Z TEORYI

RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWY

HTT

Uli

P II Z E Z

fl. J. STODÓiiKIEWICZfl.

■*:

WARSZAWA.

W DRUKARNI NOSKOWSKIEGO

Warecka 15.

1911.

Cenu 75 kop.

. w '

, n .

Ił |^H

w •

.    . i

§\

■

jfgai

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

100000305660

(

s

■

m

I

Ai

lit

li

j :

i

Z îeoryi równań różniczkowych.

■

‘

(2

/

°A

Z TEORYI

OD AUTORA.

Table des matières.

ax„ + x2«.-i = 0j

An+i, i(2n—1, 2n, ... ,3,2) — An+i^(2n—l, 2n, ... ,3, 1)

•, XOT, 1) —— ? (f" —— 1, 2, . . • , m)

(r — n—m-f 1, n—m+2, i, k = 1, 2, . .

Z TEORYI

RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWY

HTT

Uli

PRZEZ

fl. J. Stodółkiewicza.

WARSZAWA.

W DRUKARNI NOSKOWSKIEGO

Warecka 15.

1911.

Hd b'iJ-S

V

l

CHAMÓW

T

Âkc. î%r.

iMlg,

OD AUTORA.

Prace; w niniejszem dziełku umieszczone, dotyczą równań różniczkowych, tych mianowicie działów, które mnie od lat trzydziestu najwięcej zajmowały, a w których pragnąłbym wypowiedzieć swoje ostatnie słowo.

O zagadnieniu Pfaffa i o teoryi układów równań różniczkowych poraź pierwszy nowe i nieznane przedtem poglądy ogłosiłem drukiem w pismach Akademii paryskiej (Comptes rendus 1892, 1894, 1895). Znajdują się tam bardzo krótkie streszczenia pomysłów, które obecnie rozwijam możliwie jak najszerzej. W końcu jeszcze dodać muszę, że prace, które tutaj obszernie wyłożyłem, są w związku z moją teoryą równań różniczkowych, ogłoszoną w języku polskim w „Zasadach rachunków wyższy ch” oraz w języku francuskim: „Appendice à la théorie des équations différentielles”.

Płock, 1 Lipca 1910 roku.

Table des matières.

I. Sur l’intégration des équations différentielles d’ordre 1-er

tH

lO O CO CO O CO CO CO ^ ^

dont les coéfficients sont des fonctions rationelles........

IL Sur l’intégration des équations différentielles partielles

d’ordre 1-er

III.    Sur l’intégration d’une équation différentielle totale d’ordre

1-er aux plusieurs variables indépendantes...........

§ 1. Le cas d’une seule intégrale............

§ 2. Le cas de deux intégrales.............

§ 3. Le cas de trois intégrales.............

§ 4. Le cas de n intégrales à 2n variables.........

§ 5. Les déterminants demi-symmétriques.........

IV.    Sur l’intégration du système de m équations différentielles

totales

§ 1. Le cas de m intégrales. . § 2. Le cas de m-f-1 intégrales § 3. Le cas de m-\-2 intégrales § 4. Le cas de m-j-p intégrales

OMYŁKI DRUKU.

str. 24 wiersz 15 z góry zamiast (X*)* »    30

» 47

16

77

X4 X(J

77

77

77

n rn—1, k

powinno być (X*),-n X4 dx^.

» d-n —m—1, k

77

77

h-4

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE O WSPÓŁCZYNNIKACH WYMIERNYCH.

Wyłożymy poniżej nietrudną metodę w celu znalezienia czynnika całkującego równań, mających jako współczynniki funkcye wymierne:

Pt dx -j- Qtdy = 0,

0)

gdzie wogóle przypuszczamy, że P, i Qt są funkcye wymierne całkowite jednakowego stopnia lub też niejednakowego. Przedewszystkiem daje się zauważyć, że każde równanie w postaci (1) można przekształcić przy pomocy nowych zmiennych, związanych liniowo z dawnemi zmiennemi:

(2) .

x — <xu -j- $v 4- Y, y =z du -r zv -f X,

na równanie:

O)

Pdu -j- Qdv = 0,

w którem współczynniki P oraz Q są funkcyami wymiernemi nowych zmiennych u i v tego samego stopnia, jaki miały współczynniki w równaniu pierwotnem (i). Sześć stałych a, (3, y, §, e, X, wprowadzonych do współczynników P i Q, można następnie poddać pewnym upodobanym warunkom, które pozwolą nam wszystkie stałe wyznaczyć. Po przecałkowaniu równania przekształconego (3) nie będzie żadnej trudności powrócić do zmiennych dawnych x i y.

Niech czynnikiem całkującym równania (3) będzie [a. Wiemy, że po pomnożeniu równania (3) przez czynnik [i, stanie się pno dokład-

nem, tedy będzie

ć(yP) _ à(jiQ)

dv

du

, skąd wypada:

(4)

-Q

d log [i,

d log (JL

du

dv

dP * = 0.

dv

du

= Pi

dv

Oznaczywszy

du

przecałkowania różniczkę:

= p₂, będziemy mieli do

(5)

d log [i = pt du + p₂ dv.

runkom:

Wielkości p± i p₂ powinny czynid zadość tożsamościowo dwu wa

(6)

dpi __ dp* dv du ’

oraz:

(7) • ■

•    — Qpi + Pp* + ----- — 0.

dv du

Z tych warunków pierwszy (6) będzie zawsze spełniony widocznie, gdy założymy:

(8)

dz

Pt = ® («) —

dz

dv ’

gdzie d> oznacza funkcyę dowolną, a z nową zmienną:

*=/(«; V)

(9)

du

obraną podług upodobania, czyli że cecha / może tutaj oznaczać jakąkolwiek postać działań wymiernych. Skutkiem powyższych założeń z (5) otrzymamy d log = d> (z) dz i w końcu będzie:

(10)

J <E> (z) dz

Po wykonaniu ostatniej kwadratury łatwo będzie powrócić przy pomocy równania (9) do zmiennych u i v, a następnie do zmiennych pierwotnych x i y, posiłkując się związkami (2).

Pozostałe równanie (7) daje nam jeszcze taki związek dodatkowy:

dz

dz

(11) . . . -Q<P (z) —+ P<!> (z) — +

du

dv

Cu I Ou

du

Związek ten jest jedynym warunkiem, który spełniać powinna tak funkcya d>, jako też i zmienna z. Ponieważ jednak mamy w po-wyższem jeden związek pomiędzy dwiema niewiadomemi, więc zagadnienie staje się nieoznaczonem. Z tej to nieoznaczoności skorzystać możemy. Z (11) wypływa:

(12) . .

. . $(*) =

dP dQ dv du

dz

dz’

Q--P—

du

dr

w którem prawa strona powinna być funkcyą tylko z. Gdy teraz z równania (9) wyznaczymy: i przy pomocy ostatniego związku wyrugujemy z prawej strony równości (12) zmienną u, otrzymamy takie wyrażenie, w którem oprócz Avyrazôw ze zmienną z będzie się znajdowała także pewna liczba wyrazów ze zmienną v. Jeżeli potem wszystkie współczynniki przy wyrazach, zawierających v, przyrównamy do zer, otrzymamy wówczas pewną liczbę równań tylko dla wielkości stałych a, (3₇ 7, 8, e, X, oraz dla tych stałych, które będą dodatkowo wchodziły jeszcze w funkcyę (13). W przypadku, gdy P oraz Q będą funkcyami wymiernemi nie wyższemi ponad 2-gi stopień, wystarczać będzie funkcya liniowa:

(14) .

z — atu 4 a*v 4 a₃.

Gdy współczynniki P, Q będą funkcyami stopni wyższych ponad 2-gi, wówczas i funkcya z nie będzie już liniową, lecz będzie stopnia wyższego. Ograniczymy się tylko do równania, w którym współczynniki są funkcyami wymiernemi stopnia 2-go i okażemy, że takie równanie jest zawszé całkowalne. Trudności będą tylko tkwiły w rozwiązywaniu równań stopni wyższych, będą więc natury wyłącznie algebraicznej.

Niech będzie dane równanie różniczkowe:

(15)

(ax² 4 bxy 4 cy¹ -f ex -f fy + g) dx +

+ (atx² 4 bixy 4 cxy² 4 elx + /ty 4 gx) dy = 0.

Jest ono rzędu pierwszego z dwiema zmiennemi i ma jako współczynniki funkcye wymierne 2-go stopnia, w których ilości a, b, c, e, /, g, «!, bt, ct, eu fy, gi są pewne stałe, dane jako liczby. Jeżeli użyjemy przekształcenia liniowego (2), wówczas równanie (15) zachowa swą postać, zmienią się zaś tylko współczynniki liczbowe. W rzeczy samej, po łatwem wykonaniu podstawienia nowych zmiennych u i v (2) i po uproszczeniu otrzymamy takie równanie różniczkowe:

(16)

(Au² 4 Buv 4 Cv² 4- Eu 4 Fv 4 G) du 4

4" (Atu² 4" JBiUv 4 G\V² 4 Exu 4 Fxv 4 Gx) dv 0,

gdzie mamy oznaczenia:

(17) A = (aa.² 4 bad 4 cd²) a 4 (ć^a² 4 bxad 4 ctó²) 8,

B = a (2aa[3 4 68(3 4 bas 4 2c8e) 4 8 (2ax a[3 4 &j8[3 4 bios 4 2c₁8e), C = a (a(3² 4 &(3e 4 cs²) 4 8 (a$² 4 &i|3e + ^s²),

E — a (2aay 4 &8y 4 baX 4 2cSX 4 e²a 4 /S) +-

4 8 (2a!<xy 4 Mt 4 btaX 4- 2ctd\ 4 cta 4 /t8),

F = a (2a(3y 4 b^e 4 6(3X 4 2c sX 4 e$ 4 /£) +

4 8 (2aiP7 4 &iTe 4    +• 2cjeX 4    4

G = a (af 4 Ô7X 4 cX² + ei + f\ + g) +

4 8 («tY³ 4 bi’iX 4 ct\² 4 ^iT 4 ft^ 4* 9\)i

(17) Ax — [3 (aa.² 4 bah 4- c8²) -f £ ("ta² + bxa.8 + ^ô²),

Bi — P (2asa(3 + ôâp 4 6ae 4 2côs) 4 £ (2atap -j- ôjôp 4 bxas 4 2cx8s) Ci = P (ap² + ?;p£ 4 ce²) 4 s (atP² 4 bx$e + c^²),

Ex — P    (2aaY    4    4 iaX 4 2cSX    4    ea. 4 /§) 4

4    e (2a, a? 4-    4    ^aX 4 2c₁5X    4    exa    4 fx8),

Fx    P    (2a^Y    4-    b°\s 4" ôpX 4* 2ceX    4    ^p 4 fë) 4

4    £ (2a,Py 4 &iY£    4    &ipX 4 2cjsX    4*    <%p    4    /i£),

Gx — P («Y² 4 &Y^ 4 cX² 4 6Y 4 /X 4 sO 4

4 £ (<*iY² 4 &iïX 4 qX² 4 CiY 4 /jX 4 Pi)*

Ilości stałe a, p, y, S, s, ^ będą wyznaczone później. Przyjmijmy

teraz, że:

Pi = Ih = ⁽i> (u 4 v),

niewątpliwie równanie (6) przy powyższem założeniu zamieni się na tożsamość:

4>' (u 4 v) —    (^ 4 v)

i pozostanie tylko równanie (7) jako związek:

-Ç$(m4v)4P$(«4ï)4--^=0,

dv du

skąd wypływa: # (u+v) =

Bu 4 2 Gv 4    — 2 Axu — Bxv — F\

(At—A) u²+(Bx—B) m-h(Ci-C) v²+(Ex-E)u+(Fi—F) v+(Gx—G)

(18)

Ażeby jednak po prawej stronie była funkcya u+v, potrzeba aby B-2AX = 2C-Bi, Ai-A= Ci- C,

Bi — B — 2 (Ax —A), Ei — E=Fi-F.

Wówczas istotnie będziemy mieli:

(19) 4> (u-\-v) —

(B—2Aj)(u+v) 4 F — Ei

(Ax—A) (m4®)“ 4 (F\—E) (u+v) 4 Gx—G

Podstawiając teraz w równania (18) wartości (17), będziemy mieli: a (2aap 4 6§P 4 bas 4 2c8s) 4 8 (2axap 4 &i^P 4 bxas 4 2ć₁§e)

—    2p (aa² 4    ba.8 4    c8²) — 2e (ax a² -+- bx a.8 4 c^²)    =

= 2a (ap² 4    &pe 4    cb²) 4 23 (a,P² 4 bx$B    4 cxb²)

—    p (2aap 4    6Sp 4    bas 4 2eSe) — e (2a,ap    4 6tSp 4    byas    4-    2^56);

a (aa² 4 ba.8 4    c8²) 4    § (a^² 4 bxa8 4 c^S²)    — p (aa²    4 ba.8    4    cS²)

—    e (axa² 4 ^aS 4 cx8²) = a (aP²4&Ps 4 cb²) 4 8 (aip²4&iP£4^i£²)

—    p (ap² 4 b$s 4 es²) — £ (axp² 4 &ipe 4 cxs²)-

a (2«ap 4- 88p 4 bas 4 26'8e) 4 8 (2a, ap 4 ^Sp 4 ótas 4 2^86)

—    P (2aap 4 ôôp + 8ae 4 2c8s) — e (2% ap 4 &i8p 4- b^s. 4 2,ct 8e) = 2a (aa² 4 èa8 4 ch²) 4 25 (a^a² 4 bxaS 4 ć^S²)

—    2p (aa² 4 ôa8 4 ch²) — 2s (a,a² 4 bxah 4 qô²);

(a—P) (2aay 4 88y 4 baX 4 2c8X 4 ea 4 /8)

4 (S—s) (2atay 4 &t8y 4 ô,aX 4 2c₁SX 4 et<x 4 ft8) —

— (<*—P) (2«Py 4 &ye 4 &PX 4 2ceX 4 ^p 4 /£) “h 4 (S—s) (2atpy 4 ôiY£ 4 &i(3X + 2cteX 4 Cip 4/i£)

Otrzymujemy tym sposobem cztery równania dla wyznaczenia sześciu wielkości a, p, y, 8, s, X, a więc dwie z pomiędzy nich mogą być dowolnie obrane, naprzykład a = 1, y = 0. Czwarte z wyżej napisanych równań służyć będzie do bardzo łatwego wyznaczenia X, trzy pierwsze zaś równania posłużą do wyznaczenia p, 8, e; ponieważ wzmiankowane trzy równania są trzeciego stopnia względem niewiadomych, stąd po wyrugowaniu dwu pozostałych wielkości otrzyma się dla każdej niewiadowej z osobna równanie 9-go stopnia, które, jak wiadomo, posiadać musi przynajmniej jeden pierwiastek rzeczywisty. Widzimy przeto, że cała trudność zagadnienia doprowadza się do rozwiązania równania algebraicznego 9-go stopnia, a ponieważ algebra zna sposoby znalezienia pierwiastka tylko w przypadku współczynników liczebnych, więc też podobnie zagadnienie całkowania równania danego w postaci (15) rozwiązać będziemy w stanie zadawalniającym tylko w tych razach, gdy współczynniki a, b, c, .. . , a,, bx, ct, . . . będą pewne liczby. Gdy już wszystkie liczby P, 8, e, X będą wyznaczone, pozostanie nam obliczyć wartości A, B, C, . . . ,At, Bt, Ct,. . . przy pomocy równań (17) i odnaleść czynnik całkujący z kwadratury:

log |i —

___(B—2Ai) (u+v) + F — Ex

(At—A) (u+v)² 4 (Ei—E) («4») 4 G-i—G

d (uĄ-v).

Poczem pozostanie już bardzo łatwe całkowanie równania (16) i powrócenie do zmiennych pierwotnych x i y na mocy związków (2),

IL

O CAŁKOWANIU RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH CZĄSTKOWYCH

RZĘDU 1-go ¹).

Niech będzie dane równanie różniczkowe cząstkowe w postaci

ogólnej:

(1) . . . . F(p, pt, p₂, .. . ,pn, u, x, xu x₂, . . . ,xn) = 0,

du

w której Pi — -r—, (i = 0, 1, 2,. . . ,«); u oznacza zmienną zależną, za-

U3C%

chodzącą wyraźnie w równaniu danem, zaś x, xx, x₂,... ,xn oznaczają zmienne niezależne. Przypuśćmy, że istnieje równanie różniczkowe zupełne:

(2) .... du — sdx -f Sidxt + s₂dx₂ + . . . + sndxn,

w którem współczynniki s} st, s₂, ... ,s„ są pewne funkcye wszystkich zmiennych u, x, x1} x₂,. . . ,xn, czyniące zadość znanym warunkom całkowalności:

(3)

— + — St = — + — Si, {i, Jc = 0, 1, 2, . . . ,n kombin). dxk du    dXi du

Oprócz tego wiemy, że różniczka zupełna zmiennej zależnej przedstawia się tak:

(4)    .... du =. pdx + ptdXi -f p%dx₂ 4- . • . +pndxn.

Jeżeli teraz równania (2) i (4) odejmiemy, to otrzymamy:

(p—s) dx 4- (Pt—Si) dxi 4- (Pz—s₂) dx₂ + ... + (pn—sn) dx„ = 0.

Gdyby takie równanie istniało w rzeczywistości, wówczas ustanawiałoby ono związek pomiędzy zmiennemi niezaleźnemi xi, co jest niemożliwe, a więc musi być:

P — s = 0; pi — st = 0; p₂ — s₂ = 0; . . . ;p„ — s„ = 0;

Skutkiem tego równanie dane (1) możemy jeszcze napisać tak:

.    . F (s, Si s₂, . .

(5)

(6) . .

Sn, U} X,    X2} . . , Xn) — 0,

to znaczy, że wielkości pi zastąpiliśmy przez wielkości s*, które czynią zadość warunkom (3). Ażeby znaleść sposób całkowania równania różniczkowego w postaci (6), zróżniczkujmy to równanie według każdej ze zmiennych niezależnych Xi, wówczas otrzymamy n 4-1 takich równań:

\ , àF /dst

dst

àF/± ₊ às

ds \dxi du

_j_ dF /ds2 ₊ ds^ ds₂ \dxi du

+ ~p, + d-^= 0,    « = 0,1,2,...,»).

— 4" dXi du

Pi) 4- . .

. 4- —

dF /dsn

dsn

(

ds„ \àXi du

— 4- —

Pi) +

du

dxi

Gdy teraz uwzględnimy związki (5) oraz (3), natenczas zamiast powyżej napisanego układu będziemy mogli utworzyć' taki układ równań:

dF /ds

dsi

ds

dx du

\ dF /dsi

s)⁺^(

dsi

4* — dxt du

ds₂ \dx₂    du )

• 4- —

dF /dsi

_

dSn

dsi

ÔU **) ⁺ du

4- —

dF dF

— Si -f — = 0.

dXi

czyli:

(?)

dF dsi ^ dF dsi    dF dsi

ds dx dst dxx ds₂ dx₂

dsn dxn

\(/5    /

dF dF

---Si.

dxi du

(i = 0, 1, 2, ... ,n).

Układ ten, jak wiadomo, prowadzi do całkowania następującego układu o różniczkach zupełnych:

dx dxx dx ₂

àF~àF ~dF ~~ ds    dsx    às₂

dxn

du

dF dF dF dF    , dF

dis + dVls‘⁺dT^⁺-- ⁺ à7.s"

ds„

ds

dsx

ds₂

dF _ dFs dx du

dF

dF

dF

dF

dxx

du Si

—--s₂

dx₂    du

dSn

dF _dF

dxn du

Jest to układ 2n+2 równań, posiadających 2n+2 całek, które mogą być zawsze podzielone na dwie kategorye. Po pierwsze, n-pi całek zawierających jawnie zmienną w, oraz wielkości Si i po drugie n +1 całek bez tychże wielkości. Niechaj więc pierwsza połowa całek układu będzie:

(9)    .    • '-Pr (s, Sx, S₂, . . . , S», U, X, X\, X₂, . • . , Xn} Cl, (Xx, Cl₂, . . . , Qn) — 0.

(r = 0, 1, 2, . . . ,n),

gdzie a, a,, a₂, ... ,an oznaczają ilości stałe, wprowadzone przez całkowanie. Gdy do tego dołączymy jeszcze równanie dane w postaci (6) i wyrugujemy z układu równań (9) (6) n+1 wielkości pomocniczych s, s₂, . . . ,sn, otrzymamy jako wynik rugowania jeden jedyny związek w postaci::

(10) .

.    .    <I> (u, x, Xx, x₂, . . . ,x„, a, aa₂, ... , an) — 0,

z którego gdybyśmy wyznaczyli wartość zmiennej u i tę wartość pod-

Ô'IC

stawili w równanie (1), gdzie wogóle p, = —, musielibyśmy otrzymać

tożsamość; albowiem równanie (6), użyte do wzmiankowanego wyżej rugowania, jest niczem innem, jak tylko równaniem (1) ze zmianą głosek pi na s{. Tak więc nie ulega najmniejszej wątpliwości, że związek (10) przedstawia nam całkę szukaną równania (1). Sposób, opisany wyżej, jest najłatwiejszym ze wszystkich znanych sposobów. Upraszcza on metodę, którą niepotrzebnie uwikłał Jacobi, za Jacobim zaś szli utrudnioną jego drogą wszyscy inni matematycy.

Jak widoczne z powyższego uważamy zupełnie za zbyteczny warunek, ażeby równanie dane (1) nie zawierało jawnie zmiennej zależnej u. Warunek ten był niezbędnym dla Jacobiego i posłużył tak jemu jak i jego następcom do wysnucia metod całkowania dość złożonych i do objęcia trudnych. Nie należy przypuszczać, że sposób wyżej wyłożony nie stosuje się do przypadku rozważanego przez Jacobiego. Przeciwnie, w tym szczególnym przypadku cała metoda

postępowania jeszcze bardziej ułatwia się. W rzeczy samej, równanie (1) teraz będzie napisane bez zmiennej u, która wyraźnie nie zachodzi

(U) .

•    •    • F (p, p1: p₂,... ,Pn, X, X„ X₂, . . . ,Xn) — 0.

a więc w tym przypadku mamy:

dF

— = 0, s, = pi

du

Skutkiem tego układ (8) przybierze postać taką:

Cu Si. ^ ^ £

,o, i <a.

a.

"O 'O

to

dp

dp, _ dp₂

dp n

dF

dF

ÔF

ÔF

àx

dx,

dx ₂

àxn

Ponieważ zmienna zależna u w spółczynnikach powyższego układu nie zachodzi; więc zagadnienie doprowadza sią, po pierwsze, do całkowania układu:

(12)

dx

dx.

dx ₂

dxn

dp

dpi

dF    dF    dF_

dp    dp,    dp₂

dp₂

~ ~~dF

dF

dF

dF

dpn

dp„

dF’

dx

dx.

dXn

dx₂

oraz po drugie, do jednej kwadratury:

(13)

u -j- c~

dF dF dF . dF

¥p + ¥,p,+W/*⁺

dF

dx.

dp

Zamiast jednak szukania całki w postaci (13), możemy postępować zupełnie tak, jak poprzednio w przypadku ogólnym. Znajdziemy nasamprzód n-\-1 całek układu (12), zawierających wielkości pt, jako:

• ’ • fPnj    X₂, • • - i^n, Æ, > ^2) • • • » ^») - 0.

. (r = 0, 1, 2, . . .,»)

i następnie, dołączywszy jeszcze równanie dane (11), wyrugujemy

wszystkie wielkości pi, niedbając zupełnie o to, jakie są te wielkości. Jako wynik rugowania będzie jeden jedyny związek:

$ (X,    X^ • » •    O")    • • • ; ®«) 0

który będzie całką układu (12); takie to wyrażenie, położone na miejsce u w równaniu (11) czynid będzie temuż równaniu zadość tożsamo-ściowo; więc całką szukaną równania danego (11) będzie:

u = <i> {x, xl} x₂, . . . }x„, a, at, a₂,. . . ,an) + stała.

Jeżeli istotnie taką jest całka równania (11), wówczas, różniczkując ją po kolei według parametrów a,-, i przyrównywając otrzymane wyniki nowym stałym bi} powinniśmy znaleść pozostałe w+1 całek układu (12). Nie będziemy przytaczać tutaj tego prostego dowodzenia, które jest powszechnie znanem, i między innemi znajduje się w dziele Wł. Zajączkowskiego: „Wykład nauki o równaniach różniczkowych” str. 645 i następne. Do dzieła tego odsyłamy czytelnika.

O CAŁKOWANIU RÓWNANIA RÓŻNICZKOWEGO O RÓŻNICZKACH ZUPEŁNYCH Z WIELOMA ZMIENNEMI.

W pracy niniejszej zebraliśmy wszystko, co tylko powiedzieć można o całkowaniu jednego równania o różniczkach zupełnych z wieloma zmiennemi. Początkowe prace Eulera, Nataniego, Du Bois Rey-monda, Pfaffa i Bertranda rozwiązały tylko połowę zagadnienia. Streszczenia moich prac, umieszczone w pismach Akademii paryskiej w r. 1892 i 1894, wskazały, że zagadnienie nie jest jeszcze całkowicie objęte. Obecnie przystąpimy do jaknajszczegółowszego rozwiązania całego zagadnienia, wysłowionego w nagłówku.

§ 1. Niech będzie dane równanie różniczkowe:

(1)

X\dx\ -f- X₂d*i/2 H⁻ . . . -f- Xndxn — 0,

które określa tylko jedną zmienną zależną xn. W tym przypadku wyrażenie:

(2)

dxn —

X„

dxy —

X₂

X»

dx₂ — . .

X—i

xn

dXn—1

będzie przedstawiało różniczkę zupełną zmiennej xn, przeto konieczne będą warunki:

àxt

dxk

A /    x*\ _j_ A / x*\dXn

dXi \    X,J dx„ V    X,J

A/ Ią , A/ A dx*

dxk \ XJ dxn \ XJ

Ponieważ z (2) widoczna, że:

(3)

dXn

Xr

dxr

Xn

więc też powyższe warunki, po podstawieniu wartości (3), przybiorą, znaną postać, którą dla ułatwienia przedstawiamy symbolicznie tak:

(4) . . .    (n, i, l) = 0, {i, l — 1, 2, . .

n—1 kombin.).

Dalej przyjmijmy, że:

(5)

f (Xl) X2) • • • ) Xn) - G

wyobraża całkę szukaną równania danego (1), więc różniczką zupełną będzie:

dxt +

àf

dx₂

dx₂ + . . . -f- — dxn — 0.

àxn

Gdy teraz z ostatniego wyznaczymy wartość dxn i tę wartość podstawimy w równanie (1), wówczas otrzymamy widocznie z powodu niezależności pozostałych różniczek:

X

" ¹ dxn

(6)

— Xn~ = 0,

#=0,..

Y àf    j _

^3    -A.» T " -

dxn

dx₃

x -l

² dxn

àf

-Xn-r- = o,

dx₂

àf

—Xn

dxn

-#- = 0.

àXn-1

Ten układ równań różniczkowych cząstkowych całkuje się bardzo łatwo. Mianowicie, napiszemy tylko pierwsze równanie z układu (6) i zastąpimy je przez równoważne równanie o różniczkach zupełnych.

(7)

dxn

dxt

czyli Xidxt + Xndx„ = 0.

Xt -X/

Wykonamy całkowanie ostatniego równania, uważając zmienne x₂, x₃, . . . ,x„-i jako pewne stałe. Niech więc całka będzie:

(8)

......<Pl 0*1, X2j • * * 7 Xn) = «1-

Możemy nadal przypuszczać, że funkcya dowolna:

<hi (a1; x₂) — a₂

je ;t całką nietylko pierwszego, lecz jednocześnie i drugiego równania

dat dat dx„

²(

)-x”(

dx ₂

(9)

dx₂

-1 tXl - X Xn V dxn

04»! dax dat dx₂

dat\

n I

dx₂) da.

) = 0, czyli:

= 0.

Jeżeli teraz przy pomocy równania (8) wyrugujemy z (9) wielkość %n, wówczas zmienne xif x₂, ... , xn-i same znikną i współczynnik równania (9) stanie się wyłącznie funkcyą samej zmiennej a,. Istotnie, możemy dowieść, że wyrażenie:

(10)

J_ /V i _ y óx±\ _ X„ V *dxn AndxJ

będzie również całką pierwszego równania (6). Pisząc wzmiakowane równanie tak:

(11)

da.

X,—~ Xn

da.

dx„

dxx

i kładąc zamiast a, wyrażenie (10), otrzymamy:

(12) X,

r-(~9

là* \xj

da.

dxn

X₂ d²a,

d²a,

da.

Xï-ii dX ji

dx₂ dxn

dXn

X₂ da«,

~X.fi ôx-fi ôx\

d²«, dx₂ dxl

= 0.

mieli:

Różniczkując dalej równanie (11) według zmiennej a?2; będziemy

_l_ da, dX, _ x dxn dx₂

d²a,    da, dX„

dxx dx₂    dxx dx₂

Xt-^L_ dx₂ dx„

podobnie możemy zróżniczkować (11) według xn:

= o,

d²a, da, dX,

A, —₂ -I- —- —    A„

oxn ox„ oxn

d²a,    da, dXn q

(Jxt dx„    dxt dxn

wielkości:

Po wyrugowaniu z (12) przy pomocy ostatnich dwu równań

d²a,

dx₂ dxi

otrzymujemy:

d²a,

dx₂ dxn ;

oraz

(13)

da.

dr

Tx,—Pb J àx.KxJ

- X.

(I)

dX, X₂ dX,

dx₂

¹

Pracę niniejszą, przesłałem Akademii paryskiej w roku 1902 i jakkolwiek nie była ona drukowana w Comptes rendus, to jednak tytuł nadesłanej prze-zemnie pracy był ogłoszony w pismach Akademii; co oznacza, iż potwierdzono słuszność moich wywodów i uproszczeń. Pierwotnie zdawało mi się, że cały układ pomocniczy powinien byó w zupełności przecałkowanym, co, rzecz prosta, utrudniało zagadnienie z przyczyny dużej liczby całkowań. Wkrótce potem spostrzegłem, że najzupełniej wystarcza tylko połowa całek układu, a więc liczba całkowań nie jest nigdy większą, aniżeli w sposobie Sophusa Liego. Ten fakt skłonił mię do powtórnego podjęcia tej ważnej, jak mniemam teoryi.

O,

ax„ ₊ x₂«.-i = 0j

^2 X» dxn J ponieważ jednak z (111 wypływa:

da, _ X, da,

dxi

Xn Ó.'!,n

więc teraz równanie (13) może być napisane tak;

ôr!rôx₁_ôJk + xl

dxn |_ dx₂ dxt X

Jest to niewątpliwie tożsamość, bowiem wyrażenie w nawiasach jest jednym z warunków całkowalności (4). Tak więc po wyrugowaniu wielkości xn z współczynnika równania (9) przy pomocy (8), będzie ono miało kształt tylko taki:

i /àXt n V àXn

dXn

dx₂

X₂ (dXn dXx

Xn

dxx

dxn

)]

= 0.

—¹ + M —¹ = 0,

dx₂

da.i

gdzie M przedstawia dobrze określoną funkcyę samej zmiennej ax. Skutkiem tego możemy całkować wyrażenie:

dx₂ —: —

i otrzymamy całkę wspólną pierwszych dwu równań układu (6) jako:

dci.₁

x₂ =

M+a*’

którą dla ogólności napiszemy:

(14)

cp₂ (a?₂, aj) = a₂.

Dalej podobnie będziemy przypuszczali, że pewna funkcya:

d>₂ 0₂, xs) = e

będzie czyniła zadość także i trzeciemu równaniu z układu (6). Będzie więc podobnie, jak poprzednio:

dd>₂

— (x3 Xn V

.***Ł=a

dx₃J da₂

Jeżeli następnie z współczynników powyżej napisanego równania wyrugujemy zmienną x„ przy pomocy równania (14) cp₂ (&2, ?i) — natenczas i pozostałe zmienne x1; x2} . . . ,#„_i same zniknąć muszą i skutkiem tego współczynnik równania (15) stanie się tylko funkcyą samej zmiennej a₂. Dowieść tego możemy sposobem następującym: Wyrażenie, które widzimy jako współczynnik w (15):

(15)

dx₃

dx„

(15a)

dxn

da₂\

dx₃)

jest jednocześnie także całką równania drugiego z układu (6). W rzeczy samej, napiszmy wspomniane drugie równanie tak:

(16)

da₂

da₂

dXn

dx₂

i kładąc w ,niem na miejsce a₂ całe wyrażenie (15a), będziemy mieli:

()²a₂

(17) X₂

r - i*i

[_dx„ \Xj

_- . X3 d²a2 '    ⁺ .V, dxî

da₂

àXn

X₃ d²a₂

àx₃ dxn d²a₂

]-*•[£©

àx.

dxn

Xn dæ₂ dxn

dx₃ dx₂

= 0.

Zróżniczkujemy jeszcze równanie (16) według zmiennej x₃:

Ó²«2_ _ <^2    _ q

dx₂dxs dx₂ dx₃

^2 àXi _ x dxn dx₃

X₂

d²a₂

dx₃ dxn

tudzież według xn:

d²oc₂ da₂ dX2 v d²a₂ da₂ dX„ n

-A_2    2~ I    -A.» - — ---- U

da?„ d#„ dxn    dx₂ dxn dx₂ dx„

natenczas będzie:

i przy pomocy tych dwu ostatnich równań wyrugujemy z (17) d²a₂ . d²aa

dx₃ dx„ dx₃ dx₂ ’

da₂

dx„

L dXn\Xj

+ ^ — X,—

dx₂\Xj

dx₃

Xg dX{\ X»

da₂

dx₂

**• +

= 0.

Oprócz tego z (16) wypływa:

da₂

X₂ dotą

Xn dXn

więc też zamiast poprzedzającego będziemy mieli widoczną tożsamość

dx₂

rrr

d«₂

dx

J àxn\Xj

dx₃

dx₂

Xg dXa _ X, dX,

A ;[ ÙXji ~X.fl dj/g

. * * $£f] = o " X. X, <te„J

Z tego wnioskujemy bezpośrednio, że równanie (15), po dokonaniu rugowania zmiennej x„, musi mieć taki kształt:

(18)

d9

d<ł>

dx

da₂

gdzie A oznacza dobrze określoną funkcyę samej zmiennej a₂, jako całki poprzedzającego równania. Nakoniec od równania (18) przecho-

dzimy do równoważnego dx₃ — —- i wykonywamy kwadraturę:

da₂

xs =

którą dla ogólności napiszemy tak: (19)

Postępując i dalej tą samą drogą i rozumując'zupełnie podobnie przy każdem z równań układu (6) po kolei, otrzymamy n—1 równań całkowych:

(20)

?i (xlf x2, • • • , xn) — a1,    G*a, ai) =

(^3j ^2) ®3; • • • ; T**⁻! i.Xn—1;    2) C,

gdzie już ostatnia stała c jest bezwzględnie ilością stałą dowolną.

Dalej z całego układu n—1 równań całkowych (20) łatwo będzie wyrugować n—2 wielkości a,, a₂, a₃, . . . , a„_₂ i otrzymać jeden związek

f ((£,, ^27 • • • ; ^») C;

który będzie wymaganą całką równania danego (1).

Opisaną powyżej metodą dowiedliśmy więc następującego twierdzenia: „Ażeby przecałkować równanie o różniczkach zupełnych z wieloma z mienne mi niezależne mi, wystarczy całkowanie jednego tylko równania z dwiema zmienne-mi Xtdxt + Xndxn = 0 i następnie n — 2, 'idących po kolei, kwadratur ”.

§ 2. Przystępujemy w dalszym ciągu do rozważania drugiego przypadku, w którym równanie dane (1) posiada tylko dwie zmienne zależne x„-i, xn, a wszystkie pozostałe zmienne xx, x₂, . . . ,av_₂ są niezależne. W omawianym przypadku przypuszczamy istnienie układu dwu równań:

dxn—i — i dxt + A.n—\, 2 dx₂ -f- . . . •+• -óU—i, n_₂ dxn—₂, d#» = i (Za;, -j- An, 2 ^2 -p • • • H~ An, n—2 dxn _₂,

(21)

z których .można będzie po przecałkowaniu odnaleść obie całki żądane, jeżeli tylko poznamy uprzednio wartość wszystkich współczynników A. Dążąc do tego celu, wyrugujemy z równania (1) dwie różniczki zmiennych zależnych (21); wówczas skutkiem zupełnej niezależności pozostałych zmiennych otrzymamy:

Postępujemy dalej zupełnie podobnie, jak powyżej, i po wyrugowaniu z (23) wielkości A-i, i, A-i, 2, • . . , A-i, »-2, tak samo otrzymuj emy :

(r = 1,2,.. . ,n — 2).

Oprócz tego muszą jeszcze istnieć dla współczynników równań (21) znane warunki całko walności:

(23) (An—1, i )& (An—1, k)i 5 (An, i)k —— (An, k)i (Ź, & -— 1? 2, . . . , Tb 2 komb.),

gdzie dla krótkości wprowadziliśmy symbol nawiasowy:

( )r = ~— + A-l,r —--b A

OXr    OXn— i

W, 7’

= o,

r

dxn

Wyrugujemy dalej z równań (23) nasamprzód wielkości A„, i, . ,A„tn-2 przy pomocy związków (22) i potem jeszcze wyłą-

n, 2 , • •

czymy różnice:

(24) .

d A-i, i

dAn—£

dxk

dXi ¹

natenczas dla każdych trzech wskaźników i, Tc, l bez trudności otrzymamy:

An-i,i(n, n—1, Tc) — An-i,t(n, n—1, i) = (n, Tc, i), A„-i,i(n, n—1, l) — An-i,i(n, n—1, i) = (n, l, i), An-i, k (n, n—1, l) — A-i, i (n, n—1, Tc) = (n, l, Tc),

gdzie symbol nawiasowy oznacza wogóle:

àXi_à_Xt dxt dxs

(25). . .

(26) (r, s, t) = Xr (

) + x,

/ \dxr

ÔXr

dxt

) + X,0--T~)-

/    \ oxs oxr /

i An,i (n—1, n, Tc) — A„, k(n—1, n, i) = (n—\, Tc, i),

(27) . . . I An, t (n—1, n, T) — An,i(n—1, n, i) = (n—1, l, i),

( An, k (n—1, n, i) — An,t (n—1, n, Tc) = (n—1, l, Tc).

Ponieważ każdy z dwu wskaźników p, a otrzymuje wszystkie wartości od 1 do n—2, więc też liczba takich równań, jak powyższe, będzie (n—2) (n—3) i oprócz tego n—2 związków (22); tedy razem mamy n—2 -f (n—2) (n—3) równań.

To daje nam pozór, jakoby wszystkie wielkości A mogły być z tych równań wyznaczone. Atoli przy bliższem obznajmieniu się z powyżej napisanymi układami, spostrzegamy, że wyznacznik, tak w układzie równań (25), jak i w (27), jest tożsamościowo równy zeru, jako skośny symetryczny nieparzystego stopnia. Co się zaś tyczy warunków całkowalności, to te bardzo łatwo otrzymują się po wyrugowaniu wielkości An-J%s z równań (25), oraz wielkości A

z równań

(27) , wówczas będziemy mieli takie związki:

(28)    (n, n—1, l) (n, li, i) — (n, n—1, F) (n, Î, i) + (n, n—1, i) (n, l, li) — 0, tudzież:

(28') (n—1 ,n, T)    li, i)—(»i—1, n, h) (n—1, l, i) -f {n— 1, n, i) (n—1, l, F) = 0,

(i, Je, l = 1, 2, .. . ,n—2 kombinac.).

Takim sposobem w przypadku istnienia tylko dwu całek równania (1), mamy:

2 (n—2){n—3) (n—4)

1.2.3

niezbędnych i wystarczających warunków dla samych współczynników Xs. Te warunki, jak widzimy, mają postać funkcyj Pfaffa rzędu 2-go, które symbolicznie pisać możemy tak:

(29) . ... {n, n—1, l, li, i) = 0, (n-—1, n, l, h, i) = 0.

Ażeby teraz dojść do sposobu całkowania, różniczkujemy równanie (22) według zmiennej niezależnej xs :

(30)

dXr dXr

d~ —— A„'S + X„-i (

OXfi    \

ÓAn—i, r

dAn—1, r

dxs

ÔXn—1

dA,

àx„

An, s

"T An—\, r

Ô X^n—1 , d X^n—\

dxs

dxn

An—x, s

ÔXn— 1

dxn

+ X,

àAn, r

àAn, r

dxs

ÔXn—\

An-}, s d“

àAn, r

ÔXn

n, s

-f A

n, r

ÏÔXn \ dxs

dXn

,    ÔXn ,

An—l,s d---A

) = 0, (r, s =

1, 2, . . . , n—2 komb.)

ÔXn—1

przy różniczkowaniu w powyższem mieliśmy ustawicznie w pamięci, iż na mocy (21) jest:

dxn

dx

dxs

dxs

w, s •

Równanie (30) możemy prościej pisać symbolicznie tak:

(.Xr)₅ T Xn—1 (An—\,r)s -j- An—\, r (A„_i)s -j- Xn (An,r)s “I" An, r (Xn)s 0.

Zupełnie podobną drogą otrzymamy jeszcze i takie drugie równanie dla wskaźników s, r:

W końcu, odejmując jedno od drugiego, uzyskamy:

(Xr)s    (Xg)r "f" An—1,r(Xn—l)s    An—1, s(Xn—l)r “I⁻

“I⁻ An,r(Xn)s An, s (Xn)}-    0,

czyli, pisząc bardziej szczegółowo, będziemy stąd mieli:

( dXr _ dX*-i\

\ dx„-\ dxr )

(31)

dXr dX,

dxs dxr

+ An—1,

fàXr _

\ dxn àxj

dXt dXn-i

dxn—i

dxs

». r

/àx

\dxn

dXn

dxs

+ {An—1, r An, s A

n—1, s

An, r

/ dXn—1

V dxn

dX„

dxn—i

)=°

(r, s, = 1, 2, . . . ,n—2 kombinac.).

Opisaną wyżej metodą otrzymaliśmy więc £ (n-2) (n—3) równań algebraicznych (31), które w połączeniu z równaniami (22), (25) i (27) łatwo dają moźnośd obliczenia wartości wszystkich współczynników A. Gdy to będzie wykonane, pozostanie tylko przecałkowac znanymi sposobami układ (21).

§ 3. Roztrząsać będziemy dalej ten przypadek, gdy równanie (1) posiada trzy całki, którym odpowiada układ równań zwyczajnych:

(32)

dxr — Ar, i dxt + Ar, ₂ dx₂ -f . . . + Ar, n-3 dxn-3 (r = n—2, n—1, ri).

Współczynniki powyższych równań spełniają warunki:

(33)

(Ar, i)k — (Ar, k )i i

n— 3 kombin.),

(r = n—2, n—1, n\ i,k — 1, 2, . .

gdzie symbol nawiasowy oznacza:

s=n

dxk

s=n—2

dxs

Podstawmy w równanie (1) zamiast różniczek zmiennych zależnych ich wartości (32), wówczas stanie się widocznem, iż:

Xi + Xn—2 An—2, i + Xn—1 An—\, i + XnAn, i — 0

(*’ = 1, 2,...

(34)

Następnie wyrugujmy z równań (33) wielkości An,i przy pomoc3r związków (34) i pozatem wyłączmy jeszcze wszystkie różnice:

à Ar, i

àAr, k

dxk

dXi

> to

s°

natenczas bez szczególniejszych trudności otrzymamy:

A„-2, i (n, n—2, Tc) — A„-₂, k (n, n—2, i) + A-i, i (n, n—1, Tc)

(35)

n—], k

(n. n—1, i) + (A„—2, k An—i, * — An—2, iAn—\,k) (w, w—1, n—2)

(i, * = 1, 2,..

n—3 kombinac.).

— (», fc, «');

Zupełnie podobną drogą uzyskujemy drugi taki układ, który daje się łatwo napisać z poprzedzającego, zmieniając wskaźniki n—1 na n i naodwrót, będzie tedy:

(36) An-2,i(n—1, n—2, Tc) — An.~₂, * (»—1, w—-2, i) + -4», i (w—1, n, Tc)

An, k (Tl 1; Tl y i) "f" (An—2, k An, i An—2, i An, k ) (jl 1, Tl, Tl 2) - (Tl 1, Tc, i).

Nakoniec tak samo ze zmianą w (35) wskaźników n—2, oraz n, jednych na miejsce drugich, będziemy mieli:

An,i(n—2, n, Tc) — An,k(n—2, n, i) -f An-\,i(n—2, n—1, Tc)

(n—2, n—1, i) + (A„,kAn-i,i— An,i An-i,k) (n—2, n—l, n)

— (n—2, Tcy i).

Jeżeli równanie (35) napiszemy nasamprzód dla wskaźników i, Tc, potem dla i, l i nakoniec dla wskaźników Tc, l i jeżeli następnie z tak otrzymanych równań wyrugujemy wielkości An-i,i, An-\,k, i An-j,i natenczas otrzymamy takie jedno równanie:

(in, n—1, n—2, l, Tc) — An~₂, k (n, n—1, n—2, l, i)

+ An-2,i(n, n—1, n—2, Tc, i) = — (n, n—1, l, Tc, i).

Podobną metodą postępowania z równania (36), a potem i z (37) uzyskujemy jeszcze równania następujące:

(38a)    A„-i,i(n, n—1, n—2, l, Tc) — An-\,k (n, n—1, n—2, l, i)

+ An-\,i(n, n—1, n—2, Tc, i) = (n, n—2, l, Tc, i),

An, i (n—1, n, n—2, l, Tc) — A„,k(n—1, n, n—2, l, i)

+ An, i (n—1, n, n—2, Tc, i) — (n—1. n—2, l, Tc, i)

(i, Tc, l — 1, 2, . . . ,n—3 kombinac.).

W powyższych równaniach symbole nawiasowe oznaczają funkcye Pfaffa, które łatwo tworzą się na zasadzie takiego ogólnego wzoru:

(a, b, c, d, e) = (a, b, c) (a, d, e) — (a, b, d) (a, c, e) + («, Tj, e) (a, c, d);

trzycyfrowe symbole (r, s, t) oznaczają to samo, co już mieliśmy (26).

Gdy teraz wybierzemy cztery różne między sobą wskaźniki i, Tc, l, m, i według (38) napiszemy dla nich układ, wówczas będzie:

(37)

(38)

oraz

n—1, k

An—2, i

(n, n—1, n—2, l, le) — A„_₂,*(w, n—1, n—2,    i)

(39)

s.*¹

n-2, i

+ A„-₂,i(n, n—1, n—2, le, i) = — (n, n—1; l, le, i)-An-2,i(n, n—1; n—2, m, le) — A„—₂, k(n, n—1, n—2, m, i)

+ An—2,m (n, n—1, n—2, le, i) — — {n, n—1, m, le, i);

(n, n—1; n—2, m, l) — An_₂, i (n, n—1, n—2, m, ï)

+ An-₂,m (n, n—1, n—2, l, i) = — (n, n—1, m, l, i); An-2,k(n, n—1, n—2, m, T) — A„-2,i(n, n—1, n—2, m, le)

+ An—2, m (w, n—1, n—2, l, le) — — (n, n—1, m, l, le)

(■i, le, l, m — 1, 2, . . . ,n—3 kombinac.).

Rzecz jasna, otrzyma się jeszcze podobny układ przez zamianę w powyższem wskaźników n—2 na n i odwrotnie, a także przez zamianę n—2 na n—1. Wyznacznik tak utworzonych układów nigdy nie będzie zerem, jako skośny symetryczny parzystego stopnia, a więc każdy układ rozwiązuje się wprost i daje nam łatwo wartości dla współczynników A, poczem pozostaje już tylko całkowanie układu równań (32). Co się tyczy warunków całkowalności dla samych współczynników Xs, to będą to funkeye Pfaffa rzędu 3-go:

(n, n—1, n—2, t, m, l, le, i) = 0; (n—1, n, n—2, t, m, l, le, i) — 0;

(w—2, n, n—1, t, m, l, le, i) — 0,

których liczba będzie, oczywiście, taka:

g (n—3) (n—4) (n—5) (n—6) {n—7) ÏT2.3.4.5

Warunki te łatwo wyprowadzić, wyłączając współczynniki A z równań (38) i (34). Ażeby uniknąć rozwlekłości, opuszczamy tę łatwą rzecz, odsyłając czytelnika do pracy mojej (Comptes rendus n. 11 — 1894, II).

W dalszym ciągu moglibyśmy roztrząsać ten przypadek, gdy równanie (1) posiada cztery całki. Sposób postępowauia w tym razie byłby taki, jak dla dwu całek. W przypadku następnym, gdy równanie (1) posiadałoby pięć całek, metoda całkowania byłaby taka sama, jak dla trzech całek i t. d.

§ 4. Weźmiemy pod uwagę teraz ten ważny przypadek, gdy równanie dane o 2n zmiennych posiada n całek. Przypadkiem tym zajmował się Pfaff i skutkiem tego tak wysłowione zagadnienie słynie w nauce pod imieniem znakomitego wynalazcy, który pierwszy je

natenczas po dokonaniu łatwych uproszczeń, otrzymamy:

r=n—1

. ^ A„+r,i(2n, n-\-r,h)— V An+r,k(2n, n+r, i) +

r=l    r—1

p,<t

rozstrzygnął. Metoda, którą poniżej wyłożymy, będzie zupełnie różną od metody Pfaffa, będzie ona, rzecz prosta, dałszym ciągiem tych sposobów, które dotąd wyłożyliśmy.

Niech będzie dane równanie różniczkowe o 2n zmiennych:

(40) . .

w którem współczynniki nie spełniają żadnych warunków, a więc równanie dane zawiera n całek, czyli liczba ich równa się połowie liczby wszystkich zmiennych. Napiszemy układ równań zwyczajnych, odpowiadających rzeczonym całkom:

(41)    .    . dxnĄ.r - An^.r< i dxk -j- AnĄ.r> 2 dx% -f* . . . -f- AnĄ.r^ n dXn

(r— 1, 2, ... , w).

Wiadomo, że współczynniki tego układu spełniać muszą warunki:

• • .....(An-j.r> i )* (-4»-\-r, k )i

(r = 1, 2, . . . , n\ i, k = 1, 2, . . ., n kombinac.),

gdzie symbol nawiasowy oznacza:

\    s=n

+v A

dxk

(42)

( )* =

dXn-\-s

Nadto, gdy wartości różniczek zmiennych zależnych (41) podstawimy w równanie (40), wówczas współczynniki tak otrzymanego równania muszą być zerami, skutkiem zupełnej niezależności pozostałych różniczek. Będzie więc:

S~1

(43) .

• Xi -f- Xn-\-\AnĄ.i'i -f- X„+2-4»-|-2, i    + X2nA2n>i = 0

{i — 1,2,..., n).

Dalej wyrugujmy wielkości A2n,i, A₂„,₈, . . . }Aÿfti„ z równań (42) i potem wyłączmy jeszcze różnice:

ÓAn-j-r, i

àAn-i-rt k

àxk

dxi

, (i,h=. 1,2,..., n—1 komb.),

2 (An±p,k An+qi i— A„+PtiAn+q,k) (2n, n+q, n+p) — (2», Jc, i) = 0 lc> i (Jc, i = 1, 2, . . . ,n\ p, q = 1, 2, . . . ,n—1 komb.);

znaczenie symbolów trzycyfrowych (r, s, t) jest to samo, co poprzednio (26). Jeżeli teraz z układu równań (44) wyrugujemy wszystkie wielkości A za wyjątkiem tylko An+i,i, An+i,₂, • • • ,An+i>„, to otrzymamy tym sposobem n—1 równań:

(45)

An+i< x (2n, 2n—1, . . . , 3, 2) — An+iy 2 (2n, 2n—1, . . . , 3, 1) + An+i, 3 (2n, 2n—1,... ,4, 2, 1) — ... (—\)n^¹ An^ n(2n,..

n-f 1,

n—1, . . . ,2, 1) = (—l)»-H+i (2n, . . . ,n+i+1, n+i—\, . . . ,2, 1)

{i — 1, 2, . . . ,n— 1).

Tutaj każden symbol nawiasowy zawiera tylko 2n—1 liczb, tak, że w pierwszym brakuje liczby 1, w drugim 2,..., w w-tym brakuje n\ nakoniec po prawej stronie znaku równości są w nawiasie wszystkie liczby za wyjątkiem n+i. Co się tyczy znaczenia omówionych wyżej symbolów, to są one pewnemi funkcyami Pfaffa, które łatwo możemy tworzyć podług następujących kolejnych wzorów:

(a, b, c, d, e) — (a, b, c) (a, d, e) — (a, b, d) (a, c, e) + (a, b, e) (a, c, d),

O, b, c, d, ej', g) = (a, 6, e) (a, d, e,/, ÿ) — (a, 6, d) (a, c, ej, g)

+    (a,    b, e)    {a,    c,    d,/, #) — (a, 6,/) (a, c, d, e, $r) -j-    (a, 6, #) (a, c,    d, ej),

+ {a, b, i) (a, c, d, e, f, g, h) i t. d.

Pisanie takich funkcyj nie przedstawia trudności, albowiem w trzycyfrowych symbolach zmienia się kolejno tylko cyfra trzecia, w dopełniających zaś symbolach wielocyfrowych zawsze pozostaje bez zmiany tylko cyfra pierwsza, do której przypisuje się wszystkie cyfry nie znajdujące się w symbolu poprzednim. W symbolach trzycyfrowych (26) wzajemne przestawienie dwu liczb prowadzi za sobą zmianę znaku, tak naprzykład:

(a, b, c) — — (a, c, b),

(a, b, c) = — (b, a, c).

W wyższych symbolach znak zmienia się, jeżeli przestawiamy dwie cyfry sąsiednie, z wyjątkiem pierwszej a, tak naprzykład:

(a, b, c, d, e) — — (a, c, b, d, e).

Poruszenie z miejsca pierwszej cyfry symbolu zmienia zupełnie całą wartość tegoż, tak naprzykład (a, b, c, d, e) nie może równać się wartości (b, a, c, d, e). Wszystkie te własności wypływają z znaczenia symbolów i bardzo łatwo dają się sprawdzić. Teraz musimy się zastanowić nad tem, jaką drogą można dojść do równań (45).

Przyznać trzeba, że otrzymanie tych równań w szczególnych przypadkach, gdy n — 2, lub n = 3, albo n — 4 i t. d. nie będzie wcale rzeczą trudną, lecz gdybyśmy zapragnęli wyprowadzić te równania jak najogólniej, nie biorąc na miejsce n jakiejbądź liczby, natenczas trudności będą bardzo znaczne. Z tej przyczyny, ażeby ułatwić to postępowanie wyprowadzimy jeszcze takie równanie pomocnicze.

Zróżniczkujmy równanie (43) według zmiennej niezależnej piszemy symbolicznie:

(Xi)k 4-    (X„+i, i)k + i (X»+i)* 4~ X„-f2 (X„4-2,ż)k

4" AnĄ-2, i (Xn+2)k 4" ... 4“ X₂n(^-2n,i)t 4“ X₂„, i (X2n )k — 0,

tudzież ze zmianą i na Jc, oraz naodwrót:

(Xk)¹ 4- X„₊1    4- ^n+\,k{XnĄ-\)i 4“ Xn-{-2 (A„±2} k)i

4" Xn+₂, * (Xn+2)i 4“ ••• 4~ X2n(A.2n,k)i 4“ A₂„ik(X₂n)i = 0.

, Gdy teraz dwa powyższe równania odejmiemy i symbole zastąpimy ich rzeczywistemi wartościami, natenczas łatwo otrzymujemy:

(46)

dXt dXk

5 = 7»

dxk

dxi

r)Xj dXn+s

ÓXn- ! g    ÓXf

s=n

An^.Si i

4-

(AnĄ.p' i AnĄ-q

AnĄ.p) k An4.qt i

P, Q

dXk _ dX„+,

d%n-\-s    àxk

bXn-\-p    dXn-\-q

dXnĄ-q    dxn-[.p

)=°

q > Pi (p, q — 1, 2, . . . , w; i, k = 1, 2, . . . , n kombin.).

Jed-

2 n, s «

Przy pomocy tych równań znacznie już łatwiej uzyskać z (44) równania w postaci (45). Po tych uwagach wracamy do równań (45). Otrzymaliśmy wzmiankowane równania przez wyrugowanie wielkości A-2„<s z równań (42). Rzecz jasna, że działanie takie same moglibyśmy rozpoczynać od wyrugowania A2„-i, s albo    zamiast A

nem słowem w równaniu (45) możemy przemieszczać wzajemnie wskaźniki 2n, 2n—1, 2n—2,...,w-{-2, w-fl, które się odnoszą do zmiennych zależnych. Na tej drodze powstaną jeszcze zamiast (45) takie równania:

An+i, i(2n—1, 2n, ... ,3,2) — An+i^(2n—l, 2n, ... ,3, 1)

(47)

+ An+i,z{2n— 1, 2 n,... ,4, 2, 1) — . . . (—\)n+lAn+i,n (2n—\,...,n+l, n—1,... ,2, 1) = (—l)»+*-ł-! (2n—l, . . . ,n+i +1, n + i— 1, ...,2,1),

tudzież:

(48)

An+i, i (2«—2, 2 n—1, 2%, . . ., 3, 2) — A„+ii 2 (2w—2, 2n—1,2n,... ...,3,1) + An+i, ₃ {2n—2, 2n—1, 2w,..., 4,2,1) —... (—1 )n+J An+i, n (2n—2,... ...,n+l, n— 1, . . . ,2, 1) = (— 1 )«+<+i (2w—2, ... ,n+i+1,

w_f_ ^ —1? ... j 2, 1)

Nakoniec w ostatniem równaniu przestawione będą wzajemnie wskaźniki w-f'1 i 2n:

(49)

An±i, i (w+1, 2w—I, ... ,3, 2) — •4»+<I a(w+l, 2w—1, . . . ,3, 1) + An+^3 (w+1, 2w—1,... ,4, 2, 1) — ... (—l)"^¹ An-j-i'„(n+1, 2n—1,... ,n—1,...,2,1) == (—l)n+’⁺¹ (n + .1, 2n—1,... ,n+i+l n+i— 1,... ,2, 1).

n—1.

W każdem z powyżej napisanych równań jest i — 1,2,..

Nadto możemy jeszcze rugowanie wielkości A uskuteczniać w innym porządku. Mianowicie, moglibyśmy nasamprzód wyrugować wszyst kie inne wielkości A, za wyjątkiem Au,i, A2n,₂, . • . ,A2n,n, wtedy zamiast (45) otrzymalibyśmy:

(50)    A₂„yi (n-\-i, . . . ,2n, . .. ,3, 2) — A₂„i2 (n+i, . . . ,2n, ... ,3, 1)

4- A2n,3 (n+i, • • . ,2m, ... ,4, 2, 1) — ... (—1)”⁺¹ M₂„,„ (w-f-i, . . . ,2n, n— 1, ... ,2, 1) = (—l)«+H-i (2n—1, 2n—2, ... ,2, 1)

(i — 1, 2,.. . ,n—1).

To oznacza, że w (45) przestawione są teraz wzajemnie wskaźniki n + i oraz 2n, a po prawej stronie znaku równości w symbolu nawiasowym mamy wszystkie po kolei liczby za wyjątkiem 2n, a więc zaczynają się te liczby od 2n—1, a kończą na 1. Widocznem jest, że układy (45), (47), (48), (49) i (50) obejmują razem taką liczbę równań:

(n—l)² + n—1 = n (n—1).

Gdy dołączymy do tego jeszcze n równań (43) będziemy mieli wszystkiego w² równań liniowych, zawierających w² wielkości niewia-domych A. Tedy mamy zupełną, możność wszystkie wielkości A z układu wyznaczyć i w końcu przecałkować układ równań zwyczajnych (41), aby dojść do wymaganych całek równania danego (40). Wyznacznik układów nigdy nie jest zerem, za wyjątkiem jedynego przypadku szczególnego, gdy n — 2. Przypadek ten jednak, jak zobaczymy poniżej, jest mimo to nadzwyczaj łatwym do rozwiązania.

Wyżej opisany, tak różny od metody Pfaffa, sposób rozwiązania słynnego zagadnienia daje nam jeszcze nieco odmienny sposób zapatrywania się na ten przypadek, gdy równanie dane zawiera nieparzystą liczbę zmiennych xv x₂,    , x2n-i :

— 0.

(51) .... Xxdxx -}- X₂dx₂ . -j- X₂n—\dx₂

Pfaff uważał ten przypadek za nieoznaczony i zalecił jedną całkę zawsze obierać dowolnie. Z naszego punktu widzenia możemy rzeczonej dowolności jednej z całek zupełnie uniknąć, jeżeli tylko będziemy uważali, że równanie (51) jest szczególnym przypadkiem takiego, bardziej ogólnego równania o parzystej liczbie zmiennych:

(52) . .

. Xx dxt -p X₂dx₂ -f- . . . -f- X‘jn—i dx^n—i 4- dx2n = 0,

w którem wszystkie współczynniki X są te same, jak w równaniu (51) to jest nie zawierają wcale zmiennej dodatkowej x2n. Mimo to sposób, wyłożony na poprzedzających stronicach, stosuje się równie dobrze do równania (52), gdyż ani warunek X2n — l, ani brak zmiennej x2n we współczynnikach Xx, X₂, . . . , X2n~i, nie zamienia żadnej z pomiędzy funkcyj Pfaffa na zero. Zatem, gdy przecałkujemy równanie (52) i znajdziemy n całek:

fr (&1) -^2; • • • ; ^2n—1 , >^2n ) - Cr ,

należy tylko teraz przyjąć x₂„ równem zeru, lub też jakiejkolwiekbądź stałej, ażeby .tym sposobem napisać wszystkie n całek równania danego (51).

§ 5. Pozostaje nam w zakończeniu powiedzieć słów kilka o wyznacznikach, o których wzmiankowaliśmy w paragrafie poprzedzającym. Możemy te wyznaczniki nazywać pół symetrycznym i, albo potęgowymi, mają one postać, jak zobaczymy poniżej, dotąd nieznaną i własności niezbadane. Wyznaczniki potęgowe nieparzyste mają stopień (2/c+l)², są więc 9-go, 25-go, 49-go, 81-go,... stopnia^ wyznaczniki zaś parzyste mają stopień (2&)², czyli bywają 4-go, 16-go, 36-go i t. d. stopnia.

Najprostszej postaci wyznacznik 4-go stopnia jest zerem:

27 .

O,

O, e₂, O *\> O, *2

= 0.

Pu —Pu O, O

O, O,

Pu—Pi

Wszystkie inne wyznaczniki wyższych stopni nigdy nie równają się zerom, lecz zawsze przedstawiają całkowitą potęgę pewnego wyznacznika niższego stopnia, pomnożonego przez iloczyn początkowych elementów. Tak więc wyznacznik potęgowy 9-go stopnia będzie:

,2

Pu Pu Pa

Q.u Qu ch

Q.u —Qu d3

ru ru

0,    0,    0,

0,    0,    0,    0, 0, 0,

r i; —r₂.

0, 0, 0, 0, 0

0, 0

ru 0,

rv —r₂, r₃

Dość będzie tutaj położyć zt =z z₂ = z₃ — 1, ażeby otrzymać prawidło, jak należy utworzyć w postaci wyznacznika, napisanego po lewej stronie znaku równości, drugą potęgę tego wyznacznika, który stoi po prawej stronie. Wynik ten otrzymaliśmy wprost z obliczenia; rzecz jasna, że daje się on udowodnić ogólnie, wychodząc z tego, co mamy po prawej stronie i stosując znane twierdzenie o mnożeniu wyznaczników.

Następny wyznacznik 16-go stopnia ma postać podobną i przedstawia już trzecią potęgę pewnego wyznacznika niższego stopnia;

to ; 00

Pi, Pi, Pb, Pi \³

*9 <ss <zs <ls ‘su Czd <lx

*0B#Z8%2 —

0, 0

H, o,

o"

o ** 'o 'o

o, o,

cT cT o"

o" *4 cT

co

cT

o, o,

cT

o' cT

o"

0,

‘q <zz

‘0 <zz

cT

o'

H,

o'

Cł

0,

o, o

cT

o"

0 'o

0; 0,

0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0

o' o'

cT cT o'

ra,—ri

0, 0,

cT o"

o"

H,

0,

*1, o,

*4

cT cT

o" cT o"

P1—P2, Ps—Pi,

‘0 ‘o *0 'o    lzd—‘ld    ⁽q

cT

cT cT

0, 0,

o" cT cT

cT o" cT

cT

cT

O" cT

cT o" o'

cT o"

o" o*'

o"

cT

O O fen

0, 0,

0, 0,

‘0    —<85    ‘«S—l*b    ‘O

ri,—^2, r₈,—r₄,    0,    0,

cT

cT

o'

o"

cT o*

cT o"

cT o"

cT cT

o" cT

cT cT

<§ o" o" o"

o" cT o fes o' o" o"

o, o, o, o, o, o

cT

cT

o'

o, o, o

*9 — s9

o, o, o,

cT

0 ‘o —‘K~l

o, o,

#3, Siy

0,

o"

o"

s3}    94, 0.

» o'

9-

V.

cT

cT

- cT

■9

0, o, o, o,

o' o"

cT o" o"

cT

cT

o, o

o, o

cT o" cT

Dalej, wyznacznik potęgowy 2n-go stopnia będzie miał kształt taki:

O O O O s*5 cT o" o" cT sF

OOOO ^OOOO ^OOOO^OOOO

cT cT cT o' ^ cT o"    o" ^    cT    o" o" cT ^ o" cT o' o"    df o" cT o" o" ^ o'

o" cT o' ^ o' cT o"    o" sS    cT    cT cT cT jT ₀" cT o" o"

cT cT ;y cT cT o" o"    o" ęS    o'    o" o" cT ^ o" cT o" cT

o" ^ o" o' cT o' o"    o" ssl    o"    o" cT cT j? cT o” o" o'

îf <S o' o' o' o' o"    cT ^    cT    cT cT cT ^ cT cT o' cT

o' o' cT o" ^ cT 0“    gjS o'    o~    o~ cT ^ cT 0“ o' o"

o" o" o" ₍« cT o o a, o' o" cT o" ^    cT ©“ o

o" o" ^ o" cT cT o¹    cT    cT    o” o" Jj cT o' o' o'

cT ,« cT o" cT o~ o    cT    o'    o" cT sS cT cT o' cT

Si, S3, Są, S₅,

si, si, s3, Si, Sa

cT cT o' cT O' CT O" O' nf'

_ _ I

o o o o

cT o" cT o" si¹ cT

o' OOO^ o"

cT cT cT o o" cT cT cT o" Jp o" o~ o' cT cT ^ cT cT cT cT o' o' o' o" cT cT cT o' hF cT cT cT cT o' o -łi"¹ cT

■s

S1,    <?2? S 3,

■s

wyznacznik ten równa się:

3\ &i &3 &i 8$

Pij P%} Pi? Ps

Następnych wyższych wyznaczników potęgowych nie piszemy z powodu utrudnienia. Widocznom jest jednak, że dalej idzie wyznacznik stopnia 36-go, który będzie miał taką wartość:

\5

Pi,    Pi,    Ps,    Pi,    p&,    Pe

Ui    U₂,    W₃,    Ufy    Ufy    Wg

i t. p. Podobne wyznaczniki, nie spotykane dotąd w teoryi, dają nam łatwe i proste prawidła potęgowania wyznacznikowego, dopełniając tym sposobem całokształt owej algebry ponad algebrą.

Ażeby ułatwić ścisłe rozumienie wyłożonych na poprzedzających stronicach twierdzeń, rozwiążemy kilka przykładów:

I. Niech będzie dane równanie różniczkowe:

(a)    .    .

.    . Xi dxx + X₂dx₂ + X₃dx + X^xdA — 0,

którego współczynniki nie czynią zadość żadnym warunkom. Tedy równanie dane (a) posiadać musi dwie całki, którym odpowiada układ:

(6)

dx₃ = Afy l dxx ~f A₃₎ 3 dx₂,

dx± — Afy i dx\ -f" A.fy 2 dcc 2.

0)

Znane warunki układu (b) będą takie:

dAs> 2

àAs, i

ÓA

s,2

dx₂

dxs

3; 2

dx^

i, 2 -

dxx

dx₃

dx^

i, 1-

(s = 3, 4).

Oprócz tego będziemy mieli jeszcze związki (43) w postaci:

(d) ... . Xt• +A₃,tX₃ + AiX₄ = 0, (i = 1,2).

(e) . •

Przy pomocy tych ostatnich równań otrzymujemy z równań (c): A₃, i (4, 3,    2) —    A₃,2    (4, 3, 1) = (4, 2, 1),

Ai? 1 (4, 3,    2) -    A,; 2    (4, 3, 1) = - (3, 2, 1).

Wyznacznik układu równań (d), (e) jest tożsamościowo równy zeru, musimy więc tutaj korzystać z równań (46), które dla roztrząsanego przypadku jeszcze raz w krótkości wyprowadzimy. Zróżniczkujmy równania (d) według każdej z zmiennych niezależnych xx, x2x wtedy napiszemy symbolicznie:

(Ai)₂ -f-    (A₃, i)₂ X₃ -}-    (A₃)₂    A₃,1    + (Afy 1)2 A₄ + Afy 1 (X₄)₂ —    0,

(■^2)1 ~ł"    (A3,2)1 A3 4    (X₃\    A₃,2    4* (A₄,2)1 A4 + A4,2 (A₄)j =    0,

gdzie symbol nawiasowy oznacza:

dXą

( )r ⁼ —    + ~    • 4₃₎ r + — . 4₄, r\ (r = 1, 2).

OXr    OX ₃

Jeżeli teraz powyższe równania odejmiemy i uwzględnimy widoczne związki:

' co

(•J-3J 1)2 — (4₃,₂)t;    (4₄, ₁)₂ — (4₄, 2)1,

wówczas otrzymamy jedno równanie:

_ ÔX2

dx₂ dxt

( dx2 dXĄ dX₂

+ -43; 1

dX₃ dX2 dx₃

dX, dX₃

dx₃

ÔXy

+ 4₄₎₁ ^

+ (4-3; 1 4₄, 2    43? 2 4₄, i) ^

àx₂

dxą

-f- 4₄, 2

dXt dX4 dxą dxt

dX₃ dX«

dx^

dx₃

= 0.

To równanie w połączeniu z otrzymanemi z (d) i (e) wartościami:

(/)

4₃,2 —

X2_X±a

x₃ x₃

4; 2;

_ Z₄ (3, 2, 1) - Xt (4, 3, 2)

4; 2;

X₃ (4, 3, 2)

X₄ (4, 3, 1)

Z₃ (4, 3, 2)

4₄; 1

(3; 2, 1)

(4; 3, 2)

(4; 3, 1) (4,3,2)

zamieni się bardzo łatwo na równanie dla jednej tylko wartości 44;2, z którego znajdziemy:

44; 2 —

Xt(3,2) (4,3,2)+X₂{(l,3) (4,3,2)+(3,4) (3,2,1)}+X₃{(4,2) 03,2,1)-(1,2) (4,3,2)}-X₄ (3,2; (3,2,1) X, (4,3) C4,3,2)+X₂(3,4) (4,3,1)+X₃{(4,2) (4,3,1) +(1,4) (4,3,2)} - X₄ {(3,2) (4.3,1)+(1,3) (4,3,2)}

Tutaj dla ułatwienia pisowni, oprócz znanych nam już symbolów trzycyfrowych, wprowadziliśmy jeszcze symbole dwucyfrowe, używane przez Pfaffa:

{r, s) =

dXr dXs

dxs

dxr

Mając wartość dla współczynnika 4₄,₂, zwracamy się do równań (/) i uzyskujemy wartości dla wszystkich pozostałych współczynników. Po uskutecznieniu tych rachunków całkujemy układ (b) i otrzymujemy stąd dwie szukane całki równania danego (a).

II. Niech będzie dane równanie o sześciu zmiennych:

Nj dx^ -|- X₃dx₂ -j- X₃dx₃ -j- Xrkdx,t -f- X₃dxG -\~ XGdxG — 0;

którego współczynniki nie czynią zadość żadnym warunkom; z tego powodu mamy trzy zmienne zależne x4; xh, xG, którym odpowiadają trzy równania:

|    dxą — Ai} !    dxt    +    Ai} 2    dx₂    +    Ai} 3 dx₃,

(f)

dx₅ = As, i    dxt    +    Ag, ₂    dx₂    -f    A₅,₃ dx₃,

dx₆ = A₆, i    dxt    +    Ae, ₂    dx2    +    As, ₃ dx₃,

spełniające warunki całkowalności:

(9)

à As, t

à As, t

dxk

à As, k

dxi

-f

dxi à As, k

Ai, k +

à As, i

àxs

A$, k +

à As, i

dxG

6, lc -

dx^

Ai, i +

à As, k

dx₅

A 5, i +

dAs, k

dx₆

Ag, i

(s = 4, 5, 6; i, Tc = i, 2, 3 kombin.). Oprócz tego mamy związki (43) w postaci:

(h)    Xr + Xq.A/j.,r -ł~ X₅A₅,r 4- XGAe,r — o, (r —* 1; 2, 3);

z których wypada:

(0

A 6; i -

Xj 4- A,t, i -f- X₅A5;, _

x₈

(i = 1, 2, 3).

Rugując z układu (g) wielkości A nania (i), a potem jeszcze wykluczywszy różnice:

ÓAą, i

6; i,

Ag, 2,

Ag,₃ przy.pomocy rów-

à A ₅₎ k

dAj,k . dA dxi ’ àxk    dxi ¹

dojdziemy łatwo do takich równań:

dxk

5, i

(i, Jc =z 1,2,3 komb.);

Aą, i (6; 4, 2)    A₄, ₂ (6, 4, 1) 4- A₅, x (6, 5, 2)    A₅,₂ (6, 5, 1)

+ (6; 5, 4) (As, 2 A5,1 - AvtAtft) - (6, 2, 1) = 0,

tudzież:

(*)

A^, i (6,    4, 3) — A^ ₃ (6, 4,    1)    -t~ A₅, t (6;    5,    3)    A₅,₃ (6;    5,    1)

+    (6, 5, 4) (Aif3A₅,i    Ai, i A₅, ₃)    (6;    3;    1) = 0;

Ai, 2 (6,    4, 3) — A/i, ₃ (6; 4,    2)    4- As, ₃ (6,    5,    3)    A₅,₃ (6;    5,    2)

-j-    (6, 5, 4) (A^ ₃ As, «    ^472 A₅,₃)    (6;    3;    2) = 0.

cc

co

Zupełnie podobne postępowanie doprowadzi nas jeszcze do równań:

(0

-4,1 (B, 4, 2) -    (5, 4, 1) + A,,, (5, 6, 2) - 4,. (B, 6, 1)

+ (5; 6, 4) (4₄,2 A₆, i    4₄, i 4₆,2)    (5, 2,    1) — 0;

-4* t (5, 4, 3) - A,. (5, 4,    1)    + A, ! (5,    6,    3) -    A₆,₃ (5, 6,    1)

+ (5; 6, 4) (4₄, ₃ Ae, i    A^ i Ae, ₃)    (5, 3,    1) = 0;

(6, 4, 3) — 4₄,₃ (5, 4,    2)    + A₆,₂ (5,    6,    3) —    Ae;3 (5, 6,    2)

+ (5; 6, 4) (Az, 3 AG, 2    —    4₄, ₂ Ag, ₃)    —    (5, 3,    2) = 0,

^4-4, 2

nakoniec:

(m)

A₆₎i (4,    6, 2)    4₆,2 (4, 6,    1)    + A₅, i (4;    5,    2)    A₅,₂ (4,    5,    1)

+    (4, 5,    6)    (A₆,₂ A$, i    A₆, l A₅,₂)    (4,    2,    1) — 0;

Ae, ! (4,    6, 3) —    Ae, 3 (4, 6,    1)    + A₅, t (4,    5,    3) —    As, ₃ (4,    5,    1)

+    (4, 5,    6)    (AG, 3 As, i    Ae, i As, ₃)    (4,    3,    1) — 0;

Ae, 2 (4, 6, 3) — Ae, 3 (4, 6, 2) + 4₅,₂ (4, 5, 3) — 45;3 (4, 5, 2) -j- (4, 5, 6) (Ae, ₃ As, 2 AG, 2 4s, 3)    (4; 3, 2) — 0.

Jeżeli dalej pierwsze z równań (&) pomnożymy przez (6; 5, 3), drugie przez—(6,5,2) i trzecie przez (6,5, 1) i następnie tak otrzymane równania dodamy, wówczas będziemy mieli:

- (6, 5, 3) (6, 2, 1) + (6, 5, 2) (6, 3, 1) - (6, 5, 1) (6, 3, 2) + + A, ! [(6 5, 3) (6, 4, 2) - (6, 5, 2) (6, 4, 3)] +

+ -4*. [-(6, 5, 3) (6, 4, 1) + (6, 4, 3) (6, 5, 1)] +

+ 4₄,₃ [(6, 4, 1) (6, 5, 2) - (6, 4, 2) (6, 5, 1)] +

+ Az, ₂ (6, 5, 4) {(6, 5, 3) As, t — (6, 5, 1) A₅, *} +

+ Az, t (6, 5, 4) {As, ₃ (6, 5, 2) - 4₅,₂ (6, 5, 3)} +

+ Az, 3 (6, 5, 4) {As, 2 (6, 5, 1) — As, 1 (6, 5, 2)} = 0.

Po wyrugowaniu z powyższego równania wyrażeń, zawartych w nawiasach { j, bez żadnych trudności otrzymamy:

Az, t (6, 5, 4, 3, 2) - 4*2 (6, 5, 4, 3, 1) +

'r ; •

(6, 5,4,2, 1) = — (6, 5, 3, 2, 1).

(P)

Taką samą drogą z równań (l) uzyskamy: A₅,i (6, 5, 4, 3, 2) — As, 2 (6, 5, 4, 3, 1) +

+ 4₅,₃(6,5,4,2, 1) — (6, 4, 3, 2, 1),

a także z równań (m):

-d.6,i (5, 6, 4, 3, 2) — -46,2 (5; 6, 4, 3, 1) +

4- Ae, 3 (5, 6, 4, 2, 1) = (5, 4, 3, 2, 1). Przez zmianę wskaźników tworzymy jeszcze równania:

(r)

A, i (5, 6, 4, 3, 2) — 4*, ₂ (5, 6, 4, 3, 1) +

+ ^4,3 (5; 6, 4, 2, 1) = - (5, 6, 8, 2, 1), ^5,1 (4, 6, 6, 3, 2) — A5;3 (4, 5, 6, 3, 1) +

+ A,₃ (4; 5, 6, 2, 1) = (4, 6. 3, 2, 1), Jen (4, 5, 6, 3, 2) — JG;2 (4, 5, 6, 3, 1) +

+ Ae,a(4,5, 6, 2, 1) = — (4, 6, 3, 2, 1).

Tym sposobem dla wyznaczenia wszystkich współczynników A mamy dziewięć równań (,h), (2?), (r). Ponieważ wyznacznik tego układu jest równy:

D = X₄X₆X₆

przeto wszystkie dziewięć współczynników A obliczyć możemy łatwą, znaną w algebrze drogą. Gdy to będzie dokonane, całki odnajdziemy z układu (/').

Kończąc rozdział niniejszy, jeszcze raz rzucimy okiem na całe zagadnienie. Pfaff w swoich pracach nieprzewidywał, że równanie różniczkowe z wieloma zmiennemi może posiadać dwie lub trzy i t. p. całek, lecz brał zawsze jeden tylko przypadek, iż liczba całek równa się połowie liczby wszystkich zmiennych. Sposób Pfaffa polegał tntaj na kolejnem całkowaniu n układów równań zwyczajnych. Całe więc zagadnienie było przez Pfaffa bardzo utrudnione. Widzimy na poprzedzających stronicach, że dla wszystkich możliwych przypadków zagadnienie nasze posiada sposoby jednakowo proste i łatwe, wymagające zawsze tylko całkowania jednego układu równań zwyczajnych; obiczenie zaś współczynników pomocniczych odnosimy niepodzielnie do algebry. Oprócz tego, dla nieparzystej liczby zmiennych w danem równaniu, uzyskujemy pogląd odmienny od Pfaffowego, wyłączający dowolność jednej z całek.

IV.

O CAŁKOWANIU UKŁADU RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH O RÓŻNICZKACH ZUPEŁNYCH RZĘDU 1-go.

W poprzedzającym rozdziale w kilku miejscach była mowa o całkowaniu układu równań zwyczajnych. Ażeby więc dać pełny obraz poruszanych w niniejszej pracy zagadnień, przedewszystkiem powtórzymy w krótkości sposób możliwie najprzystępniejszy, który jeszcze w roku 1883 obszerniej ogłosiłem w pamiętniku Akademii Umiejętności w Krakowie, w tomie VIII.

§ 1. Niechaj będzie dany układ m równań różniczkowych o różniczkach zupełnych:

(1)

dxs — .As, i dxi -f- A.s, 2 dx₂ + . . . -f- A.

(s = n—m-f-1, n—m+2, . . . ,n),

m dxn—m ;

w którym współczynniki As, i oznaczają pewne wiadome funkcye wszystkich zmiennych xlf x2f . . . ,x„ i czynią zadość koniecznym warunkom całkowalności:

(2)

(s — n—m+1, n—m+2, . .

n\ i, h = 1, 2,. .

n—m kombin.).

gdzie dla krótkości użyliśmy symbolu nawiasowego:

Napiszmy wszystkie m całek rzeczonego wyżej (1) układu w postaci:

fr xa, . . . ,xn) = cr ; (r = 1, 2, . . . , m)

i zróżniczkujmy następnie każdą z osobna, będzie:

<)/r

(3)    -— dx! -f-

àfr

dx₂

dx2 -j-

dfr

àfr

dxn—mĄA -j- ... + — dxn — 0.

dxn—m-j-l

Jeżeli teraz z równań (3) wyrugujemy różniczki zmiennych zależnych przy pomocy (1), wówczas otrzymamy:

dxn

àfr

àfr

àfr

j=n—m

àx\

dx₂

àxn—mĄ-l

An-m+l, j dXj + . . .

j— 1

j=n—m

df- ^ Anj dxj = 0, (r = 1, 2, . . . , m)

doCji

j=i

równania, które rozpadają się widocznie na:

àfr

(4) --h An—m+1, i

àfr

dXi

~f" An—m-\-2, i

àfr

àfr

àx n—mjr\

{i — 1,2,..., n—m,

ÔXn—m-(-2

r = 1, 2, . . . , m).

àXn

Te równania tworzą znany dobrze układ Jacobiego. Ażeby prze-całkować układ (4) napiszemy nasamprzód tylko pierwsze z tych równań i zastąpimy je, wiadomym sposobem, przez układ równań zwyczajnych :

dxn~mjri _ dxn—m-(-2

An-m-j-l, 1

których całki niechaj będą:

Cp₄ (xv x₂, . . . , Xn) = a, ;    (5=1,2,..., m).

(5)

dxx—

dxn

A»—m+2,1

(6)

Samo przez się rozumie się, że podczas całkowania równań (5) traktowaliśmy wielkości x₂, x3; .. . ,xn-m jako pewne stałe.

Wiadomo, że dowolna funkcya wszystkich całek będzie również całką równań (5) i jednocześnie (4), więc możemy przypuszczać, że istnieje pewna funkcya:

(<Pi, 'h, •••»?«» xf) = C,

s=m

d®    dO    /ôat

àx₂    àat    \dx₂    ~

d®    /d02    Y A

da.₂    \d£₂    ^

S—1

s=m

?i (*= + y

da„, v ete₂ ^

sz= 1

n- m-j-s, 2

-4n—OT-f-s, 2

da{

àxn—m-J-s

da₂

dxn—m-j-s

ào.m

ÔXn—m-\-s

— o,

gdzie funkcye:

da*

; (i —1,2, ... ,m, r = 1, 2, . . . ,m)

dcii

dx 2 dxn—m-\-r

łatwo zastępują się przez ich wartości otrzymane przy pomocy róż-niczkowań (6). Gdy następnie z współczynników równań (7) wyrugu-* jemy wszystkie zmienne zależne xn-m+i, xn-m+2, . . . ,ocn, posiłkując się w tern równaniami (6), wówczas wszystkie pozostałe zmienne x₂,... ...,xn-m same zniknąć muszą i wszystkie współczynniki staną się funk-cyami wyłącznie tylko wielkości a* - Że tak istotnie byc musi, widoczne z tego, iż wyrażenia współczynnikowe w równaniu (7);

(7a)

dcii

s=m

dx ₂

+ 2

5=1

dcii

dxn—m-(_j

będą jednocześnie całkami równania pierwszego z pomiędzy (4), czyli równania takiego:

(8)

dcii

s=m

dxt

+    -4«—m-|-s, 1

dcii

= 0.

dxn—m-f-s

Jest to powszechnie znana własnośó, którą po raz pierwszy dowiódł Jacobi, a którą łatwo sprawdzić, kładąc w (8) na miejscu całe wyrażenie (7a). Z wszystkiego tego będzie rzeczą widoczną, że równanie (7), po dokonanem wyrugowaniu zmiennych zależnych, przybierze taką postać ostatecznie:

5—1

dd>

dd>

d<ï>

dO

= 0,

— +■ Mi — 4- M₂ —— + . . . + Mm dx ₂    dcii    da₂

gdzie wszystkie współczynniki Mi oznaczają wyłącznie funkcye samych wielkości a,₇ a₂, ... , am. Przechodzimy stąd do układu równań zwyczajnych i piszemy:

d&m

dx₂ = —

dct.m

Mi M₂ "~Mj

dcii da₂

którego całki niechaj będą:

(9)

<|>, (a1; a₂, . . ., am, x₂) = pr ; (r = 1, 2, . . ., m).

Zupełnie tak samo zakładamy, jak poprzednio, że pewna funkcya:

będzie całką nietylko pierwszego, oraz drugiego z pomiędzy równań (4), lecz także i trzeciego:

df

dxs

n—mĄ-1,3

àfr

dfr

dfr

dXn-mĄ.\

dxn—m-\- 2

dXn

będzie więc teraz:

dW    ÓT /dj± S

ÔXn    <3B. V rte₃ ^

An—m+s, 3

oa.

s=l

+ M + V

dp₂ W₃ ^

An—3

ÔXn

\

n—m+s s

dW (d$m

•••+-„U+2

OQ_

An—m+s, 3

0$m

àXn -m+s

) = 0.

Jeżeli tutaj z współczynników w nawiasach wyrugujemy zmienne zależne xn-.m+s przy pomocy równań (9), natenczas, podobnie jak poprzednio, wszystkie współczynniki staną się tylko funkcyami samych wielkości [3r ; i tak dalej. Tą drogą otrzymujemy po kolei związki całkowe (6), (9), . . . , nakoniec dojdziemy, do m—1-go układu:

or (X1; X₂, . . i ostatecznie m-ty układ będzie:

(|Aj, ^2; • • • ;    i — 1, 2, . . . , fit).

Po wyrugowaniu m (m—1) wielkości pomocniczych:

(10)

•, XOT, 1) ——    ? (f" —— 1, 2, . . • , m)

(U)

QO.

^2, • • • , U-m

^2; • •

H'I; ^2» • • ' • ; l^w»

z równań (6), (9), . . . ,(10), (11) otrzymamy bez żadnych utrudnień m związków pomiędzy xX) x₂, . . . ,x„, oraz stałemi cl} c₂, . .. ,cro, które będą wymaganemi całkami danego układu (1).

Tak więc z powyżej wyłożonej teoryi widzimy, że całkowanie układu równań zwyczajnych (1) doprowadzamy do zagadnienia o wiele łatwiejszego, czyli do układu Jacobiego, który całkujemy najprzystępniejszym sposobem, zupełnie nieznanym Jacobiemu.

W dalszym biegu pracy przystąpimy do nowych poglądów na bardziej zawiłe przypadki całkowania układu równań zwyczajnych. Krótkie streszczenia czterech prac, w tym kierunku przedsięwziętych ogłosiłem w Paryżu, Comptes rendus r. 1895, tom I.

§ 2. Będziemy roztrząsali drugi przypadek całkowania układów, kiedy dane mamy m równań jednoczesnych:

(12)

dxr — Xr, i dx± -f- Xr, 2 dx2 -H ... “H X

r, n—m

dxn—m

(r = n—m +1, n—m+2, . . . ,n\ n > 4; m > 1; m+1 > n) które posiadają m+1 całek, odpowiadających układowi zwyczajnemu:

(13)

dxs = i dxv + As^ dx₂ + ... Ą- At, n-m-i dx

n—m—1

(5 = ^—w, n—m+l, . . . ,n).

Współczynniki ostatniego układu, jak zwykle, sprawdzać muszą

warunki:

(14)

((J.M))fc = ((Ag, *))< ; (i, l = 1, 2, . .. ,w—w—1 kombin.),

gdzie symbol nawiasowy oznacza:

(15)

a £=»

(( )), = — +

dxj

K—n    \

Wybierzemy przedewszystkiem tyłkó pierwsze równanie z (13), to znaczy, położymy s — n — m:

dxn—m - An—m, 1    -f~ An—m, 2 J#2 4“ • • • 4” -4»—»—wi—1 dxn—m—1

i następnie przy pomocy tegoż wyrugujemy różniczkę dxn_m z równań układu (12), będzie wówczas:

(16)

dxr — Xr, 1    + Xr, 2 ^2 + • • • 4~ W, n—m-l dxn-m—\ +

4- X

r, n—m

(An—m, 1 dx 1 ”f~ An—m, 2 dx2 4“ . . * 4“ An—m, n—m—1 dxn—m—\)‘

Jeżeli tutaj porównamy wzajemnie współczynniki układów (16) i (13), natenczas otrzymamy:

(17)

An—m, 1

Xr, 1 4“ Xr,

Xr, 2 4" Xr, n—m An—m, 2 —- ^r,2,

n—m

-Xf, n—m—1 4- X.₍

m -4-n—m, n—m. —1 -4-r, n—m—1

(r = n—m-|-l, n—m+2, .. . ,n).

r, n—

Dalej z układu (14) rugujemy wielkości Ar, i, 4,2, . • • ,-4r, »-«-i przy pomocy (17) i potem wyznaczymy takie wartości różnic:

(17a)

àAn~m, k

dxk

dxi

n—m, i

An—m, &

dA

dXn—m

r=n

2 (

r—n — m-\-l

Xr, i

dAn—m, k

dxr

Xr, k

dA

n—m, i

dxr

r=n

r= n—m-j-1

Xr^ n—m ^An—m, i

ÔAn—m, k

dxr

n—m, k

ÓAn—m, i \ r '

dx

n—m—1 kombin.).

Gdy następnie podstawimy rzeczone wartości Ar,i, Ar, ₂, . • . . .. ,Ar, a—m—i oraz napisanych wyżej różnic w pozostałe równania układu (14), bez utrudnień, otrzymamy takie związki:

)k    (Xs, i)n—m\    An—m< i [(X

— (Xs,k)i (X«, i)k ■

s, re— jn

)i    (X*. i)n—ot]

(5 = n—m+1, w—m+2, . . . ,w;

i, k = 1, 2,. . . , w—m—1 komb.).

Dla ułatwienia pisowni wprowadziliśmy tutaj symbol nawiasowy

r=ra

(19)

⁽ >'=f⁺ 2

r=n-m+1

Xr><—. d#r

Tym sposobem znaleźliśmy układ równań liniowych (18) dla

Z równań (18)

n—m, n—m—X •

Yl......Y)l 1 Wielkości A-n—m, 1 , A.jj—^ ; » * * ; -4.

i (17) wyliczymy łatwo wszystkie szukane współczynniki A, których liczba (n—m—1) (m-j-1). Po wykonaniu tych działań pozostanie nam, sposobem wyłożonym w poprzedzającym paragrafie, przecałkować układ zwyczajny (13). Dla współczynników A mamy (n—m—1) m równań (17) i oprócz tego f (n—m—1) (w—m—2) (m-ł-1) równań (14), czyli razem:

(n—m—1) m -f- j (n—m—1) (n—m—2) (m+1) równań.

Wyprowadziliśmy z tego £ (n—m—1) (n—m—2) m równań w postaci (18), jeżeli więc dołączymy do tego jeszcze (n—m—1 m równań (17), oraz | (n—m—1) (n—m—2) równań (17a), będziemy rozporządzali układem, składającym się z

i (n—m—1) (n—m—2) m + (n—m—1) m + £ (n—m—1) (n—m—2)

równań, które będą służyły do wyznaczenia wszystkich współczynników A, oraz wszystkich niezbędnych przy tem warunków całkował-ności.

Ażeby otrzymać równania jeszcze innej postaci aniżeli (17), postępujemy taką drogą. Wybierzemy z układu (17) dwa równania.

(20)

Xr, i “f" Xr, n—m An—m, i - Ar, i,

Xr, k “b Xr, n—m An—m, k ■— Ar, k ;

i zróżniczkujemy pierwsze według xk, a drugie według i te działania przedstawimy symbolicznie:

((Xr,iY)k “b ((Xr,n—mj)k An—m, i ~\~ ((An—m, i))k Xr, n—m — ((-^r,*))#; ((Afti))i “b (( Ar, n—mf)i An—my k "b ({An—m, k))i Xr, n—m —- ((Ar, k))i •

Jeżeli teraz odejmiemy powyższe równania, pamiętając o warunkach (14), wówczas znajdziemy:

r, n—m

(21) ((Xr,i))k — ((Xr,k))i "b ((X;

))k An—m, i    ((Ar,«—m))i An—m,k 0,

gdzie samo przez się rozumieć należy, że znaczenie nawiasowego symbolu jest to samo, jak (15). Przedstawiając teraz równanie (21) szczegółowo w rozwiniętej formie, otrzymamy łatwo:

d Xr, i

s=n

àXk

ASj k

dXr, i

àXr< k

&=n

d Xr, k

s=n—m

dxs

dxi

s, i

s=n— m

àxs

“b An —m, i

àXr> n—m

s=n

dXk

s=n—m

dxs

ÓXr< n—m

s=n

àXft n—

n—m, k

dXi

s=n—m

dxs

—) = o.

skąd po wykonanin widocznych uproszczeń wynika: dXr, i    ÔXr, k

(22)

dxk

dXi

-b An —m, i

àXr, n—m

dxk

dX

V. k \ dxn—m

àXr, n—m

n—m, k

dXr,i

dXi

ÓXn—m

S — ll

Z \At’k

dXr,i

àXr, k

s=n—m+1

dxs

s, i

dxt

s=n

n—m, i

ASi k A

n—m, k

4-$, i)

àXr, n—m

s=n—mĄ-l

dxs

(i, lc — 1, 2, . .

n—m—1 komb.; r = n—m+1, n—m-b2, ...,«),

Tym sposobem uzyskaliśmy dodatkowo równania (22), których liczba jest:

i (n—m—1) (n—m—2) m.

Kładąc tutaj zamiast As, t, ASji ich wartości (20), otrzymujemy:

dxk

ÓXr, k

S—71

dXr,i

dxi

Xs, k

àXr, k

s=n-m4-1

dxs

“i⁻ An—m, i

àXr, n—m

àXr, k

ÔXk

dxn—m

t—n

2 (

dXr, n—m

s—n—

dxs

Xs, k

àXr, k y -A

dxs

s, n—

')]

dXr, n—m

n—m, k

àXr, i

dXi

dxn—m

àXr, n—

s=ra—m-f-1

dxs

m -y

As, i

ÓXr, j

dxs

5, n—tïi

)]=»■

Dowiedliśmy więc niewątpliwego istnienia równań postaci (18) sposobem łatwiejszym aniżeli poprzednio. Ażeby wszystkie współczynniki A wyznaczyć i napisać niezbędne przy tern warunki całko-walności, oznaczymy dla skrócenia pisowni:

{^s, k)i Ç&g, i)k ~ Qi% i napiszemy układ (18) w kształcie:

(23)

kU, hi. tu

n—m, i

n—m, k

QSL,,

n—m, i

n—m, i

GŁł¹* —^

Q^.-A

n—m, k

n—m, k

= <25,

r\(n- 1)    __ /)(»—1)

Yn—w, i    'ci, k p

Q(n-2)    — Q[n-'l)

Yn—m, i - Yi, k p

n—m, k

_ S)(n-m+l) Yn—m, i    Yi, k

(i, k — 1,2,..., n—m—1 kombin.).

Z pierwszych dwu równań wyciągamy:

(24)

A    _

n—m, i -

mvzÿ-WT l)o&

—m, i

<2L"L, * <25ÿ,. - QZ2., <25„, < ’

n-m,k-

Qn—m, k Qn-m, i Qn-m, k Q^n-m, i

i kładąc te wartości w równania (20), uzyskujemy tą drogą:

d = 1,2,..

n—m—1; r = n—m+1, n—m+2, . . . ,n).

Tedy widzimy, że wszystkie współczynniki A są nam teraz dobrze znane, pozostanie więc tylko napisanie koniecznych warunków całkowalności. W tym celu podstawmy wartości (24) we wszystkie pozostałe równania (23), będzie wówczas:

— n(r) (Q(n)    /)(«-1) _n(r.-l) S){n)    \

Vi, k Y^Sn—m, k V»—m, i V»—m, i '%n—m,i)•

Ars i - ■ Xrt i + X

r, w—

(KWZS.i-Ot^OSL,*

ŒL.» Q££, -

Ofń (f)W n(«-1)

^cn—m, k \ k lon—m, i

(r — w—2, n—3, . . . ,n—m+ 1;

i, Tc = 1, 2, ..., w—m—1 kombin.).

Jest to pierwsza część warunków całkowalności; rzeczą jest jasną, iż drugą częśc tych warunków otrzymamy z równań (17a) jeżeli tutaj podstawimy wartości (24). Tak więc wszystkich warunków całkowalności dla samych współczynników X w roztrząsanym przypadku mieć będziemy:

(n—m—1) (n—m—2) m — (n—m—1).

Gdy te warunki będą tożsamościowo wypełnione, natenczas, wiedząc wartości wszystkich współczynników A, przystąpimy do całkowania układu zwyczajnego (13).

§ 3. Będziemy roztrząsali dalej ten przypadek, gdy układ (12) posiada m+2 całek, które odpowiadają układowi zwyczajnemu:

CÏXr - Ar, 1 dx 1 -f- Ar, 2 dx2 -f" . . . -f- Ar, n—m —2 dxn..m—2

(r = n—m—1, n—m, . . . ,w); n > 5; m > 1; m+2 < n, gdzie współczynniki A spełniają warunki:

(25)

(26)

(i, Tc = 1, 2, . . . ,n—m—2 kombin.; r = n—m—1, n—m

• • ,n)

(( )).=

dxs

t—n    \

y a.,. -

,=n+-,    dX'

Napiszmy dwa równania z układu (25).

dxn~m—i An—m—1, 1 dX\ “f- A„—m—2 dx2    • • . “I⁻ J n—m — ), n— m—2 dxn

dxn—m — An—m< i dx\ -j- An—m 2 dx₂ -j- . . . An~m, n—m—2 dxn

- m- 2

—m— 2

i przy pomocy tychże wyrugujmy dwie różniczki dxn-m-1, dxn-m z układu równań (12), wówczas, porównywając tak otrzymane równanie z (25), znajdziemy:

(27)

An—m, s A

Xr, s + Xr, n—m—1 A (r — n—m+1, n—m+2, . . . ,w); (s = 1, 2, . . . ,n—m—2).

n—m—1, «

-ł- X

r, n—m

r,s

Gdy następnie z równań (26) wybierzemy dwa, odpowiadające wskaźnikom r = n—w—1, r — n—m, będziemy mieli:

àA.n—m—1, t

ÓAn—m—1, i

àAn—m—1, i

dxk

dXn—m

An—m, k -f"

r=n

Ar, k

dAn—m—i àAn—to—i, k

àAn—m—1, k

r=n—TO-l-1

dXr

dXi

dxn—m—i

n—w—1, i

àAn—to—1, k

r=n

dxn—to

An—m, i

àAfi—m—1, k

r—n—TO-f-1

dxr

oraz drugie:

àAn—m, i

àAn—m, i

àxk

àxn—to—1

An—to—1, k -f

àAn—to, i

àXn—m

An—TO,

r—n

r, k

àAn—m, i _ àAn—m, k

r—n—TO-j-1

àxr

àXi

àAn—m, k àXn—m—1

n—m—1, i

àAn—m, k

r—n

àxn—to

An—to, i

2 Ar,i

à An— to, k àXr

r=n—TO-j-1

Z tych dwu równań rugujemy wartości Ar,ź, Ar,k przy pomocy (27), wówczas będzie:

à An—m—1,i

(28)

àAn—m—1, k

àAn-m—l,k

àxk

àXi

àxn—to—i

An—m—1, i

à An—to—1, i

àXn—m—i

n—to—1

àAn—m—1, k

àxn—to

An—m, i

à An—to—1, «

dxn—to

An—m,

r=n

àAn—to—1, k

r=n—TO+1

àxr

(Xr, i "4“ Xr, n—m—1 An—m—1, i “t" Xr, n—m An—m, j)

r—n

àAn—m—1, i

àXr

(Xr, k -f“ Xr, n—m—1 An—m—1, k ~X

r, n—m

An—m, k)•

oraz:

ÔAn—m, k

dAn—m, h

dxk

dXi

àXn—m—1

An—m—i

dAn—m, »

An—m, i

àAn—m, k

àxn—m à An—m, t

dxn—m

y àA

n—m, k

r—n—m-f-l

dxr

{Xr< i + Xr, n—m—1    i + X

r, v—m

i)

r—n

à An—m, i

r=n—m-f-l

dxr

(Xr, k + Xr, n—m—1 -4»—m—1, k + X

r, n—m

An —m,

*)•

Podobnym sposobem wyrugujemy wielkości Ar,i, Ar, k z pozostałych równań (26) i następnie podstawimy jeszcze powyższe wartości różnic:

dAn—m— i, i

dAn—m—1

dAn—m, i

dxk

dxi

dxk

dAn—m, k * dxi ¹

ostatecznie, po wykonaniu wszelkich uproszczeń, otrzymamy:

(29)

(Xr,i)k    (Xr, k)i -j" An—m—1, i \{Xr,n—m—i )i    (Xr,k)n—m—lj

[(.Xr, n—m—l)i    (Xr,i)n—m—l] 4“

k[{Xr,n—m)i    (Xr, i)n—m]

+ An-m,i [(X;

n—m—1, k

)fc    (Xr, k)n—m]    A

4~ (An—m—1, k An—m, i An—m—1, i An—m, k) [(X.r n—m)n—m—1    (Xrt

r,n-m

n—m—1

)n—m] = 0

n—m—2 komb.).

(r — n—m-f 1, n—m+2,    i, k = 1, 2, . .

w=n—m-f-l

w, s —— •

dxw

Mamy w układzie (29) | (n—m—2) {n—m—3) m równań, w których jest 2 (n—m—2) wielkości niewiadomych An-m-\,s, An ... n—m—2); a więc po wyrugowaniu z tych równań wszystkich niewiadomych A pozostanie nam pewna liczba warunków dla samych współczynników X, liczba ich będzie:

£ (n—m—2) {n—m—3) m — 2 {n—m—2),

gdy do tego dołączymy jeszcze równania (28), wyrugowawszy, uprzednio wielkości A, będziemy mieli liczbę wszystkich warunków całko-walności, jako:

| (n—m—2) (n—m—3) m — 2 (w—m—2) -f- (n—m—2) {n—m—3).

46

Z tego widoczna, że, gdyby był przypadek szczególny n — 6, m — 2, natenczas żadne warunki istnieć nie będą, i równania (28), (29) posłużą tylko do wyznaczenia wielkości pomocniczych A. We wszystkich innych przypadkach warunki całkowalności istnieć będą.

Ażeby dowieść istnienia równań (29) drogą o wiele łatwiejszą i prostszą od poprzedzającej, postępujemy tak: Napiszmy dwa równania z (27):

Xr, i 4“ Ar, n—m—1 An—m— 1, i + A Xr, k -j⁻ Ar, n—m—X An—nj—1, * 4" X

\ n—

m An—m, i - Ar> i ,

r, n—m

An—m, k - A

i zróżniczkowawszy pierwsze według Xk, a drugie według Xi, odejmiemy jedno od drugiego, będzie tedy:

(30) ((X, ,))* — ((A, k))i + ((A. n-m-l))k A-m-l, i ~ ((A + ((A

m—1 ))i An—m—l,k

r, n—

m))& An—m, i    ((Xr, »—m))i An—m, j — 0,

gdzie symbol nawiasowy oznacza:

\    t—n

« »-=£+    2

At, s

t=n—m—1

dxt

Gdy powyższe równanie napiszemy w postaci rozwikłanej, otrzymamy

dXr, i

dXr,i

dxk

4" An-m-l, k

dXr,i

àxn—m—1

-f- A

n—m, k

ÔXr, i

dxn—m

4-

s=n

2 As'k

s—n—m+1

àx.

àXr,* A

dxi

n—m—1, i

àXr, k

dXn—m—1

An—m, i

dXr ,k

dxn—m

s=n    \ y

^ A *

s, i

s-n—mĄ-1

dxs

dX

r, n—m—1

n—m—1, i

dXk

4” An—m—1, k

à Xr, n—m—1

àXn—m—1

4* An—m, k

àXr, n—m—1

dx n—m

S—71

2 As,k

àXr, n - m —1

s—n—m+1

dxs

n—m—1, k

àXr, n—m—1

dXi

b An—m—1, i

ÔXr, n—m—1

àXn—m—1

4- A

n—m, i

àXr, n—m—1

s=n

ÔXn—m

4-

Z A- ‘

àXr, n—m—1

s=n—m+1

dxs

4-

4* An—m• i

Ó Ar, n—m

f dXk

+ An—m—1, k

ÔXr, n-

àxn—m—1

m . i

-4-A

n—m, k

dX,

r, n—m

àXn—m

s=n

dXr, n-

s, k

s—n—m+1

àx.

An—m, k

L àx,

dXr, n—

- -f An-m-l

àXr, n—m

ÙXn—m —1

4“ An-m, i

dX

>•' ”-CT _f,

àXn-m

àXr, n—

2 As,i dx,

s=n—m+1

s] = ⁰>

(r — n—m + l, n—m-\-2, . . . ,n\

s ~ 1,2,..., n—m—2).

A (An—m—X, i An—m, k    An—m—J, k An—m, i

dXr< n—m—1

àXr, n—

àXn—to

dxn—n—

dXr

dXr, k'

s=n

s=n — to-J-I

dxs

s, i

dxs

)+A

n—m—1, i

As, k

àXr> n—m—]

s—n—m-j-l

dxs

s=n

n—to—1, k

As, i

àXr^ n—m—\

s=n

s—n—TO-j-1

dxs

n—to, i

As, k

àXry n—m

s=n—TO+l

dxs

s=n

n—m, k

As, i

àXr, n—m

s=n—m-\-\

àxs

n—to, i

r, k

skąd po łatwych uproszczeniach wypływa: àXr,j àXrjc

(30')

dxk

dxi

n m—1, k

ÔXr, i

àXr< „—m—i

ÓXn—m—i

dxi

"f* -4.»—m, k

/ àXr, i \ dxn—m

àXr< n—m

dXi

n—m—1, i

dXr, k

àXr< n—m—i

dxk

(àX \dxn—m

àXr, n—m

àxk

Dalej, po wyrugowaniu z powyższego wielkości As,i} As,k przy pomocy (27) otrzymamy bez żadnych utrudnień równania w postaci (29). Ażeby następnie wyprowadzić warunki całkowalności wybieramy z układu (29) pięć równań, które odpowiadają wskaźnikom p — n, n—1, n—2, n—3, n—4 i piszemy:

(31)

n—m—], i

Ql

—to—1, k

n—m—1, k

n—m—1, i

n — m, i

Q?n

—to, k

Qen-m,i+ ('4„

■A-m, i) QP,

p — n, n—1, n—2, n—3, n—4), gdzie dla ułatwienia pisowni wprowadziliśmy oznaczenia:

n—to, k

—m -X, k

n—to—1, i

—to, n—to—1

= Q?.

(-^r, a)b (-^r, b)a - Qa, b •

Jeżeli przedewszystkiem z ostatniego równania wyznaczymy:

(32)

-4fj—m, i    -4fł—m—1, t

n—to, k

QT7-A

n—m—1, i

n—to—1, k

Qnnk + An—m—l, k Qn—m-l, i ~ An—m, i Qn—to, k + An—m, k Q

n—4 n—m, i

C)n~⁴

v w—m, n—ro—1

i znalezioną wartość podstawimy w równania pierwsze, drugie, trzecie i czwarte, wówczas otrzymamy:

n—to—1, i

m—1, k

q:~⁴

—to, n—m—1

n—m- 1, k

(«

—m—1, i

n—4

n—m, n—m— 1

-Q

n—i

n—m—1, i

n—m, n—m— i

n—m, i

n—m, k

(Qn^m, kQ {QL„,,Q

n — 4

n—m, n—m—X

n—4

n—m, n—m — 1

Qn—m, k Qn

—m, n—m—1

n—4 n—m, i

Ql

—m, n—m—1

-Qk, i Qn

n—4

—m, n—m—1

p — n, n—1, n—2, n—8.

—m, n—m—1

An

Obliczymy z powyższego układu równań cztery wielkości Au~m~i, i, i znalezione takim sposobem wartości ozna-

—m—1, k ;

An—j’ , An . h

czymy krótko tak:

An—771—1, i Pi ‘i An—77i—1, k Pk 'i An—77,t i Tb i ^ An—m, k Pk •

Gdy to podstawimy w pozostałe równania z układu (29), będzie-mieli związki:

(33)

(Xs, i)k (Xi, k) + Pi [(Xs, n—to—l)i (Xi, k)n—m-l]

m)k    (XS( k)n—m\

- Pk [(Xi, n—m—l)i (Xi, i)n—m—lj + Pi [(X

m)i (X₄₎ i)n—m\ ~l~

+ ( PkPi PiPk) [(X

-P*L(X

s, n—

s, n—

m)n—m—1    (Xs,«

—TO—1

)n-m\ = 0

(,s = n—5, n—6, . . . ,n—mĄ-1; i, Jc — 1, 2, . . . , n—m—2 kombin.).

, An—m, i

n—m— 1, i

Oprócz tego musimy jeszcze te same wartości na A wyrugować także z równań (32):

(34)

(PtB, - P,Rt) q:

+ P* Q

n—4

—m, n—m—1

n—i k, i

Pi Qn—m—l, k

n—4

n—to—1, i

Pi Qn—m, k 4“ Pk Q

n—4

n—to, i •

Równania (33) i (34) przedstawiać będą szukane warunki całko-walności w przypadku, gdy liczba całek układu danego będzie równą m+2. Nakoniec pozostanie nam do wykonania całkowanie układu pomocniczego (25), ażeby znaleść wszystkie wymagane całki. Nadmienić w końcu należy, że równania (30') służyć mogą zawsze jako pomocnicze przy rugowaniu wielkości A, gdyż bez tych równań w przypadku, gdy m < 5 mielibyśmy zbyt szczupłą i niewystarczającą liczbę związków, ażeby uprzednio wyrugować wyrażenia (32).

§ 4. Przejdziemy następnie do przypadku najogólniejszego, gdy układ (12) posiada m-\-p całek, które odpowiadają równaniom:

(35)

dxs = As,1 dx± + ASi 2 dx% + . • . + A

st n—m—p

dXn

—m—p

m + p <n\ m > 1 ; m > p

(s — n — m — p-f- 1, n — m—jp + 2, . . . , w)

Wybierzmy przedewszystkiem z układu (35) te równania, które odpowiadają wskaźnikom s — n — m—p +1, n — m — p -f 2, . . . ,n—m, tedy będzie:

ilXn—m—p-\-Y An—m—p-\-1, 1 dX\ *4" An—m—p-|-l, 2    +•. . » An—m—pĄ-\, n—m—p dXn

d/Xn—m An—m, 1 dXi -J- An —m, 2 dx2 4" • • • 4 An—m, n—m—p dxn—m—p \

wyrugujemy następnie z równań (12) różniczki dxn-m-P+i,..., dx„-m przy pomocy wyżej napisanych równań i potem porównamy współczynniki tak utworzonych równań z współczjmnikami pozostałych z układu (35) równań, znajdziemy wówczas:

m—p-\-l An—m—p-\-\, i 4 X,

... 4- X,

(s — n—m+1, n—m+2, . . . , w; i = 1, 2, . .

Wiemy oprócz tego, że równania (35) muszą spełniać warunki:

(36) XM -ł- X

5, n—

5, n—

m—pĄ-2 An—m—pĄ-^i 4" « • «

s, n—m

An—m, i - As, i

n—m—p).

(37)

((As, j))k- ((As, k))i

(.s = n—m—p4l, n—m—pĄ-2, . . . ,w), (i, Tc == 1, 2, . . . ,n—m—p komb.)

s=n

« ))j=

dxj

dxs

s=n—m—p-ł-1

Gdy z tych równań warunkowych wyrugujemy współczynniki As,i (s = n—m4-1, n—m4-2, . .. ,ri) przy pomocy (36) i następnie wykluczymy jeszcze wartości różnic:

(38)

à Ar, i

àAr, k

_ Y’’

dxi ⁴

(r — n—m—p-fl, . . . , n—m; i, Tc}— 1, 2, . . . ,n—m—p),

dxk

natenczas po dokonaniu wszelkich uproszczeń uzyskamy:

s=n—m

(39)

(X-,i)* - (Xr,k)i +

^ Ag, t [(Xr, s)k - (Xr, i)sj

Srrfl—fTï—

—771

-4S,* [(Xr,s)t — (Xr, t)J

(X«, æ j Xat iAp, *) [(Xr, p)a    (Xr, a)p] = 0)

w—m—p komb.),

a, P

(r = n—m +1, n—m+ 2, . . . ,w);    (i, k — 1, 2, . .

gdzie ostatnia suma 2 odnosi się tylko do kombinacyj liczb n—m—p+1,

«,P

n—m—pĄ-2, . . . ,n—m po dwie i znaczenie symbolu nawiasowego jest, jak zwykle, to samo (19). Tą drogą otrzymaliśmy:

(n—m—p) (n—m—p—1) m równań,

w których zawiera się (n — m—p) p niewiadomych As< i, ASy 2,... ...,A

wspomnianych niewiadomych wielkości A pozostanie nam:

4 (n—m—p) (n—m—p—1) m — (n—m—p) p równań

pomiędzy samymi współczynnikami X. Takie samo rugowanie wielkości A musimy uskutecznid i w równaniach (38). Ostatecznie razem będziemy mieli wszystkiego:

5, n—m—p

■"Im

(s — n — m — p + 1, . .

n — m). Tedy po wyrugowaniu

równań warunkowych dla samych współczynników X. Ażeby całe zagadnienie było możliwem i ściśle oznaczonem, niezbędnem jest, ażeby liczba wszystkich równań (39), (38) była większą lub równą liczbie niewiadomych A. Stąd łatwo wypływa, że żadne warunki cał-kowalności istnieć nie mogą, gdy:

+ m + p + 1,

m+ p

co będzie miało miejsce w tym przypadku, gdy:

p — m, n — 2m -}- 2,

a więc liczba całek układu danego (12) będzie równą 2m, czyli będzie dwa razy większą od liczby równań układu. Mamy więc takie ważne twierdzenie: „Układ m równań o różniczkach zupełnych rzędu Igo, zawierający 2m+2 zmiennych i nie spełniający żadnych warunków całkowalności, posiada zawsze tylko 2m całek”.

Rugowanie wielkości Ar>t jako też wyrażeń:

Aa, k A^ i    Aa< i Ap, K

uskutecznia się tak; jak w przypadku poprzedzającym. Ażeby jednak te działania ułatwić, uzyskamy większą liczbę równań pomocniczych, jeżeli, wybrawszy dwa równania z układu (36):

A-i, i “ł~ XSt n—m —p-j-1 An—m—p-f-1, i X

... + Z

—m—p-(-2 An-m—pĄ-y, i "ł“ • • •

s, n —

m An—m, i--A$t (,

Xs,k -j- X

i, n—

m-pĄ-1 An—n»—jH“l, k 4“ X,

s, n—

m-p-j-2 An—m—-p-j-2, k 4" • • •

5, »—

m An—m, k '— As< k )

zróżniczkujemy pierwsze według xk i drugie według xi} następnie zaś jedno od drugiego odejmiemy:

s, n—m -p

+l))*    ot—p+l, i    (( X$, n—m—pĄ-lfiiAn—m—pĄ-lyk

4" ((Z»,»—m—pĄ-^Yjk A»—m—p-f-2, i    ((Z,    —?n—p4-2, k “I” • • •

... + ((Z

s, n—m

))k An—m, i ((A,

s, n—m

))t A»—OT, i - Oj

w którem znaczenie symbolu nawiasowego jest poprzednie (37). Jeżeli teraz napisane wyżej równanie napiszemy szczegółowo w postaci rozwikłanej, będziemy mieli:

dXg,i

dxk

-f- An-m—p-j-1, k

dXs,i

dXn—m—p-f-1

“ł“ An—m—p-f2, k

óXs< i

ĆXn—ot—p+2

• • • 4“ An—m,k

àXs, i

r=n

dxn—ot

r—n—m-J-1

r, k

àXSi i

dXs,k

dxr

dXi

An—m-pĄ-2, i

àxn—ot—p+i

àXs< k

àxn—m—p-|-2

n—m, i

dXs, k

r=n

dxn—m

r=n—OT+1

dxr

+ An-m-p+l,i

àXs< n—m—p-f-1

àX$, «—ot—p-f-1

dxk

àxn—ot—p-f-1

4~

"4“ A-n—m-p-\-2, k

+ . . • + A„ _m, k

dXky n—m—p-\-1

àxn—m—p-|-2

àXs, n—m— p-f-1

dxn—m

Ar, i

1“ An—m, i

dZ

s, n—

àxk

-4 An

—m—p-fl, k

d Zs, TJ—TO

ÓXn—m _ p-}-l

4 4n_m_p+2, k

dXs, n-m ^ àxn—m—p-\-2,

dXs, n—m

r=n

+ y a,.ax

s, n—m

r=n—m+1

ÔXr

An—m, k

dX., n—m

dXs, n—m

dxi

àxn— m—pĄ.\

! An—m — p+2, <

dXs, n—m

dXn-m-p+2

4 ... 4 A„—m,i

d Xs, n—m

àxn—m

-f- -4-72.——p_)_2, i

■ 'O

4 An-m—p+2, i

àXSf n—m—pĄ.2

àXs, n—m—p+2

àXn—m—p-|-l

dXit, n—m-p-1-2

«—m-p+2

àXn—m—p-j-2

àxn—m

r—n

An-m—p-\-2, 4

dXt, n—m—p+2

dxi

r-n—m-1-1

-Ar, i

àxn—m—p-\-2

r=n

Ar< k

ĆZ, n—m—p-f-1 |

r=n—m-\-1

àxr

A-n—m—4

dXSi n—m—p+l

dxi

4 -A-n—m—1, i

dXSf n — rn—p-\-\

àXn-m-p 4-1

4 An—m—p+2, i

... 4 -An—m, »

dZSi n—7»—p-|~l

àXn—m

dZ4t n—m—p+1

ÔXr

dXs, n—wi—p4"2

àxn—m—p-|-i

■s, m—to—p-f2

àxn—m—p-J-2

. . . 4 An—m, i

dZs, n—m—p-1-2

àxn._

r=:n

4    2 4r,i

r=n—

àXs< n—m—p+2

r—n

r=n—m-\-1

àXs, n—m

dxr

(5 = n—m4l, n—.. . ,n- i, Je — 1, 2,. . . ,n—m—p kornb.).

Oprócz tego powyższe równania mogą służyć także do łatwiejszego dowiedzenia równań (39). W rzeczy samej, należy tylko w wyżej napisanem równaniu wyrugować wielkości Ar,i} . . . ₇4r,* przy pomocy (36), a spostrzeżemy z łatwością, że to równanie zamieni się wprost na (39).

Z wszystkiego tego, co w ostatnim rozdziale powiedzieliśmy o całkowaniu układów, widzimy, jak trudnem wogóle zadaniem jest całkowanie układów równań o różniczkach zupełnych. Wszystkie własności i metody całkowania w tym przypadku, gdy zamiast układu mamy jedno tylko równanie, jak to było roztrząsane w rozdziale poprzednim, mieszczą się w ogólnej teoryi całkowania układów, w której dość byłoby przyjąć w tym razie m — 1. Jeżeli zaś mimo to tak szczegółowo rozpatrywaliśmy przypadek jednego równania, to tylko dla tego, iż ze względu na swą łatwość przypadek ten zasługuje na szczególną uwagę, a jednocześnie daje nam o wiele szerszy pogląd na sprawę całkowania.

Płock, 6 Sierpnia 1910 roku.

Cf

\V

Składał: Juljusz Drawdzik

a)

*

»

WYDZIAŁY POLITECHNICZNE KRAKÓW

BIBLIOTEKA GŁOWNA

sensyr*

OWBHB S

33376

Kdn.,

skich 4 — 678. 1. XII. 52. 10.000

ET

Biblioteka Politechniki Krakowskiej