.725²

= 8430

neben der Stütze

5,7

= 4,5 rund 5 Eisen schräg gezogen

cm

. Nach IV A. a. y) ist: — x³

werden (Textabb. 8). Diese haben u " = 5.2,7 . jc = 42,4

qcm

j — x². 3,14.13.0,15 -f x j-

cm

Umfang, folglich ist ihre Haftspannung bei q =

99

135

nach VI. 5)

V'

34440 67,5 99 67,5    135    0.5

84,2.60.2,5

135 0,5

34440 67,5 135    0,5

= 1,49 kg/qcm.

. 42,4

Am Ende der ersten Schrägziehung ist die Querkraft etwas gröfser, als 34440 — 84,2.99 = 26000 kg, etwa 28000 kg. Der Eisenquerschnitt der zweiten Aufziehung ist nach VI. 4) 28000 — 84,2.60.2,5

4,14.13.4 . 0,15

= 13.4².0,15 oder — x³ . 1,403 — x². 6,12 -f- x . 243 = 31.2 oder — x³ — x².4,35 -f- x . 173 = 22,2. x = 1 1 cm macht die linke Seite zu 46, x = 11,1 zu 19, also liegt die Lösung genau genug bei x = 11,08 cm; h = 4 -j— 3,14 . 11,08 = 39 cm;

11,08 — 4 11,08

Die Plattendicke ist nach VI h¹ = x = 11,08 cm. Wird

111,08

y = 0,0333 V

0,15 = 0,226

qcm

cm

a¹ = 1,5 cm liebenden obigen Spannungswerten eingesetzt, und

13,08— 1,5

D¹ = (j)'¹ = 0 beachtet, so ist nach VI 6) x¹ =

f"= 1,414

1200

12,9 qcm, folglich müssen

CO CO

Ol

in der zweiten Aufbiegung:

12,9

5,7

= 2,25 oder 3 Eisen liegen.

= 3,05 cm, ferner nach IV A. a. a) (pl = 0,0333 . —— =

dt

11,08 — 1,5— 3,05

u" ist dann = 3.2,7 . Ji; = 25,4

qcm

cm

und die Haftspannung wird

0,0508 und nach IV A. c. a)ö\ = 14.40

3,05

nach VI. 5): r₂" = 99 .

28000 — 12600

40.3,05

= 2,14 kg/qcm.

28000 . 25,4

Weiter werden der Reihe nach 2, 1, 1 Eisen heraufgezogen sodafs über der Stütze 5 -f- 3 -f- 2 -f- 1 -f- 1, also alle 12 Eisen

I = 1200 kg/qcm, M¹ = --------•

kgcm

^11,08

3,05

- X’S--1

520

cm

Für eine Mittelöffnung der Platte ist nach VI 7) und 9) k = 1 : 40, die einzuführende Last q¹ —{— 2 p = 0,109 -f- 2 .

= 278cm. für

oben liegen (Textabb. 8).

einlage vorhanden ist, liegt der Fall IV. A. a. a) vor, welcher liefert:

520.40

0,269

= 224 cm.

0,516    -

Die angenommene Druckeinlage der Rippen mufs f' = 278 .

6.7322000

= 46,7cm; h = 8-f- 3,14.46,7 = 155 cm;

60.8,42.40

<p = 0,0333^^ = 0,777

dt

in der Rippe f= 60.0,777 = 46,5 qcm betragen, während sie tatsächlich 68,5 qcm ist, denn man wird hier keines der in den Öffnungen vorhandenen Eisen fehlen lassen. In Textabb. 8 ist die Anordnung der Einlagen einmal eingetragen.

qcm cm ’

also mufs die Einlage oben

I 0,15 = 42 qcm, die Zugeinlage f = 278.0,226 = 63 qcm betragen.

9 Quadrateisen von 2,20 cm Seite geben oben f' = 9 . 2,2²

= 43,5 qcm.

13 Quadrateisen von 2,20 cm Seite geben unten i— 13 . 2,2-= 63,0 qcm.

Die Platte erhält Einlagen aus Drähten von 6 mm Durch-

messer, also ist f¹ =

0,6² n

— = 0,282 qcm und nach VI 8)

VIII. D. Rippendecke für 800kg-/qm Last.

In einem Lagerhause soll eine Rippendecke auf zwei j ^ “ tragenden Wänden mit 1 = 725 cm Stützweite für 800 kg/qm Nutzlast so hergestellt werden, dafs die obere durchgehende Platte als Tragplatte zwischen den Rippen und als Druckgurt des Rippenquerschnittes grade voll ausgenutzt wird. WTrd die Platte vorläufig 12 cm dick, und sonst angenommen, dafs alle 200 cm eine Rippe mit.40 cm Breite und Höhe vorspringt, so ist anzusetzen: g¹ = 0,01 . 0,01.0,12.2400 = 0,029 kg/qcm,

0,01.0,4.0,4.2400

f¹ 0,282

cp¹

0,0508

= 5,6 cm.

Der in Textabb. 9 dargestellte Lastzustand liefert, wenn von der Verschiedenheit der Weite des Seitenfeldes abgesehen wird, rechts von der zweiten Stütze die Querkraft Q = 1,98 -f- 21^9

3,05

— 278.0,029 = 15,83 kg/cm, d beträgt: 11,08 —1,5

= 8,56 cm, also ist nach V A2) r\ =

15,83

8,56

= 1,56 kg/qcm,

15,83

0,282

= 5,47 kg/qcm.

= 0,048 kg/qcm, p = ! aber nach V A 1) r\ —

g = 0,029 +

0,08 kg/qcm, q¹ = 0,029 -j- 0,08 = 0,109 kg/qcm, q =

0,048 4- 0,08 = 0,128 kg/qcm. Ferner gelten die Werte des    Schrägziehen aufgenommen werden, das übrigens doch nötig ist,

200

0,0508    8,56.0,6. TT

Da letzte Spannung zu hoch ist, mufs die Querkraft durch

Bei der Be-

um die Eisen über der Rippe oben zu haben, rechnung der Haftspannung der Schrägeisen nach Y B. 2) ergibt sich aber, dafs 2,5 . d = 2,5.8,56 = 21,4 kg/cm schon

Für die Rippe ist am Lagerende:

725 (0,048 -f 0,08)

= 46,3 kg/cm,

Abb. 9.

1,98

*21,9

der Betondruck des Druckgurtes ist:

40.11,08

— 221,6 kg/cm,

p-0,08

der Druck des Druckeisens

S' = 0,029

ZN

13.40.0,15

11,08 — 4

11,08

— 49,6 kg/cm

f--278 *i

der Hebel des erstem bezüglich Betonoberkante ist (Textabb. 1)

gröfser ist, als Q, lolglich brauchten die Schrägeisen gar nicht | 1M⁸_ = 3j69 der des let2tern 4 cm> der Abstand der

6

Mittelkraft von 221,6 -j- 49,6 = 271,2 kg/cm von der Ober-221,6 . 3,69 + 49,6.4 o    T

--271 2-= 3,73 Cm’ folgllch:

d = 39 — 4 — 3,73 = 31,27 cm. Der erforderliche Querschnitt der Schrägeisen am Plattenende ist nach YI. 4)

in Anspruch genommen zu werden, der Beton nimmt die Querkraft allein schon auf.

Die Querkraft, die von der Haftspannung der wagerechten Zugeinlage aufgenommen werden kann, folgt nach V A 1) aus 0,282 . Q

0,0508.8,56.0,6 7n Abstand z von der Rippe, in dem diese Querkraft erreicht wird genügend genau nach Textabb. 9 aus 15,81 — z. 0,109 = 13 mit

25,7 8,56

möglich, also werden die Einlagen der Platte nach Textabb. 10 in drei Feldern nach oben zu ziehen sein.

! kante ist also:

4,5 -

mit Q = 13 kg/cm, und der

z = 25,7 cm. In dieser Länge sind

3 Schrägziehungen

f" = 1,414

46,3

63

0,226

31,27 . b₀.2,5

Die Mafse der Platte über der Rippenmitte folgen aus 0,109.278²

dem Momente nach YI. 9)

Druckeinlage da ist, aus VI. A. a) mit:

10

842

kgem

cm

da keine

1200

Wird darin b₀ zunächst = 45 cm gesetzt, um 6 von den 13 Zugeisen neben einander legen zu können, so folgt f;/ = 11 qcm, am Ende sind also 2 Quadrateisen von 2,2 cm hinaufzuziehen und eines von oben nach unten (Textabb. 12), zusammen mit 3.2,2² — 14,5 qcm Fläche, deren Haftspannung nach VI. 5) beträgt

14.0,0508 3

14

9.842

2.14.0,0508². 1200

= 3,97 cm; 2.0,0508.1200

0,128

63

146,3

63

0,226

— 31,27 . 45 . 2,5

’ 0,226 ’

63

3,97

= 30,7 kg/qcm;

r₂" =

h\= 1,5 + 3,97^14

1200

14.30,7

= 16,5 cm. (Textabb. 10).

46,3

3.4.2,2 = 0,98 Kg/qcm.

Nach Textabb. 11 ist die Querkraft am. Ende der ersten

' 0,226

Abb. 10.

6 mm, b* 5,6 cm.

181,66 _

f'= 63,5 qcm.

7p 7

I 6 mm, b =5,6 cm.

<— 65~

Z61Z

9 9 9^99 9

k-

9 9 9,9 9 9 999+999

f =63 qcm.

—226 —

—278 —

z - ->k-63,9 A 31,27    -*r

(61.6)    (62,56)

[39.6]    [93,81]

K--

Abb. 11.

-----l-Z-------

693,73 (662,66) [631,19]

---*

-Ai

0,08 Kg./qcm. 0,068 Kg./qcm.

Aufziehung Q — 43,9 — 31,27 . 0,048 = 42,4 kg/cra, somit j für eine zweite Aufziehung nach VI. 4)

42,4.278 — 31,27.45.2,5 1200

wofür die Herauf- und Herabziehung je eines Eisens genügt, lagen, deren Haftspannung nach VI. 5) beträgt:

0,128.278 .

f" = 1,414

= 9,8 qcm,

42,4.278 — 31,27.45.25

mit z = 304 cm.

304

gibt 9,75 = rund 10 Felder von

31.27

30,4 cm Länge mit gekreuzten Schrägeisen, mitten erhalten 725 — 2 . 304 = 117 cm der Rippe nur die wagerechten Ein-

Die Hälfte einer Rippe ist in Textabb. 12 dargestellt.

VIII. E. Gewölbe-Querschnitt.

r₂" =

42,4.278

2 . 4 . 2,2 = 1,42 kg/qcm.

Am Ende der zweiten Aufziebung ist nach Textabb. 11

Auf einen Gewölbe-Querschnitt (Textabb. 13) wirkt die Mittelkraft R aller äufseren Kräfte ein, die einen Längsdruck

D — 100 kg/cm und ein Moment für die Querschnittsmitte kgcm

Q = 41,6 — 62,54.0,048 = 38,6 kg/cm folglich nach VI. 4): 38,6.278 —31,27.45.2,5

f" = 1,414

1200

= 8,5 qcm,

also ist wieder je ein Eisen herauf und herunter zu ziehen. Am Ende dieses dritten Feldes ist nach Textabb. 11 Q = 39,4 — 93,81.0,048 = 34,9 kg/cm und

34,9.278 — 3500

f" = 1,414

1200

= 7,25 qcm,

folglich ist im 4. Felde wieder ein Eisenpaar zu kreuzen.

Von der wagerechten Betonscherspannung kann nach VI. 2) eine Querkraft aufgenommen werden, die aus 63 . Q

mit Q = 12,6 kg/cm folgt.

2,5    0,226.31,27.45

Ebenso liefert V, A. 1) eine zulässige Querkraft aus:

M = 100.27 = 2700

cm

gibt. Da ein Gewölbe bei den

ungünstigsten Belastungen in demselben Querschnitte annähernd gleiche positive und negative Momente aufzunehmen hat, so sollen zwei gleiche Einlagen angeordnet werden. Die Elasti-zitäts- und Spannungs-Zahlen sind die der Beispiele C. 2) und D, a wird = 3 cm angenommen, (n — 1). r ist = 13.0,0333 = 0,433. Hier liegt der Fall IV. B. a) vor, welcher liefert:

x³ .'40 (8,42 -f 0,4331 — x² (3 . 3,14 . 100 (1 -f 0,433)

-f 4.0,433 . 40.3} — x {6 . 2700 (1 — 0,433) — 3 . 100.3 (1 -f 0,433.4,14) — 3.0,433.40.3²) = 3.0,433 . 3 (2 . 2700 + 3 . 100) oder x³.354,1 — x² . 1558 — x . 6200 = 22200 oder x³ — x².4,4 — x . 17,5 = 62,5.

x = 6 macht die linke Seite zu — 47, x = 10 gibt links -f- 385 und x = 8 liefert: 90. In Textabb. 14 sind die drei so erhaltenen Punkte durch eine krumme Linie verbunden, der demnach kann die Rippe nur bis zu der Stelle z (Textabb. 11)    ^ei dei Höhe -j- 62,5 die Lösung x = 7,7 cm entspricht,

von Schrägeisen frei bleiben, wo die Querkraft noch 12,6 kg/cm    h = 3 -f- 7,7 . 3,14 = 27,2 cm,

4,5 =

63. Q

0,226.31,27 . 13.4.2,2

= 58 kg/cm,

beträgt. Diese folgt aus:

725

— 0,048 +

(725 — z)²

<? =

40.7,7 — 2 . 100

2 . 725

0,08 — z . 0,048 = 12,6 Abb. 12.

2 . 1200 1 — 0,433

7,7 — 3

7,7

= 0,0613 qcm/cm.

i 30,4 i r Hd Einlagen 2,2cm.

30b

t- ^ Hi

Werden also Rundeisen von 1,2 cm Durchmesser eingelegt, was bei a = 3 cm zweckmä-

^-hT ".08

j\ 27,92

fsig ist, so wird

1,2² ji

= 1,13 qcm,

13 □ Einlagen 2.2 cm.

725

folglich die Teilung der Einlagen 1,13

0,0613

= 18,4 cm.

Abb. 13.

Abb. 14.

^ D = JOO Kg/crn-

§

o-,

*■ //

<0

+i +

Cp,. Cn

-k

7,7 8

10

co ■

Die Querkräfte fallen bei Gewölben regelmäfsig so klein aus, dafs sie vom Beton allein aufgenommen werden können und besondere Mafsnahmen bezüglich der Eisen nicht erfordern.

Letztere laufen also gleichmäfsig entlang der innern und äufsern änderungsarbeit Laibung.

also

dMx'

dMn

= 1 und der ganze Differenzialquotient der Form-

dA;

dMn

X' —

/.

X' €

⁼-%dx

dMn

für Mn = 0 und das

Wird die Lösung zur Prüfung der Richtigkeit nach

EJ

IV. B. c) umgekehrt, so folgt: 27,2 — 3,0

gibt:

3,14

= 7,7 cm ; D ==

40.7,7    .

—+0,0613.

dAi

dMn

x' = l-z

Px'²

2 (1 — z)

dx'

Px' + Pe ) l.gj.

woraus

folgt

13.40

7,7 — 3

X' = e

7,7

— 1200

e³

40.7,7

= 100 kg/cm ; M = 0,0613.1200 1Aj_2P f(l — z)³

dM~ EJ |6(1 — z)    6(1— z)

(27,2 -2.3)+ G

100

⁽¹+++e(1-z)-e8j

= 2697

kgcm

cm

statt 2700

(3.3 — 7,7) —|—— (27,2 — 2.3) kgcm

Für die ununterstopfte Strecke ist:

cm

, die Probe trifft also zu.

My= — P(1 — z — e + y) +

P(¹-z)(l___z + y) ₊ Mn =

VIII. F. Die Eisenbahn-Verhundschwelle.

Eine Eisenbahnquerschwelle der Länge 21 hat den Schienendruck P unter jeder Schiene zu tragen, sie ist mitten auf solche Länge 2z (Textabb. 15) nicht gestopft, dafs die

P. e

/(

¹ 2--)+M»’also

Pe

EJ

dMn

1 und

dAi

dMn

für Mn = 0 gleich

— ). 1 dy , dA} 2 P )    oder -T-—- — =rr

_£--dMn EJ

ez

Abb. 15.

dAi

t --

---■>

dMn

Wird nun die ganze Summe des Differenzialquotienten 2 P

— 0 gesetzt, und dabei ==- weggeteilt, so folgt:

EJ

e

MA

*-

-Y-

(1 —z)²

e³

l~z

NIWITTT

M.

l~Z

oder

e²    ,    1 — z

— j +e (1 z) + ez z. —

0 = z³ - 3z (l — e) + (1 — e) (2 l² — 4 e 1 — e²). Wird nun noch der Mittenabstand der Schienen t ein-

6 (1 — z)

-1

j<---1---^    _l_

rx- | *

h---x'---X y

_Y_

Berührende der verbogenen Schwelle unter der Schiene wagerecht bleibt. Die Verteilung der Pressung soll gleichmäfsig j angenommen werden. Das widerspricht zwar der von Zimmer-m a n n ausgebildeten Annahme Winkle r ’s, nach der die j Bodenpressungen in geradem Verhältnisse zu den Höhen der

geführt, so ist 1 — e = — und e = 1--—, daher 0 — z³

L _{_    1 (t — 1) — +^)’ wonac^ z a^e Werte von

1 und t, also für alle Spurweiten und Schwellenlängen zu bestimmen ist. Soll nun die Schwelle unter Einhaltung der Bedingung, dafs sie unter den Schienen stets wagerecht bleiben mufs, auf der ganzen Länge gleichmäfsig gestopft werden, die Aufsicht über das Stopfen erleichtert, so ist 1 so zu bestimmen, dafs die letzten Gleichungen z = 0 liefern.

e oder —

was

Biegungslinie der Schwelle stehen, aber einerseits ergeben sich die gröfsten Momente bei dieser Annahme in der Regel kleiner, als bei gleichmäfsiger Lastverteilung, und anderseits weist Bastian*) nach, dafs eine starre Platte an den Rändern erheblich gröfsern Bodendruck erzeugen mufs, als im Innern Lösung ist aber unmöglich, weil dann zwei Schienen in cer

Schwellenmitte ständen. Die Bedingung z = 0 wird aber nach

tritt ein für 1 — e = 0, also 1 ==

= 0.

Das

Diese

der Fläche, wodurch die Grundlagen der Winkler’schen

Annahme teilweise aufgehoben werden. Der Lastzustand ist der letzten Gleichung, auch erfüllt durch 3 1 (t — 1)----    = 0,

also der in Textabb. 15 dargestellte.

t²

Die Bedingung der unveränderlichen Lage der Berührenden unter der Schiene findet ihren Ausdruck, wenn man den Differenzialquotienten der Formänderungsarbeit nach den hinzugefügt gedachten Drehmomenten Mn gleich Null setzt, und in der so entstehenden Gleichung Mn verschwinden läfst.

„    t V 1,5 ± 1

was liefert: 1 = —--—.

² Vl.5

Das — Zeichen hat keine

was unmöglich ist. Mit

Für die Stelle x ist das Moment M.

lo I To

, folglich

Bedeutung, denn dafür würde 1 <( —,

dem + Zeichen folgt 1 = 0,91t. Bei t = 1,5 m Schienenmittenabstand müfste also die Schwellenlänge 2 1=2.0,91 . 15 — 2,73 m gemacht werden, was mit bewährten Ausführ-

der Differenzialquotient der Formänderungsarbeit nach Mn genommen = 0.

Für die Stelle x' ist Mx/

ungen übereinstimmt.

Das Moment unter der Schiene beträgt für z = 0

*) Organ 1906. Ergänzungsheft Seite 303.

Mg =

, oder für 1 = 0,91 t M, = 0,0925 P . t

und in der Schwellenmitte M = P

-J=—0,045 P.t.

Wird nun der Schienendruck für schweren Betrieb P = 5000 kg, t = 150 cm, die Schwellenbreite — 24 cm gesetzt,

Oberkante, folglich ist d unter der Schiene: d = 22,8 — 2,22 — 3 = 17,58 cm.

Die Betonscherspannung ist demnach nach V. A. 2) mit 85,4

so wird: M„ =

0,0925.5000. 150

24

= 2880

kgcm

cm

. Werden

17,58

4,86 kg/qcm zu hoch. Nach V. B. 1) rnufs der

die Elastizitäts- und Spannungs-Zahlen der Beispiele C. 2), D und E wieder beibehalten, ferner bestimmt, dafs die Schwelle zwei ! = 0,0488 gleiche Einlagen mit a = 3 cm erhalten soll, damit sie beliebig gehandhabt werden kann, schliefslich D — 0 berücksichtigt, so

Querschnitt der Schrägeisen cp“ =

1,414 (85,4 — 2,5 . 17,58)

1200

qcm

cm

der Querschnitt der Schrägeisen einer Schwelle

ist nach IY. B. a. a) x³ 1 -(-

8,42

0,433

— 3 . 3² = 6 . 3 .

0,433 ) 2880

also f" = 24 . 0,0488 = 1,17 qcm sein, also sind zwei der vorhandenen Eisen zu kreuzen. Die Haftspannung wird nach

— x².4.3-xf 6 ²⁸⁸⁰ I V- B- ²) dabei

40

oder x³.20,45 — x².12

1,17 . 1,525 0,0488.2.4.0,9

85,4 — 2,5 . 17,58

= 2,45 kg/qcm.

85,4

Diese paarweise Kreuzung je zweier Eisen wird bis zum

— x . 537 = 1300 oder x³ — x².0,587 — x. 26,3 = 63,5 x — 5, 6, 7 gibt links der Reibe nach —21,2, —|— 37,1, —j— 124,2. Diese drei Punkte sind wieder in Textabb. 14 aufgetragen und verbunden, die Höhe 63,5 gibt genau genug die Lösung x = 6,3;

40.6,3

Schwellenende durchgeführt, also in

— 75 — 5,5

17,58

3,2 rund 3 Feldern.

h = 3-j~6,3.3,14 — 22,8cm; cp —

Innerhalb der Schiene ist die Querkraft —

5000

2.1200 1—0,433

6,3—3

f 85,4 24 r ’

6,3

= 0,136 —

qcm

also mufs für die 24 cm breite Schwelle

—J— 11 ■ 1,525 = — 106 kg/cm. Hier mufs nach Y. B. 1) sein:

1,414 (106 — 2,5 . 17,58)

——-

cp" =

0,073

qcm

cm

oder für die

f = 24 . 0,136 = 3,25 qcm sein. 9 mm starke Quadrateisen haben 0,81 qcm, also sind 4 Quadrateisen von 9 mm Seite nötig.

Das Mittelmoment ist:

Mm = -

0,045 . 5000 . 150

ganze Schwelle f" = 24.0,073 = 1,75 qcm. Hier müssen also auch je zwei Eisen gekreuzt werden, die Haftspannung ist dann nach V. B. 2):

24

r₂"=

1,75 . 1,525

106 — 2,5 . 17,58

= 1415

kgcm

106

= 2,97 kg/qcm.

cm

x³

(1 +

8,42 n, 0,433 J

•, also folgt für die Mitte nach IV. B. a. d): 1415

0,073.2.4.0,9

Die Querkraft, die mit Rücksicht auf die Scherspannung im Beton ohne Schrägeisen aufgenommen werden kann, folgt

— x² . 12 — x 6

₄₀ 1,3 — 27 =0,45.1415

nach V. A. 2) aus 2,5 =

17,58

mit Q = 44 kg/cm, und die

oder x°. 20,45 x². 12 x . 248 — 637 oder x³ — x².0,587    mittels der Haftspannung nur wagerechter Einlagen aufzunehmende

— x . 12,15 = 31,1, daraus folgt mittels der Auftragung wie

in Textabb. 14 x = 4.65; h = 3 -{- 3,14.4,65 = 17,6 cm; 40.4 ,.6 5

cp =

2.1200

1 — 0,433

4,65 — 3

= 0,0915

qcm

cm

. In der

4,65

3,25 . Q

0,136 .17,58 .4.4. 0,9 j Q = 47,5. Die Stelle, wo die kleinere von beiden erreicht ¹ wird, folgt nach dem Abstande w vom Schwellenende aus I 5000

nach Y. A. 1) aus 4,5 =

mit

— w . 1,525 = 44 mit w = 108 cm, von hier nach der

Mitte beträgt der Eisenquerschnitt f = 24 .0,0915 = 2,2 qcm, also sind hier noch 3 Quadrateisen von 9 mm • Seite mit Mitte hin sind keine Schrägeisen mehr nötig, von hier beginnt 2,43 qcm nötig.

24

! dann auch die Einschrägung auf die geringere Stärke von

Die Bodenpressung ist nun q =

2.5000

l,525kg/qcm,

somit Q an der Aufsenkante des 11 cm ₆ breiten Schienenfufses:

17,6 cm in der Mitte. Vom Schwellenende her sind also im

273.24

Ganzen

108

= 6,1 rund 6 Kreuzfelder nötig.

Q = 1,525 .

/ 273    \

f —---75 — 5,5 J — 85,4 kg/qcm.

17,50

Da je ein oberes und ein unteres Eisen zu diesen Kreuzungen verwendet werden mufs, und dann als Zugeisen fehlt, so mufs

Der ganze Betondruck unter der 40.6,3

Schiene beträgt

= 126

Abb. 16.

kg/cm, er wirkt 2,1 cm von Oberkante, der Eisendruck ist 6,3 — 3

24 cm. breit

150

3 O Eisen. 9 mm.

13.0,136.40

6,3

= 37 kg/cm,

er wirkt 3 cm von Oberkante, die

k 8'ZZA

-----7\------7C---A—7--

W K' 1x1 )xf h<?

Mittelkraft beider von 163 kg/cm wirkt 126.2,1 -j- 37 . 3

1' W'hTlyWrsfW

__V---^

U O Eisen9mm. ^5 ü Eisen 9 mm.

163

= 2,22 cm unter

IC.

die untere Einlage wegen des Momentes unter den Schienen in    die Länge ist nur eine geometrische Beziehung; anders, als bei

den Schwellenteilen mit Kreuzfeldern auf 5 Quadrateisen von    anderen Körpern gestalten sich aber E und J. Deshalb soll

9 mm Seite gebracht werden. Die obere Einlage genügt    die Formänderungsarbeit eines Verbundkörperteiles der Länge dl

durchweg mit 3 solchen Eisen, da sie als Druckeinlage sehr    unter dem Momente M nun wirklich ausgerechnet werden, um

wenig Wirkung hat und als Zugeinlage des Mittelquerschnittes    zu sehen, welche Gröfse bei Verbundkörpern an die Stelle

nur dreier Eisen bedarf.

Die so festgelegte Schwelle ist in Textabb. 16 gezeichnet.

von

EJ

treten mufs.

IX. Berechnung von Durchbiegungen der Verbundkörper.

Bei den zu Grunde gelegten Annahmen ist die Festlegung der Spannungsnullinie des Querschnittes durch Berechnung von x nur ein geometrischer Vorgang. Denn die Durchbiegungen sind für Träger und Platten ganz, für Bogen fast ganz unabhängig vom Längsdrucke D, der nur gleichförmig verteilte Druckspannung, also nur gleichmäfsige Verkürzung und keine Verbiegung erzeugt. Selbst der Umstand, dafs D bei ungleichen oberen und unteren Einlagen und bei Rippenkörpern aufserhalb des Schwerpunktes wirkt, hat hierauf nur geringen Einflufs. Die Verbiegungen hängen fast, oder ganz allein von den Momenten ab, und unter dieser Annahme ist x unabhängig von der Gröfse der Momente, die Nullinie liegt demnach in einem Körper überall gleicher Stärke, auch überall an derselben Stelle- \ Richtig ist diese Grundlage nicht, denn wenn man die Veränderlichkeit der Elastizitätszahl mit der Spannung berücksichtigt, so erkennt man, dafs sich die Nullinie mit der Gröfse der Momente verschieben mufs. Nachdem aber diese ganze Abhandlung auf der Annahme unveränderlicher Elastizitätszahl aufgebaut ist, was sich für die Bauausführung auch als genügend herausgestellt hat, wäre es folgeunrichtig, nun von dieser Grundlage abzugehen. Auch ist der Einflufs der Veränderlichkeit der Elastizitätszahl gering, weil eben der Einflufs auf die Gröfse der Spannungen in den für Bauzwecke bedeutungsvollen I Fällen gering ist.

Wird nun hiernach die Ermittelung der Durchbiegungen unter Vernachlässigung von D für die tatsächlich wirkenden Momente ausgeführt, so trifft jedenfalls einer der Formelsätze IV A. b. a), IV A. b. y) oder IV B. b. a) zu, da stets x und die Spannungen tfb und tfe aus dem gegebenen Momente und den gegebenen Abmessungen des auf die Durchbiegung zu untersuchenden Verbundkörpers zu berechnen sind. Diese Formelsätze zeigen aber, dafs man stets öi = /iM und 6e — v M setzen kann, worin /a und v als die M anhaftenden Zahlenwerte aus den Formelsätzen abgelesen werden können.

d Ai

dPT

1. Formänderungsarbeit des Beton druck es.

Die Spannung auf dem Flächenteilchen dz (Abb. 17) ist

Abb. 17.

k-—* -

I

Tiere =J.

*---dl--->

Nun ist jede Durchbiegung d =

, worin Aj die ganze

von den Momentspannungen verrichtete Formänderungsarbeit, und Pn eine in Richtung der zu ermittelnden Durchbiegung wirklich wirkende, oder in dieser nur angenommene und deshalb am Schlüsse der Rechnung wieder = 0 zu setzende Last bedeutet.

Die Formänderungsarbeit Ax aus den Momententspannungen ist aber nach der üblichen Bezeicbnungsweise ¹ M² dl

Jo

worin d 1 das Differenzial der Länge, J das Trägheitsmoment des Querschnittes ist für Verbundkörper, namentlich statisch bestimmt gelagerte, bleiben die Momente M dieselben, wie für jeden in gleicher Lage befindlichen Tragkörper,

2.EJ

abz

die Fläche d z. 1 und der Weg, das ist die Verkürzung von

/t 2

b J dl, folglich die Formänderungsarbeit des Teilchens dl

Eb

Z — X

1 (7b .dz Oh z d 1 xEb

to

X JU-

6Eb

, also da Ob — fA M gesetzt wurde:

[M² d 1.

2. Formänderungsarbeit der Zugeinlage. Die Kraft ist <p der Weg das ist die Verlängerung

(p ₀

also bei Oe — rM die Formänderungsarbeit:    - M² dl.

2 Ee

(Je

dl,

3. Formänderungsarbeit der Druck ein läge.

Die noch nicht in Rechnung gestellte Kraft ist nach — a

Textabb. 1 (n— 1) </>' <7b    —

derselbe, wie der des Beton an der Stelle der Druckeinlage,

also <Jb -X

X Üjj-j

so angelegt, dafs Beton und Eisen sich um Gleiches verkürzen müssen. Die Formänderungsarbeit ist für tfb == /U M somit:

, der Weg der Verkürzung ist

d 1, denn die Untersuchung ist von vorn herein

(n — 1) fx — a)² cp¹

M² d 1.

2 . x². Eb

Werden diese drei Beträge zusammengezogen, so ergibt sich als Formel für die Durchbiegung eines Verbundkörpers: (n — 1) (x — a)² cp'

x²

dPn

v² cpj M² dl

Hiernach können die üblichen Durchbiegungsformeln mit genügender Genauigkeit verwendet werden, wenn statt

rj J

Gröfse

die

y = 14.0,00472

39 —4 — 11,08

11,08

Das bei VIII D ermittelte Moment war 8430

— 0,1425. kgcm

IX. 1)

V² cp

E,

£' Eb 3

x , ,

- -f (« - 1)

9>‘

eingeiührt wird, in der bei zwei gleichen Einlagen statt cp' auch cp zu setzen ist.

Als Beispiel möge die Durchbiegung der Rippendecke , VIII D für volle Belastung mit einer Probelast von 1200 kg/qcm, der 1,5 fachen Nutzlast, berechnet werden, und zwar sollen die erforderlichen Ermittelungen so angestellt werden, als seien die Mafse der Decke noch nicht bekannt; so wird zugleich eine Proberechnung gewonnen.

Da D — 0 ist, und zwei Einlagen angeordnet wurden, liegt

qcm

der Fall IV. A. b.y) mith = 39 cm, cp = 0,226

qcm

cm

, cp‘ — 0,15

cm

a = 4 cm und den sonstigen Werten des Beispieles VIIII) vor. Danach ist:

x = (13.0,15 + 14.0,226).

( i~ ,    13.4 75,15 + 14(39 —4) 0.226 _ +

vy -t'    (13.0,15 + 14.0,226)²    /

= 11,08 cm,

wie früher, und der Faktor von M aus dem Ausdrucke für ob:

11,08 39—4—

¹¹f-)+2.13.0,15¹l++(39-2.4)

= 0,00472, der Faktor von M aus dem Ausdrucke für ö0 durch Einsetzen von <7b:

, also

j würde hier folgen 6b — 8430 . 0,00472 = 39,8 kg/qcm, öe — 8430.0,1425 = 1200 kg/qcm, die Rückrechnung stimmt also fast ganz genau.

cm

Die als

zu benutzende Gröfse wird somit nach IX 1) J hi

^1408-4 *

^ V 11.08 J

0,1425².0,226 , 0,00472² [11,08 150000 [    3

= 0.000000002851.

2100000

0,15

Die Formel für die Durchbiegung in der Mitte eines voll

belasteten Trägers auf zwei Stützen ist

5 p . I⁴

384 . E J’

also wird die

Durchbiegung in diesem Falle für p = 0,12 kg/qcm Verkehrslast: 5.0,12 . 725⁴ . 0,000000002851

384

1,23 cm.

Da diese Untersuchung den Widerstand der Beton-Zugspannungen nicht berücksichtigt, so mufs die gemessene Durchbiegung etwas kleiner bleiben, als diese berechnete.

In Fällen verwickeltem Momentengesetzes, in denen keine fertige Durchbiegungsformel zur Hand ist, mufs der Wert rx M² dl Vo ~2

dPn

/"

O

d Pn

d 1 erst ausintegriert werden, auf

den Ausdruck IX 1) für T hat das keinen Einflufs.

Jbi J

KRAKÖW

.

¹

Zeitschrift für Architektur und Ingenieurwesen 1901 S. 133; 1902 S. 243.

²

Wir heben hervor: Ho topp, Zeitschrift für Architektur und Ingenieurwesen 1906, S. 281; $r.=3ng. P. Weiske, Dinglers Polytechnisches Journal 1902, November, Heft 46, S. 725 und ®r.«3ng--Dissertation an der Technischen Hochschule zu Hannover.

*>

H' i v - A ¹ - .

ttuchdruckerei von Carl Ititt.er in Wiesbaden

r,i.V

' v- ,

Bibhoteka Politechniki Ktakowskiej

*

100000302704

• ,

.»■

i'i,

* *

r

PÖLITECHNIKA KßAKOWSKÄ BiSLIOTEKÄ GLÖWNÄ

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5; V

1.34061

Kdn. 524. 13. IX, 54

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