■t

4

m

i-

Zf

»i

*A

t

'25*.]

+• jk

M

s

fW i

,*«

x

*p:v

*

Öl

»t

!»T

V

M

,y

M'

*

*»j

>7

I*

* i

Ey

k*

y

>4

>

»jjjj

V

•j.

4

>

3®»i

F*

*1

•£

»*

A!

#

•,

•^2

»* S

9

ML

■*

♦

rVj

£

[; #«K

kü

i;Tl

m

W/i

I

\

■

Biblioteka Politechniki Krakowskii'i

100000305716

yz⁶'

X

DIE BERECHNUNG

EBENER UND GEKRÜMMTER

BEHÄLTERBODEN.

VON

PH. FORCHHEIMER

PROFESSOR IN AACHEN.

MIT FÜNFZEHN ABBILDUNGEN IN HOLZSCHNITT.

4

V. &

cur

iCiiSKi Är fl

__

U p-

’S‘VVV

BERLIN 1894.

VERLAG VON WILHELM ERNST & SOHN.

(VORMALS ERNST & KORN.)

U-

Alle Rechte Vorbehalten.

B1BLE0TEKA FFl'

K R A U C W

T r n

■■ .    ü .

..mm

«135131

Akc. Nr. ...

1. Grundgleichungen für Blechstreifen.

Für die unter der Einwirkung äufserer Kräfte durchgebogene Achse eines ursprünglich geraden Balkens gilt bekanntlich die Beziehung

d²y ₌ Mx dx² JE

In dieser Gleichung bedeutet Mx das Biegungsmoment der äufseren Kräfte, J das Trägheitsmoment des Balkenquerschnittes, E den Elasticitätsmodul. Bei der Ableitung von (1) wird nicht vorausgesetzt, dafs der Balken, als seine Achse noch eine Gerade bildete, spannungslos gewesen sei, wohl aber, dafs er sich bei der Biegung seitlich beliebig zusammenziehen und ausdehnen konnte. Wird

(1)

jede seitliche Bewegung verhindert, handelt es sich z. B. um das mittlere Stück einer Platte von grofser seitlicher Ausdehnung und bedeutet Mx das Biegungsmoment, J das Trägheitsmoment des Streifens von der Breite „Eins“, so tritt an die Stelle von (1)

d²y__

dx²    JE (1 + j«²)

worin ll den Coefficienten der Quercontration bezeichnet. Wenn die Platte wagerecht, 2 l lang, an beiden Enden aufgelagert ist, und mit einer gleichförmig vertheilten lothrechten Last von der Gröfse p auf der Flächeneinheit belastet ist, ferner auf die beiden Enden des Streifens von der Breite Eins aufser den lotrechten Auflagerdrucken —pl zwei gleich grofse aber entgegengesetzt gerichtete wagerechte Zugkräfte + S und Momente

+ Mi wirken, so gilt (für das Achsenkreuz der Abb. 2)

+3f#

*x

Abb. 1.

Mx

. . (2)

j<------~\i--------> ;-------X-------^

E

fr

s.

Abb. 2.

P£-P£ ₊ M,+ Sy ...    (3)

worin y und daher auch Sy negativ ist, oder

*P±*> + Ml+Sy

Mx

d²y

dx²

JE{ 1 + /u²)

■ • (4)

oder, wenn eine Hülfsgröfse

w-y

JE (1 + p²)

(5)

eingeführt wird,

d2y

dx²

Dieser Ausdruck (6) kann als Differentialgleichung der Curve aufgefafst werden, welche die Plattenachse unter dem Einflüsse der äufseren Kräfte bildet. Ihre allgemeine Lösung lautet:

p(l²— x²) p Mi ’ 2S '"Z^T²“’S

Von der Richtigkeit dieser Lösung kann man sich durch Differentiation überzeugen. In der That geht aus (7) hervor:

y — ct ewx + c₂ e

dy

p (l²—x²)

— WX

+ ^ + 2/}w²    . . (6)

• (7)

-- = ci wewx — e₂ we

— wx

px

dhy

~ = w² (Ci ewx -j- c₂e

— WX

nach (7) durch y ausdrückt,

fp(l²—x²) .Mi

\    2 S ⁺ S±V)’

welch letztere Gleichung, wie verlangt, mit (G) übereinstimmt. Zur Bestimmung der Constanten cl und c₂ kann zunächst die Erwägung dienen, dafs für die Auflager, also für x = 4 l die Einsenkung y Null sein mufs, oder

oder, wenn man ct ewx -j-c₂e

d²y

dx²

— WX

iv²

0 = ciewl + c₂e~wl + P

Mt

Sw² S

= c₁e~wl -f c₂ewl 4 P zu sein hat. Aus (8) folgt

Sw²

Mt

. . (8)

Mt]

Die Einsetzung des Werthes von c₁ und c₂ aus (9) in (7) liefert als Gleichung der elastischen Linie ewx + e

ßWl _J_ ß— wl

oder endlich

—WX

?/ =

Mi

Mt

p(l²—x²) p

2 S    Sw²    S

.SW’²    £

Mii r₁

e^-j- e

ßWl ß-wl

p (l² — a:²)

• (10)

2. Der Boden bilde einen Streifen, der um seine beiden unverrückbaren Ränder wippt.

Wenn die Platte (Abb. 3) um die unverrückbaren Ränder wippen, d. h. sich drehen kann, ist Mi = 0, sodafs die

l

Gl. (10) der elastischen Linie in

ewx-{- e

ßWl _j_ ß—wl

übergeht. Die Länge 2 s dieser Linie ist gröfser als die ursprüngliche Plattenlänge 21\ die Platte mufs sich also um 2 s— 21 dehnen und eben diese Dehnung ist es, welche bei unverrückbaren Enden eine Zugspannung S hervorruft. S ist also nicht unabhängig von p und für S gilt, wenn mit h die

2l

Abb. 3.

—wx~

y Sw² 1

p (l²—X²)

• (11)

Plattendicke bezeichnet wird, — l

■E(l+p²)h ....    (12)

dy

Da die Curve schwach geneigt, also

(JjJü

sehr klein ist, kann

ds = dx

dx .    (13)

gesetzt werden. Nun folgt aus (10) dy p —ewx + e dx Sw

—WX

px

ßWl _J_ ß-wl

.    (14)

und dy~\²

p² e2wx—2 + e

—2 wx

2 p²x e

—WX

p²x²

dx

Shv² [ewl + e~~wl\²

S²w ewl + e~wl

S²

(15)

oder nach (13)

n v⁸

2S'hv² \ewl-\-e~wl]2 p²x e

ß2tvx | ß—2wx

p²

dx

—WX

Shv² [ewl+e~wl]2 p²x²

Die Integration liefert

y5-+

p²

ß2wx ß—2 tvx

p²x

4 Shv³ [ewl +e~wl]² S²w²[ewl+ e~wl]2 p²x[ewx+e~wx] p²[ewx—e~wx\ p²x3 ~ S²w²[ewl+e~wl] ^ S²ws[ewl+ e~wl] ^ ö~S² ' oder für die Verlängerung zwischen 0 und l nach Einführung dieser Grenzen

ßWl ß—wl

5p²

4 Shv³ ewl-\-e~wl

p²l

p²l

S²w²\ewl -f e~wl\2 p²P

6S² ‘ ' ' ' Die Längeneinheit verlängert sich demnach um

s—l

S²iv²

(18)

p²l²\    5 e^—e-wi

~S² \IwsP' ewl+ e~wl Die Vereinigung von (19) mit (12) liefert

ßWl_ß—wl

___L,n

w²l²[ewl-\-e~wl]² w²l²' 6j

(19)

S³

E( 1 + fi²)hp²l² " 4 w³ /³ e!£? +    wH²[ewl + ß-wl\²

--1_ _|_I . .

w²Z² ^ 6

• • (20)

Da nach (5) ist, so kann man statt (20) auch

S = JE(1 + p²)w² .... (21)

'PE²(1 + fi²)² _    1/5 ewl—e~wl

hp²lH    tvGl&\kw³1³ ewle~~wl

w²P \ewl + e~wl]² ~ wH²+ 6 j setzen. Da ferner bei einer Platte von der Breite Eins J³ = /z⁹:1728 ist, folgt JPE(l+p²) Vl728

pP

w'sl³

__

( 4 w³P ewl+ e~wl

ßWl g—-wi

wH²[ewl+e~wl]²

C5 I I-¹

v.

= cp

. . (22)

w²l²

worin cp eine Function von wl darstellt. Nach (22) läfst sich cp unschwer berechnen, wenn h, E, u, p und l gegeben sind. Damit man dann aus cp auch leicht wl bestimmen könne, sind

weiter unten in einer Tabelle (S. 6) die zu einander gehörigen Werthe von cp und ivl zusammengestellt. Aus wl ergiebt sich w und nach (21) die Zugkraft S. Für die Senkung in der Mitte, wo x = 0 ist, gilt nach (11)

do

w²l²

• • (23)

und hieraus ergiebt sich nach (3) das Maximalmoment in der Plattenmitte unter Berücksichtigung, dal's das Endmoment Mi =0 ist, zu

pl²

• (24)

M₀⁼ ~2 + Syo = 2

Die gröbste Inanspruchnahme des Tragstoffes findet in der Plattenmitte statt, wird hier durch die Zugkraft S und das Moment M₀ hervorgerufen und beträgt

S 6 Mq h h²

Eine nähere Betrachtung von (23) und (24) würde übrigens lehren, dafs y₀ negativ und M₀ positiv ist.

G max —

•    •    (25)

3. Der Boden bilde einen Streifen, dessen beide Bänder unverrückbar eingeklemmt sind.

Der mathematische Ausdruck der Forderung, dafs die Platte (Abb. 4) an den Auflagern nicht wippen könne, also die

-(Jfj

+3?

jfS

Abb. 4.

Tangenten der elastischen Linie dort wagerecht seien, lautet,

(Ii /

dafs für x = + l der Differentialquotient - Null sein mufs. Nun

CLX

folgt aus (10)

dy

p Mi] e Sw² S

VXD

— wx

px

EL

Ul

«e

2.

s.

S“

§r

er

a

CD

£?

et

EL

TO

TO'

83

ES*

2.

2-

CD

d)

di

wl

di

d)

ivl

di

di

wl

di

di

wl

di

<t>

wl

<h

d)

wl

di

-- di

wl

di

wl

0,01764

0,02253

0,03426

0,04692

0,07912

0,1229

pi

0,1318

0,2284

0,2387

0,4901

3,0

0,4838

1,304

i—¹ >8-

to'boJ-*

O CO 05 o O rf-

JO

0,01662

0,01568

0,01481

0,01401

0,02112

0,01982

0,01863

0,01326

0,01753

0,01652

CO

CD

o.

00

0,03185

0,04324

JO

0,07204

0,1101

OX

0,1248

0,2135

0,2240

0,4504

P³

0,4478

1,167

Jö

1,0967

4,166

I—l

0,02966

0,02765

0,02416

0,03993

0,03694

0,03425

0,02263

4-

0,06576

0,09889

Ol

rl-

0,1183

0,1998

0,2104

0,4147

CO

0,4152

1,049

JO

10

0,9851

3,593

co

pj

0,06017

0,08916

pl

o.

0,1122

0,1873

cc

0,1978

0,3826

5°

0,3856

0,9447

JO

cc

0,8899

3,116

'co

4,467

C5

0,03181

0,02122

0,01993

J<1

0,02959

0,02758

0,02574

0,05518

0,08066

pl

0,1065

0,1757

4-

0,1861

0,3536

p>

n-

0,3586

0.8537

CO

+-

0,8079

2,719

t—‘

A—

3,326

4—

i»

0,05071

0,07320

0,1012

0,1651

0,1754

0,3274

P³

0,3340

0,7735

i»

Ol

0,7363

2,382

k—‘

Ol

2,639

Ol

0,04671

0,04311

0,06662

0,09621

0,1553

0,1653

0,3037

P³

r.

0,3116

0,7027

0,6734

2,095

I—‘

2,175

05

0,06080

P³

4-

0,09152

0,1462

0,1560

0,2822

po

0,2910

0,6399

JO

-I

0,6177

1,850

-J

1,841

Zusammenstellung (1er zusammengehörigen Werthe von wl, a und \p.

i»

05

0,03986

0.05564

P³

05

0,08713

0,1379

.p

JO

0,5680

1,641

J-* Ol -P

00 00 00 00

0,02406

0,01874

8,8

0,05103

0,03692

6,8

0,1301

0,08300

4.9

0,2447

0,1394

3,9

0,5345

0,2547

2,9

1,460

0,5237

1,9

1,390

0,9

Setzt man hier x=l ein, so folgt

dy

p    Mij ewl — e-wl , pl

S J W ewl + e~wl

Sw²

und, da dieser Ansdruck Null sein mufs, weiter pl ewl + e~wl wewl—e~wl

dx

Ml = —

P.

w²⁾

8 ■ (2?)

■ • (28)

hiernach nimmt die Gleichung (10) der elastischen Linie die Form an

pl ewl + e~wl y ~ Sw ewl — c~wl Die Differenzirung liefert

ewx + e ~ ewl +e-wi

—WX

p(l²—x²)

(20)

dy

dx

pl ewx— e ~S ewl — e~wl

—WX

px

•    .    (30)

Hieraus folgt

dy\²

dx

p‘2 /2 ß2wx_|_ g—2wx

2 p²lxewx— e

—WX

S² ewl—e~wl

2p²l²

p²x²

S²

• • (31)

und für das Differential der Bogenlänge nach (13) p212 g2wx _|_ g—2wx

2S² ' [ewl —e~wl\² ~~ S²[ewl —e~wl]2 p²lxewx—e t

'    £2 ewl — e—wl +

ds

^-=1 +

dx

— WX

p²x²

2 S²

pH²

■ • (32)

Die Integration giebt

p2J2 g2 wx g—2 wx

p² l²X

p²lx ewx + e Shv

4 Shv [ewl — e~wl\²    S² [ewl— e~ wl]²

p²l e

Shv² ewl—e~~wl

ir.r

—WX

p²x³

—WX

wi

oder nach Einführung der Grenzen 0 und l für die Verlängerung zwischen Mitte und Ende pH² ewl+e~wl

4 S²w ewl — e~wl    S²[e —e-wl\²

p²l

Shv² ‘ QS² '    ‘

Ein Plattenstück von der Länge Eins dehnt sich also infolge der Durchbiegung um

ewl —e~

pH³

2/3

6 S²

(33)

p2i2ewi_^_e-wi

S²w ewl—c~wl

• • (34)

s—l p²l²\

-/ ³ .#*+*-*__1__+J_+(35)

S² l 4z wl ewl—e~wl [ewl— e ~wl\² ivH² 6j 'J

Die Dehnung läfst sich wie im vorhergehenden Falle auch durch die Zugspannung S mit Hülfe der Gleichung — l

£=-

E(1 +p²)h .... (12)

ausdrücken, welche, mit (35) vereinigt,

3 ewl+e~wl

E(l+p²)h S² { Iwlewl— e~w~[ewl—GwlJ²^wH²~r 6j liefert. Da nun nach (5)

p²l²

¹ ,n

(30)

S=r JE(1 +p²)w²    ....    (21)

und bei einer Platte J=¹/ ₁₂h's ist, folgt aus (36) weiter V1728 \

h*E(l + p²)

3 ewl+ e~wl

pll

w³ls

4 wl ewl—e~wl

[ewl

e—wl]2

⁺ wH²

worin ip eine Function von wl bezeichnet. Nach (37) läfst sich ip unschwer berechnen, wenn h: E, li, p und l gegeben sind. Damit man auch aus ip leicht ivl bestimmen könne, sind in der schon erwähnten Tabelle auch die Werthe von ip eingetragen. Wieder ergieht sich w aus wl und nach (21) die Zugkraft S. Für die Senkung in der Mitte, wo x = 0 ist, gilt nach (29)

GqI to

(38)

pl ewl-\-e~wl Sw ewl—e~wl

Das Moment Mi für x = l, das heifst am Ende, ist bereits bekannt und durch (28) gegeben; jenes in der Mitte, für x=0,

findet sich endlich nach (3), (28) und (38) zu

p pl

pl²

Mo = -- -f Mi -f- Sy₀

iv²

w ewl— e~wl

(39)

Wie bei stärkeren eingemauerten Balken, bei welchen S nicht in Betracht kommt, hat das Mittelmoment M₀ entgegengesetztes Vorzeichen wie das Endmoment Mi und einen kleineren Absolutwerth, sodafs Mi für die Wahl der Plattendicke mafsgebend und die gröfste Inanspruchnahme

erscheint.

• • (40)

Beispiel. Ein Schweifseisenblech von 1 cm Stärke sei 1 m weit gespannt und durch 2 m Wasserdruck, also 0,2kg auf den qcm, belastet. Wie stark wird das Eisen beansprucht, wenn sich die Blech-Enden frei drehen können?

Im gegebenen Falle ist h= 1, 1 = 50, p = 0,2, E(1 -\-p²) etwa = 2200000, J— h³ : 12 = 0,08333 zu setzen. Formel (22) giebt h*E( 1+^)

2200000

= 1,76. Für dieses <p giebt die

0,2 • 6250000

Tabelle wZ=l,743 oder w=0,03486 und nach (21) S=JE{l-\-p²)w²— = 0,08333 • 2200000 • 0,001215 = 222,7. Für wl = 1,743 ist ferner z. B. nach „den Tafeln der Hyperbelfunctionen und der Kreisfunctionen, von Dr. W. Ligowski, Berlin 1890 (Pr. 5 J&Y 2: (ewl -j- e~wl) — = 1 : (£of wl = 0,3396 und daher nach (24) das Moment in der Mitte

0,2 [1 — 0,3396]

pl⁴

= 108,7. Da die

ewl _|_ e—wl

Kraft S eine Zugspannung S: h = 222,7 und das Moment M₀ eine Zugspannung 6 M₀: IP = 652,2 hervorruft, beträgt die gröfste Inanspruchnahme ö

sie bei einfacher Auflagerung ¹/₂ pp : ¹/e IP = 1500 kg für 1 qcm betragen würde. Die Einsenkung berechnet sich nach (23) zu

0,001215

inax

nur 222,7    652,2 = 874,9 kg f. 1 qcm, während

P i

y° Sw² 1

wH²~]

0,2

222,7 • 0,001215

[1-0,34-1,52]

ßwl -]_ g—wl

= — 0,64 cm, während sie bei losem Aufliegen nach bekannter Formel — 5 pP : 24 JE (1 -J- ,u²) = — 1,42 cm sein würde.

Ist das 1 m weit gespannte, 1 cm starke Schweifseisenblech an den Enden unverrückbar eingeklemmt, statt frei drehbar, so nimmt bei 2 m Wasserdruck die Rechnung folgende Gestalt an. Es ist if> = 1,76, nämlich so grofs wie früher <p. Die Tabelle giebt icl = 0,732 oder w= 0,01464 und nach (21) S— JE{1 -f- p²) w² = = 0,08333 • 2200000 • 0,000 2143 = 39,3, sowie nach

pl ewl -f- e—wl p p ( Iw , ₁ \ w ewl — e~wl    iv- w² l Sg wl ' /

0,2 x 0,1725

161,0, sodafs sich die gröfste Inanspruch-

0,0002143

nähme auf Zug S : h + 6 Mi : 1P = 39,3 -{- 966,6 = 1005,9 findet. Wenn die Enden sich trotz der Einklemmung verschieben könnten,

pP

so würde das Endmoment —

— = — 166,7, also dem Absolutwerte

nach nur wenig gröfser als bei unverrückbaren Enden sein, während sich die gröfste Inanspruchnahme auf Zug, weil S fortfällt, von

1005.9    auf 2pl²: 1P = 1000 kg f. 1 qcm vermindern würde. Bei drehbaren aber unverschieblichen Enden hatte die gröfste Zugspannung

874.9    betragen; durch die Einklemmung hat die Inanspruchnahme also nicht, wie man zu glauben versucht sein könnte, ab-, sondern

zugenommen. In praktischer Hinsicht wird ferner zu bedenken sein, dafs die Platte ihren gefährlichen Querschnitt bei drehbarer Lagerung in der Mitte, bei nicht drehbarer an den Auflagern besitzt und hier vielleicht durch Nietreihen geschwächt wird. Auch die Abnahme, welche das Mittelmoment erfährt, wenn man die undrehbaren Enden

unverrückbar befestigt, ist nur gering. Dasselbe sinkt nämlich von ¹/ßpl² = 83,33 cmkg nach (39) auf M₀ =    1

tv* \

2 Iw

ßWl- ß—wl /

Iw \    0,2-0,0840

©in Iw f ~ 0,0002143 sogar die Zugbeanspruchung in der Mitte von 500 auf 39,3 -f- 470,4 = 509,7 kg für 1 qcm empor. Die Einsenkung endlich mifst bei verrückbaren Enden — pl*: 24 ,J(1    ,«²) = — 0,28 cm und bei nicht

verschiebbaren nicht viel weniger, nämlich nach (38) pl ewl _j_ e—wl

78,4 cmkg herab. Dabei steigt

pl

0,2 • 50    0,21881

-⁰ Swewl — e~wl [ ewl + e—«4j    2N 39,3-0,01464    0,732

0,2x2500 2 x 39,3

die Unverrückbarkeit der eingeklemmten Enden die Inanspruchnahme, aber so lange die Elasticitätsgrenze nicht überschritten ist, nicht in erheblichem 'Grade, wie aus nachstehender Zusammenstellung der Inanspruchnahme hervorgeht, welche die schon betrachtete Platte von 1 m Spannweite und 1 cm Dicke bei den Lasten p — 0,2, 0,4 und 0,6 erleidet:

Last p in kg f. 1 qcm......

Zugkraft S in kg f. 1 cm.....

Endmoment Mi in cmkg.....

Inanspruchnahme Umax bei unverrückbar eingeklemmten Enden .    .    .    1005,1    1928,7    2746,6

Inanspruchnahme 2 pP : h? bei verrückbar eingeklemmten Enden .    .    .    1000    2000    3000.

Jenseit der Elasticitätsgrenze wirkt eine Unverrückbarkeit der Enden viel kräftiger auf die Inanspruchnahme und ermäfsigt sie wesentlich. Wird E (1 -f- W) = 220 000 statt == 2200000 gesetzt, so steigt für p = 0,6 die Zugkraft S von 227,7 auf 234,9, sinkt das Moment Mi von 419,8 auf 218,2 und fällt Umax von 2746,6 auf 1544,1 kg f. 1 qcm herab.

0,27 cm. — Bei gröfserer Last vermindert zwar

LO

0,6

14^ CO l—¹ CO

4. Näherungsverfahren für (len unter 2 betrachteten Fall.

Ein Näherungsverfahren*) läfst sich für das drehbar befestigte Blech von unveränderlichem Auflagerabstand ableiten,

*) Dieses Verfahren ist mit etwas abweichender Ableitung in der Brückenbauanstalt der Gutehoffnungshütte zu Sterkrade üblich.

wenn man auf die Form der elastischen Linie keine Rücksicht nimmt, und nur die Durchbiegungsgröfse beachtet. Man kann nämlich annehmen, dafs das Blech einen Theil ap der Last p als Balken trägt und den anderen (1 — a) p als Kette. Für die Balkensenkung in der Mitte gilt dann nach bekannter Formel (wenn man das Vorzeichen nicht berücksichtigt)

Vo =

5 apl*

5 apl^

24: JE (1 + p²)    2h³E{l+p²)

• (41)

und für den Pfeil der flachen Kette mit der Spannkraft S

apl² pl²

T£⁼2~S ‘

Vo

(1 — a)pl²

oder yQ +

(42)

Aus (41) und (42) geht

Vo 1 +

/^³^E7(i -f- ^²)n    pi²

,    5 PS

• • (43)

hervor. Der Längenunterschied zwischen einer Sehne 21 und einem zugehörigen flachen Bogen vom Pfeil y₀ beträgt ziemlich 4

genau — ?/₀²:/. Durch die Biegung erfährt also die Längenein-3

l² und es

heit des Bleches eine Dehnung von ungefähr^- yj² :

3

hE(l+p²) ....    (44)

mufs, da der Blechquerschnitt h beträgt, angenähert o    ² 2/o ²

s==Je

gelten und demnach, wie die Einsetzung dieses Werthes in (43) lehrt,

Vo³ +

³    7 2    ³

Tjv° ⁼ -i

pl⁴

■ (45)

4hE{l + p²) ’

sein. Aus (45) kann man, am einfachsten durch probiren, y0 bestimmen. Sobald y₀ bekannt ist, folgt nach (41)

und nach (42)

_ 2 h³E(l + p²) a 5 pE

y₀ ...    .    (46)

s=

(1 — a)pl²

²2/o

.    .    (47)

Die gröfste Zuginanspruchnahme setzt sich aus der durch die Kraft S erzeugten Spannung S: h und der durch das Moment

3 CC 13

¹/₂ apl² erzeugten —jp~ zu

co

u>

• • (48)

zusammen.

Beispiel. Bei dem schon betrachteten Blech von li— 1, l— 50, E(1 -j- n²) = 2200000, p = 0,2 lautet beispielsweise (45) Ho³ + 0,3 y₀ = 0,42614 und findet sich y₀ — 0,6212 cm, hieraus a — 0,437, S = 226,5 kg f. 1 cm und die Inanspruchnahme a max = 226,5 :1 + 3 - 0,437 - 0,2 - 2500 :1 = 226,5 + 655,5 = 882,0 kg f. 1 qcm. Hervorzuheben ist, dafs diese Werthe beinahe mit jenen übereinstimmen, welche das strenge Verfahren geliefert hat, nämlich mit 2/₀ == 0,64, S= 222,7 und Umax 874,9.

5. Der Boden bilde eine Scheibe, die um ihren unverrückbaren Umfang wippt.

Das Verhalten lose aufliegender, sowie das eingeklemmter Scheiben hat Grashof unter der Annahme untersucht, dafs sich die Mittelebene derselben, wenn auf ihren Randkreis keine Zug- oder Druckkräfte wirken, an keiner Stelle dehnt oder kürzt. Das ist nun nicht der Fall, weil sich auch bei verschieblich gelagerter Scheibe die" Mittelebene bei der Biegung in eine Umdrehungsfläche verwandeln mufs, wobei die Halbmesser gedehnt und die vom Scheibenmittelpunkte aus beschriebenen Kreise verkleinert werden müssen. Die Grashofschen Entwicklungen gelten aber immerhin annähernd für Platten, welche lose oder eingeklemmt und zugleich verschieblich gelagert sind, sodafs der Randkreis der Mittelebene bei der Biegung der Platte etwas einschrumpfen kann und sich die Randstücke gegen die Achse hin zu bewegen vermögen. Ist der Umfang hingegen unverrückbar und zugleich so festgehalten, dafs die Platte um ihn wippen kann, so führt folgendes Nährungsverfahren zum Ziele, bei welchem man annimmt, dafs der Behälterboden einen Theil ap der Last .als lose liegendes Blech unter den Voraussetzungen Grashofs trage, und den Rest (1 — a)p als kugel-

förmiger Hängeboden. Bei der lose liegenden Platte vom Halbmesser r ist die Senkung des Mittelpunktes dann nach Grashofs „Theorie der Elasticität und Festigkeit, Berlin, 1878“ S. 335, Gl. (587)

Da ein kugelförmiges Blech (vgl. Abb. 5) vom Kugelhalbmesser rx, welches einem Wasserdruck (1 — a)p ausgesetzt ist, bekanntlich an allen Punkten nach allen Richtungen parallel zu seiner Oberfläche Spannungen von der Gröfse S = V, (1—a) prt auf der Qnerschnittsfläche von der Dicke des Bleches und von der Länge Eins erfährt und bei flachem

/

w/—f*---->

Jmt

• (BO)

<----7»---»|

HHI!

\JL

,i

<■

Kugelabschnitt der Pfeil

z₀ = r²: 2r₁

gesetzt werden kann, folgt für den Pfeil des Hängebodens

rr\

Abb. 5.

(1 — a) pr²

.    .    (51)

Aus (50) und (51) geht bei Fortschaffung von a 4:h³E

3(1— iu)(5+ p)r²Sy 4:8 ‘ hervor. Der Längenunterschied zwischen einer Sehne 2 r und einem zugehörigen flachen Bogen vom Pfeil z₀ beträgt ziemlich genau ⁴/₃«₀²:r. Durch die Senkung erfährt also das Blech eine Dehnung von ungefähr ²/₃^₀ 2: r‘² für die Längeneinheit und zwar nach doppelter Richtung, sodafs, weil der Blechquerschnitt li beträgt, angenähert o 2 V

3 ' r2 '

%Q 1 “f-

pr²

•    (52)

.    .    (53)

zu setzen ist. Die Einführung dieses Werthes in (52) liefert für z₀ die Gleichung

*o³ +

2//²

5 + fi

Zq -

3pr⁴(l— |u)

8 hE

.    .    (54)

aus welcher sich x₀ und zwar am leichtesten durch Probiren bestimmen läfst. Ist z₀ bekannt, so folgt nach (50)

hsE

16

3 pr⁴ (1 — p) 5 + p)

• • (55)

und nach (51)

(1 — a) pr²

•    .    (56)

4%₀

Die Beanspruchung des lose liegenden Bleches durch die Last ap läft sich aus Grashofs Entwicklungen wie folgt ableiten. Es ist nach seinen Gleichungen (589) im Scheibenmittelpunkte die Dehnung der äufsersten Faser, sowohl nach der x-Richtung als auch nach der hierzu senkrechten, ebenfalls wagerechten «/-Richtung

• (57)

Ex - Ey

Die Spannung ax ist gleich cry: während die Spannung Gx in der lothrechten Richtung Null ist, und daher ergiebt sich (z. B. nach Grashofs Gleichungen 53) für die durch ap, d. h. durch Biegungsmomente erzeugten gröfsten Zugspannungen

exE

/y2

3

= g (³ + P) J-2 aP

• (58)

fix — Gy — ^

Zu dieser Zugspannung tritt dann noch die von S hervorgerufene, gleichmäfsig über den Querschnitt vertheilte hinzu, sodafs die gröfste Zugspannung

f+|(3+ (<)

ry 2

h2 aP • • (59)

wird.

Beispiel. Ein Blech von 140 cm Durchmesser und 1 cm Stärke aus Schweifseisen mit u = 0,32, E — 2000000 kg f. 1 qcm werde durch einen Wasserdruck p = 0,2 kg auf 1 qcm belastet. Es

2-1

p2

= oder x₀³ -j- 0,3759 x₀ = 0,61226 oder

ist h = 1 und r = 70 und folgt nach (54) x₀³

3-0,2 -24010000-0,68

8 • 1 • 2000000

x₀ = 0,703 cm, sowie nach (55) «

= 0,4318 und* nach (56) S

16 • 1 • 2000000 • 0,703 3-0,2-24 010 000-0,68-5,32 0,5682 • 0,2 • 4900

4 • 0,703

198,0 kg f. 1 cm.

Die Spannkräfte S bewirken eine Zugspannung 198,0 :1 = 198,0, die

q 4900

Lasten ap = 0,08636 eine solche von — • 3,32-—^—0,08630=520,8,

sodafs sich Umax 724,8 kg f. 1 qcm findet. Die durch die Einfachheit ihrer Begründung und ihres Baues bemerkenswerthe Formel von Bach in seiner „Elasticität und Festigkeit, Berlin, 1889—90, S. 353“ r²

würde Umax >p^-oder umax> 980 kg f. 1 qcm, also nicht unerheblich zu grofs ergeben. Bei verschiebbarem Band endlich, also für S — 0 und a — 1 fände sich nach (59) u max = 1220,1.

6. Der Boden bilde eine am Umfange eingeklemmte Scheibe.

- y___—jo _ —>

:-rz=——    ==

'J

Abb. 6.

In dem nach verschiedenen Verfahren behandelten ersten Beispiele hat es sich gezeigt, dafs es bei einem eingeklemmten Streifen die Inanspruchnahme auf Zug, so lange sie innerhalb der Ela-sticitätsgrenze bleibt, kaum beein-flufst, ob man die Klemmränder unverrückbar oder verschieblich befestigt; so waren 1000 und 1005,9 kg Zug f. 1 qcm zwei zusammengehörende Werthe. Es ist die Annahme wohl zulässig, dafs auch bei der am Umfange eingeklemmten Scheibe die Bechnung so durchgeführt werden darf, als ob der Umfang verschieblich wäre, und dafs dies wieder unter Grashofs Voraussetzungen geschehen kann. Derselbe findet am angegebenen Orte, Gl. 594 und 595, dafs die gröfste Dehnung in den untersten Fasern am Rande in der Richtung der Halbmesser herrscht und hier

Eex —

* /y* 2

• • • • (60)

ist, während die eingeklemmte Kreislinie selbst seiner Vor

aussetzung gemäfs ihre Länge nicht ändert. Die gröfste Zugspannung wird also durch

E £x

ausgedrückt.

1—y²    4Ä²

Beispiel. Für die letztbetrachtete Scheibe von r—

Beispiel. Für die letztbetrachtete Scheibe von r— 70, h—1 cm, u — 0,32, p = 0,2 kg f. 1 qcm ist nach (61) ffmax 735,0 kg f. 1 qcm, also nicht kleiner, als wenn sie um den Umfang wippen kann.

7. Der Boden bilde einen flach gekrümmten Streifen.

Die Näherungs verfahren lassen sich auch gut anwenden, wenn die Böden flach gekrümmt sind und unter der Last

Handelt es sich um

um ihre Befestigungslinien wippen, wobei ihre Pfeile von f auf f-\~yo (bezw. f + z₀) anwachsen mögen.

einen Streifenboden, so kann er wieder als Platte und als Kette aufgefafst werden. Dann gilt für erstere wie vorher im Absatz 4

2/o =

5 apP

2h³E(l + y²)

• (41)

Abb. 7.

für letztere

f+ 2/o =

(1 —a)pl²

• • (62)

und daher

oder

f+ Vo +

h³E(l -f p²)

5 l²S

2/o =

pl²

fS-\ry₀S-\- y₀

h³E(l + p²) _pl²

5/²

• (63)

4/2

Die Bogenlänge des Bodens vor der Biegung kann =    —

O l

4(/+?y₀)²

, also die Verlänge-

und nach der Biegung =2 l-\-—

3

rung der Längeneinheit infolge der Einsenkung genügend

genau =-

2 2 fy₀ + 2/₀ ²

l²

gesetzt werden. Daher mufs

2 Zfyo + Vo²

oder

Ä=3

Vo³ + 3 fy₀ ² + 2 f²y₀ +    h²y₀ =

l²

hE( 1+p²) .    .    (64)

3 pP

4.hE(l-\-p²)

(G5)

sein, aus welcher Gleichung man y₀ durch Probiren bestimmt Dann folgt aus (41)

Ho •    •    •    •    (66)

2 h³E(l +|U²)

a = •——-—--

aus (62)

{l—d)pP

W+Vo)

• ■ (67)

endlich die gröfste Inanspruchnahme

. . (68)

S , 3apl²

h² '    '

G max ~ h

Beispiel. Für 2Z=100, f=l, h — 1 cm, p = 0,2 kg f. 1 qcm, E(1 -f- p²) = 2200000 kg f. 1 qcm, lautet (65) ynA + 3y₀² + 2,3 y0 =0,42614 und ist «/„ = 0,153 cm, « = 0,1077, £=193,5 kg f. 1 cm, u max = 193,5 -f- 161,6 = 355,1 kg f. 1 qcm. Durch den Pfeil von nur einem Centimeter, den das Blech vor der Belastung besafs, sank also die Inanspruchnahme von 874,9, wie sie hei der ebenen Platte aufgetreten war, auf 355,1 herab.

8. Der Boden bilde eine flache Kugelhaube.

Bei einem flachen Kugelhängeboden , der um den Bandkreis wippt, gestaltet sich anklingend an Absatz 5 die Bech-nung wie folgt. Die Tragewirkung spricht sich in

(69)

die Hängewirkung in (1 —a) pr²

Abb. 8.

aus, und aus (50) und (69) geht

Sf Sz₀ -j-

hervor. Der Verlängerung —

3

4:h³E

3(1—p) (5 + p) r2 />0    4

2 2fz₀ + z₀²

pr²

(70)

y* 2

der Längeneinheit

■ • (71)

y* 2

des Bodenbogens bei der Durchbiegung entsprechend mufs e 2 2 fz₀ -f- z₀² hE S=3-

sein. Die Vereinigung von (70) uncl (71) giebt für x₀ die Gleichung

2 h²z₀ 3pr⁴(l—f-i) 5 + p

Kennt man z₀, so erhält man nach (50)

16 h³E

3(1— p){5 + p)pri

zos + 3/^o + 2 f%o² -f-

, (72)

~o

•    •    (73)

und aus (69)

(1 — a) pr2 *(/■+* o)

endlich die gröbste Zuginanspruchnahme in den untersten Fasern der Bodenmitte (wie in Absatz 5) zu

.    .    (74)

SS    r²

ff max = ^ + g (3 + ^) ^ aP •

.    .    (59)

Beispiel. Für ä‘=1, r=70 cm, p = 0,2, I£= 2000000 kg f. 1 qcm, ,« = 0,32 lautet (72) &₀³-f- 3»₀² + 2,376«„ = 0,6123 und findet sich «.„ = 0,203 cm, «=0,1246, S= 178,3 kg f. 1 cm, ßmax = 330,3 kg f. 1 qcm.

9. Der Boden bilde eine Umdrelmngsfläche.

A(5+£1)

Abb. 9.

Wenn die Krümmung des Bodens, welcher eine Umdrehungsfläche mit lothrechter Achse bilden möge, nicht sehr flach ist, so bleibt es für die Ermittlung der Spannungen gleichgültig, ob man die ursprüngliche oder die durch den Wasserdruck veränderte Gestalt des Behälters betrachtet. Zunächst werde angenommen, dafs der Boden ein Innenboden, d. h. dafs er längs seines äufseren Randes unterstützt sei. Es werde nun ein von der Quadratform wenig abweichendes Trapez (vgl. Abb. 9) von der Höhe ö betrachtet, dessen Seiten von Parallelkreisstücken von der Länge d + und von Meridianstücken von der Länge d+e2 gebildet werden. Wenn dann p den auf die Flächeneinheit lastenden Wasserdruck, S die auf die Längeneinheit des Parallelkreises in der Meridianrichtung und T die auf die Meridianeinheit in der Parallelkreisrichtung wirkende Zug- oder Druckspannung

bezeichnet, so liefert die Vereinigung der Einzelkräfte folgende Mittelkräfte: den Wasserdruck pö² senkrecht Bodenfläche, ferner in der Meridianrichtung zwei Kräfte, die zusammen die Gröfse 286 besitzen, und senkrecht zu den Meridianseiten zwei Kräfte T(6 -f e₂), deren auf den mittleren Meridian senkrecht gerichteten Theilkräfte die Gröfse

zur

Td haben. Da der Behälter eine Um-

also

einen sogenannten Hauptschnitt, so erhält man eine Curve, die zwar in P den dortigen Parallelkreis berührt, aber nicht mit ihm zusammenfällt, Man kann nun das Viereck als

drehungsfläche bildet, kommen weitere Spannungen nicht vor, insbesondere, wenigstens bei dünnen Böden, keine senkrecht zur Schale gerichteten Scheerkräfte in den vier Randflächen des gewählten Trapezes. Führt man nun durch die Vierecksmitte P einen Schnitt senkrecht zum Meridian

zusammen

Die Mit-

zwei gekreuzte Hängeketten betrachten, welche pö² zu tragen haben und von denen die eine durch die Kräfte von der Summe 2 86, die andere durch die beiden T6 gespannt wird, telpunkte beider Kettenbögen liegen auf der Flächen normalen des Punktes P, nämlich auf einer Geraden, av eiche die Behälterachse schneidet und zugleich den Umrifs unter rechtem Winkel trifft.

Abb. 10.

Die Krümmungshalbmesser der beiden Bögen sind aber verschieden, denn während die Lage des Mittelpunktes des Meridianbogens unbeschränkt ist, hat der zu ihm senkrechte Hauptschnittbogen seinen Mittelpunkt auf der Umdrehungsachse. Um dies zu beweisen, werde durch I) sehr nahe an P (vgl. Abb. 10) ein Parallelkreis durchgelegt, dessen Halbmesser nahezu x beträgt, Avenu x den Abstand des Punktes P von der Behälterachse bezeichnet.

Dieser Parallelkreis treffe den Hauptschnitt in den Punkten A und B. Dann gilt für den Pfeil des Parallelbogens

CD =

AB²

8a:

• • (75)

Der Pfeil des Schnittbogens APB ist nun

CP= CD sin a =

AB

8a;

sin a

und da der zugehörige Halbmesser AB: 8 CP sein mufs, folgt, dafs er die Länge¹)

sin a

besitzt, welche von P aus aufgetragen in der That zu dem Schnittpunkte N der Normalen mit der Umdrehungsachse führt. Sucht man jetzt die dem Wasserdrücke pS² entgegengerichteten Theilkräfte der Bodenspannungen des betrachteten Trapezes auf, so folgt (vgl. Abb. 11) für den Meridianschnitt,

• • (76)

%K

Abb. 11.

1

dafs S (d P u) eine Theilkraft S (d + €x) — und S(d — ex)

d

Das Gleichgewicht

eine solche S (d — €x) — liefert. Für den Hauptschnittbogen, an dessen Endpunkten die beiden Td angreifen, folgen in gleicher Weise zwei Theilkräfte Td • — erfordert nun, dafs

sv+ti^ + W-^A+r^-pd'

oder dafs

(77)

S , T

--1--— p......

rn sei. Die Gröfse von S ergiebt sich daraus, dafs die loth-rechten Theilkräfte sämtlicher S eines Parallelkreises dem Gewichte G der (in Abb. 12 gestrichelten) innerhalb dieses Kreises auf dem Boden lastenden Wassermenge gleich sein müssen. Ist der Meridian in P unter dem Winkel a geneigt, so gilt also²)

Abb. 12.

2 7CxS sin a— G

•    •    (78)

oder

2 n x sin a

Kennt man S, so folgt T aus (77). Bildet die Umdrehungsfläche einen Kegel, so ist r— oo und gilt

•    .    (79)

- =p .    .

n

In diesem Kalle ist T auch ohne Kenntnifs von S bestimmbar. Endlich bedürfen noch die Vorzeichen von S, T, r, n und x einer Erläuterung. Das Pluszeichen gilt in (77) bis (79) für Zug-Spannungen und für Halbmesser, die U im Wasser liegen. Bei Hängeböden mit ® nach innen gebauchten Meridianen (hän- \ genden Kelchen) ist daher r negativ,

Abb. 13.

S, T, n und x positiv, und bei inneren Stützböden (Gegenböden, wie die Innenhaube von Abb. 13) ist S: rl\ r, n und x negativ, sodafs eine Versteifung gegen Einknicken angebracht werden mufs.

Die Formeln (77), (78) und (79) gelten auch für Aulsen-böden, also für vorkragende Wandungen, wenn man unter G nunmehr (vgl. Abb. 13) das Gewicht der Wassermasse aufser-lialb des lothrechten Cylinders versteht, dessen Grundlinie der durch P gehende Parallelkreis ist, und man dieses Gewicht als negativ betrachtet. Für die Zeichen von S, rJ\ r, n und x gilt das schon gesagte, während p wie zuvor stets positiv bleibt. Die Formeln (77) und (78) geben daher mit einem Schlage alle Spannungen an, welche bei Bottichen verschiedener Form auftreten können und bisher*) nur nach einem umständlichen Verfahren bestimmt worden sind.

Beispiele. Wie grofs ist die Spannung in einer hängenden Kugel vom Halbmesser r, welche durchweg dem Innendruck p aus-

’Ä"'

7t

-t<S

.(■

-f

(vc

k.........Sr--------->:<r-------S“.......—>

■_Y_.

Abb. 15.

Abb. 14.

gesetzt ist? Aus (77) und (78) folgt

S=T--

nx²jj

. . ,80,

2 nx sin a 2 nx sin u Es sei die Blechstärke des Kegelstutzens AB des in Abb. 15 dargestellten Bottichs zu bestimmen. Unterhalb B schliefse sich ein Kugelboden an. Bei Aufsenbödeu bedeutet G das negative Gewicht der äufseren Wassermasse und findet sich für den Punkt des Stutzens mit dem gröfsten Wasserdruck, d. i. für B zu — n ■ 64 • 9,33 -J- n • 36 • 11 = — n • 201,12 ton, sodafs sich nach (78) S —

201,12 : 2tc ■ 6,0 • 0,781== — 21,46 ton für 1 m oder = 214,6 kg Druck f. 1 cm ergiebt. Nach (79) ist T=np und da p proportional

- 71 •

*) Forchheimer: Ueb. eiserne Wasser-, Oel- u. Gasbehälter-Bassins nach den Berechnungen u. Constructionen des Prof. Intze in Aachen, Journal f. Gasbeleuchtung u. Wasserversorgung 1884. Boi dieser Gelegenheit werde auch Gl. XII. des genannten Aufsatzes richtig gestellt. In dem vorangehenden Ansätze steht dS ■ sin « 2y

statt d (Asm « 2y). Die richtige Entwicklung liefert T—y

H—x

cos u

y (Xii).

mit der Tiefe unter dem Spiegel und n proportional mit der Höhe über der Kegolspitze 1) wächst, hat T in halber Höhe zwischen G und D d. i. im Punkte E und nicht etwa wie S im Punkte B seinen Scheitel werth.*) In E ist w = 8,196, p = 8,0 und daher nach (79) T— 65,57 ton für 1 m oder 655,7 kg Zug für 1 cm, also dem Zifferwerth nach gröfser als das gröfste S und für die Blechstärke des Stutzens AB mafsgebond. Wird das gelochte Blech bis zu 750 kg f. 1 qcm zwischen den Nieten oder das volle bei doppelreihiger Nietung bis zu 450 kg in Anspruch genommen, so hat es demnach eine Dicke von 655,7 :450 = 1,5 cm zu erhalten.

Auf die Berechnung der die Bleche begrenzenden Druck-ringe und der Versteifungen soll hier nicht weiter eingegangen werden. Für hängende Kugelböden hat bereits Dupuit**) das nöthige angegeben. Für andere Formen werde auf den schon genannten Vortrag***)’, sowie auf Reuleauxs Constructeur, 4. Au fl., Braunschweig 1887 — 9, verwiesen.

*) Es tritt sogar häufig der Fall ein, dafs die mafsgebende Spannung T ihren gröfsten Worth im höchsten Punkte des Stützbodens hat, wie z. B. bei den beiden im „Bericht über die Excur-sionen der Bau-Ingenieure unter Leitung der Prof. Heinzerling, Intze u. Forchheimer, Aachen, 1888“ mit eingehenden Abbildungen veröffentlichten Intzeschen Behältern in Düren und Wesel.

**) Am angegeb. Orte.

***) Journal für Gasbeleuchtung und Wasserversorgung 1884.

S. 70.

BIBLIOHKA POtiTECHiüGZKA

KRakÖW

Halle a. S., Buchdruckern des Waisenhauses.

:

•r v

%

WYDZIAtY POLITECHNICZNE KRAKOW

T:

BIBLIOTEKA GLÖWNA

l:

= ®39EB*

33197

Kdn., Czapskich 4 — 678. 1. XII. 52. 10.000

Ja

.*]

«•

»1

[•i

1*!

k%i

*<

ii

1*1

»*1

Ti

KT*]

JM

7.i

l»”

i*¹

B,bl,oteka Polüechniki Krak

owskie|

f:

•-...

¹

Gl. (76) geht, nebenbei bemerkt, auch unmittelbar aus dem Meusnierschen Satz hervor.

²

Formel (78) hat für hängende Kugelböden bereits deren Erfinder Dupuit im „Traite de la conduite et de la distribution des eaux, Paris 1854u S. 243 veröffentlicht. Uebersetzt von Sonne im Handbuch der Ingenieur-Wissenschaften, Leipz. 1879, Cap. II, S. 79.