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Zahlenbeispiel zur statischen Berechnung

von

massiven Dreigelenkbrücken

vermittelst Einflusslinien.

Bearbeitet nach den Grundzügen des Herrn Geh. Regierungsrates G. Bark hausen, Professor an der Königl. techn. Hochschule zu Hannover von

Ji

A. Teichmann,

Ingenieur am Tiefbauamt zu Leipzig.

Mit 29 Abbildungen auf vier lithographierten Tafeln.

WIESBADEN.

C. W. Kreidel’s Yer 1 ag. 1904.

öffentlichen Arbeiten £

Nachdruck verboten.

Übersetzungen, auch ins Ungarische, Vorbehalten.

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II

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Für die Berechnung von massiven Brückengewölben bedient man sich zumeist des graphostatischen Verfahrens. Das Zeichnen einer Drucklinie, namentlich in sehr weit gespannten Gewölbebögen, bietet jedoch nicht den zu erstrebenden Genauigkeitsgrad.

Erstens mufs man die Gewölbeform in einem möglichst grofsen Mafsstabe, den natürlichen Verhältnissen entsprechend, aufzeichnen, wodurch das Abschieben resp. Einzeichnen der Drucklinie erschwert und auch ungenau wird; zweitens sind auch die dazu erforderlichen Zeichenwerkzeuge, wie Winkel und Reifsschienen, selten genau genug, um ein fehlerfreies Einzeichnen der Drucklinie vornehmen zu können.

Die Darstellung der Stützlinie in verzerrt aufgetragenem Mafsstabe (vergl. Föppel, Vorlesung über techn. Mechanik, II. Bd. Graphische Statik, § 57) bietet ebensowenig den zu erstrebenden Genauigkeitsgrad.

Um die Beanspruchungen in einem Gewölbe rechnerisch genau feststellen zu können, bedient man sich, nachdem man die Gewölbeform bestimmt hat, der Einflufslinien. In dem nachstehenden Beispiel wird dies Verfahren mitgeteilt, wie solches vom Geheimen Regierungsrat Herrn Professor Bark hausen zu Hannover bei der Berechnung der massiven Moselbrücke bei Hauconcourt (Metz) angewendet worden ist.

Für das Beispiel ist eine Betonbrücke mit 2 Öffnungen gewählt, deren Gewölbe je 30,0 m Spannweite und 3,0 m Pfeilhöhe haben. Die Gewölbestärken sollen so gehalten sein, dafs eine Druckbeanspruchung von 32,0 kg/qcm in keinem Teile des Gewölbes überschritten wird und Zugbeanspruchungen ganz ausgeschlossen sind.

Die Gewölbe sind in der jetzt üblichen Weise mit Kämpfer- und Scheitelgelenksteinen, ebenfalls aus Beton, ausgerüstet. Durch die Anwendung von 3 Gelenken ist das Gewölbe statisch bestimmt und werden etwaige schädliche Folgen der bei Ausrüstung der Gewölbe eintretenden Senkungen, sowie die durch die Wirkung wechselnder Belastungen und Temperaturen vermieden. Die Notwendigkeit und die Vorzüge dieser Konstruktion bei weitgespannten Brücken sind bekannt genug, und ist deswegen von einer weiteren Erörterung abgesehen.

Rechnungselemente.

Die Breite der Brücke soll 7,50 m zwischen den Geländern betragen, die Breite des Gewölbes dagegen nur 7,30 m (s. Tafel IY). Die 5,5 m breite Fahrbahn ist zu beiden Seiten mit je einem 0,5 m breiten Pflasterstreifen versehen und besteht aus einer 0,3 m hohen Chaussierung.

Das Gewicht von 1 cbm Beton beträgt 2300 kg; das G-ewicht von 1 cbm Überschüttung, ausschliefslich Fahrbahn, wobei vorausgesetzt wird, dafs die UberfülluDg aus durchlässigem Material besteht, beträgt = 1600 kg; das Gewicht des gewachsenen Bodens ist ebenfalls mit 1600 kg/cbm angenommen. Das Gewicht der Chaussierung soll 640 kg/qm betragen.

Als Lasten sind anzunehmen:

1.    Menschengedränge, auf die ganze Brückenbreite

zwischen den Geländern angenommen = .    .    .    .    400 kg/qm;

2.    Eine Dampfwalze von 20 t Dienstgewicht, mit 3,0 m Achsstand, 12 t und 8 t Achsgewichten.

Die zulässigen Beanspruchungen sollen folgende sein: GröfstePressung im Gewölbebeton = 32,0 kg/qcm, abgesehen von den Betongelenken, welche einer besonderen Berechnung zu unterziehen sind. Die Bodenpressungen unter dem Mittelpfeiler und den Widerlagern sollen nicht 5,0 kg/qcm überschreiten. Der statische Auftrieb des Wassers ist von den Yertikalgewichten abzusetzen.

Untersucht wird nur ein Streifen der Brücke von 1,0 m Tiefe. Der Gang der Berechnung ist nun folgender:

I. Das Gewölbe.

Nachdem man das Durchflufsprofil, die Höhen- und Steigungsverhältnisse der Fahrbahn festgelegt hat, zeichnet man sich einen Längenschnitt der Brücke mit einer dem statischen Gefühle entsprechenden Gewölbeform auf. Man kann auch das Gewölbe graphostatisch untersuchen, um nach den so erhaltenen Drucklinien die Form des Gewölbes bestimmen zu können.

Im vorliegenden Falle sind 30,0 m Spannweite und 3,0 m Pfeilhöhe gewählt. Die Stärken der Kämpfer sind 0,75 m und die des Scheitels 0,68 m angenommen. Die Fahrbahn geht horizontal über die ganze Brücke hinweg.

Das Gewölbe wird durch lotrechte Schnitte in Streifen (Lamellen)

geteilt und die 0,50 m hohe Chaussierung wird auf das Gewicht der

Überschüttung umgerechnet, also

= 0,40 m hoch gemacht (siehe

640

1600

Die Reduktion aller Gewichte auf Betongewicht resp. auf cbm Beton vereinfacht die Sache wesentlich, indem man nicht mit den grofsen Gewichtssummen von kg, sondern mit den Summen von cbm Beton zu rechnen hat.

Im nachstehenden Beispiel ist das Gewölbe in 14 Lamellen geteilt. Lamelle 1 und 14 sind 0,30 m breit und die Lamellen 2 bis 13 haben je eine Breite von 2,50 in.

Die Lamellen werden als Trapeze angesehen und berechnen sich

wie folgt:

2,80 + 3,52

Lamelle 1.,

Abb. 1, Taf. I). Alsdann wird die so erhaltene Überschüttungshöhe auf das

Gewicht von Beton reduziert, indem man die Höhen der Lamellenteilung 1600

mit

2300

= 0,696 multipliziert und die so erhaltenen Höhen absetzt

(siehe Abb. 1).

. 0,30 = 0,95 cbm

2-,

3,52 + 2,72

.2,50 = 7,80 „

3,

2,72 + 2,16

. 2,50 = 6,10 „

4.

2,16 + 1,78

. 2,50 = 4,93 „

5..

1,78 -f 1,50

.2,50 = 4,10 „

P 1,50 + 1,30

o.,    g

1,30 + 1,20

. 2,50 = 3,50 „

7..

8., wie Lamelle 7.,

9..

6.,

„ 10’,    n

55 IL,    55

5.,

4..

3.,

2,

1.,

.2,50 = 3,13 „

= 3,13 „ = 3,50 „ = 4,10 , = 4,93 „ = 6,10 „ = 7,80 „ = 0,95 „

zusammen 61,02 cbm.

Da das Gewölbe symmetrisch ist, braucht nur eine Gewölbehälfte untersucht zu werden und genügen die in Abb. 2, Taf. I durch Buchstaben gekennzeichneten fünf Querschnitte vollkommen. Die Gelenke werden besonders gerechnet.

Für jeden zu untersuchenden Querschnitt soll nun die 20 t schwere Dampfwalze nebst Menschengedränge von 400 kg/qm in die denkbar ungünstigste Stellung gebracht werden.

Der Einfachheit halber ist das Menschengedränge unter der Walze voll gerechnet und vom VValzeugewicht in Abzug gebracht. Das Walzengewicht berechnet sich alsdann: Yorderwalze = 8000 — (2 . 1,05.2,70 . 400) = 5732 kg; Hinterwalze = 12000 — [(1,15 + 1,95) . 2,70.400] = 8652 kg (siehe Abb. 3, Taf. I).

Aus der Kämpferstärke von 0,75 m und der Scheitelstärke von 0,68 m ergibt sich die theoretische Gelenkspannweite = 30,30 m und die theoretische Pfeilhöhe von 2,981 m (siehe Abb. 2, Taf. I).

Nunmehr werden die Einflufslinien der Kerngrenzenmomente aufgetragen. Die Kerngrenzenpunkte sind mit römischen Zahlen in Abb. 2 bezeichnet.

Die Einflufslinie der aus Last und Schub folgenden Momente für einen gegebenen Drehpunkt ist folgendermafsen herzustellen: Wird das Balkenmoment, d. h. das Biegungsmoment eines Balkens auf 2, um die Gewölbestützweite voneinander stehenden Stützen für die auf dem Bogen anzunehmende Belastung mit M bezeichnet, so ergibt sich die Einflufslinie für Mo, indem man unter A die Krafteinheit (in diesem Falle mit 50 mm angenommen) multipliziert, mit der Abszisse x des Drehpunktes o aufsetzt und die Geraden C‘B‘ und A‘ D‘ zieht. A' D' B' ist dann die Mo Darstellung (siehe Abb. 4, Taf. I).

Die Momente werden positiv genannt, wenn sie in dem stellvertretenden Träger oben Druck, unten Zug erzeugen würden, M o ist nun das gesamte Moment für den Bogen

oder

M = Mo — H. y

(Mo

yy~v

Es ist zunächst die Linie der Mo/y herzustellen, die sich ergibt, wenn unter A statt 1.x die Länge lx/y =A“ C" aufgesetzt, dann C“ B“ und A“ D" gezogen wird. Yon der so entstehenden Fläche ist dann II abzuziehen, für das die Einflufslinie mit der Mittelordinate hergestellt wird. Der Unterschied beider stellt in seinen Ordinaten den Klammerausdruck dar; er ist schliefslich von einer geraden Grundlinie aus nochmals aufgesetzt.

Ist die Krafteinheit mit 50 mm eingeführt, so erhält man aus dieser Einflufslinie das Moment einer bestimmten Laststellung, wenn man die Einflufsordinaten unter den Lasten in mm mifst, sie mit den zugehörigen Lasten in A multipliziert, alles addiert, die Summe mit der Drehpunkt-

Ordinate in m multipliziert und durch 50 dividiert; das Ergebnis hat dann die EinheitsbezeichnuDg m/cbm.

Zwischen Kämpfer und Scheitel einer Bogenhälfte werden fünf Querschnitte untersucht, was zur Feststellung des Verlaufs der Spannungen in diesem Falle völlig genügt. Es sind also für fünf Querschnitte je 2 Kerngrenzenmomente, und zwar jedes im gröfsten und kleinsten Werte, also im ganzen 20 Momentenwerte aufzustellen (s. A.bb. 6 bis 15, Taf. II).

Eie Werte 1 x/y sind für die Krafteinheit von 50 mm und die in die Abb. 2, Taf. I eingeschriebenen Koordinatenwerte die folgenden :

= 140,5 mm

Kerngrenzenpunkte I., 50 .

270

96

55

II., 50.

260

124

- = 105

55

55

III., 50.

519

170

= 152,5 „

*5

IV., 50.

511

= 128

55

55

Cn

55

VI, 50.

Ol tc

co Ol

= 172

55

254

= 150

55

VII., 50.

1017

258

- = 197

55

VIII., 50.

1013

287

= 176,5 „

55

IX., 50.

1266

280

= 226,5 „

55

X., 50.

1264

306

= 206,5 „

Die Einflufslinie des Gewölbeschubes ist ein Dreieck mit der gröfsten

Höhe von

* = l. Vt. iß • 1 //

unter dem Scheitel (siehe Abb. 5, Taf. I).

Also

50.30,30

4.2,981

= 127 mm.

Für eine beliebige Stelle x ist die Einflufsordinate also x

127

’ 72.30,30‘

Die Abszisse der Mitte der zweiten, 2,50 m breiten Lamelle (s. Abb. 2, Taf. I) beträgt 1,40 m, die ferneren Lamellenmitten folgen in Abständen von 2,50 m. Die Ordinaten der Schubeinflufslinie unter den Lamellenmitten sind auf halbe mm abgerundet.

Der Schub aus der Eigenlast des Gewölbes berechnet sich:

Lamelle    1.,    0,95.    0    =

„    2.,    7,80.    11,5    = 89,7

„    3.,    6,10 .    32,5    = 198,3

„    4.,    4,93.    53,5    = 263,8

„    5.,    4,10.    74,5    = 305,5

„    6.,    3,50.    95,5    = 334,3

„    7.,    3,13.116,5    = 364,6

•||. 384~0 -||. 1556,2

1556,2.2

50

= 62,24 cbm.

Der Schub aus Menschengedränge beträgt:

384,0

j40°_

* 2300

wobei 2,50 m = die Lamellenbreite und 384,0 die Summe der Ordinaten 1 bis 7 ist.

. 2,50 .

= 6,68 cbm,

üO

Steht die Dampfwalze mit der schwersten Achse im Scheitel, so entsteht noch ein Schub von (siehe Abb. 16, Taf. II) :

= 3,89 cbm.

0,93.127,0 + 0,78.102

50

Der gröfste Gewölbeschub beträgt somit

62,24 + 6,68 -f 3,89 = 72,81 cbm.

Der gröfste lotrechte Druck eines Kämpfers beträgt:

i *    ⁶¹>⁰²

Eigenlast = —^—' •

Menschengedränge =

0 93

Dampfwalze ++ + 0,78 .

u

30,51 cbm

400

2300

.15,15= . .    2,63 „

15,15 + 3,0

30,30

0,95 „

34,09 cbm,

demnach ist der gröfste vorkommende Kämpferdruck:

v/72,81² + 34,09²: = 80,4 cbm.

Vermittelst der nachstehenden Momentengleichungen werden die Beanspruchungen für die Kernpunkte ausgerechnet. Z. B. in der Fuge a — b für den Kernpunkt I die Spannungen in a und für den Kernpunkt II die Spannungen in b.

mit e

Wenn das Eigengewicht

„ S bezeichnet wird

Menschengedränge „ ^ und die Dampfwalze

so berechnet sich die Spannung für die Kernpunkte folgendcrmafsen: Kernpunkt I:

— -f- m/cbm (gröfstes Moment).

+ M (-f- e — e -f- p. -j- $) ~ n

a. Positive Momente: = Hebelsarm = Krafteinheit

b. Negative Momente:

— M{-\-£—s — ja — §)— = -)- m/cbm (kleinstes Moment).

Beide Momente müssen positiv bleiben, d. h. es mufs in beiden Fällen das -j- Vorzeichen bleiben, wenn Zugspannungen vermieden werden sollen. Das negative Vorzeichen (—) erzeugt Zugspannung und bedingt eine Verstärkung des Gewölbes, falls Zugspannungen ausgeschlossen sind.

Für den Kerngrenzenpunkt II ist der Rechnungsgang genau derselbe, nur müssen beide Momente negativ bleiben. Das Vorzeichen -j-erzeugt in diesem Falle Zugspannung.

Kerngrenzenmomente I. (Siehe Abb. 6, Taf. II.) a. Positive Momente.

Hebel y — 0,96 m; Breite der Fuge a — b = 0,87 m. Stellung der Hinterwalze über Fuge a — h;

„    „ Vorderwalze rechts davon.

1. Eigengewicht:

-f- Fläche.

Lamelle 1.,    0,95.0

-f 227,0 -f 1382,6

— Fläche.

Lamelle 6., 3,50 . 8,0 = 28,0 „    7., 3,13.40,5 == 126,8

„    8., 3,13.52,5 = 164,3

„    9., 3,50.43,0 = 150,5

„    10., 4,10.33,5 = 137,4

„    11., 4,93.24,0 = 118,3

„    12., 6,10 . 14,5 = 88,5

„    13., 7,80 . 5,5 = 42,9

„    14., 0,95 .    0

400

2. Menschengedränge:

— 221,5 — 856,7

2300

. 2,50.227,0 = + 99,9

3. Dampfwalze (siehe Darstellung der Walzendrücke): H.W. 0,53 . 105,5 = 58,9 V. W . 0,49 . 66,5 = 32,6 + 91,5

Demnach ist das gröfste Moment in I:

+ M (+ 1382,6 — 856,7 + 99,9 + 91,5)

0,96

= -f 13,39 m/cbm.

= 24,3 kg/qcm Druck;

Die Beanspruchung berechnet sich demnach: 6 . 13,39 . 2300

87²

Gröfste Pressung in der Fuge a — b oben.

b. Negative Momente.

Hebel y = 0,96 m; Breite der Fuge a — b — 0,87 m. Stellung der Hinterwalze im Scheitel;

„    „ Yorderwalze rechts davon.

1. Eigengewicht:

+ Fläche = + 1382,6

— Fläche = — 856,7.

. 2,50.221,5 = — 97,5.

2. Menschengedränge (Summe der Ordinaten = — 221,5): 400

2300

3. Dampfwalze (siehe Darstellung der Walzendrücke): H . W. 0,93.57,0 = 53,0 V . W. 0,78.45,5 = 35,5 — 88,5

Demnach ist das kleinste — Moment in I:

-f- 6,53 m/cbm.

0 06

— M (+ 1382,6 — 856,7 — 97,5 - 88,5) -gp

= 11,9 kg/qcm Druck;

Die Beanspruchung berechnet sich

6.6,53.2300

87²

kleinste Pressung in der Fuge a — b oben.

Kerngrenzenmomente II. (Siehe Abb. 7, Taf. II.) a. Positive Momente.

Hebel y = 1,24 m; Breite der Fuge a — b = 0,87 m. Stellung der Hinterwalze über Fuge a — b „    „ Yorderwalze rechts davon.

400

2300

2. Menschengedränge:

. 2,50.128,0 = + 56,3.

— 317,5 — 1214,9

1. Eigengewicht:

2,1

-f- Fläche.

Lamelle 1., 0,95 . 0

„    2., 7,80.40,0 = 312,0

„    3., 6,10.59,0 = 359,9

„    4., 4,93.29,0 = 143,0

-f 128,0 -f- 814,9

— Fläche.

„    14., 0,95. JO

3. Dampfwalze (siehe Darstellung der Walzendrücke): II. W. 0,53 . 65,0 = 34,5 F. W. 0,49.39,0 = 19,1

+ 53,6

Demnach ist das kleinste -}- Moment in II:

1,24

+ M (+ 814,9 — 1214,9 + 56,3 + 53,6)

50

= — 7,19 m/cbm

und bleibt negativ.

Die Beanspruchung berechnet sich 6 . 7,19 . 2300

87²

= 13,1 kg/qcm Druck;

kleinste Pressung der Fuge a — b unten.

b. Negative Momente.

Hebel y = 1,24 m; Breite der Fuge a - b = 0,87 m Stellung der Hinterwalze im Scheitel,

„    „ Vorder walze rechts davon.

1. Eigengewicht:

-f- Fläche = -j- 814,9 2. Menschengedränge (Summe der Ordinaten — 317,5): 400 2300

— Fläche = — 1214,9.

.317,5.2,50 = — 139,7.

3. Dampfwalze (siehe Darstellung der Walzendrücke): E. W. 0,93.75,0 = 69,8 V.W. 0,78.60,5 = 41,2 — 111,0

Demnach ist das gröfste — Moment in II:

1 24

— M (+ 814,9 — 1214,9 — 139,7 — 111,0)-—- = — 16,14 m/cbm.

Die Beanspruchung berechnet sich

= 29,4 kg/qcm Druck;

6.16,14.2300

87²

gröfste Pressung der Fuge a — b unten.

Kerngrenzenmomente III. (Siehe Abb. 8, Taf. II.) a. Positive Momente.

Hebel tj = 1,70 m; Breite der Fuge c — d — 0,93 m. Stellung der Hinterwalze über Fuge a — b,

„    „ Vorderwalze rechts davon.

1. Eigengewicht:

-j- Fläche.

Lamelle 1.,    0,95. 0

400

2. Menschengedränge:

— 189,0 — 733,5

2300 '

2,50.185,0 = + 81,4.

3. Dampfwalze (siehe Darstellung der Walzendrücke): II. W. 0,66.83,5 = 55,1 V. W. 0,62.42,5 = 26,4

+ 81,5

Demnach ist das gröfste -J- Moment in III:

1,70

+ M (+ 1022,4 — 733,5 + 81,4 + 81,5)

50

= + 15,36 m/cbm.

Die Beanspruchung berechnet sich: 6.15,36.2300

93²

= 24,5 kg/qcm Druck;

gröfste Pressung in der Fuge c — d oben.

b. Negative Momente.

Hebel y = 1,70 m; Breite der Fuge c — d — 0,93 m. Stellurig der Hinterwalze im Scheitel ;

„    „ Vorder walze rechts davon.

1. Eigengewicht:

-f Fläche = + 1022,4

— Fläche = — 733,5.

. 2,50.189,0 = — 83,2.

2. Menschengedränge (Summe der Ordinaten — 189,0): 400

2300

3. Dampfwalze:

II. W. 0,93.51,0 = 47,4 V. W. 0,78.41,0 =

— 79,0

Demnach ist das kleinste — Moment in III:

1,70

- M (+ 1022,4 — 733,5 - 83,2 — 79,0)

₅₀ = + 4,31 m/cbm.

= 6,9 kg/'qcm Druck;

Die Beanspruchung berechnet sich: 6.4,31.2300

93²

kleinste Pressung in der Fuge c — d oben.

Kerngrenzenmomente IV. (Siehe Abb. 9, Taf. II.) a. Positive Momente.

Hebel y = 2,00 m; Breite der Fuge c — d — 0,93 m. Stellung der Hinterwalze über Fuge c — d;

„    „ Yorderwalze rechts davon.

1. Eigengewicht:

-f- Fläche Lamelle 1.,    0,95. 0

„    14.,    0,95. 0

— 257,5 — 991,7

3. Dampfwalze.

II. W. 0,66.63,5 = 41,9 V. W. 0,62.26,0 = 16,1 + 58,0

= — 6,38 m/cbm und

Demnach ist das kleinste -j- Moment in IY: + M (4- 717,7 — 991,7 -f 56,5 + 58,0)

bleibt negativ.

Die Beanspruchung berechnet sich:

10,2 kg/qcm Druck;

400

2300

2. Menschengedränge :

. 2,50.128,5 = + 56,5.

6.6,38.2300

93²

kleinste Pressung in der Fuge c — d unten.

b. Negative Momente.

Hebel y — 2,00; Breite der Fuge c — d = 0,93 m. Stellung der Hinterwalze im Scheitel;

„    „ Yorderwalze rechts davon.

1. Eigengewicht:

+ Fläche = -f 717,7 — Fläche = — 991,7

2. Menschengedränge (Summe der Ordinaten — 257,5): 400 2300

. 2,50.257,5 = — 113,3.

3. Dampfwalze:

II. W. 0,93.63,5 = 59,1 V . W. 0,78.51,0 = 39,8

— 98,9

Demnach ist das gröfste — Moment in IV:

2,00

— M (+ 717,7 — 991,7 — 113,3 — 98,9)

^ = — 19,45 m/cbm.

Die Beanspruchung berechnet sich: 6.19,45.2300

93²

= 31,0 kg/qcm Druck;

gröfste Pressung in der Fuge c — d unten.

Kerngrenzeninomente Y. (Siehe Abb. 10, Taf. II.) a. Positive Momente.

Hebel y = 2,23 m; Breite der Fuge e — f = 0,94 m. Stellung der Hinterwalze über Fuge e — /*;

„    „ Yorderwalze links davon.

1. Eigengewicht:

2. Menschengedränge:

+ Fläche.

+ 156,0 + 784,8

400 2300

— Fläche.

Lamelle 7., 3,13.23,5 = 73,6 „    8., 3,13.38,0 = 118,9

„    9., 3,50.31,0 = 108,5

„    10., 4,10.24,5 = 100,5

„    11,4,93.17,5 = 86,3

„    12 , 6,10 . 10,5 = 64,1

„    13., 7,80 . 4,0 = 31,2

„    14., 0,95 .    0

— 149,0 — 583,1

. 2,50.156,0 = + 68,6.

3. Dampfwalze:

H . W. 0,73.64,5 = 47,1 V . W. 0,48.39,0 = 18,7

+ 65,8

Demnach ist das gröbste -j~ Moment in Y:

2,23

+ M (4- 784,8 — 583,1 4- 68,6 + 65,8)

q = 4- 14,99 m/cbm.

Die Beanspruchung berechnet sich demnach: 6 . 14,99 . 2300

94²

= 23,4 kg/qcm Druck ;

gröbste Pressung in der Fuge e —/ oben.

b. Negative Momente.

Hebel y — 2,23 m; Breite der Fuge e — /= 0,94 m. Stellung der Hinterwalze im Scheitel,

„    „ Vorder walze rechts davon.

1. Eigengewicht:

4- Fläche = 4- 784,8.

— Fläche = — 583,1.

. 2,50.149,0 = — 65,6.

2. Menschengedränge (Summe der Ordinaten — 149,0): 400

2300

3. Dampfwalze:

ff. W. 0,93.41,5 = 38,6 V.W. 0,78.33,0    25,7

— 64,3

Demnach ist das kleinste — Moment in Y: — M (+ 784,8 — 583,1 - 65,6 — 64,3)

2,23

= + 3,20 m/cbm.

Die Beanspruchung berechnet sich:

6.3,20.2300

94²

= 5,0 kg/qcm Druck;

kleinste Pressung in der Fuge e —/ oben.

Kerngrenzenmomente VI. (SieheAbb.il, Taf. II.) a. Positive Momente.

Hebel y = 2,54 m; Breite der Fuge e —f — 0,94 m. Stellung der Hinterwalze über Fuge e —f,

„    „ Vorder walze links daneben.

1. Eigengewicht:

-f- Fläche.

2. MenscheDgedränge:

. 2,50.106 = + 46,6.

3. Dampfwalze: ff. W. 0,73.48,5 = 35,4 V.W. 0,48 . 29,0 = 13,9

T49^

Demnach ist das kleinste -f- Moment in VI:

+ M (+ 551,9 — 765,2 + 46,6 + 49,3) _n

ou

400

2300

2,54

— 197,0 — 765,2

= — 5,96 m/cbm.

Die Beanspruchung berechnet sich :

= 9,3 kg/qcm Druck;

6.5,96 . 2300

94²

kleinste Pressung in der Fuge e — / unten.

b. Negative Momente.

Hebel y — 2,54 m; Breite der Fuge e — f — 0,94 m. Stellung der Hinterwalze im Scheitel,

„    „ Vorderwalze rechts davon.

1. Eigengewicht:

+ Fläche = + 551,9.

— Fläche = — 765,2.

2. Menschengedränge (Summe der Ordinaten—197,0):

400

2300

. 2,50.197,0 = — 86,7.

= — 19,38 m/ebm.

= 30,2 kg/qcm 5

3. Dampfwalze:

H. W. 0,93.52,5 = 48,8 V. W. 0,78.42,0 = 32,8 — 81,6

Demnach ist das gröfste — Moment in VI:

2 54

- M (+ 551,9 — 765,2 - 86,7 — 81,6)^^

Die Beanspruchung berechnet sich:

6 . 19,38 . 2300

gröfste Pressung in der Fuge e —/ unten.

Kerngrenzenmomente VII. (Siehe Abb. 12, Taf. II.) a. Positive Momente.

Hebel y = 2,58 m ; Breite der Fuge g — h — 0,88 m. Stellung der Hinterwalze über Fuge g — h,

„ Vorderwalze links davon.

1. Eigengewicht:

55

-f- Fläche.

Lamelle 1., 0,95 . 0

2.,    7,80 . 6,0 = 46,8

3.,    6,10 . 17,5 = 106,8

4.,    4,93.29,0 = 143,0

5.,    4,10.40,0 = 164,0

6.,    3,50.27,5 = 96,3

55

55

55

55

+ 120,0 + 556,9

— Fläche.

Lamelle 7., 3,13 . 10,0 — 8., 3,13.26,5 = 9, 3,50.22,0 =

10.,    4,10 . 17,0 =

11.,    4,93 . 12,5 = 1 , 6,10 . 7,5 = 1 , 7,80 . 3,0 = ¹ > 0,95 . 0 =

— 98.5 —

31,3

55

55

55

55

55

55

82,9

77,0

69,7

61,6

45,8

23,4

391,7

3. Dampfwalze:

H. W . 0,82.45,5 = 37,3 V . W. 0,57 . 32,0 = 18,2

-f 55,5

Demnach ist das gröfste -)- Moment in VII:

= -j- 14,17 m/cbm.

2 58

+ M (+ 556,9 — 391,7 + 52,8 -f- 55,5) -

= 25,2 kg/qcm Druck;

Die Beanspruchung berechnet sich: 6 . 14,17 . 2300

<3 =

400

2300

2. Menschengedränge:

. 2,50.120,0 = + 52,8.

882

gröfste Pressung in der Fuge g — h oben.

b. Negative Momente:

Hebel y = 2,58 m; Breite der Fuge q — h = 0,88 m. Stellung der Hinterwalze im Scheitel,

„    „ Vorder walze rechts davon.

1. Eigengewicht:

4- Fläche = -f 556,9

— Fläche = — 391,7

Die Beanspruchung berechnet sich:

= 7,1 kg/qcm Druck;

6.3,97.2300

88¹ 2

kleinste Pressung in der Fuge g — oben.

Kerngrenzenmomente VIII. (Siehe Abb. 13, Taf. II.) a. Positive Momente.

Hebel y = 2,87 m; Breite der Fuge g — h = 0,88.

Stellung der Hinterwalze über Fuge g — h,

„    „ Vorderwalze links davon.

. 2,50.98,5 = — 43,3.

Demnach ist das kleinste — Moment in VII:

2,58

M (+ 556,9 - 391,7 — 43,3 — 45,3)

= 4~ 3,97 m/cbm. 50

.2,50.141,0 = —62,0.

400

2300

2. Menschengedränge: .2,50.80,5= + 35,4.

3. Dampfwalze:

II. W. 0,82.33,0 = 27,1 V. W. 0,57.23,0 = 13,1

+ 40,2

Demnach ist das kleinste + Moment in VIII:

2,87

+ M (+ 380,4 — 555,1 + 35,4 + 40,2)

50

— 141,0 — 555,1

= — 5,69 m/cbm.

Die Beanspruchung berechnet sich:

6.5,69.2300

88²

= 10,1 kg/qcm Druck;

kleinste Pressung in der Fuge g — h unten.

b. Negative Momente.

Hebel y = 2,87 m; Breite der Fuge g — h = 0,88 m. Stellung der Hinterwalze im Scheitel,

„    „ Vorder walze rechts davon.

1. Eigengewicht:

1. Eigengewicht:

+ Fläche.

„    12., 6,10.10,5= 64,1

„    13., 7,80. 4,0= 31,2

„    14..    0.95. 0

+ Fläche = + 380,4

— Fläche = — 555,1

2. Menschengedränge (Summe der Ordinaten — 141,0): 400 2300

3. Dampfwalze:

II. W. 0,93.39,0 = 36,3 F. W. 0,78.31,5 = 24,6

— 60,9

Die Beanspruchung berechnet sich:

= 30,4 kg/qcm Druck;

Demnach ist das gröfste — Moment in VIII:

2,87

— M (-f- 380,4 — 555,1 — G2,0 — 60,9)

= — 17,08 m/cbm.

6.17,08.2300

88²

gröfste Pressung in der Fuge g —h unten.

Kerngreuzenmomente IX. (Siehe Abb. 14, Taf. II). a. Positive Momente.

Hebel y = 2,80 m; Breite der Fuge i — k = 0,78 m.

Stellung der Hinterwalze auf der Fuge i — k, „    „ Yorderwalze links davon.

1. Eigengewicht:

-j- Fläche.

Lamelle 1.,    0,95. 0 =

+ 68,0 + 294,7

2. Menschengedränge: 2,50.68,0 = + 29,9.

— 44,0 — 179,8

400

2300 ’

3. Dampfwalze:

II. W. 0,89.25,0 = 22,3 V. W. 0,67.19,0 = 12,7

+ 35,0

Demnach ist das gröfste + Moment in IX:

2,80

+ M (+ 294,7 — 179,8 + 29,9 + 35,0)

50

= -J- 10,07 m/cbm.

Die Beanspruchung berechnet sich: 6.10,07.2300

78²

= 22,8 kg/qcm Druck;

gröfste Pressung in der Fuge i — k oben.

b. Negative Momente.

Hebel y = 2,80 m; Breite der Fuge i —Je = 0,78 m. Stellung der Hinterwalze im Scheitel,

„    „ Vorder walze rechts davon.

1. Eigengewicht:

+ Fläche = + 294,7.

— Fläche = — 179,8.

2. Menschengedränge (Summe der Ordinaten — 44,0): J00 2300

.2,50.44,0 = —19,4.

3. Dampfwalze:

II. W. 0,93.14,5 = 13,5 V. W. 0,78.11,5 = 9,0

— 22,5

Demnach ist das kleinste — Moment in IX:

2,80

— M (+ 294,7 — 179,8 - 19,4 — 22,5)

=4" 4,09 m/cbm.

Die Beanspruchung berechnet sich :

6.4,09.2300

78²

= 9,3 kg/qcm Druck;

kleinste Pressung in der Fuge i — Je oben.

Kerngrenzenmomente X. (Siehe Abb. 15, Taf. II.) a. Positive Momente.

Hebel y = 3,06 m; Breite der Fuge i — Je — 0,78 m.

Stellung der Hinterwalze auf der Fuge i — Je, „    „ Vorderwalze links davon.

1. Eigengewicht:

+ Fläche.

„    14.,    0,95. 0

— 79,0 - 318,1

2. Menscbengedränge (Summe der Ordinaten — 79,0): 400

.2,50.79,0 = —34,8.

3. Dampfwalze:

II .W. 0,93.24,0 = 22,3 V. W. 0,78.19,5 = 15,2

400

2300

2. Menscbengedränge:

.250.36,5 = + 16,1.

3. Dampfwalze:

H. W. 0,89 ♦ 14,5 = 12,9 V. TF. 0,67.11,0 = 7,4

+ 20,3

Demnach ist das kleinste + Moment in X:

3,06

+ M (+ 160,2 — 318,1 + 16,1 + 20,2)

= — 7,44 m/cbm. 50

Die Beanspruchung berechnet sich:

6.7,44.2300

78²

= 16,9 kg qcm Druck;

kleinste Pressung in der Fuge i — Je unten.

b. Negative Momente.

Hebel y = 3,06 m; Breite der Fuge i — Je = 0,78 m. Stellung der Hinterwalze im Scheitel,

„    „ Vorderwalze rechts davon.

1. Eigengewicht:

+ Fläche = + 160,2

— Fläche = — 318,1

2300

— 37,5

Demnach ist das gröfste Moment in X:

3,06

— M (+ 160,2 — 318,1 — 34,8 - 37,5)

= — 14,09'm/cbm.

= 31,9 kg/qcm Druck;

Die Beanspruchung berechnet sich: 6.14,09.2300

78²

gröfste Pressung in der Fuge i — Je unten.

In Abb. 22, Taf. III sind die ausgerechneten Druckbeanspruchungen dargestellt und ergibt sich die gröfste Kantenpressung in der Fuge i — Je

au der Leibung mit 31,9 kg/qcm Druck. Das Gewölbe entspricht somit in allen seinen Teilen den gestellten Bedingungen vollkommen.

Betreffs der sehr hoch erscheinenden Druckbeanspruchungeu ist noch zu erwähnen, dafs man in einem Gewölbe, welches aus Portlandzement-Stampfbeton im Mischungsverhältnisse von 1 Teil Portlandzement, 5 Teilen Kies-Sand und 6³/4 Teilen Steinschlag hergestellt ist, sogar bis zu einer Druckbeanspruchung von 45 kg/qcm gehen kann. Nach den neuesten Erörterungen ist bei einer Druckbeanspruchung von 45 kg/qcm nach 13 Wochen eine fünffache und nach Jahresfrist eine sechs- bis siebenfache Sicherheit vorhanden.

Bei der Konstruktion von Brückengewölben sollten immer nur Verkehrslasten ins Auge gefafst werden, welche der Wirklichkeit am meisten entsprechen. Man soll nicht, wie dies meistens geschieht, mit allgemeinen Annahmen, z. B. als Verkehrslast für eine Strafseubrücke mit 600 oder 700 kg/qm rechnen, sondern soll je nach den örtlichen Verhältnissen die gröfsten zufälligen Lasten (Dampfwalze, Kesselwagen u. s. w.) der Berechnung zugrunde legen.

Bei kleineren Brücken namentlich wird durch die allgemeine Belastungsannahme von 600 oder 700 kg/qm nicht die gröfste Beanspruchung erreicht und werden beim Passieren gröfserer Einzellasten immer schädliche Spannungen entstehen.

Bei der Untersuchung von Brückengewölben ist es zur Bestimmung der ungünstigsten Lastenstellungen und der damit verbundenen gröfsten Kantenpressungen für die zu untersuchenden Fugen unumgänglich nötig, mit Belastungsscheiden zu arbeiten.

Nur durch Konstruieren von Belastungsscheiden allein ist eine richtige Untersuchung und Berechnung von Brückengewölben möglich.

2. Der Mittelpfeiler.

Die Untersuchung des Pfeilers erstreckt sich bis zur Bodenfuge c — d ebenfalls auf 1,0 Tiefe. Da jedoch die Fundamentplatte eine gröfsere Breite als das Gewölbe hat, so ist für die Berechnung der Druckverteilung die Breite von 8,45 m (siehe untersten Fundamentabsatz auf der Taf. IV) angenommen. Das Verhältnis der Gewölbebreite zur Fundamentbreite ist

= 7,30 : 8,45 m. Um in der Rechnung nicht mit einem breiteren Streifen als 1,0 m Tiefe rechnen zu müssen, ist die Länge der Resultante R 7,30

um

8,45

reduziert, wodurch der Pol O² entsteht.

Die gröfsten Kantenpressungen im Mittelpfeiler entstehen, wenn der eine anschliefsende Bogen voll mit Menschengedränge und der Dampfwalze im Scheitel belastet ist und der andere Bogen keine Yerkehrslast trägt.

In Abb. 23, Taf.Illist die Untersuchung des Mittelpfeilers für den oben beschriebenen Fall durchgeführt. Die Kämpferdrücke sind aus den bereits in der Gewölbeberechnuug ermittelten Horizontalschüben und den lotrecht auf die Kämpfer wirkenden Lasten ermittelt.

Es soll, wie bereits vorn bestimmt wurde, der volle Auftrieb des im Wasser stehenden Pfeilerteiles vom Gewichte des Pfeilers abgezogen werden. Bei diesem Abzüge ist angenommen, dafs der Pfeiler bis zum Kämpfer (Hochwasserlinie) im Wasser steht.

Da nun die Betonmasse als eine wasserdichte Masse angesehen werden kann, wirkt der Auftrieb nur auf die Bodenfuge c — d, vorausgesetzt, dafs der Baugrund ein durchlässiger (Kies) ist. Wie die Berechnung zeigt, übt der Auftrieb des Wassers keinen schädlichen Einflufs auf die Standsicherheit des Pfeilers aus.

Wenn auch die Exzentrizität zunimmt, so verringert sich das Yertikal-gewicht dermafsen, dafs die Beanspruchungen kleiner als bei der Berechnung ohne Abzug des Auftriebes ausfallen.

Die Untersuchung ohne Berücksichtigung des Auftriebes ergibt die ungünstigsten Bodenpressungen und ist somit eine etwa gefährliche Spannung ausgeschlossen.

Für das rechtsseitige belastete Gewölbe ist der gröfste Horizontalschub = 72,81 cbm und der lotrechte Kämpferdruck = 34,09 cbm, daraus entsteht der Kämpferschub R³ (siehe Abb. 23, Taf. III).

Für das linksseitige unbelastete Gewölbe entsteht R aus dem Horizontalschub von 62,24 cbm und dem lotrechten Kämpferdruck von 30,51 cbm.

Die Gewichte des Pfeilers betragen :

2,20.0,08

+ 2,88.2,20 =

6,42 cbm

2,20 -+ 2,80

2,80 + 3,80

. 0,68 +

. 4,50 =

16,55 „

G³ = 22,97 cbm

2. Fundament G².

4,60.0,70 + 5,60.0,80 + 6,90.1,00 = 14,60 cbm.

Die Beanspruchungen ergeben sich nach der Formel

Je

100.6

+ 6.c\

b )

wobei 6 die Fugenbreite und e die Gröfse der Exzentrizität in cm ist. a. Fundamentfuge a — 6; P¹ = 87,8 cbm:

K = 87,8.2300 100.380

—j- 6.53 \ = 9,7 kg/qcm Druck — 380 / = 0,9    „    „    ;

b.    Bodenfuge c — d ohne Abzug des Auftriebes; P:{ = 92,5 cbm:

kc = 92,5.2300 1cd = 100.690

c.    Bodenfuge c — d nach Abzug des Auftriebes bis zur Hochwasserlinie; P² = 79,5 cbm:

Jcc 79,5.2300 Jcd = 100.690

P —|— 6 - 70 \ = 5,0 kg/qcm Druck

v¹ —

= 1,2 „

+ 6.83

690

= 4,6 kg/qcm Druck

= 07

^5 ¹    5?

Die Fundamentfuge a — 6 hätte um so viel schmäler gemacht werden können, bis die Drucklinie durch den Kernpunkt gehen würde. Mit Rücksicht auf die sich daraus ergebenden ungeraden Abmessungen ist dies unterlassen, trotz der sehr geringen Kantenpressung von 9,7 kg/qcm Druck im Beton.

Die Bodenfuge konnte keine kleinere Abmessung erleiden, da die Beanspruchung bestimmungsgemäfs 5,0 kg nicht überschreiten darf.

Der Pfeiler erleidet die denkbar gröfste lotrecht wirkende Last, wenn beide anschliefsenden Bögen voll mit Menschengedränge belastet sind und die Dampfwalze auf dem Pfeiler steht. Der Pfeiler erleidet in diesem Fall keinen einseitigen Schub und kommen mithin nur gleichmäfsig verteilte Pressungen in Frage.

Der lotrechte Kämpferdruck eines Gewölbes mit Menschengedränge

ist =

30,51 + 2,63 = 33,14 cbm.

Die Gewichte der Dampfwalze, auf dem Pfeiler stehend, verteilen sich auf die ganze Gewölbebreite von 7,30 m und entfallen auf 1,0 m Tiefe =

8652

H.W.

7,30

= 1185 kg = 0,52 cbm Beton

5732

7,30

785 „ = 0,34 „

Dampfwalze = 0,86 cbm Beton.

Die Pressung in der Fuge a — b beträgt: (2.33,14 + 0,86 + 22,97) 2300

= 5,5 kg/qcm Druck.

100.380

In der Bodenfuge c — d ohne Abzug des Auftriebes beträgt die Pressung: (2.33,14 + 0,86 + 22,97 + 14,60) 2300

100.690

= 2,9 kg/qcm Druck.

= 2,9 kg/qcm Druck.

Die Bodenpressung des Pfeilers bei unbelasteten Gewölben beträgt: (2.30,51 -f 22,97 + 14,60) 2300

100.690

3. Das Widerlager.

¹

Menschengedränge (Summe der Ordinaten — 98,5): 400 2300

²

Dampfwalze:

II. W. 0,93.29,0 = 27,0 V. W. 0,78.23,5 = 18,3 — 45,3

³

Pfeilerschaft G³.

3. Das Widerlager.

Die in Abb. 24, Taf. III dargestellte Form des Widerlagers macht sich nötig, um ein Gleiten desselben zu verhindern. Eine horizontal gelegte Bodenfuge des Widerlagers kann bei einem flach gespannten Gewölbe schon bei den kleinsten Bewegungen sehr gefährlich werden und ist deshalb eine nach dem Ende des Widerlagers ansteigende Bodenfuge vorzuziehen. Jedenfalls darf der Winkel zwischen der Normalen zur Bodenfuge und der Resultante des Seitenschubes 30° nicht überschreiten. Auch ist auf die durch die Brüstungen zu beiden Seiten bedingte Verbreiterung des Widerlagers bei der Untersuchung keine Rücksicht genommen, um nicht die Resultate der Standsicherheit zu günstig zu gestalten.

Wie aus der Berechnung der Bodenpressungen hervorgeht, erreichen die Beanspruchungen die vorn bestimmten 5,0 kg/qcm Bodendruck nicht ganz, was mit Rücksicht auf die gröfsere Standsicherheit des Widerlagers dem Mittelpfeiler gegenüber sehr gerechtfertigt ist.

Der Untersuchung sind 5 verschiedene Belastungsfälle zugrunde

gelegt.

Belastungsfall 1.

Das anschliefsende Gewölbe ist mit Menschengedränge voll belastet und die Dampfwalze steht im Scheitel. Diese Belastungsart des Gewölbes erzeugt den gröfsten Kämpferdruck.

Die Gröfse der Gewichte des Widerlagers einschliefslich der Überschüttung und Chaussierung berechnen sich wie folgt:

0,50 + 1,80

Gl. =

. 0,30 +

4,60 -f- 8,30

.2,00 = 13,25 cbm

G 2. =

8,30 4- 8,05

. 1,08 =

8,83 „

G 3. =

8,00 4- 5,90

. 6,78 =

47,12 „

zusammen

69,20 cbm

Diese Gewichte zusammen haben die Schwerlinie S. Der seitliche Erddruck ist berechnet:

E=-*-

Da hier der cp mit 30° angenommen ist, so wird daraus:

Der Erddruck wird ebenfalls auf Betongewicht reduziert und berechnet sich :

— = 7,6 cbm.

8,10².1600 6.2300

Die Resultante P¹ bedingt, da P¹ = 112,0 cbm ist, folgende Beanspruchungen :

Jcb — 112,0.2300 1Ö0.800

-f- 6.30 \ = 4,0 kg/qcm Druck; — "800 ) = 2,5    „    „ .

Belastungsfall 2.

Anschliefsendes Gewölbe, voll mit Menschengedränge und Dampfwalze im Scheitel belastet. Der seitliche Erddruck ist vernachlässigt und . der Auftrieb bis zur Hochwasserlinie ist in Abzug gebracht. Resultante P²,

P² = 95)5 cbm .

„ = 95,5.2300 a = 100.800

-f- 6.80 j = 4,4 kg/qcm Druck

800

1,8

Dieser Fall zeigt die gröfste Beanspruchung an der Kante b, welche von den nachstehenden Fällen nicht mehr erreicht wird.

Belastungsfall 3.

Hierbei kommt nur das volle Eigengewicht des anschliefsenden Bogens und das des Widerlagers ohne Abzug des Wasserauftriebes in Betracht: P³ = 107,2 cbm; die Resultante P³ geht durch die Mitte der Bodenfuge, daher nur zentrale Belastung:

7oa und kh —

107,2.2300

100.800

= 3,1 kg/qcm Druck.

Belastungsfall 4.

Anschliefsendes Gewölbe unbelastet und das Widerlager voll mit Menschengedränge und der Dampfwalze belastet unter Berücksichtigung des seitlichen Erddruckes, aber ohne Abzug des Auftriebes:

Das Gewicht des Menschengedränges beträgt:

(2,30 + 9,86)

. 1,59 cbm

♦ 0,86 „

. 2,45 cbm

400

' 2300 — • • • • Das Gewicht der Dampfwalze (siehe Mittelpfeiler) =

zusammen

P⁴; und P⁴ = 112,2 cbm;

fra = 112,2.2300 100.800

frb =

0

V — 800/

= 3,3 kg/qcm Druck; ⁼ 6,2 „ „

Belastungsfall 5.

Belastungszustand wie im Belastungsfalle 4, jedoch ist der Auftrieb bis zur Ilochwasserlinie in Abzug gebracht: lib) und P⁵ = 96,3 cbm.

lcb = 96,3.2300 fra = 100.800

/ + 6 . 45 \

V — 800 J

= 3,7 kg/qcm Druck;

= 1,8 „

4. Berechnung der Gelenksteine.

Die Gelenke wirken in der in Abb. 25a u. b, Taf. III angedeuteten Weise.

Für die Berechnung der in den Gelenken auftretenden gröbsten Pressung dienen die von Herrn Geheimen Regierungsrat Professor Bark-hausen zu Hannover aufgestellten Formeln.*) (Yergl. Zentralblatt der Bauverwaltung 1900, S. 232).

Im vorliegenden Beispiele sollen die Gelenksteine eine solche Breite b haben, dafs hinter ihnen ein Druck von 26 kg/qcm nicht überschritten werden soll.

Es mufs also sein:

wenn P den Druck für 1 cm Tiefe bedeutet.

Ferner müssen die Gelenksteine ein bestimmtes Längenmafs t haben, um die Gefahr des Durchpressens in der Mittelebene auszuschliefsen. Nimmt man zwischen den Gelenksteinen und ihrer Hinterstampfung einen Reibungswert von 0,3 an und bezeichnet sz als die zulässige Zugspannung an der Hinterfläche der Gelenksteine, so ist t zu bestimmen nach der Gleichung

£ + v/£(7li+ 0,090.

t = — 0,3

*) Eine unmittelbar an Herrn Barkhausen gerichtete Anfrage hat ergeben, dafs dieser die für die Berechnung der Gelenkquader mitgeteilten Formeln inzwischen weiter vervollkommnet hat, und zwar mit dem Erfolge, dafs die Krümmungshalbmesser noch etwas wachsen. Eine ausführliche Veröffentlichung über diesen Gegenstand steht bevor.

4 P.R.t.

log nat ^1 -f- —)

Gl. 3.

E.b . a²

2    * 4

Da die Lösung dieser Gleichungen nach den als Unbekannte zu betrachtenden Halbmessern B und r unter Ausschliefsung des ;£> a auf Schwierigkeiten stöfst, so werden sie in der unten durchzuführenden Weise durch Versuch zur Feststellung dieses Halbmessers benutzt.

Der Berechnung soll der gröfste Scheiteldruck 5 der Berührungsfläche zwischen B und r zugrunde gelegt werden. In der Scheitellinie der Gelenksteinwölbung ist der Druck am gröfsten, an den Rändern der Berührungsfläche jedoch = 0. Der in der Mitte der Berührungsfläche auftretende, viel zu hoch erscheinende Spannungswerts bedeutet keineswegs eine Überschreitung des im Bauwesen üblichen Sicherheitsgrades, da es sich bei dieser Spannung nicht um eine über die ganze Fläche gleich-mäfsig verteilte Beanspruchung handelt, sondern nur die Mittellinie des Streifens der Berührungsfläche von dieser hohen Spannung in Mitleidenschaft gezogen wird. (Siehe Tonindustrie-Ztg. 1899, No. 22.)

a. Kämpfergelenke.

₇₅ = 24,7 kg/qcm.

Diese Formel liefert Werte, nach welchen die Gröfse t nur gering von der Breite b abwöicht. In der Praxis macht man deshalb die Breite und Länge der Gelenksteine gleich grofs.

Schliefslich bestehen für die Krümmungsverhältnisse der Gelenksteine, wenn die gröfste Druckspannung in der Mitte der Berührungsfläche des halben Mittelpunktwinkels a den Wert von s kg/qcm nicht übersteigen soll, in folgenden Formeln, in die eine Hilfsgröfse c eingeführt wird:

r . E . b

Gl. 1.

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a²

Gl. 2. c =

(>-a

4. P.t

Rechnungselemente P == 80,4 cbm = 1850 kg/cm B — 300 cm r — 253 cm b = t = 75 cm E = 200000 P 1850

Unter Einsetzung dieser Werte erhält man folgende Gleichungen:

Gl. 2.

Hilfsgröfse c =

4 P.t 253.200000.75

4.75.1850

V 300/

253.50000 (1 — 0,84)

1850

253.50000.0,16

1850

253.500.16

1850

2024000

1850

= 1094.

Gl. 1.

( -T-)

75

2.253 = 0,15

Gl. 3.

253 =

300

⁰¹ -(d“7

24,7

1094

0,15

s = 24,7

2~ +

253 = 150 +

a*)

1094

= 0,15

3

+ 364,7 . a²^

log fiat (l + -j)

E.b .a²

300²

90000

253 = 150 + V 22500

4.1850.300.75

log nat (l +

200000.75 . a²

1850.300

37.3

10

253 = 150 + V 22500 — 11,1 .

log nat (l +

50000 . a²

log nat (l +^7) a²

log nat (l +—^

a²

Man wählt nun einen Wert von a, setzt denselben in Gleichung 1 ein und findet so einen Wert von s. Beide Werte, in Gleichung 3 eingesetzt, zeigen dann, ob der zuerst gewählte Wert von a richtig ist.

6 . 1.

Gl. 3.

Angenommen a = 0,04:

s = 24,7 = 24,7 (3,75 + 364,7.0,0016) = 24,7 (3,75 + 0,58352)

= 24,7.4,33 s = 106,951 kg/qcm

253 =

(0,15

\0,Ö4

364,7.

0,04²)

150-f \J'■ 22500

-11,1

log nat. (1 + 4,33) 0,0016

log nat 5,33 = log nat 53,3 — log nat. 10 = 6,27852

— 4,60517

1,67335

253 =

150 + y/22500

11,1 . 1,67

0,0016

253 = 150 + 422500 — 11586 253 = 150 + 410914 253= 150+ 104,4 253 = 254,4

Die Übereinstimmung ist somit genügend vorhanden, um den Wert von a = 0,04 als richtig anzunehmen. Die gröfste Druckspannung in der Gelenkmitte beträgt demnach

s = 106,951 kg/qcm.

Die Breite der Berührungsfläche ergibt sich aus:

2 . a . r = 2.0,04.253 = 20,24 cm.

Rechnungselemente P =

= 1675 kg/cm

b. Scheitelgelenke. 72,81.2300

100

R = 300 cm

r = 235 cm

b = t = 65 cm

E = 200000

P 1675    ₉_ß]

J = +55- = ²⁵>⁸ kg/qcm.

Gl. 2.

Ililfsgröfse c =

235.200000.65 .

235

300

4.1675.65 47.50000.0,22

Gl. 1.

*(w.

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CO

. a²)

65

2.235

= 0,14;

1549

Gl. 3.    235 = -

300

4.1675.300.

200000.65 . a²

235 = 150 -f V ²²⁵⁰⁰

335.3 lo(J nat

100 '

('+m)

a²

Gl. 1.

Angenommen a = 0,034.

0,14

+ 516.0,034 A s — 25,8.4,72 = 121,776 kg/qcm.

s = 25,8

0,034

Gl. 3.    235 =

150 + y/22500

10,05 log nat 5,72 0,001156

235 =

150 -f y/22500

10,05.1,74 0,001150

235 = 150 + 422500 — 15127 235 = 150 + 86 = 236 cm.

Die Berührungsfläche beträgt:

2.0,034.235 = 16 cm.

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VI

III

VIII

VII

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