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Eisenbeton - Konstruktionen

Eisenbeton - Konstruktionen

2. Bestimmung (1er richtigen Gewölbeform und deren Berechnung durch Stützlinien.

gering sind) und die Eisen sind auf ca. 1,1 m Läng

Die Momentenflächen des Balkens CD sind durch die

Abb. 120.

Aus der Berechnung des Sektors als eingespanntes G

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Eisenbeton - Konstruktionen

mit genauer

Gewölbe- und Rahmenberechnung

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und

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Von

Heinrich Pilgrim

Dr.-Ingenieur in Stuttgart.

Mit 140 Abbildungen im Texte.

Wiesbaden C. W. Kreidel’s Verlag 1910.

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Vollständige

theoretische und praktische Berechnung

der

Eisenbeton - Konstruktionen

mit genauer

Gewölbe- und Rahmenberechnung und ausführlichen Beispielen.

Von

Heinrich Pilgrim

Dr.-Ingenieur in Stuttgart.

Mit 140 Abbildungen im Texte.

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Wiesbaden

C. W. Kreidel’s Verlag 1910.

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Der Sonderabdruck aus der Hannoverschen Zeitschrift für Architektur und Ingenieurwesen, Heft 3, Jahrg. 1909, ist durch das freundliche Entgegenkommen des Verlags von C. W. Kreidel in Wiesbaden zu einer vollständigen Abhandlung über Eisenbeton-Konstruktionen erweitert worden.

Der erstere ist auf S. 8—11, 17—30, 74—79 enthalten und umfaßt 24 Seiten, während die Erweiterung auf S. 12—16, 31 — 73, 80—92 oder 61 Seiten enthalten ist, und hierzu noch ein Sonderabdruck aus der Zeitschrift Beton und Eisen, Heft 11—12, Jahrg. 1909, auf S. 93—100 kommt.

Hierdurch ist der obige Sonderabdruck zu einem vollständigen Handbuch für den Eisenbetonbau geworden, in welchem alle zur Berechnung von Eisenbeton-Konstruktionen erforderlichen Formeln enthalten sind, und deren praktische Anwendung aus zahlreichen Beispielen ersichtlich ist. Die ausführliche Berechnung der Beispiele erleichtert deren direkte Anwendung auf die Praxis, indem in den Zahlenbeispielen der ganze Gang der Berechnung enthalten ist, welche auf ähnliche Fälle leicht übertragen werden kann. Hierbei sind besonders die Dimensionierungs-formeln von großem Vorteil, da sie die richtigen Dimensionen direkt angeben, und dadurch der Zeitaufwand für das Probieren wegfällt.

Da die in den Beispielen angewendete Berechnungsweise mit den Leitsätzen des Deutschen Architekten- und Ingenieur-Vereins sowie mit den preußischen Bestimmungen und auch mit den württembergischen Vorschriften für die Berechnung von Eisenbetonbauten übereinstimmt, so hofft der Verfasser, daß sie allgemeine Verbreitung und Anwendung in der Praxis finden möge.

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Seite

I. Berechnung der Zugspannungen des Betons in Eisenbeton-Konstruktionen II. Berechnung der Eisenbeton-Konstruktionen ohne die Mitwirkung des Zugs im Beton .10

A.    Formeln für einfache Biegung von Bauteilen........................

B.    Formeln für exzentrische Beanspruchung (Biegung mit Achsial kraft).............

C.    Entwicklung der Formeln 2 c und 4 c für einfache Biegung und Schubspannungen ......

III.    Entwicklung der Formeln für beliebigen Eisen- und Betonquerschnitt ...

1.    Formeln für beliebigen Eisenquerschnitt bei einfacher Biegung und exzentrischer Beanspruchung

2.    Formeln für beliebigen Beton- und Eisenquerschnitt bei einfacher Biegung..........

3.    Formeln für beliebigen Beton- und Eisenquerschnitt bei exzentrischer Beanspruchung.....

4.    Formeln für beliebigen Beton- und Eisenquerschnitt mit Hohlräumen des Betons.......

IV.    Berechnung der Bügel für eine Eisenbetonkonstruktion.............

1.    Berechnung der Bügel und der abzubiegenden Eisen aus der Schubspannung des Betons . . .

2.    Begründung der obigen Berechnungsweise aus Versuchen mit Eisenbetonbalken .......

3.    Anwendung der obigen Berechnungsweise auf zwei Beispiele von Brücken..........

V. Aeltere und neuere Berechnungsweise für das Eisenbetongewölbe einer Bahnbrücke .... 36

1.    Dimensionierung des Gewölbes l.aeli Formeln von Tolkmitt, Winkler und Müller-Breslau. . .

2.    Bestimmung der richtigen Gewölbeform und deren Berechnung durch Stützlinien.......

3.    Berechnung des Eisenbetongewölbes nach der Elastizitätstheorie von Professor Dr. Weyrauch

4.    Berechnung des Eisenbetongewölbes nach der Elastizitätstheorie von Professor Mörsch . . .

5.    Berechnung des Eisenbetongewölbes mit Rundeisen und mit Gitterträgern..........

6.    Berechnung des Widerlagers für das Eisenbetongewölbe..................

VI. Berechnung von Rahmenkonstruktionen in Eisenbeton............

1.    Vergleichung der Ergebnisse für verschiedene Berechnungsweisen derselben.........

2.    Berechnungsweise der Rahmenkonstruktionen nach Professor Dr. Müller-Breslau.......

3.    Beispiel der Berechnung einer eingespannten Straßenbrücke aus Eisenbeton.........

4.    Beispiel der Berechnung eines unten eingespannten Lokomotivschuppens aus Eisenbeton . . .

5.    Anwendung der obigen Berechnungsweisen auf verschiedene Rahmenkonstruktionen.....

VII. Beispiele zur DimensionenberechnuDg ......................

1.    Berechnung einer Eisenbeton-Bahnbrücke mit drei Oeffnungen von 7 m Stützweite......

2.    Berechnung des Mittelpfeilers aus Eisenbeton für eine Bogenbrücke............

3.    Berechnung einer an vier Seiten aufliegenden Kassettendecke mit kreuzweiser Armierung . .

4.    Berechnung eines halbkugelförmigen Wasserbehälters aus Eisenbeton ...........

VIII. Berechnung der Straßenbrücke über den Schussenkanal in Ravensburg

1.    Allgemeine Angaben .............. . ...................

2.    Berechnung der Fahrbahnplatte .............................

3.    Berechnung der Plattenbalken..............................

4.    Berechnung der abzubiegenden Eisen für die Fahrbahnplatte ...............

5.    Berechnung der Eisen zur Aufnahme der Schubspannungen im Plattenbalken.......

6.    Berechnung der Querrippen und der Konsolen ......................

12

13

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17

19

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27

31

31

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46

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52

52

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. 61

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73

73

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93

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97

Einleitung.

Die vorliegende Abhandlung ist ein bedeutend erweiterter Sonderabdruck der in Heft 3 von 1909 der Hannoverschen Zeitschrift für Architektur und Ingenieurwesen von mir veröffentlichten: Ergänzungen zur Berechnung der Betoneisenkonstruktionen, und es wird darin auf die dreierlei Berechnung der letztem mit Berücksichtigung des Zugbetons,

Die nach den Versuchen konstant

mit dem zulässigen Teil = 4kg desselben, und ohne denselben hingewiesen.

— 12kg (worin o₆ angenähert ohne den Zug des

mitwirkende Zugspannung des Betons ergibt sich angenähert aus

Betons berechnet werden kann) und der Einsetzung von 0 (statt 10) in die Formeln mit Berücksichtigung des Zugbetons. Durch die letztem ist der (reduzierende) Einfluß der teilweisen Mitwirkung des Zugbetons auf die Spannungen der Eiseneinlagen bestimmt worden, und derselbe beträgt im Mittel 10 °/₀ derselben (bei Berücksichtigung des ganzen mitwirkenden Zugbetons im Mittel 30 °/₀), und kann dies dadurch berücksichtigt werden, daß keine Zuschläge der Belastung für Erschütterungen angenommen werden.

Die Annahmen in den Berechnungsgrundlagen der Leitsätze des deutschen Architekten- und Ingenieurvereins von 1903, welche auch in die preußischen Bestimmungen zur Berechnung der Eisenbetonkonstruktionen von 1904 übergegangen sind, haben sieb durch die Versuche im wesentlichen bestätigt, so daß dieselben bei der Zusammenstellung der Formeln für Platten und Plattenbalken mit einfacher Biegung oder exzentrischer Beanspruchung beibehalten worden sind, wie sie schon in der theoretischen Berechnung der Betoneisenkonstruktionen von 1906 entwickelt wurden und hier noch vervollständigt werden.

Ebenso wurden die Formeln für beliebigen Beton- und Eisenquerschnitt insbesondere den Kreis und regelmäßige Vielecke (auch mit Hohlräumen) neu entwickelt und ihre Anwendung durch Beispiele gezeigt. Aus den Gleichungen (1) und (2) für einfache Biegung sowie (5) und (6) für exzentrische Beanspruchung ergeben sich alle andern Formeln durch

J) • G • CC    cc

Einsetzung der Resultante Db statt -^- und ihres Abstandes e' statt — bzw. (ci!' — e) statt (d--—). Bei Hohl-

2    o    o

räumen sind die für denselben erhaltenen Werte von Dbl und e'l von denjenigen für das ganze Vieleck abzuziehen.

Die Berechnung der Bügel wurde aus ihrer Zusammenwirkung mit den abgebogenen Eisen bestimmt, wie dies durch Versuche festgestellt worden ist und auch mit der Theorie übereinstimmt.

Bei der Berechnung von eingespannten Gewölben und Rahmen wurde von der durch die Professoren Dr. Weyrauch, Mörsch und Dr. Müller-Breslau aufgestellten Berechnungsweise ausgegangen, und durch die Vergleichung der Ergebnisse von Beispielen ihre allgemeine Gültigkeit dargetan.

In der Gewölbeberechnung wird zuerst die Anwendung von Formeln und Regeln zur Dimensionierung der Gewölbe gezeigt, und mit Hilfe der Stützlinientheorie dann die richtige Form des Gewölbes bestimmt, für welches die genaue Berechnung nach den Formeln von Weyrauch und Mörsch erfolgen kann.

Die erstem wurden aus dem Buch: „Die elastischen Bogenträger 1897“ entnommen, und hierbei die Berechnung sowie die Zusammenstellung ihrer Ergebnisse in Tabellen ausgeführt. Die letztem beruhen auf „der Berechnung von eingespannten Gewölben 1907“, welche als Sonderabdruck aus der Schweizer Bauzeitung Bd. XLVII Nr. 7 und 8 erschienen ist, und auch hierbei erfolgte die Ausrechnung der Formeln in Tabellen. Durch die Anwendung der in obigem Buch enthaltenen Formeln zur Berechnung der einzelnen Fugen, konnte dieselbe (auch ohne Anwendung von Einflußlinien) rasch durchgeführt werden, und dadurch schon als Grundlage für die Ausführung dienen.

Die genaue Berechnung mit Einflußlinien ist jedoch auch angedeutet, nach welcher die Stützlinie gewöhnlich für das Eigengewicht berechnet wird, und diese als Mittellinie des Gewölbes durch 2 oder 3 Kreisbögen ersetzt werden kann, welche sich am besten in den Vertikalen zwischen den Lamellen berühren, und durch Mittellote leicht zu bestimmen sind.

Dasselbe gilt für die am einfachsten in denselben Vertikalen sich berührenden äußern und innern Bögen,

für die Scheitelstärke c bestimmt wird. Die Bögen können hierbei

deren Form durch die Dimensionierung aus auch von den Scheitel- oder den Kämpferpunkten aus (mit gleichzeitiger Bestimmung der genauen Richtung für die

cos cp

Kämpferfuge) durch Probieren ermittelt und bis zu beliebig angenommenen Punkten fortgeführt werden (ist die Belastung nicht symmetrisch^ so kann bei geringen Abweichungen das Mittel der Stützlinien gewählt werden).

welcher

ku)

Bei der Berechnung des so erhaltenen Gewölbes kann die Belastungslänge l bis zur Mitte der senkrecht zur Mittellinie stehenden Kämpferfuge angenommen und die außerhalb derselben liegende Lamelle als vertikale Belastung in dem Viertel der Kämpferfuge eingeführt werden, da sie für die Berechnung von Mx und Hx nicht in Betracht kommt. Bei der genauen Berechnung mit Einflußlinien ist ferner die Größe von M₀ in Beziehung auf die Kernpunkte der Fugen (am Kämpfer außerhalb mit entgegengesetztem Vorzeichen) einzusetzen, damit die Einflußordinaten von Mk0 und Mk für die Kämpfermitten = 0 werden (wenn die Kernpunkte in einer vertikalen Fuge durch x angenommen sind, so ist dies ohne weiteres der Fall). Für das Eigengewicht erhält man durch die Multiplikation der Lamellengewichte mit den mittlern Einflußordinaten für die Breite 1 (bzw. ä) einen angenähert richtigen Wert für Mk^ und M, bei der Berücksichtigung des Einflusses der Normalkräfte durch die Einführung von IIe genauer wird, und zwar wenn die Stützlinie für Eigengewicht der Mittellinie des Gewölbes entspricht (wird die Stützlinie für Eigengewicht und halbe Verkehrslast als solche angenommen, so gelten dieselben Formeln für das hierdurch veränderte He und es kann die

P

gleichförmige Belastung — wieder abgezogen werden, um die Spannungen für das Eigengewicht zu erhalten).

A

Die Berechnung der Eiseneinlagen für die Gewölbe erfolgt nach den in Heft 4 von 1906 und Heft 3 von 1909 der Hannoverschen Zeitschrift für Architektur und Ingenieurwesen von mir entwickelten Dimensionierungsformeln, und ergibt für die nach obigem bestimmten Normalkräfte Nx und Biegungsmomente Mx (bzw. auch für Mk0 und Mku) mit Einschluß der Temperaturspannungen genaue Resultate für die Vernachlässigung des Zugs im Beton, welcher besonders bei den Temperaturspannungen in den Kämpfer- und Scheitelfugen größere Werte erreichen kann.

Deshalb wurde auch die Berücksichtigung der Temperaturspannungen bei der Ausführung von Gewölben in Uebereinstimmung mit den Forderungen der Praxis angenommen, nach welchen ähnlich wie bei der Berechnung von

tc!-6

Stützmauern, wobei der Reibungswinkel für Erde und Mauer zwischen 0 und cp schwankt (und daher'auch ein Mittelwert

angenommen werden kann), auch hier für die Berechnung des Kämpfers ein Mittelwert gleich der halben Temperaturspannung eingeführt wird, indem die Einspannung selbst je nach der Beschaffenheit des Widerlagers eine geringere oder größere sein kann, und wenigstens bei flachen Gewölben (auch bei solchen mit versenkten Widerlagern) eine Nachgiebigkeit derselben (für die Temperaturwirkungen) möglich ist.

Dies kann um so eher zugelassen werden, als feine Risse in der Nähe des Kämpfers weniger schädlich als im Scheitel wirken, woselbst daher auch die ganze Temperaturspannung berücksichtigt wurde, während das Widerlager ohne deren Wirkungen (die auch berechnet sind) ausgeführt werden kann, da sie dort bei horizontaler Verschiebung desselben einen geringem Einfluß aus üben, und bei vollständiger Einspannung kaum eintreten werden.

Bei der Rahmenberechnung wird die obige Berechnungsweise nach Weyrauch und Mörsch auf ganz beliebige Formen des Rahmens angewendet und durch gleichzeitige Berechnung des rechteckigen Rahmens mit aufgeklappten Ständern als kontinuierlicher Balken mit 3 Oeffnungen und auch nach den Formeln von Müller-Breslau für den rechteckigen Rahmen in dem Buch: „Die neuern Methoden der Festigkeitslehre 1904“, ihre allgemeine Anwendbarkeit nachgewiesen.

Hierbei genügt schon die einfache Berechnung der Fugen (ohne Aufzeichnung der Einflußlinien), und es wird dadurch das schnelle Entwerfen von Rahmenkonstruktionen (welche bei Eingespanntsein als dreifach statisch unbestimmte Systeme umständliche Formeln und Zeichnungen erforderlich machen) ermöglicht und für die Berechnung dieser immer häufiger zur Ausführung kommenden Eisenbetonkonstruktionen eine sichere Grundlage geschaffen, die gemäß den vorhandenen Beispielen in der Praxis leicht anzuwenden ist.

Bei Rahmen mit geraden Stäben ist die Berechnung nach Müller-Breslau sehr einfach, und es wurde nicht nur der rechteckige Rahmen, sondern auch derjenige mit einem Polygon (statt des horizontalen Balkens) ausführlich berechnet und die Anwendung der Formeln auch hierfür gezeigt, und die Richtigkeit der Ergebnisse durch die Vergleichung mit der obigen Berechnungsweise dargetan.

Auch für unsymmetrische Rahmen wurde, auf Grund der Angaben am Schluß der Berechnung für eingespannte Gewölbe von Mörsch, eine einfache Berechnungsweise aufgestellt, Welche zunächst die richtige Lage der Achsen für das Koordinatensystem bestimmt und nicht nur die Trägheitsmomente, sondern auch die Zentrifugalmomente einzelner Stäbe durch Rechnung ermittelt, so daß die Aufzeichnung der Trägheitsellipse überflüssig wird.

Hierbei wurde auch der horizontale Winddruck berücksichtigt und die Berechnung mit beliebig gerichteten Kräften angedeutet. Auch die horizontal wirkenden Temperaturspannungen wurden berechnet und ihre Vernachlässigung bei Rahmenkonstruktionen näher begründet, indem die Ständer soweit nachgeben können, als es die Temperatureinflüsse erforderlich machen und Konstruktionen bis zu ca. 25m Ausdehnung ohne Fugen ausgeführt werden.

Die allgemeine Anwendbarkeit der obigen Berechnungsweise zeigt sich auch bei der Kuppelberechnung, welche durch Einteilung der Kuppel in Sektoren wie ein gewöhnlicher Rahmen berechnet werden kann.

Es kann hierbei ein Eisengerippe zur Aufnahme des Eigengewichts angenommen und die Rechnung hierfür in der gewöhnlichen Weise durchgeführt werden, oder es können Eisenbetonrippen zur Ausführung kommen, welche durch Ringe zusammengehalten werden und durch eine Decke verbunden sind, und hierfür gilt alsdann die oben angeführte Berechnungsweise (wie auch für die gewölbartige unten eingespannte Kuppel).

Zum Schluß werden noch die verschiedenen Rahmenkonstruktionen mit Gelenken angegeben und ihre Berechnungsweise auf Grund der vorhandenen Berechnungsmethoden gezeigt, und auf deren Zusammenhang mit der obigen Berechnung für eingespannte Rahmen hingewiesen, indem dieselben allgemeinen Elastizitätsgleichungen gelten, welche nur durch einzelne nähere Bestimmungen modifiziert werdeB.

Die Schubspannungen von Gewölbe- und Rahmenkonstruktionen ergeben sich nach Weyrauch (elastische Bogenträger 1897, S. 32—36) wie beim geraden Balken.

Ebenso können die Formeln für Eisenbetonkonstruktionen auch auf eiserne Bögen und Rahmen angewendet werden, wenn deren einzelne Felder den Lamellen entsprechen, und ihr mittleres Trägheitsmoment = J gesetzt wird.

Die Berechnung einer Bahnbrücke mit 3 Oeffnungen zeigt ferner durch Vergleichung der Koeffizienten für Eigengewicht und für gleichförmig verteilt angenommene Stützlast mit der genauen kontinuierlichen Berechnung die Möglichkeit mit den erstem zu rechnen, wodurch die Berechnung wesentlich einfacher wird. Bei der Berechnung der

größten Stützenmomente ist es jedoch zu empfehlen, die Belastung der zweiten Oeffnung aus der Maximal-Belastung der ersten abzuleiten, und hierfür den Belastungsgleichwert aus p₂ —

max

zu ermitteln. (Diese Werte von p, und p₂

gelten dann auch für die größten Zwischenmomente beim Auflager, während die Auflagerdrucke und Querkräfte mit dem Belastungsgleichwert p =

81

max

2 für 2 Oetfnungen zu bestimmen sind s. S. 77.)

(^t + ^2)

Bei Stützmauern oder Pfeilern mit kleinen Zugspannungen des Eisens oe erhält man durch die Berücksichtigung der horizontalen Schubspannungen aa desselben für fm = fe ^ berechneten Eisenquerschnitts.

800

+

^ 1000/

eine bedeutende Reduktion des aus B II c

Die an 4 Seiten aufliegende Platte wird auf Grund der Berechnungsweise von Professor Bach durch Gleich-

Setzung der Durchbiegung in beiden Richtungen bestimmt, und der erhaltene Koeffizient

a³ (b³ 1

a³ -j- b³

stimmt auch mit den

Versuchen überein (s. Betoneisenbau IV. Band, Teil 1).

Das Beispiel eines halbkugelförmigen Wasserbehälters zeigt die Anwendung der obigen Kuppelberechnung, und gleichzeitig die Gewölbe- und Rahmenberechnung für beliebig gerichtete Kräfte, so daß die Berechnung auch hierfür leicht durchgeführt werden kann.

Der aus der Zeitschrift Beton und Eisen, Heft 11 und 12 von 1909 entnommene Sonderabdruck über die Berechnung einer Balkenbrücke mit allen ihren Einzelheiten, zeigt besonders die Anwendung der obigen Formeln zur Berechnung der Eisenbetonkonstruktionen.

Der Abschnitt über die Gewölbe- und Rahmenberechnung wurde von dem Verfasser als Doktor-Dissertation eingereicht und als solche geprüft und angenommen, so daß er hierdurch die Würde eines Doktor-Ingenieurs erhalten hat.

Stuttgart, im Januar 1910.

Heinrich Pilgrim.

I. Berechnung der Zugspannungen des Betons in Eisenbeton-Konstruktionen.

Tn der Zeitschrift „Beton und Eisen“ sind in Heft III von 1907 Einwendungen gegen die von mir in Heft 4 von 1906 S. 299 (S. 9 des Sonderabdrucks) erläuterte Berechnung der Zugspannungen des Betons erhoben worden. Es wird dort gesagt: „Der Verfasser berücksichtigt bei der Berechnung der Spannungen der Betoneisenkonstruktionen auch Zug. Wenn für die Druckspannung des Betons o₆ = 40kg zugelassen wird, während die Druckfestigkeit des Betons 200kg beträgt, so kann für die Zugspannung

des Betons

__

^ = 4 kg gerechnet werden, da seine

Zugfestigkeit bei Biegung = 20 kg ist. Dem könnte mit Vorbehalt noch zugestimmt werden, aber die ganze weitere Berechnung wird in Anlehnung an diesen Satz nicht richtig durch geführt.“

Bei meiner Berücksichtigung der Zugspannungen des Betons handelt es sich nicht um die wissenschaftliche Ermittlung der tatsächlich auftretenden Zugspannungen des Betons und ihre vollständige Ausnutzung bei der Berechnung der Eisenbetonkonstruktionen, sondern nur um eine für die Praxis verwendbare Berechnung derselben.

Die Annahme von ca. !/₅ der möglichen Zugspannung des Betons von 20 kg soll die Sicherheit der Konstruktion gewährleisten, indem man in der Praxis nicht mehr als 4 kg Zugspannung des Betons zulassen kann. Ja, es wird sogar allgemein die Zugspannung des Betons ganz vernachlässigt, weil ihre Mitwirkung durch feine Risse beeinträchtigt werden kann.

Diese feinen Risse treten nach den Versuchen von

unsichtbar bleiben), haben (weil sie nur äußerlich sind) nach Mörsch nicht das geringste zu bedeuten, wenn sie von der nötigen Eisenmenge in richtiger Anordnung gekreuzt werden (auch die Rostgefahr wird durch die das Eisen unmittelbar umgebende Zementhaut verhindert).

Eg wird daher hierdurch die von Considere und der französischen Kommission in Paris gemachte Beobachtung (S. 301 [9]) über die bleibende Mitwirkung des Zugbetons gemäß der nachstehenden Abb. 1 nicht hinfällig, indem derselbe trotz der etwa vorhandenen feinen Risse noch mitwirkt, und zwar jedenfalls bis zur Elastizitätsgrenze, wenn nicht bis zur Streckgrenze des Eisens (S. 334 [26]), und es muß hierbei auch eine entsprechende Dehnung des Zugbetons vorhanden sein, wenn das Eisen noch wirksam sein soll.

ZuyAraft

Eisen

/ und

Eeton,

Eisen

dt

<7

Abb. 1.

.Dehnungen

Die größere Dehnung des Zugbetons mit Eiseneinlagen geht daher auch aus einem spätem Versuch von Considere mit Balken von 3m Länge, 15 und 20

unter feuchtem Sand nach sechs Monaten Dehnungen von 0,22 bis 0,5

Dehnungen von 0,56 bis 1,07 beobachtet wurden, während die Dehnungen des Betons ohne Eiseneinlagen nur 0,1 bis 0,2 betonbau von Mörsch 1906, S. 55). Auch bei den Versuchen der Materialprüfungsanstalt in Stuttgart (S. 59) ergaben sich Dehnungen des Betons von 0,38 bis 0,50 ehe Risse sichtbar wurden. Bei diesen Versuchen wurden

cm

cm

Breite

Bach und Schule schon innerhalb der zulässigen Beanspruchungen des Eisens auf (s. Eisenbetonbau von Mörsch,

1906,    S. 101), und zwar nicht weit von den Stellen, an welchen die Dehnungslinien die stärksten Krümmungen aufweisen, so daß bis B die Zugspannungen des Betons hauptsächlich mitwirken, und von hier an die Zugkräfte allmählig auf das Eisen übergehen und von diesem aufgenommen werden (Mitteilungen über Forschungsarbeiten

1907,    Heft 39, S. 21).

Der Vorgang scheint demnach folgender zu sein: zunächst wird bis B fast nur der Zugbeton beansprucht, und zwar bis zu dem max. von 12 bis 20 kg, und er müßte alsdann reißen, wenn nicht die Eiseneinlagen vorhanden wären, um die großem Zugspannungen aufzunehmen. Bei diesem Uebergang der Zugspannungen auf das Eisen können daher feine Risse eintreten (welche bei Nichtvorhandensein des Eisens sogar eintreten müßten).

Diese feinen Risse, welche auch nach den Versuchen von Mörsch über die Schubwirkungen bei Eisenbetonträgern feinen Rissen noch mitwirkt, und dadurch (infolge der eintreten (Deutsche Bauzeitung 1907, Heft 30, 32, 35), und welche so fein sind, daß man sie an den nicht mit Kreide angestrichenen Betonflächen nicht entdecken kann (so daß sie also unter den gewöhnlichen Verhältnissen

Höhe hervor, indem sich bei Aufbewahrung

, und bei Aufbewahrung im Wasser zeigten, ohne daß Risse

mm

mm

groß sind (Eisen-

mm

unten 2 Eisen eingelegt, während bei den spätem Versuchen von Bach (in Heft 39) nur noch 1 Eisen vorhanden ist, was den praktischen Ausführungen kaum mehr entspricht, und vielleicht das frühzeitige Auftreten von Rissen erklärt (in Heft 45 bis 47 sind mehr Eisen angenommen, aber es fehlt die vollkommene Ausbildung der Balken, wie auf S. 92 bis 102 des Eisenbetonbau). Die Hauptsache bleibt jedoch, daß der Zugbeton auch bei dem Auftreten von

Haftfestigkeit) auch die Mitwirkung des Eisens veranlaßt.

Von dieser Mitwirkung des Zugs im Beton, welche innerhalb der zulässigen Inanspruchnahmen ziemlich konstant bleibt, habe ich zur Sicherheit nur den sonst zulässigen

Teil gerechnet, welcher nach dem technischen Lexikon von Lueger, Band I, Berechnung der Betoneisenkonstruktionen 4 kg beträgt, und hierfür kann - b

^ gesetzt werden,

da das zulässige ab = 40kg ist (bei einer kleinern zulässigen Druckspannung des Betons von 20 oder 30 kg erhält man alsdann 2 oder 3 kg, was auch richtig ist).

Das Verhältnis 1: 10 in °b

₁₀ entspricht dem Verhältnis

der Festigkeit des gezogenen und gedrückten Betons (Mitteilungen über Versuche von Bach mit Beton 1:7 J/2 und 1: 12), und es wird alsdann jedes Material in der zulässigen Weise ausgenutzt, und die Sicherheit für die Mitwirkung des Zugs im Beton ist noch eine 3- bis 5 fache. Es lassen sich demnach drei Berechnungsarten unterscheiden:

1. Berücksichtigung der ganzen Zugwirkung des Betons von im max. 12 bis 20 kg.

2. Berücksichtigung der zulässigen Zugwirkung des Betons ohne Eiseneinlagen = —indem dieselbe durch

10

die letztern erhalten bleibt.

3. Berücksichtigung der Zugwirkung des Eisens ohne den mit wirkenden Zug des Betons, da der letztere durch feine Risse beeinträchtigt werden kann.

Die dritte Berechnungsart wird allgemein in der Praxis angewendet, und da die zweite Berechnungsart keinen großen Unterschied in Beziehung auf cb ergibt, und die Eisenspannung (sowie der Eisenquerschnitt) nur um ca. ~ bei

Wird nun durch die Mitwirkung des Eisens die gerade Biegungslinie EF erhalten, so muß für das kleinere az auch

, l'

Ebz entsprechend kleiner werden, indem] -j

anzunehmen ist (die Längenausdehnung des Betons ist

daher durch die Eiseneinlagen im Verhältnis — größer

geworden). Der Elastizitätsmodul Ebz würde aber für az = 20 kg etwa die Hälfte von Ebd betragen (in Wirklichkeit noch weniger, da die Nullinie nach oben rückt),

< ~2 Ebd <    25

dem Ebd — -%-Ec und Ee = 2 150 000 kg ist). Dieser

1 ö

Wert entspricht daher (bei der Annahme einer geraden Dehnungslinie) dem Elastizitätsmodul Ebz, welcher bei der ersten Berechnungsart in Betracht kommt, für welche die ganze mitwirkende Zugspannung des Betons zu bestimmen ist (S. 334 [26]). Für dieselbe ist es aber von

großem Vorteil, wenn oz = — gesetzt wird, indem

z

dadurch die Formeln bedeutend einfacher werden, und die Größe von z ergibt sich aus dem Verhältnis der Maximaldruck- und -Zugspannungen des Betons in den Abbildungen auf S. 97 bis 98 des Eisenbetonbau von Mörsch.

Nach denselben erhält man bei Druckspannungen des

~ = 10 kg, und bis 40 kg:

so daß Ebz

Betons bis 20kg: az

3,3

a₂ _

" Ebz E

bd

fco I—¹

2 150 000 =

<c

70 000 kg (in-

— 12 kg, ferner bis 60 kg: oz = — = 12 kg

Grft

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Abb. 4.

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r.

und bis 90 kg: oz

Abb. 2.

Abb. 3.

bei Plattenbalken kleiner wird, so 14

—    = 12,9 kg, und endlich könnte

in Frage kommen.

Platten und ca.

ist es am einfachsten, die Berechnung ohne Berücksichtigung des Zugs im Beton beizubehalten, und entweder die zulässigen Inanspruchnahmen bei Platten bis 1100 kg und bei Plattenbalken bis 1050kg auszudehnen, oder besser, die Stoßwirkungen in den zulässigen 1000 kg (bzw. 750 bis 800 kg bei Eisenbahnbrücken) einzuschließen.

Die erste Berechnungsart kommt aber für wissenschaftliche Untersuchungen und Versuchszwecke in Betracht, und hieraus ergibt sich die Berechtigung der zweiten Einwendung: „Der Verfasser nimmt an, daß oz — ist,

Uber der Elastizitätsgrenze noch ^

Für Spannungen bis ab = 40 kg genügt eine gerade Linie der Zugspannungen des Betons bis zur Eiseneinlage (Beton und Eisen 1904, Heft III), da in obigen Abbildungen der Angriffspunkt der Kraft Zb annähernd bei ^

—-— Abstand vom Eisen liegt.

3

Zur Berechnung von ab und oe usw. sind die schon

entwickelten Formeln ohne und mit Zug ^ des Betons

(s. Heft 4 von 1906 und Sonderabdruck) möglichst gleichlautend nebeneinander zu stellen, und wenn nötig die Klammern aufzulösen, und die Differenz der einzelnen Teile

in den Formeln rechts und links ist alsdann mit — zu

Le

und könnte dies nur sein, wenn E,y — -

hz 10

Annahme ist nicht gerechtfertigt, bei n — 15 würde Ebz — 14 000 kg, was man doch nicht annehmen kann.“ Nach der Navierschen Biegungstheorie ist der Elastizitätsmodul Ebz des Zugs im Beton bei B — dem Elastizitätsmodul Ehd des Drucks im Beton, da oB annähernd die Verlängerung von o F bildet, und die Dehnung des Betons

pro Im — —

Spannung des Betons nur bis D statt bis E zu rechnen, weil sie im max. 20kg groß ist, während die Druckspannung des Betons 40 kg betragen darf.

bd. Diese

multiplizieren und zur Formel links zu addieren.

Bei großem Druckspannungen kommt dagegen die in Abb. 4 gezeichnete Verteilung der Zugspannungen des

Betons in Betracht, da hier Zh bei —-— Abstand vom

l ~ Eb

-rßr- ist* Dagegen ist bei C die Zug-

Eisen liegt.

Zur Berechnung von nb und oe usw. ist hier statt dem auf S. 334 (26) angenommenen ab — 1,1 ob

_

und x — 1,1 x : ab — ob -f- — X' = x

(*+ 1)

und

in den mit <zb und x entwickelten

Formeln einzusetzen, und statt den in den [,

haltenen Ausdrücken die Resultante Z, — b ——— h

, ⁰ + ¹

— isA bzw. das Moment ——ein-

z /    z + 1    2

zuführen, und zu den Formeln ohne den Zug des Betons zu addieren.

Da die (trotz vorhandener Risse) konstant mitwirkende Zugspannung des Betons (in obigen Abbildungen des Eisenbetonbau) = 10 bis 14 kg oder im Mittel 12 kg ist, so kann

.] ent-

= 12 kg gesetzt werden (ev. gleich einem andern

(da

z+1

durch Versuche erhaltenen Mittelwert) und es ergibt sich worin annähernd oö der Betondruckspannung aus den Formeln ohne den Zug des Betons entspricht (einen genauem Wert von erhält man, wenn die oben angeführten Werte für z eingesetzt, und dann

ersetzt werden).

alsdann z =

°A

12’

durch den genauen Wert z —

J. A

II. Berechnung der Eisenbeton-Konstruktionen ohne die Mitwirkung des Zugs

im Beton.

Die in Heft 4 von 1906 der Hannoverschen Zeitschrift entwickelten Formeln (auch in der bei C. W. Kreidel in Wiesbaden veröffentlichten „Theoretischen Berechnung der Betoneisenkonstruktionen mit ausführlichen Beispielen 1906“

enthalten) berücksichtigen nicht nur die =. gesetzten

Zugspannungen des Betons (für welche nach Abschnitt I

der allgemein gültige Wert oz = gesetzt werden kann,

s. Eisenbetonbau von Mörsch 1906, S. 136), sondern sind auch ohne Berücksichtigung des Zugs im Beton abgeleitet und in obigem Sonderabdruck auf ausführliche Beispiele angewendet worden.

Es wird dadurch die in der Praxis allgemein übliche Berechnungsweise, wie sie in den Leitsätzen und den preußischen Bestimmungen von 1904 vorgeschrieben wurde, zur Berechnung von ausgeführten Bauwerken oder zur Dimensionierung von neuen Entwürfen verwendet, und zwar sowohl für einfache Biegung als für exzentrische Beanspruchung von Bauteilen (auch in Abschnitt III wird dies geschehen).

Zur Berichtigung und Ergänzung der auf S. 300 (9) enthaltenen Angaben über die bisher gebrauchten verschiedenen Berechnungsarten ist noch beizufügen, daß Koenen seine 1886 zuerst aufgestellte Berechnungsweise im Jahre 1897 durch die neuere Berechnungsweise ersetzt hat, wie sie in den Leitsätzen des Deutschen Architekten-und Ingenieur Vereins weiter ausgeführt ist.

Dieselbe Berechnungsweise wurde von Koenen ausführlicher im Zentralblatt der Bauverwaltung vom Mai 1902 veröffentlicht, ist als Sonderabdruck 1902 auch im Buchhandel erschienen und war im Katalog der Düsseldorfer Ausstellung von 1902 enthalten.

Diese Berechnungsweise ist alsdann in umfassenderer Weise in dem von Wayß und Freytag sowie von Mörsch herausgegebenen Betoneisenbau von 1902 sowie in der Bauzeitung 1903, Heft 33, veröffentlicht und auch in die Leitsätze des Deutschen Architekten- und Ingenieurvereins sowie des Betonvereins (Deutsche Bauzeitung 1904, Heft 4) sowie auch in die preußischen Bestimmungen von 1904 übergegangen.

In der Schweiz wird dagegen die Berechnungsweise nach Ritter angewendet, bei welcher die Nullinie mit voller Berücksichtigung des Zugs im Beton (und zwar

M

gemäß der Formel o = für einfache Biegung, welche

einen doppelt zu großen Wert für die Zugspannungen des Betons ergibt, s. Eisenbetonbau 1906, S. 30—34) und des «fachen Eisenquerschnitts bestimmt wird, und aus dem Abstand der Zug- und Druckresultanten des Eisens und Betons, mit Vernachlässigung des Zugs im Beton, die Eisenspannung und der Eisenquerschnitt ermittelt wird.

Auf Grund der neuesten Versuche von Schüle (Mitteilungen der schweizerischen Materialprüfungsanstalt in Zürich, Heft 10, 1906) ist in der Schweizer Bauzeitung 1906,

Heft 26, eine Vergleichung der Berechnung nach den Leitsätzen und nach Ritter veröffentlicht worden, aus deren Abbildungen deutlich hervorgeht, daß die graphische Darstellung für die Lage der Nullinie sowie für die Druckspannungen des Betons besser mit der Berechnung der Leitsätze als mit derjenigen von Ritter übereinstimmt. Die Kurven für die Eisenspannung liegen in beiden Fällen höher als es die Versuche ergeben, wiewohl auch hier die Berechnung nach den Leitsätzen richtigere Werte ergibt.

Die aus den Versuchen hervorgehenden geringem Beanspruchungen des Eisens rühren nur von der Mitwirkung des Zugs im Beton her, welcher die Druckspannung des Betons und insbesondere die Eisenspannung

reduziert (bei Berücksichtigung von a₂ = um ca. — bei Platten und ca. bei Plattenbalken), indem gleichzeitig die Nullinie nach unten rückt (bei ist ihre Verschiebung gering). Diese Mitwirkung des Zugs im Beton ist auch aus den Abbildungen auf S. 7, 9, 11, 13 in Heft 10 von Schüle ersichtlich und zeigt sich bei schwächern Eiseneinlagen mehr als bei stärkern, welche zu wenig vom Beton eingeschlossen sind. Für die Praxis ist daher ein größerer Abstand der Eisen vorzuziehen, und zwar bei Platten vom Rand > 1cm, bei Balken vom Rand und voneinander > 2cm, bei großem Eisen im Verhältnis mehr.

Der Einfluß der bleibenden Dehnungen des Zugbetons auf die Spannungen des Eisens und des Druckbetons (die dadurch größer werden) scheint nur bei kleinern Beanspruchungen vorhanden zu sein, während bei großem Eisen Spannungen der gezogene Beton die Verlängerungen und Verkürzungen des Eisens mitmacht und infolgedessen eine konstant bleibende Mitwirkung zeigt. Diese kann aber bei großem Belastungen durch feine Risse beeinträchtigt werden. Die Risse gehen gewöhnlich von den Kanten der Balken aus und werden nur allmählich bei steigender Belastung tiefer. Selbst wenn sie bis an die Eiseneinlagen hinreichen sollten, so kann dennoch der Zugbeton durch die Haftfestigkeit des Eisens seinen Zusammenhang behalten und (wie die konstante Größe der Resultante Zh des Zugbetons beweist, s. Eisenbetonbau 1906, S. 102—103) einen Teil der Gesamtbelastung aufnehmen.

Bei kleinern Belastungen nähert sich auch nach den Versuchen von Bach (Mitteilungen über Forschungsarbeiten 1907, Heft 39, S. 26 und 29) die Nullinie der Mitte des Balkens (für P = 5000kg), rückt dann mit Eintritt der Rißbildung rasch nach oben und tritt beim Gleiten des Eisens (für P — 9000kg) in die Linie, welche die nach den Leitsätzen ermittelte Lage ergibt. Da hierbei nur eine Eiseneinlage in den Balken angenommen ist, so ist die Anwendung von mehreren Eisen in Heft 45—47 mehr in Uebereinstimmung mit den praktischen Ausführungen, und es zeigt sich hier, daß die Nullinie für n = 15 mit den Versuchen bei rechteckigen Balken mit mehreren

nach 6 Wochen ist =

zu. Auch

Eine weitere Differenz besteht in betreff der Verteilung der Haftfestigkeit auf die geraden oder auch auf die abgebogenen Eisen. Die Versuche von Schüle haben gezeigt, daß die geradlinigen Eiseneinlagen an den Enden versagten, und ihre Beanspruchung auf Kosten der nun (um 50 °/₀) mehr beanspruchten abgebogenen Eisen zurückging (Heft 10, S. 83). Nach den Versuchen von Bach wurden dagegen sowohl die geraden als die abgebogenen Eisen in derselben Weise beansprucht, so daß die Größe von t, auf die geraden und abgebogenen Eisen verteilt werden , Hacken der Eisen, welche nach dem Gleiten noch wirksam müßte (Heft 45—47, S. 147). Doch tritt auch hier ein    sind. Dennoch sollte die Bruchbelastung nicht allein maßfrüheres Gleiten des geraden Eisens ein (s. S. 130 und    gebend für die Bestimmung der zulässigen Spannungen sein,

die Abb. auf S. 135—136). Es scheint aber bei diesen    sondern auch der noch innerhalb derselben vorhandene Zu-

Versuchen von ungünstigem Einfluß zu sein, daß die Einzellast direkt Uber der Abbiegung liegt, und diese sich zum Teil in halber Höhe des Balkens befindet (s. Abb. 76 bis 82, 226—229), während bei den Versuchen von    die in den Leitsätzen festgestellte Berechnungsweise bei-

Schüle (Heft 10, S. 26, 27, 65 und 67) die Belastung    behalten werden, indem sie für ein früheres oder späteres

mehr in die Mitte fällt (Abstand der 2 Druckkräfte = 0,3 In)    Eintreten von Rissen gleicherweise zulässig ist und auch

oder auf mehrere Punkte gleichförmig verteilt ist, und    dem Uebergangszustand des noch nicht völlig erhärteten

auch die Abbiegungen mehr den Ausführungen in der    Betons genügt, und es können die in Heft 4 von 1906

Praxis entsprechen (s. Schüle, Heft 12, S. 34). Nach ihnen hat aber das gerade Eisen den Hauptwiderstand gegen das Gleiten zu leisten, indem es schon vor den abgebogenen Eisen zum Gleiten kommt, und es dürfte daher auch hier

von

Q-e

berechnet

— und bei einfachen Diagonalen in

— :7,5 kg

den Leitsätzen, indem nach S. 196 für t, — -—= VTo

und für t, =

2Ü

kommt, für welches nach S. 197 der bisherige Wert

gilt.

Eisen, von welchen einige an den Enden abgebogen sind, sehr gut übereinstimmt (S. 77, 82 und 88), während dies bei einem oder wenigen Eisen ohne Abbiegungen nicht der Fall ist) (S/ 23, 26, 43, 48, 53). Auch bei Plattenbalken mit mehreren Eisen, und zwar ohne oder mit Bügeln und Abbiegungen, ist die Nullinie für n = 15 in guter Ueber-einstimmung mit den Mittelwerten der Versuche (S. 116, 126, 138), so daß sie am einfachsten beizubehalten ist.

Die Lage der Nullinie kann nach Considere zwischen n — 8 bis n — 20 schwanken, und zwar gilt ersteres für alte Balken und letzteres für neue Balken (die Festigkeit

ca. — derjenigen nach einem Jahr). Ö

Auch nach der Abb. S. 43, Heft 10, von Schüle scheint n — 15 (der Leitsätze) in besserer Uebereinstimmung mit den Versuchen als n — 20 (nach Ritter) zu stehen (s. auch Schüle, Heft 12, 1907, S. 15). Dasselbe zeigen auch die Abb. auf S. 94—95 des Eisenbetonbau von Mörsch, indem nur die Anfangslagen bei kleinen Belastungen besser mit der Ritterschen Berechnungsweise übereinstimmen.

Man erhält daher mit n — 15 das Mittel der vorhandenen Berechnungsarten (in Frankreich gilt n — 8 — 15 und in der Schweiz n — 20). Ebenso scheinen sich die andern Annahmen der in den Leitsätzen enthaltenen Berechnungsweise durch die Versuche zu bestätigen. Dagegen ist die (wohl auf S. 81 in Heft 10 von Schule beruhende) Bestimmung über die Berechnung der Zugspannungen des Betons (analog dem Ritterschen Verfahren) zur Verhütung des Auftretens von Rissen im Zugbeton sowohl für die Berechnung von ausgefiihrten Bauten als für die Dimensionierung von Neubauten sehr ungünstig (s. meine Zuschrift an die Zeitschrift Beton und Eisen 1908, Heft 1, S. 22), und zwar um so mehr, als die Belastung von einzelnen Konstruktionsteilen in den Versuchen jedenfalls ungünstiger ist als die Belastung von zusammenhängenden Bauwerken, welche durch feine Haarrisse wohl kaum beschädigt werden können (s. Heft 12 von Schüle, S. 69).

In betreff der Haftfestigkeit sind auch in Deutschland verschiedene Annahmen vorhanden. Die Leitsätze lassen 7,5kg, die preußischen Bestimmungen 4,5kg hier scheint die Art der Versuche von wesentlichem Einfluß auf die Annahmen zu sein, indem bei Biegung eine größere Haftfestigkeit vorhanden ist als beim Herausziehen oder Hineindrücken eines einbetonierten Eisenstabs (s. Eisenbetonbau 1906, S. 50—51).

die vielleicht etwas ungünstige Berechnungsweise der Leitsätze (mit Verteilung der Haftfestigkeit auf die geraden Eisen an der gezogenen Seite) vorzuziehen sein, indem sie auch mit der Theorie für die Beanspruchung der geraden und der abgebogenen Eisen am besten übereinstimmt (s. S. 30 des Sonderabdrucks von 1906).

Nach der neuesten Ausgabe des Eisenbetonbau Mörsch 1908, S. 152 sind bei einfachen Platten die Schub-und Haftspannungen so gering, daß ihre Berechnung entbehrlich erscheint, und auch die Bügel werden hierbei als überflüssig betrachtet (bei stärkern Platten ist jedoch die Berechnung notwendig).

Dagegen wird bei Plattenbalken die in den Leitsätzen enthaltene Berechnungsweise der schiefen Zugspannungen dahin abgeändert, daß statt x₀ = 4,5 kg nur noch 2 k&/qcm zugelassen werden, was jedoch für die ganze Länge gültig sein sollte (s. Abb. 142). Nach S. 198 wird daher die schiefe Zugspannung des Betons teilweise auf die vertikalen Bügel übertragen, welche für die Länge 2! (= Abstand

der Zug- und Druckresultanten) mit B = —

werden (s. Abb. 172), und habe ich hieraus (für den Sonderabdruck dieser Abhandlung) eine neue Berechnungsweise der Bügel abgeleitet (s. S. 31).

Die Wirkungen der Spannungen werden nach Abb. 141, 143, 144 hierbei so angenommen, daß sie denjenigen in einem Fachwerkträger mit doppelten oder einfachen Diagonalen entsprechen, in welchem die (zu den schiefen Eisen entgegengesetzt gerichteten) gedrückten Betonstreifen als Druckdiagonalen aufzufassen sind, und die vertikalen Bügel in Abb. 141 wie die gezogenen Vertikalen des Fachwerks wirken.

Der Wert Z der Spannungen in der untern Gurtung des angenommenen Fachwerks ist bei Doppeldiagonalen

in Abb. 143 =

Abb. 144 = Q, wiewohl dies nur für die Zugspannung der Eisen gilt, und die Haftspannungen von der Querkraft und nicht von dem Biegungsmoment abhängig sind. Die Berechnung derselben bleibt übrigens die gleiche wie in

bo' To nur: 3,75 kg zulässig sind.

Die Annahme auf S. 198, daß bei einfachem Strebensystem S = Q j/ 2 zu nehmen ist, wird gewöhnlich dadurch unnötig, daß die Abbiegungen 2- bis 4 fach angenommen werden, so daß das doppelte Strebensystem in Betracht

Nach den Versuchen von Bach hat sich gezeigt, daß die Haftfestigkeit durch die Bügel vergrößert wird, und daß bei ihrer Anwendung eine wesentlich größere Bruchbelastung erhalten wird. Das geschieht auch durch die

stand des Betons, welcher bei Vernachlässigung der Zugspannungen des Betons jedenfalls ungünstig beurteilt wird. Es kann daher auch nach den neuesten Versuchen

entwickelten Formeln als gültig betrachtet werden.

Dieselben sind daher im folgenden noch einmal angeführt, und zur Vereinfachung sind im allgemeinen nur die Formeln für doppelte Eiseneinlagen angegeben,

12

aus welchen sich durch Weglassung der Glieder mit fe auch die Formeln für einfache Eiseneinlagen ergeben. Allgemein gültig sind ferner die Formeln

und ae = «o₄-

ae = nob

->)

und in der Formel —

* =1 +

m ist für n — 15,

nob

oe = 1000 kg und ab — 40 kg, m =

(h gilt hierbei von Oberkante des Querschnitts bis zur untern Eiseneinlage, und wäre nach den preußischen Bestimmungen in allen Formeln durch h — a zu ersetzen).

Es kommen allerdings auch (abgesehen von verschiedenem n) noch andre Verhältnisse für oe und ab vor,

00 GO

gesetzt worden

indem nach den Leitsätzen (bei höherm Festigkeitsnachweis) bis ab — 50 kg, und nach den preußischen Bestimmungen

bis zu — der Druckfestigkeit des Betons gegangen werden

kann (auch beim Eisen kann nach den erstem eine entsprechende Erhöhung stattfinden). In Frankreich ist das festgesetzte Maximum von ab — 45kg und von oe = 1200kg. Für Eisenbahnbrücken wäre ob = 30kg und oe = 750 bis 800 kg zulässig. Doch entfernen sich alle diese Ver-

g

hältnisse nicht weit von m — welches den Verhält-

O

nissen ab = 48 kg, oe = 1200 kg sowie ab = 30 kg und oe = 750 kg entspricht, und es kann dasselbe zur Dimensionierung allgemein angewendet werden.

A. Formeln für einfache Biegung von Bauteilen.

1 und 2: Einfache und doppelte Eiseneinlagen bei Platten, la und 2a: Bestimmung von x, ab, oe und de.

x* +    ₌*£.ih.f'₊ h’.f■)

Vf/,

wMm

4— Ce/i'

~Z ZbiX

* ~z

•A

Cie fr

(für f'e = 0 erhält man die Formeln mit einfachen Eiseneinlagen), lb und 2b: Bestimmung von x, h und fe sowie o'e.

7.*+

Abb. 5.

°b

+ 2    (ll

3h'\ / 3h' x ) \ x

einfachen Eiseneinlagen x = Rindern 2 n

6 Mcmkg

-    . . , 8 ,    ,

, ferner    ist h    — —    x und    f.    =

3

kann angenähert = 1 eingesetzt werden) und bei

J) or*~

{x ~ h>) ^

bx

bzw- '• = iö

2oe

= 50 ist).

2c: Bestimmung von x, fe, f'e sowie ae und de (bzw. h bei gegebenem oe) für fe —p-f'e.

— 3 (ph² -f- h'²) und bei Einsetzung von

x² (1 -f- p) — 4 x (p-h h') =

6M

3X~

— 4 h' • x =

b-

II--(*-3

— 3 h'

/ 7 /    ^    \

² ( — ist angenähert = — einzusetzen I \x    3    /

indem r

Ferner ist

Zur Bestimmung von x, h, fe und f'e für fe = pfR können auch die Formeln auf S. 305 (12) verwendet werden

6 M

= 37,5^- — 1 und x² ^7 +

3 h'

b-ab

ist.

2d: Bestimmung von x, ft und f'e sowie oe'.

— h, f'e wie bei 2 c und 25 ft = —e- -¹-

Formel durch

CO o" o

wo ---- =

n ^1 — ist ^letzteres kann auch in obiger

ersetzt werdenY

3 und 4: Einfache und doppelte Eiseneinlagen bei Plattenbalken.

3a und 4a: Bestimmung von x, abt ae und a'.

x² -f- 2#

n (fe + fe)

(—))

2n (hfe + h' f')

+ d‘‘ (t_1)

117

6 Cu je

b'X'd + n

— 2 d-x)-\-n

n(i-^)(x+2d-iK)

r

fe

für f'e = 0 erhält man die Formeln mit einfachen Eiseneinlagen, und für c — 0

:::

bd²

t-

Cefe

. . r. -i.

Abb. 6.

ergibt sich bei Multiplikation mite die Formel x =

n (hfe + h' fe) H--2~ j

n (fe + fe) + bd J

3b und 4b: Bestimmung von x, h, fe und a'e.

6 M c-ab

7 a:² + 16. x

3/A

x )

/    2 d

les kann angenähert-— = 1 und \

-\- d (b — c) ^1

1    \    8    / h' \

— eingesetzt werdenj, ferner ist h = — x und 25 fe = nf'e (1 — — j-j-

—J *1--— jfür f'e = 0 und c — 0 gilt das oben Gesagte, und man erhält angenähert für c — 0:

³Jl\\

x /)

3h'

QM

h &<p(n —    + 2»Ä7e'(ll

4c: Bestimmung von x, fe, f'e sowie oe und al (bzw. h bei gegebenem oe) für fe — pf'e.

— 2 d— 3 r)k worin r =

16a; (bd -f nf'e) =

x² + 3 x {r — h) —

QM

c-ab

+,(!_!).l₊(₂_a)(3A

h — h'

m-p

und — =

•(2 d

00

jr einzusetzen und x durch Interpolation zwischen zwei Näherungswerten zu bestimmen ist.

g    f

Durch Einsetzung von h = — x wird: Ix² — a?s3r — 16c£

M bxd

x —}/

QM

3r)j.

(*-£) f- =

c-ob

Ferner ist n

(auch hier kann angenähert c = 0 gesetzt werden). 4d: Bestimmung von x, fe, f'e und a'e.

x =

Ci n

(3h — 2 d — x) • \x + d

(4-) (-4)1

00 05

li, fl wie bei 4 c und fe wie bei 4 b ^in den Formeln fiir f'e und fe kann n ^1 —

durch —

ersetzt werden, wenn vorher oe' — n ob

(-4)

berechnet worden ist^.

Oft

B. Formeln für exzentrische Beanspruchung (Biegung mit Achsialkraft).

1 und 2: Einfache und doppelte Eiseneinlagen bei Platten.

la und 2a: Bestimmung von x, o₆, oe und a'e. Sng₂-fe

(I-¹)

^1 —    (</, ist positiv oder negativ einzusetzen, je nachdem P

innerhalb oder außerhalb der äußern Kante des Querschnitts angreift), ferner ist

2 P-9>

°i =

Te

Pf

«N.- -

b-x

(ä + (A_ (i _ A_).

Gefi

lb und 2b: Bestimmung von x, fe, oe und oe'.

6 n£- (h — h!) (l P b-x (    h'\

ä- + "(¹-¥) f‘ (fur

xi — 3h-x =

SP-9,

b-ab

ferner ist n

°6

fl = 0 erhält man in beiden Fällen die Formeln mit einfachen Eiseneinlagen).

öS

2c: Bestimmung von x, fe, f' sowie oe und o' fiir

il

fe = P 'fe

a?² (1 + p) — Ax (p - h -f- h') — — 3 (p - h² + b!~) +

/f

• •••

o/p/

6P

Abb. 7.

ferner ist n

M)/:»

- ;o =

&-o₆

a:

-— (3 A — a?) (gewöhnlich ist p — 1 zu setzen).

t.

2d: Bestimmung von x, fe, f'e und oe'.

a; =

3    P

— h, f 'e wie bei 2 c und 25 fe —---h

8    ab

— H--ö~ *

o₆    /

3 und 4: Einfache und doppelte Eiseneinlagen bei Plattenbalken.

3a und 4a: Bestimmung von x, o₆, oe und oe'. Snfeg₂

7;

vP

Gefi-

-Sv-

x² — 3 gx-x —

Oe f e

+ 3rf(T-¹)!²⁵''

d{fd

Abb. 8.

a:

, ferner ist ob =

2P

c-a: + e£(&— c)

3b und 4b: Bestimmung von x, fe, ae und oe'.

X² — 3A* 07 —

c-ab

, ferner ist

P b-x b — c (x— df

■ +—2    2

°6

mit einfachen Eiseneinlagen).

4c: Bestimmung von x, fe, f'e sowie oe und a'e für fe — p • f.

+ 3 a; (r — A) =

c-ob

= 0 erhält man in beiden Fällen die Formeln

ui

und — =

einzusetzen ist.

(9 2 ~r) + d    [d + (² —    (:]h — %d — 3r)j

Ferner ist n

— *') fe = —'92 —

bxd

worin r =

h — ii' mp

— (3 h — 2 d — x) • 6

4d. Bestimmung von x, fe und f'e für ae = o'e, oder für x — A.+ A' u    A

-:- bzw. X — —

CC i 00

h bei gegebenem ae.

kann auch hier n

co 100

A, f't wie bei 4 c, und fe wie bei 4 b. oe und a'e sind immer nach den im Anfang angeführten Formeln zu berechnen (in den Formeln für f und fe

ersetzt werden). Wenn die Rechnung oe > 1000 kg ergibt, so ist nach S. 323 (21):

ni

(>-f)

durch

in obige Formeln einzusetzen und hieraus x und ab zu berechnen.

Die obigen Gleichungen für x lassen sich alle in die Form x- db p • x = db q und x — 4=

£

oder in die Form f (x) — x² ± a • x ± b _£

polation zwischen zwei Näherungswerten, indem für P außerhalb des Querschnitts x gewöhnlich <C — und innerhalb desselben >

andern (mit x multiplizierten) Glieder ein positives oder negatives c, so daß bei der Einsetzung von x = rd. f(x) sofort zu sehen ist, ob x < oder > -g- wird, da es zwischen einem positiven und negativen Wert für f (x) liegt.

Die oben nicht angeführten Formeln zur Berechnung von A für exzentrische Beanspruchung ergeben sich direkt

g

aus den obigen Formeln, wenn in den Gleichungen für x der Wert A = m- x = — x eingesetzt wird.

Y(i)

± <7 für Ala ergibt sich x =

nfe

— 0 bringen. In letzterm Fall erfolgt ihre Auflösung durch Inter-

ist (bei einfacher Biegung ist x <

A). Die Einsetzung von x = 0 in f (x) gibt beim Wegfällen der

in

O 6t, aß

(Pcfc

/_ I0t3e

kF

->

*f'

.    -+ ßL'*-

¹ *

K- -    -->

_ ’yf

••••

t.

r-

i* -

____

6eß

6<ß

Abb. 9.

Für exzentrischen Zug können dieselben Formeln wie für exzentrischen Druck gebraucht werden, wenn man nur überall — P für -f- P, und für g₁ (wenn g₂ in einer Formel vorkommt, so ist hierfür A — gx zu setzen, um gx in g2 umwandeln zu können) überall g₂ einsetzt. Die Größen von g, und g₂ sind aus Abb. 9 ersichtlich.

Die Formeln auf S. 338 (28) für ae und o„' bei exzentrischer Druckbeanspruchung sind aus ab abzuleiten, indem (s. Abb. 10)

³M ₌___

I    fl, + n (fe + f'e)

M • e (bzw. PL — e)

./

ist, und hieraus

P-n

tu + n (fe + fe)

l + H(f-¹)

{ -(-9-

M-e

erhalten wird, worin J =

{e¹ + (H

e)³} + nfe (// — e)² + nfe {e — A')² und der Schwerpunktsabstand

b-H²

IC

+ n (hfe + A fe)

b-H + n(fe -f- fe)

ist (M=P-f ist das Moment der exzentrisch wirkenden Kraft P in Beziehung auf S).

15

Bei symmetrischem Querschnitt wird e = — und J —

2

b-H³

Auch die Berechnung der Durchbiegung von Balken auf S. 338 (28) ist durch die Versuche von Schule, Heft 12,

5 Ml²

gilt, wo J = Trägheitsmoment in

S. 72—74 bestätigt worden, indem hierfür die gewöhnliche Formel f —

Beziehung auf die berechnete Nullinie, und zwar mit Weglassung des Zugbetonquerschnitts, welcher durch den (auch im Druckbetonquerschnitt gerechneten) nfachen Eisenquerschnitt ersetzt wird.

48 ,JEb

k-

S//,

Sa

- zfi-i L

HÄ

//,

(Pa(AAa////$/'a.-

Abb. 10.

C. Entwicklung der Formeln 2 c und 4c für einfache Biegung und Schubspannungen.

Die obigen Formeln sind alle in Heft 4 von 1906 der Hannoverschen Zeitschrift sowie in dem Sonderabdruck: „Theoretische Berechnung der Betoneisenkonstruktionen mit ausführlichen Beispielen“ enthalten, und nur die Formeln A 2 c und 4 c müssen neu entwickelt werden, und zwar auf Grund der unter A2 und 4 angeführten allgemeinen Gleichungen des Gleichgewichts (1) bis (4).

°e fe — °e ft —

2 c. Bestimmung von x, fc und f'e, sowie ac und de für fe z=pfe aus M, h, li, ob) b und n.

Nach (4) ist de fe Qi — h!) =    — ^ + [4q~~ q ^ ]

^a| ~_ [--~10—^    ^Die    beziehen sich auf die Mitwirkung des Zugs ^ im Beton.^

und nach (3) ist

(™)

sowie a’e

ferner

Bei Einsetzung von fe = p • f’e und ae = nab

n    ^ erhält man q Qi — li ) f’c = ^

b Qi — a;)!

2' J

•et⁵)

(mp — q) /;; ==

und q —

bx r 2 L 10

und durch Division

n ab

bx (, x\ r

-T (/l “Dl

b Qi — x)²l

6 J

10

und

I bx

[-sö(,i - *']

= (y*p — q)

q Qi — li )

Nach Auflösung der Klammern |.....j und Wiedereinsetzung der Werte von m und q sowie Ordnung der

Gleichung nach x² und x ergibt sich

x² (1 + p) — 4 a; (ph + H )

QM

b-°₀

und mit Berücksichtigung des in den Klammern

— x (43 p • h + 44 Ji— li) —

32 (ph² + A'²) + h'(h-K) +P (A - l) (l°M

— 3 (p-h² -f K ²)

^ . . . . jj enthaltenen Zugs ~ im Beton 11a;² (1 -}- p)

•°b

■°b

3 hQi — li)\

I'

4 c. Bestimmung von x, fe und f'e sowie oe und oe für fe = pfe aus M, /a, h , abt fr, c, d und n.

Durch Multiplikation von (1) bis (3) mit — (h

°b \

(x — li)

— n -

n ('•

a;

2 \

- c/j erhält man: w

2    ₇\ b — c (x — d)²

3    - V---2

*?*/.(*

(/,

CO

<N CO

ä)

[-^“4

Qi — x)

und nach (1), (2) und (4) ist:

UT*-(

t-)

(M ! CO

d — li

M bxdY 3“L

c (h — x)

30

Durch Subtraktion und Einsetzung von fe — p f'e sowie m — n

•x b — c (x — d)2 2 2

q Qi — li ) f' = (q — mp) f — —

°b

[+ i} {h~P

(Ä

Qi — x)

und q = n

(/* —d)J.

(x — ti)

ist

d) ~ Qi — a;)²j, ferner nach (3)

71/

Durch Division sowie Einsetzung von r —

worin — =

mp

Jl____00

-rr ist, erhält man

x — h

_^(3>-_3Ä)-o

und durch Ordnung der Gleichung nach a?² und #:

671/

a;² + 3 a; (r — /<) = —

und mit Berücksichtigung des Zugs

°A

10

c-o6 im Beton

Sr —3h -f 2 c?

■)[

+ ^²) (l +

+^ (4 ~x) f/2+(² - 4) (3ä ~~2d~ ³^j

— 2 d-x

er

a;

20

6071/

— h (h — 3r) -j- 10 d

Für f'e gilt die obige Gleichung mit q (h — ti) fe (bzw. auch mit (q — mp) f'e), welche umgewandelt werden

(Sh — x — 2c?)

11a:² + a;(33r — 32 h) =

kann in n

Betons hierzu

c-ab

3r)}.

Tlf bxd

f + rf(y-¹)(²-4)|

und für Zug des

Die Berechnung der Schubspannungen ergibt für Platten bei einfachen Eiseneinlagen: x₀ =

und bei doppelten Eiseneinlagen: x₀ =

~    °2 X ’ Y x + o'e f'e ~ ti)

b-ab-x

2    + ae fe

b (h — x + y)’

_ 2bo₀-x² + 6o'e f'e (x — h') 3 b 3b-x + 6 a'e f'e

worin der Mittelpunkt des Drucks aus y —

El

erhalten wird (gewöhnlich genügt der Wert für ein-

fache Eiseneinlagen).

Für Plattenbalken erhält man bei doppelten Eiseneinlagen ^

worin y =

To =

ti e

kann =

n [l — -J gesetzt werden^:

2b abxd + 2a'c f"R(x -\- 2 d — 3li)

3<; x + 3 d (h — c)('2 - - -^) + 6oe /"

ist.

Bei einfachen Eiseneinlagen ist f'e =0 zu setzen (angenähert kann in y auch c = 0 gesetzt werden). Als Annäherungsformeln erhält man: x₀ =

oder wenn x annähernd = d ist:

To =

(gewöhnlich

ist der erstere Wert zu nehmen).

(C)

(C)

Die Berechnung der Adhäsionsspannung ergibt sich aus x'

To-

n -rr d,

und die schiefe Zugkraft Z'

(x„ -- 4,5) x ■ b

Tzd²

~T^

xd²

•1000

100 c?

2 V2

ferner die Länge für direkt gezogene oder gedrückte Stäbe im Beton =

In den ausführlichen Beispielen des Sonderabdrucks von 1906 ist gemäß den Leitsätzen die Breite der Platte b <

O

₌ b'd' + V'd"

7T d • 7,5

und als Annäherungswert d <

b' 4- b"

(das 2 fällt im Nenner weg S. 31).

,    x

h —

In der Dimensionenberechnung kann zur Bestimmung von fe statt

3    ,    h

— genügend genau

bei Platten und

(2) / d

— l-g- wenn x annähernd =

*• - 3

d istj bei Plattenbalken genommen werden, wenn h die aus den Formeln

3(2)

berechnete Höhe und /i, die für die Ausführung angenommene Höhe ist (li und hx sind hierbei nach den preußischen Bestimmungen durch h — a bzw. ht — a zu ersetzen).

In Abb. 35 sollten von den 10 rückwärts gebogenen Eisen ® 9 in der Konsole der Straßenbrücke 5 in dem Hauptträger befestigt werden (dieselbe wurde nach der Abbildung im Betonkalender von 1906 angenommen).

In den Abb. 54, 56, 57 sollte die gleichförmige Belastung vom Eigengewicht mit 2000 kg statt 2100 kg ein

geschrieben sein.

III. Entwicklung der Eormeln für beliebigen Eisen- und Betonperschnitt.

1. Formeln für beliebigen Eisenquerschnitt bei einfacher Biegung und exzentrischer Beanspruchung.

Auf S. 335 bis 336 (27 bis 28 des Sonderabdrucks von 1906) sind Formeln für einfache Biegung bei beliebigem Eisenquerschnitt Fe (in einem rechteckigen Betonquerschnitt) entwickelt worden, welche lauten:

2n-x- F.

(1)

wo c = K -f-

Ste

(2)

(Ste statisches Moment in Beziehung auf die Oberkante des Querschnittes Fe),

2 M

°ft =

Je

Schnitts Fe) und d” =

JLl

(<r-f) + ₂.^(i -£)(*-4

²p-(d'-x + d'')]’

(Je und Ste = Trägheits- und statisches Moment in Beziehung auf die Oberkante des Quer-J"

=-rr für den durch das Eisen über x wegfallenden Druckquerschnitt des Betons (s. Abb. 13) zu

b-x

st:

A' *

i

6(X,ae

J'

SlN-

-ft

*•

i :    ;

k'd

A'

■■ f

7%

X"

i.

’JC

«er,-»

Abb. 11.

Abb. 12.

Abb. 13.

rechnen ist, und in Beziehung auf das berechnete x für die Nullinie gilt, und nachher in den obigen Formeln für x und ah gemäß den Klammern [....] einzusetzen ist, wenn dies erforderlich sein sollte (oe und o'e ergeben sich aus dem berechneten o₆).

Auf S. 337 (28) ist darauf hingewiesen, daß die Formeln für exzentrische Beanspruchung bei beliebigem Eisenquerschnitt ähnlich entwickelt werden können, indem zu den angenommenen Kräften R und R' (s. Abb. 11 und 12) sowie

b-(ib-x

der Druckspannung des Betons Gleichgewichts der Kräfte aus

nur P hinzukommt, und man erhält alsdann die allgemeinen Gleichungen des

(3)

R — R' + P =

nab

^.(x-h')F,+P =

bah • x

bei Einsetzung von Ste — (c—h') Fe, und für die Momentgleichung in Beziehung auf R (s. S. 337, 28)

(4)

FAd’-c').

Analog der Formel B2a (5) auf S. 317 bis 318 (18) ergibt sich nun aus (4):

(5)

-f- n

(x _JdlF tf-d)

X

und analog B 2a (5a) aus (3):

(6)

hx

—91) =    \9x) +n

nSte

Durch Subtraktion von (6) — (5) und Einsetzung von Ste = (c — Ji) • Fe wird • x / x    \ , (x — h')

Ht

n (c — ti)

(7)

(8)

Fe (d' — gj

oder

Fe(J—9i)

Ebenso erhält man aus (6) (bei Division mit (d¹—gx) und Einsetzung von Ste — (c—h')Fe)

, oe = nob

x² — 3 <7, x —

Os

= n°b

^1 — wie gewöhnlich.

Beispiel: Ein gewölbter Fußsteg hat untengezeichnete Form und wird durch die eingelegten Tragkonstruktionen mit 1¹¹¹ Abstand montiert, indem dieselben zur Aufhängung des Gerüstes dienen.

Die Druckkraft P wirkt im Abstand 1cm von der Kämpferkante und ist = 20 000 kg. Die Kämpferfuge hat eine Breite = 40 cm und die Scheitelfuge = 30 cm, so daß für die erstere gx = — 1cm, h = 4 cm, h = 36 un. ferner ist Fe — 4 | 60 6 = 27,6 <iem, Ste — 27,6 • 16 = 441,6, Je = 4 • 6,91 (16 — 1,69)² + 4 • 22,7 + 27,6 • 162 (= Trägheitsmoment in Beziehung auf S -f- dem Produkt Fe • d² für eine parallele Achse im Abstand d) = 12 817.

Man erhält daher c = h' -f-

Ste

441,6

J.

27,6

nach (7) x² 4- 3 x —

6-15-27,6

100

{(33 + 1)

(20 — 4)

= 20,0 cm, d' — h 4- -gf- = 4 4-

15 600

Ste

12817

441,6

= 33 cm und

vernachlässigt werden] oder f(x) = x² 4- 3# -f- 522

₍20 + l)(l-A)}[₊|_s<"] = 0.

— 522    [4,4 kann

15 600

= 4,4

‘'STF i

A_

-y

Z^

Jt--

N\

T®“-'

--«T

-J<«

Abb. 14.

W- - ~ -W

-*4Mr

Abb. 15.

Abb. 16.

Für a? =

Y — 18 ist /» =

/■(#) = — 56, somit genaues x — 17 -j

4- 33, somit a: < 1*56

(da f{x) für x = 0 negativ ist) und für x = 17,

Nach (8) ist o₆ =

33 + 56 2 • 20 000

= 17,6

cm

(nach der Regula falsi).

40,000

100-17,6 4- 2-15-

27,6 ^1

20

ergeben sich leicht mit dem Rechenstab).

/ 36

Ferner ist ae = 15-24,31

17,6

■)

1,76 — 0,113

= 24,3 kg (die Produkte im Nenner

— l) = 381 kg und de = 15-24,3 ^1

7,6/

== 282 kg, somit hätte ein

17,6

schwächerer Querschnitt genügt, wenn nicht aus praktischen Gründen der stärkere vorgezogen wird. Die einzelnen Träger sind durch ein Netz von Yerbindungseisen © 7 (oben und unten) verbunden, damit sie besser mit dem Beton Zusammenwirken (Eisenbetonbau von Mörsch 1906, S. 212).

Außer der Kämpferfuge ist noch die Scheitelfuge bzw. die gefährlichste Druckfuge, durch das Aufzeichnen der Drucklinie bzw. die Berechnung vermittels der Elastizitätstheorie, zu bestimmen, und hierfür die Berechnung mit obigen Formeln auszuführen.

Sind bei der Berechnung nach der Elastizitätstheorie, die aber erst nach erfolgter Bestimmung des Gewölbes mit der Drucklinie oder mit Formeln (z. B. nach Tolkmitt) möglich ist, die Kernpunktsmomente der äußern Kräfte bestimmt worden (aus Horizontalschub und vertikaler Belastung bzw. auch den Kämpfermomenten bei eingespannten Gewölben), so erhält man aus den Gleichungen:

P-f-eo _

Mku

und au = y

P P-f- eu

MK

°n j?

[das Kernpunktsmoment in Beziehung auf K₀ ist Mka = —P(f—/ru), wo k₀ — r

'    • eu

-P-f +

somit

P-J

= Mkn oder ..

o    jr

P- f- eu _ Mk₀-eu _ Mk₀

W

rr U

ist,

- -vff-

yf

- *

F-eu

die Werte von P und f (wenn auch die Belastungsgrenze der einseitigen Belastung für Mk₀ und Mku etwas verschieden ist), und hieraus <7, und x wie oben (s. Abb. 17).

Die Formeln für die Dimensionierung lassen sich bei beliebigem Eisenquerschnitt weniger leicht anwenden, weil die Ausdrücke für Pe, St und Je zu umständlich sind, wenn sie veränderlich angenommen werden. Es ist daher am einfachsten, den Querschnitt nach Vorgängen anzunehmen, und entsprechend der obigen Berechnung abzuändern, wenn dies erforderlich ist. (Die Dimensionierungsformeln für fe und f 'e ergeben angenäherte Werte für Fe.)

Die Formeln für einfache Biegung und exzentrische Beanspruchung bei beliebigem Eisenquerschnitt Fe lassen sich in derselben Weise auch für Plattenbalken bestimmen. Denn man erhält für einfache Biegung aus dem Gleichgewicht der Kräfte

Abb. 17.

(9)

I) ab • X

b — c (x — elf

E — R' —

^P-Ste, Ste = (c — h')Ft und R' =    ab-Fe ist (S. 335 bis 336, 27 bis 28) und

%c    *r

worin wie oben R = hieraus wie beim rechteckigen Querschnitt (s. 1):

(10)

*, + H4rL + (4-¹)d

Nimmt man den Momentpunkt wie bei A3a und 4a (S. 308 bis 309, 13 bis 14) an, so ergibt sich

(11)

und bei Einsetzung von R und R :

(12)

I (c — h')

(3d'— x — 2d) — ^1 — ^ (3c—x—2d) }

(in Uebereinstimmung mit A 3a (4) und (5) und A4a (3) und (6), in welchen auch die Rundeisen fe oder f'e noch hinzukommen können). Aus ab erhält man:

= WOj

Diese Gleichungen gelten (wie auch beim rechteckigen Querschnitt) für die beiden Fälle in Abb. 18 und 19, und auch der Abzug für den durch das Eisen über x wegfallenden Druckquerschnitt des Betons in Abb. 20 ist wie in Formel (1) und (2) zu berechnen.

(13)

(---lj und (J 4) o'e

= nab

(-!)•

K-

Vf---

"t:

v:

<*?

ft#

r-t

i'

-2

fl-

'—H-

i.

* f r-

-J±L-1 i <?ßi

5Ö-

'-V'fV

Jl.

: JL

fl'

ft- — C— >'

Abb. 18.

Abb. 19.

h*-

N-

cfj’

_x__

’ir

Abb. 20.

(15)

Für die exzentrische Beanspruchung erhält man ebenso aus dem Gleichgewicht der Kräfte

b • ab • x

R-R' + P =

b — c (x — d)²

worin R und R' den obigen Wert haben. Die Momentgleichung in Beziehung auf R ist

b • Oj • x

(16)

P(d' — gx) =

(b — c) {x — d)²

Ob

(<r_Ad_|.) ₊ jr (<?-«')

und analog den Formeln (5) und (6) erhält man aus (16):

(ib — c) (x — d)²

(17)

Ob

und aus (15)

b-x

(!8) -(d'-gx) = —{ti'-gx)

ob    &

und durch Subtraktion von (18) — (17):

(19) x’ — 3gtx = 3 d(~r ~ l) 2?,

/ ,    2 x\ .    (x—h')

id~Td-T) + n~ir-

(b — c) (x — d)² v    (x — h') „    ,    (c' — ti) „    ,

JL/    *As    %As

d{\d~⁹).

Fjd'-c')

-d +

Der Wert von ab ergibt sich aus (18) durch Division mit (d' — gx) oder aus (15):

(20)

04

C’X + d(b —

e)(*-4)+,-F*(i

-)

X /

(in Uebereinstimmung mit B3a (5) und (6) und 4a (6) und (7) (S. 321 und 325, 20 und 22), in welchen auch die Rundeisen fe oder f'e hinzukommen können). ae und de ergeben sich wie oben. Auch hier gilt das zu Abb. 18 bis 20 Gesagte.

2. Formeln für beliebigen Beton- und Eisenquerschnitt bei einfacher Biegung.

Die Berechnung für durchbrochenen rechteckigen Querschnitt sowie solchen mit obern oder beiderseitigen Rippen ist auf S. 335 (27) angedeutet worden, und gelten hierfür dieselben Formeln wie in A und B 4a und 4b (da c = 0 ist oder -J- (c — b) an die Stelle von —(b — c) des Abzugs tritt), und es soll daher jetzt der kreisförmige Querschnitt sowie derjenige von regelmäßigen Vielecken in Betracht gezogen werden.

Für den erstem erhält man als Gesamtspannung des Betons

(21)

■Ob

3*

Der Querschnitt Fb und das statische Moment Stb (in Beziehung auf den höchsten Punkt des Kreises) sind abhängig von x, und hierin auszudrücken. Dies geht am einfachsten bei einem Parabelbogen mit der Grundlinie b

2    3

und der Höhe x, indem hierfür F. = — b • x, Schwerpunktsabstand e = — x und Stb

6    5

£2 _

— = 2px und b — 2 ]^2px ist.

= e-Ft =

Tb'x’’

wo

Man erhält nun für einen beliebigen Eisenquerschnitt, z. B. ein Differdinger I-Eisen, dieselben Formeln (1) und (2) bei einfacher Biegung sowie (3) bis (8) bei exzentrischer Beanspruchung wie bei III1., nur tritt Db an die Stelle von b ab-x

und der Mittelpunkt des Drucks ist für Fb zu bestimmen.

Man erhält hierfür die Gleichung 2 fb • --■-- - ob • y = e 2 fh ^ • Oj

x-e-Fb —

und

(22)

wo b'

x2fb-y — 2fh-y² _

x'Zfb-'Zfb-y

= 2 |/2py, Fb = x ]/2px =    ]/2p • |/a;³, ferner

3

, so daß (bei Division mit Fb) e' = — x wird.

e' =

x-Fb — e-Fb

2 J/2p J]/ry⁵ • dy =    J^2_p • j/a:⁷

<3i..

A'

- ->

Zr_

Abb. 21.

Abb. 22.

Abb. 23.

Die Formel zur Bestimmung der Nullinie lautet nun nach S. 335 (27): x — K    „    „

—---n°b'Fe = n°b-Fe

JU

(s. 21), worin b = 2}/2px ist, so daß an die Stelle von beim rechteckigen Querschnitt tritt, und die

J. O    Ä

Gleichung (1) jetzt lautet:

(23) R — R'

(c — x)

= Db =    *

ICO

bx —

Aab-b‘X

² 7.

F'X= 15

(24)

a:² +

15 n-x-F₍

15 n Fe • c'

4b

(o,6xi y2rx)

oder bei Einsetzung von b = 2]/2px—: —- x² \/2px -j- nxFe — ncFe, woraus x durch Interpolation bestimmt

JL O

werden kann.

4

Ebenso erhält man mit —— b statt

15

N)| CS«

für (2) die Formel:

(25)

°6 =

~X‘Y2px (d'—e) + nFe(l —^(d'—c)

(o,6 x\f 2 rx)

f    co    3

indem d’— e für d'--—* steht und e' = —x ist.

3    7

_ 3

Da bei einfacher Biegung x < — h wird, so können diese Formeln auch für den Kreisbogen und das regel-

4 Qb‘b-x

mäßige Vieleck verwendet werden, wenn der Ausdruck

in (23) und (24) mit ca. 1,1 multipliziert wird (vgl. Abb. 23), so daß ca. 0,3 & an die Stelle von—b tritt, und b alsdann = 2]/~a:(2r— x) und angenähert = 2]/2ra: ist.

I o

Die Ausdrücke für Fb, Stb und Jb können jedoch auch für den Kreisbogen bestimmt werden, und man erhält

15

hierfür *):

*) Die folgenden Formeln und Näherungsformeln für den Kreisbogen verdanke ich der gütigen Mitteilung meines Bruders, Prof. Dr. L. Pilgrim, der sie entwickelt und abgeleitet hat.

Fb =

Stb =

Jb =

jyb'dy

fy² b'dy Jo

3 r² + r-x — 2 a:²

(6 a:³ — 2 a;² *r — 5xr² — 15 r³)

12

1/2

und

und durch ihre Einsetzung in e' =

x-Stb — Jb

x-Fb — Stb

(s. 22) erhält man

(15r³ — 7r²a?—■ 2ra?²-j-2a?³) ]/^2

rx — x²

T —

— 3r³ (5r — 4«) arc cos —

r

(3r² — 2rx -}- a?²) ]/r2ra; — x² — 3r² (r — a?) arc cos —-—

r

Da die Ausrechnung dieser Ausdrücke zu umständlich ist, so können Annäherungswerte bestimmt werden, und

= dem e der Parabel), für x = -i- r ist d = 0,4209 x, für

£

— 0,375 x.

2 2 /

— x, so ist der Fehler stets kleiner als 7,2 °/₀. Genauer als d — — a? ist e' = x (0,43

Fehler < 1,5 °/₀, und für d — x ^1 — ist ^er ^e^ler < 2,5 °/₀.

Zur Bestimmung der Resultante Db der Druckspannungen des Betons erhält man

Db = °i,‘Fb —

3

man erhält für kleine x: d — — x = 0,4286 a? (somit

3    3

x = r ist e = 0,4109 x, für x — —r ist d = 0,3971a? und für x = 2r ist d =—a?

2    8

als Durchschnitt d —

• Stb (s. 21) =    (3 r² — 2 rx + a?²) Y2

rx — x²

Setzt man

0 r)

— r² • (r — x) arc cos —-— i.

r >

672 \r)    )

g _ ✓    3 £C

Für kleine a? ist Db — ab '~^x V^2ra? (l

für x — 2 r wird Db — ab • ~~ r². Mit hinreichender Annäherung kann gesetzt werden Db = ob •    a? Y2ra? ^1 —

g    __ 7

Fehler < 2 °/₀. Sehr genau ist die Näherungsformel Db = ab • a? |/r2ra? (1

* V*™ (x - yf —w (t) ) ■>Fehler °’2 0/»-

28 r

a?

, für a? = r wird Db = ab-

41

9r 8000

(f) ), Fehler 0,064 «/„

hinreichend genau ist Db = ob • ——

io

2

Für die Anwendung in der Praxis genügen schon die Formeln d — — a? und Db

o

⁼ °⁶l5

a? ]/2ra? ^1

8 r)’

und nur wenn es auf besondere Genauigkeit ankommt, können die genaueren Formeln angewendet werden.

IG

Für d • Db ergibt sich hieraus der Wert ob • —

i o

3 a?

16 r

• x²\/" 2rx ^1

x \ 8 r)

und genauer

d-Db = ob--^x²Y2rx (l

^ = ofc a?² ]/2 rx ^0,23 — 0,04

aus

^-)±xy2rx(l-£)

Sind d und Db für eine vorhandene Belastung gegeben, so wird die Spannung sehr *-

genau bestimmt durch ab — ———====■ (o,372 -f“ 0,056 —V Fehler < 0,28 °/₀ (in der ^ lill

d y r • d \    r /    ¹~

Hannoverschen Zeitschrift von 1882 ist eine Formel von Professor Keck aufgestellt worden,

~ statt 0,6 ist

nämlich ab —

0,6 Db

e'Y 2 r ’ genauer) s. auch Betonkalender.

deren Fehler für kleine d bis 12 °/₀ wächst, —

JL £

Abb. 24.

Man erhält nun durch Einsetzung der Werte von e und Db in die Gleichungen (1) und (2) bzw. (5) und (6) die Formeln für einfache Biegung und für exzentrische Beanspruchung mit Eiseneinlagen, indem bei einfacher Biegung

an die Stelle von

so daß die Gleichung (1) lautet:

b • a₆ • a?

tritt: Db = ob~

a? Y 2 rx

a? \ 8 r)

und statt ~ einzusetzen ist . _ 2    15

Y 2ra? ^1

x\

8 r)

(26)

15

a?² Y2rx ^1

w) + nxF<

— nc'Fe.

Ebenso erhält man für (2):

(27)

15

xY2^a? ^1

^yd'-e') + nF„{v-^yd'-c')

(statt ^)

wo e —

X~)

0 r /

2 /

— a? oder = a?(0,43

Werden statt I-Eisen O- Eisen als Einlagen verwendet, so bleiben die Formeln für Db dieselben, und für Fe

einzusetzen ist.

erhält man n-fe, für Ste: n- fe (r — h'), und für Je: fe • 2a², so daß c = h' +

St

. 1«.

Fe

— r wird, und d' =

Je

- h'+ K +

la²

n (r — b!)

entspricht dem Kern des Kreises (s. Hütte).

, und diese Werte in obigen Formeln einzusetzen sind (s. Abb. 25). Der innere Kreis

3. Formeln für beliebigen Beton- und Eisenquerschnitt bei exzentrischer Beanspruchung.

Für exzentrische Beanspruchung ohne Eiseneinlagen, und bei Vernachlässigung des Zugs im Beton, erhält man bei kreisförmigem Querschnitt die obige Formel:

o₆ =

(28)

^0,372 + 0,056

9x Vr-gx

wenn statt JDb die Kraft P und statt d ihr Abstand vom Rand gt gesetzt wird.

Sind jedoch Eiseneinlagen vorhanden, so sind die Formeln (5) und (6) anzuwenden, und es ist in denselben

bx

statt —— der obige Ausdruck

2    15

aus (6) — (5) erhält:

x yr2rx ^1

x)

Sr)

sowie statt d' —

der Wert d' — d einzusetzen, so daß man

bx

(29)

worin d angenähert =

~2+

x(d — gt) —

2 ^ h — x und — = -

K (c' — gt) — n --J¹ * F, (d‘ — gt) oder (s. 7)

ttM <<*'-- t)) ’

n(x — ti)

15

\/ 2r x ^1

x \ 8 r)

ist. Ebenso erhält man aus (8):

(30)

Oft =

b ,    „

—- • x -j- n I 2

•0-4)

wenn der Wert von

~ eingesetzt wird.

-'s- !-

./i

r •*

•>

Abb. 25.

Abb. 26.

Außer dem kreisförmigen Querschnitt kommen besonders acht-, sechs-, vier- und dreieckige reguläre Querschnitte vor, und es sollen die Formeln ftir exzentrische Beanspruchung (und einfache Biegung) auch hierfür bestimmt werden.

Beim regelmäßigen Achteck erhält man für die Belastung in der vertikalen Symmetrieachse drei verschiedene Lagen für die senkrecht dazu stehende neutrale Achse (Nullinie).

I. Es ist Db —

Jo

Db =

x    Qß _ y

b'dy—-——- • Oj (s. 21), wo b' = a + 2y ist, somit, da x unverändert bleibt:

- 0 x

i x    ■ n ( x    a / fl OT²

) (« + ² y)dy - ~J(a 4- ²v)y dv = (ax + x2) —

2a:³ \

3 )

= °ft '

7r(3a + 2x) o

(die Konstante für y — x und y — 0 hebt sich beim Abzug auf).

x-eFb— fb' dyy⁵

Der Wert von e ergibt sich aua (s. 22):

X‘Fh — e-Fh

wo e

x a -f- 2b

& = a -\- 2 x ist, ferner Fh

= (<* + &)-f- und jb' dyy² =J ai/dy + 2 jy³dy -y-(3« + 4 a)

ax³    x⁴

ax³

(für das Trapez) und — und für y/ = a? ist daher

e' —

a:²(a + x)

a;²

g- (3a + 2a)

a: (a -f- a) 3a -f- 4a: *

In den Formeln (29) und (30) ist daher für —:

m

b 3a + 2a:

und für d:

a: (a + a:)

3 a + 4a:

hieraus x und ob zu berechnen; dasselbe gilt für einfache Biegung in Beziehung auf (1) und (2). II. Man erhält hier Db = ^°bX

^statt einzusetzen,

um

2 (a' — y) dy ——• <

0 x

f 2 (a' — y) dy ah — I 2 (a — y)^- dyab Jo    Jo

ab und letzterer Ausdruck ist

— aba

wenn y = a —

eingesetzt wird

]/2

Da der Wert Abzug ab • d² ^1

b-ob-x

(d— in den Gleichungen (5) und (6) unverändert bleibt, so kommt nur der 3^) (d’—e") in (5) bzw. (d — gj) in (6) hinzu, und

und

(31)

x²— 3gx • * =

und in Uebereinstimmung mit (8) aus (6):

man erhält aus (6) — (5) 6 a'²

(⁴ 3x

(32)

f/ _

^)+²^-(i-4)

2 a'² ^1

Der Mittelpunkt des Drucks für die abgezogenen zwei Eckdreiecke ergibt sich hierbei aus

x-e - F

6 — fb'dy-y2 Jo

x-Fb — e-Fb x- d³

und e" =

'3

b-x —

[s. 22), wo e — —, Fb = d²,

d (2x — d)

2 (3* — d)

, wo a —

ra’

br — 2 («' — y), somit {d — y)dy-y² -Jo

y= ist (bei einfacher Biegung ist Dh statt

di

— (für y = d)

bab X

V2

einzuführen

d²x

(s. 26 und 27), so daß bei (1) nur der Abzug in Db hinzukommt und dieser bei (2) mit (dr— e) zu multiplizieren ist).

-tu

J.

k—*-

SS

K—

<Ss

_.«r

*---H--->* -

JT*~

\SOxtttL

~¥

Abb. 27.

Abb. 28.

Beispiel: Eine achteckige reguläre Säule sei exzentrisch belastet, so daß (Abb. 28) für P = 18 000 kg, fe — 8 © 20 = 25,1 icm, K = 5 cm, h = 45 cm, 6 == 50

cm

gl — 4 10

cm

c = K 4    — r — 25

(Abstand für P vom Rand),

(2 532)

2 (11,7* + 28,2² 4- 40²)

Je

² ^ ~ K + St = 36,6 cm, a (1 4 VT) = 50, somit a = 20,7

cra

= h' +

n (r — ti)

20,7

(s. Abb. 25) = 5 4

8-20

x² — 30 x =

6-15-25,1

50

wo e" =

14,6 (2 a? — 14,6)

|(36,6 — 10)

(25 — 5)

V2

= 14,6 cm erhalten wird:

— (25 — 10)

14,6

2 (3 * — 14,6) _ (30 “ 135

ist und hieraus f{x) — x²— 30* 4 934 —

^_₂₅,6*"+i^'=0.

X    x

117-5

. , „    (4,40

,8t e = U,48

(— 117 \+ 191

angenähert berechnet und in f(x) eingesetzt und für das genaue x noch einmal bestimmt werden). Ferner ist

Für *

und f(x) —

somit * = 30 4

308

31,9

cm

(e" kann einmal

ofe =

2-18 000

36,000

50-31,9 —

oe — nob

2 • 14,6² ^1

25,8 (- ⁴⁵

= 15-

14,6

3-31,9

+ 2-15-

25,1 (l

25

31,9

1,60 — 0,36 + 0,16

= 25,8 kg

31,9

= 159 kg, o'e = nab

(-t)

— 15-

25,8 (l

*A

1,9/

= 326 kg.

Die Knickung ist nur dann zu berücksichtigen, wenn sie in der zur exzentrischen Beanspruchung senkrechten Richtung wirken kann, indem die Säule sich dann nach zwei Richtungen ausbiegt, UDd ihre Spannungen am einfachsten

0,0001 FT

addiert werden.

Man erhält daher (nach S. 338, 28) den Knickungskoeffizient k — 1 4

(s. Hütte), somit

F = 2,828 P² 4 n 2 fe, J — 0,6381 P⁴ 4 nfe 2 a² und R = 1,3066 a = 27,0

ein

wo

k == 1 4

0,0001 • 500² (2,828 - 27² 4 15 • 25,1)

0,6381-27⁴ 4 15-2532-3,14

== 1,133 bei 5 m Knicklänge, und ob = 25,8-1,133 = 29,3kg,

oe = 159-1,133 = 180kg, at — 326-1,133 = 370kg (2532 s. oben).

III. Fällt die Nullinie in die unteren Eckdreiecke, so ist noch ein Abzug hierfür zu machen welcher jedoch so gering ist, daß er im Allgemeinen vernachlässigt werden kann.

Dreiecken e" —

X'

24

Man erhält in Beziehung auf die Nullinie, als Abstand des Mittelpunkts des Drucks in den oberhalb liegenden

Stb

36

= ip Als weitern Abzug erhält man daher

»³

2(»'    y') dy'-*--ob =0b.—

Q    t//    D W

(» — ß'"—</,) in (31) und

2 »³

(für y = »'), und es sind in den Formeln (31) und (32) die Ergänzungen

2»'³

b •»

im Nenner von (32) einzuschalten, indem d'—(»— e") an die Stelle

von d'—e" bei II. tritt

(*'

ist = » — a" =

*-y(2+K2 ))•

Beispiel: Zur Vergleichung der Formeln für den Kreis und das regelmäßige Achteck soll noch ein Beispiel für beide Fälle gerechnet werden, wobei das Mittel des um- und einbeschriebenen Kreises (mit rd. a = 0,8 r) als Kreis (mit r) gelten soll. Der Inhalt der Flächen ist alsdann F — 4,8284 a² = 4,8284 • 0,64r² = 3,09 r² für das Achteck und F = 3,14 r² für den Kreis. Wenn also r = 15 cm gegeben ist, so wird a = 0,8 r = 12 cm, und statt li' = 5cm, h = 25cm und gx — 8cm für den Kreis erhält man aus dem Abstand zwischen Kreis und Achteck

= 0,5 cm die Werte h! = 4,5 cm, h = 24,5 cm und g. = 7,5 cm für das Achteck,

(a

r~{2

-JL-)

yj)

Fe ist = 8 | 60 • 8 = 72,2 icm, P = 12 000 kg.

Die Nullinie fällt wahrscheinlich in den mittlern Teil des Achtecks, so daß die Formeln in II anzuwenden sind, und man erhält nach (31) und (32):

»² — 3 </,» =

a (2 » — a)

2 (3» — a)

wo e —

j.

⁶- ~))+-t-(x - T^){e''- ^

n    __ c#

und a = —-j=- — 8,5cm, b = a (1 + y 2 ) = 29 cm, ferner c = Ji + ~y~ = 4,5 + 10 = 14,5cm,

y 2

d'-h'⁺St^

in Beziehung auf die obere Kante = 2792 + 72,2-IO² = 10012, somit d' = Gleichung für » lautet daher:

und Je in Beziehung auf den Schwerpunkt = 1,77²-36,1 + (10 — 1,77)² • 36,1 + 8-29,2 = 2792 und

ist. Die

10012

72,2-10

+ 4,5 = 18,4

cm

a'

* !-

K-

es

l60S

Abb. 29.

Abb. 30.

»² —22,5»

6-15-72,2 f

29

|(18,4 - 7,5)

(14,5-4,5)

-(14,5 -

7,5) (l

MAI

» //

6-8,5² / 29 V

8,5

wo ß" —

8,5(2» — 8,5)

2(3» —8,5)

ist, und hieraus erhält man /(») = »²— 22,5» + 1680

31800

{20

Fttr * = ,

ii ii

6-»-2a'²(l

ist ß" =

3»

o 00

und

/■(») = {

— 94

, somit » = 20

lW ⁼ 19>9°“

2-12 000

3,)(e"-⁷’⁵⁾’

14,95 c" +    e" = o.

Ferner ist

29-19,9-2-8,5!(l

8,5

24,000

0,577 — 0,123 + 0,588

3-19,9

= 23,0 kg (mit dem Rechenstab leicht zu berechnen).

)+2-15-72,26

14,5

19,9

Bei Anwendung der Formeln für den Kreis erhält man nach (29) und (30):

und d' — 18,9

2 nFe I ,

e • x — gtx =

wo r = 15 CD0, h = 25 cm, h' = 5 cm, gl = + 8 cm, c = 15 2    b

ferner e angenähert = —-» und — ö    J

0,4 »² — 8» =

15

y 2 rx ^1

15-72,2-15

81/30 • y% ^1

-*-)

120/

(c — K)

cm

cm

I’

Fe — 72,2 'icm, P= 12 000 kg,

w)i8t’

somit

{(18,9 - 8)

(15-5)

--(15-

oder

f(x) = x — 20 —

xyx (1

= 0.*

120

Für x

Ferner ist

= {gi ist A®) = { ₊ 2^67 ’ S°mit * = 20 +

2,49 • 1

5,16

== 20,5cm.

WO

x \

120 7

15

j/615 (l

20,5

120

= 11,0

cm

oder

12 000

12,000

11-

20,5 + 15 • 72,2 ^1

15

0,226 + 0,291

= 23,1 kg.

20,5

Zieht man bei x — 20,5

cm

cm

ab, so erhält man x — 20

cm

den Abstand von 0,5

und die Spannungen des Betons sind auch in beiden Fällen gleich groß, nämlich ob = 23,1 kg (statt 23 kg beim Achteck). Die Formeln für oc und de ergeben beim Achteck

(statt 19,9 cm beim Achteck)

oe = 15-23

24,5

19,9

>)

= 80 kg und o'e = 15 • 23 1

4,5

19,9

= 267 kg

/ 25 23,1 (-

1^) = 76 kg und o'e = 15 • 23,1 ^1

U

20,5 7

Damit ist die Richtigkeit der Formeln für den Kreis und das Achteck erwiesen, und es lassen sich die Formeln für den Kreis auch bei jedem regelmäßigen Vieleck von 10, 12 usw. Seiten anwenden, wenn nur r — dem mittlern Halbmesser des um- und einbeschriebenen Kreises angenommen wird.

Beim Zehneck erhält man alsdann r = 1,68 a und beim Zwölfeck 1,90 a usw. (s. Hütte 1902, I, S. 121). Die Knickung kann auch für das Achteck oder den Kreis bestimmt werden und erhält man bei 4 m Knicklänge

(s.oben)

~ +nFe — 1790 und J — 0,0491 dA + 2792 • 15 = 81651, k = 1+0,0001-(für das Achteck wie in obigem Beispiel). Die Gesamtspannungen werden daher jetzt für den Kreis und das Achteck:

und beim Kreis

für den Kreis F =

T_

Ti

oe = 15 -

20,5

= 262 kg.

~d²

1790-400²

81651

1,35

(108)

o₆ = 23,1-1,35 = 31,2 kg und oe = 76-1,35 = 103 kg, a'e = 262-1,35 = 355 kg.

(23)

c..

(31,1)

<+-(5g

(80)

(267)

(3 60)

k -___

■< -

RR

--Vi _

_.T

je

60/\

<*>

- se

#t?r

Abb. 31.

Abb. 32.

Für das regelmäßige Sechseck erhält man in derselben Weise folgende Formeln (s. Abb. 31):

statt a + 2y beim Achteck ist, und —y.

I. Hier ist a —

Y und a" = yY ³

so daß b' = a -f-

]/3

]/3

an die Stelle von y tritt. Man erhält daher in den Formeln (29) und (30) für

,    #    x (a j/3 + x)

3\f 3 • a + 4x

II. An die Stelle von

U> O-

1 /    , 2x \

:i"(³“⁺yr)

und für

(s. I beim Achteck, auch in betreff der Berechnung für einfache Biegung). b-ob’X

b ob x

tritt hier Db = —-£

ist = ob ^2 a

• a" —

a"²

a a"²

2 a"³

a²

3]/3-

^ X x ^ dy-ab und der Abzug in ^mit a = und a" — — • j/T ^ = ^2 ]T3--—V(<P— e") bzw. (<P—y{) einzusetzen. Aus

für y == a", oder

^2]/ 3--^, und er ist in (5) und (6) mit ob •

a²

=

(6) — (5) ergibt sich alsdann:

(33)

x² — 3 <7, -a: =

3 a²

TT

und aus (6):

(34)

»•*-T    +

(vgl. (31) und (32)).

x-e-Fb —

Zur Bestimmung von e" ist nach (22):

ra"

v * dy ■ y2 Jo_

a"

ra"

V-dy-y2 Jo

J?(*'

^mit a

a⁴ 1/3

₃₂    , somit «" =

x-Fb—e-Fb

Vf)dy'f

a (4 x— a j/.3)

auszurechnen, und es ist

2a • a'³

a"⁴

für y — a", oder

4 (2 «1/3 — öf)

Berechnung für einfache Biegung, welche gewöhnlich mit I zu berechnen ist).

2 ]/3

(s. II beim Achteck, auch in betreff der

III. Die Formeln in II gelten nur für den Durchmesser b = 2 a, und wenn die Nullinie in die untern Eckdreiecke fällt, so ist ein weiterer Abzug nötig, und man erhält den Abstand des Druckmittelpunkts für die Dreiecke

oberhalb der Nullinie aus: e"

_ A

stb

t

so daß in III. beim Achteck y durch —~

x    Cx' i

= — (wie beim Achteck), und der Abzug wird = j 2 ^

vr)dy'-^’

ersetzt wird, und für y' — x als Abzug ob •

2x'3 x]/$

im Nenner von (34) zu machen, indem d' — {x — e") an die Stelle von d' — e" bei II tritt (x' ist = x

Für das regelmäßige Sechseck erhält man die Werte Fh = 2,598 R², R = a, r — 0,866«, Jb = 0,541 Ri zur Berechnung der Knickung.

Für das regelmäßige Viereck oder Quadrat erhält man dieselben Formeln wie für das Rechteck, und wenn dasselbe wie in Abb. 34 gestellt wird, so ergeben sich dieselben Formeln wie für das Achteck, und ma» erhält für I b' — 2y statt a -j- 2y} so daß dieselben Formeln gelten, wenn in I für das Achteck a = 0 gesetzt wird. Es ist

CO    J)

daher Db = ab • — und e = —, und in den Gleichungen (29) und (30) ist für — und hiermit x und ab zu berechnen.

Vs

— erhalten wird.

In den Formeln (33) und (34) sind daher die Ergänzungen -f

3x ]/3

— (x — e"—yx) in (33) und —

2 x³

3xVs

— a" — « —y]/³)-

— : /- und für e — einzusetzen,

ö    4:

S-

:xj y

r?~jf

___i

Abb. 33.

Abb. 34.

Abb. 35.

j'i

-4r-4--

•-y

Abb. 36.

Abb. 37.

II. In Beziehung auf die Mittellinie in Abb. 34 ergeben sich ganz dieselben Formeln wie beim Achteck II.

einzusetzen.

III. Dasselbe gilt auch für den Abzug der untern Dreiecke, nur ist beim Achteck III x =

Für das gleichseitige Dreieck gelten dieselben Formeln wie für das Sechseck, und man erhält (s. Abb. 36):

, so daß dieselben Formeln wie beim Sechseck I gelten, wenn a — 0 gesetzt

X--7=

j/2

I. b' =

1/3

=r statt a -f-

1/3

wird.

Es ist daher Db —

3|/3

CO

e —: — einzusetzen, und hiermit x und ab zu berechnen.

und / = /-, und in den Gleichungen (29) und (30) ist für ---:

4:    -

' 31/3

%=■ und für

II. Für die untere Dreieckseite erhält man genau dieselben Formeln wie beim Sechseck II.

III. Dasselbe gilt für die Abzüge der untern zwei Eckdreiecke beim Sechseck III, nur ist x — x zu setzen

(s. Abb. 37).

Fällt die Nullinie außerhalb des Kreises oder der regelmäßigen Vielecke, so liegt der Angriffspunkt der Kraft P innerhalb der in den Abbildungen eingezeichneten Kerne, und es treten nur Druck- oder Zugspannungen auf,

zu berechnen sind. Hierin ist F — Fb-\- nFe und J — Jh + nJe in Beziehung auf den

Schwerpunkt des Gesamtquerschnitts, dessen Abstand vom Rand = e ist (s. S. 338, 28).

Für eine Zugkraft mit exzentrischer Beanspruchung gilt das auf S. 329 bis 330 (24) Gesagte, indem statt P und für gx, g₂ bis zum entgegengesetzten Rand gesetzt wird (s. S. 14).

Soll bei obigen oder andern Vielecken die Beanspruchung für einfache Biegung bestimmt werden, so können die Formeln (1) und (2) mit Einsetzung des Wertes von — und e jstatt- für I sowie (26) und (27) mit dem Abzug in D bei (1) und seiner Multiplikation mit d'—e" bei (2) für II gebraucht werden.

welche aus o =

P . M-e

+ P,

4. Formeln für beliebigen Beton- und Eisenquerschnitt mit Bohlräumen des Betons.

In der Hütte sowie im Beton-Kalender sind Formeln zur Berechnung von ringförmigen Mauerwerken aus Stein oder Beton angegeben, in welchen der Zug vernachlässigt wird, und die außerhalb des Kerns angreifende Kraft P =

der Resultante der Druckspannungen des Betons ist.

Hierbei ist das graphische Verfahren von Mohr zur Be

tt

Stimmung des Trägheitsmoments angewendet, und aus dem V erhältnis —

TZ    *

für ein gegebenes Verhältnis — der Wert — (Lage der Nullinie)

r    r

sowie

°max

(Randspannung) in Tabellen bestimmt (o ist hierbei

P ⁰

— -^r, w'o F = Querschnitt des ringförmigen Körpers ist). Jb

-u*

Nach obigen Formeln von L. Pilgrim sind die Resultanten der Druckspannungen des Betons für den äußern und innern Kreisabschnitt

-->

1* —

il

Db~ 15

x ]/ 2 rx ^1

8 r)

und

J''

h*--

_ _ ae___

Abb. 38.

Abb. 39.

a& x 15

und ihr Abstand vom Rand ist e —

]/ 2r, • x, ^1

8 rl

x und e 5

—-x., somit 5

(35)

P'9, = e'-Db

16

e\ * Pb 1 - °b ’ 75

a?² ]/ 2rx ^1

8 x\

(36)

P--Pb Pb 1--

ja? j/2rx ^1

(d H----x^y :irlxx ^1

15 x

Ol !iO

und

Durch Gleichsetzung der Werte für

in (35) und (36) ergibt sich alsdann:

oder

-^.g,{xV2rx (l a?²|/2rx ^1 —

(37)

x y 2rx(l

m-

(i

8r,

8 rx

)}

x^

8rt

woraus x durch Interpolation bestimmt werden kann, während sich für ob

-)(<* + ^xx~9i) =

aus (36) ergibt:

max

(38)

15 P

8x\P2rx ^1

8 r)

(*

xi

8rj

Zur Vergleichung sollen die Werte der Tabelle für ~ = 0,5, ~ — 0,6, — = 1,56,

rx — 12 cm, a = 10cm = gx, z = 31,2 (x — 8)²

werden, und man erhält für r = 20

cm

cm

cm

amax

und für x =

f(x) = x y40a? ^1

; f(x) =

= 2,616 benutzt , P = 10000 aus (37) = 0

IO CO

O cm

f— 257 )+ 106

und x — 32

2-106

363

= 31,4 cm, hierfür ist f(x).= —7 und x — 31,44

cm

statt 31,6 em.

Ebenso ist nach (38):

15-10000

150,000

8-31,

4)/40-31,4 ^1

31,4

8-20

— 8-

23,4²

31,4

j/24 -23,4 ^1

23,4

8-12

7,17 — 2,50

— 32,1 k*

statt

10 000

804

• 2,61 = 32,4 ke

In II 3 sind die Formeln für den kreisförmigen und achteckigen Betonquerschnitt mit Eiseneinlagen entwickelt worden, und dieselben gelten bei Weglassung des Hohlraumes, und für diesen ist noch ein ganz analoger Abzug zu

an die Stelle von x, r und o₆ treten. Aus den

machen, in welchem beim Kreisbogen a;,, r, und aM =

Gleichungen II 1 (5) und (6) erhält man daher bei Ersetzung von —— durch — a; 1/2 rx (1 —- ——) und von d'--—

2    15    \    8 r /    6

d |wo d = ~x istj und durch Subtraktion von (6) — (5) die Gleichung für den Kreisring:

w)(e'-M-w'i.ik v0 ~ird(d + '* ~ ■'*> =

nF, {(*-*

2

wo e = —-x. ist. Ebenso erhält man aus (6):

5

durch d' —

(39)

15

x ]/2rx ^1

Tma>

(40)

15

x ]/ 2rx ^1

8 r)

8    x²,

15 x

V 2 rx xx (l

8 r.

somit ganz analog den Formeln (37) und (38) ohne Eiseneinlagen.

Beim regelmäßigen Achteck ist gleichfalls der Abzug für das innere Achteck zu machen, für welches

a, oÄ, y, x durch a,, oÄ1 = ■^L-ab) yt und a?, ersetzt werden, und man erhält nun für Fall:

oc

(41)

I. Aus den Formeln (5) und (6) wie oben beim Kreis ^für e

x(a -f- x)

3a + 4a;

3a, +_2x, xl {d + c, _ gt) = nFt {......} ₍₈. ₃₉₎

und e.

_ a?! (qt + gt)\.

3 a, + 4 xt )'

(42)

3a + 2a;

• a: —

3a, +2*._.«L + <>f /t_

a;    \ x /

Jtr^

1. - «

i*

v»°/

~\

?///,

c.

i___

Abb. 40.

Abb. 41.

II. Dieser Fall kommt gewöhnlich in Betracht, und es ist hier die Differenz des Rechtecks mit

b ab x

bzw.

bx ahl xx

und seines Abzugs o₆ d² ^1

3x

wo d —

!%■ U"d

3x

wo a, =

V2

ist, in

die Gleichungen (5) und (6) einzusetzen, welche jetzt lauten (s. Abb. 27):

b. x²

(43)

P(d'—g,)

d.

2a;

(44)

P(d' — g,) _ dx_((f _a s b,x\

2 ⁽    ^    2 a;

a'

a'

3 a?,

somit (für d, — d'—d) durch die Subtraktion (44) — (43) und in UebereinStimmung mit den Gleichungen (31) und (32) für das Achteck:

(45)

wo e" —

(46)

«*A[,

•4-

b. x²

(a;, + 3 d — 3^,) —

-<«'-?,)(i--|)}+¹£!(i

d (2 x — d)

x² — 3 gix —

2 (3 x — d)

und e, =

3a;

di(2x — dl)

2(8*,-«;) 18t'

Aus (44) ergibt sich ebenso:

°b b-x

d,

d,

2x

Beispiel: Ein Fabrikschornstein habe die untern Durchmesser Dx = 2,40 m und dx — 1,80 ra, und die obern Durchmesser D== 1,50m und d — 1,20m (die Stärken sind etwas geringer als in den Formeln der Hütte, nach

— d = 0,016 h bis 0,02 h ist), hs = 30 m, Gewicht des Schornsteins

2

-p-F für den Kreis (beim Achteck und

O

• 30 = 5,85 *, Abstand der exzentrisch wirkenden

Dx—D

k und d<

= T+D,D+D')-(d\ + d,d+ £-))■•*,i =

Viereck gilt 0,707 pF, beim Sechseck 0,75 p F) — — ■ 0,150 ■

3

Mw _ 5,85-14,3

welchen

33

20

gew.

89,9 *, Winddruck = 2,4 + 1,5

Kraft P = 89,9 * von der Mitte = —p

s. Abb. 41).

89,9

= 0,93 m, somit gx = 120 — 93 = 27

cm

(im untern Schnitt,

Man hat also in den oben entwickelten Formeln für den Kreis P = 89,9 *, gv — + 27cm, d = 30cm, r = 120cm, r, = 90cm, Fe = 8 © 30 == 56,6 ⁽icra zu setzen.

ist =

Für das Achteck ist a = 0,8 r = 96 cm und ax = 0,8 rx — 72 cm, der Abstand zwischen Kreis und Achteck

96    r_

= 120--—(1 + 1/2) = 4,1

/ a . a \

r-\r ⁺ yt)

cm

und = 90

72    _

— (1 + ]/ 2) = 3,1cm, somit ist die Stärke d £

b =a(l -f 1/2) =

und a\ =

rd. 68

rd. 51

, ferner a

cm

cm

beim Achteck = 30 — 4,1 -{- 3,1 = 29

= 232 cm, bx = ax (1 + 1/2) = 174 </, = 27 — 4,1 = rd. 23 cm, ferner c' =

£

-f 10 = 178 cm (beim Kreis ist c' = 116 -j- 4 = 120

Zur Vergleichung sollen nun die Werte von x und ab für den Kreis und für das Achteck berechnet werden, und erhält man für den erstem die Formeln (39) und (40):

x 1/240 x ^1

cm

cm

K= 10

= 116

cm

1/2

1/2

, h — 222 , d' =

cm

cm

cm

Je

(beim Kreis ist h! = rd. 14

, h = rd. 226 cm), 2 (62² + 150² + 212²)

~ Ste

d'= 178 + 4 = 182 c“), s. Abb. 25.

— V^Ox, (l

¹²⁰-_l⁴)_₍₁₂₀- 27)(l

15

nfAc' — h')

8-106

xx

720

) (³⁰ + \ X\ — ²⁷) = ¹⁵ • ⁵⁶>⁶ •

oder f (x) = 8,26 a; ]/ x (l

•{(182 — 27)^-i|_)₍₀,4a:-27)-7,16^]/57(l

xx

720

-)(0,4®, + 3)

15 054 470

+ 78960 = 0

und für xx = x — d = x — 30:

_ |¹²⁰ -    _ f 199 520 — 156 460 — 46 500 = —3440

37 — 1130 ¹⁸ ' ' ] ~ ^264 640 — 203 940 — 36 850 = + 23 850

^-Q-³.44Q- = 121,26 27 290    ;

mit fünfstelligen Logarithmen) f(x) = + 20 (dieselben können auch für x =    angewendet werden).

Hol)

89 900

(für x — 0 ist f(x) negativ), somit x = 120 +

cm

rd. 121,3 em, und hierfür ist (am einfachsten

Ferner ist

15

• 121,3 ]/240 • 121,3 ^1

121,3

960

8    91,3²

15" 121,3

Y180 -91,3 ^1

91,3

720

^ + 15 • 56,6 ^1

120

121,3

89,900

= 16,3 k*, oe = 15 • 16,3

(■

226

121,3

= 211 k«, o'e = 15 •

9,62 — 4,11 + 0,01

und hierbei genügt die Rechnung mit dem Rechenstab (oder auch mit Logarithmen).

16,3 ^1

14

121,3

Für das Achteck erhält man die Formeln (45) und (46), somit ist

x² — 3 • 23 a:

174 x²

232

6 • 68²

(116 — 10)

f)>

6-15-56,6

(116 — 23)^1

{(178 — 23)

^ • (29 -f- / — 23) oder

• —L (x. -f- 3 • 29 — 3 • 23) = x

6-51²

x \

68

'i¹ 3x

f(x) = x² — 69 x —    (a:, + 18)

232

232

232

3 xx

3x?

381173

+ 2042 - 119,59 (l - (e

(a?t ~ 17)

(6 + 0 = 0

+ 507 — 215

und f(x) = + 4 (e" und e\ sind im Verhältnis zu ändern,

23) + 67,27

51 (2a?t — 51)

191    „

isi' e =

68 (2 a: — 68) _ J20,0 2 (3 a: — 68) “ >19,7

, und hierfür wird xx = 84 und die mit ihnen verbundenen Zahlenwerte können mit dem Reohenstab bestimmt werden).

und für x =

a: = 110 -f

o₆ =

120

HO²

x\ =

10-215

722

= 113

cm

cm

2 (3 xx — 51)

und

Ebenso ist nach (46):

89 900

232-113    174-84²

2-113

89,900

68

68

51

116

3-113

3-84

113

13,10 — 5,43 — 3,70 + 1,29 — 0,02 = 234 ke.

= 17,1 ke,

oe = !5 -

17,1 ■(

222

113

= 247 kg, o'e = 15-17,1 (l

113

Die Spannungen werden also beim Achteck etwas ungünstiger als bei dem Kreis (was wohl von ihrem äußern Abstand = 4,1cm herrührt), wiewohl die Abweichung nicht bedeutend ist (x = 113 cm statt 121,3 — 4,1 =± 117,2 und ab — 17,1 kg statt 16,3kg), so daß auch hier vom regelmäßigen Zehneck an der Kreis für dasselbe gesetzt werden kann.

cm

III. Fällt die Nullinie in die untern Eckdreiecke, so können die Formeln nach den in 3III für das Achteck gemachten Angaben direkt abgeleitet werden, so daß in obigen Formeln (45) und (46) für das Achteck in (45) noch

(d -f- xx — e" — <7/ hinzukommen, weil {d\ — (xx— /')} an die

2x'x

(x — e"—gl)

Stelle von (d\ — e[) in (43) tritt, und d\ — d' — d ist [e"

die Ergänzungen +

ist =

und e[ — ferner —

Z    Ja /

x³

X. ⁴

—--j- ——-— im Nenner

3x 3xxx

von (46) zu addieren sind, und es ist x

x — d, cc —

(s. Abb. 42).

x--p=

1/2

~z (1 -f-)/ 2), und x. — x

d—

\/2

Für das Sechseck sind die Formeln wie oben abzuleiten, indem nach 31 für das Sechseck in Fall

3 a, +    beim Achteck (s. 41 und 42) die Werte ^3a-\--~~j~ und

x (a ]/ 3 + x)

3 ]/ 3 • a + 4 x

II. Hier tritt nach 3 II für das Sechseck an die Stelle des Abzugs d² ^1

I statt

und

(3 a, 4-einzusetzen sind, und e —

\    ¹    ]/3/

sowie e\ —

xx (ax Y3 + xx) .gt

3]/3-«, + 4«t

3a?

^-^2j/3---^, so daß die Formel (45) jetzt lautet:

^ beim Achteck der Abzug

(47)

wo e =

x² — 3glx — -±--±(xi + 3d 3gt) =

. 3 a2 46

a(4x— a\d 3)

4 (2xV3 — d)

(₂yl-±) («_,,)

und e, —

ax (4x — ax ]/3)

4 (2 x 3 — ax)

ist. Aus (46) erhält man

(48)

°6 =

2x

t(»^

MC —

* &i-»

6___

JC-%.

lü?

ysr,

J \\

Abb. 42.

Abb. 43.

P³

III. Nach 3III für das Sechseck tritt an die Stelle von —— beim Achteck: Formeln III für das Achteck nur 3 im Nenner hinzukommt

z³

3x\r3 ’

und xr — x — d und x =

3x

so daß in obigen

x--—]/ 3 = x\ ist

(s. Abb. 42 bei Weglassung der zwei vertikalen Seiten des Achtecks).

Für die Berechnung des Vierecks bzw. Quadrats sowie des gleichseitigen Dreiecks mit Hohlräumen gilt das in 31 bis III Uber dieselben Gesagte, und es ist in den obigen Formeln für das Achteck und Sechseck bei I a und ax = 0

x--7= und beim Dreieck

1/2

zu setzen. Ebenso gelten für II und III dieselben Formeln, nur ist beim Viereck x\ = x =

x\ = x -{- d zu setzen. Die Berechnung der Querschnitte in Abb. 43 erfolgt für einfache Biegung wie bei (23) aus

R — R' = n ob Fe

(c — x)

= Dh — Differenz der Betonspannungen für das äußere und innere Quadrat bzw. den

—— (d — c) (s. S. 335 und 336, 27 und 28), x

^-t)+-'-

und d — e für d--— eingesetzt wird (s. 27).

O

Kreis (s. 26). Ebenso ergibt sich ab aus M — bohx

wenn Db für

Das gleiche gilt für die Berechnung der

exzentrischen Beanspruchung in Uebereinstimmung mit (3) bis (8), vgl. (29) und (30).

Bei äußerer Lage der Nullinie ist die Differenz der Trägheitsmomente J und Querschnitte F in die Formel

P M-e ⁰ ~ ~F ± J

zu berechnen.

einzusetzen. Die Knickung und die exzentrische Beanspruchung für eine Zugkraft ist wie in III3.

IV. Berechnung der Bügel für eine Eisenbetonkonstruktion.

1. Berechnung der Bügel und der abzubiegenden Eisen aus der Schubspannung des Betons.

Schubspannung in horizontalem Sinn (durch Abscherung) auf die Bügel, während die andre Hälfte vom Beton aufgenommen wird, so daß xe =

Bei der Bestimmung der Bügel kann man zwei Wirkungen der Schubspannungen im Plattenbalken berücksichtigen, und zwar einerseits eine Abscherung zwischen Platte und Steg durch eine horizontale Schubspannung

Q-e

T₀ =

und andrerseits eine Abhebung der

«(*-f

(wo Te = der

zulässigen Abscherung des Eisens = 800 kg ist), oder

Platte vom Steg durch eine ebensogroße vertikale Schuh

(«)

Spannung.

Te =

en-xo'g

Da in beiden Richtungen 4,5kg Schubspannung des Betons (nach den Leitsätzen des deutschen Architekten-und Ingenieur-Vereins und nach den preußischen Bestimmungen) zulässig sind, so wird die unter 45° wirkende Resultante t₀ (für die Breite 1 des schiefen Streifens 2 ) der beiden Schubspannungen mit 4,5

2/;

da xn =

ist \, oder

kg

Stimmung der abgebogenen Eisen aus Z' =

Abzug zur Be-

x (x₀ — 4,5)

]/2

verwendet (s. Leitsätze und Theoretische Berechnung der Betoneisenkonstruktionen S. 27).

Es ist nun im Eisenbetonbau von Mörsch, 1908, S. 198, vorgeschlagen worden, die vertikalen Schubspannungen durch die Bügel aufnehmen zu lassen, insoweit sie nicht schon von den abgebogenen Eisen aufgenommen werden. Hieraus läßt sich folgendes Verfahren zur Berechnung der Bügel ableiten: Die Schubspannung x₀ kann in horizontaler und vertikaler Richtung bis zu 4,5 kg durch den Beton selbst aufgenommen werden, und die schiefe Zugspannung

4,5 kg

des Betons kann bis zu

übertragen werden.

Denn die unter 45° wirkende Zugspannung des Betons

x₀ • ]/2 wird durch die Komponente

auf die vertikalen Bügel

To

]/2

der vertikalen

Schubspannung in den Bügeln reduziert (s. Abb. 44), so daß für t₀ = 4,5 kg (der Breite 1) nur noch 2 ’/₄ kg Zugspannung des Betons übrig bleibt (nach dem Eisenbetonbau, S. 169, sind noch 2 kg zulässig), also eine dreifache Sicherheit gegen das Auftreten der ersten Zugrisse bei 6—7,4 kg (S. 181) vorhanden ist, auch wenn keine abgebogenen Eisen und Bügel, sondern nur gerade Eisen vorhanden sind.

Die Berechnung der abgebogenen Eisen bleibt alsdann unverändert, indem (bei der Annahme eines Fachwerks mit Doppeldiagonalen) die senkrecht dazu verlaufenden Druckbetonstreifen dieselbe schiefe Druckspannung x₀ des Betons aufnehmen können, und daher obige Formel für Z' nicht mit ]/2 zu multiplizieren ist, da sich die Querkraft nicht nur auf die schiefen Eisen (als Zugspannung), sondern auch auf die Betonstreifen (als Druckspannung) verteilt. Die (in x₀ — 4,5) noch übrigen 4,5 kg des Abzugs werden dann zur Hälfte durch die Schubspannung x₀ == 4,5 kg in den vertikalen Bügeln aufgenommen, für welche daher

(C)

t₀ • e • b₀ = ae fe, wo x₀ die berechnete Schubspannung bzw. 4,5 kg/qcm derselben, e der Abstand der Bügel in cm,

by Breite des Stegs in cm, oe die zulässige Spannung des Eisens = 1000kg/qcm, fe = Querschnitt der in einem Schnitt

1000/

0 • xo bo • ⁴/

(C)

liegenden Bügel in

qcm

ist, somit e =

fe

(c)

(bei kleinern Werten als 4,5 kg gilt der berechnete Wert von t₀).

Die bisher von mir angenommene Berechnungsweise (s. S. 46 der Theoretischen Berechnung) überträgt die halbe

„ _    2/g • Te _ 2fe • 800

‘•v*. ~ ⁽*v*.'

Hierbei wird aber das ganze (gewöhnlich das l¹^ bis 2 fache von 4,5 kg betragende) x₀ eingesetzt, so daß die

looo/;

* xo (= ⁴>⁵)

größere Abstände der Bügel ergibt, und weil t₀ in der Mitte gewöhnlich kleiner als 4,5kg ist, so nehmen diese Abstände gegen die Mitte hin zu, und sie werden hier um das 1,6 fache kleiner als die für die halbe Abscherung berechneten Werte.

Die Uebertragung der ganzen Schubspannung x₀ auf die Abscherung der Bügel würde eine wesentlich kleinere Teilung ergeben, während die Berechnung mit xn — 4,5 sich der obigen Berechnung mehr nähert, aber von t₀ — 4?5 ke (s. Beton und Eisen, 1906, VIII, S. 212).

Bei einfachen Balkenbrücken werden die abgebogenen Eisen gewöhnlich nicht ausgenützt, so daß sich alsdann der Abstand der Bügel etwas größer annehmen läßt, als es die Rechnung mit x₀ = 4,5kg ergibt. Doch sollte hierbei nicht unter x₀ = 3 kg gegangen werden (welches auch mit Rücksicht auf die Stoßwirkungen für Eisenbahnbrücken als zulässige Schubspannung angenommen werden kann). Es kommt alsdann für t₀ — 3 kg nur noch 1,5 kg (nicht vom Eisen aufgenommene) schiefe Zugspannung des Betons in Betracht, wiewohl 2¹/₄kg auch nicht zu hoch ist, und der Abzug x₀ — 4,5 kg in manchen Fällen (z. B. bei Einzellasten in der Mitte oder bei Pfostenfachwerken und den eingehängten Querträgern derselben) zweckmäßig ist, damit nicht zu viele Eisen abgebogen werden müssen (s. Theor. Ber. S. 33), oder damit die abgebogenen Eisen . nicht zu sehr gegen die Mitte verschoben werden, da sie hauptsächlich gegen die in der Nähe der Auflager auftretenden schiefen Risse notwendig sind.

Der Abstand der Bügel wird alsdann ein konstanter, und zwar bis zu dem Wert von x₀ = 4,5 (3) kg, welcher sich für einseitige Belastung in der gewöhnlichen Weise ergibt (s. Leitsätze und Theoretische Berechnung S. 35), und außerdem kann der Wert von x₀ für einseitige Belastung in der Mitte bestimmt werden (welcher für das Eigengewicht allein = 0 ist), um hieraus den Abstand der Bügel in der Mitte (in max 30—40 cm) zu erhalten (s. Eisenbetonbau 1908 S. 197).

Will man feststellen, ob die mit t₀ — 4,5 (bzw. x₀ — 3) kg berechneten abgebogenen Eisen noch einen untern Zugquerschnitt übrig lassen, welcher keine höhere Beanspruchung des Eisens als in der Mitte des Balkens ergibt, so gilt als Begrenzung die in Abb. 45 eingezeichnete Momentenlinie (welche auch bei beweglichen Einzellasten annähernd einer Parabel entspricht), und aus dem Ver-

in der Mitte

8

läßt sich sehr einfach der erforderliche Eisenquerschnitt

obige Formel e =

am Auflager meistens

an

hältnis der Höhen

die Bügel überflüssig machen würde

^ - (l — x) bei x zu

qP

(an der Stelle wo die Eisen abgebogen werden) aus fe berechnen (/‘ = Querschnitt in der Mitte

x (l — x)

entspricht alsdann der Höhe der Parabel in der Mitte).

Bei kontinuierlichen Balken oder Platten muß auch über den Mittelstützen der erforderliche Eisenquerschnitt vorhanden sein, welcher die obern Zugspannungen des Betons aufnehmen kann.

Stützweite l und am Auflager die lichte Weite l zur Bestimmung der zwei Momentenlinien zu verwenden, wie sie in Abb. 47 gezeichnet sind. Die rechte Seite zeigt hier die Grenze für die Abbiegungen in der Mitte und die linke Seite diejenige für die Abbiegungen am Auflager, und können beide auch auf derselben Seite gezeichnet oder nach obigen Formeln berechnet werden. Als vorläufige Annahme können die Grenzen

Ji\J

Weite gelten, und ebenso kann für die Zwickel circa

— der lichten 4

Bei vollständig eingespannten Platten (welche jedoch nur bei kreuzweiser Armierung mit

qP

24

in der Mitte vor-

10

derselben angenommen werden ^an ihrem Ende sollte

kommen können s. Theoretische Berechnung S. 29) ist das nebengezeichnete Verhältnis der Momente vorhanden, und man erhält den Abstand für M — 0 aus a = 0,21 l, wobei zweckmäßig unter l die lichte Weite zu verstehen ist, wenn auch die Berechnung der Biegungsmomente mit der Stützweite geschieht (s. Abb. 46). Für die bei kontinuierlichen Balken oder Platten gewöhnlich vorkommenden Verhältnisse

der Momente in der Mitte M —

T~

M=0

qP

und am Auflager

Abb. 46.

Ma =

qP

9 (8)

12 (10)

ist bei Annahme einer Parabel für die

fe

CO ^

Momentenlinie —

SL irH

y_ 9(8) h 21 (18)

, oder x = 0,33 l,

für — noch das halbe Moment desjenigen in der Mitte 2

und

vorhanden sein, somit annähernd bei Ma — 12 — 4,5

Mm =

qP

12(10)

31

bzw.

9 (8) 10—4 l

noch

2,5 l

12

24

9,6

x — ->|< -l-a.r— -

-->

/('■,

k K71

\N

Abb. 44 und 45.

somit a in beiden Fällen = 0,17 l =— (bei ganz

— oder 6

Eingespanntsein ergibt sich

►H 's! *1

x = 0,29 l, a — 0,21 l).

Der negative Teil der Momentenlinie kann annähernd durch eine Gerade ersetzt werden und der positive durch

(?! ~ a?)

eine Parabel, wobei wieder das

•fe für das l

zwischen den Nullpunkten, und außen annähernd — • f,

a 1 e

gilt (wo fe = Querschnitt in der Mitte bzw. am Auflager ist).

Die Momente sind in beiden Fällen mit der ganzen Stützweite zu berechnen, aber zur Bestimmung der Grenzen für die Abbiegungen ist es vorzuziehen, in der Mitte die

Die genaue Bestimmung der

6 10/

Grenzen geschieht am einfachsten durch Berechnung wie oben, und wenn es an Platz für zwei Abbiegungen fehlt, so genügt auch eine.

Dasselbe gilt auch für kontinuierliche Balken, indem auch

10

hier bei Straßenbrücken und Decken mit Mm

und Ma —

qP

9 (8)

qP

12 (10)

gerechnet werden kann (in der ersten

und letzten Oeffnung kann bei teilweiser Einspannung

qP

noch Ma = —

qP

am Endauflager, und für das Moment

in der Mitte Ma = 0 am Endauflager

angewendet werden), woraus sich die O-Punkte der Momentenlinien, und damit auch alle andern Werte ergeben

12 (10)

(annähernd sind die äußersten Abbiegungen bei -7-bis-^- l \    4    5

Abstand vom Auflager anzunehmen^. Bei genauer Berechnung

Momente

fl²

9(8) i Th

am Auflager für die Mitte

Kfk----1----FP

KK    |    /Mi

cP

9(8)

Jr-

*ä I

fl

Abb. 47.

von kontinuierlichen Balken erhält man die 0-Punkte aus den Momentenlinien für die Vollbelastung von ein oder zwei Oeffnungen, und es genügen auch hier bei teilweiser Einspannung die obigen Annahmen, und die Lage der abgebogenen Eisen ergibt sich aus den für Kontinuität berechneten Schubspannungen.

2. Begründung der obigen Berechnungsweise aus Versuchen mit Eisenbetonbalken.

Zur nähern Begründung der oben angeführten Berechnungsweise der Bügel sowie der sonstigen Annahmen über die Schubspannungen usw. dient eine Veröffentlichung von Professor Mörsch: „Die Ergebnisse der Versuche Uber die Schub Wirkungen bei Eisenbetonträgernu (in der dem ersten Gleiten des Eisens auch die schiefen Zugrisse Deutschen Bauzeitung 1907, Nr. 30, 32 und 35, auch als Sonderabdruck, und im Eisenbetonbau von 1908 veröffentlicht).

Bei diesen Versuchen der Firma Wayß & Freytag wurden 12 verschiedene Plattenbalken mit verschiedener Belastungsweise und verschiedenen Armierungen untersucht:

Die Balken I—IV erhielten eine gleichförmige Belastung, I und II enthielten nur gerade Eisen, und bei II war der Steg doppelt so breit als bei I. Bei II wirkte

die Kraft in das nächste abgebogene Eisen übergeht, und den dortigen schiefen Riß veranlaßt.

VI hat eine vollkommene Ausbildung der abgebogenen Eisen mit Bügeln auf der ganzen Länge. Hier treten mit

ein. Die hierbei auftretende Haftspannung xt — 32,5 kg, wie sie aus der Formel der Leitsätze

Zb..

n xd

(ä — y) n~d

berechnet ist, konnte in dem um 5 genau ermittelt werden, so daß die zulässigen 7,5 kg eine

cm

vorstehenden Eisen

Riß

3-5d

\d

Abb. 48.

Abb. 50.

daher der Zug im Beton mehr mit, so daß der in Abb. 48    !    4—5 fache Sicherheit für die (auch durch direkte Versuche

gezeichnete Riß später auftrat, und zwar annähernd bei bestimmte) Haftfestigkeit bieten*).

Auch bei VI veranlaßte das Nachgeben des geraden Eisens bei einem berechneten x, = 61 kg den Bruch bei der ersten Abbiegung, so daß die Sicherung gegen die Ueberwindung der Haftfestigkeit nötig ist (und zwar in dem obigen Verhältnis 7,5:32,5), und Ersatzhafteisen erforderlich werden können.

Hierzu dient auch der von Considere vorgeschlagene Hacken, welcher die direkte Haftfestigkeit der Eisen bis zur Streckgrenze derselben erhöht, aber hauptsächlich für direkten Zug in Betracht kommt, während die durch Biegung hervorgerufene Adhäsion unverändert bleibt. Auch nach Professor Bach treten die Hacken erst beim Gleiten

der doppelten Belastung (also proportional zur Stegbreite), was die Aufnahme der schiefen Zugspannungen durch den Beton beweist, weshalb auch ein Teil derselben sehr wohl durch den letztem aufgenommen werden kann.

Bei I und II waren auf der rechten Seite Bügel angebracht, und die schiefen Zugrisse traten zwar auch hier ein, aber erst bei viel großem Belastungen. Dies läßt sich so erklären, daß wenn nur gerade untere Eisen vorhanden sind, die Kräfte D und Z eine Drehung des Balkenendes bewirken, indem zwischen ihnen und der

Resultante Q der Belastung Gleichgewicht vorhanden sein muß. Die Bügel erhalten nun den Zusammenhang zwischen den gezogenen untern Eisen und dem gedrückten Beton, so daß die in Abb. 48 angegebenen Risse viel später auftreten, indem sie das Hinunterdrticken der untern Eisen und das Abreißen der Platte vom Steg durch ihre Zugkraft verhindern.

des Eisens in Wirkung, und erhöhen alsdann die Bruchfestigkeit des Balkens.

Bei richtiger Anordnung der geraden und abgebogenen Eisen haben die Bügel keine besondere statische Aufgabe, aber sie können (wie oben angenommen wurde) die Verbindung zwischen Platte und Steg erhalten, indem sie gleichzeitig die schiefen Zugspannungen des Betons auf das zulässige Maß reduzieren, und auch in der Mitte des

z~₀

Abb. 51.

Abb. 49.

Dasselbe sagt auch Professor Bach in    Heft 45 bis    Balkens der Abscherung    entgegenwirken, und daselbst    die

47 der Untersuchung von Eisenbetonbalken (Mitteilungen    vertikale Schubspannung    aufnehmen.

über Forschungsarbeiten 1907), daß nämlich eine Drehung    Bei V mit einem flachen Hängewerk (auf der rechten

und Verschiebung des äußern Balkenteils    erfolgt und    Seite Bügel) zeigten sich    dieselben Risse wie bei I und    II,

durch die Bügel eine Pressung der Eisen    nach unten    und der Bruch erfolgte wie bei I—III durch die Drehung

aufgehoben wird. Die Längsrisse treten daher bei Vorhandensein von Bügeln später ein, und auch der Gleitwiderstand wird um ca. 20 °/₀ größer, weil die untern Eisen durch die gezogenen Bügel gegen den Beton gedrückt werden.

Bei III zeigt sich die ungünstige Wirkung der auseinandersprengenden Knoten in den Thacher Eisen.

IV ist mit vollkommener Abbiegung der untern Eisen, aber ohne Bügel ausgeführt. Hier treten die schiefen Risse viel später ein, x₀ und xt erreichen viel größere Werte, und die Zerstörung erfolgt durch Ueberwindung der Haftfestigkeit x, in den geraden Eisen, von welchen

*) Anm.: Herr Professor Ramisch hat in Nr. 4 von 1908

zur Be-

des „Eisen und Eisenbeton“ eine Formel x, =

rechnung der Haftfestigkeit angenommen, welche bei direkt gezogenen oder gedrückten Eisen anwendbar ist, indem dadurch die Länge bestimmt wird, mit welcher sie im Beton eingelassen

t: d²

Oe

4

sein müssen, und zwar aus l =--₇

Ttd-Tj

rechnung S. 30). Bei Biegung ist aber die Differenz der zwei benachbarten Zugspannungen des Eisens und Betons maßgebend, weshalb die obige Formel richtig ist.

(s. Theoretische Be-

des Endes. Auf der Seite mit Bügeln traten die schiefen Risse viel später ein, so daß hier Bügel notwendig sind, welche sogar die ganze vertikale Schubspannung aufzunehmen haben, da sonst die Tragfähigkeit nicht größer als bei I und II und nur ³/₄ von IV ist.

Die Versuche mit den Balken VII—IX für zwei Einzellasten in l Abstand und mit den Balken X—XII

O

für eine Einzellast in der Mitte bestätigen das oben Gesagte, wiewohl hier die ersten Risse mehr in der Nähe der Einzellasten auftreten, und die Verteilung der abgebogenen Eisen eine größere werden muß, da die Querkraft bis zur Einzellast konstant bleibt.

Nach der in der Schweizerischen Bauzeitung (Band XLIV Nr. 26 und 27) und auch als Sonderabdruck veröffentlichten Abhandlung von Professor Mörsch Uber „die Schub- und

Scherfestigkeit des Betons“ tritt die Scherfestigkeit des Eisens erst nach Ueberwindung derjenigen des Betons (bei 34,8 —38,6 kg) in Wirksamkeit, indem die letztere ohne Eiseneinlagen gleich groß bleibt (31—41,7 kg). Für die horizontale Abscherung des Betons erhält man dieselben Werte (28—36 kg).

Deshalb ist die Berechnung der Bügel auf Abscherung nicht zu empfehlen, indem bei Biegung des Balkens (die Versuche von Zipkes in Beton und Eisen 1906 verhinderten diese Biegung durch eingelegte Spiralen und hatten ; infolgedessen günstigere Resultate) keine erhöhte Sicherheit gegen die Abscherung vorhanden ist, und daher die Verbindung zwischen dem gedrückten Beton und den gezogenen untern Eisen durch die Zugkraft der Bügel wirksamer ist, indem sie am Ende die verbleibenden 4,5 (3) kg und in der Mitte die ganze vertikale Schubspannung x0 aufnehmen können.

*3|

75

I x",, 1,8    *^< 1,2 —

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"o.is

10$ 56

--16,7---

V-

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m

o.iU-

£—ooi.--

ES

GH

Abb. 52.

Abb. 53.

3. Anwendung der obigen Berechnungsweise auf zwei Beispiele von Brücken.

wird.

Zum bessern Verständnis des bisher Gesagten soll eine Anwendung desselben auf zwei Beispiele von Straßenbrücken gemacht werden, und zwar eine solche mit Pfostenfachwerk und eine Balkenbrücke.

Die Berechnung der erstem geschieht am einfachsten mit den Formeln A 3 und 4 für b₀ (bzw. c) — 0 (s. Theoretische Berechnung S. 27), und hieraus kann bei j Annahme der untern Balkenhöhe sowie der obern Breite um das Gurtungshöhe d zunächst die Höhe h und der Eisenquerschnitt f\ für einfache Armierung (nach A 3 b), und bei Annahme eines kleinern h die genaue Berechnung von fe und f (nach A 4 c) stattfinden (s. S. 12—13).

Bei Berechnung der Schubspannungen aus dem Auflagerdruck A = rd. 88¹ ergibt sich

Man erhält nun bei einem siebenfachen Bügel = 7 ® 12 = 7,92 qcm einen Abstand derselben 1000-fe _ 1000-7,92 (%₀ • 4,5

Durch die Oeffnungen von 0,4m Breite vergrößert sich die Schubspannung in den Zwischenwänden von 0,8 m

32-4,5

= 55 cm.

i—i ; Ö

= 1,5 fache, und die für 1,2 ¹¹¹ Länge

M)*

88000

.,210 — 30)-32

= 13,1 kg,

(x)

erforderlichen Bügel müssen auf 0,8m Breite verteilt werden, und man kann rd. 60cm Abstand für dieselben annehmen (mit Rücksicht auf die unter 1000 kg bleibende Zugspannung der abgebogenen Eisen).

Bei Berechnung der Querkraft in der Mitte erhält man ein kleineres x₀ als 4,5 kg, und zwar ca. 2,2 kg, weshalb der zulässige Abstand hier größer wird, bezw. weniger Bügelquerschnitte erforderlich sind, wenn man nicht die sichere Verbindung zwischen der obern und untern Gurtung durch je zwei Bügel vorzieht, welche wie die andern ausgebildet sind.

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A/---J<----5,5--

V.

n-

,x

Abb. 54.

Abb. 55.

so daß hier der Abzug von 4,5 kg in

(c)

x-f>L

2]/ 2

zu machen ist (worin x = 470 x₀ = 4,5 kg berechnet wurde), und ae

Z’= (tü — 4,5) •

=(13,1-4,5)-

470-32

=,= 45800 kg

cm

2]/ 2

für die Schubspannung 45800

= 900 kg

Es werden nun sämtliche Schubspannungen über 4,5 kg von den abgebogenen Eisen aufgenommen, und die verbleibenden vertikalen Schubspannungen des Betons von 4,5 kg (bezw. der kleinere Wert von x₀ in der Mitte) sind durch die vertikalen Bügel aufzunehmen. Die durch

die Oeffnungen von 4,5 kg auf

größerten horizontalen Schubspannungen des Betons sind

1,2

0,8

. 4,5 = 6,75 kg ver-

zum Teil durch die kreuzweise Abbiegung der oberhalb und unterhalb der OefFnungen liegenden 2 Eisen 0 20 nach unten und oben aufzunehmen, indem die 6,75 — 4,5 — 2,25 kg durch Eisen ersetzt werden müssen, und hier-

für die Formel (fe-5(l-x₀) y 2 = oe fe für die Breite b der Zwischenwand und die Richtung der Abbiegung von ca. 45° verwendet werden kann.

Es ist daher

b t₍,]/2~ __    80-32 ■ 2,25 j/2

fer =

³e

1000

= 8,2

qcm

so daß je zwei Abbiegungen 0 20 nach beiden Richtungen mit fe2 = (2 + 2)-3,14 = 12,56 qcm ausreichend sind. Sollte fel größer als fe2 werden, so sind einzelne Eisen von oben nach unten (oder von unten nach oben) vertikal abzubiegen, und mit den durchgehenden Eisen zu verbinden, damit sie auf Abscherung berechnet werden können,

K-x»-h

(?)

(?)

eingehalten werden müssen, da weder vollständige Einspannung noch freie Auflagerung vorhanden ist.

Es kann daher auch für kleinere Abstände der Balken

der Mittelwert zwischen beiden Lagen aus den gezeichneten zwei Momentenlinien (bzw. ihrer Mittellinie) entnommen werden, indem links die angenommene Lage der Eisen eingezeichnet wird, und rechts die Verschiebung derselben, damit sie dem Mittel der beiden Ordinaten entsprechen (dasselbe gilt auch bei der Annahme von nur einer Abbiegung, für welche die mittlere Lage zu wählen ist).

Die Abbiegungen des Balkens (s. Abb. 55) ergeben sich aus der Berechnung der Querkräfte Q₀ = 18,4⁴ und Qt 0 = 17,5 *,

18400

für welche

126 + 96

für welche xe =

fe₃

oder fe 3

Vx₀-6

ist. Aus

xe (=800)

der Differenz des oben berechneten fel und des vorhandenen fe in den schrägen Eisen ergibt sich dann

der noch nicht übertragene Wert von x₀ aus

fe 1 — fei

fe

• To

(worin x₀ im obigen Fall = 2,25 kg ist), welcher durch die vertikalen Eisen mit dem Querschnitt fe3 aufzunehmen ist.

In der Mitte des Trägers wird x₀ gewöhnlich kleiner als 4,5 kg, so daß hier jedenfalls die schrägen Abbiegungen genügen, oder es kann auch ein Teil des Eisenquerschnitts der Bügel, welcher nicht durch die vertikale Zugkraft beansprucht wird (wie in der Formel für fe3) auf Abscherung berechnet werden, wobei jedoch eine Zusammenfassung der Bügel durch umschließende Eisen (wie bei Säulen) erforderlich ist, damit sie als Pfosten wirken können.

In dem zweiten Beispiel einer Balkenbrücke kann zunächst die Lage der Abbiegungen in der Platte und im Balken bestimmt werden (s. Abb. 53 u. 54).

Für die Bestimmung der Abbiegungen von der Mitte

aus ist

l 140

6~ = 28,3 und für den angenommenen Wert von

, / — 140 - 2 • 23,3 = 93,4

cm

cc, = 15 + 25 — 23,3 = 16,7 erhält man das Verhältnis des Eisenquerschnitts aus

xx (/, — x)

16,7 (93,4 — 16,7)

46,7²

cm

= 0,59,

so daß von den 10 0 12 in der Mitte zirka 4 012 ab gebogen werden können. Bei 15 -f- 15 — 23,3 = 6,7 6,7 (93,4 — 6,7)

'46,7²

forderlich, so daß jedenfalls 2 0 12 unten ganz durchgehen sollten, während die noch übrigen 4 0 12 auch nach oben abgebogen werden.

Für die Abbiegungen vom Auflager aus ist

= 18,3

ist noch

cm

= 0,27 Eisenquerschnitt er-

somit bei

15 — (l 3 — 1,2 ]/T)—3,7cm erforderlich

18,3 — 13,7 und bei 13,7 c,n :—

18,o

zweiten Abbiegung noch 2 Eisen 0 12 (welche ganz durchgehen) nötig sind, und bei der ersten Abbiegung 6 0 12 ausreichen, indem die berechneten Grenzen nicht genau

18,3 -3,7

0,8,

18,3

= 0,25, so daß bei der

= 5,9 kg und

7,5^ 30

17 500

— 6,9 kg ist, und wenn hier die Abbiegungen mit (x₀ — 3) kg berechnet werden, so wird 2,9 -f 3,9    100

To =

oder

(92 — 7,5) 30

(-

]/2

- 4-

3,9-370

^•30 = 22 520 kg

ae =

22 520

= 620 %em.

4    ³’⁴²

4i"T

Die Lage der abzubiegenden Eisen ist am einfachsten durch Berechnung des Inhalts der schraffierten Fläche

_ 2,9 + 3,9    100    , 3,9    370

.-7r(_240) + — -y=

(== 510)= 750

750

und Verteilung desselben auf die 4 Eisen mit ——

= 188

zu bestimmen, so daß in dem Dreieck abzuselmeiden ist x\

262²

cm

188

510

oder x₁ = 159cm, und

_ 2-188

262²

510

und in dem Trapez noch 3-188 — 510 = 54

= 225

übrig bleibt, für welches annähernd x₃ • 3,9 = 54 oder

a?3 = 14

cm

ist.

Aus den Schwerpunkten dieser vier Teile, welche in

dem Dreieck bei

t-h : co

xx und in den Trapezen annähernd

in der Mitte liegen, ergibt sich (wie in Abb. 55) die Lage der abgebogenen Eisen aus dem Schnitt der Vertikalen (im Schnittpunkt der Schwerpunktslinien mit der Unterkante des Balkens) mit der Nullinie.

Bei freier Auflagerung ist eine Parabel als Momenten-linie anzunehmen, und für die einzelnen abgebogenen Eisen 3,8 -7,9

. x(l — x) ist

11,7²

= 0,88 und

2,6-9,1

11,7²

= 0,69,

7

während vorhanden ist —

O

= 0,875 und -

CO Oi

- = 0,75 des

Eisenquerschnitts in der Mitte. Das zuerst abgebogene Eisen ist daher etwas gegen das Auflager hin zu verschieben, indem 100

wofür alsdann

cm

statt 120

3,6 -8,1

11,7²

cm

Abstand angenommen wird

= 0,85, somit 0,875 genügend.

Das zuerst abgebogene Eisen könnte im Abstand

TZ iP

4 °e

9,08-1000 _

~ TO,68 • 7,5 “ auf kreisförmig abgebogene Enden jedoch schon bei 80c,n, weil hier direkter Zug in Betracht kommt) aufhören, doch ist die Verankerung über dem Auflager vorzuziehen, indem alsdann ein zusammenhängendes Eisengerippe vorhanden ist (bei frei auflagernden Balken sind gewöhnlich weniger Abbiegungen als angenommen erforderlich, so daß das erste Eisen auch vorher aufhören kann).

tz • d • 7,5

113

cm

(mit Rücksicht

Die Berechnung der Bügel ergibt sich aus 1000 -4-0,5

O.f.

1000-4-0,5

x₀ = 1,4 kg, so daß hier e ==

= 47

cm

30-1,4

genügt, wiewohl es besser ist, wenn (auch mit Rücksicht auf das rasch zunehmende t₀) nicht über 30—40 stand gegangen wird, und in obigem Beispiel 25 gewählt worden sind.

= 22 cm, wenn vierfache

e~ma_

Bügel ® 8 und x₀ = 3 kg angenommen werden, so daß bis zum Abstand x = 4,70m rd. 20 Bügel gewählt werden kann. In der Mitte ergibt sich

"u

30-3

cm

Ab-

cm

als Abstand der

und

30

cm

Y. Aeltere und neuere Bereclmungsweise für das Eisenbetongewölbe einer

Bahnbrücke.

1. Dimensionierung des Gewölbes nach Formeln von Tolkmitt, Winkler und Müller-Breslau.

Die lichte Weite des in Eisenbeton auszuführenden Gewölbes ist l — 15,7m und die lichte Pfeilhöhe desselben ist f = 2,65 m, so daß der Radius des innern Bogens aus 2r-2,65 = 2,65² -f- 7,85² oder r = 12,95 m erhalten wird.

Ueber dem Eisenbetongewölbe (aus Beton 1: 4) befindet sich eine Betonhinterfiillung (1 : 16) mit wasserdichtem Zementüberzug (1:2) von 2 cm Stärke, welcher zur Wasserableitung eine Neigung von 4 °/₀ nach beiden Seiten erhält, sowie das Schotterbett der Bahn mit 0,7ni Höhe.

Für die Berechnung des Eigengewichts kann das spezifische Gewicht des Eisenbetongewölbes = 2,4, der Betonhinterfüllung = 2,2 und des Schotterbetts = 2 angenommen werden.

Als Verkehrsbelastung dient ein Eisenbahnzug nach dem preußischen Belastungsschema von 1901 für Hauptbahnen, welche sich auf die Längen 15,7 + ca. 2 • 0,6 =

= 16,9m bei Vollbelastung und    =± 8,45m

£

+X-1- p-

Le--

bei

4%

sfe

f=Z,65

;fc

Abb. 56.

einseitiger Belastung gleichmäßig verteilt die Biegungsmomente Ml — 147,6 8-147,6 16,9²

Bei Verteilung der Belastung auf den Abstand von zwei Gleisen = 4m erhält man px —

Px =

= 4,1 Vm und p₂ =

4%

=f=

Ult

so daß für

und M₂ = 51,6,nt (für Radlasten, s. Hütte) die Belastungsgleichwerte aus 8-51,6

8,45²

= 5,8 erhalten werden.

— ^"4 ^ — 2,9 t/m, und bei Aufrundung p^ = 2,2*jm und p₂ — 3*/m.

- ‘¹’V²-=2,05t/

1117

Zur Bestimmung der Stärke c des Gewölbes im Scheitel hat Tolkmitt (Leitfaden für das Entwerfen und die Berechnung gewölbter Brücken 1902) mehrere Formeln aufgestellt, und zwar unter Annahme einer horizontal abgeglichenen

Belastungsfläche, deren mittlere Höhe (25) zQ — c-e    0 ist (alle Werte sind hierbei auf Gewölbegewicht zu

reduzieren).

Vi

0,15 •

Man erhält nun für größere Gewölbe mit der Belastung durch Eigengewicht und halbe Verkehrslast \

JV⁺ T + Yoj    ,    30 (bis 40)

, wo q = q —

(35):

r-

es/

qcm

oder

150 (bis 200)

2,4

= 62,5 (83,3) cbm/qm die gleich

2 — 0,15 j-

mäßig verteilte Normalbeanspruchung ist.

Für kleinere Gewölbe erhält man bei einseitiger Belastung mit p.,: (41) c = und nach der Hütte (44) c = welche nicht aus dem mittleren Drittel heraustritt.

Aus (42) erhält man durch Elimination von H =

r.+pjL + j-)

\    4 ^ 20/

U. !

0,5 p f'

20

j +0,4 p.,f

(c + e) + 0,5p₂ -f- 0,15/

wofür alsdann eine Stützlinie möglich ist,

0,15 P

(*• + Io) (s- ³⁵⁾

noch die auch im Handbuch der

Ingenieurwissenschafteu angeführte JPormel c —

l/6+₂

T 2

welche die zulässige mittlere Pressung q =

und die

zulässige Abweichung der Stützlinie enthält. Die größten Abweichungen von der Mittellinie sind in vertikaler Richtung

o"

und an den Kämpfern (39)    = 0,0125

bei

Abstand vom Scheitel (38)

P,-l;

Beim Drei

gelenkbogen ergibt sich die senkrecht zur Mittellinie gemessene Stärke s der Fuge für Abstand aus (57) s = 0,094 •

p p    ⁴

l-jj—. cos a, wo a = Neigungswinkel der Mittellinie ist.

In diesen Fox-meln ist die Höhe der Hinterfüllung und Schotterbettung im Scheitel e = in Gewölbegewicht umgerechnet, ebenso ergibt sich für Vollbelastung pt — der ganzen Länge sowie einseitige Belastung p₂ —

3    ,

— = 1,25 “, und II ist auch in

2,4

0,2 • 2,2 + 0,7.2

= 0,77 m

2 2

= 0,92 m und für halbe Belastung auf Gewölbegewicht pro <im ausgedrückt.

cbm

Man erhält daher (35) c = 0,15 •

15,7²    (0,77 + 0,625 + 0,265)

2,65

. 1,25    2,65

+    + ~2<r

15,72 2,65

= 0,38m, und für -e~ 4-

62,5 — 0,15 •

= 0,83 m: (41) c = ]/0,83² + 0,4 • 1,25 • 2,65" - 0,83 = 0,59 U1, und aus

20

(44) c =

0,5-1,25-2,65

1,66

(c 4" 0,77) 4- 0,5 • 1,25 4- 0,15 • 2,65 c + 1,79

6-1,25

oder c² + 1,79 c = 1,66 und c = — 0,895 + j/ 0,895² + 1,66

15,7

= 0,68 m und die vierte Formel c =

= 0,55“ ergibt einen mittlern Wert.

62,5

Für Gewölbe aus Ziegeln oder Bruchsteinen könnte der mittlere Wert von c für die zulässige Beanspruchung

q — ~~ angenommen werden, aber wegen des größeren Elastizitätsmoduls und der großem Temperaturausdehnung

beim Beton treten im Kämpfer und Scheitel größere Zugspannungen auf, so daß der ungünstigste Wert c = 0,70m angenommen werden soll.

7,85

2 (r — f) ~ 10,3

hieraus die Kämpferstärke d = --— =

cos a

soll), wofür rd. 1m angenommen werden kann.

Der äußere Bogen erhält alsdann eine horizontale Weite l₂ = 15,7 4- 1 • 2 sin « = 16,90 in und eine vertikale Pfeilhöhe f₂ = 2,65 + 0,70 — 1 • cos a = 2,55 m, somit 2 r₂ • 2,55 = 2,55² 4“ 8,45² oder r₂ = 15,27 m.

Aus tga =

= 0,7621 ergibt sich a = 37° 18,7', sin a = 0,606 und cos 7. = 0,795 und

0,7

0,795

= 0,88 m (indem die vertikale Projektion der Kämpferfuge > c sein

P

Bei flachen Gewölben weicht die Stützlinie für Eigengewicht und halbe Gesamtbelastung nur wenig von

der Mittellinie des Kreisbogengewölbes ab, so daß bei Eisenbeton keine Aenderung der Gewölbeform nötig ist. Bei hohen Gewölben ist dagegen diese Stützlinie aus den Formeln (20) oder (35) für H und (21), (17) und (18) für x, y und r zur Bestimmung des innern Gewölbebogens (auch aus der Subtangente w in 27) für einige x auszurechnen. Der Inhalt der horizontal abgeglichenen Gewölbefläche G und ihr Moment M in Beziehung auf das innere Bogenende ergibt

c-VG* 4- IP

sich aus (31) und (32) und G kann auch zur Bestimmung der Kämpferstärke aus d = verwendet werden.

(s. S. 40)

Für das so bestimmte Gewölbe kann nach Müller-Breslau (s. Hütte) der Neigungswinkel co₀ der Tangente an

iß 3 + 0,5/;

die mittlere Stützlinie im Kämpfer aus tg² <p₀ =    ₂

ermittelt werden, wo f\ = Pfeilhöhe des mittlern

Bogens = 2,65 4- 0,35 — 0,5-0,795 = 2,60 m, = Abstand der Kämpfermitten = 15,7 4~ 2-0,50-0,606 = 16,30 m, zn = 0,70 4- 0,77 4- 0,5-1,25 = 2,10 m ist, somit tg² <p =

4 • 2,6² 2,1 + 0,5-2,6 8,15² * 2,1 + 0,14-2,6

= 0,563, tg c?₀ = 0,752,

cos cp₀ = 0,80.

Bei Einsetzung von cos <p₀ in die Formeln der Hütte erhält man zun⁻

5

Abweichung der Stützlinie von der Mitte des Scheitels nach Winkler e = —

lb

0,7 + 1

für

16

.'S o

»elastung mit p₂ als = 0,087 rd. 0,09 m

(ä

= mittlere Gewölbestärke =

und von der Mitte des Kämpfers nach Müller-Breslau

1,25 • 2,6

) = 0’⁸⁰(² • 0'ÜS7 ±T- 0,77+ 0,14-2,6

-)

+ 0,43 — 0,15

bei linksseitiger Belastung liegt e nach oben, positives ex links nach unten und negatives e₂ rechts nach oben).

IG

mit

Die Formel für H ergibt bei der Normalbelastung durch Eigengewicht und halbe Verkehrslast

oder 33-2,4 = 79,2 ⁴ (derselbe Horizontalschub gilt auch

0,15-15,7²

2,65

(2,10

cbm

= 33

z„ = 2,10 m : H =

für einseitige Belastung mit p₂)₇ und hierfür sind die Abstände der Stützlinie von der Mittellinie bei — (38) 6    0,01 1,^5 15,7    q^₇₇ __ o^o9m und am Kämpfer (39)

2,65

10

33

tc I

= 0,0125 -

1,25-15,7² -0,80

33

= 0,09 ra (letzteres ist

nach obigem zu klein).

Die Werte für H und G lassen sich angenähert auch aus dem Rechteck mit der Länge

= 8,45 m und der

Höhe f + zf) = 2,65 + 2,10 = 4,75 ra und aus dem Parabelsegment ---— =--- 7,85-2,65 = 13,87 mit dem

3    ^

Schwerpunktsabstand —. 7,85 = 2,95m bestimmen (s. S. 39, Theor. Berechnung der Betoneisenkonstr. von Pilgrim 1906), 8

4,75- 8,45²

-M ICO

so daß

13,87-2,95 = x₀ (4,75-8,45 — 13,87) oder xn =

128,66

‘26,27

= 4,89 m wird. Es ist alsdann

(63,05)    .    ...

H-2,60 = 26,27-2,4 (8,15 — 4,89) und H = 79,1 % und bei Zusammensetzung von H mit G für einseitige Belastung = = 63,05 + 8,45 • 0,625 = 68,3 ¹ wird R = |/68,3² + 79,l² = 104,5 *. Die Maximalspannung am Kämpfer wird

R

daher für ex = + 0,43m,    =--^

104 500

6-43

100•100

100

₌ + ¹⁶>⁵kg

-— 37,4    *

2. Bestimmung (1er richtigen Gewölbeform und deren Berechnung durch Stützlinien.

Nachdem die Stärke und Form des Gewölbes auf Grund obiger Formeln angenähert bestimmt worden ist, kann eine Prüfung derselben durch die eingezeichneten Stützlinien stattfinden, und es kommen hierbei nach dem Handbuch der Ingenieurwissenschaften (Brückenbau, Teil II 1, 1904) vier verschiedene Stützlinien in Betracht.

, Die erste entspricht der Normalbelastung aus Eigengewicht und halber Verkehrslast und es genügt, hierfür die halben Stützlinien für Eigengewicht und für Vollbelastung px durch die Mitten der Kämpfer- und Scheitelfugen zu legen, und die für die Normalbelastung zu bestimmende richtige Gewölbeform aus dem Mittel ^oder für ~ statt px dem

P-2

Verhältnis

²P i

Die zweite und dritte Stützlinie, welche auch Maximal- und Minimallinie genannt werden {weil H dadurch ein Maximum und ein Minimum wird) entsprechen der Hebung des Gewölbes (für Eigengewicht) und der Senkung desselben (für Vollbelastung), wie sie auch bei Temperaturäuderungen durch die Ausdehnung oder die Zusammenziehung des Gewölbes ei’scheinen. Diese Stützlinien können mit Hilfe derselben Kräftepläne für Eigengewicht und Vollbelastung gezeichnet werden, und da sie symmetrisch zur Gewölbeachse liegen, so genügt auch hierfür die Hälfte, welche bei der zweiten Stützlinie durch das obere Drittel im Kämpfer und das untere Drittel im Scheitel, und bei der dritten durch das untere Drittel im Kämpfer und das obere Drittel im Scheitel geht. Werden die Temperaturspannungen bei steinernen Gewölben nicht berechnet, so dient die Aufzeichnung dieser Stützlinien zur erhöhten Sicherheit des Gewölbes, indem sie auch Verschiebungen der Widerlager und Pfeiler nach innen oder außen berücksichtigen und dadurch die Maximalspannungen für die möglichen Kämpfer- und Scheiteldrücke hervorrufen.

der Differenz der Abweichungen von der Mittellinie des Gewölbes zu bestimmen.

Die vierte Stützlinie für einseitige Belastung mit p₂ ist bei linksseitiger Belastung durch das innere und äußere Drittel der linken und rechten Kämpferfuge und durch die Mitte der Scheitelfuge zu legen, und dieselbe entspricht angenähert der aus der Elastizitätstheorie (für obige Werte von e, e₁ und e₂) abgeleiteten Stützlinie, und sie bestimmt

auch die Stärke der Bruchfuge bei — Abstand vom Scheitel.

5

Bei der Aufzeichnung dieser Stützlinien werden zuerst die Höhen der Hinterfüllung mit dem spezifischen Gewicht 2,2 und des Schotterbetts mit dem spezifischen Gewicht 2,0 auf das spezifische Gewicht 2,4 des Gewölbes reduziert und für die Verkehrsbelastung die konstanten Höhen 0,92 m rechts und 1,25 m links aufgetragen.

Bei Einteilung der (durch die gestrichelten Linien angedeuteten) reduzierten Belastungsflächen in Lamellen von 1 m Breite sind die mittlern Höhen derselben (mit */₄ der Höhen beim Maßstab 1 : 50) in den Kräfteplänen rechts für Eigengewicht und Vollbelastung mit 0,92 In und links für Eigengewicht und einseitige Belastung mit 1,25 m Belastungshöhe zusammenzusetzen und bei beliebigem Polabstand durch Parallelen zu den Strahlen der Kräftepläne die zugehörigen Seilpolygone zu bestimmen, aus welchen sich dann die Resultanten der Belastungsflächen rechts und links ergeben (die Gewichte der Lamellen können auch berechnet und direkt zusammengesetzt werden).

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AL

r ,/\ ⁶

i //1

l\t

pl\

>-

⁷ 76,7* 73,7*

67,0* 76,7*    7’

±_

J.

Abb. 57.

Durch die angenommenen Kämpfer- und Scheitelpunkte der Stützlinien werden dann die Linien 1 und 2 bis zu diesen Resultanten gezogen, und von hier aus die Linien 3 und 4 zu den Kämpferpunkten, und aus den Parallelen zu 1—4 in den Kräfteplänen erhält man ihre Größe und aus den Resultanten 5 von 1 und 2 die Pole der Kräftepläne für die Stiitzlinien, welche durch die drei angenommenen Punkte hindurchgehen.

Die Resultanten G der Belastungsflächen können auch (ohne Aufzeichnung der Seilpolygone) durch Rechnung aus den statischen Momenten der Lamellengewichte in Beziehung auf die Scheitelpunkte bestimmt werden (indem x₀-G = 2 x-g ist, und hieraus xn berechnet werden kann). Ebenso kann der genaue Polabstand der Kräftepläne für

Gr

bestimmt werden (wo f = dem vertikalen Abstand der Kämpfer- und Scheitel-

die Stützlinien aus H =

(i-)

CO

punkto ist), und bei den Kräfteplänen rechts dient die Horizontale durch die Scheitelpunkte bis zur Resultante G zu einer genauem Bestimmung der Kämpferdrücke R und des Polabstands für die Stützlinien, welche am besten von dem Scheitel ausgehend aufgezeichnet werden.

P

Nach der Stützlinie für die Normalbelastung durch das Eigengewicht und die halbe Verkehrslast ist nun

£

die Form des Gewölbes abzuändern (bei der Berechnung nach der Elastizitätstheorie wird sie gewöhnlich nach der Sttitz-linie für das Eigengewicht bestimmt), und bei Annahme der Gewölbestärken sind auch die andern Stützlinien (insbesondere die vierte) zu berücksichtigen, damit die Stützlinien überall innerhalb der Kernpunkte (bei x/₃ Abstand vom Rand) bleiben und keine Zugspannungen im Gewölbe auftreten (beim Beton könnten kleine Zugspannungen von 3—4 kg zugelassen werden).

Da sich bei fluchen Gewölben die Stützlinien für Eigengewicht (links) und Vollbelastung (rechts) nur wenig und 2 cm) von dem mittlern Kreisbogen entfernen, so kann wenigstens bei Eisenbetongewölben der Kreis-

cm

(hier 8

bogen (statt beliebiger Kurven oder Korbbögen) als Gewölbeform beibehalten werden, und aus den verschiedenen Stützlinien erhält man nun die Maximalspannungen des Gewölbes.

Aus den Kräfteplänen I ergibt sich für Eigengewicht und Vollbelastung in der Kämpfermitte (für */₄

der mittlern Höhen der Lamellen des Gewölbes im Maßstab 1:50): R =

(75400)

110400

(7,5)

(157) """

4•230•50

1000

(75,4)

100•100

= — 11,0 kg/

qcm

und im Scheitel H =

(121,

4- 182

20

(58,1)

• 2,4 = 87,4 ¹ somit o =

• 1 ■ 2,4 = 110,4', somit

(58100)

87 400 70-100

(8,3)

- 12,5 kg/qcm-

Bei II erhält man für Eigengewicht R —

2-82100

Too-Töo

4-171

20

= — 16,4 kg/qcm und im Scheitel II —

4-213

4-139

• 2,4 = 82,1 ⁴ in x/₃ Abstand vom Rand, somit

2-66700

• 2,4 = 66,7 ⁴ somit o

äU

70•100

Bei III erhält man für Vollbelastung R —    ^

= — 20,4 kg/qcm und im Scheitel II

4-160

. 2,4 — 102,2 ⁴ in x/₃ Abstand vom Rand, somit a =

2-76800 70 • 100

• 2,4 = 76,8 ⁴ somit o =

= — 21,9 kg/

= — 19,1 kg/ 2 • 102 200

100•100

(| CI II-

qcm*

Bei IV erhält

man für linksseitige Belastung am Kämpfer links (und rechts) R = —-

(93 600)

2-104200

(195)

4-217

(93,6)

• 2,4 = 104,2 ⁴ in ¹/₃ Abstand vom Rand,

somit a =

100•100

(18,7)

— 20,8 kg/

qcm

und im Scheitel H =

4-162

^    -2,4 = 77,8 ⁴ in der Mitte, somit o =

77800

70-100

— — 11,1 kg/

qcm*

In der Bruchfuge bei 3 m Abstand vom Scheitel erhält man links R =

4-165

20

. 2,4 — 79,2 ⁴ in

28 cm Abstand vom Rand bei 74

cm

Fugenbreite somit o® =

79 200

6-9

74•100

74

R=

4 • 164

—    2,4 = 78,7 ⁴ in 31

cm

Abstand vom Rand bei 74cm Fugenbreite somit a® = —

78 700 74-100

—    18,5

—    2,9

und rechts

(⁴^

5,5

— 15,8

kg.

TL

1,0

I JJA

7s

U-E'nie

T>

-44-

sm I

__4__

o.zl

Abb. 58.

d'

U’

Abb. 59.

3. Berechnung* des Eisenbetongewölbes nach der Elastizitätstheorie von Professor Dr. Weyrauch.

Das mit Stützlinien berechnete Gewölbe würde daher für 25 (30) kg/qCm zulässiger Spannung bei Beton 1: 7¹/2 (1 : 6) genügen, aber die aus der Elastizitätstheorie abgeleiteten Formeln von Winkler und Müller-Breslau ergeben schon ein Maximum von —37,4 kg Druck und + 16,5 kg Zug, und außerdem kommen bei Betongewölben noch größere Temperaturspannungen hinzu, so daß bei flachen Gewölben entweder ein Dreigelenkbogen (bei welchem die Temperaturspannungen verschwinden) oder ein Eisenbetongewölbe (bei welchem die Zugspannungen durch das Eisen aufgenommen werden) oder auch ein Betongewölbe mit versenkten Widerlagern (indem bei hohen Gewölben die Temperaturspannung viel kleiner wird) anzuwenden ist.

Bei steinernen Gewölben wirkt die Temperatur weniger ungünstig, indem nach der Hütte der Elastizitätsmodul E für Ziegel = 28000 kg/q₍.m, für Bruchstein = 60 000 kg/qCm> für Sandstein usw. im Mittel = 50000 kg/qcm und auch der Temperaturausdehnungskoeffizient a für 1⁰C = 0,000008 (bei Sandstein 0,000012) ist, während für Beton die Werte E= 150 000 kg/qcm und a = 0,00001 und bei Eisenbeton 1 : 4 sogar = 200000kg/qcm und * = 0,000012 anzunehmen sind.

Bei steinernen Gewölben sind auch kleine Zugrisse durch die Temperatureinflüsse in den Fugen ungefährlich, Und es sind z. B. die aus hartem Kalkstein bestehenden Gewölbe der Albulabahn (s. Hennings Technisches von der Albulababn 1904) von 10—30m Spannweite ohne solche berechnet worden, und die Scheitel-(Kämpfer ) stärken sind

1,4 + 0,071 m

ausgedriickt (dagegen wurde die Solisbriicke von 42m Spannweite

3 (2)

hierbei angenähert durch die Formel

nach der Elastizitätstheorie und mit Berücksichtigung der Temperatureinflüsse von -f- 10 bis — 15° berechnet) s. Abb. 58. Auch bei Eisenbetongewölben schaden feine Risse in der Nähe des Kämpfers weniger als im Scheitel, und da die Widerlager infolge des Horizontalschubs (besonders bei flachen Gewölben) nachgeben können, so ist folgendes anzunehmen: Die Berechnung nach den in Abschnitt I und II angegebenen Methoden kann für steinerne Gewölbe und für Eisenbetongewölbe angewendet werden, indem bei erstem die Temperaturspannungen vernachlässigt werden können (nur sind die aus der Elastizitätstheorie abgeleiteten Formeln am Kämpfer zu berücksichtigen, welche für Annahme eines veränderlichen Querschnitts für J in der Berechnung nur mit zirka 0,8 • el in Betracht kommen), und bei letztem die durch Temperaturänderungen hervorgerufenen Zugspannungen vom Eisen aufgenommen werden (und zwar genügt es, bei flachen Gewölben am Kämpfer mit der halben Temperaturspannung zu rechnen, während am Scheitel besser die ganze Temperaturspannung zu berücksichtigen ist, da hier eine Drehung oder Verschiebung des Widerlagers ungünstig wirkt). Bei eingespannten Beton- und Eisenbetongewölben ist daher eine auf I und II beruhende genauere Berechnung des Gewölbes mit Hilfe der Elastizitätstheorie erforderlich, welche von Professor Weyrauch in dem Buch: „Die elastischen Bogenträger 1897u auch für eingespannte Gewölbe durchgeführt worden ist.

Zur Bestimmung der Kämpferdrücke dient nach S. 104—105 die Kämpferdruck- oder S-Linie mit

ihrem vertikalen Abstand b =

b • h³

- • 2 f ^angenähert

worin nach S. 64: s

15 y

und

12

h¹ 2

ist, so daß sie für die parabolische Form des Gewölbes einer Geraden entspricht (die

T F~ b-h

Abweichung für Kreisbögen ist nicht groß, so daß sie angenähert auch hierfür verwandt werden kann, s. Abb. 59.)

Bei Einsetzung von f — 2,6 m und 2r-2,6 — 8,15² -f- 2,6² erhält man den Radius der Mittellinie r — 14,07

0,7 m im Scheitel angenommen wird, so ist 3 + 8-0,0115

und da ein mittleres Trägheitsmoment für h — 1¹¹¹ im Kämpfer und h

15-0,745 ^ 14,07 — 2,6 \²

l²+0,7² _ o,745 12-2

(angenähert 3,12)m.

12

und s =

12-8

14,07-2,6

= 0,0115, somit b =

• 2 • 2,6 = 3,20

Für eine beliebige Einzellast P erhält man die Kämpferdrücke B und B' durch Tangenten an die Umhüllungs-

2

linien U und U', deren Ordinaten v = —/'

O

Setzung von u erhält man für u = 0, v = — oo ; m = -

l + 6s

15 .....T- u

2m)² = 1,73    - 0,185

(16,3 — 2m)²

16,3 - m

sind. Bei Ein-

32

= 0,51 m, v

— 3,48™ (nach unten); u =

= 1,02™,

f = 1,73 m,

-- ~ 4,08 ra, v = 1,56 m; u = -- = 8,15 v = gebraucht werden.

Die Formeln von Weyrauch lauten nun (in § 17) für symmetrische Belastung von Parabelbögen (angenähert gelten sie auch für den Kreisbogen):

(34) H =

15

(1 + 6 e) 2 fl

= MS

p \a(l — a) (²

, (35) M = M' = H-

=> MS

(m = Mitte). Für eine auf die ganze Länge gleichförmig verteilte Last u pro Im erhält man (25) H =

ul²

ul

(26) M — M'——4 efff, (22) V= V —    , und für eine einseitige Belastung der linken Bogenhälfte mit u

u -f- u 1 + 6 £

13m -f- 3 m

und der rechten Bogenhälfte mit u :    (30) H =

l²

(32) M' =

u — u' — 2 £ (5 m -f- 11 u) l²

16/' ’

(31) M =

u — m — 2s (11m + 5m)

l²

1 + 6s

64 ’

(29) r=(

32

)i, r=(

3 m + 13 m'

1 -f- 6 £

64 ’

32

l.

Für Temperaturänderungen ist (15) Ht —

l³ + 0,7³

E- c

1 + 63    4 f

• 7 • r, (16) M = //•

2

} f} worin (nach S. 64) c — J- cos cp ist.

Die Mittelwerte für J —

b • /*³

12

12

= 0,056Ir'⁴ und für cp aus tg cp₀ =

16,3

2 (r — f)

2 (14,07 -

am Kämpfer oder = 17° 41,8' sind hierbei einzusetzen, so daß c = 0,056-0,953 = 0,0534 wird.

Eisenbeton 1:4 E = 200000 ks/

+ 10° C, s (s. oben) = 0,0115.

qcm

= 0,7105

2,6)

Ferner ist für

und 7 = 0,000012 für 1°C, x= ±20°0 für eine mittlere Temperatur von

4i

In Formel (34) ist der Quotient

15

maßen ergeben:

(1 + 6-0,0115) 2-2,6-16,3

— 0,166, so daß H und M sich folgender-

Lamelle

P (für Eigengewicht) ...

l — a ... a (l — a)

H = 0,166 • P

pl^kzAy

a (l — a) ^²₁

l f

rnt

S»    P    P PPP L)

2    £    fc g ^ £ i

7,59

1,65

14,65

6,33

2,65

5,48

3,65

4,70

4,65

21-8

13,65

12,65

11,65

4,13

5,65

10,65

3,79

6,65

9,65

3,60

7.65

8.65

48,4

1,48

2,76

2,22

2,84

3,33

3,70

3,94

4,06

5,17

7,35

8,63

9,39

9,75

9,84

53,3

11,24    14,06

15,56    15,66    15,30    14,94

14,62

107,0

Man erhält daher für Eigengewicht (34) H = 53,3 *, (35) M — M' =

53,3 -2,6-2

(33) V = V' = 48,4 *. Für Vollbelastung mit u — 2,2 tjm kommt hinzu (25) H—

zusammen 79,6 *, (26) M = M' — — 4 • 0,0115 • 2,6 • 26,3 = — 3,2 rat zusammen — 17,8 — 18,6 ⁴ zusammen 67 ⁴.

Für linksseitige Belastung mit u = 3 t/m und u = 0 kommt hinzu: (30) H

1 + 6-0,0115

(22) V —

mt

— 107 = — 14,6 rat,

2,2-16,3²

8-2,6"

2,2 (16,3 + 0,6)

== 26,3 ¹

16,3²

sammen 71,2⁴, (31) M 16,3²

„    = + 10,3 mt zusammen — 4,3

64

— 3 — 2-0,0115-ll-3    16,3²

1 + 6 -0,0115

(29) V

64

1 + 6-0,0115    16-2,6

= 17,9 * zu-

14,7 mt zusammen — 29,3 mt, (32) M'

3 — 2-0,0115-5-3

mt

13-3-16,3

32

+ 0,9 = 20,8¹ zusammen 69,2 *, V =

1 +6-0,0115 3-3-16,3

32

4,6⁴

zusammen 53⁴ (bei V ist die Belastung bis zum Gewölbeende zu rechnen).

Aus diesen Werten für II, M und V am Kämpfer erhält man im Abstand x von der Kämpfermitte (4) und (28):

(5) und (27): Vx = V — 1 P — u-x, ferner nach S. 6:

Mx = M + V-x — II-y — 1 P (x — a) —

u- x²

Nx = Vx - sin cp + fl%-cos cp und Tx = Vx cos cp — Hx • sin cp und hieraus Rx = J/ IIx² + Vx² = ]/~NX² + Tx²,

(der Abstand c ist für dasselbe Vorzeichen von Mx und Nx positiv und liegt

tg <1 =

Hx

und nach S. 27: c =

dann oben, und für verschiedenes Vorzeichen von Mx und N negativ, und liegt dann unten, s. Abb. 60).

Für die Temperaturspannungen erhält man nach S. 121: Mx = M — H- y, Nx ~ H • cos cp und Tx= — H• sin cp.

r — f + y‘

Die verschiedenen Werte von cp ergeben sich beim Kreisbogen aus sin cp somit ist y — r ■ cos cp — (r — /).

Die Maximalspannungen der Fugen sind nach S. 28 und 124: °ü =

schnitt F = b-h wird W~

6 Mx

l — 2x

und cos cp =

Nx

und für den rechteckigen Quer-

h-V A 0

₆ und o“ =

Die Bestimmung der Maximalspannungen soll nun für die Kämpferfugen, die Scheitelfuge und die links und rechts bei 3m Abstand vom Scheitel liegenden Bruchfugen stattfinden:

Am Kämpfer ist cp = cp₀ = 35° 23,8', cos cp = 0,815, sin cp = 0,579 (s. obige Formeln), somit für Eigengewicht: Mx = M — — 14,6 mt, Vx = V = 48,4l, Hx= H = 53,3‘, R, = j/48,4² + 53,31_= 72 ‘, Nx = 48,4-

•0,579 + 53,3-0,815 == 71,5l, c =

— 14,6

71,5

— — 0,2m nach unten (Tx und brauchen nicht berechnet zu werden,

wenn die Stützlinie nicht aufgezeichnet wird und die Schubspannungen nicht berechnet werden), o® = — 6-1460 000

•^71500 +

+ 1,6

100•100

100

- 15,9

kg (da Nx unten liegt, so entsteht oben Zug und unten Druck).

Für Vollbelastung mit 2,2 tlm erhält man Mx — M = — 17,8 int, Vx — V = 67 l, Hx = H — 79,6l,

Rx = ]/67² + 79,6² = 104 l, o„° = -

^103 600 +

Nx = 67,0 • 0,579 + 79,6 - 0,815 = 103,6% c 6 -1 780 000 \ _ + 0,3 kg “ —21 '

¹⁷>- == — 0,17 m 103,6

100

100 -100

Für einseitige Belastung mit 3 tjm erhält man bei Belastung links: Mx = M = — 29,3 mt, Vx — V — 69,2 \

Hx = H = 71,2 *, Rx = Y69,2² + 71,2²

6 • 2 930000\

100-100

(98100 +

100

: 99,3 », Nx = 69,2 - 0,579 + 71,2 - 0,815 = 98,1 ‘, c +    7,9

29,3

98,1

= — 0,30m,

k!i und bei Belastung rechts: Mc = M =r — 4,3 mt, Vx — V =

— 27,4

— 53‘, H,. — II — 71,2l, Rx=\/ 53² + 71,2Y= 88,8 l, 3^=53-0,579 + 71,2-0,815 = 88,7 c

4,3 _

(^88700 +

6-430000

100

6,3

— 11,5

kg.

88,7

= — 0,05 m,

100-100

Am Scheitel ist cp == 0, cos cp = 1, sin cp = 0, somit Mx — M + V-x— Hr-y — 1. P (x—a) und Vx ==

= V— 2 P—u • x und bei Anbringung des Gewichts 2,4 ⁴ der Lamelle links von der Kämpfermitte in der letztem

für Eigengewicht (mit u = 0): Mx = — 14,6 -f 48,4-8,15 — 53,3-2,6 — (0,5 • 3,6 4- 1,5 • 3,79 + 2,5 -4,13 +

(241,18)

+ 3,5 - 4,70 + 4,5 • 5,48 + 5,5 • 6,33 4- 6,5 • 7,59 4* 7,7 • 12,74) 4- 2,4 • 0,15 = 241,3 — 241,2 4- 0,36 = 4- 0,5 “*, Nx = = HX = 53,3 *, Vx = 0, c = 4

0,5

6-50000 \    —8,2.    ^ TT „

’ kg. Für Vollbelastung erhält man (mit u = 2,2 ym) bei Anbringung der Vollbelastung links von der Kämpfermitte in der letztem

2,2 - 8,45²

53,3

^53300 ±

70 -100

70

Mx = — 17,8 4- 67 • 8,15 — 79,6 • 2,6 — 241,2 -— (8,15 + 0,3) • 2,2 = 0, NX= H = 79,6 *, c =

mt

, Vx = 67 — 48,4 —

6 • 200000\_— 13,8 kg

— 8,9    ’

Für einseitige Belastung mit 3 */m erhält man bei Belastung links: Mx = — 29,3 + 69,2-8,15 — 71,2-2,6 — 3 • 8,45²

79,6

4- 0,15 (2,4 4- 0,66) = 4- 2 = 4-0,03“, a® = -

io(T7ö(79600±

70

4- 0,15 (2,4 4- 0,9) = -f 1,7 mt, Vx = 69,2 — 48,4 - 3-8,45 = 4- 4,6 *, Nx = Hx = 71,2 *, Rx = j/71,2² + 4^ = 71,3 *, c = +

241,2

1,7

71,3

+ 0,03 ", o; =

^71200 ±

6-170000

— 12,3

70

kg und bei

70 • 100

Belastung rechts: M x = — 4,3 + 53 • 8,15 — 71,2 • 2,6 — 241,2 + 0,15 • 2,4 = 4- 1,7 mt, Vx = 53 — 48,4 = 4- 4,6 *, Nx = Hx = 71,2 *, Rx = 71,3 *, c— 4- 0,03 m, a“ wie bei linksseitiger Belastung.

16,3 — 2-5,15

In der Bruchfu'ge ist x = 8,15 — 3 = 5,15 m, sin cp =

8,1

= 0,2132, cp = 12° 18,6', cos cp =

2 • 14,07

= 0,9770, y = 0,9770-14,07 — (14,07 — 2,6) = 2,28 m, h (s. S. 43) = 0,7 4- 1,62 (1 — 0,977) = 0,737 m.

Für linksseitige Belastung mit 3 */m ist links Mx = — 29,3 4- 69,2-5,15 — 71,2-2,28 — (0,5-4,70 +

(U2’⁸⁴⁾    3.5 45²

4- 1,5 • 5,48 4- 2,5 • 6,33 + 3,5 • 7,59 4- 4,7 • 12,74) —    ’

(36,84)

— (4,70 4- 5,48 4- 6,33 + 7,59 4- 12,74) — 3 - 5,45 = + 16 *,

4- 0,15 (2,4 + 0,9) = 4- 7,8 “*,

K = 69,2 -

H, = 71,2*,

Rx = Y16² 4- 71,2² = 73³, Nx = 16 • 0,213 4- 71,2 • 0,977 = 73³, c = 4

6-780000

7,8

Rx

= 4-0,11“, o«

73000 ±

₌ ~ ¹⁸>⁵

73

Tbc

■Nx

und rechts:

100- 73,7

Mc = —4,3 4- 53 - 5,15 — 71,2 • 2,28 — 112,84 4- 0,15 -2,4 = — 6,2 “³, Vx = 53 — 36,84 = 4- 16,2 *, Hx = 71,2 *, Ux = )/l6,2² 4* 71,2² = 73 *,

— 6,2

73,7

1,3

Nx = 16,2 • 0,213 4- 71,2 • 0,977 = 73 *, c

6-620000

eu

100-73,7

73 000 =f

3,1

Vx

73

kg.

73,7

Die Temperaturspannungen ergeben sich aus 2 000 000 t/qm-0,0534“⁴    45

— 16,8

39,9-2-2,6

T- 0,000012 -20 = 39,9*, M

Abb. 60.

4-2,6

4- 69,2 “*, und am Kämpfer ist Nx = 39,9 • 0,815 = 4- 32,5 * und für t = -f- 20⁰ C, 6 • 6 920000^ _ —44,8 ktr 4- 38,3

Am Scheitel ist Mx = M — H-y = 69,2 — 39,9-2,6 =

6 -3 460 000 \ 4- 36,7

/    — 48,1

1

100 • 100

• ^39 900 T

1,069

32 500 ±

100

(für t = — 20 ⁰ C entgegengesetzt).

34,6 “*, Nx = 39,9 *, a“ = -

70

100 - 70

kg. Bei 3 “ Abstand ist Mx = 69,2 — 39,9 • 2,28 = — 21,8 “*, Nx = 39,9 • 0,977 =

= 39*,«: = --

Gesamtspannungen:

100-73,7

(39000 T

6-2180000

73,7

— 29,3    '

Man erhält nun folgende Zusammenstellung der

Am Kämpfer

Am Scheitel

In der Bruchfuge

Belastung

Span

nung

Tem

peratur

spannung

Gesamtspannung mit ganzer Temperaturspannung

Gesamtspannung mit halber Temperaturspannung

Span

nung

Tem

peratur

spannung

Gesamtspannung

Span

nung

Tem

peratur

spannung

Gesamtspannung

[ für Ziegel 4-1.6 |    ± 4,2

-15,9:    (a₀)

+ 0,3    T 44,8

— 21,0

4-7,9

— 27,4    ± 38,3

-1    (19,1)

eins. Bel. p₀ —6,3 für Ziegel —51,1 (-f 38,5) rechts K —11,5 ±3,6    + 26,8 (— 49,8)

kg/qcm

Eigen- ja„ gewicht

Vollbe- ja0 lastung \su

eins. Bel. j?0 links \au

(92,4,

(³m)

—    43,2 (4- 46,4)    — 20,8 (-f 24,0)

4-22,4 (—54,2)    4- 3,2 (—35,0)

—    44,5 (4- 45,1) | - 22,1 (± 22,7) 4-17,3 (-59,3) I - 1,9 (—40,1)

— 36,9 (+52,7) +10,9 (— 65,7)

—14,5 (+ 30,3) - 8,3 (-46,5)

-28,7 (+16,1) + 7,6 (-30,6)

-8,2

-7,0

—    13,8

—    8,9

für Ziegel ±3,4

(³o)

±36,7

-12,3 ; (oM) — 8,1    +48,1

des-

| für Ziegel gleichen + 4,5

4- 28,5 (- 44,9) -55,1 (+41,1)

+ 22,9 (— 50,5)

—    57,0 (+ 39,2)

+ 24,4 (— 49,0)

—    56,2 (+ 40,0)

desgleichen

für Ziegel eins.Bel. 4:1,8 links

—18,5 i ±18,8

1,3

eins.Bel., (an) rechts ± 29,3

3,1 für Ziegel —16,8    ± 2,7

(³o)

+ 0,3 (-37,3) — 30,6 (+ 28,0)

-} 15,7 (—21,9) - 46,1 (+ 12,5)

4. Berechnung des Eisenbetongewölbes nach der Elastizitätstheorie von Professor Mörsch.

In der Schweizer Bauzeitung 1906, Bd. XLVII, S. 83, ist eine (auch als Sonderabdruck und im Betonkalender 1908 veröffentlichte) Berechnung von eingespannten Gewölben enthalten, in welcher mit Hilfe der Elastizitätstheorie die Werte von H, V und il/bestimmt sind, und zwar in Beziehung auf ein Koordinatensystem durch einen auf der Symmetrieachse liegenden Punkt 0.

Bei einem Gewölbe mit durchgehender Stirnmauer (1: 10) kann die untengezeichnete Teilung der Lamellen l^m Breite gewählt werden (bei Straßenbrücken kommen auch Aussparungen zwischen Säulen vor, so daß die elastischen Elemente zwischen den letztem anzunehmen sind), und in den durch Ringe bezeichneten Mittelpunkten derselben sind

von

£

usw. w — j anzubringen, wo s — Länge des mittlern Bogenabschnitts,

die elastischen Gewichte der Gewölbeabschnitte 1,2 b-h³

~~12~ — Trägheitsmoment der mittlern Höhe, x und y — Abszisse und Ordinate des Mittelpunkts in Beziehung

auf das Koordinatensystem durch 0 ist.

Die Anbringung von zwei gleich und entgegengesetzt gerichteten Kräften R in 0 ändert nichts an dem Gleichgewichtszustand, und man erhält nun das Moment M = R • r und die in 0 wirkenden Kräfte H und V.

*x

VH VH V W HL

0,7S*-0,'TO>1

l«4J

* j\

f7£F7t

*v

o i jt

"t

6'

-oc

/8,

l\

--V—(---

$•

v| i

4--|—!;

>m.

4—

8’

Hl

l.

y\\M

Ui

Der Ursprung des Koordinatensystems 0

g

wichte —j, und hierfür läßt sich der Abstand r der im

^ M

aus r    =    bestimmen, und    es    lassen    sich    auch

= 2,60 — 14,07 (1 — cos cp), s — -Abb. 61) = 2,32 — 1,62 + 1,62 — 1,62 • cos cp =

14,07 ln des

1,5

14,07

1(1,15)

usw.

y/

/f/

//

/,

//

7/

///

entspricht dem Schwerpunkt der elastischen Ge-Kämpfer wirkenden Resultante R =]/ H ³ 4 -f- V⁴ die durch R auf den Koordinatenachsen abge-wenn man die Kämpferdrücke bestimmen oder

mittlern Bogens sind nun folgende Werte ausferner y = 14,07 ■ cos cp — (14,07 — 2,6) =

I,

h = 15,27 — 12, 95 —- 1,62 • cos cp (siehe = 0,7 + 1,62 (1 — cos cp).

Man erhält diese Werte am schnellsten mit Hilfe des Rechenstabes in folgender Tabelle:

cos cp

und

Abb. 61.

Für einen Korbbogen aus zwei oder drei Kreisbögen ist auch die Mittellinie aus dem nach oben abgerundeten zu bestimmen oder das Gewölbe nach dieser Mittellinie anzunelimen (am besten mit den drei Bogenpunkten auf einer Vertikalen), und hierfür lassen sich die Werte a, ß, bd, dm, eg, gm und y ermitteln, und für x bzw. x — eg

c*

Lamelle r

sin cpr......................

cp,. (Gauß, Logarithmen, 8.113)

cos cpr . .....................

y'r = 2,60 — 14,07 (1 — cos cp,.)

(1,15)

_ ₁    ,    1 — COS cp,.

COS cp,.

hr =0,7 -f-1,62 (1 — cos Cpr)...

1,0(für 6 = 1)

Jr =

12

0,0355 2° 2,1' 0,9994

0,1066 6° 7,2' 0,9943

0,1777 10° 14,1' 0,9841

2,59

2,52

2,38

0,2488    0,3198

14° 24,3'    18° 38,9'

0,9685    0,9475

2,16    1,86

0,3909    0,4620

23° 0,7'    27° 31,2'

0,9204    0,8868

1,48

1,01

0,5384 32° 34,4' 0,8427

0,5792 35° 23,8' 0,8152

1,001

0,701

0,0287

1,006

0,709

0,0297

1,016

0,726

0,0319

1,033    1,055

0,751    0,785

0,0353    0,0403

1,086 j 1,128 0,829 0,0475

0,883

0,0574

0,39

1,364

0,955

1,000

0,0726

wr =

Sr

~Tr

34,9

33,9

31,9

29,3

26,2

22,9

19,7

18,8

2X217,6 = 435,2

% = p- (für b = 1)

Fr

hr

1,43

1,42

1,40

1,38

1,35

1,31

1,28

1,43

2X11,0 = 22,0

44

erhält man dann die Werte für cp, y und s wie in der Tabelle (h läßt sich aus der Zeichnung entnehmen oder wenn

r" • y

die drei Mittelpunkte auf einer Geraden liegen wie oben berechnen) und als Probe dient 2 s — ab + bc — -

/• ß

180

• TZ +

180

• rr (bei drei Kreisbögen verfährt man ähnlich und bei Annahme der Bogenendpunkte ist die Berechnung leicht

durchzuführen) s. Abb. 62. Bei hohen Bögen mit starker Krümmung erhält man in obiger Tabelle genauere Werte,

V o ~ V i

wenn die Ordinaten y' = f—y für I, II usw. aus x² = y" (2 r — y") berechnet werden, und tg cp, —    _ ,

%j    ^

gesetzt und hieraus cp, sin cp und cos cp berechnet wird (für x erhält man einen genaueren Wert

tg <p₂ =

a (= 1)

aus x — r • sin cp).

Man erhält nun den Koordinatenursprung 0 graphisch oder durch Berechnung seines Abstands von der Scheitelmitte aus z-2w — 2 (2,6 —y')-w oder

_ 0,01 • 34,8 + 0,08 • 33,9 + 0,22 • 31,9 + 0,44 • 29,2 + 0,74 • 26,2 + 1,12 • 22,9 + 1,59 • 19,7 + 2,21 • 18,8 _ m

² —    217^    — °’b8    •

Für diese Annahme des Koordinatenursprungs gelten nun die Formeln Mo-V

H=

J M₀ • dw ■ y + E • a • x • l

—M₍₎ • Wy + E ■ OL • - -1

ds

) dw-y² + P

ds

2ywy + 2y

— (für wy = wy),

Mn - ds

--x

V—

x² • ds

_ Jilf₀ • dw •x _ 2 Mü • wx

\dw-x² ‘ 2x-wx

(für wx — w • x).

’Mn • d s

M=

ds

\M.-dw 2Mn'W ,    . ,    ,

— —h—__ — _—- und es sind diese Summenausdrücke zu berechnen.

jdw

Iw

In denselben ist M₀ das statische Moment der linksseitigen Kräfte P in Beziehung auf den Lamellenschnitt, und man erhält für P — 1 und M₀ = — 1 (a — x):

__i_

2

2 M₀ ‘Wy = — 2wy (a — x), 2 M₀ • wx — — 2 wx (a — x), 2M₀-w — — 2 w (a — x),

a    a    a

indem man nur dann einen Wert für M₀ erhält, wenn die Lamelle rechts von der Last 1 liegt, also zwischen x = a und x — —

__i_

Die Summenausdrücke wx=w-x, wy = w-y, iv-x², w-y² sind daher für die Einzellast P= 1 gleich der Summe der statischen Momente der elastischen Gewichte wx, wy, w rechts vom Lastangriffspunkt, und ihre Berechnung geht für x und y — 0,65 — (2,6 —y) — y — 1,95 vom Kämpfer rechts aus, so daß man die folgende Tabelle erhält:

Vertik a 1 e

Scheitel (1')

I' (2')

II' (3')

III' (4')

IV' (5')

V' (6')

VI' (7')

VII' (8')

21'-8'

y = y —1,95

u>

se

O S 05_

T—I O CO

eo

io 05

ui o h co

Jo o 05 CO to CD

4,5

5,5

6,5

— 0,09

-0,47

— 0,94

7,575 — 1,56

26,2

22,9

19,7

18,8

2X217,6=435,2

Wx — W‘X tvy — u> - y

IV • X² .... w-y² ....

17,4

22,3

50,8

19,3

79,7

13,7

102,5

6,2

117,9

-2,4

125,9

— 10,8

128,0 — 18,5

142,4

— 29,3

8,7

76,3

199

359

531

693

832

1079

14,3

11,0

5,9

1,3

0,2

5,1

17,4

45,8

Für x gilt von 1'—8' das negative Vorzeichen. 2 X 3778 = 7556 2X101 = 202

__i_

2

1    (« — x)

305,7 + 21,8    274,3 + 41,1

316,4

22,3

19,3

Einflußordinaten für

₂ — 305,7

226,3 + 54,8 2 ⁷⁴’³

13,7

168,4 + 61    108,6 + 58,6

^- = 226,3 +-=|

55,4 + 47,8 ²’i = 168,4 + K|⁸ = 108,6

16,9 + 29,3 ++*=55

0,575 • 29,3 47,8=29,3+18,5 = 16,9

li

12

Iw-tß + 2-|;(= 224)

58,6=47,8 + 10,8 usw. y kann auch mit dem Vorzeichen eingesetzt werden.

1,412

1,365

1,224

1,010

0,752

0,485

0,247

0,075    2-101+2.11=224

i i

1 2 wx (a — x)

Einflußordinaten für

3020,7 + 747,2    2298,9 + 696,4

+ ¹^ = 3776,6 + ^ = 3020,7

1642,3 + 616,7    1076,9 + 514,2    621,6 + 396,3

₂    2298,9 +

79,7

1-2

(I —VII' 1 w -xH= 7556)11 — VII

0,500

0,500

0,400

0,600

0,304

0,696

0,217

0,783

288,3 + 270,4

1642,3 + —J^=1076,9 + ^^ = 621,6 Z    I z

0,0823 0,9177

81,9 +142,4

128

288,3

0,575 • 142,4 = 81,9

Die Werte I-VII bilden mit I'—VII' die Summe 1.

0,1425

0,8575

0,0382

0,9618

0,0109

0,9891

Vertikale

Scheitel (1') . I' (2')

II' (3')

__

2

1 (a — x)

Einflußordinaten für 1-2

564,8 +182,7

+ 1

34,9

764,9

399,0 + 148,8    266,2 + 116,9

564,8 +^ =

33,9

399,0

M=

/i — vir.

2» (=435,2) \l- VII .

1,758

1,758

1.298

2.298

-r-t

o of

P (Eigengewicht)

3,60

3,79

4,13

45

nr (4 )

IV' (5')

V' (6')

VI' (7')

VII' (8')

ir-8'

163,9 + 87,6

+ ^ = 266,2

89,4 +- (»1,4

4- ~ß ~ 163,9

39,5 +- 38,5    10,8 + 18,8

89,4    =

22,9

39,5

0,575 • 18,8

= 10,8

0,612

3,612

F» F-F- F*

CO CO

cT

o o

(M O 10

0,091

6,091

0,025

7,025

Die Werte I—VII sind um ihre Abstände x größer als

r— vir

(Kämpfer A).

8,15

4,70

5,48

6,33

7,59

12,74

(2,4)

Hl’— 8' (1 — 8)

r— 8'

Fl-8

1'— 8'

1,40

0,45

1,30

0,35

1,12

0,26

0,88

0,18

0,62

0,11

0,37

0,16

0,02

48,36

2 X 5,87 = 11,74

0,06

0,02

0,00

1,43

(Einflußordinaten s. Abb.61)

0,55

0,65

0,74

0,82

0,89

0,94

0,98

1,00

6,57

1,51

1,09

0,75

0,49

0,30

0,15

0,06

8,00

4,35

2,01

2,59

3,25

3,99

4; 80

5,65

6,56

7,70

36,55

40,90

(Statt 8, 8' die Lage für Ps)

Bei besonderer Berechnung der Lamelle links von der Kämpfermitte mit P = 2,4¹ erhält man dasselbe Resultat, indem 7,60-10,34 +- 8,15 • 2,4 = 7,70* 12,14 = 98,1 ist (dieselbe kann auch als Einzellast in dem Kämpferviertel angenommen werden). Die so berechneten Summenausdrücke (bei deren Ausrechnung die Abstände a = 1 m für die nächstfolgenden

Werte weggelassen sind und ~ = -i- eingesetzt ist) und hieraus bestimmten Einflußordinaten für II, V und M sind

nach Abb. 61 zur Bestimmung der Einflußlinien in 1' — VII' und I — VII aufzutragen, und zwar in einem beliebigen Maßstab (z. B. für H fünffach, für V zehnfach, für M einfach in cm bei 1:50 Maßstab der Längen), und man erhält hieraus    die Einflußordinaten für die Querschnitte der Einzellasten P (dieselben ergeben    sich    auch    angenähert durch

Rechnung als Mittel der berechneten Einflußordinaten, vgl. die Tabelle).

Durch Multiplikation dieser Einflußordinaten b mit den Einzellasten P erhält    man    für    das    Eigengewicht

H — 2 P-b = 51,9 *, F= 48,4 *, M = 277,2 mt.

Bei gleichmäßiger Vollbelastung mit 2,2 */m ist die Summe der Einflußordinaten für die Einzellasten P mit 2,2 • 1 (1,45) zu multiplizieren, und man erhält H = 51,9 +- 2 (5,85 • 1 + 0,02 • 1,45) • 2,2 = 77,8 -f (33,20 -1 + 7,7-1,45) • 2,2 = 374,8 mt.

Für linksseitige Belastung mit 3 tjm ist 11 = 51,9 + (5,85 • 1 +- 0,02 • 1,45)    • 3 =    69,6 *,    V = 48,4 +-

+    (5,57 -1 +- 1 -1,45) • 3 = 69,5 *, M = 277,2 + (28,85 • 1 + 7,7 • 1,45) • 3 = 397,2 mt.

Für rechtsseitige Belastung mit 3 tjm ist II = 69,6 t, V = 48,4 +- (1,43 • 1 -f- 0 • 1,45) • 3 = 52,7 *, M = 277,2 + (4,35-1 + 0-1,45) • 3 = 290,3 mt.

Die Werte von Mx für die Mitte der Fugen ergeben sich aus Mx = M -+- M₀ — PL • y — V- x, wo Ma = statisches Moment der linksseitigen Lasten und y sowie x mit den Vorzeichen des durch 0 gelegten Koordinatensystems

X

einzusetzen sind. Ferner ist wie oben Nx = Vx • sin cp + Hr • cos cp, Vx = V — 2 P, Hx = H, c = „ ,

6 M \    ’    .

- a J (die Werte für Bx, Tx und + sind nur bei Aufzeichnung der Stützlinie erforderlich,

(Lamelle 8.)

V = 48,4 + (7 • 1 -fl - 1,45) • 2,2 = 67 *, M = 277,2 +-

Mx

°; =

welche auch nach Abb. 60 aus Hx) Vx und c hervorgeht).

Man erhält somit am Kämpfer für Eigengewicht Hx = 51,9 ‘,

Vx = 48,4 % Mx = 277,2 + = — 0,23 m,

16,5

-+ 51,9 • 1,95 — 48,4 • 8,15 = — 16,5 rat, Nr = 48,4 • 0,579 + 51,9 - 0,815 = 70,3 *, c = —

_+ 2,6

— 16,7    '

Für Vollbelastung ist Hr~ 77,8*, Fr= 67*, Mx= 374,8 + 77,8 • 1,95 — 67 • 8,15 = — 19,5 rat, Nx= 67-0,579 +

6-1950000

xr(70300 T

6-1610000

100

+ 77,8 • 0,815 = 102,2*, c = —

19,5

kg

70,3

L-(102200 T

+ 1,5

- 0,19“, 0“ = -

kg.

100

— 21,9

Für einseitige Belastung links ist Hx = 69,6 *, Vx = 69,5 *, Mx = 397,2 -+ 69,6 • 1,95 — 69,5 • 8,15 = — 33,5 mt,

+ 10,4

102,2

Nx = 69,5 ■ 0,579 + 69,6 • 0,815 = 97 *, c = —

33,5

₉₇ =- 0,35“, a£ =

100² (

97 000 =F

6-3350000

100

■)

kg.

—    29,8

Für einseitige Belastung rechts ist PTX = 69,6 *, Vx = 52,7 *, Mx = 290,3 -+ 69,6 • 1,95 — 52,7 • 8,15 = — 3,5 mt,

⁶^kg

—    10,6 ’

Am Scheitel ist für x = 0 und cp = 0: Mx = M -+ M₀ — H-y, Nx= Hx= H und man erhält für Eigenfs.' S. 42)    2

gewicht Nx — Hx = 51,9 *, Vx = 0, Mx = 277,2 — 241,2 — 51,9 • 0,65 -+ 0,15 • 2,4 = + 2 mt, c = -+

Nx — 52,7 • 0,579 -+ 69,6 • 0,815 = 87,2 *, c =

3,5

87,2

100² (

87 200 =F

6-350000

100

°°U =

^51900 ±

6-200000

51,9

+ 0,04 m,

70

100-70

Für Vollbelastung ist NX = HX = 77,8 l, Vx = 0, Mx = 374,8 — 241,2

2,2- 8,45²

+ 0,15 (2,4 -+ 0,66) —

— 7 7,8 ■ 0,65 = 4- 4,9 “*, c = +

4,9

77,8

= + 0,06 m, 0“ = -

100•70

77 800 ±

6 • 490000\_— 17,1

70

kg

5,1    *

Für einseitige Belastung links ist Nx — Hx = 69,6 \ Vx — 69,5 — 48,4 — 3 • 8,45 = — 4,3 Mx =

o« =

3.M⁵²

= 397,2 — 241,2 — 3-^---f- 0,15 (2,4 + 0,9) — 69,6 • 0,65 = + 4,2 mt, c = +

£

4,2

^69 600 +

69,6

- — 0,06 m

6 • 420000\_— 15,1 k„

- 4,8    '

70

100-70

Für einseitige Belastung rechts ist Nx = Hx — 69,6 *, Vx = 52,7 — 48,4 = + 4,3 ‘, Mx — 290,3 — 241,2 — — 69,6 • 0,65 + 0,15 • 2,4 = + 4,2 mt.

In der Bruchfuge ist bei 3 m Abstand vom Scheitel x = 3 m, sin cp =

= 0,2132, cp = 12° 18,6',

cos cp = 0,9770, y = 2,28 m, y = y — 1,95 = 0,33 m, h = 0,737 m (s. S. 42), ferner MX = M + M₀ — II-y — V■ x,

(S. S. 42)

somit für einseitige Belastung links Hr = 69,6 l, Vx — 69,5 — 36,84 — 3 ■ 5,45 = + 16,3 \ M, — 397,2 — 112,84 — + 0,15 (2,4 + 0,9) — 69,6 • 0,33 — 69,5 • 3 = + 8,8 rat, Nx = 16,3 • 0,213 + 69,6 • 0,977 = 71,5 ‘

3 • 5,45²

8,8

14,07

6 • 880000\_— 19,4

kg, und für einseitige Belastung rechts:

52,7 • 3 — — 3,3 mt,

— 6 .

kg

— 13,3    '

+ 0,12", 0;

71500 ±

c = +

Hx = 69,6 l, Vx = 52,7 — 36,84 == + 15,9 *, Mc = 290,3 — 112,84 + 0,15 ■ 2,4 — 69,6 • 0,33

(Vl400 +

71,5

100 • 73,7

73,7

Nx — 15,9-0,213 + 69,6- 0,977 = 71,4l, c= —

3,3

71,4

Die Temperaturspannungen ergeben sich aus Ht =

— 0,05 m, a°H

6-330000

73,7

, Nx = Ht‘ cos cp, Tx = Ht • sin cp, somit

100-73,7

Ht =

2000000 t/qm - 0,000012 • 20 -16,3

224

2Iw.^+sA

— 34,9 t. Die Momente Mx sind bei Temperaturausdehnung für den in der

Koordinatenachse von links nach rechts wirkenden Horizontalschub Hf zu berechnen. Am Kämpfer ist daher

Mx = 34,9 • 1,95 = 68,1 mt, Nx = 34,9 • 0,815 = 28,4 *, 0" =

28 400 ±

6 • 6810000^_ —43,7

+ 38

100

kg.

Am Scheitel ist Mx = — 34,9 - 0,65 = — 22,7 ,ut, Nx = 34,9‘, 0" = = ^    ^ kg. In der Bruchfuge ist

- 0£y 8

Mx = — 34,9 • 0,33 = - 11,5 mt, Nx == 34,9 • 0,977 = 34,1 *, o” = —

Man erhält nun folgende Zusammenstellung der Gesamtspannungen:

100-73,7

100-70

^34 900 +

^34 100 +

6-2270000

6-1150000

73,7

70

00 r-

kg.

Belastung

Span

nung

Am Kämpfer

Gesamtspannung mit ganzer Temperaturspannung

Am Scheitel

ln der Bruchfuge

Tem

peratur

spannung

mit halber Temperaturspannung

Span

nung

Tem

peratur

spannung

Gesamtspannung

Span

nung

Temperatur- Gesamtspannung Spannung

kg/qem

Eigen- fan +2,6 gewicht \iu —16,7

Vollbe- ja,, +1,5 lastung joM —21,9

für Bruchsteine + 8,7

(«0)

+ 43,7

(21,8)

eins. Bel. (3₀ +10,4 links    —29,8

°n 1-6,6

eins. Bel. rechts

a« ! —10,6

(oJ

±38,0

(19,0)

für Bruchsteine ±7,6

41,1 (+ 46,3)    -19,2 (+24,4)

+ 21,3 (— 54,7)    + 2,3 (— 35,7)

— 42,2 (+ 45,2)    — 20,3 (+ 23,3)

+ 16,1 (— 59,9)    - 2,9 (— 40,9)

-33,3 (+54,1)    — 11,4 (+ 32,2)

+ 8,2 (— 67,8)    - 10,8 (— 48,8)

- 50,3 (+ 37,1) ! — 28,4 (+ 15,2)

+ 27,4 (- 48,6) j + 8,4 (— 29,6)

—    9,9

—    5,0

-17,1

des

gleichen

für Bruchsteine

±4,6

(«0)

±22,8

+ 12,9 (—32,7)

—    37,8 (+ 27,8)

+ 5,7 (- 39,9)

—    37,9 (+ 27,7)

(««)    +7,7 (-37,9)

+ 32,8 ; —37,6 (+28,0)

für Bruchsteine desgleichen

+ 6,6

fürBruch-steine nns.Bel. ± 1,6 links (on)

— 19,4    ±8,1 j —11,3 (—27,5)

+    - 17,3 (+ 17,3)

(»«)

rechts + 17,3

6,0 für Bruchsteine

—13,3    + 3,5

+ 2,1 (-14,1)

- 30,6 (+ 4,0)

5. Berechnung des Eisenbetongewölbes mit Rundeisen und mit Gitterträgern.

Die beiden Berechnungen nach Weyrauch und nach Mörsch sind sowohl in betreff der Angriffspunkte der Resultanten R als auch der Maximalspannungen des Gewölbes in guter Uebereinstimmung, nur gilt die letztere für jede beliebige Form und die Zunahme des Querschnitts der Gewölbelamellen vom Scheitel bis zum Kämpfer wird in dem

berücksichtigt, während die erstere nur fiir die Parabel genau und für den Kreisbogen angenähert gilt

(genaue Formeln für den Kreisbogen sind auch in dem Buch von Weyrauch vorhanden), und der Mittelwert J• cos cp für die Formeln angenommen wird.

In § 17 sind auch Formeln von Weyrauch für eine beliebige Belastung des Gewölbes mit Einzellasten vorhanden, und ebenso kann nach dem Verfahren von Mörsch mit Einzellasten gerechnet werden, und zwar angenähert, wenn die Belastungsgrenzen nach der £/-Linie oder wie beim Dreigelenkbogen oder nach einem Vorgang bestimmt werden,

Ausdruck

und die ungünstigste Belastung des Gewölbes für K₀ oder Ku bzw. die Mitte der Fuge (bei einer Einzellast P im

Px[l'_x)    PI l    '

Querschnitt x mit M = -j,-, bei einseitiger Belastung mit M — —— bei — oder dem Maximalbiegungsmoment

während die Vollbelastung mit M = —- bei — oder dem Maximalbiegungsmoment für l zu rechnen ist j

ersetzt wird (vgl. auch die nur für flache Kreisbögen gültige angenäherte

Berechnung von Landsberg mit Benutzung der U- Linie zur Bestimmung der Kämpferdrücke für Einzellasten, Handbuch der Ingenieurwissenschaften, Brückenbau Bd. II, 1904). Nach der genauen Berechnung von Mörsch ist die Formel Mk = M + M₀ — H-yk — V-x für verschiedene Annahmen der Last 1 zwischen 0 und l auszurechnen, indem bei Ersetzung der zur Mittellinie senkrechten Fuge durch die Vertikale in der Fugenmitte das M₀ und V• x der Kernpunktsmomente für Mk0 und Mku gleich groß werden, wiewohl auch eine genauere Berechnung nach folgendem Schema für den Querschnitt x stattfinden kann (vgl. die Berechnung der Gmündertobel-Brücke von Mörsch in der Schweizer Bauzeitung 1909, Bd. LIII, Nr. 7—10):

durch

ihren Belastungsgleichwert p =

max

P=1

in

Mku

M₀

- V- xu

— H-yu

— H • 2/o | — V-xo

Die Werte Mf H und V sind hierbei aus den Einflußlinien in Abb. 61 bzw. aus der Tabelle zu entnehmen, und für jede angenommene Lage der Last 1 sind die entsprechenden Werte obiger Gleichung für Mk mit Berücksichtigung des Vorzeichens von x® und yl zu addieren (die Werte für M₀ kommen hierbei nur für die angenommene Last 1 links vom Querschnitt x in Betracht, so daß sie für die Kämpfer- und Scheitelfuge bei rechtsseitiger Belastung wegfallen).

Die richtigen Einflußlinien für Mk0 und Mku entsprechen den Einflußordinaten bei I, II usw., indem (ähnlich wie bei der Stützlinie) die richtige Ordinate nur bei der Trennungslinie der Bogenelemente s vorhanden ist, weshalb die elastischen Elemente zwischen etwa vorhandenen Säulen anzunehmen sind, weil auch die Einflußlinien durch die Einzellasten der Säulen zwischen diesen geradlinig verlaufen (das Stück zwischen den Säulen kann noch weiter geteilt werden).

y=t:

V⁻i*

k- —--x\ X

+x

!/s

*---y

//

-X-

Mk₀

e'

IST

Mhu

■1

'nr

\L

TW

Abb. 62.

Abb. 63.

Die Lasten P— 1 werden vom Kämpfer rechts her an den Teilpunkten VII' bis zum Scheitel und von diesem bis VII angenommen, und die aufgetragenen Einflußordinaten ergeben eine positive (nach unten) und eine negative

wie dies aus Abb. 63 ersichtlich ist.

und für M

(nach oben gerichtete) Beitragstrecke für Mx bzw. für M]

Es kann daher bei einer gegebenen Lichtweite und Pfeilhöhe des Gewölbes zunächst die Kreisbogenform angenommen und (wenigstens für hohe Gewölbe) alsdann die Ordinate y' der Stützlinie für das Eigengewicht und die halbe Verkehrsbelastung p₂ oder für das erstere allein aus dem Moment M—R-y' in Beziehung auf den Schnitt von H mit der Vertikale durch x berechnet werden. Aus diesen Ordinaten kann die Stützlinie durch die Schnittpunkte von Rx (aus Hx und Vx) mit den zur Mittellinie senkrechten Fugen bestimmt werden, welche die Mittellinie des Gewölbes ergibt, wofür dann die Berechnung nach der Elastizitätstheorie erfolgt (s. Abb. 63 rechts).

Bei der Annahme des Eigengewichts für die Bestimmung dieser Mittellinie erhält man eine etwas genauere

' ds

ku)

~Ha

Berechnung für den Horizontal schub vom Eigengewicht aus He —

IkM

’ds - cos² cp

2iv-y² +

indem Ils aus

H, =

der mittlern Stützlinie des Gewölbes berechnet wird, so daß in obigem Beispiel (s. oben)

48,4 • 8,15 — 241,2 + 0,15 • 2,4

2,6

= 58,6 *, He =

224

den Kräften der mittlern Stützlinie hinzukommende horizontale Ergänzungs

statt 51,9 ¹ wird (die bei ständiger Last zu kraft He rührt von der Verkürzung des Bogens durch die Normalkräfte her).

Die negative Zusatzkraft He (dieselbe ist in obigem Beispiel nicht genau, da die Stützlinie für Eigengewicht nicht mit der Mittellinie des Gewölbes zusammenfällt) wirkt in der Abszissenachse durch 0 von rechts nach links, und

veranlaßt daher unterhalb der «-Achse negative Biegungsmomente mit Druckspannung unten und Zugspannung oben und oberhalb der «-Achse das Gegenteil.

Die Spannung für Eigengewicht ergibt sich daher aus o® =

auch aus dem Kräfteplan für das Eigengewicht zu entnehmen ist, und ist zu den andern Spannungen zu addieren (yu und y₀ gelten für die Kernpunkte der Fuge und sind mit ihrem Vorzeichen einzusetzen).

Bei kleinern Gewölben genügt die genaue Berechnung von zwei Fugen zwischen Kämpfer und Scheitel (bei

— Abstand vom Scheitel) bei ca. — und —, und bei großem Gewölben können drei 5    6    3

gewählt werden, und die Randspannungen o® ergeben sich auch direkt aus

b-h²

—-— ist (s. S. 239, 18 des Sonderabdrucks für Heft 3 von 1909 der H. Z.)

Dasselbe gilt für die Berechnung der Temperaturspannungen, und man erhält hierfür nach Mörsch am Kämpfer annähernd die gleichen Werte wie nach Weyrauch, dagegen am Scheitel kleinere, und dies rührt daher, daß bei der

2

Parabel und für ein konstantes J die 0-Achse durch den Schwerpunkt des Bogens in -—/'Abstand geht, während sie bei einem beliebigen Bogen mit veränderlichem J durch den Schwerpunkt der elastischen Gewichte w = -j bestimmt ist.

Bei Ausdehnung des Gewölbes wirkt Ht von links nach rechts, und man erhält daher unterhalb der «-Achse positive Biegungsmomente mit Zug unten und Druck oben, und oberhalb der «-Achse negative Biegungsmomente mit Druck unten und Zug oben, und bei Zusammenziehung des Gewölbes gilt das Entgegengesetzte. Sowohl bei der Ausdehnung als bei der Zusammenziehung ist (wegen der Verbindung durch die Eiseneinlagen) eine teilweise horizontale Verschiebung des Widerlagers anzunehmen (für dieselbe gilt dieselbe Formel wie für Ht nur mit Ersetzung des Zählers Eaxl durch —E-äl), und es genügt daher bei flachen Gewölben die halbe Temperaturspannung am Kämpfer zu berücksichtigen (dieselbe wäre = 0, wenn das Widerlager vollständig mitwirken würde). Am Scheitel ist der Sicherheit halber mit der ganzen Temperaturspannung zu rechnen, da hier die ungünstigsten Wirkungen bei Verschiebung des Auflagers durch die Temperatur entstehen und auch die Senkung des Gewölbes bei Entfernung des Lehrgerüsts schädlich wirken kann (in dem Sonderabdruck der Veröffentlichung von Professor Mörsch über die Gmündertobel-Biücke ist auch eine Formel für die Einsenkung des Gewölbes im Scheitel durch das Eigengewicht enthalten, indem

flachen Gewölben sogar eine bei ca. Zwischenfugen bei ca. —    *    ^

W rr 0

und au = ±

kJ

wo IV = -

Ns , He-yUo -J- ±

{,

wo Ns —

Hs

cos cp

i°JL.ds ₊ H (iiSJL.A!

'J J ⁺ ‘Je08<p

0 0

ist, und diese Summenausdrücke vom Scheitel 0 aus auf Grund obiger Tabellen leicht berechnet werden können).

Man erhält nun für die Berechnung mit Eiseneinlagen (welche bei der Gewölbeberechnung nicht zu berücksichtigen sind) folgende Maximalbiegungsmomente und Normalkräfte (vgl. die für o® erhaltenen Werte), und zwar am Kämpfer

2_

[ sin cp

ds

• COS <p • -y-

= — 67,55 rat, Nx = 97 — = — 0,82m und nach B 2 c (s. S. 13) mit p — 1 ist für P = 82,8 *,

b = 100cm, n — 15 : «² — 2« • (h + h!) —

3 • 82 800

bei einseitiger Belastung (für die Zusammenziehung des Gewölbes): Mx = — 33,5--

28,4    , _ Mx _    67,55    ²

_    2    - 82,8 ’ C - ~Wl -    82,F

gx = — 32cra, h — 96 cm, K = 4cm, g₂ = 128 cm,

=    +    oder *■

= 40 kg

— 2« (96 -[- 4) = —

!(?-)

+ 24032

• 128 + 772 027

genaues x = 46 —

|-(96> + 4!) +

164) oder x² — 200 x 4-und hierfür / («) = -(- 165 und

100•40

13 848 + 62,1 (-¹²—32 10 =46X

— 32 — 4 jj- oder «² — 200« = —

ist fix) — 1"^ x ist —1_1669> ®

mit f («) = + 8. Ferner ist n

0 und für « —

6-165

1834

= 45,4

cm

140

= 50

cm

= ¹⁵'⁴⁰ (X-4v)

= 547kg wird

2760

tt⁻ (96 - 4)./•; =

— •^2

547

und für oe' = nab

-(3-96 — 45,4) oder 1258,1 f‘t = 264960 — 183567 und f' = 64,7 ft — 8 • 8,04 = 64,3 vm.

Man erhält hierfür nach B2a mit fe = ft — 64,3qcm: «² — 3^r, •« =

40

qcm

82800

40

— •128

—(3 h — «) 100-45,4

somit sind erforderlich 8 © 32 mit

oder «² -f- 3 • 32 x

6-15-64,3

100

— 32 —

I(t“¹)*⁺(¹—

1    / 12 432

4) J” oder «² -j- 96« = 57,87 /—-—

6«/)

-//)

— 164

oder «² -f- 96« -f- 9491 —

719440

= 0 oder für « =

f{x) =

f— 3055 l-f 383

und genaues x = 46 —

6-383

3438

= 45,3

cm

mit /‘(«)= -f- 10. Ferner ist

°b =

(*-f)+2

211,96800

3,67 -f 1,61

= 40 kg. Ebenso ist oe = nab --1^

2-82 800- 128

100 • 45,3 (96 — 15,1) + 2 • 15 • 64,3 (96 — 4) (^1

(-Ü— l)

\ 45,3    )

=15-40

= 665 kg, = n a₆

(-

= 15-40-

= 547 kg.

Wendet man statt Rundeisen einen Melan-Gitterträger an (die Berechnung der Gewölbe nach der Elastizitätstheorie von Melan ergibt dieselben Formeln und dasselbe Koordinatensystem durch 0 sowie die gleichen Haupt- und Temperaturspannungen wie diejenige nach Mörsch s. Handbuch der Ingenieurwissenschaften, Brückenbau 5. Abteilung und Handbuch für Eisenbetonbau 1. Band) so erhält man bei Annahme von 4 |100-150 • 12 = 114,8 qcm (= ca. 2 fe) Gesamtquerschnitt nach den Formeln III 1 (7) und (8) (s. S. 17) für Fe = 4 • 28,7 = 114,8qcm, Ste = 114,8 • 46 = 5281, Je = 114,8-

St

-(46 — 2,42)² + 4-232 4- 114,8 • 46² = 461875, c' = Ä' + -/ = 4 +

GnF

5281

Fe

114,8

= 50cm, d' = h' 4- -sf- =

461875

= 44-

6-15-114,8 j

5281

cm

: #² — 3<7, • x =

100

#² 4- 96 #+ 8472 —

= 91,5

j(91,5 4- 32) (⁵°~ ⁴)~ (50 4- 32) (l _ -i-^| oder #² 4- 96# = 103,32

|⁵⁰ ^(a.₎₌_|+ ³³⁵⁵ # — 40 4-

\40 ' K 1    \— 1609

oder #² 4- 3 • 32 x =

— 82

oder

620849

= 0, somit für x =

10 -1609

4964

/■(#)= 4- 13 somit genaues # = 43 cm. Ferner ist ab = 165,600

= 43,2 und für # = 43, 2 - 82 800

= 44,3 kg.

100 • 43 4- 2-15-

43 — 50

¹¹⁴’⁸( 43

4,3 — 0,56

Es würde nun genügen, die angenommenen Gitterträger mit dem Abstand 90cm statt lm auszuführen, so daß <3h = 0,9 • 44,3 = 39,9 kg wird (auch könnten die Zwischenlängseisen 0 10 berücksichtigt werden).

Doch wird ein Teil der Belastung des Gewölbes schon durch die Gitterträger aufgenommen, an welche auch das Lehrgerüst aufgehängt werden darf, wenn dasselbe von unten aus nicht gestützt werden kann. Man erhält nun als

⁰-⁷+¹.₂,4 = ₂,04./ro8„daßff=^ = ^iM!

Gewicht des Gewölbes g =    ^

g-l

= 26,1*, V =

= 2,04- 8,15 = 16,6*; B= V26,1² + 16,6² = 30,9* und ae =

30900

30 900

Die Betonbeanspruchung wird hierdurch um

36,8    --1^ = 680kg wird,

(-M

= 15-

und oe = wot oe = 680 4- 269 = 949 k&/qcm.

1£S32

= 269 kg wird.

= 3,1kg kleiner, so daß o₆ = 39,9 — 3,1 = 36,8kg

114,8

wozu noch oe = 269kg kommt oder zusammen

L100'150'12

\8-

8 £32

1£_£52 j

8 £52

s"l

Ii

»Sf

*1

Abb. 64.

Am Scheitel ergibt sich das Maximum für Vollbelastung, und man erhält (für die Zusammenziehung des Gewölbes);

= 4-0,64m und nach B2c ist für

+ 27,6

Mx = + 4,9 + 22,7 = + 27,6 mt, Nx = 77,8 — 34,9 = 42,9*, c =

P = 42,9 *, gt — — 29cm, h = 66cm, Ji — 4

-2, (66 ₊ 4)=-4(66« + 4’)+4^)(-f-l).95 + (l-l.)

^ (-5^?- — 128^ oder #² — 140# 4- 10676 —

X²

x² — 140# = — 6558 4

# - I³⁰ ist X ~ \27    *

42,9

cm

g₂ = 95cm, ab = 40 kg, b = 100cm, n = 15:

(— 29 — 4)} oder 205984

0 und für

3-4

Ferner ist oe = 15 • 40 ^1--

(3-66 — 27) oder 792 f't— 101888 — 76 950 oder f'e= 31,5 qc,D, somit

2    16

genügen hier —-80 32 = —— • 8,04 = 42,9 qcm reichlich, und man erhält hierfür die Maximalspannungen aus

3    3    / ß/?    \

B2a mit fe = f'e = 42,9 qem und a? = 29,5cm: o₆ = 34,7 kg, oe = 15 • 34,7    — i) = 644 kg, oe' = 15-34,7 -

= 475 kg.

Es sind daher am Kämpfer 8 0 32 und am Scheitel in der obengezeichneten Weise verteilt werden, so daß die Abstände am Kämpfer konstant = 12,5 jenigen am Scheitel abwechselnd = 18,6 und = 18,9 cm. Die Stöße der Eisen sind am besten in den Abstand = vom Kämpfer zu legen (weil hier die Temperaturspannungen und daher auch die Maximalspannungen verhältnismäßig

-f 510

und

511

,RR r 42900 40 <⁶⁶-⁴) ^=~lö--⁹⁵

, somit genaues x = 27 d 100 • 27

514

= 27

cm

= 511kg

•(*-£)

CO

• 8 0 32 pro m Breite erforderlich, und dieselben können

sind, und die-

cm

ca.

CO

¹

= — 0,54 m; m = — = 2,04 ra, v = 0,91 ra; u =

O

²

woraus sich die Umhüllungslinien ergeben, welche aber nur bis u =

Hieraus ergeben sich die Belastungsgrenzen fiir die einzelnen Querschnitte nach S. 39—40, und da dieselben für die Bruchfugen nur wenig verschieden von der halben einseitigen Belastung sind, so soll dieselbe wegen der Vergleichung mit den andern Berechnungsarten voll gerechnet werden.

Nach S. 101—103 sind nun die Werte der Biegungsmomente M und M' sowie der vertikalen Auflagerdrücke V und V und der Horizontalschübe H und H, an den Kämpfern durch Formeln bestimmt, so daß sich die Werte von Mx und Vx für die Abstände x von den Kämpfermitten hieraus ergeben.

³

Kämpfer)

⁴

1 1—8

gering sind) und die Eisen sind auf ca. 1,1 m Länge mit einander zu verbinden, und an den Enden werden sie umgebogen (die unverbundenen Eisen können zur Aufnahme von Schubspannungen (s. S. 41) nach unten abgebogen werden). Durch Verteilungseisen © 10 im Abstand von 50cm und Bügel © 8 mit demselben Abstand wird der Zusammenhang sämtlicher Eisen mit dem Beton erhalten (s. Abb. 64).

Für den Gitterträger, bei welchem der Zusammenhang mit dem Beton gleichfalls durch Verteilungseisen © 10 mit abgebogenen Enden an den Trägern und durch Zwischenlängseisen © 10 (netzartig) erhalten wird, erhält man am Scheitel nach II 1 (7) und (8) für Fe = 4 | 100-150-12 = 114,8 <Jcra, Ste — 114,8 • 31 = 3559, Je = 114,8 (31—2,42)² +

205022

+ 4 • 232 + 114,8 • 31² = 205022, c = 4 + h' = 4 tm, g₂ — 95 cm, ob = 40 kg, b = 100 x² + 3 • 29 x = ⁶ * ¹⁵ ' 114,8

cm

3559

114,8 , n — 15:

35cm, d' = 4 -f-

3559

57,6 cra, gx = - 29

cm

h = 66cm,

100

— (35 -f 29)

/ 2940,6 \ *

— 64

oder x² + 87 x + 6612 — 2•42900

303 823

(■ - 4)1

oder x² + 87 x = 103,32 •

= 0 und für x = 30 ist f (x) — — 5.

Ferner ist

100-30 + 2-15-114,8

85,800

(30 — 35) — 3 — 0,57

= 35,2 kg und für 90cm Abstand afc = 31,7 kg.

30

Auch hier kann der Gitterträger einen Teil der Belastung aufnehmen, indem für H = 26,1*: ot —

26100

114,8

= 227 kg und ob um

26100

)    ,    (²⁸) ,    C²⁸) /66    \

— = 3,7 kg kleiner wird, so daß oh = 31,5 kg, ce = 15 • 31,5    — 1 j + 227

(743)

= 795 kg ist.

100•70

Die Maximalzugspannung ohne Temperatureinflüsse ist am Kämpfer := + 10,4 kg und mit denselben == + 32,2 kg am Kämpfer und + 28 kg am Scheitel, und dieselben sind zulässig, weil nach den Versuchen mit Gewölben in Oesterreich (s. Handbuch für Eisenbetonbau Band 1) die Zugfestigkeit des Betons bei Gewölben von 20kg auf 40—50kg steigt, und auch die Maximaldruckspannung von 40 kgLcm ist bei Beton 1: 4 nicht zu hoch.

6. Berechnung des Widerlagers für das Eisenbetongewölbe.

Durch die Verbindung des Widerlagers mit dem Gewölbe vermittels der Eiseneinlagen ist anzunehmen, daß sich sowohl die Temperaturausdehnung als die Zusammenziehung desselben auf das ganze Bauwerk ausdehnt, weshalb am Kämpfer nur die halbe Temperaturspannung in Rechnung gezogen worden ist. Dies kann um so mehr geschehen, als die Temperaturänderungen nur in horizontaler Richtung einwirken und eine Verlängerung oder Verkürzung des Bauwerks veranlassen (auch bei Betongewölben wirkt die Zusammenziehung analog der Vollbelastung und sucht die Widerlager unten zu verschieben), und es kann daher auch von der Berücksichtigung der Temperaturspannungen bei der Berechnung des Widerlagers abgesehen werden.

Bei flachen Gewölben entsteht ein starker Horizontalschub, weshalb das Widerlager breiter werden muß, auch fällt die Resultante der Druckkräfte unter einem Winkel auf die horizontale Bodenfuge, der größer als der zulässige von 22⁰ bzw. tg p = 0,4 ist, weshalb hier eine Abschrägung der Bodenfuge notwendig wird. Dieselbe kann wie in Abb. 65 angenommen werden, und ihre Berechnung erfolgt für die ganze Projektion der Breite dg, da die Weglassung des Acdf auf der gezogenen bzw. weniger gedrückten Seite keinen wesentlichen Einfluß hat.

Zur Vergleichung der verschiedenen Wirkungen durch das Eigengewicht, die Vollbelastung und die einseitige Belastung des Gewölbes sollen die oben ermittelten Kämpferdrücke, und zwar sowohl die nach dem Elastizitätsgesetz berechneten als auch die durch Stützlinien bestimmten eingetragen werden, und zwar mit den Bezeichnungen e, v, l, r, sowie e, v, X, r, wozu noch die Kämpferdrücke der Maximal- und Minimalstützlinien max und min kommen.

Aus der ungünstigsten Belastung für die Verbindung der Kernpunkte in der Bodenfuge mit der Mitte der Kämpferfuge und ihre Verlängerung bis zur Kämpferdrucklinie geht schon hervor, daß nur die 2 Fälle der linksseitigen Belastung (bzw. die Maximallinie mit dem größten Horizontalschub) und der rechtsseitigen Belastung (bzw. die Minimallinie mit dem kleinsten Horizontalschub) in Betracht kommen. Im erstem Fall ist das rechte Widerlager und die Hinterfüllung mit Erde unbelastet und im letztem Fall ist beides belastet anzunehmen.

Die drei ausgezogenen Kämpferdrücke r, r und X zeigen, daß der nach dem Elastizitätsgesetz berechnete (r) wesentlich ungünstiger (nach links) wirkt als der mit der Stützlinie bestimmte (/), während für l und X das Umgekehrte der Fall ist. Es genügt daher mit den Fällen r (bei Nichtberechnung nach dem Elastizitätsgesetz auch r) und X zu rechnen, und ist durch letztem Fall auch die Verschiebung oder Drehung des Widerlagers durch Temperatureinflüsse usw. einigermaßen berücksichtigt, indem die berechnete Lage für l viel weiter nach innen liegt (auch die Maximal- und Minimallinien liegen noch innerhalb der Grenzfälle r bzw. r und X).

Zur Vergleichung sind auch die Werte Nx im Abstand c bei Berücksichtigung der Temperaturspannungen mit

— t und--— für die Zusammenziehung sowie die rechtsseitige Belastung r, und + t und -|—-

£ £

sowie die linksseitige Belastung l des Gewölbes eingetragen, indem im erstem Fall Nx — 68,6    (82,8)¹ mit

für die Ausdehnung

Mx

Mx = — 101,6 (— 67,55) mt und c

1,48 (— 0,82) m nach unten und im letztem Fall Nx = 115,6 (101,4)‘

mit Mx — + 64,6 (+30,55)mt und c =

= + 0,56 (+0,30)m nach oben aufzutragen ist. Doch müßte hierbei

(52,15)

auch noch Tx berücksichtigt werden, und es ist daher einfacher mit Vx — 69,5 *, Hx = 69,6 — 34,9 = 34,7 ‘ und

(17,45)

Bx = 77,7 ‘ bzw. mit Vx — 52,7 *, Hx = 69,6 + 34,9 = 104,5 * und Rx = 117 * zu rechnen, und hieraus die Lage von B zu bestimmen.

(17,45)

(86,9)

(87,05)

(101,8)

Zur Auftragung der verschiedenen Kämpferdrücke dienen die schon berechneten Werte von H, V oder R, wobei R = j/ H² + V² oder V = ]/R² — H² zu bestimmen ist, und man erhält hieraus nach dem Elastizitätsgesetz für r: H — 69,6 *, V = 69,5 *, R — \f69,6² + 69,5² = 98,4 * im Abstand — 0,35 m und mit Stützlinien für r : H = 77,8 *, R = 104,2 ‘, 7= ]/lÖ4,2² — 77,W = 69,3 ¹ und für V: H = 77,8 *, R = 93,6 *, V = y93~6²~^~77X^ = 52 ⁴.

Das spezifische Gewicht des Widerlagers 1:10 mit Hinterfüllung von Beton 1 : 16 ist = 2,2 und dasjenige der Ueberschüttung mit Erde = 1,8 anzunehmen, so daß die gestrichelte Linie der Reduktion des Erdgewichts auf das Betongewicht entspricht, und für die Belastung des Widerlagers und der Erdhinterfüllung kommt noch hinzu

= 1,3 (1,6) m (s. S. 41 Theor. Berechnung der Betoneisenkonstr. von Pilgrim 1906).

17

1,5.4-2,2 (1,8)

"i

TV

-1,6—>\

"H

0-%

>r

___I

LO

8, V5

<>

lÄ'

5.0m-L

Zis

/\

T~

-7,85—

7 \ V\\/W

^ i

H—*«^/^ —>l w i orvxx «- /

++4*\ jPV

i\ x ' WoT¹ /

V">

\N

— 0‘Z--->1

\\/w

Ä£

y£^

f+/

*v

7/

\\*°

i/l

HY\

\ \ ;

\ v

192 ¹⁹*

—^~ns

er—*jr

%7

V,X"

*■<-

\\

\\ X

\y

88,V-

ioo, Y

Abb.

zwar

Die vertikalen Lamellen des Widerlagers usw. können nun in ihren Resultanten zusammengefaßt werden, und entweder graphisch oder rechnerisch, und man erhält in Beziehung auf die Vertikale no:x₍₎ —

1,6 (5 + 1)

•7,95 +

2,6 (8,45 + 7,95)

0,6 (4,4 + 5,2)

• 4,59 —

• 0,62

«r¹«-

• 7,95 +

• 3,02 +

. 2,6    0,6.9,6    6-1,6    4,5 ■ 1X 86,2

+ ₂ • t-QA +    2^2    2    /

= 88,4 ‘ und die Schwerpunkte der Trapeze und Dreiecke haben sich aus den Formeln e = - - und e =

Man erhält nun den Erddruck auf den untern Teil des Widerlagers von 4m Höhe (im obern Teil gleichen sich die Erddrücke aus, und es kann daher die 4,3 m breite Ueberschüttung mit Erde als vertikale Belastung eingeführt werden) mit Hilfe der obengezeichneten graphischen Ermittlung (s. Theor. Berechnung der Betoneisenkonstr. von

Pilgrim 1906 S. 36 und 41), und nach derselben wird E =    |—

40,2

= 2,14rn.

Das Gewicht des Widerlagers ist = 40,2 • 2,2 =

CO

a+2& h

a-\-b    3

•— ergeben.

1,8 • 3,05 • 2,42

(Abrutsch-) fläche ergibt sich aus dem A ghm und dem Parallelogramm hi km oder E —

(5,25)

4 + 2 • 3,65

(E wird in diesem Verhältnis größer) = 7 • a • b

h +2 h'

— 1,8 • 3,05 • 2,42

2-4

(5,25)

4    3-3,65 + 4

= 6,64 *, und die Gleit-

¹    h i    j h’

— 7 • a • o + 7 • a «o • -j— = 18,7 (24)l. Der vertikale — 1,77 (1,82)m, wobei als Ueber-

. h 3 h! -\-li

Abstand des Erddrucks von der Unterkante ist — ——^ ^    • 2.3 65 +~4

(5,25)

schüttungshöhe 1,6“ angenommen ist, und auf das Widerlager noch eine Belastung = 4,3 • 1,3 • 2,2 = 12,3¹ kommt (der Schwerpunkt ändert sich für 2,15 statt 2,14m nicht).

Durch Zusammensetzung der verschiedenen Kräfte mit Hilfe der gestrichelten Kräftepläne ergeben sich nun die

Abstand des Angriffs-

Maximalspannungen aus 0

b-h

punkts für N von der Mitte ist, somit erhält man für r:a —

(l db -7—), wobei AT-L zur Bodenfuge gemessen ist, und e =

192000

100 • 658

= — 2,9 kg, für r: 0 =

194000

100•658

.(i±

6-28 \ _ — 3,7

— 2,2

162 000

6-96

kg und für l': a = sein, so müßte das Widerlager noch etwas nach hinten erbreitert werden.

658

100 • 658

658

_    4,6

— 0,3

kg. Sollte statt 5 kg nur 3 k*/

qcm

zulässig

YI. Berechnung von Rahmenkonstruktionen in Eisenbeton.

1. Vergleichung der Ergebnisse für verschiedene Berechnungsweisen derselben.

In der Zeitschrift Beton und Eisen, 1908 Heft 1, ist eine eingespannte Rahmenkonstruktion von Diplom-Ingenieur Abeies berechnet worden, und zwar als dreifach statisch unbestimmtes System (s. 1907 Heft 5 und 6). Zur Vergleichung soll nun die Berechnung des Rahmens nach den Formeln von Professor Mörsch für eingespannte Gewölbe durchgeführt werden, indem die Form der letztem eine beliebige sein kann, und daher dem obern Bogen des Rahmens, ja sogar einer Geraden entsprechen darf.

Werden die Maße des Bogens l = 8,2 m und f = 1 m beibehalten, und wird für denselben eine konstante Stärke von 20 angenommen, so erhält man aus dem Verhältnis der Trägheits-

= 4 für die beiden Ständer eine Stärke von 26

w m n i

K—7,7—-1,0-    -1,0-    -1,0—** E

i    -i—

i' u'

rrn.

cm

+ 8,2 m

v'

momente

cm

31.8

n.8x s

(oben) und 36 cm (unten), indem alsdann das mittlere Trägheits-

36³ . 26³

moment =

₁₂    2 = 2676 und

2676-12

u

Für die Berechnung soll jedoch eine konstante Breite der gewählt werden (indem

20³

= 4 ist.

Ständer von 31,8

cm

31,8³ • 12 12 ■ 20³

Abb. 66.

= 4 ist),

und ihre Höhe von 3 m zerfällt in zwei Lamellen von 1,5 m Länge, während der Bogen in solche von je 1 bzw. 1,1 m Länge geteilt ist.

Man erhält nun nach S. 43 der Gewölbeberechnung den Halbmesser des mittlern Bogens aus 2r* 1 = l² -f- 4,1²

(i,D

x    1

oder r — 8,9 m, während sin cp = und y' — 8,9 • cos cp — (8,9 — 1) = 1 — 8,9 (1 — cos cp), s —

(i.i)

1 — cos cp

cos cp

ist. Hieraus ergibt sich die folgende Tabelle:

Lamelle

21 — 6

0,5

1,5

2,5

3,55

4,1

4,1

sin cp

8,9

cos ©.................

y — 1 — 8,9 (1 — cos <p)

(i,D

s= l^cos*

COS Cp

0,0582

3° 13,4' 0,9984

0,99

1,002

0,2

0,1685    0,2809    0,3989

9 ⁰ 42,1' 16 ⁰ 18,9 ' 23 ⁰ 30,7 ' 0,9857    0,9597    0,9170

0,88    0,64    0,26

— 0,75    — 2,25

1,015    1,042

0,2

0,2

1,5

1,5

h³

J = 1~

12

0,00067

0,00067    0,00067

0,00067

0,318    0,318

0,00268 0,00268

1503

1523

1563

1800

560

560

XV

(es könnte auch mit ——- gerechnet werden s. S. 59)    1°^

2 X 7509 - 15018

5,0

5,1

5,2

6,0

4,7

4,7    2X30,7 = 61,4

Der Koordinatenursprung o ergibt sich nach S. 44 aus z • 2, w — 2 (1 — y') • w oder 0,01 • 1503 + 0,12 • 1523 + 0,36 • 1563 + 0,74 • 1800 + 1,75 • 560 + 3,25 • 560 _ 4892,5 * ~~    7509    w    ~    7509

ferner ist y — 0,65 — (1 —y) — y —0,35 (bei zu großer Zahl für w kann — oder - eingeschrieben werden, wodurch auch die folgende Tabelle einfacher wird).

= 0,65 m,

Hieraus erhält man nach S. 44 die folgende Tabelle zur Berechnung der Einflußordinaten für H, V und M in Beziehung auf das Koordinatensystem durch o:

Vertikale

Scheitel (1')

I' (2')

II' (3')

III' (4')

IV' (5') IV' (6')    2 1-6'

y = y — 0,35

0,5

0,64

t-t ©-

2,5

U)

1503

0,29

3,55 — 0,09

4,1

4,1

1523

1563

1800

-1,1 - 2,6

560    560    2 X 7509

=15018

Wx — W‘X Wy = W.y W•X² . . . .

752

962

376

2284

3908

6390

2296

2296

807

453

3426

9770

— 162 22 685

— 616    —1456

9414

u>-y².

616

428

131

15

678

9414    2 X 55085

110170 3786    2 X 5654

11308

llw^(a — x)

a

Einflußordinaten für

5753 + 964    4376 + 1781    2368 + 2 234    1,1*2072 +    0-2072    0*1456

₂ =4376    0,55*162 = 2368

962

6246

807

5753

453

i:

1-2

^■y⁵ + S 4(=1¹³⁶⁹>

0,550

0,516

0,386

0,209

_

2

11 wx (a — ar)

Einflußordinaten für 1-2.....

37 534 + 17 174 + ^Y = 55 084

F=

II'—IV' 2u>*a:² (=110170) II—IV

© cT

21 502 + 14 890    8566 + 10 982    1,4 • 4592 +

9984-    390S

+ ^ = 37 534 + ^ =21502 0,55*6390 = 8566

0,078 0,922

0•4592

0 * 2296

0,341

0,659

0,195

0,805

(1)

1 Iw (a — x)

Einflußordinaten für 1-2

11168 + 6006    5924 + 4483    2222 + 2920

+    = 17925 + ^ = 11168 + ^

1563

1,1 • 1120 +-

5924 0,55-1800=2222

0 • 1120    0 •560

M==

I'—IV' ... 2«>(=15018) II—IV ....

0,744

1,744

0,394

2,394

0,148

3,148

(4,1)    (4,1)

Hl'— 4' (1-4)

1'— 4'

-4'

fi-4

Einfluß-. ordi- < naten

CO CM CO O rfl O

cf © ©■

t— t— © ■*# © iH

HO t- co

CO t—

cf cf cf

© CO

© © co    h x

©    © cf

© o © Io "o © ©

t- CO

©_ zo cf co

r S5-"8_ SBS?«

X © co rToT 3

30

90

Bei gleichmäßiger Vollbelastung mit 0,6 {jm ist die Summe der Einflußordinaten für die Abstände 1 (1,1) mit 0,6*1 (1,1) zu multiplizieren, und man erhält:

H = (1,28 -f- 0,1 • 1,1) 2 * 0,6 = 1,67 * statt 1,645 *, V -■= (3 + 1 • 1,1) 0,6 = 2,46 ‘,

M = (8,12 + 3,69 * 1,1) • 0,6 = 7,31 mt.

Hieraus ergeben sich die Momente Mx — M + M₀ — H ■ y — V • x oder bei A Mi = 7,31 + 1,67 • 3,35 — 2,46 *4,1 = + 2,81 mt statt + 2,65 mt und bei C M₂ = 7,31 + 1,67 • 0,35 — 2,46 *4,1 = — 2,20 mt statt — 2,28 mt und in der Mitte E

Mm = 7,31

0,6 *4,1²

1,67 • 0,65 = + 1,18 mt statt + 1,12 mt.

Für eine Einzellast von 0,2 * in der Mitte E multipliziert man die zugehörige Einflußordinate mit 0,2, somit ist

H = 0,55 • 0,2 == 0,11 ¹ statt 0,093 \ V = 0,5 • 0,2 = 0,1 *, M — 1,194 • 0,2 = 0,24 mt, ferner MK = 0,24 + 0,11 * 3,35 —

—    0,1 • 4,1 = 0,20 mt statt 0,137 mt, M.₂ = 0,24 + 0,11 • 0,35 —

—    0,1 *4,1 =-0,13 mt statt —0,142 mt, Mm = 0,24-0,11 • 0,65 =

^    — 0,17 mt statt 0,175 mt. Die Berechnung des Winddrucks von

0,15 tjm auf den Ständer AC soll später berücksichtigt werden.

Für den rechteckigen Rahmen mit geradem Querbalken und denselben Stärken von 0,2 m und 0,318 m erhält man gleichfalls _ richtige Werte, wie eine Vergleichung mit der Annahme eines kontinuierlichen Trägers von drei Oeffnungen (welcher durch Aufklappen der Ständer nach oben entsteht) sowie mit den Formeln von Müller Breslau (s. die neueren Methoden der Festigkeitslehre 1904) zeigen wird.

K * rn

PThT ;T T'T'Tfl 1

SfZ^TW------------------------------>i

C(P

—3,0-

Abb. 67.

Die Berechnung soll in derselben Weise wie oben ausgeführt werden, und man erhält alsdann die folgende Tabelle:

Lamelle

©~ ^ ©-

Ci

Ci

Ci

I--

N>

3,55

4,1

1,5

4,1

1,5

0,2

0,318

0,318

1 • h³

12

0,00067    0,00067    0,00067

0,00067

0,00268

0,00268

1500    1500

1500

1650

560

560

5,5

4,7

4,7

2 X 7270 =14540

2 X 29,9 = 59,8

Hieraus erhält man wieder z — folgender Tabelle:

0,75 ■ 560 -f- 2,25 • 560

7270

= 0,23 m

und die

Werte für H. V und M aus

V ertikale

Scheitel (1')

I' (2')

II' (3')

III' (4') IV' (5') IV' (6')

2 1' — 6'

© © tH

Sp.m

8^°’

2,5

3,55

4,1

4,1

0,23

0,23

1500

1650

— 0,52    — 2,02

560

560

2 X 7270 =14540

u>x

750

2250

3750

5858

2296

2296

Wy

iv x²

W’IJ

345

375

345

345

380

— 291    -1131

3375

9375

20794

9414

9414

2 X 52747 105494

u>y²

79

79

79

87

151

2285

2 X 2760

5520

2

1 2wy (a — x)

a

2749 4-325    2224 4-697

345

2928

345

2749

1355 4-1042    1,1-1422 —    0-1422    0-1131

2224 0,55-380=1355

345

Einflufiordinaten für

1.2.....

//=

0,525

2 u>-y²    — 5580)

0,492

0,398

0,242

__i_

1 2wx (a — x) ............ 35923 4-16450    20598 4-14200    8273 4-10450    1,1-4592 4-    0 - 4592

4-1^ = 52748 4_ 2250 _ 35923 -f = 20598 0,55 - 5858=8273

J    A

0,079 0,921

Einflufiordinaten für 1-2.....

1' — IV' 2tv‘X* ( = 105494) (I —IV

0,500

0,500

0,340

0,660

(1)

0•2296

_

2

1 2 w (a — x)

10680 + 5770 17200

1500

5660 4- 4270 10680

1500

2140 -f 2770    1,1 • 1120 +    0-1120

5660 0,55 -1650=2140

0-560

1500

Einflufiordinaten für 1-2

2u> (= 14540)

I —IV' . I — IV .

0,734

1,734

P

05 'üS cc CO co co

0,147

3,147

(4,1)

(4,1)

H T — 4' (1 — 4)

1' —4'

V

1 — 4

0,32

0,14

2 X 1,39

0,87

M 1 —4' *1-4

Einflufi

ordi

naten

.0,86

3,13

4,0

0,96

1,46

O Ol

0,27

2,77

05 O

1,86

9,91

11,77

Bei gleichmäßiger Vollbelastung mit 0,6erhält man daher:

H — (1,27 + 0,12 • 1,1) • 2 • 0,6 = 1,68 *, V = (3 + 1 - 1,1) • 0,6 = 2,46 *, M = (8,08 -f- 3,69.1,1) • 0,6 = 7,28 mt, und hieraus ergibt sich bei A:MX = 7,28 + 1,68 • 2,77 — 2,46 • 4,1 = 1,85 mt und bei C:

M₂ = 1,85 — 3 • 1,68 = — 3,19 mt, M — 7,28 — 0,6 • ~

u

4,1²

— 1,68 • 0,23 = 1,85 mt

qP

qV

ca.-— und -—1. 13    22/

Für eine Einzellast von 0,2 * in der Mitte E ist H— 0,525 • 0,2 = 0,105 *, F=0,5 • 0,2 = 0,1    1,182 • 0,2 =

= 0,236 mt, Mx = 0,236 + 0,105 • 2,77 — 0,1 • 4,1 = 0,117mt, M₂ = 0,117 — 3 • 0,105 = — 0,198 mt,

Die Bestimmung von W erfolgt später. Zur Vergleichung

/ PI

Mm = 0,236 — 0,105 • 0,23 = 0,212 mt I

PI

8,3/

soll nun der rechteckige Rahmen nach Professor Häseler (s. Brückenbau S. 336) als kontinuierlicher Träger berechnet werden, indem die untengezeichneten Momentenflächen in beiden Fällen gleich sind, und auch die Durchbiegung in dem oberen Balken eine entsprechende Durchbiegung in den Ständern hervorruft. Hierbei können noch die Punkte A und B mit Gelenken versehen oder eingespannt sein, wofür der an den Enden frei aufgelagerte oder eingespannte kontinuierliche Träger mit drei Oeffnungen anzunehmen ist, wie dies aus den Doppellinien für die Momentenflächen der äußern Oeffnungen hervorgeht.

7,8

Zur Entwicklung der nötigen Formeln dient nach den Professoren Mohr (s. Techn. Mechanik des Ing.-Vereins Stuttgart S. 239, 241) und Weyrauch (s. die Berechnung der kontinuierlichen Träger S. 7—9) die Ableitung der Clapeyronschen

, welche dem Seilpolygon der Momentenfläche M mit

Tr

Trn

M----------lr-------»4<----------W+1

1

■oJ

Mrlr

My+z ■

2t

Z‘~.

¹'z

r+1

r+2

Abb. 68.

S ^TLr+ylr+y

JE

Mi

l

(V

Mz ,

(2)

i+i

13) (t)

oc.

---lr---------------ly. y. ,

JE

Abb. 70.

Abb. 69.

Man erhält daher für die gleichförmige Belastung qr und qr+l mit den Biegungsmomenten =

_ <lr+\ l r+1

und

aus den Resultanten der Momentenflächen in Beziehung auf A:

(1)

— JElr-tga--|'r

M.L lr M

und in Beziehung auf D:

(2)

0 = —JEl

■^r+^Jr+l

r+l

05 I fcO

w /

*ylr+l "r+t

r+1

und bei Berücksichtigung der Momentenflächen für die Einzellasten P:

~JJe{Mt lr +2Mi

6 JE ^ '^r+l ^+1    J^‘+2 ^r+l

(3)

(4)

(5)

tg a =

tga = -f

r+1

~2P • a(lr — ä) (lr +a)~ 2Wr lrj

1 r+'

r+l

und

2 P-a(lr+i—a) (2 lr+l — a) — 2 lr+i

)•

Bei Gleichsetzung von (3) und (4) erhält man hieraus die Clapeyronsche Gleichung (wenn M negativ eingesetzt wird):

^-2 P-a(Pr — a²) — y^— r+iP-b(lr+\-V)-E+1

+ ²Mr+l {lr + lr+i) + Mr+2lr+l —

lr

— 2 9«r/r — 2 m

Bei Eingespanntsein ist dagegen für die (lr+l entsprechende) erste Oeffnung und die (lr entsprechende) letzte Oeffnung tg a = 0 zu setzen, so daß bei n OefFnungen die Vertauschung von r+l mit 1 und von r mit n vorzunehmen ist, und hieraus hervorgeht:

2Mili±M₂l₁

r+t "r+l*

(6)

(7)

— ~2Pb (ll-b²)- 2WJ MJ„ + 2M„..ln = -±2P-a(.P„-a')-2WJn

(worin b von rechts her und a

von links her gilt).

Bei verschiedenem J der einzelnen Oeffnungen sind die für jede Oeffnung erhaltenen Ausdrücke mit dem

zu-

gehörigen J zu dividieren, indem dann die Momentenflächen den Werten -=r- entsprechen, und zwar sowohl die posi-

tiven als die negativen (ist J in einer Oeffnung nicht konstant, so kann der Mittelwert werden).

Hieraus ergeben sich alsdann bei drei Oeffnungen mit eingespannten Enden die folgenden vier Gleichungen mit vier Unbekannten, worin die rechtsseitigen Ausdrücke in (6) und (7) mit n und m bezeichnet werden können (s. Abb. 70):

C\ + C2 4" • • •

genommen

GO

(10)

M, l

2M₁+M₂ = -^-, (9) J#₃+.2Jf₄ = -

+2 #'(j; + 7j + M> ■

(das konstante J fällt hier fort).

J₂ ~ ltJ

2WJ, _

--2Pb(P₂—b²)-

Pi

f:

«V

MA + ₂ M^f + lf) + M, ■

h₌__

J₃ l₂ J₂

2 1₃^3

— \Pad\- a‘) -

2 3»₂Z₂

J₂

m₂ n₃

t₃~t₃

und bei Einsetzung der Werte von Ml und Mi aus (8) und (9) in (10) und (11)

1,5/

(12)

•(

2l₂

M₃l₂

2 m, — nx n₂

J2

und

(13)

m₂

2 n₃ — tn₃

, worin allgemein

(14)

(15)

mr= ~ 2 Pa (Zr² — a²) -f- 2 lr und nr = -j- 2 Pb (Z² — b²) -f- ² 2».r lr für die Oeffnung r ist.

Bei Einsetzung von /, = l₃ = 3m, l₂ = 8,2m, p₂ = 0,6    5»₂ =

der Mitte ergibt sich für J, = J₃ — 4 J₂ aus (12) und (13):

r— ipbdl—i’) =

bzw. = —

l₂

0,6 • 8,2²

= 5,04 mt und P = 0,2 ¹ in

— 2 m₂ l₂ = — 2- 5,04 • 8,2 = — 82,65

0,2 • 4,1 (8,2² — 4,1²)

8,2

= ~ 5,04,

M₂

m₂

j = - 2 m₂ l₂ = - 82,65

bzw. = — -y- 1’ Pa (Z² — a'²) = — 5,04

und hieraus (bei Multiplikation mit 4): M₂ — M₃ = —

(20,2)

(70,1 — 32,8) • 330,6

(20,2)

330,6

70,1² — 32,8²

102,9

(0.196)

= — 3,21 mt.

bzw. =

— 0,196 = 0,214mt.

(0,196)

Ferner ist nach (8) und (9): Mx = Mi =

£

0,2.8,2

(0,098)

= 1,605 mt, Mm — 5,04 — 3,21 = 1,83 mt

Bei Vergleichung mit der Berechnung auf S. 54 erhält man daher Mx = 1,61 statt 1,85mt, M₂ — — 3,21 statt — 3,19mt, Mm = 1,83 statt 1,85mt bzw. Mx == 0,098 statt 0,117mt, M₂ = — 0,196 statt — 0,198mt, Mm — 0,214 statt 0,212mt.

Die Belastung der Oeffnung 1 mit horizontalem Winddruck stimmt weniger überein, und es sind daher obige Formeln nur für die vertikale Belastung des obern Balkens zu verwenden, so daß nur n₂ und m₂ in Rechnung zu ziehen sind.

Die Berechnung des horizontalen Winddrucks kann dagegen nach dem Verfahren von Professor Müller-Breslau erfolgen, nach welchem auch die 2 obigen Berechnungen des rechteckigen Rahmens für vertikale Belastungen geprüft werden können.

Man erhält nach S. 124—126 (s. neuere Methoden der Festigkeitslehre 1904):

h'-h

Z+2Ä/ —

y = A.ä= *

J\

4’

⁴('+4)

3²

4 (8,2 + 1,5)

= 0,23 m wie oben.

Ferner ist die Momentenfläche Fa — — •

3

3 F₀

2 0,6 • 8,2²

• 8,2 = 27,5 bzw. =

0,2 • 8,2 8,2

ergibt sich FL — X —

h (2 l + h')

(1,68)

3-27,5

(0,098)

³(²-⁸>²+x)

(0,105)

= 1,60 statt 1,68

— — 1,68 und hieraus

Jj

und für G = l -f 2 h⁴ = 8,2 -J- 2 • — =

4

= 9,7 ist Z =

(0,098)    2

= - 1,60 - y. 3

(0,098)

1,60 - 3

(0,098)    2

= 1,60 sowie M₂= — // • — h —

ö

F₀ 27,5 (1,68)

G    9,7

(0,196)

= —3,20, somit fast genau wie bei der kontinuierlichen Berechnung mit 1,61 und —3,21.

~ 2,83 (0,173) und Mx

(0,098)

(0,196)

2. Berechnungsweise der Rahmenkonstruktionen nach Professor Dr. Müller-Breslau.

Die Grundlagen dieser Berechnungsweise entsprechen denjenigen für die Berechnung der eingespannten Gewölbe, indem für den an seinen Enden eingespannten Stabzug mit festen Ecken nach S. 119—131 dieselben Formeln gelten,

wie sie auch bei der Gewölbeberechnung nach Mörsch angewendet worden sind.

Bei der letztem fällt nur das konstante Jc im Zähler von w ~ ds' =

weg, und die Formeln auf S. 122 lauten dann gleichfalls:

SM,yw y — JX xw

jy*w J    jx*w

Der einzige Unterschied besteht darin, daß M₀ verschieden aufgefaßt werden kann, indem nach Mörsch nur die linksseitigen Lasten des Querschnitts für den links frei ausladenden Balken zu rechnen sind, und nach Müller-Breslau ein ergänzendes A₀, B₀ und H₀ hinzukommen kann, wie dies in Abb. 71 veranschaulicht ist.

Jc • ds

•y

JT

B.A.

Abb. 71.

und Z =

SM„w

)w

Nach derselben kann ein ganz beliebiges System von Stäben und Kräften P durch ein bei A angenommenes bewegliches Auflager statisch bestimmt gemacht werden, so daß aus der Resultante R und ihren Abständen ra und rh

__R-rh

von A und B die Größen A₀ =

R-ra

, H₀ — R • cos a hervor-

+ <£_

gehen, welche zu obigen Werten von X, Y und Z hinzukommen.

In Abb. 72 sind daher die Kräfte X und Y und das Moment Z für die

Einspannung bei A und B angegeben, welche für sich im Gleichgewicht sein müssen und mit Hilfe der obigen Elastizitätsgleichungen bestimmt werden, so daß bei C: M = M₀ — X • y — Y • x — Z erhalten wird.

Nach dem Verfahren von Mörsch kann dagegen das Ende A als frei ausladend angenommen werden, so daß an dieser Stelle nur X, Y und Z wirken, und für M₀ nur das Moment der linksseitigen Kräfte (ohne A₀) zu berücksichtigen ist, und es ist dies häufig einfacher, wie es auch die Berechnung des horizontalen Winddrucks auf den Rahmen nach Müller-Breslau (S. 130) zeigt. Auch die Verlegung der Kräfte X, Y und des Moments Z in den Koordinatenursprung o, für welchen die Werte (yds fxds fxyds

JV“’J ~T’J

Yk

PA

-//

Mou

Abb. 72.

* "*77777

V77.

= 0 werden, ist bei beiden Berechnungsweisen gleich, so daß die statischen Momente des Stab-

g

~Y in Beziehung auf die cc-achse und die y-achse sowie das Zentrifugalmoment desselben = 0 sind, und der

S

Punkt o der Schwerpunkt des Stabzugs -y sowie x und y Hauptachsen sind (bei symmetrischem Stabzug fällt die y-achse mit der Symmetrieachse zusammen). ^

zugs

4-07

Abb. 73.

Es sind nun die Summenausdrücke Tx =

yds

Trägheitsmomenten des Stabzugs entsprechen.

CO

T>=J

C x¹ ds

und G —

ds

zu berechnen, welche den in Beziehung auf die x- und y-achse sowie dem elastischen Gesamtgewicht desselben

Bei Zerlegung des Stabzugs in prismatische Teile von konstantem Querschnitt erhält man in Beziehung auf eine

£-«*(?? + y^ y2 + yl)> indem ~

beliebige Achse T — f T — T .    ,

y _ y J Vi J /sin aj yt

= sin a = —-— ist (wenn yt oder y₂ negativ wird, so ist das obere Vorzeichen zu wählen bzw. y mit seinem

y₂ y²ds

y*y²dy =

y\±y]

J (y₂ i)

Vorzeichen einzusetzen).

ft

—    • y*

Eine Vereinfachung der Berechnung ist nach S. 123 und 125 durch die Bestimmung von - ⁰ j-—-

• Op dl s F • ii/    jp⁷    «y **

n --= —⁰ . *■ und von -J- gegeben, und die beiden erstem entsprechen den statischen Momenten des

(s. Abb. 73). <BX und <&;J sind alsdann die Summen

in Beziehung auf die Achsen x und y, so daß man erhält

v K

unterhalb des Schwerpunkts S vereinigten elastischen Gewichts der statischen Momente aller Gewichte

, r=

’ Z G V

(Die vorstehenden Teile von Stäben sind in diesen Summenausdrücken nur insofern zu berücksichtigen, als sie die Momentenflächen Fn der Mn ändern.)

Die allgemein gültigen Formeln lassen sich nun auf Sonderfälle anwenden, und zur Erläuterung soll zunächst der rechteckige Rahmen berechnet werden.

I    h    F

Die oft vorkommenden Ausdrücke -y, -j, —S- sollen hierbei mit V, K, F' bezeichnet werden (das Jc im

J    J    J    l    fr

Zähler kann alsdann wegfallen), und das Gewicht des Balkens ist V = -y und der Ständer h' = --- so daß G = l'+2h' wird.    ^2    .    W3/

_X_

Tx

hh'

h

In Beziehung auf CD ergibt sich der Koordinatenursprung 0 aus z₀ • G = 2 h' • — = h • h' oder z₀ =

OI/J2    2    L + Zn

ferner ist Tx= T— G • z\ = ———--z₀ • h • h' (aus obiger Formel für y^ = 0 und y — h), und für hh' =

o ^    Ji 2    (*/v^d%    2 V 7^

= «o {l'+ 2 h') wird Tr = ~ hz₀ {V + 2h') — z₀-hh⁴ =    (2 l' + h'), und ebenso ist Ty = — =    ^ +

+ 2Ä'^—^    (ü'-f* 6 /&'). Hieraus erhält man alsdann X =    ^ (2/'4- /p) * ^    ~ g und Z =

F' X 0

r<-----

----N,---

----- Ni

:i\

¹ **

! h--RN--4-----l- i '

'-''Üv

IT

ca

-----

7 V a'»->

p.

rH

li

4,

V vfnffiTTTTrrrr^

Sh---*

Mi

=a/}

“*}

f'

’t?

'90°Z

v\

i -4

i Li__

H—~

rr

Abb. 74.

iJ

IT'⁰'

\\l

iJ

Abb. 75.

Die Lage der Kämpferdrucke und ergibt sich aus der Momentgleichung X• LL⁴ = X• zn — Z (für das

Gleichgewicht von X\ Y und Z) oder LL' = zu--y- = zu —

A

e • T

T,

der bei

liegenden Resultante R ist tg ß = ö

z₀ • G

T — zu —

/2 h \3”

^ = —. Der Neigungswinkel

l² (1V + 6 h') 4 h (2 V -j- h')

konstant ist. Die gra-

X    • Ty

phische Bestimmung von Ka und Kh ist aus Abb. 74 ersichtlich, und es wird Ma = + H • za, Mc — —H • zc, Md — — H • zd, Mh =4- H ■ zh, so daß die Momentenflächen an den vier Ecken hierdurch bestimmt sind. (Die Richtung von H ergibt sich aus Abb. 72, da H₀ = 0 ist).

Für Einzellasten P im Abstand c von der Mitte gelten dieselben Formeln, nur wird die Momentenfläche

Prarl

P-a-b

I-

bzw. bei außerhalb liegender Einzellast F₀ —

und der Schwerpunktsabstand ist

bzw. so daß c bzw. 3    6

der Länge 3 v entspricht und der Schnitt S bzw. S' der Kämpferdrucke Ka und Kb aus

A₀ P-b .

= -a=jrs und

P-a

erhalten wird. Bei Einsetzung von H — X und des Werts für FQ in X

2h,

•(2 l'+ h'), so daß die Parabel durch S mit dem konstanten Abstand n von der Richtung R der Kämpferdruck- oder £-Linie entspricht. Bei außerhalb liegendem erhält man ebenso A₀ = und es gilt hierfür derselbe Wert von n, welcher zugleich den Endpunkt der Parabel für die $-Linie auf AC bestimmt.

~ H PH

ergibt sich n =

PLlh

und B₀ = —

P\ * a\

Die Momentenflächen des Balkens CD sind durch die schraffierten Flächen dargestellt, und die Ordinaten z des Linienzugs MSN bzw. MiSlN₁ ergeben mit H multipliziert die zugehörigen Momente, während diejenigen für die Ständer wie oben bestimmt werden (für Pi ergibt sich das entgegengesetzte Vorzeichen).

Bei der Berechnung für die Einzellasten P und Pi wurde mit den Auflagerdrücken A₀ und B₀ für den statisch bestimmt gemachten Rahmen gerechnet, indem hierbei keine Horizontal kräfte vorhanden sind, für welche nach S. 130 bei B Eingespanntsein und bei A freie Beweglichkeit angenommen wird (wie dies auch bei der Berechnung nach Mörsch der Fall ist), so daß nur der Ständer BD durch das Moment M₀ der linksseitigen Kraft P beansprucht wird, und X, Y und Z die Einspannung des Endes bei A bewirken (s. Abb. 76 rechts).

p. p

-— mit dem Schwerpunktsabstand zu — —, so daß

*    l Phh'l    ⁶

und <&y — — Fq • — =    —-- ist, und hieraus erhalten wird:

Das Dreieck für M₀ hat den Inhalt F₀ — —

p-hhL(z _ A\

2    \ ”    3 /

Ph²h 7

2 y zu

CO

Tx

zo * ⁻ö~ (2 l' -f- h')

(da Js = «7j ist), Y —

<&y_ Phh'

Phh'

CO

(l' + Gh')

F'₀

Z== öt 2 (l'Y2h'y

Die Momente an den 4 Ecken sind dann (die Drehung im Sinne des Uhrzeigers ist positiv):

M-a —— X • zu —

Y-l

2--Z, Mc = -X-z₀-

Y-l

Yl

Yl

Md=-X-z₀ + ~-Z, Mb=X-zu + ~-Z-Ph.

+!/

1.06 t 20r

^ j- - "5    0

i«'*“

<—Z, 05 - ^K- -2,05 —\-2,05- - 4*- - -2,05

\k

—8,2-\Y-----

-oN“

-----—->

I -*J 7/ U— U-S8*1 V--z,os--^—2.05-^4fr------<“,7------

//T77777 -

aJT”'2

___t ui____

_____l

SS

KS7-I -*| 68 i*- I U------4,7-------2.0S~^

Abb. 77.

Abb. 76.

p h² h _p h³

~2~’ T ’

Wird der Ständer A C gleichmäßig durch den Winddruck pj^m belastet, so erhält man die Momentenfläche aus

7) * 2/^    V li¹

, und diese Gleichung entspricht einer Parabel mit der Endordinate so daß F₀

Jl    ^

und der Schwerpunkt bei — Abstand von A liegt (s. Abb. 76 links).

Hierfür sind in derselben Weise wie oben die Werte von X, Y und Z auszurechnen und bei Vertauschung von A mit B und C mit D gelten auch dieselben Momente der Ecken, so daß Y nach unten gerichtet ist. (Will man X, Y und Z so annehmen, daß B das bewegliche Ende darstellt, so ist auch der Drehsinn zu ändern.)

Wird statt des geraden Querbalkens ein Bogen angenommen, so kann in dem obigen Beispiel statt des Bogens ein Polygon (s. Abb. 77) gesetzt werden, wobei das Verhältnis J₂: J{ — 1:4 beibehalten werden soll.

Der Punkt o ergibt sich dann für die Bogenhälfte in bezug auf E aus: 2,06 0,6 • 2,2 1 ⁺ 1

^F:G =

0,1-

+ ²’⁵4M-rL + ?r + T)

3,40

Ferner ist das Trägheitsmoment in

_ ₉ j M Mi . Mi

Ml 3 ⁺ 3 • 1

xHs _ f 2,06    2,05² ,

²ri r~ ⁺

(0,8² -f- 0,8 •

4- Cd

¹ CD

Oi

Tx =

Ai⁵¹

co O

= 0,68 statt 0,65 m.

auf die «-Achse: l — 0,32² • 2 • 5,01 = 7,76 und in

— 0,32 ²-G —

cd*

(2,05²+ 2,05 • 4,1 +4,1²) -f--i • 4,1²| = 74,14. Zur Vergleichung erhält man

aus den Tabellen auf Seite 52, 53 bei Division mit 1500 : '!wy² = 7,54, 'livx² = 73,45 und zw = 10, und die Berechnung wäre bei Einsetzung der Verhältniszahlen 1 :4 für J dort einfacher geworden, und sie wurde nur mit Rücksicht auf die allgemeine Anwendung für verschiedene J mit dem zugehörigen h berechnet (die Verschiedenheit für Tx und Ty rührt von der angenäherten Berechnung mit Lamellen und von der Ersetzung des Bogens durch ein Polygon her).

Zur Vergleichung der Resultate beider Berechnungsarten, sollen nun die Momente für die vertikale Belastung mit 0,6 tjm bzw. 0,2 ¹ in der Mitte für das obige Polygon berechnet werden, und man erhält hierfür Tx — 7,76, Ty — 74,14,

er = 10, z₀ = 0,68, M = 0,41 • 8,2

bzw. =

== 5;04 mt bzw. = 0,2 •    = 0,41 mt und F₀ =

= 1,68. Für das Polygon ist F₀ über den Seiten desselben zu bestimmen, und zugleich der Schwer

0,6 • 8,2²

Oi to

• 5,04 • 8,2 — 27,55

punkt der Teilflächen zu ermitteln, und erhält man aus Abb. 77 die Schwerpunktsabstände

7,74    /    1,72

(3,78 • 2,05) • 1,025 +11,26 • 2,05 •

cc t c

CO CO

•2,05

9,27

11,92

7,74 + 1,72

9,46

= 0,98 m und =

(5,04

13,78

•4,1 •

13,78 — 9,46

4,32

= 2,76 ¹¹¹ und hieraus ys = 0,9 — 0,32 = 0,58 m und = 0,52 — 0,32 = 0,20 m, sowie H = X =

_ Fj ■ y, _ 2 (9,46 ■ 0,58 + 4,32 ■ 0,20)

7,76

(1,645)

= 1,64 statt 1,67 \ Y =

2 (9,46 • 0,98 +4,32 • 2,76)

74,14

= 0,57*,

- ₌ Zo. ₌ ¹³>⁷⁸ • ²

= 2,78 mt. Der Abstand LL' ist ferner = zu--x~

(2,65)

= H ■ za — 1,64 • 1,62 = 2,66 statt 2,81 mt, Mc

2,78

10

— 1,62 m somit Ma = (2,28)

— H- zc = — 1,64 • 1,38 — — 2,26 statt — 2,20 mt, Mm =

1,64

(1,12)

= 5,04 — 1,64-2,38 = 1,14 statt 1,18 mt.

Für die Einzellast von 0,2 t erhält man xs =

(^••0,205 + ^1. M«)

0,63

: (0,205 • 2,05 • 1,5) = 0,91 m

und = Z • 2,05 = 2,73 m sowie ys = 0,91 —0,32 = 0,59 und = 0,54 — 0,32 = 0,22 und hieraus H = X =

O

<5X __ 2(0,63.0,59 + 0,21-0,22)

— T —

X

2(0,63 + 0,21)

ZJ ———--

7,76

(0,093)

= 0,108 statt 0,11 *, Y —

10

= 0,168, LL\=zu--

= 3,32 —

©y _ 2(0,63-0,91+0,21.2,73)

y

0,168 0,108

74,14

= 0,031t,

= 1,77 m somit Ma = 0,108 • 1,77 =

(0,137)

(0,142)

(0,175)

= 0,19 statt 0,20 t, Mc = — 0,108 • 1,23 = — 0,13 statt — 0,13 t, Mm = 0,41 — 0,108 • 2,23 = 0,17 statt 0,17 *.

0,15 - 3³

Für den Winddruck erhält man F₀ =

l 0,675

= 0,433, By = F₀--

. 0 _ 0,675 Z G 4-10

Ma =0,056 • 3,32 + 0,009 • ^ — 0,017 —

21

f:

• 4,1 = 0,690, somit X =

₆    = 0,675,    (*.-

6, 0,433 Tx 7,76

0,675

(3,32 — 0,75) =

(statt 0,094)

= 0,056 t, Y= jyf

0,69

7

?/

74,14

0,009,

= 0,017 und hieraus für 0 über CD und das nach unten gerichtete + (s. Abb. 76):

0,15 • 3²

0,469 mt, Mc = 0,056 • 0,32 + 0,009 • ^ —0,017= + 0,038 mt,

Md = 0,056 • 0,32 — 0,009 . ^ — 0,017 = + 0,036 mt, Mh — 0,056 • 3,32 — 0,009 •    — 0,017 = + 0,132 mt statt

der Werte Ma = — 0,308 mt, Mc = — 0,026 mt,Md = — 0,127 mt, Mb = 0,287 mt, auch ist Mm = — 0,056 -0,68 — — 0,017 = — 0,055 statt + 0,028mt (beim Hinaufrücken von X und Y für den Winddruck P Uber CD würde auch auf S. 59 das Vorzeichen von X für Mc und Md positiv werden.)

Die Zusammenstellung der Biegungsmomente ergibt daher: (die negativen bewirken an den Ecken außen Zug und die positiven das Gegenteil)

Ma = 2,66 4- 0,19 (— 0,47) = + 2,85 *+ Mc = — 2,26 — 0,13 (+ 0,04) = — 2,39 ”+ Md = — 2,26 — 0,13 (+ 0,04) =

= — 2,39rat, Mb = 2,66 + 0,19 (+ 0,13) = + 2,98mt, Mm = 1,14 + 0,17 (— 0,05) = + 1,31mt.

Hieraus erhält man nach 4 li (s. Heft 4, 1906 der Hannoverschen Zeitschrift bzw. den Sonderabdruck desselben)

in der Mitte: x = V

¹ 7 bob

h = IS⁰“:/), =    -10,6 = 8,3 ⁽icm, so daß 10©12 = 11,3 qcm reichlich genügen (s. S. 12).

±0

6 • 131 000

7 • 100 • 40

5,3cm, h = — x = 14,1cm, fe =

bx_100 • 5,3

50

50

= 10,6 <icm und für

6 • 239 000

Bei C und D soll 26cm Stärke angenommen werden, so daß x =

= 14,34 *icm und für h = 23cm :fe = -ZZ • 14,34 = 11,9 <icm erhalten wird, somit

7•100•40

= 7,17

cm

t’⁷-¹⁷ =

100 • 7,17

= 19,1 genügen 12012 = 13,6 <icm.

Bei + und B ist eine Stärke von 36cm angenommen, und man erhält hierfür x =

100 • 8,0

cm

6 • 298 000

7•100 • 40

= 8,0 cm,

*= — 8,0 = 21,3«», fe =

gleichfalls 12012 ausgeführt werden können.

50

= 16,0 <Jcm und für h = 33em: fe =

21,3

33

16,0 =*10,3<jem, so daß hier

Die Anordnung der Eiseneinlagen ist aus Abb. 78 ersichtlich, und dieselben sind in das Fundament hinabgeführt und durch horizontale Verteilungseisen 06 verbunden. Die Berücksichtigung des veränderlichen statt konstanten Querschnittes des Bogens und der Ständer hätte in den Tabellen auf S. 52 und 53 geschehen müssen, sie kann aber hier vernachlässigt werden, da sie jedenfalls kleinere Momente ergibt. Auch die vertikale Belastung bei A würde nur die Zugspannungen reduzieren, und ist hier nicht bedeutend.

w .zzr K

2 $12

10$12

... {) »

0% r/

12 012

pö,5 =j=0,5*J— fl* --7,0-oje- 7,0-4>

I I } 7--7»J__4-1

S 619.

r-T

----2,0----***77,5

Si

»I

2,5

-—~i/M

*---\----2, fl-----4-si-------2,8---

⁶² \    I    I

r=10ui

Y////7

77?.{

5020

'S

iü

CG

Zi 08

1012

in

>>

o>

Abb. 78.

Abb. 79.

3. Beispiel der Berechnung einer eingespannten Straßenbrücke aus Eisenbeton.

Als weiteres Beispiel folgt eine Straßenbrücke, welche bei A und B eingespannt ist, weil die mittlere Stärke von 40cm sonst zu schwach wäre. Die gestrichelte Linie entspricht der Mittellinie des angenommenen Balkens, welcher durch Einteilung in Lamellen und durch Ersetzung mittels eines Polygons berechnet werden kann (s. Abb. 79).

1 • h³

w = 7’

Für die erstere Berechnung sind die Werte von x, y', s, h, J —

= aus der Abbildung

zu entnehmen, und hieraus sind die Produkte wx, wy, wx² und wy² zu bilden, welche in die Summenausdrücke

1 2w {a — x)

jj._1 • 2wy(a— x)

2wy> + 2y’

V und M zu erhalten.

Hieraus ergibt sich die folgende Tabelle:

12wx(a — x)

2wx²

und M =

einzusetzen sind, um die Einflußordinaten für H,

21-7

Lamelle

1-h³

12

P l"¹ P

Ul

H»

©'

O (M

^ CO CO IO

oT cT cT cT

lO o t>- IO

o ^ c* co o cT ©

0,0053    0,0062    0,0131    0,0716

0,0965    0,2956    0,3256

3,3

188,7    161,3    62,6    6,6

6,0

3,9

3,5

2,5

2,4

1,5

0,5

0,6

0,8

0,7

2 X 432,6 = 865,2 2 X 9 = 18

Hieraus erhält man den Abstand des Koordinatenursprungs o von E aus: z-2w — 2(1,1 — y')'W oder:

= 0,14m, ferner

0,03 • 188,7 -f 0,1 • 161,3 -f 0,25 • 62,6 + 0,4.6,6 + 0,81 • 6 + 1,675 • 3,9 + 2,825 • 3,5 __ 61,4

432,6

ist y — 0,14 — (1,1— y) == y' — 0,96.

432,6

Zur Berechnung von H, V und M ist dann folgende Tabelle aufzustellen:

Vertikale

Scheitel (1')

I' (2')

II' (3')

III' (4')

IV' (5') IV' (6') IV' (7') 2 1—7'

y = y — 0,96

0,5

2,4

0,11

— 0,11

3,05

— 0,26

188,7

161,3

62,6

6,6

3,3    3,3    3,3

— 0,67 — 1,535 — 2,685 6,0    3,9    3,5    2X432,6

___=865,2

wx = W . x Wy = w • y U) • X².....

94

242

150

20

20

13

12

20,8

6,5

- 6,9

-1,7

47

363

360

61

— 4,0    - 6,0    — 9,4

65

42

38    2 X 976

= 1952

wy²

2,3

0,3

0,8

0,4

2,7    9,2    25,3    2 X 41

= 82

1 'Lwy (a — x)

a

54,5 + 21,5 =65,6

10,1 + 21,1 • 0,8

Einflußordinaten für 1-2.....

29,7 + 28,0 — ~ =54,5    +6,9-0,4=29,7

0,5-1,94 + 1,7 • 0,25 = 10,1

0-19,4 0-15,4    0-9,4

0,656

0,545

0,297

0,101

2m>-i,²+2!X = 100)

__i

2

1 1wx (a — x)

Einflußordinaten für 1-2.....

475,5 -j- 457    139,5 + 215    27,5 + 65-0,8-    0,5-45 +    0-45

+ ^ = 979,5    +    ⁼ 475,5 +150-0,4=139,5 20-0,25 = 27,5

0-25    0-12

r-iv'

lw-x² ( = 1952) II—IV

88

m m

o CD

in CM C-©' <©

0,072

0,928

0,014

0,986

(1) (1)

1 2 tv (a — x)

Einflußordinaten für

1-2....

. fl'-IV' . ( = 865,2) H —IV .

227,8 + 250,5    58,0 + 89,2    11,7 + 26,6-0,8    0,5-20+    0-13,4    0-7,4    0-3,5

572,7 + ^ = 227,8 + 62,6-0,4=58,0 6,6 - 0,25 = 11,7

0,067 2,067

188,7

0,663

0,663

0,264

0,014

1,264

2,814

(3,3)    (3,3)    (3,3)

G (Eigengewicht) B l'-4' (1-4) l'-4't

1' — 4' 1 —4

Einfluß-> ordi- < naten

(M O    t>    CO    O CD

O ZD    CO    O    CT)

of o    cT    ö-    ©~ cT

-J® -P P P o NS

2 X 9,96 2 X 1,27

0,58

3,42

4,0

0,68

8,13

8,81

Die Einflußlinien für H, V und M brauchen nicht aufgezeichnet zu werden, da die Interpolation für die Lamellenmitten genügt, und man erhält nun vom Eigengewicht 0,3 • 2250 = 675 kg/qm für die Straßenfahrbahn und 0,4 bis 0,65*2000 kg/qm für die Kies- und Sandunterlage und hieraus die Einzellasten Gx = 675 + 0,44 • 2000 + + 0,4 • 2400 = 2',52 *, G₂ = 675 + 0,51 - 2000 -f 0,42 • 2400 = 2,70 *, G₃ = (675 + 0,57 • 2000 + 0,54 * 2400) • 0,8 = = 2,49 *, Gt = (675 -f 0,62 • 2000 -f 1,08 • 2400) 0,5 = 2,25 *. Durch Multiplikation der Einzellasten G mit den Einflußordinaten für H, V und M wird H = 2 G • b — 2 • 3,26 = 6,52*, V = 9,96*, M = 21,63 mt (die Lamellen 5—7 kommen für H und M nicht in Betracht).

Die ungünstigste Belastung des Scheitels ergibt sich, wenn eine Walze von 5* Uber denselben gestellt wird (auf 2m Breite der Dampfwalze sind 10* vorhanden, somit pro m die Hälfte) und man erhält durch Multiplikation mit den Einflußordinaten H = 0,656 • 5 = 3,28*, V = 2,5*, M = 0,663 • 5 = 3,32*, somit im ganzen H = 6,52 + + 3,28 — 9,8*, V = 9,96 + 2,5 = 12,46*, M = 21,63 -f 3,32 = 24,95m* (gewöhnlich findet die Verteilung in der Querrichtung unter 45° bis zur Mitte des Gewölbescheitels oder der Platte statt, während in der Längsrichtung die

Einzellast gilt, und es ist daher ungünstig gerechnet worden.) Die einseitige Belastung durch 5* bei — — 1,65“

Abstand von der Mitte ergibt ein etwas größeres negatives Moment bei C, indem hierfür durch Interpolation erhalten wird:

0,15

0,15

• 0,77^ • 5= 8,99 m*.

Nach den Formeln auf S. 45 ist nun Mx = M + MQ — H • y — V • x (wo y und x sich auf das Koordinatensystem durch o beziehen) und man erhält bei A: Mx = 24,95 -f 9,8 • 3,26 — 12,46 • 3,3 = + 15,78mt, bei C: Mr =

(s. unten)

= 15,78 — 2,95 • 9,8 = — 13,13m* und bei E: Mx = 24,95 — (9,96 • 3,3 — 14,72) — 0,14 • 9,8 = + 5,43m*. Für

11 =

(0,42

0,15

0,9

• 0,22^ • 5 = 1,92*, V =

(o,84 +

0,9

• 0,12^5=4,3*, M= (l,67

0,9

einseitige Belastung durch 5* ist H = 6,52 + 1;92 = 8,44*, V = 9,96 + 4,3 = 14,26*, M= 21,63 + 8,99 = 30,62mt und hieraus ergibt sich bei C: Mx = 30,62 + 0,31 • 8,44 — 3,3* 14,26 = — 13,82mt (für Menschengedränge von 500 kg/qm erhält man kleinere Werte).

Zur Vergleichung soll dieselbe Rahmenkonstruktion nach Müller-Breslau gerechnet werden, indem der halbe Bogen durch 2 Gerade ersetzt wird (s. die rechte Seite der Abb. 79) und die Ständer eine Höhe von 2,95m erhalten.

0 41³

0l-, = 0,00575, für DF aus dem mittlern Trägheits-

1A

0,0965 • 0,65 + (0,2956 + 0,3256) • 1,15 _

Das Verhältnis der Trägheitsmomente ergibt sich für FF aus 0,95³

0,54³

moment

12 •°’⁸² +

12 -°’⁵⁵

0,050

0,7771

0,82 + 0,55

1,37

= 0,0365 und für B D aus

2,95

2,95

= 0,2634, somit = 1 : 6,3 : 45,7 oder rd. 1:6: 40.

2 (0,45-y) 4-

Man erhält nun in Beziehung auf E: z₀ =

/ 2    1,34    2,95\    0,359

VT ⁺ “6“ +

2,3

= 0,156 oder rd. 0,16 statt 0,14m.

(o,075    +0,3 •

1,34    1,925 • 2,95\ _

6    40    / "

Der Wert von Tx =

+ 0,3 • 0,45 + 0,45²) ~ +

^ y²    ergibt sich aus T (für CD) — 0,294² • G = 2    •

2,95²    2,95

40

0,294² - 2,3 } = 0,621.

Die Momentenfläche F₀ kann für die Horizontale berechnet werden, da die vertikalen Lasten und Biegungsmomente M₀ dieselben sind, und man erhält aus Abb. 80 die Momente in Beziehung auf die vertikalen Lasten:

₉,₉₆.0,25 -?+.⁰’²⁶

= 2,35 m*

9,96 • 0,9 — 2,25 • 0,65 —    . 0,2 = 7,25 mt

J    a rr

Mt

3,3g t

9,96 • 1,8 — 2,25 • 1,55 — 2,49 • 0,9

2,7

-1,0-^---

1,0-

1,0 . t- 3, 9-

2,0

- -2,0

-1,5 -J

2,25 2,33    2,10    2,52    2,52    2,10    2.09 2,25 t

~ ■ 0,25 = 10,86 m*

9,96 • 2,8 — 2,25 • 2,55 — 2,49 • 1,9 — 2,7 • 1 — ²• 0,25 = 14,40 m*

u

9,96 • 3,3 — 2,25 • 3,05 — 2,49 • 2,4 — 2,7 • 1,5 — 2,52 • 0,5 = 14,72 m*. Der Inhalt der Momentenflächen ist daher für DF:

2,35 + 7,25

0,25 • 2,35

7,25 + 8,85

• 0,65 + — -

•0,4 =

= 0,29 + 3,12 + 3,22 = 6,63 und für FF:

10,86 + 14,4

8,85 + 10,86

2,51

• 0,5 +

•1 +

14,4 + 14,22

• 0,5 =

«o

iS

•o-

.....2,0----£-----2,0----- 1.3--J

= 4,93 + 12,63 + 7,16 = 24,72.    5>66

Für die Dampfwalze von 5* ist M = —-~

= 8,25mt bzw. =

5t

= 3,75 • 1,65 = 6,19mt und die Momentenflächen sind für DF: F =

0,63)

1,3 • 4,88

1,3 • 3,25

3.75 t

-1,65-

m:

-0,35-----~

— -1,5--***-----2,0----------2,0-----“J-c----1.3

= 2,11 bzw. =

3,25 + 8,25 o

__

6,19 + 4,13

= 11,50 bzw. =

(1,06)

= 3,17 und für EF: 4,88 + 6,19

• 0,35 +

5t

Abb. 80.

andern Seite =

Die Schwerpunkte der Trapeze und Dreiecke ergeben sich aus — •

6

. 1,65 = 1,94 + 8,51 = 10,45 und auf der 4,13 + 1,63 2

h a + 2 b

= 5,76,

und so daß hieraus die horizontalen

O

Abstände der Schwerpunkte für die Momentenflächen bestimmt werden können und dieselben sind bei Zusammenfassung des Eigengewichts und der Nutzlast von 5* für DF von links her:

1,81

_ 0,29 • 0,17 + 3,12 • 0,52 + 3,22 • 1,09 + 0,87 • 2,11 _ 7,02

0\

u i.fl« j

I 0.3__L

U.----7,5- - •

2.0...........

bzw. =

6,63 + 2,11 (1,06)

7,02 — 1,84 + 3,17-0,87 _

(6,10)

7,94

8,74

= 0,80m

Abb. 81.

6,63 + 3,17 (1,06)

9,8

(0,79)

0,81m und für EF von rechts her

(7,69)

7,16 • 0,25 + 12,63 • 1 + 4,93 • 1,76 + 0,83 • 11,5 _ 32,64

36,22

9,55

= 0,90 m

e =

32,64 — 9,55 + 1,94 • 1,82+8,51 • 0,88 _ 34,11

35,17

= 0,92m und an diesen Stellen ist das zugehörige ys auszurechnen, für 30,48    (0,187)    (0,107)    (0,377)    (0,083)

welches man aus Abb. 81 links — (0,294 — 0,185) = — 0,109 und + (0,383 — 0,294) = + 0,089 und rechts

(0,381)

— (0,294 — 0,182) = — 0,102 erhält.

24,72 + 11,5

bzw. =

24,72 + 1,94 + 8,51 32,64 — 9,55 + 5,76 • 0,86 __ 28,04

= 0,97m und auf der andern Seite =

24,72 + 5,76

(0,087)

©

_

%1L + o,087 •

K _ ₂^²²

a(0|089.“f    °’¹⁰⁹-⁸’⁷⁴^

6,13

Aus <BX = F₀ • ys ergibt sich nun X =

(statt 9,80) und für einseitige Belastung = ^0,083 •

= 8,46 * (statt 8,44), ferner ist Z =

0;o21    Cr

30,48 , 9,8 , 7,6« J; ^ = 14>90    £ V =    = 3,244 -

Hieraus ergeben sich die Momente Ma = za - H — 1,584 • 9,87 — 15,63 mt (statt 15,78), Mc = — zc - H —

= — 1,366 • 9,87 = — 13,48 mt (statt zu berechnen.

: 0,621 =

0,621

- = 9,87 *

30,48

16,38

9,87

9,8

— 0,112 •

,69 \

6 )

: (2 • 2,30) = 16,38 mt bzw. =

= 1,584 bzw. = 3,244 —

14,9

8,46

: 0,621 = ^35,17

1,483.

13,13) und für einseitige Belastung ist zc aus Ty, Y, tg $ =    (b. S. 58)

A

Die nach der ersten Berechnungsweise erhaltenen Maximalbiegungsmomente sind nun Ma — 15,78mt, Mc = = — 13,82mt, Mm = + 5,43m* (nach der zweiten Berechnungsweise wird Mm = 14,72 + 8,25 — 1,82-9,87 =

Stärke in der Mitte nach A 1 b aus x =

= 5,01 mt).

Die Eiseneinlagen ergeben sich für 40

100 • 10,8

cm

V-

6 • 543 000

7 • 100 • 40

= 21,6 icm, somit für h = 36 cm, fe = ~^r~ • 21,6 = 17,3 «cm

= 10,8em, h = — • 10,8 = 28,8 cm, fe =

6

und es können 10 0 20 = 3l,4icm angenommen werden, indem für teilweise Einspannung M= 14,72 + 8,25 —13,13 = = 9,84 mt ist, und hierfür x = 14,5 cm, h = 38,7 cm, fe = 29 <icm werden, so daß oben noch 5 © 12 = 5,7 <icm an-

Am Ständer AC ist oben M — — 13,82 mt, somit bei lm Stärke x =')/

= 34,4 icm und für h = 95 cm: fe —

zunehmen sind.

100 • 17,2

50

45,8

6 • 1382000

= 17,2 cm,

7•100 • 40 - 35,2 = 17 ^cm, so daß hier

h = y 17,2 = 45,8 «», f, =

jedenfalls 5 © 20 + 5 © 12 = 21,4 *icm genügen. Ebenso ist unten M= 15,78mt, somit bei 1,6m Stärke x =

50

95

6 • 1578000

100-18,4

49

36,8icm und für h— 155cm, fe =

• 36,8 =

= 18,4 cm, h = — ’ 18,4 = 49cm, fe =

= 11,6 ^cm, so daß 5 © 20 = 15,7 icm ausreichen. Zu diesen Spannungen kommt unten noch die Wirkung der vertikalen Last des Widerlagers von (1,55-2,3 + 1,05-0,5) 2,4 = 9,8*, welche mit dem Erddruck zusammenzusetzen ist, und die Reduktion der Zugspannungen an der innern Seite veranlaßt (wie auch das Lamellengewicht links von C als Einzellast zu berücksichtigen ist, s. Abb. 79).

7 - 100 • 40

50

155

4. Beispiel der Berechnung eines unten eingespannten Lokomotivschuppens aus Eisenbeton.

Ein Lokomotivschuppen hat den untengezeichneten Querschnitt des innern Teils, welcher links die Eingangstore von 4m Breite und 5m Höhe und rechts eine vorkrageude Konsole erhält, auf welche eine Einzellast (durch das sich anschließende 4m breite Oberlicht) von 200 ks/m und mit Schnee und Winddruck von 400 kg/m im Abstand von 1,5 1X1 wirkt.

Die Dachfläche soll aus Eisenbeton von 8cm Stärke ausgeführt werden, so daß das Eigengewicht derselben = 0,08 • 2400 = 192 k£ und mit Doppelasphaltpappe oder Ruberoidbelag rund 200 ks/qm beträgt und hierzu bei Neigung des Dachs 1 : 10 noch rund 80 kg/qm vom Schnee und halben Winddruck kommen.

Die Stützweite für die Platte wird durch eine Zwischenrippe reduziert, so daß sie 2,5 m bzw. 2,9 m groß ist,

_ 5+ _ 0,28 • 2,9²

(261000) 1^

und man hierfür bei Kontinuität M

12

= 0,196 - und M. = + - °’²⁸'²’9!

= 0,261

mt

erhält, wofür nach A1 b: x= "j/

6 • 196000

(2,6)

(12)

(6,93)

= 2,05, h = fx = 5,47, ft

(5,2)

1 HA . nf*

——— = 4,1 wird und 10© 8 = 5,0 qcm 50

bei 8

cm

7 • 100 • 40

Stärke in der Mitte (am Auflager) genügen (s. S. 12).

Für die Zwischenrippe mit 6m Stützweite ist die Belastung = 2,5 • 280 + 0,2 • 0,32 • 2400 = 860 ks/m, somit

ql² _ 0,86 - 6²

160

bei teilweiser Einspannung zwischen den Querrippen M =

± £

₁₂    = 2,58

x=y

6 • 258000

7•200 • 40

— 5,26

t *= 14,0 °m> f’⁼ "iiir

halb schon 4 © 20 = 12,6 *icin ausreichend sind.

Am Anschluß der Konsole erhält man das Moment M =

200 • 5,26

50

= 21,0 q⁰“ und für h = 36

1,5²

cm

14

i8t = 36

• 21 = 8,2 <icm,

wes-

und für b = 20 cm ist x =

6 • 286000

7-20-40

= 17,5

•TU

, h = — • 17,5 = 46,6

O

(0,28 - 2,9 + 0,16) + 1,5 • 0,4 • 2,95 = 2,86

20 - 17,5

cm

50

cm

Höhe am Anschluß oben 4 © 20 = 12,6 qcm genügen, und dies auch für das ganze Einspannmoment

so daß bei 50

der Zwischenrippen ausreicht, welche an den Querbalken 25 • 60 befestigt sind.

Die letztem haben eine Belastung durch die Einzellast (0,28-2,7+0,16) 4,5 + 0,4-2,95 = 5,30 * und eine gleichförmige Belastung = 0,6 • 0,25 • 2400 = 360 ke/m zu tragen, so daß für Halbeingespanntsein

qP _ 0,36 - 5,6² , 5,3 • 5,6    3

12

12

50

— = 6,51 m* ist, und x = hx 187 • x

(25)

V-

6 • 651000

7- 187-40

₅₀    = 32,3 (11,8) V“.

(62,9)

(23,6)

= 8,64cm, h = -+ x = 23,0 cm, o

23

Für A — 55 cm ist in der Mitte fe = ca. —— • 32,3 = 13,5 <icm, so daß 5 © 20 = 15,7

oo

auch am Auflager der Fall ist, wenn zwei Eisen unten und oben gerade durchgehen und drei Eisen bei ca. ~

l    ⁸

und — = 140 cm Abstand von den Pfeilern nach oben abgebogen werden. Die Schub- und Adhäsionsspannungen ergeben

sich aus dem Auflagerdruck

Q =    4. 2,8 • 0,36 = 3,66 * und x₀ =

z

3660

25(55 — 7,9)

= 3,1 k®, x,

g -To

nizd

qcm

genügen, was

= 70 cm

25 • 3,1

5 • 3,14 • 2

2,5 kg.

5020,

1:10 °Qi —---

Der in Abb. 82 gezeichnete Teil des Lokomotivschuppens kann als eingespannter Rahmen berechnet werden, und man erhält hierfür drei verschiedene Belastungsfälle:

sts

5 $20

a) Belastung des obern Balkens und Nichtbelastung der Konsole und des Oberlichts.

6,0

b)    Nichtbelastung des obern Balkens und Belastung der Konsole und des Oberlichts.

c)    Belastung des ganzen Dachs mit Schnee und halbem Winddruck (letzterer nur rund 5 kg/qm). Man erhält

(700)

somit als Belastung des obern Balkens 200 • 2,5 = 500 kg und vom Eigengewicht desselben 0,25 • 0,42 • 2400 = 250 kg

(280)

(950)

¥0 -

somit zusammen 750 bg/

(280) (810)

200 • 2,9 = 580 und 250 ks oder zusammen 830 kg/m, und als Einzellasten derselben bei 1,5m Abstand

(400)

200 • 2,95 = 590 kg.

(1180)

m*

Desgleichen in der Konsole

(1060)

V-10

- —7.2---

jt

2,0 "'r

\\

t!

fc

?■

.0,11

zoL

-6,0

*r

1,5

25

Zou

—JL

*»

h ,20

'/////.

-—3,0.........-»-[*■........-3,0—

m.

7^77777

Abb. 88.

+y

+y

ac_

S --25--

y\\y,

--—

(/

oc.

U-

Ob

Abb. 82.

Abb. 84.

Abb. 85.

Die Trägheitsmomente der Rahmenkonstruktion, welche aus den 2 Ständern 40/40

40 • 40³    25 50³

und dem obern Balken = 1: 1,2 (die Berücksichtigung der Eiseneinlagen bei

cm

25/50 besteht, verhalten sich angenähert wie

den Trägheitsmomenten ändert dieses Verhältnis nur wenig).

Für einen unsymmetrischen Rahmen bei eingespannten Gewölben erhält man nach Mörsch (s. Sonderabdruck und Betonkalender von 1908) eine vertikale y-Achse und eine Drehung der x-Achse, indem die Bedingungen

12

12

(w)

(w)

(w)

(h

r ds

J xy -j = 0 zu erfüllen sind. Der a der Achse gegen die Horizontale ergibt sich

hierbei aus tg a =

lxwy1 1 wx²

und außerdem ist y — y{ • cos a — x • sin a (s. Abb. 84).

für nebengezeichneten Rahmen den Koordinatenursprung 0 aus z₀ = ^—

zy-ic _

Man erhält nun

= {-^(2,7+0,3)+A(3-0,3)}.-(M ₊ _l ₊ l)

=    • 3 — y ‘ ³) : 16>⁴ = ~ 0,11 m-

Bestimmung des Ausdrucks hcxyx ist (s. Abb.85 )ds = 'j/d;r² -f- diß und    ferner//₁ = c -f m(a—x)

x • yx • ds =

ergibt sich aus x =

somit

32,4

16,4

= 1,98m, und die Verschiebung der vertikalen Achse

Iw

Zur

j rr (c -f- w (a — x)) dx • j 1 +

2 i/i |    ₂ /C + «fl

aj |/ 1 + nv 1--

3"/

zwischen den Grenzen

x = b und x = a, und bei Einsetzung der Zahlen für CD:a = 3,11 m, b = — 2,89m, m = ~~ und 1,68 -f 0,311

c 4- w/a

1 erhält man 1,005 j 3,11² ^ 1

3,11

2,89

»)}

r ? as/² 3,11 J a-ydy = -z —

—)-2,89’(l ₊

x • y • ds =

= 1,005 (8,67 — 9,17) = — 0,05.

(1,68² — 3,72²) = — 17,12

Ebenso ist für A G mit x = a und y = s :

(2,28² — 3,72²) — + 12,46 oder zusammen Ilwxyl = —

(bei der Berechnung mit Lamelleneinteilung, welche hier ebenso wie auf Seite 54 ausgeführt werden kann, genügt

(]/ s

es auch die Summenausdrücke 2xm • ym •-f für ihre Mitte auszurechnen).

und für Bl) = —

1,2

17,12    12,46

1    ~i

= — 4,70

3,11³ + 2,89³

^-•3,ll⁵ +    ■ 2,89= +

0,0400, a — — 2⁰ 17,6', sin ol = —0,0400, cos a = 0,9992, und die Ordinaten für A. B, C, D, E, F, G

Ebenso erhält man Ty = Iwx² —

4,70

3 • 1,2

— 117,4 und hieraus tg a =—

117,4

sind aus y — yx - cos a — x • sin a zu berechnen, und es ist ya = — 3,72 • 0,999 -}- 3,11 • 0,04 = — 3,60, yc — -f-+ 1,68 • 0,999 + 3,11 • 0,04 = + 1,80, yd — + 2,28 • 0,999 — 2,89-0,04 = + 2,16, yh = — 3,72-0,999 — — 2,89 • 0,04 = — 3,83, ye = + 1,98 • 0,999 + 0,11 • 0,04 = + 1,98, yf = + 2,08-0,999 — 0,89 • 0,04 = + 2,04, yg — — (3,72 — 1,35) - 0,999 -f 3,11 - 0,04 = — 2,25 (s. Abb. 86).

, ds _    5,4

1-3

(1,8² — 1,8-3,6 4- 3,6²) 4-—^ (2,16² — 2,16 • 3,83 4- 3,83²) +

1 • o

C'.

1,2 • 3

Hieraus ergibt sich Tx =J y

(1,8² -f 1,8 • 2,16 + 2,16²) = 17,5 + 22,14 4- 19,66 = 59,3, G = 16,4 (s. oben),

K • y.

K'*.

f:

Tx

_0

Für die Belastung des obern Balkens ist nun M =

(0,95)

0,75 • 6²

(1,06)

1,5²

(1,20)

(4,28)

₈—- = 3,38, f; = (1,18)

' CT.

1,2

(1,78)

ru,3)

= 11,3 uud für die-

0,2)

2

jenige der Konsole ist M = - ? ^ - = 0,83 •    — 0,94 und = P • a = 0,59 • 1,5 = 0,89 somit F'

Ja    —

(1,78)

0,89 • 6

2 • 1,2

Hieraus ergibt sich X =

0,94 - 6

2- 1,2

(3,0)

(4,44)

= 2,35 und =

= 2,22.

(14,3)

11,3 - 1,98

(3,0)

(4,44)

2,22 • 2,04

(0.16)

= 0,08.

(0,48)

= 0,38 und =

Der Abstand der Resultante R von AB ergibt sich aus dem Gleichgewicht von X, Fund Z, somit ist LL' • X • cos o =

59,3

2,35 • 2,04 (WO)

= 0,08 und

59,3

59,3

= X• cos o • zu — Z oder LL' = zu —

Tx

X • cos OL

ys • G cos o.

= 3,72

59,3

(1,95)

Die Richtung der Resultante R ist tg ß =

Y — X • sin ol

(0,89)

59,3 -0,11

117,4-1,98-0,999

,    (2,04)

F't und xs dasselbe Vorzeichen haben).

= 1,89.

1,98 • 16,4-0,999

(2,04)

— tg a =

Tx ■ x.

— tg ot =

T, ■ y.

X • cos a

(+ 0,181) / Y

0,04 = — 0,012 ergibt für den zweiten Fall einen positiven Winkel, s. Abb. 83, da

X • cos OL

• cos o.

Bei symmetrischer Belastung ist daher (s. Abb. 83): zl = 1,89 4 0,012-

CO Ol

= 1,85(1,93),    = 5,4 —

— 1,85 = 3,55 und zd = 6 — 1,93 = 4,07 und bei Belastung der Konsole ist zl = 1,95 ± 0,181 • = 2,51 (1,43), zc = 5,4 — 2,51 = 2,89, zd — 6 — 1,43 = 4,57.

jo

Für die oben angeführten 3 Fälle ergibt sich nun aus M — H • z (da hier H = X gesetzt werden kann) für Fall a:

Mh == 0,48 • 1,93 — 0,16 • 1,43 = -f 0,70.

Fall b:

6,0 -

0,70

0,05

Ma — 0,38 • 1,85 — 0,26 • 2,51 = + 0,05

Mb ~ 0,38 • 1,93 — 0,26 • 1,43 = -f 0,36.

Fall c

E__

'Z///////////////.

hp-A.-s.o-

____

3,0

(aus den linken und den rechten Gliedern vom Fall a und b):

Abb. 86.

Ma — 0,89 — 0,65 — + 0,24, Mc = — 1,70 -f 0,75 — — 0,95, Md — — 1,95 + 1,19 — 1,2 Mb = 0,93 — 0,37 = 4- 0,56.

1,78 = — 3,74,

Hierzu kommt noch der horizontale Winddruck auf A C mit 150 • 5,4 = 810 ks/m Breite, und es ist

0,15 • 5,4³

—    —---?15 ' 5,42 = — 2,18mt, F' = —

p h³

= 1,35 m Abstand von A, somit ist X =

liegt bei

3,93 -3,11    _

- WT = - ü-¹⁰⁴’ z =

Kjs    3,93 • 2,25

1 • 59,3

= — 3,93 und der Schwerpunkt

K-*. _ _

= — 0,149 , Y —

f:

Ty

0_.

3,93 _

16,4

= — 0,240.

auch direkt aus

Hieraus ergibt sich wieder L L — zu —

Z \

und für die Richtung von R erhält man tg ß - 0,04 = 0,659 ^

59,3 • 3,11

2,25 • 117,4 • 0,999

X . cos a

auch aus

)•

ys • G • cos a

= 3,72 —

59,3

)’

X cos a

— tg a =

2,25 • 16,4 • 0,999

Tx • X,

ys • Ty • cos a

= 2,11

Ebenso erhält man zab — 2,11 ± 0,659 •    = 4,16 (0,21), ze = 5,4 — 4,16 = 1,24, zd = 6— 0,21 = 5,79

4,89    o,62

und hieraus die Momente M — H • z (wo H — X cos a ist) oder Ma = + 0,149 • 4,16 — 2,18 = — 1,56 mt, Mc = — 0,149 • 1,24 — — 0,19 mt, Md = — 0,149 • 5,79 = — 0,86Int, Mb = + 0,149 • 0,21 = + 0,03 mt.

Dieselben Werte erhält man aber auch aus den Formeln auf Seite 59 durch Vertauschung von A mit B und G mit I), oder es ist

Ma = + X •

Mr= — X-Md = - X-Mb = + X-

und die Vorzeichen der einzelnen Produkte gehen auch aus den Richtungen von X und Y in Abb. 86 hervor.

Diese Momente sind mit der Breite von 4,4m zu multiplizieren, so daß man erhält:

Ma=— 1,56-4,4 = — 6,87, Mc = — 0,19-4,4 = — 0,84, Md = — 0,86-4,4 = — 3,78, Mb — + 0,03-4,4 = + 0,13mt. Die Maximal- und Minimalbiegungsmomente der obigen drei Fälle sind daher:

b-\-w

Ma= + 0,49    + 0,05    — 6,87    — 6,82

a-\-w

Das Moment Md gilt nur für den obern Balken CD, während für den Ständer BD bei D erhalten wird:

a-\-w

Md —    — 1,22    — 0,36    — 3,78    —    5,00 mt.

Zu diesen Momenten kommen noch die vertikalen Belastungen der Ständer, und es ist für

2,85

0,95 • 6

= 0,149 • 3,60 4- 0,104 • 3,11 — 0,240 — 2,18 = — 1,56 mt

4- Y-xc — Z = — 0,149 • 1,80 4- 0,104 • 3,11 —0,240 = — 0,19mt

—    Y-xd

—    Y*zb — Z = 0,149 • 3,83 — 0,104 - 2,89 — 0,240 = 4- 0,03 mt

4- Y'Xa — Z —

Z = — 0,149 • 2,16 — 0,104 • 2,89 — 0,240 = — 0,86 mt

Fall a: A =

2,25

Fall b: A —

0,75 • 6

/    15 °>²⁵    \ 1

(0,83 . _2_ ₊ o,59 • l,5j -g

/    15 0,43    \    1

(1,06--^- 4- 1,18 • l,5j -g

= 1,82 *, B

Fall c: A — 2,85 — 0,43 = 2,42 *, B = 2,85 4- 2,67 = 5,52 K

1,67    1

= 2,60 ‘, B = 2,85 4- (6,75 • 0,83 4- 7,5 • 0,59) y

2,67    1

= 2,25 4- (6,75 • 1,06 4- 7,5 • 1,18) y = 4,92 *,

Auf den Ständer AC wirkt unten im Fall bpw: A = 1,82 + 0,4² • 5,4 • 2,4 = 3,89 und Ma = — 6,82 mt bzw. = + 0,49 mt und auf den Ständer BD wirkt oben im Fall a-\-w:B = 4,52 t und Md = —5,0 mt. Außerdem kommt noch die Belastung der Ständer durch die Zwischen- und Querrippen hinzu, und man erhält für AC:

(2,35 *0,2 + 0,16) 3 + 0,36-4,4 = 3,47 tundfürPD: (2,65• 0,28+0,16)• 3 + 0,36*4,4 + (l,5*0,2*2,9+ 0,2*2,95)2= 7,20 *.

40-540 )²12

Die Knickungsberechnung ergibt sich angenähert bei A aus k = 1 + 0,0001 •

40² •

bei B aus k = 1 + 0,0001 •

(+600) . 12

40⁴

= 1,123 und

40⁴

= 1,139.

Die direkte Beanspruchung ist daher bei A: a =

682 000 • 6

3470 + 3890

für die Biegungsbeanspruchung o =

40³

• 1,123 = — 5,2 kg Druck, während man = ± 64 kg erhält, und bei einfachen Eiseneinlagen wäre

40²

x=y' -

6M

V-

6 • 682000

Tbc,

doppelten Eiseneinlagen ist nach A2d: x

7•40 • 40

CO ICO

= 19,1 «m, h

i.35 =

• 19,1 = 50,9 «», f, = 5Q

40 • 19,1

50

= 15,3 <icm.

Bei

<8

13,1

cra

°e=nab

= 15•40*

M b • x /₇ x \

oder

371

OM)

= 371 kg

682 000    40*13,1 /

2 {

40

35 —

61.2 —

— 28,8 = 32,4 ⁽icm, so daß 3 ® 38 = 34,0 icm auf jeder Seite erforderlich sind (s. S. 12—13).

Bei gemeinsamer Wirkung der vertikalen Belastung P = 7,36t und des Biegungsmoments M = 6,82mt ergibt

6,82

sich der Abstand c von der Mitte (s. Seite 41) aus c =

= — 0,93m (nach innen), und in den Formeln

P ~

B2 c mit p = 1 ist P = 7360 kg, gx = — (93 — 20) = — 73cm, h = 35cm, U = 5cm, g₂ = 35 + 73 = 108cm,

3    3 P

b = 40cm und ob = 40ks einzusetzen, so daß man erhält: x² — 2x(h + h!) =--^-(Ä² + h'²) + j

Ai    0

(35² + 5²) + ist f (x) =

(»-l)

oder x² — 2x (35 + 5) = —

oder x² — 80x + 4442 --

57546

— = 0. Für x =

7,36

3 * 7360

•Oft

KM

9-2 +

40* 40 + 365 — 369 7 X

— 73—5)

= 15 ,

5 * 365

und für

cm

= 17,5 -*')/; =

(3 • 35 — 17,1) oder f 'e = 31,0 ficm, so

daß schon 3 ® 36 = 30,5ficm genügen, und hierfür nach B 2a für fe = f 'e erhalten wird: x = 17,05cm, ab = = 40,3 k&, ae = 636 ke, o' = 427 k£ (bei teilweiser Einspannung wird die Beanspruchung geringer).

x = 17 ist f (x) = — 14 und genaues x = 17 + —    h — x) oder 15 ^1

3 * 14

734

= 17,1cm. Ferner ist n 7360 • 108    40 • 17,1

379

— ‘92 —

Oft

17+ ⁽³⁶ - 5> f'‘ =

40

Für den Ständer CD ist oben P= 4,52 + 7,2 = 11,72¹ und M = —5,0mt und man erhält c =

= — 0,43m (nach innen) und in obigen Formeln ist P = 11720kg, <jx = — (43 — 20) = — 23cm,

11,72

h = 35cm, h' = 5cm, g = 35 + 23 = 58cm, b = 40cm, ob = 40kg einzusetzen, somit ist x² — 2 x (35 + 5) =

IO C4

* (35² + 5²) -f

3 • 11720

40*40

— 23 — 5H oder a;² — 80 x + 3765 —

47686

— =0. Für x =

+ 181

P «*/»={ o

somit x = 18cm. Ferner ist 15

(¹_./)(35-5)A;

11720*58    40*18

40

• (3*35 — 18)

oder f 'e = 20,2 icm, so daß hier schon 2 ® 36 = 20,4 icm auf jeder Seite genügen (die Knickung hat in beiden Fällen keinen wesentlichen Einfluß und kann nur in entgegengesetzter Richtung wirken).

— 7,52 --7.1Z

Der obere Balken erhält die nebengezeichneten Maximal- und Minimales)

biegungsmomente, indem in der Mitte M = + 3,38 mt, Md (außen) = — (1,20 +

c + W’    b+w

+ 1,78) = — 2,98 mt, Md (innen) = — 7,52, = — 7,12 und

c+w    b+w

a+xv

— 6,83 mt,

Mc = — 1,79, = — 1,44 und = — 2,08 mt für die negativen Biegungsmomente und

a    a

Md = — 3,05 und Mc = — 1,24 mt für die positiven Biegungsmomente mit Mm = + 2,1mt (s. Abb. 87) wird.

Bei 0,4 und 0,8 m Abstand von D ist die Höhe des Balkens = 60 und 50 cm

(600000)

a+xv

-if/-

«o | i

r!l

XI

e,8$

- 3,05 \-2,38

J« U-

o,vo,v

(22,7)

= 19,9cm,

und M = — 6,0 und = — 4,6 mt, so daß man erhält x = y .

8    (60-5)

h = — x = 53,1 cm, weshalb doppelte Eiseneinlagen erforderlich sind,

ö

6 • 460000

7 • 25 * 40

(4)

Abb. 87.

3    (46)    (17,2)

und nach A2d (s. S. 12) ist x= — • 55 = 20,6

cm

= 15 • 40

(-1)

(460)

°b

(460)

25 • 20,6

(460000)

600000

(17,2)

25 - 20,6 06)

(5.9)

(18,0)

(5,7)

(23,9)

(55 — 6,9) oder f’e = 26,4 — 21,8 = 4,6

oder J^

(460) 40 455    0,9)

• 4,6 +

(11,3)

(2,71)

und fe = 2,09 + 10,3 = 12,4 <icm.

(12,6)

Es genügen daher an den Enden oben 5 Q) 20 = 15,7 icm, und in der Mitte sind für M = 2,1m* unten und M = — 0,9m* oben, sowie in dem ersten und letzten Viertel für M = — 0,3 mt und M = — 3,1m* oben die in Abb. 82

25 fe =

40

0)

(8,6)

angenommenen Eiseneinlagen genügend, indem von den 5 untern Eisen bei ca. — und —- = 1,5 und 0,75m Abstand

4    O

von den Pfeilern je 1 © 20 nach oben abgebogen wird, und 1 © 20 gerade durchgeht sowie 2 nach unten gehen.

Oben gehen dann drei Eisen durch, und über dem Pfeiler sind fünf vorhanden, von welchen zwei Eisen in der Konsole nach unten abgebogen werden. Die Schub- und Adhäsionsspannungen ergeben sich aus Cund D = 3 • 0,95 = 2,85* und außen D = 1,06 • 1,5 + 1,18 = 2,77* und sind verhältnismäßig klein.

Bei größerer Länge des Lokomotivschuppens ist nebengezeichnete Konstruktion zu empfehlen, indem der obere Balken auf die ganze Länge durchgeht und an der äußern Wand aufliegt.

Der mittlere Rahmen ist dann wie oben zu berechnen, und zwar mit Annahme eines obern kontinuierlichen Balkens E CI) F, welcher bei E eingespannt und bei F frei aufgelagert ist, und es können hierzu die obigen Formeln (s. Seite 55) mit Mi = 0 verwendet werden. Die Momente des mittlern Rahmens sind dann von der Momentenfläche über CD abhängig, und der Winddruck auf E G wirkt als Einzellast bei C und kann je zur Hälfte auf den mittlern und den linken Rahmen übertragen werden, welcher letztere ebenso mit der Momentenfläche über CE zu berechnen ist (bei Balkenbrücken mit zwei Mittelpfeilern ist nur der mittlere Rahmen mit der Momentenfläche über C D aus dem an den Enden frei aufliegenden kontinuierlichen Träger zu berechnen, für welchen Mx und Mi = 0 in (10) und (11) einzusetzen sind).

>■■■404*.-o, o--A*2,o, i

ff

------7;o—

'A

-3,0 7n

- 1,0

Abb. 88.

5. Anwendung der obigen Berechnungsweisen auf verschiedene Rahmenkonstruktionen.

Bei der allgemeinen Anwendung der bisher entwickelten Berechnungsweisen sind auch die Temperaturspannungen in Betracht zu ziehen, und zwar mit denselben Formeln, wie sie bei den eingespannten Gewölben angeweudet werden, und

es ist nach Seite 46 : H, =

wo E = 2 OOO OOO*/qm, « = 0,000 012, t = 20° C ist.

Iwtf- + 2-

In obigen Beispielen ist bei dem Rahmen mit oberem Bogen Ht =

3936

2 000 000 • 0,000 012 • 20 • 8,2

11 396

die Momente sind bei A = 0,35 • 3,35 |= 1,17 in*, bei C = 0,35 • 0,35 = 0,12 m* und bei E — — 0,65 • 0,35

3936

Bei dem Rahmen mit geradem Querbalken ist H, =

15580

= 0,25 * und die Momente sind bei A = 0,25 • 2,77

= 0,35* und = — 0,23 mt. 0,69 mt,

bei C und E = — 0,23 • 0,25 = — 0,06 mt.

Bei dem Rahmen für den Lokomotivschuppen ist statt der Yerhältniszahlen für J der richtige Wert des

0,4 • 0,4³

Trägheitsmoments einzusetzen, so daß statt 1 angenähert

12

Ht für tv =

mit

0,002133

= 470 zu multiplizieren ist, und man erhält Ht =

0,002 133 anzunehmen und der Nenner von

2880

2 000000 • 0,0000 12-20-6

wo

Iwy² + 2

5,4 + 6

2880

= 59,3 • 470 = 27 870, 2 J, -

= 3,60 • 0,1 = 0,36”», bei C = — 0,180 • 0,1 = — 0,018 mt, bei D = — 2,16 • 0,1 = — 1,98 -0,1 = — 0,2 mt wird.

Bei dem Beispiel der Straßenbrücke erhält man dagegen viel höhere Werte, indem hier der Nenner nur = 100

2 000 000 • 0,000 012 - 20 - 6,6

0,4 • 0,4

= 120, somit Ht =

27990

= 0,10* und M bei + = — 0,22m* und bei E =

ist, und daher Ht =

= 31,7* und bei A: M =

(<—1,0->]

!7

Ml

-r

IZi

(Ja.-------

\B

------1 - 6,0

->4

Abb. 89.

nach S. 40 die Formel (15) Ht =

100

= 31,7 • 3,26 = 103,3 mt, bei (7=31,7 • 0,31 = 9,8m* und bei E= — 31,7 • 0,14 = = — 4,4m* wird.

Die Temperaturspannungen (welche bei Ausdehnung das entgegengesetzte Vorzeichen erhalten) werden daher gewöhnlich bei der Dimensionierung der Rahmen nicht berücksichtigt, indem auch bei etwaigen feinen Rissen die Sicherheit der Konstruktion durch die Eiseneinlagen gewährleistet ist.

Noch deutlicher tritt die Größe der Temperaturspannungen bei nebengezeichnetem eingespanntem Gewölbe hervor. Für dasselbe sollen die Temperaturspannungen nach Weyrauch und nach Mörsch berechnet werden, und man erhält E-c

45

1 + 6 s 4 f²

« • x worin c = J • cos cp ist, und für r aus 2 r • 1 = 3² + l²

oder r = 5m, tg cp₀ am Kämpfer =

= 18° 26,1', somit cos cp = 0,94 87 und J =

2 (r—f)    2(5—1)

1 • l³

12

= 0,75, cpn = 36° 52,2' und das mittlere cp = = 0,0791 wird.

1    .    0,9487

= . -- sowie c =-——

12

12

Nach S. 10 ist ferner s —

15 v

2 000 000 • 0,0791

T + 6 • 0,1

J___w

~~ F~ 2

45

• 0;ü00012 • 20 = 267 S Ma — -

(■TTf)!"nd 7

— -~ somit s ==±

15

8 • 12

CO

{■11 = 178 mt,    =--

(8900000)

M 17 800 000-6

(- 53,4)

= 106,8 kg, wozu bei A noch NJ; = Ht • cos cp₍₎ =

und hieraus ergibt sich bei A und E: o =

= 267 -0,75 = 200,2t und bei E: Nx = 267t als Normalkraft hinzukommt, so daß bei Aw^ = —

W 100-100²

100²

6 • 8 900 000

6 • 17 800 000

_ — 126,8

~ + 86,8

Temperaturspannungen (bei Zusammenziehung des Gewölbes) auftreten.

200 200 ±

100

kg und bei E: a“ — —

\>(

267000 =F

100

§

Nach Mörsch ist der Ausdruck Iw-y² + 2 für das Koordinatensystem durch 0 zu bestimmen, und bei

■e    i ,    1 — cos cp

= t — r (1 — cos cp), s = 1 4--,

cos cp

2 (1 — y') • w _

Annahme von 3 Lamellen mit 1m Breite erhält man sin cp = y = y — (f — z), und damit folgende Tabelle:

Lamelle

Hieraus ergibt sich z =

0,025 • 12,06 + 0,23 • 12,58 + 0,67 • 13,86

0,5

2,5

sin cp

0,1

0,5

COS cp.................

y' — 1 — 5 (1 — cos cp) , = 1 + -

— COS Cp

COS cp

0,9950

0,975

0,9539

0,770

0,8860

0,330

= 0,324 ni

und ebenso 2 w y⁷ -j- 2 -p = (2,85 + -3,21) • 2 = 12,12 2000000 - 0,000012 -20-6

und TL =

38,5

= 238 *. Die

1,005

1,048

1,155

12

12

IC

12,12

obigen Spannungen werden daher füril/a = 238- 0,676 = = 161int (statt 178) und Me = — 238 • 0,324 = 77 mt (statt 89) und Ht = 238 * (statt 267) etwas kleiner (die Formeln von Weyrauch gelten für die Parabel mit dem Mittelwert für J • cos cp, und kann e für die Parabel auch 15 y / l² — 4 f”

W — -r-

./

12,06

12,58

1,01

1,05

zus. 38,50 13,86

zus. 3,21 1,15

aus

ST

s. S. 198, bestimmt werden).

!/ = !/' — 0,676

0,299

0,094

1,08

0,11

— 0,346

zus. 2,85

1,66

l- + 4 f

Die Größe des Horizontalschubs hängt daher von der Stärke des Gewölbes im Verhältnis zur Spannweite ab, und sie gilt nur für eine vollkommene Einspannung des Gewölbes am Kämpfer, welche besonders bei flachen Gewölben und bei solchen mit versenkten Widerlagern nicht anzunehmen ist. Auch bei Rahmenkonstruktionen

kann man mit der Nachgiebigkeit der Ständer rechnen, und dieselben können wie Stützmauern bis zu ca. 25m Länge ohne Fugen ausgeführt werden, und der Horizontalschub von den Temperatureinflüssen wird hierbei gewöhnlich vernachlässigt (die Temperaturspannungen sind ungefähr proportional dem Wert von .7 oder h³, so daß bei

3

— h nur noch ca die halbe Temperaturspannung eintritt). Bei der Temperatux-ausdehnung oder -Zusammenziehung wirken

f für die

ö

Parabel von konstantem Querschnitt) wirkenden Horizontalschubs in Beziehung auf die Schwerpunkte der Querschnitte x. Auch beliebig gerichtete Kräfte können in ihre horizontalen und vertikalen Komponenten zerlegt, und hierfür kann (auch ohne Zerlegung) das statische Moment M₀ der linksseitigen Kräfte für den Querschnitt x berechnet und in die Formel Mx = M +    — H .y — V • x eingesetzt werden.

Denn die Entwicklung der Formeln für die Berechnung der eingespannten Gewölbe nach Mörsch (s. Sonderabdruck und Betonkalender von 1908) gilt für beliebig gerichtete Kräfte, und M{) ist das Moment der auf das frei schwebend gedachte linke Ende der Konstruktion (welches durch die Kräfte II, V und das Moment M eingespannt wird) wirkenden Lasten. H, Fund Mkönnen für eine beliebige Kraft P oder für ihre horizontale und vertikale Komponente durch Einsetzung der Werte von M₀ (in Beziehung auf die Lamellenmitten) in die Summenausdrücke auf S. 44 berechnet werden.

Auch bei der Rahmenberechnung nach Müller-Breslau ist das Moment des Querschnitts x für die linksseitigen Kräfte zu berechnen, woraus sich die Momentenfläche über den einzelnen Stäben ergibt, und dieselben können hierbei in horizontale und vertikale Komponenten oder auch in solche parallel und senkrecht zur Stabrichtung zerlegt werden (in letzterm Fall wird bei glatter Oberfläche gewöhnlich nur der senkrecht zur Dachfläche wirkende Winddruck = p • sin² (a-j-10) oder p - sin² a (s. Hütte) pro qm Dachfläche berücksichtigt, welcher sich wieder in die horizontalen und vertikalen Komponenten p • sin² (a -f-10) pro qm Grundriß und Aufriß zerlegt).

Es kann hierbei das linke Auflager wie oben (ohne Gegendrücke) angenommen werden (indem dieselben in X, Y und Z enthalten sind) oder es kann ein statisch bestimmtes System mit einem beweglichen Auflager bei A (s. Abb. 71) vorausgesetzt, und die Resultante R sämtlicher Kräfte bestimmt werden, woraus sich dann A₀, und für das statisch bestimmte System ergeben (auch Dachkonstruktionen werden gewöhnlich so berechnet, daß das Auflager bei A oder B als beweglich angenommen wird) und hieraus die Momentenfläche Ft) der einzelnen Stäbe ermittelt und das zugehörige X, Y und Z berechnet wird, um alsdann aus A = An -f- Y, B = B0 die Momente der einzelnen Querschnitte zu erhalten.

Die obigen Berechnungsweisen lassen sich nun für jede beliebige Form der Rahmenkonstruktion verwenden, indem man dieselben nach Mörsch in einzelne Lamellen bis zur Einspannungsstelle zerlegt (hierbei ist es am einfachsten, die innere Vertikale des Ständers zu verlängern, und sie dann durch eine schräge Fuge senkrecht zur gestrichelten Mittel-

Horizontalkräfte auf den Rahmen, und dieselben veranlassen die Momente des in der «-Achse (bzw. bei

Y. IIn = X und Hh = Hn+X

linie zu ersetzen, welche durch die letztere halbiert wird, und von hier aus die Teilung in Lamellen von 1—2 m Breite fortzusetzen) und die Berechnung dann in derselben Weise wie oben durchführt (auch die Stützlinie kann auf Grund der

aufgezeichnet werden). Bei den untengezeichneten Rahmenkonstruktionen kann auch zur vorläufigen

Bestimmung der Form und der Stärken des Rahmens die Stützlinie für einseitige Belastung durch das innere und äußere Drittel der Kämpferfuge sowie durch die Mitte der Scheitelfuge, und für Vollbelastung oder Eigengewicht durch die Kämpfer- und Scheitelmitten aufgezeichnet werden, wobei auch beliebig gerichtete Kräfte berücksichtigt werden können (dies kann auch bei Aufzeichnung der genauen Stützlinie geschehen). Es kann aber auch nach Müller-Breslau ein Polygon an Stelle der Bogenform gesetzt werden, und man erhält alsdann annähernd dieselben Resultate, und die Träg-heits- und Zentrifugalmomente (welche auch durch die Trägheitsellipsen ermittelt werden) können in der oben angegebenen Weise berechnet und zur Dimensionierung nach den angeführten Formeln verwendet werden (wie dies auch in den obigen Beispielen geschehen ist).

Abstände c —

<//

/[

Abb. 90.

Abb. 91.

Ein besonderer Fall ist noch die Berechnung von ringförmigen Kuppeln, welche durch Einteilung in einzelne Sektoren (s. Grundriß in Abb. 92) mit Lamellen von (proportional zum Abstand von der Mitte) zunehmender Breite

oc

berechnet werden können (bei gleichförmiger Belastung ergibt sich auch q--für die Abstände x und a von der Mitte).

ct

Denn man erhält bei Annahme eines regulären Vielecks statt des Kreises einzelne Tonnengewölbe mit nach unten zunehmender Breite, die wie oben sowohl für vertikale als horizontale oder auch schief gerichtete Kräfte berechnet werden können (auch mit Anwendung der obigen Stützlinien zur vorläufigen Bestimmung der Stärken).

Diese von Navier aufgestellte Theorie gilt für geschlossene Kuppeln und für solche, welche einen obern Druckring haben (dieser kann auch in dem Scheitel der Kuppel angenommen werden). Der für die Kuppelsektoren berechnete Horizontalschub H übt alsdann im Scheitel einen Druck auf den obern Ring aus, und sucht im Kämpfer einen Schub nach außen zu bewirken (bei der Berechnung als Rahmen kann der obere Druckring als voll angenommen werden).

Wird der über einem Parallelkreis befindliche obere Teil der Kuppel hinweggenommen, so muß dennoch Gleichgewicht vorhanden sein, und dies ist nur dann der Fall, wenn (nach Navier) die senkrecht zu den vertikalen Stoßfugen wirkenden horizontalen Drücke berücksichtigt werden, deren Resultante dann dem Horizontalschub H entspricht, welcher bei Eisenbetonkuppeln durch eine Ringarmierung aufgenommen werden kann.

Denkt man sich die Kuppel horizontal durchschnitten, so erhält man einen horizontalen Ring von der Höhe dz und dem Durchmesser 2 x, und es müssen die Kräfte II und S mit der Belastung durch den obern Teil der Kuppel im Gleichgewicht sein, und man erhält als vertikale Komponente von S bei einem Neigungswinkel [3: V • 2 tzx =

cc

= S • 2 tzx • sin ß = Q, wo sin ß = —■ ist, und Q der Gesamtbelastung der obern Kuppel entspricht,

y _ 0    y - £

- • 2 x • S eingesetzt werden kann (da ——— = cos ß ist), und T (pro

Einheit) beim Durchschneiden des Parallelkreises in vertikaler Richtung erhalten wird, sowie H (pro Einheit) als horizontale Komponente von S (pro Einheit) erscheint (diese Formeln können jedoch nur angewendet werden wenn dH nicht = 0 wird) (s. Abb. 93).

Bei der Berechnung der Schwedlerschen Kuppel wird H in die zwei Komponenten der Seiten des Polygons zerlegt und ermittelt, welche je nach der Richtung von H nach innen oder außen Druck- oder Zug-

d H • 2 x — 2 T ds, worin II • 2 x —

hieraus die Größe S' =

2 sin cp

Ebenso ist

Spannungen hervorruft. Nach A. Ritter (Berechnung der Brücken- und Dachkonstruktionen) ergibt sich die Formel für den Kreis (für p = H pro Längeneinheit) aus p • 2 rep = 2 S’ • cp (da für kleine Winkel sin cp = cp ist), somit S' = p*r

r • 2 cp • k

H /

und p = —La = Länge des Bogens für 2 cp

was annähernd das gleiche S' ergibt (s. Abb. 94).

Diese Ringberechnung kann nur für solche Eisenbetonkuppeln augewendet werden, welche nicht nach der Elastizitätstheorie (bzw. mit Stützlinien) berechnet und hierfür im Gleichgewicht sind, und bei welchen die Kraftrichtungen in der Mittellinie des Gewölbes (wie bei eisernen Kuppeln in der Eisenkonstruktion) anzunehmen sind. Bei Eisenbetonkuppeln, deren Stützlinie stark von der Mittellinie abweicht, ist daher die obige Berechnung als eingespanntes Gewölbe vorzuziehen, und zwar nicht nur für symmetrische Vollbelastung sondern auch für einseitige Belastung (die Belastungsgrenzen lassen sich bei Annahme von drei Gelenken in den Kämpfer- und Scheitelmitten, ähnlich wie beim Dreigelenkbogen bestimmen), so daß H und V (pro Einheit) aus der obigen Berechnung für eingespannte Rahmen

180

hervorgehen (fällt bei Stein- oder Betonkuppeln die Stützlinie mit der Mittellinie des Gewölbes zusammen, so könnte auch hier S bzw. H und V aus der Lagerfugenstützlinie mit Berücksichtigung der sie schneidenden Stoßfugenstützlinie bestimmt werden, was auch für eine seitliche Lage derselben zulässig wäre).

Die Formeln von Müller-Breslau (neuere Methoden der Festigkeitslehre S. 166) können bei Beanspruchung eines Druck- oder Zugrings durch gleiche und entgegengesetzt gerichtete Kräfte H (für den Fall, daß zwei symmetrisch zur Mitte liegende Sektoren allein belastet werden) angewendet werden. Nach ihnen ist der Schwerpunkt des halben Bogens zu bestimmen (entsprechend dem Koordinatenursprung 0 in obigen Beispielen), welcher bei der kreisförmigen Kuppel

hervorgeht, und nun können die Momente bei A und B sowie für jeden Zwischenpunkt aus

H • c    H • c    H • y

——— und Mh = —-— sowie Mx — -——— leicht bestimmt werden, woraus sich die Beanspruchung

u    £    £

ergibt, wo h = Stärke des Rings, J =- Trägheitsmoment desselben (wie beim Rahmen) ist (s. Abb. 93).

H • 2 x

aus e. = —

TT

Ma =

M-h

Dagegen ist für den Schnitt des obern Druck- und untern Zugrings bei Vollbelastung bei Einspannung der Kuppel am Kämpfer ist dieselbe für H zu berechnen.

zu berücksichtigen, und

— " "T~

r/

1/

JL . +x

•t-y —

* —l~i—-

__Jl _

// U\

-I-

//

Abb. 93.

Abb. 92.

Abb. 94.

Bei Anwendung von Gelenken für Rahmenkonstruktionen kommt zunächst der Rahmen mit zwei untern Gelenken in Betracht, welcher analog dem Zweigelenkbogen zu berechnen ist, und hat Ingenieur Mantel in dem technischen Lexikon von Lueger (s. Dachstuhl) Formeln für den Bogen mit eingespannten Enden (vyelche genau den von Mörsch entwickelten entsprechen) angegeben, und dieselben auch auf Bogen mit zwei Gelenken an den Kämpfern und mit einem Gelenk im Scheitel angewendet (s. Schweizer Bauzeitung Bd. XXXII, Nr. 20). Beim Zweigelenkbogen wird V wie bei dem frei

to)

fV-G-Zu

\ 2

²    \

P2 {a — x) w • y\ : 2wy² und gilt

a    *

aufliegenden Träger berechnet, M ist = 0 und H ergibt sich aus H =

dies für beliebig gerichtete Kräfte P, deren linker Auflagerdruck = V ist (bei entgegengesetzter Richtung von V und P wechseln die Vorzeichen) (s. Abb. 95).

Bei einem Scheitelgelenk mit Eingespanntsein an den Kämpfern erhält man dieselben Formeln wie beim ein-

PllV • X

PS iv • y

gespannten Rahmen, indem V =

und H

wird, nur beziehen sich x und y auf das Scheitel

hv-y²

gelenk, und hieraus lassen sich die Kämpferdrücke P und P₂ nach Lage und Größe bestimmen, indem die durch das

Scheitelgelenk gehende Resultante bei symmetrischer Belastung horizontal ist und bei einseitiger Belastung zugleich dem zweiten Kämpferdruck entspricht. Sind oben 2 Gelenke vorhanden (s. Abb. 96), so ist V nach Lage und Größe gegeben,

und es ist nur noch H mit der Koordinatenachse CD als «-Achse zu berechnen. Auch ist die Berechnungsweise für Bögen mit einer Zugstange CD zwischen den Kämpfern und Scheitelpunkten angegeben, indem das einfach statisch unbestimmte System (mit einem beweglichen Auflager) aus der Formel S — Sa -f- Xn. • Sa berechnet wird, und S₀ für die Stabkräfte ohne Zugstange, Sa dagegen für Xa = 1 im Zugstab zu berechnen ist, und

die wirklich auftretende Stabspannung aus Xa — 2 S₀ • Sa • ~j, : ^2 Sl

hervorgeht (der zweite Ausdruck in der Klammer entspricht dem Zugstab) (s. Abb. 95).

§

In den oben angewendeten Ausdrücken w = ist das E im Nenner weggelassen, weil es

---

Vk

i*

___t__l_

r,ou\

LX

EF ' EF )

sich im Zähler und Nenner aufhebt, und nur bei verschiedenem Material der Stäbe einzuführen ist. Wird noch A und B durch einen horizontalen Zugstab verbunden, so sind auch für diesen Fall ähnliche Formeln für das zweifach statisch unbestimmte System angegeben (hierbei ist unten ein Gelenk und ein bewegliches Auflager vorhanden).

Auch von Weyrauch sind in dem Buch (die elastischen c Bogenträger, 1897) Formeln für den Zweigelenkbogen entwickelt (auch mit Berücksichtigung der Temperaturspannung und der j Verschiebung der Widerlager), welche in dem technischen k Lexikon von Lueger (s. Bogen, einfache) kurz zusammengefaßt M werden, und dort ist auch die Berechnung des Dreigelenkbogens WE”*’ h mit semen Belastungsscheiden und Kämpferdrucklinien näher ausgeführt (vergl. auch die Berechnnng des Dreigelenkbogens nach Mörsch im Betonkalender von 1908). Auch Müller-Breslau hat Formeln für den rechteckigen Rahmen mit 2 Gelenken (für Kranträger) entwickelt (s. neuere Methoden der Festigkeitslehre Seite 113).

6.A.

w,

mm.

1/

Abb. 95.

Abb. 96.

Für lotrechte Belastung wird von Ingenieur Leuprecht (Zement und Beton Nr. 34, 1908) die Berechnung der untengezeichneten Rahmen mit Gelenken an den Endstützen und Pendelpfeilern in der Mitte als kontinuierlicher Balken mit Auslegern durchgeführt, indem die Endständer aufgeklappt und mit X belastet werden, welches mit Hilfe des

Hi

JL

' 2

HK

Hh

Abb. 97.

Abb. 98.

Seilpolygons der Momentenfläche zu berechnen ist. (Die kontinuierliche Berechnung könnte auch wie oben mit 4 bzw. 5 Oeffnungen durchgeführt werden). Für den rechteckigen Rahmen nimmt Häseler (s. Brückenbau Seite 336 und 594) 2 kontinuierliche Träger A CD und ABD an, welche mit den Formeln (10) und (11) (s. S. 56) berechnet werden können, wobei noch Ma = Mb und Mc — Md gesetzt wird.

Die Verbindung von A und B kann auch zur Einspannung des Rahmens dienen, z. B. bei einem halbkugelförmigen Wasserbehälter mit armierten Boden, welcher als Kuppel berechnet werden kann, hierdurch eine bessere Einspannung bei A und B bewirkt werden.

Auch in Abb. 91 kann

VH. Beispiele zur Dimensionenberechnung.

1. Berechnung einer Eisenbeton-Bahnbrücke mit drei Oeffnungen von 7 m Stützweite.

In der Zeitschrift Beton und Eisen 1906, Heft VIII, sind Bestimmungen über die Ausführung von Bahnbrücken aus Eisenbeton in Oesterreich angegeben, welche eine zulässige Eisenspannung von 750 + 4J ks/qcm und eine zulässige Beanspruchung des Betons = 25 bis 35 kg/qcm haben, und es kann daher für kleinere Brücken 750ks/qcm für das Eisen

nae

und 30 kg/qcm für den Beton gerechnet werden, wodurch das Verhältnis

ai

— unverändert bleibt, und

3

die Formeln in Heft 4 von 1906 (bzw. dem Sonderabdruck) direkt angewendet werden können. Von einer Berücksichtigung der Erschütterung durch Stöße kann hierbei abgesehen werden, um so mehr als das Schotterbett dieselben mildert, und kann das letztere 40—70

cm

stark gemacht werden, worin noch 2

cm

Asphaltbeton oder Asphalt mit zwei Juteeinlagen

Und 2

cm

Betonestrich (um den Asphalt vor dem Aufhauen beim Krampen zu schützen) enthalten sind. Die Schubspannung soll ferner statt 4,5 kg nur 3 kg und die Adhäsionsspannung statt 7,5 kg nur 5 kg betragen dürfen.

Die Verteilung des Drucks findet unter dem Böschungswinkel 1:1 bis zur Mitte der Platte statt, und es können in der Querrichtung (unter der Schwelle) je 3 dm zu beiden Seiten der Schiene als beständig unterkrampt angesehen werden, so daß die Belastung sich auf 148

Zur Berechnung der Platte genügt es jedoch, eine gleichmäßige Verteilung der Last von 10 ¹ auf 75 der Hauptträger in der Querrichtung, und auf den mittlern Abstand von zwei Querschwellen = 80 richtung anzunehmen (da bei großen Einzellasten auch eine kleinere Verteilung möglich ist).

Man erhält nun vom Eigengewicht der Fahrbahn 0,2 • 2400 = 480 kg/qm, somit zusammen 1480 kg/qm.

Nach den österreichischen Vorschriften ist die Platte als teilweise eingespannt anzusehen, und es kann unter

_ qP

cm

Breite und 113

cm

Länge verteilt (s. Abb. 101).

cm

cm

Abstand in der Längs-

rd. 0,5 • 2000 = 1000 kg/qm und von der Platte

Berücksichtigung der Kontinuität in der Mitte derselben M

<lm

und am Auflager Mqa

J. *-

(s. S. 29 des Sonderabdrucks von 1906), so daß man erhält M

1,48-0,75²

Um

1,48-0,75²

12

0,0694 nit und M

Pm

pro Meter Länge der Platte, und ebenso Mya =

Länge derselben, somit ist Mqm— 0,8506 mt und M,la = 1,1342 nU.

= 0,0925 mt und Mpa =

10 • 0,75

9-0,8

— gerechnet werden

9

10    • 0,75

12-0,8

1,0417

= 0,7812

mt

mt

pro Meter

Für die Dimensionierung ist nach Alb: x =

(5,70)

100 • 4,83

g cmkg

°b

7 • 100 - 30

(5,70)

= 4,83

cm

und h =

(15.2)

X = 12,9 cm,

50

(11,40)

= 9,66 ntra. Es soll nun (nach dem Vorgang der österreichischen Brücken) 20

cm

als Platten-

in der Mitte und    li =    18    -f- 5    = 23

. 11,4 =    7,5 qm), und für    beide    genügen    daher 10    ©    10 =    7,85 qcra.    Um

2o

die    Platte    möglichst    vor    Rissen    zu    schützen, sollen    oben    und unten    je 5 0 10    auf    die    ganze    Länge    durchgehen,    und

ferner    5    010    von    unten    nach    oben    abgebogen werden (s.    Abb. 104).

stärke angenommen werden, so daß man für h = 18

15,2

12,9

• 9,66 = 6,9

qcm

und fe =

cm

cm

am Auflager erhält:

--2A

V.

nr

fä

70

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Abb. 99.

f* 1)

\T

fr-

3t9 cm

--*-7--

---^£

_ _ /4-J c-irv _

Abb. 101.

= 0,8506 mt, fe = 10 © 10 = 7,86 qcm, ft = 3,93 fe^rfe —    'Qlft. + Ä7e), oder a:² -j~ 2-15#-

•(18-7,86 -f 2-3,93), oder z² + 2a:-1,77 = 44,8, oder x = — 1,77 -f \ 1,77² -f- 44,8 = 5,15 cm.

2•85060

Man erhält nun nach A 2 a für M ti = 2CIU, b = 100 cm, n — 15 :a:² + 2nx-

h = 18 em, 11,80 _ 2-15

io(T ~ loo ■

Ferner ist

qciri

■2M

==

170,120

8,40 + 1,15

= 17,8 kg und ae = not, (--l^j

= 15-

100 - 5,15 (18 — 1,72) + 2 - 15 • 3,93 (18 — 2) (l — = 666 kg, ae — nojl -

17,8(4?

,5,15

²)

5,15/

1=15-17,8-

M

,15 )

= 148 kg.

Die Abschrägung endigt gewöhnlich bei - bis

O

1Ö’

cm

**-

(l = Lichtangenommen (da die obern fünf Rundeisen den Zug

während die Eisen schon bei

bis

weite) abgebogen werden, und es wurde hier für beides 10 aufnehmen können).

Für die Hauptträger sind drei Oeffnungen von je 7 m Stützweite angenommen, und man erhält hierfür nach den Leit-

_ qP

Sätzen M.

_ lü

(im

₁₀ und M qa =

und bei der verhältnismäßig großen Verkehrslast kann hier das auf S. 24 des Sonder-

abdrucks von 1906 Gesagte nur insofern angewendet werden, als die Momente für Eigengewicht und Verkehrslast nach den Formeln M

pp

<iM

12,5

-f- und M qa = ^

- EL J. El

8,6

getrennt zu berechnen sind.

Zur genauen Bestimmung des Einflusses der Einzelnsten soll nun der kontinuierliche Träger mit drei Oeffnungen berechnet werden, wobei in der Längsrichtung keine Verteilung der Einzellasten angenommen wird, und in der Querrichtung eine Verteilung auf 148 cm zulässig ist (s. Abb. 101), so daß die Belastung jeder Schiene auf zwei Hauptträger verteilt werden kann.

Als Eigengewicht erhält man y = 1,48 • 0,75 -f- 0,7 • 0,3 • 2,400 = rd. 1,62 *. Als Verkehrslast gilt das preußische Lastschema von 1901 für Hauptbahnen, und die Tabelle der Maximalbiegungsmomente ergibt untengezeichnete Laststellung mit i¥max = 36,72 mt für Radlasten im Abstand 0,375 ¹¹¹ von der Mitte (welcher hier links anzunehmen ist).

(1)

Aus der Clapeyronschen Gleichung (s. S. 32 des Sonderabdrucks von 1906) erhält man nun

P-a{l² — a²)

2 M₂ -2/4- M₃ - I =

tZ

ZP-b(l²—b²)

m,

(2)

M₂ • / + 2 M₃ • 2Z = —

1:p.a(P — a²)

ZP-b(P — b²)

(a und b sind die Abstände der Kräfte P von links und von rechts her), somit ist M₂ =

Für obige Belastung in der ersten Oeffnung ist daher M., — —

15/

• — — n

— 4 m + n 15 /

- ~pr {l,625 (7² - 1,625²) + 3,125 -

und M₃ —

— 4 n ~f- m 15/    '

•(7²—3,125²) + 4,625 (7² — 4,625²) -f- 6,125 (7²— 6,125²)j — — 19,40"“ (die Produkte in der Klammer können für a (/ — a) • (/ 4~ a) mit dem Rechenstab gerechnet werden).

im Abstand 0,375 m wird daher — 36,72 1,62-7’

Das positive M

3,5 — 0,375

x niax

gewicht erhält man M,Jm = —

1 Ja)

(pro Träger gilt das halbe Moment für Radlasten).

12,5

6,35 rat für einen Hauptträger, somit Mtm =

• 19,4 = + 28,06 mt, vom Eigen-28,06

+ 6,35 = + 20,38 mt

Mit M

__qP

yjsy//.

qm 10

hätte man erhalten

mm

0,8

und mit

/ 36,72

V 2

1,62-7²\

8" )

— 22,63

r//,-

ZZ

/X 77V.

Abb. 102.

■ 12,5 + "kT - ⁶⁾³⁵ +

also ist letzteres genügend.

Zur Berechnung der Maximalbieguugsmomente M₂ an der Mittelstütze sind die ersten zwei Oeffnungen möglichst stark zu belasten, und die ungünstigste Belastung ergibt sich aus den Einflußlinien der Lasten 1 * in Oeffnung 1 und 2 für Mr Dieselben ergeben sich in Oeffnung 1 aus:

0,8 • 36,72

'/m

= 21,04"“,

4 • 1 • x (Z² — x²)

15/

(für x von links her) und in Oeffnung 2 aus:

4x (7² — a;²)

15/²

735

M₂ =

4 • 1 -x (/² —x²)

1 -{l — x) • (2 l-~x)'X

15/

15 Z²

15 Z²

k-

/■Xk s,X jt-ZZ .. Z.V____

XXL

MC

-.3, 01TC_.

zz.

fix/ fix/ fix/ fix/ fi.fi/

y

fix/ fix/ fi,x/

CO

r--.. (—5x² 4- 3/*x 4“ 2/²) (worin x von der Stütze rechts 15 /

Abb. 103.

her gilt, und der zweite Ausdruck dem in (2) entspricht).

S P- a (/ — a) (/ 4" a)

Wenn man die Stützweite von 7 m in n — 5 Felder mit 1,4 m Länge teilt, so daß l — n- \ und x = m • X ist,

4niK (n² — m²)

15 n²

1,4m (— 5m² 4- 15m 4~ 50)

so wird für die Belastung von Oeffnung 1: M₂ = —

5,6 m (25 — m²)

15-25

und von Oeffnung 2:

und durch Einsetzung von m — 1 bis 4

m₂ = -

ergeben sich die Ordinaten der nebengezeichneten Kurven = 0,358; 0,627; 0,717; 0,538 mt in Oeffnung 1 und = 0,224; 0,448; 0,560; 0,448mt in Oeffnung 2. Verschiebt man die (auf Pauspapier gezeichnete) Laststellung, und berechnet die Summe der Ordinaten X 8,5 (bzw. 6,5) für drei verschiedene Stellungen, so erhält man das Maximum für M2 durch eine Kurve (s. Abb. 103).

15 h²

(— 5 m² + 3 m« 4- 2n²) = —

15-25

M₂ =

Das durch die Rechnung nach (1) und (2) für obige Laststellung ermittelte Biegungsmoment ist

— 4 m -f- n

15/

^JT I¹ • (7² - l2) + ²>⁵ (7² - 2,5²) 4- 4 (7² - 4²) 4- 5,5 (7² - 5,5²)} -

4 • 6,5 15-7

6,5 f

15-7

und genau in Uebereinstimmung mit der obigen Berechnung durch Einflußlinien.

.    . (₇² _ i²) 4- 2,5 (7² - 2,5²) -f 4 (7² - 4²)f +

₂ (3 (7² — 3²) 4- 4,5 (7² — 4,5²) 4- 6 (7² — 6²)j = — 25,12

Statt M₂ = — 25,12 mt erhält man mit

pp

den Wert 36,72 mt, was offenbar viel zu ungünstig ist, indem die

Oetfnung 1 bedeutend mehr belastet wird als die Oeffnung 2, und es sollte daher p aus dem Moment M = 110,50Ult

pl² _

für die Belastung von 2 X 7 = 14 m bestimmt werden, indem alsdann p =

4,51-7²

8-110,5

4,51-7²

pP

= 4,51 ‘ und

W

= 25,70mt, so daß letzteres genügend ist (diese Momente sind pro

14²

= 27,62 mt und Träger mit 2 zu dividieren) s. S. 7.

Man erhält somit als genaue Momente Mqm — + 20,38 mt und Mqa = —

8,6

8,6

1,62-7²    25,12

10

= — 20,50 “*

(bei angenäherter Berechnung Mqm = + 21,04 mt und Mqa = — 7,94

25,70

= — 20,79 mt).

(ca. 1)

Bei Vernachlässigung des Drucks im Steg ist nach A3b: 16a? =

(464,1)

461,7    (²⁹’°)    8

-w~=* 8,»“.*=t*= ₃

(ca. 1,5)

(192,4)

= 271,7 + 190 oder x =

b -d- ab 8-29

ii-—)

x /

6•2038000

75 • 20 • 30

+ 20-

77,3

cm

=75-20

(l — —^ oder fe = 39,3 qcm. Für h =

83 cm erhält man fe =

39,3(77,3--^)

“nd S5f.=6.<*(i-^)

= 36,2

qcm

, so daß

6 0 28 = 37,0 qcm genügen (s. S. 13). <+

06

>1

JL

3? 28

3*28

xr=

ssfo

sj>2%

tt

r*

cm

£'ü re i S

6*2%

£M= -

*_

fr

ct/r

* - -<r’

Abb. 104.

Abb. 105.

Werden außerdem oben 2 © 20 zur Aufhängung der untern Rundeisen angenommen, so ergeben sich die genauen

h = 3,5 cm, b = 75 cra, d = 20 cm, c = 30cm, fe = 37,0

Spannungen aus A4a für M = 20,38 mt, h = 83

/■; = 6,3

qcm

aus

a:² + 2a?

I n (fe + ff

+ d ^---1^

cm

qcm

\_ 2w (hfe + h! ff

+ d? ^---lj,

oder

°6 =

I 15 (37,0 + 6,3)

/ 75

(83-37,0 + 3,5-6,3)+ 20!(—

X* + 2x -51,65 = 3693, x — — 51,65 + 1/51,65’ + 3693" = 28,1

x² + 2x

30

+ 20

(£-0)

2-15 I ~    30

Ferner ist

>)

, oder

b-x•

d + ifx ~ X) (3/l

— 2 d — x) + n

fe (i — (x + 2d - 3V) 3•2038000

75-28,1-20 + 15-37

611,4000

(dr-¹)«³-⁸³-

2 • 20 — 28,1) + 15 •

6,3 (

3,5

28,1

(28,1 + 2-20 — 3-3,5)

4,22 + 19,60 + 0,48

°e = nob

(I-)

= 15-

= 25,1 kg, zulässig 30 kg, 25,1 (- ⁸³

1^ = 735 kg, zulässig 750 kg.

28,1

Am Auflager erhält man für Mqa = — 20,50 mt, b = 30

cm

und oh = 30 kg nach Alb:

6•2050000

50

7 b-ob b-x _ 30• 44,2

7 • 30•30

= 44,2

cm

cm

50

= 26,5 qcm, so daß für h = 113

h = — x = 117,9

o

und K = 5

und

cra

cra

oben

fe = 4 © 28 + 2 © 20 = 31,0 genügen, und hierfür nach A2a erhalten wird: x = 41,9 cm, ob = 25,8 kg, ae = 660 kg, de — 340 kg.

qcm

und unten fe = 2 © 28 = 12,3

qcm

24

Am äußern Auflager kann das Biegungsmoment im Maximum für ganze Einspannung =

X -

für halbe Einspannung zugelassen werden, so daß hier oben und unten 3 0 28 vollständig genügen.

sein und es kann

Die Eiseneinlagen über den Mittelstützen sind wie nebengezeichnet angenommen, und da die Eisen 0 28 ineinander-greifen, so hat man am Auflager die doppelte Zahl bzw. 4 0 28    2 0 20 zu rechnen.

Die Abschrägung kann hier bei

6,0

= rd. 80

cm

1    GO

und die zweite Abbiegung bei — = —— rd. 160

4    4

cm

angenommen werden, wenn man sie nicht aus der schraffierten Fläche ableiten will. Zur Berechnung der Schub- und Adhäsionsspannungen ist die Bestimmung der Querkräfte erforderlich, und man erhält nach der Hütte bei drei

Oeffnungen mit gleichförmiger Belastung (s. Abb. 47 des Sonderabdrucks von 1906): V"qi — — 0,6gl — 0,617pl und V',l2 = + 0,5 gl + 0,583pl als Querkräfte am mittlern Auflager, und Q₂ — V[n — V"Ql = 1,1 gl + 1,2 pl als Auflagerdruck desselben. Es soll auch hier zur Vergleichung mit Einzellasten gerechnet werden, und es sind die ungünstigsten Belastungen in Fall 1 und II wie beim diskontinuierlichen Träger anzunehmen, nur müssen für das Maximum beide Oeffnungen 1 und 2 belastet sein. Man erhält daher [aus den Einflußlinien s. Abb. 103 oder durch

21,26 mt

K---

Z --

Zs

f r    [ -ff , [ — —

fff fff fff fff fff

f,ff fff ff'

JT

ZS

.f-f___ZZ _ ,, ff

ff^ ff„ ff

ZN

Rechnung nach (1) und (2)] für I: M₂ = —

19 97rat

Träger und für II: M₂ —----und Mz

A

pro

8,20“*

(die nebengezeichneten Lasten gelten pro Schiene). Die Querkräfte ergeben sich alsdann aus IP-a

-W ZK

ZS

ZS

(3)

r; =

M₂

<Jl

'i

(4)

r und

M₃ — M₂ , i P(l — d)

9l

fff fst fff fff fff

Abb. 106.

(s. S. 33 des Sonderabdrucks von 1906) oder für I: — 10,63 — 7,94    5-8,5-4    1,62-7

r:

7-2

₂    = - 20,47*

(vom Eigengewicht allein = — 6,80*) und für II: V ₂ = 1,62-7

— 4,10 4- 9,985

5 • 8,5 • 4

1,62 - 7

7-2

= + 18,65* (vom

Eigengewicht allein

+ 5,67*).

für III: M₂ =

Zur Bestimmung des Maximalauflagerdrucks ist 2 l — 14 ¹⁰ in der Mitte möglichst zu belasten, und man erhält

6,08“* .

——, sowie V, =

1,62-7

— 13,08 mt

und M₃ =

— 6,54 — 7,94

3-8,5-5,5

1,62-7

2-7

2 = “ ¹⁷’⁷⁶

— 3,04 -f 6,54

3-8,5-5,5

2-7

= + 16,19* und Q₂ = V₂ — V” = 16,19 + 17,76

8,5

= 29,70

/ 8 5 ¹    \

— wurde doppelt gerechnet und ist daher abzuziehen

Nach obigen Formeln für gleichmäßige Belastung wäre für A = Z— oder p 2    5 • 8,5 • 4

I V'[ =0,617 pl, wo —

2-7

= 3,47 * oder V'[ — 0,617 • 3,47 • 7 = 14,97* statt 20,47 — 6,80 = 13,67 *,

II V₂ = 0,583 pl, wo p = 3,47 * oder V₂ = 0,583-3,47-7 = 14,16 * statt 18,65 — 5,67 = 12,98*, III Q₂ =    ’ 7 — 18,94 * (wo p aus M

A

Für die genauen Querkräfte ergibt sich nun als Schubspannung t₀ =

LI ■

für 14 m erhalten wird s. oben) statt 29,70 — 6,80 — 5,67 = 17,28*.

, und es können die

Werte von Vq im Abstand 0,5 m und 1,3 m annähernd aus

(l — X)²

(0,5)

4- Vg — g • x — 13,67

(7 - 1,3)*

7²

(17,78)

— 4- 6,80 — 1,62 • 1,3 = 13,76

(0,5)

bestimmt werden, so daß t₀

(17780)

13760

(5,9)

83 —

(115)

fm)

-30

— 6,3 kg ist (s. S. 16).

Die zulässige Schubspannung = 3 kg wird erreicht bei einer Querkraft =

13760-3

ergibt sich angenähert aus

(7 - z)²

6,3

— = 6550 kg. und ihr Abstand x

6,55 = 13,67

7²

4- 6,80 — 1,62 x oder x² — 19,8 x — — 49,9, x — 9,9 — ]/”9,9² — 49,9 = 2,96 m,

Die schiefe Zugspannung des Betons ist daher (nach Abb. 105):

(C)

(~o — 3) - b • x _ j80_ ! 2,9 + 3,3

2 \P '2

1/2

• 30 +

166

3,3

Y 2' 2

. 30 = 11080 und o =

(C)

11080 ?)• 6,16

= 600kg zulässig 750 kg.

30 • 5,9

_

nizd 4-3,14-2,8 + 2-3,14-2,0 gezogenen obern Seite (s. S. 33 des Sonderabdrucks von 1906).

Die Adhäsionsspannung ist x, =

= 3,7 kff zulässig 5 kg, und zwar an der

2. Berechnung des Mittelpfeilers aus Eisenbeton für eine Bogenbriieke.

Der Mittelpfeiler hat die horizontale und vertikale Belastung von 2 elastischen Bogenträgern auszuhalten, und die durch die Gelenke wirkenden Kräfte sind links

im Minimum: A\ = 12,5*, fff = 17,5*, R = |/ 12,5² + 17,3² = 21,3*, im Maximum: A[ = 49,0*, H[ = 45,6 *, R = ]/ 49² + 45,6² = 66,9 *.

Ebenso sind diejenigen rechts

im Minimum: A“ = 12,5 *, Hf = 18,6*, R — ]/ 12,5² + 18,6² = 22,4*, : A,[ = 49,0 *, H'r = 49,5 *, R — V 49² + 49,5T = 69,7 *,

für A

für Hmax: Ä'r = 33,8*, ff". = 70,8*, R — l/33,8² + 70,8² = 78,5 *.

max

Die Gewichte des Pfeilers ergeben sich (bei 1,5 m Abstand der Bogenträger) aus:

G, = 1,5 • 2,2 • 2,2 • 1,5 = 10,9 *, 6r₂ = { 0,3 - 1,5 +

_ 3,2 + 5,7

1,5 + 2,25

•0,5 +

2,25 + 2,4

•1,5 +

2,6 + 2,7

• 0,5 11,5 • 2,4 = 22,3 *,

3,7 + 5,7

•2,0 -1,5 -1,0 = 26,0

• 2,5 • 1,5 • 2,4—

Gt — 8,0 • 1,0 • 1,5 (2,4 — 1) = 16,8 *,

(die beiden letztem Gewichte sind mit Berücksichtigung des Auftriebs durch das Wasser berechnet).

Aus der Abb. 107 ist die graphische Bestimmung der Resultanten und ihrer Angriffspunkte in den Fugen ersichtlich, und es sind hierbei die Maximalkräfte Ä'r = 33,8 * und ff" = 70,8 * und die Minimalkräfte A\ = 12,5*, fff = 17,3* aufzutragen, und hieraus ihre Resultanten R = 78,5 * und 21,3 * zu bestimmen.

Für die Fuge I — I erhält man als Gesamtvertikalkraft 2,A — 33,8 + 12,5 + 10,9 + 22,3 = 79,5 * und als Horizontalkraft 2H — 70,8 — 17,3 = 53,5 *. Die Beanspruchung der Fuge ergibt sich für b — 150

2,2

. sw

ij»

cm

aus

U--

1,96 T 5,37 =

79500 270-150 | — 7,3 kg Druck ^ + 3,4 kg Zug '

6 • 123

270

■>

2SA

ft

■*7

-*• -------

M-----+

—4

'4

Durch Eiseneinlagen soll nun die Zugspannung des Betons aufgenommen werden, und dieselben sind auf beiden Seiten gleich stark zu machen, weil die Maximalkräfte rechts oder links wirken können.

=!— —

AS"*

A"

.w

0+

Nach S. 43 (des Sonderabdrucks von 1906) sind die Formeln B2c mit p = 1 anzuwenden, und zwar für P = 79500 kg, ab = 7,3 kg, g, = 135 — 123 = 12 tm, b = 150

Die Eiseneinlagen sind im Abstand 15cmund zweireihig (in 20 cm Abstand) angenommen, so daß li = 17,5 + 10 = 27,5

J _ fe (117,5² + 97,5²)

St ’ fe{ 117,5 + 97,5)

und h 270 — , und es ist

''■Oh

cm

n =15.

_ _ 226-*2/ £■--

cm

genauer in Beziehung auf die Mitte aus

somit h! = 135 — 108,5 = rd. 27

g, — h — g, = 243 - 12 = 231

=108,5 — 27 = 243

cm

cm

X²

cm

— 2 X(h + K) = — y (J* ₊    +

y (243' + 27²) +

x² — 2x • 270 = —

f(x) = x² — biQx + 143386 —

und x — 150 —

2790-30

I sc

Abb. 107.

231 + ^1--(12 — 27)| oder

— 9634 + 2790

3-79500 f/243 150-7,3 x

12314440

120

= 0. Für x — <

ist f(x) —

150

= 143,3 cm; für h — 140

12424

hierfür ist f(x)— + 42, somit genaues x = 141,6

10-574

= 141,7, und

ist f(x) = —- 574 und x = 140 + (s. S. 13).

cm

cm

3364

für 150

Ferner ist n

15 (l -

(i-£).<*-*>/: =

).(243- 27 )•/; = 79500-231

bx

— ‘9 2

27

79500

— (3/t — #), oder 6

150 • 141,6

141,6

15-382-216

472

ft =

7,3

•231 —

(3-243 — 141,6) oder

cm

Breite, somit

166,4

7,3

— 3540-587,4 oder f't — 959,4 — 793,0 = 166,4

qcm

10-2

= 8,32

qcm

pro Rundeisen, und es wären solche 0 33 erforderlich.

oe == n<jb

Da die Inanspruchnahmen des Eisens nur gering sind, nämlich

243

(M

= 15-

7,3 (

141,6

] | — 78 kg und o'. —- nolt (l--)

= 15-

7,s(l

27

141,6

= 89 kg

so kann man bei Berücksichtigung des Horizontalschubs und der durch ihn hervorgerufenen Schubspannung des Eisens eine Reduktion des Eisenquerschnitts erhalten.

Die Schubspannung des Eisens ist (bei Vernachlässigung derjenigen des Betons) für den berechneten Eisenquer-53500

schnitt aa =

2-166,4

161 k&/

qcm*

Die größte zulässige Gesamtspannung ergibt sich aus

800

1000

(da aa = 800 kg und oe — 1000 kg zulässig sind). Nimmt man nun für einen kleinern Gesamtquerschnitt Fe statt Fe

auch eine verhältnismäßige Abnahme in fe und f'e an, so ist

f ~ F

lern    <

, und weil in M = oc fe (h —

der Abstand

bzw. bei exzentrischer Beanspruchung der Abstand der Zug- und Druckresultanten sich wenig ändert, so ist oc

umgekehrt proportional fe, und für ein kleineres fm wird oe um

ft

ft

Eisens ++

+-°'

größer, so daß als zulässige Gesamtspannung des

J = 1 erhalten wird, und hieraus fm berechnet werden kann.

78 \

) = 166,4-0,279 = 46,4 qem und pro gewählt werden. Dasselbe ist

fm

) = ^(

800

1000

u vsoo

Bei Einsetzung von oa, ae und fe ist daher fm = 166,4 ^

Rundeisen ergibt sich

1000

46,4

161

800 ¹ 1000

= 2,32 qcm, d. h. es kann ein Eisen 0 18 mit fe = 2,55

qcm

10-2

dann ausreichend, um die ganze Zugspannung und die ganze Schubspannung des Betons aufzunehmen, und ist dies besonders auf der gezogenen Seite des Betons erforderlich. Mit dem Eisenquerschnitt fe = f'e = 51 qcm und den obigen Werten für P, h, ti, gv g₂, b und n erhält man nach B2a (s. S. 43 des Sonderabdrucks von 1906) die Werte

x = 110,2cm, 0h = 10 kg, ae = 181 kg, a'e = 113 kg, = 525 kg,

°a

3e

800

= 0,84 (s. S. 13).

1000

Für die Fuge II — II ist die Gesamtvertikalkraft ZA = 79,5 + 26,0 = = 105,5 *, während die Gesamthorizontalkraft gleich bleibt.

Die Beanspruchungen ohne Eiseneinlagen sind:

6-226

105500

570

= — 1,24 T 2,95 =

| — 4,2 kg Druck l + 1,7 kg Zug *

__

570-150

Man erhält nun für P= 105500 kg, ab — 4,2 kg, gl — 285 — 226 — = 59 cm, h! = 10cm, h = 560cm, g₂ — 560 — 59 = 501 n = 15 aus den Formeln B 2 c mit p = 1 die Werte x = 325,2 cm, f 't = = /'c = 196,4 qcm, oe = 46 kg, a'e = 61 kg.

im

, b = 150cm,

53500

136 kg, und

46 \

) = 196,4-0,216 =

Die Schubspannung des Eisens ist o₇ =

hieraus erhält man wie oben fm = 196,4 ^

d. h. es kann ein Rundeisen 0 24 mit ft — 4,52 qcm bei 15 und die obigen Werte von P, h, h!, gv g₂, b und n erhält man nach B2a: x — 249,7 cm, ob = 5,7 kg, oe = 106 kg,

Abb. 108.

136

2-196,4

42,4

qcm

cm

800 * 1000 Abstand gewählt werden. Für fe — f'e = 45,2

qcm

Oc

< = 82 kg, oa '= 592 kg,

Für die Fuge III — III erhält man als Gesamtvertikalkraft ZA = 105,5 + 16,8 = 122,3 *, so daß sich ergibt:

— 2,8 kg Druck + 0,8 kg Zug

122300

150-800

und der Zug auf

800

1000

= 0,85.

1 ± ⁶'²³⁶

800

) = — 1,02 T 1,81 = {

2,8

und der Druck verteilt sich auf ——- • 8 = 6,22 m

3,6

-8 = 1,78 ,n.

Da jedoch der Zug in der Bodenfuge nicht wirken kann, so ist P =

od -150 • 3 (400 — 236)

= 122300 kg

zu setzen, somit ad — 3,32 kg und der Druck wirkt auf eine Länge von 3 • 1,64 = 4,92 m.

Das vorstehende Ende der Fundamentplatte = 1,15 m ist mit Eiseneinlagen zu berechnen, und das in Abb. 107 schraffierte Trapez ergibt einen Druck

3,32 + 2,54

• 115-150

= 50540kg im Abstand — •

o

h 2 a b__ 115    2-3,32 + 2,54    _

a + b ~    3    3,32 + 2,54

= 0,60m, somit ist

M — 0,6-50,54 - 1,0-

1 15²

— 1,5 • 2,4 = 28,25 Ult (mit Abzug des Eigengewichts der Platte).

Die Eiseneinlagen ergeben sich für M = 28,25 mt, 6 = 150cra, o₆ = 30 kg, 1 -f

b-x ___ 150• 20,2

76a, Bei 100

1/-

6•2825000

nob

n — 15 aus

7-150-30

20,2

cm

cm

50

Gesamthöhe wird h — 95 und es genügen Rundeisen © 21 mit fe = 3,46 qcm. Die Schubspannung ergibt sich aus x₀ =

cm

To =

46400

150 ^ 95

¥■)

= 60,6 qcra.

Ji — — x = 53,9

o

somit fe =    60,6 = 34,4 q8m, und bei 15

50

cm

cm

Abstand 3,44

qcm

‘-T>*

, wo Q = 50,54 — 1,0 • 1,15 • 1,5 • 2,4 = 46,4 *, somit

= 3,5 kg, zulässig sind 4,5 kg. Zur großem Sicherheit sind dennoch im Abstand von 45

cm

Eisen

aufgebogen, und oben Eisen © 21 eingelegt, so daß man nach Abb. 108 für b = 150 f't = -³-~ = 11,5 qcra, h = 95cra, K — 5

O

cm

erhält: M — 28,25 mt, fe = 34,6 und nach A2a: x = 21,lcm, ab — 18,2 kg, oe — 922 kg.

cm

qcm

Die obige Berücksichtigung der Schubspannung bei der Bestimmung des Eisenquerschnitts für kleine Zugspannungen des Betons ist sehr einfach, und ergibt auch in dem ersten Beispiel bei Berechnung der Eisenlagen für die

unten eingespannten Mittelpfeiler mit der obenwirkenden Bremskraft = —

zwei Pfeiler oder

-5-8,5-2 = 14,17 ⁴ auf zwei Träger und die = 3,54 ‘ pro Träger und einen Pfeiler, und dem in halber Höhe wirkenden Winddruck

= 0,15-0,75-5,0 = 0,56‘, sowie der Belastung P= 29,70 -f- 9,90 = 39,6 l, viel weniger Eiseneinlagen. Denn es ist

39 600    1 910 000-6 _ /— 15,0 kg Druck

75 120²    ~ l-f 6,2kg Zug ’

P M

— — Zf —, wo M= 5,0 -3,54 + 2,5 • 0,56 = 19,10 mt, oder a = —

und hierfür

75-120

/    M

ist dieselbe Berechnung wie oben mit B2c k = 60 — e — 60--— = 12

) Und fm ~ fe (

800

1000

durchzuführen.

I Im I

in

+i

Hc--

— CU----X

Abb. 109.

Abb. 110.

3. Berechnung einer an vier Seiten aufliegenden Kassettendecke mit kreuzweiser Armierung.

Die auf S. 29 des Sonderabdrucks von 1906 enthaltene Berechnung einer rechteckigen Platte ist dahin abzuändern daß die Verteilung der Belastung in beiden Richtungen aus der Gleichsetzung der Durchbiegung in denselben bestimmt wird.

x-a²-b- p

und y • M₂ =

Das dieselbe Durchbiegung in beiden Richtungen hervorrufende teilweise Moment der Platte ist x • Mx = y-b²'d-p

8 (ft -f- b)

8 (ft -j- b)

pro 1 m Breite (s. S. 29), wo x y = 1 ist (s. Abb. 109), so daß man bei der gleichfömigen

5x-Mra² _ 5y-M,-b²

Belastung p/qm die in beiden Richtungen gleiche Durchbiegung f =

1-d³

erhält. Da J in beiden

48P-P,    48P-J,    x

Richtungen für die Breite 1 =    wird, so ergibt sich bei Einsetzung von x • Mx und y • M₂ das Verhältnis — —    ₃,

12    2    j    y (t

und aus x -j- y = 1 erhält man die Koeffizienten x =--und y —--p- statt des gewöhnlich angenommenen

b³

ft³

1 +tt

b³

1 +-r

a³

Werts x —

ft⁴

und y =

■jj-, bei welchem die Durchbiegung der Platte in beiden Richtungen ohne Berücksichtigung

6⁴

ft⁴

ihrer Auflagerung auf vier Seiten berechnet worden ist (s. Abb. 109).

Die obige Berechnungsweise einer auf vier Seiten aufliegenden Platte stützt sich auf die Rechnungsweise von Professor Bach (s. Elastizität und Festigkeitslehre), und die hierdurch erhaltenen Werte für x und y sind auch mit der Annahme von Professor Barkhausen in Uebereinstimmung (s. Theorie der Verbundbauten in Eisenbeton, S. 15).

Diese Werte von x und y sind zur Berechnung des mittlern Streifens von 1 m Breite so anzuwenden, daß für die Richtung CD das Biegungsmoment =

x-p • a²

und man erhält alsdann für b — 2a die Werte: pa²

in beiden Richtungen (s. S. 29).

J. Jj

und für die Richtung AB das Biegungsmoment = pa² _pa²

y-p -b²

wird,

1 + 4-

und

pb² _ pa²

18

statt den Mittelwert

Für eine Einzellast P in der Mitte der Platte erhält man ebenso x-My = —

x-a-P

4 (a + b).

und y • M₂ =

4 (a + 6)

pro 1 m Breite (s. S. 29), und da die Durchbiegung für eine Einzellast f =

PA³

so kann hierfür gesetzt werden f —

MA²

48 EJ

für das Moment M =

PA

— ist,

und = b ergibt sich f —

12 EJ

x-M^-a² _ y-M₂-b²

12 EJ

und bei Einsetzung der obigen Werte für x-M{ und y • M₂ mit 1 = a

und weil auch hier in beiden Richtungen J =

1 -d*

12 EJ₂

x    b^

man gleichfalls = — und mit x + y = 1 dieselben Werte für x und y wie oben.

y    ^    £. jp. ^

Die Momente für die Breite 1 sind alsdann für die Richtung CD =

„ ist, so erhält 12 ’

und für die Richtung AB

y^JLJL un(j man erjjäit für b = 2a die Werte 4

1 P-a 2 P-a

und

P-b

P-a

18

anstatt des

P-a

angenäherten Mittels —-— in beiden Richtungen (s. S. 29).

6

TTt

5,5+ 1,05 t/m

6/28

2<528\ 2628

5/28

L-W-4*- 7O-s-

---

---6,55--

--—

5,85-

OfS-^A

Abb. 111.

V

-iS.

Abb. 112.

2

Bei einer eingespannten Platte kann nach den Versuchen von Bach —

³ 1

Einspannung ein Mittelwert angenommen werden. Für das Moment am Auflager bleibt alsdann noch —

1 3 übrig bzw. ein Mittelwert zwischen — und 0. Für durchlaufende Platten kann eine ähnliche Reduktion stattfinden wie

O

der Momente gerechnet und für teilweise

der Momente

sie für die Momente der auf zwei Seiten aufliegenden Platten gilt, aber nur in der Richtung welche kontinuierlich aufgelagert ist.

Bei einer Kassettendecke sind auch seitliche Rippen zu berechnen, und da als Biegungslinie in beiden Richtungen

eine Parabel angenommen werden kann, so ist das seitliche Moment = M ^1--w0 ^ ^as Moment *n ^er Mitte,

a?t der Abstand des Querschnitts von der Mitte und    bzw. —

2

Richtungen ist.

und =

die halbe Stützweite in beiden

2

Die Auflagerdrücke erhält man in den Richtungen CD und AB aus^

druck in der betreffenden Richtung ist, und es geht dies schon daraus hervor, daß bei einer starren Platte der Auflagerdruck sich gleichmäßig auf alle vier Seiten verteilt, und diese Annahme auch bei der Berechnung der obigen Formeln für Mx und M₂ gemacht worden ist. Es sollen nun zwei Beispiele der Berechnung von Kassettendecken angeführt werden, und bei obengezeichneter Decke mit 5,1 m lichter Breite und 5,85 m lichter Länge ist die Rippe ab noch mit einer Wand belastet, welche durch zwei Stockwerke hindurchgeht, und auch durch die Fußböden und das Dach belastet

A und

r A, wo A — Auflager* a + b

wird, so daß hierfür eine gleichmäßig verteilte Belastung von

32

rd. 5,5 tjm angenommen werden kann (s.Abb. 110).

5,85

Wegen des bessern Aussehens und der erhöhten Tragfähigkeit ist eine Kassettendecke gewählt worden, welche auf 50 cm starken Wänden bzw. Rippen 60/50 em aufliegt, so daß als Stützweiten für die Berechnung anzunehmen sind: a = 5,1 + 0,5 = 5,6 m und b — 5,85 + 0,5 = 6,35 m, und weil die Belastung sich nach beiden Richtungen verteilt,

p-a² pa²

so erhält man Ml =

(A_⁶_y

\ 6,35/

13,5

- und M₂ —

/ 6,35 \3 \ 5,6 /

p-b²_ pb²

19,5

, und mit Rücksicht auf eine

pa²

und '==    angenommen wei’den.

16    *    24

Die Berechnung der zwischen den Längsrippen teilweise eingespannten Platte geschieht in der gewöhnlichen

Weise, indem man für 1,7m Stützweite erhält: Mm —    = (0,4 + 0,24) •    - = 0,154mt (bei 400 kg/qm Belastung

12 12

/ 2    \    5

teilweise Einspannung in den Randträgern kann (— -|- 1 \: 2 = — somit M

und 10cm Stärke der Platte) und M„ —

ql*

1,7²

— ~ 0,64 ~

— 0,206 mt. Werden keine Abschrägungen angenommen,

so gilt der letztere Wert, und es ist nach Alb:a; = 100-2,15

bx

50

50

V-

7 b-ob

— 4,3 ycm, für h — 8,5 em ist fe =

5,73

8,5

6-20600

7•100 - 40

= 2,15 cm, h =

• 4,3 = 2,9 qcm, so daß 8 ® 10 mit fe = 6,28 “cra bei

10 cm Plattenstärke reichlich genügen, von welchen 2 X 3 ® 10 nach oben abzubiegen sind und 2 ® 10 unten und oben gerade durchgehen.

Die Längsrippe äb (s. Abb. 111—113) hat die schwerste Belastung zu tragen, welche mit 5,5 ⁴/m anzunehmen ist, wozu noch das Eigengewicht und 400 k&/

• 2,4 = 6,56 ⁴ oder pro lfd. m

6,56

qm

Nutzlast kommen, somit 6,35 (1,35 • 0,64 + 0,3 • 0,2 • 2,4) -|- 2 • 1,35 • 0,2 • 0,3 •

6,53 * • 6,35²

6,35

Rippe im Abstand 1,7 m von der Mitte liegt, so ist M = M:

1,03 ⁴. Das Maximalbiegungsmoment wird daher

max

('

1,7²

2,8²

) = 0,632 M,

24

max

10,94 mt und da die

= 0,632-10,94 = 6,91 mi.

Hierfür kann mit Rücksicht auf die nach beiden Richtungen versteifte Platte mit b = — = 2,12 m gerechnet werden,

3

_ 35 4 qcm

so daß x —

6-691000

7S-o,

— 8,37 m, h —

— x — 22,8 cm, ft ~    ₆₀

212-8,37

7-212-40

=    ■ 35,4 = 30,4 ⁽icm, weshalb 5 ® 28 = 30,8

u U

oben eingelegt werden, so daß man nach A2a für f. — 30,8 <iCi:n, /' = 12,3 qcm, h — 26 cm, h! = 6,4 erhält: x = 8,5 cm, a₆ = 31,7 ks, ae = 979 kg.

Für h = 26

cm

ist fe

qcm

50

genügen, und außerdem 2 ® 28

, b = 212 cni

Schnitt mn.

13,6t

Zf 28

^max

'■I Zf 28 A

5fZ8

* L-*

Abb. 113.

1,6 t/m

VA^/////////////////////^^^^

U;--£/—>■*-]----

u -i

71,3 t

--*,5--

Abb. 114.

Der Auflagerdruck ist A —

6,53 • 6,35

5,6 • 20,73

5,6 + 6,35

somit x₀ =

—-.20,73 = = (20,73 — 6,53 • 0,25) • 0,468 = 8,94 *,

= 20,73 ⁴ und bei vierseitiger Auflagerung —

= 0,468 • 20,73 = 9,70 ⁴. Bei 0,25 m Abstand ist Q 8940

0,2 5

30 (26 — 2,8)

= 12,8 >■*, t| =

12,8-30

= 7,3 k<?, weshalb oben (an der gezogenen Seite) 6 ® 28

6 • tt • 2,8

vorhanden sein müssen, von welchen zwei oben gerade durchgehen, zwei nach oben abgebogen und zwei oben eingelegt und nach unten abgebogen werden (s. Abb. 112).

_ 4,5

• 9700 = 3400 k&, somit bei Vernachlässigung / 6,35

des verhältnismäßig kleinen Einflusses der einseitig wirkenden Nutzlast von 400 kg/qm: 6,53 (—

— 2,06 m und Z' =

Die zulässige Schubspannung von 4,5 kg entsteht bei Qx —

6,35

3,4

206•30

12,8

*)

- 0,468 = 3,4

(12,8 — 4.5) = 18 140 kg, und für vier abgebogene Eisen

oder x —

2

18 140 ³ ~ 4-6,16

Wird als negatives Moment am Auflager im ungünstigsten Fall^-ilf = -—-6,91 = 2,30 mt gerechnet, so erhält

3    0

man für ft = 6 ® 28 = 17 lJcm, f'e — 3 ® 28 = 8,5 f*cm, h = 25,5 cm, h! = 4 cm, b — 30 cm, die Werte x — 12,35 cm, a/; = 39,6 kg, ae = 633 ke.

Die Querrippe cd (sowiegh) unterstützt die Längsrippe ab, und erhält durch sie eine Einzellast = 2,05 • 5,5 = 11,3 4 im Abstand 1,1 m von Auflagermitte. Das Eigengewicht beträgt (mit Nutzlast von 400 kg/qm): (0,4 + 0,24)2,05-5,6 +

9

+ 0,3 • 0,2 (5,6 + 2,05 • 3) • 2,4 = 9 ⁴ oder pro lfd. m = —

0,468 • 6,53

= 736 kg.

5,6

= 1,6⁴, so daß der Auflagerdruck + =

1,6-5,6

4,5-11,3

5.6

= 13,6 ⁴ ist (s. Abb. 114).

Das Maximalbieguugsmoment tritt ein für V

dM

dx

(0,7)

(0,7)

(0)

und hierfür ist M = 1,44 • 13,6 — 0,34 • 11,3

= 0 somit bei 13,6 — 11,3 — x • 1,6 = 0 oder .r = 1,44 w

Vl-    (4,55)

^— ist M = 7,05 mt

__    (^»)    /    1,025²\

und da die Rippe seitlich liegt, so wird    M =    7,05    11    — _    \

(    (¥))

¹’^- • 1,6 = 14+ mt und für M = ^~- statt

(4,55)    (4,08)

\ = 7,05 • 0,896 = 6,32 mt.

Die Tragfähigkeit der Platte ist durch die Längs- und Querrippen bedeutend erhöht, weshalb statt

= 1,87 m

als mitwirkende Breite derselben 2,05m angenommen werden kann.

Man erhält dann nach Alb:» —

(408000)

7 b-oh

6-632000

7 - 205 - 40

(6,54)    O    (17,4)

= 8,13 cm, h = — x = 21,7 o

cm

(6,54)

h • r 205.8 IS (26,8)

—    ,    = 33,3 'icm und wenn 5 Eisen 0 28 = 30,8 acm

50

über und 4 0 10 = 3,14 cicm unter die 5 0 28 der Rippe ab gelegt werden, so ergibt sich h aus dem Schwerpunkts-

(17,4)

21,7    (26.8)    (12,8)

’    - 33,3 = 30,7

an der Abbiegungsstelle der 2 Eisen) genügen. Die Maximalbeanspruchungen in der Mitte

, h' = 3,6 cm, b = 205 cm, x = 8,25 cm:

3,14 • 4,7 33,94

3 • 6,16 + 3,14 = 21,6 sind alsdann nach A2a für fe = 34 icm, f'e = 2 0 28 —= 12,3 ⁽icm, h = 23,6 oh — 31,9 kß, oe = 890kß.

abstand

+ 26 — 2,8 = 23,6

qcm

cm

und erforderliches fe =

23,6

<-ni

qcm

so daß 34,0 ⁽icm (bzw.

Schnitt pq.

DC

5$28    3$ 28

3$ 28

4$28

2 <£28

m 2$ 28

5<ß28 “    i~2

k-Z55^+c— ^

;    5 28+0,10 ^

Le— 60—    — 60- =*■

3$28

fei

-4,5-

- j4<- 0,5-M

5$ 28

• i ir

Abb. 115.

Abb. 116.

Der Auflagerdruck wird bei vierseitiger Auflagerung A = 13,6 •

6,35

6,35 + 5,6

13,6 • 0,53 = 7,23 ‘, und für

0,25 m Abstand ist $025 = 13,6 — 0,25 • 1,6 = 13,2 ¹ bzw. = 13,2 -0,53 = 7 und für 1,1 m Abstand ist

7000

Q lfl = 13,6 — 0,25 ■ 1,1 = 10,85 ⁴ bzw. = 10,85 • 0,53 = 5,75

5750

und man erhält hierfür

30 (23,7 — 2,7)

= 9,1 kß.

= 11,1 kß und Ty =

Der zulässige Wert von t₀ = 4,5 kß wird bei der Einzellast 11,3 t erreicht, und die schiefe Zugspannung der

4,5)    ⁸⁵

30 (23,7 — 2,7)

schraffierten Fläche ist Z =

11,1 + 9,1

Y2

• 30 = 10100 kß und wird durch die 2 (bei 0,70 m Abstand)

abgebogenen Eisen aufgenommen, für welche 0 =

10100

auf die Adhäsionsspannung xt

£Ho.

nnd

30 • 11,1

2 - 6,16

= 820 kß wird. Zur großem Sicherheit und mit Rücksicht

7,6 kß an der gezogenen Seite wird noch ein Eisen 0 28 oben

gilt, so wird auch x,

5-3, 14-2,8

eingelegt und nach unten abgebogen, und weil für die obern Eisen h = 26cm statt 23,6 entsprechend kleiner.

cm

2 $20

1$24

1,0

SA

-1,2-

1$2o\    1$2^\

3$ 24 ^—6Q—^—60—A

*.-0,5-^* —

5$20 ---3,25---

-----H

I-

5,6-

Abb. 118.

*-1,2

1,0

10

• 1$24

U-1,0

6,5

-JL

11

5624

5024

5- U-----50-----

Abb. 117.

Abb. 119.

Y M= 2,11 mt am Auflager angenommen, so erhält man für fe = 30,8 <icm, f 'e = 3 0 28 + 40 10 =

O

= 21,6 icm, h = 26 cm, h' = 6,4 cm, b = 30 cm die Werte: x = 14,1 cm, ab = 26,4 kß, ae = 335 kß.

Der Auflagerdruck auf der andern Seite ist bedeutend kleiner, so daß hier die in Abb. 115 enthaltenen zwei Abbiegungen 0 28 genügen.

Die Rippe ef hat die Belastung 1,7 • 0,64 • 6,35 + 0,2 • 0,3 (6,35 + 2 • 1,4) • 2,4 = 8,23t zu tragen, so daß 8,23 • 6,35

Wird auch hier

24

= 2,18mt wird. Da die linksseitige Platte schon bei der Rippe ab mitgerechnet wurde, so soll hier

b = 100 cm

angenommen werden, und man erhält x=^/

6 • 218000

7 - 100 • 40

= 6,85

cm

h=l

3-®= 18,3

cm

100-6,85

50

= 13,7 ⁽icm und für h — 26

cm

18,3

• 13,7 = 9,7 icm, so daß 5 © 20 = 15,7 <lcm reichlich genügen.

Die kleinere Annahme der Breite b hat für den Eisenquerschnitt nur wenig zu bedeuten, wogegen die Betonbeanspruchung größer wird, und die Mitwirkung des Betons wird noch dadurch erhöht, daß auch in der Platte Verbindungseisen © 5 — 7 mm mjt 20 bis 40 cm Abstand eingelegt werden, welche mit den Haupteisen 8 © 10 durch Draht verbunden sind, und dadurch ein zusammenhängendes Eisennetz bilden.

Die obengezeichnete Kassettendecke (s. Abb. 117—119) hat die lichte Breite 5,6m und Länge 6,5m und die Stützweiten Z, = 6,1m und l₂ = 7 m, so daß bei vierseitiger Auflagerung

Mt =

erhalten wird.

(' h)'

pjA = PJL und M =

13,3    ²

P'l2 _ Pll

(rj

20

V¹!

Da hier keine Einspannung angenommen ist, so kann mit ^

Die Platte hat hier die Stützweite = 1,5 m, so daß bei der Plattenstärke =12 pro m Breite vollständig genügen.

und

20

gerechnet werden.

cm

die angenommenen 10 © 10

2400

: (1,5 -1,7- 0,22 — 1-1,2 -0,1)-

Man erhält nun für das Eigengewicht mit Nutzlast von 400kg/

+ 400 = 815 kg/qm.

Bei Berücksichtigung des Abstandes der Rippen von ' 1,5 und 1,7 m werden die Biegungsmomente

qm

1,5-1,7

(339 000)

M. =

0,815-1,5-6,l²

0,815-1,7-7²

6-325000

= 3,39mt, so daß man erhält x =

= 3,25 mt und M₂ =

= 6,83 (6,54) cm, h — ^-x = 18,2 (17,4)cm, fe = ---- = 20,5 (22,2) icm. Hierfür genügen für h = 19,6 und 17,2 ö    ou

die angenommenen Querschnitte 5 © 24 = 22,6 icm (s. Abb. 118 und 119).

0,815-1,5-6,1

14

20

b-x

7-150-40

(170)

cm

Die Auflagerdrücke sind =

= 3,73 * und =

0,815-1,7-7

= 4,85 t und wegen Auflagerung 2000

6,1

= 2,3 kg und

= 2,26 t, somit t₀ =

= 2 ¹ und = 4,85 •

auf vier Seiten = 3,73-2260

50 (17,2 — 2,2)

Die Adhäsionsspannungen sind x, = vorhandenen Querschnitte genügen.

To =

6,1 + 7 - = 3 kg.

6,1 + 7

50 (19,6 — 2,3)

(5)

b-x₀ _ 50-2,3 mtd

3- tc- 2,4

= 5,1 kg und =

50-3

3-TT-2,4

= 6,7 kg, so daß die

4. Berechnung eines halbkugelförnngen Wasserbehälters aus Eisenbeton.

Bei einer vollbelasteten Kuppel bestehen nach dem Handbuch für Eisenbetonbau Band IV, 1. Teil, S. 547 bis 548 die folgenden zwei Formeln für die Meridianspannungen S =

Derselbe erhält einen innern Radius ry = 4m und eine Scheitel- sowie Kämpferstärke von 0,15 und 0,3 m, so daß der Halbmesser des mittlern Bogens aus 4,075² + + 4,15² = 2 • 4,075 • r oder r — 4,15 m und derjenige des äußern Bogens aus 4,15² + 4,3² = 2 • 4,15 • r₂ oder r₂ = 4,3 m erhalten wird.

Der Behälter soll als eingespannte Kuppel berechnet werden, indem die Eiseneinlagen derselben in dem 10 starken Boden aus Eisenbeton befestigt sind, welcher auf einer Unterlage von 20 cm starkem Beton ruht, und dieser auch den Kämpfer umgibt.

cm

2 tt x sin ß 2 Tds = dH = d2x • cos ß • S =

und die Ringspannungen d Q cotg ß

Als Zugang zu dem Innern ist oben eine 70

cm

weite

Einsteigöffnung vorhanden, welche von dem Druckring eingeschlossen ist, und sich in einer Erdüberschüttung von 85 cm Höhe befindet, so daß die letztere auch in der Oeffnung als voll gerechnet werden kann.

Die Kuppel kann nun in einzelne Sektoren zerlegt werden, welche am Kämpfer 1 m breit sind und im Scheitel durch den Druckring festgehalten werden, so daß sie als eingespanntes Gewölbe berechnet werden können, welches auch im Scheitel durchgeht. Dies läßt sich damit rechtfertigen, daß man (statt der vertikalen Schnittlinie) ein Kugelgelenk oder einen Druckring annimmt, welche die auf allen Seiten (durch eine vertikale Belastung) vorhandenen Drücke aufnehmen (bei einer großen Einzellast im Scheitel würde die Kuppel ebenso deformiert, wie ein im Scheitel stark belastetes Tonnengewölbe).

-, so daß

hieraus S und T für eine Belastung Q berechnet werden können (vgl. S. 71). Auch der Winddruck W könnte als Vollbelastung mit p sin² (a + 10) in S und dH berücksichtigt werden, wenn er senkrecht zur Oberfläche angenommen wird (die vertikale und horizontale Komponente desselben sind durch dieselbe Formel pro Quadratmeter Grundriß und Aufriß zu berechnen). Hierbei ist jedoch vorausgesetzt, daß die Meridianspannungen in der Tangente an die Mittellinie der Kuppel wirken, und ist dies nur dann möglich, wenn in derselben genügend Ringeisen vorhanden sind, um die obige Deformation der Kuppel zu verhindern, so daß der Horizontalschub im Scheitel = 0 wird, und auch kein besonderer Zugring im Kämpfer erforderlich ist (auch bei einer eisernen Kuppel sind die Kräfte durch die Eisenkonstruktion bestimmt, deren innere Spannungen mit den äußern Kräften im Gleichgewicht sein müssen). Sind aber die Ringeisen nicht vorhanden (wie bei einer Kuppel aus Stein oder Beton) oder werden sie nur als Verbindung der Meridianeisen aufgefaßt (wie beim Gewölbe aus Eisenbeton), so kann das Gewölbe des herausgeschnittenen Sektors nur nach der Stützlinientheorie

71

berechnet werden, und die Ringspannungen werden alsdann durch einen untern Zugring am Kämpfer (oder durch eine Einspannung des Kuppelauflagers) und einen obern Druckring am Scheitel aufgenommen (es können auch einzelne

des hohen Bogens mit starker Krlimmung (s. S. 44)

y¹ — yu

tg cp = ——~— usw. und x² = 2 ry" fürr = 4,15™ erhält:

aus

"2

woraus man

CP

■CS

et

+y

IV

t !    !    ! ^.^⁷j*

I*- -^f*- —0,8    ~nb ~ *T* ^>0    1fl

L    Ti*

I'

n'

1,0-*j~—?,ö

•»L---1,0—

i ~T

-f- x —t.

?*J T ..j-.rtuh f i iM

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I 0.tsttoS;

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J-&e

3,85t

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PJlL^

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1/

J,

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■ -j-cj— c~l

4-!

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»3

IO

to

Pi

Ul*

'Imit_wössen£

i Ui

j

I---

*43S*^-

0,0— ’-zo-

0,0

•sl'e

V,

•je

J\

7y

0\N

v\

^&°'3si rff,wu •

^ *-L 55*'—0,80—¹ —1,0 —

-** — —1,0— ■*!

7,

vV

7,

Abb. 120.

y" =z 0,122¹¹¹; x = 2,0m, y'— 0,514“; 03 = 3 ra, y" — 1,282“; :r = 3,8ra, y" — 2,482In.

cos cp

Rippen zwischen beiden ausgeführt werden, welche durch eine armierte Decke verbunden sind).

Da eine Einspannung der obigen Kuppel am Kämpfer vorhanden ist, so können die Formeln für eingespannte Gewölbe (s. S. 43—45) zur Anwendung kommen, und es sollen bei einer annähernd gleichmäßigen Teilung des Bogens i Lamellenbreiten von 1; 0,8 und 0,35 m angenommen werden. Die Dimensionen der Kuppel ergeben sich (wegen

y"² — 2 • 4,15 • ij' =z —x² und y" — 4,15 — \^4,15 — x², somit für x = 1 m/

Ebenso ist

y' — r • cos cp — (r — f) ~ 4,075 — 4,15 (1 — coscp),

(o)    (a)

1    _^    1 — coscp

coscp

und fiir die Halbmesser r₁~ 4m, r₂=4,3m:

li — 4,3 — 4 — 0,15 • cos cd =

= 0,15 + 0,15 (1 — cos©),

b • h² s

und hieraus ergibt sich

12 ’ F ~ b - h, ’

worin b der mittlern Breite der Trapeze im Grundriß entspricht. — Man erhält alsdann die folgende Tabelle:

Lamelle

smtp ........

COS cf-.........

x — 4,15 • sin cp

0,122 6° 57,3' 0,1211 0,9926 (0,67) 0,5 (4,02)

0,392 21° 24,3' 0,365

0,931

(1,55)

1,51

0,768

37°31,5

0,6091

0,7931

(2,55)

2,52

1,5

;/ = 4,075 — 4,15 (1 — cos ®) .. (a)

1 — COS cp COS cp

h = 0,15 4* 0,15 (1 — cos cp)....

(3,78)

(3,2)

56°18,9' 0,8321 0,5547 (3,45) 3,44 (2,23)

4,551

77°36,3'

0,9767

0,2146

(4,05)

4,04

(0,82)

4,04

3,79

3,22

2,23

0,82

1,007

0,151

1,074

0,16

1,261

0,181

1,463

0,217

1,631

0,268

(Die eingeklammerten Zahlen entsprechen den Schwerpunkten der Lamellen.)

0,12

0,36

bh³

0,6

0,82

0,96

12

0,0000343

0,0001229

0,0002965

0,000698

0,00154

iv —

.7

293,6

87,4

42,5

21,0

10,6

2 • 455,1 = 910,2

F b-h

55,6

18,6

11,6

8,2

6,3

2 • 100,3 (: 100)

Hieraus ergibt sich:

2 (4,075 — y) w _ 0,055 • 293,6 + 0,295 • 87,4 + 0,875 • 42,5 + 1,845 • 21 H- 3,255 • 10,6 _    152,37

0 - ' ¹ = ........ ‘ u ' "

= 0,335 m und y = 0,335 — (4,075 — y) = y — 3,74.

Bei Einsetzung der eingeklammerten Zahlen für x und y erhält man folgende Tabelle zur Berechnung der Einfluß-ordinaten für H, V und M:

455,1

455,1

Vertikalen

• Scheitel (1')

r (2')

II' (3 )

III' (4 )

IV' (5')

X 1' —5'

y = y- 3,74 tv (: 100)......

dom

&

00

"V o a«

C7»

2,55

3,45

— 0,54

- 1,51

42,5

21,0

> C CM O Ci C£) tjTcm O

2 • 455,1 = 910,2

II IIV*

w • x IV • y

CM rH CO GO CO CM

tH tH

io co co © so o

i-C CM

108.4 — 23,0

276.4

72,5

42,9

— 31,7 250,0

— 31,0

173,9

12,4

47,9

90,4

2-1041 = 2082 2 • 173,8 = 347,6

“ t

1 2 ICy (a — x)

%CL

Einflußordinaten für 1-2..

livy² + 2    (=349,6)

206 + 82,2-1— 122,2 + 85,7-1— 46,9 + 62,7-1+    7,8 + 31-0,8+    31-0,25

.82,2-0,67 = 233,1    3,5-0,55 = 206    23-0,55 = 122,2    31,7-0,45 = 46,9    =7,8

0,022    347,6 + 2 = 349,6

0,667

0,590

0,350

0,134

_

1 2 wx (a — x)

.a

550,9 + 359,3 • 1 + 252,6 + 223,8 • 1 + 77,6 + 115,4 • 1 + 10,7 + 42,9 • 0,8 + 42,9 • 0,25

Einflußordinaten für 1-2.....

___II' — IV'

2 w • *² (= 2082) )I — IV

196,7 • 0,67 = 1042 135,5 • 0,55 = 550,9 108,4 ■ 0,55 = 252,6 72,5 • 0,45 = 77,6

0,037 0,963

0,500

0,500

0,265

0,735

0,121

0,879

= 10,7

0,005

0,995

1,0

_ j_

12 w (a — x)

%a

Einflußordinaten für 1-2 .....

_____(I — IV .

2 w (= 910,2) )I IV .

197,8 + 161,5-1 + 75,6 + 74,1-1+    20,6 + 31,6-1+    2,7 + 10,6-0,8+ 10,6-0,25

¹    =2,7

0,003 3,803

293,6 • 0,67 = 556 87,4 • 0,55 = 197,8 42,5 • 0,55 = 75,6    21.0,45 = 20,6

0,612 0,612

0,217

1,217

0,083

2,083

0,023

3,023

4,15

r (Betongewölbe⁴............

) Erdüberschüttung¹.........

Hl — 571 -5)..............

|    _ (Einflußordinaten )

II'-5'.................

3 S g

dodc ©~ ©~ t-T

3 s s

dodo" © ©- th

0,33

0,62

2,00

0,24

0,08

0,92

0,05

3,35

0,08

0,02

0,98

0,01

1,00

2,37

0,01

2,14

8,76

2-1,41

0,63

1,0

4,37

5,00

0,55

12,82 (70) 13,37 (25)

Die Berechnung soll nun für das Gewölbe allein und mit Erdüberschüttung sowie für das Gewölbe mit Wasserdruck und die Gesamtbelastung mit Wasserdruck ausgeführt werden. Die Belastung des Kuppelgewölbes ergibt sich aus dem spezifischen Gewicht 2 für die Ueber-schüttung und 2,4 für den Eisenbeton, und man erhält bei Berücksichtigung der Trapezform im Grundriß: für das Gewölbe

=    1,007    - 0,151    •    0,12    • 2,4    =    0,04 *

G₂ =    1,074    • 0,160    •    0,36    • 2,4    =    0,15 *

G₃ =    1,261    • 0,181    •    0,60    - 2,4    =    0,33 *

Ga —    1,463    • 0,217.0,82    • 2,4    =    0,62 *

G. —    1,631    • 0,268    -    0,96    • 2,4    =    1,00 *

(mit den Schwerpunktsabständen der Lamellen),

(0,46!

2m: Mx — + 0,66 mt, Hx 3,03 *,

(0,49)

i\-3,25 <=-

3m:

48-16,9 (' ²' ° ±

(0,52)

Mx=+ 0,67 m*, Hr

(0,69)

jVx=4,67*,

— 0,38*, 6•66000

16,9

(0,46)

3,03 *,

für die Erdüberschüttung

- 2 = 0,22 *

• 2 = 0,82 *

^—(4670 ± — 72-19,6 \

(0,01)

3,8 m: M, = — 0,03 mt, Hx = 3,03 *,

(1,23)

i\Tr = 8,12 *,

19,6

(0,46)

Gx — 1,00-0,12-G₂ = 1,00 • 0,36 •

G₃ = 1,00 - 0,60 - 1,67 • 2 = 2,00 * Gt — 0,80 - 0,82 - 2,55 • 2 = 3,35 * G. — 0,35 • 0,96 • 3,54 - 2 = 2,37 *

t-¹ CO

(mit den Schwerpunktsabständen im Grundriß).

Die Einflußordinaten von H, V und M für 1'—5' (1 —5) werden mit Rücksicht auf die Schwerpunktsverschiebung der Lamellen durch Interpolation aus 0—IV' (0—IV) ermittelt und aus 'LG - b (b = Einflußordinate) erhält man H, V und M für die obigen vertikalen Belastungen.

Zur Aufzeichnung der nach der Elastizitätstheorie berechneten Stützlinien sind die Fugen am Kämpfer, Scheitel sowie bei 0,5 m, 2 m, 3 m, 3,8 m aus den folgenden Formeln zu berechnen (s. S. 45):

Mx=M+M₀-H-y-V.x,

Hx—H — LH (für Wasserdruck), Vx — V—LP,

Nx = Vx - sin + HX- cos <p, Tx = Vx • cos y-Hr - sin cp,

bhi{Nx±

Mx

und für die Vertikalen II, III, IV ist noch sin cp = ' , cp, cos cp und h zu bestimmen, wofür man erhält:

— = 0,4819, f — 28" 48,5', h — 0,169 ,ü

aus (h — 0,15 + 0,15 fl — cos cp]); = 0.7229, cp = 46° 17,5', h = 0,196 m;

= 0,9157, cp = 66° 18,3',

II.

III.

IV.

|sin cp

4,15

j cos cp = 0,8762, aus

3

smcp = — cos cp ==' 0,6910, sin cp

4,15

3,8

4,15

cos cp = 0,4019,

(im Kämpfer ist sin cp = 1 und cos cp = 0 und im Scheitel umgekehrt).

Die Gesamtwerte sind nun für das Gewölbe mit

h = 0,24 m

äußerer Belastung (die eingeklammerten Zahlen beziehen sich auf das Gewölbe allein) am Kämpfer:

(0,46)

H = 3,03 *,

(0,22)

M, = + 1,66 >“*, Nx = 10,9 *, T, = - 3,03 *, (0,10)

c — + 0,15 m,

(2,14)

V = 10,9 *,

(2,14)

(7,38)

M = + 35,56 mt,

°u

Scheitel:

loo¹^!¹⁰⁹⁰⁰*

6-166000

30

(0,06)    (0,46)

Mx = - 0,11 mt, Hx =NX= 3,03 *, c =

Bei 0,5 m:

14,7 + 7,4

(0,13)

- 0,04 m.

kg.

(0,06)

Mx — — 0,02 rat,

(0,46)

Nx = 3,02 *,

(0,46)

H, = 3,03

Tx =

— ^3020

12 - 15,1 \

(0,01)

Fx=0,06‘,

(0,13)

-0,31*, c = — 0,01 6 • 2000

—- 12,3

15,1

— 21,1

kg.

(0,19)

rx= 1,23 *, (o,x)

c = 4- 0,2 m — 32,9 +- 24,9

(0,52)

K- = 3,56*,

(o,D

c — + 0,14m, — 17,9 + 11,3

(1,M)

Vx = 7,53*,

C 0,

kg;

Tx-= +0,25*, 6•3000

92J24 (8120 T 24 Die Berechnung des Wasserdrucks für 3,3¹¹¹ Höhe des Wasserspiegels ergibt sich aus der unter 45° Neigung gezogenen Begrenzungslinie desselben, welche mit den horizontalen Linien für y — 0; 1,593; 2,793 und 3,3m und der y-Achse die Flächen des Wasserdrucks bildet (dieselben beziehen sich wegen der einfachem Berechnung auf die Mittellinie des Gewölbes und ändern sich hierdurch nur wenig). Als Größe desselben erhält man für die Lamellen

0°H

kg

(3)

(4)

(5)

0,64 (

0,507

0,768

mit den Komponenten 0,09 und 0,1*;

0,507 + 1,707

0,82 • 1,463 •

= 0,135*

= 1,32*

mit den Komponenten 1,14 und 0,67*;

1,707 + 3,3

0,96 • 1,631 •

= 3,92

mit den Komponenten 3,85 und 0,76*

(hierbei ist die Trapezform der Lamellen im Grundriß mit ihren seitlichen Schwerpunkten durch die rechteckige Form mit dem Schwerpunkt in der Mitte ersetzt worden).

Die Höhenlage des auf die innere Leibung wirkenden Wasserdrucks ergibt sich aus den Schwerpunkten der Trapeze des Wasserdrucks, und ihr Abstand von der

h a + 2 b 3 a -j- b

0 169“ (1) *’²    1,707 + 2-0,507

’ b ’    3    1,707 + 0,507

untern Seite ist =

oder für

0,507

0,39 m,

1,593    3,3 + 2-1,707

3    3,3 + 1,707

Zur Berechnung des Einflusses von schiefen Kräften P nach der Elastizitätstheorie gelten die allgemeinen Formeln (s. auch technisches Lexikon von Lueger, Dachstuhl):

_ j_

ÜM₀wy

LM₀wx Lwx~

^wy²+ i-p-

wenn die Momente M₀ = P ■ p der linksseitigen Kräfte P in Beziehung auf die Lamellenmitten (rechts von P) in diese Summenausdrücke eingesetzt werden.

Hierbei sind auch die Werte von w, x und y für die von den Kräften durchschnittenen Teillamellen zu berück

sichtigen, und man erhält rechts für 0,29³

3,92 *: J = 0,99 •

JL ^

— 0,00202,

iv

0,76

= 3,8, x — —4,13, y = —3,35;

./ = 0,9 •    = 0,00104,

12

100 ■ 0,202

1,32*:

0,49

100    0,104

- — 4,7, x = —3,69, y = — 1,91;

H~-

M=

0,2³

0,135*: J = 0,7.    ₁₂

= 0,000466,

0,32

100    0,0466

und links für

6,9, x = —2,91, y = —0,84;

0,135*: J = 0,58 •    = 0,000282,

J. z

0,92

100 0,0282

1,32*: J= 0,8-    ₁₂

= 32,6, x = 2,4, y = —0,43;

0,21³

= 0,000619,

0,94

100 0,0618

3,92*: J = 0,95 •

- — 15,2, x — 3,3, y —    1,3;

0,26³

= 0,00139,

0,9

= 6,5, x = 3,95, */=-»- 2,58.

88

Hieraus ergibt sich nach obigen Formeln:

16,7 + 339,2 + 1310,9 — 17 — 54,2 — 13,5 349,6

— 177,5 —1257,8 —1493,9 — 23,3 — 76,6 — 22,4 _

= 4,52*,

= “.1,47*,

2082

320,5 + 3996,6 + 13441,3 + 5,1 + 19,1 + 6

910,2

100    0,139

Mit Verwendung der (in der Tabelle auf S. 86 enthaltenen) Werte von w, w • x und w • y für die ganzen Lamellen rechts von P, welche mit den Abständen p von den Lamellenschwerpunkten zu multiplizieren sind, erhält man für die einzelnen Kräfte rechts:

3,92*:    Plpwy = —17, PI^pwx = —23,3,

Plpw = 5,1;

1,32*:    Plpwy = —54,2, Plpwx = — 76,6,

Plpw = 19,1;

0,135*: Plpwy = —13,5, Plpwx = —22,4, Plpw = 6;

und für die einzelnen Kräfte links:

0,135*: Plpwy = +16,7, Plpwx = —177,5, Plpw = 320,5;

1.32*:    Plpwy = +339,2, Plpwx = —1257,8,

Plpw = 3996,6;

3,92*:    Plpwy = +1310,9, Plpwx = —1493,9,

Plpw = 13441,3.

= — 19,54mt,

(statt —1,47* erhält man genauer 0,76 + 0,67 + 0,1 = = —1,53 * oder die Summe der vertikalen Komponenten der Kräfte, und aus H und V ergibt sich das Vorzeichen von M, s. unten).

Die Berechnung aus den schiefen Kräften P mit ihren Loten p aus den Lamellenschwerpunkten kann auch durch diejenige aus ihren vertikalen und horizontalen Komponenten (mit deren Abständen) ersetzt werden. Die erstem sind wie die vertikalen Lasten (nur mit entgegengesetztem Vorzeichen) zu berechnen, und die letztem können mit ihreD Abständen b von der «-Achse aus den

folgenden Formeln berechnet werden:

H== P!(y-b)-wy PI (;y — b) • w

Pl(y—b) • wx

Iwx²

M=

Iw

worin b sowie x und y mit ihrem positiven oder negativen Vorzeichen einzusetzen sind.

Die Summenausdrücke im Zähler sind hier nur oberhalb der horizontalen Kraftrichtung (und wegen der Symmetrie nur für das halbe Gewölbe X 2) zu berechnen, da sie sich für die Lamellen rechts unterhalb derselben gegenseitig aufheben. Aus der Tabelle auf S. 86 und den obigen Werten für die Teillamellen links ergeben sich alsdann die Summen Iwy², blwy, Iwxy, blwx, Iwy, bl iv, welche mit ihren Vorzeichen in obige Formeln einzusetzen sind. Man erhält für b (3):—0,78, (4): —1>76, (5): —3,03in und die horizontalen Komponenten sind (3): 0,09 *, (4): 1,14*, (5): 3,85*, somit ist

P(lwy- — blwy)

Iwy' + lZ

P(lwxy — blwx)

Iwx²

P(lwy—blw)

Iw

0,09 (58,2 + 0,78 • 143,4) + 1,14 (122,4 + 1,76 • 85,8) + 3,85 (253,4+ 3,03 • 28,4)

349,6

= +4,68*,

0,09(53,8+0,78 • 820,8) + 1,14 (— 126,6 + 1,76- 981,6) + 3,85 (—347,6+ 3,03 -1077,6)

2 - 2082

= ±3,15*,

0,09 (143,4 + 0,78 - 827,2) + 1,14 (85,8 + 1,78 - 877,4) + 3,85 (28,4 + 3,03 • 902)

910,2

= —13,80 mt.

V hebt sich für die rechts- und linksseitigen Summenausdrücke auf, da x rechts negativ und links positiv einzusetzen ist.

Die vertikalen Komponenten (3): 0,1*, (4): 0,67 *, (5): 0,76* in den Abständen (3): 2,7, (4): 3,47, (5): 3,94111 von der ?/-Achse werden durch Interpolation aus der Tabelle S. 86 berechnet, indem aus den Einflußordinaten bei II, III und IV erhalten wird für

(3) : H = 2 - 0,1 • 0,2 = —0,04 *, V = —0,1 *,

M = 0,1 (0,041 + 2,741) = — 0,278mt,

(4) : H = 2 • 0,67 • 0,068 = —0,091 *, V = —0,67 *,

M = 0,67 (0,011 + 3,481) = — 2,34m‘,

(5) : H = 2-0,76 -0,013 = —0,02*,

M = 0,76 (0,002 + 3,942) = — 2,998mt, somit zusammen:

H = — 0,15 *, V = —1,53 *, M = — 5,62 “*

(trägt man die negativen Werte von H und V im Koordinatenursprung auf, so ergibt sich hieraus die Gegenresultante R und das Vorzeichen von M aus dem Drehungssinn des Moments R • r, s. Abb. 61). Als Summe

V = - 0,76 *,

erhält man für die horizontalen und vertikalen Komponenten H— 4,68—0,15 — 4,53 ‘ (statt 4,52), F= — 1,53 ‘, M= —13,8 — 5,62 = — 19,421,11 (statt —19,54).

Mit diesen Werten von H} V und M erhält man nun für das Gewölbe mit Wasserdruck durch Summierung der Zahlen und Berücksichtigung der horizontalen und vertikalen Komponenten der Wasserdrücke bei der Berechnung von Hx, Vx und M₀ in den Formeln auf S. 87 am Kämpfer:

H = 0,46 + 4,52 = 4,98 *, V= 2,14 — 1,53 =0,61*, M= 7,38 —19,54= —12,16 rat, Mx=+ 3,93“*,

Nx = 0,61 *, Tx = — 4,98 *, c = + 6,44 m,

6 • 393000 \    26,4

+26,0

Scheitel: Mx = — 0,09Int,    Hx = — 0,1*,    c = + 0,9 ra.

Bei 0,5 m:

Mx = .— 0,09 mt, Hx= — 10 *, Vx = 0,01 *,

Nx = -0,098 *, Tx =

100-30

610 ±

30

kg.

c = + 0,92 m, _ + 20,3 kg —19,2

2“: Mx = — 0,26“*, #* = -0,10*,    +,=0,19*,

Nx = + 0,004 *, Tx = +0,21*

= —

c = —65m

somit zusammen am

3m:

!_ /    6 • 26000    +H,4 kg

48 • 16,9 \ h 16,9    )    —11,4    ‘

Mx = —0,63“*, Hx = -0,01 *, Vx = 0,42 *, Nx=+ 0,3*, Tx= ± 0,30 *, c =    2,1    “,

6-63000 \__ +13,5 ke 19,6 /    —13,9 ‘

^300 +

Kämpfer:

H = 3,603 + 0,390 = 3,993 *, F= 2,14 - 1,53 = 0,611 (hieraus Richtung der Tangente für die Stützlinie).

BeilV: Mx— —4,075 • 3,993 + 0,35 • 0,61 + 3,365-3,85-f-+ 0,14 • 0,76 — 1 • 0,25 = yiv (3,993 — 3,85) — 3,247

oder

72-19,6

3,8m: Mx — — 0,59mt, Hx = + 1,13 *, F, = 0,37*, Nx= +0,79 *, Tx — — 0,89 *,

6•59000

y iv —

22,7 m, Richtung von Bx aus

0,143

fl* = 0,143*, Vx = 0,61 — 1 + 0,76 = 0,37*. Mx=— 3,247 + 0,8 • 0,37 + 2,095 • 1,14 +

+ 0,47 • 0,67 — 0,62 • 0,45 = ~ym (0,143 —1,14) oder — 0,527

III:

c = —0,75“,

₌ + ⁶>³ kg

-7,0 •

92 - 24 (⁷⁹° T 24 Ebenso erhält man für die Gesamtbelastung mit Wasserdruck am

°M

V in

+ 0,529 ra, Hx = — 0,997 *,

Kämpfer:

H = 3,03 + 4,52 = 7,55 *, F= 10,9 — 1,53 = + 9,37 *, —19,54 + 35,56= +16,02*, Mx= + 5,37“*,

K = 9,37*,

Tx = - 7,55*,

c= +0,57m,

6 • 537000 ^ —38,9

+ 32,7

Scheitel: ’ Mx =—0,14int, Hx= 2,47*, c = —0,06“. Bei 0,5“:

Mx= — 0,05 mt,

Nx=+ 2,46*,

--(^9370 ±

100-30 \

30

kg.

Hx= 2,47‘, Tx=- 0,24*,

^2460 +

II:

I:

—    0,997

Vx = 0,37 + 0,67 —0,62 = 0,42 *.

Mx = — 0,527 + 1 -0,42 + 0,09 • 1,115 + + 0,1 -0,7—0,55-0,33 = = yu (—0,997 — 0,09) oder

—    0,118

2/i i =

=+ 0,108“, Hx = — 1,087 *,

2“:

— 1,087

Fa, = 0,42 + 0,1 — 0,33 = 0,19 *.

Mx = —0,118 + 1 -0,19 — 0,15-0,55 =

— 0,0105

= 2/1 (—1,087) oder y₁

= +0,01“,

Fa, = 0,06 *,

c = — 0,02 “ 6-5000\_— 2,6 ~—24,6 Fa, = 1,23*, c = + 0,09 “, —18,7

15,1

12-15,1 Mx = + 0,35 “*, Hx = 2,47 *, Nx= 2,76*

kg.

—1,087

Hx = — 1,087 *, Vx = 0,19 — 0,15 = 0,04 *. Scheitel: Mx = —0,0105 + 1.0,04 — 0,67 - 0,04 =

0,0028

o«

2;=-o,ii*,

6-35000

= ys(-1,087), ys

+ 0,003“.

2760 +

48-16,9

3 “: Mx = - 0,03 “*, Hx = 2,56 *, Nx = 4,27*,

16,9

kg.

+ 11,9

Vx —— 3,46 *,

2"*=+0,54*, c = —0,01 “,

¹    (4270 + ^Ä = -²>⁴kg.

Hieraus ergeben sich die in Abb. 120 eingezeichneten Stützlinien, wobei aus den positiven oder negativen Momenten Mx und den als Druck in positivem Sinn (nach rechts) und als Zug in negativem Sinn (nach links) wirkenden Horizontalkräften Hx die Lage des aus c zu bestimmenden Schnitts der Stützlinie mit der senkrecht

—1,087

(Die Abweichung von der Mitte rührt von der Abrundung der Zahlen her und beträgt nur 3““.)

°u =

--^7680 +

92-24 \    ^

24

kg

Die Stützlinie für die Gesamtbelastung mit Wasserdruck ergibt sich unmittelbar aus obigen Werten, wenn die Erdbelastung in den einzelnen Querschnitten hinzugerechnet wird, und für die vertikale Gesamtbelastung erhält man

x₀ = { 7,29 + (0,67 - 0,22 + 1,55 - 0,82 + 2,53 • 2 +

+ 3,42 • 3,35 + 3,98-2,37)}: (2,14 + 8,76) = 7,29 + 27,37

10,9

3,18 “ oder

H =(4,15 — 3,18)

10,9

4,075 Wasserdruck am

2,595*, F= 10,9 * und mit

zur Mittellinie stehenden Fuge hervorgeht (die Abweichung von dem Lot auf die Resultanten Rx ist nur gering).

Zur Vergleichung sollen noch die zwei Stützlinien für das Gewölbe mit Wasserdruck und die Gesamtbelastung mit Wasserdruck durch die Mitten der Kämpfer- und Scheitelfugen (wie beim Dreigelenkbogen) bestimmt werden. Für die Schnittpunkte der Horizontalen durch die Scheitelmitte mit den Vertikalen I—IV erhält man zunächst die Momente der linksseitigen Kräfte, und hieraus ergeben

Kämpfer:

H = 3,603 + 2,595 = 6,198, F= 10,9 —1,53 = 9,37 * (hieraus Richtung der Tangente für die Stützlinie).

sich

(.US f)

die Schnittpunkte der Resultanten Rx mit

Bei IV: Ü+=—3,247—4,075 (2,595 —0,390) +

+ 0,35 - 8,76-2,37 • 0,18 =ylv (6,198-3,85) — 3,247 — 6,346 2,348

Rx aus Hx = 2,348 *,

Vx = 9,37 — 2,37 — 1 + 0,76 = 6,76 *.

III: Mx = — 0,527 — 6,346 + 0,8 (8,76 — 2,37) —

—    0,42 • 3,35 = yuj (2,348 — 1,14) oder

—    0,527 — 2,641

oder

y IV =

= — 4,08 “, Richtung von

den Vertikalen und (aus Hx und Vx) die Schnitte von Rx mit den senkrechten Fugen. Man erhält nun im ersten Fall für die vertikale Belastung des Gewölbes a;₀ = (0,67 • 0,04 +1,55 • 0,15 + 2,55 • 0,33 + 3,45 - 0,62 +

7,29

ym =

2,62“, Hx = 1,208 *,

+ 4,05-1) : 2,14

H= (4,15 — 3,407)-

2,14

2,14

= 3,407 “,

1,208

Vx = 6,76 — 3,35 — 0,62 + 0,67 = 3,46 *.

II: Mx = — 0,118 — 2,641 + 1 (6,39 — 3,35) — 0,53 • 2 = = yn (1,208 — 0,09) oder — 0,118 — 0,661

= -0,7“,

ir. = i,ii8*,

= 0,390, F = 2,14 * und vom

oder H=

4,075

Wasserdruck4,075 H = 1,115 -0,09 + 2,095-1,14 + + 3,365 • 3,85 — 1,45 - 0,1 — 0,68 • 0,67 — 0,21 • 0,76 15,444 — 0,76

1,118

Vx = 3,46 — 0,33 + 0,1 — 2 = 1,23 *.

I: Mx = — 0,0105—0,661 +1 (3,04 — 2) — 0,55 • 0,82 = yi (1+18) oder

— 0,0105 — 0,072 _

4,075

3,603*, F= —1,53*,

•2/i =

Vx = 1,23 — 0,15 — 0,82 = 0,26 *.

1,118

-0,074“, Hx = 1,118*,

Scheitel: Mx — — 0,0028 — 0,072 + i (1,04 — 0,82) —

— 0,67 • 0,22 = ys (1,118) oder

0,0022

1,118

(Die Abweichung von der Mitte rührt von der Abrundung der Zahlen her und beträgt nur 2mra.)

Bei der Aufzeichnung der Stützlinien wurden noch weitere Zwischenpunkte bestimmt, und die Form der Stützlinie für das Gewölbe mit Wasserdruck rührt daher, daß die Normalkraft Nx zwischen III und IV = 0 wird, so daß der Angriffspunkt für Kx ins Unendliche fällt (auch die große Abweichung von der Mittellinie des Gewölbes hängt hiermit zusammen).

Zur übersichtlichen Vergleichung der Resultate erhält man nun folgende Tabellen der

Die ungünstigsten Spannungen treten bei 2m Abstand für die Gesamtbelastung ohne Wasserdruck ein, und man

fe

y, = —

= — 0,002¹¹¹.

erhält für f'e = ■— nach B 2 c (s. S. 13): Mx — -f 0,66 mt, £

Nx — + 3,25 *, c=4-20cm, somit P ~ 3,25 *, h= 15 h'= 2

+ 11,5 = 26,5

cm

cm

öi = -(20 - 8,5) = - ll,5cra, g₂ = 15 + b = 48cm, p = 2, ob = 40kg, n— 15:

x²(l -{- p) — 4:X (p • h + ti) = — 3 (p • h² + h'²) 4-

■⁶"

A')| oder

3x’— 4x(2 • 15 4- 2) = — 3 (2 • 15²-f 2²) -f

6- 3250f/15    \    /    2\    1

*² ‘²⁶’5 + (1_ x}'Mlf5 “ ²⁾l

48 • 40

8348

oder

Maximalspannungen für das Gewölbe mit Wasserdruck

Fugen ! Scheitel

0,5

2,0 (II)

3,0 (III) 3,8 (IV)

Kämpfer

= {ist 6,1cm mit f(x)~ 0.

/ Jt \

Bei Einsetzung von o'e = n ob 11--—j = 403 kg in

(15-2 )/•; =

3x²— 128a; + 2037 —

= und ^ = ₂₆

- = 0. Für x

0,2-14

kS/qc kg/ qc

-0,09 — 0,10 0

— 0,10

0

+ 0,90

—    0,09

-    0,10

4- 0,01

— 0,098 4- 0,02 4- 0,92 4-20,3 —19,2

— 0,26 — 0,10 + 0,19 + 0,004 + 0,21 -65,0 +11,4 -11,4

-    0,63

—    0,01 + 0,42 + 0,30 + 0,30 — 2,10 +13,5 —13,9

I+++II+I

0,59

0,89

0,75

4- 3,93 4- 4,98 4- 0,61 4- 0,61 — 4,98 4- 6,44 —26,4 +26,0

3250

b-x

403

40

‘9i--x— {3h-x) oder

o& -    6

• 26,5 — ^    (3 • 15 — 6,1) erhält man f' —

6

= 1,95 qcm für 48

cm

1,95

Maximalspannungen

für die Gesamtbelastung mit Wasserdruck

Fugen

Scheitel

0,5

2,0 (II)

3,0 (III) 3,8 (IV)

Kämpfer

Mx

0,14

»x

Nx

Tx

a₀ kg/qCm a,t kg/qcm

+ 2,47 0

+ 2,47 0

— 0,06

—    0,05 J + 0,35

I 1 4—j—|-_j-1

0,03

0,01

2,4

3,7

— 0,61 + 3,70 + 6,76 + 7,68

—    0,67

—    0,08 + 3,4 -0,4

= 4,1

qcm

Breite, somit

Meter Breite, und fe — 8,2 qcm.

Es genügen daher unten 10 ® 12 = 11,31qctu und oben 5 ® 12 = 5,65 qcm, und für die Kämpferfuge ist bei Gesamtbelastung mit Wasserdruck eine Erbreiterung auf 36 cm erforderlich, damit diese Eisen beibehalten werden können. Denn man erhält für Mx = 4' 5,37mt, Nx =

f- 0,57m und f'e=~: P= 9,37*,

— —(57 — 18) = — 39

P = 2, oA = 40kg,

= +9,37*, c h = 34

g₂ = 34 + 39 = 73cm, b = 100 n = 15:

em

cm

+ 5,37 -- 7,55 + 9,37 + 9,37 — 7,55 + 0,57 —38,9 +32,7

Maximalspannungen

für die Gesamtbelastung ohne Wasserdruck

Fugen

Scheitel

0,5

2,0 (II) 3,0 (III)

0,48

pro

cm

cm

3a:²— 280x = — 3(2- 34² 4- 2²) 4-

3 a;²—280.^ + 9564

70922

= 0 und für x — 10 cm,

fix) — — 28, ferner de =15-40 9370

480

40

<³⁴-²^=    40

• 73

(l—4^-) == 480 kg? und

100 • 10

(3 • 34 — 10)

— 0,11 + 3,03 0

+ 3,03 0

— 0,04

— 0,02 + 3,03 + 0,06 4- 3,02

—    0,31

—    0,01 —12,3 —21,1

+ 0,66 4- 0,67 4- 3,03 4- 3,03 + 1,23 4- 3,56 4- 3,25 4- 4,67 — 0.38 4- 0.27 + 0,20 + 0,14 —32,9    —17,9

+24,9 ! +11,3

sowie f'e — 4,6 qcm und fe = 9,2 qcm.

Bei 0,5m Abstand vom Scheitel tritt die ungünstigste Beanspruchung des Gewölbes mit Wasserdruck ein, und _ nm i    man erhält für Mx = — 0,09 mt, Nx = — 0,098*,

4- 3,03    + 3!03    c =    + 0,92 ", ferner P = 98 kg, h = 13 «*, h' = 2 «,

-j- 7,53    +10,90    9t =    — (92 — 7,5) = - 84,5cm, g₀ = 13 4- 84,5 = 97,5™,

4-8,12 4-10,90    f'    ,

+ 0,25 — 3,03 /e = ~~ oder p = 0,5, b = 12

_L Q |5    2

— 3,3    —14J    aus B2c: x = 2,9cra, de — 186kgr, f'e = 0,58qcm bzw.

r 7,4    oben    0,29 qcm und unten 0,58 qcm bei 12cm Breite, so daß

die vorhandenen Eisen genügen, wie eine Berechnung nach B 2 a dartun würde. Die Anordnung der Eiseneinlagen ist aus Abb. 121 ersichtlich, und es wurden bei 2m Abstand vom Scheitel statt 10 Rundeisen ® 12 nur ca. 9,5 mit 10,5cm Abstand pro Meter Breite angenommen, so daß am Kämpfer 21cm Abstand (für 30 Teile auf einem Viertelkreis) vorhanden ist, weshalb dort noch Einlagen bis zu 3“ Abstand vom Scheitel angenommen sind.

3,8 (IV)

Kämpfer

cm

; afe=40kB, n~ 15

(I

-4,0

Aus der Vergleichung mit den Stützlinien geht hervor, daß die Abstände c der Stützlinien von den Fugenmitten für positive c nach oben und für negative c nach unten aufzutragen sind. Ebenso rufen die positiven Biegungsmomente Mx oben Druck und unten Zug und die negativen Mx unten Druck und oben Zug hervor.

cm

stärke kommt, welche auch den

Aus der Berechnung des Sektors als eingespanntes Gewölbe geht hervor, daß die auf die einzelnen Lamellen wirkenden Kräfte im Gleichgewicht sein müssen, so daß der Horizontalschub Hx nicht durch ringförmige Eiseneinlagen aufzunehmen ist, welche vielmehr nur als Ver

unterläge von 20 Kämpfer umgibt, so daß eine vollkommene Einspannung desselben vorhanden ist.

Ebenso muß der Horizontalschub im Scheitel durch einen besondern Druckring aufgenommen werden, und für

$12,

$20

Mt

W

1%

E=

-    -10

-Ai—

— 0,8

Abb. 121.

teilungseisen wirken, weshalb unten und oben Rundeisen ® 7 mit rund 40 cm Abstand genügen, um den Zusammenhang der Meridianeisen zu sichern.

Bei dieser Annahme ist jedoch der Horizontalschub im Kämpfer durch die in den Boden von 10cm Stärke abgebogenen Eisen genügend aufzunehmen, und ist dies für #max = 7,55¹ durch ca. 9,5 ® 12 = 10,75 qcm reichlich geschehen, wozu noch die Sicherung durch die Beton-

den ungünstigsten Fall der Gesamtbelastung ohne Wasser-

0,44

druck ist #=3,03⁴ für eine Breite von

somit auf die ganze Breite 1H =

4,15

0,44 • 2

• 1 = 0,106 m,

• 3,03 = 25,16».

0,106

Wird der Druckring bei B und B' durchschnitten gedacht, so erhält man als Pressung durch die Horizontalkom-

ZH 25,16

—=—g— = 12,58 l, für welche

ponenten der Kräfte H: —

2

ein Querschnitt 18 • 30 — 540qcm vorhanden ist, so daß

Bei Berücksichtigung der Biegungsspannung durch die

Y TI

Exzentrizität der Stützlinie erhält man für — = 12,58 l,

£

c = —0,01m, Mx = - 12,58 • 0,01 = —0,126 mt und

6-12600\ __ — 18,6 — 28,0

°U

18T3o(12580T    30

kg und mit

'r#

Eiseneinlagen nach S. 14:

M- e (bzw. H—e)

II

s.

, wo e — —= 15,,m, £

,7= | {«» + (#-«)•} +nf. (*-«)* +»ft    =

h + nFj

18

EH

0.88 Tn

0,18—*

= -TT (¹⁵³ + ¹⁵³) + ¹⁵ * ³>U (²⁶ ~ ¹⁵)² +

O

+ 15 • 3,14 (15 — 4)² = 51900 (das mittlere Eisen fällt in ,J

12580

540+15-3.3,14

weg), somit o" =

₌ ~¹⁴>⁸kg

— 22,1 '

12600-15

51900

i cL

Für das Gewölbe mit Wasserdruck erhält man einen

7 IH

Zug -r =

= + 92

cm

Abb. 122.

415

681,3

~ o,i

0,106

somit Mx = —0,415-0,92 — — 0,382mt, + 11,6 — 10,4

- 0,44 = — 0,415 ⁴ im Abstand c —

38200 • 15

51900

kg.

Hi

I n^ir

x\

Sl v / /'

____1______

Da die einzelnen Teile der Kuppel auf Grund der j vorstehenden Berechnung im Gleichgewicht sind (bei Nichteinspannung des Gewölbes würde auch eine mögliche Stützlinie (s. V 2) genügen, für welche die Eiseneinlagen zu berechnen wären), so ist die Berechnung der Ringspannungen zwischen dem Kämpfer und Scheitel nicht notwendig. Denn dieselben sind nur dann zu berücksichtigen, wenn die einzelnen Lamellen nicht im Gleichgewicht sind, und alsdann die nebengezeichneten Kräfte 'S’iij (-Hin, Fm) und Siy (Hiy, FiV) mit Gt und 1ff, = 2 Ri • sin cp ins Gleichgewicht zu setzen sind (bei Wasserdruck ist noch W zu berücksichtigen). Es ist alsdann V\y — Gi + Fni und Hi = Hm — Hiy, so

H

daß die Ringspannung (aus R₄ = p • r, wo p = —- und a = Länge des Bogens für 2 cp =

7rr • 2 cp

180

oder aus Rt =

ha

s. S. 71) aus der Differenz des Horizontal-

\\R

2 sin cp;

schubs bei III und IV hervorgeht (die Belastung der Kuppel oberhalb III bewirkt dann Zugspannungen und unterhalb IV sowie durch 6r₄ Druckspannungen).

Hf-M

<P

|\

/*

Doch kann diese Berechnung nur durchgeführt werden, wenn die Kräfte Sni und Siy als Tangenten an die Mittellinie des Gewölbes angenommen werden, und es lassen sich dann auch die Formeln auf S. 71 für £ und T

V

anwenden, indem man bei Einsetzung von ds = — • dz

00

00

(aus S • 2 tt x - sin ß = Q und sin 8 = —) in 2 Tds = d H = d ——— -2 xS erhält: 2 rT • — dz =

und S =

Q-r

.<■

Abb. 123.

(y_g\ Q

d --—, worin bei gleichförmiger Vollbelastung

TT 00

12580

540

= 23,3 kg und mit drei Rundeisen © 20 = 12580

= 18,4 kg wird.

Q = qixx² bzw. = der Gesamtbelastung des obern Teils ist (F und H können auch für einseitige Belastung bestimmt werden). Die Auflösung dieser Gleichung kann bei der kreisförmigen Kuppel aus x*—z (2r — z) oder angenähert =2 rz erfolgen (letzterer Wert entspricht der Parabel), und wenn die Meridianeisen aus S (bzw. den Komponenten von Jr) und die ringförmigen Eisen aus T

berechnet worden sind, so kann das Eisengerippe der Kuppel als stark genug angesehen werden, aber der Vorteil der Einspannung am Kämpfer verschwindet, und die große Abweichung der Stützlinie für den Dreigelenkbogen in obigem Beispiel veranlaßt einen beständigen Druck der Eisenringe auf den Beton, welcher besonders für den letztem nachteilig sein kann.

Es ist daher vorzuziehen, die Berechnung der Kuppel als eingespanntes Gewölbe durchzufiihren, und die Eiseneinlagen wie bei diesem anzuordnen, und zwar auf Grund

der obigen Berechnungsweise, und die Ringeisen mit 40—50

lassen. Will man dann noch die Berechnung der Ringeisen in obiger Weise durchführen und vielleicht bei der Ausführung teilweise berücksichtigen (dieselben können auch symmetrisch zur Mittellinie angeordnet werden), so hat man dadurch eine erhöhte Sicherheit für die Kuppelausführung (auch wenn ihre Form stark von der kubischen Parabel abweicht, für welche die Beanspruchung am günstigsten wird).

cm

Abstand nur als Verteilungseisen wirken zu

Sonder-Abdruck aus der Zeitschrift „Beton und Eisen“, Heft 11/12, Jahvg. 1909, Verlag von W. Ernst & Sohn, Wilhelmstraße 90, Berlin.

VIII. Berechnung der Strassenbrücke über den Schussenkanal in Ravensburg.

1. Allgemeine Angaben.

Die in den Abbildungen dargestellte Brücke wurde auf Grund der nachfolgenden Berechnung von der Firma Buchheim & Heister (Unternehmung für Beton- und Eisenbeton-Hoch- und -Tief bauten) in Frankfurt a. M. ausgeführt und im Oktober 1908 vollendet.

mmmm

■SträlllS%-~

mm

HISS

l/.f

j]/i

}.........n

— 1100

Die Fahrbahnbreite der Wegbrücke für die neue Ettis-hofer-Straße über den Schussenkanal in Ravensburg (im südlichen Württemberg) beträgt 5 m, und die beiderseitigen Gehwege sind 1,1 m und 0,7 m breit, so- daß die Gesamtbreite = 6,8 m ist.

Breite ergibt sich 1,4 m als Hauptträgerabstand, indem 4 • 1,4 = 5,6 m Da die Träger symmetrisch zur Fahrbahnmitte liegen, so erhält man zu beiden Seiten Konsolen von 85 cm und 45

Aus dieser

omcnw 3 -1>

Li....-......I

ist.

cm

Länge.

Die Brücke hat ein Längsgefäll von 3,5 v. H., so daß ein seitliches Gefäll unter der Chaussierung unnötig ist. Die letztere liegt auf einer Packlage von 12 worauf eine Decklage von 12 sich befindet, und durch die Wölbung der Straße wird an den Seiten ein Kandel für denWasserablauf gebildet.

Die Kosten der Brücke betragen (ohne Widerlager): 5162,55 jft und setzen sich zusammen aus denjenigen der Fahrbahntafel zur Aufnahme einer Chaussierung einschließlich der Längs- und Querträger und der

Gehwege........

des Glattstrichs auf der Fahrbahntafel, 1 cm stark, Mischungsverhältnis 1:2......

des rauhen Glattstrichs, 2 cm stark, auf den Gehwegen, Mischungsverhältnis 1:2......

der Fahrbahnabdeckung mit Wormser Asphaltfilzplatten, einschließlich des Goudronanstrichs auf dem Glattstrich und eines zweiten Goudronanstrichs auf den Asphaltplatten (der nicht unbedingt nötig ist) sowie Bedecken mit feinem

Kies.........

des eisernen Geländers aus senkrechten Pfosten I Nr. 8, die durch eiserne Röhren verbunden sind, einschließlich Versetzen

cm

Stärke,

cm

üifa——

•-3.(0-

ff

(SO-

■315—

"pisÜslmZ

—oso-^—m

w m,

X,

ll-

hü

ho—+—ioo

90 je 47,20 Jt

62 <im je 1,40 „

28 im je 1,80    „

66 ⁽i,n je 2,80    „

ms

Emms

\ *

i _i

■13F

ZI..

mp

BLL!

"3

Abb. 124.

rfTl

•it

v_

■-MB-    j

■io m is is is is is n

'S HS

Schnitt Puren on nun?

Abb. 125.

samt Einlassen der Pfosten in die Aussparungen, Ausgießen derselben mit Portlandzement, Anstreichen derselben mit einem zweimaligen Goudronanstrich von reiner Bleimennigefarbe sowie dem eigentlichen Anstrich Leinölfirnis mit Bleiweiß . der Bordwinkel 80/120/10 einschließlich Steinschrauben, genau und flüchtig einbetoniert .    .

■r

Mälz’

Zi30

0.7t

von

.    . 35 lfd. m je 10,25 Jl

. 24,8 lfd. m je 7,25 „

Als Belastung ist eine Dampfwalze von 16 * sowie 500 kg/qm Menschengedränge angenommen, da es sich um

Hierfür ergibt sich das Maximalbiegungsmoment von der Verkehrslast aus

f— no —-*

500 -

-*-070-üJ-

Für die äußern Träger

2.28 — 56 Stück Ganze Länge = 2,28 m

2.28 = 56 Stück Ganze Länge = 5,32 m

4»»-

fr

- ii-

iS cm

fei

gif

fl

r~

_.Y.

JS

-070-

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OM-UO —

030

iw —Jöty—imsT—BJo

LQ

CD

\n

tn

US

US

; ,o st —Affi—

|    L ‘31-

3 05 Stäbe Sämlinge - 10.56 tn Km.

1t

j“ 0. SS —l,

V<W

\33cm

7.H

m

fr!__i

jc >! I<>j

...i_

% 2

-TlWl.

B SS Stäbe Samt längt . ;

___

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7.75

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Fff * lie^l3<>e    ' ^*"ri

-FgO-r _.. ^lUO-*

K 30 ■ S Stäbe Berne Länge • S50 m 71 m

-03S-.

7 15

'«-070

,«ose«

7/7 J

Für die innern Träger

3.28 = 84 Stück Ganze Länge = 2,50 m

3.28 = 84 Stück Ganze Länge = 4,54 m

ik«

<v33m_

57S

33 cm'—■

—T"

mio-tooiftKC.

33m

[ SS Stäbe Banee Länge ■ 6 SD nt Km

K'"

33 cm

576

2?

2 |2 %me

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L-er

.....t

Sc\-tt)5

->0S0«

«050-

9 3.1 • 6 Stäbe Sanze Lenne •631m 2m

«tno -

5f.⁷

i-m³y,

Abb. 126.

Abb. 127.

irf

h⁷n

Hi-----37^771----

Abb. 128.

eine städtische Straße in Ravensburg handelt. Die Probebelastung der Brücke soll in zehn Wochen nach der Vollendung stattfinden.

2. Berechnung der Fahrbahnplatte.

Die Platte ist mit 1,4 m Stützweite zu berechnen, und bei der Annahme von 15 cm als Plattenstärke erhält man vom Eigengewicht:

9 = 0,2 • 2,25 + 0,15 - 2,4 = 0,81 %. Straßenbrücken mit einer Uber mehreren Trägern durchlaufenden Platte kann (auch mit Rücksicht auf die teilweise Ein-

Bei

■fj

,S<r_

Ao.

Spannung der Platte) mit den Mittelwerten aus Eigengewicht g für 1 lfd. m und Verkehrslast p für 1 lfd. 111 für die kontinuierliche Gesamtlast q für 1 lfd. m von 2 bis

qF

4 Oeffnungen gerechnet werden, so daß Mqm —

qF

Abb. 129.

in

somit

M„ = ~ (0,7 1,069

j—^ = 1,069 mt für 75 cm Länge

= 1,425 mt für 1,n Länge, und in der Mitte ist (für gleichmäßige Verteilung s. Abb. 130).

• 1,425 = 0,950 int

0,75

7|f

±f±pm

12

(da

pF

12

an die Stelle von

Mpa —

CO ;Oi

— tritt), und am Auflager ist

8

• 1,425 = 1,267 mt

pF

(da ~— an die Stelle von

Die Maximalbiegungsmomente sind daher in der Mitte: Mqm — 0,132 + 0,950 == 1,082 nit

tritt).

und

der Mitte und Mqa —

— am Auflager ist (s. Theor.

Ber.

S. 29).

Vom Eigengewicht erhält man alsdann 0,81 • 1,4²

und

12

= 0,132 mt

am Auflager: Mqa — 0,176 + 1,267 = 1,443 rat.

Die in der Hannoverschen Zeitschrift für Architektur und Ingenieurwesen 1906, Heft 4, sowie ihrem erweiterten Sonderabdruck: „Theoretische Berechnung der Betoneisenkonstruktionen mit ausführlichen Beispielen“ (Verlag von C. W. Kreidel in Wiesbaden) von mir entwickelten Formeln dienen zur Ausrechnung der Inanspruchnahmen und zur Dimensionierung von Platten und Plattenbalken (s. S. 12 bis 13). Man erhält daher nach A lb

Mga =

0,81 • 1,4²

— 0,176 mt.

Die größte Einzellast der Dampfwalze von 5 * kann wie in der Abb. 130 unter 45° Neigung verteilt werden, und zwar bis zur Mitte der Platte (da die benachbarten Teile derselben mittragen). Man erhält alsdann eine Belastungsbreite = 109 = 75 cm.

-ts—<-----

.*.»9— -WM’/7/.rZZZ%7\

ein

*..75-ü

Abb. 130.

und eine Belastungslänge =

für m — 1 -\--= -

noh

(wo ae = 1000 kg und oh = 40 kg ist):

y6Jf«“Vkg ₍_0j0l46 ]/jv/fUr6 = 100culundoA

|/6 • 108200 (144300)

V 7-100-40

= 40 kß) =

somit

h = ~x(= 0,039 VM) = 12,8 (14,9)cm, 3

(= 0,078 y~M) =

— 4,81 (5,57) cm,

50

= 9,62 (11,14) icm.

100 • 4,81 (5,57)

50

Bei Annahme von 15cm Stärke in der Mitte und 20cm Stärke am Auflager ergibt sich für h — 13,4 (18,4) mit lcm Abstand der Eisen vom Rande:

12,8

13~4

ft =

•fc9,62

9,2 'icm

cm

in der Mitte und

f.=

14,9

• 11,14

9,1 qcm

die linksseitige Vollbelastung in Abb. 132 und Ableitung des für x erhaltenen Werts von Mx, und es ist:

0,64 /(6,2 — x)²

11,7 \    2

(9,35 — a?)j - (x + 0,6) — 1,80

/ X    \    — (18.61 — 0,45 x)

— X 1— + 0,61 • 0,64 = {10,53 + 0,0547 (19,22 + 5,5 x) + 0,752(9,35— x))(x+ 0,6) — (1,22a:² 4-1,464cc + 0,324)

Mx =

1,80-11,7

T" ‘

8,8

11,7

18,4

am Auflager, so daß 10 R.-E. 12mm = 11,3 qcm in beiden Fällen genügen (der Eisenquerschnitt kann angenähert im Verhältnis des berechneten h zu dem an-    und durch Ableitung nach x:

genommenen hx verkleinert werden).

Läßt man 2 Eisen oben und unten durchgehen, so erhält man nach A2a:

dM

{x + 0,6)²

—j— —(18,61. — 0,45#) —0,45 (# +0,6)—2,44a?—1,64=0 oder

fe + fe

x² + 2 nx--.

b

= -y- (fr ft + h' Q

16,876

oder

und

3,34

— 5,05 m

11,3 + 2,3    2 • 15

x² + 2 • 15 X:

oder

x² + 4,08 x = 46,53, a? = — 2,04 + J/2/Ö4² + 46,53 = = 5,08 cm. Ferner ist

__________21_________________

(*-ir) + a»K (*-*') (<■-£)

2 - 108 200

100

100

(13,4 • 11,3 + 1,6 • 2,3)

■Mm« = (18,61 — 0,45 ■ 5,05) (5,05 + 0,6)

(1,22-5,05²

+ 1,464 • 5,05 + 0,324) = 92,32 — 38,83 = 53,49 m*.

100-

5,08 ^13,4—    + 2 -15 • 2,3(13,4—1,6) ^1

1,6

5,08

216,400

5,97 + 0,56

= 33,1 kg/

(icm

Eine angenäherte Berechnung des Maximalbiegungsmoments er-jj gibt sich aus f der Halbie-ä rung des Abstandes der Resultante der zwei Einzellasten von der größern derselben

durch die Mitte des Trägers, und man erhält alsdann:

*i-

f- lin

----L

-----------

¹ tjt

4.4 t

Abb. 133.

(mit Rechenstab). Endlich ist

max

f 1^80 • 11,7

0,64

ae—nah

(-0

= 15 • 33,1

13,4

5,08

lW 810 ks/

11,7

/ 1,825²

\ ¥

+ 4,375-

qcm*

3. Berechnung der Plattenbalken.

Die Hanptträger erhalten bei 11 m Lichtweite und 0,7 m Auflagerbreite eine Stützweite = 11,7m, und für die Annahme von 1 m Gesamthöhe und 30 cm Breite ein Eigengewicht

g = 0,81-1,4 (= 1,13) + 0,3 • 0,85 • 2,4 (= 0,61) = 1,74 */m.

Die in Abb. 131 gezeichnete Dampfwalze ist am einfachsten so anzunehmen, daß ihre Achse mit dem mittleren von drei Hauptträgern zusammenfällt und die Verteilung der Walzengewichte von 5⁴ und 3 * auf die Walzenbreite, und dann nach dem Hebelgesetz auf den mittleren Hauptträger

erfolgt, so daß man als Einzellasten erhält:

2 - 5 - 0,62

— 0,64 -

M_i^j.₄,₉₇₅_ij8o.i^

4,375 \

4,375 ^4,975

ilb \ 2/

-’zALjl

i/2

, u

o.(f i ¹

Abb. 131.

1,4

= 4,4* und

2 - 3 • 1,025

= 4,4 *.

Außerdem ergeben die 500 kg/qm Menschengedränge neben der Dampfwalze

(82,78)

= 16,64 • 4,975 — 30,08 = 52,70 mt.

Das genaue Maximalbiegungsmoment ergibt sich bei Halbierung des Abstandes der Gesamtresultante von der größern Einzellast durch die Trägermitte, und hierdurch verschiebt sich die Mitte des Trägers um den Abstand x' nach links, und R = 8,8 + 11,7 • 1,8 + 6,2 - 0,64 = 33,83 * liegt im Abstand 2 x von der Resultante 8,8⁴ der zwei Einzel-J)    ^

! lasten (indem —---— = xJ, somit b — a = 2 x ist.)

4-i

Das statische Moment für den (gegenüber den Einzellasten) verschobenen Träger ist

R(z -{- 2 x —x') = A-l + q - x'(l + y) — q-x ~

A-1 + q- x l

— Rx

oder

2 • 0,4 • 0,2 • 500

oder

= 60 k*/m

und vor sowie hinter derselben 500 • 1,4 = 700 ks/m.

genaue Berechnung des Maximalbiegungs-

moments ergibt -----■—

sich am einfachsten durch die Einsetzung von x für

1,4

Die

0. 71 t/m

* /<%.

V//////////Z.

4.4 t

Abb. 132.

¹ 0 0 6 t/»i\    vz’Z.vm

W?/////Xzy////A

2 x =

somit in obigem Fall

2 x =

l (A + q . x')

— 2,

11,7 (16,64 + 2,44 x)

oder

33,83

4,975

x — 0,675 m und 4,375 + x — 5,05 m.

Es genügt also, den Auflagerdruck + = 16,64 * für die oben angenommene Laststellung und hieraus x zu be-

rechnen, und das genaue Maximalbiegungsmoment wird alsdann

oder

(5,65)

(,z + x)² - 33,83

7 z² + 16- 15

140

11,7

•^5,65 —

f)

= 92,30 - 38,83 — 53,47 statt 53,49 mt.

— 0,64 • 5,05 -

oder

30

1^- x

6 • 5 349 000

30 • 40

140

l) (11 — rd. 1)

Gewöhnlich steht die Dampfwalze umgekehrt, so daß 1,4 m nach links liegt, und dies ist der Fall, wenn das statische Moment (7,325 + 0,4) - 0,8 ’

. 0,64 —(1,825 + 0,4).08 r • 0,64 <[ der Zunahme des Moments der linksseitigen Einzellast (gegenüber der rechtsseitigen Einzellast) y •_6,725, somit 5,5-0,8-0,64 6,725 oder wenn yy-0,42 ‘ ist.

fern

x =

Ferner ist

2**2

e£ 6

+ ¹⁵⁵ ( 30 x² + 125,7 X — 3821 + 1179 = 5000,

— 62,85 + ]/"62,85² + 5000 = rd. 31,8 cm.

d \ , c-x

2l) ⁺ ~2

re*/»

Bit r ’l

U

ii

Die angenäherte Bestimmung des Querschnitts für den Träger ergibt sich (bei Vernachlässigung des Drucks im Steg) aus A 3 b für b = 140 cm, d = 15 cm, ab = 40 k&,    = 1000 ks

Abb. 134.

b ■ d- ab

wo annähernd = 1 gesetzt werden kann, somit

16 x =

6 - 5 349 000

140-15-40

+ 10-15

25 fe =d(b — c) ^1 = 15 (140 — 30)^1

15

63,6

30 - 31,8

oder

fe = 50,4 + 19,1 = 69,5 «l«“, h—~.X= 84,8 cm.

o

Man erhält daher bei genauer Berechnung ein größeres ft und ein kleineres h, und für A, = 100 — 8 = 92 cm ist noch erforderlich ein Querschnitt

h -

so

co

84,8 — 5

• 69,5 — 63,7 <Jcm,

₇    „    92 — 5

*'~ T    d

daß 8 R.-E. 34 = 72,6 ⁽Jcm reichlich genügen (h---

O

oder x = 33,3 cm, und 25 f = b • d

i¹-^)

oder

= 140 - 15 ^1 —

15

66,6

entspricht dem Abstand des Zug- und Druckmittelpunkts, welcher für die Plattenunterkante als Nullinie genau zu-trifft und bei größerm ht annähernd gilt).

Bei Berechnung der Maximalinanspruchnahme aus A 4 a ergibt sich (wenn oben noch 3 R.-E. 20 mm eingelegt werden) für M= 53,49mt, fe = 72,6 <icm, f'e = 9,4<icm, h = 92 cm, fi = 4 cm, b= 140 cm, c = 30 cm, d— 15 cm (mit Berücksichtigung des Drucks im Steg):

x² -j- 2 x

n (fe + fe)

fe — 65,1 ocm, h = —- x = 88,8 cm.

O

Zur Vergleichung soll noch die genaue Formel (mit Berücksichtigung des Drucks im Steg) nach A 3 b angewendet werden, und man erhält für c = 30 cm (welches für obiges fe oder aus

oder

x² + 2 x<

15 - (72,6 + 9,4)

30

+ 15

°e'fe =

.V

6?-)!

= 2-15

(92 - 72,6 + 4 - 9,4)

bestimmt wird):

7 x² + 16 d^--1^-a?

c-ob

*~T

oder

30

+ 15

140

30

ld\

x )

x² + 192,0 x = 7541,8 und 96,0 +]/96,0² + 7541,8 = 33,5 cm.

Ferner ist

x) +n f'e (l

—) (x + 2 d — 3 h’) x /

3 - 5 349 000

140 - 33,5 • 15 + 15 - 72,6

⁹²

33,5

1^ (3 - 92 — 2 - 15 — 33,5) + 15 - 9,4 ^1 = 33,8 kß/

1604,7000

7,03 + 39,8 + 0,64

qcm*

) (33,5 +

2-15 — 3-4)

Endlich ist

= 15-

33,8 ( ⁹²

33,5

1^ = 885 k®/

qcm-

4. Berechnung der abzubiegenden Eisen für die Fahrbahnplatte.

Die gewöhnlich unter 45 ⁰ Neigung abgebogenen Eisen dienen zur Aufnahme der schiefen Zugspannung t0 des Betons, und der bei teilweisem Eingespanntsein oder Kontinuität der Träger über den Auflagern vorhandenen Zugspannungen desselben. Es werden daher nicht nur

in den Balken, sondern auch in der Platte Abbiegungen der Eisen nach oben ausgeführt, und für die letztere kommt hierbei hauptsächlich in Betracht, daß die Zugspannungen unten in der Mitte und oben am Auflager durch die Eisen aufgenommen werden.

Für die bei kontinuierlichen Balken oder Platten gewöhnlich vorkommenden Verhältnisse der Momente in der

Mitte M,

qm

qP

und am Auflager Mqa =

-JlLi8t

9 (8)

12 (10)

(bei Annahme einer Parabel für die Momentenlinie) nach Abb. 135:

Bei der annähernden Bestimmung der Grenzen für die Abbiegungen der Eisen vom Auflager aus ist die kleinere Parabel anzuwenden, für welche

a —

110

_ y.

9(8)

h 21 (18)

■0 -/5 m- — -

— = 18,3 cm 6

ist, und am Ende der 1. Abbiegung bei

18,3 — 3,7

oder x — 0,33 l, somit a für beide Rechnungswei-

= 0,17 l = ~ (bei 6

vollem Eingespanntsein mit M,

sen

gibt sich

mm

---J . Ä««- „---/ , 7tc,n----M

Abb. 135.

= -|^und 34. = *4-"-x* _ y _ 1

~P~ ~ T ~ Y

qm

oder x = 0,29 l, n = 0,211).

Die Momente sind in der Mitte und am Auflager mit der ganzen Stützweite l — 1,4 m zu berechnen. Zur Bestimmung der Abbiegungen ist in der Mitte gleichfalls die Stützweite, aber am Auflager die Lichtweite / = 1,1 m zu verwenden, und es sind daher die Grenzen der Abbiegungen unten und oben aus zwei verschiedenen Parabeln zu bestimmen.

Der negative Teil der Momentenlinie kann annähernd durch eine Gerade ersetzt werden und der positive durch eine Parabel, und die Ordinaten der letztem sind x {V — +)

15 — (13 — 1,2 J/ 2) = 3,7 cm noch

und am Ende der 2. Abbiegung bei

18,3 — 13,7 18+

(des Querschnitts am Auflager) erforderlich sind, so daß bei der erstem acht statt sechs R.-E. 12 mm und bei der letztem noch 2,5 statt zweiR.-E. 12mm vorhanden sein sollten (dieselben werden mit Rücksicht auf Stoßwirkungen oben ganz durchgeführt). Die berechneten Grenzen brauchen jedoch nicht genau eingehalten zu werden, indem weder freie Auflagerung, noch vollständige Einspannung vorhanden ist (weshalb auch die ausgeführten drei undfünf abgebogenen Eisen zulässig sind). Es kann daher (besonders für kleinere Abstände der Balken) der Mittelwert zwischen beiden Lagen (aus den gezeichneten Momentenlinien) entnommen werden, indem links die angenommene Lage der Eisen eingezeichnet wird und rechts die Verschiebung derselben, damit sie dem Mittelwert der Ordinaten in beiden Parabeln entspricht (auch bei einer Abbiegung wäre die mittlere Lage zu wählen). Bei Decken von größerer Ausdehnung genügt für zwei Abbiegungen (von

3,7 + 10 = 13,7

cm

noch

18,3

0,8 f.

= 0,25 f.

7²

■fe

bis

der Mitte aus) der Abstand Balken oder der Wand (wo l = Lichtweite ist).

— und 5

bis

10

- vom

und diejenigen der erstem ergeben sich aus--fe (wo fe ==

Querschnitt in der Mitte bzw. am Auflager ist). Als vorläufige Annahmen können die Grenzen bis

4

Weite gelten, und ebenso kann für die Zwickel ^ angenommen werden. Denn am Ende der Abschrägung sollte ~ oben noch das halbe Moment desjenigen in der Mitte vorhanden sein, somit annähernd für

Mm =

für

fe

qP

20

der lichten

derselben

5. Berechnung der Eisen zur Aufnahme der Schubspannungen im Plattenbalken.

Die Abbiegungen

.................^ der Eisen in den

y////////)//////////ffi.    Balken ergeben

___________/-</«------------ sich aus der Be

bei

12 (10)

und Ma =

qP

9 (8)

12 —

10 —

12

bzw.

00

6    9,6

(sind oben sechs Eisen gegenüber zehn Eisen in der Mitte vorhanden, so kann bis

10

10-A

6 10

12

gegangen werden).

6    10,9

- bzw.

10

10

6    11,5

Zur annähernden Bestimmung der Abbiegungen von der Mitte aus gilt die größere Parabel, und man erhält l 140

rechnung der Querkräfte, wiewohl auch hierbei obige Regeln einzuhalten sind, damit die untern und obern Zugspannungen des Betons überall durch Eisen auf genommen werden.

Nach Abb. 136 erhält man den Auflagerdruck (für welchen keine Verteilung der Einzellasten in der Längsrichtung anzunehmen ist) aus:

4,4(11,7+8,2) , 1,8-11,7 , 0,64 - 7,6²

2 -11,7

Wird eine (wegen des bessern Aussehens) abgerundete Abschrägung von 1m Länge angenommen, welche gewöhnlich bis zu der Stelle verläuft, wo die letzten Eisen abgebogen werden, so erhält man die Querkraft für 1m Abstand vom Auflager aus:

jM (10,7 + 7,2)

11,7

0,06 • 10,7²    0,64 • 6,6²

- +

4,4*

Q,=

i.o

Abb. 136.

11,7

4*

tc

== 19,6*.

1,0)+

= 23,3

cm

, X = 140 — 2 • 23,3 == 93,4 cm,

und für die angenommenen Wei te von

x' = 15 + 25

23,3 — 16,7

cra

erhält man das Verhältnis des Eisenquerschnitts aus 16,7 (93,4 — 16,7)

x (V — x)

46,7²

= 0,59

(fe in der Mitte), so daß von den 10 R.-E. 12mm in der Mitte 4 R.-E. 12 mm abzubiegen sind (da noch 0,6 fe erforderlich ist).

= 16,7*.

2 • 11,7

Die zugehörigen Schubspannungen sind am Auflager für 96 + 126

angenähert:

To =

2-11,7

= 111

cm

Qj,

19 600

M)- (

(bei Kontinuitiät wäre

*» =

— t)

= 6,3 ke/

qcm

• 30

— rd.

~S£ cc

)'c

zu setzen), und im Abstand von 1 m für h = 92 genähert:

cm

an-

(3,0)

4,5

To =

0.,

16 700

M)-

(⁹²-t)'³⁰

6,6 kB/

6,6

. 16 700 = 11300 (7590) k*

qcm*

(weil 6,6 mit demselben Nenner ^92 —

berechnet worden

Die genaue Berechnung nach A3« ergäbe im letztem Fall

To

c(h —

wo

b+’Y

\-bxd

O

ist). Aus Abb. 137 ergibt sich nun

Qx = |(* + * — 3,5) • 4,4

' ihr +1,74 (~ir o¹»⁷—*))

+ 0,64

(x — 4,1)²

(7,59)

= 11,39

oder

Ra

c • x + d(b — c)

oder für c — 0:

(*-)

somit

³(²--)

~ • 140.33,5 • 15

O

30 • 33,5 + 15 (140 — 46 900

30) (2

15

(620,8)

a:² + 75,6 x = 747,4 _____(620,8)

33 = — 37,8 + j/ 37,8² + 747,4 == 8,85 (7,47) m.

Der Abstand vom Auflager, bei welchem die Schubspannung t₀ = 4,5 (3,0) kB/

= 11,7 — 8,85 = 2,85 m bzw. = 11,7 — 7,47 = 4,23 m, so daß in letzterm Fall eine viel größere Verteilung der abgebogenen Eisen eintritt.

Mit Rücksicht darauf, daß die Hauptträger zwar frei auf liegen, aber an den Enden und in der Mitte durch Querverbindungen Zusammenwirken, kann über den Auflagern mit halber Einspannung gerechnet werden, so daß

M -sL

qa ~~ 24

oder

qcm

erreicht wird, ist daher

3566

— 13,2

cm

qP

oder für c = 0:

2 • 33,5

67 • 33,5

und

3 ^2 —

15

156

= 14,4

cm

(statt für ganze Einspannung) ist. Man erhält daher

J. £

fr • 53,49 = 17,83 mt,

= 24

33,5

und hierfür ist

6 • 1 783 000

16 700

30^92__^

__

~ ■ 15 + 13,2 )

5    (14,4) /

= 6,6 ks/

qcm?

7 5-0,

8

h = -~x= 95,2 cra, fe =

O

so daß schon 3 R.-E. 34

7-30-40 b-x __ 30 - 35,7

= 35,7

cm

mm

so daß die angenäherte Berechnung genügt.

Für t₀ ist nach den Leitsätzen 4,5 kB/

zulässig, und

weil dies für die schiefen Zugspannungen des Betons zuviel ist, so hat Professor Mörsch im Eisenbetonbau 1908, S. 198, vorgeschlagen, dieselben teilweise durch die vertikalen Bügel aufnehmen zu lassen, so daß bei Uebertragung der 4,5 ks

— 8 = 122

cm

qcm

(«)

auf die letztem (in der Gleichung e • t„ • bQ = oefe) nur

4 5

noch die Hälfte der schiefen Zugspannung =    ’ ■ k@ vom

£

Beton selbst aufzunehmen ist. Man erhält alsdann eine dreifache Sicherheit gegen das Auftreten der ersten Zugrisse bei 6—7,4 k& (s. S. 181), auch wenn keine abgebogenen Eisen oder Bügel, sondern nur gerade Eisen vorhanden sind.

Bei einfachen Balkenbrücken werden die abgebogenen Eisen gewöhnlich nicht ausgenutzt, so daß der Abzug t₀ = 3,0 ks angenommen werden kann, und bei Uebertragung

— 1,5 ks direkt vom

3,0

desselben auf die Bügel nur noch ——

£

Beton aufzunehmen sind (obgleich 2¹/₄k& auch nicht zuviel ist und besonders bei kontinuierlichen Trägern, Pfostenfachwerken und für Konstruktionen mit geringen Erschütterungen beibehalten werden j.--------

könnte). Zur Be-

Stimmung des Ein-    i —    — **— -*

flusses auf die Ab-

// /■"*

*>

JK-    ____J

biegungen soll der Abzug sowohl mit 4,5 als 3kg berücksichtigt werden, und man erhält den Querschnitt, für welchen diese Schubspannung eintritt, aus der Querkraft:

Abb. 137.

50    =²¹>4,C”

= 27,2 <icm, für h = 130 —

-21,4 =

50

reichlich genügen (es sind nur

95,2

122

WH?,

gtmf *    r

Abb. 138.

mm

2 42$

'4M

Atu

18,2 *icm erforderlich).

= 16,7 icm oder 2 R.-E. 34 Gewöhnlich werden aber die obern vier Eisen abgebogen und die untern vier gerade durchgeführt bzw. (zur Sicherung des Auflagers) nach unten abgebogen.

Die letztem sollen zusammen die Adhäsionsspannung

(<■)

Xl =

aufnehmen können, und dieselbe ist im max:

30 • 6,6 4 • 3,14 • 3,4 zulässig nach den Leitsätzen 7,5 kB/qcm.

Diese Haftfestigkeit kann auch nach den im Eisenbetonbau von 1908 enthaltenenVersuchen mit vollkommen bewehrten Plattenbalken zugelassen werden, indem die beim erstenGleiten

Tl =

n tz d

= 4,6 %

cnn

des Eisens auftretende Haftspannung t, = 32,5 kg/qCm und somit eine 4—5 fache Sicherheit für die zulässigen 7,5 kg vorhanden ist. Auch werden hierbei nur die untern Eisen in Rechnung gezogen, während die nach oben abgebogenen

(.3,0)

Eisen die schiefe Zugspannung des Betons (t₀ — 4,5) kg aufzunehmen haben und hierfür die Formel

(3,0)

fr, ~ 4,5)

war

bei — = 0,875 und ~

= 0,75 Eisenquerschnitt, so daß

der letztere genügend ist.

Das zuerst abgebogene Eisen könnte im Abstand ir d²

9,08 • 1000

Z' = —-

VT

7r d • 7,5

10,68 • 7,5

= 113 cm,

gilt (s. Pilgrim, Theor. Ber. der Betoneisenkonstr., S. 27 u. 30). Die Formel

T1 =

_    °e/'e

dient nur bei direkt gezogenen oder gedrückten Eisen zur Bestimmung der Länge, mit welcher sie im Beton eingelassen sein müssen, und sie entspricht der Formel

ir d2 4“-°‘

mit Rücksicht auf die kreisförmig abgebogenen Enden jedoch schon bei etwa 80cm auf hören, indem die von Considere vorgeschlagenen Haken die direkte Haftfestigkeit bis zur Streckgrenze erhöhen, was aber nur für direkten Zug und nicht für Biegung in Betracht kommen kann.

l ==

TT d T,

(worin ae = 1000 und rt = 7,5 kg/qcm angenommen werden kann), während die obige Formel der Leitsätze für Biegung richtig ist.

In derselben ist nur mit der halben Querkraft gerechnet, weil die andre Hälfte durch die senkrecht zu den abgebogenen Eisen verlaufenden Druckbetonstreifen aufgenommen wird, und es ist daher für den Abzug von 3,0kg

Die Verankerung über dem Auflager ist jedoch vorzuziehen, indem alsdann ein zusammenhängendes Eisengerippe vorhanden ist, wiewohl bei freier Auflagerung nicht alle Abbiegungen erforderlich sind, und daher eine oder zwei derselben auch vorher auf hören könnten.

Abb. 139.

Die Berechnung der Bügel ergibt sich nach obigem

(0)

aus e • bn • t₀ = oefe oder, wenn vierfache Bügel R.-E. 8 mm und x₀ = 3,0 kg angenommen werden (sie wechseln mit zweifachen Bügeln R.-E. 10

ab).

Z' =

3,3 + 3,6    100

3,6 • 323

1000 • 4 -

V*

• 30 = 19 655 kg

= 22 (20) cm,

oder

19 655

4 TT •

3,4²

= 540 kg/

qcm.

30 • 3

so daß bis zum Abstand x = 4,23 m rd. 20 stand der Bügel gelten kann.

cm

als Ab-

In der Mitte erhält man für x = 5,85 ¹¹¹ in obiger

Die Lage der abzubiegenden Eisen ist hier am einfachsten durch Berechnung des Inhalts der schraffierten Fläche

Gleichung

0,06 • 5,85²

(244)

3,3 + 3,6

(412)

•71 -f -^--229 = 656

656

164

und Verteilung derselben auf die 4 Eisen mit- =

4

zu bestimmen, so daß in dem Dreieck (=412) die Teilung

164

#s,85 = \(2 - 5,85 — 3,5) • 4,4 +

+ ^-(5,85-4,1)’}^

(für das Eigengewicht ist die Querkraft in der Mitte = 0), somit

= 3,25

z²

3250

aus

— 1,34 kg/qcm>

T)*>

92 —

2 - 164

*\

oder a;, = 145

und

cm

229²

oder x₂ = 204 cm hervorgeht und in dem Trapez noch 3-164 — 412 = 80 übrig bleibt, für welches annähernd x₃ • 3,55 = 80 oder x₃ = 23 cm ist. Aus den Schwerpunkten dieser vier Teile, welche in dem Dreieck bei

O

und in den Trapezen annähernd in der Mitte liegen, ergeben sich die Schwerpunktlinien unter 45° bis zur Unterkante des Trägers, und von hier aus die Vertikalen bis zur Nullinie. Durch den Schnitt mit der letztem werden dann die

229²    412

412

xi

Abbiegungen unter 45° gelegt, und bei der hiernach angenommenen Einteilung ist noch zu untersuchen, ob unten überall der nötige Eisenquerschnitt vorhanden ist. Dies geht aus der durch eine Parabel ersetzten Momentenlinie hervor, deren Ordinaten

x (1 — x) „ P 'e

(in der Mitte) sein müssen, und man erhält alsdann 3,6 • 8,1

11,7²

= 0,85

so daß hier

1000.4.

30 • 1,34

= 50 (44)

cm

Doch ist es besser (schon wegen des

Abstand und

genügen würde.

rasch zunehmenden x₀), nicht Uber 30—40 hinauszugehen, und in obigem Beispiel sind 25 30 cm Abstand gewählt worden.

cm

cm

Aus den Versuchen von Professor Mörsch geht hervor, daß die abgebogenen Eisen in erster Linie dazu dienen, die senkrecht zu ihnen verlaufenden schiefen Risse zu verhindern, und wenn dies auch teilweise durch die vertikalen Bügel geschieht (wie aus obiger Berechnung hervorgeht), so sind doch bei großem Schubspannungen die Bügel allein nicht ausreichend.

6. Berechnung der Querrippen und der Konsolen.

und

2,6 • 9,1

11,7²

= 0,69

Die Querrippen, in der Mitte und an den Enden 65/25 cm, verbinden die einzelnen Plattenbalken zu gemeinsamer Wirkung und können bei Vernachlässigung der Platte mit einer Einzellast von 5 ¹ gerechnet werden. Da sie kontinuierlich bzw. teilweise eingespannt sind, kann wieder

5-1,4    8

in der Mitte und

M-Pa    4

5-1,4    8

• — = 1,556 mt 9

am Auflager angenommen werden.

Ferner ist vom Eigengewicht

(0,93)

Mgn = (0,25 • 0,80 • 2,4 + 0,2 • 2,25) •

1,4²    8

8 •T2=⁰>¹⁶²“*

und

Mga - 0,93 •

1,4²    8

— = 0,203 mt

oder

Mqm = 1,167 + 0,152 = 1,319 mt Mqa = 1,556 -f 0,203 = 1,759 mt.

Hierfür ist

lb -ob

t/Vl^(17590ü,=i(w^>

cm

Von denselben gehen zwei unten durch, zwei werden nach oben abgebogen, und zwei sind oben einzulegen.

Die Konsolen sind verschieden groß, und man erhält für den 1,1 m breiten Gehweg ein Biegungsmoment

*s ,r _    0,85²

=4=* M = 0,25 .    •

Jj

0,65²

•²,4+-V

0,15(1,1 + 0,125) + (0,15+ 0,02)-0,7 = = 0,625 mtfürdieBelastung des Gehwegs mit 500 k®/ eine oben am Geländer

wirkende horizontale und vertikale Kraft von je 150 k®/ und zwar als Momente für die Mitte des Querschnitts. Hieraus ergibt sich

H'

L,

-’k.- i-

iimr

S>

* -p

•0,5 +

£• , l

Abb. 140.

qm)

und

m)

6 • 62 500

50

h = — x = 28,3 (32,8)cm,

(12,3)

25 • 10,6

5o =5,3(6,15)««“.

Bei h = etwa 75 cm genügt ungefähr die Hälfte, so daß 4 R.-E. 12 mm = 4,5 angenommen werden können.

7 bob

’    50

7 • 100 • 40

= 3,66 100 • 3,66

cm

h = — x = 9,8

ö

somit für h = (25 — 3,6) = 21,4

= 3,35icul, so daß die abgebogenen 8 R.-E. 12 reichlich genügen.

50

= 7,32 icm,

cm

9,8

•    7,32 =

•    9,04 qcm

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Hofbuchdruckerei Gebrüder Jänecke, Hannover.

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WYEZIAEY POLITECHNICZNE KRAKOW

BIBLIOTEKA GtOWNA

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II

C. W. KREIDEL’S VERLAG in WIESB/

Kdn., Czapskich 4 — 678. 1. XII. 52. 10.000

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■.

N on demselben Verfasser erschien früher:

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1»

von

HEINRICH PILGRIM, INGENIEUR.

Mit 78 Abbildungen im Texte.

Preis 2 Mark 80 Pfennige.

S ■ ‘k-k

Diese Abhandlung bezweckt hauptsächlich eine Anwendung des in den Leitsätzen des Deutschen Architekten- und Ingenieur-Vereins sowie in den preußischen Bestimmungen von 1904 angegebenen Verfahrens zur Berechnung der Betoneisenkonstruktion auf alle möglichen Fälle.

Zur Vergleichung sind überall auch die Formeln mit Berücksichtigung des Zugs im Beton beigesetzt und durch Beispiele sein Einfluß bestimmt und die Möglichkeit seiner Nichtberücksichtigung erläutert.

Der theoretische Teil A bis C wild aber durch ausführliche Beispiele in D ergänzt, welche die entwickelten Formeln praktisch verwerten und durch zahlreiche Abbildungen die Art der Eiseneinlagen sowie den Gang ihrer Berechnung verständlich machen.

Es ist dem Verfasser der Vorwurf gemacht worden, daß seine Annahme (oz = —— gleichzeitig bei Druck Ob in derselben Entfernung von der neutralen Achse) falsch sei, da dieses nur sein könnte, wenn

rH '

Ebz

-0- F}bd wäre und bei dieser Annahme (n == 15 vorausgesetzt) Ebz = 14000 sei.

Dieser Vorwurf dürfte jedoch nur vom rein wissenschaftlichen Standpunkt aus und für Versuchszwecke Berechtigung haben, denn das Verhältnis der Zug- und Druckfestigkeit des Betons mit 1:10 (20 kg und 200 kg) hängt mit dem Wert    zusammen, und es ist hiernach ganz natürlich anzunehmen, daß die gedrückte Seite

zehnmal mehr aushalten kann als die gezogene Seite, was auch bei Nichtarmierung der Fall ist. Durch die Eiseneinlagen wird die Zugseite des Betons widerstandsfähiger, aber sie verdankt dies nur der Haftfestigkeit des Eisens und wenn eine Beanspruchung des Zugbetons bis 20 kg (nach Mörsch, Eisenbahnbetonbau Seite 96 und 97, 14 kg) auftreten kann, ohne daß Risse eintreten, so ist das nur infolge der Eiseneinlagen möglich. Den letzteren ist daher die Beanspruchung über = 4 kg des Zugbetons zu verdanken, und ohne ihr Vorhandensein wäre eine größere Beanspruchung unzulässig.

Der Eisen-Konstrukteur.

Es 53t daher jedenfalls zweckmäßig, wenn man nur die reine zulässige Zugwirkung des Betons berück-*_y sichtigt und die Wirkung des Eisens auch voll rechnet, wenn auch dessen tatsächliche Beanspruchung durch größere Zugspannungen des Betons reduziert werden.

owskiej

Bibliofeka Polifechniki Krak