l J

r

.

%

c

■

í

'

Bibliotéka Politechniki Krakowskiej

100000304013

2i

i J

*

é

I

I -

V

■r

I

>

r"

*

OM i

____

ZU DEN FRAGEN

DER

EINFACHEN, DIREKTEN UND ÖKONOMISCHEN DIMENSIONIERUNG

VON

BETONEISENKONSTRUKTIONEN

UND DER

NUTZBAREN PLATTENBREITE BEI VERBUNDPLATTENBALKEN.

VON

PRIVATDOZENT DR. KARL JARAY

AN DER K. K. DEUTSCHEN TECHNIK, PRAG.

Vřt.

MIT EINER TAFEL.

öffentlichen Arbeiten

PRAG 1906.

J. G. C ALVE’sche K. U. K. HOF- UND UNIVERSITÄTS- BUCHHANDLUNG.

(JOSEF KOCH.)

KRAKÓW

T»

33335

Druck von TIeinr. Mercy Sohn in Prag.

50 ij/H

Akc. Nr.

Die vorliegende Arbeit hat sich zwei Ziele gesteckt. Das eine besteht darin, dem Praktiker einfache und kurze Formeln in die Hand zu geben, mit deren Hilfe eine sofortige und direkte Dimensionierung von Eisenbetonkonstruktionen möglich ist und durch welche sowohl das unsichere und zeitraubende Herumtasten nach einer ersten Annahme als auch die Untersuchung mittels der langen genauen Formeln überflüssig gemacht wird.

Das zweite Ziel ist die Beantwortung der Frage, bis zu welcher Grenze sich bei den Plattenbalken die zu beiden Seiten der Rippe sich anschließende Platte an der Lastaufnahme beteiligt.

Für einzelne Konstruktionsarten sind in der allerletzten Zeit Arbeiteu von Dr. Ing. Paul Weiske und Dr. Ing. Saliger veröffentlicht worden, die im Gedankengang teilweise mit dem hier eingeschlagenen parallel laufen. Doch sind solche Formeln, soweit mir bekannt ist, noch nirgends in allgemein für Platten und Balken und Plattenbalken mit „schlaffer“ oder „steifer“ Armierung gütiger Form abgeleitet worden und sind insbesondere die Untersuchungen am Ende des I. Teils, die sich auf die rationellsten Dimensionierungsmethoden zur Erreichung des Betonminimums oder Eisen-minimums, beziehungsweise zur Erreichung der geringsten Konstruktionshöhe bei gleichzeitiger ökonomischer Ausnützung der Betondruck' und Eisenzugfestigkeit beziehen, nirgends aufgestellt worden. Die zweite Aufgabe ist meines Wissens überhaupt noch nirgends öffentlich in Angriff genommen worden und sie ist es, die im Zusammenhang mit dem I. Teil erst eine endgiltige Lösung des Problems der direkten Dimensionierung von Eisenbetonkonstruktionen anbahnt.

Der ganzen Arbeit sind die bekannten Melan’schen Formeln (siehe Österr. Ing.- und Arch.-Kalender zur Untersuchung von Eisenbetonkonstruktionen zugrunde gelegt; Voraussetzungen sind ferner gerade Belastung und reine Biegung (wie in der Praxis bei Platten und Balken fast ausnahmslos vorliegt) und somit Berechnung nach der 2. Phase.

Am Ende der Arbeit sind die wichtigsten Ergebnisse übersichtlich zusammengefaßt.

I. Teil: Dimensionierungsformeln.

Es bezeichnen im Folgenden:

s Die zulässige Inanspruchnahme des Eisens auf Zug.

6 Die zulässige Inanspruchnahme des Betons auf Druck.

v Das Verhältnis der Elastizitätsmoduli von Eisen und Beton

Ee.

Eb

= 16,

wie üblich.

1. Platten «der Balken mit „schlaffer“ Armierung.

(Vgl. Taf. I, Fig. I. Ta, 1 b).

Für dieselben sind die Formeln für die direkte Dimensionierung bereits von Prof. Melan entwickelt (vergl. Österr. Wochenschrift f. <1. öffentl. Baudienst 1904, Heft 51). Sie seien hier nur der Vollständigkeit halber und als Grundlage für die folgenden, für Plattenbalken gütigen Formeln abgeleitet und zwar in etwas veränderter Form gegenüber der oben zitierten Quelle wegen Übereinstimmung mit dem Folgenden.

Bezeichne H die Höhe des Balkens oder der Platte, wobei die unterhalb des Eisens liegende und zur Umhüllung desselben dienende dünne Betonschicht, da sie ohnedies in der 2. Phase in den „unwirksamen“ Querschnittsteil fällt, in die Höhe H nicht mitgerechnet sei, B die Breite des Balkens, beziehungsweise eines beliebig breiten Streifens der Platte (z. B. B— 1), wobei dann aber die Eisenfläche F, und das Angriffsmoment M auf dieselbe Breite zu beziehen sind, x den Abstand der Null-Linie = ideellen Schwerachse von der Eisenachse, so gilt nach Melan

x — H -}- ^ — \G² + 2 //# wobei z —

vF,

und v —

Ee

hV

Das Trägheitsmoment des in der zweiten Phase wirksamen Querschnittes ergibt sich mit

v Fe x (2 H -j- x):

Eisen mit

Die größte Druckspannung 6b im Beton und die größte Zugspannung s„ im

6b —

(H — x)

Se —

V J X

Sollen diese beiden Grenzspannungen die zulässigen Werte 6 und s gleichzeitg erreichen, so ergeben diese beiden letzten Gleichungen

x —-j—

v 6 s

Setzen wir a —

so ist

7Z (9 -“j— S ^ x — a . II.

Dies in Gleichung 1 eingeführt liefert:

2 za

(1 — «j²

; und unter Berücksichtigung von Gleichung 2 ferner

Fe-

Bll— CB H

1.

Aus Gleichung 3 erhält man mit x — a H und Gleichung I

J — jr BIP (1 — a)¹ (2 + a);

Nun ergibt sich aber aus einer der beiden Gleichungen 4 unter Benützung von 5 und für ab — <?, se — s,

V cc

MH

J —

Dies oben eingesetzt liefert: IP —

= 6"

II

S (1 — a)¹ (2 -\- a) B wobei die Werte von C und Gv für variables cc einer weiter unten folgenden Tabelle*) zu entnehmen sind.

Bei gegebener Balkenbreite B liefert die Formel II die Höhe, und die Formel I die notwendige Eisenfläche. Bei Platten kann man am einfachsten M und Fe auf die Breite B — 1 beziehen; dann fällt B aus den Formeln.

Für den praktisch wichtigen Fall von s =z 1000 hj cnP

Formeln I und II

6 — 33^    *    , also cc ~ $ liefern die

Fe =

BÍÍ

180

Ia

oder Fe — Q‘56⁰/₀ Fb und

IP =;

Ila

für B =

Beispiel: Eine freiaufliegende Platte für das Angriftsmoment M— 72000 kycm pro 1 m Plattenbreite ist zu dimensionieren:

Auf die Breiteneinheit 1 cm entfällt

M — 720 kg cm,

somit nach Formel II“

IP - ^ = 144, o

fl — 12 cm

1200

180

Eisenfläche pro 1 m Breite nach Formel la : Ft —

Es ist nach dem Gesagten selbstverständlich, daß die obigen Formeln I und II dieselben Werte ergeben, wie sie Professor Melan an der oben zitierten Stelle fand.

gezogen sei) so gilt zur Ermittelung der Schwerachse bekanntlich: Summe der statischen Momente aller wirksamen Flächenteile gleich Null:

\B (H — x)² —

wobei Fe die gesammte auf die Breite B entfallende Eisenfläche bedeutet. Setzen wir hierin nach Gleichung 7

so ergibt sich

x ~ a 11

und h — kH. .

5 B JF (1 - tt)² — V Fe H [u

(1 — «)2 2v(a — y)

Fe —

BH:

toi ft-

und

. III

Vergleicht man dies mit Gleichung I so findet man, daß Gleichung III für h — 0 also k — 0 in Gleichung I übergeht.

Hier ist es mitunter zweckmäßiger die Gleichung nach B aufzulösen. Sie

lautet dann

toi ft*

III'

2V,«---) K ~ (1 — «)»

Das Trägheitsmoment des wirksamen Querschnitts ergibt sich mit

10

j — \ B (H — a?)³ + vFe [x — yj² + v J*t •    •    • •

wobei Je das Trägheitsmoment der steifen Einlage, bezogen auf die eigene Achse, ist. Diese Formel (10) setzt als Armierung ein Profil voraus, dessen Schwerpunkt in der halben Höhe liegt, ist also für gewalzte I-Träger, für genietete mit horizontaler Symmetrieachse giltig, nicht aber z. B. für Bulbeisen.

1% \ 2

— j den aus Gleichung

Substituiert man in Gleichung 10 für v Fc (x

8 resultierenden Wert

v F, {x

to! ft

tcl

j und führt man auch

Gleichung 7 und 9 ein, so erhält man

J=i\B H* (1 - «)»-f \ BH³ (1 —«)»(«

tc ft*

) ~\r v Je.    .

. 11

Aus dieser Gleichung ist zunächst Je zu eliminieren.

Fs ist Je ~ c. Fe Ä², wobei c bei den reichsdeutschen und österreichischen gewalzten Normal-I-Profilen ziemlich genau gleich ist. Setzt man hierin die Werte für h aus Gleichung 9 und für Fe aus Gleichung III, so erhält man

Je — C

(1 — «)²

K3I ft-

oder Je — C . k² B Hs, und für die gewalzten Normal-I-Profile ist

(1 — a)*

*)

2 '

13

12 v^a

Führt man nun den Wert von Je aus Gleichungen 12, und 13 in Gleichung 11 ein und ersetzt J durch den in Gleichung 7a gefundenen Wert

MH, so findet man endlich*

7/2 =

12 v cc | u--j

. . IV

* (1 — äy [Je² + (2 4- « — § k) (2 a — k)] B ’ ‘

Formel IV geht für k = 0 in Formel II über.

Die Gleichungen III und IV, die sich zur direkten Dimensionierung von Platten mit steifen Einlagen benützen lassen, schreiben sich auch wie folgt:

b = c\f-

Tl

III

. IV

IP = C₂^- = C₂m

wobei C\ und C₂ für die verschiedenen Werte der zulässigen Spannungen und für die verschiedenen Werte von a und k aus nachstehenden Tabellen zu entnehmen sind, m ist das auf die Breiteneinheit reduzierte Angriftsmoment.

C,~

2v^a

j)

(1 — «)²

. . 14

Zulässige Zu-Eisen- lässiger Zug- Beton-Spannung druck skci/cm² alcq/cm²

Werte von C\ für v

■= 15 und

Je

ll

Je — 1

800

25    0-681

127-062

102-593

90-212

82-842    53-360

90-278

73*873

52-325

71-065

61 -344

55-556    32-408

57-076

38-795

48-574

31-949

43-515    23-276

27*874    11-573

900

25    0-706    161-948

129-458 !    117-556

106 205    71.497

112-818

92-506

65-625

90-363    78-998

72.235    45-181

72-970 | 63-083 50 062 I 42-187

57-199    33 661

37-500    18-750

1000

to

0 7271    196-428    158 600

°'⁶⁹0    137-356    111-445

0-667    112-818    90-363

0-625    80-000    62-293

141-690    131-627    91*376

98-335

78-998

53-334

90-532    59313

72-235    45-181

48-000    26-667

1200

25__0762    277-480    227 205 I    204'962

30    0-727    196-482    158 600 I    141’690

33^    i 0-706    161-948    129’456~|    117-556

40    10-667    112-818    90.363~|    78'998

191 721    138-758

131-627 i 91-376

106-205    71-497

72-235    45-181

s (1 — a)² [k² -}- (2 -p cc — | k) (2 a — &)]

. .*) . . -. 15

Zu-

Zulässiger lässiger Eisenzug ,Beton-s kg/cm² druck ff kg/cm²

•i

Werte von C₂ für v = 15 und

COjfcO

lc— 1

800

25__ 0-681    0-3390

30    0640: 0*2513

0-3246

0-2350

0-3042    0-2874

0-2156    0-2003

1-1909

0-1179

33£    0-615 i 0-2115    0*1942 : 01754    0*1608

40    0-571    0-1579

0-0854

0-1394    0-1212    0-1077

0-0430

900    25    0 706!    0-3748

0-3549

30    0-667

0-2714    0-2579

0-3439

0-2401

0 3201

0-2253

0-2257

0-1445

_33| 0-643    0-2282

40    0-6001 0-1699

0-2138

0-1965

0-1828    0-1087

0-1542

0-1376

0-1250    0-0615

1000

25

30

0.727

0-690

0‘4012    0-3832

0-3656

0-2905

0-2794

0-2629

0 3505    0-2560

0-2492    0-1691

33*

0-667

0-2499

0-2321

0-2161

0-2031

0 1301

1200

40

0-625

0-1811

0-1676

0-1524

0-1405

0-0781

! CO ; CO ; InO

C 00 O OI

0-4425 0 3193

'0762    0-4576

10-727    0-3344

0-7061    0 2811    !    0-2661

| 0-667 |    0-2035

0-1934

0-4268

0-3047

0-2579

0-1801

0-4125

0 2921

0-2401

01693

03182

0-2133

0-1690

0'1084

Die Benützung der Formeln geschieht wie folgt:

Aus den zulässigen Spannungen im Eisen und Beton bestimmt sich aus der Tabelle oder aus Gleichung 6 der Wert von a. Der Wert von k wird nach Bedarf angenommen und B wird dann aus der Formel III bestimmt. Dabei ist zu berücksichtigen, daß sich B umso größer ergeben wird, daß man die Eiseneinlagen umso weiter auseinander wird rücken dürfen, je größer k gewählt wird.

k— | bis § dürfte der geeignetste Wert sein. Eine Änderung in der Annahme von k hat sehr geringen Einfluß auf H und ändert bloß Fe und B.

Man ermittelt H aus Gleichung IV, worin M/B = m das auf die Breiteneinheit reduzierte Angriffsmoment ist.

Mit H ist aus In — kR auch die Profilnummer h und somit aus dem Profilbuch Fe gegeben.

Aus Gleichung III ergibt sich dann das B. **)

(i a

s [k² -f- (2 -j- u — j k) (2 a — k) ]

*) Zur Hilfe bei der Berechnung anderer Werte von Ci und C₂ als in obiger Tabelle angegeben diene daß C₂ = C\

**) Ergibt sieb B hieraus größer als etwa 1 m, so ist die Platte zwischen den Traversen iür sich zu untersuchen und lc eventuell kleiner zu wählen.

Für den in der Praxis wichtigen Fall s — 1000 kg/cm², 6 ~ 33 3 kg/cm²

und für k — s/₄

lauten die beiden Gleichungen III und IV.

B— 78-998

Fe

III“

H²— 0-2161 v

IV“

Beispiel: Eine Platte mit steifen Einlagen für ein Biegungsmoinent 120.000 kgcm pro 1 m Plattenbreite zu konstruieren: zulässig sei s — 1000 kg/cm²,

6 — 33g kgjcm².

a) Ich wähle h — £ //, also k — |.

Die Tabellen liefern hiefür Ci — 78*998

Ci — 0*2161

— 1200 kgcm. Somit nach Gleichung IV“

1P~=0-2161 . 1200 H — 16 cm; somit h — £ II — 12 cm.

a) Nach den österreichischen Normalien hat I-Profil Nr. 12 eine Fläche

Fe ~ 16-08 cm\

B — 78-998 .

von

Für 1 cm Breite ist

nach IIP ist

tals

16-08

16

rund 80 cm.

Untersucht man zur Kontrolle die so angenommene Konstruktion hinsichtlich ihrer Spannungen, so erhält man:

x ~ 10" 7 cm J — 15196-5 cm4 M ~ 80" 1200 — 96.000 kgcm s — 1010 kg fern2 6 — 33*4    „

ß) Nach den deutschen Normalprofilen hat I-Profil Nr. 12 eine Fläche

Fe — 14’2 cm²

B — 78-998

nach IIP ist

14-2

16 ’

; = rund 70 cm.

Die Untersuchung ergibt:

x — 10"7 cm J — 13147-39 cm* M — 76800 kgcm s — 937 kqlcrri3 o = 31    ' „

b) Hätte man k — ⁴/e gewählt, so hätten die beiden Tabellen geliefert Ci = 72-235

C₂ = 0-2031 und nach Formel IV wäre 11 — 15-5 cm geworden.

10 -

Praktisch ausgeführt hätte man auch dann 11— 16cm-, daraus erkennt man, wie gering der Einfluß einer Änderung in der Wahl von k ist.

3. Plattenbalken mit schlaffer Armierung.

(Vgl. Tafel I, Fig. 3 a, 3b, 3 c.)

Mit diesen Konstruktionen, denen heute im Betoneisenhochbau die größte Rolle zugefallen ist, wollen wir uns ausführlich befassen. Es sei zunächst der Vorgang charakterisiert, wie er bei der Projektierung solcher Balkendecken bisher eingehalten wird. Die Dimensionierung wird nach dem Maximalmoment vorgenommen, und es wird dann eine Untersuchung der durch Querkräfte am stärksten beanspruchten Stellen bezüglich der dort auftretenden Schubspannungen durchgeführt. Auf diese Schubspannungen kommen wir im II. Teil der Arbeit noch zurück. Die Dimensionierung selbst beschränkt sich auf die Ermittlung der Randspannungen an der Stelle des Maximälmoments unter Zugrundelegung einer ersten Annahme. Dabei ist d in der Regel schon aus der Untersuchung der Platte für sich als Querkonstruktion zwischen den Rippen gegeben. Für B wird bisher entweder die Rippendistanz oder nach den deutschen Vorschriften 3 der Rippenlänge in Rechnung gestellt. Wie es sich damit verhält, darüber handelt der ganze zweite Teil dieser Arbeit. Für den ersten Teil soll deshalb B als gegeben angesehen werden. Es werden ferner für Fe> b, h erste Annahmen gemacht und man erhält dann die Fläche des ideellen Betonbalkens nach Melan aus

16)

17)

F — B d b h v Fe ferner aus einer Gleichgewichtsgleichung

x — ~b

Das Trägheitsmoment des ideellen Betonbalkens auf seine ideelle Schwerpunktsachse aus:

J — ]₃[B (H — x)z — (B — b) {h — a?)³] + v Fe a?² .    . . .18)

Endlich, wenn M das Maximalmoment der äußeren Kräfte ist, die Grenzspannungen im gefährlichen Querschnitt

19 a)

. 196)

Beton druck (io ~ -J (77 — x) M

Eisenzug se = v _ x .

Ergeben sich hieraus zulässige Werte, so ist die Konstruktion ausreichend. Soll sie auch ökonomisch dimensioniert sein, so müssen sich aus 19) die zulässigen Grenzwerte der Inanspruchnahme ergeben.

Die statische Berechnung läuft also auch hier auf eine Untersuchung einer nach dem Gefühl getroffenen ersten Annahme hinaus. Darin und ferner in dem Umstand, daß es aus dem Ergebnis der Formeln 19, sofern es ein ungünstiges ist, nicht ohne weiteres zu erkennen ist, welche Abmessung der Rippenplatte zu ändern ist und m welchem Ausmaß — darin liegen die Hauptschwierigkeiten für den in der Berechnung von Betoneisenkonstruktionen Ungeübten. Verfasser hat als Dozierender der Eisen- und Eisenbetonkonstruktionen

Die Ableitung der Näherungsformeln geht daher wieder darauf aus, Schlüssel für die direkte Dimensionierung zu finden, die einfach genug sind um leicht gebraucht zu werden und dabei genau genug um selbst eine nachträgliche Untersuchung der gefundenen Werte überflüssig zu machen. Sie geht wieder von der Voraussetzung ökonomischer Dimensionierung aus. Es sollen gleichzeitig in beiden Materialien die zulässigen Inanspruchnahmen (<? im Beton, s im Eisen) an der Stelle des größten Angriffsmomentes faktisch erreicht werden.'

an einer Hochschule Gelegenheit zu beobachtan, wie groß diese Schwierigkeit selbst für Hochschüler ist, die das Operieren mit Formeln etc. noch frisch in Übung haben.

Somit gilt wieder

7)

x — a H und

6)

v 6 -f- s ’

Jedem der in der Dimensionierung von Plattenbalken aus Betoneisen eine gewisse Übung besitzt, ist es bekannt, daß bei richtiger Wahl der Abmessungen die Null-Linie des Querschnitts meistens sehr nahe an die Unterkante der Platte fällt, häufig sogar mit dieser identisch wird. *) Die oben angegebene Formel 18 für J gilt, wie aus ihrem Bau ohne weiters ersichtlich ist, nur bis zu diesem Grenzfall. Liegt die Null-Linie innerhalb der Platte, was, nebenbei bemerkt, immer auf eine unökonomische Formgebung schließen läßt, so tritt Formel 3 an die Stelle der Formel 18.

Das Kriterium für die Giltigkeit der Formel 18 ist also

A > x

h ^

■ u •>

— a, so fallen Plattenunterkante und Null-Linie zusammen. In

oder nach (7 . .

20)

Ist

jedem Falle wird aber, wie oben bemerkt, bei richtiger Dimensionierung die Distanz der beiden Linien von einander nicht groß sein. (Vgl. Fig. 4 a, 4 b, Tafel I.)

Zum Zwecke der Vereinfachung der Formeln begehen wir die folgende Vernachlässigung: Wir berücksichtigen sowohl bei Ermittelung des ideellen Trägheitsmoments als auch bei der Bestimmung von x vom Beton nur die Platte, vernachlässigen also die rechteckige oder trapezförmige Fläche ab c d (Figur 4, Tafel I). Wir wollen uns weiter unten über die mutmaßliche Größe des so entstandenen Fehlers und seine Richtung orientieren.

Die Gleichung 17 ist abgeleitet aus der Beziehung, daß das statische Moment der Fläche, bezogen auf die Schwerpunktachse Null sein muß. Also aus der Bedingung:

l B (// — co)² — 2 (7J — b) (h — cr)²iir v Fex.

Diese Gleichung vereinfacht sich unter obiger Annahme, die einer Verkleinerung der linken Seite der Gleichung um \ b (h — cc)² gleichkommt, zu:

l B \(H — xY - (h — xY] — vFex

* Wird weiter unten bewiesen. Siehe Seite 15.

12 —

Die Gleichung 18 schreibt sich unter derselben Annahme:

22

23

| B [(H — x)³ — (ä — x;)»] + vFex² — J . .    .

wobei die linke Seite um b (h — x)³ zu klein eingesetzt wurde. Substituiert man nach Gleichung 21

vFex² — \ B . x [(// — x)² — (h — x)²]

in Gleichung 22 so erhält man:

2 (II — x)z — 2 (h — x)³ -j- 3 x (// — x)z — 3 x {h — x)² — und nach Auflösung der Klammerausdrücke und Reduktion:

o r

2 H³ — 3 H²x — 2 h* 4- 3 h²x —    . : .

Führen wir hier die Werte

7)

x — a II h — k H

und

und endlich den aus einer der beiden Gleichungen 19 unter Berücksichtigung von 7 gefundenen Wert

24

25

MH

ein, so ergibt sich für die ganze nutzbare Konstruktionshöhe die Gleichung

IB —

6 v a

s [2 (1 — &3) — 3 a (1 — &a)] B die auch in der Form geschrieben werden kann

wobei

26

6 va

8 [2 (1 — k³) — 3 a (1 —k²)\

Ehe wir in die Diskussion dieser Formel eingehen, wollen wir uns über die Größe und vor allem um das Vorzeichen der begangenen Ungenauigkeit kümmern. Dazu gehen wir auf Gleichung 21 zurück.

Der linke Teil dieser Gleichung ist zu klein. Wir substituierten ihn in Gleichung 22. Dort ist die linke Seite ohnedies schon zu klein, wird also umsomehr zu klein.

Die linke Seite der Gleichung 22, die das aus der Figur abgelesene Trägheitsmoment des ideellen Betonbalkens vorstellt, nehmen wir also zu klein, ein Betonbalken von den Abmessungen, wie sie in der Gleichung 22 Vorkommen, hat defakto ein größeres Trägheitsmoment. Dieses zu kleine Trägheitsmoment machen wir laut Gleichung 22 gleich ./, das ist gleich dem erforderlichen Trägheitsmoment und ermitteln hieraus II. Daraus geht hervor, daß ein Plattenbalken mit der Abmessung H in Wirklichkeit ein größeres als das erforderliche Trägheitsmoment besitzen wird, daß wir also H aus der Gleichung V etwas zu groß erhalten. Der Fehler liegt also dem Vorzeichen nach „auf der sicheren Seite“, das heißt, er vergrößert die Konstruktionssicherheit. Das mußte sich auch ergeben, weil wir H unter Vernachlässigung eines Teiles {a b c d) der Betonfläche ermitteln, der in Wirklichkeit nicht unwirksam sein wird. Die Größe der begangenen Ungenauigkeit erkennt man aus Folgendem: (Vgl. Fig. 5 und 6, Tafel I.)

Der Fehler in Gleichung 21 besteht in der Vernachlässigung des statischen Moments der in Figur 5, Tafel I engschraffierten Fläche f bezogen auf n — n gegenüber der weitschraffierten Fläche F. Nun ist erstens die Fläche f selbst und zweitens ihr Schwerpunktabstand von n — n klein gegenüber den entsprechenden Abmessungen von F, umsomehr deren Produkt, das statische Moment. Oder, da sich die Gleichung 21 auch aus der Bedingung: Summe aller Normalkräfte im Querschnitt gleich Null ableiten läßt, besteht der Fehler in Gleichung 21 in der Vernachlässigung des kleinen dreiseitigen Spannungsprismas p in Figur 6, Tafel I gegenüber dem großen vierseitigen Spannungsprisma P. In den Fällen der Praxis schwankt der Fehler von 0 bis maximal 0'8%.

Der Fehler in Gleichung 22 besteht in einer Vernachlässigung des Trägheitsmomentes der in Figur 5, Tafel I angedeuteten Fläche / bezüglich n — n gegenüber dem Trägheitsmoment von F bezüglich derselben Achse und in dem obigen Fehler. Hier, wo es sich um die dritten Potenzen der Schwerpunktsabstände handeit, ist der Fehler im ersten Glied der Gleichung 22 noch weitaus kleiner, er schwankt in der Praxis zwischen 0 und 016%- Somit ist, da die beiden (Bieder der linken Seite in Gleichung 22 bei den Verhältnissen der Praxis rund gleichviel ausgehen, der Fehler in der Ermittelung des Trägheitsmomentes aus der Figur im Maximum 0#5 °/₀. Da hieraus die zweite Potenz von H bestimmt wird, so weicht H vom streng korrekten Wert um maximal 07% ab, was praktisch ohne Belang ist, weil sich dieser Wert stets auf einige Millimeter beschränken wird und so kleine Variationen in den Abmessungen ohnedies nicht ausgeführt werden können, und weil unsere Theorie nicht so genaue Werte liefert.

Wir dürfen also beruhigt H aus Gleichung V ermitteln.

Diskussion der Gleichung V.

Was zunächst den Giltigkeitsbereich der Formel betrifft, so gilt nach

Gleichung

II

20)

somit

und

27

a ^ k < 1 \

0<a<1)

Für a~h fällt die Null-Linie in die Plattenunterkante, der Fall ist somit schon identisch mit dem Fall einer rippenlosen Platte mit schlaffer Armierung und Formel V muß daher für k = a in Formel II übergehen.

Für k ~ a aus V:

7/2 —

6vk

8 [2 (1 — a») — 3a (1 — a*)] B

7/2 —

6 7' a

s (1 — a)2 (2 + a) ' JP was tatsächlich genau mit Formel II übereinstimmt.

Man wird also auch bei Plattenbalken die Formel II anwenden können, wenn sich die Rippe vorraussichtlich relativ niedrig ergeben wird, wenn also anzunehmen ist, daß die neutrale Achse in die Platte fallen dürfte. Dies ist fast stets bei den sekundären Rippen (sog. Querrippen) der Plattenbalkendecken der Fall. Man wird deshalb bei solchen Querrippen stets die Formel II anwenden. Liefert sie eine Rippenhöhe, für welche k «< «, so ist der Wert giltig und Fe ist dann logischer Weise aus Gleichung I zu bestimmen; das wird fast stets der Fall sein. Liefert Formel II aber eine Höhe für welche k > so ist der Wert unrichtig und die Rippenplatte wie eine gewöhnliche zu behandeln, wie weiter unten angegeben ist. (Vgl. das Beisp. 1. St. 22).

Die Werte des Koeffizienten der Formel II.

(1 — CC)²

C'=z

und der Formel I C —

6va

S (1 — a)² (2 -j- a)

für die verschiedenen Werte von s und a sind der nachstehenden Tabelle zu entnehmen:

bei v — 15

Eisen-Zug s kg lern²

Beton-

Druck

6 kg/cm²

C' —

6 vcc

(1 — a)²

s (1 — a)² (2 -j- a)

800

25

0-681

0-2808

0-0050

30

0-640

0 2104

0-0068

33^

0-615

0-1785

0-0080

40

0-571

0-1358

0-0107

900

25

0706

0-3018

0-0041

30

0667

0-2255

0-0055

33|

40

0643

0-600

0-1909

0-1442

0-0066

0-0089

1000

25

0-727

0-3219

0-0034

30

0-690

0-2458

0-0046

33!

0667

0-2030

0-0055

40

0-625

0-1524

0:0075

1200

25

0-762

0-3653

00025

30

33g

0-727

0-706

0-2683

02264

0-0034

40

0-667

0-1692

0-0041

0-0055

Der Unterschied, der im allgemeinen zwischen den Formeln II und V besteht, läßt sich zum Nachweis der oben angeführten Tatsache benützen, daß bei ökonomischer Dimensionierung Nullachse und Plattenunterkante sehr nahe beisammen liegen oder zusammenfallen:

Die Formeln V und II unterscheiden sich bloß im Nenner und zwar ist dei Klammerausdruck im Nenner der Formel V

[2 (1 —&») — 3« (1 — &²)] während er bei Formel II [(1 — &) ' (2 + «)] ist.

15

Die Differenz ist

A = [2 (1 — &³) — 3 a (1 — k*)) — (1 — «)* (2 + a) = 3 a k* — 2 k³ — a3 Durch Transformation des Ausdruckes für A erhält man A — (a — k) (k — oc) (2 k -f- a).

Da nun nach (27) k > a und sowohl k > 0 als auch a>>0, so ist im

allgemeinen

A<o

Das heißt: Der Nenner in Formel Y ist allgemein kleiner als der in Formel II. Somit H aus Formel V allgemein größer als H aus Formel II.

Der kleinste Wert von H, der sich aus Formel V ergeben kann, ergibt sich für k — «, das heißt, wenn Plattenunter kante und Null-Linie zusammenfallen.

Ferner: Nach Obigem ist

(a — k) (Je — a) (2 k -{- a) ~ A S 0.

Bezeichnen wir das Verhältnis

— v, wobei v > 1, so ergibt sich durch

Ausführen und Einsetzen nach Division durch a³

Dieser Wert und damit A wird umso größer, also umso näher 0 werden, je kleiner v ist, weil das negative Glied die höhere Potenz von v hat. F'ür v — 1 wird der Ausdruck im Maximum Null erreichen. Das heißt aber:

Aus Formel V wird sich ein umso sparsamerer Wert von H ergeben je kleiner v ist, das heißt je näher die Null-Linie an der Plattenunterkante liegt.

Dies ist jedoch nicht mißzuverstehen. Die Annahme k — a liefert den geringsten Wert von II bei gleicher Tragfähigkeit, aber sie liefert dicke Platten bei relativ niedrigen Kippen (z. B. für s ~ 1000 %/cw² g — 33^ kg/cm² ergäbe sie die nutzbare Kippenhöhe von der Plattenunterseite bis zur Schwerachse der Eiseneinlagen gleich der zweifachen Plattendicke). Am wenigsten Beton würde man brauchen, wenn das Volumen V ein Minimum würde. Darüber kann hier nicht gesprochen werden, weil da die nutzbare Breite B eine wichtige Kolle spielt, über die noch viel vorher zu sagen ist. (Siehe diesbezüglich im zweiten Teile dieser Arbeit.) Soviel kann auch hier schon gesagt werden, daß sich auch für diese Annahme die Nullachse nahe der Plattenunterkante ergibt.

Nimmt k den anderen Grenzwert 1 an, so liefert die Formel V: II — oo. Das ist auch selbstverständlich, weil dann die Plattendicke d z=z 0 wird, der Kippenteil unter der Platte vernachlässigt, somit der nutzbare Betonquerschnitt Null wird. Die Kurven zeigen den Verlauf der Werte von C₃ bei konstantem a

für a — f = 0-571 (<? = 40, s =: 800)

i <;

•2 l

= 0-762 (6 = 25, s — 1200)

sowie für den häufigsten Wert

a — l — 0 667 (g = 33g, s = 1000).

Die Formel V kann indessen noch nicht zur direkten Dimensionierung dienen, weil sie noch das k enthält, das unbekannt und von II abhängig ist. Bei

16

der direkten Dimensionierung der Rippenplatten bestimmt man meistens zuerst die Dicke der Platte mit Rücksicht auf Biegung der Platte als Querkonstruktion zwischen den Rippen. Dadurch ist dann das d schon gegeben, wenn man an die Bestimmung von H schreitet. Die Gleichung V muß also so transformiert werden, daß darin das k durch d substituiert wird. Dazu dient die aus

24

h ~ kH abgeleitete Relation H — h—d

28

Setzt man dies für k in Gleichung V, so erhält man für H die quadratische Gleichung

H* —

*+

da

3 (1 — a)

. . VI.

Diese quadratische Gleichung hat zwei positive Wurzelwerte, deren einer, der kleinere unbrauchbar ist. Durch Eliminierung desselben ergibt sich mit einer Ungenauigkeit von 0 bis im Maximum 0-7°/₀

11 — 6 a

li

12 (1 — a)

d+4

dů' B

VII,

was sich auch in der Form

. VII'

H C, . d -T— ß

schreiben läßt, wobei die Werte von für veränderliches a der nachstehenden Tabelle zu entnehmen sind.

Zulässiger Eisen-Zug s kg/cm²

Zulässiger Beton-Druck g kg/cm³

04 =

11 — 6 a

12(1 —a)

; für v — 15

800

IjO ' O CO | O W I CO CO! rH

cd-

0-681

0-640

0-615

0-571

1-806

1-657

1-582

1-471

900

25

0-706

1-917

30

0667

1-751

331

0-643

1-667

40

0-600

1-542

1000

25

0-727

2-026

O ! co ! O

CO ! CO Í

0690

0667

0*625

1-844

1-751

1-611

25

0-762

2.251

30

0-727

2-026

331

0-706

1-917

Ist II gefunden, so kann zur Ermittelung von Fe die Gleichung 21 benützt werden, über deren Fehler wir bereits orientiert sind. Sie würde bei genau korrektem H die Eisenfläche Fe um maximal 0*8°, ₀ zu klein liefern. Da nun das H aus obiger Formel VI oder aus Formel VII um maximal 0*7% zu groß resultiert, so werden die beiden Fehler sich teilweise kompensieren. Dies zeigt sich deutlich in den nachfolgenden Beispielen.

Setzt man in Formel 21 für x und h die aus den Gleichungen 7 beziehungsweise 24 hervorgehenden Relationen

x — ccH, h — k H,

so erhält man durch Auflösung nach Fe

oder

Fe~

F.=

(1 — a)² — {k — a)²

2 v cc

BH

(1 — k) (1 k — 2 a)

2 va

. . VIII

Die Formel VIII hat denselben Giltigkeitsbereich, wie Formel V, nämlich

27

ja < k < 1 (0 < a < 1

Für k = ß, 'das Zusammenfallen von Null-Linie und Plattenunterkante geht sie, wie natürlich, in Formel I

Fe-

(1 — a)

Bll

über. Für k — 1 liefert sie Fe — 0, was dem obengefundenen Grenzwert 11 — für denselben Fall entspricht. (Statisches Moment der Eisenfläche 0 . oo). Die Formel VIII könnte zwar, da jetzt

//

k — l--T-r

schon bekannt ist, zur direkten Ermittelung von Fe benützt werden. Dm aber die Zwischenrechnungen ersparen zu können, wird auch aus VIII durch Einfuhren der obigen Relation für k diese Größe eliminiert und man erhält auf diese Weise

IX

F, = ( ¹--“

V v a.

oder wobei Cr, und Cr, nachstehender Tabelle zu entnehmen sind:

Für die zulässigen Spannungen von 1000 kg/em² Zug im Eisen und 33^ kg/cm² Druck im Beton lauten VII und IX:

. VIP

d (? B

H = 1-75 d -f

lXa

800

25

0-681

00312

0*0489

30

0-640

0-0375

0-0521

33^

0 615

0-0417

00542

40

0-571

0-0500

0-0584

900

25

0-706

0-0278

0 0472

30

0-667

0 0333

00500

33s

0-643

0-0370

0-0518

40

0-600

0-0444

0-0556

1000

25

0-727

0-0250

0-0459

30

0-690

0-0300

0-0483

0-667

0-0333

0-0500

40

0-625

0-0400

0 0533

1200

25

0-762

0-0208

0-0437

30

0-727

0-0250

0-0459

33tj

0-706

0-0278

0 0472

40

0-667

00333

0-0500

für v — 15

für v — 15

Zulässiger Eisen-Zug s kg/crn²

Zulässiger Beton-Druck a kg/cm²

Fc = (0 0333 — 0-05 ~^)ßd

Die Breite der Rippe wäre wie bisher mit Rücksicht auf Schubspannungen oder auf die Unterbringung der notwendigen Eisenstärke zu wählen. Auf diesen Punkt wird im zweiten Teil auch nochmals zurückgekommen (Siehe Ste. 32), wie in den folgenden Beispielen auch B wie bisher noch gleich der Rippendistanz, im Maximum jedoch gleich dem dritten Teil der Rippenlänge (nach den deutschen Vorschriften) gesetzt wird und erst im zweiten Teil dieser Arbeit ganz gesondert die Finwände gegen diesen Berechnungsmodus erhoben und Vorschläge zu seiner Abschaffung erstattet werden.

Nicht immer ist jedoch das d gegeben, ehe man H bestimmt.

Im Hochbau ist dies allerdings in der Regel der Fall, nicht so aber im Brückenbau. (Siehe Tafel I, Fig. 8.) Dort liegen oft die Rippen sehr nahe und die ireie Länge der Platte a — b ist zu gering, als daß sich aus der Untersuchung derselben als biegungsbeanspruchte Zwischenkonstruktion zwischen den Rippen ein brauchbares Resultat für die Plattenstärke ergeben könnte. Für solche Fälle kann man nach Obigem rorgehen wie folgt:

a) bei begrenzter Konstruktionshöhe.

Man bestimmt die Abmessungen unter der Bedingung, daß die ganze Konstruktionshöhe ein Minimum werden soll. Dafür ergibt sich aus dem oben (Seite 15) Gesagten, daß man k z: u zu setzen hat, somit für H statt Formel V die Formel II, und für Fe statt VIII die Formel I anwenden kann. (Siehe nachfolgendes Beispiel 2 c.)

/3) b e i freier Konstruktionshöhe.

Man bestimmte aus der Bedingung, daß die Kosten der Konstruktion ein Minimum werden sollen, daß also der geringste Material-aufwand nötig sein soll.²)

Die dem Betonvolumen proportionale Querschnittsfläche f ist

fz=zBd + bh.

Hierin für h — H — d eingesetzt gibt

f={B-b)d+bB-,

Substituiert man hierin H durch den Wert aus Gleichung YII so ergibt sich f=(B — b)d+Ctbd+- ¹

Hierin ist / als Funktion der unabhängig Variablen d anzusehen und ist nach d zu einem Minimum zu machen.

df

dd

Aus

erhält man d² =

b AI

B a (B — b) + b Ci

Nach dieser Formel ist d zu bestimmen und dann verfährt man wie oben, ermittelt H aus Gleichung VII und Fe aus Gleichung IX. (Siehe unten Beispiel 2 b.) Wendet man dieses Verfahren auf Hochbaukonstruktionen an, so findet man, solange für B der oben genannte Wert (Rippendistanz bis maximal ein Drittel Rippenlänge) gesetzt wird, Werte von c/, die praktisch unausführbar, weil viel zu klein, sind. Dort ist es auch nicht notwendig d auf diese Weise zu ermitteln, weil ja das d dort schon aus der Biegungsbeanspruchung der Tlatte

quer zu den Rippen gegeben ist. Für Brückentafeln aber, wo —und AI größere

Werte haben, erhält man hier brauchbare Ergebnisse.

Führt man die analoge Untersuchung für das Minimum an Eisenaufwand durch, so findet man aus

IX . .

_ /I — a

V v u

1 d \ v ci H )

Bd

durch Substitution von

VII.....H —

11 — 6 a

12 (1 — a)

d -j-

AI 1

und aus

dFe

dj=e

Die Gleichung für d:

d^ —

AB

Cr, — d² -(- CS - 0,

XI

144 (1 — a) (3 « — 1)

wobei

3 (5 (55 — 96 a + 36 a²)

und

144 (1 — a)2 0 2 (55 — 96 a 4- 36 a²)'

Die Werte dieser Koeffizienten für die wichtigsten Verhältnisse von und s sind der nachstehenden Tabelle zu entnehmen.

Setzt man diese Koeffizienten ein, so ist die Gleichung leicht nach r/² und damit nach d aufgelöst.

Aus dem Bau der Gleichung XI erkennt man:

— Gs;

d² —

Der Wurzelwert ist jedenfalls kleiner als der Ausdruck vor der Wurzel. Es werden sich also für d² und d reelle und positive Wurzeln ergeben, wenn

1 cVft;

v — ~ Verhältnis der Elastizitätsmo duli von Eisen

¹

Platten mit „steifer“ Armierung.

(Ygl. Tafel I, Fig. 2 a, 2 b).

Bezeichnet h die Höhe der steifen Einlage, H die Höhe der Platte und x den Abstand der ideellen Schwerachse von der Unterkante der Konstruktion (wobei wieder die dünne Betonschichte unterhalb des Eisens nicht in Rechnung

*) Siehe Seite 14.

²

Wert', behält sich vor, auf diesen Punkt demnächst näher zu sprechen zu kommen.

1 cVft;

Mit obigen Werten liefert das die Bedingung

«> tf

oder

s > 36*43 6

Das heißt: Das Eisenminimum wird bei gleichzeitiger ökonomischer Dimensionierung auf Betondruck sich nur bei Verhältnissen der

cj

zulässigen Spannungen — > 36⁻43 überhaupt erreichen lassen.*) Für kleinere

Werte erhält man komplexe Lösungen obiger Gleichung. Wird a >* |j, so erhält man für d°- zwar reelle aber negative, somit für d imaginäre Wurzelwerte. Es gilt somit hier

2Í = K = (Í

Das Intervall ist gleichzeitig ohnedies so ziemlich das Intervall der Praxis. Nur an der unteren Grenze ist es etwas knapp. Für Werte unter \\ (wie z. B. für den häufigen Wert bei s — 1000 kg/cm², 6 ~ 33^ kg/cm²) muß man nach dein Minimum der Betonfiäche dimensionieren.

Aus Gleichung XI ergibt sich

XII

wobei die Werte von p gleichfalls nachstehender Tabelle zu entnehmen sind:

*) Nicht mißzuverstehen. Verzichtet man auf die Ausnützung der Betondruckfestigkeit, so kann man die notwendige Eisenfläche noch weiter reduzieren. Wie weit man da aus praktischen Gründen gehen kann, um die Summe der Kosten von Beton und Eisen zu einem Minimum zu machen, darauf zurückzukommen behält Verf. sich vor.

Zug im Druck im Eisen s kg fern²    6 kgjcm

Beton

Crj

1000

20

0769

0-2940

0*00779

0171

22

0'751

0-2123

0-00578

0 185

25

0-727

0-1462

0-00406

0-193

Grenze

27‘4

0-708

0-1132

0-00322

0-237

1200

20

0-800

0-5419

001161

25

0 762

0-1974

0-00474

0-149

0.167

30

0.727

01218

0-00282

0-176

Grenze

32-9

0-708

0-0943

0-00223

0-217

Somit lautet die Gleichung beispielsweise für

s — 1000 kg/cm2 <i — 25 kglem²

1/

M²

di — 0-1462 d² + 0-00406    = 0

■D"

XI'

Sie liefert die Wurzel

d² = (0-0731 + VO’0731² — 0-00406)⁻ ^

Von den zwei Vorzeichen der Wurzel ist nur das negative zu gebrauchen. Das positive liefert Werte von d, für die Formel V nicht mehr gilt.

W7¥ v B

d — 0-193

XII“

Die Dimensionierung der Platte hinsichtlich des Eisenminimums liefert in der Regel stärkere Platten als jene hinsichtlich des Betonminimums.

Die Gleichungen XI und XII dürfen, wie aus dem Obigen folgt, nur für Werte von a zwischen ^|u. | angewendet werden. Befolgt man dies nicht, so zeigt sich dies darin, daß man aus Formel Xll einen Wert für d erhält, größer als bei geringster Konstruktionshöhe und für k einen Wert, größer als a, wofür ja alle Plattenbalkenformeln ungiltig sind. (Vgl. Beispiel 3“).

Dann ist das erreichbare Eisenminimum bei gleichzeitiger Betonausnützung in dem speziellen Fall identisch mit dem Fall des Betonminimums. Man kann sich leicht davon überzeugen, ob es so ist. Man ermittelt d aus XII, dann H aus VII. Ergibt sich

-jj- <Z. 1 — d. h. k^> u,

so gilt der gefundene Wert. Sonst ist er ungiltig und die Dimensionierung muß mit Rücksicht auf Betonminimum oder minimale Höhe erfolgen. (Beispiel 3a)

Im allgemeinen zeigt sich, daß man das Eisenminimum nur bei niedriger zulässiger Betoninanspruchnahme erreichen kann. (Vgl. d. Beispiele.) *)

Beispiele.

Beispiel 1. Für einen Raum von 6'6 m lichter Weite und einer Distanz der Fensterpfeiler von 3*8 m ist eine Plattenbalkendecke für 350 kg/m* Nutzlast zu projektieren: (Vgl. Tafel I. Fig. 9, 10, 11, 12)

s =: 1000 kgfcm 6— 33*3    „    , also a zz:

Zulässig wären

Dimensionierung.

a) Die Platte.

Eigengewicht (mit Schutt und Fußboden) zirka 340 kg Im²

Nutzlast 350

Zusammen 690 kg/m Dimensionierung mit Rücksicht auf das größte positive Moment im Endfeld der als kontinuierlicher Träger auf n Stützen angesehenen Platte, pro 1 m Breite M — ^ p l² =z T¹B . 6*9 . 380² = 62272*5 kgcm

Auf 1 cm Breite entfällt -pp — 622*725 kgcm.

Nach Formel II“ .    .    . fí² ±z

Hieraus

H — 11 cm.

Aus I“ ergibt sich

Fe =

BH

180

und für B = 100

Fe — 6*81 cm²

Eine nutzbare Dicke der Platte von 11 cm (von der Schwerachse der Eiseneinlage bis zur Oberkante) entspricht eine Totaldicke von etwa 14 cm, was unökonomisch wäre. Deshalb wird es zweckmäßiger sein Querrippen einzuschalten. Die Platte hat jetzt bloß eine Freilage von 2*2 m, das maßgebende Moment ist pro Plattenbreite

.1/

— — 278*30 kgcm

Somit nach Formel II“ . . .Th — 7*5 cm nutzbare Plattendicke, was einer Totalstärke von 10 cm entspricht. (Vgl. Tafel I, Fig. 10.)

Nach I“ Fe =

somit auf 1 m Breite Fe ~ 4*17 cm²

BH

180

b) Die Querrippenplatte.

Als Breite B würde nach den bisherigen Gepflogenheiten die Rippendistanz, keinesfalls aber mehr als ^ der Länge der Rippe gesetzt werden, hier also rund B zu 120 cm. (Tafel I, Fig. 11.)

*) Das erreichbare oder nicht erreichbare Eisenminiraum, von dem oben die Rede ist, ist

das mathematische Minimum, für welches —■*. = 0 die Ilorizontalstelle der Kurve,

d d

welche den Verlauf des Fe als Funktion von d anzeigt. Ein numerischer Minimalwert von Fe ist natürlich immer zu erreichen und dieser wird im Falle, wo das mathematische Minimum nicht zu erreichen ist, mit dem Falle des Betonminimums zusammenfallen. Eine graphische Darstellung dieser Verhältnisse behält sich Verf. vor.

4/ rr 137180 M

Es ergibt sich

und

^ — 1143-2 %cm.

Da sich voraussichtlich für die kleine Spannweite des Plattenbalkens von 3’8 m bei der Plattendicke von 10 cm eine relativ niedrige Rippe heraussteilen wird, so dürfte die neutrale Achse innerhalb der Platte liegen, somit kann auch hier Formel II angewendet werden. (Vgl. Ste. 14.)

Nach Formel II für

_ i M

H Bi

Hy — 15 cm

ergibt

also k — 's was tatsächlich kleiner als a — §. Somit gilt der Wert.

Nach I

Fe-

BH

1 rz 10 cm²

180

c) Die Hauptrippenplatte. (Tafel I, Fig. 12.) B — 3 L ~ 220 cm Eigengewicht zirka 400 kg/m2 Nutzlast

350

750 kg/rn²

Auf 1 cm Rippeulänge entfallen p — 3'8 . 7’5 = 28‘5 kg M — pL² — 1551825 kgcm\

Zusammen

00|-

-g- — 7054 kgcm.

Nach Formel VII' mit C* aus der Tabelle für a — : H = 1*75 d -f-

iHf

H — 38’7 ±; 39 c/w

Ferner aus Gleichung IX mit C₅ 0-0333

C₆ — 0*0500

Fe = (0 0333 — 0*05 Bd Fř — 45 cm²

Die Rippenbreite b wird mit 22 cm angenommen. Damit ist die Dimensionierung abgeschlossen. Eine genaue Untersuchung der gefundenen Werte ist in der Praxis vollkommen überflüssig. Hier seien zur Illustration für die erreichte Genauigkeit z. B. die für die Hauptrippenplatte gefundenen Werte, mittels der Melanformeln untersucht: ideelle Fläche

F— 220 . 10 + 22 . 29 + 15.45 = 3513 cm2 F

£₂ — (//² — /i²) ^--h² = 26 cm

Man beachte, daß x sich genau gleich uHz=%H ergibt. Trägheitsmoment J = %    — x)s — (R — b) (h — #)³] 4 vFex² =

— 615631 cmi.

X — —r-

a) Dimensionierung mit Rücksicht auf das Eisen minimum. Laut Gleichung XII ist d — p

d — 32 cm.

Für obige Werte von a und s ergibt sich laut Tabelle Seite 21 pi=0 185; Somit

1 M d6 ‘ B'

Man beachte, wie wenig das in obiger Theorie vernachlässigte Glied |(.] b (h — a)³ — 198] gegenüber J ausmacht (nicht ganz 0*03%).

Endlich

=- = 252

6b — 2'52 . \ 3 — 32’8 kg/cm2 = 2*52.15.26 z= 983 %/cm².

Beispiel 2).

Die Fahrbahntafel einer Straßenbrücke von 9\5 m Spannweite für einen Raddruck von 5* ist als Rippenplatte aus Eisenbeton herzustellen.

Eigengewicht:

Betoneisentafel etwa 900 kg/m2 25 cm Schotterdecke 450

Zusammen 1350 kg/m²

Als Rippendistanz wurde 1 m gewählt: B = 100 cm Als Rippenbreite „    0'25 m r

Das maximale Angriffsmoment ist

M —    . 13-5 . 950.950 + | 5000 . 950 = 2,710.469 kgcm.

A) Es seien zulässig 6 ~ 22 kg/cm*

5 = 1000    „

Da a zwischen U und I liegt, ist Formel XII anwendbar.

: b — 25 cm

-IX

also a = ?

4-

Laut Gleichung YII ist nun H ~ C^d -\-

Hier ist

C,~

11 — 6«

liieraus

12 (1 — a) H ~ 108 cm.

— 2-17;

Somit h — H — d ~ 90 cm und — ~ —

H 27

Nach Gleichung IX ist

F, =(Ct — C,~\Bd

Hier ist

06 =

4:>

rH i

2L

4 ..

25 cm²

Somit

Retonquerschnitt zz 5100 cm².

Betonquerschnitt zz 4500 cm².

Aus einem Vergleiche der drei Ergebnisse sieht man, daß der Eisenaufwand so ziemlich konstant bleibt, daß man also am zweckmäßigsten nach dem Betonminimum dimensioniert. Das Eisenminimum wird ohnedies meistens nicht erreicht. Hätten wir z. B. oben nur um ganz wenig mehr Betondruck zugelassen, also z. B. 25 kg/cm², so hätte die Dimensionierung ergeben:

3. Beispiel. Dieselbe Fahrbahntafel für 6 zz 25 kg/cm

s zz 1000 kafem² also a zz T⁸T.

a) Dimensionierung auf Eisenminimum.

Nach XII

b) Dimensionierung mit Rücksicht auf Erreichung des Beton-

m i n i in u m s.

Laut Formel X ist

(Dieselben Inanspruchnahmen zulässig).

, b d² —

B ' ö • (B — b) -\- bCi '

Hier ist wieder wie oben

Somit

rund

Ci — 2-17 d zz 15-55 d ~ 16 cm.

Aus Formel VII mit demselben Koeffizienten 6⁷₄ wie oben

H zz 111 cm

h ~ 95 cm

Aus Formel IX .    .    .    . Fe zz 26 cm² Betonquerschnitt 3975 cm².

c) Dimensionierung mit Rücksicht auf Erreichung der geringsten Konstruktionshöhe.

(Dieselben Inanspruchnahmen zulässig).

Nach den Ergebnissen auf Seite 13 geht Formel V für diesen Fall (k — cc) in Formel II über. Somit

H²~ C'M

wobei C — —f.—;—r ^ s (1 — a)² (2 + et)

somit

und hier C — 0‘3927 ; // zz 103 cm

7/

zz 26 cm.

h zz 77 cm

Endlich nach 1 . . Fe —

360

~ B H z: 29 cm²

d zz 0193

d zz 3F6 cm

. . H= 2d + 4

VII . .

somit

und hierait laut

II ~ 98 cm, h ~ 66'4 cm

und

k~

66-4 . 7-38 _ 8

98

11

<n=«.

Für k <C u gilt aber die Formel VII nicht. Das analytische Eisenminimum ist also hier nicht mehr erreichbar; an die Stelle tritt die

d — 15 cm H — 104 cm Fe — 27'5 cm2 Betonfläche ~ 3725 cm².

b) Dimensionierung zur Erreichung des Betonminimums. Es ergibt sich hier

c) Für kleinste Höhe ergäbe sich hier d — 26 cm II — 95 cm Fe — 52'6 cm2 Betonfläche ~ 4325 cm².

Endlich hätte sich bei sehr beschränkter Konstruktionshöhe und bei In

anspruchnahmen von 40 kg/cm*-, beziehungsweise 1200 kglcm² die Dimensionierung wie folgt ergeben:

für <3 ~ 40 kg/cm²

s ~ 1200 kglcm² ist « zz und für kleinste Konstruktionshöhe ist k — a —

Nach II“.......H ~ 74 cm.

d —    — 25 cm

o

.    . Ft~

Nach I"

BH

180

= 4111 cm².

Als Maßstab für die Genauigkeit diene folgende Untersuchung eines der Beispiele mittels der genauen Formeln:

Z. B. Ad 2 b für

ú — 22

s ~ 1000 fanden wir II — 111 cm h ~ 95 cm d — 16 cm B ~ 100 cm b — 25 cm Fe — 26 cm².

Somit ist nach Melan

F — Bd-\-bh-\-vFe — 4365 cm¹

\ / F²    B

X — -v-

Y-p — (£T² — A²) --h² — 86 cm.

Man beachte wie nahe gleich aH {§ H)\

J— %B (H — xy — l (B — b) (h - x)* + v i'⁷**;2 J — 3,887000 cmK

Hier liegt die neutrale Achse fast einen vollen Dezimeter unterhalb der Plattenunterkante und doch macht das in obiger Theorie vernachlässigte Glied g b (h — x)³ — 6075 nicht ganz 0'02% von J aus.

Die Grenzspannungen sind:

M

Beton 6b — —f (H — x) — 20 kg!cm‘l (zulässig 22)

Eisen se — -j- x ±i 1030 %/cm².

II. Teil: Welche Plattenbreite darf bei Plattenbalken aus Eisen-Beton bei der Tragfähigkeitsberechnung mitgezählt werden?

Wiederholt ist von verschiedenen Seiten darauf hingewiesen worden, daß bei der Tragfäliigkeitsuntersucliung der betoneisernen Plattenbalken ein Berechnungsvorgang zum Usus geworden ist, der mit der Theorie in scharfem Widerspruch steht und durch keinerlei praktische Erfahrungen gestützt wird. Derselbe besteht darin, daß man als nutzbare Plattenbreite die volle Distanz A (Siehe Fig. 13, Taf. I) zweier benachbarter Rippen einsetzt. Es soll also die meistens relativ dünne Platte, welche ohnedies als Querkonstruktion zwischen den Rippen bereits bis an die Zulässigkeitsgrenze auf Biegung beansprucht ist, noch in ihrer Gänze als biegungswiderstehender Querschnittsteil der Plattenbalken angesehen werden. Dagegen sind, wie bemerkt, wiederholt Einwände erhoben worden, und die preußischen Bestimmungen über die Ausführung von Eisenbetonbauten haben diese Mitwirkung der Platte auch insoferne schon begrenzt, als sie normieren, daß nicht mehr als maximal ein Drittel der Spannweite des Balkens als nutzbare Plattenbreite anzusehen sei. Diese bloß aus dem Bestreben nach einer Begrenzung entstandene Angabe ist jedoch durchaus willkürlich, da diese Breite natürlich von einer ganzen Zahl von Faktoren, nicht von der Spannweite allein abhängig sein muß.

Das letzte Wort in dieser Frage, welche Plattenbreite nutzbar mitgerechnet werden darf, wird zweifellos der Versuch sprechen. Doch soll im Folgenden wenigstens einmal ei«n Anfang gemacht werden und soweit dies der Theorie möglich ist, eine Antwort auf die Frage erteilt werden.

Vorausgeschickt soll nur noch werden, daß dieser Punkt sehr wichtig ist, weil die Plattenbreite bei der Berechnung des nutzbaren Trägheitsmomentes in der 2. Phase sehr ins Gewicht fällt und eine Änderung derselben auf alle anderen Abmessungen, wie Höhe der Rippe, Eisenfläche, von bedeutendem Einfluß ist. Vor allem aber, weil der Fehler, den man usuell mit der obigen Annahme macht, die Konstruktionssicherheit erheblich verringert.

Bei Hochbaukonstruktionen werden die Plattenbalken in der Regel so dimensioniert, daß man die Stärke der Platte mit Rücksicht auf ihre Beanspruchung als Querkonstruktion zwischen den Rippen rechnet und diese Dicke d dann bei der Biegung der Rippe in Rechnuug zieht. (Vgl. Fig. 14 Tafel I.)

Nimmt man da die Breite d. i. die Rippendistanz, oder auch nur ^ der Spannweite als wirksame Plattenbreite an, so ergibt sich ein nutzbares Trägheitsmoment J und eine bestimmte Lage der ideellen Schwerachse = Nullinie x. Untersucht man dann einmal die maximale Schubspannung, welche im horizontalen Längenschnitt n — n rechnungsmäßig auftreten sollte, so wird man finden, daß dieselbe die Schubfestigkeit des Betons weitaus übersteigt. Der Rechnung nach müßte also in der neutralen Schichte oder, was bei ökonomisch dimensionierten Plattenbalken bekanntlich fast dasselbe ist, an der Anschlußstelle der Rippe an die Platte ein Längsriß entstehen noch lange ehe die Normalfestigkeit des Plattenbalkens erschöpft ist. Die Erfahrung lehrt, daß solche Risse nicht entstehen, daß sie sogar bei Belastungen bis zum Bruch an dieser Stelle und in diesem Verlaufe nicht entstehen. Daraus folgt aber, daß dort dann auch tatsächlich die rechnungsmäßigen Schubspannungen nicht auftreten, daß somit die Platte zwar in ihren der Rippe benachbarten Teilen, nicht aber in den weiter entfernten an der Aufnahme des Angriffsmomentes teilnimmt. Der Übergang wird in Wirklichkeit ein allmäkliger sein, wenngleich wahrscheinlich ein rascher Spannungsabfall mit wachsender Entfernung von der Rippe eintreten dürfte.

Im Folgenden wird nun die nutzbare Plattenbreite B aus der Bedingung bestimmt, daß die rechnungsmäßig unter Benützung der Breite B sich ergebende Schubspannung in der neutralen Zone die tatsächlich dort auftretende Schubspannung r nicht überschreiten dürfe.

Es werden dann die im I. Teil dieser Arbeit abgeleiteten Formeln für die direkte Dimensionierung der Plattenbalken aus Betoneisen unter Einführung der neuen Formeln für die nutzbare Plattenbreite B vervollständigt. Und schließlich wird der Weg gezeigt, wie für die tatsächlichen Schubspannungen wenigstens Grenzen sich ziehen lassen, die sie nicht überschreiten können, werden die praktisch für x zu substituierenden Werte eingeführt.

B sei die unbekannte nutzbare Plattenbreite, by die Breite der Rippe an der Stelle der größten horizontalen Schubspannungen. (Vgl. Fig. 15a, 15b, Taf. I.)

Im Falle des rechtwinkligen Anschlusses der Rippe an die Platte wird bi —b, gleich der Rippenbreite sein, im Falle der Ausbildung von Übergangsprismen zwischen Platte und Rippe ist bi größer und weil die neutrale Achse meist nahe der Plattenunterkante liegt (Siehe I. Teil Ste. 14 ff.) nahezu gleich der Breite an der Anschlußstelle der Rippe.

Bezeichnet Q die maximale Querkraft der Belastung, so ist die Schubkraft im horizontalen Längenschnitt pro Flächeneinheit bekanntlich:

28

T~ Jbi

wobei \x das statische Moment des auf einer Seite der neutralen Achse gelegenen Flächenteiles bezüglich dieser Achse ist. p bedeutet also das statische Moment der in Figur 15, Tafel I, schraffierten Fläche, bezogen auf ihre untere Begrenzung. Werde auch hier, wie im I. Teil dieser Arbeit der kleine

unterhalb der Platte gelegene Teil dieser Fläche gegenüber der Plattenfläche im statischen Moment vernachlässigt, so ergibt sich:

d)

2 /

B di II — x

und mit Benützung von

7)

und 6)

Ferner ist laut 7“)

»-!)

29

MH oder

MH

. 30

V 6 S

Setzt man die Werte von 29 und 30 in Gleichung 28 ein, so erhält man unter Substitution von H — h für d und von

Gleichung 24

h — kH schließlich:

M _ Hs Q (1 — k) (k 4- 1 — 2 a)

B —

2 r bi v a

31

Nun war laut Gleichung V im I. Teil dieser Arbeit

H^—Ci , somit

n

ist

m_h

B ~ C₃

32

wobei laut 26 .    . .    . Cz —

s [2 (1 — k») — 3« (1 — k^)\ ‘

Durch Gleichsetzen von Gl. 32 und Gl. 31 ergibt sich bei Substitution des obigen Wertes von C₃

3 {k + 1 — 2 a)

xb\ 2 fl -p k —J- k²f

3 g (1 + k) '    '

. . XIII

Diese Formel würde die notwendige Höhe H unter Berücksichtigung begrenzter Plattenbreite liefern, wenn k bekannt wäre. Da dies nicht der Fall ist, müssen wir hier wie bei Formel V verfahren, d. h. durch Einführung der Beziehung

das k eliminieren.

Bezeichnen wir von nun an

bi

= A,

33

so schreibt sich die nach Entfernung von k übrigbleibende quadratische Gleichung für TJ wie folgt:

TT² — (W| d -f- A) II -f- m₂d (2 d -f- 3 A) — 0 .

. . XIV

Dabei sind mx und w₂ nur von a abhängig u. zw.

2 — a 2 (1 - «) ’

m₂ —

6(1 — a)

; und sind wieder im Nachstehenden in

eine Tabelle entwickelt.

für v — 15

mx

Zulässige

Eisen

spannung

s kg/cm¹¹

Zulässiger Betondruck <5 kg/cm

800

25

0-681

2*067

0*522

30

0-640

1-889

0-463

0615

1-799

0 432

40

0-571

1-666

0-389

900

25

0-706

2 200

0*567

30

0-667

2-000

0-500

33g

0-643

1*900

0-467

40

0-600

1 750

0417

1000

25

0-727

2-331

0*611

30

0 690

2113

0-538

331

.7

0-667

2-000

0-500

40

0-625

1-833

0 444

1200

25

0-762

2'6U0

0 700

30

0*721

2-332

0-611

33g

0-706

2 200

0-567

40

0-667

2000

0-500

Für den wichtigen Eall 6 ~ Zd^/^kg/cm² und s — 1000 kglcm² also u — § lautet die Gleichung:

XIV'

H² — (2 d + A) H +    (2 d -f 3 A) — 0

Von den zwei Wurzelwerten der Gl, XIV ist nur der folgende zu gebrauchen. Löst man Gl. XIV nach H auf, so läßt sich das Ergebnis nach entsprechender Reduktion schreiben:

₄₍r^)d + 2 +VU

cc d

d²

12(1 — «) ’

4(1 — ft)

Entwickelt man den Wurzelausdruck in eine Reihe, so erhält man, da dieselbe sehr stark konvergiert, unter Vernachlässigung der Glieder vom dritten angefangen

1 + *-

d²

12A(1 — a) — 6 ft d

XV

31

Das Zusatzglied

d*

gibt bei Hochbaukonstruktionen,

12 A (1 — a) — 6 ad also bei Plattenbalken mit dünnen Platten und relativ großen Rippendistanzen wenig aus und man kann für solche Konstruktionen näherungsweise setzen

H—

XV'

wobei man die Konstruktionssicherheit etwas erhöht.

(Vgl. Beispiel 4a, St. 38.)

Für den praktisch häufigen Fall:

s = 1000, 6 — 331 also a = § lautet Gl. XV:

i + *~ i

4-*' —

- d

Hat man H gefunden, so kann man dann B aus Gl. VII finden mit

XV¹

. XVI

d 6 (H — Ci d)

Hiezu für Ci Tabelle auf Seite 16.

Mit obigem Näherungswert XV' für H erhält man für Hochbaukonstruktionen die nutzbare Plattenbreite

B-

da ^A

12 (1 — a) *

-]

XVI'

(Vgl. Beispiel 4, St. 38.)

v — 15

V ~ 12 (1 — a)

S-

InL

Ol

0-681

P306

o co co co

WH

0-640

0-615

1-157

1-082

J-

0-571

0971

900

25

0-706

1-417

30

0-667

1-250

33^

0 643

1-167

40

0-600

1-042

1000

25

0-727

1-526

30

0-690

1-344

331

0-667

1-250

40

0-625

1111

25

0-762

1-750

30

0-727

1-526

331

0-706

1-417

40

0-667

1-250

Fe wird dann unter Benützung von B und H wie früher nach Gl. IX

F, -

unter Benützung der Tabelle auf St. 18 gefunden.

Man kann also zur Dimensionierung von Hochbau-Plattenbalken bei Berücksichtigung der beschränkten nutzbaren Plattenbreite Vorgehen, wie folgt: Man dimensioniert zuerst die Platte als Querkonstruktion zwischen

den Rippen.

Dann ermittelt man nach XVI' die nutzbare Plattenbreite und bestimmt

dann H wie früher (siehe I. Teil) aus VII. Fe findet man aus IX.

Das b kann mit Rücksicht auf die Unterbringung der nötigen Eisen-fläche gewählt werden, doch wird man, da die nutzbare Breite B fast proportional mit b (bezw. bx) wächst (siehe Formel XVI'), lieber mehr als weniger dafür wählen. Übergangsprismen zwischen Rippe und Platte sind natürlich sehr zu empfehlen. (Vergl. Beispiel 4b, S. 38).

Man kann auch, ohne das B überhaupt zu benützen, so verfahren: Man ermittle das H aus Gl. XIV oder XV und weiter wie oben. Dadurch erhält man etwas niedrigere Rippen. (Vgl. Beispiel 4).

Bei Brückentafeln, wie überhaupt bei Plattenbalken mit nahestehenden Rippen, wo die Plattendicke d nach dem im I. Teil (S. 18) Gesagten nicht schon durch die Bestimmung der Platte als Querkonstruktion zwischen den Rippen gegeben sein muß, sondern aus anderen Bedingungen, z. B. dem Verlangen nach Erreichung des Betonminimums oder der geringsten Konstruktionshöhe abgeleitet werden kann (Vgl. S. 19 ff.) wird man anders Vorgehen:

Handelt es sich um Dimensionierung zur Erreichung des Betonminimums, so wird man, wenn die S. 22 angegebene Methode beibehalten werden soll, noch zu untersuchen haben, ob die Breite bh mit welcher die Rippe sich an die Platte ansetzt, ausreicht, oder nicht.

Löst man zu diesem Zwecke Gl. XIV nach X auf, so erhält man:

6 (1 — «) ü² — 3 (2 — «) dH -f- 2d²

6 (1 — ß) H— 3 d

Und mit Benützung von Gl. 33. bx - Q

6 (1 — ß) H—Zd

T 6 (1 — cc) IP — 3 (2 — ß) dH+ 2d*    '    ‘

Für ß zz 5 lautet diese Gleichung.

2 H — 3 d

. . XVII

bx =

bx =

2 r — 2dH + d* 2H — Zd 2T (H—d)2 * ⁻

, oder

XVII'

Ist die Rippenbreite b so groß, wie dieser Wert, so ist die Untersuchung beendet und die Dimensionen bleiben. Ist b kleiner als obiger Wert für b,

so muß durch Übergangsprismen dafür gesorgt werden, daß in der neutralen Achse*) (x~aH von der Eisenachse entfernt) die obige Breite b vorhanden ist. Siehe diesbezüglich weiter unten nachfolgendes Beispiel 5.

*) Man kann hiefür auch die Rippenanschlnßstelle gelten lassen.

Die Untersuchung bezüglich des Betonminimums bei Hochbaukon-struktionen mit weit entfernten Rippen ist meistens zwecklos. Sie liefert auch hier, bei beschränkter Plattenbreite Werte für d, die unter der Ausführbarkeitsgrenze liegen. *) Auch gibt es, wenn man mit begrenzter Plattenbreite rechnet, hier immer einen in Bezug auf Längsbiegung unwirksamen Teil ab (Fig. 17, Taf. I), der vor allem zu einem Minimum zu machen wäre. Dieses Minimum wäre Null. Dadurch, d. h. wenn man die Rippendistanz gleich der nutzbaren Breite wählte, würde aber die Platte als Querkonstruktion zwischen den Rippen nicht voll ausgenützt. Man wird in diesem Falle immer am ökonomischesten verfahren, wenn man die Rippendistanz**) so wählt, daß man mit Rücksicht auf Belastung mit einer Plattendicke von etwa 8—10 cm das Auslangen findet.

Soll endlich bei beschränkter Plattenbreite die minimale Konstruktionshöhe erreicht werden, so hat man bekanntlich (wenn dabei noch ökonomisch dimensioniert werden soll) nach dem auf S. 19 Gesagten dafür zu sorgen, daß die neutrale Achse in die Plattenunterkante fällt, was für k — a eintritt.

d = (1 — h) H — (1 - «) H Setzt man dies in Gleichung XIV, so geht diese quadratische Gleichung unter Ausscheidung des Wurzelwertes Null in eine lineare über:

Dann ist

34

//mm-

3X

35

2 —{— cc

Die Bedeutung dieser Gleichung darf nicht mißverstanden werden. Der obige Wert von Hmin ist nur als untere Grenze aufzufassen, die mit Rücksicht auf Schubfestigkeit nicht unterschritten werden darf. Liefert die Formel II (S. 5) einen größeren Wert, so ist dieser maßgebend. Es ist also:

6 v a

s (1 — ay (2 + a) B

, keinesfalls aber

H<

sx

XVIII

d ist dann nach:

34)

d — (1 —a) II

und Fe ist aus Formel I zu bestimmen.

Die nutzbare Plattenbreite würde sich aus Gl. II mit Benützung des Wertes für Hmin rechnen mit

Bmax

Aus der Grundgleichung

2 M v a (2 -j- a) ~ 3 s A² (1~X_ a)2 ’

6)

— a läßt sich bestimmen:

*) Auf die Ableitung der diesbezüglichen Formeln

fr—lld + rj ^Jl* —    = 0

t - 18(2«+ 3) (1-g)    72(1 - op

S    15 a+10    ’    15 a + ÍO

wird verzichtet, da dieselben aus dem obigen Grunde keinen praktischen Wert haben. **) Beziehungsweise die Distanz der Querrippen.

= ¹ und somit

s (1 — a) ö

_ 2Af(3 + «) ömax — 3<sV(l — «) j

Man wird also Vorgehen wie folgt:

Bei einer Brückentafel mit nahen Rippen wird man wieder nach den im I. Teil (S. 19) angegebenen Grundsätzen dimensionieren, wenn die minimale Höhe erreicht werden soll. Man rechnet also H aus Gl. II. unter Be

nützung der vollen Rippendistanz als nutzbare Plattenbreite B. Dann hat man entweder mittels Gl. XVIII nachzusehen, ob der gefundene Wert nicht

etwa kleiner als H

min

ist [wäre er es (selten), so wäre er durch Hmin —

3A

2 -j-a

zu ersetzen, sonst bleibt er wie er ist], oder mittels der Formel XVII das bx zu untersuchen, beziehungsweise zu rektifizieren. (Beispiel 5, S. 40).

Bei Hochbaukonstruktionen mit großen Rippendistanzen wird man zur Erreichung der geringsten Konstruktionshöhe das B aus

max

XIX. . .

das II aus

2 M (2 -f «) — 3 <y A² (1 — a)

35)

Hmin -

2 —{- Ci

und dann das Fe aus Gl. I ermitteln.

Dabei braucht die Plattendicke d~(l — a) H nur innerhalb der Breite B ausgeführt zu werden. (Vgl. Beispiel 6, Seite 40 und Fig. 16, 25, Taf. I.)

Die Schubspannung r.

In allen Formeln des II. Teiles spielt naturgemäß A die entscheidende

Rolle. Nach

33) ist

Arz

r bl

wobei t die vorläufig unbekannte Schubspannung in der Flächeneinheit des horizontalen Längsschnittes in der neutralen Zone bedeutet.

Vergegenwärtigen wir uns noch einmal, wie wir zu diesem Werte gelangten; S. 28 ff. wurde ausgeführt:

Betrachtet man den Querschnitt der zu einem Plattenbalken gehörigen Beton platte in ihrer vollen Breite ß (Fig. 17) gleich der Rippendistanz als nutzbare Fläche, so ergeben sich rechnungsmäßig in der neutralen Zone Schubspannungen, welche in vielen Fällen lange vor Erreichung der Bruchgrenze zu einer Zerstörung des Betons durch Abscheren, also zur Entstellung von hori-

*) Hätte man anstatt Gl. II die gleichfalls gütige Gl. XVI zur Ermittelung von B» benützt, so hätte man erhalten:

AM (2 + a)a

Bmax —

3 ff A² (1 —j— cc) (1 -{- tia)

dieser scheinbare Widerspruch löst sich, da Gl. XVI aus der Näherungs gleichung VII abgeleitet ist. Tatsächlich sind diese Werte sehr nahe gleich, wie mau sich an einem Ziflern-beispiel überzeugen kann.

zontalen Längsrissen in der Rippe, nahe ihrer Anschlußstelle an die Platte, hätten führen müssen. Da nun solche Risse nicht sichtbar werden, so können wir daraus schließen, daß auch so große Schubspannungen nicht auftreten, daß also auch die Platte nicht in ihrer vollen Breite mitwirken wird. Wir fanden dann die nutzbare Breite B als eine Funktion der tatsächlichen Spannungen x.

Es handelt sich also jetzt in erster Linie darum, diesen Wert von r kennen zu lernen. Zu diesem Zwecke stelleu wir die nachfolgende Überlegung an. Zur besseren Verbindung des Zuggurts solcher Plattenbalken und zur Aufnahme von Schubspannungen werden bekanntlich in die Verbundplattenbalken Eisenbügel eingelegt, über deren Dimensionierung verschiedene Autoren noch sehr verschiedene Ansichten haben. Darüber siehe weiter unten.

Wir wollen einen Augenblick lang annehmen, daß diese Bügel nicht vorhanden wären. Wir hätten also einen Plattenbalken vor uns, ganz wie gewöhnlich armiert, aber ohne Bügel. Wir belasten ihn und bringen ihn zum Bruch. Treten bei diesem Versuch auch die mehrfach erwähnten Längsrisse während des ganzen Versuches nicht auf, so ist gewiß, daß die Normalfestigkeit eher erschöpft wurde als die Schubfestigkeit an der bewußten Stelle. Dann wären wir auf Grund der Proportionalität von Ursache und Wirkung berechtigt anzunehmen, daß auch die Grenze der zulässigen Inanspruchnahme wie die Bruchgrenze von den Normalspannungen eher erreicht wurde als von den Schubspannungen an der genannten Stelle. Dies würde uns zwar den Wert von r noch nicht liefern, aber mindestens eine Grenze, die x keinesfalls überschritten haben kann, wenn die Belastung bis zur Entstehung von Normalspannungen gleich den zulässigen Werten vorgeschritten ist. Da nun die nutzbare Breite mit z wächst, so würde uns der obige Gedankengang mindestens eine Grenze für B liefern und zw. eine obere Grenze, die wir ja suchen. Der entsprechende Wert wäre die zulässige Inanspruchnahme des Betons auf Abscheren, also

z — 4‘5 — 5 kg {cm².

Nun sind aber in den ausgeführten Plattenbalken solche Bügel wirklich vorhanden und deshalb ist der obige Schluß vorläufig noch nicht gestattet.

Wir wollen jetzt die Konstruktion mit den Bügeln betrachten. Die Wirkung der Bügel wollen wir an folgendem Beispiel erkennen:

Denken wir uns einen gewöhnlichen Holzbalken als Träger verwendet und quer zu seiner Achse durchscliraubt. In diesem Falle werden die Schraubenbolzen keine Schubspannungen erfahren, weil das Holz selbst mit seiner Schubfestigkeit einer Verschiebung seiner Teilchen widersteht. (Fig. 18, Taf. I.)

Betrachten wir aber einen aus zwei übereinanderliegenden und miteinander verschraubtenBalken bestehenden Träger (Fig. 19, Taf. I), so weiß jedermann, daß die Bolzen nun auf Abscherung beansprucht sind, weil sie die Schubkraft aufzunehmen haben, mit welcher die beiden Balken sich längs ihrer Berührungsfläche zu verschieben trachten. Sehen wir nun diesen letzteren Fall noch genauer an. Denken wir uns (Fig. 20,21, Taf. I) die Boizen durch so weite Löcher hindurch gesteckt, daß keine Berührung, also auch keine Kraftübertragung längs der Laibung stattfinden kann, aber die Schrauben äußerst fest angezogen und das Ganze belastet, so können zunächst die Bolzen keine Scliub-

Spannung erleiden. Die Schubkraft wird vom Reibungswiderstand aufgenommen. Erst wenn bei wachsender Belastung der Reibungswiderstand erschöpft ist, wird nach erfolgter Verschiebung der Balken längs ihrer Berührungsfläche der Bolzen in Schubspannung treten. Die Schubbeanspruchung der Bolzen setzt eine Berührungsfläche, eine Gleitfläche und die Tendenz zu einer Bewegung längs derselben voraus. So wäre bei dem oben besprochenen, einfachen durchschraubten Balken eine Schubbeanspruchung der Bolzen erst möglich geworden, wenn sich ein Scherriß längs der neutralen Achse im Balken gebildet hätte, d. h. erst nach Überwindung der Scherfestigkeit des Holzes.

Ganz genau so verhält es sich mit den Verbundkörpern. Die Eisenbügel können nicht früher nennenswert zur Wirksamkeit gelangen, als bis die Schubfestigkeit des Betons für sich allein erschöpft ist.

Daraus geht hervor, daß man bei der Dimensionierung von Betoneisenkonstruktionen mit Rücksicht auf Abscherung die Abmessungen so zu wählen hat, daß der Beton allein die auftretenden Schubspannungen aus-halten kann. Die Bügel, wenn man solche überhaupt anwendet, müßten gleichfalls die ganzen Schubspannungen aufzunehmen imstande sein, weil sie erst nach Erschöpfung der Betonfestigkeit zur Wirkung gelangend, dann tatsächlich die ganzen Spannungen aufzunehmen haben.

Dies stimmt auch mit Prof. Mörsch’ Versuchsergebnissen überein. Es müßte also auch hier, wo Bügel vorhanden sind, mindestens zu einer Tendenz zur Entstehung eines Längsrisses von der mehrfach beschriebenen Art kommen, ehe die Bügel in Aktion treten. Freilich ein Sichtbarwerden dieses Längsrisses könnten die Bügel verhindern, weil sie ja ganz dicht eingebettet sind und sofort voll in Aktion treten, sowie die Betonschubfestigkeit verloren ist. Und somit könnte man meinen, eine ganz beliebige Plattenbreite an die Rippe anschließen und zur Mitwirkung bei der Biegung veranlassen zu können, sofern man nur dafür Sorge trägt, daß die ganze Schubkraft von den Bügeln aufgenommen werde. Aber auch dies ist nicht richtig. Die mit Hilfe der Bügelfestigkeit angeschlossene Plattenbreite ist abermals begrenzt durch die Schubfestigkeit des Betons: denn wir haben uns nach dem Obigen vorzustellen, daß zu einem Zeitpunkte, wo die Bügel in Wirksamkeit sind, die Festigkeit längs mn (oder auch einer sehr nahe gelegenen Zone) schon vernichtet ist. (Vgl.Fig. 22, Taf. I.) Es ist also so gut als ob bei m n bereits ein Riß wäre. Würde man den Bügeln zu große Schubspannungen zu übertragen aufbürden, so würden sie einfach längs xx aus der Platte herausgeschert. Da auch solche Risse nie beobachtet wurden, so ist der gleiche Schluß wie oben zu ziehen, daß eben nur eine begrenzte Plattenbreite an der Lastaufnahme teilnimmt. Die Gesamtfläche der Vertikalrisse xx ist aber in den Fällen, um die es sich hier meistens handelt*) (dünne Platten, weit entfernte Rippen) nicht größer als die Anschlußfläche der Rippe an die Platte und so kommen wir auf demselben Wege wie oben auch beim Vorhandensein

*) Bei Plattenbalken mit nahestehenden Rippen (Brückenbau) kommt wie oben ausge-iiihrt wurde, meistens die volle Rippendistanz als nutzbare Plattenbreite zur Wirkung.

der Bügel für x zu derselben oberen Grenze 45 bis 5 kg/cm². Wir erhalten auch als Bedingung für gleiche Konstruktionsgüte an möglichst viel Stellen daß die Rippenbreite b bei Rippen platten ohne Übergangsprismen mindestens gleich der doppelten Platten dicke sein soll. Sind Übergangsprismen vorgesehen, so soll >2d, und diese Prismen müssen möglichst tief herabreichen.

Damit sind alle die voranstehenden Formeln verwendbar. [Siehe die folgenden Beispiele.]

A ist, wie Formel 33 zeigt, auch dem verkehrt proportional. Daraus geht hervor, daß man die nutzbare Plattenbreite durch Anwendung von Übergangs prismen zwischen Platte und Rippe vergrößern kann, daß also die Anwendung solcher Übergangsprismen zu empfehlen ist.

Für t ist im Voranstehenden nur eine obere Grenze gegeben. Es ist damit wenigstens der erste Schritt zur Lösung der Frage von der nutzbaren Plattenbreite gemacht. Die Bestätigung der obigen Theorie durch den Versuch steht noch aus. Sie wäre einfach durch zwei parallele Proben eines Plattenbalkens mit Bügeln und eines ohne solche zu erbringen.

Vorschläge, wie innerhalb dieser Grenze zu dem Wert r selbst zu gelangen wäre, behält Verfasser sich, um den Umfang dieser Arbeit nicht weiter zu vergrößern, für später vor.

Schließlich sei noch zur Vermeidung von Mißverständnissen ausdrücklich bemerkt, daß alles im II. Teil Gesagte nur dann Anwendung findet, wenn die neutrale Achse die Rippe schneidet, was allerdings in den meisten Fällen eintritt. Also für

k >• cc.

Beispiele zum II. Teil.

Beispiel 4.

Dieselbe Deckenkonstruktion wie im Beispiel 1 ist unter Berücksichtigung der nutzbaren Plattenbreite zu dimensionieren.

Auf die Platte selbst findet der II. Teil natürlich keine Anwendung. Sie bleibt also wie sie ist. Auf die Querrippen auch nicht, weil dort (siehe S. 23) k < a also die neutrale Achse in die Platte fällt.

Wohl aber auf die Hauptrippenplatte:

a) ohne Übergangs prismen.

In dem angeführten Beispiel (S. 22) war

s = 1000 kg/cm2 6 — 33¹/z    „

also a — §

M — 1,551.825 legem, d — 10 cm b — 22 cm.

Somit ist

Die Belastung pro laufenden m war 2850 kg. Die Rippenlänge 6'6 m. Q — l 6-6 . 2850 = 9405 kg l-L — b =z 22 cm

Hätte man zur Ermittelung von II die Gl. VII benützt, so wäre für a — ^

H — 1-75« + 4- •

da B

mit B = 64 cm gleichfalls H = 90-5 cm zum Vorschein gekommen.

Man sieht, wie riesig die Beschränkung der Plattenbreite ausgibt; wir wollen gleich, um H zu verringern, Übergangsprismen einführen:

b) mit Übergangsprismen. (Fig. 25.)

Wir wollen für bx die volle Anschlußbreite in Eeclinung setzen. Dieselbe betrage:

Nach XVI' ist Aus XV' ist dann

bx — 40 cm somit A — 45‘2 cm B rund = 142 cm

H — 50’2 cm,

Nach VII hätte sich gleichfalls ergeben

II — 50’2 cm

Fe ergibt sich aus Gl. IX für a —

Fe — ( 0-0333 — 0 05 Bd Fe — 33*2 cm².

Vergleicht man dies mit dem ohne Berücksichtigung der nutzbaren Plattenbreite Gefundenem, so findet man eine Zunahme der Konstruktionshöhe der Rippe, also eine Betonzunahme. Dafür aber eine Abnahme der Eisenquerschnittsfläche.

Man hätte H auch (wie auf S. 32 angegeben) aus Gleichung XIV oder XV bestimmen können.

Dieser Vorgang ergäbe sich hier wie folgt:

Gl. XIV würde hier lauten (XIV')

IB — (2 d -f A) Ii --j- 4-, (2 d -f 3A) = 0

u

Hieraus

38

Für x ~ 5 h)/cm² ist

A = 85-5

Laut Gleichung XVI' ist die nutzbareJPlattenbreite

1551 825

10 . 33-3 [85-5 - | 10]

Aus XV' ergibt sich H mit

II —

— rund 64 cm.

CM

-j- A ~ 90’5 cm.

IB — 65*2 H + 778 = 0 H ~ 49 6.

Aus Gl. XV“ (für u— )

⁴ A — d -

Man erkennt, wie gering der Unterschied gegen das Ergebnis aus Formel XV' ist. Dieselbe kann bei dünnplattigen, 'weitrippigen Konstruktionen anstandslos verwendet werden.

Beispiel 5.

s = 1000 kg/cm2 6 ~ 33^    „

r — 5

Druck.

Schub.

Dieselbe Fahrbahntafel, wie in Beispiel 2 und 3 ist mit Rücksicht auf begrenzte nutzbare Plattenbreite B zu dimensionieren; es wären zulässig: Im Eisen „ Beton

a) Dimensionierung- zur Erzielung des Betonminimums.

Wir gehen nach dem Obigen genau so vor, wie im I. Teil (S. 19 ff.) angegeben lind wollen nur nachträglich die Untersuchung rücksichtlich der Notwendigkeit von Übergangsprismen anstellen:

1350 kg/m²

In dem fraglichen Beispiel (S. 24 ff.) war die Rippendistanz = UDO m Rippenbreite b — 0'25 m Spannweite S ~ 9’5 m Last

M~ 2,710.469 kg cm.

Wir wollen vorläufig die volle Rippendistanz als nutzbare Breite B

einführen.

Nach Formel X ist

b M B • a B — b + bCt . Ci = 1-75 d ~ 13 cm

wobei für a — § . . . .    ,

Dies gibt

Damit ist aus Gl. VII

H ~ 1*75 d 4- ~ . II — 95 cm.

Endlich aus Gl. IX

Fe — (0-0333 — .0-05 £f) 100.13 = 345 cm*.

Nun ist die notwendige Anschlußbreite bx nach Gl. XVIII, bezw. da hier a — | nach Gl. XVIID

_ Q 2H — Zd bl~2t (.H — d)»•

Mit obigen Werten und Q — J 9-5 . 1350 ~ 6412*5 kg

bi — 14’4 cm.

Da die Rippenbreite b = 25 cm diesen Wert überschreitet, so ist die Untersuchung abgeschlossen, Übergangsprismen sind hier nicht notwendig.

b)Dimensionierung zur Erreichung der geringsten Konstruktionshöhe. Bei s ~ 1000 kg/cm².

1)

<t — 33£ x — 5

Zunächst gehen wir wieder vor wie im I. Teil angegeben. Wir rechnen H unter Annahme der vollen Rippendistanz als nutzbare Plattenbreite aus Formel

II . .

Hier ist C' = 0-2030

. IP — C

II ~ 74 cm

d — (1 — a) H — 25 cm

Fe — 41 -11 cm².

Endlich aus Gl. I:

Untersuchung nach Gl. XVIII: Übergangsprismen nicht vorhanden, also

bx—b

Q _ 6412-5 x b 5.20

- = 64-125

2-j- cc

- — 72 cm.

Mit Rücksicht auf die Schubkräfte müsste H~ 72 cm sein. Da es nach

dem Voranstehenden 74 cm ist, reicht es auch in der Hinsicht auf Schub aus. Beispiel 6.

Betoneisendecke (Plattenbalkensystem), 6*4 m Spannweite, Schutt und Holzfußboden, Nutzlast 400 kg/m², Rippendistanz 4 m.

Es soll die geringste Konstruktionshöhe bei s — 1000 kg/cm².

6 — 33g    „

t = 5

gesucht werden.

Die Dimensionierung der Platte (Querrippen vorhanden) nach den im I. Teil angegebenen Regeln liefert nutzbare Plattendicke 7⁻5 cm, somit total

d — 10 cm.

Eigengewicht und Nutzlast rund 4000 kg auf jeden laufenden Meter des Plattenbalkens.

Hiemit

und mit

Nach Gl. XIX ist B ~

Nach Gl. 35 ist H —

Ferner

Q — 12000 kg M — 2048000 kgcm b-i — 40 cm k =: 60 cm.

2    M (2 + a) _

3    6 k² (1 — cc)

3 k

——;— zz 6 7 "5 cm.

2 -\-a    -

dx — (1 — a) II — 22*5 cm, (Ygl. Fig. 23, Taf. I.)

182 cm.

182.67-5

Nach Gl. I ist

Die Plattendicke dx braucht nur innerhalb der nutzbaren Breite B ausgeführt zu werden.

Das obige Beispiel läßt schon das Ziel erkennen, zu dem diese Theorie führt: Zwischen Rippe und Platte eine solche Übergangskurve einzuschalten, daß die ganze Rippendistanz zur nutzbaren Plattenbreite wird. Verfasser behält sich vor, demnächst hierauf zurückzukommen. (Vgl. Fig. 24, Taf. I.) .

Fe-

180

— 70 Cm².

Es ist eine in Fachkreisen wohlbekannte Tatsache, daß es auf keinem Gebiete annähernd soviel Berechnungsmethoden gibt, wie auf dem des Betoneisens. Und fast jede liefert andere Ergebnisse. Da ist es zu verwundern, warum die Hand des Gesetzes in einer so wichtigen, ganze Gebiete des Bauwesens heutzutage beherrschenden Frage nicht ordnend eingreift. Das ist bei uns in Österreich bis heute nicht geschehen. Der im zweiten Teil dieser Arbeit besprochene Vorgang, wie ihn Betoneisenbaufirmen bei ihren Berechnungen einhalten, der wie oben gezeigt wurde, völlig unhaltbar ist, wäre durch das Gesetz zu verbieten, weil er gefährlich für Leben und Gut werden kann. Dies ist aber nicht die einzige Frage, in der unsere Bauordnungen einer Reform dringend bedürftig wären. Das ganze Gebiet des Eisenbetonbaues ist in unseren Bauordnungen überhaupt nicht erwähnt. Der Eisenhochbau wird nur in den „Eisenlieferungen“ unter den Schlosserarbeiten gestreift, nirgends wird auch nur eine einzige zulässige Materialinanspruchnahme, auch nur ein Sicherheitsgrad gesetzlich fixiert, u. s. w.

Warum unternimmt es der Österreichische Ingenieur- und Architekten-Verein, der u. a. durch die Arbeiten des „Gewölbe-Ausschusses“ seinerzeit so vortreffliche Grundlagen für die statische Berechnung von Gewölben geliefert hat, nicht auch, endlich auf dem Gebiete des Betoneisens durch Studien und Versuche die Grundlagen für das Gesetz zu schaffen? Kein Land hat soviele hervorragende Theoretiker und Praktiker des Betoneisenbaues wie Österreich. Man blättere nur in den bezüglichen Publikationen und man wird dies bestätigt finden.

Mögen diese Zeilen dazu beitragen, daß hier endlich Ordnung und Einheit geschaffen werde.

Rekapitulation der wichtigsten Ergebnisse der vorliegenden Arbeit.

Bezeichnungen:

M maximales Angriftsmoment.

Q größte Querkraft.

(5 zulässige Betondruckinanspruchnahme.

t zulässige Betonschubinanspruchnahme.

8 zulässige Eisenzuginanspruchnahme.

E

v — ~ Verhältnis der Elastizitätsmo duli von Eisen und Beton.

Eb

VÖ -j- S *

Es ergeben sich die Abmessungen der Betoneisenkonstruktionen bei gegebener Belastung und bei voller Ausnützung der zulässigen Betondruck- und Eisenzuginanspruchnahme wie folgt:

1. Für Platten und Balken mit schlaffer Armierung, für Rippenplatten mit relativ niedrigen Rippen und dicker Platte [Plattendicke d > (1 — o) H], also Querrippenplatten zwischen Hauptrippen und für Rippenplatten behufs Erreichung der geringsten Konstruktionshöhe:

H ergibt sich aus

II . . H* ~ G

ß~i

wobei C —

s (1— ec)² (2 -j- a)

; hiezu Tabelle S. 14.

Fe aus

I. . Fe — C. B. H wobei C —

(1 — ay

2vcc

hiezu Tabelle S. 14.

ZuZuA

xvrS

____'S

re

Für <? — 334 kglcm2 s = 1000    „

laut II“. . .

.    . IF =

laut 1° . .

. . Fe =

BH

180

2. Für Platten mit steifen I-Einlagen:

e * (I) Lo-ttvvi/L/ /iw'aaa/i/ X>4/vmxcZ\X)jm,'

/tI tfsu&faZe/

h — Profilnummer angenommen; damit Fe aus dem Proiilbuch H ergibt sich aus IV . . . . ii² — (7₂ m, wobei m das auf die Breiteneinheit reduzierte Angriffsmoment ist.

12 v a

s (1 — «)² [F + (2 -{- rc - | k) (2 « - Je)] ‘

Die Verlagsweite der I-Profile ergibt sich

»=«£

(*-t)

Hiezu Tabelle S. 8*).

aus

III.

??-

II

43

wobei

(k —

Für s — 1000 kalem'1 g— 33j

IV“ . .

ft*

(1 — a)¹

. Hiezu Tabelle Seite 7.

„ und k ~ | ist.

.    .    .    . W = 02161 m

IIP:

F,

B = 78-99 4

3. Für Rippenplatten mit hohen Rippen (Hauptträgerrippen).

'*-bvU

y\

__

S “vFTj

b ->i

a) Rippenplatten mit relativ dünner Platte und weitgestellten Rippen. (Hochbaukonstruktionen).

d ist aus der Dimensionierung- der Platte als Querkonstruktion ad 1) schon gegeben.

Die nutzbare Plattenbreite ergibt sich aus

; wobei v —

XVI . . B —

Seite 31.

d g [A — v d]

12(1 - a)

; hiezu Tabelle

Die Konstruktionshöhe kann dann gefunden werden aus

Í+H-

XV . .

12 A (1 - a) — 6 a d ’ oder mit einer Abweichung von wenigen Millimetern (zu groß) aus

XV

44

oder endlich mit Hilfe der weiter unten folgenden Formel VII . Fe ergibt sich aus

IX' . . . Fe

= C₅ —    wobei C₅ —

co Q

2 vcc

hiezu Tabelle S. 18.

Für <5 — 33^ kg/cm2 s — 1000 „

r — 5

lautet XVI“ B —

XV«

XV' .

• ■»=-,

.ir=4

da (A — |d) ’

i A_1 d* •

2 +    4 A— ď¹

2 + i; .    . rr 0-0333

die Ansatzbreite der Rippe soll bi > 2d sein.

IX“

b) Für ebensolche, wenn die minimale Konstruktionshöhe erreicht werden soll.

(Siehe Fig. 23, Tafel I.)

Die Höhe rechnet sich aus

35)

l Imin -

2 4- a

Die nutzbare Breite aus

XIX

max -

2 M 12 + a)

' 3 o A² (1 — «)’

wobei die Konstruktion auf die Breite B die Dicke

di ZZ (1 — a) H

XX

erhält.

Fe berechnet sich wie ad «), oder aus Formel I.

Für a — 33| kg/cm2 s — 1000 „ t — 5

» ist.

35“) .    . . H — A

M

XIX“ . . . B = ¥ —

³ eA²

XX . . . d — H.

c) Für Plattenbalken mit relativ nahen Rippen (Brückentafeln), wenn die geringste Konstruktionshöhe erreicht werden soll..

Man berechnet H wie ad 1 aus Formel II unter Benützung der vollen Rippendistanz als nutzbare Plattenbreite B. Das H darf aber dabei nicht kleiner sein als Hmi„ aus Formel (35). Also

CM

aber jedenfalls XVIII . . . H> 2_j_a

.3 A

Ft berechnet sich aus Formel I. b ist mit Rücksicht auf die Unterbringung der notwendigen Eisenfläche zu wählen.

(1) Fiir ebensolche Plattenbalken (Brückentafeln) bei Dimensionierung zur Erreichung des Betonminimums.

Man bestimmt unter Zugrundelegung der vollen Rippendistanz als nutzbare Plattenbreite B das d aus

, wobei C₄ —

12 (1 — a) ’

c/ 2 - —    -—--

R ‘ <? * {Li — b) + b(\

liiezu Tabelle S. 16.

Dann ist VII' . . . . II — C₄d -\-

1 M de B

, wobei C₄ den obigen

Wert hat.

IX' . Fe~

( Cr₀ — C₍, ⁽jj J Bd, wobei Cc> und CG die oben ange-

gebenen Werte besitzen.

Schließlich hat man die minimale Ansatzbreite bx zu ermitteln aus

XVII . . . bi =

6(1 — a) Ii — 3 d

x 6 (1 — a) H² — 3 (2 — a) dB + 2 d2 Für b gilt dasselbe, was ad a) angegeben wurde.

Ergibt sich dieser Wert 6, >* b, so sind Übergangsprismen in diesem Ausmaße vorzusehen.

Für o — 33;\ kg/cm2 s — 1000    „

X“ . . . d² —

VIF . . . H— 1-75d +

33-3 d '

fcc' ^

XVII“ b

IX“ . . . siehe oben IX ad a. — £ 2/7— 3 d 2r (77 — d)²

b wie ad c)

e) Für ebensolche Plattenbalken, wenn das Eisenminimum erreicht werden soll.

Nur wenn die zulässigen Inanspruchnahmen in einem solchen Verhältnisse stehen, daß < a < ist eine Konstruktion mit noch weniger Eisen als ad d) durchführbar (bei ökonomischer Ausnützung beider Materialien!)

Es ist dann

. . XII; für 2⁰ Tabelle S. 21.

77 ermittelt man aus VIF

Fe aus

und untersucht wie ad d) angegj

IX'

ien 6i mittelst XVII.

«*AK0W

’&cL u*j&

• I

t

'

SE

Ct

d/vey. AA

$uf . Z*

k

II

Privat Dozent Dr. K.Járay. Zu den Fragen der einfachsten,direkten und ökonomischen

Dimensionierung von Betoneisenkonstruktionen.

r7/

F.

''TV

L-B

C*

Ai

3'J

T,

7*

2 s--

2o__

ČXť’A*Ívu^ej/lWi/l> 6⁷U--'    &W (? 3

ty<A.$U£)ÄK/VW5 k“-^-

3*

ttuj/

1-5

«5

-2 20™

-6'6om— —2 20n'-

2'20™

-a

\l/

i.-->--¥

10.

3'80™

7 r

✓ /fl V

ös —

K-eC

V*m

TT?*;

’Mmm.

li

"k*A

O-CO-o

.X

ILUj/'ia

"f* TB⁻ ^ *W

■*______

r-

-B

-rf

s/-

Fe - A17I171“

•••

1(3

•••

-B-120V

Al.

‘Žvey. A S*

d-10Su

—5:

----SST—t£-----

11

Hi

<e—

bi

w//mm

• •• • ••

• ••

'.-Ij

Tuj/25

4bJ

ťW AS*

fyiey. A¹/

wí

-B-220Sr

TöoiT^

-4

LJ

Jfl*

Jir

ii

‘v

B-

<-4».

:.4

LU

6h cf 1$

TU

(«-

±;-----

Pv

-4

6>v^/ 43

•••

•••

Jí

Jata

'/y/ßM44VZ/jßß,-.

*j    j"- — ■*—-

*2*2

LU

ttr

<yry

mmmm.

Ys

5

*

■■ *1 •

f

•i

A''

i-

t

»

-V

»

í-v

r •

*

i

í*!

i"

• - ■

>*■

i’

i

4

\

■

------------

—-»Mi

r.

íh

v-

i

•*

I

POLITECHNIKA KRAKOWSKA ■

BIBLIOTÉKA GÍ.ÓWNA fl

L33995

Kdn. 524. 13. IX. 54

Bibliotéka Politechniki Kiakowskiei

100000304013