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VERÖFFENTLICHUNG

DES KÖNIGL. PREUSSISCHEN GEODÄTISCHEN INSTITUTES

UND

CENTRALBUREÄUS DER INTERNATIONALEN ERDMESSUNG

BEITRÄGE

ZUR

THEORIE DES REVERSIONSPENDELS

VON

F. E. HELMEET

MIT EINER TAFEL

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POTSDAM

DRUCK UND VERLAG VON B. G. TEUBNER IN LEIPZIG 1898

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ALLE RECHTE, EINSCHLIESSLICH DES ÜBERSETZUNGSRECHTS, VORBEHALTEN

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Inhaltsverzeichnis.

I. Der Einflufs der Elasticität der Pendel hei absoluten Schwerebestimmungen.

Seite

§ 1. Vorbemerkungen.......................

§ 2. Das starre Pendel, Grundgleichungen.............

§ 3. Das elastische Pendel, Grundgleichung für die Biegung.....

§ 4. Längsdehnung........................

§ 5. Bewegung des elastischen Pendels..............

§ 6. Das Reversionspendel....................

§ 7. Gerader Stab........................

§ 8. Höhere Glieder der Entwicklung...............

§ 9. Näherungsformeln für das Reversionspendel..........

§ 10. Anwendung auf verschiedene Reversionspendel.........

§11. Das neue, stark biegsame Meterpendel des Geodätischen Institutes

§ 12. Bestimmung des Elasticitätsmoduls..............

§ 13. Schlufsbemerkung.......................

10

12

14

15

28

30

II. Yorversuclie für die Bestimmung der Länge des mathematischen Sekundenpendels.

Der Apparat.........................................

Die Beobachtungen ......................................

Die Schwingungsdauer.....................................

Temperatur und Luftdichte...................................

Zeitbestimmungen.......................................

Die Schwingungszeiten in Sternzeit...............................

Schneidenabstand.......................................

Die Mafsstäbe.........................................

Ableitung der Endwerte....................................

32

33

. 41

43

45

47

50

52

54

III. Verschiedene Beiträge zur Theorie.

§ 1. Vorbemerkungen.....................

§ 2. Der Einflufs der umgebenden Luft.............

§ 3. Parallelismus der Schneiden................

§ 4. Symmetrie der äufseren Form...............

§ 5. Abrollen der Schneide auf dem Lager............

§ 6. Verschiebungen der Schneide und des Lagers: Vorbemerkungen

§ 7. Mitschwingen des Stativs und Untergrundes.........

§ 8. Das Wippen mit der Federwage..............

§ 9. Das Gleiten der Schneide auf dem Lager..........

§ 10. Einflufs des Schwingungsbogens auf die Schwingungsdauer .

§11. Das Glissement......................

§ 12. Verschiedenartige kleine Bewegungen der Schneide......

§ 13. Zusammenstellung der Grundformeln............

§ 14. Reduktion der Schwingungsdauer auf gleiche Luftdichte . . .

§ 15. Verkürzung des Mafsstabes durch sein Gewicht.......

§ 16. Einflufs der Dehnung des Pendels..............

§17. Einflufs eines Höhengradienten der Temperatur........

56

57

58

60

61

67

70

73

76

80

81

84

85

88

89

90

Verbesserungen.

S. 57, Z. 4 v. o. ist hinzuzufügen: Vergl. Teil II, S. 51 und 52.

S. 64, (16*). Unter dem Integralzeichen bedeutet (x₀ -f- a) das arithmetische Mittel der beiden Werte für gleichgrofse Elongationen 0 beiderseits der Vertikalen.

I. Der Einflufs der Elasticität der Pendel bei absoluten Schwerebestimmungen.

§ 1. Vorbemerkungen. Auf die Notwendigkeit der Berücksichtigung der elastischen Biegsamkeit der Pendelkörper bei der Theorie der Pendelbewegung hat wohl zuerst im Jahre 1884 C. S. Peirce hingewiesen¹). Unabhängig hiervon wurde zehn Jahre später diese Notwendigkeit von Dr. Kühnen aus einem äufseren Anlasse aufs neue erkannt und darüber der Allgemeinen Konferenz der Internationalen Erdmessung im Oktober 1895 zu Berlin Mitteilung gemacht²). Den Anlafs bot ein im Geodätischen Institut zu Potsdam gefundenes, stark abweichendes Ergebnis für die Länge des mathematischen Sekundenpendels, welches mit einem neuen Reversionspendel von bedeutender Biegsamkeit erhalten worden war³). Wenn man auch fernerhin solche Pendelkörper wieder vermeiden wird, so ist es doch unerläfslich in allen Fällen den etwa noch verbleibenden Einflufs der Biegsamkeit zu schätzen, da derselbe bei den stärksten bekannten Pendelkörpern nicht ganz unmerklich ist und auch bei Neukonstruktionen kaum zum Verschwinden gebracht werden wird.

Eine strenge Theorie dürfte allerdings nicht durchführbar sein — keinesfalls dann, wenn längs der Pendelstange der Querschnitt, wie in der Regel, plötzliche Änderungen aufweist. Ich nehme hier von Haus aus die Voraussetzungen an, welcher sich die Technik bei der Biegungstheorie der Träger von konstantem Querschnitt bedient, wonach eine neutrale Faserschicht existiert, zu welcher der Querschnitt des Pendelkörpers bei der Biegung überall normal bleibt, ohne seine Form zu ändern. Die neutrale Faserschicht steht bei dem üblichen, zur Schwingungsebene symmetrischen Bau der Pendelkörper auf der Schwingungsebene normal und geht durch die Pendelschneide; im Ruhezustände können wir sie als vertikale Ebene annehmen⁴).

Die Theorie der Pendelbewegung denke ich mir mittelst des Prinzips von d’Älembert auf ein statisches Problem zurückgeführt. Die Grleichgewichtsbedingungen für die verlorenen Kräfte sind anzusetzen sowohl für den ganzen Pendelkörper wie für einzelne Teile. Im ersteren Falle erhält man die Pendelbewegung, im zweiten die Formveränderungen. Da nun aber beide sich gegenseitig bedingen, so wird eine strenge Lösung verwickelt. (Yergl. weiterhin § 8, betr. ein dünnes stangenförmiges Pendel.) Indessen reicht für nicht sehr dünne Pendelkörper folgende Näherung aus.

Denkt man sich zunächst die Formveränderungen nur mit den verlorenen Kräften abgeleitet, welche der Bewegung des als starr angenommenen Pendelkörpers entsprechen, so werden die Verschiebungen der Teilchen gegen den starren Zustand einem gewissen Elasticitäts-Koefficienten s proportional sein. Hierdurch ändern sich die verlorenen Kräfte um Gröfsen, die s proportional sind und erneute Verschiebungen der Teilchen bedingen, die proportional s² sein werden, aber für gewöhnlich vernachlässigt werden können. In der Regel mufs man daher eine gute Annäherung erhalten, wenn man der Theorie der Pendelbewegung diejenige Gestalt des Pendels zu Grunde legt, die den am starren Pendel sich zeigenden verlorenen Kräften entspricht.

Zur Vereinfachung wird endlich noch vom Luftwiderstand abgesehen und Drehung um eine horizontale, feste mathematische Linie angenommen.

§ 2. Das starre Pendel, Grimdgleichimgen. Für das starre Pendel gilt bekanntlich, abgesehen von Störungen, die Differentialgleichung der Bewegung

= — ~ sin 0 für l =

d²Q

(1)

Mh >

wobei J das Trägheitsmoment des Pendels für die Drehungsaxe, M die Masse und h den Abstand des Schwerpunkts von der Drehungsaxe bezeichnet, ferner cc die gröfste Elongation und 0 die Elongation zur Zeit t ist, und endlich g die Beschleunigung der Schwerkraft am Orte des Pendels bedeutet. Z ist die Länge eines gleichschwingenden mathematischen Pendels.

Es sei für späteren Gebrauch bemerkt, dafs aus (1) bekanntlich folgt

(dOV    2g ,    ~

{dt) =t(cos0

dt²

cos cc).

(2)

Behufs Ableitung der verlorenen Kräfte für die Biegungsbestimmung werde zunächst im Pendelkörper ein rechtwinkliges Koordinatensystem angenommen, dessen Anfangspunkt im Durchschnittspunkt 0 der Drehungsaxe mit der Schwingungsebene des Schwerpunktes G liegt. OG sei die positive x-Axe mit der Elongation 0 und OY rechtwinklig dazu, abnehmendem 0 entsprechend, die y-Axe. Nächst diesem, mit dem Pendelkörper beweglichen Axensystem werde ein festes System (x', y') angenommen, welches aus (x, y) durch Drehung um cp im Sinne wachsender Elongation hervorgeht, so dafs die Elongation der x'-Axe 0 -f- cp ist. Die Drehungsaxe wird gemeinsame z-Axe beider Systeme.

Dann ist

x — x cos cp — y sin cp, y' — x sin cp -f- y cos cp .

S. VII, Einleitung S. 32/33, ferner S. 179, 188 u. s. w. Hiernach wird man annehmen dürfen, dafs die benutzte Näherung die Deformationen bei den üblichen Reversionspendeln auf einige Prozent richtig giebt, während allerdings die bei dem neuen Reversionspendel bestehenden Diskontinuitäten der Querschnittsform etwas gröfsere Ungenauigkeiten wahrscheinlich machen. Doch ist, wie sich weiterhin zeigen wird, die Übereinstimmung zwischen dem theoretischen Ergebnis des Biegungseinflusses auf die Schwingungszeit und der Beobachtung immerhin eine befriedigende. Nach Ribxeee, Sur la flexion des pieces epaisses (C. R. t. CXXVI, 1898 1er sem., p. 402) beginnt bei einem unendlich schmalen Balken der Fehler der gewöhnlichen Theorie recht merklich zu werden, wenn die Höhe gröfser als ein Zehntel der Länge ist.

Zweimalige Differentiation giebt, wenn wegen der festen Lage der x'-Axe dy/dt — — dO/dt gesetzt und zum Schlufs das feste System (x', y') mit der augenblicklicben Lage von (x, y) zusammenfallend, also cp gleich null angenommen wird:

(dax’\ . d²Q /d©\²

hvl ⁼ + y-dir-x\-dt)>

(doy

» (dt) ’

(diy'\ _

\ di*J₀

d²Q

~x~dir-

Diese Beschleunigungen geben mit dm multipliziert die wirksamen Kräfte des Massenteilchens parallel zu der x- und y-Axe; die bewegenden Kräfte sind aber bezw. g cos 0 dm und g sin Odm. Mithin sind die bei der Bewegung von dm mit den Koordinaten x und y verlorenen Kräfte

parallel zur x-Axq: g cos 0 dm — (y

d²0

dt²

dm,

parallel zur y-Axe: g sin

0 dm + (x + y )

dm,

oder mittelst (1) und (2) auch

parallel zur x-Axe: {l cos 0 -f- 2x (cos 0 — cos a) -j- y sin 0 }

g dm

g dm

~AT ’

(3)

parallel zur y-Axe: {(l — x) sin 0 -}- 2y (cos 0 — cos a)}

(4)

§ 3. Das elastische Pendel, Grundgleichung für die Biegung. Der Pendelkörper sei, wie schon bemerkt, entsprechend den üblichen Konstruktionen zur xy-Ebene symmetrisch, und die x-Axe gehe bei ungebogenem Zustande des Pendelkörpers durch die Schwerpunkte aller Querschnitte. Da nun die verlorenen Kräfte nur parallel zur xy-Ebene wirken und sich symmetrisch zu derselben verteilen, so erfolgt die Biegung ohne Störung der Symmetrie zur xy-Ebene, und die neutrale Faserschicht wird eine zur xy-Ebene normale Cylinderfläche, deren Durchschnittslinie mit jener die Verbindungslinie der Schwerpunkte der Querschnitte ist. Die Ordinaten dieser Linie, der gebogenen Längsaxe des Pendelkörpers, mögen wie die y von der ungebogenen Axe OG aus gezählt und mit rj bezeichnet werden.

Dann ist sehr nahe

d* r]

da2 — JEZ’

(5)

worin 3J? das Biegungsmoment der verlorenen Kräfte für den Punkt A der Längsaxe mit der Ab-scisse a, % das Trägheitsmoment des Querschnitts daselbst für eine Axe durch A parallel zur Drehungsaxe und E den Elasticitätsmodul des Pendelkörpers für Beanspruchung in der Längsrichtung bezeichnet.

Zur Berechnung von sind für Punkte A unterhalb 0, also mit positiver Abscisse, diejenigen verlorenen Kräfte heranzuziehen, welche auf Teilchen dm wirken mit x>a. Die Drehungsmomente sind positiv zu rechnen, wenn die Kraft eine Drehung um A von der positiven Seite der x-Axe nach der positiven Seite der y-Axe giebt.

Man kann auch die verlorenen Kräfte in dem anderen, oberen Teile des Pendelkörpers zur Berechnung von 911 benutzen, mufs aber dann zunächst die feste Drehungsaxe durch zwei Widerstände parallel zu den Axen der x und y ersetzen, welche der Gesamtsumme der verlorenen Kräfte parallel zu diesen Axen das Gleichgewicht halten. Die negative Summe der Drehungsmomente ist wieder ÜDL

Für Punkte A oberhalb 0 berechnet man 30t am bequemsten als negative Summe der Drehungsmomente für die verlorenen Kräfte an den Teilchen dm mit x < a.

Man hat nun als Hebelarm der verlorenen Kräfte (3) und für positiven Drehungssinn einzuführen — y, für (4) entsprechend x — a. Dann ist aus (x — a) . (4) — y. (3) mit Rücksicht darauf, dafs die x-Axe die Schwerpunkte der Querschnitte enthält und daher bereits für je zwei unendlich nahe Querschnitte J*ydm oder

y ydxdydz, mit y als Dichtigkeit oder spezifischem

=* sin 01J*(l — x)(x — a) dm —J*y² dni^,

wobei für positive a die Integration von x = a bis ans untere Ende des Pendelkörpers, für negative a von x = a bis ans obere Ende zu bewirken ist.

Für a = 0 erhält man zwei Ausdrücke für 90?, deren Gleichsetzung zu der Bedingung

Gewicht, gleich null ist:

30?

(6)

J* (l — x)x dm — J* if dm — 0

(7)

führt, worin die Integration vom oberen bis zum unteren Ende des Pendelkörpers zu erstrecken ist. Diese Gleichung ist aber nichts anderes als der Ausdruck dafür, dafs die Summe der Drehungsmomente aller verlorenen Kräfte für die Drehungsaxe gleich null sein mufs, wie es d’Alemberts Prinzip verlangt. In der That giebt (7) leicht J — MM, vergl. (1).

Indem wir (6) in (5) einführen, setzen wir noch

J*y²dm = JJ j*yy²dxdydz = J y%'dx,

worin %' das Trägheitsmoment des Querschnitts mit der Abscisse x in demselben Sinne bezeichnet, wie früher X verstanden wurde. Dennoch macht sich eine Unterscheidung beider notwendig, weil bei %' alle Angrilfspunkte verlorener Kräfte in Betracht kommen, bei % aber nur diejenigen Teile des Querschnitts, welche der Biegung Widerstand leisten. Es ist also X X', und zwar tritt der Fall % < X' bei Reversionspendeln in der Gegend der Schneiden ein. Gleichung (5) giebt nun

_ _g_ \ da* EZ {

für

J\x

— a) dm —

—J*x(x — a) dm j J yX'dx j

(8)

(9)

rj = rj₀ sin 0,

wobei die Integration von x = a bis ans untere oder obere Ende des Pendelkörpers zu erstrecken ist, je nachdem a positiv oder negativ ist.

Es ist bemerkenswert, dafs nach (8) nicht nur diejenigen Massen auf d²rj₀/da² blofs einen geringen Einflufs ausüben, welche in der Nähe der Drehungsaxe liegen, sondern auch diejenigen in der Nähe des Schwingungsmittelpunktes bei x = l. Denn hier heben die Anteile des ersten und zweiten Integrales einander auf, während im Falle a = 0 = x beide Anteile einzeln verschwinden. Nun bleibt allerdings noch der Einflufs der betreffenden Massen auf %.

Nachdem man d?r}₀/da² hergeleitet hat, giebt eine erste Integration nach a von null bis x zunächst drj₀/dx und eine nochmalige rj₀. Setzt man

A)=B

X

°⁺f

o

da

da2 Üa’

(10)

so ist B₀sinO mit der für (5) benutzten Vernachlässigung gleich dem Winkel, den in 0 die gebogene Längsaxe mit der Abscissenaxe einschliefst.

Dann ist weiter mit Rücksicht darauf, dafs in 0 rj gleich null wird:

(11)

J ß₀dx

o

Für die Integrationskonstante B₀ besteht nur die Bedingung, dals sie von der Gröfsenordnung der ß₀ sein mufs; alsdann wird der Winkel B₀ sin 0, welchen in 0 die gebogene Längsaxe mit der Abscissenaxe einschliefst, hinreichend klein sein, um d?r]/da? für den reciproken Krümmungsradius p der gebogenen Längsaxe nehmen zu können, wie es bei Aufstellung der Formel (5) geschieht. Im übrigen ist B₀ willkürlich. Am einfachsten ist es:

(10*)

B₀ = 0

zu setzen, d. h. die x-Axe tangential an die gebogene Längsaxe in 0, dem Drehpunkt, zu legen.

und kg von 8500 bis 10800. Die Annahme 10000

Bei den Integrationen für ß₀ und rj₀ wird man den Elasticitätsmodul wohl immer für alle Querschnitte konstant annehmen. Er wird am besten aus einem statischen Biegungsversuche bestimmt (vergl. hierzu § 12), da die Angaben für JE bei dem üblichen Material für Pendelkörper, Messing, stark variieren; sie gehen für mm dürfte bei starken Pendelkörpern immerhin ausreichen. Um diese Zahl auf das hier benutzte Malssystem zu beziehen, ist zu bedenken, dafs die bewegende Kraft am Massenteilchen dm gleich gdm oder ggdxdy dz gesetzt wurde. Andererseits ist 1/10 000 die relative Verlängerung eines Stabes von 1 mm² Querschnitt für den Zug von 1 kg. Dieser Zug entspricht im hier benutzten Mafssystem 1000 000. g; für die Einheit der Kraft ist daher die relative Verlängerung der entsprechende Teil von 1/10 000, sodafs man zu setzen hat für Millimetermafs und vorbehältlich genauerer Bestimmung:

(12)

— = 10 000.1 000 000 = 10¹⁰.

Nach (9) sind die Biegungsdeformationen proportional dem Sinus der Elongation. Bei der Entwicklung ist allerdings keine Rücksicht auf die Art und Weise genommen, wie das Pendel in Schwingung versetzt wird. Bringt man aber das Pendel etwa zu Anfänge in die Elongation a, so tritt zunächst eine statische Biegung ein. Wird nun das Pendel der Schwingung überlassen, so treten an Stelle der statischen Kräfte die verlorenen Kräfte der Bewegung. Diesem sprungweisen Wechsel der Beanspruchung wird die Deformation nicht in gleicher Weise folgen; aber infolge der inneren Reibung wird der Anfangszustand bald überwunden werden.

§ 4. Längsdeliliimg. Zu der bisher angenommenen Drehung der Querschnitte, um Gerade durch ihre Schwerpunkte parallel zur Drehungsaxe O, tritt hauptsächlich noch eine Beanspruchung auf Parallelverschiebung, infolge der parallel zur x-Axe wirkenden verlorenen Kräfte (3), deren Summe für den einzelnen Querschnitt durch den Ausdruck gegeben ist:

+ g J*g | cos 0 + (cos 0

cos a) j Qdx,

(13)

worin Q die Fläche des Querschnitts für die Abscisse x bezeichnet und die Integration von dem betreffenden Querschnitt ab entweder bis ans untere Ende des Pendels oder bis ans obere zu erstrecken ist. Wird dabei der feste Punkt O überschritten, so ist der Widerstand der Drehungsaxe mit in

Rechnung zu ziehen. Das positive Vorzeichen des Ausdruckes (13) entspricht der Resultante derjenigen Kräfte, deren Angriffspunkte unterhalb des Querschnitts liegen, das negative den Kräften mit oberhalb gelegenen Angriffspunkten.

Die Parallelverschiebung entsteht durch eine Längsdehnung, welche für das Stück des Pendelkörpers zwischen den Abscissen a und a -j- da beträgt Rda / QJE, worin R der mit oberem Vorzeichen genommene Ausdruck (13) für die Integration von a bis ans untere Ende ist.

Hängt das Pendel ruhend in der vertikalen Lage, so ist anstatt (13) für R zu setzen g I^uQdx. Sieht man von dieser Beanspruchung ab, so geht der Rest von R über in

(14)

sin² y — sin² y) — sin² y j Qdx.

Vergleicht man dies mit dem Ausdrucke von R für die Ruhelage, so zeigt sich, dafs der durch (14) gegebene Teil der Längsdehnung von demjenigen in der Ruhelage nur ein Bruchteil von der Ordnung sin² cc sein wird. Solange nun die gesamte Längsdehnung in der Ruhelage, wie gewöhnlich, etwa 1 Mikron nicht übersteigt, kann man daher von dem Einflufs des Ausdruckes (14) absehen.

Die dem Ausdrucke von R für die Ruhelage entsprechende Längsdehnung kommt bei Reversionspendeln insofern in Betracht, als dadurch für schweres Gewicht unten und für schweres Gewicht oben eine kleine Verschiedenheit bedingt wird, die aber an dieser Stelle nicht weiter untersucht werden soll. (Vergl. hierzu Teil III, § 16.)

§ 5. Bewegung des elastischen Pendels. Um nun die Differentialgleichung der Bewegung des elastischen Pendels aufstellen zu können, ist es notwendig, die Ausdrücke für die verlorenen Kräfte genauer als bisher abzuleiten. Ein Massenteilchen, welches vor der Biegung die Koordinaten x, y und z hat, habe nachher die Koordinaten x -J- u, y -f- v und z. Der Fufspunkt der Ordinate y geht mit der neutralen Faserschicht um rj seitwärts, und da hier drj/dx — ß ist, der Querschnitt aber normal zur gebogenen Längsaxe bleibt, so ergiebt sich, wenn entsprechend der Genauigkeit von (5) von dem kleinen Unterschied in der Länge der Abscissen für die gebogene Längsaxe und der Bogenlänge derselben abgesehen wird,

x -f- u = x — y sin ß

y -f- v — y -f- y cos ß

oder mit derselben Genauigkeit:

x + u = x — yß,

y + V = y -f- 7].

(15)

Die Drehung der Querschnitte bewirkt, dafs sie etwas vom Parallelismus abweichen, und dafs das Volumen auf der einen Seite der neutralen Faserschicht zwischen zwei unendlich nahen Querschnitten zunimmt, auf der anderen Seite aber abnimmt. Indem man aber nach wie vor für dm die Bedeutung von gdxdydz beibehält, wird dem Umstand Rechnung getragen, dafs die deformierten Volumenelemente ihre Masse nicht ändern.

Es werde nun wieder in der Schwingungsebene ein festes Axensystem angenommen: eine x'-Axe in der Elongation 0 -f- op und eine y'-Axe rechtwinklig dazu im Sinne von abnehmendem 0. Dann ist

x' = (x — yß) cos cp — (y -f- y) sin cp, y’ =(x — yß) sin cp -f (y -f- y) cos cp.

(16)

Bei der Differentiation nach der Zeit t sind x und y als konstant anzusehen und ß = ß₀ sin 0, 7j — rj₀ sin 0 zu setzen, worin ß₀ und r]₀ von t unabhängig sind. Ferner ist wegen der festen Lage der x'-Axe dcp/dt — — dQ/dt. Damit folgt:

% = {+ y' — biosin v + yßo cos 9>] cos 0}

dQ

dt ’

Vß0 «in <p] c°s ⁰} ^ •

Wird nach nochmaliger Differentiation cp = 0 gesetzt, so ergiebt sich:

% ={—«'+ [rj₀ cos cp

/cPbP\

\ clt² /₀

(+ y + Vo sin 0 — y ß₀ cos 0) ^ + (— x + 2% cos 0 + 2yß₀ sin 0) (^|)

(— « + % cos 0 + 2/00 sin 0)

+ (— y — sin 0 + 2yß₀ cos 0) (—) Für das Massenteilchen dw = gdxdy dz sind nun die verlorenen Kräfte

\ dt² /₀

parallel zur x-Axe: j *7 cos 0 — (”^r) ) dm parallel zur y-Axe:    sin 0

mit den Hebelarmen für gleichen Drehungssinn:

— y — % sin 0

(17)

(18)

Bildet man hiermit die Drehungsmomente, deren Summe für den ganzen Pendelkörper gleich null werden mufs, so folgt mit Vernachlässigung derjenigen Glieder, welche in Bezug auf und ß0 von höherem als dem ersten Grade sind:

d² 0

MM

dt²

g sin 0    — cos 0

>J*vi₀dmj + ( jxy₀dm -f-Jy*ß₀dm^ (

COS0

d²Q

dt²

sin0

Q> (19)

Hierin sind rj₀ und ß₀ als Funktionen von x einzuführen und die Integrationen über den ganzen Pendelkörper zu erstrecken. Dabei ist gesetzt J\x² -f- y²) dm

vergl. (1); ferner ist beachtet, dafs alle Integrale verschwinden, welche y in der ersten Potenz enthalten, wie schon früher bemerkt wurde (S. 4 0.).

In den kleinen Gliedern kann man von den Relationen (1) und (2) für den starren Pendelkörper Gebrauch machen. Dabei zeigt sich, dafs der Einflufs von (dQ/clt)² sehr viel kleiner ist, als derjenige von d²QJdt², weil

cos 0

MM und Jxdm — Mh,

d²Q

sin 0 (3?)

sin 0 {cos 0 -j- 2 (cos 0 — cos a)}

wird und hierin 2 (cos 0 — cos a) gegen cos 0 ganz zurücktritt. Vernachlässigt man und setzt entsprechend cos 0 = 1, so folgt

dt²

daher (dQ/dt)²

d²Q

dt²

j- sin 0 {1

Mh

(20)

worin gesetzt ist:

J'vo dm, 4

⁼ tJx%dm} 4

dx.

Die Integration ist hierbei über den ganzen Pendelkörper zu erstrecken.

Die Gl. (20) gilt für jede Lage der x-Axe, wenn nur B₀ hinreichend klein ist. Versteht man aber unter rj₀ und ß₀ nur diejenigen Werte von und ß₀, welche B₀ = 0 entsprechen, so tritt rechter Hand

--- sin 0.2B₀(cos 0 — cos a)

hinzu, und dieses entspricht, wie es sein mufs, völlig dem Übergang von 0O zu 0O B₀ sin 0O, dem Werte von 0 für ein beliebiges B₀, wie die Substitution von 0 — B₀ sin 0 für 0 in (20) zeigt. Aufser-dem ist das Glied von der Ordnung der in (20) bereits vernachlässigten Glieder.

Zufolge der Differentialgleichungen (1) und (20) schwingt das elastische Pendel wie ein mathematisches Pendel, dessen Länge gleich

V = 1 {l +

ist, wenn l = J/Mli und T = n Yljg mathematische Länge und Schwingungszeit für den biegsamen Pendelkörper in starrem Zustande bezeichnen.

Wie hei Gleichung (8) ist auch bei (22) und (23) bemerkenswert, dafs die Massen an der Drehungsaxe und am Schwingungsmittelpunkt auf ix — 4 keinen Einflufs haben. Diese Massen wirken daher auf V und T' hauptsächlich nur insoweit, als sie % und Mh beeinflussen.

und dessen Schwingungszeit gleich

Mh

(22)

(23)

§ 6. Das ßeversionspendel. Für ein starres Reversionspendel seien Tx und T₂ die Schwingungszeiten hei schwerem Gewicht unten und oben, hx und h₂ die entsprechenden Schwerpunktsabstände von der Drehungsaxe, A = \ -j- h₂ der Schneidenabstand, L die Länge des mathematischen Sekundenpendels; dann ist abgesehen von Störungen:

(24)

Werden nun für ein elastisches Pendel die Schwingungszeiten Tß und T₂ beobachtet, und sind Tx und T₂ die Schwingungszeiten für dasselbe Pendel in starrem Zustande, so hat man nach (23) für die erste Lage des Pendels:

2 (h h    h) l

und für die zweite Lage:

M\

(h ~ h ~ 4)a

(24) ein:

T² = T'² •

Fühi-t man diese Ausdrücke in die auf das elastische Pendel angewandten Gleichungen

L' = ~ mit x'² = TC'\ -

r    \ — h,

so ergiebt sich in hinreichender Annäherung:

(24*)

L' = L{ 1 —

(h - 4 - 4.)i Tß² - (4 - 4 - h\ Tß²1

r\\ -\)M

(25)

§ 7. Oerader Stab von gleichmäfsiger Stärke und der Länge l, in dem einen Ende so auf-gehängt, dafs die Längsaxe die Drehungsaxe rechtwinklig schneidet. Der Querschnitt sei symmetrisch zur Schwingungsebene des Schwerpunkts, habe die Fläche Q und das Trägheitsmoment % — %' im

früher angegebenen Sinne. Hier ist dm — gQdx, h = ~l, M — gQX und

i¹ +!?*)>

indem das Trägheitsmoment des Stabes für die Drehungsaxe gleich wird

f* (y <?*³ +

fi    y%) dxdy dz

und das statische Moment gleich — gQl².

Aus (8) folgt mit Vernachlässigung der zweiten Potenzen von %/QX² in der Klammer:

S —sl {a^-2aU + «s + Ma-aä]|| + ..}.

Die Bedingung, welche hiermit (S. 16 u.) erfüllt w

7f («i + 4< + 4) •

J0 = C — (C — A) sin2 «' — (C — B) sin2 ß'.

-Sr + #2 = 0.

— y W),

¹

   C. S. Peikce. Note on the effeci of the flexure of a pendulum upon its period of oscillation. (App. No. 16, Coast and Geodetic Survey, Report for 1884, Washington 1885.) Diese Untersuchung wurde 1896 von Lorenzoni in Padua wieder aufgenommen in der Schrift: L’effetto della flessione del pendolo sul tempo della sua oscillazione. Indessen sind beide zu unrichtigen Ergebnissen gelangt; vergl. meinen Aufsatz: Der Einflufs der Elasticität der Pendel bei absoluten Schwerebestimmungen, A. N. 3430, Bd. 143, Sp. 349—354. Übrigens hat Bessel in den „Untersuchungen über die Länge des einfachen Sekundenpendelsu (Abh. der Berliner Akademie d. Wiss. 1826, Math. CI.) für die Bestimmung mittelst des Fadenpendels den Einflufs der Federkraft des Fadens auf seine Figur und die Schwingungszeit des Pendels in der II. Beilage theoretisch erörtert. Diese Abhandlung ist auch abgedruckt in den „Abhandlungen von Fr. W. Bessel, herausgegeben von R. Engelmann“ III. Leipzig, Engelmann, 1876. Ferner ist sie als Heft 7 von „Ostwalds Klassikern der exakten Wissenschaften“ gesondert erschienen.

²

   Verhandlungen der vom 25. September bis 12. Oktober 1895 in Berlin abgehaltenen Elften Allgemeinen Konferenz der Internationalen Erdmessung. 1896. Verlag von Georg Reimer in Berlin; S. 60.

³

   Vergl. die Zeichnimg auf der lithogr. Tafel.

⁴

   Über das Verhältnis der strengen Theorie der Balkenbiegung zur oben erwähnten, in der Technik üblichen, vergl. A. E. H. Love, A Ireatise on the mathematical theory of elasticity, Vol. I, Cambridge, 1892, Vorrede

Helmert, Beiträge zur Theorie des Beversionspendels.

S —sl {a^-2aU + «s + Ma-aä]|| + ..}.

Hiermit ist für die Abscisse x:

jxiP    2x³l . xx , Vx³V    3X .    \

1 2    3    r T ■+" L2    TJ^F + '‘D

(igQ fx³X³ xiX , x⁵ . j~x³X² xBl X , j

Man bemerkt leicht, dafs die Längsaxe sich stets konkav von der Nullpunktstangente ab nach aufsen biegt. Für x — A findet das Maximum von tj₀ statt; es ist abgesehen von einem immer sehr kleinen Gliede gleich — ggQ^/SOEX.

Nach (21) ist nun weiter:

ßo —

ggQ

4 X EX

XX³

'•__g*gQ² {*1 ,

h—    ±ex Uo"¹"

Mit m = ^nQi.s folgt nach (22) und (23):

r = i{! + r = t{i +

'2

10 Q

llXV

140 Q

i    } . 7 = g²gQ² ( s*⁵ ,

"•    J    4EX \ 420 T"

840 EX

iü8oe;x

(x +W ⁺ ")1’

280 Q

(26)

Das Glied VS%/Ql² wird man mit Rücksicht auf die angewandten Vernachlässigungen weglassen, da seine Mitführung die wirkliche Genauigkeit der Berechnung nicht erhöht.

Ist der Querschnitt des Stabes ein Rechteck mit der Seite c normal zur Drehungsaxe, so ist %/Q — c²/!^ und daher nach (26)

K¹+■$£«)’ r = T(i +

140 Ec³

(271

Bei einem quadratischen Messingstabe von A = 1500 mm Länge und c — 10mm Seite, mit = 8,5, wird die Schwingungszeit von etwa 1B um nahezu 0⁸,000205 infolge der Elasticität verlängert, bei einem Rohre von gleicher Länge und nahezu gleichem Querschnitt mit d₁ = 32 mm und i?₂ = 31mm aber nur um 0⁸,000014.

wird

für 1 Grad Elongation daher bezw. nahezu 0,1 und 0,01mm, bleibt somit noch ziemlich klein in beiden Fällen.

raax

Für einen Hohlcylinder mit dt und d₂ als äufserem und innerem Durchmesser ist %/Q = (d₁² -f- <4²)/16 und somit

v = i (i +

2 ggXa

10b JE (d^ -f d₂ s)

), r = r(i +

10b JE (d^ -f d₂*)

(28)

Das Maximum von rj₀ beträgt im ersten Falle 6,4 mm, im zweiten nur 0,43 mm; r\

Durch Anwendung eines Doppel-T-Querschnitts oder dergleichen würden bei gleichem Materialaufwand sich noch erheblich günstigere Verhältnisse als durch ein Rohr erzielen lassen.

Nach den zu den Gleichungen (22) und (23) gemachten Bemerkungen wird die Anbringung einer körperlichen Schneide als Drehungsaxe und einer Linse im Schwingungsmittelpunkt wesentlich nur den Nenner Mh vergrössern und also den Biegungseffekt verkleinern, während die Form der gebogenen Längsaxe bestehen bleibt.

§ 8. Höhere Glieder der Entwicklung. In dem soeben betrachteten Falle eines Stabes mit rechteckigem Querschnitt bei c — 10 mm bleiben für kleine Elongationen die rj so klein, dafs die entwickelten Formeln voraussichtlich genügend genau sind; überdies wird man Stäbe von solcher Biegsamkeit doch vermeiden müssen, da ein Einflufs von 0®,0002 bei la Schwingungszeit sich aus praktischen Gründen nicht scharf genug berechnen läfst. Würde man aber noch schwächere Stäbe nehmen, wie z. B. mit c— 1mm, wobei rimax für 1° Elongation sich schon auf etwa 1cm stellt, so können die entwickelten Formeln keine Gültigkeit mehr beanspruchen.

Bei dem Versuche einer genaueren Formelentwicklung stölst man sofort auf Schwierigkeiten, wenn nicht einschränkende Annahmen über die Gröfse der Biegung und den Betrag der Maximalelongation gemacht werden. Ich nehme an, dafs rf gegen x² (wie es schon (5) verlangt) und sin² a gegen 1 vernachlässigt werden dürfen. Dem letzteren entspricht die Annahme rj = rj₀ sin 0, wenn zugleich vorausgesetzt wird, dafs die bei der Einleitung der Pendelbewegung durch Verbiegungen entstehenden Eigenschwingungen des Pendels bereits durch Widerstände (besonders innere Reibung) absorbiert sind, was in der Regel den praktischen Verhältnissen bei Pendelbeobachtungen zu Schweremessungszwecken entsprechen dürfte. In diesem Falle wird r}, als Funktion von sin 0 gedacht, sin² 0 nicht enthalten wegen der Symmetrie der Bewegung beiderseits der Vertikalen, und da sin³ 0 vernachlässigt wird, bleibt rj = rj₀ sin 0 als Näherungsrelation¹).

1) Über den Einflufs der Wahl des Anfangszustandes vergl. bei Bessel, Untersuchungen, II. Beilage, Art. 13. — Von dem Verlauf der Eigenschwingungen erhält man eine Vorstellung, wenn das an den Enden auf 2 Stützen horizontal aufgelegte Pendel in der Mitte etwas durchgebogen und dann sich überlassen wird. Näherungsweise ist die Anzahl der Schwingungen (hin und her) für ls gleich

jz_ -\ /E%

2-P V uQ

Z. B. für einen Cylinder von 16 mm Durchmesser und der Länge X = 1000mm, wobei %/Q — 16 ist, wird unter Annahme von _ZS7 = rjr . 10¹⁰ für Messing die Schwingungszahl gleich 22. Bei den steifen Pendeln wird sie erheblich gröfser sein. Indessen ist nicht ohne weiteres zu sehen, ob nicht gewisse Verbiegungen langsamere Vibrationen erzeugen. Andererseits kann man durch geschickte Einleitung der Bewegung von Haus aus Verbiegungen fast ganz vermeiden.

Bei der Entwicklung der verlorenen Kräfte kann man nun wieder von den Gleichungen (16) bis (18) ausgehen, indem wieder wegen der Vernachlässigung von rf gegen x² die Längen auf der gebogenen Längsaxe von 0 ab gleich den Abscissen sind. Nur bei den Hebelarmen in (18) tritt für die Berechnung des Biegungsmomentes eine Änderung ein, indem die Hebelarme auf den Punkt A der gebogenen Längsaxe mit den Koordinaten a und r\a bezogen werden müssen. Entsprechend der letzten Bezeichnung der Ordinate sei v\ allgemein mit rjx für irgend eine Abscisse x bezeichnet. Unterscheidet man in gleicher Weise die zugehörigen rj0} so werden anstatt der in (18) angegebenen Werte der Hebelarme die folgenden Ausdrücke anzuwenden sein:

— y — (%)x sin 0 -f (7]₀)a sin 0,

-f- x — a — yß₀ sin 0.

Das hiermit berechnete ist sodann in (5) einzutragen, wobei zugleich linker Hand die Substitution rj — rj₀ sin 0 vorzunehmen ist. Die Integrationen sind von x — a ab bis ans untere bezw. obere Ende des Pendelkörpers zu erstrecken.

Zu dieser Gleichung für cPrjJda² tritt noch die allgemeine Bewegungsgleichung, welche dem Falle a = 0 == (rjQ)a mit = 0 entspricht, wobei die Integrationen über den ganzen Pendelkörper zu erstrecken sind.

So ergeben sich folgende Gleichungen, in denen die Integrationsgrenzen der Einfachheit halber wie bei einem in dem oberen Ende aufgehängten Stabe von der Länge l und nur für die Variable x angesetzt wurden, und noch relativ kleine Glieder mit y² vernachlässigt sind:

_ _J_

da*    l’EX

x

Ifr

— x) (x — a) dm —

x    x

J*'(}' — x -f- a)rj₀dm -j- l'y₀ j'dm j?

(29)

x    x

= — g sin 0.

(30)

V — (Mhl — j*xrj₀dmj : (Mh — j*rj₀dm'j , V

o    o

Hierbei ist unter dem Integralzeichen rj₀ als Funktion von x zu verstehen. Ist y₀ gegen V klein, also bei einem Sekundenpendel höchstens einige Millimeter, so folgt aus (30) entsprechend (22):

x

(l — x)riQdm\ ,

0

mit einem Fehler von höchstens einigen Millionteln von l. Zugleich genügt dann die frühere Berechnungsweise von d?rjQ/da² mit Vernachlässigung von rj₀ und Einführung von V — l, wie eine genauere, hier übergangene Betrachtung des Einflusses von V — l und y₀ auf den Ausdruck (29) für d²rj₀/da? leicht zeigt, wenn man den einfachen Fall eines gleichstarken Stabes beibehält.

Aus den Formeln (29) und (30) läfst sich auch erkennen, dafs der Einflufs der Biegsamkeit durch eine am Ende eines Stabes befindliche Masse (Linse) um so mehr herabgedrückt wird, je kleiner die Masse des Stabes gegen diese Masse ist. Legt man nämlich in diesem Falle die x-Axe so, dafs sie durch die Mitte der Linse hindurchgeht, so ist rj₀ für diesen Hauptteil der Masse wesentlich verschwindend, und die Integrale in (29) und (30) hängen nur noch von der geringeren Stabmasse ab. Bei einem Fadenpendel kann sich daher V von l nur sehr wenig unterscheiden, wie auch rj₀ nur sehr kleine Beträge erlangen kann.

§ 9. Näherungsformeln für das Reversionspendel. Die meisten Reversionspendel haben annähernd die Form einer gleichmäfsig starken Röhre oder eines solchen Stabes mit je einem Gewicht an den beiden Enden. Bei der Berechnung des Einflusses der elastischen Biegung reicht es nun aus, in den Formeln (8) und (22) die Glieder mit X' bezw. is wegzulassen. Dieses zeigte sich schon beim Falle des einfachen Stabes; ich fand es auch bestätigt bei der Behandlung des sehr biegsamen neueren Reversionspendels des Geodätischen Instituts sowie überdies durch eine besondere Untersuchung¹). Es ist aber nicht nötig dies hier auszuführen. Zur weiteren Vereinfachung sei noch angenommen, dafs die Ausdehnung der Gewichte an den Enden längs der Abscissenaxe klein sei und somit die Gewichte als Massenpunkte behandelt werden können. Es wird hierdurch allerdings auch die Steifigkeit des Pendels an den Enden zu gering geschätzt; indessen macht dies wenig aus, weil es eben die Enden betrifft.

Das so idealisierte Reversionspendel hat daher die Form einer physischen, gleichstarken Linie mit zwei Massenpunkten, Mx und M₂, die von den betreffenden Schneiden nach aufsen zu in den Abständen ex und e₂ liegen mögen, während die Linie erst im Abstande e von den beiden Schneiden endet, deren Entfernung A sei. Ich nehme noch an, dafs die Schwingungszeiten um beide Schneiden bis auf etwa 0,001 ihres Wertes gleichgrofs seien. Dann giebt (25) in Bezug auf die Länge des mathematischen Sekundenpendels:

mit

L’ = L (l

Oi — h\ — Qi —

(31)

A-\-e

A+e

ii=J*Vodm> 4 = X Jx%dm>

(32)

vergl. (21), und (8) geht über in

(33)

a^dm — X Jx(x~ a)dm } •

Die Integrale sind von a bis A -j- e oder bis — e zu erstrecken, je nachdem a ^ 0 ist.

Zwischen den 9 Gröfsen M, M1} M₂, 7q, Ji₂₎ e, elf e₂ und A finden drei Bedingungsgleichungen statt, welche hier zunächst angegeben werden mögen, wobei angenommen wird, dafs Mx und 7q, M2 und 7*₂ je auf derselben Seite liegen. Erstens ergiebt sich aus der Gleichung „A == Trägheitsmoment: statisches Moment" die Bedingung:

(34)

6 M₂(A + e₂)e₂ + 6MX(A + e₁)el = iiQ{A + 2e) (A² — 2e A — 2e²),

wobei Q den Stangenquerschnitt, p die Dichtigkeit der Stangenmasse bezeichnet. Ferner hat man für die Schwerpunktslage die zwei Bedingungen:

(35)

(36)

M(Jix — 7*₂) = M₂(t\ -f- 2e₂) — Mx (A -j- 2ex), 7q -j— h₂ = A.

Aufserdem möge für die Gesamtmasse M die Relation vermerkt werden:

M == Mx -f- M₂ -f- p^(A -)- 2e).

Setzt man nunmehr in (33) die obere Integralgrenze gleich A -j- e und nimmt dm = [iQdx für die Stange, bei x — A -f- e₂ aber wegen des daselbst befindlichen Gewichts dm —    M₂₎ so dafs

also Mx oben, M₂ unten gedacht wird, so folgt für a > 0:

d³v₀    ggQ

da²    6AjE%

dagegen ist mit der obern Grenze — e und mit dm = — Mx (negativ wegen des Ganges der Integration) bei x — — ex, für a < 0:

d³y₀ ggQ da² 6A E%

Es sei fernerhin zur Abkürzung gesetzt:

A³ —

3A²a — 3A(e² — a²) -f- 3e²a — 2e³ — a³ — ~~ (A + e₂ — a)e₂j;    (37)

|3A(e -f- a)² -f- 3e²a -f- 2e³ — a³ -f-

6 Mx

gQ

(A -f- ex) (ex + d)} .

(38)

ggQ

6AEZ

-F,

(39)

Zweimalige Integration nach a von null bis x giebt nun, wenn zugleich nach Potenzen

von

x geordnet wird:

x > 0, M₂ unten, Mx oben:

i ~ ^+ T^A ~^A2~    A3~3 Aß2 “2 ß3)—¥ ^2' (A + ea)e2 ^²+1 ^2'e2} I

x < 0, M₂ und Mx wie vorher:

(40)

Vo=

F {Hö*,+I**A +1¹v\2te+e*) + \x\V\e*+2e‘) + \M'(\+e₁)e₁xi+\JK,'(A+«₁)*o} •

Diese Ausdrücke für t]₀ zeigen, dafs rj am oberen Ende immer von der Vertikalen durch die Drehungsaxe ab gerichtet ist, dafs dagegen am untern Ende dieses nur bei schwerem Gewicht unten, nicht aber bei leichtem Gewicht unten stattfindet. Die Längsaxe wird sonach bei schwerem Gewicht unten S-Form haben, bei leichtem Gewicht unten jedoch wesentlich konvex nach aufsen gekrümmt sein.

Bei der Bildung von ix — i₂ nach (32) ist von x — —e bis 0 der 2. Ausdruck (40), von x == 0 bis A -f“ e der 1. Ausdruck anzuwenden*, ferner ist dm = ycQdx für die Stange und gleich -f- Mx bei x — — ex, gleich -f- Af₂ bei x = A + e₂ zu setzen. Es ergiebt sich dann für M₂ unten, Mx oben:

+ A(A + e)³{

-(A + e)⁴(

fpQ ^

A x

(A-f-e)³ , A(A-fe)⁸    (A-}-e)(A⁸—e⁸) , A³—3Ae⁸—2e³    Ms'

120

20

(A+e)³    A (A—f-e)⁸    (A-f-e)(A²—e⁸)

A³—3 Ae⁸—2e³

140

24

10

Ae³[

e³

Ae⁸

2Ae⁸-f-e³

3 Ae⁸-f-2e³

120

e*{

e³

140

tO >    tO

<^>    o

10

2 Ae⁸-}- e³

3Ae⁸ + 2e⁸

10

+    i'(A+e₁)e₁²{+ ^

0*1 M-

(A+<s₂)e₂+ jf-(A+e)e₂} (A4-e₂)e₂-f (A-j-e)e₂J

--6^ (A+ei)ei+ 24* (A+ei)e) (41)

(A+ei)ei+ 30" (A+ei)⁶}

—    (A+e₂)e₂)

+ ^(A+ei)e₁}.

M'

m;

A³—3 Ae²—2e³

2 A e -}- e² .

—3— % +

3Ae⁸-}-2es

Dieser Ausdruck für it — i₂ würde in Betracht kommen, wenn es sich darum handelte für jede Lage des Reversionspendels einzeln den Effekt der Biegsamkeit auszuwerten. Ich gehe darauf nicht weiter ein.

Für die Anwendung auf (31) aber hat man sich it — i₂ nochmals mit Vertauschung von Mx und M₂ hingeschrieben zu denken und beide Ausdrücke von einander abzuziehen, wobei sich alle von Mx und M₂ ganz freien Glieder aufheben. Nimmt man dann Rücksicht auf die Relationen (34), (35) und (39), so folgt aus (31) unter der Annahme e₂ — ex:

//= L {l -f

vgQ

180 E%

j-(A2-Q(2A + eiKjj

(42)

wobei genau genommen in der eckigen Klammer noch hinzuzufügen ist der Ausdruck

— (e — exf

5A(3e + SeQ -f 2(6e⁸ -f 3eet + Uet²)

2A(A -j- 2ex)

welcher jedoch im Maximum kaum 10% des Hauptglieds ergeben dürfte und mit Rücksicht auf andere Vernachlässigungen aufser Betracht bleiben kann.

Es soll hier noch erwähnt werden, dafs die Massen der Schneiden und die zu ihrer Befestigung dienenden Teile, sowie die erforderlichen Ausschnitte der Stange, insoweit sie nicht % etwa wesentlich ändern, auf L' keinen erheblichen Einflufs ausüben, erstens weil der Einflufs auf die Unterschiede it—i₂ in (31) gering ist (wie schon früher erwähnt) und zweitens, weil der Nenner (%— \)M für den Übergang auf (42) aus der Relation (35) entnommen wurde, deren rechte Seite von den betreffenden Massen unabhängig ist, da sie an beiden Schneiden gleichen Betrag haben. Es gelten überhaupt alle in diesem Abschnitt entwickelten Relationen mit Ausnahme von (36) auch streng für ein Reversionspendel von der eingangs erwähnten idealen Form, wenn noch an beiden Schneiden gleichgrofse Massen hinzutreten, die aber auf die Drehungsaxen konzentriert gedacht werden.

§ 10. Anwendung auf verschiedene Reversionspendel. Es mögen nunmehr nach Gleichung (42) die Biegungseffekte einiger, bei absoluten Bestimmungen benutzter Reversionspendel näherungsweise ermittelt werden.

Bei dem neuen, stark biegsamen Reversionspendel des Geodätischen Institutes kann die Formel nur eine ganz rohe Annäherung geben, da der Querschnitt der Stange aufserordentlich wechselnd ist. Dies zeigt sich namentlich in welches zwischen 131 und 66 160 liegt. Im Mittel ist l/% = 0,001 und Q = 190. Mit g = 8,5, E/g = 10¹⁰, A = 1000 und = 144, e = 160 folgt L' — 1,00027 L. Die genauere Auswertung weiterhin wird zeigen, dafs dies den Einflufs der Biegung noch zu gering giebt.

Das Viertelmeterpendel, welches zu dem Apparat des Geodätischen Institutes gehört, ist sehr steif. Der Querschnitt ist indessen auch etwas wechselnd; doch dürfte mit den Mittelwerten l/% = 0,00013 und $ = 600 bei A = 250 und ^ = 48, e = 72 der nahezu richtige Wert in L' — 1,000002 L erhalten werden.

Das ältere, steife Meterpendel des Geodätischen Institutes hat A = 1000 und ex = 79, e = 113. Die Stange besteht wesentlich aus einem Rohre von 43 mm äufserem und 39,9 mm innerem Durchmesser, hat also 1,55 Wandstärke. Hiermit ist Q/% — 0,0046. Reichlich 1 Decimeter lange, meist 26 mm breite Rohrausschnitte bei den Schneiden vermindern X um etwa 11%. Der Unterschied von L' — L, welchen Gleichung (42) zu -f⁻ 0,0000036 L ergiebt, wird sich mit Rücksicht hierauf etwas erhöhen; es genügt zu setzen: L' = 1,000004 L.

Diese Relation gilt auch für das Meterpendel des Herrn Professors Lorenzoni sowie für das leichte und das schwere Meterpendel der österreichischen Gradmessungskommission (von Oppolzer), an welchen ich selbst die erforderlichen Abmessungen machen konnte, Dank der gütigen leihweisen Überlassung der Pendel an das Geodätische Institut. Es ist

rund

ei

dx

Ausschnittsbreite

meistens

beim italienischen Pendel „ leichten österr. Pendel „ schweren „

1000

1000

1000

00 CO CO

CO H CO

44

40,3

26

41,2    39,2

43,4    39,9

Bei dem französischen Meterpendel des Herrn Oberstlieutenants Defforges ist A rund 1000, e rund 250, e₁ — e₂ bei M₁ — 0 abgeleitet aus den Angaben über und h.₂ mittelst der Gleichung (35) unter plausiblen Annahmen über die Lagerung der Masse M% rund 170, dx = 30, d₂ = 24³). Ausschnitte kommen nicht in Betracht, da sie klein sind und durch Verstärkungen kompensiert erscheinen. Es folgt L' — 1,000018 L.

Nun wird aber von Herrn Defforges die Länge des mathematischen Sekundenpendels nicht aus den Beobachtungen am Meterpendel allein abgeleitet, sondern es wird noch ein Halbmeterpendel zugezogen und gesetzt, vergl. Teil III, § 13 (F):

L =    — A1/a) : (x\ — *y,

worin die Indices 1 und ■% sich auf die Pendel von 1 und V₂ m Länge beziehen. Hieraus folgt mit einer für den vorliegenden Zweck ausreichenden Annäherung

L' — L = 2{L' — L\ — (L' — L\.

2(L' — L\ ist L. 0,000036; (L' — L)y# für das Halbmeterpendel wird nach Gleichung (42) etwa V₈ bis % von (L' — L\ sein — Genaues läfst sich aus den Angaben des Memorials leider nicht ermitteln. Man wird daher rund L' — 1,000030 L annehmen können.

Hiernach ist ausreichend Grund zu* ‘der Annahme vorhanden, dafs der Unterschied in den Bestimmungen der Länge des mathematischen Sekundenpendels in Paris und Wien, reduciert nach den relativen Messungen des Herrn Oberst v. Sterneck auf Wien, im Betrage von -f- 0,000037 m im Sinne Defforges — von Oppolzer, hauptsächlich auf die Elasticität der französischen Pendel zurückzuführen ist⁴). Nach obigen Ermittelungen erklärt dieselbe -f- 0,000030—0,000004= -j- 0,000026m. Zu einer definitiven Feststellung der Zahlen würde eine genauere Kenntnis der französischen Pendel gehören, namentlich auch der Art und Weise, wie die Endgewichte Mx und M₂ mit der rohrförmigen Stange verbunden sind und an deren Biegungen teilnehmen.

§ 11. Das neue, stark biegsame Meterpendel des Geodätischen Institutes. Hier mufste behufs genauerer Auswertung des Biegungseffektes zu mechanischen Quadraturen der Integrale in den Formeln geschritten werden. Da bei diesem Pendel die Schwingungszeiten um beide Axen sehr nahe gleich sind, kann in (8) l = A = 1000, dem Schneidenabstand, genommen werden. In dieser Formel wurde ferner dm — adv und

iL(i

dv — dv

8 V 1000/

gesetzt, sowie vorläufig nach (12) E/g — 10¹⁰ eingeführt. Damit folgt für a > 0:

und für a < 0:

_

da²    10¹⁰ . Z

d*Vo da²

10¹⁰ . X

1160    1160

— a)dv — — ^Tdx

a    a

JfO - x)dv' +    Yl'fe { ■

(44)

— 160

— 160

Im folgenden geben 2 Tabellen einen Auszug der successiven Rechnungsergebnisse für schweres Gewicht unten und für schweres Gewicht oben⁵). Die ganze Länge ist in Abschnitte von 10 zu 10 mm geteilt, die so klein sind, dafs die mechanische Quadratur in einfachster Weise bewirkt werden konnte; x geht von — 160 bis -f- 1160. Für diese Abschnitte giebt die Tabelle dv und daneben die dv. Es sei bemerkt, dafs in der Nähe der Schneiden die zu ihrer Befestigung dienenden Rahmen um 1,5 mm derart verschoben gedacht wurden, dafs die Schneiden in die eine Begrenzungsebene des grofsen Querstückes fallen. Diese vereinfachende Annahme kann wegen der Nähe der Schneiden, und weil £ nicht geändert wird, nichts Erhebliches geben. Das spezifische Gewicht g wurde nach Mafsgabe von Wägungen und von Abmessungen der Dimensionen des schweren und leichten Gewichts anfangs zu 8,0 angenommen und in diesem Betrage von x — 0 bis — 160 und von 1000 bis 1160 für die Messingteile beibehalten; aber für x — 0 bis 1000 aus noch anzugebenden Gründen auf 8,209 erhöht. Bei den wenigen Teilen, die nicht von Messing sind, insbesondere bei den Prismen, wurde dv auf g — 8 reduciert.

Aus den dv wurden durch Multiplikation mit den mittleren x der Centimeterabschnitte (also — 155, — 145, . . . bezw. — 1155, — 1145, . . .)* die Produkte xdv und dann die successiven Summen Zxdv von beiden Enden her bis zum Abscissennullpunkt gebildet; ferner wurden ebenso die successiven Summen Z dv und ihre Produkte mit der jedesmaligen Endabscisse a (also — 150, — 140, ... bezw. — 1150, — 1140, . . .) berechnet. Dies gab zunächst die Summen Z(# — a)dv für (44).

Hierzu waren noch die Glieder mit %' hinzuzufügen. Diese Gröfse ist bei schwerem Gewicht unten von x — — 160 bis — 120 abschnittsweise 4, 1, 1 und 3 Hunderttausend; von x — — 1120 bis — 1160 bezw. 5, 20, 20 und 20 Hunderttausend, dazwischen aber im Durchschnitt nur etwa 5000. Dieser letzte Wert wurde nicht berücksichtigt, da er sich in den Werten der 4. Rubrik Z/1000, das sind die Werte der Klammerausdrücke in (44), dividiert durch 1000, nur bis zu etwa 5 Einheiten aufsummiert. Die %' an den Enden summieren sich auch nur bis zu 65 bezw. 9 Einheiten auf, erlangen somit ebenfalls wenig Einflufs.

Die Werte von Z/1000 in der 4. Rubrik bei x — 0 mufsten von beiden Enden her gleich grofs erhalten werden. Anfangs war dies nicht der Fall, weshalb von x = 0 bis 1000 g von 8,0 auf 8,209 erhöht wurde. Damit ergab sich bei schwerem Gewicht unten volle Übereinstimmung, bei schwerem Gewicht oben ein Unterschied von 4 Einheiten, der einfach durch Mittelbildung ausgeglichen wurde, da er nicht in Betracht kommt.

1.

2.

— 160

— 150

— 140

— 130

— 120

— 110

— 100

90

80

70

60

50

40

30

20

10

+ 10

+ 20 + 30 + 40 + 50 + 60 + 70 + 80 + 90 + 100

+ IIO

dv

3-

+ u 550

10 000

7 800

486

520

556

592

629

668

707

4 000

4 800

4 500

13 000

900

900

900

900

3 700

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1 158

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1 243

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+    532

+    564

+    598

630

+ 4 100 + 4872 4 523 + 13 273

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901

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00    00

+ 3 588 + I 248 + 1059 + 1088

+ 1 114 + 1 141

+ 1 168

Schweres Gewicht unten.

Tabelle 1.

io⁷

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6.

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8.

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+ 2 428

+ 2750 + 3 078 + 3414 + 3 775 + 4 179

+ 4631

+ 3 923 + 3 285 + 2 658 + 2 039 + 1 429 +    841

+    278

274

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— 1 346

-1 865

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131

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230

261

296

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17 900

17 900

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17 900

17 900

17 900

3 137

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1 105

1 187

1 273

+ 4 748 + 5 987 + 6 869 + 7 468 + 7 843 + 8 096 + 8 203 + 8 234 + 8 208 + 8 129

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+ 66,1 + 5^,7 + 5i,3 + 43,8 + 3^,5 + 29,6

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— 10 141

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— 10505

— 10 667

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3 217

3 217

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3 217

3 217

3 217

3 217

3 217

3 217

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— 140

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2011

2011

2011

2011

2011

2 011

2011

2011

2011

2011

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2 011

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2 011

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— 1 267

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— 3 244

— 3004

— 2764

— 2525

17 900

17 900

66 160

420

375

195

l8l

45

-6581

— 6733

— 2 793

— 2 795

— 2 796

— 2 829

— 2 896

—    1 218,2

—    1 246,1

— 1 274,1

— 1 302,2

— 1 330,9

— 80,7 + 28,3 + 90,7 + 128,8 + 32,9 + 40,4

-0,5

— 0,5

— !,2

— 0,9

0,0

0,0

1.

2.

dv’

1000

IQ¹⁰ darj0 8 da²

io⁷

xo⁴

-Ö~ ■ ßo -ö--Vo

3-

4-

5-

6.

7-

8.

9-

10.

+1050 -f-1060 -f-1070

4- 1080

-f-1090 -)-1100

-f- 1 HO

-f 1 120

+ I 130 -j- I 140 + I 150 -f- I 160

Summen: | 423394 j I24 860    |

— 2 288

334

— 6 850

CN CI 'sO CI    LO

'O    to    xo

520

486

454

422

13 000

50 300

50 300

50300

dv

OJ OJ W 00 (jn

44

46

48

49

1 625

6 791

7 294

7 797

dv’

— 2 964    — 1 360,2

— 2 050

— 1 812

— 1 575

— 1 103

867

631

399

194

59

1000

296    — 6 926

— 3033 —I 390,x

48,1

261

230

201

Ln    *<|

tO    cri

CO

— 6 943

— 6 848

—    6657

—    6303

— 5 7°4

— 4 817

— 3 102

— 3 171

— 3 238

— 3 3°3

— 3 363

— 3 416

— 3 440

— 3 440

— 3 440

— 3 440

Schweres Gewicht oben.

io¹⁰ d²rj0 8    da²

io⁷

o ' ßo

— 1 420,8

— 1 452,2

—    1 484,2

—    1 516,9

—    1 550,3

—    1 584,2

—    1 618,4

—    1 652,8

—    1 687,2

— 1 721,6

io⁴

-ö- • Vo

-4- 2 602,1

-f- 11 107,6 4- 12 181,2 + 13 289,4

+ 27353,2

10

— 7] ₀dv'

0000000

o o o d o o o

I7,i

— 236,4

Tabelle 2.

1.

2.

3-

4-

5-

6.

7-

8.

9-

10.

— 160

50300

—150

50300

— 140

50300

—130

13 000

— 120

+ 58 097 + 57 594 + 57091 + 14625

— 4 913

422

471

— HO

454

502

— 100

486

+    532

+ 3io + 1 199 -j- 2 661 + 4 467 + 6343 + 8 225

2010600

— 4 913

— 4913

— 4913

131

152

175

90

80

520

564

70

556

598

+ 10 112 -f- 12 004

201

230

60

592

630

50

629

664

668

698

+ 13 902 + 15 806 + 17 7i7

261

296

334

+ 34 099 + 41 730 -f- 47 000 + 50 308 + 52 191

+ 53 264 + 53 399 + 53 045

— 4 742

— 4 363

— 3 9i9

— 3 433

— 2 920

— 2 393

— 1 860

— 1 328

+ 432,7 + 383,6 + 334,5 + 285,4 + 237,i + I9i,6

+ 150,1

+ “3,4

81,6

55,i

+ 33,8

17,9

+ 23 7i4

-f- 20 679

+ 17 694

3 820

-98

— 98

— 98

— 24

101

86

70

55

41

28

17

1.

40

30

20

10

+ ¹⁰

+ 20

+ 30 + 40 + 5o + 60

+ 7°

4- 80

+ 90

4- 100

4- HO

4-120 +130 +140 +150 4-160 + 17p 4-180 +190 4- 200 4- 210 4* 220 + 230 + 240 + 250 4- 260

dv

2.

707

4 000

4 800

4 500

13 000

900

900

900

900

3 700

1 300

1 116

1158

1200

1 243

1 286

1331

1 377

1423

1470

1517

1566

X 616

1 665

1 7i5

1 767

1 819

1872

1 927

1 981

2011

dv'

1000

io¹⁰ d²rj0 8    da²

io⁷

O ' ßo

io⁴

~Q~ ■ Vo

3-

4-

5-

6.

7-

8.

9-

10.

+    732

-j- 4 100

+ 4872 + 4 523 + 13 273

910

901

892

882

3 588

1 248

1 059

1 088

X 114

1 141

1168

1195

r 222

1249

1274

1300

1326

1351

1 375

1 399

1 423

1 447

1 469

1 493

1 515

+ 1 517

+ ¹9 633 4~ 21558

4- 23 507 4- 25 500 + 27543 + 26 637 + 25 801

+ 24 973 + 24 154 + 23 344 + 22557

+ 21 794

4- 21 041 4- 20 300

+19 570 + 18851 +18143 +17 447

+16 764 +16093

+15 434 +14789 +14 157

+ i3 537 + 12 932 + 12 34i

+ 11 763

4-11 200

+10651 —|- xo 117 + 9 599

375

420

66 160

17 900

17 900

17 900

17 900

17 900

17 900

17 900

3 137

952

1 028

1105

1 187

1273

1364

1 459

1 559

1664

1775

1891

2 013

2 140

2 273

2 413

2 559

2 711

2 870

3 036

3 217

+ 52 355 + 5i 329 +    355

+ ¹ 425 + 1 539 + 1 488 + 1 44i + 1 395 + 1 349 + 1 304 + 7 191 + 22 893 -f- 20 468 + 18371 + 16 487 + 14 808 + 13 30i + 11 958 + 10 753 + 9671 + 8 695

7 821

7033

6 326

5 689

5 ii4

4 598

4131

+ 3 7”

3 332

2 984

801

282

24

15

15

30

44

58

7i

113

264

481

675

849

4-1 006

+1146

4-1 272

+ 1 386 + 1 488 + 1 58o + 1 663 + 1 737 4-1804

4-1864 +1 918 —|— I 966

4- 2 010

+ 2049 4- 2 084 4-2116

-^1

>-

'oo

+ 1,2

+ I4,i

+ 21,7

+ 3i,o + 41,8 + 53,9 + 67,2 + 81,5 + 96,9

+ ir3,i + r3⁰,¹

-f 147,8 -f- 166,1 + 185,0 + 204,5 + 224,3 + 244,6 + 265,3 + 286,3

+ 12

4~ 20

+ 30 + 43 + 57 + 74 + 93

+ 114 + 136

4-161

4-188 4- 216

+ 246

+ 277 + 310

+ 344 + 381 + 418 + 450

i.

2.

dv'

IOOO

IO¹⁰ dS7]0 ~8~ '

IO⁷

Q ' ßo

IO⁴

S- ■ *10

3-

4-

5-

6.

7-

8.

9-

io.

+ 270 -j- 280 •    +290

+ 300 + 3io + 320 + 330 + 340 + 350 4- 360 + 370 4- 380 4- 390 4- 400 + 410 + 420 + 430 4- 440 + 450 —|— 46O + 470 4- 480 4- 490 4- 500 4- 510 + 520 -f 530 + 540 -f 550 + 560 + 570

2 011

2011

2011

2 011

2 011

2 011

2011

2 011

2 011

2 011

2 011

2011

2 011

2 OII

2 OII

2 011

2 OII

2 011

2 011

2 OII

2 OII

2 011

2 011

2 OII

2 011

2 OII

2 OII

2 011

2 OII

2 OII

2 011

+ 1 496 + ¹ 476 4- 1 455 + 1 434 + 1 414 4- 1392 + 1 37 2 + 1 35i + 1 33i +1310 -j-1290 -f-1269 4-1249 -}~ 1228 4-1207 4-1186

-)-1166

4- 1 J45 + 1 125 + 1 104

4-1 084 +1 063

4-¹043

4-1 021 4-1 000

+ 9095

-f- 8 607 + 8 134 + 7 675 + 7 231 -f- 6 801

+ 6384 + 5 982

4-

5 593

5 218

+ 4856

4-

4-

4-

4-

4-

4-

4-

4-

4-

4-

4 507

4 170

3 847

3 535

3 236

² 949

² 673

2 410

2156

1 684

1 466

1254

1 056

868

689

520

360

210

68

3 217

3 217

3 217

3 217

3 217

3 217

3 217

3 217

3 217

3 217

3 217

3 217

3 217

3 217

3 217

3 217

3 217

3 217

3 217

3 217

3 217

3 217

3 217

3 217

3 217

3 217

3 217

3 217

3 217

3 217

3 217

-f- 2 827 + 2 675 + 2 528 + 2 386 -(- 2 248

+ 2 114 + 1 984

+ 1 859 + 1 739

+ 2 145 -(- 2 172 -j- 2 198

+ 2 223

+ 307,6

329,2

351,0

373,i

4-1 622

+ 1 509 4- 1 401 4- 1 296 + 1 196 4-¹ °99

1006

4-

4-

4-

4-

4-

4-

4-

917

831

749

670

595

523

456

390

328

270

+    214

162

112

4-

4~

65

21

-)- 2 246 -j- 2 268 -j- 2 289 + 2 308 + ² 326 + 2 343 + 2358 + 2 373 + 2386

+ ² 399 -)- 2 410 -J- 2 421 + ² 430 + ² 439

4*² 447 4-² 454

—|— 2 460 -f- 2 466

+ 2471 + 2475

4*² 479 4- 2 482 4-² 484 4- 2 486 + 2487

-j- 2 488 + 2489

395,5

418,1

440.8

463.8 487,0

4-

4-

4-

4-

4-

4-

4-

4-

4-

4-

4-

510,3

533,8

557,5

581,3

605,2

629.3

653.4 677,7

702,0

726,4

750,9

775,5

800,2

824,8

849,6

874,3

899,1

924,0

4- 948,8

4- 973,7

4- 998,6

4-¹023,4

+ 476 4- 502

+ 527 + 551 + 575 + 598

-}- 621 4- 642

4- 664

4- 684

+ 704 4- 723 4- 741 + 758 + 774 4- 789

4- 804 + 818 + 831

4~ 843 + 854 + 864 + 873 + 880 + 887 + 893 + 898 4- 903 + 905 + 908 + 908

I.

+ 580 + 590 + 600 + 610 +• 620 + 630 + 640 4-650 + 660 + 670 + 680 + 690 4-700 + 710 + 720 + 730 4-740 4-750 4-760 4-770 4-780 + 790 + 800 + 810 + 820 + 830 + 840 + 850 + 860 . 4-870 + 880

dv

2.

2 011

2 or 1

2011

2 011

2011

2 011

2011

2011

2011

2011

2011

2 011

2011

2011

2011

2011

1 981

1 927

1 872

I 819

1767

I 715

I 665

I 6l6

I 566

1517

1 470

1 423

1 377

1 286

dv'

IOOO

io¹⁰ d*rj₀

8    da²

io⁷

o ' ßo

io⁴

~ö~ ■ Vo

3-

4-

5-

6.

7-

8.

9-

io.

4- 857 4-835

+ 815 4-794 + 774 + 753 + 733 + 712

+ 692 + 671 + 650 —|— 629 + 608 + 588 + 567 + 547 + 518

+ 484 + 45i + 420 + 390

+ 361 + 333 + 307 + 281 + 257 + 234

+ 211

+ 191 + 170 + 152

64

188

303

410

508

599

682

760

830

892

946

995

— 1 037

— 1 073

— 1 103

— 1 128

— 1 146

— 1 166

— I 171

— I 171

— I 166

— 1157

— I 146

— I 130

— 1113

— 1 092

— 1 069

— 1043

— 1 015

987

3 217

3 217

3 217

3 217

3 217

3 217

3 217

3 217

3 217

3 217

3 217

3 217

3 217

3 217

3 217

3 217

3 217

3036 2 870

2711

2559

2413

² 273

2 I40

2 013

I 891

I 775

1 664

I 559

1 459

1 364

20

58

94

— 127

-158

— 186

— 212

— 236

— 258

— 277

— 294

— 309

— 322

— 334

— 343

— 351

— 356

— 382

— 406

— 432

— 458

— 483

- 509

— 536

— 561

— 589

—    615

—    642

— 669

— 696

— 724

+ ² 4^9    + ¹ 048,3

+ 2488    +1073,2

+ 2 487    + 1 098,1

+ 2 486    + 1 123,0

+ 2 485    + 1 147,8

+ 2483    +1172,7

+ 2481    +1197,5

+ 2 479    + 1 222,3

+ 2 477    + 1 247,1

+ 2474    +1271,8

+ 2471    +1296,5

+ 2468    +1321,2

+ 2465    + 1 345,9

+ 2 462    + 1 37°,5

+ 2458 +i 395,i + 2455    +1419,7

+ 2451    +1444,2

+ 2 447    + 1 468,7

+ 2 444    + 1 493,²

+ 2439    +1517,6

+ ² 435    + 1 54²,o

+ 2 430    + 1 566,3

+ 2425    +1590,6

+ 2 420    + 1 614,8

+ 2415    +1639,0

+ 2 409    + 1 663,1

+ 2 403    + 1 687,1

+ 2396    +1711,1

+ 2390    + 1 735,1

+ ²383    4* ¹ 758,9

+ 2 376    + 1 782,7

+ 909 + 907

+ 905 + 901 + 898 + 892 + 887 + 879 + 872 + 862

+ 851

+ 839 + 826

+ 813

+ 798 + 783 + 754 + 717 + 679 + 643 + 606 + 570 + 534 + 499 + 464 + 43i + 398

+ 364

+ 334 + 30i + 273

I.

890

900

910

920

930

940

950

960

970

980

990

I 000

4- 1 010

4- I 020 + I 030

4- 1040 + 1 050 + 1060 +1 070 4-1 080 +1 090 +1100

+ I HO

4-1120 +1130 +1140 + 1150

+1160

Summen: j

dv

2.

1 243

1 200

1 158

I 116

1 300

3 70°

900

900

900

900

13 000

4 500

4 800

4 000

707

668

629

592

556

520

486

454

422

7 800

3 600

3 ⁶⁰⁰

10 000

423 394 I

dv'

1000

io¹⁰ d²ri0 8 da²

io⁷

3    ' ßo

io⁴

10

-5- ■ Vo

— 1]₀dv’

3-

4-

5-

6.

7-

8.

9-

IO.

ro    *-■

VH    VH

101

86

+    87

209

42

33

24

14

67

23

72

100

25

30

35

38

42

44

46

48

49

975

486

522

1 550

4* 3°3 708 I

955

922

889

854

819

782

744

705

665

625

585

54i

504

464

424

385

347

309

272

234

197

161

125

89

58

35

16

1273

I 187

1 105

1 028

952

3 137

17 900

17 900

17 900

17 900

17 900

17 900

17 900

66 160

420

750

777

805

831

860

249

42

39

37

35

33

30

28

— 1 010

375    —1027

334    —1039

296    — 1 044

261

— 1 042

230    — 1 017

201

980

920

822

679

130 000

+ ² 369

+ 2361 + 2 353 + 2345 + 2336 + 2331 + 2329 + 2 329 4-2 329 4-² 328 4-² 328 4- 2 328 4-² 327 + 2327

4-2322 4- 2 312

4-² 302 4- 2 291 4- 2 281 -|- 2 270 4- 2 260 4-2251 4- 2 242

+ 2235

+ 2231 + 2231 + 2231 +² 231

4-1806,4

+ 1 830,i

+ ¹ 853,7

+ 1 877,1

4-1 900,6

+1 923,9 +1 947,2 +1 970,5

4- ¹ 993,8

4-2017,1

4-² 040,3 4- 2 063,6 4- 2 086,9

4- 2110,2

4-² 133,4 4-2 156,6 4- 2 179,6

-}- 2 202,6 + 2225,5 4- 2 248,2 + 2 270,9

+ ² 293,4

+ 2315,9 + ² 338,3

+ 2 360,6 +² 382,9

+² 405,2

+² 427,6

244

215

188

162

166

405

82

65

48

28

137

48

OOOOOOOOOO

212

54

65

77

84

94

99

105

in

114

2 291

1153

1230

3 745

4- 106 788

0-00000000

— 294

¹

Dies heilst also, dafs überhaupt eine geringe Neigung der Querschnitte gegen die x-Axe von der Ord

²

nung ß wenig ausmacht.

³

   Defforges, Observations du pendule. (Memorial du Depot general de la Guerre, t. XV. Paris 1894), p. 26 28, 113. — Eine der Gl. (34) entsprechende Relation ist wegen ungenauer Kenntnis der Massenverteilung und der Dimensionen überhaupt nicht brauchbar.

⁴

   Vergl. Defforges a. a. 0. p. 121 und v. Sterneck, Relative Schwerebestimmungen, ausgeführt im Jahre 1893. (Mitthlgn. d. k. u. k. mititär-geogr. Inst,, XIII. Wien 1894), S. 41.

⁵

Die Ausführlichkeit des Auszugs rechtfertigt sich u. a. im Hinblick auf die mögliche Wiederholung der Rechnung für ein 2. Exemplar des langen Pendels, das nach Japan geliefert wurde.

Die Bedingung, welche hiermit (S. 16 u.) erfüllt wird, entspricht der Gl. (7), also auch der Gleichung „1000 == Trägheitsmoment/stat. Moment des Pendels“ für beide Drehungsaxen. Genügt somit das Zahlenmaterial für die dv und dv' der Bedingung des Reversionspendels so gut wie genau, so sind im übrigen doch einige Abweichungen vom thatsächlichen Zustand vorhanden, die z. T. auf Ungenauigkeiten der linearen Abmessung der Dimensionen, z. T. auf unrichtigen Annahmen über die Massen in der Nähe der Drehungsaxen und über ja beruhen. Diese Abweichungen, welche ich bestehen liefs, da ich sie nicht für allzu wichtig hielt, müssen hier mitgeteilt werden, wobei zugleich einige ergänzende Angaben gemacht werden sollen.

Das schwere Gewicht wiegt ohne seine Stange von 111 mm Länge, die an ihrem Ende das zur Befestigung dienende Schraubengewinde trägt, 1,308 kg, das leichte Gewicht entsprechend 0,197 kg, jede der beiden Stangen 0,080 kg. Mit ja — 8,0 pafst dies zu den Abmessungen; nur die beiden Stangen werden einige Gramm zu leicht erhalten. Das leichte Gewicht hat innen eine 5 mm starke Säule, die nach der Schneide zu etwas verstärkt ist; die Wanddicke des Körpers des leichten Gewichts beträgt etwa 1,5 mm.

Tdv — 423394, wovon auf den Teil von x = 0 bis 1000 der Betrag von 197 826 kommt. Mit bezw. ja = 8,0 und 8,209 für die äufseren und inneren Teile giebt dies 3,43 kg, anstatt 3,59 nach Wägung (Gewicht in der Luft). Eine Erhöhung aller ja um etwa 4% zur Beseitigung dieses Unterschiedes war unzulässig, denn sie würde das schwere Gewicht um 52 Gramm zu grofs eingeführt haben. Wahrscheinlich ist ja nur für die Stangen um etwa 0,2 gröfser als 8,2; etwa die Hälfte des fehlenden Gesamtgewichts beruht sodann auf Unterschätzung der Massen in der Nähe der Drehungsaxen, wie eine Revision zeigte. Übrigens fand sich nachträglich, dafs die Gewichtscylinder an den Enden nicht (wie in der Rechnung angenommen) 32,5 mm Länge, sondern nur 31,8 haben, so dafs ihr ja auch auf 8,2 steigt.

Betrachtet man die Definitionsgleichung (43) für dv' und erwägt, dafs die beiden x eines bestimmten Elementes dv für beide Pendellagen sich zu A = 1000 ergänzen, so bemerkt man sogleich, dafs die Relation besteht

(45)

2 's dv = 2 dVl' + 2 dv*>

• 197 826 = 124 860 + 303 708, oder 428 562 = 428 568.

423 394 +

worin die Indices die beiden Pendellagen anzeigen. Diese Rechenkontrolle ist genügend erfüllt, denn man hat in der That nahezu 0,209

Aus den dv' kann man nun auch die Abstände h des Schwerpunktes von den Schneiden berechnen. Es ist Mh = 1.xdm oder h = Z fixdv/1 ja dv. Hieraus folgt

\ = 1000

I dvt’

IdvS + I dvt'

= 705,

\ = 1000

ZdVi

ldvt' + I dvs'

= 295.

Die richtigen Werte sind 700 und 300, mit denen sich noch das Nachstehende ergiebt. Bildet man die statischen Momente der vier äufsersten dv mit den Hebelarmen 655, 645, 635 und 625 in Bezug auf die Mitte der Stange für beide Enden des Pendels und setzt ihren Unterschied mal 2x8 gleich 400 M, so folgt einerseits 1431.10⁶, andererseits in genügender Übereinstimmung 1436.10⁶, wenn für M 3,59 kg genommen wird. Da nun nach den Annahmen der Rechnung Y\idv nur 3,43 giebt, so kann man sich zur Herbeiführung des richtigen Wertes von M je 0,08 kg an den beiden Schneiden

beigefügt denken. Das ändert im übrigen nichts Wesentliches. Immerhin ist diese Annahme nicht ganz zutreffend^ da sie zu viel Masse an die Schneiden verlegt.

Die 5. Rubrik giebt die für die Biegung in Betracht kommenden Werte des Trägheitsmoments % für Schwerpunktsaxen parallel zu den Schneiden.

Die 6. Rubrik enthält die aus der 4. und 5. Rubrik nach Mafsgabe der Formeln (44) folgenden Werte von d²rj₀/da² mal 10¹⁰/8. Aus den Werten [6] der 6. Rubrik folgt daher der Krümmungsradius p an irgend einer Stelle gleich

(46)

1 250 000 000 .

m mm.

[6] sin 0

Bei schwerem Gewicht unten ist für sin 0 = 0,01 der Absolutwert von p 15 km; bei schwerem Gewicht oben ist p 2,3 km.

In leicht ersichtlicher Weise sind die nächsten beiden Rubriken aus der sechsten abgeleitet. Wegen der Sprung weisen Änderung von d²7]₀/ da² an einigen Stellen entstehen durch das gewählte einfache Integrationsverfahren gewisse Fehler, die durch Weiterteilung des Intervalls von 10 mm an diesen Stellen hätten vermieden werden können. Doch sind auch so die Fehler nicht bedenklich und kaum gröfser als die durch die sprungweise Querschnittsänderung bedingte Ungenauigkeit der Formeln. Aus den Werten [7] der 7. Rubrik folgt

1 250 000 ’

; ß — ß₀ sin 0,

ß in Sek. —

Ferner ist mittelst der 8. Rubrik:

6,060

sin ©.

(47)

71 =

8 [8]

sin 0 in mm.

10 000

Nach (21) hat man weiter mit Rücksicht auf (43):

h —h—h= s{2 ^dv' ~ idoö2 ~8" *'ß* dx)>

(48)

(49)

Die 9. und 10. Rubrik

wobei die Summierungen über den ganzen Pendelkörper zu erstrecken sind, enthalten für die einzelnen Centimeterabteilungen die Produkte ^ %dv' und    ß₀, wobei für

schweres Gewicht unten überflüssigerweise Zehntel mitgenommen sind, die bei schwerem Gewicht oben wegblieben. Es wird für schweres Gewicht unten:

h-h-h = 8 '{A ²⁷ 353,2 +

80

1000

.2364} = 6,4.27 590 y

für schweres Gewicht oben:

80

% — 4 — 4 = ⁸    •106 788 +

Nach Gleichung (23) folgt nun hieraus mit T = ls,0028 M. Z., wenn M = 3,428.10⁶, hx — 705, h₂ — 295 angenommen wird, für

1000

.2940} = 6,4.107 082.

(50)

schweres Gewicht unten: Tx — Tx = -|- 0³,000036.6,

„    „    oben:    T₂ —T% = -f- 0³,000339.8.

Da nun bei der Berechnung von L nach den Formeln (24) \ = 700 und \ = 300 gesetzt ist, so ist jetzt weiter mit x — 1,0028:

L'—L = —

iooo i4(zy- rt)-6(?y— r₈)

= -f- 0,377 mm.

Wenn man jedoch die Masse einfach dadurch erhöht, dafs man überall g durch Multiplikation mit 3,59/3,43 vergröfsert, wodurch freilich die Massen Mt und M.₂ etwas zu grofs werden, so geht der zuerst berechnete Wert von 11— L über in -j- 0,377.3,59 / 3,43 = -f- 0,395.

Welche Verbesserung an -f- 0,377 anzubringen ist, dürfte ohne eine sorgfältige Neumessung aller Dimensionen und der Dichtigkeiten schwer zu sagen sein. Diese Revision mufste ich auf spätere Zeit verschieben.

Wie weiterhin angegeben wird, ist der zu klein. Direkte Messungen gaben 10,3.10⁹. Damit folgt

zur

Berechnung verwendete Wert E/g— 10¹⁰ etwas

11 — /> = -}- 0,366 mm,

bei welchem Betrage ich stehen geblieben bin.

Diesem Ergebnis haftet ein mittlerer Fehler von ungefähr + 0,015 mm an, wovon der gröfsere Teil auf die Unsicherheit der Rechnungselemente (mit Ausnahme des auf noch nicht 1% unsicheren Wertes von E) kommt. Kleinere Beträge von je etwa 2% liefern die ungenaue Berücksichtigung der Querschnittsdiskontinuitäten und des Zustandes der beiden Stellen, wo die Endgewichte angeschraubt sind, sowie die Abweichung der Theorie von der Strenge überhaupt. Auf die Begründung dieser Schätzungen gehe ich nicht weiter ein; dieselben sind auf der Basis der bisher gegebenen Darlegungen erfolgt; für den Einflufs der Schraubenstellen sind die nachstehenden Biegungsversuche zu vergleichen.

§ 12. Bestimmung des Elasticitätsmoduls. Um E für das biegsame Meterpendel zu be-stimriien, wurden statische Biegungsversuche angestellt, wobei das Pendel nahezu horizontal auf zwei Stützen symmetrisch zur Mitte lag und durch ein kleines Gewicht, welches in der Mitte aufgehängt wurde, zeitweise eine Durchbiegung erhielt. Für die Berechnung wurde die Axe des unbelasteten Pendels als horizontale Gerade angenommen und die Formel (5) zu Grimde gelegt.

Infolge der Symmetrie zur Mitte bei den vorstehend angegebenen Umständen ist bei gleich hohen Stützen die gebogene Längsaxe in der Mitte horizontal. Die x-Axe wurde an dieser Stelle tangential zur gebogenen Längsaxe gelegt und x für die links liegende Pendelschneide gleich null angenommen. Mit Zählung der rj nach unten wird dami d^rj/dx² negativ, da das statische Moment der biegenden Kräfte negativ ausfällt. Diese letzten sind die Belastung P in der Mitte und die Widerstände beider Stützen im Betrage von--P. Für Querschnitte mit der Abscisse x zwischen der

linken Stütze mit der Abscisse a und der Mitte bei x = 500 hat man dann

(51)

Diesem Betrage von L' — L haftet eine gewisse Unsicherheit schon allein aus dem Grunde an, dafs die zugehörigen Werte von M, Jit und \ nicht genau der Wirklichkeit entsprechen. Denkt man sich, wie S. 26 u. ausgeführt, die Masse von 3,43 kg durch Beifügung von je 0,08 kg an beiden Schneiden auf 3,59 erhöht, so wird \ = 700, Ji₂ — 300, M — 3,59.10⁶ und Formel (25) giebt

1000    6,4(27 590 — 107 082)

400.3,59.1Ö®

L'—L =

r²

— -f- 0,352 mm.

<) jji dir] __ p % fl _

dx²    %

Hieraus wurde durch mechanische Quadratur ß = dr\/dx in ähnlicher Weise wie ßQ in Tabelle 1 und 2 hergeleitet. Tabelle 3 giebt die Werte von 2Eß, wobei a — — 120 und P—0,1 kg gesetzt ist.¹)

Statische Durchbiegung des neuen Meterpendels

Tabelle 3.

bei 0,1 kg Belastung.

— 120

— HO

— 100

90

80

70

■—    60

o o o    "o

2 Eß

2Eß

2 Eß

2Eß

2Eß

8,457

8,392

8,277

8,128

7,954

7,763

7,56o

7,350

7,i37

6,923

6,921

6,915

6,908

+ 10 -j- 20 + 30 -f- 40 + 50 + 60 + 70 + 80 + 90 -f- 100

-j- IIO

-f- 120 + 130

6,901

6,893

6,885

6,876

6,866

6,809

6,609

6,415

6,225

6,039

5,859

5,683

5,512

+ HO + 150

-f- IÖO

+ 170 -J- l80 + 190

-j- 200 -(-210 -j- 220

+ 230 + 240 + 250 -f- 260

5,345

5,183

5,025

4,872

4,722

4,578

4,437

4,300

4,167

4,038

3,9i3

3,79i

3,673

+ 270 -j- 280 + 290 + 300 + 310 + 320 + 330 + 340 + 350 + 360 + 370 + 380

+ 390

3,552

3,427

3,300

3,169

3,035

2,899

2,759

2,616

2,469

2,320

+ 400 + 410 + 420 + 430 + 440 + 450 + 460 + 470 -f- 480 + 490 + 500

1,692

1,527

i,359

1,188

1,014

0,837

0,656

o,473

0,286

0,096

2,168

2,012

1,854

Summe:

285,009

Durch einfache Summierung ergiebt sich sodann nach Multiplikation, mit dx — 10 mm der Wert des Produkts aus 2E und der Durchbiegung H in der Mitte, und da H gemessen wird, berechnet sich hiernach E aus der Formel

(52)

ß_ 2850    1425

Dieser Formel entsprechend wurden an drei Tagen Versuche gemacht; sodann wurden die Stützen auf x — — 40 und -f- 1040 verschoben und mit P = 0,2 kg an zwei Tagen Versuche angestellt. Aus den zur Herleitung der Tabelle 3 nötigen Zahlenreihen liefs sich leicht die entsprechend abgeänderte Formel für E gewinnen:

(53)

-w~f 1783 E = —

Bei den Versuchen standen die Stützen auf 2 Steinpfeilern; eine über dieselben gelegte Bohle trug ein horizontal gerichtetes Mikroskop zur Beobachtung der Durchbiegung. Da bei eintretender Belastung sich möglicherweise die Stützen oder die Stange auf den Stützen etwas verschoben, wurden Punkte der Stange nahe den Stützen durch ein zweites und drittes, auf den Steinpfeilern aufgestelltes Mikroskop beobachtet. Selbstverständlich reducierte ich diese Beobachtungen wegen des Umstandes, dafs die Hülfspunkte sich infolge ihres Abstandes von den Stützen bei eintretender Durchbiegung etwas verschieben mufsten. Hierbei wurde ß an den Stützen gleich 1 /2440 bezw. 1 /1440 angenommen.

Die Beobachtungen begannen bei unbelastetem Zustand; dann wurde belastet und abgelesen, sowie nach etwa 4 Minuten nochmals abgelesen, hierauf entlastet und wieder abgelesen. Eine elastische

Nachwirkung konnte bei diesen geringen Zeitunterschieden nicht wahrgenommen werden; einige gröbere Fehler sind zweifellos durch die Aufstellung des mittleren Mikroskops auf der hölzernen Bohle entstanden, welche sich verzog. Vom dritten Versuche an suchte ich diesem Einflufs dadurch möglichst zu begegnen, dafs die beiden zusammengehörigen Ablesungen des mittleren Mikroskops dicht hintereinander bewirkt wurden.

Statische Durchbiegung H.

Mittel

JE = 10230 bei 1240 mm Länge,

| E = 10330 j bei 1080

Gewicht

1897

Mittel E

22.1.    0,1344

0,1307 0,1396 0,1349 10560

mm.

Die 2. bis 5. Rubrik geben H in mm bei abwechselnder Belastung und Entlastung; nur am 22.1. ist der Versuch 2 bei Entlastung unterblieben. Am 25.1. ist E vielleicht deshalb zu klein, weil die Endgewichte nicht ganz so fest wie gewöhnlich angeschraubt worden waren (ich hatte es an diesem Tage nicht selbst besorgt). Die Ergebnisse des 1. und 2. Tages sind zum Endresultat nur mit halbem Gewicht zugezogen, einesteils wegen der eben erwähnten Umstände und andernteils wegen unvollkommener Messung überhaupt. Aus den inneren Abweichungen der einzelnen Ergebnisse an den verschiedenen Tagen folgen nachstehende mittlere Fehler der Tages werte E:

+ 190 + 210 4- 72 4- 103 4- 40.

Hiernach würden die ersten beiden Tageswerte nur etwa das Gewicht % der drei letzten zu erhalten haben; es schien mir jedoch ratsam, ihren Einflufs durch Annahme von % nicht allzusehr abzuschwächen.

Mit den m. F. der Tagesresultate folgt E = 10230 mit dem m. F. ± 80 und E = 10330 mit ± 55. Hiernach ist der Unterschied beider Ergebnisse nicht als reell erwiesen. Mit den Gewichten 1 und 2 vereinigt, folgt abgerundet das Gesamtergebnis:

E= 10300 ^ 45 .

Dies gilt für mm und kg. Der Übergang zu dem entsprechenden Werte von E/g im anderen Mafssystem ist bei Gleichung (12) in § 3, S. 5, besprochen.

Würde man dem Unterschied der beiden Werte von E bei 1240 und 1080 mm Auflagerungslänge zwischen den Stützen Realität zuschreiben, so liefse sich daraus eine schwache Knickung dß an den beiden Schraubenstellen herleiten, die nicht ohne merkbaren Einflufs auf das Ergebnis für L' — L, S. 28, sein würde, besonders unter Voraussetzung einer Art von Schlotterung. Da indessen bei sorgsamem Anschrauben der Gewichte eine Schlotterung ausgeschlossen erscheint, so wurde von der Einführung eines öß bei der Berechnung des Biegungseffektes L' — L abgesehen und die Möglichkeit einer Knickung nur bei der Genauigkeitsschätzung des mittleren Fehlers desselben (S. 28) berücksichtigt.

§ 13. Schlufsbemerkung. Wie im zweiten Teile dieser Arbeit mitgeteilt werden wird, ergab sich Lr aus dem neuen biegsamen Meterpendel zu 994,626 mm, während das Viertelmeterpendel 994,255 ergab. Hierbei ist zwar das Mitschwingen des Stativs, aber noch nicht die Elasticität des Pendelkörpers berücksichtigt. Nach dem Vorhergehenden ist deshalb um —0,366 mm bezw. um —0,002 mm zu verbessern, womit 994,260 mm bezw. 994,253 mm als Ergebnis hervorgehen. Dies kann als befriedigend betrachtet werden. Bei Ableitung von L aus beiden Pendeln nach der Methode von Defforges folgt (4.994,260 — 994,253) : (4 — 1) = 994,262 mm (oder etwas genauer 994,263 nach Teil H, § 9).

Die Übertragung von Wien her, nach von Oppolzers Bestimmung, giebt nach v. Sternecks Ermittelung für Potsdam 994,254, nach Kühnen 994,251 mm; in beiden Fällen ist von Oppolzers Wert um — 0,004 mm wegen der Elasticität seines Pendels verbessert.

Die Übertragung der Bestimmung für Paris nach Defforges auf Wien durch v. Sterneck und von Wien auf Potsdam mit der Mittelzahl aus v. Sternecks und Kühnens Bestimmung ergiebt 994,264 mm, wobei Defforges’ Wert um — 0,030 mm verbessert worden ist.

Hiernach dürfte die Korrektion wegen der Elasticität der Pendel den Erfahrungen entsprechen. Wenn sie den auffallend kleinen Wert nicht erklärt, den Lorenzoni in Padua fand, so dürfte dies nicht dagegen sprechen, da vorläufige Ermittelungen in Potsdam mit Lorenzonis Pendel keine auffallenden Abweichungen zeigten.

II. Vorversuche für die Bestimmung der Länge des mathematischen

Sekundenpendels.

§ 1. Der Apparat. Das Geodätische Institut besitzt bereits seit dem Jahre 1869 einen älteren Reversionspendel-Apparat von A. Repsold & Söhne mit einem Meterpendel.²) Hiermit wurden bis zum Jahre 1871 Messungen auf 10 Stationen angestellt; dann führten hervortretende Unsicherheiten zu einer Unterbrechung, die infolge verschiedener Hindernisse eine längere Dauer annahm.³) Bei der Errichtung des Dienstgebäudes des Instituts auf dem Telegraphenberge bei Potsdam wurde für Pendelmessungen ein besonderer Raum vorgesehen, der sogenannte Pendelsaal.⁴) Derselbe kann mit Gas von unten her geheizt werden, dergestalt, dafs die warme Luft zuerst den Fufsboden von unten bespült, dann in den Wänden aufsteigt und auch aussen an der Decke hinstreichen kann. Die Zuführung frischer Aufsenluft ist in verschiedener Weise, namentlich durch Kanäle von oben her, ermöglicht. Auf diese Weise wird der in geheizten Räumen meist vorhandene, für Pendelmessungen schädliche Höhengradient der Temperatur der Luft sehr vermindert, und es kann eine bemerkenswerte Konstanz der Lufttemperatur erzielt werden.

Zur Aufstellung der Apparate treten an vier Stellen des Fufsbodens Steinpfeiler hervor, die auf einem sehr starken, mit dem Gebäude verbundenen Fundament errichtet sind und den Fufsboden isoliert durchschneiden. Für absolute Pendelmessungen ist namentlich ein Doppelpfeiler vorgesehen, der eine feste Brücke von Eisen trägt. An dieser Brücke befindet sich eine Konsole mit einem Achatstück, das zur Aufhängung der Pendel eine horizontale Ebene darbietet. Damit bei eingehängtem Pendel diese Ebene wirklich horizontal war, wurde es nötig, das Nivellement der Ebene mit der Setzlibelle bei einer dem Pendelgewicht entsprechenden Belastung der Konsole auszuführen.

Um die Wärmestrahlung des Pfeilers gegen die Pendel zu vermindern, sind die inneren Seitenflächen der beiden Hälften des Pfeilers, zwischen denen die Pendel hängen, mit Holz verkleidet. Aufserdem befindet sich aufserhalb der Verkleidung in 1 cm Abstand eine mit Staniol beklebte Leinwand; die Luft kann dazwischen durchstreichen. Das gemeinsame Fundament der beiden Pfeilerhälften, welches in Höhe des Fufsbodens abschliefst, ist zwischen jenen auch mit Holz bedeckt. Zwei Thüren mit Leinwandfüllung und Staniolüberzug vollenden die seitliche Begrenzung des Luftraums zwischen den Pfeilerhälften, während eine grofse Haube aus einem prismatischen Holzgestell mit entsprechender Leinwandverkleidung oben Schutz giebt.

Die Bestimmung der Länge des mathematischen Sekundenpendels sollte nach der von Defforges zuerst bei Reversionspendeln benutzten Differenzenmethode (die Bessel bei dem Fadenpendel eingeführt hatte) erfolgen. Zu dem Zwecke konstruierten die Herren Repsold auf meinen Wunsch zwei neue Pendel von gleichem Gewicht und mit den Schneidenabständen von 1 m und x/₄ m. Da zugleich von der Anwendung von Hohlcylindern abgesehen werden sollte, um die gesamte Oberfläche leichter übersehen zu können, geschah es, dafs das lange Pendel zu biegsam wurde, während das kurze eine befriedigende Steifigkeit erhielt. Um bei dem kleinen Pendel die erforderliche Masse unterzubringen, mufste in seiner Mitte eine cylindrische Verstärkung angebracht werden. Vergl. die Figuren auf der lithographierten Tafel.

Selbstverständlich schwangen bei den Messungen beide neuen Pendel nach einander auf denselben Schneiden. Der Wunsch, dafs auch das ältere, erheblich schwerere Pendel auf derselben Konsole und mit denselben Schneiden schwingen könne, blieb unerfüllt, wird aber bei neuen Messungen befriedigt werden. Zunächst konnte bei den hier mitgeteilten Messungen nur das neue Pendelpaar benutzt werden.

Zur Temperaturbestimmung für diese Pendel dienten zwei in 58 cm Höhenunterschied an einer 16 mm starken Messingstange angebrachte (mit den Kugeln eingelassene) Thermometer. Die Stange wurde im Pendelschrank nahe bei dem schwingenden Pendel befestigt. Für das lange Pendel kam das Mittel der Angaben beider Thermometer, für das kurze nur die Angabe des oberen zur Anwendung.

Zum Zwecke der Messung des Schneidenabstandes wurde das Dreibein des älteren Apparates mit den bezüglichen Einrichtungen als Vertikalkomparator beibehalten. Auch der Mafsstab wurde versuchsweise beibehalten, jedoch ohne Benutzung des in ihm befindlichen Metallthermometers, das schon 1872 als veränderlich erkannt worden war und neuerdings ebenfalls nicht befriedigte. Der Mafsstab wird aus einer Messingröhre gebildet, die im Innern in 1 m Abstand Ansätze hat mit Teilflächen, welche genau in der Rohraxe liegen. Für die Anwendung des kleinen Pendels erhielt der Mafsstab einen dritten Ansatz in % m Abstand von dem einen der beiden andern.

Leider bewährte sich der Mafsstab nicht, wohl infolge von Klemmungen, die das nicht beseitigte Metallthermometer herbeiführte. Die Kaiserliche Normalaichungskommission, welche nach Beendigung der Versuche um die Bestimmung des Malsstabes gebeten wurde, deckte eine starke Variabilität der Länge für gleiche Temperaturen nach vorhergehenden Schwankungen der Temperatur auf, und ich fand diese Variabilität durch Vergleichungen mit einem neuen, einwandfreien Mafsstab im Vertikalkomparator bestätigt.

Hierdurch ist in das Endergebnis der Versuche eine Unsicherheit gekommen, die nur dadurch an Bedeutung zurücktritt, dafs die durch die elastische Biegung des langen Pendels hervorgebrachte Unsicherheit von gleicher Ordnung ist. Überhaupt war von Haus aus das Ganze als Vorversuch gedacht, sonst wäre auch eine gröfsere Anzahl von Messungen erfolgt.

Bei den endgültigen Messungen wird aulser verschiedenen, schon berührten Übelständen auch Mängeln des Komparators abgeholfen werden, die jetzt in der Beleuchtung und in dem Schutz gegen Wärmestrahlung auftreten.

§ 2. Die Beobachtungen. In den Tabellen 4 und 5 sind die Ergebnisse der Beobachtungen und Messungen niedergelegt, wozu im folgenden eine gröfsere Anzahl Erläuterungen und Bemerkungen gegeben werden.

Helmert, Beiträge zur Theorie des Beversionspendels

1894

März

Schweres

Gew.

Firma

Koinci-

denzen-

intervall

Gewicht

von c

Mittl. Fehlerqu. einer Koincid.

3-

4-

5-

6.

Beobachtungen mit dem neuen

Stangentemp. Temp. d. Zimmers

Stündl.

Temp.-Gang

Reversionspendelapparat von Repsold.

Tabelle 4.

o.

u.

0.

u.

Stange Zimmer

cc

Ausschlag Luftdruck druck in der Mitte

in

mm

Dunst- Schwingungsdauer in Uhrzeitsek.

mm

Red. Red. für cc

Red. auf

auf 16⁰ Sternzeit

in Stemzeit in Stemzeit

Mittelwert in Sternzeit

in mittl. Zeit

7-

8.

9-

10.

11.

12.

13-

i4-

i5-

16.

T7-

18.

19-

20.

21.

22.

o. W.

u. W.

u. E.

0. E.

84®, 088

84, 119 83,913 83, 914

432

11

1>

11

0,696 : 2

0,231 : 2

0,036 : 2

0,291 : 2

14⁰,85    i₄°,78

15, 19    15, 14

16, 80 16, 78

16, 75 16, 73

*5°,35

!5, 95

17, 3i

17, 60

Halbsekunden-

+ o°,i8    +o°,35

0, 00    + o, 25

0, 00    — o, 20

o, 00    — o, 20

Pendel.

22',3

21, 2

23,3

21,9

744,3

742,5

738,9

738,3

7,2

11

11

,,

oa,5029908

00

\0

—    13    +53    +139

+ 37

—    H    —37    +H0

— 12

11

— 13    —38

11

oa,5030087

061

060

060

oa,5030117

0, 5030060

0*5030088

0, 5016354

6.

0. W.

11

u. W.

84,119

84 188

432

• 32

2,221 : 2

14, 94

14, 90

0,085 : 3

15, 19

15, 14

15,60    +0,18    +0,35

15, 88

743,8

7,2

0, 5029897

11

0.

u. E.

11

u.

0. E.

84, 168    432

84, 175 |    432

°,37¹ : 2

0,140 : 2

15, ²4

15, 18

o, 00    + o, 25

15,73    +0,05    +0,20

742,o

11

TT

74i,3

11

15, 3i

15, 25

15, 83

5,

740,8

N C+

1^ U-

00    00    00

+ 49    +139

+ 37 + 35    + HO

+ 32

11

it

0, 5030084

046

053

047

o, 5030127

0, 5030040

o, 5030084 0, 5016350

Gewichte

umge-

schraubt

L ängenmessungen

15-

u.

u. W.

11

0.

0. W.

11

0.

0. E.

11

u.

u. E.

84, 151 84, 008 84, 098 84, 128

867

192

192

768

0,127 : 2

0,027 : 2

0,022 : 2

0,101 : 2

16, 22 16 20

16, 27 16, 41

16, 22

l6, l8

l6, 24

16, 39

16,45

16, 08

16,66    16,    32    0,    00    4- o, 40

25,4

21, 6

23, 6

24, 8

743,6

743,4

743,0

742,9

7,6

11

11

11

0, 5029886

vo    vn <+

ro    O    ON

Os <J\ 0o

—    10    + 157 0,    5030016

— 17

— 12

—15

072

036

018

o, 5029952

0, 5029997

0, 5029974 0, 5016240

Ln

u. W. 84, 248 0. W. j 84, 160 0. E. 84, 141 u. E. 84, 286

867

I92

192

768

0,112 : 2

0,102 : 2

0,542 : 2

0,312 : 2

l6, 20 l6, 20 l6, 26

O 'O ON ON

ocT tC rC

743,5

743,3

743,i

742,9

7,6

11

11

,,

0,5029851

882

890

838

—    9    +157 0,5029997

—    9    +158

—    12    +158

—    2    -{-160

30029

30034

29994

o, 5029960

o, 5029948

0, 5029954 o, 5016220

Die Schneiden sind in jedem der beiden Pendel unverwechselt geblieben: die Schneide mit dem Punktzeichen . war in der Fassung mit der Bezeichnung „Firma“, diejenige mit . . in der andern Fassung; beide Punktzeichen lagen auf der Seite der „Firma“. Die Vertauschung der Schneiden wurde ersetzt durch Vertauschung des leichten und schweren Gewichts. Hiermit erzielt man nicht nur dasselbe, sondern erhält sogar noch fast volle Sicherheit, dafs die einzelne Schneide immer mit denselben Punkten auf der horizontalen Lagerfläche liegt. Denn wenn die Fassungen der Schneiden ein wenig schief zur Längsaxe der Pendel sind, kann nach der Vertauschung die einzelne Schneide von dem Lager anders berührt werden.

Die Schwingungsbeobachtungen sind immer auf einander folgend, oder doch an demselben Tage, bei schwerem Gewicht unten und oben bezw. oben und unten angestellt, so dafs der Unterschied der Luftdichtigkeiten für beide Fälle als unerheblich anzusehen ist. Meist folgen sich überdies die beiden Kombinationen (u.o) und (o.u) unmittelbar zeitlich, womit im Mittel für unten und für oben die Gleichheit der Luftdichten noch besser gewahrt wird, Tab. 4, Rubrik 1, 2, 7—10 und 14. Beim Übergang von der einen zur andern Kombination wurden die Pendel um die Vertikale gedreht, sodafs die „Firma“ die Lage gegen die Himmelsrichtung wechselte, Rubrik 3.

Zu jeder Beobachtung mit grofser Amplitude, Rubrik 13, wurde meistens unmittelbar

5*

hinterher eine Beobachtung mit kleiner Amplitude hinzugefügt. In dieser Beziehung ist jedoch in Tab. 4 von der chronologischen Folge

können. Als Koincidenzenuhr diente die Pendeluhr Strasser & Rohde

1894

März

Schweres

Gew.

Firma

Koinci-

denzen-

intervall

Gewicht von c

Mittl. Fehlerqu. einer Koincid.

Stangentemp.

Temp. d. Zimmers

Stündl,

Temp.-Gang

0.

u.

0.

u.

Stange

Zimmer

Ausschlag in der Mitte

Luftdruck

in

mm

Dunst

druck

in

mm

Schwingungsdauer in Uhrzeitsek.

Red. für a

Red. auf 16⁰

Red.

auf

Stein

zeit

in Sternzeit

in Stemzeit

Mittelwert in Sternzeit

in Mit«. Zeit

1.

2.

3-

4-

5-

6.

7-

8.

9-

10.

11.

12.

13.

14-

15-

16.

17-

18.

19.

20.

21.

22.

16.

u.

0. W.

0.

u. W.

i82s,629

182, 098

179

80

0,020 : 2

0,072 : 1

|! 15°,88

16, 35

i5,°85

i6°,79

16, 32

17, 13

19.

0.

u. E.

u.

0. E.

181,    659

182,    163

80

336

0,004 : I

17, 14

17, 12

17, 67

0,099 :3

17, 02

17, 01

17, 20

Sekunden-

i6°,°3 j +o°,i9    +o°,i3

16,    30 j -j- 0, 10

¹7,    3°    +0,09    +0,25

17, 00 j +0, 16    +0, 73

Pendel.

23',6

744,1

I⁸,0055057

30

+ 0, 35

23,0

21,5

24,5

744,3

759,8

758,3

219

352

199

28

25

32

i®,0055283

499

549

394

277

I⁸,0055280 I, 0027825

l6.

u.

0. W.

,,

0.

u. W.

182, 556 182, 108

161

80

0,787 : 2

16, 02

0,040: 1

16, 40

15,    99

16,    37

16, 86

17, 35

16, 13 16, 50

19.

0.

u. E.

181, 778

80

0,002 : 1

17, 19

17, 19

17, 77

17, 48

u.

0. E.

182, 215

224

0,053 : 2

17, 16

17, 14

17, 88

17, 60

+ °, 19 + 0, 10 + 0, 09

+ 0, *6

± o, 13

+ 0, 35

+ 0, 25

+ 0, 73

744,3

744,3

759,5

758,3

co co

tC    pC vC

1, 0055078

216

317

182

1, 0055411

516

53i

394

1, 0055332

I, 0055312 I, 0027857

292

Gewichte

umge

schraubt

Längenmessungen

21.

u.

u. W.

0.

0. W.

0.

0. E.

181, 703 181, 170 181, 148

224

80

80

0,337 : 2

0,099 : 1

0,032 : 1

18, 41

18, 39 18, 58

18, 38 18, 37 18, 56

19, 10

18, 68 18, 88

u.

u. E.

181, 771

224

0,060 : 2

18, 16

18, 13

18, 25

18, 70 18, 40 18, 55 18, 03

o, 00

+ 0, 04

±0, 03 + 0, 07

— 0, 30 + 0, 30

+ O, 20

+ 0, 50

23, 3

20, 6

2I, 3

22, 8

759,5

759,4

759,2

758,5

21.

u.

0.

,,

0.

u. W. I 181, 806 0. W. 181, 290 0. E. | 181, 223

304

80

80

1,471; 3

0,131 : I

0,032 : 1

u.

u. E.

181, 882

249

0,205 : 2

18, 50 | 18, 55 18, 65 18,23 j

O, 00    — o, 30

+ 0, 04    + o, 30

+ O, 03    -f- O, 20

+ O, 07 -f 0, 50

7,4

7,4

7,7

759,5

759,3

759,o

758,7

Jedenfalls wie am 19. und 16.

1, 0055339

503

5io

319

1, 0055308

466

487

285

29

23

24

28

— 217    +318

— 218    +312

— 233    +308

— 203

I, 0055412

1, 0055288

vo On

IT) LO CO

OO

Cn

I, 0055406

l>. C\ H-< iD u~> OO lO 40 CO

276

1, 0055282 1, 0027827

1, 0055293

247

1, 0055270 1, 0027815

aus leicht ersichtlichem Grunde abgewichen; man erkennt aber z. B. an dem Gange der Reduktionen auf Sternzeit leicht die Reihenfolge der Messungen, Rubrik 19.

Als Beobachter wirkte, mit einer Ausnahme am 6. März bei der ersten Schwingungsdauerbestimmung, immer Herr Dr. Schumann. Bei der genannten Anfangsreihe beobachtete auch ich einen Teil der Koincidenzen.

Die Koincidenzen wurden mit einem Koincidenzenapparat nach der Methode v. Sternecks erhalten; die Pendel tragen zu dem Zwecke der Anwendbarkeit dieser Methode in der Nähe jeder Schneide zwei entgegengesetzt gerichtete Spiegel, um Koincidenzen ohne Versetzung des Apparats bei jeder Pendellage erhalten zu

Nr. 101, welche erst in einem Nebenraum, für die Beobachtungen vom 15. März ab aber im Pendelsaale selbst sich befand. Die Uhr schliefst die elektrische Leitung, welche durch den Koincidenzenapparat geführt ist, alle 2 Sekunden; die Stromöfihung erfolgt so, dafs diese 2 Sekunden ungleich geteilt werden und somit Schlufs- und Öffnungsblitz im Koincidenzenapparat sich nicht stören. Beobachtet wurde der Öflhungsblitz.

Vor Beginn wurde der Faden des Koincidenzenfernrohrs stets genau auf den Blitz in der Ruhelage des Pendels gestellt. Eine Abweichung macht sich unangenehm geltend bei der Vergleichung der Koincidenzen bei Aufgang und Niedergang; dieselben zeigen^ eine Verschiebung gegen einander, die mit abnehmender Amplitude wächst. Wenn nun auch bei der endgültigen Rechnung durch Mittelung auf einander folgender Koincidenzen kein nennenswerter Fehler bleibt, so ist doch bei der vorläufigen Rechnung die Verschiebung unbequem.

Bei einer der Bestimmungen am 6. März mufste die Berechnung etwas modificiert werden, da durch Öffnen des Pendelschranks inmitten der Reihe eine Störung des Pendelganges entstanden

die Anfangs- und Schlufskoineidenzen für sich benutzt werden, was das Ge-

wurde, da

1894

März

Beobachter

Schweres

Gewicht

Beleuchtung

der

Scheinbarer

Abstand

Schneiden

mm

1.

2.

3-

4-

5-

Ergebnisse der

Längenmessungen.

Tabelle 5.

Temp. des

Mittlerer

Abstand

Temp. des

Mittlerer

Abstand

Temp. des

Pendels

Mafsstabes

mm

Pendels

Mafsstabes

mm

Pendels

Mafsstabes

Abstand in wahren mm

6.

7-

8.

9-

10.

11.

12.

I3-

14.

10.

Schumann

oben

dunkel

250,1734 1835

i6°,68

hell

1781    1810

12.

1t

unten

dunkel

250,1789    1778

16, 80 16, 22

Halbsekunden-

16°,54 16, 68 16, 06

Pendel.

250,1790

i6°,74

i6°,6i

250,1790

*6°,36

i6°,23

250,1876

hell

1780 1818

15, 75

IS» 63

250,1791

15, 98

15, 85

13.

Helmert

Gewichte umgeschraubt unten

dunkel

hell

250,1749    1814

1655    1665

r5, 45

r5i 34

15, 55

15, 47

250,1721

15, 50

15, 4i

i4-

1»

oben

dunkel

250,1804    1840

17, 96

17, 86

250,1739

16, 70

16, 64

250,1843

hell

1697    1688

18, 01

17, 90

250,1757

17, 91

17, 88

Sekunden-

Pendel.

20.

Helmert

unten

dunkel

1000,0313 0321

17, 92

17, 92

hell

0123 0090

17, 75

17, 75

1000,0212

17, 84

17, 84

20.

11

oben

dunkel

hell

1000,0381 0367 0208 0159

18, 57 18, 45

18, 57 18, 45

1000,0245

18, 18

18, 18

1000,2073

1000,0279

18, 51

18, 51

20.

Schumann

Gewichte umgeschraubt unten

dunkel

1000,0278 0269

hell

0289 0305

18, 04

18, 13

18, 04

18, 13

1000,0285

18, 09

18, 09

20.

11

oben

dunkel

1000,0188 0217

1000,0250

17, 77

17, 77

1000,2000

*7, 35

17, 35

hell

0232 0219

17, 53

i7, 53

1000,0214

17, 44

17, 44

Beim Halbsekundenpendel wurden am 6. und 7. März die 6 Anfangskoincidenzen Nr. 0 bis 5 und sodann die 6 Schlufskoineidenzen Nr. 12 bis 17 bei rund 84s Koincidenzeninteryall beobachtet. Die 6 Unterschiede Nr. 12—0, 13—1, . . 17—5 ergaben dann im Mittel und nach Division mit 12 die in der Rubrik 4 aufgeführten Werte eines Koincidenzenintervalls in Uhrzeitsekunden. Das Gewicht der Bestimmung wurde gleich 12².6/2 = 432 gesetzt, Rubrik 5. Zur Bildung des mittleren Fehlerquadrats der Gewichtseinheit wurden aus bekannten Gründen nicht die 6 Abweichungen vom Mittel unmittelbar herangezogen, sondern nur die 3 Mittelwerte je zweier auf einander folgender Abweichungen, Rubrik 6; das Gewicht 2 entspricht also dem arithmetischen Mittel zweier auf einander folgenden Koincidenzen (Mittel aus Auf- und Niedergang) und die Gewichtseinheit der einfachen Koineidenz (befreit von den systematischen Einflüssen der Aufstellung des Koincidenzenappapats).

war¹); hier konnten nur wicht der Ergebnisse sehr vermindert hat.

Vom 15. März ab wurden die Pausen zwischen den sechs ersten und sechs letzten Koincidenzen bei schwerem Pendelgewicht unten gröfser genommen als bei schwerem Gewicht oben (in die Pausen fielen etwa 10 bezw. 2 Koincidenzen). Hierdurch ergab sich für den ersten Fall etwa die doppelte 1) Dies geschah behufs Ablesung der Thermometer, was dann vom 15. März ab als bedenklich aufgegeben weitere Versuche die Empfindlichkeit des schwingenden Pendels gegen das Thüröfinen bestätigten.

Genauigkeit wie für den letzten, entsprechend dem Umstande, dafs bei der Kombination der Ergebnisse zu Endwerten die Abstände des Schwerpunkts von den Schneiden für die Quadrate der Schwingungszeiten als Faktoren auftreten, die bezw. annähernd im Verhältnis 2 : 1 stehen. (Vergl. weiterhin § 6.) Das Verfahren hatte zugleich den Vorteil, die einander entsprechenden Amplitudengrenzen bei beiden Lagen des schweren Gewichts der Gleichheit nahe zu bringen.

Wegen der Gröfse des Koincidenzenintervalls von 3 Minuten beim Sekundenpendel fiel die Pause zwischen Anfangs- und Schlufskoincidenzen weg; z. B. bei schwerem Gewicht oben wurden nun immer die Koincidenzen Nr. 0 bis 9 beobachtet, bei unten Nr. 0 bis 13 oder annähernd so. Anstatt nun wieder wie beim Halbsekundenpendel zu rechnen, wurden die Differenzen der Mittel 0-1 und 8-9, 2-3 und 6-7 bezw. öl und 12-13, 2-3 und 10-11, 4-5 und 8-9 gebildet und daraus die Koincidenzendauer abgeleitet. Die Gewichte der Ergebnisse sind 8²-(- 4² = 80 bezw. 12² —8² —(— 4² = 224 anstatt 72 bezw. 192. Es tritt also eine geringe Steigerung der Gewichte ein. Dasselbe hätte auch bei dem Halbsekundenpendel erzielt werden können (z. B. anstatt p — 432 wäre erhalten worden 464 und anstatt 768 800). Jedoch schien es nicht nötig, deshalb die Rechnung zu wiederholen.

Streng ist ja auch das zweite Verfahren nicht. In erster Linie setzt es ebenso wie das erste voraus, dafs während der Dauer der Koincidenzenreihe der Uhrgang keinen merkbaren Schwankungen unterliegt, und dafs daher Fehler lediglich durch zufällige Einflüsse bei der Entstehung und Beobachtung der Koincidenzen hervorgerufen werden. Unter dieser Voraussetzung müfsten nun zur Vorbereitung der strengen Ausgleichung zuerst die Koincidenzen auf Amplitude null und konstante Temperatur reduciert werden⁵).

Ein Versuch zeigte jedoch, dafs infolge des geringen Betrages der Ausschläge und wegen der nur kleinen, innerhalb einer Reihe als wesentlich der Zeit proportional zu betrachtenden Temperaturänderungen, es nicht erforderlich war, diese Reduktionen anzubringen, wenn darauf verzichtet wurde, für M² den sichersten Wert zu erhalten. Das zweite Verfahren giebt das der Amplitude in der Mitte der Reihe und der mittleren Temperatur entsprechende Koincidenzenintervall mit einer so kleinen Abweichung gegenüber der Strenge, dafs die Schwingungsdauer selbst bei den gröfseren Amplituden erst in der 7. Decimalstelle um etwa 1 Einheit beeinflufst, wird; M² wird wegen der paarweisen Kombination der Beobachtungen zwar mit vermindertem Gewicht erhalten, aber doch nur wenig systematisch gefälscht, da durch die Art der Kombination die Einflüsse der Amplitude nahezu herausfallen.

Das beim Halbsekundenpendel angewandte erste Verfahren genügt daselbst zwar völlig bezüglich des berechneten Wertes des Koincidenzenintervalls; aber M² wird für die gröfseren Amplituden merklich stärker als beim zweiten Verfahren beeinflufst, und es ist daher bei ferneren definitiven Beobachtungsreihen besser dieses zu benutzen. In Tab. 4 sind im Durchschnitt die M² beim Halbsekundenpendel für die gröfseren Amplituden etwas zu .grofs.

Bildet man Mittelwerte, so ergiebt sich für das mittlere Fehlerquadrat M² einer Koincidenz:

Halbsekundenpendel:

grofse Amplituden

kleine Amplituden

schw. Gew. u.

schw. Gew. o.

schw. Gew. u.

schw. Gew. o.

1,215

= 0,152

0,316

= 0,040

2,785

= 0,348

^ = 0,122;

§ 3. Die Schwingungsdauer. Sekundenpendel:

grofse Amplituden

kleine Amplituden

schw. Gew. u.

schw. Gew. o.

schw. Gew. u.

schw. Gew. o.

= 0,057    ^ = 0,052

^ = 0,280    ^ = 0,051.

Wenn es scheint, dafs M² bei schwerem Gewicht unten gröfser ist, als bei schwerem Gewicht oben, so kann dies an der Qualität der Spiegel liegen, die mehr oder weniger zu wünschen übrig liefs. Ebenso kann die beim Sekundenpendel im Durchschnitt bemerkbare Verminderung der Werte von M² im Vergleich zum Halbsekundenpendel auf die seit dem 19. März benutzte kleinere Spaltbreite im Koincidenzenapparat zurückgeführt werden.

Im Mittel genügt es einstweilen zu setzen

(1)

: M = + 0,47.

für grofse Amplituden: M — + 0S,28 „ kleine

Anfangs wurde der Einflufs der Spiegelqualität nicht gleich erkannt, bis am 16. März der eine Spiegel am langen Pendel so schlechte Bilder gab, dafs nichts Genaues zu erzielen war, weshalb er umgeschliffen werden mufste. Die Koincidenzen am 19. und 21. März sind dann sämtlich bei guten Bildern erhalten, mit Ausnahme der ersten Reihen am 21. März für „Firma“ u. W., wo die Bilder noch schlecht waren. In den M² ist denn auch dies sehr deutlich ausgesprochen. Vorstehende Mittelwerte der M dürften daher bei guten Bildern bedeutend verkleinert werden.

den Rubriken 13, 16 und 17 der Tab. 4 folgen.

§ 3. Die Scliwingungsdaiier. Zur Ergänzung und im Anschlufs an das Vorstehende mögen zunächst einige Bemerkungen zu

Die Skala des Koincidenzenapparats war in Doppelmillimeter geteilt und 3,41 m entfernt von dem wirksamen Pendelspiegel. Es konnte hiernach ohne weiteres zur Reduktion der in Skalenteilen gemessenen Pendelausschläge 1^=1' gesetzt werden.

Die in der Rubrik 13 angegebenen Ausschläge entsprechen genau der Mitte der beobachteten Koincidenzenreihe. Abgelesen sind immer die Ausschläge vor Beginn, inmitten und am Schlüsse der Reihe mit Angabe der Zeiten. Der inmitten abgelesene Wert wurde nötigenfalls genau für die Zeit der Mitte verbessert. Aufserdem wurde stets geprüft, ob er innerhalb der Beobachtungsfehler mit dem Mittel aus Anfangs- und Endausschlag stimmte, weil dies ein Kriterium des ungestörten Verlaufes der Pendelschwingungen ist. Bei dieser Prüfung mufste natürlich, wenigstens für die gröfseren Ausschläge, beachtet werden, dafs die Abnahme der Logarithmen der Ausschläge proportional der Zeit erfolgt. Für natürliche Logarithmen und Zeitzählung in Minuten ist der bezügliche Koefficient angenähert bei dem

Sekundenpendel: schweres Gew.

Halb sekundenpendel: schweres Gew.

u.

o.

u.

o.

0,010 0,022.

0,012 0,022

Diese Zahlen stehen für jedes Pendel im umgekehrten Verhältnis der Abstände des Schwerpunktes von der Drehungsaxe, wie es die Theorie verlangt⁶).

Die Unterschiede Au der extremen Ausschläge waren bezw. durchschnittlich in Minuten:

Sekundenpendel: schweres Gew.

Halbsekundenpendel:

schweres Gew.

u.

o.

u.

o.

12

10

15

wobei die oberen Zahlen für die grofsen Ausschläge, [die unteren für die kleinen gelten. Da es zur Elimination der Form der Schneiden zweckmäfsig ist, die Au für schweres Gewieht unten und oben möglichst gleich zu machen, so hätte die Anzahl der beobachteten Koincidenzen bei schwerem Gewicht unten noch vermehrt, bei schwerem Gewicht oben- noch vermindert werden sollen. Es dürften zwar die geringen Unterschiede der Au belanglos sein; dennoch würde ich bei neuen Beobachtungsreihen an der strengen Gleichheit der Au für beide Gewichtslagen festhalten, da dies auch für die Genauigkeit von t nicht ungünstig ist (s. später § 6, S. 48). Ist nun um der Ausschlag in der Mitte, so hat man für dessen Abweichung gegen das arithmetische Mittel des Anfangs- und Endausschlages angenähert:

(A a)²

—

das giebt z. B. für Au = 15 und um — 23 den Betrag — 1⁷,2.

Die Reduktion einer einzelnen Schwingung von der Dauer T auf die Amplitude null wegen des Ausschlags u ist bekanntlich in hinreichender Annäherung gleich —u²T /16 für u als Arcus, und daher für u in Minuten mit Beachtung der speziellen Werte von T für das

Sekundenpendel:

~⁵-³²(h)²-

Bezieht sich T nicht auf eine einzelne Schwingung, sondern auf eine Reihe solcher, wobei u von ux bis u₂ abnimmt, und ist um der Wert von u in der Mitte, so genügt es im vorstehenden für u² nach Simpsons Regel zu setzen

Um

(2)

Halb sekundenpendel:

- ²>⁶⁶ (i*

Einh. d. 7. Dec.-Stelle.

(3)

¹

Die Tabellen 1—3 bat der Bureaugehülfe Obst nach meiner Anleitung berechnet.

²

   C. Bruhns, Astronomisch-geodätische Arbeiten im Jahre 1870. (Publikation des Königl. Preufs. Geodät. Instituts.) Leipzig, Engelmann, 1871; S. 109 u. f.

C. Bruhns und Th. Albrecht, Astr.-geodät. Arbeiten für die europäische Gradmessung im Königreich Sachsen, III. Abt., Berlin, Stankiewicz, 1885; S. 311 u. f.

³

   Übersicht der Arbeiten des Königl. Geodät. Instituts unter Generallt. Baeyer. (Publikation des Königl. Preufs. Geodät. Instituts.) Berlin, 1886; S. 16. (Nicht im Buchhandel.)

⁴

   F. R. Helmert, Das Königlich Preufsische Geodätische Institut. Berlin, Mayer & Müller, 1890; S. 42 u. f.

⁵

Bessel, Untersuchungen, Art. 12. Vergl. auch Carl von Okff, Bestimmung der Länge des einfachen Sekundenpendels auf der Sternwarte zu Bogenhausen. (Abh. d. k. bayer. Akademie d. Wiss. II. Kl., 14. Bd. III. Abt.) München, 1883, in Kommission bei G. Franz; S. 78 u. f.

⁶

C. S. Peihce, Measurements of gravity at initial stations in America and Europe. (App. No. 15, Coast and Geodetic Survey, Report for 1876, Washington 1879); p. 32.

Helmert, Beiträge zur Theorie des Rerersionspendels.

7f («i + ⁴< + 4) •

Beachtet man aber die oben gegebene Näherungsrelation zwischen um und (u₁ -f- cc₂), so findet sich, dafs man in den vorliegenden Fällen für u einfach

“l + ccm+ «2

setzen darf. Solange also die Ausschläge y₂° nicht überschreiten, wie im Falle der vorliegenden Beobachtungen, kann die Reduktion auf Amplitude null mit dem arithmetischen Mittel der drei Ausschläge u1} um und u₂ erfolgen. Die hierbei stattfindende gleichmäfsige Benutzung der drei Werte ist auch in Bezug auf die Kompensation zufälliger Beobachtungsfehler günstig.

Es wurde aber trotzdem einfach mit um gerechnet (nach vorheriger Prüfung des Zusammen-stimmens der drei beobachteten u), weil infolge der Mitbenutzung von Zwischenkoincidenzen bei der Ausgleichung der Koincidenzenreihe die mittlere Amplitude einen verstärkten Einflufs erlangt. Da nun weder die Benutzung des arithmetischen Mittels noch die von um genau richtig ist, es sich aber nur um Fehler handelt, die selbst beim Sekundenpendel 1 Einheit der 7. Decimalstelle in T

mit Berücksichtigung des Umstandes, dafs in beiden Fällen die Pendelschwingung länger als % bezw. 1 Sekunde der Uhr dauerte. Diese Formeln gelten, wie unmittelbar ersichtlich, für c als ganze Zahl. Sie wurden auch noch benutzt für c — n -f- 2v, wo v ein echter Bruch und n eine ganze gerade Zahl ist. Hierzu wurde v in bekannter Weise dadurch geschätzt, dafs man die Stellung zweier (bei Benutzung der Uhr Str. & R. No. 101) im Intervall von 2³ aufeinanderfolgenden Blitze am Faden des Koincidenzenfernrohres beobachtete, die den Faden einschlossen. Beispielsweise ist nun für das Sekundenpendel in Bezug auf den vorangehenden Blitz, wenn zu Anfang ein Blitz gerade am Faden vorausgesetzt wird:

nU=(n— 1 —dt)P,

worin U die Uhrzeitsekunden, P die Pendelschläge und einen echten Bruch bedeutet, der der kleinen Ausweichung des Pendels aus der Ruhelage bei dem nteri Blitz nach dem Anfangsblitz proportional ist.

Der folgende Blitz giebt

nicht wesentlich überschreiten, so war es bequemer mit am zu rechnen, weil die Amplituden für den genauen Anfang und Schlufs erst noch zu interpolieren gewesen wären.

Die Schwingungsdauer T in Uhrzeitsekunden wurde aus dem Koincidenzenintervall c nach den bekannten Formeln berechnet:

Halbsekundenpendel:

T=

2c —1

Sekundenpendel:

rp    C

(4)

(» + 2)Ü'=(» + 1 + *,)P;

aus der Beobachtung der Fadenstellung zwischen den beiden Blitzen folgt mit Rücksicht auf die Kleinheit von und ö₂ genau genug v —    : (dj -f- d₂).

Der Unterschied der ersten beiden Gleichungen giebt nun d₁ -f- d₂ und die dritte damit PÖt — 2v(U— P); sodann folgt aus der ersten Gleichung

(n + 2v) ü= (n — 1 + 2v)P, d. h. cü=(c— 1 )P,

oder die Dauer T eines Pendelschlags in Uhrzeitsekunden ist c: (c — 1), was zu beweisen war. Zugleich ist genügend ersichtlich, dafs die allgemeinen Formeln zur Berechnung von T aus c auch für Werte von c gelten, die in üblicher Weise als unechte Brüche ermittelt werden.

Es sei hier noch bemerkt, dafs die folgenden differentialen Beziehungen bestehen:

Einh. d. 7. Dec.-Stelle in T,

Halbsekundenpendel: Sekundenpendel :

dT = — 358 de dT = — 305 de

(5)

§ 4. Temperatur und Luftdichte. Die beiden in y₅° geteilten Thermometer, welche in eine Messingstange eingelassen zur Temperaturbestimmung für die Pendel dienten, vergL S. 33 und Tab. 4, Rubrik 7 und 8, wurden auf ihre Korrektionen durch Vergleichungen mit anderen, geprüften Thermometern untersucht.

Im Mai 1897 wurden in den Pendelschrank, in gleiche Höhe mit diesen beiden Stangenthermometern, zwei innerhalb der Jahre 1893 bis 1896 von der Physikalisch-Technischen Reichsanstalt geprüfte, in y₅° geteilte Thermometer gebracht, und ihre Kugeln in Messingklötzchen eingeschlossen, um amiähernd die gleichen Verhältnisse wie bei der Stange zu schaffen. Vergleichungen

an 8 Tagen bei 13°,8 bis 17°,4 ergaben für das obere Stangenthermometer die Korrektion — 0°,01, für das untere 0°,00.

Gelegentlich der später zu besprechenden Mafsstabvergleichungen von Ende Mai bis Anfang Juli 1897, bei denen die Stange im Yertikalkomparator neben dem neuen Mafstab hing, dessen beide Thermometer nahezu die Höhe der entsprechenden Stangenthermometer hatten und im Jahre 1895 von der Kaiserlichen Normalaichungskommission geprüft worden waren, fand sich aus 48 Vergleichungen an 17 Tagen für beide Stangenthermometer die Korrektion 0°,00. Demgemäfs sind die Ablesungen an den Thermometern der Stange, Rubrik 7 und 8, ohne Korrektion zur Verwendung gelangt.

Eine geringe Unsicherheit bleibt insofern, als die Pendelmessungen im März 1894, also drei Jahre früher stattfanden. Indessen ist der Pendelapparat schon Anfang Oktober 1893 ins Institut gelangt, die Thermometer der Stange waren also im März 1894 nicht mehr ganz neu. Spätere Veränderungen derselben sind also nicht wahrscheinlich; sie sind es um so weniger, als die Korrektionen den Betrag null haben.

Die Kugeln der Zimmerthermometer, Rubrik 9 und 10, hingen % und 3 m über dem Boden an einem Gestell frei im Pendelsaal. Das untere Thermometer hat bei den in Betracht

kommenden Temperaturen die Korrektion -f- 0°,1, das obere stimmt bei gleicher Lage mit dem untern überein. Die Tabelle 4 giebt die unkorrigierten Ablesungen, weil diese für den beabsichtigten Zweck genügen.

Sämtliche Thermometer wurden zu Anfang und zu Ende der Koincidenzenreihe abgelesen (zeitweise auch in der Mitte), und hieraus unter Zusammenfassung der Ablesungen für je zwei aufeinanderfolgende Reihen der in den Rubriken 11 und 12 angegebene stündliche Temperaturgang hergeleitet.

Es zeigt sich die Abschliefsung des Pendelraumes sehr günstig, indem die Wärmeschwankung darin viel geringer als im Zimmer ist, wo dem Einflufs der Körperwärme der Beobachter durch Offnen der Ventilationskanäle entgegengearbeitet werden mufste, was fortwährende Aufmerksamkeit erheischte. Auch der Höhengradient im Pendelschrank ist weit kleiner als im Zimmer; da sich die Abstände o.—u. im Pendelschrank und im Zimmer wie 0,58 : 2,33 verhalten, sind die Unterschiede o.—u. nach Rubrik 7 und 8 mit % von den entsprechenden nach Rubrik 9 und 10 zu vergleichen.

Der Luftdruck _Z?₀, Rubrik 14, reduciert auf Quecksilbersäule von 0°, wurde mit einem Aneroidbarometer mit bekannter Reduktionsformel, gemessen, die relative Luftfeuchtigkeit mit einem Koppeschen Haarhygrometer. Hieraus berechneten sich die Dunstdrucke in Quecksilbersäule, Rubrik 15. Die relative Feuchtigkeit betrug im Mittel etwa 55°/₀, die absolute war fast konstant.

den Angaben von DeffOEGES folgt dagegen für sein

aus

Bekanntlich kommen bei den Bestimmungen mit dem Reversionspendel Druck, Temperatur und Feuchtigkeit der Luft im Pendelraum nur insofern in Betracht, als sie für die Schwingungsbeobachtungen bei schwerem Gewicht unten und oben eine verschiedene Dichtigkeit der Luft bedingen. Wegen der Hohlräume der Pendel, welche ein Nichtzusammenfallen des Massen- und Volumenschwerpunkts bedingen, ist der Einflufs auf T stärker als bei Uhrpendeln. Bei einem Sekundenuhrpendel siebt die Druckänderuns dJBn = 4-1 mm ebenso wie die Temperaturänderung dT = — %° rund dT = -f 1,5 Einh. d. 7. St.;

Sekundenpendel rund das Doppelte bei schwerem Gewicht unten und das Dreifache bei schwerem Gewicht oben¹). Etwas geringer scheint der Einflufs im vorliegenden Falle zu sein; doch ist Genaues nicht zu erkennen, da nur die Messungen vom 6. und 7. März zusammen, sowie diejenigen vom 16. mit denen vom 19. März einen Schlufs auf die Gröfse des Einflusses gestatten und auch dabei die Beobachtungsfehler noch zu stark eingehen.

Der Einflufs der geringen Unterschiede für J3₀ und für T hei schwerem Gewicht unten und oben auf die Endwerte r, Rubrik 21, ist jedenfalls sehr klein. Denn bildet man Mittelwerte für jede Gruppe und stellt die Werte für B₀ und T bei schwerem Gewicht unten und oben unter einander, so folgt nachstehende Übersicht. Die T sind in Ermangelung von besseren Werten aus Rubrik 10 entnommen:

Sekundenpendel

S₀

Halb Sekundenpendel

S₀

741.3

740.7

742.3

741.7

743.3 743,2 743,2 743,2

16,38

16,63

15,72

15,81

16,20

16,15

15,89

16,24

751,2

752,1

751.3 751,9 759,0

759.3

759.1

759.2

16,52 16,80 16,86 16,99 18,37 18,48 18,37 j

18,60 f

Die Unterschiede der B₀ und T für beide Gewichtslagen wirken annähernd auf t so, wie entsprechende Änderungen bei schwerem Gewicht oben. Der Einflufs der Dichtigkeitsunterschiede ist im Mittel nur rund ± 1 Einh. der 7. Decimalstelle und erreicht nur ein Mal den Betrag von zwei Einheiten.

In Rubrik 18 ist die Reduktion der Schwingungszeiten auf 16° Temperatur der Pendel in Einheiten der 7. Decimalstelle angegeben. Beim Halbsekundenpendel wurde mit -j- 46 für 1° Temperaturüberschufs, beim Sekundenpendel mit -j- 91 gerechnet. Da die Schwingungsbeobachtungen bis auf ungefähr *4° bei denselben Temperaturen wie die Messung der Schneidenabstände im Komparator angestellt sind, so kommt auf einen Fehler von 1 bis 2 Einheiten in diesen Koefficienten nichts weiter an; gröfser wird der Fehler nicht sein. Durch die Übereinstimmung der Temperaturen sind in einfacher Weise alle Weitläufigkeiten und Bedenken beseitigt, die mit der Bestimmung der Koefficienten aus Beobachtung oder Berechnung verbunden sind.

Die Mitteltemperaturen sind beim Halbsekundenpendel nach Tab. 4, Rubrik 7 und Tab. 5,

Rubrik 6:

Schwingungsbeobachtung: gr. Ampi. 16°,09    kl. Ampi. 15°,67

Längenmessung:

16°,53

und beim Sekundenpendel entsprechend nach Tab. 4, Rubrik 7 und 8 und Tab. 5, Rubrik 6:

17°,48

17°,54

17°,98.

§ 5. Zeitbestimmungen. Zur Bestimmung des Ganges von Strasser & Rohde Nr. 101 führte Herr Dr. Schumann an 5 Tagen Zeitbestimmungen aus. Dieselben wurden zunächst auf die im Uhrenkeller befindlichen beiden Uhren Strasser & Rohde No. 95 und Dencker No. 28 übertragen und von hier aus durch tägliche Vergleichungen gegen Mittag auf die erstgenannte Uhr, alles chronographisch. Die Ergebnisse waren folgende, vergl. die Tabellen 6 und 7; alle Korrektionen sind Reduktionen auf Sternzeit, das Datum ist bürgerlich:

Tabelle 6.

HH

cf' cd

Co

März 1894

5h2Öm St.Z.

9 43

7 i5

Uhrkorrektion

Gang für

24¹¹ St. Z.

in

Str. & R. 95

+ 2m 22s,55 + 2 22, 58 -f- 2 22, 80

+ 2 24, 53

+ 2 24, 52

D. 28

Nr. 95

Nr. 28

mm

—    +5 3

—    3, 6i

—    o, 56 + 5?38 + ⁶, 49

-f- os,oo4

+ 0, 025

+ O; 157

— o. 005

+ os,3 2 2

751,5

+ o, 345 + o, 540 + 0, 558

747,o

760,8

757,3

Tabelle 7.

März 1894

Korr.

Str. & R. 101

in

Tägl. Gang

Verb. Gang

mm

in

20h 23m U.Z.

22 47 „

4 >ö vd

23 30 „

19 50 „

20

00

2 3 45    „

22 50 „

19.

20 o

20.

20 I₇ „

21.

20 22

21.

6 48    „

+ 48³,8₅

+ 54, 15_

— 1, 06 (+15)

+ 1, 19 (+i5)

+ 4, 06 (+15)

+ 7,43 (—10) + 10, 09 (— 8) + 12, 60 (— 1) + 15, 44 (+14) “+ ¹8, 38 (+ 9)

+ ¹9, 55 (+ IO)

+ 2S,53

+ 2S,₄I

741,5

+ 2, 67 + 2, 83 + 2, 93 + 2, 77 + 2, 83

+ ², 63 + 2, 7 9 + 2, 93 + ², 87

+ 2, 90

743,8

743,5

746,8

755,¹

760,0

+ 2, 81

+ 2,78

758,3

+ 2, 94 + 2, 69

+ 2, 92

+ 2, 66

759,1

758,3

Die angegebenen mittleren reducierten Barometerstände B₀ sind nach den Veröffentlichungen des benachbarten Meteorologischen Central Observatoriums angesetzt; im einzelnen passen die im Pendelsaal beobachteten B₀ gut zu den Angaben des Centralobseryatoriums. Der Gang der beiden Hauptuhren, besonders von D. 28, ist befriedigend, wenn man nächst einer geringen, der Zeit proportionalen Änderung den Einflufs der Variationen von B₀ beachtet. Genau läfst sich letzterer aus dem hier vorliegenden Material nicht herleiten, wonach er kaum -f- 0S,010 für -f- 1 mm im täglichen Uhrgange beti’üge. Er ist nach neueren Ermittelungen für beide Uhren -f- 0S,014. Für Str. & R. 101 ist mir nichts bekannt. Im folgenden habe ich für alle 3 Uhren denselben Wert -j- 0S,012 angenommen. Es sei noch bemerkt, dafs im März 1894 die Temperatur im Uhrenkeller mittags bis auf + 1° maximale Schwankung gleichblieb; die tägliche Schwankung ist einige Bruchteile des Grades.

Die Uhrkorrektionen der Tabelle 7 sind durch Vergleichung mit den beiden Hauptuhren gewonnen, wobei deren Stände einfach interpoliert wurden. In Klammer sind die Unterschiede der beiden Ergebnisse in Hundertstelsekunden beigefügt. Die täglichen Gänge sind die Änderungen der Uhrkorrektionen für 24h 3m 56s Sternzeit. Nimmt man gleichen Einflufs des Luftdrucks bei allen 3 Uhren an, so gelten diese Gänge für die mittleren Barometerstände der ersten der beiden Tabellen; durch Reduktion mit -f- 0S,012 für -f- 1 mm wurden sie auf die mittleren B₀ der letzten Tabelle redueiert. Zwischen dem 5. und 7. März gilt B₀ im Mittel für die Beobachtungszeiten; für die grofsen Amplituden ist B₀ noch 1 mm kleiner, für die kleinen 1 mm gröfser; die Gänge sind also -f- 2S,40 bezw. -f- 2S,42. Vom 14. März ab sind die B₀ Tagesmittel, die zugleich auf Bruchteile mm den B₀ der Beobachtungszeiten entsprechen. Die verbesserten Gänge vom 14.—21. März wurden graphisch so ausgeglichen, dafs die Tagesmittel möglichst erhalten blieben; der Kurve sind folgende Gänge für die Beobachtungszeiten entnommen; links stehen die Gänge für die grofsen Amplituden, rechts diejenigen für die kleinen:

Mit diesen Gängen für 86 636® Sternzeit sind nun die in Tab. 4, Rubrik 19, angegebenen Reduktionen der Schwingungszeiten auf Sternzeit berechnet worden.

§ 6. Die Schwingimgszeiten in Sternzeit, welche aus der Zusammenfassung der Angaben in den Rubriken 16—19, Tab. 4, hervorgehen, zeigt Rubrik 20. Diese Werte sind nun paarweise zu den Werten x der Rubrik 21 kombiniert, wobei die Formel in Betracht kommt:

* = +

worin Tx und T₂ die Schwingungszeiten, \ und h.₂ die Schwerpunktsabstände von der Drekungsaxe für schweres Gewicht unten bezw. oben bezeichnen.

Die Messungen für die Schwerpunktslage mit dem bekannten Hülfsapparat ergaben, wenn als 1. Position diejenige bezeichnet wird, wo das schwere Gewicht und die „Firma“ auf entgegengesetzten Seiten liegen, als 2. Position diejenige, wo beide auf derselben Seite liegen:

mm

Halbsekundenpendel: 1. Position hx = 163,21 h₂ = 86,97 ht — li₂ = 76,24

163,02 699,22 700,00

Für den mittleren Fehler eines Wertes t in Rubrik 21, insoweit er von den mittleren Fehlern der Koincidenzenbeobachtung abhängt, ergiebt sich nach (1), (5) und (6) in Einh. der 7. Decimalstelle:

Sekundenpendel:

(6)

mm

mm

2.

1.

2.

87,17

300,80

300,02

75,85

398,42

399,98

= 1,141 1,149 0,755 0,750.

Der zweite dieser Werte würde nur 19 betragen, wenn nicht die 2. Reihe bei kleinen Amplituden am 6. März mifslungen wäre. Die Werte r, Rubrik 21, besitzen jedoch anscheinend die durch den m. F. + 18 charakterisierte durchschnittliche Genauigkeit nicht völlig. Denn aus den acht Unterschieden Ar der in jeder Gruppe paarweise zusammengehörigen Werte t folgt ein m. F. des Einzelwertes von ± 32, was einer Yergröfserung aufs 1,8-fache entspricht. Nicht ganz so

1) Sind allgemein die m. F. von 1\ und T, gleich Mt und M,, so wird

MJ ==

T

Werden T₁ und T, aus gleichviel Anfangs- und Schlufskoincidenzen für die Zeiträume At, und At, abgeleitet, so ist infolge des nahezu gleichen Koincidenzenintervalls für beide Gewichtslagen M₁ = M₀ : At,, M, — M₀ : At₂, wobei M₀ eine Konstante bezeichnet und vorausgesetzt ist, dafs nur die Fehler der Koincidenzenbeobachtung in Betracht gezogen werden. Damit wird

M₀

V

A t,

Halbsekundenpendel: grofse Amplituden

+100 lA⁶ -i-

grofse Amplituden

1,3

Sekundenpendel:

Jf* = +

⁸⁵ 1++

0,6

Pi

kleine Amplituden

+ 168l/— +    ,

kleine Amplituden + 1431/— -f- — •

— y Pi ih

M.

(8)

Hierin bezeichnen pt und p% die Gewichte nach Rubrik 5. Es zeigt sich, dafs am 15. März px und p% so gewählt sind, dafs in Mt unter dem Wurzelzeichen beide Bestandteile nahezu gleichen Einfluss erlangen, während am 16.—21. März die Gewichts Verteilung noch etwas besser hätte gewählt werden können¹).

Es folgt

nun

nach den Formeln (7) und (8) im Durchschnitt für Mt in Einh. d. 7. St.,

Rubrik 21:

Halbsekundenpendel: grofse Amplituden + 12

+ 25 + 13 + 20,

Sekundenpendel:

kleine

grofse

kleine

Durchschnitt +18.

(A-KY lAt,

Man kann fragen, für welches Verhältnis von At, : At, dies ein Minimum wird, wenn die gesamte Beobachtungszeit At = At, -j- At₂ konstant bleibt. Dies tritt ein für 7?,² : A t,³ = h,² : Atp = 1 : 7c³, wo Je eine Konstante ist, die aus der Bedingungsgleichung hervorgeht, womit folgt

A t, = At

, At, = At

K/tJrKU

Nimmt man dagegen für gleiche Amplitudengrenzen

Mt>

At\\-hgy

At, = At —^

At, = A t

2

AtW—h,)* ’

\ + \ '

so wird M² ein wenig gröfser, aber nur ganz unbedeutend. Die 3 Fälle 7?, : h, = 6 : 4, 6% : 3ys und 7 : 3 geben (7+ -f- h,,lY bezw. gleich 197, 193, 188 bei 7?, -j- h, — 10 und 2(7?, -f- h,)² = 200.

Durch Mitnahme von Zwischenkoincidenzen wird dies etwas geändert, aber nicht erheblich, so dafs die Benutzung gleicher Amplitudengrenzen für beide Gewichtslagen auch in Bezug auf Genauigkeit vorteilhaft erscheint.

ungünstig ist das Ergebnis, wenn die Ar der zusammen gehörigen grofsen und kleinen Amplituden gebildet werden, wobei ein systematischer Einflufs der Sckneidenabstumpfung in erheblichem Malse nicht heryortritt, so dafs man auch diese Ar als zufälliger Natur betrachten kann. Aus dem Durchschnitt der Quadrate der acht Unterschiede Ar folgt die mittlere Differenz gleich + 28, während sie nach den oben angegebenen mittleren Fehlern gleich + 26 sein müfste. Hier ist die Ver-gröfserung nur das 1,1-fache.

Einen geringen Betrag der Yergröfserung geben auch die Unterschiede der T, Rubrik 20, welche zu den paarweise bei gleicher Gewichtslage angestellten Beobachtungen derselben Gruppe gehören. Nach der Genauigkeit der Koincidenzen würde der m. F. eines T nicht ganz +11 sein; die A T geben aber nahezu + 16, wobei jedoch für die ersten beiden Gruppen jedes Pendels noch erhebliche Dichtigkeitsunterschiede der Luft eingehen. Werden diese in plausibler Weise berücksichtigt, so sinkt der m. F. eines T aus den A T auf ± 14 herab. Die Yergröfserung ist somit 1,3-fach.

Die Differenzen A T für grofse und kleine Amplituden geben den m. F. eines T gleich +13, welcher Betrag sich durch Rücksichtnahme auf schematische Einflüsse, die aber nur wenig sicher hervortreten, auf etwa +12 vermindert. Die Yergröfserung des m. Fehlers ist hier wieder nur 1,1-fach, wie bei Herleitung aus den Ar für grolse und kleine Amplituden. Dieser besonders geringe Betrag beruht wohl darauf, dafs die T für grofse und kleine Amplituden meist unmittelbar hintereinander beobachtet sind und dafs somit in den Unterschieden gewisse Schwankungen des Uhrganges und Fehler der Temperaturbestimmung zurücktreten, die bei weiter voneinander abliegenden Beobachtungen fühlbarer werden.

Die Erscheinung, dafs bei den beiden anderen Arten der Berechnung der Vergröfserungs-faktor die voneinander abweichenden Werte 1,8 und 1,3 hat, beruht lediglich auf dem Rechnungsverfahren infolge des Umstandes, dafs in x die Fehler von T für schweres Gewicht unten und oben mit verschiedenen Faktoren eingehen. Nach den Koincidenzen wird die Genauigkeit der T im ersten Falle wesentlich gröfser als im letzten, so dafs der m. F. der x mit Rücksicht auf die erwähnten Faktoren kleiner wird, als bei der Einführung eines und desselben durchschnittlichen m. F. für beide Arten von T. Dieser ist + 11 und würde für x den m. F. + 24 anstatt + 18 geben. Der Betrag + 24 steht aber zu + 32 auch im Verhältnis 1 : 1,3.

Untersucht man die A T nach Rubrik 20 auf ihre relative Grofse für schweres Gewicht unten und oben, so findet man keinen wesentlichen Unterschied, mag man die AT für gleiche Gewichtslagen bilden oder für grofse und kleine Amplituden. In der That müssen nach dem Vorigen in den Werten T' Rubrik 20, die Fehler des Uhrganges und der Temperatur ungefähr gleichen Einflufs wie die Fehler der Koincidenzen äufsern und dadurch deren ungleiche Wirkung für beide Gewichtslagen etwas ausgleichen.

Der hohe Betrag des m. F. von + 32 Einh. d. 7. St. in t, Rubrik 21, dürfte alle Fehlereinflüsse genügend berücksichtigen. Setzt man nach Mafsgabe dieses Wertes für die Mittelwerte in Rubrik 22 den m. F. gleich + 23 und für nochmalige paarweise Mittelung der Werte, welche den beiden Lagen der Gewichte zu den Schneiden entsprechen, den m. F. gleich +16 Einh. d. 7. St., so ist auch dieser Betrag noch ausreichend, um verschiedene kleine, mehr oder weniger konstant wirkende Einflüsse mit zu umfassen.

In dieser Beziehung ist namentlich der Fehler der Zeitbestimmungen für die Hauptuhren zu erwähnen, bei dem als günstiger Umstand wirkt, dafs bei jedem Pendel drei Zeitbestimmungen in die Reduktion der Beobachtungen eingehen.

Auch die Änderungsgeschwindigkeit der Temperatur, die in einigen Fällen sehr merklich ist,

Helmert, Beiträge zur Theorie des Reversionspendels.

gehört hierher, da sie wenigstens beim Sekundenpendel auch im Gesamtmittel nicht ganz wirkungslos ist. Doch dürfte der Einflufs daselbst etwa 5 Einh. d. 7. St. nicht überschreiten.

Die letzte Rubrik der Tabelle 4 giebt Mittelwerte der zusammengehörigen t sowohl in Sternzeit wie in mittlerer Zeit, letztere mit der Relation berechnet:

1B St. Z. = 0S,99726957 M. Z.

§ 7. Schneidenabstand. Die Messungen der Entfernung der Schneiden, Tabelle 5, sind je zur Hälfte von Dr. Schumann und von mir ausgeführt worden. Hierbei wurden mit den Mikroskopen die obere und sogleich auch die untere Schneide je zweimal mit den Kreuzfäden x eingestellt, dann nach Verdrehung des Mikroskopträgers ein oberer und ein unterer Strich des Mafsstabes zweimal, und dann nochmals die Pendelschneiden wie zuerst. Hierauf wurde der Mikroskopträger um etwa V₂ Rev. der Mikrometerschrauben in Höhe verstellt und die Operation in ganz gleicher Weise wiederholt. Der Gang der Mikrometerschrauben wurde jeden Tag durch besondere Messungen an einem Mafsstab-intervall ermittelt. Das Ergebnis der beiden Vergleichungen ist in Rubrik 5 für jeden Fall durch zwei nebeneinander stehende Zahlen dargestellt.

In Bezug auf diesen Messungsvorgang sei noch bemerkt, dafs sich bei der Schneide eine gröfsere Anzahl von Einstellungen empfahl als bei dem Mafsstabe wegen der gröfseren Unsicherheit im ersten Falle. Bei aufeinanderfolgenden Doppelvergleichungen wurden im allgemeinen kleine willkürliche Höhenverstellungen des Mikroskopträgers vorgenommen.

Die Beleuchtung erfolgte für den Mafsstab am 10. und 12. März durch elektrische Lämpchen; da diese aber zu viel Hitze gaben, später durch die üblichen Öllampen mit Linse, welche wenigstens % m abstanden und den Mafsstab kaum beeinflufsten. Das Licht wurde übrigens dem letzteren nicht direkt zugesandt, sondern durch Vermittelung der an den gerade abgeschnittenen Mikroskopenden angebrachten weifsen Illuminatoren.

Für die Schneiden wurde stets nur Lampenlicht benutzt, welches bei „dunkel“ in der Richtung der horizontalen Mikroskopaxen zunächst auf Pausepapier fiel und so den Hintergrund der dunkel erscheinenden Schneiden gut erleuchtete. Bei „hell“ war mittelst eines sehr kleinen, unter 28° zur Horizontalen geneigten Spiegels, der von unten bezw. von oben Licht auf die Schneide warf, die Schneide beleuchtet; sie zeigte dabei eine etwa 50g (Mikron) breite, besonders nach der Abstumpfung zu hellleuchtende Fläche auf dunklem Grunde.

Die Einstellungen bei „dunkel“ und „hell“ ergaben systematische Unterschiede, die am 14. März durch besondere Messungsreihen am kleinen Pendel festgestellt wurden. Das Ergebnis derselben war folgendes, in mm:

oben:

Gemittelte Ablesung

H.

S.

0,2497

0,2401

0,2482

0,2424

H.—S. + 0,0015 — 0,0023

unten:

d. — h. — -j- 0,0096

+ 0,0058

— 0,0004

d.

h.

0,2003

0,2063

0,2076

0,2038

— 0,0073 + 0,0025

d. — h. = — 0,0060

+ 0,0038

— 0,0024.

In die gemessene Länge geht d.—h. mit den Werten -}- 0,0156 bei H. und -f- 0,0020 bei S. ein. Die Tabelle 5 giebt aber bezw. -f- 0,0126 und — 0,0013 beim Halbsekundenpendel und -|- 0,0201 und — 0,0023 beim Sekundenpendel. Der Unterschied beruht wohl hauptsächlich auf Temperatur-Schwankungen, die bei den Längenmessungen eingeben, bei der Versuchsreihe am 14. März aber durch die Anordnung der Messungen gröfstenteils unschädlich gemacht waren.

Gegen das Verfahren der Elimination des Einflusses der Irradiation bei der Einstellung der Schneiden durch Messung bei den beiden Beleuchtungen „dunkel“ und „hell“ derselben, hat sich zuerst von Oppolzer gewandt, wenn es sich, wie im vorliegenden Falle, um Achatschneiden handelt²). Er schätzt den hei heller Schneide infolge der Abstumpfung entstehenden Messungsfehler bei den Schneiden seines Apparats auf 20 g und empfiehlt, nur bei dunkler Schneide mit geeigneter Vorkehrung zur Vermeidung des Irradiationseinflusses zu messen. Nach den im Geodätischen Institute vorliegenden Erfahrungen ist dieser Fehler jedenfalls für verschiedene Schneiden im allgemeinen sehr verschieden grofs.

Lorenzoni hat im Anschlufs an Oppolzer auch nur bei dunklen Schneiden unter Anwendung besonderer Einrichtungen gemessen³). Auch Defforges beobachtete nur dunkle Schneiden, ohne sich jedoch weiter über die in Betracht kommenden Verhältnisse auszusprechen (Observations du pendule, p. 97).

Indessen giebt die Beschaffenheit der beiden Achatschneiden im vorliegenden Falle keinen Anlafs zur Befürchtung eines starken Auftretens der von Oppolzer bemerkten Fehlerquelle. Die Schneidenabschliffe werden nämlich gebildet von 3 Paaren von Ebenen, welche Winkel in sich von etwa 80, 100 und 120° einschliefsen. Die Breite der Ebenen ist etwa 8V₂ mm, % mm und yi0 mm. Die letzten Flächen von yi0 mm Breite, die „120°-Flächen“, sind getrennt durch eine Abstumpfung von etwa 18 g Breite. Um alles dies zu erkennen, wurden zunächst die Schneiden mit dem Rücken horizontal unter ein vertikal gestelltes Mikroskop gebracht und von beiden Seiten her durch Lampen beleuchtet, deren Höhenlage successive gesteigert wurde.

Behufs genauerer Untersuchungen wurde später (da sich ein Reflexionsgoniometer wegen der Schmalheit der Flächen als unpraktikabel erwies) auf Vorschlag von Dr. Kühnen die Schneide unter dem Mikroskop drehbar eingerichtet; an einem Teilkreis konnte die Stellung für hellste Spiegelung des Lichts einer Lampe abgelesen werden. Da zeigte sich der Reflex der Abstumpfung in der Nähe der 120°-Flächen breit, dagegen in dem mittleren, etwa 4 g breiten Teile sehr fein. Von dem Winkel von 60°, welchen die Randnormalen des Abstumpfungsquerschnitts mit einander einschliefsen, kommt etwa die Hälfte auf den mittleren Teil, dessen Krümmungsradius sehr klein, weit kleiner als die Abstumpfungsbreite, sein dürfte. Inwieweit es möglich sein wird, aus der Reflexbreite und ihrer seitlichen Verschiebung bei den Drehungen einen Schlufs auf den Krümmungsradius zu machen, soll noch untersucht werden.

Übrigens haben keineswegs alle Schneiden diese Form. Von zwei neuen, noch unbenutzten, hatte zwar die eine annähernd eine solche, die andere aber eine schmale Abstumpfung von 3 g mit einem Reflex von konstanter Breite, der unregelmäfsig verteilte helle Stellen zeigte⁴).

Wurden die im Pendel eingesetzten Schneiden im Komparator bei hellem Grunde auch selbst beleuchtet, so blieb am Rande nur eine feine graue Linie von kaum ein paar Mikron Breite, während die dem Auge zugewandte 120°-Fläche hell leuchtete, besonders nach der Abstumpfung zu. Den geometrischen Abmessungen nach müfsten die beobachteten Breiten etwa bezw. 3 und 50 fi sein, was den Wahrnehmungen entspricht. (Von den 3/a mufs ein Teil noch beleuchtet sein.) Die Erscheinung, welche Oppolzer beobachtete, war so nicht zu sehen, wohl aber, wenn bei der unteren Schneide (wo es angänglich war) das zur Verfügung stehende Beleuchtungsprisma des österreichischen Apparates eingesetzt wurde. Da dessen Reflexionsebene etwa 45° Neigung hat, erschienen nun die sonst hellen Flächen dunkel, und die dem Auge zugewandte 100°-Fläche war hell. Hier gab es nun sogar einen etwa 50 fi breiten dunklen Streifen, anstatt des von Oppolzer bemerkten 20/a breiten. Wenn er dasselbe Prisma benutzt hat, so war also die Spiegelneigung nicht genügend parallel zu den letzten Facetten der Schneiden.

Die von mir bemerkte feine, graue Linie kann sehr gut mit den Parallelfäden der Mikroskope eingestellt werden, und es würde sich fragen, ob sie nicht das beste Einstellungsobjekt an den Schneiden selbst bildet. Ihre Benutzung würde zugleich die Irradiation vermeiden lassen, deren starker Einflufs sich sehr gut zeigte, wenn durch geeignete Blendung (was bei der oberen Schneide leicht zu erzeugen ist) gleichzeitig im Gesichtsfeld verschiedene Teile der Schneide auf dunklem und auf hellem Grunde sichtbar gemacht wurden¹).

Es sei hier noch bemerkt, dafs die Geradheit der äufsersten Schneidenkanten, insoweit diese sich bei hängenden Pendeln von der Seite gesehen darstellen, dadurch für beide Schneiden summarisch geprüft wurde, dafs man beide einander entgegengekehrt möglichst nahe zusammenbrachte und sodann ihren Abstand mikroskopisch an verschiedenen Stellen ermittelte. Die Ergebnisse pafsten im allgemeinen der ganzen Länge von 6 cm nach zu der Hypothese der Geradheit bis auf 0,1 bis 0,2 fi Abweichungen; nur in den letzten 2 Millimetern an einer Seite gab es Abweichungen bis zu 3 fi im Sinne einer Konvexität, die ganz unschädlich sind.

Bei den Messungen ist auf den Umstand geachtet, dafs man an den eingestellten Schneiden mangels einer Teilung nicht den Gang der Mikrometerschrauben bestimmen kann. Ist jedoch der Komparator gut justiert und sorgt man dafür, dafs die Schneiden in der Mitte des Gesichtsfeldes erscheinen (deutlich werden sie ja so wie so sein), so ist der mögliche Fehler unerheblich.

§ 8. Die Mafsstäbe. Die Längeneinheit der Tabelle 5, Rubrik 5, 8 und 11, ist der Meter des benutzten Mafsstabes. Es ist dieses, wie schon bemerkt, der mit Rücksicht auf die Messung von % m abgeänderte Stab von 1869. Um die Beziehung zu richtigen Metern kennen zu lernen, verglich ich den Stab mit einem von der Firma A. Repsold & Söhne neuerdings gefertigten Pendelmafsstab von H-förmigem Querschnitt, für welchen die Kaiserliche Normalaichungskommission die Gleichung ermittelte:

1 m des neuen Stabes ='lm — 251^,79 -f- 18^,486 T -j- 0,00902 T².

(9)

er, dafs die Abstumpfung, auf -welcher die Schneide rollt, facettiert ist, und er glaubt, dafs er diese Facetten bei doppelseitiger Beleuchtung mit 1200-facher Vergröfserung gesehen habe. Wie dieses zu machen ist, weifs ich nicht, da die Facetten doch nur eine Breite von der Ordnung 0,1 [i haben und Winkel von der Ordnung von 10' einschliefsen können, so dafs optische Täuschungen leicht eintreten. Mir scheint, dafs wenigstens bei REPsoLDSchen Schneiden nach der Art der Herstellung an eine eigentliche Facettierung der Abstumpfung nicht zu denken ist; bei gleichmäfsig beschaffenem Material müfste die Abstumpfung wohl cylindrisch sein; die Diskontinuitäten in der Abnahme von cc erklären sich durch einzelne Hervorragungen.

1) Über einen andern Vorschlag von Oppolzers zur Ausführung der Längenmessung vergl. seinen Bericht,

S. 12 und 13.

Die Thermometer des neuen Pendelmafsstabes wurden von der Kaiserl. Normalaichungs-kommission in vertikaler Lage geprüft, während der Mafsstab selbst nur in horizontaler Lage untersucht ist, so dafs für den Gebrauch in vertikaler Lage zur rechten Seite von (9) eine kleine Korrektion tritt, die noch zu ermitteln sein wird (vergl. Teil III, § 15).

An einem Vormittag oder Nachmittag wurde immer nur eine Vergleichung vorgenommen. Der Vertikalkomparator stand dabei im Pendelsaal. Es erwies sich zweckmäfsig, der Reihe nach auf dem alten, dem neuen und nochmals auf dem alten Stab je zweimal hintereinander unten und oben je einen und denselben Strich einzustellen. Der Gang der Mikrometerschrauben wurde durch besondere Messungen an den den Strichen benachbarten Zehntelmillimeter-Intervallen, deren Korrektionen von der genannten Kommission bestimmt waren, ermittelt.

Die folgende Tabelle und die graphische Darstellung geben die unmittelbar gemessenen Unterschiede der Länge von 1,0001 m des neuen und 1 m des alten Stabes, unter Annahme gleicher Temperatur für beide. Nach den Vergleichungen Nr. 1 bis 13 schien nur eine, jedoch auffällige Differenz der Ausdehnungskoefficienten beider Stäbe zu bestehen; allerdings zeigte Nr. 10 eine starke Abweichung, die aber zweifellos ihren Grund darin hat, dafs ⁵/₄ Stunden vor der Vergleichung der Mechaniker an dem neuen Stab einen Handgriff befestigte, wobei der Stab erwärmt worden sein dürfte. Aber das Ergebnis von Nr. 14 bis 19 zeigt, dafs zwischen Nr. 13 und 14 eine sprungweise Änderung, wahrscheinlich des alten Stabes, vor sich gegangen sein mufs.

15° 16° 17° 18° 19° 20° 21° 22°

Alter Pendelmafsstab — Neuer Pendelmafsstab, 1 m.

Temper.

Unterschied in [i

j Nr.

Temper.

Unterschied in ft

08

o 12

W <V> Tf- io O 00    00

Go

2 1°,40 21, 74 18, 09 18, 36 17, 24 17, 39 15, 88 15, 67

15,    79

16,    55 l6, 37 16, 06

16, 53

— ”,5

— 13,⁶

L9

²,7

— 0.8

*,9

+ M + 2,6

+ V

20

3,²

°,3

+ 1,9

— 06

!!

22

24

²⁵

i6°,53 17, 19 17, 83

21, 58

20, 02

— 0,6

3,7

5,3

4,3

8,0

—    io,7 + lA

4,3

— 17,4

5,i

10 ⁶

o3

-2

23'

•15

11

y25

-6

10

21

-10

- 12

38

-12

Vi

16

19

-!U-

-16

- J8₍a

216

-18p

15° 16⁰ IT 18" 19° 20° 21⁰ 22°

Am Schlüsse von Nr. 19 klopfte ich schwach an den alten Stab, was indessen nach Mafs-gabe einer sofort erfolgten Ablesung sowie der Vergleichung Nr. 20 wenig Änderung gab. Stärkeres Klopfen nach Beendigung von Nr. 20 gab für Nr. 21 einen stark abweichenden Wert. Endlich wurde noch vor Ausführung von Nr. 23 und Nr. 25 tüchtig geklopft. Das Klopfen löst augenscheinlich gewisse Spannungen (Reibungen) aus, die im alten Mafsstab bei Temperaturänderungen wahrscheinlich durch das noch in dem Stab sitzende Metallthermometer entstehen; der Unterschied der

Ausdehnungskoeffizienten beider Stäbe verschwindet dann fast ganz, wie die Lage von Nr. 23 und 25 in der graphischen Darstellung zeigt.

Als Ergebnis habe ich angesetzt, dafs bei 17°,51 bis 17°,98, den Mitteltemperaturen der Schwingungsbeobachtungen und Längenmessungen bei den Beobachtungen am Sekundenpendel, die Beziehung besteht:

1 m am alten Stab = 1 m am neuen Stab -j- 100" — 4^,5.

(10)

Es ist sehr wohl möglich, dafs bei der Anwendung dieser Gleichung auf die Pendelmessungen selbst im Mittel ein Fehler von mehreren p bleibt. Den mittleren Fehler schätze ich aber auf nicht über ± 3 fi.

Den Viertelmeter des alten Stabes habe ich zweimal mit jedem der beiden Viertelmeter des neuen Stabes im Vertikalkomparator verglichen und erhielt nach Anbringung der inneren Teilungsfehler bis auf kleine Bruchteile von p übereinstimmende Resultate. Mit Rücksicht auf (9) folgt für 16°,43 (d. i. nach Rubrik 13 der Tab. 5 die mittlere Temperatur des Mafsstabes bei den Beobachtungen des Viertelmeterpendels):

(11)

Viertelmeter des alten Stabes = 0m,2500095.

Geklopft wurde auch zweimal; würde man nur die entsprechenden Ergebnisse anwenden, so würde statt (11) 0,2500106 m folgen. Wegen des Einflusses der zufälligen Fehler halte ich die Annahme (11) für besser; auch ist zu bedenken, dafs die Vergleichstemperaturen nur zwischen 16°,8 und 17°,9 schwankten, also stark wechselnde Spannungen kaum anzunehmen sind.

Die letzte Rubrik der Tab. 5 giebt den Abstand der Pendelschneiden, ausgedrückt mit Benutzung der angegebenen Relationen, in wirklichen Millimetern. Den mittleren Fehler dieser Werte nehme ich beim Viertelmeterpendel zu + 2p, beim Meterpendel zu ± 3p an, wobei die Unsicherheit des alten Mafsstabes ausschlaggebend ist, während die Beöbachtungsfehler mehr zurücktreten.

§ 9. Ableitung der Endwerte. Reduciert man die r der Rubrik 22, Tab. 4, auf diejenigen Temperaturen der Pendel, bei welchen die entsprechenden Längenmessungen, Rubrik 14, Tab. 5, ausgeführt sind, so gelangt man zu den Zahlen der nachstehenden Zusammenstellung:

Viertelmeterpendel:

A in mm

250,1876

250,1843

250,1860

x in M. Z. Sek. gr. A.

0,5016371 6367 0,5016272 6252 mit 46 für 1° red.

kl. A.

bei

16°,36 16, 70

0,5016369

0,5016262

0,5016316

A : r² in mm

994,2299

994,2592

994,2446

Meterpendel:

A in mm

1000,2073

1000,2000

1000,2037

x in M. Z. Sek. gr. A.

1,0028023 8055 1,0027988 7976 mit 91 für 1° red.

kl. A.

bei

Mittl. r

A : t² in mm

18°,18 17, 77

1,0028039

1,0027982

994,6218

994,6259

994,6238.

Die Biegungskorrektion ist bezw. nach S. 14 u. 28 gleich — 2<“ und — 366<“; die Korrektion wegen Mitschwingens des Stativs wird später (Teil III, § 8) nach den betreffenden Beobachtungen zu -f- 10" und -j- 2^,5 berechnet. Damit werden die Werte für A : t² in mm:

1,0028011

Meterpendel

Y iertelm eterpendel

Li

I.

II.

994,2379

994,2672

994,2583

994,2624

Mittel 994,2526

994,2603.

Die I. und II. Werte entsprechen bei beiden Pendeln der gleichen Kombination der Schneiden in Bezug auf den Schwerpunkt.

Für die beiden gleich schweren Pendel kann man nun mit Beachtung der Werte für \ — \ nach S. 47 ansetzen (vergl. auch Teil III, § 13):

L = 994,2379 (l -f

L = 994,2672 (l +

L = 994,2583 (l +

L = 994,2624 (l -f

250

250

1000

1000

+ #) + % ~~ ll) +

+ + **

— ^l) +

(12)

worin L die endgültige Länge des mathematischen Sekundenpendels bezeichnet und ß -f- d und Ay von dem konstanten Fehler der Längenmessung und von der Schneidenform, sowie von den elastischen Kräften an der Auflagerungsstelle herrühren, die v aber Verbesserungen wegen zufälliger Fehler bedeuten. Die beiden ersten Gleichungen geben 1000 A y = 1,12, die beiden letzten 0,82. Legt man den ersten das Gewicht % der letzten bei, so folgt Ay — 0,0011; dieser Wert wird jedenfalls nahezu der beste sein. Es wird nun ß -f- d = -J- 0,0026, L — 994,2629 und vx = -f- 0^,1, v₂ = — 0^,2, »₃ = - 0'“,8, v₄ = + 0'⁽,7.

Als Ergebnis folgt somit

(13)

L — 994,263 mm.

Die Sicherheit dieses Wertes kann nicht nach der zufällig sehr guten Übereinstimmung der vier Gleichungen für L beurteilt werden. Man mufs hierzu auf die Fehler in den Schwingungszeiten x und in den Schneidenabständen A zurückgehen.

Der m. F. eines einzelnen x ist nach S. 49 zu + 23 Einh. der 7. Decimalstelle anzunehmen; im Mittel für grofse und kleine Amplituden würde +23/]/2 zu günstig geschätzt sein. Ich nehme ±18 an. Der m. F. eines A wurde S. 54 zu ± 2p, bezw. ± 3p fürs Viertelmeter- und Meterpendel angenommen. Dies giebt für die beiden ersten Gleichungen (12) den m. F. ± 11p, für die beiden letzten ± 5p und für das Endergebnis

, d. i. 5 p.

|AV+u'4

f 2

Hierzu treten noch + 15 X — — + 20p m. F. wegen der Unsicherheit in der Berechnung des Biegungseinflusses für das lange Pendel, aufserdem kleine, bisher nicht in Rechnung gezogene Einflüsse verschiedener Dehnung der Pendelkörper bei den beiden Lagen des schweren Gewichtes (vergl. Teil III, § 16), sowie der Einflufs der Dehnung des neuen Mafsstabes bei seiner Benutzung in vertikaler Stellung.

Im Ganzen haftet somit an dem Werte (13) für L etwa ein mittlerer Fehler von rund

(13*)

-J- 0,020 mm.

III. Verschiedene Beiträge zur Theorie.

§ 1. Vorbemerkungen. Es ist allgemein bekannt, dafs das Reversionspendel den hohen Grad seiner Vollkommenheit als Messinstrument durch die von Bessel eingeführten Verbesserungen der Theorie und Konstruktion erlangt hat. Er zeigte namentlich, dafs in der Formel für die Schwingungszeit nicht nur beim statischen Moment der schwingenden Masse der Auftrieb der Luft zu berücksichtigen sei, wie es schon vor ihm geschehen, sondern dafs auch beim Trägheitsmoment der mitgeführten Luftmenge Rechnung getragen werden müsse. Er zeigte dann weiter, dafs die Einwirkung der Luft vollständig beseitigt werden kann, wenn die äufsere Figur des Pendels völlig symmetrisch zu beiden Schneiden ist (sowie zur gemeinsamen Vertikalebene beider Schneiden). Er lehrte ferner den Einflufs der Schneidenfigur genauer als bisher kennen und lehrte ihn durch Schneidenvertauschung zu eliminieren. Endlich untersuchte er auch den Einflufs der kleinen Bewegungen der Schneide auf der Unterlage. Seine auf das Reversionspendel bezüglichen Ausführungen sind in den Art. 24—31 seiner „Untersuchungen“ enthalten, wozu noch wegen weiterer Ausführungen verschiedene Beilagen treten (besonders VI, IX und X) und, wegen der allgemeinen Theorie, Art. 13.

Oberst Defforges war es Vorbehalten, durch Einführung der von Bessel schon beim Gebrauch des Fadenpendels angewandten Differenzenmethode eine weitere wesentliche Vervollkommnung zu erzielen, indem er zwei Pendel von gleichem Gewicht aber von verschiedener Länge und mit denselben Schneiden benutzte. Hierdurch werden die konstanten Fehler der Längenmessung und der Einflufs der Bewegmig der Schneide auf der Unterlage, sowie der Einflufs der Bewegung der Unterlage selbst vollständig eliminiert. Defforges zeigte auch, dafs durch Vertauschung des schweren und leichten Gewichts der Einflufs einer etwa vorhandenen Unsymmetrie in der Beschaffenheit der Pendeloberfläche auf das Endergebnis beseitigt werden kann, wenn die Gewichte im Innern eines äufseren Mantels des Pendels angebracht werden.

Bei meinen Versuchen habe ich die Methode von Defforges bezüglich der Anwendung zweier Pendel von gleichem Gewicht angenommen und deren Längenunterschied möglichst grofs gestaltet, um die Genauigkeit des Endergebnisses zu erhöhen. Weiterhin kam dann die Berücksichtigung des Einflusses der Biegung des Pendelkörpers hinzu. Versuche über die Einwirkung der erdmagnetischen Kraft, die schon Bessel für nötig hielt, sind auf meine Veranlassung auch angestellt worden und haben gezeigt (wie nach einer mir mündlich von Helmholtz erteilten Auskunft zu erwarten war), dafs diese Einwirkung auf die Länge des mathematischen Sekundenpendels nicht von Belang sein kann und sich nur allenfalls in der Dämpfung der Schwingungen äufsern wird. (Näheres hierüber soll an anderer Stelle mitgeteilt werden.)

Im folgenden kam es mir darauf an, die Formeln für den Gebrauch zusammenzustellen und die Theorie in einigen Punkten zu erörtern, u. a. hinsichtlich der Lage der Schneiden gegen die drei Hauptträgheitsaxen des Pendels und gegen die Vertikale, in welcher Beziehung (wie mir scheint) wenigstens in deutscher Sprache eine Lücke in den bekannten Veröffentlichungen besteht. Aufserdem

habe ich das Wippen behandelt und die Ansichten über das Gleiten der Schneide auf der Unterlage beleuchtet und in möglichst vollständiger Weise bei der Aufstellung der Endformeln berücksichtigt. Endlich habe ich mehrere kleine Korrektionen abgeleitet, und ich glaube in Bezug auf die Längenmessung an Achatschneiden eine Aufklärung erzielt zu haben.

§ 2. Der Einflufs der umgebenden Luft. Für ein physisches Pendel, das in der Luft um eine geradlinige, horizontale, scharfe Schneide schwingt, ist die äquivalente mathematische Länge

v¹ ' M h) hl

M,

J₀ + IW + MtK Mh — Mlhl

worin M die Masse, J₀ das Trägheitsmoment für eine zur Drehungsaxe parallele Gerade durch den Schwerpunkt, h der Abstand des Schwerpunkts von der Drehungsaxe, Mi die Masse der verdrängten Luft und hi der Abstand des Volumenschwerpunkts von der Drehungsaxe, endlich K eine von der Figur des Pendels (sowie ein wenig vom Ausschlag a) abhängige Gröfse ist. Bei der Ableitung des zweiten Ausdrucks wurde J₀ -f- Mh² = Mhl gesetzt.

Die Ableitung des Zusatzgliedes MtK in Art. 13 seiner „Untersuchungen“ ist Bessel nicht ganz einwandfrei gelungen. Es stammt in der Ausgangsgleichung für die lebendige Kraft des Systems her von Jv²dm, wo v die Geschwindigkeit eines Luftteilchens dm ist und die Integration über die bewegte Luftmasse ausgedehnt werden mufs. Er setzt nun dies Integral proportional m, welches Symbol weiterhin aber (ebenso wie schon vorher) auf die Masse der verdrängten Luft bezogen wird, so dafs es unbestimmt bleibt, ob Bessel dabei nicht eine Verwechslung untergelaufen ist. Wenn trotzdem allgemein die neue Formel für V angenommen wird, so liegt dies daran, dafs schon Bessel selbst ihre praktische Brauchbarkeit durch Versuche erwiesen hat. Aufserdem kommt bei der Theorie des Reversionspendels unter gewissen Voraussetzungen über die Schwingungen auf die Gestalt des Zusatzgliedes nichts an.

In dieser Hinsicht ist es auch nicht von Bedeutung, dafs die Abtrennung des Faktors Mt nicht ganz korrekt ist, indem Defforges in Anlehnung an die Theorie von Stokes keine einfache Proportionalität mit der Dichtigkeit der Luft fand (Observations du pendule, p. 8, 9, 61).

Bessel setzt bei seiner Entwicklung voraus, dafs die äulsere Figur des Pendels symmetrisch zu der Ebene durch Schneide und Schwerpunkt sei. Da dies wohl immer genügend erfüllt sein wird, ist die Frage nach dem Einflufs einer Abweichung von der Symmetrie von geringer Bedeutung.

Für ein Reversionspendel seien nun die auf Amplitude null reducierten Schwingungszeiten bei schwerem Gewicht unten imd oben gleich Tx' bezw. T₂'- dann ist nach (1) wegen l' T'² = T -L:

T;*L(Mhx — MX) = Jo + Mh* + MiK

T'*L(Mlh — MX) = X + Mh* + MJC

Damit diese beiden Gleichungen zusammen bestehen können, müssen vor allem beide Schneiden parallele Gerade sein, weil sonst die beiden J₀ verschiedene Werte annehmen können; ferner mufs die äufsere Figur derartige Symmetrie besitzen, dafs das Umhängen in den Schneiden an der äufseren Erscheinung nichts ändert. Dazu gehört, dafs sowohl der Massenschwerpunkt wie der Volumenschwerpunkt in der gemeinsamen Ebene beider Schneiden liegt, und dass bei hängendem Pendel eine Horizontalebene durch den Volumenschwerpunkt Symmetrieebene der Figur ist.

Auch die Oberflächenbeschaffenheit mufs an dieser letzten Symmetrie teilnehmen. Endlich wird gleiche Luftbeschaffenheit und gleiche Temperatur des Pendels sowie annähernd gleicher Aus-

Heim ert, Beiträge zur Theorie des Beversionspendels.

l' =

+ *•

(1)

und

(2)

schlag für die zu beiden Gleichungen gehörenden Beobachtungen vorausgesetzt. Von der ungleichen Dehnung infolge der verschiedenen Lage der Gewichte in beiden Fällen wird vorerst abgesehen (vergl. § 16).

Aus (2) folgt durch Elimination von J₀ -f- M^K, wenn gesetzt wird

und

(3)

dafs

A \    T/²    T₂'

T² l¹ “*--T²

(4)

Meistens sind Tx und T₂' so nahe einander gleich, dafs das zweite Glied völlig bedeutungslos ist. Kann man aber

T²

(4 *)

setzen, so genügt auch die aus (3) folgende Näherungsformel:

r = T' +

h₁

(3*)

Andernfalls mufs überhaupt von (4) Gebrauch gemacht werden, was indessen erst nötig wird, wenn Tx und um mehr als y₅₀₀₀ ihres Wertes voneinander abweichen. A ist der Schneidenabstand, da zufolge der Voraussetzungen \ und \ eine gerade Linie bilden.

Aus den (2) folgt noch:

(5)

2(J₀ + MtK) — (TW + T₂'%)ML - (Tt'² + T'^MAL - M(\² + \²).

Ist nun nahezu Tx =    = t und also L = A : r², so folgt daraus

(5*)

J₀ -{- MtK = MW — MihiA.

Diese Gleichung ist aber nicht so genau wie (4*) und selbst bei geringen Ungleichheiten von Tx und T₂' nur als Näherungsformel aufzufassen.

Wird die strenge Gleichheit der Werte J₀ -j- MtK für beide Gleichungen (2) nicht erfüllt, bleibt aber genügend genau A — hx -|- so tritt rechter Hand in der Gleichung (4) für L der Ausdruck

t'² . M(hx — \)

hinzu, wofür, wenn mit Benutzung von (5*) im Nenner J₀ = MW angenommen wird, näherungsweise gesetzt werden kann:

+ L-

Jo

(6)

Es ist nun keineswegs ohne weiteres klar, dafs dieser Ausdruck ein so hinreichend kleiner Bruchteil von L ist, um ihn vernachlässigen zu können. Die Differenz (J₀)₁ — (e7₀)₂ darf zu dem Zwecke ein Milliontel von J₀ nicht überschreiten, ebensowenig wie (MtK\ — (MtK)₂. Für ersteres ist zu untersuchen, welche Abweichung vom Parallelismus der beiden Schneiden zuläfsig ist, für letzteres, welche Abweichung von der Symmetrie der Pendelfigur. Hierzu gehe ich im folgenden über.

§ 3. Parallelismus der Schneiden. Um den Quotienten {(J^ — (<^0)2}: ^0? welcher infolge des nicht hinreichend genauen Parallelismus der Schneiden von Bedeutung werden kann, zu schätzen, nehme ich die drei Hauptträgheitsaxen des Pendels als Koordinatenaxen für x, y und z₇ und zwar soll

die x-Axe der Längsaxe des Pendels, die z-Axe der Schneiderndclitung annähernd entsprechen⁵). Sind nun A, B, C die entsprechenden Hauptträgheitsmomente und a, ß, y die Neigungswinkel einer der beiden Schneiden gegen die Koordinatenaxen, so ist das Trägheitsmoment für eine Axe durch den Schwerpunkt parallel zu dieser Schneide

JQ — A cos⁶ a -f- B cos⁶ ß -f- C cos⁶ y.

Der Natur der Sache nach ist A viel kleiner als B und C, die nahezu gleich sein werden, besonders bei den Repsoldschen Pendeln, welche, abgesehen von den Schneiden und den zur Montierung derselben dienenden Teilen, Rotationskörper sind. Aufserdem sind bei einiger Sorgfalt der Herstellung die Winkel

ß — 90° = ß'

und

u — 90° = u

kleine Winkel. Da nun noch cos⁶ y — 1 — cos⁶ a — cos⁶ ß ist, so folgt

¹

Observations du pendule, p. 61.

²

   von Oppolzer, Bericht über die Bestimmung der Schwere u. s. w. (Verhandlungen der 7. Allgemeinen Konf. d. Europäischen Gradmessung in Rom 1883, Berlin, G. Reimer, 1884, Ann. Via); S. 12.

³

   Lorenzoni, Belazione sülle esperienze istituite nel B. Osservatorio astr. di Padova per determinare Ja limghezza del pendolo semplice a secondi etc. Roma, 1888; p. 96. Durch eine besondere Einrichtung wurde die Schwärze der Schneide in Grau gemildert.

⁴

   Über die Form der Schneiden seiner Apparate hat Defforges eingehende Studien angestellt; vergl. die Abhandlung: Sur Ja loi du decroissement de l’amplitude d’un pendule (Verhandlung der Permanenten Kommission der Internationalen Erdmessung, 1890, zu Freiburg i. B., S. 26, 27 u. 169—180). Aus der Abnahme der Amplituden schliefst

⁵

von Oppolzer streift in seinem Bericht von 1883, S. 9 und 45, die Theorie der Axenfehler des Pendels und weist auf Lubbocks Aufsatz: On the pendulum (Phil. Transact. 1830, I, p. 201—208) hin, worin zum ersten Male eine mathematische Entwicklung dafür gegeben ist.

⁶

Eine solche hat auch Lokenzoni in seinen Belazione von 1888, p. 105—112; es scheint aber, dafs man im allgemeinen derartige Erwägungen zu sehr vernachlässigt hat.

J₀ = C — (C — A) sin¹ «' — (C — B) sin¹ ß'.

Die Anwendung dieser Gleichung auf beide Schneiden, wobei an JQ, a und ß' die Indices 1 und 2 anzubringen sind, führt zu

(7o)i - (Jo)* = (C-A) (sin¹ a' - sin¹ <) + (0 - B) (sin¹ ß’ - sin¹ &')•

Da bei hängendem Pendel die #-Axe sehr nahe vertikal ist, so kann man

CO

a2 — al == V,

der Dilferenz der Neigungen beider Schneiden gegen die Horizontale setzen. Ebenso kann man

(8)

ß-2 — ßl = X,

dem Kreuzungswinkel der Schneiden, d. i. ihrem Zwischenwinkel von oben gesehen, setzen.

Da im Nenner des Quotienten die Annahme J₀ = C genügt, wird somit in hinreichender

Annäherung

(J_ Jß

— sin 2 am sin v -f- —^—- sin 2 ßm sin x,

(9)

Wi-GU _ C-* Jo

worin und ß’m die Mittelwerte von beiden a bezw. ß' bezeichnen.

Über den Betrag von 2a'm orientiert eine Umhängung des Pendels, bei welcher die „Firma“ einmal vorn, einmal hinten ist, und bei welcher am unteren Ende des Pendels beobachtet wird, ob durch das Umhängen eine Verschiebung in der Vertikalebene der Schneide eintritt. Ist eine solche nicht da, so steht die in dieser Ebene vom untern Ende nach der Schneide gezogene Mittellinie normal auf der Schneide, eine Abweichung aber charakterisiert 2a'm, vorausgesetzt, dafs diese Mittellinie den Schwerpunkt genau genug durchschneidet.

Bestehen Bedenken in dieser Hinsicht, so mufs das Pendel möglichst nahe der Mitte der Schneide auf einer passenden Queraxe aufgehangen werden, wobei dann wieder die Lage des untern Pendelendes zu beobachten sein wird. Als Queraxe wurden die seitlichen Zapfen an den Schneidenhaltern benutzt, auf welchen das Pendel zunächst ruht, wenn es eingehangen wird. Die Zapfen befinden sich bis auf Zehntelmillimeter in der Mitte der Schneidenfassungen und der Schneiden selbst.

Die Versuche der ersten Art am neuen Pendelapparat des Geodätischen Institutes ergaben beim kleinen Pendel 0,3 mm, beim langen 0,7 mm Ausschlag; die der zweiten Art bezw. 0;4 und 0,5 mm. Somit darf man wohl annehmen, dafs beim langen Pendel sin 2a'm höchstens etwa vom Betrage y₅₀₀ ist, beim kurzen Pendel etwa y₂₅₀. Da nun (C—Ä) : C sehr nahe gleich eins ist, mufs v in dem ungünstigeren Falle des kurzen Pendels kleiner als 50" sein, damit das erste Glied rechter Hand in (9) ein Milliontel nicht erreicht. Beim langen Pendel genügt v < 100".

Um v zu ermitteln, wurde das Lager nivelliert, das Pendel eingehängt und auf die untere Schneide eine kleine Röhrenlibelle mit Fufsplatte und Querniveau gebracht. Aufserdem wurde festgestellt, dafs die Pendel durch ihr Gewicht die Konsole des Komparators um etwa 7" neigen. Selbstverständlich wurde die Längsrichtung der Libelle möglichst genau in die Schneidenrichtung gebracht. Für die bei den vorliegenden Pendelmessungen benutzte Anordnung der Schneiden zur „Firma“ fand sich v = 2/3 Min. für beide Pendel. Bei anderen Anordnungen ist v kleiner und nur etwa 0',2. Zufälligerweise war gerade die ungünstigste Kombination gewählt worden. Zum Glück ist auch bei ihr v noch klein genug.

Jedenfalls überschreitet das erste Glied rechter Hand in (9) für beide Pendel den Betrag von ein Milliontel nicht. Es bleibt nun noch zu zeigen, dafs das zweite Glied ebenfalls unter ein Milliontel bleiben wird. Allerdings ist x erheblich gröfser als v. Dies ergab sich sowohl durch Visieren längs der innern Flächen der Schneidenhalter nach einer etwa 15 m entfernten Wand bei vertikaler Pendelhaltung, wie durch Nivellieren mittelst einer Libelle bei horizontal aufgelegtem Pendel. Für das kurze Pendel ist hiernach sin x nahezu yi70, für das lange Pendel etwas kleiner, etwa y₂₅₀.

Hierbei ist angenommen, dafs beide Schneiden in die Mitten ihrer Fassungen gebracht werden. Unter dieser Annahme kann nun 2ß'm kaum 1°, sin 2 ßm also rund kaum y₆₀ erreichen; denn man wird sogar annehmen dürfen, dafs die Hauptaxe C eine zu den Richtungen beider Schneiden annähernd mittlere Lage hat, wenn das Pendelmaterial einigermafsen homogen ist und die Schneidenhalter nahezu symmetrisch zu den Hauptebenen bearbeitet sind. Voraussichtlich beträgt daher 2ßm nur Zehntelgrade; da jedoch hierbei einige Unsicherheit bleibt, habe ich 1° angesetzt, was auf alle Fälle ausreichen dürfte.

Um nun eine Vorstellung von dem Betrage von (C — B) : C zu gewinnen, ist zu beachten, dafs C — B hauptsächlich von den beiden starken rechteckigen Rahmen bedingt wird, welche sich nahe an den beiden Schneiden befinden. Eine leichte Schätzung zeigt, dafs (C — B) : C den Betrag von yi00 nicht entfernt erreicht, und dafs daher unter Annahme der vorher festgestellten Werte von sin x und sin 2ß’m das zweite Glied rechter Hand kleiner als ein Milliontel bleibt.

Dieses letzte Verhalten würde fraglich sein für den Fall, dafs die Schneiden in den Haltern zwar annähernd parallel, aber nicht in die Mitte derselben, sondern schief eingesetzt würden, was wegen starken Spielraumes möglich ist. Alsdann könnte sin 2ß,'n auf yi4 steigen.

§ 4. Symmetrie der äufseren Form. Nächst genügendem Parallelismus der Schneiden ist für ein gutes Reversionspendel eine solche Symmetrie der äufsern Form in Bezug auf die Aufhängung an beiden Schneiden erforderlich, dafs man f\ = \ -f- h₂ und {: J₀ in (6) kleiner als ein Milliontel annehmen darf.

Für den Ansatz A = \ -f- A₂.ist es erforderlich, dafs beide Schneiden genügend vertikal unter einander hängen; ist aufserdem v kleiner als 1' und das belastete Lager bis auf wenige Sekunden horizontal, wie bei meinen Versuchen, so gilt die Relation. Uber das Bestehen der ersten Bedingung klärte der schon früher besprochene Umhängungsversuch mit Verwechslung der Lage der „Firma“ gegen die Himmelsrichtung auf; aufserdem würde eine Abweichung im berichtigten Vertikalkomparator

fühlbar geworden sein, falls nur die Teilstrichebenen am oberen und unteren Ende des Mafsstabes vertikal über einander liegen, was durch die Bearbeitung bis auf wenige Zehntelmillimeter gesichert ist.

Ist die Abweichung am unteren Ende, reduciert auf den Abstand A der unteren Schneide von der oberen, beim Umhängen 2e und ist das schwere Gewicht oben (bei welcher Lage die Abweichung am gröfsten wird), so tritt an Stelle der Gleichung \ -f- h₂ = A die Näherungsrelation:

(10)

Beim kurzen Pendel genügt es, wenn 2e den Betrag von 1 mm nicht überschreitet; er betrug aber nur Zehntelmillimeter und war nicht sicher zu erkennen; beim langen Pendel betrug 2e anscheinend nur 0,1 mm, war also jedenfalls genügend klein.

Es möge hier noch bemerkt werden, dafs das belastete Lager bei den im II. Teile besprochenen Schwingungsbeobachtungen in der Richtung der Schneide 12" Neigung hatte, was aber in keiner Beziehung einen nennenswerten Fehler geben kann. (In der Querrichtung war das Lager auch genügend horizontal).

Was nun den Quotienten    — (MiK\} / JQ anlaügt, so verschwindet derselbe voll

ständig, wenn die Beobachtungen bei vertauschten Gewichten wiederholt werden und die Gewichtsvertauschung wie bei Defforges im Innern des Pendelmantels erfolgt. Nicht ganz so günstig ist die im vorliegenden Falle befolgte Methode, dafs die Gewichtskörper an den Enden des Pendelkörpers angeschraubt sind und durch Umschrauben vertauscht werden müssen. Abmessungen zeigten jedoch, dals bei dem kurzen Pendel die äufseren Figuren der Gewichtskörper kaum um 0,1 mm in den Dimensionen von einander ab weichen; beim langen Pendel scheinen zwar die Stangen der Gewichtscy linder sowie deren Durchmesser um 0,1 bis 0,2 mm verschieden zu sein, indessen hat dies auch noch keinen schädlichen Einflufs. Die Oberflächenbeschaffenheit der Gewichtskörper ist als genügend gleich zu erachten.

Bei den Beobachtungen an REPSOLDschen Pendeln mit hohlen Rohren sind wohl in der Regel die Gewichte nicht vertauscht worden. Da aber diese hohlen Rohre eine Luftmenge nach Mafs-gabe ihres äufseren Durchmessers bewegen, so kann hier der in Rede stehende Quotient bei sehr kleinen Unregelmälsigkeiten der Form des Pendels merklich werden.

Nehmen wir für ein Sekundenpendel M = 6 kg, hx — 6,83 dem, h₂ = 3,17 dem; ferner sei der äufsere Rohrdurchmesser 0,43, die ganze Rohrlänge 12,26, der Mittelpunktsabstand der Gewichte von den Schneiden 0,8, ihr Durchmesser 1,15 und ihre Höhe (in Richtung der Rohraxe) 0,34 dem. Dann ist das Trägheitsmoment des der äufseren Begrenzung des Pendels entsprechenden Luftmasse in Bezug auf eine Schneide rund yi000 von J₀. Da nun nach den Beobachtungen an massiven Pendeln MiK von der Ordnung des Trägheitsmoments der Luftmasse ist, welche der äufseren Begrenzung des Pendels entspricht — annähernd können wir beide gleich grofs nehmen — so würde somit im jetzt besprochenen Falle MtK/ J₀ etwa yi000 sein.

Der Unterschied der beiden Werte dieses Quotienten für beide Lagen des schweren Gewichts kann nun allem schon durch Ungleichheiten des Rohrdurchmessers von 0,1 mm recht wohl auf 5 Milliontel steigen, was ebenso vielen Bruchteilen Fehler in L entsprechen würde.

Hiernach wird es geboten sein, bei gegebenen Pendeln mit nicht vertauschbaren Gewichten dieser Fehlerquelle Beachtung zu schenken, neue Pendel aber immer mit vertauschbaren Gewichten auszurüsten. (Es hat sich übrigens herausgestellt, dass auch bei den Repsoldschen Pendeln mit hohlen Rohren die Gewichtsvertauschung möglich ist).

§ 5. Abrollen der Schneide auf dem Lager. Den Einflufs der Abstumpfung der Schneiden hat bekanntlich Bessel in den Art. 25—27 und der Beilage IX seiner „Untersuchungen“

eingehend behandelt und nachgewiesen, dafs beim Reversionspendel der Einflufs auf das Ergebnis für L im Mittel aus Beobachtungen verschwindet, bei denen die Schwingungen für schweres Gewicht unten und oben um jede der beiden Schneiden erfolgen.

Für die Schwingungen um die einzelne Schneide ist nach ihm die durch die Abstumpfung gestörte mathematische Länge

(11)

worin bezeichnet l die ungestörte mathematische Länge für ideelle Schwingungen um den Scheitel der Schneide, der sich in der Ruhelage senkrecht über dem Schwerpunkte im Abstande li befindet, b die Breite der Abstumpfung und q einen von deren Form abhängigen Koefficienten. Die Entwicklung dieses Ausdruckes erfolgt unter der Voraussetzung, dafs die Schneide von einem stetig gebogenen Cylindermantel begrenzt wird, dessen Querschnitt ein Kegelschnitt ist, der in der Ruhelage von der horizontalen Auflagefläche im Scheitel berührt wird. Der Ausdruck gilt auch noch für eine ebene, im Ruhezustände horizontale Abstumpfung, wie man natürlich auch direkt nachweisen kann. Aufserdem kann man aus Bessels Entwicklungen entnehmen, dafs beim Reversionspendel die Elimination des Einflusses der Abstumpfung auf L durch Schneidenvertauschung nicht an eine besondere Form der Schneide geknüpft ist, sondern so gut wie allgemein stattfindet. Dieses soll hier in etwas modifieierter Darstellung gezeigt werden, immer unter Annahme stetiger Biegung des die Schneide begrenzenden Cylindermantels, oder anders gesagt: unter der Voraussetzung, dafs die Schneide nicht facettiert ist, also der Cylindermantel keine ebenen Streifen hat. Von der umgebenden Luft wird abgesehen, da der Einflufs der durch sie bewirkten Dämpfung der Schwingungen auf die Abwickelung nicht wesentlich ist.

Um eine Integration zu sparen, kann man nun mit Bessel vom Prinzip der lebendigen Kraft

ausgehen, welches unter der gemachten Voraussetzung gilt; darnach mufs sein ~ Jvtdm = Y const.,

worin v die Geschwindigkeit des Massenteilchens dm bezeichnet, die Integration über das Pendel erstreckt werden mufs und V das Potential der Schwerkraft ist. Zunächst soll jedoch von diesem Prinzip kein Gebrauch gemacht werden.

Ich setze die Schneide vorerst als starr, die Auflagefläche als eine horizontale Ebene voraus. Der Anfangspunkt 0 eines festen, rechtwinkligen Koordinatensystems, dessen x-Axe vertikal und dessen y-Axe horizontal in der Schwingungsebene des Schwerpunkts G liege, sei im Scheitel der Schneide bei der Ruhelage des Pendels. Dagegen seien die Koordinaten dieses Scheitels 0" bei der Elongation 0 der Linie 0"G gleich xQ und y₀. Dann ist für das Teilchen dm mit dem Abstand r von 0" in der Neigung 0 -f- cp gegen die x-Axe:

x = xo + r cos (0 -f cp), y — Vq ~\~ r sin (0 + cp) .

(⁰ + 9>) (w) — r sin    + ?>)

in (0 + cp) (^|) + r cos (0 + cp)

Die vertikalen und horizontalen Komponenten der verlorenen Kraft am Teilchen dm sind ferner bezw. gleich

Also ist

d^x d*x₀

dt²    dt³

diy — d*Vo y 3

r cos

d*0

d* 0

dt²

dt²

dt*

dix

-j dm mit dem Hebelarm -f- y — y₀'

und

-%ldm

für gleichen Drehungssinn,

dt*

wobei als Drehungsaxe die Beriilirungslinie 0' der Schneide mit der horizontalen Unterlagsebene angenommen ist; deren Ordinate mit y₀' bezeichnet wurde. Durch diese Annahme verschwindet der Ein-flufs der Reaktion der Unterlage, insofern sie den Hebelarm null hat. Weiterhin ist zu beachten, dafs die folgenden drei Relationen bestehen:

J*r sin cp dm — 0, J r cos qo dm = Mh, J r² dm = Mhl,

wobei die Integrationen sich auf den ganzen Pendelkörper beziehen und l die ungestörte mathematische Länge bei Drehung im luftleeren Raum um die Axe 0 bezeichnet.

ldQ\²

(l -f x₀ cos 0 + (y₀ — y₀') sin0) — (-^r) (x₀ sin 0 — % ~ Vo) cos 0)

C]W (sin 0 + w¹) +1$ (cos 0 + t ) + yBin 9 + 9    ■

Die Summe der Drehungsmomente wird damit gleich dem Produkte aus Mh in den Ausdruck: d²Q

dt²

Dies mufs gleich null sein.

Sind die Koordinaten des Punktes 0' in Bezug auf GO" als Abscissenaxe und 0" als Anfang gleich £ und y, so ist

ferner

x₀ = | cos 0 — rj sin 0

y₀ — %' = isin 0 + v cos 0

£ = x₀ cos 0 + (y₀ — y₀') sin 0 V = — sin 0 -f (y₀ — yQ') cos 0

(12)

Wickelt sich das Bogenelement dö des Schneidenquerschnitts ab, so wird

dg = da cos 0 dxo = — (y₀ — y₀') dQ

d% — dö sin 0

dy₀' = — dö dy₀ = x₀dQ-

(12*)

y<>) ^ey

d:^ = -(%-%)

Damit giebt die gleich null gesetzte Summe der Drehungsmomente:

{l + iin±p^yje ₊

woraus nach Multiplikation mit dQ / dt durch Integration folgt:

(, + 3ii±r±£)(»y_„(. 0Be ₊ |) +

d*y₀

d*Q

dt²

dt²

de

dt2    X° dt²

. dx₀ tdQ\²

' HW Vdt)

m*+r±*(*°y + gfae

2hdO

dx₀

Tide

const.

= °>

(13)

(14)

Zu diesem Ergebnis gelangt man rascher, wemi von der lebendigen Kraft ausgegangen und beachtet wird, dafs der Berührungspunkt 0' in der Momentanaxe der Drehbewegung liegt. Die lebendige Kraft wird:

v² dm =

und das Potential der Schwerkraft V = gM(h cos 0 -f- xQ) -)- const. Die Gleichsetzung giebt unmittelbar (14). Es ist aber nützlich, auch die vorausgehende Entwicklung zu beachten, da sie von Haus aus als Voraussetzung der Gültigkeit zeigt, dafs der Abstumpfungseylinder keine ebenen Streifen haben darf, weil dann bei unendlich kleinem At endliche A 6 einträten.

Linker Hand in (14) kann man |² -j- tf vernachlässigen, dann das Glied mit £ nach rechts nehmen und für (dQ/dt)² die Beziehung der ungestörten Bewegung einführen. Geht die Schwingung

von —cq bis -f- a.₂, so wird an den Grenzen dQ / dt = mxW.^ ist daselbst x₀ gleich —ax bezw. —a.₂, so folgt einerseits

(—)

\dt/

/dO\ l dt)

Die erste Gleichung wird man für 0 = — ax bis 0, die zweite für 0 = 0 bis -j- cc.₂ anwenden. Wenn nun (x₀ -f- ax) / h (cos 0 — cos cq) eine kleine Gröfse ist, deren Quadrat vernachlässigt werden darf, so giebt die erste Gleichung:

(dQV 2g ,

{-dt) “ T (cos 0 -

andererseits

[(cos ©

— cos

[(cos 0

— cos

cos

<*) (i-$ + a±s.}.

(15)

cos

worin neben der Eins kleine Brüche stehen; es ist dann ausreichend genau bei wachsendem 0 von — ut

bis 0:

dt =

dQ

xo 4~ ai

2 h (cos Ö — cos cq)

]/cos 0 — cos a,

und entsprechend mit a.₂ und a₂ für 0 von 0 bis -J- a,₂.

Dafs (xQ -j- a)/A(cos 0 — coscc) eine sehr kleine Gröfse ist, zeigt sich wie folgt. Nach (12) ist x₀ -\- a — % cos 0 — |a cos a — rj sin 0 -f- rja sin a, worin \a und rja sich auf a beziehen. Nun ist %a > £, t]a> rj, daher

xo + a < |«(cos 0 — cos cc) -j- rj (sin a — sin 0) -f- (rja — rj) sin a.

Aus drj — d<5 cos 0 = p cos 0^0 folgt rja — rj — pm(sin a — sin 0), worin Qm ein gewisser mittlerer Krümmungsradius des Schneidenquerdurchsclmitts von 0 bis a ist. Nunmehr ergiebt sich leicht

x₀ -f- a

< T + T cot ^4 °

womit der Nachweis erbracht ist, vorausgesetzt, dafs der Querschnitt keine geraden Stellen, also der die Schneide begrenzende Cylinder keine ebenen Streifen hat.

Bezeichnet man (cq -f- a₂) / 2 mit a und setzt für ungestörte Schwingungen um den Punkt 0 mit dem Ausschlag a die Dauer

h(cos 0 — cos a)

T =

-l a -

dQ

2 9J |/cos 0 — cos«

— a

so ist nun die gestörte Schwingungsdauer in ausreichender Annäherung mit T = 7f\/l: g gleich:

(16)

Ta'=T

Sd 0

+«

(x₀ -f- a) d 0 y

|/cos 0 — cos a

cos a

(16*)

Ist die Abstumpfung nach einem Kreiscylinder vom Radius q erfolgt, so wird x₀ = q (cos 0 — 1)

y₀ = Q (sin 0 — 0)

£ = p (1 — COS 0),

rj = p sin 0 .

Es folgt alsdann T ' =

a -

(17)

vorgekommen.

1) Aus Bessels Endformeln folgt das in Q<x*/h multiplizierte Glied anders; es ist aber da ein Rechenfehler

und also mit Vernachlässigung immer sehr kleiner Glieder, die gestörte mathematische Länge

G¹—-f}-

Es möge noch bemerkt werden, dafs die Gl. (13) in diesem Falle übergeht in:

sin 0 = 0,

(17*)

{? + ²(>(l + y)(l

— cos 0

deren erstes Integral ist:

T {? + ²^(l + i)(l

)}    ^ i¹ + i)sin0 (I?) + K¹ + i)

⁰)} (^f) = 9 (l + y) cos 0 -f const.,

— cos

womit (17) und (17*) bestätigt werden.

Nimmt man ferner an, dafs der Krümmungsradius p im Schneidenquerschnitt an einer Stelle, wo die Normale mit GO" den Winkel cp einschliefst, sich in die Reihe

Q = Qo + Qi'P + Q2V ' + • ’ •

(18)

©

entwickeln lasse, so wird | p sin cpdcp, r\

0

©

= ^Q COS cp dcp

d

und

x₀ = Po (cos 0 — 1) — ypx⁰³ —    ⁰⁴ ----•

Nach Gl. (16*) tritt daher zu dem Ta' für den Kreiscylinder vom Radius p₀, indem das Glied mit px verschwindet, noch das Glied hinzu:

+«

r__0)

247r/»yV J ]/cos 0 — cos

— a

Fügt man dies in (17) rechter Hand hinzu, so folgt dann

+ T-

Qi

V³

dQ, d. i. sehr nahe — T ■    ■

r=V-f+%

et²

(18*)

Es tritt also jetzt in den Ausdrücken für Ta' und V eine Reihe von Gliedern mit geraden Potenzen von a auf.

Ist die Abstumpfung eine Ebene, die in der Ruhelage horizontal liegt und zu beiden Seiten der Schwerpunkts vertikalen die Breite b / 2 hat, so ist von 0 = — cq bis 0

= + Y sin 0,

~ sin 0

von 0 = 0 bis -f- a₂:

x₀= —

y₀ = + y (! —cos 0) >

y (1 —cos 0),

y₀ = —

1 = 0,

und es wird

V = l{ 1

26

)•

(19)

nhoc

Diesen Ausdruck hat Bessel für die ebene Abstumpfung als Grenzfall einer Abstumpfung mit flachelliptischem Querschnitt abgeleitet; direkt sind seine Formeln darauf aber nicht anwendbar. Genau genommen ist auch die vorstehende Entwicklung nicht einwandfrei, weil bei einer absolut ebenen Abstumpfung in dem Augenblick, wo das Pendel durch die Vertikale schwingt, ein Aufschlagen auf das Lager erfolgt, was einen Verlust an lebendiger Kraft erzeugt. Jedoch erkennt man die Gültig-

keit von (19) leicht für den Niedergang und Aufgang des Pendels einzeln. Die ebene Abstumpfung würde übrigens einen enormen Einflufs haben, selbst wenn die Breite b nur 0,1 betrüge. Nimmt man, wie bei meinen Messungen, a = S' und 24', also l/a = 400 und 134, so gäbe das bei dem kleinen Pendel einen Unterschied bei schwerem Gewicht oben von rund l / 5000 in V, bei dem grofsen Pendel hiervon immer noch den vierten Teil.

Denkt man sich für ein Reversionspendel nach (16*) die Ausdrücke T±'² und T₂'² entsprechend den Schwingungen bei schwerem Gewicht unten und oben gebildet, und daraus

= (T^h — T^\) : 0, — Ä₂)

nach Gl. (3), S. 58, hergeleitet, so ist ersichtlich, dafs bei gleicher Schneidenform die von x₀ abhängenden Störungen in -r'² verschwinden, wenn gleiche Ausschläge a für beide Gewichtslagen benutzt wurden. Die sehr kleinen Glieder, welche von | abhängen, verschwinden allerdings nicht. Aber sie sind bei kleinen Amplituden an sich unmerklich; aufserdem verschwinden sie genau bei der Kombination von Beobachtungen an einem langen und einem kurzen Pendel mit denselben Schneiden, insbesondere also auch bei dem Verfahren von Defforges (wo die Pendel aufserdem gleiches Gewicht haben).

Die bisher über die Gestalt und Starrheit der Schneide und des Lagers gemachten Voraussetzungen werden in aller Strenge nicht zutreffen. Was zunächst die Ebenheit der Lagerfläche anbelangt, so mag man dieselbe immerhin prüfen, was u. a. geschehen kann durch Auflegen der ander-weit auf ihre Geradheit geprüften Schneide aufs Lager und Beobachten der sich etwa zwischen Schneide und Lager zeigenden Lichtlinie (vergl. von Oppolzers Bericht, S. 12). Aufserdem aber läfst sich erwarten, dafs die Reversion mit Schneidenvertauschung auch unter Umständen eine Unebenheit der Lagerfläche eliminiert. Wenn die letzte nämlich die Gestalt einer stetig gebogenen Cylinderfläche hat, so gilt Gl. (14) ohne weiteres, ebenso aber auch Gl. (16*), weil (x₀ -{- a)/(cos0 — cosa) wieder eine sehr kleine Gröfse sein wird, wie dabei vorausgesetzt ist. Damit die Elimination wirklich stattfindet, miifste die Schneide bei beiden Gewichtslagen auf derselben Stelle des Lagers aufliegen. Dies wird im Einzelfalle allerdings kaum zu erreichen sein. Da jedoch die Beobachtungen mehrfach wiederholt werden, wird wenigstens im Mittel der Bedingung annähernd genügt werden. Zustatten kommt hier noch die grofse Vollkommenheit, mit der ebene Flächen hergestellt werden können.

Die Schneide wird von der bisher angenommenen Cylinderform (stetig geb.ogen, aber ohne ebene Stellen, doch darf p diskontinuierlich wechseln), besonders im Falle der Verwendung von Achat, durch die Anwesenheit zahlreicher, sehr kleiner Hervorragungen abweichen. Man kann sich zunächst denken, dafs die Schneide auf zwei solchen ruht und schwingt, bis eine andere Hervorragung das Lager trifft und mit einer der beiden andern die Drehungsaxe bildet, u. s. f. Damit hätte man ungefähr dasselbe, als wenn die cylindrische Schneide durch Ebenen facettiert wäre; nur würden noch kleine laterale Schwankungen der Schwingungsebene stattfinden, die aber ganz unschädlich sind, da sie nur in der zweiten Potenz ein wirken werden. Weit bedenklicher würde die facettenartige Beschaffenheit sein.

Allein dieselbe kommt wahrscheinlich nur gemildert zur Geltung. Die Schneide und das Lager sind elastisch und drücken sich ineinander ein; die Berührung erfolgt also in einer gewissen Breite, und dieser Eindruck verschiebt sich bei der Abwälzung. Der undeformierte Teil der Schneide wird nun im grofsen und ganzen dieselben Bewegungen machen, als rollte die starre Schneide ab; aber die plötzlichen Übergänge von einer Drehungsaxe zur andern durch successives Berühren der Hervorragungen der Schneide mit dem Lager fallen fort. Ganz einflufslos werden die Unregelmäfsigkeiten der Schneide zwar nicht sein, wie die Beobachtung des Ganges der Abnahme der Amplituden mit der Zeit lehrt; denn es hat sich wiederholt in dieser Abnahme eine geringe Diskontinuität gezeigt.

Aber man wird doch erwarten dürfen, dafs durch die Deformation die Wirkung der Unregelmäfsig-keiten insoweit ausgeglichen wird, um die Gl. (16*) als zu Recht bestehend ansehen zu können.

Da für die Lage des in den mathematischen Betrachtungen auftretenden Punktes 0", des Scheitels der Schneide im Querschnitt, der undeformierte Teil der Schneide mafsgebend ist, so mufs man sich also den letzteren zur ursprünglichen Gestalt ergänzt denken, um 0" für diese Betrachtungen zu erhalten. Dies ist praktisch insofern wichtig, als die Längenmessung des Schneidenabstands von den mittleren, undeformierten Schneidenteilen, die auf den Ausschnitt des Lagers treffen, ausgeht. Einer Korrektion wegen Zusammendrückens der Schneide bedarf es also nicht, vorausgesetzt, dafs die unbelastete Schneide hinlänglich gerade ist.

Damit die Elimination der Schneidenform wirklich erzielt werden kann, ist zu prüfen, ob die Widerlagsflächen der beiden Schneidenhalter in der Richtung quer zu den Schneiden bis auf einige Minuten parallel sind. Denn sonst wird ein und dieselbe Schneide bei schwerem Gewicht unten und oben an verschiedenen Stellen von der Lagerfläche berührt werden. Ist dann nicht zugleich die Krümmung des Schneidenquerschnitts kreisförmig, so ist die Elimination der Schneidenform ganz illusorisch. Bei mehreren REPSOLDschen Pendeln fand sich indessen der erforderliche Parallelismus bis auf wenige Minuten vor, vermutlich, weil die Herstellung der betreffenden Flächen auf der Drehbank erfolgt.

In dieser Hinsicht ist aber doch die Gewichtsvertauschung durch Umschrauben besser als die Umwechslung der Schneiden. Denn dann ist jene Prüfung überflüssig, insoweit wenigstens als man nur ein Pendel in Betracht zieht. Sie wird nur wieder nötig, wenn man wünscht, dafs bei dem langen und bei dem kurzen Pendel dieselben Stellen der Schneiden auf dem Lager zur Wirkung kommen. Man mufs dann sogar die Prüfung dahin ausdehnen, ob die Widerlagsflächen bei ruhig hängendem Pendel bis auf einige Minuten horizontal sind.

die Verschiebungen erfolgen nicht in dem Simie des Überwindens der

§ 6. Verschiebungen der Schneide und des Lagers: Vorbemerkungen. Schon Bessel machte die Wahrnehmung, dafs die Bewegung der Schneide auf dem Lager nicht lediglich ein Abrollen ist, sondern dafs noch Verschiebungen stattfinden. Er hat dieselben sehr eingehend studiert und nimmt an, dafs es sich dabei nicht um ein Überwinden der gewöhnlichen Reibung handelt, sondern um das Nachgeben gegen einen gewissen Widerstand der Unterlage, den diese dem Abrollen entgegensetzt (Art. 30). Denn gewöhnlichen, gleitenden Reibung.

Neuerdings hat Defforges diese Schneidenbewegung als „glissement“ beschrieben. Er nimmt an, dafs die Schneide teilweise rollt, teilweise aber gleitet wie ein Zapfen in seinem Lager (Observations du pendule, p. 14 u. 15). Geometrisch kommt es auf dasselbe hinaus, ob man vollständiges Abrollen und einfaches horizontales Zurückgleiten annimmt oder teilweises Abrollen und teilweises Drehen wie beim Lagerzapfen, solange das Zurückgleiten nicht gröfser ist, als das volle Abrollen. Physikalisch aber werden die Erklärungen beider Erscheinungen verschieden ausfallen.

Nicht berücksichtigt hat bekanntlich Besser die elastische Bewegung der ganzen Aufstellung der Konsole, des „Stativs“, die durch die Pendelbewegung entsteht. Die Möglichkeit einer solchen Bewegung war ihm sicher nicht unbekannt, nur nahm er wohl an, dafs man ebenso wie bei astronomischen Uhren auf eine äufserst solide Aufstellung Bedacht nähme. Die Stabilität des Aufhängungsrahmens seines Fadenpendels untersuchte er mittelst des von Hardy erfundenen und schon von Kater benutzten, auf die Pendelschwingungen abgestimmten Noddy (Art. 3). Jedenfalls hat er auf gleiche Art auch die Festigkeit der Konsole geprüft, die bei den Versuchen mit dem Reversionspendel

im Gebrauch war, obwohl er es nicht ausdrücklich hervorhebt. Später vergafs man aber dieses, und so kam es, dafs Peirce 1875 die elastische Stativbewegung nochmals entdecken konnte, angeregt durch einen Hinweis von General Baeyer¹). Allerdings zeigte sich doch auch, dafs selbst die festesten Aufstellungen kaum frei vom Mitschwingen sind.

Neuerdings hat Schiötz sehr eingehend den Einflufs von Bodenerschütterungen auf die Schwingungszeit und im Zusammenhänge damit überhaupt den Einflufs der Schneidenbewegung auf die Schwingungszeit, die Schneide als Linie gedacht, behandelt²). Er fand, wie bereits früher Peirce (On the flexure etc., p. 84), dafs die vertikale Elasticität der Unterlage einen verschwindenden Einflufs hat.

In den Entwickelungen auf S. 62 mögen daher jetzt unter y₀ aufser einer Bewegung durch Abwickelung auch eine Bewegung des Scheitels 0" durch Gleitung sowie eine gemeinsame elastische Bewegung mit der Unterlage zusammen verstanden werden, während xQ nur auf die Bewegung durch Abwickelung sich beziehen soll.

Ist nun rj₀ derjenige Teil von y₀, der nicht von der Abwickelung herrührt, so tritt, wie der Ausdruck für die Drehungsmomente zeigt, linker Hand zu (13) hinzu d²rj₀/df, abgesehen vom Faktor (cos 0 -j- x₀/h), den man durch 1 ersetzen kann. Um die Glieder, welche von der Abwickelung herrühren, anzudeuten, werde das Hauptglied für den einfachen Fall des Kreiscylinders mit eingeführt, vergl. (18). Dann folgt mit grofser Annäherung:

d²G , d²rj₀

+ 9 (l + -f-) sin © = 0.

Diese Gleichung reicht aber, abgesehen von der durch Annahme des Kreiscylinders eingeführten Annäherung, noch nicht aus zur Darstellung der Beobachtungen. Es ist vielmehr notwendig, noch ein Drehungsmoment D der an der Schneide wirksamen Reaktionen des Lagermaterials zu berücksichtigen, das bei weniger harten Materialien besonders wirksam sein wird, und das dadurch entsteht, dafs die Schneide das Lager nicht nur in einer geraden Linie berührt, sondern in einer schmalen Fläche.

Zu weiterer Vervollständigung kann man linker Hand noch das Glied 2lxdQ/dt hinzufügen, durch welches die Dämpfung der Schwingungen des Pendels infolge der Reibung an der Luft genügend berücksichtigt wird³). Der Koefficient x ist umgekehrt proportional h. Denn da das Drehungsmoment der Luftreibung von der inneren Massenverteilung des Pendels unabhängig ist, mufs nach der Division der Gleichung mit Mh in dem in Rede stehenden Gliede h implicite im Nenner auftreten, was mit den Erfahrungen übereinstimmt (vergl. die Bemerkungen zu l S. 71 und 41).

Lidern hiermit angenommen wird, dafs die Bewegung des Pendels in der Luft erfolgt, mufs man jetzt unter l den Wert V nach (1), S. 57, verstehen, wobei das statische Moment des Pendels in Mh — MJh, seine Masse in M — Mi übergeht-

Mit diesen Ergänzungen erhält man anstatt (20) die vollständigere Bewegungsgleichung:

+ 2lx W + TzW + 9 (l + y) sin ⁰ + ^ = °, wobei der Nenner von JD genauer Mh — MJh lauten würde.

d²Q

dt²

clt²

dt²

(20)

(21)

1)    C. S. Peibce, On the flexure of pendulum supports. (App. No. 14, Coast and Geodetic Survey, Report for 1881); p. 2. Vergl. über das Noddy auch daselbst S. 69, sowie die Abhandlung: On the use of the Noddy for measu-ring the amplitude of swaying in a pendulum Support (App. No. 15, C. a. G. S., R. for 1884).

2)    0. E. Schiötz, ^Resultate der im Sommer 1893 in dem nördlichsten Teile Norwegens ausgeführten Pendelbeobachtungen nebst einer Untersuchung über den Einflufs von Bodenerschütterungen auf die Schwingungszeit e. P. Kristiania, Jakob Dybword, 1894.

3) Schiötz, a. a. 0. S. 18—21.

Die Summen der horizontalen und der vertikalen Komponenten der bei der Pendelbewegung verlorenen Kräfte müssen durch den Widerstand, den die Schneide auf der Unterlage erfährt, aufgehoben werden. Der Vertikaldruck auf das Lager ist in der Hauptsache gleich

(22)

M\g -f- ~h sin 0    -f- li cos 0 (^j J, d. i. sehr nahe Mg j 1 -f- (a² — 20²) y j •

Der Horizontaldruck ist wesentlich gleich

'Q‘

sin 0 —

d*Q

dt²

cos 0

CD I ■+* ^ 1^

r-

SD

fr

1/

InS

CO

Vom Auftrieb der Luft ist hierbei abgesehen, ebenso wie vom Einflufs der Abstumpfung der Schneide, der jedenfalls bei den hier gemachten Voraussetzungen über deren Form ganz verschwindend ist (u. a. bei Hx von der 3. Ordnung in Bezug auf 0). x wird im allgemeinen von x in (21) etwas verschieden sein.

Die horizontale Reaktion des elastischen „Stativs“ kann man, wenn zur Zeit t die Verschiebung der Konsole im Sinne eines y den Betrag 6 hat, gleichsetzen

d*a

Ä» = — e<5 — yMa

da

(23*)

dt'

Hierin bezeichnet £ einen Elasticitätskoefficienten, Ma die Masse des Stativs (insoweit sie bewegt wird) und y ebenso wie xa einen von der Konstitution des Stativs abhängigen Koefficienten (echten Bruch). Das letzte Glied rechter Hand entspricht den Reibungseinflüssen (Schiötz, a. a. 0.).

Die Summe aller Horizontal drucke mufs verschwinden: also ist

¹

Eine solche hat auch Lokenzoni in seinen Belazione von 1888, p. 105—112; es scheint aber, dafs man im allgemeinen derartige Erwägungen zu sehr vernachlässigt hat.

(24)

-Sr + #2 = 0.

Zur vollständigen Lösung der Aufgabe mufs zu den Gleichungen (21) und (24) noch eine Gleichung treten, woraus die Beziehung zwischen r]₀ und 6 hervorgeht.

Wären Schneide und Lager ganz starr, so würde in der Hauptsache nur ein Abrollen der ersten stattfinden, falls die Reibung zum Zusammenhalten beider genügte, was man für gewöhnlich annehmen darf; dann wäre rj₀ = 6. Dieser Fall wird im nächsten § behandelt werden. Da beide elastisch sind, so deformieren sie sich bei Übertragung des Druckes von der Schneide auf das Lager-Die ideelle Fläche, auf der die Abwickelung der undeformiert und etwas idealisiert gedachten Schneide stattfindet, sinkt etwas tiefer (vergl. den vorhergehenden §, S. 66), und der Schneidenkörper verschiebt sich infolge des Horizontaldrucks der Schneide um eine Gröfse u auf dem Lager, so dafs r]₀ — ö—u wird. Diese Verschiebung mufs proportional dem übertragenen Drucke Hx sein: es sind ähnliche Verhältnisse wie bei Übertragung eines Druckes oder Zuges durch ein Federdynamometer auf einen widerstehenden Körper. Bezeichnet nun e einen gewissen Elasticitätskoefficienten des Lagermaterials, so wird also anzusetzen sein für die gegen wirkende elastische Reaktion H₃ des Lagermaterials:

(25)

S₁ + Hs = 0; H₃ = — £ (% — <?) = — su.

Hiernach wäre mit Rücksicht auf (23) u sehr nahe proportional 0, nämlich angenähert

(25*)

« = ^e.

(Ein von cPu / dt² abhängiges Glied ist in H₃ als unerheblich weggelassen; in Bezug auf den Übergang zu (25*) ist die analoge Entwicklung für 6 in dem nächsten Paragraphen zu vergleichen).

In dieser Auffassung ist die Verschiebung u der Schneide auf dem Lager keinerlei Art von Gleitbewegung, sondern eine Verschiebung kleinster Teile, ohne Aufhebung des Zusammenhanges von Schneide und Lager.

Selbstversändlich sind damit eigentliche Gleitbewegungen durch besondere Umstände, namentlich Erschütterungen des Bodens, nicht ausgeschlossen.

Aber auch abgesehen davon, entspricht doch die oben definierte Verschiebung u den Beobachtungen Bessels, die weiterhin besprochen werden sollen, in einem Punkte nicht. Darnach würde u weniger vom Horizontaldruck als vom Vertikaldruck der Schneide aufs Lager abhängen müssen, so dafs an Stelle von (25*) eine Beziehung der Form

u — f'Mg 0

(25 f)

tritt, worin f ein von h /1 freier Koefficient ist. Infolge der hierbei vorauszusetzenden Wirksamkeit des Vertikaldrucks an den schiefen Randflächen des von der Schneide im Lager verursachten Eindrucks (vergl. weiterhin § 9 und 11) müssen zu und gleich grolse, entgegengesetzt gerichtete Zusätze treten, die nicht näher bekannt sind.

Es wird gut sein, beide Fälle von u als möglich bei der Aufstellung der Endformel zu

berücksichtigen.

§ 7. Mitschwingen des Stativs und Untergrundes. Bewegt sich die Schneide nur durch Abrollen auf dem Lager, welches aber die elastische Verschiebung 6 in der Richtung der y-Axe erleidet, und wird das Drehungsmoment D der störenden Kräfte an der Schneide sowie 03 vernachlässigt, so geben die Gleichungen (21) und (24):

lJW + 2l*TR +I? + 4¹+i)e-⁰’

(26)

(27)

In der letzten Gleichung sind das erste und letzte Glied die Hauptglieder; nimmt man entsprechend der ungestörten Bewegung d²0/dt² =—gQ/l, so folgt angenähert

Mghe

Sl

(28)

und es wird aus (26) angenähert richtig:

¹ (X + Tf) + 21k TU + g (* + t) 0 = °'

Mit der Bedingung, dafs für £ = 0 auch dQ / dt = 0 ist, ergiebt sich durch Integration

F+i)

(*+*£)

0 = a₀e ** cos (vt--mit Ä —

Mgh

— A².

(29)

(30)

Dies zeigt, dafs die Konsole infolge des vom Pendel ausgeübten Horizontaldrucks H1} Gleichung (23), nach derselben Seite ausweicht, wie das untere Pendelgewicht, und dafs mit unwesentlichen Vernachlässigungen die durch das Mitschwingen der Unterlage allein gestörte mathematische Länge ist

(31)

Da Mg : s die Verschiebung der Konsole unter dem horizontalen Drucke Mg ist, so kann man auch sagen, dafs V — l gleich ist der Verschiebung der Konsole unter einem Drucke gleich dem Pendelgewicht, mal Ji /1.

Der Ausdruck (30) für v³ 4 zeigt noch, dafs die Störung durch Abrollen der Schneide sich im wesentlichen zur Störung durch Mitschwingen addiert; die Dämpfung durch ?c hat überhaupt auf V keinen nennenswerten Einflufs⁵).

An diesen Resultaten ändert sich nichts von Bedeutung, wenn man die Annäherung für 6 und 0 einen Schritt weitertreibt. Schreibt man (27) mit Rücksicht auf (26) unter Annahme von k — % (was hier genügt) in der Form

(i_A _i_ v    -4- 2 x M°dG    i    £ g —    gfo + g)    e

V¹ l ' y    Ml dt⁸ ' z a M dt    '    M⁶    l    U >

so wird mit Beachtung des Umstandes, dafs zur Zeit t = 0 auch dö / dt = 0 sein wird, unter Vernachlässigung von Gliedern mit e~⁴:

tl

mit

*aMa

(i-A) + yM„

0 4- aae~xat cos (vat---)

\    v

(32)

und    va⁴ —

— V.

Jf(l-A)+yJfff

X    .

Zur Zeit t = 0 ist nach Gl. (30) die Elongation 0 — cc₀ cos —, d. i. sehr nahe a₀. Hiermit

bestimmt sich die in (32) auftretende Konstante aa, wobei aber zu beachten ist, dafs vor Beginn der Pendelbewegung, solange das Pendel in der Elongation a₀ erhalten wurde, statische Verhältnisse obwalten. Für den Ruhezustand möge das Pendel durch einen Anschlag im Abstande la von der Schneide festgehalten werden. Ist der Gegendruck G des Anschlags normal zur Längsrichtung des Pendels und der Horizontaldruck des Pendels auf die Konsole gleich H, so ist angenähert G-\-H= 0 und Gla = Mghcc₀. Dem Drucke H — — Mghcc₀/la entspricht ein 6= — Mghu₀/£la, welches in (32) für <? im Falle t — 0 einzusetzen ist, womit sich (unter Vernachlässigung von g) die Konstante aa wie folgt bestimmt

aa = —

«o-

(33)

Peirce setzt, was mir unrichtig erscheint (Verhandlungen in Stuttgart 1877, S. 176), für t — 0 einfach dynamisch 6 = -f- MgJia₀ / sl. Infolge dessen ist bei ihm a₀ positiv und viel kleiner, nämlich gleich -\-M⁴g⁴ha₀ / e⁴l⁴. Allerdings wird das Glied mit aa wegen der als bedeutend anzunehmenden Dämpfung auch bei (32) bald seinen Einflufs verlieren.

Würde man den Ausdruck 6 aus (32) in (26) einführen, so ergäbe sich für 0 im wesentlichen der Ausdruck (30) mit einem Zusatz gleich dem zweiten Teile von <3 in (32) mal (— 1 / T). Die Amplitude des zweiten Teiles von 0 würde daher nach (33) gleich der des ersten Teiles mal dem sehr kleinen Bruch Mgh / sl⁴, d. i. nach (31) (l' — V) /1; ferner würde seine Periodendauer im Vergleich zu der des ersten Teiles von der Ordnung ]/(}' — l)/h also auch noch sehr klein⁴).

Selbst abgesehen von der raschen Dämpfung des zweiten Teiles von 6 in (32), der vom Anfangszustand abhängt, wird derselbe also 0 nicht wesentlich beeinflussen, für welches daher der Ausdruck (30) genügt. Die Störung der Schwingungsdauer kann man, selbst bei grofsen Genauig-keitsansprüchen, nach (31) bemessen, wenn die Schwingungsdauer nicht auf die einzelne Schwingung, sondern auf das Mittel einer gröfsern Anzahl, etwa 1000, bezogen wird.

Wenn nach diesen Entwicklungen ein geringes Mitschwingen der Unterlage unbedenklich erscheint, zumal es, wie noch gezeigt werden wird, nach der Methode von Defforges eliminiert werden kann, so scheint es doch, dafs mitunter Steinpfeiler unelastische Mitschwingungen ausführen, die zu Bedenken Anlafs geben. Solche besondere Verhältnisse wurden bei einem, aus grofsen Blöcken aufgebauten Pfeiler im Geodätischen Institut bemerkt.

Zunächst stellte Herr Dr. Schümann durch Wippen u. a. fest, dafs die Elasticität in zwei entgegengesetzten Richtungen ungleiche Beträge hatte, die durch excentrische Belastung des Pfeilers erheblich vermindert werden konnten. Bei diesem Pfeiler scheint die Auflagerung der Grundfläche für eine Hälfte sicherer als für die andere zu sein. Er scheint deshalb den Pendelbewegungen mit kleinen Kippbewegungen zu folgen, die aber wohl nur bei gewissen Beträgen der elastischen Verschiebungen der Konsole auftreten. In ganz roher Annäherung könnten solche Kippbewegungen durch ein Glied in <? mit derselben Periode wie bei 0 dargestellt werden; also mit Rücksicht auf den Ausdruck für den Horizontaldruck (23) wieder durch einen Ausdruck der Form (28). Von einer Dämpfung ist bei den Kippbewegungen keine Rede, und da sie nicht dem Elasticitätsgesetz folgen, so unterliegt ihre sachgemäfse Berücksichtigung Schwierigkeiten. In der That ergaben sich auf dem erwähnten Pfeiler bei gewissen Messungen grobe Mifsstimmigkeiten.

Hält man an der Formel (31) fest und wendet sie aufs Reversionspendel an, so ergiebt sich die gestörte mathematische Länge L' des Sekundenpeüdels gleich

(34)

Man findet dies leicht durch Beachtung der aus

r² T₁*\

folgenden Difierentialformel:

8 L 8 A hx 8 \    Ä ä 81₂

A(Ä, — hi) ⁷

(35)

in welcher jetzt dA = 0 und öl — V — l zu setzen ist.

Um den Einflufs des Stativmitschwingens zu eliminieren, wurde vielfach die Anwendung eines zweiten Pendels mit gleichem Werte A, aber halber Masse, angewandt. Besser ist auch hier

No. 14—17, C. a. Gr. S., R. for 1881, p. 81). An beiden Orten sind die Gleichungen strenger integriert; aber es zeigt sich, dafs v. die Schwingungsdauer, abgesehen von höheren Gliedern, nicht beeinflufst. Über die Wirkung des Anfangszustands spricht sich Peirce S. 83 aus.

Hier zeigt auch Peirce in der Note: On the effect of tke vertical elasticity of a pendulum support, dafs dieser keinen nennenswerten Betrag in der Schwingungsdauer hat.

1) Peirce, Verhandlungen in Stuttgart 1877, S. 177.

das Verfahren von Defforges, zwei Pendel mit gleicher Masse, aber verschiedener Länge anzuwenden, weil sich dabei zugleich mehrere andere Fehler wegheben; vergl. hierüber weiterhin. Ob dieses Verfahren auch geeignet ist, bei Kippbewegungen eliminierend zu wirken, habe ich noch nicht untersucht. Notwendig dürfte dann wohl sein, dafs für beide Pendel \ / h₂ und die a gleich sind, damit die Horizontaldrucke der Schneide auf die Unterlage gleich grofs werden.

§ 8. Das Wippen mit der Federwage. Von den verschiedenen Methoden, die wegen Mitschwingens des Stativs erforderliche Korrektion der beobachteten Schwingungszeiten sowie der Länge L des mathematischen Sekundenpendels zu bestimmen, will ich hier nur das Wippverfahren mit der Federwage behandeln, weil es trotz seiner Ungenauigkeit eine Anwendbarkeit insofern gestattet, als ja die Methode von Defforges einen etwa unberücksichtigt gebliebenen Rest des Mitschwingens eliminiert⁶). Günstig war bei den Beobachtungen, welche im II. Teil beschrieben sind, der Umstand, dafs der Pfeiler direkt in der Höhe der Konsole gewippt werden konnte; unter Benutzung eines besonderen Hülfspendels konnte sogar unmittelbar die Konsole selbst gewippt werden.

Durch das Wippen erhält in Gl. (26) 6 einen vorgeschriebenen Wert. Ich nehme an:

(36)

<3 = Y <?! (1 — cos vxt) Hh y (1 — cos 2vxt).

Das erste Glied entspricht einem gleichmäfsigen Rhythmus beim Hin- und Hergange; das zweite Glied soll eine Ungleichmäfsigkeit zum Ausdruck bringen, wobei -{- für den Hingang, — für den Hergang gilt. Die Gröfse vx soll eigentlich dem v für die Pendelbewegung nach (26) mit <3 — 0, also nach Gl. (30) für s — oo entsprechen. Einer Abweichung des vx von diesem Werte v entspricht ein Verfehlen der richtigen Periode des Wippens. Mit

<1*0

dt⁷

~ cos vxt + 2<5%vx cos 2vxt

ergiebt (26) unter Vernachläfsigung von q und x, wenn zunächst vx=v⁶ — gll gesetzt wird:

0 == — ~ vt sin vt — |y [(4n — 1) cos vt -f- cos 2vt]

(37)

— Hingang; 2n = 1 3 5 . .

-f- Hergang; 2n = 2 4 6

Dafs der Einflufs von kleinen Werten q verschwindend ist, leuchtet sofort ein; schwieriger ist es den Einflufs von jc zu erkennen. Zu dem Zwecke habe ich eine Integration von (26) mit Beibehaltung von jc ausgeführt (wobei auch gleich eine Verschiedenheit von vx und v angenommen wurde). Dabei zeigte sich, dafs wenigstens für die beim Wippen allein in Betracht kommenden geringen Anzahlen n (etwa < 20) und für die hier zur Rechnung genügende Genauigkeit von 1% k zu vernachlässigen ist. Die Gl. (37) ergiebt 0 und dQ /dt gleich null für t — 0; für vt = n, 2it u. s. f. zeigen die Werte stetigen Übergang aus dem Hin- in den Hergang und umgekehrt.

Um zur Kenntnis der Elasticität der Unterlage zu gelangen, beobachtet man die positiven und negativen Maxima von 0; dieselben werden bei mäfsigen Werten von <?₂/^x immer nahezu bei

vt = y, 3 y u. s. f. eintreten. Zur Gewinnung eines Überblicks habe ich für 6.₂ = 0,15e^, und vt — 187t bis 207t die folgenden Werte von 0 nach (37) berechnet:

10

vt

1. Glied

2. Glied / l mal

—    3,6 -2,6 -0,1 + 2,6

+ 3,8

+ 2,8 + 0,1

—    2,8

-4,0

—    3,6 + 7,5 + 14,4 + 13,0

+ 3,8

Dies zeigt, dafs man bei Werten von <?₂ / <3₁ im Betrage von etwa 0,1 oder weniger die Maxima a von 0, absolut genommen, nahe gleich

18jt

191

18^ jr 18£ar

19jt

19

19+jr

19|jc

19

19

19

20

20

20

20'

Hingang

Hergang

+ 10,1 + 14,5 + 10,4

—10,7 —15,3 — 11,0

4 n — 1 7t 6y 4 TT

Max. + 14,8

Max. —15,7.

(38)

annehmen darf. Nun ist Masse X Beschleunigung = yergl. S. 69—71. Wird mit W Kilogramm gewippt, d. h. wird z. B. beim ersten Stofs für vt = 0 bis jc der Druck bis auf W Kilogramm gesteigert¹), so gehört zum Druck Wg ein Wert von 6 nach (36) gleich <5X. Also ist

Wg = sö₁

und mittelst (38):

(39)

Mgh Mh 4 a 2 TW — Wl 4n — l ~7t

Diese Formel kommt in Betracht, wenn mit dem Pendel selbst gewippt wird, für welches die Schwingungsdauer bestimmt werden soll. Sie giebt nach (31) direkt den Einflufs der Elasticität der Unterlage in der Form (l' — l) /1.

Die Korrektion für die Länge des Sekundenpendels ist, vergl. (34):

M 4a 2 j W 4n — 1 T 1j'

Ist das Wipp-Pendel ein anderes als dasjenige Pendel, für welches der Einflufs der Elasticität der Unterlage bestimmt werden soll, und bezeichnet lw die mathematische Länge des Wipp-Pendels, so‘wird anstatt (40) und (41) erhalten:

(40)

(41)

und

Mgh Mhlw 4 a 2 TW ⁼ Wl* 4n — 1 T

(40*)

4a

W 4n —

2 Iw

1 _ A

L.

(41*)

Für die im II. Teil beschriebenen Pendelbeobachtungen wurde am 6. Mai 1895 mit dem kurzen und langen Pendel gewippt, sowie am 18. Mai 1897 mit einem Viertelmeterhülfspendel (T = 0,s5090)

1897 gelangen mir selbst keine verläfslichen Beobachtungen, da ich den Sekundentakt nicht traf. Beim Meterpendel war es überhaupt schwierig, den Zweisekundentakt zu treffen.

Die Korrektionen beziehen sich auf L aus dem Viertelmeterpendel, wofür ich rund -f- 10^ angenommen habe: fürs Meterpendel ist somit -j- 2“,5 anzusetzen.

Um den Einflufs des Rhythmus noch in anderer Weise zu erkennen, wurden zwei extreme, einschliefsende Fälle behandelt:

Nimmt man momentane Stöfse, welche die Konsole um 6₁ im Takte 2T bewegen, also mit Hin- und Hergang im Intervall T, so wird der Ausschlag a am Schlüsse des nten Stofses gleich 2nö₁/l.

Nimmt man dagegen an, dafs <? beim Hingang in der Zeit T bis zum Betrage e₁ gleieh-mälsig anwächst und beim Hergang ebenso abnimmt, so wird

0 = (4n — 1)<?X sin vt: 7tl

und der maximale Ausschlag a absolut genommen gleich (4n— V)6₁ :nl.

(40) bis (41*) die Faktoren - bezw. = 1,23.

4 n    ⁷

Im Vergleich mit a nach (38) sind jetzt die u gröfser im Verhältnis kleiner im Verhältnis 8 / tt²; ensprechend treten zu

CC «

I M>

4 n — ln

T = °'⁷⁹

von solcher Konstruktion, dafs das Dynamometer direkt an der Konsole angesetzt werden konnte. Es wurden immer 10 Stöfse ausgeführt, so dafs 2n = 20 ist. Die Ergebnisse sind:

u"lw/WA (Für A = y₄)

6. Mai 1895 Beob. Am Pfeiler

cc"

Viertel-

meterpdl.

H.

48

6,9

CO CO

27

18

CO CO

Mittel 7,1 Korr, in L + 8^,0

Meterpdl.

CO

CM CO

10,0

3,0

S.

4.0

Mittel 5,7

+ 6**,5.

Das schwere Gewicht war beim 1. und 2. Versuch oben, sonst unten. 18. Mai 1897 Hülfspdl.

Am Pfeiler

ui ui

OO 03

co

CO CO

•>

Mittel 6,3

An der

Konsole

m m ui

CO (M ^

50(?)    7,9

63

8,7

86

9,1

Mittel 8,6

+    7.

4 n —

Diese Extreme werden niemals erreicht werden.

Nach den vorhergehenden Betrachtungen ist der Einflufs des Rhythmus beim Wippen nicht sehr grofs. Gröfser ist in der Regel der Einflufs eines fehlerhaften Paktes, d. h. einer Abweichung des vx von v. Diese erkennt man aber daran, dafs a nicht mehr annähernd proportional n, vergl. (38), wächst.

10*

Integriert man (26) unter Annahme von ^    ~ &₁ v² cos vx t, also mit Vernachlässigung von

6%, q und %, so folgt:

21 v* — vx²

(cos vt — cos vx\(); v² —

JL.

(42)

Hieraus ergiebt sich auch

n    • v + vx

⁰ = - ii sm 2

woraus man leicht das erste Glied von (37) rechter Hand für v — vx ableitet. Für kleine Werte von y (v — vx)t weichen, abgesehen von 6%, beide Formeln nicht erheblich von einander ab und die

Maxima a folgen angenähert (38), nehmen also zu wie die Zahlen der Reihe 1, 3, 5 u. s. f. Im allgemeinen ist jedoch angenähert das Maximum

t sin

v~vx

(42*)

Ci =

4 W 171(7, / . v Vx

— jf (sm —

t: arc

v~vx

.(43)

Dementsprechend tritt in (40) his (41*) noch zu den Ausdrücken mit u der Faktor hinzu

(4 n — 1)te

mit cp = y (y — vx) t = (l — y) ■

arc cp sin qp

Bei dem Hülfspendel war T — 0³,509, also mit einer Halbsekundenuhr 1 — vx / v = — 1/56 imd das Koincidenzenintervall gleich 28s. Mit n = 56 Stöfsen, also nach 56s, würde das Hülfspendel zur Ruhe zurückkehren, mit n = 28 einen gröfsten Wert von a annehmen. Für n— 10 ist arc cp J sin cp, bei cp nahezu gleich 30°, als genügend gleich 1 anzusehen.

§ 9. Das Gleiten der Schneide auf dem Lager. In Bezug auf die theoretische Behandlung der Verschiebung u der Schneide auf dem Lager gehen die Theorien noch sehr auseinander. Von gröfster Bedeutung für jede Theorie müssen aber selbstverständlich die Ergebnisse der Beobachtungen, besonders derjenigen von Bessel sein, welche durch weitere Beobachtungen von Thiesen und Wilsing eine wertvolle Ergänzung gefunden haben. Aus den ersten folgen nachstehende Hauptsätze, denen ich die Bemerkung vorausschicke, dafs Bessel mit einem Reversionspendel experimentierte, dessen Schwerpunktsabstände 305 und 136 par. Linien in runder Zahl betrugen (Art. 26). Die Schneiden waren von Stahl mit nahezu rechtwinkligem Schnitt.

Nach Bessel (Art. 30) sind die kleinen Bewegungen der Schneide proportional den Schwingungswinkeln und gleichgerichtet der Bewegung des unteren Pendelkörpers. Die Ausdehnung der Bewegung ist für beide Lagen des schweren Gewichts gleich, also unabhängig von der Gröfse des Schwerpunktsabstandes. Das Maximum der Geschwindigkeit findet beim Durchgang des Pendels durch die Vertikale statt. Verschiedene Unterlagen gaben verschiedene Beträge für die Bewegung: Messing mehr als Achat, Glas und Stahl; Messingdraht noch mehr als Messing. Die Amplituden nehmen bei Messing und den harten Unterlagen in ungefähr gleichem Grade ab, bei Messingdraht aber rascher. Die Schwingungszeit nimmt ab mit der Verminderung der Härte der Unterlage; sie ist bei Messingdraht am kleinsten und beträgt hier um so weniger, je kleiner die Amplituden sind.

Bessel nimmt hiernach an, dafs eine dem Abrollen entgegen wirkende Kraft vorhanden ist, die die Bewegung der Schneide verursacht, und die hauptsächlich durch den Eindruck der Schneide in die Unterlage entsteht, wohingegen die Deformation der Schneide allein nicht zur Erklärung ausreiche, da sonst verschiedene Unterlagen gleiche Bewegungen geben müfsten.

Es verschwinden daher im Ausdrucke (44) die Koefficienten a₀, a₂ u. s. f., und axöh wird gleich (h-\-öh)/l, womit V aus (45) übergeht in:

dh*

lf = 1+ öh

Ji ’

Bei Aufstellung der Theorie macht er zwei Annahmen. Erstens, dafs sich das Pendel (unter Voraussetzung einer mathematischen Schneide) nicht um die Schärfe der Schneide in 0 drehe, sondern sich so bewege, dafs die Vertikale durch 0 von der Schwerpunktslinie GO” (oder G 0', da 0' und 0" zusammenfallen) stets ein und dieselbe Strecke öh abschneide (die bei Bessel h genannt ist). Zweitens, dafs eine das Gleiten bewirkende horizontale Widerstandskraft Q bestehe, die von der Form sei:

(44)

Q = Mg {a₀ -j- axöh sin 0 -f- a₂öh⁸ 9 10 sin⁹ 0 -f- • • •}.

(Der Faktor Mg bezw. g fehlt bei Bessel, ist aber in Wirklichkeit als vorhanden angenommen.) Er findet dann mittelst des Prinzips der lebendigen Kraft die gestörte mathematische Länge

T — l -f- 2öh — ax ^—f- Glieder mit az sin⁹ a, ah sin¹¹ a u. s. f.

Bei dieser Entwicklung scheint mir noch unbeachtet, dafs öh und Q Zusammenhängen. Da nun in Bessels Entwicklung Q sich keineswegs nur aufs Gleiten bezieht, sondern überhaupt eine neue Horizontalkraft bedeutet, die positiv ist für die Richtung abnehmender y, so mufs Hx — Q sein, wo Hx aus (23)

tiplizierten Glieder ergiebt sich somit unter Substitution von rj₀ = u:

(45)

zu

entnehmen ist. Mit Vernachlässigung der kleinen, in dQ / dt und (<70/ dtf mul-

M (h

„ dsO COS 0

dt⁹

+ !?)-«•

Nimmt man ferner mit Bessel u — Öh sin 0 und setzt d⁹Q / dtf = — g sin 0 /l, so folgt in ausreichender Annäherung

Q = — M(h + öh)

d⁹0

dt⁹

= + Mg

h + Sh Q

d. i. wesentlich l -)- öh.

Dieser letzte Ausdruck folgt auch unmittelbar aus Gl. (21) für D — 0 und rj₀ = u = öh sin 0, sowie mit Vernachlässigung kleiner, hier unerheblicher Glieder.

Da nun also axöh wesentlich gleich h/l ist, so liefert Bessels Theorie, wie mir scheint, doch das schon durch (25*) ausgedrückte Ergebnis, dafs nämlich u und öh proportional dem Schwerpunktsabstand h sind, was aber, wie bemerkt, Bessels Beobachtungen widerspricht. Leider führt Bessel keine spezielleren Zahlen an, und bei der Unsicherheit dieser Art Messungen wäre es immerhin möglich, dafs die Beobachtungen der Proportionalität von u mit h nicht widersprächen. Hält man jedoch daran fest, dafs u und öh nicht proportional h sein sollen, so mufs man u auf den Vertikaldruck der Schneide, der wesentlich gleich Mg ist, zurückführen, (vergl. § 6, S. 70). Man kann sich dann etwa denken, dafs die Schneide, welche beim Abrollen den einen Rand des im Lager gebildeten Eindrucks niederdrücken mufs, dabei momentan abrutscht. Abgesehen hiervon ist bei kleinen 0, also für gewöhnlich, an Rutschungen oder Gleiten nicht zu denken, da die von dem Vertikaldruck erzeugte Reibung den Horizontaldruck Mgh sin O/l weit überwiegt. Wenn sich aber in der erörterten Weise momentan eine hinreichend grofse horizontale Komponente von Mg bildet, so kann die Reibung überwunden werden. (Um eine elastische Wirkung dieser Komponenten kann es sich nicht handeln, da eine solche von 0 unabhängig ist.) Die immer nur in äufserst kleinen Zeiträumen stattfindenden Abrutschungen du werden für gleiche Drehungen dQ als gleich anzunehmen sein und durch Anhäufung ein u proportional MgQ bilden, vergl. (25 f). Es folgt nämlich aus du — fMg .dQ durch Integration bei passender, plausibler Wahl der Konstanten u = fMgQ. Der kleine Einflufs von Mgh sin 0, der mit 0 das Zeichen wechselt, fällt in dem ganzen Betrage von u für 0 = bis -f- a heraus. Ich bemerke übrigens, dafs die Erfahrungen bei Erschütterungen sich ungezwungener mit der ersten als mit der zweiten Hypothese über die Entstehung der hier betrachteten kleinen Bewegungen verbinden lassen (siehe weiterhin).

Nimmt man nun nach (21) mit D — 0 und rj₀ = u = d h • 0 einfach T = l -f- 8h, so widerspricht dies noch denjenigen BESSELSchen Beobachtungsergebnissen, nach denen zunehmendes öh und abnehmendes V Zusammentreffen. Er fand nämlich für dasselbe Pendel (Art. 29):

(J ^Achat (J ^Messing -

-f- 0,0309 par. Linien, schw. Gew. u.

O.

+ 0,0566 „    „ ,    „

dagegen war aus den Bewegungen u abgeleitet (hei beiden Gewichtslagen):

dhAchat — d/^Messing = 0,0012 — 0,0095 = — 0,0083 par. Linien.

So unsicher diese Zahlen sein mögen: der Gegensatz der Vorzeichen ist gewifs. Da nun mit Bessels berichtigter Formel für V eine plausible Deutung der Beobachtungsergehnisse nicht zu erzielen ist, mufs man versuchen, eine hiezu geeignete Formel auf anderem Wege zu gewinnen.

Dies kann aber durch Einführung eines passenden Ausdruckes für das Drehungsmoment D der störenden Kräfte in Gl. (21) geschehen. Ich setze darin

(46)

D = Mg {D₀ -(- Dx sin 0 -f- D₂ sin² 0 -f- D₃ sin³ 0 -f- • • •}

und nehme ferner rj₀ — u = dJi. 0. Dann folgt

(l + Sh) + 2«* jj + 9 (l + f + %) sin © + f (7)₀ + D.hw? 0 + Ds sin³ 0 + ■ •) = 0, (47)

wobei noch p mit dem Index null versehen ist. Denn macht man die Voraussetzung (18), 8. 65, über die Abstumpfung, so tritt das Glied p₀/h wie in (47) auf. Aufserdem kann man sich die aus der

— p₂ 0³ in Z)₂ sin² 0, ü₃ sin³ 0 mit ein-

Abweichung von der Kreisform ergebenden Glieder ~ qx 0², geschlossen denken.

Die Glieder mit y, und D₀, D₂, H₄ u. s. f. beeinflussen die Schwingungszeiten aber aus bekannten Gründen hei den gewöhnlichen Fällen grofser Beträge von li nur wenig, da sie erst in zweiter Ordnung eingehen. Reduciert man (47) entsprechend und nimmt für I)., sin³ 0 einfach D₃Q³ so folgt

(47*)

0 + **)    + 9 (l + | + f) sin 0 + f ! A,0S + (A) + • ■) = 0.

Nach Multiplikation mit dQ / dt ergieht die Integration 4 G + SK)    g (l + A + a) (C08 0 - cos «) + A {!),(«. - 0‘) + (D,) + ...}.    (48)

Abgesehen von D₃, D₆ u. s. f. folgt hiernach die gestörte mathematische Länge gleich

Sh

__ Po._Al

h hl‘

(49)

Sh

i _j_ A ' h ' h'

Die Form rechter Hand gilt, so lange h grofs ist. Der Einflufs der Glieder mit D₃, D₆ u. s. f. ermittelt sich wie in § 5, S. 64 u. 65 der Einflufs von x₀. Mit Benutzung des Ausdrucks l₀r nach (49) wird die gestörte Schwingungszeit gleich

+«

T ' =

-i- a -

(cc⁴ — 0⁴) d 0 87r (h fl- p₀ -j- Dx) ]/2 / ]/cos 0 — cos

ä³

+ (A) + • • >

oder

T ' =

-¹- CC

3DS cn²

^ (h + Co + A)

+ (A) + -}-

(50)

Zu dem gewöhnlichen Einflufs von a² tritt somit noch ein neuer, der auch nach geraden Potenzen von a fortschreitet.

Wendet man auf (49) die Beobachtungsergebnisse Bessels an und setzt li — 305 und 136 mit l = 441 für schweres Gewicht unten bezw. oben, so folgt (für par. Linien) einerseits:

305 {((>0 A) Messing - ((>o 4" A) Achat } — ~h 0,0309 -f- 0,0083

und andererseits:

441

136

{ (Po + A) Messing - (q₀ + A)

Achat

} = _|_ 0,0566 4- 0,0083.

Unter der zulässigen Annahme der Gleichheit der p₀ für Messing- und Achatlager wird A Messing — A Achat = + 0,027 bezw. 0,020 par. Lin.

Der Unterschied der Ergebnisse für beide Gewichtslagen kann sehr wohl auf Beobachtungsfehlern beruhen; er kann aber auch ganz oder zum Teil reell sein, da die horizontale Druckkraft Hx der Schneide selbst den Faktor h/l enthält. Bei der Unkenntnis über die Entstehung der Wechselwirkung von Schneide und Lager mufs man daher mit der Möglichkeit rechnen, dafs die Koefficienten des störenden Drehungsmoments D in (46) sich aus je einem Teil mit h und ohne Ji zusammensetzen. Unter der Voraussetzung einer linearen Kombination beider Teile, würde in (49) Dx/li auch ein von h freies Glied mit Dx/l geben, das durch die Reversion des Pendels nicht ebenso wie p₀ eliminiert wird, sondern wie dli /1 erhalten bleibt.

Setzt man insbesondere

¹

Zuerst von C. S. Peirce entwickelt in der Abhandlung: De Vinfluence de la flexibilite du trepied sw

²

Toscillation du pendule ä reversion in den „Verhandlungen d. 5. Allgem. Konf. d. Europäischen Gradmessung zu Stuttgart 1877“; S. 172—177. Auch in „Coast and Geodetic Survey, Report for 1881“, App. No. 14—17, p. 71—73; (vergl. auch die Anm. 1, S. 68). Das Stativmitschwingen wies Peirce bereits 1875 durch Versuche in Genf nach, 1876 in Paris und Berlin, (a. a. 0. S. 4).

³

   ylT.Mod. ist das in der Physik gebräuchliche logarithmische Dekrement. Yergl. dazu S. 41 u., wo die Werte von X für die Pendel des neuen Pendelapparats des Gr. J. angegeben sind.

⁴

   Yergl. auch Schiötz, Resultate, 1893, S. 21—24, sowie die Abhandlung von C. S. Peirce, On the influence

⁵

of internal friction upon the correction of the length of the seconds pendulum for the flexibility of the support. (App.

⁶

R. Schumann. Eine Methode, hei Schweremessungen mit einem schwingenden Pendel den Einflufs des Mitschwingens der Unterlage zu bestimmen. A. N. 8353, Bd. 140, Sp. 257 (1896).

⁷

Helmert, Beiträge zur Theorie des Keversionspendels.

⁸

Das Glied dW/h fällt überhaupt fort, wenn man bei Bessel, X. Beilage, in der weiteren Entwicklung

⁹

von (1) nicht h⁹ bei der Ausrechnung von (s -f- h)⁹ vernachlässigt.

¹⁰

Dafs man auf V — l -j- öh kommt, und dafs Sh proportional h ist, zeigte schon 1887 Lorenzoni in seiner

¹¹

Schrift: Sulla equazione differenziale del moto di un pendolo fisico (Atti del R. Instituto veneto di scienze, lettere ed arti, t. V), p. 29.

A - A'

— y W),

worin Dx frei von h ist und der negative Teil den Anteil der horizontalen Reaktion — Mgh sin ö /1 am störenden Drehungsmoment JD unter der Voraussetzung vorstellt, dafs diese Reaktion in der Höhe 8W') über dem ideellen Berührungspunkt O' hinwegführt, so zerfällt in (49) Dx / h in

(ZV /h) — {ßm/T).

Denkt man sich zugleich 8Ji in zwei Teile zerlegt, die den beiden Relationen (25*) und (25 f) entsprechen, setzt also

Hierzu gehört die gestörte Länge des mathematischen Sekundenpendels

M¹

so

folgt aus (49):

l₀' = l

= y W) + dÄ«, äm⁽¹⁾ , dh⁽²⁾ + dft⁽³⁾ p₀ + jy

(X +

IT

(49*)

Shü] + dh{2) + §h{V \

Diese Formel läfst erkennen, dafs die Anwendung zweier Pendel gleicher Masse, aber verschiedener Länge, nach Defforges’ Prinzip die dh verschiedener Provenienz gleichmäfsig eliminiert¹).

§ 10. Einflufs des Schwingungsfoogens auf die Schwingungsdauer. Den mit dem Ausschlag a veränderlichen Einflufs der Elasticität des Lagers (und der Schneidenform), vergl. Gl. (50), fand Besser bei Messingdraht als Unterlage stark ausgeprägt und zwar in dem Sinne einer gleichzeitigen Abnahme von a und Ta', siehe Art. 29. Neuerdings hat auch Sokoloff diese Abnahme gefunden²). Er benutzte Halbmeterpendel mit Schneiden und Lager von Achat.

Auch Thiesen (1886) und Wilsing (1887) hatten diese Erscheinung bei Pendeln wahrgenommen, für welche der Schwerpunktsabstand h von der Schneide nur Bruchteile eines Millimeters betrug — Thiesen bei einer Wage mit T von 14s bis 21s und u von etwa 120' bis 20', Wilsing bei einem doppelarmigen, nahezu symmetrischen Pendel für Attraktionsbestimmungen mit T von lm bis 3m und cc von etwa 80' bis 7'³). Wie Gl. (50) zeigt, müssen die Glieder mit D₃, D₆ u. s. f. wegen des kleinen Nenners h -f- q₀ -f- Dx einen enormen Einflufs erlangen, was auch der Fall war.

Thiesen verglich die Unterschiede von Td bei verschiedenen a mit einem in a² multiplizierten Ausdruck, entsprechend dem Gliede mit D₃ in (50). Er fand die Darstellung noch nicht befriedigend und erklärt, dafs drei Glieder mit verschiedenen Potenzen von a zur Darstellung nötig seien.

Wilsing fand dementsprechend einen Ausdruck mit a² und a⁴ noch nicht ausreichend. Besonders bemerkenswert erscheint, dafs nach seinen Beobachtungen der Einflufs der in Bede stehenden Glieder der Theorie entsprechend umgekehrt proportional dem Trägheitsmoment des Pendels ist. Bei der Kleinheit von h werden die Koefficienteil _Z)₃, T)h u. s. f. in (50) frei von dem Einflufs des h sein und für dieselbe Schneide nur noch von der Masse M abhängen. Der Unterschied von Ta' und T₀' nach Gl. (50) kann daher, abgesehen von dem gewöhnlichen Reduktionsgliede «²/16, gesetzt werden gleich

/•(-V,«³)r;:(/₍ + Po + z)l),

worin f ein Funktionszeichen bedeutet. Nun folgt aber aus (49) mit Yernachlässigung von dh/l, dafs h -j- p₀ -j- Dx = Mhl / Ml₀'. Hierin kann man das Trägheitsmoment MM wegen der Kleinheit von h durch J₀ ersetzen, vergl. S. 57; ferner ist l₀' — gT₀'² / n², mithin wird der Ausdruck für den Einflufs von a² gleich

Mg f(M, M)

7T²

Jo

T'\

(51)

Nach A. N. Nr. 2867 ergab sich bei gleichem M für das Verhältnis der Faktoren von T₀'3 in drei Fällen annähernd 1 : 1,35 : 1,99, während für 1 / J₀ die Relation 1 : 1,36 : 1,78 bestand. Genauer noch fand sich die Proportionalität mit T₀'³ bestätigt.

Wilsing erhielt bei derselben Schneide die Einflüsse bei einem Lager von weichem Stahl etwa dreimal so grofs wie bei Achat und hartem Stahl, also wachsend — wie schon Bessel beobachtete — mit zunehmender Weichheit der Unterlage.

Werden die Ergebnisse Wilsings für T — ls extrapoliert, so folgt (1. Abh., S. 77) der in Rede stehende Einflufs bei

a = 15'    30'    45'    60'

gleich -f- 8    —f- 14 —J— 18    -(-21

(Achatschneide und Achatlager)

Einheiten der 7. Decimalstelle.

Übrigens bedürfen diese Werte noch des Faktors (l — h)/l. Da nämlich in (51) J₀ an Stelle von MM steht, was nur bei kleinen Werten von h zulässig ist, so mufs im allgemeinen noch mit J₀ / MM — (l — k) /l multipliziert werden.

Weit gröfsere Beträge als Wilsing erhielt Sokoloff direkt bei den Halbmeterpendeln. Der Unterschied des Einflusses ist hier u. a. für 60' und 30' Amplitude a gleich 53 und 99 Einh. d. 7. Decimalstelle für schweres Gewicht unten bezw. oben, bei annähernd 2/1 als Verhältnis \/\. Ein Einflufs des Pendelgewichts (2 kg und 1 kg) war nicht zu erkennen. Sokoloff nimmt als Erklärung die Beschaffenheit des Materials und die Form der Schneiden an, da andere Ursachen ausgeschlossen scheinen.

Bei der Diskussion derartiger Pendelschwingungen mit sehr kleinen Schwerpunktsabständen Ji dürfte überdies eine Berücksichtigung der Störungen 2. Ordnung unerläfslich sein⁵), während hei gewöhnlichen Pendeln (mit grofsen h) nur die 1. Ordnung Bedeutung hat, und somit alle Störungen einzeln behandelt werden können.

Man wird für den Fall sehr kleiner h in (47) besser mit h multiplizieren und kann mit Vernachlässigung yon dh gegen l und von MM gegen MM setzen:

Mg (h -f- Cp -f- -PQ

d*Q , ₉

-if + 2x

sin 0 -f

Mg

Jo

(D₀ -j- D₂ sin⁶ 0 -j- Z>₈ sin³ 0 + • •) = 0.    (52)

(Hier kann man sin 0 auch durch 0 ersetzen, was nur die Bedeutung der I) verändert.) In dieser Gleichung hat das in sin 0 multiplizierte Glied sein früheres Übergewicht fast ganz verloren; doch wird es dasselbe insoweit behalten müssen, dafs eine pendelartige Bewegung, entsprechend den Beobachtungen, entsteht.

§ 11. Das Glissement. Defforges nimmt an, dafs bei der Drehung der Linie GO" um dO in dem Zeitdifferential dt teilweise Abrollen, teilweise Gleiten wie in einem Zapfenlager, stattfindet, wobei sich beide Anteile wie m : n verhalten, mit m -f- n = 1. Seine Fundamentalgleichung lautet (Observations du pendule, p. 15):

{(* + »?)* + V] + 9(h + <0 sm 0 = 0,

wobei die Abstumpfung der Schneide nach einem Kreise vom Radius q vorausgesetzt ist und Mk⁶ das Trägheitsmoment J₀= Mh(l— h) bezeichnet, während M { (h wp)⁶ -f- Ä⁶} das Trägheitsmoment

11

für die momentane Drehungsaxe im Abstande h -f- ng vom Schwerpunkte ist. Hieraus folgt als gestörte mathematische Länge ohne weiteres mit geringer Vernachlässigung:

r==?(1 — v + nr)'

Dies Ergebnis würde zwar mit Bessels Theorie übereinstimmen, da ng — dh ist; trotzdem scheint es mir wie diese unhaltbar, indem die Reaktion des Lagers gegen den Horizontaldruck der Schneide nicht beachtet ist. Da dieser letzte nach Gl. (23) mit hier hinreichender Genauigkeit gleich Mgh sin 0 /1 ist, so folgt nach dem Prinzip der lebendigen Kraft, indem das Potential der Reaktion

gleich — Mg y J*(sin 0 . n g d 0) wird:

cos 0 = const.

Y K* + n₉f + **} Q*-g(h + 9 + »P 4)

Man erkennt also, dafs vorher das Moment {Mgh sin 0/0ng weggeblieben ist. Damit aber folgt

^b-T + TMb-T + T)’

was mit Gl. (49), abgesehen von der elastischen Reaktion, übereinstimmt.

Ein Zweifel an diesem Resultat würde sich ergeben, wenn man den Fall n— 1, d. h. nur Zapfendrehung, annehmen wollte. Denn dann dreht sich das Pendel um die Axe des Kreiscylinders, der die Schneide ersetzt, und man bekommt richtig die Fundamentalgleichung von Defforges mit n = 1; allerdings nur unter der Voraussetzung, dafs die horizontale Reaktion des kreisförmigen Lagers durch die Axe des Kreiscylinders führt. Diese Voraussetzung wäre aber bekanntlich ganz unzutreffend⁷).

Aber auch abgesehen vom Falle n — 1 wird doch in thatsächlichen Verhältnissen, wie schon S. 79 bemerkt, die Reaktion —Mgh sin O/l nicht um ng = dh von der Momentanaxe abstehen, sondern ihr etwas näher liegen. Setzt man also bei der Bildung des Potentials der Reaktion dh — d 7i(3) an Stelle von ng, so führt die zuletzt mitgeteilte Rechnung unmittelbar zu der Formel (49*) für l', abgesehen von D(. An Stelle von 2ng oder 2dh in dem Ausdruck für V von Defforges tritt also dh -f- dW⁸\ wobei im allgemeinen anzunehmen ist, dafs dh und <3 A⁽³⁾ verschieden sind.

Wie dem auch sei: die Hauptsache ist, dafs die Elimination des Einflusses des Gleitens jedenfalls mittelst Beobachtungen an verschieden langen Pendeln von gleichem Gewicht möglich erscheint. Dazu ist erforderlich, dafs der Koefficient n bezw. dh und dh^ für gleiches Pendelgewicht dieselbe Gröfse haben. Nach den Observations, p. 21 u. 16⁹), ist n in der That proportional dem Gewicht (und überdies für beide Schneiden gleich, was aber wegen deren Vertauschung unwesentlich ist). Aufserdem ist das Gleiten proportional der Amplitude, wie auch Bessel fand. Sein Betrag war nach direkten Ermittelungen gleich 0,2 bei einem Meterperidel von 5 kg Gewicht, bei 30' Amplitude a.

Es wird jedenfalls nützlich sein, durch direkte Beobachtungen zu prüfen, ob das lange und das kurze Pendel (gleichen Gewichts) bei gleichem Ausschlag a denselben Gleitungsbetrag adh zeigen,

— für negative dQ / dt (Hingang)

du/ dt = -\- c(dQ I dt)²

ob also dh in beiden Fällen gleichen Wert hat. (Bei dh{S) ist das hat auch mehrfach die Lage der Momentanaxe durch mikroskopische Beobachtung der äufsersten Querschnitte der Schneidenkörper direkt angestrebt¹). Wenn dies gelingt, so führt das

An dieser Stelle möge auch die Frage erörtert werden, wie sich der Einflufs des Gleitens gestalten würde, falls die Verschiebung u nicht durch dh. 0 dargestellt wird, womit du/dt = dh.dQ/dt folgt, sondern durch eine solche Funktion, dafs zu setzen ist:

an

sich wahrscheinlich.) Man

zu ermitteln versucht, also eine direkte Messung von dh zu einer Prüfung der Gleichheit der dh für beide Pendel.

+ für positive dQ / dt (Hergang), unter c eine positive Konstante verstanden. Man findet dann näherungsweise (und abgesehen von c²) für den Hingang:

0 = a cos vt -f-Vereinfacht man nämlich Gl. (21) in

d²0

diu

dt²

dt²

und setzt, mit Rücksicht auf den Näherungswert u cos vt von 0, für d²u/dt² den Ausdruck ein — 2ca²v³ cos vt sin vt, so wird

d²0

O />

dts

-f- v² 0--j a²v³ cos vt sin vt = 0,

woraus sofort der für 0 angegebene Ausdruck hervorgeht.

Nun ist dQ / dt gleich null für t = 0 und für vt = n 4:Cav/ ZI. Die Schwingungsdauer vergröfsert sich daher um T. 4cav/ Znl. Die Höhenverschiebung dh der Momentanaxe wird veränderlich, indem dh — du / dQ — — cdQ / dt ist. Ihr Maximum dh₀ findet bei der vertikalen Pendelstellung statt und ist gleich cav, womit die Vergröfserung der Schwingungsdauer auch gleich T. 4cdh₀ / Z%1 wird. Die gesamte Horizontalverschiebung der Schneide beträgt für eine Schwingung ccc²vjt/2. Hiernach würde ein derartiges Gleiten von dem bisher vorausgesetzten wohl leicht zu unterscheiden sein.

Defforges bemerkt²), dafs durch häufige Benutzung das Lager von Achat eine IO breite, Oi“,5 tiefe Rille bekommen habe. Für die Korrektion von L findet er aus der Kombination der Werte für ein Meter- und Halbmeterpendel (Observations du pendule, p. 117) 55^ für das erste und llO für das letzte; auch zwei andere Pendel von geringerem Gewicht und % bezw. % m Länge geben entsprechende Beträge, so dafs die Theorie eine gewisse Bestätigung erfährt.

Wenn man die von mir berechnete Korrektion wegen der elastischen Biegung der Pendelkörper anbringt, die L bei dem Meterpendel um 18^“ vermindert, für die Halbmeter- und Viertelmeterpendel aber von mir ziemlich unsicher zu 3-“ und null geschätzt wurde (S. 15), so folgt die Korrektion wegen Gleitens, die aus dem Ergebnis aller Stationen abgeleitet ist und sich für zwei Schneidenpaare fast gleich ergiebt, etwas kleiner. Es wird nämlich (nach Observations du pendule, p. 114—117, Station Rivesaltes) in Mikron:

1)    Lokenzoni, Nuovo esame delle condizione del supporto nette esperienze fatte a Padova nel 1885—86 etc. (Atti del R. Istituto veneto di scienze, lettere ed arti, t. Y. 1892/93.) Im Auszug in den Verhandhmgen der Permanenten Kommission d. I. E. in Innsbruck, 1894, S. 222—224.

2)    Defforges, De Vinfluence du glissement dans la rotation du couteau sur la duree d’oscillation d’un pendule reversible. (Comptes-Rendus des seances de la Commission permanente de l’Association geodesique internationale, reunie ä Florence, 1891, p. 156.)

11*

In der letzten Kolumne habe ich noch die Verbesserung fürs Mitschwingen angebracht (nach Observations du pendule, p. 115), die vorher nicht dabei ist, die aber an der guten Übereinstimmung nichts ändert.

In den Observations macht Defforges keine Angaben über den Betrag des Gleitens; die oben aufgeführte Zahl von 0<“,2 bei a = 30' ist den C. B. de VAc. des Sc. entnommen und wird auch in den Florentiner Verhandlungen der Ferm. Kommission der I. E., S. 158, mitgeteilt. Ob die 0^,2 für 30' Pendelausschlag zu rechnen sind, oder vielleicht für die ganze Amplitude 2a — 60', ist unklar. Selbst im ersteren Falle wird 8h nur 0,2 X 3438 / 30 = 23*“ anstatt 42. Es wären daher 19'M auf <5A(S) und auf konstante Fehler der Längenmessung zu rechnen.

Lorenzoni fand die Summe von 8h für beide Schneiden bei seinem Sekundenpendel durch direkte Messung (vergl. Nuovo esame) nach Abzug des Einflusses des Mitschwingens nur gleich 4 — 3 = 1'“, mit einem m. F. von etwa + 3<“.

(S. 39),

Wirkung kommt. Für die durch Mitschwingen und Gleiten

zur

von

Gew.

in

kg

A/r²

Korrigiert für Biegung

Korrektion f. Gleiten

Korrigiert f. Gleiten

Korrigiert f. Gleiten u. Mitschw.

Pendel I

5;2

II

III

IV

^ ^ ^ CO iO t-

993397    993400

397

407

406

403

411

411.

§ 12. Verschiedenartige kleine Bewegungen der Schneide. Schiötz wurde durch eine an invariablen STERNECKschen Pendeln gemachte Erfahrung auf den Einflufs des Gleitens hingeführt. Er bemerkte (Resultate, 1893, S. 6—8), dafs Erschütterungen durch Strafsenverkehr und Wind die Schwingungsdauer recht merklich verkleinerten (rund yio0ooo) und suchte durch sehr eingehende Betrachtungen die Wirkung der Erschütterungen theoretisch zu verfolgen. Er findet (a. a. 0. S. 35), dafs periodische Erschütterungen des Bodens die beobachtete Wirkung nicht her Vorbringen. Er nimmt daher an dafs infolge der Erschütterungen die Reibung wiederholt momentan überwunden wird und nun ruckweise Gleiten eintritt, wodurch sich das Mitschwingen des Stativs vermindert, indem der Horizontalschub Hx Gl. (23) zeitweise nicht gestörte mathematische Länge folgt dann (a. a. 0. S. 40, Gl. XXIV), im Anschlufs an die Bezeichnungen Gl. (31):

(53)

worin k einen positiven, echten Bruch bezeichnet. Damit wäre allerdings die bezügliche Erfahrung über die Wirkung von Bodenerschütterungen erklärt.

Schiötz zieht diese Betrachtung auch zur Erklärung des Umstandes heran, dafs Barraquer das Mitschwingen bei Achatschneiden um 2% geringer fand als bei Stahlschneiden, und meint, dafs erstere wegen geringerer Reibung leichter gleiten müfsten als letztere¹⁰).

In beiden Fällen handelt es sich um gröfseres Mitschwingen; bei Barraquer ist Mg/ s sogar 0,0002 m, also die Ausladung 6 bei a = 30' von der Gröfsenordnung U. Bei Schiötz wird 6 allerdings nur etwa 0-“,l betragen haben, bei demselben Wert von a. Bei Defforges beträgt das entsprechende 6 nur etwa 0*“,01 und bei Bessel wohl noch weit weniger. Die von diesen beiden

Beobachtern wahrgenommenen Bewegungen der Schneide auf dem Lager von einigen Zehntelmikron sind also viel gröfser als <?, und sie sind auch ganz anderer Natur als die Gleiterseheinungen bei Schiötz. Denn während jene Gleitbewegungen immer gleiches Vorzeichen mit dO/dt haben, müssen diese das Vorzeichen mit 0 wechseln, weil e, ebenso wie der Horizontaldruck, proportional 0 ist und bei Unterbrechungen der Wirksamkeit des letzten sich immer, absolut genommen, verkleinert.

Undenkbar ist es nicht, dafs in einem gegebenen Falle beide Bewegungsarten der Schneide auf dem Lager sich kombinieren. Vielleicht ist dies sogar oft der Fall. Denn eine Erscheinung läfst sich so am besten deuten, die Plantamour, Peirce und Defforges beobachtet haben¹¹ 12):

Es ist dies der Unterschied des Wertes für die Konstante des Mitschwingens Mg / e aus der Wirkung eines statischen Druckes Mg und aus der dynamischen Wirkung von Mg als schwingendem Pendel. Im ersteren Falle ergiebt sich rund 10% mehr. Defforges glaubt, dafs der Unterschied infolge des „glissement“ entstehe, wobei sich die Konsole dem von der Schneide ausgeübten Mitnehmen entziehe. Allein dies pafst nur auf die eine Hälfte der Bewegung von 0 = — cc bis -f-«. Auch ist das „glissement“ zu grofs. Da überdies doch die Schneide (nach der Voraussetzung) in der Rille bleibt, so überträgt sie den ganzen Horizontaldruck. Mir scheint, dafs bei diesen kleinen Bewegungen der Zusammenhang von Schneide und Lager nicht so gestört wird, um den besprochenen Unterschied erklären zu können: sind die Bewegungen rein elastischer Natur, (25*), so ist der Zusammenhang ohne Unterbrechung vorhanden; sind es Gleitungen im vertieften Lager, (25 f), so giebt dieses, wie schon bemerkt, den Druck unverändert weiter. Wenn berücksichtigt wird, dafs infolge der unvollkommenen Elasticität der Pfeiler und des Untergrundes bei den statischen Messungen starke Nachwirkungen entstehen (Plantamour, JEtech. exp., p. 9), so ist der Unterschied auch erklärlich. Manchmal kann es auch von Bedeutung sein, dafs bei statischen Messungen meist nur nach einer Seite verschoben wird, bei den Pendelbewegungen aber nach zwei.

Eine Hauptsache ist wohl, absolute Pendelmessungen, wie man es jetzt thut, auf festen Unterlagen und bei ruhigen Bodenverhältnissen anzustellen, um diese Einflüsse unschädlich zu machen.

§ 13. Zusammenstellung der Grundformeln. Die beobachteten Schwingungszeiten T' sind zunächst auf unendlich kleine Ausschläge mit

(A)

— T'-~r

a in Bogenmafs,

zu reducieren, welche Formel immer ausreicht, da erst bei Ausschlägen von 3%° ab die höheren Glieder die 7. Decimalstelle von T' (für T' — l¹³) beeinflussen.

Im folgenden sind unter T±' und T₂' die nach (A) reducierten Schwingungszeiten des Reversionspendels für schweres Gewicht unten und oben verstanden, und es wird angenommen, dafs Luftdichte und Pendeltemperatur für beide Fälle gleich grofs seien. Uber die eventuelle Reduktion auf gleiche Luftdichte vergl. weiterhin § 14.

Man kann nun die im vorhergehenden betrachteten Störungseinflüsse auf die mathematische Länge l des Pendels wie folgt zusammenfassen:

(B)

Hierin ist

(54)

ß = dhW + W>;

d ¥²"> entsteht durch den Yertikaldruck und 8h^ durch den Horizontaldruck der Schneide aufs Lager, vergl. S. 79 und 80.

Ferner ist

(55)

wobei das erste Glied vom Auftrieb und dem Mitschwingen der Luft herrührt, während (bq) in Erweiterung des BESSELschen Symbols bq, siehe Gl. (11), S. 62, eine Reihe Einflüsse der Schneidenfigur beim Abrollen und der elastischen Wechselwirkung von Schneide und Lager umfafst. (bq) ist stark von a² beeinflufst, K vielleicht ein wenig. Unter der Voraussetzung, dafs sich der Krümmungsradius q der Schneidenabstumpfung nach Potenzen von 0 entwickeln läfst, ist nach (49), (49*) und (50) :

(55*)

Dabei bezeichnet p₀ den Krümmungsradius, der für a = 0 in Betracht kommt; D), D₃ u. s. w. sind Einflüsse des Vertikaldrucks und, abgesehen von D), auch der Schneidenfigur. (Das kleine Glied mit £ in (16*), S. 64, ist nicht weiter berücksichtigt; es giebt genau genommen einen mit a² veränderlichen Koefficienten ß)

Endlich ist

Mg

(56)

f +

herrührend vom Mitschwingen der ganzen Unterlage, des „Stativs“, bezw. von den kleinen elastischen Verschiebungen kleinster Teile des Lagers durch den Horizontaldruck der Schneide, vergl. (25*) und (31). Den ersten Teil von 8, der dem Mitschwingen des Stativs entspricht, kann man mehr oder weniger genau direkt ermitteln und in Rechnung bringen (vergl. § 8, S. 73).

Bei der Anwendung von (B) auf ein nahezu richtiges Reversionspendel kann man in den Störungsgliedern l — A, dem Schneidenabstand, setzen. Für die gestörten Schwingungszeiten, die den beiden Gewichtslagen entsprechen, wird:

T-2

^{¹ + v + ^ + 'w}

schw. Gew. u.,

(57)

O.,

wo die Indices a und b die Schneide, um welche die Schwingungen erfolgen, angeben. Ist nun

t'² =

t² =

TSK-

(58)

und der Schneidenabstand gleich Aab gemessen, so ist bekanntlich die mathematische Länge des Sekundenpendels

T²

(58*)

Vergl. auch die Gleichungen (3), (4), (3*) und (4*), S. 58, deren letzte unter der Annahme, dafs T-[—sehr klein ist, anstatt (58) zur Berechnung von x' dienen kann:

(C)

K Jh

r'=Ti+\

Vertauscht man die Schneiden oder schraubt die Gewichte um, so ergeben sich die Gleichungen (57) mit Vertauschung der Indices a und b. Unterscheidet man die Ergebnisse für r' und A durch die Indices ab und ba, so folgt mit Vernachlässigung von Gliedern höherer Ordnung:

lab — *ab 11 "f" *ba 11 —f~

T'ba -

ßa\ ßb h₂

A(*i —\)

, ya~ Vb ,

+ \ \ +

ßb\-ßa\

K*b - V*.

i Vb

A — Äj) ' \ — h₂ "1” A²(G — \) j Aab    Aba

(59)

rlb

Tla

Damit ergiebt sich endlich ebenso genau für das Mittel beider t'², wenn A das Mittel von Aai und Aba vorstellt:

r'² =

-£!■+

ßa + ßb + Sa + äb

(D)

Wendet man mit Deffokres 2 Pendel gleichen Gewichts mit denselben Schneiden an, so werden die Glieder ßa, ßb, da, db als in beiden Fällen übereinstimmend zu betrachten sein. Unterscheidet man hier die x’ und A durch die Indices I und II, so folgt, wenn gesetzt wird

Ai

Li = -7i

TI

und Ln —

An

Tn

(E)

Ai - An

G² ~ Tn

= L\ -f- (Ui — Ln)

An

Ai - A„'

(F)

Sind m-i und mn die mittleren zufälligen Fehler in Lj und Ln, so ist für L der m. F. gleich

V (7^75) ”l3 + (

An

Ai An

)W,

(60)

woraus man erkennt, dafs es gut ist, das kurze Pendel möglichst klein zu machen. Die Kombination von 1 m und % m ist rund 5/3 mal so genau, als diejenige von 1 m und % m.

Bei Pendeln verschiedenen Gewichts, aber mit denselben Schneiden, kann man annähernd die ß und d in (_D) proportional dem Gewicht annehmen; aus den beiden Gleichungen (D) läfst sich L dann ebenfalls herleiten, aber der konstante Fehler in A bleibt im Resultat mehr oder weniger enthalten.

Aus den beiden Werten von x'² für beide Pendel kann man auch die Summe ßa-\- ßb-\- da-f-ableiten. Gröfseres Interesse bietet es, dabei schon auf die Gleichungen (59) zurückzugehen. Man hat dann unter einigen vereinfachenden Voraussetzungen für beide Pendel zusammengenommen 4 Gleichungen für L und 2 Koefficienten, also eine Prüfung. Ich setze dabei gleichschwere Pendel voraus. Für ßa = ßb = ß und da — db = d geben die Gleichungen (59):

L= —

rba

welche Gleichungen für beide Pendel gelten, und die Unbekannten L, ß -f- d und ya — yb zu ermitteln gestatten. Es ist zu bemerken, dafs infolge der Voraussetzung gleicher Luftdichte für die Schwingungen in beiden Gewichtslagen, ya — yb nur von (bg), vergl. (55), abhängt, also von der Schneidenform, Elasticität und a². Deshalb ist ya — yb dieselbe Gröfse für beide Pendel auch bei verschiedener Luftdichte während der Beobachtungen an den beiden Pendeln.

Geht man auf die Gl. (57) zurück, so hat man für 2 Pendel 8 Gleichungen. Es empfiehlt sich dann folgende Umformung: Da die Pendel nahezu richtige Reversionspendel sind, kann man J₀ — M\\ -f- Mi₀ setzen, wo i₀ sehr klein ist; dann wird z. B.

T² =

(62)

und

niM\i + M\\ + Mi₀ _ n* .    i₀ \

~g M\ ~ g    M\    ~ g A\i + Ahj '

Dies kann man in die erste Gl. (57) einführen (natürlicherweise nicht mit Weglassung von i₀, wie es wohl geschehen ist). Nunmehr folgt anstatt (57):

r;²

, schw. Gew. u.,

\b

(63)

o.

Bei Vertauschung der Schneiden oder Umschrauben der Gewichte tritt an Stelle von Aa& die Gröfse t\ba\ alles andere bleibt, nur müssen die speziellen Werte von    und jT₂' eingesetzt werden.

Allerdings wird i₀ sich etwas ändern, da mit den stattfindenden Massenumlagerungen J₀ sich mehr oder weniger ändern wird. Nimmt man aber an, dafs in beiden Fällen i₀ verschieden ist, so hat die Aufstellung der Gleichungen (63) keinen Wert, da sie doch paarweise kombiniert werden müssen, um i₀ zu eliminieren, womit man zu (61) zurückgelangt.

In den nächsten Abschnitten werden aufser der Reduktion der T' auf gleiche Luftdichte einige Korrektionen des Ergebnisses für L schätzungsweise entwickelt; aufserdem ist noch Teil I, § 9 (42), wegen angenäherter Berechnung derjenigen Korrektion zu vergleichen, die wegen der Elasticität des Pendelkörpers erforderlich wird.

§ 14. Reduktion der Schwinguligsdauer auf gleiche Luftdichte. Bei Ungleichheiten der Luftdichte für die Beobachtungen in beiden Lageai des schweren Gewichts kann unter Umständen eine Reduktion auf mittlere Luftdichte erforderlich werden, wozu die notwendigen Koefficienten durch Beobachtungen bei extremen Luftverhältnissen ermittelt werden müssen. Für den mathematischen Zusammenhang reicht es aus, dabei von der BESSELschen Formel für V, vergl. (1), S. 57, auszugehen. Darnach ist

(64)

T'² =

wobei im Ausdrucke für f einige zulässige Vernachlässigungen eingeführt wurden. K/ h A entspricht dem BESSELschen Je. Die Gröfse T hat für schweres Gewicht unten und oben wegen der symmetrischen Form des Reversionspendels denselben Wert.

Für kleine Änderungen der Luftdichte D kann man setzen:

ar-r^—l dD,

unter P einen gewissen, für beide Gewichtslagen übereinstimmenden Koefficienten verstanden. Für die beiden Gewichtslagen einzeln wird nun:

(65)

dTx = y dD und dT% — dD.

Nimmt man die Luftdichte D gleich 1 für 760 mm Luftdruck und 0° Temperatur, so ist

(66)

760(1 + 0,003665 T)

mit P als Luftdruck und als Dunstdruck, beide in mm, und mit T als Lufttemperatur.

von

Durch Beobachtungen bei verschiedener Luftdichte D ergeben sich zusammengehörige Werte dTx bezw. dT% und dD, und daraus P.

Ausgedehnte Beobachtungsreihen für bis zu null abnehmende Werte D giebt schon Peirce (Measurements of gravity at initial stations, p. 72—73, Beobachtungen von Farquhar); später hat Defforges (Observations du pendide, p. 57—61) solche angestellt. Beide legen in Anlehnung an Stokes’ Theorie für die Zunahme von T' von P = 0 bis etwa 1 die Interpolationsformel zu Grunde:

(67)

8T'= T(äD + P]/P);

A und P sind Koefficienten, die zu h im umgekehrten Verhältnis stehen.

Peirce fand für ein gewöhnliches REPSOLDsches Pendel, mit hx :    = 7 : 3, in abgerun

deten Zahlen (red. auf D= 1): A = 0,00030 und P == 0,00005 für h / A = 0,7. Aus (64) und (67) folgt aber

2 Mh

Ä*⁼—

M, A

{AD -j- P]/P),

woraus mit den angegebenen Werten sowie mit M/ Mi — 6600 wegen A — 1 als Wert von K für D = 1 hervorgeht: K = 2,7.

§ 15. Verkürzung des Mafsstabes durch sein Gewicht. Der zum Pendelapparat des Geodätischen Instituts gehörige Mafsstab ist bei horizontaler Lage mit dem Normalmeter verglichen und wird beim Gebrauch in vertikaler Lage unten gestützt. Hierdurch entsteht eine scheinbare Ver-gröfserung des gemessenen Schneidenabstandes A, indem die Mafsstablängen durch den Druck der oberhalb liegenden Massen sich verkürzen.

Man findet leicht, dafs die Länge A so verkürzt wird, als wirkte darauf, konstanten Mafsstab quer schnitt zwischen den beiden, zur Vergleichung benutzten- Teilstrichen vorausgesetzt, die oberhalb deren Mitte befindliche Masse. Wird das Gewicht der Teile über dem oberen Strich durch ein Reelles Stück Mafsstab vom Querschnitt Q und der Länge e ausgedrückt, ist ferner g das Gewicht der Volumeneinheit des Mafsstabes, so ist die gesamte Belastung, welche auf Verkürzung von A wirkt,

gleich gQ^e -f yAj. Die Verkürzung ist daher g (e -f- yA) A/P, worin E den Elasticitätsmodul

12

Helmert, Beiträge zur Theorie des Beyersionspendels.

bezeichnet. Derselbe ist in diesem und dem folgenden Paragraphen wie in § 12, Teil I, zu verstehen. Die Verbesserung von L wird gleich

L.

(68)

Mit E = 10000 für kg und mm, ^ = 8,5 /10⁶, e = rund 50, folgt für A = 1000 die Verbesserung — 0^,47, für A = 250 aber — 0^,15, was im Endwert nach Formel (F), S. 87, die Verbesserung — 0^,6 ergiebt.

§ 16. Einflufs der Dehnung des Pendels. Der Zustand des Pendels ist bei schwerem Gewicht unten ein anderer als bei schwerem Gewicht oben, da in beiden Fällen Dehnungen (und Zusammendrückungen) in verschiedener Weise auftreten. (Vergl. auch Teil I, § 4.) Es ändern sich infolge dessen Trägheitsmoment und statisches Moment verschieden. Sei im Anschlufs an die Differentialformel (35), S. 72:

ölx =

MhxA -f- Zx

-F JV,

-A,

M\ A -f Z₂

+ N.

A,

wobei Z und N Zuwachse des Trägheitsmoments bezw. statischen Moments infolge der Dehnung sind, und ohne Dehnung das Reversionspendel als „vollkommen“ angenommen ist. Dann wird

AM(hx — h₂)

dL_SA j (Nt-N₂)A-(Zl-z%)    f

Die obere Schneide sei der Anfang vertikaler Abscissen, positiv nach unten. In der ersten Lage des Pendels seien die Gewichte Mx und M₂ bezw. oben und unten, und der Schwerpunktsabstand Jix oben. Alle Massen können genau genug für jeden Querschnitt auf die Axe verschoben gedacht werden. Dann ist

2'ftxdxdm

N —J*dxdm •

hierbei sind die Integrationen vom oberen Ende mit der Abscisse — e bis zum unteren Ende mit der Abscisse A -f- e zu erstrecken. Für die Stange ist dm = ^Qdx mit Q als Querschnitt und ^ als Gewicht der Volumeneinheit. Zu Mx und Jf₂, welche Massen je auf einen Punkt kondensiert gedacht werden, gehören für die 1. Lage die Abscissen — e₁ und A —j— für die 2. Lage ist es umgekehrt.

Unterscheidet man für beide Lagen die 8x für dieselbe Abscisse mittelst der Indices 1 und 2, so ist einleuchtend, dafs auf dxx — dx₂ nur M₂ — Mx wirkt, und zwar ist allgemein, wenn Q zur Abscisse a gehört:

dxx — öx₂ =    Jda

o

Bezeichnet man ferner für x — A -j- ex die Werte von öxx und dx₂ bezw. mit dux und du₂, sowie für x — — ex die Werte von 8xx und dx₂ mit öox bezw. do₂, so wird:

-d-\-e    x

Z₁ — Zi = 2p^

Nx-N₂ =

j QxdxJ^ + 2{h + O(MJu,

— Mx d u₂) — 2 ex (Mx d ox — M₂ d o₂),

-jr -f- (iU₂ dux — Mx du₂) -f- (31 x öox — 3I₂ d o₂).

Damit folgt

(N-N₂)l\-{Z-Z,) = (Jfa-JfJ(A-K'vU-A “ wobei folgende Beziehungen und Relationen eingeführt sind:

J $(A— 2x)dx J*

-e    0

8 ui = 8 Ax —j— 8 o₂ ,

8u₂ = 8/\₂ -f- dOj

dAx = M, + M₂ 8 A', 8o₁ = 8 os -j- M₁8o',

4A₂ = 8 As + M, 8 A', 8o₂ = 8os -f- M₂ 8o'.

Hierin bezeichnet der Index s eine Dehnung (bezw. Zusammendrückung) durch das Stangengewicht allein, der obere Strich eine solche durch die Masse 1 am Ende der Strecke.

dA für Gl. (69) wird das arithmetische Mittel von dAx und dA₂, wenn mit dem Mittelwert des Schneidenabstands in beiden Gewichtslagen gerechnet wird. Beachtet man noch, dafs

so folgt nun aus (69):

Mih, - h₂) = (M₂ - Ml} (A + 2ex),

fli

dA + {dA, — 2 (io. + [J£, -f Jlfs] So') +

E (A -j- 2 ßj) J

dA könnte man direkt aus dem Unterschied der Schneidenabstände für horizontale und vertikale Lage des Pendels (letztere im Mittel der beiden Gewichtslagen) ableiten; den Wert der geschlungenen Klammer mufs man schätzen. Für konstanten Querschnitt Q und e — et ist

8/\s =

ft A (A -f- 2 e)

EQ>

y(A + 2c)s;

aufserdem nach Teil I, § 9, (34) und (36):

6(iRx + M₂) (A + e)e = g^(A -f 2e) (A² — 2Ae — 2e²);

Mt-\- M₂ = M —uQ(A -f 2e).

Dies giebt endlich als Verbesserung —8L der mathematischen Länge L' des Sekundenpendels infolge der Dehnung des Pendels, bei konstantem Querschnitt seiner Stange, den Ausdruck:

2Me²(2 A² -f- Ae — 3e²)

EQ(A + 2e) (A² + 4Ae-f 5eä)

(70)

ML

Der erste Teil ist das Hauptglied; bei konstantem Querschnitt ergiebt er allein die Verbesserung von L' gleich

2 EQ

(70*)

Bei dem neuen Meterpendel des Geodätischen Instituts ist für kg und mm: ilf=3,59, Q— 190? g = 8,5 /10⁶, ex=144, womit die Verbesserung wird -j- 0^,95 — 0^,06. Beim Viertelmeterpendel

ist Q = 600, ex = 48 und die Verbesserung gleich -f- 0^,95 — 0W,02. Der Endwert aus S. 87, wird daher die Verbesserung -j- 0^,9 zu erhalten haben.

Formel (F),

§ 17. Einflufs eines Höhengradienten der Temperatur. Die Temperatur des Pendels werde für den Augenblick mit u bezeichnet, und es sei für die Tiefe x unter der oberen Schneide

+ (x

y) u'=u₀ + u'x-,

utri ist die mittlere Temperatur T des Pendels.

Ein Massenelement dm im Abstand x von der oberen Schneide erleidet' infolge des Unterschieds u— um, wenn mit A der Ausdehnnngskoefficient des Pendels bezeichnet wird, die Verschiebung

öx = y Ax{x — A)u'}

indem die mittlere Temperatur der Strecke x gleich * (x — A)u ist.

Für die Formel (69) des vorigen Paragraphen wird nun unabhängig von der Stangenform dA = 0 und (die Masse der Querschnitte immer auf die Abscissenaxe konzentriert gedacht):

Zy —    ⁼⁼ Au (Jfa — (A -f- 2ex) (A -f- e₁)e₁,

während Nt — verschwindet.

Damit folgt als Verbesserung von 11 wegen des Temperaturgradienten u'— — Th

(71)

— ATL

(A + eiUi

worin T' nun die Temperaturzünahme nach oben für die Längeneinheit ist.

Diese Formel, bei deren Ableitung über die Gestalt der Pendelstange keine Annahme gemacht ist und nur die Pendelgewichte als Punkte betrachtet sind, sowie jeder Stangenquerschnitt auf seinen Schwerpunkt reduciert wurde, kann recht wohl als allgemein gültig betrachtet werden¹⁴).

Für das Meterpendel wird die Verbesserung bei 0,1° für 1 m gleich —0<“,30, beim Viertelmeterpendel — 0,09 und in L aus Formel (F) gleich — 0Ü,37.

Das

Sekunden-

Das

Halbsekunden - Pendel.

Pendel.

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HELMERT, Beiträge zur Theorie des Reversionspendels.

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¹

   Eine interessante Aufgabe ist es zweifellos, die elastischen Kräfte, welche das Moment D erzeugen, wirklich aufzusuchen, wobei von der Arbeit von Heinrich Hertz: Über die Berührung fester elastischer Körper (Journal für reine und angewandte Mathematik, Bd. 92, 1882) auszugehen sein wird.

²

   Materiaux pour servir ä l’etude de la repartition de la force de la pesanteur en Bussie. St. Petersburg, 1892. (Aus den Mittlgn. d. kais. russ. geogr. Ges.; russisch, mit franz. Auszug); S. 202 u. 175.

³

   Thiesen, Etudes sur la balance. (Travaux et Memoires du Bureau International des Poids et Mesures, t. V.) Wilsing, Bestimmung der mittleren Dichtigkeit der Erde u. s. w. (Publikation des Astrophysikalischen

⁴

Observatoriums zu Potsdam) 1. u. 2. Abhdlg., 1887 und 1889. Yergl. auch Sitzungsber. d. Ak. d. Wiss. zu Berlin, 1887, April 21, und besonders A. N. 2867, Bd. 120, S. 161 (1888).

⁵

Yergl. Thiesen, Theorie der pendelartigen Schivingungen. (Sitzungsber. d. Ak. d. Wiss. zu Berlin, 1889, März 28.) Daselbst wird in einem Beispiel noch ein von (40 / dt)* abhängiges Störungsglied mitgenommen.

⁶

Helmert, Beiträge zur Theorie des Beversionspendels.

⁷

   Der Fall n = 1 würde sich durch eine starke Dämpfung der Amplituden verraten, die durch die gleitende Reibung erzeugt werden müfste, die ja gröfser ist als die rollende Reibung. Ohne gleitende Reibung geht es aber nicht ab, wenn erst gar kein Rollen mehr stattfindet. Nur solange das Gleiten ein kleiner Bruchteil des Rollens ist 0n klein), kann man sich denken, dafs gleitende Reibung nicht in Betracht kommt.

⁸

de Suspension in den C. R. 1892, t. CXV, p. 29.

⁹

   Vergl. auch die Note von Defforges : De la nature de la rotation du couteau d’un pendule sur son plan

¹⁰

Barraquers Untersuchung ist ausführlich enthalten in der Abhandlung: Determination experimental de la intensidad de la fuerza de gravedad en Madrid. (Memorias del Instituto geografico y estadistico, t. VIII, Madrid 1889, p. 411.)

¹¹

E. Plantamour, Becherches experimentales sur le mouvement simultane d’un pendule et de ses supports. (Verhandlungen der 5. Allgem. Konf. d. Europäischen Gradmessung zu Stuttgart 1877); S. 9, 48 u. 49.

¹²

C. S. Peirce, On the flexure of pendulum supports. (App. No. 14, C. a. G. S.; R. for 1881); p. 69.

¹³

Defforges, Observations du pendule, p. 19. Vergl. auch Verhandlungen der Perm. Komm. d. I. E. in Nizza, 1887, Ann. Vc, S. 4—7.

Während Peirce glaubt, aus den Untersuchungen schliefsen zu müssen, dafs hei guter Aufstellung der Konsole kein wesentlicher Unterschied des statischen und dynamischen Wertes bestehe und der richtige Wert inmitten beider, mehr nach dem dynamischen Wert zu liege, glaubt Defforges aus seinen Versuchen erkannt zu haben, dafs der statische Wert anzuwenden sei.

¹⁴

Auf anderem Wege entwickelt C. S. Peikce die Störung für T in jeder der beiden Lagen des Pendels; aus diesen Formeln kommt man ebenfalls zu (71). Vergl. die Abhandlung: On the effect of uneqiial temperature upon a reversible pendulum (C. a. Gr. S., R. for 1885, App. No. 17, p. 509).