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Die Berichtigung der Krümmung

in Gleisbögen von

Max Höfrr,

Eisenbahn-Landmesser.

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Cöln 1914.

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Druck und Verlag der Buchdruckerei Wilhelm Zörnsch, Cöln a. Rh., Severinstraße 124.

Die Anlagen auf Millimeterpapier sind bei Th. Fuhrmann in Cöln gedruckt.

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Vorwort

Der Gedanke, die Lage eines Gleisbogens durch Messung zahlreicher Pfeilhöhen an gleich langen Bogenabschnitten zu prüfen, ist sehr alt; man hat sich aber stets gescheut, durch Anreihung kleiner Abschnitte von gleicher Pfeilhöhe eine neue Gleisachse abzustecken, weil die unvermeidlichen kleinen Fehler sich zu stark fortpflanzen. Wenn man den mittleren Fehler einer Punktbestimmung zu + 1 cm annimmt, so ist bei 20 Einrückungen schon ein mittlerer Fehler von + 54 cm und bei 30 gar ein solcher von + 97 cm zu erwarten. (Vgl. Jordan: Handbuch der Vermessungskunde, II. Band, 7. Auflage, § 208)

Der verstorbene Eisenbahnlandmesser Nalenz lernt auf den Gedanken, aus Pfeilhöhen-messungen die seitlichen Lagefehler eines Gleisbogens an jeder Stelle abzuleiten und vom vorhandenen Gleise aus die berichtigte Achse zu bestimmen, wodurch jene schädliche Anhäufung der kleinen Einzelfehler vermieden wurde. Er beschrieb das von ihm erdachte Verfahren zuerst in Heft 1 des Jahrgangs 1898 der Zeitschrift des Rheinisch-Westfälischen Landmesser-Vereins. Die praktischen Erfahrungen der nächsten Jahre veranlaßten ihn zu einer vollständigen Umarbeitung jenes Aufsatzes, die im Jahre 1905 von der Königlichen Eisenbahndirektion in Cölit als Anlage zu einer dienstlichen Anweisung herausgegeben wurde. Beide Veröffentlichungen fanden indessen außerhalb des persönlichen Wirkungskreises ihres Verfassers keinen Anklang, weil die Darstellung ungewöhnlich hohe Anforderungen an die mathematische Vorbildung des Lesers stellte.

Durch die vorliegende Bearbeitung hoffe ich das wertvolle Verfahren, dessen praktische Anwendung trotz des abgelegenen Grundgedankens und der Schwierigkeit des mathematischen Beweises im höchsten Grade einfach genannt werden darf, weiteren Kreisen zugänglich zu machen. Um das Eindringen in den eigenartigen Stoff nicht zu erschweren, sind alle entbehrlichen Beweisführungen unterdrückt oder wenigstens in den Anhang verwiesen worden.

Das Mitglied des Königlichen Eisenbahn-Zentralamtes, Herr Geheimer Baurat Samans, und der mittlerweile in den Ruhestand getretene Vorstand des Eisenbahn-Betriebsamtes in Cösliit, Herr Geheinter Baurat Bräuning, haben dieser Arbeit alle erdenkliche Förderung zuteil werden lassen, manche wertvolle Anregung gegeben und mich bei der Anordnung des Stoffes wohlwollend beraten. Es sei mir gestattet, an dieser Stelle beiden Herren meinen ehrerbietigen Dank auszusprechett.

Höfer.

Cöln, im Oktober 1913.

Einleitung

In geraden Strecken können die Gleise nach dem Augenmaß ausgerichtet werden, nicht aber in Krümmungen. Die Nachmessung eines nach dem Augenmaß gut ausgerichteten Bogens ergibt in der Regel einen starken Wechsel der Krümmung, der bei großer Fahrgeschwindigkeit heftige Seitenschläge der Fahrzeuge hervorruft.

Die Absteckung eines Betriebsgleisbogens von Tangenten oder sonstigen Hülfslinien aus führt oft zu unzulässigen Abweichungen vom gegenwärtigen Zustande. Deshalb empfiehlt sich ein Verfahren, das unmittelbar von der vorhandenen Bogenlage ausgeht. Für kurze und nicht allzu nnregelmäßige Bögen genügt das in Anlage 3 der preußischen Oberbauvorschriften angegebene Verfahren. Für alle übrigen, auch die verwickeltsten Fälle empfiehlt sich das nachstehend behandelte Verfahren, das ohne zeitraubende Berechnungen die an jeder Stelle eines verdrückten Bogens zur Herstellung einer gleichmäßigen Krünunung erforderlichen Verschiebungen ergibt.

Erster Abschnitt

Der Grundgedanke.

i.

Abb. 1.

Abwilklnug

eines

Bogens.

In das aufgetragene Bild eines unregelmäßig gekrümmten Gleisbogens ist ein ausgeglichener Bogen einzulegen, der die beiden festen Anschlußgeraden berühren und außerdem mit dem ursprünglichen Bogen möglichst gleiche Länge haben muß, um schädliche Änderungen der Stoßlücken zu vermeiden. Die Abweichungen beider Bögen sind dann die erforderlichen Verschiebungen. Da sie verhältnismäßig klein sind, kann - angenommen werden, daß sie in der Richtung des Halbmessers vorzunehmen sind. In dieser Richtung verläuft auch der erste Teil der Evolvente des Bogenteils. Die erforderlichen Verschiebungen können daher als Anfangsteile der Evolventen aufgefaßt werden.

Die Evolvente (Ebb. 1) ist der Bogen E, den ein Punkt P eines Fadens bei der Abwicklung von einer Kreisscheibc beschreibt. Die Tangente ist stets gleich der Länge des abgewickelten Bogens. Wird also die Abwicklung bis zum Bogenanfang fortgesetzt, so ensteht eine gerade Linie, die mit der Tangente des Bogens zusammenfällt.

Aß-

........'s'

Denkt man sich, daß jeder Punkt A des Ausgleichbogens bei der Abwicklung den ihm entsprechenden Punkt F des fehlerhaften Gleisbogens in unverändertem Abstand mitnimmt (Abb. 2), so ers cheinen die Lagefehler des Gleis es als Höhen A’F’ zu den Längen des Ausgleichbogens als Grundlinie. Auf eine derartige Darstellung in verzerrtem Maßstabe zielt das Verfahren ab.

Abb 2.

2.

Die ganzen Evolventen eines Gleisbogens sind nicht an Ort und Stelle

Zerlegung

der Kreis- unmittelbar meßbar; aber sie lassen evolvente. sich nach folgenden Reihen aus den Teilevolventen kleiner Bogenabschnitte entwickeln. Bezeichnet man die Hauptevolventen für die in gleichen Abständen As*) gewählten Teilpunkte n des Bogens mit Kn und die Teilevolventen der Bogenabschnitte As mit en, so haben die Hauptevolventen folgende Werte: (Abb. 3)

‘Mi

e,

Ji

4L

Abb. 3.

<D CD <D O ü) CO lO N

CN CS

(M <D O . . CD CQ lO

CD

bD

h-¹-

CD *

bD

CO

_L

Sen

6n

Diese Reihe kann man sich auf folgende Weise entstanden denken: Aus den Teilevolventen en (Spalte 1 der folgenden Aufstellung (2)) erhält man durch fortlaufende Addition ihre erste Summenreihe (Spalte 2), aus den Gliedern dieser Reihe auf gleiche Art die zweite Summenreihe (Spalte 3). Addiert man

NUN je zwei benachbarte Glieder dieser Spalte 3, so entsteht offenbar die Haupt-evolvente zum Teilpunkt des größeren Gliedes (Spalte 4) '

(2)

Teil-

punkte

Teil-

evolv.

1. Summenreihe

2. Summenreihe

Hauptevolvente

= Efi

«t

=E

6,

e₂

eL

6t

e, + e3 e₂ + e₃ + e₄

2e,+ e₂

3e, + 2e₂ + e₃

4gj + 3e, + 2e₃4- e₄

3et+ e2 5e₁+3e₂+ e3 7e₁+5e₂+3e₃+e₄ — E₄

= e₂

= E₃

2 en*)

;n — i AjAiGn — En

Die Teilevolventen eines fehlerlosen Kreisbogens müssen sämtlich einander gleich (=e) sein; die Entwicklung der Hauptevolventen würde sich folgendermaßen gestalten:

(3)

Tlp.

CD CD CD O

• • • CD

^ OJ IO H CD CD CP (T)

le

le

3e

6e

10s

4e

9e

16e

= E0 = E — E2 = E₃

= e₄

n(n+l)

—IT“^

Die Koeffizienten der Glieder in Spalte 4 sind die Quadrate der natürlichen Zahlen.

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n²e

= En

<x

Wühlt man die Bogenabschnitte so klein, daß Centri-man die Evolvente des Scheitels gleich seinem winket und rechtwinkligen Abstand von der Anfangstangente Pfcilhöhen-des Bogenabschnitts setzen kann, so ist die Scheitel- summen, evolvente gleich der Pfeilhöhe des Bogens (Abb. 4).

Abb. 4

Das heißt: Die Teilevolvente e für den B ogen-abschnitt As kann als Pfeilhöhe h des doppelten Bogens 2 As an Ort und Stelle unmittelbar geinessen werden. Aus den Pfeilhöhen könnten die ganzen Evolventen E berechnet werden.

Nach Abb. 4 läßt sich h+e = 2o als Bogenmaß des Winkels ß zum Halbmesser As auffassen: es ist also

(4)

2e = As • ß oder e — Asy

Sind alle Werte e (— h) eines Bogens an Abschnitten von der Länge As (bezw. 2 As) gemessen, so muß ihre Summe 2e (= _lh) den halben Zentriwinkel

a ausdrücken, da die Summe der Teilwinkel ß der Zentriwinkel ist.

(5)

A s • 2"

Se = Sh = AsSf

Der Ausgleichbogen muß denselben Winkel ausfüllen. Die Summen aller Teilevolventen (Pfeilhöhen) ist also eine feste Größe, nämlich gleich dem gewählten Bogenabschnitt As mal dem halben Zentriwinkel.

Die fit-tim

Es wäre umständlich, die «»mgslinic. Evolventen E gemäß Ableitung (2) zu berechnen; sie werden besser zeichnerisch ermittelt. Trägt man die Glieder der ersten Summenreihe (Spalte 2 jener Ableitung) als Höhen in Ab- ^ k_ @    |

ständen von As auf, so entsteht °    * ** 2^3    ^

Abb 5.

eine ansteigende Linie (Abb. 5).

Weil die Werte e ungleich sind, ist sie gebrochen. Bezeichnet man die Höhen zu den Teilpunkten n mit on (= Sen), so müßte man, um die Evolvente En, etwa Eti, zu erhalten, gemäß Spalte 3 der Ableitung (2) zunächst die Glieder der zweiten Summenreihen für die Teilpunkte n—1 — 5 und für n = 6 bilden und dann gemäß Spalte 4 diese beiden Summen addieren. Das Ergebnis wäre:

Ec = (°o + ot + o₂ + o₃ + o₄ + o₅) + (o₀ + Oj + o₂ + o₃ + o₄ + o₅ + oc) oder in anderer Reihenfolge, wenn man einmal o₀ = 0 fortläßt:

E6 ⁼ (°0 + °l) + (°L + "2) + (°2 + °3) + (°3 + 04) + (°4 + °s) + (°5 + °ti)

Die eingeklammerten Glieder sind offenbar doppelt so groß als die mittleren Höhen der Flächenstreifen von As Breite.

Die Evolventen En für die Teilpunkte n sind hiernach gleich der doppelten Länge eines As breiten Flächenstreifens, der gleichen Inhalt hat mit der durch die Höhe on von dem Höhenbilde (Abb. 5) abgeschnittenen Fläche.

Die Höhen ergeben den halben jeweils zurückgelegten Zentriwinkel (nach (5)). Die letzte Höhe ergibt also den halben Zentriwinkel « im Bogenmaß zum Halbmesser As. Die gebrocheue Umrißlinie geht hier in eine mit der Grundlinie gleichlaufende Linie über; denn die weiteren Teilevolventen (Pfeilhöhen) haben den Wert Null. Der Zentriwinkel wächst nicht mehr. (Vgl. Schlußsatz von Ziffer 3).

Die Richtungsänderung der Umrißlinie, d. h. ihr Steigungsverhältnis, hängt für jeden Abschnitt As von der an dieser Stelle gemessenen Pfeilhöhe ab. Da die Pfeilhöhe wächst, wenn der Halbmesser kleiner wird, wird die Umrißlinie um so steiler, je enger der Bogen, und umgekehrt; sie gibt also das Krümmungsverhältnis an jeder Stelle an und heißt deshalb Krümmungslinie.

5.

Ersatz der Teit-evolventen durch

Pfeilhöhen.

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Abb 6

Die Teilevolventen werden als Pfeilhöhen an doppelten Bogenlängen gemessen. Die Pfeilhöhe bei Punkt 2 in Abb. 6 kann i nun ebensowohl die Evolvente des Bogens 0—2 als die des Bogens 2—4 ersetzen, da sie von der Krümmung beider Abschnite beeinflußt wird. Man kann sie daher als Evolvente der mittleren Hälfte des ganzen

Bogens 1 — 3 auffassen, dessen Krümmungsverhältnis sie am besten ausdrückt. (Vgl. Begründung im Anhang). Anstatt nach Abb. 5 die Summenreihe der Teilevolventen als Höhen int Teilpunkte der letzten Teilevolvente darzustellen, trägt man aus diesem Grunde die Glieder der Pfeilhöhensummenreihe zu den um (AAs vergrößerten Bogenlängen, d. h. als mittlere Höhen, auf.

(Hierzu gehören die Abbildungen 8—14 auf Anlage 1)

Zeich-

In Abb. 7 möge die dünn ausgezogene Linie I eilten unregelmäßig gekrümmten Gleisbogen darstellen. Die gebrochene Linie I in Abb. 8 sei seine »crischeEnt-Krümmungslinie. Wenn der Bogen I in Abb. 7 durch einen fehlerlosen Kreis- Wicklung der bogen ersetzt wird, muß die erneute Auftragung seiner Krümmungslinie in Abb. 8 Evolventeu-anstelle der gebrochenen Linie I eine gerade Linie II ergeben; denn nach Spalte unterschiede. 2 der Ableitung (3) auf Seite 7 pflanzen sich die Pfeilhöhensummen eines Kreisbogens geradlinig fort.

Man zeichnet eine ausgleichende Linie II nach Augenmaß in Abb. 8 ein.

Sie endet auf der Wagerechten durch den Endpunkt der Krümmungs-linie; denn die letzte Höhe drückt den halben Zentriwinkel aus, der nicht verändert werden darf. Nach Ziffer 4 ist nun die Evolvente für einen beliebigen Teilpunkt des ursprünglichen Bogens I gleich 'der doppelten Fläche zwischen Grundlinie, Krümmungslinie und Höhe des Punktes, geteilt durch die gewählte Länge As der Bogenabschnitte. Ebenso ist die Evolvente für den ent-

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Abb. 7.

sprechenden Punkt eines vorläufig entworfenen Bogens II gleich betn doppelten Inhalt des Dreiecks zwischen Grundlinie, Entwurfsfteigung und Höhe des Teilpunktes geteilt durch A 9. Da es für die Absteckung nur auf die Evolventenunterschiede ankommt, bildet man nicht die ganzen Evolventen, sondern nur ihre Unterschiede,

indem man die Abweichungen der Krümmungslinie von der Entwurfssteigung fortlaufend unter Berücksichtigung des Vorzeichens addiert und die erhaltenen Werte verdoppelt.

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Trägt man die Evolventen- _

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unterschiede wiederum als Höhen ! zu den Bogenlängen auf, so bildet i die Verbindungslinie der aufgetrage- j Punkte die „Summenlinie".

Die Abb. 8a und 9a dienen zur Erläuterung. Mau trägt im Teilpunkt 1 der 2(66. 9a den mittleren Höhenunterschied (1) zwischen den Teilpunkten o und 1 der Abb. 8a als Höhe auf; dann setzt man den Zirkel mit der Spannung (1) so an (2) in Abb. 8a an, daß (2) außerhalb der Zirkelfüße liegt, setzt den berührenden Fuß über das Maß (2) hinüber und trägt die erhaltene Spannung (1) + (2) im Teilpunkt 2 der Abb. 9a an, ebenso (l) + (2, + (3> im Teilpunkt 3. Bei (4) ändert sich die Spannung nicht; daher wird der Teil der Summenlinie über 3—4 in Abb. 9a gleichlaufend zur Grundlinie. Bei (5) muß die Zirkelspannung verkleinert werden, weil die Krümmungslinie unterhalb der Entwurfssteigung liegt; man setzt den Zirkel mit der Öffnung (l) -f (2) + (3) + (4) so an, daß (5) zwischen den Füßen liegt, und setzt dann den berührenden Fuß über. Die Summenlinie nähert sich folglich der Grundlinie wieder; sie ändert ihr Streben stets, wenn die Entwurfssteigung die Krümmungslinie überschneidet.

Wird die Zirkelspannung unbequem stein oder groß (z B. am Anfang (l), so greift man ein oder einige Zentimeter mehr oder weniger und setzt die Höhen von einer entsprechend verschobenen Grundlinie ab, was bei Verwendung von Millimeterpapier keine Mehrarbeit verursacht.

Anstatt die Höhen des auf diese Art entstandenen Bildes Abb. 9 zu verdoppeln, verdoppelt man das Maßstabverhältnis. Ist Abb. 8 z. B. im Höhenmaßstab 1:10 gezeichnet, so erscheint Abb. 9 im Höhenmaßstab 1:20.

Die Abb. 9 soll dem Ergebnis der Abwicklung in Abb. 2 entsprechen, unterscheidet sich aber von diesem Bilde wesentlich. Das Höhenbild der Abb. 2 endet in der Grundlinie, weil die letzte Evolvente für den ursprünglichen und den ausgeglichenen Bogen notwendig gleich sein muß, wenn dieser in die alte Schlußtangente einmünden soll. Es ist zivar zulässig, bei beut Ausgleich einen Tangententeil in die Krümmung hineinzuziehen oder einen Bogenteil gerade zu strecken; aber für den äußersten gemeinsamen Punkt beider, der gegenwärtigen und der ausgeglichenen Lage, muß die Evolvente unbedingt dieselbe sein; d. h. der letzte Evolventenunterschied muß Null sein; die Summenlinie in Abb. 9 inuß auf der Grundlinie enden. Das ist hier nicht der Fall; die Entwurfssteigung gleicht also die verschränkte Fläche zwischen sich und der Krümmungslinie nicht aus.

Inden« inan von einem nach Schätzung gewählten Punkt a auf der Grundlinie der Abb. 8 aus eine Steigungslinie gezeichnet hat, die einem durch Schätzung bestimmten Halbmesser entspricht, hat man in Abb. 7 von einem vorläufig und willkürlich angenommenen Tangentenpunkt a aus einen Bogen II von schätzungsweise ermitteltem Halbmesser r entworfen, der im allgemeinen die Schlußtangente nicht berühren wird, sondern wegen der Unveränderlichkeit des Zentriwinkels in eine gleichlaufende Schlußtangente tut Abstand v mündet

Daraus folgt, daß der Unterschied v der Schlußevolventen in AM. 7 die Endhöhe v in Abb. 9 ist und die Grundlinie in Abb. 9 der nach Abb. 2 gerade gestreckte Bogen II der Abb. 7.

Um die Schlußtangente zu erreichen, muß man den Bogen II der Abb. 7 ohne Änderung seines Halbmessers in den Tangentenwinkel in die Lage III hineinschieben, wobei der Anfangspunkt a sich um das Maß p nach b verschiebt.

Die Wirkung dieser Verschiebung auf die 3166. 8 ist eine Parallelverschiebung der entworfenen Steigung um das wagerechte Maß p in 3(66. 10. Da der Erfolg in 3(66. 9 die Beseitigung der Endhöhe v sein soll, ist das Maß p so zu bestimmen, daß der senkrechte 3lbstand der berichtigten Steigung von der nach 3lugenmaß entworfenen gleich wird der Endhöhe geteilt durch die in der Längeneinheit As ausgedrückte Schattenlänge der Steigungslinie. Um die Zeichnung nicht undeutlich zu niachen, ist die Krümmungslinie der 3(66. 8 in 3(66. 10 nochmals dargestellt und hierin die verbesserte Steigung eingetragen. 3(66. 11 ist die Summenlinie dazu, die mit der Höhe Null endet. Die Grundlinie der 3(66. 11 stellt nun den gerade gestreckten Bogen 111 der 3(66. 7 dar, was durch übereinstimmende Strichart angedeutet ist.

V,

Der Bogen III in 3(66. 7 berührt zwar beide Tangenten; aber er wird im allgemeinen den Bogen I noch nicht genügend decken. Das äußert sich in 3(66.11 darin, daß nach einer Seite mehr und größere Verschiebungen notwendig wären als nach der anderen. Man muß in 3(66. 7 nachträglich den Halbmesser ändern. Diese Maßnahme muß sich in 3(66. 10 als Änderung des Steigungsverhältnisses aussprechen. Da die Berührungspunkte in 3(66. 7 hierbei auf beiden Tangenten um das gleiche Maß q verlegt werden, müssen auch die Schnittpunkte der Steigung mit der Grundlinie und der mit ihr gleichlaufenden im Abstande 2 e in 3(66. 10 um das gleiche Maß nach außen oder innen verschoben werden. Dadurch wird eine Drehung der Steigung um ihren Mittelpunkt, der aus halber Endhöhe liegt, bewirkt. Jede Steigung, die durch diesen Mittelpunkt geht, muß die Fläche ebenso ausgleichen wie die in 3(66. 10 dargestellte Lage. Die bereits erfüllte Bedingung, daß die Summenlinie mit der Höhe Null, das heißt auf der Grundlinie enden soll, wird also durch eine Drehung nicht gestört.

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Abb. 10a

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Durch Drehung der Ausgleichlinie III in 3(66.10 a in die Lage IV entstehen zwei Dreiecke mit gemeinsamer Spitze m. Wenn q klein ist und die schraffierten Dreiecke vernachlässigt werden dürfen, ergibt die Summen-linie der verschränkten Dreiecke genau genug eine quadratische Parabel, 3(66. 11a; denn durch die Höhen der Teilpunkte in 3(66. 10a werden lauter ähnliche Dreiecke mit der gemeinsamen Spitze m abgetrennt.

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Die Inhalte ähnlicher Dreiecke verhalten sich aber wie die Quadrate ihrer Höhen, die hier als wagerechte Abstände des Drehpunktes m von den Senkrechten durch die Teilpunkte aufzufassen sind Die Abstände der Summenlinie 3(66. 11a von der Scheiteltangente drücken die Inhalte dieser ähnlichen Dreiecke aus, wobei man sich die Summenlinie durch „Auftragung vom Scheitelpunkt aus entstanden denken mag. Die Höhen der Summenlinie von der Grundlinie (Parabelsehne) aus sind demnach Flächenunterschiede zwischen den ähnlichen Teil-Dreiecken und dem ganzen Dreieck beiderseits. Die Scheitelhöhe der Parabel stellt den Inhalt jedes der beiden ganzen Dreiecks dar als Länge eines Flächenstreifens von A s Breite.

Die Drehung der Linie III in Abb. 10 soll bewirken, daß die verschränkte Fläche zwischen den Linien I und III gleich Null wird. Demnach muß die Fläche des Parabelabschnitts (Abb. 11a) gleich dieser verschränkten Fläche in Abb. 11 werden, die man feststellen kann. Da außerdem die Sehnenlänge als Schattenlänge der Steigungslinie bekannt ist, läßt sich die Höhe berechnen.

Bekanntlich ist der Inhalt eines Parabelabschnitts gleich der Sehne mal “/3 der Pfeilhöhe. Diese Höhe nun soll der Inhalt der durch die Drehung in Abb. 10 a oder 10 zu erzeugenden Dreiecke sein. Teilt man also die doppelte Parabelhöhe durch die halbe Schattenlänge der Steigung, mit der Längeneinheit As gemessen, so erhält nian das Maß, um das die Endpunkte der Steigung in senkrechter Richtung zu verlegen sind. Verbindet man die hiernach aufgetragenen Punkte mit dem Drehpunkt, so erhält man (Abb. 12) eine gerade Linie IV als endgültige Steigung. Ihre Schnittpunkte mit den Wagerechten (Tangenten) liefern die Bogenenden im Abstande q von den Endpunkten der Steigung in Abb. 10a ob. 10.

Zu demselben Ergebnis führt auch die Betrachtung der Abb. 7. Denkt mau sich den Bogen III glatt gestreckt und IV als Höhenbild dazu dargestellt, so vermutet man nach dem Augenschein einen Parabelbogen, der von b aus der Grundlinie seine Wölbung zuwendet. Das beruht auf einer Augentäuschung; der Bogen IV erscheint, weil er innerhalb von III liegt, als der engere Bogen. Er hat aber tatsächlich den größeren Halbmesser, und die Evolventen des flacheren Bogens wachsen langsamer als die des engeren Bogens. Folglich muß auch diese Darstellung einen Parabelbogen nach Art der Abb. 11a liefern. Nur würde sich das Bogenstück über der Länge q als Hohlparabel darstellen, woran der entgegengesetzt gekrümmte Bogen anschlösse, und jenes Stück entspricht der Summenlinie für das vernachlässigte schraffierte Dreieck der Abb. 10 a, die gleichfalls ein vorgelagertes Stück einer Hohlparabel in Abb. 11 a sein würde. Ähnliches gilt vom Bogenende.    **

Zeichnet man die Summenlinie zu Abb. 12, die abermals die Krümmungslinie aus 8 und 10, aber mit dem endgültigen Steigungsentwurf IV darstellt, so erhält mau in Abb. 13 die vorzunehmenden Seitenverschiebungen; die Grundlinie ist der glattgestreckte Bogen IV der Abb. 7, die Höhen der einzelnen Teilpunkte sind die Unterschiede seiner Evolventen von denen des ursprünglichen Bogens I in halbem Maßstabe.

Wenn p und q klein sind, kann man die Zeichnung der Abb. 10, 11, 12 und 13 ersparen. Wenn nämlich in Abb. 14 das Höhenbild I die Abb. 9 wiederholt, sodaß die Grundlinie die nach Augenmaß entworfene Steigung II der Abb. 8 ist, so entspricht die schräge Linie III (Abb. 14) der verbesserten Steigung in Abb. 10, und der Grundli nie in Abb. 11, da das senkrechte Maß der erforderlichen Parallelverschiebung der Bruch aus der Endhöhe v und der Schattenlänge der Steigung sein muß. Der Wert dieses Bruches ist aber der Abstand der Linie III in Abb. 14 von der Grundlinie II, im Abstande As vom Anfangspunkte gemessen. Die Linie III verkürzt mithin die Höhen um das Maß v im Verhältnis zu den Längen, und die Parallelverschiebung aus Abb. 8 nach Abb. 10 bezweckt nicht anderes.

Das senkrechrechte Drehungsmaß der Ausgleichlinie in Abb. 10 zur Überführung in die endgültige Lage, die Abb. 12 enhält, mußte nach den an die Abb. 10a und 11a geknüpften Erörterungen aus den Abmessungen einer quadratischen Parabel entnommen werden. Die Wölbung dieser Parabel ist aber abhängig von der Lage und Größe der Fläche, die die Summenlinie der Abb. 11 mit der Grundlinie einschließt. Diese Parabel kann inan unmittelbar zeichnen, indem man

in Abb. 14 die Fläche zwischen der Summenlinie und der Linie III mit dem Zirkel ausmißt und aus Inhalt und Länge die Parabelhöhe berechnet. Daraus ergibt sich die Lage ihrer Haupttangenten. Wie die Parabel selbst in der Netz-teilung des Millimeterpapiers auf einfache Weise zu zeichnen ist, ist in Ziffer 9 beschrieben.

Die Ausgleichparabel IV in Abb. 14 entspricht der endgültigen Steigung in Abb. 12 und der Grundlinie in Abb. 13.

Ein Vergleich der Abb. 14 mit den Abb. 11 und 13 zeigt, daß die Teilpunkte der Linie 1 in Abb. 14 von der Sehne und der Parabel dieselben Abstände haben wie die entsprechenden Teilpunkte in jenen Abildungen von den durch übereinstimmende Strichart gekennzeichneten Grundlinien.

Man hat nach Abb. 14 gewissermaßen den Bogen II der Abb. 7 geradegestreckt und darüber sowohl die Evolventenunterschiede der Bogenlagen I und II als auch die der Bogenlagen IV und II als Höhen dargestellt, um die Unterschiede dieser Höhen unmittelbar als Verschiebungsmaße zu verwerten.

Um die Bogenenden genau zu bestimmen, muß man allerdings p und q berechnen oder der Abb. 14 entnehmen; aber diese Werte haben auf die seitliche Lage des Gleises sehr geringen Einfluß, wenn der erste Entwurf nach Augenmaß gut getroffen ist, wenn also p und q klein sind. In Abb. 8 ist der Entwurf mit Absicht ziemlich schlecht gewählt, um den Grundgedanken deutlich zu machen.

Wie man die Verschiebung p und q unter Umständen durch einfache Rechnungen vermeiden oder ganz unschädlich machen kann, wird an praktischen Beispielen unter den Ziffern 13, 14 und 22 gezeigt werden.

7.

feit der

Nach Abb. 14 ist das vorhandene Gleis bei jedem Teilpunkt so zu verschieben, Sinnfällig-daß die Linie I in die Lage der Parabel IV kommt; die Verschiebungen nach rechts und links sondern sich sinnfällig nach der Stationierung des Bogens oder Zeichnung, der Richtung der Messung. Zu dem Zweck muß tue Krümmungslinie (Abb. 8) stets sinnfällig gezeichnet werden, d. h. sie muß von der Grundlinie nach rechts oder links ablenken, je nachdem der vorhandene Bogen von der Anfangstangente nach rechts oder links ablenkt.

Die Krümmungslinie für einen nach rechts ablenkenden Bogen hat man also durch Auftragung der Pfeilhöhensummen nach unten darzustellen; sonst erhält man die Summenlinie als Spiegelbild.

Über die Richtung der Parallelverschiebung des Augenmaßentwurfs (Abb. 8) entscheidet die Richtung der Endhöhe v (in Abb. 9 u. 14.) Aus dem Vorzeichen der Flächensumme zwischen I und III in Abb. 14 ersieht man, ob die Summenparabel auf der Sehne stehen oder darunter hängen muß. Eine auf der Sehne stehende Parabel deutet auf eine rechtläufige Drehung des Entwurfs, während eine hängende Parabel einer rückläufigen Drehung entspricht. Eine rechtläufige Drehung entspricht bei einem nach links ablenkenden Bogen einer Vergrößerung des Halbmessers (sanftere Steigung) bei einem Rechtsbogen, für den die Krümmungslinie, also auch der Entwurf, abwärts geht, einer Verkleinerung des Halbmessers (steilere Steigung). Eine rückläufige Drehung entspricht in beiden Fällen den umgekehrten Verhältnissen.

Zweiter Abschnitt.

Übergangsbögen.

8.

Übergangsbögen sind Parabeln dritter Ordnung. Da sie sehr flach mungslinie sind, kann man die Pfeilhöhe eines Parabelabschnitts als Abweichung des mitt-des Über- leren Tangentenabstandes vom Mittelwert der

gangs-bogens.

Kriim-

äußersten Abstände des Abschnitts ansehen und nach Abb. 15 etwa setzen:

Abb.15.

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s.

= '/r (0, + Og) - 0,

Die Abstünde sind dritte Potenzen der Längen (n - As) mit einem unveränderlichen Faktor P, haben also die Form: on •= P (n A s)3 Gemäß Gl. (6) erhält man die Pfeilhöhen in Spalte 3 der folgenden Ableitung (7), wenn man die Werte on in Spalte 1 von den Mittelwerten ^ (on-,Pon-m) in Spalte 2 abzieht.

(7) Tlp.

(6)

On

y(on

+ On +l)

1    1 P (As)³

2    8 P (As)³

3    27 P (As)³

4    64 P (A s)³

4P (As)3 14 P (As)3 36 P (A s)3 76 P (As)³

3P(As)³ 3 P (As)3 6 P (A s)³ 9 P (As)³

9 P (As)³    18 P(As)³

12 P (As)³    30P(As):1

5    125 P (As)³

Die Pfeilhöhen sind nicht gleich wie beim Kreise; sie wachsen tut Verhältnis zur Bogenlänge vom Berührungspunkte der Tangente aus. Trüge man sie als Höhen zu den Messungspunktett auf, so erhielte man eine gerade ansteigende Linie; denn die Unterschiede benachbarter Pfeilhöhen sind gleich (= 3P(As)³). Um die Krümmnnglinie des Übergangsbogens zeichnen zu können, muß man die Werte der Spalte 3 in Sp. 4 fortlaufend summieren. Die Unterschiede der Pfeilhöhen bilden also die zweite Differenzenreihe der Glieder in Spalte 4. Die Beharrlichkeit der zweiten Differenzenreihe ist aber das Kennzeichen der quadratischen Reihe. Die Krümmungslinie der Parabel dritten Grades ist eine Parabel zweiten Grades.

9.

Zeichnung der quadratischen Parabeln.

Zur Einschaltung des Übergangsbogens niuß der Kreisbogen um ein gewisses Maß f nach innen verschoben werden.

Übergangsbogen nnrb'oom Halbmesser tut Anfang des ursprünglichen Bogens halbiert, und berührt mit seinen Enden die Tangente und den verschobenen Bogen,

Abb.16.

Der

ü.

/!

-7

den Hauptbogen. Seine Krümmunglinie, die Parabel zwei tenGradesimEntw urfs-bilde wird daher von der Senkrechten durch den Schnittpunkt der Steigung mit der Wagerechten halbiert und schmiegt sich beiderseits an diese Linien (dieSteigung-unddie Grundline) als Tangenten an. (Vergl. Abb. 17 in Ziffer 10.) Die Zeichnung quadratischer Parabeln erhellt aus 9(66. 16. Eine Tangente der Krümmungslinie des Übergangsbogens liegt stets wagerecht in der Netzteilung. Da die bei Erläuterung der 9(66. 14 in Ziffer 6 erwähnten Summenparabeln auf die gleiche 9lrt gezeichnet werden, ist in 9(66. 16 der allgemeine Fall angenommen, daß beide Tangenten schräg im Netz des Millimeterpapiers liegen.

Zunächst müssen die Tangenten gleich sein, d. h. sie müssen gleiche Schatten-länge haben, da nach den früheren Erläuterungen die Schattenlänge der Steigung die Bogenlänge ausdrückt. Man teilt die Tangenten in dieselbe Anzahl gleicher Teile, sodaß die Abschnitte beider Tangenten gleiche Schatten haben, etwa lern. Beziffert man die Teilpunkte beider Tangenten je für sich in derselben Richtung, so ist jede Verbindung gleichnamiger Punkte eine Parabeltangente, und der 9lbschnitt einer Zwischentangente zwischen den benachbarten Zwischentangenten hat stets die doppelte Schattenlänge der gewählten Teilung. Beträgt diese z. B. lern, so ist die Schattenlänge jedes 9lbschnitts zwischen zwei Brechpunkten 2 cm. Nur die äußersten 9lbschnitte ans den Haupttangenten haben die einfache Länge. Die Teilung ist je nach Bedarf so eng zu wählen, daß keine auffallenden Knicke entstehen, und das Tangentenvieleck als Ersatz der Parabel angesehen werden kann. Man zieht die punktierten Teile der Zwischentangenten nicht aus, sondern zielt nur mit dem Lineal von Punkt 1 auf der Anfangstangente nach Punkt 1 der Schlußtangente, zieht einen Strich von der beabsichtigten Schattenlänge, dreht das Lineal nach Punkt 2 der Schlußtangente, ohne den Punkt 2 der Anfangstangente weiter zu beachten, zieht abermals einen Strich von gleicher Schattenlänge und fährt so fort, bis die Schlußtangente erreicht ist. Bei einiger Übung kann man auch die Bezifferung ersparen. Ein durchsichtiges Zellhorndreieck erleichtert die Übersicht über die Teilung. Die wagerechten Netzlinien spielen bei der Parabelzeichnung keine Rolle.

Es ist beachtenswert, daß der Parabelscheitel den Abstand des Winkelpunktes von der Sehne halbiert; das ist wertvoll zur Beurteilung des Flächenausgleichs durch Augenmaßentwürfe; man kann hiernach die Lage der Parabel mit einiger Sicherheit bestimmen, ohne sie sorgfältig zu zeichnen.

10.

In 9166. 17 sei h ote Scheitelhöhe und Berschie-1 die Länge der quadratischen Paradel. bung des ur-

/ j[f    Die Höhe des Parabelendes ist die vierfache sprünglichcn

Scheitelhöhe (= 4h). Die schraffierte Fläche Bogens.

4S

zwischen Paradel und Haupttangenten ist 5-H1. Die schräge^Tangente ist die Kreiskrümmungslinie, deren Steigung den Halb-messer angidt. Die Pfeilhöhe der Kreis-dogenabschnitte von 2As Länge möge zum Unterschied von der Paradelhöhe mit H bezeichnet werden. Die Mittelhöhe -|H eines As breiten Flächenstreifens ist die Teilevolvente des Bogenteils As an einer-beliebigen Stelle. Nach der bekannten Evolventenformel (vergl. Anhang) ist

Abb.17.

't

>---------1--

IO

00

*°l

Ph

To

9hm verhält sich aber

(9)

II: As — 4h: ’ j. Daher ist

to|

(As)- 2h As 2 r —

. Daraus folgt:

(11)

2"1 A s

lAs

h —

Die schraffierte Fläche in 9(66. 17 ist demnach

„ l2 lh ” 2iT As

Hiernach ist die Stimme 4 eines A3 breiten Flächenstreifens von, Inhalt -jlii

das Maß f, um das der Kreis nach innen verschoben werden muß, wenn der Übergangsbogen eingeschaltet werden soll. (Vergl. O6er6auvorschriften 9lnl. 3.) Die Fläche zwischen der Parabel und ihren Haupttangenten drückt die zur Einschaltung des Übergangsbogens erforderliche Verschiebung des Kreisdogens nach innen aus.

Beginnt man mit dem Aufträgen der Summenlinie am Anfang der Paradel, so wird das Höhendild der Kreisevolventen um den Wert f der schraffierten Fläche von der Grundlinie abgerückt, die Evolventen werden also tatsächlich um das Maß f größer. Am Bogenende, wo eine gleiche Paradel mit entgegengesetzter Krümmung zu zeichnen ist, nehmen die Höhen, (Evolventen) nach und nach um das gleiche Maß f wieder ci6; die Flächen der Paradelwinkel Heden sich in ihrer Wirkung aus die Summenlinie gegeneinander auf, sodaß die Grundlinie (die Schlußtangente in 9lbb. 7) wieder erreicht wird.

(12)

Dritter Abschnitt.

Messung und Feldbuch.

li.

Wahl der Längeneinheit.

Die Längeneinheit As muß so gewählt werden, daß die Teilevolvente als gerade betrachtet werden kann. Diese Voraussetzung trifft bei Bögen von etwa 150m Halbmesser an zu, wenn As zu 10m angenommen wird. Man würde demnach die Pfeilhöhen an 20m langen Abschnitten im 9lbstande von 10 zu 10 m zu messen haben. Da aber innerhalb der 10 m langen Abschnittshälften noch Krümmungsfehler vorkommen werden, die bei dem 9lusgleich berücksichtigt werden müssen, und ohne besondere Mühe berücksichtigt werden können, empfiehlt es sich, die Pfeilhöhen zwar an 20m langen Teilstrecken, um nicht zu kleine Maße zu erhalten, aber in 9lbständen von 5 p 5m zu beobachten. (Begründung im 9lnhang.) Man kann sich das so vorstellen, als ob man mit der Annahme As = 5m, an Stelle der gesuchten Größen, die an 2 As langen Bögen gemessen werden müßten, ihre vierfachen Werte an 4 As langen Bögen mäße; denn die Pfeilhöhe des doppelten Bogens ist genau genug viermal so groß als die des einfachen Bogens. Während man aber nach Abschn. I Ziffer 6, bei Messung der Pfeilhöhen an 2As langen Bögen die Summenlinie im halben Höhenmaßstab der Krümmungslinie erhält, erhält man sie nunmehr im doppelten Höhenmaßstab, z. B. im Maßstab 1:10, wenn jene im Maßstab 1:20 gezeichnet war.

IS

und

Die Ausgleichung eines Bogens auf Grund von Pseilhöhenmessungen hat die Messung einwandfreie Lage der anschließenden Geraden zur Voraussetzung. Verkrümmungen des geraden Gleises nach dem Inneren des Bogens zu können beim Bogenaus- Feldbnch. gleich beseitigt werden, da die Bogenenden hierbei erst bestimmt werden. Sollten sich aber an den Bogenenden s-förmige Stellen gebildet haben, so sind sie vor der Bogenaufnahme zu beseitigen; ihre Berichtigung durch das Ausgleichverfahren ist zwar möglich (vergl. Anhang), bereitet aber Schwierigkeiten und verführt leicht zu Irrtümern.

Der Gleisbogen wird durch Messung an der Fahrkante der äußeren Schiene in Abschnitte von 5 m Länge geteilt. Die Teilpunkte werden am Schienensteg durch Buntstift oder Ölfarbe so dauerhaft bezeichnet, daß sie bei der Absteckung der berichtigten Achse noch aufzufinden sind. In der Zwischenzeit dürfen keine Gleisunterhaltungsarbeiten ausgeführt werden. Die Pfeilhöhen werden mit einem Maßstabe an einer straff gespannten Sehne abgelesen. (Vergl. Oberbauvorschr.

Aul. 3.)* Die Messung beginnt an einem Bogenende da, wo die Pfeilhöhe 0 auftritt. Zwei Arbeiter spannen die Sehne vom ersten zum vierten Teilpunkt so, daß sie den nicht abgenutzten senkrechten Teil des Schienenkopfes berührt. Der Beobachter niißt beim mittleren Teilpunkt die Pfeilhöhe und vermerkt die Ablesung im Feldbuch. Dann gehen alle drei Personen fünf Meter weiter zur Messung der folgenden Pfeilhöhe u. s. w., bis ant Bogenende wieder die Pfeilhöhe Null auftritt.

Der Standort der Bahnnummersteine wird im Feldbuch vermerkt, damit man sich bei der Absteckung nicht in den Teilpunkten irrt. Die berichtigte Achse muß, von den Teilpunkten unmittelbar abgesetzt werden, nicht etwa von der Außenkante der inneren Schiene, weil die Spurweite sehr veränderlich ist. Um beim Anlegen der Meßlatte nicht durch die Überhöhung behindert zu werden, bevorzugt man bei der Messung auf zweigleisigen Strecken das äußere Gleis. Die Pfeilhöhen werden stets nur an diesem einen Gleise gemessen; das andere verliert seine Krümmungsfehler von selbst, wenn es in gleichem Abstande neben die berichtigte Achse gelegt wird.

In nachstehendem Feldbuch zu dem auf Anlage 2 behandelten Beispiel ent- Anlage 2. hält Spalte 1 die Bezeichnung der Teilpunkte, Spalte 2 die an diesen Punkten gemessenen Pfeilhöhen, Spalte 3., ihre Summenreihe und Spalte 4 eine Messungs-probe. Die Summe der Spalte X muß das letzte Glied in Spalte hergeben.

Bildet man die Sumutenreihe nicht benachbarter Glieder (Spalte 4), indem man bei der Addition jede zweite Pfeilhöhe überschlägt, so muß das letzte Reihenglied bis auf weuige Millimeter gleich der Hälfte des letzten Gliedes in Spalte 3 sein.

Ist das nicht der Fall, und wird ein Rechenfehler (etwa durch Summierung der nicht verwerteten Pfeilhöhengruppe) nicht gefunden, so ist ein Messungsfehler unterlaufen. Man erspart durch diese Probe eine zweite Messung, die sonst zur Sicherheit nötig sein würde. (Begründung im Anhang). Die Spalten 5 und 6 des Feldbuchs sind zur Eintragung der Verbesserungen und Absteckmaße nach der zeichnerischen Verarbeitung bestimmt. Spalte 7 dient zur Aufnahme alles Wissenswerten, von Vermerken über Krümmungsrichtung, verfügbaren Raum, Zwangslagen,

Stoßlücken usw.

Km

Sh

Probe

0,6

+15

+20

+25

14

17

14

+30

10

27

+35

15

42

29

+40

31

73

+45

31

104

60

+50

23

127

+55

28

155

88

+60

41

196

+65

54

250

142

+70

56

306

+75

72

378

214

+80

90

468

111

579

325

135

714

149

863

474

0,7

142

1005

+ 5 +10

111

85

1116

585

1201

+15

85

1286

670

+20

86

1372

+25 + 30

104

110

1476

1586

774

+35

95

1681

869

+40

87

1768

. +45

105

1873

974

+50

+55

135

153

2008

2161

1127

+60

133

2294

+65

101

2395

1228

+70

93

2488

+75

107

2595

1335

+80

119

2714

+85

130

2844

1465

+90

185

3029

+95

196

3225

1661

0.8

160

3385

130

3515

1791

+10

96

3611

+15

64

3675

1855

+20

35

3710

+25

3710

1855

+30

+35

+40

+45

+50

37;o

7 = 1855

66025

00

ko >

cm

1,0

3,0

6,5

8,5

9,0

8,0

9,0

17,0

30,0

36,5

35,0

28,5

14,5

1,0

0,0

Achse

2,465

2,465

2,475

2,495

2,530

2,550

2,555

2,545

2,555

2,635

2,765

2,830

2,815

2,750

2,610

2,475

Bemerkungen

Rechtsbogen Linkes Gleis

Mathem. Bogenanfg. Km 0,6 + 69,0 m Übergangsbogen 80m

Endgültiger Halbmesser 390 m

+ 1 m = Stein

12,5

31,5

49,5

52,0

40,0

22,0

8,0

2,0

0,0

207,5 217,5

2,340

2,150

1,970

1,945

2,065

2,245

2,385

2,445

2,465

+l,5m = Stein

Mathem, Bogenende Km 0,8 + 13,0 m

Übergangsbogen 80 m

Vierter Abschnitt.

Die Feststellung der Lagefehler.

13.

Die Pfeilhöhensummen in Spalte 3 des Feldbuchs werden als Höhen zu ^er 'Äugenden um V₂ As = 2,5 m vergrößerten Längen der Messungspnnkte mit der Kopier- maßrntwnrf. nadel auf Millimeterpapier aufgetragen, und zwar non der als Verlängerung der Anlage 3 Anfangstangente gedachten Wagerechten aus nach der Seite hin, auf der der Mittelpunkt der Krümmung liegt. Der geeignetste Längenmaßstab für alle Bögen ist 1:1000. Als Höhenmaßstab eignet sich für Bögen von etwa 300 bis 1000 m Halbmesser das Verhältnis 1:20; für flachere Bögen wählt man zweckniäßig den Maßstab 1:10, für schärfere 1:40, weil sonst die Netzteilung unbequem flach oder steil geschnitten wird. Aus dem Feldbuche läßt sich überschläglich erkennen, welche Steigung die Krümmungslinie bei einem gewissen Maßstabe erhalten wird, ohne daß man den Halbmesser zu ermitteln braucht. In vorliegendem Beispiel wird die Zeichnung rund 22cm lang werden, da der Bogen rund 220m lang ist, und im Höheninaßstab 1:20 rund 18y₂cm hoch, da die Endsumme der Pfeilhöhen 3710mm ist. Dieser Maßstab ist also geeignet.

Die Auftragung in den Mitten der vorausliegenden Halbzentimeterfelder ergibt die schwarze Krümmungslinie AB aus Anlage 2.

Nun wäre nach Abb. 8 eine Ausgleichlinie nach Augenmaß zu entwerfen.

Hierzu verwendet man mit Vorteil ein durchsichtiges Zellhorndreieck, in dessen Fläche man eine Linie einritzt. Reicht das Dreieck für die Bogenlänge nicht aus, so spannt man einen Seidenfaden über die Zeichnung aus und merkt sich danach zwei Punkte auf km Netz des Papiers.

Die Entwurfsteigung wäre gemäß Abb. 10 später gleichlaufend zu verschieben, um den vollkommenen Ausgleich herzustellen. Bei einfachen Bögen kann man die in Abb. 8 dargestellte Entwicklungsstufe überspringen, indem man von vornherein den Drehpunkt der Abb. 10 bestimmt. Er muß erstens auf halber Endhöhe liegen, in diesem Falle also auf der Wagerechten, die 3710:40 = 927,5mm = 9,275cm Abstand von der Grundlinie hat. Zweitens muß er auf irgend einer Linie liegen, die den Flächenausgleich bewirkt; eilte solche erhält man, wenn man die Fläche zwischen Grundlinie, Krümmungslinie und einer beliebigen über das Bogen ende hinausliegenden Höhe in ein Dreieck mit dieser Höhe als Grundlinie verwandelt.

Den doppelten Inhalt dieser Fläche erhält man durch Aufrechnung der Feldbuchspalte 3, im vorliegenden Falle 66025 mm (mal 1cm als Flächenbreite). Die HöhM sind voni Bogenende an 3710mm lang. Die Höhe des gesuchten Dreiecks ist demnach 66025:3710 = 17,80cm. Der Drehpunkt liegt also y₂ • 17,8 = 8,9cm von der Ordinate entfernt, die die Fläche abgrenzt. Hier ist zu beachten, daß nach dem Feldbuch die Pfeilhöhensumme 3710 beim Teilpunkt 0,8 + 25 noch mit addiert wurde. Die Grundlinie des Dreiecks ist also die senkrechte Netzlinie bei . Km 0,8 + 30. Man hätte die letzte Pfeilhöhensumme fortlassen oder auch noch beliebig oft 3710 addieren dürfen, dann hätte man aber die Grundlinie des Dreiecks entsprechend verlegt; der Erfolg wäre derselbe.

Der ermittelte Drehpunkt D ist auf der Zeichnung durch ein schwarzes Kreuz hervorgehoben. Durch ihn ist nach Augenmaß die rote Ausgleichlinie C—E gezogen. Der Halbmesser ist kleiner als 500m. (Seine Ermittlung aus der Zeichnung wird in Ziffer 17 erörtet werden.) Nach den Oberbauvorschriften sind 80 m lange

Übergangsbögen erforderlich. Man zeichnet Parabeln zweiten Grades von 8 cm Schattenläüge nach der Anleitung in Ziffer 9 in die Winkel zwischen der Steigung und den Wagerechten an den Bogenenden eilt.

14.

Die

Summen-

linie.

Anlage 2.

Die Ausgleichparabel.

Der mit vollen Linien ausgezogene vorläufige Entwurf, der sich aus dem' mittleren Teil F—G der Steigung, den anschließenden Parabeln AF und GB und unter Umständen den wagerechten Tangenten außerhalb von A und B zusammensetzt, denkt man sich gerade gestreckt, wobei er auf seine Schattenlänge zusammenschrumpft zu einer Wagerechten ab, die nicht dargestellt ist; sie deckt sich mit der (beliebig gewählten) Netzlinie. Diese dient als Grundlinie für' die Zeichnung der Summenlinie nach der Anleitung in Ziffer 6, Abb. 8a und 9a.

Da der Drehpunkt durch Rechnung bestimmt worden ist, muß die Summenlinie auf der als Grundlinie gewählten Netzlinie enden; denn die Flüchen der Parabelwinkel heben einander bei der Summenbildung auf. Dennoch wird sich in der Regel ein Schlußfehler b’b zeigen, weil kleine Ungenauigkeiten beim Zeichnen und Abgreifen unvermeidlich sind. Die zufälligen Fehler werden sich zwar im allgemeinen gegenseitig aufheben, eine kleine Ungenauigkeit bei Absteckung des Drehpunktes oder beim Ausziehen der Steigung kann aber einen beharrlichen Fehler erzeugen, der sich im Verhältnis der Länge fortpflanzen muß. Der mittlere Fehler der Steigungslinie muß mindestens zu '/₁₀mm in senkrechter Richtung ange-itomnten werden. Dann ist auf eine Länge von 10 cm ein aus 20 Auftragungen angewachsener Fehler von 2 mm zu erwarten. Betrachtet man wie üblich den 3 fachen mittleren Fehler als zulässig und gibt noch einen Spielraum von 4 mm für die zufälligen Abgreiffehler zu, so kann man den zehnten Teil der Länge zwischen den ursprünglichen Bogenenden als erlaubte Abweichung betrachten. Wie oben erwähnt, wird die Ungenauigkeit der Steigung den Hauptanteil an diesem Fehler haben. Daher zieht man durch Anfang und Ende (a und L’), Wagerechte bis zu ben ursprünglichen Bogenenden c und e und verbindet diese durch eine schräge Linie c e. Für diese gilt die Steigung 1:10 als Höchstgrenze. Ergibt sich eine steilere Richtung, so ist ein grober Fehler vorgekommen, entweder bei Bestimmung des Drehpunktes oder beim Abgreifen der Summen oder schon beim Aufträgen der Krümmungslinie. Ein Irrtum in der Bestimmung des Drehpunktes ist durch Berichtigung der Bogenenden nach Abb. 10 (Berechnung des Maßes p) unschädlich zu machen, ohne daß man die Summenlinie neu zu zeichnen braucht, sofern der Entwurf wenigstens das Augenmaß befriedigt; in allen andern Füllen ist die Berichtigung der fehlerhaften Linie nötig. Hält sich die Steigung cc in der erlaubten Grenze, so werden die Bogenenden nicht geändert, sondern das Maß p in Abb. 10 wird gleich Null angenommen.

15

Nach Ziffer 6 (Abb. 14) wäre nun über c e als Sehne ein Parabelabschnitt zu zeichnen, der mit der Fläche zwischen aceb’ und der Summenlinie gleichen Inhalt hätte. Bei der Darstellung des Grundgedankens war von Übergangsbögen abgesehen worden; diese erfordern seine Anpassung an die Form des Entwurfs der Krümmungslinie. Die Sumnienparabel würde sich hier sehr stark nach oben wölben müssen, das deutet auf eine erhebliche rechtläufige Drehung der Entwurfsteigung. Dadurch aber würden sich die Parabeln nach dem Drehpunkt hin verschieben, es würden sichelförmige Flächen zwischen der alten und neuen Lage der Parabeln

erzeugt werden. Die Summenlinien für diese Sicheln sind weder quadratische noch kubische Parabeln; wenn die Drehung der Augenniaßsteigung sich in mäßigen Grenzen hält, wird die Summenlinie einer derartigen Sichel aber große Ähnlichkeit mit einer quadratischen Parabel haben Für die praktischen Bedürfnisse genügt es, sie als Parabel zweiter Ordnung gelten zu lassen. Das Gesamtbild wird dann so aussehen, wie Abb, 18 darstellt.

Abb.18. .

Inhalt der Fläche zwischen Parabelzug und Grundlinie, so ist:

Bezeichnet hierin H den Abstand des Winkelpunktes der Hauptparabel von der Grundlinie, L die Länge des Bogens zwischen den ^ ursprünglichen Bogenenden, 1 die Länge der (gleichen) Übergangsbögen und f den

(13)

3f

L + 1

Hierin sind alle Werte in derselben Einheit (etwa cm) auszudrücken. Es ist L •= 15,2 cm, 1 — 8 cm, und f = 25,6 qcm. Auf welche Art f ermittelt wird, ist gleichgültig; meistens wird es sich empfehlen, die vollen Quadrate der Fläche zwischen Summenlinie und Grundlinie (oder Sehne) zu zählen und die Rand-

3 - 25,6 ~23j

Dieses Maß ist in der Mitte der Sehne ce nach oben anzutragen, (weil f positiv ist); der erhaltene Punkt d ist mit c (oder e) zu verbinden. Diese Linie ist bei c nur soweit angedeutet, als notwendig ist, um die Bogenenden endgültig festzulegen.

flächen mit dem Zirkel zu summieren. Man erhält H =

— 3,31cm.

Wie in Ziffer 6 ausgeführt, ist der Endpunkt der Entwurfssteigung in senkrechter Richtung so zu verschieben, daß der Inhalt des durch die Drehung entstehenden Dreiecks, als Länge eines Flächenstreifens von As Breite ausgedrückt, gleich der Höhe der Summenparabel wird. Nach den Abb, IO und lla muß

7q L _

h sein; daraus folgt: k : As = 2h : L. Das Verhältnis 2h : L

As

also k •

ist die Neigung der Parabeltangente d c zur Parabelsehne fg; daß Maß k läßt sich demnach im Abstand As vom Parabelanfang zwischen diesen beiden Linien abgreifen, ohne daß die Parabel schon dargestellt zu sein braucht. Da die Sehne der Hauptparabel mit ce parallel werden muß, greift mau k in As = 5mm Entfernung von c zwischen ce und cd ab und trägt es von F nach F’ senkrecht an. Dann ist F' D die endgültige Steigung, Ihre Verlängerung ergibt den endgültigen Bogenanfang C’. Um das Maß q = C C’ ändert sich selbstverständlich auch das Bogenende bei E. Die Linie C' D ist nicht bis E durchgezogen, um die Zeichnung nicht mit entbehrlichen Linien zu belasten.

Mau überträgt die berichtigten Bogenenden auf die Wagerechten a c und b'e, erhält dadurch die Punkte c' und e' und damit die Tangenten des Parabelzuges nach Abb, 18, nämlich d c’ und d e’. Endlich zeichnet man die 8 cm langen Parabeln zur Berichtigung der Übergangsbögen und die Parabel für den Hauptkreisbogen ein. Wie aus der Zeichnung zu ersehen, verschieben sich die Punkte F und 6 in der Längsrichtung nach den Senkrechten von f und g. Dadurch muß ein Ausgleichfehler entstehen, der aber praktisch unschädlich ist. Es ist offensichtlich, daß der Fehler um so kleiner wird, je geringer die Drehung, je besser das

Augenmaß bei Einzeichnung der ersten Steigung. Man hätte leicht noch eine kleine Verbesserung anbringen können; denn die Länge L verkürzt sich um 2 Der verbesserte Wert L—2q liefert aus Gleichung (13) einen besseren Wert H. Man hätte demnach d etwas höher annehmen müssen; der Flächenausgleich wäre dann vollkommener geworden.

16.

Absteckung

Die Abstände der Sumnienlinie vom Parabelzug e sind die erforderlichen derberichtig- Verschiebungen ini Maßstab 1:10. Man liest sie mit einem Holzmaßstabe unten Achse, mittelbar ab. Die Maße für die Hauptpunkte sind schwarz in die Zeichnung eingeschrieben. Die Maße für die übrigen Punkte von 10 zu 10 m sind in Spalte 5 des Feldbuchs nachgetragen. Die Summen der positiven und negativen Verbesserungen zeigen, daß der Ausgleich nicht ganz vollkommen ist. In Spalte 6 des Feldbuchs sind durch Hinzurechnung der Hälfte der normalen Gleisentfernung und der Spurweite V2 (3,50 -f 1,435) = 2,465 die Maße eingeschrieben, die von den Teilpunkten an der Schiene abzustecken sind, um die berichtigte Achse zu erhalten. Die Enden des ursprünglichen Bogens, an denen die Bogentafeln zu errichten sind, und ebenso die Anfangs- und Endpunkte der Übergangsbögen, werden der Zeichnung entnommen und von den benachbarten Teilpunkten aus örtlich durch Festpunkte bezeichnet (vergl. preußische D. A. 288). Es versteht sich von selbst, daß sie nachträglich in die Stationierung einzumessen sind, wenn die Teilpunkte bei den Nummersteinen diesen nicht genau gegenüberliegen.

Vom Bogenanfang bei Km 0,6 + 25 m bis Km 0,7 + 60 m muß das (nach rechts ablenkende) Gleis nach links (außen) verschoben werden; es wird dadurch länger; die Stoßlücken werden größer. Von Km 0,7 + 00 m bis Km 0,8 + 50 m muß es nach rechts (innen) verschoben werden; die Stoßlücken werden kleiner. Die entstehenden Spannungen nlüssen sich bei Km 0,7 + 60m, wo die Summenparabel die Summenlinie überschneidet, in der Längsrichtung ausgleichen. Die Gleichgewichtslage des Gleises darf durch die Verbesserung nicht gestört werden; die erforderlichen Längsverschiebungen sollen aber möglichst selbsttätig vor sich gehen, während die Querverschiebungen ausgeführt werden. Das ist nur zu erwarten, wenn der Parabelzug die Summenlinie immer wieder in kurzen Abständen überschneidet; beide Linien sollen sich möglichst um einander schlängeln. In dieser Hinsicht kann und soll das Probebeispiel auf Anlage 2 kein Musterbeispiel sein. Es ist nur gewählt worden, weil gerade diese schwerfälligen Formen den Grundgedanken anschaulich darzustellen gestatten. Man beachte, daß nach dem Verlaus der Krümmungslinie am Bogenansang bereits ein ziemlich guter Übergangsbogen vorhanden ist, während am Bogenende nicht allein fast kein Übergangsbogen, sondern sogar eine besonders scharfe Krümmung liegt, wie die steile Richtung von G- bis E erkennen läßt. Der „Bogenausgleich" im engeren Sinne erfordert nur die Beseitigung der zufälligen Gleisverkrümmungen und berührt nicht die Grundbedingungen der Gesamtlage. Die Einschaltung eines langen Übergangsbogens bedeutet dagegen eine grundsätzliche Veränderung der ganzen Lage, so daß es sich nicht mehr nur um einen Ausgleich der Krümmungsfehler handelt. Daher mußte hier diese ungewöhnlich hohe Welle der Summenlinie entstehen; sie wäre auch durch einen besseren Augenmaßentwurf nicht verhütet worden. Bei Verschiebungen, die die Länge eines Bogenteils erheblich beeinflussen, bleibt nur übrig, die Stoßlücken int ganzen Bogen neu zu verteilen.

17.

Der Halbmesser.

Der Halbmesser kann der Zeichnung entnommen werden. Aus der Formel

= (As)²

der Teilevolvente e

folgt 2r : As = As * e. Das Verhältnis As : e

ist das Verhältnis der Schattenlänge zur Höhe der endgültigen Steigung. Die Schattenlänge eines Abschnitts der Steigung von As Höhe ist also der Durch-, niesser 2r. Hierbei ist nun der Maßstab zu berücksichtigen. Die Pfeilhöhen sind nicht an Bogenlängen von 2As = 10m, sondern ihre 4fachen Werte sind an 4As — 20m langen Abschnitten gemessen worden (h — 4s). Die Pfeilhöhen-1 «mitten wurden deshalb im Höhenmaßstab 1:20 aufgetragen, um die Summen-linie int Maßstab 1:10 zu erhalten. Die Teilevolventensummen sind 4 mal so klein als die Pfeilhöhensummen. Man kann jene daher als im Höhenmaßstab 1 :5 dargestellt auffassen. As = 5 m ist nun tut Maßstab 1:5 eine Länge von 1 m. Daher würde die Schattenlänge eines Abschnitts der Steigungslinie bei 1 m Höhe den Durchmesser im Längenmaßstab 1 : 1000 angeben; eine Länge von 10 cm Höhe gibt ihn tut Maßstab 1 : 10000 an, eine Länge von 5 cm Höhe ist folglich der Halbmesser im Maßstab 1 : 10 000. Nach der Zeichnung beansprucht ein mit C ’ D gleichlaufend abgeschobener Abschnitt der endgültigen Steigung von 5 cm Höhe eine Länge von 39 mm; der Halbmesser ist daher 390 m.

Fünfter Abschnitt.

£57

I UMMU

Fünfter Abschnitt.

Korbbögen.

18.

Ein fehlerhafter Gleisbogen ist ein Korbbogen aus kleinen Abschnitten. Das Parabcl-

zngc.

Ausgleichverfahren bezweckt den Ersatz dieses Korbbogens durch einen Bogen von einheitlicher Krümmung; deshalb ersetzt man die gebrochene Krümmungslinie durch eine gerade. Wenn nun die gemessenen Pfeilhöhen von einer gewissen Gleisstelle an nicht nur von einander abweichen wie gewöhnlich, sondern auch einen anderen Mittelwert annehmen als vorher, so wird sich die mittlere Richtung der Krümmungslinie von dieser Stelle an ändern, und es wird dann nicht mehr möglich sein, sie durch eine einzige Gerade zu ersetzen, weil die Summenlinie zu große Wellen erhalten und örtlich unzulässige Verschiebungen erfordern würde.

Anstelle der Geraden muß dann ein Linienzug aus möglichst wenig Geraden treten; denn man muß mit möglichst wenig verschiedenen Halbmessern auszukommen suchen.

Aus Anl. 3 ist eine Krümmungslinie dargestellt, die augenscheinlich einem Anlage 3. Korbbogen aus zwei Teilen angehört; denn sie hat nur eine erhebliche Ablenkung.

Die Berechnung eines Drehpunktes wie beim einfachen Bogen kommt hier nicht in Frage, weil die Übergangsbögen an den Enden verschieden lang sein können, und auch bei erheblicher Änderung des Halbmessers wie tut vorliegenden Fall an der Wechselstelle ein Übergangsbogen eingeschaltet werden muß. Die Winkelflächen werden fleh nicht aufheben; man könnte sie zwar annähernd berechnen; im allgemeinen ist es aber nicht zweckmäßig. Man trägt die beiden mittleren Steigungen A B und B C nach Augenmaß ein, zeichnet die Übergangsbögen ein und bildet die Summenlinie abc. Die Steigung AB entspricht einem Halbmesser von rund 1500 m, B C einem Halbmesser von rund 400 in; bei A wird demnach ein Übergangsbogen von 40 m Länge genügen, bei C sind 80 m no . bei B wird die mittlere Stufe von 60 m angemessen sein.

Um die Länge des zwischen Korbbogenteile einzuschaltenden Parabelstückes 51t ermitteln, zeichnet man außerhalb des ausgetragenen Bildes — als Randzeichnung — eine mit der steileren Steigung gleichlanfende Linie, an die man statt der flacheren Steigung eine Wagerechte anstoßen läßt. Zn den Winkel zeichnet man eine Parabel von der für den schärferen Bogen (d. h. für die steilere Steigung) vorgeschriebenen Länge. Sodann schiebt man die flachere Steigung gleichlaufend ab, sodaß sie diese Parabel berührt. Der Berührungspunkt ist der Punkt, in dem die Parabel den der flacheren Steigung entsprechenden Krümmungshalbmesser erreicht. Die Schattenlänge der Strecke zwischen diesem Punkt und dem Endpunkt auf der steileren Steigung ist die gesuchte Länge des einzuschaltenden Stückes.

3nt Geltungsbereich der preußischen Oberbauvorschriften ist die Länge der Zwischenparabel auf volle 10 m nach oben abzurunden, soweit nicht örtliche Hindernisse entgegenstehen, da auch für die Übergangsbögen an den Bogenenden abgerundete Längen erwünscht und deshalb je drei Stufen für Haupt- und Nebenbahnen vorgeschrieben sind.

Der Ausgleich muß durch Eintragung eines Parabelzuges in das Bild der Summenlinie bewirkt werden.

In Abb. 19*) stelle die punft. Linie ABC des oberen Bildes einen Augenmaßentwurf für einen zweiteiligen Korbbogen dar. Nach Ziffer 6 wären die Steigungen AB und BC gleichlaufendzu verschieben und dann

Abb.19.

„5

£'

Wenn die Halbmesser sehr verschieden sind wie aus Anl. 3, so läßt sich der Wechselpunkt B nach Augenmaß genau genug bestimmen; sind sie sehr ähnlich, so wird es auch auf die Wahl des Wechselpunktes wenig ankommen. Bei angemessenem Höhenmaßstab genügt daher das Augenmaß auf alle Fälle. Die Senkrechte durch den gewählten Wechselpunkt wird für die endgÄtige Bestimmung des Punktes beibehalten. Die Drehung der Strecken AB und BC in Abb. 19 muß so gewählt werden, daß der Schnittpunkt B’ der voll ausgezogenen endgültigen Steigungen wieder auf der Senkrechten durch B liegt. Die endgültigen Steigungen werden die des Augenmaßentwurfs zwar nicht in der Mitte, aber doch in anderen Punkten D und E schneiden; man kann sie sich hiernach durch Drehung um diese Punkte D und E entstanden denken. Zeichnet man (Abb. 19 unten) die Summenlinie

um ihre Mittelpunkte zu drehen, um die Bedingungen zu erfüllen. Nun

läßt sich das Maß der erforderlichen Parallelverschiebung nicht ermitteln; denn man ist nicht zu der Annahme berechtigt, daß der Punkt b der Summenlinie auf Anl. 3 keiner Verschiebung bedarf. Abgesehen davon werden sich die endgültigen Steigungen in Abb. 19 (nach der Drehung) nicht auf der Senkrechten durch B schneiden; denn es könnte beispielsweise AB nach unten und BC nach oben gleichlaufend verschoben werden müssen, und dann könnte für beide Abschnitte eine rechtläufige Drehung notwendig sein. Dadurch würde der Schnittpunkt vielleicht in der Längsrichtung erheblich verschoben, und man müßte den Augenmaßentwurf berichtigen und die Auftragung der Summenlinie wiederholen. Das empfiehlt sich nicht.

abc zu den gekreuzten Limen AB und BO, wobei der Augenmaßentwurf als Grundlinie dient, so entstehen zwei Parabeln, die ungleicharmig sind, wenn man die Lotpunkte von D und K als Scheitel betrachtet. Die Höhen b, und b₂, auf die Wagerechte durch den gemeinsamen Punkt l> bezogen, drücken nun die Inhalte der Dreiecke D B B' und K 15 B’ mit der gemeinsamen Sohle B 15' aus, deren Höhen die Schattenlängen von DB (= ],) und von KB (= J₂) sind. Da sich die Höhen von Dreiecken mit gemeinsamer Grundlinie wie ihre Inhalte verhalten, muß 1,: 1₂ = h, : b₂ — 2hj: 2h₂ sein. Die Parabeln der Summenlinie haben demnach eine gemeinsame Tangente im Punkte B.

Der in das Bild der Summenlinie einzutragende Parabelzug muß ohne Knick verlaufen. Die benachbarten Parabeln brauchen nicht entgegengesetzt gekrümmt zu sein - (wenn die endgültige Steigung in A B Abb. 19 den Augenmaßentwurf in der Verlängerung über B hinaus träfe, würden die Parabeln a b und b c in gleichen! Sinne gekrümmt sein) —; es dürfen auch gerade Linien als Tangenten in den Zug eingeschaltet werden (Parabelhöhe = Null); keinesfalls darf ein Knick vorkommen. Man kann in die Summenlinie eines Abschnitts von einheitlicher Entwurfssteigung anstelle einer einfachen Parabel einen Zug aus mehreren Parabeln einzeichnen, um unzulässige Verschiebungen zu vermeiden. Damit zerlegt man den entworfenen einfachen Bogen in einen Korbbogen; denn jeder Wechsel des Parabelzuges entspricht einer Richtungsänderung (Drehung) des Augenmaßentwurfs. Man kann endlich die Flächen der Summenlinie für einen Korbbogenentwurf unter Umständen durch eine einfache Parabel ausgleichen; dadurch wird aber die Ablenkung des Entwurfs der Krümmnngslinie nicht etwa beseitigt, sondern nur verändert; ein Korbbogen bleibt bestehen. Man kann also durch den Parabelzug in der Summenlinie einen einfachen Bogen in einen Korbbogen zerlegen, nicht aber Korbbogenteile des Augenmaßentwurfs zu einem einfachen Bogen zusammen-ziehen (abgesehen von einem kaum annehmbaren Zufall).

1»

In die Summenlinie a b c auf Anlage 3 läßt sich eine einfache Ausgleich- Ausgleich Parabel über der Sehne ac zeichnen. Das wäre für dieses Beispiel eine völlig eines Korbbefriedigende Lösung. Will man den Entwurf dein bestehenden Zustande besser bogens. anpassen, so wird man einen Zug aus zwei Parabeln mit gemeinsamer Tangente so zeichnen, daß erstens der Berührungspunkt bei b auf der Senkrechten von B liegt, damit 2 Halbmesser genügen; und daß zweitens beide Parabeln den Flächenausgleich für ihre Bogenlänge bewirken.

Welche Linie mit der Summenlinie die auszugleichende Fläche abgrenzen soll, hängt davon ab, welche Rechenformel sich zur Bestimmung des gemeinsamen Punktes b am besten eignet. Für die mit häufigsten vorkommenden Fälle findet man in der anhängenden Formelsammlung verhältnismäßig einfache Formeln, aus denen man leicht die brauchbarste und zweckmäßigste heraus finden kann.

In diesem Falle ist Formel Nr. 7 angebracht; nach der beigedruckten Abbildung sind die Flächen    ich und f ₂ begrenzt von den    Parabelbögen, der    Höhe    n    des

Wechselpunktes und den Abschnitten der Sehne    des ganzen Zuges.

Man zieht    dementsprechend die Sehne ac    und mißt die verschränkten    Flächen

vom Anfang bis    zur Senkrechten durch ß und    von dort bis zum    Ende    je    für

sich. Man erhält k, = —8,8 und k₂ — + 0,5 ein als Längen von 1 cm breiten Flächenstreifen. In derselben Einheit (1 cm) sind auch die Werte 1, (= 16,25),

12 (⁼ 14,25) und L = lj + 1₂ (- 30,5) auszudrücken. Die Ausrechnung ergibt

— 0,35 cm unb2hj+^ — — 1,27cm, zur Kontrolle 2!>2 st- ^ = + 0,46 cm.

Die Vorzeichen sind zu beachten. Die drei erhaltenen Punkte müssen auf einer geraden Linie liegen. Hiernach sind die beiden Parabeln zu zeichnen.

Das Bild entspricht nicht ganz dem Grundsatz, daß im Zuge der Summenparabeln kein Knick vorkommen soll; bei a und c sind Knickpunkte; die Ablenkungen sind zwar unerheblich, bei c kaum wahrnehmbar; denn das Gesamtbild ist 100 fach verzerrt (Längen 1:1000 und Höhen 1:10). Dennoch ist eine Verteilung des Fehlers, wenigstens bei a erwünscht. Man zeichnet eine kleine Gegenkrümmung mit dem Schwunglineal, die höchstens so lang sein darf wie der Übergangsbogen; sie soll die Summenlinie für die sichelförmige Fläche ersetzen, die durch Drehung der Entwurfssteigung beim Übergangsbogen entsteht, und die bei der Berechnung unberücksichtigt geblieben ist. Der Übergangsbogen wird allerdings keine mathematisch genaue kubische Parabel; das ist aber unbedenklich, weil eine mathematisch genaue Krümmung sich ohnehin nicht ausführen läßt.

Sechster Abschnitt.

Zwangslagen.

30.

Die Lage eines Kreisbogens ist durch zwei Stücke stets geometrisch bestimmt, Wechsel- etwa durch Sehne und Pfeilhöhe oder durch Bogenlänge und Tangentenwinkel.

punkte.

Bisher sind die beiden letztgenannten Stücke als bestimmend betrachtet worden. Tritt eine weitere Bedingung hinzu, so muß eine der ersten Forderungen fallen gelassen werden. Der Tangentenwinkel ist in der Regel unveränderlich; daher muß die Bogenlänge preisgegeben werden. Soll ein einfacher Bogen z. B. durch einen bestimmten Punkt gehen, so ist bei gegebenem Tangentenwinkel der Halbmesser, also auch die Bogenlänge abhängig. Wollte man die Länge des vorhandenen Gleises beibehalten, so müßte man einen Korbbogen einlegen. Entsprechend muß man jeden Abschnitt gleicher Krümmung eines Korbbogens in Korbbögen umwandeln, wenn Zwangspunkte vorhanden sind.

Auf Anlage 3 ist die Summenlinie a’ b’ c’ ein genaues Abbild der Summenlinie a b c. S Es soll angenommen werden, daß bei ä und c Zwangspunkte liegen, etwa Durchlässe. Der Parabelzug muß also durch diese Punkte gehen. Man muß sich zunächst darüber schlüssig werden, ob oder in welchem Umfange man der Bogenlänge Rechnung tragen will. Die Punkte d und e liegen so ungünstig, nainentlich infolge Einschaltung der langen Parabel bei C, daß der Flächenausgleich eine vier- oder fünffache Wellenlinie erfordern würde. Man verzichtet daher besser auf die Beibehaltung der Bogenlänge. Um aber der Summenlinie möglichst nahe zu bleiben, wählt man den Wechselpunkt b’ etwas unterhalb der geraden Verbindung d e, und zwar nach Schätzung, indem man den gewünschten Parabelzug mit weichem Bleistift entwirft. Es ist in diesem Falle augenscheinlich leicht möglich, von a’ bis b' mit einer Parabel auszukommen, diese muß ihre Wölbung dem unteren Blattrande zukehren, wenn sie durch d gehen soll. Man würde zwar die Fläche auf dem Abschnitt a’ b’ besser allsgleichen, wenn man die Parabel stärker krümmte und b’ etwa auf der Summenlinie selbst annähme. Die Verlängerung ihrer Tangente würde dann aber erheblich über e führen, folglich wäre von b’ aus eine starke Gegenkrümmung zum Punkte e hin nötig, die wieder bei c'

weit abirren würde. Darum ist die dargestellte Lösung zweckmäßiger. Man greift den Abstand des Zwangspunktes d von der Sehne a’ b’ ab und ermittelt aus Formel 6 der anhängenden Formelsammlung die doppelte Parabelhöhe, die auf der Sehnenmitte abzusetzen ist. Durch die erhaltene Tangente nach b’ ist ohne weiteres die Parabel von b' nach e bestimmt; denn deren Tangente muß die Verlängerung jener sein und der Winkelpunkt muß mitten zwischen b’ und e liegen. Ebenso bestimmt die Parabel b' e die Parabel e c’. Zum Schluß zeichnet man noch die Ausrundungen bei a’ und c’.

21

Um die Wirkung der Parabeln des unteren Bildes a’ d b’ e c’ auf die Ent- Ermittlung Wurfssteigungen deutlich zu machen, ist der Linienzug ABC nach A'B’C’ gleich- der Halb-

laufend verschoben und zwar gestrichelt. Die schräge Sehne a’b’ entspricht einer «icsser ans

Parabel-zügen.

von b’ und e’ abzugreifen und die berichtigten Steigungen

cm

gleichlaufenden Verschiebung der Steigung A’ B’ nach unten. Das senkrechte Verschiebungsmaß muß sich zum Abstande des Punktes b’ von der Wagerechten durch a’ verhalten wie As (=5 mm) zur Schattenlänge,a’ b’. Man kann es also in l/z vm Abstand von a' zwischen der wagerechten Netzlinie durch a’ und der Sehne a’ b’ abgreifen. Hiernach ist die Parallelverschiebung bei A’ gestrichelt angedeutet. Diese Parallele ist rückläufig um ihren Mittelpunkt zu drehen. Das bei A’ nach unten senkrecht abzusetzende Maß ist nach Ziffer 15 bei V₂ cm Entfernung von a’ zwischen Sehne und Tangente abzugreifen. Damit liegt die voll ausgezogene Steigung A’ B’ fest. Von hier an sind nur noch die Maße für die Drehung zu ermitteln; deiln die weiteren Parallelverschiebungen ergeben sich von selbst. Anstatt diese Maße bei Vs

durch die Mitten der Parallelverschiebungen zu ziehen, greift man namentlich bei flachen Parabeln besser den Abstand zwischen Sehne und Tangente bei 1 cm ab und erhält die endgültige Steigung, auf die es zur Ermittlung des Halbmessers ankommt, durch Verbindung des am Anfang des Steigungsabschnitts angetragenen Punktes mit dem Endpunkt des Abschnitts. Diese Linien werden dann gleichlaufend so verschoben, daß sie an den letzten endgültigen Knickpunkt anstoßen. Z. B. wird der Abstand zwischen Sehne und Tangente der Parabel b’ e in 1 cm Entfernung von b’ oder e abgegriffen und bei dem ursprünglichen Punkt B’ nach unten (oder bei E nach oben) angetragen, der erhaltene Punkt mit E, (bezw. B’J verbunden und diese Steigung gleichlaufend so verschoben, daß sie durch den berichtigten Punkt B' führt, usw.

Hier sei darauf aufmerksam gemacht, daß man, um erhebliche Verschiebungen der Bogenenden zu vermeiden, schon beim Augenmaßentwurf die Zwangspunkte etwas berücksichtigen kann. Man konnte hier schon voraus sehn, daß der Augenmaßentwurf bis zur Senkrechten durch d die Flächen nicht gut ausgleichen, daß also d von der Wagerechten durch a’ ziemlich stark abweichen würde. Das konnte vermieden werden, wenn man die Steigung A’ B’ etwas weiter links (tiefer) angesetzt oderst flacher gezeichnet hätte. Bei mehrteiligen Korbbögen wird man die erste und letzte Steigung mit besonderer Sorgfalt entwerfen, um mit den entsprechenden Teilen der Summenlinie möglichst in wagerechter Richtung zu bleiben. Die mittleren Teile des Parabelzuges können eher stärkere Schwingungen vertragen, da die Übergangsbögen zwischen diesen nachgiebiger sind.

Siebenter Abschnitt.

Berechnung

des

Verbesserungen größeren Umfangs.

22.

Entwurfs.

Wenn von vornherein von der Beibehaltung der Bogenlänge abgesehen wird, wenn man auch nicht einmal Wert darauf legt, diese Länge möglichst wenig zu ändern, sondern wenn man zur Erreichung besonderer Zwecke von grundaus Neues schaffen will, ohne Rücksicht auf den bestehenden Zustand, so empfiehlt es sich, den Entwurf nicht nach Augenmaß zu zeichnen, sondern durch Rechnung gleich endgültig festzulegen. Die Mehrarbeit des Rechnens wird dadurch ausgewogen, daß man in das Bild der Summenlinie alsdann keinen Parabelzug mehr zu zeichnen braucht. Vorausgesetzt wird, daß die Verschiebung des vorhandenen Gleises an keiner Stelle mehr als etwa 5 m beträgt, da man größere Verschwenkungen nicht mehr als Anfangsteile von Evolventen auffassen darf. Die Absteckung wird im allgemeinen schon bei Verschiebungen von 2 m an nicht mehr genau sein; die Fehler-werden sich aber nach der Verlegung durch das strenge Ausgleichverfahren beseitigen lassen. Mit der im ersten Abschnitt vorgetragene Theorie läßt sich ein Näherungs-Verfahren begründen, das genügt, um in kurzer Zeit eine beabsichtigte Änderung in die Örtlichkeit zu übertragen, wenn man sich ein Bild von der künftigen Lage machen will. Vor einer mißbräuchlichen Erweiterung des Grundgedankens sei ausdrücklich gewarnt.

Ant. 4.

Anlage 4 zeigt die Krümmungslinie für einen 8-Bogen. Bei der Aufnahme der Pfeilhöhen ist man innerhalb der Zwischengeraden auf die andere Schiene desselben Gleises übergegangen. (Die Teilpunkte in der Zwischengeraden müssen einander genau gegenüberliegen). Die Pfeilhöhen des zweiten (links ablenkenden) Bogens sind von der Pfeilhöhensunime des ersten Bogens fortlaufend abgezogen worden. Die Krümmungslinie geht daher nach einer wagerechten Strecke mit Pfeilhöhen vom Werte Null wieder aufwärts.

Die zu erfüllenden Bedingungen sind von Fall zu Fall verschieden; hier kann nur an einem Sonderfall der einzuschlagende Weg gezeigt werden. Zwischen km 113,5 und 113,5 + 40 m liegt eine gewaltsam eingezwängte Weiche; daher das annähernd wagerechte Stück der Krümmungslinie an dieser Stelle. Die Bögen haben an der Zwischengeraden keine Übergangsbögen. Der Bogen zwischen km 113,7 und 113,9 liegt auf einein Viadukt und ist nur geringer Veränderungen fähig.

Sämtliche Bögen sollen Übergangsbögen erhalten; die eingezwängte Weiche soll durch eine Bogenweiche von 750 m Halbmesser ersetzt werden. Bei km 113,5 + 10 m soll das Gleis möglichst nach links verschoben werden, um rechts Raum für Nebengleise zu schaffen, aber höchstens um 75 cm, weil es sonst einem Stellwerk zu nahe käme. Bei km 113,6 + 35 in soll das Gleis aus besonderen Gründen 1,05 m nach rechts rücken. Im übrigen soll nach Möglichkeit begradigt werden.

Zunächst sind die Flächen zwischen der als Grundlinie gewählten Wagerechten (am oberen Blattrande), der Krümmungslinie und den Senkrechten durch die bedingten Punkte ermittelt, indem nach dem Feldbuch die Pfeilhöhensummen von km 113,4 bis 113,5 + 5 m, ferner bis km 113,6 + 30 m und endlich bis km 113,9 + 10 m addiert wurden. Zu beachten ist, daß die Pfeilhöhensumme für den bedingten Punkt selbst nicht mit addiert wird; will man z. B,+ie,Fläche bis zur Senkrechten in km 113,5 + 10 in erhalten, so addiert man nur die Pfeilhöhensummen bis km 113,5 + 5 m; denn dieses letzte Reihenglied ist bargt stellt als mittlere Höhe des Flächenstreifens von A s (= 5 mm der Zeichnung) Breite, der bis an die Senkrechte bei km 113,5 + 10 m heranreicht.

Die Addition hat ergeben: bis 113,5 + 5 m - 7279, bis km 113,6 + 30 m = 44509 und bis zum Bogenende in km 113,9 + 10 m = 158 557. Diese Zahlen sind die doppelten Evolventen in Millimetern (vgl. Ziffern 4 und 11); der Höhenmaßstab ist 1:20. Die Evolventen werden sich in der Summenlinie int Maßstabe 1:10 darstellen und müssen daher in folgenden Längen erscheinen: Kii3,5t = 36,4 cm, Eu3,635 = 222,55 cm und Km,915 = 792,78 cm.

Nach diesen Feststellungen beginnt die Entwurfarbeit. Die Evolvente bei 113,51 soll mit 70 cm kleiner werden, also 7 cm kleiner erscheinen, um sicher zu sein, daß man das äußerste Maß von 75 cm nicht überschreitet. Die Evolvente soll also 36,4 — 7,0 = 29,4 cm lang erscheinen; demnach muß der doppelte Inhalt der Fläche zwischen Grundlinie und Entwurf bis zu diesem Punkte 29,4 qcm sein. Die Fläche des Parabelwinkels, die natürlich auch doppelt in Rechnung zu setzen ist, ist bekannt, weil der Halbmesser 750 m betragen soll wegen der einzubauenden Bogenweiche. Die Steigung inuß bei 5 cm Höhe 7,5 cm lang sein (vgl. Z. 17). Die vierfache Parabelhöhe muß sich zur halben Parabellänge verhalten wie 5 zu 7,5 oder wie 10:15 (vgl. Z. 10 Abb. 17). Der doppelte Inhalt des

o >0

Parabelwinkels wird demnach 2 • ~ 6 • * ■ 3 • j- =2 qcm. Für den Inhalt des Dreiecks zwischen Grundlinie und Steigung bleiben 29,4—2=27,4 qcm übrig.

7,5

Bezeichnet man die Höhe mit x, so muß die Länge . x = 1,5 x werden.

Die Gleichung 1,5 x ² = 27,4 ergibt für x den Wert 4,274 und 1,5 x — 6,411. Damit liegen die Punkte a und b fest.

Den Halbmesser von 750 m muß man bis etwa km 113,5 + 35 beibehalten,

damit die Weiche Raum hat. Die Höhe des Punktes c ist 4,274 + 2,5 ^ = 5,941.

(,0

Die zurückliegende doppelte Fläche ist 5,941 (6,411 + 2,5) + 2,o=54,94 qcm. Der Block bis km 113,6+35 soll } (222,55+10,5) (die gewünschte Vorschiebung nach rechts) = \ ■ 233,05 qm groß werden. Zwischen den Senkrechten durch c

und d muß also ein Block von doppelten Inhalt 233,05—54,94=178,11 qm liegen.

178,11

Die Höhe des Punktes d muß demnach sein:

— 5,941 = 11,87 cm. Hierin

ist 10,0 die Länge cd. Die Linie cd verlängert man bis zum Schnittpunkte e mit der Ausgleichlinie des Linksbogens, die nach Augenmaß eingezeichnet ist. Nun ist die ganze Fläche zwischen Grundlinie, deut Linienzuge a c efg und der Senkrechten durch g zu berechnen. Ihr doppelter Inhalt ist 803,44 qcm. Der doppelte Inhalt der vollendeten Entwurfsbilder soll 792,78 qcm sein. In den Winkel zwischen den Steigungen bei e sind demnach 10,66 qcm unterzubringen. Die an es anzulehnende Parabel hebt sich gegen die Parabel bei f aus. Die an

2    1

ec anzulehnende Parabel wird den doppelten Inhalt ^ • 4 • =• 5 •

haben. Für das Dreieck ehi bleiben 9,87 qcm übrig.

Man wählt ein Dreieck mit wagerechter Grundlinie in dem Winkel bei e, etwa das, dessen Grundlinie die 13. Zentimeterlinie ist. Diese ist 7,2 cm lang; die Höhe nach e ist 1,91 cm, der doppelte Inhalt also 13,75 qcm. Ähnliche Dreiecke verhalten sich wie die Quadrate der Höhen. Der Abstand der gesuchten Wagerechten muß sich also zu 1,91 verhalten wie Vch87 zu V13/75. Er ist hiernach 1,618 cm. In diesem Abstande von e zieht man die Wagerechte und fügt bei h, i und f die Übergangsbögen ein.

10,0

rr = 0,79

8,4

Die Summenlinie muß die gestellten Bedingungen erfüllen. Einen kleinen Schlußfehler beseitigt man durch eine geeignete schräge Verbindung.

Die Zwischengerade ist nur 12 m lang, sie soll nach den Oberbauvorschriften 50 m lang sein. Die Parabel bei h ist nur 40 m lang; sie sollte 60 m lang sein. Wollte man den Forderungen der Oberbauvorschriften genügen, so müßte man eine andere Bedingung preisgeben, etwa auf die Verschiebung um 1,05 m bei d verzichten. Derartige Erwägungen, über die im allgemeinen der Kostenpunkt (Grunderwerb, Futtermauern usw.) entscheiden wird, können selbstverständlich einen anderen Gang der Berechnungen nötig machen. (G. F. wird man die Entscheidung seiner Behörde herbeizuführen haben).

Absteckung neuer Gleise im Anschlich an aus-

23

Das in Ziffer 22 beschriebene Verfahren läßt sich in vielen Fällen mit Ausgleichungen verbinden; es ist besonders vorteilhaft, um die im letzten Abschnitt

geglichene der Ziffer 21 erwähnten Zwecke zu erreichen. In gleicher Weise kann man die

Absteckmaße für sehr flache Bögen ermitteln, ohne daß schon eine Krümmung vorhanden ist. Beispielsweise kann man die häufig vorkommende Aufgabe, zwei Gleise durch Gegenkrümmungen auf einen größeren Abstand auseinanderzuziehen, dadurch lösen, daß man die Krümmungslinie des Entwurfs zeichnet und die Sunnnenlinie dazu bildet. Es soll etwa der Gleisabstand von 3,50 auf 4,50 m vergrößert werden. Der Halbmesser der Gegenkrümmungen des einen Gleises soll 3000 m sein, und die Zwischengrade soll 50 m lang werden. Die Krümmungs-linie wird ein gleichschenkliges Trapez, dessen Kopflinie 5 cm lang ist, dessen Höhe sich zur Schattenlänge der Schenkel verhält wie 5 : 30 (bezw. 10 : 30, wenn man als Höhenmaßstab 1 : 10 wählt), und dessen doppelter Inhalt 10 qcm ist. Die Höhe sei x dann ist die Grundlinie 5 + 2 • 6 x = 5 + 12 x, also der Inhalt (10 + 12 x) x. Diesen Wert setzt man gleich 10 und erhält x = 0,587 cm. Die Schattenlänge der Schenkel ist 3,52 cm, die Grundlinie also 2 ■ 3,52 + 5 = 12,04 cm, in der Wirklichkeit 120,4 m. Die Summenlitne dieses Trapezes liefert unmittelbar die Absteckmaße, da die Evolvente eines Bogens von 3000 m Halbmesser bei 35,2 in Bogenlänge noch nicht vom Tangentenabstand zu unterscheiden ist.

Strecken.

In ganz ähnlicher Weise sind die Absteckmaße für ein Gleis zu ermitteln, dessen Abstand von einem bereits ausgeglichenen Gleis um ein gewisses Maß zunimmt, wie dies beim Übergang aus der freien Strecke in einen Bahnhof die Regel ist. Auch in diesen! Falle wird also nur ein Gleis durchmeffen und ausgeglichen. Das andere Gleis denkt man sich zunächst um den normalen Abstand an einem Ende der Übergangsstrecke so verschoben, daß die Tangenten beider Gleise zusammenfallen. Die Entwurfsteigung des zu bestimmenden Gleises bildet dann mit der Ausgleichlinie des bereits bestimmten Gleises und mit der Wagerechten, die die gemeinsame Tangente andeutet, ein Dreieck, an dessen schräge Seiten sich die Parabelwinkel der Übergangsbögen anlehnen. Die Summenlinie dieses Gebildes liefert mit Hinzurechnung des Nornialabstandes die gesuchten Absteckmaße, wenn man den doppelten Inhalt des Gebildes gleich der Abstandänderung macht. Das ist leicht und einfach, wenn man nach überschläglicher Rechnung den Halbniesser des zu bestimmenden Gleises festsetzt, da man in diesem Fall die Fläche des Parabelwinkels genau kennt; dann ist natürlich die Länge der Übergangsstrecke bedingt. Ist man dagegen an eine bestimmte Länge gebunden, so wird man durch Annäherungsversuche bald ein befriedigendes Ergebnis erzielen.

Gehen'sdie Gleise an beiden Enden der Übergangsstrecke in Bögen von gleichem Abstande über, so wird die wagerechte Seite des vorerwähnten Entwurfdreiecks durch die Steigungslinie für den zweiten anschließenden Bogen ersetzt.

Anhang.

I. Theoretische Erläuterungen und Ergänzungen.

24 (zu I).

Verlängert man die Evolvente e eines Bogens a b = s (Abb. 20) um ein sehr kleines Stück de, so verschiebt sich der Berührungspunkt der Tangente um das Stück d s. Die Tangente und der Halbmesser drehen sich um gleiche Winkel, es entstehen ähnliche Dreiecke.

<¹⁴> 31=7

Abb.20.

Herleitnng

der

Evolventen

formel.

Aus

(X

Sj

folgt durch Integration die Evolventenformel:

j de

(15)

Abb.21

Für einen Korbbogen erhält man nach Abb. 21 entsprechend

(16) x ds

Vv;

S4)

r2

Hierin ist e nur der mit Pfeilen bezeichnete Bogen; denn e{ ändert sich nicht mit, ebensowenig Sj. Die Integration ergibt:

<¹⁷) e=E+i?-

s ^

Dazu tritt als Jntegrationskonstante    also ist

ds

s.

ÄSl

de

2r,

(18) E = e+e1 = ^-

So² S₁S₂ S^²

2r₁‘

Daraus geht hervor, daß der Wechsel des Halbmessers auf das Wachstum des mit Pfeilen bezeichneten Evolvententeils e keinen Einfluß hat; in Gleichung (17) tritt der Wert nicht auf; die Ableitung (2) auf Seite 7 ist also allgemeingültig.

r2

25. (zu 5 und 11)

Wenn matt anstelle des Tangentenvielecks der Abb. 3 ein Sehnenvieleck abwickelt, so erhält man aus den Teilevolventen, die zum Unterschied von denen der Abb. 3 mit e bezeichnet werden mögen, die Evolventen nach folgenden Reihen (Abb. 22)

Vertauschung der Teil-evolventen mit Pfeilhöhen.

(^3

Abb.22.

/3f\ .

/ y/

/t

-L

(19) Eo-0 Ei= eL E₂ — 2eL -f- e₂

^3=^el + ^e2+ ^3

E₄ — 4e^ -p- 3e₂ -f- 2e^ -p ^4 u. s. w.

Diese Werte e haben vor den Werten e den Vorzug, daß die Punkte, an denen sie zu messen sind, nicht zweifelhaft sind (vgl. ^ Ziff. 5, Abb. 6). Jede Evolvente e ist gleich der doppelten Pfeil-* höhe des doppelten zurückliegenden

Bogenabschnitts, j. 93. c₄=21i:j. Die Reihe (19) entspricht äußerlich der Spalte 3 in Ableitung (2); jedoch sind ihre Glieder untereinander nicht alle gleichwertig; die Teilevolventen e sind Zentriwinkel gleicher Bogenabschnitte im Bogenmaß zum Halbmesser yA ⁹- Die Werte e durchmessen dieselben Winkel im Halbmesser A⁹, sind daher doppelt so groß wie die Werte e; nur e, ist gleich e,; denn e, ist ein Winkel zwischen Sehne und Tangente, während e₂, e₃ u. s. w. Außenwinkel am Sehnenvieleck sind.

Wenn man die Glieder der Summenreihe ^e als Höhen zu den Längen der Teilpunkte austrüge, so würde die Evolvente für jeden Teilpunkt sich gemäß Abl. (19) darstellen als Summe der zurückliegenden Höhen einschließlich der des Teilpunktes. Mißt man die Pfeilhöhen 20 in langer Bögen in Abständen von 5 m, so lassen sich hieraus zwei voneinander unabhängige Evolventengruppen zusammenstellen; denn die Gleichungen (19) beruhen nach Abb. 22 auf der Annahme, daß die Abschnitte, deren Teilevolventen gemessen werden, aneinanderstoßen, aber nicht sich ineinanderschieben. Man erhält eine Gruppe von Pfeilhöhen zur Ermittlung der Evolventen bei allen 10 m = Teilpunkten nnd eine andere Gruppe für die Zwischenpunkte. Beide Pfeilhöhensummen drücken denselben Zentriwinkel aus; darauf beruht die in Spalte 4 des Feldbuches (Ziff. 12) anzustellende Messungsprobe.

Abb. 23 stellt beide Gruppen als Höhen dar, die eine mit voll ausgezogenen, die andere mit gestrichelten Linien. Die Evolvente eines beliebigen Teilpunktes, etwa E₄₀, läßt sich nach Vorstehendem ausdrücken als Summe der Ordinateu der

=*.<

Abb.23.

/^A

-4

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drHH

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OS,*'*- O+ir-t- oC'H-

so

ss-

3S-

30

*o 4, ~

Zehnergruppe, außerdem aber auch als Mittel der Evolventen für die Teilpunkte 35 und 45 aus der anderen Gruppe, vermindert um die Pfeilhöhe des Bogens 35-45, die |e₄₅ groß ist (vgl. Abb. 24). Man erhält die beiden Gleichungen:

^40 ⁼ Oo+°10+⁰20+⁰30+°40

^40⁼t(O5+O15+O25+O35+O5+O15+O25+O35+O45) —"s"e45

Zerlegt man jedes Glied der ersten Gleichung in 2 Hälften und streut die Glieder der 2ten Gleichung Zw E*s in die erste ein, so erhält man als Summe:

2 ^40⁼'i([0()+o5+Ol 0+°l 5+' ' ' "4 °4o]+[°0+°ö+°10+°l 54    h°40“l“O45]) A-15-

Daraus folgt "mit anderer Ordnung der Glieder:

E₄₀=4 [4(0₀+O₅)+4(o₅+O₁ o)4-y (o, 0+°l sH-----+t(°40+°45)]— ^C45

Abb.24.

35- IC

30

Das Glied ^e4S darf vernachlässigt werden; denn da man alle Evolventen mit einem ähnlichen Fehler belastet, der durchschnittliche Fehler aber durch die Art der weiteren Bearbeitung unschädlich gemacht wird, beträgt der wirkliche Fehler für jede Evolvente nur den 16. Teil der Abweichung der letzten Teilevolvente voni Mittelwert aller Teilevolventen; das können nur wenige Millimeter sein.

Die Glieder innerhalb der eckigen Klammer der letzten Gleichung sind nun offenbar die Mittelwerte benachbarter Ordinalen, wenn man ihre Endpunkte ohne Rücksicht auf die Gruppenzugehörigkeit verbindet (in Abb. 23 fein punktiert). Diese Mittelwerte aber sind die halben Glieder der Sunimenreihe aller Teilevolventen e, und da die Pfeilhöhen die halben Teilevolventen der vorausliegenden Bogenabschnitte von 2As Länge sind, lassen sich diese Mittelwerte als Glieder der Pfeilhöhensummenreihe unmittelbar als mittlere Ordinalen darstellen, ohne daß tmm die Summenreihen für die beiden Gruppen erst zu bilden braucht. Man muß sie nur um 2As=10 m zurücksetzen; z. B. ist der Wert des Ordinaten-mittels bei 42,5 in Abb. 23 — I/₂2e4₅ = 2h₃₅. Die Einsetzung der Werte h in die Gleichung für E₄₀ ergibt: E₄₀ = ¹/₂[2h-₅+Sb₀+2h₅+Sh₁₀+ • • • • +Sh₃₀+Sh₃₅]. Faßt man die Glieder als Längen von Flächenstreifen auf, so kann mau sagen: die Evolvente zum Teilpunkt 40 ist die halbe Fläche zwischen Grundlinie und Krümniungslinie bis zum Teilpunkt 45. Rückt man das Bild um einen Längenteil As=5 m nach links, trägt man also die Glieder der Pfeilhöhensummereihe als Höhen zu den um 72As=2,5m vergrößerten Bogenlängen auf, so endet die Fläche, die die Evolvente ausdrückt, mit dem Teilpunkte selbst.

36.

Berichtigung der Kriim-nttlugslinie.

Die Vernachlässigung des Gliedes — Viß e₄₅ = — V₈h₃₅ in der Gleichung für E₄₀ in Ziffer 25 ist immer statthaft, wenn die Krümmungslinie bei diesem Punkte keine auffallende Ablenkung von der Ausgleichlinie zeigt. Es können aber vereinzelt Stellen vorkommen, die eine Berücksichtigung dieses kleinen Gliedes wenn nicht notwendig, so doch erwünscht und ratsam erscheinen lassen. Solche Stellen sind insbesondere die Bogenenden.

Man denke sich einen fehlerlosen Bogen von 500 m Halbmesser in Abschnitte von 5 m Länge eingeteilt, und die Pfeilhöhen an Abschnitten von 20 m Länge gemessen. Der Bogenanfang “möge mit Null bezeichnet werden. Bei A 5 ist schon eine Evolvente von 25 mm vorhanden; demnach mißt man bei —5, d. h. 5 m vor dem Bogenanfang, schon eine Pfeilhöhe von 12,5 mm. Wenn man diese bei — 2,5 als Höhe aufträgt, liefert die Summenlinie bei Null schon das Evolventenmaß >/₂ . 12,5=6,25 mm, die beim Nullpunkt gemessene Pfeilhöhe von 50 mm erzeugt eine Höhe der Krümmungslinie von 12,5+50=62,5 mm bei + 2,5 und ein Evolventenmaß von V₂ (12,5+62,5) = 37,5 mm beim Teilpunkt +5 der Summenlinie. Tatsächlich ist aber die Evolvente beim Nullpunkt Null und beim Teilpunkt + 5 nur 25 mm. Ebenso werden alle weiteren Evolventen einen Fehler von 12,5 mm haben. Die Krümmungslinie eines fehlerlosen Kreises müßte vom Anfang bis zum Ende des Bogens gerade sein, während sie mit den Endgliedern (parabolisch) ablenkt, wenn man sie aus Pfeilhöhen zeichnet. Daraus ergibt sich von selbst, wie der Fehler zu vermeiden ist.

Man berichtigt die Zeichnung der Krümmungslinie, indem man an den Bogenenden ihre Tangenten zeichnet. Auch bei starker Ablenkung ihres Verlaufes ist es angezeigt, sie durch ein Tangentenpaar zu ersetzen, das zusammen höchstens

20 m lang sein bars. Durch bas Jneinanberschachteln ber 20 m langen Abschnitte werben bic wirklichen Krümmungsverhältnisse etwas beschönigt: wo bie Krünnnungs-linie Ecken haben müßte, zeigen sich kleine Ausrunbungen. Diese Erkenntnis bars inbessen nicht bazu führen, bie Krümmungslinie au jeber kleinen Abbiegung willkürlich zu änbern. Es kommen zunächst nur bie Stellen in Frage, wo nachweislich eine aitbere ober gar keine Krümmung vorhanben ist. So hätte man z. B. bas Enbe ber auf Anlage 2 bargestellten Krümmungslinie in ber auf Abb. 25 punktiert angebeuteten Weise berichtigen bürfeit; bettn ba bei 0,8+25 bie Pfeilhöhe Null gemessen würbe, steht fest, baß bas Gleis schon von minbestens 0,8+15 an gerabe ist. Auch bei km 113,4+95 bis 113,5+15 auf Anlage 4 wäre eine Berichtigung angebracht gewesen, ba bei 113,5+5 einmal Null gemessen würbe, mithin eine Gerabe von 20 m Länge tatsächlich vorhanben war. Ebenso

konnte man auf Anlage 4 bei km 113,5+35, km 113,6 A¹ t)lx2E>e +40 intb 113,7+30 Berichtigungen vornehmen, weil an biesen Stellen wesentliche Ablenkungen unverkennbar fiitb.

Bei den nach dem siebenten Abschnitt vorzunehmenden Flächenberechnungen und auch bei Ermittlung des Drehpunktes (vierter Abschnitt, Anlage 2) sind solche Änderungen zu berücksichtigen, tnbcnt man die Flächen zwischen der ursprünglichen und der verbesserten Krünnn-

nngslinie mit dem Zirkel ermittelt.

11. Praktische Maßnahmen.

27.

Pfeithöhen

Die unter Ziffer 12 beschriebene Pfeilhöhenmessung ist ohne besondere Hülfs-messcr für mittel nicht mit hinreichender Genauigkeit ausführbar. Hält mcm den Maßstab Gleisbogen. {VX^X Schnur, so haftet diese infolge ihrer Durchbiegung mit Maßstabe, läßt man dagegen die Schnur unter dem Maßstabe hängen, so ist man Täuschungen ausgesetzt, weil man niemals sicher sein kann, daß die Blickrichtung senkrecht ist. Ferner erhält man ungenaue Ergebnisse, wenn man den Maßstab nicht wagerecht hält, wozu die Überhöhung leicht verführt. Außerdem macht sich an den empfindlichsten Stellen, nämlich beim Übergang in die Geraden, der Übelstand bemerkbar, daß die Schnur an der Schiene klebt, und daß kleine Unebenheiten des Schienen-kopfes noch Pfeilhöhen vortäuschen, wo das Gleis tatsächlich schon gerade ist.

Die hieraus entspringenden Fehler sind durch Benutzung des „Pfeilhöh en-messers für Gleisbögen"¹) zu vermeiden. Die Spannvorrichtung besteht aus zwei mit eisernen Anschlagwinkeln versehenen Handbrettern, in die je eine Dosenlibelle eingelassen ist. Die zur Aufnahme der Spannsehne bestimmte Bohrung ist so angeordnet, daß die Sehne um etwa 1 cm seitlich von der Fahrkante abgerückt und zugleich etwas über die Schienenoberkante gehoben wird. Die Handbretter sind so auf die Schienen zu legen, daß der Anschlagwinkel die Fahrkante berührt, und die Austrittsöffnung der Schnur an dein bezeichneten Teilpunkte liegt. Bei Bedarf (an Überwegen u. s. w.) müssen die Handbretter gehoben werden, während der Anschlagwinkel die Fahrkante berührt; in solchen Fällen ist sorgfältig darauf zu achten, daß die Dosenlibelle einspielt.

Der zugehörige Maßstab ist gleichfalls mit einer Dosenlibelle und mit einem nach oben und unten reichenden Anschlageisen versehen. Der Nullpunkt der Teilung ist selbstverständlich entsprechend der seitlichen Verschiebung der Sehne angeordnet. Da die Pfeilhöhensummen der meisten Bögen im Maßstab 1 : 20 aufzutragen sind, ist der Maßstab an einem Rande in Doppelmillimeter geteilt, deren Hälften bei der Ablesung noch geschätzt merden. (Bruchteile von Millimetern abzulesen, ist nicht niehr erforderlich). Man erspart dadurch die Division und kann die Gliedernder Summenreihe unmittelbar auftragen. Für flache Bögen, deren Krümmungslinie im Höhenmaßstab 1:10 gezeichnet werden soll, benutzt man die Millimeterteilung am anderen Rande des Maßstabes.

Diesen Maßstab kann man im Allgemeinen unter die Schnur halten und an dieser (und zwar an der Innenkante) unmittelbar ablesen, da das Anschlags eisen tut Verein mit der Dosenlibelle eine wagerechte Senkung bis zu der Tiefe gestattet, daß die Schnur nicht mehr am Maßstabe haftet, sondern ihn gerade berührt.

Es können aber Fälle eintreten, wo diese Senkung ausgeschlossen ist, z. B. an Überwegen, in Bogenweichen usw. Für derartige Fälle wird jedem Apparat ein leichter Schnurreiter beigegeben, der auf die Schnur, die dann unter dem Maßstabe schwebt, gehängt wird. Dieser Reiter ist eine Metallzunge, die durch ein Gewicht senkrecht gestellt wird; die seitlich zugeschärfte Zunge zeigt die Pfeilhöhe am Maßstabe an.

Die Schnur wird an einem Handbrett befestigt, am anderen nur durch die Ose gezogen und mit Hülfe eines Knebels straff gespannt, wie in Ziffer 12 beschrieben.

Will man die Messung nicht mit dem „Pfeilhöhenmesser für Gleisbögen" ausführen, so nehme man Heftgarn als Schnur und halte den Maßstab wagerecht unter die Schnur.

28.

Zur Aufzeichnung ist in erster Linie Rollenpapier zu empfehlen; es ist billiger    Zeichen-

als Bogen, und man ist weniger durch das Format beschränkt. Man kann die-    Papier,

selbe Stelle der Rolle für mehrere Ausgleicharbeiten benutzen und die Bilder durcheinander zeichnen; bei einiger Übung ist keine Verwirrung zu befürchten.

Muß man aber einzelne Bogen verwenden, so müssen sie gegebenen Falls mit größter Sorgfalt aneinander geklebt werden, damit die Netzteilung keine Störung erleidet.

Anfängern ist zu raten, die Summenlinie zu Bildern von großer Höhen-ausdehnung auf lose Streifen Millimeterpapier zu zeichnen, die man nach Bedarf an die Krümmungslinie heranschieben kann. Auch empfiehlt es sich, die Zirkelstiche nach Erledigung eines gewissen Abschnittes (10 20 cm) zu verbinden; es schützt davor, daß man Felder überspringt.

29.

Es ist dringend zu empfehlen, s = förmige Stellen an den Bogenenden Bogeuendcn vor der Ausnahme ausrichten zu lassen. Wenn das nicht möglich sein sollte, so liest man die Abweichungen nach außen bei den wenigen Teilpunkten, die in Frage kommen, mit dem Theodoliten, den man über Schieneninnenkante der Geraden aufstellt, am Maßstabe ab. Dann muß man die ersten Pfeilhöhen berechnen oder unirechnen. Negative Pfeilhöhen an der Schienenaußenkante abzulesen, ist nicht ratsam.

30.

Stotzliicken.

Abstccktatte.

Wenn die vorgefundenen Stoßlücken außergewöhnlich klein oder groß sind, und daher eine Verlängerung oder Verkürzung des Gleises wünfcheswert ist, so ist es angezeigt, von dein strengen Flächenausgleich im Bilde der Summen» linie Abstand zu nehmen. In solchen Füllen kann (mit Genehmigung der zuständigeil Behörde) durch zweckentsprechende Gestaltung des Parabelzuges die Länge verbessert werden. Es empfiehlt sich daher, im Feldbuche Aufzeichnungen über die Stoßlücken zu machen.

31

Die Berechnung der Absteckmaße (Spalte 6 des Feldbuchs in Zister 12) läßt sich ersparen, wenn man einen sog. Zollstock mit doppelseitiger Zentimeter-teilung mitten durch schneidet und die beiden Hälften mit den Nullpunkten gegeneinander so auf die schmale Kante einer Dachlatte nagelt oder bindet, daß der Nullpunkt von dem an die Teilpunkte anzustoßenden Lattenende den normalen Abstand der Achse von der Fahrkante hat. Mit Hülfe dieser Einrichtung kann man die positiven und negativen Verbesserungen unmittelbar absetzen.

III. Formelsammlung.

Vorbemerkung. Die Grundlinien der beigedruckten Zeichnungen können schräg in der Netzteilung des Millimeterpapiers liegen. Als Längenmaß schräger Linien ist stets ihre Schattenlänge einzusetzen. Alle Höhen liegen senkrecht in der Netzteilung und bilden mit schräg liegenden Sehnen, Tangenten usw. schiefe Winkel.

Die Bedeutung der durch Buchstaben bezeichneten'Werte ergibt sich aus den Zeichnungen. Streckenmaße und Flächen oberhalb der maßgebenden Linie (Tangente, Sehne, Sekante) sind positiv, unterhalb dieser Linie negativ.

AllenMaßen ist dieselbeLängeneinheit zu grunde zulegen.

Grundsätze: Der Inhalt eines Parabelsabschnittes ist gleich ^ Sehne mal Pfeilhöhe. (f=| lh).

Der Inhalt der Fläche zwischen der Parabel und den Haupttangenten ist j Sehne mal Pfeilhöhe.

Der Inhalt der Fläche zwischen einem Parabelbogen, seiner Anfangs tangente und seiner Endhöhe ist j Tangente mal Endhöhe (f^xy). Die Abstände der Parabel von der Scheiteltangente verhalten sich wie die Quadrate der Längen vom Scheitel aus.

A. Einfache Parabeln

S4>> ^

y 'b

1) Die Parabel soll von A aus durch einen Punkt P mit den Koordinaten m und n gehen und bei der Länge L mit diesem Sekantenabschnitt L und der gesuchten Endhöhe z eine Fläche f einschließen.

6f(l~)--L2 6f(L—in)—¹¹ L:i L m    in

z=

2 L — 3 m    L(2L—3m)

2h+|4;-z

Der Wert kann der Zeichnung entnommen werden als Höhe der Geraden AP beim Endpunkte der Strecke L.

2) Bedingung wie bei 1). Wenn P auf L liegt, also n=o ist, wird

6f(l-£)

Z 2L—3tn L(2L-3m)

6f(L—in) Aot^r—

A'.z

m\

's

nh

3) Bedingung wie bei 1). Die bei P zusammenstoßenden Parabeln sollen einzeln gezeichnet werden.

>r

31,1^2-]^) hl=L2(4L-6]₁)

IL-

Uz :

--Z - --

1 ²    n

Zur Sicherung: h.₂=lii (^) oder 21)t+^-=L2^L_-gj -

z=-p(n-4hj^)

J1

L³n—3fl,²

Ui

u.

Uz \U

4) Bedingung wie bei 3). Wenn P auf L liegt, also n=o 3f

0(61,-41]) ■

ist, wird: h,=

i₂

z=-4h,Lf

5) Eine Parabel soll ohne Rücksicht auf einen Wert k verlängert werden; der Flächenfehler, der zu tage treten wird, soll durch eine benachbarte Parabel unschädlich gemacht werden.

Es sind die Formeln aus 3) und 4) für z zu benutzen, in denen f nicht

vorkommt.

6) .Eine Parabel soll durch drei feste Punkte A, B und C gehen; in diesem Falle ist f abhängig.

"T

"^ 'h y>-^

I

2h=

nL²

21i 1₂

A,

ZT

Verlängerung über A und C hinaus nach 5).

B. Doppclparabeltt.

7) Die Fläche zwischen Sehne und Parabelzug soll durch die Senkrechte X des Berührungspunktes beider Parabeln in die gegebenen Flächen f, und f2 zerlegt werden.

x—

,yC^ Z/f

Ä(fii;+f2b

2hi+i⁼³i:_x

^^2+2—3j5—x

/ '' J2'X yf qLjlLl_r_jj?___I

2b2+i

21,

h.

>>

. M.

Az t    _g

8) Der Parabelzug über der Sehne A B = L soll durch einen Punkt P gehen und mit der Sehne die Fläche f einschließen.

2h, +7i

3fl,—nL² 3

Die Aufgabe 8) ist nur lösbar, wenn U und 1₂ verschieden sind. Je mehr U sich 1₂ näherst um so we-

2    i

Niger praktisch brauchbar sind die Formeln. Für 1L = 1₂ wird f abhängig, nämlich l stn; man kann dann ht' h₂ ^ n

setzen; der Wert f ändert sich aber nicht, wenn man hi beliebig annirnmt, weil dann h.₂ = ₉ — hi werden muß. Ist n - o, so wird 2bi -

8fli

L (st - l₂)

und 2 h₂ ?2hi

1/

woraus sich für 11 - 1₂ eilt beliebiges hi - h>, aber stets f - o ergibt.

9) Der Parabelzug soll die Tangente L bei A berühren, in P mit der Hohe n enden,

—t------im Abstande 1, von A aus

yA+x)

\\

44

\n seinen Verlauf ändern und mit L > und n die Fläche f einschließen.

], (3f—nl₂) L³

OL , x+n L 2l,2 +......2 'xl:

bo

worin n als geometrischer Wert mit positiven Vorzeichen einzusetzen ist. Die Formel ist mit b) identisch, wenn man hierin n negativ einsetzt.

Der Wert des Bruches kann in allen Fällen als Schattenlänge

eines Abschnitts von BC bet 2 cm Höhe der Zeichnung (in cm ausgedrückt) entnommen werden.

C Parabelzüge aus 3 Teilen.

11) Der Parabelzug über der Sekante 1,+12 +]₃=Lfoü mit x jeder dieser drei Teilstrecken seinen Verlauf

ändern und mit den Sekantenabschnitten und den Höhen m und n der Teilpunkte die Flächen f,, f₂ und f₃ einschließen.

2 (I2+I3) (f 1 r+f₂r)    (^j^+^j^)

h,yys-

/Pi* \

*ii, * U- i

—r

sz

h I Uz

”^2

ly

/ WJ

|l₂ L+l, 1

y= "

2 O2+I1) (fgr+fer) —1°. (^r+^i |²) bi h._J2 Ji

-gl₂ L+li I3

X±^+2b₂=3^—(x+y)

^+2h₃=3—y

12) Der Parabelzug soll zwei Wendepunkte auf der Sekante haben und mit dieser eine (stets verschränkte) Fläche f einschließen.

/>...

"■tl, AU-

Uz

Uz

XIV

2h, =

3fl

l,³-]2²+]₃²

2h₂ —

3k>2

V-VW

= -2h

l₂

2h₃=

3kl₃

1₃

—2h 1 --

i,²—Wr

Die Längen sind durch Schätzung zu ermitteln. Wenn f positiv ist und der mittlere Parabelabschnitt über der Sekante stehen soll, worüber die Fornt der Summenlinie entscheidet, so muß 1₂² größer als V + I3² gewählt werden.

Bf

1/

V H.

Ls

vs

-S4

13) Der Parabelzug soll die Gerade b = ]t +lo +I3 mit seinen Enden berühren undmitihrdie Fläche F einschließen.

1₂ und J₃ können beliebig gewählt werden, nur muß H in der Mitte von 1₂ an L angetragen werden. Die Formel ist insbesondere bei der Ausgleichung einfacher Bögen anzuwenden, wenn die Übergangsbögen aus besonderen Gründen nicht gleich lang werden können. (Vgl. Gleichung (13) zu Abb, 18 in Ziffer 15, S. 21. Obige Formel ist mit Gleichung (13) identisch, da L + l der Abb. 18 gleich L in dieser Abbildung zu Formel 13 ist.)

BIBimTEO FOi-ESIlHBZM

• k k a k o w

----m

Bf — Ln 2 m

'2 —

2 m — L n

c) Ist n negativ, d. h. liegt B auf der der Fläche k entgegengesetzten Seite von L, so ist eine Lösung nur denkbar, wenn m innerhalb von L liegt. Dann ist:

1₂ =

3f+Ln 2 m

L—2 m n

Inhalts-Verrrichnis.

Seite

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IC IO IO IO 00 I O O O 00

DI DI

Vorwort

s. Abschnitt: Der Grundgedanke

1.    Abwicklung eines Bogens...........

2.    Zerlegung der Kreisevolvente..........

3.    Centriwinkel und Pfeilhöhensummen.......

4.    Die Krümmungslinie ............

5.    Ersatz der Teilevolventen durch Pfeilhöhen.....

6.    Zeichnerische Entwicklung der Evolventenunterschiede .    .

7.    Sinnfälligkeit der Zeichnung..........

II.    Abschnitt: Nbergangsbögen

8.    Krümmungslinie des Ubergangsbogen.......

9.    Zeichnung der quadratischen Parabeln.......

10.    Verschiebung des ursprünglichen Bogens......

III.    Abschnitt: Messung und Feldbnch

11.    Wahl der Längeneinheit...........

12.    Messung und Feldbuch............

IV.    Abschnitt: Die Feststellung der Lagefehler

13.    Der Augenmaßentwurf............

14.    Die Summenlinie..............

15.    Die Ausgleichparabel.............

16.    Absteckung der berichtigten Achse.........

17.    Der Halbmesser ..............

V. Abschnitt: Korbböge»

18.    Parabelzüge.....

19.    Ausgleich eines Korbbogens

VI. Abschnitt: Zwangslagen

20.    Wahl der Wechselpunkte ......

21.    Ermittlung der Halbmesser aus Parabelzügen

VIT. Abschnitt: Verbesserungen größeren Umfangs

22.    Berechnung des Entwurfes .    .    .

23.    Absteckung neuer Gleise im Anschluß an ausgeglichene Strecken . 30

Anhang:

I. Theoretische Erlänternngen und Ergänzungen

T—I 1—! CO

CO co co

24.    Herleitung der Evolventenformel........

25.    Vertauschung der Teilevolventen mit Pfeilhöhen .    .

26.    Berichtigung der Krümmungslinie

II. Praktische Maßnahmen

27.    Pfeilhöhenmesser für Gleisbögen

28.    Zeichenpapier......

29.    Bogenenden.......

30.    Stoßlücken.......

31.    Abstecklatte.......

34

35

35

36

36

37

III. Formelsammlung

^TTcl

.

1

¹

Die Herstellung und den Alleinvertrieb dieser Vorrichtung hat die Firma Max Wolz in Bonn a. Rh. übernommen. Der Preis für den vollständigen Apparat beträgt 12,50 Mk.

²

a

— 4 - -

10) Der Parabelzug soll die Tangente Ti bei A und die Tangente B C mit der Steigung — bei B berühren und mit L und der Senkrechten von B die

Fläche f einschließen.

Es sind drei Fälle zu unterscheiden:

a)    Ist n positiv, d. h. liegt B auf derselben Seite von L wie die Fläche f, und liegt m außerhalb von L (vgl. 5(66.), so ist:

3k — Ln 2 m

³

2m+L

b)    Ist n positiv, liegt aber m innerhalb von L, (wenn also B.C auf-aufwürts steigt), so sind die Parabeln in gleichem Sinne gekrümmt, und es ist:

£57

Abb. 8.

rrft:

Abb. 9.

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Abb. 10.

7i

Abb. 11.

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Anlage 1.

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Abb. 12.

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