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ZUR

BERECHNUNG RÄUMLICHER FACHWERKE:

ALLGEMEINE FORMELN

FÜR STATISCH BESTIMMTE UND INSBESONDERE STATISCH UNBESTIMMTE KUPPEL-, ZELT- UND TURMDÄCHER

VON

2>r.*3ng. L. SACHS.

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MIT DREI TAFELN.

öffentlichen Arbeite*

BERLIN 1905

VERLAG VON WILHELM ERNST & SOHN (GROPIUS’SCHE BUCH- UND KUNSTHANDLUNG)

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IlWCMG

Alle Rechte Vorbehalten.

INHALT.

Seite

Einleitung.........

Erster Teil..........

Allgemeines.

Kap. 1. Auflagerbedingungen „    2. Statische Bestimmtheit der Kuppeldächer 5— 6

,,    3. Gegendiagonalen..........

„    4. Erste Grundaufgabe.........

„    5. Gelenkachsenverfahren ......t

„    6. Prinzip der virtuellen Verrückungen . . .

„    7. Hookesches Gesetz.........

„    8. Zweite Grundaufgabe........

„    9. Dritte Grundaufgabe........

„ 10. Zerlegung der Diagonalspannungen .    .    .

1— 4

5—n

9—10

10

10—1 1

11

Zweiter Teil..................

Allgemeine Formeln für statisch bestimmte Kuppeln.

Kap. 1. Vorbemerkungen..........

„    2. Formeln für Spannkräfte der obersten Zone 14—19

a)    Ringstäbe Tx bis Tx.......

b)    Diagonalstäbe Dx bis D*.....

c)    Gratstäbe Gx bis Gx ......

„    3. Formeln für die Spannkräfte einer beliebigen rten Zone...........

12—21

12—14

14—¹5

15—17

17—19

19—21

Dritter Teil

22—42

Allgemeine Formeln für statisch unbestimmte Kuppeln. Kap 1 Zurückführung statisch unbestimmter Kuppeln auf statisch bestimmte .... „    2. Umrechnung der 6-Gleichungen .    .    .    .

22—24

24—25

„    3. Die Berechnung der Spannkräfte S₀, Sa, Sb 25—30

1) für Kuppeln mit Spitze ....

„ Laternenring .    .

2) „

. .    25—29

29-30

Seite

Kap. 4. Allgemeine Formeln für die Verschiebungen 30—42

1)    Die Verschiebungen der Zonenknotenpunkte .............

a) Bestimmung von Zd......

» &d •    ....

>» Vd......

2)    Die Verschiebungen des Spitzen-Knoten-

punktes............

a) Bestimmung von x₀......

b)

c)

31— 36

32— 34

34— 35

35— 36

b)

^0.....

3) Ermittlung der öaa. dab.. dac... öat... dbh. a) für Kuppeln mit Spitze .    .    .

a) die Verschiebung d¹ .    .    .

d° . . .

ß) für Kuppeln mit Laternenring .

b) „

36— 39

37— 38

38— 39

39— 42 39—41

40

40— 41

41— 42

Vierter Teil

43—55

Anwendung der Formeln.

Kap. 1. Feststellung der wirksamen äußeren Kräfte 43 — 46

1)    Der Winddruck.........

2)    Schnee- und Eigenlast.......

„    2. Zahlenbeispiel einer 6-eckigen statisch bestimmten Schwedlerkuppel......

„    3. Zahlenbeispiel eines einfach statisch un

bestimmten Zeltdaches mit Spitze über viereckigem Grundriß........

1)    Allgemeines...........

2)    Belastungsannahme ........

b)    das öaa „

c)    das da „

Probe . . .

43—45

46

46—49

49—55

49—50

50

Sa für Zustand Xa = — 1 50—51

(H)

(14)

5i

51—55

51—53

53

53

54—55

Litteratur - N achweisung

56

Einleitung.

Im Vergleich mit der umfangreichen Literatur über die Theorie der ebenen Fachwerke ist diejenige über räumliche Fachwerke nicht allzu umfangreich. Und doch kommen ebene Fachwerke für sich allein in der Praxis nicht vor, da ja stets mehrere solcher Fachwerke untereinander verbunden sind und so immer ein räumliches Fachwerk bilden. Bei jeder kleinen Eisenbahnbrücke bilden die beiden Plauptträger mit ihren Quer-und Windverbänden ein räumliches Fachwerk. Trotzdem hat man diese einfache Tatsache lange Zeit unberücksichtigt gelassen und sich z. B. bei Eisenbahnbrücken im Wesentlichen damit begnügt, nach Verteilung der Lasten auf die beiden Hauptträger diese als ebene Fachwerke zu berechnen. Solche unter Außerachtlassung der räumlichen Verhältnisse ausgeführte Berechnungen hat man später denn auch als eine der möglichen Ursachen hingestellt, welche den vielbesprochenen Einsturz der Mönchensteiner Brücke bei Basel im Jahre 1891 herbeiführten. Ungefähr um diese Zeit datiert auch der Beginn einer eingehenden Beschäftigung mit den Wirkungen der Kräfte in räumlichen Fachwerken. Föppl, Landsberg, Mohr, Müller-Breslau und Zimmermann haben seitdem viel über dieses Gebiet veröffentlicht und hierbei auch gezeigt, in welcher Weise die uns bei den ebenen Systemen geläufigen Berechnungsmethoden auf die schwierigeren räumlichen Systeme angewendet werden können.

Hierbei ist es dem Verfasser dieser Schrift aufgefallen, daß die erwähnten Arbeiten sich fast ausschließlich mit statisch bestimmten Systemen befaßten. Seit der Veröffentlichung einiger

Sach», Berechnung räumlicher Fachwerke.

Aufsätze von Mülle r-Breslau über achteckige Turmspitzen und über die Biegungsspannungen in ebenen, gelenklosen Ringen (Zentralbl. d. Bauverw. 1892, S. 256; Zeitschr. d. Ver. deutscher Ing. 1898 und 1899) ist über statisch unbestimmte Raumfachwerke nichts mehr erschienen. Und dennoch sind nach einer Bemerkung von Müller-Breslau in einer der eben genannten Veröffentlichungen bei Kuppeln die statisch unbestimmten Bauweisen vorzuziehen.

Die vorliegende Abhandlnng will nun den Versuch machen, die bezeichnete Lücke zum Teil auszufüllen. Es sollen allgemein gültige Formeln für die Berechnung statisch unbestimmter Kuppel-, Zelt- und Turmdächer hergeleitet werden, d. h. Formeln, welche bei der Berechnung eines jeden solchen Daches Verwendung finden können, sobald dieses nur über einem regelmäßigen Polygon errichtet ist und bezüglich der Auflagerung gewissen, später zu besprechenden Bedingungen genügt. Eine weitere Bedingung für die Gültigkeit der hergeleiteten Formeln ist die, daß die Dächer (vergl. Abb. 8) Gratstäbe besitzen, welche in allen Stockwerken in einer, durch die Mittelachse gehenden senkrechten Ebene liegen. Die Gültigkeit ist aber ausgeschlossen für sogenannte Netzwerkskuppeln. Es wird sich demnach bei den Kuppeln handeln um oben offene bezw. durch einen Laternenring abgeschlossene Schwedlerkuppeln. Ihre Gratstäbe haben in jedem Stockwerke verschiedene Neigung gegen die Horizontale. Bilden die Gratstäbe jedoch eine, durch alle Stockwerke durchgehende Gerade, so haben wir es mit Zelt- oder Turmdächern zu tun, je nachdem ein flaches oder sehr steiles Dach vorliegt. Unter „Kuppeln“ wollen wir im folgenden stets sämtliche drei vorgenannten Dacharten verstehen. Wir lassen also bei dieser Bezeichnung die Neigung der Gratstäbe gegeneinander, sowie die größere oder geringere Steilheit des Daches dahingestellt.

Die hergeleiteten Formeln erscheinen auf den ersten Blick etwas umständlich, besonders im Vergleich mit graphischen Methoden, die ja in speziellen Fällen einfacher sein können. Sie sollen auch nur einen stets gangbaren Weg für die Berechnung aller Kuppeln zeigen und nicht zur allgemeinen Anwendung empfohlen werden. Bei näherer Betrachtung gewinnen jedoch

die Formeln an Einfachheit insbesondere für denjenigen, welcher, wie Mohr (Zentralbl. d. Bauverw. 1903, S. 238), bei räumlichen Fachwerken die analytischen Methoden grundsätzlich vorzieht.

Die nachfolgenden Ableitungen sollen auch für denjenigen Ingenieur verständlich sein, welcher sich mit Raumfachwerken noch nicht beschäftigt hat. Es sind daher im Teil I diejenigen Verfahren zusammengestellt, deren Kenntnis zum Verständnis des Folgenden erforderlich ist.

Da ferner die statisch unbestimmten Fachwerke in der aus der Theorie der ebenen Fachwerke bekannten Weise auf die

Berechnung statisch bestimmter zurückgeführt werden, sind im Teil II zunächst die allgemeinen Formeln für statisch bestimmte, oben durch einen Laternenring abgeschlossene Kuppeln abgeleitet worden.

Teil III bringt die Formeln für die statisch unbestimmten

Systeme.

Teil IV zeigt die Anwendung der hergeleiteten Formeln an einigen Beispielen.

Erster Teil.

Zweiter Teil.

Dritter Teil.

Vierter Teil.

L.34016

Erster Teil.

Allgemeines.

Kap. 1. Auflagerbedingungen.

Wird ein Knotenpunkt in der Weise gelagert, daß er sich in einer Ebene frei bewegen kann, so ist ihm nur eine Auflagerbedingung vorgeschrieben. Dieses ist bei einem nach allen Seiten verschieblichen Gleitlager der Fall. Man kann sich in diesem Falle den Knotenpunkt anstatt durch das Auflager auch durch einen langen Stab gehalten denken.

Wird ein Knotenpunkt durch die Auflagerung gezwungen, sich in einer Geraden zu bewegen, so sind ihm 2 Auflagerbedingungen vorgeschrieben. Man kann sich hier den Knotenpunkt durch 2 Stäbe gehalten denken.

Kann sich ein Knotenpunkt infolge seiner Auflagerung nach keiner Richtung bewegen, so sind ihm 3 Auflagerbedingungen vorgeschrieben. Man kann sich hier den Knotenpunkt durch 3 Stäbe gehalten denken, die nicht in einer Ebene liegen dürfen.

Diese Auffassung der Auflagerbedingungen als Stäbe gewährt manche Vereinfachungen; es soll von ihr im folgenden stets Gebrauch gemacht werden.

Kap. 2. Statische Bestimmtheit der Kuppeldächer.

Die an einem Knotenpunkte angreifenden Kräfte, äußere Kräfte und Stabkräfte, einschließlich der Auflagerstabkräfte, sind miteinander im Gleichgewicht. Für jeden Knotenpunkt lassen sich aber drei Gleichgewichtsbedingungen aufstellen. Ist nun die Anzahl der unbekannten Stäbe nicht größer als die Anzahl der vorhandenen Gleichgewichtsbedingungen, so ist die erste Bedingung dafür erfüllt, daß das Fachwerk statisch bestimmt sei.

Bezeichnet

Je die Anzahl der Knotenpunkte, s die Anzahl der Stäbe, einschl. der Auflagerstäbe, so muß, wenn die statische Bestimmtheit eines Raumfachwerkes möglich sein soll, die Bedingung erfüllt sein:

(1)

s — oJc.

Die Mindestanzahl an Stäben, welche durch diese Bedingung verlangt wird, ist auch für die Steifigkeit erforderlich, aber nicht immer ausreichend. Es spielt hierbei auch die gegenseitige Lage der Stäbe eine Rolle. Näheres über diesen, für räumliche Fachwerke überaus wichtigen Punkt findet sich in der Dissertation von Ph. Völker: „Die Beziehungen zwischen den Auflagerbedingungen und Stabkräften beim ebenen und räumlichen Fachwerk“, Darmstadt 1902. Hier möge die Feststellung genügen, daß unsere im 2. Teil betrachteten Kuppeln Flechtwerke im Sinne von ,,Föppl, das Fachwerk im Raume“, 2. Abschnitt, Kap. 1, sind und daher brauchbare Fachwerke ergeben.

Kap. 3. Gegendiagonalen.

Fachwerke mit Gegendiagonalen sind eigentlich stets statisch unbestimmt. Man pflegt jedoch je zwei Gegendiagonalen in der Berechnung durch eine steife Diagonale zu ersetzen. Bei einem solchen Ersatz einer Diagonale durch die andere ändern sich nur die Spannkräfte der Stäbe des betreffenden Faches. Die Größe dieser Aenderung geht aus folgender Betrachtung hervor.

Hat man nach den später zu entwickelnden Formeln ein bestimmtes Dm (Abb. 1) gefunden, so hebe man (Abb. 2) diese Beanspruchung durch zwei gleich große entgegengesetzt gerichtete Kräfte Dm auf. Der Kräfteplan in Abb. 3 ergibt dann die Zusatzspannkräfte :

JTrm = — o)₀ D

= — COuD

JO

m-\-1 —    ^ &

In den Gegendiagonalen entsteht dann die Beanspruchung

r

-An'

(Müller-Breslau, Zentralbl. d. Bauverw. 1892, S. 201.)

Kap. 4. Erste Grundaufgabe.

Zerlegung einer gegebenen Kraft nach 3 gegebenen Richtungen. (Müller-Breslau im Zentralbl. d. Bauverw. 1902, S. 62.)

Bezeichnet in Abb. 4:

Su S₂, $₃ die 3 gegebenen Richtungen, ausgehend von Punkt A, Q, die nach Richtung und Größe gegebene Kraft,

1, 2, 3, B die Schnittpunkte von 8U S2l S₃, Q in einer, als Grundrißebene gewählten Ebene,

q die Länge AB,

„ Al,

6*i i»

h ,, Höhe von A über der Grundrißebene, c und d die Entfernungen der Punkte B und 1 von der Geraden 2, 3, gemessen in beliebiger, aber gleicher Richtung.

Da die am Punkte A wirksamen Kräfte miteinander im

Gleichgewicht sein sollen, so muß das Moment von Q, bezogen auf eine beliebige Achse, gleich sein der Summe der Momente von Sx, $2, Sa, bezogen auf dieselbe Achse. Will man nun z. B. die Größe der in Richtung Sx fallenden Komponente von Q ermitteln, so wähle man als Momentenachse die Gerade 2, 3, weil dann die Momente von S₂ und Ss verschwinden. Die fraglichen Kräfte Sx und Q werden in ihren Aktionslinien soweit verschoben, bis sie an den Punkten 1 und B angreifen. Dann werden sie in je 2 Komponenten zerlegt, je eine wagerechte, die durch die Momentenachse gehen und daher das Moment 0 haben,

Die Momenten

• c.

bezw. Q —. Q.

h

und je eine senkrechte: Sx —

si

gleichung lautet dann:

Hieraus folgt:

Betreffs des Vorzeichens merke man sich die Regel, daß die beiden Seiten der Gleichung gleiches Vorzeichen haben, wenn die Hebelarme c und d auf den verschiedenen Seiten der Momentenachse liegen, q ist hierbei als positiv zu rechnen, wenn Q nach der Grundrißebene hin gerichtet ist, im anderen Falle negativ.

Besonderer Fall:

Q wirkt parallel zur Grundrißebene.

Bezeichnet hier (Abb. 5) q die durch Punkt 1 in der Grundrißebene bis zur Momentenachse zu Q gezogene Parallele, so lautet die Momentengleichung:

iT‘²

* *

Hieraus folgt:

(3)

8t _ Q

Betreffs des Vorzeichens gilt hier die Regel, daß beide Seiten der Gleichung gleiches Vorzeichen haben, wenn die Richtung von q, vom Schnittpunkt 1 der gesuchten Kraft aus gesehen, dieselbe ist wie diejenige von Q.

Kap. 5. Gelenkaohsenverfahren.

(Landsberg, Zentralbl. d. Bauverw. 1903, S. 221 u. 361.)

Dieses Verfahren entspricht dem Ritterschen Momenten-verfahren in der Ebene. Schneidet man aus einem Raumfachwerke ein beliebiges Stück heraus, so muß ein jeder der beiden Teile, in welche das Raumfachwerk hierdurch zerfällt, unter der Einwirkung der auf ihn wirkenden Kräfte im Gleichgewicht sein. Zu diesen Kräften gehören die äußeren Kräfte, die Kräfte der Auflagerstäbe und die Spannkräfte der durchschnittenen Stäbe. Die Momentensumme aller dieser Kräfte muß also für eine beliebige Achse gleich Null sein. Gelingt es, diese Achse so zu wählen, daß alle Stabkräfte, mit Ausnahme einer, aus der Momentengleichung verschwinden (also entweder durch die Achse gehen oder ihr parallel sind), so ergibt die Momentengleichung sofort diese eine Stabkraft. Liegen z. B. alle durchschnittenen Stäbe, mit Ausnahme des gesuchten, in 2 Ebenen, so ist die Schnittlinie dieser beiden Ebenen als Momentenachse zu wählen,

Dann schneiden alle in den beiden Ebenen liegenden Stabkräfte diese Achse, verschwinden also aus der Momentengleichung.

Da dieses Verfahren in den folgenden Entwicklungen vielfach benutzt wird (S. 14 und folg.), kann hier von einem besonderen Beispiel abgesehen werden.

Kap. 6. Prinzip der virtuellen Verrückungen.

Denkt man sich einem System beliebig miteinander verbundener Punkte eine unendlich kleine Lagenänderung erteilt, die mit seiner Natur verträglich ist, so heißt eine solche eine virtuelle Verrückung. Der hierbei beschriebene Weg mn des Punktes m heißt seine virtuelle Verrückung. Die Projektion von mn auf die in m angreifende Kraft P, multipliziert mit dieser Kraft, heißt die virtuelle Arbeit des Punktes m.

Wenn die an einem beliebigen System angreifenden Kräfte im Gleichgewicht sind, so ist für jede virtuelle Verrückung des Systems die Summe der virtuellen Arbeiten gleich Null.

Bezeichnet:

Qm die im Punkte m eines Fachwerkes angreifende äußere Kraft,

6m die Projektion der virtuellen Verrückung des Punktes m auf die Kraftrichtung,

S die Spannkraft eines Stabes,

Js seine Längenänderung,

so ist:

(4)

Kap. 7. Hookesches Gesetz.

Bezeichnet:

S die Spannkraft eines Stabes, s seine anfängliche Länge,

das Längenänderungverhältnis, s

F den Querschnitt,

F den Elastizitätsmodul,

t die Temperaturveränderung in °C, s das Längenänderungsverhältnis für 1° C,

so ist:

(5)

Js

s ~~ E F

Kap. 8. Zweite Grundaufgabe.

(Verschiebungsplan nach Williot.)

Der Klarheit halber soll hier das Prinzip des Williotschen Verfahrens an einem ebenen System erläutert werden. Im Raume ist das Verfahren das gleiche, nur ist es für mehrere Projektionsebenen auszuführen.

Gegeben: (Abb. 14) 2 Punkte a, b und ein dritter, d, welcher mit a und b durch die Stäbe 1 und 2 verbunden ist; ferner die Verschiebungen 6a, dj der Punkte a und b und die Längenänderungen J1 und J 2 der Stäbe 1 und 2.

Gesucht: Die Verschiebung von d nach Größe und Richtung.

Lösung:

Von einem festen Pole 0 aus trage 6a und 6b der Größe und Richtung nach auf; in den Endpunkten al und b¹ bringe die Längenänderungen J 1 bezw. J 2, gleichfalls nach Größe und Richtung, an; in deren Endpunkten errichte dann, da die Drehung der Stäbe eine unendlich kleine ist, Lote; dann schneiden sich diese Lote im Punkte d¹. Die gesuchte Verschiebung von d ist dann 0dl.

Kap. 9. Dritte Grundaufgabe (Abb. 15).

(Vergl. Müller-Breslau im Zentralbl. d. Bauverw. 1892, S. 227.)

Gegeben: Drei Punkte (im Raume) m, m-j— 1, m-f-2 und ein '    vierter n, welcher mit den vorgenannten durch

3 elastische Stäbe verbunden ist; ferner die RichtungPn.

Gesucht wird die Projektion 6 der Verschiebung nnx auf die Richtung Pn.

die hierdurch entstehenden Spannkräfte Gm +1, D und bringe diese, der Kraft 1 das Gleichgewicht haltenden Kräfte in den Punkten m, m-1— 1, m —}— 2 in Richtung der Achse des betreffenden Stabes an. Bedeutet dann dm, äm + u    die

Projektion der Verschiebungen der 3 Punkte auf die Richtungen der Stabkräfte, so ist nach dem Prinzip der virtuellen Verrückungen (S. 9):

(6)

Lösung:

Bringe in der gegebenen Richtung eine Kraft Pn=l. an, bezeichne z. B. nach Gleichung (2) bezw. (3) auf Seite 7 und 8

Dm 4- 1

m)

1 * d -j- Dm • Öm —|— Gm+l '    -J— Dm 4-1 • &„i + 2 —■

Dm • dm —[-    i • (fm -ir i —}— Dm^-i * /i dm-|-i.

Kap. 10. Zerlegung der Diagonalspannungen.

Bei der Berechnung der Diagonalspannungen kommt man meistens zu einfacheren Formeln, wenn man sie in ihre Komponenten in Richtung der Ring- und Gratstäbe zerlegt.

Stellt Abb. 7 ein in die Bildebene umgeklapptes Feld einer Kuppel dar, so ist die Diagonalspannung in

co₀ ■ D und l₀ . D bezw. (au • D und lu • D zerlegt. Hierbei ist:

sin ij ~ sin £

sin §

Xu — X₀ —

Mu —

_ sin (2£ — rj)

sin $

Diese Koeffizienten sind also von den geometrischen Verhältnissen der Kuppel abhängig und für alle Felder einer Zone einander gleich.

12

Zweiter Teil.

Allgemeine Formeln für statisch bestimmte Kuppeln.

Kap. 1. Vorbemerkungen.

Die geometrische Form der Kuppeln, um deren Besprechung es sich hier handelt, ist aus Abb. 8 zu ersehen. Nur ist hier eine erst im dritten Teil behandelte statisch unbestimmte Kuppel dargestellt. Bei der hier zunächst behandelten statisch bestimmten Kuppel sind die nach der Spitze führenden Stäbe nicht vorhanden.

Der Grundriß der Kuppel ist ein regelmäßiges n-Eck. Die Auflagerpunkte sind sämtlich fest, haben also nach S. 5 je drei unbekannte Auflagerstäbe. Von einem Auflagerknotenpunkt zum anderen sind keine Stäbe angeordnet, so daß kein „Fußring“ vorhanden ist. Der Abschluß nach oben geschieht (da die gezeichneten Spitzenstäbe nicht vorhanden sind) durch einen „Laternenring“. Für den Anschluß der Stäbe des Laternenringes gelte hier die aus der Berechnung ebener Fachwerke bekannte Voraussetzung gelenkartiger Knotenpunkte. In der Praxis wird der Laternenring allerdings steif ausgebildet, z. B. in der Weise, daß seine einzelnen Ringstäbe biegungsfest miteinander verbunden werden. Jede solche biegungsfeste Verbindung an Stelle einer gelenkartigen bringt jedoch eine statische Unbestimmtheit hinein. Die Berechnung dieser Kuppelart gehört daher in den dritten Teil.

Die Anzahl der Stockwerke (Zonen) sei z. Die Stäbe, welche in den senkrechten, durch die Mittelachse und die Auflagerpunkte gelegten Ebenen (Meridianebenen) liegen, heißen Gratstäbe, die Stäbe in den wagerechten Ebenen Ringstäbe. Durch die Gratstäbe und die Ringstäbe werden viereckige Felder

gebildet, in denen sich je 2 Gegendiagonalen befinden. Nach Seite 6 ist in der Zeichnung nur je eine angenommen. Die Neigung der Gratstäbe gegen die Grundrißebene wechselt in jedem Stockwerk, um die Untersuchung allgemein für Schwedler-Kuppeln, Zelt- und Turmdächer zu gestalten.

Bei dieser Anordnung ist

z-n

z-n

„    „    „    Knotenpunkte    = (z -J- 1) n.

Die Gesamtzahl der Stäbe 3 {z -j- 1) • n ist also 3 mal so groß wie die Anzahl der Knotenpunkte; die Gleichung (1) der Seite 6 ist hierdurch erfüllt.

Will man einen Spitzenknotenpunkt so an die Kuppel anschließen, daß keine statische Unbestimmtheit hinzutritt, so darf dieses nur durch 3 Stäbe geschehen (wie in der Abb. 11), weil mit dem neuen Knotenpunkt nur 3 Gleichgewichtsbedingungen zu den bereits vorhandenen hinzutreten. Da aber bei Turm- und Zeltdächern meist sämtliche Gratstäbe bis zur Spitze durchgehen, wie in Abb. 8, so ist ein solches Dach, wenn die Anordnung im übrigen gleich der unsrigen ist, (n — 3)-fach statisch unbestimmt. Eine Schwedler-Kuppel mit steifem Laternenring, bei welchem die einzelnen Stäbe biegungsfest miteinander verbunden sind, ist w-fach statisch unbestimmt, wenn die Konstruktion im übrigen so bleibt wie in Abb. 8.

Ordnet man einen Fußring an und will man hierbei die statische Unbestimmtheit nicht erhöhen, so muß für die an jedem Auflagerknotenpunkte hinzugekommene unbekannte Fußringspannkraft je eine Auflagerstabkraft fortfallen, d. h. die Auflagerknotenpunkte müssen in einer Geraden geführt werden.

Nach diesen Vorbemerkungen kehren wir zur allgemeinen Betrachtung der statisch bestimmten Kuppel zurück.

Da sich eine jede Kraft nach S. 7 —8 in 3 Richtungen zerlegen läßt, denken wir uns, um die Untersuchung für jeden denkbaren Belastungsfall durchzuführen, jeden Knotenpunkt m durch drei zueinander senkrechte Kräfte X

Ym, belastet. Xm und Zm liegen in der Horizontalen, Ym senkrecht hierzu. Die positive Richtung von Xm zeigt nach dem Mittelpunkte, diejenige von Ym nach unten, Zm ist positiv, wenn es für einen von oben heruntersehenden Beschauer um die Mittelachse dem Uhrzeigersinne entgegengesetzt dreht.

Die gewählten Bezeichnungen sind:

1, 2, 3 . . . n — 1, n die Knotenpunkte eines Ringes, fortlaufend im Sinne der Z-Kraft numeriert, m ein beliebiger, dazwischen liegender Knotenpunkt,

Om die Spannkraft des mten Gratstabes der rten Zone (der Zonenindex soll also stets oben stehen),

Tm die Spannkraft des mten, oberen Ringstabes der rten Zone, J)m die Spannkraft der mten Diagonale der rten Zone,

9r

f die betreffenden Stablängen

<r

(Stablängen sollen also durchweg mit den kleinen, der Bezeichnung der Spannkraft entsprechenden Buchstaben benannt werden),

a¹, a² . ... ar .... az die Neigungswinkel der Gratstäbe der

ten 2 teil _ yten    ^ten 2one

h¹, h² . . . hr . . . hz die Höhen der betreffenden Zonen, c¹, c² .. cr .... cz die senkrechten Entfernungen der Ringstäbe, gemessen in der Horizontalprojektion, der Polygonwinkel,

... ör ... dz die Neigungswinkel, welche die Schnittlinien der beiden D\ und D*, I)\ und D\ . . ., Dr{ und 1>3 . ., D\ und D\ . enthaltenden Felder mit der Horizontalebene bildet (vergl. Abb. 9), f)¹, fy² . . . \)r . . . \f die Höhe des Schnittpunktes dieser Schnittlinie mit der Mittelachse über den lten, 2ten, . . rten . . ^ten Ringebene.

Kap. 2. Formeln für Spannkräfte der obersten Zone.

a) Ringstäbe T\ bis T\

(Nach Landsberg, Zentralbl. d. Bauverw. 1903, S. 363 u. 364.) (Vergl. auch S. 8.)

Da es sich in dem folgenden Kapitel nur um die erste Zone handelt, ist der Zonenindex 1 in den folgenden Entwickelungen der Einfachheit halber fortgelassen. Nur in den Endergebnissen ist er beibehalten.

Denkt man sich einen beliebigen Knotenpunkt des oberen Ringes, z. B. 2, herausgeschnitten, so wirken an diesem außer den bekannten Lasten X₂, Y₂, Z₂ die Spannkräfte Tx, T₂, D1} G₂. Wählt man nun die Richtung T\ als Gelenkachse, so haben die Kräfte G₂ und Dx, weil sie die Achse schneiden, und Tlt weil sie der Achse parallel ist, das Moment Null. Stellt man also die Momentgleichung auf, so erhält man die Spannkraft T₂ als Funktion der Belastungen.

T₂ wird zerlegt in eine Komponente parallel zur Achse T₂ ■ cos (n — a) und eine solche senkrecht hierzu T₂ • sin ('n — a) — T₂ • sin a. Erstere hat das Moment Null, letztere das Moment -|- T₂ • sin « • h.

Ebenso hat von X₂ nur die Komponente X₂ • sin -y ein

• h.

cc

Moment, und zwar -j- X₂ • sin -y

U

5S RI

den Winkel

Die ^-Richtung bildet mit der Richtung der Ringstäbe Mithin hat nur die Komponente

ein Moment in bezug auf die

(n a\

VT“tJ

= Z₂ ■ cos

• h.

Gelenkachse, und zwar -j- Z₂ • cos

Die Last Y₂ hat das Moment -f- Y₂ • c.

Die Momentengleichung lautet also:

T₂ sin uh-f- X₂ sin ~ ■ h -\- Z₂ cos -y h -\-Y₂c — 0.

Hieraus:

T, = -

X₂

y₂

Z₂

sin u

2 sin

Allgemein ist:

Tv =

m

X¹

m

C¹

r¹

7)1

zx

m

a

2 cos-y

u

h¹    sin u

2 sin

(Vergl. auch die am Eingang dieses Kapitels erwähnte Abhandlung von Landsberg.)

b) Diagonalstäbe B\ bis

Denkt man sich einen Schnitt so geführt, daß die Knotenpunkte 2 und 3 herausgeschnitten werden, so sind die an diesen

Knotenpunkten wirksamen Kräfte, welche miteinander im Gleichgewicht sein müssen, die folgenden:

die Lasten X₂, Y₂, Z₂\ X₃, Y.d, Z.s und die Spannkräfte Tl, Tz, Dx\ 0₂, Cr₃ und Dr

Alle Spannkräfte, mit Ausnahme der letzten, liegen in den beiden Feldern, welche die Dx und Z)₃ enthalten. Wählt man also (Abb. 9) die Schnittlinie A — Ä dieser beiden Felder zur Gelenkachse, so erhält man eine Momentengleichung, die sofort die Spannkraft D\ als Funktion der Lasten liefert.

Abb. 9 zeigt die Lage der Gelenkachse. Sie geht durch den Schnittpunkt von Tx und T₃ und trifft in der Höhe f) (vergl. auch Abb. 8) über der ersten Ringebene die Mittelachse.

Ihr Neigungswinkel mit der Horizontalen ist d.

Von D hat nur die Komponente m₀ D.₂ ein Moment. Ihr Hebelarm (Abb. 9) ist

q —--tg a • sin d.

Hierbei ist:

tg d =

21)

2 t) cos a

(tgy —tg«

t • tg

Das Moment ist also:

-|- ooö Dy • Q-

X₂ und X.j zerlegt man in Richtung der anliegenden Ringstäbe. Dann haben nur die Komponenten

a

smT

sin (n — a)

bezw.

^ a 2 cos

ein Moment; der Hebelarm ist gleichfalls (>. Das Moment ist also:

2 cos

tc a

.e=-[Xf-X₃]

O    «

2 cos -g

₀ «

2 cos

F₂ und F₃ zerlegt man in einer lotrechten, parallel zur Gelenkachse gerichteten Ebene in je 2 Komponenten, und zwar parallel zur Achse und senkrecht zu ihr. Nur die letzteren,

F₂ cos d und Ys cos d haben ein Moment; der Hebelarm ist ~ •

2 cos

Das Moment ist also:

(r₃ — r₂) cosd.^-.

Z₂ und Z' werden wie X₂ und X., in die Richtungen der Ringstäbe zerlegt. Die Komponenten, welche ein Moment haben, sind gleich

sin

Zt •

^₂

sin a

2sinf

bezw.

^3

2 sin

der Hebelarm ist q.

Das Moment ist also:

2sinT

O)₀ D₂Q —

Die Momentengleichung lautet dann:

X₂-X₃

2 cos -

u

^2 + ^3

2sinT

= o.

Hieraus erhält man, wenn man die Gleichung durch q dividiert, unter Berücksichtigung des oben genannten Wertes für q:

M₀ D₂

■Xo — X-j___Y₂ — Y₃ . Z₂ -|- Z₃

2 cos

IC $5

tg a tg d

2 sin

Nun ist:

tg a • tg d = —

tg a • 2 I) cos a

4 l) cos² -g-

(8)

Wo Dm

t ■ tg

Es ist daher allgemein:

a

2 cos —

fK-C,]

tX

Zl + Z*

m I m 4-1

4 l)¹ cos²

tC £

2 sin

IC £

c) Gratstäbe G\ bis Cr*.

Denkt man sich einen Schnitt so geführt, daß wiederum die Knotenpunkte 2 und 3 herausgeschnitten werden, und betrachtet T\ als Gelenkachse, so haben außer den Lasten nur die

Sachs, Berechnung räumlicher Fachwerke.

Spannkräfte 1' und 6rg ein Moment. Da ersteres aus Gleichung (7) bekannt ist, liefert die Momentengleichung sofort die Unbekannte 6r₃.

Um das Moment der Kraft G₃ zu ermitteln, verlängere man die Richtung so weit, daß ihr Angriffspunkt in der durch T\ gehenden Horizontalebene liegt. Die in diese Ebene fallende Komponente hat dann kein Moment, während die Komponente senkrecht zu der Ebene, 6r₃ sin «x, am Hebelarm t² • sin (n — a) wirkt. Das Moment ist also gleich G₃ sin al • t² sin a (Abb. 9).

Die Spannkraft T₃ hat gegen die Gelenkachse die Neigung 2 (je — a). Daher hat nur die Komponente T₃ sin 2 (rr — a) = — Ts sin 2 a ein Moment. Der Hebelarm ist h, das Moment also gleich — T₃ sin 2 a • h.

Die Lasten X₀ und X₃ haben gegen die Gelenkachse die

Neigung ~ bezw. a — jrj; die Lasten Z₂ und Z₃ haben die

( -t)

Neigung

3

bezw. -g- (n — a).

Die Hebelarme der zur Gelenkachse senkrechten Komponenten sind bei allen vier Lasten h.

Die Lasten 1" und Y₃ drehen um die Momentenachse an den Hebelarmen c bezw. (t sin a -|- c).

Unter Berücksichtigung der Beziehungen:

sin

= cos

.£

CO 04

CO 04

J-

.£

CO 04

in

.S

CO j04

T₃ = -

X₃

Y₃

₀ « 2 cos-₉-

Ji¹ sin a

(S. 15)

2 sin

lautet die Momentengleichung

6r₃ sin a¹ • t² • sin a-\

X₃ sin 2 ah 2 cos -₉-

c 1₃ sin 2a li h sin a

Z₃ sin 2 « h

2 sin

⁰¹ 1 cos -g- h

+ X₂ sin “ h + Y^ + Z,

— X₃ sin

CO 104

o

a h -}- F₃ (7 sin « -f- c) — Z₃ h cos -L- a = 0.

(9a)

(9)

Faßt man nun die Faktoren berücksichtigt die Beziehungen:

sin 2 a

von X₃, Y₃, Z₃ zusammen und

O

2 cos -g-

2-sin|-

—- sin

co oi

a

-Sm 2

3    ,

COS    cos

u

und setzt zur Abkürzung:

£ ⁼ t —J— C •

sin a

so erhält man allgemein: Gx t² sin«¹

tn

h¹

2 cos

-fX'-X¹

a L m    m — 1J

hl

2 sin

ic a

[ZL + Zm - l]

— «* r‘ —

m

c¹

sin a

-r¹

, m

-x

Wir wollen es an dieser Stelle nicht unterlassen, hervorzuheben, zu wie einfachen Formeln das Gelenkachsenverfahren in denjenigen Fällen führt, in denen es, wie hier, gelingt, passende Gelenkachsen aufzufinden. Der Verfasser dieser Arbeit hat zuerst versucht, den allgemeinen Ausdruck für Gm aus der Gleichgewichtsbedingung für Knotenpunkt m zu finden, indem er die Summe aller in Richtung Tm—i wirkenden Kräfte gleich Null setzte. Er erhielt hierbei eine viel umständlichere Formel, die zum Vergleich hier mitgeteilt werden möge:

t cos (g — tj)

cos (g — fj)

G¹ cos f = \Zl -\-Zx ,1

m s L m I m — 1J

W₀

2 sin

[X¹ — X¹ jl L m. m — 1J

2 cos

M₀

tci a

2 c¹ cos-

CO Ol

-a

hl sin

\YX-YX .1

L m m — 1J

(i

41)¹ cos²

Kap. 3. Formeln für die Spannkräfte einer beliebigen rten Zone.

Die im vorstehenden für die lte Zone einer statisch bestimmten Kuppel entwickelten Formeln gelten allgemein für jede

2*

V    V    V

Zone, sobald man zu den äußeren Kräften Xm, Y„„ Zm die Spannkräfte der Stäbe der (r—l)ten Zone hinzufügt, natürlich unter Beachtung der Vorzeichen.

Man hat also zu setzen:

statt X': X; + [(?» +lD'm ]-cos«*-i statt }',1:    — [CrL + >■ Dm 'l-sinef

statt Zm\ Zm —|— mu Din

Gleichung (7) S. 15 geht demnach über in:

(10)

X+[<& *+i-p» '1

cos ar - ¹

a

2 cos-r

2

t r»-[<?r‘+iDr‘] sin

ar~¹

Är

sin ce

v    r

Zm Mu l)m

Gleichung (8) S. 17 geht demnach über in:

¹.....- \Xr-X¹\,-\-{Gr~¹ — GrZ.\ + * (Dr~¹ —    COS «r-11

^ L »» »i +1 ¹    \    »»+11    m +1/1    J

2 cos -7T-

\Yr - Yr , , — (Gr~¹ — Gr~J. X (D¹'-¹

L m m +1 \ m    »» + 11    \ m

— Dr~\)\ sin

m + 1//

ar 1

^ r i yr Zj»“T ro + 1

•2 sin “

t-ytC' + CJ'

Der in den {—} Klammern stehende Ausdruck ist in den beiden ersten Gliedern gleich, braucht also nur einmal berechnet zu werden.

Gleichung (9) S. 19 geht über in:

(12)

• sin ar =

hr

G f

■ [x; - x;_, + {er¹ - 0+* (£>’»

K“¹,)}

COS ß

r—l]

2 cos

hr

Zrm + Zrm-x

2 sin

f ±-(Dr-' + Dr-Jd

•[Yrm-(Grm l+XDrm Isin «f-i]

— Cr

• [r;_i -    id7~i) sin «—>].

Hierbei ist:

(12 a)

sin a

Mit Hilfe dieser Formeln (7) bis (12) ist es also möglich, die Spannkräfte einer jeden statisch bestimmten Kuppel der geschilderten Bauart bei jeder beliebigen Belastung zu berechnen. Unsere nächste Aufgabe ist nun, zu zeigen, wie die statisch unbestimmten Kuppeln in ähnlicher Weise, wie die statisch unbestimmten ebenen Systeme auf die Berechnung der statisch bestimmten zurückgeführt werden. Welcher Art die statische Un-bestimmheit sein soll, ist bereits auf S. 12—13 angedeutet. Entweder sollen, wie meist bei Schwedler-Kuppeln und -Zeltdächern, die Stäbe des Laternenringes biegungsfest miteinander verbunden sein, oder die Stäbe der oberen Zone sollen nicht in dem Laternenring endigen, sondern bis zu einer gemeinschaftlichen Spitze weiter geführt werden (Turmspitzen).

Dritter Teil.

Kap. 1. Zurückführung statisch unbestimmter Kuppeln auf statisch bestimmte.

(Vergl. Müller-Breslau, graph. Statik der Baukonstruktion, Bd. II, 1,

S. 17 bis 25.)

angebracht, so wird das

Handelt es sich um eine Kuppel nach Abb. 8, so ist diese, wie bereits auf S. 18 erwähnt, (n — 8)-fach statisch unbestimmt. Denkt man sich diese (n — 3) „überzähligen“ Stäbe fortgenommen (Abb. 10) und, um den Spannungszustand der Kuppel hierdurch nicht zu ändern, deren Spannkräfte als, vorläufig unbekannte, äußere Kräfte Xa, X&, Xc ... Xn Fachwerk ein statisch bestimmtes. Das in Abb. 10 dargestellte System heißt das „statisch bestimmte Hauptsystem“ der fraglichen Kuppel; seine Stäbe heißen „notwendige Stäbe“.

Abb. 11 zeigt den „Zustand X = 0“, d. h. die Spannkräfte sämtlicher überzähligen Stäbe Xa, Xb . . . . werden gleich Null angenommen; es wirken nur die bekannten äußeren Kräfte, also

V

in jedem Knotenpunkt die 3 zueinander senkrechten Xm Die hierdurch entstehenden und nach den Gleichungen (7) bis (12) zu berechnenden Spannungen seien Gmo, Dmo, Tmo oder allgemein S₀.

Abb. 12 zeigt den „Zustand Xa — — 1“, d. h. sämtliche überzähligen Stäbe, außer Xa, und sämtliche äußeren Kräfte X^, Zm werden gleich Null angenommen, während Xa den Wert — 1 annimmt. Die hierdurch entstehenden und wie vor zu berechnenden Spannungen seien allgemein Sa.

Analog entsprechen die Spannkräfte Sb, Sc. . . Sn-s den Zuständen X* — — 1 (Abb. 13) Xc = — 1

Die Anordnung der ganzen Kuppel ist stets symmetrisch zum notwendigen Stabe 6r°; von den Spannkräften Sa, Sb • . • •

Yr

J m y

Xn

= - 1.

IC

■cc

&n — 3

die Spannkräfte Sa den Sn

(13)

braucht also nur die eine Hälfte bestimmt zu werden, da

die Sf, den    usw. entsprechen.

Nur ist hier das über Gegendiagonalen auf Seite 6 Ausgeführte zu beachten.

Sind diese gedachten Spannkräfte mit Hilfe der Gleichungen (7) bis (12) berechnet, so läßt sich die wirkliche Spannkraft S eines jeden Stabes darstellen in der Form:

S = S₀ — SaXa — SbXb— ScXc—.....

Die Aufgabe der Berechnung unserer Kuppel ist alsdann auf die Aufgabe zurückgeführt:

die statisch unbestimmten Größen Xa, Xb, Xc . . . zu ermitteln.

Die Lösung geschieht dadurch, daß man die Gleichung von S. 9 2Q- d = 2 S ■ J s

der Reihe nach auf die gedachten Belastungszustände Xa — — 1 usw. und auf den wirklichen Verschiebungszustand anwendet. Man erhält hierdurch so viele Gleichungen ersten Grades, als statisch unbestimmte Größen vorhanden sind.

Der Strich über den Buchstaben Q und S in obiger Gleichung soll andeuten, daß es sich um gedachte Kräfte handelt. Bezeichnet nun

-3,

öa die wirkliche Längenänderung des überzähligen Stabes Xa db »

usw., so ist

Xb

1 • da = 2SaJs 1 • db = 2 Si> /! s

usw.

Setzt man nun nach Seite 10

wobei zur Abkürzung

EF

gesetzt ist, und ersetzt man S durch den Wert aus Gleichung (13), so gehen die obigen Gleichungen über in

da=2SaSoQ - Xa2Slg - Xb2SaShQ - Xc2SaSco - ... +SSasts

Xu xa

EaFa

i [~ £a ta 'Z'a

db=2SbSoQ-Xa2SbSaQ-Xb2SlQ-Xc2SbScQ-...-\-2Sbets j- *itb%b-

Xbxb

EbFb

usw. Diese Gleichungen heißen „^-Gleichungen“.

Die vorstehende Untersuchung ändert sich nicht, wenn es sich um Kuppeln mit steifem Laternenring handelt. Nur bezeichnen dann die statisch unbestimmten Größen Xa, Xb ... . nicht die nach der Spitze führenden n — 3-Stäbe, sondern diejenigen, durch welche die Steifheit des Laternenrings bedingt wird. Wird die Steifheit jedoch nicht durch Stäbe, sondern z. B. durch die Biegungsfestigkeit der Ringknotenpunkte bedingt, so kann man sich die Biegungsfestigkeit jeder Ecke durch einen Stab von entsprechendem Querschnitt ersetzt denken. Dadurch würde an dem Spannungszustand der Kuppel nichts geändert. Diese Ersatzstäbe führen wir dann als statisch unbestimmte Größen Xa, Xb, Xc . . . ein; ihre Anzahl ist n (Abb. 20).

Kap. 2. Umrechnung der „d-Gleichungen“.

Um die d-Gleichungen in eine für die Aufstellung unserer Formeln bequemere Form zu bringen, wollen wir die in den Gleichungen enthaltenen Summenausdrücke in einfacher Weise deuten. Zu diesem Zwecke bezeichnen wir mit

Pm irgend eine der äußeren Kräfte Xm, Ym, Zh, dma die Verschiebung eines Punktes m in Richtung Pm beim Zustand Xa = — 1, dmb ... . entsprechend,

dab die gegenseitige Verschiebung der beiden Punkte, an denen Xa angreift, infolge Xb = — 1, d. h. z. B. die Längenänderung der Strecke 4,0 = xa (Abb. 13), daa desgleichen, infolge Xa = —1, dbc> dbb usw. entsprechend,

dat die gegenseitige Verschiebung der beiden Punkte, an denen Xa angreift, nur infolge von Temperaturände-rungen,

dbt usw. entsprechend.

Alsdann können wir setzen:

neu

2 Sa SoQ = 2SoSaQ = 2Pmdt

indem wir dieses als die Arbeitsgleichung auffassen für Belastungszustand Verschiebungszustand Xa = — ]; denn dieser ruft die Spannkräfte Sa und die Längenänderungen

4 sa =    = Sa Q hervor.

In ähnlicher Weise setzen wir:

1 .<?„„ = 2S. ■ Jsa = 2S„ ■ SaQ 1 . iai = 28.- Jsb = 2Sa- Sie l-dta = 2Si-Jsa = 2SfS.e

1 * dat — X Sq • sts

usw., und erhalten durch Einsetzen dieser Werte in die d-Gleichungen die für unsere Zwecke bequemere Form:

(14)

4 = 2Pmd..

Xa Xa

Xadaa Xbdab Xcdac —    da

~ EaFa

db = 2Pmdmb — XaÖba '— Xbdbb — Xcdbc

_ Xb Xb

~&Tb

• . . . -f- Öbt

+ h h xb

usw.

Hierbei ist:

USW.

Üu b — ^bat dac — dc n

Kap. 3. Die Berechnung der Spannkräfte S₀, Sa, Sb, Sc . . für die gedachten Belastungszustände.

1) für Kuppeln mit Spitze:

a) für Zustand X=0, Abb. 11.

Wir geben den in der Spitzenzone vorkommenden Werten den Zonenindex 0 und erhalten dann nach Gleichung (2) und (3) auf Seite 7 bis 8:

ri Ö

^1,0

*°o

Y°

9°

2 t¹ cos y

4 h° • cos² X-

u

2 • tx sin y

(15)

Hieraus:

1,0

2 tl

r z°o

7⁰    “

Zo

9°

cos

a

sin y

4:h° COS² -X

u

• Y°.

Für den nächsten Gratstab erhalten wir!

— tl cos a

G°

^ 2,0

r°

o

9°

tl COSyy

u h°

o a 2 cos^-

U

a

V COS-y

(16)

Hieraus:

pr 0

^2,0

JK

a I tl

COS *-

9°

ttO

Y₀ cos a

2 A°

Für den letzten Gratstab erhalten wir einen der Gleichung (15) entsprechenden Wert; nur das Vorzeichen von Zist entgegengesetzt :

(17)

9°

ÖJ,0 = -2«

9°

r°.

COS -TT-

4 h° cos²

Nachdem die Werte für die 3 notwendigen Spitzenstäbe gefunden sind, erfolgt die Berechnung aller übrigen Spannkräfte, also von Zone 1 an abwärts, nach den Gleichungen (10) bis (12). Zu berücksichtigen ist hierbei, daß für

r — 1

enthalten, verschwinden,

sämtliche Summanden, welche ein Dr und für

bis n

r — 1 und m — 4,5 sämtliche Summanden verschwinden, welche ein Gr~i oder Dr~1 enthalten.

gefunden.

Hierdurch sind also sämtliche T\t «nD

mfi }    0

Gr ir + x • sin «»•

»1,0

b) für Zustand Xa — — 1, X* — — 1 . . .    = — 1.

(Abb. 12 und 13.)

Man könnte für die 3 Gratstäbe allgemeine Formeln aufstellen, die es ermöglichen, für jeden der oben bezeichneten Belastungszustände die Spannung des betreffenden Gratstabes anzugeben. Diese Formeln, in denen dann die Hebelarme c und d der Gleichung (2), Seite 7 als Funktionen der Seitenlänge tl und des Polygonwinkels a auszudrücken wären, würden jedoch zu

(18)

kompliziert, so daß es sich empfiehlt, in jedem vorliegenden Beispiel die 3 Gratstäbe direkt nach Gleichung (2) zu bestimmen.

So wird z. B. für Xa — — 1:

1 t¹ sin a — <7₀ tx sin a

g;₀=+i.

Für den nächsten Gratstab ist:

j tx sin — a) a

V COS -jr-

u

o

Unter Beachtung der Beziehung sin— (?r — a) —

Gl

2 rt

- COS -r- OJ

u

erhalten wir:

(19)

cos a

COS -nr-

Für den letzten Gratstab ist:

Gl

3 rt

j t¹ sin a -f- tx cos^-^- n—2aj

(20)

—r (i — 2 cos «)

t¹ sin a

Gla = 1 — 2 cos <*.

In derselben Weise werden die Spannkräfte der Gratstäbe für die Zustände Xb = — 1 . . . . X(n - 3) = — 1 ermittelt.

Hierauf werden die Gleichungen (7) bis (12) in sinngemäßer Weise für die Berechnung sämtlicher Spannkräfte Sa, Sb, . . . Sn — 3 verwendet. Die Formeln vereinfachen sich hier wesentlich. Denn für die erste Zone [Gleichungen (7) bis (9)] fallen die ifm-Kräfte ganz heraus, die Xm- und Ym-Kräfte sind für die Knotenpunkte 1 bis 3 die betreffenden Komponenten der Gratstäbe und für den durch die betreffende statisch unbestimmte Kraft (Xa = — 1 usw.) belasteten Knotenpunkt die Komponenten der Kraft 1; alle anderen Knotenpunkte sind ganz unbelastet.

Für die von der 2ten Zone abwärts befindlichen Spannkräfte fallen in den Gleichungen (10) bis (12) die äußeren Belastungen Zm ganz heraus.

9°

-9°

X,, 7.

Setzt man demnach in die Gleichungen (7) bis (9)

X¹ — 4- G° cos «°, bezw. =4- (7° . cos «°, usw.

m l ma    ¹    »mb    ¹

sin «°, bezw. = — G⁰

‘    r)

r¹ = — g°

m    ma

z¹ = o,

m    ¹

so erhält man für die Ringstäbe:

cos «°

cos a°, usw.

Tx

6r°

o    «

2 cos —

+ A¹

ci (7° sin

^ m a

sin a

•2

c¹ sin a° A¹ sin a

1 cos a°

cos

(21a)

Setzen wir zur Abkürzung

el sin «°

A* sin ci

1 cos «°

cos

so erhalten wir allgemein:

(21)

7’¹

USW.

Hierin sind für (7°

(7°

usw. zu setzen:

für die Knotenpunkte 1 bis 3 die Werte aus (18) bis (20), bezw. aus entsprechend hergeleiteten Gleichungen, für den Knotenpunkt, an welchem die statisch un" bestimmte Größe wirkt, der Wert Xd = — 1, für alle anderen Knotenpunkte der Wert Null.

Man erkennt, daß z. B. für Xa = — 1 die Ringstäbe T' n bis T* a gleich Null werden.

w₀ Dl —

ü ma

(G° — (7°

__ \ ma    77i-f-1, a

Für die Diagonalen ergibt sich nach Gleichung (8), Seite 17 ) cos ß°

41)¹ cos²

fo.

o a 2 cos-^-

Setzt man zur Abkürzung

(22 a)

xpx

COS CC°

t¹ sin cc°

2m₀ cos

2 t)¹ cos

so ist allgemein:

(22)

D¹

(m + 1) a

ji

m 6

Über die Werte G° , G°,

Man erkennt, daß D Für die Gratstäbe ergiebt sich:

usw.

( in + 1) a

bis D

(m+l) a

gilt das auf Seite 28 Gesagte, gleich Null werden.

(re — 1 )a

G¹ t² sin ax = ——

m a

2 cos

— (G°

U ^ ma

— G°

(m +1) a

) cos a° — 0 —}~ 6r^ sin «° • f-}

sin a°

sin a

C¹.

Setzt man zur Abkürzung:

hx cos ct°

(23 a)

t² sin a¹

cc

2 cos -g-

e¹ sin «°

(23 b)

X¹ =

hl cos a°

t² sin a¹

o    a

2 cos

u

— Cl sin a°

so ist allgemein:

(23)

G¹    =(pxG" -WG⁰

Man erkennt, daß die Werte G\.a bis Gxna gleich Null werden.

Die Spannkräfte aller weiteren Zonen, von der 2ten Zone

abwärts, werden unter Fortlassung der äußeren Kräfte mit

Hülfe der Gleichungen (10) bis (12) berechnet.

— 1, a

-1,6

USW.

2) für Kuppeln mit Laternenring,

a) für Zustand X=0.

Für Zustand X = 0 sind alle statisch unbestimmte Größen fortgedacht. Die Berechnung erfolgt also genau nach Gleichung (7) bis (12).

b) für Zustand Xa = — 1, X₆ = — 1, Xc = — 1.....

Auch hier werden die Gleichungen (7) bis (12) verwendet; nur sind als äußere Kräfte die Komponenten derjenigen statisch unbestimmten Kraft einzuführen, welche bei dem betreffenden Zustand wirkt.

Handelt es sich z. B. um Zustand Xc — — 1 (Abb. 21), so haben die beiden an den Knotenpunkten 2 und 4 des Laternenringes wirkenden Kräfte 1 Komponenten nach der X- und X-Richtung.

Für Knotenpunkt 4 ist:

die Komponente in der X-Richtung:

-j- 1 cos (n — a) — — cos a, die Komponente in der X-Richtung:

-— 1 sin (tt — a) = — sin cc.

Für Knotenpunkt 2 ist:

die Komponente in der X-Richtung =-f- cos a, die Komponente in der X- Richtung = — sin a.

Die Y- Richtung steht senkrecht zur Ebene des Laternenrings, die statisch unbestimmten Größen XaXb .... haben also in dieser Richtung keine Komponenten.

Man kann daher allgemein aussprechen:

-l •

: X . (— sin «)

m— 1 ^    '

(— sin a)

Handelt es sich um die Ermittelung der Spannungen Su für einen Zustand Xu — — 1, wobei Xu dem Knotenpunkte m gegenüberliegt, so sind die Gleichungen (7) bis (12) ohne Weiteres anzuwenden. Nur ist in den Gleichungen (7) bis (9) für die Knotenpunkte m— 1 und m-\- 1 zu setzen: statt X¹

m

m+ 1

statt X¹

Sc

statt Zl ,:    Z[ . (4- cos «)

m— 1    tu — 1 ^ «    z

statt Zv

m+1 ‘

(— cos a).

m+ 1

Hierdurch sind sämtliche gedachten Spannkräfte S₀, Sa, Sb

Zur Be-

der Gleichung (13), Seite -23, bestimmt.

Stimmung der wirklichen Spannkräfte S fehlen uns noch die statisch unbestimmten Größen X,

welche,

xb, xc

wie bereits ausgeführt, mit Hilfe der Knotenpunktsverschiebungen gefunden werden. Mit der Ermittelung der allgemeinen Formeln für die Knotenpunktsverschiebungen unserer Kuppel soll sich der folgende Abschnitt unserer Arbeit befassen.

Kap. 4. Allgemeine Formeln für die Verschiebungen.

(Vergl. Müller-Breslau, Zentralbl. d. Bauverw. 1892, S. 227.)

Um die Ermittelung der Verschiebungen der einzelnen Knotenpunkte auf unsere dritte Grundaufgabe (Seite 10 und 11)

zurückführen zu können, müssen wir uns zunächst überlegen, in welcher Weise wir uns den Aufbau des Fachwerkes so denken können, daß stets jeder neue Knotenpunkt an 3 vorhandene durch je einen Stab angeschlossen wird.

Dies geschieht folgendermaßen:

Wir denken uns (Abb. 8) den Knotenpunkt lz an die festen Punkte N, I und den freien Knotenpunkt 2Z durch die Stäbe Dzn, Gz und Tz angeschlossen. Infolge der Freiheit des Knotenpunktes 2Z sind vorläufig noch 3 Bewegungsfreiheiten vorhanden. In derselben Weise ist jeder folgende Knotenpunkt der Zone z, mz, und zwar zunächst nz, dann (w — l)z usw. an die festen Punkte M—1, M und den freien Knotenpunkt (m -f- l)³ angeschlossen. Dies wiederholt sich, bis man wieder beim Knotenpunkte 2Z ankommt. Dieser wird jetzt durch die Stäbe Tz, Gz und D\ angeschlossen, wodurch die 3 Beweglichkeiten wieder aufgehoben sind.

In gleicher Weise geht man in den darüberliegenden Zonen vor, bis bei der Kuppel mit Spitze, der Spitzenknotenpunkt bei

den Zuständen Xa — — 1, Xb = — 1, Xc — — 1.......durch

die drei notwendigen Stäbe angeschlossen wird.

1) Die Verschiebungen der Zonenknotenpunkte.

Nach dieser Auffassung vom Aufbau des Fachwerkes wird es sich also bei der Ermittelung der Verschiebungen der Zonenknotenpunkte unserer Kuppeln, d. h. sämtlicher Knotenpunkte mit Ausnahme des Spitzenknotenpunktes bei der Kuppel mit Spitze stets um folgende Aufgabe handeln. (Abb. 19):

Gegeben sind die Verschiebungen der 3 Knotenpunkte (m— 1)’’⁺¹, mr+1, (m -j- l)r; um die folgenden Entwicklungen nicht zu komplizieren, nennen wir sie hier hier a, c, 1). Die Verschiebungen sind gegeben durch ihre Komponenten auf die 3 Kraftrichtungen

%ay Vai &ai &c> Vci ^c> ^bt Vb > &b'

Dm-v Crm

Ferner ist gegeben der Punkt d (bezw. mr), welcher mit den 3 anderen Punkten durch die elastischen Stäbe rrr verbunden ist.

^ m

Gesucht wird die Verschiebung des Punktes d, u. zw. in ihren Projektionen auf die 3 Kraftrichtungen xg, yg, Zg.

Lösung.

a) Bestimmung von z&. (nach S. 10 und 11).

Wir bringen im Punkte d (Abb. 19) in Richtung Z eine Kraft P = 1 an und ermitteln die Spannkräfte, welche diese gedachte Belastung in den 3 Anschlußstäben hervorruft. Die Gleichungen (2) und (3) auf S. 7 und 8 hier anzuwenden, empfiehlt sich nicht, weil die Endpunkte der 3 Stäbe nicht in einer wagerechten Ebene liegen. Wir stellen daher die 3 Gleichgewichtsbedingungen auf:

1)

1 + k-^oDl-J sin-|

3)

(Gm + X Drm -1) sin ar = 0.

Aus 3) ergibt sich:

Gm X Dm — i — 0.

Dies in 2) eingesetzt:

--f

«o Dm - t    Tm — 0.

Setzt man nun den Wert:

J- m -

2 sin -

2 (ö₀ sin ~

Gr = —

m-

W° 2 sin

Zerlegen wir diese drei gedachten Spannkräfte nach unseren drei Kraftrichtungen X, Y, Z, so ergeben sich, unter Beachtung der in Abb. 15 angegebenen positiven Kraftrichtung, folgende Komponenten:

Im Punkte a:

— Dm~\ cos ar -j- coM cos—V, -|- lDm—i sin ar\ cos ctr mu cos -j⁻ ~

-7»

Mu Dm

. a l sin -j

bezw. gleich:

sin ar

2 co₀ sin

2 sin

1_ m±

2 mq

33

Im Punkte h:

10 55

f³-.

LO 55

bezw. gleich

T-i |(M

ö |(M

t—1 KM

Im Punkte c:

— (fm cos ar\ Gm sin ccr\ 0; bezw. gleich X sin ar ²“» sin - -

X cos ar

2 CÖn

sin -

LO 55

LO 55

; o.

Schreibt man nunmehr die Arbeitsgleichung (6) für den vorliegenden Fall an, so erhält man:

1.

2 w₀ sin —

|~X cos cc* -j-

U)u COS —p

~Ua +

w J

X sin ar

W° 2 sin

Da

a

-r-i <M

—za

w₀

COt -pr- Xb

r-l [<M

KM

C/3 O

g

toj 55 55,

Ln.

Xc —

1 (Oq

er

10: 55 55

-sä

2 sin

LOj 55

dtrA

m «

j,r

2 o)₀ sin

LO 55

ä'fm-

Fassen wir hier die mit gleichen Faktoren versehenen Glieder in geeigneter Weise zusammen, so erhalten wir:

*d =

CC

— xc) X cos ar -f- (Mu xa — co₀ xh) cos ^--(X ya — X yc) sin ar

d dm—1

V    V I    f (j0    \

W₀ ^ tm Xd Cjm I -j Y    ~)

d. h. für

Führen wir nun unsere alten Bezeichnungen wieder ein, so erhalten wir folgenden allgemeinen Ausdruck: für zrn die ^-Komponente des 6ma aus Gleichung (14) S. 25, für die Zone r:

Sachs, Berechnung räumlicher Fachwerke.

— (y

(ot —l)

2^sin|

[k

-1

P*⁺¹) kr.

COS

“’+KC-o

W0 ’ X(m+1))

tt

cos

4-^<T

•    m

—• 1, a

ma

Diese Gleichung gilt allgemein, für jeden Knotenpunkt einer jeden Zone. Nur bei Kuppeln mit Laternenring ist zu beachten, daß z. B. für Zustand Xa = — 1, an den Knotenpunkten m — 1 und m-\-l nicht die Kraft 1, sondern die betreffenden Komponenten von Xa = —1 wirken (vergl. S. 30), (-[- cos a) bezw. (— cos «).

Daher ist:

für Zustand Xa = — 1 bei Kuppeln mit Laternen*

ring der Ausdruck für z

(m — l)a

mit (-j- cos a), der Ausdruck für ?\m-+Vja mit (— cos «) zu multiplizieren.

Man könnte nun die allgemeinen Ausdrücke für die beiden anderen Komponenten xma und yma in gleicher Weise ableiten, d. h. indem man in der X- und Y-Richtung Kräfte P— 1 anbringt, die hierdurch entstehenden gedachten Spannkräfte berechnet und dann in der Arbeitsgleichung die beiden P-Kräfte nacheinander gleich Null werden läßt.

Zu erheblich einfacheren Formeln und auf kürzerem Wege führt jedoch die folgende Erwägung zum Ziel:

b) Bestimmung von x&.

Wir zeichnen nach dem auf S. 10 angegebenen Verfahren einen Verschiebungsplan nach Williot (Abb. 17) in der Horizontalprojektion:

Von einem festen Pol 0' tragen wir die bekannten Verschiebungen Xb (nach dem Mittelpunkte gerichtet) und zb (senkrecht hierzu) ab; hierdurch erhalten wir die Projektion b‘ des Endpunktes der Verschiebung von b. Hierauf tragen wir J tm nach Größe und Richtung auf, dann ist der eine geometrische Ort für d‘ das auf dem Endpunkte von 4 tm errichtete Lot, Der

andere ergibt sich aus den bekannten Richtungen von Xd und Zd und der nach Gleichung (24) berechneten Größe von zd-Hiernach ergibt sich die folgende Gleichung:

*d sin y = 4 im + *b sin y + (** ~b xd) cos ' •

Hieraus folgt für das gesuchte Xd-

Xd = (?d — *b) tg y — CCb ~~

COS-rc-

Führen wir wieder unsere Bezeichnungen ein, so erhalten wir folgenden allgemeinen Ausdruck für xr , d. h. für die Z-Kom-ponente des dma aus Gleichung (14) S. 25, für Zone r:

(25)

xr

Jf

m 4-1

cos

In diesen Ausdruck ist / aus Gleichung (24) einzusetzen.

Die Gleichung gilt allgemein, für jeden Knotenpunkt einer jeden Zone, mit Ausnahme desjenigen, an welchem die statisch unbestimmte Kraft angreift. In diesem Punkte wirkt bei Kuppeln mit Spitze in der X- Richtung die Komponente — cos «°, bei Kuppeln mit Laternenring die Komponenten (— sin ce) an den Knotenpunkten (m— 1) und (m -f- 1) (vergl. S. 30).

Daher ist:

mit dem

ma

a)    bei Kuppeln mit Spitze für denjenigen Knotenpunkt, an welchem die statisch unbestimmte Kraft wirkt, der Ausdruck für x\

Faktor (—cos«⁰) zu multiplizieren,

und

b)    bei Kuppeln mit Laternenring für Zustand Xu = — 1 der Ausdruck für xj, mit (— sin ce) zu multiplizieren.

c) Bestimmung von yd.

Unter Benutzung des soeben berechneten Wertes für Xd erhalten wir eine bequeme Formel für yd, wenn wir wiederum den in Betracht kommenden Teil des Williotschen Verschiebungsplanes zeichnen, Abb. 16. Die Abbildung ist nach dem Vorangegangenen so klar, daß eine besondere Erläuterung sich erübrigt.

(26)

Wir erhalten sofort:

yd = yc-\- (%d — Xc) cot ar -

und mit Einfügung unserer Bezeichnungen:

y — yr+x 4- \xr — &r+1l cot ar —

J a    Jma • L ma ma J

'S 9 m

sin ar

sin ar

Für diese Gleichung gilt dasselbe, was bei Gleichung (25) bemerkt; die Komponente in der KRichtung ist hier bei Kuppeln mit Spitze = sin a°.

Daher ist bei solchen Kuppeln

für denjenigen Knotenpunkt, an welchem die statisch unbestimmte Kraft wirkt, der Ausdruck für yma mit dem Faktor (-)- sin «°) zu multiplizieren.

Hiermit haben wir sämtliche d,na, mit Ausnahme des d() d. h. der Verschiebung der Spitze beim Zustand Xa — — 1 bestimmt.

2. Die Verschiebung des Spitzen-Knotenpunktes.

Für diese Verschiebung haben wir die Komponenten xoa und z0(l nach der im Vorangegangenen entwickelten Methode zu bestimmen. Für die Komponente yoa gilt dann Gleichung (26), was aus einer Betrachtung der Abb. 11 hervorgeht.

Denken wir uns die Spitze durch die Kräfte Px — 1 und Pe= 1 in der X- bezw. Z- Richtung belastet (Abb. 11), so lauten die drei Gleichgewichtsbedingungen für die Spitze:

G°2 cos Ci° — ((ri -j- $3) cos a° cos a — Px — 0 ²) (öj + Gl + £3) sin «° = 0

((ti — (rß) cos ct° sin a -]- Pz = 0.

Setzt man aus 2) $2 = — ((ri -|- $3) in 1) ein, so ergibt sich unter Berücksichtigung der Beziehung 1 cos a — 2 cos²

1)

3),

toi 55

(&i + GÖ cos «o • 2 cos² y + P* = 0.

Aus 3) und 4) folgt dann:

bs

K

crq

toi 5?

?5o

7J

Cf)

tO 55

Pz • COtg

-p.

6)

G-2

4 cos a° • cos²

u

px

cc

2 cos «° cos²

—

Zerlegt man, unter Berücksichtigung der in Abb. 15 an gegebenen positiven Richtung der Spannkräfte, diese 3 Spannkräfte in den Punkten 1, 2, 3 in ihre Komponenten nach den Richtungen X¹, Yx, Zl, so ergibt sich, da in der letztgenannten Richtung keine Komponenten vorhanden sind: im Punkte 1:

G°i • sin «°;

— Gi ■ cos «°;

im Punkte 2:

— G°2 • cos «°;

-„.0

G-i • sin «°;

im Punkte 3:

_.o

GS • sin «°.

— Gl • cos «°;

Die Gleichung (6) von Seite 11 lautet nunmehr für den vorliegenden Fall:

8)

setzt.

—0    —0

Px- xo -f- Pzz₀ Gl sin a° yx — Gi cos xx -f- öl sin a°y₂ — öl cos a° x₂ -f- sin a°y₃ — Gl cos cc°x₃

= G⁰iJgl+Glj₉l + ölj₉l.

a) Bestimmung von x₀:

Man erhält xQ aus obiger Gleichung 8), indem man Px = 1 und Pz — 0

Die gedachten Spannkräfte der 3 Spitzenstäbe werden dann:

G?

4 COS CC° ■ cos²

öl

2 cos a° • cos²

r>s| s

öl

4 COS 0C° • cos²

x₀ — —

4 cos a° • cos²

(27)

XOa =

:;s

Setzt man diese Werte in obige Gleichung 8) ein, so ergibt sich die einfache Beziehung:

G/i — 2ya+ ft) tg cc°— — 2 a?₂ + xd (Jg°la - 2 J g⁰2a-\-J g°3a) 4 • cos²

Dieser Ausdruck gilt für Px = 1. Nun wirkt aber in Richtung Px die Komponente der betreffenden statisch unbestimmten Kraft, z. B. Xa =—1, die wir mit (—lxo) bezeichnen. Mit diesem Wert ist x₀ zu multiplizieren und wir erhalten:

('yi-2y₂+y3) tga°-(^₁-2a*₂+*r₃)    Jg\-2Jg\a+Jg\a

4 • cos² v

2

4 cos a° ■ cos² —

(-1-) •

b) Bestimmung von z₀:

Man erhält z₀ aus obiger Gleichung 8), indem man Pz = 1 und Px = 0

setzt.

2 cos «° sin «

Die gedachten Spannkräfte der 3 Spitzenstäbe werden dann: #? = -

(?2 = 0

ö!

2 cos a° sin a

Setzt man diese Werte in obige Gleichung 8) ein, so ergibt sich die einfache Beziehung:

tg «° • (ft — Vd — 0*4 — #s)

*9\a-JÄu

2 sin a

2 cos «u sin a

Bezeichnen wir mit (— 1)*“ die in die /^-Richtung fallende Komponente von Xa = — 1, so ist

tg «° • (ft — yd — (#i — xd J g\a — 4 g\ a

2 cos a° sin a _

Nach Ermittelung von Xon und folgt, wie bereits er-

2 sin a

(-!)*“•

wähnt,

yoa aus Gleichung (26).

Hiernach sind sämtliche dma der Gleichung (14), S. 25, ermittelt. Die dmi, dmc .... dmn ergeben sich dann durch Vertauschung des Index a mit b, c

n.

Aber auch die Verschiebungen der Knotenpunkte für den Fall, daß das Fachwerk nur Temperaturveränderungen um t° unterworfen wird, lassen sich mit Hilfe der Gleichungen (24) bis (28) berechnen. Man hat dann die in ihnen vorkommenden Längenänderungen zu berechnen nach der Beziehung

J St — sts.

Bei der Anwendung der Gleichungen hat man, wie auf S. 31 bereits angedeutet, von den Auflagerknotenpunkten auszugehen, deren Verschiebungen gleich Null angenommen werden.

Es wird also:

*4" 1

wodurch sich die Berechnung der Verschiebungen der Knotenpunkte der ^ten Zone wesentlich vereinfacht.

ma

3. Ermittelung der gegenseitigen Verschiebung der Punkte, an denen die beiden Kräfte Xa =— 1,    = —1,

Xe = -1

angreifen:

d'at, dbb usw.

a) Für Kuppeln mit Spitze.

Bei der Ermittelung dieser Verschiebungen handelt es sich stets um solche Knotenpunkte, deren Verschiebungen nach den 3 Kraftrichtungen X, Y, Z wir bereits nach dem vorhergehenden Abschnitt berechnet haben. Es kommt dabei immer der Spitzen-Knotenpunkt in Frage und ein Knotenpunkt der ltei1 Zone, nämlich derjenige, an welchem die dem betreffenden Zustande entsprechende Kraft Xa = — 1, Xb = — 1 usw. angreift.

Bei der gegenseitigen Verschiebung, welche wir hier suchen, handelt es sich aber um die Summe der beiden Verschiebungen, welche jeder der beiden Knotenpunkte in Richtung der an ihm wirkenden Kraft 1 erleidet.

Wir wollen diese Verschiebung des Spitzen-Knotenpunktes 0 in Richtung der an ihm wirkenden Kraft 1 mit d° bezeichnen. Die Verschiebung des anderen Knotenpunktes in Richtung der an ihm wirkenden Kraft 1 sei d'¹. Unsere gesuchte Längenänderung daa, dbb, dab usw. ist dann gleich d°-[-d¹.

Wir wollen diese beiden Summanden zunächst für Zustand Xa = — 1 allgemein ausdrücken; für die anderen Zustände sind dann nur die Indizes zu vertauschen.

a) Die Verschiebung dx.

Bekannt sind nach den Gleichungen (24) bis (26) die 3 Seitenverschiebungen des betreffenden Knotenpunktes

X , ma'

ma'

y ma

Gesucht wird die Verschiebung in Richtung der Kraft 1. Die Verschiebung s¹ steht senkrecht zur Kraft 1, hat also auf eine Verschiebung in dieser Richtung keinen Einfluß.

Aus Abb. 18 erhalten wir d¹ sofort als Differenz der Pro-

a

jektionen von x¹ und ?/ auf die Richtung der Kraft 1;

J    ma    ^ ma    ö

d¹ = — (x cos cc° — ?/ sin a°) •

a    x ma    u ma    '

b) Die Verschiebung 6°.

Diese Verschiebung können wir gleichfalls aus den bereits bekannten Seiten Verschiebungen xoa, yoa, Zo<* [Gleichungen (26) bis (28)] herleiten. Dies ist jedoch hier dadurch kompliziert, daß die Richtung der Kraft 1 gegen die 3 Richtungen der bekannten Verschiebungen bei den verschiedenen Belastungszuständen nicht dieselbe bleibt, wie dies bei der vorhergehenden Entwickelung der Fall war. Wir leiten daher die allgemeine Formel wiederum nach Gleichung (6), S. 11 her.

Bekannt sind nach den Gleichungen (24) bis (26) die Verschiebungen der 3 Knotenpunkte 1, 2, 3 der ersten Zone durch ihre je 3 Komponenten

Via

X\a'

X2a ' y^a'

X3a ' Via' a *

0

Gesucht die Verschiebungen da in Richtung der im Knotenpunkte 0 angreifenden Kraft 1.

Wir schreiben die Arbeitsgleichung (6) Seite 11 für Knotenpunkt 0 an und erhalten (vergl. Gleichung 8) auf Seite 37):

1 • d° — G*

n    1 a

-

2 a

•cos ^x\a-\-0\a- sin ct»y\a

— G°

= Gia ■ J + GS. • J 9-2a + GlaJ9*a-

COS

COS«° 4a+ Gla S'mCC°yL

sina0yL

Die Verschiebungen nach der iT-Richtung verschwinden, weil die Spannkräfte der 3 Stäbe in dieser Richtung keine Komponente haben.

Hieraus ergibt sich: d° =

a

+ Q\a K« COS «° — V\a Sin «° + J + Via Hu COS «°

+ ^3« [4a COS «° - V\a Sin «° + 4<ha] d° =2 G° W cos cc°

Unsere gesuchte Verschiebung ist daher:

<l,a =

3

f di H cos a° — Va sin «° + J9a\ ~ {x\a cos «° - y\a . sin a°) •

Hierin sind die Spannkräfte G°a aus den Gleichungen (18) bis (20) einzuzetzen.

Für die anderen Verschiebungen sind nur die Indizes sinngemäß einzuführen.

So ist z. B.

=

2 Gl H cos • «° — v\ sin «° + 49b] — Hc

Allgemein ist:

3

t);„„ = X G°IX [Xu COS U° — y,x sin «° -j- J g^] —- (afy + 3) v cos oc° — ?/(« + ₃) ¥ sin a°) •

Der Index p entspricht hierbei dem Zustande X,x —— 1, wobei Xa die ^*te statisch unbestimmte Größe bedeutet.

oder:

5)

y\sin «° + ^0«] •

(29)

(30)

cos a°

y\c sin«°) •

ß) für Kuppeln mit Laternenring.

Auch hier handelt es sich (vergl. Seite 39) stets um die Verschiebung solcher Knotenpunkte, deren Verschiebungen nach den 3 Kraftrichtungen X, Y, Z bereits nach dem vorhergehenden Abschnitt berechnet sind, und zwar um die Verschiebungen nach einer gegebenen vierten Richtung, nämlich der Richtung der betreffenden statisch unbestimmten Kraft.

Wird z. B. dbC gesucht, so sind (Abb. 22) die Verschiebungen der Knotenpunkte 1 und 3 in Richtung Xb infolge Xc = — 1 aufzusuchen. Wir bezeichnen sie mit dl und d'₃.

Bekannt sind nach Gleichungen (24) bis (26) die Verschiebungen der beiden Knotenpunkte nach den 3 Kraftrichtungen.

Es kommen hierbei nur die X- und die Z- Richtung in Betracht, da die Y-Richtung senkrecht zum gesuchten dbc steht.

Betrachten wir zunächst den Knotenpunkt 3. Wir zerlegen hier die bereits bekannten Verschiebungen x3c und z3c in je 2 Komponenten, die eine in Richtung d₃, d. h. Xb, die andere senkrecht hierzu. Für d₃ kommen wieder nur die beiden ersteren in Betracht.

Die Komponente von x3c ist:

-f x3c • sin (tt — a) = —j- x3c sin a.

Die Komponente von z3c ist:

— z3c cos (tc — «) = -]- s3c cos a.

Daher ist:

d₃ — x3c sin a -|- z3 c cos a.

Am Knotenpunkte 1 ist

die Komponente von xic: -\- :i\ c sin a, die Komponente von zlC:—zlccosa.

Daher ist:

di = xlc sin « — c cos «•

Unsere gesuchte Verschiebung ist gleich -j-    ; also:

dbc = {X3C + ^ic) sin a -f (z3c — zx c) cos a.

Allgemein ist:

(31)

3/j.v (^(mH-l)* I ^(m — l)v) sin Ct —(— (&(m + l)v    &(m —1)><) COS (X.

Hierdurch haben wir sämtliche Glieder der Gleichungen (14), S. 25 durch allgemein gültige Formeln ausgedrückt und können nun durch Einsetzen der aus diesen Formeln erhaltenen Werte die

statisch unbestimmten Größen Xa, Xb, Xc.......ohne Weiteres

berechnen.

Setzen wir dann die so erhaltenen Werte in die Gleichung (13), S. 23 ein, so erhalten wir jede wirklich auftretende Spannkraft S unserer statisch unbestimmten Kuppel.

Vierter Teil.

Anwendung der Formeln.

Kap. 1. Feststellung der wirksamen äußeren Kräfte.

Die äußeren Kräfte, welche bei Dachkonstruktionen in Betracht kommen, die X-, Y-, Z-Kräfte unserer vorentwickelten Formeln, sind Winddruck, Schneelast und Eigengewicht. Auch diese Kräfte sind Funktionen der geometrischen Form der Kuppeln; wir können daher für ihre Komponenten nach den 3 gewählten Kraftrichtungen ganz allgemein gültige Beziehungen aufstellen.

1) Der Winddruck.

Für die Aufstellung der folgenden Beziehungen möge die Windrichtung parallel zu einer durch ein Gratstabpolygon und die Mittelachse gehenden Ebene angenommen werden. Es wird dann zunächst darauf ankommen, den auf einen Knotenpunkt mr (Abb. 23) des genannten Gratstabpolygones entfallenden Winddruck zu bestimmen. Die getroffene Fläche liegt eigentlich teils in der rten, teils in der r—lton Zone. Es soll dafür annäherungsweise die Ebene angenommen werden, welche senkrecht zur Winkelhalbierenden (TF-Richtung) steht.

Es möge alsdann bezeichnen:

p den Winddruck für das qm einer JL-Windrichtung stehenden Ebene,

cp den Winkel zwischen p und der Horizontalen, ip den Winkel zwischen p und der TF- Richtung, x den Winkel, welchen p mit einem Gratstabpolygon in der Horizontalprojektion bildet (Abb. 24), für das obengenannte Gratstabpolygon ist x = 0.

¥ die wirkliche Höhe eines Trapezes der rten Zone (Abb. 25),

(f‘ den Winkel, welchen die Projektion von p auf die Gratstabebene mit der Horizontalen bildet.

Betrachten wir nun zunächst die Knotenpunkte desjenigen Gratstabpolygones, welches parallel zur Windrichtung liegt, so ist der in einem Knotenpunkte wirksame Winddruck auf die Flächeneinheit gleich

p . cos xp.

Als die vom Winde getroffene Fläche (F) kommen für einen Knotenpunkt mr in Betracht (Abb. 25):

a)    2 Vierecke von der Größe AB CD in der rten Zone,

b)    2 Vierecke von der Größe CDEF in der r—lten Zone. Diese Fläche ergibt sich leicht zu:

kr~¹

Drücken wir noch den Winkel ip durch die geometrischen Beziehungen der Kuppel aus, so ist

ip = 2 n —

--CCr — (f

2 n — ar -|- ar

ar -j- ar~¹ -\- 2 (f n _

F'erner ist:

cos \p — sin

wr

Der auf einen Knotenpunkt wirksame Winddruck ist dann: ar -j- ar ~¹ -j- 2 (f

• sin

[/£*■'¹ (3 f+ (-')+ lf (3 f + f⁺')].

Jedes andere Gratstabpolygon bildet mit der Windrichtung in der Horizontalprojektion einen gewissen Winkel, der sich leicht aus unserem Polygonwinkel bestimmen läßt. Wir wollen ihn hier allgemein x nennen (Abb. 24). Aus der Abbildung ergibt sich sofort der in einem Knotenpunkte auf die Flächeneinheit wirksame Winddruck gleich

P • COS (f • cos t • cos \p

COS (f

Die Faktoren cos (p und cos x rühren her von den Projektionen der Krafteinheit p nacheinander auf die Horizontalebene

cos

(S. 43).

(31)

und auf die Ebene des Gratstabpolygons, der Quotient cos (f‘ von der Rückwärtsprojektion aus der Horizontalebene, der Faktor

ifj von der Projektion in die Richtung _L getroffenen Ebene

Ferner ist:

p • sin q

₌ tg (f COS X

p • COS (f • COS X

Mit Berücksichtigung dieser Beziehungen ist der wirksame Winddruck in einem Knotenpunkte eines Gratstabpolygones, welches unter einem Winkel x gegen die Windrichtung in der Horizontalprojektion geneigt ist, gleich

TEr=

|- fJT"■ (3 f+ tr~l)+T<r{3 f+ f+i)]singr+Cgro1 + 2y l/j - cos²tp sin² r.

O    J

Die Komponenten dieser Kraft in der Z- Richtung können wir vernachlässigen, weil sie zu beiden Seiten des zuerst betrachteten Gratstabpolygones gleich groß und entgegengesetzt gerichtet sind. Es kommen also nur die X- und Y- Komponenten in Betracht.

Der Projektionswinkel ist gleich 2 n — ar -J- ce''

2 TC —

— in — ar ~l)

(31a)

Daher sind die Komponenten:

Wl = Wr ■ sin —

Wy = vf • cos

ar -j- ar ~

Bei der Schwedlerkuppel liegen die Knotenpunkte häufig auf einer Kugel. Alsdann vereinfacht sich der Ausdruck für die vom Winde getroffene Fläche. Diese ist dann bei einer w*seitigen Kuppel gleich (vgl. Abb. 27)

2nrh

wobei

₇ K + hr

h =-2

-l

und r gleich dem Kugelradius ist.

(31b)

wr=

Gleichung (31) geht dann über in: n • p • r

(hr hr~¹) • sin

ar ar 1 -j- 2 (p

• |/l — cos² (p sin² x ■

2. Schnee- und Eigenlast.

Die Schnee- und Eigenlast werden auf das qm Horizontalprojektion bezogen. Die hierbei für einen Knotenpunkt in Betracht kommende Fläche ist in den Abb. 26 und 27 durch Schraffur hervorgehoben. Mit Benutzung des auf S. 44 für die wirkliche Fläche F entwickelten Ausdruckes erhält man als deren Horizontalprojektion

F‘ = -i • [V -¹ • (3 f + f ~‘) • cos f Hierbei ist (Abb. 26):

+ F(3<r + f⁺¹)-

COS

f\-

llr

tg = und tg ßy

li

cr 1

Die gesuchte Last wirkt dann nur in der Y-Richtung. Ihre Größe ist:

(32) P = |- [k—' (3 f + f) ■ cos ß'~' + ¥ (3 f + tr +') ■

cos

Für eine Kuppel vom Radius r ist (Abb. 27)

F‘ ==

— (B² - jß:) n    ¹

B² = r² —

,, hrY

r • cos ctr -y-J

JRj = r² — ( r • cos ar ~¹ -j-

(32 a)

7T

• cos ar

+ -r)’]

Mit Hilfe dieser Beziehungen (31) bis (32) können also sämtliche X-, Y-, Z- Kräfte unserer allgemeinen Formeln zur genauen Berechnung einer jeden Kuppel bestimmt werden. Eine solche Berechnung ist natürlich sehr umfangreich. Wir wollen daher im Folgenden von dieser absehen und, um die Anwendung unserer allgemeinen Formeln zu erweisen, als Zahlenbeispiele 2 Kuppeln wählen, bei welchen wir nur einen Knotenpunkt belastet denken.

Kap. 2. Zahlenbeispiel einer 6-eckigen statisch bestimmten Schwedlerkuppel. (Abb. 28.)

Die Berechnung geschieht nach den Formeln (7) bis (12). Die Knotenpunkte mögen auf einer Kugel vom Radius r — 7 m liegen. Größter Durchmesser des Kuppelgrundrisses 10 m. Der

Polygonwinkel a ist gleich 120°.

Hieraus sind die in unseren

Formeln vorkommenden Werte berechnet:

sin a — sin ~ —

0,866

0,866

00

cos a— — 0,5

cosy= +0,5

t¹ = t² = hl = h² =

«l =

1,0 m 3,0 m 0,603 m 1,426 m

16,75°

«2 ₌    3550

9X ~

f =

f)² =

c' = c² =

Jc² =

2,088 m 2,457 m 0,302 m 2,14 m 1,732 m 1,834 m 2,244 m

«₀ =

0,37

0,77

1,09

co

cl

hx • sin a

c²

h² • sin a

41)¹ • cos³ ~

t²

4 l)² • cos² ~

0,653

0,536

3,32

1,41

= 3,32

1,4

⁽°o =

1,11 (Abb. 29)

H CO lü

Belastungsannahme.

Die Kuppel sei im Knotenpunkte l¹ durch eine Kraft P= 5000 kg belastet. Ihre Richtung möge mit der Horizontalen den <£ cp — 30° (Abb. 28) einschließen; der Winkel zwischen P • cos 30° und der Horizontalprojektion des Gratstabes sei r = 45°. Dann ist

X — 5000 • cos 30° • cos 45° = ~ 3100 kg

Y = 5000 • sin 30°

2500 kg

Z = 5000 • cos 30° • sin 45° = ~ 3100 kg.

Alle übrigen Knotenpunke seien unbelastet. Durch diese Einzellast werden, wie eine Betrachtung des Fachwerks von vornherein leicht ergibt, nur die in der Abbildung stark ausgezogenen Stäbe gespannt.

Berechnungsweise mit Hülfe von Einflußzahlen.

(33)

Drückt man die durch die 3 Komponenten der Kraft P hervorgerufene Spannkraft eines beliebigen Stabes aus durch die Beziehung

S=xx • X+xy • F+x₃

so erkennt man sogleich die Bedeutung der 3 „Einflußzahlen“ x. Es ist nämlich:

xx die Größe der Spannkraft S für Zustand X = 1

Xy >»

Z = 1.

%z ft

Um nicht mit zu geringen Zahlen zu rechnen, wollen wir in den nachfolgenden Berechnungen nicht die Werte 1, sondern die Werte 1000 einsetzen. Die so erhaltenen Werte für die Einflußzahlen werden wir zum Schluß dann nicht mit wirklichen Werten

von X, Y und Z multiplizieren, sondern mit

und

X Y

1000’ 1000 """ 1000

Die Ermittelung der Einflußzahlen ist nun in der Weise erfolgt, daß die eingangs berechneten Werte in unsere Formeln (7) bis (12) eingesetzt wurden. So wurde z. B.

Für T:

= — 1000;

Xy = — 1000 • 3,32 = — 3320;

= — 578.

*2 = —

1000

2 • 0,866

Daher ist nach Gleichung (33):

T\ = — 1000 •

3100

1000

— 3320 •

2500

1000

— 578 •

3100

1000

= 13192 kg.

Für Dg ist:

1,11

[0 — 1000 + 0] = — 900 ;

Xy —

3,32

1,11

(0 — 1000)

= — 3000;

1000

1,11 • 2 • 0,866

= -f 520

usw.

Für Tl ist:

o

X,, == — 0 -f- [0 + 0,77 . (- 900)] • 0,96 .

1,4 {- [0 + 0,77 • (- 900)] • 0,29} -    • (- 900)

= + 558;

xy = — 3000 • (- 0,62) = + 1860 ; x* = + 520 (— 0,62)    = — 322 .

In dieser Weise sind sämtliche Spannkräfte ermittelt und in nachfolgender Tabelle zusammengestellt:

Stab

Xx

x»

Xx •

1000

Xy ’ 1000 x* ' 1000

in kg

t!

— 1000

— 3320

578

— 3100

— 8300

— 1792

—13192

941

- 1200

96

— 2917

— 3000

298

6215

rp% ■*- 2

rn 2 -*■ C

Dl

+ 386 + 558 + 900

900

+ 1288 + 1860 + 3000 — 3000

+ 224

— 322

Dl

+ 1217

+ 2290

354

— 1180

+ 520 + 520 + 294 — 206

+ 1197 + 1730 + 2790 — 2790

+ 3220 + 4650 + 7500 — 7500

+ 694

998

+ 3770 —1097

+ 5725

— 2950

+ 1612 + 1612 + 911

+ 5111 + 5382 + 11902

8678

+10206

639

4686

Dt

D:

+ 210 — 1070

+ 690 — 1780

— 120

Gx

+ 690

— 1150

+ 380 — 400

+ 651 — 3310

+ 1725 — 4450

372

+ 1178

+ 2139

— 2875

— 1240

+ 2004

6582

1976

690

— 2300

— 400

— 2139

— 5750

— 1240

9129

G:

+ 1256

990

+ 1522 — 2370

— 200

— 356

+ 3900 — 3069

+ 3800

— 5925

620

— 1104

+ 7080 — 10098

6r²

+ 188

G²

450

+ 628 — 1500

+ 109 + 260

+ 583 -1395

+ 1570 — 3750

+ 338 + 806

+ 2491

4339

Kap. 3. Zahlenbeispiel eines einfach statisch unbestimmten Zeltdaches mit Spitze über 4-eckigem Grundriß. (Abb. 30.) 1. Allgemeines.

Die Berechnung der Spannkräfte S₀ für den Zustand X = 0 ist hier erfolgt nach der graphischen Methode von Müller-Breslau (Zentralbl. d. Bauverw. 1891 und 1892), weil sie in dem vorliegenden Falle besonders rasch zum Ziele führt. Auch wäre unsere Gleichung (8) in diesem Sonderfalle nicht direkt anwendbar. Die Verschiebungen sind nach den Gleichungen (24) bis (26) ermittelt.

Nicht berücksichtigt sind hierbei die Temperaturveränderungen und die Verschiebungen der Auflagerknotenpunkte.

Sachs, Berechnung räumlicher Fach werke.

Die Hauptabmessungen und in Betracht kommenden Koeffizienten sind:

60°

= 90° sin a = 1 cos a = 0

:c= | = 0,707

f=2m f³ = 4 m Entfernung der Auflagerpunkte = 6 m.

h° — A¹ = h² = 2,45 m.

0,866

0,5

a° = ax = a² — sin ar = cos ar —

ff = ff =f = ~ 2,8 m % — 1 ft)¹ = 0,5 A¹ = 0,7 co² = 1,06

«1 = 0,71 A² = 0,5.

2. Belastungsannahme.

Das Dach sei im Knotenpunkte 4¹ durch eine Kraft P — 10 000 kg belastet. Ihre Richtung möge mit der Horizontalen den <£ (p = 45 ° einschließen; der Winkel zwischen P • cos 45 ° und der Horizontalprojektion des Gratstabes sei t = 30°. Dann ist 10 000 • cos 45 ° • cos 30 ° = ~ 6000 kg,

7000 kg,

^= — 10 000 • cos 45 ° • sin 30 ° = — 3500 kg.

Alle übrigen Knotenpunkte seien unbelastet.

X=

Y=

10000-sin 45°

3. Die Spannkräfte S₀ für Zustand A=0.

Die Berechnung der Spannkräfte ist wie bei dem vorigen Beispiele mit Hilfe von Einflußzahlen erfolgt. Die Ermittelung der Einflußzahlen selbst ist, wie bereits erwähnt, graphisch erfolgt. Die Ermittelung der Spannkräfte S₀ ist wiederum nach Gleichung (33) erfolgt. Sämtliche Resultate befinden sich in der Tabelle auf Seite 54.

4. Die Spannkräfte Sa für Zustand Xa= — 1.

Die Spannkräfte in den 3 Spitzenstäben erhalten wir sofort aus Gleichung (1.8) bis (20):

= +

Ct

= — l;

ffS» = +¹-

Diese Spannkräfte gehen, da weitere Kräfte nicht wirken, durch sämtliche Gratstäbe. Ebenso erhalten die Stäbe G\ und Gt\ die Spannung — 1. Alle übrigen Stäbe bleiben spannungslos. Die Resultate sämtlicher Sa sind in der Tabelle auf Seite 54 gleichfalls zusammengestellt. Die Einheit in der Tabelle ist das kg, wenn Xa = — 1 ist.

5. Die Längenänderungen J sa für Zustand Xa = — 1.

In den Gleichungen (24) bis (26) für die Verschiebungen kommen die Längenänderungen der einzelnen Stäbe beim Zustand Xa= — 1 vor. Diesen Längenänderungen sind nur die Gratstäbe unterworfen, da alle anderen Stäbe spannungslos sind. Der Querschnitt der Gratstäbe sei durchweg 28 qcm.

= rh 0,005 cm;

Der absolute Wert der Spannkräfte aller Gratstäbe ist gleich 1 t. Daher ist deren Längenänderung nach Gleichung (5) durchweg 1 • 280 ^ 2000 • 28

das obere Vorzeichen gilt für die gezogenen, das untere für die gedrückten Stäbe.

6. Die Verschiebungen.

a) die dma der Gleichung (14).

Für die 12 Verschiebungen der 4 Knotenpunkte eines jeden Ringes stehen 12 Gleichungen zur Verfügung. Diese sind für die Knotenpunkte des 2ten Ringes:

(Der Uebersicht halber ist im folgenden der Zonenindex und der Index a fortgelassen.)

Nach Gleichung (24):

1)

2)

+    0,0017

*, = -%- + 4 + 0,0017

•4)

*4 =

- f - +    + 0-0017 .

ö)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

Nach Gleichung (25):

xx = zx — z₂ —

X₂ = Z₂ — z‘i —

%2 = Zs — ^4 —

X₄ — z₄— zx —

Nach Gleichung (26):

yx = 0,577 xx — 0,00577 y₂ = 0,577 ,r₂ + 0,00577 y.A = 0,577 xz — 0,00577 y₄ = 0,577 x₄ + 0,00577 .

Die Auflösung der Gleichungen ergibt folgende Werte:

xx = x₃ = -|- 0,0034 x₂ — x₄ — — 0,0034

zx — z₂ = z₃ = z₄ = 0.

yx =ys = — o,oo38 lh = 2/4 = 4" 0,0038

1)

2)

3)

•1)

8)

Für die Knotenpunkte des lten Ringes ist: Nach Gleichung (24):

Nach Gleichung (25):

— zx z₂

= ^2 — *3 ~

= ^3 — Z₄ —

X₄ = (z₄ — 8X — xx) •

z₂

(-)

rH r>\

Der Faktor

K)

in Gleichung 8) rührt her von der Komponente der Kraft Xa — — 1 (vgl. S. 35).

Nach Gleichung (26):

yx = 0,577 xx — 0,01153 y₂ = 0,577 x₂ 4~ 0,01153 y₃ = 0,577    — 0,01153

• Vi = (0,577 .r₄ 4- 0,01153) • 0,866 .

Ci' O

11)

Der Faktor 0,865 in Gleichung 12) rührt her von der Komponente der Kraft Xa = — 1 (vgl. S. 36).

Die Auflösung der Gleichungen ergibt folgende Werte:

y₁ = — 0,0174 y₂ = -j- 0,0108 y₃ = — 0,0085 y 4 = —|— 0,0036

xt = — 0,0102 0,0013 x₃ = —j— 0,0051

.t₄ = _ 0,0128

st = — 0,0038 = —J— 0,0071 *₈ = -f 0,0038 ₀₄ = -f- 0,0115.

b) das daa der Gleichung (14).

Im allgemeinen wird es am einfachsten sein, nunmehr das daa nach Gleichung (29) zu ermitteln. In unserem Sonderfalle, in welchem alle S„ und Jsa einander absolut gleich sind, führt die auf S. 25 aufgestellte Beziehung

1 .daa = 2Sa- Jsa = 2S²a- q

rascher zum Ziel.

1 • d(ia =

= 0,055 cm.

Da 11 Spannkräfte S„ vorhanden sind, erhalten wir: 11 -l²- 280

2000 • 28

c) das da der Gleichung (14).

Dieses wird nach Gleichung (5):

= 0,005 Xa.

da =

X« ■ 280 2000 • 28

Setzen wir nun die gefundenen Werte in Gleichung (14) ein, so lautet die Bestimmungsgleichung für Xa:

0,005 Xa = 6 • (— 0,0128) -j- 7 • 0,0036 — 3,5 • 0,0115 — 0,055 X„.

Hieraus ergibt sich

Xa — ~ — 1,5 t = — 1500 kg.

Nunmehr können sämtliche wirklich auftretenden Spannkräfte 8 ermitteln nach Gleichung (13):

S=S₀-SaXa.

Die auf diese Weise berechneten Werte enthält nachstehende Tabelle in der letzten Rubrik. Als Einheit ist das kg gewählt:

Stab

TCy

Xx ' 1000 ^ ‘ 1000 Xz ' 1000

So

sa

Tl

710

— 410

— 710

— 4260

— 2870

rn'l

+ 380

+ 210

— 350

rp'i X 4

380

— 210

— 350

+ 2280 — 2280

Dl

710

— 410

D²

J 3

340

— 200

D¹

+ 710 + 340

+ 410 + 200

+ 700 + 330 + 700 + 330

— 4260

— 2040

+ 4260 + 2040

+ 1470 + 1470 — 2870

+ 2485 + 1225 +1225 — 2450

— 4640

— 4640

+ 4980 — 2520

— 9580

+ 4980 — 2520

— 9580

— 1400

— 1150

— 4600

— 4600

+ 2870 + 1400

— 2450

— 1155

+ 4680 + 2280

G°

+ 4680 + 2280 + 1500 — 1500

Dl

+ 1500 — 1500

Gl

500

— 290

— 500

— 3000

— 2030

+ 1750

— 3280

— 1780

g\

— 1500

Gl

Gx

+ 500

— 875

— 500

Gr,

700

— 390

— 700

+ 3000 — 4200

— 6125

— 2730

+ 1750 + 2450

— 1380

— 4480

+ 1500 — 2880

— 2980

G\

— 1500

G\

500

— 290

+ 1180

— 490

+ 500 — 170

— 3000

— 2030

— 1750

— 6780

— 5280

+ 7080

— 3430

+ 595

+ 4250

+ 2750

Probe.

Wir legen einen Schnitt durch die mittlere Zone und prüfen die 3 Gleichgewichtsbedingungen:

2X=0;

Ö0° -f (G\ + XDl) • cos 60° -f co₀ ■ I)l • cos 45° -f

2Y= 0;

2 Z=Q.

4-x+Gl>

(o° • D\ • cos 45° —

+ 6000 — 1500 • 0,5 + 2880 • 0,5 + 0,7 • 9580 • 0,5 — 1 • 9580 - 0,71 — 1 - 4680 • 0,71 = 10793 — 10873 ==

cos

Y + G\ • sin 60° -f- G\ • sin 60° + {G\ + X D\) sin 60° + (G\ 4- U)\) • sin 60° =

= 7000 — 1500 • 0,866 4~ 1500 • 0,866 — 2880.0,866 — 0,7 • 9580 • 0,866 — 1780 • 0,866 4- 0,7 • 4680 • 0,866 11140 — 11140 = 0.

60° 4- (G\ 4- X D\) cos 60° 4- «₀ •    • sin 45° 4~

cos

oo₀ • JD\ • sin 45° —

= — 3500 — 1500 • 0,5 — 1780 • 0,5 4- 0,7 • 4680 • 0,5 4- 1 • 9580 • 0,71 — 1 • 4680 • 0,71 = - 8460 4- 8440 = ~ 0.

KRAKÖW

Literatur - NachWeisung.

Föppl, Das Fachwerk im Raume, Leipzig 1892.

Müller-Breslau, Beitrag zur Theorie des räumlichen Fachwerks, Zentralbl. d. Bauverw. 1891 und 1892. Müller-Breslau, Beitrag zur Theorie der Kuppel- und Turmdächer und verwandter Konstruktionen, Zeitschrift des Vereins deutscher Ingenieure, 1898 und 1899. Landsberg, Statik der Hochbaukonstruktionen, Stuttgart 1899. Mohr, Beitrag zur Theorie des Raumfachwerks, Zentralbl. d. Bauverw. 1902 und 1903.

Müller-Breslau, Ueber räumliche Fachwerke, Zentralbl. d. Bauverw. 1902 und 1903.

Landsberg, Beitrag zur Theorie des räumlichen Fachwerks, Zentralbl. d. Bauverw. 1903.

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L.34016

l Kdn. 524. 13. IX. 54

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Biblloteka Politechniki Krakowskiei

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