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VERLAG VON WILHELM ERNST & SOHN.

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BERECHNUNG VON SCHWIMMDOCKS.

VON

PROFESSOR Dr. FORCHHEIMER

IN AACHEN.

MIT ZWÖLF ABBILDUNGEN IN HOLZSCHNITT.

der

öffentlichen Arbeiten

BERLIN 1892.

VERLAG VON WILHELM ERNST & SOHN.

Sonderdruck aus der Zeitschrift für Bauwesen, 1892.

Alle Keckte Vorbehalten.

...

if KRAKOW

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I33433

I33433

Die Berechnung- der Spannungen in den Eisentheilen eines Schwimmdocks ist bisher nicht in scharfer Weise behandelt und durchgeführt worden. Man begnügte sich damit, die Abmessungen der verschiedenen Tragetheile im Einzelfalle nach bewährten Ausführungen zu wählen oder sie den vorliegenden Verhältnissen entsprechend mehr schätzungsweise abzuändern. Im nachfolgenden soll nun ein Verfahren zur Berechnung von Schwimmdocks entwickelt werden. Die Untersuchung werde eingeleitet durch die Besprechung des mechanischen Verhaltens von Trägern¹) mit Gegendrücken, welche zur Senkung proportional sind.

Träger mit Gegendrücken proportional zur Senkung.

Auf einen Träger (Abb. 1) vom Elasticitätsmodul E und dem Trägheitsmomente J wirke eine nach abwärts gerichtete

-P

<------iv—A"

Abb. 1.

. . (1)

Einzelkraft —P Der Träger sei ferner so gelagert, dafs bei seiner durch —P hervorgerufenen Formänderung, der Gegendruck an jedem Punkte JC des Trägers, der Senkung oder Hebung % dieses Punktes proportional ist. Dieser Gegendruck betrage per Längeneinheit p und es sei p = — cz

wobei nach oben gerichtete Kräfte und Hebungen als positiv gelten. Als positiv mögen ferner Momente gelten, welche Krümmungen der elastischen Linie mit der Hohlseite nach oben bewirken, sowie die nach oben gerichteten Scherkräfte, wobei unter „Scherkraft,“ die Summe aller links von einem Punkte 3t angreifenden äufseren Kräfte verstanden wird. Unter diesen Annahmen stellt nach Einführung von (rechts vom Ursprung posi-

dz

tiven) Abscissen bekanntlich — die Neigung der elastischen

Ci X

Linie dar, und ist

das Moment = EJ -₇—, dx²'

die Scherkraft (bei vertheilter Belastung) = EJ

dH

dx⁴’

Die Einführung des Werthes von p aus (2) in (1) liefert für die elastische Linie die Differentialgleichung dAz

dP^~EJX Die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung lautet z = Ae% cos £ + Be~% cos £ + Ce% sin i- -j- De~% sin £, (4)

die Last p = EJ

(2)

(3)

worin £ =

bc

• x ist und A, B, C und D Coefficienten

4 EJ

sind, die für jeden Belastungsfall einen andern Werth haben. Für den vorliegenden Belastungsfall und den Angriffspunkt P als Abscissenursprung sind A, B, C und I) so be-

von

schaffen, dafs (4) übergeht in

z = — cle

—C?x

(sin e₂ x + cos c₂ x), .    .    .    (5)

worin

i/64:C³EJ    ‘    ‘

• • (6)

\Z—

y 4 ej

.    .    (7)

und

C2 —

ist. Man kann sich von der Richtigkeit von (5) am leichtesten überzeugen, indem man probeweise differencirt und nachsieht, ob alle in der Natur der Aufgabe liegenden Bedingungen erfüllt sind. Man erhält

dz

dx

= 2 cq c₂ e~lsin c₂ x

• • (8)

d²z dx2 dzz dxz . d^z dx⁴

= 2 cx c\ e~c*x (—sin c₂ jc + cos c₂ sc) .    .    (9)

= — 4 c\ e~c*x cos c₂ sc

(10)

= 4    (sin e₂ sc + cos c₂sc) =—4 c₂fc. (11)

Die Gleichungen (8) bis (11) zeigen nun, wenn man in ihnen x = 0 setzt, dal's die Neigung am Ursprünge der Ab-scissen Null ist und dafs die Scherkraft daselbst —\P beträgt. Endlich nimmt (11), wenn man die Last p und den Coefficient c einführt, die Form an

p = — 4 EJc\ z — — cz.

Gleichung (5) erfüllt also thatsächlich alle in der Aufgabe liegenden Bedingungen; doch ist zu bemerken, dafs sie nur für positive x Geltung hat. An der Stelle x = 0 bewirkt nämlich die Einzellast —P eine Unstetigkeit in den höheren Differentialquotienten, sodafs obige Ableitung für die Strecke links vom Ursprung nicht vollständig beibehalten werden kann. Natürlich verlaufen die beiden Aeste der elastischen Linie völlig symmetrisch in Bezug auf die z- Achse. Seinen gröfsten negativen Werth hat z unter der Last selbst; von da nach beiden Seiten bildet die elastische Linie Wellen, die mit zunehmender Entfernung von der Last immer schwächer werden. Es finden also nicht allenthalben Senkungen, sondern auch Hebungen statt. Diese auf den ersten Blick befremdliche Thatsache wird aber sofort klar, wenn man sich eine Schwelle auf nachgiebigem Boden denkt. Offenbar kann unter Umständen hier eine Belastung der Schwellenmitte ein Abheben der Schwellenenden vom Boden bewirken.

Nach (5) beträgt die Senkung für x — 0 d. i. am Ursprung Setzt man diesen Werth in (1) ein, so zeigt sich der

—cv Gegendruck daselbst

p = CCi

oder, wenn man aus (6) den Werth von cx ein setzt,

]/—____

y 64 EJ 2 y2

X EJ'

■ (12)

Für das Moment M unter der Last P, d. h. für x = 0, gilt nach (9)

d^z dx²

M = EJ

= 2 c₄ Cg EJ = 2

1/

e²

16P²J²

oder mit der Hohlseite der elastischen Linie oben

i/"

64 c'

•    •    (13)

Die Ausdrücke (12) und (13) sind zwar für einen unendlich langen Träger abgeleitet worden, gelten aber, soweit sie im vorliegenden Aufsatze zur Verwendung kommen, noch recht genau bei endlicher Länge, indem e~%x in Gl. 8 bis 11 mit wachsendem x rasch abnimmt. Die Einwirkung der entfernteren Trägerstrecken auf die Vorgänge in der Lastnähe sind daher gering und man kann sich diese Strecken und ihre Kräfte ohne merklichen Fehler wegdenken.

Wesentlich verschieden ist das Verhalten eines unendlich langen Trägers, für den zwar wieder p = — cz gilt, der aber an seinem Ende (vgl. Abb. 2) durch die Last —P beschwert

,    X

jf........öc.....

-P

V.

Abb. 2.

ist. LTnter dem Angriffspunkte der Last wird in diesem Falle das Moment Null und es gilt für die elastische Linie die Gleichung

worin

% = — c₃ e~°*x cos c₄ x,

• • (14)

c₃ —

U c³EJ

.    .    (15)

e₄ =

l/_£_ . .

y 4 ej

• • (16)

ist. In der That findet sich dann nämlich

dz

^ = c₃ e₄ e~c*x (sin c₄ x + cos c₄ x) .    .    (17)

= —2 c₃(?₄e-c*x sin c₄ x ....    (18)

d²z dx²

d³z

dx³

d²z

= 2 c₃ c₄ e~CiX (sin c₄ x — cos c₄ x)

• (19)

4 c₃ c\ e~c^x cos c₄ x =

4 c\z

• (20)

dx⁴

sodafs, wie es die Aufgabe verlangt, die Differentialgleichung (3) erfüllt ist; ferner für x = 0 (nach Gl. 18) das Moment zu Null und (nach 19) die Scherkraft

P .    .    . (21)

wird. Es ist —c₃ nach (14) nichts anderes als die Senkung des Trägerendes unter der Last —P; sie ist viermal so grofs, wie c₄ gewesen war; die Senkung wächst daher ungefähr auf das Vierfache, wenn hei einem nicht unendlich langen, sondern endlichen Träger die Last von der Trägermitte ans Ende rückt. Der Gegendruck am Trägerende bestimmt sich aus (1) und (15) zu

p = cc₃ = P

y4e

Ej’

■ ■ (22)

wird also entsprechend der gröfseren Senkung ebenfalls viermal so grofs als er früher nach (12) gewesen war. Die Formel (22) bezieht sich zwar auf einen unendlich langen Träger, kann aber aus den schon in Bezug auf Formel (12) und (13) gesagten Gründen noch benutzt werden, wenn es sich um einen Träger von endlicher Länge handelt.

Beschreibung des Schwimmdocks und des Bechenverfahrens.

Ein Schwimmdock besteht aus einer Anzahl paralleler Wände, welche durch hierzu senkrechte Träger verbunden sind. Es werde hier ein Dock betrachtet, welches (vgl. Abb. 3) ein

6......j

werde jedoch angenommen, dafs (vgl. Abb. 4) nur zwei Seitenwände Ax Cx und A₂ C₂ vorhanden seien, welche durch zahlreiche Querspanten mit dem Königsschott in Verbindung stehen sollen. Es bedeute

l die Docklänge, b die Dockbreite,

a die Entfernung benachbarter Querspanten,

Jk das Trägheitsmoment des Königsschottes,

Js 55

Jq 55

jeder der beiden Seitenwände, eines Querspantes.

Das Eigengewicht des Docks beansprucht die Docktheile

Hingegen kann es schon deshalb als ausgeschlossen gelten, dafs das Schiff nur an zwei aufserhalb seiner Längenachse gelegenen Stellen (z. B. D und E Abb. 4) aufruhe, weil das Schiff selbst eine solche Abstützung nicht aushalten würde.

nicht nennenswerth, weil ihm der Wasserauftrieb allenthalben unmittelbar entgegenwirkt. Das Schiff kann hingegen concentrirte Drucke ausüben und es könnte sogar Vorkommen, dafs das gesamte Schiffsgewicht auf einem einzigen Punkte, nämlich auf der Mitte B des Königsschottes aufruhe. Es soll zunächst die Frage beantwortet werden, welche Inanspruchnahme dann in der Mitte des Königsschottes, in den mittleren Querspanten und in den Mitten der Seitenwände entstehen. An diese Erörterung wird sich die Darlegung der Vorgänge knüpfen, welche sich abspielen, wenn sich das Schiffsgewicht auf zwei Punkte des Königsschottes stützt.

Der Fall, dafs eine einzige Last in B wirkt, läfst sich als gleichzeitiges Eintreten von drei verschiedenen Belastungsfällen auffassen, welche an und für sich practisch nicht Vorkommen, aber den Vortheil besitzen, der Rechnung zugänglich zu sein. Diese Fälle (vgl. Abb. 5) sind:

Erstens: eine Last —Px drückt in B nach unten, zwei

Pi

Lasten halten ihr in Bx und B₂ das Gleichgewicht.

u

Zweitens: Eine Last —P₂ drückt in B und zwei Lasten — P₂* drücken in Bx und P₂ nach unten, vertheilte Lasten —jp₂ drücken längs A C nach unten und vertheilte

pp wirken längs Al Cx und A₂ C₂ nach oben;

71

Lasten -²

u

endlich ist ein Auftrieb q auf der ganzen Unterfläche vorhanden.

Drittens: Vertheilte Lasten p₃ wirken längs A C nach oben

-p drücken längs A± Cx und

u

und vertheilte Lasten —

A₂ C₂ nach unten.

Läfst man alle genannten Kräfte gleichzeitig auftreten, so kann man durch geeignete Wahl derselben bewirken, dafs ein Theil derselben sich aufhebt und nichts an äufseren Kräften übrig bleibt als ein Schiffsgewicht — Q und ein Auftrieb q.

Ausrechnung der Belastuugsfälle.

Erster Belastungsfall.

i£

Das Dock sei (vgl. Abb. 4 u. 5) in den Mitten Bt und B₂ der Seitenwände aufgelagert, während in der Mitte G des Königsschottes eine Last —T\ angreife.

Die Gegendrücke haben offenbar die Gröfse

Pi

Die Seitenwände und das Königs-

schott werden sich in der Mitte stark, an den Enden kaum merklich durchbiegen und die Form der Abb. 6 annehmen. Hier-

iS

-p*

$JL

bei vermitteln die Querspanten, welche sich ebenfalls biegen, die Druckübertragung vom Königsschott auf die Seitenwände. Bedeutet px den Gegendruck der Querspanten auf die Längeneinheit Königsschott, eines Querspantes auf das Königsschott, y die Durchbiegung eines Querspantes, so gilt nach der Formel für die Senkung von Trägern auf zwei

48 EJq y

also apx „

Stützen*)

~P*

f=*Ä-

Abb. 5.

.    .    (23)

aPi =

*) Falls die Querspanten veränderlichen Querschnitt besitzen, ist (23) entsprechend zu ändern.

Dieses y wird, wie gesagt, in der Dockmitte grofs, an den Dockenden A und C hingegen kaum merklich sein. Die Seitenwände erleiden nun durch die Spanten Drucke, welche die Gröfse —iaPi haben. Daraus geht hervor, dafs die von A C (Abb. 6) aus gemessenen Durchbiegungen des Schottes (nach

Seitenwand

C_

-    25a -

König sschott

Abb 6.

unten) sich durchweg zu jenen der Seitenwände (nach oben) wie 2 Js : J/c verhalten. Bezeichnet daher

— z die Durchbiegung des Königsschottes unter A C,

so gilt

oder

z : {y—z) = 2 Js : Jk Jh + 2 Js

2 Js

•    •    (24)

Die Einsetzung dieses Werthes in (23) liefert für das Königsschott

Pi =

48 EJq Jk 2JS

2 Js

z .    .    (25)

ab³

Der Gegendruck auf das Königsschott ist also überall der Senkung proportional und gestattet die Anwendung von Gl. (13). Sie liefert ein Moment in der Mitte des Königsschottes von der Gröfse

M₁₌=

P^jEJk

64

48 EJq Jk -f- 2JS

(Hohlseite oben)

ab³

2 Js

oder

Mx =

lW/ab³Jk

2 Js

12 Jq Jk -f- 2JS

• • (26)

Nach (12) läfst sich ferner der Druck der Querspanten gegen das Königsschott in der Dockmitte angeben. Zu diesem Zwecke ist zu bedenken, dafs (vgl. 12) für c der Ausdruck

1 / Jq Jk~\~2Js_-fjl / 12 Jq Jic-\-2Js

Pi =

²Y 2

48 EJq\ Jk 2JS

ab³

2 Js

einzusetzen ist. Das liefert

\ aß J]C 2Js 2y ab³ Jk 2JS'

Die Kraft —ap₁ drückt auf das mittlere Querspant, welches die Länge b hat, und verursacht daher, dafs es ein Angriffsmoment (mit der Hohlseite oben) erleidet:

ahPi pi y/

Jk

■ • (27)

Zweiter Belastungsfall.

Das Dock sei in den Mitten B Bl B₂ des Königsschottes und der Seitenwände festgehalten. Auf die Dockunterfläche wirke ein gleichförmig vertheilter Auftrieb von der Gröfse q für die Flächeneinheit. Endlich sei das Königsschott mit einer gleichförmig vertheilten Last von der Gröfse — p₂ für die Längeneinheit beschwert, während jede Seitenwand einen gleichförmig vertheilten, nach oben gerichteten Druck \p₂ empfängt. Verlangt werde ferner, dafs p₂ so grofs sei, dafs das Königsschott und die Seitenwände sich gleich stark heben.

Das ist der

Man kann jedes Querspant (vgl. Abb. 8) als einen Träger auf drei Stützen betrachten, welcher das Gesamtgewicht abq trägt. So lange die drei Stützpunkte gleich hoch liegen, kommt auf die Mittelstütze bekanntlich der Druck ⁵/₈abq und auf jede der Endstützen der Druck s/₁₆ abq, also auf die Längeneinheit Königsschott ⁵/s ^⁾⁽l und auf die Längeneinheit jeder Seitenwand ³/i6 bfl- Damit aber die drei Stützen gleich hoch bleiben, d. h. das Königsschott und die beiden Seitenwände sich um gleiche Gröfsen heben, mufs sich die Belastung des Königsschottes zu jener einer Seitenwand verhalten wie Jk: J₈.

Fall für

{ibq—p₂) : Qebq + \p₂) = Jk : J,

A₂ Bz C₂

Abb. 4.

d. h. für

p₂ = bq

2 Js

Jk -f- 2 Js

Ibq.....(28)

Das laut Voraussetzung in der Mitte gelagerte Königsschott, als Träger betrachtet (vgl. Abb. 7), hat demnach auf der Längen-

Kä,

%b(f

einheit eine gleichförmig vertheilte nach oben gerichtete Last von der Gröfse

Abb. 7.

%bq—p₂ = bq

Jk

Jk + 2 Js

aufzunehmen, während jede Längswand die nach oben gerichtete

Last

i\bq + ip₂ — bq

Js

Jk + 2 Js

zu tragen hat. Die Gegendrücke an den drei Punkten, in welchen das Dock festgehalten werden soll, betragen dann

in B von oben nach unten wirkend — P₂ = — blq

Jk

Jk + 2 Js

in B₁

desgl.

- P₂*= — blq

Js

Jk + 2 Js

(29)

in B₂

desgl.

—P₂* = — blq

Js

Jk "j~ 2 Js

während das Angriffsmomont (mit der Hohlseite oben) in der

Mitte des gleichförmig belasteten Königsschottes offenbar die Gröfse annimmt

M₂ = %bl²q

Jk

.    .    (30)

Jk 2 Js

Die äufseren Kräfte, welche längs A C, Ax und A₂ C2 gleichförmig vertheilt sind, haben nach (28) folgende Gesamt-gröfse:

längs AC nach unten gerichtet

2 Js

-f- ^blq,

Jk + 2 Js

längs Al Ci, sowie A₂ C₂ nach oben gerichtet je

\lp₂ = blq

Js

Jk + 2 Js

tV blq •

Der Auftrieb q für die Flächeneinheit, also aq für die Längeneinheit Spant, erzeugt in den Mitten der Spanten, welche

__________Sp a ni

axf

Ahb. 8.

(vgl. Abb. 8) Träger von der Länge b über 3 Stützen darstellen, nach als bekannt voraussetzbarer Formel ein

Moment (mit der Hohlseite oben) =

ab²q

32 '

(32)

Dritter Belastungsfall.

Das Dock sei längs der beiden Seitenwände festgehalten, während längs des Königsschottes gleiclimäfsig vertheilte Kräfte von der Gröfse p₃ für die Längeneinheit von unten nach oben wirken.

übt.

In diesem Falle überträgt jedes Querspant einen Druck ap3 auf die Seitenwände, deren jede einen Gegendruck {ap₃ aus-Die Gesamtbelastung des Königsschottes beträgt (vgl. Abb. 9 u. 10) offenbar lp₃, die Gesamtreaction jeder Seiten wand

Konigs-JB-schott

ft

Abb. 9.

Snant G

t........ A

r

ap₃

Abb. 10.

— \lp₃. Momente entstehen hierdurch weder im Königsschott noch in den Seitenwänden. Die Querspanten aber erleiden als Träger über zwei Stützen ein

Moment (mit der Hohlseite unten) = —\abp₃.

Belastung- durch ein einzig-es Gewicht in der Dockmitte.

In Wirklichkeit kann es geschehen, dafs das Dock nur in der Mitte B des Königsschottes (vgl. Abb. 4) durch ein Schiffsgewicht — Q belastet wird und an der Unterfläche durchweg einen Auftrieb q für die Flächeneinheit erleidet.

Vereinigt man die vorgenannten drei Belastungsarten und setzt die nach oben gerichteten Kräfte positiv, so hat man nachstehende äufsere Kräfte (vgl. Gl. 29 u. 31)

in B

— Px— blq

Jk

Jk + 2 Js

iPx — blq

Js

Jk-\- ZJs

in B₂

i-Fi — blq

Js

vertheilt längs A C

— blq

2 Js

Jk ij- 2Jg

Jk~\~ 2iJs

+ I blq + Ips

(34)

vertheilt längs Ax Cx

blq

Js

Jk + 2 Js

rs blq—Up ₃

vertheilt längs A₂ C.₂

blq

Js

Jk + 2 Js

T\blq $lp₃

auf der Fläche Ax A₂C₁C₂ blq

Wird zunächst p₃ = p₂ (vgl. 28), also

2 Js

Jk “H 2 Jg

gesetzt, so verschwinden die längs des Königsschottes A C und der Seitenwände Ax Cx und A₂ C₂ vertheilten äufseren Kräfte und man hat es nur mit dem Auftriebe auf die Dockunterfläche

P‘i = bq

ibq •    •    (35)

und Einzelkräften zu thun. Setzt man noch

iPx = blq

Js

■    (36)

Jk “f" 2 Js

so fallen auch die Einzelkräfte in Bx und B₂ weg und es bleibt nur die Mittelkraft

— Q = —2 blq

Js

Jk ”i~ 2 Js

blq

Jk

= —blq (37)

Jk + 2 Js

in der Mitte B des Königsschottes, so wie der Auftrieb blq übrig.

Das Angriffsmoment des Königsschottes inPbeträgt nach (26) und (30)

Mk=Mx+M₂ =

Pil /ab* Jk 2Js

4 y 12 Jq Jk-\-2Js

H°Pq

Jk

Jk~{“ 2 Js

oder es ist, wenn man P₁ und q durch Q ausdrückt, 1^/ab³ Jk    2 Js

Mk=z.

Q %Js

Jk

+ -&IQ

• (38)

12 Jq Jk-\-2Js Das Angriffsmoment der beiden Seiten wände in Bx und B₂ mufs sich (vgl. Abb. 4) mit dem des Königsschottes in B zu dem Momente der auf einer Seite Bx B₂ angreifenden äufseren Kräfte ergänzen. Demnach ist das Angriffsmoment einer Seitenwand

4 Jk-\-2Js

Jk~\r %Js

Ms =

IQ Mk

16

. .    (39)

Das Angriffsmoment des mittleren Querspantes Bx B₂ beträgt in B nach (27), (32) und (33)

Y

Mq =

l2a³b^Jk+2Js ' ab2q abp³

Jk 2 Js

32

12 a³b

JqJk+2Js ab²q ab²q    2 Js

tfg 2 Js 32    4    Jk~\~ 2JS

3 ab²q    Pt j^/

32

12 a³b-S

Jq Jk + 2JS , ab²q ab²q 2 Js

Jk 2 Js

oder endlich, wenn man Px und q durch Q ausdrückt,

4 Jk-\-2Js

Q 2 Js 8 Jk -f- 2 Js

12a³b -4

Ja Jk “f" 2 Js

Jk

2 Js

ab Q ab

⁺ T 8 — T

2 Js

Jk 4“ 2 Js

.    .    (40)

Yertheilung des Schiflfsgewichtes auf zwei Punkte.

Im allgemeinen wird das Schiffsgewicht nickt klofs in einem Punkte des Dockes aufruhen. Leichter könnte es schon geschehen, dafs sich das Schiff auf zwei Stellen des Königs-

A\

,-aa—J

»I

Abb. 11.

scliottes aufsetzt. Liegt die eine dieser Stellen (vgl. Abb. 11) in der Entfernung x von der Dockmitte B, so wird die in x

angreifende Tlieilkraft am gröfsten, wenn die andere ans entferntere Ende A des Königsschottes A C rückt. Für die gröfste mögliche Einzellast im Punkte x gilt daher

• Q-

• • (41)

l + 2x

Trägt man die Qx als Höhen auf (vgl. Abb. 12), so erhält man zwei sich in der Dockmitte schneidende Hyperbel -Aeste,

-------

aTngeQt®^'¹¹ 1

Königsschott

-i------------■+------------i~-

Abb. 12.

welche hier die Höhe Q und an den Enden A und C des Königsschottes die Höhen ^ Q besitzen. So lange Qx nicht recht nabe an A oder C rückt, können nun die früheren Entwicklungen wie folgt abgeändert werden.

2 cc

1. Fall. Am Dockende wirken eine Kraft —

k---------

Pi

in A und zwei Kräfte

greifen eine Kraft —

l -j- 2x

00

₇ ——P. in At und H₂; im Spant x /+ 2x

P₁ am Schott und zwei Kräfte

l-\-2x

*•

Pt an den Seiten an. In den Formeln 26 und 27

ist

Px an Stelle von Px zu setzen, damit sie sich auf

Z + 2x den Querschnitt x beziehen.

2. Fall. Das Dock ist in AAXA₂ und in Spant x in zusammen sechs Punkten festgehalten. Gl. 28 bleibt bestehen. In 29 bedeuten — P₂ und die beiden P₂* nunmehr die Summen der 2 Gegendrücke in den festgehaltenen Punkten des Schottes und der beiden Seitenwände. Das Angriffsmoment des Königsschottes in x wird zu

AL, =

b (l — 2x) ²q

Jk

JkA~ 2 Js

Gl. 32 bleibt bestehen.

3. Fall. Derselbe bleibt ungeändert.

Die Vereinigung- der drei Fälle unter Beibehaltung der Ausdrücke 35 und 36 für p₃ und I\ liefert für das Angriffsmoment des Königsschottes in x

l/ab[^k

f 12 Jq Jk~\- 2 Js

Mk

2 Js

2 Js

/ —I— 2ic    d Jk~\~ 2Js

(l — 2x) ² Q

Jk

8 Jk + 2JS

für das Angriffsmoment einer Seitenwand in x (l—2x)*    Q__^h

16' 2

•    (43)

Ms =

■    •    (44)

und endlich für das Angriffsmoment in der Mitte des Querspantes x

Mq-

l Q 2JS l -)- 2x 8    J].    2 Js

i2    Ji + 2,/s

Jk

2 Js

ab

oolcO

ab

2 Js

Jk + 2 Jg

■    (45)

Lastangriff an beiden Enden des Königsscliottes.

Es möge nun der Fall näher betrachtet werden, dafs das Schiff nur an beiden Enden A und C des Königsschottes aufruhe. Das Angriffsmoment des Schottes und der beiden Seitenwände in den Punkten A C bezw. Ax C\ und A₂ C₂ mufs auch bei solcher Belastung Null bleiben. Es scheint aber möglich, dafs die Endspanten At A₂ und C\ C₂ starken Momenten unterworfen werden. Wieder soll die wirkliche Belastung aus drei Einzelfällen zusammengesetzt werden.

1. Fall. Das Dock sei je in A und C durch die Last — ^Px belastet und in Ax und A₂ sowie in C\ und G<> aufgehängt. Dann treten in Av A₂, Cx und C₂ Gegendrücke -j- }lPl auf. Für die Beanspruchung, welche die in Ax, A und A2 angreifenden drei äufseren Kräfte am Dockende Ax A A₂ lier-vorrufen, ist es nahezu gleichgültig, ob sich das Dock in der Richtung Cx C C₂ unendlich weit erstreckt oder nicht, und welche Belastungen in Cx, C, C₂ angebracht sind. Wieder gelten die Erwägungen, welche zu den Gleichungen 23 bis 25 geführt haben. Letztere lautet

.    (25)

48 EJq Jk    2 Js

ab³

----—j-*•    •

u Js

Der Gegendruck px der Spanten auf die Längeneinheit des Königsschottes in A hat dann nach (22), worin 48 JßjJq J/c -f- 2JS

Setzung P =

2 Js

, ferner J — J/c und laut Voraus-

zu setzen ist, die Gröfse

lh = Pi

V-

12 Jq J/c —J⁻ 2 Js ab³ Jjc    2 Js '

• (46)

Die Kraft apx drückt auf die Mitte des Querspantes Ax A₂, welches die Länge b hat, und erzeugt daher in ihm ein Angriffsmoment

abp i Ppy/

12 a*b.^.Jk+2Js

Jk

2 Js

.    (47)

2. Pall. Das Dock werde an den sechs Endpunkten

Ax, A, A-2 und C\, C, C₂ festgehalteu. Auf die Dockunterfläche wirke ein gleichförmig vertheilter Auftrieb von der Gröfse q f. d. Flächeneinheit.

Endlich sei das Königsschott mit einer gleichförmig vertheilten Last — p₂ für die Längeneinheit beschwert, während jede Seiten wand einen gleichförmig vertheilten nach oben gerichteten Druck $p₂ erfährt. Verlangt wird, dafs p₂ so grofs sei, dafs sich Königsschott und Seitenwände gleich stark heben. Wieder findet sich durch Wiederholung der früheren

Betrachtung

ibq.....(28)

lh = bq

2 J₈

Jk + 2 Js

Es wirken also von äufseren Kräften, aufser dem Auftrieb, noch

längs A C nach unten

— llh =

blq

2 Js

Jk + 2 Jg

längs Ax Cx sowie A₂ C₂ nach oben je

+ $biq,

■ (31)

Js

Jk + 2 <7S

sowie sechs Gegendrücke, alle von oben nach unten und halb so grofs wie in Gl. (29), nämlich

Hierin ist, wenn man bedenkt, dafs das Schiffsgewicht Q gleich dem Auftriebe blq sein mufs, nach (36)

Q.

px =

je in A und C .    .    —^ blq

Jk

je in A₁,A₂, Cx und C₂ .    —blq

Js

• • (48)

Jk + 2 Js

Der Auftrieb erzeugt wieder (vgl. Abb. 8) in den Spanten ein Moment

ab²q

32

(32)

3. Fall. Dieser bleibt gänzlich ungeändert.

Die Vereinigung der drei Fälle liefert folgende äufse-ren Kräfte (wenn man, wie bisher, die nach oben gerichteten positiv setzt):

je in A und C .    .    . —jP₁—%blq

Jk

Jk+ 2Js

je in A₁, A₂, Cx und C₂

iPi —iblq

Js

vertheilt längs AC .    .    —blq

2 Js

Jk~\- 2t/s

Jk +2 Jg f %blq + lp₃,

vertheilt je längst C\ u. A₂ C₂ blq

Js

JkA^Js

tu blq \ Ip ₃

auf der Fläche Ax C\ A₂ C₂ blq. Wird hier wieder^ = bq

2 Js

Jk + 2 Js

bq .    (35)

und

iPi = blq

Js

■    • (36)

Jk~\~ 2JS

gesetzt, so fallen alle Kräfte fort bis auf zwei Einzelkräfte

ipt \blq

Jk

Jk~\r 2Js

in den Königsschottenden A und C und den Auftrieb blq. Das Angriffsmoment auf die Endspanten Ax A₂ und Cx C₂ in den Punkten A und C beträgt dann nach (47), (32) und (33)

Mq =

12a³ b

JqJk-\-2Js ab²q abpB

2 Js

32

-t- <⁴⁹>

2 Js

Jk+2JS

Drückt man in (49) nun I\, q und p₃ durch Q aus, so folgt für das Moment

2 Js

Mq 4 ' Jt + 2 J,

12 a»bÜ ■

Jk

2JS

₊ ab Q ab

2 Js

l 8 l Jk -f- 2JS

.    .    (50)

Das Angriffsmoment Mq ist demnach für die Endspanten bei Yertheilung der Schiffslast auf die beiden Endpunkte des Königsschottes mehr als doppelt so grofs wie zuvor nach (40) für das Mittelspant, obwohl in A und C nur eine Last 4> Q aufruht und früher in B eine Last Q vorausgesetzt worden ist.

Dock mit hohen Seiteiiwiiiiden.

Häufig werden Schwimmdocks mit hohen Seitenwänden ausgeführt, deren Trägheitsmoment viel gröfser ist als das des Königsschottes. Bei dieser Bauweise wird der in obigen Formeln vorkommende Bruch 2 Js : (J/c + 2 Js) ungefähr = 1, ferner Jk : (J/c + 2 Js) ungefähr gleich Null, und die Ausdrücke vereinfachen sich wesentlich. Für ein solches Dock ist das gröfste Angriffsmoment des Königsschottes in der Dockmitte B nach (38)

Mk =

Q^/a-b'⁶ Jk

12 Jq

■ • (51)

das gröfste Angriffsmoment des Mittelspantes J5₁ B₂ in B nach (40)

Mq =

iaa«ia_"0.

Jk

.    .    (52)

das gröfste mögliche Angriffsmoment des Königsschottes im Abstande x von der Mitte B nach (43)

l Q | A/aU Jk

l -f- 2x 4 ^4 12 Jq

das gröfste mögliche Angriffsmoment eines im Abstande x der Dockmitte Bx B₂ gelegenen Querspantes nach (45), so lange x nicht nahezu = ist,

M*-

.    .    (53)

von

Mq

* Q\/l2a*bj

l -\-2x 8

ab Q

(54)

das gröfste mögliche Angriffsmoment der Endspanten Ät Ä2 bezw. G₁ C₂ in A bezw. G nach (50)

Mq =

12 a‘⁶b-J —

Jk

ab

00

.    .    (55)

Beispiel.

Bei einem tliatsächlich ausgeführten Schwimmdock mit hohen Seitenwänden ist

die Docklänge 1= 3400 cm,

die Dockhreite b ungefähr = 1600 cm,

die Entfernung benachbarter Querspanten a = 94 cm,

das Trägheitsmoment des Königsschottes Jk = 9 800000 cm⁴,

das Widerstandsmoment des Königsschottes 65 800 cm³,

das Trägheitsmoment eines Querspantes Jq = 4350000 cm⁴,

das Widerstandsmoment eines Querspantes 29 000 cm³,

die Tragfähigkeit oder das Schiffsgewicht Q = 900 t.

Demnach kann im ungünstigsten Ealle das Angriffs-niüinent des Königsschottes in der Docbmitte betragen nach (51)

Mk =

94 x 1600    9800000

12.

4350000

== 116 660 cmt.

An allen anderen Punkten des Königsschottes kann das Angriffsmoment nicht so grofs werden. Die stärkste Beanspruchung des Königsschottes beträgt daher 116 660:65 300 = 1,787 t/qcm.

Das gröfste mögliche Angriffsmoment des Mittelspantes beträgt in seiner Mitte nach (52)

ooojy

Mq =

12 x 94 x 1600 x

4350000    94x1600

9800000    3400

900

32 630 — 4 980 = 27 650 cmt.

Die gröfste mögliche Beanspruchung des Mittelspantes findet sich daher zu 27 650 : 29000 = 0,953 t/qcm.

Die übrigen Spanten können nicht so hoch beansprucht werden bis auf die äufsersten Spanten und vielleicht einige in

deren Nachbarschaft. Tn den beiden Endspanten kann nämlich das Angriffsmoment nach (55) wachsen bis auf

Mq = 2 x 32 630 — 4 980 = 60 280 cmt und daher die Beanspruchung auf 60280 : 29 000 == 2,079 t/qcm.

Glcichmäfsige Aufnahme eines Theiles des Schitfsgewichtes.

Die in dem Beispiele berechneten Inanspruchnahmen sind auffallend hoch. Sie werden auch in Wirklichkeit nicht erreicht werden, weil infolge des Dockverfahrens und der Biegsamkeit des Schiffes und des Docks stets ein Theil des Gewichtes vertheilt auf dem Dock lasten und dessen Festigkeit daher in wesentlich geringerem Mafse in Anspruch nehmen wird. Die vorhergehenden Ableitungen werden durch diese Einschränkung nicht geändert, nur wird in allen Formeln Q nicht mehr das ganze, sondern nur mehr einen Theil des Schiffsgewichtes bedeuten. Das übrige Gewicht, welches die Gröfse Q* haben möge, kann man sich gleichmäfsig über das Königsschott gebreitet denken. Dasselbe ruft dann nur in den Spanten innere Kräfte hervor. Jedes Spant bildet in Bezug auf Q* einen in seiner Mitte festgehaltenen, durch einen vertheilten Auftrieb von der Gesamtgröfse aQ*: l belasteten Träger. Es wirkt also auf jedes Spant ein Angriffsmoment (mit der Hohlseite oben) von der Gröfse

.    .    (56)

M* _ «69*

5 _ 81

Setzt man im früheren Beispiele (? = -§x 900 = 600t und $* = -Jx 900 = 300t, so sinkt die Beanspruchung des Königsschottes einfach auf |- x 1,787 = 1,191 t/qcm herab. Im Mittelspant wird das gröfste Angriffsmoment zu

Mq + Mq* = | x 27 650 +

= 18430

94 x 1600 x 300 8 x 3400

+ 1660 = 20 090 cmt, also die Beanspruchung zu 20 090 : 29 000 = 0,693 t/qcm und in beiden Endspanten kann das Angriffsmoment

Mq -f Mq* = | x 60280 + 1660 = 41850 cmt, mithin die Beanspruchung 41850 : 29 000 = 1,443 t/qcm erreichen. Die Werthe von M* bleiben also hinter denen von Mq erheblich zurück.

Die entwickelten Formeln lassen sich nun als Regeln auf-fassen, welche beim Entwürfe eines Docks zu beachten sind. Man wird nach ihnen z. B. das Königsschott in der Mitte stärker machen als an den Enden, die Widerstandsmomente von Königsschott und Querspant im Verhältnisse Mjc: (Mq + M*) wählen und starke oder mehrfache Endspanten anordnen. Trotz der Willkürlichkeit, welche in der Zerlegung des Schilfsgewichtes in Q und Q* liegt, wird bei der Geringfügigkeit des Einflufses von Q* das Verhältnifs, in welches die Stärken der einzelnen Docktheile gegen einander zu bringen sind, genügend genau bestimmbar.

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WYDZIAtY POLITECHNICZNE KRAKOW

Yerlag von Wilhelm Ernst

BIBLIOTEKA GLOWNA

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Assmann, 0-., Geh. Ober-Baurath. Hiilfstafeln zm Stützen. Zweite Auflage für metrisches Sy von P. 0. Marbach. Mit Holzschnitten steif geh.

Fuhrmann, A., Dr. Professor an der teclui. Hochsehu finitesimalrechnung in den Naturwissenschafte:

Lehrbuch und Aufgabensammlung. In secl selbständiges Ganzes bildet.

Theil I. Naturwissenschaftliche Anwendungen der Differentialrechnung, gr. 8.    1889. geh.    3 M.

Theil II. Naturwissenschaftliche Anwendungen der Integralrechnung, gr. 8. 1890: geh-,    5,50 M.

Hagen, G., Er. Kg). Ober-Landes-Baudirektör, wirkt. Geheimer Rath. Grundzüge der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Dritte, umgearbeitete Auflage. 8. 1882. ^geh.

Kdn., Czapskich 4 — 678. 1. XII. 52. 10.000

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_ — Der Constanten . wahrscheinliche Fehler. Nachtrag zur dritten Auflage der Grundzüge der Wahrscheinlichkeitsrechnung. 8.    1884. geh.    1,60 M.

— — Über Form und Stärke gewölbter Bogen. Mit einer Kupfertafel. Zweite verbesserte und vermehrte Auflage, gr. 8.    1874. geh.    3 M.

Land, Robert, Ingenieur. Ueber die Ermittelung und die gegenseitigen Beziehungen der Einflusslinien für Träger, gr. 8.    1890. geh.    1,60 M.

_ __ Ueber die statische und geometrische Bestimmtheit der Träger, insbesondere der Fachwerkträger. Zugleich ein Beitrag zur Kinematik der Stab werke. Mit 25 Holzschnitten. 8.    1887. Pappbd.    1 M.

Landsberg', Th., Reg.-Baumeister. Das Eigengewicht der eisernen Dachbinder, gr. 4. 1885. geh.    1,50 M.

L i g o w s k i, W., Professor Dr. Die Bestimmung der Form und Stärke ■ gewölbter Bogen mit Hülfe der hyperbolischen Funktionen, gr. 4. 1854. geh. 1,50 M.

--- Tafeln der Hyperbelfunctionen und der Kreisfunctionen. Nebst einem Anhänge enthaltend die Theorie der Hyperbelfunctionen. gr. 8. . 1889. geh. 5 M.

Müller-Breslau, Heinrich F. B., Professor an der technischen Hochschule zu Berlin.

Beiträge zur Theorie der ebenen elastischen Träger. Mit 35 Abbildungen in Holzschnitt, gr. 8. 1890. geh.    2 M.

Sclnv edler, J. >V., Geh. Oberbaurath. Die Construction der Kuppeldächer. 11 Tafeln mit Text. Zweite vermehrte Auflage.- Fol. 1877. steif geh.    14 M.

' Inhalt: Theorie der Kuppelflächen. — Kuppeldachconstruction von 98 Fufs fr Zoll Durchmesser über dem Gasbohältergebäude der Imperial - Continental - Gas - Association zu Berlin, Holzmarktstrafse No. 28. Erbaut im .Jahre 1863. — Kuppeldachconstruction von 130 Puls Durchmesseer über dem Gasbehältorgebäude der städtischen Gasanstalt zu Berlin. Hellweg :No. 9. Erbaut im Jahro 1665. — Kuppelconstruction von 140 Eufs Durchmesser über dem • .Gasbehältergebäude der städtischen Gasanstalt zu Berlin in der Müllerstrafse. Erbaut im .Jahre 1865. — Kuppeldachconstruction von 80 Fufs Durchmesser über dem Locomotivschuppen auf dem Bahnhof St. Johann der Saarbrücker Eisenbahn. Erbaut im Jahre 1863. — Kuppel-construction von 44 Fürs Durchmesser auf der neuen Synagoge zu Berlin in der Oranienburger-Erbaut-im Jahre 186cS. — Gasbehälter der städtischen Gasbehälter-Anstalt

-strafse .No. 30.    . .    HB

: an der Fichtestrafse, in Berlin. Erbaut in den Jahren 1873 — 1875. — Anhang. Gasbehälter-aebäude der Imperial - Continental - Gas - Association zu Berlin. Erbaut im Jahre 1861.

Ueber das

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S pailgenberg, Ludwig, Professor an der Kgl. Geworbo-Akademie zu Berlin.

Verhalten der Metalle hei wiederholten Anstrengungen. (Fortsetzung der Wühler’sehen Eestigkeitsversuclie.) Mit 2 Kupfertafelu. gr. 4. 1875. geh.

3 M.

Toikmitt, G., Kgl. Wasser-Bauinspector in Potsdam. Das Entwerfen und die Bereeh-

•    nung der Brückengewölbe, gr. 8. 188p. geh.    1,20 M.

Wijttmann, Willi., Er. Professor der techn. Hochschule iu München. Statik der Hoch-

■ hauconstructionen. I. Theil: Steinconstructionen. Mit 7 Kupfertafeln und

*    51 Holzschnitten, gr, 8.    1879. geh.    6 M.

(Theil 2, 3 ist Verlag von M. Riegel-’s Buchhandlung in München.)

Kimm ermann, Dr. H., Regierungs- und Baurath. Genietete Träger. — Tabellen der Trägheitsmomente. Widerstandsmomente und Gewichte. Mit Berücksichtigung der Nietverschwächung. Zweite vermehrte und verbesserte Auflage.

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Mit

— — Ueber den Sicherhei Knicken beanspruchten -— — Rechentafel nebst Sai gr. 8. 1889. geh.

Halle

100000305628

¹

Näheres über das Verhalten solcher Träger findet sich ausführlich in Zimmermann, Die Berechnung des Eisenbahn - Oberbaues, Berlin 1888. Verlag von Ernst u. Sohn.

²

-

Abb. 3.

mittleres Königsschott AC und zwei Seitenkasten, also auf jeder Seite ein Wändepaar besitzt. Um die Rechnung zu vereinfachen,