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Theoretische Berechnung

der

Betoneisen-Konstruktionen

mit

ausführlichen Beispielen.

Von

Heinrich Pilgrim

Ingenieur in Stuttgart.

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Mit 78 Abbildungen im Texte.

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Wiesbaden

C. W. Kreidel’s Verlag

1906.

Biblioteka Politechmki Krakowskiei

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Theoretische Berechnung der

Betoneisen-Konstruktionen

Theoretische Berechnung der

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Betoneisen-Konstruktionen

mit ausführlichen Beispielen.

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öffentlichen Arbeiten

Theoretische Berechnung der

Betoneisen-Konstruktionen

mit ausführlichen Beispielen.

Von

Heinrich Pilgrim

Ingenieur in Stuttgart.

Mit 78 Abbildungen im Texte.

Wiesbaden C. W. Kreidel’s Verlag 1906.

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Sonderabdruck aus der Zeitschrift für Architektur und Ingenieurwesen in Hannover, Jahrgang 1906,

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Heft 4, nebst Ergänzungen und praktischer Anwendung auf verschiedene Beispiele.

Nachdruck verboten.

Alle Rechte Vorbehalten.

Äkc. Nr.

Vorwort.

Die folgende Abhandlung bezweckt hauptsächlich eine Anwendung des in den Leitsätzen des Deutschen Architekten- und Ingenieur-Vereins sowie in den preußischen Bestimmungen von 1904 angegebenen Verfahrens zur Berechnung der Betoneisen-Konstruktionen auf alle möglichen Fälle. Hierbei sind sowohl einfache als auch doppelte Biseneinlagen und ebenso ein beliebiger Eisenquerschnitt angenommen worden. Bei Plattenbalken ist ferner der Druck des Betons im Steg berücksichtigt, und zwar bei einfachen und doppelten Eiseneinlagen, und mit verhältnismäßig einfachen Formeln.

Auch für die exzentrische Beanspruchung durch seitlich wirkende Druck- oder Zugkräfte sind für alle vorkommenden Fälle Formeln entwickelt worden, die bei der Berechnung von Widerlagern, Gewölben und Stützmauern leicht anzuwenden sind.

Zur Vergleichung sind überall auch die Formeln mit Berücksichtigung des Zugs im Beton beigesetzt und durch Beispiele sein Einfluß bestimmt und die Möglichkeit seiner Nichtberücksichtigung erläutert.

Der theoretische Teil A bis C wird aber durch ausführliche Beispiele in D ergänzt, welche die entwickelten Formeln praktisch verwerten und durch zahlreiche Abbildungen die Art der Eiseneinlagen sowie den Gang ihrer Berechnung verständlich machen.

Stuttgart, im August 1906.

Der Verfasser.

*

Inhalts - Uebersicht.

8eite

I.    Die Hauptberechnungsarten für Betoneisen-Konstruktionen..............

II.    Berechnung der Betoneisen-Konstruktionen mit und ohne Zug des Betons........

A.    Einfache Biegung von Bauteilen.........................

1.    Einfache Eiseneinlagen für rechteckigen Querschnitt und Platten.......

2.    Doppelte Eiseneinlagen für rechteckigen Querschnitt und Platten.......

3.    Einfache Eiseneinlagen für rechteckige Plattenbalken (T-förmigen Querschnitt)

4.    Doppelte Eiseneinlagen für rechteckige Plattenbalken (T-förmigen Querschnitt)

B.    Exzentrische Beanspruchung von Bauteilen (Biegung mit Achsialkraft).......

1.    Einfache Eiseneinlagen für rechteckigen Querschnitt bei Stützen, Gewölben etc.

2.    Doppelte Eiseneinlagen fiir rechteckigen Querschnitt bei Stützen, Gewölben etc.

3.    Einfache Eiseneinlagen für rechteckige Plattenbalken (T-förmigen Querschnitt)

4.    Doppelte Eiseneinlagen für rechteckige Plattenbalken (T-förmigen Querschnitt)

C.    Anwendung der entwickelten Formeln für die Dimensionenberechnung.......

(Exzentrischer Zug, Bestimmung von h für exzentrischen Druck, theoretische Grundlagen der Berechnung, beliebiger Querschnitt des Betons und Eisens, Schubspannungen, exzentrische Beanspruchung ohne Zugspannung, Knickung, Durchbiegung).

D.    Beispiele zur Dimensionenberechnung.......................................

(Allgemeines über die Berechnung der Biegungsmomente, Schub- und Adhäsionsspannungen.)

1.    Berechnung einer Deckenkonstruktion für ein Lagerhaus...........................

2.    Berechnung einer Balkenbrücke von 12m Stützweite.............................

3.    Berechnung des Widerlagers für die Balkenbrücke..............................

4.    Berechnung eines Gewölbes für eine Bahnüberführung von 20m Lichtweite . . ................

5.    Berechnung einer Stützmauer mit Hohlräumen für einen Eisenbahndamm .....................

E.    Ergänzungen zu A—D..............................................

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10

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11

13

14

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16

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41

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I. Die Hauptherechnungsarten für Betoneisen-Konstruktionen.

bestimmung berücksichtigt (Schweizer Bauzeitung 1899).

Der Unterschied dieser beiden Berechnungsarten ist daher nicht groß, indem sie auch ihren Eisenquerschnitt aus dem Biegungsmoment M dividiert durch den Abstand der Mittelpunkte des Zugs und Drucks ableiten, wofür 3

— d (d = Plattendicke) setzt, und Ritter den

Abstand des Eisens von der Resultante der Druckspannungen des Betons.

<9tfi —>

Es ist daher eine dritte Berechnungsart von Mörsch veröffentlicht worden (Bauzeitung

= 4 kg gerechnet werden

mm

T^ie in der Praxis angewendeten Berechnungsarten nach U Koenen, Ritter und Mörsch haben alle gemeinsam, daß sie den Zug des Betons vernachlässigen und denselben vollständig durch das Eisen aufnehmen lassen.

Bei den ersteren zwei Berechnungsarten wird aber der Zugquerschnitt des Betons bei der Bestimmung der neutralen Achse (Nullinie) mitgerechnet, indem Koenen sie durch den Schwerpunkt des Betonquerschnitts gehen läßt (Zentralblatt der Bauverwaltung 1886) und Ritter den

n fachen (n =    Eisenquerschnitt bei der Schwerpunkts

Koenen

Bei der so angenommenen Spannungsverteilung sind jedoch nur verhältnismäßig kleine Eisenspannungen möglich, in-dem sie kleiner als n • ah c/ Schwer nun Kt se*n müssen, und doch wird *    als zulässige Eisenspannung

oe — 1000 kg eingesetzt, um den Eisenquerschnitt fe zu erhalten.

Abb. 1.

1903, Heft 33), welche auch in die Leitsätze des Deutschen Architekten - und Ingenieurvereins aufgenommen worden ist (Bauzeitung 1904, Heft 4), worin der Zug des Betons bei der Bestimmung der Nullinie ganz vernachlässigt, und dieselbe allein aus der Zugspannung des Eisens und der Druckspannung des Betons (gemäß der Navierschen Hypothese) abgeleitet wird.

Es kann nun nicht geleugnet werden, daß der Zugbeton auch in einem gewissen Maße mit wirkt, und zwar annähernd im Verhältnis der Zug- und Druckfestigkeit des Betons, welche sich ungefähr wie 1 : 10 verhalten, so daß man als tatsächlich wirkende Zugspannung des

Betons ^ rechnen kann (wenn ob — Druckspannung des

Betons ist). Wenn daher für die Druckspannung des Betons ab = 40kg zugelassen wird, während die Druckfestigkeit des Betons 200 kg beträgt, so kann für die Zug-

o,

Spannung des Betons oz = —

da seine Zugfestigkeit (bei Biegung) = 20kg ist, und wenn man mehr rechnen wollte, so hätte man nicht dieselbe Sicherheit wie für den Druck.

Denn der gezogene Beton kann zwar nach den Versuchen von Considere (le genie civil 1899) infolge von Eiseneinlagen viel größere Dehnungen (ca. 1 — 2 pro lfd. m) aushalten, als wenn er nicht armiert ist (ca. 0,1—0,2mm), ohne daß Risse im Beton eintreten, und ohne daß er seine Zugfestigkeit verliert, aber seine Mitwirkung erhält sich immer in derselben Grenze seiner Maximalzugfestigkeit, wie die nebengezeichneten Linien der Dehnungen für Eisen allein und für Beton und Eisen zusammen dartun (Bauzeitung 1903, Heft 33). Dieselben steigen gleichmäßig bis zur Grenze B der Zugfestigkeit

**

£isen

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6 6₆<*

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-+, j» *

F Dehnungen

to

Abb. 3.

Abb. 4.

10 *

des Betons, während das Eisen nur wenig beansprucht wird, und von hier an geht die Mehrbeanspruchung auf das Eisen über (DE — Zugkraft des Betons, EF = Zugkraft des Eisens) und von der mitwirkenden Zugfestigkeit des Betons darf nur der zulässige Teil gerechnet werden.

Diese Versuche von Considere sind durch eine Kommission von Sachverständigen in Paris im Jahre 1900 wiederholt worden, wobei sowohl die große Dehnung des Zugbetons als seine konstante Mitwirkung (gemäß der obigen Figur) bestätigt wurden, und nur unter dieser Voraussetzung können größere Eisenspannungen auftreten, da sie von der gemeinsamen Dehnung des Zugbetons und des Eisens abhängig sind. (Beton und Eisen 1903, Heft V).

Die Adhäsion zwischen Beton und Eisen bewirkt aber ihre gemeinsame Dehnung, und diese ist abhängig von der Durchbiegung des Balkens, welche bei Probebelastungen bis zur Elastizitäts- und Streckgrenze des Eisens ausgedehnt worden ist, was (infolge der Adhäsion)

nur bei der entsprechenden Dehnung des Zugbetons sein kann (vgl. die Versuche von Schüle S. 26).

Wenn die Versuche von Kleinlogei in Stuttgart dem zu widersprechen scheinen (indem die von ihm beobachteten Dehnungen des Betons nicht viel größer waren, als dies ohne Eiseneinlagen der Fall ist), so kann dies an der Art seiner Versuche liegen, welche Balken von 30 und 15 cm Breite für Stützweiten von 200 so daß die Durchbiegung in der Mitte auch bei großen Belastungen sehr klein sein mußte (weil sie im Verhältnis

P

oder zu steht), und demgemäß die

MP P-l P

4 b-h³

12

cm

cm

Höhe

verwendeten,

Berechnung der Spannungen des Betons und Eisens aus der Durchbiegung ungenau wurde (bei Bestimmung der Dehnungen des Eisens in Oeffnungen des Betons ist die genaue Berechnung möglich. Beton und Eisen 1903, Heft I.)

II. Berechnung der Betoneisen-Konstruktionen mit und ohne Zug

des Betons.

Die Leitsätze des Deutschen Architekten- und Ingenieurvereins dienen vielfach als Grundlage für die Berechnung von Betoneisen-Konstruktionen, und ich beabsichtige auch nicht eine neue Berechnungsart vorzuschlagen. Da jedoch in den Erläuterungen darauf hingewiesen wird, daß die Annäherungsberechnung gegebenenfalls später durch eine andere ersetzt werden kann, so habe ich im folgenden einerseits die genaue Berechnung (unter Vernachlässigung des Zugs im Beton) für Platten und Plattenbalken mit einfacher und doppelter Armierung entwickelt, woraus sich auch die Formeln für die Dimensionenberechnung ergeben; und andererseits die Mitwirkung des Zugs im Beton berücksichtigt, indem ich die zulässige Zugspannung (im

Verhältnis der Zug- und Druckfestigkeit des Betons) = -E

der vorhandenen Druckspannung oÄ also = — setze und

hiermit die Spannungen oA und oe berechne.

Die Formeln erhalten dadurch eine kleine Aenderung, und es kann der Einfluß des Zugs im Beton bestimmt werden, wodurch die Zugspannung des Eisens vermindert wird, während die Druckspannung des Betons annähernd die gleiche bleibt, wie die beigefligten Beispiele dartun werden. Für die Praxis könnte daher die Berechnung ohne Berücksichtigung des Zugs im Beton beibehalten werden, da sie größere Spannungen ergibt, und nur in Beziehung auf die zulässige Beanspruchung des Eisens wäre eine Aenderung möglich, indem ihre Grenze etwas höher angenommen wird.

Dieselbe Berechnung ohne und mit Berücksichtigung des Zugs im Beton habe ich auch für die exzentrische Beanspruchung von rechteckigen Querschnitten und Plattenbalken mit einfacher und doppelter Armierung durchgeführt und hierbei einfache und praktische Formeln erhalten, welche mit der im Betoneisenbau von Wayß und Freytag angegebenen Berechnungsweise und auch mit derjenigen in den preußischen Bestimmungen übereinstimmen. Durch Beispiele ist auch hierbei die praktische Verwendung der Formeln dargetan, wie auch die Vergleichung der Berechnung ohne und mit Zug im Beton möglich gemacht.

A. Einfache Biegung von Bauteilen.

Hierbei sollen zunächst die allgemeinen Formeln mit

Berücksichtigung des Zugs im Beton = ~ entwickelt

werden, wobei die Wirkung des Zugbetons eingeklammert ist, so daß bei Weglassung der Klammern die Formeln ohne Berücksichtigung des Zugs im Beton erhalten werden.

Da die Eiseneinlagen die Möglichkeit einer Mitwirkung

des Zugs bedingen, so soll die Spannung ^

linie des Eisenquerschnitts angenommen werden, wodurch die Berechnung nach den in den Leitsätzen enthaltenen

°6

in der Schwer-

Bezeichnungen vereinfacht wird, auch genügt infolge der Mitwirkung des Eisens eine gerade Linie bis zur neutralen Achse (Beton und Eisen 1904, Heft III).

Die Bezeichnungen sind im allgemeinen dieselben wie in den Leitsätzen (nur soll der Querschnitt fb sowie fe und f'e als Teil des ganzen Querschnitts F mit kleinen Buchstaben bezeichnet werden), und ihre Bedeutung ist aus den Abbildungen ersichtlich, in welchen die Längen

°c der Einfachheit halber mit

3.    _

Eb’ io e; e.

sb, se und se eingeschrieben sind,

®e

und

1. Einfache Eiseneinlagen für rechteckigen Querschnitt und Platten.

Die allgemeinen Gleichungen des Gleichgewichts sind für

iit:    = x:h~x oder °e ~n°b

® *=••'''.[+“f?)]

(3)    ==

6 G₆#e

_ ^°bX _ T\

2

Bei Weglassung der eingeklammerten Teile erhält man die Berechnung ohne Zug des Betons, welche links angegeben ist (diejenige mit Zug des Betons steht rechts).

Nach (1) — (2) ist —- =

oder (4) x² -f- —^

«Jl

--•A

k' St -*

Si

Abb. 5. 'o

a) Bestimmung von x, ob, ae aus M, h, fe, b und n.

n(h — x)

2nfe • x    2nfe ■ h

~ 2 fe’

n (h — x)

(4a) X¹ + 3^ (20 nf, — b ■ h) =

nach (2) und (3) ist M —

jf = ia

20

(11 x —

20 nfe- h 11 b ’ b ob (h — x) h

30

oder(5) ab

21

5a;

(‘-T

^ _ Qß

, (6) ae=nab--, oder aus (3).

00

(5 a) oh =

60 M

(h — x).

ö(32a?A —h² — 11 x²)

a;

Beispiel (aus den Leitsätzen): M =

1360- 2,15²

. 100 = 78 583cm/kg, h = 13,5

< in

, f — 9 (D 10 = 7,07

qcm

b = 100 cm, n = 15. Die Auflösung der quadratischen Gleichung x² ± px = ± q ergibt x = =F

oder für (4): a; =

a; == 4,39 c“,    = 29,7 kg, ae = 923 k*,

so daß die Eisenspannung bei Berücksichtigung des Zugs im Beton um ca. — abnimmt.

b) Bestimmung von x, h und fe aus M, ab, oe, b und n.

nfe )

X = 4,76 cm, o₆ = 29,0 kg, 5e = 797 k«,

Nach (1) ist h — x {-°e- -f- l\ \nab J

— m • x, so daß m = - ⁰*-nob

nach (5) ist x² (3 m — 1) =

b . ab

oder

+ 1 = — (für oe = 1000 und ab = 40 ke),

o

60 M

nach (5a) ist 32 mx² — m'~ x² — 11 aj² =

(7) * ==

7 bob

b o₆ (3 m — 1)

(8) h = m- x (ob kann beliebig, eingesetzt werden),

(7 a) x =

(8 a) h — m • x.

60 M

b • ob (32 m — m² — 11)

180    • M

181    bab '*

nach (2) ist (9) fe =

b • ob‘ x _ b • x

(9 a) fe =

b-

20 ae

²°e

Beispiel: M = 78 583 cm/kg, o₆ = 40 k«, oe = 1000 k«, m = y, b =

x = 4,11cm, h = 10,96 c,p, fe = 8,22 <icra, somit auch etwa Eisenquerschnitt weniger.

°h (11 x — h) =

— (11 x — h).

500

100

cm

n = 15.

| x = 4,18 cm, h = 11,15

cm

f. = 6,97 i™,

2. Doppelte Eiseneinlagen für rechteckigen Querschnitt und Platten.

(1)

Die allgemeinen Gleichungen des Gleichgewichts sind: : jg- = x : h — x oder oe =

n • ab

("m

fj

6o ₆de

(2)    — : ~r = x : x — h' oder oe = n • ob

■E'b -^e

_ J.

H:

(3)

Cr-

V~> Gtfe

+ °ef'e(h-h’)

Abb. 6.    *0

12

a) Bestimmung von x, o₆, oe und o'e aus M, fe, fe', fe, fe, fe und n.

(5) 37* + 2 « . 37

Nach (1) — (3) ist n o₆ •    * fe

fe+f'e _2«

— no,

b-

fe

(5 a) 37² +

nach (2) und (4) ist

(6) o₆ =

0₆ • X r    & • Oft (h — asVl

2    L    10 V 2 )\

oder

20w

116

(.h-f'+h'K),

21/

(6 a) oh =

60 M

fe • X

6 (32 scÄ — h² — 11 a;²) -f 60w/“g' (fe — fe') ^1 —

og und og wie oben.

Beispiel (aus den Leitsätzen): M = 78 583 cm/kg; h = 13,5 em, h' = 1,5 cm, fe = 9 0 10 = 7,07 ^cm, x = 4,05 cm, oft = 26,25 k«, og — 918 k«, <j’e = 248 k«,

b) Bestimmung von x, h und fe aus

| x = 4,40 cm, o₆ = 25,6 k*, oe = 794 k«, de = 253 k*. M, fe', f'e, ofe, oe, fe und n.

Nach (1) ist h =    --h ^

nach (2) und (4) ist

(7)    (3m — 1) -f- m • nfe • x =

6    o₆

7 as² -j-

m • X — — • x (für a₆ = 40 kg und ae = 1000 kg),

) + nfe    •(«- Ä') [

1/ /

+ nh!fe yn + 1

8 / K

Bei Einsetzung von m — — I— kann annähernd =

o \ X

■ b (-4

(x h') f't + 2n

M b -je / 2~ [

o₆

(7 a) =

b • x¹

60

1 &nf'e-x _ &M 2nh'fe

fe

fe'Oft

fe • a;²

b ’ Oft

(mx — a:)²J oder (32 m — m² — 11) + m • n f • x =

60

und nachher genau eingesetzt werden^

605 a:²

3 n fe' f'e

60

24 nfe • x 9 M

~ fe'Oft

(*-vjr. +

fe

(“

a: /’

(11a; — h)

(8a) fe =

nach (1) —(3) ißt (8)    =

Beispiel: M = 78 583 cm/kg, fe' = 1,5 cm, f 'e = 6 010 = 4,71 icm, a₆ = 40 kg, ae = 1000 kg, fe = 100 x = 3,72 cm, fe = 9,92

Ä — 37

cm

, n = 15.

cm

fe = 91 qcm-

| a; = 3,78 cra, fe = 10,08 cra, fe = 8 icra.

c) Bestimmung von x, A, /^e und f'e aus M, fe', fe — pf'e, o₆, oe, fe und w.

Nach (3) ist

f:i a,

/•oe

$-¥[■

b-h

20

{h — a?) j

und nach (4) ist f'e • — (fe — fe') —

fe • x

wird g¹ = —

Oft

²    1    P oe

— n und r = —• — — 1 =

3    ?

angenommen, so ist bei Division von = r (

(9) 37² ^3 m — 1 +

⁸ ,

m — —---:a:²

3

ferner nach obigem (4):

M 32 fe 37 fe ,    11 fe 37²    . fe • fe²

3m\ r /

60

60

60

3 fe'.r 6lf

3 h'x

feo₆

und für

6M

r bab

(3).

37,5    — 1 (für ofe = 40 k« und oe = 1000 ks)

7Z

b und — ^ Yö (llx ~

fe • 37²

und für fe = m •

n o&

+ 1 ist).

(9 a) a:² ^32 m — m² — 11 +

3m(ll — m)

3 Hx (11 — m)

6014

a:²

/ 605 \“9"

200

3r

25 fe'a:

60 M

fe ‘Oft *

(10) w

f.( 1 - ■) (Ä

Ä#) =

fe=Pf'e, oe=na₀

- ^ {h - f )•    (10a) ” f‘ i¹ ~ y)(A -=

^1--(^ und r werden zunächst wie oben, und dann genau eingesetzt).

3    3

2~ f*’ P — 2’

fe

60

(fe — a;)²

#(*- )

cr-

Beispiel: M = 78 583 cm/kg, fe'= 1,5

ot = 1000 kg, fe = 100 cm, n = 15.

37 = 3,62 cm, fe = 9,65 cm, f 'e = 6,10 ‘»cm, fe = 9,15 icm. | 37 = 3,72 cul, fe = 9,92 cra, f 'e = 5,50 <Jom, /*e = 8,25 <*m.

d) Bestimmung von x, fe,fe und <3e aus M, fe, fe', ofe, ae, fe und w.

, fe =

q = — n = 10, r = 2,75, ofc = 40 kg,

O

fe, wo m =    + 1 ist, o'e = nob ^1 —    )

./    M. fe.    x /    a: \

fe    aus (10) und (10 a), wobei —    > —|fe--—)    sein muß, wenn ein Wert für fe erhalten werden soll,

fe (fe — x)

°6

nach (3) ist (11) — • fe = 25 f =

Oje

fe • X

(11a)    ~ • fe = 25 fe =

°b

Für f 'e = 0 erhält man die Werte von x und fe bei einfachen Eiseneinlagen.

°6

a6

fe

fe X

°ft

20

13

3. Einfache Eiseneinlagen fiir rechteckige Plattenbalken (T-förmigen Querschnitt).

Die allgemeinen Gleichungen des Gleichgewichts sind: = h — x : x oder oe

(2)    °«/e [ +    ₁₀

b • Gb • x

(1)

Qi — x)

c°b (A — apl

2 J

= n - ob

b • ab • x b — c    (x — d)a /

x \

_Q

(3) Jf= ₂

•} d + o,f'(h

}')

x — d

aus o,, •-(b —

io*,,    (*-*).j(A_4

r*>

10

Dadurch, daß ilf in dem Schwerpunkt der Spannungen des gedrückten Stegs liegt, fällt der Abzug in der Momentengleichung fort.

y*---

* /70 cm _

d./f'

'0L

...

<■

se-62 +

■f

C Ci (/i - & J -*■ 6tfe

h'/fc

_ e_

«'-Je.;

• ••

$11

Abb. 7.

^A

so

Abb. 8.

a) Bestimmung von x, ah und ae aus M, h, fe, b, c, d und n.

Nach (1) und (2) ist

nab (h — x)

coh

20

Qi — x) j

bab • x

b — c (x — d)2 2~‘°⁶

und hieraus erhält man

(4)    £C² + 2 a;

nach (1) und (3) ist

(5)    ob=

(1-0)

2 nfe • h

4- d²

(t->)

(4 a) 1,1a;² + 2#

3M

b • x • d + n ^--1^ fe (3 h — 2 c? — #).

(5 a) ab =

3M

^-Qi — d)’X-\-nfe (3h — 2d — x)J.

oe ergibt sich aus (1).

Für c — 0 erhält man aus (4) x — Für die Schubspannungen des Stegs ist

2nhfe -f b • c?²

2 {nfe + b-d)

wie in den Leitsätzen.

b • o₆ • x

(6) t₀ =

Md

bxd

O

c(Ä-T

d + y)

Bd babx b — c (x—d)²

°6

a;

4-4)

— Ab-

stand der Resultante der Druckspannungen in Beziehung auf M. Angenähert kann gesetzt werden (6 a) t₀ =

C(Ä~4

2 x — 3d

oder auch (6 b) t₀ =

(‘-4)

für c = 0 und = b ist alsdann in (6 a) c • t₀ =

und =—

h--—

Beispiel: Stützweite 1 = 20 m, Nutzlast 400 kg/

3280 • 20² • 100

Gesamtlast 3280 kg/m Träger, M —

d — 15 c,n; ii — 15.

, oft = 37,9 kg, o£ = 907 kg. o₆ = 45,5 kg, oe == 920kg, so daß der letztere hier nicht gut

qm;

, fe = 9 (D 40 = 113,0 qcm, b = 170 Oft = 38,4 kg, ae — 947 kg.    |

= 16 400 000 cm/kg, h = 165 x = 62,4

Ohne Zug und Druck im Steg: x = 70,3 vernachlässigt werden kann.

cm

cm

cm

, c = 30 x = 63,5

cm

cm

b) Bestimmung von x, h und fe aus M, ab, ae, b, c, d und n.

und nach (3) ist:

Aus (2) ergibt sich: ~eße °6

, (*-f

. qe/~e X

(h---°^) ⁼ [

c (h — x)

20

ik

. aefe.

und durch Subtraktion:

ld)=fb[-cAr*h-A

(h — x)

c ———

60

und nach (2):

. °efe

Oft

r AtzßL.x]₊ i*²

L 60 J 6

b — c (x — d)²

^ (3 h x)

b - x • d 3

b — c (x — c?)

•x -h

’ +

b — c (x — d)²

tc

F(‘- ")

• x und hieraus durch Gleichsetzung

h — x

(3 h — 2 d — x) und für —e—

noh

14

(7) x³ (3 m -f- 2) -f 6 d — 1^ (m + 1) • x

+d'(7-¹)(s»* + «

(7 a) a;^3tw + 2 —    + 6 • d — 1^ Ow -f- 1) • x — .

2_rf\

x )

oder 7 tc² + 16    — 1^- cc

f— kann annähernd = und hierauf genau eingesetzt werdenY \x    2    /

cob

n-—Y x /

6,72 a;²+ 16    — 1^-cc

nach (2) ist (9)

°efe

(9 a)

(8) h — {m -f- 1) • x — —- x}

3

— ²⁵ fe~d(b — c)(l — —j + — (11a? —A).

°e/e

Oft

16 x —

Ohne Zug und Druck im Steg erhält man für c = 0: {m + 1) x =

6 M b • d ab

Beispiel (wie oben): M — 16 400000 cm/kg> — 40 kg, oe = 1000 kg,

11— —) und x J

°efe

= 25 fe = bd

(-£>

b • d o₆

(m + 2 - H)

oder

5 j

—, b — 170 cm, c = 30 cm,

d = 15 cm, n = 15. x — 60,32

j x = 60,92 cm, Ä = 162,5 cm, fe — 104,1 qc“ Ohne Zug und Druck im Steg: x = 70,20cm, h =± 187,2 cm, f — 91,1 qcm.

cm

h = 160,9 cm, fe = 109,7 qem,

4. Doppelte Eiseneinlagen für rechteckige Plattenbalken (T-förmigen Querschnitt).

sind:

Die allgemeinen Gleichungen des Gleichgewichts

l - *H#7,⁷7f7A 'tl

mm.

■Jt

’ae z

(1)

: ~ — x : h — x oder

Eb Ee

f*

1*-

Abb. 9.

(5) x² 2 x

h — x

°*=n'Qb'

x — K

~r : -jjh — xix — h’ oder de = nab

<3) ■•'•[    h^r] = <r- +

+ -^.(t+T‘,-4[⁺wPt^T»-4

(2)

bab • x

(M ICO

b — c (x — d)²

a:

*°6»

a) Bestimmung von x, ob, ae und ae aus M} h, h\ fe, fe, b, c, d und n.

Nach (1) — (3) ist n {h — #) Z"«,

»(A + f«)

+ ^ (* — *)] = n(x — h!) fe + hm--. (s _ jy oder

=    (5a) l,la:² + 2a:|w(/’e'f^

_ 2 n(Jife + K fe)

x>

nach (1), (2) u. (4) ist — =

+ d*(~c

M b • xd n(h — x)

3

4-f

n{x—h’)

cQi — x)

30

•(h —

«]

und

bxd +    — 1^n fe (3 h — 2 d — x) -f ^1 — ^ nf'e{x-\-2d — 3h')

(6 a) =

3M

^ (^ — d)‘X + nfe(3h — 2c? — x)

H¹-!)

n fe ‘ (x + ² d — 3 h')

oe und o₄ ergeben sich aus (1) und (2).

Beim Weglassen des Drucks im Steg ist für c — 0: x = Die Schubspannungen im Steg ergeben sieb aus

Ed ~

(7) xn =

r'+»)

, wo y —

2 n (hfe + h'fj + b.d*

2 {n (fe +fe) + b-d) •

2b’Xd-\-2aefe(x-\-2d — 3 h!)

3 cx + 3 d (b — c) ^2 — ^ + 6 er

, angenähert wie bei ein-

•(*-f

facher Armierung.

Beispiel (wie bei 3): M = 16400000 cm|kg, fe = 9 040= 113,0 qcm, f'e = 2 0 30 = 14,2 qcm, h = 165

cm

h' = 5

a: = 60,35 cm, o₆ = 36,3 kg, oe = 944 kg, de = 499 k«, Ohne Zug und Druck im Steg: x = 67,26

CID

etc.

cm

j x = 62,0cm, o₆ = 36,3 kg, ae = 904 kg, o'e = 501 kg. , o, = 42,2 k8, a, = 918 zt = 586 k«.

Nach (3) ist

°efe

°ft

nach (4) ist

°e fe

°b

b) Bestimmung von x, h, fe und de aus M, ti, fe, ab, oe, b, c, d und n.

_ °.r.

(*-T

(h~Td)

M o'efe

°b

Durch Subtraktion ist

b • x ‘h

Oft

und nach (3) ist

Oft

x_ Kx² b -

ob’s 6

r

Bei Gleichsetzung, und für —— =

Oft

x — K    ,h’x,07    \ b — e (a? — df

----fe (* — * ) + -g~ (3 h — X)---

Oft

^efe

O« fe

4

(t + t--*)"

_ b — c (x — df 2 x

(x—dy [

xd\

3“L

-Td)[-^h-x){h

c Qi — x) (2 h — 2 d)

-- (*-»)• 4

Hl

60

c (h — x) h

60

^

und bei Auflösung nach a?² und x und Einsetzung von m = —-—

(3 h — 2 d — x) —

3« __ 5 t    3’

c Qi — a?)²

60

(m -f-1) —

cob

(8 a)

^3ro +2 —6® { . . . } (m-f 1) =

(hier ändert sich nur der Koeffizient von ®²).

Bei Einsetzung von m —

2d

3 ti

7 x² 4- 16«

(für o₆ = 40 kg und oc = 1000 kg), ferner vorläufige Annahme von —

X

— oder (dieselben können nachher genau eingesetzt werden).

H4-¹)

2

— oder 1 und

3

(9)

°efe

Nach (2) — (3) ist

n (x — U)

fl

&M 2 n ti fE

c ob

und 6,72 a?² + 16 a?

o&

= 25 fe =

de ergibt sich aus (2).

und

i² ^3m + 6 —    + 6 nK f'e |'m + 2 —

Ohne Zug und Druck im Steg ist für c = 0 — : 6 x (bd nfe) (m -f 1) =

ir)+2 nh'f{

cx    c

(9 a) statt — steht — (11 x — h).

^ oder \§x(b-d nf'e)

Oft

+ &.«*²(ll

6#

Oft

11 —

xj

Beispiel (wie bei 3): M — 16 400000 üm/kg, £ = 14,2 qcm, ti = 5 cm, o₆ = 40 kg, oe = 1000 kg, 6 = 165 a: = 57,35 cm, /ft = 152,9 cm, /*e = 115,2 qcm, de — 548 kg, | x = 57,80 cm, /ft = 154,1 cm, fe = 109,8 qcm, o'e = 548 kg. Ohne Zug und Druck im Steg: a? = 65,28 cra, h = 174,1 cra, fe = 98,2 qcm, a'e = 554 kg.

c) Bestimmung von x, fe, f'e und de aus M, h, ti, ob, oe, b, c, d und n.

cm

etc.

(10) x —

3 , /    o,

, „ = — /i (wo m = —— m +1    8    \    n ob

Nach obiger Gleichung (vor 8) ist

io co

(11) oe — nob

(-T>

(12)

O g    f 'e

O.A

Oft

(Ä -Ä') = —

b • xd

Oft

(3 h — 2 d — x)

6

4- c

Qi - x)²

60

Oft

wie bei (9) und (9 a), de ergibt sich aus (2).

Ohne Zug und Druck im Steg ist für c = 0 — :

. o'e f 'e

Oft

M b • x • d b • d

--

a6

2d —

Beispiel (wie bei 3): M= 16 400 000 cm/kg, /ft = 140 cra, ti — 5 cm, ofe = 40 kg, o. = 1000 kg, 6 = 170 cm, c = 30 cra, d — 15 < m, n == 15.

x = 52,5 cm, f' = 40,5 qcm, fe — 125,5 qcra, a'e = 543 kg, | sc = 52,5 cm, f 'e == 42,6 qcm, fe — 121,4 qcra, oe = 543 kg.

/'e = 122,8 <icra.

Ohne Zug und Druck im Steg ist: x = 52,5 cm, fe = 65,2 Für f'e = 0 erhält man die Werte von x und f bei einfachen Eiseneinlagen.

qcm

B. Exzentrische Beanspruchung von Bauteilen (Biegung mit Achsialkraft).

im Schwerpunkt S ein Kräftepaar P • f und eine Einzellast P im Schwerpunkt. Das erstere ruft die Biegungsspannungen in den /\en BCK und KDF hervor, und

Bei der Berechnung der exzentrischen Beanspruchung durch eine Kraft P im Abstand ± gx von der Kante erhält man durch Anbringung von zwei Gegenkräften P

16

die letztere eine gleichmäßige Verteilung des Drucks ^

im ganzen Querschnitt, so daß die Spannungen der

äußersten Fasern o = -p F

Wird nun der Zug des Betons vernachlässigt, so fällt das FEL weg, und das Kräftepaar ist im Gleichgewicht mit dem BCK und dem Trapez DEKL, und statt des ersteren kann ACL — Trapez AB KL gesetzt werden.

Da die Zugspannungen der Trapeze AB KL und

und die Zugspannung des Betons — ^

• Oft

h — x ,

—— kommen. £

P P-f

sind.

Man erhält somit die in Abb. 12 enthaltenen positiven und negativen Kräfte, welche mit dem Kräftepaar P- f im Gleichgewicht sein müssen (bei Vernachlässigung der Eisenspannung ae fe und der Zugspannung des Betons

— wird —= Pf und ersteres wirkt in £

b-

°ft

10

derselben Linie wie P, so daß x = 2>gx wird).

Die Summe dieser durch das Kräftepaar P • f hervorgerufenen Spannungen muß daher — 0 sein und ihr Biegungsmoment für einen beliebigen Momentpunkt = P’f-

+?k

k + Gefi,

r;s

r*

SS

Je k f so

-A--

Abb. 10.

Abb. 11.

Abb. 12.

Abb. 13.

DE KL in derselben (zu der Druckspannung —

ent-

gegengesetzten) Richtung wirken, so können sie zu der im Schwerpunkt S wirkenden Kraft P zusammengesetzt werden, und man erhält als resultierende Druck- und Zugkraft b- ab- x

und + P, wozu noch die Eisenspannung ae fe

Da aber durch die im Schwerpunkt S wirkende

p

Einzellast P der gleichmäßig verteilte Druck

kommt, so erhält man als Spannungsverteilung dieselbe Abb. 13 wie in den fünf Fällen ohne exzentrische Beanspruchung, und die Zugkraft + P ist

bedingungen für das Kräftepaar P • f mitzurechnen.

hinzu-

nur

bei den Gleichgewichts-

1. Einfache Eiseneinlagen für rechteckigen Querschnitt bei Stützen, Gewölben etc.

Die allgemeinen Gleichungen des Gleichgewichts sind (s. Abb. 14): = h — x: x oder oe =

(1)

n'\

Bt’E.

Die Lage der Zugkraft P ist daher ohne Einfluß auf die Berechnung, indem sie durch die ursprüngliche Kraft P QC

im Abstand —--gx ersetzt wird, so daß auch die Schwerpunktsbestimmung des Querschnitts unnötig ist.

ö

a) Bestimmung von x, ab und qe aus P, ± gv gif h (= gt ± gQ, fe, b und n.

(3) M — P-f =

und hieraus P

t)

boh h —

Nach (3) ist

°.f.

fr — x) • /ij und

nach (2) ist

b - Qi — x)

(4)

— fr —9t) = ~-9t =

b • Qi — £c)s

Oft

60

--und durch Gleichsetzung

2~    --f") £— ^ ^ 60^ ~T ^US und (^) er^ä^ man ferner

20

] ⁼ '¹ [¥(    “ I;]

oder

(5) x²—SxQi — g₂) =

6 gpn

o-

(5 a) 11 x¹ — #(32 h — 33 g₇) =

Nach (4) ist (6): ob =

(6a):o₆ —

b(32xh — h²— ll#²) ‘

Zur Bestimmung von oe dient Formel (1).

Für fe — 0 erhält man aus (5) x = 3 gx und ab = ~r-.

0 • X

Die Gl. (5) und (5 a) werden dadurch aufgelöst, daß man sie in die Form fix) — 0 bringt, und bei negativem gx—:

- Ji'j, ~ h, ^— h— h an nimmt (bei kleineren Werten von h können die eingeklammerten Annahmen für x wegfallen) und dann (ohne Dezimalen) in f (x) — 0 einsetzt, und das genaue x durch Interpolation zwischen dem positiven und negativen f(x) erhält. (Ausa: = 0,

h / h\ 2 h li    .

4’ \ 3/’    5 ’ ~2 Und bei P°sltlvem ⁽Ji —

: x = ~2>

Beispiel: Stützmauer mit fe— 7 (D 27 = 40 qcm, b = 100

6•175-15 /195

\ x

h= 195cm, n— 15; a:²—3a: (195 -175)

100

'■in

oo sieht man, ob x < oder >> ist.)

, P = 60 000 kg, gt = + 20cm, g₂ = 175

1228 500

cm

j • 40 oder f(x)

— x¹ — 60a:

-f- 6300 s= 0,

100

— 1985

somit für x =

² = rd.

und f{x) =

, x = 100 +

20 •1985

120

und genaues x t=t 107,6 —

l -f- 3262

= 107,58 rd. 107,6

1985 -f 3262

= 107,6cm, hierfür ist fix) == + 5

x = 107,6

cm

5 • 7,6 1985 4- 5 , ₀. = 12,3 o« = 149 k*.

cm

Die obigen Formeln ergeben daher

x = 120,4cra, o₆ — 11,4 kg, oe = 107 kg.

s___j

CT7V

’T

Am

m»;--

_ _ H- \

SA 3

r⁻

S00

* - -ß— * iSi- fi-je

so in

- -fz

<äe ft

*1

Sb

Vj

wmr:

Abb. 14.

Abb. 15.

Betons nur wenig verändert. Die kleine Eisenspannung steht im richtigen Verhältnis zu der zulässigen Beanspruchung des gewöhnlichen Betons von 15 kg, indem für diesen auch die Adhäsion des Eisens entsprechend kleiner sein muß.

b) Bestimmung von x, fe und ac aus P, db </,, g₂, h, ab, h und n.

= 20kg, so daß die

Für fe = 0 wäre x = 60 cm, ab Spannung des Betons von 20 auf 12,3 kg reduziert worden ist. Bei Berücksichtigung des Zugbetons wird auch hier die Eisenspannung reduziert, aber die Druckspannung des

Nach (6) ist (7): x²—3hx =

6 P-9,

und nach (1) und (2) ist n

(1h — x)

h'°b

Nach (6a) ist (7a): 11a:²—32xh =

60- P-a,

b {h — x)

b • ob

—— A²

20

oder

(8) fe =

°b

b{\\x — h) —

20 P

(-)

(8a) fe =

20 n

Zur Bestimmung von oe dient die Formel (1). (Wird oe > 1000 kg, so gilt das bei 3 b (7) Gesagte.)

Beispiel (wie bei la): P = 60000 kg, gx — + 20 cm, g₂ = 175 cm, h = 195 cm, b — 100 cm, n = 15. ab soll von 20 kg (für fe = 0) auf 12 kg reduziert werden, so ist

x =    110,7 cm, fe = 46,8 ^cm, ae = 140 kg, o₆ = 12 kg, | x    —    112,6 cm, fe    = 19,9 icm,    ae = 132 kg,    a₆    — 12 kg.

Für gi = — 20 cra, g₂ = 215 cm erhält man für ob = 20 kg.

a: =    76,0cra, fe = 34,0 qcm, oe = 470 kg, o₆ = 20 kg, | cc    =    79,2 cm, fe = 17,4 qcm, oe    = 439 kg, o₆    = 20 kg

(bei höheren zulässigen Betonbeanspruchungen ist der Unterschied    der Berechnung    ohne und mit    Zug des Betons    geringer,

und die erstere gibt jedenfalls ungünstigere Zahlen und größere Sicherheit).

2. Doppelte Eiseneinlagen für rechteckigen Querschnitt bei Stützen, Gewölben etc.

Die allgemeinen Gleichungen des Gleichgewichts sind (s. Abb. 16); (!)    ~ — x:h — x oder oe = nob

(2)    ~:-^- = x:x — K oder oe = nob

(3)

(4)    Jf=p./>= ../>.(*--£)[+

“01

oder P

b ob h — x

io 2 -’-*] + i’(f-T) + rf-«(T-*')

) = ^(‘-T)[+^(*-*)*] + 0^(T-*r)

Ol IO

(an die Stelle des Kräftepaars P • f und der Zugkraft P tritt daher wieder die ursprüngliche Kraft P).

a) Bestimmung von x, <jh, ae und ae aus P, li, h', ± gv gv fe, fe, b und n.

Nach (4) ist

°efe

nach (3) ist

Oefe

(*-f)

(*-■-)

WH

“57

r*

"\k

’-S

&.SO

Vi

*de-fzt+J

ft$000

Ks‘f‘

"A.

m w-

; Jg^if gg

<r ^

.31

<Oeft

V,X

Abb. 16.

Abb. 17.

Durch Gleichsetzung erhält man (5)    — g₂ =

nach (3) ist

r (‘ - t) [_ k *~ *>)+ * • f. i* -»') ''a

°6

somit bei abermaliger Gleichsetzung und Auflösung nach x² und x:

‘¥(7-)

(=³i)

(6) a:² — 3x (h — g₃)—

(⁼⁹i)

6n (h — </₂ — h)

r. (1

x)’

(6 a) 11 x² — x (32 h — 33g₂) = h (3g₂ — h) -f-

4+T⁵ »-*-*) r. (i-i>

60 ng2 r ( h

~b~ te V*

Nach (5) ist

ZP-9,

b • a;

(7 a) os =

60 Pff,

Zur Bestimmung von oe und o'e dienen die Formeln (1) und (2).

b (32 xh — 5² — 11 x²) -f 60 n f'e (h — ti) ^1 — ~ ^

Beispiel: Für einen Pfeiler ist P = 9000 kß

n = 15,

ft=f₉ = 3 016 = 6,03 icm, 5 — 50

cm

gt == — 5cm, g₂ = 32cm, h == 27

cm

cm

Nach (6) ist a?² — 3 a: (27 — 32)

OßQO

fix) = x² 4 15 a?---F 434 s= 0 und für

It‘

11

f(x) ”47 und genaues x — 12,5 —

sowie aus (1) und (2) oe und oe, so daß x = 12,4 cm, o₆ = 32,9 kg, oe = 578 kg, ae = 374 kg,

= rd.

11

14

ist f(x) =

— 156

6.15 ^32 • 6,03 ^27 _

50

, *== 11 4

3 • 156

4 152

1.5-7

163

308

6 • 15.6,03

50

(27 — 32 —

oder

= 12,5 cm, hierfür ist

= 12,44 rd. 12,4 cra, und bei Einsetzung von x in (7) den Wert von ab

x = 13,6 cm, ob = 31,4 kg, oe = 464 kg, ae = 367 kg.

b) Bestimmung von x, fe, oe und o'e aus

P, 7t, h , dz <7,, yv fe, ob, b und vi.

Nach (5) ist (8) x² — 3xh = —

nach (5 a) ist

b-oö

i-f)

(8 a) 11 x² — 32 x h = — GO nf

b ob

__F , b-x ob ^ 2

(■- )'»

(A_v> (i-^)

-v,

(9.) .(j-ik

P 11 Tta; b-h

Oft

20 20

(—

/ Ji    2 h'    \

f — angenähert = und dann genau eingesetzt, oder a: durch Interpolation bestimmtI.

oe und ae ergeben sich aus (1) und (2) und die Annahme von f 'e ist beschränkt durch oe < 1000kg.

12 500 kg

Beispiel: Für eine Stützmauer ist P =

10 cm

y 9i=    - 180

cm

, </,= 570-,

h — 390 cra, ti = 10 cra, ob = 30 kg, b = 10 cm, n = 15.

Breite erhält man für f'e = 0 15

gibt fe = Cp 32

cm

Pro 10

gibt fe= <$>33 mm, und fe — <$> 25 Falle für f = 4,9 qcm.

mm

mm

— :fe = 0 34

mm

mm

, C = 0 20 , und man erhält im letzteren

fe = 7,7 i-, oe == 998 kg, oe = 413 kg, fe = 5,4 qcm, oe = 915 kg, o, = 415 kg,

x — 121,2

x — 128,6

(bei Berücksichtigung des Zugs im Beton würden also Rundeisen fl) 27 mit fe = 5,7 qcm statt fl) 32 mit 8,0 qcm genügen).

cm

cm

eifi'

Abb. 18.

c) Bestimmung von x, fe und f'e für fe = p • f 'e sowie qe und ae aus P, h, ti, db yv yv q₆, b und n.

Nach (5) ist n

(x — ti)

nach (1) — (3) ist ja? — ti —p (h — a?)j

Durch Einsetzung von m —

f 'e (h — ti) = ^    ~ (3h — x) [4 — (h — a:)²J und

bx j" b (h — x)

60 P

) = <g

q(h — h')

und durch Auflösung nach x² und x und hierauf Wiedereinsetzung der Werte von q und m wird (10) x² (1 -f- p) — 4x(ph -f- h') = — 3 (p/t² -f /t'²) 4

(=⁹i-Ai)    |

— h' ~ 0a)L

/to₆

--3x

■ft —

3hx x^j• q Qi — h') j

33 x -f- 3 /t^ = (^ — mp) j

60 P

01 —

32 xh -f- h² 4* 11 #²^

Für p == 1 ist (11) x² — 2 a? (h 4 ti) = —

3P

|(4~¹) +('

|_ (Ä> + h'2) +

(=«i - "1)

— ti —

(10a) 11 a:² (1 4 p) — x (44/t' 4- 43ph — /t) =

= — 32 (p /t² 4- /''²) 4- h! (Ii — ti) 4 p — ¹)    4

(/t — //' — gj 4 h (2 h — 3 ti) j,

<■-#)(

60 P

Nach (5) ist

(12) «(i - A) (h — h')f

bx

b ob

(11a) 22 a?² — a? (42 h 4 44 ti) = — 32 (/t² 4 ti²) 4

+ ti & - ti) +    — l) (• • •) 4 (l — ^-) (• • •),

(12a) n ^1 — (h — ti) f 'e =z~gi — ^(32a?Ä—h² — 11a:²).

3 b (7) Gesagte.)

* 02    (³ h x).

Oft    o

Endlich ist f = pfe und oe sowie ae ergeben sich aus (1) und (2). (Wird oe > 1000kg, so gilt das bei

b = 50 a? = 13,3

Beispiel (wie bei 2a): P ~ 9000 kg, gx = — 5 cm, — $2 n = 15.

, fe = fe = 6,5qcm, oe = 464 kg, oe = 348 kg | a? = 14,0

, h = 27

cm

cm

rin

h' = 3 cm, ab = 30 k«, p — 1

,f.=ü= 6.8 f, = 418    0, = 354 k*.

3. Einfache Eiseneinlagen für rechteckige Plattenbalken (T-förmigen Querschnitt).

>1

Die allgemeinen Gleichungen des Gleichgewichts sind (i) -jr :    — h — x: x oder ae = noh

_ bah -x

(2)

- «SI -

H!

3 fr*)]*'

(z — dy

• •••

c>

->i

oder P

<r--

A 6t>/e

fd)+4-T-;d)

(f-e, + - +y rf) = r (y ⁺Td~g') ⁼ °,f‘ (h

f ^ Q¹ — *) (ä — d)]-

babxd T

3 L

« ICO

09 tC

C.i to

f-)

<-

Sc

K-    >,

Iri

Durch Annahme des Momentpunkts ilf im Schwerpunkt der Druckspannungen des Stegs fällt der Abzug hierfür in der Momentgleichung fort, und der Abstand

—— der Druckspannungen des Betons ist = — d} so daß 2 6

_ y_ i £

- Y - f bis zur Resultante

Nach (3) ist auch hier die Schwer

\j 6<jj £

-2 Abb. 19.

alle Hebelarme einfache Werte erhalten.

Punktsbestimmung des Querschnitts überflüssig, da wieder die ursprüngliche Kraft P an die Stelle des Kräftepaars P • f und der Zugkraft P tritt.

a) Bestimmung von x, ob, oe aus P, h, h, ± gv gv fe, b, c, d und n.

Nach (1) und {3) ist

d — 9,)

nach (2) ist — •

°6    3

Durch Subtraktion erhält man hieraus:

(h — x)

— n ---

bx x 2 ' 3

(4)

' (7d-*)

--r —

\d)p hjYL\+ ~(h — x){h — ^)]

+ - * (:2d — x) + F-C-(x — df + \~(h — x) (2h — 2d + *)j

b — c (z — d)

n(hr)f-(h-id)

und nach (2) wird (4 a)--r = — n • r

und durch Gleichsetzung

(h— x\ f bx '» ⁺ ~2

b — c {x — df

j d + r) + y (2d — x — 3r) +    (x — df (l + ~) [+ ^ (Ä — *) (2A

— 2 d-{- x

+ 3r)j

und

und hieraus bei Einsetzung von r =

W I U)

d — gt und Auflösung nach x² und z:

(5) xi—3glx =

(5a)    1,1z² — x ^3,3& —-j^-) = -^-(2Ä —3^,) +

(IM

+ den Werten rechts

>#

Nach (1) und (2) ist (6) o₆ —--

2P

C' x d{b — c)

(² - 4) - 2nf- (4

>)

(6a) o₆ =

o,, ergibt sich aus (1). Für fe= 0 erhält man die Gleichungen:

1,1z² — x ^3,3 </,

x² — 3gtx = Sd

(4

d(Td-^)'

o₆ =

2P

^-(2Ä— 3^) + 3d (y—l) |²£i

-<* +

*)

c z + d (b — c) ^2 —

°6 =

2P

Beispiel: P= 50 000k*,    —15

ft = 4 d> 30 == 28,3

, </₂ = 140

cm

h = 125 cm, 6 — 178 cm, c — 30 cm, d = 20

cm

Man erhält f(x) = x² -f- 45 x —

II *

(50

h = ist —

60

1 653 483

— 1634

-f- 26 686 = 0 und für

, x = 50 -f-

10 • 1634

7062

= 52,3 cm, hierfür f(x) — -f- 160

und genaues x — 52,3

2,3 • 160

160 + 1634

+ 5428

= 52,1cm, so daß nach obigem

x — 52,1cm, ob — 19,4 kg, oe = 380 ke | x — 55,9 Für fe = 0 erhält man durch Interpolation

z = 11,6 cra, o₆ — 122,7 kg,

cm

x = 13,8

ob — 19,0 kg, oe — 352 kg.

, ab ~ 58,5 kg,

so daß die Betonbeanspruchung von 122,7 (resp. 58,5) auf 19,4 (resp. 19,0) kg reduziert worden ist.

cm

b) Bestimmung von x, fe und oe aus P, h, ± gx, g₂, ob, b, c, d und n.

Nach (4) und (4 a) ist durch Multiplikation von (4 a) mit (h

^ (3 h — x) + ---- ° (x — d)² (^1

und Addition von

statt r =

<>

(b — gt) =

Gleichung nach x² und x:

*■ ^ In

heiden:

und durch Auflösung dieser

S--

••••

i* -c» -»>

. 30 Cfn

:\_A> 72.7 crrL^

o •••

* jr

- i- A-

-o- »

giprv

P 50000

(de fe

kSefc

fr

. _,A = /2Sf*

= 740^5.

4-

->

CpA (A-Oij

50    2

--f*

'Sc

661#

- «Sv-

-i-*-St

f fo

er

Abb. 20.

6‘efi

Abb. 21.

(7) x²—3 hx —

cab

(7a)    11 ic²— 32ic/t =

d (3 h — 2 d)

60 P

cab

Bei großen Zugspannungen kann oe größer als 1000kg werden, so daß in Formel (7) und (7a) o₆ =

oder — =

(I-)

n (h — x)

einzusetzen ist, und hieraus x und ab zu berechnen sind.

n (h — x)

fe =

Nach (1) und (2) ist (8)

P b • x (b — c) (x — d)²

(8 a) n

(h — x)

d = 20

fe =

b • x    (b — c) (x — d)²    c

2    2    x    20 ⁽

, 6 = 178 cm, c = 30

X).

ae ergibt sich aus (1).

Beispiel (wie bei 3a): P = 50 000 kg, gx = — 15 , n — 15.

Die Spannung soll von oh = 122,7 (resp. 58,5)kg für ft — 0 auf ab — 20kg reduziert werden, so ist x = 48.0

cm

cm

fe=2S,iqcm, ae= 481 kg.

cm

> 9* = ¹⁴⁰

cm

h = 125

cm

x — 49,0

cm

fe — 17,1 qcm, oe = 465 kg.

4. Doppelte Eiseneinlagen für rechteckige Plattenbalken (T-förmigen Querschnitt).

Die allgemeinen Gleichungen des Gleichgewichts sind (s. Abb. 21): (1) -pi •    -—- b xix oder ■- yi . ob •

22

(2)    = x — h':x oder ae = nob’

(3)    -J.[^C^ h^X] -|-P=a,f;+⁴^-

T d) + °< f‘ (j +

(x — dy

rWSfflli¹

p(T + Td-!>h°Ah

f<*) +

jd)+^ f:(j ⁺ jd~ K)+~r+[ 30

) + P(e,

}')]

oder

COj

(h — x)(h — d)J.

Der Momentpunkt M ist hier ebenso wie bei 3 gewählt, und es kommt nur die Spannung a’efe hinzu. Auch die Bestimmung des Schwerpunkts ist hier wie bei 3 unnötig.

a) Bestimmung von x, o₆, ae und o'e aus P, ± gt, gt, h, Ti, fe, f'e, b, c, d und n.

Nach (1) — (2) und (4) ist

P (x 2    \ (h — *) ^ /j,

5;(:T ⁺ T<,-S'7⁼    5 r'V

und nach (1) — (3)

P x    (h — x) , x

— y ⁼ ~n^c~f’-Y + n

Durch Subtraktion ist

P /2    \ (h — x) /

(2 d — x) +    (x — df [

!h — x\    (x — h'\    bx

n{-^~)r‘ +U\-^)f' + ~2~

x 2 \

3- — -3- d) + n

(X — Ti)

r. * /e 3

bx x

(b — c) (x — df

^[+<*>;<*-*><*-•*>] c ,    . x~\

M{h-x)Ti

•tE

(5)

(x — h¹)

und nach (1) — (3)

d)+n

P (h — x) (2h — 2 d + x)^

(5 a)

b — c (x — d)²

x L

iö(h-x)1

Durch Gleichsetzung der Werte von — erhält man alsdann

°6

+ —^(x—dy(i +

oder (6) z² — 3gxx =    Qi — gt) — 1^

+ 3d --l) 2 ff,— d +

» {^T’) f>(h + » (X ~ f'M—K) +•    (3jr, - *) +

)    (2i + * - 3jr,)j

(6 a) Ha?² — a; (33 </, — A) =

"5^ D +

4 30d(y — 1^2^— d 4-

2d — 3g

d(^d

+ h {2h — 3gx),

nach (5 a) ist

(7) ofc=

2P

(7a) ob =

C'X -f d(b —

^(llaj—A) + d(A — c)^2 —^ — 2nfe^— l^ + 2nf'e(l

h\

oe und de ergeben sich aus (1) und (2).

Beispiel (wie bei 3a): P = 50000 k*. g. = — 15 cm, o₂ = 140cm, h = 125 cra, Ti = 5 cm, A = 178 cm, d = 20cm, fe = 4 $ 30 = 28,3 qcm,

cm

c = 30

f'e — 2 0 30 = 14,15 c‘cin, « =15. Man erhält f(x) = z² + 45 a? —

1657 728

+ 27 535 = 0,

150

— 870

für x =

ist f(x) =

, x = 50 -j-

10 • 870

870 4- 6206

= 51,2

cm

und hierfür f(x) = + 82

60

+ 6206

und genaues x — 51,2 — somit

1,2 • 82

82 -f 870

= 51,1cm,

x =■ 51,1

2 • 50,000

= 18,3 kg,

, o₆ = 17,4 kS oe = 310 kg, de = 238 kg.

x = 57,2

> 05

ae = 397 kg, de — 248 kg,

Bei Hinzurechnung der 16 Rundeisen $12 im Abstand 10cm mit b! = 3 x — 50,0cm, aö = 17,1 k«, oe = 385 k«, dt — 241 k*₇

1,533 + 4,761 — 1,228 + 0,383

und f'e == 18,1 qcra wird I x = 55,6 cm, ob = 16,3 k«, ae = 306 k*, a'e = 231 k*.

cm

b) Bestimmung von x, fe, oe und de aus P, ± g„ gv h, K, f, ob, b, c, d und n.

Durch Multiplikation von (5 a) mit

<⁸⁾

und durch Auflösung nach x² und x

(9) x² — 3 h ■ x —

(h-Td)

(h-

und Addition zu (5) erhält man

— (3 7i — x) —

D

3 h — 2 d\

X )

d(3h— 2 d)

(9 a) 1,1 x² — 3,2 x • h = —

(b. neben).

--— (h — gy) -f ... -f ...

cob

Nach (5a) ist (10) n —1^

4~9 ⁺ t-

■fe — — — +

°6

— c (« — d)²

(10a) n(~ — 1)/«

---1- n

4-9

4~

b — c (x — dy

2 j| a;

ae und o'e ergeben sich aus (1) und (2). (Wird oe 1000 kg, so    gilt das bei    3 b    (7) Gesagte).

Beispiel (wie bei 3a): P = 50000 kg, gx = — 15 cm, (/₂ = 140 cm, h    == 125 cm, h'    =    5

f’e    =    6    (D 32    = 48,24 <ic,n, 5 =fc 178 cm, c = 30 c“, (7 = 20 cm, ab == 15 kg.

x =    63,2 cm,    fe = 52,7 v“, oe == 221 kg, o'e = 207 kg; a: = 64,1cra, /*e = 49,3 *cm, oe =    214 kg,    oe    =    207 kg.

0?

cm

c) Bestimmung von #, fe und f'e für fe=p • f'ef sowie oe und o'e aus P, h, h', ± jgv gv ab, b, c, d und w.

n-q-f

Aus (8) ergibt sich für x — fi = q und h — x = m.

vi-y\⁺k(h-xA-hfi:ih~~x)~}Lirix~d?(l

{[⁺fk(h-x)]

q (h — b!) h — h'

q — m • p    mp

[^f (ä — ®)~(*~V]■-T(3r- ³A)-T!+V⁽"’-²^ + (‘ +

(11a) 11a;² + z (33 r — 32 Ä) =

(9t - r)-h (h —

- (/? — Ä') =

3 h — 2 d\ # /

und aus (5 a)

— (q — m-p) =

b — c (x — d)²

a;

Setzt man

(9 2 — »■) =

= r, so ergibt sich durch Division die Gleichung

und hieraus durch Auflösung nach x² und x

(11) x² + 3 x (r — h) — — — (g₂ — r) -f-

cob

60 P

C(3b

3r — 3h + 2d

f 'e ergibt sich aus (8) oder (14), und oe sowie de aus (1) und (2). (Wird oe 1000 kg, so gilt das bei 3 b (7) Gesagte).

= P = 2,

Beispiel (wie bei 4b): P= 50000 kg, = —15 cm, g₂ = 140 b — 178 cm, c = 30 cm, d — 20 cm, o₆ = 15 kg.

cm

h — 125 cm, A' = 5

cm /*e

5920

Man erhält f(x) = x² + 3x (r — 125) + —- (335 — 3r) + 25 253 —

o CO

60

— 88

40 (x — 5)

224

- r = 0 und bei Einsetzung von + 16 784

x — h'

•P

x — 85

für x ~

70

520

und f(x) —

+ 4548

oder x = 70 -f

10 • 4548

16 784 — 4548

= 73.

Hierfür wird r = —

680

3•3350

und hierfür r — —

= 72

und f(x) = — 3350, x = 73 3

= — 206,2 und f(x) = -f- 430 sowie genaues a; = 72 +

1 o

7898

2680

1,0 • 430

3780

= 72,2 cm.

Die Rechnung ergibt daher

a; = 72,2 cm, f' = 37,4 icra, fe = 74,8 *cm, ae = 201 kg, oe == 105 kg,

a: = 73,7 cm, f'e = 36,6 oe = 157 kg.

qcm

, fe = 73,2 o'e = 210 kg,

d) Bestimmung von x, fe, fe, ae und a’e für oe = o'e aus P, ± <jv gv li, P, q₆, 7>, c, d, n.

(14)

°e, f'e

h 4- K

Nach (1) — (2) ist h — x = x — h! oder (12) x — —^ Aus (8) erhält man durch Auflösung der Klammern b • xd

(13) oe = oe = woj

e->)

= nab’

(14 a)

°ef'e

(h-h') = -~-.g

°b    0₆

---(3 h — 2 d— x)

fe ergibt sich alsdann aus (3). (Wird ae 1000 kg, so gilt das bei 3b (7) Gesagte).

bxd

(h - h') —— • g,---

°b    °b    d

- - (.....) (.....) +

c (h — xy

Beispiel (wie bei 4c). Man erhält

a; = 65,0 cm, fe = 56,6 icra, f'e = 46,0 o'e — 207 ke,

so daß hierbei der Eisenquerschnitt am günstigsten verteilt erscheint.

qcm

0e = 207 kS

x = 65,0 cra, fe = 51,1 o'„ = 207 k*?,

qcm

f'e = 47,0

qcm

oe = 207 k&,

VA

C. Anwendung der entwickelten Formeln für die Dimensionenberechnung.

Ist die exzentrisch wirkende Kraft P eine Zugkraft und nimmt man wieder ein Kräftepaar P • f und eine Einzelkraft P im Schwerpunkt S an, so kann das erstere von links nach rechts verlegt werden (ohne daß seine statische Wirkung sich ändert) und ist dann im Gleichgewicht mit den Biegungsspannungen der ^e BCK und KDF. Hierzu kommt eine gleichmäßige Verteilung P

der Zugspannung welche durch die Zugkraft P im

Abb. 22.

PP P

Die obigen Formeln sind (bei Vernachlässigung des Zugs im Beton) in Uebereinstimmung mit den Leitsätzen sowie mit den Angaben über exzentrische Beanspruchung in „Betoneisen“ von Wayß und Freytag 1902, S. 88—89, und in den preußischen Bestimmungen von 1904, wie eine Ausrechnung von Beispielen dartun würde. Hierbei ist es einerlei, ob der Momentpunkt mit dem Schwerpunkt des Querschnitts, oder mit der Nullinie im Abstande x, oder wie oben mit der Resultante der Druckspannung des Betons resp. der Resultante seines Abzugs (bei Plattenbalken) sammenfällt. Ebenso können die Gleichgewichts-o f^b³* bedingungen mit Einfüh-² rung eines Kräftepaars P • f und einer im Schwerpunkt wirkenden Kraft P oder mit den in der Abb. 22 enthaltenen Kräften aufgestellt werden, indem in beiden Fällen dieselben Gleichungen entstehen , (vgl. Bl).

Schwerpunkt S hervorgerufen wird, so daß das schraffierte /\LEF als Druck des Betons übrig bleibt, wenn der Zug des Betons vernachlässigt wird (s. Abb. 23).

Man erhält daher bei rechteckigem Querschnitt und doppelten Eiseneinlagen die nebengezeichnete Kräfteverteilung und hieraus die allgemeinen Gleichgewichtsbedingungen :

zu-

V'

i&w

> _ rw-

(6) x² — 3x • g₂ —

(7) o₆ =

6 n (h

\{ 6t fe

Abb. 23.

₇    ,    h — x

— x: h — x oder oe == n o₆-,

== x : x — h! oder a'e — nob ~~~)

P4

(4) >(* -!)■=.. /. (* - f) + r. (f - 4

Die Vergleichung von (1) — (4) mit den entsprechenden Gleichungen in B 2 zeigt, daß P in (3) und (4) das entgegengesetzte Vorzeichen hat und daß g₂ an die Stelle von <7, in (4) tritt, so daß dieselben Formeln erhalten werden, wenn man — P für -f P und für gx (wo g₂ in einer Formel vorkommt, ist hierfür h — gx zu setzen, um gx in g₂ umwandeln zu können) überall g₂ einsetzt.

Demnach erhält man (ohne Berücksichtigung des Zugs im Beton) für B2a die Formeln:

6 n (g₂ — h!)

(1)

(2)

°A.

Eh ' Ee

Eb' Ee

(3) Qefe - P 4"

— 9i)

— 2 P(h—g₂)

bobx

(ä — -|0 + 2 nf’e(h — h') ^1

Bei einfachen Eiseneinlagen erhält man ebenso aus Bla

(5) x² — 3 x • g₂ =

oe und ae aus (1) und (2).

(6) oh =

— 2 P(h—g₂)

(*-f)

, oe = nob

In derselben Weise ergeben sich auch die Formeln für die Dimensionierung durch Vertauschung von P mit — P und gx mit gr

(1) IW :    ®: h — x oder

Für Plattenbalken erhält man, bei Annahme einer exzentrischen Zugkraft am Ende des Stegs, mit doppelten Eiseneinlagen die allgemeinen Gleichgewichtsbedingungen (s. Abb. 24):

(2) F^:W=x:x

— h! oder a'e = nob

(x — d)²

bxd

(4) p{°>-f-Td) = °'f'{h-T-Td) + °'K{T+id-h') ■ 3

und daher auch hier bei Einsetzung von — P für P und g₂ für gx (auch in g₂ = h — gx) sämtliche Formeln für B 4 a, indem

d(jd~⁹).

(6) x² — 3g₂x —

q • x -j- d {b — c)

(₂ _ £) - 2nf, (A-1) + 2»r. (i - A)

, oe und ae wie oben.

Mit einfachen Eiseneinlagen erhält man ebenso die Formeln für B3a, indem

6 nfe

(5)    x²    — c

(6)    ab =--

(*-*,) (4-xi + s^A-¹)

— 2 P

2 g₂ — d +

, ae wie oben.

c x -f d (b —

In dieser Weise lassen sich sämtliche Formeln in B 1— 4 umwandeln (auch diejenigen mit Berücksichtigung des Zugs im Beton), und es ist daher nicht nötig, dieselben erst aus den allgemeinen Gleichungen des Gleichgewichts abzuleiten.

Die Formeln zur Dimensionierung sind besonders deshalb für die Praxis notwendig, weil durch Probieren nicht nur viel Zeit verloren geht, sondern auch keine richtige Ausnutzung des Betoneisens stattfindet, indem entweder der Beton oder das Eisen zu wenig oder auch zu viel beansprucht werden.

Aus diesem Grunde hat Professor Barkhausen (Bauzeitung 1905, Heft 1, 4, 5) eine Dimensionenberechnung für Verbund- und Rippendecken mit einfacher Biegung und mit Längsdruck bei Gewölben veröffentlicht, welche auch als Sonderabdruck erschienen ist (Berlin 1905, Hofbuch-druckerei Wilhelm Greve) und zum Teil dieselben Formeln

enthält.

gegebenes b), und kann dies nach S. 20 und 22 für Eisenbetonbalken und Verbundwände in Betracht kommen.

Ebenso sind die Formeln für Biegung mit Längsdruck (S. 7—10) dieselben wie in B1, indem man bei Einsetzung von b • M= P- f und b • I) = P auf S. 9 erhält (s. Abb. 25):

wß*

am

6efc

<oe ft

Der Unterschied besteht hauptsächlich in den Be-

Zeichnungen h — a statt h, m = statt m = ——[- 1,

nob    moj

und darin, daß in den Formeln für einfache Biegung (S. 5, 20 und 22 des Sonderabdrucks) für ein gegebenes fe die Breite b gesucht wird (statt wie oben fe für ein

mm

f+i'+ :

---« _ _ M

Abb. 25.

Abb. 24.

I: P+atft-

= 0, Ha: P-ff,

= 0,

= 0, III:    = *:»-*.

Die Formel II a (Moment in Beziehung auf die Eisenspannung) kann zur Bestimmung von x und h aus oh und ae wendet werden, wenn

II b: P

ver-

h = mx =

—h ljx = x und g₂ = h — gx

eingesetzt wird, und man erhält dieselbe Formel auch aus B 1 b (7), indem

— 6 P (m • x — gy)

x¹ — 3 m x² =

oder für m — -

Ix²

b • ah 16 P-x

bab

6 m Px 6 Pgy

bob

und hieraus x und h \fe ergibt sich aus (8)].

oder x² (3 m — 1) —

b • ob

6P-ff,

bab

Aus B2b (8) erhält man ebenso bei doppelten Eiseneinlagen:

6 P(m-x — gx)

x¹ — 3 m x¹ = —

6nf

b-ab

(m • x —

4-9

oder

x² (3 m — 1) —

Qm- x

und hieraus x und h sowie fe aus (9).

(i-r)

- ~lFh

b • o₆

Für Plattenbalken ergibt sich ferner aus B3b (7):

— 6P

x² — 3 m • x² =

(m • x

d (3 m • x — 2 d)

cob

6 m • x I P c

und hieraus x und h sowie fe aus (8).

Für Plattenbalken mit doppelten Eiseneinlagen ergibt sich aus B4b (9)

c

x² (3 m — 1) —

— d (b — c)

cab

+ 3d² (P

x²— 3 mx²~

-6 P-b

cob

{m-x — gj +

Qm x — od

oder

3x

d (3 m x — 2 d) I

oder

6mx I P

x² (3 m — 1) —

und hieraus x und h sowie fe aus (10).

-----nf' — d(b — c)\ =

-6 P-9,

cab

⁶t4-⁺'-9⁺44')(

3 a;

Diese Formeln können zur Bestimmung der Stärke von Gewölben und Stützmauern mit einfachen oder doppelten Eiseneinlagen benutzt werden, indem zunächst für eine angenommene Form und Stärke die Druckkurve resp. die Resultante der Belastung bestimmt wird, und dann

mm

y (h 4- a) = ~ (mx + a)

(worin a = Abstand des Eisens vom Rand ist)

oder = —

— (h d) —

~ {mx a) oder auch = 0 o

zu setzen ist, um hieraus nach Einsetzung in obige Formeln x, h und ft zu berechnen.

Bei Annahme der zulässigen Spannungen o₆ = 40 kg und oe = 1000 kg erhält man als Verhältnis der Höhe h zu dem Abstand x der Nullinie den konstanten Wert __o^

00

nah

4- 1 =    , und zwar bei Platten und Platten-

3

Zny/Craft

(7)%

um,*)

(32)

ZS

m%

(SS/

77

Ist

Abb. 26.

/»mm

>1

J)z

a #rs'A ,

ePc

-h

1    ^    1

ge' _

//

- I-

Abb. 27.

balken, so daß die Abweichung von dem Schwerpunkt des Querschnitts nicht groß ist. Dies gilt jedoch nur für

h

10 das Verhältnis -—

h betragen würde.

3

n = 15, während für n —

- = 3,5 x

Wenn

wäre, somit x nur etwa

auch für kleine Beton- und Eisenbeanspruchungen der Wert 10 richtiger sein mag, so ist doch nach den Versuchen von Professor Schüle (Zeitschrift für Betoneisen 1903, Heft I) o₆ = 30 kg = 2 — 10, bis 50 kg = 12 - 20, bis 84 kg — 21 — 31, so daß 1 : 15 den Beanspruchungen des Betons bis 40 kg entspricht (in der Schweiz wird n — 20 angenommen).

Die konstante Mitwirkung des Zugs im Beton geht nicht nur aus den Versuchen der französischen Kommission

das Uebertragungsverhältnis n bis

und in

mm

hervor, welche für Beton in Phase I — 0,04 Phase II 0,2 — 0,6 Längenausdehnung pro lfd. m fand (die drei Phasen gehen bis zur Zugfestigkeit des Betons, zur Elastizitätsgrenze des Eisens und zum Bruch des Eisens), sondern auch aus den Versuchen von Schule mit zwei Balken von 1,5m Stützweite, welche die nebengezeichnete (in Prozenten ausgedrückte) Zugkraft des Betons und Eisens (aus den in OefFnungen des Betons gemessenen Dehnungen des letzteren) feststellten. Erst bei 5,5 ⁴ Belastung traten Risse im gezogenen Beton ein, wofür eine Eisenspannung von 1310kg berechnet wurde, so daß beinahe die Elastizitätsgrenze von 1450kg erreicht war, und auch nachher nahmen die Eisenspannungen noch stetig zu, bis bei

12.5    ⁴ Belastung große Dehnungen eintraten, und bei

16.5    (14,3)⁴ der Bruch erfolgte.

Nach Barkhausen (Hannoversche Zeitschrift 1901) ist die nebengezeichnete Verteilung der Druck- und Zugspannungen des Betons'anzunehmen, welche auch bei Annahme von

mm

und in Phase III 0,6 — 1,35

IQ statt 6kg leicht zu berechnen ist,

indem in sämtlichen Formeln (ohne den Zug des Betons) ab und x statt ob und x eingesetzt werden

ferner

statt

11

11

(wo =    und = Jq

bob ■ h

11

b ab (h — x)

10

x ist),

h

als Zugspannung des Betons im Abstand —

Ä

angenommen wird.

im Abstand

Nach den neuesten Versuchen der Materialprüfungsanstalt der Technischen Hochschule in Stuttgart, welche im Aufträge der Firma Wayß und Freytag ausgeführt wurden und deren Resultate in „Eisenbetonbau“ von Professor Mörsch veröffentlicht worden sind (Abdruck in der Schweizer Bauzeitung 1905, Heft 25), trifft die obige Annahme der Resultante Zb für die Zugspannungen des Betons nur bei größeren Spannungen des Eisens und

Jh_/g

Betons ein, indem sie dann annähernd bei---liegt,

h_nß

während bei kleineren Spannungen der Abstand---

3

richtiger ist. Dies ist wohl darauf zurückzuführen, daß Zh

innerhalb der zulässigen Betonzugspannungen in Ab-

3

stand vom Rande liegt, bis bei höheren Spannungen eine volle Ausnutzung des Zuges im Beton stattfindet (der

Jj _ rjß

-— vom Eisenquerschnitt fe bildet die Ver-3

Abstand

mittlung von beiden).

Trotzdem kann nach den ausgerechneten Beispielen

eine Berücksichtigung der = angenommenen zulässigen

Zugspannung des Betons unterbleiben, indem sich dadurch die Druckspannung des Betons wenig ändert, und nur die Eisenspannung und der Eisenquerschnitt etwas reduziert wird, weshalb event. eine kleine Ueberschreitung der zulässigen

Spannung des Eisens ^bei Decken um yy und bei Balken zugelassen werden kann.

um

¹)

20/

Nach verschiedenen Angaben ist die Druckfestigkeit des Betons für das Mischungsverhältnis

1: 4 =1:2:2 . .

1: 6 — 1:2:4 (1:3:3) . . . 150(-200)kg 1:10 = 1:3:7 (1:5:5). . . 100(-150)kg

.... 200 (- 300)kg zulässig 40 (- 50)kg,

30 (— 40)kg, 20 (— 30)kg,

so daß bei allen diesen Mischungen Eiseneinlagen gemacht werden können (besonders bei Stützmauern), die

auch im Verhältnis weniger beansprucht sein müssen (weil die Adhäsion gleichzeitig abnimmt).

Die Formeln zur Berechnung von Plattenbalken können auch auf Träger mit parallelen Gurtungen und Gewölbe mit einseitigen oder doppelten Rippen angewendet werden (s. Abb. 28). Die vorläufige Dimensionierung kann auch ohne Berücksichtigung des Drucks im Steg, und zwar zur Ermittlung von fe und c (auch mit angenäherter Berechnung der Schubspannungen) stattfinden, sollte aber nachher berichtigt werden. Für die Berechnung von kontinuierlichen Platten und Plattenbalken ist die gewöhnliche Berechnung der Momente und Querkräfte erforderlich (vgl. die Tabelle Hütte 1902, II, S. 243, bei gleichen Stützweiten), wodurch sich vermittels der Formeln Alb, 2b — c, 3b und 4 b — c die Dimensionierung in der Mitte und an den Stützen ergibt (letztere haben oben Zugspannungen, so daß nur der Steg des Balkens in Betracht kommt).

s = ff =

F-S*

= Abstand des Druck- und

jTf’ wo ä

Zugmittelpunkts). Hiermit wird die ganze Zugkraft Z auf der horizontalen Strecke x (da s \J2 auf die Breite |/2 wirkt)

(c)

f)' • x-b

(O

1/2-2

oder ebenso groß, noramen ist.

(t₀ — 4,5) • a • 6

|/sT- 2

als in den Leitsätzen ange-

(s. Abb. 30),

JS:_

CO

, • *!

Bei der Berechnung der Adhäsion aus t = —⁵—-

n • tt d

ist eine Uebertragung derselben auf die abgebogeneu Eisen nicht möglich, da dieselben durch die schiefe Zugspannung in Anspruch genommen sind und die letztere der Schubspannung (t₀ — 4,5) entspricht. Unter Adhäsion ist aber die Spannung beim Herausziehen des Eisens dem Beton zu verstehen, welche in der Mitte der Träger am kleinsten ist, da hier x₀ = 0 werden kann (vgl. S. 30).

Statt der Rundeisen mit fe und f'e kann auch ein zusammenhängender Eisenquerschnitt Fe des Eisens handen sein, und erhält man alsdann die Eisonspannungen aus /\ABC — Rechteck ABBE = R — R'. Die Resultante B des /\ ABC ergibt sich aus (s. Abb. 31 u. 32)

= ² fe ' y' °e> w0 oe — — • nob ist,

aus

vor-

fe

oder d • R =

Abb. 28.

und weil d =

Je

St

Trägheitsmoment statisches Moment

in Beziehung auf

< -I

\C

d A5°

<r

-ft-

A'

_l_ T-

$ biß X

h' ²

/A

\Z

j_t.

■ooo<£

[>

Abb. 32.

Abb.

oTZ

Abb. 29.

i.

r\

'S I

je 1M_

Abb. 34.

// I

-L

<£

K-

- -SV- -

Ä<

-fc--

_ l_

V/,

Abb. 30.

ji _

ff.

v/y/.

n^-ste.

x

Die Resultante R' des Rechtecks AB DE ergibt sich nab (letzteres = AE), und zwar im

die Oberkante des Eisenquerschnitts, so wird R

(~i x — h' aus K = r „ • ——

e x

Abb. 31.

Abstand c =

Ebenso kann auch nach der in den Leitsätzen angegebenen Weise die Berechnung der Schubspannungen mit Hülfe der Formeln A3a und 4a geschehen, und sollte nach den nebengezeichneten Abb. 29 für Sj —/ (in der Nullinie) die schiefe Zugspannung s • j/ 2 = f) V 2

.__si

ist aber

(+)

Durch das Gleichgewicht der nebengezeichneten Kräfte

R-R'

bobx

oder

x—h' T,

~x not' Ft = —^

boh'X

sein (auch in s =

^j/ (-/) -fl)'² wird für st = 0,

oder durch Auflösung nach x² und x:

2 nx • Fe

2 nFe

°b =

wo c — c -J- K. Ferner ist die Momentgleichung von R aus:

- C),

oder

Auch bei Stützen und Gewölben sowie Stützmauern kann der Eisenquerschnitt aus Rundeisen oder X-Eisen bestehen, und sind die Größen F und J für fe = f'e und bei symmetrischer Lage der neutralen Achse:

b H³

F=fb + 2nf* und J = ₁₂

+ ²«b(f

>*

wo d' = d -\- ti ist. Es ergeben sich also dieselben Formeln wie für doppelte Eiseneinlagen, nur daß d' für h

und d' — c für li — h' steht (oe ist auch = nab — 1 j

vgl. A2a). In ähnlicher Weise sind auch die Formeln für exzentrische Beanspruchung umzuwandeln.

Bei einfachen Eiseneinlagen (etwa mit einem _L-Eisen) ist auch statt oe fe — :-R (Resultante des CDE) im

Abstand d =

und R! (Resultante des Rechtecks AB DE) im Abstande in die allgemeinen Gleichungen des Gleichgewichts einzuführen, so daß in obigen Formeln die eingeklammerten Vorzeichen gelten, welche für x und <zb verschwinden (s. Abb. 33).

Dasselbe Verfahren kann auch bei Abzug des (durch den Eisenquerschnitt wegfallenden) gedrückten Betons in Beziehung auf die Nullinie im Abstand x angewendet werden, wenn dies erforderlich sein sollte. Denn man

st.

Je

Ste

von der Oberkante des Eisenquerschnitts

I*- -

r*⁻'⁻

sowie — -p- und oe = wo₆ und für verschiedenes /‘e und f'e sowie seitliche Lage der Nullinie erhält man

+ w(ä^, + ä'/;)

und J —

3~ +

b • H n (fe + /’g) & • (H — x)³

+ nfe Qi — x)² + nfe (x — //')²,

und hieraus für exzentrische Beanspruchung des Querschnitts

M • x (resp. II — x)

fb + n (fe + fe) ^

- Co

Abb. 35.

erhält den Abstand der Resultante R" der Druckspannungen des Betons (in Beziehung auf die berechnete Nullinie) aus

Trägheitsmoment St ' statisches Moment ’

d" =

j:

und hieraus (s. Abb. 34)

<r-ir = if'-y.ob = ^2f,f =

— _°A J" —

~ x e ~ St "e

j:

• R" oder R" =    ■ St"

Die obige Gleichung des Gleichgewichts heißt daher rechts bi3bx

— St"e und hieraus ergibt sich:

2 n x • Fe

2nF„ • c'

X³ +

und der genaue Wert von x. Momentgleichung rechts noch hinzu:

so daß

ls(-

Ebenso kommt in der

—    • St" (d' — X + d"),

x

('-!)+*

c')

‘2St"e

^*(d!-x + d") x

wird.

M)

(-■)

sowie oe = n ab

(beim Auftreten von Zugspannungen des Betons kommen die Formeln B 1—4 zur Anwendung). Bei Stützen können außer der direkten Pressung noch Biegungsspannungen auftreten, und zeigt sich bei verschiedenartigen Spannungen der Vorteil einer Anwendung der Schwarz-Rankineschen Formel, welche nach den Versuchen von Ritter für Beton

und ve = n ib

Co

I__

Co -

i_ i

-X

Abb. 36.

und Eisen lautet: k = 1    0,0001

F-P

so daß die

J '

Spannungen durch direkte Pressung aus k • ob und k • oe erhalten werden und hierzu noch die Biegungsspannungen kommen und beide zusammen die zulässigen Spannungen nicht überschreiten dürfen. Auch erhält man für Werte

< 100 nach der Eulerschen Formel keinen Maßstab mehr für die Knicksicherheit von Stützen, da nach derselben viel zu große zulässige Belastungen eintreten dürfen (vgl. „die Knickungsberechnung“, Hannoversche Zeitschrift 1904, Heft 2—3).

Die Berechnung der Durchbiegung bei Belastungsproben

MP_ 48 ‘ J Eb

(resp. bei veränderlichem Trägheitsmoment für Mittelwerte von J), worin M = Maximalbiegungsmoment, l = Stützweite, Eb — 200000kg/ moment in Beziehung auf den Schwerpunkt des Querschnitts, oder genauer in Beziehung auf die neutrale Achse im Abstand x, wobei statt des Zugbetonquerschnitts der n fache Eisenbetonquerschnitt genommen wird (derselbe ist auch im Druckbetonquerschnitt mitzurechnen).

von

5

geschieht annähernd nach . der Formel f = —

qcm 5

J — Trägheits-

I). Ausführliche Beispiele zur Dimensionenhereclinung.

Zur Berechnung von Betoneisenkonstruktionen bedarf es zunächst einer Feststellung der Annahmen fiir die Biegungsmomente sowie für die Schubspannungen.

Bei freier Auflagerung ist nach den Leitsätzen: bei Balken die Stützweite von Mitte zu Mitte der Auflagerung bzw. bei Platten die lichte Weite + Dicke der Platte in

der Mitte zu

rechnen |mit M

pl²

bzw. =

)■

bei zwei Oeffnungen in der Mitte Mqm =

Bei durchlaufenden Balken oder Platten gilt die Entfernung von Mitte zu Mitte der Unterstützungen als' Stützweite, und können dieselben als kontinuierlich berechnet werden, wenn keine Querrippen vorhanden sind, welche die vertikale Lage der Stützen erhalten.

Die Berechnung von durchlaufenden (kontinuierlichen) Platten ergibt für gkg pro lfd. Meter Eigengewicht und pkg pro lfd. Meter Verkehrslast sowie gleichgroße Oeffnungen:

am Auflager Mqa =

O    O

pP

10,5

bei drei Oeffnungen in der Mitte Mqm =

pl²

10

am

bei vier Oeffnungen in der Mitte Mqm =

1 O

Mit Rücksicht darauf, daß auch die äußeren Oeffnungen eine teilweise Einspannung haben, können

daher als Mittelwerte angenommen werden: Mqm =

12

pP

am

Auflager Mqa = SL- +    ,

gp ■ yP

9,4    8,3 *

Auflager Mqa =

10,1 ’

spricht auch dem Halbeingespanntsein in der Mitte

2 M

— Mq max.

ö

OH

und Mqa = - — (nach den Leitsätzen wäre Mqm und Mqa =

_ qP

10

und bei ungleichen Oeffnungen könnte

dies beibehalten werden). Der Wert M qm —

ent-

Die Durchbiegung einer rechteckigen Platte, welche auf vier Seiten aufliegt, ist nach Bach: „Elastizität und Festigkeitslehre“ für den Schnitt || der langen Seite folgendermaßen zu berechnen: Die Platte sei belastet mit pkg pro qm, so ist das Moment in Beziehung auf AB (der Gegendruck am Rand verteilt sich auf alle vier Seiten):

M= (a -b • p) •

2(o + fe) ‘ 2

~ + (a • b-p)-

ci

2 (a + b) 4

a¹ - b • p

a² b²p

2 (a + b)

t)

8 (a + b)

\B

(bei kreuzweiser Armierung ist für das Moment in Beziehung auf CD — : a mit b zu vertauschen).

Für a = b erhält man pro Meter

und pro Meter Länge

P-a

a² • b -p

8 (o + b)

^ bzw. ^ ü und eingespannt - ^

P-a

bzw.

P-a

Bei Eingespanntsein nach beiden Richtungen erhält

-b -

D Länge:

, .    ..    2 pP    pP

man daher: Mm = — • ~— = -— M    3    16

24

in der Mitte und

Ci

---\a-

\ und für

Ä8=T'-T2

2 pP _ pP

am Auflager, und es kann dies lo

b = 00 — : M =

• a²

Abb. 37.

ferner für

pa²

auch für rechteckige Platten zugelassen werden, aber nur dann, wenn eine kreuzweise Armierung vorhanden ist (der

pl²

Wert Mm =

pP

28

und Ma =

20

kann nur dann bei

12

Dies gilt bei Nichteingespannt sein der Platte, und man erhält nach den Versuchen von Professor Bach bei

0,75    2

Eingespanntsein derselben das Verhältnis

1.12

¥’⁸⁰

2 pP pP

kreuzweiser Armierung und die Hälfte bei einfacher Armierung in Frage kommen, wenn die Platte gleichzeitig durchlaufend ist und in ihrer ganzen Ausdehnung

1 qP

gleichförmig belastet wird, so daß Mm = — •

1 gV

und

daß das Moment bei quadratischen Platten— ^    ^

gerechnet werden kann).

und bei rechteckigen Platten 1:2 = — wird.

2 pP _ p - P

12

18

Ma = .-

Ist die Platte nur nach einer Richtung armiert, aber mit Querrippen versteift, so kann in der Mitte

und am Auflager

M=

Für eine Einzellast P erhält man Pb

Pa

2 (o + 6)    2 ^ 2 (o + 6)    4    4 (o + b)

3 P-a

und daher bei quadratischer Platte M = ——

5 P-a

rechteckigen Platten 1: 2 — : M — M

(i + f)'

und bei . Doch wirken

Ma =

pP\ _ pP_

12    24 /    16

_pP

L (pL + p1L\

2 \ 9    18 /

gewählt werden, wodurch

auch die rechteckige Form der Platte und der Einfluß von Erschütterungen genügend berücksichtigt ist.

die Gegendrücke des Randes hauptsächlich in der Mitte der Seiten, während die Ecken sich nach oben abheben,

P-a-b

so daß annähernd M =

4 (a + b)

erhalten wird, oder

Die in den folgenden Beispielen angewendete Berechnung der Schubspannungen entspricht derjenigen der Leitsätze. Dieselbe ist neuerdings bekämpft worden, indem behauptet wird, daß die Resultante der horizontalen und vertikalen Schubspannungen x₀ • j/2 mit

(t₀ — 4,5) - b - x

(t₀ — 4,5) • 6 • x • ]/ 2

statt mit

30

zu berechnen ist. Nach Abschnitt 6 (S. 27) verteilt sich der Wert xQ \/~2 auf die Breite ]/2 , so daß die schiefe Zugspannung pro Zentimeter Breite = x₀ ist und ihre

Verteilung auf die Breite -^-p Eisen nehmen aber die horizontale und die vertikale Schubspannung xn =

Auch für die Adhäsion ist die Berechnung nach den Leitsätzen beibehalten worden, indem die horizontale

Schubspannung x₀ • b =

aus der Differenz der

V*

erfolgt. Die abgebogenen

(* -

auf, welche bis zu

4,5 kg vom Beton übernommen wird, ohne daß Risse entstehen, während der Rest von den Eisen aufzunehmen ist.

Die Bügel werden aus praktischen Gründen angewendet und können nach den Versuchen von Professor Mörsch (Schweizer Bauzeitung 1904, Heft 26, 27) nicht gegen die Schubspannungen verwendet werden (bei den Versuchen von Ingenieur Zipkes fehlt gerade die Durchbiegung, welche erst horizontale Schubspannungen hervorruft. Dieselben zeigen nur die vertikale Abscherung, welche durch die eingelegten Spiralen ohne Mitwirkung der Durchbiegung stattfindet; Betoneisen 1906, Heft III).

Da die Bügel nicht mit den Eiseneinlagen fest verbunden sind, so können sie sich mit dem Beton verschieben, weil sie nirgends festgehalten werden und nur bei einer eingetretenen Abscherung des Betons als Dübel in Wirksamkeit treten, wie dies auch die Versuche von Professor Mörsch dartun. (Betoneisenbau von Wayß u. Freytag 1906, S. 127—133).

Wenn die Bügel Teile einer zusammenhängenden Eisenkonstruktion wären, dann könnten sie auch den Schub aufnehmen, aber in erster Linie wirken auch hierbei Diagonalen gegen seitliche Verschiebung, so daß die abgebogenen Eisen hierfür in Betracht kommen (bei Brücken mit vertikalen Pfosten sind die Bügel durch Eisen zusammengehalten, so daß sie als Ganzes wirken).

h---

Kräfte in zwei aufeinanderfolgenden Querschnitten abgeleitet wird, und zwar sowohl im gedrückten Beton als auch im gezogenen Eisen und für die Länge dl gilt (Portlandzement und seine Anwendung S. 243).

In der Mitte der Brücke kann daher die Adhäsion für x₀ = 0 verschwinden, aber wegen der Durchbiegung des Balkens erscheint sie schon im nächsten Querschnitt

wieder / entsprechend dem Wert von x, =

nizd

und nimmt bis zum Auflager hin zu.

Aus der Abbildung geht auch hervor, -7^- —jt— -

daß die Adhäsion für die Länge dl N- ------* —

nur durch die horizontalen Eisen aufgenommen werden kann, da sie der Verschiebung des unteren Teils gegenüber dem oberen Teil (oder umgekehrt) entgegenwirken, während die nach oben abgebogenen Eisen allein die schiefe Zugkraft aufzunehmen haben, insoweit sie nicht vom Beton aufgenommen wird.

Bei gezogenen oder gedrückten Stäben kommt es hauptsächlich darauf an, daß sie eine genügende Länge sowie umgebogene Enden erhalten, und ist die erstere

izd²

tt • d • 7,5

(für 0 sind 1000kg zulässig) zu machen.

1. Berechnung einer Deckenkonstruktion für ein Lagerhaus.

Die Decke ruht auf zwei Reihen von Mittelpfeilern und kann infolge des Vorhandenseins von Längs- und

Querrippen mit Mm

ql²

16

in der Mitte und M a

qV

12

-dl-Abb. 38.

-N

(12)

Bei einer Stärke der Platte von 14

und 18

cm

cm

in der Mitte

am Auflager genügen 10 Rundeisen 0 10 mit

(8,84)

an beiden, indem am Auflager statt 9,76

qcm

am Auflager gerechnet werden.

Die Nutzlast soll 1000kg/

betragen, so daß für ein Eigengewicht von ca. 0,12 • 2400 = rd. 300kg erhalten wird (bei 2 Stützweiten = 3,2 und 2,9 m):

(0,683)

qm

fe — 7,85

erforderlich wird (für das größere h ist auch x im Verhältnis größer anzunehmen)

4,88

qcm

13,0

(2,9)2

(2,9)2    (0,911)

Mm

1,3-3,2

1,3 - 3,2

16,5 — ca. 2

16

0,832 mt und Afa =

1,110““.

OII

. 9,76 = 7,65

qcin

11,8

4,42

bzw.

---8,84

16,5 — ca. 2    ’

= 6,30 qcm.

| r2.9--J.9    -32 ^ -2.9-^ 2.9

6 U2 35-    35 ⁵⁵

:    :    : gv: :

.....1-.!.

•B-i    Wfr    W

IUI

30,r-

Abb. 39.

Hieraus ergibt sich nach Alb:

6 jV/cmkg

7b-ab

(3,83)

— 4,22

cm

0.42)

(für b = 100 cm, ab = 40 kg) in der Mitte und = 4,88 am Auflager.

cm

(11)8) und 13,0

„    .    ₇    8    00,2)

Ferner ist n — m • x = — x = 11,2

*    ö

am Auflager und

(3,83)

100 • 4,22

cm

in der Mitte

Die Formeln Ala ergeben alsdann in der Mitte

(10,5)    (3,93)

(für b = 100cm, fe = 7,85 qcm, h = 12,5cra): x~ 4,38 cm,

(37,9),    (9 5 o)    ,

ab = 34,4 kg, oe = 957 kg und am Auflager (für b = 100cra,

(16,5)    (5,16)    (26,4)

fe — 7,85 qcm, h = 16,5 CIU): x = 5,16 cm, ab = 29,1kg,

(870),

960 kg.

Von diesen 10 Rundeisen können zwei unten durchgehen, acht nach oben obgebogen werden und zwei weitere oben eingelegt werden, welche die Spannungen in der Mitte nach A 2 a noch mehr reduzieren.

Die Querrippen erhalten eine Stützweite = 4,30m und als Maximalbelastung 2,9 + 3,2

(1000 + 300) •

+ ca. 135 = rd. 4100 kg.

cm

fe= 50

(7,66)

50

(8 84)

8,44 bzw. = 9,76qcm.

Mm —

Auch hier ist 4,1 • 4,3²

16

- = 4,74mt und Ma

4,1 • 4,3²

12

- = 6,32 mt

und letzteres Moment am Ende der Querrippen

ca. 0,75

8,45

_____

Abb. 40.

• 6,32 = 5,27 rat,

p ^ indem für Eingespanntsein am Auflager 0,21 l = 0,9 m dem negativen Moment entspricht (bei

in der Mitte noch weniger).

0,9

h = 39

, fe =

22,5-^

• 24,16 = 13,6 qcm,

pP

39 — ca. 4

d. h. es würden 4 0 21 = 13,86 qcm genügen, von welchen zwei nach oben abzubiegen sind und zwei unten durch gehen, so daß nach A la: x = 9,3 cm, ab = 19,9 kg, = 953 kg wird.

°e

16

Man erhält daher nach Alb:

6 • 474000

7•143 • 40

8,45

cm

430

(für b = —— = 143cm, o₆ = 40 kg)

ü

Ist bei verschiedener Stärke der Decken rechts = d' und links = d" gleichzeitig x größer als d', so erhält man aus den allgemeinen Gleichungen des Gleichgewichts

in A 3 für die Breiten b' und b" (wobei b' -f- ~

£

und

und x =

V-

6 • 527 000

7-21-40

— 2 3,2cm (für b = 21cm, ab = 40 kg),

La.

--h -

-b"— * -c-4---b'—

<221

- J+ji

somit

h = ~x

und/;

143 • 8,45

= 22,5 cm bzw. 61,9 21 • 23,2

cm

N~

50

24,16 qcm bzw.

50

= 9,72 qcm.

Mit Rücksicht auf die Schubspannungen ist eine

und eine Höhe von 42

..i

Breite der Rippe von 21 erforderlich, so daß man erhält für

cm

cm

b”+i<

(vgl. A3(2) wegen des Abzugs) oder

Cl

sind) nach (1) und (2) n

(,h — x)

bahx

b'ab (x—d'Y

Abb. 41.

b"-cb (x-d"f

b' x² + 2 b' d' x — b' d'² — b"x² -}- 2 b" d" • x — b" d"² oder

2 nhfe — 2 nxfe = b • x²

. (4) c • x² -f- 2 x (nfe + b' • d' 4- b" • d") = 2 n fe h -f- b' d'² + b" d"².

Nach (1) und (3) ist

31 =

b • ab x 2 d' / h 2 • 3    \x

l) * Oft • fe(h

b"-oh(x — d")²

•    (d' — d") oder

O

(5)

b- x • d' —

b„(x—_ nß X    \x

y fe (3h- x- 2 d')

, oe—n ab

Für x < d' und > d" fällt b' • x², 2b' d' x und b' d"1 in der Gleichung vor (4) fort, und ebenso

b"ab (x ~ dy_ JL — d")

508

527000    21-19,5

40

52 —

r)

oder

in der Gleichung vor (5) mit d" statt d' (bei doppelten Eiseneinlagen kommen nur die Glieder mit fe in A4a hinzu). Zur Dimensionierung genügt ein Mittelwert

b' • d' + b"d"

f'e = 6,20 qc,n und

Oe fe

25/;=

⁺ ~2

508 -6,2    21.19,5

40

d<

2 (b' + 6")

für die Breite b.

Am Auflager ist h = 62 52cra (bei 55

so daß doppelte Eiseneinlagen gemacht werden müssen. Man erhält daher nach A 2 d:

cm

erforderlich, während Höhe der Querrippen) vorhanden sind,

cm

oder fe = 11,35 qe,u.

Für b = 21C1", fe = 4 (p 21 = 13,86 qc,n, f't = 2 0 21 = = 6,93 qcm, h = 52 cm, h' = 3 cm ergibt sich nach A 2 a x = 20,9 c,n, o₆ = 37 kg, oe = 826 kg.

Zur Berechnung der Schubspannungen ist 4,100 • 4,3

= 8.82

f-. 52 = 19,5 cm,

(die Kontinuität braucht hierbei nicht berücksichtigt zu werden, da Einspannung vorherrschend ist), und im

Auflager |die Abschrägung

(‘-t)

= 15-40 ^1 —

/    h'\    M

(i - -) ■ r. <* - *■) =

Ge = n-ob

19,5

r(*

= 508 kg;

oder

Abstand 0,15 und 0,60“ vom

0,21 l

endigt annähernd bei

= 0,45 rn)

1,0-

2,9    3,2

(3,70)

- 4,15²

4,3 • 2 8210

+ (4,1—3,05) (%-

(0,60)\

0,15)

(6,4 8)

= 8,21% somit

To =

20,9

52---

— = 8,68 kg bzw.

6480

•21

(-fr

= 8,60 kg, zulässig 4,5 kg.

Der Wert 4,5 kg wird erreicht bei 6480 • 4,5 8,60

= 3390

3,05 • cc2 4,3-2

x = 2,78 m, so daß der Abstand vom Auflager = 152

und hierfür ist

-J- 1,05 (x — 2,15) = 3,390 oder

cm

wird.

Die schiefe Zugspannung ergibt sich aus der schraffierten Fläche, indem (vgl. S. 27)

152 — 60 (8,60 — 4,5)

•21 +

berechnen. Als Belastung durch Einzellasten erhält man 4,1 • 4,0 = 17,4 * bzw. 2,9 • 1,3 + 0,13 == 3,9 ‘|m und 3,9 • 4,0

= 15,6i, und zwar an den Anschlußpunkten

(60 — 15)

V*

•!(

8,68 + 8,60

⁴'⁵)(

• 21 = 5568 kg

wird, somit o =

5568

6,93

= 803 kg ist.

9221 J?21292/

2$21 '

X7o-9.

Die Adhäsionsspannung ist —für die nach oben abgebogenen 92 Eisen zu berechnen, da sie 9$21 die Zugspannungen aufzunehmen haben, und unten der Druck des Betons vorhanden ist. Man

der Querrippen.

Die Längsrippen erhalten außerdem eine gleichförmige Belastung = 0,3 • 0,55 • 2400 + 0,3 • 1000 = rd. 700 kg/m (die Belastung verteilt sich durch die Armierung auf die Querrippen, und von diesen auf die Längsrippen). Vom Eigengewicht ergeben sich die Einzel-

-2.9

zS"

2.9 52 -2,9

2S ZS

2%-

Äi

Mr--o

:a=2/):

^Tr

Mr+1 Mr+2

=5,8 ~ ■ Irr 162 lr+2z

Mr+3z0

5,8--

Abb. 42.

erhält bei vier Rundeisen <$> 21

21 • 8,68

b-

+>.

nizd

4 • 3,14 • 2,1

= 6,9kg, zulässig 7,5 kg.

Die Längsrippen der Decke sind wegen der Nachgiebigkeit der mittleren zwei Stützen als kontinuierliche Träger mit drei Oeffnungen von 5,8; 3,2; 5,8¹¹¹ zu

15,6 17,9    17,9 15,6t

(9,0) (9.2) (9,2) (9,0)

Abb. 43.

P25.6 17,9 17,9 R15.6 Abg. 44.

lasten

300 (4 1 0 0- t 3 5)    ,

• 3965 (s. S. 30) = 1050kg/m oder 1,05 • 4 = 4,2¹

1300

und

300 (3900-130 )    . ,

•3770 (s. S. 32)= 1000 kg/m oder 4‘, ferner

1300

(nach Obigem) 400kg/m gleichförmige Belastung.

Nach der Clapeyronschen Gleichung (Weyrauch, kontinuierliche Träger, S. 8) ist:

irh*

Mr • lr + 2 Mr+J (lr -f lr+l) -f Mr+2 • lr+l

9.r+1 * K+\

__v

r P- a(l²r — tt²)

y P-HW-V)

r+l

lr+l

und durch Einsetzung der Belastungswerte wird:

’f-■ (5,8= + 3,2=) - -0,7 • 3,2³ + 0,4 • 5,8³

(1)

2 M₂ .9+3,2 M₃ = -

0,7

15,6

(2)

M₂ • 3,2 4- 2 M₃ • 9 =

(0,4)

-— 2,9² • 3 = — 236,68 bei Vollbelastung von I und II.

4

— — • 2,9² • 3 == — 75,71 bei Vollbelastung

von

I und II.

(3)

M₂ • 3,2 + 2 M₃ • 9 = —

(0.7)

0,4 • 3,2³ + 0,7 • 5,8³

15,6

Auf (1) und (2) ergibt sich:    =

M₃ =

Aus (3) erhält man:

m₂ = m.a =

— 9 • 236,68 + 1,6 • 75,71 2(81 —1,6²)

— 9 • 75,71 + 1,6 • 236,68 _

2 (81 — 1,6²)

— 234,22

— • 2,9² • 3 = — 234,22 bei Vollbelastung von I und III.

Li

= — 12,80 mt,

2008,98

156,9

302,50

156,9

= - 1,93 nit.

in)

= — 11,05 mt ^

21,2

Das Maximalbiegungsmoment in der Mitte von Oeffnung I ist daher:

11,05

M max = —

0,7 • 5,8²

( 0,7)

bzw. = —

25,25

21,2

== — 1,19

+ 15,6 •    = + 20,04mt

(-1,19)

(in der Mittelöffnung erhält man M max = — 11,05 +

Spannungen eintreten).

Die Höhe und der Eisenquerschnitt der Längsrippen ergeben sich aus den Formeln A3b:

0,4 • 3,2 ² _

(- 0.29)

= — 5,93 mt

in der Mitte, so daß hier oben Zug-

und für b = —

580

3    — 193

cm

7+* + 16-d,^- — l) ‘X d= 12

cm

c = 30

cm

Q

er* s

+ d2(T-¹)(

11-1®)

x /

, o₆ == 40kg: 7 a:² + 16 • 12

193

30

lj • x

6 • 2 004 000

30-40

+ 12= (

193

(ca. 1)

30

>)(

11 —

(1056)    (2487)

oder äs² + 149,0 a; = 1431 + 1118 = 2549

und x = — 74,5 + j/ 74,5² + 2549 = 15,5

(2487)

Ferner ist:

cm

(15,1)

und bei Einsetzung von x — 15,5

cm

in

= 15,1cra.

‘ ~~3 X ~ ~3 ' 15,1 = 40,3

cm

; 25 f, =d(b

= 12 (193—30) ^

12

30 • 15,1

30,2

oder fe — 56,3 qtm.

Bei der angenommenen Gesamthöhe von 55

15,1

cm

ergibt

aus A3a: x² + ‘2x

40,3 —

+-(H|

2nfe -h

sich für h — 47

cm

.56,3=48,0 qcm,

47 — ca. 5,5

d. h. es genügen 8 0 28 = 49,26 qcm und man erhält,

+ d² — 1^ oder x² + 2 x |

15-49,3

30

W”-)|

2 • 15 • 49,3 • 47

-F 12²

x² + 2x- 89,85 = 3095, cc = — 89,85 + j/89,85² + 3095 = 15,8cra,

30

Die Schubspannungen ergeben sich aus 12 040

To =

zulässig 4,5 kg.

(47 — 5,3) • 30

= 9,6 kg,

— 2d — x)

Diese Spannung tritt ein bei der Querkraft 4!⁰⁴⁰-⁴’⁵ ₌5fi40*.

sm W21

10 $10 pro m.

9,6

‘Pr« ’!>■

’i/x-

r-s^a

*30.

fe

-^7-

wm

■43-

SS 1

0/-

Als Querkraft im Abstand x erhält man Vx=Vr-gr-x (bei rechtsseitiger Belastung) und

cs.

35-

Abb.

Vx = Vr + 9r • (K — X)

(bei linksseitiger Belastung), somit ist für x — 2,9 m, Vx = — 12,04+0,7 (5,8 — 2,9)= - 10,01 % 10010

3 • 2 004 000

und für

(47 — 5,3) • 30

= 8,0 kg,

193-15,8-

60,12

0,366 + 1,479

12 + 15 ( 47 = 32,6 kg,

15,8

1^ • 49,3 (3; 47 — 2 • 12 — 15,8)

x—5,025“, Vx — — 12,04+0,7 (5,8 — 5,025) = —11,50*, 11500

To =

(47-5,3)- 30

= 9,2 kg

(■-)

= 15 • 32,6

15,8

•)

= 966 kg.

und für

x—5,625,n, Vx = — 12,04 + 0,7 (5,8 - 5,625)=—11,92%

11920

Für daa negative Moment M — — 12,80 rat erhält man bei der Gesamthöhe von 70

(64,5 — 7,9) • 30

= 7,0 kg.

cm

und h — 64,5

cm

b = 30

cm

nach A 2 d: x =

JO ! X

oe = n • ab

('

= 15 • 40 •

• 64,5 — 24,2 cm;

5,5 24,2

(>

j = 464 kg;

Die Resultante der schiefen Zugspannung ist daher z,_ 212^5    4,7 + 3,5 ,    60 2,5 + 4,7

1/2

V*

-.30= 23 070kg

°b

°b

¥(*-■)

- -2.9- -

W8\2f2$S/!?2l

M itte

r+r

oder

464

₄₀ -f'e (64,5 -5,5) = -oder f'e — 16,8 icm ferner 25 fe —

1280000    30-24,2

40

64,5 —

4,2 \

3 )

30 • 24,2

Oe f'e <h'X 464

ab    2

somit genügen unten drei und oben

40

' ¹⁶’⁸ + 2

oder fe — 22,3 vier Rundeisen 0 28, und es können die vier oberen Rundeisen 0 28 nach oben abgebogen werden und die vier unteren nach unten.

Die Berechnung nach A 2a ergibt alsdann für fe = fe = 24,6 qcm: x — 23,6 cm, oö = 34,3kg, 0<; — 890 kg.

(In der Mittelöffnung geniigen

für M — — 5,93 2 0 28 und unten 4 (p 28 in der Mitte, und oben 4 0 28 und unten 2 Cp 28 am Ende.)

Die Querkräfte am Auflager ergeben sich aus Weyrauch, kontinuierliche Träger, S. 8 und 9:

K+, - Mr

Mi -0

qcm

M 2 M3

Mr-0

V! VF Vi f? fj VH Abb. 47.

links:

v: =

r

2P(lr-a)

mt

oben

<Jrh

6*1

V'

Abb. 48.

Bei Aufbiegung von vier Rundeisen 0 28 wird die

23070 24,6

1000 kg. Die Adhäsionsspannung ergibt sich auch hier für die vier Rundeisen oben aus

b • t₀ _ 30 • 7,0

T’ ~ nr.d ~ T/S^SÖ

Beanspruchung derselben a =

= 938 kg, zulässig

= 6,0 kg

rechts: F” =

Mr+i — Mr

r \

2 P-a

zulässig 7,5 kg.

Die acht Rundeisen unten erhalten bis

30 • 8,0 8 - 8,80

(für x₀ = 9,2 kg ist unten Druck des Betons vorhanden und daher die Schubspannung wesentlich kleiner, indem sie nach unten abnimmt).

zur Mitte des Trägers t, —

= 3.4 kg

-Ü2-

Abb. 49.

oder

2

und

5,8

(— 12,80 — 2,9 • 15,6)

0,7 • 5,8

12,04*

Die Stützen haben einen Auflagerdruck =34,0‘ auszuhalten, wozu noch die Belastung durch die Dachkonstruktion mit 250kg + 100kg für Schnee- und Winddruck = 350 kg pro Quadratmeter kommt, oder zusammen

4,3 (2,9+M)

= 6,8 *, somit im ganzen 40,8

0,35 •

0,7 • 3,2

Z (_ 1,93 + 12,80) +

Der Auflagerdruck ist

Q₂ == v; — V[' = 4,52 + 12,04 = 16,56¹

und derjenige auf den Pfeiler

= 16,56 + 17,4 = rd. 34,0*.

n' =

3,2

₂    = + ⁴,52‘.

cm

Bei 35/35 = 12,56 (ca. 1 o/₀) ist

40 800

35~35 + 15 - 12,56 und mit Knickung für

Querschnitt und vier Rundeisen 0 20

40 800

1413,4

= 29.0 kg

b-H³

12

+ 2 - 15 -

6,28

35 • 35³

12

•)*

= 154 490, und

1413,4 • 2102 154490

= 1,043 • 29,0 = 30,2 kg, zulässig ist 35 kg.

k= 1 + 0,0001 •

= 1,043,

2. Berechnung einer Balkenbrücke von 12m Stützweite.

Bei einer Fahrbahnbreite von 6 m können fünf Träger im Abstand 1,5m oder sechs Träger im Abstand 1,2m angenommen werden (1,3 — 1,6m wird empfohlen). Wenn

die Konstruktionshöhe genügt, soll das erstere gewählt werden. Die Belastung geschieht durch eine Dampfwalze von 16 4 sowie 450kg/qm Nutzlast. Als Belastung der Decke erhält man eine Einzellast von 5 ⁴, welche unter den Böschungslinien 1 : 1 verteilt werden kann,

Letzteres wird vielfach angenommen und ist für die Längsrichtung :der Brücke jedenfalls richtig, da die benachbarten Teile der Platte mittragen (in der Querrichtung ist der Einfluß nur gering und kann auch mit der größeren Steifigkeit der ganzenPlatte begründet werden). Man erhält alsdann in der Längsrichtung 10 + 2 - 25 + 16 = 76 44 + 2 • 25 + 16 = 110 Mitte

■-¥(

15-11.3

-1 +

V¹ +

nfe

2 • 100 • 14.4

ZJ

VW

°6 =

35

Abb. 50.

und zwar bis zur Mittellinie der Platte.

cm

cm

und in der Querrichtung Verteilung, so daß in der

100

15-11,3 2- 120000

= 5,50

cm

b • x(h--

ferner

oe = w • ab

100-5,5(14,4 — 1,73)

= 34,4 kg,

= 15 •

34,4 ^

14,4

5,5

⁴)

= 835 kg.

Am Auflager genügen bei der Höhe von 21cin: 5,86

15,6

• 11,72 = 9,3 qcm

19,4 — ca. 2,2

oder 8 0 12 und 2 0 9 mit fe = 10,32 qcm, indem alsdann

2-160 000

x — 6,36

cm

ae = 15 •

100 • 6,36 (19,4 — 2,12)

= 29,2 kg

29,2 ^

19,4

⁴)

= 898 kg wird.

= 4(⁰’⁷⁵

|5-) = 1,188“*

Mt

:d

Walze

-ui

\v'

F ~~    ' ~~1

hl.--

15

6,36

Es können somit unten 2 0 12 durchgehen, 8 0 12 nach oben abgebogen werden und 2 0 9 oben eingelegt werden.

Bei 12,0m Stützweite und 1,5 m Abstand der Ilaupt-träger erhält man für die im mittleren von drei Hauptträgern liegende Achse ab der Dampfwalze (die Walzengewichte von 5 ⁴ und 3⁴ sind auf die Breite 0,44 m und 0,65m zu verteilen, und dann nach dem Hebelgesetz auf die Hauptträger

----UOCTJtr ~ -

-76 cm - -    2,5 t

5,0t

Abb. 51.

2,5 t

Abb. 52. 2

und (weil hier die Querrippen fehlen) — Mp

5

Am Auflager ist Mpa —

— anzunehmen ist).

9

b 1,6 A

OM] I S t I

a- WJI-.....

= 0,792 mt

~5T1

St OM

wird.

eo oo

• 1,188 — 1,056 mt

---3fi---

Abb. 53.

(da Ma =

pP

Bei 0,76m Längs-

zu übertragen):

2 • 5 - 0,72

2-3 • 1,125

1,50

Verteilung wird pro m Länge 0,792

MPm

= 1,042 mt, Mpa

1,056

— 4,8⁴ und

450 • 0,5 • 0,25    ₀

--t--. 2

1,5

= 4,5⁴

0,76

0,76

Vom Eigengewicht erhält man

0,25 • 1800 + 0,16 • 2400 = 840 kg| 0,84 • 1,5²

= 1,390 mt.

m?

12

— 0,158 mt

und

Mga =

0,84 -1,5²

= 0,210mt,

somit zusammen Mqm = 1,042 -f- 0,158 = 1,200 mt und Mqa — 1,390 + 0,210 = 1,600 mt.

Die Stärke der Platte ergibt sich aus Alb:

(160 OOP)_

6 • 120 000 7 • 100 • 40

lhob

V-

(5,86)

= 5,07,

(15,6)

*=-j»=13,5-,

(1 1,72)

50

(5,86)

100-5,07 = 10,14qcm.

50

In der Mitte genügen daher bei 16

cm

Stärke der

Platte 10 0 12 = 11,3qcra, und für h = 14,4cm (lcm Abstand vom Rand) ist nach Ala:

= 75 kg/m

und zu beiden Seiten noch

und an den Enden 450- 1,5 = 675 kg/m.

Das Eigengewicht ist

= 0,25 -1800 • 1,5 + 0,16 • 2400 • 1,5 + 0,35 • 0,84 • 2400 = = 675 + 576 + 706 = 1957 rd. 2000 kg/m.

Das Maximalbiegungsmoment ergibt sich annähernd bei Halbierung des Abstandes der Resultante 4,5 - 3,5 4,8 + 4,5

1,5

= 1,70 m

7 - /2,0 m

R‘9,3t Abb. 54.

von der größeren Last 4,8 ⁴ durch die Mitte der Brücke, so daß man erhält:

2,075-12 , 0,6 f 2,75²

9,3-5,15

12

+ ³>⁷⁵(¹² - 1,875)1 +

₁₂    = 18,53 *,

M= 18,53-5,15

2,075 • 5,15²

0,6 • 3,75 (5,15 —1,875) = 60,55 mt.

Die Schubspannung ist angenähert nach A 3 a:

Die angenäherte Bestimmung des Querschnitts (bei Vernachlässigung des Drucks im Steg) ergibt sich aus A 3b:

6-6055000 ,

To

(*-4

+ d ^

+ 16(11 — ca. 1) oder x — 33,7

11 —

cm

-)

O! Ci

150- 16-40

22 000

2 • 33,9 — 3-16

,h = — x = 90 cm, 3

= 150-16^1

16

35 ^90 — 8 —

(die genaue Berechnung ergibt 7,71 kg)

35

= 7,74 kg

150

67,4

und fe = 75,9

qcin

_ 3,5 _ M 7,9

75 m T ■"'

(die genaue Berechnung mit Berücksichtigung des Druckes im Steg hätte für c = 35 h = 86cm, fe = 79,0qcm), so daß für h = 90 , Gesamthöhe = 1,0 ra bei 35 cm Breite und 10(1)32 = 80,42 Eisenquerschnitt anzunehmen sind.

Die Inanspruchnahmen werden alsdann nach A3a:

-    2 nhfe

ni :    675K£/rn. _

— -- 12,0 - - _ _ _ _ ;a

ZS

cm

ergeben: x = 32,2cm, eine

cm

qcm

Abb. 56.

oder auch

x² +2 x

oder

f?-■€ - ■))

To —

22 000

+-4)

35 (90 — 8)

— 7,67 kg,

i 35 2 • 15 • 90 • 80,42

+ 16

(f-)|

so daß rd. 7,7 kg angenommen werden kann.

Die zulässige Schubspannung von 4,5kg wird nun erreicht bei

22000 • 4,5

35

7,7

= 12 857 kg,

- 1,5

7099

— 7,5—

M/m f' ~ (iKKi/m. "

mmy/zA - /

I----.......- -

>•

2?9

209

4,5 t

4.5t

HilM

Abb. 57.

10m

+72

und hierfür ist x zu bestimmen aus: | 0,6 (x — 4,1)²    0,075 x²

m\-

*-r

Abb. 55.

oder

a?² + 2 • 87,04 £C = 7045

x = — 87,04 4- j/ 87,04² + 7045 = 33,9 cra. 3 4/

5 • a? • d + n — ljfe (3 h — 2 d — x) 3 • 6 055 000

f aj-4,8 + (a:-3,5)-4,5|i +

+ 2,0 (y — 12 + ^=(0,3375 z² + 6,84    10,707) M +

+ 2 x— 12 = 12,857 oder

x² +91,6 a? = 916, # = — 45,8+ 1/4+8² + 916 = 9,1ra, also im Abstand 2,9 m vom Auflager (siehe Abbildung 63). Die schiefe Zugkraft ist

(t₀ — 4,5) • x • c__J3,2 • 290 • 35

21/2“

somit bei fünf Rundeisen (J) 32 :

2 • j/2

= 11480 kg,

150 • 33,9 •

16 + 15^

90

33,9

lj - 80,42 (3 • 90 - 2 -16 — 33,9)

°e =

11480

181,65

0,81 + 4,08

= 37,2 kg, oe = nah

£-)

= 15 •

37,2 (

90

= 923 kg.

5 • 8,04 Die Adhäsion ist

b‘xo n-r.d

= 286 kg, zulässig 1000 kg.

Ti =

35 • 7,7

33,9

Werden oben noch drei Rundeisen 0 20 im Abstand angebracht, so erhält man nach A4a: x = 32,9 cm, ab = 35,3 kg, oe = 920 kg.

Ist die gesamte Konstruktionshöhe kleiner als 0,96 + 0,25 = l,2m, so sind die Formeln A4c zur Bestimmung von fc und fe anzuwenden.

h’ = 5

cm

Zur Berechnung der Schubspannungen ist die nebengezeichnete Belastung anzuwenden (die Verteilung der Einzellasten kann hierbei vernachlässigt werden), und es ist 2,075 • 12

0,6 • 7,9²

+'-s *'s)s

+ 4,8 =

= 12,45 + 4,75 + 4,8 = 22,0 * (s.'jAbb. 56).

= 5,4 kg, zulässig 7,5 kg.

Stärke im Ende,

5 • 10,05

Die Gehwegkonsole erhält im Anschluß 35 im Anfang und 10 so daß sie eine Belastung vom Eigengewicht = 0,15 • 1,5 • 2400 — 540 kg und von der Verkehrslast tragen bat. Es ist daher

und eine Höhe von 20

1,215 • 1,5

cm

cm

cm

1,5 • 450 == 675 k«

= 0,911 mt pro Meter Breite,

und nach Alb erhält man:

i/1E_ = i/

’ i •«»    '

6-91100 7 • 100-40

= 4,42 em,

<s

h = — x == ~4,42 = 11,8 cm,

zu

50

100 • 4,42

50    = *’⁸⁴

qcm

Man erhält alsdann nach Ala für h == 18cra:

= 880 kg.

x = 4,98

cm

somit bei 20

cm

Höhe noch

= 22,4 k‘,

11,8

4,4

Zur Versteifung des Druckbetons können unten angenommen werden, so daß

. 8,84 = 5,9

qcm

noch 2 <t> 9 = 1,27 nach Alb:

qcm

18 — ca. 2,5 oder es genügen 10 <D 9 == 6,36 qcm.

wird.

.z = 4,90 cra, oh — 21,7 kg, oe = 870 kg

3. Berechnung des Widerlagers für die Balkenbrücke.

Die Balkenbrücke soll ein Widerlager aus Betoneisen erhalten, und ist dasselbe auch mit der Dampfwalze zu berechnen. Das Gewicht derselben verteilt sich auf

so daß

erhalten werden. Hierzu kommt

eine Fläche von (2,0 + 2 • 0,25) • 5,5 = 13,75 16 000

qm

= 1160 kg/

qm

13,75

noch das Gewicht der Fahrbahn mit 0,25 • 1800 = 450 kg/qm, und (bei 1700 k^ für 1 schiittung = h' angenommen werden.

cbin

Erde) kann daher 1 m Ueber-

Der Erddruck für die Stützmauer ergibt sich aus der Formel:

E=

i-(A’ +2A.A').rtg >(45—|V

worin für den Reibungswinkel der Erde bei einer Böschung 1:1-^ : cp = 33° 40' zu setzen ist. Der Reibungs

winkel zwischen Erde und Mauer kann im allgemeinen = —

2

gesetzt werden, indem die Angaben hierüber zwischen 0 und cp schwanken, so daß ein Mittelwert ausreicht. Man erhält daher für den oberen Teil der Stützmauer:

E=-y- (7,5² + 2 - 7,5 • 1,0) • 1,7 • 0,287 • 1,5 = 26,1 * £

(wenn der Abstand 1,5 m der Rippen zugrunde gelegt wird). Der Abstand derselben von der unteren Kante ist

_h 3 h' h _ 7,5    3 -1,0 + 7,5

~T ’ 2 h'+h ~ ^3    2.1,0 +.7,5

Für die ganze Höhe der Stützmauer bis zum Fundament (= 10 m) erhält man:

E=

— 2,76 m.

^-(10² + 2 • 10 • 1,0) * 1,7 • 0,287 • 1,5 = 44,0 t £

,u .    ^ 1°    3-1,0+ 10

,m Ab8tand T • 2-1,0 +10

Der obere Teil soll zunächst als , ; voll und mit vertikaler Hinterwand ge-L—rechnet werden, wobei als Mittelwert des Gewichts für Erde und Beton 2,0 *|cl)m angenommen werden kann.

Die Resultante sämtlicher Kräfte soll nun durch die Kante B gehen, und als I solche sind anzunehmen: E = 26,1¹ (für

-t cos = 0,957 und sin = 0,290 £ £

\22t erhält man die horizontale Komponente 0,957 • 26,1 = 25,0 ¹ und die vertikale Komponente 0,290-26,1 = 7,6 *), ferner das Gewicht des Pfeilers AB CD mit vorderer Abschrägung 1 : 15

= (a? — 0,25) • 7,5 • 2,0 • 1,5 = (x — 0,25) • 22,5

und die Gesamtlast der Brücke pro Balken = 22,0 h

= 3,61 m.

Da Eiseneinlagen gemacht werden, so soll oben eine Breite = 1,0m und nach hinten eine Neigung 1 :25 angenommen werden, so daß die Breite unten = 1,8 m wird.

Der unter der Erde befindliche Teil der Stützmauer kann ebenso durch Annahme der Resultante sämtlicher

x gerechnet werden, und erhält

Kräfte im Abstand

O

man als solche: E = 44,0 ¹ (bei 1 : 25 Neigung mit den

(0,946)

Komponenten 44,0- cos (16° 50' + 2" 8') = 41,6 ‘ und

(0,325)

44,0 • sin 18° 58' = 14,3% ferner das Gewicht der oberen Mauer = 31,5 ¹ und der Brücke — 22,0 ¹ sowie des unteren Teils

x 4- 1,8

• 4,0 • 2,2 • 1,5 = (x + 1,8) - 6,6.

Die Momentgleichung in Beziehung auf E ergibt daher

+ 1,12 • 22 + 0,75 • 31,5 +

(x + 1,8) •

+ 41,6-5,11 =-i--x[{x +1,8)-6,6 + 22 +31,5 + 14,3^

³ I    I

oder 9,9 x² + 35,64 x + 1581,80 = 26,4 a?² + 317,72 a: oder 16,5 a:² + 282,08 x = 1581,8; x² + 17,10 x = 95,9,

— 8,55 +    8,55² + 95,9 = rd. 4,5-m.

ofl jp^

tSL3ja_.

EW

Abb. 58.

Man erhält daher in Beziehung auf B die Moment-

gleiChUng    ix_0 25

2,76 - 25 = x • 7,6 -f 22 - 0,68 + (x — 0,25). 22,5 I-

oder 69 = 7,6 x + 14,96 -f 11,25 (x² - 0,25²) oder 11,2 • x² -f 7,6 x = 54,74 und X² + 0,68 a? = 4,86, * = — 0,34 + j/0,34²+4,86 = rd. 1,9 m.

+ 0,25)

vq-

I

-m

31.5\

%-TJjP

22t R Abb. 59.

t~~

15

t—

-4^;

*®i!

' ' \

*w

\A K \

«4

VC

»t

ü-Sj mm₍y/7,63t

lt/'%,

«%;

mjL

y^?äffl/xm>K

-2ß—k-1,6-*

mt

Abb. 60-

Im oberen Teil erhält man graphisch (für das Eigengewicht der Brücke = 12,0l) eine vertikale Resultante von 52,0 * im Abstand 35cm Vollbelastung = 22,0 0 eine solche von 62,0 ¹ im Abstand 15 cra vom Rand, so daß auf der anderen Seite größere Zugspannungen des Betons entstehen und Eiseneinlagen erforderlich sind.

Zur Berechnung der dadurch entstehenden exzentrischen Beanspruchung dienen die Formeln B 3 b (für oe > 1000 kg), und man erhält fürP=52l, (Jv — — 35cra, h — 175 cm, = 210cm, b = 150 d = ca. 18 cm, oe = 1000 kg;

vom

Rand und (für ihre

cm

C = 30 cm,

oder

z² — 525 X == —

+ 18

150

.1

30

6 P-g,

■ ------- - • 11

C • °e

6 h — 3 d — d

(M

)}

6 • 52000 • 210* 15

30 •1000

/ 175

\ x

6-175-3-18 — 18

(3-175 — 2-18))

oder x² — 525 x — 104 472 +-

6366744

= 0.

Für x =

|50

— 887

ist f{x) —

, x — 50

887 • 5

16298

= 49,7

cm

4- 15 411 und hierfür f{x) = + 10.

Ferner ist

40

Die Berechnung für gx = — 15 cm, P = 62* etc. ergibt x — 65,0 cm, a₆ = 25,6 kg, oe = 680 kg.

In Wirklichkeit sind die Beanspruchungen noch kleiner, weil die zusammenhängende Betonbrücke dem Erddruck widersteht. Dieser Widerstand wird jedoch auch bei eisernen Brücken (z.B. Blechträgern) nicht berücksichtigt, und die Widerlager sollten auch ohne Brücke stark genug sein.

Infolge des horizontalen Widerstandes der Brücke entsteht eine Durchbiegung der Vorderwand des Widerlagers, für welche die Längs- und Quereiseneinlagen berechnen sind.

Für die Quereiseneinlagen der Vorderwand von 15/20cm Stärke und 1,5 ra Stützweite ist der horizontale Erddruck von 25,0 ‘ im Abstand 2,76 m maßgebend. Derselbe verteilt sich in einem Trapez, dessen untere Seite x aus

• 1,7 • 1,5 = 25,0 ‘

(• + &)■£

X5

ZU

X ' °e

49,7 - 1000

n (h — x)

15(175 — 49,7)

= 26,5 kg und

erhalten wird, so daß 25 • 2 • 8,5

7,5-1,7 • 9,5

= 2,35 m ist.

7,5 mr

25t

b — c (x — d)²

15

175

{h — x) „ _    _    „

X 'e    ab ' 2

52000 , 150-49,7    150 — 30 (49,7 —18)²

— oder

49,7

26,5

49,7

fe =

562,5 • 49,7

Die Belastung wirkt auf eine Breite zwischen den Rippen von 1,2m und eine Höhe von 1m, und es ist daher (1,0 • 2,35 • 1,7 • 1,2) / 1,5    1,2 \

\2    4/

Abb. 61.

15 • 125,3

— 14;9 qcm^

lut

(mit Rücksicht auf Erschütte-

Die Berechnung mit gx = — 15 cra, g₂ — 190cm, ergibt ebenso x = 51,8 cm, o₆ = 28,1 kg, ~, somit Eisenquerschnitt hierbei kleiner.

Es genügen daher 4 0 23 mit fe = 16,62 qcm, und man erhält alsdann für gx = — 35 cm, P — 52 ‘ etc. nach B 3 a:

= 1,08

rungen und die gemeinsame Durchbiegung der Rippen und Platte nach außen ist das ganze M gerechnet worden).

P = 62 *

fe = 10,0

qcm

Nach Alb ist

/~6~M~ _

x =.

V-

6 • 108 000

7 • 40 • 100

= 4,82 cm,

/*=-*=

8 • 4,82

12,9

cm

&nfc

6 • 15 • 16,62-210

x² — 3 gx x =

(—)

— d-\

Hz!*)}

X i

Ci tc

oder

fe =

50

Bei h = 18

cm

100 • 4,82

50    ⁼⁹^qCm*

wird

12.9--

4,82

x² + 3 ■ 35 X —

30

/ 175

\ x

fe =

~ • 9,64 = 6,80

qcm

+ 3 • 18 •

150

( 30

>)•

— 2-35—18 + 18

ccl tc

•18 + 35

18 — ca. 2

somit genügen 10 Rundeisen 0 10 mit fe = 7,85 qcm bei einer Stärke der Wand von 20 beanspruchungen sind alsdann nach Ala für

Die Maximal-

oder

50

x² + 105 z +- 29479 — 3073

2015091

0.

nf. (

b V

15 ■ 7,85

*ft

2 • 100 • 18

100

Für x =

}ö5

ist f(x) =

, x = 55

1641

4714

• 5 = 53,3

cm

15 • 7,85 2 • 108 000

= 5,45cm,

+ 1641

100 • 5,45 (18—1,82)

= 24,5 +

qcm»

und hierfür f(x) = + 109 und genaues

3,3 • 109

= 53,2 cm.

Ge = n-ob

— 15 • 24,5

5,45

= 848 kg.

/) f '

c • x + d {b — c)

(-4)

2 • 52 000

30 • 53,2 + 18 (150 — 30) ^2

18

53,2

• 15-16.62

175

53,2

;    -2,93- - <f- -3,57- - ~^R2ß

^-------&y -

XyA'/

k.ii

104

1,60 +- 3,60 — 1,14

— = 25,6 kg,

Abb. 62.

oe=nab

(-■)

= 15 •

25,6 (

175

53,2

— l )    880 kg,

Die Ausbiegung der ganzen Wand erfolgt durch den Erddruck auf 6,5m Höhe, und man erhält hierfür das Trapez des Erddruckes AB CD mit den Höhen AD

= 2,35 • 1,7 • 1,5 = 6,0* und B C =    6 = 1,4 ‘, so daß

0,0

6,5 • 6

der Auflagerdruck A

4,6 • 6,5

14,5* wird.

Die Verlängerung der Stangen nach unten beträgt, für 23 cin Durchmesser

r-

3*32

&S

W32 "\JfS2

Das M max ergibt sich durch Gleichsetzung der Fläche ADEF mit dem Auflagerdruck A, indem alsdann

für x —: V =

dM

dx

= 0 wird, und somit

!:25

•o.

‘25'

3*32

-2.9

oder

x² — 11 x — — 41 x = + 8,5 — |/8^²^Tl = 2,93 m. Hierfür ist M max = 14,5-2,93 —

6,0 • x —

6 • 2,93²

fto nik

\

Abb. 63.

2,07 • 2,93²

'-3

= 42,6 — 25,75 -j- 2,95 = 19,8 mt.

2 • 3

Die Stärke der Rippe ist an dieser Stelle 0,8 - 2,93 7,5

1

= 1,8 —

so daß für b — 30

cm

= rd. 1,50 m,

40 kg nach Alb ist:

•S.

-1.8-

MM,

6 • 1980000

7-30-40

= 37,7

cm

/* = — -37,7 = 100cm,

HO

fe =

30 • 37,7

50

= 22,6 <*cm

somit für h = 144

cm

ir d²

100 —

37,7

• 1000

4,15 • 1000

fe =

144 — ca. 18

• 22,6 = 15,7

qcm

oder es genügen 3 0 28 mit fe = 18,36 qcm.

Die Beanspruchungen werden alsdann für fe = 18,4 qcni, nach Ala:

2 nfz'X 2 n fe • h

ir • d • 7,5 und für 28 cm: l = -

7,23 • 7,5

76,5

cm

h — 144cm, 6 = 30

cm

6,16 • 1000 8,80 • 7,5

für geringeren Beton im unteren Teil 1 lj₂ m ausreichend.

= 93

, somit ist auch

X² +

Die Beanspruchung der Fundamentfuge ergibt sich aus

6-e

oder

x² -f

2 • 15 • 18,4

2 • 15 • 18,4 • 144

94000

30

30

(l ± *2**-) 330 • 150 \    330 J

#² + 18,4 x = 2650, z = — 9,2 + ]/9,2² + 2650 = 43,1 cm,

2 • 1 980000

(» —t)

30 • 43,1 (144 — 14,4)

23,6 kg,

1 980 000

18,4 (144—14,4)

= 830 k«.

— 4,8 kg Druck. + 1,0 kg Zug.

Die Beanspruchung der Bodenfuge ist 114 000 450 • 150 — 3,2 -0,2

— — 1,90 T 2,93 =

1 it

6 • 65

450

= — 1,69 T 1,47 =

kg Druck.

4. Berechnung eines Gewölbes für eine Bahnüberführung von 20m Lichtweite.

Die Form des Gewölbes sei eine Ellipse mit der großen Achse 2 a = 21,2 m und der halben kleinen Achse b = 7,5 m, so daß für das eigentliche Gewölbe eine lichte Weite

= 20 m und eine Pfeilhöhe = 5 m .yd/ '"Ss /    erhalten wird. Die Konstruktion

j a ''A'/' a \ \ der Ellipse ergibt sich aus den Kreisen um 0 mit R = a und = 6, so daß die Gleichung der Ellipse

M’F und M" G die Mittelpunkte M'" des mittleren Bogens erhalten werden. Die Ellipse setzt sich dann zu-

6²

sammen aus dem Kreisbogen 4P um M' mit R —

a + b

PP' um M"' mit R = M"'P — M"' P' =

P'C

um

M" mit R =

und

Abb. 64.

C

■* « 4r;-'/j ,4a

AB

A.

Abb. 65.

— CG = —

a -f- b

y =    ]/ ffl² — x¹

hieraus abgeleitet werden kann.

Die Ellipse läßt sich aber nach Professor Pilgrim auch durch drei Kreisbögen ersetzen, indem DM 1 AC die Mittelpunkte M' und M" ergibt, und für AF = BE

durch zwei Bögen um M' und M" mit

Die Belastung des Gewölbes soll dm⁻ch einen Eisenbahnzug nach dem preußischen Schema von 1902 für Haupt-

8 M max

bahnen stattfinden. Dieselbe ergibt aus p =

für 22 m Länge ca. 7,7‘/mGleis und für llm Länge ca. 10,3^, und verteilt sich bei zwei Gleisen im Abstand 3,8¹¹¹ auf eine Breite von ca. 3,8 m (auch aus 2,5 + 2 • 0,4 + 2 • 0,25 Verteilung bis zur Gewölbemitte), so daß für die ganze 7 7

Länge ~~ = rd. 2,0 V

l²

10,3

i qm

= rd. 3,0 ‘/qm zu rechnen sind.

3,8

und für die halbe Länge

3,8

39

Das Gewicht des Gewölbes sei = 2,4‘/cbm, und dasjenige der Hinterfüllung und Fahrbahn = 2,0 ‘/cbm so daß als Belastungshöhe des Eisenbahnzugs für 22 m:

= 1,5 m anzunehmen ist.

2,0

2,0

= 1 ra und für 11 m:

3,0

‘ 2,0

Zur vorläufigen Ermittlung der Scheitelstärke kann der Schwerpunkt des lichten Raumes ACE im Abstand

Dies geschieht in der gewöhnlichen Weise, indem man zunächst die links- und rechtsseitige Resultante der auf 2,4 ‘/cbm reduzierten Belastungsfläche (vgl. die gestrichelten Linien) aus dem Kräfteplan und Seilpolygon ermittelt.

(io)

— = 4,25 m (bei der Parabel gilt ~ a = 3,75 m)

TC    8

angenommen werden. Als Höbe des Rechtecks ACDF er-

0,4-2    2-1.0

j—T

gibt sich annähernd 5 -f- 0,5 4-

2.4

2,4 =rd-⁶>⁷“ und als Breite rd. 11,0 m, so daß der Abstand der Resultante des Gesamtgewichts aus

/■

m⁷' irr:"

>K

90,2

(Tty/y

ko -1

r-r-Wb-i-rf TyW

! ! !'>!!!' I !

/ X

10.Ö\____\C ;10,0_ B

JOA ^    //#'''

v    *    /

* - -5,0 - -

1/

; 1571

—rf

__L

--|N

TI

f\

(mit

\mt

Kräfte-Majfstab 1 %* 1, 92t

I    \59f)t

Langen-u.Höhenmafsstab1m/m • 09 m Abb. 67.

59.6

Abb. 66.

ll²

ft² ' b 3

•6,7-

tc • 10 • 5

4 • 10

ir • 10 • 5

oder x =

238,7

34,45

= 6,9 In zu bestimmen ist.

Bei Annahme des Kämpferdrucks und Horizontalschubs in der Mitte der Kämpfer- und Scheitelfuge wird Q = 34,45 • 2,4 = 82,7 ‘ und 5,0 H = (10,5 — 6,9) • Q 3,6 • 82,7

oder H =

Bei einseitiger Belastung des Gewölbes und Annahme X Abstand vom Rand kann die doppelte

30

Spannung auftreten, so daß für

der Stützlinie in

zu

Dann zieht man bis zu diesen Resultanten gerade Linien durch die drei angenommenen Punkte der Stütz-linie und erhält aus den Kräften 1 und 2 des Kräfteplans die im Scheitel wirksame Kraft 3 und hiermit den Kräfteplan für die gesuchte Drucklinie, welche durch die drei angenommenen Punkte hindurchgeht.

Die gefährlichsten Punkte derselben liegen bei c und d, und ergibt sich bei c eine Breite des Gewölbes = 55

und bei d eine Breite des Gewölbes = 65 Kraft P = 29 • 2 • 0,4 • 2,4 = 55,7 ‘.

Unter der Annahme, daß die Druckkurve mit dem Rand des Gewölbes zusammenfällt, erhält man nach B2c für P = 54 ‘, h = 52 cm, h' = 3 cm, gt =0, g₂= 52 cm, p — 1, ab = 40kg, 5 = 100cra, n=z 15:x²— 2x(h =

cm

mit der Kraft P= 28 • 2 • 0,4 • 2,4 = rd. 54 ‘,

mit der

cm

lässiger Beanspruchung des Betons) eine Scheitelstärke 59 500

’ab

= 40

cm

erhalten wird.

oder x"¹ — 2x (52 + 3) = —

\ (52! + 3¹) +

100 • 15

Es soll jedoch (wegen der elliptischen Form) 50 gewählt werden, und als Stärke der Kämpferfuge ergibt sich (aus dem Verhältnis ihrer Neigung zur vertikalen Richtung) rd. 100 kann die äußere Gewölbelinie bestimmt werden, wenn eine stetige Zunahme vorausgesetzt wird (in der Mitte etwa 75 cm).

Will man

theoretiscli richtige Form eines Gewölbes bestimmen, so hat man für eine angenommene Form die halbe Belastung für die ganze Gewölbelänge einzufüliren und die hierzu gehörige Drucklinie durch die Mitten der Kämpfer- und Scheitelfuge graphisch zu ermitteln, nach welcher dann die Gewölbeform abzuändern ist.

Infolge der Eiseneinlagen kann jedoch gleich von der angenommenen Form (hier einer Ellipse) ausgegangen und hierfür die Drucklinie (für die einseitige Belastung von 3,0 ‘/qm) graphisch ermittelt werden, und zwar durch die Mitte der Scheitelfuge und durch das innere und äußere Drittel der linken und rechten Kämpferfuge.

cm

aus

cm

54 000

40 • 100

109 876

und durch diese beiden Endpunkte

der lichten Weite und Pfeilhöhe die

Mir x =

5r-

— 0.

oder

30

+ 234

ist f(x) =

, x 30

234•10

1231

= 28,1c,n.

20

— 997

Für x =■ 28 wird f (x) = + 77, 77 -8 997 + 77

x — 28 —

— = 27,4 c,u,

und für x = 27, f(x) = — 13, somit genaues

13 • 1

13 + 77

== 27,1cm.

Fiir fe = fe ist ferner

• (h — h') • f’ = A ' 9i ~

(3 h — x)

oder

15 ^1

₂₇%)(52-3)./; =

54000

40

- • 52

100 • 27,1

(3-52 — 27,1)

oder

somit pro 10

cm

oe = n°b

11980 • 27,1 24,1-735' ein Rundeisen <S> 16 mit fe = 2,01 qcra.

= 550 kg.

= 18,3

= 15-40

qcra

27,1

Will man jedoch h und fe = f’e aus o₆ = 40 kg und oe = 1000 kg für = 0 und </₂ = h bestimmen, so ist

stärke in Zentimetern wie Abnahme des Eisenquerschnittes in Quadratzentimetern statt. Da aber 1 so viel kostet wie 2 qcm Eisenabnahme, so ist die erstere doppelt so teuer als die letztere, und die Ausführung von 50 cm Scheitelstärke mit 2 X 10 Rundeisen <J> 16 pro Meter Breite ist am billigsten.

Will man mit Rücksicht auf Erschütterungen nur bis ab = 35 kg/qCm zulässiger Beanspruchung des Betons gehen, so erhält man nach obigen Formeln bei 55 Scheitelstärke 2 X 10 CD 18 (statt 16).

cm

Betonzunahme

mm

cm

h = m • x = — • x und dieses in B 2 c eingesetzt gibt:

3

■ (0 — K)

Die Maximalinanspruchnahmen ergeben sich nach B2a für P = 54* g. = 0, g = h = 52 fe=f'e = 20,1 qcm aus:

6 ngj\ / h

cm

x² — 2 x {m • x 4* h’) = —

<»a>,

(m — 1) • m • x +

Hf-‘)

6 • n (ffi — h')

oder

(-D

6 -15 -52-20,1/52 _ ^

6 • 15 (— 3)

100

100

• 20,1

oder

oder

x² + 995

49 078

= 0.

4*

3-54000 15

Für x =

J25

100 • 40

19 z²

oder

\30

ist f(x) =

— 343 + 259 ?

x = 30

259-5

602

= 27.9

cm

und für x = 28

cm

186 x + 135

364,5

= 0.

x = 28 —

, fx = -f- 26, und genaues 26 • 3

Für x

(M CO

ist f (x) =

— 1070 + 243 ’

x = 30 —

243 • 10

1313

= 28,1 cm.

343 + 26

2i

= 27,8 cm.

Für x = 28 ist f(x) = — 121 und genaues 121 - 2

(a

x — 28 +

364

28,7 cm.

6 • 54 000 • 52

100 • 27,8 (3 • 52 — 27,8) + 6 • 15 • 20,1 (52 —

Ferner ist h = — X = —- • 28,7 = 76,5 -    3    o

cm

und die

3)(l

7,8/

168,48

Stärke des Gewölbes bei c — 80cm. Endlich ist

₂y<⁷⁶’⁵-³⁾ •/■-'=

100 - 28,7

3,58 + 0,79

= 38,5 kg,

15 (l

54000

40    -⁷⁶>⁵~

(3 • 76,5 — 28,7)

ae = tiob

(-

= 15 •

38,5 ( ⁵²

= 503 kg.

und

ft =

7225 • 28,7

25,7 • 15 • 73,5

__ ₇₎₃₃ qCm>

ein Rundeisen 0 10 = 0,785 qcra. 76,5 26^7

Die volle Ausnutzung der zulässigen Eisen- und Betonspannungen würde daher eine Stärke des Gewölbes im Scheitel von 75 Rundeisen 0 10 statt 16

Zur Vergleichung dieser beiden Annahmen sollen die Kosten des Betons = 30 oft pro Kubikmeter und des Eisens = 20 c/ft pro 100kg dienen, und es ergibt sich pro Quadratmeter derselbe Preis für 30 • xm und

0,785 - 20 30 • 100

somit genügt pro 10

oe = n • ah

cm

cm

= 15-40

= 1000 kg.

statt 50

mm

cm

genügen.

erfordern, wofür alsdann

20    xIn

- 0,785 • y qcm, oder - -- - =

/yi C111

= 200 ■ =

100

= rd. 0,005,

27,8

Für P = 54%    = 0,    = h = 57cm, fe =f'e =

= 25,45 qcra würde man erhalten: x = 31,5 cm, o₆ = 33,5kg, oe = 407 ke.

Zur Bestimmung des Widerlagers erhält man bei Belastung des halben Gewölbes mit 3,0 */qm aus der Zeichnung eine Gesamtresultante 47 • 2 • 0,4 • 2,4 = 90,2¹

im Abstand 6,52 m von der Mitte. Für 2,0 ‘ statt 3,0 tjqm 10,9 • 1,0= 10,9 ¹ weniger, oder eine Resultante 79,3 ⁴ im

Abstand

6,52 • 90,2 — 5,45 • 10,9 90,2 — 10,9

= 6,67 m. Der Hori-

zontalschub wird alsdann =

79,3-(10,45 — 6,67)

5,0

= 59,9

und der Kämpferdruck (durch den Schnitt mit der Vertikalkraft 79,3*) in der Mitte des Kämpfers = j/59,9² + 79,3² = 99,4 h Bei einseitiger Belastung des Gewölbes mit 3,0 Vqm wird dagegen (nach dem Kräfteplan) die schiefe Kraft im Kämpfer = 52 • 2 • 0,4 • 2,4 = 99,8 *, also größer.

oder y Kosten x

qcm

lOo

2 xCln, oder bei gleichen

cm •

: yqcm = 1:2.

Bei 75

Stärke des Gewölbes sind nun 20 0 10 = 15,7qcm erforderlich, und bei 50cm Stärke desselben 20 (J) 16 = 40,2 qcm, oder bei 25 cm größerer Stärke des Betons 25 qcm kleinerer Eisenquerschnitt, und es findet also durchschnittlich dieselbe Zunahme an Beton-

cm

Wird diese Kraft mit dem Pfeilergewicht / 3,0 • 6,0 \ 2

-f 4,0-5,4 -2,0 = 61,2 ¹

zusammengesetzt, so geht die Resultante (unter Berücksichtigung des Erddruckes) durch die Mitte der Bodenfuge, 157 000

für welche a =

500 • 100

= 3,1 kg/qcm ist.

5. Berechnung einer Stützmauer mit llohlräumen für einen Eisenbahndamm.

Die Stützmauer ist 6 m hoch und hat eine Ueber-schüttungshöhe = 3,0 m nebst der Belastung eines Eisenbahnzuges. Diese beträgt nach dem preußischen Schema von 1902:    17 * pro 1,5 m Länge und ca. 3,8 m Breite,

oder in dem Gewicht der Erde = 1,7 ‘/cbm ausgedrückt:

= rd. 1,8 m.

Der Abstand des Erddruckes ergibt sich aus 6    (3 • 4,8 + 6)

h (3 // + h)

3“ ~(2h' + h) 3    2 • 4,8 -f- 6

= 2,62 m.

17

1,5 • 3,8 • 1,7

Bei Annahme der Neigung 1:4 für die Vorderwand und bei einer vertikalen Hinterwand erhält man angenähert für den Erddruck

Die Komponenten des Erddruckes Runter Z_ sind

= 22,8 • 0,957 = 21,8 * und 22,8 • 0,29 = 6,6 *.

In Beziehung auf B ist alsdann (für das Mauergewicht 2,2 ‘/cbm) (⁸- Abb. 68):

(x — 0,75)²

6-2,2 + 2,62 • 21,8 —

's:

-6,0-

am.

M-- +

-t

I!

A'-t

-Ji

¥-

Ei

■*-----JO - d--

:::

Abb. 68.

Abb. 69.

=---a: {{x — 0,75) • 6 • 2,2 + 6,6 }

oder (x² — 1,5 x + 0,75²) • 6,6 + 57,1 =

= 4- x (13,2 x — 9,9 + 6,6)

O

oder 2,2 a?² -(- 7,7 x = 60,8; x¹ + 3,5 x = 27,7,

x =

Wird eine kleine Zugspannung des Betons zugelassen, so kann der nebengezeichnete Querschnitt gewählt werden.

Da die Stützmauer 6m tief in die Erde hinabgeht, so sollen (zur Ersparnis an Material) unten Hohlräume angebracht werden.

Die Rechnung ergibt für 6 + 51,1 Höhe der Stützmauer (bei 1 ¹¹¹ starkem Fundament)

~ (ll² + 2 • 4,8 • 11) • 1,7 • 0,287 = 55,3 1 £

— 1,75 + Y 1,75² + 27,7“ = 3,80 m.

+■

* fü

\I

i* w .1/

<£mEi5.5ß5/m4

'0\2~

<z

'/

Sh \\\\

V? v/ ..

LA

V-

■\k

E - kSM. A

trfw:

t-

■M

\ Ffe

Im/

Fl E#

Sh'

130 t /

>'

Abb. 70.

“-D

£=A(i! + 2Ä-A').rtgI(

und für die Erdböschung 1: 1    --: cp == 33° 40' und

£

= 0,287, ferner h = 6 m,

Ji' 4,8m —: E =    (6² + 2*6 -4,8) *1,7 - 0,287 = 22,8*.

tg! (« — y)

im Abstand — • ³ • ⁴>⁸ + 11 3    2-4,8 + 11

Die Komponenten des Erddruckes sind bei vertikaler

Hinterwand

= 55,3 • 0,957 = 52,9 ¹ und 55,3 - 0,29 = 16,0 *.

Die Momentgleichung lautet für die Bodenfugenkante in Beziehung auf F (wenn der ganze untere Teil mit 2,0‘/cbm gerechnet wird) (s. Abb. 69):

= 4,51 ,n.

ix + 3,6)²

(-*£+*»)

• 2,55 • 6 - 2,2 +

• 6 • 2,0 + 52,9 • 5,51 =

2

— x {§x + 71,3)

O

2,5 ;c² 4- 36,7 x ~ 364,0, x² 4- 14,7 ir = 145,6 ; er = — 7,35 4- j/7,35² + 145,6 = 6,8 m.

Es kann daher der obengezeichnete Querschnitt ausgeführt werden, und hierfür soll die graphische Berechnung nach Mohr (Technische Mechanik des Ingenieurvereins, Stuttgart) zur Anwendung kommen (s. Abb. 70).

oder

Wirkt nun der Eisenquerschnitt mit, so wird x größer und ob kleiner. Will man dieselbe Spannungsverteilung gelten lassen, wie bei der Mitwirkung des Zuges im Beton (ohne Eiseneinlagen), so erhält man oben :

6 • 106,5

200 000 385 • 50

385

= — 10,4 =F 17,2 =

und unten

272 000

j— 27,6 kg Druck |+ 6,8 kg Zug

6 • 181

Dieselbe ergibt einen Erddruck a-b

610-50

610

4,5 • 5,85

• 1,7 = 22,4 l,

und wenn man für " “ das Trapez ABEF setzt, so er-

= — 8,9 T 15,9 =

— 24,8 kg Druck + 7,0kg Zug.

hält man

10,8 x 4- y

2”-⁶>⁹ = oder — = 2,77, x 4- y = 3,82 m,

4,5 • 5,85

wm

47

8fr " 106,5 ~ 116 -w-------3S5cm.----

somit y =

3,82

200t

3,77

= 1,01 ra, x = 2,81 m.

Abb. 71.

Die Höhe C G des Trapezes für A C ist 11,3

104S

• 2,81 = 2,94 m und der Erddruck desselben _ 2,94 4- 1,01

Berechnet man nun den Eisenquerschnitt nach den Formeln Blb, und zwar für ah = 27,6 kg und — 24,8 kg, so ergibt sich oben für

• 7,4 • 1,7 = 24,8 *•

x² — 3 li • x = —

Die Höhe DH des Trapezes für CD ist - 2,81 = 4,11 ,n

15,8

10,8

und der Erddruck desselben

oder x²- — 3 • 375 x = — 2 P

*P-9i

b • oj 6-200000-289

50 • 27,6 50 • 307,3 —

•>

od. x = 307,3 cm, 2 • 200 000

4,11 x. 2,94

27,6

• 4,5 • 1,7 = 27,0 *.

³e = ~

Auf der anderen Seite ergibt sich auch graphisch 457= 13,0 *.

Die Resultante sämtlicher in den Kräfteplänen zusammengesetzten Kräfte ist für die Bodenfuge = 130¹ im Abstand 2,5 m vom linken Rand, somit 100-6

(t-0

932 - 307.3

30 • 67,7

2 - 15

375

307,3

x)

— 132qcra, und unten x² — 3 -600# — 6 • 272 000

50 • 24,8

oder x = 471,6 cnj,

I- ³>⁴⁵

I— 0,27

Zur Berechnung der Hohlräume des unteren Teils sind die Erddrücke auf die Pfeiler von 50cm Breite nur

1    .    27

mit —r einzuführen, somit rechts -    = 6,75 * und links

4    4

130 000 700 - 100

700

= — 1,86 T 1,59 =

50 • 471,6 —

2 • 272 000

ft =

2 • 15

610

24,8

= 187 qc,n

471,6

was somit nicht wohl ausgeführt werden kann.

-iM= 3,25 h

samtdruck pro Pfeiler unten 4 • 68,0 = 272 * (Abstand der Pfeiler = 4 m) im Abstand 1,24 m vom linken Rand, und oben 4*50 = 200¹ im Abstand 0,86 m.

Die Beanspruchung der oberen Stützmauer ergibt sich aus dem vertikalen Gesamtdruck 44,0¹ im Abstand 0,88 ,u, und es wird 6 • 92

Man erhält alsdann als vertikalen Ge-

Nach einer häufig angewendeten Berechnungsweise wird das Zugdreieck durch den Eisenquerschnitt mit oe = 1000kg ersetzt, und man erhält alsdann oben

(385 — 308,5) • 6,8 • 50

f. =

fe =

2 ■ 1000

(610 — 476,3) -7-50 2 • 1000

= 13,0qcm und unten

= 23,3 qcm.

44 000

360-100

360

) = -1,22 T 1,87 = |-³’lkeDrUCk J    |4- 0,65 kg Zug.

/T\

<•

Die Lage der Resultante verhindert bei den Ilohl-räumen eine volle Ausnutzung der zulässigen Eisen- und Betonbeanspruchungen, und man erhält nach Bla für

2 P

b • x ’

2 ■ 200000

fe = 0, x=‘6g, und ob =

so daß oben für

272 t

181

x = 3 • 86 = 258 cm, o₆ =

und unten für x = 3 • 124 = 372 ctn, 2 • 272 000

50 • 258

= 31,0 kg

Abb. 72.

50 - 372

= 29,25 kg

wird.

Da jedoch eine Zugspannung des Eisens von 1000 kg nicht eintreten kann, wenn die Zugspannung des Betons

66.5

308.5

nur = 6,8 oder 7 kg ist, und der für oe =

- 27,6 • 15

= 89 kg und

123/7

476,3

- 24,8 • 15 = 96 kg erforderliche Eisen-

13 - 1000

<on{y—h )

4“t)

;r² — 3 x - (jv =

oder

23,3 - 1000

querschnitt =

= 242 ucm Wäre, so ist eine andere Annahme zu machen.

Durch Einführung des Eisenquerschnitts /” in den Formeln B2b wird aber für dasselbe a₆ —: x kleiner und damit ae größer und fe kleiner.

Durch Probieren hat sich gezeigt, daß für f\ = f’e der geringste Eisenquerschnitt erhalten wird, so daß die Formeln B2c mit p = 1 anzuwenden sind.

Man erhält nun oben für P — 200 000 kg, ab = 27,6 kg,

Ji = 10 cm, = 289 cm,

(Ä* + h'²) +

b = 50

cm

89

= 146 qcm und =

96

oder

cm

, h = 375

cm

: x² — 2 x (h + li) = —

io :n

oder

x² — 3x-86

6 • 15(86—10)

50

6 • 15 - 289-45,2 /375

V X

50

.12,7^1

io-)

X )

tf² — 258 z 4- 21776 —

8800016

— 0.

Für x—

300

280

f-f- 5043

, x = 280

3493 • 20

8536

- = rd. 288

cm

— 3493

und hierfür ist f(x) =—140, somit genaues

140*12

x — 288 4-

5183

== 288,3 cm.

Ferner ist

x²

— 2x (375 + 10) =--(375² -f 10²) +

2

°6

2P-^

3 • 200 000

375

50 - 27,6

). 289 + (i_^)₍₈₆_₁₀₎j

(*-«

2 • 200000 • 289

oder x² — 770z + 303 696 -

46 789 130

50 * 288,3 (375 — 96,1) +2-15 -12,7 (375 —

10)(

10

288,3

1156

300

608 • 20

i8t/X I- ec«’ *

= rd. 282 und hierfür ist f{x) = -} 161 und genaues 2 - 161 769

h-) <* - r.

¹⁰ ) (375 - 10) • f‘ =

50-281,6

Für x =

»• = 282

n (l

15 (l -

280

281,6

200 000

27,6

= 281,6 cin.

• 289 — -

115 024-281,6

= 280 -j-

Ferner ist

— -y2 -

7340

40,2 4- 1,35

— 27,8 kg,

(—0

= 15-

27,8 (•

375

-— (3 h — x) oder

(3 • 375 — 281,6), oder

fe =

P= 272 000 kg, o₆ = 24,8 kg, gt = + 124 g₂— 476cm, li = 10cm, b = 50

3 - 272 000

15-271,6-365

(eoo² 4-10²) 4-

(124 —

¹⁰)

X J

— U °b

t) = ¹⁵'²⁷-⁸ (l

Ebenso ist unten

x² — 3 • x • 124 =

6 • 15 • (124 — 10)

50

288,3

10

288,3

6 • 15 • 476 • 45,2

• 12.7 •

— 125 kg

50

/ 6 0< \ x

') ⁺

(-■?)

oder

21,8 qcm. Ebenso erhält man für

h = 600cm, : x²—2 a: (600 4* 10) =

-476 4-

x² — 372 o; + 36121

23210356

= 0.

cm

400

— 10 705

Für x =

ist f(x) =

x — 400 +

10705-40 23 995

— = 418

50 • 24,8

440

10)1

oder

und hierfür

4- 13 290

f [x) — 378, somit genaues 378 • 22

x — 418 -f

x² — 1220 x 4- 778 370 —

187 943 226

13 668

= 418,6 cm.

= 0.

Ferner ist

Für x =

H—

O co

ist f( x) =

— 19 488 -f 1593

x = 430 —

1593-30

21081

°b =

2-272 000-476

= rd. 427

10

50-418,6(600—139,5) + 2 • 15-12,7(600—10) ( = 26,3 kg, o£ = 15-26,3

= 385 kg.

418,6,

, und hierfür ist f(x) = — 389 und ge-389 - 3 1982

¹⁰ .) (eoo — 10) f’e

cm

2589,44

600

naues x — 427 4*

= 427,6 cm. Ferner ist

96,4 + 2,19

418,6

l) = 171 k«,

15 (l

272 000

50-427,6

427,6

(3 - 600 — 427,6), oder f’e =

24,8

• 476 —

°e = 15 •

26,3(l

10

330 326 • 427,6

15 • 417,6 • 590

= 38,3 qcm.

Es genügen daher für ft 10 0 24 = 45,2 qcm, und weil die Aenderung von fe nur eine kleine Erhöhung der Betonbeanspruchung bewirkt, so sollen hierfür 5 (J) 18 = 12,7 qcm zur Anwendung kommen.

Die tatsächlich durch diese Eiseneinlagen bewirkten Beanspruchungen ergeben sich alsdann aus B2a, und man erhält oben:

418,6

Hätte man den Zug des Betons mit berücksichtigt, so erhielte man nach B 2 c oben: x = 292,7 cm, fe = /" = 13,2 qcm und unten: »- = 444,7 cm,

/;=/•; = 25,3 qcm-

Die Berechnung der gewölbten Decke Uber den Hohl-

räumen kann entweder als Balken mit Mm =

Ma =

qP

16

und

(wegen Eingespanntseins) oder als Gewölbe

X L

stattfinden.

Der Gegendruck eines Pfeilers ist auf 1ra Länge 21,3 • 100 - 50 1000

verteilt sich auf 4m Breite, so daß pro Meter Breite

= 26,6 * zu rechnen sind.

4

(nach der Abb. 73) =

= 106,5 * und

hältnis der vertikalen Schubkraft = 33,6 ‘ zum Horizontalschub = 27l. Für letzteren sind die Eisenquerschnitte (in JK — 1,0m Höhe) zu berechnen (würde die schiefe Kraft zugrunde gelegt, so erhielte man hierfür den schiefen Schnitt KL, so daß annähernd dieselben Spannungen eintreten).

Man erhält als Maximalspannungen in J K:

27 000

10Ö~-100

- - -288,3- - -----385cm

Abb. 73.

50 • 6

100

— 10,8 kg Druck

.+ 5,4Zug.

Wird nun von der tatsächlich auftretenden Maximal-druckspannung des Betons ab — 10,8 kg ausgegangen, so ist nach B 1 b:

= — 2,7 T 8,1 =

Das Biegungsmoment ist daher 26,6 • 4,0²

M max ==

16

= 26,6 mt,

und hierfür ist nach Alb:

U9.2_

lli

6 M.

6-2660000

7 boh~ *=*

7 • 100 • 40

= 23,9 cm,

JZO

~Jt

- 3)6,7-----

- 100 cm.-------

27t

-z = - 23,9 = 63,7-, 100 • 23,9

Abb. 75.

50    = 4?’⁸

qcm

Für h = 45

cm

wird

x² — 3 hx = —

b-

oder

63,7

23,9

x² — 3 • 95 x — —

6>- 27 000 • 95

fe

. 47,8 — 67,5 icm.

45 — ca. 5,5

Dieser große Eisenquerschnitt sowie die tatsächliche Beanspruchung der Decke als Gewölbe, welches unten gedrückt statt gezogen wird, führt zu der folgenden Berechnung. Zu der Belastung von 26,6 */m kommt noch die kreisförmig ausgeschnittene Fläche, so daß rd. 27,0 */m gerechnet werden können.

100 • 10,8

x² — 285 x — — 14 250,

; oder

x — 142,5 ± \/ 142,5² — 14 2 50 = 64,7 cru,

2 • 27 000

100 • 64,7 —

fe =

10,8

(M

2- 15

OS

, 64,7

Die Belastung der Gewölbehälfte '= 2-27 — 54 * kann in der Mitte desselben (im Abstand 1,0 m) angenommen werden, und die Druckkurve entspricht alsdann einer Parabel durch die Mitten des Scheitels und Kämpfers, welche die Höhe BD halbiert und ebenso die

Höhen EF und GH bei ~ schneidet (EG ist Tangente

4

der Parabel).

1470 • 64,7

30 • 30,3

= 104,6

qcm

Durch Einlagen von Eisen an der gedrückten Seite wird auch hier für dasselbe ab — : x und fe kleiner, und für fe = f'e erhält man nach B 2 c (da </, = 0, g₂ = h = 95

x² —

, K = 5 cm.):

2 x (h E) =--y ^ + h'²) +

(‘ - 1) {'J ~ h'} |

oder

H}'

?li /

#² - 2 x (95 -f 5) —--— (95² + 5²) +

3 : 27 000

100 - 10,8 |

K“-¹)

95 -f

*«c

oder

x² — 200# + 21075

678 750

= 0. Für x — 50

cm

it.

5k t

- 1J5

Ferner ist

ist f(x) — 0.

Abb. 74.

— h') f'e =--9 2--(3 h — x)

ob    b fc

100 • 50

27 000

10,8

. 95 —

oder

— (3 • 95 - 50),

Man erhält nun als Horizontalschub 2,0 • H= 1,0-54 oder H— 27 ‘ und für den gefährlichsten Querschnitt JK erhält man aus der Tangente an die Parabel das Ver-

oder

fe =

237 500- 195 833

Es kann daher die in Abb. 74 eingezeichnete Armierung angewendet werden, so daß /* = 0022 + 6016 = 22,8 + 12,1=34,9 qcm, f’t = 3016 = 6,0

(durch diese Reduktion von f ’e wird ab etwas größer als 10,8 kg) und hierfür ist nach B2a:

6 n • 9 t fe

qcm

Man erhält nun, nach Konstruktion der Druckkurve wie oben, den gefährlichsten Querschnitt bei E F, und für H = 26¹ die nebengezeichnete Beanspruchung desselben mit

26 000

x¹ — 3 (jx x =

(->)

185 • 100

1 db

6 • 83,5

185

= — 1,40 =F 3,80 =

oder

x¹ =

6 . 15 • 95 • 34,9

100

(?-)+

6 • 15 • 6,0

100

(—5)(l—    )

oder

xA + 3011 —

283 610

= 0.

— 161

-f 26l’

und hierfür ist f (x) = -f- 9. _2 P-9i___

2 • 27 000 • 95 100 • 50,8 (95 — 16,9) + 2 • 15 • 6,0 (95 —

Für x =

ist f(x) =

161 • 2

422

= 50,8 cm,

_ J—* 5,2 kg Druck

1+2,4 kg Zug.

Wird nun von oh — 5,2kg ausgegangen, so erhält man durch Einsetzung von P — 26 ‘, h = 180 ti = 5 x — 98,2

Es soll daher die in Abb. 78 enthaltene Armierung des Fundaments angewendet werden, indem unten im Querschnitt EF 6 0 26 mit 6 0 21 zusammen = 52,6 qcin sind.

cm

cm

cm

9t — 9

fe — 53,0 qcm.

9t ⁼⁼ 171

cm

h = 100

cm

in B 2c:

cm

Auf der oberen Seite sind in der Mitte 6021 -|-6016 = , was annähernd dem unteren Querschnitt

Im Quer-

qcm

= 32,8

6 0 26 = 31,9 qcm in der Mitte entspricht, schnitt EF wirken oben die drei den Hohlraum umschließen-

5)(

M

3,8/

den Eisen 0 16 (welche an geeigneten Stellen unterbrochen werden können), und erhält man nach B2a für f'e = 6,0 etc.

0 = 97,5 cm, ab = 6,1 kS oe — 78 k*, Q'e = 87 kg.

513,0

39,7 + 1,46

= 12,4 kg.

(-

\ x

= 15 • 12,4 ( ⁹⁵

50,8

a' = n ah (l

-) x )

Die Beanspruchungen des Betons und Eisens sind daher sehr gering, und es würden auch weniger Eiseneinlagen genügen; aber gerade bei diesem Beispiel bildet die Stabilität des Fundaments die Hauptsache, indem sonst ungleichmäßige Senkungen eintreten können und die Pfeiler in ihrer Festigkeit erschüttert werden.

l) = 162 kg, = 168 kg.

—1

50,8 /

Die vertikale Schubspannung von 33,6 kg verteilt sich auf einen Eisenquerschnitt von 34,9 -f 2 • 6,0 == 46,9 qcm, so daß (ohne Berücksichtigung des Betons)

= 15 •

12,4 (l

Ai

- -175- -

52t

33 600

46,9

== 717 kg

l\F

wird, und (ohne Berücksichtigung des Eisens) 33 600

100 • 100

= 3,36 kg.

Zur Berechnung des Fundaments hat man den Druck der Pfeiler auf dasselbe zu bestimmen, und für die auf S. 46 bestimmte Spannungsverteilung erhält man im max

23,lo 100 50 __ 115 75 t für 4 m Breite, und pro Meter

| 42,6/n l 3?I6

1000

115 75

--— = 28,9¹ Gegendruck des Bodens, von welchem das

6926

Abb. 78.

-mm-----

----610cmr

Abb. 76.

Die Spannungen werden jedoch durch die vertikale Schubspannung von 42,6¹ bedeutend erhöht, indem der

42 600

Eisenquerschnitt allein mit

= 645 kg bean-

32,8 + 31,9

sprucht wird, während nur 800kg zulässig sind. Der

42 600

Betonquerschnitt allein wird mit

Eigengewicht des Fundaments = 1,0 • 1,0 • 2,4 -j- 0,5 = 2,9 * abgeht; somit bleiben 26 Vm*

185 • 100

beansprucht, während 4,5 kg zulässig sind.

= 2,25 k*

X p--«:

J#

Die Stärke des Fundaments könnte bei denselben Eiseneinlagen auch mit 0,8 statt 1,0m angenommen werden, indem alsdann größere Beanspruchungen eintreten, aber infolge der größeren Ausnutzung des Eisens kein größerer Querschnitt erforderlich wird.

tS- - -126.6-185 cm - ~

->

26t

Abb. 77.

Ebenso werden die Teile zwischen den Enden der Hohlräume (s. Abb. 76) weniger beansprucht, aber auch der Eisenquerschnitt hier weniger ausgenutzt, so daß er auf der ganzen Länge unverändert anzunehmen ist.

E. Ergänzungen zu A—D.

S. 11—23: Zum besseren Verständnis der in A—B entwickelten Formeln ist darauf hinzuweisen, daß jede schwächer unterstrichene Ueberschrift a, b . . . . einer besonderen Entwicklung entspricht, welche sich auf die allgemeinen Formeln (1) — (3) oder (1) — (4) der stärker unterstrichenen Ueberschriften 1, 2.... bezieht, letzteren beruhen auf dem allgemeinen Elastizitätsgesetz,

Die

nach welchem = — das Verhältnis der Verlängerung

l £j

auftretenden Zugspannungen erforderlich, so daß sie etwa bei 0,211 abzubiegen sind, wie auch die Zwickel bei

2

anfangen sollten (s. Abb. 40).

S. 32, Mitte: In der Clapeyronschen Gleichung tritt bei linksseitiger gleichförmiger Belastung bis x an die Stelle von

£ P • a (7,² — a²)

der Ausdruck m —

Pr -X²

oder Verkürzung X zur ganzen Länge l ist (also pro 1 m Länge); und auf den allgemeinen Gleichgewichtsbedingungen, nach welchen die Summe der im Gleichgewicht befindlichen Kräfte = 0 ist, und die Summe der statischen Momente derselben (stat. Moment — Kraft X Hebelarm) für jeden beliebigen Punkt = 0 wird.

(2 l? - z²)

und von

4-+1 P • b (lr+x —b²)

P• a {lr+l -ä) (21

r+l

— a)

r+l

r+l

(wenn b = lr+x — a gesetzt wird) der Ausdruck

S. 29—30: Die Werte Mm — ql~

_ und Ma = 16

Pr+i

12

lr

sind Mittelwerte für Plattenbalken mit Querrippen, und können hiervon noch unterschieden werden: solche mit

verhältnismäßig wenigen Querrippen und veränderlicher Belastung ^Mm ~ ^ und Ma ~ ^ verhältnismäßig vielen Querrippen und gleichförmiger Belastung auf der ganzen Fläche (Mm — und Mu

\    u\)

Die Bügel erhalten nicht nur die feste Verbindung zwischen den gezogenen Eisen und dem gedrückten Beton, sondern sie verhindern auch die Abscherung der Platte von dem Steg bei Plattenbalken, weshalb ihr Abstand aus

Bei rechtsseitiger gleichförmiger Belastung bis x ist m (= n von rechts her)

Prh³

und solche mit

und n —

ql*

ir)

— n (= m von rechts her) zu setzen. S. 33, links unten: Bei einseitiger gleichförmiger Be-

lastung kommt für den Ausdruck ~r~ r- nur gr = 0,4

A

in Betracht, während die veränderliche Last pr = 0,3

Pr ’ X²

in

2 lr

einzusetzen ist, nachdem zuvor auch die Stütz

Q- e

berechnet werden kann (e = Abstand

der Bügel, xe zulässige Abscherung des Eisens = 800 kg/qcm)-Die nach oben abzubiegenden Eisen müssen nicht nur die schiefe Zugspannung (x₀ — 4,5) aufnehmen, sondern sie sind bei durchlaufenden Trägern auch wegen der oben

momente Mr und M, lastung bis x berechnet worden sind.

S. 33, Abb. 48: Die abzubiegenden Eisen sind auf die ganze schraffierte Fläche zu verteilen, und zwar vom Abstand x in der Nullinie aus (s. Abb. 30). Dies gilt ebenso auch für durchlaufende Träger, indem auch bei durchlaufenden Fachwerksbrücken die Diagonalen beim Auflager am stärksten auf Zug beansprucht werden.

r 4- 1

mit einseitiger gleichförmiger Be-

f kraköw

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ib.

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