GEWÖLBE- UND RAHMENBERECHNUNG FÜR EISENBETONKONSTRUKTIONEN

VON DER TECHNISCHEN HOCHSCHULE ZU STUTTGART ZUR ERLANGUNG DER WÜRDE EINES DOKTOR-INGENIEURS

GENEHMIGTE

DISSERTATION

VON

HEINRICH PILGRIM

DIPL. INGENIEUR IN STUTTGART

MIT 40 ABBILDUNGEN IM TEXTE

REFERENT: PROFESSOR Dr. J. von WEYRAUCH. KORREFERENT: PROFESSOR K. KRIEMLER.

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WIESBADEN

C. W. KREIDELS VERLAG

1910

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GEWÖLBE- UND RAHMENBERECHNUNG FÜR EISENBETONKONSTRUKTIONEN

Die Werte M, H und V sind hierbei aus den Einflußl

Bei verschiedenem J der einzelnen Oeffnungen sind

des Dreigelenkbogens mit seinen Belastungsscheiden

GEWÖLBE- UND RAHMENBERECHNUNG FÜR EISENBETONKONSTRUKTIONEN

VON DER TECHNISCHEN HOCHSCHULE ZU STUTTGART ZUR ERLANGUNG DER WÜRDE EINES DOKTOR-INGENIEURS

GENEHMIGTE

DISSERTATION

VON

HEINRICH PILGRIM

DIPL. INGENIEUR IN STUTTGART

MIT 40 ABBILDUNGEN IM TEXTE

REFERENT: PROFESSOR Dr.. J. Von WEYRAUCH. KORREFERENT: PROFESSOR K. KRIEMLER.

WIESBADEN

C. W. KREIDELS VERLAG 1910

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Hofbuchdruckerei Gebrüder Jänecke, Hannover.

Akc. Nr.

Vorwort.

Der Unterzeichnete hat die folgende Abhandlung am 23. September 1909 als Doktor - Dissertation bei dem Rektor und Senat der Technischen Hochschule in Stuttgart eingereicht.

Derselbe ist geboren am 13. Mai 1854 in Frankfurt am Main, wo er bis zum zwölften Jahre in dem Institut seines Vaters, Dr. phil. Pilgrim, unterrichtet wurde. Hierauf besuchte er von 1866 bis 1870 die Realschule in Stuttgart, in welcher er drei Preise und eine Belobung für Mathematik erhielt, und die Abgangsprüfung von der frühem achten Klasse derselben bestand (die jetzige siebente von neun Klassen). Von 1870 bis 1875 besuchte er die frühere mathematische (jetzt achte bis neunte Klasse der Realschule) und hierauf die technische Abteilung des Polytechnikums in Stuttgart, und bestand die Maturitätsprüfung im Jahre 1872 und die erste Staatsprüfung im Bauingenieurfach mit dem Zeugnis 3 a im Jahre 1875.

Im Sommer 1874 war er bei Höhenaufnahmen in Freudenstadt beschäftigt und von 1875 bis 1876 bei Vorarbeiten zum Eisenbahnbau in Heilbronn und Marbach. Wegen Erkrankung konnte er längere Zeit nicht in seinem Beruf als Ingenieur tätig sein. Von 1893 bis 1895 war er als solcher bei der Königlichen Zentralstelle für Landwirtschaft in Stuttgart angestellt. Im Sommer 1895 machte er topographische Hühenaufnahmen für das Königlich Statistische Landesarat in Stuttgart. Von 1895 bis jetzt war er an der Brückenbauabteilung des Bautechnischen Bureaus der Königlich Wiirttembergischen Staatseisenbahnen mit dem Entwerfen und der Berechnung von Eisen- und Eisenbetonkonstruktionen beschäftigt. Im Jahre 1905 wurde er definitiv angestellt und erlangte 1909 auf Grund seines Zeugnisses von der ersten Staatsprüfung im Bauingenieurfach den Grad eines Diplom-Ingenieurs, und durch Vorlegung der folgenden Dissertation am 23. September 1909 die Würde eines ®oftor*Sngenieur§, welche ihm nach Ablegung der mündlichen Prüfung am 17. Dezember 1909 durch den Rektor und Senat der Technischen Hochschule am 13. Januar 1910 erteilt wurde.

Stuttgart, im Januar 1910.

Heinrich JPilgrim

Inhaltsübersicht.

Seite

Einleitung................................................

I.    Aeltere und neuere Berechnungsweise für das Eisenbetongewölbe einer Bahnbrücke

1.    Dimensionierung des Gewölbes nach Formeln von Tolkmitt, Winkler und Müller-Breslau.......

2.    Bestimmung der richtigen Gewölbeform und deren Berechnung durch Stützlinien...........

8. Berechnung des Eisenbetongewölbes nach der Elastizitätstheorie von Professor Dr. Weyrauch ....

4.    Berechnung des Eisenbetongewölbes nach der Elastizitätstheorie von Professor Mörsch.......

5.    Berechnung des Eisenbetongewölbes mit Rundeisen und mit Gitterträgern..............

6.    Berechnung des Widerlagers für das Eisenbetongewölbe......................

II.    Berechnung von Rahmenkonstruktionen in Eisenbeton..................

1.    Vergleichung der Ergebnisse für verschiedene Berechnungsweisen derselben.............

2.    Berechnungsweise der Rahmenkonstruktionen nach Professor Dr. Müller-Breslau...........

3.    Beispiel der Berechnung einer eingespannten Straßenbrücke aus Eisenbeton............

4.    Beispiel der Berechnung eines eingespannten Lokomotivschuppens aus Eisenbeton..........

5.    Anwendung der obigen Berechnungsweise auf verschiedene Rahmenkonstruktionen.........

....................... .....

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Einleitung.

Bei der folgenden Berechnung von eingespannten Gewölben und Rahmen wurde von der durch die Professoren Dr. Weyrauch, Mörsch und Dr. Müller-Breslau aufgestellten Berechnungsweise ausgegangen, und durch die Vergleichung der Ergebnisse von Beispielen ihre allgemeine Gültigkeit dargetan.

In der Gewölbeberechnung wird zuerst die Anwendung von Formeln und Regeln zur Dimensionierung der Gewölbe gezeigt, und mit Hilfe der Stützlinientheorie dann die richtige Form des Gewölbes bestimmt, für welches die genaue Berechnung nach den Formeln von Weyrauch und Mörsch erfolgen kann.

Die erstem wurden aus dem Buch: „Die elastischen Bogenträger 1897u entnommen, und hierbei die Berechnung sowie die Zusammenstellung ihrer Ergebnisse in Tabellen ausgeführt. Die letztem beruhen auf „der Berechnung von eingespannten Gewölben 1907u, welche als Sonderabdruck aus der Schweizer Bauzeitung Bd. XLVII Nr. 7 und 8 erschienen ist, und auch hierbei erfolgte die Ausrechnung der Formeln in Tabellen. Durch die Anwendung der in obigem Buch enthaltenen Formeln zur Berechnung der einzelnen Fugen, konnte dieselbe (auch ohne Anwendung von Einflußlinien) rasch durchgeführt werden, und dadurch schon als Grundlage für die Ausführung dienen.

Die genaue Berechnung mit Einflußlinien ist jedoch auch angedeutet, nach welcher die Stützlinie gewöhnlich für das Eigengewicht berechnet wird, und diese als Mittellinie des Gewölbes durch 2 oder 3 Kreisbögen ersetzt werden kann, welche sich am besten in den Vertikalen zwischen den Lamellen berühren, und durch Mittellote leicht zu bestimmen sind.

Dasselbe gilt für die am einfachsten in denselben Vertikalen sich berührenden äußern und innern Bögen,

deren Form durch die Dimensionierung aus

für die Scheitelstärke c bestimmt wird. Die Bögen können hierbei

cos cp

auch von den Scheitel- oder den Kämpferpunkten aus (mit gleichzeitiger Bestimmung der genauen Richtung für die Kämpferfuge) durch Probieren ermittelt und bis zu beliebig angenommenen Punkten fortgeführt werden (ist die Belastung nicht symmetrisch, so kann bei geringen Abweichungen das Mittel der Stützlinien gewählt werden).

Bei der Berechnung des so erhaltenen Gewölbes kann die Belastungslänge l bis zur Mitte der senkrecht zur Mittellinie stehenden Kämpferfuge angenommen und die außerhalb derselben liegende Lamelle als vertikale Belastung in dem Viertel der Kämpferfuge eingeführt werden, da sie für die Berechnung von Mx und Hx nicht in Betracht kommt. Bei der genauen Berechnung mit Einflußlinien ist ferner die Größe von M₀ in Beziehung auf die Kernpunkte der Fugen (am Kämpfer außerhalb mit entgegengesetztem Vorzeichen) einzusetzen, damit die Einflußordinaten von Mk0 und Mk,t für die Kämpfermitten = 0 werden (wenn die Kernpunkte in einer vertikalen Fuge durch x angenommen sind, so ist dies ohne weiteres der Fall). Für das Eigengewicht erhält man durch die Multiplikation der Lamellengewichte mit den mittlern Einflußordinaten für die Breite 1 (bzw. ä) einen angenähert richtigen Wert für Mka und M] bei der Berücksichtigung des Einflusses der Normalkräfte durch die Einführung von He genauer wird, und zwar wenn die Stützlinie für Eigengewicht der Mittellinie des Gewölbes entspricht (wird die Stützlinie für Eigengewicht und halbe Verkehrslast als solche angenommen, so gelten dieselben Formeln für das hierdurch veränderte IJe und es kann die

kul

welcher

gleichförmige Belastung wieder abgezogen werden, um die Spannungen für das Eigengewicht zu erhalten).

St

Die Berechnung der Eiseneinlagen für die Gewölbe erfolgt nach den in Heft 4 von 1908 und Heft 3 von 1909 der Hannoverschen Zeitschrift für Architektur und Ingenieurwesen von mir entwickelten Dimensionierungsformeln, und ergibt für die nach obigem bestimmten Normalkräfte Nx und Biegungsmomente Mx (bzw. auch für Mkn und Mku) mit Einschluß der Temperaturspannungen genaue Resultate für die Vernachlässigung des Zugs im Beton, welcher besonders bei den Temperaturspannungen in den Kämpfer- und Scheitelfugen größere Werte erreichen kann.

Deshalb wurde auch die Berücksichtigung der Temperaturspannungen bei der Ausführung von Gewölben in Uebereinstimmung mit den Forderungen der Praxis angenommen, nach welchen ähnlich wie bei der Berechnung von

Stützmauern, wobei der Reibungswinkel für Erde und Mauer zwischen 0 und <o schwankt (und daher auch ein Mittelwert -~-

St

angenommen werden kann), auch hier für die Berechnung des Kämpfers ein Mittelwert gleich der halben Temperaturspannung eingeführt wird, indem die Einspannung selbst je nach der Beschaffenheit des Widerlagers eine geringere oder größere sein kann, und wenigstens bei flachen Gewölben (auch bei solchen mit versenkten Widerlagern) eine Nachgiebigkeit derselben (für die Temperaturwirkungen) möglich ist.

Dies kann um so eher zugelassen werden, als feine Risse in der Nähe des Kämpfers weniger schädlich als im Scheitel wirken, woselbst daher auch die ganze Temperaturspannung berücksichtigt wurde, während das Widerlager ohne deren Wirkungen (die auch berechnet sind) ausgeführt werden kann, da sie dort bei horizontaler Verschiebung desselben einen geringem Einfluß aus üben, und bei vollständiger Einspannung kaum eintreten werden.

Bei der Rahmeuberechnung wird die obige Berechnungsweise nach Weyrauch und Mörsch auf ganz beliebige Formen des Rahmens angewendet und durch gleichzeitige Berechnung des rechteckigen Rahmens mit aufgeklappten Ständern als kontinuierlicher Balken mit 3 Oeffnungen und auch nach den Formeln von Müller-Breslau für den rechteckigen Rahmen in dem Buch: „Die neuern Methoden der Festigkeitslehre 1904“, ihre allgemeine Anwendbarkeit nachgewiesen.

Hierbei genügt schon die einfache Berechnung der Fugen (ohne Aufzeichnung der Einflußlinien), und es wird dadurch das schnelle Entwerfen von Rahmenkonstruktionen (welche bei Eingespanntsein als dreifach statisch unbestimmte Systeme umständliche Formeln und Zeichnungen erforderlich machen) ermöglicht und für die Berechnung dieser immer häufiger zur Ausführung kommenden Eisenbetonkonstruktionen eine sichere Grundlage geschaffen, die gemäß den vorhandenen Beispielen in der Praxis leicht anzuwenden ist.

Bei Rahmen mit geraden Stäben ist die Berechnung nach Müller-Breslau sehr einfach, und es wurde nicht nur der rechteckige Rahmen, sondern auch derjenige mit einem Polygon (statt des horizontalen Balkens) ausführlich berechnet und die Anwendung der Formeln auch hierfür gezeigt, und die Richtigkeit der Ergebnisse durch die Vergleichung mit der obigen Berechnungsweise dargetan.

Auch für unsymmetrische Rahmen wurde, auf Grund der Angaben am Schluß der Berechnung für eingespannte Gewölbe von Mörsch, eine einfache Berechnungsweise aufgestellt, welche zunächst die richtige Lage der Achsen für das Koordinatensystem bestimmt und nicht nur die Trägheitsmomente, sondern auch die Zentrifugalmomente einzelner Stäbe durch Rechnung ermittelt, so daß die Aufzeichnung der Trägheitsellipse überflüssig wird.

Hierbei wurde auch der horizontale Winddruck berücksichtigt und die Berechnung mit beliebig gerichteten Kräften angedeutet. Auch die horizontal wirkenden Temperaturspannungen wurden berechnet und ihre Vernachlässigung bei Rahmenkonstruktionen näher begründet, indem die Ständer soweit nachgeben können, als es die Temperatureinflüsse erforderlich machen und Konstruktionen bis zu ca. 25m Ausdehnung ohne Fugen ausgeführt werden.

Zum Schluß werden noch die verschiedenen Rahmenkonstruktionen mit Gelenken angegeben und ihre Berechnungsweise auf Grund der vorhandenen Berechnungsmethoden gezeigt, und auf deren Zusammenhang mit der obigen Berechnung für eingespannte Rahmen hingewiesen, indem dieselben allgemeinen Elastizitätsgleichungen gelten, welche nur durch einzelne nähere Bestimmungen modifiziert werden.

Die ganze Abhandlung soll daher die theoretische Grundlage der Elastizitätstheorie für die praktische Anwendung geeignet machen und es dem ausführenden Ingenieur erleichtern, seine Konstruktionen schnell und doch mit der nötigen Genauigkeit zu berechnen und dadurch auch zu ihrer allgemeinen Ausführung beizutragen.

I. Aeltere und neuere Berechnungsweise für das Eisenbetongewölbe einer

Bahnbrücke.

1. Dimensionierung des Gewölbes nach Formeln von Tolkmitt, Winkler und Müller-Breslau.

Die lichte Weite des in Eisenbeton auszuführenden Gewölbes ist l = 15,7 m und die lichte Pfeilhöhe desselben ist f = 2,65 m, so daß der Radius des innern Bogens aus 2r-2,65 = 2,65² -f- 7,85² oder r = 12,95 m erhalten wird.

Ueber dem Eisenbetongewölbe (aus Beton 1:4) befindet sich eine Betonbinterfüllung (1: 16) mit wasserdichtem Zementüberzug (1:2) von 2 cm Stärke, welcher zur Wasserableitung eine Neigung von 4 °/₀ nach beiden Seiten erhält, sowie das Schotterbett der Bahn mit 0,7m Höhe.

Für die Berechnung des Eigengewichts kann das spezifische Gewicht des Eisenbetongewölbes = 2,4, der Betonhinterfüllung = 2,2 und des Schotterbetts = 2 angenommen werden.

Als Verkehrsbelastung dient ein Eisenbahnzug nach dem preußischen Belastungsschema von 1901 für Hauptbahnen, welche sich auf die Längen 15,7 -f- ca. 2-0,6 =

= 16,9m bei Vollbelastung und — ^ = 8,45“ bei

einseitiger Belastung gleichmäßig verteilt, so daß für die Biegungsmomente = 147,6mt und M₂ = 51,6mt (für Radlasten, s. Hütte) die Belastungsgleichwerte aus

8-51,6 8,4 5^

Px =

8-147,6

= 4,1‘/m und pt =

*x--

Ue--

= 5,8 ⁴/m erhalten werden.

«%

/■Z,f5n

Abb. 1.

16,9*

Bei Verteilung der Belastung auf den Abstand von zwei Gleisen = 4m erhält man p

zszrzr^

41%

— ⁴>lli — 2,05 t/

in,

_ 5,8-2

= 2,9 ⁴/m, und bei Aufrundung pt = 2,2 ^ und p₂ = 3 tl

Zur Bestimmung der Stärke c des Gewölbes im Scheitel hat Tolkmitt (Leitfaden für das Entwerfen und die Berechnung gewölbter Brücken 1902) mehrere Formeln aufgestellt, und zwar unter Annahme einer horizontal abgeglichenen

Belastungsfläche, deren mittlere Höhe (25) za = c + e + -^-= 0 ist (alle Werte sind hierbei auf Gewölbegewicht zu

reduzieren).

Pi =

m*

Pi

Man erhält nun für größere Gewölbe mit der Belastung durch Eigengewicht und halbe Verkehrslast

0.154 (e+& + -£>)

(35):

p

q — 0,15 ~

/'

, wo q = q = -

30 (bis 40)

et?/

qcm

oder 150 (bis 200)

2,4

= 62,5 (83,3) cbm/₍₁,n die gleich

mäßig verteilte Normalbeanspruchung ist.

CM

Für kleinere Gewölbe erhält man bei einseitiger Belastung mit p₂: (41) c = ^ und nach der Hütte (44) c

0,5 pj

V{t+Ir⁺-2öf+0,ipJ

20

welche nicht aus dem mittleren Drittel heraustritt.

Aus (42) erhält man durch Elimination von H —

' (c-f «) + 0,5p₂ -f 0,15 f

, wofür alsdann eine Stützlinie möglich ist,

0,15 J²

Ingenieurwissenschaften angeführte Formel c —

10

(²° + w)(s-

q

, welche die zulässige mittlere Pressung q — k und die

35) noch die auch im Handbuch der

zulässige Abweichung der Stützlinie enthält. Die größten Abweichungen von der Mittellinie sind in vertikaler Richtung

und an den Kämpfern (39) —- = 0,0125

2

l

— Abstand vom Scheitel (38) —-5    2

gelenkbogen ergibt sich die senkrecht zur Mittellinie gemessene Stärke s der Fuge für ~ Abstand aus (57) s — 0,094 •

p P    ⁴

²    . cos «, wo a = Neigungswinkel der Mittellinie ist.

In diesen Formeln ist die Höhe der Hinterfüllung und Schotterbettung im Scheitel e =

bei

. 0,01 pt.P

Pi-l2 H *

Beim Drei

0,2 -2,2 +0,7.2

2,4

= 0,77 m

2 2

in Gewölbegewicht umgerechnet, ebenso ergibt sich für Vollbelastung px ==    = 0,92 m und für halbe Belastung auf

= 1,25 m, und H ist auch in

der ganzen Länge sowie einseitige Belastung p₂ —

cbm

2,4

Gewölbegewicht pro qra ausgedrUckt.

Man erhält daher (35) c= 0,15*

15,7²    (0,77 + 0,625 + 0,265)

15/7*

2,65

62,5 — 0,15-—-t

= 0,38 m, und für -- +    +

2    4

u,

0,77

2,65

1,a— +-^- = 0,83“: (41) c = 1/0,83² + 0,4-1,25-2,65 - 0,83 = 0,59“, und aus

2,65

20

(44) c =

0,5-1,25-2,65

1,66

(c + 0,77) + 0,5 • 1,25 + 0,15 • 2,65

= 0,68m und die vierte Formel c =

15,7

10

oder c~ + 1,79 c = 1,66 und c = —0,895 + J/ 0,895² + 1,66 — 0,55m ergibt einen mittlern Wert.

'    62,5

c + 1,79

Für Gewölbe aus Ziegeln oder Bruchsteinen könnte der mittlere Wert von c für die zulässige Beanspruchung

q = ~ angenommen werden, aber wegen des größeren Elastizitätsmoduls und der großem Temperaturausdehnung £

beim Beton treten im Kämpfer und Scheitel größere Zugspannungen auf, so daß der ungünstigste Wert c = 0,70111 angenommen werden soll.

Aus tga =

7,85

0,7621 ergibt sich a = 37° 18,7', sin a = 0,606 und cos a = 0,795 und

2 (r-f)    10,3

hieraus die Kämpferstärke d =-=

cos a

soll), wofür rd. 1m angenommen werden kann.

Der äußere Bogen erhält alsdann eine horizontale Weite l₂ = 15,7 + 1-2 sina = 16,90“ und eine vertikale Pfeilhöhe f₂ = 2,65 + 0,70 — 1 • cos a = 2,55 “, somit 2 r₂ • 2,55 = 2,55² + 8,45* oder r₂ = 15,27 “.

0,7

0,795

= 0,88 “ (indem die vertikale Projektion der Kämpferfuge > c sein

Bei flachen Gewölben weicht die Stützlinie für Eigengewicht und halbe Gesamtbelastung nur wenig von

£

der Mittellinie des Kreisbogengewölbes ab, so daß bei Eisenbeton keine Aenderung der Gewölbeform nötig ist. Bei hohen Gewölben ist dagegen diese Stützlinie aus den Formeln (20) oder (35) für H und (21), (17) und (18) für x, y und r zur Bestimmung des innern Gewölbebogens (auch aus der Subtangente w in 27) ftir einige x auszurechnen. Der Inhalt der horizontal abgeglichenen Gewölbefläche G und ihr Moment M in Beziehung auf das innere Bogenende ergibt

c-VG² +H²

sich aus (31) und (32) und G kann auch zur Bestimmung der Kämpferstärke aus d = verwendet werden.

Für das so bestimmte Gewölbe kann nach Müller-Breslau (s. Hütte) der Neigungswinkel <p₀ der Tangente an

4 n *0 + 0,5 f% ü z0 + 0,Uft

die mittlere Stützlinie im Kämpfer aus tg² <p₀ =

(s. S. 40)

ermittelt werden, wo fx = Pfeilhöhe des mittlern

Bogens = 2,65 -f 0,35 — 0,5-0,795 = 2,60“,    = Abstand der Kämpfermitten = 15,7 + 2-0,50-0,606 = 16,30“,

z₀ = 0,70 + 0,77 + 0,5-1,25 = 2,10“ ist, somit tg² cp(> = cos <p₀ = 0,80.

Bei Einsetzung von cos <p₀ in die Formeln der Hütte erhält man zunächst für einseitige Belastung mit _p₂ als

= 0,087 rd. 0,09 “

4 • 2,6²    2,1 + 0,5-2,6

8,15² 2,1 + 0,14-2,6

= 0,563, tg<p₀ = 0,752,

5 d²

5    0,85²

i6"~23~

und von der Mitte des Kämpfers nach Müller-Breslau

Abweichung der Stützlinie von der Mitte des Scheitels nach Winkler e = rrrr

0,7 + 1

16 f.

= mittlere Gewölbestärke = -

«i _

)■

Vj\

1,25-2,6

)    °J⁸⁰(²-0i⁰⁸⁷ ± ₈ • 0,77 + 0,14-2,6

_ + 0,43 “

~~ — 0,15 “

(bei linksseitiger Belastung liegt e nach oben, positives c, links nach unten und negatives e₂ rechts nach oben).

cos?0 (>.±T- e + o,uf,

mit

Die Formel für H ergibt bei der Normalbelastung durch Eigengewicht und halbe Verkehrslast

für einseitige Belastung mit p₂), und hierfür sind die Abstände der Stützlinie von der Mittellinie bei — (38)

⁵' - °’⁰¹ • >’²⁵ • ¹⁵>⁷¹ • 0,977 = 0,09 » und um Kämpfer (39) + = 0,0125 . ¹'²⁵'¹⁵’⁷'' °’⁸°

2}

= 33cb“ oder 33-2,4 = 79,2 ‘ (derselbe Horizontalschub gilt auch

33

33

= 0,09 “ (letzteres ist

nach obigem zu klein).

Die Werte für H und G lassen sich angenähert auch aus dem Rechteck mit der Länge = 8,45 “ und der

£

2    2

Höhe f + z₀ = 2,65 + 2,10 = 4,75 “ und aus dem Parabelsegment —---- = —-7,85-2,65 = 13,87 mit dem

^    o £    o

Schwerpunktsabstand —-7,85 = 2,95“ bestimmen (s. S. 39, Theor. Berechnung der Betoneisenkonstr. von Pilgrim 1906), so daß 4,7^    -- 13,87 -2,95 = x₀ (4,75-8,45 — 13,87) oder x₀ =    = +89 “ wird. Es ist alsdann

J    £ o j £ (

(63,05)

H-2,60 = 26,27 -2,4 (8,15 — 4,89) und H = 79,1‘, und bei Zusammensetzung von H mit G für einseitige Belastung =

= 63,05 + 8,45-0,625 = 68,3 ‘ wird E = V^⁸^² + 79,l² = 104,5 *. Die Maximalspannung am Kämpfer wird

104 500 /.    6 • 43 \ _ + 16,5

100 / ~ —37,4 ’

daher für ev = + 0,43“, o“ =--y

100 -100

Kg

2. Bestimmung der richtigen Gewölbeform und deren Berechnung durch Stützlinien.

Nachdem die Stärke und Form des Gewölbes auf Grund obiger Formeln angenähert bestimmt worden ist, kann eine Prüfung derselben durch die eingezeichneten Stützlinien stattfinden, und es kommen hierbei nach dem Handbuch der Ingenieurwissenschaften (Brückenbau, Teil II 1, 1904) vier verschiedene Stützlinien in Betracht.

Die erste entspricht der Normalbelastung aus Eigengewicht und halber Verkehrslast ~-t und es genügt, hierfür

£

die halben Stützlinien für Eigengewicht und für Vollbelastung px durch die Mitten der Kämpfer- und Scheitelfugen zu legen, und die für die Normalbelastung zu bestimmende richtige Gewölbeform aus dem Mittel ^oder für statt p, dem

^ der Differenz der Abweichungen von der Mittellinie des Gewölbes zu bestimmen.

Verhältnis -~-

2Pi

Die zweite und dritte Stützlinie, welche auch Maximal- und Minimallinie genannt werden (weil H dadurch ein Maximum und ein Minimum wird) entsprechen der Hebung des Gewölbes (für Eigengewicht) und der Senkung desselben (für Vollbelastung), wie sie auch bei Temperaturänderungen durch die Ausdehnung oder die Zusammenziehung des Gewölbes erscheinen. Diese Stützlinien können mit Hilfe derselben Kräftepläne für Eigengewicht und Vollbelastung gezeichnet werden, und da sie symmetrisch zur Gewölbeachse liegen, so genügt auch hierfür die Hälfte, welche bei der zweiten Stützlinie durch das obere Drittel im Kämpfer und das untere Drittel im Scheitel, und bei der dritten durch das untere Drittel im Kämpfer und das obere Drittel im Scheitel geht. Werden die Temperaturspannungen bei steinernen Gewölben nicht berechnet, so dient die Aufzeichnung dieser Stützlinien zur erhöhten Sicherheit des Gewölbes, indem sie auch Verschiebungen der Widerlager und Pfeiler nach innen oder außen berücksichtigen und dadurch die Maximalspannungen für die möglichen Kämpfer- und Scheiteldrücke hervorrufen.

e, 0, und e₂) abgeleiteten Stützlinie, und sie bestimmt

von

Die vierte Stützlinie für einseitige Belastung mit p₂ ist bei linksseitiger Belastung durch das innere und äußere Drittel der linken und rechten Kämpferfuge und durch die Mitte der Scheitelfuge zu legen, und dieselbe entspricht an-genäliert der aus der Elastizitätstheorie (für obige Werte

auch die Stärke der Bruchfuge bei — Abstand vom Scheitel. Bei der Aufzeichnung dieser Stützlinien werden zuerst die

5

Höhen der Hinterfüllung mit dem spezifischen Gewicht 2,2 und des Schotterbetts mit dem spezifischen Gewicht 2,0 auf das spezifische Gewicht 2,4 des Gewölbes reduziert und für die Verkehrsbelastung die konstanten Höhen 0,92 ,n rechts und 1,25 m links aufgetragen.

Bei Einteilung der (durch die gestrichelten Linien angedeuteten) reduzierten Belastungsflächen in Lamellen von 1 m Breite sind die mittlern Höhen derselben (mit !/₄ der Höhen beim Maßstab 1 : 50) in den Kräfteplänen rechts für Eigengewicht und Vollbelastung mit 0,92 m und links für Eigengewicht und einseitige Belastung mit 1,25 m Belastungshöhe zusammenzusetzen und bei beliebigem Polabstand durch Parallelen zu den Strahlen der Kräftepläne die zugehörigen Seilpolygone zu bestimmen, aus welchen sich dann die Resultanten der Belastungsflächen rechts und links ergeben (die Gewichte der Lamellen können auch berechnet und direkt zusammengesetzt werden).

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Abb. 2.

Durch die angenommenen Kämpfer- und Scheitelpunkte der Stützlinien werden dann die Linien 1 und 2 bis zu diesen Resultanten gezogen, und von hier aus die Linien 3 und 4 zu den Kämpferpunkten, und aus den Parallelen zu 1—4 in den Kräfteplänen erhält man ihre Größe und aus den Resultanten 5 von 1 und 2 die Pole der Kräftepläne für die Stutzlinien, welche durch die drei angenommenen Punkte hindurchgehen.

Die Resultanten G der Belastungsflächen können auch (ohne Aufzeichnung der Seilpolygone) durch Rechnung aus den statischen Momenten der Lamellengewichte in Beziehung auf die Scheitelpunkte bestimmt werden (indem • 6r = 2 x-g ist, und hieraus x₀ berechnet werden kann). Ebenso kann der genaue Polabstand der Kräftepläne für

die Stützlinien aus H — ^---bestimmt werden (wo f = dem vertikalen Abstand der Kämpfer- und Scheitel

punkte ist), und bei den Kräfteplänen rechts dient die Horizontale durch die Scheitelpunkte bis zur Resultante G zu einer genauem Bestimmung der Kämpferdrücke U und des Polabstands für die Stützlinien, welche am besten von dem Scheitel ausgehend aufgezeichnet werden.

Abb. 4.

Abb. 3.

Nach der Stützlinie für die Normalbelastung durch das Eigengewicht und die halbe Verkehrslast ~

£

ist nun

die Form des Gewölbes abzuändern (bei der Berechnung nach der Elastizitätstheorie wird sie gewöhnlich nach der Stütz-linie für das Eigengewicht bestimmt), und bei Annahme der Gewölbestärken sind auch die andern Stützlinien (insbesondere die vierte) zu berücksichtigen, damit die Stützlinien überall innerhalb der Kernpunkte (bei lj₃ Abstand vom Rand) bleiben und keine Zugspannungen im Gewölbe auftreten (beim Beton könnten kleine Zugspannungen von 3—4 kg zugelassen werden).

Da sich bei ftechen Gewölben die Stützlinien für Eigengewicht (links) und Vollbelastung (rechts) nur wenig und 2 cm) von dem mittlern Kreisbogen entfernen, so kann wenigstens bei Eisenbetongewölben der Kreis-

cm

(hier 8

bogen (statt beliebiger Kurven oder Korbbögen) als Gewölbeform beibehalten werden, und aus den verschiedenen Stützlinien erhält man nun die Maximalspannungen des Gewölbes.

Aus den Kräfteplänen I ergibt sich für Eigengewicht und Vollbelastung in der Kämpfermitte (für */₄

(157)

der mittlern Höhen der Lamellen des Gewölbes im Maßstab 1 :50): B —

4•230•50

1000

(75400)

110400

(121,

(7,5)

100•100

= — 11,0 ks/

qcm

und im Scheitel H

4- 182

20

(58,1)

• 2,4 = 87,4 * somit o =

(75,4)

• 1 • 2,4 = 110,4*, somit

(58100)

87 400

70*100

(8,3)

— 12,5 kg/,

qcm*

<3 =

Bei II erhält man für Eigengewicht B — 2*82100

4*171

20

100 • 100

= — 16,4 kg/qcm und im Scheitel H =

4*213

• 2,4 = 82,1 * in */₃ Abstand vom Rand

2*66700

somit

Bei III erhält man für Vollbelastung B

= — 20,4 kg/qcm und im Scheitel H =

4*139

~>)n    ■ 2,4 = 66,7 ‘ somit o

* 2,4 = 102,2 ¹ in lj$ Abstand vom Rand, somit a —

— 21,9 kg/

70•100

—    19,1 kg/qcm*

2 • 102200

100*100

• 2,4 = 76,8 ‘ somit o =

JU

2*76800

70*100

qcm*

Bei IV erhält

(195)

4*217

man für linksseitige Belastung am Kämpfer links (und rechts) B =

£\)

(93 600)

2*104200

(93,6)

* 2,4 = 104,2t in lj₃ Abstand vom Rand,

somit o =

100• 100

(18,7)

== — 20,8 kg/

qcm

und im Scheitel H

4*162

20

= — 11,1 kg/

qcm*

•2,4 = 77,8 ¹ in der Mitte, somit o

4*165

77800

70*100

In der Bruchfuge bei 3 m Abstand vom Scheitel erhält man links B =

₂₀    *2,4 = 79,2 Mn

28 cm Abstand vom Rand bei 74 4*164

— • 2,4 = 78,7⁴ in 31

cm

cm

Fugenbreite somit =

79 200

74 * 100

6 • 9 \    — 18,5

— 2,9

74

kg/qcm und rechts

Abstand vom Rand bei 74cm Fugenbreite somit offtt = —

78 700

5,5

74*100

kg

— 15,8    *

I---

|

1,0

7.

'inie

6m i

y-

0,2 L

d’

-l* 16,3 m

1-----1--

]u

O’

3. Berechnung des Eisenbetongewölbes nach der Elastizitätstheorie von Professor Dr. Weyrauch.

Das mit Stützlinien berechnete Gewölbe würde daher für 25 (30) kg/qcm zulässiger Spannung bei Beton 1:7¹/₂ (1 : 6) genügen, aber die aus der Elastizitätstheorie abgeleiteten Formeln von Winkler und Müller-Breslau ergeben schon ein Maximum von —37,4 kg Druck und -f- 16,5 kg Zug, und außerdem kommen bei Betongewölben noch größere Temperaturspannungen hinzu, so daß bei flachen Gewölben entweder ein Dreigelenkbogen (bei welchem die Temperaturspannungen verschwinden) oder ein Eisenbetongewölbe (bei welchem die Zugspannungen durch das Eisen aufgenommen werden) oder auch ein Betongewölbe mit versenkten Widerlagern (indem bei hohen Gewölben die Temperaturspannung viel kleiner wird) anzuwenden ist.

Bei steinernen Gewölben wirkt die Temperatur weniger ungünstig, indem nach der Hütte der Elastizitätsmodul E

für Sandstein usw. im Mittel = 50000 kg/

und auch der

für Ziegel = 28000 kg/qcm, für Bruchstein = 60000 kg/

Temperaturausdehnungskoeffizient für 1⁰C = 0,000008 (bei Sandstein 0,000012) ist, während für Beton die Werte E= 150 000 kg/qcm und bei Eisenbeton 1:4 sogar = 200000 kg/qcm und « = 0,000012 anzunehmen sind.

qcm?

qcm

Bei steinernen Gewölben sind auch kleine Zugrisse durch die Temperatureinflüsse in den Fugen ungefährlich, und es sind z. B. die aus hartem Kalkstein bestehenden Gewölbe der Albulabahn (s. Hennings Technisches von der Albulababn 1904) von 10—30m Spannweite ohne solche berechnet worden, und die Scheitel-(Kämpfer ) stärken sind 1,4 -f 0,071 “

hierbei angenähert durch die Formel

ausgedrUckt (dagegen wurde die Solisbriicke von 42m Spannweite

3 (2)

nach der Elastizitätstheorie und mit Berücksichtigung der Temperatureinflüsse von + 10 bis — 15° berechnet) s. Abb. 3. Auch bei Eisenbetongewölben schaden feine Risse in der Nähe des Kämpfers weniger als im Scheitel, und da die Widerlager infolge des Horizontalschubs (besonders bei flachen Gewölben) nachgeben können, so ist folgendes anzunehmen: Die Berechnung nach den in Abschnitt I und II angegebenen Methoden kann für steinerne Gewölbe und für Eisenbetongewölbe angewendet werden, indem bei erstem die Temperaturspannungen vernachlässigt werden können (nur sind die aus der Elastizitätstheorie abgeleiteten Formeln am Kämpfer zu berücksichtigen, welche für Annahme eines veränderlichen Querschnitts für J in der Berechnung nur mit zirka 0,8 • ex in Betracht kommen), und bei letztem die durch Temperaturänderungen hervorgerufenen Zugspannungen vom Eisen aufgenommen werden (und zwar genügt es, bei flachen Gewölben am Kämpfer mit der halben Temperaturspannung zu rechnen, während am Scheitel besser die ganze Temperaturspannung zu berücksichtigen ist, da hier eine Drehung oder Verschiebung des Widerlagers ungünstig wirkt). Bei eingespannten Beton- und Eisenbetongewölben ist daher eine auf I und II beruhende genauere Berechnung des Gewölbes mit Hilfe der Elastizitätstheorie erforderlich, welche von Professor Weyrauch in dem Buch: „Die elastischen Bogenträger 1897“ auch für eingespannte Gewölbe durchgeführt worden ist.

Zur Bestimmung der Kämpferdrücke dient nach S. 104—105 die Kämpferdruck- oder S-Linie mit

ihrem vertikalen Abstand b —

b - h³

worin nach S. 64: e = —

(W)

und

12

h²

12

ist, so daß sie für die parabolische Form des Gewölbes einer Geraden entspricht (die

Abweichung für Kreisbögen ist nicht groß, so daß sie angenähert auch hierfür verwandt werden kann, s. Abb. 4.)

Bei Einsetzung von f= 2,6“ und 2r-2,6 = 8>15² -f- 2,6² erhält man den Radius der Mittellinie r = 14,07'“, und da ein mittleres Trägheitsmoment für h = 1 m im Kämpfer und h = 0,7 ra im Scheitel angenommen wird, so ist

l² + 0,7²    0,745 a    15-0,745 /14,07 — 2,6\²    ° ' ° n

—--und e =--==--1

12-2

(angenähert 3,12)m.

12

12-8

14,07 • 2,6

= 0,0115, somit b =

3 -f 8-0,0115

• 2 - 2,6 = 3,20

Für eine beliebige Einzellast P erhält man die Kämpferdrucke R und R' durch Tangenten an die UmhUllungs-

2

linien U und U', deren Ordinaten v = — f —

3

1 + 6c f

15

(l — 2u)² = 1,73 — 0,185

(16,3 — 2 m)²

16,3- u

sind. Bei Ein-

Setzung von u erhält man für u — 0, v = — oo; u —

32

— 0,51 m, v — — 3,48 m (nach unten); u =

v — — 0,54 m; u = -7— = 2,04 m, v — 0,91¹¹¹; u = — = 4,08 m, v = 1,56 u = o    4

— = 8,15“, v =

16 = ¹»0S " 1,73'“,

woraus sich die Umhüllungslinien ergeben, welche aber nur bis u = —- gebraucht werden.

4

Hieraus ergeben sich die Belastungsgrenzen für die einzelnen Querschnitte nach S. 39—40, und da dieselben für die Bruchfugen nur wenig verschieden von der halben einseitigen Belastung sind, so soll dieselbe wegen der Vergleichung mit den andern Berechnungsarten voll gerechnet werden.

Nach S. 101—103 sind nun die Werte der Biegungsmomente M und M' sowie der vertikalen Auflagerdrücke V und V und der Horizontalschübe H und H, an den Kämpfern durch Formeln bestimmt, so daß sich die Werte von Mx und Vx für die Abstände x von den Kämpfermitten hieraus ergeben.

Die Formeln von Weyrauch lauten nun (in § 17) für symmetrische Belastung von Parabelbögen (angenähert gelten sie auch für den Kreisbogen):

15

2 P    a)}\ (35) M = M' = II-

{tu = Mitte). Für eine auf die ganze Länge gleichförmig verteilte Last u pro Im erhält man (25) H =

(34) H =

(1 4- 6 e) 2 fl 0

CC 1 bC

I Pa {l — a) \

»r /    1

SM

, (33) V — V =

= MS

ul²

l + 6e 8/

ul

(26) M = M' =—4 £ fH, (22) V= V —    , und für eine einseitige Belastung der linken Bogenhälfte mit u

2

u + u

1+ 6e 16/

13 m -f- 3 m'

und der rechten Bogenhälfte mit u: (30) H = — u'—2e(5m4-11?0 P

r 14-~6s

(32) M' — —

Für Temperaturänderungen ist (15)Ht =

l³ 4- 0,7³

64'    r={

E-c

14-63’ 4 f²

15

(31) M =

u — u — 2£(11m4-5m) P

3m -f 13m'

1 -F

64’

32

32

)l

• a• x, (16)M—H•

2

/, worin (nach S. 64) c = J • cos <p ist. •> *

Die Mittelwerte für J —

b-h³

12

12

= 0,056 ‘“⁴ und für cp aus tg <p₀ =

16,3

2 (r — f)

2 (14,07 — 2,6)

Kämpfer oder = 17° 41,8' sind hierbei einzusetzen, so daß c = 0,056-0,953 = 0,0534 wird.

£

Eisenbeton 1:4 E — 200 000 ks/

4- 10° C, £ (s. oben) = 0,0115.

am

qcm

- = 0,7105

Ferner ist für

und a = 0,000012 für 1°G, x = ± 20 °C für eine mittlere Temperatur von

In Formel (34) ist der Quotient

15

maßen ergeben:

(1 4- 6-0,0115) 2-2,6-16,3

= 0,166, so daß II und M sich folgender-

Lamell e

I_____8

(i

21-8

P (für Eigengewicht) ... *

it

l — a .. . a (l — a)

CD Of

13,65

5,48

3,65

12,65

4,70

4,65

11,65

2,22

2,84

3,33

tu O O CO

3,79

6,65

9,65

3,94

3,60

48,4

7.65

8.65

4,06

//=0,166 • P

a(l — q)|²,

0,41

2,76

5,17    7,35

8,63

9,39

9,75

9,84

53,3

mt

5,61    11,24

14,06    15,56

15,66

15,30

14,94

14,62

107,0

Man erhält daher für Eigengewicht (34) H = 53,3*, (35) M = M' =

53,3 -2,6-2

(33) V= V' = 48,4*. Für Vollbelastung mit u = 2,2 t/m kommt hinzu (25) H

1 +6-0,0115

zusammen 79,6 *, (26) M = M' = — 4 • 0,0115 • 2,6 • 26,3 = — 3,2 mt zusammen — 17,8 mt, (22) V = — 18,6 ‘ zusammen 67 *.

Für linksseitige Belastung mit n = 3 */,n und u = 0 kommt hinzu: (30) H—

— 107 = — 14,6 “*,

2,2-16,3²

8-2,6

2,2 (16,3 -f 0,6)

= 26,3*

16,3²

— 3 — 2.0,0115-11-3    16,3²

“1+ 6-0,0115

1 + 6-0,0115    16-2,6

= 17,9* zu-

sammen 71,2 *, (31) M-•    = + 10,3mt zusammen — 4,3 mt, (29) V =

64

13-3-16,3

32

14,7 m* zusammen — 29,3 rat, (32) M' =

3 — 2-0,0115-5-3

+ 0,9 = 20,8 * zusammen 69,2 *, V' =

1 +6-0,0115 3-3-16,3

32

4,6*

zusammen 53* (bei V ist die Belastung bis zum Gewölbeende zu rechnen).

Aus diesen Werten für H, M und V am Kämpfer erhält man im Abstand x von der Kämpfermitte (4) und (28):

, (5) und (27): Vx =

Ms

P (x — a) —

P — u • x, ferner nach S. 6 :

Mx = M + V-x — H-y —

Nx= Vx • sin <p + //, • cos cp und T, = Vx cos cp — Hx • sin cp und hieraus Rx — j/HJ + V,²~ = ]/Nx² + 7+,

tg + =

V,

und nach S. 27: c =    - (der Abstand c ist für dasselbe Vorzeichen von M und JV positiv und liegt

dann oben, und für verschiedenes Vorzeichen von Mx und Nr negativ, und liegt dann unten, s. Abb. 5).

Für die Temperaturspannungen erhält man nach S. 121: Mx —M — H • y, Nx — H • cos cp und Tx — — H• sin cp.

und cos cp

Die verschiedenen Werte von cp ergeben sich beim Kreisbogen aus sin cp = somit ist y — r • cos cp — (r — f).

Die Maximalspannungen der Fugen sind nach S. 28 und 124: °u =

schnitt F — b-li wird W—

Nx

l — 2x

r—f + y

p, ± —yjjr und für den rechteckigen Quer-

FF (Ä* ±

Die Bestimmung der Maximalspannungen soll nun für die Kämpferfugen, die Scheitelfuge und die links und rechts bei 3 m Abstand vom Scheitel liegenden Bruchfugen stattfinden:

Am Kämpfer ist cp = cp(l = 35" 23,8', cos cp = 0,815, sin cp = 0,579 (s. obige Formeln), somit für Eigengewicht: M, = M = — 14,6 mt, V, = V= 48,4*, Hx— H = 53,3 *, Rr = ^48,4² + 53,3² = 72*, Nv = 48,4-

— 14,6

b-h²

— und o" =

Mx \

h )

•0,579 + 53,3-0,815 — 71,5 *, c =

= — 0,2ni nach unten (Tx und brauchen nicht berechnet zu werden,

71,5

wenn die Stützlinie nicht aufgezeichnet wird und die Schubspannungen nicht berechnet werden), (71500T

6-1460 000

+ 1,6

100 • 100

kg

(da Nx unten liegt, so entsteht oben Zug und unten Druck). Für Vollbelastung mit 2,2 */m erhält man Mx = M = — 17,8 m*

100

— 15,9

Rx = V 67² + 79,6² = 104 *, Nx — 67,0 • 0,579 + 79,6 • 0,815 = 103,6*, c

6 • 1 780 000

o2 = -

103 600 =F

+ 0,3

100

— 21

kg#

Vx = V = 67 *, Hx = H = 79,6 *, --17,8 103,6

= — 0,17 ra.

100 -100

Für einseitige Belastung mit 3 */m erhält man bei Belastung links: Mx =M = — 29,3 ,nt, Vx = V — 69,2

Hr— H= 71,2 *, Rx =y69,2² + 71,2² = 99,3 *, Nx= 69,2-0,579 + 71,2-0,815 = 98,1 *,

6 • 2 930000\_+ 7,9

29,3

oi = -

100•100

^98100 +

100

0,30 m,

kB und bei Belastung rechts: Mx = M == — 4,3 mt, Vx = V =

98,1

— 27,4

= 53*, Hr = 11= 71,2*, R.x =\P53² + 71,2² — 88,8 *, Nv = 53-0,579 + 71,2-0,815 = 88,7 *, c

₌ ~ M kg

— 11,5    ’

°;: = -

^88700 =F

6-430000

100

4,3

88,7

= — 0,05 m,

100•100

Am Scheitel ist cp = 0, cos cp = 1, sin cp = 0, somit Mx = M + V-x — H y— 2 P (x—ä) und Vx =

= V— ^ P—ii'X und bei Anbringung des Gewichts 2,4* der Lamelle links von der Kämpfermitte in der letztem für Eigengewicht (mit u = 0): Mx = — 14,6 + 48,4-8,15 — 53,3-2,6 — (0,5 • 3,6 + 1,5 • 3,79 + 2,5 -4,13 +

(241,18)

+ 3,5 • 4,70 + 4,5 • 5,48 + 5,5 • 6,33 + 6,5 • 7,59 + 7,7 • 12,74) + 2,4 • 0,15 = 241,3 — 241,2 -f 0,36 = + 0,5 “*, Nx = = Hx = 53,3 *, Vx = 0, c = +

0,5

6•50000

— 8.2

’ + Für Voll-

= + 0,01 “, = —

belastung erhält man (mit u = 2,2 tjm) bei Anbringung der Vollbelastung links von der Kämpfermitte in der letztem

53,3

70 • 100

53 300 ±

70

Mx — — 17,8 + 67 • 8,15 — 79,6 • 2,6 — 241,2 — (8,15+ 0,3). 2,2 = 0, NX=HX= 79,6 l, c =

2,2-8,45²

, Vx = 67 - 48,4 — 6 • 200000\ 13,8 kg 8,9

Für einseitige Belastung mit 3 tfm erhält man bei Belastung links: Mx = — 29,3 + 69,2-8,15 — 71,2-2,6 — 3 - 8,45²

79,6

f- 0,15 (2,4 + 0,66) = + 2 = + 0,03“, o“ =

-—(

100-70\

Ult

79 600 ±

70

+ 0,15 (2,4 + 0,9) = + 1,7 “*, Vx = 69,2 — 48,4 — 3 • 8,45 = + 4,6 *, Nx = Hx = 71,2 *, Äx==|/71,2a+ 4,6*= 71,3*, c= +

241,2

1,7

^71200 +

Belastung rechts: Mx = — 4,3 + 53 - 8,15 — 71,2 • 2,6 — 241,2 + 0,15 - 2,4 = +1,7 Nx = Hx = 71,2 *, Rx = 71,3 *, c = + 0,03 m, o® wie bei linksseitiger Belastung.

16,3 — 2-5,15

71,3

+ 0,03™, o® =

6-170000

— 12,3

70-100

rnt

kg und bei

8,1

, y = 53 -48,4 =+ 4,6 *,

70

In der Bruch fuge ist x = 8,15 — 3 = 5,15 m, sin cp =

2 • 14,07

= 0,2132, cp = 12    18,6', cos <p =

= 0,9770, y = 0,9770-14,07 — (14,07 — 2,6) = 2,28 m, h (s. S. 14) = 0,7 + 1,62 (1 — 0,977) = 0,737 “.

Für linksseitige Belastung mit 3 t/m ist links M,.= — 29,3 + 69,2-5,15 — 71,2-2,28 — (0,5-4,70 +

(112,84)

+ 1,5 - 5,48 + 2,5 • 6,33 + 3,5 - 7,59 + 4,7 - 12,74) —

(36,84)

— (4,70 + 5,48 + 6,33 + 7,59 + 12,74) — 3 • 5,45 = + 16 », H, = 71,2

3 - 5,45²

+ 0,15 (2,4 + 0,9) = + 7,8

Ult

Vx = 69,2 -

7,8

Rx = 1^16² + 71,2² = 73‘, Nx = 16-0,213 + 71,2-0,977 = 73 *, c = +

l ü

und rechts:

Rx

=+o,n», <

100- 73,7

(73000 ±

6-780000

- - ¹⁸>⁵

Tjc

Nx

73,7

Mx *= — 4,3 + 53 - 5,15 — 71,2 - 2,28 — 112,84 + 0,15 - 2,4 = — 6,2 mt, vx = 53 — 36,84 = + 16,2 *, Hx = 71,2 *, Rx = ]/ 16,2* + 71,2² = 73 *,

1,3

10°/

Nx = 16,2-0,213 + 71,2-0,977 = 73 l, c

6-620000

6,2

eu

₇₃    = -0,09“, o®=-

Vx

(7 3 000 +

— 3,1.

-    , kg

73,7    /    — 16,8 '

Die Temperaturspannungen ergeben sich aus 2 000 000 t/qm • 0,0534 m4    45

100-73,7

'Rx

1,069

4-2,6

T • 0,000012 - 20 = 39,9 *, M=

39,9-2-2^6_

Abb. 5.

+ 69,2 mt, und am Kämpfer ist Nx = 39,9 • 0,815 = + 32,5 * und fUr t = + 20⁰ C, o,üt = -

100 -100

32 500 ±

6-6920 000

— 44,8

100

kg (für t = — 20 ⁰ C entgegengesetzt).

+ 38,3

Am Scheitel ist Mx = M — H-y = 69,2 — 39,9-2,6 = — 34,6 n,t, Nc = 39,9‘, 0“ = —

-^39 900 +

= 39*, 0® = --

Gesamtspannungen:

6 • 3 460 000 \ __ + 36,7 /    — 48,1

^39000 +

70

100-73,7

kg. Bei 3 ra Abstand ist Mx = 69,2 — 39,9 • 2,28 = — 21,8

+ 18,8 — 29,3

6-2180000

73,7

Illt

100•70 , N,. = 39,9 -0,977 =

7 kg. Man erhält nun folgende Zusammenstellung der

Am Kämpfer

Am Scheitel

In der Bruchfuge

Belastung

Span

nung

Tem

peratur

spannung

Gesamtspannung mit ganzer Temperaturspannung

Gesamtspannung mit halber Temperaturspannung

Span

nung

Tem

peratur

spannung

Gesamtspannung

Span

nung

Tem

peratur

spannung

Gesamtspannung

kg/qcm

Eigen- ja0 gewicht \au

+ 1,6

—15,9

für Ziegel -F 4,2

(»o)

-43,2 (+46,4) + 22,4 (— 54,2)

Vollbe- ia0 lastung |aM

+ 0,3

-21,0

T 44,8

(22,4)

-44,5 (+45,1) +17,3 (— 59,3)

eins. Bel. ja0 links |au

eins. Bel. ja0 rechts \ au

+ 7,9 -27,4

—    6,3

—    11,5

(Ou)

±38,3

(19,1)

für Ziegel ±3,6

— 36,9 (+ 52,7) +10,9 (- 65,7)

—    20,8 (+ 24,0) + 3,2 (—35,0)

—    22,1 (+ 22,7)

-    l,9(—40+

—14,5 (+ 30,3)

-    8,3 (-46,5)

-8,2

-7,0

-13,8 — 8,9

—    12,3

-    8,1

für Ziegel ±3,4

(»0)

±36,7

(»u)

+ 48,1

+ 28,5 (— 44,9) -55,1 (+41,1)

+ 22,9 (— 50,5)

—    57,0 (+ 39,2)

+ 24,4 (-49,0)

—    56,2 (+40,0)

eins.Bel. links

-18,5

1,3

eins.Bel. rechts

fiir Ziegel + 1,8 («0) ±18,8

(°n)

+ 29,3

+ 0,3 (-37,3) - 30,6 (+ 28,0)

— 51,1 (+ 38,5) + 26,8 (- 49,8)

-28,7 (+16,1) + 7,6 (-30,6)

des

gleichen

für Ziegel + 4,5

desgleichen

-    3,1

—    16,8

für Ziegel + 2,7

+15,7 (- 21,9) - 46,1 (+12,5)

4. Berechnung des Eisenbetongewölbes nach der Elastizitätstheorie von Professor Mörsch.

In der Schweizer Bauzeitung 1906, Bd. XLVII, S. 83, ist eine (auch als Sonderabdruck und im Betonkalender 1908 öffentlichte) Berechnung von eingespannten Gewölben enthalten, in welcher mit Hilfe der Elastizitätstheorie die Werte von H, I und Mbestimmt sind, und zwar in Beziehung auf ein Koordinatensystem durch einen auf der Symmetrieachse liegenden Funkt 0.

Bei einem Gewölbe mit durchgehender Stirnmauer (1: 10) kann die untengezeichnete Teilung der Lamellen von 1 “ Breite gewählt werden (bei Straßenbrücken kommen auch Aussparungen zwischen Säulen vor, so daß die elastischen Elemente zwischen den letztem anzunehmen sind), und in den durch Ringe bezeichneten Mittelpunkten derselben sind

die elastischen Gewichte der Gewölbeabschnitte 1,2 usw. w — -y anzubringen, wo s = Länge des mittlern Bogenabschnitts,

b-h³

ver-

./

12

= Trägheitsmoment der mittlern Höhe, x und y = Abszisse und Ordinate des Mittelpunkts in Beziehung

auf das Koordinatensystem durch 0 ist.

Die Anbringung von zwei gleich und entgegengesetzt gerichteten Kräften R in 0 ändert nichts an dem Gleichgewichtszustand, und mau erhält nun das Moment M — R-r und die in 0 wirkenden Kräfte Ii und V.

vn vr v iv m

HT W V' W VE’

L--34|5—»|

0,75 •■0,70»

+x

.--ü

6'

fL--

—j---}

ff ff; !

i_j_L

X i

KW44/I-P

f-b

l>

Hjß

M-

IMS.

Der Ursprung des Koordinatensystems 0

s

wichte -j, und hierfür läßt sich der Abstand r der im

aus r = bestimmen, und es lassen sich auch

h    M    M

schnittenen Längen xr = UQd Vr ⁼ berechnen,

die Stützlinie aufzeichnen will.

Für den Halbmesser r

zurechnen: sin<p,=

ii

Ü!

'/!

/ //

///

9/

entspricht dem Schwerpunkt der elastischen Ge-Kämpfer wirkenden Resultante R =]/rH² -f V²

die durch R auf den Koordinatenachsen abge-wenn man die Kämpferdrücke bestimmen oder

mittlern Bogens sind nun folgende Werte ausferner y — 14,07 • cos cp — (14,07 — 2,6) =

h — 15,27 — 12, 95 — 1,62 • cos cp (siehe

= 0,7 + 1,62 (1 — cos cp).

Man erhält diese Werte am schnellsten mit Hilfe des Rechenstabes in folgender Tabelle:

sin cp₂ =

14,07 ’

= 2,60 — 14,07 (1 — cos cp), s —

14,07

1(1,15)

usw.,

und

cos cp

Abb. 6) == 2,32 — 1,62 + 1,62 — 1,62 • cos cp =

K—

II

Abb. 6.

Lamelle r

(Kämpfer) 1 1-8

sin cpr.............i........

cp,. (Gauß, Logarithmen, S. 113)

cos cpr......................

yr = 2,60 — 14,07 (1 — cos cp,.)

(1,15)

_14_ 1 — COS fr COS Cpr

hr = 0,7 -f-1,62 (1 — cos cp,.)... Jr =    (fUr b _ i) .....

0,0355    0,1066    0,1777

2° 2,1'    6° 7,2'    10° 14,1'

0,9994    0,9943    0,9841

2,59    2,52    2,38

0,2488    0,3198    0,3909    0,4620    0,5384

14° 24,3' I8n 38,9'    23° 0,7'    27° 31,2'    32° 34,4'

0,9685    0,9475    0,9204    0,8868    0,8427

2,16

1,86

1,48

1,01

0,39

Sr

12

1,001    1,006    1,016

0,701    0,709    0,726

0,0287    0,0297    0,0319

1,055    1,086    1,128    1,364

0,883    0,955

0,0353    0,0403    0,0475    0,0574    0,0726

1,033

0,751 I 0,785    0,829

0,5792 35° 23,8' 0,8152

1,000

wr —

Jr

34,9    33,9

31,9

29,3    26,2

22,9

19,7

18,8

2 X 217,6 = 435,2

Sr

Fr

= !*• (für 6 = 1) hr

1,43    1,42

1,40

1,38    1,35

1,31

1,28

1,43

2 X 11,0 = 22,0

y*

Für einen Korbbogen aus zwei oder drei Kreisbögen ist auch die Mittellinie aus dem nach oben abgerundeten zu bestimmen oder das Gewölbe nach dieser Mittellinie anzunehmen (am besten mit den drei Bogenpunkten

auf einer Vertikalen), und hierfür lassen sich die Werte a, ß, bd, dm, eg, gm und y ermitteln, und für x bzw. x — eg erhält man dann die Werte für cp, y und s wie in der Tabelle (h läßt sich aus der Zeichnung entnehmen oder wenn

r" • y

die drei Mittelpunkte auf einer Geraden liegen wie oben berechnen) und als Probe dient 2 s = ab + bc =

TB

180

•TT +

180

• Tr (bei drei Kreisbögen verfährt man ähnlich und bei Annahme der Bogenendpunkte ist die Berechnung leicht

durchzuführen) s. Abb. 7. Bei hohen Bögen mit starker Krümmung erhält man in obiger Tabelle genauere Werte,

V o - Vi

wenn die Ordinaten y" = f—y' für I, II usw. aus x- == y" (2 r — y") berechnet werden, und tg cp, =    _ ₇

y — y    .    ® (    !■)

—    gesetzt und hieraus cp, sin cp und cos cp berechnet wird (für x erhält man einen genaueren Wert

aus x — r ■ sin cp).

tg <pa =

wx

Wy

Man erhält nun den Koordinatenursprung 0 graphisch oder durch Berechnung seines Abstands von der Scheitel mitte aus z-2w = 2 (2,6 —y')-w oder

0,01 • 34,8 + 0,08 • 33,9 + 0,22 • 31,9 + 0,44 • 29,2 + 0,74 • 26,2 + 1,12 • 22,9 + 1,59 • 19,7 + 2,21 -18^8 ₂ __    _    _    ‘    ^    21.7,6

Für diese Annahme des Koordinatenursprungs gelten nun die Formeln

M „•

= 0,65 m.

\ M₀ •dw-y + E-a-x -1

2Mf)-w,J + F • a • t • l

H=

V=

M=

ds

ds

fdw-y² + j*

ds

(für ivy = w- y),

’Mn • ds

x² • ds

’Mn • d s

JM₀ • dw • x

fdw • x²

V Af . «)

*- (für wx — w- x),

2 X • wx

jM₀ • dw _ 2M₀-w

jdw

2w

und es sind diese Summenausdrücke zu berechnen.

j'ds

In denselben ist M₀ das statische Moment der linksseitigen Kräfte F in Beziehung auf den Lamellenschnitt, und man erhält für P— 1 und M₀ = — 1 (a — x)

_ j_

_ JL_

(a — x)}

2M₀ • wy = — 2wy (a — x), 2M₀ ■ wx — — 2wx (a — x), 2 M₀ • w — — ^

indem man nur dann einen Wert für Mn erhält, wenn die Lamelle rechts von der Last 1 liegt, also zwischen x = a

und x = —

Die Summenausdrücke wK=W‘X, wtJ=-W-y, tv-x'², iv-y~ sind daher für die Einzellast P == 1 gleich der Summe der statischen Momente der elastischen Gewichte wx, wy, w rechts vom Lastangriflspunkt, und ihre Berechnung geht für x und y = 0,65 — (2,6 —y) — y — 1,95 vom Kämpfer rechts aus, so daß man die folgende Tabelle erhält:

Vert i k a l e

Scheitel (T)

. r (2')

II' (3')

III' (4')

IV' (5')

V' (6')

VI' (7')

vir (8')

21- 8'

y-1,95

wx2 w ‘ V²

>C5 CD 05    co_

o O ■+    IN CO

CO    T-* (M *-<

+¹ S £» Jä + o p

CD CD -J —1    CD

*3l cC~ « ° gi g "

T—i

4,5

5,5

6,5

— 0,09

- 0,47

— 0,94

7,575 — 1,56

26,2

22,9

19,7

18,8

117,9

125,9

128,0

142,4

-2,4

— 10,8

-18,5

-29,3

531

693

832

1079

0,2

5,1

17,4

45,8

2X217,6=435,2

Für x gilt von 1'—8' das negative Vorzeichen. 2 X 3778 = 7556

2 X 101 = 202

__i_

2

1 2 Wy (« — x)

Einflußordinaten für

305,7+21,8 2 ³¹⁶’⁴

22,3

274,3 + 41,1 ₂    305,7

19,3

226,3 + 54,8 2 ⁷⁴’³

13,7

168,4 + 61    108,6 + 58,6    55,4 + 47,8

~~ = 226,3 +-’- = 168,4 +^ = 108,6

16,9 + 29,3 f?M = 55,4

0,575 • 29,3 = 16,9

11

livy⁷ +2-|;(= 224)

1,412

1,365

1,224

1,010

0,752

0,485

0,247

0,075

47,8=29,3+18,5 58,6=47,8+10,8 usw. y kann auch mit dem Vorzeichen eingesetzt werden.

2-101+2 *11=224

i

"" 2 \Vwx{a — x)

Einflußordinaten für

3020,7 + 747,2    2298,9 + 696,4

₂    3776,6 +^ = 3020,7

17,4

1642,3 + 616,7    1076,9 + 514,2    621,6 + 396,3

^ = 2298,9 + -¹—^=1642,3 + -^=1076,9 + ~

288,3 + 270,4 = 621,6

81,9 +142,4 + + = 288,3

0,575 • 142,4 = 81,9

Die Werte I—VII bilden mit I'—VII die Summe 1.

1-2

|I'—VII' 2tt>*£e²(=7556)il — VII

0,500

0,500

PP

0,304

0,696

P P + P

CB

05 ^

0,1425

0,8575

0,0823

0,9177

0,0382

0,9618

0,0109

0,9891

2

1(« - x)

Einflußordinaten für 1*2

564,8 + 182,7    399,0 + 148,8

+ ^ = 764,9 +    = 564,8

266,2 + 116,9 + M = 399,0

39,5 + 38,5

163,9 + 87,6    89,4 + ‘*1,4

+ + = 266,2 + + = 1G3,9 + -+-=89,4

10,8 +18,8 + + = 39,5

0,575 • 18,8

= 10,8

M=

|I — VII'. 2w(= 435,2) U — VII .

1,758

1,758

1.298

2.298

0,917

2,917

0,612 3,612

co co

0,205

5,205

0,091

6,091

0,025

7,025

Die Werte I—VII sind um ihre Abstände x größer als

r— vir

(Kämpfer Ä). = 8,15

P (Eigengewicht)

Hl'- 8' (1 — 8)..

T—8'

1-8

T—8"

*1-8

(Statt 8, 8' die Lage für P₈)

(Einflußordinaten s. Abb. 6)

3,60

1,40

0,45

0,55

1,51

2,01

3,79

1,30

0,35

0,65

1,09

2,59

4,13

1,12

0,26

0,74

0,75

3,25

4,70

5,48

6,33

7,59

12,74

(2,4)

0,88

0,18

0,82

0,49

3,99

0,62

0,11

0,89

0,30

4,80

0,37

0,06

0,94

0,15

5,65

0,16

0,02

0,98

0,06

6,56

0,02

0,00

1,00

7,70

48,36

2X5,87 = 11,74

1,43

6,57

8,00

4,35

36,55

40,90

Bei besonderer Berechnung der Lamelle links von der Kämpfermitte mit P — 2,4.* erhält man dasselbe Resultat, indem 7,60 • 10,34 + 8,15 • 2,4 = 7,70 • 12,14 = 98,1 ist (dieselbe kann auch als Einzellast in dem Kämpferviertel angenommen werden).

Die so berechneten Summenausdrticke (bei deren Ausrechnung die Abstände a = 1 m für die nächstfolgenden

Werte weggelassen sind und ~    eingesetzt    ist) und hieraus bestimmten Einflußordinaten für II, V und M sind

nach Abb. 6 zur Bestimmung der Einflußlinien in 1’ — VII' und I — VII aufzutragen, und zwar in einem beliebigen Maßstab (z. B. für H fünffach, für V zehnfach, für M einfach in cm bei 1:50 Maßstab der Längen), und man erhält hieraus    die Einflußordinaten fiir die    Querschnitte    der Einzellasten P (dieselben ergeben    sich    auch    angenähert durch

Rechnung als Mittel der berechneten Einflußordinaten, vgl. die Tabelle).

Durch Multiplikation dieser    Einflußordinaten b    mit    den Einzellasten P erhält    man    für    das    Eigengewicht

11=1 P-b = 51,9 ‘, V= 48,4 », M = 277,2 rat.

Bei gleichmäßiger Vollbelastung mit 2,2 tjm ist die Summe der Einflußordinaten für die Einzellasten P mit 2,2 • 1 (1,45) zu multiplizieren, und man erhält

H = 51,9 + 2 (5,85 • 1 + 0,02 • 1,45) • 2,2 = 77,8 *, V= 48,4 + (7 • 1 + 1 - 1,45) • 2,2 = 67 », M = 277,2 + + (33,20 • 1 + 7,7 • 1,45) • 2,2 = 374,8 ,nt.

Für linksseitige Belastung    mit 3 ‘/m ist    H =    51,9    + (5,85 • 1 -f 0,02 • 1,45) • 3 =    69,6 *,    V = 48,4 +

+ (5,57 • 1 + 1 • 1,45) • 3 = 69,5 l, M = 277,2 +    (28,85 -1 +    7,7 • 1,45) • 3 = 397,2 ,ut.

Für rechtsseitige Belastung mit 3 tjm ist H = 69,6 ‘, V = 48,4 -f- (1,43 • 1 -j- 0 • 1,45) • 3 = 52,7 M = 277,2 + (4,35 • 1 + 0 • 1,45) • 3 = 290,3 mt.

Die Werte von Mx für die Mitte der Fugen ergeben sich aus Mr = M -J-    — H • y — V ■ x, wo M₀ =

statisches Moment der linksseitigen Lasten und y sowie x mit den Vorzeichen des durch 0 gelegten Koordinatensystems

x    M

einzusetzen sind. Ferner ist wie oben Nx = Vx • sin cp + Hx • cos cp, Vx — V — 2 P, Hx = H, c =

/    6 M \

o° = — —In ± - x \

b-hVx± h )

welche auch nach Abb. 5 aus Hx, Vx und c hervorgeht).

Man erhält somit am Kämpfer für Eigengewicht Hr = 51,9 *, Vx = 48,4 *, Mx = 277,2 +

= — 0,23 ra,

(Lamelle 8.)

vH

(die Werte für Rx, Tx und sind nur bei Aufzeichnung der Stützlinie erforderlich,

+ 51,9 • 1,95 — 48,4 • 8,15 = — 16,5 mt, Nx — 48,4 • 0,579 + 51,9 • 0,815 = 70,3 *, c = —

2,6

— 16,7    *

Für Vollbelastung ist Hx = 77,8 », V, = 67 ‘, Mx = 374,8 + 77,8 • 1,95 — 67 • 8,15 = — 19,5 mt, Nx = 67 • 0,579 + 77,8 • 0,815 = 102,2 *, c = —

°M ⁼⁼

6-1610000

100

kg

19,5

70,3

kg.

102,2

- w(i02200 T

6-1950000

100

Für einseitige Belastung links ist Hr = 69,6 *, Vx = 69,5 ‘, Mx = 397,2 + 69,6 *1,95 — 69,5 • 8,15 = — 33,5 mt,

+ 10,4

— 5

Für Vollbelastung ist Nx = Hx = 77,8 ‘, Vx = 0, Mx = 374,8 — 241,2

Nx = 69,5 ■ 0,579 + 69,6 • 0,815 = 97 *, c

Nx = 52,7 - 0,579 + 69,6 - 0,815 = 87,2 *, c =

gewicht Nx = Hx = 51,9

(öl 900 db

100-70

33,5 _

97

3,5

87,2

— 0,35 m

100²

^97 000 T

6-3350000

100

kg.

= - 0,04 m, a« =

L(₈7 20°T

6-350000

100

6-200000

70

2,2 - 8,45²

+ 0,15 (2,4 + 0,66) —

4,9

6 • 490000^_— 17,1 kLr

- 5,1

Für einseitige Belastung links ist Nx = Hx = 69,6 *, Vx = 69,5 — 48,4 — 3 • 8,45 = — 4,3 *, Mx = = 397,2 — 241,2 —

(69 600 +

— 7 7,8 • 0,65 = + 4,9 mt, c = +

77,8

= + 0,06 “, a« =

100 • 70

77800 ±

70

3    ⁸>⁴⁵²

2

6-420000\_ — 15,1 kLr - 4,8    '

Fiir einseitige Belastung rechts ist Nx= Hx= 69,6 t, Vx — 52,7 — 48,4 = + 4,3 *, Mx = 290,3 — 241,2 — — 69,6 • 0,65 + 0,15.2,4 = + 4,2 mt.

In der Bruchfuge ist bei 3 m Abstand vom Scheitel x = 3 ra, sin cp =    = 0,2132, cp = 12° 18,6',

cos cp = 0,9770, y = 2,28 m, y = y — 1,95 = 0,33 m, h = 0,737 m (s. S. 13), ferner Mx — M+M₀—H y — V• x,

(s. S. 13)

somit für einseitige Belastung links Hr = 69,6 l, Vx = 69,5 — 36,84 — 3 • 5,45 = + 16,3 *, M= 397,2 — 112,84 — 3 • 5 45²

--j--+ 0,15 (2,4 + 0,9) — 69,6 • 0,33 — 69,5 - 3 = + 8,8 ,nt, Nx = 16,3 • 0,213 + 69,6 • 0,977 = 71,5

+ 0,15 (2,4 -f 0,9) — 69,6 • 0,65 = -f 4,2 mt, c = +

4,2

69,6

= 0,06 ra

100-70

70

8,8

= + 0,12 o!

— 19,4

6 - 880000

kg, und für einseitige Belastung rechts:

71500 ±

71,5

Hr = 69,6 », Vx = 52,7 — 36,84 = + 15,9 *, Mx = 290,3 — 112,84 + 0,15 • 2,4 — 69,6 • 0,33 — 52,7 - 3 = — 3,3 mt,

— 6 . -    kg

— 13.3    *

100 • 73,7

73,7

Nx = 15,9 • 0,213 + 69,6 • 0,977 = 71,4l, c= —

3,3

71,4

— 0,05 m, a® = —

100-73,7

(71400 T

6-330000

73,7

H. =

Die Temperaturspannungen.ergeben sich aus Ht — 2000000 */qm • 0,000012.20 ■ 16,3

224

E • a • t • l

2wy²+X-j

= 34,9*. Die Momente Mx sind bei Temperaturausdehnung für den in der

, Nx = H, • cos cp, Tx — Ht • sin cp, somit

Koordinatenachse von links nach rechts wirkenden Horizontalschub Ht zu berechnen. Am Kämpfer ist daher

M x — 34,9 • 1,95 = 68,1 mt, Nx = 34,9 • 0,815 = 28,4 *, o,°t = —

1^(28400 ±

6-6810000

100

_ — 43,7 “ ± 38

6*2270000

Am Scheitel ist Mx = — 34,9*0,65 = — 22,7 mt, Nx = 34,9‘, o“ =

_ ± 22,8

~ — 32,8

Mx — — 34,9 • 0,33 = - 11,5 mt, Nx = 34,9 • 0,977 = 34,1 *, o"= —

k!?. In der Bruchfuge ist

Man erhält nun folgende Zusammenstellung der Gesamtspannungen:

100 • 73,7

100•70 ^34100 ±

34900 ±

6*1150000

73.7

70

± 8,1

— 17,3

kg.

Am Kämpfer

Am Scheitel

In der Bruchfuge

Belastung

Span

nung

Tem

peratur

spannung

Gesamtspannung mit ganzer Temperaturspannung

Gesamtspannung mit halber Temperaturspannung

Span

nung

Tem

peratur

spannung

Gesamtspannung

Span

nung

Temperatur- Gesamtspannung Spannung

kg/qcm

Eigen- ja0 gewicht \<jm

Vollbelastung

|°0

eins. Bel. ju0 links |aw

eins.Bel.

rechts

«ü

±2,6

für Bruchsteine ± 8,7

(«o)

± 43,7

(21,8)

- 41,1 (± 46,3) ±21,3 (-54,7)

— 42,2 (± 45,2) ± 16,1 (— 59,9)

— 10,6

(<»«)

±38,0

(19,0)

für Bruchsteine

±7,6

— 33,3 (± 54,1) ±8,2 (-67,8)

— 50,3 (± 37,1)

± 27,4 (- 48,6)

-19,2 (±24,4) J-2,3±-35,7)

-    20,3 (± 23,3)

-    2,9 (— 40,9)

-11,4 (±32,2)

-    10,8 (- 48,8)

"—^28,4 (±15,2)

±8,4 (-29,6)

—    9,9

—    5,0

~ 17,1

für Bruchsteine ±4,6

(®u)

±22,8

des

gleichen

±12,9 (—32,7)

—    37,8 (±27,8)

± 5,7 (- 39,9)

—    37,9 (± 27,7)

(°u)

±32,8

± 7,7 (- 37,9) — 37,6 (± 28,0)

für Bruchsteine eins.Bel. ± 1,6 links

-19,4    ± 8,1

+ 0

eins.Bel. rechts ± 17,3

(*o)

(»«)

für Bruchsteine ! desgleichen

± 6,6 I

—    6,0 fiirBruch-

steine

-    13,3 j ± 3,5

— 11,3 (-27,5) -17,3 (± 17,3)

± 2,1 (-14,1)

— 30,6 (± 4,0)

5. Berechnung des Eisenbetongewölbes mit Rundeisen und mit Gitterträgern.

Die beiden Berechnungen nach Weyrauch und nach Mörsch sind sowohl in betreff der Angriffspunkte der Resultanten R als auch der Maximalspannungen des Gewölbes in guter Uebereinstimmung, nur gilt die letztere für jede beliebige Form und die Zunahme des Querschnitts der Gewölbelamellen vom Scheitel bis zum Kämpfer wird in dem

Ausdruck -j berücksichtigt, während die erstere nur für die Parabel genau und für den Kreisbogen angenähert gilt

(genaue Formeln für den Kreisbogen sind auch in dem Buch von Weyrauch vorhanden), und der Mittelwert J • cos <p für die Formeln angenommen wird.

In § 17 sind auch Formeln von Weyrauch für eine beliebige Belastung des Gewölbes mit Einzellasten vorhanden, und ebenso kann nach dem Verfahren von Mörsch mit Einzellasten gerechnet werden, und zwar angenähert, die Belastungsgrenzen nach der [/-Linie oder wie beim Dreigelenkbogen oder nach einem Vorgang bestimmt werden,

wenn

und die ungünstigste Belastung des Gewölbes für K₍₎ oder Ka bzw. die Mitte der Fuge ^bei einer Einzellast P im

Querschnitt x mit M = ^X ^, bei einseitiger Belastung mit M = bei oder dem Maximalbiegungsmoment

i    O    4:

der Belastung von —, was auch für die symmetrische Belastung des Scheitels von

während die Vollbelastung mit M —

8 M

bis

bei — oder dem Maximalbiegungsmoment für /

— I angenommen werden kann, 4

rechnen ist 1 durch

ZU

ersetzt wird (vgl. auch die nur für flache Kreisbögen gültige angenäherte

ihren Belastungsgleichwert p — -^

l    |

Berechnung von Landsberg mit Benutzung der U-Linie zur Bestimmung der Kämpferdrucke für Einzellasten, Handbuch der Ingenieurwissenschaften, Brückenbau Bd. II, 1904). Nach der genauen Berechnung von Mörsch ist die hormel Mk= M 4- M₀— H’Vk— V’x für verschiedene Annahmen der Last 1 zwischen 0 und l auszurechnen, indem bei Ersetzung der zur Mittellinie senkrechten Fuge durch die Vertikale in der Fugenmitte das M₀ und I • x der Kernpunktsmomente für Mk0 und Mku gleich groß werden, wiewohl auch eine genauere Berechnung nach folgendem Schema für den Querschnitt x stattfinden kann (vgl. die Berechnung der Gmündertobel-Brücke von Mörsch in der Schweizer Bauzeitung 1909, Bd. LIII, Nr. 7—10):

P= 1

in

M ku

M₀

— V- xu

— H • yu

-H-iy o

-Vx₀

Mkn

¹

/

Die Werte M, H und V sind hierbei aus den Einflußlinien in Abb. 6 bzw. aus der Tabelle zu entnehmen, und für jede angenommene Lage der Last 1 sind die entsprechenden Werte obiger Gleichung für Mk mit Berücksichtigung des Vorzeichens von x“ und y„ zu addieren (die Werte für M₀ kommen hierbei nur für die angenommene Last 1 links vom Querschnitt x in Betracht, so daß sie für die Kämpfer- und Scheitelfuge bei rechtsseitiger Belastung wegfallen).

Die richtigen Einflußlinien für Mk0 und Mku entsprechen den Einflußordinaten bei I, II usw., indem (ähnlich wie bei der StUtzlinie) die richtige Ordinate nur bei der Trennungslinie der Bogenelemente s vorhanden ist, weshalb die elastischen Elemente zwischen etwa vorhandenen Säulen anzunehmen sind, weil auch die Einflußlinien durch die Einzellasten der Säulen zwischen diesen geradlinig verlaufen (das Stück zwischen den Säulen kann noch weiter geteilt werden).

wie dies aus Abb. 8 ersichtlich ist.

ku)

Die Lasten P— 1 werden vom Kämpfer rechts her an den Teilpunkten VII bis zum Scheitel und von diesem bis VII angenommen, und die aufgetragenen Einflußordinaten ergeben eine positive (nach unten) und eine negative (nach oben gerichtete) Beitragstrecke für Mx bzw. für Mk0 und für M}

Es kann daher bei einer gegebenen Lichtweite und Pfeilhöhe des Gewölbes zunächst die Kreisbogenform angenommen und (wenigstens für hohe Gewölbe) alsdann die Ordinate y' der Stützlinie für das Eigengewicht und die halbe Verkehrsbelastung p₂ oder für das erstere allein aus dem Moment M— H-y' in Beziehung auf den Schnitt von H mit der Vertikale durch x berechnet werden. Aus diesen Ordinaten kann die StUtzlinie durch die Schnittpunkte von Rx (aus Hx und Vx) mit den zur Mittellinie senkrechten Fugen bestimmt werden, welche die Mittellinie des Gewölbes ergibt, wofür dann die Berechnung nach der Elastizitätstheorie erfolgt (s. Abb. 8 rechts).

1/

4

cl<- —i------\—f

k- —--jtV-

e'

r'-J-

¹ fl £

XL

TW

Abb. 7.

Abb. 8.

Bei der Annahme des Eigengewichts für die Bestimmung dieser Mittellinie erhält man eine etwas genauere

H - 2 4

-H,

ds

Berechnung für den Horizontalschub vom Eigengewicht aus He =

ds - cos²

<P

2w-y- + 1 y

indem JF/S

H. =

aus der mittlern Stützlinie des Gewölbes berechnet wird, so daß in obigem Beispiel

(s. oben)

48,4 • 8,15 — 241,2 + 0,15 • 2,4

2,6

= 58,6 l, He = —

58,6-22

224

— — 5,8 % somit H = 58,6 — 5,8 = 52,8 ‘

statt 51,9 ¹ wird (die bei ständiger Last zu den Kräften der mittlern Stützlinie hinzukommende horizontale Ergänzungskraft He rührt von der Verkürzung des Bogens durch die Normalkräfte her).

Die negative Zusatzkraft He (dieselbe ist in obigem Beispiel nicht genau, da die Stützlinie für Eigengewicht nicht mit der Mittellinie des Gewölbes zusammenfällt) wirkt in der Abszissenachse durch 0 von rechts nach links, und veranlaßt daher unterhalb der x-Achse negative Biegungsmomente mit Druckspannung unten und Zugspannung oben und oberhalb der x-Achse das Gegenteil.

Die Spannung für Eigengewicht ergibt sich daher aus o“ = —

n, , H*-yl

“tT ±

(r

W )’

wo Ns ~

II

cos <p

auch aus dem Kräfteplan für das Eigengewicht zu entnehmen ist, und ist zu den andern Spannungen zu addieren (yu und y₀ gelten für die Kernpunkte der Fuge und sind mit ihrem Vorzeichen einzusetzen).

Bei kleinern Gewölben genügt die genaue Berechnung von zwei Fugen zwischen Kämpfer und Scheitel (bei

gewählt werden, und die Randspannungen o“ ergeben sich auch direkt aus

flachen Gewölben sogar eine bei ca. — Abstand vom Scheitel) bei ca. — und —, und bei großem Gewölben können drei l l 31 °    68

Zwischenfugen bei ca. —, —

°0= T    und au = ±

h . b}

wo W— —-— ist (s. S. 2.39, 13 des Sonderabdrucks für Heft 3 von 1909 der H. Z.)

6

Dasselbe gilt für die Berechnung der Temperaturspannungen, und man erhält hierfür nach Mörsch am Kämpfer annähernd die gleichen Werte wie nach Weyrauch, dagegen am Scheitel kleinere, und dies rührt daher, daß bei der

2

Parabel und für ein konstantes J die 0 -Achse durch den Schwerpunkt des Bogens in — f Abstand geht, während sie

^    s

bei einem beliebigen Bogen mit veränderlichem J durch den Schwerpunkt der elastischen Gewichte w =-y bestimmt ist.

Bei Ausdehnung des Gewölbes wirkt Ht von links nach rechts, und man erhält daher unterhalb der x-Achse positive Biegungsmomente mit Zug unten und Druck oben, und oberhalb der x-Achse negative Biegungsmomente mit Druck unten und Zug oben, und bei Zusammenziehung des Gewölbes gilt das Entgegengesetzte. Sowohl bei der Ausdehnung als bei der Zusammenziehung ist (wegen der Verbindung durch die Eiseneinlagen) eine teilweise horizontale Verschiebung des Widerlagers anzunehmen (für dieselbe gilt dieselbe Formel wie für Ht nur mit Ersetzung des Zählers Eazl durch —E-Al), und es genügt daher bei flachen Gewölben die halbe Temperaturspannung am Kämpfer zu berücksichtigen (dieselbe wäre = 0, wenn das Widerlager vollständig mitwirken würde). Am Scheitel ist der Sicherheit halber mit der ganzen Temperaturspannung zu rechnen, da hier die ungünstigsten Wirkungen bei Verschiebung des Auflagers durch die Temperatur entstehen und auch die Senkung des Gewölbes bei Entfernung des Lehrgerüsts schädlich wirken kann (in dem Sonderabdruck der Veröffentlichung von Professor Mörsch über die Gmündertobel-Brücke ist auch eine Formel für die Einsenkung des Gewölbes im Scheitel durch das Eigengewicht enthalten, indem

JL

x-y

ist, und diese Summenausdrücke vom Scheitel 0

■ds + ff, j

0

sin

ds

cos <p E

2

He ( sin <p • cos <p •

aus

auf Grund obiger Tabellen leicht berechnet werden können).

Man erhält nun für die Berechnung mit Eiseneinlagen (welche bei der Gewölbeberechnung nicht zu berücksichtigen sind) folgende Maximalbiegungsmomente und Normalkräfte (vgl. die für o° erhaltenen Werte), und zwar am Kämpfer

bei einseitiger Belastung (für die Zusammenziehung des Gewölbes): Mx = — 33,5

67,55

" 2 “ = 82>⁸’’ c = 9, =-32

K.

Nx ~

, h = 96Cm, h'= 4cm, g₂— 128

82,8

68,1

— 67,55 mt, Nx = 97 — — _ o,82 m und nach B 2 c (s. Heft 4 von 1906 der H. Z.) ist für P = 82,8 ‘,

SP

1/96

bab '

₁).¹28 ₊ (l-A)(_32-

n = 15 : x² — 2x (h + h') = 3-82 800 100 • 40 '

164 j oder x² — 200# -+-und hierfür f(x) = -f 165 und

b = 100

-ix (96 + 4) =-y(96!+4!) + + 62,1 ^

= ⁵°-^ö=⁴⁶

7 f v

+ 8. Ferner ist n (l--) (/t

(96 - 4) • f't =

cm

°b = 40 kg,

oder x²

cm

oder x² — 200# = — 13 848

772 027

= 0 und für # = ist fix) — {* jj!*, #

6 165

genaues # =46--= 45,4cm mit f (x) =

und für oe' = nob ^1

•(3-96 — 45,4) oder 1258,1 f‘e = 264960 — 183567 und f'e = 64,7qcm somit sind erforderlich 8 (D 32 mit fe = 8 • 8,04 = 64,3 qcm.

+ 24032

= 15-40

(' - 4^4)

= 547kg wird

547

40

i-H

cm

— h') f'e = — '92 82 800

40

• 128

g—(3 h — x) 100-45,4

Man erhält hierfür nach B 2 a mit fe — fe — 64,3 qcm: #² — 3gx • # =

6 nf

oder#² -f- 3 • 32x =

6-15-64,3

100

oder #² + 96# + 9491 —

719440

= 0 oder für # — ^    ,

mit /■(#)= + 10. Ferner ist 2F1 ⁽.h

— 32 — 4) j oder #² + 96# = 57,87

|— 3055 1+ 383

/ 12 432 \ x

164

fix) =

und genaues # = 46 —

2-82800-128

6 • 383

3438

= 45,3

cm

211,96800

+    (ä—v>( 1

#/

100 • 45,3 (96 — 15,1) -f 2 - 15 - 64,3 (96 — 4) (l

—\

45,3 )

•(>

3,67 + 1,61

= 40 kg. Ebenso ist oe = nab --1^

=15-40

⁹⁶

45,3

\    / Jt \

1 \ = 665 kg, o'e=nob (l — -~\ = 15 • 40 ■

45,3 j

Wendet man statt Rundeisen einen Melan-Gitterträger an (die Berechnung der Gewölbe nach der Elastizitätstheorie von Melan ergibt dieselben Formeln und dasselbe Koordinatensystem durch 0 sowie die gleichen Haupt- und Temperaturspannungen wie diejenige nach Mörsch s. Handbuch der Ingenieurwissenschaften, Brückenbau 5. Abteilung und Handbuch für Eisenbetonbau 1. Band) so erhält man bei Annahme von 4 |lOO-150 • 12 = 114,8qcm (= ca. 2fe) Gesamtquerschnitt nach den Formeln II 1 (7) und (8) (s. Heft 3 von 1909 der II. Z.) für Fe =- 4-28,7 = U4,3qcm, Ste = 114,8-46 = 5281, Je = 114,8-

= 547 kg.

St

•(46 — 2,42)² + 4-232 -f 114,8-46² = 461875, c' = h' +    =

C

: #² — 3gx • #

5281

4 4-

114,8

- = 50

cm

Je

, * = * + £.=

461875

5281 6-15-114,8 f

= 91,5

cm

oder #² -f- 3-32# =

100

(91,5 + 39) (^^)

#² -f 96 # + 8472

620849

/ 6009 \ x

(-i)l

oder #² -f 96# = 103,32

<50 „    f-4- 3355    _.A . 10-1609

= 0, somit mr X = {    , f (x) = { +    , X-M + —

— (50 + 32)

82

oder

fix) = -f 13 somit genaues # = 43 cm. Ferner ist oh = 165,600

■ = 43,2 und für # = 43, 2 • 82 800

4,3 — 0,56

= 44,3 kg.

b • # + 2 n Fe

100-43 + 2-15-114,8

/ 43 — 50 \ V 43    )

Ls würde nun genügen, die angenommenen Gitterträger mit dem Abstand 90cm statt lm auszuführen, so daß ab = 0,9 • 44,3 = 39,9 kg wird.

Doch wird ein Teil der Belastung des Gewölbes schon durch die Gitterträger aufgenommen, an welche auch das Lehrgerüst aufgehängt werden darf, wenn dasselbe von unten aus nicht gestützt werden kann. Man erhält nun als

gl² _ 2,04-16,3²

8f 8 • 2,6

= 269 kg wird.

0,7 + 1

Gewicht des Gewölbes q —

* 2

• 2,4 = 2,04 t/m, so daß H =

9'1

= 2,04-8,15 = 16,6»; R— j/26,la + 16,6² = 30,9‘ und = Die Betonbeanspruchung wird hierdurch um —

/ Qfi    \    100 - 100

= 15-36,8 ( —— l) = 680kg wird

und oe = nab

30 900

114,8

= 3,1kg kleiner, so daß o₆ = 39,9 — 3,1 = 36,8kg

wozu noch oe — 269kg kommt oder zusammen

oe = 680 + 269 = 949 k*/qcm.

Am Scheitel ergibt sich das Maximum für Vollbelastung, und man erhält (für die Zusammenziehung des Gewölbes): Mx == + 4,9 + 22,7 = + 27,6 mt, Nx = 77,8 — 34,9 = 42,9*, c =

P= 42,9*, gx = — 29cm, h = 66cm, Ji — 4cm, g₂ = 95cm, o₆ = 40kg, b — 100

3•42900 100 - 40

— 128^ oder x² — 140a: + 10676

x² — 2x (66 + 4) =---

+ 27,6

42,9

= + 0,64m und nach B 2 c ist für

cm

, n = 15:

- (66* + 4²) +

B2a mit fe=fe = 42,9qcm und x = 29,5cm: ab = 34,7 kg, oe = 15 -34,7 = 475 kg.

x² — 140a? = x = (³⁰

und

(— 29 — 4)}- oder 205984

a?

= 0 und für

[27 i8‘ ' (X) =

3-4

514

— 27 cm.

511

•95

100 • 27

Ferner ist oe = 15*40 ^1--

— 511kg

(3 • 66 — 27) oder 792 f' = 101888 — 76 950 oder f’e = 31,5 somit

genügen hier

•*

29,5

*)

= 644 kg, o' = 15-34,7-

L100 • 150 • 12

S£32

16tf5Z

SfSZ

funOOl

Abb. 9.

2

Es sind daher am Kämpfer 8 0 32 und am Scheitel —- • 8 0 32 prom Breite erforderlich, und dieselben können

ö

in der obengezeichneten Weise verteilt werden, so daß die Abstände am Kämpfer konstant = 12,5cni sind, und diejenigen am Scheitel abwechselnd = 18,6 und = 18,9 cm. Die Stöße der Eisen sind am besten in den Abstand =

ca. — 3

vom Kämpfer zu legen (weil hier die Temperaturspannungen und daher auch die Maximalspannungen verhältnismäßig gering sind) und die Eisen sind auf ca. 1,1 m Länge mit einander zu verbinden, und an den Enden werden sie umgebogen (die unverbundenen Eisen können zur Aufnahme von Schubspannungen (s. S. 12.) nach unten abgebogen werden). Durch Verteilungseisen 0 10 im Abstand von 50cm und Bügel 0 8 mit demselben Abstand wird der Zusammenhang sämtlicher Eisen mit dem Beton erhalten (s. Abb. 9).

Für den Gitterträger, bei welchem der Zusammenhang mit dem Beton gleichfalls durch Verteilungseisen 0 10 mit abgebogenen Enden an den Trägern und durch Zwischenlängseisen 0 10 (netzartig) erhalten wird, erhält man am Scheitel nach II 1 (7) und (8) für Fe= 4 | 100-150-12 = 114,8 qem, Ste — 114,8• 31 = 3559, Je = 114,8 (31—2,42)² +

35cm, d' == 4 H

+ 4 • 232 + 114,8 - 31² = 205022, c = 4 + h'= 4

,92 = 95 x² + 3 • 29 x —

/ 2940,6

* \ x

3559

205022

114,8

, ob= 40 kg, b = 100cm, n — 15: 6 • 15 - 114,8

cm

100

j (57,6 + 29) (++-)

— (35 + 29)

3559

= 57,6

cm

gx = — 29cm, h = 66cm,

oder x² + 87 x = 103,32 •

64^ oder a:² + 87 a: + 6612 2 - 42900

303 823

= 0 und für x = 30 ist f (x) = — 5.

Ferner ist

100-30 + 2-15-114,8

85,800

(30 — 35) ~~ 3 — 0,57

= 35,2 kg und für 90

cm

Abstand a₆ = 31,7 kg.

26100 _

114,8

(743)

■f 227 = 795 k« ist.

Auch hier kann der Gitterträger einen Teil der Belastung aufnehmen, indem für H = 26,1 l: at =

(88)

3,7 kg kleiner wird, so daß = 31,5 kl?, oe = 15 •

Die Maximalzugspannung ohne Temperatureinflüsse ist am Kämpfer = -f 10,4 k* und mit denselben = -f- 32,2 k* am Kämpfer und -f- 28 lvK am Scheitel, und dieselben sind zulässig, weil nach den Versuchen mit Gewölben in Oesterreich (s. Handbuch für Eisenbetonbau Band 1) die Zugfestigkeit des Betons bei Gewölben von 20kg auf 40—50k(? steigt, und auch die Maximaldruckspannung von 40 ks/

— 227 kg und o₆ um

26100

100•70

r28) /66 \ ³¹’⁵ 3Ö - ¹

qcm

ist bei Beton 1: 4 nicht zu hoch.

6. Berechnung des Widerlagers für das Eisenbetongewölbe.

Durch die Verbindung des Widerlagers mit dem Gewölbe vermittels der Eiseneinlagen ist anzunehmen, daß sich sowohl die Temperaturausdehnung als die Zusammenziehung desselben auf das ganze Bauwerk ausdehnt, weshalb am Kämpfer nur die halbe Temperaturspannung in Rechnung gezogen worden ist. Dies kann um so mehr geschehen, als die Temperaturänderungen nur in horizontaler Richtung einwirken und eine Verlängerung oder Verkürzung des Bauwerks veranlassen (auch bei Betongewölben wirkt die Zusammenziehung analog der Vollbelastung und sucht die Widerlager unten zu verschieben), und es kann daher auch von der Berücksichtigung der Temperaturspannungen bei der Berechnung des Widerlagers abgesehen werden.

«%

0.7

---vi°'S--

___U

— 7,85-

—t-»r— °‘z—*i

K“

—8,15—

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**&£i

192 ¹⁹⁴

i__

1/

-U-H

/\

F—H—-*WV—X—

/ AS/--. v \

88, 1 100,7*

Abb. 10.

Bei flachen Gewölben entsteht ein starker Horizontalschub, weshalb das Widerlager breiter werden muß, auch fällt die Resultante der Druckkräfte unter einem Winkel auf die horizontale Bodenfuge, der größer als der zulässige von 22⁰ bzw. tg p = 0,4 ist, weshalb hier eine Abschrägung der Bodenfuge notwendig wird. Dieselbe kann wie in Abb. 10 angenommen werden, und ihre Berechnung erfolgt für die ganze Projektion der Breite dg, da die Weglassung des Acdf auf der gezogenen bzw. weniger gedrückten Seite keinen wesentlichen Einfluß hat.

Zur Vergleichung der verschiedenen Wirkungen durch das Eigengewicht, die Vollbelastung und die einseitige Belastung des Gewölbes sollen die oben ermittelten Kämpferdrücke, und zwar sowohl die nach dem Elastizitätsgesetz berechneten als auch die durch Stützlinien bestimmten eingetragen werden, und zwar mit den Bezeichnungen e, v, l, r, sowie e, v, X, r, wozu noch die Kämpferdrücke der Maximal- und Minimalstützlinien mix und min kommen.

Aus der ungünstigsten Belastung für die Verbindung der Kernpunkte in der ßodenfuge mit der Mitte der Kämpferfuge und ihre Verlängerung bis zur Kämpferdrucklinie geht schon hervor, daß nur die 2 Fälle der linksseitigen Belastung (bzw. die Maximallinie mit dem größten Horizontalschub) und der rechtsseitigen Belastung (bzw. die Minimallinie mit dem kleinsten Horizontalschub) in Betracht kommen. Im erstem Fall ist das rechte Widerlager und die Hinterfüllung mit Erde unbelastet und im letztem Fall ist beides belastet anzunehmen.

Die drei ausgezogenen Kämpferdrücke r, r und X zeigen, daß der nach dem Elastizitätsgesetz berechnete (r) wesentlich ungünstiger (nach links) wirkt als der mit der Stützlinie bestimmte (/), während für l und X das Umgekehrte der Fall ist. Es genügt daher mit den Fällen r (bei Nichtberechnung nach dem Elastizitätsgesetz auch r) und X zu rechnen, und ist durch letztem Fall auch die Verschiebung oder Drehung des Widerlagers durch Temperatureinflüsse usw. einigermaßen berücksichtigt, indem die berechnete Lage für l viel weiter nach innen liegt (auch die Maximal- und Minimallinien liegen noch innerhalb der Grenzfälle r bzw. r und X).

Zur Vergleichung sind auch die Werte Nx im Abstand c bei Berücksichtigung der Temperaturspannungen mit

— t und--- für die Zusammenziehung sowie die rechtsseitige Belastung r, und + t und +

A

sowie die linksseitige Belastung l des Gewölbes eingetragen, indem im erstem Fall Nx = 68,6    (82,8)¹ mit

= — 1,48 (— 0,82) m nach unten und im letztem Fall Nx — 115,6 (101,4)*

toi

für die Ausdehnung

Mx — — 101,6 (— 67,55) m* und c —

mit Mx — + 64,6 ( + 30,55)m* und c

Nx

+ 0,56 (+ 0,30)m nach oben aul'zutragen ist. Doch müßte hierbei

(17,45)    (52,15)

auch noch Tx berücksichtigt werden, und es ist daher einfacher mit Vx = 69,5 *, Hx = 69,6 — 34,9 == 34,7 * und

(87,05)    (101,8)

Rx = 77,7 * bzw. mit Vx = 52,7*, Hx — 69,6 + 34,9 = 104,5* und Rx = 117* zu rechnen, und hieraus die Lage von Rx zu bestimmen.

Zur Auftragung der verschiedenen Kämpferdriieke dienen die schon berechneten Werte von H, V oder R, wobei R = y H² + V² oder V — R² — H² zu bestimmen ist, und man erhält hieraus nach dem Elastizitätsgesetz für r: H = 69,6 *, V = 69,5 *, R = J/^69,6² + 69,5² = 98,4 * im Abstand — 0,35 m und mit Stützlinien für r : H — 77,8 *, R — 104,2 *, V— V104,2² — 77,8² = 69,3 * und für V: H = 77,8 *, R = 93,6 \ V — j/93,6² — 77,8² = 52 *.

Das spezifische Gewicht des Widerlagers 1 : 10 mit Hinterfüllung von Beton 1 : 16 ist = 2,2 und dasjenige der Ueberschüttung mit Erde = 1,8 anzunehmen, so daß die gestrichelte Linie der Reduktion des Erdgewichts auf das Betongewicht entspricht, und für die Belastung des Widerlagers und der Erdhinterfüllung kommt noch hinzu

— 1,3 (1,6) m (s. S. 41 Theor. Berechnung der Betoneisenkonstr. von Pilgrim 1906).

(80,9)

U7,45)

17

1,5-4-2,2 (1,8)

Die vertikalen Lamellen des Widerlagers usw. können nun in ihren Resultanten zusammengefaßt werden, und

zwar entweder graphisch oder rechnerisch, und man erhält in Beziehung auf die Vertikale no :x{) —

0,6 (4,4 + 5,2)

2,6 (8,45 + 7,95)

- 3,02 +

• 4,59 —

1,6 (5 + 1)

• 0,62

⁴ApL- (1,5 - 1,6) :

1,7

•7,95 +

r • ⁷>⁹⁵ +

2,6

0,6 -9,6

6 • 1,6

86,2

Das Gewicht des Widerlagers ist = 40,2 • 2,2 =

= 2,14ln.

+ -^--16,4 +

= 88,4 * und die Schwerpunkte der Trapeze und Dreiecke haben sich aus den Formeln e = ^— und e —

Man erhält nun den Erddruck auf den untern Teil des Widerlagers von 4m Höhe (im obern Teil gleichen sich die Erddriicke aus, und es kann daher die 4,3 m breite Ueberschüttung mit Erde als vertikale Belastung eingeführt werden) mit Hilfe der obengezeichneten graphischen Ermittlung (s. Theor. Berechnung der Betoneisenkonstr. von

Pilgrim 1906 S. 36 und 41), und nach derselben wird E —    ^—

z

40,2

a-\-2b h

a-\-b    3

•— ergeben.

1,8-3,05-2,42

= 6,64*, und die Gleit-

(Abrutsch-)fläche ergibt sich aus dem Aglim und dem Parallelogramm hikm oder E —

¹ I ,    , v

— y •    0 + Y,0,o*y-

A    fl/

(E wird in diesem Verhältnis größer) = 7 • a- b

h + 2 h'

= 1,8 • 3,05 • 2,42

(5,25)

4 + 2 • 3,65

2-4

= 18,7 (24)*. Der vertikale

(5,25)

4    3-3,65 + 4

Abstand des Erddrucks von der Unterkante ist = f f = ——-———--

3    2 h + h 3    2 • 3,65 + 4

(5,25)

scbüttungshöhe 1,6m angenommen ist, und auf das Widerlager noch eine Belastung = 4,3 • 1,3 • 2,2 = 12,3 * kommt (der Schwerpunkt ändert sich für 2,15 statt 2,14m nicht).

Durch Zusammensetzung der verschiedenen Kräfte mit Hilfe der gestrichelten Kräftepläne ergeben sich nun die

N /    6 e\

(l ± -7—], wobei ALL zur Bodenfuge gemessen ist, und e = Abstand des Angriffs-

192000

= 1,77 (1,82)m, wobei als Ueber-

Maximalspannungen aus 0

b-h

punkts für N von der Mitte ist, somit erhält man für r: 0 6-28

100-658

= — 2,9 für r : 0 =

194000

100-658

•(

-3,7

162000

6-96

kg und für V: a = sein, so müßte das Widerlager noch etwas nach hinten erbreitert werden.

658

— 2,2

100 ■ 658

658

— 4.6

— 0,3

’ kg. Sollte statt 5kg nur 3kg/

qcm

zulässig

II. Berechnung von Rahmenkonstruktionen in Eisenbeton.

1. Vergleichung der Ergebnisse für verschiedene Berechnungsweisen derselben.

In der Zeitschrift Beton und Eisen, 1908 Heft 1, ist eine eingespannte Rahmenkonstruktion von Diplom-Ingenieur Abeies berechnet worden, und zwar als dreifach statisch unbestimmtes System (s. 1907 lieft 5 und 6). Zur Vergleichung soll nun die Berechnung des Rahmens nach den Formeln von Professor Mörsch für eingespannte Gewölbe durchgeführt werden, indem die Form der letztem eine beliebige sein kann, und daher dem obern Bogen des Rahmens, ja sogar einer Geraden entsprechen darf.

Werden die Maße des Bogens l = 8,2 m und f = 1 m beibehalten, und wird für denselben eine konstante Stärke von 20 angenommen, so erhält man aus dem Verhältnis der Trägheitsmomente — 4 für die beiden Ständer eine Stärke von 26 (oben) und 36 moment =

i' n‘

nr m n i

p- - - 7,/--1,0    .

cm

cm

218

| 8,2 m

's

i'

21,t

CO

/ 3 ³

\ 12

(unten), indem alsdann das mittlere Trägheits-

2676-12    . . ,

- = 4 ist.

26³

V) ):2 = 2676 und Für die Berechnung soll jedoch eine konstante Breite der Ständer von 31,8

20³

cm

gewählt werden (indem

31,8³ • 12

Abb. 11.

12 • 20

r = ⁴ ist),

und ihre Höhe von 3m zerfällt iu zwei Lamellen von 1,5 m Länge, während der Bogen in solche von je 1 bzw. 1,1 111 Länge geteilt ist.

Man erhält nun nach S. 14 der Gewölbeberechnung den Halbmesser des mittlern Bogens aus 2r • 1 = l² + 4,1²

(i,0

X

oder r — 8,9 m, während sin cd = —— und y' == 8,9 • cos cd — (8,9 (i.i)    ‘    ⁸>⁹

1 — cos cp

— 1) = 1 — 8,9 (1 — cos cd), s =-

cos cp

COS CD

ist. Hieraus ergibt sich die folgende Tabelle:

Lamelle

11 — 6

0,5

1,5

2,5

3,55

4,1

4,1

sin cp

8,9

COS cp.................

y' — 1 — 8,9 (1 — cos cp)

(i,D

s=    l-COSjp

cos cp

0,0582

3° 13,4' 0,9984

0,98

1,002

0,2

0,1685    0,2809

9 ⁰ 42,1' 16 ⁰ 18,9 ' 0,9857    0,9597

0,3989

23 ⁰ 30,7' 0,9170

0,88

0,64

0,26

0,4607

27 ⁰ 26,0' 0,8876 — 0,75

- 2,25

1,015

1,042

1,2

1,5

L5

0,2

0,2

0,2

i.*L

12

0,00067

0,00067

0,00067

0,00067

0,318

0,00268

0,318

0,00268

1503

1523

1563

1800

560

560

(es könnte auch mit —— gerechnet werden s. S. 30)    *500

2 X 7509 = 15018

5,0

5,1

5,2

6,0

4,7

4,7

2 X 30,7 = 61,4

Der Koordinatenursprung o ergibt sich nach S. 14 aus z -Iw = 2 (1 — y') • w oder

0,01 • 1503 + 0,12 • 1523 + 0,36 • 1563 + 0,74 • 1800 + 1,75 • 560 -f 3,25 • 560 _ 4892,5

7509

ferner ist y = 0,65 — (1 —y) = y —0,35 (bei zu großer Zahl für w kann wodurch auch die folgende Tabelle einfacher wird).

w , w

oder Töo

7509

eingeschrieben werden,

Hieraus erhält man nach S. 15 die folgende Tabelle zur Berechnung der Einflußordinaten für H, V und M in Beziehung auf das Koordinatensystem durch 0:

V ertikale

Scheitel (1')

I' (2')

II' (3')

III' (4')

IV' (5')

IV' (6')

y = y — 0,35

0,5

1,5

2,5

0,64

1503

0,53

1523

0,29

3,55 — 0,09

4,1

4,1

-1,1

— 2,6

1563

1800

560

560

2 X 7509 = 15018

Wx = W • X tvy — tv - y W • X² . . . .

752

962

376

616

2284

3908

6390

2296

2296

807

453

3426

9770

— 162 22 685

— 616    —1456

9414

428

131

15

678

9414    2 X 55085

=110170 3786    2 X 5654

=11308

_ j_

2

1 X tOy (a — x) a

Einflußordinaten für

5753 4- 964    4376 4-1 781 2368 -f- 2 234

— = 6246 —-|- = 5753 — ^ = 4376

1,1 • 2072 4-0.55 • 162 = 2368

0 - 2072    0 • 1456

1.2

2wy*+l (=11369)

0,550

0,516

0,386

0,209

2

1 2.wx(a — x)

Einflußordinaten für 1-2.....

/I'-IV'

2u>-x² (=110170) 1l—IV

37 534 4-17 174

+ ?p = 55 084

0,500

0,500

21 502 4-14 890    8566 4-10 982    1,4 • 4592 4-

9904    qqaq

4-^=37 534 4- —5=21 502 0,55 * 6390 = 8566

0*4592

0 * 2296

rH

T* O SO CO © ©

0,195

0,805

0,078

0,922

(1)

i 3

1 2 u> (o — x)

Einflußordinaten für 1-2

M=

I'—IV'.... lw(= 15 018) II—IV ....

Hl'— 4'(1-4)

1'—4 1—4

1'—4'

Einfluß-> ordi- < naten

11 168 + 6006 ^ 2

1503

1,194

1,194

0,53

0,42

0,58

5924 + 4483    2222 -f 2920

17925 +    = 11168 4- ~ = 5924

7    0,394

7    2,394

1,1 • 1120 4-0,55 • 1800= 2222

0•1120    0 • 560

0,148

3,148

(4,1)    (4,1)

0,45

0,30

0,10

2 X 1,38

0,27

0,73

0,14

0,04

0,86

0,96

0,87

3,13

4,00

1-4

t-¹ ©

'Id

—4 -4

o

© o-<

<1 — 1

t— t-

cn r-©

05 O OS o

to —J

1,88

9,93

11,81

Bei gleichmäßiger Vollbelastung mit 0,6 ist die Summe der Einflußordinaten für die Abstände 1 (1,1) mit 0,6*1 (1,1) zu multiplizieren, und man erhält:

H = (1,28 + 0,1 • 1,1) 2 • 0,6 = 1,67 ⁴ statt 1,645 *, V = (3 + 1 • 1,1) 0,6 = 2,46 M = (8,12 -|- 3,69 • 1,1) • 0,6 = 7,31 mt.

Hieraus ergeben sich die Momente Mx = M + Mn — H ■ y — V • x oder bei A Ml = 7,31 + 1,67 • 3,35 — 2,46 *4,1 = + 2,81 mt statt + 2,65 mt und bei C M₂ = 7,31 + 1,67 * 0,35 — 2,46 *4,1 = — 2,20mt statt — 2,28 mt und in der Mitte E

0,6 *4,l²

Mm = 7,31

1,67 • 0,65 = + 1,18 mt statt + 1,12 mt.

Für eine    Einzellast    von 0,2    ¹ in    der    Mitte    E    multipliziert man die zugehörige Einflußordinate mit 0,2, somit ist

C*-

H = 0,55 * 0,2 = 0,11 » statt 0,093 V = 0,5 • 0,2 = 0,1 *, K-- %o-i,o-    4    T    T z,    M — 1,194*0,2 = 0,24 mt, ferner — 0,24 + 0,11 • 3,35 —

f ■¹    — 0,1 * 4,1 = 0,20mt statt 0,137 mt, M, = 0,24 + 0,11 • 0,35 —

______......ti......*'„U    — 0,1 *4,1 =-0,13 mt statt —0,142 mt, Mm =0,24 — 0,11*0,65 =

= 0,17 mt statt 0,175 mt. Die Berechnung des Winddrucks von 0,15 t/m auf den Ständer AC soll später berücksichtigt werden.

Für den rechteckigen Rahmen mit geradem Querbalken und denselben Stärken von 0,2 m und 0,318 m erhält man gleichfalls richtige Werte, wie eine Vergleichung mit der Annahme eines kontinuierlichen Trägers von drei Oetfnungen (welcher durch Aufklappcn der Ständer nach oben entsteht) sowie mit den Formeln von Müller Breslau (s. die neueren Methoden der Festigkeitslehre 1904) zeigen wird.

Die Berechnung soll in derselben Weise wie oben ausgeführt werden, und man erhält alsdann die folgende Tabelle

Lamelle

0,5

2,5

3,55

4,1

4,1

1,1

1,5

1,5

0,2

Ol

1 • h³

12

0,00067

0,00067

0,2    0,2    0,318    0,318

0,00067    0,00067    0,00268    0,00268

1500

1500

1500

1650

560

560

5,5

4,7

4,7

2 X 7270 = 14540

2 X 29,9 = 59,8

Hieraus erhält man wieder z =■ folgender Tabelle:

0,75 • 560 + 2,25 • 560

7270

= 0,23m und die Werte für H, V und M aus

Vertikale

Scheitel (1')

I' (2')

II' (3')

III' (4') IV' (5') IV' (6')    21' -6'

0,5

0,23

1500

CO © O 54 O

- o £

1500

3,55

0,23

1650

4,1

4,1

— 0,52    —2,02

560

560

2 X 7270 =14540

Wy

10 • y

toy²

8 3 ."2    05

r- eo co

2250

3750

5858

2296

2296

345

345

380

— 291    —1131

3375

9375

20794

9414

9414

2 X 52747 105494

79

79

87

151

2285

2 X 2760

5520

___

2

1 I Wy (a — x) a

Einflußordinaten für 1-1.....

2749 + 325    2224 + 697    1355+ 1042    1,1-1422—    0-1422    0-1131

= 2749    = 2224 0,55-380 = 1355

345

= 2928

345

H=

0,525

0,492

0,398

0,242

_

2

1 Iwx (a — x)

Einflußordinaten für 1-2.....

fl' — IV' Iw-x* ( = 105494)11 —IV

35923 + 16450    20598 + 14200    8273 + 10450    1,1-4592 +    0 - 4592

750    9950    3750

+    = 52748 +    = 35923 + ~ = 20598 0,55 - 5858=8273

0,079 0,921

0•2296

0,500

0,500

0,340

0,660

0,195

0,805

(1)

1 Iw (a— x)

10680 -f- 5770 17200

1500

Einflußordinaten für 1 • I

5660 + 4270    2140 + 2770    1,1-1120 +    0-1120    0-560

— 10680 + ~^ = 5660 0,55-1650=2140

1500

___fl'— IV' .

I w ( = 14540) 11 — IV .

0,734

1,734

0,389

2,389

0,147

3,147

(4,1)    (4,1)

H 1—4 (1 - 4)

1—4'

V

1 — 4

Einfluß

ordi

naten

©    ©    ©    ©

rf*-    CD    Qi    "o<

05    ©    00    tO    >-*

r-    CO    CD    CD

(N    t«    ©    ©

©    ©    ©    ©    cT

OJ    CD    C"-    L~

CO    H    CO    CM    t»

©    ©    ©    cf    04

<N    ■-#    CD    C-    Ol

i-i    ©    05    O    CD

©    ©    ©    ©    CO

M (D H 05 o X

rfSgf⁰ SS

05

CO

Bei gleichmäßiger Vollbelastung mit 0,6% erhält man daher:

H = (1,27 + 0,12 - 1,1) - 2 - 0,6 = 1,68 *, V = (3 + 1 • 1,1) • 0,6 = 2,46 ⁴, M = (8,08 + 3,69 - 1,1) • 0,6 = 7,28 mt, und hieraus ergibt sich bei +: Mt = 7,28 + 1,68 • 2,77 — 2,46 • 4,1 = 1,85 mt und bei C:

M₂ = 1,85 — 3 - 1,68 = — 3,19 mt, Mm — 7,28 — 0,6 • '=%

4,1‘

— 1,68 • 0,23 =

1,85-»‘(ca.it. und iLf.

Für eine Einzellast von 0,2t in der Mitte E ist H = 0,525 • 0,2 = 0,105 t, V= 0,5 • 0,2 = 0,1 , M — 1,182 • 0,2 = = 0,236mt, M. = 0,236 4- 0,105 • 2,77 — 0,1 • 4,1 = 0,117mt, M' = 0,117 — 3 • 0,105 = — 0,198 mt,

/ PI

Mm — 0,236 — 0,105 • 0,23 = 0,212 mt ( —

\

und

PI

Die Bestimmung von W erfolgt später. Zur Vergleichung

8,3/'

soll nun der rechteckige Rahmen nach Professor Häseler (s. Brückenbau S. 336) als kontinuierlicher Träger berechnet werden, indem die untengezeichneten Momentenfiächen in beiden Fällen gleich sind, und auch die Durchbiegung in dem oberen Balken eine entsprechende Durchbiegung in den Ständern hervorruft. Hierbei können noch die Punkte A und B mit Gelenken versehen oder eingespannt sein, wofür der an den Enden frei aufgelagerte oder eingespannte kontinuierliche Träger mit drei Oetfnungen anzunehmen ist, wie dies aus den Doppellinien für die Momentenfiächen der äußern Oeffnungen hervorgeht.

Zur Entwicklung der nötigen Formeln dient nach den Professoren Mohr (s. Techn. Mechanik des Ing.-Vereins Stuttgart S. 239, 241) und Weyrauch (s. die Berechnung der kontinuierlichen Träger S. 7—9) die Ableitung der Clapeyronschen

d²y Mx dx² ~ JE’

dem Horizontalschub JE entspricht (bei veränderlichem J wird der Horizontalschub E für die Momentenfläche angenommen).    J

Gleichung aus der elastischen Durchbiegungslinie

welche dem Seilpolygon der Momentenfläche M mit

Tr

OTr+1

l-S----------ly-------«4«

W+1

MT-lr

~¥

My

■ly

Z'.

’S

r+1

r+2,

T fflLr+i-lr+1

Abb. 13.

JE

Mi

cc

---ly----4<-----------

(V

G (2)

(5)

JE

Abb. 15.

Abb. 14.

Wc

Man erhält daher für die gleichförmige Belastung qr und qr+x mit den Biegungsmomenten 2)fr = _?r+i*Vn

_ VrK-

und

r+1

aus den Resultanten der Momentenfiächen in Beziehung auf A:

(1)

= — JElr • tg a —

Mrlr lr Mr+; lr

und in Beziehung auf D:

(2)

0 = —JEl

Mr+> K+i

M I

1U r+ l (,r+1

l>-+\

. —I _L_ 2    3 vr+l H

— m

3

K + 2 Mr+l lr — ~2P • a(lr — a) (lr + a) — 2    und

2 -bTr+1 lr+t + Mr+2lr+.

r+l

■ tga +

r+1 ■'r+l

und bei Berücksichtigung der Momentenfiächen für die Einzellasten P:

(3)

tg cc = —

r+1

(4)

tg oc = +

6 JE (

2 P- a (lr+l — a) (2 lr+l — a) — 2 9flr+1 lr+i

>-+i

)■

(5)

Bei Gleichsetzung von (3) und (4) erhält man hieraus die Clapeyronsche Gleichung (wenn M negativ eingesetzt wird):

¹ t

Mrlr + 2 Mr+X (lr + lT+l) + Mr+2lr+x

2P-a(l²r — a²)

^r+l

— 2Wrir — 2«m

r+l r+l*

Bei Eingespanntsein ist dagegen für die (Zr+1 entsprechende') erste Oeffnung und die (lr entsprechende) letzte Oeffnung tg a = 0 zu setzen, so daß bei n Oeffnungen die Vertauschung von r+l mit 1 und von r mit n vorzunehmen ist, und hieraus hervorgeht:

(6)

2 Mxlx + MJX = --r2Pb{l\ — b²)-2WJ,

(worin b von rechts her und a

(7)

MJn + 2M,tl J. = - p. adl-a') — 2 ®i„7

ln

von links her gilt).

Bei verschiedenem J der einzelnen Oeffnungen sind die für jede Oeffnung erhaltenen Ausdrücke mit dem zu-

./

gehörigen J zu dividieren, indem dann die Momentenflächen den Werten —y entsprechen, und zwar sowohl die poßi-

tiven als die negativen (ist ,) in einer Oeffnung nicht konstant, so kann der Mittelwert werden).

genommen

Hieraus ergeben sich alsdann bei drei Oeffnungen mit eingespannten Enden die folgenden vier Gleichungen mit vier Unbekannten, worin die rechtsseitigen Ausdrücke in (6) und (7) mit n und m bezeichnet werden können (s. Abb. 15):

(8)

(10)

MA

2 Mx -f M₂ = —    (9) M₃ -f- 2 M₄ — — -- (das konstante J fällt hier fort).

M    3

+8jr-fe⁺i)+jr>-4- i,j

K-^PaO* - a¹) - ²    '

iPbdl — b²) —

n₂

J, J₂

di)

J₂

2^3

J₃

^kPadl — «²) -

__ mi n3

—jtv

2 m₂i₂

J₂

y iPb ui —b*) —

und bei Einsetzung der Werte von Mx und MA aus (8) und (9) in (10) und (11)

1,51

(12)

²(

2l₂

Md

n₂

J₂

Bi

(13)

M₂l₂

2 n₃ — m₃

./

2 «^3

, worin allgemein

(14)

mr =

— 2 Pa {IS - a²) + 2 «ölr lr und

(15)

Pb (£² — b²) + 2 9)?, lr für die Oeffnung r ist.

Bei Einsetzung von lx — l₃ = 3m, l₂ = 8,2m, _p₂ = 0,6    9)t₂ = —⁶——

der Mitte ergibt sich für Jx = J₃ = 4 J₂ aus (12) und (13):

nr ==

= 5,04 ,nt und P = 0,2 ⁴ in

bzw. = —

— ^ = — 2 <öi₂ *₂ = — ² • 5,04 • 8,2 = — 82,65

]— 2 p b (/;—b²) = -

-4,1²)

8,2

= - 5,04,

■»/

y- = — 2 W₂ l₂ — — 82,65

bzw. = —

und hieraus (bei Multiplikation mit 4): M₂ — M.t — —

v Pa (ll - a~) = — 5,04 (20,2)

(70,1 — 32,8) • 330,6 70,1² — 32,8

(20,2)

330,6 <yylmt

102,9

bzw. =

— 0,196 = 0,214 mt.

(0,19G)

Ferner ist nach (8) und (9): Mt = M\ == ——¹

0,2 • 8,2

(0,098)

= 1,605 mt, = 5,04 — 3,21 = 1,83Int

Bei Vergleichung mit der Berechnung auf S. 25 erhält man daher Mx = 1,61 statt 1,85int, M₂ = — 3,21 statt — 3,19mt, Mm = 1,83 statt l^ö¹*¹⁴ bzw. Mx = 0,098 statt 0,117int, M„ = — 0,196 statt — 0,198mt, Mm = 0,214 statt 0,212mt.

Die Belastung der Oeffnung 1 mit horizontalem Winddruck stimmt weniger überein, und es sind daher obige Formeln nur für die vertikale Belastung des obern Balkens zu verwenden, so daß nur n₂ und m₂ in Rechnung zu ziehen sind.

Die Berechnung des horizontalen Winddrucks kann dagegen nach dem Verfahren von Professor Miiller-Breslau erfolgen, nach welchem auch die 2 obigen Berechnungen des rechteckigen Rahmens für vertikale Belastungen geprüft werden können.

Man erhält nach S. 124—126 (s. neuere Methoden der Festigkeitslehre 1904):

1 I _ Jn j _ b

h =±-h = T’ *» = 7+är =

h'-h

/t²

3²

4 (8,2 + 1,5)

= 0,23 in wie oben.

Ferner ist die Momentendäche F₀ — ~ • ——

O

ergibt sich ff — X —

(1,68)

3-27,5

h(2l + W)

P_ —

27,5 (1,68)

₃(ä.K,2 + {)

0,2 • 8,2 8^_ ₌ x 68 und h.erauB

(0,098)

. 8,2 = 27,5 bzw. =

(0,098)

1,60 • 3

— 2,83 (0,173) und M{

= 9,7 ist Z= n

Cr

(0,098)    2

= — 1,60 • —*3 = —3,20, somit fast genau wie bei der kontinuierlichen Berechnung mit 1,61 und —3,21.

9.7

(0,190)

(0,196)

2. Berechnungsweise der Rahmenkonstruktionen nach Professor Dr. Müller-Breslau.

Die Grundlagen dieser Berechnungsweise entsprechen denjenigen für die Berechnung der eingespannten Gewölbe, indem für den an seinen Enden eingespannten Stabzug mit festen Ecken nach S. 119—131 dieselben Formeln gelten,

wie sie auch bei der Gewölbeberechnung nach Mörsch angewendet worden sind.

Bei der letztem fällt nur das konstante Jc im Zähler von w — ds' =

jc • ds

Jo

h-ißo

ß.A.

■n

Ho

weg, und die Formeln auf S. 122 lauten dann gleichfalls:

SMayw jy w

IX

und Z —

Abb. 16.

jx² w

Der einzige Unterschied besteht darin, daß M₀ verschieden aufgefaßt werden kann, indem nach Mörsch nur die linksseitigen Lasten des Querschnitts für den links frei ausladenden Balken zu rechnen sind, und nach Müller-Breslau ein ergänzendes A₀₎ Bn und H₀ hinzukommen kann, wie dies in Abb. 16 veranschaulicht ist.

Nach derselben kann ein ganz beliebiges System von Stäben und Kräften P durch ein bei A angenommenes bewegliches Auflager statisch bestimmt gemacht werden, so daß aus der Resultante R und ihren Abständen ra und rh

R • ra

von A und B die Größen A₀ =

1Ü& B —

l ’ n 0

, H₀ — R • cos « hervor-

+ •£.

gehen, welche zu obigen Werten von X, Y und Z hinzukommen.

In Abb. 17 sind daher die Kräfte X und Y und das Moment Z für die

Einspannung bei A und B angegeben, welche für sich im Gleichgewicht sein müssen und mit Hilfe der obigen Elastizitätsgleichungen bestimmt werden, so daß bei C: M —    — X- y — Y • x — Z erhalten wird.

Nach dem Verfahren von Mörsch kann dagegen das Ende A als frei ausladend angenommen werden, so daß an dieser Stelle nur X, Y und Z wirken, und für M₀ nur das Moment der linksseitigen Kräfte (ohne Aa) zu berücksichtigen ist, und es ist dies häutig einfacher, wie es auch die Berechnung des horizontalen Winddrucks auf den Rahmen nach Müller-Breslau (S. 130) zeigt. Auch die Verlegung der Kräfte X, Y und des Moments Z in den Koordinatenursprung o, für welchen die Werte [ yds fxds fxyds

' —J ~J~’J ~7~

j- in Beziehung auf die cc-achse und die y-achse sowie das Zentrifugalmoment desselben = 0 sind, und der

sowie x und y Hauptachsen sind (bei symmetrischem Stabzug fällt die y-achse

Yk

CA

Mau

Mjj

Abb. 17.

= 0 werden, ist bei beiden Berechnungsweisen gleich, so daß die statischen Momente des Stab-

zugs

Punkt o der Schwerpunkt des Stabzugs mit der Symmetrieachse zusammen).

CO

r'

,-S'

-n

-ip-

+ JC

Abb. 18.

Es sind nun die Suinmenausdriicke Tr = f

j , T, =J—j— und ff =

y~ds

ds

Trägheitsmomenten des Stabzugs entsprechen.

zu berechnen, welche den in Beziehung auf die x- und ?/-achse sowie dem elastischen Gesamtgewicht desselben

Bei Zerlegung des Stabzugs in prismatische Teile von konstantem Querschnitt erhält man in Beziehung auf eine

dy _

beliebige Achse JT =J J* X = jXJ’j »*** =    ~ l ~ = T* W + ».». +    ds ~

— sin et = ' ²    ■ ■¹ ist (wenn yx oder y₂ negativ wird, so ist das obere Vorzeichen zu wählen bzw. y mit seinem

Vorzeichen einzusetzen).

Mn • xds

Mb-yds Fn • y,

J ⁼ “ J ’ statischen Momenten des

(s. Abb. 18). <BX und ©?/ sind alsdann die Summen

~~ in Beziehung auf die Achsen x und y, so daß man erhält

1/

v F«

* T.

Eine Vereinfachung der Berechnung ist nach S. 123 und 125 durch die Bestimm!

gegeben, und die beiden erstem entsprechen

_ Fo;

unterhalb des Schwerpunkts S vereinigten elastischen Gewichts

und von

.1

tc

von

der statischen Momente aller Gewichte

©,

V_m &y y _

)    1 —. iji •>    " —

(Die vorstehenden Teile von Stäben sind in diesen Summenausdrücken nur insofern zu berücksichtigen, als sie die Momentenflächen Fn der Mn ändern.)

Die allgemein gültigen Formeln lassen sich nun auf Sonderfälle anwenden, und zur Erläuterung soll zunächst der rechteckige Rahmen berechnet werden.

Die oft vorkommenden Ausdrücke ~

-L    sollen hierbei mit

.1

///, F₀' bezeichnet werden (das Jc im und der Ständer h' = ~j~^j⁸⁰

hh'

r+2h”

Zähler kann alsdann wegfallen), und das G — V 2 h' wird.

In Beziehung auf CD ergibt sich der Koordinatenursprung 0 aus z₀ • G = 2 h' • ■— = h- li' oder z₀ —

ferner ist Tx= T—G • zl —    —---zn-h-h' (aus obiger Formel für y. —0 und y. — h), und für

,    9    3    hv    2/'

= zo U + ² h') wird Tx = — hzb {V -f 2 h') — z₀-hhJ =-~ (2 l'und ebenso ist Ty = I —

ü    O    J

Fo *    _

T ~ A(2i'+A0

/ l \²    P

^ \ 2 ) ~    Hieraus erhält

■M

V/i

des Balkens ist V — .

t/₂

man alsdann X =

. ----L

2    4 • 3 ‘

F • e

, r=^ri-und/=

-'"Jk

Fe

*#■•< ₊* t\'?,

‘Mi

p.

’O

lJ

■*4

Z«,

lJ>

L_k

*L

T'-

W'

Abb. 19.

"\ lSMt[ «

*• D'    ^7

' /K ]    "a

CU )

\Ä

rH^E=

itf,

—Äf-1—-

»i

~z.£.3m

W%-

LJ,

\T^

\\i

'J

Abb. 20.

Die Lage der Kämpferdrücke Ka und Kb ergibt sich aus der Momentgleichung X* LJ/— X • zu— Z (für das

7    T    /9 h \ h

Gleichgewicht von X, Y und Z) oder LIY — zu--=- = zu----— zu — (—--zA = —. Der Neigungswinkel

j    -A.    Zq (x    \ o    / * o

der bei —- liegenden Resultante B ist tg 3 = ~    , worin v= !i^4r \-rlr konstant ist. Die gra-

3    ¹ X z₀ • Ty v ⁷    4 h (21 + h )

phische Bestimmung von Kt, und Kh ist aus Abb. 19 ersichtlich, und es wird Mu = 7}- H • z„, Mc — —H’ZC, M(l = — H zd, Mb = + H • zh, so daß die Momentenflächen an den vier Ecken hierdurch bestimmt sind. (Die Richtung von H ergibt sich aus Abb. 17, da H₀ — 0 ist).

Für Einzellasten P im Abstand c von der Mitte gelten dieselben Formeln, nur wird die Momentenfläche bzw. bei außerhalb liegender Einzellast F₍₎ =

IC I

P. - a.' I

und der Schwerpunktsabstand ist

= -5- bzw. —, so daß c bzw. o    b

n _ A₀ _ P-b

‘ H ~ F ll

der Länge 3 v entspricht und der Schnitt S bzw. S’ der Kämpferdrucke Ka und Kb aus

erhalten wird. Bei Einsetzung von H—X und des Werts für Fa in X 2 h

• (2 V -}-/<'), so daß die Parabel durch S mit dem konstanten Abstand n von der Richtung B der Kämpferdruck- oder S-Linie entspricht. Bei außerhalb liegendem Pi erhält man ebenso Au = und es gilt hierfür derselbe Wert von n. welcher zugleich den Endpunkt der Parabel für die $-Linie auf AC bestimmt.

ergibt sich n —

to

1 w    Bt

und - =± ----

b    H    l-FL

¹ und Bt) — —

Die Momentenfläcben des Balkens CI) sind durch die schraffierten Flächen dargestellt, und die Ordinaten z des Linienzugs MSN bzw. MxSlNi ergeben mit H multipliziert die zugehörigen Momente, während diejenigen für die Ständer wie oben bestimmt werden (für P, ergibt sich das entgegengesetzte Vorzeichen).

Bei der Berechnung für die Finzellasten P und Pt wurde mit den Auflagerdrücken A₀ und B{) für den statisch bestimmt gemachten Rahmen gerechnet, indem hierbei keine Horizontalkräfte vorhanden sind, für welche nach S. 130 bei B Eingespanntsein und bei A freie Beweglichkeit angenommen wird (wie dies auch bei der Berechnung nach Mörsch der Fall ist), so daß nur der Ständer BD durch das Moment M₀ der linksseitigen Kraft P beansprucht wird, und X, Y und Z die Einspannung des Endes bei A bewirken (s. Abb. 21 rechts).

p./i²    h

--— mit dem Schwerpunktsabstand zu — —, so daß

2    l Phh'l    "

und ’&y — — F₀ • — = 4--—— ist, und hieraus erhalten wird:

Das Dreieck für M₀ hat den Inhalt Fn =

, P-hh’/    h\

+    ₂    [Zu    ₃)

Ph² h' /

2 \

t)

z₀ • 4- (2 2' 4- /*')

(da J₃ — J, ist), Y —    ¹ —

¹ >j

<§, _ Phh'

(l'.+ 6 h')

Phh'

_ p' _

’ Z = (f ~ ~ 2 (P+ 2 h')

Die Momente an den 4 Ecken sind dann (die Drehung im Sinne des Uhrzeigers ist positiv):

Ma = X • zu -

2--^ Mc = -X- z₀ —

r-1

Yl

Yl

—-Z, Md — — X- z₀ + -4- — Z, Mh — X • zu + ~k~ — Z— Pli.

+ JT-

1.06    ^ 2m

' J v\ 19S+ 97-*

«- • 2,05 - »U- -2.05 —»p f 2,OS-- - 2.0S-*

I S5

M---^— -»4

r<-

-N-

-») 7/ i-— >*•.?# *j k - 2,05- - 4>—------0,1------*J

U-

____L ui__

v///77777j^

<s

-----L.

WW⁷⁷^

h7/k    -^55 W- I

U------n,i-------»I*~2,0S~*t*~2.0S-A

Abb. 21.

Abb. 22.

Wird der Ständer A C gleichmäßig durch den Winddruck pl^m belastet, so erhält man die Momentenfläche aus

M =    und diese Gleichung entspricht einer Parabel mit der Endordinate so daß F₀

““    li    ,    2

und der Schwerpunkt bei —- Abstand von A liegt (s. Abb. 21 links).

Hierfür sind in derselben Weise wie oben die Werte von X, Y und Z auszurechnen und bei Vertauschung von A mit B und C mit D gelten auch dieselben Momente der Ecken, so daß Y nach unten gerichtet ist. (Will man X, Y und Z so annehmen, daß B das bewegliche Ende darstellt, so ist auch der Drehsinn zu ändern.)

Wird statt des geraden Querbalkens ein Bogen angenommen, so kann in dem obigen Beispiel statt des Bogens ein Polygon (s. Abb. 22) gesetzt werden, wobei das Verhältnis J₂ : Jx = 1: 4 beibehalten werden soll.

Der Punkt o ergibt sich dann für die Bogenbälfte in bezug auf E aus:

2,06    0,6 • 2,2

1 “l 1

Ferner ist das Trägheitsmoment in Beziehung auf die #-Achse:

0,8² 2,06 3    **" 3 • 1

{2,06    2,05²    2.2

J ^4 1    '    3

aus den Tabellen auf Seite 23, 24 bei Division mit 1500 :1wy²= 7,54, Iwx² = 73,45 und Iw = 10, und die Berechnung wäre bei Einsetzung der Verhältniszahlen 1: 4 für J dort einfacher geworden, und sie wurde nur mit Rücksicht auf die allgemeine Anwendung für verschiedene J mit dem zugehörigen h berechnet (die Verschiedenheit für Tx und Ty rührt von der angenäherten Berechnung mit Lamellen und von der Ersetzung des Bogens durch ein Polygon her).

Zur Vergleichung der Resultate beider Berechnungsarten, sollen nun die Momente für die vertikale Belastung mit 0,6 tjm bzw. 0,2 ¹ in der Mitte für das obige Polygon berechnet werden, und man erhält hierfür Tx == 7,76, Ty = 74,14

p h² h _p h³

2    ~3 ~

f*

ds

0,1 •

+ 2;54):(if + ¥+3)

3,40

5,01

== 0,68 statt 0,65m.

= ²(T-

r x²ds

Tx = (V    — T(für CD) - 0,32²-G =

(0,8² + 0,8 • 1    l²) + -j- •    — 0,32² • 2 • 5,01 = 7,76 und in Beziehung auf die y-Achse:

4 o J

(2,05²4~ 2,05 • 4,1 4-4,l²) 4--j- * 4,l²j — 74,14. Zur Vergleichung erhält man

G = 10, 2₀ — 0,68, M — 0,41.8,2

0,6 • 8,2²

= 5,04 mt bzw. = 0,2 •    = 0,41 un<i jp _ ? . 5,04 • 8,2 =

4    3

27,55

bzw. =

punkt der Teilflächen zu ermitteln, und erhält man aus Abb. 22 die Schwerpunktsabstände

= 1,68. Für das Polygon ist F₀ über den Seiten desselben zu bestimmen, und zugleich der Schwer-

7,74

/    1,72

1,025+11,26-2,05 •

7,74 + 1,72 ~

= 2,76 m und hieraus yH — 0,9 — 0,32 = 0,58 m und = 0,52 — 0,32 — 0,20 m, sowie H — X —

(3,78 • 2,05) •

11,92

4,32

ICC

^27

9,46

= 0,98 m und =

5,04 -4,1-1-) -f--M-9,27

13,78

13,78 — 9,46

— V» — ²-(⁹>⁴⁶ ' °>⁵⁸ + ⁴>32 • 0,20)

T

7,76

f:

13,78 • 2

= 1,64 statt lV‘,    = a<M»-0,98 + 4,äi..V6)

= 1,62 m somit Mu — (2,28)

- = 0,57*,

2,78

_ 2,78 mt. Der Abstand LU ist ferner — zu--^ = 3,32;— —

A

(2,65)

za = 1,64 . 1,62 = 2,66 statt 2,81 mt, Mr = — II • zc — — 1,64 • 1,38 = — 2,26 statt — 2,20 int, Mm —

(1,12)

— 5,04 — 1,64-2,38 = 1,14 statt 1,18 mt.

Für die Einzellast von 0,2 t erhält man xs =

und = ~ - 2,05 o

10

1,64

p05_l . 0)205 +    . ++): (0,205 • 2,0°f. 1,6) = 0,91 -

= 2,73 m sowie yg — 0,91 —0,32 = 0,59 und = 0,54 — 0,32 — 0,22 und hieraus H = X =

__ £+ __ 2(0,63-0,59 + 0,21 -0,22) — T

7,76

Z==*l— 2(0,63+0,21)

10

= 0,108 statt (S;i°T\ y = h. = 2 (CM*-0,91+0,21-2,73)

⁴ y

0,168 0,108

= 0,168, LU — zu--x~ 3,32 —

74,14

= 0,031t,

= 1,77 ¹¹¹ somit Ma — 0,108 • 1,77 =

(0,137)

Ä    _____ (0,175)'

= 0,19 statt 0,20 t, Me = — 0,108 - 1,23 = — 0,13 statt — 0,13 *, Mm = 0,41 — 0,108 • 2,23 = 0,17 statt 0,17 t. Für den Winddruck erhält man F₀ =    °

(0,142)

= 0,675,

h \ _ 0,675 4 /    4

(3,32 — 0,75) =

<5, _ 0,433 Tx 7,76

= »V=| = ^-= 0,009,

0,675

4 • 10

— 0,675^    _ 0^90, somit X =

= 0,017 und hieraus für o über CD und das nach unten gerichtete Y (s. Abb. 21):

8 2

i¥ü= 0,056 - 3,32 + 0,009 -    — 0,017

0,15 -3²

— 0,469 mt, Mc — 0,056 • 0,32 + 0,009 -    —0,017= + 0,038int,

Md = 0,056 - 0,32 — 0,009 . ^ — 0,017 = + 0,036 mt, Mb — 0,056 • 3,32 — 0,009 - ~² — 0,017 = + 0,132,nt statt

2 2

der Werte Ma — — 0,308 mt, Me = — 0,026 mt,Md = — 0,127 mt, Mb = 0,287 int, auch ist Mm = — 0,056 - 0,68 — — 0,017 = — 0,055 statt + 0,028 mt (beim Hinaufrücken von X und Y für den Winddruck P Uber CD würde auch auf S. 30 das Vorzeichen von X für Mc und Md positiv werden.)

Die Zusammenstellung der Biegungsmomente ergibt daher: (die negativen bewirken an den Ecken außen Zug und die positiven das Gegenteil)

M„ = 2,66 +- 0,19 (— 0,47) = + 2,85 "+ Me = — 2,26 — 0,13 (+ 0,04) = — 2,39 mt, Md — — 2,26 — 0,13 (+ 0,04) = = — 2,39mt, Mb = 2,66 + 0,19 (+ 0,13) = + 2,98«lt, Min = 1,14 + 0,17 (— 0,05) = + 1,31mt.

Hieraus erhält man nach A li (s. Heft 4, 1906 der Hannoverschen Zeitschrift bzw. den Sonderabdruck desselben)

bx 100-5,3

in der Mitte: x =

6 • 131 000

= 10,6 ,<(iin und für

5,3cm, h = — x = 14,1«», fe =

50

7 boh

h = 18 cm: fe =    • 10,6 = 8,3 ¹*cm, so daß 10®12 = 11,3 ‘i⁰¹¹¹ reichlich genügen.

Io

7 - 100 • 40

50

Bei C und D soll 26cm Stärke angenommen werden, so daß x —

19,1

100 - 7,17

7,17 cm, h — — • 7,17 = 3

• 14,34 = 11,9 qcm erhalten wird, somit

23

6 ■ 239 000

7 -100•40

= 14,34 4cm un(j fUr /j — 23cm : ft —

= 19,1«», fe = genügen 12®12 = 13,6 <icm.

Bei + und B ist eine Stärke von 36cm angenommen, und man erhält hierfür x = \

100 - 8,0

50

6 • 298 000

7 - 100 • 40

= 8,0 cm,

+ 8,0 = 21,3cm, fe =

gleichfalls 12012 ausgeführt werden können.

50

= 16,0 <(cm und für h — 33cm: fe =

21,3

33

16,0 = 10,3 '*e,n, so daß hier

Die Anordnung der Eiseneinlagen ist aus Abb. 23 ersichtlich, und dieselben sind in das Fundament hinab-gefiihrt und durch horizontale Verteilungseisen 06 verbunden. Die Berücksichtigung des veränderlichen statt konstanten Querschnittes des Bogens und der Ständer hätte in den Tabellen auf S. 23 und 24 geschehen müssen, sie kann aber hier vernachlässigt werden, da sie jedenfalls kleinere Momente ergibt. Auch die vertikale Belastung bei A würde nur die Zugspannungen reduzieren, und ist hier nicht bedeutend.

ur m k

2 $12

Ci

10 $12

rH-+

$$12

0.

J0X2Ö^%

— 2,0-----

-----2,8- -t -/— >■

r 10 m

1Z$12

12 $12

--2,5----

5020 N

c_J

fm

8012

Fl

i---

11

'■o

---2,6—

Abb. 23.

Abb. 24.

3. Beispiel der Berechnung einer eingespannten Straßenbrücke aus Eisenbeton.

Als weiteres Beispiel folgt eine Straßenbrücke, welche bei A und B eingespannt ist, weil die mittlere Stärke von 40CU1 sonst zu schwach wäre. Die gestrichelte Linie entspricht der Mittellinie des angenommenen Balkens, welcher durch Einteilung in Lamellen und durch Ersetzung mittels eines Polygons berechnet werden kann.

Für die erstere Berechnung sind die Werte von x, y', s, J —

12 7 w ~ J’ F

§

= -j- aus der Abbildung

zu entnehmen, und hieraus sind die Produkte wx, wy, ivx* und wy² zu bilden, welche in die Summenausdrücke

1 Iw (a — x)

Hz_ 1 •2wy{a—x)

Zwf + 2j

1 Iwx (a — x) 2 w x²

und M —

Iw

einzusetzen sind, um die Einflußordinaten für H,

V und M zu erhalten.

Hieraus ergibt sich die folgende Tabelle: ¹

21-7

1*Ä»

12

s-

F~E

0,5

1,07

0,40

0,0053

188,7

2,5

©'

ffir' 23 'S* CO CO O

oi" cT cT ©

3,05

0,70

3,3

3,3

3,3

0,47

0,95

0,29

0,58

1,05

— 0,575

1,15

1,525

—1,725 1,15 1,575

0,0062

161,3

2,4

0,0131    0,0716    0,0965    0,2956

0,3256

62,6

6,6

6,0

3,9

3,5

1,5

0,5

0,6

0,8

0,7

2 X 432,6 = 865,2 2 X 9 = 18

Hieraus erhält man den Abstand des Koordinatenursprungs o von E aus: z-hv — 2(1,1 —y')'W oder:

0,14m, ferner

0,03 • 188,7 + 0,1 • 161,3 + 0,25 • 62,6 + 0,4 • 6,6 + 0,81 • 6 + 1,675 • 3,9 + 2,825 • 3,5 _ 61,4

432,6

ist y — 0,14 — (1,1— y) = y' — 0,96.

432,6

Zur Berechnung von H, V und M ist dann folgende Tabelle aufzustellen:

Scheitel (1)

I' (2')

II' (3')

III' (4')

' IV' (5') IV' (6') IV' (7') X 1'—7'

y = y — 0,96

0,5

1,5

tv

0,11

0,04

2,4

3,05

— 0,11

— 0,26

188,7

161,3

62,6

6,6

3,3    3,3    3,3

-0,67 —1,535 —2,685 6,0    3,9    3,5    2 X 432,6

= 865,2

IV x — W'X

Wy — W y tv - X².....

94

242

150

20

20

13

12

20,8

47

6,5

- 6,9

-1,7

— 4,0    - 6,0    - 9,4

363

360

61

65

42

W1J²

2,3

0,3

0,8

0,4

38    2 X 976

= 1952

2,7    9,2    25,3    2X41

= 82

_ j_

2

1 2 wy (a — x)

a

54,5 + 21,5

__ 20,8

Einflußordinaten für 1-2.....

//=

2 tv • y² + X y ( = 100)

__

2

1 1 tVx (rt — x)

Einflußordinaten für 1-2.....

________II— IV'

2tv-x² ( = 1952) |I —IV

Einflußordinaten für 1-2

M=

_F

hv (= 865,2) U

G (Eigengewicht) H 1-4' (1-4) 1' - 4'

i;

Einfluß

ordi

naten

₂    65,6

0,656

475,5 + 457 94

+ ^ = 979,5

227,8 + 250,5 572,7

188,7

ec

r-

©

tß

29,7 + 28,0    10,1 + 21,1-0,8    0,5-1,94+    0-19,4 0-15,4    0-9,4

—-^ = 54,5    + 6,9 • 0,4=29,7 1,7 • 0,25 = 10,1

0,545

0,297

0,101

0•45    0 • 25

0,5-45 +

139,5 + 215

+ ?M = 475,5 +150-0,4=139,5 20-0,25 = 27,5

0,014 0,986

27,5 + 65-0,8

0-12

0,244

0,756

0,072

0,928

(1) (1)

58,0 + 89,2    11,7 + 26,6-0,81    0,5-20+    0-13,4    0-7,4    0-3,5

f = 227,8 + 62,6-0,4=58,0 6,6 • 0,25 = 11,7

0,014 2,814

0,264

1,264

0,067

2,067

(3,3)    (3,3)    (3,3)

O O M P Pi © CO ©

c- t»

CO TH ©

© © 1-T

to tc

Cclcc C CO © X X

als § ° ®S£-®

Die Einflußlinien für H, V und M brauchen nicht aufgezeichnet zu werden, da die Interpolation für die Lamellenmitten genügt, und man erhält nun vom Eigengewicht 0,3 • 2250 = 675 kg/qm für die Straßenlahrbahn und 0,4 bis 0,65 • 2000 kg/,im für die Kies- und Sandunterlage und hieraus die Einzellasten Cr, = 675 + 0,44 • 2000 + + 0,4 - 2400 = 2,52 t, G₂ — 675 + 0,51 - 2000 + 0,42 • 2400 = 2,70*, G₃ = (675 + 0,57 • 2000 + 0,54 - 2400) • 0,8 = = 2,49*, Gi = (675 +‘0,62 • 2000 + 1,08 • 2400)0,5 = 2,25*. Durch Multiplikation der Einzellasten G mit den Einflußordinaten für H, V und M wird H = 1 G • b = 2 • 3,26 = 6,52*, F = 9,96*, M = 21,63 m* (die Lamellen 5—7 kommen für H und M nicht in Betracht).

Die ungünstigste Belastung des Scheitels ergibt sich, wenn eine Walze von 5* über denselben gestellt wird (auf 2¹¹¹ Breite der Dampfwalze sind 10* vorhanden, somit pro m die Hälfte) und man erhält durch Multiplikation mit den Einflußordinaten H = 0,656 • 5 = 3,28*, V = 2,5*, M = 0,663 • 5 = 3,32*, somit im ganzen II = 6,52 + + 3,28 = 9,8*, V = 9,96 + 2,5 = 12,46*, M — 21,63 + 3,32 = 24,95,n* (gewöhnlich findet die Verteilung in der Querrichtung unter 45° bis zur Mitte des Gewölbescheitels oder der Platte statt, während in der Längsrichtung die

Einzellast gilt, und es ist daher ungünstig gerechnet worden.) Die einseitige Belastung durch 5* bei — = 1,65m

Abstand von der Mitte ergibt ein etwas größeres negatives Moment bei C, indem hierfür durch Interpolation erhalten wird:

0,15

#=(0,42

0,15

• 0,12^5=4,3 *,iW=(l,67

0,15

• 0,22^-5 = 1,92*, F=(0,84 +

-0,77j- 5

Nach den Formeln auf S. 16 ist nun Mx = M + M₀ — H • y — V ■ x (wo y und x sich auf das Koordinatensystem durch o beziehen) und man erhält bei Ä: M = 24,95 + 9,8 • 3,26 — 12,46 • 3,3 = + 15,78int, bei C: Mx =

0,9

0,9

0,9

= 8,99 ,n*.

(s. unten)

= 15,78 — 2,95 - 9,8 = — 13,13m* und bei E: Mx = 24,95 — (9,96 • 3,3 — 14,72) — 0,14 - 9,8 = + 5,43 m*. Für

einseitige Belastung durch 5* ist H = 6,52 + 1,92 — 8,44*, V — 9,96 + 4,3 = 14,26*, M~ 21,63 + 8,99 = 30,62mt und hieraus ergibt sich bei C: M, = 30,62 + 0,31 • 8,44 — 3,3* 14,26 = — 13,82mt (für Menschengedränge von 500 kg/qm erhält man kleinere Werte).

Zur Vergleichung soll dieselbe Rahmenkonstruktion nach Müller-Breslau gerechnet werden, indem der halbe Bogen durch 2 Gerade ersetzt wird (s. die rechte Seite der Abb. 24) und die Ständer eine Höhe von 2,95m erhalten.

0,41³

Das Verhältnis der Trägheitsmomente ergibt sich für E F aus 0,54³

moment

₁₂    -0,82 +Mp-0,55

0,050

CM

= 0,00575, für DF aus dem mittlern Trägheits-

0,7771

0,82 + 0,55

1,37

= 0,0365 und für B D aus

0,0965 • 0,65 +(0,2956 + 0,3256) • 1,15

2,95

2,95

= 0,2634, somit = 1 : 6,3 : 45,7 oder rd. 1:6: 40.

2(0,45 —y)

Man erhält nun in Beziehung auf E: z₀ =

(²+-V!

\ 1 6

2,95

0,359

40 )    2,3

X —

J

= 0,156 oder rd. 0,16 statt 0,14m.

0,075 •

2    , no 1,34 , 1,925.2,95+

-r+0,3.— +    --j.

Der Wert von Tx —

+ 0,3-0,45 + 0,45²) ~ +

C* cl <?

| y² -j ergibt sich aus T (für CD) — 0,294² • G — 2,95²    2,95

(i+-

40

— 0,294² - 2,3 | = 0,621.

Die Momentenfläche F₀ kann für die Horizontale berechnet werden, da die vertikalen Lasten und Biegungsmomente M₀ dieselben sind, und man erhält aus Abb. 25 die Momente in Beziehung auf die vertikalen Lasten:

3,36 t

3.SSt

y^-o.

U -1,3

r-»*

1,0-

1,0-* >-0.

9,96 • 2,8 — 2,25 • 2,55 — 2,49 • 1,9 - 2,7-1 --- 0,25 = 14,40 ®*

£

2,25    2*3    2,30    2.52    2,52    2,30    2,09 2,25 t

9,96 - 3,3 — 2,25 - 3,05 — 2,49 • 2,4 — 2,7 - 1,5 — 2,52 - 0,5 = 14,72 Der Inhalt der Momentenflächen ist daher für DF:

2,35 + 7,25

0,25 - 2,35

• 0,65 +

7,25 + 8,85

-0,4 =

— 0,29 + 3,12 + 3,22 = 6,63 und für EF:

10,86 + 14,4

2,5t

Fo =

8,85 + 10,86

•0,5 +

-1 +

14,4 + 14,22

tw

• 0,5 =

•o'

— 4,93 + 12,63 + 7,16 = 24,72.

- - 2,0-

----2,0-----U- 1,5 -J

5t

5-66

Für die Dampfwalze von 5* ist A4 = —= 8,25mt bzw. = = 3,75 • 1,65 = 6,19,nt und die Momentenflächen sind für DF: F' =

0,63)

1,3 - 4,88

1,3 - 3,25

3,75 t

<,66-

-----¥, 35------

W — <,S~ -    - - - --Z,Q—-—- -Z,0~ - - • -o4<-. - 7.J- - **

= 2,11 bzw. =

3,25 + 8,25 o --

6,19 + 4,13

= 11,50 bzw. =

(1,06)

= 3,17 und für EF: 4,88 4- 6,19

• 0,35 +

st

Abb. 25.

andern Seite =

Die Schwerpunkte der Trapeze und Dreiecke ergeben sich aus — •

3

• 1,65 = 1,94 + 8,51 == 10,45 und auf der 4,13 + 1,63 2

h a + 2 b

und -

= 5,76.

so daß hieraus die horizontalen

6

Abstände der Schwerpunkte für die Momentenflächen bestimmt werden können und dieselben sind bei Zusammenfassung des Eigengewichts und der Nutzlast von 5* für DF von links her:

1,84

0,29 • 0,17 + 3,12 - 0,52 + 3,22 - 1,09 + 0,87 - 2,11

Z7r

I 0,3__[

2,0-----■------2,0--

c«<- - -1,5- -J

bzw. =

Abb. 26.

6,63 + 2,11 (1,06)

7,02 — 1,84 + 3,17 -0,87 _

6,63 + 3,17    ~

(1,06)

= 0,80ni

(6,10)

7 94    (0,79)

= 0,81m und für EF von rechts her

9,8

(7,69)

_ 7,16 - 0,25 + 12,63 - 1 + 4,93 • 1,76 + 0,83 • 11,5 _ 32,64 ⁶ ~    ..... ~ 36,22

9,55

bzw. =

32,64 — 9,55 + 1,94 • 1,82+8,51 - 0,88

24,72 + 11,5

= 0,90 m

24,72 + 1,94 + 8,51 32,64 — 9,55 + 5,76 • 0,86 _ 28,04

34,11

35,17

= 0,97 m und auf der andern Seite =

30,48

=. 0,92m und an diesen Stellen ist das zugehörige ys auszurechnen, für

(0,083)

24,72 + 5,76

welches man aus Abb. 26 links — (0,294 — 0,185) = — 0,109 und + (0,383 — 0,294) = + 0,089 und rechts

(0,381)    (0,087)

— (0,294 — 0,182) = — 0,102 erhält.

(0,187)

(0,107)

(0,377)

= F₀ * ?/ ? ergibt sich nun X =    = 2^0,089 • ^L²²

(statt 9,80) und für einseitige Belastung — ^0,083 •

= 8,46t (statt 8,44), ferner ist Z =

Aus

0,109 • 8,74

^: 0,621

_?.X.— = 9,87 * 0,621

5,253

00

35,17    „ „ 30,48

—j--h 0,087 • —^--0.107 *

K __ ^ 36,22 ₊ 8,74 \

: (2 • 2,30) = 16,38 n,t bzw. =

9,8 , 7,69 \

e r

16,38

: 0,621 = ^35,17

14,9

1,483.

— 1,584 bzw. = 3,244 —

: 4,6 = 14,90mt, LU = zu — ^ = 3,244 —

Hieraus ergeben sich die Momente Ma = za- H = 1,584 • 9,87 = 15,63 mt (statt 15,78), Mc = —ze • H =

9,87

8,46

— 1,366*9,87 = — 13,48 mt (statt—13,13) und für einseitige Belastung ist ze aus Ty} Y, tg ß = -y (⁸- S. 29) zu berechnen.

Die nach der ersten Berechnungsweise erhaltenen Maximalbiegungsmomente sind nun Ma = 15,78mt, Me — = — 13,82mt, Mm = + 5,43,nt (nach der zweiten Berechnungsweise wird Mm = 14,72-f- 8,25 — 1,82 • 9,87 =

l/ ¹

Stärke in der Mitte nach Alb aus x = y -

= 5,01 mt).

Die Eiseneinlagen ergeben sich für 40

cm

6 • 543 000

7 •100 • 40

= 10,8 cm, A =

• 10,8 = 28,8 cm, fe = -°° ‘ 10,8

50

= 21,6 qcm, somit für h = 36 cm, fe —

28,8

qcm

und es können 10 0 20 = 3i?4<icm angenommen werden, indem für teilweise Einspannung M— 14,72 + 8,25 —13,13 — = 9,84 mt ist, und hierfür x = 14,5 cm, li — 38,7 cm, fe = 29 ⁽icm werden, so daß oben noch 5 0 12 — 5,7 Qcm an-

Am Ständer AC ist oben M — — 13,82 mt, somit bei lm Stärke x — \

= 34,4 <icm und für h = 95ft =

zunehmen sind.

100 * 17,2

45.8

6    • 1382000

7    100 • 40 . 35,2 = 17 ycm, so daß hier

= 17,2 cm,

" ⁼ TT'17,2 = 45,8cm, f, =

jedenfalls 5 0 20 + 5 0 12 = 21,4 ⁽Jcm genügen. Ebenso ist unten M— 15,78mt, somit bei 1,6m Stärke x = + 1578000

=y

50

95

49

100-18,4

= 36,8qcm und für h — 155cm, ft

* 36,8 =

= 18,4 cm, A = — • 18,4 = 49 cm, fe =

O

= ll,6qcm, so daß 5 0 20 = 15,7qem ausreichen. Zu diesen Spannungen kommt unten noch die Wirkung der vertikalen Last des Widerlagers von (1,55 ■ 2,3 + 1,05 • 0,5) 2,4 = 9,8⁴, welche mit dem Erddruck zusammenzusetzen ist, und die Reduktion der Zugspannungen an der innern Seite veranlaßt (wie auch das Lamellengewicht links von C als Einzellast zu berücksichtigen ist, s. Abb. 24).

7 • 100 • 40

50

155

4. Beispiel der Berechnung eines unten eingespannten Lokomotivschuppens aus Eisenbeton.

Ein Lokomotivschuppen hat den untengezeichneten Querschnitt des innern Teils, welcher links die Eingangstore vom 4m Breite und 5¹¹¹ Höhe und rechts eine vorkrageude Konsole erhält, auf welche eine Einzellast (durch das sich anschließende 4 m breite Oberlicht) von 200 ks/m und mit Schnee und Winddruck von 400 kg/m im Abstand von 1,5 m wirkt.

Die Dachfläche soll aus Eisenbeton von 8cm Stärke ausgeführt werden, so daß das Eigengewicht derselben = 0,08 • 2400 = 192 kg und mit Doppelasphaltpappe oder Ruberoidbelag rund 200 kg/qm beträgt und hierzu bei Neigung des Dachs 1 : 10 noch rund 80kg/

Die Stützweite für die Platte wird durch eine Zwischenrippe reduziert, so daß sie 2,5 m bzw. 2,9 m groß ist,

und man hierfür bei Kontinuität Mm = Sl— = - ^,2^ -²—— — 0,196 mt und Ma =    = 0,261

(261000)    12    12    9

qm

vom Schnee und halben Winddruck kommen.

int

erhält, wofür x—^

6 • 196000

(2,6)

(6,93)

— 2,05, h — ^x — 5,47, fe —

100 • x

(5,2)

(12)

50

= 4,1 wird und 1008 = 5,0 qcm bei 8 cm

7•100 • 40

Stärke in der Mitte (am Auflager) genügen.

Für die Zwischenrippe mit 6 ra Stützweite ist die Belastung = 2,5 ■ 280 + 0,2 ■ 0,32 - 2400 = 860 kg/m, somit

ql² _ 0,86* 6²

160

bei teilweiser Einspannung zwischen den Querrippen M =

J. J

6 • 258 000

12

7•200 • 40

5,26 cm,

200 - 5,26

/,= !*= 14,0-    = ~

halb schon 4 0 20 = 12,6 qcm ausreichend sind.

Am Anschluß der Konsole erhält man das Moment M = J

50

14

— 21,0 qcm und für h = 36 cm ist fr =    • 21 = 8,2 qcm, wes-

ob

1,5²

und für b = 20

cm

ist x =

V-

6 • 286 000

= 17+ cm, h = — * 17,5 = 46,6 cm, fe =

}-~ (0,28 - 2,9 + 0,16) + 1,5 • 0,4 • 2,95 = 2,86 mt 2    b-x 20*17,5

50

50

7-20*40

so daß bei 50 cm Höhe am Anschluß oben 4 0 20 = 12,6 qcm genügen, und dies auch für das ganze Einspannmoment der Zwischenrippen ausreicht, welche an den Querbalken 25 • 60 befestigt sind.

Die letztem haben eine Belastung durch die Einzellast (0,28 • 2,7+0,16) 4,5+0,4 • 2,95 = 5,30 ¹ und eine gleichförmige Belastung = 0,6 -0,25*2400 = 360 kg/m zu tragen, so daß für Halbeingespanntsein

ql² _ 0,36 • 5,6’    5,3 * 5,6    3

12

12

• — = 6,51 mt ist, und x =

⁴    (25)

187 • x

6 * 651000

7 - 187 * 40

(23,6)    «    (62,9)

= 8,64cm, h = — x = 23,0 c,n,

ö

hx

___    ₌    32,3 (11,8) qcm.

23

qcm

ist in der Mitte fe = ca. — • 32,3 = 13,5 <*cin, so daß 5 Q 20 = 15,7

00

auch am Auflager der Fall ist, wenn zwei Eisen unten und oben gerade durchgehen und drei Eisen bei ca. = 70cm

und JL — 140 cm Abstand von den Pfeilern nach oben abgebogen werden. Die Schub- und Adhäsionsspannungen ergeben 4

sich aus dem Auflagerdruck

;P + 2,8 • 0,36 = 3,66 * und t₀ =

Für h = 55

5,30

3620

cm

3660

•(*-*)

25(55 — 7,9)

= 3,1 ke, Tt =

C-T₀

nr,d

genügen, was

25 • 3,1

5 • 3,14 • 2

2,5 kg.

T"l

1:10 _.

-_____O»'--

T'

- -4

Der in Abb. 27 gezeichnete Teil des Lokomotivschuppens kann als eingespannter Rahmen berechnet werden, und man erhält hierfür drei verschiedene Belastungsfälle:

a) Belastung des obern Balkens und Nichtbelastung der Konsole und des Oberlichts.

6,0

b)    Nichtbelastung des obern Balkens und Belastung der Konsole und des Oberlichts.

c)    Belastung des ganzen Dachs mit Schnee und halbem Winddruck (letzterer nur rund 5 kg/qm). Man erhält

(280)

somit als Belastung des obern Balkens 200 • 2,5 = 500 ks und vom Eigengewicht desselben 0,25 • 0,42 • 2400 = 250kg

(950)

somit zusammen 750 kg/

(700)

Desgleichen in der Konsole (1060)

200 • 2,9 = 580 und 250 kg oder zusammen 830 kg/ und als Einzellasten derselben bei 1,5m Abstand

(400)

200 • 2,95 = 590 kg.

(280)

(810)

(1180)

rn*

m,

JL

\f

■----1,2-

-H

^.....Z,0

J-

fc

._ccj

<«'

i*0

1'

JL

»T--

\-5,0---

5,S-

zou

i_ ML

vttti/V/ztt:

Af ■<-----

__iL

---3,0----------.........3,0.....

Abb. 28.

- N—

Öl

+y

+y

'25

y/\yi

T_"

\yi

OL

U-

Ob

Abb. 27.

Abb. 29.

Abb. 30.

Die Trägheitsmomente der Rahmenkonstruktion, welche aus den 2 Ständern 40/40em und dem obern Balken

40-40³    25 50³

= 1 : 1,2 (die Berücksichtigung der Eiseneinlagen bei

25/50 besteht, verhalten sich angenähert wie

den Trägheitsmomenten ändert dieses Verhältnis nur wenig).

Für einen unsymmetrischen Rahmen bei eingespannten Gewölben erhält man nach Mörsch (s. Sonderabdruck und Betonkalender von 1908) eine vertikale y- Achse und eine Drehung der x- Achse, indem die Bedingungen

12

12

(w)

(\Vi

(w)

ds

y-T = ⁰>

ds

x~j

- =r 0 und

ds

xy — 0 zu erfüllen sind. Der <fZ. a der x- Achse gegen die Horizontale ergibt sich

hierbei aus tg a =

1ixwyx -wa;²

und außerdem ist y == yx • cos « — x • sin a (s. Abb. 29).

Man erhält

nun

für nebengezeichneten Rahmen den Koordinatenursprung 0 aus zn =

z y -ic___

= { ~ <2,7 + 0,3) + {(3 - 0,3) | : (M + ^ + I) =

= (M.3_A.3'):16,4 =

ergibt sich aus x =

2x -w

2w

32,4

16,4

- = l,98In, und die Verschiebung der vertikalen Achse

Zur

— 0,11 ,n.

Bestimmung des Ausdrucks lwxy{ ist (s. Abb. 30) ds ==jf dx"¹ dy\

und

dx

m, ferner y/, —c m(a —x)

'a

somit

a; • y, • d* = I (c + m («

x v 7    + /. ,    2    2i/, I ₂ (C -f ma    mx

— x)) d x • |/ 1 -f- w*² — x¹ y 14- tw² I--

t£C\

37

zwischen den Grenzen

x — b und x = a, und bei Einsetzung der Zahlen für CD:a = 3,11 m, b — — 2,89 m, m — und 1,68 + 0,311

c 4- ma,

= 1 erhält man 1,005 J 3,11- ^ 1

³’“)-2,89I(l4-

30

2,89

)!

= 1,005 (8,67 — 9,17) = —0,05.

30 /(

.    . </y = al = Ml (1,68" - 3,72a) = - 17,12

Ebenso ist für ^4 C mit a; = a und y =

2,89

—2— (2,28² — 3,72²) == -f 12,46 oder zusammen 'livxy, = —

(bei der Berechnung mit Lamelleneinteilung, welche hier ebenso wie auf Seite 25 ausgeführt werden kann, genügt es auch die Summenausdrücke 2xm -ym-^S für ihre Mitte auszurechnen).

und für BD = —

0,05

1,2

17,12 ₊ 12^46 ₌ _ 4 70

./

Ebenso erhält man Ty = üwx² —

4,70

~j~‘ 3,11* + y-2,89! +

3,11³ + 2,89³

3 • 1,2

= 117,4 und hieraus tg a =—

117?4 —    0,0400, a = — 2° 17,6', sin a == —0,0400, cos a — 0,9992, und die Ordinaten für A, B, C, D, E, F, G

sind aus y —    - cos a — x • sin a zu berechnen, und    es ist ya — — 3,72 • 0,999 -f 3,11 • 0,04    =    —    3,60, ye =    +

+ 1,68 • 0,999 + 3,11 • 0,04 = + 1,80, yd    = +    2,28 • 0,999 — 2,89 • 0,04 = + 2,16, yh    =    —    3,72 • 0,999    —

— 2,89 • 0,04 == — 3,83, ye = -f 1,98 • 0,999    + 0,11 • 0,04 = + 1,98, yf=+ 2,08-0,999 — 0,89    • 0,04 = + 2,04,

yg = — (3,72 — 1,35) - 0,999 + 3,11 - 0,04 =    — 2,25    (s. Abb. 31).

Hieraus ergibt sich Tx =J y¹ Oj —    (1,8² — 1,8-3,6 + 3,6²)

1₂~3- (1?8² + 1,8 • 2,16 + 2,16²) = 17,5 + 22,14 -f 19,66 =

F‘n • ys

(2,16² — 2,16 - 3,83 + 3,83²) +

59,3, G — 16,4 (s. oben),

Für die Belastung des obern Balkens ist nun M =

jenige der Konsole ist M =

2

(1,78)

0,89 • 6    (4,44)

=1 2,22.

(3,0)

= 2,35 und =

2 - 1,2

(0,95)

°’⁷⁵^ = a^ = ₃

(1,06)    1 52    (1,20)    (1,18)    (1,78)

- = 0,83 - - — = 0,94 und = F • a — 0,59 • 1,5 = 0,89 somit FQ =

Sb

1,2

y.

04,3)

= 11,3 uud für die-

0,2)

0,94 - 6

2 • 1,2

(44,3)

Hieraus ergibt sich X — — ^s —

59,3

(0,48)

— 0,38 und =

(3,0)

²>³⁵-²’⁰⁴ =0.rund

(4,44)

2,22 - 2,04

59,3

59,3

(0.16)

— 0,08.

Der Abstand der Resultante R von AB ergibt sich aus dem Gleichgewicht von X, Fund Z, somit ist LL' • X - cos ot = = X- cos a • zu — Z oder LL' — zu —

X - cos a

ys - G cos a

= 3,72

59,3

Die Richtung der Resultante R ist tg ß =

(0,89)

59,3 - 0,11

Y - X - sin a X • cos a

X • cos a

1,98 • 16,4-0,999

(2,04)

— tg a ==

Ty • y.

0,96) = 1,89.

Tx * xt

• cos a

— tg 7. =

(+ 0,181) / Y 0,04 = — 0,012 I

117,4 • 1,98 • 0,999

r, ,    (2,04)

r₀ und xs dasselbe Vorzeichen haben).

ergibt für den zweiten Fall einen positiven Winkel, s. Abb. 28, da

A

Bei symmetrischer Belastung ist daher (s.’ Abb. 28): zl = 1,89 T 0,012-

3.11

2,89

= 1,85 (1,93),    = 5,4-

— 1,85 = 3,55 und zd — 6 — 1,93 = 4,07 und bei Belastung der Konsole ist zl = 1,95 ± 0,181 • = 2,51 (1,43), 0C = 5,4 — 2,51 = 2,89, zd — 6 — 1,43 = 4,57.

H 00

Für die oben angeführten 3 Fälle ergibt sich nun aus M — H • z (da hier H = X gesetzt werden kann) für Fall a:

Mb — 0,48 • 1,93 — 0,16 • 1,43 = + 0,70.

Fall b:

«d-

0,70

0,65

Mn = 0,38 • 1,85 — 0,26 • 2,51 = + 0,05

Mb = 0,38.1,93 — 0,26 • 1,43 == + 0,36.

Fall c

«►

4,1

/fr ///////{/////////.

v^k-s.o-

3.0

W⁷'

(aus den linken und den rechten Gliedern vom Fall a und b):

Abb. 31.

Ma = 0,89 — 0,65 = + 0,24, Mc = — 1,70 4- 0,75 = — 0,95, Md = — 1,95 4- 1,19 — 1,2 — 1,78 = — 3,74, Mh = 0,93 — 0,37 = 4- 0,56.

Hierzu kommt noch der horizontale Winddruck auf A C mit 150 • 5,4 — 810 kg/m Breite, und es ist 0,15 -5,4²

2

liegt bei — 4

3,93 • 3,11

= — 2,i8-“, f; =—

0,15 • 5,4³

6-1

= 1,35 m Abstand von A, somit ist X =

Kvs __

3,93 • 2,25

F'

x 0 _

117,4 • 1

= - 0,104, Z=-q Hieraus ergibt sich wieder L L == zu —

3,93

16,4

= — 0,240.

1 • 59,3

= — 3,93 und der Schwerpunkt

K-x, __ _

= — 0,149 , Y =

Ty

auch direkt aus -rr

59,3 • 3,11

2,25 • 117,4-0,999

X. cos a

Z \

X j und für die Richtung von R erhält man tg ß — 0,04 = 0,659 (auch aus

ys • G • cos oc

= 3,72 —

59,3

Xcos a

— tg a =

2,25 • 16,4 • 0,999

TxXs

Vs' Ty' cos a

= 2,H

— tg a =

Ebenso erhält man zb = 2,11 ± 0,659 •

CO Ol

== 4,16 (0,21),    = 5,4 — 4,16 = 1,24, zd = 6— 0,21 = 5,79

0,62

und hieraus die Momente M = H • z (wo H — X cos a ist) oder Ma — 4* 0,149 • 4,16 — 2,18 = — 1,56mt, Me = — 0,149 • 1,24 = — 0,19 Ma = — 0,149 - 5,79 = — 0,86mt, Mb = 4- 0,149 - 0,21 = 4- 0,03“t.

Dieselben Werte erhält man aber auch aus den Formeln auf Seite 30 durch Vertauschung von A mit B und C mit D, oder es ist

Ma = 4- X • ya 4- Y‘Xa — Z —

pF

— = 0,149 • 3,60 + 0,104 • 3,11 — 0,240 — 2,18 = — 1,56 mt

Mc =    —    X- yc    4-    Y-xc — Z = — 0,149 - 1,80 4- 0,104 - 3,11 —0,240= — 0,19

Md =    —    X ■ yd    —    Y• xd — Z = — 0,149 • 2,16 — 0,104 • 2,89 — 0,240 = — 0,86 mt

Mb —    4-    X-yb    —    Y• zb — Z = 0,149.3,83 — 0,104 - 2,89 — 0,240 = 4- 0,03

und die Vorzeichen der einzelnen Produkte gehen auch aus den Richtungen von X und Y in Abb. 31 hervor.

Diese Momente sind mit der Breite von 4,4m zu multiplizieren, so daß man erhält:

Ma = — 1,56-4,4 = — 6,87, Mc = — 0,19-4,4 = — 0,84, Md= — 0,86-4,4 = — 3,78, Mb=+ 0,03-4,4 = 4-0,13 mt. Die Maximal- und Minimalbiegungsmomente der obigen drei Fälle sind daher:

a    b    w    6—(-tt>

^1,06 -f 1,18 • 1,51 — = 1,82 t, B = 2,25 4- (6,75 • 1,06 + 7,5 • 1,18) — = 4,92 t,

Fall c: A = 2,85 — 0,43 = 2,42 f, B = 2,85 -f 2,67 = 5,52 *.

Fall a: A —

Fall b: A =

e-\-w

a-\-u)

8.85

0,95 • 6

8£5

0,75 • 6

tu

a-\-w

Auf den Ständer AC wirkt unten im Fall b + w: A = l;82-f-0,4².5,4 • 2,4 — 3,89 t und Ma — — 6,82 mt bzw. + 0,49 mt und auf den Ständer Bl) wirkt oben im Fall a-\-w:B = 4,52 ¹ und Md = —5,0 mt. Außerdem iommt noch die Belastung der Ständer durch die Zwischen- und Querrippen hinzu, und man erhält für AC:

b

(2,35 -0,2+0,16) 3 -f-0,36• 4,4 = 3,47 tundflirPZ): (2,65-0,28 + 0,16)-3 + 0,36-4,4 +(1,5-0,2-2,9 + 0,2-2,95)2= 7,20 ⁴.

(t⁶⁴⁰)’¹²

40’ -

Die Knickungsberechnung ergibt sich angenähert bei + aus k = 1 + 0,0001 •

bei B aus k = 1 + 0,0001 •

40² •

(A.«oo) .12

40⁴

= 1,123 und

40⁴

- = 1,139.

Die direkte Beanspruchung ist daher bei A: o = für die Biegungsbeanspruchung o =    =

6 - 682000 7-40-40

3470 + 3890

x = |/-

V-

682 000 • 6

40³

• 1,123 = — 5,2 kß Druck, während man = db 64 ks erhält, und bei einfachen Eiseneinlagen wäre

40²

0 8 T= 19,1 ein * — „.19,1

doppelten Eiseneinlagen ist nach A 2d: x =    • 35

b • x /, x\

-tV'-t)

371

- ⁵°'⁹ f- = 50

= 13,1 ™, o₄' =

(35-5) • f' =

682 000    40-13,1

°der 40

28,8 — 32,4 ^cin, so daß 3 0 38 = 34,0 icm auf jeder Seite erforderlich sind.

40

40-19.1

50

= 15,3 «i™.

15 - 40 -.(l —

35 —

13,1

Bei

-W371kk',

f) *

61,2 —

Bei gemeinsamer Wirkung der vertikalen Belastung P = 7,36¹ und des Biegungsmoments M~ 6,82mt ergibt

6 82

’    = — 0,93m (nach innen), und in den Formeln

M

sich der Abstand c von der Mitte (s. Seite 12) aus c =    _

B2c mit p = 1 ist P = 7360 k&, gx = — (93 — 20) = — 73™, h = 35cm, K = 5™, </₂ = 35 + 73 = 108™,

»j    Q D

6 = 40cm und ab = 40k® einzusetzen, so daß man erhält: x² — 2x (h + li) =--— (h² + h'²) + j—7

Z    0 ¹

- ‘ix (35 + 5) = -    (35= + 5=) +

= 0. Für x =

oder x²

oder x² — 80 x + 4442 —

57546

7,36

3 - 7360

40- 40

«?-)

108 +

(»-!■)(-⁷»-«}

{l irt f^ = {t 369’*

3 • 14

5 • 365

=3

für

cm

• = 17,5

(*-4+

(3 - 35 — 17,1) oder f't = 31,0 1™, so

-4-(35= +5=) +

x = 17 ist f (x) — — 14 und genaues x = 17 +

^    (3 h — x) oder 15 ^1

3•11720

40 • 40

= 15 +

379

= 17,1cm.

Ferner ist n

_ ⁷360-i08    40-17,1

° 'e    40

20

_±₎₍

— 23 —

5)1 oder a;² — 80 x + 3765 —

47686

= 0. Für x~

(+181 I ⁰

somit x = 18cm. Ferner ist 15

(1-++35-5 )f:

lg ist f (x) =

oder f'e = 20,2 uem^ so    gc^on 2 ® 36 = 20,4 ‘i⁰¹¹¹ auf jeder Seite genügen

(die Knickung hat in beiden Fällen keinen wesentlichen Einfluß und kann nur in entgegengesetzter Richtung wirken).

11720-58    40-18

40

--(3-35 — 18)

Der obere Balken erhält die nebengezeichneten Maximal- und Minimal'

(4,28)

biegungsmomente, indem in der Mitte M = + 3,38 mt, Md (außen) = — (1,20 +

c+w    b+w    a+w

+ 1,78) = — 2,98 mt, Md (innen) == — 7,52, = — 7,12 und = — 6,83 mt,

b+w    a+w

Mc — — 1,79, = — 1,44 und = — 2,08 mt für die negativen Biegungsmomente und

a    a

Md = — 3,05 und Mc = — 1,24 mt für die positiven Biegungsmomente mit Mm — + 2,1mt (s. Abb. 32) wird.

Bei 0,4 und 0,8¹¹¹ Abstand von D ist die Höhe des Balkens — 60 und 50 cm

(600000)

--7,52

Z-7,72

-6,8S

c+iu

-W-

li

- 3,0S s-Z.38

<,---+.28

I“?'

und M — — 6,0 und = — 4,6 mt, so daß man erhält x —y

6•460000

(60,5)

53,1 cm

7-25-40

(22,7)

= 19,9™,

Abb. 32.

U-

o,v 0,b

und

3 * =

2

nach A 2d ist x = —

weshalb doppelte Eiseneinlagen erforderlich sind,

(46)    (17,2)

- 55 = 20,6cm, oe = 11 ob

(4)

0-

= 15-40

(460)    (460000)

,    455 («> w 600000

oder ——— (55 — 5) =

(460) ⁴0

(17,2)    40

(17,2)

25-20,6 06)

(5,7)    (23,9)    (18,0)    (5.9)

(55 — 6,9) oder f’e = 26,4 — 21,8 = 4,6 v®,

25 - 20^ un(J ^ ___ 2*09 + 10,3 = 12,4 ucni.

(12,6)

(11,3)

(8,6)

(5,9)

25fe=°£ ₊ h-^ =

Es genügen daher an den Enden oben 5 © 20 = 15,7 4Cm, und in der Mitte sind für M = 2,1mt unten und M ~ —0,9 mt oben, sowie in dem ersten und letzten Viertel für M = — 0,3 mt und M = — 3,1mt oben die in Abb. 27

= 1,5 und 0,75m Abstand

455

40 ‘⁴’⁶ +

(4)

angenommenen Eiseneinlagen genügend, indem von den 5 untern Eisen bei ca. —

und

den Pfeilern je 1 © 20 nach oben abgebogen wird, und 1 © 20 gerade durchgeht sowie 2 nach unten gehen. Oben gehen dann drei Eisen durch, und Uber dem Pfeiler sind fünf vorhanden, von welchen zwei Eisen in der Konsole nach unten abgebogen werden. Die Schub- und Adhäsionsspannungen ergeben sich aus Cund D = 3 • 0,95 = 2,85* und außen D = 1,06 • 1,5 + 1,18 = 2,77* und sind verhältnismäßig klein.

Bei größerer Länge des Lokomotivschuppens ist nebengezeichnete Konstruktion zu empfehlen, indem der obere Balken auf die ganze Länge durchgeht und an der äußern Wand aufliegt.

Der mittlere Rahmen ist dann wie oben zu berechnen, und zwar mit Annahme eines obern kontinuierlichen Balkens E C D F, welcher bei E eingespannt und bei F frei aufgelagert ist, und es können hierzu die obigen Formeln (s. Seite 26) mit Mi = 0 verwendet werden. Die Momente des mittlern Rahmens sind dann von der Momentenfläche über CD ab-

von

Z...........T

•8,0m. —■

1?

7,0

hängig, und der Winddruck auf E G wirkt als Einzellast bei C und kann je zur Hälfte auf den mittlern und den linken Rahmen übertragen werden, welcher letztere ebenso mit der Momentenfläche über CE zu berechnen ist (bei Balkenbrücken mit zwei Mittelpfeilern ist nur der mittlere Rahmen mit der Momentenfläche über C D aus dem au den Enden frei aufliegenden kontinuierlichen Träger zu berechnen, für welchen Mx und — 0 in (10) und (11) einzusetzen sind).

Abb. 33.

5. Anwendung der obigen Berechnungsweisen auf verschiedene Rahmenkonstruktionen.

Bei der allgemeinen Anwendung der bisher entwickelten Berechnungsweisen sind auch die Temperaturspannungen in Betracht zu ziehen, und zwar mit denselben Formeln, wie sie bei den eingespannten Gewölben angeweudet werden, und

wo E = 2 OOOOOOt/qm, a = 0,000 012, t = 20» C ist.

es ist nach Seite 17 : Ht —

Ea • t 'l

In obigen Beispielen ist bei dem Rahmen mit oberem Bogen Ht =

3936

2 000 000.0,000 012.20 • 8,2

11 396

= 0,35* und — 0,65 • 0,35 = — 0,23 mt.

die Momente sind bei A = 0,35 • 3,35 = 1,17 mt, bei C = 0,35 • 0,35 == 0,12 mt und bei E

3936

Bei dem Rahmen mit geradem Querbalken ist Ht =    = 0,25¹ und die Momente sind bei A — 0,25 • 2,77 = 0,69 mt,

bei C und E = — 0,23 - 0,25 = — 0,06 m*.

Bei dem Rahmen für den Lokomotivschuppen ist statt der Verhältniszahlen für J der richtige Wert des

0,4 • 0,4³

Trägheitsmoments einzusetzen, so daß statt 1 angenähert

12

H, für w =

mit

0,002 133

= 470 zu multiplizieren ist, und man erhält Ht —

= 0,002 133 anzunehmen und der Nenner von

2880

2 000000-0,0000 12.20-6

=0 |fe|

, wo

5,4 + 6

2880

2w y² = 59,3 • 470 = 27 870, 2 ^ =

= 3,60 - 0,1 = 0,36 mt, bei C = — 0,180 • 0,1 = — 0,018 mt, bei D = — 2,16 - 0,1 = — 0,22 m* und bei E = = — 1,98 • 0,1 = •— 0,2 m* wird.

Bei dem Beispiel der Straßenbrücke erhält man dagegen viel höhere Werte, indem hier der Nenner nur = 100

2 000 000 • 0,000 012 • 20 • 6,6

0,25 • 0,5 ⁺ 0,4 • 0,4

= 120, somit Ht —

27990

= 0,10* und M bei A =

ist, und daher Ht =

100

= 31,7* und bei + : M =

\B

k-

■1/ - 6,0 —

Abb. 34.

nach S. 11 die Formel (15) H =

— 31,7 • 3,26 = 103,3rat, bei C= 31,7.0,31 = 9,8mt und bei E= — 31,7 • 0,14 = = — 4,4mt wird.

Die Temperaturspannungen (welche bei Ausdehnung das entgegengesetzte Vorzeichen erhalten) werden daher gewöhnlich bei der Dimensionierung der Rahmen nicht berücksichtigt, indem auch bei etwaigen feinen Rissen die Sicherheit der Konstruktion durch die Eiseneinlagen gewährleistet ist.

Noch deutlicher tritt die Größe der Temperaturspannungen bei nebengezeichnetem eingespanntem Gewölbe hervor. Für dasselbe sollen die Temperaturspannungen nach Weyrauch und nach Mörsch berechnet werden, und man erhält

E-c

45

ol • t worin c — J • cos cp ist, und für r aus 2 r • 1 = 3² + l²

oder r = 5m, tgcp₀ am Kämpfer =

= 18° 26,1', somit cos cp = 0,9487 und J =

2 (r—f)    2(5—1)

1 • l³

12

= 0,75, cp₀ = 36° 52,2' und das mittlere cp =

1    .    0,9487

= — sowie c —-——

12

12

= 0,0791 wird.

(“jTT") ⁼ MOnoä-H) —

(~T7F~)i|,nd f⁼ f ~ 12

/i²    1 .t    15

= ₁₂ somit s =

45    2

• 0,000012 • 20 = 267 l, Ma = y f-H = 178 mt, A/e =

(8900000)

17 800 000 • 0 IT ~    100 ■ 100*

= 267 -0,75 = 200,2¹ und bei E: Nx = 267⁴ als Normalkraft binzukommt, so daß bei A: o« = —

6-8 900 000 \    + 26,7

— 80,1 Rg

Nach S. 11 ist ferner s —    -

2 000 000-0,0791

1 + 6 • 0,1

8 • 12

4- 1!

Y f-B= — 89»“,

und hieraus ergibt sich bei A und E: o ==

(— 53,4)

= 106,8 kg, wozu bei A noch Nx = Ht • cos <p₀ =

100²

• ^200 200 ±

6 - 17 800 000

— 126,8 . , , . „ n

— , = + 80,8 kg be‘ E: °° = -Temperaturspannungen (bei Zusammenziehung des Gewölbes) auftreten.

100

267000 =F

100

Nach Mörsch ist der Ausdruck Iw • y¹ -f- 2 p

Annahme von 3 Lamellen mit 1m Breite erhält man sin y — y — (f — z), und damit folgende Tabelle:

für das Koordinatensystem durch 0 zu bestimmen, und bei

1 — cos

x ,

T’v

— f — r (1 — cos <p), s = 1 +

cos <p 1 (1 — y') - w __

Lamelle

Hieraus ergibt sich z =

0,025 • 12,06 -j- 0,23 • 12,58 -f 0,67 • 13,86

0,5

1,5

sin cp

0,1

0,3

2,5

0,5

COS cp.................

y' — 1- 5(1 — cos cp) .

0,9950

0,975

0,9539

0,770

0,8860

0,330

= 0,324 ¹¹¹

und ebenso 2 w y' + 2 4 — (2,85 + 3,21) - 2 = 12,12 2000000-0,000012 -20-6

38,5

2381. Die

und Ht —

obigen Spannungen werden daher für Ma = 238-0,676 = = 161 n,t (statt 178) und Me = — 238 - 0,324 = 77 mt (statt 89) und H, = 238 ¹ (statt 267) etwas kleiner (die Formeln von Weyrauch gelten für die Parabel mit dem Mittelwert für J • cos cp, und kann e für die Parabel auch

aus    s* li)8> be8timmt werden).

Die Größe des Horizontalschubs hängt daher von der Stärke des Gewölbes im Verhältnis zur Spannweite ab, und sie gilt nur für eine vollkommene Einspannung des Gewölbes am Kämpfer, welche besonders bei flachen — 0,346    Gewölben und bei solchen mit versenkten Widerlagern

zus. 2,85    nicht anzunehmen ist. Auch bei Rahmenkonstruktionen

1,66    kann man mit der Nachgiebigkeit der Ständer rechnen

und dieselben können wie Stützmauern bis zu ca. 25m Länge ohne Fugen ausgeführt werden, und der Horizontalschub von den Temperatureinflüssen wird hierbei gewöhnlich vernachlässigt (die Temperaturspannungen sind ungefähr proportional dem Wert von J oder A³, so daß bei

3

—- li nur noch ca die halbe Temperaturspannung eintritt). Bei der Temperaturausdehnung oder -Zusammenziehung wirken

⁴    2 Horizontalkräfte auf den Rahmen, und dieselben veranlassen die Momente des in der #-Achse (bzw. bei — f für die

Parabel von konstantem Querschnitt) wirkenden Horizontalschubs in Beziehung auf die Schwerpunkte der Querschnitte x. Auch beliebig gerichtete Kräfte können in ihre horizontalen und vertikalen Komponenten zerlegt, und hierfür kann (auch ohne Zerlegung) das statische Moment Mü der linksseitigen Kräfte für den Querschnitt x berechnet und in die Formel Mx = M -{- M₀ — H. y — V • x eingesetzt werden.

Denn die Entwicklung der Formeln für die Berechnung der eingespannten Gewölbe nach Mörsch (s. Sonderabdruck und Betonkalender von 1908) gilt für beliebig gerichtete Kräfte, und M{) ist das Moment der auf das frei schwebend gedachte linke Ende der Konstruktion (welches durch die Kräfte H, V und das Moment M eingespannt wird) wirkenden Lasten. H, Fund Mkönnen für eine beliebige Kraft P oder für ihre horizontale und vertikale Komponente durch Einsetzung der Werte von M₀ (in Beziehung auf die Lamellenmitten) in die Summenausdrücke auf S. 15 berechnet werden.

Auch bei der Rahmenberechnung nach Müller-Breslau ist das Moment des Querschnitts x für die linksseitigen Kräfte zu berechnen, woraus sich die Momentenfläche über den einzelnen Stäben ergibt, und dieselben können hierbei in horizontale und vertikale Komponenten oder auch in solche parallel und senkrecht zur Stabrichtung zerlegt werden (in letztem Fall wird bei glatter Oberfläche gewöhnlich nur der senkrecht zur Dachfläche wirkende Winddruck =p • sin² (a-J-10) oder p • sin² a (s. Hütte) pro qm Dachfläche berücksichtigt, welcher sich wieder in die horizontalen und vertikalen Komponenten p • sin² (a -f-10) pro qm Grundriß und Aufriß zerlegt).

Es kann hierbei das linke Auflager wie oben (ohne Gegendrücke) angenommen werden (indem dieselben in X, Y und Z enthalten sind) oder es kann ein statisch bestimmtes System mit einem beweglichen Auflager bei A (s. Abb. 16) vorausgesetzt, und die Resultante R sämtlicher Kräfte bestimmt werden, woraus sich dann A₀, P₀ und Ht für das statisch bestimmte System ergeben (auch Dachkonstruktionen werden gewöhnlich so berechnet, daß das Auflager bei A oder B als beweglich angenommen wird) und hieraus die Momentenfläche F₀ der einzelnen Stäbe ermittelt und das zugehörige X, Y und Z berechnet wird, um alsdann aus A = A₀ + Yf B = Ba — Y, Ha = X und Iib = H₀-f- X die Momente der einzelnen Querschnitte zu erhalten.

Die obigen Berechnungsweisen lassen sich nun für jede beliebige Form der Rahmenkonstruktion verwenden, indem man dieselben nach Mörsch in einzelne Lamellen bis zur Einspannungsstelle zerlegt (hierbei ist es am einfachsten, die innere Vertikale des Ständers zu verlängern, und sie dann durch eine schräge Fuge senkrecht zur gestrichelten Mittel-

COS cp

12,12

COS cp

1,005

1,048

1,155

y — y —0,676

12

12

12

12,06

12,58

1,01

1,05

zus. 38,50 13,86

zus. 3,21 1,15

0,299

0,094

1,08

0,11

linie zu ersetzen, welche durch die letztere halbiert wird, und von hier aus die Teilung in Lamellen von 1—2 m Breite fortzusetzen) und die Berechnung dann in derselben Weise wie oben durchführt (auch die Stützlinie kann auf Grund der

aufgezeichnet werden). Bei den untengezeichneten Rahmenkonstruktionen kann auch zur vorläufigen

Bestimmung der Form und der Stärken des Rahmens die Stützlinie für einseitige Belastung durch das innere und äußere Drittel der Kämpferfuge sowie durch die Mitte der Scheitelfuge, und für Vollbelastung oder Eigengewicht durch die Kämpfer- und Scheitelmitten aufgezeichnet werden, wobei auch beliebig gerichtete Kräfte berücksichtigt werden können (dies kann auch bei Aufzeichnung der genauen Stützlinie geschehen). Es kann aber auch nach Müller-Breslau ein Polygon an Stelle der Bogenform gesetzt werden, und man erhält alsdann annähernd dieselben Resultate, und die Träg-heits- und Zentrifugalmomente (welche auch durch die Trägheitsellipsen ermittelt werden) können in der oben angegebenen Weise berechnet und zur Dimensionierung nach den angeführten Formeln verwendet werden (wie dies auch in den obigen Beispielen geschehen ist).

Abstände c =

Nx

/i

Abb. 35.

Abb. 36.

Bei Anwendung von Gelenken für Rahmenkonstruktionen kommt zunächst der Rahmen mit zwei untern Gelenken in Betracht, welcher analog dem Zweigelenkbogen zu berechnen ist, und hat Ingenieur Mantel in dem technischen Lexikon von Lueger (s. Dachstuhl) Formeln für den Bogen mit eingespannten Enden (welche genau den von Mörsch entwickelten entsprechen) angegeben, und dieselben auch auf Bogen mit zwei Gelenken an den Kämpfern und mit einem Gelenk im Scheitel angewendet (s. Schweizer Bauzeitung Bd. XXXII, Nr. 20). Beim Zweigelenkbogen wird V wie bei dem frei

(2 w)

iV-G >z

aufliegenden Träger berechnet, M ist = 0 und H ergibt sich aus H = j--    “

dies für beliebig gerichtete Kräfte P, deren linker Auflagerdruck = V ist (bei entgegengesetzter Richtung von V und P wechseln die Vorzeichen) (s. Abb. 37).

Bei einem Scheitelgelenk mit Eingespanntsein an den Kämpfern erhält man dieselben Formeln wie beim ein-

2    .

PX (a — x) w • y\: 2wy² und gilt

a    I

Plw • X

gespannten Rahmen, indem V =

und II —

PHw • y

wird, nur beziehen

sich x und y auf das Scheitelgelenk, und hieraus lassen sich die Kämpferdrucke P, und P₂ nach Lage und Größe bestimmen, indem die durch das Scheitelgelenk gehende Resultante bei symmetrischer Belastung horizontal ist und bei einseitiger Belastung zugleich dem zweiten Kämpferdruck enspricht. Sind oben 2 Gelenke vorhanden (s. Abb. 38), so ist V nach Lage und Größe gegeben, und es ist nur noch H mit der Koordinatenachse CD als «-Achse zu berechnen. Auch ist die Berechnungsweise für Bögen mit einer Zugstange CD zwischen den Kämpfern und Scheitelpunkten angegeben, indem das einfach

statisch unbestimmte System (mit einem beweglichen Auflager) aus der Formel S = S₀ + Xa • Sa berechnet wird, und S₍₎ fiir die Stabkräfte ohne Zugstange, Sa dagegen für Xa — 1 im Zugstab zu berechnen ist, und die wirklich auftretende

Stabspannung aus Xa = 2 S₀ • Sa • ^ : (X S²a

hervorgeht (der zweite Ausdruck in der Klammer entspricht dem Zugstab) (s. Abb. 37). In den oben angewendeten Ausdrücken iv —

— —j ist das E im Nenner weggelassen, weil es sich im Zähler

und Nenner aufhebt, und nur bei verschiedenem Material der Stäbe einzuführen ist. Wird noch A und B durch einen horizontalen Zugstab verbunden, so sind auch für diesen Fall ähnliche Formeln für das zweifach statisch unbestimmte System angegeben (hierbei ist unten ein Gelenk und ein bewegliches Auflager vorhanden).

Auch von Weyrauch sind in dem Buch (die elastischen Bogenträger, 1897) Formeln für den Zweigelenkbogen entwickelt (auch mit Berücksichtigung der Temperaturspannung und der Verschiebung der Widerlager), welche in dem technischen Lexikon von Lueger (s. Bogen, einfache) kurz zusammengefaßt werden, und dort ist auch die Berechnung

___i.__l_

r-,£C-\

Abb. 38.

mm.

I/'

mW/A

///////.

6.A.

Abb. 37.

¹

amelle

des Dreigelenkbogens mit seinen Belastungsscheiden und Kämpferdrucklinien näher ausgeführt (vergl. auch die Berechnnng des Dreigelenkbogens nach Mörsch im Betonkalender von 1908). Auch Müller-Breslau hat Formeln für den rechteckigen Rahmen mit 2 Gelenken (für Kranträger) entwickelt (s. neuere Methoden der Festigkeitslehre Seite 113).

Für lotrechte Belastung wird von Ingenieur Leuprecht (Zement und Beton Nr. 34, 1908) die Berechnung der obengezeichneten Rahmen mit Gelenken an den Endstützen und Pendelpfeilern in der Mitte als kontinuierlicher Balken

-O-

,X

■X

X ■*—

Hh

Abb. 40.

Abb. 39.

,mit Auslegern durchgeführt, indem die Endständer aufgeklappt und mit X belastet werden, welches mit Hilfe des Seilpolygons der Momentenfläche zu berechnen ist. (Die kontinuierliche Berechnung könnte auch wie oben mit 4 bzw. 5 Oeffnungen durchgeführt werden). Für den rechteckigen Rahmen nimmt Häseler (s. Brückenbau Seite 336 und 594) 2 kontinuierliche Träger ACD und ABD an, welche mit den Formeln (10) und (11) (s. S. 27) berechnet werden können, wobei noch Ma = Mb und Mc = Md gesetzt wird.

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WYDZIALY POLITECHNICZNE KRAKOW

BIBLIOTEKA GLÖWNA

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Druk. U. J. Zam. 356. 10.000.

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