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Berechnung

7.

II.

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der

Kanäle und RoMeitungen

von

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Albert Frank.

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R, Qldenbourg, Mönchen u. Leipzig 1886.

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Biblioteka Politechniki KiaknwskM‘1

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Die Berechnung der

Kanäle und Rohrleitungen

nach einem neuen einheitlichen System mittels iogarithmo-graphischer Tabellen von

Albert Frank,

Privatdocent an der k. technischen Hochschule in München.

Mit IX Tafeln und 11 in den Text gedruckten Figuren.

der

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öffentlichen Ar beiten

München und Leipzig.

Druck und Verlag von R. Oldenbourg. 1886.

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Akc. Nr.

Einleitung.

Seite

vfi.    O3COO0OSOaO3O3M>(OtO    ‘    I—i- ‘    I—^    ^    I—¹    I—*    1--^

to    -7    U<    Cn    03    ►—    ©    ©

I.    Die Querprofile (1er Leitungen

a)    Offene Kanäle.....

1.    Das Trapezprofil ....

2.    Das Kreissohlenprofil

b)    Gedeckte Kanäle ....

1.    Das Rechteck ....

2.    Das Kreisprofil ....

3.    Das Eiprofil auf dem spitzen Ende

4.    Das Eiprofil auf dem stumpfen Ende

5.    Das stehende Ellipsenprofil

6.    Das liegende Ellipsenprofil .

II.    Die Gescliwindigkeitsfornieln

a)    für Kanäle .....

b)    für Röhren ....

III.    Die graphischen Tabellen

a)    Coordinatensystem Mf-cp .

1.    bei constantem Coefficienten

2.    bei veränderlichem Coefficienten

b)    Coordinatensystem B—v .

1.    bei constantem Coefficienten

2.    bei veränderlichem Coefficienten

c)    die beiden Haupttabellen

1.    für Kanäle .....

2.    für Röhren.....

IV.    Die Beispiele.....

%

Einleitung.

W enn man in unseren Handbüchern über angewandte Hydraulik die Kapitel, welche die Formeln der Bewegung des Wassers in Kanälen und Röhren, sowie die Berechnungen der Querschnitte behandeln, einer Betrachtung unterzieht, so wird man gewahr, dass diese Kapitel meist getrennt von einander behandelt werden, während sie doch ein zusammengehöriges Ganze bilden. Denn die Bewegung des Wassers in Röhren unterscheidet sich von derjenigen in Kanälen nur dadurch, dass an Stelle des Gefälles des offenen Wasserspiegels dasjenige der Drucklinie tritt; und dass das Material der Wandungen zum Theil ein anderes ist, als bei den Kanälen. Ferner werden meist die sämmtlichen Formeln, welche im Laufe der Zeit von den verschiedenen Autoren aufgestellt wurden, aufgezählt, wohl auch mehr oder weniger kritisch beleuchtet. Hiernach jedoch zu beurtheilen, welche Formeln gegebenen Falls anzuwenden sind, ist immerhin nicht leicht; denn es fehlt in der Regel an einer Uebersichtlichkeit, welche einen Vergleich der verschiedenen Formeln gestattete. Zudem sind dann die Formeln meist noch etwas complicirter Form und umständlich in der Anwendung. Es kommt deshalb nicht selten vor, dass man diese Formeln bei Seite legt und sich lieber der alten einfachen Formeln bedient, obwohl man weiss, dass dieselben nicht zutreffend sind.

Auch bezüglich der Profilformen findet man in den Handbüchern nicht immer die gewünschte Klarheit, die im einzelnen Falle über die Anwendbarkeit und Vortheil-haftigkeit eines Profils Aufschluss gibt. Andrerseits aber zieht man wieder eine ungünstigere Profilform einer besseren vor, nur weil mit der ersteren bequemer zu rechnen ist.

Um deshalb sowohl die neueren Formeln, als auch die besseren Profilformen mehr in die Praxis einzuführen, schien es mir angezeigt, Mittel und Wege zu suchen, durch welche einerseits ein Vergleich der Profilformen unter sich bezüglich ihrer Vorth eil haftigkeit ermöglicht und andrerseits das Rechnen überhaupt und insbesondere die Anwendung der zusammengesetzteren Formeln und Profile erleichtert würde.

Dazu aber war es zunächst erforderlich, auf die Querprofilformen näher einzugehen und dieselben hinsichtlich ihrer Güte und Verwendbarkeit zu untersuchen. Es bot sich hiebei in den Formcoefficienten ein Mittel, um die Güte der Profile durch eine absolute Zahl auszudrücken und hiedurch vergleichbar zu machen.

Um ferner die Rechnung zu vereinfachen, musste die ganze Berechnungsweise in ein einheitliches System gebracht und für dieses eine übersichtliche Darstellungs-

weise gesucht werden.

Form - und Maasscoefficienten, Letzteres durch die logarithmo-graphisehen

Ersteres wurde erreicht durch Aufstellung des Systems der

Tabellen, welche ausserdem noch einen guten Ueberblick über die einzelnen Geschwindigkeitsformeln und einen Vergleich derselben unter sich gewähren.

Durch diese Hilfsmittel reducirt sich aber die Rechnung ganz wesentlich; sie beschränkt sich meist auf einige Multiplicationen oder Divisionen und führt rasch und sicher zum Ziel.

Dabei ist die Genauigkeit, welche durch die neue Berechnungsweise erreicht wird, in Anbetracht des ziemlich weiten Spielraums, den die Wahl des Gescliwindig-keits- bezw. Rauliheits-Coefficienten gestattet, eine vollständig genügende.

I. Querprofile der Leitungen.

Die Form der Querprofile von Wasserleitungen ist eine sehr verschiedene, je nach dem Zweck, dem dieselben dienen und nach dem Material, in welchem sie ausgeführt werden. Bezüglich des Zweckes kommt es darauf an, ob die abzuleitenden Wassermengen constant bleiben oder ob sie grösseren Schwankungen ausgesetzt sind. Das Material der Profilwandungen kommt namentlich in Betracht hinsichtlich der Geschwindigkeit, mit welcher das Wasser geführt werden darf, ohne dass ein Angreifen der Wandungen zu befürchten ist. Die Leitungen unterscheiden sich somit besonders nach der Angreifbarkeit der Wandungen. Leicht angreifbare Wände sind solche in Erde hergestellte, schwer angreifbare solche in Felsen oder Mauerwerk oder auch Eisen. Bei ersteren darf deshalb mit der maximalen Geschwindigkeit bei weitem nicht so hoch gegangen werden, als bei letzteren. Ferner ist bei ersteren auch die Form des Querprofils eine wenig veränderliche, durch die Standfestigkeit des Materials bedingte. Die Form ist gewöhnlich die Trapezform oder eine ähnliche, bei welcher die Sohle kreisförmig gekrümmt ist, nämlich das Kreissohlenprofil. Eine Ueberdeckung findet bei diesen nicht statt. Bei den Leitungen in festem Material dagegen ist man weder bezüglich der Geschwindigkeit noch bezüglich der Querprofilform an jene Grenzen gebunden und können diese je nach Bedürfniss offen oder gedeckt hergestellt werden.

Immerhin hat man aber sowohl bei den offenen, wie bei den gedeckten Profilen noch einen weiten Spielraum bezüglich der Annahme der Maassverhältnisse, welcher sich jedoch erheblich einschränkt, sobald man sich die Bedingung stellt, unter sonst gleichen Verhältnissen ein möglichst kleines Profil zu erhalten; und hierauf ist bei allen Projecti-rungen schon in Hinsicht auf die Anlagekosten ganz besonders zu sehen. Es fragt sich nun, wie müssen die Querprofile gestaltet sein, damit sie obiger Bedingung genügen? Die Antwort hierauf ist aber: ihr benetzter Umfang muss möglichst klein sein oder, was dasselbe heisst: das Verhältniss der QuerprofilflächeF zum benetzten Umfangp, welches

F

der hydraulische Radius R —— heisst, muss möglichst gross werden; denn je kleiner der

P

benetzte Umfang bei gleicher Profilfläche ist, um so kleiner ist auch der Widerstand, welchen das Wasser an den Wandungen erfährt. Der hydraulische Radius R ist also hiernach von ganz besonderer Bedeutung hinsichtlich der Querprofilformen und spielt, wie wir noch weiter sehen werden, eine grosse Rolle bei allen Berechnungen. Jedoch sind hierüber noch einige Bemerkungen am Platze.

Frank, Kanäle und Rohrleitungen.

Die Profile sind meist durch mehrere Maasse gegeben; man kann nun in der Regel diese Maasse unter einander in Beziehung setzen und alle durch ein Maass ausdrücken. Bezeichnet man dieses letztere mit a, so kann man auch Profilfläche, benetzten Umfang und Profilradius als Function von a ausdrücken und schreiben:

F — ui a², p — Ui a,

Ul

Uc

a = «o a = R.

Die Coefficienten ui, uz und «o sind dabei Zahlen, welche nur für eine gegebene Profilform Gültigkeit haben, d. h. nur so lange, als die einzelnen Profilmaasse im gleichen Verhältnisse wachsen oder abnehmen. Der hydraulische Radius R wird daher für diese Profilform um so grösser, je grösser« wird; er ist also von der Grösse des Profils abhängig und steigt und fällt mit dieser. Da er aber an die Dimension gebunden ist, so bietet er kein Mittel zur Vergleichung zweier verschiedener Profile. Nehmen wir z. B. den Kreis und den Halbkreis, so ist der Radius r die einzige Dimension, auf welche F, p und R bezogen werden können, so dass

F = ui r², p — uz ry

= R = un r wird ;

die Coefficienten werden für den Kreis

Ul ■= 7T, Ui = 2 71, Uo — 2    ’

für den Halbkreis

71

Ul r= — > Ui = 71 , U0 =

r

Der Profilradius R wird also in beiden Fällen =    •

£

Es wäre nun ganz falsch, wenn wir sagen wollten: da der Profilradius für beide Profile der gleiche ist, so sind dieselben gleich günstig; denn es ist ja die Profilfläche des ersteren doppelt so gross, als die des letzteren; vergleichbar werden die Profilradien nur dadurch, dass wir sie unter der Voraussetzung gleicher Profilflächen ausdrücken.

Um uns also eine Vergleichung verschiedener Profile bezüglich ihrer Günstigkeit zu ermöglichen, müssen wir uns noch eine Beziehung zwischen Profilfläche und Profilradius hersteilen. Wir schreiben dieselbe

F=R\

Denn da die Fläche F zweiten Grades ist, so muss dieselbe auch zur zweiten Potenz von R

f

ins Verhältniss gesetzt werden; — ist dann der die Beziehung herstellende Zahlencoefficient.

Wie man aus dieser Gleichung ersieht, ist dieselbe nun nicht mehr an eine Profildimension gebunden, sondern vollständig unabhängig davon. Ferner erkennt man, dass bei gleicher

ist; oder umgekehrt ist

Profilfläche das R um so grösser wird, je grösser der Coefficient

der Coefficient f um so grösser, je grösser das R ist, d. h. je günstiger das Profil ist. Der Coefficient gibt uns also ein Maass für die Beurtheilung der Profilform und wir heissen ihn deshalb auch den Form coefficienten. Da derselbe für jedes Profil eine absolute Zabl ist, so bietet er ein bequemes Mittel zur Vergleicbung verschiedener Profile unter sich bezüglich ihrer Güte.

Während also die frühere Beziehung R = ao a nur einen relativen Vergleich verschiedener Profile von gleichem a gestattet, ermöglicht uns die neue Beziehung einen absoluten Vergleich zwischen allen möglichen Profilen. Immerhin aber haben wir auch erstere noch nöthig zum Uebergang vom Profilradius auf die Profildimension; sie leitet uns aus dem R das Maass

’) setzen und m den Maass-

jener Dimension ab, weshalb wir ihren Coefficienten «o — coefficienten nennen wollen.

Nach diesen Gesichtspunkten werden wir nun im Folgenden die gebräuchlicheren Profilformen einer Betrachtung unterziehen und ihre Güte durch Berechnung genannter Coefficienten feststellen.

a) Offene Kanäle.

Für offene Kanäle stehen hauptsächlich zwei Profilformen im Gebrauche, nämlich das Trapez- und das Kreissohlenprofil.

1. Das Trapezprofil.

Je nach der Standfestigkeit des Bodens, in welchem der Kanal ausgeführt wird, erhalten die Böschungen des Profils grössere oder geringere Neigung, und man gibt diese Neigung durch die Cotangente des Neigungswinkels « der Böschung gegen den Horizont an. Zu der durch diesen Winkel bedingten Variation der Profilform des Trapezes kommt dann noch diejenige, welche sich aus der Wahl der Breite und Tiefe des Profils ergibt. Um nun alle hiernach möglichen Trapezprofile berücksichtigen zu können, führen wir in die Rechnung das Verhältniss der Tiefet zur Sohlenbreite bi ein, beziehen also die Tiefe auf die

Für diese in nebenstehender

bV

Sohlenbreite und bezeichnen dieses Verhältniss mit /u =

Fig. 1 eingeschriebenen Bezeichnungen ergibt sich sodann die Profilfläche F und der benetzte Umfang p, wie folgt:

t²

F — (bi -\-t cotg a) t — (1 -f- /i cotg «) —

ii

2.

h-*-

2-1

cx

folglich wird

Fig. 1.

4

Aus der Gleichheit F = pR=jR² ergibt sich aber der Formcoefficient

AR 4 (1 + p cotg «) fi

0 + ^)’

’)

<2

— wird gesetzt, damit, wie aus dem Späteren hervorgeht, für das Kreisprofil und Ivreissohlen-ni

4

profil (ji = 1) der Coefficient m — 1 wird; analog ist in der Gleichung des Formcoefficienten y gesetzt.

Den Maasscoefficienten m knüpfen wir am besten an die Sohlenbreite bx und schreiben 2

bx =

— B, woraus m

2 B 2 (1 -j- fi cotg a) fi

2 fi

bx

sin «

Einen speciellen Fall des Trapezes bildet das Rechteck, welches erhalten wird, wenn cotg u = 0 wird; hierfür ist

f=

4 fi

₂ und m =

2 f,

1 + 2,,

Nach den vorstehend entwickelten Gleichungen wurden nun für verschiedene Verhältnisse fi von 0 bis 2 und für die verschiedenen Böschungswinkel die Coefficienten gerechnet und in der folgenden Tabelle zusammengestellt. (Sie wurden mit vier Decimalstellen angegeben, für die Rechnung genügen jedoch drei vollständig).

Tabelle I.

f/o

fi= 0,01    0,05    0,10    0,25    0,50    0,75    1,00    1,25    1,50    2,00

COtg n = 0 fio — 0,500 cotg « — 0,5 /io — 0,809 COtg rt = 1,0 fi o = 1,2071 cotg n= 1,5 f/o = 1,6513 cotg n — 2,0 f/o = 2,1177

cotg « = 3,0 fi o = 3,0807

0,0384 0,1653 0,0196 0,0909 0,0385 0,1658 0,0197 0,0922 0,0382 0,1832 0,0196 0,0981 0,0378 0,1543 0,0196 0,0911 0,0374 0,1469 0,0195 0,0899 0,0364 0,1328 0,0194 0,0874

0,2778 0,4445 0,1667 0,3333 0,2805 0,4629 0,1716 0,3608 0,2674 0,4240 0,1715 0,3640 0,2485 0,3803 0,1690 0,3616 0,2292 0,3344 0,1658 0,3541 0,1951 0,2627 0,1593 0,3390

0,5000

0,5000

0,5573

0,5902

0,5146

0,6213

0,4455

0,6244

0,3820

0,6180

0,2886

0,6006

<o o" cT ©" o' © o" o“ cf o' o ©

OOCO    CO    CO    CO    ^    CO    üt    —1    Üi    CT 4^

CD    05    ^    05    05    4^    00    —1    O (X

CO    O«    >-*•    CH    04^    ►—¹    CC    O    CH    OO

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^    o    CN    D-    iO    ^    T-IO    O    O    CO    (M

O    l-    CM    ^    ^    L—    CO    O    O    O    O

0^    ^    (M^

o~    cT    <o    cT    cT    r-T    cT    r-T    o"    ^    cP    r-T

0,4082

0,7143

0,3750

0,7500

1,2402

0,4740

1,3052

0,4029

1,4306

0,4748

1,5214

0,4039

0,2994

1,3334

0,3001

1,5734

0,3200 0,5000 0,8000 0,5000 0,5343 0,5760 1,4620 0,8090 0,5416 0,5469 1,8026 1,2071 0,4746 0,4749 1,9485 1,6513 0,4045 0,4046 2,0112 2,1177 0,3006 0,3008 2,0514 3,0807

Zur besseren Uebersicht wurden diese Coefficienten auf Taf. I graphisch auf getragen, woraus ersichtlich ist, dass die Formcoefficienten f mit zunehmendem // wachsen, und zwar anfangs sehr rasch und dann langsamer, bis zu einer gewissen Höhe, wo sie ihr Maximum erreichen, um von da wieder abzunehmen. Man erkennt also hieraus sofort, bei welchem //, d. h. bei welcher Füllungshöhe die Profilform bei gegebener Sohlenbreite am günstigsten wirkt. Dieses günstigste Verhältniss zwischen Tiefe und Sohlenbreite ist in obiger Tabelle in der ersten Spalte unter fin eingetragen, die zugehörigen Coefficienten in der letzten Spalte.

Aus der Vergleichung der einzelnen f-Curven unter sich ergibt sich ferner, dass im Allgemeinen die Formcoefficienten um so grösser sind und ihr Maximum um so früher erreichen, je steiler die Böschung ist. Den grössten Werth von f zeigt jedoch nicht das rechteckige Profil, sondern das ‘/«malig geböschte (cotg a — 0,5). Bei ersterem erreicht die f-Curve bereits bei fi — 0,5 ihr Maximum, biegt sich dann rasch um und nimmt schnell wieder ab. Dieses rasche Abnehmen verschwindet um so mehr, jo flacher die Böschcmgen

F=(bi -f-1 cotg u) t und p — bi t-

2t

eine Function \=p -\-l®, worin (J) = (bi -f t cotg«) t — F — 0 ist, und machen durch par tielle Differentiation derselben nachLagrange das p zu einem Minimum.

Hiernach wird

^ = 1 4-d == 0

fy=ril7;+;‘(i,' + 2*cotg“⁾=⁰

sin «

werden, und man bemerkt, dass bei den flacheren Böschungen (cotg « > 1) etwa von /t = 1 an die Coefficienten f nur ganz langsam und unerheblich mehr wachsen bis zur Erreichung ihres Maximums und dann ebenso wieder abnehmen. Daraus geht aber hervor, dass es bei diesen Profilen zur Erzielung eines günstigen Profiles nicht nöthig ist, bis zu dem Ver-hältniss /n₀ des absoluten Maximums von f zu gehen, sondern dass man schon bei einem jti = oder > 1 eine Profilform erhält, welche der günstigsten an Güte nicht viel nachsteht. Wenn es also wünschenswerth ist, die Tiefe des Profils nicht zu gross zu bekommen, so genügt es, die Tiefe gleich der Sohlenbreite zu nehmen, um eine günstige Profilform zu erhalten. Das Verhältniss p₀, hei welchem das absolute Maximum von f stattfindet, wird durch Rechnung in folgender Weise gefunden:

Wir bilden aus den beiden Gleichungen

K-----

T\

/!'

sjt

.-■K

Fig. 2.

OL

bi 21 cotg «

oder

sin «

= bi -f- 21 cotg «

ES.

7.

UI

Cf?

toi s

oder fio —

sin a

2 (1 — cos «)

Wie man sich aber aus der Fig. 2 überzeugen kann, gibt

bi -f- 21 cotg a = b,

wenn b die Wasserspiegelbreite; es ist also auch

•) ^ #

sin a

Trapezprofil. Diese gibt zugleich die Anweisung für die Construction desselben; da

— b die Bedingung für das günstigste

sin «

die Länge der Böschung vorstellt, so spricht die Gleichung die Bedingung aus: die Länge der Böschung muss gleich der halben Wasserspiegelbreite sein. Sie spricht aber auch aus, dass die von der Mitte des Wasserspiegels auf die Böschung gefällte Senkrechte die Länge t haben muss, dass somit der dem Trapez ein beschriebe ne Kreis seinen Mittelpunkt im Wasserspiegel haben muss günstigstes wird.

damit das Profil ein

Setzt man obigen Werth pu in die Gleichungen des Form- und Maasscoefficienten ein,

so reduciren sich dieselben auf

fo =

sin «

2 — cos «

m₀

sin«

2 (1 — cos«)

= j-l 0

d. h. man erhält für die einzelnen Böschungswinkel den günstigsten Füllungsgrad (p₀), wenn derselbe gleich dem Maasscoefficienten wird. Zieht man deshalb in Taf. I durch den Nullpunkt eine unter 45° geneigte Linie, so ergeben sich in den Schnittpunkten derselben mit den einzelnen m-Curven die günstigsten Füllhöhen.

Wenn man weiter obigen Werth von bi =    (1—cos«) in die Gleichungen für F, p

und B einsetzt, so wird

F=t² ■

2 — cos« sin «

und t —

1 f F sin « \ 2 — cos «

= VFf,

p = 2t ■

2 — cos «

sin«

d. h. der Pr of ilradius B des günstigsten Trapezprofils ist unabhängig vom Böschungswinkel und für alle Böschungen gleich der halben Tiefe.

Bezüglich der Maasscoefficienten m ist noch zu bemerken, dass dieselben mit zunehmendem p wachsen, dass die Curven derselben sich um so mehr einer Geraden nähern, je flacher die Böschungen sind und sich daher für Werthe von p unter 1, wo sich die Coefficientenwerthe wenig unterscheiden, mehrfach überschneiden.

Wie schon früher bemerkt, repräsentiren die m-Curven zugleich auch die B und zeigen also auch das Zunehmen der Profilradien mit wachsendem p.

Nach dem Vorhergehenden können also für irgend eine Profilform (gegeben durch das Böschungsverhältniss und das Verhältniss p) die Coefficienten f und m den Tabellen entnommen und nach ersterem die Güte des Profils beurtheilt werden. Andererseits kann aber auch aus den Tabellen ersehen werden, wie in einem Profil von gegebener Sohlenbreite und gegebenem Böschungsverhältniss bei allmählich ansteigendem Wasserspiegel die Güte des Profils zu- und abnimmt, was z. B. bei der Construction der Wassermengen-Curve von Werth sein wird.

Die vorstehende Ableitung der Form- und Maasscoefficienten wäre wohl derjenigen beim folgenden Kreissohlenprofil entsprechender geworden, wenn wir die Tiefe t statt zur Sohlenbreite bi zum Radius r des dem Trapeze einbeschriebenen Kreises ins Verhältniss gesetzt hätten. Es hätte sich dann als Bedingung für das günstigste Profil, ebenso wie dort,

dieses Verhältniss ~ = 1 ergeben, oder t — r, was den schon oben bewiesenen Satz ausdrückt,

dass die Tiefe gleich dem Radius des dem Trapeze einbeschriebenen Kreises werden muss.

2. Das Kreissohlenprofil.

Dasselbe ist in seiner allgemeinen Form gebildet aus einer kreisförmigen Sohle mit beiderseits anschliessenden tangentialen Böschungen. Das Böschungsverhältniss richtet sich auch hier, wie bei der Trapezform nach der Standfestigkeit des Bodens. Dieses, ebenso wie die Grösse des Kreissohlenradius und der Tiefe, lassen wiederum eine grosse Reihe von Variationen zu, welche die Profilform sehr verschiedenartig gestalten können.

Um diese Variationen wieder zusammenfassen zu können, führen wir das Verhältniss

der Tiefe t (in der Mitte) zum Sohlenradius r mit /< = — ein, während die Böschungen wieder durch die Cotangenten ihrer Neigungswinkel « ausgedrückt werden.

Als Hauptdimension, auf welche wir die übrigen Dimensionen, sowie den Maasscoeffi-cienten m beziehen, wählen wir am besten den Sohlenradius r, so dass die Gleichung für m lautet \

■TV*

J,

sin«

Der Formcoefficient /ö würde dabei denselben Werth f₀ = -

dagegen hätte der Maasscoefficient, der nun ebenfalls statt auf bi auf r bezogen worden wäre 2 \

Rj, ebenso wie beim Kreissohlenprofil, den Werth m₀

Es erschien jedoch für den Gebrauch in der Praxis zweckmässiger, auf obige Analogie zu verzichten und das Verhältniss der Tiefe zur Sohlenbreite einzuführen.

— cos«

erhalten haben;

(r

= 1 angenommen.

— R\ die Gleichung für den Formcoeffi-m

cienten f dagegen bleibt durchaus die nämliche

Für die nebenstehende Fig. 3 erhalten

Fig. 3.

wir nun:

h = t — r (1 — cos «) = (,« — 1 -p cos «) r

F=i

71 a

180

[(

180

r ti u

90

— sin « cos « j r² -)- (2 r sin « -f- ti cotg u) t\

— sin a cos -\- (/< — 1 -}- cos «) (2 sin a -f- cotg u (// — 1 + cos «))J rz

r n u    2    ~l

L9Ö + sinl.^-¹ + cos“>J''

— s^na cos«) —{— (/< — 1 + cosa)    sin u -j- cotg« (n — 1 -)- cos«))l r

+ ^i

2 ti

71 U

90

¹ sm a

(j.1 — 1 —)- COS c<)

4

Aus F—pR — j.R² ergibt sich endlich:

na

180

sin « cos -f (j.i — 1 cos «) (2 sin a + cotg u (/< — 1 + cos «))

rna i    si²

Lf8Ö+snr«(/t~¹ + C0Sa)J

na

180

— sin« cos«

^ -f- (f.i — 1 cos «) (2 sin « -f- cotg « (/li — 1 -f- cos «))

siib⁽',-¹ + cos“>

180

Ein specieller Fall des allgemeinen Kreissohlenprofils ist zunächst der Kreisabschnitt, welcher entsteht, wenn das darüber liegende Trapez verschwindet und die Tiefe U = 0 wird. Für diesen wird

t = r (1 — cos «) und /< = 1 — cos «, folglich (x — 1 -f- cos « = 0,

in Folge dessen

n o.

— sin « cos «

180

/ n u \²

\18Ö/

-5^. — sin « cos « 180

180

Ein anderer specieller Fall ergibt sich, wenn man den Wasserspiegel bis in den Mittelpunkt des Sohlkreises steigen lässt. In diesem Falle wird t — r und ,« — 1, somit

f=

180

-J- cotg«

m— 1.

wenn man den

Endlich erhält man aus diesem wiederum einen speciellen Fall Böschungswinkel « = 90° oder cotg« = 0 werden, das Profil somit in den Halbkreis übergehen lässt.

Für diesen wird

f=

= 0,637

m— 1.

Die nach vorstehenden Gleichungen gerechneten Coefficienten sind in der folgenden Tabelle II zusammengestellt und auf Taf. II graphisch aufgetragen.

Aus diesen Zusammenstellungen ist wieder zu ersehen, dass die Formcoefficienten ähnlich wie beim Trapezprofil mit zunehmendem /t (für Werthe von ft zwischen 0 und 1) wachsen. Die sämmtlichen Coefficientencurven werden hier aber von einer einzigen umhüllt, nämlich der des Halbkreises, welche unter allen die grössten Werthe von f aufweist, folglich auch der günstigsten Profilform entspricht. Von dieser zweigen die den verschiedenen Böschungswinkeln entsprechenden Curven in der Höhe der Tangirungspunkte ab . nehmen von da einen selbständigen Verlauf und erreichen sämmtlich für /< = 1 ihr Maximum; woraus also folgt, dass, welches auch der Böschungswinkel sein mag, das Profil am günstigsten wird, wenn die Wasserspiegellinie durch den Kreismittelpunkt geht, ein Satz, der unten noch ausführlich bewiesen werden soll. Die graphische

cotg «

Tabelle II.

ft= 0,0513    0,1    0,1056 0,125 0,1666 0,168    0,20    0,25 0,2929 0,333 0,500 0,5528! 0,75

1,00

0,5

1,0

1,5

2,0

3,0

f= 0,2097 m = 0,0675 f =z 0,2097 m— 0,0675

f= 0,2097 vi = 0,0675 f= 0,2097 m — 0,0675 f= 0,2097 m— 0,0675 f= 0,2097 m — 0,0675

00 o

CO CO

tsS -^1

0,2959 0,3201 0,3645 0,3658 0,1372 0,1618 0,2135 0,2151 0,2959 0,3201 0,3645 0,3658 0,1372 0,1618 0,2135 0,2151

0,2959 0,3201 0,3645 0,3658 0,1372 0,1618 0,2135 0,2151 0,2959 0,3201 0,3645 0,3658 0,1372 0,1618 0,2135 0,2151 0,2959 0,3179 0,3489 ^ 0,1372 0,1612 0,2094 w

ment

0,2634

0,1253

Seg

ment

0,2749, 0,2856 0,1525 0,1960

0,3948 0,4317 0,2541 0,3120 0,3948 0,4317 0,2541 0,3120

0,3948 0,4317 0,2541 0,3120 0,3922 0,4202 0,2533 0,3092 0,3644 0,3790 0,2458 0,2981 0,2903 0,2945 0,2299 0,2798

0,4627

0,3634

0,4627

0,3634

0,4627

0,3634

<D

QD

ment

0,4865

0,4092

0,4865

0,4092

0,4849

0,4086

0,4469

0,3961

0,3920

0,3814

0,2979

0,3615

0,5601

0,5865

0,5601

0,5865

0,5342

0,5761

0,4689

0,5564

0,4018

0,5407

0,3002

0,5225

cs t— 05 r-

gs

0,6193 0,6366 0,8164 1,0000 0,6124 0,6222 0,8130 1,0000

0,5564 0,5601 0,7967 1,0000 0,4776 0,4790 0,7820 1,0000 0,4054 0,4059 0,7721 1,0000 0,3009 0,3010 0,7617 1,0000

Darstellung zeigt ferner, dass das Profil um so günstiger wird, je grösser der Böschungswinkel genommen wird, je weiter also das Profil vom Kreis umschlossen wird, und dass endlich die günstigste Profilform durch den Halbkreis erreicht wird, für welchen der Formcoefficient auf seinen grössten überhaupt erreichbaren Werth /'= 0,637 steigt.

Um den obigen Satz über das günstigste Kreissohlenprofil zu beweisen, verfahren wir ebenso wie beim Trapezprofil; wir machen den benetzten Umfang p durch partielle Differentiation der Function f =p X <D zu einem Minimum und erhalten:

180

sin « cos «

) r% ~~b (2 r sin « -(- U cotg «) U

r n u 2 ti ^    90 "'sin«

/ T Ti Ci    \

-)- l (    — 2r sin « cos a -j- 2h sin « j = 0

2

Ä~f —    + l (2 r sin a -\-2U cotg «) = 0

na

dr 90

d)

rna

n a sin «

90

2 r sin « cos « -]- 2 ü sin «

180

2 r sin « -)- 2 U cotg «

Hieraus ergibt sich als Bedingung für das Minimum vonp:

r cos a — ti oder da U = (,« — 1 -|- cos «) r ist,

u = — = 1 oder t = r.

‘ r

Diese Gleichung drückt aber aus, dass der Mittelpunkt des Sohlkreises im Wasserspiegel gelegen sein muss, damit das Profil ein günstigstes wird.

Betrachtet man ferner die Curven der Maasscoefficienten m, so ersieht man, dass dieselben mit /t wachsen und für /< = 1 sämmtlich auf den Werth m— 1 zusammenlaufen. Dass dem so sein muss, geht hervor, wenn man den oben erhaltenen Werth für U — r cos «, welchcr die Bedingung für das günstigste Profil ausdrückt, in die Gleichung von R einsetzt; man ersieht, dass

r(m + «*“)

r

2 wird>

(w> + cotS“)

dass somit der hydraulische Radius R für /.i

1 unabhängig vom Böschungswinkel r

wird und für sämmtliche Böschungswinkel den Werth R — — annimmt; setzt man diesen Werth in die Gleichung für den Maasscoefficienten, so erhält man für diesen

5g

Der oben behandelte zweite specielle Fall entpricht also gleichzeitig dem günstigsten Kreissohlenprofil.

Vergleicht man schliesslich noch die Formcoefficienten des günstigsten Kreissohlenprofils mit denjenigen des günstigsten Trapezprofils, so bemerkt man, dass die ersteren bei gleichen Böschungswinkeln durchgängig grösser sind, als die letzteren; dass aber die Differenzen um so kleiner werden, je flacher die Böschungen werden, je kleiner also die zwischen dem eingeschriebenen Kreis und dem Polygon des Trapezes eingeschlossenen Flächen sind, um welche das Trapezprofil grösser ist, als das Kreissohlenprofil.

b) Gedeckte Kanäle.

Die gedeckten Kanäle werden meist, wenn in lockerem Boden ausgeführt, ganz in Mauerwerk hergestellt oder erhalten, wenn in Felsen ausgesprengt, eine Verkleidung aus Mauerwerk; seltener bleiben die Wände der letzteren ganz rauh. Sehr häufig aber, hauptsächlich bei kleineren Dimensionen, werden dieselben auch in gebranntem Thon, Cement oder Eisen hergestellt und heissen dann Rohrkanäle.

Die Formen, welche man den Querprofilen solcher Kanäle gibt, sind daher nicht mehr in dem Maasse, wie bei den offenen Kanälen durch die Angreifbarkeit der Wände bedingt; ebenso ist auch die Geschwindigkeit, welche das Wasser in diesen erreichen darf, nicht mehr in den Grenzen, wie bei jenen gehalten.

Es ist deshalb für die Form des Querprofils bei diesen Kanälen mehr der Zweck derselben maassgebend, sowie die disponible Höhe und sonstige Verhältnisse; hauptsächlich aber auch die Rücksicht auf die Erreichung möglichst grosser Leitungsfähigkeit, d. h. eines möglichst grossen Formcoefficienten. Deshalb treten bei diesen Kanälen auch mehr runde Formen, Kreise oder aus Kreisbögen gebildete Profile, seltener eckige, auf. Das einzige, bei bedeckten Kanälen vorkommende, aus geraden Linien gebildete Profil ist das aufgestellte Rechteck.

1. Das Rechteck.

Soferne das rechteckige Profil nicht bis an die Decke gefüllt ist, gelten für dasselbe die bei den offenen Kanälen unter a) 1. für a = 90° oder cotg u = 0 gerechneten Coefficienten, wobei /u das Verhältniss der Tiefe zur Sohlenbreite ausdrückt und der Maasscoefficient m

2

an die Sohlenbreite bi = ~R geknüpft ist. Jene Coefficienten gelten aber nicht mehr, so-

bald der Wasserspiegel die Decke erreicht und diese eine weitere Verzögerung der Wasserbewegung bewirkt.

Unter Beibehaltung aller dort eingeführten Bezeichnungen wird nun für das vom Wasser vollständig gefüllte Rechteck von der Breitet und der Tiefe t:

t²

F = bt =

p — 2 (b -f-1) — — (1 p)

r

F t²

(.i

P P 2^(1+//)    2 (1 —|— /«)

i e²

F =pE —

AE

At

/•

p 2(l+/i) 2 t (1 -j-p)    (1 -Fp)¹

2E_2 Ep

b t 1 -f-p

Hiernach berechnen sich für die verschiedenen Werthe von p die folgenden Coefficienten:

Tabelle Ila.

COtg n

0,01

0,05

0,10

0,25

0,50 ¹ 0,75

1,00    1,25    1,50    2,00

0,0008 0,0453 0,0826 0,1600 0,2222 ¹0,2449 0,25001 0,2469 0,2400 0,2222 0,0099 0,0476 0,0909 0,2000 0,3333 0,4286 0,5000 | 0,5555 0,6000 0,6667

Zur Vereinfachung und leichteren Vergleichbarkeit sind die vorstehenden Coefficienten in die graphische Tabelle der offenen Trapezprofile (Taf. I) mit aufgenommen und durch die gestrichelten Curven dargestellt worden. Wie erklärlich sind dieselben bei weitem kleiner, als diejenigen für das offene Rechteck. Die /-Curve steigt viel langsamer an, als beim letzteren und erreicht erst bei /ti = 1 ihr Maximum mit /’= 0,25; fx — 1 entspricht aber dem quadratischen Profil. Es bildet also in diesem Falle, dass das Rechteck bis zur Decke gefüllt ist, das Quadrat das günstigste Profil unter allen Rechtecken, während beim offenen Rechteck das halbe Quadrat (jn = 0,5) sich am günstigsten zeigte mit einem Maximalwerth von f—0,50 (gleich dem Doppelten des obigen Maximalwerthes). Es folgt hieraus, dass das gedeckte

Quadrat bei gleichem Flächeninhalt mit dem halben offenen Quadrate nur halb so günstig ist, als dieses.

2. Kreisprofil.

Bei diesem Profil, ebenso wie bei den folgenden, ist die Profilform nicht mehr veränderlich, wie bei den offenen Profilen angenommen, sondern die verschiedenen Dimensionen bzw. Radien bleiben immer im selben Verhältniss zu einander, ändern also ihre Grössen nur proportional. Wir erhalten deshalb für die Form- und Maasscoefficienten immer nur eine Reihe von Werthen und eine Curve. Wenn auch diese beiden Coefficientenreihen für die

Die zwei Hauptcoefficienten behalten wieder wie früher ihre Bezeichnungen und ihre Gleichungen:

4    2    F

-77 B² und r = — B (oder B~ — t    m v    p

Durch directe Berechnungen wurden für diese Coefficienten die folgenden Werthe

Tabelle III.

meisten Fälle der Berechnungen vollständig ausreichten, so erschien es doch zweckmässig, auch noch die weiteren Coefficienten, welche die Berechnung jener erforderlich machte, in der Tabelle mit aufzuführen, da dieselben bei Berechnungen mit theilweiser Füllung, welche bei diesen Profilen öfter Vorkommen, gute Dienste leisten werden. Für den Kreis werden selbstverständlich alle Coefficienten auf den Radius r bezogen; deren Gleichungen sind die folgenden:

F —ui r², p = u.2 r,

= «3 1/V, F

VI

= (u Yr⁵.

gefunden:

ff

4L

ff

ff

— «1 r²

= «2 r

fYb

— «3 Yr — a*Yr& ~ t f

Yb

41P

= mr

«1

«2

«3

«4

3,142

3,017

2,798

2,528

2,226

1,903

1,571

1,239

0,916

0,614

0,344

0,125

6,283

5,113

4,603

4,189

3,823

3,478

3,142

2,806

2,461

2,095

1,681

1,171

0,707

0,768

0,780

0,777

0,763

0,740

0,707

0,665

0,610

0,541

0,452

0,327

2,221

2,318

2,182

1,964

1,699

1,408

1,111

0,823

0,559

0,332

0,156

0,041

0,318

0,462

0,528

0,576

0,609

0,629

0,637

0,629

0,605

0,560

0,487

0,365

1,000

1,180

1,216

1,207

1,165

1,094

1,000

0,883

0,744

0,586

0,409

0,213

Fig. 4.

Graphisch aufgetragen sind (auf Taf. III) von diesen Coefficienten nur die /, m, u3 und «4, um nicht zu viele Linien zu erhalten; die letzteren beiden kommen nur in Anwendung, wenn es sich um Vergleiche von Geschwindigkeiten und Wassermengen bei verschiedenen Füllungen desselben Profils handelt.

Aus den Coefficientencurven ist wiederum ersichtlich, dass die f-Curve von unten ziemlich rasch zunimmt und für die Füllung des Kreises bis zum Mittelpunkt, also für den Halbkreis ihren grössten Werth f= 0,637 erreicht; weiter aufwärts nimmt der Coefficient jedoch wieder ab, so dass er für die vollständige Füllung des Kreises nur mehr den halben Werth f= 0,318 von dem des Halbkreises aufweist.

Die w-Curve und ebenso die «₃-Curve steigen an bis auf 0,811 der ganzen Füllung und gehen bei Erreichung der letzteren auf den bei halber Füllung gehabten Werth zurück. Der Coefficient m, der zugleich das B repräsentirt, ist also für den Halbkreis und für den Vollkreis der nämliche; dasselbe ist der Fall, mit dem Coefficienten a₃, welcher die Geschwindigkeit repräsentirt.

Die «4-Curve (zugleich Wassermengen-Curve) erreicht dagegen ihr Maximum erst bei 0,945 der ganzen Profilhöhe, von welchem sie bis zur vollständigen Füllung nur weniges wieder zurückgeht.

Das Kreisprofil ist das wohl am meisten angewendete Profil; es wird vorzugsweise dann benutzt, wenn es sich um die Leitung nahezu constanter Wassermengen handelt, so dass es stets wenigstens bis zur Hälfte gefüllt ist. Weit häufiger wird es jedoch noch verwendet für ganze Füllung, nämlich bei den Rohrleitungen unter Druck, die ja auch nichts anderes als Kanäle sind, nur mit dem Unterschiede, dass bei ihnen der Wasserspiegel durch die Drucklinie gebildet wird.

3. Eiprofil auf dem spitzen Ende.

Für dieses Profil ist es gebräuchlich, das Verhältniss von Lichtweite zu Lichthöhe wie 2:3 zu nehmen und dem Sohlkreis einen Radius gleich der Hälfte des Deckkreisradius zu geben, während letzterer dreifach genommen den Radius der Wangen gibt. Mit dem Radius des Deckkreises r sind also auch die beiden anderen Radien gegeben und wir beziehen deshalb alle Coefficienten auf diesen.

Die Gleichungen der Coefficienten bleiben die nämlichen wie beim Kreise; sie ergeben die folgenden Werthe:

Tabelle IV.

..v.

k-

Fig. 5.

T,'

j.

'C

''

____4L.

«i r²

«3

fYh

«4 Yrb

fF

mr

«l

«2

«3

4,594

4,367

3,980

3,518

3,023

2,525

2,037

1,570

1,136

0,745

0,413

0,154

3,497

3,583

3,287

2,869

2,402

1,938

1,495

1,088

0,730

0,432

0,207

0,059

0,292

0,415

0,468

0,503

0,528

0,550

0,569

0,587

0,601

0,610

0,613

0,562

1,159

1,347

1,364

1,330

1,263

1,178

1,077

0,960

0,826

0,674

0,503

0,294

Auch die graphischen Auftragungen (Taf. IV) sind analog den vorhergehenden. Recht augenfällig tritt bei Betrachtung der /-Curve die Haupteigenschaft des Profils hervor, nämlich die, dass es für kleine Füllhöhen eine möglichst günstige Form bietet. Denn die /-Curve steigt von Null fast ganz plötzlich auf ihren grössten Werth f= 0,613 an, welchen sie schon bei 0,19 der Profilhöhe erreicht, um hierauf langsam und zuletzt wieder rascher abzunehmen, so dass bei ganzer Füllung die Güte des Profils unter die Hälfte der maximalen herabgeht.

4. Eiprofil auf dem stumpfen Ende.

Das Profil ist genau das vorhergehende, nur mit dem Unterschiede, dass der Halbkreis vom Radius r nun die Sohle bildet, statt die Decke. Die Dimensionen und Coefficienten sind wiederum auf diesen Radius r bezogen und ergeben folgende Werthe:

Tabelle Y.

ja

m r²

«2 r

Ml

M2

Fy r

4 Rl

— «4

i/> =fF

— mr

Mi

₇>

i-

— -    ^C——--

____\JL

v\-

4.

Fig. 6.

Die fCurve (Taf. V) zeigt hier einen ganz anderen Verlauf als beim vorhergehenden Profil; die unteren Theile des Profils, welche für kleine Wassermengen in Betracht kommen, sind hier bei weitem nicht mehr so günstig, als bei jenem. Da der untere Theil einen Halbkreis bildet, so wird wohl der höchste Werth von / erreicht, aber erst bei Vs Füllung. Deshalb eignet sich dieses Profil auch nicht so gut für Abführung schwankender Wasser-raengen, sondern wird hauptsächlich angewendet, um in seinem unteren Theil eine mehr gleichbleibende Wassermenge abzuführen, welche wenigstens den Halbkreis beständig füllt oder bis auf halbe Profilhöhe reicht. Es kommt deshalb öfter bei Wasserversorgungen zur Anwendung, während bei den, stärkeren Schwankungen unterworfenen Kanalleitungen städtischer Entwässerungen namentlich das vorhergehende mit Vortheil gebraucht wird.

5. Ellipsenprofil, stehend.

Für das aus Kreisbögen gebildete Ellipsenprofil wurde wiederum als Verhältniss der Lichtweite zur Lichthöhe 2 : 3 gewählt und alle Radien und Dimensionen auf die halbe Lichtweite a (kleine Halbachse) als Hauptdimension bezogen. Die Gleichungen der Coeffi-cienten enthalten deshalb (statt r) die Dimension a.

Wie aus den Curven (Taf. VI) ersichtlich ist, steht die Form des unteren Profiltheiles bezüglich ihrer Güte zwischen den zwei Eiprofilen; das Profil wird deshalb auch für die beiden Zwecke, welchen jene dienen, verwendet, zumal wenn die Schwankungen der Wassermengen den Wasserspiegel nicht zu weit (unter 0,2 der Profilhöhe) senken. Bei 0,29 Füllung, wo der /'-Coefficient sein Maximum (0,628) erreicht, kommt derselbe demjenigen des Halbkreises sehr nahe. Am günstigsten zeigt sich das Profil bei Füllungen zwischen 0,2 und 0,50 der ganzen Höhe.

Tabelle VI.

«i

= «2 a

a=i

Vk fYr 4jb*

— «3 Ya = «4 Y— f F

= ma

«3

«4

\\

- -V“

— A-

''' M.

K\----

T~

__

A.

4,690

4,496

4,171

3,773

3,324

2,842

2,345

1,848

1,366

0,917

0,519

0,194

7,930

6,669

6,060

5,503

4,977

4,467

3,965

3,463

2,953

2,427

1,870

1,261

0,769

0,821

0,830

0,828

0,817

0,798

0,769

0,730

0,680

0,615

0,527

0,392

3,607

3,692

3,460

3,124

2,716

2,267

1,803

1,350

0,929

0,564

0,273

0,076

0,298

0,404

0,454

0,497

0,537

0,570

0,597

0,616

0,627

0,626

0,594

0,488

1,183

1,348

1,377

1,369

1,336

1,272

1,183

1,067

0,925

0,757

0,555

0,308

Fig. 7.

6. Ellipsenprofil, liegend.

Das Profil ist wiederum das vorhergehende, nur ist jetzt die kleine Achse senkrecht aufgestellt und die grosse Achse liegend. Im Uebrigen gilt alles in Bezug auf das vorhergehende Profil Gesagte.

Der Verlauf, den bei diesem Profil die f-Curve (Taf. VII) nimmt, zeigt klar, dass das Profil für kleine Füllungen zu ungünstig und deshalb nicht brauchbar ist; dagegen ist es für Füllungen von 0,5 bis 0,8 der Höhe, also bei constant grösseren Wassermengen recht gut zu brauchen.

Das Profil wird namentlich an Stelle des Kreises in solchen Fällen angewendet, in welchen für das Kreisprofil die Constructionshöhe fehlt, wie bei Hauptauslasskanälen etc.

\\

- - *r- - -

'V

•-j.

'S

Fig. 8.

-i—>

; $Iä

J SVJ

II 7Z

s-T-

S/ —

Tabelle YII.

Fyn

4E²

«i a²

«2 a

Va*\ =fF

«x

«2

«3

«4

4,690

4,511

4,191

3,785

3,328

2,843

2,345

1,847

1,362

0,905

0,499

0,179

II. Die Geschwindigkeitsformeln.

a) Für Kanäle.

Nachdem wir im Vorhergehenden die gebräuchlicheren Profilformen bezüglich ihrer Güte und Leistungsfähigkeit untersucht haben, kommen wir nun weiter dazu, uns mit den Geschwindigkeiten zu beschäftigen, mit denen sich gegebene Wassermengen in den Kanälen bewegen. Die Grundgleichung der gleichförmigen Bewegung des Wassers, auf welche fast alle unsere Geschwindigkeitsformeln zurückzuführen sind, lautet v = k J/i?cp, worin v die

Geschwindigkeit pro Secunde, B = — den Profilradius, cp =

h

j das relative Gefälle und h den

sog. Geschwindigkeitscoefficienten bedeutet. Diesen letzteren hat man früher für alle Arten von Kanälen constant angenommen; er wurde von E y t e 1 w e i n vor nahezu hundert Jahren zu 1c = 50,9 ermittelt und dient leider auch heute noch vielfach bei Berechnungen, trotzdem man von seiner Unzulänglichkeit längst überzeugt ist; aber nur deshalb, weil sein Gebrauch in Folge seiner Einfachheit bequem ist. Später fand man, dass jener Coefficient nicht constant, sondern mit der Geschwindigkeit veränderlich sei. Die Gleichung des Coefficienten hatte nach Prony etc. die Form

V-+

und nach Weisbach

.+4

In der That ist aber der Einfluss der Geschwindigkeit auf den Coefficienten ein sehr geringer, so dass der Coefficient dadurch nur wenig veränderlich wurde. Die Hauptursache dieser Veränderlichkeit erkannte man erst vor wenigen Decennien in dem Rauhheitsgrad der Kanalwandungen und im hydraulischen Radius.

Namentlich waren es die gründlichen Untersuchungen von Darcy und Bazin, welche genannte Ursachen evident nachwiesen und damit die Grundlagen für alle neueren Formeln schafften.

Gemäss dieser Untersuchungen gestalteten Darcy und Bazin die Formel für den Coefficienten folgendermaassen:

& t&ll

* = -7=

V-

Frank, Kanäle und Rohrleitungen.

worin u und ß zwei Coefficienten sind, die mit der Rauhheit der Wandungen variiren. In Bezug auf letztere unterschieden sie vier Categorien von Kanalwandungen, welchen später Kutter noch eine fünfte hinzufügte. Für diese bestimmten sie die Coefficienten « und ß, wie folgt:

I. Cat. Kanäle von geglättetem Cement, sorgfältig gehobeltem Holz etc. 0,00015    0,0000045

II. »

III.    v

IV.    »

» Brettern, Quader- und Backsteinmauerwerk etc. .    0,00019 0,0000133

» Bruchsteinmauerwerk etc.

in Erde .........

bei Geschiebeführung (Kutter) .

Auf der Grundlage dieser Versuche bauten nun spätere Hydrauliker fort; zunächst stellte Gauckler eine Formel auf, die ebenfalls den Coefficienten k von B und von der Rauhheit abhängig machte; dieselbe lautet:

V. »

. 0,00024 0,0000600 . 0,00028 0,0003500 .    0,00040    0,0007000

y v=« y b y <p,

so dass k in dem allgemeinen Ausdruck v — k |/jRy ist

k — az YR.

Diese Formel gilt jedoch nur für Gefälle über 0,0007.

Für kleinere Gefälle modificirte er dieselbe in folgender Weise:

wird.

yv—ß y b y((, so dass k=ß* yb⁵ y</>

Die Coefficienten für beide Formeln sind die folgenden:

8.5    bis 10,0    8,5 bis 9,0

Namentlich waren es dann die Schweizer Ingenieure Ganguillet und Kutter, welche sich um die Ergründung der auf die Wasserbewegung einwirkenden Factoren grosse Verdienste erwarben.

III.

IV.

V.

6,8

5,7

Auf Grund der Bazin’schen und zahlreicher neuer Messungen verbesserten sie zunächst die Bazin’sche Formel durch Umwandlung derselben in die Formel

v=(a-yW+i)VB'f’

in welcher a und b die mit der Rauhheit veränderlichen Coefficienten sind; nur machten sie bezüglich der Rauhheit kleinere Abstufungen und erhielten deshalb 12 Categorien; der Coefficient a ist für alle gleich 100 angenommen, während b die Werthe 0,12, 0,15, 0,20, 0,27, 0,35, 0,45, 0,56, 0,72, 0,93, 1,22, 1,67 und 2,44 annimmt. Cat. I bis II entspricht dabei etwa der Cat. I von Bazin, Cat. XI bis XII der Cat. V von Bazin. Durch ihre weiteren Untersuchungen und diejenigen anderer Hydrauliker (an grösseren Flüssen und Strömen) fanden sie jedoch weiter, dass der Geschwindigkeitscoefficient ausser von der Rauhheit der Wände und dem Profilradius auch noch vom Gefälle abhängig ist; und um nun allen an eine allgemein gültige Formel zu stellenden Anforderungen zu entsprechen, stellten sie eine neue Geschwindigkeitsformel auf, welche lautet:

V Rep.

₂₃₊i + ⁽“

¹ n    (f

Für die Rauhheit werden sechs verschiedene Grade unterschieden, für welche der Rauh-heitscoefficient n die folgenden Werthe erhält:

0,010    100,00

33,33

I. Cat. Kanäle von sorgfältig gehobeltem Holz und von glattem Cement

II. »

III.    »

IV.    »

» Brettern.................

» behauenen Quadersteinen, gut gefügten Backsteinen » Bruchsteinen...............

V. »

» in Erde; Bäche und Flüsse

VI.

Gewässer mit gröberen Geschieben und mit Wasserpflanzen .    .    0,030

Diese vorangeführten Werthe des Rauhheitscoefficienten sind jedoch nur Mittelwerthe; je nach der besonderen Natur der Kanalwandungen können dieselben noch in ziemlich weiten Grenzen schwanken, welche sich nach den von Kutter¹) aufgeführten Messungsresultaten, wie folgt, ergeben:

Cat. I. n — 0,0085 — 0,0110 » II. n — 0,011 -0,013

n = 0,013 — 0,0215 (bei angebrachten Abflusserschwerungen durch aufgenagelte Latten, festgemachten Kies)

»III. w = 0,012 — 0,0200 » IV. n= 0,014 — 0,022

» V. n — 0,018 — 0,030 (bei gemauerten Seitenwände

r/Ti

¹

= - -R².

» V. n — 0,018 — 0,030 (bei gemauerten Seitenwänden)

n— 0,020 — 0,040 (Gewässer in Erde: Kanäle, Bäche, Flüsse)

» VI. n = 0,020 — 0,060.

Ferner hat Hagen die Messungsresultate von Darcy-Bazin, sowie diejenigen von Humphreys-Abbot von den amerikanischen Strömen benutzt, um eine möglichst allgemeine Formel abzuleiten; er unterscheidet jedoch zwischen kleineren und grösseren Wasser-

VR

läufen und erhält für erstere die Formel = 4,9-R ]/</>, so dass der Coefficient £ = 4,9-^

wird.

V<p³

Später stellte Hagen auf Grund der Cunningham’schen Messungen am Gangeskanale

3

die Formel auf: v — 43,7 j/^²Kf/S welche bezüglich ihrer Zusammensetzung vollständig mit mit der Gauckler’schenFormel übereinstimmt (man braucht diese nur ins Quadrat zu erheben). Der Coefficient u der letzteren würde für die Hagen 'sehe neue Formel a — V 43,7    6,61 und

würde sich also in die IV. Gauckler’sche Categorie einordnen.

9 Bewegung des Wassers in Kanälen und Flüssen. Berlin 1885.

Endlich entwickelte Harder eine neue Theorie der Bewegung des Wassers, durch welche er auf die folgende Formel geführt wird: v — k\ rp -|- kiB ff , in der sich der Coefficient k = h -f-fej/JS wiederum als Function von B darstellt. Darin ist ki mit der Rauhheit veränderlich und nimmt als Werthe

für sehr glatte Wände (Cement) ki = 70,5,

» glatte Wände (Bretter, Quader- und Backsteine) ki = 56,0,

» Flüsse, Kanäle in Erde und rauhem Bruchsteinmauerwerk ki = 36,27 an, während der Coefficient ki den constanten Werth ki = 7,254 behält.

Ausser den angeführten Formeln ist im Laufe der Zeit noch eine Reihe weiterer entstanden, welchen aber hauptsächlich die Messungen an grösseren (amerikanischen) Strömen zu Grunde liegen und die deshalb für Kanäle nicht weiter in Betracht kommen.

Immerhin ist die Zahl der aufgeführten Formeln eine ziemliche, und man ist nun vor die Frage gestellt, welche von diesen die zuverlässigsten Resultate liefern wird. Diese Frage wollen wir jedoch erst später an der Hand der graphischen Tafel zu beantworten versuchen.

So viel geht jedenfalls aus den obigen Formeln klar hervor, dass den hauptsächlichsten Einfluss auf den Geschwindigkeits-Coefficienten der hydraulische Radius und der Grad der Rauhheit der Wandungen ausübt; dass dagegen der Einfluss des Gefälles nur ein geringer ist, der sich um so weniger fühlbar macht, je grösser das Gefälle ist. Da wfir es aber bei Kanälen doch meist mit grösseren Gefällen zu thun haben, so dürfen wir den Einfluss des Gefälles jedenfalls vernachlässigen, und es genügte deshalb für unsere Zwecke, wenn wir nur diejenigen Formeln in Betracht ziehen würden, welche ihren Geschwindigkeits-Coefficienten nur vom hydraulischen Radius und vom Rauhheitsgrade abhängig machen. Es wären dies die Formeln von Darcy-Bazin, die erste Formel von Gauckler, dann die ältere von Ganguillet-Kutter, die neue Hagen'sehe (für Kanäle) und die Harder 'sehe.

Bezüglich der Kutter'sehen Formel erschien es indess nicht angezeigt, auf die ältere mit den 12 Categorien zurückzugreifen, obwohl bei dieser der Coefficient nur von B abhängig gemacht ist; es wurde vielmehr die neuere allgemeine Formel gewählt, da die Unterscheidung von 12 Categorien bei der älteren Formel betreffs der Auswahl mehr Schwierigkeiten zu machen scheint, als nach den 6 Categorien der neueren, und diese ja doch die Bewegungsgesetze des Wassers viel besser zum Ausdruck bringt.

vom

Bei der neueren Formel ist allerdings der Coefficient k ausser von B auch noch Gefälle abhängig; doch beginge man, wie schon bemerkt, zumal bei grösseren Gefällen, keinen grossen Fehler, wenn man die Glieder, welche das Gefälle enthalten, vernachlässigt, oder, was hiermit gleichbedeutend ist, mit einem Gefälle ff = oo rechnet und den Coefficienten schreibt:

r-i S£

23 +

14-

23 n

Vb

Um mdess darzuthun, wie gross dieser Fehler wird, wurden einige Vergleichsrechnungen angestellt, welche das Folgende ergaben:

Für Gefälle von 1(Vö, lJW und 0,1/o wurden die Coefficientenwerthe in Cat. I und V für jß=0,10, 0,50, 1,0 und 2,0 gerechnet, das eine Mal nach der ausführlichen Formel, das andere Mal nach der obigen abgekürzten (<p = qo )• Die Resultate sind folgende:

Tabelle YIII.

n — 0,025

n = 0,010

<p =

CO

co

ffVo 1ö°ö 0,1 ö°ö

if = 0,10

0,50

1,0

2,0

CO_ ©_

i-T erf cT

t- 05 o ©

S 8 CD tH r-T eo~ cT crT

c- ai o o

i-i i-i

70,12

92,70

100,0

106,20

62,5

89,8

100,0

108,8

R = 0,10

0,50

1,0

2,0

22,35

34,90

40,00

44,79

22,31

34,8

40,00

44.81

21,95 19,41 34,70 33,3 40,00 40,00 45,01 46,71

Aus diesen Tabellen ersieht man zunächst, dass beide Formeln für _R= 1 genau gleiche

; es fällt für diesen Werth von R das Gefälle ganz

t-1 ; £

Werthe von k ergeben, nämlich k =

aus der Rechnung hinaus. Ferner zeigt sich, dass die nach der genauen Formel gerechneten Coefficienten für Werthe von R unter 1 kleiner, als die nach der abgekürzten Formel gerechneten und für Werthe von R über 1 grösser, als diese werden, und zwar sind die Abweichungen um so grösser, je kleiner die Gefälle sind. Man veranschaulicht sich diese Verhältnisse am besten graphisch und überzeugt sich, dass die Differenzen erst bei einem Gefälle von 0,1 ^ anfangen, erheblicher zu werden, für grössere Gefälle aber wohl zu vernachlässigen sind.

b) Röhren.

Die Bewegung des Wassers in Röhren unterscheidet sich von derjenigen in offenen Kanälen dadurch, dass sie nicht mehr durch das Gefälle eines offenen Wasserpiegels, sondern durch das der Drucklinie veranlasst wird, d. h. derjenigen Linie, welche durch die Verbindung der Wasserspiegel in lothrecht auf das Rohr aufgestellten Piezometerröhren erhalten wird. Die die Bewegung des Wassers verzögernden Factoren, die Widerstände, sind aber im Allgemeinen die nämlichen, wie bei offenen Kanälen; die allgemeine Gleichung v — k VR(f hat deshalb auch für die Röhren Geltung, nur ist jetzt unter (p das Gefälle der Drucklinie verstanden.

Da man es fast durchweg mit kreisförmigen Querschnitten zu thun hat, so setzt man in obige Gleichung unmittelbar den Durchmesser d statt den hydraulischen Radius ein; R

wird dann gleich

nur

SL

und

—    d⁽f = h Vdff .

Der Geschwindigkeitscoefficient ko wird unter gleichen Widerstandsverhältnissen gleich der Hälfte des Coefficienten k für offene Leitungen. Dieser Coefficient hat bei den Röhren dieselben Entwicklungen durchgemacht, wie bei den offenen Kanälen. Anfangs, d. h. vor hundert Jahren, wurde er durchaus constant angenommen (Prony &o = 26,79, Dupuit A'o = 25,46); später machte ihn Weisbach abhängig von der Geschwindigkeit, indem er schrieb:

0,0007336 +

0,0004828

Diese Formel ist noch heute vielfach in Gebrauch, doch berücksichtigt sie die maassgebenden Factoren noch nicht. Vielmehr wurden diese erst von Darcy richtig erkannt, durch die vielen Versuche, welche derselbe an Rohrleitungen mit möglichst verschiedenen Durchmessern und Rauhheitsgraden der Innenwandungen anstellte. Hiernach aber sind es hauptsächlich die beiden letztgenannten Factoren, welche auf den Geschwindigkeitscoefficienten veränderlich einwirken.

Als Form für den Coefficienten erhielt Darcy die folgende:

Ä'o

worin a und ß wieder zwei Coefficienten sind, welche mit der Rauhheit veränderlich sind. Darcy bestimmte dieselben jedoch nur für eine Categorie, nämlich für neue gusseiserne Leitungen und erhielt

a = 0,001014 und ß = 0,0002588.

Seine Versuche zeigten weiter, dass eine Aenderung der Glätte der Rohrwandung in Folge nur ganz geringer Niederschläge sofort die Rauhheitscoefficienten beeinflusst und den Widerstand vergrössert. Für ältere Leitungen gibt Darcy die Regel an, man solle das aus der Formel erhaltene Gefälle verdoppeln oder bei gegebenem Gefälle nur die Hälfte desselben in Rechnung ziehen. Die Formel für ältere Leitungen müsste hiernach heissen v = k j/d • 2 ff. Ausserdem aber, sagt Darcy, soll man für etwaige Rohrverengungen durch Niederschläge, je nach der Natur des Leitungswassers, den gefundenen Durchmessern um so grössere Zuschläge geben, je enger die Rohre sind.

Auf den Versuchen von Darcy baute dann Levy weiter und leitete aus denselben an der Hand theoretischer Betrachtungen eine neue Formel ab, welche dem Coefficienten die Form gibt:

ko — '\/ra-\- ß ]/d.

Die Rauhheitscoefficienten u und ß bestimmte er für zwei Categorien, nämlich für neue gusseiserne Rohre . . « = 662,5, ß = 468,44,

» Rohre mit Niederschlägen . a — 210,125, ß = 445,74.

Die Resultate dieser Formeln stimmten in der That besser mit den Versuchsresultaten überein, als diejenigen der Darcy’schen Formel.

0 Die auf Grund der neuerdings von Hamilton Smith angestellten Versuche abgeleitete Formel von Wehage, in welcher der Zähler von ]/"v noch mit d veränderlich gemacht ist und der Coefficient

, unterscheidet sich in ihren Resultaten

ko lautet:

ko - r-----t-

1 / 0,0006729 + (0,0004588 +

0,000007137\ 1

J/ v

nur wenig von der Weisbach'sehen, wie aus dem Späteren hervorgehen wird.

Ferner hat dann Gauckler sich mit obigen Versuchen Aveiter beschäftigt und gelangte nach langen Untersuchungen zu der Formel:

Vv + £ Vv — « V d Vr/’>

aus welcher sich der Coefficient ko der allgemeinen Gleichung berechnet zu

ko =

«*(/d

V 4/«/ somit ausser vom Durchmesser d auch noch von der Geschwindigkeit v abhängig ist.

6,625

Den Rauhheitscoefficienten a bestimmte Gauekler für 6 Categorien, nämlich für neue gusseiserne Rohre zu .    .

» mit Niederschlägen bedeckte .    .

» asphaltirte Blechrohre ....

» gezogene eiserne......

» bleierne.........

» Glasrohre.........

Für die Anwendung in der Praxis schlägt Gau ekler den Coefficienten u = 5,5 vor, weil die Rohre sich doch mit der Zeit mit Niederschlägen bedecken.

Die auf Grundlage der Darcy’schen Versuche von Hagen aufgestellte Formel:

a b

'r = d‘v+ Jv'

für welche sich der Coefficient ko unserer allgemeinen Formel schreibt

Ä'o =

somit von d und v abhängig ist, berücksichtigt auch noch den Einfluss der Temperatur r (in i?°), indem a *= 0,000005871 — 0,000000267 r + 0,00000000735 t² und b = 0,0012017. Die Veränderlichkeit des Coefficienten ist jedoch so gering, dass Hagen selbst zugibt, dass für

die gewöhnlichen Fälle der Praxis das Glied a vernachlässigt werden darf, wodurch der

dv

Coefficient auf den constanten Werth

= 28,85

zurückgeführt wird. Damit ist aber nur die Unzulänglichkeit der Formel selbst bewiesen.

Endlich sind noch die Formeln anzuführen, welche der Verfasser auf Grund der neuen vom Verbände deutscher Architekten- und Ingenieurvereine veröffentlichten Versuche aufgestellt hat¹). Letztere Versuche bestätigen im Wesentlichen die von Darcy gefundenen

Resultate, nur zeigen sie im Allgemeinen etwas grössere Widerstände, zumal bei kleineren Rohrkalibern. Als Form für den Coefficienten entsprach am besten die folgende:

ko =

Vu+Vä

u = 0,000512, ß = 0,0003847

für welche die Rauhheitscoefficienten « und ß für die zwei Categorien: reine gusseiserne Leitungen zu mit Niederschlägen bedeckte zu u = 0,000495, ß = 0,000G52

sich ergaben.

Welche von den angeführten Formeln sich am besten für die Anwendung empfehlen

dürften, werden wir später auf Grund der graphischen Tabelle untersuchen.

III. Die graphischen Tabellen.

Nach den im Vorhergehenden angestellten Betrachtungen der Profile und Geschwindigkeitsformeln handelt es sich nun weiter um die Anwendung derselben auf die Berechnung. Bekanntlich sind Berechnungen von Kanälen mit nur einigermaassen complicirten Querprofilen ziemlich umständlich, zumal wenn man sich dabei noch der neueren, nicht gerade einfachen Geschwindigkeitsformeln bedient. Es war deshalb darauf Bedacht zu nehmen, wie diese Rechnungen sich möglichst abkürzen und vereinfachen Hessen. Hierzu lag es nahe, die hauptsächlichsten Rechnungswerthe in Tabellen zusammenzustellen, so dass sie denselben unmittelbar entnommen werden könnten. Unter den verschiedenen Arten von Tabellen ist aber jedenfalls den graphischen der Vorzug einzuräumen, da dieselben die Werthe bildlich darstellen und dadurch viel übersichtlicher sind, als blosse Zahlentabellen; ausserdem lassen sich bei ihnen Zwischenwerthe durch Interpolation leichter und genauer entnehmen als bei diesen, und endlich können bei ihnen keine Fehler unterlaufen, da diese sofort auffallen würden.

Unter den graphischen Tabellen sind es aber wieder die logarithmo-graphischen, welche besondere Vortheile bieten; sie bestehen nämlich meist aus geraden Linien, sind deshalb leichter und genauer herzustellen, als andere und lassen auch ihre Werthe leichter entnehmen.

Von dieser Art von Tabellen hat Verfasser bereits früher Gebrauch gemacht zur Herstellung einer Tabelle für Röhren *), sowie einer für offene Kanäle mit Kreissohlenprofil²). Beide beschränkten sich jedoch nur auf die eine zu Grunde gelegte Querschnittsform und auf eine einzige Cate-gorie je einer Geschwindigkeitsformel. Wollte man aber in gleicher Weise für sämmtliche behandelte Profile und für alle Categorien der einzelnen Geschwindigkeitsformeln solche Tabellen aufstellen, so bekäme man ein ganz colossales Material, dem alle Uebersichtlichkeit fehlen würde. Deshalb war es nothwendig, zur Erreichung des Zweckes einfachere Wege zu suchen. Erstens mussten die verschiedenen Profile in ein festes S}⁷stem gebracht werden, so dass nicht für jedes einzelne Profil eine Tabelle erforderlich wurde, sondern nur für das System; und zweitens musste der Tabelle eine Anordnung gegeben werden, welche die Aufnahme der sämmtlichen Categorien der einzelnen Formeln neben einander gestattete.

Das Erstere wurde erreicht durch die Zurückführung der sämmtlichen Profile auf den hydraulischen Radius, was durch die bereits bei den Profilen behandelten Form- und Maass-coefficienten geschieht. Die Gleichungen für diese Coefficienten sind nach dem Früheren:

4    2

F = -*■ _ß² und b\ (od. r od. a) — — B; f    v    ' m

Die Formeln über die Bewegung des Wassers in Röhren, Civilingenieur 1881.

²) Heber günstigste Kanalquerprofile, Ztg. für Strassenbau und Culturtechnik 1885.

ferner lautet der allgemeine Ausdruck für die mittlere Geschwindigkeit: v = k ]fR fp, so dass die Wassermenge M pro Secunde erhalten wird aus M = Fv = Fk^R fp.

Setzt man nun in diese Gleichung den obigen Werth für F ein, so erhält man:

R² k \/ R ff und Mf = 4 ky Rsff.

Auf diese Weise bekommen wir einen Ausdruck, dessen rechte Seite aus denselben Grössen besteht, wie diejenige der Gleichung der Geschwindigkeit, nämlich aus dem Ge-

schwindigkeitscoefficienten k, dem Profilradius R und dem Gefälle fp; somit unabhängig ist von der Grösse und Form des Querprofils.

Wir haben so einen ganz allgemeinen Ausdruck, der für alle irgendwie gestalteten Querprofile Geltung hat; die Gestalt aber ist in dem Coefficienten /' enthalten. Dieser, sowie der Maasscoefficient m bilden den Uebergang vom Profil zum Radius R, bzw. zur Wassermenge M.

Denn es kann für irgend eine Querprofilform den früheren Tabellen der Coefficient m entnommen und, wenn die Dimensionen des Profils gegeben sind, aus dem dieselben reprä-

2

— R der Profilra-

sentirenden Werthe von b\ (oder r oder ä) mittels der Gleichung bi =

dius R berechnet worden. Mit diesem ergibt sich dann aus der Gleichung Mf —4k |/ Rb ff bei gegebenem <p das Mf und, da f bekannt, das M\ oder, wenn M gegeben ist, erhält man durch Multiplication mit f den Werth Mf und aus der Gleichung das Gefälle ff. Sind die Grössen M und cp gegeben, so rechnet man zunächst den Werth Mf und aus der Gleichung für Mf das ü; mit diesem erhält man bi und die übrigen Profildimensionen. Sind die Grössen fp und v gegeben, so rechnet man aus der Gleichung v — k |Z^Rfp das!?, mit diesem das Mf, und aus diesen Grössen erhält man mittels der gegebenen Coefficienten m und f die Dimensionen des Profils und die Wassermenge.

So ist also durch die Einführung der Form- und Maasscoefficienten ein System geschahen , durch welches die ganze Rechnung auf die vier Grössen R, v, fp und Mf zurückgeführt wird. Für diese aber lassen sich nun leicht Tabellen aufstellen, aus welchen zu zwei gegebenen Werthen die zwei anderen zugehörigen entnommen werden können. Der in obigen Gleichungen noch vorkommende Coefficient k ist, wie aus dem Früheren bekannt, von einer oder von zweien der Grössen v, R oder fp abhängig; es kommt also durch diesen keine weitere Grösse in die Rechnung.

Soll nun für die vier Grössen R, v, fp und Mf eine graphische Tabelle aufgestellt werden, so gestaltet sich diese sehr einfach, wenn k constant ist; weniger einfach wird die Aufgabe, wenn dieser Coefficient mit einer oder gar mit zweien der Grössen R, v und fp veränderlich ist. Jedoch kommt hierbei viel auf die specielle Anordnung der Tabellen an, weshalb diese noch kurz behandelt werden soll.

Für die Anordnung der graphischen Tabellen ist in erster Linie die Frage zu entscheiden, welche von den vier Grössen R, v, ff und Mf als Coordinaten dienen sollen. Die Wahl dieser letzteren ist aber vorzugsweise abhängig von der Veränderlichkeit des Coefficienten k, bzw. von den in demselben enthaltenen Veränderlichen. Von den letzteren darf höchstens eine der Tabelle als eine der Coordinaten zu Grunde gelegt werden.

Bei constantem Coefficienten Je ist man somit in dieser Beziehung nicht gebunden und man könnte irgend zwei der obigen Grössen als Coordinaten benutzen. Man hat jedoch behufs einer guten Anordnung der Tabelle weiter darauf zu sehen, dass sich die einzelnen Liniensysteme nicht unter zu spitzen Winkeln schneiden, und zu diesem Zwecke empfiehlt es sich, als rechtwinklige Coordinaten entweder die R und v oder die Mf und r/> zu wählen. In beiden Fällen erhält man, wenn man für R und v gleiche Maassstäbe nimmt, bei constantem Coefficienten zwei Systeme von auf einander senkrechten Linien, durch welche die Tabelle ein sehr leicht übersichtliches Bild gewinnt.

Betrachten wir zunächst

a) Das Coordinatensystem Mf—rp. 1. Bei constantem Coefficienten Je.

Legt man die beiden Grössen Mf und rp als rechtwinklige Coordinaten zu Grunde, so trägt man ohne eigentlichen Coordinatenanfang als Abscissen die Logarithmen der Gefälle cp und als Ordinaten die der Mengen Mf in gleichem Maassstabe auf und zwar innerhalb der für die Tabelle gewünschten Grenzen.

In Tabelle a) wurden so die Mf von 0,01 bis 10,0 cbm und die (p von 0,01 bis 10^ aufgetragen und hierdurch ein Netz mit quadratischen Hauptmaschen erhalten, welches nachträglich so gedreht wurde, dass die 12-Linien horizontal wurden. Um nun in dieses Netz die R- und v-Linien einzutragen, verfährt man in der Weise, dass man die Schnittpunkte dieser Linien mit einzelnen' Af/'-Linien durch Berechnung und Auftragung der zugehörigen log (p aufsucht. Will man z. B. die Linie R = 1,0 eintragen, so ergibt sich ihr Schnittpunkt mit der Linie Mf — 10,0, indem man aus der Gleichung Mf =4# Y^R⁵ cp für Mf = 10,0 und 12=1,0 den log <p = 2 log Mf — 2 log 4 Je — 5 log R rechnet und auf der Linie Mf = 10,0 aufträgt; ebenso erhält man den Schnittpunkt derselben mit der Linie Mf — 1,0, indem man Mf—1,0 und R = 1,0 einsetzt; oder also man rechnet für das constante 12 = 1,0 unter Einsetzen verschiedener Mf die Abscissen log (p aus obiger Gleichung, die sich dann einfacher schreibt

log (p = 2 log Mf — C, wenn C= 2 log 4 k -f- 5 log R.

Diese Gleichung stellt zugleich die Gleichung der Linien R dar und entspricht einer Geraden. Da nun die Gleichung einer anderen (Ri) Linie aus derjenigen der vorhergehenden erhalten wird nur durch Aenderung des R, somit also die gerechneten log (p um die constante Grösse 5 (log R +log R,) verschieden sind, so folgt, dass die I2-Linien unter sich parallel werden müssen, und es genügt nun, auf obige Weise für jede nur einen Punkt zu bestimmen. In derselben Weise werden die r-Linien erhalten; man rechnet für ein constantes v und verschiedene Mf die log (p aus der Gleichung

⁽f =

(M/y 16 Jc²Rb

(4v)

^da

Mf=4:R?v und also R =

16 Je² (Mf)

Die logarithmische Gleichung wird hiernach log<p = C— log Mf, worin die Constante 5

2 log4v — 2log4Je, und entspricht ebenfalls wieder der geraden Linie. Da von einer

v-Linie zur anderen die log (f sich ebenfalls wieder um eine constante Grösse, nämlich 5

(log4 v +_ log4vi) ändern, so werden auch die v-Linien unter sich parallel.

*'«S

<?S

Fig. 9.

r%

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V

7^3

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0,5

1,0

Tabelle a.

Z2,C

TS3m

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IrVj//r

T?³

'tl-o

7-*

II

3,0

—/ V* 4,0

ir= >t,o

-v/s

X/ v- •t.o 1%

Auf diese Weise ist die Tabelle a) gerechnet worden, indem dabei als constanter Coeffi-cient Je = 100 gewählt und die Abgrenzung der Tabelle a,ß,y,d so genommen wurde, dass sie die Werthe R von 0,1 bis 1,0 und die Werthe v von 0,1 bis 4,0 m umfasst.

Aus dieser Tabelle ersieht man, was auch schon aus den obigen logarithmischen Gleichungen zu entnehmen ist, dass die R- und v-Linien zu einander senkrecht werden und so die ganze Tabelle aus zwei gegen einander verdrehten Systemen von auf einander senkrechten Geraden besteht.

Würde man nun in gleicher Weise eine Tabelle für einen anderen Coefficienten, z. B. Je — 50,9, den Eytelwein’schen, rechnen, so würde sich in obigen Gleichungen nur das Je ändern; da somit die sämmtlichen für die erste Tabelle gerechneten log ff sich um die con-stante Differenz 2 (log 4 k +. log 4ki) ändern würden, so folgt, dass die R- und v-Linien in der neuen Tabelle ihre gegenseitige Lage und ihre Neigung beibehalten würden, ihr rechtwinkliges Netz also das gleiche bleiben und nur die Lage desselben gegen das der Coordi-naten Mf und </> sich ändern würde. Aus der Gleichung Mf =4 R² v folgt aber, dass gleichen R- und v-Werthen auch gleiche Mf entsprechen müssen oder dass die Schnittpunkte gleicher R- und v-Linien auf derselben Jf/-Linie liegen müssen, welches auch das Je sei, mit welchem man rechnet. Daraus geht hervor, dass das neue Netz der R und v nach der Richtung der Mf-Linien verschoben sein muss.

Hiernach kann aber auch die neue Tabelle aus der ersteren dadurch erhalten werden, dass man durch irgend einen Schnittpunkt von R und v (z. B. von A! = 1,0 und v = 4,0 s. Tab. a) der ersteren die Mf-Linie (aibi) zieht und auf dieser den den gleichen Werthen R und v entsprechenden, aber mit dem neuen Coefficienten gerechneten log r/> aufträgt. Der so erhaltene Punkt (ßi) stellt den neuen Schnittpunkt für das gleiche R und v dar. Auf gleiche Weise könnte mit allen Punkten des R-v-Netzes verfahren werden, alle Punkte würden sich um das gleiche Stück ß ß\ nach der Richtung der Mf verschieben und das ganze 7?-?>Netz würde so nach m ßi yi ch rücken.

Man sieht aber, dass man schon in der ersten Tabelle das Netz R-v weglassen und sich mit einer nach v getheilten iü-Linie und einer nach R getheilten t’-Linie begnügen könnte. Durch Verschiebung der horizontaten jß-Linie an der verticalen v-Linie (so dass der dem Werthe der letzteren entsprechende ?;-Punkt der ersteren immer auf jener Verticalen bliebe) oder durch Verschiebung der verticalen v-Linie längs der horizontalen A!-Linie, könnten für einen durch zwei Grössen gegebenen Punkt die zwei anderen ebenso gut bestimmt werden.

Das Gleiche gilt natürlich auch von der zweiten Tabelle für Je = 50,9; zur Fixirung derselben würde ebenso eine feste jß-Linie und eine an dieser verschiebbare t?-Linie oder eine feste t>-Linie und eine an dieser verschiebbare jß-Linie genügen. Da aber die verschiebbaren (jß- bzw. v-) Linien für alle möglichen Je immer die gleiche Theilung erhalten, so würde man eine solche für alle anderen Coefficienten benutzen können, und es genügte für jeden Coefficienten eine einzige feste Linie, an welcher der für alle Coefficienten gleiche Maassstab zu verschieben wäre. In unserer Tabelle a) würde also die Verticale ßy den Coefficienten Je — 100 und die Verticale ßi yi den Coefficienten Je — 50,9 vollständig ausreichend repräsentiren; an diesen würde der Maassstab aß oder dy stets in horizontaler Lage verschoben.

Es würde so jeder Coefficient durch eine einzige Gerade dargestellt und es könnten die Tabellen für alle beliebigen Coefficienten in eine einzige Tabelle vereinigt werden.

2. Bei veränderlichem Coefficienten k.

Nicht so ganz einfach stellt sich die Aufgabe, wenn der Coefficient k mit einer oder zwei Grössen veränderlich ist. Je nach der Form der Function der Veränderlichen werden in diesem Falle die einen oder die anderen Liniensysteme eine veränderte Richtung oder Gestalt annehmen.

Betrachten wir zunächst den Fall, dass der Coefficient k mit R veränderlich ist, und nehmen als Beispiel die Darcy-Bazin’sche Formel, so haben wir, da als Coordinaten die Mf und ff zu Grunde gelegt sind, die übrigen Grössen als Function dieser auszudrücken. Die Formel lautet (etwas anders geschrieben als früher)

V² — C V²

B,r = (u + s)

und die Gleichung der Wassermenge

Mf= 4 k V Wff

wird, da

V'c

k= -

V-

Mf=

IHR⁵

ff-

Aus dieser Gleichung können nun zur Fixirung der Lage der 7Ü-Linien für ein con-stantes R und variable Mf die log cp gerechnet werden, und lautet die logarithmische Gleichung

R°

log ff = 2 log Mf—C, wenn C = log 16 —

die beim constanten Coefficienten erhaltene und zeigt, dass die ^-Linien wieder Gerade und Parallele werden. Es werden nun weiter die Durchschnittspunkte der sämmtlichen

Diese Gleichung hat aber dieselbe Form, wie

(worin C

16 R⁵

JS-Linien mit einer Mf-Linie gesucht aus der Gleichung log r/ —C — log-

— 2 log Mf) und durch diese Punkte Parallele zur erst erhaltenen Richtung gezogen.

Die ^-Linien können entweder durch ein Verfahren gefunden werden, das analog dem beim constanten Coefficienten angewendeten; es können aber auch gleich die eben erhaltenen „ß-Paral-lelen benutzt werden, indem man auf ihnen die log ff abschneidet, welche man für constante v und die den einzelnen jß-Parallelen entsprechenden Werthe von R aus der Gleichung R ff

= c v² oder log ff — log -J- C (wenn C — 2 log v) rechnet.

Ein weiteres Verfahren zur Construction der -r-Linien ist, dass man aus der Gleichung Mf = 4R²v für die einzelnen R bei constantem v die log Mf rechnet und diese auf den betreffenden iü-Linien abschneidet. Die v-Linien stellen sich für die Function c als Curven dar; da jedoch für gleichbleibende R und verschiedene v die obige Gleichung Rrp — cv²

£

den log ff — C -f- 2 log v(wenn C — log ^-) ergibt, so folgt erstens, dass die einzelnen u-Curven

einander parallel, und zweitens, dass ihre Abstände nach der Richtung der R gleich den Abständen der v-Parallelen in der Tabelle des constanten Coefficienten werden.

Endlich kann aber auch die Tabelle des constanten Coefficienten wieder zur Con-struction der neuen Tabelle benutzt werden, indem man auf den durch die Schnittpunkte der R- und ^-Linien (z. B. a\ a%. ..) gezogenen Tf/’-Linien (m bi,azbz,...) die diesen R und v

entsprechenden Werthe log ff = log -f- C auf trägt.

Da die v-Curven unter sich parallel werden, wie es die beiden (für y = 4,0 und 0,1 m) eingezeichneten Curven zeigen, so genügt zur Darstellung der Formel, bzw. einer Categorie der Formel wieder eine einzige solche p-Curve (etwa die für v = 4,0); da die Abstände der v-Curven gleich denen bei constantem Coefficienten, so kann der dort besprochene horizontale Maasstab auch hier zur Verschiebung an der die Categorie repräsentirenden Linie (v = 4,0), der Categorie-Linie, benutzt werden.

Gegen die Tabelle mit constantem Coefficienten zeigt also diejenige der Darcy-Bazin-schen Formel wohl ebenfalls horizontale (und zwar gleich lange) JLLinien, aber gekrümmte ^-Linien, so dass das Netz der Cat. B. I z. B. durch die Figur tu ßz y* rV₂ begrenzt würde.

Was aber für eine Categorie gilt, muss auch für die übrigen Categorien dieser Formel und ebenso für alle anderen Formeln, deren Coefficient mit R veränderlich ist, gelten. Da alle diese Formeln, bzw. Categorien nur mit einer einzigen Linie (oder höchstens zwei parallelen für v = 4,0 und v = 0,l) eingetragen werden, so können sie sämmtlich in einer Tabelle neben einander Platz finden.

Dadurch aber ist die Darstellung der Formeln nicht nur wesentlich erleichtert, sondern die Formeln werden durch die Nebeneinanderstellung auch vergleich -bar, und dies ist ein besonders bemerkenswerther Vortheil dieser Tabellen.

Auf die vorbeschriebene Weise sind nun in die Tabelle a) die vier ersten Categorien der Darcy-Baz in'sehen Formel B. I, II, III, IV mit je zwei Categorielinien (v — 4,0 und v = 0,lm) eingetragen und es soll im Folgenden kurz der Gebrauch dieser Tabelle an einigen Beispielen gezeigt werden.

Aus dieser Tabelle erhält man z. B. für einen Schnittpunkt Mf = 1,0 und (f — 1^ für den constanten Coefficienten k = 100 direct:

R = 0,36, t> = 1,91.

R = 0,40

v — 1,57;

Will man nach der Cat. I von Bazin rechnen, so legt man den Maassstab aß mit der Theilung der v mit seiner Kante horizontal an diesen Schnittpunkt, so dass sein v = 4-Punkt auf die Categorielinie B. I zu liegen kommt; man liest nun an dieser letzteren das R und am Maassstabe selbst beim Schnittpunkt das v ab und erhält so für Categorie I

»    » II verschiebt man den Maassstab horizontal

soweit, dass wieder der v — 4-Punkt auf die Categorielinie B.II kommt und liest ab.....

ebenso für Categorie III............

für Categorie IV..............

und endlich für den Evtelwein’schen Coefficienten k — 50,9...............

R = 0,43 R = 0,47 R = 0,56

v = 1,39, v-— 1,13, v — 0,80

R = 0,48

v —1,11.

Für Formeln, deren Coefficientk mit der Grösser veränderlich ist, verfährt man in ganz ähnlicher Weise. Nehmen wir als Beispiel die Weisbach’sche Formel und zwar diejenige für Röhren, so geht, da wir es nun mit einer bestimmten Profilform, dem Kreise, zu thun haben, das Mf (durch Einsetzen des f für den Kreis) in M über und das R (durch Einsetzen des Coefficienten m) in r bzw. d über.

Die Weisbach’sche Formel lautet:

v².

d (f =(«-)-

Legen wir als Coordinaten wieder die M und cp zu Grunde, so rechnen wir uns zu-

Öj^TC

■v,

Ist umgekehrt R z. B. =0,2 und v— 1,0 gegeben und Mf und cp gesucht, so liest man zunächst für k — 100 aus der Tabelle direct Mf= 0,16, cp = 0,5/g- ab.' Um nach den Bazin-schen Categorien zu rechnen, hat man an der Categorielinie das gegebene R aufzusuchen, bzw. zu interpoliren, und hier den Maassstab horizontal mit seinem Punkte v = 4 m anzulegen; man liest dann am Punkte v — 1,0 des Maassstabes aus der Tabelle ab:

Mf— 0,16 Mf =0,16 Mf= 0,16 Mf = 0,16 Mf =0,16

für Categorie I

II

III

IV

cp = 0,86 öQ₀

T ⁼ 1)3 ifö

(f — 2,7 ö°ö

(f = lO/o

(f>= 2ö°ö

und für den Eytelwein’sehen Coefficienten k = 50,9 .

Da R und v als gegebene Grössen gleich bleiben, muss auch Mf den gleichen Werth behalten. Hiernach ist wohl der Gebrauch der Tabelle in den Fällen, in welchen zwei andere Grössen gegeben sind, leicht einzusehen.

nächst für einzelne d und ein constantes v die Wassermengen M aus der Formel M= — sodann rechnen wir für dieselben d und dasselbe constante v die cp aus der ersten Gleichung

und erhalten so die Coordinaten für einzelne Punkte der Linie des eingesetzten v. Da in beiden Rechnungen die Veränderlichkeit des Coefficienten nicht zum Ausdruck kommt, weil v constant bleibt,

(l* n

log M = log ^ -(- C und log cp = C — logd ist,

so werden die v-Linien parallele Gerade.

Lässt man dagegen, um die d-Linien zu erhalten, für ein constantes d die v variiren, so erhält man für die ersteren Curven, die unter sich wieder parallel verlaufen und nach der Richtung der v (wo die Veränderlichkeit des Coefficienten nicht zur Geltung gelangt) die gleichen Abstände zeigen, wie die d-Linien bei constantem Coefficienten.

Man kann sich auch diese Tabelle, ebenso wie die vorhergehende, aus derjenigen für constanten Coefficienten entstanden denken. Da nämlich gleichen Werthen von d und v gleiche Wassermengen entsprechen, so müssen sich auch hier wieder gleiche d- und ^-Linien auf gleichen ilf-Linien schneiden. Zieht man also durch die Schnittpunkte der ^-Parallelen mit irgend einer d-Geraden der Tabelle für constanten Coefficienten (z. B. d = 1,0) die M-

Linien (at bi,a*b2... Tabelle b) und schneidet auf diesen die den verschiedenen v entsprechenden log (f für den constanten Durchmesser d ab, nach Gleichung

v*—C,

log T = log (« + £=)

worin C== log d, so erhält man die einzelnen Punkte der d-Curve; und da nun für verschiedene d sich nur das C ändert, so folgt, dass die einzelnen d-Curven Parallele werden müssen.

Diese Leitlinie stellt

Es genügt also auch hier wieder, eine solche d-Curve mit den Durchschnittspunkten der einzelnen y-Parallelen zu haben, um damit durch Verschieben der ^-Geraden a d oder y ß an dieser als Leitlinie die sämmtlichen übrigen d-Curven zu erzeugen, somit wieder die Categorielinie vor, ähnlich wie bei den mit d veränderlichen Coefficienten die v-Curve diese repräsentirte.

Der folgenden Tabelle b ist als constanter Coefficient der Dupuit'sehe ko = 25,46 zu Grunde gelegt und als Categorielinien der Weisbach'sehen Formel sind die d = 0,0G und d= l,Om-Curven mit — — — Linien eingetragen.

Um also für ein gegebenes M und (f das v und d zu erhalten, sucht man den Schnittpunkt der betreffenden M und ^-Linien auf, legt den Maassstab a d oder ß y mit der Theilung

Tabelle b.

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) Civilingenieur 1881 3. Heft.

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___Weisbcudv

________Wehx/r/ &

Fig. 10.

Frank, Kanäle und Rohrleitungen

der d vertical mit seiner Kante an diesen Schnittpunkt so an, dass sein d = 1,0-Punkt auf der d = 1,0-Curve liegt, und liest nun an letzterer das v und am Maassstab selbst beim erwähnten Schnittpunkte das d ab. Für M — 100 l und cp = 3ö°ö erhält man so: v = 0,95 und d — 0,365, während man nach Dupuit aus der Tabelle direct abliest: t>=0,87 d = 0,38. Ist z. B. M—201 und d = 0,15m gegeben, so verschiebt man den Maassstab zwischen den Leitlinien (d = 0,06 und 1,0) so lange, bis sein Theilpunkt d = 0,15 auf die lf=20Z-Linie zu liegen kommt und liest hier aus der Tabelle ab cp — 10₇\ und an der Leitlinie v= 1,12, während man nach Dupuit erhält cp = 13 und t>=l,12.

Ganz ähnlich ist die Behandlung, wenn der Coefficient Je mit der dritten Grösse, dem Gefälle cp, veränderlich ist, und es dürfte überflüssig sein, diesen Fall weiter durchzuführen.

Wenden wir uns nun dem Falle zu, in welchem der Coefficient zwei Veränderliche enthält. In diesem Falle darf von den letzteren keine oder höchstens eine dem Coordinaten-system zu Grunde gelegt werden.

Als Beispiel diene zunächst die von Wehage aufgestellte Formel für Röhren, in welcher der Coefficient von d und v abhängig ist. Für diese Formel kann von den beiden Coordinatensystemen M — cp und R — v, welche wir nur berücksichtigen, lediglich das erste zu Grunde gelegt werden.

Wir benutzen nun gleich von Anfang an die Tabelle b für den constanten Coefficienten, ziehen durch die Schnittpunkte einzelner ^-Linien (ü = 0,l und v = 4,0) mit den d-Linien und durch die einzelner d-Linien (d = 0,06 und d= 1,0) mit den v-Linien die M-Linien und tragen auf diesen die entsprechenden cp auf, indem wir für erstere die v als Constante, für letztere die d als Constante behandeln. Wie man aus dem Verlauf der punktirten Linien sieht, erhält man nun sowohl für die ^-Linien, wie für die d-Linien Curven, die aber jetzt nicht mehr unter sich parallel verlaufen, sondern verschieden gekrümmt sind. Man dürfte sich also hier nicht mehr mit der Construction einer Curve begnügen, sondern müsste streng genommen die ganze Tabelle mit all ihren Curven durchführen. Man sieht indess, dass bei der schwachen Krümmung der Curven hinreichende Genauigkeit erreicht wird, wenn man die äusseren Curven und vielleicht noch je eine mittlere einträgt und diese wieder als Leitlinien benutzt. Der Unterschied zwischen der Weisbach’schen und der neuen Wehage’schen Formel ist, wie der Verlauf der Curven zeigt, ein sehr geringer.

b) Coordinatensystem 11 — v.

1. Bei constantem Coefficienten Je.

Während im Vorhergehenden gezeigt wurde, wie bei Zugrundelegung von M und cp als Coorclinaten in den einzelnen Fällen zu verfahren ist, mag nun noch erörtert werden, welche Vortheile das andere für die Tabelle c benutzte Coordinatensystem R — v bietet.

Der Hauptvortheil desselben, welcher sofort einleuchtet, ist der, dass bei diesem für alle Formeln drei Liniensysteme stets unverrückt liegen bleiben. Denn nach welcher Formel wir auch rechnen, stets entsprechen gleichen W.erthen von R und v auch gleiche Werthe von Mt; sind also erstere als Coordinaten fest, so müssen es auch die letzteren sein, und es bleiben somit die Liniensysteme der R, v und Mf ein für allemal unverrückt dieselben. Ein weiterer Vortheil ist es, dass die Tabelle eine bessere Abgrenzung erhält.

Die Mf werden nach der Gleichung Mf=lB'lv erhalten, indem man Mf constant nimmt und für einzelne B die v rechnet oder für einzelne v die B rechnet; in beiden Fällen erhält man für die Gleichung der Mf die einer Geraden:

log v = log Mf — 2 log 2 B; 2 log 2 B = log Mf — log v.

Aehnlich findet man auch die Gleichungen der (/-Linien bei constantem Coefficienten als linear, indem man nach der Formel v = ft J/T? cp für constante cp entweder mit veränderlichen B die v rechnet oder mit veränderlichen v die R rechnet und auf den betreffenden B- bzw. v-Linien aufträgt.

Die Liniensysteme der Mf und cp werden so wieder als aus parallelen, auf einander senkrechten Geraden bestehend, erhalten, so dass das Bild der Tabelle genau das gleiche, wie das von Tabelle a wird, vorausgesetzt, dass man für die Coordinaten B und v die gleichen Maassstäbe verwendet.

In dieser Weise ist die Tabelle c für den Eytel wein'sehen Coefficienten ft — 50,9 gerechnet.

Betrachtet man wieder den Unterschied, den eine Aenderung des Coefficienten k hervorbringt, so sieht man zunächst, dass dieselbe nur eine Aenderung der (/-Linien zur Folge haben kann, da ja die R-, v- und Mf-Linien immer unverrückt liegen bleiben.

Aus den obigen Gleichungen aber erkennt man leicht, dass bei einer Aenderung von k die Lage der (/-Linien unter sich, sowie ihre Neigung gegen die Horizontalen unverändert bleiben, und das ganze Liniensystem der cp nur eine horizontale Verschiebung nach rechts oder links erfahren wird.

Will man z. B. die Tabelle für k — 100 rechnen, so ergibt die Formel v = 100V^ Bcp für R = 0,1 und <^ = 1^ = 0,001 . . die Geschwindigkeit v=l,0,

v = 0,1;

d. h. die cp-Linie für cp = wird die R = 0,1 m-Horizontale in deren Schnittpunkt mit der v = I,0m-Verticalen schneiden, die cp = 0,01^-Linie wird dieselbe Horizontale in v = 0,l treffen.

» R = 0,1 » (p = 0,01 jfjf = 0,00001    »

Man ersieht also hieraus, dass das ganze Liniensystem der (p um das Stück u «i nach rechts zu verschieben ist, um die Tabelle des Coefficienten k — 100 zu erhalten. Nachdem dies erkannt, genügt aber der eine Punkt «i, um aus der ersten Tabelle für k — 50,9 diejenige für ft =100 zu construiren; denn durch ihn muss die cp = l^-Linie gehen und muss senkrecht stehen auf den Mf-Linien; die Abstände der übrigen ^-Linien von ihr sind die gleichen wie diejenigen für 50,9. Um mit &= 100 zu rechnen, genügt also auch schon eine r^-Linie, z. B. die cp = l^-Linie, und ein an dieser verschiebbarer horizontaler oder verticaler Maassstab, der getheilt ist nach den Durchschnittspunkten der einzelnen rf-Linien mit einer Horizontalen bzw. Verticalen.

Aus obiger Rechnung ergibt sich ferner, dass ebenso wie der Punkt «i oder der Durchschnittspunkt von v = 1 mit B — 0,1 dem k = 100 entspricht, ebenso auch das v = 0,509 dem & = 50,9, das v=0,3 dem ft =30, das v = 0,l dem ft= 10 entspricht; dass also die Schnittpunkte derv mit der B = 0,1 -Linie zugleich die Durchgangspunkte der l^- Gefälls-linien der Coefficienten ft = 100v darstellen. Denn für B= 0,1 und (p = 1^ wird V^Rfp

= IÖÖ> also    =

2. Bei veränderlichem Coefficienten k.

Für Formeln mit veränderlichem Coefficienten wird ebenfalls die Aenderung der Tabelle sich auf die Aenderung der Lage, Richtung oder Gestalt der (/-Linien beschränken.

Man erhält die (/-Linien, indem man für constante cp, je nachdem der Coefficient mit B oder mit v veränderlich ist, die v für verschiedene B oder die B für verschiedene v rechnet und auf den betreffenden B- bzw. v-Linien aufträgt.

Für die Darcy-Bazin'sehe Formel Rep — (^a -}- v² wird somit die logarithmische Glei-

chung der »/-Linien: 2 log v = log —--C, wenn c = u-\-^- und C — log cp; von einer (/-Linie

zur anderen ändern sich die logt; nur um die constante Grösse log cp +_ log r/i, woraus folgt, dass die einzelnen (/-Linien wieder unter sich parallel werden; und da für ein constantes B die v sich nur mit dem Gefälle ändern, wie beim constanten Coefficienten, so werden auch die horizontalen Abstände der einzelnen cp-Linien die gleichen wie beim constanten Coefficienten.

von

ß

Für die Bazin’scbe Function c = u +-j^r stellen sich die (/-Linien als Curven dar

denen jedoch nach dem Vorhergehenden auch wieder eine einzige zur Fixirung einer ganzen Categorie genügt. An dieser wird der beim constanten Coefficienten besprochene horizontale Maassstab verschoben.

In die Tabelle c ist die III. Categorie mit vier Gefällslinien (cp = 0,01, 0,1, 1 und lO^V) durch punktirte Linien, bezeichnet mit B. III, eingetragen, aus welchen deren paralleler Verlauf zu ersehen ist.

3

In derselben Weise ergibt sich für die Gauckler’sche Formel v = u² B² Vcp, deren

6

Coefficient k — «² MB ebenfalls mit B veränderlich ist, die logarithmische Gleichung log v

3

= log«² Bz C; da bei dieser die Veränderlichkeit des Coefficienten proportional einer Potenz von B ist, und die obige Gleichung sich auch schreiben lässt:

2

]ogv — -g log-R -f- C-\- Ci, worin C = logy und Ci=2log«,

so ersieht man, dass die cp-Linien in diesem Falle Gerade werden. Ihre Abstände unter sich werden wieder die gleichen wie bei den Bazin’schen Categorien und bei denen mit constantem Coefficienten. In Tabelle c ist die III. Cat., bezeichnet mit G. III, ebenfalls durch vier Gefällslinien eingezeichnet.

Um in dieselbe Tabelle Formeln mit nach v veränderlichem Coefficienten einzutragen, hätte man die log B für veränderliche v und ein constantes cp zu rechnen. Man erhält hierdurch auch wieder (/-Curven, die unter sich parallel werden, nicht aber nach der Richtung der B, sondern nach derjenigen der v verschoben zu denken sind. An der als Leitlinie dienenden cp-Curve muss also in diesem Falle ein mit der Theilung der ^-Linien der Tabelle für constanten Coefficienten versehener Maassstab vertical verschoben werden. (Siehe Taf. IX W eisbach.)

5

man

Für die mit cp veränderlichen Formeln wie z. B. die Hagen’sche v = ß VB Vcp hätte wieder für constante cp und veränderliche B die log v zu rechnen aus log v = ~ log B -J- C;

die (f-Linien werden somit wieder Gerade und Parallele, deren Abstände jedoch jetzt andere werden ; rechnet man aus log v—C-1-    log *p für ein constantes B die Durchschnitts

punkte der einzelnen <f -Parallelen mit der .B-Linie, so ersieht man, dass diese Abstände nur ^ von denjenigen bei constantem Coefficienten betragen. Der aus der Tabelle für letzteren

zu entnehmende Maassstab kann also auch hier noch verwendet werden, nur muss er entsprechend gedreht werden.

Tabelle c.

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Fig. 11.

Endlich wären noch die Formeln mit nach zwei Grössen veränderlichen Coefficienten zu betrachten. Es mag genügen, als Beispiel hierfür die Gangui 11 et-Kutter’sche Formel zu behandeln, deren Coefficient nach dem Früheren mit B und rp veränderlich ist. Man erhält die einzelnen (/'-Linien, indem man aus der Gleichung

v = kV Uff —

1    000155

n    (f

f+V+⁰^P)

Vb

für constante ff und veränderliche B die log« rechnet und in die Tabelle einträgt. Wie schon aus der Form des Coefficienten k ersichtlich, erhält man nun für jedes einzelne rp eine andere Curve und es wäre also nothwendig, für jede Categorie dieser Formel eine eigene Tabelle mit allen Linien zu construiren. Man erreicht jedoch genügende Genauigkeit, wenn man nur die den Gefällen (/> — IO/qi 1ö°o und 0,1/o entprechenden (/-Linien einträgt und diese für die einzelnen durch sie gebildeten Abtheilungen der Tabelle als Leitlinien benutzt, indem man sich des sonst horizontal gebrauchten Maassstabes bedient und denselben so dreht, dass gleichnamige (/-Punkte desselben auf gleichnamige (/-Curven zu liegen kommen.

In Tabelle c sind für die zwei Rauhheitsgrade n = 0,015 und 0,020 die Gefällscurven für </= 0,01ö°o >    1,0o°ö und lO/o eingetragen. Man ersieht aus denselben, dass sie,

je schwächer das Gefälle, um so stärker geneigt sind; je grösser das Gefälle, um so steiler werden sie. Demgemäss wird auch der horizontale Abstand der (/-Linien gleicher Rauhheitsgrade um so grösser, je kleiner die Gefälle sind. Andererseits bemerkt man, dass mit wachsendem B diese Abstände abnehmen und für B — 1,0 unter sich gleich und gleich denjenigen bei constantem Coefficienten werden.

c) Die Haupttabellen.

zu

Nach den im Vorhergehenden dargelegten Erörterungen schien es zweckmässig, für die Haupttabellen als Coordinaten die B bzw. d und v zu Grunde zu legen, um so die drei Liniensysteme der B (d), v und Mf (J/L) als unverrückbar und die (/-Linien als Categorielinien erhalten.

1. Tabelle VIII für Kanäle.

Von den im Früheren aufgeführten Formeln sind in die Tabelle eingetragen:

.    .    Hg.

Die fünf Darcy-Baz in'sehen Categorien .    .

» sechs Gauckl er'sehen Categorien ....

» drei Harder'sehen Categorien......

» Hagen'sehe (neue) für Kanäle .    .    .    .    .    .

und des Vergleiches halber die Eytel wein'sehe.

Diese sämmtlichen Categorien sind nur mit je einer Linie, nämlich der Gefällslinie (p = 1$% eingetragen.

Ausserdem hat noch die Ganguillet-Kutter'sehe Formel Aufnahme gefunden mit sieben Categorien, entsprechend den Rauhheitsgraden n = 0,010, 0,0125, 0,015, 0,020, 0,025, 0,030 und 0,035.

Es wäre wohl für die meisten Zwecke vollständig ausreichend gewesen, auch diese Categorien nur mit je einer Gefällslinie (cp = 1 ö%) zu fixiren; denn erstens wird mit den kleinen Gefällen, welche namentlich den kleinen _R-Werthen entsprechen, wenig gerechnet, und zweitens werden die Fehler um so kleiner, je mehr sich das B dem Werthe 1 nähert. Um jedoch auch hierin den möglichsten Grad von Genauigkeit zu erreichen und die Formel möglichst vollständig zur Darstellung zu bringen, sind ausser den Gefällslinien für ⁽P = auch noch diejenigen für rp = 10-$% 0,1 ^ und 0,01^ eingezeichnet worden, über deren Benutzung das Nöthige im Vorhergehenden enthalten ist.

Vergleicht mail nun die einzelnen Formeln mit einander, so ersieht man, dass der Verlauf der einzelnen Categorienlinien ein sehr verschiedenartiger ist und das Gesetz der Veränderlichkeit des Coefficienten k sich in der mannigfachsten Weise durch sie darstellt.

Da wir aber die Ganguillet-Kutter’sche Formel doch als diejenige betrachten dürfen, welche dieses Gesetz unter allen Formeln am richtigsten darstellt, so lassen sich die übrigen Formeln durch einen Vergleich mit dieser mittels der Tabelle sehr leicht auf ihren Werth beurtheilen.

Was die Darcy-Bazin'sehe Formel betrifft, so erkennt man, dass dieselbe bei rauheren Wänden und für kleinere R auch bei glatten Wänden ziemlich gute Uebereinstimmung zeigt, nicht aber für grössere R bei glatten Wänden. Der Coefficient erreicht hier zu früh seinen constanten Werth (d. h. die zu den Jf/-Linien senkrechte Richtung).

Die Gauekler’sche Formel, deren einzelne Categorienlinien parallele Gerade sind, stimmt für glatte Wände sehr gut überein, weniger gut aber für rauhe Wände. Jedoch sind die Abstufungen der Rauhheitsgrade durch die Grenzen derselben, in der Höhe R = 0,4 etwa genommen, ziemlich gut getroffen.

Die Har der’sche Formel zeigt gerade das umgekehrte Gesetz für die Veränderlichkeit des Coefficienten von dem bei den vorhergehenden ersichtlichen. Nach dem Verlauf ihrer Categorielinien nähert sich ihr Coefficientk mit abnehmendem R einer constanten Grösse und erreicht diese für R = 0, während bei den vorhergehenden Formeln diese Näherung mit zunehmendem R stattfindet und die constante Grösse für R = oo erreicht wird. Die Formel gibt deshalb für kleine Werthe von R zu grosse k und umgekehrt für grosse Werthe von R zu kleine k. Wände mit grösserer Rauhheit sind in ihrer Coefficientenscala überhaupt nicht berücksichtigt.

Die Hagen’sche (neue) Formel, welche die Form der Gauckler’schen hat, stellt sich als eine zu den Linien dieser parallele Gerade dar; nach dem Werthe ihres constanten Coefficienten ordnet sie sich zwischen G. IV und V (Kanäle in Erde ohne Pflanzen) ein. und entspricht bezüglich des Rauhheitsgrades, namentlich für grössere Werthe von R, einem guten Mittelwerth, etwa dem Kutter’schen n == 0,023

Die Eytel wein’sche Formel, die nur des Vergleiches wegen und um die Richtung des Verlaufes eines constanten Coefficienten (Senkrechte, zu den iff/-Linien) zu geben, eingezeichnet ist, zeigt, welch gewaltigen Fehlern man sich bei ihrem Gebrauche aussetzen würde.

2. Tabelle IX für Röhren.

In die im Vorhergehenden besprochene Tafel für Kanäle hätte man wohl auch die Categorien der Geschwindigkeitsformeln für Röhren aufnehmen können. Allein erstens hätte diese Tabelle noch eine Anzahl Linien mehr bekommen, was ihrer Uebersicht nicht gerade zu Gute gekommen -wäre, und zweitens hielt ich es für angemessen, für Röhren eine eigene Tabelle aufzustellen, damit man bei dem verhältnissmässig viel stärkeren Gebrauch derselben nicht erst genöthigt ist, auf den Profilradius überzugehen, sondern unmittelbar mit dem Durchmesser rechnen kann.

Die Anlage ist im Uebrigen genau dieselbe, wie bei der vorhergehenden für Kanäle und gilt bezüglich des Gebrauches alles dort Gesagte; sogar die Linealtheilung bleibt dieselbe und kann unmittelbar auch für die Röhrentabelle verwendet werden '). Der einzige Unterschied ist nur der, dass man in dieser statt der R direct die Durchmesser d in Metern und statt der Mf direct die Wassermenge M in Litern abliest.

Die Categorien F. I und II stellen die Formeln des Verfassers für reine und unreine Leitungen, die mit D. I und II bezeichnten die beiden Darcy'sehen (nämlich mit einfachem und doppeltem r/>) und die mit L. I und II bezeichneten die beiden Levy'sehen Formeln dar. Ausserdem ist noch die Weisbach'sehe Formel mit drei Linien (W. 0,1, 1,0 und 10W), ferner die Dupuit’sche (Dp.) eingetragen und aus der Kanaltabelle sind die drei ersten Gau ekler'sehen²) Categorielinien (für Thon- und Cementrohrleitungen) herübergenommen.

Der Vergleich der drei Formeln für neue (reine) Leitungen D. I, L. I und F. I zeigt, dass dieselben nur für Rohrdurchmesser von 0,5 m nahezu gleiche Resultate liefern; dass aber für grössere Rohrdurchmesser die Linien L. I und F. I und für kleinere Rohrdurchmesser die Linien L. I und D. I Zusammengehen. Nach den letzteren käme den kleineren Calibern eine grössere Leitungsfähigkeit zu als nach F. I, und dies dürfte im Allgemeinen nicht zutreffen. Denn die neueren in Deutschland angestellten Versuche haben gerade zu dem Resultate geführt, dass die Leitungsfähigkeit mit der Abnahme des Durchmessers stärker abnimmt, als es die Darcy’sche und Levy'sehe Formel anzeigen. Deshalb dürfte wohl der Curve F. I, die bei kleinern Calibern für eine gegebene Wassermenge etwas grössere Durchmesser gibt als die anderen Formeln, mehr Zutrauen zu schenken sein.

Andererseits zeugt das Zusammengehen der Linien F. I, L. I für grössere Caliber dafür, dass die Darcy’sche Formel für diese (ebenso wie bei den Kanälen) eine etwas zu kleine Leitungsfähigkeit angibt.

Bezüglich der älteren (unreinen) Leitungen zeigen die drei Formeln in den kleinen Calibern ziemliche Uebereinstimmung, in den grossen Calibern dagegen gehen sie stark aus einander. Soviel ist jedenfalls sicher, dass die Darcy’sche Formel, die nur auf der Verdoppelung des Gefälls für reine Leitungen beruht, für die grossen Caliber zu kleine Leitungsfähigkeit anzeigt und nicht maassgebend ist. Auch die Levy'sehe Formel L. II ist oben noch sehr weit nach links geschoben und verdient wohl auch deshalb weniger Vertrauen, weil sie nur auf drei Versuchen (von Darcy) mit kleinen Calibern beruht; der Linie F. II dagegen liegen die neuen deutschen Versuche zu Grunde. Man wird jedoch auf alle Fälle sicher gehen, wenn man in den grösseren Calibern Mittelwerthe zwischen L. II und F. II benutzt. Es ist aber hierzu nochmals zu bemerken, dass die Coefficienten für alte Leitungen nur die in Folge der Verringerung der Glätte eingetretene Widerstands Vermehrung und nicht etwa auch die Inkrustationen im Innern der Rohre berücksichtigen.

Hinsichtlich der Levy'sehen Formel ist noch zu bemerken, dass dieselbe ähnlich wie die Harder'sehe bei den Kanälen die nicht ganz wahrscheinliche Eigenschaft zeigt, dass ihr Coefficient ko sich mit abnehmendem d einer Constanten nähert und diese für d = 0

*) soferne das Papier der Tabellen sich gleichmässig ausgedehnt hat.

²) Die Gau ekler'sehe Formel für Röhren konnte nicht eingetragen werden, da ihr Coefficient mit d und v veränderlich ist und deshalb sich für das zu Grunde gelegte Coordinatensystem nicht eignete; ebenso die Hagen'sehe und die Weh age 'sehe Formel.

erreicht, während die Darcy’sche und Frank'sehe Formel für d = cc ein constantes ko erreichen.

Sehr gute Uebereinstimmung, sowohl bezüglich der Richtung, wie der Lage der Linien zeigt sich indess zwischen den F.- und den G.-Linien; die Linie F. I verläuft ziemlich in der Mitte der Cat. G. I bis II, die Linie F. II nahezu auf der Grenzlinie G. II.

Endlich die Weisbach’sche Linie entspricht für (f = l-fo in den kleinen Kalibern den Formeln für reine Leitungen, in den grösseren Kalibern aber denen für unreine; für grössere Gefälle, bzw. Geschwindigkeiten nähert sie sich mehr denen für reine Leitungen, für kleinere denen für unreine.'

Die Dupuit’sche Linie, welche alle anderen schräg durchkreuzt, ist nur des Vergleiches halber eingezeichnet.

IV. Beispiele.

1.    Ein Werkkanal, dessen Querprofil 1,5fache Böschungen in Erde und ein Verhältniss von Tiefe zu Sohlenbreite wie 0,5:1 (jli = 0,5) erhalten soll, ist für ein Gefälle </> = 1,5A und eine Wassermenge von 5 cbm pro Secunde zu berechnen.

Für /< = 0,5 und cotg« = l,5 ist nach Taf. I f— 0,446 und m — 0,624; folglich wird Mf = 5,0 X 0,446 = 2,230. Rechnet man nach der Hagen 'sehen Formel für Kanäle, so legt man den Maassstab horizontal mit seinem Theilpunkt 1A auf die Hg.-Linie (Taf. VIII) und verschiebt ihn an dieser so lange auf- oder abwärts, bis sein Theilpunkt, 1,5ö°ö auf die interpolirt gedachte Linie Mf = 2,23 gekommen ist. Nun liest man an letzterem Punkte aus der Tabelle ab: «= 1,28 m und B — 0,66 und erhält damit die Sohlenbreite

bi =

X 0,66 = 2,11 m, folglich t = 1,06 m.

!p_J_

0,624

somit bi =

Nach der Bazin 'sehen Formel (B. IV) hätte man erhalten: « = 1,16 und B = 0,7; 2

X 0,7 = 2,24 m und t= 1,12 m.

Die Kutter’sche Formel (K. 0,025) hätte ergeben: «=1,19 und j5 = 0,68; damit 2

b\ = X 0,68 = 2,18 m und t = 1,09 m.

2.    Welches Gefälle muss ein Kanal von rechteckigem Querschnitt (&» = 4,0 und t = 1,0 m) mit gemauerten Seitenwänden erhalten, damit er eine Wassermenge von 1,6 cbm abführt?

In diesem Falle ist i« = -^—=0,25 und cotga = 0; für diese Werthe erhält man aus Taf. I oder aus Tabelle I: f = 0,444 und m = 0,333, und durch Einsetzen dieser Werthe

Mf = 1,6 X 0,444 = 0,710 und B = — bi =

punkt der diesen Werthen entsprechenden Linien in der Tabelle VIII auf, so liest man hier direct ab « = 0,40 m.

X 4,0 = 0,666. Sucht man den Schnitt-

Will man nun das (p nach der Gau ekler'sehen Formel (G. IV), so legt man wiederum den Maassstab mit seinem Theilpunkt 1ö°ö auf die Linie G. IV und verschiebt ihn an dieser, bis seine Kante an obigen Schnittpunkt von Mf und B gekommen ist, und liest nun hier an seiner Theilung ab: <p = 0,13öV

Rechnet man nach der Kutter’schen Formel (K. 0,020), so rückt man den Maassstab so in die Tabelle, dass er mit seinen Theilpunkten 0,1/ö un(l 1A auf den Linien K. 0,020 für (p = 0,1 bzw. 1A liegt und gleichzeitig seine Kante durch obigen Schnittpunkt geht. Alsdann liest man an diesem ab: (p = 0,115A-

.3. Ein Kanal soll ein möglichst günstiges, einmalig geböschtes Querprofil erhalten und darin eine Wassermenge von 2,3 cbm mit einer Geschwindigkeit von 0,0 m pro Secunde abführen; wie gross müssen die Profildimensionen und das Gefälle werden?

Für cotg « = 1,0 ist das günstigste Verhältniss ^»=1,207, für welches nach Taf. I f— 0,547 und m = 1,207. Somit wird Mf — 2,3 X 0,547 = 1,368. Sucht man nun in der Tabelle VIII den Schnittpunkt von Mf = 1,368 und v = 0,9 auf, so liest man hier direct das R = 0,62 ab.

Nimmt man an, dass der Kanal mit Bruchsteinen gemauert ist, und rechnet nach

B. III oder G. III, legt also den Maassstab mit an die Linie B. III oder G. III, so dass seine Kante durch den obigen Schnittpunkt geht, so liest man hier ab: cp = 0,45/ö.

2 „ 2 1,207

X 0,62 = 1,027 m und

Aus obigem R erhält man die Dimensionen bi = t = 1,207 X 1,027 = 1,240 m.

4. Eine Rieselrinne soll bei quadratischem Wasserquerschnitt und einem Gefälle von 0,1ö°ö eine Wassermenge von 51 pro Secunde zuführen; wie gross wird die Seite des Quadrats?

Für quadratischen Querschnitt oder p = 1 und cotg « = 0 ist /= 0,444 und m = 0,666; folglich Mf = 0,005 X 0,444 = 0,00222; wenn man dieses in der Tabelle VIII aufsucht und verlängert und ebenso die cp = 0,1 Linie K. 0,025, so entspricht deren Schnitt einem

R = 0,098; folglich wird bi = R — 0,30 m = t.

5. Welche Sohlenbreite muss ein 1,5 fach geböschter Kanal erhalten, der bei einem Gefälle von 0,8 ö°ö eine Wassermenge von 5,0 cbm pro Secunde bei einer Tiefe von 0,9 m abführen soll?

In diesem Falle ist die Profilform nicht gegeben, sondern nur die Tiefe. Um zwei zusammengehörige Coefficienten f und m einsetzen zu können, ist deshalb nöthig, das Verhältniss zu schätzen.

Für ^< = -^ = 0,2 erhalten wir nach Taf. I, wenn cotg« = 1,5:

/ = 0,354 und m = 0,29; folglich Hf/ = 5,0 X 0,354 = 1,770.

Rechnet man mit dem Kutter’schen Rauhheitsgrad n = 0,025 und verschiebt den Maassstab an den beiden Gefällslinien für cp = 0,1 und 1,0^ bis der Punkt 0,8ö°ö in die Mf-Linie 1,77 kommt, so liest man aus der Tabelle hier ab R — 0,7. Damit erhält man

bi =

X 0,7 = 4,83 m und t = 0,2 X 4,83 = 0,966 m.

1,__2_

0,29

Das gewählte Verhältniss 0,2 wäre also etwas zu gross.

Führt man die Rechnung nochmals durch mit /u 0,18, so wird f— 0,338 und m = 0,27; folglich Mf = 5,0 X 0,338 — 1,690.

2

Aus der Tabelle erhält man aus Mf und cp das J5 = 0,69; und hiermit bi = rr-^₌ X 0>69

= 5,11 und t — 0,18 X 5,11 =0,920. Das Verhältniss f.i — 0,18 ist also immer noch zn gross.

Interpolation

den Zuwachs x = 0,12, den das letzterhaltene bi =5,11

Denkt man sich nun als Abscissen die erhaltenen bi =4,83 und 5,11, und als Ordinaten in diesen Punkten die zugehörigen t = 0,966 und 0,92 aufgetragen, so erhält man aus der 0,92 — 0,90.

0,966 — 0,92    5,11 — 4,83

noch erhalten muss, damit das £ = 0,92 auf 0,90 abnimmt; bi wird also 5,11 4- 0,12 = 5,23 m.

6. Ein gepflasterter Ablaufgraben mit Kreissohlenprofil und einmaligen Böschungen soll eine maximale Wassermenge von 0,654 cbm pro Secunde bei günstigster Füllung (bis zum Kreismittelpunkt) und einem Gefälle <p — 0,5ö% abfiihren; wie gross werden die Dimensionen des Profils und die Geschwindigkeit?

Nach Taf. II wird für cotg « = 1,0 und /n = 1 erhalten: f = 0,560 und m = 1,0; folglich Mf = 0,654 X 0,56 = 0,366.

Für den Kutter’schen Rauhheitsgrad n = 0,025, der bei nicht besonders guter Haltung des Kanals gesetzt werden darf, ergibt sich für Mf = 0,366 und (p = 0,5ö°ö das 12 = 0,47

und v — 0,48 m und da r =

1,0

4 B, so wird r=.4x 0,47 = 0,94 m.

7. Es soll noch nachgesehen werden, welche Wassermenge der eben gerechnete Kanal bei */2 und bei lU Füllung abführt.

VYl

Bei halber Füllung (j.i = 0,5) ist f= 0,534 und m = 0,576; folglich wird B=V)'Xr

X 0,94 = 0,271; für dieses B und das Gefälle (p = 0,5-fo ergibt sich aus der Tabelle VIII

0,097 0,534

Profil nur mehr ein Kreisabschnitt, für welchen man der Taf. II die Werthe /" = 0,435 und

X 0)94 = 0,148; dieses ergibt für 0,018

t> = 0,34 und Mf= 0,097; also M =

m — 0,315 entnimmt; hiermit wird 12 =

= 0,18 cbm. Bei '/* Füllung (,« = 0,25) ist das

<p = 0,5und n = 0,025 ein v = 0,21m und Mf — 0,018; also M =

0,435

0,041 cbm.

8. Für einen Kanal mit Kreissohlenprofil von 1,5 fachen Böschungen ist für die maxi

male Füllung bis zum Kreismittelpunkte die maximale Geschwindigkeit v = 0,9 m und das Gefälle (p — 5ö°ö vorgeschrieben; wie gross werden die Dimensionen des Profils und die Wassermenge?

Für cotg« = 1,5 und f.t = 1,0 wird f = 0,479 und m = 1,0.

Darf als Rauhheitsgrad n = 0,020 angenommen werden, so legt man den Maassstab so in Tabelle VIII, dass die beiden Theilpunkte (p = l-fo und 10ö°ö auf die entsprechenden Curven kommen und gleichzeitig der Punkt rp = bJ5% in die Verticale v = 0,9, und liest nun aus der Tabelle ab: 12 = 0,148 und Mf — 0,079; folglich wird

r = ^ 12 = ^ X 0,148 = 0,296 m und M =

0,079

0,479

— 0,165 cbm.

Rundet man r auf 0,3 m ab, so wird B = 0,15 und die Wassermenge vergrössert sich

= 0,171 cbm. die Geschwindigkeit auf v = 0,91m.

dann auf Mf = 0,082 oder M =

0,082

0,479

9. Ein gemauerter Kanal mit Halbkreisprofil von 2 m Radius soll dem Wasser eine Geschwindigkeit von 1,2m ertheilen; wie gross wird die Wassermenge und das Gefälle?

Für f.i = 1 und cotg « = 0 wird nach Taf. II f = 0,637 und m — 1,00, folglich i2 =

— 1,00. Schnittpunkt von B und v gibt, wenn man nach B. III oder G. III rechnet, (f — 0,4.3 XV und Mf = 4,75 oder M =

4,75

0,637

= 7,45 cbm.

für das Rechteck ohne Decke f = 0,375, m = 0,75 mit

/ = 0,240, m = 0,60.

10. Welche Wassermenge führt ein Durchlass von 0,8 m Weite und 1,2m Lichthöhe bei einem Gefälle von 2/g- und offenem Wasserspiegel im Maximum ab? Um wie viel nimmt die Wassermenge ab, wTenn der Wasserspiegel die Decke erreicht? (Cat. K. 0,017.)

= 1,5 ist nach Taf. I:

Für cotg « = 0 und f.t =

U2

0,8

Im 1. Falle R = | b = °^-⁵ X 0,8 = 0,300; Mf = 0,42; M= =    0,8 = 0,240; Mf = 0,23; M=

0,42

0,375

= 1,12; v= 1,16,

» 2.

0,23

0,24

= 0,95; v = 0,99.

Die Wassermenge nimmt also von 1,12 auf 0,95 cbm, somit um 0,17 cbm ab.

11.    Wie hoch muss sich das Wasser am Einlauf des Durchlasses stauen, damit die Wassermenge von 1,12cbm wieder abgeführt wird?

Es sind nun die Coefficienten des zweiten Falles einzusetzen und bleibt also R = 0,24. Schnittpunkt R = 0,24 und Mf = 1,12 X 0,24= 0,269 gibt v = 1,16 und cp = 2,8^V

Vom Auslaufe des Durchlasses nach aufwärts wird sich also eine Drucklinie von 2,8/5 (statt 2/0) Steigung herstellen und bei z. B. 20 m Länge des Durchlasses (0,0028 — 0,0020) X 20= 0,016 m Stau verursachen.

12.    Ein Kanal mit Kreisprofil soll bei ³/₄ Füllung und einem Gefälle cp = 0,5/j eine Wassermenge von 0,80 cbm pro Secunde abführen; welche Weite muss er erhalten?

2

1,207

X 0,38

rn

Für ³At Füllung ist nach Taf. III /= 0,576, m= 1,207; folglich Mf— 0,461; Schnittpunkt Mf und cp gibt für Cat. K. 0,015: R = 0,38 und v = 0,77, somit r —

= 0,63 m und d= 1,26 m.

13.    Welche Wassermenge führt ein eiförmiger Kanal von 0,6 m Weite bei einem Gefälle von 4/0 und einer Füllung bis zum Kämpfer ab?

Für die Kämpferhöhe entnimmt man der Taf. IV die Werthe f = 0,528 und m = 1,263; folglich wird R = ™ r =    ^ x o,3 = 0,189.

Nach Cat. K. 0,0125 erhält man im Schnittpunkte von R und cp

Mf = 0,240, M =

0,240

0,528

= 0,454 cbm und v = 1,70 m.

14. Ein eiförmiger Kanal soll im Maximum 0,8 cbm Wasser abführen, im Minimum 0,04 cbm, letztere aber noch mit mindestens 0,6 m Geschwindigkeit; wie gross werden die Profildimensionen und das Gefälle ? Aus dem Verlaufe der «4-Curve in Taf. IV ersieht man, dass die grösste Wassermenge bei 0,95 Füllung abgeführt wird; diesem Füllungsgrad entspricht f = 0,38 und m = 1,31; folglich wird Mf = 0,8 X 0,38 = 0,304. Mittels der «4- oder der Wassermengencurve erhält man die Füllung für die minimale Wassermenge 0,04 cbm aus derjenigen für die maximale durch die Proportion der u₄; das «₄ der letzteren ist nach der

Tabelle 3,61; somit entspricht der minimalen Wassermenge ein «₄ =

X 3,61 = 0,18;

0,04

0,80

sucht man «4 = 0,18 auf, so entspricht dieses einer Füllung von 0,155, für welche man weiter der Taf. IV f — 0,611 und m = 0,48 entnimmt. Folglich wird für Kleinwasser Mf = 0,04 X 0,611 =0,02444, und da hierfür v = 0,6 m sein soll, so erhält man nach Cat. K.

2 r__2_

— 0,48

Mittels des eben erhaltenen Gefälls r/> = 1,25^ und der Maximalwassermenge Mf = 0,304

2

= 0,255 und r = —= X 0,255 = 0,39 m. Diese Differenz

1,01

zwischen den beiden so erhaltenen r rührt aber her aus der Vernachlässigung der Verschiedenheit der Geschwindigkeitscoefficienten in der obigen Proportion.

Diese Differenz hat jedoch nichts weiter auf sich, da in der Praxis der Radius r ja doch abgerundet wird und es fragt sich nun nur, wie abzurunden ist. Nimmt man den zwischen beiden Werthen liegenden r = 0,40 und behält das Gefälle 1,25ö°ö . bei, so muss die Füllhöhe für Kleinwasser eine grössere werden; wählt man als Füllungsgrad statt 0,155

vyi 0 51

nun 0,17, so wird hierfür f = 0,613, m — 0,51 und folglich R = — r — ~~ X 6,4 = 0,102.

£ £

Diesen beiden Werthen R und cp entspricht aber eine Wassermenge Mf — 0,025 oder 0,025 0,613

Der Radius r = 0,4 oder die Weite des Kanals von 0,8 m und das Gefälle ^ = 1,25^ genügen also den Bedingungen.

15. Für eine Wasserversorgung soll ein begehbarer Kanal mit Eiprofil auf dem stumpfen Ende von 1,0 m Weite und 1,5 m Höhe für eine normale Wassermenge von 0,400 cbm und ein Gefälle von 0,6^V angelegt werden. Wie hoch stellt sich das Wasser und welche Geschwindigkeit nimmt es an?

0,0125!): R

0,101 und cp = 1,25 A; also muss r —

würde man aber bekommen R

M—

0,407 und eine Geschwindigkeit v = 0,603.

X 0,101 = 0,421 m werden.

Wir rechnen zunächst die Wassermenge, welche der Kanal bei halber Füllung abführt.

771

Für diese wird nach Taf. V: f — 0,595, m = 1,233; folglich R = ~r

£

1,233

-^-X 0,5 = 0,308;

Schnittpunkt R und cp gibt für Cat. K. 0,012b¹): Mf = 0,345 und M =

(v = 0,90 m).

0,345

0,595

= 0,580 cbm

Proportion

Wir benutzen nun wieder die Abscissen der Wassermengen («4)-Curve zum Ansätze der 0,580    0,400

2,008 x

worin 2,008 das «4 für halbe Füllung und x das gesuchte dem

Tf= 0,40 entsprechende «4, welches sich hieraus ergibt zu 1,384. Dieser Abscisse entspricht

eine Füllung von 0,385. Ebenso bekommt man die Geschwindigkeit mittels der Geschwindig-

0,90 v 0,785 ⁼ 0,738 ’

0,738 das «4 für 0,385 Füllung. Diese ergibt v = 0,846 m.

Wollte man eine Revisionsrechnung anstellen, so könnte man nun für den erhaltenen Füllungsgrad 0,385 die Wassermenge direct bestimmen und Zusehen, ob dieselbe mit der gegebenen von 0,400 cbm stimmt.

Dem Füllungsgrad 0,385 entspricht nach Taf. V f— 0,632 und m — 1,086; somit würde — X 0,5 = 0,2715. Für dieses R und cp erhält man wieder nach Cat. K. 0,012b¹): Mf— 0,247 und M= 0,391 cbm (gegen 0,400 cbm). Die kleine Differenz ist wiederum die

keitscurve («3) durch die Proportion

worin 0,785 das «₃ für halbe Füllung,

i=2r =

1) Sicherer wählt man für Backsteinmauerwerk: K. 0,01f«.

Folge der Nichtberücksichtigung der Geschwindigkeitscoefficienten-Abnahme in obiger Proportion. Der Füllungsgrad müsste statt 0,385 etwa 0,390 sein, oder also die Füllhöhe 0,390 der ganzen Höhe 1,50 = 0,585 m.

Die durch obige Berechnungsweise erzielte Genauigkeit ist also eine völlig ausreichende.

16. Welche Wassermenge ist erforderlich, um in einem Kanal von elliptischem Profil von 1,2 m Weite und 1,8 m Höhe und einem Gefälle von 1^ zum Zwecke der Spülung eine Geschwindigkeit von lm zu erzeugen, und wie hoch muss sich das Profil füllen?

Der Schnittpunkt v = l,0 und </> = 1ö°ö gibt (nach K. 0,0125) direct R — 0,241 und

0,241

= 0,803; diesem m entspricht nach

0,232 0,628

Mf = 0,232; aus R erhält man m — 2

Taf. VI ein /= 0,628 und ein Füllungsgrad von 0,27. Hieraus bekommt man M = — 0,370 cbm pro Secunde und die Füllhöhe 0,27 X 1,8 —' 0,486 m.

0,6

17. Eine Rohrleitung aus gusseisernen Röhren von 2700 m Länge und 20,25 m absolutem Gefälle soll eine Wassermenge von 2501 pro Secunde zuführen. Wie gross wird der Durchmesser und die Geschwindigkeit?

Die Werthe werden aus der Rührentabelle IX in derselben Weise wie aus der Kanaltabelle entnommen. Man verschiebt den Theilpunkt l/^ des Maassstabes stets auf einer der Categorielinien, bis die Kante des Maassstabes durch den den gegebenen Grössen entsprechenden Schnittpunkt geht. Nur beim Gebrauche der Weisbach'sehen Formel hat man den Maassstab mit der doppelt grossen Theilung zu benutzen und diesen an der W-Linie in verticaler Lage zu verschieben.

Für obige Aufgabe erhält man somit nach den verschiedenen Formeln, wenn man das

relative Gefälle <jp =

20,25

2700

= 7,5/ö zum Schnitte mit der M = 250 LLinie bringt:

Nach D. I. d = 0,428 m v = 1,73 m » L. I. d = 0,425 » F. I. d = 0,430

d = 0,430 » v = 1,71 »

*=1,76 » v = 1,71 »

» W.

Nach D. II. d = 0,49 m v = 1,31 m

v= 1,37 » v = 1,52 » v = 1,50 »

L. II. d = 0,48 » F. II. d = 0,455 » d = 0,46 »

» Dp.

Da für die Bestimmung des Durchmessers stets der spätere Zustand der Innenwandung des Rohres maassgebend ist, so wäre nach dem Früheren etwa das Caliber 0,475 m zu wählen.

18.    Ein aus Bruchsteinen gemauerter Siphon mit glattem Cementverputz von 2 m Durchmesser soll eine Wasserleitung über ein Thal führen, die eine Wassermenge von 3,0 cbm beizuführen hat. Wie gross wird die Wasserspiegeldifferenz zwischen Einlauf und Auslauf, wenn die Länge des Siphons 150m beträgt?

Nimmt man als Categorie das Mittel zwischen G. I und G. II, so erhält man im Schnittpunkte von d = 2,0 und M = 3000 l: v = 0,95 und (p = 0,31₇°öi somit h — (p Xl = 0,00031 X 150 = 0,0465 m.

19.    Für eine Rohrleitung ist die Geschwindigkeit i> = 0,9m als kleinste für alle Zeiten und das Gefälle <p — 20v% gegeben; wie gross wird der Durchmesser und welches ist die

Wassermenge, die für den neuen Zustand der Leitung und die nach längerem Betrieb zu erwarten steht? Da v nicht unter 0,9m sinken soll, so ist der Durchmesser der Leitung mit diesem v und dem gegebenen (f nach den Formeln für alte Leitungen zu bestimmen; man erhält hierfür nach D. II und F. II d =0,102 rund 0,100 m und M= 7,4 1 als Wassermenge nach längerem Betrieb, während diejenige zu Anfang des Betriebes nach F. I. 8,5 1, nach D. I und L. I 10 1 beträgt.

20. Liefert die vorstehende Leitung nach längerem Betriebe jedoch nur mehr eine

Wassermenge von 4l pro Secunde, so wäre dies die Folge einer Rohrverengung durch Niederschläge. Die mittlere Stärke dieser Niederschläge erhält man folgendermaassen: für M — 4 1 und (f = 20ö°o ergeben die Formeln D. II und F. II einen Durchmesser d = 0,081 m; da die Leitung aber ursprünglich einen Durchmesser d = 0,100 m hatte, so ist die Stärke des

0,100 — 0,081

c. 10 mm.

Niederschlages

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Taf. VIII.

Hauptgleichungen.

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Formelbezeichnungen.

Ganguillet-Kutter.

0,010, 0,0125, 0,015 .... 0,035

0,01, 0,1, 1,0, IO

NB. Der Index von K bedeutet das Ge-fälle öX die beigesetzte Zahl den Rauheitsgrad n.

n — 0,0085 — 0,011 (0,010) fein gehobeltes Holz, mit Stahl geschliffener C.ement

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n — 0,011—0,013(0,012) Bretter

n — 0,013 — 0,0215 Bretter mit angebrachten Abflusserschwerungen

n — O3O1 2 — 0,020 (0,013) Quader oder Backsteine

^ = 0,014 — 0,022 (0,017) Bruchsteine 71 = 0,018

Erde mit gemauerten Seitenwänden n — 0,020

°,⁰3° (0,025) Kanäle in

0,040    (0,030) Kanäle,

Bäche, Flüsse (Gewässer in Erde)

- 0,020 — 0,060 (0,035) Gewässer mit Geschieben.

Maassstab.

Pür die K- Categorien ist der Maassstab I so zu verschieben seine Kante durch den durch irgend welche der Grössen Mf, R, gebenen Punkt geht und dabei die benachbarten ^(=0,1,1,0,10 /^-Punkte auf den gleichnamigen Linien (7C₀₁, F AV₁₀) liegen.

Bezüglich Herstellung des Maassstabes siehe Taf. IX.

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Formelbezeichnungen.

Darey-Bazin.

I. Geglätteter Cement, gehobelte Bretter

B. II. Hausteine, Backsteine, Bretter B. III. Bruchsteine, Mauerwerk B. IV. Wände in Erde B. V. Gewässer mit Geschieben

B.

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Gauekler.

1 bis 11. Hausteine, Cement G. 11 » 111. Gutes gewöhnliches Mauerwerk

IV. Seitenwände gemauert, Sohle in Erde

V. Kanäle in Erde ohne Pflanzen

VI. Kanäle in Erde mit Pflanzen

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» Quadern, Ziegeln » Erde und rauhem Bruchsteinmauerwerk, Flüsse

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Maassstab.

Für die farbigen Categorielinien ist der Maassstab 1 stets in horizontaler Lage zu verschieben, so dass sein Punkt 1 öV auf der gewählten Categorielinie bleibt und seine Kante durch den durch irgend welche der Grössen Mf \ R, v, <p gegebenen Punkt geht.

Die farbigen Linien entsprechen sämmt-lich dem Gefälle cp = 1 ö°n.

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Herstellung der Maassstäbe.

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Tabelle für Röhren.

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Der für die Dupuit’sche Formel auf d = i,o eingezeichnete Maassstab I ist auf ein Lineal oder einen Papierstreifen zu übertragen und seine sich immer wiederholende Theilung nöthig, nach rechts oder links zu verlängern.

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Die Anfangspunkte, bzw.dieWieder-holungspunkte der Theilung (welche einfach die Logarithmen der Zahlen von i bis io darstellt) bekommen dabei immer einen iomal grösseren oder kleineren Werth.

In gleicher Weise ist mit dem auf v — i ,o eingezeichneten Maassstab II (für die Weisbach’sche Formel) zu verfahren.

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NB. Die mit I bezeichneten Linien gelten für reine Leitungen, die mit II für reine, mit Niederschlägen bedeckte.

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Gebrauch der Maassstäbe.

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Maassstab I, gültig für alle Formeln, ausser Weisbach, ist stets in horizontaler Lage zu verschieben, so dass sein Punkt i k- immer auf der gewählten Linie (D. I, L. I .... für (jf>~- ik) bleibt.

Maassstab II (Weisbach) ist stets in verticaler Lage zu verschieben, so dass er mit seinem Punkte o,i-g-⁰₍ ,

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G. I bis II. Rohrkanäle in Gement, Thon

G. II » III. Rohrkanäle

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WYDZIALY POLITECHNICZNE KRAKOW

BIBLIQTEKA GLOWNA

33387

Czapskich 4 — 678. 1. XII. 52. 10.000

Biblioteka Politechniki Krakowskit'i

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