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Bibliofeka Politechn.k, KMk

°wskie|

Hilfsmittel

für

Eisenbeton-Berechnungen

Von

Ad. Jöhrens,

Beigeordneter in Solingen.

Mit 22 Abbildungen im Texte und 11 lithographierten Tafeln in Farbendruck.

öfientlichan Arbeiten \

Wiesbaden.

C. W. Kreidels Verlag. 1908.

XX X

KRaKÖW j

Nachdruck verboten.

Alle Rechte, auch das der Übersetzung in alle Sprachen, Vorbehalten.

ti

Druck der Kgl. Universitätsdruckei ei von H. Stürtz in Würzburg.

Vorwort

A. Reine Biegung

Inhalts-Verzeichnis.

Seite

I. Einfache Armierung..........

II. Doppelte Armierung ..........

B.    Exzentrische Druckbelastung ausserhalb des Kerns

I. Die doppelt armierte einfache Platte ........

II. Die doppelt armierte Rippenplatte    .......

C.    Anwendungen der Allgemeinen Statik für Eisenbetonkonstruktionen

13

18

18

22

25

Inhalt der elf Tafeln

31

' &

f

1

\ ■

I—^ ei Berechnung der Eisenbetonkonstruktionen, welche in -I—* neuerer Zeit eine grosse Ausdehnung gefunden haben, ist eine ausserordentlich umfangreiche und zeitraubende Rechnungsarbeit erforderlich. In solchen Fällen ist es schon immer das Bestreben des Ingenieurs gewesen, durch Tabellen .oder graphische Tafeln das Ergebnis der in Frage kommenden Formeln für die hauptsächlich vorkommenden Möglichkeiten der Grössenverhältnisse und der Lage der Kräfte und Kraftangriffspunkte zur Tragkonstruktion durch einmalige umfangreiche Rechnung festzulegen, um dann stets für jeden vorkommenden Verhältnisfall das Ergebnis direkt abgreifen oder ablesen zu können. Es möge hier erinnert werden, zum Beispiel an die Keck sehen Tabellen für Schornsteinberechnungen, ferner an die vielen Tabellen und graphischen Tafeln, welche als Hilfsmittel für die Berechnung der Wasserbewegung in Gräben, Röhren und Kanälen geschaffen worden sind. Bei den Eisenbetonkonstruktionen liegen die Verhältnisse für solche Normalschemata verwickelt, weil hier stets 2 unbekannte Grössen gesucht werden müssen; entweder ist die Spannungsgrenze im Beton und diejenige im Eisen gegeben, bis zu welcher man gehen kann, und man muss die Abmessung der Eiseneinlage und die Betonabmessung bestimmen, oder es liegt eine gegebene Konstruktion vor und die beiden Beanspruchungen sind zu suchen. Aus diesem Grunde wird man auch nur durch eine graphische Darstellung ein genügend übersichtliches Hilfsmittel erhalten können, wie die nachfolgenden Ausführungen, in welchen die Aufstellung solcher Hilfsmittel versucht werden soll, ergeben werden.

A. Reine Biegung.

I. Einfache Armierung.

a) Die einfach armierte Platte.

Als bekannt müssen hier vorausgesetzt werden die Leitsätze für die Prüfung von Eisenbetonbauten, aufgestellt vom Verband Deutscher Architekten- und Ingenieurvereine und dem Deutschen Beton verein, bezw. die preussischen ministeriellen „Bestimmungen“ vom April 1904 und vom Mai 1907 für die Berechnung von Eisenbetonkonstruktionen,

■3T ■

Ji-a

- z dL-_r_

deren sämtliche Grundlagen = löj und Bezeichnungs

fe

weisen hier beibehalten werden sollen. Die Formeln dieser „Leitsätze“ bezw. „Bestimmungen“ eignen sich jedoch nur für die Berechnung der Beanspruchungen einer gegebenen Konstruktion, nicht für die Bestimmung der Abmessungen, welche bei gegebenen muss, damit die zulässigen Spannungen genau ausgenutzt und nicht überschritten werden. Aus diesem Grunde sind bereits von Barkhausen in der Deutschen Bauzeitung, Jahrgang 1906, Heft 1, Formeln entwickelt, welche bei gleicher theoretischer Grundlage dem letztgenannten sehr wichtigen Bedürfnis genügen. Dieselben mögen im folgenden kurz wiederholt werden; sie gelten für einen 1 cm (nicht 1 m) breiten Streifen einer Platte mit Längsschnitt nach Abbildung 1.

Kräften eine Konstruktion erhalten

(Jb . x

Abb. 1.

• b — fe . Oq,

(2) fe . ffe . (h — a —    = M . b,

(3)    ffe

fb X

setzt man

£e h — a — x’

Oe

- = m,

so wird

Ob

(2a) h — a

M.b

><4 ico

(3a) h — a — x +

. x = x (1 + m),

Se . (7b

ferner durch Gleichsetzung der rechten Seiten

(4) x² (2 + 3 m) = 6 M,

Ein Schulzimmer soll durch eine Eisenbetondecke überdeckt werden, nach Abb. 2, mit Plattenlängseiseneinlagen in der Zimmerlängsrichtung und 2 Tragrippenunterzügen in der Quefrichtung. Für die Platten wird zunächst auf Grund von Erfahrungssätzen eine Eigenlast g = 350 kg/qm und ferner eine Verkehrslast p = 400 kg/qm angenommen. Die Platte soll als durchgehender Träger auf 4 gleichhohen Stützen berechnet werden und gelenkartige Auflagerung ange-

(4a) x =

ab (2 -f- 3 m)'

Durch Einsetzung dieses Wertes in die früheren Gleichungen entstehen

il

(5) h

l"'

6(1 —)— m)2 ab(2-f 3 m)

l!

(6)

bi/M

V ae² (2 + 3 m)

1,5 (7),

WO m = —

Oe £b

1 Oe

(7b fie 15 (7b

Diese beiden Gleichungen gestatten für gegebene Beanspruchungen und ein gegebenes Moment die Plattenabmessungen direkt zu bestimmen. Hierzu gesellt sich noch als dritte wichtige Gleichung

<⁷⁾

1 + m'

In der nachfolgenden Tabelle 1 sind für verschiedene Werte oe und (?b auf Grund dieser 3 Gleichungen (5) bis (7) die den rechten Seiten der Gleichungen entsprechenden Werte berechnet. Die erforderlichen Zwischenrechnungen sind fortgelassen, sollen jedoch für die erste Rechnung hier wiedergegeben werden.

o₀ = 800

— 3.10m. ■ |^s'    3,80m    ■ +    3,1(3 m. ->

tc

|i

il

\s

Ir 3.75    l3,80

Abb. 2.

■v

lr=3J5

nommen werden, so dass die Clapeyronschen Gleichungen zur Anwendung kommen; hierzu ist zu bemerken, dass die Annahme gleichhoher Stützen zwar nicht ganz richtig ist, da die Rippen unter der Verkehrslast sich durchbiegen, dass aber dort,

800

15.20

2,667; 3 m = 8,00

wo diese Durchbiegung einen ungünstigen Einfluss ansübt, der Vorteil der wenigstens teilweise vorhandenen Einspannung, welcher vernachlässigt ist, den vorgenannten Nachteil wieder ausgleicht. Hiernach ergibt sich für jedes der beiden Endfelder, welche ihre Maximalbeanspruchung bei Belastung dieser Endfelder haben, zunächst ein Endauflagerdruck für einen 1 cm breiten Streifen der Platte

= 0,273

1 qh³ + gl,³ _ 7,5.3,15 4 li 2 lx —J— 3 1₂

0,1735

und daraus ein Moment

1    7,5.3,15³ + 3,5.3,80³

4.3,15    2.3,15 + 3.3,80

9,88 kg

Mitnax =

A² 9,88²

— 6,52 mkg = 652 cmkg

(7b = 20

a l/+ + ³“>

2 q 2,7,5

Verkehrslast in Mittelfeld zwecks Bestimmung des Maximalmomentes im Mittelfeld ergibt zunächst Stützenmoment

6(1 + m)²

l/M

(i+)

ob(2 + 3m)

0,633

Ml == —

4

1 3,5.3,15³ + 7,5.3,80³

2.3,15 4-3.3,80

= 732 mkg.

Demnach Moment in Feldmitte ql₂²

M₂ max

Mi

7,5.3,8²

7,32 = 6,23 mkg — 623 cmkg.

fe

Gb

1,5 . <7b

b]/M 2a₀

G₀² (2 —f— 3 m)

Das grösste Stützenmoment entsteht bei Belastung der Felder, welche neben der Stütze liegen.

= 0,00216.

Ml ruax —h²

li

ft)*®'

i-= n

li

Auf der ersten hierzu gehörigen Tafel I sind die Werte der Tabelle 1 in übersichtlicher Weise graphisch zur Darstellunggebracht, dadurch dass zunächst bei jedem Spannungskreuzpunkt die berechneten Werte in Blei niedergeschrieben

und dann Linienscharen, wTelche gleiche Werte —

(2 + 34>H)

7,5

r³'¹⁵²

²+²S + ²

3,8 \³

3,15

3,8 \⁴    3,5 3,8

345/    7,53,15

1/M

und

== 9,73 mkg = 973 cmkg.

•+-SH-+S)

solche welche gleiche Werte

fe

verbinden, in roter und

bj/M

blauer Farbe eingetragen wurden, und zwar für abgerundete Werte, welche durch Interpellation zwischen den Spannungskreuzpunkten leicht gefunden wurden; hiernach konnten die aus der Tabelle entnommenen Zahlen an den Spannungskreuzpunkten entfernt werden.

Da Seiten- und Mittelfeld gleich stark bemessen werden sollen, ist M == 652 mkg der Berechnung zugrunde zu legen. Liegt z. B. für die Bemessung von Eisen- und Betonquerschnitt die Bestimmung vor, dass die Grenzspannungen tre = 1150 kg/qcm und erb =37,5 kg/qcm nicht überschritten werden sollen, so findet man aus Tafel I am Kreuzpunkt dieser beiden Spannungslinien die Werte h —

a    Pg

-=0,427 und—— = 0,00228

byM

Ein kurzes Beispiel erläutert leicht die Anwendung dieser Tafel.

und daraus

h — a = 0,427. VÖ52 == 10,89 cm; Fe = 100 VÖ52.0,00228 = 5,72 qcm, wobei im letzten Falle die Eiseneinlage auf 100 cm Breite der Platte berechnet ist.

Tabelle 1.

Eisenbetontragplatteii.

l/M

6 (1 -j- m)2 oh (2 4- 3 m) ’

fe

1,5 . Ob

b]/ M

oe² (2 4- 3 m) ’ h — a

Bern.: Die Werte gelten für eine 1 cm breite Platte, wobei h — a in cm, fe in qcm und M in cmkg einzusetzen sind.

Oe in kg/qcm

800

850

900

950

1000

1050

1100

1150

1200    1300

0,633

0,647

0,660

0,675

0,687

0,699

0,711

0,722

0,732

ab — 20

Fe

== 0,00216

b/M

j*——— = 0,273 h — a

0,00199

0,00183

0,00170

0,00158

0,00151

0,00139

0,00130

0,00122

0,261

0,250

0,240

0,230

0,222

0,214

0,207

0,200

h — a

: ~vW

Fo

b F M

0,188    = r- ~

h — a

0,752

0,00109 =

IM

- 0,530

0,540

0,550

0,560

0,569

0,578

0,586

0,595

0,605

0,623

h — a

fM

25

Fe

= 0,00264

in

b F M

r——— = 0,319 h — a

0,00243    0,00224

0,00208

0,00193

0,00181

0,00169

0,00158

0,00150

0,00134 =

Fe

0,306

0,294

0,283

0,272

0,263

0,254

0,246

0,288

b Fm 0,224    = u —

h — a

kg/qcm

Fm

- = 0,460

0,468

0,475

0,482

0,490

0,496

0,504

0,511

0,519

0,553

h — a

Fm

30

Fe

= 0,00310

b Fm

= 0,366

h — a

0,00286

0,00264

0,00245

0,00228

0,00214

0,00200

0,00188

0,00178

0,00158 =

Fe

0,346

0,333

0,322

0,311

0,301

0,291

0,282

0,274

b Fm

0,257    = r~~

h — a

Fm

= 0,410

0,414

0,421

0,428

0,435

0,439

0,444

0,451

0,456

0,469

h — a

⁼⁼7F

ob = 35

Fe

== 0,00353

b Fm

t——— == 0,395

n — a

0,00325

0,00301

0,00280

0,00262

0,00244

0,00228

0,00215

0,00204

0,00181 ==

Fo

0,381

0,368

0,355

0,344

0,334

0,324

0,314

0,305

b Fm

0,287    =

h — a

IM

- = 0,368

0,374

0,380

0,386

0,391

0,395

0,399

0,404

0,410

0,420

h — a

Fm

40

Fe

= 0,00394    0,00364

in

bFM

= 0.429

n — a

0,00338

0,00314

0,00293

0,00274

0,00257

0,00242

0,00228

Fe

0,414

0,400

0,387

0,375

0,364

0,354

0,344

0,333

0,00204 = —

0,315    = r~“

h — a

b Fm

kg/qcm

Fm

= 0,338

0,342

0,346

0,352

0,357

0,361

0,365

0,370

0,375

0,384    ==

Fm

45

Fe

b Fm

= 0,00435

0,00401

0,00372

0,00347

0,00327

0,00304

0,00283

0,00268

0,00254

Fe

0,00227 =

li

= 0,459

0,444

0,430

0,416

0,403

0,392

0,381

0,370

0,360

0,841

li — a

b — a

Fm

= 0,315

0,318

0,322

0,326

0,330

0,334

0,338

0,342

0,345

0,353

h — a

— Fld

erb == 50

Fe

== 0,00475

b Fm

--== 0,488

h — a

0,00437

0,00406

0,00378

0,00354

0,00332

0,00311

0,00293

0,00277

0,00248 =

Fe

0,468

0,454

0,441

0,429

0,417

0,405

0,395

0,385

b Fm

0,865    =    —

b — a

Es ist eine Platte von 12,0 cm Stärke mit 9 Stück Eiseneinlagen 0,9 cm O auf 1 m Plattenbreite (5,72 qcm Querschnitt) zu wählen. Lässt man die Eisen über 2 Felder durchgehen und legt den Stoss abwechselnd über den beiden Rippen ein derart, dass an der Stossstelle beide Eisen noch übereinander liegen und soweit übergreifen, dass

"ZT

"ZT

"ZT

•ZT

Nach Tabelle 1 ergibt sich --= 0,329; x = 11,3 cm. Die

h — a

Nulllinie fällt demnach noch gerade soeben in Plattenunterkante noch nicht unter dieselbe.

Diese letztere Betrachtung ist wichtig und notwendig, denn wenn sich für die Spannungsnulllinie eine tiefere Lage ergeben hätte als Unterkante-Platte, dann wären die der Tafel I zugrunde liegenden Formeln nicht mehr am Platze gewesen und hätte die Tafel zur Bestimmung der Abmessung der Rippe nicht mehr benutzt werden können.

Abb. 3.

sie dicht unter der Oberfläche liegend als Einlage gegen das negative Stützenmoment wirken können, lässt aber, wie in der Abbildung 3 dargestellt ist, in jeder 4. Linie ein Eisen unten

durchgehen, so hat man gegen das Stützenmoment eine Eiseneinlage f . 1| . 5,72 qcm = 7,15 qcm auf 1 m Breite und erhält damit die massgebende Verhältniszahl

F₍

7,15

7,15

bj/M 1001/973    3120

= 0,00229.

b) Die einfach armierte Rippenplatte mit Nulllinie unterhalb Plattenunterkante.

Auch für diesen neuen Fall enthalten wiederum die „Leitsätze“ und die ministeriellen „Bestimmungen“ Formeln, welche lediglich die Bestimmung der Beanspruchung für gegebene Konstruktionen ermöglichen, es steht jedoch nichts im Wege nach dem gleichen Prinzip wie bei der einfachen Platte auch für die Rippenplatte mit Nulllinie unterhalb der Platte zur direkten Bestimmung der Abmessungen geeignete Gleichungen zu entwickeln. Um die diesbezügliche Rechnung übersichtlicher zu gestalten, sollen entsprechend den Bezeichnungen der Abb. 5 in die Rechnung folgende Faktoren eingestellt werden.

Fährt man jetzt in der Tafel auf der diesem Werte entsprechenden Linie von Ob = 50 ab- bezw. vom untersten Punkt ab aufwärts, bis man an die wagerechte Linie Ob = 37,5 kommt, so findet man dort h —

ß.d

£-

- = 0,426 =

31,21

- und h — a = 0,426.31,21

h-a

-4.

= 13,3 cm

als denjenigen Wert, welcher für den in Abb. 4 dargestellten Hebelarm gewählt werden muss, damit die Beton bean-spruchung von 37,5 kg/qcm nicht überschritten wird; man findet ferner hier die Beanspruchung der Eiseneinlage mit (7e = 1145 kg/qcm.

__4___

0000

Abb. 5.

— m wie vorher T-

h —

13,3 cm.

_ _ _

37 cm.

3k,kcm.

Oo

von Plattenstärke zur nutzbringenden Konstruktionshöhe der

Rippe, — = ß als das Verhältnis der Entfernung der

Betondruckmittelkraft von Plattenoberkante zur Plattenstärke.

= a als das Verhältnis

<- 2 cm. -+

00066    2,6 cm.

6 x 32<j> - ¥8.26 cm. Abb. 4.

Man hat dann bei Vernachlässigung der auf den Rippenkörper entfallenden Betondruckkräfte folgende Gleichungen

(1) h — a = x (1 -j- m).

(2) fe.ff₀ =

M. b

(h — a) (1 — a. ß)

Bei der Berechnung der Rippe kann man gleichfalls die Tafel I

3 15 4- 3 80

benutzen. Auf jede Rippe kommt eine Lastbreite von ———-i—

2

= 3,48 m, also q = 3,48.7,50 = 26,1 kg lfdcm, welche Zahl in Anbetracht des Eigengewichts der Rippe auf 27,5 kg aufgehöht werden muss. Dies ergibt

(3) fe.a₀ = b^ab.|-

— Ob

„    27,5.620²

M

1 325 000 cmkg.

6,2

_ b . Ob x² — x² -J- 2 d x — d²

~ 2 *“

—    • «(h — a) (2

a . (h — a)'

Auf jeden cm der - = 2,07 m betragenden Rippenplattenbreite,

soweit sie als Druckzone herangezogen werden kann, erhält man dem-

nach M =•--

1325 000

= 6400 cmkg und dementsprechend, wenn man

207

wieder ab und Ce als gegebene Spannungshöchstgrenzen mit 37.5 bezw. 1150 an nimmt, nach Tafel I

(4)

Aus Gleichung (2) und (3) ergibt sich b . ob . a

(h — a) (1 — cc. ß)

Vm

0,43; h — a = 0,43 V6400 = 34,4

cm

(4a)

(1 — a. ß) ob. a

(h — a) ^2

— (h a)² [2 — a (1 + m)].

a . (h—a)\

x /

⁶    = 0,0023; Fe = 0,476 V6400 = 38,1 qcm,

207 y M

(4b)-

VM

(1 — ce. /?) [2 — a (1 + m)] ob. «’

Aus den Gleichungen 2 und 4 b erhält man dann

(5) fe.tfe

b ]/M

(1 — a.ß)'

Y-

— aß) [2 — a (1 -f- mjj. Ob ■ 05

(5a)

fe

kV

a . ab [2 — ck (1 —|— m)] 2 (1 — a .ß)

b y M

. Die Gleichungen 4 b und 5 a geben die gewünschten Werte für die Konstruktionsabmessungen bei gegebenen Spaunungen. Es ist hierbei zu bemerken, dass auf der rechten Seite dieser Gleichungen ausser diesen Spannungs

werten noch das Verhältnis r—

h — a

man jetzt daran geht, das Ergebnis der Gleichungen durch Tabellen und graphische Tafeln festzulegen wie bei den Gleichungen über die einfache Platte, so ergibt sich natürlich, dass man hier für jeden einzelnen Wert a eine besondere Tabelle mit zugehöriger Tafel auszuarbeiten hat. Man wird jedoch mit 5 Fällen nämlich a = 0,1; 0,15; 0,2; 0,25 und 0,30 für die Rechnungspraxis genügende Hilfsmittel schaffen. Ausserdem findet sich in den rechten Seiten der Gleichungen der Wert ß der hier bezüglich

= a sich vorfindet. Wenn

seiner Grenzwerte und Einwirkungen zuvor noch näher zu untersuchen ist. Aus der Abb. 5 erkennt man, dass der Wert ß .d von x abhängig ist und zwar ist ß . d am kleinsten wenn x = d wird, d. h. in dem Falle, wo die Nulllinie

beginnt, aus der Platte hinauszutreten, in welchem ß. d =-- — also ß— 0,333 wird. Wenn die Nulllinie unendlich weit fortrücken würde, würde ß . d — also ß = 0,b werden; natur-

gemäss muss die Nulllinie aber oberhalb der unteren Eiseneinlagen bleiben, also kann der Wert ß niemals annähernd die letzte Höhe erreichen, er bewegt sich zwischen 0,33 und 0,45 und zwar ist er auch stark von der Plattenstärke abhängig. Im folgenden sind für die oben angegebenen Werte von a die entsprechenden Gleichungen 4 b und 5 b ausgerechnet, wobei für ß in jedem Falle ein anderer Durchnittswert eingesetzt ist, welcher für mittlere Verhältnisse aus Beispielen berechnet wurde. Es findet hiermit eine Abweichung von der streng theoretischen Auflösung statt, welche aber nur von ganz minimalem Einfluss sein kann, wovon man sich später leicht durch Proben überzeugen kann.

to! a.

05 = 0,1;

ß == 0,45

0,0955 . ffb [2 — 0,1 (1 + m)]

Fe

b/M

Oe

j/0.1 [2

— 0,1 (1 -f m)] . qb

1,91

a — 0,15 ; ß = 0,43

l/M

-=Y\

0,9365 . ab [2 — 0,15 (1 -f- m)l 0,15

J- ~i /0,15 [2

Oe V

— 0,15 (1 -j- mj] (jb

1,873

= a = 0,20;

ß = 0,41

]/ M

F,

0,918 .    |2 — 0,2 (1 -j- m)J 0,2

— 0,2 (1 + m)] . ob 1,836

'-p

ST"

-=a — 0,25 ; ß = 0,39

0,9025 [2 — 0,25 (1 + m)j . 0,25

bi/M

-y

Oe V

0,25.12 — 0,25 (1 + m)] . ob

1,805

a = 0,30; ß = 0,37

0,889 . ab [2 — 0,3 (1 + m)] 0,3

F₍

1 l/0,3 12

Je V

— 0,3 (1 -f m)], gb 1,778

Auf Grund eines jeden der vorstehenden Gleichungspaare lässt sich nunmehr eine Tabelle berechnen und die dazu gehörige Tafel in der früher beschriebenen Weise aufstellen. Dies ist im nachfolgenden in den Tabellen 2

bis 6 für die Werte a — 0,1, 0,15, 0,2, 0,25 und 0,3 geschehen und sind in den Tafeln II bis VI die dazu gehörigen Diagramme aufgestellt.

QO

Tabelle 2.

Eisenbetonripiienplatten.

(1

a = 0,1;

1/ M

0,955. <jb [2 —0,1(1+ m)] 0,1

wo

b/M

1 1/0,1 [2 Ge V

— 0,1 (1 + m)] . Ob

de 1 ffb 15

1,91

Bern.: Die Werte gelten für eine 1 cm breite Platte, wobei h — a in cm, Fe in qcm und M in cmkg einzusetzen sind.

Oe in kg/qcm

800

850

900

950

1000

1050

1100

1150

1200

1300

ob = 20

IM

= 0,800

0,805

0,809

0,813

0,817

0,821

0,826

0,830

0,835

0,846

Fm

Fe

= 0,00163

0,00154

0,00144

0,00136

0,00128

0,00121

0,00115

0,00109

0,00104

0,00095 =

Fe

b Vm

25

Fm

= 0,704

0,707

0,110

0,713

0,716

0,719

0,722

0,125

0,128

0,735    =

Fm

Fe

in

b Fm

= 0,00186

0,00175

0,00164

0,00155

0,00146

0,00139

0,00132

0,00125

0,00119

0,00109 =

Fe

b Fm

kg/qcm

30

Fm

= 0,636

0,638

0,640

0,642

0,644

0,647

0,649

0,651

0,653

0,66

Fm

Fe

b Fm

= 0,00205

0,00195

0,00181

0,00172

0,00162

0,00154

0,001465

0,00140

0,00183

0,00122 =

Fe

b Fm

ab = 35

Fm

= 0,585

0,588

0,591

0,594

0,597

0,603

Fm

Fe

b Fm

= 0,00224

0,00211

0,00198

0,00187

0,00177

0,00168

0,00160

0,00152

0,00145

0,00034 =

Fe

b Fm

40

Fm

= 0.544

0,547

0,550

0,552

0,555

0,559

Fm

Fe

in

b Fm

= 0,00240

0,00228

0,00212

0,00202

0,00192

0,00181

0,00172

0,00164

0,00157

0,00144 =

Fe

b Fm

kg qcm

h = 0,510

45

Fm

0,513

0,515

0,518

0,520

0,523

Fe

b Fm

= 0,00256

0,00242

0,00226

0,00215

0,00203

0,00193

0,00184

0,00175

0,00167

Fe

0,00154 = —

b Fm

ab

50

Fm

= 0,483

0,485

0,487

0,489

0,491

0,493    =

Fm

Fe

b Fm

= = 0,00270

0,00256

0,00240

0,00227

0,00215

0,00205

0,00195

0,00186

0,00177

0,001635 = —

Fe

b Fm

Tabelle 3.

Eisenbetonrippenplatten.

— = a = 0,15;

l/M

0,9365 . oh [2 — 0,15 (1 + m)] 0,15

b/M

Oe

-]/0,15 [2 — 0,15(1 + m)] (7b V    1,873

Bern.: Die Werte gelten für eine 1 cm breite Platte, wobei h — a in cm, Fe in qcm und M in cmkg für 1 cm Breite einzusetzen sind.

Oe in kg/qem

800

850

900

950

1000

1050

1100

1150

1200

1800

ffb = 20

Vm

= 0,702

0,707

0,713

0,720

0,727

0,733

0,740

0,747

0,755

0,770    ==

/M

Fe

b/M

= 0,00190

0,00177

0,00166

0,00156

0,00147

0,00139

0,00131

0,00124

0,00118

0,00107 ==

Fe

b Vm

^ == 0.610

0,614

0,618

0,622

0,626

0,631

0,635

0,640

0,645

0,655    =

25

/M

Fe

= 0,00218

0,00204

0,00192

0,00180

0,00170

0,00161

in

0,00158

0,00164

0,00138

0,00126 —

Fe

cm/kg

30

Vm

— 0,548

0,551

0,558

0,556

0,559

0.5625

0,566

0,569

0,572

0,580

Fm

Fe

b/M

= 0,00244

0,00228

0,00214

0,00202

0,00191

0,00181

0,00156

0,00164

0,00155

0,00142 ==

Fe

b/M

ob == 35

/m

= 0,5015

0,503

0,505

0,507

0,5095

0,512

0,5146

0,517

0,520    ; 0,525    =

/m

Fe == 0,00266

0,00249

0,00235

0,00221

0,00209

0,00198

0,00188

0,00180

0,00171    0,00157 ==

Fe

byM

40

yM

= 0,465

0,4665

0,468

0,470

0,472

0,474

0,476

0,478

0,480

0,483

h — a

yn

Fe

in

byM

= 0,00287

0,00270

0,00254

0,00238

0,00226

0,00215

0,00204

0,00195

0,00186

0,00170 ==

Fe

b Fm

em/kg

45

IM

= 0,435

0,4365

0,438

0,4395

0,441

0,442

0,443

0,445

0,447

0,450    =    ^

IM

Fe

= 0,00307

b VM

0,00287

0,00271

0,00256

0,00242

0,00230

0,00218

0,00209

0,00199

0,00182 ==

Fe

ffb == 50

VM

0,412

0,413

0,4145

0,416

0,417

0,418

0,4195

0,421

0,424    =

/M

Fe

b/M

== 0,00324

0,00304

0,00287

0,00271

0,00257

0,00244

0,00232

0,00221

0,00211

0,00194 ==

Fe

b/M

Jöhrens, Eisenbeton-Berechnungen,

ii

Tabelle 4.

Eisenbetonrippenplatten.

h^i = o = 0’2;

Vm

0,918. <7b [2 — 0,2 (1 + m)]

F,

b Vm de

•j/0,2_[2

— 0,2 (1 -f m)]. (jb

1,836

Bern.: Die Werte gelten für eine 1 cm breite Platte, wobei h — a in cm, Fe in qcm und M in cmkg einzusetzen sind.

<7e in kg/qcm

800

850

900

950

1000

1050

1100

1150

1200

1300

ob = 20

Vm

= = 0,655    0,665

0,674    0,683    0,693    0,703    0,713

0,726    0,738    0,766    =

Vm

Fe

b Vm

= 0,00208    0,00193

0,00180    0,00168    0,00157    0,00148    0,00139

0,00131    0,00123 0,00109 =

Fe

b Vm

er

- = 0,564

0,569    0,575    0,581    0,587    0,593    0,600    0,607    0,613    0,628

25

Vm

Fe

b VM

- = 0,00242

0,00226    0,00210    0,00198    0,00186    0,00176    0,00166    0,00156    0,00148    0,001335= Fe

bVM

30

lrM

=- - 0,501

Fe

= 0,00274

0,505    0,509    0,513    0,517    0,522    0,526    0,530    0,535    0,545

0,00256    0,00249    0,00225    0,00212    0,00199    0,00189    0,00180    0,00171    0,00154    = -^4=

bVM

Vm

ab

35

Vm

= 0,456

0,460    0,463    0,466    0,469    0,472    0,475    0,478    0,481    0,489

Vm

Fe

= 0,00298

0,00279    0,00262    0,00246    0,00232    0,00220    0,00208    0,00198    0,00188 0,001715= Fe

b Vm

= 0,421

0,424    0,426    0,428    0,430    0,433    0,436    0,438    0,440    0,446

40

Vm

Fe

b Vm

= 0,00322

0,00302    0,00284    0,00267    0,00253    0,00240    0,00227    0,00215    0,00206    0,00188 = Fe

b Vm

45

Vm

= 0,391

0,393    0,395

0,397    0,399    0,401    0,403    0,405    0,407    0,415

Vm

Fe

bVM

= 0,00346

0,00324    0,00304

0,00286    0,00271    0,00257    0,00244    0,00232    0,00222 0,00202 = Fe

bVM

ab — 50

Vm

= 0,370

0,372    0,374

0,376    0,377    0,379    0,381    0,383    0,384    0,388    =

Vm

Fe

—•— == 0,00368 b Vm

0,00344    0,00324

0,00306    0,00290    0,00275    0,00261    0,00248    0,00236    0,00216 =

Fe

b Vm

in

(i

= « = 0,25;

Tabelle 5.

Eisenbetonrippenplatten.

0,9025 . ffb . 0,25 [2 — 0,25 (1 -f m)]

-|/0,25 .Ob ‘[2 — 0,25 (1 -j- mj] I    1,805

Bern.: Die Werte gelten für eine 1 cm breite Platte, für welche M in cm/kg, h

a in cm und Fe in qcm zu berechnen ist.

Oe in kg/qcm

800

850

900

950

1000

1050

1100

1150

1200

1300

ab = 20

Fm

- = 0,649    0,652    0,666

Fm

Fe

b Fm

Fe

b TM

= 0,00216    0,00199    0,00184

= 0,538

= 0,00252

Fe

bFM

0,547    0,555    0,565    0,572    0,583    0,592

0,00232    0,00218    0,00202    0,00189    0,00177    0,00166

VM

Fe

kg/qcm

0,4815

0,487    0,4915    0,496    0,503    0,509

0,516

0,524

li — a

30

Fe

= 0,00290    0,00270

0,536

0,00253    0,00237    0,00223    0,00210    0,00198    0,00187    0,00176    0,00159 =*-

bFM

Fm

ob == 35

Fm

= 0,480    0,434

0,488    0,442    0,447    0,451    0,456

0,459    0,464    0,473    =

Fe

b Fm

= 0,00322    0,00300

0,00280    0,00263    0,00248    0,00234    0,00229

0,00210    0,00199    0,00180 =

Fe

40

Fm

- = 0,895    0,398

0,400    0,403    0,406    0,410    . 0,413

0,417    0,421    0,428    =

Fm

Fe

in

b Fm

== 0,00351    0,00328

0,00308    0,00288    0,00272    0,00258    0,00244

0,00231    0,00220    0,00199 =

Fe

bFM

kg/qcm

45

Fm

= 0,368

0,370

0,372    0,375    0,378    0,380    0,382

0,385    0,388    0,394    =

li — a

Fm

Fe

0,00376    0,00352

0,00331    0,00311    0,00294    0,00278    0,00264

0,00250    0,00238    0,00216 =

Fe

b Fm

h — a

-7=z- == 0,3450

ob — 50

Fm

0,347

0,349    0,351    0,353    0,355    0,357

0,359    0,362    0,367    =

Fm

Fe

b Fm

= 0,00401    0,00875

0,00352    0,00332    0,00314    0,00297    0,00282

0,00268    0,00255    0,00232 =

Fe

b Fm

2*

<1

r-= ct = 0,3 ;

h — a

Tabelle 6.

Eisenbetonrippenplatten.

Vm

0,889 . öb . [2 — 0,3 (1 -f- na)] 0,3

F,

0,3 [2 — 0,3 (1 + m)] . ab

bl/ M

1,778

Bern.: Die Werte gelten für eine 1 cm breite Platte, für welche M in cmkg, h — a in cm und Fe in qcm zu berechnen ist.

ffe in kg/qcm

800

850

900

950

1000

1050

1100

1150

1200

1300

Ob = 20

j/M

Fe

l/M

Fe

b]/M

b ]/ M

25

y~M

yM

Fe

Fe

in

b/M

byM

kg/qcm

30

yi

= 0,462

0,470

0,476

0,483

0,491

0,500

Fe

byM

= 0,00304

0,00281

0,00262

0,00244

0,00228

0,00214

Fe

byM

= 0,414

0,420

0,425

0,428

0,435

0,440

0,447

0,453

0,460

erb = 35

Fe

= 0,00389

0,00814

0,00294

0,00275

0,00258

0,00243

0,00229

0,00216

0,00203

Fe

byM

= 0,380

0,384

0,387

0,391

0,395

0,399

0,404

0,408

0,412

0,424    =

40

yn

Fe

in

byM

= 0,00370

0,00344

0,00322

0,00302

0,00284

0,00268

0,00253

0,00240

0,00227

0,00205

Fe

byM

kg/qcm

= 0,352

0,355

0,359

0,362

0,365

0,368

0,371

0,374

0,377

0,386

45

Fe

yi

0,00400

0,00372

0,00349

0,00326

0,00308

0,00291

0,00276

0,00262

0,00248

0,00225 =

Fe

b l/ M

= 0,329

0,332

0,334

0,337

0,339

0,342

0,345

0,348

0,351

0,358    =

ob = 50

Fe

byM

= 0,00427

0,00398

0,00374

0,00350

0,00331

0,00331

0,00294

0,00282

0,00267

0,00242

Fe

byM

Zu den vorstehenden Tabellen sind bei den Werten a = 0,25 und a = 0,3 für alle diejenigen Fälle keine Werte eingetragen, in welcher die Nulllinie innerhalb der Platte bleibt. Man kann diese Fälle aus der Tabelle 1 leicht feststellen auf Grund der dort aufgeführten Werte

unter 0,25 bezw. 0,3, so treffen die

bleibt

h — a

neuen Formeln nicht zu, sondern es bleibt bei den Formeln des ersten Falles der einfachen Platte. In den graphischen Tafeln für a = 0,25 und a — 0,3 sind die entsprechenden Teile nur punktiert, um klarzustellen, dass der Fall aus der Tafel I entlehnt ist.

Zur Erläuterung der Anwendung der letzten Tafeln möge nunmehr noch ein kleines Beispiel gerechnet werden.

In dem ersten Beispiele war eine Schulklasse von 6 m Tiefe betrachtet, nimmt man jetzt einen anderen Raum mit gleicher Frontlänge und Tiefe von 10 m an, so wird die Stützweite der Rippe 10,30 m und das grösste Moment 27,5.1030²

3 643 750 cmkg.

- - = 3 ³ 10305Q = 10613 Cmkg-Hierbei wird eine bedeutend grössere Rippenhöhe nötig und die Nulllinie wird infolgedessen unter die Plattenunterkante hinuntergehen, d

Schätzt man vorläufig -= a — 0,2 und sucht wieder für o& und

(tb gleich 1150 bezw. 37,5 die erforderlichen Abmessungen, so findet man in Tafel III

-iS

)/M

0,475; h — a = 0,4575 j/l0613 = 47, lern;

l/M

0,002 066; Fe

b. j-A_

. 0,002066 1/10613 = 73 qcm. o

12 .    d

p> 0,25, so ist die Voraussetzung —-=

0,2

47,1

erfüllt und noch eine gewisse Sicherheit vorhanden. Wählt man hingegen h — a so gross, dass die Bedingung a = 0,2 genau erfüllt ist, 12    h — a

= 60 cm, so ergibt sich —--------

60

f I

Setzt man das Verhältnis ~ = p und —. — = m,

Je    Ob

so erhält man aus (1) und (4)

(5) fe . oe (l —

(5a) fe.(je =

x — a¹

s)

Ob • x . b

ph^:

Ob . x . b (h — a — x)

2[h — a — x — p(x — a¹)]’

0,5825

also h — a = —-

0,2

und man findet nach Tafel III bei der Kreuzung der diesem Verhältnis entsprechenden Linie mit der Spannungslinie Oe = 1150 den Wert

l/M

j/10613

ferner aus (3)

Fe

(3a) h — a = x (1 -|- m); h — a — x — m x,

ab — 26,0 kg/qcm und —= = 0,00163.

j/M

dann aus (5a) und (2) durch Einsetzen von (3) b . Ob . x² m

Würde die Plnttendicke statt 12 cm nur 6 cm betragen haben, so hätte der Fall a = 0,1 Vorgelegen, es hätte nach Tafel II gearbeitet werden müssen und wäre dort an gleicher Stelle gefunden

^ c = 0,00156. Wollte man die Platte

(5b) fe. oe

ab = 36,3 kg/qcm und

hingegen so stark machen, dass die Nulllinie nicht aus derselben heraustritt, so wäre Tafel I heranzuziehen : dort findet sich ein Schnitt-

b l/M

2 (m x — p (x — a¹)’

(2b) fe.oe [x (1 -f m) — a¹] —    ^1 — 3    . b

= M. b.

Fe

Durch Elimination von fe . oe erhält man aus den beiden letzten Gleichungen

= 0,00164,

punkt der Linien 0,5825 und 1150 ab = 25,7 kg und ferner findet man in der hierzu gehörigen Tabelle 1 noch für die

b l/M

(6)

b . Ob . x² 3 m [x (1 -)- m) — a'|

vorliegenden Spannungen j-— = 0,251, also x = d = 0,251 . 60

= 15,0 cm.

— P (x — a¹)

(‘

= M . b.

x²

(6a) VF

Stellt man diese letzten Resultate des besseren Vergleichs halber nochmals nebeneinander, so hat man

d = 15cm; ab = 25,7 ;

Fe

= 0,00164

h — a = 60 cm b = 343 cm ae = 1150 kg

d = 12 cm; ab = 26,0;

Fe

CO

0,00163

b l/M

Fe

b y M

Die vorstehenden Betrachtungen umfassen wohl alle vorkommenden Fälle von Platten mit Biegungsmomenten ohne Axialdruck, in welchen eine einseitige Eiseneinlage vorliegt.

Es sollen nunmehr die gleichen Konstruktionen mit doppelter Armierung betrachtet werden.

d = 6 cm; ab ~ 36,3 ;

= 0,00156

(6b) -7=

83 X

2'

ö|> m . (2 -|- 3 m) -)- p 1 — 4 — -(-3

Setzt man nunmehr die Gleichung 3a ein, so erhält man

(V

i/M

(l + m).

II. Doppelte Armierung.

a) Doppelte armierte einfache Platte.

6b_

°h m (2 -j- 3 m) p

m+ 1

Er

S»

<7a) w = (1+m)-

M.b

h-a

i—2-/1—^

m    h

a¹

zl

7

feße

■>-

2 4-3m4-i

m

Abb. 6.

Für die einfache Platte ergeben sich folgende Grundgleichungen

(1) fe . Oe--fe¹ • Oe¹ =

(2) fe.(Je(h — a — a¹)

Ob . X 2~b-

(Jb • X

X! co

— a¹ .b = M.b.

Man hat hiermit eine Gleichung zur direkten Berechnung der Konstruktionshöhe für gegebene Momente und gegebene zulässige Spannungen, in welcher man lediglich

h — a    h — a

das Verhältnis —

so wird man kaum jemals zu ungünstig rechnen.

Vorerst ist noch zu entwickeln die Gleichung der

erforderlichen Eisenabmessuug; man erhält aus (5 b)

m . (7b

zu

schätzen hat; setzt man -—

= 8,

(3 u. 4)

1 Gq

G c¹

(5c)

f,

b . X 2 . (Je

se h — a — x

se x — a

ra —p(1_“■)

Eliminiert man x vermittelst Gleichung (6 b), so erhält man unter gleichzeitiger Einsetzung von (3 a)

(8)

fe

a¹

a¹

16

1,5 . ffb

-m + l-|2 h—a . a¹ .

und hat damit in den Gleichungen (7a) und (8) die Gleichungen für die Berechnung der Abmessungen bei gegebenen Beanspruchungsgrenzen. Setzt man jetzt m -J- 1

1-P 1-

aT

(9) r = 1 — — m

(10) q = 2 —]— 3 m -f

so hat man

2 + 3m+P/l_4^±l+S

m I    h—a

ar

Für (Tb = 40 kg/qcm

Oe = 1000

33

fe'

» p = f Te

= 1,0 „

C3

a¹

+ l\²l

a¹

l/M

fe

b l/M

= 0,3015

= 0,259

= 0,00377

fe

bl/M

= 0,00419

(ii) W=(,+m)i/

b) Doppelt armierte Rippenplatte.

Wie schon vorher bemerkt, sind für diese, soweit die Nulllinie unter Plattenunterkante fällt, besondere Formeln zu berechnen. Wendet man wieder wie bei der einfach

fe¹-Ge¹

Ob • q

5b.

ß.d

(12)

fe

1,5 . ob

~F

b y M Oe für die Annahme -

50

Xy

a¹

= 8 oder auch eine ähnliche andere

h-a

---i y _ .

Annahme dieses Wertes könnte man nunmehr Tabellen und Diagramme ausarbeiten genau wie bei den Rippenplatten unter IB, nur dass statt für verschiedene Verhältnisse

fe'

hier für verschiedene Verhältnisse p = — nachein-

h — a

ander je eine besondere Tabelle und Tafel auszuarbeiten wäre. Es soll jedoch hier nicht eine so weitgehende Untersuchung stattfinden, sondern in Anbetracht dessen, dass mau eine obere Eiseneinlage nur dort antreffen wird, wo das untere Material voll ausgenutzt wird, beim Eisen jedoch die Beanspruchung bei voller Ausnutzung stets die gleiche sein wird, da für diese Zwecke stets ein Material von ca. 4000 kg/qcm Zug- und Druckfestigkeit zur Verwendung gelangt, so soll nur noch für einen Wert von o₀ = 1000 kg/qcm eine Berechnung stattfinden. Es wird dadurch in Tabelle und Diagramm die lotrechte Spaltenteilung frei für die Einteilung nach verschiedenen Werten p, so dass man mit einer Tabelle und einem Diagramm auskommt. Die entsprechenden Rechnungen sind, wie schon gesagt, in der Tabelle 7 und Tafel VII zur Durchführung gelangt. Die Tabelle enthält wiederum wie bei der einfach armierten

fe

Abb. 7.

armierten Rippenplatte für die in der nebenbezeichneten Abbildung 7 dargestellten Abmessungsverhältnisse folgende Bezeichnungsweisen an:

r-= cc,

h — a

das Verhältnis der Plaltendecke zur Konstruktionshöhe;

die Entfernung der Mittellinie des Betondruckes von Oberkante, Platte, ausgedrückt in ihrem Grössen Verhältnis zur Plattendicke und ferner wieder wie im letzten Falle

fe'

das Verhältnis der Querschnitte der oberen und unteren Eiseneinlagen, so erhält man folgende grundlegenden Gleichungen :

(1) fe • Oe — fe' . a₀' = b

fe

»fl

und

Vm

die Konstruktion von Rippenplatten wichtigen Wert --

u — a

berechnet aus Gleichung 3a; man kann die Tabelle also auch solange zur Berechnung doppelt armierter Rippenplatten benutzen, als das Verhältnis der Plattendicke d zur

x

a kleiner bleibt als der Wert -.

h — a

Zum Vergleich mögen nunmehr noch für einen Fall, nämlich Ob = 40 kg/qcm und ~

p_a

anderen Wert von -=— und zwar den doppelten also 16,

a¹

die entsprechenden Konstruktionsabmessungen berechnet werden, welcher Wert wohl ziemlich das äusserste ist, was bei sehr hohen Balken vorkommt.

Die betreffenden Zahlen sind hier nebeneinander gestellt und sieht man, dass die Abweichungen verhältnismässig gering sind. Es ergibt sich für den neuen Fall eine ca. 13 °/o geringere Konstruktionshöhe, dafür aber eine 10°/o grössere Eiseneinlage oben und unten.

einfachen Platte ausser den Werten

Konstruktionshöhe h —

fe'

fe

bp M

den für

Ob . X

b . Ob / 2 d x — d‘²

(2 x - d),

= 1 auch für einen

(2) fe.ffo(h — a — a¹) — b

ab.d

(2 x — d) (/? d — a¹) = M. b,

Ob

(3) -r.

(4)

Oe

se h — a — x h — a — x = m x, x — a¹

Sb

Oe

h — a — x'

Aus Gleichung (1) und (4) erhält man nunmehr

/    v _ jjJ

(5) fe • Oe -Pj^ZT

(5 a) fe. Oe —

a — x/

(2 x — d),

b . db . d (h — a — x) (2 x — d) 2 x [h — a — x — p (x — a¹)]

_ b. Ob. d . m (2 x — d) 2 [m x — p (x — a¹)]

Tabelle 7.

Eisenbetontragplatten mit doppelter Eiseneinlage.

= (! + m)

6 .r

<?b . q

r === 1--—

fe

1,5 . ob

wo

a¹

q .r

i    i P F    m -1— 1    / m —1— 1 \ ²

q = 2 -f- 3 m —f- -F-    1 — 4 , r 4- 3 /    '

1    1 m    h — a    h — a

Bern.: Die Werte gelten für eine 1 cm breite Platte, wobei h — a in cm, fe in qcm, M in cmkg und —

(je = 1000 kg/qcm.

— a

—:— = 8 einzusetzen sind.

a¹

fe'

h — a m -f 1

p = fT ⁼

2,0

1,5

1,0

0,8

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

0,0

1,00 = r 12,00 = q

ab = 20

0,231

li — a

fe

byM

= 0,00191 0,00182 0,001745 0,001715 0,00169 0,001675 0,001665 0,00165 0,00164 0,001625 0,00161 =

fo

l^M

ab = 25

0,272

r = 0,593 q = 9,85

— = 0,430

0,959 0,98 9,98    9,99

0,555    0,561    0,566

1,00 = r 10,00 = q

fe

b yM

0,00253

0,00234 0,00218

0,00212 0,00207 0,00205 0,00202 0,00199 0,00197 0,00195 0,00193

fe

b]/M

0,468

ob = 30

0,310

CT* Ci

8,56

0,334

0,946    0,973

8,66 8,66

0,474    0,481    0,488

1,00 = r

8,67 — q

fe

b yn

0,00387

0,00296 0,00266

0,00257 0,00249 0,00245 0,00241 0,00237

0,002340,00231 0,00228 =

fe

byM

0.33

0,50

0,665

0,732

0,800

Ob

85

0,344

q = 7,66 = 0,2485

y m

7,67

7,69

7,69

7,69

0,306

0,352

0,870

0,386

0,938 0,966

7,71

7,72

1,00 = r 7,72 =q

0,418

0,426    0,434

li — a

j/~M

fe

b yM

= 0,00455

0,00369 0,00320 0,00305 0,00292 0,00286 0,00280 0,00275 0,00270 0,00265 0,00260 =

fe

r = 0,20

q -- 7,00

0,40

0,60

0,68

0,76

0,80

0,84

0,88

0,92

0,96

7,00

7,00

7,00

7,00

7,00

7,00

7,00

7,00

7,00

1,00 = r

7,00 = q

ob = 40

0,375

0,1742

0,246

0,3015

0,321

0,339

0,848

0,356

0,365

0,373

0,382    0,390 =

fe

b y^i

0,00653

0,00462 0,00377

0,00355

0,00335 0,00327 0,00319 0,00312 0,00305 0,00298 0,00293 =

fe

b/M

ah — 45

0,403

Ym

r = 0,07 q = 6,52

= 0,0936

0,302

0,535

0,627

0,72

0,767

0,814

0,86

0,907    0,954

6,50

6,48

6,48

6,47

6,47

6,47

6,46

6,46

6,45

0,195

0,260

0,281

0,302

0,311

0,321

0,330

0,339

0,348

1,0 = r 6,45 = q

0,357    =

h — a

yW

fe

b yM

— 0,0122

0,00585

0,00440 0,00408

0,00380 0,00369 0,00358 0.00349 0,00340 0,00332

0,00324 =

fe

0,203

0,469

0,575

0,68

0,734

0,788

0,84

0,894    0,947

6,10

6,07

6,05

6,04

6,03

6,02

6,02

6,01

6,00

1,0    = r

6,00 = q

ab — 50

0,428

]/m

0,147

0,224

0,248

0,270

0.281

0,291

0,301

0,311    0,320

0,329    =

fe

b l/M

0,00776

0,00513

0,00463

0,00426

0,00410

0,00396 0,00383

0,00372 0,00362

0,00353 = -

fe

(6)

Setzt man (5 a) in (3) ein, so erhält man

Ob . d . m (2 x — d) (h — a — a¹) 2 [m x — p (x — a¹)] ob • d

Durch Einsetzung von r —

h — a

ergibt sich

(2 x — d) (ß d — a¹) = M.

a und =——

n —

a m-J-1

Man könnte auch nach den hier entwickelten Formeln wiederum Tabellen und Diagramme aufstellen, wie es für Rippenplatten ohne obere Eiseneinlage geschehen ist, in welchen die Verhältnisse zwischen den Werten ob, oe, h—a und fe zur Darstellung gebracht wurden, es würde aber

^-- auch noch für jeden

innerhalb der a-Teilung eines be-

dann ausser für jeden Wert a =

einzelnen Wert p =

fe'

fe

(7) ^(h — a)²[2 — (m + l)a]

sonderen Diagrammes bedürfen. Da man jedoch bei dieser Konstruktionsweise fast immer das Material voll auszu

a'

(7a)

— a.

nutzen pflegt, so sollen bei der an dieser Steile aufzustellenden Nutzanwendung allein die Beanspruchungsgrenzwerte Ob = 40 kg/qcm und oe = 1000 kg/qcm in Ansatz gebracht werden, so dass als die 4 variabelen Werte h — a, fe, a und p auftreten. Es soll wieder wie bei der

einfachen Platte der Wert —

8 als im allgemeinen

ungünstigster Grenzwert in Ansatz gebracht werden. Auf dieser Grundlage ist nunmehr die nachfolgende Tabelle 8 mit zugehöriger Tafel VIII aufgestellt, wobei sich die folgenden vereinfachten Gleichungen ergeben.

a¹

a¹

Ob-a[2—a(m+l)]

i-i

i-

m+1

- /Ja-

a¹

h—a,

]/M

t/J_____

\ 20 et (2 — 2,667 a) (0,875 — [1 — 0,400 p] [ß. a — 0,125])

1 — 0,400 p

(7b) h

fe

l/M

bi/M

Ob.a[2—a(m-)-l)]    1 — 4--(^—P~

h—a \    h—a} j    m

m + 1-

h — a

a¹

Y50000 (1 —0,400p) (0,875 —[1 — 0,400p] [ß.a — 0,125])

2 — 2,667 a

ß. dzß.ct.(h-ä)

Ferner erhält man aus (5 a) und (2)

/

(8) fe.oe.(h — a — a') — fe. oe (^1 — p

dza(h-a).

(8a)

fe(h — a)

h — a — x,

(ß.d — a') = M.b,

[h-a ) (1-2,667a]_ 2,667

r x.Iva _ h-a 'm+1~ 2,667 y=(h-a)( 1-2,667oc)

_ bßJP k

6u=W (1-2,667ccj

Oe

a¹

h—

Aus (7 b) und (8b) ergibt sich

5b=b0kg/qCm 6e-- 1000kg/ mJ x

m* 1,667    H

= Aiä

2,667

fe

(9) —?=- —•

bl/M Oe

Abb. 8.

ab.a[2-ct(m+l)] 1— ----[ßa—

II—fl \

h—a

a¹

ui

a¹

i-p

+T

a¹

a¹

Der Wert ß bleibt in diesem Falle innerhalb jeder wagerechten Spalte konstant und ist nur von a abhängig, so dass im Gegensatz zu den bei den Rippenplatten mit einfacher Eiseneinlage gemachten Rechnungen hier keine Annäherungsannahme am Platze ist, sondern der genaue Wert sich nach Abbildung 8 berechnet aus

40 4- 40(1 — 2,667 a)

a¹

a (h — a)

(h — a) (1 — 2,667 a . ß)

(9a)

fe

= 40

2,667

(h—a)(l — 2,667 a)|²

2,667

vH ICO

ob . a .[2 — a (m -f-1)]

m-)-l

:i

a¹

1’

in

1--

1-

m+1-h — a

a¹

a¹

(1 —1,333 a) (1 — 2,667 . a .ß).a= \ (1 — [1 — 2,667 a]³).

8

_    1    [    1 1 — (1 — 2,667 q)s-

2,667    8 a(l — 1,333a) J*

a = 0,1

a — 0,15

fe

byM

Tabelle 8.

Eisenbetonrippenplatten mit doppelter Eiseneinlage.

ffb = 40 kg/qcm, ae = 1000 kg/qcm.

.__

y 20 a (2 — 2667 a) [0,875 — (1 — 0,4000 p) (ß. a — 0,125)]

1 — 0,4000 p

fe' d

]/50000'(1 - 0,4000p) [0,875 - (1 — 0,4000p)(ß.a — 0,125)]

2 — 2,667 a

wo p =

fe h — a

a.

Bern.: Die Werte gelten für eine 1 cm breite Platte, wobei b — a in cm, fe in qcm und M in cmkg einzusetzen sind.

2 — 2,667 a a.ß — 0,125

1,733    — 0,0775

1,600    - 0,056

a = 0,20    1,467    - 0,037

a = 0,25

1,833

— 0,021

a — 0,30    1-200    - 0,008

2 — 2,667 a a. ß —0,125

DO

-CI

Cm

Cm

O

DO

Cm

0,30    0,20    0,10

0,00

- = 0,253    0,308    0,354    0,393    0,428    0,454    0,478    0,500

0,510    0,520    0,530

0,540    =

fe

= 0,0044 0,00357 0,00307 0,00274 0,00248 0,00226 0,00219 0,00207

0,00202 0,00197 0.001925

0,00188

fe

,— = 0,217

0,2645

0,304    0,3385 0,370

0,392    0,414    0,434

0,444    0,454    0,463

0,472

b |/M h — a

-|/M

fe

by M

fe

fe

= 0,00521

= 0,1965

= 0,00576

= 0,1845

0,00424 0,00366 0,00326 0,00297 0,00278 0,00262 0,00249

0,00243 0,00237 0,00232

0,00227 =

fe

b ]/ M

0,240

0,277    0,309    0,342

0,359 0,379    0,398

0,406

0,415    0,424

0,432 =

■|/m

0,00469 0,00405 0,00362 0,00330 0,00310 0,00292 0,00278 0,00271

0,00265 0,00259

0,00254 =

fe

0,226 0,260

= 0,00616

0,291    0,318    0,339    0,357

0,00502 0,00434

0,00388 0,00354 0.00332

0,376

0,00314

0,384    0,392    0,400

0,00298 0,00291 0,00285 0,00279

0,409

0,00273 =

fe

b l/M

i/m

fe

- = 0,178

b l/M

= = 0,0064

0,218

0,252

0,2815 0,308 0,328

0,346 0,362    0,3705

0,00523 0,00453 0,00405 0,00369 0,00346

Zwecks Erläuterung der Tafel VIII möge ein kurzes Beispiel angeführt werden.

Ein Frontbalken in einem Warenhause von 7,8 m Länge erhält ein Moment von 13 562 000 cm/kg. Zwecks Erzielung geringer Konstruktionshöhe soll er obere und untere Armierung erhalten.

VS cm.

130 cm.

0,381

0,389

0,397

=r

0,00328 0,00311 0,0030410,00297

0,00291

0,00286

'S1 1

schnitt der oberen Eiseneinlage fe ¹ gleich demjenigen der unteren Eiseneinlage fe genommen werden soll, so findet man am Schnittpunkt

r-= 0,20, wenn man M¹ = ^

h—a

auf 1 cm Plattenbreite nennt,

der Linien p ■= 1 und

das Moment

T-r

l/M¹

= 0,34    li—a = 0,34 .

13 56 20 00

155

= 100,5 cm,

ooo;ooo

OOOlOOO

! 7cm.

fe

= 0,0033 fe =0,0033 . 155 .

13562000

rl

h-a

___

b-j/M¹

dann muss man erzielen d = 20,1 cm, d. h. y

155

=r151 qcm,

2.20—7

33 cm.

_t____

ooojo OO ooo'ooo

Will man die Konstruktionshöhe noch mehr herunterdrücken,

= 1,5 ,—^— = 0,225 und 11 <1

so kann man die Annahme machen p = — erhält als nötige Abmessungen

S0:cm.-^

Abb. 9.

Die Tragbreite der oberen Platte wird halbe Kippenbreite = 25 cm -f £ X Stützlänge — 130 cm, zusammen 155 cm. Die Plattendicke soll durch den in der Abbildung dargestellten geneigten Anschluss auf X (h—a) gebracht werden. Nimmt man zunächst an, dass der Quer-

yM>

= 0,266; h—a = 0,266 .

13562000

155

= 78,5 cm,

——— = 0,00424 ; fe = 0,00424.155 .

byM¹

d = 0,225.78,5

13562000

155

194 qcm,

17,4 cm; y = 2.17,4 — 7 = 27,8 cm. fe'

= 291 qcm

J Öhre ns, Eisenbeton-Berechnungen.

B. Exzentrische Druekbelastung ausserhalb des Kerns.

I. Die doppelt armierte einfache Platte.

Diese Belastungsart kann eintreten bei exzentrisch belasteten Säulen und bei Gewölben oder statisch unbestimmten Bogen und Portalkonstruktionen. Die Formeln für die Berechnung der Beanspruchung bei gegebenen Konstruktionsverhältnissen finden sich in den „Bestimmungen“ bezw.

(7) fe-ae.x (^[1 -f-m] — *-)

• tN

(M

X

r-l ICO

öS I X

er

+ Ng_a'_e)b

Aus Gleichung (6) und (7) erhält man durch Elimination von fe. oe.

.a1 * s

6b

(fjb . x — 2 N) x

(8)

Ob • X²

Oil h-

OS ! X

■h

♦-----

+ n(

toi cr

— a¹ —

e)

= 0.

--i--

(8a)

m \ x/

iH I CO

c3 I X

Abb. 10.

¹ “b

a¹

m--

„Leitsätzen“. Zur Berechnung der Konstruktionsabmessungen nach gegebenen Beanspruchungsgrenzen und gegebenen Kräften ergeben sich für die in der nebenstehenden Abbildung 10 angegebenen Abmessungsbezeichnungen folgende Grundgleichungen

(1) fe . Oe ~ fe • Oe =

Ob . x . b

N . b,

* |fc £

03 I X

▼H

M | ssj

cä i X

CS 'I *

(2) fe. Oe (h — a — a¹)

X l co

+ N.(

co i er

X I P.

nr

coi K

P_

er'

03

50

03

Cr

ps

CO

— a — e). b = 0,

es ' x

ab

(3) ffe

h — a — x’

(4) h — a — x = m x ; h — a= x (1 -|- m),

Oe

(- )

G-)

X I P_

wo m = —

&e Ob

Aus, (3) und (4) erhält man

Ob £e

Oe

Ob 15

woraus sich durch Einsetzung der Gleichung (4) ergibt

(9) h

Oe

* I «L

a¹

h—a

+ ■»)*• Ob

a¹

sodann aus (1) und (5) bezw. (2) und (4) 0b . x — 2 N

2 h—a h—a ' 2[h—a]

1- P 1

m-j-1

a¹

(6) fe . oe = b

(l+m/l

er

-03    |

SP

I I CO

er

SP

a¹

Zur Berechnung der Eisenabmessungen hat man nunmehr aus (6)

(6a)

])’

in Frage. Hier muss man nunmehr den unbekannten Wert h—a durch Versuchsrechnung ermitteln, indem man auf der dem Wert <7b = 35 kg/qcm entsprechenden wagerechten Linie denjenigen Punkt

sucht, auf welchem die beiden Werte und ——^ bei Einsetzung

h—a    N

der hier vorliegenden Grössen e = 88 cm und N = 500 kg den gleichen Wert für h—a liefern. Zu diesem Zwecke nimmt man nacheinander mehrere Werte h—a versuchsweise au, wobei sich ergibt:

und durch Einsetzung    von (4)

88

für

h—a =100 cm

Iöö=⁰’⁸⁸

(10)

fe

100

1 während auf der ,,Oe = 35“ j Linie dem vorstehenden Werte <    e    h— a

bN (Je

2/1 —

-SülY

a¹

Nimmt man jetzt für das Verhältnis —

a¹

— a

den Wert 0,08, welcher zwar kleiner ist als der bei der reinen Biegung angenommene, aber hier ebenso sicher ist, weil man es in diesem Falle wohl immer mit kräftigeren Platten zu tun hat, so erhält man

der Wert ——

N

= 0,22 entspricht

während auf der „ob = 35“ Linie dem vorstehenden Werte

e , ,TT h—a — der Wert ——

N

0,208 entspricht.

Man sieht hiernach, dass der Wert h—a zwischen 100 und 110 liegt, und zwar doppelt so nahe an 110 als an 100.

5Ö0=°’²⁰

• ■II

für

h—a = 110 cm

Es ergibt

88

——— = 0,80

110

110

N 500

0,22

von — h—a

<n>

0,92 —

106 cm

! §§!*

= 0,83

0,2012

1 — 0,08 (m + 1)

C/>

iS*

0,92(m-fl)-(0,333-0,08 [m-f-1]) fl-£[l-0,08(m-f l)]j

(12)

«I" N-

—--2

m-4-1

b.N

Oe

²(

~ [1 — 0,08 (m -j- 1)J j

Die weitgehendste Ausnutzung dieser Formeln wäre wiederum die Annahme von variabelen Werten Ob und oe und dementsprechend Aufstellung von Tafeln für verschiedene Werte r-h

und ausserdem Unterteilung für

_y--

Ct>

L _ _y.

“V----5 " “

N - -*---

_ *___

— o- - .§

-o -

T⁵

e

jeden Wert -—

J    h —a

noch nach verschiedenen Werten p mit

rrj

-j-4---B

je einer Tafel für jeden Wert p. Es sollen an dieser Stelle jedoch nur 2 Tafeln aufgestellt werden, einmal für die konstanten Werte o₀ — 1000 kg/qcm und p = 1, wobei

0

als variabele Grössen verbleiben ob, ;—    , ,T

h — a N

, und dann zweitens für die konstanten Werte Ob =

Abb. 11.

und

fe

N . b

40 kg/qcm und ae = 1000 kg/qcm, so dass als variable

Grössen verbleiben p =

fe'

- und

fe

b.N'

Diese

fe’h —a N Berechnungen sind in den nachfolgenden Tabellen 9 und 10 und den dazu gehörigen Tafeln IX und X erfolgt.

Die den beiden letzteren Werten entsprechenden Linienscharen schneiden sich auch tatsächlich auf der „ob = 35“ Linie. Ausserdem erhält man an dem Kreuzpunkt dieser Werte noch den erforderlichen Eisenquerschnitt fe¹ =fe = 0,00045 . 500 = 0,225 qcm/lfd. cm oder 22,5 qcm für den lfd. m der Pfeilerlängsachse. Mit Hilfe des ßechen-schiebers oder besser noch zweier Rechenschieber nebeneinander kann man obige Versuchsreehnungen in wenigen Sekunden erledigen.

Wäre erb — 40 kg/qem als äusserste Grenze gestattet worden, so hätte man in der gleichen Tafel auf der hierzu gehörigen wagerechten Linie als erforderliche Konstruktionswerte gefunden

89 cm mit

88

= 0,99

80

89

Auf die Anwendung der Tafeln IX und X soll kurz eingegangen wTerden. Sind die Abmessungen h—a und e, also auch das Verhältnis 0

---gegeben, so lassen sich die beiden anderen Unbekannten aus den

h—a

beiden Tafeln ebenso leicht bestimmen wie bisher. Ist jedoch die Abmessung h—a nicht gegeben, sondern gehört zu den Unbekannten, so ist bei Bestimmung derselben etwas abweichend zu verfahren, was an einem kleinen Beispiel dargetan werden möge.

Für einen schmalen Pfeiler zwischen zwei Gewölben gleicher Spannweite (s. Abb. 11), welcher je nach der Belastung des einen oder des anderen Gewölbes eine nach beiden Seiten aussehlagende exzentrische Druckbelastung erleidet, sei diese Belastung unter vorläufiger Annahme einer geschätzten Pfeilerbreite zu N = 500 kg für den lfd. cm der Pfeilerlängsachse berechnet, wobei eine Exzentrizität bis zu 88 cm jederseits eintreten kanu; die hierfür erforderliche Pfeilerbreite für Eisenbetonausführung soll bestimmt werden auf der Grundlage, dass oe = 1000 kg/qcm und ob = 35 kg/qcm innegehalten werden. Da man in diesem Falle die beiderseitige Armierung gleich

fe¹

gross machen, also p =    = 1 annehmen wird, so kommt Tafel IX

N 500

0,179

fe = 500.0,00064 = 0,32 qcm/lfd. cm

32 qcm/lfd. m.

Dieselben Ermittelungen hätte man in letzterem Falle auch in Tafel X machen können, da die Grundlagen ab — 40 kg/qcm und cre = 1000 kg/qcm Vorlagen. Man findet in dieser Tafel auf der

wagerechten „p = -^-=l,00“ Linie Übereinstimmung fe

_88_ h—a

in den Werten

nur für h—a = 89 mit

h—a und h—a

<T>

500

h— a

00 ci o 2

00 OO CO g

= 0,99

= 0,179

fe

wobei fe ¹ = fe — 0,00064.500 = 0,21 qcm/lfd. cm.

3*

LnS

fe

fe

Tabelle 9.

Exzentrische Druckbelastung ausserhalb des Kerns bei rechteckigem Eisenbeton-Tragquersclinitt, doppelter Eiseneinlage fe =fe' und

gegebener Eiseiibeaiispruchung oe — 1000 kg/qcm.

Bern.: Plattenbreite 1 cm, h — a in cm, N in kg, fe =fe! in qcm, —=15, —?—- =

eb    k — a

^ —- = 0,08 und oe = 1000 kg/qcm.

0,25    0,50    0,05 i 1,00 '    1,25    :    1,50 ! 1,75 j 2,00

0,835    0,930 ! 1,027

0,00114 0,00143 0,00170 =

0,544    0,603 0,663

0,00117 0,00144 0,00172 = —-

b.N

fe

b.N

*z >S

fe

'S

0,382    ! 0,422 0,462

0,00117 0,00145 0,00173

0,287    0,316 0,344

0,001205 0,00148 0,001775

0,219    0,239 0,259

0,00122 0,00149 0,00179

0,2025

0,00181

0,159

0,00182

0,1734 '0,188

0,00124 0,00152

0,1385 0,149

0,00125 0,00154

0,740

88000‘0

0,484

0,549    0,644

0,453

0,000055 0,00033 0,0006

0,365    0,425

0,306

C5

0,00034 0,00062 0,00 0 89

|0,264    0,303    0,343

,0,000345 0,00062.0,000 90

0,203    0,231    0,259

0,00037 0,00064 0,000 9 25

0,00006

0,224

0,0000661

0,174

,0,00008

0,140    ,0,159    0,180    0,1995

0,00009 0,00037 0,00060 0,00094

0,159

0,00095

0,128

0,00096

10,130    '0,144

0,00038 0,00067

0,115

0,00010

0,098    0,108    0,118

'0,00041 10,00069

0,00014

fe

Formeln für

b.N

hA

fe

fe

fe

fe

b.N

fe

b.N

= 0,438 — 0,382 (0,46 -

= 0,296 - 0,238 (ö,46 -

0,218 — 0,158 (ö,46 — j^~)

= 0,170 — 0,113 (0,46 -

= 0,137 — 0,079 (0,46 -

= 0,113 — 0,058 (0,46 -

= 0,096 — 0,041 (0,46--^-)

0,1 [o,92 - (0,46 - h^_ J (1-0,3.0,654)] 3,94 — (0,333 — 0,346). 0,804* 0,00287 — 0,001245

h^ = 4,333²

fe h — a b.N ⁼~N“

ab = 20 4,333

0,08 [0,92 — (0,46 —    (1 - 0,375.0,708)]

~ 3,37 — (0,333 - 0,294). 0,735 '

a = 3,666²

=^-. 0,00465 — 0,00136

Szs 'S

25 3,666

) (1 -0,45.0,742)]

<u

0,0666 [0,92— (0,46

2,96 — (0,333 — 0,258). 0,666

3,222²

b.N

3,222

30

IO

00

az

•g

<0

0,0572 [0,92— (0,46 —    (1-0,525.0,768)]

2,67 — (0,333 — 07232). 0,597

h-- = 2,905²

= -“- 0,01005 — 0,00168

b.N

) (1 -0,6.0,787)]

0,05 [0,92 — (0,46 — -

2,44 — (0,333 — 0,213). 0,528

-^ = 2,666²

= ^-^0,0142 — 0,00189

fe

b.N

0,0444 [0,92 — (0,46 -    (1 - 0,675.0,801)]

2,28 — (0,338 — 0,199). 0,459

h~ 0,0197 — 0,00218

0,04 [0,92 — (o,46 — ^-a) (1 - 0,75.0,813)]

2,15 — (0,333 —0,187). 0,390

= ^-0,0276 — 0,00257

2,905

2,666

2,481

b.N

b.N

in

kg/qcm

o}> — 35

40

45

in

kg/qcm

ab = 50 2,333

Tabelle 10.

Exzentrische Druckbeanspruchung ausserhalb des Kerbes bei rechteckigem Eisenbetontragquerschnitt mit doppelter Eiseneinlage (oben und unten verschieden) und gegebenen Beanspruchungen

ab ==    40 kg/qcm

ae = lOOO kg/qcm

Graphische Darstellung der Beziehungen zwischen Konstruktionsabmessungen und Exzentrizität.

, — = 0,08.

— a

Bern.: Plattenbreite 1 cm, h — a in cm, N in kg, fe und fe¹ in qcm,

Ee

Eb

15, b—

h — a

Formeln für

0,50

0,75

1,00    1,25

1,50

1,75    2,00

0,00

= 0,140 -0,152 (0,46-^) h — a

0,146    0,184    0,222    0,260    0,298    0,886    0,374

fe

N —0,1853

1333

0,0001    0,00088    0,000665 0,00095    0,001235 0,00152    0,00181

fe

= 0,20

= 0,139 — 0,137 (0,46 — h — a

0,1445    0,179    0,213    0,247

0,282    0,316    0,350

fe

N -0,1388

b.N

120,5

0,0001    0,00038    0,00066    0,00095

0,00123    0,00152    0,00180 =

fe

b.N

0,40

0,139-0,123 (o,46

h — a

h —a/

0,144

0,1746

0,205    0,236

0,267    0,297    0,329

fe

— 0,1383

108

0,0001

0,00038

0,00066    0,00095

0,00123    0,001515 0,00179

fe

— 0,60

fe

0,138 — 0,108 (0,46 —    )

0,1333

0,1423

0,1695

0,196

0,223

0,250

0,2775    0,304

b.N

95,5

0,0001

0,00038

0,00066

0,00095

0,001225

0,00151    0,00179 =

fe

b.N

= 0,80

N =0,1375-0,093 (0.46

h — a

0,141

0,1645

0,1875

0,211

0,2345

0,2575

0,2805

fe

N -0,1333

b.N

82,9

0,0001

0,000375

0,000655

0,00094

0,00122

0,00150

fe

0,00178 =¥-¥

fe¹

p = ~ = 1,00

N =0,137 - 0,785 (0,46-^) - — 0,1333

0,140

0,160

0,1795

0,199

0,219

0,239

0,258

fe

69,5

0,0001

0,000375

0,000655

0,00094

0,001215

0,001495

0,00177

fe

= 1,25

N - = 0,136 — 0,605 (0,46 — ^37^)

- — 0,1333

0,1385

0,1535

0,1685

0,1838

0,199

0,214

0,229

fe

b.N

54,6

0,0001

0,000375

0,00065

0,00094

0,00121

0,00149

0,00177

fo

b.N

= 1,50

fe

0,1385-0,043 (o,46 - — 0,1333

h — a/

0,137

0,148

0,159

0,170

0,180

0,191

0,202

b.N

38,9

0,0001

0,000375

0,00065

0,00093

0,00120

0,00148

0,00176

fe

b.N

a = 0,1345 — 0,0254 (o,46 — ^7—)

0,136

0,143

0,148

0,154

0,160

0,166

0,172

= 1,75

fe

N--0,1333

23,2

0,0001

0,00036

0,00062

0,00089

0,000117    0,00144

0,00172

fo

fe¹

~ = 2,00

fe

N - = 0,1333 - 0,008 (o,46 —

- — 0,1333

0,134

0,136

0,138

0,140

0,142

0,144

0,146

fe

b.N

7,3

0,0001

0,00035

0,00059

0,00085

0,00114

0,00140

0,00168

fe

b.N

II. Die doppelt armierte Rippenplatte.

Da hier bei gesuchten Konstruktionsabmessungen die Lage der Hauptachse häufig noch nicht feststehen wird, soll die Entfernung der Kraft von der oberen Plattenkante gt als dasjenige Mass dienen, durch welches die Page der Kraft zur Konstruktion gekennzeichnet wird; im übrigen

(8) ab. a (h — a) (2 — a [in -}- l]) y—^~) -2N(l —    = ab • a² (h — a) (2 — a [m -f- 1])

a¹

)(>-£

j-2N(

a¹

a.

ca

1—P

h-a

(8») jj

ffb-ß

(■

a'

-t

a¹

m-|-l h —a

~?Fe

a¹

Abb. 12.

8-a(m + l)(l-Aa

1 a¹

sollen die in früheren Fällen gebrauchten Bezeichnungsund ß . d = Entfernung der

weisen p =

fe'

ü' a

h — a

Betondruckmittelkraft von Plattenoberkante beibehalten

werden.

Man erhält dann folgende Grundgleichungen (1) fe. oe — fj oe¹ =

Ob [x — df

— N.b

J)(‘

nunmehr erhält man aus Gleichung (6) h — a

i °Vßir

(9)

fe

(2 — a [m -J-1]) — 2

er

• N de

2/1 —

a¹

Ob .

(2 x — d) — N.b,

(2) fe . oe (h — a — a¹) —

(3)

Oe

x — a¹

(2 x — d) {ß d — a¹)

-\- N (g — a¹) . b = 0,

und hat damit in den letzten beiden Gleichungen 2 Gleichungen für die beiden Konstruktionsgrössen, wenn Kraftgrösse, Kraftlage und Beanspruchungsgrenzen gegeben sind.

Setzt man wiederum r—-— h — a

hält man

(10) h^r

a¹

0,08, so er-

Oe

(4) h — a — x = m x;

h — a = x(l-(-m) wo m =

aus (3) und (4) sodann

(Je £b de 1

<Jb 16*

Ob

0,92 —

£i

BP

°,°⁸) (■t — £ [1 — 0,08 (m + 1)] j

[2 — a(m-fl)] 0,92 — (a.ß-0,08)/ 1 —

3 l-ö

I m+¹

(5)

Oe

Ge

(11)

fe

₁ a.ah.

sodann aus (1), (4) und (5) bezw. (2) und (4) (6) fe . oe =

b . N Oe

. Ob • cc (h — a) (2 — a [m 1]) — 2 N m—|—1 \

[2 — a (m -f 1)] — 2

²[¹“m{1 ~°’⁰⁸ fm + lJ)]

2/1--—

a¹

(7) fe • de

(-A)

^ a² (h — a) (2 — a [m -(- 1])

u

) + N-fcia

a¹

1 a1 ah — a

aus (6) und (7) erhält man durch Ausscheidung von fe. o₀

)b

= o,

An dieser Stelle soll von den vorstehenden Formeln nur für die Annahme crb = 40 kg/qcm, oe = 1000 kg/qcm und p = o (also Nichtberücksichtigung einer eventuellen oberen Eiseneinlage) weitere Nutzanwendung gezogen und für diesen Sonderfall die nachfolgende Tabelle XI nebst der zugehörigen Tafel XI gerechnet werden, wobei noch zu beachten ist, dass der Wert a.ß sich in diesem Falle genau wie im Abschnitt A. II. b berechnet zu

1 1 —(1 — 2,667 a)³'

2,667 L

8 a(l — 1,333 a)

Tabelle 11.

x Graphische Darstellung der Beziehungen zwischen Materiah Beanspruchungen und Abmessungen

Tabelle 11.

Exzentrische Druckbeanspruchung ausserhalb des Kerns hei Rippenquerschnitt mit einfacher Eiseneinlage

für ffe = 1000 kg/qcm und ac = 40 kg/qcm.

Graphische Darstellung der Beziehungen zwischen Konstruktionsabmessungen und

Exzentrizität.

Bern.: Plattenbreite 1 cm, k —

0,08.

£e    a

a in cm, N in kg, fe in qcm, — = 15, ——

eb    h —

fe

b.N

0,92 —

gi

0,08^

1,00 h

20 a ‘ (2 — 2,667 a) [0,92 — («./? — 0,08)J    20 a (2 — 2,667 a) (0,92 — a.ß— 0,08)'

1 / h —

50 r⁻ N

- [2 — 2,667 a] — 0,0ö).

«. ß — 0,08 0,92 — (a. ß — 0,08 «(2 — 2,667 a)

+ 0,25    ±0    -0,25 —0,50

0,75 — 1,00 i — 1,25 ! — 1,50

a= 0,05 -0,0055

0,975

0,0933

h--^ = 0,413 0,550

N

0,687    0,825    0,962

1,10

1,237

1,373    =

fe

b.N

0,00003 0,000283 0,00054 0,000796 0,001056 0,001308 0,001564

b.N

a = 0,10 —0,0325

0,9525

- = 0,227 0,303    0,378    0,454    0,530    0,605

0,681

0,756

0,1733

0,00005 0,00031 0,000572 0,00084 0,001096 0,001362

0,00162 =

fe

«=0,15

— 0,011

0,933

0,240

- = 0,1677 0,2235    0,279

0,335    0,391    0,446    0,503    0,558

'N

fe

b.N

0,00007 0,00034

0,00061 0,00088 0,00114 0,00143 0,00168

fe

b.N

a — 0,20

+ 0,008

0,912

0,2933

öS

— = 0,1402 0,187    0,234

0,280    0,327    0,374    0,420    0,467

b.N

0,00010 0,00037

0,00064 0,00092 0,001195 0,00146 0,00174

b.N

a = 0,25

+ 0,024

0,896

0,3333

0,1257 0,1675    0,209    0,251    0,293    0,335

0,418

0,000125 0,000392 0,00067 0,000954 0,00123

fe

°-⁰⁰¹⁷⁸⁵=-b7if

a = 0,30

+ 0,037

0,883

0,3609

b.N

- = 0,118 0,1573    0,1968    0,236    0,275    0,315    0,354    0,393

0,000185 0,000415 0,00070 0,00098 0,001266 0,00155 0,00183 =y^

Zur Erläuterung der Tabelle 11 sei noch ein kleines Beispiel hier angeführt und durchgerechnet.

* 3.4/7?. f 3,km. *

—o---

3.50 m. ___T. _

25,00 m. —

Abb. 13,

Ein langes Hallendach von 25 m Spannweite (s. Abb. 11) soll als Zweigelenkbogen, bestehend aus Eiscnbetonrippenplatten mit eiserner Zugstange konstruiert werden in den in der Abbildung angegebenen Abmessungen. Die 7 cm starken Platten haben einschliesslich des deckenden Asphaltanstrichs Eigengewicht

Veränderliche Last (Schnee und lotrechter Winddruck) p = 150 kg/qm

q = 338 kg/qm

Die Platten können als kontinuierliche, über den Rippen durchlaufende Träger berechnet werden, wenn über den Rippen für Aufnahme eines genügend grossen Stützenmomentes gesorgt wird. Da ferner Wind und Schnee stets gleichmässig über mehrere nebeneinander liegende Felder verteilt angenommen werden können, so kann man mit Ausnahme der beiden Endfelder jederseits — welche entweder stärkere Platten oder kleinere Feldbreiten erhalten müssen — nach den Formeln für überall gleichmässig verteilte Last rechnen (s. Hütte und andere Lehrbücher) und erhält für einen 1 cm breiten Streifen

Feldmittelmoment Mx 0,05 q l² = 0,05.0,0338.340² = 196 cm/kg M₂<+,09 q l² = 0,09.0,0338.340² = 352 cm/kg. Nimmt man als zulässig an erb = 40 kg/qem Oe = 1200 kg/qcm, so erhält man nach Tafel I für

Feld-    _

mitte l fe = 0,00228l/Mj =0,0319 qcm/lfd. m = 3,19 qcm/lfd. m.

g = 0,07.2400 + 20 = 188 kg/qm

Schnittes legen und soll dieselbe hier so angenommen werden, dass auf der belasteten Seite die Kraft D₂ um 20 cm ausserhalb der Plattenoberkante fällt. Man wird annehmen können, dass ebenso wie bei Rippenplatten mit einfacher Biegungsbeanspruchung auch hier ein Teil der Platte in der Druckzone mit einbezogen werden kann. Da jedoch die Drucklinie nur auf der halben Spannweite sich oberhalb

300

— -O N

g= -20 cm._

1cm .    .

Stützenmoment

f h — a = 0,41 f/ Mx = 5,75

cm

Es muss gewählt werden h = 7 cm und Rundeisen 7 mm 0

0,38.100

(0,38 qcm) in 12 cm Abstand mit fe =

= 3,17 qcm/lfd. m.

12,0

Wird über den Rippen ein um das andere Eisen gestossen, jedoch mit genügenden Überständen, so dass über Rippenmitte die ge-stosseuen Enden voll wirken, lässt man aber, um auch dicht neben den Rippen an Plattenunterkante nicht jeglicher Einlage zu entbehren, jedes dritte durchgehende Eisen (also auf je 72 cm eines) unabge-bogen unten durchgehen, so hat man über den Rippen nahe Plattenoberkante

fe

0,38.100

72

(6 . + — 1) = 4,22 qcm/lfd. m.

Man hat demnach das Verhältnis 4,22_

b j/M 100 i/352 Dem entspricht nach Tafel I

= 0,415 mit Oe = 1200 kg/qcm und ob = 39,2 kg/qcm.

fe

= 0,00225.

+/

___J

20.620-0.6 cm.

— — frz-

__ Bogenoxe

h-a

Abb. 14.

der Mittelachse bewegt, so kann man nicht so weit gehen wie bei reiner Biegung und soll hier nur ^ der Spannweite oder rd 300 cm als Tragquerschnitt herangezogen werden. Man erhält dann für einen D₂    24200

~b~    300

1 cm breiten Streifen

= 80,6 = N.

Nunmehr muss

wieder versuchsweise einen Wert h —a annehmen und sehen, ob

man

sich derselbe auf Grund der Tafel XI als richtig erweist. (Es soll hier jetzt 1000 kg/qcm für Oe angenommen werden.)

h = 30 cm ergibt h—a<

= 27,6 cm J

h—a

h—a

h = 25 cm ergibt h—al = 23,0 cm _ +

20

27,6

27,6

20

23

23

= —0,725

=    0,254

= -0,85

0,30

h—a

letzteren Werten ent- N

spricht nach Tafel XI

- = 0,285

statt

27,6

80,6

= 0,345 A — —0,06

letzteren Werten ent- N

spricht nach Tafel XI

= 0,290

statt

23

80,6

= 0,285 A = +0,005

Danach liegt der richtige Wert h—a zwischen obigen Annahmen und zwar 12 mal so nah bei 25 als bei 30, also bei 25,4 und man erhält tatsächlich

h = 25,4 cm

20

/M

fiir

23,37

= —0,855

erforderlich h—a

Demnach erforderlich h—a = 0,415 j/352 = 7,79 Für die Binderrippe ergibt sich Platte 3,4 (0,07.2400 + 20) = 640 kg/lfd. m

160 kg/lfd. m

Rippe und Zugstange

h—a= 23,37 cm

cm.

23,37

-- = 0,29 °>²⁹⁸ nach Tafel XI

während vorhanden ist schnitt ergibt sich

23,37

80,6

= 0,29; als notwendiger Eisenquer

g = 800 kg/lfd. m = 8 kg/lfd. cm. Schnee und lotrechte Windkraft = 3,40.150 = 510 kg/lfd. in

= 5,1 kg/lfd. m.

Der Bogen soll als flache Parabel konstruiert werden, so dass man ein Moment lediglich aus der beweglichen Last erhält und zwar

fe

= 0,0011 fe = 30 . 80,6.0,0011 = 26,6 qcm.

p l²

in gleicher Grösse von =-— auf der belasteten und unbelasteten Seite, 64

also

b.N

Es ist nunmehr zu untersuchen, ob auf der unbelasteten Seite für die vorstehend angenommenen Kraft- und Achslagen die zulässigen Beanspruchungen nicht überschritten werden.

35

pl²

5,1 . 250²

04

64

498 000 cm kg.

0.6

--r

Für die Querschnitte, an welchen diese Momente auftreten, ergibt

sich ferner

l²

'Bogeridxe

199

19.3

2500²

OöÖ

Vx = 1 (0,2676 g-f 0,16 p) = 2500 (2,14 + 0,816) = 7400 kg 2500²

Unbelastete H₁ = —- (g-f-0,6 p) = Seite

(8,0 + 3,06) = 24 700 kg

- -O-

25.9

la

5,5 cm.

(g + 0,4 p)

(8,0+ 2,04) = 23 200 kg

V₂ = 1(0,2676g + 0,1076p)= 2500 (2,14 + 0,55) = 6730kg Hieraus ergeben sich die Normalkräfte D und Exzentrizitäten Di = yHj² + Vx2 1 = y 24 700² + 74002 1 = 25 800 kg 498000

---= 19,3 cm

25800

D₂ = |/H₂² + V₂²¹ = -j/23200² + 67302 1 = 24 200 kg 498000 24200"

Man muss nunmehr eine Annahme für eine Bogenmittellinie machen. Diese wird man möglichst an die Oberkante des Tragquer-

Belastete H₂ = Seite

8.350

'2,0__+ _

f ~~

ei

Di

e₂ = -

20,6 cm

fc=26.6qcm.

Abb. 15.

Die Kraft Dj = 25 800 kg fällt 19,3 cm unter Bogenachse, also 19,9 cm unter Rippenoberkaute und 5,5 cm über Rippenunterkante. Nimmt man versuchsweise Zahlen für ab und x an, so findet bald, dass die Betonbeanspruchung noch unter 40 kg/qcm liegt, denn für ab — 40 kg/qcm und x = 20 cm ergibt sich XN 28 400 kg > 25 800 kg und auch die Resultierende der inneren Kräfte liegt noch näher an der Aussenkante als 5,5 cm, so dass diese Zahlen nicht erreicht werden.

man

C. Anwendungen der Allgemeinen Statik für Eisenbetonkonstruktionen.

Zum Schluss mögen noch einige Gebiete der allgemeinen Statik kurz betrachtet werden, welche bei der Berechnung von Eisenbetonkonstruktionen in erster Linie in Frage kommen, da bezüglich Annahme der äusseren Kräfte die verschiedensten Behandlungen stattfinden. Findet man doch Tabellenwerke über Eisenbetonkonstruktionen, welche für die gewöhnliche Eisenbetonplatte völlige wagerechte Einspannung der Plattenenden annehmen und dennoch das

berechnen und

Mittelmoment der Platte mit der Grösse

ql²

24

bei solchen Eisenbetonrippen — unbedenklich die Theorie der über Stützen gleicher Höbe durchlaufenden Platten angewendet werden kann. Dieses kann um so mehr geschehen, weil die starke Verbindung der Platte mit den Rippen, welche stets grösser ist als die Verbindung einer Eisenbetonplatte mit I-Trägern, in solchem Falle eine rechnerisch schwer zu berücksichtigende besondere Sicherheit bietet in Gestalt eines Torsions Widerstandes der Rippe gegen Verdrehung aus der Vertikalen, also der mit ihr verbundenen Platte aus der Horizontalen.

für diese Annahme Tabellen zur direkten Ablesung der Plattenstärke und Grösse der Eiseneinlage für gegebene Spannweite und Verkehrslastgrösse bieten. Da es aber unmöglich ist, eine wagerechte Einspannung mit dem Ein-

bei diesen Konstruktionen zu ge-

ql²

Spannungsmoment ^

währleisten, so können derartige Werke in den Händen ungeübter Techniker vielen Schaden anrichten und wenn man genauer nachforschen würde, so würde sich wohl herausstellen, dass ein grosser Teil der vorgekommenen Deckeneinstürze auf solche Grundlage zurückzuführen ist.

Die „Leitsätze“ und „Bestimmungen“ haben allerdings in diesem Punkte aufklärend gewirkt und auch infolge der direkten Anweisung der Aufsichtsbehörden eine etwas einheitliche Behandlung gefördert. Immerhin könnte durch eingehendere Vorschriften auf diesem Gebiete noch vieles geschehen. So wird z. B. die Frage, ob die über eine grössere Anzahl von Stützen fortlaufende Platte als kontinuierliche Platte angesehen werden kann, noch verschieden behandelt. Da an vielen Stellen die Ansicht besteht, dass dieses wohl bei überall festen Stützen geschehen kann, nicht aber wenn die Stützen der Platten durch Träger oder Eisenbetonrippen gebildet werden, weil diese sich durchbiegen und deshalb die Grundlage der Theorie des Trägers auf mehreren Stützen gleicher Höhenlage nicht vorliegt. Die Probebelastungen und gleichzeitig ausgeführten Durchbiegungsmessungen derartiger Konstruktionen ergeben jedoch wenigstens bei Eisenbetonrippen, welche eine einigermassen gute Auflagerung erhalten, so dass auch eine gewisse Einspannung der Enden stattfindet, noch mehr aber bei solchen, welche ihrerseits wiederum über mehrere Stützen fortlaufen, als durchlaufende Träger konstruiert und zur Aufnahme von Stützenmomenten ausgerüstet sind, eine solch geringe Durchbiegung, dass für die Platten — wenigstens

J Öhre ns, Eisenbeton-Berechnungen.

a) Mo me ii ten b erech n un g en.

Im folgenden sollen nunmehr für die bei über gleichhohen Stützen durchlaufenden Platten hauptsächlich vor-kommenden Fälle der Maximalmomente für mehrere Ver-

s    eil² fe 4- d! l²

hältnisse - berechnet und auf den Wert =    -—-—

p    xx

zurückgeführt werden, wo x für jeden einzelnen Fall zu bestimmen ist.

Fall 1.

Träger mit 2 gleichen Feldern.

- - MO - -

kf—mi -

Abb. 16.

0,5

II *

*0 CfQ

of

a) Mo = 0,07 gl² + 0,095 pl²

b) Mi =0,125 (g + P)l²

El*

o-t ~

qV

12,1

q i²

12,75

ql²

- 26

Fall 2.

Fall 4.

Träger mit Begleichen Feldern.

Träger mit 3 Feldern und gleichen Mittelmomenten.

- <a

-h*

ca

Cb

•**«(

C5

0 IN- -

•—Ml

ca

ca

---

Abb. 17.

— -V

Io

°:2tV

l’<vfTv

Abb. 19.

W)| ft

II «

Ni

Cn

V |oq

Die beiden Gleichungen

a) Mo = 0,08 gl² + 0,100 pl!

_ «Ü.

10,7

ql²

11,1

ql²

11,5

(1) Mo

max

1 max

q L²

3 -4- 6 v — —

q

b) Mi = 0,10 gl² + 0,1167 pl²

₌ qi²

ql²

9,0

9,2

ql²

9,5

32 l(2 -)- 3 v) (2 —j— v)

c) Mi = 0,025 gl² + 0,075 pl

ql²

ql²

ql²

17,1

20

24

(2) M, ₄

Fall 3.

Träger mit 4 gleichen Feldern.

0><s>

ca

Vs

-- MO

N----MI

L IM --

Abb. 18.

m| ft

in

II ■*

ca

[>Cb

Mi ft

a) M₀= 0,07714gl² + 0,09857 pl²

ql²

ql²

10,9

11,4

Ip

b) Mi = 0,10714 gl² -f 0,12054 pl²

= 5i²

ql²

8j

8,8

qP

9,0

c) = 0,03572 gl² + 0,08036 pl²

ql²

15,2

ql²

ql²

17,2

19,8

d) Mii= 0,07143 gl² + 0,10714 pl²

qP

10,5

qp

11,2

qP

12,0

bei er¹

(2 -j- v) v² — 2

8 ' (2 -f- v)² (2 —3 v)’

q L²

^j^₂2-(-2v-(-2v3-|-v⁴---

(2 + v)³(2 + 3v)

ergeben folgende Verhältnisse:

a)    _Mo_] _

b)    Mx t

c) Mi

rl |<M

V |cnj

Ni

to

v = 1,22

v = 1,28

v = 1,24

qV_qh²    qi₀a qV    qv _ qh*

10,90    16,2    11,80 ~ 17,80    12,8    19,7

q V _ q h² qjo² _ q_v_ 7,35    ] 1,00    7,50    11,30

qli²

11,65

OJ

fco

01 | 6

0,9 1,0

"*|«> -¹ cg

cf|r-l

V?

00

c—

CO

H<

03

cg

7 I 8 I 9 I 10

°°

HJ.

03

<N

r-H

<=»

°°

t>

’-' 03 cf !»h

H<

- HT

CT- ■—l

>3

eT |t-<

er <M

nega- nega- nega- q 1^ q lt2 tiv tiv tiv 1287) 35,7

>3-

C7< r-i

*«\*L ~ cg

C'lrH --¹ ca

Cf T-H

er¹ r-H

>3

er* »—i

"cg <*

—• T-H

er¹ t-h

qV ql₂² ql₂² ql₂² qV 13,4 13,1 12,3 11,9 11,9

>3

r~

Fall 5.

2 ungleich weite Felder.

- >K- -

-<]

--M2- ~

Abb. 20.

9 ! 10    1,2314    5 I 6

00

CO

r^lr^ ^

Hi

<**

co

<*L

|(M

CO

Jao| p.

IO

JIJ

CO

cg

0,1    0,2    0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 | 0,8 0,9 j 1,0

9¹! I <1 Vi nega- nega- nega- q lx² q lj² j q lx² q V q l,² q 1*

11,6 11,5 tiv tiv tiv 58,3 23,5 16,9 14,4 13,1 12,4

er t-h

"^Tö^

—' T-H

er h

"c, ■>"

r"“' r-H

er rH

S- ~⁰⁰

3"

s- >|3

CO    kO

O ^ 03

q i₂²

11,7

0,7

q i₂²

10,1

N-0 ~ CQ

Cf i—I

>3

CT¹ rH

°4

^ CO o* rH

*—• ico er¹1 t—«

nega- nega- q 1, q lx2 tiv tiv 151,0,25,5

"«•>

r—' rH CT rH

CO

eT " ©

w    cf ,1—I

>15    1^5 >is

CT¹ t-H "c <=*

~ TH

er t-h

"c CO OQ er* rH

CT rH

%g|^l

er

ICO

:th

q i₂²

11,5

CT rH

qi₂²

11,4

"cg ^

r-H

eT r-H

>P

er I h

CT¹ r-H

ql₂² ql₂² ql₂² ql₂²

18,4 13,1 12,3 11,9

3“

er i t-h

s- >|i

er.

>|oo

er

!od

Mt =

CO

CO

-S’l-r

r4*|^r

SOI o"

4-

T-H

taol cf

H<

qli²

zY

a) M>=2i = lT

B² q 1₂²

b) M! = 25 ⁼ T

Mt)1

(>+*)

qV

^ c) Mi =

Die im vorstehenden behandelten Fälle bieten wohl für die weitaus grösste Mehrzahl der vorkommenden Berechnungen durchlaufender Platten mit gleichmässig verteilter Eigenlast und Verkehrslast genügenden Anhalt zur schnellen Aufstellung eines angenäherten Wertes der auf-tretenden Maximalmomente. Bei besonders verwickelten Feldverhältnissen und beim Auftreten von Einzellasten wird am besten graphische Bestimmung der Momente vorgenommen mittelst der bekannten auf Grund der Clapeyron ’schen Gleichungen aufgebauten Konstruktion der Stützenmomenten-linien. Bei Konstruktionen mit veränderlichen Verkehrseinzellasten (Brücken) ist man gegebenenfalls gezwungen, Einflusslinien für die Momenten an den verschiedensten Punkten des durchlaufenden Trägers aufzustellen und auch hierbei bedient man sich am besten der Konstruktion mittels der obengenannten Stützenmomentenlinien, worauf hier kurz eingegangen werden möge.

Diese einzelnen Werte T sind die einzigen Veränderungen bei den verschiedenen Laststellungen, sonst werden stets bei jeder neuen Laststellung die sämtlichen Hilfslinienzüge wieder benutzt. Fügt man zu den durch diese Konstruktion erhaltenen Stützenmomentenlinienzügen sodann noch den Dreieckszug in dem belasteten Felde für einen in diesem Felde angenommenen einfachen Träger auf 2 Stützen hinzu, so hat man die Momentenlinie für die Belastung 1 in dem betreffenden Punkte.

V.

-i'f

CD

No

I---

Pm

Pm+1

iß

am

bm ^am+1 bm + 1

tu

il

fr

¹    :    '<f i

|    ; I f

^Momentenlinie für Last im Feld J.

hO

W\

f)\-1

n+1

Im

->K-

lm + 1

$2 fei \ßomentenlinie für Ld st¹

liill ! WfM2. j

Abb. 21.

HP

fThf "i

Man muss zunächst die Momentenlinien für eine wandernde Last 1 in genügend vielen Punkten des durchlaufenden Trägers graphisch darstellen. Die Abbildung 22 zeigt die Konstruktion dieser Momentenlinien bei einem Träger auf 4 Stützen für je einen Punkt im Endfeld und im Mittelfeld. Hierbei ist in den sogenannten verschränkten Drittelpunkten allgemein auf einen Träger auf n Stützen bei der mten Stütze der Wert (siehe Abb. 21)

menteneinf/uss/inie f.P.r.

Abb. 22.

T

-¹ m

1    p am bm

3(im+im+1) L mx"

-\- Pm -(- 1 ’

Om -j- am)

am + 1 • bm + 1

Im 4 1

aufzutragen. Da im vorliegenden Falle überhaupt nur auf dem ganzen Träger jedesmal die eine Last 1 vorhanden ist, so kann der Wert T immer nur aus einem Gliede bestehen; sodann wird, solange die Last 1 in einem Endfeld sich bewegt, allein bei der nicht gelegenen Stütze an Wert T aufzutragen sein, in Abb. 22

Jede solche Momentenlinie erhält aber für jede der aufzutragenden Momenteneinflusslinien je eine Ordinate, indem z. B. für die Momenteneinflusslinie des Punktes r (siehe Abb. 22) der Wert aus der erst gezeichneten Momentenlinie und der Wert d₂ aus der zweiten zu entnehmen ist. So kann man, nachdem man zunächst sämtliche Momentenlinien für eine wandernde Last 1 untereinander aufgetragen hat, durch anderweitige Zusammenstellung der Ordinaten derselben die gesuchten Momenteneinflusslinien für jeden Punkt des durchlaufenden Trägers sich darstellen.

T.=

ai bi

3 0i+]₂)    *i

Oi 4" ai)

nur wenn die Last im Mittelfeld ist, ist je ein Wert T bei jeder inneren Stütze aufzutragen, hier

T.

O2 H- a<?)*

b) Tabelle für Plattenabmessungen und Spannweiten bei normalen Belastungsverhältnissen.

Für diejenigen Ausführungen einfach armierter Platten, bei welchen die im vorstehenden behandelten einfachen Fälle 1 und 5 vorliegen, ist im nachfolgenden eine Tabelle geschaffen, die in solchen Fällen bei normalen Eigengewichtskonstruktionen, bei welchen ausser dem Gewicht der reinen Eisenbetonplatte noch 50 bis 60 kg/qm an zum Deckeneigengewicht in Ansatz kommen, und für die meist vorkommenden Verkehrslasten von 250, 400 und 750 kg/qm die Abmessungen bezw. Spannweiten bei den verschiedensten Momentengrössen sogleich abzulesen gestatten, lässige Beanspruchungsgrenzen sind hierbei oe = 1000 kg/qcm und öb = 40 kg/qcm angenommen.

Als zu-

to

05

Einfach armierte Eisenketonplatten mit Beanspruchung = 40 kg/qcm, ue = 1000 kg/qcm.

(Eigengewichtszuschlag für Putz und Belag zum Netto-Deckengewicht 50—60 kg/qm.)

Verkehrslast 7o0 kg/qm

Verkehrslast 400 kg/qm

Verkehrslast 250 kg/qm

Zulässige Stützweite in cm bei Momentformel

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Zulässige Stützweite in cm bei Momentformel

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Inhalt der elf Tafeln.

Einfache Eisenarmierung.

Graphische Darstellung der Beziehungen zwischen Material-Beanspruchungen und Abmessungen bei Betoneisen-Tragplatten Graphische Darstellung der Beziehungen zwischen Material-Beanspruchungen und Abmessungen der Betoneisen-Plattenbalken mit

Tafel

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VI

Doppelte Eisenarmierung.

Graphische Darstellung der Beziehungen zwischen Material-Beanspruchungen und Abmessungen bei Eisenbeton-Tragplatten mit

Beanspruchung der unteren Eiseneinlage von 1000 kg/qcm............

Graphische Darstellung der Beziehungen der Abmessungsverhältnisse von Eisenbeton-Rippenplatten bei gegebenen Beanspruchungen ob — 40 kg/qcm, Oe = 1000 kg/qcm Exzentrische Druckbeanspruchung ausserhalb des Kerns bei rechteckigem Eisenbetontragquerschnitt. Doppelte Eiseneinlage Fe = Fel, Oe = 1000 kg/qcm. Graphische Darstellung der Beziehungen zwischen Konstruktionsabmessungen, Exzentrizität und Betonbeanspruchung......... -........

Exzentrische Druckbeanspruchung ausserhalb des Kerns bei rechteckigem Eisenbetontragquerschnitt. Doppelte Eisenanlage (oben und unten verschieden). Graphische Darstellung der Beziehungen zwischen Konstruktionsabmessungen und Exzentrizität für ob = 40 kg/qcm, oe == 1000 kg/qcm...............

Exzentrische Druckbeanspruchung ausserhalb des Kerns, Rippenförmiger Querschnitt mit Vernachlässigung einer eventuell vorhandenen oberen Eiseneinlage. Graphische Darstellung der Beziehungen zwischen Kraft, Kraftlage und Konstruktionsabmessungen auf der Grundlage aru = 40 kg/qcm, oe = 1000 kg/qcm..........

VII

. VIII

IX

Einfache Eisenarmierung.

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x Graphische Darstellung der Beziehungen zwischen Materiah Beanspruchungen und Abmessungen

bei Betoneisen = Tragplatten

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Bemerkung: Plattenbreite-1 cm, ha in cm, M in cmkg,

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A Graphische Darstellung der Beziehungen zwischen Material-Beanspruchungen und Abmessungen

der Betoneisen -Plattenbalken mit ^-0,10.

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Graphische Darstellung der Beziehungen zwischen Material* Beanspruchungen und Abmessungen

der Betoneisen = Plattenbalken mit^™0,15.

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Graphische Darstellung der Beziehungen zwischen Material- Beanspruchungen und Abmessungen

h-a    der Betoneisen “Plattenbalken mit^—0,20.

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Bemerkung: Plattenbreite-1 cm, ha in cm, M in cmkg

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P —5—1 Graphische Darstellung der Beziehungen zwischen Material-Beanspruchungen und Abmessungen

1 _hia    der Betoneisen ■ Plattenbalken mit r^-r-0,25’

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Bemerkung: Plattenbreite-1 cm, ha in cm, M in cmkg

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Graphische Darstellung der Beziehungen zwischen Material-Beanspruchungen und Abmessung

der Betoneisen ■ Plattenbalken mitX’0,30.

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■^px Graphische Darstellung der Beziehungen zwischen Material - Beanspruchungen und Abmessungen bei Eisenbeton =Tragplatten mit Beanspruchung der unteren Eiseneinlage von 1000 kg/q

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Fe obere Eiseneinla£e ^ Fe untere Eisenein läge

Bemerkung: Plattenbreite 1cm, h-aincm, Min cmk£, Fein qcm, -EiL-15, h_a-8,Oe 1000 kg/qcm.

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Doppelte Eisenarmierung.

h^a Graphische Darstellung der Beziehungen der Abmessungsverhältnisse von Eisenbeton-Rippenplatten

bei gegebenen Beanspruchungen 0'i]s40kg/qcm, 0*e- 1000k£/qcm.

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1.2    1,1    1,0    0.9    0,8    0,7

0,6    0,5

Oft 0,3    0,2

Fe obere EiseneinlaÄe ^ Fe untere Eiseneinlage

Bemerkung: Plattenbreite 1cm, h-a in cm, M in cmkg, Fein qcm, b_e-15^ h_ü:-8I<Te 1000 kg/qcm, CTb - 4 0 kg/q cm.

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Berichtigung für Tafel IX.

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Die lotrechten Linien geben die Einteilung für —

von 0 bis 2, nicht für verschiedene Werte p = ⁶ wie irr-

tümlich am Fusse des Diagrammes angegeben; letzterer Wert ist konstant, wie die Überschrift ergibt.

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Excentrische Druckbeanspnuchung ausserhalb des Kerns bei rechteckigem Eisenbetontra^querschnitt.

Doppelte Eiseneinla£e Fe-Fe', (Te = 1000kg/q Graphische Darstellung der Beziehungen zwischen Konstructionsabmessun^en,Excentricität und Betonbeanspruchun£.

0,2    03    0£    0,5    0,6    0,7    0,8    0,9    1,0    1,1    1,2    1.3 1A 1.5    1,6    1.7    18    1,9    2,0

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Excentrische Druckbeanspruchunyj) ausserhalb des Kerns bei rechteckigem Eisen bete ntragquerschnitt.

Doppelte Eiseneinlage (oben und unten verschieden) .

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Graphische Darstellung der Beziehungen zwischen Konstruktionsabmessun^en und Excentricität.

für 0^=40 Kg/qcm, (Te= 1000Kg/qcm.

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Bemerkung: Piaffenbreite 1cm, h-a in cm, N in kg, Fe und Fe' in qcm, Ee_-15, _a ^

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II

Excentrische Druckbeanspruchung ausserhalb des Kerns.

Ü    Rippenformiger Querschnitt mit Vernachlässigung einer eventuell vorhandenen oberen Eiseneinlage.

Graphische Darstellung der Beziehungen zwischen Kraft, Kraftlage und Konstruktionsabmessungen auf der Grundlage

Gb-40Kg/qcm, tfe=1000Kg/q

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Bemerkung Platten breite 1cm, h-a in cm, N in Kg, Fe und Fe in qcm

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