:Jj-

i

/■;

r i-

>7

//■:

<\ (/

/.•VyV

:

./ /-

/;

{

•'f

/

.

i/.

t i

/:

■ff

y$

•v:<r

2

txV

⁴;

.

./

'

f

.

oo

Graphische Ermittelung der Spannungen in den

Zum Gebrauche für Architekten und Ingenieure, für Bau- und Gewerbeschulen, für Maurerund Zimmermeister, wie auch zum Selbstunterricht für Bauhandwerker.

Herausgegeben von

Ludwig Klasen,

Architekt und Ingenieur in Wien.

der <

Öffentlichen Arbeiten

Mit 199 Holzschnitten und 6 litlwgraphirten Tafeln.

Leipzig.

Verlag von Arthur Felix.

1878.

^OTiic^N

kraKöw

Sums

Die Herausgabe einer Uebersetzung in fremde Sprachen wird Vorbehalten.

'•/,V

■u

V|    .%S    ** > ’    '♦ . • 'f ♦! • T »M

501154

Akc. Nr.

Vorwort.

Das vorliegende Werketen soll zunächst mein „Handbuch der Hochbau- Constructionen in Eisen und anderen Metallen“, sowie mein „Handbuch der Holz- und Holzeisen-Constructionen des Hochbaues“ ergänzen. Es wird aber auch solchen Technikern und Bauleuten gute Dienste leisten können, welche keine Gelegenheit hatten, die graphische Statik eingehend zu studiren. Herr Professor C ul mann, der die graphische Statik zur selbstständigen Wissenschaft erhoben hat, setzt in seinem vortrefflichen, aber sehr voluminösen Werke die Kenntniss der Geometrie der Lage voraus, wodurch dem Leser, der mit der neueren Geometrie nicht gründlich vertraut ist, das Verständniss des Werkes sehr erschwert wird.

Bei den einfachen Trägerformen lassen sich die Spannungen durch Rechnung leicht ermitteln, dagegen leistet bei unregelmässigem Fachwerk die graphische Statik so vortreffliche Dienste, dass der Ingenieur beide Methoden genau kennen muss, um in jedem vorkommenden Falle diejenige wählen zu können, wodurch er am schnellsten sein Ziel erreicht. In solchen Fällen, wo im Wege der Rechnung die Spannungen leichter ermittelt werden konnten, als durch graphische Methoden, ist im vorliegenden Buche die Ritter’sehe Momentenmethode angewendet.

Ganz besondere Vortheile gewährt die graphische Statik bei Untersuchung der Stabilität von Gewölben und Futtermauern, hier giebt sie völlige Klarheit über den Verlauf der inneren Kräfte im Mauerwerk, sowie über dessen Inanspruchnahme.

Ich wünsche, dass meine Arbeit M^rchem nützlich werden möge,

. und bitte die geehrten Fachgenossen um eine nachsichtige Beurtheilung derselben.

Wien, im November 1877.

Ludwig Klasen.

Inhalt.

Erster Abschnitt. Die Elemente der graphischen Statik.

Seite

H (N CO

Zusammensetzung und Gleichgewicht von Kräften in der Ebene......

Bestimmung der Auflagerdrücke und der Biegungsmomente bei Trägern auf zwei

Stützen.......................

Zerlegung und Gleichgewicht von Kräften, die in einer Ebene wirken .    .    .

Ziveiter Abschnitt. Kräftepläne verschiedener Hochbau- Constructionen.

© y jli.

Kräftepläne von Hänge- und Sprengwerken . Kräftepläne von armirten Trägern .... Kräftepläne von Dachbindern (Blatt 1 und 2)

05 rl

rH 1—1

cflo cfin

oo

Dritter Abschnitt. Gitter- oder Fachwerksträger.

Systeme der Gitter- oder Fachwerksträger....... .    .

Ermittelung der Spannungen in Fachwerksträgern (Blatt 2)

CD CO <M CO

05 Ö rl (N W rH rH

W cßc

Vierter Abschnitt. Brückenträger.

Belastung der Brücken ...........

Träger auf zwei Stützen (Blatt 3).......

Träger auf drei oder mehr als drei Stützen (Blatt 3)

Bogenfachwerksträger (Blatt 4)........

Fachwerksträger mit zweifachem Fachwerk (Blatt 4) .

GO O CD OO

‘J/i <730 000

rH

Fünfter Abschnitt. Gewölbe und Futtermauern.

Die Schlusssteinstärke der Ge^glbe..........

Die Stützlinie im Gewölbe (Blatt 4—6).......■ .

Die Construction der Futtermauern (Blatt 5 und 6).....

92

93

Erster Abschnitt.

Die Elemente der graphischen Statik.

§ 1. Zusammensetzung und Gleichgewicht von Kräften in der Ebene.

Fig. 1.

a. Kräfte, die auf einen Punkt wirken. Wenn zwei durch gerade Linien dargestellte Kräfte Px und P₂, die nach irgend einem Maassstabe in demselben Verhältnisse zu einander stehen, wie sie in Gewichten, z. B. in Kilogrammen oder Tonnen ausgedrückt, in Wirklichkeit sich zueinander verhalten, nach Fig. 1 auf den Punkt A wirken, so lässt sich die Mittelkraft A c oder die Resultirende R durch die Diagonale des Parallelogramms darstellen, dessen flj Seiten durch die Seitenkräfte Pl und P₂ gebildet werden. Das so aus den Seitenkräften construirte und durch seine Diagonale die Mittelkraft ausdrückende Parallelogramm wird das Parallelogramm der Kräfte genannt und dieses bildet die Grundlage aller I Regeln der Statik.    ™

Wirkt die Resultirende R nach der in Fig. 1 dargestellten Pfeilrichtung allein auf den Punkt A, so übt sie dieselbe Wirkung auf diesen Punkt aus, wie wenn die beiden Kräfte Px und P₂ zusammen auf denselben einwirken würden; hat aber R die entgegengesetzte Pfeilrichtung von Fig. 1, so halten sich die Kräfte Px, P₂ und R im Gleichgewicht.

Fig. 2.

In Fig. 1 ist die Resultirende R die Diagonale des Parallelogramms A a c b, man kann demnach auch die Kraft P₂ ihrer Richtung und Grösse nach an den Endpunkt a der Kraft Px antragen, dann wird durch die in Fig. 2 punktirt angedeutete Schlusslinie Ac des Dreiecks die Resultirende R flj dargestellt, deren Pfeilrichtung vom Anfangspunkte A nach dem I Endpunkte c geht. Hätte die Resultirende R mit den Kräften I Px und P₂ gleiche peripherische Pfeilrichtung, so würden sich SS die Kräfte Px, P₂ und R im Gleichgewicht halten.

Von drei Kräften Px, P₂, P₃, die auf einen Punkt A wirken, findet man die Resultirende Rx nach Fig. 3, wenn man die Mittelkraft R der beiden Kräfte Px und P₂

Klasen, Graphische Statik.

mit der dritten Kraft P₃ zusammensetzt und den Anfangspunkt A mit dem Endpunkte d der letzteren Kraft durch die Schlusslinie Ad verbindet, in diesem Falle ist Rl die Resultirende von II und P₃ oder von Px, P₂ und P3; B die Pfeilrichtung von Rx geht von dem Anfangspunkte A nach I dem Endpunkte d.

Fig. 3.

Hiernach findet man die Resultirende von beliebig vielen fl Kräften, die in einer Ebene auf einen Punkt wirken, wenn man fl die Kräfte als fortlaufenden Linienzug nach einer Richtung B herumgehend zusammensetzt, wobei die Linie, welche den Kräftezug zu einem geschlossenen Polygon macht, die gesuchte Resultirende darstellt, mit der Pfeilrichtung vom Anfangspunkte ausgehend. Die Reihenfolge der Aneinandertragung der Kräfte ist hierbei gleichgiltig.

In Fig. 4 sind P, bis P₆ die auf den Punkt A wirkenden Kräfte, diese lassen sich

Fig. 4.

Fig. 5.

nach Fig. 5 zusammensetzen, indem man die Polygonseite Px, Fig. 5, parallel mit der Kraft PXi Fig. 4, zieht, an den Endpunkt von Px, Fig. 5, die Kraft P₂ parallel zu P₂, Fig. 4, an trägt und so fortfährt, bis alle auf den Punkt A wirkenden Kräfte aneinander

gereiht sind; die Schlusslinie des Polygons bildet dann also die Resultirende R, während die einzelnen Diagonalen im Polygon Fig. 5 die einzelnen Resultirenden von 2, 3, 4, 5 Kräften darstellen.

Fig. 6.

Fig. 7.

Wenn nach der Zusammensetzung aller auf den Punkt A wirkenden Kräfte P, Fig. 6, der Endpunkt der letzten Kraft mit dem Anfangspunkte A, Fig. 7, zusammenfällt, so wird die Resultirende = 0, die Kräfte halten sich also im Gleichgewicht und fl bilden einen geschlossenen Kräftezug, das Kräfte-B polygon, bei dem die Pfeile aller Kräfte gleiche ® peripherische Richtung haben, b. Beliebige Kräfte in einer Ebene. Beliebig viele im Gleichgewicht befindliche Kräfte P, die nach Fig. 8 auf ein biegsames geschlossenes Seil wirken, formen das Seil zu einem Polygon, welches das Seilpolygon der Kräfte P genannt wird. Die durch die Kräfte P in den einzelnen Seilstücken hervorgerufenen Spannungen sind

durch die Seitenkräfte S der in dem Seilpolygon eingezeichneten Parallelogramme dargestellt. Es lassen sich nun die im Punkt a, Fig. 8, im Gleich-jyngfl gewicht befindlichen Kräfte Px, Sx und Sä (nach mfSM Fig. 2) zu einem Dreiecke o a e, Fig. 9, zusammen-™setzen, ebenso auch die im Punkte b, Fig. 8, im H Gleichgewicht befindlichen Kräfte P₂, Sx und S₂ zu I einem Dreiecke o a b; diese beiden Dreiecke haben I die gemeinschaftliche Seite o a — Sx und bilden fl ein Viereck ob a e. Fährt man in derselben Weise fort, die am Seilpolygon Fig. 8 im Gleichgewicht befindlichen Kräfte P zu dem geschlossenen Kräftepolygon Fig. 9 zusammenzusetzen, so findet man: dass sich die Spannungen der Seilstücke durch Gerade darstellen lassen

Fig. 8.

Fig. 9.

die einen Punkt o mit den Ecken des Kräftepolygons verbinden. Man nennt den Punkt o den Pol und die von diesem nach den Ecken des Kräftepolygons gezogenen Geraden die Strahlen.

Fig. 10.

d/

Rz

ft

Jede Seite eines Seilpolygons liegt in der Richtung der Resultirenden von den dieser Seite vorausgehenden Kräften; so ist in dem zu den Kräften Px bis P₅ con-struirten Seilpolygone Fig. 10 die Gerade a b die Richtung der Mittelkraft von P, und P₂, ebenso bezeichnet die Linie b c die Richtung der Resultirenden von P,, P₂ und P₃ und c d die Richtung der Mittelkraft von Px bis P₅. Kehrt man die in Fig. 10 angegebene Pfeilrichtung von Rx = a e um, so hält offenbar Rx den Kräften Px und P₂ das Gleichgewicht. Ebenso befindet sich P₂ mit Px bis P₃, ferner P₃ mit Px bis P₄, sowie P₄ mit Px bis P₅ im Gleichgewicht, wenn die Pfeilrichtung von P₂, R₃ und P₄ umgekehrt wird.

Fig. 11.

Ri

Denkt man das Polygonstück a d aus Fig. 10 herausgeschnitten, so kann man für Px und P₂ deren Resultirende Bx nehmen, und dann muss nach Fig. 11 und dem Vorstehenden Rx, P₃ und P₄ mit P₃ im Gleichgewichte sein. Setzt man nun auch statt P₃ und P₄ deren Mittelkraft P₂, so müssen sich auch P,, P₂ und P₃ im Gleichgewicht befinden, sie müssen sich also in dem Punkte m schneiden. Den Schnittpunkt m der beiden Polygonseiten, welche die Kräfte P3 und P₄ einschliessen und durch den deren Resultirende geht, nennt man den Mittelpunkt (Schwerpunkt) dieser Kräfte. Nach dem Vorstehenden müssen auch die Kräfte iü₄ und Px, Fig. 10, im Gleichgewicht sein, und Px ist als Seite des Seilpolygons aufzufassen, wenn die Pfeilrichtung von P₄ umgekehrt wird. Aus dem Obigen folgt der Satz: Die Resultirende B aller Kräfte, die zwischen zwei Seiten des Seilpolygons wirken, geht durch den Schnittpunkt der Verlängerungen dieser Seiten.

Fig. 13.

Fig. 12.

In dem Seilpolygon Fig. 12 muss also die Resultirende B, welche den Kräften Px bis P₄ das Gleichgewicht hält, durch den Schnittpunkt m der Verlängerungen der Polygonseiten a und b gehen. Setzt man das Kräftepolygon Fig. 13 aus den an dem Seilpolygon Fig. 12 im Gleichgewicht befindlichen I Kräften Px bis P₇ zusammen, so müssen sämmt-liche Kräfte ein geschlossenes Polygon bilden und gleiche Pfeilrichtung haben; da nun auch die Resultante R mit den Kräften Px bis P₄ im Gleichgewicht ist, so muss auch die Mittelkraft R K mit den Kräften P, bis P₄ ein geschlossenes Polygon bilden. Diese Resultirende R wird daher im Kräftepolygon Fig. 13 der Grösse und Rieh- ■ tung nach durch die Diagonale R dargestellt.

Mehrere in einer Ebene wirkende Kräfte sind nur dann im Gleichgewicht, wenn sich dieselben nach Grösse und Richtung zu einem geschlossenen Polygon vereinigen lassen und wenn ausserdem sich zwischen ihren Richtungen ein entsprechendes Seilpolygon construiren lässt. Nur durch Erfüllung dieser beiden Bedingungen ist jede Kraft gleich und entgegengesetzt der Resultirenden aller übrigen Kräfte, so dass eine

Verschiebung unmöglich ist, und es fällt jede Kraft mit der Resultirenden der übrigen Kräfte in eine und dieselbe Gerade, so dass eine Drehung unmöglich wird.

Sind z. B. in Fig. 14 die beliebig in einer Ebene wirkenden Kräfte Px bis P5 gegeben, so kann man diese zu dem Kräftepolygon Fig. 15 zusammensetzen. Da nun

Fig. 15.

Fig. 14.

Ri

jr

das Polygon durch die Kräfte Px bis P5 nicht geschlossen ist, so sind dieselben auch nicht im Gleichgewicht. Die Schlusslinie R des Polygons stellt die Gesammt-resultirende von den Kräften Px bis P6 nach Grösse und Richtung dar, während die einzelnen Resultanten durch die Diagonalen des Polygons der Grösse und Richtung nach gegeben sind. Das Seilpolygon ab cd, Fig. 14, lässt sich nun mit Hülfe des Kräftepolygons Fig. 15 leicht con-struiren. Man zieht nämlich durch den Schnittpunkt der Kräfte Px und P₂ deren Resultirende I parallel mit der Diagonalen I des Kräftepolygons Fig. 15, die Verlängerung dieser Resultirenden giebt die Seite a b des Seilpolygons. Im Punkte b schneidet die Richtung der Resultirenden I die Kraft P₃, durch diesen Schnittpunkt geht die Mittelkraft von I und P₃ parallel mit der Diagonalen II des Kräftepolygons Fig. 15. Die Resultirende II verlängert, schneidet die Kraft P₄ im Punkte c, durch welchen die Mittelkraft von II und P₄ parallel mit der Diagonalen III des Kräftepolygons geht. Durch die Verlängerung von III wird die Kraft P₅ im Punkte d geschnitten und durch diesen Punkt geht endlich die Gesammtresultirende R parallel mit der Schlusslinie des Kräftepolygons.

Erhält nun R die entgegengesetzte Pfeilrichtung von der in Fig. 14 und 15 angegebenen, so halten sich sämmtliche Kräfte an dem Seilpolygone ab cd im Gleichgewicht , denn dieselben sind zu einem geschlossenen Polygon vereinigt, haben in demselben gleiche Pfeilrichtung und zwischen ihren Richtungen lässt sich ein entsprechendes Seilpolygon construiren; die beiden obigen Bedingungen sind also erfüllt. Wenn sich demnach Kräfte nicht im Gleichgewicht befinden, so kann dieses immer durch die umgekehrte Mittelkraft R hergestellt werden. Würde aber in Fig. 14 zu den Kräften Pl bis P₅ noch eine Kraft P₆ hinzugefügt, die mit R parallel, von gleicher Grösse und entgegengesetzter Richtung wäre, ohne aber ihrer Lage nach mit R zusammenzufallen, so würden die sechs Kräfte, nach Grösse und Richtung aneinander getragen, allerdings ein geschlossenes Polygon bilden, im Seilpolygon aber würde sich als Resultirendes ein Kräftepaar zeigen, daher kein Gleichgewicht stattfinden.

Das Seilpolygon ist als ein durch äussere Kräfte gespanntes, völlig biegsames Seil oder als eine durch äussere Kräfte in ihren Eck- oder Knotenpunkten angegriffene gegliederte Stangenverbindung aufzufassen und die in den Stangen wirkenden innern Kräfte nennt man die Seilspannungen. Da nun die äussern Kräfte der Stangenverbindung so angreifen können, dass in den Stangen Zugspannung, oder aber Druckspannung

Fig. 16.

Fig. 17.

entsteht, ein biegsames Seil aber Druck-IS Spannung nicht aufnehmen kann, so nennt I man das Seilpolygon, wenn die Stangen I gedrückt werden, eine Stützlinie; diese I kommt namentlich bei Gewölben vor. Man B erkennt ob Zug- oder Druckspannung in den Polygonseiten herrscht, wenn man die in den Knotenpunkten angreifenden äussern Kräfte in Componenten zerlegt, die sich unmittelbar an die Polygonseiten anschliessen

und mit deren Richtung zusammenfallen. Denkt man die in Fig. 16 und 17 dargestellten Polygone in den Punkten a und b befestigt und in den Knotenpunkten c und d der Einwirkung der äussern Kräfte Px und P₂ ausgesetzt, so muss offenbar in den Stangen von Fig. 16 Zugspannung, in den Stangen von Fig. 17 aber Druckspannung entstehen. Die Grosse der Spannung in der Stange c d ist durch die Com-ponente der Kraft Px oder P.L gegeben, die mit der Richtung von cd zusammenfällt.

c. Parallele Kräfte. Wenn äussere Kräfte parallel wirken, wie dies bei Trägern meist der Fall ist, so geht das Kräftepolygon in eine gerade Linie über und das Seilpolygon ist ohne Weiteres nicht ausführbar, weil man nicht zwei von den Kräften bis zu ihrem Durchschnittspunkte verlängern kann. Nach Fig. 18 wird aber auch für diese Fälle die Construction des Seilpolygons in einfacher Weise ermöglicht, wenn man zu den parallelen Kräften zwei in derselben Geraden wirkende, sich völlig aufhebende Kräfte PP hinzufügt. Ist nun z. B. ein auf zwei Stützen liegender Träger in gleich grossen Abständen von den beiden Auflagern nach Fig. 18 durch die gleich grossen Kräfte Px bis P₃ belastet, so halten die Gegendrücke der Auflager, die Auflager-reactionen Px und P₂, die Kräfte Px bis P₃ im Gleichgewicht, und es ist:

Pi ~h P2 — Pi + P<t + Ps*

Fig. 18.

Fig. 19.

Setzt man nun die gegebenen drei letzteren Kräfte zu der Kraftlinie A P, Fig. 19, zusammen, halbirt diese Linie und trägt an den Halbirungspunkt n die beliebig grosse horizontale Kraft H, ebenso an den Punkt B die entgegengesetzt wirkende Kraft PL an, so erhält man durch Schliessung dieses Vierecks offenbar die Resultirende P der Grösse nach, die in diesem Falle die Reaction jedes Auflagers darstellt.

Bei der Construction des Seilpolygons kann man nach Fig. 18 im Punkte a, wo sich die Kräfte Px und H schneiden, beginnen. Zieht man durch a eine Parallele zu der Diagonalen 0 B im Kräftepolygon Fig. 19, so wird die Kraft Px von dieser Linie im Punkte b geschnitten, durch diesen Schnittpunkt zieht man eine Parallele zu Op, die P₂ im Punkte c schneidet; durch diesen Punkt eine Parallele zu 0 q, die P₃ im Punkte d schneidet; durch diesen Punkt endlich eine Parallele zu 0 A, welche die Kraft PL im Punkte e schneidet. Greift in diesem Punkte die Resultirende P in umgekehrter Pfeilrichtung an, so befinden sich sämmtliche Kräfte an dem Seilpolygon abcde im Gleichgewichte. Verlängert⁻man die Seiten a b und d e des Seilpolygons bis sie sich schneiden, so erhält man in dem Schnittpunkte m den Mittelpunkt der Kräfte Px bis P₃; eine Kraft = AB, Fig. 19, in entgegengesetzter Richtung durch diesen Punkt gehend, würde Px bis P3 im Gleichgewichte halten. Die Spannungen S, Sx, S₂ . .. in den einzelnen Seilstücken des Seilpolygons sind direct durch die vom Pol 0 im Kräftepolygon Fig. 19 ausgehenden Strahlen Op, 0 q ... gegeben, indem diese die einzelnen Resultirenden der Kräfte nach Grösse und Richtung darstellen. Die Spannung in dem horizontalen Seilstück ae, die Horizontalspannung, ist gleich PI, das ist gleich dem normalen Abstande des Poles 0 von der Kraftlinie A B, oder gleich der Poldistanz.

Die Lage des Poles 0 kann eine beliebige sein, da sich das Seilpolygon immer nach den von 0 aus an die Kraftlinie gezogenen Strahlen richtet. Man kann das Kräftepolygon Fig. 19, welches als Hülfsfigur für die Construction des Seilpolygons

6 Bestimmung der Auflagerdrücke und der Biegungsmomente bei Trägern auf zwei Stützen.

benutzt wird, auch aus Fig. 2 entstanden denken, indem nach Fig. 8 jede Kraft z. B. P₂ mit den Seilspannungen St und S₂ der zwei benachbarten Polygonseiten ein Parallelogramm der Kräfte bildet. Nach Fig. 2 lassen sich nun diese drei Kräfte aneinander tragen und bilden ein Dreieck; aus Fig. 1 erhellt dann, dass die Lage des Poles für eine gegebene Mittelkraft eine ganz beliebige sein kann. Ist jedoch die Richtung einer Seilspannung gegeben, so ist damit auch die Lage des Poles 0 bestimmt. Das Seilpolygon entsteht also, indem man die Seiten desselben zu den entsprechenden Richtungen der Seilspannungen in der Hülfsfigur 19 parallel zieht.

§ 2. Bestimmung der Auflagerdrücke und der Biegungsmomente bei

Trägern auf zwei Stützen.

Um zuerst die Auflagerdrücke bei Trägern auf zwei Stützen zu ermitteln, setzt man die nach Fig. 21 auf den Träger einwirkenden Lasten P, bis P₄ zu einer Re-sultirenden A B, Fig. 20, von A nach B in der Reihenfolge zusammen und zieht von einem beliebig angenommenen Pol 0 aus die Strahlen an die Endpunkte der einzelnen Kräfte P; mit diesen Strahlen parallel zieht man nun die einzelnen Seiten des unter

Fig. 21 gezeichneten Seilpolygons. Die mit 0 A und 0 B parallel gezogenen Seiten des Seilpolygons schneiden die Mittellinien der Auflager und durch diese Schnittpunkte zieht man die Schlusslinie Sv, S₇ des Seilpolygons. Mit dieser Schlusslinie parallel zieht man hierauf im Kräftepolygon Fig. 20 vom Pol 0 aus die Linie 0 r, wodurch die Kraftlinie AB in zwei Theile getheilt wird, welche beiden Theile die Reactionen Pj und P₂ der Auflager der Grösse nach darstellen. Die Linie 0 r im Kräftepolygon, Fig. 20, giebt zugleich die Seilspannung Sl = ST in der Schlusslinie des Seilpolygons, während die horizontalen Componenten H dieser beiden im Gleichgewicht befindlichen Kräfte durch die Poldistanz 0 n, das ist der horizontale Abstand des Poles 0 von der Kraftlinie A B, dargestellt wird.

Das durch die Belastungen hervorgerufene Angriffs- oder Biegungsmoment M in irgend einem Querschnitt des Trägers ist proportional der verticalen Höhe des Seilpolygons. Bezeichnet h diese Höhe an irgend einer beliebigen Stelle des Seilpolygons und H die Horizontalspannung oder die Poldistanz des Kräftepolygons, so ist:

M=H.h

Führt man z. B. den Verticalschnitt cd, Fig. 21, durch den Träger und durch das Seilpolygon, so wird für den Trägerquerschnitt an dieser Stelle, nach den Bezeichnungen in Fig. 22, das Biegungsmoment:

AL = Bi . x Bi (x    (%i)    P₂ (x — ös₂) — P₃ (x — ß₃) . . (2)

Die Kräfte, welche auf das im Gleichgewicht befindliche abgeschnittene Seilpolygonstück Fig. 22 wirken, bestehen aus den Verticalkräften P,, Pt, P₂, P₃ und

Fig. 20.

Fig. 21.

|l!llllllllll|l||lllllllll|l|lIHIIl|l|llllllllllllllllljllll:!lllll!llllllillliilllllllH^

ff

i_

(1)

aus

den beiden Seilspannungen St und S₅. Da nun die Summe der statischen Momente dieser Kräfte für irgend einen Punkt des im Gleichgewicht befindlichen Seiles gleich Null sein muss, wenn das Gleichgewicht erhalten bleiben soll, so hat man, nachdem die Seilspannung Sö im Schnittpunkte d in eine verticale Componente und in eine horizontale Componente H zerlegt ist, für den Punkt c als Drehpunkt die Momentengleichung:

Fig. 22.

ms»,

0 = — H. h -f- Rx. x — Pl (x — Ox) — P₂ (x — a₂) — P₃ (x — a₃), hieraus folgt:

H. h — Ex. x — Pi (x — ax) — P₂ (x — a₂) — P₃ x — a₃) . . (3)

Die Gleichungen (2) und (3) ergeben daher die Formel (1), wonach M=H.h ist. Macht man die Poldistanz H = der Krafteinheit, so wird:

(4)

M — h

und in diesem Falle ist das Biegungsmoment für jeden Trägerquerschnitt direct durch die verticale Höhe h des Seilpolygons dargestellt. Hierbei ist H als Kraft auf dem angewendeten Kräftemaassstab, h auf dem angewendeten Längenmaassstab zu messen.

§ 3. Zerlegung und Gleichgewicht von Kräften, die in einer

Ebene wirken.

Fig. 24.

Fig. 23.

Fig. 26. ] !

Fig. 25.

Ist eine Kraft P = Oa in Fig. 23 gegeben und soll dieselbe in zwei Componenten Sx und S₂ nach gegebenen .Richtungen zerlegt werden, so kann man dies durch Con-struction des Kräfteparallelogramms ausführen. Einfacher ist es jedoch, wenn man die Kraft P nach Fig. 24 der Grösse und Richtung nach aufzeichnet und an deren Endpunkte die Seitenkräfte Ob und Oc der Richtung nach anträgt; diese beiden Kräfte Sy und $₂ schneiden sich dann gegenseitig ab, wodurch deren Grösse bestimmt ist. In Fig. 23 würde P mit der angegebenen Pfeilrichtung allein dieselbe Wirkung auf den Punkt 0 ausüben, wie die beiden Seitenkräfte St und S2 zusammen, mit der umgekehrten Pfeilrichtung aber hält P die beiden Seitenkräfte im Gleichgewichte, wie dies in Fig. 24 der Fall ist, wo alle drei Kräfte gleiche Pfeilrichtung haben und sich daher ^ im Gleichgewicht befinden.

Eine geneigte Strebe D sei nach Fig. 25 mit der horizontalen Zugstange Z fest verbunden und der Ver- Bl bindungspunkt dieser beiden Constructionstheile werde von dem Auflager A unterstützt. Ist nun die Auflagerreaction R bekannt und sollen die innern Kräfte D und Z ermittelt werden, so zeichnet man in dem Kräfteplan Fig. 26 die verticale Kraft R = bc der Grösse nach auf, zieht durch deren Endpunkt b eine Parallele zu Z und durch den Endpunkt c eine Parallele zu D, Fig. 25. Die beiden Kräfte D und Z sind nun durch das Kräftedreieck ab c, Fig. 26, bestimmt. Es ist die Kraft Z = ab, Kraft B = ac. Die Pfeilrichtung in dem Kräftedreieck Fig. 26 ist durch die aufwärts wirkende Auflagerreaction R bestimmt und alle Kräfte in diesem

Dreieck müssen gleiche Pfeilrichtung haben, wenn Gleichgewicht stattfinden soll. Um nun unterscheiden zu können, ob eine Kraft Zug oder Druck darstellt, setze man die Kräfte mit der aus dem Kräfteplan Fig. 26 entnommenen Pfeilrichtung an die durchschnittene Construction Fig. 25. Ist dann die Kraft gegen den durchschnittenen Constructionstheil gerichtet, wie bei D, so ist dieselbe eine Druckkraft, wenn aber die Pfeilrichtung der Kraft wie bei Z von dem durchschnittenen Constructionstheil ab gerichtet ist, so ist dieselbe offenbar eine Zugkraft.

Einseitig in Mauern eingespannte Träger, wie solche namentlich unter Balkons und Gallerien Vorkommen, werden an dem freien Ende häufig von unten nach Fig. 27 durch eine Strebe unterstützt, oder sie werden an ein geneigtes Zugband nach Fig. 28 aufgehängt. Wenn eine Last P auf einen solchen Träger ab, Fig. 27, gleichmässig vertheilt ist, kann man dieselbe in ihrem Schwerpunkte angreifend denken; der Hebelarm dieser Last ist dann nur halb so gross, als wenn dieselbe in dem Punkte b

Fig. 28.

Fig. 27.

lllllll!l!ll!M|!|lll|llllll!|lllllllllllllllll>IIIIIIITWIII

st.

angreift, oder man kann in diesem Falle im Punkte b die Last P/₂ abwärts wirkend annehmen. Trägt man nun diese verticale Kraft P/2 unter Fig. 27 der Grösse nach auf und zieht durch die Endpunkte derselben Parallelen mit a b und b c, so sind durch das Kräftedreieck die Kräfte 1 und 2 bestimmt, wobei deren Pfeilrichtung durch die abwärts gerichtete Kraft P/2 gegeben ist. Man erkennt nun sofort, wenn man durch Fig. 27 einen Yerticalschnitt führt und die Kräfte mit ihrer Pfeilrichtung an die durchschnittenen Constructions-theile ansetzt, dass die Kraft 1 eine Zug- und die Kraft 2 eine Druckkraft ist.

In Fig. 28 wirkt die ganze Kraft P im Punkte b abwärts, diese der Grösse nach aufgetragen und durch ihre Endpunkte die Linien 1 und 2 mit a b und b c parallel gezogen, ergiebt das Kräftedreieck, in dem die Pfeilrichtung der Kräfte durch die abwärts gerichtete Kraft P bestimmt ist. Durch Führung eines Yerticalschnittes durch die Construction und Anbringung der Kräfte 1 und 2 an das abgeschnittene Stück findet man, dass 1 eine Druckkraft, 2 aber eine Zugkraft darstellt.

Soll eine Kraft in drei Richtungen zerlegt werden, so ist dies in einfacher Weise mit voller Bestimmtheit ausführbar; wenn aber eine Kraft in mehr als drei Richtungen zerlegt werden soll, so wird die Aufgabe schon unbestimmt. Der Auflagerdruck D, Fig. 29, soll in die drei Richtungen Pt, P₂ und P₃ zerlegt werden. Zieht

Fig. 29.

Fig. 30.

\D

cV

■P₃

man zunächst in Fig. 29 die Diagonalen R, sowie Mi, zeichnet dann die gegebene verticale Kraft Z) in dem Kräfteplan Fig. 30 der Grösse nach auf und zerlegt diese vorläufig in die Richtung von Pv und in die Richtung von ab parallel zur Diagonalen R, so schneidet die Linie a b die Kraft Px der Grösse nach ab und a b ist die Resultirende der Kräfte P₂ und P₃; man kann nun also ab in die Richtungen von P₂ und P₃ zerlegen, wodurch diese Kräfte sofort bestimmt sind. Man hätte auch D in die Richtungen von P₃ und Rt zerlegen können, dann wäre die Linie c d im Kräfteplan Fig. 30 die Resultirende der Kräfte Px und P₂, und man könnte c d einfach in diese beiden Richtungen zerlegen. Die Pfeilrichtung der Kräfte in dem Kräfteviereck Fig. 30 ist durch den aufwärts wirkenden Auflagerdruck D gegeben. Man erkennt leicht durch Befolgung der oben gegebenen Regel, dass Pj und P₂ Druckkräfte sind, während P₃ eine Zugkraft ist.

Fig. 32.

Wird ein Knotenpunkt einer beliebigen fachwerkartig zusammengesetzten Con-struction nach Fig. 31 durch eine äussere Kraft P belastet und soll das Fachwerk unter der Einwirkung dieser Belastung im Gleichgewicht bleiben, so müssen die inneren Kräfte der Construction der äusseren Kraft das Gleichgewicht halten, daher müssen die inneren Kräfte mit der äusseren Kraft zusammen ein geschlossenes Polygon bilden

Fig. 31.

wenn sämmtliche Kräfte zusammengesetzt werden. Sind nun z. B. bei dem herausgeschnittenen Knotenpunkt Fig. 31 die Kräfte P, 1, 2 und 4 bereits bekannt, 3 und 5 aber unbekannt, so kann man die ersteren Kräfte zu der Kesultirenden R zusammensetzen, die diesen Kräften das Gleichgewicht hält, daher im Kräfteplan, Fig. 32, mit ihnen ein geschlossenes Polygon bilden muss. Die Re-sultirende R kann nun leicht in die beiden unbekannten Kräfte 3 und 5 zerlegt werden, wenn man ihre Richtungen mit den Constructionstheilen 3 und 5, Fig. 31, parallel zieht; beide Kräfte schneiden sich im Kräfteplau dann gegenseitig ab, wodurch ihre Grösse genau bestimmt ist. Die abwärts wirkende Kraft P giebt in dem Kräfteplan Fig. 32 die Pfeilrichtung der übrigen Kräfte. Setzt man nun die Kräfte mit ihrer Pfeilrichtung an die durchschnittenen Constructionstheile des Knotenpunktes, Fig. 31, so zeigt sich, dass 1, 3 und 5 Druckkräfte, 2 und 4 aber Zugkräfte sind.

Zweiter Abschnitt.

Kräftepläne verschiedener Hochhau-Constructionen.

§ 4. Kräftepläne yon Hänge- und Sprengwerken.

Fig. 34.

Fig. 33.

Bei dem einfachen Hängewerk, Fig. 33, welches aus zwei Streben und aus dem Hängebalken oder anstatt dessen aus der horizontalen Zugstange cf besteht, lassen sich die Kräfte sehr einfach darstellen. Sind die Streben nach Fig. 33 an ihrem Kopfe durch die Kraft P belastet, so kann man den Linienzug c d f c als Seilpolygon betrachten, und das zu diesem gehörige Kräftepolygon Fig. 34 stellt ohne Weiteres die in dem Hängewerk durch die flj äussere Kraft P hervorgerufenen Spannungen der Grösse ■ nach dar. In Fig. 34 ist die Verticale a b gleich der Kraft P, der Strahl 0 a ist die Pressung in der mit dieser Linie parallelen Strebe c d, der Strahl 0 b die Pressung in der mit ihm parallelen Strebe d f, während die von dem Pol 0 aus gezogene Horizontale On, nämlich die Poldistanz, die Spannung in der Zugstange cf darstellt. Diese Horizontale theilt die Belastung P oder die Linie ab in zwei Theile Rx und R₂, welche die Reactionen der Auflager c und/*

sind. In der von d ausgehenden verticalen Hängestange kann bei der in Fig. 33 dargestellten Anordnung keine andere Spannung Vorkommen, als diejenige, die das Gewicht der horizontalen Zugstange cf darin hervorruft.

Ist c f, Fig. 33, ein hölzerner Hängebalken und ist Q eine über die ganze Länge des Balkens gleichförmig vertheilte Last, so kann man den Hängebalken an der von den Strebenköpfen d ausgehenden Hängestange aufhängen. Der Balken ist dann als continuirlicher Träger auf drei Stützen anzusehen, und die Mittelstütze, das ist die Hängestange, erhält eine Last = ö/₈ Q, welche durch die Hängestange auf die Strebenköpfe übertragen wird. Zur Ermittelung der Spannungen in den Constructionstheilen des Hängewerks ist dann die Kraftlinie ab, Fig. 34, gleich P -f- ö/₈ Q zu machen. Das Biegungsmoment des Hängebalkens c f wird an der Aufhängungsstelle am grössten,

und es ist M — Q ~, wenn l die Entfernung der Stützpunkte von Mitte zu Mitte

bezeichnet und der Balken in seiner Mitte aufgehängt ist. Hiernach muss der Querschnitt des Hängebalkens sowohl der Zugspannung On, Fig. 34, wie auch dem Biegungsmoment M zusammen entsprechen.

Fig. 35.

Fig. 36.

Ganz in der vorstehenden Weise findet man auch die Spannungen in dem doppelten Hängewerk, Fig. 35, wenn man wieder den Linienzug acdb als Seilpolygon auffasst und in dem zugehörigen Kräftepolygon Fig. 36 von den Endpunkten der Kraftlinie A B die Strahlen nach dem Pol 0 parallel mit den Streben a c und b d zieht; diese beiden Strahlen geben dann direct die Maximaldruckkräfte 1 und 7, die in den Streben auftreten können; die Poldistanz 0 Z des Kräftepolygons aber gieht die Druckspannung 4 in dem Spannriegel cd, wie auch die Zugspannung 2, 5, 8 in der Zugstange oder in dem 1«» Hängebalken a b. Hierbei ist vorig« ausgesetzt, dass Px = P₂ und fm dass die Endfelder des Hänge-| werks gleiche Weite haben. Nur wenn die Mittelkraft von Pl und P₂ durch den Schnittpunkt s der Verlängerungslinie der beiden Streben a c und b d geht, befindet sich das Hängewerk im Gleichgewicht, während bei einseitiger Belastung eine Verschiebung der Trapezform des Hängewerks eintreten würde; um dies zu verhindern, müsste man im mittleren Felde gekreuzte Streben anbringen. Ist nun das doppelte Hängewerk nur durch die Kraft P₁ einseitig belastet, so kann der Linienzug acba als Seilpolygon angesehen werden. Wird dann die Grösse der Kraft Px von b nach?, Fig. 35, vertical aufgetragen und durch deren Endpunkt die Linie l n parallel zur Strebe ac gezogen, so schneidet diese Linie die Seite bc des Seilpolygons im Punkte n und die durch den Punkt n zur Mittelstrebe c c parallel gezogene Linie m n giebt den Druck in der Mittelstrebe c e.

Im Falle ab, Fig. 35, ein Hängebalken ist, der an den Stangen 3 und 6 aufgehängt wird, und Q eine über den ganzen Träger gleichmässig vertheilte Last bezeichnet, erhalten, falls das Hängewerk gleichweite Felder hat, die Stangen 3 und 6 je eine Belastung von ¹¹/₃₀ Q, welche bei c und d auf die Streben übertragen wird. Man hat für diesen Fall also im Kräftepolygon Fig. 36 die Kraftlinie AB = Pi + Pi +

2.¹¹/₃₀ Q zu machen, um die Spannungen in dem Hängewerke zu ermitteln. Das Biegungsmoment des mit Q belasteten Hängebalkens erreicht seinen grössten Werth in den aufgehängten Punkten unter den Stangen 3 und 6; für diese Querschnitte ist

§ 5. Kräftepläne von armirten Trägern.

D = 0,116 v^.sin2 (w + 10°) = 0,116.302.0,9782 = 1

Die Diagonalen Dx bis T>b sind für beide Trägerhäl

Bei Trägern mit parallelen Gurtungen liegt der Dur

^-Ä>0

. . (100)

U. k :t-_ A/.- U - V£ : rt( - $1' tX --fc 4t < ix - 4 'VT-,

WYDZIAEY POLITECHNICZNE KRAKOW

§ 5. Kräftepläne von armirten Trägern.

Auch bei den armirten Trägern gestalten sich die Kräftepläne sehr einfach. Denkt man bei dem durch drei Stützen armirten Träger Fig. 37 die Stützen 3 und die Zugstangen 5 weggelassen, so dass nur die mittlere Stütze 7 vorhanden ist, auf welche nun die Lasten PY bis P₃ vereinigt wirken, so kann man den Träger selbst als Seil-

Fig. 37.

M=Q

, wenn l den Abstand der Auflager a und b bezeichnet.

Der Balken-

' 90

querschnitt muss für das Moment M und für die in ihm herrschende Zugspannung berechnet werden.

Für Sprengwerke und für vereinigte Hänge- und Sprengwerke werden die Kräftepläne in ganz ähnlicher Weise gebildet wie oben gezeigt wurde.

Fig. 38.

if

polygon betrachten und das hierzu gehörige Kräftepolygon Fig. 38 setzt sich aus den Kräften Px bis P₃ zusammen. Die Linie a b giebt dann die Grösse des Druckes in der mittleren Stütze. Zieht man nun im Kräfteplan Fig. 38 von den Endpunkten a und b parallel mit den Zugstangen des Trägers die Strahlen 0 a und Ob, so sind diese Strahlen die Zugspannungen in den beiden Zugstangenstücken des armirten Trägers, während die Poldistanz Oc die Horizontalspannung des Seilpolygons, also auch die Pressung in dem Streckbalken des armirten Trägers giebt.

Schaltet man nun noch in das Hauptsystem des armirten Trägers nach Fig. 37 die beiden Systeme zweiter Ordnung ein, so bleibt das Kräftepolygon Fig. 38 dasselbe, wie bei dem armirten Träger mit einer Stütze. Man hat nur noch, da der Druck auf die beiden äusseren Stützen offenbar gleich P, resp. P₃ ist, von den Endpunkten dieser Kräfte im Kräfteplan Fig. 38 parallel mit den inneren Zugstangen des armirten Trägers, Fig. 37, die Linien m f und ne zu ziehen und die Punkte f und e durch eine Gerade zu verbinden, wodurch dann alle Maximalspannungen die in den Con-structionstheilen, Fig. 37, auftreten, bestimmt sind. Die Linie Oc giebt die Pressung in dem Streckbalken, die Linie 0 a oder 0 b die Spannung in dem mit 2 bezeichneten Zugstangenstücke, die Linie Oe oder Of die Zugkraft in dem Stangenstücke 6, en oder fm die Zugkraft in der inneren Zugstange 5 und endlich die Linie ef die Druckspannung in der Mittelstütze 7.

Die Richtung der Kräfte im Kräfteplan Fig. 38 ist durch die nach oben wirkenden Auflagerreactionen gegeben, und sämmtliche Kräfte müssen, wenn sie im Gleichgewicht sein sollen, in jedem Kräftepolygon einerlei peripherische Richtung haben. Hiernach ist, wie bereits erwähnt, leicht zu beurtheilen, ob irgend eine Kraft des Kräfteplans Zug- oder Druckkraft ist. Führt man einen Schnitt an irgend einer beliebigen Stelle durch den Träger, z. B. wie unter Fig. 37 gezeichnet, und setzt die Pfeilrichtung der Kräfte aus dem Kräfteplan an die Constructionstheile, so wird der Constructionstheil auf Druck beansprucht, gegen den der Pfeil gerichtet ist, auf Zug

aber wird ein Constructionstheil in Anspruch genommen, wenn der Pfeil von ihm abweist.

Ist ein Träger nur durch zwei Stützen armirt, wie in Fig. 39, so muss, wenn die Stützen vertical stehen, im mittleren Felde ein Zugstangenkreuz angebracht werden,

damit bei einseitiger Belastung des Trägers keine Verschiebung der Stützen Vorkommen kann. Um diese mittleren Zugstangen weglassen zu können, stellt man die Stützen etwas schräg wie in Fig. 39, und zwar in die Linie, die den-Winkel halbirt, den die Zugstangenstücke bilden. Die Zugkräfte in den Stangen 2 und 8 sind im Kräfteplan Fig. 40 durch die Strahlen 0 a und 0 b der Grösse nach dargestellt. Die Linien a c und b c geben die Druckkräfte in den Stützen 3 und 6. Die Poldistanz giebt die Pressung in den Fächern 1 und 7 des Streckbalkens, während die Pressung in dem mittleren Fache 4 und die Zugkraft in dem mittleren Zugstangentheil 5 durch die Linie 0 c dargestellt ist.

Rühren die auf einen armirten Träger einwirkenden äusseren Kräfte P von einer über die ganze Länge des Trägers gleichförmig vertheilten Last Q her und setzt man gleichweite Fachtheilung voraus, so erhält bei dem Träger mit einer Stütze diese letztere den Druck P= ö/₈ Q, bei Trägern mit zwei Stützen nach Fig. 39 ist Pv =P₂ = ll/₃₀ Q, bei

Fig. 39.

Fig. 40.

P,

32

26

Trägern mit drei Stützen nach Fig. 37 ist Px = P₃ =

Einschaltung weiterer Zwischensysteme kann man die Drücke für alle Stützen gleich gross annehmen, also Q durch die Anzahl der Felder des Trägers dividiren.

Das grösste durch die gleichmässig vertheilte Last Q in dem Streckbalken eines armirten Trägers hervorgerufene Biegungsmoment M ist, wenn l die Trägerlänge oder

den Abstand der Auflagermitten bezeichnet, für den Träger mit einer Stütze M—Q

112

Q, und P₂ =

112

Q. Bei

32’

für den Träger mit zwei Stützen M = Q und für den Träger mit drei Stützen

3

448~ Q .ly wobei der Bruchquerschnitt immer über der ersten Stütze vom Auflager liegt. Der Streckbalken muss demnach für das Biegungsmoment M und für die Pressung, welche die Zugstange erzeugt, berechnet werden. (Vergl. Handbuch der Hoh-und Hoheisen-Constructionen des Hochbaues von L. Klasen, S. 68.)

§ 6. Kräftepläne von Dachbindern (Blatt l und 2).

Die Totalbelastung der Dächer besteht:

a)    aus der Belastung durch das Eigengewicht der Construction;

b)    aus dem Gewichte der Schneeschicht, die sich auf ein Dach ablagern kann;

c)    aus dem grössten Drucke, den der Sturm auf ein Dach ausübt.

Das Eigengewicht der Dachconstruction setzt sich zusammen aus dem Gewicht der Dachbinder, der Fetten und Sparren, der Bretterschalung oder Lattung und des Dachdeckungsmaterials; es muss also bei Anwendung verschieden schwerer Dachdeckungsmaterialien verschieden ausfallen. Man kann als Eigengewicht p pro Dra geneigter Dachfläche annehmen, für:

das Holzcementdaeh

p — 120 bis 140 Kilogramm, das Doppel- und Kronenziegeldach . p = 110 „ 120

das Theerpappendach .    .    .    .    .

Wellenblech auf Winkeleisen .    .

99

99

99

99

99

99

. p =

Erfahrungsmässig erreicht die sich auf ein Dach ablagernde Schneeschicht etwa 55cm Höhe, doch kommen in rauhen Gebirgsgegenden auch Ablagerungen bis zu 2m Höhe vor. Der Schnee ist ca. 8 mal leichter als Wasser und lkbm Wasser wiegt 1000 Kilogr., daher ist das Gewicht g der 55cm hohen Schneeschicht pro

99

g = 0,55

1000

= 68,8 = rot .70 Kilogr.....(5)

Für ein Satteldach, Fig. 41, sei die Gebäudetiefe t = 1 gesetzt, dann ist nach vielfach gemachten Erfahrungen die zweckmässigste Höhe h des Daches:

Fig. 41.

beim Holzcementdaeh h = ¹/₃₂, oder der Neigungswinkel w — 3'/₂ Grad, „ Pappdach .    . h = x/l0 „

„ Blechdach .

„ Schieferdach .

99

99

99

99

99

«o=llV* „ w = 18

99

w = 26¹/₂ „ w = 36 bis 3872 Grad. Der Winddruck wird bei Berechnung der Dachconstructionen gewöhnlich auch als gleichförmig vertheilte verticale Belastung angenommen. Bezeichnet:

d den Druck des Windstosses gegen eine zur Windrichtung senkrecht gerichtete ruhende Ebene und

* = V*

„ Ziegeldach h = ³/₈ bis ²/₅ „    „

99

99

99

99

v die Geschwindigkeit des Windes in Metern pro Secunde, so ist nach angestellten Beobachtungen annähernd:

Es ist bei:

d = 0,116 v² Kilogr. pro D"¹

(6)

5“

leichtem Sturm . starkem Sturm . Orkan .... stärkstem Orkan *

v = 25m v = 30m v = 40m v = 48m

v =

v = 10m v = 15m v = 20m

In Mitteleuropa ist jedoch in offener Gegend v selten grösser als 30m, welche Windgeschwindigkeit bei Berechnung von Dachconstructionen meistens zu Grunde gelegt wird; es scheint aber, dass v von localen Verhältnissen sehr abhängig ist, und dass unter Umständen auch in Mitteleuropa fl v = 48m werden kann.

Die in Fig. 42 durch einen Pfeil bei E angedeutete Richtung I des Windes bildet mit der Horizontalen einen Winkel von 10 Grad I 15 Minuten, wofür man 10° annimmt. Der Windstoss trifft daher I die unter dem Winkel w geneigte Dachfläche A C unter dem I spitzen Winkel von w -{- 10 Grad. Denkt man die Ebene A B Mg rechtwinklig zur Windrichtung und die Linie B C parallel mit dieser Richtung, so ist der auf die Dachfläche A G von der Tiefe = 1 wirkende

Fig. 42.

[j]

Winddruck = d.AB. Da nun

AB

AG

= sin (w -f- 10°), oder AB = AG. sin (w -\- 10°)

ist, so wird d. AB — d. AC. sin (w + 10°). Auf der Flächeneinheit, d. h. pro Dra ist der Winddruck auf der Dachfläche AG daher:

d . AG. sin (w 4- 10°)

AG

= d. sin (w + 10°) .... (7)

Den Winddruck B kann man nun zerlegen in eine verticale Componente S und ein Componente die in der Richtung der Dachfläche wirkt; es verhalten sich dann:

JD : S = sin a : sin (w 4- 10°) oder da a = 90° — w, somit sin a = cosw ist, so wird:

J) : S = cosw : sin (w 4- 10°);

hieraus ist:

S _ sin (w 4- 10°)

D~

sin (w 4- 10°)

cosw

. . (8)

cosw

Setzt man den Werth von B aus Formel (7) in (8) ein, so wird:

d. sin² (w 4- 10°) cosw    ’

und wenn man hierin den Werth von d aus Formel (6) einsetzt, so erhält man:

0,116.v^.sin²- (w 4~ 10°) cosw

Setzt man v — 30m, so wird 0,116 v² = 104,4, wofür man abgerundet 100 annehmen kann, und dann wird aus Formel (9):

(9)

£=100

sin² (w fl- 10°)

cosw

(10)

ni

O 1-1

Die folgende Tabelle giebt S in Kilogr. für verschiedene Dachneigungen: w = 20°,    25°,    30°,    35°,    40°,    45°,

Kilogr. pro IHm.

S = 27,    36,    48,    61,    77,    95,

Bei Dachneigungen unter 20° nimmt man S zweckmässig nicht kleiner als 25 Kilogr. pro D"¹ Dachfläche. Es ist wohl nicht anzunehmen, dass die grösste Belastung durch Schnee mit der grössten Belastung durch Wind zusammentrifft; daher erscheint es zulässig, bei der Berechnung des Dachgerüstes die zufällige Last kleiner zu nehmen als obige Formeln ergeben. Bei flachen Dächern wird die Schneelast verhältniss-mässig grösser sein als bei steilen Dächern, weil der Wind den Schnee von den steileren Dächern leichter wegweht als von den flacheren.

Die Totalbelastung eines Daches setzt sich also aus p - g -\- S zusammen, und man bezieht diese am einfachsten auf die horizontale Grundfläche des Gebäudes, indem man die Belastung der Dachfläche durch cosw dividirt. Ist q die Totalbelastung pro Gm Grundfläche, so hat man:

(11)

cosw

Unter Zugrundelegung der S. 13 angegebenen Dachneigungen kann man für die verschiedenen Dachdeckungen die folgenden Totalbelastungen pro Grundfläche annehmen :

für das Holzcementdacli

Das Dachgerüst wird gewöhnlich so construirt, dass einzelne Träger, Dachbinder, nach dem Princip fester, unverschiebbarer Dreiecke aus Streben und Zugstangen zusammengesetzt werden, welche die Last des Daches auf die stützenden Mauern übertragen, ohne auf diese einen Schub auszuüben. Solche Dachbinder stellt man in grösseren Entfernungen, ca. 4m, von einander auf; sie tragen normal zu ihrer Richtung wieder Längenträger, welche zur Unterstützung der Sparren dienen, auf denen die Dacheindeckung befestigt wird; diese Längenträger nennt man Pfetten oder Fetten, und daher solche Dachwerke Fettendächer. Die Dachbinder mit den darüber liegenden Sparren heissen auch wohl Bundgespärre, die zwischen den Bindern auf den Fetten liegenden Sparren, wovon gewöhnlich drei zwischen zwei Bindern vorhanden sind, dagegen Leergespärre.

Der in Fig. 43 dargestellte, für Spannweiten bis etwa 7m brauchbare Binder besteht aus zwei im First gegeneinander stossenden Streben, die von den Auflagern A und B getragen und am Fusse durch die Zugstange 2, 4 zusammen gehalten werden. Diese letztere ist nicht horizontal angenommen, sondern sie steigt von den Strebenfüssen aus nach der Bindermitte an, wo sie mit der Hängestange 3 verbunden ist. Erhält nun jede Binderstrebe die Last P, so wird von jeder derselben */a P direct auf das Auflager und J/₂ P auf den First übertragen. Darnach ist also die Firstbelastung = P, welche Last von der Stangenverbindung auf die Auflager übertragen werden muss. Der Gegendruck jedes Auflagers gegen die Binderstrebe ist somit R = J/₂ P.

Der Kräfteplan lässt sich nun in ähnlicher Weise construiren, wie für das einfache Hängewerk in Fig. 33; da aber der Binder, Fig. 43 aus zwei symmetrischen Hälften besteht, so braucht man offenbar nur die Kräfte der einen Binderhälfte darzustellen. Macht man also in dem Kräfteplan Fig. 44 die Kraftlinie a b gleich der

für das Theerpappendach .    .    .    .

für Wellblech auf Winkeleisen .    .

Fig. 43.

Fig. 44.

ES!

bA

Auflagerreaction R = —, zieht durch den Punkt b eine Parallele zu der mit 1 bezeichnten Strebe, Fig. 43, und durch den Punkt a eine Parallele zur Zugstange 2, so schneiden sich diese beiden Kräfte im Pol, d. i. im Punkte c, wodurch ihre Grösse bestimmt ist. In der Strebe herrscht die Kraft 1 = b c, in der Zugstange die Kraft 2 — ac. Um nun noch die Kraft 3 in der vom First ausgehenden Stange zu bestimmen , verlängert man die Kraftlinie b a bis d und zieht durch den Punkt c eine Parallele zur Zugstangenrichtung 4 in der zweiten Binderhälfte. Die Kraft 3 = ad ist dann die in der Hängestange und die Kraft 4 = cd die in der unteren Zugstange vorkommende Spannung. Durch die aufwärtswirkende Kraft R ist die Pfeilrichtung der Kräfte im Kräfteplan Fig. 44 bestimmt; alle Kräfte müssen sowohl in dem Kräftedreieck abc, wie auch in dem Dreieck b cd gleiche pheripherische Pfeilrichtung haben,

wenn Gleichgewicht stattfinden soll. Führt man den Schnittes, Fig. 43, durch den Binder und setzt die Kräfte mit der im Kräfteplan Fig. 44 angegebenen Pfeilrichtung an die durchschnittenen Constructionstheile, so findet man, dass 1 eine Druckkraft, 3, 4 und 2 aber Zugkräfte sind. Die gedrückten Constructionstheile sind, der besseren Uebersicht wegen, durch doppelte Linien bezeichnet.

Ein dem vorhergehenden ähnlicher Binder ist in Fig. 45 gegeben, nur ist das für Holzcement-Eindeckung angenommene Dach so gering geneigt, dass die untere

Fig. 4G.

Fig. 45.

P\

p4

Zugstange nach der Bindermitte zu durchhängen musste, um für den First, wo die Streben zusammen-stossen, einen Stützpunkt zu gewinnen. Die Hängestange 3 in Fig. 43 wird hier also zur Stütze. Der Kräfteplan Fig. 46 ist sehr einfach zu construiren. Man trägt nämlich wieder die Auflagerreaction R = l/₂ P der Grösse und Richtung nach auf, zieht durch die Endpunkte dieser Kraft parallel mit der Binderstrebe 1 und mit der Zugstange 2 die Linien 1 und 2, welche sich gegenseitig schneiden. Durch den Schnittpunkt dieser Kräfte zieht man die Yerticale 3 und durch den unteren Endpunkt der Kraft R eine Parallele zur Richtung der Zugstange 4 in der zweiten Binderhälfte, wodurch nun alle Kräfte der Grösse und Richtung nach bestimmt sind.

Die geometrische Form und die Kräfte der gebräuchlichsten Dachbinder sind auf Blatt 1 dargestellt. Für freitragende Dächer ist der aus zwei miteinander verbundenen armirten Trägern bestehende Binder (Fig. 1) sehr gut geeignet. Diese Binderform wurde zuerst von C. Polonceau für die Dächer der Stationsgebäude an der Eisenbahn zwischen Paris und Versailles angewendet. Bei dem Dache (Fig. 1, Blatt 1) wurde Zinkblecheindeckung und eine Binderweite von 4ra angenommen. Als Totalbelastung kann man dann 150 Kilogr. pro Dm Grundfläche in Rechnung bringen, wonach jeder Binder 10.4.150 == 6000 Kilogr. Belastung erhält. Nimmt man an, diese Last vertheile sich gleichmässig auf die Knotenpunkte des Binders, so muss jeder der drei mittleren Knotenpunkte x/₄ def-Desammtbelastung erhalten, während ¹/₄ derselben direct von den beiden Auflagern aufgenommen wird. Jeder Knotenpunkt erhält somit 1500 Kilogr. und der Gegendruck jedes Auflagers gegen die Stangenverbindung des Binders beträgt x/₂.3.1500 = 2250 Kilogr., wie in (Fig. 1) eingeschrieben ist.

Im Kräfteplan zu diesem Binder (Fig. 2) sind 100 Kilogr. gleich lmm angenommen. Macht man nach diesem Maassstabe die verticale Linie a b gleich dem Gegendruck des Auflagers und an gleich der Belastung des ersten Knotenpunktes, zieht durch den Punkt a parallel mit der Stangenrichtung 1 die Kraft 1 und durch den Punkt b parallel mit der Stangenrichtung 2 die Kraft 2, so schneiden sich diese beiden Kräfte im Punkte c, es ist also die Kraft 1 = ac, die Kraft 2 — bc, wobei lmm Länge der Linien 100 Kilogr. Spannung darstellt. Die Pfeilrichtung der Kräfte ist durch den aufwärts wirkenden Auflagerdruck gegeben und in dem Kräftedreieck ab c müssen alle drei Kräfte gleiche Richtung haben. Wird nun in (Fig. 1) durch die Stangen 1 und 2 ein Schnitt geführt und werden die Kräfte mit ihrer Pfeilrichtung aus dem Kräfteplan (Fig. 2) an die durchschnittenen Constructionstheile angesetzt, so findet man, dass 1 eine Druckkraft ist, weil sie gegen die Schnittfläche der Stange drückt, während 2 von der Stange weggerichtet ist, diese also auszudehnen sucht, folglich eine Zugkraft darstellt.

Setzt man nun die Kraft 1 im Kräfteplan (Fig. 2) mit der Belastung des Knotenpunktes, also mit der Linie an zusammen und denkt eine Linie nc gezogen, so wäre dies die Resultirende aus der Kraft 1 und aus der Belastung des Knotenpunktes. Man kann diese Resultirende nun leicht in die Richtungen der Stangen 3 und 4 zerlegen, indem man parallel mit der Stange 3 im Kräfteplan die Linie c d und parallel mit der Stange 4 die Linie nd zieht, wodurch die Kräfte 3 und 4 bestimmt sind (vergl. 8. 8). Die Kräfte 2, 3 und 4 müssen in den beiden entstehenden Dreiecken wieder gleiche Pfeilrichtung haben.

Jetzt erübrigt es noch, die Kräfte in den Stangen 5 und 6 des unteren Knotenpunktes zu ermitteln. Bereits bekannt sind die Kräfte 2 und 3, die Resultirende dieser Kräfte lässt sich durch eine Gerade b d im Kräfteplan darstellen, und diese kann man einfach in die Richtungen 5 und 6 zerlegen, wenn man b f parallel mit der Stange 6 und d f parallel mit der Stange 5 zieht; die Linie d f ist dann die Kraft 5, die Linie b f die Kraft 6 und die Pfeilrichtung dieser Kräfte wird durch die Pfeilrichtung der Kraft 4 bestimmt. Man braucht die Spannungen natürlich nur für eine Binderhälfte zu ermitteln, da wegen der symmetrischen Anordnung die Spannungen in den einzelnen Constructionstheilen beider Binderhälften gleich gross sind.

Der Dachbinder (Fig. 3, Blatt 1) unterscheidet sich von (Fig. 1) nur dadurch, dass in jeder Binderhälfte von dem Knotenpunkt der unteren Gurtung zwei Stützen 3 und 5 gegen die obere Bindergurtung gehen und mit dieser zwei Knotenpunkte bilden. Bei diesem Dache ist ebenfalls eine Zinkhlecheindeckung angenommen und der Abstand der Binder von Mitte zu Mitte beträgt 3,6m. Jeder Binder erhält bei 150 Kilogr. Totalbelastung pro Dm Grundfläche 15,7.3,6.150 = rund 8400 Kilogr., daher jeder Knotenpunkt ,/e . 8400 = 1400 Kilogr.; jedes Auflager drückt mit 2¹/ss. 1400 = 3500 Kilogr. gegen die Stangenverbindung des Binders.

Im Kräfteplan (Fig. 4) sind 200 Kilogr. gleich lmm angenommen. Die verticale Linie ab ist der Gegendruck des Auflagers, am und an sind die Belastung je eines Knotenpunktes. Beginnt man nun wieder mit der Bestimmung der Spannungen in (Fig. 3) am Auflager, indem man im Kräfteplan (Fig. 4) durch den Punkt a eine Parallele zu 1 und durch den Punkt b eine Parallele zu 2 zieht, so schneiden sich beide Kräfte im Punkt c. In diesem Kräftedreieck ist die Pfeilrichtung der Kräfte durch den aufwärts gerichteten Auflagerdruck bestimmt. Geht man jetzt zum ersten Knotenpunkt in der oberen Bindergurtung über und setzt die Belastung desselben a m mit der Kraft 1 zur Resultirenden dieser beiden Kräfte zusammen, die im Kräfteplan (Fig. 4) durch eine Linie m c dargestellt ist, so kann man diese in die Richtungen 3 und 4 zerlegen, wodurch diese Kräfte mit ihrer durch die Kraft 2 gegebenen Pfeilrichtung ermittelt sind. Zu dem zweiten oberen Knotenpunkt übergehend, setzt man dessen Belastung mn im Kräfteplan (Fig. 4) mit der Kraft 4 zu der Resultirenden n d zusammen und zerlegt diese in die Richtungen 5 und 6. Im Knotenpunkt der unteren Gurtung (Fig. 3) sind die Kräfte 2, 3 und 5 bereits bekannt, diese im Kräfteplan (Fig. 4) zu der Resultirenden b f zusammengesetzt und in die Richtungen 7 und 8 zerlegt, ergiebt als Kraft 7 die Linie fh, als Kraft 8 die Linie b h mit der durch die Kraft 6 gegebenen. Pfeilrichtung.

Für den Dachbinder (Fig. 5, Blatt 1) ist dieselbe Spannweite angenommen wie für den vorhergehenden, auch sind dieselben Knotenpunktsbelastungen zu Grunde gelegt, um beide Systeme, miteinander vergleichen zu können. Ist nun im Kräfteplan (Fig. 6) die Linie ab wieder der Gegendruck eines Auflagers, und sind die Linien am und mn die Belastungen der Knotenpunkte, so hat man, am Auflager beginnend, eine Parallele zu 1 durch den Punkt a, eine Parallele zu 2 durch den Punkt b gezogen, die sich im Punkte c schneidenden Kräfte 1 und 2 ermittelt. Die Kraft 1

Klasen, Graphische Statik.

kann man mit der ersten Knotenpunktsbelastung am im Kräfteplan (Fig. 6) zur Re-sultirenden mc zusammensetzen und diese in die Richtungen 3 und 4 zerlegen, dann wird 3 = cd und 4 = nd, deren Pfeilrichtung bestimmt die Kraft 2. Im ersten Knotenpunkte der unteren Bindergurtung sind die Kräfte 2 und 3 bereits bekannt, deren Resultirende b d kann man in die Richtungen 5 und 6 zerlegen, es wird 5 = df und 6 = bf. Die Kraft 6 fällt also der Lage nach mit der Kraft 2 zusammen, weil die Richtungen der Stangen 2 und 6 in (Fig. 5) zusammenfallen. Geht man zum zweiten Knotenpunkt in der oberen Bindergurtung (Fig. 5) über und setzt im Kräfteplan (Fig. 6) die bereits bekannten Kräfte 4 und 5 mit der Knotenpunktsbelastung m n zu einer Resultirenden zusammen, so wird dieselbe durch eine Gerade nf dargestellt, die man in die Richtungen 7 und 8 zerlegt, wobei die Kraft 6 die Pfeilrichtung dieser Kräfte giebt. Endlich werden für den zweiten Knotenpunkt der unteren Bindergurtung (Fig. 5) die bekannten Kräfte der hier zusammenstossenden Stangen 6 und 7 im Kräfteplan (Fig. 6) zu der Resultirenden hg zusammengesetzt, die dann in die Richtungen 9 und 10 zerlegt wird; es ist die Kraft 9 — gh, die Kraft 10 = bh, die Kraft 8 giebt deren Pfeilrichtungen.

Der in (Fig. 7, Blatt 1) dargestellte Binder mit horizontaler Strebe hat dieselbe Spannweite und abgerundet dieselbe Belastung zu tragen, wie die beiden vorhergehenden Binder. Ein Vergleich der Kräftepläne (Fig. 4, 6 und 8) zeigt aber, dass dieser Binder sehr unzweckmässig ist, da die Spannungen in dessen Constructions-theilen verhältnissmässig ausserordentlich gross werden. Zur Construction des Kräfteplanes (Fig. 8) ist die Verticale ab = Gegendruck des Auflagers, an — Belastung eines Knotenpunktes. Am Auflager beginnend zieht man im Kräfteplan durch den Punkt a eine Parallele zur Stangenrichtung 1 und durch b eine Parallele zur Stangenrichtung 2, beide Kräfte schneiden sich im Punkte c. Jetzt die Last des ersten Knotenpunktes mit der bekannten Kraft 1 zur Resultirenden n c zusammengesetzt und diese in die Richtungen 3 und 4 zerlegt, ergiebt 3 — cd und 4 — dn. Nun bleibt noch die Kraft 5 in der vom First ausgehenden Hängestange zu ermitteln. Die Kräfte der in dem mittleren Knotenpunkte der unteren Bindergurtung (Fig. 7) zusammenstossenden Stangen 2 und 3 sind bekannt, man kann dieselben also im Kräfteplan (Fig. 8) zu der Resultirenden b d zusammensetzen. Zerlegt man diese in eine horizontale Componente d f und in eine verticale Componente b f, so ist die letztere die von der einen Binderhälfte herrührende Spannung; die ganze Spannung 5 muss demnach doppelt so gross sein, nämlich gleich bg, da dg die Resultirende der Kräfte 2 und 3 der zweiten Binderhälfte ist.

Das in (Fig. 9, Blatt 1) dargestellte Dach ist mit Ziegeln eingedeckt. Wird hierbei pro □ m Grundfläche eine Totalbelastung von 240 Kilogr. angenommen, so ist die ganze Belastung eines der in 3,75m Abstand aufgestellten Binder 3,75.14,8.240 = rund 13500 Kilogr., wovon jeder Knotenpunkt */e erhält, während l/₆ von den beiden Auflagern je zur Hälfte direct aufgenommen wird. In (Fig. 9) sind die Belastungen der Knotenpunkte und die Gegendrücke der Auflager eingeschrieben. Im Kräfteplan (Fig. 10) ist die Verticallinie a b wieder der Gegendruck des Auflagers, am und mn sind die Belastungen der Knotenpunkte. Man zieht durch die Punkte a und b die Parallelen zu den Stangenrichtungen 1 und 2, und es ist Kraft 1 = ac, Kraft 2 = bc, ihre Pfeilrichtung giebt der aufwärts gerichtete Auflagerdruck.

Im ersteren Knotenpunkte der oberen Bindergurtung greifen die Stangen 5, 4 und 5 an, man kann die Resultirende aus der Kraft 1 und der Knotenpunktsbelastung am nun nicht ohne Weiteres in die drei Richtungen der angreifenden Stangen zerlegen. Denkt man aber die inneren Stangen 3, 5, 6, 9 und 10, die offenbar nur zur Aussteifung der Binderstrebe dienen, weggelassen, so wird Kraft 8 = Kraft 1 und 7 = 2; auch in (Fig. 9) muss 8 = 1 sein. Man kann also im Kräfteplan (Fig. 10) durch den Punkt n eine Parallele zur Stangenrichtung 8 ziehen und wg = ac machen. Setzt man nun 8 und die Belastung mn des zweiten Knotenpunktes zu der Resul-tirenden mg zusammen, so kann man diese in die Stangenrichtungen 4. und 9 zerlegen, dann wird 4 = mf und 9 = fg. Im ersten Knotenpunkte der oberen Bindergurtung sind jetzt nur noch die beiden Kräfte 3 und 5 unbekannt. Die bereits ermittelten Kräfte 1 und 4 lassen sich mit der Knotenpunktsbelastung a m zur Resul-tirenden c f zusammensetzen, die in die Richtungen 3 und 5 zerlegt werden kann, so dass Kraft 3 =- cd und Kraft 5 = df wird. Jetzt im ersten Knotenpunkte der unteren Bindergurtung die bekannten Kräfte 2 und 3 zu der Resultirenden b d zusammengesetzt und diese in die Richtungen der Stangen 6 und 7 zerlegt, ergiebt 6 = dh und 7 = bh. In dem noch übrigen oberen Knotenpunkte sind die Kräfte 5, 6 und 9 schon bekannt, die Kraft 10 muss diesen drei Kräften das Gleichgewicht halten, sie muss also die Resultirende der drei Kräfte sein. Im Kräfteplan (Fig. 10) ist die Resultirende der Kräfte 9, 5, 6 gleich gh, es ist also die Kraft 10 = gh.

Bei dem in (Fig. 11, Blatt 1) dargestellten Dache ist eine Zinkblecheindeckung auf Schalung und eine Binderweite von 4m angenommen. Man kann hierbei als Totalbelastung pro Dm Grundfläche 150 Kilogr. annehmen, dann erhält ein Binder 20.4.150 = 12000 Kilogr., von welcher Belastung ¹/₈ auf jeden Knotenpunkt der oberen Bindergurtung kommt. Die Verticallinie ab ist im Kräfteplan (Fig. 12) der Auflagerdruck, die Linien am, mn und no sind die Belastungen der einzelnen Knotenpunkte. Im Punkte c schneiden sich die durch die Punkte a und b mit den Stangenrichtungen 1 und 2 parallel gezogenen Kräfte 1 und 2, und zwar ist Kraft 2 = b c. Kraft 1 mit der Belastung am des ersten Knotenpunktes zu der Resultirenden mc zusammengesetzt und diese parallel mit den Stangen 3 und 4 zerlegt, ergiebt Kraft 3 = cd und Kraft 4 = dm.

Jetzt die im ersten Knotenpunkte der unteren Gurtung angreifenden bekannten Kräfte 2 und 3 im Kräfteplan (Fig. 12) zu der Resultirenden b d zusammengesetzt und dann diese nach den Stangenrichtungen 5 und 6 zerlegt, ergiebt Kraft 5 = df und Kraft 6 = fb.

Im zweiten Knotenpunkte der oberen Bindergurtung greifen sechs Kräfte an, wovon aber nur drei bekannt sind. Deren Resultante müsste also in drei Richtungen zerlegt werden, was zu keinem bestimmten Resultate führen würde. Die Pressung in . der Stange 7 ist aber leicht zu ermitteln, denn je die halbe Spannung von 3 und 11 wird durch die Zugstangen 5 und 9 auf 7 übertragen, daher muss die Spannung in der Stange 7 doppelt so gross sein als die bereits bekannte Spannung 3. Wird nun im Kräfteplan (Fig. 12) die Kraft 7 = fl aufgetragen und werden 4, 5, 7 und die Knotenpunktsbelastung m n zur Resultirenden n l zusammengesetzt und zerlegt man diese parallel mit den Stangen 8 und 9, so wird Kraft 8 = kn, Kraft 9 = kl. Setzt man nun die im zweiten Knotenpunkte der unteren Bindergurtung angreifenden Kräfte der Stangen 6 und 7 im Kräfteplan (Fig. 12) zur Resultirenden b l zusammen und zerlegt diese in die Stangenrichtungen 10 und 14, so wird Kraft 10 = lh, Kraft 14 = bh. Im folgenden Knotenpunkte der oberen Bindergurtung Kraft 8 mit der Knotenpunktsbelastung n o im Kräfteplan zusammengesetzt, ergiebt die Resultirende olc, diese nach den Stangenrichtungen 11 und 12 zerlegt, ergiebt Kraft 11 = gh und Kraft 12 — go. Endlich ist im letzten Knotenpunkte die Kraft 13 die Resultirende aus den Kräften

2*

9, 10 und 11; dieselbe wird im Kräfteplan (Fig. 12) durch die Linie gh dargestellt, es ist daher Kraft 13 = gh.

Bei dem in (Fig. 13, Blatt 1) gegebenen Binder werden die Hauptstreben durch geneigte Streben und Zugstangen von der Bindermitte aus unterstützt; dieses Strebensystem wurde zuerst in England angewendet und ist dort sehr verbreitet, es eignet sieb für Binder von jeder beliebigen Spannweite. Für das Dach (Fig. 13) ist Schiefereindeckung und ein Binderabstand von 4m angenommen. Wird für die Bestimmung der Spannungen 200 Kilogr. Totalbelastung pro Dm Grundfläche der Berechnung zu Grunde gelegt, so erhält jeder Binder 10.4.200 = 8000 Kilogr. Belastung. Bei Annahme einer gleichmässigen Lastvertheilung erhält jeder Knotenpunkt */₄.8000 = 2000 Kilogr., und von jedem Auflager werden 1000 Kilogr. direct aufgenommen, wonach der Gegendruck jedes Auflagers = 3000 Kilogr. ist.

Die Linie ah im Kräfteplan (Fig. 14) ist wieder der Gegendruck eines Auflagers, a m die Belastung eines Knotenpunktes. Im Punkte c schneiden sich die durch a und h mit den Stangen 1 und 2 parallel gezogenen Kräfte 1 und 2. Vereinigt man die Knotenpunktsbelastung am mit der Kraft 1 zur Resultirenden cm und zerlegt diese in die Stangenrichtungen 3 und 4, so ist 3 — c d und 1 — dm. Im Knotenpunkte der unteren Gurtung greifen die Kräfte der Stangen 2, 3 und 5 an; setzt man im Kräfteplan (Fig. 14) die Kräfte 2 und 3 zur Resultirenden hd zusammen und zerlegt diese in eine horizontale Componente und in eine verticale Componente, so ist b f die von einer Binderhälfte herrührende Kraft in der Stange 5. Die ganze Kraft 5 ist aber offenbar doppelt so gross, nämlich — hg, weil dg die Resultirende aus den Kräften 3 und 4 in der zweiten Binderhälfte ist.

Zur Vergleichung des in (Fig. 15, Blatt 1) dargestellten Binders mit dem in (Fig. 11) gegebenen sind bei beiden Bindern gleiche Verhältnisse und gleiche Belastungen vorausgesetzt. Die Kräfte 1 bis 4 werden in dem Kräfteplan (Fig. 16) in derselben Weise bestimmt wie in dem vorhergehenden Kräfteplan. Jetzt im ersten Knotenpunkte der unteren Bindergurtung die Kräfte der Stangen 2 und 3 im Kräfteplan (Fig. 16) zur Resultirenden hd vereinigt, dann diese nach den Richtungen 5 und 8 zerlegt, ergiebt Kraft 5 = df, Kraft 8 — bf. Ferner im zweiten Knotenpunkte der oberen Bindergurtung die bekannten Kräfte 4 und 5 mit der Knotenpunktsbelastung mn im Kräfteplan zur Mittelkraft nf zusammengesetzt, dann diese nach den Richtungen 6 und 7 zerlegt, ergiebt Kraft 6 = ng, Kraft 7 = fg. Weiter lassen sich die bereits ermittelten Kräfte der Stangen 7 und 8 des zweiten Knotenpunktes der unteren Gurtung im Kräfteplan (Fig. 16) zur Resultirenden hg zusammensetzen, diese lässt sich zerlegen in die Stangenrichtungen, 9 und 12 und es ist Kraft 9 = gh, Kraft 12 — h h. Im dritten Knotenpunkte der oberen Gurtung sind die Kräfte 6 und 9 schon bekannt; werden diese mit der Knotenpunktsbelastung wo im Kräfteplan zur Mittelkraft oh vereinigt und zerlegt man die letztere in die Stangenrichtungen 10 und 11, so wird Kraft 10 = ho, Kraft 11 = hh.

Schliesslich bleibt noch die Kraft 13 des mittleren Knotenpunktes der unteren Gurtung zu ermitteln. Offenbar ist 13 die Mittelkraft aus den vier Kräften 11 und 12 von beiden Binderhälften. Die Mittelkraft von 11 und 12 in der linken Binderhälfte ist im Kräfteplan (Fig. 16) durch die Gerade h h dargestellt; zieht man durch den Punkt h die Horizontale hl, macht Ip = lh und zieht die Linie hp, so ist dies die Mittelkraft von den Kräften 11 und 12 der rechten Binderhälfte. Die Schlusslinie hp des Dreiecks h hp ist dann offenbar die Resultirende aus den beiden Mittelkräften h h und p h, es ist also Kraft 13 — hp.

= 200 Kilogr. der Gegendruck eines Auflagers, am und mn sind die Belastungen der Knotenpunkte. Die Constructionstheile 1 und 2 müssen den Auflagerdruck aushalten; zieht man also durch den Punkt a im Kräfteplan (Fig. 20) parallel mit der Strebe 1 eine Gerade, ebenso durch den Punkt b eine Parallele zum Hängebalken 2, so schneiden sich diese Kräfte im Punkte c, und es ist Kraft 1 = ac, Kraft 2 = b c. Zum ersten Knotenpunkte der oberen Gurtung übergehend, wird die Kraft 1 im Kräfteplan mit der Belastung a m zur Mittelkraft m c zusammengesetzt und diese wird in die Richtungen der Streben 3 und 4 zerlegt, es wird dann Kraft 3 = cd, Kraft 4 = dm. Ferner im Kräfteplan die Kraft 4 mit der Belastung mn des zweiten Knotenpunktes zur Mittelkraft dn zusammengesetzt, dann diese in die Richtung der Hängestange 5 und des Spannriegels 6 zerlegt, ergiebt Kraft 5 = df und Kraft 6 = nf. Endlich im Knotenpunkt der unteren Gurtung die drei bereits bekannten Kräfte 2, 3 und 5 im Kräfteplan (Fig. 20) zur Mittelkraft b f vereinigt und diese in die Richtung der Mittelstrebe 7 und des Hängebalkens 8 zerlegt, ergiebt Kraft 7 = fh, Kraft 8 = bh.

Das von Schwedler ausgeführte Dacli (Fig. 17, Blatt 1) ist mit Ziegeln als Kronendach eingedeckt. Als Totalbelastung wurden für die statische Berechnung der Binder, die in 3,89m Abstand aufgestellt sind, pro Grundfläche 254 Kilogr. angenommen. Ein Binder erhält demnach 31,2.3,89.254 = rund 31000 Kilogr.; die angenommene Lastvertheilung ist in (Fig. 17) eingeschrieben. Der Kräfteplan zu diesem Binder ist in (Fig. 18) dargestellt, wobei lmm gleich 400 Kilogr. angenommen ist. Die Construction des Kräfteplanes ist ganz ähnlich durchzuführen wie bei dem in (Fig. 12) dargestellten beschrieben wurde.

Das Hängewerk (Fig. 19, Blatt 1) trägt ein Schieferdach, die Binder sind in 3,5m Abstand aufgestellt. Rechnet man als Totalbelastung pro □ m Grundfläche 200 Kilogr., so ist die Last, die ein Binder erhält, 19.3,5.200 = 13300 Kilogr.; jeder der fünf Knotenpunkte erhält hiervon ’/e und J/₆ wird direct von den beiden Auflagern aufgenommen. Die Belastungen und die Gegendrücke der Auflager sind in (Fig. 19) eingeschrieben.

Im Kräfteplan (Fig. 20) zu diesem Hängewerk ist wie bisher die Linie a b nach dem Maassstabe 1

Bei Dachbindern, die, wie der in (Fig. 21, Blatt 1) dargestellte, nicht nur an beiden Enden auf liegen, sondern noch weitere Unterstützungen erhalten, kann man einen Zug zusammenhängender Constructionstheile als Seilpolygon betrachten; dann sucht man die in den einzelnen Knotenpunkten des Linienzuges wirkenden Kräfte zu bestimmen und setzt sie als Kräftepolygon zusammen. In (Fig. 21) ist offenbar die Spannung in dem Sparrentheil 1 = 0, weil die Last Pl von den Streben 2 aufgenommen und die Last P₂ nur auf den Sparrentheil 4 und auf die Stütze 3 vertheilt wird.

Die Belastung Px im First zerlegt sich nach den Richtungen der beiden Streben 2. Macht man im Kräfteplan (Fig. 22) die Linie ab = Pl und zieht durch a und b parallel mit den Streben 2 die Strahlen Oa und Ob, so sind dies die Spannungen 2 im oberen Theil der Hauptstreben. Die Last P₂ zerlegt sich nach den Richtungen der Constructionstheile 3 und 4; wird nun im Kräfteplan (Fig. 22) die Linie b c — P₂ gemacht, zieht man dann parallel mit dem Sparren 4 die Linie c d und parallel mit der Strebe 3 die Linie bd, so sind die beiden von dem Pol d ausgehenden Strahlen die Kräfte 3 und 4.

Die Last P₃ wird direct von der Stütze 7 aufgenommen. Die Last P₄ aber zerlegt sich nach der Richtung des Sparrens 5 und nach der Richtung der Strebe 6, so dass die äussere Strebe des Seitenschiffes gar keine Spannung erhält, weil bei der

geringsten Durchbiegung der Stütze AB, welche bei A durch die Hauptstrebe 8 bewirkt werden kann, die Strebe 6 die Last P₄ hebt und somit die äussere Strebe des Seitenschiffes völlig entlastet. Zieht man nun im Kräfteplan (Fig. 22) vom Pol 0 aus den Strahl Oe parallel mit dem Sparren 5 und den Strahl Of parallel mit der Strebe 6 und macht diese beiden Strahlen so lang, dass die verticale Linie zwischen denselben fe = P₄ wird, so ist offenbar Oe die Spannung im Sparrentheil 5 und Of die Pressung in der Strebe 6. Die Pressung 7 im oberen Theil der Stütze AB setzt sich aus der verticalen Componente des Sparrenschubes 4 und 5 und aus der Last P3 zusammen. Im Kräfteplan (Fig. 22) ist die Kraft 5 = Oe; an diesen Strahl kann man noch die Kraft 4 = eg ansetzen, dann wird die verticale Componente dieser beiden Kräfte = OJe; an diese Verticale kann man noch die Last P₃ antragen, dann ergiebt sich die Kraft 7 = Om.

Die Pressung 8 in dem unteren Theile der Hauptstreben setzt sich aus den Pressungen 2 und 3 zusammen. Vereinigt man diese Kräfte im Kräfteplan (Fig. 22) zu der Resultirenden Od und zerlegt diese in eine Componente On parallel zur Strebe 8 und in eine horizontale Componente d n, so ist 8 = 0 n die Pressung in einer Hauptstrebe. Den von den Streben 6 und 8 auf den unteren Theil der Stütze AB ausgeübten Druck 9 erhält man, wenn man die Kräfte 6 und 8 im Kräfteplan (Fig. 22) zu der Resultirenden fn zusammensetzt, dann diese in eine horizontale Componente nr und in eine verticale Componente st zerlegt; die Linie st stellt die Pressung 9 dar, die ganze Pressung im unteren Theile der Stütze AB setzt sich aus den Pressungen 7 und 9 zusammen.

Die horizontale Componente nr der Mittelkraft fn ist die in (Fig. 21) bei A angedeutete Kraft 10, das ist der Widerstand, den die Stütze A B der durch die Kraft 8 bewirkten Durchbiegung entgegensetzen muss. Man kann die Kraft 10 in zwei Theile zerlegt denken, wovon der eine Theil Iam Fusse der Stütze bei B, der andere Theil II am Kopfe der Stütze wirkt. Denkt man die Constructionstheile 8 und 9 als Seiten und die von B ausgehende punktirte Linie (Fig. 21) als Schlusslinie eines Seilpolygons, dann ist der Schnittp des mit der Hauptstrebe 8 parallel laufenden Strahles On mit der Last P₄ im Kräfteplan (Fig. 22) der Pol und die zur Schlusslinie parallel gezogene Linie ps theilt die Kraft 10 = nr in die Kräfte I und II.

Jetzt sind noch die Kräfte 11 und 12 in der oberen Zange (Fig. 21) zu ermitteln übrig. Die horizontale Componente des Sparrenschubes 4 und 5, welche beiden Kräfte im Kräfteplan (Fig. 22) durch den Strahl Og dargestellt sind, spannt die Zange, die Linie g Je giebt diese Componente. Hierzu kommt noch die Kraft II, die im Kräftplan durch die Linie ns dargestellt ist; demnach ist die Zugkraft 11 = gJe ns. Die horizontale Componente der Kraft 2, im Kräfteplan gleich der Poldistanz H, ist im mittleren Theil der Zange eine Zugkraft; die horizontale Componente der Kraft 3, im Kräfteplan gleich der Poldistanz Ji, ist im mittleren Theil der Zange eine Druckkraft, daher ist die Kraft 12 — 11 -f- H—Ji.

Die Last P₅ wird direct von der äusseren Stütze aufgenommen, welche allein von dieser Kraft beansprucht wird. Die Sparren haben die gleichförmig vertheilt gedachte Dachbelastung auf die Knotenpunkte zu übertragen; die Leersparren haben nur diese Aufgabe zu erfüllen, währen die Bindersparren auch noch die Spannungen 4 und 5 aufzunehmen haben. Für das in (Fig. 21) angenommene Zahlenbeispiel ist Pappeindeckung und eine Binderweite von 4m vorausgesetzt. Rechnet man als Totalbelastung pro □m Grundfläche 140 Kilogr., dann erhält ein Binder 30.4.140 = 16800 Kilogr.;

hiervon erhält jeder Knotenpunkt ¹/s. 16800 = 2100 Kilogr. Für diese Lasten und für den Maassstab lmm = 100 Kilogr. ist der Kräfteplan (Fig. 22) aufgetragen.

Binder der Pultdächer zu Perronüberdachungen werden oft an die Gebäudemauern angehängt; die geometrische Form eines derartigen Binders zeigt Fig. 47. Ist jedes der beiden Felder 2 und 4 mit P belastet, so erhält der Knotenpunkt a am freien Ende des Binders die Last ¹/₂ P, der mittlere Knotenpunkt b erhält von jedem Felde die halbe Last, also P, und der obere Knotenpunkt d wieder '/₂P. Setzt man diese drei Kräfte im Kräfteplan Fig. 48 zu der Kraftlinie A B zusammen und beginnt im Knotenpunkt a,

Fig. 47, mit dem Ermitteln der Spannungen, indem m| | man im Kräfteplan durch den Punkt A eine Pa- I rallele zur Stangenrichtung 1 und durch den End- l|| punkt m der im Punkte a wirkenden Kraft eine Parallele zur Stangenrichtung 2 zieht, so sind die Kräfte 1 und 2, die sich im Punkte C schneiden, durch die Linien 1 und 2 dargestellt. Geht man nun zum Knotenpunkte b, Fig. 47, über und setzt die hier angreifende Kraft 2 mit der Last P im Kräfteplane Fig. 48 zu der Mittelkraft n C zusammen, dann kann man diese in die Stangenrichtungen 3 und 4 zerlegen, wenn man CD im Kräfteplan parallel mit der Stange 3 und Dn parallel mit der Stange 4 zieht. Jetzt zum Knotenpunkte c übergehend, vereinigt man die hier angreifenden Kräfte 1 und 3 im Kräfteplan Fig. 48 zu der Resultirenden AD. Diese zerlegt man in die Stangenrichtungen 5 und 6, welche beiden Kräfte sich im Punkte E schneiden, es ist also Kraft 5 = DE, Kraft 6 — AE. Im Knotenpunkte d, Fig. 47, greifen die Kräfte 4, 5 und % P an; diese drei Kräfte im Kräfteplan zu der Mittelkraft BE zusammengesetzt und in die Stangenrichtungen 7 und 8 zerlegt, ergieht Kraft 7 = EF, Kraft 8 = BF. Im Knotenpunkte e, Fig. 47, vereinigen sich die Stangen 6 und 7; beide können im Kräfteplan, Fig. 48, zur Mittelkraft AF zusammengesetzt werden, und diese muss mit der Kraft 8, die den Knotenpunkt d des Binders an der Mauer festhält, und den äusseren Kräften A B ein geschlossenes Dreieck bilden, wenn Gleichgewicht zwischen den äusseren und inneren Kräften stattfindet.

Der Binder mit 4 Feldern Fig. 49 ist dem vorhergehenden ganz ähnlich, der Kräfteplan Fig. 50 wird daher auch in derselben Weise construirt; da man aber die Kräfte auch ohne die in Fig. 48 punktirten Resultirenden darstellen kann, so sind die letzteren in Fig. 50 weggelassen. Bemerkt mag noch werden, dass Kraft 1 = AC,

Kraft 6 = AE, Kraft 10 — AG und Kraft 14 =

AJ ist.

Fig. 49.

Hfl

Fig. 47.

Fig. 50.

1!

Fig. 48.

Die Binder Fig. 47 und 49 haben den grossen Uebelstand, dass die untere Gurtung auf Druck beansprucht wird. Um ein seitliches Einknicken dieser Gurtung zu verhindern, muss man dieselbe in den Knotenpunkten nach der Länge des Daches aussteifen, wozu hier besondere Constructionstheile erforderlich werden, während man in der oberen Gurtung, wenn diese gedrückt wird, die Fetten gleichzeitig zu der seitlichen Aussteifung der Gurtung benutzen kann, was ästhetisch und ökonomisch erhebliche Yortheile bietet. Es ist aus

diesem Grunde zweckmässig, die freitragenden Perrondachbinder so zu construiren, dass die obere Gurtung gedrückt wird, was in der Weise geschehen kann, wie es (Fig. 1, Blatt 2) zeigt. Die obere Gurtung des Binders ist bei A oberhalb der Dachfläche an der Stange AG aufgehängt, wodurch in der oberen Bindergurtung AB Druckspannung erzeugt wird.

Nennt man:

l die Länge des Binders,

a den Abstand des Aufhängepunktes von der Binderspitze, also l — a den Abstand des Aufhängepunktes von der Mauer, und R die im Punkte A von der Zugstange aufzunehmende Last, so ist am vortheilhaftesten:

a = 0,2114 l,

wofür V₄ l angenommen ist (vergl. des Verf. „Handbuch der Hochbau-Constructionen in Eisen¹¹, S. 298). Nach den Bezeichnungen in (Fig. 1, Blatt 2) wird R — 5 P. Trägt man diese Kraft in (Fig. 2) als verticale Linie auf und zieht durch den einen Endpunkt derselben parallel mit der oberen Bindergurtung die Linie 1 und parallel mit der Zugstange durch den anderen Endpunkt die Linie 2, so schneiden sich beide Kräfte gegenseitig ab, und es ist 1 die von der Zugstange in der oberen Bindergurtung hervorgerufene Pressung, 2 die Spannung in der Zugstange. Die weiteren Spannungen lassen sich dann, je nach der Anordnung des Fachwerkes, leicht ermitteln.

Der in (Fig. 3, Blatt 2) dargestellte sogenannte Sichelträger ist oft als Binder zur Ueberdachung grosser Hallen von ca. 40m Weite angewendet. Die Knotenpunkte der oberen Bindergurtung sind hier in einer Parabel von */₅ Pfeilhöhe, diejenigen der unteren Gurtung in einer Parabel von ¹/l5 Pfeilhöhe liegend angenommen.

Der Kräfteplan (Fig. 4) lässt sich für das in' (Fig. 3) angeordnete Fach werk des Sichelträgers leicht construiren. Werden die drei Kräfte P,, P₂ und P₃, woraus sich die Auflagerreaction R zusammensetzt, nach einem entsprechenden Maassstabe aufgetragen, durch A eine Linie parallel zur Stange 1 und durch B eine Linie parallel zur Stange 2 gezogen, so ergeben sich die im Punkte b sich gegenseitig abschneidenden Kräfte 1 und 2. Wird nun die Kraft 1 mit der Last Pl zu der Mittelkraft ab zusammengesetzt und diese in die Stangenrichtungen 3 und 4 zerlegt, so wird Kraft 3 = bc, Kraft d — ac. Ferner kann man im nächsten Knotenpunkte der unteren Gurtung die bekannten Kräfte 2 und 3 zur Mittelkraft cd zusammensetzen und diese in die Stangenrichtungen 5 und 6 zerlegen. In dieser Weise fortfahrend, lassen sich sämmtliche im Kräfteplan (Fig. 4) dargestellten Kräfte construiren.

Bei den unsymmetrischen Bindern der Sheddächer müssen zuerst die Knotenpunktsbelastungen und dann die Gegendrücke der Auflager mittelst des Seilpolygons ermittelt werden. In Fig. 51 ist die geometrische Form eines Sheddachbinders von 9m Spannweite dargestellt. Der flache Schenkel dieses Daches sei mit Zinkblech eingedeckt, der steile Schenkel mit Glas. Das Eigengewicht des Daches sei 40 Kilogr., die Schneelast = 70 Kilogr. und der Winddruck = 30 Kilogr., also die Totalbelastung = 140 Kilogr. pro □m Dachfläche. Die Länge des flachen Schenkels beträgt 8,4m, die Entfernung der Binder 3,8m, dann ist die ganze Last, die der flache Schenkel erhält, 8,4.3,8.140 = rund 4470 Kilogr.; auf jedes Feld kommt ¹j₃, so dass jeder der beiden mittleren Knotenpunkte 1490, der Firstknotenpunkt aber 745 Kilogr. erhält. Der Winddruck B normal auf den steilen Schenkel des Daches gerichtet, ist nach Formel (6) bis (10), da der Schenkel unter dem Winkel w = 68° gegen den Horizont geneigt ist, pro Dm Dachfläche:

D = 0,116 v^.sin² (w + 10°) = 0,116.30².0,978² = 142 Kilogr.

Die Höhe des Schenkels beträgt 3,3m, demnach erhält ein Binder 3,3.3,8.142 = 1780 Kilogr., wovon die Strebe des flachen Schenkels die Hälfte, also 890 Kilogr. als Druckkraft aufzunehmen hat.

Setzt man die auf den flachen Dachschenkel wirkenden Belastungen in dem Kräftepolygon Fig. 52 zu der Kraftlinie AB zusammen und zieht von einem beliebigen Pol 0

Fig.*5 2.

Fig. 51.

Fig. 53.

Tonnen

aus Strahlen an die Endpunkte der einzelnen Kräfte, verzeichnet dann unter Fig. 51 das zugehörige Seilpolygon, indem man die Seiten des Seilpolygons mit den einzelnen vom Pol 0 ausgehenden Strahlen parallel zieht, und schliesst das Seilpolygon durch die Schlusslinie s s, so theilt die Dichtung dieser Schlusslinie vom Pol 0 nach s gezogen im Kräftepolygon Fig. 52 die Kraftlinie A B in die Auflagerreactionen Rt und R₂.

Nachdem nun die Gegendrücke der Auflager bekannt sind, kann man den Kräfteplan Fig. 53 construiren. Hier ist noch einmal die verticale Linie ab = AB gezogen, dann ist mit dem Ermitteln der Kräfte im Knotenpunkte A, Fig. 51, begonnen, wo sich der Auflagerdruck Rt in die Stangenrichtungen 1 und 2 zerlegt. Im Kräfteplan zieht man also parallel mit der Stange 1 durch den Punkt b die Kraft 1, ebenso zieht man durch den Punkt e, als Endpunkt des Auflagerdruckes Rl, parallel mit der Stange 2 die Kraft 2; diese Kräfte schneiden sich im Punkte c, es ist demnach Kraft 1 — bc, Kraft 2 = ce, und die Pfeilrichtung der Kräfte ist in dem Kräftedreieck bce durch den nach oben gerichteten Auflagerdruck bestimmt. Geht man jetzt zum Knotenpunkte B, Fig. 51, über und setzt die hier angreifende Last mit Kraft 1 im Kräfteplan zu der Resultirenden c f zusammen und zerlegt diese dann in die Stangenrichtungen 3 und 4, so wird Kraft 3 — cd, Kraft 4 = df. Im Knotenpunkte C sind die Kräfte 2 und 3 bekannt, sie lassen sich im Kräfteplan zu der Mittelkraft de zusammensetzen und diese lässt sich in die Stangenrichtungen 5 und 6 zerlegen; es wird Kraft 5 = dg, Kraft 6 = eg.

Zum Knotenpunkte E übergehend vereinigt man die bekannten Kräfte 4 und 5 mit der Knotenpunktsbelastung im Kräfteplan Fig. 53 zu der Resultirenden gn, die man nun in die Stangenrichtungen 7 und 8 zerlegt; es wird dann Kraft 7 — gm, Kraft 8 = mn. Endlich müssen im Knotenpunkte G die Stangen 8 und 9 die Firstbelastung aufnehmen und der Auflagerdruck R₂ muss im Kräfteplan die Resultirende aus den Kräften 6, 7 und 9 sein, weil diese drei Kräfte im Auflagerpunkte F angreifen. Es muss daher im Kräfteplan die mit der Stange 9 parallel gezogene Kraft 9 den Punkt m mit a verbinden, wenn Gleichgewicht zwischen den Kräften stattfinden soll, die Kraft 9 ist also gleich am. Zu den Kräften 8, 4, 1 sind noch die obigen 890 Kilogr., die vom Winddrucke auf den steilen Dachschenkel herrühren, zu addiren, hierdurch werden auch die Kräfte 2 und 6 in der unteren Bindergurtung etwas grösser. Als Kräftemaassstab zu Fig. 52 und 53 sind 2ram — 300 Kilogr. angenommen.

Dritter Abschnitt.

Gitter- oder Fachwerksträger.

§ 7. Systeme der Gitter- oder Fachwerksträger.

Fachwerkartig zusammengesetzte Träger, Fachwerksträger, nennt man wegen ihrer gitterartigen Längenansicht auch Gitterträger (engl, the trellis-girder; franz. la poutre en treillis). Diese Träger bestehen aus zwei übereinander liegenden Gurtungen (engl. the chord, the boom; franz. la semelle), wovon man die Obergurtung (engl, the top-chord, the upper-boom; franz. la semelle superieure) und die Untergurtung (engl, the bottom-cliord, the lower-boom; franz. la semelle inferieure) unterscheidet; von diesen Gurtungen wird in jedem Querschnitte die eine auf Zug, die andere auf Druck beansprucht. Beide Gurtungen werden durch die Gitterstäbe (engl, the brace; franz. le lien) zu festen unverschieblichen Dreiecken verbunden; je nach der Lage und Neigung der Gitterstäbe können dieselben Zug- oder Druckspannung erhalten. Brücken, deren Fahrbahn von Gitterträgern getragen wird, nennt man Gitterbrücken (engl, the trellis-bridge, the truss-bridge; franz. le pont en treillis).

Im Allgemeinen kann man Gitter- oder Fachwerksträger mit parallelen Gurtungen und solche mit gekrümmten Gurtungen unterscheiden, ferner unterscheidet man darnach, ob die Gitterstäbe mit den horizontalen Gurtungen rechtwinklige, oder gleichseitige resp. gleichschenklige Dreiecke bilden, das Fachwerkssystem des rechtwinkligen Dreiecks (System Howe) und das Fachwerkssystem des gleichseitigen Dreiecks (System Neville oder System Warren).

Ein Fachwerksträger mit parallelen Gurtungen mit Fachwerk nach dem System des rechtwinkligen Dreiecks (engl, the quadrangular System;    franz. la Systeme quadran-

gulaire) ist in Fig. 54    dargestellt.    Bei der Anordnung A    sind alle    verticalen Stäbe

auf Druck, alle diagonalen Stäbe aber auf Zug beansprucht, wobei es einerlei ist, ob die Last in der Ober- oder Untergurtung angreift. Kehrt man bei diesem Träger aber das Obere, wie bei B,    nach unten,    so werden die Gitterstäbe gerade    entgegengesetzt

beansprucht, denn in    diesem Falle    werden alle Verticalen    gezogen,    alle Diagonalen

aber gedrückt, einerlei, ob die Last in der unteren oder oberen Gurtung zum Angriff gelangt, denn durch die Angriffsweise der Last wird nur die Verticale in der Trägermitte beeinflusst. Die Spannung dieser Stange wird bei dem Träger A, wenn die Last in der unteren Gurtung, und bei dem Träger B, wenn die Last in der oberen Gurtung angreift = 0.

Einfache, für jede Trägerhälfte entgegengesetzt geneigte Diagonalen genügen vollkommen, wenn die Last in der Mitte des Trägers wirkt oder gleichmässig über den

Träger vertheilt ist. Wenn aber der Träger einer einseitigen Belastung ausgesetzt • wird, oder wenn sich die Last, wie bei Brücken, von einer Seite her über den Träger vorschiebt, so müssen für eine gewisse Anzahl Felder in der Trägermitte die einfachen Diagonalen abwechselnd Zug- oder Druckspannung annehmen können, oder wenn dies nicht zulässig ist, müssen in diesen Feldern gekreuzte Diagonalen vorhanden sein. Sollen die Diagonalen nur Zugspannung erhalten, dann sind dieselben nach Fig. 54 C anzuordnen; sollen sie aber nur Druckspannung annehmen können, so müssen sie nach Fig. 54 D angeordnet werden. Hat ein Fachwerksträger eine ungerade Felderzahl, dann sind unter allen Umständen im Mittelfelde gekreuzte Diagonalen erforderlich. Wenn einseitige Belastungen Vorkommen, müssen gewöhnlich bei neun Feldern die drei mittleren Felder, bei acht und zehn Feldern die vier mittleren Felder gekreuzte Diagonalen erhalten; übrigens ist die Zahl der mit gekreuzten Diagonalen zu versehenden Felder von dem Verhältnisse der mobilen Last zu dem Eigengewichte des Trägers abhängig. Die für den Materialverbrauch günstigste Neigung der Gitterstäbe ist 45 bis 55 Grad.

Fig. 54.

ggäsggggl

SBBeBbh

mm

HüUBBfl

Die Pressung in der oberen und die Spannung in der unteren Gurtung eines Fachwerksträgers ändert sich nur in den Knotenpunkten und beide nehmen von der Trägermitte nach den Auflagern hin ab; umgekehrt verhält es sich mit den Vertical- und Diagonalstäben, deren Anstrengung von der Trägermitte₍ nach den Auflagern hin zunimmt. Wenn die Belastung eines Trägers veränderlich ist, so wird die Spannung in den Gurtungen bei vollständiger Belastung am grössten, die Gitterstäbe aber werden dann am stärksten beansprucht, wenn der Träger einseitig belastet ist.

Fig. 55.

mm.

WSk

Ein Gittersystem heisst einfach, wenn nur ein Diagonalstab auf jedes Trägerfeld kommt; im anderen Falle heisst es zusammengesetzt. Man nennt ein zusammengesetztes System einfach gekreuzt, wenn in einem Felde zwei Diagonalen sich in ihrer Mitte kreuzen; kommen aber in dem in Fig. 55 durch stärkere Linien angedeuteten Hauptsystem noch n—1 Zwischenstäbe vor, so heisst das System ein n - faches oder ein System n - ter Ordnung. Fig. 55 zeigt ein 3 - faches Gittersystem, weil darin 3 — 1=2 Zwischenstäbe Vorkommen. Nur die Verbindungsstellen der Gitterstäbe mit den Gurtungen, die Knotenpunkte, sollen bei Fachwerksträgern die Angriffspunkte der Belastungen sein, damit

alle Theile nur auf einfachen Zug oder Druck in Anspruch genommen werden; als maassgebender Grund für die Anordnung mehrfacher Gittersysteme wird daher bei Brückenträgern die Entfernung der Querträger von einander angesehen, und je aus dem Verhältnisse dieser Weite zur Weite der Hauptfache wird das Vielfache des Systems bestimmt; mehr als zweifache Fachwerkssysteme werden jedoch gegenwärtig selten angewendet, weil man die Spannungen und Pressungen in den einzelnen Verbandstücken bei mehrfachen Systemen nicht zuverlässig durch Rechnung oder auf graphischem Wege verfolgen kann.

Fig. 56.

Auch bei dem einfachen Fachwerk lässt sich durch secundäre Dreiecke die doppelte Anzahl von Knotenpunkten für die Querträger gewinnen, wie dies der Träger Fig. 56 zeigt. Dieses System ist von den Ingenieuren Wilson & Pettit für die Mount-Union-Brücke über den Juniatafluss der Penn-

sylvanischen Eisenbahn angewendet; die Brücke hat fünf Oeffnungen von 37 bis 38,2m

Spannweite, mit obenliegender Fahrbahn. Bei diesen Trägern fehlen die punktirt angedeuteten Gregendiagonalen (engl, the counter-tie; franz. le contre-tirant) in den vier mittleren Feldern, die hier vorhandenen einfachen Diagonalen müssen also auch Druckspannung annehmen können.

Ein Fachwerksträger nach dem System des gleichseitigen Dreiecks (engl, the triangulär System; franz. Ja Systeme triangulaire) ist in Fig. 57 dargestellt. Der belgische Ingenieur Neville wendete dieses System seit 1846 in Form gleichschenkliger Dreiecke an, jedoch in ganz unzweckmässiger Weise. Im Jahre 1849 aber wurde das System von dem engl. Capitän Warren zu dem gleichseitigen Dreieckssystem ausgebildet. Beim . Warren-System (engl, the Warren-girder) sind zuweilen noch Verticalen angeordnet, die von den Knotenpunkten der oberen Gurtung ausgehen und zur Unterstützung der Querträger in der unteren Gurtung dienen, wie dies bei der Trent-Brücke der Fall ist.

Fig. 57.

In Fig. 57 A und B sind die gedrückten Stäbe

■    durch Doppellinien, die gezogenen Stäbe durch I einfache Linien dargestellt. Hieraus erkennt I man, dass alle Stäbe, welche so angeordnet

■    sind, dass sie von der unteren Gurtung gegen I die Trägermitto ansteigen, auf Druck, die ent-I gegengesetzt geneigten aber auf Zug in Anspruch

■    genommen werden. Doch können in der Trägermitte, bei einseitiger Belastung des Trägers, die bei voller Belastung gedrückten Stäbe auch Zugspannung erhalten, ebenso die gezogenen Stäbe Druckspannung. Durch Verbindung der beiden Stabanordnungen der Träger A und B, Fig. 57, entsteht das einfach gekreuzte System, welches bei dem Träger C angedeutet ist. Bei dem einfachen System werden die Gitterstäbe gewöhnlich unter dem Winkel von 60 Grad gegen die Gurtungen geneigt, bei dem einfach gekreuzten System aber meistens unter dem Winkel von 45°, der im Allgemeinen für den Materialverbrauch am vortheilhaftesten ist.

In das einfach gekreuzte System der Gitterstäbe lassen sich auch hier, wie in Fig. 55, beliebig viele Nebensysteme einschalten, wodurch ein engmaschiges Gitterwerk entsteht, welches dem aus hölzernen Latten bestehenden Town’sehen Gitterwerk nachgebildet war, was namentlich bei hölzernen Gitterträgern in Amerika Anwendung fand. Diese Träger mit engmaschigem Gitterwerk nennt man Town’sehe Gitterträger oder Gitterträger im engeren Sinne, im Unterschiede zu dem weitmaschigen System oder den Fachwerksträgern. Die meisten älteren Eisenbahnbrücken haben Gitterträger mit engmaschigem Gitterwerk, was jedoch, wie oben erwähnt, nicht zweckmässig ist, denn wenn auch der Materialaufwand bei dem eng- und dem weitmaschigen System sich ziemlich gleich gross herausstellt, so verdient das weitmaschige System doch aus dem Grunde den Vorzug, weil die Zusammensetzung des Trägers einfacher ist und weil die vielfachen Vernietungen der sich kreuzenden Gitterstäbe, sowie die Einschaltung besonderer Aussteifungen, die nicht wesentlich zum System gehören, bei dem engmaschigen Gittersystem eine complicirte Uebertragung ‘der Spannungen und Pressungen veranlassen, welche nicht mit Sicherheit verfolgt werden können.

Die Höhe der Gitterträger zwischen den Schwerpunkten der Gurtungen macht man im Hochbau gewöhnlich = ¹/₁₀ bis i/lb der Spannweite, und als Eigengewicht nimmt man zur vorläufigen Berechnung 15 l bis 18 l Kilogr. pro laufendes Meter an, wenn l die Länge des Trägers in Metern bezeichnet. Im Brückenbau erhalten die Gitterträger gewöhnlich ]/io bis l/s 4er Spannweite zur Höhe.

Das Biegungsmoment M bei Trägern mit gleichförmig vertheilter Belastung ändert sich nach den Ordinaten einer Parabel, deren Höhe im Scheitel dem Momente in der Trägermitte proportional ist; bei vollständiger Belastung des Trägers lassen sich die Biegungsmomente also durch eine Parabel darstellen. Liegen nun die Knotenpunkte der oberen Gurtung in dieser Parabel und ist die obere Gurtung direct belastet, so wird bei voller Trägerbelastung der Druck in der Richtung der Gurtung auf die Auflager übertragen, das Gitterwerk hat daher keine Spannung aufzunehmen, in Folge dessen ist die untere Gurtung nur eine Zugstange, welche den Horizontalschub der oberen Gurtung aufnimmt. Solche Träger mit einer parabolisch gekrümmten Gurtung nennt man Parabelträger (engl, the parabolic truss; franz. la poutre parabolique).

Die Höhe h in der Mitte der Parabelträger nimmt man gewöhnlich gleich '/io bis ¹/7 der Spannweite. Die Scheitelhöhe h der parabolischen Gurtung ist also gegeben. Zur

Fig. 58.

Fig. 59.

uA

Verzeichnung der Parabel hat man, wenn nach Fig. 58 die halbe Spannweite mit l

und die Coordinaten in Bezug auf den Scheitel mit x und y bezeichnet werden:

(12)

, x2 y = h —

Bezeichnet aber l nach Fig. 59 die ganze Spannweite, x und y die Coordinaten in Bezug auf den Auflagerpunkt, so ist:

(13)

x (l — x)

und für den meistens vorkommenden Fall, dass man h — l\sl annimmt, wird:

. (14)

x(l — x)

y =    21........

Fig. 60.

.1

In Fig. 60 sind Parabelträger mit verschiedener Anordnung des Gitterwerkes dargestellt. Bei dem Träger A sind sämmtliche Diagonalen nach einer Richtung geneigt; ist nun die obere Gurtung direct belastet, so bleiben bei vollständiger Trägerbelastung die Verticalen und Diagonalen im spannungslosen Zustande. Wenn aber nur die linke Trägerhälfte belastet ist, so werden die unter der Last befindlichen Verticalen gedrückt und diese erzeugen in sämmtlichen Diagonalen Zugspannung; ist dagegen nur die rechte Trägerhälfte belastet, dann werden die unter der Last befindlichen Diagonalen direct gedrückt, diese erzeugen in den Verticalen Zugspannung, welche wieder als Druck auf die folgenden Diagonalen übertragen wird. Dasselbe findet statt, wenn die untere Trägergurtung je zur Hälfte belastet ist. Sind die Diagonalen wie bei dem Träger B, Fig. 60, angeordnet und ist nur eine Trägerhälfte belastet, so wurden die unter der Last vorhandenen Diagonalen gedrückt, diejenigen in der unbelasteten Trägerhälfte aber gezogen. Sollen die Diagonalen nur auf Zug beansprucht werden, dann müssen, wie bei dem Träger C, in jedem Felde zwei sich kreuzende vorhanden sein.

Die gekrümmte Gurtung der Parabelträger kann, wie bei C und D, Fig. 60, dargestellt ist, nach oben oder nach unten gerichtet sein, wie es gerade die örtlichen

Verhältnisse bedingen, wonach natürlich die Inanspruchnahme der Gurtungen auf Zug oder Druck in beiden Fällen entgegengesetzt ist.

Bei den Parabelträgern wird die gekrümmte Gurtung in der Trägermitte am geringsten beansprucht, die Spannung wächst nach den Auflagern hin; in der horizontalen Gurtung aber ist die Spannung in allen Feldern gleich gross, wenn der Träger vollständig belastet ist. Die Verticalen und die Diagonalen werden in der Trägermitte am stärksten beansprucht. Die Parabelträger erfordern etwa 20% weniger Material als die Gitterträger mit parallelen Gurtungen, was besonders darin begründet ist, dass das Gitterwerk weit geringer beansprucht wird und die Diagonalen bei voller Trägerbelastung keine Spannung erhalten; dafür ist aber die Herstellung der Parabelträger schwieriger und die Eckverbindungen erfordern mehr Verschnitt des Materials, so dass der Vortheil in Bezug auf ihr geringeres Gewicht meistens durch die Mehrkosten an Arbeitslohn wieder aufgehoben wird.

Auch bei den Parabelträgern kann man das Gitterwerk, wie im Träger A, Fig. 61, angedeutet, nach dem System des gleichschenkligen Dreiecks anordnen, dann erhalten aber einzelne Stangen Zug- und Druckspannung. Die Parabelträger A, B, C, Fig. 60,

Fig. 61.

bei denen die obere Gurtung gekrümmt ist und die Fahrbahn stets in der unteren Gurtung liegt, nennt man im Brückenbau auch Bogensehnenträger (engl. the bowstring-girder; franz. la poutre en bowstring). In Amerika kamen die sehr unzweckmässig con-struirten Wipple’sehen Bogensehnenträger zur Anwendung. Hierbei bestehen nicht nur die Diagonalen, sondern auch die Verticalen aus schwachem Rundeisen; da nun letztere keine Druckspannung aufnehmen können, so wird die aus steifen gusseisernen Röhren bestehende obere Gurtung bei einseitiger Trägerbelastung sehr stark beansprucht. Den Träger D, Fig. 60, bei dem die untere Gurtung gekrümmt ist und die Fahrbahn stets in der oberen Gurtung liegt, nennt man auch Fischbauchträger (engl, the fish-bellied-girder), derselbe ist nur für Brücken von kleinen Spannweiten ausgeführt.

Eine besondere Art Parabelträger ist der sogenannte Sichelträger (Fig. 3, Blatt 2), der für grosse Dach- und Deckenconstructionen Anwendung findet. Hierbei ist auch die untere Gurtung nach oben parabolisch gekrümmt, was nur durch die gefälligere Form motivirt ist. Das füllende Gitterwerk zwischen beiden Gurtungen wird hier meistens wie bei dem Träger C, Fig. 60, angeordnet.

Der abgestumpfte Parabelträger B, Fig. 61, ist in neuerer Zeit mehrfach dann angewendet, wenn sich an eine grössere Brückenöffnung kleinere Oeffnungen an-schliessen, welche mittelst Träger mit parallelen Gurtungen überbrückt sind. Die Träger der kleinen Oeffnungen schliessen sich in gleicher Höhe mit den abgestumpften Enden des Parabelträgers an diese an, wodurch ästhetisch eine günstigere Wirkung erzielt wird, als wenn Träger von ungleicher Höhe angewendet werden. Die Krümmungslinie der oberen Gurtung kann eine Parabel oder ein Kreisbogen sein, und die Höhe des Trägers in der Mitte wird meistens gleich % der Spannweite genommen. Diese Träger erfordern etwas mehr Material als die Parabelträger, aber weniger als die Fachwerksträger mit parallelen Gurtungen.

Von den Ingenieuren Köstlin und Battig wurde der trapezförmige Träger A, Fig. 62, für die Brigitta- und Sophienbrücke zu Wien ausgeführt. Durch die Endabschrägungen des Trägers soll eine Materialersparniss erzielt werden, die bei richtiger Abschrägung auch thatsächlich stattfindet und 5 bis 10% beträgt. Die obigen Strassen-

Fig. 62.

brücken haben je 65,lm lichte Weite, die Höhe der Träger ist h — 0,11, die Länge der Abschrägung a = 0,111-, hierbei sind die Träger an den Enden nicht ganz zugeschärft, sondern sie haben noch eine Endhöhe von 0,3 h.

Der im Jahre 1866 von Schwedler zur Anwendung gebrachte Träger B, Fig. 62, beansprucht von allen bisher ausgeführten Fachwerksträgern die geringste Materialmenge. Dieser Träger wird namentlich für Brücken von mehr als 30m Spannweite vortheilhaft und wird hierbei die obere Gurtung in den Endfeldern polygonal nach der unteren Gurtung hin zusammengezogen, während die mittleren Felder parallele Gurtungen erhalten. Alle Diagonalen werden nur auf Zug beansprucht, es sind daher im mittleren Felde oder in einigen Feldern in der Trägermitte I Gegendiagonalen erforderlich. Die Höhe h in der Mitte des Trägers ist von Schwedler gleich 0,131 bis 0,17 l genommen. Bezeichnet y die Höhe einer Verticalen im Abstande x vom Trägerende, p das Eigengewicht und q die mobile Nutzlast pro Längeneinheit, so ist:

Ji.p

. . (15)

² x(l — x) pl 4- px

In neuerer Zeit wurden die Schwedler’sehen Träger auch oft mit zweifachem Diagonalensystem ausgeführt, dann wurde die obere Gurtung im mittleren Theil des Trägers ebenfalls schwach gekrümmt, damit die ganze Gurtung des besseren Ansehens wegen eine stetig gekrümmte Linie bildet.

Der parabolische Träger C, Fig. 62, mit gekrümmter Ober- und Untergurtung kommt unter dem Namen Fisch- oder Linsenträger vor (engl, the Brunel-girder, the bowstring-suspension-girder). Zuerst ist diese Trägerform 1834 von Laves angewendet, doch sind die meistens aus Holz construirten Laves’schen Träger nicht zu den Gitterträgern zu rechnen, weil bei ihnen die Diagonalen fehlen. Brunei brachte diese Trägerform 1850 für die Tamarbrücke bei Saltash für eine Spannweite von 135,7ra in Anwendung, bei welcher Brücke die Fahrbahn unter der unteren Trägergurtung hängt. Von Pauli ist der Fischträger seit dem Jahre 1857 mehrfach angewendet: bei der Isarbrücke bei Grosshesselohe für eine Spannweite von 52,54® mit über der oberen Gurtung liegender Fahrbahn und bei der Rheinbrücke bei Mainz für eine Spannweite von 105,2® mit in der unteren Gurtung liegender Fahrbahn. Die Pauli’schen Träger sind nach einer Curve gekrümmt, welche so beschaffen ist, dass die Querschnitte der beiden gebogenen Gurtungen an jeder Stelle des Trägers gleich gross sein können, es müssen also in allen Gurtungsquerschnitten gleich grosse Spannungen herrschen. Nennt man h die Höhe in der Mitte, y die Höhe im Abstande x von einem Ende und l die Spannweite des Trägers, so ist für die Pauli’schen Träger annähernd:

A 7    *

y — 4,Jl —

. (16)

(‘-*)[‘+*£(‘-’t)']-•

Die Höhe h kann wie bei dem Parabelträger angenommen werden. Bei den genannten Brücken sind in allen Feldern gekreuzte Diagonalen angeordnet. Der Materialbedarf ist bei den Pauli’schen Trägern ca. 2°/₀ geringer als bei den Parabelträgern mit einer gekrümmten Gurtung.

Die schönsten von allen Fachwerksträgern sind die in Fig. 63 angedeuteten Bogen-träger, wobei entweder nur eine oder beide Gurtungen gekrümmt sein können. Bei

rationeller Constrnction müssen die Bogenträger im Scheitel s, Fig. 63, ein Gelenk haben und an den Kämpfern a sich gegen gelenkförmige Auflager stützen; dann lassen

Fig. 63.

nn

VA

sich die Auflagerdrücke mit voller Bestimmtheit nach einfachen statischen Gesetzen ermitteln und die durch Temperaturänderung veranlasste Deformation des Trägers hat nur ganz unbedeutenden Einfluss auf die Inanspruchnahme des Materials. Der gelenkförmige Bogenscheitel bietet indess erhebliche constructive Schwierigkeiten, weshalb das Scheitelcharnier bei vielen Bogenträgern weggelassen ist. Zur Ermittelung der Spannungen in solchen Bogenfachwerksträgern ohne Scheitelcharnier hat Herr Baurath Mohr, Professor in Dresden, zuerst eine genaue und einfache Methode angegeben.

Bei den grössten Bogenbrücken* sind auch die Kämpfercharniere weggelassen, so dass der steife Bogen wie ein Gewölbe in seiner ganzen Querschnittfläche von den Kämpfern unterstützt wird. Dieser Anordnung gehen manche Ingenieure wegen der Einfachheit und aus dem Grunde den Vorzug, weil die Bogenenden bei vollen Auflagern mehr gegen Zerknickung gesichert sind, als bei drehbaren Auflagern. Für solche Bogenträger mit eingespannten Kämpfern lassen sich aber die Auflagerdrücke nicht zuverlässig ermitteln, indem der Rechnung Voraussetzungen zu Grunde gelegt werden müssen, die in Wirklichkeit meistens nicht zutreffen. Mit complicirten Theorien kann man hier also nicht viel anfangen, da geringe Abweichungen von jenen Annahmen grossen Einfluss auf die Lage und Grösse der Auflagerdrücke ausüben und man keine Mittel hat, diese Abweichungen zu schätzen oder zu messen. Mann kann die Spannungen im letzteren Falle also nur annähernd ermitteln und muss aus diesem Grunde hier eine geringere Beanspruchung des Materials annehmen, als wenn die Spannungen sich genau ermitteln lassen, damit die Construction für alle Fälle gesichert ist.

Nach dem System A, Fig. 63, ist die von Cezanne erbaute Tüeissbrücke hei Szegedin ausgeführt; diese hat 8 schmiedeeiserne Bogen von je 41,4m Lichtweite und 4,lm Pfeilhöhe. Die Bogen haben keine Gelenke. Nach demselben System ist die 1857 erbaute Eisenbahnbrücke über den Canal St. Denis ausgeführt, die eine Oeffnung von 45,2m Weite hat. Die Bogen haben 4,708m Pfeilhöhe und Gelenke an den Auflagern, ein Scheitelcharnier fehlt. Ebenso ist die Maasbrücke in Lüttich mit zwei Oeffnungen von je 60m Lichtweite nach diesem System erbaut. Die Stieger brücke in Wien mit gusseisernen Bogen von 30,3“ lichter Spannweite und die 1872 von Köstlin und Battig aus Schmiedeeisen ausgeführte Tegetthofbrücke von 30m Spannweite mit einem Stichverhältniss von 0,089 gehören demselben Bogensystem an. Die Bogen der beiden letzteren Brücken haben Scheitel und Widerlagergelenke.

Nach dem System B, Fig. 63, ist die schöne Rheinbrücke bei Coblenz von Hart wich erbaut, welche drei Oeffnungen von je ca. 96m Lichtweite hat. Die schmiedeeisernen Bogen mit ca. l/₁₀ Pfeil haben keine Gelenke. Auch die von J. B. Eads nach demselben System erbaute grosse Brücke über den Mississippi bei St. Louis hat drei Oeffnungen, wovon die mittlere 157m Spannweite und 15,7™ Pfeilhöhe hat, während die beiden Seitenöffnungen je 151,5m Spannweite haben. Die Bogenhöhe, d. h. der Abstand der Gurtungen zwischen den Schwerpunkten, ist bei der ersteren Brücke = ca. 3m, bei der letzteren = 2,44m.

Endlich mögen noch einige hängewerkartige Träger erwähnt werden, welche für Brücken zur Ausführung gekommen sind. Der Träger A, Fig. 64, wurde im Jahre 1850 von Brunei für die grosse Oeffnung der Wyebrücke bei Chepstow angewendet, deren Spannweite 93m beträgt. Die Brücke hat zwei Geleise und für jedes Geleise sind zwei Blechträger a a vorhanden, welche an der für je zwei Träger gemeinschaftlichen schmiedeeisernen Bohre bb von 2,74ra Durchmesser aufgehängt sind; diese etwas gebogene Bohre dient also als Spannriegel. Die diagonalen Hängestangen bc und cf bestehen aus Gliederketten.

Fig. 64.

M«

Durch die grosse Entfernung der Verticalen f von einander wird die Bohre b b in besonderer Weise nicht unwesentlich durch ihr eigenes Gewicht beansprucht ; dieses Trägersystem ist daher nicht zweckmässig, denn bei geringerer Entfernung der Verticalen kann man die Gurtungen schwächer construiren.

Ein anderes Hängewerk JB, Fig. 64, wurde von Mareaux für die 1873 vollendete Augartenbrücke in Wien angewendet; diese Wegebrücke hat eine Oeffnung von 58,3m Lichtweite. Die Brückenträger a a bestehen aus Blechträgern, welche an den Enden auf liegen und ausserdem noch an den drei Punkten d und c durch ein combinirtes Hängewerk unterstützt sind. Die Hängestangen bc, bd und cd bestehen aus Winkelund Flacheisen, in liegender I-Form zusammengesetzt. Der horizontale Spannriegel bb wird an den Enden durch Granitsäulen und ausserdem noch siebenmal von dem aufgehängten Träger aus unterstützt. Obgleich diese Brücke in schöner Weise durchgebildet ist, so kann das Hängewerk im Vergleich zu Fachwerksträgern ökonomisch nicht empfohlen werden.

§ 8. Ermittelung der Spannungen in Fachwerksträgern (Blatt 2).

Jede Trägerconstruction, die aus stabförmigen Theilen in einer Ebene so zusammengesetzt und so unterstützt ist, dass eine Formänderung des Trägers nur durch Längenänderungen der Constructionstheile entstehen kann, ist im Folgenden Fachwerksträger genannt. Bezeichnet:

m die Anzahl der sämmtlichen Knotenpunkte des Trägers, n die Anzahl der festen Auflager, o die Anzahl der beweglichen Auflager und

p die Anzahl der Constructionstheile, so sind nach Baurath Mohr¹):

(17)

p — 2m — 2 n — o

Man nennt das

Constructionstheile nothwendig, damit das Fachwerk stabil ist.

Fachwerk einfach, wenn nur die nach Formel (17) nothwendigen Constructionstheile vorhanden sind, enthält dasselbe noch überzählige Constructionstheile, so heisst es ein zusammengesetztes Fachwerk. Der Träger A oder B, Fig. 60, hat m — 16 Knotenpunkte; wird derselbe von einem festen und einem beweglichen Auflager unterstützt, so müssen nach Formel (17):

p = 2m — 2n — o = 2.16 — 3 = 29 Constructionstheile

vorhanden sein, die der Träger auch hat. Die Träger G und D, Fig. 60, dagegen sind zusammengesetzte Fachwerke, indem sie sechs überzählige Constructionstheile haben.

Die Spannungen in den Constructionstheilen der Fachwerksträger lassen sich nur dann auf statischem Wege ermitteln, wenn das Fachwerk ein einfaches ist, das heisst wenn man Schnitte durch den Träger so führen kann, dass nur drei Constructionstheile geschnitten werden. In Fig. 65 ist z. B. ein Schwedler’scher Träger dargestellt, der neun Felder hat, bei dem vorläufig einfache nach einer Richtung geneigte Diagonalen angenommen sind; die Knotenpunkte der unteren Gurtung werden durch die Kräfte Px bis P₈ belastet. Setzt man diese gleich gross angenommenen Kräfte in dem Kräftepolygon Fig. 66 zu der Kraftlinie AB zusammen, so wird jeder Auflagerdruck Rx = P₂ = J/₂ A B. Durch den Halbirungspunkt auf A B die Horizontale H gezogen und auf dieser Linie den Pol 0 angenommen, ergiebt die Richtung der Schlusslinie des zugehörigen Seilpolygons horizontal und die Spannung H in diesem Seilstücke ist gleich dem Abstande des Poles 0 von der Kraftlinie AB; das Seilpolygon Fig. 67 lässt sich nach dem Kräftepolygon Fig. 66 leicht aufzeichnen.

Führt man nun z. B. zur Bestimmung der Spannungen in den Constructionstheilen des dritten Trägerfeldes den Verticalschnitt ss, Fig. 65, so wirken an dem links abgeschnittenen Trägerstück die Kräfte Rx, P, und P₂, die im Seilpolygon direct aufeinander folgen. Jetzt verlängert man im Seilpolygon Fig. 67 die auf der Last P₂ folgende

Fig. 65.

Fig. 66.

MB

Fig. 68.

Fig. 67.

Polygonseite bis zum Schnitt mit der Schlusslinie, dann ist der Schnittpunkt a der Angriffspunkt der Resultirenden R aller äusseren Kräfte, welche auf das abgeschnittene Trägerstück einwirken, indem ja R im Seilpolygon die Kräfte Rx, Px und P₂ ersetzt und den übrigen Kräften P₃ bis P₈ und P₂ das Gleichgewicht hält. Die Mittelkraft R ist also der Lage nach durch den Schnittpunkt der Verlängerung der betreffenden Seilpolygonseite mit der Schlusslinie gegeben. Der Grösse nach ist R aus dem zugehörigen Kräftepolygon Fig. 66 zu entnehmen und es ist R = Rx — Px — P₂; die Richtung von R ist vertical.

Der äusseren Kraft R müssen die Spannungen X, Y, Z der drei durchschnittenen Constructionstheile Fig. 65 das Gleichgewicht halten. Zeichnet man nun R der Richtung nach auf und verlängert die Richtung einer der drei durchschnittenen Stangen, z. B. die Stange X bis zum Durchschnitt mit R, so muss die Mittelkraft aus den beiden Kräften X und R mit der Mittelkraft aus den beiden anderen Kräften Y und Z in dieselbe Richtung fallen, man erhält die Richtung dieser Mittelkräfte daher durch Verbindung der beiden Schnittpunkte a und b; die Linie ab bildet somit das Seilpolygon für die Kräfte X, R und Y, Z.

Die Kraft R ist bekannt und die Kräfte X, Y, Z befinden sich mit dieser im Gleichgewicht, man kann somit auch leicht den Kräfteplan dieser vier Kräfte con-

struiren. Trägt man nämlich die Kraft R als Verticale von einem beliebigen Punkte c, Fig. 68, auf und zieht durch ihren oberen Endpunkt eine Parallele zu der Kraft X, Fig. 65, ebenso durch ihren unteren Endpunkt eine Parallele zur Richtung der Mittelkraft ab, Fig. 65, so schneidet diese die Kraft X im Punkte d ab. Nun ist die Linie cd sowohl die Resultirende von R und X wie von Y und Z; wird also durch den Punkt c, Fig. 68, eine Parallele zur unteren Gurtung Z und durch den Punkt d eine Parallele zur Diagonalen Y gezogen, so schneiden die Kräfte Y und Z sich gegenseitig ab. Durch die Pfeilrichtung der verticalen Kraft R sind auch die Pfeilrichtungen der übrigen Kräfte in dem Kräfteviereck Fig. 68 bestimmt. Jede Last Px, P₂ . . .

in Fig. 65 beträgt 7,1 Tonnen, wonach jRx = R₂ = &    _ 2^4 Tonnen wird. Im

Kräftemaassstab ist lmm = 2 Tonnen und es ist die Horizontalspannung des Seilpolygons H = 40 Tonnen angenommen.

Fig. 69.

SSsi!

In den Fällen, wo der Schnittpunkt a der verlängerten Seite des Seilpolygons mit der Verlängerung der Schlusslinie, also die Lage von R über das Zeichnungsblatt hinaus fällt, lässt sich das vorstehende Verfahren zur Construction des Kräfte Vierecks nicht anwenden, weil man nicht das Seilstück ab, Fig. 65, daher auch nicht die Richtung der Diagonalen cd, Fig. 68, construiren kann; auch werden in vielen Fällen die zu bestimmenden Schnitte zu spitz, wodurch die Schnittpunkte sich nicht mit der erwünschten Genauigkeit bestimmen lassen. Man muss daher eine von den drei Spannungen X, Y, Z so zu ermitteln suchen, dass die Richtung der Diagonalen cd, Fig. 68, entbehrt werden kann. Denkt man den Durchschnittspunkt fc der Kräfte Y und Z in Fig. 69 als Drehpunkt für die statischen Momente der vier im Gleichgewicht befindlichen Kräfte R, X, Y und Z, so sind die Hebelarme von Y und Z gleich Null und die Kraft X wirkt an dem zu ihr normalen Hebelarm x. Nun ist aber X.x das Biegungsmoment M an dieser Stelle des Trägers und, M ist nach Formel (1) gleich H .y, wenn y nach Fig. 69 die Höhe des Seilpolygons bezeichnet.

Es ist also:

. . (18)

X.x — H.y, oder ~ = —, oder auch X — H.—

⁹¹’ H x    x

Da also die Horizontalspannung H des Seilpolygons, sowie die Höhe y desselben und die Länge x des Hebelarmes der Kraft X gegeben sind, so kann X leicht berechnet werden. Der Kräfteplan Fig. 68 lässt sich demnach in einfacher Weise construiren, weil. R und X der Richtung und Grösse nach bestimmt sind und man an die Endpunkte dieser Kräfte leicht die beiden anderen Kräfte Y und Z der Richtung und Grösse nach antragen und dadurch das Kräfteviereck Fig. 68 darstellen kann.

Wenn die Spannungen sämmtlicher Constructionstheile eines Fachwerksträgers bei unveränderlichem Belastungszustande nach einander bestimmt werden sollen, kann man mit Hülfe bereits ermittelter Spannungen andere bestimmen. Sind z. B. für den Schnitt m im zweiten Trägerfelde Fig. 69 die Spannungen R, Xl5 Yx und Zx schon durch ein Kräfteviereck dargestellt und wird hierauf der schräge Schnitt 0 0 durch Xl, Vx und Z geführt, so kann aus R und dem bereits bekannten Xx sofort das Kräfteviereck R, Xx, Vx, Z gezeichnet werden. Für den folgenden Schnitt s s durch X, Y und Z lässt sich aus R und dem bereits bekannten Z das Kräfteviereck construiren etc. Hierbei werden jedoch die unvermeidlichen Constructionsfehler von einem Kräfte Viereck in das andere übertragen, wodurch sich die anfänglich etwa gemachten

geringen Fehler nach und nach vergrössern. Aus diesem Grunde muss man mitunter durch directe Construction untersuchen, ob derartige Constructionsfehler vorgekommen sind.

Ein anderes sehr zweckmässiges und bequemes Verfahren zur Construction der Kräftepläne ist zuerst vom Herrn Baurath Mohr angegeben. Man construirt hierbei das zur Zeichnung des Seilpolygons erforderliche Kräftepolygon Fig. 71 mit einer

Fig. 70.

Bi

vl

EIS

Fig. 72.

Fig. 71.

Poldistanz gleich der Fachlänge des Trägers. Die Seilspannungen 81 und S₂ im Seilpolygon sind dann durch die mit den entsprechenden Seiten des Seilpolygons parallelen Kräfte $, und$₂, Fig. 71, dargestellt, während R im Kräftepolygon die Grösse der am Seilpolygon wirkenden Mittelkraft R giebt; hiernach ist R gleich der Differenz der Höhen und des Seilpolygons. Man kann die Resultirende R also ersetzen durch zwei Kräfte Qt und Q₂, deren Lage und Richtung in Fig. 70 und deren Grösse im Seilpolygon gegeben ist. Macht man nun im Kräfteplan Fig. 72 die Linie ab'= Qi und trägt von b abwärts die Kraft Q.t an, so ist R durch die Differenz beider Kräfte gegeben. Wird dann durch b eine Parallele bc zu der Diagonalen in Fig. 70 und werden ferner durch die Endpunkte von R die Parallelen zu der oberen resp. unteren Gurtung gezogen, so ist dadurch das Kräfteviereck vollendet und die Kräfte X, Y, Z sind der Grösse und Richtung nach bestimmt. Der Richtung nach durch die Pfeilrichtung von R, da alle Kräfte, wenn Gleichgewicht stattfindet, im Kräfteviereck gleiche Pfeilrichtung haben müssen. Man ersieht hieraus, dass die Kraft X eine Druckkraft darstellt, weil ihre Pfeilrichtung nach dem Kräfteplan Fig. 72 gegen den abgeschnittenen Constructionstheil gerichtet ist; die Kräfte Y und Z aber sind Zugkräfte, da ihre Pfeilrichtung von den Constructionstheilen des abgeschnittenen Trägerstückes abweist.

Bei Berechnung der Fachwerksträger zu Brücken-Constructionen reducirt man das den Träger permanent belastende Eigengewicht p auf die Knotenpunkte, welche die Brückenbahn aufnehmen, ebenso auch die mobile Last q. In der Regel nimmt man nun an, dass auf jeden Knotenpunkt, welcher die mobile Last q aufnimmt, entweder allein der betreffende Theil p des Eigengewichtes der Construction, oder die Summe p -f- q des Eigengewichtes und der grössten mobilen Belastung einwirkt. Unter dieser Voraussetzung werden die Spannungen, welche die permanenten Lasten p, und jene, welche die mobilen Lasten q hervorrufen, zweckmässig getrennt ermittelt, sodann werden beide Spannungen mit Berücksichtigung ihrer Pfeilrichtung addirt.

Die Gurtungen des Trägers werden bei vollständiger Belastung desselben am stärksten beansprucht. Hat man die vom Eigengewichte des Trägers in den Gurtungen

verursachten Spannungen ermittelt und multiplicirt diese mit dem Werthe von

P + g

p ’

so erhält man die Maximalspannungen, die in den Gurtungen Vorkommen können. Die stärkste Beanspruchung der Verticalen und Diagonalen tritt dann ein, wenn der

Träger durch die mobile Last einseitig belastet ist. Das Seil- und Kräftepolygon kann daher in diesem Falle auch immer nur für eine Yerticale und für die jedesmal dem unbelasteten Knotenpunkte der Yerticalen anstossende Diagonale unverändert bleiben, während diese Polygone sich für jeden durch zwei andere Lastpunkte geführten Schnitt ändern müssen. Es ist aber sehr einfach, diese Aenderung durchzuführen, denn wenn z. B. die Spannung der Diagonalen des ersten Trägerfeldes bei vollständiger Belastung des Trägers ermittelt ist, so wird bei Ermittelung der Spannung in der Diagonalen des zweiten Feldes die mobile Belastung q des ersten Knotenpunktes weggelassen; um alsdann diese Last aus dem Seilpolygon, dessen Schlusslinie a b ist, zu entfernen, verlängert man die zweite Seite desselben nach Fig. 73 bis zur verticalen Mittellinie des Auflagers, zieht die neue Schlusslinie a c und parallel mit dieser durch den Pol 0 im Kräftepolygon Fig. 74 die punktirte Linie, dann erhält man sofort die neuen Auflagerdrücke Bx und P₂, wobei zugleich Bx die Resultirende der äusseren Kräfte ist, die auf das Trägerstück links vom Schnitte einwirken. In derselben Weise werden dann auch nach einander die mobilen Belastungen der folgenden Knotenpunkte aus dem Seil- und Kräftepolygon entfernt. In Fig. 73 ist noch ad die Schlusslinie des Seilpolygons, wenn die mobilen Lasten 1, 2, 3, und ae die Schlusslinie desselben, wenn die mobilen Lasten 1, 2, 3, 4 weggelassen werden.

an

Fig. 73.

Iif JÜU-

6t-—~

Fig. 74.

Bei dem Fachwerksträger mit parallelen Gurtungen und Fachwerk nach dem System des rechtwinkligen Dreiecks Fig. 75 sind _ _

Fig. 75.

Fig. 7G.

der Uebersichtlichkeit halber nur vier Felder angeordnet; jedes HEH Feld ist in der oberen Gurtung durch Eigengewicht und zufälliger HSg Last mit P belastet, daher erhält jeder der drei mittleren Knoten- Mim punkte die Last P und jede Auflagerverticale die Last y₂ P. Jedes der Auflager A und JB hat demnach eine Last = 2 P aufzunehmen, hiervon wird aber durch die Yerticale 1 die Last y₂ P direct auf das Auflager übertragen, so dass als Gegendruck jedes Auflagers gegen die Stangenverbindung B =

1 '/₂ P übrig bleibt. Die Pressung in der Verticalen 1 kann also nur */₂ P betragen. In den beiden punktirten Strecken der oberen Gurtung ist die Pressung = 0, da diese Gurtungstheile an der Lastübertragung nicht Theil nehmen können.

Der Auflagerdruck B = 1¹/₂ P zerlegt sich bei A in die Richtungen 2 und 3; macht man also im Kräfteplan Fig. 76 die verticale Linie a b= l]/₂ P und zerlegt diesen Auflagerdruck in die Stangenrichtungen 2 und 3, so erhält man Kraft.2 == ac, Kraft 3 = bc. Im Knotenpunkte G, Fig. 75, kann man uun die hier angreifende Last P im Kräfteplan mit der ermittelten Kraft 2 zu der Resultirenden c d zusammensetzen und diese in die Stangenrichtungen 4 und 5 zerlegen, dann ergiebt sich Kraft 4 = ce, Kraft 5 = de. Zum Knotenpunkte D übergehend, vereinigt man die hier angreifenden bekannten Kräfte 3 und 4 im Kräfteplan Fig. 76 zu der Resultirenden

be, die man dann in die Stangenrichtungen 6 und 7 zerlegen kann; es ergiebt sich Kraft 6 = ef, Kraft 7 = bf. Die Kraft P im Knotenpunkte E wird auf die beiden Streben ED übertragen, in der Stange EF ist also die Kraft 8 = 0; in Wirklichkeit muss diese Stange aber einen Theil des Gewichtes der unteren Gurtung tragen. Selbstverständlich braucht man die Spannungen nur für eine Trägerhälfte zu ermitteln, weil beide Trägerhälften symmetrisch angeordnet sind.

Bei dem Fachwerksträger Fig. 77 mit einfachen Zugdiagonalen ist die Belastung wie bei dem vorhergehenden Träger angenommen. Jedes Auflager A und B erhält einen Druck = 2 P; diese Pressung herrscht also in der Auflagerverticalen 1. Im Knotenpunkte G wird die Last Va P direct auf die Verticale A C übertragen, demnach beträgt der Gegendruck R, den die Yerticale A C im Knotenpunkte C gegen die Stangenverbindung des Trägers ausübt, nur noch lll₂P, welcher Druck sich in die Stangenrichtungen 2 und 3 zerlegt. Wird nun im Kräfteplan Fig. 78 die Vertical-linie ab = IV2-J? gemacht, so kann man diese in die Richtungen 2 und 3 zerlegen, es wird dann Kraft 2 = b c, Kraft 3 = ac. Im Knotenpunkte D greifen die Kräfte

Fig. 78.

Fig. 77.

!j *&\TS

2, 4 und 5 an, denn in den punk-tirten Strecken der unteren Gurtung ist die Spannung = 0. Man hat also im Kräfteplan Fig. 78 die bereits ermittelte Kraft 2 in die

II Kräfte 4 und 5 parallel mit diesen Stangenrichtungen zu zerlegen,

9HI

dann wird Kraft 4 = ce, Kraft 5 = b e. Jetzt die im Knotenpunkte E angreifende Last P im Kräfteplan mit den bekannten Kräften 3 und 4 zu der Resultirenden d e zusammengesetzt, dann diese parallel mit den Stangenrichtungen 6 und 7 zerlegt, ergiebt Kraft 6 = Vf, Kraft 7 = df. In der mittleren Verticalen ist offenbar die Kraft 8 = P, indem diese Stange nur die Last P auf den Knotenpunkt F zu übertragen hat.

Fig. 79.

wmm

mit P

nur

Wenn man die beiden einfachen Fach werke Fig. 75 und 77 aufeinander gelegt denkt, so entsteht das zusammengesetzte Fachwerk Fig. 79. Denkt man nun die Belastungen beider einfachen Fachwerke beibehalten, dann würde man, um die Spannungen des zusammengesetzten Fachwerkes zu erhalten, die für die einfachen Fachwerke ermittelten Spannungen in den sich deckenden Constructionstheilen mit Berücksichtigung der Pfeilrichtung summiren müssen, diejenigen der Diagonalen aber unverändert lassen; der Träger Fig. 79 hätte dann eine doppelt so grosse Last zu tragen als einer der Träger Fig. 75 oder 77 und erhält jede der drei mittleren Verticalen eine Pressung = P, während jede Auflagerverticale mit 2P gepresst wird. Soll aber der Träger Fig. 79 in jedem Felde belastet sein, so müssen die für Fig. 79 ermittelten Spannungen aller Constructions-theile halbirt werden.

Der Fachwerksträger A, Fig. 80, nach dem System des gleichseitigen Dreiecks ist in der oberen Gurtung ebenfalls durch Eigengewicht und zufällige Belastung in jedem Felde mit P belastet; es erhalten demnach die mittleren Knotenpunkte die Last P, die Endknotenpunkte ¹/₂ P Jede Auflagerverticale 1 hat also einen Druck von 2*/₂P aufzunehmen, da aber die Verticale 1 den Druck J/₂P im Knotenpunkte a direct aufnimmt, so bleibt hier noch eine Auflagerreaction R = 2P übrig, der im Knoten-

punkte a auf die Stangen Verbindung des Trägers einwirkt. Wird also im Kräfteplan Fig. 81 die verticale Linie nm — R = 2 P gemacht, so kann man diese Kraft parallel mit den Stangenrichtungen 2 und 3 in diese Kräfte zerlegen, es wird dann Kraft 2 = mf, Kraft 3 — nf. Im Knotenpunkte b, Fig. 80, ist die Spannung im äussersten Theil der Gurtung = 0, man hat daher hier nur die bekannte Kraft 2 im Kräfteplan Fig. 81 in die Kräfte 4 und 5 zu zerlegen, hierbei wird Kraft 4 = fg, Kraft 5 = m g.

Fig. 80.

Fig. 81.

TT

1 \a

/>

1 z

——■Ml

tr

~K-

Zum nächstfolgenden Knotenpunkte c übergehend, hat man die bereits ermittelten Kräfte 3 und 4 mit der Knotenpunktsbelastung P im Kräfteplan Fig. 81 zu der Re-sultirenden o g zusammenzusetzen und dann diese in die Stangenrichtungen 6 und 7 zu zerlegen, wobei Kraft 6 = gh, Kraft 7 — oh wird. Im nächsten Knotenpunkte d sind die Kräfte 5 und 6 bekannt, sie lassen sich im Kräfteplan zu der Mittelkraft m h zusammensetzen, die sich in die Stangenrichtungen 8 und 9 zerlegen lässt, so dass sich Kraft 8 = hl, Kraft 9 = ml ergiebt. Die Kräfte 10 und 12 sind in diesem Falle == 0, ferner ist Kraft 11 = Kraft 9, nur haben die beiden letzteren Kräfte entgegengesetzte Pfeilrichtung.

Fig. 82.

wem

Bei dem Träger B, Fig. 80, sind die Diagonalstäbe entgegengesetzt wie beim vorhergehenden Träger angeordnet; hier würde die Auflagerreaction R = 2x/₂ P auf die Stangenverbindung des Trägers einwirken. Hat man nun für die beiden einfachen Fachwerke A und B, Fig. 80, die Spannungen ermittelt und denkt beide Träger so aufeinander gelegt, dass die Umrahmungen sich decken, dann entsteht das einfach gekreuzte System, wie es Fig. 82 zeigt. Dieser Träger hat die beiden Belastungen der einfachen Fachwerke A und B, Fig. 80, aufzunehmen , man erhält daher wieder die Spannungen in dem zusammengesetzten Fachwerk Fig. 82, wenn man die für die beiden einfachen Fachwerke gefundenen Spannungen in den sich deckenden Con-structionstheilen addirt, diejenigen in den Diagonalen aber unverändert lässt.

Will man also die Spannungen in einem zusammengesetzten Fach werk für eine bestimmte Belastung ermitteln, so wird man dasselbe erst in die beiden einfachen Fach werke zerlegen und auf jeden dieser beiden Träger die Hälfte der Einzellasten einwirken lassen, die hierdurch hervorgerufenen Spannungen bestimmen, sodann beide Fachwerke aufeinander legen und die Spannungszahlen der sich deckenden Con-structionstheile summiren.

Die Annahme in Fig. 80, dass nur die obere Gurtung belastet sei, ist jedenfalls in Bezug auf das Eigengewicht des Trägers eine unrichtige, da sich dasselbe über alle Knotenpunkte gleichmässig vertheilen wird. Es ist daher zweckmässig, auch die Knotenpunkte der unteren Gurtung belastet anzunehmen. Um das auf einen Knotenpunkt kommende Gewicht zu ermitteln, hat man das ganze Gewicht des Trägers durch die Anzahl der Felder zu dividiren. Ist demnach p die Belastung jedes Knotenpunktes durch das Eigengewicht, so würde das ganze Gewicht des Trägers A, Fig. 80, gleich 10 p sein und jede Auflagerverticale würde ¹/₂p Belastung erhalten. Es ist dann bei diesem Träger die Auflagerreaction JR = 4x/a P*

Setzt man nun diese 47ap im Kräfteplan Fig. 83 so zusammen, dass man von n nach m erst die beiden Lasten der oberen Gurtung, dann die halbe Last in der

Fig. 83.

-er-,

-----------

F/

/ >

/-P"

«£?

Mitte und darauf die beiden übrigen Lasten der unteren Gurtung aneinander trägt, so kann man R in die Stangenrichtungen 2 und 3 zerlegen, und es wird Kraft 2 = mf, Kraft 3 — nf. In Fig. 80 im Knotenpunkte b des Trägers A ist die Kraft 2 mit der hier angreifenden Belastung p im Kräfteplan zu der Resultirenden o f zusammenzusetzen, dann lässt sich diese in die Stangenrichtungen 4 und 5 zerlegen, so dass Kraft 4 = f g, Kraft 5 — o g wird. Im Knotenpunkte c der oberen Gurtung die Kräfte 3 und 4 mit der Last p zur Mittelkraft eg vereinigt, dann diese in die Stangenrichtungen 6 und 7 zerlegt, ergiebt Kraft 6 = gh, Kraft 7 = eh. Im Knotenpunkte d der unteren Gurtung Kraft 5 und 6 mit der Last p zur Resultirenden c h zusammengesetzt und nach den Richtungen 8 und 9 zerlegt, ergiebt Kraft 8 = hl, Kraft 9 = cl. Endlich im Knotenpunkte e die Kräfte 7 und 8 mit p zur Mittelkraft d l vereinigt, ergiebt, in die Richtungen 10 und 11 zerlegt, Kraft 10 = lt, Kraft 11 = dt.

Die S. 36 angegebene Methode zur Construction der Kräftepläne wurde bei dem in (Fig. 5, Blatt 2) dargestellten Parabelträger angewendet. Bei diesem als Dachbinder ausgeführten Träger liegen die Knotenpunkte der oberen ' Gurtung in einem Kreisbogen und jeder dieser Knotenpunkte ist mit 2T oder 2000 Kilogr. belastet. In dem zur Construction des Seilpolygons erforderlichen Kräftepolygon sind diese Belastungen von A nach B im Maassstabe von lmm = 200 Kilogr. abgetragen und ist die Horizontalspannung des Seiles oder die Poldistanz O n = der Fachlänge angenommen, so dass die Grösse der am Seilpolygon wirkenden Mittelkraft R durch die Differenz der benachbarten Höhen des Seilpolygons gegeben wird.

Der Kräfteplan zu diesem Träger ist in (Fig. 6, Blatt 2) gezeichnet, wobei von O aus die Ordinaten Rx bis R₄ aus dem Seilpolygon auf die Verticallinie aufgetragen-sind. Hier ist nun offenbar die Ordinate R{ gleich der Reaction des Auflagers A, also gleich 7T. Diese Kraft zerlegt sich in die Stangenrichtungen 1 und 2; zieht man also durch den Punkt Rt im Kräfteplan (Fig. 6) eine Linie parallel zur Stange 1 und durch den Punkt O eine Linie parallel zur Stange 2, dann schneiden sich die beiden Kräfte gegenseitig ab und ihre Pfeilrichtung ist durch die aufwärts wirkende Auflagerreaction gegeben. Trägt man jetzt im Kräfteplan von 0 aus die Differenz der beiden Ordinaten Rl und R₂, also R₂ — Rt auf, so ist dies die Grösse der am Seilpolygon wirkenden Mittelkraft im Felde zwischen den Knotenpunkten B und G. Man zieht daher durch den Punkt R₂ — Rx eine Linie parallel mit der Stange 4, durch den Punkt R₂ die punktirt angedeutete Linie parallel mit der Stangenrichtung 5 und durch den Punkt O eine Parallele zur Stangenrichtung 6, wodurch die in diesem Felde vorkommenden drei Kräfte ermittelt sind; da aber die Kräfte 4, 5 und 6 sich in einem Punkte schneiden, so wird die Kraft 5 = 0. In ganz ähnlicher Weise werden auch die übrigen Kräfte dargestellt.

Aus dem Kräfteplan (Fig. 6) ersieht man, dass die Kräfte 1, 4, 8 und 12 in der unteren Gurtung bei voller und gleichförmiger Belastung des Trägers gleich gross werden, während in der oberen Gurtung die Spannungen von der Trägermitte nach den Auflagern hin zunehmen. In den verticalen und diagonalen Füllungstheilen sind die Spannungen = 0, wenn der Träger vollständig und gleichförmig belastet ist.

Eine ungleichförmig vertheilte Belastung ist bei dem Parabelträger (Fig. 7, Blatt 2) angenommen, und zwar greift die Last in der unteren Gurtung an. Der Kräfteplan (Fig. 8) zu diesem Träger ist im Maassstabe von 2mm = 1 Tonne aufgetragen. Das Kräfte- und Seilpolygon ist wie bei dem vorhergehenden Träger construirt, ebenso auch der Kräfteplan, nur sind in demselben von 0 aus abwärts die Kräfte der linken Trägerhälfte, von 0 aus aufwärts die Kräfte der rechten Trägerhälfte dargestellt.

Bei dem in (Fig. 1, Blatt 3) dargestellten Brückenträger mit parallelen Gurtungen und Zugdiagonalen sind 28m Spannweite angenommen und für die Ermittelung der Spannungen in den Füllungstheilen wurde eine gleichförmig vertheilte mobile Last von 4,3T pro Meter zu Grunde gelegt, was für jeden Knotenpunkt rund 12T ergiebt. Als Kräftemaassstab wurde lmm = 1 Tonne und die Horizontalspannung des Seiles wurde = 60T oder die Poldistanz = 60 mm angenommen. Man setzt nun im Kräftepolygon (Fig. 2) die Knotenpunktsbelastungen zu der Kraftlinie AB zusammen, halbirt diese Linie und zieht durch den Halbirungspunkt e die Horizontale e 0, dann sind Ae und B e die Auflagerreactionen und 0 e giebt die Richtung der Schlusslinie des Seilpolygons für die volle Trägerbelastung.

Der Kräfteplan ist in einfachster Weise an die verticale Linie AB des Kräftepolygons (Fig. 2) angezeichnet. Nun ist offenbar die Kraft Vx in der Auflagerverti-calen gleich der Auflagerreaction Ae und Dx ist eine Seitenkraft von Vx. Zieht man also im Kräfteplan durch den Punkt e eine Parallele zur Diagonalen Dx und durch den Punkt A eine Parallele zur oberen Trägergurtung, so ist die Linie ce die von der mobilen Last herrührende Zugkraft in der Diagonalen Bl. Jetzt soll zur Bestimmung der Kräfte F₂ und D₂ die mobile Last des Knotenpunktes 1 weggelassen werden; man verlängert daher nach Fig. 73 die zweite Seite des Seilpolygons bis zur verticalen Mittellinie des Auflagers, zieht die neue Schlusslinie F G und parallel mit dieser durch den Pol 0 im Kräftepolygon (Fig. 2) die Linie Og, dann ist, indem man auch im Kräftepolygon (Fig. 2) die mobile Last des Knotenpunktes 1 weglässt, das Linienstück f g die Grösse der Mittelkraft der auf das linksseitige Stück des im zweiten Felde durchschnitten gedachten Trägers einwirkenden Kräfte. Man zieht also durch den Punkt g eine Parallele zur Diagonalen _D₂ und durch den Punkt f eine Parallele zur oberen Trägergurtung, dann ist Kraft D₂ = dg, Kraft V^ — äln. Ganz in derselben Weise bestimmt man auch die Kräfte der übrigen Diagonalen und Verticalen; nach Weglassung der mobilen Last in den Knotenpunkten 1 und 2 verlängert man die dritte Seite des Seilpolygons bis zur Mittellinie des Auflagers, zieht die neue Schlusslinie F J und parallel mit dieser im Kräftepolygon durch den Pol 0 die Linie O i. Ferner ist FK die Schlusslinie des Seilpolygons und 0 7c die Parallele hierzu, nach Weglassung der Knotenpunktsbelastungen 1, 2 und 3. Weiter ist der Strahl Ol mit der Schlusslinie FL, der Strahl Om mit der Schlusslinie FM, der Strahl 0 n mit der Schlusslinie FN und der Strahl Op mit der Schlusslinie FP parallel.

¹

Zeitschrift des Architekten- und Ingenieur-Vereins zu Hannover 1874, S. 509.

KlaBen, Graphische Statik.

Die Diagonalen Dx bis T>b sind für beide Trägerhälften symmetrisch angeordnet, ihre Spannungen sind daher auch in beiden Trägerhälften gleich gross. Für die vollständige Trägerbelastung sind nur diese Hauptdiagonalen erforderlich, da aber bei einseitiger Belastung des Trägers durch die mobile Last, die Diagonalen D₃, D₄, D5 auch Druckspannung aufnehmen und in Folge dessen steif construirt werden müssten, so wendet man noch in den mittleren Feldern des Trägers die Gegendiagonalen D₆,

D₇, Da an, welche dann in Thätigkeit treten, wenn die Diagonalen D₂, Z>₄, Db gedrückt werden. Alle Diagonalen erhalten bei diesem Träger also nur Zugspannung.

In dem Kräfteplan (Fig. 2, Blatt 3) sind die Kräfte in den Verticalen V₃ bis V6 nicht dargestellt, diese Kräfte ergeben sich in derselben Weise wie die dargestellte Kraft V₂. Selbstverständlich müssen noch die durch das Eigengewicht des Trägers in den Verticalen und den Hauptdiagonalen hervorgerufenen Spannungen separat ermittelt und zu den Spannungen addirt werden, welche die mobile Last in diesen Constructionstheilen erzeugt. Die Spannungen in den Gurtungen können nach S. 36 ermittelt werden.

Vierter Abschnitt.

Brückenträger.

§ 9. Belastung der Brücken.

Die Brückenträger werden im Allgemeinen durch das Eigengewicht der Brückon-oenstruction und durch die Verkehrslast, die zufällige oder mobile Last, beansprucht. Als grösste Verkehrslast sieht man bei Strassenbrücken ein so dichtes Menschengedränge an, bei dem nur noch eine langsame Bewegung möglich ist und wobei 5 bis 6 Mann einen □ Meter Grundfläche einnehmen. Rechnet man das durchschnittliche

Gewicht eines Menschen zu 70 Kilogr., dann entsteht durch Menschengedränge eine Belastung von:

350 bis 420 Kilogr. pro □ Meter,

wofür man gewöhnlich 400 Kilogr. annimmt. In grossen Städten, wo das Menschengedränge noch dichter werden kann, vergrössert man wohl die angegebene Belastung zuweilen um etwa 10% und rechnet 460 Kilogr. pro D™. In Amerika rechnet man für Menschengedränge gewöhnlich nur 150, in Frankreich 200 und in Deutschland 280 Kilogr. pro Brückenbahn.

Bei Brücken von kleinerer Spannweite kann jedoch durch schwere Lastwagen eine grössere Beanspruchung der Träger hervorgerufen werden, als durch Menschengedränge. Die Lastvertheilung, welche man bei Wagengedränge den Berechnungen zu Grunde zu legen pflegt, sind in Fig. 84 bis 86 dargestellt. Der Lastwagen von 6 Tonnen Gewicht, Fig. 84, gilt für Brücken in gewöhnlichen Feldwegen und ist hierbei das

Fig. 84.

Fig. 85.

öTonnen

j⁻©

3T    ST    0.8T    Jn

1Z Tonnen

Jf-—yr--——3,o~—

O/T

Gewicht von zwei Pferden zu 0,8 Tonnen und die Breite eines Wagens zu 2,5m an-Der Lastwagen Fig. 85 gilt für Brücken in Chausseen, während für

6T

0.8T

genommen.

Brücken in Städten mit gepflasterten Strassen, wo nicht selten Dampfkessel und schwere Maschinen transportirt werden, der Lastwagen Fig. 86 zu Grunde gelegt wird. Selbstverständlich genügt es, nur einen Wagen nach Fig. 86 in der Mitte der Brücke und im übrigen Theil derselben Wagen nach Fig. 85 anzunehmen; in diesem Falle kann die Brücke auch für Pferdeeisenbahnen benutzt werden. Die oben

Fig. 86.

20 Tonnen.

<j)

i<—2,0^-^*----------> <-----Iffl™-----■> < 3,0~ ;

10 T    10 T    OfiT

0,8T

angegebenen Lastwagen sind reichlich gross genommen, denn das schwerste mit sechs Pferden bespannte Lastfuhrwerk wiegt 18T, die Bespannung desselben 2T. Schweres, mit vier Pferden bespanntes Landfuhrwerk wiegt 10T, die Bespannung desselben 1,2T. Schwere Chausseewalzen wiegen bei vollständiger Belastung 10T, ohne dieselbe 5,6T. Die Dampf-Strassenwalze von Aveling & Porter mit zwei gleichbelasten Axen in 2,2m Abstand wiegen in gewöhnlicher Ausführung 15T.

Sind bei einer Wegebrücke seitliche Fusswege vorhanden, so nimmt man diese mit Menschen dicht besetzt an, ist dann die Fahrbahn breiter als zwei Wagen, so wird die übrige Breite ebenfalls mit Menschen besetzt angenommen. Für die Querträger einer Brücke ist die Belastung einer Axe des Lastwagens zu berücksichtigen.

Als totales Eigengewicht eiserner Strassenbrücken kann man bei Brücken von 5,5m Fahrbahnbreite und lm Banketbreite, also von 7,5m Totalbreite, wenn g das Gewicht in Kilogr. pro Meter Brückenlänge und l die lichte Spannweite in Metern bezeichnet:

(19)

g = 421 + 3600

annehmen, falls die Fahrbahn 0,2m stark beschottert ist; ohne Beschotterung ist das Eigengewicht der Brücke um 2700 Kilogr. leichter. Hat die Fahrbahn nur doppelte Bebohlung, so wird:

(20)

g = 28 l + 1300

und das Eigengewicht der Brückenconstruction ohne Bebohlung ist pro Meter um 700 Kilogr. kleiner.

Für die Yerkehrslast der Eisenbahnbrücken existiren keine bestimmten Normen. Der Verein deutscher Eisenbahn Verwaltungen nimmt als grösste zulässige Belastung einer Locomotivaxe 13 Tonnen an. Meistens wird für die Berechnung der Eisenbahnbrücken ein Zug aus drei hintereinander gehenden Locomotiven mit Tendern, im Gewicht von je 56T, und schweren zweiaxigen Lastwagen angenommen, die zwischen den Puffern etwa 6m Länge und 3m Radstand haben; jede Axbelastung beträgt höchstens 8T. Eine grössere Beanspruchung der Brückenträger kann dadurch entstehen, dass man eine Locomotive mit dem Tender vorausgehen lässt, also zwei Locomotiven Brust an Brust stellt.

In neuerer Zeit wird meistens ein Zug nur aus Locomotiven bestehend für die Berechnung der Eisenbahnbrücken zu Grunde gelegt, weil solche Locomotivenzüge im Kriege Vorkommen können. Diese Annahme ist unbedingt empfehlenswerth, denn wenn man die mobile Last so gross in Rechnung bringt, wie sie nur irgend Vorkommen kann und dann eine entsprechend starke Inanspruchnahme des Materials wählt, so werden die Träger nicht zu schwer und man ist für alle Fälle gegen den Einsturz der Brücke gesichert. Manche Constructeure glauben zwar, dass ein Lastzug mit drei Locomotiven für die Berechnung der Eisenbahnbrücken genügend sei, weil die Brücke in Ausnahmsfällen auch eine grössere Beanspruchung vertragen könne, als der Berechnung zu Grunde gelegt wurde. In Bezug auf die Gurtungen ist dies zwar richtig, indem es sich hierbei nur um eine absolute Vergrösserung der Inanspruchnahme handelt; wenn aber ein Träger mit Zugdiagonalen, wo nur in den Mittelfeldern gekreuzte Zugbänder vorhanden sind, eine erheblich grössere einseitige Belastung erhält, als ursprünglich angenommen wurde, so kann eine bleibende Deformation oder gar der Einsturz des Trägers erfolgen, weil ein Zugband dann Druckspannung erhalten könnte, die aufzunehmen es nicht fähig ist.

Das Gewicht der schwersten Locomotiven mit getrennten Tendern beträgt bei drei Axen 39T, bei vier Axen 48T, dasjenige der schwersten Tender mit drei Axen ca. 28T; die schwersten Tenderlocomotiven wiegen ca. 68T. Der Badstand der Locomotiven schwankt zwischen l,15m und 2,8m. Gewöhnlich pflegen die Locomotiven einer Bahn nicht auf andere Bahnen überzugehen, man hätte demnach nur die schwersten Locomotiven derjenigen Bahn zu wählen, für welche die Brücke construirt wird. Da aber im Kriege auch der Fall Vorkommen kann, dass fremde Locomotiven eine betreffende Bahn befahren, so muss man die schwersten Locomotiven wählen, die überhaupt auf einer mit der betreffenden Bahn in näherer Verbindung stehenden Bahn Vorkommen.

In Fig. 87 ist die Lastvertheilung einer 37T schweren Locomotive und eines 27T schweren Tenders dargestellt, wobei die grösseren Kreise die Locomotivräder, die

kleineren Kreise die Tenderräder an-^    deuten. Die ganze Länge der Loco-

—m¹®-—motive mit Tender beträgt 14m, der Rad-4 stand der Locomotive l,3m, der Radstand

Fig. 87.

I*

--------

'

1Z -13 -IZ

Fig. 88.

13,5™

8 —->4<-------ifgH------ä-

! aae

des Tenders 1,5m. Die Lastvertheilung einer anderen Locomotive mit Tender, im Gewichte von 63T, deren ganze Länge 13,5m beträgt, zeigt Fig. 88; hierbei ist der Radstand von der Locomotive und

dem Tender gleich l,5m.

Meistens hat man, statt der wirklichen Belastung einer Eisenbahnbrücke durch einen Lastzug mit drei Locomotiven oder durch einen Locomotivzug, eine gleichwerthige, gleichförmig vertheilte mobile Belastung der Berechnung zu Grunde gelegt. Wenn man nämlich das den Einzellasten entsprechende Maximalmoment Mtnax des Trägers bestimmt hat, so berechnet man die gleichförmig vertheilte Belastung, die in der Trägermitte dasselbe M hervorruft, wie das grösste unter den Momenten von jenen Einzellasten. Bezeichnet nun l die Länge des Trägers zwischen den Auflagermitten und jp die gleichförmig vertheilte Belastung pro Längeneinheit, dann ist:

\f    f    >r

13    13    13

pl²

, also p =-^

max

. . (21)

Durch diese Annahme begeht man aber, namentlich bei Brücken von kleiner Spannweite, nicht unerhebliche Fehler, weil das Biegungsmoment der Einzellasten nicht in allen Querschnitten mit dem Biegungsmoment völlig übereinstimmt, welches die gleichförmig vertheilte Last p hervorruft; besonders aber stimmen die Vertical-kräfte in beiden Fällen nicht überein.

Es sei z. B. ein Brückenträger von 5ra Spannweite nach Fig. 89 durch eine Locomotive belastet, deren Lastvertheilung Fig. 87 giebt. Bei dieser Stellung der Loco-motive würde jedes Auflager das halbe Gewicht derselben aufzunehmen haben, wenn man beide Brückenträger zusammen in die Rechnung einführt; es ist daher R = 18,5 Tonnen, man hat also in Bezug auf die Trägermitte:

Mmax

— R. -g — 12.1,3 = 18,5.2,5 — 12.1,3 = 30,65 Meter-Tonnen.

Diesem Biegungsmoment entspricht nach Formel (21) eine gleichförmig vertheilte Last:

8.30,65

— 9,808 Tonnen pro Meter Trägerlänge.

Für den Querschnitt im Abstande x ist nach Fig. 89 das Biegungsmoment: M = R. 1,2 = 18,5.1,2 = 22,2 Meter-Tonnen.

Fig. 90.

Fig. 89.

, jj    j® ja JjF -d i

<-i^>    ^1,3^

W

Bei der gleichförmig vertheilten Belastung ist das Biegungsmoment für denselben Querschnitt s nach Fig. 90, wo R = 2,5 p wird:

M = R. 1,2 — 0,6.1,2 p = 2,5.9,808.1,2 —0,6.1,2.9,808 = 22,362 Meter-Tonnen. Nimmt man aber in Fig. 89 den Abstand x = 0,6m, so wird für diesen Fall:

M = E.0,6 = 18,5.0,6 = 11,1 Meter-Tonnen.

Für denselben Querschnitt in Fig. 90 wird aber M = R. 0,6 — 0,6jp. 0,3 = 9,808.0,6 — 0,6.9,808.0,3 = 12,947 Meter-Tonnen.

Grössere Verschiedenheit als unter den Biegungsmomenten findet unter den Ver-ticalkräften in beiden Fällen statt; für die Trägermitte wird bei der natürlichen Belastung der Trägerhälfte nach Fig. 91 die Verticalkraft:

V=R =

= 9,12 Tonnen,

12.2,5+13.1,2

Fig. 92.

Fig. 91.

während für die gleichförmig vertheilte Last:

2,5p.lU _ 2,5.9,808.1,25

V=R =

= 6,13 Tonnen wird.

Es ist also zu empfehlen, dass man bei Berechnung von Eisenbahnbrücken die wirkliche Belastung durch einen Locomotivenzug zur Bestimmung der Biegungsmomente und Verticalkräfte in Anwendung bringt. Um nun bei langen Brücken die in Frage kommenden Zugstellungen leicht überblicken zu können, zeichnet man die Axentheilung eines ganzen Zuges hintereinander in gleichem Maassstabe mit der Trägerzeichnung auf einen schmalen Papierstreifen, den man längs der Brückenlänge verschieben und so alle verschiedenen Stellungen des Zuges auf der Brücke rasch über-

bei den schwersten Constructionen g = 301 -f- 800 bei mittelschweren bei den leichtesten

sehen kann. Bei Anordnung des Locomotivenzuges empfiehlt es sich, an die Spitze des Zuges eine Locomotive ohne Tender zu stellen {vergl. den Artikel: „Ungünstigste Belastung sart für Fachwerksträgcr vom Professor Keck; Zeitschr. des Archit.- und Ing.-Vereins zu Hannover 1874, S. 360), damit durch die Stellung der Tenderräder keine Unklarheit in der Belastungsweise entsteht.

Das vorläufig in Rechnung zu bringende Eigengewicht der eisernen Brücken ist durch Vergleichung zahlreicher ausgeführter Brückenconstructionen ermittelt. Bezeichnet g das Gewicht einer Eisenbahnbrücke für ein Gleis pro Meter Länge und l die lichte Spannweite in Metern, so ist das gesammte Eigengewicht der Brücke in Kilogrammen:

g = 211    600    . . . (22)

g = 24l + 400

In diesen Formeln ist das erste Glied ein Product der Stützweite, das letztere eine Constante der Fahrbahn und der Aussteifungen.

Es bestehen bei Brücken keine grossen Unterschiede in den Eigengewichten der verschiedenen Trägersysteme, denn wenn auch die Träger mit gebogenen Gurtungen für sich leichter ausfallen, als andere Träger von gleicher Spannweite, so wird die Gesammtconstruction doch nahezu in beiden Fällen gleich schwer, weil erstere eine grössere Anzahl von Nebentheilen erfordern. Der Gewichtsunterschied rührt vielmehr von der rationellen Anordnung der Constructionstheile und von der Grösse der Inanspruchnahme des Materials her, die man für zulässig erachtet.

Hat man nach den obigen Formeln vorläufig das Eigengewicht der Brücke bestimmt, so denkt man dies gleichförmig über den Träger vertheilt und ermittelt die von demselben herrührenden Spannungen im Träger für sich, ermittelt dann die Spannungen, welche die mobile Belastung erzeugt und addirt beide. Hierauf bestimmt man die Querschnitte der Constructionstheile und aus diesen berechnet man annähernd das wirkliche Gewicht der Construction. Nun kann man die von diesem wirklichen Eigengewichte im Träger erzeugten Spannungen noch einmal ermitteln und hiernach die Dimensionen der Querschnitte endgültig feststellen.

In Bezug auf die Horizontalaussteifung einer Brücke ist noch der Winddruck zu berücksichtigen, der auf die Brückenträger und auf den auf der Brücke befindlichen Wagenzug einwirken kann (vergl. S. 14.); der Winddruck auf den Wagenzug beträgt 0,3 bis 0,5 Tonnen pro Meter Brückenlänge.

§10. Träger auf zwei Stützen (Blatt 3).

Träger, die nur mit jedem Ende auf einer Stütze frei auf liegen, nennt man einfache Träger. Die Spannungen in irgend einem Querschnitte eines Trägers sind von zwei Grössen abhängig, welche durch die auf den Träger einwirkenden äusseren Kräfte bedingt sind. Die eine dieser Grössen, nämlich die Summe aller auf einer Seite eines Querschnittes wirkenden äusseren Kräfte, nennt man die Verticalkraft (auch Schubkraft, Scherkraft, Transversalkraft); die andere dieser Grössen, nämlich die Summe aller Momente der auf einer Seite des Querschnittes wirkenden äusseren Kräfte in Bezug auf den betreffenden Querschnitt, nennt man das Angriffs- oder Biegungsmoment (engl. momentum of flexion; franz. moment de flcxion), oder auch kurz das Moment für diesen Querschnitt. Bei Fachwerksträgern mit parallelen Gurtungen z. B. entsprechen die

Spannungen in den Füllungstheilen der Verticalkraft, die Spannungen in den Gurtungen dem Momente.

Wirkt nach Fig. 93 eine Einzellast P im Abstande a und b von den Auflagern auf einen Träger ein, so muss für den Gleichgewichtszustand gegen Drehung, wenn das rechtsseitige Auflager als Drehpunkt gewählt wird, die Gleichung bestehen:

r (a -J- b) — P. b, hieraus wir r —

P.b cl -f- b

Liegt nun, wie in Fig. 93, eine bewegliche Einzellast P rechts von einem Querschnitte ss, dann ist die Verticalkraft V in diesem Querschnitte:

P.b a -\-b'

Diese aufwärts gerichtete Kraft kann man als positiv annehmen, dann ist für diesen Fall V positiv, und offenbar wird V um so grösser, je grösser b wird, oder je näher die Last Pan den betreffenden Querschnitt ss rückt. Wenn aber die Einzellast P über den Querschnitt ss hinaus rückt, so dass sie, wie in Fig. 94, links von diesem liegt, dann wird V = R — P; nun ist aber R kleiner als P, folglich wird in diesem Falle V negativ. Je näher wieder P an den Querschnitt ss rückt, um so kleiner wird R, um so grösser also der Werth von V. Aus dieser Untersuchung folgt:

Jede Einzellast erzeugt in einem beliebigen Querschnitte eine postive oder negative Verticalkraft, je nachdem die Last sich auf der rechten oder linken Seite dieses Querschnittes befindet, und die Verticalkraft wird um so grösser, je näher die Last an dem Querschnitte liegt.

Bei Eisenbahnbrücken wird also durch die Radaxen eines Zuges, welche sich rechts von einem Querschnitte ss befinden, eine positive, von den Radaxen aber, die

Fig. 94.

Fig. 93.

......X-----

tJh

k------------->j    *-tt-

—!--------T>-----

'm

-li

nu

sich links von diesem Querschnitte befinden, eine negative Verticalkraft in dem Querschnitte hervorgerufen. Soll demnach in dem Querschnitte ss nur eine positive Verticalkraft auftreten, so muss der Zug von rechts kommen und nur bis zum Querschnitte auffahren. Fährt der Zug von links bis zum Querschnitte ss auf, so kann in demselben nur eine negative Verticalkraft entstehen. Den grössten Werth erreicht die Verticalkraft für einen beliebigen Querschnitt, wenn der Zug von der entfernteren Stütze kommt und bis zu dem Querschnitte auffährt.

Das Moment M, welches eine Einzellast P in irgend einem Querschnitte erzeugt, ist der Höhe y des Seilpolygons proportional. Macht man in Fig. 93 und 94 die Linie mm im Kraftpolygon gleich P, zieht von dem beliebigen Pol 0 aus die Strahlen 0m und parallel mit diesen die Seiten des Seilpolygons, zieht dann die Schlusslinie des Seilpolygons und parallel mit dieser im Kraftpolygon den Strahl On, so theilt dieser die Last P in zwei Theile, nämlich in die Auflagerdrücke r und R. Das Moment Mx für den Querschnitt ss im Abstande x vom Auflager ist nach Formel (1), wenn H die Horizontalspannung des Seiles oder den horizontalen Abstand des Poles 0 von der Linie mm bezeichnet, gleich H.y. Hierbei ist H als Kraft natürlich auf dem an-

gewendeten Kraftmaassstabe, y auf dem angewendeten Längenmaassstabe zu messen. Aus Fig. 93 und 94 erhellt, dass die Ordinate y im Querschnitte, wo die Einzellast P angreift, am grössten wird, demnach erreicht also das Moment Mfür diesen Querschnitt den grössten Werth, oder es wird hier zum Maximum.

Wirken auf einen Träger beliebig viele Kräfte 1, 2, 3, 4, 5, wie in Fig. 95, so trage man diese in Fig. 96 der Reihe nach auf die Gerade AB der Grösse nach auf, ziehe von dem beliebig gewählten Pol 0 die Strahlen an die Endpunkte der Kräfte und parallel zu diesen ziehe man die einzelnen Seiten des unter Fig. 95 verzeichneten Seilpolygons. Hierauf schliesse man das letztere durch die Schlusslinie s s und ziehe im Kräftepolygon Fig. 96 parallel mit der Schlusslinie ss den Strahl On, dann theilt dieser die Kraftlinie AB in die Auflagerdrücke Bl und P₂. Zieht man durch den

Fig. 95.

si

nf

;r

J-

Theilpunkt n eine Horizontale nn, ebenso durch die Endpunkte der Kräfte 1, 2, 3, 4, 5 Horizontallinien und durch die Lastpunkte des Trägers Verticallinien, so erhält man in dem schraffirten Theil der Fig. 97 die graphische Darstellung der Verticalkräfte, welche von der Linie nn in eine negative und eine positive Gruppe getheilt werden. In den Trägerquerschnitten vom rechtsseitigen Auflager bis zum Angriffspunkt der Kraft 1 ist die Verticalkraft 7, = Bx, in den Querschnitten zwischen den Kräften 1 und 2 ist

F₂ = Rl — Kraft 1, in den Querschnitten zwischen den Kräften 2 und 3 ist V₃ = Bt — Kraft 1 + 2 etc. Die Verticalkräfte sind demnach die Abstände der Endpunkte der

jT

Fig. 97.

Fig. 96.

einzelnen Kräfte des Kräftepolygons vom Punkte n.

Fig. 98.

Fig. 99.

Das unter Fig. 95 gezeichnete Seilpolygon zeigt, dass die grössten Momente in jenen Querschnitten auftreten, wo die Lasten angreifen; wenn nur concentrirte Lasten vorhanden sind, so muss auch das grösste Moment am Träger unter dem Angriffspunkt einer solchen Last liegen, bei Berücksichtigung des Trägergewichtes kann es aber an einen anderen Ort treffen. In Fig. 95 tritt das grösste Moment ohne Berücksichtigung des Trägergewichtes im Querschnitte unter der Last 3 ein, wo die Ordinate y den grössten Werth erreicht; das Moment ist hier M — H. y, oder wenn man die Poldistanz H gleich der Krafteinheit macht, so wird M = y, wie § 2 lehrt.

P,

Wird nach Fig. 98 für die Belastungen P1} P₂, P₃ und die zugehörigen Auflager-Fig. ioo. drücke und Q₂ ein Seilpolygon construirt, ferner mit derselben Horizontalspannung H unter gleichen Verhältnissen jedoch mit Hinzufügung einer Belastung P, ein zweites Seilpolygon nach Fig. 99 und endlich ein drittes Seilpolygon nur für die hinzugefügte Last P₄ nach Fig. 100 construirt, so ist für denselben Verticalschnitt die Höhe des Seilpolygons in Fig. 99:

Die Wirkungen paralleler Kräfte addiren sich also einfach, so dass man jede zu den Kräften Px, P₂, P₃ . . . hinzutretende Kraft bezüglich ihrer Wirkung auf den fraglichen Querschnitt für sich untersuchen und das Resultat zu dem früher gefundenen Resultate addiren kann. Ebenso ist auch die Zunahme der Durchbiegung eines belasteten Trägers durch eine hinzugefügte Belastung an irgend einem Punkte des Trägers gleich derjenigen Durchbiegung, welche der gewichtslos gedachte Träger annehmen würde, wenn jene Last allein auf ihn einwirkt.

Bei einem Träger, der nach Fig. 101 die auf seiner Länge AB = l gleichförmig vertheilte Last P zu tragen hat, erhält jede Längeneinheit des Trägers hiervon den

P

Theil p = -y-, dann ist also p.l = P. Denkt man die Last p nach Fig. 101 als con-

Fig. 101.

P-2 5

stante Ordinate.über l aufgetragen, so giebt das schraffirte Rechteck, die sogenannte Belastungsfläche, ein deutliches Bild der Lastvertheilung. Hiernach muss der Druck Bx den das Auflager A erhält, ebenso gross sein, wie der Druck den das Auflager B anfzunehmen hat, und es ist:

p_p.i

.    .    (24)

Bi — B.z = ^

Die Verticalkraft V für irgend einen Querschnitt im 0 Abstande x vom Auflager A ist bestimmt durch die Gleichung:

V — Bx — p. x

Hiernach wird für x =

die Verticalkraft V = 0, den grössten Werth erreicht V für x = 0, nämlich V = -f- und für x — l, wo F = —    wird. Die Verti-

u    Ai

calkräfte werden somit durch eine Gerade dargestellt, welche die Axe oo, nach Fig. 101, in deren Mitte schneidet; der Abstand dieser Geraden von der Axe o ist an den Auf-

pl

lagern A und B gleich der Reaction B₁ = P₂ =

Das Biegungmoment Mx in irgend einem Querschnitte des Trägers im Abstande x vom Auflager A, Fig. 102, ist:

. . (26)

Mx — B . x —

Für x = 0 und x = 1 wird Mx = 0, während Mx für x = -^ seinen grössten Werth erreicht; dieser ist:

p.l²

Mx =

. (27)

Construirt man die Biegungsmomente für die verschiedenen Werthe von x nach Formel (25), so werden dieselben nach Fig. 102 durch eine Parabel fvg dargestellt,

liegt. Diese Parabel ist

p.l²

deren Scheitelhöhe mv unter der Mitte von fg gleich

eine Seilcurve, die sich in einfacher Weise durch ihre Tangenten bestimmen lässt. Wird nämlich in dem zugehörigen Kräftepolygon die Kraftlinie ab = p .1 = Pund der Strahl Oa = Ob gemacht, sind ferner die Endtangenten fn und gn der Seilcurve parallel zu diesen Strahlen, so ist:

daher:

A fmn co A Oha,

oder:

mn : ah = fm :0h,

pl

und hieraus:

p.l2 mn — -

4#

• (28)

Sollen nun die Höhen der Seilcurve direct die Biegungsmomente darstellen, so ist die Poldistanz H — der Krafteinheit zu nehmen und es wird mn —

p.l²

Der

4 *

Scheitelpunkt v der Parabel liegt auf der Linie m n und es ist die Scheitelhöhe

p. P-

Wb Yb

—. Will man nun, ohne die Seilcurve

verzeichnet zu haben, die Tangente zu dem unter irgend einem Querschnitte ss liegenden Punkte der Seilcurve con-struiren, so kann man die Belastungsfläche durch den Schnitt ss in zwei Theile zerlegt und jeden Lasttheil in 'd seinem Schwerpunkte^ resp. S₂ angreifend denken. Offen-i bar liegen dann die Schnittpunkte c und d der gesuchten Tangente mit den Linien fn und gn lothrecht unter den Schwerpunkten und S₂, weil die Tangente selbst eine Seite des Seilpolygons f c dg für die beiden Einzellasten St und S₂ ist, alle Seiten des Seilpolygons aber sind Tangenten an der Seilcurve, welche der gleichförmig vertheilten Belastung zukommt.

Es ist somit leicht, beliebig viele Tangenten an der Seilcurve zu construiren und darauf die Seilcurve selbst einzuzeichnen. In Fig. 102 stellt y also direct das Biegungsmoment M für den Trägerquerschnitt ss dar, wenn die Horizontalspannung der Seilcurve H= 1 gemacht wird; ist H nicht gleich 1, so ist M=H.y.

Um die Seilcurve vollständig zu verzeichnen, theile man die Linie fn und gn, Fig. 102 und 103, in eine gleiche Anzahl gleicher Theile und verbinde die Theilpunkte

1 mit 1, 2 mit 2 . . . in der Weise, wie es Fig. 103 zeigt, man erhält dann eine Reihe von Tangenten an der Seilcurve und die letztere geht durch die mit kleinen Kreisen bezeichneten Tangentialpunkte, die lothrecht abwechselnd über den Theilpunkten der Endtangenten liegen.

" Ist ein Träger auf seiner Länge nur theilweise mit einer gleichförmig vertheilten Last bedeckt, wie z. B. bei Strassenbrücken durch Menschengedränge, so lässt sich der Einfluss dieser einseitigen mobilen Belastung auf

die Yerticalkräfte und Momente leicht durch

Fig. 102.

mv

Tl

Fig. 103.

Fig. 104.

Fig. 105.

das Kräftepolygon und die Seilcurve ermit-

mmmMKammmh teln. In Fig. 104 ist die Linie AB = p.l,

4^ also gleich der vollen Trägerbelastung, und i der Strahl O A ist gleich OB. Für die Horizontalspannung H = Oh ist nun die Seilcurve cvd construirt, die in der Mitte eine Höhe mv hat. Soll nun für den beliebigen Querschnitt ss, der um x vom Auflager a absteht, die grösste von der mobilen Last in diesem Querschnitte erzeugte Verticalkraft V ermittelt werden, so muss der Träger

jL

-se------>j -rp-

nur von dem entfernteren Auflager b bis an den Querschnitt s s belastet sein, die Last vom Auflager a bis an den Querschnitt, nämlich p.x, muss also entfernt werden. Nach S. 37 entfernt man diese Last sofort aus dem Seilpolygon, wenn man an den Schnittpunkt s der Seilburve eine Tangente zieht und diese bis zur Mittellinie des nächsten Auflagers verlängert. Durch den so erhaltenen Schnittpunkt e zieht man nun die neue Schlusslinie ed der Seilcurve, dann entspricht die neue Seilcurve evd der einseitigen Belastung des Trägers, und ihre Ordinate y, mit der Poldistanz H multi-plicirt, giebt das Biegungsmoment für jeden beliebigen Querschnitt.

Zieht man jetzt im Kräftepolygon Fig. 104 durch den Pol 0 einen Strahl 0 f parallel zur Schlusslinie ed und entfernt auch im Kräftepolygon die Last p.x, so giebt das Stück fg den Druck des Auflagers a, zugleich ist aber auch fg die im Querschnitte ss thätige Verticalkraft V.

Bei einem auf Biegung beanspruchten Balken behalten nur die Fasern einer einzigen Schicht, der neutralen Faserschicht oder elastischen Fläche, ihre ursprüngliche Länge. Zu diesen Fasern gehört insbesondere die elastische Linie oder die Faser, die mit der Schwerpunktsaxe des Balkenquerschnittes zusammenfällt. Die elastische Linie erleidet also bei der Biegung des Balkens keine Längenänderung, sondern sie bildet nach einem gewissen Gesetze eine stetige Curve. Nun ist bekanntlich die Differentialgleichung der elastischen Linie:

d^y M

dx¹    J

. . (29)

, oder hieraus E

d*y _ dx¹ E .J

wenn M das Biegungsmoment der Aussenkräfte, E den Elasticitätsmodul des Materials und J das Trägheitsmoment des Trägerquerschnittes bezeichnet. Die Differentialgleichung einer Seilcurve mit der Belastung p pro horizontale Längeneinheit und der constanten Horizontalspannung H ist aber:

. . (30)

oder hieraus H — » dx* H’ Hieraus tl ^ p

Aus den beiden Gleichungen (29) und (30) hat Baurath Mohr zuerst nachgewiesen, dass die elastische Linie eine Seilcurve ist, wobei der Horizontalzug des Seiles durch die constante Grösse E und die Belastung p der horizontalen Längen-

M

einheit durch die variable Grösse dargestellt wird.

Nach Formel (1) ist, wenn man statt Ti die Bezeichnung y setzt, M = H.y, oder es ist das Moment, an einer beliebigen Stelle des Trägers, gleich dem Producte aus der angenommenen Horizontalspannung oder Poldistanz H und der verticalen Höhe y zwischen dem Seilpolygon und der Schlusslinie. Bei einer gleichförmig vertheilten Last und einer Horizontalspannung gleich der Krafteinheit ist also M = y und die Seilcurve Fig. 103 ist die graphische Darstellung der Momente; dividirt man die Ordi-naten y dieser Curve durch das constante Trägheitsmoment J des Trägerquerschnittes, indem man die Krafteinheit im Kräftepolygon mit J multiplicirt, so erhält man in

der Seilcurve die graphische Darstellung der Grösse

lastungsfläche abNcd, Fig. 106, kann man durch beliebig viele Ordinaten bb, cc... zerlegen und die Flächentheile durch Einzellasten Px, P₂, P₃ . .., die in den Schwerpunkten Sl, $₂, S₃ ... der Flächentheile angreifen, ersetzt denken.

Aus diesen Einzelkräften P mit der constanten Horizontalspannung oder Poldistanz E lässt sich nun ein Seilpolygon, Fig. 107, darstellen, welches die Seilcurve

J'

Die so entstandene Be-

oder die elastische Linie in den Verticalen bb

ccx der Theilpunkte berührt, die elastische Linie geht demnach durch die Punkte at bl cx dx. Man kann also durch

entsprechende Theilung der Belastungsfläche eine beliebig grosse Anzahl von Punkten der elastischen Linie festlegen. Bezeichnen noch Qx und die .Drücke der Belastungsfläche Fig. 106 auf

fftl

Fig. 106.

I—de

Fig. 107. die Auflager a und d und theilt man die Belastungsfläche durch die Ordinate NM so, dass a N M — Qx und d N M — Q₂ wird, dann liegt die grösste Ordinate nm der elastischen Linie in der Verticalen der Ordinate NM, weil die Seilcurve in dem Punkte m zur Verbindungslinie ax dx der beiden Auflager parallel gerichtet ist.

Die Horizontalspannung E der Seilcurve, welche die elastische Linie darstellt, ist im Verhältniss zu den Belastungen ~ so ausserordentlich gross, dass die Ordi-

J

naten y der Seilcurve verschwindend klein ausfallen, wenn man die Horizontalspannung und die Belastungen in demselben Maassstabe aufträgt.

Um die Grössen der Durchbiegung eines Balkens zu bestimmen, kann man den

M

Horizontalzug E und die Belastungen -j- nach zwei verschiedenen Maassstäben auftragen, wobei es in der Regel am zweckmässigsten ist, das Verhältniss des Maassstabes

M

von E zu dem Maassstabe von —T- genau so gross zu wählen, wie das Verhältniss der

Abscissen in der Zeichnung zu den wirklichen Abscissenlängen. Zeichnet man z. B. ’ die Trägerlänge nach dem Maassstabe von 1: 200, so trägt man die Belastungen in einem 200 mal grösseren Maassstab auf, als die Horizontalspannung E, dann werden die Ordinaten der elastischen Linie im Verhältniss zu den Abscissen 200 fach ver-grössert, die Durchbiegungen erscheinen also in natürlicher Grösse in der Zeichnung.

Wie oben bemerkt wurde, findet die grösste Durchbiegung eines Trägers unter der Ordinate statt, welche die Belastungsfläche der elastischen Linie in zwei den Auflagerdrücken gleiche Theile zerlegt, und gewöhnlich wird bei Bestimmung von Durchbiegungen nur die Ordinate der grössten Einsenkung, sowie deren Abscisse gesucht, während die Form der Biegungscurve nicht weiter interessirt. Soll z. B. die Durchbiegung eines Trägers von constantem Querschnitt mit frei aufliegenden Enden ermittelt werden und ist der Träger pro Längeneinheit mit p belastet, so ist die ganze Last

Dividirt man

pP

des Trägers gleich p l und das Moment in der Trägermitte M = beide Seiten dieser Gleichung durch das Trägheitsmoment J des Trägerquerschnittes,

so erhält man ~

fr

£ Fig. 108.

=*£■=4

* Fig. 109.

Die von —beschriebene

J

Belastungsfläche wird nach Fig. 108 durch eine Parabel ABC dargestellt, deren Scheitelordinate über der Trägermitte ist:

fr**

BD =

pP

8 «r

Drückt man nun das Gleichgewicht eines Theiles der elastischen Linie links oder rechts von der Ordinate, welche die Belastungsfläche in zwei den Auflagerdrücken

gleiche Theile zerlegt, durch die Momentengleichung für den Stützpunkt aus, so ist die gesuchte Durchbiegung in dieser Gleichung die einzige Unbekannte. Auf die eine Hälfte a b der elastischen Linie Fig. 109 wirken folgende drei Kräfte:

1)    in dem Punkte b die horizontal gerichtete Seilspannung E gleich dem Elasti-

citätsmodul des Materials;

2)    in dem Stützpunkte a die Seilspannung S und

3)    die Belastung gleich der Fläche:

AKT) —— — ZÜ _ l’Li 3 ' 2 ' 8J 24t7‘

Der horizontale Abstand des Schwerpunktes s dieser Fläche von dem Auflager a beträgt ö/₁₆ ü. Die Momentengleichung in Bezug auf den Drehpunkt a ergiebt also:

hieraus wird:

E.y —

p J³ 5

24 J' 16 ¹    °’

V - Ö/384

p.l*

E.J

(31)

Fig. 110.

Hat ein Träger unter denselben Verhältnissen wie vorstehend keine gleichförmig vertheilte Last, sondern nur eine Einzellast P im Abstande n von der Trägermitte zu tragen, so bildet die Belastungsfläche nach Fig. 110 ein Dreieck ABC, dessen Höhe über dem belasteten Punkt D ist:

BB =

P(l² — 4 n*)

41 J

Fig. 111

K---TO-

TfS

fr“**

Der Druck Q der Belastungsfläche auf den Stützpunkt A ergiebt sich aus der Momentengleichung in Bezug auf den Drehpunkt C:

Q.l —

P(Z² — 40 l (l

41J ‘ 2 'V2    3 )’

hieraus wird:

PjP — 4n*) (31 — 2n)

48IJ

Die Belastungsfläche zwischen dem Auflager A und einer Ordinate fe in der Entfernung Ae = t ist:

^ t P(P — 4n‘i) t _ P(l — 2n)t* A'e— 2 ’    41J ' H* + n

Diese Fläche ist gleich dem obigen Werthe von Q, wenn:

(l + 2ri) (3l — 2n)

12

ist.

Der Abstand des Schwerpunktes s vom Auflager A ist m = ²/₃1, man erhält demnach für den Theil ab der elastischen Linie Fig. 111 in Bezug auf den Punkt a als Drehpunkt die Momentengleichung:

E.y —

P(l — 2 n)t*

41J

-%t = 0,

oder wenn man vorstehenden Werth von t einsetzt:

Wenn der Träger in der Mitte seiner Länge belastet ist, so wird n = 0 und t = x/₂ l, statt Formel (32) erhält man dann:

(33)

PJ³

48 EJ

Für Fachwerksträger auf zwei Stützen als Träger von Eisenbahnbrücken hat man zu untersuchen, welche Anordnung dem Locomotivzuge gegeben werden muss, damit für jedes einzelne Fachwerksglied die stärkste Spannung ermittelt wird, welche überhaupt darin auftreten kann; hat man die ungünstigste Belastungsart gefunden, so lässt sich die entsprechende Spannung leicht ermitteln. Die Inanspruchnahme der Gurtungen sind Functionen des Biegungsmomentes der auf den Träger einwirkenden äusseren Kräfte. Das Moment Mx für einen Querschnitt im Abstande x vom linken Auflager Fig. 112 ergiebt sich, wenn P die Gesammtheit der links vom Schnitte, Pl die der rechts vom Schnitte befindlichen Belastungen, u und ux die Abstände der Schwerpunkte dieser Lasten von den zugehörigen Auflagern und l die Stützweite des Trägers bezeichnet, durch die Gleichung:

(34)

P(l — 2n)

144:1 EJ

l + 2n)³ (3l — 2n)¹

.    . (32)

_ P.u(l — x) + P, . Ux . X

jyix —

Aus dieser Gleichung ist ersichtlich, dass jede Belastung links oder rechts vom Querschnitte liegend nur positive Werthe für Mx liefert und dass der Einfluss der

Lasten um so grösser wird, je grösser u und ux werden, das heisst je näher die Lasten Pund Px an den Querschnitt rücken. Wenn also der Träger durch einen Locomotivenzug belastet wird, so werden die Gurtungen an irgend einer Stelle am stärksten beansprucht, wenn die schwersten Axen möglichst nahe an dem fraglichen Schnitte concentrirt sind und die Gesammtbelastung des Trägers möglichst gross ist.

Sehr deutlich zeigt sich der wechselnde Beitrag einer über den Träger fortrollenden Last P zu Mx durch die von Dr. Weyrauch¹) angegebene graphische

Darstellung Fig. 113. Trägt man nämlich den Abstand des fraglichen Querschnittes x vom Auflager A auch von b A senkrecht abwärts, so dass Ax = Aa wird, verbindet ' den Punkt a mit dem anderen Auflager B durch eine Gerade, markirt auf dieser senkrecht unter dem Schnitte# den Punkt #, und verbindet diesen Punkt mit dem Auflager A durch eine Gerade, so ist der Beitrag, den eine an irgend einem Punkte des Trägers angreifende Last P zum Momente bei x liefert = P.y, wenn y die Höhe der Ordinate zwischen der Träger unterkante und dem Linienzuge A xx B unter der betreffenden Last P bezeichnet. In Fig. 113 ist also für die mobile Last:

Mx = Px. yx . -f- P₂.    -f- P₃. y$ -f- . . . P₆. y₆ . . . (35)

Fig. 112.

*--U—

:y..i

I

F--

Fig. 113.

SfctJ

•Casl ¹ ¹ D

JE.

‘3=

Bezeichnet noch F den Flächeninhalt des Dreieckes ABxl und p das gleichförmig vertheilte Eigengewicht des Trägers pro Längeneinheit, so hat man, da

#/₂ (l — x) = F ist, noch p. F zu dem obigen Werthe von Mx zu addiren. Die Ordinaten y sind auf dem angewendeten Längenmaassstabe zu messen. Wird x sehr klein, so kann man Aa — n.x nehmen und nachher Formel (35) durch n dividiren.

Aus Fig. 113 ersieht man, dass jenes von den verschiedenen auf dem Träger vorkommenden Lastsystemen zu wählen ist, welches möglichst viele und grosse Lasten mit möglichst kleinem Radstande enthält. Ferner, dass der Theil des Lastsystems, der bei den kleinsten Radständen die grössten Lasten enthält, jedesmal an dem Querschnitte stehen muss, für den das Maximum von Mx bestimmt werden soll.

man nun

Fig. 114.

V'\

f p-j'

_I

pplLj

Die in Fig. 97 gegebene graphische Darstellung der Yerticalkräfte kann zweckmässig benutzen, um die ungünstigste Stellung des Lastsystems für einen bestimmten Querschnitt zu ermitteln. Man geht nach Fig. 114 von dem Auflager a horizontal bis zum Angriffspunkt der Last 1, trägt diese nach irgend einem Maassstabe senkrecht aufwärts, zieht von dem Endpunkte der Last 1 eine Horizontale bis an den Angriffspunkt der Last 2, trägt diese der Grösse nach senkrecht aufwärts und zieht wieder von dem Endpunkt der Last 2 eine Horizontale an die Last 3 u. s. w.; man erhält so einen treppenförmigen Linienzug an, den man die Belastungslinie nennt.

Die Verticale bn am Auflager b ist demnach die Summe der Lasten 1 bis 6, die auf den Träger einwirken.

l"

aLÜ!

Denkt man das Lastsystem so auf dem Träger stehend, dass in Fig. 114 die Last 6 am Auflager b eben auf den Träger tritt, so ist die Belastungslinie durch den punk-tirt angedeuteten Linienzug gegeben. Zieht man nun noch die Gerade an und schiebt das Lastsystem in der Richtung vom Auflager b nach a vor, dann wächst Mx, und in dem Augenblicke, wo die Gerade an von der Belastungslinie in der Yerticalen x geschnitten wird, hat Mx für den Querschnitt x sein'Maximum erreicht. Das grösste Moment tritt hier also dann ein, wenn das Rad 4 den Querschnitt x passirt. Die Horizontale cc, welche durch den Schnittpunkt der Linie an und der Last 4 geht, theilt die Linie bn in die Auflagerdrücke, die bei dem Maximum von Mx auftreten, und die Ordinaten der Belastungslinie von cc aus geben die Vertical-kräfte in allen Querschnitten.

Fig. 115.

Aus Fig. 114 geht hervor, dass man sofort angeben kann, welche Last bei ungünstigster Laststellung über einem beliebigen Querschnitt stehen muss. Hat man nämlich, wie in Fig. 115, die Radlasten der Reihe nach aufwärts auf die Verticale bn aufgetragen und die Gerade a n gezogen, so führe man den beliebigen senkrechten Schnitt xx und ziehe durch den Punkt, wo x die Linie a n schneidet, eine Horizontale an die Linie bn; die Last, welche von dieser Horizontalen getroffen wird, muss über x stehen, wenn Mx zum Maximum werden soll. Tritt der Fall ein, dass die Horizontale den Grenzpunkt zweier Lasten trifft, dann ist es a gleichgültig, welche von beiden Lasten über dem Quer- * schnitt x steht, es ergiebt sich immer dasselbe Maximum von Mx, auch dann, wenn die beiden Lasten rechts und links vom Querschnitte x placirt sind.

Bequem ist es, wenn man die Linie bn in Fig. 115 gleich als Kräftepolygon benutzt, indem man von einem beliebig angenommenen Pol aus Strahlen an die Theil-punkte der Linie bn zieht und dann unter ab das Seilpolygon verzeichnet, wodurch das Maximum von Mx ermittelt wird. Hierbei bleibt das Kräftepolygon für alle

Trägerquerschnitte dasselbe, während selbstverständlich die Seilpolygone sich ändern müssen. Das vom Eigengewicht p des Trägers herrührende Moment für x ist durch eine Separatconstruction zu ermitteln, oder man kann zu dem Moment von der mobilen Last den Werth ¹l₂px(l — x) hinzufügen. Natürlich braucht die ganze Bestimmung für eine entsprechende Anzahl Querschnitte einer Trägerhälfte durchgeführt zu

nur

werden.

Oft wirkt bei Brücken die Yerkehrslast nicht direct auf die Hauptträger, sondern sie wird von Schwellenträgern auf Querträger und von diesen auf die Knotenpunkte

der Hauptträger übertragen. Um klar darüber zu werden, welchen Einfluss diese Lastübertragung auf die Momente der Hauptträger hat, betrachte man nach Fig. 116 die Wirkung einer zwischen zwei Knotenpunkten befindlichen Belastung P. In Bezug auf die Hauptträger ist P durch die Componenten P.n

Fig. 116.

Al

i<~ ae—■-vk— Hz--A lagerdrücke:

und

zu ersetzen, für diese werden die Auf-

P(l — x — n)

, und B =

P (x fl- n)

Da also die Auflagerdrücke sich gerade so ergeben, als wenn die Last direct am Hauptträger wirkte, so folgt, dass die der Belastung P entsprechenden Momente des Hauptträgers dieselben bleiben, ob die Last direct auf den Träger wirkt oder ob Querträger vorhanden sind, nur für die zwischen x und (x -f- a) gelegenen Punkte tritt eine Veränderung ein, indem das der Last P entsprechende Momentenpolygon b c d in das Polygon befd übergeht.

Einen klaren Einblick in die durch die Querträger bewirkte Modification giebt die graphische Darstellung Fig. 117. Zieht man die Horizontale on und trägt den Abstand des beliebigen Querschnittes x vom Auflager A von o nach a, zieht die Gerade

a n, markirt hierauf den Querschnitt x xv und zieht xx o, dann entspricht der Linienzug nxx o der Fig. 113. Markirt man nun noch die Punkte c und f senkrecht unter den Querträgern rechts und links vom Querschnitt x und zieht die Linie c f, so ist der Beitrag jeder auf den Träger einwirkenden Last P zum Moment bei x gleich P.y, wenn y die Ordinate des Linienzuges oncfo unter der betreffenden Last P bezeichnet.

Man braucht, wenn Querträger vorhanden sind, nur die. Maximalmomente für die Knotenpunkte zu ermitteln; das absolute Maximalmoment am Hauptträger fällt immer unter denjenigen Querträger, welcher der Mitte des Hauptträgers am nächsten liegt.

Die ungünstigste Belastungsart für die Füllungstheile, welche bei Fachwerksträgern die obere Gurtung mit der unteren vereinigen, ist durch besondere Untersuchungen festzustellen. Im Folgenden soll zu diesem Zwecke nach Professor Keck (.Zeitschrift des ArcJiit- und Ing.-Vereins zu Hannover 1874, S. 352) die Bitter’sehe Momenten-Methode angewendet werden. Hierbei denkt man einen Schnitt so durch die Construction geführt, dass nur drei Stangen getroffen werden; die Spannungen in den durchschnittenen Stangen ersetzt man durch die Kräfte X, Y, Z, welche das Gleichgewicht der Construction wieder hersteilen. Betrachtet man nun das abgeschnittene

Fig. 117.

fr

<U(U......I

l ¹ Mt 1 1

|% \v₃

fr'

nn

Trägerstück als Hebel und wählt den Durchschnittspunkt zweier Kräfte als Drehpunkt, dann werden die Hebelarme derselben gleich Null, wodurch also zwei von den drei unbekannten Spannungen wegfallen. In Bezug auf den angenommenen Drehpunkt muss die Summe der statischen Momente aller auf das abgeschnittene Trägerstück einwirkenden Kräfte gleich Null sein, wenn Gleichgewicht stattfinden soll. Stellt man also für einen bestimmten Drehpunkt die Momentengleichung auf, so ist in dieser nur eine der obigen drei Kräfte als unbekannte Kraft vorhanden, welche leicht aus der Momentengleichung bestimmt werden kann. Die rechts drehenden Kräfte nimmt man als positiv, also die links drehenden als negativ an, und sämmtliche Spannungen werden als Zugspannungen aufgefasst, so dass -(- Spannungen wirkliche Zugspannungen, — Spannungen aber Druckspannungen sind.

Fig. 118.

Ob

Führt man durch den Träger Fig. 118 einen Schnitt ss, dann hat man zur Bestimmung der Kraft Y in der Diagonalen ab den Durchschnittspunkt 0 der beiden mitdurchschnittenen Stangen als Drehpunkt zu wählen, und die Kraft Y wirkt an dem Hebelarm y. Jedenfalls wird nun die Zugspannung Y in der Diagonalen a b am stärksten, wenn man von dem Auflager B her einen Zug, mit den schwersten Bädern nach vorn, bis zum durchschnittenen Felde vorschiebt. Fraglich ist nur, ob das erste Bad des Zuges über dem Knotenpunkte c    ^

-TjA±

8r-

stehen, oder ob es in das durchschnittene Feld treten muss, damit die Zugspannung in der Diagonalen ab zum Maximum werde. Freilich wird der linksseitige Auflagerdruck A vermehrt, wenn Bäder in das durchschnittene Feld eintreten, dafür erhält aber auch der Knotenpunkt a eine Belastung, die mit A im entgegengesetzten Sinne auf Y einwirkt.

Bezeichnet Pj das Gewicht der Lasten bis zum Knotenpunkte c und P₂ das Gewicht der Lasten im durchschnittenen Felde, ux und w₂ die Abstände der Schwerpunkte dieser Lasten vom Auflager B, ferner l die Weite eines Trägerfeldes, v den Abstand der Last P₂ vom Knotenpunkte c, und r den Abstand des Knotenpunktes a vom Drehpunkte 0, so ist der Auflagerdruck:

. . (36)

Pl • U1 + -?2 ' W2

und die Momentengleichung in Bezug

Der Knotenpunkt a erhält die Last P₂. auf den Drehpunkt 0 ist:

■r,

oder:

Y .y = A.m — P₂.y .t,

setzt man hierin für A den Werth aus Gleichung (36), so wird:

• •    37)

Verschiebt man den Zug um du nach dem Auflager A hin, so ändert sich ux, u% und v um du, Y um d Y, und es ist:

d(Y.y)

du

[r,-r₂(

L r_ l ' m

0J-

Durch weiteres Vorschieben des Zuges ins durchschnittene Feld wird also die Diagonalspannung Y vergrössert, so lange:

Pi -P₂ ^

— 1) > 0 ist

(38)

Das Vorderrad des Zuges muss aber über dem Knotenpunkte c stehen, wenn die linke Seite der Ungleichung (38) kleiner als 0 ist. In Fig. 118 ist z. B.:

L =6; — = 2,1; Px = 42T; P₂ = 13T;

somit wird:

l) = 42 — 13 (6.2,1 — 1);

da dieser Werth <0 ist, so muss der Zug aus dem durchschnittenen Felde zurückgezogen werden, bis das Vorderrad über dem Knotenpunkte c steht.

Will man die grösste Druckspannung in derselben Diagonalen ab ermitteln, so muss ein Zug vom Auflager A aus bis ins durchschnittene Feld vorgeschoben werden. Bei den hier in Frage kommenden einseitigen Belastungen nenne man das dem Zuge entfernter liegende Auflager kurz das unbelastete Auflager und den noch nicht vom Zuge erreichten Knotenpunkt am durchschnittenen Felde den unbelasteten Knotenpunkt des durchschnittenen Feldes; bezeichne stets, nach Fig. 119, mit m den Abstand

des Drehpunktes 0 vom unbelasteten Auf->; lager und mit r den Abstand des Drehpunktes 0 vom unbelasteten Knotenpunkte des durchschnittenen Feldes, dann kann man das Kriterium, Formel (38), sowohl für Druck-wie für Zugspannung in jeder Diagonalen oder Verticalen benutzen, mag der Drehpunkt 0 rechts oder links von dem Träger liegen.

In Fig. 119 ist:

Fig. 119.

!•

Cy

-------r

-ui-

'S

k-

L.

~ = 0,61; 4^ = 6; Pl = 26T; P₂ = 13T;

demnach wird:

l) = 26 — 13 (6.0,61 — 1);

offenbar ist dies kleiner als Null, somit muss der Zug auch für die grösste Druckspannung in der Diagonalen ab zurückgezogen werden, bis die Axe des Vorderrades über dem Knotenpunkte a steht.

¹

Zeitschrift des Archit.- und Ing.-Vereins zu Hannover 1875, S. 467.

Bei Trägern mit parallelen Gurtungen liegt der Durchschnittspunkt 0 in unendlicher

T

Entfernung, daher wird — = 1; das Kriterium, Formel (38), heisst dann einfach:

(39)

P‘—F* (t — 0< o

In den Verticalen ist die Spannung von den Diagonalen abhängig, man braucht demnach für die ersteren keine besonderen Untersuchungen.

Die Formeln (38) und (39) dienen zur Aufsuchung der ungünstigsten Belastungsart, Formel (37) zur Berechnung der Spannungen Y. Hierbei ist es bequem, für die

Producte Px . ux und P₂ . u₂ das resultirende Gewicht I\ und P₂ einer fraglichen Rädergruppe der Grösse und Lage nach mit Hülfe eines entsprechend angeordneten Kräfte- und Seilpolygons zu bestimmen. In (Fig. 3, Blatt 3) ist eine solche Hülfsfigur (nach Prof. Keck) dargestellt. Auf der horizontalen Schlusslinie des Seilpolygons sind die Axen eines Locomotivenzuges nach Fig. 88 aufgetragen, wobei die grösseren Kreise Triebräder, die kleineren Tenderräder bezeichnen. Die Axen sind mit 1 bis 18 nummerirt, und zwar stehen die ersten beiden Locomotiven Brust an Brust. Der Reihe nach sind nun die Gewichte der Axen im Kräftepolygon untereinander aufgetragen und ist die Horizontalspannung H = 100 Tonnen angenommen. Nach diesem Kräftepolygon wurde das Seilpolygon so construirt, dass die Seiten desselben gehörig verlängert sind, um jede zwischen zwei bestimmten Lasten liegende Seite des Seilpolygons leicht auffinden zu können, weshalb auch der Winkel zwischen je zwei benachbarten Seiten am Ende derselben mit der Nummer der zwischenliegenden Last versehen ist. Da nun die Resultirende beliebig vieler aufeinander folgender Kräfte stets durch den Schnittpunkt der diese Kräfte einschliessenden Seilpolygonseiten hindurchgehen muss, so lässt sich mit Hülfe des Seilpolygons jede beliebige Gruppe von Axgewichten zusammensetzen.

Es bestehe z. B. eine Rädergruppe Px aus den Gewichten der Axen 7 bis einschliesslich 15, dann geht die Resultirende Px dieser Lasten durch den Schnittpunkt der Seilpolygonseiten, von denen die eine zwischen den Lasten 6 und 7, die andere zwischen den Lasten 15 und 16 liegt. Legt man ein Lineal, mit der Kante nach unten gerichtet, an die von den Zahlen 15 und 16 eingeschlossene Seilpolygonseite, geht dann mit einer Zirkelspitze auf der von den Zahlen 6 und 7 eingeschlossenen Seite bis zum Durchschnittspunkt mit der Linealkante, so hat man in diesem Schnittpunkte den Angriffspunkt der Resultirenden Px aufgefunden. Will man den horizontalen Abstand dieses Schnittpunktes von einer der Axen, z. B. von der Axe 7 feststellen, so setzt man die eine Zirkelspitze in den eben aufgefundenen Schnittpunkt und misst bis zu der durch die Axe 7 gezogenen Verticalen, welcher Abstand sich nach dem Maassstabe von 1 :250 zu 8,35ra ergiebt. Die Grösse der Last Px ergiebt sich durch Abgreifen der Lasten 7 bis 15 im Kräftepolygon und durch Ablesen auf dem Kräftemaassstab zu 102 Tonnen, man kann aber zur Controle auch leicht die Kräfte 7 bis 15 addiren. Wenn die Trägerzeichnung und das Seilpolygon in demselben Maassstabe aufgetragen sind, so lassen sich die Resultirende Px und der Hebelarm ux ohne Weiteres auf der Trägerzeichnung angeben.

Hat man die von der mobilen Last herrührenden Spannungen in den Füllungs-theilen berechnet oder auf graphischem Wege ermittelt, dann sind noch die durch das Eigengewicht der Construction erzeugten Spannungen zu ermitteln, was nach dem Vorhergehenden in einfachster Weise auszuführen ist. Beide Spannungen müssen selbstverständlich addirt werden.

Die vortheilhafteste Spannweite l für eiserne Balkenbrücken mit Einzelträgern ergiebt sich aus der Formel:

(40)

wenn das Eigengewicht der eingleisigen Brücke pro Meter Länge ausgedrückt ist durch die Formel:

g = n .1 -j- a.

In Formel (40) bezeichnet K die Kosten eines Mittelpfeilers und Je den Preis des Eisens pro Kilogramm der fertig aufgestellten Brücke. Ist z. B. g — 30/ -f- 800,

K = 3500 Mark, h = 0,42 Mark, so wird die vortheilhafteste Spannweite einer zweigleisigen Brücke:

3500

2.0,42.30

= rund 11,8 Meter.

§ 11. Träger auf drei oder mehr als drei Stützen (Blatt 3).

Träger, welche sich ohne Unterbrechung über drei oder mehr als drei Stützen erstrecken, heissen continuirliche Träger (engl, the continous-girder; franz. la poutre-continue). Für Brücken mit mehr als einer Oeffnung, von je mindestens 25,n Spannweite, sind continuirliche Träger in Bezug auf den Materialverbrauch vortheilhafter als einfache Träger. Namentlich gewähren sie erheblichen Vortheil, wenn man die Mittelstützen entsprechend senkt. Da aber die der Berechnung zu Grunde gelegte Senkung der Mittelstützen genau hergestellt und diese Höhenlage auch erhalten werden muss, indem geringe Abweichungen hiervon, bedeutende Aenderungen in der Beanspruchung des Trägers hervorbringen, so hat man dieser Schwierigkeiten wegen eine gleiche Höhenlage aller Stützen stets vorgezogen. Continuirliche Träger über mehr als drei Oeffnungen gewähren keinen weiteren Vortheil.

Die Spannungen in den continuirlichen Trägern lassen sich nicht mehr nach den einfachen Gleichgewichtsbedingungen berechnen, indem diese für einen solchen Träger auf n Stützen nur zwei Gleichungen zur Bestimmung der Auflager drücke liefern, man muss daher die fehlenden n — 2 Gleichungen aus der Elasticitätslehre ableiten. Hierdurch wird die Berechnung nicht nur schwierig, sondern auch unsicher und unbestimmt, weil man hier von Voraussetzungen ausgehen muss und weil etwa eintretende Aenderungen in der gegenseitigen Höhenlage der Stützen von wesentlichem Einfluss auf die Beanspruchung der continuirlichen Träger ist. {Eine eigene einfachere Methode zw Bestimmung der Auflager drücke und Berechnung der continuirlichen Fachwerksträger ist .von Baurath Mohr in der Zeitschrift des Architekten- und Ingenieur-Vereins zu Hannover 1875, 8. 19 mit-getheilt. Auch 1868, S. 19). Es sind demnach Trägerconstructionen, die für jede gegebene Belastung eine scharfe Bestimmung der einzelnen Spannungen nach den einfachen Gleichgewichtsbedingungen gestatten, vorzuziehen, denn je genauer man die in den Constructionstheilen vorkommenden grössten Spannungen zu berechnen in Stande ist, um so grösser darf die zulässige Inanspruchnahme des Materials sein, da man sicher ist, dass die berechnete Spannung unter keinem Umstande vergrössert werden kann.

Man kann aber, wie zuerst von Gerber vorgeschlagen wurde, continuirliche Träger in mehreren Theilen herstellen und diese Theile gelenkartig mit einander verbinden, so dass jeder dieser Theile nur von zwei Stützen unterstützt ist, und ein solcher zusammengesetzter Träger auf n Stützen, mit n — 2 Gelenken, ist eine Con-struction, welche sich durch die einfachen Gleichgewichtsbedingungen berechnen lässt. Diese sogenannten continuirlichen Gelenkträger gewähren dieselben Vortheile wie die eigentlichen continuirlichen Träger, sie verdienen daher bei Brücken mit mehreren Oeffnungen von grosser Spannweite besondere Beachtung und sind sie in neuerer Zeit auch mehrfach angewendet.

Ein Gelenkträger auf drei Stützen A, C, D ist in (Fig. 4, Blatt 3) dargestellt, derselbe besteht aus den drei Theilen a, b, c und wird der Theil a von dem Endauflager und von dem Gelenk JB unterstützt, ist also genau wie ein einfacher Träger auf zwei Stützen zu behandeln. Der Theil c mit dem überkragenden Stück b ist ebenfalls ein

Träger auf zwei Stützen. Bei Gelenkträgern auf vier Stützen A, C, Cx, Ax sind zwei verschiedene Anordnungen möglich; entweder kann man nach (Fig. 5, Blatt 3) die Gelenke B und Bt in die Endöffnungen legen, oder man kann den Trägertheil a nach (Fig. 6) mit den beiden Gelenken B und Bx in der Mittelöffnung anordnen. Im ersteren Falle erhält der Trägertheil d an beiden Enden Ueberkragungen. Durch Vereinigung der Anordnungen (Fig. 5 und 6) lassen sich continuirliche Gelenkträger auf beliebig vielen Stützen zusammensetzen, wobei es durchaus nicht nöthig ist, dass die Verbindungspunkte B und Bx wirkliche Gelenke sind, sondern es ist genügend, dass die Trägertheile a auf die überkragenden Enden der Theile c frei aufliegen, damit nur an diesen Stellen kein Biegungswiderstand auftritt.

In (Fig. 7, Blatt 3) ist ein continuirlicher Träger auf sechs Stützen dargestellt, der für die Warthe-Brücke bei Posen ausgeführt wurde (publicirt in JErbkam’ s Zeitschr. für Bauwesen 1877, S. 41). Die Fahrbahn liegt in der oberen Gurtung der Trägertheile, woran sich die Ueberkragungen befinden, während die kürzeren, als Parabelträger ausgeführten Trägerstücke so angeordnet wurden, dass die Fahrbahn nur wenig über der unteren Gurtung liegt. Hierdurch hat man einerseits möglichst hohe Oeff-nungen für die Schiffahrt erreicht, andererseits aber wesentlich an Pfeilerhöhe erspart. Ein Theil der Brückenansicht ist in (Fig. 8) dargestellt. In den mit a bezeichneten Auflagerpunkten (Fig. 7) sind bewegliche Pendelauflager, in den mit b bezeichneten Punkten aber feste, jedoch drehbare Auflager angebracht.

Fig. 120.

j

■---ft-------

____

------c—

Offenbar können in dem Trägerstück a, Fig. 120, nur dann Spannungen durch die mobile Last entstehen, wenn dasselbe direct belastet ist, da aber der Träger a sich im Punkte B auf das überkragende Trägerstück b stützt, so werden in den Trägerstücken b und c auch dann Spannungen von der mobilen Last erzeugt, wenn nur das Trägerstück a von derselben bedeckt ist. Zur Entwickelung der allgemeinen Eigenschaften dieser Gelenkträger kann man zunächst eine gleichförmig vertheilte Verkehrslast annehmen,' und es sei g die vom Eigengewicht herrührende permanente, p die mo-hile, also g + p = q die totale Belastung pro Längeneinheit. Für einen Querschnitt des überkragenden Trägerstückes b ist das

Biegungsmoment Mx im Abstande x vom Punkte B, wenn die Trägertheile a und b voll belastet sind:

a    , x

Y-q-x + Y

Den grössten Werth erreicht M für x = b, und es ist:

m, =-|.6(« + e • •

Die grösste Verticalkraft Vx im Abstande x von B ist:

Mx =

.q.x = -

• • (41)

(42)

y,=

(y + x)-

Das Trägerstück c wird, wenn es unbelastet ist, von den belasteten Trägertheilen a und b so beansprucht, dass die obere Gurtung Zugspannung erhält, indem eine Drehung um den Auflagerpunkt C erfolgt, wodurch der Träger bei D aufkippen würde, wenn nicht das Eigengewicht des Stückes c diesem Auf kippen entgegen wirkte; das Stück c wird demnach im unbelasteten Zustande durch die mobile Last der Theile

a und b nach oben hin durchgebogen. Dagegen wird es entgegengesetzt beansprucht, wenn das Stück c selbst belastet ist, und zwar am stärksten, wenn die mobile Last nur das Stück c bedeckt. In diesem Zustande ist für eine Entfernung x vom Auflager D das Biegungsmoment:

max

Mx

— ~2

. X (c — x) —

.b (a -\-b) x . .    . .    (43)

Den grössten Werth erreicht dieser Ausdruck für:

<■

und es ist:

g b a -\-b 2    q'~c'    2    ’

q. c²

(i-JL

\ q

• • (44)

Bedeckt die mobile Last nur die Trägertheile a und b, dann wird in der Nähe der Stütze C die obere Gurtung des Trägerstückes c gezogen, die untere Gurtung gedrückt, das entsprechende Biegungsmoment ist im Abstande x:

_ 9_

. x (c — x)--—. {a -f- b) x .    .    .    .    (45)

Denkt man die Yerticalkraft Vx im Abstande x von der Stütze D am linksseitig abgeschnittenen Trägerstück abwärts gerichtet, so wird Vx ein Maximum, wenn nur das rechts vom Schnitte liegende Trägerstück durch die Verkehrslast belastet ist, falls vorläufig die Trägerstücke a und b als gewichtslos angesehen werden. Alle Belastungen der Trägertheile a und b aber sind bestrebt, das Trägerstück c um den Drehpunkt C aufzukippen, sie verlangen daher in allen Schnitten des Stückes c abwärts gerichtete Verticalkräfte und somit wird Vx zum Maximum, wenn ausser dem Stück zwischen D und x noch die Theile a und b, Fig. 120, von der mobilen Last bedeckt sind. Es ist für diesen Fall:

V, = £ü>(« + t) + x*l-£(c-*y    ■ ■ ■ (46)

Ist nur das Stück zwischen dem Schnitt x (bei D) und dem Auflager C von der mobilen Last bedeckt, dann wird:

max

₋,F, = ^-[6(« + 0 + *!!]-^-(c-*)a    • • • (47)

Bei dem Gelenkträger (Fig. 5, Blatt 3) hat das mittlere Trägerstück an beiden Enden eine Ueberkragung b, worauf sich die Trägertheile a in den Punkten 18 und 2?, stützen. In diesen Punkten werden die überstehenden Enden nach Fig. 121 abwärts gezogen, wodurch der mittlere Theil d nach oben durchgebogen, also die obere Gurtung

auf Zug, die untere auf Druck, beansprucht wird. Dieser Aufbiegung wirken die Belastungen der Strecke d entgegen, durch welche Lasten die obere Gurtung gedrückt, die untere gezogen wird, und zwar am stärksten, wenn die mobile Last nur die Trägerstrecke d bedeckt. Im Abstande x vom Stützpunkte C ist dann das Biegungsmoment:

Mx = -~.x{d — x) — g. -

für die Trägermitte wird x = ¹/id, an dieser Stelle ist das Biegungsmoment:

Fig. 121.

"C _

b¥~i .....

-------------ä------------Ä-i '-*3^

max

• • (48)

<!& _ n h (° + &)

M₃ =

(49)

8 y' 2

Jetzt bleibt noch für die Querschnitte in der Nähe der Stützen C und C\ das entgegengesetzte Biegungsmoment zu berücksichtigen, welches erzeugt wird, wenn die mobile Last nur die Trägerstrecken a und b bedeckt; dieses ist:

. . (50)

Mx = ~.x{d — x) — q.    .

Für einen Querschnitt im Abstande x von der Stütze Gl wird die Yerticalkraft Vx zum Maximum, wenn nur der Trägertheil d vom Auflager Cx bis zum Schnitt und die Trägertheile a und 6 links von der Stütze C mobile Lasten erhalten, dann wird:

max

^ = ^[6(a + 6 + (<?-*)²]-^P⁽a + Ä) + ^] . (51)

Bei der entgegengesetzten Belastung entsteht das Minimum:

min vx — [b (a 4- b) + (d — X) ²] — ~ [b (a + b) -f x²]    .    (52)

In Bezug auf die Eintheilung der ganzen Trägerlänge in die Theile a, b, c oder d, hat man zuerst die ökonomisch günstigste Anzahl der Stützen zu ermitteln, wenn nicht die Zahl der Oeffnungen durch locale Verhältnisse gegeben ist. Hierauf erscheint es für den Materialverbrauch vortheilhaft, die Längenverhältnisse des Trägers dadurch zu bestimmen, dass man die grössten Biegungsmomente der Trägertheile einander gleich setzt. Das grösste Biegungsmoment in der Mitte des Trägers a ist gleich ¹l₈q.a². Setzt man dieses gleich dem Werthe von Mx in Formel (42), so wird x/₂ q.b (a -j- b) = % q.a¹, oder hieraus b (a -j- b) = %a¹; diese quadratische Gleichung aufgelöst ergiebt:

(53)

b =    =0,207 a

Wird ferner das Moment lj₈q.a² auch in Formel (44) gleich gesetzt, so wird:

(54)

—r(<+K‘ + f)

Endlich noch das Moment ll₈q.a² in Formel (49) gleich dem Werthe von M3 gesetzt, ergiebt:

. (55)

■V‘+f

Bei Brücken mit zwei Oeffnungen würde demnach die Oeffnung A C, Fig. 120, gleich a -J—& = a —f- 0,207 a = 1,207 a werden müssen, während die Oeffnung CD nach Formel (54) zu bestimmen wäre, so dass sich also zwei verschiedene Weiten ergeben. Sollen beide Oeffnungen gleich gross werden, so dass a -f- b = c oder a — c — b wird, dann kann nur eine Ausgleichung der Momente Mx und M₂ stattfinden; die Werthe derselben sind nach Formel (42) und (44) einander gleich zu setzen, hierdurch erhält man:

(56)

o = ⁶(² + f + SV'l ⁺ f)

Um ein Auf kippen der Trägertheile c (Fig. 4 und 6, Blatt 3), welches durch Drehung um den Stützpunkt C resp. Cx erfolgen kann, zu verhindern, muss das Eigengewicht des Stückes c ein grösseres Moment in Bezug auf den Drehpunkt C hervor-rufen, als die totale Belastung der Stücke a und b zusammengenommen, es muss also 'Izg-c² grösser sein als Mx nach Formel (42), man hat demnach:

(57)

^Y > y ■ b (a 4- b)

In diese Ungleichung die Werthe von b und c aus Formel (53) und (54) eingesetzt, ergiebt:

<1

-, oder aufgelöst — 2    q

> 0,23.

Weit grössere Sicherheit gegen Auf kippen bietet die Anordnung des Trägers (Fig. 5, Blatt 3), wo ein Aufkippen des Theiles d erst möglich ist, wenn nach den Verhältnissen der Formeln (53) und (55) der Quotient

< 0,09 wird.

Q.

Da man übrigens für Brücken mit mehreren Oeffnungen, die nicht je mindestens 30m Spannweite haben, wohl kaum continuirliche Gelenkträger anwenden wird, so braucht das Aufkippen meistens nicht berücksichtigt zu werden, denn für Oeffnungen

über 30m Weite wird mindestens = 0,25. Nimmt man diesen Werth gleich 0,3 an, dann wird nach den Formeln (53) bis (55):

b = 0,207 a; a -f- b = 1,207 a;

Ci

vH

S5

S5

CO

H-¹-

Bei einem Träger auf 4 Stützen nach der Anordnung (Fig. 5, Blatt 3) würde die Mittelöffnung 1,14a, jede Seitenöffnung 1,207a zur Weite erhalten; die drei Oeff-nungen werden für diese Anordnung also annähernd gleich weit. Bei der Anordnung (Fig. 6) erhält jede Seitenöffnung die Weite 1,07 a, die Mittelöffnung aber a -f- 2 b = 1,414 a; hier ergiebt sich demnach eine erheblich weitere Mittelöffnung. Natürlich braucht man sich an die Formeln (53) bis (55) nicht streng zu binden, wenn andere Rücksichten eine abweichende Eintheilung der Spannweite verlangen. Für die in (Fig. 7 und 8, Blatt 3) dargestellte Brücke ist z. B. b = 0,226 a, d — 1,161 a angenommen. Als Eigengewicht wurde pro laufendes Meter Brückenlänge g = 1,5 Tonnen, als mobile Belastung p — 4,5 Tonnen in Rechnung gebracht; demnach beträgt die Total

belastung pro laufendes Meter Brückenlänge q = 6 Tonnen, es ist daher = 0,25.

Das Eigengewicht dieser Brücke beträgt für die 5 verschieden weiten Oeffnungen in Wirklichkeit, wenn man eine mittlere Stützweite l einführt, 25,5 l -f- 445 Kilogr. pro laufendes Meter. In (Fig. 9, Blatt 3) sind die Biegungsmomente dieser Brückenträger für verschiedene Belastungsarten graphisch dargestellt. Die Auflagerung der Parabelträger auf die überkragenden Trägerenden zeigt noch (Fig. 10, Blatt 3).

Soll die Berechnung der Spannungen in den continuirlichen Gelenkträgern bei Eisenbahnbrücken mit Rücksicht auf die wirkliche Belastung erfolgen, so ist das Trägerstück a in Fig. 122 ganz wie ein Träger auf zwei Stützen zu behandeln. Für das überkragende Stück b wird zur Ermittelung der Spannungen X in der oberen Gurtung

ein Schnitt durch das Feld am Auflager geführt und der Knotenpunkt n als Drehpunkt gewählt. Auf das Stück links vom Schnitte wirkt dann im Punkte B der Auflagerdruck des Trägers a und ferner die Resultirende P der Lasten im Felde zwischen B und n, während die Lasten im Felde zwischen C und n theils vom Auflager C, theils vom Drehpunkte n aufgenommen werden. Bezeichnet nun x den Hebelarm der Kraft X in Bezug auf den Drehpunkt n und P, die Resultirende der Lasten des Trägers a, ferner ux den Abstand derselben vom Auflager A, dann ist der Auflagerdruck des Trägers a im Punkte B = ^ 'Ul und in Bezug auf den Drehpunkt n erhält

CL

man die Momentengleichung:

— P.u;

0 = X.x —

hieraus wird:

X.x =

Pl • Wi    IT)

—-——.0 -4-P.u a

(58)

Die Kraft X wird um so grösser, je grösser P.u und Pl.ul werden, wenn also die schwersten Räder in der Nähe des Punktes B vereinigt sind. Ueber B sind demnach zwei Locomotiven Brust an Brust zu stellen. Durch Verschiebung des Zuges nach dem Auflager A hin, ändert sich u positiv, ux aber negativ; das Kriterium für die Zugstellung heisst demnach:

(59)

Z _ Tl > o

o a <C.

Das Rad, welches beim Vorschieben des Zuges einen Zeichen Wechsel in dem Ausdruck (59) veranlasst, muss gerade über dem Punkte B stehen.

Fig. 122.

iA.

.........

—.......W-......

......—-O—->K------

M

f £T

-c

->!

Hat man in Fig. 122 z. B. einen Locomotivenzug nach Fig. 88 zusammengestellt und ist a = 50ra, o = 5ra, dann wird, wenn man das über dem Punkte B stehende Rad zu P rechnet:

26    241

5Ö~ > °’

wird aber dieses Rad zu Px gerechnet, dann erhält man:

6cr<°-

13    254

Hiernach muss das mittlere Rad der über B gezeichneten Locomotive gerade über dem Punkte B stehen, dann ist die Zugstellung für die Spannung X am ungünstigsten. Die Hebelarme u und ux für Formel (58) ermittelt man am einfachsten mit Hülfe eines nach (Fig. 3, Blatt 3) construirten Seilpolygons (vergl. 8. 59, sowie auch die graphische Ermittelung der ungünstigsten Zug Stellung 8. 55). Die Formeln (58) und (59) gelten auch für jedes andere Stück der oberen oder unteren Gurtung, falls o die Entfernung des Drehpunktes vom Gelenkpunkte B und P die Resultirende der auf der Strecke o befindlichen Lasten bezeichnet.

Kl äsen, Graphische Statik.

Für die ungünstigste Zugstellung heisst demnach das Kriterium:

(61)

P-A>₀

0 <

Hier sind daher wieder die durchschnittlichen Belastungen der Felder m und o mit einander zu vergleichen, und weil beide Felder gleich gross sind, muss die Vorder-axe einer der beiden Brust an Brust stehenden Locomotiven sich gerade über dem Punkt n befinden, damit noch in jedem Felde zwei Locomotivaxen Platz finden, dann hat der Zug die ungünstigste Stellung für die Diagonale Y.

Das Trägerstück c wird in der oberen Gurtung am stärksten auf Druck, in der unteren am stärksten auf Zug beansprucht, wenn nur die Strecke c von der Verkehrslast bedeckt ist; die ungünstigste Zugstellung für die Gurtungen kann also nach Fig. 115 bestimmt werden. Durch den Einfluss des Eigengewichtes der Trägerstücke a und b, Fig. 122, verschiebt sich aber das Maximalmoment der Trägerstrecke c aus der Mitte dieses Theiles nach dem Auflager JD hin. Bei gleichförmig vertheilter Verkehrslast würde nach Formel (43) bis (44) diese Verschiebung gleich —. —.—₀—

q c u

sein und für a = 50m, b — 10m, c = 56m, — = 0,5 würde das Maximalmoment um

c    q

2,68™ aus der Mitte von c nach dem Auflager D hinrücken. Wenn es für das von der Mitte des Trägerstückes c nach D zu liegende Feld in Frage kommt, ob die von f oder g ausgehende Diagonale für die in Kede stehende Belastungsart gespannt wird, ob also f oder g als Drehpunkt anzunehmen ist, so kann dies nach Obigem annähernd entschieden werden. Wählt man zunächst f als Drehpunkt und bestimmt hiernach die Belastung, dann lässt sich leicht ermitteln, ob auch mit Rücksicht auf das Eigengewicht der Trägerstücke a und b die von f ausgehende Diagonale Zugspannung erhält.

In den Feldern von c, die nahe an dem Stützpunkte C liegen, ist noch die Belastungsart zu berücksichtigen, wo nur die Trägerstücke a und b von der Verkehrslast bedeckt sind und das Moment für den Stützpunkt C den grössten Werth erreicht, was dann eintritt, wenn die schwersten Räder sich am Gelenke B befinden. Nach Fig. 122 ist das Moment des Trägers a in Bezug auf den Stützpunkt A gleich Px. ux; für den Gelenkpunkt ist also der von der Belastung des Trägers a herrührende Auflagerdruck

^as Moment der Belastung des überkragenden Trägerstückes b ist in

Bezug auf den Stützpunkt C gleich P.u. In Bezug auf den Drehpunkt h, Fig. 122, ergiebt sich aus der Momentengleichung für die Zugspannung X der oberen Gurtung im Felde neben der Stütze C die Gleichung:

X.x =

Zur Ermittelung der Spannungen in den Verticalen und Diagonalen des überkragenden Trägerstückes b hat man den Gelenkpunkt B als Drehpunkt. Führt man

den Schnitt ss und ist y der Hebelarm der Kraft Y, dann ist nach den Bezeichnungen in Fig. 123, da es sich in der Momentengleichung nur um die Last Px zwischen B und dem Schnitte ss, sowie um die Last P im durchschnittenen Felde selbst handeln kann:

Y.y = Px (o — ux) +

Fig. 123.

'Y

DD

P.u

■ (60)

. . (62)

Hiernach heisst das Kriterium der ungünstigsten Zugstellung:

(63)

_p_ _    > o......

b a <C

Für das Aufkippen des Trägers bei D ist diese Belastungsart ebenfalls die gefähr-

*Ul kleiner sein, als der vom Eigengewicht der

, weil sonst ein Auf-

P.u

lichste und jedenfalls muss —-Brücke bei D erzeugte positive Auflagerdruck i c

b(a 4- 6))

kippen erfolgen würde.

Die Diagonalen des Trägerstückes c, dessen Gurtungen parallel sind, haben für ein durchschnittenes Feld die sich für dieses ergebende Yerticalkraft V aufzunehmen. Sind die Diagonalen unter dem Winkel w gegen die Gurtungen geneigt, dann ist

Y.sinw = V, oder Y =

sinw’

Wie S. 62 bemerkt wurde, wird Y zum Maximum,

wenn ein Zug mit den schwersten Rädern nach vorn, von der Stütze D her, bis an oder in das durchschnittene Feld vorrückt und ausserdem die Trägerstücke a und b so belastet sind, dass die schwersten Räder am Gelenkpunkte B stehen. Nach den Bezeichnungen in Fig. 124 erhält man dann für die Diagonale ee die Gleichung:

P\ • u\ \ | 1 f

a ) c L

max

Y. sinw — —

b (P.u

P<1 •

+ P₃ [u₃

V .c

(64)

Fig. 124.

<-

\-u—>

<-l->

'V

\A

-------cc-------

Ipf .v4

__ -e

JP> <

cY.

Das Kriterium der ungünstigsten Zugstellung wird daher für den Zug auf den Trägerstücken a und b:

Z _Ä>₀

b a <C

(65)

und für den Zug auf dem Trägerstücke c:

(66)

Das letztere stimmt mit Formel (39) überein, daher ist hier das Trägerstück c als Träger auf zwei Endstützen anzusehen. Zur Berechnung von minY muss auf dieses Trägerstück ein Zug mit den schwersten Rädern nach vorn von der Stütze C her bis zum durchschnittenen Felde vorrücken, wobei die Trägerstücke a und b von der mobilen Last frei zu lassen sind, so dass diese nur von G bis an das durchschnittene Feld reicht.

Bei dem continuirlichen Gelenkträger auf vier Stützen mit der Anordnung nach Fig. 125 ist das Stück d in Bezug auf die Gurtungen für die mobile Last als Träger

Fig. 125.

k-——■> ^

.n- -st

---------a---------

__________5

------a,

5*

auf zwei Endstützen anzusehen und sind hiernach die ungünstigsten Belastungsarten für die einzelnen Querschnitte nach Fig. 115 zu ermitteln. In den Endfeldern des Trägerstückes d wird die obere Gurtung auf Zug, die untere auf Druck beansprucht, wenn nur die beiden Ueberkragungen b und die Träger a belastet sind, in diesem Falle gilt beiderseits für die ungünstigste Zugstellung das in Formel (63) gegebene Kriterium. An jeder Seite wirkt das resultirende Kräftepaar P und P,, wonach das Trägerstück d dem constanten Biegungsmoment:

• • (67)

min

, (P.u

b H

unterworfen ist. Die Yerticalen und Diagonalen des Trägerstückes d haben, wenn die Gurtungen dieses Stückes parallel sind, für jeden beliebigen Schnitt nur wieder die resultirende Yerticalkraft V aufzunebmen. Die in Fig. 125 dargestellte mobile Belastungsart für maxV stimmt mit derjenigen überein, welche die Formeln (64) bis (66) für das Trägerstück c ergeben, setzt man statt c die Grösse d in diese Formeln ein, so gelten dieselben auch hier für ,mxV resp. maxY. Eine symmetrische Anordnung der Felder in beiden Hälften der Trägerstrecke d bedingt, dass der für irgend ein Feld gefundene Werth von maxV für das symmetrisch liegende Feld der anderen Trägerhälfte zugleich der negative Werth von minV ist.

Nachdem man die von der mobilen Last herrührenden Spannungen für alle Theile eines Gelenkträgers berechnet hat, kann man die vom Eigengewicht der Construction erzeugten Spannungen besonders ermitteln und hierauf beide mit Berücksichtigung der Vorzeichen addiren.

Für continuirliche Träger constanten Querschnitts hat Dr. Schäffer Belastungsgesetze entwickelt, welche die ungünstigste Stellung eines Locomotivenzuges scharf bestimmen (Brbkam's Zeitschr. für Bauw. 1876, S. 239).

§ 12. Bogenfachwerksträger (Blatt 4).

Bogenträger als Fachwerkssystem mit drei Gelenken, im Scheitel und an den Kämpfern, gestatten für jede gegebene Belastung eine scharfe Bestimmung der einzelnen Spannungen nach den einfachen Gleichgewichtsbedingungen. Häufig lässt man jedoch, aus constructiven Gründen, das Scheitelgelenk fehlen; dann ist der Horizontalschub des Bogenfachwerkes nicht durch die einfachen Gleichgewichtsbedingungen zu bestimmen, daher die Ermittelung der Spannungen auch nicht ohne Weiteres ausführbar.

a. Bogenfachwerksträger mit drei Gelenken. Einen einfacheren Bogenträger zeigt Fig. 126, wobei die Kämpfergelenke mit a, das Scheitelgelenk mit s bezeichnet

Fig. 126.

ist. Bei dem in Fig. 127 dargestellten _ Bogenträger ist die obere Gurtung ebenfalls horizontal angenommen; die Spannungen sollen vermittelst der Momenten -methode (vergl. S. 56) für die Belastung eines Locomotivenzuges nach Prof. Keck (Zeitschrift des Architekten-und Ingenieur-Vereins zu Hannover 1874,' S. 372) ermittelt werden.

Es bezeichne:

AB die Spannweite des Bogens =21, h die Pfeilhöhe und c die Scheitelhöhe desselben;

H den Horizontalschub und A die aufwärts gerichtete Verticalkraft am linken Widerlager;

X die Spannung in der oberen Gurtung und x den Hebelarm von X in Bezug auf den zu wählenden Drehpunkt;

Z die Spannung in der unteren Gurtung und z den Hebelarm von Z\

Y    die Spannung in den Diagonalen und y den Hebelarm dieser Kraft;

V    eine durch irgend eine Belastung erzeugte Verticalkraft im Bogenscheitel C, die an der linken Bogenhälfte abwärts, an der rechten also aufwärts wirkt.

Führt man den Schnitt ss, Fig. 127, so hat man zur Bestimmung von X den Drehpunkt m, der um t vom linken Auflager entfernt ist. Zieht man durch die Punkte Am und JB C Gerade, deren Verlängerungen sich im Punkte 0 schneiden, dann bildet 0 eine Belastungsgrenze, indem alle rechts von 0 befindlichen Lasten in der oberen Gurtung Zugspannung, alle links von 0 befindlichen Lasten in der oberen Gurtung Druckspannung erzeugen, während eine im Punkte 0 angreifende Last gar keinen Einfluss auf die Spannung X ausübt. Die grösste Zugspannung X entsteht also, wenn der Träger nur rechts vom Punkte 0 von der mobilen Last bedeckt ist; es bleibt aber

Fig. 127.

Xi

O.

---------U---------->j

o-fo- o-x QQO

w-

j-s......-w-.....>i

S

------X.----------

—i----------

0 = H.h+ V.l — P.u,

noch zu untersuchen, welche Stellung ein Locomotivenzug haben muss, damit X zum Maximum werde. In Fig. 127 ist ein Zug aus Locomotiven nach Fig. 88 bestehend zu Grunde gelegt; alle Lasten der Trägerhälfte rechts vom Scheitel sind zur Mittelkraft P zusammengezogen, diese steht um u vom rechtsseitigen Widerlager ab. Alle Lasten zwischen dem Bogenscheitel und dem Punkte 0 sind zur Mittelkraft Px zusammengesetzt, welche von 0 den Abstand ux hat, hierbei sei der Punkt 0 um w vom Bogenscheitel entfernt. Zunächst hat man für jede Bogenhälfte die Momentengleichung auf ihr Widerlager bezogen zu bilden, um daraus den Horizontalschub H und die Verticalkraft V für den Scheitel zu bestimmen. Für die rechtsseitige Trägerhälfte hat man die Gleichung:

für die linksseitige:

0 — — H. }i -j— V. I —J— Px (l — w —p ux).

Aus diesen Gleichungen wird:

11 =

P. u —p Px (l — W -p ux)

2h

P.U -p Px (1/ — W -p Ui)

. . (68)

21

Die aufwärts wirkende Verticalkraft am linken Widerlager ist:

(69)

A = V -\- Px......

In Bezug auf den Drehpunkt m erhält man nun für das linksseitig abgeschnittene Trägerstück in Fig. 127 die Gleichung:

X.x = H (h -p c — x) — A.t.

Setzt man hierin die Werthe von II, A und V ein, so wird: P.u fh + c — x

2 V

X.x —

h.

) ⁺ lH(Z

— x t \

⁺t>

— 2t .

Der Abstand des Punktes 0 von der Horizontalen AB ist:

ä + c — x

OR = (l + w)j = (l — w)

hiernach erhält man für die in obiger Formel vorkommenden Werthe:

Ji —{— c — x

ln

4 = 24

. . (70)

obige Gleichung erhält somit die einfache Form:

P.u

X.x =

t.w

(71)

Je grösser die Producte P.u und P₁.ul werden, um so grösser wird X, es müssen also die schwersten Räder auf beiden Bogenhälften sich in der Nähe des Scheitels C befinden. Man hat demnach einen Zug, mit den schwersten Rädern nach vorn, vom rechtsseitigen Auflager her nach dem Bogenscheitel hin zu schieben und einen anderen Zug ebenso von 0 nach dem Bogenscheitel hin; bleiben hierbei Tenderräder links von 0, so lässt man diese unberücksichtigt. Stellt man nun die Züge so, dass vorläufig kein Rad gerade über dem Scheitel C steht, dann ist P und Px genau bestimmt. Durch eine kleine Verschiebung der Züge nach links wächst u um du und ux um — du, es wird dann:

d(X.x) _ t.w

l — w

d.u

A)-

w )

Das Kriterium für die ungünstigste Zugstellung heisst daher:

• (72)

^-Ä>0

w <C

In Fig. 127 ist l — 20m und w = 5,75m; rechnet man das gerade über dem Scheitel gezeichnete Rad zu Px, so wird:

<0,

p _    _ m_ _ 39

> 0.

Dasjenige Rad, welches durch Verschiebung der Züge über den Scheitel hin in Formel (72) einen Zeichenwechsel veranlasst, muss gerade über dem Scheitel stehen, damit die durchschnittliche Belastung für die Längeneinheit des Trägers rechts und links vom Scheitel gleich gross werde, dann haben die Züge diejenige Stellung, welche die grösste Zugspannung X in der oberen Trägergurtung erzeugt. Diese Spannung lässt sich, soweit sie von der mobilen Last herrührt, durch Formel (71) leicht berechnen, wenn man die Producte P. u und T\ . ux mit Hülfe eines nach (Fig. 3, Blatt 3) und S. 59 construirten Seilpolygons ermittelt.

Die grösste Druckspannung in der oberen Gurtung ~Kmin entsteht, wenn das Träger-stiick links vom Schnittpunkte 0 nach Fig. 128 belastet ist. Hierbei muss man die Lasten P₂ rechts vom durchschnittenen Felde, mit dem Abstande w₂ von 0, Lasten P₃ links vom durchschnittenen Felde, mit dem Abstande u₃ vom linken Auflager A, und Lasten P₄ im durchschnittenen Felde, mit dem Abstande % vom Auflager A, oder dem Abstande t — w₄ von der Yerticalen über m, unterscheiden. Man hat nun die Momentengleichungen:

0 = H.h+ V.l,

0 = — H. Ji —{- ~V. 1 -j- P₂ (l — w — w₂) -f* P₃. u₃ -j- P4 (l — w — w₄).

Hieraus wird:

11 =

P₂ (l — w — w₂) -j- P₃. u₃ P₄ . w₄

P2 G - W - Uli) 4~ P3 • % ~t~ P4 • W4

21

A = P₂ -f- P₃ -f— P₄ —f— V.

In Bezug auf den Drehpunkt m erhält man nun die Gleichung:

— X. x = A. t — H Qi + c — x) — P₃ (t — u₃) — P₄ (t — w₄).

Fig. 128.

Sk

—ur~>i

&

7i

he

j*—-w—-■>{

-Ä

1.

7»

Durch Einsetzung der Werthe von F7, A und V in vorstehende Gleichung wird mit Berücksichtigung der geometrischen Beziehung in Formel (70):

— + (P₃. w₃ -J- P₄ . %) (l

— FC. x.....-P₂ • t^₂

Die Druckspannung — X wird hiernach möglichst gross, wenn u₂ und u₃ möglichst gross werden, wenn also die schwersten Räder in der Nähe des durchschnittenen Feldes concentrirt sind. Denkt man den Zug in Fig. 128 um du nach links verschoben, dann wächst u₂ um du, dagegen u₃ und w₄ um — du, somit wird:

w)'

Dieser Ausdruck ist grösser oder kleiner als Null, wenn:

-^3 + -£4 c\

<u .

(74)

l — w — t

Das erste Glied in diesem Ausdrucke ist die durchschnittliche Belastung rechts vom Drehpunkte m, das zweite Glied die durchschnittliche Belastung links von m; je nachdem die durchschnittliche Belastung rechts oder links von m die grössere ist, muss hier wieder eine Verschiebung des Zuges nach links oder rechts vorgenommen werden. Für Fig. 128 ist l — w — t = 9,2m und t = 5ra; wird das gerade über der Verti-calen m stehende Rad zu P₄ gerechnet, dann ist P₂ = 47, P₃ +P₄ = 39, wobei man die nach rechts über 0 hinausreichenden Tenderräder nicht berücksichtigt. Formel (74) ergiebt dann:

Ps+A ₌iL_ 39_<0

9,2    5 ^ ’

wird aber das über m stehende Rad nach rechts verschoben, so wird P₂ grösser, P₃ -j- P₄ dagegen kleiner, und man hat:

P3 + P4

52

26

“ 9,2    5 >0’

Das Rad, welches den Zeichenwechsel veranlasst, muss, wie in Fig. 128 gezeichnet, gerade über der Verticalen m stehen. Die von dieser Zugstellung erzeugte Druckspannung Xmin lässt sich leicht nach Formel (73) berechnen.

Zur Berechnung der Spannung Z in der unteren gebogenen Gurtung hat man für die Gleichung der statischen Momente den Drehpunkt n in Fig. 129. Man ziehe wieder die Geraden An und BC; die Verlängerungen derselben schneiden sich in 0, und dieser Punkt ist wieder eine Belastungsgrenze, so lange der Drehpunkt n links vom Schnittpunkte f, wo die Gerade B 0 die obere Gurtung schneidet, bleibt. Dann erzeugt jede Belastung rechts von 0 Druckspannung, jede Belastung links von 0 Zugspannung in der unteren Gurtung.

Wenn aber der Drehpunkt n rechts vom Punkte f liegt, wie dies bei den Feldern von f bis zum Scheitel der Fall ist, so wird bei vollständiger Trägerbelastung die Druckspannung in der unteren Gurtung am grössten.

Fig. 129.

rfrcro

—>T}

--------------u-------

o » QOO

<\ f

*r.........Tr

ZU -

—I.......

...........9*f-

In Fig. 129 liegt der Drehpunkt n links vom Punkte f und zur Bestimmung der Druckspannung Zmin sei die rechtsseitige Trägerhälfte im Abstande u vom Widerlager mit P belastet, während die linksseitige Trägerhälfte im Abstande ux vom Punkte 0 die Last Pl aufzunehmen hat, dann ergiebt sich genau wie bei Xmax die Gleichung:

Pt. Ui

— Z.z =

t .w

P.u

U)

. . (75)

so dass auch hier die schwersten Räder am Scheitel concentrirt sein müssen und Formel (72) für die Zugstellung gilt. Für Fig. 129 ist 1 = 20m und w— 13,4m; rechnet man das über dem Scheitel stehende Rad zu P, so wird:

<0.

Das den Zeichenwechsel veranlassende Rad muss also gerade über dem Scheitel stehen, wie in Fig. 129 gezeichnet ist. Die Druckspannung Zmi)l lässt sich leicht nach

Formel (75) berechnen. Die Berechnung der Zugspannung hat in der Hegel keinen Werth für die Construction, da die gebogene Gurtung für die aufzunehmende Druckspannung so stark gemacht werden muss, dass sie die auftretende Zugspannung Zmax sicher aufuehmen kann. Um Zmax hervorzubringen, muss ein Zug, vom Auflager A her, in Fig. 129 so weit vorgeschoben werden, dass die Locomotive mit dem Vorderrade gerade über n steht.

Liegt der Drehpunkt n für die Momentengleichung von Z rechts vom Schnittpunkte f, also für die Felder zwischen f und dem Scheitel C, so erzeugen alle Lasten auf dem Träger nur Druckspannung Zmin in der gebogenen Gurtung. Bezeichnet man die Resultirende aller Lasten der rechtsseitigen Trägerhälfte mit P und ihren Abstand vom Widerlager mit u, die Lasten zwischen dem Drehpunkte n und dem Bogenscheitel mit P₁, den Abstand derselben vom Punkte 0 mit %, die Mittelkraft der Lasten links vom Drehpunkte n mit P₂ und den Abstand derselben vom Widerlager mit %, so wird:

P. u -j- P\ (l — w — Ui) -(- P₂ • %

ferner wird:

P. u

+ -Pl (l -

l — w -f- ux

21

w₂

Fig. 130.

_______

l-ur

äfi

eee

o on "* hn ci

-    "X

ÖPr

n k

tp

l+ur-

Ihc

4-und in Bezug auf den Drehpunkt n erhält man die Momentengleichung:

— Z. z — H (h + c) — A. t + P₂ (t — m₂).

Setzt man in diese Gleichung die obigen Werthe von A und H ein und benutzt die geometrische Beziehung für den Punkt 0:

so wird:

h -f- c

(l p w)j = {l — w) h + c

t.w

21 ~ 1(1 —w)

und als Momentengleichung ergiebt sich:

2h

, und

2h

h -f- o

l — w    l — w’

— Z.z =

t.w

P.u

P\ • ui

) ■ (76)

In dieser Gleichung stimmen die ersten beiden Glieder der rechten Seite mit Gleichung (75) überein, und es haben die Lasten zwischen dem Drehpunkte n und dem Scheitel nur sehr geringen Einfluss auf Z, indem in dem dritten Gliede der Gleichung t — l -f- w

vorkommt, worin t — l -f- w den horizontalen Abstand

(76) noch der Factor

des Punktes 0 vom Drehpunkte n darstellt, der gegen t stets sehr klein ist. Man begeht daher nur einen unbedeutenden Fehler, wenn man Px in Fig. 130 ganz vernachlässigt und Z auch für die wenigen Mittelfelder nach Formel (75) und (72)

berechnet. Soll die Rechnung genau durchgeführt werden, so hat man für die ungünstigste Zugstellung das Kriterium:

Pi

P₂ t —

tt^)> 0 .

w / <C

. . (77)

Aus Gleichung (76) ist ersichtlich, dass die schwersten Räder wieder am Scheitel concentrirt sein müssen, wobei dasjenige Rad gerade über den Bogenscheitel zu stellen ist, welches in Formel (77) den Zeichenwechsel veranlasst.

Zur Berechnung der Spannung Y in den Diagonalen hat man, wenn durch ein Feld nach Fig. 131 der Verticalschnitt ss geführt wird, den Schnittpunkte der beiden mit durchschnittenen Stangen X und Z als Drehpunkt zu wählen. Zieht man nun wieder die Geraden Ae und PC, so schneiden sich deren Verlängerungen im Punkte 0 und die Gerade B 0 schneidet die obere Trägergurtung im Punkte f. Hier sind nun je nach der Lage des Drehpunktes e drei Fälle zu unterscheiden. Entweder liegt e links von f, dann liegt auch 0 noch links von f und 0 bildet wieder die Belastungsgrenze. In den von rechts nach links ansteigenden Diagonalen der linken Trägerhälfte erzeugt in diesem Falle jede rechts von 0 liegende Last eine Druckspannung, jede links von 0 liegende Last eine Zugspannung. Wenn aber der Drehpunkt e zwischen f und dem Bogenscheitel C liegt, dann liegt nach Fig. 132 auch 0 zwischen f und C, wobei ausser 0 auch noch der Schnitt ss eine Belastungsgrenze bildet, inde^a Lasten links vom Schnitt in gleichem Sinne Wirken, wie Lasten rechts von 0. Wenn endlich für die Diagonalen der Felder nahe am Scheitel der Drehpunkt e nach Fig. 133 rechts von /i liegt, so liegt auch 0 rechts vom Scheitel; dann ist auch 0 keine Belastungsgrenze mehr, sondern alle Lasten rechts vom Schnitte ss bewirken in der durchschnittenen Diagonalen Zugspannung, alle links von Schnitte liegenden Lasten aber erzeugen Druckspannung in derselben.

Liegt nun der Drehpunkt e, dem ersten Falle entsprechend, links von f und wird wie in Fig. 127 die Resultirende der Lasten auf der rechten Trägerhälfte mit P, ihr Abstand vom Widerlager B mit u, die Mittelkraft der Lasten zwischen 0 und dem Bogenscheitel G mit Pi, ihr Abstand von 0 mit ur bezeichnet, dann erhält man für die Druckspannung Ymin eine Gleichung, die mit der Formel Xmax völlig übereinstimmt, das Moment — Y.y ist in Bezug auf den Drehpunkt e:

t.w l — w

und das Kriterium für die Zugstellung ist wieder:

T    ■

l w <C

Fig. 181.

- T.y =

P.U

Pi^Ui\

w )

(78)

(79)

*"

....

—Urtr-—

h-C

!    5

.....*    L

-X-

bei derselben Lage des Drehpunktes e,

Zur Berechnung der Zugspannung Yr sei nach Fig. 131 die Momentensumme der Lasten zwischen dem durchschnittenen Felde und dem Punkte 0 in Bezug auf den letzteren mit P₂. u₂, die Momentensumme

nax 9

der Lasten links vom durchschnittenen Felde in Bezug auf das Widerlager A mit Pa.u₃ und die Momentensumme der Lasten im durchschnittenen Felde in Bezug auf A mit P₄. w₄ bezeichnet, so berechnet sich H und A genau wie bei Xmin. Ist noch a die Weite des durchschnittenen Feldes und r der Abstand des linksseitigen Knotenpunktes vom Widerlager A, dann liefert P₄ zu den Kräften des linksseitig abgeschnittenen Trägerstückes nur die Knotenpunktsbelastung:

u₄ — r\ a P

P₄

dann ist in Bezug auf den Drehpunkt e:

Y .y — A .t — H (h + c) — P₃ (t — u₃) — P₄ ^1 — Diese Gleichung nach dem Obigen ungeformt ergiebt:

Y-v = r*^w+r,-«,

U₄ —

Hiernach ist das Kriterium für die Zugstellung:

l — w — t

l — w

Wäre beispielsweise in Fig. 131:

—    I > 0 .

—    wl <C

• (81)

P₂ = 42; P₃ = 26; P₄=13;

13 l — w—t _ 2 t — r_ 11

— 15 ; l — w — 15’ ~~oT ~

so wird:

13    9

42.1^ —26.— 13

11    13

2,5    15

Durch Verschiebung des Zuges nach rechts wird bald:

P₂ = 55; P₃ -26; P₄ = 0;

— 26. -P > 0.

dann erhält man:

15

15

55.445

15

15

) <0.

Es muss hiernach das zunächst dem Punkte b stehende Rad für die ungünstigste Zugstellung gerade über b stehen.

Liegt, dem zweiten Falle entsprechend, der Drehpunkt e zwischen f und dem Bogenscheitel C und ist nach Fig. 132 die Momentensumme der Lasten auf der rechtsseitigen Trägerhäfte mit P.u, die Momentensumme der Lasten zwischen 0 und C mit Px. ux bezeichnet. Ist ferner von dem von links her auf den Träger geschobenen Zug P₃. u₃ die Momentensumme der Räder links vom Schnitte s s und P₄. w₄ die Momentensumme der Räder im durchschnittenen Felde, dann erhält man für Ymin die Gleichung:

— Y.y

Die ungünstigste Stellung des rechtsseitigen Zuges, mit den schwersten Rädern über dem Scheitel, richtet sich nach dem Kriterium:

___5> q

l w <C

während für den linksseitigen Zug das Kriterium;

t.w_ / w V

(“4 -OG — 0

■j~u₄

p-s) (82)

- — P3 wJ ³

t - l W Q

w <C

. . (84)

massgebend ist. Hiernach muss der vom Auflager A vorrückende Zug bis an das durchschnittene Feld gelangen, so dass P₄ = 0 wird und das Vorderrad über dem

Fig. 132.

TJ

\t Ug Pt

Q 000

p+-

~~.....u ■

Qoo OO

•\f    T

il

_____............*

--------J --------------------ft

tl+f

z-

Knotenpunkte vor dem Schnitte ss steht, wie in Fig. 132 gezeichnet ist. Da nun der Factor

t l -j-j^ jes dritten Gliedes in Formel (82) eine kleine Zahl darstellt, w    v

so macht man nur einen unerheblichen Fehler, wenn man P₃ und P₄ ganz vernachlässigt und — Y nach Formel (78) bestimmt.

Für denselben Fall erhält man für Y direct aus Formel (80):

maxi

wenn man die Lasten P₃ weglässt,

Y.y = P*

t .U

(u₄ — r)(t — r)

ü) • ⁽⁸⁶>

dann gilt für die Zugstellung das Kriterium:

t — r

P₂.,--P₄

² l — w ⁴

Ist z. B. in Fig. 132 für die bezeichnete Diagonale:

J—)>0    .

I — w/ <Z

. . (86)

6,5

l — w 6,5 ’

und schiebt man einen Zug vom Widerlager B her soweit auf die Brücke, dass die Vorderaxen im durchschnittenen Felde stehen, dann haben zwischen g und 0 noch zwei Locomotiv- und zwei Tenderräder Platz, und es wird P₂ = 42, P₄ = 13,

A-

t — r

wonach der Zug soweit nach rechts gerückt werden muss, bis die Vorderaxe gerade über dem Knotenpunkte g steht, dann wird P₄ = 0 und Formel (85) wird sehr einfach:

t.u₂

(87)

Y.y = P₂

Dem dritten Falle entsprechend, liege der Drehpunkt e rechts von fx, dann sind nur die Lasten P₃ und P₄ zu berücksichtigen und für die Druckspannung Ymin erhält man die Gleichung:

— Y-y—P».«»-

l-\-w

l-\-w

) (88)

Für die ungünstigste Stellung des vom linken Widerlager A her vorrückenden Zuges ist das Kriterium:

l -f- w

)-

p₃i-U-w>₀

l -f— w <C

. . (89)

31 t — l — w _ 8,6

In Fig. 133 sei:

t — r

-6,3;

l -f- w 22 ’ l -f- w    22'

Wird das Vorderrad ins durchschnittene Feld geschobon und stehen hinter diesem noch 5 Locomotiv- und 2 Tenderräder, dann hat man nach Formel (89):

13 (6,3

31

22

■co

-Sl.-gg-X),

Fig. 133.

U..........">1""—

----------

.............I.....

demnach muss das Vorderrad aus dem durchschnittenen Felde zurückgezogen und P₄ = 0 werden, dann wird aus Formel (88):

— Y.tj = P₃.u₃

l-\-w

(90)

wenn P die Lasten der rechts-

Endlich erhält man für die Zugspannung Y seitigen Trägerhälfte, Px die Lasten zwischen dem Scheitel und dem Schnitt mit dem Hebelarm ux in Bezug auf 0 und P₄ die ins durchschnittene Feld vorgerückten Lasten bezeichnet, die Gleichung:

max 9

Y.y =

t.w

P. u

P\ • u\

l -\-w

) + P. (r +

(u₄ — r)(t — r)

I -j— w

) (91)

wonach man die schwersten Räder an der Schnittstelle zu concentriren hat und für die ungünstigste Zugstellung das Kriterium erhält: t.w

_(P_ _i_PL )_p (ipzr

l + w\ l ' w)    ⁴\ a

- -*-) > 0

1 + wJ <    '

.    . (92)

Für die Verhältnisse in Fig. 133 darf kein Rad ins durchschnittene Feld vorgeschoben werden, P₄ ist also gleich Null und Formel (91) wird dann wieder einfach:

W /

P. u

Y.y =

. . (93)

t.w

l -j- w

Die Spannung in den Verticalen braucht nicht besonders berechnet zu werden, denn ist eine Diagonale unter dem Winkel a gegen die obere Gurtung geneigt, so wird die Spannung in der Verticalen V= Y.sina, wobei Fund Y entgegengesetzte Vorzeichen erhalten.

Vorstehend sind nur die Spannungen in der linksseitigen Bogenhälfte betrachtet, denn wegen Symmetrie der beiden Bogenhälften sind die Spannungen in beiden Theilen gleich gross. {Die graphische Ermittelung der Grenzspannungen für den Bogen mit 3 Gelenken, von Prof. Dr. Schaffer, findet man in Erlkam s Zeitschrift für Bauwesen 1875, S. 381.)

Die Momentensummen P.u u. s. w. bestimmt man mit Hülfe eines nach (Fig. 3, Blatt 3) construirten Seilpolygons nach S. 59. Selbstverständlich sind noch die vom Eigengewicht der Brücke herrührenden Spannungen besonders zu berechnen und zu den von der mobilen Last erzeugten Spannungen zu addiren.

b. Bogenfachwerksträger ohne Scheitelgelenk. Wird bei Bogenfachwerksträgern das Scheitelgelenk weggelassen, so kann der Horizontalschub H des Trägers nicht mehr aus den einfachen Gleichgewichtsbedingungen allein bestimmt werden. Herr Baurath Mohr hat zu diesem Zwecke zuerst das Princip der virtuellen Geschwindigkeit benutzt (^Zeitschrift des Architekten- und Ingenieur- Vereins zu Hannover 1874, S. 223 und 1875, 8. 17). Um zunächst den Horizontalschub II des Bogenträgers zu bestimmen, sei nach Fig. 134 die Spannweite des Trägers gleich 1 gesetzt und es

wirke im Abstande a vom linken Auflager die Last P, dann ist der Horizontalschub:

H = z .P .... (94)

g=x.P wenn z eine variable Zahl bezeichnet, die von den ¹    Dimensionen des Trägers und von der durch die

Abscisse a bestimmten Lage der Last P abhängt. Setzt man voraus, dass Form und Dimensionen des Trägers in Bezug auf eine durch den Bogenscheitel gelegte Yerticalaxe symmetrisch seien, was in Wirklichkeit immer der Fall ist, und denkt den gewichtslosen Träger nach Fig. 135 durch zwei symmetrisch stehende Einzellasten von je gleich 1 Tonne belastet, dann ist jeder verticale Auflagerdruck = 1 Tonne und der Horizontalschub H = 2 . z. Für diesen Belastungsfall kann man mit Benutzung der unbekannten Zahl z die Spannungen der Constructions-theile bestimmen, aus diesen die elastische Formänderung des Trägers und schliesslich unter der Bedingung, dass jene Formänderung eine Aenderung der Spannweite s nicht veranlassen kann, die unbekannte Zahl z ermitteln. Die Spannungen brauchen nur für eine Trägerhälfte bestimmt zu werden, da sie in je zwei symmetrisch gelegenen Constructionstheilen gleiche Grösse haben.

Für die Spannung S eines Constructionstheils zwischen dem Auflager A, Fig. 136, und dem Schnitte ee, den man durch den belasteten Knotenpunkt e und dem gegenüberliegenden Theil D E der unteren Gurtung führen kann, erhält man den Ausdruck:

Fig. 134.

JZ=z.P

M».

tP

Fig. 135.

frag,--"*-*

>ri

■qj

S^=(±2,z.

Tonnen

(95)

Fig. 136.

Fig. 137.

Fig. 138.

jr

+.....a.....

\\

\E

<TA

(kVA,

fr

■f

r 2-^

g.x₎ •

sowie für jeden Constructionstheil zwischen dem Schnitte ee und der Trägermitte den Ausdruck:

Tonnen

(96)

wenn h, c und d die in Fig. 137 und 138 bezeichneten Hebelarme der Kräfte S und a den Abstand der Last vom Auflager bezeichnet; denn wählt man z. B. den Drehpunkt n, Fig. 137, so wirkt S an dem Hebelarm h und in Bezug auf den Drehpunkt n erhält man nach S. 56 die Momentengleichung:

r.

0 = — S.b — 2z .c -f- l.d, oder S.b = — 2 z .c -\~ d

und hieraus:

Ci

2z

Der erstere Trägertheil liegt zwischen den Abscissen:

x = 0 und x = a, der andere zwischen x = a und x — ¹I%.

Die Gleichungen (95) und (96) ergeben für den Gurtungstheil D E, Fig. 136, dieselbe Spannung, man kann den Constructionstheil DE demnach beliebig zu dem einen oder dem anderen Trägertheil zählen. Im Folgenden sind nun die von der Lage der Last unabhängigen Werthe:

mit w bezeichnet.

y mit u, ± y mit v und +

Hiernach ist für jeden Constructionstheil zwischen x — 0 und x — a nach Formel (95)

S — (2 z. u -f- v) Tonnen und für jeden Constructionstheil zwischen x = a und x — l/.2t nach Formel (96):

S = (2 z. u + a.w) Tonnen

(97)

(98)

Anstatt die Zahlenwerthe von u, v und w durch Abgreifen der in Fig. 137 und 138 bezeichneten Hebelarme und die Vorzeichen aus den Drehrichtungen der Momente {veryl. S. 56) zu bestimmen, kann man sie bequemer in folgender Weise auf graphischem Wege ermitteln. Offenbar ist die Zahl u nach Fig. 139 die Spannung eines Constructionstheils in Tonnen; wenn als Aussenkraft auf den Träger links vom Constructionstheil allein ein Horizontalschub = 1 Tonne einwirkt, denn wählt man in Fig. 138 den Punkt n als Drehpunkt,

so erhält man in diesem Falle die Momentengleichung:

Fig. 139.

Fig. 140.

Fig. 141.

X.

0 = — S.b — 1.c, oder S =

= — u.

Das Vorzeichen ist positiv oder negativ, je nachdem es Zug- oder Druckspannung bezeichnet {veryl. S. 56). Um nun die Kräfte u möglichst genau zeichnen zu können, ist ein ähnliches Hülfsmittel wie das S. 36 erwähnte angewendet, es ist nämlich der in Fig. 139 angegebene Horizontalschub = 1 Tonne nach Fig. 140 in eine in der oberen Gurtung angreifende ebenso grosse und gleichgerichtete Horizontalkraft und in ein Kräftepaar zerlegt, deren Einzelkräfte Px durch die Schnittpunkte von u₂ mit ux und % gehen, also um die Fachlänge von einander abstehen. Bei der in (Fig. 1, Blatt 4) dargestellten geometrischen Form eines Bogenfachwerksträgers von 28m Spannweite ist die Fachlänge constant = 2m und der Abstand der oberen Gurtung vom Auflager = 4ra, somit erhält I\ den constanten Werth:

Px =    . 1 Tonne = 2 Tonnen.    -»

u

Trägt man nun die Kraft Px im Kräfteplan Fig. 141 als verticale Linie auf, zieht durch deren unteren Endpunkt eine Parallele zur oberen Gurtung ux und eine Parallele

zur unteren Gurtung u₃, dann durch den oberen Endpunkt eine Parallele zur Diagonalen %, so sind die Kräfte ux bis u₃ hierdurch bestimmt. Die Pfeilrichtung der Kräfte in dem Kräftedreieck Fig. 141 ist durch den Horizontalschub = 1 Tonne gegeben.

In (Fig. 2, Blatt 4) sind die Werthe von u für den Träger (Fig. 1) graphisch dargestellt. Hierbei ist die Maasseinheit = 40mm angenommen; Pt ist demnach gleich 2 Tonnen X 40

mm

= 80

mm

und der Horizontalschub = 1 Tonne ist also gleich der Maasseinheit = 40mm. Die Werthe von u in Tonnen, nach der Maasseinheit von 40 gemessen, sind einfach durch die Nummer des betreffenden Constructionstheils bezeichnet, nur die Längen für die obere Gurtung, welche sich theilweise decken, sind an dem gemeinschaftlichen Anfangspunkte durch den Buchstaben A und am Endpunkte durch die Nummer des Constructionstheiles markirt.

Die Zahl v ist in Tonnen die Spannung eines Constructionstheiles, wenn nach Fig. 142 als Aussenkraft allein ein verticaler Auflagerdruck = 1 Tonne auf den Träger einwirkt. Nach Fig. 143 ist dieser Auflagerdruck in die beiden Verticalkräfte P2 und P₃ zerlegt, die sich wegen Gleichheit der Fachlängen sehr leicht bestimmen lassen. Trägt man im Kräfteplan Fig. 144 den Auflagerdruck = 1 Tonne und die Kraft P₃ zusammen als ver-ticale Linie auf, zieht durch den , unteren Endpunkt des Auflagerdruckes eine Parallele zur oberen Gurtung vx, durch den oberen Endpunkt eine Parallele zur unteren Gurtung v₃ und durch den oberen Endpunkt der Kraft P₃ eine Parallele zur Diagonalen v₂,\so sind die Werthe von vx bis v₃ im Kräfteplan Fig. 144 bestimmt und deren Pfeilrichtung giebt der aufwärts wirkende Auflagerdruck 1. Setzt man die Pfeilrichtung der Kräfte an die durchschnittene Construction Fig. 143,. so findet man, dass vx eine — Kraft oder Druckspannung, v₂ und v₃ aber -j- Kräfte oder Zugspannung bezeichnen. ‘LFür den in (Fig. 1, Blatt 4) gegebenen Träger sind die Werthe von v in (Fig. 3) graphisch dargestellt, wobei die Maasseinheit oder 1 Tonne — 10mra angenommen ist.

Endlich ist w die Spannung eines Constructionstheiles, wenn nach Fig. 145 als Aussenkraft allein ein Kräftepaar — 1 Tonne X Spannweite auf den Träger einwirkt. Dieses Kräftepaar kann man in die Kräfte P₄ verwandeln, wie in Fig. 146 und dar-

Fig. 142.

Fig. 143.

Fig. 144.

Ar

*t 4.,

Fig. 145.

Fig. 146.

Fig. 147.

st

-Las

nach den Kräfteplan Fig. 147 construiren. Für den Träger (Fig. 1, Blatt 4) sind die Werthe von w in (Fig. 4) graphisch dargestellt. Da die Spannweite hier aus vierzehn gleichen Fachlängen besteht, so hat P₄ den constanten Werth von 14 Tonnen, dies mit der Maasseinheit von 5ram multiplicirt, ergiebt P₄ = 5.14 = 70mm.

Wird ein Stab auf jeden II]cm seines Querschnittes mit der Spannung S gleich-mässig gespannt, so dehnt er sich seiner ursprünglichen Länge l proportional aus. Bezeichnet man diese durch die Spannung S bewirkte Ausdehnung mit u und beachtet,

dass der Elasticitätsmodul E eine Kraft bezeichnet, welche einen Stab von 1 □cm Querschnitt auf das Doppelte seiner Länge auszudehnen vermag, so verhält sich:

S:E =

ml, oder es ist ~    oder n = 1

I Hz    Jb

Wird nun ein Querschnitt F durch eine Kraft P beansprucht, so ist die auf jeden

p

□cm kommende Spannung S = -p, und dann hat man nach dem vorhergehenden Verhältnisse :

P , n , oder -r=r

P    Tb

~^:E = n:l,    und    hieraus -y    =    ^ T-,

H    l    H . Jh

Bezeichnet man mit r, so ist;

(99)

F.E

Der Elasticitätsmodul E des Schmiedeeisens ist im Mittel gleich 2000 Tonnen pro CH⁰™ Querschnitt.

Die Producte aus den in Gleichung (97) und (98) ermittelten Spannungen und den zugehörigen Werthen von r aus Gleichung (99) ergeben nach Obigem die elastischen Längenänderungen A l der einzelnen Constructionstheile eines Bogenfachwerksträgers. Für jeden Constructionstheil zwischen x — 0 und x = a ist somit nach Formel (97):

A l = (2r .8.u -f- r .v) Centimeter .    .

sowie für. jeden Constructionstheil zwischen x = a und x = ¹/₂ nach Formel (98):

A l = (2r.0.u-\-r.a.w) Centimeter ....    (101)

. . (100)

Durch die Vorzeichen von u, v und w ist auch das Vorzeichen von A l bestimmt.

Denkt man, der Träger sei so aufgestellt, dass die Auflager wie in Fig. 148 in horizontaler Richtung frei sich verschieben können, und dass die Längenänderungen der einzelnen Constructionstheile nicht gleichzeitig, sondern nacheinander eintreten, dann hat jede Längenänderung AZ eines Constructionstheils eine bestimmte, von der geometrischen Form des Trägers abhängige Veränderung As der Spannweite s zur Folge. Da aber die Spannweite in Wirklichkeit ihre Grösse nicht verändert, so muss die Summe der von allen Constructionstheilen herrührenden Werthe von As gleich Null sein. Dies ist auch für eine Trägerhälfte der Fall, weil die hier betrachtete Formänderung des Trägers in Bezug auf die Trägermitte symmetrisch ist; man hat demnach :

As =0

(102)

x = 0

Es wurde bei dieser Betrachtung angenommen, dass, während ein bestimmter Constructionstheil no, Fig. 148, seine Länge Z um AZ und hiernach die Spannweite s um As sich ändert, alle übrigen Constructionstheile vollkommen starr bleiben und um

Fig. 148.

-8----

die Knotenpunkte in Gelenken sich ungehindert drehen. Diese Bewegung lässt sich auch, wie in Fig. 148 angedeutet, durch den Ho- jl rizontalschub H erzeugen, der nach dem Vorstehenden in der Stange no die Spannung u.H hervorbringt. Indem nun die Kraft H den Weg As durchläuft und somit die mechanische Arbeit —FT.As ver-

Klasen, Graphische Statik.

richtet, wird die widerstehende Spannung u.H der Stange no auf dem Wege A l überwunden und dadurch die mechanische Arbeit u.H. Al absorhirt. Diese Arbeiten müssen nach dem Princip der virtuellen Geschwindigkeit gleich gross sein, daher ist:

— H. As = u.H. Al,

oder:

(103)

Setzt man die Werthe von A l aus Formel (100) und (101) in Gleichung (103) ein und substituirt den sich ergebenden Werth von As in Formel (102), so erhält man:

’/-2

0 = 2z 2 r .u¹ 4-2 r .v .u 4- a 2 r ,w .u,

o    o    ¹    a

oder hieraus:

. . (104)

2 y .v .u¹ -f- a 2 r ,w . u

o    a

V2

2 2 r.u¹

Im Obigen ist — H.As eine positive Grösse; weil die Verkürzung As der Spannweite das negative Vorzeichen hat. Die Grösse u. H. A ? ist immer positiv, indem A l eine Verlängerung oder Verkürzung bezeichnet, je nachdem u. H eine Zug- oder eine Druckspannung ist, somit haben die Grössen A l und u.H dasselbe Vorzeichen, das Product aus beiden wird also positiv.

In Formel (99) muss zur Bestimmung von r bereits der Querschnitt F der Con-structionstheile bekannt sein, man kann daher z nach Formel (104) erst dann bestimmen, wenn F bereits annähernd ermittelt ist. Man kann daher vorläufig die Spannungen in den Constructionstheilen des Trägers unter Annahme eines Scheitelgelenkes ermitteln, hiernach die Querschnitte F wählen und darauf diese nach Anleitung der folgenden Resultate genauer bestimmen. Ergeben sich hierbei so beträchtliche Abänderungen, dass sie die Zuverlässigkeit der Rechnungsresultate in Frage stellen, so muss das Verfahren unter Zugrundelegung der berichtigten Querschnittsdimensionen wiederholt werden.

Formel (104) giebt die Werthe von z für Formel (94), und zwar für die Belastungen der Knotenpunkte, durch welche die Fahrbahn unterstützt wird. Befindet sich nach Fig. 149 eine Last P zwischen zwei Knotenpunkten auf dem Fahrbahnträger, dann

f—x

Fig. 149.

mp®*- ■ in

erhält der Knotenpunkt m die Last P.

Setzt

X

und der Knotenpunkt n die Last P.y.

man die Fachlänge f = 1, so erhalten die Stützpunkte m resp. n die Drücke:

P.{ 1—x) und P.x.

Diese erzeugen einen Horizontalschub von zy (1 — x) P resp. z^.x.P, wenn zx und z₂ die Werthe von z für die Knotenpunkte m und n bezeichnen. Hiernach erzeugt die Last P den Horizontalschub:

Z.P = Zy (1 — X) P + #2 •x • Py

Fig. 150.

woraus sich ergiebt:

Nach dieser Gleichung ist in dem Seilpolygon Fig. 150 die Linie CD, deren Ordinate die Grösse z graphisch darstellt, zwischen zwei Knotenpunkten eine Gerade.

Will man einen aus einer Anzahl Radlasten bestehenden Last- oder Locomotiven-zug in Betracht ziehen, so kann man eine solche graphische Darstellung an wenden, begnügt man sich aber mit der einfacheren Berechnungsweise, wobei man annimmt, wie dies S. 37 besprochen wurde, dass auf jeden Knotenpunkt, der die mobile Last aufzunehmen hat, entweder allein das auf den Knotenpunkt entfallende Eigengewicht der Construction, oder die Summe des Eigengewichts und der grössten mobilen Belastung einwirkt, dann nimmt die Bestimmung der ungünstigsten Lagen der mobilen Last eine sehr einfache Form an und man kann die Drucklinien der Einzellasten in

Fig. 150 mit Hülfe der berechneten Werthe von z auftragen.

• Nachdem die beiden ungünstigsten Lagen der mobilen Last, die für einen bestimmten Constructionstheil die Grenzspannungen in demselben erzeugen, ermittelt sind, kann man die Spannungen am einfachsten vermittelst Momentengleichungen bestimmen, indem die Werthe von u, v und w bereits bekannt sind.

Zur Bestimmung des Drehpunktes, auf den die Momentengleichung bezogen wird, zerlegt man nach S. 57 und Fig. 151 den Träger durch einen Schnitt ee, der ausser dem Constructionstheil, für den eben die Spannung S ermittelt werden soll, nur noch zwei andere trifft, deren Durchschnittspunkt für diesen Fall als Drehpunkt dient. Je nachdem Einzellasten links oder rechts vom Schnitte e e liegen, ist ihre Wirkung verschieden in Bezug auf einen bestimmten Constructionstheil.

Eine Last P, die in Fig. 151 rechts vom Schnitte ee in der Entfernung x vom linken Auflager liegt, erzeugt, wenn die Spannweite s als Längeneinheit angesehen wird, einen Horizontalschub = z. P und am linken Auflager einen verticalen Druck — P (1 — x). In der durchschnittenen Diagonalen Fig. 151 erzeugt die obige Last P somit eine Spannung:

Fig. 151.

S == u.z.P v (1 — x) P

(106)

Wenn nun noch eine Einzellast P nach Fig. 152 links vom Schnitte e e liegt, dann kommt zu den beiden obigen Aussenkräften noch die Last P. Durch Hinzufügung von noch zwei Kräften -f- P und — P in der Auflagerverticalen wird das betrachtete Gleichgewichtssystem nicht geändert. Mit der Belastung P bildet nun die Kraft -1- P das Kräftepaar P. x, dieses erzeugt A in der durchschnittenen Diagonalen die Spannung:    +_P

x.w.P.

Die beiden noch übrigen verticalen Auflager drücke -j- P (1 — x) und — P setzen sich zu — x. P zusammen und -Pr veranlassen in der durchschnittenen Diagonalen die Spannung:

— x. v. P.

Der Horizontalschub z. P bewirkt endlich die Spannung:

u.z.P.

Fig. 152.

<—......X

%.jP.

___

Hiernach erzeugt jede Belastung P links vom Schnitte e e in der durchschnittenen Diagonalen die Spannung:

(107)

S = u.z.P + (w — v) x.P Werden jetzt die Wirkungen aller Einzellasten rechts und links vom Schnitte e e

6*

nach den Formeln (106) und (107) gebildet und darauf summirt, so erhält man die gesuchte Maximalspannung des Constructionstheiles, es ist:

Smax — U 2 Z . P 4- V 2* (1— x) P + (w— v) 2 X . P .    . (108)

In dieser Formel bezieht sich die Summe von z.P auf alle Lasten, das Zeichen 2' auf die Lasten rechts und das Zeichen 2l auf die Lasten links vom Querschnitt e e. Die Grössen u, v und w sind aus den nach (Fig. 2 bis 4, Blatt 4) construirten Kräfteplänen zu entnehmen, während die in Formel (108) bezeichneten Summen sich mit Hülfe eines nach (Fig. 3, Blatt 3) construirten Seilpolygons (vergl. S. 59), oder auch meistens sehr einfach durch Rechnung ermitteln lassen.

Jetzt sind noch die gefährlichsten Einwirkungen der Wärme auf die Spannungen der Constructionstheile zu bestimmen und zu den nach Formel (108) berechneten, von den Belastungen erzeugten Spannungen zu addiren. Man denke den gewichtslosen und unbelasteten Träger, der in diesem Zustande nur horizontale Auflagerdrücke aufnehmen kann, so aufgestellt, dass seine Spannweite sich ungehindert verändern kann. Nun habe der Träger bei der Temperatur von t₀ Grad Celsius.die Spannweites, dann wird sich durch Erhöhung der Temperatur auf tx Grad die Spannweite um As ver-grössern, und es ist, wenn d = 1/81200 = 0,0000123 den Ausdehnungscoefficienten des Schmiedeeisens, d. i. das Stück, um welches die Längeneinheit bei jedem Grade der Temperaturerhöhung zunimmt, bezeichnet:

A s = s . d. (4 — tf).

Nach der obigen Rechnung bewirkt der Horizontalschuh = 1 Tönne eine Verkürzung der ganzen Spannweite um:

‘/ä

2 2₀ r .u¹ Centimeter.

Damit nun die durch die Wärme bewirkte Vergrösserung der Spannweite nicht eintreten kann, muss auf den Träger Fig. 148 ein Horizontalschub einwirken von:

s.d. (tx —1₀)

2 2?r.u*

Tonnen .    .

. . (109)

Dieser erzeugt in jedem Constructionstheile eine Spannung S = H.u, oder:

u.s.d.(tt — £₀)

1(2

2 2₀ r.u¹

Tonnen

(HO)

Meistens wird man die Bogenträger ohne Scheitelgelenk so montiren, dass die Wärme bei mittlerer Temperatur keine Spannung in dessen Constructionstheilen erzeugt, dass also das positive und negative Maximum von tx — t₀ dieselbe Grösse t erhält; dann wird:

. (111)

u.s.d.t

§13. Fach werksträger mit zweifachem Fachwerk (Blatt 4).

Ein Träger auf zwei Stützen, der von einem festen und einem auf horizontaler Bahn beweglichem Auflager unterstützt wird, muss, wie S. 38 erwähnt wurde, 2 m — 3 nothwendige, von einander unabhängige Constructionstheile erhalten, hierbei muss die Anzahl der Verticalen um eine grösser sein, als die Anzahl der Diagonalen, denn nur in diesem Falle ist die Unverschieblichkeit des mit gelenkförmigen Knotenpunkten versehenen Fachwerkes gesichert und nur dann kann der Träger auf statischem Wege berechnet werden. Im Falle ein Fachwerks träger aus {2 m — 3) + 1 =2m — 2 Haupt-constructionstheilen besteht, ist eine Berechnung des Trägers nur mit Hülfe der Elasti-citätslehre möglich; für solche Fälle hat Baurath Mohr ein einfaches Verfahren der Berechnung angegeben {Zeitschrift des Architekten- und Jngenieur- Vereins zu Hannover 1874, S. 509 und 1875, & 17).

Xxx

XMx\

Fig. 154.

Fig. 155.

Der Fach werksträger Fig. 153 hat 26 Knotenpunkte, er müsste daher nach Obigem 2m — 3 = 2.26 — 3 = 49 Hauptconstructionstheile haben, wenn er auf statischem Wege berechnet werden soll. Der Träger hat aber 50 Constructionstheile, also einen zu viel, es sind nämlich 13 Verticalen und Fig- ¹⁵³-13 Diagonalen angebracht, demnach ist eine Diagonale überzählig und daher der Träger statisch unbestimmbar. Zerlegt man aber dieses zweifache Fachwerk in die beiden einfachen Systeme Fig. 154 und 155, so hat der Träger Fig. 154 sechszehn Knotenpunkte und er muss 2.16 — 3 = 29 nothwendige Constructionstheile haben, die auch vorhanden sind; ebenso ist die Anzahl der Diagonalen um eine geringer als die der Verticalen. Der andere Träger Fig. 155 hat 14 Knotenpunkte, daher muss er 2.14 — 3 = 25 Constructionstheile haben, die auch angebracht sind, auch hat er 7 Verticalen und nur 6 Diagonalen. Wird der Träger Fig. 153 somit in seine beiden einfachen Systeme zerlegt, so ist derselbe mit genügender Genauigkeit in leichter Weise auf statischem Wege zu berechnen; beide Fachwerke werden dann aufeinander gelegt und die Spannungszahlen der sich deckenden Constructionstheile summirt. Selbstverständlich werden die in der Trägermitte erforderlichen Gegendiagonalen, die in Fig. 153 bis 155 punk-tirt angedeutet sind, bei der obigen Anzahl der Constructionstheile nicht mitgezählt, da diese keine unabhängige Hauptconstructionstheile sind, indem sie nur verhindern, dass die Hauptdiagonalen bei einseitiger Trägerbelastung Druckspannung erhalten.

Zu bemerken ist hier noch, dass hei zweifachem Fach werk die beiden zweifelde-rigen Diagonalen, welche die mittelste Verticale kreuzen, gleichzeitig in Spannung sind, dass also die eine nicht als Gegendiagonale der anderen aufgefasst werden darf {vergl. den Artikel vom Director Launhardt in der Deutschen Bauzeitung 1876, Nr. 13).

Nach dem Trägersystem Fig. 153 wurde die Zeglin-Brücke bei Stettin ausgeführt {Deutsche Bauzeitung 1875, S. 357). Diese hat 8 kleinere Fluthöffnungen und eine Stromöffnung von 92,n Spannweite, deren Ueberbrückung in (Fig. 5, Blatt 4) dargestellt ist. Beachtenswerth bei dieser Brücke ist das aussergewöhnlich grosse Höhenverhältniss der Träger und das dadurch erzielte ausserordentlich geringe Eigengewicht der Brücke. Die zweigleisige Brücke wird nämlich von zwei Hauptträgern getragen, welche in der Mitte eine Höhe von 15m haben, so dass sich bei 92m Stützweite das Verhältnisse

Höhe zur Länge = 1:6,13 ergiebt. Das Gesammtgewicht des Ueberbaues der grossen Oeffnung beträgt an Schmiedeeisen für ein Gleis pro Meter Länge (vergl. S. 46 und 64).

g = 211 -|- 450 Kilogramm.

mm

Beim Ausrüsten senkten sich die Träger in der Mitte um 10mm, wobei man wohl annehmen kann, dass die Auf lager und die zwischenliegenden Bleiplatten sich um 3 zusammenpressten, so dass noch eine Durchbiegung von 7mm durch das Eigengewicht der Brücke veranlasst wurde.

Bei der Probebelastung wurde zuerst jedes Gleis mit einer schweren Güterzug-Locomotive belastet, wobei die Durchbiegung 13mra betrug; dann wurden auf jedes Gleis zwei Locomotiven aufgefahren, bei deren Stellung in der Brückenmitte sich eine Durchbiegung von 25,5mm ergab, nach Entfernung der Maschinen zeigte sich eine bleibende Durchbiegung von 0,9mm. Darauf wurden 3 der schwersten Locomotiven auf jedem Gleis in die Mitte der Brücke gefahren, wobei sich eine momentane Durchbiegung von 38,5mm zeigte, welches Resultat auch dasselbe blieb, als die Maschinen mit möglichst grosser Geschwindigkeit über die Brücke fuhren; die bleibende Durchbiegung betrug hierbei 2,5mm. Endlich wurde die ganze Brücke voll belastet, derartig, dass auf jedem Gleis 3 Maschinen und 6 mit Schienen voll beladene Wagen standen, wobei die Maschinen in die Mitte des Zuges rangirt waren. Jedes Gleis erhielt hierdurch eine Belastung von 264 Tonnen, was pro Meter Gleis ca. 2,9 Tonnen ergiebt. Diese Belastung verursachte eine momentane Durchbiegung von 41mm und eine bleibende Durchbiegung von 0,8mm. Die grösste Durchbiegung betrug somit V2244 4er Spannweite und die bleibende Durchbiegung nach sämmtlichen Versuchen 0,9 + 2,5 + 0,8 = 4,2mra.

Der in (Fig. 6, Blatt 4) dargestellte Träger nach Schwedler’s System mit zweifachem Fachwerk ist von Prof. Häseler für die Elbbrücke bei Dömitz angewendet {Zeitschrift des Architekten- und Ingenieur-Vereins zu Hannover 1876, S. 240). Das Tragsystem des Ueberbaues der zweigleisigen Bahn besteht aus zwei Hauptträgern in 8,29m Abstand zwischen den Gurtungsmitten. An der äusseren Seite des stromaufwärts gelegenen Trägers befindet sich ein auf Consolen ausgekragter l,25m breiter, mit 5cm starken Bohlen belegter Fussweg. Die obere Gurtung ist in der Trägermitte nicht horizontal, sondern des besseren Aussehens wegen verläuft sie in einer stetigen Curve. In der Mitte haben die Träger eine Höhe von 10,043m, so dass sich bei 67,79m Stützweite das Verhältniss: Höhe zur Länge = 1:6,75 ergiebt. Als flachste Neigung der Diagonalen wurde der Winkel von 35° festgesetzt, wodurch die beiden Felder vor den Endfeldern eine geringere Weite erhalten haben als die übrigen Felder; auch ist die untere Spannungsgrenze der Diagonalen nicht gleich Null, sondern sie beträgt mindestens 0,06 Tonnen.

Der Träger hat 38 Knotenpunkte, er müsste also, wenn er ein in sich unverschiebbares Stabsystem bildete, 2.38 — 3 = 73 von einander unabhängige Hauptcon-structionstheile haben; es sind aber nur 72 vorhanden, nämlich ausser den Gurtungs-theilen noch 18 Verticalen und nur 16 Diagonalen, demnach fehlt eine Diagonale, mithin ist das System ein labiles und die Functionen des fehlenden Constructionstheiles müssen in nicht empfehlenswerther Weise von der Steifigkeit der Knotenpunktsverbindungen übernommen werden. Bei einer ähnlichen Construction wird man zweckmässig die erwähnte fehlende Diagonale hinzufügen, indem man nur auf der einen Trägerhälfte noch die einfeldrige Diagonale nn einzieht; hierdurch wird das System ein stabiles, weil 2m — 3 von einander unabhängige Hauptconstructionstheile vorhanden sind, und die Berechnung des Trägers lässt sich, ohne Zerlegung in zwei Einzelsysteine, nach der Momentenmethode genau ausführen.

Für die Berechnung des Trägers wurde angenommen, dass beide Gleise mit einem Zuge, aus den schwersten Güterzugsmaschinen dieser Bahn bestehend, vollständig bedeckt seien. Hierdurch ergab sich bei gleichmässiger Yertheilung der mobilen Last pro Knotenpunkt 15,9 Tonnen, wofür, auch bei den engern Feldern, q = 16,25T angenommen wurden. Das Eigengewicht des Ueberbaues ergab pro Knotenpunkt p = 8,75T, so dass sich als grösste Belastung eines Knotenpunktes p -f- q = 8,75 -+ 16,25 = 25T ergab. Bei Bestimmung der Querschnitte ist eine Spannung von 730 Kilogr. pro D⁰"¹ zu Grunde gelegt. Das gesammte Eigengewicht des Ueberbaues dieser Brücke beträgt für ein Gleis pro Meter Länge, wenn der obere und untere Windstrebenverband mit zur Constanten der Fahrbahn gerechnet wird:

g — 19,51 + 596 Kilogramm.

Wurde der Windstrebenverband zu dem ersten Gliede gerechnet, so ergab sich: g = 21,31 -f- 465 Kilogramm.

Demnach sind die Träger dieser Brücke fast ebenso leicht wie die S. 86 erwähnten.

In (Fig. 7, Blatt 4) ist ein Träger mit zweifachem Fachwerk dargestellt, bei dem die obere Gurtung bis zur Trägermitte nach der Grenzform der einfachen Zugdiagonalen gekrümmt wurde. Der Träger ist vom Bauführer Quietmeyer nach Prof. Laun-hardt’s Angaben projectirt (Zeitschrift des Architekten- und Ingenieur-Vereins zu Hannover 1877, S. 233) und bietet den Yortheil, dass die Gegendiagonalen in der Trägermitte vermieden werden. Die Form des Trägers ist freilich nicht sehr gefällig, man wird daher nicht immer entschlossen sein, sie dem Auge darzubieten. Da der Träger 32 Knotenpunkte hat, so müssen, wenn das System stabil sein soll, 2.32 — 3 = 61 Constructionstheile vorhanden sein, welche Anzahl auch angebracht ist, und zwar hat der Träger ausser den Gurtungstheilen 15 Verticalen und 14 Diagonalen; demnach kann die Berechnung desselben, ohne Zerlegung in zwei Einzelsysteme, nach der Momentenmethode durchgeführt werden.

Das geringste Gewicht des Trägers ergab sich bei einer Höhe der mittleren Verticalen von 10,n, doch wurde der grösseren Seitensteifigkeit wegen diese Höhe zu 9m = l/s der Stützweite angenommen, weil die Gewichtszunahme bei dieser Verringerung der Höhe nur unbedeutend war. Zur Bestimmung der Maximalspannungen in den Füllungs-theilen ist ein Locomotivenzug mit der in Fig. 88 gegebenen Lastvertheilung angenommen, wobei an der Spitze des Zuges eine Locomotive ohne Tender steht. Die Axlasten wurden auf die Knotenpunkte reducirt und zu ganzen Zahlen abgerundet, so dass eine möglichst grosse concentrirte Last an die Spitze gestellt und der folgende Knotenpunkt möglichst entlastet wurde (vergl. den Art. von Prof. Sch äff er in der Deutschen Bauzeitung 1877, S. 177). Diese Last ist dann aber auch stets nur bis an den Kopf resp. um eine Feldlänge über den Fuss der Diagonalen vorgeschoben; auf den etwas ungünstigeren Fall des Vorrückens über diesen Punkt hinaus ist keine Rücksicht genommen. Für die Gurtungsspannung wurde eine volle Belastung der Brücke durch zwei nach der Trägermitte zu gegeneinander gestellte Locomotivenzüge angenommen, dann aber wieder abgesehen von der Aufsuchung der ungünstigsten Zugstellung für jedes einzelne Feld.

von

Die Querschnitte der Gurtungen wurden unter Zugrundelegung einer Spannung 900k, diejenigen der Füllungstheile von 700k und diejenigen der Fahrbahnträger von 600 Kilogr. pro Gcm bestimmt. Das Eigengewicht dieser Construction für ein

Gleis pro Meter Länge berechnete sich, wenn der Windstrebenverband zur Fahrbahn gerechnet wurde, zu:

g = 22,41 -j- 543 Kilogramm,

wenn aber der Windstrebenverband zu den Hauptträgern gerechnet wurde, so ergab sich:

g = 24,51 -f- 390 Kilogramm.

Bei Feststellung der Krümmung der oberen Trägergurtung nimmt man zweckmässig die vom Eigengewichte des Ueberbaues herrührende Knotenpunktsbelastung p geringer an, als sie in Wirklichkeit ist, denn indem das Eigengewicht in allen Diagonalen eine Zugspannung erzeugen soll, hat man weitere Sicherheit, dass in keiner Diagonalen Druckspannung eintreten kann, wenn das Eigengewicht in Wirklichkeit grösser wird, als es bei Bestimmung der Grenzform angenommen wurde. Um nun die Neigung der oberen Gurtung im zweiten Felde zu finden, führt man nach Fig. 156 einen Schnitt durch das zweite Feld und sucht den Durchschnittspunkt 0 der unteren und oberen Gurtung auf. Dieser Punkt 0 steht um b vom Auflager ab, und in Bezug auf diesen Punkt muss die Summe der Momente der Knotenpunktsbelastung, des Auflagerdruckes und der Spannungen in den durchschnittenen Füllungstheilen gleich Null sein, dann erhalten die Füllungstheile keine Spannung;, die bis zum ersten Knotenpunkte vorgeschobene mobile Last q erzeugt also in der ersten Diagonalen eine Minimalspannung gleich Null. Das Moment der Gurtungsspannungen in Bezug auf den Durchschnittspunkt 0 muss ebenfalls gleich Null sein, wenn sich das Trägerstück im Gleichgewichte befinden soll, d. h. der Punkt 0 muss der Schnittpunkt der durchschnittenen Gurtungstheile sein.

In derselben Weise findet man nach Fig. 157 auch die Durchschnittspunkte Ox, 0₂ . . . der Gurtungstheile für die folgenden Felder, doch tritt in jedem folgenden Falle eine unbekannte Diagonalspannung auf, wie in Fig. 157 die Diagonalspannung Yx bei Ermittelung des Schnittpunktes Ox. Zur Bestimmung derselben muss man stets wieder auf das zweite Feld zurückgehen, Yx für den betreffenden Belastungsfall berechnen, dann einen Schnitt durch das dritte Feld führen und mit Hülfe der gefundenen Spannung Y die Spannung Y₂ aufsuchen. Für den Schnitt durch das vierte Feld sind demnach Yx, F₂, Yz, für den Schnitt durch das fünfte Feld Yx, Y₂, Y₃, Y₄ zu ermitteln, weil sich die mobile Last vom Auflager her vorschiebt, die Last p q, die in Fig. 156 den ersten Knotenpunkt belastet, in Fig. 157 nach dem zweiten Knotenpunkt gerückt ist, während p -f- qx bis zum ersten Knotenpunkte nachrückte u. s. w., also für jeden neuen Abstand b ein neuer Belastungsfall eintritt.

Sollen die für b gefundenen Werthe zur Vereinfachung der Rechnung abgerundet

werden, so muss dies nach der Richtung hin ge-1^* schehen, durch welche eine Zugspannung als Minimalspannung in den Diagonalen begünstigt wird. In Fig. 157 ist Ox der Angriffspunkt der Mittelkraft aus der Diagonalspannung Yx, den ^ beiden Knotenpunktsbelastungen und dem Auf-lagerdrucke Dx; statt dieser Kräfte kann man die in Ox angreifende Resultirende R in Rechnung bringen. Will man nun bt, der Abrundung wegen, ändern, so muss man bx vergrössern, indem man Ox nach links, nach dem Punkte s

Fig. 156.

Fig. 157.

/\

IH-

,    U4

kt----------+

verschiebt; denn greift die Mittelkraft R im Punkte s an, so erzeugt sie ein nach links drehendes Moment, und das Gleichgewicht im abgeschnittenen Trägerstücke ist nur dadurch möglich, dass Y₂ eine Zugspannung wird. Vom sechsten Felde an liegt 0 für die linke Trägerhälfte rechts vom Auflager, und hier sind die Punkte 0, wenn die Werthe von b abgerundet werden sollen, ebenfalls nach links zu verschieben.

Zur Berechnung der Werthe von b benutzt man am einfachsten die Feldlänge als Einheit, so dass b in Feldlängen ausgedrückt wird. Sind nun D, D,, Z)₂, D₃ . . . der Reihe nach die Auf lagerdrücke, wenn die mobile Last bis zum 1., 2., 3., 4. . . . Knotenpunkt vorgerückt ist, dann wird:

15p . 15 n 2~+ W¹’ J>‘

15jp ,14    ,15

~2—^ iir & ■jg' 3i 5

2>.

5p , 13    , 14    ,15    ^    15 p ,12    ,13    ,14

2_ + 16^⁺ I6gi+I6^; I)3_'2_ + T6^ ⁺ I6gi+T6^ ⁺

q₃ u. s. w.

Für b in Fig. 156 hat man nun:

0 = D.b-(p + q)(b + l).

Setzt man in diese Gleichung die Zahlenwerthe von D und p -f- g ein, so lässt sich b in Feldlängen ausgedrückt leicht ermitteln. Für bx in Fig. 157 ist zunächst:

Yx. c = Dl. b — O + &) (b + 1);

ferner ist:

% +3 * 6 + 3 ’

nun ist in Bezug auf den Drehpunkt Ol Bedingung, dass:

Y₁.d= Yx.c

\ +3 •6 + 3

Aus diesen drei Gleichungen lässt sich nach Einsetzung der betreffenden Zahlen-werthe 6, leicht bestimmen. Hat man in dieser Weise fortfahrend die sämmtlichen Werthe von b unter der Bedingung, dass keine diagonale Druckspannung erhält, ermittelt, so ist dadurch die Krümmung der oberen Trägergurtung bestimmt, sobald man für die Länge irgend einer Diagonalen ein bestimmtes Maass annimmt:

Für die Berechnung der Spannungen in den Diagonalen wird der Locomotivenzug um eine Feldlänge über den Fusspunkt der zu berechnenden Diagonalen vorgeschoben, so dass also im vorliegenden Falle zur Berechnung der ersten Diagonalen 14 Felder der Brücke vom Zuge belastet anzunehmen sind; hiernach hat man zunächst die Auflagerdrücke D bei den Zugstellungen zur Berechnung der verschiedenen Diagonalen zu ermitteln.

0 — Di ,bx — (p + qt) (bi + 1) — (p + q) (bi +2) — Yx. c

wird.

Die Schnittpunkte 0 der Gurtungen benutzt man bei Aufstellung der Momentengleichungen zur Berechnung der Diagonalspannungen als Drehpunkte. Hierbei kann man die Hebelarme der Diagonalen in Bezug auf die Drehpunkte 0 entbehren, wenn man nach Fig. 158 die durchschnittenen Diagonalen bis zum Schnitt mit der unteren Gurtung verlängert und hier die Diagonalspannung in eine horizontale und eine verticale Seiten-    ,,,

kraft zerlegt, wovon die horizontale Seitenkraft durch ___i_____+

den Drehpunkt geht, also nur die verticale Compo-    *

Fig. 158.

i\

nente Yv zu berechnen übrig bleibt. Aus dieser und

der bekannten Neigung der Diagonalen bestimmt sich dann leicht die resultirende Diagonalspannung. Bei Berechnung der verticalen Componenten YVl (für die letzte

Diagonale sind 14 Felder vom rechtsseitigen Auflager her mit der mobilen Last bedeckt, während der übrige Knotenpunkt nur die permanente Last p erhält) hat man daher:

D.b-p(b-h 1)

6 + 3

Zur Berechnung der verticalen Componente Yn von der Diagonalen Y₂ hat man den in Fig. 158 dargestellten Belastungsfall, wobei zwei Knotenpunkte nur die permanente Last erhalten; hier ist erst:

YV1 =

_ D, .b — p (6 + 1)

ferner ist:

Yn =

Di .bt — p (bx + 1) — p (&! +2) — Yh (bi + 3)

Der Zahlenwerth von YVl muss aus der ersteren Gleichung berechnet, in die zweite eingesetzt und dann Yn bestimmt werden.

Für YVa erhalten drei Knotenpunkte nur die permanente Last, man hat also für diesen Belastungsfall :

YV1 =

D₂.b —p (b + 1)

D₂.bt — p (bi + 1) — p (bi + 2) — Y^ (bi + 3)

(&i + 4)

Di • b₃ — P (6g + 1) — p (b₂ + 2) — p (b₂ + 3) — YV2 (b₂ + 4)

&-z + 5

Der Zahlenwerth, den die erstere Gleichung ergiebt, ist wieder in die zweite Gleichung einzusetzen, der sich ergebende Zahlenwerth von YH ist in die dritte Gleichung zu substituiren und daraus YVa zu berechnen. In derselben Weise werden auch die Verticalcomponenten der übrigen Diagonalen ermittelt. Aus den Vertical-componenten ergiebt sich nun leicht die Spannung der Diagonalen; es ist z. B. nach Fig. 158:

V m n² = no²

Yi = Yvi

Die Verticalen haben sowohl Zug- wie auch Druckspannung aufzunehmen, doch braucht die Zugspannung nicht beachtet zu werden, da die Verticalen für die aufzunehmende Druckspannung so grosse Querschnitte erhalten müssen, dass sie die auftretenden Zugspannungen sicher aufnehmen können. Die beiden letzten Verticalen an jedem Trägerende sind nur Zugstangen, welche die Knotenpunktsbelastungen auf die obere Gurtung übertragen. Man kann hier annehmen, dass ²/₃ vom Eigengewichte der Construction im unteren Knotenpunkte der Verticalen, ¹/₃ aber im oberen Knotenpunkte derselben angreift. Dann wird die Zugspannung der Verticalen F, und V2 am grössten, wenn das mittlere Rad einer Locomotive gerade über dem Knotenpunkte der Verticalen steht; diese setzt sich zusammen aus ²/₃p, aus dem Gewichte des mittleren Rades und aus dem Antheil, den der Knotenpunkt der Verticalen von den beiden andern Rädern erhält.

Zur Berechnung der Maximaldruckspannung in der Verticalen V₃ hat man den Locomotivenzug nach Fig. 159 vom rechtsseitigen Auflager her so weit vorzuschieben,

bis das Vorderrad noch um eine Feldlänge von der Verticalen absteht; diese Zugstellung diente auch zur Ermittelung der Verticalcomponente YVl bei Y-nach Fig. 160:

es ist somit

YVl = V₃ + ²/₃p; hieraus wird: V₃ = YVl — ²/₃p.

Fig. 159.

Fig. 160.

Fig. 161.

Wf

Ebenso kann man auch V₄ bis V₇ berechnen; für die mittlere Verticale aber kommt eine andere Zugstellung in Frage, da diese Verticale die abwärts gerichteten Drücke der oberen Gurtung in den beiden Mittelfeldern auf die in ihrem Fusspunkte angreifenden vier Diagonalen zu übertragen hat. Hier ist also die Belastungsart anzunehmen, welche in der oberen Gurtung die Maximaldruckspannung erzeugt. Bezeichnet man diese mit X und zerlegt dieselbe in eine horizontale Componente Xh und in eine verticale Componente Xv, dann setzt sich die Druckspannung V in der mittleren Verticalen nach Fig. 161 aus 2. Xv und aus der vom Eigengewicht herrührenden Belastung des oberen Knotenpunktes ²/₃p zusammen, es ist demnach:

Vti = 2 Xv -f- *I₃P'

Die Horizontalcomponente Xv lässt sich aus der Momentengleichung, die man für den Fusspunkt der mittleren Verticalen aufstellt, leicht berechnen, und es verhält sich nach Fig. 161:

Xv

Xv:Xh = a: l; oder es ist

hieraus wird:

y _ -rr

Für die Maximalspannungen in den Gurtungen ist in dem vorliegenden Falle die Brücke mit zwei Locomotivzügen belastet, die von beiden Auflagern her bis zur Mitte der Brücke vorgeschoben sind, dann ist aber auf die ungünstigste Zugstellung für jedes einzelne Feld keine Rücksicht genommen. Der Schnitt in Fig. 162 trifft nur drei

Stangen; zur Berechnung von Z₂ hat man den Knotenpunkt n als Drehpunkt und es ist:

Fig. 162.

t;

Fig. 163.

\r>

Ferner wird in Bezug auf den Drehpunkt Ot:

(F₄ + %P + Q's) (Pi + 4) = D. bt — (F₃ -f- ²l3P + <Z<s) (&i +3) — (p ~H Qr) (&i + 2)

— {P + Sa) (Pi + !)•

Fig. 164.

Durch Einsetzung der Zahlenwerthe in die erstere Gleichung lässt sich V₃ leicht bestimmen, wird dieser Werth dann mit den übrigen Zahlenwerthen in die zweite Gleichung eingesetzt, so kann auch F₄ leicht berechnet werden. In gleicher Weise bestimmt man auch die Spannungen in den übrigen Yerticalen. Hiernach berechnen sich die Werthe von Z in folgender Weise; man hat z. B. für Zb in Fig. 164 den Dehpunkt n und in Bezug auf diesen ist: Zb . h₃ = D. 31 -f (F₄ + a/₃jp H- ff*) l — O + ffr) l — (jP + ffs) 2Z,

V'

woraus nach Einsetzung der betreffenden Zahlenwerthe sich Zb -4 leicht ergiebt. Ebenso kann man auch die übrigen Spannungen ⁵ Z ermitteln.

Die horizontale Componente von Xx ist nun gleich Z₃, die von X₂ gleich X₄ u. s. w., aus den Zahlenwerthen von Z kann man demnach die von X direct berechnen; es ist z. B. nach Fig. 164:

x _ Z₃/l* + h*

Die Werthe von X₇ und X₈ müssen noch besonders berechnet werden, wobei der Fusspunkt der mittleren Yerticalen als Drehpunkt für die Momentengleichungen dient.

Fünfter Abschnitt.

Gewölbe und Futtermauern.

§ 14. Die Schlnsssteinstärke der Gewölbe.

Bei hinreichender Höhe wird der Halbkreis meistens allen anderen Gewölblinien vorgezogen; ist man aber in der Höhe beschränkt, so wendet man Segment- oder Stichbögen an, die aus einem Mittelpunkte beschrieben werden; seltener kommen die

Fig. 165.

aus mehreren Mittelpunkten beschriebenen Korbbögen zur An-1L Wendung, weil ihre Ausführung nicht so einfach ist wie die T der Stichbögen. Nennt man nach Fig. 165:

Q das Gewicht einer Gewölbehälfte pro Meter Tiefe,

r\d

^ W die Spannweite, h die Pfeilhöhe des Gewölbes,

d die Schlusssteinstärke, dl die Stärke des Bogens an einer beliebigen anderen Stelle, die mit der Verticalen durch den Bogenscheitel den Winkel a einschliesst, k den Festigkeitscoefficient des Materials (für gutes Ziegelmauerwerk in Kalkmörtel 7 bis 9, in Cementmörtel 14 Kilogr., für guten Baugrund 2 bis 5 Kilogr. pro □cm) und für unbelastete Gewölbe aus Quadermauerwerk.

Bei den neueren französischen Brücken und Viaducten hat man folgende Formel angewendet:

(118)

C eine Constante, die für stark belastete Gewölbe zu 0,2m, für mittelstark belastete Gewölbe, welche z. B. den Fussboden eines Stockwerkes tragen, zu 0,lra, und für gering belastete Gewölbe, in Kirchen etc., zu 0,05m anzunehmen ist, so kann man sich der Formeln von Schwarz bedienen.

höhe haben:

Hiernach ist für halbkreisförmige Gewölbe und solche, die mehr als */₃ W Pfeil

70001

(112)

für Gewölbe, die weniger als l/₃ W zur Pfeilhöhe haben:

Q.W

21000 Je. h

(113)

vom Scheitel aus wird das Gewölbe nach den Kämpfern zu allmälig verstärkt, und zwar ist:

, d

di —

cos a

(114)

Für Strassenbrücken bestimmte man die Scheitelstärke früher häufig nach der von Perronet aufgestellten empirischen Regel, wonach:

d = 0,035 W + 0,3m ist

(115)

Nach einer empirischen Regel von Rondelet ist zu nehmen für kreisförmige Gewölbe aus Ziegeln:

d = 0,02 PF bis 0,03 W für starkbelastote Brückengewölbe aus Quadern:

d= 0,04 TF + 0,3m ) d = 0,01 W + 0,lm /

(116)

(117)

d — 0,035 (W — 10ra) + 0,4m . . .

worin TF die zwischen 10 und 50m variirende Spannweite bedeutet.

Diese Regeln können keinen genauen Anhalt bieten, da die Tragfähigkeit eines Gewölbes von der Festigkeit des angewendeten Materials, von der Form und der Belastung des Gewölbes abhängig ist. Hinreichend genau kann man die Stabilität eines Gewölbes nur durch Verzeichnung der Stützlinie beurtheilen.

§15. Die Stützlinie im Gewölbe (Blatt 4—6).

Die Stützlinie in einem Gewölbe ist das Seilpolygon zu den in den einzelnen Bogentheilen wirkenden äusseren Kräften, wobei aber die Seiten des Seilpolygons gedrückt werden. Offenbar findet nun die günstigste Druckvertheilung in dem Gewölbe statt, wenn, wie in Fig. 166 angedeutet, die Stützlinie die Mittellinie des Bogens bildet, wenn also das Gewölbe nach der Stützlinie ausgeführt wird, weil dann der

Druck auf die ganze Fläche der Lagerfugen gleichmässig vertheilt ist. Fig. 166 zeigt die Hälfte des Querschnittes eines Brückengewölbes, worin die Kräfte H und a, in der Stützlinie wirkend, das Gewölbe im stabilen Gleichgewichte halten. Hier ist aH

Fig. 1C6.

iÄHSSiSls

die Stützlinie, die sich mit Berücksichtigung des Erddruckes hinter dem Widerlager ergiebt, während bH die Stützlinie ohne diesen Erddruck bezeichnet.

' //

■J

5 MP U

Fig. 167.

Bevor die Construction der Stützlinie besprochen wird, mag Fig. 167 näher betrachtet werden. Hierin sei ab cd ein beliebiges Stück des Gewölbebogens, auf welches die äusseren Kräfte D und G einwirken. Die Kraft G ist das Gewicht des Bogenstückes ab cd und der Belastung bfgc desselben, in dem Schwerpunkte des Körpers angreifend gedacht. D aber ersetzt den Druck, den der fehlende Gewölbetheil auf die | Fläche a b des Bogens ausübte. Damit nun das Bogenstück ab cd auf der Lagerfuge c d unter Einwirkung der Kräfte D und G im stabilen Gleichgewichte bleibt, muss die Mittelkraft H aus den Kräften D und G die Stützfläche innerhalb deren Begrenzungskanten schneiden, weil sonst eine Drehung des Bogenstückes um die Kanten c oder d Vorkommen könnte; ferner muss, um ein Gleiten des Bogenstückes auf der Stützfläche cd zu verhindern, der Winkel w, den die Mittelkraft Ii mit der auf der Stützfläche c d errichteten Normalen no bildet, kleiner sein als der Reibungswinkel der Ge-wölbsteine, der nach Rondelet im Mittel = 30 Grad angenommen werden kann; auch darf die Stützfläche pro Flächeneinheit nur der Festigkeit des Wölbmaterials entsprechend gedrückt werden. Diese Bedingungen müssen natürlich für alle Lagerfugen des Gewölbes erfüllt sein, wenn das ganze Gewölbe in allen seinen Theilen im stabilen Gleichgewichte bleiben soll. Um nun die Stützlinie in ein Gewölbe einzuzeichnen, verbindet man die Punkte o, Fig. 167, in welchen die nacheinander folgenden Lagerfugen von den entsprechenden Mittelkräften der äusseren Kräfte geschnitten werden, durch zusammenhängende gerade Linien. Dieser Linienzug ist die Stützlinie des Gewölbes oder das Seilpolygon der auf das Gewölbe einwirkenden äusseren Kräfte.

Der hohe Stabilitätsgrad, wo die Stützlinie die Mittellinie des Bogens bildet, wird in der Praxis nicht immer verlangt, sondern man begnügt sich meistens mit der Anforderung, dass in keiner Lagerfuge oder überhaupt an keiner Stelle des Gewölbes Zugspannung auftreten kann. Ist nun die Linie a b, Fig. 168, die Höhe des Gewölbebogens an irgend einer Stelle, so kann an der äusseren oder inneren Wölblinie für

Fig. 169.

Fig. 168.

'fl

a,

I«.

den zulässigen Grenzfall der Druck gleich Null sein, wie dies bei b, Fig. 168, dargestellt ist; dann muss die Pressung nach a hin stetig zunehmen und der hieraus resultirende Druck ist durch den Flächeninhalt des Dreieckes ab c bestimmt. Die Mittelkraft dieses Druckes kann man im Schwerpunkte s des Dreieckes angreifend denken, der um J/3 von a entfernt ist. Es kann also keine Zugspannung im Gewölbe auftreten, wenn die Stützlinie noch um lj₃ der Gewölbedicke von der inneren oder äusseren Wölblinie entfernt ist. Man kann daher sagen: ein Gewölbe ist stabil, wenn die Stützlinie innerhalb des mittleren Drittels des Gewölbequerschnittes bleibt.

Für den Grenzfall, wo an der einen Wölblinie der Druck gleich Null wird, ist nach Fig. 168 die Maximalpressung gleich der Linie ac; ginge die Stützlinie durch die Mitte der Gewölbedicke, so wäre der Druck über die Lagerfläche gleichmässig vertheilt, anstatt des Dreiecks Fig. 168 würde dann der resultirende Druck durch ein Rechteck dargestellt, welches halb so hoch ist wie die Linie ac, somit wird der Maximaldruck für den Grenzfall doppelt so gross, als wenn die Stützlinie durch die Mitte der Gewölbedicke geht. Bleibt aber die Stützlinie innerhalb des mittleren Drittels der Gewölbedicke, ohne dass der obige Grenzfall eintritt, so vertheilt sich der Druck nach Massgabe der Höhen eines Trapezes ab cd, Fig. 169, dessen Schwerpunkt von a resp. b um m und n entfernt ist, je nach der Lage der Stützlinie. Hiernach ist es leicht, den Druck in der am meisten beanspruchten Kante des Gewölbequerschnittes zu ermitteln und zu untersuchen, ob nicht die zulässige Druckspannung des Wölbmaterials überschritten wird.

Fig. 170.

Wie die Ansicht des Gewölbes Fig. 170 zeigt, haben die beiden Bogenhälften ab de und ab hi in Bezug auf die Kämpferfugen cd und ih gleiche, jedoch entgegengesetzte Drehmomente, und in dem gemeinschaftlichen Scheitel a b üben die beiden Bogenhälften h einen gegenseitigen Druck aufeinander aus, den I man den Horizontalschub nennt und meistens mit I H bezeichnet. Soll nun das Gewölbe den höchsten I Grad der Stabilität besitzen, so muss die Stützlinie | durch den Halbirungspunkt der Scheitellinie a b K gehen, in diesem Punkte muss dann auch II Kjä■jflgl

Wenn man aber nur untersuchen will, ob das Gewölbe den Stabilitätsgrad hat, der dem oben erwähnten Grenzfalle entspricht, so ist nur Bedingung, dass der Angriffspunkt der Kraft H im mittleren Drittel der Bogenhöhe a b bleibt. Bezeichnet G das Gewicht des halben Bogens incl. der Belastung desselben und R die Resultirende aus G und H, so muss R die Kämpferfuge cd, Fig. 170, innerhalb des mittleren Drittels derselben schneiden und man hat für den Gleichgewichtszustand in Bezug auf den Drehpunkt o die Momentengleichung:

H.y — G.x, und hieraus H —

G .x

. . (119)

Damit die Construction der Stützlinie möglichst vereinfacht wird, denkt man die Belastung des Gewölbes auf das einheitliche Gewicht des Bogenmaterials reducirt. Dann lässt sich die Höhe dieser so reducirten Belastung an jeder Stelle des Gewölbes auftragen und diese Höhe nennt man die Belastungshöhe. Die Linie, welche die Belastungshöhen oberhalb begrenzt, heisst die Belastungslinie. Wenn z. B. das Gewicht der Yolumeinheit (1 Kubikmeter) des Bogenmaterials mit g, der Volumeinheit der Aufschüttung mit gx und die Höhe dieser Aufschüttung über irgend einem Punkte der oberen Wölblinie mit h bezeichnet wird, dann ist die von der Aufschüttung herrührende , auf das Bogenmaterial reducirte Belastungshöhe x bestimmt durch die Gleichung:

g.x — gx.h,

und hieraus x —

. . (120)

Bei Brückengewölben kommt hierzu noch die mobile Belastung q der Brückenbahn, die ebenfalls auf das Bogenmaterial zu beziehen ist, und man kann als mobile

Last für Strassenbrücken im Mittel q = 400, für Eisenbahnbrücken q— 1400 Kilogr. pro Brückenbahn annehmen. Die für die mobile Last aufzutragende Belastungshöhe z bestimmt sich durch die Gleichung:

g.z =

q, und hieraus z = — 9

• • (121)

Die Höhen x und z sind also für Brückengewölbe zu addiren und als Vertical-linien über der oberen Wölblinie aufzutragen.

In Fig. 171 sind diese auf das Bogenmaterial reducirten Belastungsböhen aufgetragen und ist cmpq die Belastungslinie, die aus dem Grunde eine gebrochene Linie bildet, weil die mobile Last dieses Brückengewölbes, der grösseren Sicherheit wegen, von dem ganzen Widerlager weggelassen ist, während der Bogen von c bis m mit der mobilen Last bedeckt angenommen wurde. Hierbei ist die Tiefe des Gewölbes gleich 1 Meter zu nehmen, dann repräsentiren offenbar die Flächen acde, edfg... der Verticalstreifen, in welche der Bogen durch punktirte Linien zerlegt ist, die Gewichte dieser Verticalstreifen; der Bogen ist nur in 5, das Widerlager in 3 solche gleich breite Streifen eingetheilt, damit die kleine Zeichnung noch hinreichend deutlich wurde.

Zur raschen Bestimmung der Flächeninhalte und Schwerpunkte der Verticalstreifen nimmt man deren Breite möglichst gering an, damit man ohne erheblichen

Fig. 172.

Fig. 171.

Fehler den Schwerpunkt der Trapeze in der Mittellinie der Streifen annehmen und den Flächeninhalt derselben dadurch bestimmen kann, dass man die Breite der Streifen mit der Höhe ihrer Mittellinie multiplicirt. Nun kann man den Horizontalschub annähernd nach

Formel (119) oder genauer nach der Formel:

H = r.Z . (122) bestimmen, wenn r den Krümmungshalbmesser im Scheitel des Bogens und Z die Belastungshöhe ac des Bogenscheitels bezeichnet.

Vk

i '

Die Construction der Stützlinie kann nun in einfachster Weise durchgeführt werden; man trägt nämlich die verticalen Kräfte P nach einem entsprechenden Maassstabe auf die verticale Linie AB der Reihe nach einander, und den Horizontalschub H trägt man nach demselben Maassstabe auf eine Horizontale von A nach 0 auf, dann ist 0 der Pol dieses Kräftepolygons. Zieht man von 0 aus Strahlen an die Endpunkte der einzelnen Kräfte Pl5 P₂, P₃ . . ., so kann das zugehörige Seilpolygon, nämlich die Stützlinie, leicht gezeichnet werden, indem die einzelnen Seiten desselben mit den Strahlen parallel sind. Die Resultirenden Px, i?₂, P₃ . . . stellen, auf den gewählten Maassstab bezogen, nach Grösse und Richtung die Druckkräfte dar, die in Ren mit ihnen parallelen Seiten der Stützlinie auftreten; man kann also hiernach leicht die im Gewölbe vorkommenden Maximalpressungen pro Flächeneinheit ermitteln.

In Fig. 171 bleibt die nach dem Kräftepolygon Fig. 172 eingezeichnete Stützlinie durch den ganzen Bogen im mittleren ■ Drittel desselben, der Bogen hat somit den Au!htdittl genügenden Stabilitätsgrad, denn eine Zugspannung kann an keiner Stelle desselben

¹

2 r.u¹

O

und zu jeder von den Belastungen erzeugten Maximalspannung eines Constructionstheiles muss noch derjenige von beiden vorstehenden Werthen addirt werden, der jene Spannung vergrössert. Ein von Herrn Prof. Mohr durchgerechnetes Beispiel findet man in der oben angegebenen Quelle.

Der Bogen ohne Gelenke ist ausführlich von Ritter in Riga behandelt (Erbkam s Zeitschrift für Bauwesen 1876, S. 277), wonach die Berechnung eines speciellen Falles leicht durchgeführt werden kann.

²

x = Z<L - Z₃ -- D.-r-

Der Auflagerdruck D ist hier gleich dem halben Eigengewicht der Construction und dem Gewichte des Zuges bis zur Brückenmitte, wenn man die Last für beide Träger zusammennimmt. Für die meisten Gurtungstheile ist eine vorherige Berechnung der Diagonalen oder der Verticalen erforderlich; am einfachsten wird es, wenn man die Schnitte parallel zu den Diagonalen führt; so dass jedesmal zwei Gurtungstheile und zwei Verticalen geschnitten werden. In Fig. 163 ist die mit 5 bezeichnete Last gleich ²/₃p -j- qb, die mit 6 bezeichnete gleich ²/₃ p    indem jeder ^

obere Knotenpunkt V₃ P aufnimmt. Hiernach berech- W.....-----*    „

net sich V₃, wenn der Schnittpunkt 0 im Abstande b vom Auflager als Drehpunkt gewählt wird:

(F, + %p + q₆) (b + 3) = D.b - (p + q₇) (b + 2) - (p + q₈) (b + 1).

U. k :t-_ A/.- U - V£ : rt( - $1' tX --fc 4t < ix - 4 'VT-,

eintreten, gegen Drehung ist der Bogen also vollkommen gesichert. Schliesst die Stützlinie mit den in Fig. 167 eingezeichneten Normalen on der einzelnen Fugen kleinere Winkel ein als 30 Grad, so ist der Bogen auch gegen Gleiten gesichert; gewöhnlich hält mau für den Reibungswinkel 20° zulässig.

Betrachtet man die Fuge uv in Fig. 171 und nimmt an, dass auf diese Fuge die 4 Streifen aclcl wirkten, so würde man einen Fehler gemacht haben, den das Dreieck luv darstellt. Um diesen Fehler zu corrigiren, kann man die Basis ul des Fehlerdreiecks halbiren; den Halbirungspunkt x mit Je verbinden und zu dieser Linie von l aus eine Parallele Iz ziehen, dann geht die Fuge, worauf die 4 Streifen aclel wirken, durch den Punkt z.

Geht die Stützlinie in einem Gewölbe auch durch das mittlere Drittel der Bogen-dicke, so ist doch nicht sicher, dass sie diese Lage auch nach dem Ausrüsten des Gewölbes beibehält. Es kann vielmehr durch Zusammenpressen des Untergrundes unter den Widerlagern, oder der Widerlagsmauern selber, während des Ausrüstens ein geringes Ausweichen der Kämpfer stattfinden. Die hierdurch erzeugte Yergrösserung der Spannweite kann erheblicher sein, als mit Rücksicht auf die Zusammenpressung der Steine für die Senkung des Bogens ohne Entstehung von Rissen zulässig ist. Bei halbkreisförmigen Gewölben bilden sich aus diesem Grunde in der Nähe des Scheitels häufig Risse an der inneren Leibung, oder bei flachen Segmentbögen auch in der Nähe der Kämpfer an der äusseren Leibung, die oft bis zur halben Bogendicke verlaufen. Derartige Risse bilden sich auch mitunter bei grösseren Gewölben während der Ausführung, indem sich die Constructionstheile des Lehrgerüstes zusammenpressen; das Lehrgerüst muss daher vor dem Einwölben möglichst dem Gewichte des Bogens entsprechend belastet werden, damit sich dasselbe während des Wölbens nicht mehr senken kann.

Fig. 173.

Gehen die erwähnten Risse im Gewölbe bis zur halben Bogendicke, so muss die Stützlinie an diesen Stellen in ¹/₆ der Bogendicke angreifen, weil nach Fig. 168 erst dann die Zugspannung in der Mitte der Bogendicke gleich Null sein kann, wenn die Stützlinie um ²/₃ der halben Bogendicke von dieser Mitte absteht. Um nun solche Vorkehrungen beim Einwölben zu treffen, dass die Stützlinie beim Ausrüsten des Gewölbes eine gewisse Grenzlage nicht überschreiten kann, ist es sehr zu empfehlen, dass man das Gewölbe im Scheitel nach Fig. 173 fast bis zu V, der Gewölbedicke von der äusseren Wölblinie aus, und bei Segmentbögen auch an den Kämpfern fast bis zu V₈ der Bogen dicke von der inneren Wölblinie aus die Berührung der Steinschichten unterbricht, dann kann die Stützlinie beim Ausrüsten die oben erwähnte ungünstige Lage nicht annehmen und das Bogenmaterial wird vortheilhaft ausgenützt; erst nach dem Ausrüsten werden dann die gelassenen Fugen ausgegossen resp. die fehlenden Schichten ausgemauert.

Für Gewölbe unter Eisenbahnen bildet bis 2m Spannweite gewöhnlich der Kreisbogen mit ¹/₃ bis l/₄ Pfeil die Wölblinie. Bei grösseren Spannweiten aber ist in jedem Falle zu untersuchen, ob das Gewölbe nach der Kreis- oder zweckmässiger nach der Stützlinie auszuführen ist. Zu diesem Zwecke wird die Stützlinie im Bogen construirt und nachgesehen, ob dieselbe bei der angenommenen Kreisform des Gewölbes im mittleren Drittel des Querschnittes bleibt. Ist dies der Fall und überschreitet die grösste Kantenpressung die oben angegebenen Zahlenwerthe nicht, so kann man den

Klasen, Graphische Statik.

Kreisbogen beibehalten, im anderen Falle projectirt man das Gewölbe besser nach der Stützlinie, so dass dieselbe durch die Mitte des Bogenquerschnittes geht. In (Fig. 1, Blatt 6) ist eine von Prof. Haseler ausgeführte, nach der Stützlinie eingewölbte Eisenbahnbrücke in der Ansicht dargestellt.

Falls die Ueberschüttungshöhe weniger als l,5m beträgt, construirt man die Stützlinie ausser für vollständige mobile Belastung des Bogens auch noch für einseitige Belastung, wobei die Stärke des Bogens so zu wählen ist, dass selbst bei dieser Belastung die Stützlinie nicht aus dem mittleren Drittel des Querschnittes heraustritt.

Der über der Kämpferfuge no, Fig. 171, liegende Verticalstreifen wird schon direct vom Widerlager getragen, er wird daher bei der Stabilitätsbestimmung des Bogens nicht mehr berücksichtigt. Will man aber untersuchen, ob das Widerlager genügende Stärke habe, so setzt man die Resultirende aus H und den Verticalstreifen acmn, die im Kräftepolygon Fig. 172 durch den Strahl Hb bestimmt ist, mit der Last P₆ zur Mittelkraft 7t(i zusammen, die im Kräftepolygon durch den Strahl jR6 gegeben ist. Wird in derselben Weise mit den übrigen Streifen des Widerlagers fortgefahren, so findet man, dass die Stützlinie die Lagerfläche rs noch im mittleren Drittel derselben schneidet; das Widerlager ist bis an dieser Linie ebenfalls stark genug.

Bei Brücken wird das Widerlager am besten so angeordnet, dass eine Linie, welche in der Mitte zwischen der Stützlinie, die mit Berücksichtigung des passiven Erddruckes hinter dem Widerlager entsteht, und der Stützlinie ohne diesen Erddruck liegt, stets im mittleren Drittel des Querschnittes bleibt, da nur in diesem Falle alle Theile desselben an der Druckübertragung Theil nehmen. Um diesen Vortheil mit möglichst wenig Material zu erreichen, ist das Widerlager, wie in Fig. 166 angedeutet, nach unten durch abgeschrägte Absätze so zu verbreitern, dass die Stützlinie noch im mittleren Drittel der Basis austritt und die stärkste Pressung des Baugrundes 3 bis 4,5 Kilogr. für den D⁰¹" nicht überschreitet.

In (Fig. 8 und 10, Blatt 4) ist die Stützlinie in einen halbkreisförmig gewölbten Durchlass eingezeichnet. Das aus Ziegeln bestehende Bogenmaterial hat gleiches Gewicht mit dem Aufschüttungsmaterial, daher wird die Belastungslinie für die unbelastete Brücke eine Gerade. Der Durchlass ist für eine schmalspurige Eisenbahn von 75cm Spurweite ausgeführt, wobei die Breite des Gewölbes 2m beträgt; diese Bahn wird mit Locomotiven von 7400 Kilogr. Totalgewicht befahren und ist deren Last auf 4 Räder möglichst gleichförmig vertheilt. Da nun der Radstand l,6m beträgt, so kann man die mobile Last auf die »halbe Spannweite des Gewölbes gleichmässig vertheilt denken. Dieselbe hat eine horizontale Fläche von 2.2,125 = 4,25Dm, jeder Dm ist demnach mit ⁷⁴⁰⁰/₄,₂₅ — 1740 Kilogr. belastet. Reducirt man diese Belastung auf das etwa 1600 Kilogr. pro kbm wiegende Bogenmaterial, so ergiebt sich nach Formel (421) die Belastungshöhe:

1740

= rund l,lm,

⁰ g ~~ 1600

welche in (Fig. 10) aufgetragen ist. Zur Verzeichnung der Stützlinie ist nun die Lichtweite des Gewölbes in 10, jedes Widerlager in 3 gleichbreite Streifen zerlegt, dann sind für das unbelastete Gewölbe die Höhen der Mittellinien dieser Streifen in (Fig. 9) in */₄ ihrer Länge auf die Verticale ab abgetragen. Beginnt man jetzt mit der Stützlinie im Scheitel des Gewölbes, und zwar an der oberen Grenze vom mittleren Drittel der Bogenhöhe, indem man vorläufig die Stützlinie nach Augenmaass einzeichnet, so

kann man den Horizontalschub h im Kräftepolygon (Fig. 9) annähernd bestimmen, wenn man z. B. zu der Linie 4, 5 im Bogen eine Parallele vom Endpunkte der Last 5 nach der Horizontalen h (Fig. 9) zieht, wodurch man den Pol 0 des Kräftepolygons erhält. Zeichnet man nach diesem Kräftepolygon die Stützlinie in den Bogen ein und findet, dass dieselbe aus dem mittleren Bogendrittel an irgend einer Stelle herausfällt, so verändert man im Kräftepolygon (Fig. 9) in entsprechender Weise die Lage des Poles 0 auf der Horizontalen h und zeichnet hiernach die Stützlinie aufs Neue. Meistens wird die Lage des Poles 0 durch einmalige Wiederholung hinreichend genau festgelegt sein und dann repräsentirt die Länge a 0 = h den richtigen Horizontalschub des unbelasteten Gewölbes. Für das belastete Gewölbe (Fig. 10) kann man in derselben Weise verfahren; auch hier sind in dem zugehörigen Kräftepolygon (Fig. 11) die Mittellinien von den Verticalstreifen I bis VIII in ¹/₄ ihrer Länge von A nach B aufgetragen und für die in (Fig. 10) eingezeichnete Stützlinie ist der Horizontalschub durch die Länge der Linie AO — H gegeben, während die von 0 ausgehenden Strahlen die Kräfte in den einzelnen Seiten der Stützlinie darstellen.

IV

mm

ZU

er

In Bezug auf den Maassstab der Kräfte ist zu bemerken, dass man diese am zweckmässigsten in Kubikmeter ausdrückt, man erhält dann leicht die Kräfte in Kilogr., wenn man die in kbm gegebenen Kräfte mit dem Gewichte eines kbm des Materials multiplicirt. In (Fig. 8 und 10) hat jeder Streifen eine Breite von 0,425“ und für den Längenmaassstab von 1: 100 wird lm durch 10mm dargestellt, ein kbm also durch 10/0,425 = 23,53’nm; da aber die Mittellinien der Streifen im Kräftepolygon in J/₄ ihrer Länge aufgetragen sind, so hat man hier als Kräftemaassstab 4kbm — 23,53 nehmen. Die stärksten Kantenpressungen an jeder Stelle des Bogens resp. der Widerlager findet man leicht mit Hülfe der Fig. 168 oder 169 aus den in den einzelnen Seiten der Stützlinie auftretenden Pressungen, die aus dem zugehörigen Kräftepolygon zu entnehmen sind.

Aus (Fig. 10, Blatt 4) geht hervor, dass dieses Gewölbe für den gegebenen Fall nicht zweckmässig construirt ist, da die Stützlinie sich nicht so construiren lässt, dass sie im mittleren Drittel des Bogens bleibt, was namentlich dann hervortritt, wenn man die Stützlinie für einseitige Belastung construirt, indem man in dem Kräftepolygon (Fig. 9) den Horizontalschub h — H in (Fig. 11) annimmt.

Bei Bearbeitung der Normalien für die gewölbten Yiaducte der Berliner Stadt-Eisenbahn hat Herr J. Wex die Bögen in rationeller Weise so angeordnet, dass die Maximal-Inanspruchnahme in allen Theilen des Bauwerkes möglichst nahe die Grenze erreichte, welche für das Material als zulässig erachtet wurde. Aus dem angewendeten mittelguten Ziegelmaterial wurden die besten Steine für die Gewölbebogen ausgesucht und für diese sind als grösste Kantenpressung 9 Kilogr. pro D⁰“ zugelassen, während man für das aufgehende Ziegelmauerwerk nur 7,5 Kilogr. pro D®“ annahm. Als zulässige Belastung des Baugrundes sind 4,5 Kilogr. pro □cm angenommen; an-gesfeilte Versuche haben gezeigt, dass der dortige sandige Baugrund weit höher beansprucht werden konnte, wenn die Last gleichmässig vertheilt und eine geringe Compression des Bodens für das Bauwerk nicht nachtheilig war, da aber bei den Pfeilern gewölbter Bauten durch die mobile Last der Druck auf den Baugrund der Lage und Grösse nach veränderlich ist, so erschien es räthlich, obige Grenze nicht zu überschreiten.

Der bequemeren Ausführung wegen wurden für die Viaductgewölbe nur Kreisbögen mit solcher Pfeilhöhe angewendet, bei der die Stützlinie einen möglichst günstigen, der Bogenaxe sich anschmiegenden Verlauf nimmt. Es wurden Projecte von 6, 8, 10,

12 und 15™ Spannweite bearbeitet und die Gesammtkosten für verschiedene Fundamenttiefen berechnet. Am billigsten stellte sich bei einer Gesammttiefe der Fundamentsohle unter Schienenunterkante von:

7m der Viaduct von 6m

SS

H«

7 bis 9m „ 9 ■„ 12™ „ 12 „ 15™ „ 15™ u. mehr ,,

99

99

99

99

99 8m „ 10™

9, 12m

In (Fig. 1 bis 7, Blatt 5) ist der Verlauf der Stützlinie oder des Druckpolygons in dem Gewölbe des Yiadnctes von 10m Spannweite dargestellt (Deutsche Bauzeitung 1875, 8. 496). Die Belastungshöhe der mobilen Last ist = 0,8™ angenommen und die Ver-ticalstreifen der Bogen sind l,Om breit, so dass die Mittellinie derselben in ihrer Länge den Inhalt der Streifen in Kubikmetern ergiebt. Das Kräftepolygon für den zur Hälfte belasteten Bogen ist in (Fig. 2) dargestellt, während (Fig. 3) das Kräftepolygon für den voll belasteten Bogen und (Fig. 4) das Kräftepolygon für den ganz entlasteten Bogen giebt. Hiernach wurde die Stützlinie in die Bögen eingezeichnet und tritt dieselbe nirgend aus dem mittleren Drittel der Bogenhöhe, welche zu 0,51m angenommen ist. Der Ausschlag der Stützlinie im Mittelpfeiler bei einseitiger Belastung der Gewölbe ist nach dem in (Fig. 5) gezeichneten Kräftepolygon zu construiren. Endlich zeigt (Fig. 6) eine vollbelastete Endöffnung mit dem den Verlauf der Stützlinie angepassten Widerlager und (Fig. 7) das Kräftepolygon zu dieser Stützlinie. Die Längen sind im Maassstabe von 1 : 150 aufgetragen; die Kräfte in Kubikmetern des Materials im Maassstabe von 3,33mm = 2 Kubikmeter.

§16. Die Construction der Futtermauern (Blatt 5 und 6).

Futter- oder Stützmauern dienen zum Abhalten der Bewegung von Erdmassen, wo die Oertlichkeit die Herstellung der natürlichen Böschung nicht gestattet. Die Querschnittsform dieser Mauern ist verschieden, je nach der Art des Schubes oder Druckes, den sie auszuhalten haben. Es giebt auch sogenannte trockene Futtermauern, welche ohne Mörtel nur aus einigermassen lagerhaften Bruchsteinen aufgeführt werden, diese sind dann dem Wesen nach mehr Steindämme oder Abpflasterungen. Verschiedene Profile von Futtermauern sind in (Fig. 2 bis 12, Blatt 6) dargestellt. (Fig. 2) zeigt die Futtermauern eines Einschnittes der London - Birmingham - Eisenbahn bei Blisworth. Dieser Einschnitt ist 15,2m tief, oben 17m, unten 8,2™ breit und sind die Futtermauern vorn in 6,1™ Abstand von Mitte zu Mitte mit Strebepfeilern versehen, die oben 1,22™, unten 1,83™ Breite haben. Das Profil der Futtermauern selbst ist oben 0,76™, unten an der Fundamentsohle 2,14™ breit. In 8,84™ unter der Oberfläche der jüngeren Kalkformation, welche die Futtermauer stützt, liegt eine wasserhaltige Tonschicht, deren Wasser hinter der Mauer in zickzackförmigen, mit Steinpackung gefüllten Vertiefungen gesammelt und durch Köhren in der Mauer abgeführt wird.

(Fig. 3, Blatt 6) zeigt das Profil von Vauban’s Festungsmauern, deren Dimensionen sich im Laufe der Jahrhunderte als genügend vollkommen bewährt haben. Die obere Breite des Profils beträgt 1,5 bis 1,8™; da nun die Hinterfläche der Mauer verti-cal ist und die Aussenfläche einen Anlauf von 1 : 5 hat, so ist die untere Breite b in

der Höhe des Aussenterrains gleich 1,5 bis 1,8™ -f- ¹/ö h. Hinten haben die Mauern in 5 bis 6"¹ Abstand Strebepfeiler, welche um b — lm vorspringen, an der Mauer 'li (P + 0,3m) und hinten ’/₃ (b -f- 0,3m) Breite haben. Diese Pfeiler sollen wohl weniger gegen den Erddruck, sondern mehr gegen die Wirkung der Geschosse Widerstand leisten.

Die englischen Futtermauern mit gekrümmten Aussenflächen (Fig. 4, Blatt 6) haben bei gleicher Materialmenge mehr Widerstandsfähigkeit und mehr Sicherheit gegen Ausbauchungen, die gekrümmte Form erschwert jedoch die Ausführung derselben, weshalb sie in Deutschland wenig Anwendung gefunden haben. Der Krümmungsradius wird gewöhnlich gleich 2 h genommen, wobei der Mittelpunkt in der Horizontalen der oberen Terrainhöhe liegt. Die in 4 bis 5n) Abstand angebrachten Strebepfeiler erhöhen die Widerstandsfähigkeit der Mauer gegen den Erddruck nur in sehr geringem Grade.

Für die Schweizer Centralbahn, sowie für die Oesterreicher und Würtemberger Staatsbahnen sind die in (Fig. 5 und 6, Blatt 6) dargestellten Profile mit verticaler Hinterfläche und mit einem Anlauf der Vorderfläche von 1:6 zur Anwendung gekommen. (Fig. 7) giebt das Profil einer Futtermauer von Schwedler, (Fig. 8) ein solches von Häseler, welches im unteren Theil der Aussenfläche einen Anlauf von 1:3, im oberen Theil von 1 : 10 hat. Der untere Theil der hinteren Fläche ist im Verhältniss von 1 :4 unterschnitten, jedoch nur so weit, dass der Schwerpunkt des Profils noch in der Fundamentsohle unterstützt ist.

Fig. 174.

Die Profile (Fig. 9 und 10) mit den hinteren Abtreppungen sind für Futtermauern nicht zweckmässig, weil dadurch einerseits das gleichmässige Setzen der Hinterfüllungserde verhindert wird, andererseits aber das Material nicht günstig verwendet ist. (Fig. 11) zeigt die Stützmauern an der schiefen Ebene bei Culmbach, in der Bayerischen Eisenbahn. Im höchsten Theil sind diese ca. 29™ hoch und ihr oberer Theil ist nach einem Radius von 40™ gekrümmt, wobei die Mittelpunkte in der Horizontalen 9,64™ über Schienenunterkante liegen. Die obere Breite des Dammes in Höhe von Schienenunterkante beträgt 9,34™. Der heller schraffirte Theil der Stützmauern ist Trockenmauerwerk, der äussere dunkler schraffirte Theil aber Mörtelmauerwerk. Endlich zeigt (Fig. 12) noch einen Steindamm der Rhein-Nahe-Bahn, bei dem die Hinterfüllung aus Porphyrtrümmern besteht.

\ Horizontale

Wesentlich abhängig sind die Querschnittsdimensionen der Futtermauern von dem Gewichte des Materials, woraus die Mauer aufgeführt wird und von der Beschaffenheit der Hinterfüllungserde. Wird Erde von einem Damme herab angeschüttet, so bildet sich durch gegenseitige Reibung und Stützung der Erdtheilchen eine Böschung, und den Winkel cp, den die Erdablagerung nach Fig. 174 mit der Horizontalen bildet, nennt man den natürlichen Böschungswinkel oder auch den Reibungswinkel der Erde. Es ist für:

. cp = 45° . cp = 17° = 38° = 45°

Thonerde, trocken

durchnässt Steinschotter, grob .

Kieselsteine, eckig

rundlich

Steinkalk, trocken Erde, sehr dicht .    .

Für Dammerde und Kies kann man im Mittel cp = 33° annehmen; beim Lehm

Wasser......

Sand und Kies, feucht .

trocken Damm erde, feucht .    .

trocken .    .

99

99

. cp

0°

99

99

rp —

= 24° cp = 32° = 27°

99

Lehm, trocken .

durchnässt

. cp

. cp — 37° . cp = 40° . cp — 17°

99

und Thon ist zu erwägen, ob man nicht durch geeignete Entwässerung verhindern kann, dass ein vollständiges Abrutschen unter dem flachen Winkel von 17° eintritt.

Das Eigengewicht der bei Futtermauern in Frage kommenden Materialien ist aus der folgenden Tabelle zu entnehmen.

Mittelwerth der Eigengewichte pro 1 Kubikmeter.

Material

Kilogr.

Material

Kilogr.

Ziegelmauerwerk .    .    .

Erde und Lehm .... Lehmige frische Erde Erde mit Sand und Kies „ kleinen Steinen Thonerde, trocken . . . „ durchnässt . .

1600

1600

2300

1800

1900

1600

2000

Steinschotter......

Sand und Kies, feucht . . Sandsteinmauerwerk . . . Kalksteinmauerwerk . . .

Granit........

Basalt........

Wasser........

1600

1800

2100

2400

2700

3100

1000

Von vielen Seiten wird die Ansicht ausgesprochen, dass ein erheblicher Anlauf der freien Aussenfläche einer Mauer die Dauer derselben wesentlich beeinträchtigt; es dürfte daher empfehlenswerth sein, den Futtermauern keinen grösseren Anlauf als 1:5, wie er bei Vauban’s Festungsmauern angewendet ist, zu geben. Eine Neigung der Hinterfläche der Futtermauern gegen die Erdmasse ist für die Stabilität derselben sehr günstig, doch wird man diese Neigung zweckmässig nur so gross machen, dass der Schwerpunkt des Profils an der Basis noch unterstützt bleibt. Die Lagerfugen der Futtermauern werden am besten Horizontal ausgeführt, damit dem Wasser keine Gelegenheit gegeben wird, in das Mauerwerk einzudringen und die Dauer desselben zu beeinträchtigen. Bei der Ausführung mit rechteckigen Ziegeln wird man die Lagor-fugen rechtwinklig zur Aussenfläche, also dem Anlaufe entsprechend, mit einer Neigung gegen den Horizont anordnen müssen. Diese Neigung ist in statischer Beziehung allerdings sehr vortheilhaft, indem dadurch der Reibungswinkel (vergl. S. 94) erheblich verkleinert, die Reibung in den Lagerfugen also weit weniger in Anspruch genommen wird; da aber die Dauer der Mauern durch diese Anordnung leidet, so ist es besser, zur Aussenfläche besonders profilirte Steine zu beschaffen und die Lagerfugen wagerecht anzulegen.

Herr Prof. Keck hat die in Fig. 175 bis 180 dargestellten trapezförmigen Futtor-mauerprofile durch Rechnung miteinander verglichen {Zeitsehr, des Archit- und lng-

Fig. 175.

Fig. 176.

Fig. 177.

Fig. 178.

Fig. 179.

Fig. 180.

Ij’f

18

ns

il

Up!

Kilj

3J

im

m

li

IjS

Bl

il

Sä

I

Ls I

r'

W!||

lii

jp

[    .    . • ■ F

«H

ISK

ln

il

SR

____tißrl

Vereins zu Hannover 1874, S. 395 und 1875, S. 348), wobei sich für den Fall, wo das specifische Gewicht des Mauerwerkes gleich ist mit dem der Hinterfüllungserde, der natürliche Böschungswinkel cp = 33° ist und eine starke Durchnässung des zu stützen-

den Materials nicht Vorkommen kann, die Profile Fig. 175 und 176 am günstigsten zeigten. Bei den Profilen Fig. 176 und 178 sind die Lagerfugen normal zur Vorderfläche, bei den übrigen horizontal angenommen.

Nennt man:

h die Höhe der Futtermauer, b die untere Breite des Profils derselben,

F den Flächeninhalt des Mauerprofils, g das Gewicht des Mauerwerkes pro 1 kbm,

S die stärkste Pressung pro D⁰¹" in der Vorderkante der Mauer, w den Reibungswinkel, zwischen der Normalen zur Fuge und dem resultirenden Drucke B,

so ergab die obige Vergleichung die in folgender Tabelle enthaltenen Resultate.

Profil

Fig. 175 Fig. 176 Fig. 177 Fig. 178 Fig. 179 Fig. 180

0,252 h 0,238 h 0,340 h 0,307 h 0,350 h 0,479 Ji

0,202 h2 0,199 h2 0,240 h~ 0,222 h2 0,350 h2 0,379 h²

2 g.h 2,122 g.h 1,840 g.h 1,910g .h 2,420 g. h 2,120 g.h

21°12' 10°52' 19° 45' 10° 43' 14° 51'

15°

Fig. 181.

T A.

Die Profile Fig. 175 und 176 sind hiernach besonders zu empfehlen; wenn man aber die im Verliältniss von 1 : 10 überhängenden Rückseiten dieser Profile scheut, dann sind auch die Querschnitte mit verticaler Rückseite, Fig. 177 und 178, noch ziemlich rationell. Am ungünstigsten ist das Profil Fig. 180, da es noch mehr Material erfordert, als das leichter herzustellonde einfache Rechteck Fig. 179; aber auch dieses ist unzweckmässig, denn es erfordert eine grössere untere Breite als die vorhergehenden Profile, welche in der Aussenfläche einen Anlauf £ von 1:5 haben.    I

wy

■■fe

In den obigen Profilen geht nämlich nach Fig. 181 die Mittel- ! kraft II aus dem Erddruck D und dem Gewichte G der Mauer durch einen Punkt der Basis BC, der um ]/₃ BC von G entfernt ist, denn j nur in diesem Grenzfalle betheiligen sich noch alle Theile der Basis iv B C an der Druckübertragung {vergl. Hg. 168). Vertauscht man nun unter Beibehaltung der unteren Breite das Trapez AB CF mit dem !

Rechteck AB GE, indem man das Dreieck CEF hinzufügt, so muss das diesem Dreieck entsprechende Gewicht Gx mit II zu dem resul- | tirenden Druck Bx zusammengesetzt werden, wobei nun die Rieh-tungslinie von Bl die Basis B C ausserhalb des mittleren Drittels ^§jj| ^4 i derselben schneidet. Die Basisbreite b — BC würde also nach Hin- Wm zufügung des Dreieckes GEF für die Stabilität der Mauer nicht mehr genügen.    V ¹

Für Wassermauern, die den Druck des Wassers oder eines stark von Wasser durchzogenen Materials aufzunehmen haben, und bei denen meistens eine fast verticale Aussenfläche verlangt wird, sind die in Fig. 179 und 180 gezeichneten Profile als zweckmässig zu bezeichnen, namentlich wird hier das letztere Profil mit Abtreppungen meistens angewendet. Hat eine im Querschnitt rechteckige Mauer nur Wasserdruck auszuhalten und ist das specifische Gewicht des Mauermaterials = 2, dann wird unter den obigen Bedingungen b = 0,707 ln\ F — 0,707 h²; S = 2g.h und w = 19° 28'. Für den Böschungswinkel cp = 17°, den man bei Wassermauern häufig in Ansatz bringt, erhält man, wenn die Volumeinheit der Hinterfüllungserde 0,8 Mal so schwer ist als die des Mauerwerkes, beim rechteckigen Profil b = 0,5 h; F = 0,5 h²; S = 2,22 g . h und w = 18° 7'; bei der Trapezform b = 0,62 Ji; F — 0,52 h²; S = 2,02g. h und w — 17° 41'. Auf (Blatt 6) sind verschiedene Profile von Wassermauern dargestellt. (Fig. 13) giebt das Profil einer Quaimauer am Bassin des Dock-Entrepot zu Havre, die aus Bruchstein in Kalkmörtel ausgeführt ist. Die vordere Bekleidung besteht aus Sandsteinquadern, das Fundament aus Bruchstein in Cementmörtel. (Fig. 14) zeigt das Profil der aus Ziegeln ausgeführten Kaimauern an der Steuerfreienniederlage zu Harburg; welche auf Pfahlrost fundirt ist. Die Kaimauern am Kriegshafen an der Jade (Fig. 15) bestehen aus Ziegelmauerwerk und sind auf Betonschüttung funda-mentirt. Als Bekleidung der Vorderseite und als Abdeckung ist Sandstein angewendet. Zur Verhinderung einer Beschädigung der Mauer durch anlegende Schiffe sind vor derselben in 2,8m Abstand 30 X 30cm starke Reibhölzer befestigt, welche auf Consol-steinen stehen und oben mittelst eiserner Kappen in der Mauer verankert sind. (Fig. 16) zeigt noch das Profil der Kaimauern von den Dockanlagen zu Chatham. Das Fundament derselben besteht aus Pfahlrost mit Betonfüllung, die Mauer selbst aus Ziegelmauerwerk mit Betonhinterfüllung; hierbei sind in entsprechenden Abständen 7 Ziegelschichten gleichsam als Binder durch die ganze Stärke der Mauer hindurchgeführt. Der obere Theil derselben auf 2,9,n Höhe ist mit Portlandsteinen verkleidet, auf denen als oberster Abschluss eine Reihe von Granitquadern liegt.

- Das in (Fig. 17) dargestellte Mauerprofil wird für Thalsperren angewendet. Diese schliessen Thäler ab und bilden auf diese Weise Sammelteiche zur Speisung von Schifffahrtscanälen etc. Die Vorlage im Fundament an der inneren Mauerseite soll das Eindringen des Wassers unter das Fundament erschweren. Sehr zweckmässige Profile von Thalsperren sind im Profile in (Fig. 8 und 9, Blatt 5) dargestellt. Dieses Profil wurde in der Schlucht d’Enfer bei St. Etienne ausgeführt (.Annales des ponts et chaussees 1875, S. 174 bis 203). Das Mauerwerk wiegt 2000k pro kbm, und ist das Profil so berechnet, dass der Druck möglichst gleichförmig vertheilt und die Kanten-pressung an keiner Stelle 6,5 Kilogr. pro D⁰™ überschreitet; der Verlauf der Stützlinien für das leere und für das gefüllte Reservoir ist in den Profilen angegeben. Die grösste Höhe der Mauer beträgt 56m, die Höhe des Wasserstandes 44,5 bis 50m.

Zur Untersuchung der Stabilität der Futtermauern ist es nöthig, den Druck D zu kennen, den die hinter der Mauer befindliche Erdmasse auf die Mauer ausübt.

Fig. 182.

is.

In Fig. 182 sei AB die hintere Fläche einer Futtermauer; denkt man diese weggenommen, so wird unter den Einflüssen der Witterung die Cohäsion der Erdtheilchen zerstört und es wird sich ein Erdprisma ABC ablösen und herabgleiten. Diese Abrutschungen können so lange erfolgen, bis sich die Erdtheilchen allein vermöge des Reibungswiderstandes im Gleichgewicht erhalten, bis also die Abrutschung den natürlichen Böschungswinkel cp erreicht hat. Bei tropfbaren Flüssigkeiten, wo man annehmen kann, dass die Theilchen einem gegenseitigen Verschieben weder einen Cohäsions- noch Reibungswiderstand entgegensetzen, ist der Normaldruck B, auf die verticale Wand AB in Fig. 183 bezogen, auf lm Länge normal zur Bildfläche, wenn g das Gewicht von 1 kbm der Flüssigkeit und FL die Höhe der Wand in Metern bezeichnet:

D r= Wandfläche X V2 Druckhöhe X g = H X Länge 1 X V2 H X g,

also:

D= V2.flf.fi*

Da der Druck auf ein Flächenelement der Wand im Punkte B gleich Null ist und derselbe nach A hin gleichmässig zunimmt, wo er den Werth g.H erreicht, so kann man den Druck D auf der ganzen Wandfläche von der Breite = 1 graphisch durch ein rechtwinkliges Dreieck darstellen, "f dessen Höhe nach Fig. 184 gleich H und dessen Basis gleich g.H ist, # die Flächenzahl dieses Dreiecks giebt den ganzen Druck D an, welcher auf der Wand AH lastet. Der Angriffspunkt des Mitteldruckes D liegt um h = l/₃ ac von a entfernt, nämlich in der Normalen auf ac die durch den Schwerpunkt S des ganzen Dreiecks ab c geht. Der Theil des Druckes D, den der Wandtheil d l aufzunehmen hat, ist hiernach durch die Flächenzahl des Trapezes d e fl dargestellt und der Angriffspunkt des Mitteldruckes hieraus liegt in der Senkrechten auf dl, welche vom Schwerpunkte s aus gefällt wird.

Die bisher gebräuchliche Theorie des Erddruckes wurde namentlich von Coulomb und Poncelet aufgestellt; sie geht von der Voraussetzung aus, dass die Gleitfläche des Druckprismas eine Ebene sei, wobei in der Regel noch angenommen wird, dass ein von einer Futter- / 50-mauer gestützter Erdkörper sich im Grenzzustande des Gleichgewichts befinde und dass eine Bewegung des Prismas auf der Gleitfläche und auf der Wandfläche abwärts die unmittelbare Folge eines wenn auch noch so geringen Ausweichens der Mauer sein werde. Hieraus folgert man, dass die Kräfte P und JD, Fig. 185, mit den Normalen der Gleitflächen die Reibungswinkel cp resp. cpx einschliessen. Um nun aus den Bedingungen des Gleichgewichts der drei auf ein Druckprisma ABC einwirkenden Kräfte, nämlich aus dem Gewichte Q und den beiden unbekannten Mitteldrücken D und P, welche die Wandfläche A B und die Gleitfläche A C gegen das Prisma ausiiben, den Erddruck zu bestimmen, muss erst die Gleitfläche AG ermittelt werden. Der Wanddruck soll das Abrutschen aller möglichen Druckprismen zu ver-

Fig. 183.

III

Fig. 184.

CT~7

ff

V-

h*---Cf.ff---W

Fig. 185.

i),

CL

hindern im Stande sein, demnach muss für die Bestimmung _

des Wanddruckes diejenige Lage AG der Trennungsfläche | ermittelt werden, bei welcher der Wanddruck seinen grössten Werth JD erreicht. Das so ermittelte Prisma ABC nennt man das Erdprisma vom grössten Drucke und nur dieses befindet sich im Grenzzustande des Gleichgewichts, denn z. B. für ein anderes Prisma A B E ist dieser Zustand nicht vorhanden, indem schon ein kleinerer Wanddruck als D das Abrutschen dieses Prismas verhindern kann, folglich schliesst der Mitteldruck Px gegen die Fläche AE mit der Normalen dieser Fläche einen Winkel ß ein, der kleiner als cp ist. Prof. Rebhann legt daher in seinem Werke „Theorie des Erddrucks und der Futtermauern“ bei Bestimmung der Grösse von D die Bedingung zu Grunde , dass der Winkel ß nur für eine einzige Lage der Trennungsfläche A C den Maximalwerth cp erreicht.

Vernachlässigt man die Cohäsion der Erdmasse, so dass der natürliche Böschungswinkel cp auch der Reibungswinkel für Erde auf Erde ist, und wählt man diesen

Reibungswinkel auch für die Reibung des Erdprismas an der Futtermauer, dann kann man den Druck D, den die Erdmasse auf die Längeneinheit der Futtermauer ausübt,

Fig. 186.

nach den von Prof. v. Ott in seinen „Vorträgen über Baumechanik“ ausführlich entwickelten Formeln berechnen. Ist

^g||||P|l nach Fig. 186 die Höhe der Futtermauer mit h, die Höhe —-feliiM der unter dem Winkel cp geböschten Ueberschüttung mit hi> die Neigung der gedrückten Mauerfläche gegen den Horizont mit a und das Gewicht der Kubikeinheit Erde mit g bezeichnet, so wird für sehr bedeutende Ueberschüt-tungshöhen = oo):

sm² (a — cp)

2    ' sin² a. sin (a + cp)

Liegt das obere Terrain mit der Mauerkrone in gleicher Höhe (hx = 0), dann wird :

(124)

I) =

g. IG sin cp 2    ' sin w

(]/ cot cp — cot w — Ycot a — cot wf* •    •    (125)

wenn w = a-\-2cp ist. In diesem Falle kann, für den Böschungswinkel cp = 33°, der Druck D für verschiedene Neigungs Verhältnisse der gedrückten Wand aus folgender Tabelle entnommen werden: cota =

+ 0,3;    +0,2;    +0,1;

0;

— 0,1;    — 0,2;    — 0,3.

D = 0,019 g .h²; 0,098 g.h*; 0,11 p.ft²; 0,134p.Ä²; 0,153p.7ö²; 0,186p.^²; 0,217p.7*².

Die Richtungslinie dieses Druckes schliesst mit der Normalen zur gedrückten Wandfläche nach Fig. 186 den Winkel cp ein und der Angriffspunkt von D liegt in der Tiefe ²/₃ ft unter der Mauerkrone.

Unter den obigen Verhältnissen giebt Prof. Culmann das folgende graphische Verfahren zur Bestimmung des Erddruckes. In (Fig. 10, Blatt 5) ist A B die beliebig geneigte gedrückte Wandfläche und B C die ebene Oberfläche des Terrains. Man zieht nun die Linie A C unter dem Winkel cp, trägt an der gedrückten Wandfläche A B den Winkel 2 cp im Punkte A an und verlängert die Oberfläche B C bis sie den Schenkel von 2 cp im Punkte E schneidet. Jetzt beschreibt man über B G als Durchmesser einen Kreis, zieht an diesen von E aus eine Tangente EF und schlägt diese um E als Drehpunkt auf BG nieder, dann ist die Gerade AG die Bruch- oder Gleitfläche. Nun zieht man GJ parallel zu AB und JK parallel zu AE, fällt ferner von B aus die Linie Bb = l senkrecht auf A C, dann wird der Erddruck durch ein Dreieck dargestellt, dessen Basis = JK und dessen Höhe gleich l ist; dieses in (Fig. 11) dargestellte Dreieck reducirt man auf ein anderes, welches die verticale Höhe h der Wandfläche hat. Ist die Terrainlinie B C (Fig. 10) unter dem natürlichen Böschungswinkel cp geneigt, dann fällt der Schnittpunkt C in die Unendlichkeit und in diesem Falle ist JK = ÄE.

Die Terrainlinie bildet nach (Fig. 12) eine gebrochene Linie CMN. Plier ist zunächst das Dreieck AN M durch ein anderes Dreieck AB M von gleichem Flächeninhalt mit dem ersteren und Beibehaltung der Basis A M zu ersetzen; man zieht demnach NB parallel zu AM, wodurch man den Punkt B erhält und die gebrochene Linie des Terrains ausgleicht. Im Uebigen wird wie in (Fig. 10) verfahren. Das rechtwinklige Dreieck, welches den Erddruck repräsentirt, hat JK zur Basis und Bb — l zur Höhe. In diesem Falle, wo das Terrain nicht von einer Ebene, sondern von gebrochenen Flächen begrenzt wird, wächst der Erddruck auf ein Flächenelement nicht mehr proportional mit der Tiefe; die graphische Darstellung des Erddrucks setzt sich dann aus einem Dreieck und einer an einer Seite krummlinig begrenzten Figur zusammen, wobei das Dreieck für den Theil gilt, für welchen die Bruchfläche des Erdkörpers die Linie M N noch schneidet. Man bestimmt die Höhe Ji des Dreiecks, indem man in Fig. 187 von dem Knickpunkt M der Terrainlinie die Bruchfläche Mu zieht; diese findet man dadurch, dass man vorläufig für einen beliebigen kleineren Theil N ux der Wandfläche die Bruchlinie Gux in der obigen Weise construirt und darauf Mu parallel zu Gux zieht. Die Basis ac des Druckdreiecks wird ebenfalls in der obigen Weise gefunden. Von u abwärts theilt man die Wandfläche in kleinere Theile uu₂₎ u₂ u₃ . . ., ermittelt für Nu₂ den Erddruck nach (Fig. 10, Blatt 5) und bringt hiervon den auf Nu lastenden Erddruck in Abzug; die Differenz beider Drücke wirkt auf uu₂.

Fig. 187.

//

liV

Tr?:;::-

.15?-

«A/

n. \c

ui

==8e

Aehnlich werden auch die übrigen Drücke ermittelt, welche man dann einzeln durch Rechtecke von der Höhe y = uu₂, yx = uu₃ ... graphisch darstellt. Die Breiten dieser Rechtecke werden an die Verticale BN rechtwinklig angetragen, wodurch die Druckfigur des unter u liegenden Wandtheils annähernd dargestellt ist. Verbindet man nun noch die Mitten der Aussen-seiten durch eine stetige Linie, so ist bei genügender Kleinheit der Höhen y der Linienzug b c Na B die wirkliche Druckfigur.

Wenn die Oberfläche des durch eine Futtermauer gestützten Terrains durch auf-geschichtete Materialien, durch Menschenbelastung und Wagentransport bei Wegen, oder durch die mobile Last einer Eisenbahn belastet ist, so denkt man diese Last gleichmässig vertheilt, sucht die auf das Erdmaterial nach Formel (121) reducirte Belastungshöhe und trägt diese nach (Fig. 13, Blatt 5) auf. Hat man nun das Druckdreieck oa c für den unbelasteten Erdkörper construirt, dann findet man die Druckfigur für den belasteten Erdkörper, wenn man parallel mit o c von der Oberkante der Auf last die Linie d e zieht und das entstehende Dreieck an der Terrainoberfläche n o abschneidet; das Trapez a en o ist die Druckfigur für den belasteten Erdkörper. Die durch den Schwerpunkt S des Trapezes parallel mit a e gehende Linie S t giebt die Lage des Angriffspunktes t des Erddruckes D.

Fig. 188. Fig. 189.

■<-----fl—

......

__

~**b-*i’

In Bezug auf die oben vorkommende Schwerpunktsbestimmung sei bemerkt, dass bekanntlich bei einem beliebigen Dreieck, Fig. 188, der Schwerpunkt in einer Linie liegt, die man von dem Halbirungspunkt einer Seite nach dem gegenüberliegenden Eckpunkt zieht, in l/₃ der Länge dieser Linie; oder derselbe liegt im Schnittpunkte der beiden Geraden, die man von den Halbirungspunkten zweier Seiten nach den gegenüberliegenden Eckpunkten zieht. Um den Schwerpunkt beim Trapez Fig. 189 zu finden, halbirt man die parallelen

Seiten und zieht die Mittellinie, verlängert dann die beiden Grundlinien, trägt die grössere Breite B an die schmälere Seite b, die kleinere Breite b an die breitere Seite B an und zieht die Linie o o; der Schnittpunkt dieser Linie mit der Mittellinie ist der Schwerpunkt des Trapezes.

Das von Prof. Rebhann angegebene Verfahren zur Bestimmung des Erddrucks ist in (Fig. 14 und 15, Blatt 5) dargestellt. Hierbei ist AB die verticale Höhe der

Wandfläche A C, während CE die Oberfläche des gestützten Terrains und AE die natürliche Böschung bezeichnet. Die Lage der Bruchfiäche Aa kann man durch Probiren leicht bestimmen, wobei die Bedingung erfüllt werden muss, dass Go — co ist, dass a b senkrecht auf AE steht und dass Winkel b ac — Winkel BAG ist. Con-struirt man nun das gleichschenklige Dreieck acd, indem man cd = ca macht, so ist der Inhalt dieses Dreiecks multiplicirt mit dem Gewichte g der Kubikeinheit Erde der gesuchte Erddruck D. In (Fig. 14) ist z. B. nach dem bezeichneten Maassstabe die Höhe des Dreiecks ab = 4,5m, die Basis cd = 4,6m, daher der Flächeninhalt ¹l<t.4,5.4,6 = 10,35Dm; die Länge des Erdkörpers rechtwinklig zur Zeichnungsebene bezieht auf die Längeneinheit, also auf lm Länge; das obige Dreieck hat demnach 10,35kbm Inhalt. Wiegt nun 1 kbm Erde 1,6 Tonnen, so ist der obige Erddruck I) = 1,6.10,35 = 16,56 Tonnen. Ist das Terrain oberhalb der Mauerkrone unter dem Winkel cp geböscht und das Plateau EG horizontal (Fig. 15), dann kann man den Erddruck D auf das Mauerstück A B wie folgt bestimmen. Man zieht die Linie A E unter dem Böschungswinkel cp, verwandelt das Dreieck AB F derart in ein anderes, dass die Basis A F beibehalten bleibt, man kann also BG parallel zu AF ziehen bis B C die verlängerte Oberfläche des Terrains schneidet, dann ist Dreieck AG F — Dreieck AB F. Macht man jetzt die Linie Ab — A F, errichtet in dem Punkto b eine Senkrechte b a auf AE und zieht von dem Punkte, wo b a die Oberfläche des Terrains schneidet, die Linie a A, so ist dies die Bruchlinie und Co muss gleich bo sein. Für diesen Fall kann man das Druckdreieck dadurch construiren, dass man b d — b a macht, und es ist nun:

man

. . (126)

D = g.Z\abd=ll^g.ba.bd .    .

Der Angriffspunkt dieses Druckes liegt um l/₃    A B    von    A entfernt. Um den

Erddruck auf die Wandfläche JB aufzufinden, kann    man    die    Krümmung der    Wand

fläche durch die punktirt angedeutete Gerade ausgleichen und dann wie oben verfahren.

Da in Fig. 185 der Druck D im Punkte a in der Höhe von ¹/₃ AB angreifend angenommen wird, müsste aus denselben Gründen    auch    P im Punkte c in    '/₃ A G

Entfernung von A angreifen, dann schneiden sich    aber    die    3 Kräfte D, P    und Q

nicht in einem Punkte; demnach beruht die bisherige Theorie des Erddruckes auf unrichtigen Voraussetzungen. Mehrere Autoren haben daher in neuerer Zeit versucht, die Theorie des Erddruckes auf wissenschaftlicheren Grundlagen aufzubauen (Ingenieur Levi nach dem Bericht von St. Venant in Compte rendu Februar 1870; ferner Ingenieu/r M. Considere in den Annales des ponts et chausse'es Juni 1870; dann Prof. Winkler in der Zeitschrift des österr. Ingenieur- und Architekten-Vereins 1871; und Prof, hlohr in der Zeitschrift des Architekten- und Ingenieur-Vereins zu Hannover 1871, S. 344; 1872, S. 67 und 245). Dieselben gehen nicht vom Erdprisma des grössten Druckes, sondern von den allgemeinen Gleichgewichtsbedingungen der Kräfte aus, die auf ein beliebiges Flächenelement im Innern eines unbegrenzten Erdkörpers wirken. Hier soll nur noch das graphische Verfahren angedeutet werden, welches nach der neueren Theorie zur Bestimmung des Erddrucks gegen eine Futtermauer von Prof. Mohr angegeben ist, wobei die Cohäsion des Erdkörpers ebenfalls nicht berücksichtigt wird.

HL eine 100

mm

In (Fig. 16, Blatt 5) ist HB die Kichtung der gestützten Terrainoberfläche und lange Senkrechte hierzu. Auf dieser macht man nun das Stück

HN = 100mm. tg‘z ^45°--’ eine Länge die man aus nachstehender Tabelle ent

nehmen kann.

10°    17°    20°    25°    30°    33°    35°    40°    45°    50°

tg* (45

fco

■)=1 0,704 0,547 0,490 0,406 0,333 0,295 0,271 0,217 0,171 0,132.

Nachdem man über LN als Durchmesser einen Kreis gezeichnet hat, zieht man an diesen die Tangente HB und die Grade B S rechtwinklig zu NL; ferner zieht man durch deai Punkt H eine Verticale und macht H A = H J. Nun zieht man durch A die Richtung der gedrückten Wandfläche A B und durch den Punkt J eine Parallele hierzu. Durch den Schnittpunkt V, wo J V den Kreis schneidet, und durch den Punkt S zieht man endlich die Sehne VC, dann ist die Gerade CJ die Richtung des gesuchten Erddruckes und:

(127)

HV .AB

die Grösse desselben. Der Erddruck wird also durch ein rechtwinkliges Dreieck dargestellt, welches AB zur Höhe und H V zur Basis hat.

Das vorstehende Verfahren kann jedoch nur innerhalb bestimmter Neigungen des gestützten Terrains angewendet werden; für die Fälle Fig. 190, wo die gedrückte Wandfläche nach vorn geneigt ist, Fig. 191, wo sie vertical ist, Fig. 192, wo sie nach hinten überhängt, ist das Verfahren nur für die mit ausgezogenen Linien bezeichneten Terrainneigungen gültig, für die punktirten Neigungen aber ungültig.

Fig. 190.

Fig. 191.

Fig. 192.

i) \jf

/-ä

Bei unterschnittenen Futtermauern (Fig. 8, Blatt 6) kann man wie in Fig. 193 erst das Druckdreieck ab e für den verticalen Wandtheil

/J

ermitteln, und dann den Erddruck für den

Fig. 193.

geneigten Wandtheil la, indem man la bis zur Terrainoberfläche verlängert und von dem für die Wand Id entstehenden Druckdreieck dfg das Dreieck bcd abzieht; das übrigbleibende Trapez b c g f ist dann die Druckfigur für den geneigten Wandtheil la, falls man die Wirkung des Erdprismas ade vernachlässigen will. Ist die gestützte Terrainoberfläche horizontal mit der Mauerkrone abgeglichen, so wird annähernd für das Druckdreieck ab e die Basis:

ab = -£.g,

!«ip

'•mW -

wenn g das Gewicht der Kubikeinheit Erde bezeichnet. Ebenso werden bei einer Unterschneidung der Futtermauer von 1:4 für das Paralleltrapez b cg f die Grundlinien:

und fg =

Wg-

t>

Zur Untersuchung der Stabilität einer Stützmauer ist es am zweckmässigsten, dass man die Stützlinie in das Profil derselben einzeichnet. Dies geschieht in einfacher Weise nach dem von Prof. Häseler mitgetheilten Verfahren (Zeitschrift des ArchiteUen-und Ingenieur- Vereins zu Hannover 1873, S. 36). Man zeichnet zu diesem Zwecke zunächst das Profil der Stützmauer mit der zugehörigen Druckfigur. Diese letztere besteht z. B.

für den in Fig. 194 dargestellten Fall aus dem Dreieck eit und aus dem Paralleltrapez dtps, dessen Seite sd nach der Spitze e des Dreiecks ausläuft. Die Basis It des Dreieckes nimmt Häseler gleich J/₄ et und die Basis ps des Trapezes für das mit 1:5 unterschnittene Profil gleich V₆ ep, wenn das specifische Gewicht des Mauerwerkes als gleich mit dem der Hinterfüllungserde angenommen werden kann. Im anderen Falle hat man die Breiten der Druckfigur im Yerhältniss der specifischen Gewichte von Erde zum Mauerwerk zu reduciren, damit die Druckfigur gleichwcrthig mit dem Profil der Mauer wird. Ist das gestützte Terrain belastet, so giebt man die Belastungshöhe auf das Erdmaterial reducirt an. Es sei z. B. in Fig. 194 das obere Terrain durch ein Eisenbahngleis belastet, dann kann man für die mobile Last etwa 0,8m Belastungshöhe annehmen, die Spitze e des Druckdreiecks rückt nun nach v, und man construirt die neue Druckfigur, indem man gv parallel zu l e und lo parallel zu ds zieht. Das obere Druckdreieck geht dann in das Trapez efgt über, wie durch horizontale Schraffirung angedeutet ist.

Man theilt nun zunächst das Profil der Stützmauer mit der zugehörigen Druckfigur in eine Anzahl gleich hoher Lamellen, wobei man bei unterschnittenen Profilen, Fig. 194, zweckmässig von dem Knickpunkte t an der hinteren Wandfläche ausgeht. Die horizontalen Mittellinien dieser Lamellen messen dann in der Druckfigur die einzelnen Erddrücke, in dem Mauerprofil aber die einzelnen Gewichte der Lamellen. Kann man die Lamellen nicht gleich hoch machen, sondern muss eine Lamelle die Höhe yx erhalten, während die übrigen die Höhe y haben, so ist die mittlere Breite

na

dieser Lamelle im Yerhältniss von —

— zu reduciren, V

um sie auf die Einheit der

übrigen zu bringen.

Nun kann man die Mittellinien der Lamellen zu dem Kräftepolygon zusammen-setzen. Das Profil Fig. 194 ist durch den Knickpunkt t in zwei Lamellen eingethoilt, wobei u und w, die Mittellinien derselben sind, und die Stützlinie ist ohne Auflast construirt; es gilt also nur der schräg schraffirte Theil der Druckfigur. Der horizontale Abstand des Punktes I vom Pol 0 im Kräftepolygon Fig. 195 ist gleich der Mittellinie u, soweit sie durch das Druckdreieck reicht; der Verticalabstand der

Punkte 11 ist gleich der Mittellinie u, soweit sie durch das Mauerprofil reicht; ebenso ist der horizontale Abstand der Punkte 1 II gleich der Mittellinie w, in der Druckfigur, der Verticalabstand der Punkte II2 gleich der Mittellinie ux im Mauerprofil. Zieht man jetzt durch den Schwerpunkt des Druckdreiecks eine Horizontale an das Mauerprofil, so giebt diese den Angriffspunkt des Erddruckes I und dieser schliesst mit der Horizontalen den Winkel cp ein; parallel zu der Richtung des Erddruckes I ist im Kräftepolygon der Strahl 01 gerichtet. Ferner zieht man durch den Schwerpunkt des Drucktrapezes eine Horizontale an das Mauerprofil, welche den Angriffspunkt des Erddruckes II bestimmt, der mit der Normalen zur hinteren Mauerfläche wieder den Winkel cp einschliesst, und im Kräftepolygon ist die Linie 1 II parallel zum Erddruck II zu ziehen.

Die Construction der Stützlinie erfolgt nun, indem man aus dem Schnittpunkte a des Gewichtes der Lamelle 1 mit dem Erddruck I die Mittelkraft I\ oder die Linie

Fig. 194.

Fig. 195.

r;

\ °

S ä/i-n 7 yn

U% -

L„_i.

ccdrj

ul

lll,

- \ ILjt & Jjlj

a b bis an den Erddruck II parallel zu 0 1 des Kräftepolygons zieht. Der Schnittpunkt m von Py mit der Lamellengrenze giebt einen Punkt der Stützlinie. Die Mittelkraft P, oder 01 im Kräftepolygon wird jetzt mit Erddruck II zu dem Strahl 0II vereinigt, und im Mauerprofil zieht man b c parallel zum Strahl 0II. Darauf wird diese Kraft mit dem Gewichte 2 der nächsten Lamelle im Kräftepolygon zu dem Strahl 02 zusammengesetzt; die hierzu parallel gezogene Mittelkraft P₂ schneidet die Fundamentsohln der Futtermauer im Punkte n, welcher wieder ein Punkt der Stützlinie ist.

Nach den vorstehenden Prinzipien wurde auch die Stützlinie in das Futtermauerprofil Fig. 196 eingezeichnet, wobei das specifische Gewicht des Mauerwerkes gleich ist mit dem der Hinterfüllungserde. Im Kräftepolygon Fig. 197 wurden die Mittellinien der Lamellen in halber Grösse aufgetragen und sind die Mittellinien der niedrigeren Lamellen nach der obigen Angabe in ihren Breiten entsprechend reducirt. Die Totalhöhe dieser Mauer beträgt 7m; im Fundament hat dieselbe 2m, in der Höhe des Terrains lra Stärke erhalten.

Bei gut construirten Futtermauern muss die Stützlinie sich möglichst der Mittellinie des Mauerprofils anschmiegen und ist das Fundament durch Absätze nach vorn so zu verbreitern, dass die Stützlinie annähernd durch die Mitte der Sohle austritt und die stärkste Pressung des Baugrundes, 4 bis 5,5 Kilogr. pro □cm, nicht übersteigt, während die stärkste Kantenpressung    ’

im Mauerwerk 7 bis 8 Kilogr. pro □cm gewöhnlich nicht übersteigen darf.

Ist B die in einem Punkte der Stützlinie auftretende Druckkraft, N die verti-cale, S die horizontale Componente derselben und w der Winkel, den R mit der Verticalen einscliliesst, so wird N = R.cosw und S = B . sinw. Betrachtet man nun eine horizontale Fuge der Stützmauer oder die horizontale Fundamentsohle derselben von der Breite B, und denkt man die Kraft N nach Fig. 198 in der Mitte von B angreifend, dann wird der Druck N in der ganzen Breite B gleichförmig auf die Lagerfläche vertheilt, und den Gegendruck derselben kann man durch das Rechteck ab c d Fig. 198, graphisch dargestellt denken; rückt aber «

N aus der Mitte von B nach einer Seite hin, z. B. ä nach links, so wird der Druck an der Kante ad d ■ grösser, an der Kante b c aber kleiner. Der Gegendruck bildet dann ein Trapez ab cx dx und der Druck N geht durch den Schwerpunkt des Trapezes. Man kann bei diesem Vorgänge die Linie c d um den Mittelpunkt e gedreht denken. Hat nun N eine solche Lage, dass sie nach Fig. 199 von a um ’/g B, von b um % B absteht, dann ist das obige Rechteck in das Dreieck ab d übergegangen, welches mit dem Rechteck gleichen Flächeninhalt hat. Die Kraft N geht in diesem Falle durch den Schwerpunkt des Dreiecks und die Kantenpressung bei b ist gleich Null, bei a aber doppelt so gross geworden, als sie in dem Falle war, wo N durch die Mitte von B ging. Würde N noch weiter nach der Kante a rücken, so müsste bei b eine Zugspannung auftreten.

Fig. 196.

Fig. 197.

.0

moo mmm

fmp§..

La 4t

Fig. 198.

~~\ir

■m

.T

gg

Wo

Fig. 199.

Bit

Damit also an keiner Stelle einer Stützmauer Zugspannung Vorkommen kann, ist es erforderlich, dass die Stützlinie nicht aus dem mittleren Drittel des Mauerquerschnittes heraustritt. Die grösste Kantenpressung an irgend einem Punkte des Querschnittes lässt sich nach dem Obigen leicht berechnen, wenn man die an diesem Punkte in der Stützlinie auftretende Kraft R aus dem Kräftepolygon ermittelt. Der Reibungswinkel w soll womöglich 20 Grad nicht überschreiten.

Es ist natürlich nicht absolut erforderlich, dass man unter allen Umständen jede Zugspannung in den Fugen einer Stützmauer vermeiden muss, eine geringe Zugspannung an irgend einer Stelle der Mauer giebt noch zu keiner Gefahr des Umsturzes \ eranlassung, da die Zugfestigkeit guter Mörtelarten im erhärteten Zustande nach neueren Untersuchungen immerhin J/s bis ’/r der Druckfestigkeit des Mörtels beträgt (vergl. den Artikel: „Quaimauern, Stützmauern und Thalsperren“ von Prof. Intze in der Deutschen Bauzeitung 1875, S. 232, 243 und 252). Meistens ist es aber nicht schwer, das Profil der Stützmauern so zu gestalten, dass die Stützlinie sich der Mittellinie des Profils einigermassen anschmiegt, und diese Anordnung ist für den Materialverbrauch unbedingt am günstigsten.

KRAKÖW

'^'technic*^

r

■

i

«*

»

;

i

<. •

)

•r

■

.

■

■r

i

■■

:

- M-

>

;

,' *

'■

■

i

.

»

1500

Fig. 1. Dachbinder,

System Polonceau.

Geometrische Form und Kräfteplane von Dachbindern

1500

1500

1500

io.

1500

1500

1500

-fx

1500

J1

15

ZT

1500

5250

2250

'S

750

TU

2250

-----LZST

§7

11

Fig.9. Dachbinder.

2250

2250

<-■

10. Om-

2,

1000 SOO 0

lllillt.il

1000

2000

3000

1,000

KräftmwjaTsstah zw Fig. Zu, 22.

i Kiloqr.

TT

Eg. 4

2250

■10

2250

20,0 "p__________________

big. 15. Dachbinder mit englischem Strebensystem

.§

S)

Kräfteplan zu Eg.3.

Blatt, 1.

5250

Kräfteplan zuFig.L^y

i|

5625

5625

Kräfteplan za Fig. 15

1000

'6

ji

oo

■%\ . •

.Ja

Eg3. Dachbinder

belgisches System

15. 8 m-

JL

T\

"V 6

io\oo

UtOO

moo

CL

3500

5500

5/.

sx

KräfteplanzuFig.D Eg. 10. /

VA~

<%

s. kj-

72

in

Eg. 16,

<-

15,7m-

ii

■10

5000

ht-i

m.

I?

Rg.5.

1200

Dachbinder

,4

/.■

1 WO

IhOO

2500

Ah-

7t

6>

:z~£==

-Y-

noo

7400

(6

5500

5500

A iS

f9

Kräfteplan Eg.5

'd

Kräfteplan zu Eg.21,

Eg. 17. Dachbinder\yn

v. Schwedler.

25 00

2500

2200

/5,7"r

,9

10}

n.

2500

Eg. 7. Dachbinder mit 1 horizontaler Strebe

<x

tat

2200

2200

3300

3300

Kraffepian zu Fig. 7.

s i

iS

'9

f.

\Fig.22

fUL^₀

15000

2500

<18

2500

2500

4.

74

%oOO

15000

h-D

1,

'5

10

__15, ym- —

S//

7>

Hg. 8

i/IL

P,

P3

s--r

_A„Ac7

“______;____■______________34zm-------------------

.....f ! 1 i t , f ■ f ! r I ? I 7 ! f I T I f I i j IJ f I ?M I ”

Kräfierriaafs stab

ZW

Fig. 18.

->

mjvzrv

jlllllllllf !    \ f I f f I f ?    ”    7 f f T Y Tomien,

KräftemcoaTss(aJ) zw Fix). lf,6₁8: 10, 1%, 19, 16, 20, 2t.

Fig.lE^^”^ ^

'-(t

Hg. 81. m

p,

2100

Dachbinder.

2/00

2700

in

2700

Kräfteplan zuFig.17 Fig.18.

■*§

Kräfteplan zuFig.ll.

" ^ i Fig. 13. Binder mit engl. Streben ol¹

//

<?///

4-

6%

2000

4,

2000

■r ■f

3000

3000

A

-k-/

30, oA

22.,

5.

70,

7,

70

A *.

12

<■

io, oA

*ie

ki

1500

ir

13,

1500

Fh.ll. Dachbinder

0    1500

KrafteplanzuFig.lv

ff

2220

2220

Ö\A/)

7/

/74

•20

1500

1%

1500

71

2220

2220

13

5550

5550

15

18

iv?

cy

85

5250

7500

iV(3

1500

5250

10

O.

,-Y

.5

j.

Kt

h.

V/y/4

73\A

:a

--T

15

~v~

20,0-L

Hg.14.

Klasen, (jtapMsciie- Statik.

Fig.19. Hängewerk als Dachbinder.

c^hF\-^4-c

rb    Kräfteplan zu Fig. 19.

-

t

.

»

<

. v

/

■

■

.' *

;

■■ ■; ■

v

(

wo

2000

2000

Blaff 2.

ÄRlt

Flg. 5.

2000

2000

2000

lh

Xd

10

Geometrische Form und Krafteplane von Fachwerksträgern

2000 Ü

in

|A

n₅

1000

7000

A5

13

11

'S

Xs

Eg 3

fr Sichelträger.

[A

p₆

fr

~T~

/2

■>

5/

7'

Sj

fr'

A-r

Kräfkpohfgon

10

io s 6    *    * o

i    : i    iii    ii    i    i I

io

30

j° Tonnen. Zu.Fig. 8

n*

üj

üj

Fig. 8. Kräfteplan zu Hg. 7.

Ry

Jl

fr-

R6~Rl

</> \

%

i?a

2/.

22k

R5H6

Hg. 2.Kräfteplan zu Fig 1

j§

19''

JO

<7

y<5

Perrondach-Bmder.

X>

■?

X.

Hg.F

fr

lO^

'r

i>

13

i>

Hg. 7. Parabelträger.

10

7F

i>

B.

2,

AriU

11

13

IR

19

-R3 Ry

21.

.5

—.>«-—a---->j

y,U

3.0

fr⁵

>rr,^

/<?

22

26

29

äT

Fm

D.ü,

--L

Wn

->

'fr:

-X

P iKrdftepokjyon

\

fr

Kräfteplan zu Fig. 3.

um \ \

R,

Ry

Ri

5¹ 4,5

Ri

Re

Rr

iT

9)

Hg.4

ilifrx

's

JL

' ~R3

-Ry

fr

S'

fr'

X"

^-Rz

e*

s-

Kräfteplan zu Fig. 5.

Fig. 6

n,

—7-

X-

R2R1

fr

R3R2

to

ft t l f 1    1Tonnen

fr

fr

R9-R3

Kräflenicuz/sHab nt Fig 5u 6

frv

Klasen, üraphiscKe Stafik

t

!

,

\

V

>

;

J>x

r,

Vt

Fig. 1, Fachwerksträger mit Zug diagonalen

Pi/

A/

In

\Z)y

''Dg

Einfache und continuirliche Fachwerksträger.

42

UiV

Dy

De/

Ds/

1=200

Di

Di

0*0|

D?

■SP

-Blatt. 3.

miP

j*--

Jog

i§sb

i‘-.U

1= 50

Fig.4. Qelenkträger auf drei Stützen

Ds

#-

MXMXMXKM

-------a------------

Fig. 5. Gelenkträger auf vier Stützen

B n 'lUMvTvM /I JZ

->

Fig. 2

-k— ~~

Fig. 10.

Auflagerung der Parabelträger.

Kräftepolygon u.Kräfteplan zu Fig. 1.

V?

K-

a.

—d-------

____a __

----->1

fr

d    Fig. 6. c

[\f\IXIXIXlXIXl7pfv-f/fCINIXl>Nnatl\IXIXIXIXIXI/l/f

A    A r    i , Ä    Ak.

K---<-----C------->[(-b—[<- ö- >j<-ö-s4<--------c-------->j

too so 60 bO SO O

LI. 1J11III1I

1 Meier Za Fig. 10.

<?

’O 8    6    4    2    0

U.i.l 1 Li 11 I i

JO

k—?-

13,51-1

Cp Cp (I)

Fig. 3. Kräffe-und Seilpolygon für einen Locomofivenzug.

---?—**■--1--1--⁹----B.s".L--.»--/!_«__>*--»--1±--7JL_

(7)QQ i (iXYD m n m l OOQ

13,5™--—--?1

iC.

•>l

CD 'Cp GM

1/

>00 0

um

500

1000

1500

1—1

N "8

' 73

13

13

73

13    13

Ä 3    3 Tonnen/

Graphische Darstellung der Momente bei verschiedenen Belastungen.

4P

30

j Meter. Zu Fig. 8. 2000

~J Meter

Tonnen ZuFig.9.

3X

N^

7J

zC

7*

73

72

ii

,Mä*"

Fig. 7. Emtheilung der continuirlichen Träger von der Wartkebrücke bei Posen

10

TZ

10'

-----3lo1---->^7.o"[

.Xo’H.

_7.o2j

____3(o“ _

..a

..5

b b

--36.om—~

=3u-i—

___31,0—___

10

ty

Fig. 8. Ansicht der Brücke.

77

7?

7f

73

73

1t

Vt

iiiZm

■3im

7K/7

73

16

’OS 6 « » 0 1UJIII1I I

10

20

hO

f.

2.

70

30

100

11

IS

150

75

I_L

Tonn&n, Zu.Figlu. %. Tonnen Zu Fig. 3 1 Meier. Zu Fig. 3.

-.räj! mÄ,. I “

«wsBii

jv f kur- kSmk

Hochwa/ser

Di I

W/mm

's"

.

'    : r-

.

v- •

■V

-i

vv.

. -

.

‘V - . -»jj

• - 4

>

ö

vr.

■ • • ••

.*»

s

• -

T_

60-80

_X._

28.3-10

Figl Bogeiifachwerksträgei von28m Spannweite

Bogenfachwerk, zweifaches Fachwerk und Gewölbe.

Hg-5- Zeglin-Brircke ~bei Stettin.

Blatt 4.

<t

11

JS

11

19

if

=T

10

1b

18

22

26

f-

\\\>

X-

NX

-x

»Sä

'S

§!»■

rf

Figi.Kräfteplanzur Bestimmung der Werths Maasseinkeit-40

mm..

von u.

i gssii

US

:u

Vv

mmmm

Nk

's.

t6 ti

22

Big-6. Elb-Brücke bei Dömitz von Baseler.

/\

'W

1=500

71

71

11

iS

11

% 1 2c

xe

<---JTorixontalschiib = 00

rx

----->

16

2}

XO

!7

28

Brückenträger mit Krümmung der obem Gurtung nach der Grenzform der einfachen Zugdiadonalen

Fig.Y.

1=500

fx

f<

s,

s,

lutuOl

IN

s,

to

16

s.

\ Fig. 3. Kräfteplan zur Bestimmung derWertke von Maasseinkeit -10

mm.

v.

72*.

x^

18

26

fig. 9. Kräftepolygon.

a- Jl s.

Stützlmie in einem kalbkr eis förmig gewölbten Eisenbakndurcklass

j Kbm Zu Fig 9 und II.

FigiÖ. Belastetes Gewölbe.

-Li.

(J

6    V    8

-1    I    I

Fig. 11. Kr äf tep oly gjo

vJ

Jt

13

12

JS

16

19

13

2S

ZI

21

20

26

28

Fig.4. Kräfteplan zur Bestimmung derWertke von w. Maassemkeit-5

's

mm.

⁰ Fig.8. Unbelastetes Gewölbe, g.

W\

VJ

Jf j iY

ff w a

li

1=100

1=

ff

18

,r

ss /

.|U

■V

13

JS

11

19

21

Iti

12

16

20

26

_T-_

Wi-

I.

:

r

•>

..***•

■

/

5.

\

-

•V-,

■ -

■

r

4

■; .

c

)

/

f

/ .

V

V

■    '** r

• tr

■

■

■

■' ■*; ?

•i

- V

*

'

■'

•⁵ ;

.

fü.l.

Stützknie m gewölbten Viaducten

Gewölbe und Futtermauern.

Fig. 13.

d

Schienen Unierkante..

Blatt. 5

Ht)r

AL

an*

cro,

15

zo

2/

m.:.

A n /s,6

1 •■150.

4if

aUt

jj

Fig.ll.

m-sm:

mm

ff, /■?. 7 Khm

~?P

m,3i,,

l-ir

iV^ZfiZ ,

K\-3,13,

”+

in-3,88t

V6W¹ Ti

2,31 “U 2,62 « -U 3,13 , -|l

__H-ttkXb?¹

li-I.OKbm 1±-I,3S „ H-1,51 „

A-1JZ „

IO\-2,33 „

U\-3,08 „ 1,16 ,

JT

Wf

Hi

fcv,ä

x~

Kräftepolygon für die Pfeiler

Pig. 5

P I3bisl8

,*«

<r

><

m-

ip

Eig. 3. Kräftep olygon für die vollbeiastete Brücke.

3,88 » -ji 1,16 „

Pig.i Kräftepolygon für die zur Hälfte Belastete Brücke.

Hx

Graphiscke Bestimmung des Erddruckes nack Culmann.

5si

1 '• 150

-,d

/-

Br

/«/ 0 11 n i ii m ii

'j

6‘

*o    //

J_U/i

Hi tO,8K6”>

/,j/

Xrciftemaassstab xu Fig. 1 bis 7

10

I Kubikmeter.

Fig.8. Profil der jCkalsperremder Sckluckt dPEiaferbei St.Etienne.

1--1000

p'

I.8Z -m    y/

2,33-tä //

3.08 -iZ3 //

1,16-AX /

Fig.4. foäftepolygonfiir die ganz entlastete Brücke.

Big.6. Belastung eines Endpfeilers

ri-ns

11-1,30

M -/so ml- no zn - t,9o

IjT^

Hp- po

>ö

Pi

x',

• 1—1

PH

to

txt

a>

B.

M ü

m rj

U O nri ^

CO

rs

Vf

<3-

Pig. 16.

—iCO

sjtq

fi

*+

"i

kB

H, 13,IW”

-3.31-

JT,

~:w.

v' v

U-/

/b

/

cv

H\W

r PV-

Fig. 9.

/1-2,/S

3'-Zp% VI -3,13

ilü?

1:150

vi

VS

Fi

F°

cpo,

flr

V 1QQQ

OQ

u,;.

mm

51-3,88 tiyljl

n=/,s*

!

ßf-S,S5

'Am Absi if -i,r8 rf^Z.OS

Y]=Z,60

4

YfrZSI

-V

6,3unter' S.TJ.

-U-W

I---

■s

es

SF

y;

Bestimmung des Erddruckes nack Bebkann.

c__

B.

//

</

rv\

nfr

\y

!E

"oo

JV;

v.

;.v

> •

f

r;

=

v' .

*

•V

'•

i

-•

• •

?:T

r

v ■

\

»r

i

•' /.

:

■. '

:

■

< .

v

. *..

;

*. •

;•••

€“

l

nrr,~

......... ...«wl.iW >

y»u/< ..‘Mt J#

>*.-• I\.if    W'¹' "i\ll ■ i

wii» AWi/(/4iW4m.' ."W/j,"i%i<iiMag 3**

^matg

44#’ Im/ 4U4¹    *%(|h

,.>%ju w

.4/ /#' hggf

*|U’ '»wW IMW/,    44^1 ttaJI

4/4t*■ «444((i 11 ^,\\nfiniÄ ~

'4iW/

."Vfli/I >» JM

>111/

jiM

Effl

Fig.l. EisenbahnFBriidke nach der Sdüfzlinie eingewölbt.

Gewölbe und Futter mauern.

Badisches Profil

Tig.l£. Ehem-Hahe-Bahn.

Blatt. 6.

Figl3 Kaimauer zu Havre.

iiiiniiiiiii

«TT

TW

fcnWr^nnW

■1^1 1,11 I »! fllHWC'^l yl Will ^1 ni|’| ^l Hl sj iiinii>| /iiiiii*| <n|tj Wl iin|i'ljj!

‘ =l|l fHl| ^1 «wHI

l|| iilllliliiMiill ^:[^r₍i"l|

fl «IlWlFsflU

?( .m«,| rf'i |i)l)/|/|l| jg[ l0|.lfff^ '/TTiTiij' ;,mf|    ä)

WT=

iiiijini'r^gi fei |fi llH|f^lH(|^g| W

öS>mi;

HTPbl

v/111 = 1 * ÜTm

|hm|?tu | iv:

LqgjW|HI,

S.3

13

Steiqunq 1200    w    i j?    i

.ÄiÄitiiKÄi Tyrosin fraiizosisclieii

liffffpfnairPTTLTLäCll POTlf Pllä

/./'

ri

Hochwasser

r-TT-^

| H,%

MMra.iiiil^iijlAj^v^.j/^^,111)1,1).'^1

" =4    Airtut»

i-Ufl    ,41^ j m

fllH*

lil

flll

§1®

IBäe ■=

1=200

ttf

M5*S

V^J

^ /

UJV

1=200

II

■1

IPÄ

>=s

Ipt

1=200

iöM

'i\

imm

ÄfÄl'II

■Ä»R4i?v

Ci

=4^®

xirß \>C-A

Rgll

figi. lomdon-Birmmgli Eis enb ahn.

am

Fig.3.Yauban's Pestungsmauern 1=200

1= 500

/.

J'M

ivU

—3i

mm mßt

mfm

'4m§m

Sfütziriauerr. an der scPiefen kEHene bei CulmbacTrin der ABayens dien-Eis enb aPu.

'wM&Sß

■I

Kaimauer an der steuerfreien derlage m Harbur g.

Ftg.4.

m»

WMSm

London-BirmingEam Eisenbahn. -

^rnm

mm/MA

mmm

|^,^KKS^af ^

./

big. 14.

1=200

Wm

yy

Typus der englischen Euttermauern.

f'A

n\li

t*mM*

ii^jig

¥v//,

aV\

L.

Wl

mm

Mß§m

k • 1:300

mm

Mm

«i

WM

Yh»"'* hpwnf

‘Sk

Euttermauer v. Schure.dler Fi . 7.

OO

III

8p f#fl»

lil#

"***%&§

Fi 8. Fnttermaner von Häseler.

cF*Yf^

C\

SH >]

.SSS}!

%L.1m\fl SIKTI^. W

M \ r\ / U V \ /o-U^Ä Ml , \

V h\

;=

mß

QO,

Mb

nioo

Schuftr

Yd

n= K'a«

Kaimauer der

CD

'    .P3

Trochendochs

Ef^FT~

'V

J,

En

j£fr

.............*m*rJ

zu ■Ch.athaimwS^^#'

; ¹ "!    1.....

Emm*

if

m

Kaimauer am KnegsTiafen an der Jade.

Fig. 15.

;"/|i

II

sj

ih

?1

wk !-• 1Ö0

Si

bb

tfiS

«4

jfi

iip

mm

JHH

Typus der Euttermauern der S chweiz er - C entr alb ahm.

1=200 >

!■

mm

mm

DO

Mb

II

iff

sr-

bbb

m,

»p

4:

dh

Äui

mm

Kl

i*

Ls=

~~l

fl

Hfl

mm

WüHffl

Hasen, liaphsclie' Statik

tnru

SS

iäSmIIää

W/

wm

Idh

Sß!«

SsTij

PU

►

r' • -

MT,

*

■

'S

■ >

■»

■I

•...

• v-:t ■

••

i.

r

V:'1

>

v. ’

-

• l-

'S

■ ■

\

■vr:

m

s ’

K

'?

• s

(. V.

y

>•

■

&

S. 61

'

f

. .

■

)

.

:

•-

*•

WYDZIAEY POLITECHNICZNE KRAKOW

BIBLIOTEKA GLÖWNA

L. inw. ..

Druk. U. J. Zam. 356. 10.000.

Biblioteka

Politechnik. Krakowskiei