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Erster ataatspitte.

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(Methode ßittenkofer)

für Selbstunterricht, Bureau und Schule.

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Gott»« Mrdalllr.

Betoneisenkonstruktionen.

“= Lehrfach Nr. t42.

Mit 18 Abbildungen und 10 Tafrl'n.

Bearbeitet von

Ingenieur E. Fölzer ^ L

(Technikum Strelitz).

Ureis 3 WK. 60 Uf.

Jeder Nachdruck verboten.

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Streich in Mecklenburg.    f

Polytechnischer Verlag M. Hitlrnkofer.

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Die hier angegebenen Preise sind für Auswärtige. Schüler des Technikums Strelitz erhalten

die Lehrmittel billiger.

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J6

SaH-

05

Linearzeichnen (8 Übungstafeln) . . . Zirkelzeichnen (5 übungstafeln) . . . Geom. Zeichnen I (io übungstafeln) .

„ ft n (io ,    ) .

Geom. Verzierungen I (7 übungstafeln)

tf    tt    P (8    „    )

Knrven-Zeichnen (6 Ubungstafeln) . . Malen mit Wasserfarben (6 übungstaf.) Lehrheft für Fach 1—6 ........

Aufnehmen d. Modelle I (8 Übungstaf.)

ff    ff    ft H (b „    1

Modellierbogen dazu .    .    .    .

Lösungsblätter dazu .... . . . Darstellende Geometrie I (10 Übungstaf.)

120

Nr.

23

75

150

150

105

120

24

Backsteinverbände I (8 übungstafeln)

II (8

20

90

90

120

25A

135

25

90

1 70

7—8

„    „ II (10 Übungstaf.)

Schlagschattentthre ^<8 Ubungstafeln)'

150

1 50

1 25

1 20

26

26. 31

27

10

Lehrheft dazu ......

Angew. Schattenlehre I (8 Übungstaf.)

II (8

80

1 20

13

141

1411

14III

14IV

15

16

16A

17

18

19

20A

20

21

22

Lehrheft dazu Körperschattenlehre (12 übungstafeln).

Lehrheft dazu. .......

Perspekt. Zeichnen (10 Übungstafeln) .

Lehrheft dazu........

Lösungsblätter dazu ......

ormenlehre (5 Übungstafeln) . . . änlenordnungen i (io Übungstafeln). „ II (10    „    ) .

Lehrheft u. d. T.: Eins. i. d. Arch. I. Einführung in die Holzarchitektur:

I.    Bauhölzer. (5 Übungstafeln). .

Lehrheft dazu........

II.    Die formale.Behandlung der Bau

hölzer (8 Übungstafeln) . . -

Lehrheft dazu........

III. Bauteile in Holzarchitektur

(20 Übungstafeln).....

Lehrheft dazu ........

Einführung in die Werkstein.architcktur: I. Werksteinverbände (8, Übungstaf.)

II.    Werksteinformen (6 Übungstaf.) .

III.    Werksteinarchitekturen. Ein Heft

mit Vorbildern und Aufgaben Einführung in die Backsteinarchitektnr:

HI. Backsteinarchitektnr (20 Übungstaf.) Austragen der Schablonen, Lehrheft . Angew. Säulenordnungen (Lehrheft). . „    „    für Möbel

tischler (1 Textblatt u. 5 Tafeln) Aquarellieren i (6 übungstafeln) .

II (8    „    ) .

Gemeinschaftliches Lehrheft . . Aquarellieren m (Innendekoration)

4 Übungstafeln......

Lehrheft dazu.......

Darstellen d. Treppen (10 Übungstafeln

Lösungsblatt dazu.....

Zimmererkunst I (8 Übungstafeln) .

II (9 „ ra (9 Lehrheft dazu . . .

Anhang zum Lehrheft Mauerbögen (4 Übungstafeln). . . .

Lehrheft dazu...... . .

Maurerkunst (Gewölbe) I (9 übungst.) ,,    „ n (11 übungst.) .

Lehrheft dazu........

Bautischlerkunst. Lehrheft mit Aufgaben Vorbilder-Tafeln I (Zimmertüren) 5 Tafeln. . n (Haustüren und Windfänge) 6 Tafeln . ni (Fenster) 9 Tafeln . IV (Schaufensteranl.) 4 Taf Dachdeckerkunst (8 Übungstafeln) . . Lehrheft dazu.......

tt

1 20

28

180

180

50

29

1 50

75

30

1 50

150

75

3 60

120 2 20

6 60

120

90

1 60

180

1 20

90

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160

60

4 80

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135

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60

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80

31

32

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341

3411

34IV

351

3511

36

36A

36B

37

38

39

40

41

Lehrheft dazu Lösungsblätter daw Der Grundbau I (5 übungstafeln) .

„ II (6 Lehrheft dazu . .

Lösungsblätter dazu Vorüb. z. Ermitt. d. Eisenkonstr. . . Ermitteln der Eisenkonstruktionen

Lehrheft..........

Ergänzungsheft.......

Ermitteln der Balkenlagen (4 übungstaf.)

Lösungsblätter dazu......

Balkenlagen, Lehrheft......

Ermitteln der Treppen (6 Übungstaf.)

Lehrheft dazu........

Lösungsblätter dazu......

Ermitteln' der Gewölbe (7 übungstaf.)

Lehrheft dazu........

Lösungsblätter dazu......

Ermitteln der Mauerstärken und Feuerungsanlagen (4 Übungstafeln) .

Lehrheft dazu........

Lösungsblätter dazu......

Ermitteln derMobiliarstellung (4 übungstafeln) .........

Lehrheft dazu........

Lösungsblätter dazu......

Durchbilden d. Balkenlagen (6 übungstaf.) Lehrheft siehe unter 26, Balkenlagen.

Lösungsblätter dazu......

Durchbilden der Grundrisse (7 übungstaf.)

Lehrheft dazu........

Lösungsblätter dazu......

Entwerfen der Flachornamente i . .

Gebäudeteile i (Backofen).....

II (Eiskeller).....

Rüstungen und Absteifungen . . . .

Fachwe'rk-Wohnhans.......

Wohnhäuser (Arbeiterwohnhaus) . . . Landwirtschaftliche Gebäude I (Diemenschuppen) ........

„    „ VII (Federviehstall) . .

Entwerfen der Fabrikgebäude . . . . Ziegelei-Anlagen und Ziegelsabrikation Baumschlag I (Federzeichnen) . . . .

„ II (Malmamer) .... . . . Entwerfen d. Dachbinder (15 übungstaf.)

Lehrheft dazu.......

Lösungsblätter zusammen . . . . Dachausmittelungen I (10 Übungstaf.) . n (io in (io

20

60

75

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HH«

io

90

50

50

60

50

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50

80

60

60

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60

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80

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20

60

80

CO

80

60

80

25

50

50

50

50

Lehrheft dazu Lösungsblätter zusammen . . . . Entwerfen d. Grundrisse IA (9 Übungstafeln) . ........

Entwerfen d. Grundrisse IB (6 Übungstafeln) •.........

Entwerfen d.Grundrissen (6übungstaf.) Entwerfen d. Grundrisse m(io übungstafeln) .........

Entwerfen der Grundrisse (Lehrheft). .

Lösungsblätter zusammen .... Der Fassadenbau I (Hausteinbau). . .

„ gebd. . . „    „ Kleine Ausgabe . .

Der Fassadenbau iia (Backsteinbau), (Hannoversche Richtung) . . . Der Fassadenban HB (Backsteinbau), (Berliner Richtung).....

50

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80

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Inhaltsverzeichnis.

Seite

II.    Betoneisendecken........................

a)    Betoneisendecken als Träger auf zwei Stützen ........

b)    Betoneisendecken als eingespannte oder als kontinuierliche Träger

III.    Balken aus Beton und Eisen als einfache Balken.........

IV.    Balken aus Beton und Eisen als sogenannte Plattenbalken.....

V.    Säulen aus Beton und Eisen..................

VI.    Berechnung eines Gebäudes aus Beton und Eisen.........

VII.    Berechnung einer Betoneisen-Bogenbrücke.............

VIII.    Berechnung eines Wasserbehälters aus Beton und Eisen mit geraden Wänden und ebener

<1 O 03

16

18

23

25

. 33

44

IX. Berechnung eines Wasserbehälters aus Beton und Eisen, wenn der Behälter ein Halbkugelgewölbe bildet.................................

Literatur.

Wahs; & Cop: Der Betoneisenbau, seine Theorie und Anwendung.

Äkc. Nr.

SOU/ 51

Betoneisenkonstruktionen

I. Allgemeines.

In neuerer Zeit finden die Betoneisenkonstruktionelt im Hochbau als auch im Tiefbau, besonders im Brückenbau, sehr häufig Anwendung. Die Gründe hierfür sind hauptsächlich folgende:

1.    Bei rationeller Anwendung werden die Konstruktionen in Beton und Eisen billiger als die entsprechenden Konstruktionen in Stein, Eisen oder Holz, was darin begründet ist, daß die große Druckfestigkeit des Betons und die noch größere Zugfestigkeit des Eisens vollkommen ausgenutzt wird;

2.    die Betoneisenkonstruktionen benötigen ganz und gar keine Unterhaltungskosten;

3.    die Betoneisenkonstruktionen sind als absolut feuersicher zu bezeichnen.

Für die Betoneisenkonstruktioneu als auch deren Berechnung sind folgende Eigenschaften der Materialien und folgende Regeln maßgebend¹):

a)    der Beton soll aus 1 Teil Zement, 3—4 Teilen Sand und 10—15 °/₀ Wasserzusatz bestehen;

b)    der Beton hat alle Druckspannungen, das Eisen dagegen alle Zugspannungen aufzunehmen;

c)    der Beton schützt das Eisen vor Rost;

d)    zwischen Beton und Eisen herrscht eine große Adhäsion, welche man nach Versuchen zu 40—50 kg/qcm annehmen kann, also bei 5facher Sicherheit zu 8—10 kg/qcm;

e)    die Temperaturausdehunng von Beton und Eisen ist ziemlich gleich;

f)    der Beton kann einen Druck von 250 kg/qcm, also bei 5facher Sicherheit 50 kg/qcm aufnehmen, jedoch pflegt man int allgemeinen nur bis 35 kg/qcm zu gehen;

6 kg/qcm;

g)    die Schubfestigkeit des Betons beträgt 30 kg/qcm, also bei 5facher Sicherheit

h)    der Elastizitätsmodul des Betons ist 200000;

i)    der Elastizitätsmodul des Eisens ist 2 000000;

k) die Druck- und Zugfestigkeit des Eisens beträgt 1000 kg/qcm bei ruhiger Belastung und 750 kg/qcm bei erschütternder Belastung und entsprechend die Schubfestigkeit 800 bezw. 600 kg/qcm.

II. Bekoneisendecken.

Für die Berechnung der Betoneisendecken gelten folgende Grundformeln (Abbild. 1):

(h-y);

M

2) Z = D = — = Fe • K,

e

Abbild. 1.

In diesen Gleichungen bedeutet:

Kb    die    Inanspruchnahme    des    Betons auf Druck in kg/qcm;

„ Z^g n tt

Ke    „    „    „    Eisens

Eb    der    Elastizitätsmodul    des    Betons;

Ee    n    i/    n    Eisens,

y die Hohe des Betondruckdreiecks in cm; h „    „ der Platte in cm;

c die Entfernung des Eisenschwerpunktes vom Schwerpunkte des Druckdreiecks; D der ganze Druck im Beton in kg;

Z „    „ Zug „ Eisen „ „ ;

M das Moment in kg/qcm;

b die Breite der Platte in cm, gewöhnlich b —100 cm zu nehmen;

Fe der Eisenquerschnitt in qcm auf 100 cm Breite;

= 10

Eft    2 000 000

Eb

3) Kb

CD

er¹

4) K

e-F- ’

6) e = h--o

7) y=

2-Fe ™h +

.*

1)

^ n -Fe.-

.-7

- - Ir - -

200 000

Nimmt man nun Eg—2 000 000 und Eb = 200000, so lassen sich mit Hilfe vorstehender Grnndformeln leicht die Plattenstärke und die Eisenquerschnitte berechnen, wenn die zulässige Inanspruchnahme des Betons und Eisens bekannt ist.

Beispiel.

Es sei gegeben Ke — 750 kg/qcm und Kb = 25 kg/qcm, dann ist nach Gleichung 1)

:(h-y),

750

200 000

2 000 000

25

750

200000-y    2000000 (h — y)

2 000000-

25

200000-750

h —y'

48

oder

\!

M • 48 550 • Ki,

und

/ M • 48 550-25 hj = h + a.

— 0,059 y.M

Nach Gleichung 5) ist nun

Fe =

e-K

Ol

• h-K

4.0,059 VM • 750

0,025 VM .

12

Verspiel.

Es sei gegeben: Ke —1000 kg/qcm und Kb = 30 kg/qcm, dann ist

__1000 :y—2 000 000

30

200 000

10    (h-y)'

J-iki

13

ferner

e = h--— — h —

13-3

(M ' CO

und

30 =

Ü-'-iT¹'¹⁰⁰

1800

169

- h²

mithin

169-M 30 -1800

= 0,0561/M,

55O-1i²

11

4-3

12

tH j CO

y = -rh-

Nach Gleichung 6) folgt nun

ferner folgt aus Gleichung 3) Kb =

Fe =

6-Ke 12

bi — h 4- a .

= 0,019 )/M.

—-0,056-VH -1000

13

Nach vorstehenden Beispielen ist nun folgende Tabelle berechnet:

Kb

Ke

Fe

Kb Ko

Fe

WWW Ol O

iO O iO CM CO CO

1000    0,056 VM    0,019 VM

1000    0,049 1/M    0,022 VM

a) Bekoneisrndrcken als Träger auf zwei Stützen.

Ruht die Betoneisendecke zwischen den Trägern oder ruht sie ohne Zusammenhang ans den Trägern, so ist sie stets als Träger auf zwei Stützen zu berechnen. Bekanntlich

jo

h---

Abbild. 2.

Abbild. 3.

sind solche Träger jnur positiven Momenten ausgesetzt und die Momente an den Auflagern sind gleich Null (Abbild. 2 und 3). Es entstehen also nur Zugspannungen int

Abbild. 4.

unteren Teile der Decke und es sind dementsprechend die Eisen in die untere Zone der Decke zu verlegen. Diese Eisen, welche senkrecht zürn Träger liegen, sind an den Enden

*7,

Abbild. 5.

aufzubiegen (Abbild. 4). Bei gleichmäßig verteilter Belastung genügen diese Eisen, während bei Einzellasten noch über die Tragstäbe schwächere Stäbe, sogenannte Druckverteilungsstäbe zu lieget! kommen (Abbild. 5).

Verspiel.

Die Entfernung der Träger betrage 2,4 m. Das Eigengewicht sei schätzungsweise zu 300 kg/qm und die gleichmäßig verteilte Nutzlast zu 600 kg/qm angenommen. Es ist die Decke zu berechnen, wenn a— 1,5 cm, Ke = 1000 und Kb = 30 ist

Die Gesamtbelastung für einen Meter Deckenbreite ist P = 1 • 2,4 • (300 + 600) — 2160 kg, mithin ist

= 64 800,

P-1    2160-240

folglich nach Tabelle S. 5

h = 0,056 l/M = 0,056 V64 8 00 = 0,056 - 255 = 14,28 cm, h₁ = h + a = 14,28 + 1,5 = 15,78 — ^ 16 cm,

ferner nach Tabelle S. 5

Fe = 0,019 VH = 0,019 V64 800-----0,019 • 255 = 4,845 qcm.

Ordnet man nun 10 Stäbe an, so müssen dieselben, da b = 100, x = 10 cm auseinander liegen; es ist für einen Stab

fe — 4/^⁵ — 0,4845 qcm.

Für Rundeisen ist

= 0,4845,

mithin

-1/

0,4845 • 4 3,14

Verteilungsstäbe brauchen nicht angeordnet zu werden.

•j/0,61 = 0,78 cm = 7,8 mm.

Beispiel.

Die Entfernung der Träger betrage 3,0 m. Das Eigengewicht sei schätzungsweise zu 350 kg/qm und die gleichmäßig verteilte Nutzlast zu 250 kg/qm angenommen; außerdem wirke noch eine Einzellast von 700 kg in der Mitte. Es ist die Decke zu berechnen, wenn a= 1,8, Ke = 750 und Kb = 25 ist.

Es ist

mithin

P-1

P = l-3-(350 + 250) = 1800 kg, 700-300

V*

+ "4

1800-300

120 000.

Nach Tabelle ist

h = 0,059 VM = 0,059 Vl20 000 = 20,4 cm, hj = h + a = 20,4 + 1,8 = 22,2 cm,

Fe = 0,025Y120 000 — 0,025 • 346,4 = 8,65 qcm.

Ordnet man nun wieder 10 Stäbe an, so kommt auf einen Stab ein Querschnitt von

fe =

8,65

10

= 0,865 qcm

mithin

*-1/

0,865 • 4

— 1,05 ein — oj 10 mm.

Da hier eine Einzellast vorhanden, so sind Verteilungsstäbe anzuordnen. Die Stärke derselben sei zu 6 mm und ihre Entfernung zu 12 cm gewählt.

3,u

b) Brkonersrndrcken als ringesxannke oder als Konlilmierliche Träger.

Hat Ulan es mit Decken zu tun, welche an einer oder an beiden Seiteil eingespannt sind oder aber es gehen die Decken über mehrere Unterstützungen durchlaufend hinweg, so entstehen neben den vositiven Momenten noch negative Momente an den Auflagern, welche stets größer sind als die ersteren. Da nun bei den positiven Momenten die Zugspannungen in der unteren Zone, bei bcn negativen Momenten dagegen in der oberen

Zone liegen, so sind bei den positiven Momenten die Eisen in die untere, bei den negativen Momenten in die obere Zone zu legen. Es müssen also die Eisen an der Stelle, an welcher die positiven Momente in die negativen übergehen nach oben gebogen werden. Diesen Punkt nennt man den Nullpunkt N (Abbild. (i).

4-

.r

Die Decken nud Kalken aus Keton und Listn werden stets nach dem größten positiven Moment berechnet.

Abbild. 8.

Auf Tafel I sind die am meisten angewandten Falle der eingespannten ititb kontinuierlichen Balken dargestellt und zwar bedeutet:

Fig. 1. Der gleichmässig mit F belastete Balken ist auf beiden Seiten eingespannt.

Das größte positive Moment ist -st M —

Ph

24'

„ negative

Der Alls tag erdrück bei A ist =

_ P

n    n    n B „ ⁼⁼ W

12 *

Fig. 2. Der auf beiden Seiten eingespannte Balken ist in der Mitte mit einer Einzellast P belastet.

Das größte positive Moment ist-st N —

IM

„    „ negative

p

Der Anslagerdruck bei A ist — —

IM

Fig. 3. Der mit P gleichmäßig belastete Balken ist auf einer Seite eingespannt und auf der andern gestützt.

Das größte positive Moment ist -st M

L.P.,

128

„ -M

„    „ negative

Der Auflagerdruck bei A ist =~

P.l

8 *r' - B "=i"p-

liilK

y¹'

y¹'

xss

V"

yylKill

u-<vyy- ->i

4-

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J y¹

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Tafel I.

fx

+/

Fig. 4. Der Balken ist auf einer Seite eingespannt, auf der andern gestützt und in der Mitte mit einer Einzellast P belastet.

Das größte positive Moment ist + M = J^-P *1,

o 2

4-p.i.

„ negative

tt

16

Der Auflagerdruck bei A ist =

iH CO

•P,

tt

Fig. 5. Der Balken ruht auf drei gleichweit voneinander entfernt liegenden Stützen und ist jedes Feld gleichmäßig mit P belastet.

Das größte positive Moment ist + M

„ negative

„ -M = —

Der Auflagerdruck bei A und C ist —

CO CO

-•P,

10

tt

— P.

Fig. 6. Der Balken ruht auf drei gleichweit voneinander entfernt liegenden Stützen und ist jedes Feld in der Mitte mit der gleichgroßen Einzellast P belastet.

Das größte positive Moment ist -f M = ^ - P • 1,

„ negative

Der Auflagerdruck bei A und C ist — 4 - P,

16

—_______p

" 16

Fig. 7. Der Balken ruht auf drei ungleichweit voneinander entfernt liegenden Stützen und sind die Felder gleichmäßig mit den verschiedenen Lasten Pi und P2 belastet.

Die größten positiven Momente sind + M₁

negativen

Die Auflagerdrucke sind bei A — 4 P

drP>-‘- ■mf + M.-iis-F.-'.,

Pa la

P₂-l₂

* GO

und — M₂ =

ltiB“Tp- ⁺ Tp

Fig. 8. Der Balken ruht auf drei ungleichweit voneinander entfernt liegenden Stützen und find die Felder in der Mitte mit den verschiedenen Einzellasten V₁ und P₂ belastet.

Die größten positiven Momente finb + M₁=    • P₃ • 1₂ unb + Mo = ^--P₂ *1,,

o2    “ o2

tt

bei C —

Ir,.

—M1 =

bei B =

negativen

Die Auflagerdrucke sind bei A = ^ P₂,

^•Pj'li Ultb — M₂ == -³ß- • P₂ • 1₂

— P 4- — P    (iei c — — P

16 ^ ⁺ 16    tet , 16 ** ’

Fig. 9. Der Balken ruht auf vier gleichwcit voneinander entfernt liegenden Stützen und sind die Felder gleichmäßig mit den gleichgroßen Lasten P belastet.

9    1

Die größten positiven Momente.sind + M* — ^ • P • 1 und + M₂ = — • P • 1,

negativen

— M₁ = -g-*P-l imb —M₂=^.P.1.

Die Auflagerdrucke sind bei A und D — jj P, bei B und C = -|-P +1-P.

Flg. 10. Der Balken ruht auf vier Stützen, welche gleichweit voneinander entfernt liegen und wird jedes Feld in der Mitte durch die gleichgroße Einzellast P belastet.

Die größten positiven Momente sind +    = ^ • P • 1 und + M.₂ =    • P • 1,

negativen

^.P.l imb-M₂ = l.p.I.

Die Auflagerdrucke sind bei A und D — '* P und bei B und C =: ^ P +

16 16 2

Fig. 11. Der Balken ruht auf vier Stützen; die Endselder sind gleichgroß und gleichmäßig mit je belastet, während das Mittelfeld gleichmäßig mit P₂ belastet ist.

und —Mo

Die größten positiven Momente sind +    =

r, -1.2

Pi-i

12 *

„    „ negativen

Die Auflagerdrucke find bei A und = und bei B und C = ^-P₁ +1^.

Fig. 12. Der Balken ruht auf vier Stützen; die Endfelder sind gleichgroß und in deö Mitte mit der Einzellast ¥₁ belastet, während das Mittelfeld in der Mitte mit der Einzellast P₂ belastet wird.

IV 1-2

Die größten positiven Momente sind +    ^ • P₂ • 1₂ und + M₂

32

IV1₂

negativen

— M₂ =

„ unb

Die Auflagerdrucke sind bei A und v —/-P^ und bei B und C = ^P₁ +

16 16 2

Anmerkung.

а)    Die Entfernungen der Nullpunkte N von den Auflagern sind auf Tafel I angegeben.

б)    Bon den je zwei gefundenen positiven oder negativen Momenten ist stets das größere zu wählen.

e) Die bei den Balken auf drei und vier Stützen angegebenen Momente und Auflagerdrücke find nicht die genau richtigen nach der Theorie der elastischen Linie, jedoch für die Berechnung der Betoneisenkonstruktionen hinreichend genau genug. Die mittleren Felder wurden hierbei stets als auf beiden Seiten eingespannte Balken, die Endfelder dagegen als einerseits eingespannte berechnet.

Wie schon vorher angegeben, werden die Decken aus Beton und Eisen stets nach dem größten positiven Momente berechnet; da jedoch über den Stützen weit größere negative Momente auftreten, so muß diesen bei der Konstruktion Rechnung getragen werden. Es geschieht dies dadurch, daß man vouten- oder konsolartige Anschlüsse anordnet (Tafel II und III), wodurch eine Verstärkung des Eisens meist überflüssig wird; bei den kontinuierlichen Decken werden die Eisen beiderseits über die Unterstiitzungen hinweggeführt und dadurch der Eisenquerschnitt vergrößert Tafel II, Fig. 3).

Auf Tafel II sind zwei verschiedene Plattendecken dargestellt und zwar Fig. 1 und 2, eine Kühnensche Voutenplattendecke (Patent). Bei diesen Decken sind die Rundstäbe nach der elastischen Linie gebogen und gehen entweder durchlaufend fort, oder aber werden, wenn die Auflager aus I-Eisen bestehen, einfach eingehakt; im letzteren Falle werden die Eisen abwechselnd angeordnet (Fig. 2 b). Die Berechnung dieser Decken erfolgt stets als eingespannte Balken. Die Decke in Fig. 1 ist links als eingespannt, die Decke in Fig. 2 links als nur aufgelagert zu betrachten.

Fig. 3 stellt eine Monierdecke (System Wayß) dar, und zwar hat man es hier mit kontinuierlichen Plattendecken zu tun. Die Eisen können aus Flach- oder Rundeisen bestehen und ist ihre Anordnung aus Fig. 3 leicht zu ersehen.

Anmerkung. In ähnlicher Weise wie die Monierdecke ist die Decke „System Hennebique" durchgebildet, nur mit dem Unterschied, daß hier Bügel angeordnet sind, welche die Schub- und Adhäsionsspannnngen aufnehmen sollen (Tafel III, Fig. 2). Da aber, wie schon früher erwähnt und nachfolgende Beispiele zeigen werden, bei Plattendecken diese Spannungen nur gering sind, so sind diese Bügel zwecklos und daher überflüssig.

Beispiel.

VII. Berechnung einer Betoneisen-Bogenbrücke.

¹

Es mag hier ausdrücklich auf den Runderlaß des Ministeriums der öffentlichen Arbeiten vom 16. April 1904: „Betreffend Bestimmungen für die Ausführung von Konstruktionen in Eisenbeton bei Hochbauten" verwiesen werden. (Centrälblatt der Bauverwaltung 1904; Nr. 40, S. 253.)

Beispiel.

Eine Decke aus Beton und Eisen habe eine Spannweite von 4,00 m, sei als beiderseits eingespannt zu betrachten (Köhnensche Decke) und für bcn Quadratmeter mit 1200kg belastet.

Die Belastung für einen Streifen von 1,0 m Breite beträgt:

mithin ist

P=l-4-1200 = 4800 kg, 4800-400

P-l

24

24

= 80 000,

P -1    4800 - 400

ferner ist

= 160 000.

Nimmt man Ki, = 30 kg/qcm und Ke= 750 kg/qcm an, so ist nach Tabelle S. 5

h = 0,051 VM = 0,051 y 80000 = 14,4 cm, hi = h + a = 14,4 + 1,6 = 16 cm ,

Fe = 0,029 ySs= 0,029 V80 000= 8,2 qcm.

Wählt man nun 12 Eisen, so kommt auf jedes Eisen ein Querschnitt von

12

12

8,2

ie = -— = 0,684 qcm,

12

^ woraus sich der Durchmesser d = 0,93 cm ^ 1 cm ergibt.

Abbild. 7.

An der Einspannungsstelle ist das negative Moment _i —M= 160000; ist die Stärke der Platte einschl. Voute (Abbild. 7) 30 cm, so wird nach Gleichung 7) S. 4

1/

2-Fe.— +

i)

H)’

— Fe<-r =

l/2-8,2-

10-30 ,

_ -r

100

Io ¹⁰ V V'² "loo)

-8,2-

10

= 7 cm.

Nach Gleichung 6) S. 4 wird

e = h--- =30--— = 27,67 cm.

^mmmmw/////////w//Mmmmm^,

vue-vv

,XF /wvvg

ACM

X/*

»:s»

'/A

^KCo/wwx/,,cftj^AXivv ^llhtAß&s    3. ^w^vh-cioew-

Tafel II.

Nach Gleichung 4) S. 4 folgt weiterhin M 160000 27,67-8,2

705 kg/qcm

1<e e-Fe

und nach Gleichung 3)

Kb =

2 -M 2 • 160000

e-y-b

—16,6 kg/qcm.

erreicht.

27,67-7-100

Die angenommene zulässige Inanspruchnahme von Eisen und Beton wird nicht

Schub- und Adhäsionsspannungen. Die Schubspannung für einen Streifen von l,o m beträgt

T,-

r5TTk*m-

und dementsprechend die Adhäsionsspannung

T₂ =

Tj-100. .

-kg/qcm.

Es bedeuten: Q die Schubkraft (Querkraft oder Transversalkraft) an der betreffenden Stelle in kg, gewöhnlich den Auflagerdruck, U den Umfang der Eisenstäbe in qcm auf 1 cm Länge.

Beziehen wir dieses auf unser Beispiel, so ist V = und U = 12 - 3,14 = 37,68 qcm, woraus folgt

4800

2    —2400 kg, y = 7

Ti =

2400

— 0,9 kg/qcm

100 • 27,67 0,9 • 100 _

37,68

Beide Werte sind zulässig, da bei 5facher Sicherheit Tz = 6 kg/qcm und T₂ = 10 kg/qcm werden darf.

und

T₂

2,4 kg/qcm.

Verspiel.

Eine Decke nach System Monier habe folgende Anordnung: die Decke bestehe aus 3 Feldern; die Spannweite des mittleren Feldes betrage 6,0 m und diejenige der beiden Endfelder 4,o m, und zwar seien die letzteren Felder als nur einerseits eingespannt zu betrachten (Tafel III, Fig. 1 links). Die Gesamtbelastung betrage 1400 kg/qm.

Die Belastung eines Endfeldes ist P₁ = 1 • 4 • 1400 = 5600 kg.

„    „ des Mittelfeldes „ P₂ = 1 • 6 • 1400 ----- 8400 kg.

Die größten positiven Momente betragen nach Tafel I, Fig. 11

für ein Endfeld + M, = -|- • P, • lx =    ■    5600 • 400 = 157 500,

12o    Uo

für das Mittelfeld + M₂ = 1-. P₂ • 1, = 1- • 8400 • 600 = 210 000.

Da man nun die Decke in den einzelnen Feldern gleichstark macht, so ist das größte positive Moment, also + M₂ = 210000, zu nehmen.

Nach Tabelle S. 5 folgt, wenn Kb — 30 kg/qcm nnd Ke —1000 kg/qcm angenommen wird,

h — 0,056 VM — 0,056 • Y210 000 — 25,6 cm, hj = h + a = 25,6 + 1,4 —27 cm,

ferner

Fe = 0,019 VM = 0,019 Y210 000 = 8,7 qcm,

wählt man 10 Eisen, so wird

8,7

f₆ — — — 0,87 qcm und d= vl,i cm = 11 mm.

10

Würde der Unterschied zwischen den beiden positiven Momenten verhältnismäßig groß werden, so könnte man die Eisen in den verschiedenen Deckenfeldern ungleich stark machen, d. h. sie nach den jeweiligen Momenten berechnen.

Betrügt die Auflagerlänge der Unterzüge 7,0 m, so ist deren Belastung für 1 m Länge

f Pi + ^=~■ 5600 + ^ = 7700 kg,

mithin die Belastung eines Unterzuges

P= 7- 7700 = 53 900 kg,

53 900-700    ,„A

8- lööb -~*7iM)'

Ä-8360.

Gewählt zwei I-Eisen N. P. 47V₂ mit je Wx = 2396.

Nimmt man nun die Höhe der Decke einschl. Voute zu 50 cm an, so wird an der Auflagerstelle nach Gleichung 7) S. 4

folglich ist

für 1 Eisen ist

-1/

2.8,7-

P-l

8-

10

100

|5j w

•50 +

K-&)-

8,7-

10

100

9,33 cm,

nach Gleichung 6) S. 4 wird

e = h —

9,33

Die größten negativen Momente betragen nach Tafel I, Fig. 11

— M*    ‘li=\ -5600-400 = 280 000

und int Mittelfeld — Ma = ^ • P₂.1₂ = ~ • 8400 • 600 = 420 000. Nach Gleichung 4) S. 4 folgt daraus

in einem Endfeld

K,

und nach Gleichung 3) S. 4

Kb

o =46,89 cm.

O

420 000

e-Fe 46,89-8,7

1300 kg/qcm

2-M

2 - 420 000

46,89 • 9,33 • 100

19 kg/qcm.

e-y-b

Der Wert von Ke überschreitet bei weitem die zulässige Inanspruchnahme von 1000 kg/qcm. Wenn man aber, wie schon früher erwähnt, berücksichtigt, daß die Eisen der Nebenfelder über die Unterzüge hinweggreifen, so sind also in Wirklichkeit mehr Eisen an dieser Stelle vorhanden, als in der Berechnung angegeben, wodurch naturgemäß der Wert von 1300 kg/qcm weit herabgedrückt wird.

Die Schubspannung am Auflager ergibt nach S. 14 zu

8400

Ti

100-6    100-47

0,9 kg/qcm

und die Adhäsionsspannung dementsprechend zu

Ti-100 _ 0,9-100

t₂

— 2,6 kg/qcm.

111. Balken ans Beton und Eisen als einfache Balken.

Der Querschnitt dieser Balken bildet ein Rechteck (Abbild. 8) und werden auch hier die Zugspannungen durch Eiseneinlagen aufgenommen. Diese Konstruktion findet jedoch sehr feiten Anwendung und zwar aus dem Grunde, weil die Dimensionen, wie folgendes Beispiel zeigt, verhältnismäßig sehr groß werden, da diese Balken nur in den seltensten

u-* -v

Abbild. 8.

Fällen als beiderseits eingespannte Balken berechnet werden können. Es soll deshalb von ihrer Berechnung und Konstruktion weiterhin abgesehen werden. In Abbild. 8 mag noch auf die senkrechten Eisen, die sogenannten Bügel, verwiesen werden, deren Berechnung im folgenden Beispiel und vor allem im nächstfolgenden Abschnitt behandelt wird. Diese Bügel haben den Zweck allzugroße Schubspannungen aufzunehmen.

Beispiel.

Ein Sturz über einer Türöffnung habe eine Spannweite von 2,o m und sei gleichmäßig mit 12 800 kg belastet. Es ist der Sturz zu berechnen, wenn die Mauer 11/2 Stein, also 38 cm stark ist.

Das größte positive Moment ist

P-l 12 800-200

= 320 000.

Für Kb — 30 und Ke -----1000 kg/qcm ist nach Gleichung 1) S. 3

: (h ~ y),

30

1000

200 000 'y 2 000 000

13

nach Gleichung 6) folgt

C ----- ll------- h

o

3    , _12

3-13*    13 *'

Nach Gleichung 3) ist ferner

OA 2-320 000 ³⁰ = so n

jj-b-jj.h.88

und

2-320 000-169 ^

30-12-3-38

51,3 cm,

Nach Gleichung 5)

h± — h + a = 51,3 + 1,7 — 53 cm.

Fe

320 000

12

6,8 qcm.

— .51,3-1000

Wählt man 4 Eisen, so ist

6,8

fe = -j-= 1,7 qcm und d — 1,5 cm.

Wie das Beispiel ergibt, ist der Balken sozusagen „klotzig" stark.

Berechnung der Schub- und Adhäsionsspannungen.

12 800

Die größte Schubkraft gleich Auflagerdruck ist Q nach S. 14

6400 kg, mithin

¹¹ e-b 12

6400

— 3,6 kg/qcm

— .51,3-38

13

mit)

T₂

T,-b _3,6• 38

7,5 kg/qcm.

4-4,7

Beide Werte überschreiten das zulässige Maß von 6 bezw. 10 nicht, mithin finb Bügel überflüssig; um jedoch die Berechnung der Bügel zu zeigen, sei angenommen, daß der Auflagerdruck 12 800 kg betrage.

Die Schubspannung auf 1 cm Balkenhöhe ist (Abbild. 9)

12800

12 , 12 — -h

270 kg.

13

— •51,3

13

S-J

t- _

Der Beton soll nur 3 kg/qcm Schub aufnehmen können, mithin entfällt auf den Beton bei 1 cm Balkenhöhe eine Schubkraft von 3-38 — 114 kg, folglich bleibt für den Bügel auf 1 cm Balkenhöhe eine Schubkraft übrig von

Abbild. 9.

T₃ = 270 — 114 = 156 kg.

Nimmt man nun die Bügel aus Rundeisen mit d= 1,5 cm an, so ist, da ein solcher Bügel 2 Querschnitte aufweist, der Querschnitt bezogen auf 1 cm Höhe

3,54 qcm.

₉ d²- 7zr_₉ 1,5²- 3,14

4    '    4

Die Schubfestigkeit des Eisens ist -1000 = 800 kg/qcm, wodurch der Bügel auf 1 cm Höhe eine Schubkraft aufnehmen kann von

V = 3,54-800 =2832 kg, woraus sich die Entfernung der Bügel ergibt zu

2832 _

Tg 156    Cm*

Die Adhäsionsspannung in den eigentlichen Balken überschreitet aber wieder das zulässige Maß bei weitem, denn es ist

12 800

7,1 kg/qcm

T>=^r

T _T₁-b i2— U

47,4-38 7,1-38 4 • 4,71

Anmerkung: Ans vorigem Beispiel geht wohl die Unzweckmäßigkeit dieser Balken klar hervor.

und

14,3 kg/qcm.

Während bis jetzt die Dimensionen ohne weiteres berechnet werden konnten, muß man von jetzt ab die Dimensionen annehmen und dann untersuchen, ob die zulässige Inanspruchnahme der Materialien nicht überschritten wird.

142.

IV. Balken aus Beton und Eisen als sogenannte Plattenbalken.

Werden Betoneisendecken über Betoneisenbalken angeordnet, so kommt ein Teil der Decke mit zur statischen Wirkung. Dadurch entsteht ein I-Profil und daher der Name Plattenbalken.

Die Berechnung dieser Plattenbalken geschieht gerade so wie bei den Decken nach dem größten positiven Momente; jedoch hat man auch die negativen Momente über dem Auflager nicht außer acht zu lassen.

Bei der Berechnung wird nun angenommen, daß sich der Eisenquerschnitt int unteren Teile des Steges auf die wirksame Breite B der Platte verteilt (Abbild. 10 und 11).

1BTT|%

__v

\ß • M) -

rd"

zira<

Abbild. 10.

Abbild. 11.

Die Größe der wirksamen Breite kann man leicht aus Tafel 1 bestimmen, indem man darunter die Entfernung von Nullpunkt zu Nullpunkt über den: Auflager versteht. So ist z. B. bei Fig. 5 die wirksame Breite

B = 2 1 — 2 • 0,751 — 0,51;

B = 1 — 0,7271 + 0,251 = 0,5731.

Die neutrale Achse n—n fällt bei den Plattenbalken gewöhnlich mit der Unterkante der Decke zusammen (Fig. 10) oder aber in unmittelbarer Nähe derselben (Fig. 11). Im allgemeinen wird es daher genügen, den ersten Fall zur Berechnung anzunehmen. Die Formeln hierfür sind folgende:

1)    Da=Zi;

2)    Z₂

bei Fig. 10

(h2 + Yij (ho +

i»! ro

CM | CO

*■)'

3) K,

4)Kb =

Fe, '

2 • Zj B-hj '

Soll jedoch die genaue Lage der neutralen Achse bestimmt werden und dementsprechend die Spannungen, so gelten folgende Formeln:

2 - n (hj + h₂) • fei +h₁⁸>

2(n-fei + hj)

6)

7) Ke —

Zl.

2 ’ K + -g yt

Foi

Ke-y,

n (\ + h₂ — y,) '

Alle vorkommenden Werte sind teils schon von früher bekannt, teils aus Fig. 10 und 11 ersichtlich; außerdem bedeuten: Fei den ganzen Eisenquerschnitt im Stege und fei den auf die wirksame Plattenbreite B reduzierten Eisenquerschnitt F^.

Folgendes Beispiel möge den geringen Unterschied in bezug auf die Inanspruchnahme der Materialien bei beiden Berechnungen zeigen.

Ein Betoneisenbalken (Plattenbalken) habe eine Steghöhe von 40 cm und Stegbreite von 20 cm; die 4 Rundeisen von 26 mm Durchmesser liegen 3 cm von der Unterkante des Steges entfernt. Die Plattenstärke betrage 9 cm und ihre wirksame Breite 2,2 m; ferner betrage das größte positive Moment 900000.

Nach Gleichung 2) ist

= 20 930 kg;

Z1 =

__    900 000

>+-H

nach Gleichung 3)

nach Gleichung 4) Kb = Nach Gleichung 5) ist

20 930 _ 4 - 57s _ 2-20930

220-9

987 kg/qcm;

= 21,2 kg/qcm.

Vi

2-10(9 + 37) • 0,096 + 9²

2(10 - 0,096 + 9)

8,94 cm

f«i =

4-5,3

nach Gleichung 6)

Z,=

= 0,096 qcm; 900 000

220

nach Gleichung 7)

Ke=-

37 + -|-8,94 0

20 940

20940 kg;

4-5,3

988 kg/qcm;

nach Gleichung 8)

Kb =

988 • 8,94

23,9 kg/qcm.

10(9 + 37 - 8,94)

Wie bei den Betoneisendecken, so sind auch bei den Plattenbalken die Eisen stets da anzuordnen, wo Zugspannungen entstehen, d. h. bei den positiven Momenten in der unteren Zone, bei den negativen "dagegen in der oberen Zone. Die Aufbiegung erfolgt wieder an den Nullpunkten. Alle Eisen jedoch werden meistens nicht nach oben gebogen, sondern man läßt einen Teil horizontal durchlaufen. Die fehlenden oberen Eisen werden dadurch wieder ersetzt, daß man die oberen Eisen des einen Feldes in das andere Feld übergreifen läßt und umgekehrt. Der Anschluß an die Säulen bezw. Wände geschieht wieder zweckmäßig durch Konsolen. Da bei den Plattenbalken die Schubspannungen groß werden, so sind stets Bügel anzuordnen, deren Berechnung im folgenden Beispiel gezeigt wird. Im übrigen ist die Konstruktion der Plattenbalken aus Tafel III klar ersichtlich.

Beispiel.

Ein Raum von 15 X 24 qm soll mit Betoneisenkonstruktion überdeckt werden, wenn die Gesamtbelastung für den Quadratmeter 1000 kg beträgt und die zulässige Jnanspruch-nahme des Betons Kb zu 35 kg/qcm und diejenige des Eisens Ke zu 1000 kg/qcm festgesetzt wurde.

Der Raum ist durch 5 Plattenbalken in 6 gleiche Felder ä 4,0 m eingeteilt und sind diese Plattenbalken alle 5 m durch Säulen unterstützt (Abbild. 12).

Berechnung der Decke: Da die Spanubreite der Decke überall gleich 4,o m ist, so ist ihre Belastung für eilten Streifen von 1 m

P = 1.4*1000 = 4000 kg;

da ferner die Endfelder als einseitig, die Mittelfelder dagegen als beiderseits eingespannt

x'

üt?

Fäll

Cx

x\

AA

b'i'cyywwvCß "

#•

“ff-

<V1V

F---I

III pjvT

- l»g irvxsu&Cf“

x^Wx

kti

Jfr-wxr'    '

ly/drvrccJ$    “

'ixa-wu?^^ “

------

Hilft--

---

->

T/¹

Ml

□ LJLjyac^;

wm

y//t.

_ J, _ to----1- - - to----«i - — *o-----J.

I-

----------------j+ao - -    - -

Abbild. 12.

zu betrachten sind, so ist das größte positive Moment in den Endfeldern (Tafel I, Fig. 9) nämlich

128

128

• 4000*400= 112 500

daraus ergibt sich nach Tabelle S. 5

und

h = 0,049 YM = 0,049 Yl 12 500 = 16,5 cm hx = 16,5 -j- 1,5 = 18 cm,

ferner ist wählt man 10 Eisen, so wird

Fe — 0,022 VM — 0,022 V 112 500 — 7,4 qcm,

7,4

fe =    = 0,74 qcm und d = rv> 1 cm.

Berechnung der Plattenbalken: Der Plattenbalken I wird auf den lfd. m belastet mit (Tafel II, Fig. 9)

Pi =

P + 1 P = 1.4000 + -1.4000 = 4500 kg; der Plattenbalken II dagegen mit (Tafel I, Fig. 9)

P + 4 P=|--4000 + y-4000 = 4000kg;

tH ; (M

mithin ist der Balken I zu berechnen; da ferner wieder int Endfeld das größte positive Moment auftritt, so ist dieses der Berechtumg zugrunde zu legen.

Die Belastung für 5 m Länge beträgt demnach

P₃ = 5 - 4500 = 22 500 kg

und das größte positive Moment

• 22 500 • 500 = 791000.

128

+m4'p^*

Die wirksame Plattenbreite bei I beträgt (Tafel I, Fig. 9)

B — 0,251 + 0,211 — 0,25 -4 + 0,21-4 = 1,84 rn— 184 cm.

Nimmt man nun die Plattenbalken nach Abbild. 13a an, so wird

791000

22+ 118

Ke=^-⁼⁼iäS=⁹⁴⁶ kg/qCm'

2•Zt 2-23300 184-18

Die Schubspannung am Auflager beträgt

f'.

Z1 =

23300 kg,

—14,1 kg/qcm.

Ta

|ao

.22500

(h'+!h.)-b (²²+f¹⁸)

-20

34-20

= 20,6 kg/qcm;

ferner die Adhäsionsspannung

Tvb_ 20,6 - 20

4^8“

Da nun die Schubspannung bei weitem den zulässigen Wert von 6 überschreitet, so sind Bügel anzuordnen, deren Berechnung sich folgendermaßen ergibt (Abbild. 13b).

T*= u

= 12 kg/qcm.

••••

—-io— ->*

Abbild. 13 a.

Abbild. 13 b.

Die Schubspannung auf 1 cm Balkenhohe beträgt

4-. 22500

T,=

(h-2 + 4 hl)

34

= 412 kg.

Der Beton soll 4 kg/qcm Schubspannung aufnehmen können, also für 1 cm Balken-hohe 4-20 = 80 kg.

Folglich für die Bügel

Tg = 412 — 80 = 332 kg.

Die Bügel bestehen aus Flacheisen 4-0,8 — 3,2 qcm, also für zwei Querschnitte 2 - 3,2 = 6,4 qcm.

Beträgt nun die zulässige Inanspruchnahme des Eisens auf Zug 1000 kg/qcm, so ist die zulässige Schubspannung -^-.1000 = 800 kg/qcm, also für 6,4 qcm

V = 6,4 * 800 = 5120 kg woraus sich die Bügelentfernung Z ergibt zu

5120

Da die Schubspannung nach der Mitte zu abnimmt, so können die Bügel auch nach der Mitte zu weiter voneinander entfernt stehen.

Könnt« die Endfelder der Decken und Dalken als teilweise eingespannt betrachtet werden, so kann man ihr größtes positives Moment nm ]/₅ verringern.

Y. Säulen aus Beton und Eisen.

Die BeLoneisensüulen können sowohl rund, polygonal als auch viereckig mit gebrochenen Ecken und zwar voll oder hohl hergestellt werden.

Die in bett Ecken oder nahe dem Umfang befindlichen 15—35 mm starken Eisen werden in Abständen von 30—50 cm durch Bügel aus 10 mm starkem Rundeisen oder Flacheisen verbunden, um ein Ausknicken zu verhüten (Abbild. 14a, b und c).

Gehen die Säulen durch mehrere Stockwerke hindurch, so haben die oberen Säulen naturgemäß weniger zu tragen als die unteren, und sie werden deshalb schwächer ausgebildet. Am Übergange werden die Rundeiseu gekröpft, stumpf aufeinander gestoßen und durch ein Stück Rohr in ihrer Lage gehalten (Abbild. 14b).

Abbild. 14 a—c.

Die Betoneisensäuleu sind nun, wie alle anderen Säulen, auf Druck und Zerknicken zu berechnen.

Die Druckgleichung heißt

1) P = Fb.K^ +Fe.Ee.£. m

Es bedeuten:

P die Belastung in kg, welche die Säule zu tragen imstande ist; Fb Betonquerschnitt und Fe Eisenquerschnitt in qcm;

Kbl bie Druckfestigkeit des Betons 250 kg/qcm;

Ee Elastizitätsmodul des Eisens --2 000 000;

„ Betons — 200 000;

Eb

BV-¹⁵

E = lilL

Eb

m = Sicherheitskoeffizient. Die Knickgleichung heißt

F- x

2) P = £--.

m

(2s bedeuten:

P die Belastung in kg, welche die Säule zu tragen imstande ist;

§ eine Ziffer, abhängig van der Befestigung der Stabenden und zwar ist:

§= 1, wenn beide Enden der Säule in der Achse geführt werden; g= 2, wenn ein Ende eingespannt, das andere in der Achse geführt wird; £=4, wenn beide Enden der Säule eingespannt sind;

F —ideeller Querschnitt der Säule = Fb + n • Fe qcm; m — Sicherheitskoeffizient;

Kbl

l²

worin wieder Kbl — Druckfestigkeit des Betons, 1 —Länge

1 + 0,0001

der Stütze in cm und i² — -- (4 — ideelles Trägheitsmoment — dem Trägheitsmomente des Querschnittes + n • den: Trägheitsrnomente des Eisens).

Beispiel.

Eine quadratische Säule von 24x24 qcm Querschnitt und 4 Rundeisen von tl = 2,o cm Durchmesser, welche 20 cm Abstand haben, soll berechnet werden, wenn die Säulenhöhe 4,o m betrügt, lOfache Sicherheit verlangt wird und §— 1 gewählt ist.

Auf Druck ist

P = Fb-Kbl + F. • E.•e.

Es ist

Fe = 4.-^

4

Fb = 24 - 24 — 12,56 — ^ 564 qcm, / 250 V'¹⁵

⁶ \ 10 J 200 000

—12,56 qcm

— 0,0002020

folglich

= 564-

250

₁₀ + 12,56-2 000 000 -0,0002026 2^19 120 kg.

F-x

Auf Zerknicken ist Es ist

P = §-— -

m

F — 564 + 10 • 12,56 — ^ 690 qcm,

24⁴

i² =

+ IO-12,56-IO² = ^40 200 40 200

690

= 58,2,

250

folglich

1 + 0,0001 •

p 690-195

400²

195,

58,2

13 455 kg.

Anmerkung: Bis jetzt wurde immer Eb = 200000, Ee = 2000000, n = 10 und Kbl = 250 angenommen und sollen diese Werte auch stets beibehalten werden. Es fragt sich nun, wie groß ist der Sicherheitskoeffizient m anzunehmen? Bei einzelstehenden Säulen wählt man m = 10; stehen jedoch mehrere Säulen übereinander, so kann man bei der obersten Etage m —10, bei der untersten m = 5 setzen und die Zwischenetagen entsprechend einreihen.

Bo die Letoneisen jaulen in vielen Fällen Konsolartige Anschlüße erhalten und durch die ßttmtbnlknt und -decken tu ihrer Lage festgehalten werden, so wird dadurch eine größere Sicherheit hervorgerufen. Ans'diesem Grunde Kanu mau die Knicklänge' der Säule geringer, etwa gleich dem ³/₄ Teil nehmen oder gegebenenfalls §=^2 einführen.

io

J = -^-+ 10-12,56 -122 ₌ ^ 85 600,

12

Beispiel.

Zu dem Beispiel auf S. 19 sind die Säulen zu berechnen, wenn sie eine Höhe von 4,8 m haben.

Der Querschnitt der quadratischen Säule sei angenommen zu 30x30 qcm; außerdem sind 4 Rundeisen von je 2,o cm Durchmesser angeordnet, welche 24 cm voneinander stehen.

Ans Druck ist

P = F„.

Kbl

in

+ Fe • Ee • f,

Es ist

t, , 22-3,14 F« = 4--

Fb = 30 • 30 —12,56 — 888 qcm, /260V.»

£== UlL 200000

— 12,56 qcm

— 0,0002026,

folglich

P = 888 •

250

10

f 12,56 • 2 000 000 - 0,0002026 --^>27 300 kg.

Auf Zerknicken ist Es ist

F-x

P = £---.

m

F = 888 + 10-12,56 = ^1010,

i² =

85 600

1010

84,7,

250

folglich

P=l-

Da der Druck auf die Säule

1 + 0,0001 >

1010-218

| -48oj'

= 218,

iu

84,7

■.--o22000 kg.

QC; cn

Pz + 2 P;= g 22500 + 1 22 500 = 25 300 kg

ist, so genügt also der Querschnitt auf Zerknicken nicht; ment hätte also die Eisen etwas stärker zu wählen bezw. beit Querschnitt zu vergrößern.

VI. Verspiel.

Für ein Restaurationsgebäude sind die Decken, Träger und Säulen iu Betoneisen-konstrtlktiotr herzustellen.

Auf Tafel IV ist die Ansicht des Gebäudes dargestellt, während Tafel V die Querschnitte und Maßskizzen zeigt. Es ist daraus ztl entnehmen, daß das Gebältde mt sich eine Front von 24,o m und eine Tiefe von 18,0 m hat. Das Gebände besteht aus dem 3,2 m hohen Kellergeschoß, dem 6,0 m hohen Parterre und der 5,0 m hohen ersten Etage; außerdem soll das Dach im Sommer ebenfalls Restaurationszwecken dienen. Die einzelnen Räume sind durch 4 Säulen eingeteilt, über welche sich Unterzöge (Hauptträger) hinziehen. Um die Spannweiten der einzelnen Deckenfelder au sich nicht zu groß werden zu lassen, wurden noch Nebenträger angeordnet. Alles übrige ist aus beit Tafeln IV und V klar zu ersehen.

Die Gesamtbelastung der Decke wurde zu (400 + 250) = 650 kg/qcm angenommen, ferner die zulässige Inanspruchnahme von Ke = 750 kg/qcm und von Kb = 30 kg/qcm gewählt.

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Tafel IV.

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Tafel V.

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Es mag hier eingeschaltet werden, daß der Quadratmeter Betoneisendecke ^21 dkg wiegt, also bei einer Stärke von 8 cm 8-21 = 168 kg/qcm.

1. Berechnung der Decken.

Da die Decken in allen Etagen gleiche Spannweite und gleiche Belastung haben, so braucht nur eine Decke durchgerechnet zu werden.

Die Spannweite der Decke beträgt 4,0 m, folglich ist die Belastung für einen Streifen von 1,0 m Breite

und ist

P= 1.4-650 = 2600 kg.

Das größte positive Moment entsteht in den Endfeldern (vergl. Beispiel S. 19)

⁹ - - 2600-400= 73 100.

128

Nach Tabelle S. 5 wird

h = 0,051 VM = 0,051 V73 100 = 13,7 cm, h1 = 13,7 + 1,3 = 15 cm,

ferner

F = 0,029 V 73 100 = 7,83 qcm. Ordnet man wieder 10 Eisen an, so wird

f₆ =    = 0,783 qcm und d= 10 mm.

2. Berechnung der Nebeniräger.

Auch hier erhalten die Träger in den Endfeldern das größte positive Biegungsmoment, weil einmal durch die Endfelder die Belastung größer wird mtb zum andern, weil diese Träger nur als einerseits eingespannt betrachtet werden können.

Die Belastung für den lfd. m eines Nebenträgers ist

-|P + 4P = ir 2600 + -1-2600 = 2925 kg,

Pi =

mithin für eine Länge tum 6,0 m

folglich ist

P₂ = 6-2925 = 17550 kg,

=    -17 550-600= oj 740 000.

128

Die wirksame Breite dieser Plattendecke ist

B = 0,251 + 0,211 = 0,25 • 4 + 0,21 • 4 = 1,84 nu Nimmt man nun die Stegbreite zu 20 cm, die Steghöhe zu 25 cm, also die ganze Höhe des Balkens einseht. Decke zu 25 -f 15 = 40 cm an, ferner 5 Rundeisen ä 28 mm Durchmesser, welche 2 cm von der Stegunterkante entfernt liegen, so wird

740 000

% ___z_------

(h*+ h,j (23 + 115)

CM jCO

= 22430 kg,

Ke=

Fei

Kb = h₂ • B Die Schubspannung beträgt

22 430 5 • 6,16 2 - 22 430

= 728 kg/qcm,

15-184

= 16,3 kg/qcm.

rp __0_ __ _

(h,+ h^-b |

05 tO

GO Oi

•P,

4*-17550

23 +

<M CO

• 15j•20

33-20

= 16,6 kg/qcm .

Werden nur 3 Eisen Uon den 5 Eisen nach oben gebogen, während die anderen horizontal durchlaufen, so wird die Adhäsionsspannung

Tvb

12,6 kg/qcm.

16,6-20 3-8,8

Da die Schubspannung bei weiten: das zulässige Maß vor: 6 kg/qcm überschreitet, so sind Biigel anzuordnen.

Auf 1 cm Balkenhöhe ist die Schubspannung

17550

T'l

) (²³⁺t¹⁵)

=332 kg.

Der Beton soll 5 kg/qcm Schubspannung aufnehnren können, mithin auf 1 cm Balkenhöhe und 20 cm Balkenbreite 20-5 — 100 kg; die Bügel haben mithin eine Schubspannung aufzunehmen tioi:

T₃ = 332 — 100 = 232 kg.

Die Bügel mögen aus Rundeisen von 20 mm Durchmesser bestehen, mithin ist der Querschnitt eines Bügels

₉ 22.3,14 2--₄—

6,28 qcm.

Da die zulässige Juauspruchnahme des Eisens auf Zug zu 750 kg/qcm festgesetzt

lO

wurde, so beträgt die zulässige Inanspruchnahme auf Schub fiir 6,28 qcm

• 750 = 600 kg/qcm, also

V = 6,28 - 600 = 3768 kg.

Folglich ist die Bügelentfernung

V 3768

t₃

222

17 cm.

Diese Entfernung wird nach der Mitte zu größer gemacht, da ja die Schubspannungen nach der Mitte zu geringer werden.

3. Berechnung der Hauxlträger (Unkerzüge).

a) Berechnung der Unterzüge, welche parallel zur Front liegen.

Auch hier entstehen in ben Endfeldern die größten positiven Momente, da man diese Balke:: nur als einseitig eingespannt betrachten kann.

Der Balken wird in der Mitte durch eine Einzellast beansprucht, welche gleich ist den: Auflagerdruck der Nebenträger. Dieser beträgt

|P2 + 4P2 = -|-¹⁷⁵⁵⁰ + 4,17550=:18 845 kg*

Das größte Positive Moment ist nun

+ M = 418 845 - 800 = 2 355 600,

O J

da nun dieser Balken an den Wandungen ans Säulen ruht (Tafel V und Tafel III, Fig. 1 rechts), so kann eine teilweise Einspannnng eingenommen werden, mithin vermindert sich das Moment um ¹/₅. Folglich ist

2 355 600

1884 500.

+ M == M — 1M = 2 355 600 5

Die wirksame Breite ist

B — 0,25 • 1 + 0,21 • 1 = 0,25 • 6 + 0,21 • 6 = rv. 2,7 m.

Nimmt man die Stegbreite zu 30 cm, die Höhe desselben zn 60 cm, also Gesamthöhe zu 60 + 15 an, ferner 5 Rundeisen ä 32 mm Durchmesser, welche 4 cm von der Stegunterkante entfernt liegen, so wird

Zjl =

1884 500

(h.₂+|ha)    (56 + |.lö)

= 28 545 kg,

28545

K —    _

⁶ Fei 5-8

rv) 700 kg/qcm,

Kb

2-Zt

2-28 545

=    14,0 kg/qcm.

hvB 15-270 Die Schubspannung an der Einspannungsstelle beträgt

11

11

— •18 845

Ti =

16

(h₂ + -|ha).b

|ö6 + y.l5j.30

66-30

6,6 kg/qcm.

Werden 3 Eisen nach oben gebogen, so ist die Adhäsionsspannung

T _Ti-b

2 —“TT”

= 6,6 kg/qcm.

6,6 • 30

3-10

Obwohl die Schubspannung den zulässigen Wert nur soeben überschreitet, so sollen doch Bügel angeordnet werden.

Auf 1 cm Balkenhöhe ist die Schubspannung

11

rp ________Q

(h* + j\h

. i>

16 ³

11

— • 18 845

16

) M+!

-15

66

= 198 kg.

Der Beton soll in diesen: Falle keine Schubspannungen aufnehmen, mithin bleibt für die Bügel

T₃ = 198— 0=198 kg.

Die Bügel mögen aus Rundeisen von 20 mm Durchmesser bestehen, dann ist der Querschnitt eines Bügels

6,28 qcm.

₉ 22-3,14

2 r-

Da die Schubspannung des Eisens 600 kg/qcm ist, so kann ein Bügel V = 6,28-600 = 3768 kg aufnehmen, und die Bügelentfernung ergibt sich zu

V 3768

To 198

—— = rnj 20 cm.

Da in diesem Falle eine Einzellast wirkt, so wird man zweckmäßig diese Entfernung über den ganzen Balken hin beibehalten.

b) Berechnung der Träger, welche senkrecht zur Front liegen und auf

Säulen ruhen.

Die Träger erhalten in Wirklichkeit nur dieselbe Belastung' wie die Nebenträger und wären dementsprechend die gleichen Querschnitte zu wählen. Um jedoch der Decke

ein gleichmäßigeres Aussehen zu geben, wurden diese Träger ebenso hoch gemacht, wie die Hauptträger (Abbild. 15).

lü

Abbild. 15.

4. Berechnung der Bäulen.

a) Berechnung der Säulen in der ersten Etage.

Für die Belastung der Säulen genügt es, die auf Tafel V unten rechts angedeutete Belastungsfläche anzunehmen, mithin kommt auf die Säulen ein Druck von

PS1 = 6.8.650 = 31200 kg.

Kbl +Fe.E,.£.

Der Durchmesser der Rundsäule betrage 36 cm und sie sei mit 8 Rundesten von je 30 mm Durchmesser armiert, welche durch die Achse gemessen 30 cm voneinander entfernt liegen.

P = Fb.

Auf Druck ist

Nun ist aber Fe = 8 •

32-3,14

8-7 — 56 qcm,

Fb

36² • 3,14

56 = 1018 — 56 = 962 qcm,

250V'¹⁵

10

200000

= 0,0002026,

folglich

250

P = 962 .— + 56.2 000 000 - 0,0002026 = 46450 kg.

10

Auf Zerknicken ist Stint ist aber

F-x

F = 962 + 10*56 = 1522 qcm, j 36⁴ * 3,14

64

+ 10*56 * 17² = 208448,

137,

J 208448

F 1522

Da die Säule nur einen Druck von 31200 kg zu tragen hat, so ist sie reichlich stark gewählt.

b) Berechnung der Säule im Parterre.

Die Belastung dieser Säule beträgt

PS2 = 2PS1 = 2.31200 = 62 400 kg.

Der Durchmesser der Säule betrage 46 cm und die acht 30 mm starken Eisen seien 40 cm voneinander entfernt.

P = Fb.-^l + Fe-E,-e.

250

folglich

1 + 0,0001 •

1522-228

CO

137

228,

10

34 700 kg.

Auf Druck ist

Nun ist aber

Fe = 8 • 7 = 56 qcm, 462.3,14

Fb

56 — 1606 qcm,

250V'¹⁵

0,000384,

folglich

Auf Zerknicken ist Nun ist aber

200 000

p = 1606 .^ + 56*2 000 000 • 0,000384 = 100 360 kg.

P=S- —.

m

250

F = 1606 + 10-56 = 2166 46*. 3,14

64

+ 10 • 56 • 20² = 437 000,

i²

J 437000

2166

= 201,

250

CO

= 227,

folglich

1 + 0,0001 -

2166-227 P    7

Auch der Querschnitt dieser Säule ist reichlich gewählt.

201

70000 kg.

c) Berechnung der Säule int Kellergeschoß. -

Die Belastung dieser Säule ist

PS3 = 3.PS1 = 3.31 200 = 93 600 kg.

P = F,, • K-b- + Fe • Ee • e.

Der Querschnitt der Säule als auch die Eiseuarmiernug sei genau so wie bei der vorhergehenden Säule.

Auf Druck ist

Nachdem die Konstruktion auf vorhergegangene Weise durchgerechnet, erübrigt es sich noch eine genauere Nachrechnung durchzuführen, da bis jetzt ja das Eigengewicht der Nebenträger, Hauptträger und. der Säulen vernachlässigt wurde.

Zun: Beispiel hätte die oberste Säule außer den 31 200 kg noch aufzunehmen

Gewicht der Hauptträger 0,6 -0,3 -8- 2200 = 3168 kg, „    „    "    „    0,6 -0,3 -6-2200 = 2376 „

„ Säule

-5-2200=1381 „

Nun ist aber

Fe — 56 und Fb — 1606 , I 250 y-¹⁵

= 0,00045,

folglich

Auf Zerknicken ist Nun ist aber

200 000

P = 1606 -    + 56-2 000 000 • 0,00045 = 130 700 kg.

5

P= -

m

F = 2166, J = 437 000 und i’² = 201,

= 243,

250

'fr;

250

F-x

folglich

1 + 0,0001

2166-243

5

| -32oj

201

105 260 kg.

„ Nebenträger 0,25 • 0,2 • 6 • 2200 = 1980 „ 40² - 3,14

mithin

31 200 + 8905 = 40105 kg usw.

8905 kg,

d) Berechnung des Fundamentes.

Durch den Druck der Säule im Kellergeschoß erhält das Fundament eine Belastung von 93 600 kg; dazu kommt noch das Gewicht aller Träger und Säulen, das zu 27 300 kg berechnet wurde. Nimmt man tum die Breite des Fundattrentes zu 2,o m und die Höhe zu 1,5 m, ferner das Gewicht pro Kubikmeter wegen der Erdüberschüttung zu 2000 kg, so wiegt das Fundament 2-2-1,5-2000=12 000 kg. Mithin hat der Boden eine Last zu tragen von

G = 93 600 + 27 300+ 12 000= oj 140 000 kg. Folglich ist die Beanspruchung des Erdreiches

= 3,5 kg/qcm.

Ke =

140 000

200•200

VII. Berechnung einer Betoneisen-Bogenbrücke.

(Tafel VII und VIII) [<s. 40 und 41].

Es ist der Bogen einer Straßenbrücke für schweres Fuhrwerk zu berechnen, wenn die Spannweite der Brücke 20,0 m, die Pfeilhöhe 2,5 m und die Überschüttungshöhe 0,35 m betrügt; ferner sei gegeben das Gewicht des Betons zu 2200 kg/cbm und dasjenige der Hinterfüllung zu 1600 kg/cbm.

142.

Die Verkehrsbelastung entsprechend schwerem Fuhrwerk berechnet sich zn

= 0,471 — 470 kg/qm.

P — 0,34 +

2.6

2.6

= 0,34+ ₂₍₎

Die Scheitelstärke des Bogens ergibt sich vorläufig aus der Gleichung d = 0,05 + 0,01 • r = 0,05 + 0,01 • 21,25 — ^ 28 cm.

Die Kämpferstärke wurde zu 45 cm gewählt.

Nachdem mit Hilfe vorstehender Angaben die Form und Stärke des Bogens festgelegt, wurde der Bogen in 20 Lamellen von je 1,0 m Breite eingeteilt. Um nun das Gewicht einer jeden Lamelle einfacher bestimmen zu können, wurde die Überschüttungshöhe und die Verkehrslast auf Gewölbematerial reduziert nach den Gleichungen

\i± = h — und h₂ —

72

und zwar bedeuten: y₁ Gewicht für den Kubikmeter Hinterfüllung in kg 1600; y₂ für das Gewölbenusterial — 2200; p die Verkehrsbelastung in kg/qm = 470; h-, die reduzierte Höhe der Überschüttung bezw. Hinterfüllnng in m; li die wirkliche Höhe der Überschüttung und In die reduzierte Höhe der Verkehrsbelastung, mihin ist z. B. im Scheitel

hx = 0,35 -

1600

2200

— 0,26 m

und

h₂

470

2200

0,22 m usw.

Ein Brückenbogen wird nun am ungünstigsten beansprucht, wenn derselbe einseitig belastet und ist mithin für diesen Belastungszustand die Stützliuie zu konstruieren*).

Zu diesen: Zwecke wurden die Gewichte der einzelnen Lanrellen. glt g₂, g₃......

untereinander aufgetragen, ein Pol unter 45° angenommen und der zugehörige Seilzug konstruiert. Durch Verlängerung der äußersten Seilzugseiten ergab sich die Lage von Gri und Gii. Um nun eine Stützlinie einzeichnen zu können, :n::ß man Punkte annehmen, durch welche die Stützlinie hindurch gehen soll. Diese Punkte berechnen sich zu

int Scheitel

5 • d²

5 - 0,28^

16

im Kämpfer links

K‘) “K²?)

= 0,01 m = 1 cm;

ex = cos cp

2-e + J

l>-2 h + )

bO| Pu

= 0,823

2-0,01 + 1

+ + 0,14

0,22 ( 2,5 + °y j 0,26+1,4^25+ ^~)

im Känlpfer rechts

— + 0,11 m;

h₂ f +

to; Qu

e₃ = cos cp

bi + 0,14    + j

to:

0,823

2 - 0,01 —

00 M-

0,22

0,28'

0,26+1,4

0,28'

— + 0,08 m.

Es bedeuten:

6 den Abstand des Durchgangspunktes der Stützlinie oberhalb Scheitelu:ittelpu::kt;

„

unterhalb Käntpfermittelpunkt;

handelt.

*) Die Konstruktion der Stützlinie wird ausführlich in Lehrfach. 133 (Massive Brücken) be

den Abstand des Durchgangspunktes der Stützlinie unterhalb Kämpfermittelpunkt, wenn der Wert '+, und oberhalb wenn der Wert — wird.

C2

Ferner:

cos cp, die Kontangente des Winkels, den die Tangente an dem Bogen im Kämpfer mit der Horizontalen bildet.

Durch entsprechende Verbindung dieser gefundenen Stützlinienpunkte ergeben sich die Schnittpunkte 81 und Sn, ferner die beiden Kämpferdrücke auf jeder Seite, hervorgerufen durch je einen halben Bogen. Die Kämpferdrücke auf jeder Seite wurden nun im Kräfteplan zu den Resultierenden K₂ und K₂ zusammengesetzt und hierdurch der Pol für die Stützlinie gefunden. Zeichnet man nun zu diesenc Pol die Polstrahlen und die zugehörige Stützlinie, so muß diese durch die drei berechneten Punkte in den Kämpfern und am Scheitel hindurchgehen.

Während nun bei den Steinbrücken die Stützlinie im Kerne, d. h. im mittleren Drittel des Gewölbebogens verlaufen muß, da hierbei keine Zugspannungen zulässig sind, so kann bei den Betoneisengewölben dagegen die Stützlinie über den Kernrand hinausfallen. Die dann entstehenden Zugspannungen sollen durch die Eiseneinlagen auf-genommen werden.

Nachdem nun die Stützlinie eingezeichnet, werden die Randspannungen mit Hilfe von Spannnngsdiagrammen bestimmt und zwar sind solche zu konstruieren für die Kämpfer, für den Scheitel und auf jeder Bogenhälfte an derjenigen Stelle, an welcher die Stützlinie am meisten tiber den Kernrand hinausfällt.

Wie ans Tafel VI und VII ersichtlich, ergeben sich die größten Zugspannungen in Fuge d —d und zwar 10,B kg/qcm, mithin ist für diese Fuge die Berechnung vorzunehmen.

10,5 • 6,7

. 100 — 3518 kg,

Nimint man nun ohne Rücksicht auf die Mitwirkung des Betons zunächst an, daß die Eisen den ganzen Zug aufnehmen sollen, so ist der Zug in Fuge d — d auf 1,0 m Tiefe bezogen

3518

750

F -Z

f„-k

4,7 qcm.

Wählt man nun 10 Eisen, so ist für 1 Eisen

f.-5> ⁴⁷

10 10

= 0,47 qcm und somit d = rv>0,8 cm = 8 nun.

Diese Eisen wurden sowohl in der unteren als auch in der oberen Zone und zwar 4 cm vom Rande entfernt angeordnet; außerdem wurden 6 mm starke Druckverteilungsstäbe in Abständen von 12 cfti eingelegt.

Hat man nun auf diese einfache Weise die Eisenquerschnitte bestimmt, so geht man zur genauen Berechnung der Beanspruchung des Betons und Eisens über (Abbild. 16).

Die Gleichungen hierfür sind folgende:

1)    P = Kb. | +fe(Ke'-Ke);

2)    M = K„.l |    -    ) + c.fe(Ke- + Ke);

, il

e + -g-y

N=-t.....t.....1

Abbild. 16.

r-'t

J. -J

(M

3) K6j= 10 -Kb

c-₂+y

4) Ke<= 10 • Kb

Es bedeuten:

P den auf 1 cm Tiefe berechneten Normaldruck in kg; fe    „    „ 1 „    „    „    Eisenquerschnitt;

M das V" 1 „    „ berechnete Moment;

alle übrigen Werte sind aus Abbild. 16 ersichtlich.

Nach Gleichung 1) ist

48 000

100

Kb*

4,7

100

(Ke' - Ke) ,

nach Gleichung 2)

48 000-9,25    /    \    ^

---—---------- Kb -    116,25 — I + 12,23 •

100

to;

4,7

100

(Ke' + Ke),

nach Gleichung 3) und 4)

Ke = 10 • Kb

12,25 + 16,25 — y

, Ke' = 10*Kb

12,25 — 16,25 + y

Man hat also vier Gleichungen mit den vier Unbekannten y, Kb, K₀ und Ke woraus diese Unbekannten berechnet werden können.

Setzt man die Werte von Ke und Ke' in die beiden ersten Gleichungen ein, so wird

12,25 — 16,25 + y

K)| VJ

480 = Kb •

480 • 9,25 ==Kb- |

+ 0,047 (l 0 • Kb •

2 |l6,25 —    + 12,25 • 0,047(l0 - Kb

— 10 • Kb

12,25 + 16,25 — y

12,25 — 16,25 + y

+ 10-Kb

Vereinfacht man nun beide Gleichungen, sa

12,25 + 16,25 — y

480 —

2y — 32,5

480 • 9,25 = Kb

[*(*»-*)

+ 5,7575

mi-

Dividiert man nun die erste Gleichung durch die zweite, so fällt 480 und ferner die Unbekannte Kb weg und es wird

0,94 y — 15,275

9,25

8,125 y

y²

141 '

ll, lil

6 y

y³ — 22 y² + 52 y = 1692. Durch Versuchsrechnung wurde y — 24,i cm bestimmt. Aus Gleichung 1) berechnet Kb zu

8,125y -

4,625 y + 8,695 —

141

480 = Kb - ²g- + 0,047 (lO • Kb

12,25 — 16,25 + 24,1

24,1

10-Kb

12,25+16,25— 24,1

24,1

480 = 12,05 Kb + 0,47 Kb (

204 _ 4,4 24,1    24,1 /'

woraus sich

Aus Gleichung 3) folgt

Ke = 10 • 40

Kb —    40 kg/qcm ergibt.

12,25 + 16,25 — 24,1

und nach Gleichung 4)

24,1

— 73 kg/qcm

Ke' = 10-40

12,25 — 16,25 + 24,1

24,1

— 334 kg/qcm.

Sollte es jedoch Vorfommen, daß die Stützlinie nicht über den Kernrand hinausfällt oder p sollen Fugen untersucht werden, bei denen keine F Zugspannungen vorkomruen, so gelten folgende —> Gleichungen (Abbild. 17):    U

Kb =

M-d

1 +_______

fi - 2 • Ji '

y 'S'

Abbild. 17.

M (d — 2 • a)

2 - Jj

Es bedeuten: f, = d + 2 • 10 • f₀ und J; — ^ d³ + 2-10- fe j--^— aj

P die auf 1 cm Tiefe bezogene Normalkraft;

„    „ Moment;

„ bezogenen Eisenquerschnitt.

M das „ 1 „ f₆ den ,, 1 ,,

So ist zum Beispiel für die Scheitelfuge

fi = 28 +2-10-^ = 28,94,

J,=

28 ⁸

12

+ 2-10

4,7 (14 —4)² = 1914,

100

46 000    46 000 • 1

folglich

Kb =

100

100

-28

2-1914

28,94

KV — 15,9 — 3,4 — 12,5 kg/qcm, '46 000

46 000 -1

— 15,9 + 3,1 — 19,3 kg/qcm,

Ke =

100

100

— (28 — 2.4)

— 15,9 + 48,4—64 kg/qcm

2-1914

KV — 15,9 — 48,1 — — 32,2 kg/qcm.

Die Berechnung der Stirnmauern, Widerlager, Pfeiler usw. würde über den Rahmen dieses Lehrheftes hinausgehen und muß deshalb hier auf Lehrfach „Massive Brücken" verwiesen werden.

28,94

VIII. Berechnung eines Wasserbehälters aus Beton und Eisen mit geraden Wänden und ebener Decke.

(Tafel VI.)

Ein Wasserbehälter habe einen Inhalt von 175 cbm und ist durch eine Scheidewand in zwei Teilbehälter eingeteilt. Die Anordnung ist aus Tafel VI ersichtlich. Es sollen die einzelnen Teile berechnet werden, wenn Kb zu 35 kg/qcm, Ke für die Decken und Seitenwände zu 750 kg/qcm und für die Balken usw. zu 800 kg/qcm angenommen wurde. Ferner betrage die Überschüttungshöhe 1,0 m.

1. Berechnung der Decke.

Die Belastung für einen Streifen von 1,0 m Decke beträgt P = 3.1 • 1600 = 4800 kg,

mithin ist

+ M = y®g-4800 - 300 = 101 250.

Zieht man nun wegen teilweiser Einspannung ab, so wird 5

M = 101 250 — 20 250 — 81 000,

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Tafel VI.

Nun ist nach Tabelle S. 5

h = 0,045YSl 000 = oj 13 cm, li₁₌=13 + 2 = 15 cm,

ferner ist

Fe = 0,033 V81 000 = 9,4 qcm.

Ordnet man nun 10 Eisen an, so wird

0'^ = 0,94 qcm und d = 1,1 ern -----11 mm .

fe =

10

2. Berechnung des Plaltenbalkens.

Die größte Belastung des Plattenbalkens beträgt k r in

P₁ = -jJ-P + -^-P = —-4800 = 30000 kg.

Da dieser Balken mit den Seitenwandungen (Tafel YI unten links) als auch mit der Mittelstütze vollständig fest verbunden, so kann man if)it auffassen als einen Träger, der auf beiden Seiten eingespannt ist, mithin ist das größte positive Moment

JL.p 1 ₌1..30 000-500=625 000.

24    24

Nimmt man nun den Querschnitt des Balkens nach Tafel VI, unten rechts, an itub seine wirksame Breite zu

B = 0,25 • 1 + 0,251 ----- 0,25 • 3 + 0,25 • 3 = 1,5 m,

dann wird

___M__    625 000

(h₂+ ich (26+ |- lö)

CM jcO

17 860.

Es sind 6 Eisen mit einem Durchmesser von je 2,2 cm angeordnet, folglich

17 860

Ke=-

Zi

Fei

ferner

Kb

2-Z₂

6-⁸-²:"

4

2-17860

— 796 kg/qcm,

150-15

16 kg/qcm.

30 000

Schubspannung:

rp _

‘ k+>

ij-b (25 +    15j 25

17,2.

Adhäsionsspannung:

^2= u

Es wurde hierbei vorausgesetzt, daß die oberen drei Eisen in die obere Zone aufgebogen wurden.

Bügel:

Der Beton soll 4 kg/qcm Schubspannung aufnehmen, mithin auf eine Breite von 25 cm — 25 4 = 100 kg, folglich bleibt für den Bügel

1z = 428 — 100 = 328 kg.

Die Bügel mögen aus Flacheisen 4-0,8 — 3,2 qcm bestehen, also für 6 Querschnitte 19,2 qcm. Beträgt nun die zulässige Inanspruchnahme des Eisens auf Ab-

b-T,

25 • 17,2

3 • 2,2 • 3,14

= 20,64.

15 000

T>= 35

= 428.

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Tafeln VII und VIII.

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"    " Jer Kinterjlg: 1600 » »

”    "    " ler^e^rsUsl- ^°A9/5

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4

scheerung —*800 = 600 kg/qcm, so wird für 19,2 qcm

V= 19,2*600 = 11 520 kg,

woraus sich die Bügelentfernung ergibt zu

36 cm.

Y 11520

T,

328

3. Berechnung der Zwischenwand.

Die Konstruktion der Zwischenwand ist aus Tafel VI, unten rechts, ersichtlich. Es beträgt ihre Stärke 25 cm, ferner sind 12 mm starke Eisen angeordnet, welche 20 cm voneinander entfernt liegen. Auf den lfd. m Tiefe kommen 9 solcher Eisen, mithin auf einen cm Tiefe ein

Eisenquerschnitt von

Die Zwischenwand wird am ungünstigsten beansprucht, wenn ein Teilbassin leer ist;

1,13*9

100

0,1 qcm bezogen auf ein Eisen.

h²

dann hat die Wand auf 1 m Tiefe einen Wasserdruck aufzunehmen von W= — • 1000 3 * 3

— 2 ' 1000 — 4500 kg; woraus sich das Moment ergibt zu

M = 80* 2250 = 180000 kg,

¹⁸⁰⁰⁰⁰ =1800.

mithin auf 1 cm Tiefe

100

-r--

Vx

-t

Nach Abbild. 18 berechnet sich — y² + 2 * y • n (fe + fe') = 2 • n (h * fe + a • fe'), y² + 2 * y * 10 (0,1 + 0,l) = 2*10 (22,5 * 0,1 + 2,5 * 0,1),

y — 9,35 cm.

Abbild. 18.

Kb

6-M-y

y² (3 • h — y) + 6 fe '• n (y — a) (h — a)

Kk =

6 • 1800-9,35

9,35² (3 - 22,5 — 9,35) + 6-0,1 -10 (9,35 — 2,5) (22,5— 2,5)

17 (22,5—9,35)-10

= 17 kg/qcm.

Ke =

Kb (h — y) • n

9,35

= 238 kg/qcm,

Ke'

Kb (y — a) • n

17 (9,35 — 2,5) • 10

9,35

= 125 kg/qcm.

4. Berechnung der Seitenwand.

a) Die Überschüttung geht in horizontaler Richtung durch.

Die Seitenwand wird am ungünstigsten beansprucht, wenn das Teilbassin leer ist. Der Erddruck wurde mit Hilfe des Erddruckdreiecks bestimmt und ergab sich zu 4800 kg für den m Tiefe, und das zugehörige Moment

M = 90* 2400 = 216 000.

Für Kb = 35 und Ke = 750 wird nach Tabelle S. 5

h = 0,045VM = 0,045V216ÖW = 21 cm, gewählt 22, h₁=h + a = 22 + 2 = 24 cm,

ferner

Fe = 0,033 VU = 0,033l/216000 = 14,34 qcm.

Wählt man nun 12 Eisen, so kommt auf 1 Eisen

fe =

¹ ^ ⁴ = av 1,2 qcm oder d= 12 mm.

b) Die Überschüttung ist geneigt (Tafel VI unten links).

Man legt tut den Fuß der Seitenwandung eine Linie unter 60° bis znm Schnitte mit der Erdüberschüttung und berechnet den Inhalt des darüber liegenden Trapezes auf 1 m Tiefe. Dann zerlegt mein diesen Inhalt (5,1 cbm) in eine Komponente unter 60° (2,6 cbm) und eine Komponente unter 30°. Die Komponente (2,6 cbm) gibt nun den Inhalt des Erddruckes gegen die Seitenwand an. Man verwandelt nun diesen Inhalt (2,6 cbm) in ein Dreieck, dessen Höhe gleich der Höhe der Seitenwand plus Überschüttungshöhe ist und dessen Grundlinie sich berechnet nach der Gleichung = 2,6 cbm,

2,6-2

1,13 m wird.

Der Inhalt des schraffierten Trapezes ntultipliziert mit 1600 gibt den wirkenden Erddruck an

woraus

2,6-2

4,6

w (0,25 + 1,13) • 3,5

E =----------- _---------

• 1600= ^)3860 kg für 1 m Tiefe.

Da in diesem Falle der Erddruck (3860 kg) geringer ist als der Wasserdruck (4500 kg), so hat man folgendes zu beachten:

a) Wenn das Bassin gefüllt, so wirkt sowohl der Erddruck als auch der Wasserdruck; da nun der Wasserdruck größer ist, so biegt sich die Wandung nach außen durch und die Eisen wären mithin in die äußere Zone zu legen;

ß) ist das Bassin leer, so wirkt nur der Erddruck und die Wandung biegt sich nach innen durch und die Eisen wären in die innere Zone zu legen, hieraus folgt, daß in diesem Falle eine doppelte Arnrierung am Platze wäre.

Anmerkung: Die Seitenwandnngen und die Mittelwand wurden sowohl oben mit der Decke, als auch nuten mit der Grundplatte durch armierte Konsolen verbuttden.

5. Berechnung der Bkühen.

Sowohl in den Seitenwandungen als auch in der Mittelwand ist an derjenigen Stelle, an welcher der Plattenbalken darauf ruht, eine besondere Stütze einzubauen. Es wird int folgenden die Stütze in der Mittelwand berechnet.

Der Druck, den diese Stütze aufzttnehtnen hat, ist

Die Höhe der Stütze kaun man rttnd zu 3,0 m annehmen. Die Stärke der Stütze ist gleich derjenigen der Mittelwand und sind auch dieselben Eisen angeordnet.

Ans Druck ist nach Gleichung 1), S. 23, wenn man eine 5 fache Sicherheit annimmt

P = Fb.K^ + Fa.E,.e,

^4,5 qcm,

_ l 1,2² • 3,14 4

— 25-25 — 4,5 =    620 qcm,

0,00045,

(fr

200 000

folglich

P = 620 •

+ 4,5-2 000 000 - 0,00045 = ^ 35 000 kg.

IX. Berechnung eines Wasserbehälters aus Beton und Eisen» wenn der Behälter ein Halbkugel-Gewölbe bildet.

Der Inhalt des Behälters soll rund 170 cbm betragen. Nimmt mau nun den Durchnlesser zu 7,0 m an, so ist der Inhalt des vollen Behälters

V₃ = 0,5236 • d³ = 0,5236-7³ = ou 180 cbm.

Da die höchste Füllung nur 2,5 m betragen soll, so ist der Inhalt der Kugelkalotte in Abrechnung zu bringen

10 cbm

V₂= = 7t • h² (3 r — h) = — • 3,14 • l² (3 • 3,5 — 1) =

folglich

nun ist

Auf Zerknicken ist nach Gleichung 2) S. 23

P = £.-'x, s m '

F = 620 + 10 • 4,5 = 665,

₁₂ + IO-4,5-IO² = ^>37 000 37 000

665

55,6

250

folglich

1 + 0,0001 -

665-230

5

(    •300j²

CO

55,6

230,

30 590 kg.

V = V, — V„ = 180— 10=170 cbm.

Die Stärke der Kuppel wurde im Scheitel zu 15 cm und au den Kämpfern zu 30 cm angenommen. Ferner beträgt die Überschüttungshöhe 1,0 m und ist dieselbe in einer Höhe von 3,0 m horizontal abgeglichen.

Eine Gewölbehälfte wurde nun nach Fig. 4 in 22 Lamellen eingeteilt und ein Streifen herausgenommen, der am Kämpfer eine Breite von 1,0 m und am Scheitel eine solche von 0 hat (Fig 8). Die Gewichte der einzelnen Lamellen ergeben sich zu:

Betoulamellen:

Überschüttungslamellen:

Summa:

•    1600= 16 kg 19,0 kg .1600= 28 .1600= 40

•    1600= 52 -1600= 66

8i    — 0,25 - 0,15 - 0,04 • 2000 =    3,0 kg    p₄    = 0,25    - 0,04 • 1

g.,    — 0,25 - 0,15 - 0,07 - 2000 —    5,25    „    p₂    =0,25    - 0,07 -1

gg =0,25-0,15-0,1 -2000 = 7,5 „ p₃ =0,25 -0,1 -1 g₄    = 0,25 • 0,15 • 0,13 • 20 00 =    9,75    „    p₄    =0,25    -0,13-1

g₅    = 0,25 • 0,16 • 0,10 • 2000 = 12,75    „    p₅    =0,25    -0,16-1

g„ =0,25-0,16-0,2 - 2000=16,0 „ p₆ =0,24 -0,2 -1,07-1600= 82 g, = 0,25 • 0,16 • 0,25 • 2000 = 20,0 „ p₇ =0,233-0,25-1,1 -1600=102

33,25

47,5

g₈ =0,25-0,17-0,3 -2000=25,5 „ p₈ = 0,22 - 0,3 -1,13-1600 = 120 g₉ = 0,25 • 0,17 • 0,35 • 2000 = 30,0 „ p₉ = 0,21 -0,35-1,2 -1600=140 g₄ o = 0,25-0,17-0,4 -2000 = 34,0 „ p₁₀ = 0,2 -0,4 -1,23-1600 = 158 g₄₄ = 5,25 - 0,18 - 0,44 - 2000 = 40,0 „ pn = 0,195-0,44-1,3 -1600 = 178

61,75

78,25

98,00

127,00

145,50

170,00

192,00

218,00

Darauf wurde zu den einzellreu Betonlamellen und Überschüttungslamellen die Resultierende mit Hilfe von Krafteck und Seileck (Fig. 5) gesucht und zwar für die ersten 17 Lamellen. Für die letzten 5 Lamellen wurde der Deutlichkeit wegen jedesmal eine Konstruktion für sich ausgeführt (Fig. 6).

Der Erddruck gegen das Gewölbe wurde nach dem allgemeinen Verfahren (Fig. a) bestimmt und die Erddruckfläche F in ein Dreieck von der Höhe der Erde umgewandelt (Fig. 7). Dieses letzte Dreieck wurde nun entsprechend der einzelnen Betonlamellen in Streifen zerlegt. Der Inhalt dieser Streifen mal der Tiefe, entnommen aus Fig. 8, multipliziert mit 1600, gibt den Erddruck gegen die einzelnett Betonlamellen. Die obersten 8 Lamellen erhalten keinen seitlichen Erddruck.

Darauf wurde in einem Kräfteplane (Fig. 9) die einzelnen Lamellen nnb ihre entsprechenden seitlichen Erddrücke aneinander getragen, ein beliebiger Pol angenommen und der zugehörige Seilzug (unten rechts) gezeichnet. Durch Verlängerung der äußersten Seilzugseiten ergab sich die Lage der Resultierenden. Dann wurde durch die Scheitel-mitte eine Horizontale bis 5um Schnittpunkte mit der Resultierenden gezogen und dieser Schnittpunkt mit dem Kämpfermittelpunkt verbunden, wodurch sich der Kämpferdruck und Scheiteldruck ergab.

Zerlegt man nun tut Kräfteplan (Fig. 9) die Resultierende Parallel zu diesen Drücken, so ergibt sich ein neuer Pol.

Zieht mau nun die zu Diesem Pole zugehörigen Polstrahlen und mildem Scheitelmittel-punkte beginnend, die zugehörige Sttttzliuie, so ntuß diese auch durch den Kämpfermittel-punkt gehen.

Für unser Beispiel ergab sich nt der Fuge m — n die größte Exzentrizität. Konstruiert mau mm für diese Fuge nach Fig. 10 das Spannuugsdiagramm, so ergeben sich die größten Kantenpressungen zu + 21,8 und —14,8.

Der Zug von 14,8 soll von der Eiseneiulage aufgenomnten werden.

Der Inhalt des Zngdreiecks ist J Stelle eine Tiefe von 17 cm hat, so ist die Zugspanttuttg

50,32 und da die Fuge an dieser

14,8'6,8

Z = 17 •50,32 = 855 kg,

F = —

K

mithin

—1,14 qcm.

855

750

Auf 17 cm Tiefe benötigt man 1,14 qcm Eisen; sind nun die Eisen an dieser Stelle 8,5 cm voneinander entfernt, so kommen auf 17 cm 2 Eisen, also auf 1 Eisen 0,57 qcm, was einen Durchmesser von rund 9 mm ergibt.

Die genaue Berechuutrg der Inanspruchnahme des Betons und Eisens erfolgt gerade so, wie schon bei der Bogenbrücke erwähnt.

Außer diesen Haupteisen wurden noch Verteilungsstäbe ringförmig angeordnet.

Die Inanspruchnahme des Gewölbes durch den inneren Wasserdruck ist so gering, daß man ihn ohne weiteres vernachlässigen kann. Er beträgt zum Beispiel nur für dieses Beispiel 1,46 kg/qcm.

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