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DER BRÜCKENBAU

Zentralorgan für Straßen- und Eisenbahnbrücken, Fußgänger-, Kanal- und Gerüstbrücken.

Herausgeber und Schriftleiter: Dr. Jakcb Friedrich Meißner in Heideiberg.

Telefon 1829 Verlag der Fachpresse, Verlagsgesellschaft m. b. H. in Heidelberg.

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Sonder=Abdruck aus Heft 1, 2 u. 3, Jahrg. 1918

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Der versteifte Bo genbalkenträger

(D.R.P. 298738).

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Von 0v.=3ttg- Johs. Thieme

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Der versteifte Bogenbalkenträger (D.r.p. 298738)

Von ‘Sr.^ng. Johs. Thieme, Buxtehude, Oberlehrer und Privatdozent (Mit 52 Abbildungen)

in Köln, in welchem die Brückenbauanstalt

A. Der Bogenbalkenträger im Vergleich mit dem steifen Bogen und Gustavsburg für die Ueberbrückung der

aufgenommenem Bogenschub

großen Mittelöffnung einen schlaffen Stab-

ner Bogenbalkenträger, soweit er aus voll-    Veistei{un^ger

U wandigem \ eisteifungsbalken und ei- In statischer Hinsicht als dem Bogen-nem an ihm nach unten oder oben ange- balkenträger durchaus gleichwertig ist übri-brachten, auf Zug oder Druck in Anspruch gens der in den letzten Jahrzehnten häufiger genommenen Bogengurt besteht (Abb: 1u. 2) zur Ausführung gelangte steife Bogen mit :5Tt~i ",    ,    ,-^h    ,in baulicher Zugband anzusehen. Beide Trägerarten

Beziehung als Mit- unterscheiden sich von einander nur da-Abb./.^^l—telding zwischen durch, daß bei der letzteren die Versteifung

dem Blechbalken    ___ mitrlpm Rncrpnmirt

und dem Fachwerkträger angesehen wer- ^    bei der anderen

Abb. 2

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angewendet worden.    kungsweise bedingten Eigenschaften — für

Die erste Ausführung erfolgte — aller- die praktische Anwendung kommen ledig-dings mit einem parallelgurtigen Fachwerk lieh der Baustoftbedarf und die Formände-als Versteifungsträger — durch den bekann- rungen durch die Nutzlast in Betracht ten Ingenieur Langer für die Murbrücke in — miteinander übereinstimmen, so daß sie Graz im Jahre 1881. Von späteren Anwen- insoweit als gleichwertig gelten dürfen und düngen sind die Ihmebrücke in Hannover die Wahl der einen oder anderen Anord-und die Ueberführung des Kurfürstendamms nung im Einzelfalle von ihren sonstigen über den Bahnhof Halensee in Berlin zu Eigentümlichkeiten abhängig zu machen ist.

Daß diese Trägerart aber auch Als solche sind zu berücksichtigen das höheren Anforderungen genügt, zeigt der Aussehen und die Aufstellung, sowie die zweite Wettbewerb für die Straßenbrücke Werkstattarbeiten.

^ tumlicher \ orzuge bunden ist (Abb. 2 u. 3). Sie werden daher bisher nur selten

nennen.

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Als einziger Nachteil gegenüber dem Fachwerk ist lediglich die größere elastische Nachgiebigkeit des Bogenbalkenträgers beim Uebergang von Nutzlasten anzusehen. Daß ersteres im allgemeinen ein etwas kleineres Eisengewicht erfordert als der letztere, ist deshalb von geringerer Bedeutung, weil dieser Vorteil durch höhere Werkstatts- und Aufstellungskosten nahezu wieder ausgeglichen wird.

Indes auch der Uebelstand der größeren Formänderungen ist zu vermeiden, gleichzeitig damit aber eine etwa vorhandene Abb. 5. Ueberlegenheit des Fachwerks durch sein geringeres Ei- / sengewicht wieder ^

einzuholen, sobald man im Bogenbalkenträger eine geeignete Versteifung vorsieht, wie Haben die Versteifungsträger dann ihre sie durch Schräg-richtige Lage erhalten, so werden, soweit stäbe in den Mittel-nötig, die einzelnen Trägerstücke mitein- feldern (Abb. 6 u.7) ander verbunden, die Zwischenkonstruk- oder auch in den tionen, wie Fahrbahngerippe, Verbände, seitlichen Feldern erreicht werden kann, eingebaut und die Bogengurte aufgesetzt oder angehängt.

Ueber ersteres läßt sich verschiedener Meinung sein. Der statisch empfindende Fachmann wird zwar bei der Betrachtung des als Versteifungsträger ausgebildeten, über die Brückenbahn emporstrebenden Bogens sich insofern befriedigt fühlen, als die in der Ansicht beträchtliche Breite desselben die Sicherheit zu gewähren scheint, daß auch bei ungünstiger Nutzlastwirkung ein Ausknicken nach oben oder unten ausgeschlossen ist; andrerseits kann aber auch die Empfindung aufkommen, als ob wenigstens bei größeren Bauwerken von beträchtlicher Höhe und geringerem Abstande der beiden Tragwände diese durch Wind und Sturm zur Seite gedrückt werden müßten.

Jedenfalls wird bei Brücken, für welche das Aussehen nicht in erster Linie entscheidend ist, den anderen praktischen Gesichtspunkten, der Aufstellungsmöglichkeit und der Werkstattbearbeitung, erhöhte Bedeutung beizumessen sein. Und mit Rücksicht auf diese, insbesondere aber auferstere, ist der Bogenbalkenträger dem steifen Bogen mit aufgehobenem Bogenschub überlegen.

Sei der Versteifungsträger des Bogenbalkenträgers nun vollwandig oder als Fachwerk ausgebildet, er wird sich immer in Stücken, so groß wie Bahnbeförderung oder sonstige Anfuhrmittel gestatten, auf die Baustelle bringen lassen. Diese werden dann mit Hilfe von Derrickkrahnen vorgestreckt oder aber am festen Ufer zu ganzen Brückeri-längen, unter Umständen bereits mit sämtlichen Verbänden, zusammengesetzt und über die Oeffnung vorgeschoben. In beiden Fällen genügen statt eines festen durchlaufenden Gerüstes wenige, in Abständen von 10 bis 30 m zu errichtende Zwischenjoche, auf welche die vorderen Enden der Trägerstücke aufgelegt oder über die die zusammengesetzten Trägerstücke hinweggeschoben werden (Abb. 4 u. 5).

Abb. b.

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Versteifungsträger

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— Zwischenjoche

Beide Aufstellungsarten mit dem Einrammen, Abbinden und etwa nötigen Verankern der wenigen Zwischenjoche, mit dem Vorstrecken durch fahrbare, auf den bereits ausgelegten Trägern laufenden Derrickkrahne oder mit Vorschieben der bis auf die Bogengurte am Ufer fertig zusammengesetzten Brückenteile und endlich dem Anbringen der Bogengurtungen selbst, erfordern bei weitem nicht diejenige Zeit, welche für die Aufstellung eines hoch über der Fahrbahn liegenden steifen vollwandi-gen oder Fachwerkbogens mit festem Gerüst benötigt wird. Mit dem Zeitaufwand und überhaupt mit der Einschränkung der auf der Baustelle auszuführenden Arbeiten vermindern sich aber auch die Kosten der Aufstellung.

Indes auch die Werkstattarbeiten gestalten sich einfacher und werden billiger, wenn etwa die Hälfte des gesamten Eisengewichts auf den als vollwandiger Blechträger oder als parallelgurtiges Fachwerk auszuführenden Versteifungsbalken entfällt, als wenn letzterer mit gekrümmten Gurtungen auszuführen ist, wie beim vollwan-digen oder fachwerkartigen steifen Bogen mit aufgenommenem Bogenschub.

Sichern aber diese Vorzüge dem Bogenbalkenträger den Vorrang gegenüber dem steifen Bogen mit aufgenommener Bogenkraft derart, daß letzterer nur seines Aussehens wegen ihm noch vorgezogen werden könnte, so ist er aus den gleichen Gründen auch dem gewöhnlichen Fachwerkbalken überlegen.

B. Der versteifte Bogenbalkenträger im Vergleich mit dem Fachwerk

Abb. 6.

Abb 7.

Die Gewichte eines Fachwerks und eines Bogenbalkenträgers für eine Eisenbahn-

Abb. 8?

Abb. 9 ?

brücke mit obenliegender Fahrbahn von beispielsweise 48 m Stützweite betragen für ersteres nach den von Dircksen für die Brücken der Preußischen Staatsbahn angegebenen Beziehungen (540 -j- 27.48) kg/m für Hauptträger und Verbände, 490 kg/m für Fahrbahngerippe, zusammen also 2330 kg/m, für den Bogenbalkenträger aber, wie er in den Abbildungen 12 u. ff. dargestellt ist, rd. 2000 kg/m. Dabei entspricht das angegebene Gewicht der Fachwerksbrücke dem preußischen Lastenzug A mit 17 t Loko-motiv- und 13 t Tender- und Wagenachs-drücken, während für den Bogenbalkenträger der Lastenzug B mit Achsdrücken von 20 bzw. 15 t angenommen wurde. Der für das F'achwerk berechnete Wert würde also, um

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änderungen in den Wandstäben erleidet das erstere — ein Parabelträger — eine Einsenkung von 3,6 cm, der Bogenbalkenträger dagegen nur eine solche von 2,9 cm. Die Abb. 10 u. 11 geben weiterhin die Durchbiegungen beider Trägerarten für Querschnitte, die etwa in den Viertelspunkten, und zwar um 14,4 bzw. 13,3 m vom Auflager entfernt sind. Die ungünstigste Einwirkung des preußischen Lastenzuges B hat beide-male Einsenkungen von 3,2 cm zur Folge. Während also hinsichtlich der Durchbiegungen in den Viertelspunkten beide Trägerarten gleich dastehen, ist der versteifte Bogenbalkenträger dem Fach werke mit Rücksicht auf die Einsenkungen in der Mitte überlegen. Dies rührt daher, daß bei ihm der

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einen zutreffenden Vergleich zu bieten, noch um etwa 10 v. H. auf rd. 2560 kg/m zu erhöhen sein.

Selbst wenn man aber annimmt, daß dieser Betrag im Einzelfalle bei geschickterer Durcharbeitung sich etwas vermindern läßt, so bleibt er immer noch beträchtlich genug, um erkennen zu lassen, daß der versteifte Bogenbalkenträger, hinsichtlich des Eisen g e w i c h t e s dem Fachwerkträger nicht unterlegen sein wird. Zu seinen weiteren Gunsten spricht aber nachdrücklich der Umstand, daß, wie bereits hervorgehoben wurde, etwa die Hälfte des Gesamtgewichts auf einen für die Werkstatt und Aufstellung vorteilhaften vollwandigen Blechbalken entfällt, daß also die Einheitspreise niedriger werden, als beim Fachwerk.

Was nun die Durchbiegungen beider Trägerarten anlangt, so veranschaulichen die Abb. 8 u. 9 die Einflußlinien für die Einsenkungen in Brückenmitte des Fachwerks und des Bogenbalkenträgers. Bei ungünstigster Einwirkung des preußischen Lasten-zugsB und beiBerücksichtigung der Längenvolle Querschnitt des Versteifungsträgers als Druckgurt wirksam wird, der mit 5,03 qdm reichlich um die Hälfte größer ist, als der entsprechende Fach werksobergurt.

Zu Gunsten des Bogenbalkenträgers kommt ferner in Betracht, daß bei hängendem Bogengurt die Hauptträger noch mit einem Abstande ausgeführt werden können, der gestattet, die Querschwellen unmittelbar aufzunehmen, während das Fachwerk, wenn nicht die Obergurtstäbe außer auf Druck auch auf Biegung beansprucht werden sollen, die Einfügung eines Fahrbahngerippes verlangt.

Allerdings wird der Hauptträgerabstand dabei bis auf 2,1 m vermindert, was indes z. B. nach „Hütte“ III. (21. Aufl.) S. 1057,

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= 2,0 m.

Die Berücksichtigung des Winddrucks

bedingt hierbei keinen Mehraufwand an Eisen, weil die Querschnittsbeanspruchung auch bei günstigster Nutzlast noch soweit unter dem bei gleichzeitigem Auftreten des Windes maßgebenden Werte bleibt, daß die Gesamtspannung den zulässigen Wert nicht überschreitet. Dagegen kann beim Fachwerkträger recht wohl wenigstens im mittleren Teile eine Vergrößerung der Obergurtquerschnitte erforderlich werden. Außerdem wird durch Einträgen der aus dem Winddrucke stammenden Zusatzgurtkräfte im allgemeinen dadurch noch eine Nebenbeanspruchung hervorgerufen, daß der Anschluß des Windverbandes unsymmetrisch, dicht unter dem oberen Gurtflansche, stattfindet.

weite (s. Abb. 12—20)

Der Versteifungsträger besteht aus einem 14 mm starken Stegblech von 1100 mm Höhe, mit Gurtwinkeln von 100.150 . 16 und 1 bis 2 Gurtplatten 330 . 16 sowie einer dritten Gurtplatte 330.9 im mittleren Teil. Die ganze Baulänge von 48,3 m wird in 4—6 Stücke aufgeteilt, die auf der Baustelle vor dem Ueberschieben oder nach dem Auslegen auf die Zwischenjoche durch Gruppenstöße (Abb. 15 c) miteinander verbunden werden. Soll die Einwirkung des Baugewichts auf die Biegungsmomente des Trägers ausgeschaltet werden, so bleibt der mittlere Stoß zunächst als Gelenk bestehen und wird erst nach Anbringen des Bogens und Entfernung der Zwischenstützen, nachdem das ganze Baugewicht zur vollen Wirkung gelangt ist, biegungsfest geschlossen.

Bei größeren Stützweiten wird allerdings auch für Bogenbalkenträger, falls nicht besonders tragfähige Querschwellen verwendet werden, der Einbau eines Fahrbahngerippes erforderlich werden. Doch wird man in einer Zeit, wie der gegenwärtigen, in welcher ein möglichst weitgehender Ersatz von Eisenbauteilen durch solche aus anderen Baustoffen angestrebt wird, auch die Verwendung von Querschwellen ³%c noch für angebracht halten können, die einen Hauptträgerabstand von 2,5 m und eine Stützweite von 60 m gestatten. Auch würde dem kaum etwas im Wege stehen, nach amerikanischem Vorbild die Querschwellen dicht an dicht, also mit etwa 30 cm Abstand von Mitte zu Mitte, zu verlegen, so daß die Annahme der Verteilung eines Raddrucks auf je zwei Querschwellen berechtigt ist und solche von ²⁴/3o cm noch bei 2,5 m Hauptträgerentfernung genügen würden.

Ein weiterer, wenn auch weniger in die Erscheinung tretender Nachteil des Fachwerks gegenüber dem Bogenbalkenträger besteht darin, daß es erheblich größere Nebenspannungen erhält als der vollwan-dige Versteifungsbalken des letzteren, für den lediglich die dem zusammengesetzten Blechträger entsprechenden Werte von etwa 10 v. H. statt 30 v. H. der durch das Biegungsmoment bzw. durch die Stabkraft hervorgerufenen Spannung in Betracht kommen würden. Auch kann es recht wohl als Vorzug für ein Brückenbauwerk angesehen werden, wenn das Fahrbahngerippe entbehrlich wird, dessen Teile durch die Formänderungen der Hauptträger und zwar teilweise unter erheblicher Erhöhung ihrer Beanspruchungen in Mitleidenschaft gezogen werden.

So zeigen sich denn zu Gunsten des versteiften Bogenbalkenträgers verschiedene Vorteile, deren Verwertung in der Praxis allerdings noch in etwas davon abhängen dürfte, daß nicht die bauliche Durchbildung und die statische Behandlung erheblichere Schwierigkeiten verursachen. Auf diese beiden Gesichtspunkte soll daher in den fol-

genden Abschnitten näher eingegangen werden.

C. Die bauliche Durchbildung des versteiften Bogenbalkenträgers für eine Eisenbahnbrücke von 48 m Stütz

Der Hängegurt besteht aus 2 Universaleisen von ⁴⁰/*7o bis ⁴⁰/440 mm. Für seinen Anschluß an den Versteifungsträger ist ein Bolzen unter entsprechender Verstärkung des letzteren wie auch der Gurteisen selbst vorgesehen (Abb. 15 a u. 18 a).

Einige Schwierigkeit könnte die Durchführung des Bogengurts durch die unteren Flanschen des Versteifungsträgers verursachen. Sie wird in der Weise gelöst, daß in den letzteren Spalte von solcher Breite gelassen werden, daß durch sie die Zugeisen mit ihren verstärkten Köpfen hin-durchgestecktwerdenkönnen. Derdabeidem Trägerflansch verloren gehende Querschnitt wird durch im ganzen 4 Winkeleisen ersetzt, die auf die stehen bleibenden Streifen der Flanschen aufgenietet werden und die letzteren selbst zugleich davor schützen, daß sie unter der Einwirkung einer von ihnen aufzunehmenden Druckkraft ausknicken. Um aber überhaupt neben den Spalten noch solche Streifen zu erhalten, werden auf etwa 2,3 m vom Auflager die Winkel 100 . 150 . 16 durch solche von 100.200.16 und die Platten 330.16 durch solche von 420.16 ersetzt.

Der Bogengurt erhält seine Ecken unter den Pfosten. Die dort befindlichen Stöße der Zugeisen werden durch Bolzen- und Nietverbindungen gesichert. Die Aufgabe des Bolzens ist es, einmal ein schnelles Zusammensetzen des Bogengurts zu ermöglichen, dann aber, zu verhindern, daß er vor Schluß des Mittelstoßes durch die bei der Beseitigung der zur Aufstellung verwendeten Zwischenjoche und beim Wirksamwerden des Baugewichts im Versteifungsträger auftretenden Formänderungen

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Abb. /4. Querschn/11.

Abb. f2-20. Darstellung eines versteiften ßogenbaiAenträgers für eine f/senöahndruc/re von A-8,0m Stützweite.

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in Mitleidenschaft gezogen wird. Nach Schluß des zunächst als Gelenk belassenen Mittelstoßes werden die zur Erzielung der Tragfähigkeit noch nötigen Niete geschlagen. Daß hierbei die Bolzen höher beansprucht werden als die Niete, ist deshalb unbedenklich, weil sie unschwer aus einem besseren Material hergestellt werden können.

Um aber diese Niete zu schlagen, ist ein gewisser Abstand zwischen den beiden den Bogengurt bildenden Universaleisen und ihren Laschen vorzusehen, während diese am Trägerende möglichst zusammengezogen werden müssen. Die dazu nötige Richtungsänderung im Verlauf der Eisen wird durch die in Abb. 15a, b u. 18a, b ersichtlichen, mit a und b gekennzeichneten Vorrichtungen bewirkt.

Die Pfosten (s. Abb. 15b u. 17) vermitteln die Verbindung des Versteifungsträgers mit dem Bogengurt; für ihren Anschluß an beide Hauptbauteile sind lediglich Bolzen vorgesehen. Die beiden U-Eisen, aus denen sie bestehen, werden in solcher Weise an die zwischen den beiden Tragwänden anzubringenden Querverbände angeschlossen, daß sie auch ohne Vergitterung die erforderliche Knicksicherheit besitzen.

Von besonderer Bedeutung für die sichere Wirkung der Versteifung, die im Einbau zweier Schrägstäbe im Mittelfelde besteht, ist ihre zugfeste Verbindung mit dem Versteifungsbalken. Sie wird dadurch gewährleistet, daß durch die Gurtplatten eine in einen Ausschnitt des Stegblechs passende und an dieses durch ein Laschenpaar angeschlossene Platte c (Abb. 20a, b) hindurchgesteckt ist. Für die Schrägstäbe selbst ist ein Querschnitt aus 2 U-Eisen, die miteinander zu vergittern sind, vorgesehen.

Für die Pfosten und Schrägstäbe sind zunächst mit Rücksicht auf die Aufstellung Bolzenanschlüsse in Aussicht genommen; an Stelle derselben können indes ebenso wie an Stelle der Bolzenverbindungen zwischen den einzelnen Gliedern der Bogengurtung Vernietungen treten.

Im übrigen ist die bauliche Durchbildung aus den Abb. 12—20 ersichtlich und bedarf wohl kaum der weiteren Erläuterung.

Wenn nun derBogengurt sich nach oben erstreckt und dabei auf Druck in Anspruch genommen wird, so ist sein Anschluß an denVersteifungsträger, falls er selbst doppel-stegig, letzterer aber einstegig ist, zwar mit einer gewissen Schwierigkeit verbunden, keineswegs aber ein Ding der Unmöglichkeit; entweder werden die beiden Stege des Bogengurts am Ende zusammengeführt, oder der Steg des Versteifungsträgers wird in zwei Stege aufgelöst. Es können aber auch die Stege des Bogengurtes am Ende überhaupt weggelassen und durch weitere Deckplatten ersetzt werden, die dann mit den übrigen auf den nach abwärts abge-

Bei einem Balken mit nur einem Gelenke wird dieses bei auch sonst symmetrischer Anordnung in die Milte des Versteifungsträgers zu verlegen sein (Abb. 22).

bogenen Obergurt des Versteifungsträgers aufgenietet werden.

Weder die Anordnung mit Zug-, noch diejenige mit Druckbogen stellt also Aufgaben, die für eine mittlere Eisenwerkstatt besondere Schwierigkeiten bedeuten; es werden ja gleichartige Konstruktionen häufig, wenn auch für andere Zwecke, ausgeführt.

D. Die statische Behandlung des versteiften Bogenbalkenträgers

Der mit einer Mittelversteifung ausgerüstete Bogenbalkenträger kann je nach den im Versteifungsträger vorzusehenden Gelenken statisch bestimmt, ein- und zweifach unbestimmt sein; erhält er statt einer Versteifung im Mittelfeld deren zwei in seitlich der Mitte gelegenen Feldern, so kann die Zahl der Enbestimmtheiten auf drei an-wachsen usf.

Eine statisch bestimmte Anordnung ergibt sich bei Vorhandensein eines Versteifungsfeldes in der Mitte, wenn zu beiden Seiten derselben zwei Gelenke vorgesehen werden (Abb. 21). Diese Anordnung dient

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Abb.    lAZi mit Vorteil als statisch bestimmtes Hauptnetz für das zweifach unbestimmte gelenklose I ragwerk. Sowohl bei dem statisch bestimmten Tragwerk als solchem wie im statisch bestimmten Hauptnetze der zweifach unbestimmten Anordnung werden die Gelenke zweckmäßig dorthin gelegt, wo im gelenklosen Balken die Biegungsmomente möglichst klein ausfallen, also etwa derart, daß sie die Trägerstücke zwischen Auflager und Versteifungsfeld im Verhältnis von 3:1 teilen.

Abb. 22.

Das Tragwerk ist dann für unsymmetrische Belastung einfach statisch unbestimmt, für gleichmäßige bzw. symmetrisch zu der Mitte verteilte jedoch statisch bestimmt. Dieser Anordnung ist indes eine größere praktische Bedeutung nicht beizumessen und zwar wegen der ihr eigentümlichen Formänderungen; sie soll deshalb hiermit nur erwähnt sein, ohne daß auf sie weiter eingegangen wird. Wird sie gelegentlich aus besonderen Gründen gewählt, so hat man als statisch bestimmtes Hauptsystem den unversteiften Bogenbalkenträger mit Mittelgelenk und als statisch nicht bestimmbare Größe X die lot-

rechte Seitenkraft der die Versteifung bildenden Schrägstäbe im Mittelfeld in Rechnung zu stellen.

Werden dagegen beiderseits der Mitte zwei Versteifungsfelder — nach Abb. 23 —

Abb. 23 vorgesehen, so ergibt sich bei Vorhandensein von drei Gelenken im Versteifungsträger ein statisch bestimmtes Tragwerk, und mit Wegfall von 1, 2 oder von allen 3 Gelenken eine ein-, zwei- bzw. dreifache Unbestimmtheit. Die Gelenke werden in diesem Falle in der Mitte und ferner zwischen den seitlichen Versteifungsfeldern und den Auflagern vorzusehen sein. Als statisch bestimmtes Hauptnetz eines solchen Bogenbalkenträgers würde wieder die mit 3 Gelenken versehene Anordnung der Abb. 23 anzusehen sein.

Werden ferner drei Versteifungsfelder angeordnet, so entsprechen diesen bei statischer Bestimmtheit vier Gelenke usf.

Für das Tragwerk ohne ein Versteifungsfeld wird nach Angabe von Müller-Breslau, welcher derartige Gebilde im zweiten Band seiner graphischen Statik behandelt, im allgemeinen als statisch nicht bestimmbare Größe die Bogenkraft verwendet. Infolge dieser Annahme wird indes der Verlauf der Einflußlinien des dann verbleibenden statisch bestimmten Hauptsystems, des als einfacher Balken auf zwei Stützen wirkenden Versteifungsträgers, in verhältnismäßig hohem Grade durch die statisch nicht bestimmbare Größe abgeändert. Es sind daher bei der Berechnung der letzteren zeichnerische Verfahren weniger am Platze, weil die ihnen eigentümlichen und kaum vermeidbaren, wenn auch an sich geringen Ungenauigkeiten das Ergebnis zu stark beeinträchtigen können.

Anders liegen dagegen die Verhältnisse, wenn das statisch bestimmte Hauptsystem derart gewählt wird, daß der Einfluß der statisch nicht bestimmbaren Größe von vornherein vergleichsweise unbedeutend ist, dieser also gewissermaßen nur eine Korrektur der Einflußlinien des Hauptsystems vorstellt. Da aber mit abnehmendem Einfluß der statisch nicht bestimmbaren Größe auch die Bedeutung der bei ihrer Ermittlung etwa vorkommenden Ungenauigkeiten abnimmt, so steht einer ausgedehnteren Anwendung des zeichnerischen Verfahrens zu ihrer Bestimmung nichts mehr im Wege.

Das Gleiche gilt auch weiter bei der Ermittlung der Einwirkung der statisch nicht bestimmbaren Größen auf die Biegungsmomente, Quer- und Stabkräfte des untersuchten Tragwerks, denn indem jene an Einfluß abnehmen, vermindert sich auch die

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Abb. f5 ? Trägerende mit Anschluss des Hänqequrtes.

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Bedeutung etwaiger weiterer Ungenauigkeiten in ihrer Einwirkung auf die einzelnen Tragwerksteile.

Als statisch bestimmte Hauptsysteme kommen also im vorliegenden Falle Gebilde in Betracht, deren Momentenverlauf dem des unbestimmten Tragwerks möglichst ähnlich ist, die also, um den Ausdruck zu gebrauchen, der verwendeten unbestimmten Trägerart verwandt sind. Man erhält sie, indem man sich den ungefähren Verlauf der ungünstigsten Formänderungen des Versteifungsträgers vergegenwärtigt und an den Wendepunkten der Biegelinie den vollen Trägerquerschnitt durch Gelenke ersetzt.

Bei einem Bogenbalkenträger mit mittlerem Versteifungsfeld ist nun der Balken derart mit dem Boger.gurt in Verbindung gebracht, daß unter Nichtberücksichtigung der in den einzelnen Stäben und im Versteifungsträger wirksamen Achsenkräfte und der durch diese hervorgerufenen Stablängenänderungen die beiden Anschlußpunkte der Feldversteifung (Abb. 24a) bei einseitiger

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Belastung des Versteifungsträgers ihre ursprüngliche Lage beibehalten. Die Folge davon ist, daß der letztere wie ein in 4 Punkten, den Auflagern und den Anschlußpunkten der Feldversteifung, gestützter durchgehender Balken wirkt und dementsprechend auch die Formänderungen eines solchen erleidet, daß also eine Biegelinie entsteht, die nach Abb. 24b verläuft und einen Wendepunkt W. P. besitzt. Werden aber die durch die Längenänderungen der einzelnen Stäbe ermöglichten weiteren Formänderungen des ganzen Tragwerks berücksichtigt, so ergibt sich eine Senkung der beiden Anschlußpunkte gegen die Auflagerpunkte und weiter eine Verdrehung der Verbindungsgeraden der ersteren. Durch beideWirkungen wird aber der Wendepunkt an das Versteifungsfeld herangerückt, so daß eine Biegelinie entsteht, deren Charakter durch Abb. 24 c wiedergegeben wird.

Entsprechend den bei derartigen durchgehenden Balken obwaltenden Verhältnissen wird der Wendepunkt die Länge des Balkenteils im Verhältnis von etwa 1:3 bis 1:4 teilen. Für das statisch bestimmte Hauptsystem werden dann an die Stelle der Wendepunkte die Gelenke zu verlegen sein.

Soll das Tragwerk aber als statisch bestimmtes, also mit 2 Gelenken, ausgeführt werden, so gilt zur möglichsten Verminderung der Momente im Versteifungsträger dasselbe: die Gelenke werden die Länge des Balkenteils im Verhältnis 1 :3 bis 1 :4 teilen müssen.

Wenn ferner n Versteifungsfelder im Tragwerk vorhanden sind, so bedarf es des Einbaues von (n —(— 1) Gelenken imVerstei-fungsträger, um statische Bestimmtheit herzustellen. Mit der Verminderung der Anzahl der Gelenke um m wird der Träger innerlich m-fach unbestimmt, und werden als statisch nicht bestimmbare Größen, wie bereits oben erwähnt, die in den Querschnitten der wegfallenden Gelenke auftretenden Biegungsmomente in Betracht kommen.

Man würde dann mit 1, 2, 3 und auch mehr statisch nicht bestimmbaren Größen zu arbeiten und demgemäß die Ordinaten der schließlichen Einflußlinien aus den Ordinaten des statisch bestimmten Hauptsystems und 1, 2, 3 und mehr Beiträgen der einzelnen statisch nicht bestimmbaren Größen zusammen zu setzen haben. Dieses Verfahren ist zwar umständlich und zeitraubend, würde aber natürlich zumZiele führen. Eine wesentliche Vereinfachung ergibt sich nun aus folgender Betrachtung:

Der Einfluß von solchen unbestimmten Größen, die außerhalb desjenigen Trägerteils angreifen, in dem der jeweils zu untersuchende Querschnitt liegt, ist auf diesen nur gering, und zwar umso geringer, je weiter sie von dem betreffenden, durch zwei Versteifungsfelder oder durch ein solches und ein Endauflager begrenzten Trägerteil entfernt sind. Nun ist es zwar nicht zulässig, den Einfluß dieser statisch nicht bestimmbaren Größen zu vernachlässigen; er kann aber ersetzt werden durch eine entsprechende Erhöhung derWirkung der in Betracht kommenden benachbarten Versteifungsfelder, so daß man es bei der Untersuchung schließlich nur mit einer einzigen, die Einflußlinien des Hauptsystems modifizierenden, statisch nicht bestimmbaren Größe zu tun hat, nämlich mit derjenigen, welche in dem betreffenden Trägerteil selbst vorhanden ist.

Diese in Rechnung zu stellende Erhöhung der Wirkung der Versteifung wird in folgender Weise bestimmt.

Die Kraft „1“ verursacht in ihrer Richtung eine Verschiebung Ö* ihres Angriffspunktes u (Abb. 25), wenn sie am Knoten-

Abb. 25.

punkt des Versteifungsdreiecks angreifend gedacht wird, während der rechts vom Versteifungsfeld befindliche Trägerteil durch

— ö,r

8'

Y'

Y'-j-Y -fr für Y' und -fr

ü8‘n d. i. aber mit Einsetzung von

8U

8'

8' -f d"

UU-

iü —

\?

das Gelenk m die der Verschiebung 8* entsprechenden Formänderungen zwang- und widerstandslos ausführen kann. Die Kraft „ 1 “ verursacht dagegen in ihrer Richtung die Verschiebung 8U ihres Angriffspunktes u, wenn das Versteifungsdreieck nicht vorhanden sein, an Stelle des Gelenkes m aber ein biegungsfester Querschnitt treten würde.

Werden so durch die Einheitskraft die Verschiebungen 8* und 8U hervorgerufen, dann entsprechen einer in beiden Systemen gleich großen Verschiebung 8 die Kräfte

Y' = 4t und Y"

Mit Beseitigung des Gelenkes m wird also der Widerstand des Knotenpunktes u des Versteifungsdreiecks gegen eine Verschiebung im Sinne der angreifenden Kraft von Y' auf den Betrag (Y' -f- Y") erhöht, und wird dementsprechend die durch eine äußere Kraft Yu verursachte Verschiebung von S'u vermindert auf ö„ für Y" : rVu =

Bei der Untersuchung der elastischen Verhältnisse des Tragwerks, wie sie zur Feststellung des Wertes der in Betracht kommenden statisch nicht bestimmbaren Größe erforderlich ist, wird also an die Stelle des lediglich aus der Nachgiebigkeit des Versteifungsdreiecks bzw. seines Knotenpunktes u sich ergebenden Verschiebung <)' nur die Verschiebung 8U zu treten haben, womit dann dem Einfluß der statisch nicht bestimmbaren Größe des anderen Trägerteils Rechnung getragen wäre.

Sollten endlich mehrere Versteifungsfelder vorhanden sein, so würde in sinngemäßer Erweiterung der vorstehenden Ausführungen, z. B. bei Untersuchung der statischen Verhältnisse in dem zum Gelenk c gehörigen Trägerteil I (Abb. 26) die Ver-

flfT* T'l

Abb. 26.

Schiebung <)u des ihn begrenzenden Knotenpunktes sich ergeben als Wirkung aus dem elastischen Widerstand des zu ihm selbst gehörigen Versteifungsdreiecks, dem des Trägerteils II zwischen den* beiden Versteifungsfeldern und endlich dem des Knotenpunktes des rechten Versteifungsdreiecks. Der letztere aber ist wieder genau, wie im Vorhergehenden angegeben, zu berechnen.

Bei Feststellung der statischen Verhältnisse im statisch bestimmten Hauptsystem ist nun zu beachten, daß es für den mit einem Gelenk versehenen Trägerteil gleichgültig ist, ob die anderen von ihm durch Versteifungsfelder getrennten Trägerteile in sich statisch bestimmte Stabwerke, voll-wandige Scheiben oder sonst welche Gebilde vorstellen. Die statischen Verhältnisse in dem jeweils untersuchten Trägerteile werden jedenfalls durch die statische Beschaffenheit der anderen Trägerteile nicht beeinflußt, so daß es ohne Bedeutung ist, ob sie von einem Auflager und einem Versteifungsfeld oder von zwei Versteifungsfeldern begrenzt werden.

Für die Bestimmung der Momente, Quer-und Stabkräfte ist daher der betreffende Trägerteil anzusehen als ein mit einem Gelenk versehener Versteifungsträger, unterstützt durch einen auf Zug oder auf Druck wirkenden Stabbogen. Dementsprechend werden die Einflußlinien in bekannterWeise, zweckmäßig mit Hilfe ihrer Nullpunkte ermittelt, wie für einige Biegungsmomente in der Abb. 26 veranschaulicht ist. Ueber das hierbei einzuschlagende Verfahren und seine Begründung sei auf die Lehrbücher von Müller-Breslau Bd. I, Mehrtens, Vorlesungen u.a. verwiesen, kurz gefaßte Angaben finden sich auch in „Hütte“ Bd. III, S. 111 ft'. (21. Aufl.), Foerster’s Taschenbuch S. 292 f. (2. Auf!.).

E. Zur statischen Untersuchung des in Abschnitt C besonders behandelten Bogenbalkenträgers für eine Eisenbahnbrücke von 48,0 m Stützweite

Für das im Abschnitte dieses Aufsatzes eingehender behandelte Tragwerk, eine Eisenbahnbrücke von 47,97 m Stützweite, eingeteilt in 9 Felder von je 6,33 m, deren mittleres durch Einfügung von zwei im Knotenpunkt u miteinander und mit dem Bogengurt in Verbindung stehenden Schrägstäben als Versteifungsfeld ausgebildet ist, ergibt sich nach obigen Darlegungen nun folgender Gang der statischen Untersuchung.

Die durch die beiden vorhandenen Versteifungen, diejenige des Versteifungsträgers selbst und diejenige des in Trägermitte vorgesehenen Versteifungsfeldes bedingte zweifache statische Unbestimmtheit wird für das statisch bestimmte Hauptsystem durch Einfügung zweier Gelenke c und d beseitigt, welche die Stützweite des ganzen Tragwerks in drei gleichlange Stücke teilen, also in die Achsen der Pfosten 3 fallen und die von den Auflagern und dem Versteifungsfeld begrenzten Stückei und II des Versteifungsträgers im Verhältnis 3 : I teilen (s. Abb. 36).

Als statisch nicht bestimmbare Größen

EJm

my1

Abb. 28.

werden die in den Gelenkquerschnitten des Versteifungsträgers entstehenden Biegungsmomente Xc und Xd in Rechnung gestellt. Die Wirkung der statisch nicht bestimmbaren Größe Xd auf den zum Gelenk c gehörigen Trägerteil I wird durch eine entsprechende Erhöhung des durch das Versteifungsdreieck geleisteten Widerstands gegen die von der äußeren wagerecht gerichteten Kraft H angestrebte Verschiebung des Knotenpunkts u ersetzt, so daß für die Querschnitte des linken Trägerteils als statisch nicht bestimmbare Größe lediglich das Moment Xc zu berücksichtigen ist. Für die Querschnitte des rechten Trägerteils II gilt Entsprechendes und kommt für sie lediglich Xd als statisch nicht bestimmbare Größe in Betracht.

Man erhält dann die für die einzelnen Laststellungen in Frage kommenden Werte der statisch nicht bestimmbaren Größen, wenn dec die gegenseitige Verschiebung eines Punktpaares ca und Cb, das im Abstande von 1,0 m (bzw. 100 cm) vom Gelenkmittelpunkt c befindlich, als Angriffsstelle der beiden dasMomentXcc = 1 hervorrufenden Einheitskräfte von 1 t betrachtet werden kann, in Richtung dieser (s. Abb. 27),

ca cö J "    \

■ - vTir^Ts ll

u

Die letztere wird mit Hilfe der elastischen Gewichte ermittelt, die sich ihrerseits aus der Beziehung

Wm —

ergeben, in welcher ^/F$mm der Inhalt des in Betracht kommenden Teiles derMomenten-fläche, E die Elastizitätsziffer (= 2150 t/ qcm) und Jm das Trägheitsmoment im Querschnitt m, bzw. für die der Momentenfläche VF^m entsprechende Teilstrecke des Versteifungsträgers.

Dabei werden, statt daß, wie sonst üblich ist, die ganze Momentenfläche in Trapeze aufgelöst wird, deren Inhalte, geteilt durch das Produkt (EJ), als elastische Gewichte in den Schwerlinien jener angreifen, die Momentenflächen zweckmäßiger in Dreiecke aufgeteilt, deren Grundlinien die — im vorliegenden Fall überall gleichgroßen — Feldweiten l und deren Höhen dieMomentenordi-naten s3Jtm bilden (Abb. 28). Die diesen Teil-

Gr-1

m    rrt+f

rw V

Abb. 27. '

<km die entsprechende gegenseitige Verschiebung desselben Punktpaares, verursacht durch die Einwirkung einer Einheitslast im Querschnitt m des Versteifungsträgers,

f>mc die Verschiebung des Angriffspunktes m einer äußeren Kraft in Richtung dieser, hervorgerufen durch das Einheitsmoment Xcc im Gelenk c,

das durch die in m angreifende Einheitslast verursachte Moment im Gelenkquerschnitt,

— letzteres zu

Xcm —VWXcc d. i. aber nach dem Satz

⁽'CC

von der Gegenseitigkeit der Verschiebungen und mit Xcc = 1

(<>mc a Öcc '

Zur Verwertung dieser Beziehung bedarf es einer Darstellung der Durchbiegungen des Versteifungsträgers, also der dem Moment Xcc entsprechenden Biegelinie, deren Ordinaten die Verschiebungen S Auch die gegenseitige Verschiebung öcc des Punktpaares ca und Cb wird aus dieser Biegelinie gewonnen.

XCm

Xcm

mc

liefern.

momentenßächen entsprechenden elastischen Gewichte sind dann, je nachdem sie auf der Seite des Auflagers a oder b des Trägerquerschnitts m liegen, mit w Wmb zu bezeichnen. Sie sind gleich groß, da sie zu Dreiecken von gleicher Grundlinie /, gleicher Höhe gehören und auch das Trägheitsmoment überall mit demselben Betrage, nämlich mit 1246000 cm⁴, in Rechnung gesetzt werden soll. Sie greifen in den Drittelspunkten der Abstände Ä an.

Die Biegelinie ist dem zu den so bestimmten w-Kräften gehörigen Seileck eingeschrieben, derart daß sie letzteres in den Querschnittslinien (m — 1), m, (m -j- 1) usf. (Abb. 28) berührt.

Bei der Ermittlung der elastischen Gewichte ist nun zu unterscheiden zwischen denjenigen im linken, zum Gelenk c gehörigen Trägerteil I (wi bis wf), dem Gewichte wc für den Gelenkpunkt c, und den Gewichten für den rechten, auf der anderen Seite des Versteifungsfeldes befindlichen Träger teil II.

Die Gewichte für den linken Trägerteil I sind nach Vorstehendem ohne weiteres anzugeben.

Das elastische Gewicht für das Gelenk c erhält man dagegen, wenn unter cl und G die im Knotenpunkt c' vereinigten Endpunkte der beiden Gurtungsstäbe B3 und B4 verstanden werden (Abb. 29) und die das

tna

und

Gewicht wc bestimmende gegenseitige Verschiebung der Punkte cl und cl ist, zu ö'

wc = —.

halb des Teils I, wenn 48'e — . y und p = w (Abb. 30)

Ax

yc

Abb. 29.

’b

Abb. 30.

3,C

ÜU

2’y² . H X

Die gegenseitige Verschiebung der Stabendpunkte cl und cl setzt sich aber zusammen aus den Beiträgen

1.    <+ der Längenänderungen des Versteifungsträgers selbst und der Hängebogengurtung zwischen den Querschnitten durch a und u, wobei der Einfluß der Längenänderungen der Pfosten, als zu unbedeutend, vernachlässigt werden soll,

2.    <51* infolge der Verbiegung des Versteifungsträgers, wieder zwischen dem Auflager und dem Versteifungsfeld,

3.    +₃ der Verschiebung des Punktes u.

Es ist nun

1. (51, = 2Js'

2s

K* — 2’wy =

_ (2,24² + 3,92² + 5,04² + 5,60²)    X

yc . 5,04    • Uü ^

. 153300 bzw. = 0,6201

3. Endlich berechnet sich die gegenseitige Verschiebung des Punktpaares cl und cl aus der Nachgiebigkeit des Knotenpunktes u zu = ()\, letzteres aber entsprechend der Verschiebung + des Punktes u als Knotenpunkt im Versteifungsdreieck einerseits und aus derjenigen d" für u als Bogengurtendpunkt der rechten Tragwerkshälfte — unter Ausschaltung des Versteifungsdreiecks — andererseits so, wie am Schluß des vorigen Abschnittes D dargelegt ist.

Hierbei gilt für (Abb. 31) folgendes:

“ EIyc

yc

EI

EI

XH

COS <jp’

worin (p der Neigungswinkel des betreffenden Stabes gegen die wagerechte Achse des Versteifungsträgers.

A- 5.33

--*1

A/2

Für den letzteren selbst istT^s'

4,5 X. H

CS

FE

4,5 XH 516 E

= 0,0087

XH

«Cj-

o

o-

Für den Bogengurt mit den Stabkräften

U == —, den Stablängen s = —-—, erhält cos <p    cos cp

man dagegen

2Js⁴ = ±2

Us

XH

Am Punkte u greift, hervorgerufen durch Xcc = 1,0 tm, die Bogenkraft

Xcc _

_V

E — F cos cp    E ~F.cos⁸<jp

, und

mit

COS (f

cos³ (f

1000

F .cos⁸ ff

zus.

Bi

ß₂

Bs

B4

Bö

1,000 1,000

'OONNN t> vo io io io co co co co co

oonoN't oo cq Or oo, co co co co cT cT

12,51

+ 2,84

= 13,9

also

XH

XH

• COS °q>

Es berechnet sich also S'el — 2 As⁴ für Versteifungsträger und Bogengurt

XH

XH

_ „ (0,0087 + 0,0139) — 0,0226 E    E

2. Es ist ferner die Verschiebung aus der Verbiegung des Versteifungsträgers inner-

als äußere Kraft an

“ 5,04

und verursacht in den Schrägstäben, deren Länge d = 620 cm und deren Querschnitte F = 81,8 qcm sind, die Stabkräfte

yc

sowie die entsprechenden

Längenänderungen D.d

Jd =4

gp, endlich aber die Verschiebung

des Punktes u

K = Jd.-I =

2.620³ HX

Hd d 2d X • EF ‘ X

2 d³ HX E F . X³ * E

= 0,0385

Bei Berechnung von <$" *) ist zu beach-

”81,8 . 533³ ' E

*) An Stelle der am Ende des Abschnittes D verwendeten Einheitskraft und ihrer Wirkung werden in den folgenden Beziehungen die wirkliche Bogenkraft H und ihr Einfluß auf die Verschiebungen benutzt; es treten also an Stelle der Verschiebungen 0' und o"

die Werte §'u und öü durch H =

5,04 t-

ten, daß die Verschiebung des Punktes u, hervorgerufen durch die Stablängenänderungen und die Verbiegung des Versteifungsbalkens der rechten Tragwerkshälfte durch H, ebenso groß ist wie diejenige des linken Teils und mit dem bereits bestimmten Werte 04 + 0 übereinstimmt, also

Alle elastischen Gewichte sind dann der Reihe nach zu einem Kräftezug zusammenzusetzen (Abb. 37), und zwar wird ihr Maßstab zweckmäßig so gewählt, daß man die-

de

ö"= (0,0226 + 0,6201) ^ = 0,643

Sb

Man erhält daher

AH

0,643

T + Ö“ •r)'¹    0,039 + 0,643

.0,0385 „ E

J€j> ooe

AH

= 0,0364

So berechnet sich schließlich der Gesamtwert

x = 4 + <4 + <4

tca

Abb. 33.

und hieraus

E (0,0139 + 0,6201 + 0,0364) = 0,6704

E

jenigen des linken Trägerteils I aus dem Trägernetz (Abb. 36) oder auch aus einer besonderen Darstellung der Momentenfläche (Abb. 35) entnehmen und unmittelbar übertragen kann.

fl 66.35.

Wc =

d'e _ 0,6704

533

yc

504    ' 5,04 . 2150    15300‘

1 bsril__^    _    .

i~3 i %r.    "O

4cm • 100 Ivm,

Wenn endlich das Versteifungsfeld nicht vorhanden wäre, würden die elastischen Gewichte für den rechten Trägerteil ebenso groß sein, wie für den linken. In diesem Falle müßte sich aber auch der Punkt u ungehindert durch das Versteifungsdreieck im Mittelfeld bewegen können. So aber ist dieser nur in der Lage, einen Bruchteil der Verschiebung V auszuführen; es ist ihm durch seine gleichzeitige Zugehörigkeit zum Versteifungsdreieck nur gestattet, sich um die Strecke ->u zu bewegen. Demzufolge wird auch nur ein entsprechender Bruchteil der Bogenkraft H zur Wirkung auf die reehte Trägerhälfte gelangen und im Verhältnis geringere Verbiegungen im Teil II des Versteifungsträgers, mithin aber auch entsprechend kleinere w-Gewichte zur Folge haben. Diese, die mit wr bezeichnet werden sollen, besitzen dann die Werte

0,0364

w--—

' 0,643

Ist dann der Inhalt einer dem elastischen Gewicht wmil oder wmb entsprechenden Momentenfläche

und der Wert des elastischen Gewichts selbst

AMm 1 2    ’ EI’

bzw. für den Querschnitt 3 mit

M3 = (Mc = Xcc =) 100 tem 533 . 100

2.2150 .1246000 ~ 100500’ wird dieser ferner bei einem Längenmaßstab Veoo als eine Strecke von y3 = 0,84 cm der Abb. 36 entnommen, so stellt für die w-Strecken vor

W3a = W3b =

1 cm =

Einheit der

Wr =

d'u

= 0,057 w.

w . je =

U

Die in den Kräftezug bzw. in die Polfigur einzusetzenden die wr darstellenden

r-

-4- ¹

0,84 . 100500    84420

w-Kräfte,

und wird entsprechend die Einheit der letzteren dargestellt durch eine Strecke von 84420 cm.

In diesem Maßstabe wird das elastische Gewicht für das Gelenk c wiedergegeben durch die Strecke

__r_

w des linken Trägerteils

w des rechten / Träger teils

— *\ — WC ) -

84420

= 5,52 cm.

Abb. 32.

15300

Sollen ferner die Ordinaten der Biegelinie bei einem Längenmaßstabe V⁶°o in 300-facher Vergrößerung gewonnen werden, so wird der Polabstand

# = 300 . 600 = 180 000sten Teil

Strecken wr erhält man aus den w-Strecken des linken Trägerteils mit Hilfe eines Verkleinerungsmaßstabs (Abb. 32).

*) Hier wie im Folgenden sind die wagerecht überstrichenen Buchstaben die Zeichnungslängen der UrZeichnung in cm der durch sie bedeuteten Größen.

der w-Einheit werden, in der Zeichnung also als eine Strecke von der Länge

— 0,470 cm

Ncm

<Lc

4,52    _ 0,00943

300 . tca ~ 300.480 —    300

^3c

tg J'cb =

Man hat also mit

^mc

*cc

mc*

d'cc

ge-

d. i. aber = M

mc«

mC)

0,84

0,50

84420

180000

erscheinen müssen.

Sind nun auf diese Weise alle für die Bestimmung der Durchbiegungen des Versteifungsträgers erforderlichen Angaben vorhanden, und ist mit ihrer Hilfe das zu den w-Kräften gehörige Seileck gezeichnet, auch die dem letzteren eingeschriebene Biegelinie bestimmt (Abb. 38), so bedarf es zur Verwertung der oben angeschriebenen Gleichung

dmc

d'cc noch der Feststellung des Wertes der gegenseitigen Verschiebung d'cc.

Diese ergibt sich, wenn nach Abb. 33 ;'ca und /cb die Neigungswinkel der beiden Zweige der Biegelinie im Gelenkquerschnitt c sind und wenn ferner d'3c die lotrechte Verschiebung des Gelenkes (bzw. des Trägerquerschnitts 3) vorstellt,

Öcc = 100(cm> (tg ?'ca + tg Tob),

und mit

tg J'ca =

4,52    _ 0,01016

300 U — 300.445 “    300

wobei die Tangenten tca und tCb aus der Abb. 38 entnommen werden, ö __ 100 (0,00943 + 0,01016) _ 1,959 'cc ~    300    ~ 300 '

Das im Querschnitt m durch die zugehörige statisch nicht bestimmbare Größe Xcm hervorgerufene Biegungsmoment ist nunmehr

M mc - X cm • M r

worin MmC dasjenige Moment, welches durch Xcc = 1,0 tm im Querschnitt m erzeugt wird.

X. cm -

Mmc = -/c. m;

^cc

—,j

(bet*, n Sec) -\ j c^nc ,

| (bnn/.ndmc)

Abb.

Zur zeichnerischen Bestimmung der Momente Mmc wird von einer lotrechten Achse aus (Abb. 34) im Abstand f)cc vom Nullpunkt 0 das Moment Mmc wagerecht abgetragen. Dann stellt die Strecke r, welche in der Entfernung dmc vom Nullpunkte auf einer Wagerechten durch die von jenem aus und durch den Endpunkt von Mmc zogenen Gerade abgeschnitten wird, das gesuchte Moment Mmc und zwar im Maßstabe von Mmc vor, denn es ist

r = tt~ . Mr

^CC

Liefert die Zeichnung dagegen die (ndmc) und (ndCc), so treten diese in Abb. 34 an Stelle der d'mc und Öcc.

Sollen ferner die Mmc nicht im Maßstab der Einflußlinien für die Biegungsmomente angetragen, sondern einer bereits vorhandenen Figur, in welcher sie in einem anderen Maßstabe Vorkommen, entnommen werden, so sind diese Werte, statt im Abstand öcc bzw. n<)Cc in der Entfernung Dcc bzw. i (n<Lc) anzutragen, wobei i das Verhältnis der die Einheit des Biegungsmomentes vorstehenden Strecken in der Entnahmefigur und in den Momenteneinflußlinien bedeutet.

Im vorliegenden Fall ist die Vergrößerung der Durchbiegungen n = 300, und für die Bestimmung von i der Maßstab der Entnahmefigur (Abb. 36) 1 tm = 0,84 cm, in der Darstellung der Momenteneinflußlinien (Abb. 41 ff.) dagegen 1 tm = 0,50 cm; daher tritt an Stelle des Abstandes ndcc der Abb. 34 ein solcher von

. 300 <5cc = 1,68.300 ()'cc, d. i. aber mit

300 dcc = Ac = 1,959 cm i (n <ycc) = iöcc = 1,68.1,959 = 3,29cm (Abb. 39).

Hiernach werden die Beiträge der statisch nicht bestimmbaren Größen zu den Biegungsmomenten unschwer ermittelt; es wäre nur noch festzustellen, ob durch sie die Biegungsmomente des statisch bestimmten Hauptsystems eine Vergrößerung oder Verkleinerung erfahren, die aus der Abb. 39 erhaltenen Werte also zu den Ordinaten des Hauptsystems hinzuzufügen oder von ihnen abzusetzen sind.

Zu einer schnellen Beantwortung dieser Frage dient die Erwägung, daß mit Beseitigung des Gelenkes c auch die ihm entsprechende Ecke der Einflußlinien desHaupt-systems verschwinden muß, daß also die zu dmc gehörenden Momentenordinaten — und mit ihnen auch alle diejenigen, die den oberhalb der Grundlinie der Abb. 38 gelegenen Verschiebungen entsprechen — in den Abb. 41 —49 nach unten abzutragen sind, denn nur so kann durch sie die Beseitigung der Einflußlinienecke erreicht werden.

Besonderer Beachtung bedarf die Mo-mentenlinie für den Querschnitt 4,5. Das Moment desselben ergibt sich als arithme-

tisches Mittel aus den Momenten in den gleichschenkliges Dreieck mit der Spitze in links und rechts gelegenen Querschnitten der Mitte und einer zusätzlichen Ordinate 4 u. 4r. Man erhält die Einflußlinienordinate daher durch Bildung der Summen aus

M.F.d.W-6

250im

Abb. 50. Darsfe/fung der W.(3 = -H. ~ + M.

Jr

"TTT

b) Für ^ M.

a) Für 4 M.

Wmk

Wnk

51.) Lasten zog

Maße in m Achsdrucke in /.

6.0cm

5-

---y

’ 14»

yr

1    5 33

?7a-J = l,33tm, also 4    ’

einer Länge von 0,67 cm zum Ausdruck kommt (Abb. 49).

Die Biegungsmomente allein stellen aber noch nicht die ungünstigste Beanspruchung der einzelnen Trägerquerschnitte vor; diese Q entsteht vielmehr durch gleichzeitiges Auf-treten der Momente und der von dem Trä-!    ger aufzunehmenden Bogenkraft, so daß

*    man erhält

für das Moment von

m 1: 600

SI

$ K-

stir

LA-

-l-j» ö

ZZ'

N'

---Vj-

----^

Hs

H _ M F W’

und bei Erweiterung beider Seiten mit W Wo= — H~+M.

‘l FL

Zzü⁵isf

r; « sl

^-■‘'4 f jrsf

sh

[iiii|iifi^iminrjinilftii| ^ I

¹⁰ ^ ^ s 1 Br S

H ³‘P jnJ W $    $

Abb.k? 99 Einflußlinien der Mo/nenfe und WGf

'S)

für rjjo e/ngest hr/ebenen G(uer sehn) /te . 0,5 7,0

?!

li

i\

fjl

II

!\

Abb. 4/.

;\

51 x

CM

vt*

-I

Sk * LAlLA

\N

AI?

Es ist aber W _ J _ 1246000 F ”aF “58,2.516 Wn = — 41,4 H 4¹ M = q⁷ M — 41,4 H.

Von den M-Li-nien trägt man also nach beiden Seiten die 41,4-fachen H-Werte ab und erhält dann die für die oberen bezw. un-teren Randspan-1 nungen maßge-| benden Werte, ^ aus denen diese 4 selbst zu g TM - 41,4 H

a — -——■—

— 41,4, also

!1

'i

i\

• <$N

N ?!

^ \ i

\\

Abb 36~39 Ermittlung der Btegehnie (Ftq 38.) für Xcc

1 o rm und der M

1cm der

>r-

Abb 36.

~9

4-

----(.

.ei*

kOh

i    .r

N‘ " N

cn

£ zuberechnensein 4 würden.

Die Bogenkraft Hm im Querschnitt m ergibt sich aber aus dem Betrag ITm des statisch bestimmten Hauptsystems und dem-jenigen Hmc der statisch nicht bestimmbaren Größe, also Hm = H°m — H Die Einflußlinie für die Bogenkraft des Hauptsystems verläuft nach einem Dreieck mit der Spitze im Querschnitt c und

fn

3.0 /vn

■ \\\-

\4

Einfl

--74

ia V

ysipjnj u

V.

3? d

>3- _jr.—

sfi /

mo

den entsprechenden Ordinaten für die Einflußlinie des Querschnitts 4 und Halbierung der dortigen Ordinate derselben. Zwischen den beiden Ordinaten    tjo _ 1 3^.6^.    2.5,33

4 und 4r tritt aber noch der Einfluß einer    c yc 91    5,04

innerhalb des Versteifungsfeldes wirksam Die Beiträge der statisch nicht bestimmwerdenden Einzelkraft hinzu, der durch ein baren Größe ergeben sich aus dem Moment

= 2,08 t.

Mcm

mc

yc

= 2.31 tm, dem

ment von

300 Scc

= 0,46 t entspricht, so daß zu der

von

griffen und nach Erweiterung mit ” = 41,4

im geeigneten Maßstab in die Momenten-flguren 41 — 49 übertragen. Es entspricht hierbei einer Bogenkraft von beispielsweise 3t, die in Abb. 40b durch eine Strecke von 3 cm dargestellt wird, ein Wert des Pro-W

duktes . H von 41,4 . 3 = 124,2 . tcm,

darzustellen im Maßstab 1 cm = 2tm = 200

124,2 _ 200 ~

nun im

noch die

H’

Mcm, das durch die im Querschnitt c auftretende Einheitskraft hervorgerufen wird,

zu H

Die Mcm sind aber in der Einflußlinie für den Querschnitt c bezw. 3,0 (Abb. 46) erhalten, sie können indes auch mit Hilfe der Biegelinie unmittelbar gewonnen werden. Die hierzu erforderliche Schräglinie in Abbildung 39 a isQdadurch bestimmt, daß einer Verschiebung ömc — d3c (== 300 d3c) ein Mo-

4,52 ~~ 1,96

Moment M3C = 2,31 tm aber eine Bogenkraft 2,31 5,04

Ordinate <hc — 4,52 cm im Maßstabe 1 t = 1 cm die die Bogenkraft darstellende Strecke H3c = 0,46cm gehört. Die durch den Nullpunkt 0 und den Endpunkt von H3c verlaufende Schräglinie begrenzt auch die die übrigen Hmc darstellenden wagrechten Strek-ken, welche in Abb. 40 von der Einflußlinie des Hauptsystems aus nach oben oder unten abgetragen die Einflußlinie für die Bogenkraft des statisch unbestimmten Tragwerks liefern.

Aus Abb. 40 werden dann die H abge-

tcm, also durch eine Strecke von 0,621 cm.

Ein auf einem Streifen Pauspapier gezeichneter Lastenzug — es kommt bei allen Einflußlinien lediglich der in Abb. 51 angegebene in Frage — wird dann in ungünstigster Stellung über die Einflußlinie geschoben und werden die (WQ-Ürdinaten mit dem Zirkel addiert und in Abb. 50 angetragen. Ihre Endpunkte werden durch passende Kurven verbunden,- so daß sich die dort dargestellten Linienzüge ergeben, und zwar links für die den positiven, rechts für die den negativen Momenten entsprechenden (WQ-Werte. Der Maßstab ist 1 cm = 50 tm. In demselben Maßstabe wird unterhalb der Grundlinie der -=j = 41,4-fache

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Beitrag der Bogenkraft aus dem Eigengewicht von 1,3 t/m einer Tragwand einschl. Fahrbahn angetragen. Endlich werden die Tragfähigkeiten (Wk) der gewählten Querschnittsformen mit 1 und 2 Gurtplatten von je 33 . 1,6 cm und mit einer dritten Gurtplatte von 33.0,9 cm — s. Abb. 50 e — der wirklichen Inanspruchnahme gegenübergestellt, so daß in bekannter Weise die erforderlichen Lamellenlängen bestimmt werden können.

Der Versteifungsträger wird wesentlichen auf Druck und Biegung beansprucht; an denjenigen Stellen, für welche ein größeres negatives und ein kleineres positives Moment in Betracht kommt, wird der Obergurt zwar mit 2 und 3 Gurtplatten auszustatten sein, für den Untergurt aber unter Umständen nur eine Lamelle nötig werden. Soll dem Rechnung getragen werden, so bedarf es noch der genaueren Bestimmung der Exzentrizität der Bogenkraft im Versteifungsträger, und werden daher

außer den

^1-UVVj    zu ermjtteln und der Ueber-

sicht halber in Abb. 50 anzutragen sein.

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Man erhält dann die Exzentrizität zu e = hat also die in Abb. 50 übertragenen 5~

im besonderen in Abb. 50d angegebenen Maßstabe abzulesen, während Abb. 50 c den Maßstab für die Biegungsmomente bzw. die (Wo)-Werte gibt. Auf eine gut mögliche zeichnerische Bestimmung der e-Abstände und ihre Verwertung zur Feststellung der oben und unten erforderlichen Gurtplatten weiter einzugehen, liegt außerhalb des Rahmens dieser Arbeit und soll einem späteren Aufsatze Vorbehalten bleiben.

Es erübrigt noch, die in den Schrägstäben des Versteifungsfeldes wirksamen Kräfte kennen zu lernen. Sie sind abhängig von dem Unterschied der in dem Knotenpunkt u angreifenden beiderseitigen Horizontalkräfte. Zu ihrer Ermittlung dient die Einflußlinie für die dH in Abb. 40a, deren Or-dinaten sich als Unterschiede der symmetrisch links und rechts von der Mitte befindlichen Ordinaten der Bogenkrafteinflußlinie H (Abb. 40) ergeben.

Die Querkräfte im Versteifungsträger lassen sich, wenn erforderlich, unschwer in bekannter Weise aus den Momenten benachbarter Querschnitte gewinnen. Ihre Ermittlung ist aber im allgemeinen entbehrlich, da, soweit es sich um einen vollwan-digen Tragbalken handelt, die aus konstruktiven Gründen erforderliche Nietung immer ausreichend sein wird. Zeichnet sich doch der Bogenbalkenträger gerade dadurch aus, daß der größere Teil der Querkraftwirkung durch die Bogenform der Gurtung aufgenommen wird und der Versteifungsbalken daher nur Querkraftreste aufzunehmen hat.

träger außer dem vollwandigen genieteten Querschnitt vor allem auch Differdinger und Damit wären wohl alle für die Beurtei- bei kleineren Bauwerken auch gewöhnliche lung des versteiften Bogenbalkenträgers, für J-Normalprofile in Frage kommen. Aber seine wirtschaftliche und bauliche Ueber- auch für die Ausführung in Eisenbeton bietet legenheit gegenüber anderen Anordnungen der versteifte Bogenbalkenträger, nachdem sowie für die statische Behandlung in der unversteifte schon längst zu einer für Betracht kommenden Gesichtspunkte er- größere Stützweiten beliebten Tragwerkart schöpfend behandelt. Es dürfte höchstens geworden ist, nicht zu unterschätzende noch zu erwähnen sein, daß als Versteifungs- Vorteile.

F. Schlußwort

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