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Biblioteka Politechniki Ktakowsktej

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Eisenbetonkonstruktionen.

i.

Gedruckt bei Imberg & Lefson G. m. b. H. in Berlin SW. 68.

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Eisenbetonkonstruktionen I.

Dritte Auflage.

Mit 282 Abbildungen, 5 ganzseitigen Tafeln und 1 lithographischen Tafel.

Von

Dipl.-Ing. E. Fölzer (Oberlehrer an der staatlichen Baugewerkschule zu Lübeck).

Strelitz in Mecklenburg.

Polytechnischer Verlag M. Hittenkofer.

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Vorwort.

Vorliegende dritte Auflage meines Werkes über Berechnung der Eisenbetonkonstruktionen weist gegen die zweite Auflage der Hauptsache nach keine Veränderungen auf, denn der grosse Anklang, welchen meine Arbeit gefunden, und die zahlreichen Zuschriften, welche ich erhalten, bezeugen zur Genüge, dass der Grundgedanke, welcher mich bei der Verfassung der Abhandlung leitete, als der richtige anerkannt werden muss.

Neu aufgenommen wurde die Berechnung der auf 4 Seiten aufgelagerten Eisenbetonplatten, sowie die Bestimmung der Eiseneinlagen bei gegebenem Querschnitt, ausgelassen dagegen das grössere Übungsbeispiel, denn es zeigte sich, dass vielen Interessenten die Kenntnis des kontinuierlichen Trägers mit verschiedenen und veränderlichen Lasten fehlte. Es wird deshalb der kontinuierliche Träger in seinem ganzen Umfange einer später erscheinenden Abhandlung zugrunde gelegt werden.

Ausserdem wurden eine Reihe von Umrechnungen, Umänderungen und Streichungen vorgenommen, sowie viele der Klarheit dienende Erläuterungen hinzugefügt.

Der Verfasser.

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Inhalts - Verzeichnis.

Erster Teil.

Die Eisenbetonkonstruktionen im Hochbau.

Seite

I. Abriss der Festigkeitslehre........

A.    Zugfestigkeit............

B.    Druckfestigkeit und Knickung......

1.    Druckfestigkeit mit zentrischer Belastung .

2.    Druckfestigkeit bei exzentrischer Belastung

C.    Biegungsfestigkeit..........

1.    Der Freiträger..........

2.    Der Träger auf zwei Stützen......

3.    Der einseitig eingespannte Träger.....

4.    Der beiderseitig eingespannte Träger

5.    Die auf vier Seiten gelagerte Platte .

6.    Die auf vier Seiten gelagerte Eisenbetonplatte

D.    Schubfestigkeit...........

E.    Der kontinuierliche Träger.......

10

11

11

12

16

17

II. Leitsätze zur statischen Berechnung

A.    Eigengewicht.....

B.    Ermittlung der äusseren Kräfte

C.    Ermittlung der inneren Kräfte

D.    Zulässige Spannungen .

T—t T—I TH

CM <M CM

CM CO CM CM

III. Gewichtstabellen

25

IV. Rundeisentabelle

26

V. Ableitung der Gleichungen zur Berechnung der Eisenbeton-konstruktionen im Hochbau nebst Beispielen .

A.    Die einfach armierte Platte........

B.    Die doppelt armierte Platte........

C.    Der Plattenbalken...........

1.    Die Nullinie fällt in die Platte......

2.    Die Nullinie fällt mit Plattenunterkante zusammen

3.    Die Nullinie fällt in den Steg......

!.>•    CO 00 00 05 Ci

<M CM CO CO CO CO CO

49

D.    Gitterdecke nach Visintini

3.    Die exzentrische Kraft greift ausserhalb des Kernes an .

56

57

VI. Die einzelnen Eisenbetondecken-Systeme nebst Beispielen

A.    Decke    nach    System    „Monier“

B.    Decke    nach    System    „Wayss“.

C.    Decke    nach    System    .Hennebique“    .

D.    Decken nach „Ransome“, „Habrich“    und

E.    Decke nach System „Lolat“ ....

F.    Voutendecke nach „Könen“ ....

G.    Decken nach „Stapf“ und „Klett“ .

H.    Viktoria-Decke........

J.    Hängegurtdecke nach „Möller“ .

K.    Streckmetalldecke.......

L.    Könensche Plandecke......

M.    Zellendecke nach Zöllner und Röhrendecke n

N.    Decke nach System „Stolte“ ....

O.    Zylinderstegdecke nach „Herbst“

P.    Decke nach System „Siegwart“ .

Gitterdecke nach System „Visintini“

R.    Decke nach System „Kleine“.

S.    Die auf 4 Seiten gelagerte Eisenbetondecke

,Hyatt“

cli Brami

03    O”    O    03    CO    00    lO

GO    CO    O*    C“    O-    t>*    t'-

uO co oo o o i>- oo

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03    C0    lO    CO    00    00

GO    00    00    GO    00    00

VII. Die Plattenbalken-Systeme nebst Beispielen

A.    Plattenbalken nach System „Wayss“

B.    Plattenbalken nach System „Hennebique“

C.    Plattenbalken nach System „Luipold“ .

91

91

91

91

VIII. Die Säulen und Stützen nebst Beispielen .

A.    Säulen mit schwacher Armierung

B.    Stützen mit starker Armierung .

99

99

104

IX. Treppen aus Eisenbeton......

A.    Treppen mit einseitig eingemauerten Stufen aus Eisen

beton und Podestträgern aus Eisen oder Eisenbeton mit Beispiel

B.    Treppen mit Tragkonstruktion aus Eisenbeton und

aufgesetzten Betonstufen mit Beispiel

106

. 106

.    117

X. Dächer aus Eisenbeton

A.    Einteilung und Abdeckung

B.    Dächer aus Eisen mit zwischen den Pfetten gespannten

Eisenbetondecken nebst Beispiel......

C.    Bogendächer nebst Beispielen.......

1.    Dreigelenkbogendach.........

2.    Zweigelenkbogendach.........

3.    Gelenkloses Bogendach.........

D.    Rahmendächer nebst Beispiel.......

E.    Kegel- und Zeltdächer nebst Beispiel.....

F.    Kuppeldächer nebst Beispielen .......

XI. Wände aus Eisenbeton...........

1.    Wände    nach    System    „Monier“......

2.    Wände    nach    System    „Hennebique“.....

3.    Wände    nach    System    „Wayss“......

4.    Wände    nach    System    „Chaudy“......

5.    Wände    nach    System    „Streckmetall“    ....

6.    Wände    nach    System    „Rabitz“......

7.    Wände    nach    System    „Drahtziegelwände“    .

8.    Wände    nach    System    „Prüss“.......

XII. Beispiel zu einer Konsolkonstruktion (Erkeranlage)

XIII. Literaturangaben............

117

118

119

120

122

125

129

131

137

143

143

144

144

144

145

145

145

145

146

149

I.

Abriss der Festigkeitslehre.

A. Die Zugfestigkeit.

Wird ein Körper durch eine Kraft P, welche in seinem Schwerpunkt angreift, auf Zug beansprucht, so erleidet er eine Beanspruchung Kz kg/qcm, welche sich gleichmässig über den ganzen Querschnitt verteilt. Dementsprechend berechnet sich seine Querschnittsfläche zu (Fig. 1):

Kz

[1]

____

Kz =

[la]

’T

• [1b]

Fig. 1.

Dadurch nun, dass ein Körper von der Länge 1 und dem Querschnitt F durch eine Kraft P auf Zug beansprucht wird, erleidet derselbe eine Dehnung A1, welche sich berechnet nach:

Al =

Kz

[2]

oder da

Kz =

Al =

P-1

[2a]

In vorstehenden Gleichungen bezeichnet:

1 die ursprüngliche Länge in cm,

E = Elastizitätsmodul kg/qcm.

Unter Elastizitätsmodul des Materials versteht man die Kraft, welche einen Stab von der Länge 1 und 1 qcm Querschnitt auf die doppelte Länge ausdehnt. Gleichung [2] in Worten lautet:

Die Dehnungen verhalten sich wie die Spannungen.

Beispiel:

Ein Rundeisenstab von Flusseisen habe eine Länge von 6,0 m und sei auf Zug zentrisch mit 5000 kg belastet. Es sind der Querschnitt und die Verlängerung zu berechnen, wenn Kz = 1000 kg/qcm und E = 2100 000 ist.

Nach Gleichung [1] wird:

P _ 5000

Kz “ 1000

= 5 qcm.

Da nun

d ² • tl

—₄— = 5 qcm,

so folgt

3,14

— = 2,53 cm.

Nach Gleichung [2] folgt:

Kz

1000

2 100 000

. 600 = 0,2858 cm.

B. Die Druckfestigkeit.

1. Druckfestigkeit bei zentrischer Belastung.

Für diese Art der Beanspruchung eines Körpers gelten* dieselben Formeln wie für die Zugfestigkeit mit der Ausnahme, dass an Stelle

der elastischen Verlängerung Al eine elastische Verkürzung Al

eintritt (Fig. 2).

Kh

[3]

Th

Kd =

[3a]

i'i

kV

P = F • Kd

A1-*

E

[3b]

[4]

Figr. 2.

Ai =

P-l

[4 a]

Ausser auf Druck sind die gedrückten Stäbe nach der Eulerschen Formel noch auf Zerknicken zu berechnen nach der Gleichung:

[5]

s • P • I²

r² • E

s-1²

• • [5a]

Hierin bezeichnet: J = Trägheitsmoment in cm⁴, 1 = Länge des Stabes in cm, P = Belastung in kg, s = Sicherheitsfaktor, E = Elastizitätsmodul in kg/qcm.

Beispiel:

Eine quadratische Betonstütze (Fig. 3) habe eine Länge von 6 m und sei zentrisch mit 20 000 kg belastet. Es ist die Stütze zu dimensionieren,

Kd = 40, E = 140 000 und s = 10 beträgt.

Nach Gleichung [3] wird:

wenn

P 20000

7|

Kd

40

= 500 qcm.

Da nun E = h², so

h = VöOO = oo 23 cm.

U--h --»i

Fig. 3.

Nach Gleichung [5] wird:

10 • 20000 • 600²

10-140000

= 51450 cm⁴.

Das Trägheitsmoment eines quadratischen Querschnitts ist:

h⁴

folglich

J =    ,

12’

4    4

li = Y12 - J = 1/ 12 • 51450 =

Der letztere Wert ist für die Konstruktion massgebend. Nach Gleichung [4] beträgt die Verkürzung:

28 cm.

Al =

40 - 600 140000

= 0,171 cm.

Beispiel:

Ein Betonpfeiler habe eine Länge h = 1 m und eine Stärke b = 0,4 m, ferner eine Höhe 1 = 4,0 m (Fig. 4). Mit welcher Kraft kann der Pfeiler zentrisch belastet werden, wenn E = 140000, Kd = 40 und s = 10 ist?

Nach Gleichung [3b] wird:

P = 100 - 40 - 40 = 160000 kg.

Für Zerknicken folgt nach Gleichung [5a] unter Berücksichtigung des kleinsten Trägheitsmomentes:

h - b³ 100 • 40³

Tl>4.00M

■V

Jl =

12

12

= 533333,

II

Fig. 4.

533333-10- 140000

10 - 400 - 400

= 466666 kg.

Beispiel:

Eine Eisenbetonsäule habe den in Fig. 5 und 6 angegebenen Querschnitt. Es soll die grösste zulässige Entfernung x der Verbindungseisen festgelegt werden, wenn Ke = 1000 kg/qcm und auf den Beton weiter keine Rücksicht genommen wird. Nach Gleichung [5a] ist

J • 7t² • E

s • l²

oder

J • t:² • E

s-P

Nach Gleichung [3b] folgt:

fl

L.

P = F-Kd =

d² • 7t

<--Vi —

Für Rundeisen ist J =

it-d⁴

G4

, 7t²-

10 und

Fig. 5 u. 6.

s — 5, ferner E = 2100000, mithin:

Tt • d⁴

4-

•10.2100000

2100000 • 10

d² • it

5•16 • Ke

x = 512

VK

[6]

Für unser Beispiel wird:

x = 512 •

V1000

= 32,4 cm.

2. Druckfestigkeit bei exzentrischer Belastung.

Unter exzentrischer Belastung versteht man eine Belastung, bei welcher die Kraft (Fig. 7) nicht im Schwerpunkt des QueiSchnitts, sondern ausserhalb desselben angreift.

Die Berechnungsweise ist nun folgende: Man berechnet die Stützen zunächst auf Zerknicken nach Gleichung [5]

s • P • l²

tt² • E

cX1' j    'pXm

und untersucht dann, ob der berechnete Querschnitt auch auf Druck und Biegung genügt nach den Gleichungen:

[7]

Km = -

Fig. 7.

Kn =

[7a]

Sollen nun an der der exzentrisch wirkenden Kraft gegenüberliegenden Kante keine Zugspannungen auftreten, oder anders ausgedrückt, soll der Grenzfall gesetzt werden, dass Kn — 0 wird, so folgt nach Gleichung [7a]

P_M

oder

F W P _ M F “ W;

da nun M = P • e, so folgt

hrj' Kö

P-e

oder

cm

[8]

Sollen also in der Säule keine Zugspannungen auftreten, so darf die Exzentrizität e W

nicht grösser als m = — werden.

F

Beispiel:

Eine Betonsäule habe eine Höhe von 4 m, einen in Fig. 8 angegebenen Querschnitt und sei 5 cm exzentrisch mit 20000 kg belastet. Es ist der Säulenquerschnitt zu berechnen, wenn s = 10, E = 140000 und K = 40 ist.

Nach Gleichung [5] wird:

10 • 20000 • 400²

10 • 140000

= 22856 cm⁴,

demnach

D⁴ • TZ

₆₄ =²²⁸⁵⁶.

_ |^64.22856

3,14

= 26 cm.

L---jj---j

Fig. 8.

= 37,6 kg/cm².

Würde die Kraft 20000 kg zentrisch angreifen, so wäre die Druckbeanspruchung 20000 _ 20000 _ 20000 F ~ 26² • 3,14 ~ 531

Für exzentrische Belastung ergibt sich auf Druck und Biegung für:

26³ • 3,14

D³ . TZ

32

32

= 1726 cm³

nach den Gleichungen [7] und [7a] 120000    20000-5

Km =

531

1726

= 37,6 -f- 53 = 95,6 kg/cm² Druck,

Kn = 37,6 — 58 = — 20,4 kg/cm² Zug.

Da Zugbeanspruchungen in Betonsäulen nicht auftreten sollen, so ist der Querschnitt zu vergrössern, und zwar dergestalt, dass

e = m = 5

D³ • TT

wird, mithin

32

D² • r

= 5,

iO

D = 40 cm.

Für diesen Querschnitt wird:

40³.3,14

32

= 6283 cm³,

40² • 3,14

= 1256 cm²,

mithin

Km =

20000 . 20000-5

1256

6283

= 15,9 + 15,9 = 31,8 kg/cm² Druck,

Kn = 15,9 — 15,9 = 0.

C. Die Biegungsfestigkeit.

Wird ein Stab, der entweder an einer Seite festgehalten und an der anderen frei schwebt, oder an zwei oder mehreren Stellen unterstützt ist, von äusseren Kräften, welche senkrecht oder unter einem Winkel zur Längsachse Avirken, angegriffen, so haben wir es mit der Biegungsbeanspruchung desselben zu tun (Fig, 9, 10 u. 11). Für die Berechnung dieser Träger gelten folgende Vorschriften:

„Die Angriffsmomente und Auflagerkräfte der auf Biegung beanspruchten Bauteile sind je nach der Art der Belastungen und Auflagerungen nach den für die frei aufliegenden und durchgehenden Balken aufgestellten Regeln zu berechnen.“

Es finden also bei diesen Berechnungen die bekannten Gleichgewichtsbedingungen Anwendung, nämlich:

i!

V 1* l±

1. Die Summe der Horizontalkräfte muss = 0 sein ,, Vertikalkräfte ,, Momente Selbstverständlich ist auch hierbei darauf zu achten, dass alle den Stab beanspruchenden Kräfte in der Ebene der Längsachsen liegen müssen und dass die statischen Momente für jeden in dieser Ebene liegenden Punkt = 0 sein sollen.

2.

3.

V */ V

Sieht man sich einen solchen durch irgend-^ eine Kraft beanspruchten Stab an, so wird man sehen, dass durch die Durchbiegung, welche er erleidet, oben eine Verkürzung und in der unteren Zone eine Verlängerung eintritt, mithin muss es zwischen der Druck-und Zugzone eine Faserschicht geben, welche weder Druck noch Zug erhält.

Fig. 9, 10 u. 11.

il

Man nennt diese Schicht die „Neutrale Achse“ oder „Nullinie“.

Es verhält sich nun nach Fig. 12:

• X.

oder V =

Bezeichnet man ferner die Drehung mit £, so wird

•X—X,

r 4- y

c ⁼⁼

Mr + y) —^ •r *

s = -y-

Nach Gleichung [2] wird:

Ai = e =

X-K

! \\

/// 1 \

ii\!

it i

I cßr'n

oder gleichgesetzt

X-K

\j

-V

oder

E -y

CMn

Bezieht man diese letzte Gleichung auf die äusserste Faser, so wird y = a und

Km =

E- a

E -y

Nun verhält sich:

Km

tö

oder

Km

[9]

d. h. die Spannungen in den Fasern wachsen proportional mit dem Abstand von der Nullinie.

Da nun ferner nach [2] sich die Dehnungen verhalten wie die Spannungen, so müssen auch die Dehnungen in den Fasern proportional mit dem Abstande von der Nullinie wachsen.

1. Der Freiträger.

46000 kg/cm (Fig. 14).

M — P • 1 == 600 • 220 = 132000 kg/cm (Fig. 13). P • 1    460 • 200

^y///////y//////Z/MM MBilqW/////////A

\ -----b --

Fig. 13.

i —i ---tJ *    - ---+J

Fig. 14.

= P, • d + P₂ ■ c + Ps ■ b + P₄ ■ a (Fig. 15).

= 200 • 160 + 120 • 110 + 100 • 80 + 400 • 40 = 69200 kg/cm.

= ~ + P, • 1 + P₂ • b + P₃ • a (Fig. 16).

’äpf JA

T

- i =    —J

(m -1.1*1

I *-~üs o, £_J

])m 4.0---,J

pr---/• t,H

%.z:o

Fig. 15.

Fig. 16.

500 • 240

+ 150 • 240 4- 250 • 100 + 300 • 50 = 136000 kg/cm.

2. Der Träger auf zwei Stützen.

a) Der Träger auf zweiStützen ohneüberkragendeEnden.

I (Fig. 17).

P • 1    800 • 300

\T*»n]2

= 60 000 kg/cm.

M = _

A = -y- = 400 kg; B =    = 400 kg.

800

800

l:3,‘

3*

—*i

Fig. 17.

Eisenbetonkonstruktionen I.

= 45000 kg/cm.

P • 1    900.400

Ph I<m

CD

DO O

450 kg; B

P-l l<N

900

— = 450 kg (Fig. 18).

Pt • a -f- P₂ • b + P₃ • c

300 • 0,4 + 500 • 1,4 + 400 • 2,0

2,4

= 675 kg (Fig. 19).

B = Px + P₂ + P₃ — A = 300 + 500 + 400 — 675 = 525 kg.

~Joo kt

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-1

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L_ dis—w—    «*

u- r.A»

Z 2,.-.

U_ ä.«*

Fig. 18.

Fig. 19.

Der gefährliche Querschnitt liegt bekanntlich an derjenigen Stelle, an welcher die positive (+) Schubkraft in die negative (—) übergeht.

A — P₃ <: 0.

a) unter P₃, wenn:

ß) unter N, wenn: Y) unter P₁₍ wenn:

P₂

A-P₃ — -pi(x-f) = 0.

A- (P₈ 4- P₂) >0 und A- (P₃ + P₂ + P,) ^0.

Für P₃: Für P₂:

V    = 675 — 400 = + 275.

V    = 675 — 400 — 500 = — 225.

Demnach liegt der gefährliche Querschnitt zwischen P₃ und P₂ unter N,

also ist

675 — 400

500

0,8

(x — 0,6) = 0,

— 1,04 m,

275 = 625 x — 375, 275 + 375

625

Mmax = 675 • 104—400 (104— 240 + 200)

500

104—60

0,8

(104-0,6) •    ₂

44 600 kg/cm.

1000 kg (Fig. 20).

P₂ P₁.a + P₃(a + b) 800    400-0,6 + 600(0,6 = 1,5)

2,5

2 + I _ =    +

B = P, + P₂ + P, — A = 400 + 800 + 600 — 1000 = 800 kg.

Gefährlicher Querschnitt, a) unter P₃, wenn:

A —    > 0 und A —

i *«♦»,,,

» 600

Mmmm

jt

• ä/

"1

• 1-

11111

pr + p.) = o.

t-X--J

‘~?i.Soekf

U-— I---*U-

Z-2.S-

ß) unter Px, wenn:

Fig. 20.

P₂ • (c + b)

Y) unter N, wenn:

Für P₃:

+ P₃^j >0 und A— |+ b)

pp + P₃) = 0.

V = 1000

800

. 0,4 = + 872 und V = 1000 — 2,5

(^.0,4 + 600) =

+ 272.

Für Px:

V = 1000 —

800 • 1,9

2,5

+ 600^ = + 208 und V= 1000 — (

800 • 1,9

2,5

= .— 608.

+ 600 + 400j

Der gefährliche Querschnitt hegt mithin zwischen P₃ und P1? also unter N, und es ist

1000 —

1000 — 320 X — 600 = 0,

400

320

= 1,25 m,

M

iTAmax

= 1000 • 125 — 6000 (125 — 40) —

800

125

2,5

• 1,25 • — = 49000 kg/cm.

U

b) Der Träger auf zwei Stützen mit überkragenden Enden. (Fig. 21.)

eoi os

•P; Mc= P-a; Md =

co

P(‘ ⁺ T>

Sollen die Momente gleich sein, so wird: P • a = — • P • 1

a+ ,

woraus sich a = — ergibt.

cäX- i

U_ CL ->U

—*1*- — ■_1 l -

Fig. 21.

L—<r—>1

Beispiel:

Es sei P = 300 kg, 1 = 4,0 m und a = 1,5 m.

B = A ='

CO Ol

• 300 = 450 kg; Mc = 300 • 150 = 45000 cm/kg,

Md = 450 • 200 — 300 (200 + 150) = — 15000 cm/kg, d. h. der Träger wird in der Mitte nach oben gebogen.

Soll Mc = Md sein, so wird:

4,0

a = —- = 0,5 m

und

Mcy = 300 • 50 = 15000 cm/kg,

Md = 450 • 200 — 300 (200 + 50) = 15000 cm/kg.

Der Balken sei mit p kg pro Kd. m belastet (Fig. 22). Dann ist:

= pU + a

; Mc =

p • a²

2~; Md = p

Soll Me = Md sein, so ist: «*_

p • a²

^- = P

~2 +a

■*«—4T_>I

woraus a = —= = 0,3538 • 1 wird.

Fig. 22.

Beispiel:

Es sei p = 200 kg, 1 = 5,0 m. Soll Mc = Md sein, so ist

und

a = 0,3538 • 5,0 = 1,769 = co 1,77 m 200 • 1,77 • 177

Me' =

= 31329 cm/kg,

ferner:

A = B = 200

+ 1,7?) = 854 kg.

Das Moment

250 + 177

Md = 854 250

31171 cm/kg.

Die Differenz rührt von der Abrundung her.

3. Der Träger ist auf einer Seite eingespannt und auf der anderen frei auf gelagert.

ll

11

JL

A = iß • P = jg • 800 = 550 kg (Fig. 23), B =    • P = Jt • 800 =

Fig. 23.

16

16

250 kg,

+ Mmax =    * P • 1 T=

32

—    • 800 • 200 = -f- 25000 kg/cm,

—    • 800 • 200 = — 30000 kg/cm,

OOI 05

OOI OI

• 1000 = 625 kg (Fig. 24),

• 1000 = 375 kg,

+ M-max —

128

•P • 1 =

128

c/l Ä—    .    ——

l-i,S- .

Fig. 24.

• 1000 • 250 = + 17656 kg/cm,

P • 1    1000 • 250

max —

= —31250 kg/cm.

8

4. Der Träger ist auf beiden Seiten eingespannt.

di

Nr-.

ni.

---1.5,.--

Mrs.

Fig. 25.

_M —

iUmax —

Pu Icvj

1600

— = 800 kg (Fig. 25), P • 1    1600 • 300

+ 60000 kg/cm,

P • 1    1600 • 300

= — 60000 kg/cm.

+ ^max —

Ph ! co    Ph

1500

₂    = 750 kg (Fig. 26),

• 1    1500 • 360

24

24

_M —

iumax —

P • 1    1500 • 360

|_ r A iS‘L&    I

+ 22 500 kg/cm, ^ | 'mmmmmmwMWMmrnm |

L_____3,gm---J

12

24

— 45000 kg/cm.

Fig. 26.

5. Die auf vier Seiten aufgelagerte Betonplatte.

a) Die quadratische Platte.

Fig. 27.

Wird eine Platte durch eine gleichmässig verteilte Belastung p pro Einheit beansprucht, so tritt eine Durchbiegung und zugleich eine Dehnung ein. Durch Versuche des Herrn Prof. Bach ist nun festgestellt, dass die grösste Dehnung senkrecht zur Richtung der Diagonalen fällt, dementsprechend auch die Rissbildung in der Richtung der Diagonalen verläuft (Fig. 27).

■N

a-Vt

Spannt man nun eine solche Platte in der Richtung einer Diagonalen ein (Fig. 28), so beträgt die auf jeder Seite wirkende Reaktion

und deren Moment mit dem Hebelarm h₁ =

M = 2A • hv

vi

SV

b) Die rechteckige Platte.

Die grösste Beanspruchung bei der rechteckigen Platte tritt in der Richtung der kleinen Achse auf, jedoch hat, wie Versuche des Herrn Prof. Bach gezeigt

haben, die Rissbildung die Neigung, nach einem kurzen fast parallel Laufen mit der grossen Achse in die Richtung der Dia-

j gonalen einzubiegen (Fig. 32). y demnach die rechteckige Platte wie die quadratische Platte berechnet werden, Nimmt man wieder an, dass sich die ganze Belastung auf vier in den Mittelpunkten der Seiten angreifende Reaktionen

Es soll

<r

h₂ =

Das gesamte biegende Moment ist dann, wenn man die in einem Abstande

&    ^2 # p

- in C nach unten wirkende Kraft P = —-— berücksichtigt,

M₁ = 2 • A • hj — P • b₂

und für 2A = P

Mx = P (hx — h₂) .

[10]

Dieses Moment bezieht sich auf einen widerstehenden Querschnitt (ohne Eiseneinlagen) von

a V 2 - d²

(Fig. 29)

[11]

fepMMMiiay    multiplizieren^

der nach „Bach“

Fig. 29.

M = 0,75 co 1,12

beträgt, je nachdem sich die Auflagerung mehr der Einspannung oder dem Frei-aufliegen nähert.

Beispiel:

Eine quadratische Platte habe eine Seitenlänge von a = 4,0 m und sei gleich-mässig mit 500 kg/qm belastet (Fig. 30 u. 31).

1 hl= a

400

2V2    2•V2

= 141 cm,

*1

•T

400

— 94 cm,

li

4,0² • 500

₉    = 4000 kg, i »

91

Mx = P (hx — h₂) = 4000 (141 — 94) = 188000 kg/cm.

Soll keine Einspannung vorhanden sein, so wild

M'x = 1,12 • 188000 = 210560 kg/cm. Soll vollständige Einspannung vorhanden sein, so wird M"x = 0,75 • 188000 = 141000 kg/cm.

\0ni _

Fig. 30.

Fig. 31.

Vi«i

w---

1/FTP

■///////^//////////^

/zzzzzzz/.

Fig. 33.

verteilt, so kommen für die Berechnung zwei derselben in Betracht (Fig. 33).

, b

hi = ö

Es ist

2A =

² Va² + b²’

3 \/a2 _j_ b²’ a • b • p

= P,

a • b • p , a • b • p .

~~~2 hl---2 ' ha’

⁼ P (hi - h₂).....

n----YrTTW⁷-----v- ⁴

M₁₌₌

[12]

Fig. 34.

Das in Frage kommende Widerstandsmoment ist dann (ohne Eiseneinlagen)

Va² + b²

₆    • d² (Kg- 34)

[13]

Auch hier sind wieder wie bei der quadratischen Platte die entsprechenden Berichtigungskoeffizienten einzuführen.

Beispiel:

Schub- und Haftspannungen.

Fb • Eb

Berechnung im I. Felde.

Berechnung im II. Felde.

Die Eisenbetondächer.

Berechnung des Auflagerringes (r = 8).

31

Beispiel:

vA

Eine rechteckige Platte sei gleichmässig mit 500 kg/qm belastet und habe die in Fig. 35 und 36 angegebenen Abmessungen.

400

hi = -5“

600

²    V600² + 400²

= 166,5 cm,

-*t*r

h2 =

400

600

*ß\\

A 4#

Tr\\

Fig. 35.

3    V600² + 400²

4-6-500

= 111 cm,

= 6000 kg,

Fig. 36.

Mx = 6000 (166,5 — 111) = 333000 kg/cm.

Ohne Einspannung wird;

= 1,12 • 333000 = 372000 kg/cm.

Mit Einspannung wird:

M" = 0,75 • 333000 = 249750 kg/cm.

6. Die auf vier Seiten aufgelagerte Eisenbetonplatte.

Eine kreuzweise Armierung dieser Platte ist nur dann zweckmässig, wenn

kleiner ist als 1,8, doch sollte im allgemeinen nicht über 1,5 gegangen werden.

Teilt man die Seite a in n gleiche Teile und die Seite b ebenfalls in dieselbe Anzahl n gleiche Teile, so erhält man, wenn man die Plattenstärke mit h

bezeichnet, Plattenstreifen von der Breite

o⁻! s»

«3 Ö

bezw.

und der Höhe h (Fig. 37).

w,

•2

m.

OL.

'tficptnny

Fig. 37.

Die Plattenstreifen in der „A“-Richtung haben dann:

b    h³

12’

eine Fläche Fa = — • h und ein Trägheitsmoment Ja =

Die Plattenstreifen in der „B“-Richtung haben dann:

eine Fläche Fb =

a h³

• h und ein Trägheitsmoment Jb = — •

n 12

Bei gleichmässiger Belastung ist die Durchbiegung eines Balkens in der Mitte

p. 13

ETj-a’

Für den Plattenstreifen in der ,,A“*Richtung wird dann:

a³

Pb-a3 b h³ '

n 12

für den Plattenstreifen in der ,,B“-Richtung wird ferner:

Pa*b3 a h³' *’

fb =

Pa*b3 E-J

n 12

Da für die beiden mittelsten Streifen die Durchbiegung gleich sein muss,

so wird:

la ⁼ lb>

Pb * a3 b h³ ' “

E---

Pa • b³

-üii' a>

a h³

E---

n 12

Pb • a³

Pa * b³

Pb • a⁴ = Pa • b⁴.

Schliesst man nun von diesen einzelnen Streifen auf die ganze Platte, muss sein:

so

P = Pb + Pa = a • b • p,

Pa= (P — Pb)>

Pb • a⁴ = (P —Pb)b⁴,

Pb . a⁴ == P.b⁴ — Pb-b⁴,

Pb • a⁴ + Pb • b⁴ = P • b⁴,

P • b⁴

(a⁴ + b⁴) ~ (a⁴ + b⁴)

Pb =

b⁴

• a • b • p.

Pb = (P—pa), (P — Pa) • a⁴ = Pa • b⁴,

P • a⁴ — Pa • a⁴ = Pa • b⁴,

Pa • a⁴ -f Pa • b⁴ = P • a⁴, P-a⁴

(a⁴ + b⁴) ~ (a⁴ + b⁴)

In der „A“-Richtung wird mithin das Moment:

Ma = Pb • a,

Pa =

a⁴

• a • b • p.

Ma =

b⁴

(a⁴ + b⁴)

und in der ,,B“-Richtung entsprechend:

• a² • b • p • ß .    .

• • [14]

Mb =

a⁴

(a⁴ + b⁴)

• b² • a • p • ß .    .

.    . [14a]

H |00

für vollständig eingespannte

Für frei aufgelagerte Platten ist ß =

Platten ß = für teilweise eingespannte Platten ß = ~ zu setzen.

Da die Durchbiegung in der Mitte am grössten ist, so sind auch die Eiseneinlagen in der Mitte der Seite enger zu legen, als nach den Enden hin.

Beispiel:

Für eine 20 cm starke, auf allen Seiten frei aufgelagerte Eisenbetonplatte 6 X 4 m² betrage die Nutzlast 400 kg/m². Es sind die Momente zu berechnen. Die Gesamtbelastung beträgt:

p = 400 + 1 • 1 • 0,2 • 2400 = 880 kg/m².

Ma

4⁴

256

tH [OO

• 6² • 4 • 880 •-

• 144 • 110,

(1296 + 256)

Ma = 0,165 • 15840 = 2613,6 m/kg = 261360 cm/kg.

(6⁴ + 4⁴)

Mb =

6⁴

- 4² • 6.880 • — =

1296

(1296 + 256)

Mb = 0,835 • 10560 = 8817,6 mkg = 881760 cmkg.

(6⁴ + 4⁴)

• 96-110,

D. Die Schubfestigkeit.

Wirken auf einen Körper äussere Kräfte parallel zu einem in Frage kommenden Querschnitte, so wird derselbe auf Schub beansprucht (Fig. 38). Diese Schub-

/y

KJ

Fig. 38.

Fig. 39.

beanspruchung verteilt sich nun nach einem sehr komplizierten, für die Praxis kaum in Frage kommenden Gesetz. Man rechnet deshalb meistens nach folgenden Gleichungen (Fig. 39):

Ks =

[15]

[15 a]

P = F • K,

[15b]

Beispiel:

Auf einen Balkenquerschnitt wirkt eine Kraft von P = 10000 kg. Es soll die Schubbeanspruchung berechnet werden, wenn die Höhe des Balkens h = 20 cm und die Breite desselben b = 15 cm beträgt

Kg =

10000

20-15

= 33,3 kg/qcm.

Ausser den vorher erwähnten Schubspannungen senkrecht zur Längsachse des Balkens treten auch noch solche auf, welche mit der Längsachse desselben zusammenfallen.

Wird nun der Querschnitt eines Balkens unmittelbar auf Abscheren be-beansprucht durch eine zur Querschnittsfläche parallele Schub- oder Querkraft, so kann man, wie schon gesagt, die in der in Frage kommenden Fläche hervorgerufenen Schubspannungen als gleichmässig verteilt ansehen und die Schubspannung Ks berechnen aus Gleichung [15].

Tritt dagegen eine durch die Biegungsbeanspruchung hervorgerufene Schubspannung in der neutralen Achse ein, so wird diese Schubkraft am Auflager am grössten sein, und zwar gleich dem Auflagerdruck.

E. Der kontinuierliche Träger.

Unter einem kontinuierlichen Träger versteht man einen solchen, welcher durchlaufend mehr als zwei Auflagerungen besitzt. Die Enden der Endfelder werden in der Regel als frei aufgelagert angesehen, während über den Mittelstützen Einspannung angenommen wird. Es sind also die Endfelder als einseitig, die Mittelfelder als beiderseitig eingespannt zu betrachten. Da die kontinuierlichen Träger bei den Hochbaukonstruktionen fast durchweg nur gleichmässig durch Eigengewicht und Nutzlast beansprucht werden, so seien in folgenden Tabellen die Auflagerdrücke bezw. Schubkräfte, die Biegungslinien und Momente angegeben, wobei die grössten einzuführenden Momente durch Fettdruck hervorgehoben sind. Diese Tabellen gelten aber nur für kontinuierliche Träger mit gleich hohen Unterstützungen und gleicher Feldereinteilung.

I. Tabelle.

Für Schubkräfte und Auflagerdrücke (Fig. 40, 41 u. 42).

Anzahl der Stützen

Schubkräfte

Qa

Qb

Qc

Qd

0,375

0,625

0,625

0,375

Qe

Qf

o    o    o    o    o    o

#>.    cs    bt    b    a

o    o    o    o    o    o

o    o    o    o    o    o

Qh

0,3929

0,6071

0,5357

0,4643

0,4643

0,5357

0,6071

0,3929

55

55

55

55

55

55

Auflagerdrücke

0,375

1,250

0,375

0,400

1,100

1,100

0,400

0,3929

1,1428

0,9286

1,1428

0,3929

55

55

55

55

In dieser Tabelle bedeuten: v = (p + q) = Eigenwicht -j- Nutzlast für den laufenden Meter Träger in kg, 1 = Spannweite des Trägers in Metern.

JP

Sr

Si ~ Sr

il ~ Sc

6 “fr

-X

II. Tabelle.

Momente des Trägers auf 3 Stützen (Fig. 43a u. b).

Einfluss von p

Momente

Einfluss von q

max (-f- M)

max (— M)

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,75

0,80

0,85

0,90

0,95

1,00

+ 0,0325 + 0,0550 + 0,0675 - 0,0700

+ 0,0625 + 0,0450 + 0,0175

— 0,0200

—    0,0425

—    0,0675

—    0,0950

—    0,1250

0,03875

0,06750

0,08625

0,09500

0,09375

0,08250

0,06125

0,04688

0,03000

0,01523

0,00611

0,00138

0,00625

0,01250

0,01875

0,02500

0,03125

0,03750

0,04375

0,04688

0,05000

0,05773

0,07361

0,09638

0,12500

• pl²

• ql²

• ql²

Eigengewicht

Nutzlast

\V.

\ / £jrij?r xu}

3 Jitüfcen.

0,515-lv.

0,625-lu.

fl,315-lv.

._0,375-1

0.515-1

duerkraltkurvev..

6M

III. Tabelle.

Momente des Trägers auf 4 Stützen (Fig. 44a u. b).

Einfluss von p

Momente

Einfluss von q

max

max

I. Feld.

II. Feld.

.    iO lO to

O H <N CO    O >> 00 00 OO)

OOOOOO 0" O O O O O TH 000000000''

lO vO iO OHHOJtMCCTttlß

+ 0,035 + 0,060 + 0,075 + 0,080 4 0,075 + 0,060 + 0,035 4- 0,016

— 0,021

—    0,020 — 0,006 4 0,005 4 0,020 + 0,025

ppppppppp pppppppppppp©

© © O © © © © © ©    © O © © © © © © H-i © © o

-OOWOIWIOMKI-¹ KKCODS^O'vICOOOCD-J^    ,

0'00'000-<]>^C5 05000004^0050000004

05    ¹

o © p p p p p o p p p p o p p o p p p p p p

000000000

OOOÜ’tDOtDO'OO'OÜ’OO’O

^ CO 00

000

CD

05

OOOOOOOO 05 CD CD O

09

C- O o O O o IO IO iO iO iO IO

• pl²

• ql²

• ql²

Eigengewicht

Nutzlast

JA

.4'

0,276.1-1

cfräjpr [[1$: h Jolühen.

0,5-i-u —-

r~

.-ß>l

fU6lv —

0.6-1-v

-0,5-I-i?

OMd.-

IV. Tabelle.

Momente des Trägers auf 5 Stützen (Fig. 45a u. b).

Momente

Einfluss von p

Einfluss von q

ma \

Ml .

»OiOvO    iOiOiO    vT5 vO

o h q n ^ o co q oo a © m o o h h n sj co ^ io co i> oo co oi

OOO'oÖ'cToOOO'oOth    © © © © © O O ©~ cT O © © © © © TH

© © Ü»

+ 0,03429 + 0,05857 + 0,07286 + 0,07714 + 0,07143 + 0,05572 + 0,03000 + 0,01240

—    0,00571

—    0,02732

—    0,05143

—    0,07803

—    0,10714

—    0,10714

—    0,08160

—    0,05857

—    0,03803

—    0,02000

—    0,00500 + 0,00857 + 0,02714 + 0,03572 + 0,03429 + 0,02286 + 0,01300 + 0,00143

—    0,01303

—    0,03000

—    0,04947

—    0,07143

0,03964

0,06929

0,08893

0,09857

0,09822

0,08786

0,06750

0,05260

0,03738

0,02484

0,01629

0,01393

0,01340

0,01340

0,01163

0,01455

0,02537

0,03000

0,04220

0,05678

0,07357

0,08036

0,07715

0,06393

0,05300

0,04170

0,03451

0,03105

0,03173

0,03571

0,00536

0,01071

0,01607

0,02143

0,02679

0,03214

0,03750

0,04020

0,04309

0,05216

0,06772

0,09197

0,12054

0,12054

0,09323

0,07212

0,06340

0,05000

0,04900

0,04821

0,04643

0,04464

0,04286

0,04107

0,03980

0,04027

0,04754

0,06105

0,08120

0,10714

• pl²

• ql²

•ql²

Eigengewicht

Nutzlast

0,7S

X,

v.

_ 0,1m:.

ik.

dJrajet au[ ä Jtüteen.

.— flxl.

flS-l

IT"

L-ÄWIL.

6,332 5.1.0

iwbifk.

o.mu

i.

•Ä

ÄW34

6,3923-1

OMV-l

— 0,6071-lv.

ö,W-lv.

Fig. 45 a u. b.

II.

Leitsätze zur statischen Berechnung.

Runderlass vom 24. Mai 1907.

A. Eigengewicht.

1.    Das Gewicht des Betons einschliesslich der Eiseneinlagen ist zu 2400 kg für das Kubikmeter anzunehmen, sofern nicht ein anderes Gewicht nachgewiesen wird.

2.    Bei Decken ist ausser dem Gewicht der tragenden Bauteile das Gewicht der zur Bildung des Fussbodens dienenden Baustoffe nach bekannten Einheitssätzen zu ermitteln.

B. Ermittlung der äusseren Kräfte.

1.    Bei den auf Biegung beanspruchten Bauteilen sind die Angriffsmomente und Auflagerkräfte je nach der Art der Belastung und Auflagerung den für frei aufliegende oder durchgehende Balken geltenden Regeln gemäss zu berechnen.

2.    Bei frei aufliegenden Platten ist die Freilänge zuzüglich der Deckenstärke in der Feldmitte, bei durchgehenden Platten die Entfernung zwischen den Mitten der Stützen als Stützweite in die Berechnung einzuführen. Bei Balken gilt die um die erforderliche Auflagerlänge vergrösserte freie Spannweite als Stützweite.

3.    Bei Platten und Balken, die über mehrere Felder durchgehen, darf, falls die wirklich auftretenden Momente und Auflagerkräfte nicht rechnerisch nach den für durchgehende Balken geltenden Regeln unter Voraussetzung freier Auflagerung auf den Mittel- und Endstützen oder durch Versuche nachgewiesen werden, das Biegungsmoment in den Feldmitten zu vier Fünfteln des Wertes angenommen werden, der bei einer auf zwei Stützen frei aufhegenden Platte vorhanden sein würde. Ueber den Stützen ist dann das negative Biegungsmoment so gross, wie das Feldmoment bei beiderseits freier Auflegung anzunehmen¹). Als durchgehend dürfen nach dieser Regel Platten und Balken nur dann berechnet werden, wenn sie überall auf festen, in einer Ebene liegenden Stützen oder auf Eisenbetonbalken aufliegen. Bei Anordnung der Eiseneinlagen ist unter allen Umständen die Möglichkeit des Auftretens negativer Momente sorgfältig zu berücksichtigen.

4.    Bei Balken darf ein Einspannungsmoment an den Enden nur dann in Rechnung gestellt werden, wenn besondere bauliche Vorkehrungen eine sichere Einspannung nachweislich gewährleisten.

5.    Die rechnerische Annahme des Zusammenhanges darf nicht über mehr als drei Felder ausgedehnt werden. Bei Nutzlasten von mehr als 1000 kg/qm ist die Berechnung auch für die ungünstigste Last Verteilung anzustellen.

6.    Bei Plattenbalken darf die Breite des plattenförmigen Teiles von der Balkenmitte ab nach jeder Seite mit nicht mehr als einem Sechstel der Balkenlänge in Rechnung gestellt werden.

7.    Ringsum aufliegende, mit sich kreuzenden Eiseneinlagen versehene Platten können bei gleichmässig verteilter Belastung, wenn ihre Länge a weniger als

das Eineinhalbfache ihrer Breite b beträgt, nach der Formel M =

pb²

12 berechnet werden. Gegen negative Angiiffsrnomente an den Auflagern sind Vorkehrungen durch Form und Lage der Eisenstäbe zu treffen.

8.    Die rechnungsmässig sich ergebende Dicke der Platten und der plattenförmigen Teile der Plattenbalken ist überall auf mindestens 8 cm zu bringen.

9.    Bei Stützen ist auf die Möglichkeit einseitiger Belastung Rücksicht zu

nehmen.

C. Ermittlung der inneren Kräfte.

1.    Das Elastizitätsmass des Eisens ist zu dem Fünfzehnfachen von dem des Betons anzunehmen, wenn nicht ein anderes Elastizitätsmass nachgewiesen wird.

2.    Die Spannungen im Querschnitt des auf Biegung beanspruchten Körpers sind unter der Annahme zu berechnen, dass sich die Ausdehnungen wie die Abstände von der Nullinie verhalten und dass die Eiseneinlagen sämtliche Zugkräfte aufzunehmen vermögen.

3.    Bei Bauten oder Bauteilen, die der Witterung, der Nässe, den Rauchgasen und ähnlichen schädlichen Einflüssen ausgesetzt sind, ist ausserdem nachzuweisen, dass das Auftreten von Rissen im Beton durch die vom Beton zu leistenden Zugspannungen vermieden wird.

4.    Schubspannungen sind nachzuweisen, wenn Form und Ausbildung der Bauteile ihre Unschädlichkeit nicht ohne weiteres erkennen lassen. Sie müssen, wenn zu ihrer Aufnahme keine Mittel in der Anordnung der Bauteile selbst gegeben sind, durch entsprechend gestaltete Eiseneinlagen aufgenommen werden.

5.    Die Eiseneinlagen sind möglichst so zu gestalten, dass die Verschiebung gegen den Beton schon durch ihre Form verhindert wird. Die Haftspannung ist stets rechnerisch nachzu weisen.

6.    Die Berechnung der Stützen auf Knicken soll erfolgen, wenn ihre Höhe mehr als das Achtzehnfache der kleinsten Querschnittsabmessung beträgt. Durch Querverbände ist der Abstand der eingelegten Eisenstäbe unveränderlich gegeneinander festzulegen. Der Abstand dieser Querverbände muss annähernd der kleinsten Abmessung der Stütze entsprechen, darf aber nicht über das Dreissigfache der Stärke der Längsstäbe hinausgehen.

7. Zur Berechnung der Stützen auf Knicken ist die Eulersche Formel anzuwenden.

D. Zulässige Spannungen.

1.    Bei den auf Biegung beanspruchten Bauteilen soll die Druckspannung des Betons den sechsten Teil seiner Druckfestigkeit, die Zug- und Druckspannung des Eisens den Betrag von 1000 kg/qcm nicht übersteigen.

2.    Wird in den unter C, 3 bezeichneten Fällen die Zugspannung des Betons in Anspruch genommen, so sind als zulässige Spannung zwei Drittel der durch Zugversuche nachgewiesenen Zugfestigkeit des Betons anzunehmen. Bei fehlendem Zugfestigkeitsnachweis darf die Zugspannung nicht mehr als ein Zehntel der Druckfestigkeit betragen.

3.    Dabei sind folgende Belastungswerte anzunehmen:

a)    Bei massig erschütterten Bauteilen, z. B. Decken von Wohnhäusern, Geschäftsräumen, Warenhäusern : die wirklich vorhandene Eigen-und Nutzlast,

b)    bei Bauteilen, die stärkeren Erschütterungen oder stark wechselnder Belastung ausgesetzt sind, wie z. B. Decken in Versammlungsräumen, Tanzsälen, Fabriken, Lagerhäusern: die wirkliche Eigenlast und die bis zu fünfzig v. H. erhöhte Nutzlast,

c)    bei Belastungen mit starken Stössen, wie z. B. bei Kellerdecken unter Durchfahrten und Höfen: die wirkliche Eigenlast und die bis zu hundert v. H. erhöhte Nutzlast.

4.    In Stützen darf der Beton mit nicht mehr als einem Zehntel seiner Druckfestigkeit beansprucht werden. Bei Berechnung der Eiseneinlagen auf Knicken ist fünffache Sicherheit nachzuweisen.

5.    Die Schubspannung des Betons darf das Mass von 4,5 kg/qcm nicht überschreiten. Wird grössere Schubfestigkeit nachgewiesen, so darf die auftretende Spannung nicht über ein Fünftel dieser Festigkeit hinausgehen.

6.    Die Haftspannung darf die zulässige Schubspannung nicht überschreiten.

Runderlass vom 21. Januar 1909.

Die Bestimmungen für die Ausführung von Konstruktionen aus Eisenbeton bei Hochbauten vom 24. Mai 1907 finden auf ebene Decken aus Ziegelsteinen mit Eiseneinlagen sinngemässe Anwendung, sofern die statischen Verhältnisse, namentlich die Form und Lage der Eisenstäbe, den Voraussetzungen entsprechen, die den genannten Bestimmungen im II. und III. Abschnitt zugrunde hegen. Das Elastizitätsmass des Ziegelkörpers kann dabei zum fünfundzwanzigsten Teile von dem des Eisens angenommen werden (n = 25).

Die bei der Biegung in der Steinlage auftretende grösste Druckspannung soll, die Verwendung von Zementmörtel vorausgesetzt, nicht 15 v. H. der durch amtliche Zeugnisse nachzuweisenden Druckfestigkeit der Steine überschreiten, in keinem Falle aber mehr als 35 kg/qcm betragen. Eine zur Erhöhung der Tragfestigkeit aufgebrachte Betonschicht bleibt, wenn sie weniger als 3 cm stark ist, bei der Tragfähigkeitsberechnung ausser Betracht; bei mindestens 3 cm, aber nicht

Eisenbetonkonstruktionen I.

mehr als 5 cm Stärke kann die Tragfähigkeit nach obigen Vorschriften für Steindecken mit Eiseneinlagen, also mit n = 25 berechnet werden. Fällt jedoch die Nullinie innerhalb dieser Betonschicht, oder hat letztere eine grössere Stärke als 5 cm, dann ist die Decke stets als eine Eisenbetondecke nach den Bestimmungen vom 24. Mai 1907, also mit n = 15 zu berechnen, wobei die Ziegelsteine nur als Ausfüllung der Zugzone zu betrachten sind. Das Mischungsverhältnis der Betonschicht darf nicht magerer sein als ein Raumteil Zement auf drei Raumteile Kiessandgemenge.

Die Schubbeanspruchung der Deckensteine darf das Mass von 2,5 kg/qcm nicht überschreiten.

Plattenförmige Decken, die beiderseits auf den unteren Flanschen eiserner Träger aufruhen und dicht an die Stege dieser Träger anschliessen, dürfen als

berechnet werden.

halb eingespannt angesehen und nach der Formel M =

Werden die Decken indessen nach Art von Plattenbalken in der Weise ausgebildet, dass die eisernen Träger nur von einzelnen, mehr oder weniger scharf ausgebildeten Balken belastet werden und die Ziegelsteinplatte nur die Zwischenräume dieser Balken überdeckt oder ausfüllt, so sind sie nur als frei aufliegend anzusehen. Das gleiche gilt von solchen Decken, die nicht unmittelbar auf dem unteren Trägerflansch, sondern auf einem überhöhten Auflager aufruhen.

Gewichtstabellen.

I. Tabelle für das Eigengewicht der Baumaterialien.

1 cbm

i-H H i—i -tH t—t t—I rH r-H

Schlackenbeton Gipsbeton . Backsteinbeton Kiesbeton . Eisenbeton .    .    .

Koksasche .    .    .

Schlacke .    .

Sand.....

Kies.....

Korkstein .

Linoleum

Ziegelmauerwerk aus vollen Steinen in Kalkmörtel .

1100

1400

1700

2000

2400

600

600

1600

1800

300

1200

Ti

DO

1 cbm

1600 „

Ziegelmauer werk aus voll. Steinen in Zementmörtel .    1800 kg

Mauerwerk aus Loch-steinen Mauer werk aus porösen

Steinen ....    1000 „

Mauerwerk aus Schwemmsteinen Mauerwerk aus Sandsteinen

Mauerwerk aus Kalksteinen Mauer werk aus Granit

oder Marmor .    .    2700 „

.    .    1300 „

800 „

.    .    2400 „

. . 2600 „

1 qm

Holzfussboden, einschl. Lagerhölzer.......

Tonfliesen (4 cm dick) in Kalkmörtel......

Mettlacherplättchen (3 cm dick) in Zementmörtel .    .

Asphaltestrich für jeden Zentimeter Stärke . . . . Zementestrich für jeden Zentimeter Stärke . . . .

Holzzement...............

Gipsdielen, 6 cm stark...........

Deckenputz...............

GO O CO

o o o

»O O O <M O H CT TO Tf (M

?r

II. Tabelle für die Nutzlasten.

1 qm

.    250    kg

.    .    400    „

.    500—600    „

. 800—1200 „

Nutzlast in Wohngebäuden, an Möbeln, Menschen etc. .

,, grösseren Geschäftsgebäuden, Sälen etc. .

,, Fabrikgebäuden mit leichten Maschinen .

„ Fabrikgebäuden mit schweren Maschinen. bei Decken unter Durchfahrten und befahrenen Höfen 800 ,, Treppen

400

1 rm

Heu Weizen Roggen . Grosse Gerste Kleine Gerste Hafer . Erbsen Torf .    .    .

Braunkohlen Steinkohlen .

100

760

oooooooo

»TfHcoinoioo

OcßiO^OOiXiCßOl

Ti

1 rm Koks

Eis

Kartoffeln Mehl .    .    .

Salz .    .    .

Zement Aktengerüste

-:j ccü ^ Cf O K Ol

800

1200

500

kg

NB. Werden die Materialien in Säcken geschichtet, so ist mit ⁴/₅ zu multiplizieren.

OJCOCOCOtOCOCOCOCOCOCO^ah— 44|—a.f— h4^— H4a-00000

o «o bo bj 05 bo 44 oj bo “44 o bo bj 05 co 44 “oj “co “44 o cd bo bi 05 co

Durchmesser in cm

43 05 05 pi pi p- ^44 pa OS OS OS JO JO JO JO >4

o oj b <1 oj b b b 00 b b bo b o o <1

43 44QtQJ44)—1C001005444444^344^]

44h— OOOOOOO

bo “oj “44 “

44 OJ OJ

CD 43 05 Üi OJ CO CO Üi CD 44 O OO GO O

H-*■    h—•    b-

^ 03    tO    O    CD 00    <1    05    O    Üi    Oi ^ ^ C*5    05    W    ^ ^    H ^ O O    O

44 CO    bo    44    05    OO    “o bo    “05    “cd    “co    05    O bo O bo    o    05    KJ    “cd bo    KJ O bj bo    OJ a

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05C00054400044C000544

CO

0005C000544C00005C044G044

KJ

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4—h4|—1|—lh— h—|_a|_ah—

CO CO O Üi CD Üi 44 05 OJ CD 44 O Ü> 4—

-OJ

KJ

26,44

22,92

24,64

21,24

18,08

12,56

15,20

13,84

11,36

16,60

10,16

19,64

OOOtDKMXHtOOCDCDCOCDOOO^QO^lOOCD^CD^O)

rc

zc

OO rfa OO 05

H— -J

4^ OO 00

00

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45- OO

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45- OO

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05

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Co OO CO

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OO CD O Üi OO CD

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-o

Anzahl der Eisen

Rundeisentabelle.

IV.

OiCo44444a.OOOOOOOOKJKJKJK>4-.

<1—0—0O5O5O5O5CoCoCoCo444i.44 4a.0JOJ piOJM^üiWO <1 OIJO O -J Cu JO O <1 Ol JO O -J Ol JO O —3 Ül CO 4i O 44 bo 4a O 44 00 44 bo CO bo 44 bo “co 00 “co 05 CO 05    05 “44 05 “44 05 :

OJOJKJCOKJC0444144

__ 00

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OOGO<l43<l<ia50505CoCoCoC0 44 44 44 0JOOC»JOJCOK)KJ44i— 44 44 JO CD 05 p5 O 43 ül JO pj 05 OJ 44 OD pi CO CD 05 OJ 4- co Ül CO CD 43 44 CD0044Ü105CD0004-.Ü143000JC005—3 CD 4 Co b4 bc bo "b lo

CD

61,60

66,10

70,70

57,30

53,10

49,10

45,20

41,50

38,00

34,60

31,40

28,40

25,40

22,70

20,10

17,70

h-⁴- >—^

03 o <1 Ct) JLn oo CO

4^ O0 W Cn OO Cü O CO 00 OOOOOIC1UOIU

CD

C5

77,77

72,71

67,76

63,03

58,41

54,01

49,72

45,65

41,80

38,06

34,54

31,24

27,94

24,97

22,11

19,47

16,94

14,63

12,43

10,45

00 p O* pa OO KJ 05 O C to i-¹ H ifi O CO M 05

O O CD CD CD OO OO    —J    —3 -O 05 05 05 Cn Cü CJi    4-- 4^ h£a 00 OO OO CO CD CO    l—¹    —<

OO O 05 00 © 05 JO    CD    05 KJ CD p< JÜ 00 00 J—“■    00 4- p 00 4- p p 45- ©    <1    '—I

00C00500OO1CDO1H-5011—‘OStO—OOOCDOOCDOiOOSt—505D0—OOO

11,40

13,56

15,96

18.48

21.24 24,12

27.24

30.48 34,08 37,68 41,52 45,60 49,80

54.24

58.92 63,72 68,76

73.92 79,32 84,84

9,42

7,63

6,04

4,62

3,40

2,35

^OOOCOtDCOQOOO-O-J

CO CO Ol ^ 00 pa O 05 00 CD p«

“— ba bn oobb b b obb

76,6

77,9

0i 09 09 to to M

Ci 05 cn Ü1 ^

O C5JN3 QO tu H <1 CO O C to 00

o w ffi C5 "b kj o' <i co w cs oo

Cl

v.

Ableitung der Gleichungen zur Berechnung der Eisenbetonkonstruktionen im Hochbau nebst Beispielen.

A. Die einfach armierte Platte.

Nach den amtlichenVorschriften, vgl. Seite 22 (C, 2), hatindenEisenbetonverbund-konstruktionen das Eisen allein allen Zug aufzunehmen. Da sich nun nachFormel[9], Seite 7, die Spannungen verhalten wie ihre Abstände von der Nullinie N — N, so stellt sich die Spannungsverteilung im Eisenbetonkörper nach Fig. 46 dar.

Nach den Gesetzen der Statik, vgl. Seite 6, müssen nun in einer Konstruktion die entgegengesetzten Horizontalkräfte gleich sein, mithin wird:

1. D = Z.

fe

s.

oll1 _

z§>. Fr,-c7C/‘

Fig. 46.

Fig. 47 u. 48.

Der Betondruck stellt sich dar als ein Dreieck von der Grundlinie Kb und der Höhe y, wenn Kb die Randspannung des Betons in kg/qcm und y den Abstand der Nullinie von der Plattenoberkante in cm bedeutet; folglich

2. D =

. b (Fig. 47 u. 48)

u

für b cm Tiefe, wofür in der Regel b = 100 cm gesetzt wird, da man bei der Berechnung der Platten (Decken) einen Streifen von 1 m Breite herausnimmt. Nach der Zuggleichung, Seite 1, ist

Fe =

>-d

Ke

woraus sich

3. Z = KeF₍

ergibt (Fig. 47 u. 48).

Führt man die Werte aus Gleichung 2 und 3 in Gleichung 1 ein, so wird

= Ke . Fe.

Die Verkürzung des Betons beträgt nach Gleichung [4], Seite 2

Alb =

Kb

1

Eb

und die Dehnung des Eisens

- -1.

Ale =

Nach den amtlichen Vorschriften, Seite 22, sollen sich die Dehnungen wie ihre Abstände von der Nullinie verhalten, mithin ist

•1

Ee (h —y)

oder

6.

Kb

Eb • y

Ke Ee.(h-y)-

Führt man -e = n = 15 ein, so wird

Eb

6a.

Kb

Ke n (h — y) ’

woraus sich die Betonrandpressung bestimmt zu

Ke.y

n (h —y)‘

Durch Einführung dieses Wertes von Kb in Gleichung 4 erhält man Ke • y y • b n (h — y) 2

y². b = 2 • n (h — y) Fs,

2 • n • y • F,

7. Kb =

= Ke . Fe,

y² =

2 • n • h • F.

i»

oder

y² +

2 • n • h • Fe

Mit Hilfe der quadratischen Ergänzung folgt:

n • Fe

b” ⁺

2 • n • h • F.

odei

n • Fe

t7 +

n² • Fe²

2 • n • b • Fe

multipliziert man nun den zweiten Ausdruck unter dem Wurzelzeichen im Zähler und Nenner mit n • Fe • b, so wird

t

n² • Fe²

• n² • b • F ² • h

3/i

n • b²• Fe

cÄ____

n- F

⁴2 • b • h

n • Fe

'Z:-Fe-cXe y _

n • F,

l/l + —

r    n • F,

• • (1)

Fig. 49.

Nachdem man y berechnet hat, d. h. die Lage der Nullinie festgelegt hat, kann man mit der Eisenarmierung als Drehpunkt die Momentengleichung auf stellen (Fig. 49)

(h- )-

da der Schwerpunkt des Betondruckdreieckes um—y vom oberen Rande entfernt liegt.

o

M = D.

h-l

Hieraus folgt

Kb

>3 CO

(2)

Mit dem Schwerpunkt des Betondruckdreieckes als Drehpunkt folgt (Fig. 50)

ZH)-

Fe-K₍

(*-)

3b

woraus sich Ke berechnet zu

Ke =

Fe •

(*-)

CO

(3)

t*Ä

Vf

Fig. 50.

¹

Nach dem Runderlass vom 11. April 1908 ist stets die ungünstigste Lastverteilung in die Berechnung einzustellen.

Schub- und Haftspannungen.

Bei den auf Biegung beanspruchten Platten treten ausser den Biegungsspannungen noch Scherspannungen (Schubspannungen) auf, und zwar können dieselben, vergl. Seite 16, zweierlei Art sein.

a) Schubspannungen, senkrecht zur Platte gerichtet. Nach Gleichung [4a], Seite 2, beträgt die Dehnung des Betons

Alb =

P-l

Fb • Eb

und diejenige des Eisens

Ale =

P-l

Fe ‘ Ee‘

Da diese Dehnungen einander gleich sein müssen, so ist auch

P -1

-fb * l^b    -f e • f^e

Fb ‘ Fb = Fe • Ee,

Ee

= n - Fe.

8. Fb =    • Fe

h'b

In Worten: Ersetzt man in einer Betondecke einen Teil des Betons durch Eisen, so hat man bei der Berechnung den Eisenquerschnitt n mal so gross einzuführen.

Analog ist Nach der Schubgleichung Seite 16 ist

Fb

8a. Fe = —

K=P=«

p F’

mithin die Beanspruchung des Betons auf Schub

Ksb =

(Fb + n • Fe)

(4)

(5)

und diejenige des Eisens

b) Schubspannungen, parallel zur Platte gerichtet. Nach der Schubgleichung Seite 16 ist

CB

Die Fläche F hat eine Breite b und eine Höhe, welche gleich der Entfernung des Druckmittelpunktes vom Zugmittelpunkt ist, also:

mithin wird:

Ks' =

(h- )

>5 OO

(6)

Hb

___i

Fig. 51 u. 52.

woraus

Ka =

b- Ks'

Die Schubspannung auf b cm Breite ist mithin

Qi = b • Ks'.

Dieser Schubspannung Qx muss die Adhäsion des Betons am Eisen Widerstand leisten, folglich muss

b • Ks' = U • Ka sein,

• • (7)

Bestimmung der Plattenstärke und der Eiseneinlagen bei gegebenem Moment für Kb = 40 kg/cm² und Ke = 1000 kg/cm².

Nach Gleichung 6a ist

40

1000    15 (h — y) ’

1000

(h-y)

co |oo

tr

Nach Gleichung [2] ist 40 =

2 -M

B (h

21 • b • h²

= 1/

2 • M • 64

40 •21 • b

= ]/

128 • M

840 • b

er

CO

SO

=>■13

8 -M • VM-Vb

8 • Vm • b

2730

2730 M

Fe = 0,00293 Vm - b

Beispiel:

Eine Decke als Träger auf zwei Stützen habe eine Spannweite von 2,4 m und sei mit 400 kg/qm Nutzlast gleichmässig belastet (Fig. 53).

Die Stärke der Decke sei zu 11 cm geschätzt, dann beträgt die in die Berechnung einzuführende Spanuweite l = 240 + 11 = 251 cm.

= 400

Nach Gleichung (3) ist

1000 =

F,

3-8

F.-s-h

Fe =

8-M

7000 • h

7000 • 0/390

Fe =

8-M

8-M-

2730

2730

Vm- Vm

Vb

Eigengewicht der Decke 1 • 1 • 0,11 • 2400 = 264 kg/qm Nutzlast

664 kg/qm

2,51 • 664 • 251

= 52290 cm/kg,

h = 0,39

52290

100

= 9 cm,

hx = h -(- a = 9    2 = 11 cm,

Fe = 0,00293 V 52290 • 1ÖÖ = 6,68 cm,

Gewählt auf den lf. m Decke 7 Eisen von 11 mm 0 mit Fe = 6,65 cm².

Fig. 53.

Genaue Berechnung der Inanspruchnahme des Betons und Eisens.

Nach Gleichung (1) ist

15-6,65

2-100-9

100

15 - 6,65

y = 3,36 cm. Nach Gleichung (2) ist Kb =

2 - 52290

100 • 3,36

(«-¥)

= 39,5 kg/qcm.

Nach Gleichung (3) ist Ke=-

52290

6,65 ^9,0

3,36

= 998 kg/qcm.

Berechnung der Schub- und Haftspannungen.

Die grösste Schubkraft ist am Auflager und zwar gleich dem Auflagerdruck.

₂    = 834 kg.

2,51 • 664

Nach Gleichung (4) ist

K-b =

‘ 834

100 • 11 + 15.6,65

= 0,7 kg/qcm.

Kach Gleichung (5) ist

k:

834

11 .100

= 10,4 kg/qcm.

6,65 + - ₁₆

Nach Gleichung (6) ist

Ks' =

834

= 1,06 kg/qcm.

Nach Gleichung (7) ist

Ka =

100-1,06

24,2

= 4,4 kg/qcm.

= 800 und KSfe = KB' = Ka = 4,5 er-

Da keiner der berechneten Werte die entsprechende zulässige Beanspruchung von Kb = 40, Ke = 1000, KSp = ~ • 1000 reicht, so ist die Standsicherheit der Konstruktion erwiesen.

Berechnung der Eiseneinlagen bei gegebenem Moment und gegebener Plattenstärke für Ke = 1000 kg/cm².

Zu dieser Berechnung finden die Gleichungen 6 a. (2) und (3) Anwendung. Man hat dann 3 Gleichungen mit den 3 Unbekannten Fe, Kb und y.

Beispiel:

Eine einfach armierte Eisenbetonplatte habe eine Stärke von 20 cm. Die Entfernung der zu berechnenden Eiseneinlagen von Plattenoberkante betrage 18 cm. Ferner sei das Moment auf einen Plattcnstreifen von 1 m berechnet zu 186 000 cm/kg.

Nach Gleichung 6 a wird

Kb

1000    15 (18 —y)

Kb

1000 • y

— 15 (18 — y)'

Nach Gleichung (2) wird

Kb =

2 • 186 000

100 -y 18 — 10 y² (54 — y) = 3 • 558 (18 — y)

540 y² — 10 y³ = 30 132 — 1674 y 10 y³ — 540 y² — 1674 y + 30132 = 0 y³ — 54 y² — 167,4 y + 3013,2 = 0

Die Lösung dieser Gleichung dritten Grades erfolgt am besten nach der Regula falsi, wie es auf Seite 55 näher beschrieben ist.

h 18

Für die erste Annahme von y wählt man zweckmässig — = — =6.

3    3

y = 6; 216 — 2064 — 1004,4 + 3013,2 = + 160,8 y = 7; 343 — 2646 — 1171,8 + 3013,2 = — 461,6 y — 6 _ + 160,8 y — 7    — 461,6

= 6,3 cm.

= 5 580 000 (18 — y)

1000 • y . 100 . y

Durch Gleichstellung der beiden Werte für Kb folgt

2 • 186 000

1000 • y

15 (18 — y)

100-y

(¹⁸~ )

15 (18 — y) - 2- 186 000

100 000 y²

(3 • 18 — y)

— 461,6 y + 2769,6 = + 160,8 y — 1125,6 622,4 y = 3895,2 3895,2 622,4

Nach Gleichung (3) folgt dann weiter

Fe =

186 000

K,

M)

= 11,3 cm².

1000

Gewählt: 10 Eisen von 12 mm 0 mit Fe = 11,3 cm².

NB. Weitere Beispiele werden bei der Besprechung der einzelnen Deckensysteme vorgeführt werden.

B. Die doppelt armierte Platte.

Die Berechnung dieser Platten erfolgt genau in derselben Weise wie bei den -einfach armierten Platten.

Da die Horizontalkräfte einander gleich sein müssen (Fig. 54 u. 55), so ist

3h

F-

—M

J)r■ fr'JTr

h-3

Tr Me

Fig. 54 u. 55.

1- Db 4- De — Ze.

Nun ist aber

Db = ^ b 2

• b,

De = Fe' • Kg',

mithin

Ze = Fe • Ke,

2.

y-:₂K- • b + Fe' ■ Ke' = Fe • Ke.

so ist

Da die Spannungen proportional ihrem Abstand von der Nullinie wachsen,

3. Kb

Ke

y n (h — y)

; Ke =

4.

Kb

K₍

; Key =

Kb    ,,

--n • (h —

y

Kb ,

-•n(y

y)-

— a).

y n (y — a)

Führt man die Werte von Ke und Key aus Gleichung 3 und 4 in Gleichung 2 ein, so folgt

und

Kb

_.n . (h — y).

vb    ,

— • n • y

y

Multipliziert man alle Glieder der Gleichung mit 2 y, so wird:

• Kb • b -j- Fey •

— a)

y² • b    +    Fey • 2    • n (y — a) = 2 Fe • n (h — y),

y² • b    +    Fey • 2    • n • y — Fey • 2 • n • a = 2 Fe . n • h —    2 Fe • n    • y,

y² • b    +    Fey • 2    • n • y -f 2 Fe • n • y = 2 Fe • n • h -f 2    Fey • n •    a,

2 n (Fey + Fe)

y² +

•y =

(Ke • h -f- Fey • a),

n (Fey + Fe)

2 • n

⁺ nr

Sind die Eiseneinlagen einander gleich, so wird

F — F y

x e —

n (Fey + Fe) ²

(Fe • h -f- Fey • a) . (8)

2-n-Fe 1/

b ^ r b²

4 n² •Fe²

2 • n • Fe (h + a)

Multipliziert man den letzten Ausdruck unter dem Wurzelzeichen im Zähler und Nenner mit 2 • n ■ Fe • b, so wird

2 • n • F.

4 • n² • Fe²

P-----⁺

4 • n² • Fe² (h -(- a) b 2 • n • Fl^b²

2 • n • Fe

b    b

2 • n • F,

1A+

b (h -j- a)

2 • n • F,

-1 +

Vt+

b (h + a)

.    .    (8a)

Mit der unteren Eisenarmierung als Drehpunkt wird (Fig. 56)

b • Kb • y

Jb

^ 'l < -Dp - Tp -J(r

-f~ Fe' • Ke' (h — a).

jJL

Führt man nun in diese Gleichung aus -«-}— Gleichung 4 den Wert von Ke' ein, so folgt

~*T

Zee-Fpjfe.

Fig. 56.

b • Kb • y / _ y\ _    ,    K

—r-z(h-!) + F*'-(h-a)-

b * n(y — a),

oder

Kb =

(h — a) (y — a)

Kb =

b • y² (3 h — y) + 6 • Fe' • n (h — a) (y — a)

• • (9)

Hat man aus dieser Gleichung Kb berechnet, so folgt aus Gleichung 3 und 4

Ke = n • Kb

(h-y)

. (10)

Ke

= n- Kb

(y — a)

(11)

Schub- und Haftspannungen.

a) Schubspannungen, senkrecht zur Platte gerichtet.

Auch hier sind, wie bei der einfachen armierten Platte, die Eisenquerschnitte n mal so gross in die Berechnung einzuführen, mithin

(12)

Ksb Fb + n(Fe +Fe')

w-

K,_ =

Fb

Fe + Fe' +

• • (13)

b) Schubspannungen parallel zur Platte gerichtet.

Die Gleichung für diesen ~je Schub heisst nach Seite 16

yz,

J/äT

Ks' =

F*

-j. -mtn

Fig. 57 u. 58.

Die Fläche F setzt sich zusammen aus der Breite b = 100 cm und dem Abstande man mit r den

des Druckmittelpunktes vom Zugmittelpunkte (h — r), wenn Abstand des Gesamtdruckmittelpunktes des Betons und Eisens vom oberen

Plattenrand bezeichnet (Fig. 57 u. 58).

Zur Bestimmung des Gesamtdruckmittelpunktes gilt mit Plattenoberkannte als Drehpunkt folgende Momentengleichung

Kb•y•b y

•Ke'.

Kb •y•b

+ Fe' • K

Führt man in diese Gleichung Ke' aus Gleichung (11) ein, so wird

Kb•y • b

Kb • y • b y

•% + Fe'-n.Kb o

(y — a)

+ F.' ■ n • Kb ■ ^

b • y2 —— 4-6 ^

Fe' • n • y — Fe' • n • a

2~ ⁺

Fe'-n.y— Fey.

n • a \ — ).r

b-y² Fe'.n.y-Fe'.n.a

6

r yb

Fe' • n • y — Fe' • n • a

b • y³ + 6 (Fe' • n • y — Fe' • n • a)

r 3 b . y² + 6 (Fe' • n • y — Fe' • n • a)

CT.

(14)

r b^y³ + 6 • Fe' > n (y — a) r — 3 [b . y² + 2 • Fe • n (y — a)]

Mithin ist nach Gleichung [6]

Ks' =

b (h — r)

(15)

und die Adhäsionsspannung in der Zugarmierung nach Gleichung (7)

Ka =

(16)

b-Ks'

U • (h — r)

Die Adhäsionsspannung in der Druckarmieiung muss sich nun verhalten, wie die entsprechenden Eisenspannungen Ke' und Ke.

Nach den Gleichungen (11) und (10) ist:

n • Kb (y — a)

Ke'

y — a

Ke — n • Kb (h — y) ~ h — y

mithin

Ka'

Ke'

Ka

y —a

- = -.

Ke h-y’

Ka'

■(s)

• Kj

(17)

Beispiel:

i’ig. i9.

Eine Eisenbetondecke als Träger auf zwei Stützen habe eine Spannweite von 3,0 m und eine Höhe von 18 cm. Die Nutzlast betrage 500 kg/qm (Fig. 59). Die doppelte Eisenarmierung bestehe aus 10 mm starken Rundeisen, welche 1,5 cm vom Rande

entfernt liegen. Es sind je 10 Eisen auf einen Meter Breite angeordnet. Es sollen die Spannungen im Beton und Eisen berechnet werden.

Die einzuführende Stützweite beträgt 300 -f- 18 = 318 cm.

Eigengewicht der Decke in kg/qm 1 • 1 • 0,18 • 2400 = 432 kg/qm

Nutzlast in kg/qm

= 500

932 kg/qm

3,18 • 932 • 318

= 117800 cm/kg.

Nach Gleichung (8a) ist

2 • 15 • 10 • 0,785

100

-1 +

100 (16,5 + 1,5) 2 • 15 • 10 • 0,785.

— 4,57 cm.

Nach Gleichung (9) ist

Kb

6 • 117800 • 4,57

100 • 4,57² (3• 16,5 - 4,57) + 6 • 10 • 0,785 • 15 (4,57- 1,5) (16,5-1,5)

25,6kg/qcm.

Nach Gleichung (10) und (11) wird

(16,5 — 4,57)

4,57

(4,57 — 1,5)

Ke = 15 • 25,6

= 1000 kg/qem Zug in der unteren Armierung,

Ke' = 15 • 25,6

4,57

= 260 kg/qcm Druck in der oberen Armierung.

Die grösste Schubkraft herrscht am Auflager und ist gleich dem Auflagerdruck

₂    = 1480 kg.

3,18 • 932

Nach Gleichung (12) und (13) wird

Ksb =

1480

100 • 18 + 15 (10 • 0,785 + 10 • 0,785)

= 0,72 kg/qcm,

K*e =

1480

(10 • 0,785 + 10 • 0,785) +

100 • 18

= 20 kg/qcm.

2 • 15

Nach Gleichung (14) wird

= 1,4 cm.

100 • 4,57² + 6 • 10 • 0,785 • 15 (4,57 — 1,5) ¹ " 3 [100 • 4,572 • 2 • 10 • 0,785 • 15 (4,57 — 1,5)]

Nach Gleichung (15), (16) und (17) wird

K₉' =

1480

100(16,5 — 1,4)

= 1,0 kg/qcm,

= 3,12 kg/qcm,

1480

10 • 3,14 (16,5 — 1,4)

Ka' =

4,57 _ 1,5

16,5 — 4,57

• 3,12 = 0,81 kg/qcm.

C. Der Plattenbalken.

Werden Eisenbetondecken über Eisenbetonbalken angeordnet, so kommt ein Teil der Decke mit zur statischen Wirkung. Dadurch entsteht ein T- Profil und daher der Name Platten- oder Rippenbalken.

eff__

I— lr-•*

h — *>

Fig. 60.

Fig. 61.

__J -

-B

S&.

cS>l_

♦ ♦♦♦♦

-*1

Fig. 63.

Fig. 62.

Bei der Berechnung wird nun angenommen, dass sich der Eisenquerschnitt im unteren Teile des Steges auf die wirksame Breite B der Platte verteilt. Die wirksame Plattenbreite soll nach den amtlichen Vorschriften auf jeder Seite zu höchstens ¹/₆ der Länge des Plattenbalkens angenommen werden.

Bei der Berechnung der Plattenbalken hat man nun nach der jeweiligen Lage der Nullinie im Querschnitt drei verschiedene Fälle zu unterscheiden:

1.    die Nullinie liegt im Plattenquerschnitt (Fig. 60),

2.    die Nullinie fällt mit Plattenunterkannte zusammen (Fig. 61) und

3.    die Nullinie fällt in den Stegquerschnitt (Fig. 62).

1. Die Nullinie fällt in die Platte. (Fig. 64 u. 65.)

Fällt die Nullinie in die Platte hinein, so kommt für den Betondruck, wie Fig. 64 zeigt, eine Fläche in Betracht von der wirksamen -Breite B und der Höhe y. Es gelten mithin hier dieselben Gleichungen wie bei der einfach armierten Platte, mit der Ausnahme, dass an Stelle von b die wirksame Platten breite B und an Stelle von h die Höhe h., einzuführen ist.

-j

* *

i    'J

±___

-*¹'

z%-Fr-cYt.

Fig. 64 u. 65.

Kb =

(*•- )

CO «<

•    (19)

CO ■

(20)

2 • B • h₂

Nach den Gleichungen (1), (2) und (3) ist mithin

n • F

n • Fe

2. Die Nullinie fällt mit Plattenunterkante zusammen.

In diesem Falle kommt die ganze Platte zur statischen Wirksamkeit, und es wird y = h1? mithin

Kb =

(O)

[211

Ke =

-•M)

[22]

3. Die Nullinie fällt in den Steg.

(Fig. 66—69.)

Fällt die Nullinie in den Steg, so kann die kleine Druckfläche, welche auf den Steg des Balkens entfällt, nach den amtlichen Vorschriften vernachlässigt werden.

4,

-J---

hrs

¹

Fig. 66—69.

IS¹ Tc oKr

Da die Spannungen proportional ihrem Abstande von der Nullinie wachsen, so wird nach Gleichung 7, Seite 28

Kb

Ke

n (h2—y)

1. Ke = 5ü-n.(h, — y).

Da die Horizontalkräfte einander gleich sein müssen, so folgt

2. D = Z.

Eisenbetonkonstruktionen I.

Die Druckfigur stellt ein Trapez dar. Aus der Aehnlichkeit der beiden Dreiecke ergibt sich

Kb

IJLF

y y — W

Kb (y — hx)

Kb-y

(y — \)

' Kb •

(y — K)

Kb-y K

2y

- [y² —² y • hi + K²l

D = Kb •

h 2y~hl ¹ 2y

und auf die wirksame Breite B bezogen:

4. D = Kb • hx

■Ux5.b.

Führt man diesen Wert von D in Gleichung 2 ein, so folgt

V--y~hl-B =

Kb-

2y

z - Ke -Fe,

und aus Gleichung 1 den Wert von Ke eingeführt:

h. ■ 2 7 ~ hl ■ B =

Kb

— • n • (h₂

y

2 y • hx • B — hx² • B = 2 • n • h₂ • Fe — 2 • n • y • Fe, 2y*h₁*B-f-2,n*y*Fe =h₁² •. B + 2 n • h₂ • Fe, hx² • B + 2 •

y“ 2 (hx • B + n • Fe)

Um nun die Spannungen weiterhin berechnen zu können, muss man vorher den Schwerpunkt des Drucktrapezes bestimmen (Fig. 68).

Mit Plattenoberkante als Drehpunkt wird:

y-Kb

2

Kb •

-y) • Fe,

n • h₂ • Fe

• • (23)

= Kb •

h 2y—h> ¹    2-y

. s = D • s.

Führt man aus Gleichung 3 für den zugehörigen Wert ein, so folgt

y * Kb

Kb (y — hx) (y — hx) (2 hx + y)

= Kb-

h,.8y„-A

y³ + 3 y • hx² — 2 hx³ — y³ = 3 hx • (2 y — hx) • s

3 y • hx² — 2 hx3 S “ 3 hx • (2 y — hx)

hx (3 y — 2 hx)

⁵ “ 3    (2 y — h,)    •    •    •    •

Mit dem Druckmittelpunkt als Drehpunkt lässt sich die Momentengleichung (Fig. 69) aufstellen:

M = Ke • Fe (h₂ — s),

mithin wird

Ke =

Fe (h₂ — S)

(25)

ferner folgt aus Gleichung 1

Kb =

Ke • y

n (h₂ — y)

. (26)

Schub- und Haftspannungen.

Wie wir schon bei den Platten gesehen haben, werden die Schubspannungen, welche senkrecht zur Platte gerichtet sind, nur sehr gering; dasselbe tritt auch bei den Plattenbalken ein. Es sollen aus diesem Grunde jene Schubspannungen weiterhin ausser acht gelassen werden. Die Schubspannungen dagegen, welche parallel zur Platte gerichtet sind, sind bei den Plattenbalken stets zu untersuchen.

Aus Gleichung (6) folgt

Ks'

bi

h*“8

——, wenn die Nullinie in der Platte liegt .

.    .    (27)

Ks' =

bi h₂ -

W!

, wenn die Nulllinie mit Plattenunterkante zusammenfällt (27a)

Ks' =

b, (h₂ - s)’

wenn die Nullinie in den Steg fällt

(27b)

Aus Gleichung (7) folgt dann weiter

b, • Ks'

Ka =

(28)

r

—4 Atm *-

-l

Beispiel:

Ein Plattenbalken habe die in Fig. 70—72 angegebenen Abmessungen. Es sind die Spannungen zu berechnen, wenn die Nutzlast 500 k/m² beträgt. Beträgt die Auflagerlänge 0,3 m, so beträgt die Spannweite

1 = 4,0 + 0,3 = 4,3 m.

Nach den Gleichungen (19) und (20) folgt weiter

= 25,3 kg/cm²

Kb =

Eigengewicht der    Decke:    4,3 • 2,6 • 0,12 • 2400    =    3210    kg

des    Steges:    4,3 • 0,24 • 0,2 • 2400    =    500    „

Eigengewicht    =    3710    kg

.....    =»    5590    „

Gesamtgewicht    =    9300    kg

55

Nutzlast: 4,3*2,6-500

9300 • 430

= 502 375 cm/kg.

Die wirksame Plattenbreite beträgt:

430

— 140 cm.

Angenommen die Nullinie falle in die Platte. Nach Gleichung (18) wird

15 • 15,7

2 • 140 • 341

140

15-15,7

= 9,15 cm.

2 • 502 375

140-9,15^34 — ~ j

Ke =

502 375

= co 1000 kg/cm².

Es wird

9300

— = 4650 kg.

Nach den Gleichungen (27a) und (28) ergeben sich die Schub- und Haftspannungen zu

Ks' =

4650

= 7,4 kg/cm²

Ka =

20 • 7,4 5 • 2 • 3,14

= 4,7 kg/cm².

Da die Haftspannung den Wert von 4,5 kg/cm² überschreitet, so sind Vorkehrungen zu treffen, um die Haftspannung auf mindestens 4,5 kg/cm2 herabzudrücken. Dieses kann auf dreifache Art geschehen:

1.    Man ordnet an Stelle der 5 Eisen 6 Eisen an. Durch diese Anordnung w-ird aber die Eisenarmierung nicht voll ausgenutzt.

2.    Man wählt Eisen, welche einen Querschnitt von mindestens 15,7 cm2 besitzen, welche aber einen grösseren Umfang als 5 • 2 • 3,14 cm² besitzen; z. B. 7 Eisen von 17 mm 0 mit Fe = 15,89 cm² und U = 7 • 1,7 • 3,14 = 37,4 cm².

3.    Man ordnet ein oder mehrere Ankereisen an. Diese Ankereisen müssen vom Aufleger mindestens bis zu der Stelle hinreichen, an welcher die Schubkraft keine höhere Haftspannung als 4,5 kg/cm² hervorruft.

= 0,84 m.

Es wird nach Gleichung (28):

20- p

5 • 2 - 3,14 4,5 • 5 • 2 • 3,14

4,5 =

20

= 7 kg/cm² Schubspannung,

woraus sich nach Gleichung (27a) die Schubkraft ergibt zu:

Qx

9,15

20 ( 34    ₃

Qx = 7 • 20 (34 — 3,05) = 4333 kg.

4£SO

—jr— 9333

SSfO 3t fo

9 3 00

9 3 0 -

Fig. 73.

Diese Schubkraft befindet sich nach Fig. 73 in einer Entfernung vom Auflager von

4650

9300

4,3 *X

= 4333

(4650 — 4333) • 4,3

9300

= 0,15 m.

Die Schubspannung mit 7,4 kg/cm² hat den zulässigen Wert von 4,5 kg/cm2 weit überschritten. Es sind also Vorkehrungen zur Aufnahme des Ueberschusses zu treffen.

Diese Vorkehrung besteht nun darin, dass man einen Teil der Rundeisen unter 45° nach „oben“ abbiegt. Diese Abbiegung hat an derjenigen Stelle zu beginnen, an welcher der Beton allein imstande ist, die Schubspannung von 4,5 kg/cm² aufzunehmen, d. h. an derjenigen Stelle, an welcher die Schubkraft

4650 • 4,5

Qx =

7,4

== 2830 kg beträgt.

9 £50

—JO—

SS30

lllSIflliS

9300

9, 3 O

Nach Figur 74 wird

Fig. 74.

4650 —

9300

4,3 X

= 2830

(4650 — 2830) • 4,3

9300

Es seien nach Fig. 75 2 Eisen nach „oben“ abgebogen, dann beträgt die Zugspannung in diesen Eisen

Z = V2 (K‘ ~ ⁴’⁶⁾ *

• 20 = 1728 kg

84 /n . . _ 1 Y2 7,4 4’⁰⁾2

/ Ciym

f Ziien.

i Eüen-

e £inen >n it so Zn ^

ri"

*v

i'SSO

O&t

u-

&1L.4 te ■i

Fig. 75.

und ihre Zugbeanspruchung

Kez =

1728

O.üjJ?

“    4

= 276 kg/cm².

CI

Anstatt die Eisen nach „oben“ aufzubiegen, ® können auch Bügel zur Aufnahme der zu grossen Horizontalschubspannungen angeordnet werden.

(Fig. 76 und 77—80).

Berechnung der Bügel

zu vorstehendem Beispiele.

Die Bügel mögen aus 8 mm Rundeisen (f = 0,5 qcm) bestehen. Da nun ein Bügel zwei Querschnitte hat, so Fx = 2 • 0,5 = 1 qcm.

Die zulässige Inanspruchnahme des Eisens auf Zug war zu 1000 kg/qcm

Fig. 76.

• 1000 = 800 kg/qcm. Ein

festgesetzt, mithin ist diejenige auf Abscherung =

Bügel kann folglich eine Kraft von V = 1 • 800 = 800 kg aufnehmen.

Die Abscherkraft im Steg, auf bx cm Breite und 1 cm Länge bezogen, ist

S = \ • Ks' = 20 • 7,4 = 148 kg

woraus sich die Bügelentfernung z (Fig. 78), vorausgesetzt, dass die Bügel die ganze Scherkraft auf nehmen sollen, berechnet zu

CCI <1

800

—_ = 5,4 cm

Die Entfernung der Bügel kann nach der Mitte entsprechend der Abnahme der Schubkraft vergrössert werden.

Da die kurze Entfernung der Bügel von 5,4 cm für das Einbringen und Einstampfen des Betons hinderlich wäre, so muss dieser Abstand vergrössert

Fig. 77—80.

werden. Dieses kann dadurch erreicht werden, einmal, dass man die Bügel stärker wählt und somit den Bügelquerschnitt vergrössert, zum anderen, dass man mehrere Bügel nebeneinander anordnet, sei es nun, dass man jedem einzelnen Eisen einen Bügel gibt oder den Eisen paarweise etc.

Würde man z. B. drei Bügel 8 mm stark wählen, so würde

Fj = 3 • 2 ’ 0,5 == 3 qcm.

V = 3 • 800 = 2400 kg

001 <1

2400

148

= 16,2 cm.

Fig. 81.

In vorstehendem wurde nun angenommen, dass die Bügel die ganze Schubkraft aufnehmen sollen. Da aber, nach den amtlichen Vorschriften der Beton auch 4,5 kg/qcm Schubspannung aufnehmen kann, so würde sich in diesem Falle die Berechnung der Bügelentfernung folgendermassen gestalten.

Es sei wieder ein Bügel zu 8 mm Stärke angenommen, mit Fx = 2 • 0,5 = 1 qcm.

Sj = \ • Ks" = 20 • 4,5 = 90 kg S₂ = 148 — 90 = 58 kg

Die Schubkraft auf 1 cm Steglänge beträgt S = bj • Ks' = 20 • 7,4 = 148 kg der Beton kann auf 1 cm Steglänge eine Schubkraft aufnehmen von

mithin bleiben für die Bügel noch übrig mithin Bügelentfemung

800

= 13,8 cm.

Wird die zulässige Schubfestigkeit des Betons bei der Bügelberechnung berücksichtigt, so brauchen die Bügel theoretisch auch hier vom Auflager nur bis zur Stelle in die Balken hineinzugehen, an welcher die Grenzschubspannung 4,5 kg/qcm erreicht wird, also in unserm Falle x = 0,84 m.

Zweckmässig wird man die zu grossen Horizontalschubspannungen durch Aufbiegung einiger Eisen aufheben, aber ausserdem noch Bügel anordnen, welche dann einmal eine grössere Sicherheit gegen Schub gewährleisten, zum anderen einen guten Zusammenhang zwischen Steg und Platte bewirken.

Beispiel:

v;

it

3a

Ein Plattenbalken habe

‘....... ; die in Fig. 82—84 ange-

|j gebenen Abmessungen. Es —— sind die Spannungen im Beton und Eisen zu berechnen, wenn

—    die Nustlast 630 kg/qm ist.

Beträgt die Auf lagerlänge des Plattenbalkens 0,25 m, so

—    ist als Spannweite 3,75 -j- 0,25 = 4 m einzuführen.

Fig. 82—84.

Nutzlast

Eigengewicht der Decke 4 • 3 • 0,09 • 2400 = 2592 kg des Steges 4 • 0,42 • 0,2 • 2400 = 806 ,, 4 • 3 • 630 = 7560 „

z. A.

10 958 kg 22 „

10 980 • 400

= 548000 cm/kg.

Wählt man die wirksame Plattenbreite zu B =

Ctt 4-

10 980 kg

= 1,3 m, so wird nach

Gleichung (23)

_ 9² • 130 -j- 2 • 15 • 47 • 12,56 y “    2 (9 • 130 + 15 • 12,56)

= 10,4 cm.

Nach Gleichung (24) wird

= 3,35 cm.

9 (3 • 10,4 — 2-9)

3 (2 • 10,4 — 9)

Nach Gleichung (25) und (26) wird

548000

Ke =

12,56 (47 — 3,35)

= 1000 kg/qcm,

Kb =

1000 • 10,4

= 19 kg/qcm.

Die grösste Schubkraft beträgt Q =    = 5490 kg.

u

15 (47 —10,4)

Nach Gleichung (27 c) und (28) wird

Ks' =

5490

20 (47 — 3,35)

= 6,3 kg/qcm.

= 4,9 kg/qcm.

5490

4 • 6,28 (47 — 3,35)

Da die Schubspannung den zulässigen Wert von 4,5 kg/qcm überschreitet, so soll 1 Eisen nach „oben“ abgebogen werden.

Qx =

5490 • 4,5

6,3

= 3920 kg,

5490

10 980

• x = 3920,

= 0,58 m.

(5490 — 3920) • 4

10980

Die Zugbeanspruchung des aufgebogenen Eisens ist dann:

58

z = vT⁽⁶’³“⁴’⁵⁾2-²⁰

= 740 kg,

Ke =

ez

740

1 • 2² • TT

= 236 kg/cm.

Berechnung der Eiseneinlagen für Ke = 1000 kg/cm² bei gegebenem Moment und gegebenem Plattenbalkenquerschnitt.

Zum Beispiel auf Seite 41 sind die Eiseneinlagen zu berechnen.

Angenommen, die Nullinie falle in die Platte, so sind die Gleichungen für die einfach armierte Platte massgebend, nur dass man B für b und h₂ = h einzusetzen hat.

Nach Gleichung 6 a wird

Kb

Kb =

1000    15 (34 —y)

1000 • y _ y

15 (34 — yO (34 — y)’

Nach Gleichung (2) wrird

2-502375

21530

140 y (34

(102 y — y²)

Würde die Nullinie in den Steg gefallen sein, so hätten auch die Gleichungen für diesen Plattenbalken in Rechnung gestellt werden müssen.

Zum Beispiel auf Seite 46 sind die Eiseneinlagen zu berechnen. Nach Gleichung (24) wird

₌ hj 3 y — 2 h₁_ 3y — 18 _ 9y — 54

S 3 ’ 2 y — hj ~    2 • y — 9“ 2y—9’

Nach Gleichung (23) wird

10 530 + 1410 F, 2340 + 30 Fe

_ 9² • 130 + 2 • 15 • Fe • 47 _

J “ “ 2 (9 • 130 + 15 • Fe) ~

1053 + 141 Fe

234 + 3 F,

— 54

mithin

66,6 y

21530

(102 y—y²)

6793,2 y² — 66,6 y³ = 732020 — 21530 y

(34-y)

66,6 y³ — 6793,2 y² — 21530 y +• 732 020 = 0 y³ — 102 y² — 323 y + 10980 = 0

y = 10)    1000 — 10200 — 3230 + 10980 = — 1450

y = 9)    729 — 8262 — 2907 — 10 908 = + 540

+ 540 ^1450

y —⁹

y —10

— 1450 y + 13050 = + 540 y — 5400 1990 y = 18450

18450

1990

= 9,27 cm.

Die Nullinie fällt also tatsächlich in die Platte. Nach Gleichung (3) wird

1000 =

502375

F,

Fe =

502375

1000 (34 — 3,09)

= 16 cm².

‘1053 + 141 Fe 234 + 3 Fe [1053 + 141 Fe 234 + 3 Fe

9477 + 1269 Fe — 54 (234 + 3 Fe) 2106 + 282 Fe — 9 (234 + 3 Fe) 9477 + 1269 Fe — 12636 — 162 F, 2106 + 282 Fe — 2106 — 27 Fe

— 3159 + 1107 Fe

255 Fe

Nach Gleichung (25) wird dann weiter

1000 =

548000

548000*255 Fe

Fe 47 —

1107 Fe — 3159

Fe (47 • 255 Fe — 1107 Fe + 3159)

255 Fe

1000 =

548000 • 225 Fe 10878 Fe² + 3159 Fe

10878 Fe² + 3159 Fe = 139740 F₍

10878 Fe² — 136581 Fe = 0

10878 Fe = 136581

136581

10878

= 12,56 cm².

D. Die Gitterdecke nach System „Visintini“.

(Fig. 85—88.)

Diese Gitterdecke ist dem Parallelträger aus Eisen nachgebildet. Es soll die angenährte Berechnung dieser Decken vorausgeschickt werden, weil aus dem Ergebnis dieser Berechnung einige Formeln folgern, welche bei der Dimensionierung verschiedener Deckensysteme Anwendung finden können.

Bei der Berechnung fasst man nun den Träger als einen Plattenbalken ohne Steg auf. Es soll also mithin der Obergurt allen Druck, das Eisen des Untergurtes dagegen allen Zug aufnehmen. Da die Höhe hj des Obergurtes in der Regel klein ist, so ist die Annahme gestattet, sich die Spannungen über denselben gleichmässig verteilt vorzustellen.

Die Eisen im Obergurt können, da dieselben nur sehr geringen Querschnitt besitzen, ohne grossen Fehler zu begehen, vernachlässigt werden.

Mit dem Mittelpunkt des Untergurtes als Drehpunkt lässt sich die Momentengleichung aufstellen (Fig. 87):

tfFP-

_=1—! IZ»-

Vi

c&F-Fr-cXt

^cTtr-

A )• -f

‘ ! *

Fig. 85—88.

tr

toi sr

= Kb • V hj h

(h

Mit dem Mittelpunkt des Obergurtes als Drehpunkt folgt (Fig. 88):

tr

t⁷!

cs

rol er

Fe =

K« (h - I¹)

(31a)

. (31b)

Die Schub- und Haftspannungen ergeben sich nach den Gleichungen (28a) und (29a) zu

*- 10

SEE

iS

4U .. 10.»

s*

Ks' =

,(.-y

Ka = -

■(‘-W

Fig. 89 u. 90.

(32)

.    .    (33)

Beispiel:

Ein Raum von 4,0 m Länge soll durch eine Decke, System „Visintini“, überspannt werden, wenn die Nutzlast 500 kg/qm beträgt.

Das Eigengewicht eines Deckenträgers sei bestimmt zu 50 kg lfd. m. Die übrigen Abmessungen sind aus Fig. 89 u. 90 ersichtlich.

Die einzuführende Stützweite beträgt 4 -{- 0,2 = 4,2 m.

4,2 • 50 = 210 kg

Eigengewicht eines Deckenträgers Nutzlast für einen Deckenträger 0,2 • 4,2 • 500 = 420 ,,

630 • 420

= 33075.

630 kg

Nach Gleichung (30) wird

Kb =

33075

4-20-15

= 27,5 kg/qcm.

Nach Gleichung (31a) wird

Fe =

33075    33075

1000 . 15 ⁻ 15000

= 2,2 qcm.

d = 1,8 cm mit fe = 2,o4 qcm.

Nach Gleichung (32) wird

Ks' =

620

20^15 = 1,05 kg/qCm-

Nach Gleichung (33) wird

Ka =

315

5 • 15

= 4,2 kg/qcm.

E. Säulen und Stützen mit zentrischer Belastung.

a) Berechnung auf Druck.

Die Druckgleichung lautet nach Gleichung [3], Seife 2

1.

k = L

Nach Gleichung [4] und [4a], Seite 2, beträgt die Verkürzung im Beton

Alb =

Kb • 1

Eb

Fb • Eb

und die Verkürzung des Eisens

Ale =

_P*1 ₌Ke-l Fe ' Ee Ee

Da nun die Längenänderungen einander gleich sein müssen, so folgt

Fb • Eb = Fe • Ee,

- = Fe • n.

2. Fb = Fe •

Ersetzt man also in der Stütze einen Teil des Betons durch Eisen, so hat man den Eisenquerschnitt n mal so gross in die Berechnung einzuführen. Aus Gleichung 1 folgt mithin

Kb =

Fb + n • Fe P = Kb (Fb + n ■ Fe) .    .

(34)

. .    (35)

und

Gleichung 2 lässt sich auch umformen in, wenn man für Fb =

Kb

Fe =

l einsetzt,

Kb

Ke”’

woraus folgt

(36)

Ke = n • Kb

NB. Nach den amtlichen Vorschriften darf der Beton in Säulen nur mit seiner Bruchfestigkeit beansprucht werden.

b) Berechnung auf Zerknicken.

Die amtlichen Vorschriften hierfür lauten (vgl. Seite 22):

a) Die Berechnung der Stützen auf Zerknicken soll erfolgen, wenn ihre Höhe mehr als das 18 fache der kleinsten Querschnittabmessung beträgt.

ß) Zur Berechnung der Stützen auf Zerknicken ist die Eulersche Formel anzuwenden.

y) Bei der Berechnung der Eiseneinlagen auf Zerknicken ist eine 5 fache Sicherheit anzunehmen. Der Abstand der Verbindungseisen voneinander soll höchstens gleich dem 30 fachen des Eisenstabdurchmessers, bezw. gleich der kleinsten Seitenlänge sein.

Die Eulersche Formel lautet bekanntlich (vgl. Gleichung [5a], Seite 2):

[37]

TT² • E • J

s • l²

E = Elastizitätsmodul, s = Sicherheitskoeffizient =10, 1 = Höhe der Stütze in cm, J = ideelles Trägheitsmoment = Trägheitsmoment des Querschnittes -J- n mal dem Trägheitsmoment der Eiseneinlagen.

Für nebenstehenden Querschnitt (Fig. 91) ist mithin:

♦-

₁₂ + 15 • 4 • f • e².

h⁴

Fig. 91.

Aus Gleichung (37) ergibt sich mit Einsetzung der bekannten Werte

10-140000 • J 140000

10 • I²

l²

(37a)

Die Entfernung, innerhalb welcher die einzelnen Eisen miteinander zu verbinden sind, berechnet sich nach Gleichung [6], Seite 4, zu

(38)

d

VK

x = 512 _

jedoch soll x<30d bezw. <h sein.

Beispiel:

Eine Säule habe eine Höhe von 4,0 m und den in Fig. 92 angegebenen Querschnitt. Es soll untersucht werden, welche Last die Säule tragen kann, wenn

250

Kb = “ttt = 25 kg/qcm

10

angenommen wird.

20

Auf Druck ist nach Gleichung (35)

Fig. 92.

Auf Zerknicken ist nach Gleichung (37)

P = 25 (24 • 24 + 15 • 4 • 3,14) = 19110 kg. Ke = n • Kb = 15 • 25 = 375 kg/cm².

24⁴

J = ^ + 15 • 4 • 3,14 • 10² = 46488,

12

= 40677 kg.

10 • 140000 • 46488 10 • 400 • 4ÖÖ

Die Entfernung der Verbindungseisen ergibt sich aus Gleichung 38 zu

V 375

x = 512

= 53 cm

xx = 30 • 2 = 60 cm x₂ = 24 = 24 cm.

Er ist also 24 cm zu wählen.

Beispiel:

Eine Säule habe eine Höhe von 4,8 m und den in Fig. 93 angegebenen Querschnitt. Es soll untersucht werden, wie gross die Beanspruchungen des Betons und Eisens sind, ferner eine wie grosse Sicherheit gegen Zerknicken vorhanden ist, wenn die Belastung 32000 kg beträgt.

Nach den Gleichungen (34) und (36) wird

'32000

30 • 30 + 15 • 8 • 3,14 Ke = 15 • 25 = 375 kg/qcm.

Aus Gleichung (37) folgt

Kb =

= 25 kg/qcm,

Wf—Y

♦-

Ir

"i

TI² • E • J

Fig. 93.

l² • P

. (38 a)

30⁴

-f- 15 • 6 • 3,14 • 12² = 108194,

= 20,6fache Sicherheit.

10 • 140000-108194

480 • 480 • 32000

F. Säulen und Stützen mit exzentrischer Belastung.

Bei der Berechnung dieser Konstruktion hat man drei verschiedene Fälle zu unterscheiden:

1.    die exzentrische Last greift innerhalb des Kernes an,

2.    die exzentrische Last greift am Kernrande an,

3.    die exzentrische Last greift ausserhalb des Kernes an.

Unter dem Kerne eines Querschnitts versteht man diejenige Figur, welche angibt, ob im Querschnitt nur Druck oder Druck und Zugspannungen auftreten. Fällt der Angriffspunkt der Kraft in die Kernfigur hinein, so entstehen nur Druckspannungen, fällt er dagegen ausserhalb derselben, so entstehen Druck-und Zugrandspannungen.

Für den Fall, dass auf dei der angreifenden Kraft entgegengesetzten Seite keine Spannung entstehen soll, muss also die Kraft im Kernrande angreifen, und man kann deshalb aus dieser Beziehung den Kernrand berechnen. (Vgl. auch Seite 4, Gleichung [8].)

Nach dieser Gleichung ist

P-e

Kn =

für den Grenzfall Kn == 0 wird

P -e

woraus folgt

(39)

In diesen Gleichung bedeutet W das ideelle Widerstandsmoment, F den ideellen Querschnitt der Fläche und m die Entfernung des Kernrandes von der Schwerlinie in Zentimeter.

Beispiel:

Eine Säule habe den in Fig. 94 angegebenen Querschnitt.

Da der Querschnitt vollständig symmetrisch ist, so geht die Schwerlinie durch die Mitte und es wrird nach Gleichung (39)

h⁴

'■I

h [h² + n • 4 ■ fe]

£ JL

W— 3AH_

-J m.ls

40⁴

₁₂ + 15-4-3,14-172

40 [40² + 15 • 4 • 3,14]

= 7,5 cm.

f.if —j

cKem

C- 20

so

20

cMtrn

h- ,io -— Fig. 91.

Fig. 95.

i \*

ij

•—

r-Wj

dHtrn

21,s —y

20

■</--«i V

Beispiel:

Eine Säule habe den in Fig. 95 angegebenen Querschnitt.

Da der Querschnitt symmetrisch, geht die Schwerlinie durch die Mitte.

ad⁵⁰⁴

Ul

50

12

+ 15 • 6 • 4,52 • 20²

J = 9 cm.

iS

S-2,01

h0

iO-SO

-S-X3

Fig. 96.

50 [50² + 15 • 8 • 4,52]

Beispiel:

Eine Stütze habe den in Fig. 96 angegebenen Querschnitt.

Da der Querschnitt in bezug auf die Eiseneinlagen unsymmetrisch ist, so hat man die Lage der Schwerlinie festzulegen, indem man den Eisen-querschnitt mit dem „n“-fachen Wert einführt.

Mit D als Drehpunkt wird

15 - 5 • 2,01 • 3 + 50 • 40 • 20 + 15 • 5 • 5,3 • 36 = (15 • 5 • 2,01 + 50 • 40 + 15 • 5 • 5,3) x

= 21,5.

452,25 + 40000 + 14310

150,75 + 2000 + 397,5

Die Schwerlinie liegt mithin um ein Stück e = 21,5 — 20 = 1,5 cm rechts von der Mittellinie.

Bestimmung der Kerngrenzen auf der II. Achse.

+ 50 • 40 • 1,5² + 15 • 5 • 5,3 (18,5 — 4)² + 15 • 5 • 2,01 (21,5 — 3)2 = 406198

Das Trägheitsmoment auf die Schwerachse I bezogen, wird '50 • 40³

12

Wx=

406198

21,5

= 18893,

W₂=

406198

18,5

= 21945.

F wird aus der Gleichung von x

F = 150,75 + 2000 + 397,5 = 2548,25,

mithin

¹⁰¹ F 2548,25

W₂ 21945

= 8,61 cm,

m2 F 2548,25

Wx 18893

= 7,41 cm.

Bestimmung der Kerngrenzen auf der I. Achse.

+ 15 [2 • (2,01 • 21,67² + 2,01 • 10,83²) + 2 (5,3 • 21,67² + 5,3 • 10,83²)] = 545462,

Das Trägheitsmoment des Querschnittes auf die II. Achse bezogen, beträgt 40 • 50³

12

wobei das Trägheitsmoment der auf der Achse liegenden zwei Eisen wegen des geringen Beitrages vernachlässigt wurde.

Es wird

= 21818.

545462

25

Da ferner F, wie vorhin, = 2548,25, so wird

m3 =

21818

2548,25

= 8,56 cm.

Eisenbetonkonstruktionen I.

*»

1. Die exzentrische Belastung greift innerhalb "des Kernes an.

(Kg. 97).

Da in diesem Falle nur Druckspannungen Vorkommen, so muss die Nullinie ausserhalb des Querschnittes fallen.

Es können also hier die Gleichungen für einfachen exzentiischenDruck (Seite 4, Gleichung [7] und [7 a] Anwendung finden.

M P P-e W — F ~ W

T l|gj'

und

jMfc'

cT.

Fi?. 97.

Kb =

Kbl =

Nach den Gleichungen (10) und (11), Seite 35, ist

Ke = n • Kb

(y —a)

.    .    (40)

. (40a)

.    .    (41)

Ke' — n • Kb

(y — h + a)

In diese Gleichungen ist für y der Wert

.    . (41a)

_ , einzuführen, welcher, wie

Kb'

Kb

folgt, abgeleitet wird.

Aus der Aehnlichkeit der beiden Dreiecke folgt

Kb

Kb¹ (y —h)’

Kb • y — Kb • h = Kb' • y, Kb • y — Kby • y = Kb • h,

Kb-h

Kb • h

Kb • h

K₅-Kb'

Kb

Kb' • Kb

Kb

Kb

(‘-19

Kb'

Kb

di

llfa

2. Die exzentrische Kraft greift am Kernrande an.

(Fig. 98).

dt

Idl

■ZajSCKb-0

Auch hier gelten die Gleichungen (40) und (40a) P-e

Kb =

:■

sa

31

Kb' =

P-e

Da in diesem Falle m = e = — wird, so folgt

cr_

*ni T3

Oh

(42 a)

Aus den Gleichungen (41) und (41a) folgt ferner für y = h

(h —a)

Ke = n • K„

(43)

Ke'

a

= „Kb

(43 a)

3. Die exzentrische Kraft greift ausserhalb des Kernes an.

(Fig. 99 u. 100).

Da diese Belastungsart vorwiegend beim Bogen vorkommt, so sollen hier auch die beim Bogenbau üblichen Bezeichnungen eingeführt werden.

Aus den Gleichungen (41) und (41a)

folgt:

TLf— *

¹ JE

1. Ke = n • Kb

e + 2-y

2. Kg' = n • Kb

2 +y

d'i — P

* m

Da die äussere Kraft den inneren * Kräften das Gleichgewicht halten muss, cJCb so wird

-— je

r--¹ f

^.b

—.fe . Ke + fe# • K

IJJ

für fe = fe' wird

3. R =

-jf-'b + MKe' —Ke).

Fig. 99 u. 100.

Da ferner die äusseren Momente, bezogen auf die Mittellinie, gleich sein müssen den inneren Momenten, so folgt

KA^.b

2

Kb-y ,

’ x = 2 *b

Man hat also vier Gleichungen mit vier Unbekannten, woraus die vier Unbekannten sich bestimmen lassen.

für fe = fe' wird

4.

so

CO| PL

(-)

CO: P.

+ e • V * Ke' + e . fe • Ke,

(-)

+ e ’ fe (Ke' + Ke).

Führt man in Gleichung 3 aus den Gleichungen 1 und 2 die Werte Ke und Ke' ein, so

K':₂~ ■ b + f. (n • Kb

Ki>-y —'b +

n • Kb

e+ 2 —y

5. R = Kb

tOjV-

b( d

-(e~2+y-

• b + ——- (2 y — d) .

Setzt man ferner dieselben Werte in Gleichung 4 ein, so

*L^.b

C-)

CO j ^<3

n-Kb

+ n-Kb

e+ 2-y

y • d y²

R • x = Kb

e • fe • n • Kb

6. R • x

= Kb[(y₇i-|²)b + ^-n

• 2 e. .

Dividiert man die Gleichung 5 durch die Gleichung 6, so folgt

K"[!

* b -f "4“ y " d)l

‘•[Pi

öb + Lk

6/    y

2 * e² • fe • n

x *y

• b 4-

x • fe • n • d

3y² • d • b — 2y³ • b 4~ 24 • e² • fe • n = 6 x • y² • b + 24 • x • n • fe • y— 12 • x • fe • n • d =F 2y³ • b± 3y² • d • b =?=6xy² • b 24x • n • fe • y = + 12 • x • fe • n • dq= 24e² • fe • n

3y² • d

+ 3xy² 4

12 • x • n • fe • y

6 • x • fe • n •

r0

12 • e² • fe • n

y³ 4- 3y² (x — -) 4-

12 • x • n I. • y _ 6jn jje (x . Ä _|_ ₂ . e2} .

•    (14)

Nachdem man aus dieser Gleichung dritten Grades, am elementarsten nach der ,,Regula falsi“ wie in den Beispielen gezeigt wird, y berechnet hat, kann man Kb aus Gleichung 5 berechnen und aus Gleichung 1 und 2 die Werte von Ke und Ke' ermitteln.

Kb =

>s CM

•b +

fe • n

(45)

F <2y

d)

Ke =

n* Kb

(46)

Ke' =

n. Kb

2+y

.    (47)

Beispiel:

Eine Säule habe die in Fig. 101 angegebenen Abmessungen.

40⁴

12

+ 15-4-3,14 *17² = ‘267780,

4-

ioü

F = 40² + 15 • 4 • 3,14 = 1788.

Die Kerngrenze ergibt sieh mithin aus Gleichung (39) zu

_ 267 780 • 2 F^h — 1788 • 40

= 7,5

Lu

§i

f?

Fig. 101.

a) Die Last sei zu 26000 kg angenommen und wirke 4 cm exzentrisch.

Da die Last innerhalb des Kernes angreift, so folgt nach den Gleichungen (40), (40 a), (41) und (41a)

Kb =

26O00    26000*4*40

1788

2 • 267 780

= 14,5 + 7,8 = + 22,3 kg/qcm,

Kbl = 14,5 — 7,8 = + 6,7 kg/qcm,

40

6,7

= 57,1,

22,3

Ke = 15 • 22,3

(57,1 — 3)

57,1

= 299 kg/qcm,

Ke' = 15 * 22,3

(57,1 — 40 + 3)

57,1

= 118 kg/qcm.

b) Die Last sei zu 26000 kg angenommen und wirke 7,5 cm exzentrisch.

Da die Last auf den Kernrand fällt, so folgt nach den Gleichungen (42), (42 a), (43) und (43 a)

Kb =

2•26000

1788

= 29 kg/qcm,

Kb' = 0,

(40—3)

= 402 kg/qcm,

Ke' = 15 • 29 A = 32,6 kg/qcm.

c) Die Last sei zu 26000 kg angenommen und wirke 12 cm exzentrisch.

Ke = 15 • 29

40

y3 _ 24y² + 339,12y — 14950 = 0.

Man löst diese Gleichung dritten Grades nach der „Regula falsi“ wie folgt: Man nimmt einen Wert für y an und berechnet den zugehörigen Schluss -

Darauf nimmt man noch andere Werte von y an, und zwar so lange,

wert.

bis der Minuswert in den Pluswert übergeht oder umgekehrt:

y = 27;    27³ — 24 * 27² +    339,12    •    27 —    14950    = — 3597,76,

y = 28;    28³ — 24 • 28² +    339,12    -    28 —    14950    = — 2318,64,

y = 29;    29³ — 24 • 29² +    339,12    •    29 —    14950    = — 910,52,

y = 30;    30³ — 24 • 30² +    339,12    •    30 —    14950    = + 623,6.

Der Wert von y liegt also zwischen 29 und 30.

Man stellt nun die Gleichung auf:

— 910,52

y — 29 _

y — 30    + 623‘6 ’

623,6y — 17984,4 = — 910,52y + 27315,6,

= 29,6 cm,

Da die Last ausserhalb des Kernes angreift, so erfolgt die Berechnung nach den Gleichungen (44), (45), (46), und (47).

12-12-15-2-3,14-y

y³ + 3 • y² (12—20) +

6 • 15 • 2 • 3,14

40

40

(12-40 + 2-17²)

45300 1534,12

Kb =

26000

r20.

U

•40 +

2 • 3,14 • 15

= 39,8 kg/qcm,

29,6

(2 • 29.6 — 40)

= 149,1 kg/qcm Zug;

Ke = 15 • 39,8

17 + 20 — 29,6

29,6

= 537 kg/qcm Druck.

Ke' = 15 • 39,8

17 _ 20 + 29,6

29,6

Beispiel:

In einem Teil einer Eisenbetonbogenbrücke von b = 1 m = 100 cm Tiefe gehe die Stützlinie, deren Kraft an dieser Stelle 48000 kg betrage, in einem Abstande von 9,25 cm von der Mittellinie vorbei (Fig. 102).

,    Beim Brückenbau ist n = 10 einzuführen

T ‘i.i *

100 • 32,5³

12

+ 10-20-2,01-12,25² = 346368,

F = 100 • 32,5 + 10 • 20 • 2,01 = 3652.

Nach Gleichung (39) wird

= 5,8 cm.

Fig. 102.

W _ 2 • J _ 2 • 346368 m - F 32,5 • F ~~ 32,5 • 3652

Die Kraft greift also ausserhalb des Kernes an, mithin

y³ + 3y² (9,25 — 16,25)

12 • 9,25 • 10 • 10 • 2,01 • y

100

6 • 10 ■ 10 • 2,01

100

(9,25 • 32,5 + 2 • 12,25²),

y— 23 _ y — 24 “ + 1728’

1728y — 39744 = — 1055y + 25320,

y³ — 21 y² + 223,lly —7244 = 0, y = 24; 24³ — 21² • 24 + 223,11 • 24 — 7244 = + 1728, y = 23; 23³ — 21 • 23² + 223,11 • 23 — 7244 = — 1055,

— 1055

65064

2784

= 23,37 cm,

Kb =

48000

[23J

L ²

• 100 +

10-2,01 • 10

23,37

T = 37,2 kg/qcm,

(2 • 23,37 — 32,5)

Ke= 10-37,2

12,25 + 16,25 — 23,37

23,37

81,7 kg/qcm Zug in der unteren Armierung,

Ke'= 10-37,2

12,25 — 16,25 + 23,37

23,37

308 kg/qcm Druck in der oberen Armierung.

VI.

Einige wichtige Eisenbetondecken-Systeme nebst Beispielen.

Die verschiedenen Systeme der Eisenbetondecken sind im G rundprinzipe alle gleich, nämlich, dass der Beton keine Zugspannungen aufnimmt, vielmehr diese allein vom Eisen aufgenommen werden. Ihr Unterschied besteht lediglich darin, dass verschiedene Eisenquerschnitte gewählt bezw. die Eiseneinlagen verschieden angeordnet werden, dass die Decken, um ein leichteres Eigengewicht zu erzielen, zum Teil hohl hergestellt, dass sie fabrikmässig ausgeführt und am Bauplatze fertig verlegt werden.

A. Decke nach System „Monier“.

Bei diesen Decken besteht das Eisengerippe aus Rundeisen-Tragstäben von 5—15 mm Stärke, welche in Abständen von 5—20 cm verlegt werden. Ueber diesen Stäben liegen Rundeisen-Druckverteilungsstäbe von 3—8 mm Durchmesser

t-rf    ............ ...... •• ,T -

Fig. 103.

in Entfernungen von 10—30 cm. Diese Stäbe werden untereinander durch Bindedraht verbunden. Die Decke ruht auf den Eisenträgern, wenn die Konstruktion ein Sichtbarsein der Träger zulässt. Soll diese Konstruktion feuersicher sein, so muss der Träger mit Beton umhüllt werden (Fig. 103).

Beispiel:

Eine Decke in einem Gebäude habe eine Spannweite von 2,0 m (Fig. 104). Der Deckenbelag bestehe aus einem 2 cm starken Zement-Estrich, und es betrage die Nutzlast 400 kg/qm. Die Stärke der Decke sei zu 10 cm angenommen. Die in die Berechnung einzuführende Spannweite beträgt dann:

1 = 2,0 -f- 0,1 = 2,1 m = 210 cm.

10

Fig. 104.

Eigengewicht 1 • 2,1 : 0,1 • 2400 = 504 kg 1-2,1-2-20 = 84 „ 1 • 2,1 • 400 = 840 „ 1428 kg

Deckenbelag

Nutzlast

1428 • 210

= 37485 cm/kg.

Wählt man 10 Eisen a 8 mm stark (fe = 0,5 qcm), so wird nach Gleichung (1),

Seite 28:

15 • 10 • 0,5

100

2 • 8,5 • 100~ 15 -10 • 0.5

= 2,9 cm,

ferner nach den Gleichungen (2) und (3), Seite 29:

Kb =

2 • 37485

100-2,9 (^8,5 — ^

= 34,5 kg/qcm,

Ke =

37 485

10-0,5 (8,5— ¹ 2^)

= 1000 kg/qcm.

Fig. 105.

Sollen die Träger nicht sichtbar sein, oder soll eine gute Wärme- und Schallisolierung erzielt werden, so ordnet man zweckmässig Doppeldecken an. Der Zwischenraum wird dann mit leichtem Material, wie Bimssand, Schlacken, Schlackenbeton etc. ausgefüllt. Es hat also in diesem Falle die untere Decke nur die Füllung und ihr Eigengewicht einschl. eventl. Deckenputz, die obere Decke dagegen ihr Eigengewicht einschl. Deckenbelag und die Nutzlast zu tragen (Fig. 105).

Beispiel:

Zu vorigem Beispiel ist eine untere Decke zu berechnen, wenn die Füllung aus Koksasche besteht und Deckenputz vorhanden ist.

Die Stärke der Decke sei zu 6 cm angenommen, dann wird 1 = 2,0 + 0,06 = 2,06 m = 206 cm.

Deckenputz

Füllung

Eigengewicht 1 • 2,06 • 0,06 • 2400 = 276 kg 1-2,06-20 = 41 „ 1-2,06-0,14-600 = 173 „

490 • 206

= 12618.

490 kg

Wählt man 10 Eisen ä 6 mm stark (fe — 0,28 qcm), so wird

—i + ]/1 +

15 • 10 • 0,28

100

2 • 100 • 4,7 15 • 10 • 0,28 = 1,61 cm,

Kb =

1,61

= 37,7 kg/qcm,

Ke =

1,61

12618

10 • 0,28 4,7--

= 1083 kg/qcm,

eo

Da man die Spannweite der ebenen Monierdecken nicht über 2,5 m wählt, so geht man bei grösseren Spannweiten zu gewölbten Decken mit ³/₈—x/₁₂ Stich über, deren Stärken 6—14 cm betragen (Fig. 106).

23

Fig. 106.

Bei kleineren Gewölben bis etwa 5 m Spannweite dürfte folgende angenähertes Berechnungs -Verfahren genügen, während bei grösseren gewölbten Decken die genaue Berechnung nach den Eisenbetonbogenbrücken zu erfolgen hätte.

Bezeichnet man das Eigengewicht pro qm mit p und die Nutzlast mit q,. so beträgt, halbseitige Nutzlast vorausgesetzt,

P-1

2-1 2 ’

die Auflagerreaktion (Fig. 107) für Eigengewicht: A₁ = p • 1 •

die Auflagerreaktion (Fig. 107) für Nutzlast:

A₂ —

q2 '

CO

co Igo

CO GO

1. mithin A = Aj -f A₂ = ^--(-

rrr-Tri

r³

Fig. 107.

,B

Q<

hl

L ti b ³

hi

— ln—.

'    ‘p- hi

Fig. 108.

Fig. 109.

Der Horizontalschub H₁ für Eigengewicht (Fig. 108) ergibt sich mit D als Drehpunkt zu:

2’

A, •

p-1

2 Gl ’ 4    2    2

Ph

toi .

Ph

Der Horizontalschub H₂ für Nutzlast (Fig. 109) ergibt sich mit D als Drehpunkt zu:

2’

H,=

-<v₄

CO GO

2    4_q * i⁴

— 16-f’

mithin

2. H

Hi + H₂ =

p • l²

q • l⁴ l⁴ 16 * f ⁼ 8 ⁷f

Spannt man nun den Bogen in einer Entfernung von - vom linken Auflager ein (Fig. 110), also an der Stelle, an welcher wahrscheinlich das grösste Moment auftritt, so wird

~4

2*.

CO

4^ 03

P<

Fig. 110.

4^

er¹

2* |oo

fi(p+§h-

8’

GO

>“h>

Ph

'd

'--'

eo

CO

er

4^

Ph

H*.|

""r

3^5

i! *

cT<

Fig. 111—113.

Beispiel:

Eine Decke habe die in Fig. 111 angegebenen Abmessungen. Das Eigengewicht betrage p = 400 kg/qm und die Nutzlast q — 320 kg/qm. Die Stärke der Decke sei zu 6 cm gewählt; ferner seien oben und unten je 10 Eisen auf 1 m Tiefe angeordnet. Die Stärke der Eisen betrage 6 mm (fe = 0,283 qcm) und ihr Abstand vom Rande 1 cm.

Der Radius des Bogens berechnet sich aus der Gleichung

4. r

(iT

CO I-S

2²

2-0,4

,c: 4-

= 5,2 m.

ferner

5. fx = V(r —f)² + x (1 —x) —(r —f) = V (5,2 — 0,4)² + 1 (4 —1) — (5,2 — 0,4)

= 0,303 m,

wenn unter x der Abstand der Einspannungsstelle vom linken Auflager, also in

= 1 m verstanden wird.

unserem Falle x = — 4

4^ 4^

71,60 kg/m = 7160 kg/cm.

(3 • 400 + 2 • 320) j — (400 + ^) °₀³“³j =

Das Moment M setzt sich nun zusammen aus der Normalkraft Nx und der Exzentrizität e (Fig. 112).

Die Normalkraft berechnet sich aus der Gleichung

6. Nx = Ax • sin cp -f H • cos cp,

wenn unter Ax die Schubkraft an der Einspannungsstelle und unter Winkel cp (Fig. 113) dev Winkel verstanden wird, welchen die Tangente an der Einspannungs-stelle an dem Bogen mit der Horizontalen bildet.

Es wird

5,2

7. sin cp =

8.

cos cp =

r-f + f,

5,2 — 0,4 -[■ 0,303    5,103

5,2

5,2

9. Ax = A —

4

CO GO

p-1

151

T~ (p+ )

r.0'^2

q' i

At= (400 +    = 560 kg

J2 (400 + ~) = 2800 kg, mithin

Nx = 560 •

8-0,4

/'/i 03

7/7/;

5,2

+ 2800 -

5,103

5,2

2856 kg,

'i,o3

folglich die Exzentrizität

M _ 7160 Nx 2856

— 2,51 cm.

Fig. 114.

Die Kerngrenze bestimmt sich nach Gleichung (39), Seite 49, zu (Fig. 114):

100 - 6²

12

+ 15 • 20 • 0,283 - 2²

= 1,03 cm.

IOC • 6 4- 15 • 20 • 0,283

Die Kraft Nx greift also ausserhalb des Kernes an. Nach Gleichung (44), Seite 58, wird dann:

y³ 4- 3y² (2,51-3)4-

12-2,51 • 15 -10-0,283-y

6-15-10-0,283

100

100

(2,51 -6 +2-2²)

y3 _ 1,47y² 4- 12,8y — 58,7 = 0 für y = 3 wird: 27 — 13,23 + 38,4 — 58,7 = — 6,53, für y = 4 wird: 64 — 23,52 + 51,2 — 58,7 = 4- 32,98

— 6,53

4- 32,98

y —3

y —⁴

32,98 y — 98,94 = — 6,53 y + 26,12 39,51 y = 125,06

Kb =

125,06

39,51

= 3,16 cm.

Nach den Gleichungen (45), (46) und (47), Seite 59, wird fernerhin: 2856

rw

L²

• 100 +

10 • 0,283 • 15

^ = 16,6 kg/qcm,

3,16

(2-3,16—6)

= 145 kg/qcm Zug in der unteren Armierung,

Ke = 15- 16,6

2 + 1-3,16

3,16

Ke' = 15 • 16,6

IC Öl

+ 3,16

= 170 kg/qcm Druck in der oberen Armierung.

3,16

Soll die Decke jedoch nur in der unteren Zone eine Armierung (Fig. 115) erhalten, so würde die Berechnung am einfachsten nach den Gleichungen von der einfach armierten Decke zu erfolgen haben, wobei | j jedoch zu beachten ist, dass die durch die Normalkraft erzeugten Spannungen mit in die Berechnung eingeführt werden.

Nach den Gleichungen (1), (2) und (3) folgt:

<0

■>

Fig. 115.

15 - 2,83

100

+> +

2-100-5

15 - 2,83

1,68 cm,

Kb=

2 • 7160

100-

1,68 (ö

= 19,2 kg/qcm,

Ke =

7160

2,83 (ö

= 570 kg/qcm,

Vorstehende Inanspruchnahmen sind allein durch Biegung bedingt. Der Beton erhält durch die Normalkraft von 2856 noch einen Zuschlag von

Kb,=

2856

6 • 100

= 4,4 kg/qcm

mithin

Kb = 19,2 + 4,4 = 23,6 kg/qcm.

B. Decke nach System „Wayss“.

(Tafel I, Fig. 1 u. 2.)

Bei dieser Decke bestehen die Eiseneinlagen auch aus Rundeisen. Tritt in der Decke ein Momentwechsel ein, so werden die Eisen am Nullpunkte unter 45° abgebogen. Bei der Auflagerung dieser Decke an den Enden ist darauf zu

achten, ob eine reine Auflagerung, eine vollständige oder nur eine teilweise Ein Spannung vorhanden ist, bezw. ob gegebenenfalls eine teilweise Einspannung zu befürchten ist. Im ersten Falle sind alle Eisen bis an die Enden hin „unten“ zu verlegen; im zweiten Falle sind alle Eisen im Abstande von 0,2 1 vom Auflager nach „oben“ abzubiegen und im dritten Falle sind die Eisen abwechselnd durchzulegen und abzubiegen.

Beispiel:

Eine Decke habe die in Fig. 116 angegebenen Abmessungen. Es ist die Decke zu berechnen, wenn der Belag aus 6 mm starkem Linoleum über 5 cm starken Korksteinen besteht und die Nutzlast 400 kg/qm beträgt. Wählt man

die Deckenstärke zu 20 cm, so beträgt die ein-^ zuführende Spannweite

brr

Fig. 116.

1 = 4,8    0,2 - 5,0 m.

Das Eigengewicht pro qm Decke beträgt:

Eigengewicht der Decke 1 • 1 • 0,2 • 2400 = 480 kg

1 - 1 - 0,05 - 300 = 15 1 - 1 - 0,006 • 1200 =

1 - 1 - 20 = 2

Korkstein

Linoleum

Putz

= 522,2 = co 520 kg.

Die grössten Momente im I. Feld betragen (vgl. Tabelle II, Seite 18):

für Eigengewicht + Mp = 0,07 • 520 • 5² = 910 kg/m = -f- 91000 kg/cm, für Nutzlast für Nutzlast

4- Mq = 0.095 • 400 • 5²= 950 kg/m = -f- 95000 kg/cm, — Mq = 0,025 • 400 • 5²= 250 kg/m = — 25000 kg/cm.

Die grössten Momente über dem Träger betragen:

für Eigengewicht — Mp = 0,125 • 520 ■ 5² = 1625 kg/m = — 162500 kg/cm, für Nutzlast für Nutzlast

+ Mq —

— Mq = 0,125 • 400 • 5² = 1250 kg/m = — 125000 kg/cm.

Berechnung im I. Felde.

Das grösste einzuführende Moment beträgt M = 91000 -f- 95 000 = Es seien 10 Eisen a 12 mm (Ee = 11,3) gewählt.

Nach Gleichung (1), Seite 28, wird (Fig. 117):

_ 15-11,3

y “ ~IÖ()

2 - 100 • 18"

15 - 11,3

= 6,3 cm.

186000.

Nach Gleichung (2) und (3), Seite 29, ferner:

Kb =

2 - 186000

= 37 kg/qcm,

100 • 6,3

it

Ke =

186000

= 1030 kg/qcm.

Berechnung über dem Träger. (Fig. 118).

Das grösste einzuführende Moment beträgt M = 162500 + 125000 = 287500.

Da die Hälfte der Eisen nach oben gebogen ist, die Eisen des einen Feldes aber in das andere Feld übergreifen, so haben wir oben am Träger dieselbe Eisenanzahl als im Feld I.

Die unteren Eisen, ob sie am Eisenträger aufhören oder ob sie durch den Eisenbetonbalken hindurchgehen, werden in der Berechnung vernachlässigt, da ihre Lage mit der Nullinie, welche durch die konsolartigen Anschlüsse nach unten gedrückt wird, fast zusammenfällt und sie hierdurch keinen nennenswerten Beitrag liefern.

Nach den Gleichungen (1), (2) und (3), Seite 28 und 29, wird

15 • 11,3

2 • 100 • 38"

Wm,

Fig. 118.

100

15 • 11,3

= 9,75 cm,

Kb =

2•287000

100-9,75 38 —

9,75

= 17 kg/qcm,

Ke =

287000

11,3 ^38

9,75

TO

— 730 kg/qcm.

In Fig. 119 ist die Montage der Eiseneinlagen für eine „Waysssche“ Decke nebst Unterzügen und Stützen ersichtlich.

m “

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«*w.

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*# ,.j> . mp? *§m

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>■ 1 KLM

[iTfrjCBg

SB

^ '-msb

SS

-----

-4—JrL-

ZF

-A

Xzzzr.

iSSäS

*-

C. Decke nach System „Hemiebique“.

(Tafel II, Fig. 3.)

Der „Wayssschen“ Decke nahe verwandt ist die Decke nach System „Hennebique“. Der Unterschied besteht nur darin, dass die einen Eisen nicht unter 45° nach oben gebogen sind, sondern allmählich nach oben geführt werden. Ausserdem sind kleine Flacheisenbügel angeordnet, deren Zweck darin besteht, die in der Richtung des Balkens fallenden Schubspannungen aufzunehmen.

Beispiel (Fig. 120—123):

In einem Versammlungsräume habe eine Decke die in der Figur angegebenen Abmessungen. Die Abdeckung bestehe aus 5 mm starkem Linoleum auf 2 cm starkem Zement-Estrich. Die Stärke der Decke sei zu 24 cm geschätzt.

__- nt

— h,6m-

- k,fm-— _

-- S.

SS

ir

Fig. 120—123.

Das Eigengewicht pro qm beträgt:

Eigengewicht der Decke 1 • 1 • 0,24 • 2400 — 576

1 • 1 • 2 • 20 = 40 1 • 1 • 0,005 • 1200 =    6

1 • 1 • 20 = 20

Estrich

Linoleum

Putz

p = 642 = 640 kg/qm

Die Nutzlast beträgt bei Versammlungsräumen:

q = 400 + 50°/o = 600 kg/qm.

Die einzuführende Deckenlänge beträgt 4,6 -f- 0,24 = 4,84 m.

Die grössten Momente im I. Feld betragen (vergl. Tabelle IV, Seite 20) :

für Eigengewicht + Mp = 0,07714 • 640 • 4,84²    =    1156,71 kg/m    =    + 115671    kg/cm,

+ Mq = 0,09857 • 600 • 4,84²    =    1385,70 kg/m    =    + 138570    kg/cm,

— Mq = 0,02143 • 600 • 4,84²    =    301,26 kg/m    =    — 30126    kg/cm.

für Nutzlast

für Nutzlast

Die grössten Momente im II. Feld betragen:

für Eigengewicht + Mp = 0,03572 • 640 • 4,84² = 535,62 kg/m = + 53562 kg/cm, für Nutzlast

für Nutzlast

+ Mq = 0,08036 • 600 • 4,84² = 1129,76 kg/m = + 112976 kg/cm, — Mq = 0,04464 • 600 • 4,84² = 628,15 kg/m = — 62815 kg/cm.

Die grössten Momente über der Stütze    betragen:

für Eigengewicht    — Mp    =    0,10714 • 640    •    4,84²    =    1606,56 kg/m = —    160656    kg/cm,

— Mq    =    0,12054 • 600    •    4,84²    =    1694,55 kg/m = —169455    kg/cm,

4- Mq    =    0,01340 • 600    •    4,84²    =    188,38 kg/m = +    18838    kg/cm.

für Nutzlast für Nutzlast

¹

• 12618

²

00-1,61 4,7

³

₂ * f -f- Go •    = Ao •

⁴

4

Berechnung im I. Felde.

Das grösste einzuführende positive Moment beträgt M = 115671 + 138570 == 254241.

Es seien 12 Eisen ä 15 mm (Fe = 21,24 qcm) gewählt. Nach den Gleichungen (1), (2) und (3) ergibt sich dann:

15*21,24

100

Kb

2 • 254241

100 *9

(22- )

cs leo

]A +

= 31,4 kg/qcm,

2 • 100 • 22

15 • 21,24

9 cm,

Ke

254 241

21,24(22 — !)

= 665 kg/qcm.

Berechnung im II. Felde.

Das grösste einzuführende positive Moment beträgt

+ M = 53562 + 112976 = + 166538.

Da nun das durch die Nutzlast hervorgerufene negative Moment grösser ist als das positive Moment des Eigengewichtes, so entstehen auch negative Momente im II. Felde. Es sind aus diesem Grunde auch Eisen in die obere Zone zu verlegen.

Es seien unten 10 Eisen ä 12 mm (Fe = 11,3) und oben 10 Eisen ä 6 mm (Fe' = 2,83) gewählt.

Berechnung für das positive Moment.

Aus den Gleichungen (8), (9), (10) und (11), Seite 34 und 35, ergibt sich: 15(11,3 + 2,83

²    2*15

100

100

100

[11,3 • 22 + 2,83 • 2] = 6,9cm

Kb =

6 • 166538 * 6,9

100 ■ 6,9² (3 • 22 — 6,9 + 6 • 2,83 • 15 (22 — 2) (6,9 — 2)

= 22,3 kg/qcm,

Ke = 15 • 22,3

(22 — 6,9)

6,9

= 732 kg/qcm Zug in der unteren Armierung,

Ke' = 15 • 22,3

(6,9 — 2)

6,9

= 238 kg/qcm Druck in der oberen Armierung.

Berechnung für das negative Moment.

— M = 62815— 53562 = — 9253.

Aus den Gleichungen (8), (9), (10) und (11), Seite 34 und 35, ergibt sich (wobei darauf zu achten ist, dass yq von unten zu messen ist und die Eiseneinlagen unter dem Wurzelzeichen richtig eingeführt werden):

15 (11,3 -f- 2,831² 2*15

yi

15(11,3 + 2,83)

100

v[

100

100

[2,83-22 + 11,3-2]=3,35 cm

Eisenbetonkonstruktionen I.

Kb =

6 • 9253 • 3,35

100 • 3,35² (3 • 22 — 3,35) + 6 • 11,3 • 15 (22 — 2) (3,35 — 2)

= 2 kg/qcm

Ke = 15 • 2

(22 — 3,35)

2,35

= 167 kg/qcm Zug in der oberen Armierung,

Ke' =15-2

(3,35 — 2)

3,35

= 12 kg/qcm Druck in der unteren Armierung.

Da das negative Moment im Verhältnis nur gering ist, so soll untersucht

werden, ob der Beton allein ohne Eiseneinlagen dieses Moment aufzunehmen imstande wäre.

9253

100 • 24²

= 0,96 kg/cm.

Diese kleine Beanspruchung darf man dem Beton auf Biegung wohl zumuten. Es könnten daher im zweiten Felde die oberen 6 mm starken Eisen fehlen.

Berechnung über der Stütze.

Das grösste einzuführende negative Moment beträgt — M = 160656 + 169455 = 330111.

Es sollen keine Vouten bezw. konsolartigen Anschlüsse angeordnet werden.

Da die Hälfte der Eisen in

cm.

Mithin beträgt die Deckenhöhe auch hier 24 jedem Felde nach oben geführt werden und diese Eisen von einem Felde in das andere übergreifen, so haben wir oben einen Eisenquerschnitt von

21,24    11,3

2 ⁺ 2

= 16,27 qcm.

Derselbe Eisenquerschnitt ist auch unten vorhanden, wenn die oberen Eisen im II. Felde nur von Wendepunkt zu Wendepunkt des Momentwcchsels reichen.

Aus den Gleichungen (8a), (9), (10) und (11), Seite 34 und 35, ergibt sich dann:

2 • 15 • 16,27

100

100 (22 +2)

• ¹ 2- 15 • 16.27

= 7 cm,

Kb =

6-330111-7

100 • 7² (3 • 22 — 7) + 6 • 16,27 • 15 (22 — 2) (7 — 2) (22 — 7)

= 32,8 kg/qcm,

K₀ = 15 • 32,8

= 1054 kg/qcm Zug in der oberen Armierung,

Ke' = 15 • 32,8

(7 — 2)

-— ■ - ---- = 352 kg/qcm Diuck in der unteren Armierung.

D. Decken nach den Systemen „Ransome“, „Habrich“ und „Hyatt“.

Die Konstruktion dieser Decken ist ganz analog den vorhergehenden, nur sind die Eisen an sich verschieden.

Ransome wählt Eisen quadratischen Querschnittes mit Drall, d. h. das Quadrateisen ist schraubenförmig verdreht (Fig. 124).

Habrich wählt Eisen rechteckigen Querschnittes mit Drall, d. h. die Eisen sind spiralförmig verdreht (Fig. 125).

Hyatt wählt Flacheisen, durch welche Rundeisen hindurchgezogen sind (Fig. 126).

Fig. 124—126.

Das Verdrehen der Eisen bei Ransome und Habrich, als auch die Rundeisen bei Hyatt, verfolgen einzig und allein den Zweck, dem Beton eine grössere Haftfläche zu geben und somit ein Herausreissen der Eisen zu verhüten.

E. Decke nach System „Lolat“.

(Fig. 127.)

Bei diesen Decken werden die Eisen in den Wendepunkten nicht nach oben gebogen, sondern es finden nur gerade Rundeisenstäbe Anwendung. Hat die Decke nur positive Momente aufzunehmen, so werden die Eisen einfach in die untere Zone verlegt, sind dagegen auch negative Momente aufzunehmen,

~7^r

1ml

Ml

§§1|

ML

Fig. 127.

z. B. bei kontinuierlichen Decken über den Trägern, so werden die unteren Eisen ebenfalls gerade durchgeführt, während die oberen Eisen gerade verlaufen und bis zu den Wendepunkten der Momente hineinragen. An dieser Stelle ruhen die Eisen auf sogenannten Typenblechen, welche auch gleichzeitig dazu dienen, den unteren Eisen eine bestimmte Lage zu geben.

F. Voutenplatten nach System „Könendecke“.

(Fig. 128 u. 129.)

Bei dieser Decke sind die Eiseneinlagen nach der elastischen Linie gebogen. Bestehen die Träger aus Eisen, so werden die Tragstäbe einfach eingehakt, wobei die Eisen abwechselnd angeordnet sind. Sind keine eisernen Träger vorhanden, so werden Flacheisen einbetoniert und über diese die Rundeisen durchgeführt oder aber eingehakt. Die Berechnung der mittleren Felder erfolgt als beiderseitig eingespannter Träger. Werden die Endfelder nach Fig. 129 links angeordnet, so sind die Endfelder als einseitig ein gespannt aufzufassen, erfolgt die Anordnung dagegen nach Fig. 128, und ist genügend Auflast vorhanden, so kann man ein Flacheisen einbetonieren und dieses durch Anker in der Mauer befestigen. In letzterem Falle erfolgt die Berechnung ebenfalls als beiderseitig eingespannter Träger.

Fig. 128 u. 129.

Beispiel:

Eine Decke in einem Fabrikraum für leichte Maschinen habe die in Fig. 130 angegebenen Abmessungen. Der Deckenbelag bestehe aus einem 3 cm starken Zement -Estrich.

Die Stärke der Decke sei zu 28 cm gewählt, dann ist die einzuführende Spannweite

1 = 6,0 + 0,28 - 6,28 m.

Das Eigengewicht der Decke pro qm beträgt:

Eigengewicht der Decke 1*1* 0,28 • 2400 = 592 kg

Zement-Estrich

IS

1 • 1 • 3 • 20 = 60 „

---f.««

TT

Fig. 130—132.

652 = 650 kg

Die Nutzlast beträgt für den qm 600 + 50% = 900 kg.

Ferner seien 12 Eisen ä 12 mm (Fe = 13,56 qcm) gewählt.

Das grösste Moment in Deckenmitte beträgt nach Fig. 26, Seite 11

1550 • 6,28²

24

= 2555 kg/m

= 255500 kg/qcm.

Das grösste Moment am Auflager beträgt nach Fig. 26, Seite 11 1550 • 6,28²

12

= 5110 kg/m = 511000 kg/cm.

Berechnung in Deckenmitte (Fig. 131): 15 • 13,56

100

[-.₊r

2 • 100 • 26 15 • 13,56

= 8,46 cm.

Kb =

2 • 255 000

Ke =

100 • 8,46 ^26 255000

8,46

= 26,1 kg/qcm,

13,56

(«-¥)

= 846 kg/qcm.

Kb =

Ke

Berechnung am Auflager (Fig. 132):

[—1+I/1 +

2 • 511000

15 • 13,56

2 • 100 • 44

100

15 • 13,56

= 11,52 cm.

100 -11,52 (44 — 511000

11,52\ 3/

= 22,1 kg/qcm,

13,56 (44

11,52\ 3 /

= 938 kg/qcm.

G. Decken nach Systemen „Stapf“ und „Klett“.

Die Anordnung dieser Decken unterscheidet sich nur wenig von der vorgenannten Decke. Die Eisen sind hier nicht nach der elastischen Linie gebogen, sondern hängen nur nach unten durch.

Stapf verwendet hochkantig gelagerte Flacheisen, welche abwechselnd nach beiden Seiten eingepresste, kreisförmige Ausbuchtungen besitzen (Fig. 134)*

pp

~rTr--

5F

Fig. 133 u. 134.

Klett verwendet flach gelagerte Flacheisen, welche durch aufgenietete kleine Winkel verbunden sind (Fig. 133).

Die Berechnung dieser beiden Deckenarten als auch der folgenden Decke erfolgt in derselben Weise wie bei der Könenschen Decke.

H. Viktoria-Decke.

(Fig. 135 u. 136.)

Diese Decke wird auch als sogenannte Voutendecke zwischen eisernen Trägern ausgeführt. Ihre Konstruktion ist folgende:

Die einzelnen Drähte werden von einem Ende bis zum anderen Ende der Decke ununterbrochen durchgeführt und angezogen, worauf sie durch Flacheisen A an den Wendepunkten auf die Schalung niedergedrückt werden.

.«-Y>

ifp

Fig. 135 n. 136.

J. Decke nach System „Möller“.

(Fig. 137—139.)

Die Konstruktion dieser Decken, welche bis 20 m und mehr Anwendung finden können, beruht in folgendem:

Der Druckgurt besteht aus einer reinen Betonvoutenplatte, welche bei grösseren Abmessungen noch durch kleine J-Eisen armiert wird- Der Zuggurt besteht aus einem nach unten durch hängendem Flacheisen, in seltenen Fällen Drahtseil, über welche kleine Winkel genietet sind. Dieses Flacheisen wird durch

-ff

Fig. 137—139.

Betonrippen mit dem Druckgurte verbunden. Das Eisen braucht nicht unbedingt in den Beton eingebettet zu sein. An den Auflagern werden die Flacheisen durch aufgenietete Winkel in den Beton der Platte verankert. Hierdurch wird erzielt, dass die Auflager nur einen senkrechten Druck aufzunehmen haben. Die Entfernung der Rippen beträgt rund 1,0 m. Die Berechnung erfolgt als Plattenbalken.

Beispiel:

Eine Decke habe die in Fig. 140 u. 141 angegebenen Abmessungen. Nutzlast = 250 kg/qm. Die in die Berechnung einzuführende Spannweite beträgt

1 = 10 -J- 2 * 0,2 = 10,4 m.

Eigengewicht der Decke Steg

Nutzlast

1 • 10,4 • 0,1 • 2400 = 2496 kg 0,37 • 0,16 • 10,4 • 2400 = 1478 „ 1 - 10,4 • 250 = 2600 „

6574 • 1040

= 854620.

6574 kg

Berechnung des Plattenbalkens in Deckenmitte.

Nach Gleichung (23), Seite 40, wird:

= 13,5 cm.

10²*100 + 2-15-45- 16,8

2 (10 • 100 + 15 • 16,8)

Da die Eisenbeanspruchung zu hoch, so sei ein Flacheisen 14 • 1,5 mit F₀ = 21 cm gewählt.

= 14,6 cm,

10² -100 + 2 • 15 • 45 • 21

2 (10 • 100 + 15 • 21)

= 4,1 cm,

Nach den Gleichungen (24), (25) und (26), Seite 40 und 41, folgt weiter:

_ 10 (3-13,5— 2-10)

S ~ 3 ' (2 • 13,5 — 10)

854620

- 16,8(45 — 4)

----to o

400

Ke

Kb =

= 4,0 cm,

L-

= 1240 kg/qcm,

-io m

1240 • 13,5 15 (45- 13,5)

= 33,3 kg/qcm.

Fig. 140 u. 141.

10 (3-14,6—2-10) 3 * (2 • 14,6 —10) '

Kc =

854620

21 (45—4,1)

- 995 kg/cm²,

Kb=

995 • 14,6

15 (45 — 14,6)

= 32 kg/cm².

Berechnung der Winkel am Auflager.

Es sind an einem Auflager auf jeder Seite drei Winkel angeordnet. Der Zug im Eisen berechnet sich zu:

Ze = Ke • Fe = 1000 • 21 = 21000 kg.

Die Eisenfläche ergibt sieh mithin zu:

Ze 21000

—— = 520 qcm.

40

Kb

Auf einen Winkel mithin:

f , _ f_e _ 520

⁰ 6

— = 86,66 qcm.

Da nun ein Winkel eine Breite von 14 cm hat, so wird seine Flanschlänge

fe' _ 86,66 14 ~    14

6,2 cm.

Gewählt |65 -65-9.

Je zwei gegenüberliegende Winkel seien durch zwei Nieten von 20 mm Durchmesser mit dem Hauptflacheisen verbunden.

Die Scherbeanspruchung der Nieten ergibt sich dann zu:

21000

Ze

3 • 2 • 2 • 3,14

= 560 kg/qcm.

K. Streckmetalldecke.

(Fig. 142.)

Unter Streckmetall (Fig. 142) versteht man ein aus einer Blechtafel ohne Materialverlust fabrikmässig hergestelltes Maschennetz. Da vielleicht einem oder

dem anderen Leser das Streckmetall unbekannt sein könnte, so mag .    seine Konstruktion in

,,Papier“ kurz angedeutet werden. Man ,    nimmt einen Streifen

i Papier von 20 X 14 cm Seitenlänge und faltet es doppelt um. Darauf »    schneidet man mit der

Fig. 142.

>    Schere abwechselnd auf

beiden Seiten bis ungefähr 4 mm vom Rande ein. Die Entfernung dieser Einschnitte soll 3 mm betragen. Faltet man nun das Papier auseinander und zieht an den kurzen Seiten, so hat man eine Nachahmung des Streckmetalls in Papier.

V. Tabelle

nach Schüchtermann & Kreme r, Dortmund.

Maschen-No. weite Breite mm

mm

Steg-

Stärke

Zug-

mm

festigkeit

kg/m

Grösste Grösste Breite Breite

COcot#NiO((53₅₀oho

1—I tH tH r-( T-C    t-H

cö

CM CO

1560

t—

W 05 'h

IO

ro

CM

co co co co

H-*

cc eo

to

LO

2080

2340

3110

3110

4550

5000

6240

7000

9350

MKKKtO^COtOM.

ooooooooo

jo JO JO JO JO JO CO CO IO CO ^    kjs. rf*- 4S. rf*. 4^ 4s. 4*.

Bei einfachen Decken wird das Streckmetall auf die Unterflansche der Träger verlegt und kann diese Ausführung bis 2,4 m Spannweite erfolgen (Fig. 143). Bei grösseren Decken dagegen wird das Streckmetall über die Träger ausgespannt und hängt nach unten durch (Fig. 144). Sind grössere Spannweiten und stärkere Belastungen vorhanden, so werden die Zugspannungen durch Bundeisen mit darüber ausgebreitetem Streckmetall aufgenommen.

Hl

SS

imii

Fig. 143.

Fig. 144.

Beispiel:

Eine einfache Streckmetalldecke habe die in Fig. 145 angegebenen Abmessungen. Die Abdeckung bestehe aus einem 2 cm starken Zement-Estrich, und die Nutzlast betrage 250 kg/qm.

8 cm

Nimmt man die Stärke der Decke zu 8 cm, so

Kr

2,0 m

_l ergibt sich die in die Berechnung einzuführende >| Spannweite zu

Abb. 145.

1 = 2,0 + 0,08 = 2,08 m.

2,08 • 1 • 2 • 20 = 83,2 „ 2,08-1-20 = 41,6 „ 2,08 • 1 • 250 = 520,0 „

Eigengewicht 2,08 • 1 • 0,08 • 2400 == 399,3 kg Abdeckung

Putz

Nutzlast

1040 • 208

P = 1044,2 = co 1040 kg

= 27040.

Nach der Gleichung Seite 31, wird

h = 0,39

27040

100

= 6,4 cm,

hx = 6,4 + 1,6 = 8 cm.

Nach der Gleichung Seite 31, wird

Fe = 0,00293 V 27040 "-lOÖ = 4,8 cm², Z = K₀ • Fe = 1000 • 4,8 = 4800 kg, wofür Streckmetall No. 9 mit Z = 5000 genügt.

Beispiel:

Eine Streckmetalldecke als beiderseitig eingespannter Träger habe die in Fig. 146 angegebenen Abmessungen. Die Stärke der Decke sei zu 12 cm gewählt; die Abdeckung bestehe aus 5 mm starkem Linoleum, und die Nutzlast betrage 400 kg/qm.

28

4,72-1-5-1,2 =

4,72 -1 • 400 = 1880

Eigengewicht 4,72 • 1 • 0,12 • 2400 = 1360 Abdeckung Nutzlast

P = 3276 kg

3276 • 472

24

= 64428

h = 0,39]/

hx = 10,0 + 2,0 = 12 cm,

Fe = 0,00293 V64428 TÖÖ = 7,4 cm2 Z = 1000 • 7,4 = 7400 kg.

Es würde Streckmetall No. 10 mit Z = 9350 kg genügen.

64428

100

= 10 cm

tn

Fig. 146.

Oder: wählt man 12 Rundeisen ä 6 mm Durchmesser (F₀ = 3,4), so wird

Zt = 3,4 • 1000 = 3400,

mithin bleiben für Streckmetall noch 7400 — 3400 = 4000 kg übrig, wofür Streckmetall No. 13 mit Z = 4550 kg genügen würde.

L. Könensche Plandecke.

(Fig. 147 u. 148.)

Diese Decke stellt sich als eine Reihe aneinander gelegter Plattenbalken mit Vouten dar. Diese Plattenbalken sind zwischen eiserne Träger verlegt. Ihre Plattenstärke beträgt 5—10 cm, die Rippenstärke etwa 4 cm. Unter den Rippen sind Latten angeordnet, welche auf den unteren Flanschen der Träger auflagern und einmal zur Befestigung der Deckentafel dienen, zum anderen der Blechlehre ein Auflager geben. Sollen diese Decken jedoch feuersicher sein, so sind die Rippen bis Trägerunterkante herabzuführen. Dann erfolgt die Befestigung der Deckentafeln durch einbetonierte Haften aus verzinktem Eisendraht.

Die Berechnung dieser Decken erfolgt als Plattenbalken auf zwei Stützen.

'==!

HH

ISS

UH

§E

Fig. 147 u. 148.

Beispiel:

Eine Plandecke habe die in den Fig. 149 u. 150 angegebenen Abmessungen. Die Abdeckung bestehe aus einem 3 cm starken Zement-Estrich, die Deckentafel aus 3 cm starkem Rabitzputz und die Nutzlast betrage 250 kg/qm.

Abdeckung Rabitzputz Holzbalken

co co

•    0,25 • • 20 = 45

•    0,25 •    • 20 = 45

CO CO

Decke 0,165 • 0,25

0,04 • 0,06 • 3 • 750 =    5,4

0,21² • 3,14'

2-4

3 • 2400 = 172,8

Nutzlast

3 • 0,25 • 250 = 187,5

P = 455,7 = 460 kg

460 • 300

M. Zellendecke von Zöllner und Röhrendecke von Bramig.

Diese beiden Deckensysteme bestehen ebenso, wie die vorerwähnte Plandecke, aus einer Reihe nebeneinander angeordneter Plattenbalken. Bei der Zöllnerschen Decke werden die Räume zwischen den Stegen durch viereckige, 1,2 cm starke Hohlsteine ausgefüllt, welche durch Reibung an den Stegen haften (Fig. 151). Die Hohlsteine können entweder unmittelbar auf die Schalung oder aber auf eine dazwischen gebrachte dünne Betonschicht verlegt werden.

11|

Fig. 152.

Fig. 151.

Bei der Bramig-Decke sind an Stelle der viereckigen Hohlsteine Röhren aus gebranntem Ton angeordnet (Big. 152).

Die Berechnung hat bei beiden Decken als Plattenbalken auf zwei Stützen zu erfolgen.

Nach den Gleichungen (18), (19) und (20), Seite 39 folgt somit:

15 • 1,33

y==“25“

2 • 25 • 15

15 • 1,33

= 4,2 cm

— 2J

Kb = -

2 • 17 250

Ke =

25 ■ 4,2 (l5 17 250

Ls)

= 24,8 kg/qcm,

•cif j.

- 900 kg/qcm.

1,33

*1

Fig. 149 u. 150.

Beispiel:

Eine Zöllnersche Decke habe die in den Fig. 153 u. 154 angegebenen Abmessungen. Die Abdeckung bestehe aus einem 2 cm starken Zement-Estrich, und die Nutzlast betrage 400 kg/qm.

Die Belastung in kg/qm Decke beträgt:

Estrich

Putz

Decke

kg

2 • 20 = 0 20 = 0

[1 • 1 • 0,2 — 5 • 0,16 • 0,16 • 1] 2400 = 173 Hohlsteine [0,16 • 0,16 — 2 • 0,136 • 0,062] • 1 • 5 • 1600 = 70,4 „

1 • 1 • 400 = 400

Nutzlast

99

P = 703,4 = 700 kg/qm

Auf einen Streifen von 0,2 m Breite und 3,2 m Länge kommt mithin Px = 0,2 • 3,2 • 700 = 448 kg,

448 • 320

Nach den Gleichungen (23) und (24), Seite 40 und 41, wird:

-— 10

= 4,8 cm,

42.20 + 2-15 -18-1,13 2 (4 • 20 + 15 • 1,13)

20

iä

(3 • 4,8 — 2 • 4)

■»5

4,2

(2 • 4,8 — 4)

= 1,52 cm.

43,6 _.

43 f

17 920

1,13(18—1,52)

= 964 kg/qcm,

3.0

Kb =

964 • 4,8

Fig. 153 u. 154.

15 (18 — 4,8)

= 23,4 kg/qcm.

Beispiel:

Eine Bramig-Decke habe die in Fig. 155 u. 156 angegebenen Abmessungen. Die Abdeckung bestehe aus Dielung auf Sand.

Die Belastung in kg/qm Decke beträgt:

Dielen auf Lagerhölzer Sandaufschüttung Putz

1 • 1 .

1 • 1 • 0,1 • 16 1*1*

Decke

Röhren

1 • 1 • 0,2 —

0,16¹ 2 • 3,14

E 0,16²-3,14

₅—_—

0.146² • 3,14'

= 20 kg = 160 „ = 20 „

• 2400 = 234 „

CO O CO

000

•1-5-1600 = 28 „

N. Decke nach System „Stolte“.

iFig. 157—159.)

Diese Decke besteht aus einzelnen Platten, von denen jede ein Stück fertiger Diele darstellt. Sie werden zwischen die Träger gelegt und in Zementfugen zusammengeschoben. Um sie gut zwischen den Trägern einbringen zu können, sind die einzelnen Platten rhomboidisch angefertigt. Die Platten

bestehen entweder aus Zement und Quarzsand oder Bimsstein und sind der Länge nach durch 4—G Luftkanäle durchzogen. Der Zug wird durch drei

v//////////yy///y//////////77\ \////y///////?/Y777S////

i*UB&7//////////7/X/AV7///S77y\ \y/77/77//77//7y//,y/W0L^

mM

Fig. 157—159.

hochkantgestellte Flacheisen aufgenommen. Die Breite der einzelnen Platten beträgt 25 cm, und ihre Stärke schwankt zwischen 5 und 15 cm.

Die Berechnung dieser Decken erfolgt als einfach armierte Decke auf zwei

Stützen.

0. Zylindersteg-Decke nach „Herbst“.

(Fig 160 u. 161.)

Die Herbstsche Decke besteht der Hauptsache nach aus drei Teilen: dem Steg, dem Hohlzylinder und der eigentlichen Decke.

Der Steg wird fabrikmässig hergestellt. Er besteht aus Beton und ist unten durch Flacheisen mit wellenförmig gebogenem Profil armiert. Die untere Breite des Steges beträgt 5—6 cm, die obere 3 cm, und seine Höhe schwankt zwischen

=*

vM'y vMd mH'! F^Hai ___________________

f    r£ -........•• - r-.

Fig. 160 u. 161.

Damit der Beton

12—24 cm je nach der Spannweite und Belastung der Decke. Der Steg ist so stark zu konstruieren, dass er imstande ist, das Eigengewicht der Decke selbst zu tragen. Zwischen die Stege werden die ebenfalls fabrikmässig hergestellten Hohlzylinder aus Schlackenbeton angeordnet, deren Länge 20 cm beträgt. Auf diese Unterkonstruktion wird nun auf der Baustelle der Beton zur Bildung der Decke aufgebracht, und zwar in einer Stärke von 4 cm. besser haftet, sind die Aussenflächen des Zylinders rauh gelassen. Neben einer grossen Tragfähigkeit besteht der Vorteil dieser Decke darin, dass man die Schalung vollständig entbehren kann.

Nutzlast

= 22 068.

L- 46

10

Vf

-H

4i 1S 20

Wie Fig. 156 zeigt, hat dieser Plattenbalken genau dieselben Abmessungen, wie der Plattenbalken in vorstehendem Beispiele, mithin

y = 4,8 cm, s = 1,52 cm

und

Ke =

22 068

1,13 (18 — 1,52)

= 1186 kg/qcm,

Kb =

= 28,8 kg/qcm.

i.O

Fig. 155 u. 156.

1186 • 4,8

15 (18 — 4,8)

Beispiel:

Eine Herbstsche Decke habe die in Fig. 162 u. 163 angegebenen —

Abmessungen. Die Spannweite T betrage 4 m, mithin die in die ^

Berechnung einzuführende Länge |

4 -f- 0,24 = 4,24 m. Die Nutzlast §ei zu 320 kg/qm angenommen.

Ferner sei für die Berechnung des Steges noch eine Einzellast in der Mitte von 50 kg hinzugeschlagen.

Die Belastung für den lfd. m eines Deckenteiles beträgt:

TI

— ns

r»

H4-

TU -tk-

!-

21---

<<»

jf

Fig. 162 u. 163.

Steg

1 0,06-0,06 +

(0,03 + 0,04)

•0,14 -2400=20,4

Decke

1 0,25 - 0,04 + 2 •

0,03 • 0,07"

•2400=34,0

Zylinder

1 0,06-0,19 + 0,07

(0,21+0,215)

f 0,07

(0,215 + 0,16)    0,17²-3,14

• 1100=17,9

- 72,3 kg

Berechnung des Steges.

72,3 • 4,24 - 424 , 50 • 424

₄    = 21730,

r-' + V

2 • 3 • 17"

15 • 2

= 11,1 cm,

Kb =

2 • 21730

3 • 11,1

(»-¥)

= 98 kg/qcm,

Ke =

21 730

²(i7-¥j

= 817 kg/qcm.

Berechnung der fertigen Decke.

Das Gesamtgewicht für den lfd. m beträgt:

Eigengewicht der Decke = 72,3 kg Estrich Putz Nutzlast

1 • 0,25 - 3 - 20 = 15,0 „ 1-0,25-20 = 5,0 „ 1 • 0,25 • 320 = 80,0 „

172,3 kg

172,3 • 4,24 • 424

4² • 25 + 2 • 15 • 21 • 2

= 6,4 cm,

2 (4 • 25 + 15 • 2)

= 1,7 cm,

(3 • 6,4 — 2 • 4) (2 • 6,4 — 4)

Ke =

38620

2 (21 — 1,7)

= 1000 kg/qcm,

Kb =

1000 • 6,4

15 (21 — 6,4)

= 30 kg/qcm.

P. Balkendecke nach System „Siegwart“.

(Fig. 164 und 165).

Diese Deckenkonstruktion wird hergestellt durch eine Reihe nebeneinander angeordneter Betonhohlbalken, welche unten mit Rundeisen armiert sind. Diese Balken werden fabrikmässig hergestellt, an der Baustelle verlegt, und die keilförmigen Zwischenräume mit Zement ausgegossen. Die Seitenwandungen, deren Aussenflächen rauh sind, als auch die Fusswandung werden möglichst dünn gehalten (1,5—2,5 cm). Die Rundeisen sind gegen das Auflager hin teils nach oben abgebogen, teils gehen sie horizontal durch.

SP?

m

m !b

y///,

mm

?///////, ////

KW)

Fig. 164 u. 165.

Beispiel.

Ein Siegwartbalken habe die in Fig. 166 angegebenen Abmessungen. Die Spannweite betrage 5,0 m und die Auflagerlänge 0,2 m. Die Nutzlast sei zu 600 kg/qm angenommen.

Das Gewicht für den lfd. m eines Balkens beträgt:

Balken [1 • 0,25 • 0,24 — 1 • 0,2 • 0,155] • 2400 = 70,0 kg

Putz

1 • 0,25 • 20 =    5,0 „

Sand

Dielen

1 • 0,25 • 0,1 • 1600 = 30,0 „

1 • 0,25 • 20 =    5,0 „

Nutzlast

110,0 kg 1 • 0,25 • 600 = 150,0 „

260,0 kg

260 • 5,2 • 520

*«pu®i®i

rmmm

m m

i ü i

i' L . is :J_

-w

..-r-

Die Nullinie falle in den Steg. 6²- 25 -f 2 • 15 • 22 • 4,71 2 (6 • 25 + 15 • 4,71)

= 9 cm,

coj

(3.9 _ 2 • 6)

(2-9 — 6)

= 2,5 cm,

Ke =

94770

Kb =

4,71 (22 — 2,5) 1032 • 9

= 1032 kg/qcm,

Fig. 166.

15 (22 — 9)

= 47,6 kg/qcm.

Q. Decke nach System „Visintini“.

(Fig. 167 u. 168).

Diese Gitterdecke besteht aus einzelnen Gitterbalken von 20—30 cm Höhe, welche, wie auch schon früher gesagt, den Parallelträgern des Eisenbaues nachgebildet sind, und zwar sind hierbei in der Regel nach beiden Seiten geneigte Diagonalen angeordnet. Die Zugstäbe sind mit Rundeisen armiert, welch letztere

•y •

Fig. 167 u. 168.

allen Zug aufzunehmen haben, während der umhüllende Beton dem Eisen nur als Schutz dient. Die Druckdiagonalen werden nur aus Beton hergestellt, während der Obergurt, der ja auch stets Druck erhält, dünne Rundeisenstäbe erhält. Diese Stäbe haben aber nur den Zweck, den Eisen der Zugdiagonalen einen Halt zu geben. Die Gitterbalken werden aneinandergeschoben und die schwalbenschwanzförmige Nut mit Zement ausgegossen, um eine Durchbiegung der einzelnen Balken zu vermeiden und dadurch eventl. entstehende Längsrisse zu verhüten.

Beispiel:

Eine Decke habe die in Fig. 169 angegebenen Abmessungen. Das Eigengewicht für den lfd. m eines Trägers sei zu 50 kg bestimmt, ferner betrage die Nutzlast 500 kg/qm.

L--iOtm

Alt

Das Gesamtgewicht für den ganzen Träger beträgt dann P = 4 • 50 + 0,2 • 4 • 500 = 600 kg.

Die Knotenpunktbelastung ergibt sich dann zu

_ G 600

und die Auflagerreaktion

=40 kg 15    ⁶

-⁽¹⁵_ X) • 40 = 280 kg.

u

/V

AT

/V V

Hg'Oe. wo#

Fig. 169 u. 169 a.

Mit Hilfe eines Kräfte planes (Fig. 169 a) wurden die grössten Spannungen bestimmt zu

0₈ = — 2000 kg; U₈ = + 2000 kg; Dx = + 400 kg; D₂ = — 400 kg.

Ein Träger habe den in Fig. 170 u. 171 angegebenen Querschnitt.

Die Beanspruchung des Betons im Obergurt (0₈) beträgt

2000

Kb =

20 • 2,5

= 40 kg/qcm.

lin:

itZem

ißem J|

o-

Aßt n

—---

Fig. 170 u. 171.

Die Beanspruchung des Betons in der Druckdiagonale D₂ beträgt

Kb =

400

20 • 2

= 10 kg/qcm.

Die Beanspruchung der Eisen im Untergurt (U₈) beträgt

2000

K„ =

••

2 -1,13

= 885 kg/qcm.

Die Beanspruchung der Eisen in der Zugdiagonale D₁ beträgt

Ke =

400

2-2,0

= 1000 kg/qcm.

Eisenbetonkonstruktionen I.

R. Die Decke nach System „Kleine“.

Diese Decke besteht aus Schwemmsteinen, porösen Lochsteinen oder Ziegelsteinen von der Grösse 20 x 12 x 10. Diese Steine können sowohl flach- als auch hochkantig gestellt weiden. Die Steine werden in Abständen von 1 cm

&?

Fig. 172.

verlegt. In diese Fugen werden hochkantig gestellte Flacheisen (1—2 mm stark, 25—35 mm hoch) in gutem Zementmörtel eingebettet. Da diese Decke als eine Steindecke aufzufassen ist, so ist n = 25 zu nehmen. (Fig. 172).

Beispiel:

Die Entfernung der Träger betragen 1,2 m und die Gesamtbelastung 540 kg/m². Die Steine sind flach zu verlegen und Flaeheisen 0,15 • 2,5 = 0,375 cm² anzuordnen. (Fig. 173).

Die Breite eines Streifens ist 12 -f- 1 = 13 cm und seine Belastung

13

100

• 540 = 84 kg

84 • 120

= 1260 cm/kg

25 • 0.375

y 13

2 • 13 • 7,5

25 • 0,375

1,32 cm

-Ti

Kb =

2 • 1260

= 20,8 kg/cm²

iS

13 • 1,32

u.

1200

Fig. 173.

0,375 (?,5

1,32

= 476 kg/cm².

S. Die auf vier Seiten aufgelagerte Eisenbetondecke.

Beispiel:

Ein Deckenfeld, dessen Gesamtbelastung 600 kg/m² beträgt, habe eine Breite von 3,0 m und eine Länge von 4,0 m.

a) Allgemeine Berechnung nach den amtlichen Vorschriften.

Die einzuführenden Spannweiten betragen 3,1 m und 4,1 m; dann wird

P = 4,1 • 3,1 • 600 = 7626 kg 7626 • 310

M₃,i =

= 197000 em/kg

I u

— 89 —

h = 0,39

197000

410

= 8,5 cm

hx = 8,5 -(- 1,5 = 10 cm Fe = 0,00293 V igTodÖ^ilÖ = 26,326 cm2 mithin auf einen Streifen von 1,00 m Breite

26,326

fe =

4,1

= 6,42 cm²,

wofür 10 Eisen von 9 mm 0 mit fe = 6,36 cm² genügen würden.

In der Richtung der grösseren Seite würde sein

fe'

3,0

fe 4,0

fe' =

³ ’M² = 4,81 cm². 4

genügen.

Es würden hier 8 Eisen von 9 mm Q mit fe' = 5,02 cm² auf 1 m Länge

b) Genauere Berechnung mit Eisenverteilung.

Nach den Gleichungen [14] und [14a] Seite 15 wird

Ma =

3⁴

(4⁴ + 3⁴)

• 4²•3 • 600•

t-H OO

81

337

• 3600 = 856 m/kg = 85600 cm/kg

Mb =

4⁴

(4⁴ + 3⁴)

• 3²•4 • 600•

H I GO

256

387

• 2700 = 2051 m/kg = 205100 crn/kg

h = 0,39

1/

205100

400

= 8,8 cm

hx = 8,8 + 1,2 = 10 cm

Fe = 0,00293 \T05100 • 400 = 26,54 cm².

Würde man Eisen von 9 mm 0 wählen, so würde auf 4,0 m Länge

26,54

0,64

= 40 Eisen kommen.

Diese 40 Eisen wären so zu verteilen, dass die Eisen in der Mitte enger zu liegen kommen, als nach den Seiten hin.

Für die kürzere Seite berechnen sich die Eiseneinlagen nach Seite 32 zu

Kb =

1000 • v

15 (8,8 — v)

; Kb =

2•86500

7*

Würde man wieder Eisen mit 9 mm 0 anwenden, so kommen auf 3,0 m Länge

= 17 Eisen.

y3 — 26,4 y² — 25,95 y + 228,36 = 0 y = 3; 27 — 237,6 — 77,85 + 228,36 = — 60,09 y = 2; 8 — 105,6 — 51,9 + 228,36 = + 78,86

+ 78,86 — 60;09

y = 2,58 cm

86500

y-2 y —3

F =

-¹- ft

1000 ^8,8

2,58

= 10,9 cm².

2-86500

300-y

1000 • y 15 (8,8-y)

(8,8- )

10,9 n “ p4

Diese Eisen sind nun so auf die 3,0 m zu verteilen, dass die Eisen in der Mitte enger zu liegen kommen, als nach den Seiten hin.

VII.

Die Plattenbalken-Systeme nebst Beispielen.

Als Plattenbalken kommen in der Regel nur folgende drei Systeme zur Anwendung:

A.    Der Plattenbalken nach System ,,Wayss“,

B.    Der Plattenbalken nach System „Hennebique“,

C.    Der Plattenbalken nach System „Luipold“.

A. Der Plattenbalken nach System „Wayss“.

(Tafel II, Fig. 1.)

Bei dem „Wayssschen“ Plattenbalken besteht die Armierung aus Rundeisen. Diese Rundeisen gehen in der unteren Zone bei einigen Konstruktionen am linken Auflager durch, während sie bei anderen Konstruktionen zum Teil nach oben abgebogen werden (Fig. 1). (Jeher den Stützen gehen diese Eisen ebenfalls zum Teil in der unteren Zone durch, während der andere Teil nach oben abgebogen wird. Die unter 45° verlaufende Abbiegung hat in den Wendepunkten zu erfolgen, d. h. an denjenigen Stellen, in welchen die positiven Momente in die negativen übergehen. Ebenso wie bei den Decken greifen auch hier die Eisen des einen Feldes in das andere Feld über. Die Bügel bestehen aus Rund eisen.

B. Der Plattenbalken nach System „Hennebique“.

(Tafel II, Fig. 2.)

Ebenso wie beim „Wayssschen“ Balken besteht auch hier die Armierung aus Rundeisen. Diese Rundeisen werden aber nicht unter 45° nach oben abgebogen, sondern allmählich nach oben geführt. Die Bügel bestehen aus Flacheisen, und zwar werden in der Regel mehrere nebeneinander angeordnet.

C. Der Plattenbalken nach System „Luipold“.

(Tafel II, Fig. 3.)

Bei diesen Balken sind die Rundeisen sowohl in der oberen als auch in der unteren Zone angeordnet. Ein Teil der oberen Eisen wird nun in die untere Zone und ein Teil der unteren Eisen in die obere Zone abgebogen, so dass eine kreuzweise Armierung entsteht. Die Abbiegung erfolgt unter 30—40°.

— 92

Die Bügel bestehen aus Rundeisen und verbinden die oberen und unteren Eisen in wechselweiser Umschlingung. Es mag hier noch auf die eigenartige Verbindung der Deckenarmierunug mit den Eisen des Balkens hingewiesen werden.

K38

Cd

Hßß

CD

'O

— Ho—

\D KO j. KO _1_ \0

2\o

Fig.174 u. 175.

Beispiel:

Eine Decke habe die in Fig. 174 u. 175 angegebenen Abmessungen. Es sind die Plattenbalken zu berechnen, wenn die Stärke der Decke zu 15 cm gefunden wurde und der Belag derselben aus einer 2 cm starken Zementschicht besteht. Der Querschnitt des Steges sei Fig. 176. Ferner betrage die Nutzlast 400 kg/qm.

Die Belastung für den lfd. m Balken beträgt, unter der Voraussetzung, dass die Decke auch an den Endfeldern eingespannt ist.

ho

— 20 —

Fig. 176.

Decke

1 • 4 • 0,15 • 2400 = 1440 kg 1-4-2.20 = 160 „ 1•4•20 =

Belag Putz

Balken 1 - 0,2 • 0,24 • 2400 =

1795 = co 1800 kg

Nutzlast

1.4- 400 = 1600 kg

Die grössten    Momente    im    I. Feld betragen (Tabelle    III, Seite 19):

für Eigengewicht    -f- Mp =    0,08    • 1800 • 5² = + 3600    kg/m    = -{-    360000    kg/cm,

+ Mq =    0,1    • 1600 • 5² = + 4000    kg/m    =    4:00000    kg/cm,

— Mq =    0,02    • 1600 • 5² = —800    kg/m    = —    80000    kg/cm.

Die grössten Momente im II. Feld betragen:

für Nutzlast

für Nutzlast

für Eigengewicht + Mp = 0,025 • 1800 • 5² = + 1125 kg/m = '+ 112500 kg/cm, für Nutzlast für Nutzlast

+ Mq = 0,075 • 1600 • 5² = + 3000 kg/m = + 300000 kg/cm, — Mq = 0,05 • 1600 • 5² = — 2000 kg/m = — 200000 kg/cm.

Die grössten Momente über der Stütze betragen:

für Eigengewicht — Mp = 0,1 • 1800 • 5²    =    — 4500 kg/m = — 460 000 kg/cm,

für Nutzlast —Mq = 0,11667 • 1600 • 5² = — 4666,8 kg/m = —466 680 kg/cm, für Nutzlast +    =    0,01667    • 1600 • 5² = -j- 666,8 kg/m = -f- 66680 kg/cm.

Die wirksame Plattenbreite beträgt

500

B ==    = 166 cm.

o

Berechnung im I. Felde.

Es seien 5 Eisen mit je 24 mm 0 angeordnet (Fig. 177). Dass grösste einzuführende positive Moment beträgt:

+ M 360000 + 400000 = 760000.

*66

(~T

15

y* iß,

"K

— 2D--

M it u ji

-+ ] U-

Fig. 177.

Nach den Gleichungen (18), (19) und (20), Seite 39, wird dann: 15 • 5 • 4,52

166

[-■+r

2 • 166 • 37

15 • 5 • 4,52_

= 10,41 cm,

Kb =

2 • 760000

166 • 10,41

(37

10,41\ 3 /

= 36 kg/qcm,

K* =

760000

Ol

(37

10.41\ 3 /

= 1003 kg/qcm.

Da in diesem Felde das positive Moment, hervorgeiufen durch Eigengewicht, grösser ist als das negative Moment, hervorgerufen durch Nutzlast, so sind in der oberen Zone Eisen nicht notwendig.

¹

• 1 • 400 = 400 „

²

P = 862 kg

Auf einen Streifen von 0,2 m Breite und 3,2 m Länge kommt

Px = 0,2 • 3,2 • 862 = 5517 kg, 5517 • 320

Berechnung im II. Felde.

Das grösste einzuführende positive Moment beträgt:

+ M = 112500 + 300 000 = 412500.

Das grösste einzuführende negative Moment beträgt:

— M = 200000 — 112500 = 87500.

Es seien unten 4 Eisen zu je 20 mm 0 und oben 3 Eisen zu je 12 mm Q) angeordnet (Fig. 178.)

Bei der Berechnung in bezug auf die positiven Momente fällt der Druck in die obere Zone, es ist also die wirksame Plattenbreite von B — 166 cm einzuführen. Da nun aber der verhältnismässig kleine Querschnitt der 3 Eisen zu je 12 mm 0 keinen grossen Einfluss auf die Gesamtfläche ausübt, so können bei dieser Berechnung diese Eisen ausser Acht gelassen werden (Fig. 178).

ASS

*66

ä&sni tt.T S."(IS

,'2 I

-.5!    5-'-’

—ri-

r—i r----

{ IdSiseris IjfftfS

in

-(5

”7 (

|\

_L_jl

L.

b fasen H: 20S

— 20

21

3?

ar//?S-

3?

.ät^tnstäj

..U

f²

Fig. 178.

,f ttt

. t 5 j. * j, 5

.--SO---.

Fig. 179-

Nach den Gleichungen (18), (19) und (20), Seite 39, wird dann: 15-4* 3,14

166

-‘+V

2 • 166 • 3'/ 15 4- 3,14

= 8,1 cm,

Kb =

2 • 412500

/    « 1T = 17,9 kS/9cm>

166 • 8,1 (37 — ’

= 957 kg/qcm Zug in der unteren Armierung.

Ke =

412500

4-3.14 (37 — ^)

Bei der Berechnung in Bezug auf die negativen Momente wird man die 4 Eisen, ä 20 mm 0, mit einführen, da der Querschnitt der Eisen im Vergleich zu der kleinen Druckbreite b = 20 cm gross ist (Fig. 179).

Nach den Gleichungen (8), (9), (10) und (11), Seite 34 und 35, folgt dann:

15 (4 - 3,14 + 3 • 1,13)

20

15 (4 • 3,14 + 3 • 1,13) 2    2-15

20

20

(3 • 1,13 • 37 + 4 - 3,14 - 2) = 7,24 cm.

Kb =

6 • 87 500 • 7,24

20 • 7,24² (3 • 37 — 7,24) + 6 • 4 - 3,14 • 15 (37 — 2) (7,24 — 2)

= 12 kg/qcm,

Ke = 15 • 12

(37 — 7,24)

7,24

740 kg/qcm Zug in der oberen Armierung,

Ke'= 15-12

(7,24 — 2)

7,24

= 130 kg/qcm Druck in der unteren Armierung.

Berechnung über der Stütze.

Das grösste einzuführende negative Moment beträgt:

— M = 450000 + 466480 = — 916680.

Führt man vom linken Feld 3 Eisen und vom rechten Feld 2 Eisen nach oben und lässt man diese Eisen von einem Feld in das andere übergreifen (Fig. 180 u. 181),

— 0i2'l‘&2‘5* 4,0m    — 0,276-1' 0,276- v 4.iS

liO

nr

yfn

\¥s

30 82 M

I—

L---=JL=

o»

h—

y. 56,1$

J-

, i; i.«

u k k

.--20 —

Fig. 180 u. 181.

vernachlässigt man ferner die ungefähr in der Mitte durchgehenden Eisen, so wird nach den Gleichungen (1), (2) und (3)

15 (3 • 4,52 + 2 • 3,14)

y=-20--

2-20-80

15 (3 - 4,52 + 2 - 3,14)

= 36,15 cm

Kb =

36,15

2-916680

20 - 36,15 ^80 = 37,3 kg/qcm

Ke =

916680

(3-4,52 + 2-3,14 ^80

36,15

= 680 kg/qcm.

(Berechnung der Schub- und Haftspannungen.

Berechnung bei A.

Die grösste Schubkraft beträgt nach Tabelle I, Seite 17:

Qa = 0,4 (1800 + 1600) • 5 = 6800 kg.

Nach den Gleichungen (27) und (28), Seite 41, folgt dann:

6800

Ks' =

20 ^37

10,41

= 10,1 kg/cm²

Ka =

20 • 10,1

5 • 7,54

= 5,4 kg/cm².

Da die Haftspannungen zu gross, so sei ein Ankereisen von 24 mm 0 (Fig. 186) hinzugefügt. Nach dem Beispiel auf Seite 43 berechnet sich dann die Ankertiefe, wie folgt:

L-

4,5 =

20 -p

■ff00

5 • 2,4 • 3,14

1JOB?

—CO iS — -mi

4,5 • 5 • 2,4 • 3,14

20

— = 8,5 kg/cm²

8,5

Qx

Fig. 182.

²⁰ (³⁷-T)

Qx = 8,5 • 20 (37 — ~

woraus sich nach Fig. 182 die Ankertiefe berechnet zu:

1100

= 5700 kg,

CO! X

6800

2 • 1100

6800

= 0,33 m.

Gewählt wurde nach Figur 186 0,5 m.

Da die Schubspannung zu gross, so wurden 3 Eisen nach „oben“ abgebogen. Die Aufbiegung hat an der Stelle zu beginnen, an welcher der Beton allein imstande ist, die Schubspannung von 4,5 kg/cm² aufzunehmen, also an der Stelle, an welcher die Schubkraft beträgt:

4,5 • Qa Ks'

woraus sich nach Fig. 183 die Aufbiegungsstelle berechnet zu:

Qx —

4,5 • 6800

10,1

= 3030 kg,

tNSj X

3770

6800

00 es

f:

JC

2. 3770

6800

= 1,12 m.

OJ Cm 0J SC: Z CO m

-J

Fig. 183.

beträgt:

Die Zugspannung in dep 3 abgebogenen Eisen

• r'o

CO

(10,1 — 4,5) I *

• 20 = 4450 kg,

und somit ihre Zugbeanspruchung:

Ke =

4450

3 • 4,52

= 330 kg/cm².

J £i$ e/i    ff

<>*

--n-

^    2,57»/?    ^    \

X|v -

+800

or

6*10

00 70/-

C6fs Cf. 60= 3^00 nt _

Fig. 184.

OOS»

J Sifon <!vZ. / i-i 6>iffn ioZt ?

VWV'+WfVVJ

v» -

:X

444*

k»

-h

u-

_ fff/"? cf. fC'iSm.

Fig. 185.

t'o

Berechnung bei B.

J*

Seite 41:

Die grösste Schubkraft beträgt hier nach Tabelle I,

Qb = 0,6 (1800 + 1600) - 5 = 10200 kg 10200

s'o

Ks' =

20 80

36,15 \

3~)

= 7,5 kg/cm²

—1~ -----**

•f <Sif‘Pn + y

<? Sigfn <?    <ki»e>n

i*s

Fig. 186.

Ka =

20 • 7,5

(3.7,54 + 2-6,28)

= 4,3 kg/cm ₂.

Für die zu grosse Schubbeanspruchung wird:

Qx —

und nach Fig. 184:

4,5 - 10200

7,5

= 6120 kg,

K CO

4800

10200

3 - 4800

•4- , -«4«- ,.4» ,■*+*- ,-»K ,-»4- ,4- f»-

f 0 *o 70 70    70    7'o

7/ O

1'*

10200

= 1,2 m.

■ iLi

Berechnung beiC.

Die grösste Schubkraft beträgt hier:

Qc = 0,5 (1800 + 1600) *5 = 8500 kg

Ks' =

8500

₂₀ (80 - ³!¹⁵)

= 6,2 kg/cm²

Ka =

20 • 6,2

(3.7,54 + 2-6,28)

= 3,6 kg/cm².

Für die zu grosse Schubbeanspruchung wird:

4,5. 8500

Qx

6,2

= 6170 kg,

und nach Fig. 185:

2330

2,5    8500

2,5 - 2330

8500

= 0,7 m.

Da aber der Momentenwechsel schon eine Aufbiegung in einer Entfernung von

a = 0,276 - 5 = 1,38 m

verlangt, so ist an dieser Stelle bereits das rechte Eisen abzubiegen.

In Fig. 186 ist die Konstruktion zur Darstellung gebracht.

VIII.

Die Säulen und Stützen nebst Beispielen.

Der Querschnitt der Säulen ist fast durchweg quadratisch mit gebrochenen

Kanten.

A. Säulen mit schwacher Armierung.

Bei diesen Stützen wird der Quersehnitt in den vier Hauptecken durch in der Regel gleichstarke Rundeisen armiert (Fig. 187 u. 188). Die Einbettung hat so zu erfolgen, dass die Eisen überall mit einer genügend starken Betonschicht umgeben sind, einmal, um ein gutes Haften der Eisen im Beton zu erzielen, zum anderen, um das Eisen gegen das Feuer zu schützen. Nur in seltenen Fällen kommen mehr als vier Eisen zur Anwendung.

Die einzelnen Eiseneinlagen sind untereinander zu verbinden, und zwar geschieht dieses am einfachsten durch entsprechend gebogene Rundeisen von 6—8 mm Stärke.

Die Entfernung dieser Eisen berechnet sich nach Gleichung [6],

Seite 4, zu :

x = 512 •

VKe

jedoch soll nach den amtlichen Vorschriften x < 30d bzw. <T h sein.

Die Säule ruht unten auf dem Fundament. Die Ausbildung dieser Konstruktion kann zweierlei Art sein:

a) Man ordnet ein treppenförmig sich nach unten verbreiterndes Betonfundament an, lässt die Eisen in das

Fundament hineingehen und legt sie auf sich kreuzende Flacheisen.

Fig. 187 u. 188.

Den einzelnen Treppenteilen gibt man eine Höhe von 30 cm und eine Ausladung von 20 cm. Die Verbreiterung hat nur soweit zu erfolgen, das die Beanspruchung des Bodens das zulässige Mass (in der Regel 2,5 kg/qcm) nicht überschreiten wird (Tafel III).

b) Man ordnet eine mit Eisen armierte Fundamentplatte an und überträgt den Druck der Stütze auf diese Platte mit Hilfe von armierten Betonrippen, genau so, wie bei den gusseisernen Säulen (Tafel III).

Beispiel:

Eine 4,0 m hohe Eisenbetonsäule habe die in Fig. 189 angegebenen Abmessungen und sei zentrisch mit 18 000 kg belastet.

Nach den Gleichungen (34) und (36), Seite 51, wird:

= 23,6 kg/qcm,

Kb =

18 000

24.24 + 15 • 4 • 3,14 Ke = 15 • 23,6 = 354 kg/qcm.

Aus Gleichung (38a) folgt:

10 • 140 000 •

24*

12

+ 15 • 4 • 3,14 • 10²

400 -400-18 000

= 22,6 fache Sicherheit.

Aus Gleichung [6] folgt weiterhin:

= 85,5 cm,

x = 512

3,14

V354

bezw. H = h = 24.

Da dieser Wert > 30 • d = 30 • 2 = 60 cm, so müssen die Eisen im Abstande von höchstens 24 cm miteinander verbunden werden.

Gibt man dem Fundament die in Fig. 190 angegebenen Abmessungen, so wird

0,24 • 0,24 • 4 • 2400 = Gewicht des Fundamentes 0,3 (1,04² -f- 0,64²) • 2000 =

Gewicht der Säule

Säulenbelastung

730 kg 600 „ 18 000 = 18 000 „

G = 19 330 kg

. Beanspruchung des Bodens mithin :

19330

104 • 104

= 1,8 kg/qcm.

rr*

■10

2V

,£05

30    35

..

L5

---2><

^__^

20 ^ SO--

12 i-

Fig. 189.

^zo

uz

2<7

ff

’wwwwwVwv

10*1

zu

Fig. 190.

Fig. 191 u. 192.

Um die armierte Fussplatte zu berechnen, denkt man sich einen Teil der Platte längs eines Rippenpaares eingespannt und betrachtet diesen Teil als einen Freiträger.

Die Belastung des überstehenden Teiles beträgt:

Px = 48 • 120 • 1,37 =    7890 kg,

mithin

so wird

Gibt man dem Fundament die in Fig. 191 u. 192 angegebenen Abmessungen,

Gewicht der Säule Fundamentplatte Untere Säulenstück

Rippen 4^

0,24 • 0,48 • 0,05 +

730 kg 690 „ 50 „

• 0,24 2400 =    230 „

0,24 • 0,24 • 4 • 2400 = 1,2 • 1,2 • 0,2 • 2400 = 0,24 • 0,24 • 0,35 • 2400 = 0,48 • 0,3

Nutzlast

18 000 = 18 000 „

19 700

G = 19 700 kg

120 • 120

= 1,37 kg/qcm.

48

= 7890 • -

= 189 360.

Auf einen Streifen von 1,0 m Breite kommt daher

189 360

1,2

= 157 800.

Ordnet man in der unteren Zone 12 mm 'Rundeisen im Abstande von 10 cm, so wird nach den Gleichungen (1), (2) und (3)

15 • 10 • 1,13

100

Kb =

2 • 157 800

100.6,3 18

6,3

V'+

= 31,56 kg/qcm,

2 • 100 • 18

15 • 10 • 1,13

= 6,3 cm.

K₀ =

157 800

10 • 1,13

(«-¥»

= 877 kg/qcm.

Beispiel:

Zu dem auf Seite 92—98 angeführten Beispiel ist eine Säule zu berechnen, wenn dieselbe eine Höhe von 4,8 m hat. Querschnitt siehe Fig. 189.

Q = 0,6 (1800 + 1600) 5 = 10 200 kg

Durch den linken Plattenbalken erhält die Säule eine Belastung von

Durch den mittleren Plattenbalken eine solche von

Konsolen

Q = 0,5 (1800 + 1600) 5 = 8 500 „ ₀ 0,40 • 0,43 ¹ 2

• 0,2 • 2400 =

80 „

18 780 kg

Nach den Gleichungen (34) und (36), Seite 51, wird

18 780

24 • 24 + 15 • 4 • 3,14 Ke = 15 • 24,6 = 369 kg/qcm.

Nach Gleichung (37), Seite 52, folgt für

+ 15 • 4 • 9,14 • 10² = 46 488,

Kb =

24⁴

12

10 • 140 000 • 46 488

= 24,6 kg/qcm,

= 15 fache Sicherheit.

480 • 480 • 18 780

Die Entfernung der horizontalen Verbindungseisen ergibt sich nach Gleichung [6], Seite 4, zu

x = 512

3,14

= 83,8 cm,

V369

x = 30 ■ 2 == 60 bzw. h = 24 cm.

Die Entfernung soll also höchstens 24 cm betragen.

Vorstehende Berechnung wird in der Praxis als genau genug angewandt. Wollte man jedoch auf eventl. exzentrische Belastung Rücksicht nehmen, so denkt man sich den Plattenbalken in der Säulenmitte durchbrochen und lässt die zugehörigen Auflagerkräfte in Mitte Auflager angreifen (Fig. 193).

In vorstehendem Beispiel wird die Säule am ungünstigsten exzentrisch beansprucht, wenn der linke Plattenbalken vollbelastet, der mittlere dagegen unbelastet ist. Es wird

.4*.

80

Pj = 0,6 (1800 + 1600) 5 --= 10 240 kg

OO CO

P₂ = 0,5 • 1800 • 5 + — = 4 540 „ R = 14 780 kg

Fig. 193.

Mit D als Drehpunkt wird (Fig. 193) R • e + 4540 • 6 = 10 240 -'6, 6 (10 240 — 4540)

14 780

= 2,3 cm.

Nach Gleichung 39, Seite 54, ergibt sich die Kerngrenze zu :

2 —

12

+ 15 • 4 • 3,14 • 10²

2 [27 648 + 18840]

24 [576 + 188,4]

= 5,07 cm.

24 [24² + 15 • 4 • 3,14]

Da m = 5,07 > e = 2,3, so fällt die Kraft in den Kern.

Man hat also weiterhin nach den Gleichungen (40) und (41), Seite 56, zu

rechnen.

14 780    ,    14 780 • 2,3 • 24

~~ 576 4- 188,4 ⁺ 2 [27648 + 19840] Kb' = 19,3 — 8,8 = 10,5 kg/qcm,

= 38,

Kb

24

10,5

= 19,3 + 8,8 = 28,1 kg/qcm,

28,1

Gibt man dem Fundament die Abmessungen nach Fig. 191 und 192, so wird bei zentrischer Belastung Nutzlast Säule

= 18 000 kg 0,24 • 0 24 • 4,8 • 2400 =    770 „

690 + 50 + 230 =    970 „

Ke = 15 ■ 28,1

(38 — 2)

3g = 400 kg/qcm,

Ke' = 15 • 28,1

(38 — 24 + 2)

38

= 180 kg/qcm.

Fundament

= 1,4 kg/qcm

20 520

120• 120

20 520 kg

und bei exzentrischer Belastung

^ R + G M 14780 + 770 + 970,14 780-2,3 K»‘⁼—F

120 • 120

120³

1,14+0,12= +1,26 kg/'qcm

Ktj = 1,14 — 0,12 = + 1,02 kg/qcm.

Ueber der Stütze gehen die Plattenbalken durch und werden, wie schon früher erwähnt, mit Hilfe konsolartiger Anschlüsse mit der Säule verbunden. Diese Konsolen dienen aber in keinem Fall als eigentliche Konsolen zur Aufnahme der Balken, sondern sie haben einzig und allein den Zweck, den Steg des Plattenbalkens nach dem Auflager hin zu vergrössern. Die ganze Konstruktion wird dann durch eingelegte Eisen armiert (Tafel III).

Stehen mehrere Stützen übereinander, so wird naturgemäss die obere Stütze weniger belastet als die untere und ist dementsprechend schwächer zu dimensionieren. Der Uebergang der Eisen der unteren Säule in diejenige der oberen Säule wird durch Kröpfen der ersteren erzielt. Die Verbindung kann nun einmal dadurch erfolgen, dass man die einzelnen Eisen stumpf gegeneinander stösst und Sicherung durch ein übergeschobenes Rohrstück hergestellt oder aber, dass man die Eisen um ein Stück x aneinander legt und mit Bindedraht umwickelt.

Diese Entfernung x berechnet sich folgendermassen:

Bei der Berechnung der Decken und Plattenbalken wird Kb bei öfacher Sicherheit in der Regel zu 40 kg/qcm angenommen. Da nun bei den Stützen

40

eine 10 fache Sicherheit vorgeschrieben ist, so wird Kb = — = 20 kg/qcm.

<u

Nach Gleichung (36), Seite 51, ist nun

Ke = 15 • 20 = 300 kg/qcm.

Jedes Eisen wird also pro qcm mit 300 kg beansprucht. Ein Eisen hat also eine Spannung aufzunehmen von

S = F • Ke =

d² •

• 300 kg.

Mit derselben Spannung S muss nun auch das Eisen am Beton haften.

Eisenbetonkonstruktionen I.

Bekanntlich ist

mithin

.folglich

Ka = 4,5 kg/qcm,

S = d • Tr • x • 4,5 kg,

d • -ir • x • 4,5 =

d² •

ir ■³⁰⁰’

d² • Tr • 300

4 * d * tu • 4,5

= 17 d

B. Stützen mit starker Armierung.

Unter dieser Bezeichnung wollen wir Stützen verstehen, bei welchem die Eiseneinlagen, wie bei den schmiedeeisernen Stützen, aus zwei ]]Q-Eisen bestehen. Diese Eiseneinlagen sind nun dergestalt mit Beton zu umgeben, dass der Beton nicht allein zur Isolierung dient, sondern dass der Beton auch als mittragend auf gefasst werden kann.

Beispiel :

Eine 5,0 m hohe Säule habe den in Fig. 194 angegebenen Querschnitt. Es soll die Tragfähigkeit dieser Säule berechnet werden.

a) Berechnung ohne Rücksicht auf Beton.

Aus der Druckgleichung folgt, wenn man Ke mit 750 kg/qcm einführt: F • Ke = 2 • 20,4 • 750 = 30 600 kg.

Aus der Knickformel für schmiedeeiserne Stützen ergibt sich*)

J = 2,5 • P • I2 _ 2 • 605 2,5 • l² “ 2JÜ3²

= 19 360 kg.

Die zwei Eisen sind in Entfernung von

-----30-

x=V

Fig. 194.

2 • Jy 2,5. P

= 1/

2 • 62,7

2,5 • 19,36

= 1,6 m

miteinander zu verbinden.

b) Berechnung mit Rücksicht auf Beton. Nach Gleichung (37), Seite 52, folgt auf Knickung für

30*

12

+ 15 • 2 • 605 = 85 650

10 • 140 000 • 85 650

= 48 000 kg,

Nach Gleichung (35), Seite 51, folgt auf Druck

P = 20 [30a + 15 • 2 • 20,4] = 30 240 kg.

*) Vgl. Fölzer: Berechnen der Eisenkonstruktionen „Säulen und Stützen“.

Die armierte Stütze kann nach vorstehender Berechnung auf Druck weniger tragen als die reine Eisenstütze. Dieser Widerspruch erklärt sich daraus, dass die Beanspruchung des Eisens bei der armierten Stütze nur zu

Ke = n • Kb = 15 • 20 = 300 kg

eingeführt wurde.

Da man aber bei stark armierten Stützen den Beton mit einer 5 fachen

Sicherheit beanspruchen kann, so wird Kb = 40 und mithin

P = 40 [30² + 25 • 2 • 20,4] = 60 480 kg.

Die Eisenstütze kann also mit

P = 19 360 kg,

die armierte Stütze mit

P = 48 000 kg

belastet werden.

Auf Tafel IV ist die Ansicht einer Deckenkonstruktion in Eisenbeton nebst 'zugehörigen Balken und Stützen zur Darstellung gebracht.

IX.

Treppen aus Eisenbeton.

Die Treppen aus Eisenbeton haben den Vorteil absoluter Feuersicherheit. Um die eigentliche Konstruktion vor Abnutzung zu schützen oder um der Treppe ein besseres Aussehen zu geben, bzw. um sie besser gangbar zu machen, erhalten die einzelnen Stufen einen besonderen Belag. Dieser Belag besteht in der Regel

X\

'“Y/yhs

/.

///.

V,

•\\

Fig. 195.

Fig. 196.

aus einer 1—2 cm starken fetten Zementmörtelschicht oder aber aus Linoleum, Holz, Marmor etc. Zweckmässig dürfte es jedoch in jedem Falle sein, die Kanten der einzelnen Stufen durch Leisten aus Eisen, Messing etc. zu schützen (Fig. 195 u. 196).

A. Treppen mit einseitig eingemauerten Trittstufen aus Eisenbeton und Podestträger aus Eisen oder Eisenbeton.

Unter diesen Treppen versteht man solche, bei welchen die Trittstufen aus Eisenbeton auf der einen Seite in der Treppenhauswand eingelassen sind, während das andere Ende frei überkragt. Die nächsthöhere Stufe stützt sich auf die darunter liegende, während die unterste Stufe auf dem Podestträger ruht.

Greift man eine einzelne Stufe heraus, so wird mit D als Drehpunkt ein Moment erzeugt von (Fig. 197)

toi er

JJ

Fig. 197.

Bei der weiteren Berechnung nimmt man nun an, dass dieses Drehmoment durch die Einmauerung auf genommen wird.

Beispiel:

Eine Treppe habe die in Fig. 200 u. 201 angegebenen Abmessungen. Die Abdeckung bestehe aus 5 mm starkem Linoleum.

1. Berechnung einer Stufe. (Fig. 202.)

18

Es ist b = 30 cm und a = — -f- 7 = 16 cm, mithin beträgt das Gewicht

d

Eisenbeton 0,3 - 0,16 • 1,5 • 2400 = 172,5 kg Linoleum 0,3 • 0,005 • 1,5 • 1200 = 2,5 „ Putz

Wollte man nun eine Stufe als Freiträger berechnen, was ja nach der all gemeinen Anordnung nicht zutrifft, da einmal die Stufen sich gegenseitig stützen, zum andern aber die verhältnismässig geringe Einmauerung, welche ja zudem schon ein Drehmoment aufzunehmen hat, nicht genügen wird, so kann man folgendermassen vorgehen:

Man denkt sich den Querschnitt verwandelt in ein Rechteck von der Breite b und der

Höhe a =    + x (Fig. 198), bestimmt das zu

gehörige Moment als Freiträger, ordnet in der ^ oberen Zone Rundeisen an, da hier die Zugspannungen auftreten, und berechnet die Beanspruchungen des Betons und Eisens nach den Gleichungen (1), (2) und (3), Seite 28 und 29.

CO so

7/.

'j ■

Fig. 198.

Um nun weiterhin Gleichgewicht zu haben, muss (Fig. 199)

2. R = P + Q

Bezeichnet man die Anzahl der darüberliegenden Stufen mit nx, so wird

sein.

'WWWXVn.W'

u

und

4. R = P -f P • n, = P (1 + n,).

Für die unterste Stufe ist aber (1 -f nx) = n,

5. R = P • n.

R = P • n stellt aber nichts anderes dar, als die Belastung eines ganzen Treppenarmes.

Fig. 199.

folglich

einer Stufe:

°’³ ' 1>⁵ • 20 =    9,0 kg

G = 184,0 kg

Würde man die Nutzlast gleichmässig verteilt und zu 400 kg/qm annehmen, so beträgt die Belastung einer Stufe aus Nutzlast

P = 0,3 • 1,5 • 400 = 180 kg.

Diese gleichmässig verteilte Nutzlast ist jedoch zu gering angenommen. Es. wurden deshalb zwei Einzellasten von je 100 kg gewählt. Es ergibt sich mithin ein Belastungsschema nach Fig. 203

150

M = 100 (150 + 100) + 184 • —- = 38800.

Li

3°

fS ]

S,S

3,5

18

Fig. 202.

Li

100

-100

0,5

Cc.

Fig. 203.

CD

-V-5,1

Fig. 200 u. Fig. 201.

Es seien nach Fig. 204 3 Eisen ä 11 mm 0 gewählt, dann wird nach den Gleichungen (1), (2) und (3), Seite 28 und 29:

y = 15 - 2,85

2-30-14

Fig. 204.

30

15 • 2,85

= 5,1 cm,

Kb =

2 • 38800

30 • 5,1

(-¥)

= 37,3 kg/qcm,

Ke =

38000

2,85 14

5,1

= 1070 kg/qcm.

2. Berechnung des Podestes.

Nimmt man die Stärke des Podestes zu 10 cm an (Fig. 205), so beträgt

die Belastung für den Quadratmeter:

Decke

1 • 1 • 0,10 • 2400 = 240 kg Linoleum 1 • 1 • 0,005 • 1200 =    6 ,,

1 • 1 - 20 = 20 „

1-1-400 = 400 „

Putz

Nutzlast

666 kg

LJ-2,91

*Zr

«5,    —

V'

p .    Q tn

Gistn ec o

wird:

Die einzuführende Stützweite beträgt 1,6 + 0,1 = 1,7 m.

Teilweise Einspannung vorausgesetzt,

1,7 • 666 • 170

Fig. 205.

= 19250.

Ordnet man 10 Eisen ä 8 mm 0 an, so wird nach den Gleichungen (1), (2) und (3), Seite 28 und 29

15 • 10 • 0,5

100

-■+v

2 • 100 • 8,5

15 * 10 • 0,5

2,91 cm,

Kb =

2,91

2•19250

100 • 2,91 ^8,5 = 17,6 kg/qcm,

Ke =

19250

10 • 0,5 ^8,5 —

= 511 kg/qcm.

j '//7h '*///////

30

~<JG Tr £i

7//.

Fig. 206.

3. Berechnung des Podestträgers.

a) Podestträger aus Eisen.

Da die Konstruktion gegen Feuersgefahr Sicherheit bieten soll (Fig. 206), so ist der eiserne Podestträger mit Beton zu umgeben. Es sei J-Eisen N • P 20 mit Wx = 214 gewählt.

Der Podestträger wird mithin beansprucht durch:

1,6 ⁴ 3,2

• 666 = 1700 kg

Gewicht des halben Podestes als gleichmässig verteilte Belastung

0,13 • 0,24 • 2400 • 3,2 = 240 „

Eigengewicht des Podestträgers als gleichmässig verteilte Belastung

1940 kg

Eigengewicht von 11 Stufen nebst zugehörige Nutzlast

als einseitige Streckenlast

11.184 + 3,3.1,5-400 = 4000 kg

Das Belastungsschema ist in Fig. 207 angegeben: Mit B als Drehpunkt wird:

A = -2

1940 , 4000-2,45

3,2

= 4030 kg,

1940

4000

3,2

1,5 *X x = 1,24 m

= 4030,

M = 4030 • 124 —

1940

3,2

248092

124    4000

124

1,5

= 248092

214

= 1112 kg/qcm,

nach der neuen Bestimmung bis 1200 kg/qcm zulässig.

SO

'JO

___1_

JiOOO

3,2

SM

3&isen <r.2h?L

Fig. 208.

Fig. 207.

b) Podestträger aus Eisenbeton. Die wirksame Plattenbreite B beträgt

1,6

— = 0,8 m = 80 cm.

Li

Nach den Gleichungen (18), (19) und (20), Seite 39, wird (Fig. 208) 15 • 3 • 4,52

80

[~' + V

00

IC

8,1 cm,

Kb =

2 • 248092

80.8,1(22—^) = 39,7 kg/qcm,

248092

3.4,52(22—^) = 948 kg/qcm.

Nach den Gleichungen (27 a) und (28) Seite 41 wird

4030

Ks' =

= 16 kg/qcm

K,=

■»(«-¥)

= 8,5 kg/qcm.

13 -16

3 • 8,17

Da beide Werte zu gross, so muss die Haftspannung durch vermehrte Eiseneinlagen, die Schubspannung durch Aufbiegung von einigen Eisen bzw. Bügelanordnung herabgedrückt werden.

B. Treppen mit Tragkonstruktion aus Eisenbeton und aufgesetzten

Betonstufen.

Bei diesen Treppen bestehen die Wangen und die Podestträger aus Eisenbeton. Zwischen den Wangen ist eine Eisenbetondecke angeordnet, auf welcher «die Betonstufen lagern.

Beispiel:

Eine Treppe habe die in den Fig. 209 und 210 angegebenen Abmessungen.

1. Berechnung der Zwischendecke.

Die Stärke der Decke sei zu 8 cm angenommen (Fig. 211).

Stufen 10 •

• 1,8 • 2000 = 920 kg

3,54 - 1,8 • 0,08 • 2400 = 1220 „ 3 • 1,8 • 400 = 2160 „

0,3-0,17

Decke

Nutzlast

4300 kg

Auf 1 m Deckenbreite kommt mithin:

4300

3,54

= 1215 kg.

Diese senkrecht von oben nach unten wirkende Kraft zerlegt sich in zwei Komponenten, von denen die erstere ?! senkrecht zur Platte, die zweite parallel zur Platte liegt.

= P • cos 7. = 1215 •

3,54

Vt = 1030 kg

P₂ = P • sin 7 = 1215 •

1,87

3,54

= 633 kg.

Da die Kraft P₂ in die Richtung der Platte hineinfällt und somit nennenswerten Beitrag für die Beanspruchung liefert, so pflegt man vernachlässigen.

Die Decke ist als auf beiden Seiten eingespannt zu betrachten, ergeben sich die grössten Momente zu (vgl. Seite 11):

P, 1    1030 • 180

keinen sie zu

mithin

24

24    = + ⁷⁷²⁵

P, 1    1030 - 180

12

12

= — 15 450.

Es seien 10 Eisen ä 8 mm 0 angeordnet, wovon fünf an den Auflagern nach oben abgebogen sind.

Nach den Gleichungen (1), (2) und (3), Seite 28 und 29, folgt für Piatten-mitte (Fig. 211)

15 • 5,02

2 • 100 • 71

100

15 • 5,02

= 2,58 cm,

8,0

3,o

8,0

V'

Cd

3*-

h--

fr

/7

Aßnt

Fig. 209 u. 210.

r-

5 faen ol: 8% ;

w *----r

«Xi ^

4-

j*--0,3 ?ß--ji

i 8~

_ 0,3?8

-JT

'is

Fig. 211.

IQtl

Kb =

2\“.

2 • 7725 100 • 2,58 (7 -

?)

= 10 kg/qcm,

1,S?

Ke =

7725

oC

5,02 (7

£)

— 250 kg/qcm.

Fig. 212.

Nach den Gleichungen (8a), (9), (10) und (11), Seite 34, folgt für das Auflager:

15 • 5,02

100

-1 +

100 (7 + 1)

15 • 5,02

1,8 cm,

Kb =

6 • 15450 • 1,8

5,02

= 22,8 kg/qcm,.

100 • 1,8² (3 • 7 — 1,8) + 6 •    • 15 (7 — 1) (1,8 — 1)

Li

(7-1,8)

Ke = 15 • 22,8

1,8

= 988 kg/qcm Zug in der oberen Armierung,

Kg' = 15 • 22,8

(1,8-1)

1,8

= 152 kg/qcm Druck in der unteren Armierung.

2. Berechnung der Wangen.

Belastung durch die Decke einsch. Nutzlast Steg

4300

-- = 2150 kg 0,16 • 0,14 • 3,54 • 2400 = 200 „

Q = 2350 kg

Diese Kraft zerlegt sich wie vorher in zwei Komponenten P₃ und P₄, wovon die letztere wieder vernachlässigt wird. (Fig. 212).

2350 •    = 2000 kg

P₃ = Q • cos a =

1,87

3M

Teilweise Einspannung vorausgesetzt, wird

P₄ = Q . sin a = 2350 •

= 1240 kg.

,,    4 2000 • 354

M = 5^    8

= 70800

180

Wirksame Plattenbreite B = —— = 90 cm.

Li

90

rr

— 16

.'h&isen cc 1*1%,

Fig. 213.

Nach den Gleichungen (18), (19) und (20), Seite 39, wird (Fig. 213)

1/iT

15-6,1

2 - 90 • 20'

90

15 • 6,1

= 5,4 cm,

Kb =

90 - 5,4

2•70800

(-¥) = 16 kg/qcm,

Ke =

70800

6,1 (²⁰~ir) = 630 kg/qcm.

Werden an den beiden Enden 2 Eisen nach oben abgebogen, so wird (Fig. 214)

15 • 3,05

90

-1 +

2-90-20

15 - 3,5

4,62 cm,

2000

Ks' =

16 ^20

4,62

= 3,4 kg/qcm,

16 • 3,4 7^4,4

= 3,1 kg/qcm.

90

■f

--8 -

zo

- 'iS —

oC

0.2S50

Fig. 215.

Fig. 214.

3. Berechnung des Podesttragers.

Der Podestträger wird gleichmässig belastet mit:

0,08 -1 - 4,2 - 2400 =

Ci

2 - 4,2

Podestdecke

810 kg

Podestnutzlast

- 400 = 1680 „

Balken

0,2 • 0,42 - 4,2 - 2400 = 810 „

3300 kg

Ausserdem wird der Podestträger beansprucht durch Einzellasten, welche sich aus den senkrechten Auflagerdrücken der steigenden und fallenden Wange ■ergeben (Fig. 215).¹)

Ersterer Auflagerdruok ist:

Pi =

Q n . . ₂ ,    2350 f /1,87\²1

2 (1 + 3m a)=-2-[1 + lS54)J ⁼

1500 kg.

Letzterer Auflagerdruck ist:

350 / 3 \²    .

2- • bi) = 850 kg-

P., — — -eos²a =

2

Das Belastungsschema ist in Fig. 216 angegeben. Mit B als Drehpunkt wird:

4,2

^ ₌ 3300 - 2,1 + 1500 • 2,4 + 850 - 1,8 = 2m

Für den Schnitt I wird:

3300

4,2

* 1,8 — 0 = + 1458,

Vj' = + 1458 — 1500 = — 42.

sl£00'

850

cflb

3500

4,6

4,8

Fig. 216.

Da hier die positive Schubkraft in die negative übergeht, so liegt in I der gefährliche Querschnitt.

M = 2872 • 180

3300

180

4,2

= 389340

420

Wirksame Plattenbreite B = —— =70 cm.

b

400

V-*

^ Äsen (r :IDS

4L_38

Fig. 217.

Nach den Gleichungen (23), (24), (25) und (26), Seite 40 und 41, (Fig. 217),,

wird:

Ke

g2 . 70 + 2 • 15 • 38 • 4 • 3,14 2 [8 - 70 + 15 - 4 - 3,14]

8    (3*12,6 — 2,8)

3 ' (2 * 12,6 — 8)

389340

~ 4 • 3,14 (38 — 3,38)

= 12,6 cm,

= 3,38 cm,

= 895 kg/qcm,

Kb =

895 • 12,6

15 (38 —12,6)

= 30 kg/qcm.

Nach den Gleichungen (27b) und (28), Seite 41 wird:

Ks' =

2872

20 (38 — 3,38)

= 4,2 kg/cm²,

Ka =

20 • 4,2

4^6,28

= 3,34 kg/cm².

r--SO

33

ii-

7/7/m

4 &ibtn

or. 2.0

Fig. 218.

h Sise-H^

cci

zur

Der Anschluss des Wangenträgers an den Podestträger ist in Fig. 218 Darstellung gebracht.

Auf Tafel V ist die Eisenarmierung einer solchen Treppe (Treppe im Technikum Strelitz) zur Anschauung gebracht.

X.

¹

Vgl. Fölzer: ,.Treppen unter Anwendung von Eisen“ (43 A, II).

Die Eisenbetondächer.

A. Einteilung und Abdeckung.

Die Eisenbetondächer können eingeteilt werden in:

1.    Dächer aus Eisen mit zwischen den Pfetten gespannten Eisenbetondecken,

2.    Bogendächer,

3.    Rahmendächer,

4.    Kegel- und Zeltdächer,

5.    Kuppeldächer.

Was nun die Eindeckung der Dächer anbetrifft, so können bei 1 und 3 alle diejenigen Eindeckungsarten Anwendung finden, welche beim gewöhnlichen Häuserbau gebräuchlich sind. Es sind dies:

a)    Biberschwanz-, Kronen- und Falzziegeldächer. Ihre Befestigung folgt wie üblich an Latten. Diese Latten werden entweder im Beton einbetoniert oder an einbetonierten Eisenstäbchen befestigt.

Ihre Befestigung erfolgt auf

b)    Schiefer- und Asphaltschieferdächer.

Schalung, die wieder an sich auf Lattung befestigt wird, oder aber durch unmittelbares Aufnageln, wobei jedoch darauf Rücksicht zu nehmen ist, dass der Beton noch nicht vollständig erhärtet ist.

c)    Einfaches und doppeltes Teerpappdach. Die Befestigung erfolgt am einfachsten durch Aufkleben.

d)    Kupfer- und Zinkblechdächer. Ihre Befestigung sollte nicht unmittelbar auf dem Beton erfolgen, da das Material vom Beton angefressen wird. Es ist deshalb eine Holz- oder Pappunterlage anzuordnen.

e)    Holzzementdach. Anwendung nur bei sehr flachen Dächern.

f)    Eine 1—2 cm starke Schicht aus fettem Mörtel. Diese Eindeckungsart ist jedoch nur bei steilen Dächern und Gebäuden von geringer Bedeutung empfehlenswert.

Bei den Bogen- und Kuppeldächern finden die unter c, d und f angeführten Konstruktionen als Abdeckung Anwendung.

Anmerkung: Soll eine gute Wärme-Isolierung vorhanden sein, so empfiehlt sich, eine 3—4 cm starke Korksteinlage auf dem Beton zu befestigen und hierauf erst die eigentliche Abdeckung anzuordnen.

Gewichts tabeilen

in Kilogramm für den Quadratmeter schräger Dachneigung.

Einfaches Biberschwanzdach auf

Lattung.......

Doppeltes Biberschwanzdach auf

Lattung.......

Kronendach auf Lattung Falzziegeldach auf Lattung .    .    70 ,,

Schiefer und Asphaltschiefer auf

Schalung.......

Schiefer und Asphaltscbiefer ohne Schalung.....

60 kg

70 „

57 „

Einfaches Teerpappdach . Doppeltes Teerpappdach . Kupfer- u. Zinkdach auf Schalung Kupfer- und Zinkdach auf Teerpappe .........

Holzzementdach.....

Fetter Mörtel für jeden Zentimeter Höhe......

Korkstein für jeden Zentimeter Höhe........

10 kg 20 „ 23

CO

co

Die Nutzlast, bestehend aus Schnee und Winddruck, kann man reichlich bemessen zu 150 kg/qm Horizontalprojektion annehmen.

B. Dächer aus Eisen mit zwischen den eisernen Pfetten gespannten

Eisenbetondecken¹).

Die Konstruktion dieser Dächer ist aus Fig. 219—222 ersichtlich. Ueber die eisernen Pfetten werden genau so wie bei den gewöhnlichen kontinuierlichen Decken Eisenbetondecken gelegt. Um ein Abgleiten der Decke zu verhindern^ sind entsprechende Konstruktionen anzuordnen, wrobei die Eisenarmierung vorteilhafte Anwendung finden kann.

Beispiel:

Die Entfernung der Pfetten (Fig. 219) betrage 1,5 m, die Deckenstärko sei zu 5 cm angenommen. Ferner seien auf den Meter Tiefe 10 Eisen ä 0,5 cm Durchmesser angeordnet. Die Abdeckung bestehe aus einer doppelten Teer-papplage.

1,5 • 1 • 20 = 30 „

Eigengewicht der Decke 1,5 • 1 • 0,05 • 2400 = 180 kg Abdeckung

Nutzlast

1,5 • 1 • 150 •

= 200 „

P = 410 kg

Diese Kraft von P = 410 kg zerlegt sich in eine Kraft Px = P • cos x 410-8

= 367 kg und in eine Kraft P, = P • sin a =

410-4

8,94

= 184 kg.

8,94

Da letztere Kraft P₂ in der Richtung der Platte fällt, so kann sie vereinen sehr geringen Beitrag zu der Beanspruchung

nachlässigt werden, w'eil sie nur liefert.

Es wird mithin

367 • 150

= 6880.

Nach den Gleichungen (1), (2) und (3), Seite 28 und 29, folgt weiter

(Fig 220)

15'- 1,96

2-100-4

100

15 • 1,96

]-

1,26 cm,

Kb =

2 • 6880

100 - 1,26

— 30,5 kg/qcm,

Ke =

1,26

6880

1,96 4

= 980 kg/qcm.

A'

Ap

36a oC

-WB

"Seelen <jiurse])nitt w ftlinilh.

Unten-- lofeisev cc. 3 S

-Werken pierscljnift über der Stütze.

+p~i t yj

41

OH.

¹

ohn. 5 Sim x 5 S

unlen 5&ibena.5%.

8,0

Fig. 219—222.

C. Die Bogendächer.

Zur Dimensionierung der Bogendächer kann man folgende Tabelle anwenden (Fig. 223):

Spannweite 1

05

00

05

GO

IC

IC

IC

Ol

CO

tv

CO

CO

Scheitelstärke dx 6 7 8    8    9 10 11 12 12 13 13 14 14 cm

Kämpferstärke da 8 9 10 12 14 14 16 16 18 18 20 20 22 cm

Eisenbetonkonstruktionen I.

Die Pfeilhöhe f kann man zu ¹/s—¹/s 1 annehmen, und zwar gilt der erstere Wert für kleine, der zweite Wert für grössere Dächer.

Die Eisenarmierung F kann man für jede Armierung zu ^ qcm machen.

U

Bei kleineren Dächern bis 10 m Spannweite wird man mit einer einfachen Armierung auskommen, bei grösseren Dächern ist stets eine doppelte Armierung anzuordnen.

ßl

V-

P»

Fig. 223.

Was nun die Berechnung der Eisenbetonbogendächer anbetrifft, so mag folgendes vorausgeschickt werden:

Weil die Bogendächer stets ohne Gelenke ausgeführt werden, so müsste auch ihre Berechnung als Bogen ohne Gelenke erfolgen. Da nun die Berechnung als Bogen ohne Gelenke kleinere Momente erzeugt, so pflegt man der Sicherheit wegen folgende Unterschiede zu machen:

Ist die Spannweite des Daches kleiner als 10,00 m, hat also das Dach nur eine Armierung, so berechnet man das Dach als Dreigelenkbogen.

Ist die Spannweite des Daches grösser als 10,00 m, und ruht das Dach nur auf der Mauer auf, so erfolgt die Berechnung als Zweigelenkbogen.

Ist die Spannweite des Daches grösser als 10,00 m, und ist das Dach mit den Mauern (Eisenbetonwände bezw. Eisenbetonbalken) fest verbunden, so berechnet man das Dach als Bogen ohne Gelenke.

Das grösste Moment tritt auf bei einseitiger Belastung, der grösste Zug im Anker dagegen bei voller Belastung.

1. Bogendach als Dreigelenkbogen.

Die Berechnung dieser Bogendächer erfolgt genau so wie bei der gewölbten Decke nach System „Monier“, Seite 65.

Beispiel:

Ein Dach habe eine Spannweite von 10,00 m (Fig. 224). Es wird:

d₁ = 8 cm, d₂ = 10 cm, d =

8 + 10

10

== 9 cm, f = — = 2 m, 5

p = 1 • 1 • 0,09 • 2400 = 216 kg/qcm*), q = 150 kg/qcm.

9

Eisenquerschnitt auf 1 m Tiefe — = 4,5 qcm.

u

Gewählt 10 Eisen ä 8 mm Durchmesser mit Fe = 5,02 qcm.

25

+ 2 = 2^2 + != ⁷’25m'

*) Zu diesem Gewicht wäre dann noch je nach der Eindeckung die zugehörige Last hinzuzuschlagen, z. B. bei doppelter Papplage 20 kg, mithin p = 216 + 20 = 236 kg/qm Grundrissfläche.

ft = V(r—f)² -f- x(l—x) — (r—f)=V(7,25—2)²-f-2,5 (10—2,5) — (7,25—2) = 1,56 m,

10²

j^(3 • 216 + 2 - 150)^ —

10 10 Smc? = 4T^25 ⁼ 29;COSCp =

125,25 kg/m = 12525 kg/cm,

7,25 — 2 + 1,56 _ 6,81 7^25    — 7^25’

10²

8-2

(216 + ¹®°) = 727,5 kg,

(“+?)-

1820 kg,

10

Nx = 727,5 •    + 1820 •

29

«To:

= 1960 kg,

12 525

1960

- = 6,4 cm.

^2,5 -J

!\

t:

Ti 7,15

<9-

«V

Fig. 224.

Fig. 225.

Nach den Gleichungen (1), (2) und (3), Seite 28 und 29, wird (Fig. 225)

15 • 5,02

100

[-i + Vm

2-100-7

15 - 5,02

2,58 cm,

K„1 =

2 • 12 525

= 15,9 kg/qcm,

100 - 2,58

1960

Kb2 — 100 . 9

— = 2,1 kg/qcm,

Kb = Kbl + Kba = 15,9 + 2,1 = 18 kg/qcm, 12 525

Ke =

5,02 ^7

2,58\

3")

= 406 kg/qcm.

Für die Berechnung der Zugstange wird:

(P + q) = ^2 ⁽²¹⁶ + ¹⁵⁰⁾ = 2288 k«-

und

Sind die Zugstangen 3,00 m voneinander entfernt, so wird Z = 3.2288 = 6864 kg

w; n

6864

1200

= 5,72 qcm.

Gewählt Rundeisen mit d = 28 mm 0 und Fe = 6,16 qcm. Für die Berechnung der Auflager*^-Eisen wird P = 3 • H = Z = 6864 kg,

mithin

= 214.

P • 1    6864 • 300

8 • 1200

Gewählte []-Eisen N • P 22 mit Wx = 245.

Die Konstruktion des Auflagers ist aus Fig. 226 klar ersichtlich.

Die Zugstange ist in Entfernung von 1—1,5 m durch Rundeisen aufzuhängea (Fig. 227).

skocv. -

cJ£<xnJfr

Fig. 226 u. 227.

2. Bogendach als Zweigelenkbogen.

Für die Berechnung dieser Dächer gelten folgende Formeln:

= ~(p + |q)

Auflagerdruck,

l²

8 • f (1 + Z)

(p+ )

Horizontalschub an den Auflagern.

In dieser Gleichung bedeutet:

15 J

8 ' F-f²

J = ideelles Trägheitsmoment, F = ideeller Querschnitt, f = Pfeilhöhe..

Hat man A und H berechnet, so spannt man den Bogen um x =

vom

linken Auflager ein und berechnet das zugehörige Moment.

Ferner wird wie vorher:

Nx = Ax • sin cp + H • cos cp,

Beispiel:

Ein Eisenbetonbogendach habe eine Spannweite von 1 = 16,00 m. Es wird:

dt = 10 cm, d₂ = 14 cm, d =

p = 1 • 1 • 0,12 • 2400 = 288 kg/qm, q = 150 kg/qm.

12

Fe für jede Armierung und 1 m Tiefe =    = —- = 6 qcm.

u

10 + 14

12

= 12 cm, f =

16

6^-r 7

= 2,4 m,

Kj\

500

C+

1151

3200

^⁵²¹ l ly

Wi,

ÄiL

__t

k-

3 'in — ■Iß m — Fig. 228.

Fig. 229.

Gewählt 10 Eisen ä 9 mnf 0 mit Fe = 6,36 qcm.

64

— 14,54 m,

+ M

2 • 2,4 '    2

ft = v (14,54 — 2,4)2 + 4 (16 ——4) — (14,54 — 2,4) = 1,84 m, A = ^ ^288 + ^ . 150 j = 3200 kg,

für

1 • 0,12³

12

16²

8 • 2,4 • 1,000371

(288 + f) =

4834 kg,

+ 15 • 2 • 0,000636 • 0,04² = 0,00015926 (Fig. 251),

F = 1 - 0,12 + 15.2.0,000636 = 0,13908.

0,00015926

0.13908

= 0,001145,

= 0,000371,

15 0,001145 ~ 8    2,4²

M = 3200 • 4 — 4834 . 1,84 — (1152 + 600) • 2 = 401,44 kg/m = 40144 kg/cm (Fig. 229) Ax = 3200 — 1152 — 600 = 1448 kg,

y3 + 6y² + 91,58 — 732,67 = 0, für y = 4 wird: 64 + 96 + 366,32 — 732,67 = — 206,35, für y = 5 wird: 125 + 150 + 457,9 — 732,67 = + 0,23,

y—

sin?p =

_ 14,54 — 2,4 + 1,84    13,98

4 • 14,54 — 14,54’ C0SCP “    14,54

Nx = 1448 •    + 4834 •

14,54

16

14,54

13,98

14,54

= 5046,

40144

5046

= 7,95 co 8 cm.

Nach Gleichung (44), Seite 58, wird mithin (Fig. 228): 12 • 8 • 15 • 6,36 • y

y⁸ + 3y² (8 — 6) +

6 • 15 • 6,36

100

100

(8 • 12 + 2 • 4²>

— 206,35 5 “ + 0,23 ’

0,23y — 0,92 = — 206,35y + 1031,75,

206,58y = 1032,67,

1032,67

206,58

= 4,99 = 5 cm.

Nach den Gleichungen (45), (46) und (47) folgt weiter:

Kb =

5046

[r¹⁰⁰ +

Ke = 15 • 23,8

Ke'==

= 23,8 kg/qcm,

¹⁵ ^6,36^ . 5 — 12) j

=s 357 kg/qcm, = 214,2 kg/qcm.

4 +6 — 5

15.*++⁵

5

Der Abstand, innerhalb welcher die übereinanderliegenden Armierungen zu verbinden sind, berechnet sich nach Gleichung [6], Seite 4, zu

x = 512    = 512-

0,9

Vk

V 214,2

= 31 cm.

Anmerkung: Würde man in diesem Beispiele den Horizontalschub als Dreigelenkbogen berechnen, so ergibt sich:

16²

8- 2,4

(« + ?)-

4840,

also keinen nennenswerten Unterschied vom Zweigelenkbogen.

Beträgt die Zugstangenentfernung 2,6 m, so wird

Z = 2,6«H = 2,6-

l²

8-f (1 +Z)

(P + q) = 2,6-

16²

8-2,4-1,000371

(288 + 150) = 15184 kg,

15184

1200

= 12,6 qcm.

Gewählt d = 4 cm mit F = 12,56 qcm.

Für die Berechnung des Auflager-Q-Eisens wird:

= 411.

15184- 260

8 - 1200

Gewählt F-Eisen N • P 28 mit Wx = 450.

3. Bogendach als Bogen ohne Gelenke.

Für die Berechnung dieser Dächer gelten folgende Formeln:

tOl

=    -f- ^ Auflagerdruck,

l²

8 f (1 + Z)

M)

Horizontalschub an den Auflagern,

45 J 4 ‘ F • f²’

SJ

pJ<M

11

Kämpfermoment am Auflager A durch Einspannung.

Hat man nun die Werte von A, H und Ma berechnet, so spannt man den

Träger um x = — vom linken Auflager ein und berechnet das zugehörige Moment.

j

Ferner wird, wie vorher

Nx = Ax • sin cp -}- H • coscp,

Nx-

Beispiel:

Ein Eisenbetondach habe eine Spannweite von 20,00 m. Es wird:

d₁ = 12 cm, d₂ = 16 cm, d =    = 14 cm, f = ^ = 2,5 m,

= 21,25 m,

2-2,5 ^ ~2~

f, = V (21,25 — 2,5)² + 5 (20 — 5) — (21,25 — 2,5) = 1,91 m.

CO

CO

CO

• 150 J = 4880 kg,

1 • 0,14³

12

+ 15 • 2 • 0,00076 • = 0,000286,

F = 1 • 0,14 + 15 • 2 • 0,00076 - 0,05² = 0,1628,

0,000286

0,1628

- 0,00176,

45 0,00176 ~ 4 ' ~2j2“

= 0,00317,

• H =r

20²

8-2,5(1 + 0,00317)

(³³⁶ + ¹f) =

8194 kg,

Ma =

20²

12

ft

366

11

8    ' (1 + 0,00317)

0,00317

= — 985 kg/m = — 98500 kg/cm,

M= A-

_ H - f, — G •

-Ma,

c?*.

■1830

•— 2,5 —• i.

bis —

t®-

vc-8m

'38500

=B

■f-

2o nt

'* ‘*5**

<*-/7Zz

Fig. 230.

Fig. 231.

M = 4880 • 500 — 8194 -191 — 5 (366 + 150) 250 — 98500 = 131 446 (Fig. 230),

Ax = 4880 — 5 (366 + 150) - 2300 kg,

21,25 — 2,5 + 1,91 _ 20,66 21,25    21,25’

sin cp =

20

4 • 21,25

= 4^;c°b<p =

Nx = 2300 •

4,25

+ 8194 •

20,66

21725

= 8507,

131446 itK

---— = 15,o cm.

8507

Nach Gleichung (44), Seite 58, wird mithin (Fig. 231) 12 • 15,5 • 15 • 7,6 • y 6 • 15 • 7,6

y³ + 3 y² (15,5 — 7) +

100

100

(15,5 • 14 + 2 • 5²),

y³ + 25,5 y² + 212,04 y — 1826,28 = 0, für y = 5 wird: 125 + 637,5 + 1060,2 — 1826,28 = — 3,6, für y = 6 wird: 216 + 918 + 1272,24 — 1826,28 = + 580, y — 5 _ — 3,6 y — 6    + 580’

580 y — 2900 = — 3,6y + 21,6,

583,6y = 2921,6,

= 5 cm.

2921.6

583.6

Nach den Gleichungen (45), (46) und (47) folgt weiterhin:

Kb =

8507

CO! Üi

• 100 +

7,6 • 15

(2-5 —

14)]

= 53,6 kg/qcm,

Ke = 15-53,6

5    7_5

——-= 1126 kg/qcm Zug in der unteren Armierung,

0

= 482 kg/qcm Druck in der oberen Armierung,

Für die Berechnung der Zugstange wird, wenn die Entfernung derselben voneinander 2,0 m beträgt:

xx o (P + 9) * l2 H = ² ' —8Tf— '

(1 + Z)

_ ₀ (366 +150) 20²

8 ~275

(1 + 0,00317)

= 20576 kg,

20576

1200

= 17,158.

Gewählt Rundeisen mit d = 4,7 cm und F = 17,34 qcm.

Für die Berechnung des Auflagereisensbetonbalkens gilt folgendes (Fig. 232): Dieser Balken wird senkrecht, bei einer Stützenentfernung von 4,0 m, belastet mit

20

— (366 + 150) = 5160 kg

u

Eigengewicht des Balkens = 0,4 • 0,7 • 1 • 2400 = 672 „

5832 = ~ 5840 kg.

Für teilweise Einspannung wird:

Cn| 4^

4 - 5840 • 400

= 934400.

Nach den Gleichungen (1), (2) und (3), Seite 28 und 29, wird (Fig. 233)

j/i +

y = 15 -18,08

2-40-66

40

15 •1808

= 24 cm,

Der Balken wird ferner durch eine Horizontalkraft, bei einer Auflagerlänge von 2 m, belastet mit

P = H = 20576 kg,

4 20576-200

!l

Ke =

V'

/,

934400

! \*4SM

= 893 kg/qcm.

70

IS*

___±_

-r-—r j.

* tu

iitü

-kU-

ho

Fig. 232.

Fig. 234.

Fig. 233.

Kb =

2 • 934400

40-24

= 31,8 kg/qcm,

411520.

Nach den Gleichungen (1), (2) und (3), Seite 28 und 29, wird (Big. 234):

15 - 19,64

y -    70

2-70-36

15 • 19,64_

= 15,48 cm,

Kb =

2 • 411520

Ke =

70- 15,48 ^36 411520

15,48 \ 3“ /

= 24,7 kg/qcm,

19,64 (36 —

15,48 \ 3    /

678 kg/qcm.

D. Die Rahmendächer.

Unter Rahmendächer versteht man Dächer, bei welchen die Binder aus Rahmen ohne sichtbare Zugstäbe bestehen.

In den Fig. 235—238 sind einige Formen angegeben.

Fig. 235—238.

Berechnung.

Die Berechnung dieser Dächer erfolgt als Zweigelenkbogen mit konstantem Trägheitsmoment, indem man an den Fussenden Gelenke annimmt. Der Gang der Berechnung mag an folgendem Beispiele gezeigt werden. (Tafel VI.)

Die für diesen Rahmen ermittelten äusseren Kräfte sind in die Hauptfigur eingetragen, und zwar für einen von rechts wirkenden Winddruck.

Darauf wurden die Kräfte der Reihe nach aufgetragen (Fig. 1), ein Pol Oj angenommen, die Polstrahlen gezogen und mit A beginnend der zugehörige Seilzug (Fig. 3) gezeichnet. Der Schnittpunkt der ersten und letzten Seilzugseite ergibt den Angriffspunkt der Resultierenden R. Um nun in dem Krafteck (Fig. 1) die Auflagerreaktion A zu finden, zieht man durch das Auflager B eine Parallele zu R, bis der letzte Seilzugstrahl geschnitten wird. Diesen Schnittpunkt verbindet man mit A und erhält so die Schlusslinie S.

Zieht man jetzt durch Oj eine Parallele zu S, so wird die Resultierende R im Punkte c geschnitten. Durch c eine Horizontale gezogen bis die Senkrechte durch a geschnitten wird, ergibt die senkrechte Auflagerreaktion A.

Man kann nun übergehen zur Bestimmung des Horizontalschubes H. Derselbe ergibt sich wie folgt:

Man teilt den Bogen in einzelne Teile, Lamellen, ein. Diese Lamellen müssen möglichst so gehalten sein, dass Angriffspunkte von äusseren Kräften mit Lamellenschwerpunkten zusammenfallen.

Für diese Lamellen berechnet man nun die Ausdrücke (elastischen Gewichte)

Aw =

i* y

E • J’

Sind nun E (Elastizitätsmodul) und J (Trägheitsmoment) konstant, so kann man sie = 1 setzen, und man erhält

A w = 1- y,

hierin ist 1 die Länge der Lamelle in m und y der Abstand der Lamellen von der Bogensehne in m gemessen.

Anmerkung: Die A w greifen genau genommen in den Antipolen der Lamellen, bezogen auf die Bogensehne, an.

Die Werte für dieses Projekt wurden in der Tabelle I zusammengestellt. Man trägt nun diese elastischen Gewichte der Reihe nach auf (Fig. 2), nimmt einen Pol 0 der Mitte gegenüber an. Die Polweite beträgt in unserem Falle:

16

w = H₄ = 2Aw.

Zu diesen Polstrahlen parallel wird nun ein Seileck (Fig. 3 unten) gezogen. Die Verlängerung der äussersten Seilzugseiten ergibt die senkrechte Schwerachse des Bogens, welche, da der Bogen symmetrisch ist, mit der Mittellinie zusammenfallen muss. Jetzt dreht man das Krafteck der Fig. 3 um 90° (Fig. 4), lässt also die Aw horizontal wirken, zeichnet parallel zu den neuen Polstrahlen das zugehörige Seileck (Fig. 5). Es liefert im Schnittpunkt 8 der ersten und letzten Seilzugseite die horizontale Schwerlinie des mit den elastischen Gewichten belastet gedachten Bogens.

Sie liegt nun m = 6,9 m von der Bogensehne entfernt.

Die Lasten sind der Reihe nach, beim linken Auflager beginnend, mit Pj bezeichnet. Die zwischen der Last und dem Auflager B hegende Summe der Aw sei wj genannt. Der senkrechte Abstand der Last von den jeweiligen Schwerpunkten der Wi sei pj.

Die Schwerpunkte der Wj findet man in den Seilecken der Aw (Fig. 3 unten und Fig. 5), indem man den jeweiligen ersten Seilzugstrahl mit dem letzten Seilzugstrahl zum Schnitte bringt und die sich ergebenden Schwerlinien bis zum Schnitte verlängert. Für Punkt 2 ist die Konstruktion durchgeführt, für die anderen angedeutet.

Die Lasten Pis die Ausdrücke w₄ und die Hebelarme p₄ wurden in Tabelle II zusammengestellt. Da die Lasten P₄ und P₂ gleiche Hebelarme pt haben, so wurden sie zusammengefasst zu Pitk Dasselbe ist mit P₃ und P₄, ferner mit P₅ und P₆ geschehen.

Bezeichnet man nun den Abstand der senkrechten Schwerlinie des Bogens

vom Auflager A mit a = ^ = — = 5, so ergibt sich der Horizontalschub aus

u    u

der Gleichung

A’Pi* Wj- pi

Nach Tabelle II ist

2Pi- Wj- pi= 10120,73,

nach Tabelle I ist

w = 138,45

mithin

19,09-5    10120,73

6,8    6,8 - 138,45

= 3,29 t.

Diesen Horizontalschub vereinigt man jetzt mit dem Auflagerdruck A (Fig. 1) zur Resultierenden Rr Der sich ergebende Pol ist 0₂. Zieht man nun zu diesem Pol die Polstrahlen und mit A beginnend den zugehörigen Seilzug, so muss dieser Seilzug auch durch das linke Auflager B gehen. Der Seilzug stellt auch zugleich die Stützlinie dar.

Das grösste Moment ergibt sich nun in dem Knick über dem linken Auflager und beträgt

Mmax = 11450 • 172 = 1969300 kg/cm.

je 8 Srsin cc 2V%

Nimmt man nun den Querschnitt des Balkens nach Fig. 239 an, so wird nach den Gleichungen (8a), (9),. (10) und (11), Seite 35:

♦♦

56

60

Fig. 239.

3o y —

Kb =

2 • 15-36,16

30

1/

30 (56 + 4)

2 - 15 • 36,16

= 23 cm,

6- 1969300-23

30 • 23² (3 • 56 — 23) + 6 • 36,16 • 15 (56 — 4) (23 — 4) = 49,3 kg/qcm,

Kg = 15 • 49,3

(56 — 23)

₂₃    = 1060 kg/qcm Zug,

Ke; = 15 • 49,3

(23 — 4)

= 610 kg/qcm Druck.

L.Ö

In Fig. 240 ist die Seitenansicht zur Darstellung gebracht.

ph

lfm

ID

ikJIiH 111

DllE

jFflW

II'-

IIH-

PJ

zi

Fig. 240.

E. Die Kegel- und Zeltdächer.

Unter diesen Dächern versteht man Dächer in Form eines geraden Hohlkegels über kreisförmigem Grundriss. Kegeldächer nennt man nun solche Dächer, bei denen der Neigungswinkel a grösser ist als 45°, und Zeltdächer solche, bei denen der Neigungswinkel a kleiner als 45° (Fig. 241—243).

,.v

7«

Wa ¹

Fig. 241—243.

Berechnung.

Die Berechnung dieser Dächer erfolgt in ähnlicher Weise wie bei den entsprechenden Dächern im Eisenbau.

Bezeichnet man die Gesamtbelastung in kg/qm Grundrissfläche mit g, so beträgt das Gewicht des ganzen Daches, also auch der Auflagerdruek (Fig. 244 u. 245)

P — r² • Ti • g.

Für einen Kreisausschnitt mit dem Bogen B == 1 wird dann:

1.

2. Px =

r² • Tr • g

2 • r • 7r 2

Fig. 246.

b-

[•L

Fig. 244 u. 245.

Fig. 247.

Diese Kraft Pt zerlegt sich nun am Auflager (Fig. 246) in eine Seitenkraft S, welche in die Richtung der Kegelerzeugenden hineinfällt und in eine Horizontalkraft H, welche senkrecht zur Achse des Kegels steht.

Es wird:

3. S =

Pi

sin a 2 • sin a

4. H = A. = r'g tg a 2 • tg a

Die Kraft H erzeugt eine Ringzugspannung von der Grösse

5. R = H • r = J-l- • r =

2 tg a

r² • g

2 tg a’

Für einen beliebigen Querschnitt im Abstande p vom Mittelpunkt im Grundriss wird (Fig. 247)

6. b = —

<S 1*0

vH

Die senkrechte Belastung für diesen Querschnitt beträgt:

7. p = p² • r> • g,

also für den Bogen = 1 m

8.

Pi =

p² • ir • g

2 • p • TT

mithin für einen Streifen von b

9. Pb=^

O-¹ Sh

p² • g

2 • r*

Diese Kraft pb zerlegt sich wieder (Fig. 248) in eine Seitenkraft s und eine Horizontalkraft h. Es wird

10.

Pb

sin a

2 • r • sin a

Druck,

u. h= Pb

P² -g

■5

tg a 2 • r • tg a

Druck.

j¹

Die Horizontalkraft h erzeugt nun wieder eine Ringspannung von

Fig. 248.

12.

R,= h.r=/4-..r = y •    2 • r • tg a

P²-g 2 tg a

Druck.

Betrachtet man nun die Grösse R₀ = 2—

P'-g

2 tg a

und formt sie um in

P² =

2 • tg a

so stellt diese Gleichung die Scheitelgleichung der Parabel dar.

Um mithin die Ringspannungen in allen Querschnitten zu finden, genügt die

r² • g

Konstruktion einer Parabel mit den zugehörigen Rechtecklängen von R = ---

2 tg a

und f, der Höhe des Kegels.

Um die Parabel zu konstruieren, teilt man die Grundlinie R in eine Anzahl

gleicher Teile und die Höhe f in dieselbe Anzahl gleicher Teile. Die übrige Konstruktion ist aus Fig. 249 klar zu ersehen.

p2 . or •

r -, so stellt diese 2 • sin a

Betrachtet man nun ferner die Gleichung s =

ebenfalls die Gleichung einer Parabel dar, deren Konstruktion aus Fig. 250 zu ersehen ist.

o<

i>— n. 4¹ -

2 hrnfoC

_ £. JjJ-

2- Szn.cc

Fig. 249 u. 250.

Beispiel:

Ein Zeltdach habe die in Fig. 251 angegebenen Abmessungen. Die Eindeckung bestehe aus einer doppelten Teerpapplage.

Eigengewicht 1 • 1 • 0,08 • 2400 = 192 kg/qm schräger Dachfläche 1 • 1 • 20 = 20

Abdeckung

33

33

33

212 kg/qm schräger Dachfläche

aO

r*ß

*r

Tc8

Fig. 251.

= 236 kg/qm Grundrissfläche

Für den Quadratmeter Horizontalprojektion wird mithin 212    212    212 • 9

oo los

cos a

Nutzlast aus Schnee und Wind = 150

33

33

g = 386 kg/qm Grundrissfläche

Es wird :

ci

OO

ec

CM

00

ec

^ ICO 02

24 700 kg,

3474 kg.

CM

Mit Hilfe dieser Kräfte Parabeln gezeichnet.

wurden die in den Fig. 252 u. 253 dargestellten

r~

--6115 - -

Ur--J*

t>

2Y100

r~

~---368- -

3y?y

>>

Fig. 252 u. 253.

Berechnung des Auflagerringes.

24 700

Fe =

1200

= 20,6 qcm,

Gewählt i_i N • P 14 mit Fe = 20,4 qcm (Fig. 254).

Berechnung der Druckspannung im Beton, hervorgerufen durch die

Seitenkraft S.

3474

B • dt — 100 • 10

Auf Betonabscherung am Auflager wird

Kb =

= 3,474 kg/qcm.

K _ Pi _ r • g _    ⁸ • ³⁸⁶

~ B • dx' — 2 • 100 • 11,25    2 • 100 • 11,25

= 1,38 kg/qcm,

<V =

dx

cos a

o Jco |cs

= 11,25 cm (Fig. 255).

Eisenbetonkonstruktionen I.

io

Will man nun z. B. die Spannungen in einer Höhe f = 2 m, also für einen Radius p = 4 m berechnen, so wird die Ringdruckspannung im Beton

6175

Kb =

6175

= 7,72 kg/qcm

100 • d₂

und die entsprechende Druckspannung, hervorgerufen durch die Seitenkraft s, für

100- 8

loo

= 0,5 m,

Kb =

868

50-8

= 2,17 kg/qcm.

oC

Fig. 254.

Fig. 255.

Fig. 256.

Auf Abscherung ist an dieser Stelle für b = 0,5 m und

<V =

d₂

cos a

00 00 05

= 9 cm,

= 0,86 kg/qcm.

4² • 386

50 • d₂'    2 • 8 • 50 • 9

Da in den Kegel- bzw. Zeltdächern, mit Ausnahme des Auflagerringes, nur Druck- bezw. Scherspannungen auftreten, so wäre theoretisch eine Armierung, mit Ausnahme des Auflagerringes, nicht nötig. In der Praxis jedoch pflegt man eine Armierung aus dünnen Stäben anzuordnen, welche in der Richtung der Kegelerzeugenden und in konzentrischen Ringen angebracht werden (Fig. 256),

T.ra-t

.U*2-r-T

rr

—+-

T'ß-b-z

i_____\Jl^Z(^*b]

CH

0L

Fig. 257.

Fig. 258.

F. Die Kuppeldächer.

Der Grundriss der Kuppeldächer ist in der Regel kreisförmig oder elliptisch <Fig. 257 u. 258).

Die Kuppelerzeugende kann sehr verschiedenartig gestaltet sein; es sind in den Fig. 259—264 einige Formen angegeben.

ifh

Fig. 259—264.

Berechnung.

Die Berechnung der Kuppeln erfolgt genau in derselben Weise wie bei den Kegeldächern. Der einzige Unterschied besteht darin, dass sich bei den Kuppeldächern die Dachneigungswinkel fortwährend ändern.

r -J

Fig. 266.

’S

-j

Fig. 265.

|*-

3»«

J|,<5

:    s,5i

A«?

i,»

Äff

V 55

I*

4, n

LLU1.1

ff

Fig. 267.

io*

Eine Kreissegment -Kuppel Es wird

1. Beispiel:

habe die in Fig. 265 angegebenen Abmessungen.

et,

l²

16²

+»- 8^4 +

10,00 m.

L ■>

£ -J i

Fig. 268.

sin 04 = —; cos ax

Man nimmt nun eine Reihe von Grundradien im Abstande von eo 1,0 m an und berechnet die zugehörigen Höhen fj nach der Gleichung (Fig. 266 u. 267)

fx = V rb² — (r — x)² — (r₅ — f)

oder greift sie einfacher aus der Zeichnung ab.

Ferner berechnet man den Sinus, den Cosinus und die Tangente zu den verschiedenen Radien (Fig. 268) nach den Gleichungen

rb + fi — f

rb

rb

; tg<*i =

ri

rb + fx — f ’

rb

fr

sin 04

cos oq

tg«i

10

10

10

oo I co

10

1,14

7,14

10

10

7,14

10

10

10

10

2,66

8,66

10

10

8,66

10

3,165

9,165

10

10

9,165

10

3.54

10

9,54

10

3,8

10

9,8

10

3,95

CD

10

10

9,95

Besteht die Abdeckung aus einer 2 cm starken, fetten Mörtelschicht, und ist die Kuppel am Kämpfer 20 cm, im Scheitel 10 cm, also im Mittel 15 cm stark, so wird

Eigengewicht 1 • 1 • 0,15 • 2400 = 360 kg/qm schräger Dachneigung Abdeckung

1 . 1 • 2 • 20 = 40

55

55

55

400 kg/qm schräger Dachneigung

8 66

10

Für eine mittlere Dachneigung von coso^ = —wird

400

—— = 462 kg/qm Grundrissfläche

8,66

10

Nutzlast aus Schnee und Wind = 150

99

99

g = 612 kg/qm Grundrissfläche.

Die Ringspannungen berechnen sich nach Gleichung 12, Seite 133, zu

Ri =

ri²‘g

2 • tga

und die Seitenspannungen zu (Gleichung 10, Seite 133)

S, =

ri² -g 2 • r • sina

Mit Hilfe dieser Gleichungen wurde folgende Tabelle berechnet:

Si

91

00

CO

CO

CO

CO loo

14688

8²-612 10

2-8 8

= 3060

72-612 7,14

15294

72-612 10

Y = 2678

M

CO

IC

Ol

oo |co

14688

6²-612 10 2 • 8 ' 6

= 2395

5² • 612 8,66

13250

5²-612 10

2-8

42-612 9,165

= 11218

4²-612 10 2-8    4

— = 1530

3²-612 9,54

= 8758

32-612 10

2-8

T = 1148

2²-612 9,8

6000

22-612 10 T-8~ ‘ 2

= 765

12-612    10

2-8 1

¹² ■'⁶¹²    = 3040

¹

Ueber die Berechnung der Eisenkonstruktionen vgl. E. Fölzer: „Berechnung der eisernen Dächer“. (43 A, I.)

Berechnung des Auflagerringes (r = 8).

14688

1200

12,24 qcm.

Gewählt L_i N • P 10 mit Fe = 13,5 qcm

Berechnung der Druckspannungen im Beton, hervorgerufen durch die

Seitenkraft S.

Kb =

•=31 CO

3060

100 • 20

= 1,53 kg/qcm.

Auf Abscherung am Auflager wird für

<V =

dj 20

cos a

= 33,33

cm

r*g

8-612

2 • 100 • 33,33 = 0,74 kg/qcm.

4,5

Will man nun z B. für den Radius r = 4 m, also für die Höhe fj = 3,165 m die Spannungen berechnen, so wird die Ringdruckspannung im Beton

i*- 2,0-*1

Kb =

11218

100 • 15

= 7,48 kg/qcm

5k( i

und die entsprechende Druckspannung, hervorgerufen durch die Seitenkraft S, für

= 0,5 m,

--'Ir 5,2 - —

JT _

T/a ---~5,2 - **- — t- i2-5,2* 6,6

------~

lr. 10, k

Kb =

1530

50 • 15

= 2,04 kg/qcm.

</$k

Auf Abscherung wird an dieser Stelle für b = 0,5 m und

<V

d₂

15

Fig. 269.

cos a

9,165

= 16,3 cm

10

TT _ Pb

bs F

r²- g

4² - 612

2 ■ 8 - 50 • 16,3

= 0,75 kg/qcm.

Da mit Ausnahme des Fussringes in der Kuppel nur Druck- bzw. Scherspannungen auftreten, so wäre theoretisch nur am Kämpfer eine Armierung notwendig. In der Praxis jedoch pflegt man eine Armierung aus dünnen Stäben anzuordnen, welche aus konzentrischen Ringen und aus Stäben in Richtung der Kuppelerzeugenden besteht. Auch hat die Armierung den Zweck, etwraige in der Kuppel auftretende Zugspannungen, hervorgerufen durch ungleiche Belastung, aufzunehmen (Fig. 256).

2. Beispiel:

Eine Doppelkuppel habe den in Fig. 269 angegebenen Querschnitt.

Da die Berechnung der inneren Kuppel analog Beispiel 1 ist, so soll von der Berechnung dieser Kuppel abgesehen werden.

Für die Aussenkuppel sei dagegen der Gang der Berechnung angegeben. Das Gewicht der eigentlichen Kuppel einschl. Schnee und Wind betrage

G = 400 000 kg

und das Gewicht der Bekrönung

Q = 9000 kg.

Berechnung am Auflager.

Es sind für die Berechnung der Winkel: rb = 12 m und r = 12 m, mithin

sin a =

12

IC

= 1,

cos a =

= 0,

rb + fi — f

rb

12 4- 0 — 12

12

tg a =

12

= CO.

rb ~r fi — f

Da die Tangente am Auflager = <xi wird, so entstehen hier keine Horizontalkräfte, mithin auch keine Ringspannungen. Die Anordnung eines kräftigen Ringes dürfte sich jedoch empfehlen.

Da sin a = 1, so fällt die Seitenkraft mit der Senkrechten zusammen.

12 + 0 — 12

Es wird

P = rr • g (r² — p²) + Q = 400 000 + 9000 = 409 000 kg,

für die Bekrönung wird

Q-| Sh

1,5

10,4

= 0,152 m,

mithin

Pi =

” • g (r² — p²)

9000

• 0,152 = 6123 + 145 = 6268 kg.

2 • p • Tt

Die Stärke der Kuppel beträgt am Auflager 30 cm, folglich

2 • r • tu

Kb =

6268

30 • 100

= 2,089 kg/qcm.

Will man nun z. B. die Spannungen in einer Entfernung von 5,2 m vom linken Auflager, also bei einer Höhe fx = 9,9 m, berechnen, so hat man

12 — 5,2

sin ax =

12

= 0,567,

cos ax =

12 + 9,9—12

fb

12

= 0,825,

tg OCj =

ri

12 — 5,2

rb + fi — f

9,9

= 0,69.

Die Belastung in kg/qm Kuppel wird

(r² — p²) • 3,14

— = 1200 kg.

Die Belastung in kg/qm Bekrönung wird

q p² • 3,14

= 1268 kg.

Es wird

p = ic • g (rx² — p²) + u • q • p² = 3,14 • 1200 (5,2² — 1,5²) + 3,14 • 1268 • 1,5*

= 93410 + 9000

tc . q • p² _ 1200 (5,2² — 1,5²)

2 • p • 7t    2 • 5,2

= 2860 + 145 = 3005 «» 3000.

Pi =

* ’ g (ri² — P²)

1268 • 1,5

2 • rx • Tr

- 0,152

Auf einen Streifen von bx =

5,2

10,4

= 0,5 kommt mithin

folglich

pb = 0,5 • 3000 = 1500 kg,

Pb

1500

sin oq 0,567

= 2646,

R = h • r = Pb

1500

tg oq ¹    0,69

• 10,4 = 22610.

Die Ringdruckspannung im Beton beträgt somit an dieser Stelle bei einer Kuppelstärke von 20 cm

Kb =

22610

100 • 20

= 11,3 kg/qcm.

Die Seitendruckspannung

Kb =

2646

50-20

= 2,646 kg/qcm.

Die Scherspannung beträgt für b = 0,5 und

d₂' =

20

cos oq

0,825

= 24,4 cm,

Kb₃ =

1500

50 • 24,4

= 1,23 kg/qcm

XI.

Eisenarmierte Betonwände.

Unter diesen Wänden sollen lediglich solche Konstruktionen verstanden werden, welche zur Umschliessung bzw. Teilung von Räumen dienen. Da die Anführung aller Systeme, deren es eine grosse Anzahl gibt, den Rahmen dieses Werkchens überschreiten würde, so sollen in folgendem nur eine Reihe derselben hervorgehoben werden, zumal auf eine Berechnung dieser Wände im allgemeinen verzichtet werden kann und eine Berechnung nur dann am Platze ist, wenn grössere seitliche Kräfte auf dieselben einwirken.

Die Hauptvorteile aller dieser Wände bestehen nun darin, dass dieselben einmal schnell und leicht hergestellt werden können, zum anderen aber, dass dieselben sich frei tragen, d. h. zu ihrer Konstruktion sind keine besonderen Träger bzw. Unterzüge notwendig, vielmehr überträgt sich ihr Gewicht in Gestalt von Auflagerdrücken auf die anschliessenden Mauern bzw. Pfeiler.

Ihr Hauptnachteil besteht darin, dass sie gute Wärmeleiter sind, doch kann man diesem Uebelstande durch Doppelwände mit Isolierschicht abhelfen.

1. Wände nach System „Monier“.

Die Armierung dieser 5—10 cm starken Wände besteht aus horizontalen Tragstäben und senkrechten Druckverteilungsstäben. Erstere sind <>= 10, letztere ⁰⁰ 15 cm voneinander entfernt. Diese Armierung ist in der Mitte angeordnet <Fig. 270).

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Fig. 270.

Fig. 271.

Wirken jedoch Horizontalkräfte auf die Wand ein, so wird in dem Falle, dass diese Kräfte nur einseitig wirken, eine seitliche Armierung nach Art der einfachen armierten Decken angeordnet, und zwar befindet sich diese Armierung auf der der Kraftrichtung entgegengesetzten Seite (Fig. 271).

Können jedoch die Horizontalkräfte beiderseitig wirken, so erfolgt auch eine beiderseitige Armierung (Fig. 272).

Die Berechnung erfolgt genau so wie bei den armierten Decken. Bei Doppelwänden erhält die innere Wand eine Stärke von 3—4 cm, die äussere eine solche von 5—6 cm, während der Zwischenraum 10—15 cm beträgt.

2. Wände nach System „Hennebique“.

Werden diese Wände nur durch ihr Eigengewicht beansprucht, so erfolgt ihre Armierung genau so wie bei den Monier-Wänden, also mit der Armierung

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Fig. 273.

Fig. 272.

Treten jedoch seitliche Beanspruchungen auf, so werden die

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Vertikalstäbe entsprechend auf die Seite der Wand verlegt und die auch den Hennebique-Decken charakteristischen Bügel angeordnet (Fig. 273).

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Fig. 275.

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Fig. 276.

Fig. 274.

3.    Wände nach System „Wayss“.

Diese Decken sind den Monier-Decken nachgebildet. Der Unterschied besteht einzig und allein darin, dass die horizontalen Stäbe mit ¹/₈-Pfeil nach oben durchgebogen sind. Der Zweck dieser Aufbiegung liegt darin begründet, dasa durch dieses Aufbiegen das Gewicht der Wand nach Art der Gewölbe auf die anschliessenden Mauern bzw. Pfeiler übertragen wird (Fig. 274).

4.    Wände nach System „Chaudy“.

Bei diesen Wänden werden die Vertikalstäbe abwechselnd zu zweien auf jeder Seite der Wand angeordnet, und die Horizontalstäbe, mäanderförmig ge bogen, umschliessen diese Stäbe gleichsam als Bügel (Fig. 275).

5. Wände nach System „Streckmetall“.

Die gewöhnliche Anordnung dieser Wände besteht darin, dass das Streck

metall zwischen senkrechte Stäbe, welche 30—80 cm voneinander entfernt liegen,.

diese umschlingend, befestigt wird (Fig. 276). Das Füllmaterial besteht gewöhnlich nicht aus Beton, sondern aus Kalkmörtel mit Gipszusatz.

6. Wände nach System „Rabitz“.

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Die Armierung besteht bei diesen Wänden aus einem Drahtnetz, dessen Drähte 1 mm stark sind und dessen Maschenweite co 20 mm beträgt.

Netz wird in einen Rahmen straff eingespannt. Das Füllmaterial besteht in der Regel aus einer mit Leimwasser angemachten Mischung von Kalkmörtel, Gips und Kälberhaar, seltener aus Beton.

7. Wände nach System „Drahtziegelwände“.

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Diese Wände sind den Rabitz-Wänden nahe verwandt. Sie bestehen auch aus einem Drahtnetz, doch sind auf dem Draht aufgepresste und ziegelhartgebrannte Tonkörperchen angeordnet, deren Zweck ein besseres Festhalten des Füllmaterials ist (Fig. 277). Bei grossen Wänden ist auch hier, wie bei den Rabitz-Wänden, eine Armierung aus stärkeren Stäben vorzusehen.

8. Wände nach System „Prüss“.

Fig. 277.

Bei den Prüssschen Wänden, welche genau genommen nicht in den Rahmen dieses Werkcbens hineingehören, welche aber wegen ihrer Zweckmässigkeit allgemein bekannt geworden sind, besteht die Armierung aus Bandeisen 28 X D/4 mm (3^g- 278). Diese Bandeisen bilden ein Netz mit quadratischen Maschen, deren Grösse <*> 53 cm beträgt. Dieses Netz ist in einen Rahmen straff eingespannt. In den Maschen wird nun die Füllung angeordnet, welche aus porösen Trapezsteinen (A), hohlen Mauersteinen (B), Platten (C) oder Verblendmauerwerk (D) bestehen kann).

Die Ausmauerung hat so zu erfolgen, dass die Bandeisen vollständig in Zementmörtel eingebettet sind und so vor Rost und Feuer geschützt sind.

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XII.

Berechnung der Konsole einer Balkonanlage.

Es sei angenommen, dass die Konsole die Gewichte beider Baikone (Fig.279u.280) aufzunehmen haben.

Berechnung der Decke.

Die Decke hat eine Spannweite von 2,0 m, bei einer Deckenstärke von 0,12 cm. Eigengewicht der Decke 1 • 1 • 0,12 • 2400 = 288 kg/qm

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Berechnung der Konsole.

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Auf eine vordere Säule kommt eine Belastung von: Eckpfosten

. 2400 = 215 „

Teilweise Einspannung vorausgesetzt, wird:

2,0 • 728 • 200

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= 29120.

Nach den Gleichungen (1), (2) und (3), Seite 28 und 29, wird dann:

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2 • 29120

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= 21,6 kg/qcm,

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Nutzlast

1,5 • 2

. 400 = 300 „

Px = 1120 kg

Mithin

Für die hinteren Säulen sei dieselbe Belastung angenommen, obwohl diese Belastung in Wirklichkeit etwas kleiner wird.

P₂ = 1120 kg.

Jede Säule einschl. des darunter liegenden Eckpfostens wiegt:

0,25 - 0,25 - 3,3 • 2000 = 412 kg.

Gewicht der Konsole:

G = M+M . 1,5 - 0,3 • 2400 = 324 kg.

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M = 1532 • (137,5 + 12,5) + 1474 • 75 = 340350.

Es sei der in Fig. 282 angegebene Querschnitt gewählt, dann wird nach den Gleichungen (8a), (9), ⁻ (10) und (11), Seite 35

2 • 15 • 12,56

“HO

Fig. 282.

30

14

30 (36 + 4)

2 • 15 • 12,56

= 13 cm,

Kb =

6-340350- 13

30- 13² (3- 36 — 13) 4- 6-12,56 (36 — 4) (13 — 4) (36 — 13)

= 32,9 kg/qcm,

Ke = 15 • 32,9

13

854 kg/qcm,

Ke; = 15 - 32,9

(13-4)

13

= 342 kg/qcm.

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XIII.

Literaturangabe.

Mörsch, Der Eisenbetonbau, seine Theorie und Anwendung. Könen, Grundzüge für die statische Berechnung der Beton- und Betoneisenbauten.

Christoph, Der Eisenbeton und seine Anwendung.

S a 1 i g e r, Der Eisenbeton.

Turley, Anleitung zur statischen Berechnung von armierten Betonkonstruktionen.

K e r s t e n, Der Eisenbetonbau.

Handbuch des Eisenbetonbaues.

Beton und Eisen, Internationales Organ für Betonbau. Zement und Beton.

Betonkalender.

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Gesamtkonstruktion einer Decke.

Tafel IV,

Eisenarmierung der Treppe im Neubau des Technikum Strelitz.

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