}>:

i

I

-■

i

;

l

«

W

:

f;

!•

1

:

i

;

i

f

;!

i

■

:

K!

;

!

i

•*#?

!

'■fL

?

\

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

100000209340

■ ;

■

>

♦

I-

‘

/

«'

«

»

V

V

t

WYKŁAD

WYTRZYMAŁOŚCI

M A TERYA-Ł Ö W

Wykfad niniejszy został ustawiony pod przewodnictwem Konstantego Zabieliy przez Pt’. Pawta Celińskiego, Franciszka Chocieszyńskiego, Antoniego łlerlla, Frauciszka-Józefa Kaczyńskiego i Aleksandra Popowa.

WYKŁAD

WYTRZYMAŁOŚCI

MATERYAŁÓW

STA£0SC1 BUDOWLI

SKREŚLIŁ

.• V2

' WŁAbYSŁAW KLUGER

INŻYNIER

« Nauki matematyczne trzymają bez wątpienia pierwsze « miejsce w rzędzie wiadomości ludzkich : i dlatego, że sę. « składem prawd pewnych, wzorowego ich zwięzku i ści-«słości; i dlatego, że sę. rzetelnym zaszczytem ludzkiego o rozumu w rozległych wynalazkach i w ważnych przysłu-« gach wyrządzonych tylu naukom i kunsztom. »

Jan Śniadecki. Tom IV, str. 156, wydanie Warszawskie z roku 1837.

<--<X/O^OOOo

PARYŻ

NAKŁADEM WŁAŚCICIELA BIBLIOTEKI KÓRNICKIEJ

PRZEWODNICZĄCEGO W TOWARZYSTWACH

NAUKOWEJ POMOCY I NAUK ŚCISŁYCH W PARYŻU

■)

^WW50*S.i|

4-

rtzf

<Ù!0)TsTÔ

T,'big 650

DROGIEMU

OJCZYMOWI SWEMU

DR MICHAŁOWI ZIELENIEWSKIEMU

W DOWÓD SYNOWSKIEJ MIŁOŚCI I WDZIĘCZNOŚCI

POŚWIĘCA

AUTOK

IWMYXMl)

>

! :    ''V I

•STO' 'T, /

SPIS RZECZY

strona

Przedmowa..........................................

POGLĄD HISTORYCZNY NA ROZWÓJ NAUKI 0 WYTRZYMAŁOŚCI MA-TERYAŁÓW...................;......................

XVII

XXI

ZASADY 1 OKREŚLENIA

1.    Stanowisko i cel nauki o Wytrzymałości materynłów......

2.    Pojęcie o budowie materyi i prawo działań międzyczę-

steczkowych.......................................

3.    Odkształcenie, sprężystość i drganie....................

4.    Granica sprężystości, pęknięcie i wytrzymałość...........

5.    Określenie kształtu ciał i natężeń......................

6.    Skład i rozkład sił zewnętrznych......................

7.    Klassylikacya odkształceń.............................

8.    Środek ciężkości powierzchni płaskiej, jej moment bezwładności i promień wirowania względem jakiejkolwiek osi...

9.    Elipsa środkowa bezwładności; osie główne.............

10.    Mementa bezwładności i promienie wirowania niektórych

figur geometrycznych...............................

11.    Li nie biegunowe wzajemne..........................

13.. O środku uderzenia

co :<o

c;: o

o-

(Ti

CZESC PIERWSZA

Belki.

KSIĘGA I

Ściskanie i rozciąganie.

strona

ROZDZIAŁ f. — Teorya i rozkład ciśnień..................

13.    Teorya ściskania i rozciągania.......................

14.    Rozciąganie i ściskanie graniastosłupa różnorodnego......

15.    Związek zachodzący między odkształceniem podłużnem

i poprzecznem.............................

16.    O natężeniu włókien w różnych miejscach bryły........

17.    Ośrodek przecięcia..................................

18.    Rozkład ciśnień na spodzie graniastosłupa spoczywającego

wolno na swej podstawie.............................

ROZDZIAŁ Ił. — Różne zosto^owania.......................

19.    Rozkład ciśnień na podstawie prostokątnej...............

20.    Zagadnienie........................................

21.    Rozkład ciśnień na przecięciu kwadratowem ukośnem....

22.    Rozkład ciśnień na przecięciu eliptycznem i kolowom.....

23.    Ośrodek przecięcia prostokątnego i eliptycznego.........

24.    Kształt słupa wydrążonego lub pełnego o jednostajnej wytrzymałości .........................................

25.    Drganie pręta pionowego obciążonego na dolnym końcu....

26.    Wytrzymałość powrozów drucianych...................

ROZDZIAŁ III. — Stale gatunkowe.........................

27.    O potrzebie oznaczenia pewnych stałych gatunkowych.....

28.    Doświadczenia nad oznaczeniem sprężystości podłużnej....

23. Granica sprężystości w ściskaniu i w rozciąganiu..........

30.    Wytrzymałość przeciw zerwaniu i zgnieceniu............

31.    Granica praktyczna wytrzymałości w ściskaniu i w rozciąganiu ..............................................

29

29

33

45

48

52

52

54

57

58

59

fil

fi 5

75

77

79

84

85

KSIĘGA II

Wygięcie proste i złożone.

strona

ROZDZIAŁ I. — Wygięcie proste. . .......................

32.    Teorya wygięcia prostego.............................

33.    O zarzutach robionych powyższej teoryi zgięcia..........

34.    Włókna obojętne; doświadczenia sprawdzające powyższą

teoryę zgięcia.......................................

35.    Równanie różniczkowo włókna obojętnego po odkształceniu

ciała...............................................

36.    Podłużne i poprzeczne natężenie włókien...............

37.    Sprawdzanie wytrzymałości...........................

38.    O kształcie belek ze względu na ich wytrzymałość........

ROZDZIAŁ li. — Belki o jednej i o dwóch podporach.........

39.    Określenia.........................................

40.    Belka leżąca na dwóch podporach, jednostajnie obciążona. 117

41.    Belka leżąca na dwóch podporach, w jednem miejscu obciążona...............................................

42.    Belka o dwóch podporach obciążona w dowolnej liczbie

punktów............................................

43.    O najniekorzyslniejszem ustawieniu danego układu ciężarów na belce wolno na dwóch podporach leżącej..........

44.    Belka leżąca na dwóch podporach, obciążona jednostajnie

na pewnej długości..................................

45.    Belka osadzona jednym końcem, obciążona na drugim.... 139

48.    Belka osadzona jednym końcem, obciążona jednostajnie... l ii

47. Belka osadzona obydwoma końcami, obciążona jednostajnie

i w środku..........................................

4S. Belka osadzona obydwoma końcami, obciążona w dwóch punktach symetrycznych i na całej długości.............

49.    Belka osadzona jednym końcem, wolno podparta na drugim. 150

ROZDZIAŁ III.—Belki o jednostajnej wytrzymałości......

50.    Słowo wstępne...................................

96

96

100

101

104

107

110

113

116

116

121

126

128

134

143

147

159

strona

51.    Belka czworograniasta leżąca na dwóch podporach, obciążona

jednostajnie.........................................

52.    Belki z żelaza walcowanego kształtu litery I............

53.    Balansyery i korby machin parowych...................

54.    Zęby, obręcze i ramiona kół zębatych................

110ZDZ1AŁ IV. — Belki leżące na kilku podporach..........

55.    Określenia.........................................

56.    Twierdzenie Bertofa................................

57.    Zastosowanie twierdzenia trzech momentów.............

58.    Natężenia poprzeczne i oddziaływanie podpór............

59.    Moment zgięcia i natężenie poprzeczne w którymkolwiek

punkcie belki.....

60.    Wzory przybliżone

61.0 wpływie, jaki wywiera ciężar jednego przęsła na moment zgięcia w którymkolwiek punkcie belki.................

62.    O przypuszczeniach rzeczywiście użytecznych...........

63.    Zastosowanie praktyczne do obliczania belek mostowych...    201

ROZDZIAŁ V. — Belki kratowe...........................

64.    Pogląd.............................................

65.    Wygięcie belki kratowej. — Uwagi....................

66.    Ciężar belki kratowej na metr bieżący..................

67.    Obliczania belek kratowych w moście jednoprzęsłowym...

68.    Ciąg dalszy poprzedzającego ustępu...................

69.    Pogląd krytyczny na belki pełne i kratowe.............

ROZDZIAŁ VI. — Wygięcie złożone........

70.    Określenia..........................

71.    Pręt prosty ściskany wzdłuż osi.......

72.    Słupy drewniane....................

73.    Pale drewniane.....................

74.    Słupy metalowe pełne...............

75.    Słupy metalowe wydrążone...........

76.    Pręt pionowy obciążony na zewnątrz osi

77.    Belka poddana działaniu sił ukośnych; wiązanie dachowe

systemu Polonceau..................................

ROZDZIAŁ VII. — Wytrzymałość ciał przeciw wygięciu i złamaniu. — Wygięcie dynamiczne...........

160

165

168

169

■172

172

174

177

183

185

. 186

189

198

209

209

214

217

222

227

231

....    235

233

,    236

247

249

249

253

254

256

strona 261

79.    O kształcie belek surowcowych i o sposobie ich obciążania. 264

80.    Doświadczenia tyczące się drgań wywołanych przez obciążenie ruchome...........................

81.    Drgania belki leżącej na dwóch podporach...

82.    O skutkach sprawionych obciążeniem ruchomem

78. Wytrzymałość ciał przeciw złamaniu

260

270

282

KSIĘGA III

Przesuwanie proste i złożone.

ROZDZIAŁ I.—Przesunięcie proste................. ......

83.    Określenie i teorya tego odkształcenia.................

84.    Stosunek współczynnika sprężystości podłużnej do współczynnika sprężystości poprzecznej......................

85.    Związek między przesuwaniem i rozciąganiem włókien... 294

86.    Granica praktyczna wytrzymałości przeciw przesunięciu...    296

87.    Wytrzymałość ciał przeciw ucięciu........

88.    Uwaga co do rozkładu natężeń poprzecznych

89.    Nitowanie blach żelaznych................

ROZDZIAŁ II. — Przesunięcie złożone.........

90.    Prawo rozkładu natężeń poprzecznych na przecięciu bryły

wyginanej..........................................

91.    Oznaczenie kształtu przecięcia po wygięciu bryły........

92.    Strzałka wygięcia z uwzględnieniem przesunięcia poprzecznego .............................................

289

289

20|

297

298

299

. ...    304

304

30S

311

KSIĘGA IV

Skręcanie.

93.    Określenie i teorya skręcania......

94.    Teorya dokładniejsza ; największe natężenie styczne.....    317

95.    Współczynnik kątowy skręcenia......................

96.    Zastosowanie powyższej teoryi do prostokąta i do elipsy..

97.    O krzywiznie przecięć poprzecznych po skręceniu graniasto-

słupa .............................................

98.    Uwaga............................................

99.    Wzory praktyczne odnoszące się do wałów obrotowych...

313

324

327

330

331

CZJÎSC DRUGA

Łuki i powierzchnie.

KSIĘGA 1

Łuki metalowe.

strona

335

ROZDZIAŁ I. — O KSZTAŁCIE ŁUKÓW........................

100.    Odkształcenie płaskie łuku...........................

101.    Siły nieznane......................................

102.    Wstęp do prac Rresse’a..............................

103.    Parcie wywołane ciężarem odosobnionym...............

104.    Parcie pochodzące z ciężaru łuku albo z jednostajnego

obciążenia pewnej jego części.........................

105.    Parcie łuku w przypadku ciężaru rozłożonego jednostajnie

na linii poziomej...................................

106.    Parcie łuku w skutek zmiany temperatury.............

107.    Parcie łuku poddanego działaniu sil poziomych.........

108.    Odkształcenie łuku w skutek : 1° jednostajnego obciążenia włókna środkowego; 2° jednostajnego obciążenia cięciwy 360

109.    Uwagi tyczące się poprzedzającego ustępu..

110.    Zmiana strzałki w skutek zmiany temperatury

ROZDZIAŁ II. — O pracy łuków................

111.    O największem natężeniu podlużnem w łuku kołowym....    379

112.    Skutki sprawione ciężarem stałym.....................

113.    Skutki sprawione ciężarem przypadkowym..............

114.    Skutki sprawione jednoczesnem działaniem ciężaru stałego

i przypadkowego...................................

115.    Zastosowanie teoryi Albaret’a i jej wyniki.............

116.    Przykład liczebny..................................

117.    Przybliżone obrachowanie ciężaru luku................

335

345

348

350

357

360

302

364

371

370

379

384

386

399

401

410

KSIĘGA II

Powierzchnie.

strona

ROZDZIAŁ I I OSTATNI — Powierzchnie walcowe i kuliste... 418 113. Wstęp.............................................

119.    Powłoka walcowa o przecięciu eliptycznem z małym mi-

mośrodem..........................................

120.    Powłoka walcowa o przecięciu kołowem...............

121.    Powłoka kulista i kocioł parowy.....................

418

419

427

428

CZESC TRZECIA

Budowle murowane.

122. Wstęp,

433

KSIĘGA I

Stałość sklepień.

ROZDZIAŁ I. — Sklepienia walcowe proste......

1 23. Określenia..............................

124.    Dawna toorya stałości sklepień walcowych..

125.    « Krzywa ciśnień » Méry’ego...............

128. Parcie sklepienia w kluczu; — Różne teorye

127.    Prace Durand -Claye’a.....................

128.    Sposób praktyczny sprawdzania stałości sklepień walcowych 462

129.    Stałość podpór sklepiennych..........................

130₌ Wzory empiryczne służęce do oznaczenia grubości sklepień

walcowych w kluczu................................

ROZDZIAŁ 11. — Sklepienia obrotowe, krzyżowe i inne.....    46!)

131.    Kopuły......................

132.    Sklepienia klasztorne i krzyżowe

3 33. Sklepienia ukośne.............

4SI

456

463

467

469

477

KSIĘGA II

Stałość murów oporowych.

strona

ROZDZIAŁ 1. — Parcie ziemi..............................

134.    Własności ziemi....................................

135.    Ogólna teorya parcia ziemi...........................

136.    0 stałości ziemi niepodpartej mającej dany spadek......

137.    Uproszczenie teoryi przez pominięcie tarcia ziemi o mur

oporowy...........................................

138.    Parcie ziemi ograniczonej z wierzchu płaszczyzny poziomy

przechodzycy przez szczyt muru......................

133. Parcie ziemi majyeej spadek dowolny poczywszyod szczytu muru..............................................

140.    Sposób geometryczny oznaczania parcia ziemi w najogólniejszych warunkach.................................

141.    O w pływie obciyżenia ziemi na oddziaływanie muru oporowego....................................•........

ROZDZIAŁ II. — Opór ziemi...............................

142.    Ogólna teorya oporu ziemi............................

143.    Uproszczenie teoryi przez pominięcie tarcia ziemi o ścianę

muru..............................................

144.    Opór ziemi ograniczonej płaszczyzny poziomy...........

145.    Sposób rysunkowy oznaczania oporu ziemi w warunkach

najogólniejszych....................................

ROZDZIAŁ III. — Stałość murów oporowych................

146.    Ogólne warunki równowagi...........................

147.    Stałość muru pod względem wywrolności..............

148.    Stałość muru oporowego pod względem tarcia płaszczyzn łożyskowych i wytrzymałości kamienia przeciw zgnieceniu.

488

488

492

500

504

507

511

515

525

531

531

537

538

544

54fi

546

547

O 00

ZBIÓR TABLIC

Przytaczanych w niniejszym wykładzie.

Tablica I. — Współczynniki sprężystości i wytrzymałości niektórych inateryałów budowlanych.................

Tablica II. — Ciężar metra sześciennego niektórych ciał w przemyśle używanych.............................

Tablica III.— Współczynniki tarcia..........................

Tablica IV. — Wartości stosunku ........................

C3l >

Tablica V. — Współczynnik poprawki

7«

struna

569

573

Ö79

583

i+A

Tablica VI. — Współczynniki À i).'.....

Tablica VII. — Współczynniki F, F'il-"

589

■

l

.

i'..¹:, i    H

‘

-

.

. •

■ “ M rbnn^Ą ■ li/ >•

m .......

-

■

PRZEDMOWA

Zachęcony dobrem przyjęciem, jakiego doznał «Wykład Hydrauliki » napisany w r. 1873 przez Feliksa Kucharzewskiego z moim współudziałem; zabrałem się do ułożenia Wykładu nauki o Wytrzymałości materyałów, jako drugiej gałęzi Mechaniki stosowanej. Z żalem przyszło mi odmówić sobie pomocy dawnego współpracownika i kolegi ; gdy jednak znaczną, rozdzieleni przestrzenią, nie mogliśmy zająć się wspólną pracą, podjąłem sam trudne zadanie w tej nadziei, że choć w części własną gorliwością brak współpracownictwa zastąpię.

Czem jest nauka o Wytrzymałości materyałów w obec Mechaniki stosowanej i innych z nią w związku będących umiejętności, już obszernie w przedmowie do « Hydrauliki » wyłożono. Byłoby więc zbytecznem, przedmiot ten drugi raz traktować, zwłaszcza że książka niniejsza uważana obok « Wykładu Hydrauliki », jest niejako drugim tomem « Mechaniki stosowanej», a więc jest dalszym ciągiem poprzedzającej.

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERYAŁÓW.

Niniejszy wykład składa sie z trzech części. Pierwsza obejmuje pręty proste czyli belki, druga pręty krzywe czyli łuki, trzecia zaś budowle murowane. Podział ten zdawał mi się najodpowiedniejszym, bo jakkolwiek belki proste mogę być uważane jako łuki o nieskończenie małej krzywiznie, a więc w teoretycznem znaczeniu tworzyć razem z łukami jeden rodzaj brył geometrycznych, to znowu odróżnienie belek od łuków ułatwia zrozumienie elementarnych zasad wytrzymałości. Majęc zaś na uwadze brak dzieł polskich o tym przedmiocie traktujących, wolałem iść drogę syntetycznę od rzeczy łatwych do trudniejszych, jak rzucać się odrazu na wyższe po-ględy. Toż samo pod względem dowodzenia starałem się wybrać sposoby jak najłatwiejsze, unikajęc wszelako, o ile możności sposobów geometrycznych, jako zbyt mechanicznych i trudnych do spamiętania.

Pod względem oryginalności dowodzeń niniejsze dzieło nie wiele nowego przedstawia, będęc w ogóle zbiorem przedmio tów z francuzkiej i z niemieckiej literatury czerpanych. Nie było też mojćm zadaniem snuć cały traktat z własnej myśli; do tego brakłoby sił odpowiednich ; ale chciałem naturalnem różnych przedmiotów zwięzaniem utworzyć Wykład przystępny, a godny dzisiejszego stanowiska Mechaniki stosowanej. Nie chcę przez to powiedzieć, że księżka niniejsza zawiera wszystko, co w mem mniemaniu jest godne wzmianki lub uwagi, boby to znaczyło przyznawać się do głębokiej obcych piśmienictw znajomości; ale mam jedynie na myśli rzeczy ważniejsze, całemu uczonemu światu znane. Wychodząc z tego stanowiska skreśliłem obraz stopniowego rozwoju Nauki, nie tyle pod względem krytycznym, ile pod względem historycznym, dla dopełnienia braku tego rodzaju poglądów nie tylko w naszem piśmiennictwie, ale i w literaturach zagranicznych. Praca ta, może pierwsza w swym rodzaju, zawiera zapewne nie mało niedostatków, ale mam do powiedzenia na swą obronę, że opuściwszy Europę z rozpoczętym zaledwie rękopismem, musiałem się zadawalniać skąpymi naukowymi środkami, a odmówić sobie pomocy europejskich bibliotek.

Co się tyczy technicznego słownictwa, trzymałem się zasady Jana Śniadeckiego, iż « gdziekolwiek nie zachodzi prawdziwa « potrzeba, gdzie nie ma ani nowej myśli, ani nowej rzeczy, « ani nowego obrazu i poruszenia, tam nowego wyrazu tworzyć « ani powszechnie przyjętego i od dobrych pisarzów używa-« nego odmieniać się nie godzi : inaczej jest to psuć, zacie-« mniać język i strącać go do barbarzyństwa.» Wiele to pracy kosztowało wyszukać w naszej literaturze wyrazy techniczne mające za sobą powagę ich twórcy, sądzę jednak, że sumienna krytyka nie wiele w tym względzie zaniedbania zarzucić mi zdoła.

Na zakończenie dodać muszę, iż dzieło to znalazło w Osobie hrabiego Jana Działyńskiego wspaniałomyślnego wydawcę. Czcigodny miłośnik nauk matematycznych i gorliwy popieracz wszystkiego, co dla kraju użytecznem być może, nie wahał się podjąć wielkich kosztów wydawnictwa, a moralną otuchą i materyalnym zasiłkiem dopomódz do ukończenia założonego planu. Niech mi więc będzie wolno złożyć Mu publiczne dzięki, nie tylko w mem własnem imieniu, ale także ze strony wszystkich, co w pracy niniejszej niejaki dla Kraju widzę pożytek.

Pisałem w Limie (Peru), dnia 27 Czerwca )S75 ruku.

Władysław Kluger.

POGLĄD HISTORYCZNY

O

NA ROZWÓJ NAUKI O WYTRZYMAŁOŚCI MATERYAŁÓW

Nauka o Wytrzymałości materyałów uważana jako szczegółowa gałyź Mechaniki stosowanej, jest umiejętnością całkiem nowożytny, ale badania doświadczalne własności ciał stałych sięgajy jak najdalszej starożytności i sy współczesne pierwszym próbom budownictwa. Szybko uznano wpływ wymiarów i kształtów na moc i trwałość materyałów, a budownictwo starożytne kierowane doświadczeniem i pewnym instynktem w ogóle nader słusznym uświęciło od najdawmiejszych czasów niektóre prawidła, po większej części zupełnie usprawiedliwione przez umiejętność nowoczesny.

W pismach średniowiecznycli nie ma żadnej wzmianki o prawidłach, któremi się kierowano przy stawianiu tyłu lekkich a śmiałych budowl ówczesnej epoki. Był to, zdaje się, czas prób i badań doświadczalnych, w którym niedowierzano jeszcze własnemu doświadczeniu, i nie śmiano stawiać prawideł stanowczych, w obawie tamowania postępu budownictwa. Można jednak powiedzieć, iż cały sekret ówczesnych budownictwa mistrzów polegał na takiérn równoważeniu sił zewnętrznych, aby punkta podporowe utrzymywały się w spoczynku, nie mocy własnej stałości, ale w skutek wzajemnego niweczenia się wszystkich sił ukośnie działa-jycych. To też zmniejszano objętość podpór do najsłabszych wymiarów, zapewnie przez dochodzenie wytrzymałości kamienia, za pomocy dryga prostego lub złożonego, którego zasadę znano już naówczas. Używano także w ciesiołce, różnych sposobów do łyczenia belek drewnianych,

(Belki)

(1638)

ale nie zajmowano się najlepszem zużytkowaniem ich mocy przez obranie odpowiedniego kształtu, bo drzewa było pod dostatkiem.

Dopiero Galileusz żyjący w siedmnastem stuleciu, zastosował Geome-tryę i rachunek do rozwiązywania zadań wytrzymałości i dlatego uważać go można za życiodawcę téj nauki. Podał on w roku 1638 (Opere di Galileo Galilei, Dialogo secundo), teoryę belek prostych, obładowanych ciężarami, i dowiódł teoretycznie, że belka czworograniasta węższą ścianą na podporach położona znosi większe obciążenie, jak takaż belka na płask leżąca, i że stosunek wytrzymałości w obydwóch razach jest równy stosunkowi większego wyjuiaru poprzecznego do wymiaru mniejszego; dalej, że belki jednym końcem osadzone albo też podparte w obydwóch końcach mogę znosić obciążenie proporcyonalne do szerokości i do kwadratu z wysokości, a odwrotnie proporcyonalne do długości tychże belek; wreszcie, że walce wydrążone opierają się daleko więcej wygięciu poprzecznemu, jak walce pełne o takiejże samej objętości. Nie na tein koniec odkryć Galileusza. Tworzy on jeszcze teoryę brył o jednostajnej mocy, przeznaczonych do zaprowadzenia największej możebnej oszczędności w użyciu maleryału, i dowodzi, że belka o stałćj szerokości jednym końcem osadzona, a której ściana spodnia jest płaska i pozioma, posiada jednakową wytrzymałość we wszystkich miejscach, jeżeli ściana górna jest wyciosana podług paraboli, mającej swój wierzchołek na końcu obciążonym belki. Porównywając potem belkę wyginaną z belką rozciąganą Galileusz znajduje rachunkiem, że wytrzymałość pierwszej tak się ma do wytrzymałości drugiej, jak połowa wysokości belki do jej długości.

Wszystkie te twierdzenia są pewne i prawdziwe, z wyjątkiem wyniku tyczącego się stosunku, jaki zachodzi między wytrzymałością belki w wyginaniu i rozciąganiu ; na ten bowiem tylko punkt wpływa zasadnicze przypuszczenie Galileusza teoryi. Mniemał on mylnie, że wszystkie włókna belki ciężarami obładowanej, wyciągają się wskutek wygięcia, zarówno po stronie Avklęsłćj, jak po stronie wypukłej, a ówczesny świat uczony podzielał jego mniemanie. Natomiast zarzucano mu niesłuszność twierdzenia, jakoby belka paraboliczna miała być doskonałą do budowy pokładów okrętowych, ze względu na jej lekkość, a sławny wówczas budowniczy Franciszek Blondel w liście pisanym do fizyka szwedzkiego Wurtius’a (F. B. Epistoła ad P. Wurtius in qua famosa Galilei propositio discutitur... etc. Data Parisiis, 1661), zaleca używanie belek

wpodluż eliptycznych, jako szczególnie do tego celu sposobnych. W istocie obwód eliptyczny stosuje się lepiej od parabolicznego do ciężarów kładzionych w różnych miejscach belki, jak lo właśnie bywa na pokładzie okrętowym, ale belka taka nie posiada wcale jednostajnej wytrzymałości, bo jest wszędzie za gruba z wyjątkiem jednego miejsca.

(1680)

Będż co będź, teorya Galileusza znalazła wielu zwoleników, i przechowała się bez zmiany aż do roku 1678, w którym sławny fizyk angielski Robert Hooke, zajmujęcy się badaniem ruchu sprężyn zegarowych, odkrył prawdziwe podstawy teoryi wygięcia. Wygłosił on na końcu opisu Description of Eelioscopes and some other Instruments prawo propor-cyonalności wydłużeń lub skurczeń do natężeń sprawiających te odkształcenia, i zrobił tę ważnę uwagę, że pręt wygięty rozcięga się po stronie wypukłej, a kurczy po stronie wklęsłej. Wkrótce potem, bo w roku 1680, uczony francuzki Mariotte spostrzegł przy robieniu doświadczeń nad prętami drewnianymi i szklannymi, że stosunek ciężarów potrzebnych do zerwania i złamania jest daleko większy, jak w teoryi Galileusza, i że najtwardsze nawet ciała wycięgaję się i kurczy proporcyonalnie do obciężeń, a po odjęciu ciężarów wracaję do pierwotnego stanu. Mówi on dalej wyraźnie w swym Traité du mouvement des eaux iw Œuvres complètes, cinqièmepartie, że pręt wyginany kurczy się po stronie wklęsłej a rozcięga na stronie wypukłej, i na zasadzie tych spostrzeżeń kładzie włókna obojętne w połowie wysokości pręta. Szukajęc potem stosunku, jaki zachodzi między siłę potrzebnę do zerwania i siłę potrze-bnędo złamania pręta, Mariotte popełnił wprawdzie błęd rachunkowy i znalazł taki sam wypadek, jak gdyby włókno obojętne leżało u spodu przecięcia poprzecznego, ale pomimo tego może być uważany za twórcę zasad będęcych podstawę dzisiejszej teoryi zgięcia, jeżeli nie w znaczeniu zupełnie ogólnem, to przynajmniej w przypadku przecięć podwójnie symetrycznych. Niesłusznie więc mówię o Jakóbie Bernoulli’m, jakoby on pierwszy zdał uprawę z kurczenia się włókien i stworzył prawdziwe zasady rachunku wytrzymałości, bo w piśmie Jacobi Bernoullii Curva-tura laminæ elasticœ, Acta eruditorum, Lipsiæ, Junii 1694, p. 262, wydanem w lat dziesięć po ogłoszeniu prac Mariotte’a, nie ma żadnej wzmianki o kurczeniu się włókien w pręcie wyginanym; w późniejszych zaś pismach Bernoulli’ego znajdujemy ten sam błęd rachunkowy, co w pracy jego poprzednika, zwiększony jeszcze nieudatnę zmianę, którę ten uczony w teoryę Mariotte’a wprowadzić usiłował.

(1702)

(1707)

(1713)

(Budowle

murowane).

(1712)

Wszelako prawo proporcyonalności natężeń do wydłużeń, które Hooke i Mariotte wzięli za podstawę nowej teoryi wytrzymałości nie zostało uznanem przez cały ogół ówczesnych uczonych; znajdujemy bowiem w Pamiętnikach Akademii francuzkiej z roku 1702 rozprawę Varignon’a, w której natężenie włókien jest uważane za funkcyę nieoznaczoną ich wydłużenia. Było w tem mniemaniu Varignon’a wiele prawdy, gdyż owa proporcyonalność natężeń do pierwszej potęgi przyrostu włókien odnosi się tylko do pewnego stanu skupienia i nie przekracza tak zwanych granic sprężystości, po za któremi zupełnie inne panuje prawo. Nie chciano także uznać istnienia włókna obojętnego wewnątrz pręta i mniemano uporczywie, że w belce wyginanej wszystkie włókna rozciągają się w stosunku rosnącym, począwszy od ściany wklęsłej ku wypukłej, i że żadne z nich nie kurczy się podług prawa Mariotte’a. Dopiero Parent, członek Akademii francuzkiej i autor pierwszych po Mariotte’cie doświadczeń nad wytrzymałością prętów dębowych i jodłowych (Mé-moirs de l'Académie des Sciences, 1707 et 1708)dowiódł pierwszy w sławnej rozprawie De la véritable mécanique des résistances relatifs des solides, et réflexions sur le système de M. Bernoulli de Bâle, 1713, że summa oporów włókien rozciąganych musi być równa summie oporów włókien skurczanych, i odkrył ów błąd rachunkowy dotyczący stosunku, który zachodzi między wytrzymałością w złamaniu i rozerwaniu. Od tej chwili teorya Mariotte’a na zawsze ustaloną została.

Na tę ważną epokę historyi belek prostych przypadają także pierwsze poszukiwania naukowe w zupełnie innej gałęzi budownictwa, a mianowicie w przedmiocie stałości sklepień i podpór sklepieniowych; jakkolwiek bowiem zasady budowy sklepień były już znane w starożytności, to jednak dopiero Lahire podał w roku 1712 pierwsze sposoby geometryczne sprawdzania ich stałości (Histoire de VAcadémie des Sciences, 1712). Wychodził on z przypuszczenia, iż każde sklepienie niemogące utrzymać się w równowadze pęka w połowie luku między kluczem a podporą, i uważając część górną luku za jednę bryłę, a część dolną wraz z podporą za drugą bryłę klinowatą, obliczał ciśnienie jednej na drugą z zupełnem pominięciem tarcia w stosudze pęknięcia. Taki sposób uważania rzeczy prowadził naturalnie do wypadków bardzo niepewnych, bo z jednej strony pominięcie tarcia nie zgadzało się z codziennem doświadczeniem i dawało za wielkie cyfry na ciśnienie w kluczu, a z drugiej znowu strony przypuszczenie stosugi pęknięcia w samej ćwierci sklepienia

prowadziło do pomniejszenia parcia. Zresztą teorya ta nie dawała prawdziwego punktu przyczepienia ciśnień ani w slosudze pęknięcia, ni w kluczu i w łożysku oporowcm, a tem samem nie mogła służyć do sprawdzenia warunku wywrotności zworników. Jednakże pomimo tylu niedokładności i błędów teorya Lahire’a znajdowała tak wielu zwolenników, iż przechowała się bez zmiany aż do czasów Coulomb’a, o którego pracach później mówić będziemy. W tym długim przeciągu lat sześćdziesięciu jeden tylko Couplet starał się sprostować błędne poględy Lahire’a przedstawiając Akademii francuzkiej w roku 1729 nowę teoryę sklepień opartę na przypuszczeniu, że w chwili zerwania równowagi zworniki sklepienia obracaję się około swych krawędzi. iNie zaprzeczał on istnienia pewnej dężności do wyślizgiwania się zworników na kształt klinów, owej dężności, którę Lahire za jedynę przyczynę nierównowagi uważał, ale czynnę rolę przypisywał wywracaniu się zworników i na tem zjawisku opierał główne warunki stałości. Mylił się wprawdzie Couplet co się tyczy położenia stosug najsłabszych, które zdaniem jego przypadaję zawsze w samym środku sklepienia między kluczem i podporę, ale w znaczeniu ogólnem stanę! na wysokim szczeblu prawdy, którę dopiero późniejsze badania sprawdziły i wykazały, Przeszły jednak niepostrzeżenie te pełne przyszłości prace, i teorya Lahire’a używała dalej swej niczem niezasłużonej powagi.

(1729)

(Belk'

Tymczasem teorya belek prostych .stała cięgle na stanowisku, na którem ję postawił Parent przed blizko dwmdziestu laty. Tak długa przerwa w postępie nauki mogęcej mieć niemal codzienne zastosowanie nie mogła się tłumaczyć obojętnościę ówczesnych budowniczych, ale raczej brakiem ufności do rachunków niesprawdzonych jeszcze dostate-cznę liczbę doświadczeń; nie można było bowiem przypisywać wiele znaczenia kilku próbom Mariotte’a i Parent’a. Rzucono się też z pewnym zapałem do fizycznego próbowania mocy materyalów, aby przynajmniej tym sposobem utworzyć niezawodne dla budowmiczej sztuki prawidła. Jakoż w roku 1729 Musschenbrœk opisał w Introdmtio ad cohœrentiam corporum firmorwn (Dissertationcs physicce experimentalis et geometricœ, Lugduni Batadorum) długi szereg wykonanych przez niego doświadczeń nad łamaniem, rozrywaniem i zgniataniem drzew najrozmaitszego gatunku, żelaza, surowca, różnych metali i spiżów, a nawet płyt szklan-nych. Doświadczenia te posłużyły nie tylko do obrachowania mocy bezwzględnej materyału, ale wykryły przytem tę ciekawę własność ciał

sprężystych, iż wytrzymałość prętów podłużnie ściskanych jest odwrotnie proporcyonalna do kwadratu z długości, jak tego dowiódł później sławny matematyk Euler. Równocześnie Belidor (Science des Ingénieurs, 1729) ogłaszał swoje próby nad wyginaniem małych bułeczek drewnianych i układał tablice wytrzymałości przeznaczone do praktycznego użycia, a sławny hydraulik Poiini doświadczał mocy pasów żelaznych przeznaczonych do wzmocnienia kopuły św. Piotra w Rzymie. Ale najważniejsze ze wszystkich sę prace Buffon’a opisane w Pamiętnikach Akademii francuzkiej z lat 1740 i 1741. Sę to pierwsze doświadczenia na wielkę skalę, w których uwzględniano wiek i gęstość drzewa, i rozróżniano rdzeń od bielą, a wierzchołek od pnia drzewnego. Buffon twierdząc, iż z powodu gnicia słojów obsadzanie drzewa w murze nie przedstawia tyle korzyści, ile mu teorya przypisuje, dochodził tylko mocy prętów wolno leżęcych na dwóch podporach, do czego jednak używał belek wielkości naturalnej, a nie w kształcie modeli, jak jego poprzednicy. Doświadczenia te dowiodły zgodnie z twierdzeniem Galileusza, iż ciężary odpowiadające złamaniu sę proporcyonalne do szerokości, do kwadratu z wysokości, a odwrotnie proporcyonalne do długości przęsła, i że w belkach mocno obciążonych, strzałka wygięcia rośnie z czasem aż do zupełnego złamania.

(1729)

(1740)

Tu następuje chwila przerwy w pracach tyczęcych się wytrzymałości materyalów przeciw złamaniu, a natomiast odkrywa się era odkryć naukowych i czysto matematycznych w przedmiocie « krzywych sprężystych », to jest krzywych tworzących się w skutek wyginania prętów prostych. Już Bernoulli wykazał był ich główne własności (Acta erudi-torum, p. 262) opierajęc się na dowiedzionej przez niego zasadzie, że « w jakimkolwiek punkcie promień krzywizny ma się w stosunku odwrotnym do momentu siły wyginającej, momentu branego względem tego punktu », co jeszcze później obszernie wyłuszczył w Akademii umiejętności w Paryżu. Ale dopiero Euler podał w dodatku do sławnego dzieła Methodus ïnvenienii lineas curvas maximis minimive proprietate gaudentes, 1744, dokładnę klasyfikacyę krzywych sprężystych płaskich i dowiódł zgodnie z pomienionem twierdzeniem Bernoulli’ego, że krzywe sprężyste sę takie linie, dla których cc całka elementu łuku podzielona przez kwadrat z promienia krzywizny jest minimum », wszystko to wzięte odnośnie do pewnej części łuku, której styczne po obu końcach sę znane. Z dziewięciu rodzai krzywych znalezionych przez Euler’a

sześć pierwszych odnosi się do przypadku, w którym wypadkowa sił zewnętrznych przecina krzywę, szósty i siódmy wypada wtedy, gdy siła działa zewnętrz pręta przez pośrednictwo drężka, a gatunek dziewięty, gdy natężenia zewnętrzne sprowadzają się do pary sił. Najwięcej uderzyła Geometrów krzywa pierwszego rodzaju, odnoszęca się do słupów pionowo obciążonych, w których siła zewnętrzna czyni kęt, bardzo mały z kierunkiem włókna środkowego; krzywa ta bowiem nie może się utworzyć, zanim siły zewnętrzne nie dosięgnę pożędanego natężenia, a raz utworzona powiększa ustawicznie swę krzywiznę, bo moment sił zewnętrznych rośnie w skutek wygięcia. Ta na pozór szczególna okoliczność, że natężenie musi przejść pewne granice zależne od sprężystości, aby pręt prosty podłużnie ściskany zaczęł się wyginać, wywołała liczne spory naukowe, które Euler dopiero w r. 1757 zwycięzko zakończył dowiódłszy w Pamiętnikach Akademii berlińskiej, że siła potrzebna do wygięcia słupa zależy nie tylko od sprężystości materyi, ale jest nadto odwrotnie proporcyonalna do kwadratu z długości słupa.

(1757)

(1707)

(1769)

Wszystko to potrzebowało sprawdzenia, bo chociaż krzywa pierwszego rodzaju zgadzała się z doświadczeniem Musschenbrœk’a, to jednak o reszcie krzywych nie miano żadnej pewności. Duhamel de Monceau mierzył wprawdzie w roku 1767 (Mémoires de VAcadémie de France), strzałki wygięcia w swych doświadczeniach robionych dla oznaczenia włókna obojętnego w belkach drewnianych, w którym to celu przecinał drzewo w poprzek do pewnej głębokości, ale zmierzenie strzałki nie mogło jeszcze służyć do sprawdzenia krzywych Euler’a, bo jego leorya nie dawała wyrażenia analitycznego na przyrost rzędnej. Pokazało się tylko, że belki przecięte więcej jak do połowy wysokości posiadaję takę sarnę wytrzymałość przeciw złamaniu, jak belki nieprzecięte, co dowodzi, że w chwili złamania liczba włókien ściskanych jest większa od liczby włókien rozcięganych. Dopiero w roku 1769 sławny matematyk Lagrange potwierdził i uprościł owe prace Euler’a, przedstawiwszy Akademii berlińskiej rozprawę Sur la force des ressorts pliés, w której pierwsze całki równania krzywych sprężystych sę wyrażone w sposób bardzo prosty przez funkeye łuku i kęta, jaki tworzy styczna z pewnę prostę stałę. W następnym roku (Mémoires de l’Académie de Turm,

1770-1777?) wyświecił on zupełnie znaczenie krzywej pierwszego rodzaju i usunęł wszystkie trudności rachunkowe całkujęc równanie różniczkowe za pomocę szeregu, bez podstawienia odciętej w miejsce łuku, jak to

czynił Euler z wielkim dla dokładności rachunku uszczerbkiem. Tym sposobem wyszedł na jaw prawdziwy związek między strzałkę wygięcia, długościę pręta i silę wyginajęcę, zwięzek dowodzęcy jasno i stanowczo, że strzałka jest urojonę dla wszystkich sił większych od granicy przez Euler’a określonej. W tej to rozprawie znajdujemy po raz pierwszy wzmiankę o przeginaniu się krzywej sprężystej w przypadku pręta w podłuż ściskanego i o tworzeniu się garbów na przemian wklęsłych i wypukłych, co rzeczywiście ma miejsce, gdy kilka punktów pręta nie może zbaczać ze stałego położenia. W ogóle analiza Lagrange’a jest pod względem wykończenia wyższa od pracy Euler’a, bo nie tylko podaje wartość strzałki, której Euler nadaremnie poszukiwał, ale daje także wyrażenie dokładne długościłuku i usuwa wszystkie wętpliwości dawniej" szej teoryi.

:i773)

W czasie gdy Lagrange ogłaszał swoje prace z dziedziny czysto matematycznej, Coulomb nie wiedzęc wcale o pismach Parent’a przedstawił Akademii francuzkiéj sławnę rozprawę Essai sur une application des régies de maximis et minimis à quelques problèmes de Statique relatifs à VArchitecture, 1773, w której cała teorya równowagi na prawdziwych podstawach ugruntowanę została. Okazuje on najprzód, że wszystkie zadania dotyezęce równowagi względnej mogę być sprowadzone do zadań o maximum i o minimum, i wyjaśnia mało wówczas znane twierdzenie Statyki, na mocy którego summy rzutów sil na trzy osie prostokętne muszę być równe zeru, jeżeli dany układ maleryalny ma się znajdować w równowadze; potem dowodzi za pomocę tego twierdzenia, że w każdem przecięciu belki poprzecznie obeiężonej summa natężeń rozcięgajęcych jest równa summie ciśnień poziomych, i znajduje położenie włókna obojętnego. Oś .obrotu przecięć, mówi Coulomb, nie zawsze leży w połowie wysokości belki ; zmienia ona swre położenie w miarę jak ustaje prawm proporcyonalności ciśnienia i kurczenia się włókien, ale nigdy nie leży na krawędzi przecięcia, bo linia bez grubości nie wytrzyma ciśnień skończonych.

Mówięc o pracach Coulomb’a nie możemy pominęć jego ważnej uwagi co się tyczy przesuwania jednych przecięć poprzecznych po drugich, bo punkt ten zaniedbyw'anyprzez czas długi stał się później powodem niesłusznych zarzutów robionych całej teoryi wytrzymałości. Powiada mianowicie Coulomb w swej rozprawie, że podany przez niego sposób obliczania wytrzymałości belek poziomych jednym końcem osadzonych a obcię-

żonycli na drugim, jest tylko wtedy prawdziwy, gdy składowe pionowe sił wywiązanych w przecięciu poprzecznem nie budzę wielkiej dężnośei do przerwania poprzecznego włókien, co, jak mówi, ma wtedy micjce, gdy ramię drężka jest znacznie większe od grubości belki. Nieco dalej zwraca nawet uwagę na wytrzymałość przeciw temu ślizganiu w warstwach muru oporowego, w bryłach ziemnych, w stosugach sklepienia i t. d., a nawet tłumaczy pękanie słupa brakiem tego rodzaju wytrzymałości. Ten punkt ostatni nie jest może prawdziwy, ale dowodzi wyraźnie sam przez się, że pojęcie o ślizgowatości jednych przecięć względem drugich było już wyraźnie określone w wieku XVIIby«¹.

Coulomb jest twórcę, pierwszej teoryi skręcenia. Jego rozumowanie zarówno proste jak racyonalne prowadzi do twierdzenia, że momenla sił wewnętrznych brane względem osi walca skręcanego sę proporeyo-nalne do kęta skręcenia i do czwartych potęg średnicy. Prawidło to uważane w granicach, jakie mu nakreślił Coulomb, to jest stosowane do samych tylko walców kołowych jest zupełnie zgodne z późniejszemi poszukiwaniami, ale nie może się stosować do przecięć innego kształtu, bo wtedy punkta najwięcej odlegle od środka łigury nie sę najwięcej wytężone i przecięcia pierwotnie płaskie zamieniaję się na powierzchnie krzywe podobne do paraboloid hiperbolicznych.

(Budowle

murowane).

Ważnę także epokę w historyi budownictwa stanowi teorya sklepień wyłożona w pomienionej rozprawie Coulomb’a. W miejsce błędów i niedokładności, które Lahire przed kilkudziesięciu laty uświęcił powagę swego imienia, znajdujemy tu prawdziwe określenie warunków równowagi polegajęcycli na roztwieraniu się stosug w skutek obrotu zworników, zgodnie z dawnemi pojęciami Couplet’a. Coulomb nie bierze już dowolnie, jak Lahire, pewnych stosug za najsłabsze, ale szuka ich rachunkiem, oznacza parcie w kluczu i określa warunki równowagi każdej części sklepienia. Wzięwszy dowolnie na podniebieniu jeden punkt za krawędź obrotu, i drugi punkt leżęcy nieco wyżej, oblicza on parcie odpowiadajęce obydwóm przypuszczeniom i porównywa znalezione wypadki. « Jeżeli pierwszy z nich jest mniejszy od drugiego, stosuga pęknięcia », mówi Coulomb, « leży z pewnościę między kluczem i punktem niższym », jest to więc metoda polegajęca na porównywaniu wypadków otrzymanych przez robienie różnych przypuszczeń pod względem położenia stosug słabych. Coulomb jest niezaprzeczenie jej wynalazcę, ale oddajęc mu hołd winny, należy także wspomnieć o

(1774)

(1780)

(1787)

(1802);

Danizy’m, który kilka lat wprzódy robił pierwsze doświadczenia nad zapadaniem się sklepień, i zwrócił uwagę na niestosowność uważania stosug leżących w ćwierci sklepienia za najsłabsze we wszystkich może-bnych przypadkach ; być bowiem może, że ta uwaga była właśnie punktem wyjścia poszukiwań Coulomb’a.

Właśnie w tym czasie zaczęto robić w Paryżu pierwsze próby nad wytrzymałością kamieni przeciw zgnieceniu. Najprzód Gauthey wykonał szereg doświadczeń, w celu sprawdzenia wytrzymałości słupów przeznaczonych do podtrzymywania kopuły w kościele św. Genowefy i spostrzeżenia swoje opisał w Journal de Physique de l'aboé Rozier na rok 1774; gdy jednak te niedostatecznemi się okazały Soufflet i Perronet przerobili je na większą skalę. Wkrótce potem spostrzeżono, że machina używana przez Gauthev’a, Soufflet a i Perronet’a, a polegająca na prostej zasadzie drążka, miała tak wielkie wady, iż do znalezionych poprzednio wypadków żadnej wartości przywiązywać nie można było ; obmyślił więc Rondelet w r. 1780 nową machinę z drągiem w noże zaopatrzonym, a mającym ruchomy punkt podpory i za pomocą tego przyrządu wykonał owe sławne doświadczenia nad wytrzymałością kamieni, które jeszcze dzisiaj za klasyczne uważają. Wypadki tych doświadczeń, tudzież prób robionych w r. 1787 nad mocą zapraw wapiennych i gipsowych ogłosił Rondelet po raz pierwszy w dziele Art de bâtir, tomie I, wydanym w roku 1802.

Oprócz teoryi sklepień ułożył Coulomb teoryę ciśnienia ziemi opartą na istnieniu tak zwanego « graniastosłupa o największem parciu ». Nie była to teorya ogólna i wyczerpująca, bo stosowała się tylko do ziemi poziomo układanej z zupełnie pionową skarpą, a przytem nie uwzględniała tarcia ziemi o mur oporowy, ale jej zasada była w gruncie rzeczy podstawą wszystkich prac później podejmowanych w przedmiocie ciśnienia ziemi. Zresztą nie można jej zarzucić braku pewnego wykończenia, bo zdawała nie tylko sprawę ze spójności ziemi, ale także z tarcia jednych cząstek o drugie; a co najważniejsza prowadziła do wypadków zupełnie zgodnych z dzisiejszemi teoryami, o ile ta zgodność ze względu na zrobione przez Coulomb’a zastrzeżenia panować mogła. Tylko wzory ostateczne nie były tak proste, jak się tego spodziewać należało; bo Coulomb zamiast wprowadzić kąt mierzący pochylenie naturalnej skarpy określał go przez funkcyę współczynnika tarcia, co dopiero sprostował Prony w swych Recherches sur la poussée des terrest

1802. Zarzucaj? także Coulomb’owi, iż zasada « graniastoslupa o nąj-większem parciu» była błędn? ze względu na tę okoliczność, iż bryła ziemi :.esvpuj?ca się w pierwszej chwili po usunięciu muru oporowego wywiera takie samo parcie, jak każda inna bryła ziemna zawarta między murern i płaszczyzn? przez jego spód przechodząc?; czyli że wszystkie graniastosłupy ziemne wywieraj? parcie jednakowe; ale zarzut ten tyczy się raczej nazwy jak rzeczy, a przynajmniej zdaniem mojern, w tym sensie powinien być rozumiany. B?dź co b?dź, Coulomb jako twórca teoryi ciśnienia ziemi i pokrewnej z ni? teoryi oporu stał niezaprze-czenie na szczeblu wysokiej doskonałości i pewn? ręk? ldadł kamień węgielny pod cal? budowę późniejszych poszukiwań.

Dzięki tylu genialnym pomysłom Coulomb’a nauka o wytrzymałości materyałów stanęła już w końcu zeszłego stulecia na prawdziwych podstawach i oczyściła się z mnóstwa błędów i niedorzeczności, których w ciemnocie wieków średnich ujrzeć nie można było. Nie odrazu umiano skorzystać ze słowa prawdy i pozbyć się nawyknień wyrobionych przez dług? rutynę, któr? uśwdęciło tyle imion sławnych budowniczych, ale nie mniej obudziła się w ówczesnych uczonych pewna nieufność do dawnych prawideł i chęć sprawdzenia nowo odkrytych teoryi. Dowodem tego s? wielkie doświadczenia Dupin’a, Duleau’go i innych, poprowadzone w duchu prawdziwie badawczym i naukowym, a poprzedzone prac? teoretyczn? Tomasza Young’a (A course of natural Philosophie and the mecanical Aids, 1807), w której jest mowa po raz pierwszy o « module sprężystości » belek wyginanych.

Dupin badał moc i sprężystość drzewa. Powiada on w swej pierwszej rozprawie Expérience sur la flexibilité, la force et l’élasticité des bois, faites dans l'arsenal de la marine à Corcyre, en 1811, zamieszczonej W Dzienniku Szkoły politechnicznej paryzkiej, iż mierz?c z przybliżeniem dwóch dziesi?tych milimetra wygięcie belek poziomych obładowanych w środku różnymi ciężarami sprawdził proporcyonalność strzałek do obci?żeń, o ile takowe nie przechodź? pewnej granicy zależnej od natury materyału. Znalazł on, że stosunek strzałki odpowiadaj?cej jednostajnemu obci?żeniu do strzałki wywołanej obci?żeniem środka belki jest równy liczbie 0,66, co zbliża się bardzo do stosunku teoretycznego 0,62ö ; dalej, że przy tej samej szerokości i długości pręta strzałka wygięcia jest odwrotnie proporcjonalna do sześcianu z wysokości, a zaś proporcyonalna do sześcianu z długości przęsła, gdy wymiary po^

(Belki)

(1807)

(1811)

przeczne sę stałe. Sprawdzając wypadki teoryi wygięcia Dupin sprawdzał także i wyświecał jej podstawy. Ściana wypukła wydłuża się podług niego o ilość równę skurczenia ściany wklęsłej, a włókna obojętne leżę. w połowie wysokości belki, gdy tylko wygięcie nie jest tak wielkie, aby groziło złamaniem. Wszystkie te spostrzeżenia zostały najzupełniej po-twerdzone innemi jego doświadczeniami robionemi w Tulonie w r. 1813, i nieco później w Dunkerce.

(1813)

(1813)

Równocześnie Duleau badał sprężystość prętów żelaznych w najrozmaitszych warunkach pod względem kształtu, ustawienia i obciężenia. W rozprawie Recherches théoriques et expérimentales sur la résistance du fer forgé przedstawionej Radzie rzędowych Inżynierów francuzkich w r. 1813 Duleau rozdzielił wypadki swoich doświadczeń na dwadzieścia cztery kategoryj. Pierwsze dziewięć odnoszęce się do wygięcia belek pełnych i siedmnasta tyczęca się rury żelaznej potwierdzają zupełnie teoryę belek prostych. Dziesięta i piętnasta obejmujęca słupy pionowe, których długość jest przeszło sto razy większa od największego wymiaru poprzecznego, pokazuję, że ciężar mogęcy sprawić wygięcie jest zgodnie z Euler’em i Lagrange’m proporcyonalny do momentu bezwładności podstawy i odwrotnie proporcyonalny do kwadratu z długości, gdy jest jedno lub dwa przegięcia, ale że w ogóle jest większy o jednę siódmę lub jednę ósmę od tego, któryby wypadł z podstawienia we wzorze Lagrange’a zwykłego współczynnika sprężystości; co przypisuje Duleau niezmiernemu tarciu w przyrzędzie użytym do doświadczenia. Belka obłękowata i belka złożona z dwóch tarcic należęca do trzech innych kategoryj wydala także wypadki zgodne z teoryę, a skręcenie prętów okręgłych, kwadratowych i prostokętnych wykazało zupełnie nieznane prawa, które dopiero Saint-Venant przed niedawnymi czasy teoretycznie sprawdził i określił.

Pomimo tak wielkiego postępu nauki w kierunku doświadczalnym nie przestawano oddawać się fizycznemu badaniu własności materyalów.

Z pomiędzy mnóstwa drobnych doświadczeń robionych we Francyi, w Niemczech i w Anglii wielkę zwracaję na siebie uwagę doświadczenia Minard'a i Desormes’a robione w r. 1815 nad wytrzymalościę drzew i metali przeciw rozcięganiu. Jedne miały na celu spójność podłużnę lub poprzecznę dębu i osiki ; drugie wycięganie dębu i badanie powrotu do pierwotnej długości; inne znowu zrywanie prętów i drutów żelaznych lub miedzianych, albo też stopniowe wydłużanie się tychże.

Jeszcze ważniejszemi od tych były doświadczenia Barlow’a opisane w dziele : A Treatise on the Strength ofTimber, etc., London, i817_, a służące do oznaczenia siły włókien w drzewie przeciw rozerwaniu w kierunku podłużnym i poprzecznym, tudzież do oznaczenia włókien obojętnych i wygięcia belek prostych w chwili złamania albo też przed złamaniem. Wyniki tych poszukiwań zgadzaj? się zupełnie z odkryciam Dupin’a i Duleau’go. Barlow robił także doświadczenia nad drzewami sztucznie wygiętemi, tudzież składanemi z dwóch tarcic zwięzanych sznurem, a w końcu dochodził mocy drutów w nagłem szarpaniu tychże. Do ważnych także zdobyczy na polu doświadczalnem policzyć można prace Telfort’a, Banks’a i Sicking’a tyczęce się wytrzymałości drutów i mocy prętów surowcowych przeciw złamaniu.

(1817)

MS19)

Widać z poprzedzającego, że strona doświadczalna nauki rozwijała się należycie w początkach bieżęcego stulecia; tego jednak o części teoretycznej powiedzieć nie można. Minęło lat przeszło czterdzieści od czasów owej sławnej rozprawy Coulomb’a, która zawierała tyle rzeczy w kilku zaledwie kartkach, a żaden z ówczesnych Inżynierów nie zwrócił na ni? należytej uwagi. Dopiero wiek bież?cy zbadał i przyswoił sobie te proste wytrzymałości zasady; choć mówi?c prawdępostęp nie był tak prędki, jakby się tego spodziewać należało. Najprzód co się tyczy prętów prostych. Duleau niebaczny na « trzeci? uwagę wstę-pn? » Coulomb’a i na znaczenie dwóch trójk?tów, których powierzchnie zrównane z sob? maj? wyrażać równowagę między siłami rozci?gaj?-cemi a gniot?cemi, powiada w pomienionym Essai théorique et expérimental, że podług Coulomb’a położenie włókna obojętnego wypada z porównania momentu sił rozci?gaj?cyh z momentem sił gniol?cych ; co prowadzi w ogóle do wyników z prawd? niezgodnych. Bł?d ten popełniany przez wielu znakomitych autorów uchodził tak niepostrzeżenie, że dopiero w dwadzieścia lat później przez Barlow’a wykryty i potępiony został. (A Treatise on the Strength, etc., 1817). Nawet Navier dał się uwieść mylnemu zdaniu Bernoulli’ego i Mariotte’a, jakoby położenie włókna środkowego było zupełnie dla rachunku obojętne, i starał się tego dowieść w swych pierwszych pismach naukowych; a choć omyłkę, tę wkrótce sprostował w swym Wykładzie Mechaniki w Szkole Dróg i Mostów (1819-1820), to jednak przy oznaczeniu linii włókien obojętnych układał jeszcze zwyczajem Duleau’go fałszywe równanie między momentami sił rozci?gaj?cych i ściskaj?cych. Ale

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERYAŁOW.

(Budowle

murowane).

(1820)

(1S20)

Navier nie pozostawał długo w błędzie, oczyściwszy swój wykład w dwa łata później ze wszystkich tego rodzaju pomyłek oznaczył pierwszy linię włókien obojętnych na przecięciach dowolnego kształtu, równając z sobą już nie summy momentów, ale summy sił wewnętrznych. On także pierwszy zauważył, że ta linia przechodzi przez środek ciężkości przecięcia w bryłach jednorodnych pod względem sprężystości.

Równie mało pracowano nad uogólnieniem teoryi parcia ziemi i murów oporowych. Wprawdzie Prony, o którym już była mowa uprościł już wzory Coulomb’a przez wprowadzenie kąta skarpy naturalnej w miejsce współczynnika tarcia, ale za to wstrzymał rozwój teoryi przez błędne jej stosowanie do murów mających ściany pochyłe. Dopiero Français oficer Inżynieryi wojskowej znalazł w r. 1820 proste a szczęśliwe tego zadania rozwiązanie. Jego praca ogłoszona w Mémorial de l’officier du genie, n° 4, 1820, obejmuje mury oporowe o dowolnej pochyłości, ale stosuje się tylko do ziemi poziomo ułożonej i nie uwzględnia tarcia ziemi o ścianę muru. Nie była to więc teorya ogólna, ale miała zaletę wielkiej prostoty i piękności przedstawienia.

Jeszcze większej obojętności doznawała owa sławna teorya sklepień Coulomb’a. Nikt nie chciał jej używać i stosować do zwykłych potrzeb praktyki, bo była zbyt ogólny i pozbawiony przykładów zastosowanych do codziennego użycia, gdy tymczasem dawna teorya Lahire’a, chociaż przepełniona błędami, zalecała się prostoty i tradycyy. Ówcześni praktycy byli więcej Architektami jak Inżynierami, a wiadomości matematyczne były udziałem malej liczby uczonych ; nie dziw więc, że złożonej teoryi Coulomb’a przypisywano wytycznie naukowy wartość, a posługiwano się samemi tylko wzorami Lahire’a, które wprawdzie nie były dokładne, ale grzeszyły nadmiarem stałości i w skutek tego nie robiły nigdy zawodu. Zaczęto nawet uzupełniać teoryę Lahire’a przez wprowadzenie tarcia zworników w płaszczyznach stosugowyeh, a sławny hydraulik niemiecki Eytelwein ułożył nawet na tym temacie odrębny teoryę sklepień opisany w Handbuch der Statik fester Körper, 1820. Ale wszystkie te poszukiwania nie miały w sobie warunków życia, bo opierały sie na błędnych zasadach przypisujących wiele znaczenia ślizganiu się zworników i zawierały przytem wiele błędów, jak np. prace Eyfelwein’a, w których ciężar zworników jest rozłożony normalnie de stosug wbrew założeniu tyczącemu się tarcia kamieni. Dopiero po otwarciu Szkoły politechnicznej w Paryżu, w której matematyka stała się podstawy wszystkich nauk stosowanych, zaczęto niedowierzać teoryi Lahire’a i baczniej zwracać uwagę na prace Coulomb’a zostające dotąd w zupełnem zapomnieniu. W roku 1820 oficer Inżynieryi wojskowej Audoy ogłosi! w Mémorial de Vofficier du génie obszerną rozprawę o stałości sklepień w której teoryę Coulomb’a doskonale do rozmaitych sklepień zastosował i podał typy rachunków w różnych szczególnych przypadkach. Ale zadanie nie było jeszcze należycie rozwiązane, bo brakowało mu prostoty, która jest główną cechą i zaletą wszystkich metod praktycznych. Audoy mówi nawet na końcu swej rozprawy, że nadaremnie starał się skrócić i uprościć ostateczne wzory równowagi, bo nawet opuszczając niektóre czynniki drugorzędne nie zyskuje wiele na prostocie; przypisywał więc tę trudność naturze zadania i zalecał swoim następcom robienie dalszych w tym względzie poszukiwań. Równocześnie zauważył Boistard przy budowie mostu w Nemours, że metody i wzory dotąd używane nie zgadzały się z rzeczywistością i nie wiedząc o istnieniu teoryi Coulomb’a postanowił szukać nowTej metody opartej na doświadczeniu. Jakoż w dwa lata później, bo w roku 1822 ukazała się broszurka 'Recueil d‘expériences et d’observations, etc., dans lequel on a traité la théorie et l’équilibre des voûtes zawierająca opis robionych przez niego doświadczeń i potwierdzająca dawno zapomnianą teoryę Couplet’a. Pokazało się, że każde sklepienie roztwiera się w kluczu i w stosudze leżącej blizko łożyska podporowego i że podpory obalają się ku stronie zewnętrznej, tak że równowaga sklepienia odpowiada zupełnie równowadze drążka złożonego przechodzącego przez punkta zetknięcia stosug roztwuirtych. Ponieważ stałość wymaga, aby dolne ramię było w stanie wytrzymać parcie ramienia górnego, przeto maximum parcia części górnej odpowiada właśnie stosugom pęknięcia. Dwaj Inżynierowie Lamé i Clapeyron podali zaraz w następnym roku (Annales des Mines, 1823) metodę analityczną szukania tego maximum w sposób bardzo łatwy, a polegający na wyrażaniu warunku stałości niepewnej przez funkcję naj-większości momentu jednej tylko siły. Tym sposobem badanie stałości sklepień podług teoryi Coulomb’a stało się rzeczą zupełnie przystępną i wyparło na zawsze tak długo używaną teoryę Lahire’a.

(1822)

(1823)

(Belki)

Jednakże powolny postęp nauki na drodze teoretycznej nie wstrzymywał jej rozwoju w kierunku doświadczalnym. Już początek wieku bieżącego dostarczył wńelc doświadczeń tyczących się wytrzymałości materya-łów, a szczególniej drzewa ; teraz zaś badanie mocy metalów zaczęło

POGLĄD historyczny

XXXVI

fl 823)

(1823)

(1824)

robić wielkie postępy wskutek wielkiego zozwoju metalurgii i wchodzą-cycli w użycie mostów wiszących. Szczególniej zwrócono uwagę na surowiec czyli żelazo lane. Tredgold wziął je za główny przedmiot swych badań i ogłosił w roku 1823 dzieło Praclical Essay upon Strength of cast Iron and others Metals, którem niezmiernie rozpowszechnił użycie tego metalu. Opisuje on tam swoje doświadczenia nad belkami parabolicznemi o jednostajnej wytrzymałości, a inającemi w przecięciu kształt litery I, i nad prętami zrobionymi z rozmaitych gatunków surowca. On to pierwszy zauważył, że żelazo lane pomimo swej twardości i ziarnowatego ustroju może zmieniać swój kształt niepowrotnie, gdy tylko obciążenie przechodzi pewne granice, którą to własność samemu tylko żelazu kutemu przypisywano. Równocześnie próbując mocy drutów żelaznych i sztab surowcowych (Des ponts en fil de fer, 1823) odkrył to ważne zjawisko, iż przyrost długości sprawiony obciążeniem pręta jest wprawdzie z początku proporcjonalny do obciążenia, ale że później zaczyna rosnąć w daleko szybszym stosunku i nie znika już całkowicie po odjęciu ciężarów. Inne znowu doświadczenia robione przez Dufour’a (Description d’un pont suspendu construit à Genève en 1824) nad wytrzymałością drutów miedzianych i mosiężnych pokazały, iż przegrzewanie zmniejsza znacznie ciągłość tych metali. Słowem wiadomości o własnościach materyałów budowlanych pomnażały się ustawicznie; obok bowiem powyższych doświadczeń można by jeszcze przytoczyć Aviele innych pomniejszych przedsiębranych w celu oznaczenia mocy i własności różnych gatunków żelaza, jak np. doświadczenia Lagerhjelm’a robione w Szwecyi dla porównania tamtejszego żelaza z żelazem walcowanem angielskiem, i doświadczenia Antoniego Krauza, Krakowianina, robione w Warszawie nad wytrzymałością drzew krajo • wycli i żelaza Suchedniowskiego.

Dotąd w przedmiocie prętów prostych zajmowano się głównie teoryą wytrzymałości przeciw złamaniu, nie zważając wiele na teoryę sprężystości belek wyginanych. Wprawdzie Tomasz Young wynalazł był już w początku bieżącego stulecia lak zwany moduł sprężystości [A course of natural Philosophy, etc.) i podał wzpry dokładne na wygięcie, ale stosowało się to tylko do przecięć symetrycznych względem linii poziomej będącej widocznie linią włókien obojętnych. Dopiero IS'avicr w sławnym wykładzie z r. 1824 wyjawił stanowczo znaczenie teoryi wytrzymałości przeciw złamaniu w obec teoryi wygięcia, i rozwiązał mnóstwo

zadań dofęd jeszcze nietykanych z powodu nieznajomości rozkładu natężeń na rozmaite części przecięć poprzecznych; bo choć w niektórych razach można odrazu układać równania równowagi bez wprowadzenia wygięć i współczynnika sprężystości, to jednak w wielu innych przypadkach nie można się obejść bez wstępnego badania ruchu rozmaitych punktów bryły. Zdarza się to na przykład, gdy w skutek sprawionego wygięcia niektóre składowe sił zewnętrznych albo też icli momenta powiększają się w znacznym stosunku, jak to bywa w prętach ściskanych w kierunku długości. Ale najliczniejsze sę te przypadki, w których pewne siły sę nieznane à priori, jako zależne od oddziaływania podpór, a do oznaczenia których statyka elementarna nie daje dostatecznej liczby równań. Do rozwiązywania zadań tego rodzaju używa się metody ogólnej polegającej na wyrażaniu rozmaitych ruchów sposobem analitycznym w funkcyi sił znanych i nieznanych, i na składaniu tycli wyrażeń w równania warunkowe, zastrzegające nieruchliwosć podpór lub tym podobne okoliczności. Tę właśnie metodę równie genialnę jak bogaty w skutki winniśmy Navier’owi, który ję pierwszy w swym wykładzie w roku 1824 publicznie okazał i do użycia zalecił. Odtęd poczęto badać staranniej rozkład natężeń na różne przecięcia belki obciążonej i zapobiegać złamaniu przez odpowiednie ograniczenie wysiłków wewnętrznych, a sam Navier rozwięzał mnóstwo zadań tego rodzaju, z których najważniejsze tyczę się teoryi belek leżęcych na kilku podporach i teoryi łuków.

(tS24'i

(1828)

(1S29)

Pomimo tego postępu teoryi belek wyginanych, teorya skręcenia pozostawała cięgle na tym samym stopniu, na jakim ję postawił Coulomb przed kilkudziesięciu laty, a nawet wchodziła o tyle na fałszywę drogę, że zaczynano ję stosować do wszystkich graniastosłupów bez względu na kształt podstawy. Powstało ztęd wielkie zamieszanie, bo doświadczenia Duleau’go, SavarCa, Rennie’go, a głównie Bevan’a (Experiments of the Modulus of Torsion, 1828. Trans, phil.) robione na czterdziestu siedmiu gatunkach drzewa i szesnastu metalach nie zawsze zgadzały się z wzorem Coulomb’a, według którego natężenie elementów przecięcia poprzecznego miały być proporcyonalne do odległości tychże od osi skręcenia. Cauchy spostrzegł niewłaściwość takiego rozumienia rzeczy i ogłosił w r. 1829 (Exercices de mathématique) nowę teoryę skręcenia opartę na przypuszczeniu, [że natężenia wewnętrzne daję się wyrazić przez szeregi zbieżne potęg całkowitych z dwóch rzędnych.

Przypuszczenie to nie było matematycznie ścisłe w znaczeniu ogólnem, a oparta na niem toorya nie wytrzymywała surowej krytyki, kfórę wywołało później opuszczenie kilku dość ważnych wyrazów, ale mimo tego rozprawa Cauchy’ego wykryła prawdziwe granice wzorów Coulomb’a i przyczyniła się niezmiernie do rozwoju teoryi skręcenia. Wypada mianowicie z rozbioru Cauchy’ego, że istnieje pewien skończony stosunek między kętem skręcenia i drugę pochodnę rzędnej równoległej do osi graniastosłupa, a tern samem że ta pochodna nie jest zerem, czyli że różne punkta przecięcia poprzecznego poruszaję się w kierunku podłużnym bryły o ilości zmienne a zależne od kształtu graniastosłupa i od stopnia skręcenia. Zatem przecięcia poprzeczne pierwotnie płaskie zamieniają się po skręceniu na powierzchnie krzywe majęce kształt pa-raboloid hiperbolicznych, z wyjętkiem walców kołowych, których przecięcie pozostaje plaskiem. Teraz dopiero zrozumiano, dlaczego wzory Coulomb’a stosowały się wyłęczriie do walców kołowych.

Każdy dzień przynosił nowe doświadczenia, bo rozwijająca się budowa machin, mostów żelaznych i innych dzieł sztuki inżynierskiej wymagała w samej rzeczy bardzo dokładnych wiadomości o przymiotach i wadach materyałów budowlanych. Nie ustawiono jednego mostu wiszęcego lub innej żelaznej budowii bez poprzedniego wypróbowania wszystkich części składowych, niezależnie od ogólnej próby robionej po zupełnem ukończeniu roboty; wszystkie fabryki, a nawet większe składy żelaza robiły doświadczenia ze swymi produktami. Na czele tych licznych doświadczeń stoję prace Fairbairn’a i Hodgkinson’a w Anglii. Fairbairn, sławny wynalazca wielkich statków żelaznych używanych po raz pierwszy w marynarce angielskiej robił był już oddawna doświadczenia nad wytrzymałością materyałów; później chcęc powiększyć pole tych poszukiwań zaprosił do współudziału Hodgkinson’a, znanego autora wielu rozpraw ogłaszanych w Memoirs of litterary and philosophical Society of Manchester. Jedna z nich zamieszczona w tomie piętym pod tytułem Theoretical and experimental researches of the strength and best form of iron-beams zawiera opis doświadczeń przedsięwziętych w roku 1830 dla zbadania najlepszego kształtu belek surowcowych. Belki o kształcie litery I z nierównemi tablicami miały być najdogodniejsze; mianowicie tablica dolna miała być większa od górnej w stosunku wytrzymałości surowca przeciw zgnieceniu i rozerwaniu. Byłoby to w istocie bardzo słusznem w chwili złamania, ale nie w obec małych wygięć, bo wtedy

wytrzymałość metalu przeciw rozciąganiu jest równa wytrzymałości przeciw ściskaniu, tak ze niema powodu robienia jednej tablicy większej od drugiej. Zostawszy współpracownikiem Fairbairn’a, Hodgkinson rozpoczął jednocześnie z nim szereg doświadczeń mających głównie na celu porównanie surowców fabrykowanych przy zimnem i ciepłem powietrzu ; każdy z nich jednak pracował osobno. Hodgkinson próbował najprzód wytrzymałości prętów o przecięciu krzyżowem przeciw rozciąganiu, przyczepiając niekiedy siłę ciągnącą nie do włókna środkowego ale do jednej z krawędzi, i spostrzegł, że w tych razach wytrzymałość sprowadza się do jednej trzeciej ; później próbował mocy belek wyginanych i łamanych przez wygięcie. Fairbairn znowu dochodząc wpływu czasu na odkształcenie, obciążał sztaby surowcowe w samym środku ciężarami blizkimi złamania i zostawiał je w tym stanie przez czas długi. Z dziewięciu sztab trzy złamały się po upływie lat pięciu. Oprócz tego mierzył strzałki wygięcia belek prostych i parabolicznych zrobionych ze wszystkich gatunków surowca angielskiego, a mających różne kształty w przecięciu, szczególniej zaś kształt litery T.

Odkładając na później dalszy ciąg prac Hodgkinson’a dla utrzymania porządku chronologicznego, przechodzimy teraz do poszukiwań teoretycznych Navier’a

(Łuki)

Powiedzieliśmy, iż Navier rozwiązał pierwszy trudne zadanie teoryi łuków. Spostrzegłszy najprzód, że równanie różniczkowa krzywej sprężystej Euler’a daje się łatwo zcalkować w kształcie skończonym, gdy się bierze za jednę z osi współrzędnych styczną do krzywej, a nic wypadkową sił zewnętrznych, jak to czynił Euler, dowiódł następnie, że to całkowanie nie narusza w niczem treści równania różniczkowego, to jest że stosuje się nawet do prętów pierwotnie krzywych, całkowicie lub częściowo obciążonych, z tym jedynym warunkiem, że wygięcie jest małe. Euler dowiódł był już wprawdzie w owym dodatku De curvis elasticis (art. 49), że gdy krzywa pierwotna jest lukiem koła, oznaczenie jej nowego kształtu sprowadza się do kwadratury, ale dopiero Navier spostrzegł pierwszy, że zadania tyczące się wszystkich krzywych płaskich dają się sprowadzić do kwadratury, gdy tylko wygięcie jest małe. Otrzymał on nawet całki bardzo proste wyrażone przez funkcyę całkowitą odciętej, w przypuszczeniu że krzywizna jest dostatecznie mała, ażeby pochodna łuku mogła być rozwiniętą podług potęg pochodnej rzędnych, i że krzywa pierwotna jest podobna do paraboli jakiegokolwiek

(183))

(Budowle

murowane).

(1833)

stopnia o jednym lub kilku wyrazach, co zwykle ma miejsce w przybliżeniu. W roku 1831 Navier dorzucił jeszcze w Annales des Fonts et Chaussées, że całkowanie to jest zupełnie dokładne w przypadku łuków kołowych i umożebnił tym sposobem rachunek parcia, wygięcia i wytrzymałości dużych łuków metalowych.

Mówiąc o pracach Navier’a nie od rzeczy tu będzie wspomnieć o jego ważnych uwagach w przedmiocie teoryi sklepień. Widzieliśmy, iż przed laty dziesięciu Lamé i Cłapeyron utworzyli z wzorów Coulomb’a nową metodę sprawdzania stałości sklepień, polegającą na wyszukaniu stosug najsłabszych i na porównaniu momentu sił oporowych z momentem sił zaczepnych. Metoda ta była w tym względzie niezupełna, iż nie zdawała zupełnie sprawy ze stosunku zachodzącego między ciśnieniem odnie-sionem do jednostki powierzchni stosugi a wytrzymałością naturalną kamienia ; zdaniem zaś jej autorów rozłożenie ciśnienia na dostatecznie wielką powierzchnię zależało jedynie od dobrego wyciosania kamieni, odpowiedniego użycia wapna i staranności przy zdejmowaniu krążyn czyli obłąków. Zdanie to było zbyt ogólne, ażeby mogło służyć za wskazówkę budowniczym. To też Navier przyjmując teoryę polegającą na obracaniu się zworników koło ostrych krawędzi, postanowił usunąć wszelkie nieporozumienie w inny sposób, który najlepiej przytoczeniem jego własnych słów opiszemy. Mówi on w Leçons sur l'application de la Mécanique, 1833 : « Zworniki kamienne nie są w istocie ciałami zupeł-« nie twardemi, a więc icli krawędzie geometryczne nie mogę znosić « całego ciśnienia jednej części sklepienia na drugą. Przy szukaniu naft tężeń w różnych częściach bryły trzebaby mieć wzgląd na sprężystość « materyi i badać dokładnie skutki wywołane działaniem danego układu « sił; ale że zadanie to nie jest jeszcze rozwiązane, trzeba się uciec do « przypuszczeń mających niejakie do prawdy podobieństwo. Dlatego « przyjmiemy, że zworniki kluczowe nie wywierają na siebie żadnego « ciśnienia w krawędzi dolnej i że w stosudze pęknięcia, która jak « wiadomo leży blizko podpór, ciśnienie jest także równe zeru w całej « krawędzi górnej. » Ten sposób widzenia rzeczy został przyjęty przez ogół ówczesnych budowniczych i ma jeszcze dzisiaj bardzo wielu zwolenników pomimo widocznego braku podstawy.

Być może, że to postanowienie Navier’a zostało wywołane chęcią zużytkowania nowych doświadczeń Vicat’a nad wytrzymałością kamieni, betonów i zapraw wapiennych, przedsiębranych już kilkakrotnie, a

uwieńczonych właśnie w roku i 833 znakomity rozprawy Recherches, expérimentales sur les phénomènes qui précèdent et accompagnent la rupture d’une certaine classe de solides. W niej Vicat opisał wszystkie zjawiska fizyczne objawiające się przy zgniataniu ciał ziarnistych, zbitych, jakieini sę kamienie, gips, wapno, cegły i t. d., i wykazał wpływ kształtu bryły na jej wytrzymałość. Kamienie twarde rozłupuje się na płatki i drzazgi rozsypujące się w procli za dotkięciem, kamienie zaś miękkie dzielę się w pierwszej chwili pęknięcia na piramidy lub stożki majęce za podstawę ścianę wierzchnię i spodnię bryły. Wytrzymałości walców i graniastosłupów podobnych, to jest majęcych ten sam stosunek między wysokościę a średnicę lub bokiem podstawy okazały się propor-cyonalnemi do powierzchni podstaw, tak samo jak w piramidach ściętych i w kulach, z tę tylko różnicę, że w tych ostatnich bierze się powierzchnię kola wielkiego av miejsce podstawy. Vicat wnioskuje ostatecznie, że kamienie i wapna mogę znosić bezpiecznie jcdnę trzecię obciężenia odpowiadajęcego zgnieceniu.

Oprócz opisu doświadczeń rozprawa Vicat’a zawierał

V6

CZEŚĆ i

r 4- nz = 4- nt),

/äY"1

?H)-

®£5=°—*

2K;)’

ROZDZIAŁ V

Weźmy pierwotny kierunek pręta za oś odciętych, li

i_A

■ri

GZEÖO II

(6) które rozwiążemy w następujący sposób.

+ =£*<*+*)

CZEŚĆ III

ROZDZIAŁ II

WStcp WSt(a 4- £ — cp)= - [dos(a 4- £ — 2©) — dos(a4- fi)] ,

ROZDZIAŁ III

ri

(Belki)

Oprócz opisu doświadczeń rozprawa Vicat’a zawierała jeszcze kilka uwag ogólnych, z których pierwsza najważniejsza zarzuca nieprawdziwość całej teoryi wytrzymałości. Wyjawia ona mianowicie istnienie pewnych « sił poprzecznych» powodujęcych zesuwanie się jednego przecięcia po drugiem, jak np. w przypadku krótkich haków mocno obciężonych, zębów w kołach trybowych, nitów łęczęcych blachy i t. d.

« Jest to », mówi Vicat « siła sprawiajęca wszelki ruch styczny jednych części po drugich i działajęca wyłęcznie w samej tylko płaszczyźnie przecięcia, bez naruszania elementów leżęcych poza tę płaszczyznę », a ominięcie tego ważnego czynnika jest podług niego zgubnem dla całej teoryi. Jednakże o istnieniu siły ucinajęcej wiedziano już w zeszłem stuleciu, bo Coulomb mówięc o wytrzymałości belek wspominało może-bności przerwania włókien i zwracał uwagę na ślizganie się warstw w murze oporowym, w bryłach ziemnych i w stosugach sklepienia, a Tomasz Young poświęcał osobny Rozdział dzieła A course of lectures etc. temu natężeniu poprzecznemu działajęcemu, jak mówił, na wzór nożyc. Zresztę zarzut Vicat’a był bardzo przesadzony ze względu na znaczenie siły ucinajęcej, bo nawet zupełne jej pominięcie nie miało wpływu na dokładność teoryi w bardzo wielu przypadkach, a tem więcej nie mogło obalić całej teoryi wytrzymałości. Zdaje się, że zadanie o zrywaniu poprzecznem graniastosłupów krótkich podane poraź pierwszy

kategorycznie w Wykładzie Navier’a z roku 1833 miało właśnie na celu odpowiedzenie na niesłuszne zarzuty Vicat’a.

(1838)

(1834)

(1834)

W tymże samym wykładzie z roku 1833 znajdujemy opis kilku doświadczeń Navier’a nad wyciąganiem blachy, miedzi czerwonej i ołowiu walcowanego, tudzież średnie wypadki prób robionych ze sztabami żelaznemi przeznaczonemi do mostu Inwalidów w Paryżu. Nie było nic nowego w tycli doświadczeniach z punktu widzenia nauki, ałe miały one swoje znaczenie w praktyce. Za to doświadczenia Vicat’a prowadzono przez lat kilka z nadzwyczajny starannością i opisane w artykule Note sur Vallongement progressif du fil de fer soumis à diverses tensions (Annales des Poids et Chaussées, 1834) tyczyły się kilku ważnych punktów, na które dotyd bardzo mało zwracano uwagi. Vicat nie zadowalniajyc się mierzeniem chwilowego przyrostu długości, pozawieszał na drutach żelaznych ciężary większe od jednej czwartej lub jednej trzeciej obciyżcnia odpowiadajycego zerwaniu i zostawiwszy je w tym stanie przez lat kilka stwierdził nie tylko stopniowe wydłużenie się tychże pod wpływem czasu, ale zauważył zarazem nieproporcyonalność wydłużeń do natężeń, skoro tylko obciyżenie przechodzi pewne granice zależne od wymiarów i rodzaju druta. Zjawisko to zostało jeszcze lepiej wyświecone doświadczeniami Bornefa opisanemi graficznie w Rocznikach Dróg i Mostów z roku 1834. Linia majyca odcięte proporcyonalne do sił, a rzędne proporcyonalne do wydłużeń jest. liniy prosty aż do pewnego miejsca, po za którem przechodzi nagle w krzywy majycy tern większy spadzistość, im większa jest miękkość i ciyglość żelaza ; wtedy jednak wydłużenia stajy się coraz to więcej trwałemi, to jest niepo-wrotnemi. Odrzuciwszy jednak część trwały odkształcenia, powiedzieć można, iż części sprężyste przyrostu odniesione do jednostki powierzchni sy prawie proporcyonalne do obciyżeń, czyli że współczynnik sprężystości jest jednakowy we wszystkich chwilach odkształcenia.

Jest to właśnie owo prawo zwane w Niemczech « prawem Gerstner’a », a wywiedzione z doświadczeń (ego uczonego nad cienkimi drutami żelaznymi (Handbuch der Mechanik). Zauważył je także fizyk Leslie przed laty dziesięciu (.Elements of natural Philosophy) ; ale możnaby je także nazwać prawem Coulomb’a, bo ten uczony spostrzegł był pierwszy w swych doświadczeniach, że sprężystość « przechowuje się całkowicie » w bryłach ulegajycych trwałemu skęceniu, wyciygnięciu lub wygięciu.

Bądź co bądź prawo to nie jest ściśle prawdziwe i nie sprawdza się zupełnie dokładnie, jak lego dowiódł Ardant swemi doświadczeniami nad stalą i żelazem przegrzewanem lub nieprzegrzewanem. Wiele zależy od tego, czy drut zostawał przez dłuższy czas obciążony jednym i tym samym ciężarem, czy też ulegał ciągłej zmianie ciężarów; bo w pierwszym razie zrobiła się w metalu pewnego rodzaju zmiana nadająca mu więcej sztywności (Patrz : Introduction à la Mécanique industrielle par Poncelet). Nawzajem przegrzewanie może mu zwrócić dawną ciągłość, którą stracił przez długie wytężenie. Zresztą w doświadczeniach fizycznych nie można nigdy liczyć na zupełną jednorodność materyi, bo nie mówiąc już o drzewie, które daje tego namacalne dowody, wydłużenie drutu żelaznego, jak mówi Ardant, nie jest jednakowe we wszystkich miejscach. Savart badając drgania płyt szklannych, surowcowych i innych, spostrzegł wiele takich zjawisk, które tylko niejednostajnej zmienności wewnętrznego układu materyi przypisać można.

(Łuki)

(1834)

Przejdźmy teraz do łuków. Niezaprzeczenie Na vier'owi należy się zasługa za stworzenie teoryi łuków przystępnej, aczkolwiek ten przedmiot był już kilkakrotnie rozbierany przez Euler’a i Lagrange’a; bez tego bowiem szczęśliwego wyboru współrzędnych, który cechuje jego melodę, teorya krzywych sprężystych nie mogła prowadzić do wypadków praktycznych, a tern samem nie mogła mieć znaczenia w Inżynieryi. Ale teorya Navier’a nie była zupełna i dokładna. Naprzód Persy zauważył w roku 1834 {Cours de Mécanique, à VEcole d'artillerie et du génie de Metz, p. 24.), że zwykle równanie momentów branych względem linii włókien obojętnych zapewnia tylko wtedy równowagę, gdy linia ta jest jedną z osi głównych bezwładności przecięcia uważanego i wniósł ztąd bardzo słusznie, że ten przez Navier’a i innych podawany warunek równowagi nie zawsze jest dostateczny, bo inaczej siły zewnętrzne musiałyby być zawsze prostopadłe do osi największego albo najmniejszego momentu bezwładności. Następnie, jak wyznaje sam Navier, jego teorya obejmuje tylko przyrost całkowity osi obojętnej w skutek działania składowych podłużnych, a nie zdaje bynajmniej sprawy z wpływu wygięcia na jej długość, wpływu, któryby nie powinien być pomijany przy szukaniu nowego kształtu bryły i przy obliczaniu parcia łuków na podpory. Braki te spostrzegł i dopełnił były profesor Szkoły Dróg i Mostów, Barré de Saint-Venant. Podał on w roku 1837 w swym wykładzie Mechaniki wyrażenie poprawne parcia poziomego, jakie wywiera łuk paraboliczny

albo kołowy obciążony w samym środku, i to zdając sprawę nie tylko z kurczenia się osi luku, ale także ze ślizgania się włókien jednych po drugich. Potem co się tyczy belek prostych ukośnie wyginanych, których włókno środkowe zchodzi z płaszczyzny, na której leżę siły zewnętrzne, dowiódł Akademii francuzkiej, że trzeba w tym razie układać dwa równania momentów względem dwóch jakichkolwiek linii, a najlepiej Avzględem dwóch osi bezwładności. Jeżeli żaden z tych momentów nie jest równy zeru, wygięcie jest ukośne; gdy zaś pręt jest krzywy w stanie naturalnym, albo też gdy przecięcia pręta prostego nie maję głównych osi w dwóch wspólnych płaszczyznach, następuje skręcenie połęczone z wygięciem i włókno środkowe staje się krzywę o podwójnej krzy-wiznie.

(Belki)

Rok 1837 odznaczał się ważnemi publikacyami z dziedziny doświadczeń robionych nad metalami. Najprzód wyszła broszura Brix’a : Die Abhandlung über die Cohäsions-und Elasticitütsverhâltniése einiger bei (1837) Hängebrücken in Anwendung kommenden Eisendrähte (1837), traktujęca wzorowo o mocy i sprężystości drutów używanych do mostów wiszęcych; przy schyłku zaś roku ukazały się w tomie VI pisma Report of meeting of the British association for the advancement of Science, lield at Liverpool dwie rozprawy Fairbairn’a i Hodgkinson’a zawierajęce opis owych wielkich doświadczeń, o których rozpoczęciu poprzednio była mowa. Pominąwszy już dane praktyczne tyczące się wytrzymałości rozmaitych gatunków surowca, doświadczenia tych dwóch badaczy okazały stanowczo, iż wentylowanie rudy ciepłem lub zimnem powietrzem przy fabrykowaniu surowca wpływa raz korzystnie, drugi raz niekorzystnie na jego wytrzymałość, zależnie od gatunku rudy. Jednakże ostateczne różnice w wytrzymałości były tak małe, iż wszelkie rozróżnienie surowców otrzymywanych przy ciepłem i zimnem powietrzu okazało się zupełnie zbytecznem.

Natychmiast po ukończeniu tej pracy Hodgkinson rozpoczął nowe niemniej ważne doświadczenia nad wytrzymałością słupów z żelaza lanego, a w dwa lata później ogłaszał już wypadki tych badań pod tytułem : Experimental rescarches of the strength of Pillars of cast iron and other (1840) materials, 1840 (Phil. trans.). Jest tam najprzód mowa o zgniataniu krótkich graniastosłupów drewnianych i surowcowych, i o różnych sposobach rozłupywania się tychże; potem o pękaniu słupów żelaznych w sposób pośredni między zgnieceniem a złamaniem. W końcu Ilodg-

kinson podaje wzór empiryczny na ich wytrzymałość różniący się o tyle od wzoru Eulera, iż w miejsce potęgi czwartej ze średnicy jest potęga 3,6, a w miejsce kwadratu z długości potęga 1, 7.

(Budowle

murowane).

(1840

(1840)

Następuje teraz chwilowa przerwa w dalszym rozwoju doświadczeń, a natomiast rozpoczyna się nowy szereg prac w teoryi parcia ziemi i stałości sklepień. Pierwszemu z tych dwóch przedmiotów nie wiele brakowało do uzupełnienia w znaczeniu praktycznem, gdyż Coulomb dał mu od razu prawdziwe podstawy, których ani doświadczenie, ani późniejsze poszukiwania teoretyczne obalić nie mogły; prace zaś Pro-ny’ego i Français’a rozciągnęły teoryę Coulomb’a do murów majęcych ściany pochyłe. Wszystko to jednak odnosiło się do brył ziemnych zakończonych u góry powierzchnię poziomę przechodzęcę przez szczyt muni, a tern samem nie było wystarczaj ęcem do obliczenia stałości wałów pokrytych ziemię do pewnej wysokości. Poncelet clicęc właśnie ocenić wpływ tego rodzaju nasypów na stałość murów fortecznych rozebrał w roku 1810 przypadek najogólniejszy i wypadki swych poszukiwań streści! w rozprawie Mémoire sur la stabilité des revêtements de terre, 1840, zamieszczonej w numerze 13 pisma : Mémorial de Vofficier du génie. Równocześnie prawie Hagen ogłaszał w Niemczech w swym Handbuch der Wasserbaukunst rozwiniętę teoryę Coulomb’a, która jednak wydała błędne wypadki w skutek omyłki zaszłej przy rozkładaniu sił zewnętrznych.

Daleko więcej zrobili Mery i Moseley w przedmiocie teoryi sklepień. Wpadli oni na myśl szczęśliwę połęczcnia w jednę linię cięgłę wszystkich punktów przyczepienie! ciśnień wypadkowych i utworzenia tym sposobem metody graficznej, któraby obejmowała w sobie wszystkie warunki równowagi każdej części sklepienia. Moseley pierwszy o tein wspominał w pismach drukowanych {Philosophical magazine, 1833), ale rękopism Méry’ego wydany w roku 1810 datował się z roku 1827 i zawierał zupełne lego przedmiotu rozwinięcie. Rzut oka na krzywę ciśnień wystarcza do ocenienia stanu równowagi, tak pod względem wywrotno-ści i' ślizgowatości zworników, jak też pod względem wytrzymałości kamienia. Naturalnie odkrycie takiej metody praktycznej było bardzo pożędanem, gdyż warunki równowagi podane przez Coulomb’a, a udoskonalone przez jego ' następców wymagały można powiedzieć osobnych rachunków dla każdego zwornika, co oczywiście było niedogo-dnem dla ludzi nielubięcych używać Matematyki do rozwięzy\>ania zadań

w budownictwie napotykanych. Zresztą pomysł Méry’ego był jeszcze ważniejszy, jak sobie wyobrażano, gdyż stosował się nie tylko do samych -sklepień, ale także do murów podporowych i podwałowych, które w obec ulepszeń zrobionych przez Moseley’a w roku 1843 (The meca-nical principes of engineering and architecture), a polegających na uwzględnieniu tarcia ziemi o ścianę rnuru, potrzebowały istotnie większego wykończenia w kierunku praktycznym.

(1843)

(1844)

(Belki)

(1844)

Jednakże w zastosowaniu do sklepień metoda Méry’ego nie była jeszcze doskonała, gdyż wymagała znajomości dwóch krańcowych punktów krzywej ciśnień, punktów nie dających się wyznaczyć teoretycznie w braku dostatecznych wiadomości o odkształcaniu się brył murowanych. Miejsce niepewności zajęło przypuszczenie. We Francyi przyjęto za zasadę owo wspominane juz zdanie Navier’a, iż parcie wypadkowe przechodzi przez jednę trzecią łożyska oporowego i że spotyka przecięcie kluczowe w jednej trzeciej jego wysokości licząc od grzbietu ; w Niemczech zaś trzymano się więcej Hagen’a, który w swej rozprawie Ueher Form und Stärke gewölbter Bogen przedstawionej Akademii berlińskiej w r. 4 844 przeprowadził krzywą ciśnień przez środek klucza i przez środek łożyska oporowego. Wszystko to było czczern przypuszczeniem nie mogącem zastąpić braku teoretycznych pewników; nie dziw więc, że pomimo żyznej myśli Méry’ego teorya sklepień stawała się polem nowych poszukiwań.

Tymczasem badanie własności materyałów robiło ciągłe postępy tak pod względem doskonałości przyrządów' używanych do doświadczenia, jak też niezmiernej sumienności badaczów. Dowodem lego są doświadczenia Wertheim’a Recherches sur l’élasticité et la cohésion des métaux (Annales de chimie et de physique, t. Xlî, 1844), tyczące się metali wyciąganych hartowanych, przegrzewanych, czystych albo mieszanych, w różnych temperaturach od — 15° do-f-200 Cclzyusza. Mierzył on za pomocą małego katetometru najmniejsze wydłużenia i wygięcia, i liczył liczbę drgań w sposób równie dokładny; z tych zaś danych wyprowadzał współczynnik sprężystości i sprawdzał prawo Gerstner’a. W parę miesięcy później ogłosił drugie Recherches sur l’élasticité poświęcone mieszaninom metali, a wkrótce potem trzecią rozprawę traktującą o wpływie prądu elektrycznego na sprężystość. W roku następnym (1845, Roczniki Annales de chimie et de physique podały nowy artykuł napisany wspólnie przez Wertheim’a i Chevandier’a, a zawierający opis

doświadczeń podjętych w celu oznaczenia sprężytości i spójności szkła rozmaitego gatunku. Równocześnie Peri i Pacinolti [II cimento, {845) robili we Włoszech doświadczenia nad wygięciem drzewa i nie tylko sprawdzili prawo Gerstner’a, ale zauważyli także proporcyonalność współczynnika sprężystości do gęstości materyalu, co zdaje się dowodzić stałości d modułu » Young’a. W roku 1846 ukazała się nowa rozprawa Chevandier’a i Wertheim’a : Mémoire sur les propriétés mécaniques des bois uważana dzisiaj za prawdziwie klasyczne źródło wiadomości o własnościach fizycznych drzewa. Jest to opis 94ech doświadczeń zrobionych na siédmnastu gatunkach drzewa z uwzględnieniem wszystkich koliczności, które włynęć mogły na zmianę icłi budowy, jakiemi sę : rodzaj gruntu, wiek i stopień suchości. Wertheim mierzył nie tylko wydłużenia, wygięcia i złamania, ale obliczał przytem bardzo starannie liczbę drgań w celu oznaczenia sprężystości i porównywał wypadki doświadczeń robionych nad małemi sztukami drzewa z wypadkami zauważanymi na belkach o naturalnej wielkości; mierzył przytem wydłużenia sprężyste i trwałe, i próbował mocy łat wycinanych w kierunku wdókien, w kierunku promieni warstw współśrodkowych i w kierunku stycznych. Później robił jeszcze doświadczenia nad skręcaniem grania-stosłupów i walców kołowych, eliptycznych, ze szkła, kryształu, żelaza, surowca, stali, mosiędzu, blachy, dębu i jodły.

(1846)

(1847)

(1849)

Anglia nie dawała się wyprzedzić Francyi w liczbie doświadczeń prowadzonych na wielkę skalę, zwłaszcza co się tyczy żelaza i surowca. Właśnie w roku 1847 wydarzył się w tym kraju wielki wypadek w skutek załamania się belki surowcowej w moście pod kolej żelaznę, w skutek czego królowa angielska wyznaczyła korriissyę ludzi w sztuce biegłych do zbadania użytku żelaza i surowizny w budowlach pod kolej żelaznę, a szczególniej w miejscach wystawionych na mocne wstrż$-śnienia i uderzenia. W roku 1849 ukazało się już drukowane sprawozdanie : Report of the Commissionners appointed to inquire into the application of Iron to Railways structures zaopatrzone w podpisy pierwszorzędnych Matematyków i Inżynierów, jak Willis’a, James’a, Rennie’go, Cubbitf a, Hodgkinson’a i innych, a zawierające szczegółowe opisy doświadczeń i orzeczenia ludzi fachowych powołanych do dawania potrzebnych objaśnień; chciano bowiem poznać zdania wszystkich budowniczych i fabrykantów co się tyczy szkodliwego wpływu drgania na wytrzymałość żelaza.

Robiono rozmaite próby na sztabach z żelaza lanego. Jedne uderzano 4,000 razy kulę zawieszony na drucie na kształt wahadła, drugie wyginano sto tysięcy razy za pomocy koła palczastego obracajęcego się z od-powiedniy prędkościę; inne znowu poziomo leżyce uderzano ciężarami z góry spadajycymi. Oprócz tego wystawiano inne sztaby na ciygłe a powolne działanie ciężaru posuwanego z jednego końca na drugi, aż do 96ciu tysięcy razy. Sztaby te łamały się dopiero po długich próbach, gdy wygięcie przechodziło jednę trzeciy wygięcia odpowiadajycego złamaniu w stanie statycznym. W ogóle zauważano wielky zgodność wyników doświadczalnych ze wskazówkami teoryi, np., że strzałka wygięcia dynamiczna jest prawie proporcyonalna do prędkości uderzenia, że potrzeba takiej samej siły do złamania pręta przez uderzenie w jednę ścianę, jak w drugy, i to nawet choćby sztaba była dosyć płaska; w końcu, że sztaba obciyżona jednostajnie na całej długości wytrzymuje mocniejsze uderzenia, jak sztaba nieobciyżona.

Najwięcej zajmujyce były doświadczenia służęce do zbadania wpływu, jaki wywiera prędki ruch ciężarów po belkach poziomo leżęcych. W tym celu puszczono z równi pochyłych ciężkie wozy na belki mostowe służęce zarazem za szyny, zmieniano prędkość ruchu i mierzono strzałki wygięcia. Zrobiono nawet dwie wielkie próby z ciężkę lokomotywę na mostach Eweł i Godstone.

Hodgkinson’owi powierzono badanie skutków statycznych, mianowicie mierzenie przyrostów długości w prętach wyciąganych lub ściskanych w podłuż. Przeszedłszy pewne granice natężeń, mówi Sprawozdanie, skutki rozciągania i ściskania rosnę w daleko większym stosunku jak ich przyczyny, tak że natężenie odpowiadajęce pewnemu wydłużeniu wyraża się przez dwumian, którego pierwszy wyraz jest dodatni i proporcyonalny do przyrostu długości, a drugi odjemny i proporcjonalny do kwadratu z tego przyrostu. Hodgkinson robi współczynnik pierwszego wyrazu mniejszy o jednę czternastę we wzorze odpowiada-jęcym ciśnieniu, jak we wzorze odpowiadajęcym rozcięganiu; co zdaje się dowodzić zupełnej równości wydłużeń i skurczeń sprawionych je-dnakowem ale małem obciężeniem. Przy tej sposobności Hodgkinson wykonał nowe doświadczenia nad zgniataniem krótkich graniastoslu-pów.

Wielu ze znakomitych Inżynierów, których przesłuchiwano jako ludzi w sztuce biegłych, podało Komissyi tablice swych własnych do-

świadczeń tyczących się głównie żelaza lanego i różnych mieszanin robionych z tego metalu dla powiększenia jego przymiotów. Spotykamy tam imiona Barlow’a, Rastrick’a, Stephenson’a, Hosking’a, Fairbairn’a, Hawkskaw’a, Gouch’a, Stirling’a i innych. Zdania tych ludzi co się tyczy mniemanej krystalizacyi żelaza w skutek częstych drgań i wstrząśnień nie zawsze były z sobą zgodne, ale dawały w ogóle do myślenia, że belki żelazne wystawione na drgania łamię się często po pewnym przeciągu czasu w skutek zamiany układu włóknistego na krystaliczny. Ostatecznie Komissya nie zdawała się przywięzywać do tego wiele wagi, jak również i do wygięć dynamicznych, gdyż w praktyce ciężar martwy mostu jest prawie zawsze znacznie większy od ciężaru pocięgów, a nie mniejszy, jak to miało miejsce w doświadczeniach. Co się tyczy obciężeń statycznych, jedna szósta obciężenia odpowiadajęcego złamaniu okazała się zupełnie bezpiecznę dla żelaza i surowca.

,1SS0)

(Budowle

murowane).

W czasie, gdy Komissya przedstawiała władzom angielskim sprawozdanie swych robót, Fairbairn uproszony przez Stephenson’a wykończa nie mniej ważne doświadczenia nad wytrzymałościę blachy, z które miał być zrobiony ów sławny most rurowy na cieśninie Menay. Doświadczenia te ogłoszone w r. i850 pod tytułem :?The Briłannia and Conway tubular Bridge, with general inquiries of Beams and of the properties of material used in Construction polegały głównie na łamaniu różnych rur blaszanych poziomo leżęcych i w środku obciężanych. Przecięcie eliptyczne większę osię ku górze skierowane okazało się lepszem od kołowego, a przecięcie prostokętne majęce wysokość większą od szerokości było jeszcze korzystniejszem. Ponieważ złamanie następowało zawsze w skutek zgniecenia albo raczej zupełnego pofałdowania się ściany górnej, postanowiono zastąpić ją szeregiem rur czworograniastych mocno do siebie przynitowanych i sporządzono w tym celu model na jednę szóstą naturalnej wielkości. Teraz już nie ściana górna ale dolna pękała ze zbytniego wysilenia, co naturalnie zmusiło do przyjęcia na dole tego samego urządzenia, co na górze. Oprócz tego próbowano wprost wytrzymałości blachy przeciw rozciąganiu i mocy nitów z uwzględnieniem tarcia blachy. W końcu mierzono strzałki wygięcia przy coraz to większem obciążeniu rury.

Francya nie robiła tak wielkich doświadczeń nad własnościami żelaza, bo uniej budowa mostów metalowych nie miała tyle znaczenia ekonomicznego, co Anglii. Wielka obfitość kamienia ciosowego i naturalne

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERYAŁÓW.

L    POGLĄD BISTORVCZNV

(t850)

( 1853}

'1SS3J

poczucie piękna szeroko w tym kraju rozwinięte, a wreszcie dowiedziona trwałość budowli kamiennych, wszystko to przemawiało we Francyi za budowaniem mostów kamiennych w miejsce żelaznych, ile razy tylko nie zachodziły okoliczności wyjętkowe. Nie dziw też, iż w obec takich warunków Inżynierowie francuzcy patrzęcy zresztą nie-chętnem okiem na wszystkie nowości sprowadzane z drugiej strony kanału La Manche, chcieli zawsze oddawać pierwszeństwo mostom murowanym. To też potrzeba dobrej teoryi sklepień, daję ca się teraz czuć więcej jak kiedykolwiek, wywołała nowe poszukiwania naukowe majęce zastępie niedostatki teoryi Méry’ego i podnieść tę tak zaniedbanę część budownictwa. Udział w tych pracach wzięli uczeni różnych krajów. Najprzód Weisbach podał w swym wykładzie : Lehrbuch der Inyenieur-und Maschinen-Mechanik zupełnie nowę teoryę sklepień opartę na traktowaniu tak zwanej « linii łańcuchowej » i « linii środkowej ciśnienia », z których pierwsza odnosi się do równowagi w ślizganiu, a druga do równowagi w obracaniu się zworników ; ale teorya ta posiadała niedostatki metody Méry’ego i utrudniała zrozumienie rzeczy. Równocześnie Barlow {The civil engineer and architects Journal, vol. X) przemieniając liczbę ciśnień Méry’ego na « linię kierunkowę ciśnienia » rzucił wiele sprzecznych poględów, które tylko do opóźnienia postępu nauki przyczynić się mogły. W roku 1830 Yvon Yillarceau dowodził Akademii francuzkiej, że zmieniajęc odpowiednio kształt podniebienia można przeprowadzić krzywę ciśnień przez same środki stosug zwornikowych; co naturalnie sprowadza natężenie kamienia do minimum i powiększa dotychczasowe granice rozwartości sklepień. Uczony ten nie wętpił już, jak Mery o położeniu krzywej ciśnień po zdjęciu krężyn, ale uważał ję niewątpliwie w samym środku sklepienia, jak gdyby jego rozumowanie zapobiegało istnieniu innych krzywych. Później nieco, bo w r. 1833 Carvallo zaprowadził kilka zmian w teoryi sklepień, ale przypuszczenia Navier’a co się tyczy parcia niczem pewnem nie zastępił. Wszystkie te prace wywołane niepewnością metody Méry’ego i potrzebę odkrycia prawdziwej teoryi sklepień nie tylko że nie zrodziły żadnego postępu, ale stały się jeszcze powodem większego nieporozumienia między uczonym i praktykami. Jedne tylko prace Scheffler’a ogłoszone najprzód w Journal für die Baukunst Crell’a (1853), a później w dziele Theorie der Gewölbe, Futtermauern und eisernen Brücken tchnęły wyższymi po-ględami ; ale zasada teoryi Schelfler’a znana pod nazwiskiem « najmniej-

szego oporu » nie była jeszcze dostatecznie wytłumaczony, aby mogła uchodzić za pewnik niezbity i służyć za podstawę ważnych rachunków. Zamiast rzucać się na niepewny drogę teoretycznych rozumowań, praktycy woleli trzymać się przypuszczeń Navier’a o położeniu krzywej ciśnień; zatem bowiem przemawiało doświadczenie i prostota. Natomiast próbowano dokładnie mocy kamieni, jak tego dowodzy doświadczenia Brix’a opisane w Verhandlungen des Vereines zur Beförderung des Gewerbefleises in Preussen na rok 1833.

(1853)

(Łuki)

(1854)

Wszelako teorya łuków metalowych nie przestawała być przedmiotem prac przedsiębranych dla uproszczenia rachunku w najrozmaitszych przypuszczeniach pod względem obciyżenia luku; albowiem przypadek rozebrany przez Saint-Venant’a nie wystarczał do rozwiyzywania wszystkich zadań, które się w praktyce nastręczajy. Ważne w tym względzie zasługi położył profesor Bresse. Obliczywszy najprzód parcie luku wynikłe z obciyżenia jakiegokolwiek punktu włókna środkowego, zwrócił się głównie do łuków kołowych, jako najwięcej w praktyce używanych, i dodajyc do siebie skutki wywarte przez ciężary odosobnione, ułożył wzory na oddziaływanie podpór w przypadku ciężarów jednostajnie rozłożonych wzdłuż luku i wzdłuż linii poziomej, potem obliczył dwie tablice dajyce gotowe wartości głównych « części parcia » i współczynników poprawki. Pierwsza o tern wzmianka znajduje się w Rocznikach Dróg i Mostów francuzkich, ale poprawki liczebne spotykamy dopiero w dziele Recherches analitiques sur la flexion et la résistance des pièces courbes, 1854, i w wykładzie Mechaniki w Szkole Dróg i Mostów. Tam to Bresse wprowadza pierwszy zupełnie nowe elementa, które dotyd pomijano, mianowicie działanie temperatury i parcie' klinów wbijanych między łuk i podpory ; podaje tablice służycc do ułatwienia rachunku największych natężeń w łuku kołowym obciyżonym wzdłuż poziomej; sprowadza obciyżenie niesymetryczne do przypadku zupełnej symetryi i przedstawia za pomocy linij krzywych prawo zmiany momentów i ciśnień we wszystkich punktach grzbietu, podniebienia i włókna środkowego.

Dzięki pracom tylu uczonych Matematyków i Inżynierów teorya łuków stanęła jak widzimy na wysokim stopniu doskonałości lak pod względem naukowym jak praktycznym. Bez dawnych prac Euler’a i Lagrange’a metody Navier’a, Saint-Venant’a i Bresse’a istnieć nie mogły, a bez tych znowu uczone rozprawy pomienionych Geometrów nie

miałyby praktycznego znaczenia; tylko wspólna praca dwóch wieków doprowadziła do racyonalnej teoryi. Po Lagrange’u Navier’owi należy się zasługa za uproszczenie zawikłanych rahunków Euler’a, ale imię. Bresse’a otwiera nową erę poszukiwań naukowo-praktycznych, godzących dokładność i ścisłość badania z prostotę i praktyczr.ością rachunku, bez których to przymiotów i najściślejsza analiza nic znajdzie uznania w Inżynieryi.

(Betki¹

(1835)

(1856)

(1857)

11837)

Równocześnie z teoryą łuków rozwijała się także teorya belek prostych leżących na dowolnej liczbie podpór. Navier dał tej nauce pierwsze podstawy, ale brakowało jej jeszcze wiele do zdobycia pewnego stanowiska w rzędzie metod prostych i stosowanych, gdyż wyszukiwanie oddziaływań belki na podpory prowadziło do niezmiernej liczby równań. W obec wchodzących właśnie w użycie mostów belkowych o kilku słupach podporowych okazywała się coraz więcej potrzeba znalezienia łatwiejszych sposobów⁷, w braku których rachunek mostu mającego siedm przęseł stawał się bardzo trudnym do zrobienia. Clapeyron wpadł na myśl szczęśliwą uważania momentu zgięcia na podporach i pochylenia włókna środkowego za ilości nieznane pomocnicze, w skutek czego zmniejszył rzeczywistą liczbę niewiadomych i otrzymał równanie o wiele prostsze od równań Navier’a. Skorzystawszy potem z twierdzenia « trzech momentów » dowiedzionego w⁷ r. 1855 przez Bertot’a (Comptes rendus de la Société des Ingénieurs civils) Clapeyron sprowadził liczbę niewiadomych do liczby momentów na podporach pośrednich; czem niezmiernie uprości! rachunki. Przedmiotem tym zajmowano się także w Niemczech, ale w znaczeniu mniej ogólnem, jak o tern świadczę dwa artykuły Köpkje’a i Grashofa zamieszczone w Zeitschrift des Hannoverschen Architeden-und Ingenieurvereines, 185(5, i w Zeitschrift des Deutschen Ingenieurvereines, 1857, a poświęcone badaniu wpływu, jaki wywiera riiepoziome ustawienie podpór na wytrzymałość belek. Jeszcze głębsze poszukiwania na 1 wygięciem robił w⁷ Rossyi pułkownik Żurawski, którego rozprawa zamieszczona w Annales des Ponts et Chaussées na rok 1857 może być uważana za ważną zdobycz naukową. Rozebrał on tam wytrzymałość belek przeciwko owej sile poprzecznej która sprawią przesuwanie się jednych włókien po drugich, i dowiódł, że boczne przyleganie włókien czyli ich wytrzymałość przeciw przesunięciu podłużnemu gra niekiedy ważną rolę w belkach wystawionych na poprzeczne działanie sił. Wiedziano już od dawna o ślizganiu się włókien

podłużnych w skutek przesuwania się przecięć poprzecznych, a Saint-Venant opierał nawet teoryę skręcenia na tem zjawisku, ale dopiero od czasu rozprawy Żurawskiego zaczęto zwracać uwagę na ten rodzaj odkształcenia. W dwa lata później Bresse rozwinę! jeszcze teoryę Żurawskiego i zastosował ją do kilku szczególnych przypadków.

(lSbO'

(1861'

(1861)

W zastosowaniu do mostów żelaznych metoda Clapeyron’a nie była jeszcze doskonała, ho różność przypuszczeń robionych nad częściowem obciążeniem przęseł mostowych prowadziła do takiej liczby momentów zgięcia w każdem przecięciu, że nie podobna było myśleć o bezpo-średniem tej metody stosowaniu. Oczywiście z pomiędzy tylu przypuszczeń jedne odpowiadały większym, drugie mniejszym natężeniom materyału; a że w rachunkach wytrzymałości chodzi głównie o wyznaczenie największych natężeń, przeto dosyćby było uważać przypuszczenia najniekorzystniejsze, a pond nęć wszystkie inne. Zrobione w tym kierunku spostrzeżenia Lévy’ego sprowadzi! na prawdziwę drogę profesor Bresse, znany autor dzieła Calc.ul des moments de flexion dans une. poutre à plusieurs travées solidaires tworzącego trzecią część wykładu Mechaniki w Szkole Dróg i Mostów. Znalazł on w roku 1861, że każde przęsło mostowe z wyjątkiem przęseł skrajnych może być podzielone na takie pięć części, że dla każdej z nich wielość i jakość owego najniekorzystniejszego obciążenia staje się rzeczą wiadomą, i że przęsła skrajne dzielą się na dwie części tego samego rodzaju. Sprowadziwszy tym sposobem do minimum liczbę przypuszczeń rzeczywiście użytecznych, podał sposób kreślenia krzywej obwijającej wszystkie momenta i ułożył tablice liczebne dla ośmdziesięciu belek mających od trzech do dwu- -nastu przęseł.

Mówiąc o teoryi belek prostych należy także wspomnieć o świeżych doświadczeniach Morin’a robionych w Konserwatoryum Sztuk i Rzemiosł w Paryżu dla dokładnego sprawdzenia teoryi wygięcia i o doświadczeniach Bouniceau’go nad wytrzymałością drzew przeciw skręceniu (Annales des Ponts et Chausséee, 1861). Morin oddawał się głównie sprawdzaniu wzorów teoretycznych, a jego ostatnie doświadczenia robione wspólnie z Tresca’ą i opisane w trzeciem wydaniu książki : Cours de Résistance des matériaux, 1862), należą do pierwszorzędnych tak pod względem rozmiaru belek próbowanych, jako też pod względem niezmiernej dokładności przyrządów. Przekonano się nareszcie stanowczo. że przyrosty długości sprężyste są proporcyonalne do obciążeń i że

przyrosty trwałe są bardzo małe w porównania do skutków sprawionych małą nawet zmianą temperatury. Morin powiada nawet, że są one tem mniejsze, im druty są lepiej wyprostowane przed użyciem ich do doświadczeń, i wnosi ztąd, że przyrosty trwałe zauważane w innych doświadczeniach pochodziły z nagłego wyprostowania drutów pierwotnie w kłębek zwiniętych, i że niepowrotne wydłużenie się sztab żelaznych, które odwiodło Hodgkinson’a od zasady opiewającej proporcyonalność sił do przyrostów długości, było prostym skutkiem ruchliwości podpór albo wiązań. Wypada zaś w ogóle z wszystkich doświadczeń Morin’a, że prawo proporcyonalności Hook’a stosuje się do wszystkich małych skurczeń i wydłużeń zupełnie zgodnie z wynikami teoretycznymi działań międzycząsteczkowowych. Nawet doświadczenia robione nad belkami żelaznemi i surowcowemi potwierdzają to prawo proporcyonalności, i dowodzą zupełnej równości skurczeń i wydłużeń w obee jednego i tego samego obciążenia.

Także doświadczenia Bouniceau’go nad skręcaniem prętów drewnianych dowiodły zgodnie z poglądami teoretycznymi, że skręcenia są proporcyonalne do sił w pewnych granicach, że w prętach mających przecięcie kwadratowe kąty skręcenia są odwrotnie proporcyonalne do czwartych potęg z boku podstawy, i że natężenia odpowiadające zupełnemu skręceniu są proporcyonalne do sześcianów tegoż wymiaru.

(Łuki)

(1862)

Pomimo dokonanego postępu nauki o wytrzymałości łuków nie przestawano jeszcze zajmować się dopełnianiem niektórych braków wywołanych przez rodzące się potrzeby i zwyczaje, już to z powodu wchodzących w użycie łuków o zmiennem przecięciu, już też dla oszczędzenia jak największej ilości matcryałów. Ważne w tym względzie zasługi położył Albaret, a szczególniej Darcel autor pięknej rozprawy : Mémoire sur divers problèmes relatifs aux arcs et fermes métalliques surbaissés, 1862, w której oprócz metody obliczania łuków o zmiennem przecięciu traktowaną jest teorya łuków z łożyskami płaskiemi, to jest dotykających się podpory dużą powierzchnią, a nie jednym punktem, jak w teo-ryi Bresse’a; w skutek czego oddziaływanie podpór nie ma wypadkowej w środku przecięcia, ale w innem miejscu. Nie brakowało już nic teoryi łuków, jeżeli nie w znaczeniu czysto naukowem, to przynajmniej z punktu widzenia praktyki, gdy okazała się potrzeba nowych badań dotyczących obciążenia przypadkowego. Dotąd przypuszczano w rachunkach inżynierskich, że ciężary stałe i przypadkowe są rozłożone jedno-

stajnie na całym iuku wzdłuż włókna środkowego albo wzdłuż poziomej; ustawy bowiem rządowe poddawały nowo zbudowane mosty próbom polegającym na pokrywaniu całego pokładu ciężarami jednostajnie rozłożonymi. Przekonano się jednak w praktyce, że jednostajne obładowanie całego przęsła w pewnym danym stosunku nie stanowi wcale najniekorzystniejszego obciążenia, i że praca metalu przy obciążaniu odpowiedniej części pokładu sięga wyżej od granic przepisanych. Ztąd zrodziła się potrzeba nowych badań teoretycznych, któreby nie tylko sprawdziły owo spostrzeżenie praktyków, ale zarazem okazały najniekorzystniejszy sposób obciążania mostu; zadanie bez wątpienia zajmujące, ale zarazem bardzo złożone z powodu niezmiernej liczby przypuszczeń, które nad częściowem obciążeniem przęsła robić można.

(1862)

(1864)

Tę trudność pokonał pierwszy Albaret w rozprawie noszącej tytuł Mémoire sur les calculs des arcs métalliques dans les cas de grandes surcharges (.Annales des Ponts et Chaussées, 1862), która wraz z artykułem zamieszczonym w tychże Rocznikach z roku 1864 tworzy nową metodę dochodzenia największych natężeń w skutek obciążenia mostu ciężarami przypadkowymi. Opierając się na tablicach Bresse’a służących do obliczania parcia luku, autor bada działanie ciężarów na różne przecięcia poprzeczne luku, odróżnia ciężary sprawiające ściskanie włókien w uważanem przecięciu od ciężarów sprawiających rozciąganie ; dowodzi następnie, że w łuku mającym przecięcie symetryczne względem linii włókien obojętnych ściskanie jest zawsze większe od rozciągania, i na zasadzie tego twierdzenia odrzuca wszystkie ciężary wywołujące . ciśnienie odjemne. Tym sposobem znajduje najniekorzystniejsze dla każdego przecięcia obciążenie, a tymczasem i największe natężenie metalu we wszystkich miejscach grzbietu i podniebienia. Wyznać jednak trzeba, iż metoda ta jakkolwiek racyonalna i ścisła, jest dosyć trudna w zastosowaniu, bo wymaga długich i mozolnych rachunków, które bez pomocy geometrycznych wykreśleń pokonać trudno; a jakkolwiek Albaret ograniczywszy się na kilku szczególnych przypadkach najczęściej w praktyce napotykanych, wywiódł z niej wzory proste i łatwe do użycia, to jednak w znaczeniu ogólnem zostawił jeszcze znaczne pole do ulepszeń. Na szczęście rachunków tak dokładnych wymagają tylko lekkie mosty blaszane wystawione na wielkie obciążenia ruchome, bo w mostach pod drogi zwyczajne znoszących stosunkowo do swej massy małe obciążenie przypadkowe, przypuszczenie jednostajnego obładowania może być zupełnie tolerowane.

0 ile teorya łuków metalowych postąpiła w ostatnich latach, o tyle niepewną się okazała teorya łuków murowanych mająca na pozór pewne do niej podobieństwo, ale tworząca w istocie zupełnie odrębną część nauki o wytrzymałości materyałów. Wiadomo z poprzedzającego, że pierwotna teorya Coulomb’a udoskonalona przez Lamé’go i Clapey-ron’a, a przerobiona na graficzną metodę Méry’ego zostawiała jeszcze wiele do życzenia pod względem nieznajomości punktu przyczepienia parcia w kluczu i w łożysku oporowem. Nadaremnie uczeni francuzcy i niemieccy starali się odkryć zasłonę kryjącą prawdziwe wskazówki w tej mierze lub stworzyć nowe teorye na gruzach metody Méry’ego. Jedni wszedłszy na błędną drogę zwiększali jeszcze liczbę niczem nieuzasadnionych przypuszczeń, drudzy porzuciwszy zupełnie poglądy dawnych uczonych tworzyli nowe teorye oparte na zasadach, których dotąd należycie nie wytłumaczono. Być może, że kiedyś prace Schef-fier’a staną się punktem wyjścia nowych sposobów, tak samo jak klasyczne myśli Coulomb’a były podstawą wielu późniejszych teoryj, ale na dzisiaj trudno w nich widzieć rozwiązanie ważnego zadania sklepień. Nie zarzucono jednak teoryi Méry’ego, już to dla jej prostoty, już też dla widocznej niepewności innych prawideł i prowadzono dalej doświadczenia nad mocą kamieni budowlanych, jak o tern świadczą dwie rozprawy Rebhann'a w Zeitschrift des österr. Ingenieur-und Architecten-vereines z lat 1865 i 1866, traktujące o mocy cegieł i kamieni naturalnych.

{Budowle Î murowane).

(1865, 1866)

(1867)

W roku 1867 młody Inżynier francuzki Durand-Claye, wpadł na myśl usunięcia z metody Méry’ego wszystkich punktów niepewnych i użycia krzywej ciśnień do ocenienia możebności równowagi sklepień. Zamiast robić jedno tylko przypuszczenie co się tyczy położenia krzywej, jak to czynili Méry, Navier i inni, Durand-Claye robi kolejno wszystkie może-bne przypuszczenia, kreśli krzywe przedstawiające natężenie parcia we wszystkich przypadkach i zaznacza powierzchnie płaskie, po za obrąb których wierzchołki rzędnych przechodzić nie mogą. Mając znowu na względzie naturalną wytrzymałość kamienia kreśli na taką samą skalę trójkąty krzywolinijne, których rzędne oznaczają największe siły normalne, jakie można przyczepiać kolejno do każdego punktu stosugi bez naruszenia materyału, i używa równie graficznego sposobu do sprawdzenia warunku tarcia w zwornikach. Jeżeli te powierzchnie przykrywając się imvzajem i zachodząc jedna na drugą mają pewną część

wszystkim wspólny, równowaga jest możebną; jeżeli zaś nie maję. części wspólnej, nie ma równowagi w sklepieniu. Słowem metoda ta ze wszech miar ciekawa i racyonalna prowadzi do ocenienia możebności równowagi, ale o istnieniu takowej nie twierdzi. Nie dopiął więc Durand-Claye tego celu, do którego zmierzał Mery budując krzywą ciśnień, ale nie-zaprzeczenie stanął wyżej od swych poprzedników, którzy nie mając dosyć zmysłu wynalazczego, silili się na nieudolne metody Méry’ego przekształcenie.

(1868)

(1870)

Dodać jeszcze wypada, że Durand-Claye użył także swej metody do obliczania współczynników stałości sklepień, i że nieco później uwzględnił jeszcze wytrzymałość zaprawy wapiennej. Wszystko to jest opisane w Annales des Ponts et Chaussées z r. 1867 i 1868, gdzie także jest mowa o stosowaniu tej tcoryi do łuków metalowych. W ogóle w tych badaniach wszystko przemawia za twierdzeniem Méry’ego, iż przyczyna najwięcej wpływająca na zmianę położenia krzywej ciśnień leży w niepewnych skutkach osiadania się sklepień po zdjęciu obłąków. Może badanie tego zjawiska powinno być punktem wyjścia ogólnej teoryi sklepień.

Właśnie dzieło pośmiertne Dupuifa wydane w roku 1870 podtytułem : Traité de ïéquilibre des voûtes et de la construction des ponts en maçonneries zawiera teoryę sklepień uważaną z tego stanowiska. Dupuit rozbiera ruch zworników w chwili zdejmowania obłąków, i twierdzi, że krzywa ciśnień przecina koniecznie podniebienie w sklepieniach symetrycznych, albo też jest do niego styczną. Trudno jednak zgodzić się na to, aby zworniki sklepienia osiadającego się po zdjęciu krążyn obracały się około matematycznych krawędzi, bo gdyby tak było istotnie, żaden kamień nie byłby w stanie wytrzymać olbrzymich ciśnień sklepienia. W tern obracaniu się zworników gra ważną rolę sprężystość materyału i udział brany przez wszystkie zworniki w ogólnym ruchu sklepienia; kto zaś tych okoliczności należycie nie uwzględni, nie może twierdzić stanowczo o doskonałości swoich rachunków. To też teorya Dupuifa jest zdaniem mojem równie niepewna jak potępiona przez niego teorya Scheffler’a.

Pomimo zawodu, jakiego doznała krzywa ciśnień w zastosowaniu do łuków sklepionych nie straciła ona swego znaczenia ogólnego w obec innych brył murowanych, jakiemi są mury zastawowe i podporowe wystawione na boczne parcie ziemi lub wody; albowiem wtedy kreślenie

LV1TI POGLĄD HISTORYCZNY NA ROZWÓJ NAUKI O WYTRZYH. MAT.

(1871)

krzywej nie przedstawia tyle trudności. Najważniejszem było obliczenie parcia ziemi. Ale w tym względzie mało zostawało do zrobienia, bo Coulomb, Français i Poncelet zostawili nam metody dosyć dokładne, którym brakowało tylko nieco wykończenia w kierunku teoretycznym. Rzucono się też z pewnym zapałem do udoskonalenia dawnej teoryi, a najlepszym objawem tego rodzaju poszukiwań jest świeżo wydane dzieło itebhann’a : Theorie des Erddruckes und der Futtermauern, 1871, zawierające cały systematycznie przeprowadzony teoryę parcia i oporu ziemi z uwzględnieniem tarcia i spójności, tudzież właściwy teoryę murów oporowych. Tutaj to zwrócono po raz pierwszy uwagę na niestosowność wyrażeń « graniastosłup o największem parciu » i « grania-stosłup o najmniejszem oporze », któremi Coulomb określał zasady swej teoryi ; ale fakt ten nie ma znowu tyle znaczenia, ile mu Rebhann przypisać usiłuje, gdyż mimo błędności określenia teorya Caulomb’a wydała prawdziwe, a przynajmniej z innymi zgodne wypadki. Za to metody rysunkowe zalecajyce się nowościy pomysłu i praktycznościy majy tę wielky zaletę, iż stosuję się zarazem do parcia i do oporu ziemi z uwzględnieniem lub z pominięciem tarcia ziemi o ścianę muru. Nie zapomniał też Rebhann o wzorach algebraicznych zastosowanych do praktyki. Najprzód opuszczajyc tarcie ziemi q ścianę muru, jako czynnik majycy małe znaczenie, uprościł rozwlekłe wzory teoretyczne i zastosował je do wszystkich przypadków, które się trafić mogę; pomijajyc potem działanie spójności sprowadził szczególne przypadki ciśnienia ziemi do rzędu zadań hydrostatycznych, w których chodzi o znalezienie parcia cieczy na ścianę naczynia.

Oto zarys pobieżny Historyi nauki o wytrzymałości materyałów. Byłoby jeszcze wiele do dorzucenia, gdyby chodziło o zupełny opis wszystkich prac przedsiębranych dla udoskonalenia tej nauki, a prze-dewszystkiem o krytyczny poglyd na jej stanowisko i naukowe znaczenie; temu jednak sprzeciwia się zwięzły program niniejszego wykładu i brak źródeł naukowych.

,

'

■

/

'

.

¹

ZASADY I OKREŚLENIA

1. Stanowisko i cel nauki o wytrzymałości ma-teryałów. — Według określeń Mechaniki analitycznej, ciała stałe są materyą ciągłą, złożony z punktów nieruchomych względem siebie, to jest nie zmieniających swego względnego położenia, jakiebykolwiek było natężenie i kierunek sił na nie działających. Zadania odnoszące się do ruchu takich ciał stałych ulegają ścisłemu rozumowaniu, opartemu na pewnych i niezbitych prawdach.

Ale ciała sztywne, o których mówię, nie znajdują się w przyrodzie; najprostsze bowiem doświadczenia okazują, że wszystkie ciała stałe naturalne mogą być skruszone lub złamane, gdy tylko siły zewnętrzne są dostatecznie wielkie. W badaniu ruchu ciał naturalnych, trzeba brać pod uwagę działania międzycząsteczkowe wywołane przez siły zewnętrzne, i dlatego Mechanika analityczna nie wystarcza do rozwiązywania zadań dotyczących wytrzymałości materyałów. Nauką zajmującą się oznaczeniem związku, jaki zachodzi między Siłami zewnętrznemi, odkształceniem i działaniem między-cząsteczkowem, jest nauka o Wytrzymałości ciał. Jej punktem wyjścia jest Fizyka doświadczalna i Mechanika analityczna; pierwsza z nich doje pojęcie o zewnętrznym układzie materyi, druga zaś naucza praw równowagi i ruchu.

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERYAŁÓW.

Nauka ta po części doświadczalna, a po części rozumowa, opiera się na pewnych przypuszczeniach, bez których byłoby niepodobna rozwiązać wszystkie zadania napotykane w praktyce. Prawdziwa podstawę, badań wytrzymałości powinna być może « Teorya matematyczna sprężystości », pełna zasad ogólnych i zdolnych postawić naukę o wytrzymałości mate-ryałów na prawdziwem stanowisku Mechaniki stosowanej. Ale teorya jest tak abstrakcyjny pomimo licznych prac podejmowanych w celu jej ulepszenia, że w obecnym swym stanie nie może prowadzić do rozwiązywania licznych zagadnień, które tylko nauce czystej wolno jest pominąć, a które są niezbędne lub przynajmniej nader użyteczne w praktyce.

Jak wyżej powiedziałem, nauka będąca przedmiotem niniejszego wykładu służy do oznaczenia związków zachodzących między odkształceniami, siłami zewnętrznemi i wewnętrznemi. Jej celem z punktu widzenia zastosowań jest rozwiązanie dwóch następujących zagadnień : 1°, czy ciała użyte do budowli w danych warunkach są w stanie stawić opór siłom na nie działającym; 2°, jakie są najodpowiedniejsze kształty i wymiary zapewniające trwałość budowli, z warunkiem największego oszczędzenia materyału?

2. Pojęcie o budowie materyi i prawo działań międzyczątsióczkowyeh. — Ciała naturalne zdają się być złożone z cząsteczek, czyli molekułów utrzymujących się na pewnych odległościach jedne od drugich, pod działaniem sił równoważących się wzajemnie. Jedna z tych sił jest przyciągającą, druga odpychającą (¹).

Wszystkie własności mechaniczne ciał (sprężystość, drganie) dowodzą, że natężenia sił działających wzajemnie między dwiema cząsteczkami lub punktami materyalnymi zależą od ich wzajemnej odległości, i że są ich funkcyami ciągłemi. Te działania są odpychające, przy bardzo małych odległościach i rosną nieskończenie w miarę pomniejszania odstępu cząsteczek; przeciwnie zaś stają się przyciągającemi, gdy odległości są dosyć duże, i rosną najprzód proporcyonalnie, a potem maleją do zera.

Oto jest owo sławne prawo działań międzycząsteczkowych, na mocy którego tłumaczy się wszystkie zjawiska świata fizycznego. Jest ono wynikiem naturalnego rozumowania, bo łatwo pojąć, że działanie zależy od odległości, że mała zmiana odstępu wywołuje małą zmianę natężenia, i wreszcie, że punkta bardzo blizkie odpychają się, gdy się je przyciska jeden do drugiego, a przyciągają w przypadku odwrotnym. Prawo to usuwa wszystkie abstrakcye, ułatwia pojęcie twardości, nieprzenikliwości i objaśnia znaczenie nieistniejących W naturze sił wypadkowych.

3. Odkształcenie, sprężystość i drganie. — Bezpo-średniem następstwem zasady działań międzycząsteczkowych jest ta okoliczność, iż cząsteczki wchodzące w skład ciał naturalnych zmieniają swe położenie względne pod działaniem sił zewnętrznych. Ta zmiana położenia cząstek uwydatnia się w ciałach stałych przez zmianę kształtu lub wymiarów", albo, mówiąc ogólnie, przez odkształcenie.

Ponieważ ciała poddane działaniom pewnych sił zewnętrznych odkształcają się nagle albo zwolna stosownie do okoliczności, a szczególnie do ich własności fizycznych, przeto przez odkształcenie odpowiadające pewnym danym siłom trzeba rozumieć granicę, do której się zbliża zmiana kształtu lub wymiarów po upływie pewnego czasu. Uwaga ta stosuje

się także do ciał w budownictwie używanych, ale w stopniu bardzo małym, zwłaszcza dla kruszców, których odkształcenie (*) zależy znacznie mniej od czasu, jak odkształcenie drzewa lub innych istot organicznych.

Wypada także z zasady działań międzycząsteczkowych, że w stanie naturalnym cząsteczki ciała stałego utrzymuję, się w równowadze jedne względem drugich. Gdy pewna siła zewnętrzna niszczy tę równowagę zmieniajęc wzajemne odległości różnych punktów materyi, wywiązuję się nowe działania, które nie tylko stawiaję opór dalszemu odkształceniu, ale nawet staraję się sprowadzić częstki do ich pierwotnego położenia względnego, gdy tylko siły zewnętrzne działać przestaję. Ta dężność ciał odkształconych do przyjęcia pierwotnego kształtu nazywa się sprężystością.

Mówi się, że ciało jest zupełnie albo niezupełnie sprężyste, stosownie do tego, czy odkształcenie znika zupełnie lub częściowo po usunięciu sił zewnętrznych. Wszakże dokładne doświadczenia dowodzę, że pojęcie o sprężystości doskonałej jest zupełnie urojone, i że każde choćby najmniejsze odkształcenie składa się z dwóch części : jednej, którę nazwę odkształceniem trwałem i drugiej zwanej odkształceniem sprężystem. Mówiąc jaśniej, ciało naturalne nie powraca dokładnie do swego pierwotnego kształtu. Dodać tylko wypada, że odkształcenie trwałe jest stosunkowo tem mniejsze im mniejsze jest odkształcenie całkowite, i że w razie, gdy drugie z nich jest małe, pierwsze jest prawie zupełnie niespostrzegalne.

Słowem, ciała zupełnie sprężyste nie istnieję w naturze. Go najwyżej rozróżnić można ciała więcej sprężyste od ciał mniej sprężystych, a to stosownie do tego czy odkształcenie trwałe objawia się przy większej, czy przy mniejszej zmianie kształtu.

(*) Zeiischrif des Vereins deutscher Ingenieure, Bd. I, p. 165. Poszukiwania doświadczalne Dietzel’a,

Przyczyna sprawiająca te częściowy niesprężystość ciał nic jest jeszcze ściśle wytłumaczony. Odwołując się do zasady działań międzycząsteczkowych podanej w ustępie n° 2 za podstawę do tłumaczenia zjawisk fizycznych, można przypuścić, że zmiana położenia cząsteczek ciała wystawionego na działanie sił zewnętrznych przeszła pewny granicę stałości, i że czystki te przyjęły inny układ trwały.

Bądź co bydź jest dziś rzeczy praktycznie dowiedziony, że odkształceniu sprężystemu towarzyszy zawsze odkształcenie trwałe (*). Zjawisko to przedstawia tę ciekawy własność, że nie ponawia się prawie więcej, gdy ciało zostawione w spoczynku przez czas pewden jest na nowo poddane odkształceniu równemu lub mniejszemu od poprzedniego (**). Także trwanie działania sił zdaje się grać ważny rolę; bo największe obciy-żenie chwilowe nie nadwyrężajace sprężystości ciała jest znacznie większe od tego, któreby to ciało znosić mogło ustawicznie.

Po nagłem usunięciu sił zewnętrznych ciało powraca raptownie do swego pierwotnego kształtu, ale odkształca się potem w drugy stronę w skutek nabytej prędkości, i dopiero po kilku

(*j Tredgold i inni autorzy utrzymuję, że ciato traci wtedy część swej sprężystości, to jest że własność powracania do pierwotnego kształtu zostaje po części zniesionę. Prawdę, jest, że ciało nie ma już tej samej siły sprężystej w przejściu przez te same punkta co poprzednio (Poncelet : Introduction à la Mécanique industrielle, art. xvii, p. 13), ale mimo tego sprężystość jest zawsze ta sama i tylko zmienia się punkt wyjścia, od którego liczyć trzeba jej działanie; bo ciało powraca do nowego kształtu, gdy inne znów siły zewnętrzne odkształciły je w pewnych granicach. Gerstner zauważył pierwszy, ro-bięc doświadczenia nad drutami żelaznymi, że wtedy odkształcenia sę proporcyonalne do sił, a Pacinbtti i Peri wykazali to samo prawo proporcyonalności (Annales de chimie et de physique, 1848). Słowem, odkształceniu stałemu nie towarzyszy bynajmniej zmniejszenie sprężystości, ale po prostu zmiana wewnętrznego układu materyi.

(**) Poncelet cytuje na poparcie tej opinii przykład budowli starożytnych, które znoszę już od wieków lè same ciężary, a pomimo tego pozostaję zawsze w tym samym stanie równowagi. Możuaby jeszcze dać za przykład skały lub inne mineralne pokłady, któreby powinny obniżać się ustawicznie pod swym ciężarem i z czasem zrównać się zupełnie z poziomem, gdyby działanie nieustanne każdej siły miało ustawicznie zmieniać wewnętrzny ustrój materyi.

wahaniach i zupełnem wyczerpaniu ruchu przechodzi w stan równowagi. Każde działanie chwilowe lub przerywane rodzi drgania; każde uderzenie.wprawiaja.ee w ruch niektóre punkta ciała względem drugich powoduje wygięcia lub inne odkształcenia tak samo jak działanie statyczne, to jest ciśnienie. Zachodzi tu tylko ta szczególna okoliczność,'że obok sił zewnętrznych i sił międzyczęsteczkowych działa także siła bezwładności.

4. Granica sprężystości, pęknięcie i wytrzymałość. — Z tego, co poprzednio powiedziano, wynika, że przy małem odkształceniu ciała stałe podlegają prawom ciał zupełnie sprężystych, to jest że po usunięciu sił zewnętrznych powracają prawie zupełnie do pierwotnego stanu. Ciała takie pozostaję więc tem czem by^ły pierwotnie z punktu widzenia zjawisk mechanicznych. Ale gdy odkształcenie przekracza pewne granice, zupełny powrót do pierwotnego kształtu nie ma już miejsca, częstki materyi układaję się inaczej i ciało nabywa nowych własności mechanicznych.

Nie można powiedzieć, żeby znaczne odkształcenia wpływały zawsze niekorzystnie na wytrzymałość ciał. Wycięganie, kucie i walcowanie metali sprawiaję znaczne odkształcenia, a jednak powiększają wytrzymałość tych ciał w pewnym względzie. Jednakże materyały budowlane tracę wiele na swej mocy, gdy zmieniaję swój kształt pierwotny w skutek zbytniego obciężenia lub innych tego rodzaju przyczyn; dlatego też przyjmuje-się pewnę granicę natężenia, w obrębie której owo trwałe odkształcenie jest tak małe, że je zaledwie sztucznymi sposobami spostrzedz można. Granica ta zwie się granica sprężystości. Jest to więc największa siła wywołujęca niespostrzegalne odkształcenie trwałe.

Gdy działanie sił zewnętrznych powiększa się coraz więcej, natężnie sił międzyczęsteczkowych przekracza granicę sprę-

ZASADY 1 OKREŚLENIA.

żystości, odkształcenie powiększa się stopniowo i następuje pęknięcie. Zjawisko to przedstawia różne odmiany zależne od natury ciała i od rodzaju odkształcenia. Raz odłam jest włóknisty, drugi raz znowu ziarnisty albo krystaliczny ; raz ciało rozrywa się, kruszy łub łamie, drugi raz znowu przecina się lub skręca.

Każde ciało stawia opór siłom na nie działającym i sprzeciwia się odkształceniu, które te siły wywołać usiłują. Własność ta jest zwana wytrzymałością.

Różne ciała różnie się zachowuję, pod względem wytrzymałości : jedne są mocniejsze od drugich bez względu na rodzaj i kierunek odkształcenia, drugie zaś zależnie od tych okoliczności. Żelazo lane jest w ściskaniu wytrzymalsze od żelaza kutego, a zaś słabsze w wyciąganiu lub zginaniu. Blacha walcowana przedstawia większą wytrzymałość w kierunku walcowania, jak w kierunku prostopadłym, a drut wyciągany zachowuje się zupełnie inaczej w kierunku podłużnym jak w poprzecznym.

Wreszcie wytrzymałość praktyczna oznacza granicę natężeń bezpiecznych, to jest takich, które nie są w stanie wywołać znacznego odkształcenia albo pęknięcia.

5. Określenie kształtu ciał i natężeń. — Ciała znajdujące się w przyrodzie maję zwykle kształt nieregularny i nieujęty w żadne prawa ogólne; przeciwnie ciała używane do budowy, a raczej części składowe budowli maję najczęściej kształty geometryczne dosyć ściśle określone.

Wyobraźmy sobie bryłę powstałą przez ruch powierzchni zmieniającej swój kształt i wymiary w sposób ciągły to jest nieznaczny, a której środek ciężkości sunie się wzdłuż pewnej krzywej w taki sposób, że ta krzywa jest ustawicznie do niej prostopadłą. Tę krzywą nazywają włóknem środkowem bryły, a każde do niej prostopadłe przecięcie przecięciem poprzecznem.

Bryłę powstała w sposób powyżej opisany nazywam w ogóle prętem, ale pod tym warunkiem^ że jego włókno środkowe jest większe lub przynajmniej równe największemu wymiarowi poprzecznemu. Należy jednak rozróżnić dwa szczególne przypadki, w których włókno środkowe jest linię prosta lub krzywę płaskę. Te dwa rodzaje prętów najczęściej w praktyce napotykane nazywają prętami prostymi albo belkami, i prętami krzywymi albo lukami.

Istnieję jeszcze inne szczególne przypadki, w których np. przecięcie poprzeczne pręta prostego jest niezmienne, czworoboczne, kołowe lub inne; wtedy ciało przedstawia kształt graniastosłupa lub walca. Gdy łuk pręta krzywego jest łukiem koła, a jego przecięcie poprzeczne jest stałe, ciało ma kształt bryły obrotowej. Ale te wszystkie szczególne przypadki sę objęte ogólnem mianem belek i łuków.

Każdy pręt może być uważany jako pęk włókien złęczonych z sobę siłę spójności. Włóknami pręta sę nieskończenie małe graniastosłupy, na jakie można podzielić część bryły zawartę między dwoma blizko siebie położonemi przecięciami, a których krawędzie sę równoległe do krawędzi pręta.

Przetnijmy ciało jakękolwiek płaszczyznę i uważmy jakikolwiek punkt A należęcy do elementu co tegoż przecięcia. Jeżeli oznaczymy przez p wypadkowę sił wewnętrznych, z jakę części leżęce po jednej stronie płaszczyzny siecznej działaję na uważany element w, to granica ilorazu -, gdv w zchodzi do zera,

to

nazywa się natężeniem w punkcie A. Jest to, jak widzimy, siła odniesiona do jednostki powierzchni. Rozłożywszy ję na dwie składowe : jedne prostopadłę do płaszczyzny elementu, a drugę leżęcę w tejże płaszczyźnie, otrzymamy tak zwane natężenie normalne i natężenie styczne (*).

(*) Francuzi mówię. : tention normale et tengentielle ; Niemcy zaś Normalspannung und Tangential- oder Schubspannung.

6. Skład i rozkład sił zewnętrznych. — Chcęc badać skutki wywołane w danem przecięciu pręta wystawionego na działanie sił zewnętrznych, można rozbierać dowolnie albo część położonę po prawej' albo po lewej stronie uważanego przecięcia, gdyż układy sił zewnętrznych odpowiadające jednej i drugiej części równoważę, się nawzajem przez pośrednictwo równych a przeciwnych sił wywiązanych w uważa-nem przecięciu.

Niechaj AB (fig. 1) oznacza przecięcie poprzeczne pręta i niechaj punkt O będzie jego środkiem ciężkości. Siły

₇c

A A

Vj\-—-tiE¹

Mr/u-

o p J(,

B' B

Fig. I.

zewnętrzne działające na części ABCD pręta daję się zastępie przez wypadkowę F przyczepionę w punkcie O • i przez parę sił S (*). Wypadkowę F można znowu rozłożyć na dwie składowe : jednę P prostopadłę do przecięcia AB i drugę W leżęcę w płaszczyźnie tegoż. Również rozłożyć można parę wypadkowy S na pary składowe M i 3ÎL, których płaszczyzny przecinaję się pod kętem prostym : płaszczyzna pary hi będzie prostopadła do uważanego przecięcia, płaszczyzna zaś pary ,To będzie do niej równoległę.

Siła P wywołuje w elementach przecięcia AB natężenia normalne w taki sposób co do wielkości i znaku rozłożone, że ich wypadkowa przechodzi przez punkt O i równa się P.

(*) Parę sił przedstawia się przez lak zwanej « uś pary ». Jest to linia prostopadła do płaszczyzny pary, a majęea długość proporcyonalnę do momentu sił ; prostopadłę tę wyprowadza się albo po jednej albo drugiej stronie płaszczyzny sił, w taki sposób, aby kierunek obrotu wydawał się zawsze dodatnim, gdy się patrzy wzdłuż t-j prostej. Oś OS określa więc płaszczyznę, moment i kierunek pary.

Natężenia te sę dodatnie lub odjemne stosownie do znaku siły P. Zatem natężenia normalne, albo co na jedno wychodzi, siła P, dężę do zbliżenia- lub do oddalenia od siebie dwóch bardzo blizkich przecięć AB i A B', w skutek czego włókna zawarte między terni dwiema płaszczyznami sę ściskane lub rozciągane.

Siła W wywołuje natężenia styczne w różnych elementach przecięcia AB, a ich wypadkowa przechodzi przez punkt O i równa się sile W. Siła ta stara się przesunąć płaszczyznę AB równolegle do A'B', albo mówiąc jasno, przecięć pręt na dwie części.

Para sił M wywołuje natężenia normalne w elementach składających przecięcie AB ; natężenia te sę rozłożone w taki sposób co do wielkości i kierunku, że ich układ jest równy parze sił M prostopadłej do uważanego przecięcia. Ta para sił stara się obrócić pi-zecięcie AB około osi leżęcej w jego płaszczyźnie, to jest wygięć bryłę uważanę.

, Para sił 311/ rodzi natężenia styczne rozłożone w ten sposób na różne elementa płaszczyzny AB, iż ich układ sprowadza się do pary sił leżęcej w płaszczyźnie AB i majęcej moment 3H3. Ta para sił stara się obrócić przecięcie AB względem A B’ o pewien kęt, to jest skręcić bryłę około osi podłużnej.

Prawo rozkładu natężeń na uważanem przecięciu ciała nie jest jeszcze dokładnie znanem, tembardziej że przecięcia płaskie przed odkształceniem zamieniaję się w ogóle po odkształceniu na powierzchnie krzywe. Jednakże przypuszczenie pła-skości przecięć przed i po odkształceniu nie pocięga za sobę wielkich błędów.

Natężeniom normalnym skierowanym wzdłuż osi ciała towarzyszę zawsze odpowiednie natężenia styczne we wszystkich kierunkach przecięcia poprzecznego, w skutek czego

wielkość i kształt przecięcia ulegają pewnej zmianie. Skutki te są jednak tak małe, że je w rachunkach pomijać można.

Właściwie mówiąc, do sił zewnętrznych działających na ciała naturalne należy także ciśnienie środka otaczającego, a więc w ogóle ciśnienie powietrza, które działa we wszystkich kierunkach, a więc i w kierunku przecięcia poprzecznego. Ale ciśnienie takie nie może wpłynąć na zmianę wytrzymałości. Za to przy obliczaniu mocy ciał płaskich wystawionych z jednej strony na ciśnienie powietrza, a z drugiej na parcie innego płynu, należy uwzględnić nadmiar czyli różnicę, obustronnych ciśnień.

7. Klasyfikacya odkształceń. — Wskazany w poprzednim ustępie skład i rozkład sił zewnętrznych odnośnie do któregokolwiek przecięcia pręta prowadzi bezpośrednio do określenia głównych a charakterystycznych odkształceń, którym ulegać może bryła wystawiona na działanie sił zewnętrznych. Stosownie do tego, czy siły odpowiadające pewnemu przecięciu pręta sprowadzają się do jednej tylko z sił P i W, albo do jednej tylko pary M i 3Tk,‘ albo wreszcie do sił, które z wyjątkiem jednej pominąć można, rozróżniamy cztery szczególne przypadki :

1° Ściskanie i rozciąganie. — Siły zewnętrzne sprowadzają się w każdem przecięciu do jednej wypadkowej prostopadłej do uważanego przecięcia, a przyczepionej do jego środka ciężkości. Gdy ta wypadkowa stara się rozciągać włókna, pręt wydłuża się lub rozrywa ; gdy zaś dąży do zgniecenia, pręt kurczy się lub kruszy.

2° Wyginanie. — Siły zewnętrzne spowadzają się do pary sił, której płaszczyzna jest prostopadłą do płaszczyzny przecięcia. Tej parze towarzyszy zawsze siła W leżąca w płaszczyźnie przecięcia. Pręt wygina się lub łamie.,

W 3° Przesuwanie. —■ Siły zewnętrzne sprowadzają się w któ-

remkolwiek przecięciu do jednej wypadkowej leżącej w jego płaszczyźnie i przechodzącej przez jego środek ciężkości. Pręt zostaje nacięty albo przecina się zupełnie wzdłuż uważanego przecięcia.

4° Skręcanie. — Siły zewnętrzne sprowadzają się w każdem przecięciu do pary sił, której płaszczyzna zchodzi się z płaszczyznę przecięcia. Pręt wykręca się lub skręca zupełnie.

Oto sę cztery odkształcenia proste, z których składaję się wszystkie odkształcenia złożone. Dwa pierwsze cechuję się kurczeniem lub wydłużeniem włókien, dwa drugie zaś przesuwaniem względnem różnych elementów przecięcia poprzecznego. Jednem słowem, ściskanie lub rozcięganie i wyginanie sę ruchami jednogatunkowymi, tak samo jak ucinanie i skręcanie.

Wypada tu jeszcze zrobić pewnę uwagę co do składania geometrycznego sił wewnętrznych i odpowiadajęcych im ruchów elementarnych. Uważmy najprzód, że według zasady przyjętej w ustępie n. 2 powiększenie działania wzajemnego dwóch częstek oddalajęcych się nieznacznie od siebie sę proporcyonalne do przyrostów odległości. Ponieważ siły zewnętrzne wywołujęce ten ruch względny muszę być w równowadze z siłami zewnętrznemi, przeto wnosimy, że wydłu żenia, skurczenia, wygięcia, skręcenia, sę proporcyonalne do sił zewnętrznych; dalej że siły zewnętrzne różnięce się od siebie samym tylko kierunkiem działania, wywołuję zmiany jednakowe co do wielkości, a przeciwne co do znaków; wreszcie, że ruch wypadkowy wywołuje działania wewnętrzne bę-dęce summę algebraicznę działań odpowiadajęcych ruchom składowym. A więc na przemian : ruch całkowity sprawiony działaniem kilku sił zewnętrznych jest wypadkowę geome-trycznę ruchów częściowych odpowiadajęcych każdej z tych sił z osobna.

Układ sił P, W, M i 01U, do jakiego sprowadziliśmy siły zewnętrzne działające na uważaną część pręta łączy w sobie wszystkie przypadki odkształceii traktowanych w niniejszem dziele. Siła P nosi nazwę natężenia podłużnego, siła W działająca w kierunku poprzecznym nazywa się natężeniem poprze-cznem, pary zaś sił M i 01L noszą miano pary albo momentu zgięcia i momentu skręcenia.

Zanim przejdziemy do szczegółowego rozbioru odkształceń, podamy jeszcze tytułem przypomnienia krótki wyciąg określeń geometrycznych i mechanicznych, niezbędnie potrzebnych do zrozumienia dalszej części wykładu.

8. Środek ciężkości powierzchni płaskiej, jej moment bezwładności i promień wirowania względem jakiejkolwiek osi. — Wyobraźmy sobie powierzchnię płaską ABGD (fig. 2) i nazwijmy

x, y, współrzędne jakiegokolwiek punktu tej powierzchni względem osi prostokątnych ox, oy ;

u, odległość tegoż punktu od linii oz przechodzącej przez początek osi o.

Zgodnie z określeniem przyjęfem w Mechanice analitycznej nazwiemy środkiem ciężkości powierzchni ABGD taki punkt O, którego współrzędne    czynią zadość równaniom wa

runkowym :

J fdxdy = J J y dx dy,

gdzie całki rozciągają się do wszystkich elementów dx dy. Punkt O nie zależy od położenia osi współrzędnych. Nazywając go środkiem ciężkości, bierzemy powierzchnię matę-

matyczną za bryłę materyalną nieskończenie cienką, której masa jest równa jedności.

\

W ten sam sposób uogólnimy znaczenie momentu bezwładności i oznaczymy go przez

Z/¹'*⁴

Biorąc osie symetryi za osie współrzędne, i oznaczając przez lx i Iy momeńta bezwładności powierzchni uważanej względem linij Ose i O y mamy

lx=f j'y* dx dy

ly=C J'X* dx dy. s

z.

nL

Fig. 2.

Promieniem wirowania pewnej powierzchni względem danej osi nazywamy pierwiastek z ilorazu powstałego z podzielenia odpowiedniego momentu bezwładności przez powierzchnię uważaną. Ponieważ całki powyższe odnoszą się do całego przecięcia, przeto mamy, oznaczając przez p* i py pro-■ mienie wirowania względem Ox i Oy.

(*)    P*² = -

f f dx dy

Ijdx dy

j j dxdy

P.v =

f j dx dy

Dodać jeszcze należy, że moment bezwładności powierzchni

płaskiej względem jakiejkolwiek prostej równa się momentowi tejże powierzchni względem linii równoległej przechodzącej przez środek ciężkości figury, zwiększonemu iloczynem powierzchni przez kwadrat z odległości wzajemnej obu osi. Twierdzenia tego dowodzi się zupełnie w ten sam sposób, jak odpowiadającego mu twierdzenia w Dynamice ciał stałych.

9. Elipsa środkowa bezwładności ; osie główne.—

Poprowadźmy przez środek ciężkości O (fig. 2) jakąkolwiek prostą. OZ czyniącą kąt w z osią Ox, i oznaczmy przez 1 moment bezwładności powierzchni ABCD względem tej linii. Odległość jakiegokolwiek punktu od linii OZ jest y dos w—.rwstw. a więc kwadrat téj odległości jest

y² dos² w -f- x² wst² w — 2xy wst uulos w.

Mnożąc to wyrażenie przez dx.dy i całkując w granicach powierzchni uważanej otrzymujemy

I dos² o)

J J* y² dx dy 4- wst² w J J' x² dx dy

j f xydx dy->

— 2 dos w wst w

albo (i) I = 1^. dos²w h-Ij, wst²oj—2wstwddswJ^xydxdy.

Zatem moment bezwładności względem jakiejkolwiek prostej OZ przechodzącej przez środek ciężkości figury, da się wyrazić przez funkcyę momentów względem dwóch osi pro

stokątnych, tudzież całki ^j xydxdy i kąta pochylenia

linii OZ względem jednej z osi współrzędnych.

Uważmy teraz, że oznaczając przez p, px i py promienie wirowania względem osi OZ, Qx i O y, a przez ß powierzchnię

uważany, mamy

ïx--

Iÿ — Qp

i że całka

J J*xy dx dy jest równa

zeru. Jakoż, skoro za osie

współrzędne wzięliśmy osie symelryi, przeto każdemu elementowi dx dy położonemu po jednej stronie osi x odpowiada po drugiej stronie element równy dxdy, majycy tę samy odcięły, a rzędny ze znakiem przeciwnym. Summa elementów symetrycznych xy dx dy jest więc równa zeru.

Wprowadzajyc te nowe wyrażenia w równanie (1) i znoszyc czynnik wspólny 12, otrzymujemy :

(2)

p²= p/ dos² oj -t- py- wst²oj.

Dla łatwiejszego zbadania zmiany, jakiej doznaje moment bezwładności względem linii jakiejkolwiek OZ ze zmiany kierunku téj linii, poprowadźmy przez punkt O pęk prostych OZ i odetnijmy na każdej z nich długość OS równy ilorazowi z ilości stałej dowolnej X² przez odpowiedni promień wirowania. Oznaczajyc tę długość OS przez r, rx i rv odnośnie do osi OZ, Ox i O y mamy :

(3)

X²

rx

X²

rv

a wstawiwszy wyciągnięte ztyd wartości p, p* i py w równanie (2) otrzymujemy

C/3

Ponieważ czynnik X⁴ jest wspólny wszystkim wyrazom powyższego równania, przeto mnożąc obie strony przez r- i zamieniając r dos oj na x, a r wstoj na y, otrzymujemy :

£=i.

(4)

r,²

ri

$x.

p2A

albo jeszcze

xl

(5)

/A“'

X²'

Oto jest równanie krzywej będącej miejscem punktów S. Ponieważ r nie może być nieskończone, przeto krzywa jest zamknięta, a że jest drugiego stopnia, więc musi być elipsy. W mechanice zwie się elipsą środkową bezwładności, a jej osie osiami głównemi bezwładności; ilości zaś p* p_(/ są głównymi promieniami wirowamia. W figurach symetrycznych osie główne bezwładności są zarazem osiami symetryi.

Powyższe określenie elipsy bezwładności dotyczy tylko jef kształtu, ale nie wielkości, gdyż ilość X jest dowolna z założenia; należy więc ustalić X. W dalszym ciągu wykładu mówić będziemy o takich elipsach bezwładności, dla których

X² = px p y.

Na zasadzie tego warunku równanie (5) elipsy środkowej przyjmie kształt :

(6)

X¹

äk=i.

P V P*

Ta elipsa zaleca się przed innemi prostotą wyrażenia i swem znaczeniem geometrycznem. Uważmy, że promień wirowa-

X²

nia powierzchni około prostej ON (fig. 3) jest p = — PxP?/_O A. OB

« Ale prostokąt zbudowany na osiach elipsy

jest równy czworobokowi zbudowanemu na jakimkolwiek układzie średnic sprzężonych; tak że nakreśliwszy średnicę OM odpowiadającą średnicy ON, mamy :

ON. OM wst NOM = OA . OB,

ON

ON

a zatem

P = OM wst NOM —MP.

Zatem w elipsie określonej warunkiem ż² = pu promień wirowania powierzchni około jakiejkolwiek prostej przez punkt O przechodzącej równa się odległości tej prostej od końca średnicy sprzężonej z jej kierunkiem.

Weźmy teraz za osie współrzędne dwa kierunki sprzężone OM i ON, i oznaczmy przez a' i y współrzędne tego układu. Oznaczywszy kęty a.*OM i aON przez 0 i 0', a kęt MON przez ß, mamy

y wst ß — x wst 0 —y dos 0, x wst ß = x wst 6' 4- y dos 0',

zkęd

x'ÿ wst² ß = a² wst 0 wst 0' — y² dos 0 dos 0' 4- xy wst (0 — 0'),

Fig. 3.

lub, mnożąc przez element płaski w i summujęc w granicach danej powierzchni,

wst⁸ß 2 w x y = wst 0 wst 0' 2 w a² — dos 6 dos 0' 2 w y2 4- wst (0 — 0') 2 w x y.

Ale 2w xy jest równe zeru na zasadzie poprzedzającego, przeto wstawiając za 2 u>a² wartość lt/=fu 2w, a za 2wy* = Tx = 2co, otrzymujemy

wst² ß 2tax'y' — wst 0wTst O'p^ 2w — dos 0 dos 0'p²*. 2 w =

P!,

=pSi/ dos 0 dos 0' 2w ( st 0. st. 0' —

pV ’

gdzie ox py oznaczają promienie wirowania, a zarazem.główne osie elipsy bezwładności. Otóż wiadomo z geometryi analitycznej, że kąty 0 i 0' s§ z sob.y zwijane rówmaniem st9 st9 ' =

2

^ ; a więc summa 2 x’y « jest równa zeru.

10. Momenta bezwładności i promienie wirowania niektórych figur geometrycznych. — Weźmy linie syme-tryi za osie współrzędne i szukajmy momentów bezwładności głównych figur geometrycznych względem tychże linij. Niechaj pa, i py oznaczają promienie wirowania względem osi x i y.

Czworobok pełny. — Oznaczmy BC przez m, AB przez n (fig. 4). Według określenia moment bezwładności powierzchni danej względem pewnej osi równa się summie iloczynów powstałych z pomnożenia nieskończenie małych elementów tej

y\

Fig. 4.

powierzchni przez kwadrat ich odległości ad osi. Uważajęc czworobok nieskończenie mały abcd odległy o y od x, a którego wysokość jest dy widzimy, że jego moment bezwładności względem osi x jest ndy.y\ Summa tego rodzaju wyrażeń jest

nysdy, a więc moment całkowity względem osi x jest :

12

lx= — nnd.

Wyraz — nm³ może być przedstawiony w kształcie — nv.nm,

v £    U

a że czynnik mn jest równy powierzchni ii czworoboku, przeto — m*jest kwadratem z promienia wirowania. Mamy więc

2V3

W ten sam sposób znajdujemy

'»“i1

mn³.

P" 2\/3

Prostokąt wydrążony albo T podwójne. — Moment bezwładności powierzchni zawartej miedzy dwoma czworobokami ABCD i A'B'C'D' (fig. 5), których boki sg do siebie równoległe i względem wspólnego punktu symetryczne, otrzymuje się odejmując moment bezwładności drugiego z nich od momentu bezwładności pierwszego.

Fig. S.

Oznaczywszy AB i A B' przez n i n, a BG i B'G' przez m. i m, mamy

L— — (nm* — rim'³},

12

! nnr’ — rim3 12 nm — rim

[y — — (mn³ — m n³)

12

py — Tź

Te same wzory stosują się także do powierzchni kształtu litery I (figury 6); przeciąwszy bowiem figurę ABCD (fig. 5) linię. yO na dwie równe części i przeniósłszy połowę leżącą po prawej stronie osi y na stronę lewą, tak aby punkta B i C dotykały punktów A i D, otrzymamy czworobok wydrążony,

|B

*r

cz

Fig. 6.

którego powierzchnia będzie równa powierzchni Uważanej tak co do wielkości, jak i co do odległości jej różnych elementów⁷ od osi Ox. Moment bezwładności nie zmienia więc swrej wartości po takiem przekształceniu figury.

Czworobok ukośny. — Oznaczywszy AO przez m (fig. 7), a

jj

Fig. 7.

BO przez n, mamy

Ml

--p 5

v/6

¹

Na vier utrzymuje W swym wyktadzie Mechaniki w szkole Dróg i Mostów, że przyczyna istnienia sił międzyczas toczkowych przyciągających leży w naturze ciał, i że siły odpychające sę wynikiem ciepła. Ampère robi uwagę (Bibliothèque universelle de Genève, 1832, p. 22b), że gdyby to było prawdę, trzebaby porzucić teoryę ciepła po-legajęcę na drganiach, z powodu iż ruch wibracyjny nie może mieć miejsca bez odpy-chań. Prawdopodobnie odpychanie wzajemne częsteczek leży tak samo w naturze ciał, jak i przyciąganie.

V6

PRZECIĘCIE BELKI ŻELAZNEJ KSZTAŁTU LITERY I. —■ Belki bla-

szanc sk ładaj y się zwykle (fig. 8) z dwóch tablic poziomych AB, CD przymocowanych do tablicy pionowej EP czterema węgiolnicami 1, 2, 3, 4. Przecięcie takiej belki jest zwykle symetryczne względem osi Ox i O y przecinających się pod kytem prostym, a przechodzących przez środek ciężkości przecięcia. Dosyć jest więc obliczyć moment połowy belki i pomnożyć przez 2 wartość znaleziony. Przedstawiając belkę (fig. 8) w kształcie figury 9 dochodzimy łatwo do wzoru

(a)    Ix— r- [rac³—(n— n) c'7—[n— ri')ć‘³— (n' — n") ć"³).

O .

Moment bezwładności względem osi O y nie wchodzi nigdy w rachunek i dlatego pomijamy go zupełnie.

Ac

___x

5P

si

~-¥-

m"'

Fig. 9

Fig. 8.

Często, gdy przecięcie belki jest znaczne, nie bierze się pod uwagę momentu bezwładności ściany pionowej, a powierzchnię węgielnie dodaje się. do powierzchni tablic sąsiednich. Oznaczywszy powierzchnię całkowity przez £2, a odległość wzajemny środków ciężkości obydwóch tablic poziomych przez h, mamy z wielkiem przybliżeniem

Elipsa wydrążona i pełna. — Moment bezwładności powierzchni zawartej między dwiema elipsami współśrodko-

„werni i podobnemi równa się różnicy momentów odpowiadających pomienionym elipsom. Oznaczywszy więc półosie OA, OB przez n, m, a OA', OB' przez sn i sm, mamy (fig. 10)

xy*dy.

r

I* = 4 /    xy%dy — 4

Jo    Jo

Wprowadźmy nową zmienną cp oparta na warunkach x = n dos <p, y=m wst cp,

r*yn

zamieńmy całkę 4 I xy²dy

na 4nm³

Jdos² cp wst² cp dp,

T\

\K\k

SD

Fig. 10.

albo jej równą nm?    wst,²2cp<fy. Pozostaje więc do zcałko-

wania wyrażenie Jwst² 2cp dcp

. Otóż mamy :

j wst²2cp dcp -+- j dos'² 2cp dcp = J(wst²2cp -4- dos² 2cp)c/cp

:j\h

= ?»

I wst² 2cp dcp — j dos² 2cpö?cp —— J (dos²2cp —wst²2cp)ć/cp

j dos 4<p dcp

— - wst 4co.

zasady i określenia.

24

Dodawszy więc do siebie te dwa równania, otrzymamy

j' wst² 2cp(/<p — |

ix

wst 4<p,

zkąd

— mn³ -■

r*m

4 j xyidy

Znaleźlibyśmy podobnie, że

f'sin

4 / xi/dy

Mamy więc ostatecznie

(0

I*=

(I-*¹)

ponieważ zaś powierzchnia korony eliptycznej jest Tc (mn — sw. sn) = 7imn ( I — s²),

przeto

w.

(2)

(3)

Podobnież z n aj d u j e m y

4 _

Iÿ =-- nmn?,

■4

i -+■ s²

rr.

Wstawiając we wzorach (1), (2) i (3) zas = 0, otrzymamy momenta bezwładności i promienie wirowania elipsy pełnej o półosiach n i m.

Kolo wydrążone lub pełne. —Wzory (ł), (2), (3) powyżej wyprowadzone stosują się także do koła z warunkiem zamienienia ilości m i n na promień koła. W przypadku pierścienia kołowego o promieniach skrajnych r i sr, mamy

J — s‘

r².

h=

Px —-

1 -+■ s*

Widoczną jest rzeczą, iż moment bezwładności koła nie zależy od kierunku osi, gdyż wszystkie średnice koła są liniami symetryi.

W kole pełnem sjest równe zeru, a więc

1?

il. Linie biegunowe wzajemne. — Niechaj BCD będzie krzywą drugiego stopnia, punkt A punktem dowolnym, a prosta ABC sieczny przez punkt A przechodzącą (fig. 11). Jeżeli w punktach B, G spotkania się siecznej ABC z uważany krzywą wyprowadzimy linie styczne MG, MB, to miejscem punktów M będzie linia prosta MN przechodząca przez punkta, w których styczne z punk tu A wyprowadzone dotykają krzywej BGD, Ta linia MN zwie się biegunową punktu A względem

M'

m:

Sl

TC

Fig. H.

krzywej BGD. Nawzajem punkt A jest biegunem linii MN względem krzywej BGD. Jednem słowem każdemu punktowi odpowiada linia biegunowa i na odwrót.

Oto są główne własności linij biegunowych : 1°, Biegunowa MN i średnica przez biegun A przechodząca, są równoległe do pewnego układu osi sprzężonych w krzywej BGD ; 2°, Sieczna AC, krzywa BGD, biegunowa MN i biegun A przecinają się w punktach A, B₅ F, C, związanych z sobą równa-to jest że punkta A i F sy sprzężonymi harmonicznymi względem końców B i G cięciwy BG ; 3°, Biegun każdej prostej przez punkt A przechodzycej leży na biegunowej puntu A, a biegunowa punktu leżycego na prostej MN przechodzi przez biegun tejże prostej; 4°, Średnica AO prze-chodzyca przez biegun A przecina krzywy BGD i biegunowy MN w takich punktach S i R, że AO. RO = OS².

. AB FB mem AG FG ’

Gdy biegun A przebiega pewny krzywy, biegunowa MN zmienia ustawicznie swe położenie i ruchem swym wytwarza pewna krzywy obwijajycy. Te dwie krzywe zwiy się bieguno-wemi wzajemnemi.

Gdy krzywa BGD jest elipsy wyrażony równaniem

Hs

4-

biegunowa odpowiadająca punktowi    przedstawia się

w kształcie

Xtx , Yi.V _ .i

a² b*

Przęchu biegunowa punktu A względem krzywej BGD nazywamy prosty M IS' symetryczny do biegunowej MN względem środka krzywej ; nawzajem punkt A jest przeciwbiegunem prostej M'N'.

12. O środku uderzenia. - Gdy siła P uderza ciało sztywne wolno w przestrzeni spoczywające, a majace masę m, ciało to zostaje ożywione ruchem postępowym w kierunku

i równocześnie ruchem obroto-

p

uderzenia, z prędkościy —

wym około pewnej prostej OM przechodzącej (fig. 12) przez środek ciężkości O. Ta prosta jest w elipsoidzie środkowej bezwładności średnicy sprzężony płaszczyzny POc przechodzącej przez środek ciężkości O i przez kierunek siły P.

Przypuśćmy, żc linia PG jest prostopadły do MO i poprowadźmy przez linię MO płaszczyznę MOe prostopadły do siły P ; płaszczyzny MOc i POc przecinajy się więc wzdłuż linii Oc. Szukajmy na tej linii takiego punktu s, któryby pozostał nieruchomy po uderzeniu.— Jeżeli oznaczymy prędkość postępowy przez v, a prędkość kytowy około osi OM przez to, punkt 5, będzie określony równaniem

v~ w .sL,

gdzie ,sL osnacza odległość osi MO od punktu s.

Z punktu c spuśćmy prostopadły cN na MO, i oznaczmy mo-

-----L

Nj-

Fig. 12.

ment bezwładności bryły względem osi OM przez m&². Biorąc • moment ilości ruchu względem osi OM, otrzymujemy

_P.cN

mk? ⁵

ale że v —

— : przeto

Ul,

albo

sL.Nc=-Ä*,

lub wreszcie

sO. cO. wat² MOc= k².

Oto jest związek geometryczny wiążący punkt cz punktem s. Prosta Fs jest osię, około której bryła obracać się zaczyna, a odpowiadający jej punkt c jest środkiem uderzenia ciała względem tej osi. Gdyby oś Fs była stałe umocowana, uderzenie P wywarte w punkcie c prostopadle do płaszczyzny MOc nie wywarłoby na nię żadnego ciśnienia, bo ruch ciała naturalny w pierwszej chwili po uderzeniu sprowadza się właśnie do obrotu koło pomienionej osi.

CZEŚĆ i

PRĘTY PROSTE ALBO BELKI

6

KSIĘGA PIERWSZA

6

ŚCISKANIE I ROZCIĄGANIE

ROZDZIAŁ I

TEORYA I ROZKŁAD CIŚNIEŃ .

13. Teorya ściskania i rozciągania. — Trudno jest pojąć na pierwszy rzut oka, dlaczego ściskanie graniastosłupa w kierunku długości oddziela jedne cząstki od drugich, gdyż jak powiada Michoń w swym wykładzie Instruction sur la résistance des matériaux, litografowanym w roku 1848 w szkole Artyle-ryi i Inżyneryi w Metz : «wzajemne zbliżanie się cząstek ciała nie może być przyczyną jego niestałości». Ta pozorna niezgodność zjawisk i rozumowań znika zupełnie przy bliższem badaniu działań wywiązanych między cząsteczkami ciała.

Ściskanie graniastosłupa w kierunku długości sprawia nie

CZÇSC I. — PRĘTY PROSTE ALBO BELKI.

30

tylko odkształcenie podłużne ale i poprzeczne. To odkształcenie poprzeczne jest koniecznem następstwem działania sij międzyczysteczkowych przyciągających i odpychających, będących funkcyami odległości (ust. n. 2), gdyż każde wzajemne zbli_ żenie się dwóch czysteczek m, m, leżących na linii równoległej do krawędzi graniastosłupa (fig. 13.) pociąga za sobą wzajemne

Bi

Fig. I 3.

odepchnięcie się czystek n, n położonych na jednej linii prostopadłej. Jakoż, gdy odległość mn maleje, czystki m i n odpychają się więcej, a przyciągają mniej jak poprzednio.

Jest więc rzeczy dowiedziony, że przy odkształceniu podłu-żnem istnieje zawsze odkształcenie poprzeczne, to jest skurczenie w podłuż, a rozszerzenie w poprzek. To ostatnie, choć mniejsze ed pierwszego, jest przyczyny zgniecenia ciała, gdy siły ściskajyce sy dostatecznie wielkie.

Uważmy teraz ciało graniastosłupowe rozciygane w kierunku długości i podzielmy je na małe a równe włókna płaszczyznam [ równoległemi do ścian graniasto słupa i płaszczyznami do jego krawędzi prostopadłemi (fig. 14). Przy rozciyganiu tych elementów w kierunku długości AB, czysteczki mm jednego z nich

TL

Fig. 14.

oddalajy się od czysteczek m elementu majycego wspólny

z nim podstawę; wskutek czego działania przyciągające rosnę, a odpychające maleję, tak że działanie wypadkowe obu uważanych elementów jest siła przycięgajęcę. Gzęsteczki m, m, ocl-dalaję się także od częsteczck n, n, elementów sąsiednich; ale mniej jak poprzednio ; w skutek czego wywięzuję się między ścianami bocznemi elementów działania przycięgajęcę mniejsze jak między podstawami tychże. Ztęd wypada, że jeżeli włókna rozciągane w podłuż nie maja wywierać żadnego działania na siebie w kierunku poprzecznym, włókna te muszę skurczać się w poprzek o ilości mniejsze od ich przydłużenia w kierunku długości.

Przypuśćmy teraz, że wszystkie elementa uległy temu samemu odkształceniu, to jest tym samym zmianom wymiarów i to w takim stosunku, że działania jednych na drugie sę równe zeru w kierunku poprzecznym, a w kierunku podłużnym maję za miarę iloczyn « podstaw elementów przez pewnę ilość stałę/n Układ ten będzie w równowadze, jeżeli obie podstawy graniastosłupa będę poddane działaniu sił rozcięgajęcych pu, jednostajnie rozłożonych na elementa w tychże podstaw, podczas gdy ściany boczne będę zupełnie wolne.

Otóż dany układ punktów materyalnych zachowuje się zawsze w jeden i ten sam sposób, gdy go się poddaje działaniu sił danych; a więc nawzajem: każdy graniastosłup jednorodny o ścianach wolnych, rozcięgany w kierunku podłużnym przeż siły normalne, równe i jednostajnie na powierzchni podstaw rozłożone, wydłuży się jednakowo we wszystkich punktach swych włókien i skurczy się równocześnie w poprzek o pewnę ilość mniejszę od pierwszej; co więcej, przydłużenia te będę proporcyonalne do sił na jednostkę podstawy (*).

(*) Teorya powyższa ułożona przez Michon’a datuje dopiero od roku 1348. Mn-sehenbroek mówił już w początku zeszłego stulecia, iż słup któryby się nie wyginał, byłby w stanie znosić wszystkie obciążenia (Essais de physique, traduction du hollandais par P. Massuet, Leyde, 1739, § 683, p. 358). Coulomb występował przeciw opinii Mu-sebenbrœk’a i skruszanie ciał wkładał na karb obsuwania się poprzecznego jednych

część i. — PRęrr proste albo belki.

32

Prawo to stosuje się także do przypadku, gdy siły zewnętrzne zmieniaję swój znak na przeciwny i zamiast rozcięgać bryłę ścięgaję ję w kierunku podłużnym. Wypada ztęd, że jeżeli oznaczymy przez

12 powierzchnię przecięcia lub podstawy graniastosłupa ;

L długość tegoż;

/ dodatni lub odjemny przyrost długości L;

P siłę rozłożonę jednostajnie na podstawie graniastosłupa, odpowiadajęcę odkształceniu l ;

E współczynnik zależny od natury ciała ;

ICi

przyrost I będzie proporcyonalny do długości L i do siły , co wyrazi się równaniem

LP

lub

E12/

Liczba E nazywa się icspółczynnikicm sprężystości podłużnej.

Jest to, jak widzimy, stosunek natężenia na jednostkę powierz-

chni — do przydłużenia względnego - , czyli mówięc inaczej, *

jest to siła odniesona do jednostki powierzchni, bo stosunek

— jest liczbę. Uczyniwszy

L

12 = i i

warstw bryły po drugich (Essais sur V application. des règles de maximis et minimis à quelques problèmes relatifs à l’Architecture, par Coulomb. Savants étrangers, 1773), ale teorya ta upadta niebawem w skutek zupełnej niezgodności z doświadczeniem.

otrzymamy

E = P;

co dowodzi że E jest siła zdolną podwoić długość pręta mającego przecięcie równe jedności albo też sprowadzić jego długość do zera. Ale wniosek ten nie jest prawdziwy, bo doświadczenie uczy, że w?zór służący mu za podstawę stosuje się do pewnych tylko wartości przyrostu /.

Współczynnik sprężystości E może być uważany za stały bez względu na znak siły P, jakkolwiek niektórzy autorzy przyjmują osobne wartości na ściskanie, a osobne na rozciąganie. Różnice są w ogóle tak małe, iż je zupełnie pominąć można.

PL

Dowodzenie wzoru l = — wymaga, aby siły mające wy-

iii!

padkową P działały na podstawę graniastosłupa, aby były do niej prostopadłe i jednakowo na jednostkach powierzchni rozłożone. Jest ono ścisłe Łydko pod tym warunkiem ; a analiza nie oznaczyła dotąd błędu popełnionego przez bezwarunkowe stosowanie ogólnego wzoru wydłużeń.

Ale liczne fakta dowodzą, że rozkład sił zewnętrznych nu podstawach graniastosłupa dostatecznie długiego wpływa tylko na małą część ciała i że odkształcenie pozostałej części bryły zależy jedynie od wypadkowej P. Zatem wzór powyższy może służyć w praktyce bez względu na rozkład i kierunek sił, z tym jednakże warunkiem, że ich wypadkowa jest równoległa do krawędzi graniastosłupa, i że przechodzi przez środki ciężkości obydwóch podstaw ; w przeciwnym bowiem razie powstałoby wygięcie, o którem będzie później mowa.

14. Rozciąganie i ściskanie graniastosłupa różnor odnego. — Graniastosłup różnorodny, którego własności fizyczne zmieniają się podług tego samego prawa we wszystkich przecięciach poprzecznych, może być uważany za ciało złożone

W Y T n Z y M A ŁOŚ Ć M A T KRYAŁOW.

część i. — pitęry phostk albo belki.

34

z nieskończenie wielkiej liczby graniastosłupów jednorodnych. Oznaczywszy więc przez w przecięcie poprzeczne jednego z tych elementów, przez p natężenie odpowiadające przyrostowi / a przez L i E jego długość pierwotny i odpowiadający mu współczynnik sprężystości, będziemy mieli :

E oj/

0)

Szukajmy teraz wypadkowej natężeń w jakiemkolwiekprzecięciu poprzecznem graniastosłupa, gdy wszystkie włókna kurczą się lub rozciągają jednakowo, to jest gdy przecięcia poprzeczne bryły zmieniają swe położenie względne ruchem postępowym prostopadłym do ich płaszczyzny. W tym celu

E bil

weźmiemy summę wyrazów kształtu —— odnośnie do ca-

L

lego przecięcia, i otrzymamy

(2)

P = - vBw .

Ponieważ natężenia p są proporcyonalne do Ew, przeto wypadkowa P jest przyczepioną do środka ciężkości przecięcia, którego każdy element posiada gęstość równą współczynnikowi sprężystości włókna odpowiadającego. Bresse nazywa ten punkt środkiem sprężystości przecięcia. W ciałach jednorodnych środek sprężystości zchodzi się ze środkiem ciężkości.

15. Związek zachodzący między odkształceniem podłużnem i poprzecznem. — Wiadomo z ustępu n. 13, że każdemu odkształceniu podłużnemu bryły towarzyszy odkształcenie poprzeczne we wszystkich kierunkach, a to w skutek wzajemnego oddziaływania cząstek jednych na drugie. Oznaczając przez r, i v)' współczynki zależne od gatunku ciała i od jego budowy wewnętrznej, wyrazimy te przyrosty poprzeczne w dwóch kierunkach przecinających się pod kątem prostym przez

P , P ⁷¹ Ew ’    ⁷¹ Eoj *

Współczynniki r, i r/ są sobie równe, gdy budowa materyi jest jednakowa we wszystkich kierunkach poprzecznych, ale

I

w ogolę są mniejsze od —, bo jak mówi Saint-Venant w swym

Wykładzie Mechaniki Naciera objętość -ciała wydłużonego p

w stosunku — zmienia się mniej więcej o JtLco

4

to jest o liczbę odjemną, gdy yj i r{ są większe od trudno zaś przypuścić, żeby ciało wyciągane zmniejszało swą objętość.

Gdy ciało jest zupełnie jednorodne nie tylko w kierunku poprzecznym, ale i podłużnym, można oznaczyćj współczynnik -/) drogę, czysto teoretyczny, i to wychodząc z tej zasady, że natężenie wynikające z działania jednej częśći ciała sprężystego na część sąsiednią przedzieloną od pierwszej ścianką albo elementem ab (fig. 15) przecięcia poprzecznego, jest wypadkową wszystkich sił międzycząsteczkowych działających poprzecznie na ten element płaski. Oznaczmy więc przez

O środek tego elementu ;

w jego powierzchnię ;

r odległość Om środka O od jakiejkolwiek cząsteczki m leżącej na prawo elementu ab ;

x odległość punktu m od płaszczyzny ab;

g działanie wzajemne dwóch cząsteczek odległych o r, równolegle do Om ;

n liczbę częstek zawartych w jednostce objętości w pobliżu punktu O.

Aby znaleźć wypadkowy wszystkich działań międzyczęstecz-kowych na poprzek elementu w weźmy najprzód summę działań równoległych do Om, a odpowiadających częstkom odległym o r jedna od drugiej. Cząsteczki tego rodzaju leżęce po lewej stronie elementu w sę zawarte w graniastosłupie ukośnym abdc, którego podstawa jest oj, a którego krawędzie sę równoległe do Om, i równe r co do długości ; liczba ich jest więc noix, a summa wszystkich działań równych i równoległych wynosi    #

m>ix. g .

'X

-,.iii

o/

--- \

Fig. 15.

Ta wypadkowa częściowa uważana prostopadle do elementu w przedstawia się przez wyrażenie

tuaax . -

a więc wypadkowa normalna wszystkich działań międzyczę-steczkowych w poprzek elementu w będzie

x²

71M-.G — .

Summa 22 rozciąga się do wszystkich wartości r=Om odpowiadających cząsteczkom m dla których n — ; posiada jeszcze

wartość spostrzegalną, zważywszy, że o- maleje prędko gdy odległość się powiększa.

Oznaczywszy przez px rzeczoną wypadkową odniesioną do jedności powierzchni, mamy

(O

X³

px—n^G — .

i w kie-

Zastosujmy teraz to wyrażenie ogólne natężenia normalnego do ciała ulegającego trzem małym odkształceniom względnym l 1' 1"

P P’ f"’ W kierunku Oa? prostopadłym do ścianki w

runkach Oy, Oz, prostopadłych do siebie i do Ox, a więc leżących w płaszczyźnie elementu. Jeżeli oznaczymy przez y, z, rzuty linii O m — r na O y i na Oz, i jeżeli przyjmiemy dla uproszczenia, że punkt O jest nieruchomy, jak również i osie współrzędne (co nie wpływa zresztą na zbliżanie się lub oddalanie cząstek, ani też na siły temu ruchowi towarzyszące), punkt m przebieży w kierunkach a?, y, z, drogi

których rzuty na Om razem dodane powinny być równe małemu przyrostowi dr. Mamy więc

r*| -,

1-3

L"V

Działania odpowiadające ruchowi cząsteczek, albo mówiąc inaczej, nadmiary działań międzycząsteczkowych pierwotnie się równoważących, są proporcyonalnc do dróg przebieżonych i

cłr zamiast <7

wyrażają się przez ~ dr- Wstawiając więc

Ti di

w wyrażeniu (1) i oznaczając — — przez <r', otrzymamy

W tenże sam sposób znajdujemy ilości py, odpowiadające działaniom normalnym w poprzek ścian prostopadłych do y i do z; jeżeli więc, mając na uwadze zupełną jednorodność materyi, nazwiemy

2<tV = 2<7 if == 2cćz¹ 2 3 = A,

2<xy*² =5:2a'z².r² = 2«r'a,V — G,

otrzymamy następujące wyrażenia sił sprężystych działających normalnie na jednostkę elementów prostopadłych do x, y, z;

Er = A

Ih-:

4- G

(2)

4- G

Es = A

4- G

(O )■

-j

Współczynniki A i G są od siebie nawzajem zawisłe. Jakoż, jeżeli x jest rzutem linii Om — r na prostej Qx dzielącej kąt zOä¹ na dwie równe części, mamy z powodu jednorodności materyi

(3)

gdzie

.r'¹ =

Wstawiając tę wartość w równanie (3) trzeba opuścić summy złożone z potęg nieparzystych x \ z, bo z powodu jednostaj-ności materyi po obu stronach płaszczyzn współrzędnych, summy te będą złożone z wyrazów równych sobie dwa po dwa, a przeciwnych znakami. Mamy więc ostatecznie

A = i(2A. + 6G),

lub

A = 3G.

Na zasadzie tego otrzymujemy z wzorów (2) :

co

co

tyi ^    r-|

+ + ’

“I

co

Otóż przypuszczając, że ciśnienie działa tylko w kierunku x, to jest że py = p- = 0, otrzymujemy

l-H

co

lt-5

■f

4-

co

zkad

r __r _ _

L —17~    4 L

To dowodzi, że gdy ciśnienia boczne są równe zeru, gra-niastosłup zupełnie jednorodny skurczą się w kierunku poprzecznym o czwartą część swego wydłużenia w kierunku osi, to jest że oznaczając przez rj stosunek odkształcenia poprzecznego do odkształcenia podłużnego, mamy

co tłumaczy się niezupełną jednorodnością ciał naturalnych. Dla miedzi, mosiądzu i szkła

Według doświadczeń Wertheim’a i Regnauit’a liczba v) zdaje się być nieco mniejszą od

l

znaleziono :    z późniejszych zaś poszukiwań Wertheim’a

wypada :

dla mosiądzu

d° W pocięci,,,

⁷¹    2,84

dla blachy żelaznej r, =___ do ——- ; w przecięciu r,-— ÖjJiÖ 4;UO

3,64

Można więc przyjąć w ogóle

16. O natężeniu włókien w różnych miejscach bryły. —Uważmy graniastosłup pionowy poddany działaniu sił pionowych i szukajmy prawa rządzącego rozkładem ciśnień na któ-remkolwiek z jego przecięć poprzecznych, na przykład na przecięciu AB (fig. 16).

Przypuśćmy, że wypadkową wszystkich sił zewnętrznych działających na górną część ciała jest siła P równoległa do krawędzi graniastosłupa, i przecinająca płaszczyznę AB w punkcie C'. Siła ta może być przeniesiona do środka ciężkości O pod warunkiem, że nie zmieniając jej kierunku dołączymy do niej parę złożoną z siły pierwotnej P i siły — P przyczepionej w punkcie O'. Ponieważ

W= 0, ;)IL = 0,

przeto cztery ruchy przecięcia AB względem przecięcia sąsiedniego CD ust. n. 6 i 7) sprowadzają się do dwóch, mianowi-(ust. n. 13), na mocy którego przecięcie AB przyjmie położenie A,B,, i do ruchu obrotowego koło osi leżącej w płaszczyźnie AtB₀ który sprowadzi przecięcie AJ3, w położenie końcowe A₂B₂. Wyrachowawszy więc oba ruchy, możnaby obliczyć odpowiadające im natężenia różnych elementów płaskich, a dodawszy je do siebie algebraicznie, znaleźć natężenie każdego punktu przecięcia (ust. n. 7). Istnieje jednak inny sposób prowadzący prędzej i prościej do celu, a polegający na użyciu równań Statyki i na zrobieniu pewnego przypuszczenia co do kształtu równania ciśnień.

cie do ruchu postępowego O 'a =

LP

o' c/

—a|; ~ - i—

Fig. 10.

Uważmyjakikólwiek punkt H przecięcia AB, odnieśmy go clo osi współrzędnych prostokątnych przechodzących przez środek ciężkości przecięcia i oznaczmy przez (fig. lo):

x, //, współrzędne punktu H względem osi x, y ;

H siłę działającą pionowo na jednostkę powierzchni w punkcie H ;

X, Y, współrzędne punktu C C, przez który przechodzi wypadkowa ciśnień.

Wyraźmy równowagę sił wywiązanych w przecięciu AB wskutek odkształcenia i sił zewnętrznych na to przecięcie działających. Element nieskończenie mały dx dy wywiązuje w skutek odkształcenia siłę pionową, która ma za miarę ii dx dy, a wypadkowa działań wszystkich elementów składających dane przecięcie, powinna się równać i być przeciwną sile P, również pionowo skierowanej. Równania równowagi sprowadzają się więc do trzech, a mianowicie :

(1)

P = j* J*R dx dy,

(2)

PX =

(3)

py =

f j* Rxdxdy f f Rydxdy,

z których pierwsze jest równaniem sił, a dwa drugie równaniami momentów odniesionych do osi y i x. Te trzy równania mają pewne znaczenie geometryczne, gdy się uważa R za współrzędną pionową powierzchni, której współrzędne poziome są x i y. I tak, ponieważ całki odnoszą się do całego przecięcia, przeto równanie (i) pokazuje, że objętość zawarta między powierzchnią R = f(x, y), płaszczyzną przecięcia i ścianami bocznemi graniastosłupa pionowego, mającego profil AB (fig. 46) za kierownicę jest równa P; równania zaś (2) i (3) dowodzą, że wypadkowa P przechodzi przez środek ciężkości tej figury geometrycznej. Zadanie całe sprowadza się zatem do wyznaczenia takiej powierzchni, aby objętość walcowata zawarta między nią i przecięciem uważanem była równa ilości danej, i aby środek ciężkości tej bryły leżał na tej samej pionowej, co punkt C', C, przez który przechodzi wypadkowa ciśnień P.

Warunkom tym czyni zadość bardzo wiele powierzchni, ale Jedna z nich tylko odpowiada zadaniu, bo rozkład ciśnień na

przecięciu poprzecznem ciała rządzi się jednera tylko prawem, nie majycem w sobie nic dowolnego. Teorya jest w tym względzie niedostateczny; ale doświadczenie uczy, że przypuszczenie powierzchni płaskiej czyli płaszczyzny najlepiej zadaniu odpowiada nie tylko ze względu na prostotę kształtu, ale także ze względu na dokładność wyników takiego przypuszczania. Przyjmujyc więc, że R jest płaszczyzny, czyli że f (x, y) jest funkcyy linijny zmiennych x, y, mamy

R — Ax -+■ By -h G,

gdzie A, B, G sa ilościami stałemi nieznanemi :

Wstawiając tę wartość w równanie (1), (2), (3), otrzymujemy

(5) P = A j J'xdxdy-h B Ç I ydxdy -+-G j f dxdy,

(6) PX —A

(7) PY =

I* Ç x*dxdy-t-B j j xy dx dy -+- C j j*xdxdy, A j J xydx dy -+- B { j y²dxdy-1-G j* j ydxdy.

Ponieważ poczytek osi współrzędnych przechodzi przez punkt O, który jest środkiem ciężkości uważanego przecięcia,

przeto j j xdxdy i j‘ j ydxdy sa

równe zeru. Także i

J j xy dxdy może być sprowadzony do zera, gdy się

wyraz

skieruje odpowiednio osie współrzędne ; wdadomo bowiem zGeometryi analitycznej, że

x— x dos a — y’ wst y, y — X WSt a + //'(lOS a,

gdzie x\y, oznaczajy rzędne pierwotne; jeżeli więc iloczyn

tych dwóch równań pomnożymy przez r/co = dx dy i zcałku-jemy, otrzymamy

J' J* xy di»

wst 2a

UJ

x'² r/co -

f x y r/to

co

pokazuje, że aby j j xy c/co = J' j xy dx dy było równe

zern, trzeba obrócić dawne osie o kat

łuk. st.

2 J f x' y

dio

ff

y- r/to —

ff

x'¹ r/co

Upraszczając więc równania (o), (6) i (7) otrzymujemy

C    j' dxdy,

PX =

PY =

A j j‘x- dx dy,

B J Jy% dx dy,

I I'dxdy jest j‘ f x-dxdy i j j*

Ale ilość

to powierzchnia przecięcia, a całki

y~dx dy są to momenta bezwładności względbm osi y i x. Jeżeli więc oznaczymy

I I dxdy—il,

ff***

J j'y² dx dy = IT,

PX

i.

PY

T*

Wstawiwszy te wartości w równanie (4) otrzymamy

ûj*

albo

w*

otrzymamy

P = 02, PX = Alÿ, PY=ßI„

zkad jeszcze

(Xx

gdzie fy i p:c oznaczają promienie wirowania przecięcia Ü względem osi y i x.

Równanie to pokazuje, że gdy wypadkowa P przechodzi przez punkt X=0, Y = 0, to jest przez środek * ciężkości przecięcia, natężenie jest jednostajne we wszystkich punktach

P

i równa się ciśnieniu średniemu -•

17. Ośrodek przecięcia.—Widzieliśmy w poprzedzającym ustępie, że natężenie włókna w danym punkcie x, y, jest wyrażone równaniem

R = kx -+- By -h C,

część i. — ruęiT proste albo belki. w którem ilości A, B i G są funkcjami rzędnych X, Y punktu przejścia wypadkowej. Gdy R = Ü, mamy

46

Ax + By + G = O,

lo jest, że miejscem punktów nie znoszących żadnego ciśnienia, ani dodatniego, ani odjemnego, jest prosta Ax -+- By -+■ G = O, oddzielająca część przecięcia ściskanego od części rozciąganej. Otóż położenie tej prostej obojętnej zależy od ilości A, B i G, a że te ostatnie zależą znowu od położenia wypadkowej, przeto linia ta może leżeć na wewnątrz albo na zewnątrz przecięcia, albo też może dotykać obwodu przecięcia w jednym tylko punkcie. Przypuśćmy dla łatwiejszego zrozumienia, że gra-niastosłup jest ściskany w kierunku podłużnym : gdy prosta obojętna leży wewnątrz przecięcia, wtedy część prawa lub lewa jest gnieciona, a część przeciwna rozciągana ; gdy prosta leży zewnątrz obwodu, wtedy całe przecięcie znosi ciśnienie dodatnie, a wreszcie gdy dotyka stycznie obwodu, ciśnienie jest równe zeru w jedym punkcie, a we wszystkich innych ma wartość odjemną.

Poprowadźmy na płaszczyźnie przecięcia linię prostą MN dowolną co do kierunku, ale dotykającą jego obwodu w punkcie G ( fig. 17). Przedstawiając tę prostą przez równanie Ax A-By ■+ C = 0 wyznaczymy łatwo współrzędne X, Y punktu przyczepienia siły wypadkowej, bo mamy według ustępu n. 16:

XI tc

rtr

h

A X LÏ

Słowem, każdemu położeniu prostej MN odpowiada pewien punkt co, tak że tocząc linię MN po obwodzie przecięcia otrzymujemy szereg punktów w, których miejsce tworzy linię zamkniętą zależna jedynie od kształtu tego obwodu. Część przecięcia zawarta wewnątrz tej linii w nazywa się ośrodkiem przecięcia danego.

Oto są główne cechy ośrodka : 1° Gdy wypadkowa P przechodzi przez punkt leżący na jego obwodzie, prosta Aa; + B// -+- C = 0 oddzielająca włókna wyciągane od ściskanych dotyka obwodu przecięcia w jednym tylko punkcie, to jest, że wszystkie punkta są gniecione z wyjątkiem jednego mającego natężenie zero; 2° Gdy wypadkowa P przecina środek przecięcia, wtedy wszystkie włókna są ściskane ; i wreszcie 3° Gdy wypadkowa P leży na zewnątrz ośrodka, wtedy jedna część przecięcia jest ściskana, a druga rozciągana.

Zamiast szukać ośrodka przez kolejne oznaczanie różnych jego punktów, lepiej jest użyć innej metody polegającej na stosowaniu teoryi biegunowych wzajemnych, na mocy której dosyć jest wyznaczyć główniejsze tylko punkta obwodu.

r

M-y

Mjf

MN,

35

th

'a-'

sN]st

Fig. 17.

Poprowadźmy przez środek ciężkości przecięcia (lig. 17) dwie osie współrzędne prostokątne x i y, idące w kierunku głównych osi bezwładności i oznaczmy przez X, Y współrzędne punktu przyczepienia c wypadkowej P. Równanie elipsy bezwładności jest (ust. n. 9)

x~

-* —{—

„ 2

= 1,

aż e natężenie różnych punktów przecięcia jest przedstawione

przez równanie

u P fXx    Y y    ,\

â W⁺p7 /’

przeto prosta, wzdłuż której natężenia sa równe zeru, jest

U)

Xx

+ 1—0.

Pi

Px‘

Otóż równanie to (ust. n. 11) przedstawia biegunowy punktu, którego współrzędne sy—X i —Y względem elipsy bezwła-

dności

y^

P y    P*²

^ — 1, albo mówiyc inaczej, przeciwbiegunowa

punktu przyczepienia siły P. Ztyd wypada, że prosta obojętna (R = 0) odpowiadająca danemu punktowi c jest przeciw-biegunowy tego punktu w elipsie bezwładności, albo biegunowa punktu symetrycznego c\.

Zatem główne własności linij biegunowych i przeciwbiegu-nowych majy tu swe zastosowanie. I tak, gdy obwód zewnętrzny jest w części krzywy drugiego stopnia, ośrodek przecięcia zawiera także odpowiedni łuk krzywej tegoż stopnia. Gdy obwód przecięcia tworzy kyt, przez który można poprowadzić nieskończenie wiele linij stycznych, to na obwodzie ośrodka utworzy się odpowiednia część prostolinijna bę-dyca miejscem przeciwbiegunowych tychże stycznych (ust. n. 11) ; wierzchołek kyta będzie nawzajem przeciwbiegunem części prostolinijnej, o której mowa. Gdy więc obwód przecięcia jest wielokytem o n kytach, obwód ośrodka jest wielo-bokiem o takiej samej liczbie kytów, a wierzchołki ośrodka sy przeciwbiegunami boków przecięcia. Wreszcie średnica prze-chodzyca przez biegun prostej R = 0 jest sprzężona w elipsie bezwładności (ust. n. 11) z kierunkiem tejże prostej.

18. Rozkład ciśnień na spodzie graniastosłupa spoczywającego wolno na swej podstawie. — Ciało spoczywajyce wolno na płaszczyźnie poziomej pod działaniem sił mających wypadkową pionową musi czynić zadość następującym dwom warunkom : 1° wypadkowa musi przechodzić przez wielobok utworzony z punktów podpory; 2° siła ta musi przyciskać ciało do podstawy.

Gdy wypadkowa sił zewnętrznych wypełnia powyższe warunki równowagi, a prócz tego przecina wnętrze ośrodka, wtedy oznaczenie ciśnienia w którymkolwiek punkcie podstawy nie przedstawia żadnych trudności, bo teorya wyprowadzona w poprzedzającym ustępie znajduje swe zastosowanie. Ale rzeczy mają się inaczej, gdy ta siła spotyka podstawę na zewnątrz ośrodka, wtedy bowiem niektóre włókna powinny być rozciągane, co naturalnie miejsca mieć nie może, zważywszy że ciało nie jest z podstawą spojone. W tym razie nie można już stosować ogólnej teoryi.

Do rozwiązywania zadań tego rodzaju używa się przypuszczenia polegającego na zupełnem pominięciu części rozciąganej i na wyznaczeniu linii A# h- By G =0, oddzielającej część ściskaną od części rozciąganej; co naturalnie prowadzi do całkowania równań (5), (6), (7) w granicach odpowiadających jednej tylko części graniastosłupa, to jest w granicach będących funkeyami ilości nieznanych A, B i G. Otóż całkowanie to prowadzi najczęściej do równań przestępnych, które tylko drogą prób kolejnych rozwiązać można; podamy więc inny sposób bez porównania krótszy, a polegający na podobieństwie teoryi ciśnienia do teoryi środków uderzenia, '

Niechaj O będzie środkiem ciężkości przecięcia ABDË (fig. 18), a punkt c punktem przejścia wypadkowej P. Wiadomo (ust. n. 17), że równanie linii obojętnej jest

Xx Yy .    „

-i--£-4-1=0,

Pić

P*

i że linia ta jest równoległa w elipsie środkowej bezwładności do średnicy sprzężonej z linią Oc, to jest do średnicy OM ;

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERYAŁOW.

CZĘŚĆ I. — 1’RĘTY PROSTE ALBO BELKI.

oO

niech więc FG będzie tę prostę. Jeśli weźmiemy w elipsie bezwładności : Oa=pÿ i Oó = p*, to prosta FG będzie biegunowy punktu ct symetrycznie położonego (ust. n. 11), tak że

Os. Ocj = Os. Oc = On⁹, lub, pomnoży wszy przez wst²MOc

Os.Oc. wst⁸ MOc = On². wst⁸ MOc.

Ale On.wst MOc jest równe odległości punktu n od średnicy OM sprzężonej z kierunkiem On, to jest równe promieniowi wirowania k względem linii OM (ust. n. 12). Mamy więc

Os. Oc. wst²MOc = k*.

<*\

-~C \tć

JS.

■fi-. Fig. 1S.

Uważajęc. dane przecięcie ABDE jako ciało nieskończenie cienkie, którego masa na jednostkę powierzchni jest równa jedności, musimy przyjęć płaszczyznę ABDE za główny płaszczyznę elipsoidy bezwładności odpowiadającej tej bryle. Jeżeli więc punkt c odbiera uderzenie P prostopadłe do pomienio-nej płaszczyzny, to kierunek uderzenia P jest prostopadły do średnicy OM sprzężonej z płaszczyznę OPc w elipsoidzie bezwładności, i mamy na zasadzie teoryi środka uderzenia

Os. Oc. wst² MOc =s Z;²»

Równanie to jest zupełnie podobne do równania powyżej otrzymanego, co dowodzi, że punkt c przyczepienia wypadkowej jest środkiem uderzenia przecięcia danego względem linii obojętnej FG.    -    .

Ztąd wypada, że zadanie mające na celu wyznaczenie linii odgraniczającej dwie części przecięcia, gdy punkt przyczepienia wypadkowej jest dany, wyraża się jak następuje :

Mając dana płaszczyznę (podstawę graniastosłupa) i pewien punkt tej płaszczyzny (punkt przyczepienia wypadkowej P nakreślić linię prostą, dzielącą tę powierzchnię na takie dwie części, aby ów punkt dany był środkiem uderzenia jednej z nich względem linii szukanej.

Niechaj ABDE (fig. 19) będzie daną płaszczyzną, niechaj c

T5

>*r

Br

Fig. 19.

oznacza punkt przyczepienia wypadkowej P, a FG niech będzie linią obojętną szukaną. Nakreślmy jakiekolwiek dwie styczne RS, RS', do obwodu przecięcia i poprowadźmy szereg siecznych równoległych do RS. Dla każdej z tych siecznych, np. dla RjSj szukajmy środka uderzenia powierzchni nad tą linią położonej, to jest powierzchni BDE, a miejsce punktów tym sposobem otrzymanych utworzy krzywą DN idącą od obwodu przecięcia do obwodu ośrodka. Zmieniając kierunek siecznych RtSi otrzymamy szereg krzywych DN promieniujących koło ośrodka przecięcia, aż w końcu jedna z nich przejdzie przez punkt c i zadanie będzie rozwiązane*

ROZDZIAŁ II

RÓŻNE ZASTOSOWAŃ TA

19. Rozkład ciśnień na podstawie prostokątnej. —

Przypuśćmy, że wypadkowa P (fig. 20) jest przyczepiona do punktu c (X,Y) przecięcia ABDE, którego wymiary sęi AE = 2rc,

X\

i*

c’

tF

te.

Jt

■A......,xs

Fig. 20.

A.B = %n. Natężenie w każdym punkcie przecięcia jest dane przez równanie (ust. n. 16)

»PS

gdzie (ust. u. 10)

P'^VŚ’

p.c--p )

\/3

mamy zatem

(i)

ICJ

i ■+

3Xx BY y

ril

mi

Za pomocą tego wzoru możemy znaleźć natężenie każdego punktu przecięcia, bo dosyć jest wstawić za x i y wartości odpowiadające punktowi danemu.

Przypuśćmy, że punkt przyczepienia wypadkowej P znajduje się na osi x w odległości X od.początku O. Mamy wtedy Y = 0, a ztąd

eu ICI

1 -+

3Xx\

~rF r

co pokazuje, że natężenie w środku przecięcia (x = 0) jest

Ps tCi

to jest, że równa się natężeniu średniemu.

Przypuśćmy dalej, że punkt przyczepienia wypadkowej leży

I

na osi x, ale na odległości od początku równej r n. Wsta-

3

•

wmy więc w równania (1) za Y = 0, i za X == ~ , a otrzy-

3

mamy

x'

Natężenie włókien na krawędzi DE jest wtedy równe zeru, bo dla x = n mamy

R = 0 ;

w środku ciężkości (x — 0) panuje natężenie średnie

PU I Ci

a na krawędzi AR (x = -t- n) działa natężenie dwa razy większe od średniego :

2P

R =-rr-

il

Gdyby X było większe od ^, część przecięcia dotykająca

krawędzi ED byłaby odjemnie ściskany, czyli rozciąganą. — Przypuśćmy, że siła P przechodzi przez punkt k leżący na odległości Ok > ^ od punktu O, i odetnijmy na linii MO długość

MÆ₁ = 3MÆ; opuściwszy potem część EFGD uważajmy sam tylko prostokąt ABGF. Widoczną jest rzeczą, iż figura ta znosi cała ciśnienie dodatnie z wyjątkiem krawędzi FG, inaczej bowiem MÄ nie byłoby równe jednej trzeciej MA, ; a więc w figurze ABDE linia FG oddziela część ściskaną od rozciąganej, czyli jest tak zwaną linią obojętną. A że przy badaniu ciśnień na podstawie graniastosłupa nie można brać pod uwagę ciśnień odjemnych, przeto :

Gdy odległość AM punktu przyczepienia siły Pod najbliższej krawędzi jest mniejsza od jednej trzeciej szerokości podstawy MN, należy odciąć MA, =3MA, i uważać tylko prostokąt ABGF z zupełnem pominięciem reszty podstawy. Prawo rozkładu ciśnień sprowadza się wtedy do rozebranego już powyżej przypadku. w którym X jest równe

20. Zagadnienie. —Mając dany prostokąt ABCD (fig. 21), znaleźć natężenia i punkta przyczepienia sił P sprawiających ciśnienia stałe R w punktach najwięcej wysilonych.

Zamiast uważać całe przecięcie ABCD, dosyć jest rozebrać część AEOF zawartą w kącie xOy, bo część ta jest do trzech pozostałych zupełnie symetryczna. Punkt A jest najwięcej wytężony, gdy siła P znajduje się wewnątrz kąta yOx ; punkta zaś leżące na krawędziach AE lub AF doznają największego ciśnienia, gdy siła jest przyczepiona do prostej OE lub do prostej OF ; zatem nie ma punktu wdęcej wytężonego od punktu A. Oznaczając jego współrzędne przez nim, i wsta-

wiając w ostatnim wzorze ustępu n. 16 n w miejsce x, a /«zamiast y, otrzymujemy

Kl

3X 3Y ,

--1---t

bo ?x = Ąz, a p = — . V 3    \Js

Ilość R jest ilością stałą, a P jest

zmienny od X i Y zależną. Jeżeli więc weźmiemy P za rzednę pionową punktu mającego współrzędne poziome X i Y, to

wj

X'

! In

.....Ki-ei—Jt-j

■ćT"

Fig. 21.

miejscem punktów nakreślonych wierzchołkiem tej rzędnej będzie powierzchnia walcowa drugiego stopnia, mająca rodzące równoległe do prostej

3X 3Y .    .......

--1--4-1= ilości stałej,

VI

to jest do prostej FE. Płaszczyzna pionowa przeprowadzona przez oś 0.2? przecina tę powierzchnię podług hiperboli GH mającej za asymptoty oś Ox czyli KV, i prostą Kz wyprowa-

Tl

odzną pionowo z punktu K oznaczonego równaniem 0K= -•

Hiperbola ta może służyć za kierownicę do utworzenia powierzchni walcowej ograniczającej szukane siły P.

Zadanie to upraszcza się znacznie, gdy siła P zmienia swe położenie tylko na linii Ckc, jak to zwykle ma miejsce w praktyce. Wtedy nie rzędne powierzchni walcowej, ale rzędne hiperboli GH służę za miarę siły P, która trzeba przyczepić w danym punkcie prostej 0x, aby otrzymać dane natężenie R na krawędzi AB. Tak samo hiperbola GtH, wyznaczy natężenia odpowiadające linii OM.

średnie jest

Sposób ten nie jest jeszcze dostateczny, gdy wszystkie ciśnienia maję być dodatnie, jak to właśnie ma miejsce w stosu-gach sklepienia, lub innych brył z kilku części składanych. Dopóki siła P znajduje się w jednej trzeciej prostokęta, to jest między punktami K i k, dopóty wszystkie elementa przecięcia znoszę ciśnienie dodatnie, i łuki ov i ozc odpowiadaję założonemu zadaniu ; przeszedłszy jednak te granice trzeba szukać innych wskazówek, bo ciśnienie hiperbolami wyznaczone nie byłoby wszędzie dodatniem. Uważmy więc, że gdy siła P jest przyczepiona w punkcie C leżącym między k i E. ciśnienie rzeczywiste rozcięga się tylko na powierzchnię mającę szerokość AB, a długość równę 3GE (ust. n. 19), tak że ciśnienie P    ...

————. Ciśnienie maximum, które jak wia-oGJił. AB

domo odpowiada krawędzi AB, jest dwa razy większe od poprzedniego, tak że mamy

= H,

2P

3CE.AB

bo taki jest warunek zadania. Ztęd

^ =|r.AB = ilości stałej.

Jest to równanie linii prostej va. Prosta ta jest styczna do

hiperboli GH w punkcie v, bo przedłużona aż do drugiej asym-ptoty daje : va=vd. Więc zamiast łuków hiperboli cH, wH trzeba wzięć styczne do tych krzywych.

i’

21. Rozkład ciśnień na przecięciu kwadratowem ukośnem. — Oznaczywszy OA przez n, OB przez m (fig. 22) mamy na zasadzie ustępu n. 10 :

ÓD 2

a więc prawo rozkładu ciśnień jest objęte równaniem

ur

K=p(₁₊^₊«in.

Bryły budowlane maję zwykle jednę lub kilka płaszczyzn

Jj

e.

ją

Fig. 22.

symetryi, a siły na nie działajęce sę rozłożone symetrycznie do tychże płaszczyzn, tak że punkt c znajduje się na osi odcinków. Wtedy Y = O, i

ft =

A \Zl

1-f

6Xx'

rr )

gdy tymczasem dla prostokęta mamy (ust. m 20)

ICI

1 -+

3Xx\

n- )

Zatem przecięcie prostokątne jest pod względem jednostaj-ności ciśnień o wiele doskonalsze od kwadratu ukośnego.

22. Rozkład ciśnień na przecięciu eliptycznem i kołowem. — Niech będzie przecięcie eliptyczne wydrążone, to jest ograniczone dwiema elipsami współśrodkowemi, których półosie są n i m dla elipsy zewnętrznej, a sn i sm dla elipsy wewnętrznej. Wiadomo z ustępu n. 10, że promienie wirowania takiej figury są :

1 + S²

-m-

4    ’

1 -ł- S² ₂

a więc wstawiwszy te wartości w⁷ ogólny wzór ustępu n. 16, otrzymamy

(*)

ÛL I CJ

AXx

AYy

(1 + sä)n'- (1 -h s²)rri

•}

Gdy przecięcie jest pełne, wtedy s = 0, i

U)

ta

MCI

lii»

Równanie to pokazuje, że ciśnienia są jednostajniej rozłożone na przecięcia eliptycznem jak na czworobocznem ukośnem, ale gorzej jak na prostokątnem.

Ponieważ kołojest elipsą, której osie są sobie równe, przeto wzory powyższe stosują się także do przecięć kołowych wydrążonych lub pełnych, z tem jeszcze uproszczeniem, że Y może być uważane za zero. Jakoż każda średnica koła jest osią symetryi, i każdy punkt koła leży na takiej osi. Mamy więc dla kół wydrążonych

cd

toi w

/. 4Xx \ (1 + (1 +s²)n²j’

gdzie n i sn oznaczają promienie okręgów skrajnych ; gdy zaś

i W

o- iei

koło jest pełne

⁺ irr

bo sjest równe zeru.

23. Ośrodek przecięcia prostokątnego i eliptycznego.— Widzieliśmy w ustępie n. 17, że do oznaczenia ośrodka powierzchni geometrycznych, dosyć jest wyznaczyć kilka tylko punktów jego obwodu. Mając dane przecięcie prostokątne ABDE (fig. 20), odnieśmy je do osi współrzędnych prostokątnych x i y, mających swój początek w środku ciężkości tego przecięcia i przypuśćmy najprzód, że wypadkowa P przecina płaszczyznę ABDE na linii Ox w odległości X od początku O. Natężenie w którymkolwiek punkcie przecięcia wypada wtedy z równania (ust. n. 19)

Si

Ki

3Xx

1 + 1T’

gdzie n oznacza połowę boku AE. Linia obojętna odpowiadająca temu położeniu siły P jest

d -+

= 0,

3Xæ

n~

a że ta prosta powinna tylko dotykać obwodu ABDE, to jest znajdować się na odległości x= — n od początku osi współrzędnych, przeto mamy

coi s

COI s

Punkt przyczepienia siły P powinien więc znajdować się na odległości od początku osi, jeżeli całe przecięcie ma ulegać ciśnieniu dodatniemu albo odjemnemu.

Trzebaby teraz przypuścić, że wypadkowa przecina odje mną

część osi odcinków i obliczyć odległość punktu przyczepienia tej siły od środka ciężkości, a następnie wzięć pod uwagę oś rzędnych. Ale rachunek ten byłby zupełnie zbytecznym mając na uwadze symetryę figury i symetryczne położenie punktów ośrodka względem początku osi ; widoczną jest bowiem rzeczą,

il

że obwód ośrodka spotka oś odciętych na odległości - od początku osi w kierunku dodatnim i odjemnym, a oś rzędnych na odległościach ±

Mając te cztery punkta szukanej figury, dosyć jest je połączyć liniami prostemi, bo jak wiadomo z ustępu n. 17, wierzchołkom ABDE danego obwodu odpowiadają boki obwodu szukanego.

Przechodząc teraz do przecięć eliptycznego kształtu oznaczmy przez n, m, półosie elipsy zewnętrznej, przez sn, sm, półosie elipsy wewnętrznej, i zastosujmy wzór (1) ustępu n. 22

p:

ICI "o

4Xa?

4Y,y

(1 -4- s²) rr (1-4- s²) m²

do przypadku, gdy Y = 0. Mamy wtedy

\Zl

4Xa? '

(1 -4- s²) n*

Równanie linii obojętnej jest więc

\Xx _t ^

(T+ s-) rr ~ ’

a że linia ta powinna być styczną do obwodu przecięcia, to jest leżeć na odległości x = — n od środka ciężkości, przeto mamy

x _ ( I H- .v²) rr

a drugą symetryę figury.

Wiadomo z ustępu n. 17, że obwód ośrodka musi być elipsę. Jcdnę z jej półosi będzie znaleziona powyżej wartość

4

(1 -4- s²) m²

, jak to łatwo przewidzieć ze względu na

Gdy przecięcie eliptyczne jest pełne, wtedy s =0, a półosie elipsy szukanej sę

Wszystko to stosuje się zarazem do przecięć kołowych i eliptycznych z uwzględnieniem warunku

m = n.

24. Kształt słupa wydrążonego lub pełnego o jednostajnej wytrzymałości. — Jednym z główniejszych warunków zapewniających trwałość budowli jest jednostajne rozłożenie ciężaru na wszystkie jej części. Wysokie wieże, słupy mostowe lub inne podpory przeznaczone do znoszenia wielkich ciężarów powinny być budowane o ile możności w taki sposób, aby natężenie było jednakowe we wszystkich punktach ich masy; a że wielkość ciśnień zależy nie tylko od -kształtu przecięcia, ale i od jego wielkości, przeto zachodzi pytanie, jaki być powinien kształt bryły, aby wszystkie jej części pracowały jednakowo.

Widoczną jest rzeczą, iż obciążenie wierzchu słupa musi byó jednostajne, a przynajmniej sprowadzić się do wypadkowej przez środek słupa przechodzącej, bo w tym tylko razie wszystkie elementa górnej podstawy znosić będę jednakowe ciśnienie. Nadto wypadkowa ta musi przechodzić przez środki ciężkości wszystkich innych przecięć poziomych ; jeżeli więc przyjmiemy, że przecięcia te są kołami o promieniach zmiennych, figura szukana będzie bryłę obrotowę.

CZĘŚĆ I. — PRĘTY PROSTE ALBO BELKI.

62

Przypuśćmy, że słup jest w środku wydrążony i że jego powierzchnia wewnętrzna jest walcem pełnym o promieniu od (fig. 23). Weźmy za oś rzędnych pionowych z linię o'o" przechodzącą przez środki ciężkości równoleżników, a za oś rzędnych poziomych prostą p do niej prostopadłą. Oznaczmy przez :

H wysokość całkowitą słupa :

p promień równoleżnika leżącego na wysokości z ponad podstawą ;

p₀ promień części wydrążonej ;

pt i p₂ promień podstawy i wierzchu słupa ;

S dodatnie łub odjemne obciążenie wierzchu słupa ;

R natężenie w każdym punkcie słupa na jednostkę powierzchni ;

U ciężar jednostki objętości bryły;

v objętość słupa zawartą między jakimkolwiek równoleżnikiem i wierzchem słupa.

, Natężenie włókien na jednostkę powierzchni wjakiemkol-kolwiek przecięciu AB jest :

11 =

S -ł-llw

* (r-p²o)

albo

7t Cp²— p₀²) R = S + lic.

Gdy zmienna z powiększa się o dz, objętość v zmniejsza się o du ; mamy więc

2- p R dp = — II dvy ale że dv = — tc (p²— p₀²) dz, przeto

2Rp ć/p = — II (p² — p,,²) dz>

JO

P !o" cp" <D-——?

Fig, 23.

Zatem południk figury szukanej jest linię, logarytmiczną mającą za asymptotę prostą CD.

Ażeby wyrugować stałą dowolną p* — p₀² równą różnicy kwadratów promieni u spodu słupa, uważmy że dla z =H,

mamy

⁷¹ (p/ — Pol

lub

P«P

2R -ITŁ- == — r—po

Całkując to równanie, otrzymujemy log. nep.

II dz.

P~ — Po —

Pi² —Po²

ScIH.

zkąd

(«)

P — Po

= R, zkąd

wstawiwszy więc w równaniu (a) z = H, otrzymamy

cn

o³

C5>

»I a

aa

zkęd

Tym sposobem otrzymujemy ostatecznie (rów. a)

cP

ffi

i.

Gdy słup jest pełny, p₀ jest równe zeru, a równanie południka jest

i/jŁ P5(H“*)

VtzR

Równanie powyższe służy do określenia kształtu podpór

Fig. 24.

zrobionych z takiego matcryału, który się nadaje do stopniowej zmiany przecięcia, ale słupów drewnianych nie można obciosywać podług tego kształtu, gdyż włókna przecięte przedstawiałyby bardzo małę wytrzymałość. Dlatego słupy drewniane w kopalniach bywaję składane z części /₂, /₃, (fig. 24) w ten sposób obliczonych, aby natężenie u spodu każdej z nich było równe R. Warunkom tym odpowiadają

R —4II

Oi =

SR

(R—40) (R— LU)

SR²

przecięcia :

ßs (R — /JJ)(R — 411) (R— 4II) ’

i tak dalej. Gdy 4=4=4» mamy

0»=

w oś

R—m

25. Drganie pręta pionowego obciążonego na dolnym końcu. — Aby dać wyobrażenie o metodzie służącej do zbadania ruchu wibracyjnego ciał naturalnych, rozbierzemy tu przykład pręta drgającego pod działaniem ciężaru zawieszonego na jego dolnym końcu.

Ruch taki może powstać przez nagłe przyczepienie ciężaru do spodu pręta, przez nagłe spadnięcie ciężaru z górnego końca na dolny, gdzie pewna zapora dalszy jego ruch tamuje, lub przez inne tym podobne przyczyny. W każdym razie siła bezwładności i sprężystości ciała są głównymi tego ruchu czynnikami. Oznaczmy przez (lig. 25) ;

a długość pręta AB w stanie pierwotnym ;

ß powierzchnię jego przecięcia poprzecznego ;

II ciężar jednostki objętości pręta ;

P ciężar wiszący na dolnym końcu pręta ;

x odległość pierwotną wA jakiegokolwiek przecięcia poprzecznego punktu stałego, np. od punktu A;

u przyrost albo ubytek zmiennej x po upływie pewnego czasu t ;

E współczynnik sprężystości podłużnej. ł

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERYAŁÓW.

Ułóżmy równanie ruchu jakiegokolwiek punktu np. punktu m mającego rzędn§.r. Punkt ten posunie się po upływie pewnego czasu t o ilość u w górę lub ku dołowi, tak że jego nowa rzędna będzie x-h u w znaczeniu algebraicznem. Punkt zaś m odległy od poprzedniego o ilość bardzo rnałę dx zmieni swę pierwotny rzędnę x -f- dx na

du

x -+- dx -f~ u -i- —dx, dx

co dowodzi, że długość elementu nieskończenie małego dx— mm₁ zamienia się na dx + ^dx, czyli że ~ dx]Qst przyrostem jego pierwotnej długości. Zatem przyrost względny jest

du

du

dx ’

a natężenie wywołane w przecięciu m jest Eß — (ust.

n. 13).

-ySn

Fig. 25.

Element uważany dx porusza się pod działaniem swego ciężaru i sił międzyczęsteczkowych w przecięciach m i ą, a więc summa tych sił dodana do siły bezwładności powinna być równa zeru na zasadzie znanych praw Dynamiki. Otóż ciężar ele-

170 (JT

mentu jest IIQ dx. Jego masa jest ———-, gdzie g oznacza przy

spieszenie ciał wolno spadających, a przyspieszenie elementu d³ (x -+- u)

d³u

drgającego jest

dt³

czyli — , bo zmienna x nie zależy od czasu t ; zatem siła bezwładności będzie — îî^^d^.Wre-

szcie natężenie przecięcia m wyraża się przez EQ ^ i dąży do

wysunięcia go z dołu do góry, jeżeli rzeczywiście bieży z góry na dół ; natężenie zaś przecięcia ml jest poprzedniemu prze-

dii

ciwne w znaku, a równe ilości EQ — zwiększonej różniczkę.

dx

^EQ^ dx\ tak że natężenie wypadkowe jest —^EQ^jdx.

Siła ta działa z góry na dół, jeżeli element dx także na dół opada. Zatem równanie ruchu tego małego elementu jest

^dx+Ź.(mp)dx = 0,

g dt    dx \ dx)

a ztęd

(1)

d?u Eq d?u

“ IT dx^⁹'

(FU

Gdy pręt znajduje się w spoczynku, jest równe zeru, a równanie równowagi jest

zkęd

(Fu

dF E⁵

a po zcałkowaniu

du

dx E

Łr+K,

gdzie K oznacza ilość stałę. Mnożęc to równanie przez EQ otrzymujemy

EQ

du

— =— IIÜX+KE11.

/*/**

Otóż pierwsza strona oznacza natężenie pręta w przecięciu rn. Przecięcie to znosi ciężar P i ciężar części mB pod niem leżącej; a więc pracuje z natężeniem P-4-011 (a — x). Mamy zatem

P -4- Oil (a —x)— — mx -4- KEil,

to jest

p + na«

Bil

Mamy zatem równanie równowagi

du

Eil — = — S Ul# P + I lila,

dx

które daje po zcałkowaniu

x*

mu = — Oii + Pa: -4- liii ax.

2

Nie dodajemy tu ilości stałej, bo punkt A jest nieruchomy, a w skutek tego u jest równe zeru dla x — Ü. Zatem

Za pomocy tego związku możemy przekształcić równanie (i) w następujący sposób. Napiszmy

P x n# /n .

“⁼Ëri⁺âË(2a-"⁾⁺"’

gdzie c oznacza nową zmienną zależną od x i od t ; a biorąc drugie pochodne względem # i t otrzymamy

d*u

_ii dh

dxi~~ Ë "^ć/#"²’

dr u_d ²z

KSIĘGA I. ŚCISKANIE I ROZCIĄGANIE. — ROZDZIAŁ II.

fit)

które to wartości wstawione w równanie (1) daja

d~z_Eg / d²z II'

to jest

fPz_E g d~z

d ? II d:rr

Równanie to zcałkował d’Alembert w przeszłym wieku znalazł (*)

(ł) Uważmy, że równanie powyższe

dH __ Eg d^z dt? n da?²

albo

d?Z

dH

dt2 n da?² ’

gdzie n — —^ , jest prawdziwe dla każdej funkcyi Z~f(x: t) , która jest tak związana z inną funkcyą V— f^(x, 0 > ‘ż dwumiany

rdx 4- nHdt, zdx + rdt,

są równocześnie różniczkami zupełnemi. Jakoż jeżeli to ma miejsce, mamy równocześnie

dr , nH a dz dt dcc — n dx

dz_dr

dt ' dx

CZĘŚĆ I. — PRĘTY PROSTE ALBO BELKI.

gdzie 9 i ib oznaczają funkcye dowolne. Wyrażając z przez

otrzymujemy

dH

dH

dt.dx

n% dx* ’

dH dH

dt dx.dt’

a że

dH

dx.dt

jest równe

dH

dt.dx ’

przeto

dH__ %dH dt⁴ 5 ~U dx*’

co było do okazania. Chodzi tylko o znalezienie takich funkcyj : z=f(x, t), r = f₁(x} t), aby rdx-hn^zdt i zdx-\-fdt były różniczkami zupełnemi. Jeżeli takie funkcye istnieję, to wielomian

(rdx -f- nHdt) 4- n(zdx 4- rdt) = (r 4- nz) (dx + ndt)

jest także różniczkę zupełnę, jak również wielomian

(rdx 4- nHdt) — n(zdx 4- rdt) = (r — nz) (dx — ndt).

Otóż dx rfc ndt jest różniczkę wyrażenia X zhnt; a więc żeby powyższe wyrażenia mogły być różniczkami zupełnemi, T + nz musi być jakękolwiek funkcyę zmiennej X-\-nt, a T — nz jakękolwiek funkcyę różnicy X — nt, to jest musimy mieć

¹

²

- (a*¹ 4- 4a?*z 4- f>/;⁹z² 4- 4#z® 4- z¹),

³

4

⁴

⁼⁼2râ?1(æ+W*)~"2—w<)v

albo w skróceniu

⁵

z = <p(ce 4- nt) — <J>[z — nt),

gdzie cp i ó sę tak samo jak (i>l ^ jakiemikolwiek funkcyami dowolnemi. Wstawiajęo

r 4- nz =    4- nt),

r — nz = <\i[x — nt),

gdzie tlij oznaczaję funkcye dowolne. Z tych dwóch równań wypada

teraz za n wartość

— otrzymujemy

KSIĘGA I. ŚCISKANIE I ROZCIĄGANIE. — ROZDZIAŁ II.

funkcyę zmiennej u mamy

(2) «=

Px Tlx

Ëa~t‘H

Dla wyznaczenia funkcyj cp i ^ przypuśćmy, że początkowe warunki ruchu są znane, mianowicie że punkt A jest stały,

d'n

czyli że dla x = 0 mamy u=0 i = 0 bez względu na t; dalej, że dla t=0 wartość u = F (a?) jest dana, tudzież wartość

dvj

~ = f(t) w tejże samej chwili. Uważmy wreszcie, że x może

tylko przybierać wartości zawarte między x = P i x=a, i że t może się zmieniać do nieskończoności.

Przypuśćmy dla ułatwienia rachunku, że P jest równe zeru, to jest że ruch wibracyjny odbywa się pod działaniem ciężaru

pręta. Mamy w takim razie :^ = 0 dla x = a, bo natężenie

du

pręta w punkcie B jest Eß — i równocześnie równa się zeru. Uczyniwszy t = 0 w ostatniem równaniu otrzymamy

Ha

u= ^ (2 a—x) -+- cp (a-) + 4» (a?) = F (a?),

boP jest równe zeru z założenia. Weźmy potem pierwszą pochodną tegoż samego równania względem t i uczyńmy w niej t = 0

Z tego równania wypada

? 0*0 — ł ix) = ^ j fix)dx>

a z poprzedniego :

U./

9 (*) +ł(a;)=F(a?) —~(źa—x).

Więc wnosimy, że

t (*) =1p (*) ^ m(2a~x)+ m-g, ff {x) dx> =IF (æ) - ra ⁽²“-x) “ äs-,Jf {x) dx-

Otóż funk cye F(.r) i f(x) są z założenia dane dla wszystkich wartości x zawartych między x — 0 i x = a, a więc powyższe równania oznacza funkcye <p(a.) i dla wszystkich wartości zmiennej x zamkniętych w tychże samych granicach 0 i a.

Uczyniwszy x = 0 w równaniu (2) i w jego pierwszej pochodnej względem t, to jest w równaniach

du Eö [” , /

S-⁼nL»V

7?j -V{x~

ttOJ '

powinniśmy mieć bez względu na ć

o=

(3) ho tego wymagają początkowe warunki ruchu. Pierwsze z tych równań pokazuje, że jakakolwiek by była zmienna Ç, mamy zawsze

?(%) = — 'M— 5)>

tak że mając, funkcyę w pewnych granicach mamy także funkcyę ^ w granicach przeciwnych co do znaku. Otóż znamy już funkcye o i $ w granicach x=0 i x = a, zatem znaj-

KSIĘGA I. ŚCISKANIE I ROZCIĄGANIE. — ROZDZIAŁ II.

dziemy bez trudności wartość tych funkcyj w granicach x = 0 i x — —a, czyli ostatecznie w granicach x~ — a do x=-r-a.

Mamy w ogóle

du

dx

— (a — x) -h f ^

a wstawiając w tem równaniu x = a i mając to na uwadze, że da

— staje się zerem dla x —a bez względu na t, otrzymujemy

<P

(«+!) +

= 0,

jakiekolwiek jest t. Jest to równanie różniczkowe o jednej zmienéj niezależnej t, a jego całka jest

(4)

(X -4— — -1

II

nt)~G’

gdzie G oznacza stałą dowolną. Gdy t—0

(»)

?(«)—'{' 0) = C,

gdy tymczasem z otrzymanego już poprzednio równania

dx

wypada, że

(G)

? (x) ~ (■/•) = ^ £ f{x) dx -t- C',

gdzie G' jest ilością stałą. Wypada zatem z równań (5) i (6) :

n f'n

C = ii / f(x)dx -+- G

Tę wartość G wstawiwszy w równanie (4) otrzymujemy

(“ ⁺    ♦(*⁻ n ')= iĘjJ "f[x) dx + c

CZĘŚĆ I. — PRĘTY PROSTE ALBO BELKI.

74

równanie prawdziwe dla wszystkich wartości t, Pierwsze z równań (3 ) jest także prawdziwe bez względu na t, więc możemy

w niem wstawić t — a w miejsce Znajdujemy

(f'-a)+ł(a-T')⁼⁰-

Z dwóch ostatnich równań możemy wyrugować funkcyę $ : i zastąpić ^ t— a innę, zmiennę £ :

(7)'

<p(? + 2a) -+- <p(£) = — ^ f(x)dx -ł-CT.

Równanie to daje nam <p (£ -+- 2a) w funkcyi <p (£). Znamy już ©(£) dla wszystkich wartości £ zawartych między — a i Ą-a ; znajdziemy więc cp dla różnych wartości £ zawartych między a i 3a, następnie między 3ai 5a, i tak dalej do nieskończoności;

innemi słowy możemy zawsze znaleźć <p    dla wszyst

kich wartości x zawartych między x=0 i x—a, i dla wszystkich wartości t.

Uważmy teraz, że na zasadzie pierwszego z równań (3) mamy

o=<p

zkąd

i że w skutek tego równanie (2) przybiera kształt

lic

11

2E

Nie potrzebujemy więc wyznaczać funkcyi tji, bo u może być wyrażonem przez sarnę tylko funkcyę ©; co się zaś tyczy

ilości stałej C', to ta znosi się w różnicy funkcyj 9 ^ x -+- ^ — <p[ —    i może być uważanę za zero.

Równanie (7) pokazuje, że ruch jest okresowy. Jakoż wstawiwszy £-ł- 2a w miejsce £ otrzymujemy

9 (Ę -f 4a) -f- 9 (?    2ß) =    ( f(x) dx -4- G',

^9 Jo

a odejmujęc równanie (7)

<p(£ + 4a) — cp (?) =0.

Zatem <p(g) jest funkcyę o okresie 4a. Ponieważ ^ ulega temu samemu prawu, wnosimy, że różne punkta pręta będę się znajdować w jednakowych położeniach i z temi samemi prędkościami w dwóch epokach, dla których x -4- ^ ć różni się o4«,

to jest po upływie czasu • Jest to także czas potrzebny

^9

do przebieżenia wzdłuż pręta drogi tam i na powrót z prędko-ścię średnię ^ .

26. Wytrzymałość powrozów drucianych. — Powrozy druciane sę albo skręcane albo nieskręcane. Te ostatnie składaję się z pewnej liczby równoległych do siebie drutów zwięzanych w poprzek w niektórych miejscach. Tego rodzaju druty nadaję się do spokojnego obciężenia, jak np. do mostów wiszęcych.

Jeżeli powróz składa się z n drutów, to oznaczywszy przez P siłę cięgnęcę, przez p promień jednego drutu, przez R granicę praktyczna wytrzymałości na jednostkę powierzchni

przecięcia, mamy

zkęd

P = n.7i p².R,

X ft7lR ’

ale że R jest równe 12ks- na milimetr kwadratowy (Tablica I), albo co lepiej 10ks-, przeto

pw-w=0,47

Powrozy druciane skręcane składaję się zazwyczaj z sześciu sznurów obwiniętych na duszy zrobionej z doskonałych konopi ; każdy zaś z tych sznurów składa się z sześciu drutów nawiniętych na osobnej duszy konopianej. Robi się czasem powrozy mocniejsze, to jest złożone z większej liczby drutów, ale że te ostatnie tworzę najczęściej sześć warkoczy wijęcych się na jędrze konopianem, przeto można przyjęć, że liczba n powinna być podzielnę przez 6. Przy nawijaniu sznurów na duszy głównej druty wciskaję się tak mocno jedne w drugie, iż stosunek promienia powroza r do promienia drutu p jest

- = 8,80; 10,25; 11,33; 12,80; 13,25; 14,20 stosownie do

o

tego jak n = 36; 48; 54; 60; 66; 72 (*).

Przez nakręcanie drutów wytrzymałość ich przeciw zerwaniu słabnie tak dalece, że zamiast R = 10ks- trzeba przyjęć R = 8ks-,60 na milimetr kwadratowy. Zatem promień drutu jest

vS-

pm.m== o,19

Gdy n =36, mamy -=8, a ztąd promień całkowity powroza P

drucianego

rm•m — 0,25 VP-

ROZDZIAŁ III

STAŁE GATUNKOWE

27. O potrzebie oznaczenia pewnych stałych gatunkowy ch. — Rachunek wytrzymałości ciał wymaga znajomości pewnych ilości stałych zależnych od natury ciał, od sposobu przyrządzenia materyału i od innych okoliczności na zmianę jego własności wpływających. Stałemi temi są : współczynnik sprężystości, granica sprężystości, wytrzymałość przeciw pęknięciu i granica natężeń bezpiecznych czyli wytrzymałość praktyczna. Przypominając znaczenia tych ilości odnośnie do odkształceń będących przedmiotem bieżącej księgi, streszczamy co następuje.

Współczynnik sprężystości podłużnej (*) jest (ust. n. 13) stosunkiem siły wyciągającej lub ściskającej do wydłużenia lub skurczenia. Stosunek ten jest stały w granicach sprężystości.

Granica sprężystości jest to największe natężenie niespra-wiające widocznego odkształcenia trwałego.

Wytrzymałość przeciw pęknięciu jest to najmniejsze natężenie zdolne zgnieść lub rozerwać dane ciało.

(*) Wynaleziony przez Tomasza Yourig’a A course of Lectures on natural Philosoph>J and the mechanical arts, London, 1807, vol. I, p. 187). ,

Granica praktyczna wytrzymałości jest to największe obciążenie bezpieczne.

Najprzód co się tyczy pierwszej ilości stałej, powiedzieć można, że współczynnik sprężystości podłużnej nie zawsze jest do rachunku potrzebny, bo gdy chodzi np. o oznaczenie natężenia na jednostkę powierzchni włókien w pręcie wyciąganym, dosyć jest podzielić siłę zewnętrzny P przez powierzchnię przecięcia ii. Ale gdy mając dane natężenie włókien trzeba obrachować odpowiedni przyrost pręta, wtedy nie można się

obejść bez współczynnika E, gdyż wydłużenie względne ^ jest

związane z wypadkowy P równaniem P= ^ Eii (ust. n. 13).

Mówiyc ogólnie, rozkład natężeń zależy tylko od sił działają-cycb, a odkształcenie zależy nadto od współczynnika sprężystości.

Niekiedy współczynnik sprężystości pojawia się nawet w równaniach rozkładu ciśnień dotyczycych, a mianowicie wtedy, gdy niektóre siły zewnętrzne nie sy dane a priori ; siły te bowiem wyrażamy przez funkcye odkształceń, jak np. przy szukaniu parcia wywiyzanego przez łuk metalowy poddany działaniu ciepła. W ogóle jednak, współczynnik sprężystości nie figuruje w ostatecznych równaniach tego zagadnienia.

Jeżeli budowla ma trwać długo i przedstawiać wszystkie warunki bezpieczeństwa i mocy, wysiłki jej części składowych powinny być znacznie mniejsze od natężeń wywiyzańych w chwili pęknięcia, a odkształcenia bryły powinny być tak małe, aby znikały zupełnie po usunięciu sił zewnętrznych. Do określenia tych odkształceń służy właśnie granica sprężystości. Ilość ta ma jeszcze inne znaczenie teoretyczne. Wzory zasadnicze nauki o wytrzymałości materyałów polegają na przypuszczeniu pewnych oddziaływań międzycząsteezkowych (ust. n. 2), dążących do nadania ciału dawnego kształtu i wymian

rów, skoro tylko siły zewnętrzne działać przestaję. Otóż jak mówiliśmy w ustępie n. 3, każdemu odkształceniu chwilowemu towarzyszy odkształcenie trwałe, co dowodzi że cząsteczki składają się inaczej względem siebie i że powstaje nowy stan równowagi sił międzyczęsteczkowych, do którego nie może się stosować teorya wyprowadzona w poprzedzających ustępach. Ale że odkształcenia trwałe są w ogóle tern mniejsze, im mniejsze są siły zewnętrzne albo odkształcenia całkowite, przeto teorya stosowana w granicach sprężystości daje dostatecznie przybliżone wypadki. Więc jednem słowem, granica sprężystości służy do oznaczenia granic teoryi i zapobiega nierozważnemu stosowaniu wzorów teoretycznych.

Trzecią stałą gatunkową jest wytrzymałość przeciw pęknięciu. Byłoby zbytecznem mówić o potrzebie poznania tej siły, gdyż widoczną jest rzeczą, że stałość budowli, albo jej części składowych tylko wtedy może być zapewnioną, gdy natężenia włókien są mniejsze od wysiłków odpowiadających zgnieceniu albo rozerwaniu.

Wreszcie granica praktyczna wytrzymałości jest najważniejszą ilością, którą w doświadczeniach poszukiwać należy, albowiem rachunki teoretyczne mające na celu obliczenie wymiarów projektowanej budowli nie miałyby rzeczywistej wartości, gdyby się nie znało właściwej mocy materyałów użytych. Wprawdzie granica sprężystości określa bezpieczne obciążenie ciała, ale że oznaczenie tej ilości jest nader trudne i niepewne, przeto w praktyce trzymać się należy jeszcze mniejszych wysiłków; tem więcej, że nieprzewidziane okoliczności powiększają je często w znacznym stosunku.

28. Doświadczenia nad oznaczeniem sprężystości podłużnej. —■ Według niektórych badaczy współczynnik sprężystości jest inny w ściskaniu jak w rozciąganiu ; ale zjawisko to nie jest jeszcze dość jasno wykazane, a różnice znalezione przez Hodgkinson’a są tak małe (¹), że je w zastosowaniach pominąć można.

Żelazo kute i lane. — Najliczniejsze doświadczenia robione w celu oznaczenia współczynnika sprężystości podłużnej odnosiły się do żelaza, bo metal ten jest najwięcej używany ze względu na jego wielką wytrzymałość. W dziełach Buffon’a znaleźć można pierwsze wzmianki o tego rodzaju doświadczeniach, a w pismach Rondelet’a, Soufflot’a i Perronet’a liczne prace wt tym przedmiocie. Najwięcej jednak pracowali Anglicy : najprzód Telfort, Bariow i Tredgold, później Hodgkinson i Fairbairn (od 1842 do 1846). Używanie mostów’ wiszących pociągnęło także za sobą nowe doświadczenia, z których najważniejsze.robili we Francyi Navier, Séguin i Du-leau, a w Genewie jenerał Dufour. Szczegółowe doświadczenia robili Lagerhjelm w Szwecyi ( Versuche zur Bestimmung der Dichtigkeit, Gleichartigkeit, etc.), Gerstner w Pradze (Handbuch der Mechanik), i Brix w Berlinie (.Abhandlung über Cohäsions-und Elasticitätsverhältnisse etc. 1837); później zaś Stephenson i Fairbairn.

Ze wszystkich metali najtrudniej jest oznaczyć współczynnik sprężystości żelaza lanego. Ciało to zmieniające swój układ krysztaliczny stosownie do sposobu fabrykacyi lub do sposobu użycia posiada tak różne własności, że trudno jest określić je charakterystycznie. Nawet kształt bryły wpływa na jej wytrzymałość, bo podczas stygnięcia metalu wywiązują się pewne natężenia osłabiające ją w pewnych kierunkach. Zresztą sprężystość żelaza lanego nie jest jednakowa we wszystkich punktach masy, tak dalece, że trzebaby przyjąć inny współczynnik dla zewnętrznej powłoki, a inny dla wnętrza (²).

Z tego powodu trudno jest stosować teoryę wytrzymałości rnateryałów do ciał zrobionych z żelaza lanego. Przeciwnie, żelazo kute podlega dokładniej prawidłom teoryi i zapewnia z tego względu stałość obrachowanych budowli. Wprawdzie i żelazo kute posiada różne własności stosownie do swego miejsca pochodzenia, ale nie w takim stopniu jak surowiec. I tak np. żelazo pochodzące z gór Uralskich, otrzymywane za pomocę drzewa, jest nadzwyczaj sprężyste i zdolne do znoszenia znacznie większych ciężarów, jak żelazo angielskie otrzymywane za pomocę węgla kamiennego, ale które jest znacznie twardsze od pierwszego (*).

Porównywajcie wypadki doświadczeń robionych nad żelazem przyjęć można, że :

1° Przyrosty długości sę niemal proporcyonalne do sił cię-gnęcych, gdy te ostatnie nie przechodzę granicy 15 kilogramów na milimetr kwadratowy przecięcia ; po za ta zaś granicę rosnę tak raptownie, że współczynnik sprężystości staje sic w końcu dwadzieścia razy mniejszym.

f

2° Współczynnik sprężystości podłużnej E jest 20,000, gdy za jednostkę powierzchni bierze się milimetr kwadratowy, a kilogram za jednostkę siły.

Według doświadczeń Hodgkinson’a współczynnik sprężysto-

(*) Żelazo uralskie jest doskonale do budowy mostów metalowych, do robienia harpun, kotwic i t. d., a żelazo angielskie do szyn pod kolej żelaznę. Dawniej znano jeden tylko sposób przyrządzania żelaza : palono drzewem i kuto młotem. Użycie węgla kamiennego powiększyło niezmiernie produkcyę tego metalu, a walcowanie umożebniło różne kształty, o których nie mogło być mowy przy dawnym sposobie fabrykacyi. Bez walcowania nie możnaby robić szyn i koleje żelazne nie mogłyby się rozwijać. Ten podwójny przewrót w metalurgii zrobił się w Anglii około roku 1810.

W ostatnich, bo niemal w bieżących latach, starano się zrobić nowy krok na przód i wprowadzić stal lanę. w miejsce żelaza, mającego mniej szę od niej wytrzymałość; ale doświadczenia nie powiodły się zupełnie szczęśliwie (patrz Le rapport de MM. Combes, Lorieux et Couche w Annales des Ponts et Chaussées, 1861 j. Między innemi próbowano robić kotły parowe ze stali lanej.

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERYAŁÓW.

ści podłużnej żelaza lanego jest 9,000. Dawniej przyjmowano liczbę 1,200. Stephenson proponował 8,000, a Desplaees i Collet-Meygret przyjęli przy budowie wiaduku Tarascon wartość 0,000, która według ich doświadczeń jest tylko średnię liczb zmieniających się od 3,000 do 12,000; można więc przyjęć w przecięciu E = 10,000. Bresse (*) radzi używać wartości 12,000, 9000 i 6000 stosownie do lego, czy grubość sztuki żelaznej jest mała, średnia lub duża; a to wychodzęcz tej zasady, że ponieważ powłoka zewnętrzna prędko stygnęca jest twardsza, gęstsza i więcej sprężysta od jędra, którego cząsteczki nie mogły się układać należycie wobec ostygłej już powłoki, przeto sztaba cienka jest znacznie sprężystsza od sztaby stosunkowo grubej (**).

Przegrzewanie żelaza i stali nie zdaje się wpływać na zmianę ich sprężystości. Wszakże dodać musimy, że przegrzewanie kruszców przy robieniu doświadczeń trwa tylko chwilę, gdy tymczasem w praktyce przy wyrabianiu wielkich sztuk jak np. osi do wozów trwa bardzo długo, przy dość wysokiej a jednostajnie utrzymywanej temperaturze. Morin cytuje w tym Względzie przykład uderzajęcy (***) « Mam przed sobę kawałek « żelaza z Pyrenei pierwotnie miękkiego i włóknistego, które « przegrzewane przez pięć miesięcy w ogniu miernym a nieci ustannym zamieniło się na żelazo krysztaliczne o ściankach « mających cztery lub pięć milimetrów kwadratowych ». Żtędby wnosić wypadało, że przegrzewanie osi lub innych grubych sztuk wpływa raczej szkodliwie jak korzystnie na ich wytrzymałość.

Wypada także z doświadczeń Wertheim'a, że prąd elćfdry-

Pj Cours de Mécanique appliquée.

(**) Prawdziwości tego mniemania dowodź? doświadczenia robione przez komissyg aligielsk? wyznaczon? do zbadania sprężystości żelaza. Sprawozdanie Report of the Commis sioners appointed to inquire, etc., 1849, znajduje sig w tłumaczeniu irancuzkiem w Annales des Ponts et Chaussées. 1851, premier semestre.

I***) Résistance des Matériaux, p. 47.

czny zmniejsza nieco współczynnik sprężystości metali, ale tylko podczas działania prądu.

Drzewa. — Pierwsze doświadczenia mające na celu oznaczenie sprężystości drzewa były robione przez Parent’a, Buł-fon’a, Duhamel’a, Belidor’a i innych. Wypadki tych poszukiwań zostały streszczone w dziełku Traité sur la force des bois, napisanem w r. 1782 przez Architektę Le Camus de Mezièrcs. Bieżące stulecie obfituje w tego rodzaju próby, a najważniejsze z nich dokonali we Francyi : Rondelet, Navier, Charles Dupin, i w ostatnich latach Chevandier i Wertheim (*), w Anglii zaś Tredgold, Barlow, Bennie i Hodgkinson, a w Polsce Krauz, podporucznik saperów brygady jenerała Bontemps.

Z tych wszystkich doświadczeń na największy uwagę zasługują doświadczenia Chevandier’a i Wertheim’a, jako wykonane na największy skalę i z podziwienia godny starannością. Pro-wadzy one do następujycych wyników :

1° Gęstość drzewa zmienia się bardzo mało z jego wiekiem, ale współczynnik sprężystości podłużnej E maleje począwszy od pewnej epoki, i zależy nadto od geologicznego stanu gruntu i od stanu hydrometrycznego okolicy. Współczynnik ten jest większy dla drzew wystawionych, na północ, jak dla drzew rosnycych w gruncie suchym.

2° Grubość warstw biciu nie wpływa na współczynnik sprężystości podłużnej z wyjątkiem jodły, której sprężystość jest tem większa, im cieńsze sy warstwy bielu.

8° Przydłużeniu sprężystemu towarzyszy zawsze przy dłużenie trwałe.

Współczynniki sprężystości drzewa zmieniają się w granicach bardzo rozległych zależnie od miejsca pochodzenia» Tablica! pokazuje ich średnie wartości.

29. Granica sprężystości w ściskaniu i rozciąganiu. — Oznaczenie granicy sprężystości jest bardzo trudne i z wielu względów wątpliwe. Najprzód trudno jest zapobiedz w tego rodzaju doświadczeniach pewnemu wydłużeniu, obsunięciu lub wygięciu samego przyrządu, do którego jest przymocowane ciało poddane doświadczeniu; a potem czas grający ważną rolę w tein doświadczeniu powiększa znacznie odkształcenie trwałe, gdy siły zewnętrzne działają nieustannie. Ocenienie zaś tego wpływu wymagające długoletnich doświadczeń jest niemal niepodobne, gdyż natura ciała badanego zmienia siew ciągu doświadczeń.

Należy tu zwrócić uwagę na tę okoliczność, iż drgania towarzyszące każdemu ruchowi ciał naturalnych sprawiają dwa zupełnie różne skutki, Jeden z nich dający się obliczyć w pewnym stopniu i podobny do skutków statycznych polega na okresowem powiększaniu rozciągali i skurczeń ciała obładowanego; drugi zaś nieoceniony jeszcze dostatecznie i w różny sposób tłumaczony, zasadza się na zmianie budowy czy ugrupowania cząsteczek. Tak np. częste wstrząśnienia niszczą układ włóknisty prętów kutych lub walcowanych i nadają im kształt krysztaliczny. Nawet kolejne zmiany działania wystarczają do zupełnego zniszczenia stałości cząstek; wiadomo np. że chcąc złamać drut żelazny dosyć jest zgiąć go parę razy w jedne i w drugą stronę. Braitwaite (*) cytuje na przykład belkę z żelaza lanego, która pękła z tego powodu, iż zbiornik wodny, który na niej spoczywał, był na przemian pełny i pusty. Fairbairn (**) wyrzekł nawet zdanie, że « stałe i czysto statyczne obciążenie nie wywołuje po pewnym czasie dalszych odkształceń, choćby nawet obciążenie było blizkiem zerwania, ale że najmniejsza nawet siła jest w stanie złamać ciało, gdy się ją usuwa i na nowo przyczepia dostateczną liczbę

;*) Journal of Arts, London, 1854.

(**) On the application of cast and wrought iron, eto. London, 1854,

razy-». Uwagi te okazują najlepiej, że drgania mają wpływ niezaprzeczony na wytrzymałość ciał naturalnych i że oznaczenie współczynnika lub granicy sprężystości wymaga długich doświadczeń statycznych i dynamicznych.

Żelazo lane i kute. — Żelazo i surowiec zachowują się podobnie przy ściskaniu jak przy rozciąganiu ze względu na granicę sprężystości; według bowiem doświadczeń Hodgkinsoira przyrosły długości są niemal proporcyonalne do sił ściskających lub rozciągających, gdy natężenie tychże nie przechodzi 15 do 18 kilg. na milimetr kwadratowy przecięcia.

Drzewa. —Drzewa nie mają właściwie granicy sprężystości, gdyż według doświadczeń Chevandier’a i Wertheim’a równocześnie ze spostrzegalnern odkształceniem sprężystem tworzy się także spostrzegalne odkształcenie trwałe. Wszakże chcąc się zastosować do ogólnie dziś przyjętych wyobrażeń uczeni ci nadali granicy sprężystości wartość odpowiadającą bardzo małemu odkształceniu trwałemu. W ogóle granica sprężystości w rozciąganiu i w ściskaniu jest tem większa, im więcej drzewo jest wysuszone, a dla drzew sztucznie suszonych zcho-dzi się nawet z wytrzymałością przeciw pęknięciu, tak że wydłużenie i skurczenie nie ma wcale miejsca.

30. Wytrzymałość przeciw rozerwaniu i zgnieceniu. — Dawniejsi badacze zajmujący się oznaczeniem wytrzymałości ciał przeciw zgniecieniu uważali sześcian za kształt najodpowiedniejszy pod względem mocy, ale Hodgkinson wykazał późniejszemi doświadczeniami, że wytrzymałość gra-niastosłupów kamiennych, drewnianych, żelaznych i surowcowych zmniejsza się w miarę wzrostu wysokości aż do chwili, w której ta ostatnia staje się trzy razy większą od najmniejszego wymiaru poprzecznego; po za tą granicą wytrzymałość jest prawie stała, dopóki tylko wysokość nie staje się dwa razy większą od pomienionej granicy.

Surowiec. — Najznakomitsze doświadczenia nad wytrzymałością żelaza lanego przeciw zerwaniu były robione przez Hodgkinson’a (³). Poddawał on doświadczeniu rozmaite gatunki surowca i wywiódł ztąd średnie wartości ich mocy, a potem wspólnie z Fairbairn’em porównywał własności surowca otrzymywanego przy zimnem powietrzu z surowcem o ciepłej wentylacji (⁴). Wypadki tych doświadczeń zgadzały się z doświadczeniami Minard’a i Desormesa (⁵) robionomi w r. 1815, w celu oznaczenia wytrzymałości surowca przeciw rozerwaniu i dowiodły stanowczo, że powietrze ciepłe powiększa wytrzymałość jednego gatunku surowca, a pomniejsza wytrzymałość drugiego. Jednakże ostateczne różnice w wytrzymałości były tak małe, iż wszelkie rozróżnianie surowców, otrzymywanych przy ciepłem i zimnem powietrzu okazało się zupełnie zbytecznem.

Kierunek albo raczej sposób przyczepiania sił ciągnących ma także pewien wpływ na wytrzymałość. Hodgkinson sprawdził rozciągając pręty surowcowe najprzód w przedłużeniu osi, a potem wzdłuż jednego z boków pręta, że wytrzymałość przeciw zerwaniu jest blizko trzy razy większa w pierwszym razie jak w drugim.

Hodgkinson robił także liczne doświadczenia nad wytrzymałością surowca przeciw zgniecieniu i znalazł zgodnie ze swymi poprzednikami, że wytrzymałość surowca tak w ściskaniu jak w rozciąganiu zmienia się niezmiernie od jednego gatunku do drugiego; np. że surowiec szkocki jest dwa razy mocniejszy od angielskiego. Powszechnie jednak wytrzymałość surowców bywa sześć razy większą w gnieceniu jak w rozrywaniu.

Pękanie brył surowcowych objawia się w różny sposób, zależnie od ich kształtu i długości. W graniastosłupach ściskanych w kierunku osi tworzę, się najprzód dwa stożki albo dwie piramidy majęce za podstawy wierzchnię i dolnę ścianę bryły, a których wierzchołki skierowane ku środkowi leżę na osi graniastosłupa. Te stożki lub piramidy rozpychaję bryłę pod działaniem ciśnień na ich podstawy działajęcych i rozłupuję tym sposobem jej zewnętrznę powłokę. Bryły walcowe pękaja także w skutek parcia klina, mającego za podstawę jedne z podstaw walca, a którego kęt wierzchołkowy zależy od gatunku surowca. Przy rozcięganiu surowca nie widać aż do chwili zerwania żadnych oznak niezwyczajnego odkształcenia, oprócz jednostajnego wydłużania się różnych części bryły; pęknięcie następuje nagle.

Żelazo kute. — Wytrzymałość żelaza przeciw rozerwaniu zależy od natury materyału i od sposobu przyrzędzenia. Czasem druty żelazne wstrzymuję 90 kilogramów na milimetr kwadratowy, a niektóre sztaby pękaję już przy 25 kilogramach. Temperatura ma także wielki wpływ na wytrzymałość żelaza wycięganego. Badania Fairbairn’a w Anglii i próby robione wT instytucie Franklin’a w Filadelfii dowiodły, że wytrzymałość nie tylko nie maleje przy rosnęcej do 200° Celz. temperaturze, ale nawet powiększa się o 20 0/0; i że dopiero w większem cieple maleje tak raptownie, iż przy ciemno-czenvonym żarze

14

(600°-700° Celz.) wynosi już tylko - lub - wytrzymałości normalnej.

Wytrzymałość żelaza przeciw zgnieceniu jest znacznie, bo dwa do trzech razy mniejsza od wytrzymałości surowTca ; z tego też powodu części metalowe wystawione na gniecenie robi się zazwyczaj z surowca, a nie z żelaza kutego. Wszakże zwyczaju tego nie trzeba brać za prawidło bezwarunkowe, bo w granicach sprężystości żelazo skurczą się znacznie mniej

jak surowiec, a posiada równą mu wytrzymałość. Podług Hodgkinson’a surowiec kurczy się dwa razy więcej jak żelazo. Nie bez powodu więc Fairbairn nalegał na wyłączne użycie żelaza w moście Stephenson’a na ciaśninie Menai.

Nie możemy tu pominąć krótkiego sprawozdania z doświadczeń czynionych w Warszawie przez Krauza nad wytrzymałością żelaza i stali z fabryk Suchedniowskich, ogłoszonego w tomie XXym Rocznikói/' Towarzystwa warszawskiego Przyjaciół Nauk. « Żelazo suchedniowskie do tych doświad-« czeń użyte » mówi sprawozdawca (*) «było wykute w szta-« bach kwadratowych. Sztaby takowe miały po obu stronach « głowy, z których jedna umocowaną została do punktu sta-« lego, a druga służyła do zawieszenia szali. Na szalę nakła-« dano następnie z największą ostrożnością po jednym funcie « wagi polskiej aż do samego zerwania się sztabki. Takich do-« świadczeń wykonał p. Krauz szesnaście. Do pięciu doświad-« czeń używał pręta mającego w kwadrat linię angielską, jedno « doświadczenie było z prętem na trzy linie szerokim i na ty-« leż grubym; cztery doświadczeń było z prętami mającymi « w grubości i szerokości po 3 1/2 linii, a sześć doświadczeń c z prętami grubymi na trzy a szerokimi na sześć linij.

« Wytrzymałość żelaza Suchedniowskiego z powyższych « doświadczeń wyciągnięta wynosi 780 funtów polskich na je-« dno linię kwadratową angielską, czyli 71 ks-, 80 na milimetr « kwadratowy. Żelazo zatem suchedniowskie pod tym wzglę-« dem znacznie wyższą posiadałoby zaletę od wielu gatunków « zagranicznego żelaza. Wniosek ten jednak nie może być zu-« pełnie sprawiedliwy, mając to na uwadze, że grubość prę-« tów poddawanych pod doświadczenie pana Krauza była « w ogóle znacznie mniejszą od tej, którą stosowano przy do-« świadczeniach Perronet’a, Rondelet’a, Polini’ego. Tels-

(*} Raport czyta,ty na posiedzeniu Działu Itmiejętności Towarzystwa Przyjaciół Nauk w Warszatcie, dnia 21 listopada 1827 roku. przez Karola Skrodzkiego.

« ford’a, Brown’a. Zawsze jednak, mając wzgląd i na tę oko-« liczność, żelazo suchedniowskie znacznie przewyższa co do « wytrzymałości wiele gatunków żelaza zagranicznego, nie <c ustępując pierwszeństwa najlepszym gatunkom, jak np, «szwedzkiemu i angielskiemu.

« Ze stała suchedniowska uczynił p. Krauz pięć doświad-« czeń. We wszystkich grubość pręta równała się szerokości « i wynosiła dwie linie angielskie. Wytrzymałość stali podług « tych doświadczeń wynosi funtów polskich 1088 na linię kwl « ang., czyli około 100ks- na milimetr kwadratowy ».

Drzewa.—Drzewa wysuszone przedstawiają większa wytrzymałość przeciw zerwaniu, jak drzewo wilgotne ; tego dowodzą zgodnie doświadczenia Rondelet’a, Chevandier’a i Wert-heim’a. Drzewa sztucznie suszone zrywają się nagle bez poprzednich oznak odkształcenia. W zwyczajnym stanie wilgoci drzewa krótkowłókniste jak dąb lub buk, wydłużają się jednostajnie ale nie dają,żadnych oznak zapowiadających blizkie zerwanie ; pęknięcie następuje nagle. Drzewa długowłóknisle, szczególniej drzewa szpilkowe nie okazują również na oko żadnych zewnętrznych objawów blizkiego pęknięcia, ale zapowiadają je szelestem wzmagającym się przez coraz to częstsze zrywanie się pojedynczych włókien.

Także i przy ściskaniu drzewa wysuszone przedstawiają w ogóle większą wytrzymałość jak drzewa wilgotne. Z doświadczeń Rondelet’a i Hodgkinson’a wnosić można, że dąb i jodła mają niemal jednakową wytrzymałość w zwyczajnym stanie wilgoci, ale podczas gdy wytrzymałość jodły nie zmienia się bynajmniej, wytrzymałość dębu rośnie bardzo prędko ze stanem wilgoci.

Wytrzymałość przeciw rozerwaniu w kierunku prostopadłym do włókien jest znacznie mniejsza od wytrzymałości po-

dłużnej, i-to w stosunku jak 1 do 4 dla drzew twardych, a 1 do 5 dla innych.

Z doświadczeń czynionych przez Krauza w Warszawie wypada, że wytrzymałość drzew krajowych, jako to : dębu, sosny, jodły, olszy, brzozy i grabu nie zależy od ich wieku, że dęby nasze nie różnią, się co do wytrzymałości od dębów zagranicznych, jakimi są dęby z Kanady lub z innych krajów pochodzące.

Kamienie. — Rondelet opisuje w trzeciem wydaniu swego Traité de Fart de batir kilka doświadczeń dotyczących wytrzymałości kamieni przeciw zgnieceniu, ale badania tego uczonego prowadzą do wyników bardzo ograniczonych. Za to późniejsze doświadczenia robione przez Vicat’a (⁶), a opisane w Annales des Ponts et Chaussées (1818-1833) mogą służyć za prawdziwe wskazówki w tej mierze; odnoszą się bowiem do wszystkich zjawisk fizycznych, które poprzedzają i towarzyszą gnieceniu ciał ziarnistych, zbitych, jaknp. kamieni, gipsu, A a-pna, cegieł i t. d.

Doświadczenia Vicat’a były wykonane nadzwyczaj starannie, ale na bryłach stosunkowo małych. Wypadki znaleziono następujące : dla graniastosłupów i walców podobnych wytrzymałość przeciw zgnieceniu jest proporcyonalna do powierzchni podstawy, to samo prawo stosuje się do piramid ściętych. Co się zaś tyczy walców ściskanych prostopadle do ich osi, Vicat wyraża się w następujący sposób :

« Walce ściskane jako wałki między dwiema płaszczyznami « poziomemi zaczynają się najprzód spłaszczać w miejscach « dotknięcia, przyczem tworzą się dwa kliny, z których każdy

a ma z a podstawę jedne ze spłaszczonych części powierzchni, « a za dwie drugie ściany dwie płaszczyzny przecinające się « pod kątem prostym. Ostrza tych klinów leżę w płaszczyźnie <r pionowej przez oś walca przechodzącej i są od siebie odległe « o 2/3 średnicy.

« W chwili gdy Lo zjawisko dojrzewa zupełnie, bryła pęka, a « oba kliny zbliżając się do siebie rozłupuję ją do reszty. « W ten sposób druzgoczę się walce o układzie ziarnistym, « zbitym i ziemnym, jak np. kamienie, cegły i wapna. Części « rozłupane klinami zachowuję pierwotnę budowę, ale same « kliny sa prawie zupełnie sproszkowane.

« Doświadczenie uczy, że wytrzymałość takich walców jest « proporcyonalna do iloczynu z osi przez średnicę ; zkęd « wypada, że dla walców podobnych te siły maja się do siebie, cc jak kwadraty ze średnic, a zaś dla walców mających jedna-« kowę długość, jak ich średnice. »

O kulach mówi znowu Yicat :

cc Kula ściskana między dwiema płaszczyznami poziomemi cc spłaszcza się w pobliżu punktów dotknięcia, poczem tworzę « się dwa stożki majęce za podstawy powierzchnie spłaci szczone, a za wierzchołki punkta lcżęce na średnicy piono-cc wej kuli. Ruch postępowy tych stożków rozsadza kulę na « dwie, trzy lub cztery części. Chwilę przed pęknięciem « oba kliny sę już zupełnie sproszkowane i nadzwyczaj mocno « zbite. Zdaje się więc, mówi Yicat, że owe stożki zaczynają « dopiero wtedy działać skutecznie, gdy się skruszyły i zgę-« stniały odpowiednio.

cc Wytrzymałość kul przeciw gnieceniu jest proporcyo-« nalna do kwadratu średnicy. »

Słupy kamienne złożone z kilku pokładów sę znacznie mniej wytrzymałe, jak słupy jednolite zrobione z jednej sztuki. Yicat

przypisuje to pomniejszenie wytrzymałości niedokładnemu wyrównaniu powierzchni kamienia i brakowi zaprawy wapiennej, któraby wypełniła próżne miejsca i ułatwiła jednostajne rozłożenie ciśnień. Na poparcie tego cytuje on kilka doświadczeń dowodzących, że wziąwszy za jedność wytrzymałość graniastosłupa gipsowego jednolitego mającego wysokość h mamy :

wytrzymałość graniastosłupa o dwóch warstwach, mającego

wysokość A ... 0,930

o trzech warstwach

2h ... 0,861 «    o czterech warstwach ... 4h ... 0,834

i to nawet bez użycia zaprawy wapiennej. Ztąd wnosić można że podzielenie słupa na warstwy jednolite, poziome starannie wyciosane, a przytem zlepione zaprawą nie osłabia jego wytrzymałości przeciw zgnieceniu.

Z tych i i innych doświadczeń pomniejszych (⁷) wyciągnąć można jeszcze następujące wnioski.

Własności fizyczne kamieni, jak twardość, ciężar gatunkowy, barwa, nie mogą służyć za miarę ich względnej wytrzymałości. To tylko powiedzieć można, że kamienie pocho-chodzące ze skrajnych warstw kopalnianych, to jest pokłady najwyższe i najniższe są zazwyczaj mniej gęste i mniej wytrzymałe jak pokłady leżące w samym środku łomu kamiennego. Wziąwszy wytrzymałość bryły sześciennej za jedność, wytrzymałość bryły walcowej w nią wpisanej i spoczywającej na swej podstawie jest 0,80, wytrzymałość tegoż walca leżącego na płask jest 0,32, a wytrzymałość kuli wpisanej 0,26. Poęl względem sposobu pękania kamienie twarde rozłupują się nagle na płatki i drzazgi rozsypujące się w proch za dotknięciem, kamienie zaś miękkie dzielę się w pierwszej chwili pękania na piramidy lub stożki mające za podstawę ścianę wierzchnią i spodnią bryły.

Rondelet opisuje (str. 218 pierwszego tomu) różne doświadczenia wykonane w latach od 1783 do 1802 nad wytrzymałością zapraw i gipsu, i utrzymuje, że zarabianie zaprawy wapiennej powiększa jej wytrzymałość w stosunku jak 1 do 1,3, że piaski suche, chude, zupełnie pozbawione materyi ziemnych nie zawsze są najlepsze, i wreszcie że dobry gips wypalony i odpowiednio rozwodniony jest równy co do siły wapnu tłustemu. Robił on później doświadczenia nad spójnością wapna i gipsu, to jest nad siłą potrzebną do rozerwania dwóch ze sobą zlepionych bloków kamiennych, i doszedł do tego wyniku, że spójność zaprawy wapiennej rośnie z biegiem czasu, gdy tymczasem spójność gipsu maleje.

3i. Granica praktyczna wytrzymałości w ściskaniu i rozciąganiu. — Nie dosyć jest obliczyć wymiary danej budowli w taki sposób, aby wysiłki wewnętrzne nie przekraczały granic sprężystości, bo drgania i uderzenia sprawiają nieprzewidziane leoryą skutki i wywołują niezwykłe natężenia. Doświadczenie nakazuje trzymać się natężeń znacznie mniejszych od granicy sprężystości, np. równych jej połowie.

Zasada ta, po raz pierwszy przez Poncelefa wygłoszona, jest zupełnie racyonalna i zgodna z zauważanymi dotąd taktami; ale granica sprężystości nie jest jeszcze dobrze znana (ust. n. 29). Dotąd uważano pękanie ciał za najwyższe zjawisko z punktu widzenia budownictwa i zwracano mało uwagi na sprężystość, jako na warunek podrzędny i mający mało związku ze stałością bryły. Ztąd też w obec szczegółowych doświadczeń nad pękaniem ciał, brakuje poszukiwań służących do oznaczenia sprężystości i do racyonalnego oznaczenia bezpiecznych wysiłków, tak że tylko natężenia odpowiadające

część I. — l'KgTY l’tîOS'i'E .ALflO BELKI.

04

zerwaniu i zgnieceniu za miarę praktycznej wytrzymałości uważane być muszę. Przyjmuję np. że metale nie powinny pracować z większem natężeniem, jak 1/6 natężenia odpowiadającego zgnieceniu lub rozerwaniu, i że inne ciała mogę znosić co najwyżej 1/10 obciężenia sprawiajęcego zerwanie. Wszakże liczby te zdaję się być za wielkie w niektórych razach. Pan Bakka, inżynier w Warszawie, potępia (*) mniemanie Weisbach’a, który powyższe cyfry jako najodpowiedniejsze zaleca, i cytuje za przykład filary Panteonu paryskiego, « które « od mniejszego obciążenia jak 1/10 okazały w czasie budowy « znaki uszkodzenia i wzmocnionymi być musiały, jak również « wypadek wydarzony przy budowie browaru Schäffera « w Warszawie, przy ulicy Krochmalnej, gdzie z obliczeń zro-« bionych przez F. Pancera okazało się, że przypadające na te milimetr kwadratowy cegły obciążenie nie przechodzi 60 « gramów, » i inny przykład podany przez Eytelwain’a odnoszący się do drzewa. Zdaniem pana Bakki, bezpieczeństwo wymaga, ażeby w konstrukcyach stałych nie więcej liczyć dla kamieni jak 1/20 wytrzymałości przeciw zgnieceniu, dla drzewa 1/15, a dla metali 1/7 ich mocy.

Nie zaprzeczając słuszności twierdzeń pana Bakki, zrobimy tu tylko Lę uwagę, że w oznaczeniu wytrzymałości praktycznej nie można kłaść bezwarunkowych prawideł. Jeżeli w budowlach monumentalnych, wystawionych na drgania i przypadkowe obciężenia utrzymać trzeba bardzo nizkie granice ciśnień (**), to znowu w razach wyjątkowych, gdy lekkość jest jednym z głównych warunków i gdy przypadkowe natężenie

(*) Mechanika teoretyczna przez .1. WejsbaCh’a, przełożona na język polski przez Stanisława Bakkę. Warszawa, 1856, str. 883.

(**) W wiaduku Dinan we Francyi służącym tylko dla wozów największe ciśnienie jest równe — wytrzymałości granitu, w akweduku Koquefavour ciśnieilie maximum do-

chodzi do — , a w wiaduku Chaumont do Ta ostatnia budowla uchodzi już za bardzb śmiałą.

1 1

— lub — kamienia do budowy użytego.

nie ma przekraczać średnich wysiłków, można przyjyć cyfry mniejsze od tych, które p. Bakka za najodpowiedniejsze uważa. Przeciwnie części machin lub budowli wystawione na natężenia większe od średnich wartości, powinny przedstawiać niezwykły nadmiar mocy.

Wreszcie nadmienić tu wypada, że obliczając wytrzymałość praktyczny na zasadzie wytrzymałości przeciw skruszeniu lub rozerwaniu dochodzimy czasem do wypadków z prawdy niezgodnych. Surowiec np. kruszy się pod natężeniem sześć razy większem od natężenia odpowiadajycego zerwaniu, zkydby wnosić wypadało, że tenże sam -stosunek zachodzi między wy-trzymałościy praktyczny w gnieceniu i w rozciyganiu. Otóż według doświadczeń Hodgkinson’a belka majyca kształt litery T, a leżącą raz na swej tablicy poziomej, drugi raz znowu na krawędzi żebra przyjmuje jednakowy strzałkę w obydwóch razach, gdy tylko wygięcie nie przechodzi granic odkształceń bezpiecznych, to jest nader małych. Ponieważ zaś sprężystość surowca jest jednakowa w rozciyganiu i w gnieceniu, przeto zdaje się być rzeczy pewny, iż w granicach odkształceń bezpiecznych wytrzymałość tego ciała jest jednakowa w obydwóch razach.

Wszakże w praktyce można odróżnić te dwie wytrzymałości praktyczne, a to ze względu na anormalne przyczyny wy-wołujyce większe odkształcenia ; wtedy bowiem metal mniej się opiera rozciyganiu jak gnieceniu.

KSIĘGA DRUGA

6

WYGIĘCIE PROSTE I ZŁOŻONE

ROZDZIAŁ I

WYGIĘCIE PROSTE

32. Teorya wygięcia prostego. —Nazywamy wygięciem prostem takie odkształcenie, w którem jakiekolwiek przecięcie poprzeczne obraca się o pewien kęt około osi położonej w jego płaszczyźnie i przechodzącej przez środek ciężkości. Widzieliśmy w ustępie n. 7, że odkształcenie to ma wtedy miejsce, gdy siły zewnętrzne sprowadzają się w danem przecięciu do siły W leżęcej w płaszczyźnie przecięcia i do pary sił JM prostopadłej. Więc nawzajem: ażeby wygięcie proste mogło mieć miejsce, siły zewnętrzne muszę być prostopadłe do osi belki, bo tylko w tym przypadku sprowadzają się do sił M i W⁷.

Niechaj ab i cd oznaczajędwa przecięcia poprzeczne (fig. 26) nieskończenie blizko siebie położone i niechaj punkto będzie środkiem ciężkości przecięcia cd. Przez punkt o poprowadźmy jakakolwiek linię prosta ox położonę w płaszczyźnie przecięcia i przypuśćmy, że linia ta ma być osię obrotu przecięcia cd. Poprowadźmy potem przez tenże sam punkt o średnicę sprzężona linii ox w elipsie środkowej bezwładności, i oznaczmy przez :

KSIĘGA II. WYGIĘCIE PROSTE 1 ZŁOŻONE. — ROZDZIAŁ I.

o:

ß kyt tych dwóch linij ;

L długość ac;

x i y współrzędne jakiegokolwiek punktu A odniesionego do osi ox i oy ;

u i u odległości tegoż punktu od osi ox i oy ; w element płaski zawierajycy w sobie punkt A ;

E współczynnik sprężystości podłużnej ; öl kyt obrotu płaszczyzny cd.

Fig. 28,

Po odkształceniu ciała przecięcie cd przyjmie położenie cd włókno io wydłuży się o ilość przedstawiony algebraicznie przez a w, z warunkiem że u będzie uważane jako odjemne z tej strony osi ox, po której kurczenie włókien ma miejsce. Natężenie podłużne włókna, dodatnie lub odjemne, będzie (ust. n. 13) :

in OLU

P — Ew —,

a że a i L sy jednakowe dla wszystkich punktów przecięcia, przeto natężenie na jednostkę powierzchni będzie się zmieniać proporcyonalnie do iloczynu Ew.

Szukajyc wypadkowej wszystkich natężeń widzimy najprzód, że ich summa algebraiczna~ 2Eww jest równa zeru, bo oś ox

WYTRZYMAŁOŚĆ materyałów.

część 1. — PBęrY PROSTE ALBO BELKI.

98

przechodzi przez środek ciężkości przecięcia. Że jednak siły te sa wszystkie równoległe do osi graniastosłupa, przeto sprowadzają się do pary sił, która jest także równoległą do tej osi. Zatem zadanie całe sprowadza się do wyszukania śladu płaszczyzny pary na powierzchni przecięcia cci i do obliczenia jej momentu.

Uważmy w tym celu, że osie ox i oy są średnicami sprzężo-nemi w elipsie środkowej bezwładności, i że w skutek tego (ust. n. 9) :

2Eoj ùcy — 0,

bo E za stałe uważamy ; ale że rzędne x, y, są proporcyonaine do ilości u, u, przeto

2Ewww' = 0

ż tern wszakże zastrzeżeniem, że znaki ilości u zmieniają się równocześnie ze znakiem rzędnej y, a znak ilości u równocześnie ze znakiem odciętej x. Pod tym warunkiem możemy powiedzieć, że summa algebraiczna momentów sił między-cząsteczkowych względem oy jest

— 2Emuu' ; JL

a że ta summa jest równa zeru na zasadzie równania poprzedniego, przeto płaszczyzna zawierająca parę wypadkową przecina płaszczyznę cd wzdłuż linii równoległej do oy ; albo mówiąc inaczej, ślad płaszczyzny pary jest sprzężony z osią obrotu w elipsie środkowej bezwładności przecięcia cd

Co się tyczy momentu zgięcia M, to najprzód oś pary leży w płaszczyźnie cd i jest prostopadła do oy, tak że jej kąt z linią ox jest 90° — ß, a moment pary względem ox jest M dos(90° —ß) albo M wst ß. Z drugiej znowu strony mamy inne wyrażenie tego momentu summując momenta natężeń elementarnych

względem osi ox; jedno z tych natężeń jest ^-Emm, a jego mo-

ment jest ^ Ew?/², tak że moment całkowity jest - 2Emu². Dwie L    L

otrzymane wartości powinny być sobie równe, a więc M wst(3=ï:£EwM²,

albo, oznaczając przez I moment bezwładności przecięcia względem osi ox

ocEI

L wst ß

Zatem siły międzycząsteczkowe powstałe w skutek wygięcia sprowadzają się do pary sił. Ślad płaszczyzny tej pary na płaszczyźnie przecięcia uważanego jest równoległy do średnicy sprzężonej z osią obrotu w elipsie środkowej bezwładności, a jej moment jest proporcyonalny do kąta wygięcia odniesionego do jednostki długości ~ , do iloczynu El, to jest do mo-

JU

mentu bezwładności przecięcia względem osi obrotu i odwrotnie proporcyonalny do wstawy kąta ß.

Ale widoczną jest rzeczą, iż układ sił zewnętrznych określony na początku bieżącego ustępu może wywołać wygięcie we wszystkich kierunkach, w skutek czego oś belki pierwotnie prosta zamieni się na linię krzywą w przestrzeni. Ograniczając się w niniejszym wykładzie na samem tylko wygięciu plaskiem, przypuścimy nadal, że wszystkie siły zewnętrzne leżą w jednej płaszczyźnie przez oś belki przechodzącej i że płaszczyzna ta dzieli belkę na dwie części symetryczne. W takim razie natężenie W działa w pomienionej płaszczyźnie, jak również i para M, bo skoro jej ślad na przecięciu jest osią symetryi, przeto oś obrotu pary będzie drugą osią symetryi, to jest linią prostopadłą do uważanej płaszczyzny. Pod działaniem sił W i M każdy punkt włókna środkowego

CZgŚG I. — PRĘT5f PROSTE AI.UO BERKI.

100

przebieży drogę leżącą w płaszczyźnie sił zewnętrznych, a więc włókno to pozostanie plaskiem po odkształceniu.

Powyższe określenie położenia sił zewnętrznych i symetry-czności brył wyginanych ma wielkie zastosowanie w praktyce, bo części wchodzące w skład budowli metalicznej lub drewnianej maję zazwyczaj kształt graniastosłupów prostych o przecięciu prostokątnem, kołowem lub innem symetrycznem, a siły zewnętrzne przechodzę zazwyczaj przez ich płaszczyznę symetryi. Oś obrotu jest wtedy prostopadłę do osi symetryi i zwie się osia wygięcia.

33. O zarzutach robionych powyższej teoryi zgięcia. — Teorya podana w poprzedzajęcym ustępie polega na kilku przypuszczeniach, z których dwa dotyczęce zjawisk wywołanych przez odkształcenie sę następujęce :

1° Że przecięcia pierwotnie płaskie i prostopadłe do włókna środkowego pozostaję płaskiemi po wygięciu i normalnemi do włókna środkowego odkształconego ;

2° Że włókna składowe bryły zachowuję się w ten sam sposób, jakby były zupełnie odosobnione i niezależne jedne od drugich.

Otóż pomimo kilku doświadczeń, które zdaję się przemawiać za pierwszem z tych przypuszczeń, można uważać za rzecz pewnę i dowiedzionę (*), że oba przypuszczenia sę fałszywe w zasadzie. Przecięcia poprzeczne graniastosłupa prostego zamieniają się po wygięciu na powierzchnie krzywe, z lekka pochylone do włókien je przecinających, a przesuwanie względne dwóch włókien sąsiednich wywiązuje pewnego rodzaju tarcie w kierunku podłużnym. Na szczęście błędność tych przypuszczeń nie pociąga za sobą żadnych złych następstw ze względu na dokładność teoryi. Pochodzi to ztęd, że

owo przesuwanie się włókien nie wpływa na natężenie tychże elementów, i że wszystkie przecięcia płaskie zamieniają się na jednakowe powierzchnie krzywe, gdy graniastosłup jest jedno rodny, lub przynajmniej symetryczny do włókna środkowego pod względem sprężystości (*), ztąd wypada bowiem, że części włókien mn (fig. 27) zawarte między przecięciami krzywemi ab, a₁bv maja tę sarnę długość i wydłużają się tak samo, jak włókna mxnx zaw⁷arte między przecięciami płaskiemi i normałnemi do włókna środkowego.

Dodać jeszcze należy, że ciała użyte do budowli podlegają w ogóle bardzo małym odkształceniom, i że zmiana temperatury wywiera na nie wpływ bardzo nieznaczny. I tak np. żelazo wydłuża się o 0,001 swej pierwotnej długości, gdy jest

Fig. 27.

wyciągane z natężeniem 20 kilogramów na milimetr kwadratowy przecięcia, co jak wiadomo ma bardzo rzadko miejsce w praktyce, a gdy temperatura zmienia się o 30°, ciało wydłuża się lub skurczą o 0m,000366 na metr długości. Inne ciała zachowuję się w podobny sposób. Ponieważ więc każde włókno ulega w⁷ rzeczywistości małej zmianie, przeto i cała bryła odkształca się nieznacznie (z warunkiem, że jej długość nie jest bardzo wielka), a tem samem pomienione błędy teoryi za niebyłe uchodzić mogę.

34. Włókna obojętne, doświadczenia sprawdzające powyższą, teoryę zgięcia — Wypada z poprzedza-

(*) Patrz -w przytoczonej» dziel# Saint-Venant’*.

CZĘŚĆ I. — PRĘTY PROSTE ALBO BELKI.

102

jącego, że włókna pręta zginanego wydłużają się po stronie wypukłej, a skurczają po stronie wklęsłej, i że włókna przechodzące przez oś obrotu przecięcia, a graniczące równocześnie z częścią gniecioną i rozciąganą zachowują się obojętnie, to jest nie zmieniają swej pierwotnej długości. Włókna te nazywać będziemy włóknami obojetnemi, a ich płaszczyznę płaszczyzną włókien obojętnych.

Już Galileusz przypuszczał w swej teoryi wytrzymałości (*), że wszystkie włókna wydłużają się począwszy od strony wklę' słej, ale Mariotte (**) wystąpił z nową teoryą, w której dowiódł istnienia włókien obojętnych wewnątrz belki. Dla dojścia prawdy Duhamel de Monceau (***) przedsięwziął szereg doświadczeń na belkach drewnianych leżących na

ł ł

dwóch podporach i przeciętych w poprzek aż do - ? -

ich grubości począwszy od wierzchu. Belki te łamały się prawie pod takiem samem obciążeniem jak belki nieprzecięte, co dowodzi, że włókna położono po stronie wklęsłej skurczają się podczas wygięcia.

Doświadczenia te zostały poparte późniejszemi poszukiwaniami sławnego geometry Dupin’a (****), a następnie doświadczeniami Duleau’a (*****), Fairbairn’a, Hodgkinson’a, Clark’a i innych. Pokazało się, że w chwili pękania prętów surowcowych wychodzi klin krzywolinijny ze środka części wklęsłej, i że belki z blachy żelaznej pełne lub wydrążone łamią się albo wskutek zerwania włókien leżących po stronie wypukłej, albo zgniecenia włókien leżących po stronie wklęsłej, a to stosownie do tego, czy kształt belki zapewnia większą wytrzyma-

(*) Opere di Galileo Galilei, t. III, str, 63, art. SS6 wydania z roku 1744,

(**) Œuvres complètes, cinquième partie, deuxième discours.

(***) Du transport, de la conservation et de la force des bois, Paris, 1767.

(****) Mémoires de l’Académie des Sciences, 1843.

(*****) Eesai théorique et expérimental sur la résistance du fer forgé. Paris, 1820, p. 2 et 3.

łość przeciw zgnieceniu, jak przeciw urwaniu. Wszystko to dowodzi, że włókno obojętne nie znajduje się u spodu belki.

Dotąd nie zajmowano się ani dokładnem oznaczeniem położenia włókna obojętnego, ani szukaniem stosunku wydłużenia do skurczenia. Pierwsze w tym względzie doświadczenia robili Morin i Richard w Konserwatoryum Sztuk i Rzemiosł w Paryżu; gdy jednak wypadki znalezione nie zyskały wiele ufności w skutek niedokładnych sposobów badania, uczeni ci przedsięwzięli ⁸ w roku 1856 nowy szereg doświadczeń bardzo licznych i dających wzelką rękojmię ścisłości. Kolejno wyginano belkę jodłową, dwie belki dębowe, belkę żelazną kształtu litery I, i wreszcie belkę surowcową tegoż kształtu o tablicach równych i nierównych. Poszukiwania te dowiodły zgodnie, że w granicach wygięcia sprężystego :

1° Skurczenie włókien po stronie wklęsłej równa się wydłużeniu po stronie wypukłej ;

2° Skurczenia i wydłużenia są proporcyonalne do obciążenia belki.

Wyniki te odnoszą się do belki o przecięciu pionowem symetrycznem, to jest takiem, którego środek ciężkości znajduje się w połowie wysokości belki. Go się tyczy belki surowcowej o tablicach nierównych, wydłużenia i skurczenia są proporcyonalne do odległości ściany wypukłej i wklęsłej od środka ciężkości przecięcia (⁸).

Rozbierając szczegółowo doświadczenia Dupin’a znajdujemy w nich najzupełniejsze potwierdzenie zasad powyżej przytoczonych; co więcej spostrzegamy, że wygięcie belek leżących na dwóch podporach i w środku obciążonych jest proporcyonalne do obciążenia, do sześcianu z długości belki, a odwrotnie proporcyonalne do momentu bezwładności przecięcia ;

następnie, że wygięcie sprawione obciążeniem jednostajnie na

5

całej belce rozłożonem równa się - wygięcia, które wy wo*

łuje takiż sam ciężar w środku belki zawieszony. Otóż do tych wyników dojdziemy nieco później, gdy przyjdzie traktować szczególne przypadki wygięcia drogę czysto teoretyczny; zatem prawdziwość teoryi jest zupełnie dowiedziony.

35. Równanie różniczkowe włókna obojętnego po odkształceniu ciała. — Wyobraźmy sobie graniastosłup majycy włókno obojętne A₀A„ (fig. 28) i przetnijmy go płaszczyznami a₀b₀, aj)u.. .anbn prostopadłcmi do A₀An, a bardzo blizko siebie położonemi. Gdy znamy ruch bezwzględny pła-

a₀ %

A.

bil

Fig. 28.

szczyzny a₀b₀ znajdziemy ruch bezwzględny przecięcia ayb^ skfo-dajyc jego ruch względny z ruchem bezwzględnym pierwszego przecięcia. Tak samo ruch bezwzględny któregokolwiek przecięcia ab wypada ze złożenia ruchu bezwzględnego przecięcia a₀b₀ z ruchami względnymi wszystkich przecięć zawartych między A₀ i A. A więc i zboczenie punktu A będzie wypadkowy zboczeń sprawionych przez każdy z tych ruchów osobno (*).

Widzimy więc, że ty drogy możnaby oznaczyć kształt włókna obojętnego po odkształceniu sprawionem przez dane siły ze-

(*) Gdyby można było wykreślić geomelrycznie linie przedstawiające ruch wypadkowy któregokolwiek przecięcia ab, możnaby łatwo oznaczyć zboczenie punktu A. Otóż, jak widzieliśmy, ruch płaszczyzny ab wypada ze składania ruchu przecięcia a₀b₀ ze wszystkimi ruchami względnymi przecięć zawartych między a₀ó₀ i ab, to jest z liczbę, ruchów nieskończonę, co jest do zrobienia niepodobnem. Ale trudność tę można usunęć dzielęc graniastosłup A₀'A płaszczyznami poprzecznemi na części dostatecznie małe, ale w liczbie skończonej i uważać każdę z nich jako element graniastosłupa nieskończenie mały co do długości.

wnętrzne. Wskażemy jednak innę drogę prowadzęcę łatwiej i prościej do celu.

Weźmy za oś odciętych włókno obojętne pierwotne, a za oś rzędnych linię prostopadły leżęcę w płaszczyźnie symetryi. Jeżeli przypuścimy, że przecięcie przechodzące przez punkt x,y, pozostaje prostopadłem do włókna odojętnego nawet po odkształceniu, to kęt obrotu będzie równy kętowi, jaki tworzy styczna do włókna odkształconego z włóknem pierwotnem.

Otóż styczna tego kęti jest a że odkształcenie jest zwykle

dU

bardzo małe, przeto można go zastępie styczna . Kęt obrotu przecięcia położonego na odległości dx od uważanego punktu x,y, będzie więc ^ +^Ądx, a kęt wzajemny tych dwóch prze-

cięć sęsiednich będzie -\-⁽^Ądx^—⁽^- czyli    Zatem

d~y

dx²

dx jest kętem obrotu względnego dwóch przecięć sąsiednich, to jest kętem ich względnego wygięcia. Obrót ten wywołuje parę sił międzyczęsteczkowych, której moment jest według tego co powiedziano w ustępie n. 32 :

aEI

gdzie L -=dx, ß =• 00°, a a kęt obrotu '—dx. Mamy więc :

CO

M=EÓ.

dar

Oto jest równanie różniczkowe włókna obojętnego po odkształceniu graniastosłupa. Wyrażenie to pokazuje, że moment zgięcia M jest dodatni, gdy ^ jest dodatnie, to jest gdy

CZ£ŚC I. — PBÇTY PROSTE ALBO BELKI.

106

^ wzrasta równocześnie z odciętę x. Otóż skoro rośnie, to

dPP    ajj    ,

znaczy, że styczna włókna obojętnego pochyla się coraz więcej do osi x, to jest że przecięcie poprzeczne pochyla się ku osi y ; a więc gdy się uważa część pręta leżęcę po prawej stronie danego przecięcia, wygięcie polega na obracaniu w kierunku od osi x dodatnich ku osi y dodatnich. Zatem moment M powinien być uważany za dodatni, gdy stara się sprawić obrót w kierunku od x do y. Przeciwnie, gdy się uważa część pręta le-żęcę po lewej stronie danego przecięcia, moment zgięcia ma znaki zupełnie odwrotne.

Powyższe równanie (1) daje się przedstawić winnym kształcie. Promień krzywizny włókna obojętnego jest

¹

Według Hodgkinson’a współczynnik sprężystości dla żelaza jest większy o li» 0/0 .w gnieceniu jak w rozciąganiu, a 8 0/0 dla surowca.

²

Patrz Rapport sur les épreuves du viaduc de Tarascon ( Annales des Ponts et Chaussées, 1884) par Collot-Meygret et Desplaces.

³

Experimental researches on the strength and other properties of cant iron, 1842.

⁴

Report of the seventh meeting of the British association for the advaneemont of Science, held at Liverpool, 1837, vol. VI.

⁵

Leçons de Mécanique appliquée à l’Ecole des Ponts ef Chaussées par Navier, 1833.

⁶

Recherches expérimentales sur la chaux de construction, les-bétons et les mortiers, 18)8. — Résumé des connaissances positives sur les mortiers, etc., 1828. — Recherches expérimentales sur les phénomènes qui précèdent et accompagnent la rupture d’une certaine classe de solides, 1833.

⁷

Patrz także w Zeitschrift des resterr. Ingenieur- und Archifectenvereinet ex I S65, 1866,

⁸

Opis doświadczeń Morin’a i tablice streszczające ich wypadki znajdują się na stropach 124-137 jego Résistance des Matériaux, wydaniu drugiem, z roku 1857.

t€>]CC

/äY"¹

\dx J

d-y

dxi

a że

'rfy

dx

jest bardzo małe w obec jedności, przeto możemy

EJ

napisać

dxl

zkad wypada

(2)

Szukajmy teraz natężenia R punktu położonego na odległości u od osi obrotu, a leżęcego na płaszczyźnie uważanego przecięcia. Wiadomo z ustępu n° 32, że natężenie całkowite elementu w (dodatnie lub odjemne), jest

■j, OLU

p — Ew —

gdzie a oznacza kęt względnego wygięcia dwóch przecięć sąsiednich, a L długość włókna obojętnego między temi przecięciami. Otóż skoro Ł = ap, gdzie p oznacza jak poprzednio promień krzywizny włókna, przeto

17! U

p ■=. Ew -,

a ztęd znajdziemy natężenie na jednostkę powierzchni elementu w zawierającego punkt uważany :

(3)

ß_p Eii

Uważmy teraz, że na zasadzie równania (3) mamy

i że w skutek tego wyrażenie (2) zamienia się na

(4)

R1

M =—

Otrzymaliśmy więc trzy kształty momentu zgięcia M, a mianowicie

Ał ru d V El El

M = El -2₌---

dx- p

Pierwsze z tych wyrażeń służy do oznaczenia kształtu włókna obojętnego po odkształceniu, drugie daje jego wartość dokładnę, a trzecie oznacza natężenia podłużne w jakimkolwiek punkcie przecięcia.

36. Podłużne i poprzeczne natężenie włókien. —

Siły zewnętrzne działające prostopadle do osi graniastosłupa wywięzuję w każdem włóknie natężenia podłużne i poprzeczne. Natężenia podłużne powstaję z obrotu pary sił, której moment jest M, a natężenie poprzeczne jest oddziaływaniem

CZĘŚĆ I. — PRĘTY PROSTE ALBO BELKI.

108

cząsteczek na siłę wypadkowy W przeniesiony do uważanego przecięcia. Wiadomo z poprzedzajycego ustępu, że wysiłek podłużny na jednostkę powierzchni jest

Mm

T’

natężenie zaś poprzeczne jest równe summie sił zewnętrznych działajycych między uważanem przecięciem i jednym z końców graniastosłupa, to jest wyraża się na jednostkę powierzchni przez

as

gdzie W oznacza summę pomienionych sił zewnętrznych, a ß powierzchnię przecięcia poprzecznego.

Ponieważ w wyrażeniu R = ^ ilość R jest tem większa, im

większe jest w, przeto przy obliczeniu natężenia wywołanego momentem zgięcia przyjmuje się zwykle największy wartość zmiennej u. Tę największy wartość w dalszym ciygu wykładu litery v oznaczać będziemy. Mamy więc

Mu

Uważmy teraz, że każdemu przecięciu odpowiadajy dwa wysiłki poprzeczne, równe sobie co do wielkości, a przeciwne co do znaków. Wyobraźmy sobie dla przykładu belkę A B (fig SB) leżycy na podporach poziomych k — l, k, k-4-1,... i jednostajnie obciyżony. Przecięciu a zrobionemu między dwiema podporami odpowiadajy dwie siły poprzeczne: jedna W równa summie HF wszystkich sił zewnętrznych działajycych prostopadle na część belki «B, i druga W' równa summie 2F' wszystkich sił na aA działajycych. Otóż gdy równowaga istnieje, 2F musi być równe 2F', a więc i W musi być równe W'.

Ale natężenia te nie sa sobie równe, gdy zamiast przecięcia a uważamy przecięcie zrobione na podporze np. na podporze k ; w tym bowiem punkcie działa jeszcze inna siła odosobniona O/c, zwana oddziaływaniem podpory. Jeżeli oznacza summę sił po prawej stronie podpory, a Wft' summę sił po stronie lewej, to powinniśmy mieć

w, - w,'= o,,

co pokazuje, że oddziaływanie podpory na belkę na niej spoczywającą jest równe co do bezwzględnej wartości różnicy wysiłków odpowiadających jednej i drugiej stronie przecięcia. W ogóle natężenia poprzeczne zmieniają nagle swe wartości w przejściu przez punkta, do których s§. przyczepione siły skończone, a ich różnica jest równa natężeniu tej siły odosobnionej.

•W

ÆL

A,

Mi.i

-Ł-

V

'W'

■vł'

-wl

.jfcu

Fig. 29.

Szukajmy teraz związku, jaki zachodzi między momentem zgięcia a natężeniem poprzecznem. Oznaczmy przez

P którakolwiek z sił zewnętrznych działających prostopadle do włókna obojętnego ;

a odległość punktu przyczepienia siły P od pewnego punktu obranego dowolnie na włóknie obojętnem ;

x odległość przecięcia uważanego od tegoż punktu.

Wypada z określenia momentu zgięcia i natężenia poprze-

(O

a więc

cznego, że

M = ±2P(a— x)

w=±2P.

dM

dx

Natężenie poprzeczne jest więc równe (co do bezwzględnej wartości) pochodnej momentu zgięcia względem odciętej.

Powyższe dowodzenie stosuje się nie tylko do graniastosłu-pów osadzonych albo wolno na dwóch podporach spoczywających, ale także do belek o dowolnej liczbie podpór. Nawet siły P mogą być ukośne względem włókna obojętnego, bo ich składowe podłużne nie wpływają na wartości M i W. Zresztą twierdzenie to odnosi się także do przypadku, w którym Włókno obojętne jest krzywą leżącą w tej samej płaszczyźnie, co i wszystkie siły zewnętrzne. Uważmy dwa przecięcia odległe od siebie o ilość nieskończenie małą ds i przypuśćmy, że jednemu z nich odpowiada moment M i natężenie poprzeczne W. Wyobraziwszy sobie graniastosłup prosty, którego włókno obojętne leży w przedłużeniu elementu ds, a który znosi to samo obciążenie, co ciało krzywe, mamy na zasadzie równania (1) :

<*M±W<fe=0*

Otóż ilości ć/M i W są takie same w belce prostej jak w krzywej, bo te ostatnie mają dwa wspólne przecięcia i podlegają działaniu tych samych sił; zatem poprzedzające równanie stosuje się także do belki krzywej.

37. Sprawdzanie wytrzymałości. — Wiadomo, że gdy belka jest poddana działaniu sił prostopadłych do włókna

obojętnego i zawartych w jednej i tej samej płaszczyźnie, wyradzają się trzy odmiany działań międzyczysteczkowych, mianowicie : natężenia poprzeczne i natężenia podłużne, dodatnie i odjemne utworzone z momentu zgięcia. Każdemu punktowi odpowiada w ogóle działanie pierwszego rodzaju i jedno z działań drugiego. Otóż doświadczenie uczy, że natężenia podłużne i poprzeczne nie powinny przechodzić pewnych granic na jednostkę powierzchni, mianowicie :

R' co do natężeń poprzecznych ;

R co do natężeń podłużnych, dodatnich lub odjemnych.

Należy więc przekonać się, czy maximum trzech pomienio-nych działań międzyczysteczkowych sy mniejsze albo co najwyżej, równe granicom R, R'. Przedewszystkiem rozróżnić trzeba trzy następujące przypadki :

Przypadek pierwszy. — Przecięcie belki jest stałe i symetryczne względem osi wygięcia. — W tym razie bada się najprzód zmianę momentu M i natężenia W przechodząc od jednego przecięcia do drugiego; poczem wyszukuje się największe wartości bezwzględne M wypadajy największe natężenia na jednostkę powierzchni (ust. n° 36) :

max

max •

Na zasadzie tych danych

Mmax TM

21

«a?

12

gdzie m oznacza wysokość belki mierzony prostopadle do osi

ÏÏI

obrotu, gdyż — jest największy wartościy jakiej dosięgnyć

może ilość zmienna u. Równania warunkowe wytrzymałości danej belki sy wiec

M

^Lmax

m ^ p    W maź / p -

2I~= ’ 1T =

Przypadek drugi. — Przecięcie belki jest stałe, ale niesyme-

CZĘŚĆ I. — PRÇTy PROSTE At.BO BELKI.

112

tryczne względem osi wygięcia. — Pod względem natężenia poprzecznego warunki stałości sy takie same jak w przypadku poprzedzającym; za to warunki odnoszące się do natężeń podłużnych sy zupełnie inne. Wyobraźmy sobie, że włókno obojętne jest osiy odciętych, że prostopadła do tego włókna jest osiy rzędnych i nazwijmy

największy moment zgięcia dodatni (¹),

max

największy moment odjemny,

u+max największy odległość elementów przecięcia od osi obrotu po stronie y dodatnich,

U—max

największy odległość po stronie y odjemnich.

Moment M+OTa;t; zgniata włókna leżyce po stronie y dodatnich a rozciyga po stronie przeciwnej, to jest wywołuje na jednostkę powierzchni największe ciśnienie M+maxU±max i największe M-f —

rozciyganie

max

. Takie sy największe natężenia po-

dłużne wywołane przez momenta'zgięcia dodatnie. Podobnież największe natężenie podłużne zrodzone przez moment odjemny

M—max^+max

sy : gniecenie

M_

max M—max

i rozciyganie

. Ozna-

czajyc maximum bezwzględne tych czterech ilości przez

, otrzymujemy następujyce warunki stałości:

^max^max

(2)

^max^max

<R,

^<1V.

Przypadek trzeci. —- Przecięcie jest zmienne. —Temu przypadkowi odpowiadajy warunki (1) lub (2) stosownie do tego, czy przecięcie jest symetryczne czy niesymetryczne, że jednak

Wmax, zmieniają się od jednego punktu belki do drugiego, przeto pomienionc warunki powinny być sprawdzone dla dostatecznej liczby przecięć.

maxi ma M

maxi W maxi

Trudniejszem od powyższych zadań jest obrachowanie wymiarów belki mającej znosić dane obciążenie. Najprzód zdarzyć się może, że siły zewnętrzne zależą w części od wymiarów szukanych. I tak np. w przypadku belki leżącej na kilku podporach Statyka daje tylko dwa równania dotyczące oddziaływań podpór, a inne związki wyrażamy w funkcyi wygięcia belki. Zresztą pominąwszy już tę trudność, nie znamy ilości ß, I, m, u+max u_max, a więc nie możemy stosować ogólnych warunków (1) i (2). Pozostaje tylko droga przybliżeń stopniowych na tein polegająca, aby wymiary belki uważać za znane i sprawdzać równania warunkowe wytrzymałości, .aż do chwili, gdy przypuszczone wymiary czynią im zadość. Wymiary te powinny podlegać krytyce konstrukcyi i wymagań sztuki inżynierskiej, krytyce opartej na doświadczeniu, poczuciu i przykładach godnych naśladowania.

38. O kształcie belek ze względu na ich wytrzymałość. — Natężenie poprzeczne na jednostkę powierzchni nie zależy od wymiarów poprzecznych belki, gdy przecięcie jest jednorodne i niezmienne pod względem powierzchni (*); kształt przecięcia nie wpływa więc na wytrzymałość poprzeczną belek wyginanych. Przeciwnie pod względem momentu zgięcia wytrzymałość belki zależy od jej kształtu. Ponieważ natężenie podłużne włókien jest (ust. n. 36)

11 =

Mc

X’

(*) Cała teorya wygięcia prostego wyłożona W niniejszein dziele polega na przypuszczeniu bezwarunkowej płaskości przecięć, który to warunek pociąga za sobą niezmienność natężeń poprzecznych w różnych elementach jednego i tego samego przecięcia. Natężenia poprzeczne rozkładają się inaczej na przecięciach mogących skrzywić się w skutek wygięcia, ale rozbieranie tego przypadku byłoby zbytecznem, gdyż belki używane w praktyce wyginają się bardzo mało.

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERYAŁÓW.

LZĘSĆ I. — PRĘTY PROSTE ALKO BELKI.

Ht

przeto natężenie na jednostkę powierzchni jest lem mniejsze, im mniejsze jest-. Otóż ß jest stałe, zatem j zależy od kształtu przecięcia.

Weźmy za przykład czworobok, którego podstawa jest n, a wysokość m. Mamy (ust. n. 10) :

I — nm³ = ~ ßm*,    *

a z Ląd

- = - nm* = v 6    9

gdzie 12 oznacza powierzchnię czworoboku. Ilość - , a tern samem wytrzymałość belki jest więc proporcyonalna do m, gdy ß jest stałe. Z tego to powodu belki czworograniaste drewniane i metalowe są zawsze szersze w kierunku pionowym, jak po-

Tl

ziomym. Dla drzewa przyjmują zwykle stosunek — = 0,7, adla metalów jeszcze mniej.

Gdy przecięcie belki jest elipsą o osiach n i m, mamy

I =———wm⁹,

4.16

v 2.16

TT    3)

— nmŁ —

7imn

cci S

,    .    — -lim.

4    8

Zatem w porównaniu z czworobokiem mającym te same ß im, belka eliptyczna jest niekorzystna, bo odpowiadający jej

współczynnik - jest mniejszy od -.

8 6

W celu powiększenia stosunku - obmyślano belki kształtu 1

złożone z dwóch tablic poziomych i jednej pionowej duszą zwanej. Gdy dusza jest cienka w porównaniu z tablicami po-ziomemi, można przyjąć w przybliżeniu

(A

iw

i-i i a

w\

iw

gdzie m oznacza odległość wzajemny środków ciężkości obu tablic poziomych. Belki tego kształtu są znacznie mocniejsze od

I    1

poprzednich, bo współczynnik wyrażenia - jest tu

Ponieważ wytrzymałość jest proporcyonalna do ß i do m, przeto nawet w przypaku, gdy Q jest dosyć małe, można nadać belce moc żądaną obierając m dostatecznie wielkie i redukując odpowiednio jej szerokość. Nie trzeba jednak przesadzać w stosowaniu tego rodzaju twierdzeń teoretycznych, bo niezawiśle od względów praktycznych teoryą nieobjętych, istnieję jeszcze warunki wytrzymałości przeciw natężeniu poprzecznemu, które jak wiadomo wywołuje na jednostkę powierzchni natężenie

il

tein większe, im mniejsze jest Ü. Zatem przecięcie belki nie może być zbyt małe.

Dodać jeszcze należy, że tak wzory powyższe, jak w ogóle cała teorya w bieżącym rozdziale wyprowadzona jest tylko wtedy prawdziwa, gdy wygięcie jest proporcyonalne do obciążenia, gdyż po zą granicami tej proporcjonalności zjawisko wygięcia nie zgadza się z zasadniczemi przypuszczeniami teoryi. Rozbierając np. doświadczenia Hodgkinsona nad rozciąganiem i zgniataniem kruszców widzimy, że jakkolwiek przyrosty długości są w pewnych granicach proporcyonalne do obciążeń i niemal sobie równe, co prowadzi do

CZĘŚĆ 1. — PRĘTY PROSTE ALBO BELKI.

wniosku, że i wytrzymałości w ściskaniu i w rozciąganiu są także sobie równe w tychże granicach, — to znowu po za ich obrębem nie ma już mowy o jednakowej wytrzymałości. W tym razie surowiec opiera się lepiej zgniataniu jak rozrywaniu, a żelazo zachowuje się wprost przeciwnie, zkąd wnosić można, że włókno obojętne nie pozostaje w tem samem miejscu we wszystkich stopniach wygięcia i że posuwa się coraz to więcej ku stronie, której wytrzymałość jest większa. Każdemu nowemu położeniu włókna obojętnego odpowiadają inne warunki równowagi, w których wytrzymałości przeciw ściskaniu i rozciąganiu przyjmują zmienną wartość, a że prawo tej zmienności nie jest wcale znane, przeto niepodobna jest w tym razie myśleć o teoryi dokładnej i uniknąć wzorów czysto empirycznych polegających na doświadczeniu.

ROZDZIAŁ II

RELKÏ 0 JEDNEJ I O DWÓCH PODPORACH

39. Określenia. —- Zadania będące przedmiotem niniejszego rozdziału polegają na znalezieniu odkształcenia, momentu zgięcia i natężenia poprzecznego w jakiemkolwiek miejscu belki w jednym albo w dwóch punktach podpartej. Dane są : wymiary belki, siły zewnętrzne i rodzaj podpór. Gdy belka jest pozioma, siłami zewnętrznemi (nie licząc oddziaływania podpór) mogą być np. ciężary jednostajnie rozłożone na całej lub na pewnej długości belki, ciężar własny belki albo też jakiś ciężar odosobniony. Go się zaś tyczy rodzaju podpór, to te mogą być albo zwyczajne służące do podtrzymania belki od spodu, albo też do zupełnego umocowania jej końców, jak np. otwory zrobione w murze lub innej bryle nieruchomej ; ta zaś między niemi zachodzi różnica, że gdy w belce wolno leżącej włókno obojętne może się pochylać względem swego pierwotnego po-

KSIĘGA II. WYGIĘCIE PROSTE. I ZŁOŻONE. — ROZDZIAŁ II.

łożenia na podporze, to znowu w belce osadzonej nie zbacza nigdy ze swego położenia w pobliżu podbory. Zresztę w pierwszym przypadku każda podpora daje tylko jedno oddziaływanie O, podczas gdy w drugim oddziaływanie każdej podpory składa się z dwóch sił 0 i Oj przeciwnych co do kierunku (fig. 30).

Jeżeli przeniesiemy siłę Oj do punktu przyczepienia siły O, to układ sił oddziaływujących sprowadzi się do :

1° Siły pionowej O — 01?

2° Pary sił (OjOj).

Moment tej pary nazwiemy momentem osadzenia i oznaczymy go głoska u.

K/W\j

-o*

J-'VvN

Fig. 30.

Siła O — Oj jest skierowana z dołu do góry albo z góry na dół, stosownie do tego, czy wypadkowa sił zewnętrznych idzie ku dołowi lub ku górze, a para sił (OiOJ zmienia także swój kierunek stosownie do znaku wypadkowej. Maj^c więc dane siły zewnętrzne, można określić bez trudności znak momentów sił oddziaływających względem danego punktu belki.

40. Belka leżęicana dwóch podporach, jednostajnie obciążona. — Niechaj AB (fig. 31) oznacza włókno środkowe belki leżącej wolno na dwóch podporach A i B ustawionych do jednego poziomu. Oznaczmy przez:

a jej długość ;

CZĘŚĆ I. — PRĘTY PROSTE ALBO BELKI.

H8

p ciężar jednostajnie rozłożony na jednostkę długości belki;

ß powierzchnię przecięcia poprzecznego ;

I moment bezwładności tego przecięcia względem poziomej leżącej w jego płaszczyźnie a przechodzycej przez środek ciężkości ;

x odległość jakiegokolwiek przecięcia od punktu A;

i Wmax największy moment zgięcia i największe natężenie poprzeczne;

ymax największy strzałkę belki wygiętej ;

B i R'natężenie podłużne i poprzeczne odniesione do jednostki powierzchni.

Przypuściwszy, że oddziaływania sy pionowe, co zwykle ma miejsce, możemy oznaczyć ich natężenie na zasadach Statyki elementarnej. Ponieważ ciężar pa jest rozłożony jednostajnie

—.....X

f,

Fig. 31,

na całej belce, tak że obie połówki przęsła sy do siebie zupełnie symetryczne, przeto oddziaływania podpór sy także jednakowe i równajy się połowie ciężaru całkowitego, to jest .

«

Obliczmy moment zgięcia i natężenie poprzeczne w jakiem-kolwiek przecięciu. Wiadomo, że moment zgięcia jest równy summie momentów statycznych wszystkich sił działajycych między uważanemprzecięciem i końcem A; jeżeli więć.£ozna-

KSIĘGA II. WYGIĘCIE PROSTE I ZŁOŻONE. — ROZDZIAŁ It.

cza tę odległość, to mamy (*)

i 19

(1)

M=^x~P^=^P(ax —

a ztad wysiłek poprzeczny (ust. n. 36)

(2)

dM

Równanie (ł) pokazuje, że moment zgięcia M jest propor-cyonalny do rzędnej paraboli, której równanie jest

gdzie A jest współczynnikiem stałym zależnym od skali rzędnych. W punktach A i B, to jest w punktach a?=0, x=a, moment zgięcia jest równy zeru, a w punkcie ^^=~,tojestw_ o-łowie belki dosięga największej wartości

Według równania (2) natężenie poprzeczne W jest prcpor-cyonalne do rzędnych linii prostej

b y=p( —«y

gdzie B jest także współczynnikiem zależnym od skali rzędnych. W połowie długości belki, to jest dla x = |

A

W jest równe zeru, a zaś w punktach A i B manajwiększę wsr-

natężenie

(*) Należy pamiętać przy obliczaniu momentu zgięcia, że według tego co powiedziano w ustępie n. 35, moment sity zewnętrznej jest dodatni, gdy ta siła przeniesiona do uważanego przecięcia stara się wygięć belkę od x do y.

tość

w    —-4- ta.

’ ' m aX — —

Łatwo jest znaleźć wysiłek belki na jednostkę powierzchni uważanego przecięcia; wiadomo bowiem z ustępu n. 36, że w skutek wygięcia natężenie każdego włókna na jednostkę powierzchni jest

Mc

T’

w po dłuż R —

w poprzek R == —,

Sh

Ilości R i R' zależę od M i od W, jeżeli więc wstawimy = ^pa\ i W = W

M=M

max

max —

—    otrzymamy najwięk-

sze natężenia

cc i—

~ł> 2

Oznaczmy teraz kształt włókna obojętnego po odkształceniu, a w tym celu użyjmy wzoru (1) ustępu n. 35. Mamy

zkad otrzymamy po zcałkowaniu

El

El {y - ./-s I *)=—pa.r*— — px*, 12    , 24

Stała st.cp oznaczymy na mocy warunku, że dla    mamy

Równanie przedostatnie zamienia się wtedy na

El (- st.cp) = ~prr — ± pa*,

zkąd

>t. (&    -

Zatem równanie włókna obojętnego jest

y=

Ł j|[— asx-h2axs~a?⁴],

zkąd wypada, że strzałka belki po wygięciu, to jest wartość rzędnej y odpowiadająca odciętej x — ⁽~ jest

y max--

5 pd"

384 1T

41. Belka leżąca wolno na dwóch podporach, w je-dnem miejscu obciążona.—Przypuśćmy, że belka leżąca swobodnie na podporach A i B jednego poziomujest obciążona w punkcie G ciężarem P, i nazwijmy :

a jej długość ;

b odległość punktu przyczepienia siły P od podpory A ;

O i O' oddziaływania podpór A i B;

inne zaś ilości oznaczmy temi samemi literami, co w poprzedzającym ustępie.

Oddziaływania O i O' wypadają z równań momentów sta*

CZĘŚĆ. I. — PRĘTY PROSTK ^LBO BELK..

tycznych względem punktu B i A. Marny (fig. 32) 0.a = P(a — b),

zk§d

0=P -

W podobny sposób znajdujemy

0'=P-.

Między punktami Ai G moment zgięcia jest Ox, alboP^--

a natężenie poprzeczne P -—- (ust. n. 36); między punktami

—b

G i B moment zgięcia wynosi (kr — P(a?—b) = P-

p b

- P(æ* — b), a natężenie poprzeczne——•

0;

A.i

Ib

-a?

Fig. 32.

Zatem moment zgięcia belki AB może być przedstawiony przez rzędne dwóch prostych AK i KB przechodzących przez punkta A i B, a przecinających się z sobg. na wysokości

b ponad punktem przyczepienia siły P. W tern miejscu moment zgięcia jest największy.

CK= P-

których różnica jest P

Natężenie poprzeczne jest stałe w części AC; w punkcie C P(q — b) . _Pb

ma ono dwie wartości

T’

(ust. n. 36) ; a w części CB ma znowu inną stałą wartość. Uważając więc natężenia poprzeczne jako rzędne odpowiadające odciętym x otrzymujemy dwie linie równoległe do włókna obojętnego, jak to widać na figurze.

Ażeby oznaczyć kształt włókna obojętnego po odkształceniu, użyjemy znowu wzoru

m=eÆ;,

dxl

który daje dla części AC

0,ï=EiL dx~

a dla części CB

(O —Pte+P6=ElÄ

dxl

Całkując te równania otrzymujemy najprzód z pierwszego

0)

dy

EI^ = 0 dx

(2)

xA

Ely — O — H- Ca.“ -t- C ,

a następnie z drugiego

(3)

El aJ

₌ (0~P)l+Pk4C"

Ja

El// = (O — P) ^ -t- Vb X1 a- C»x + C'".

dx

Ilości C, C , C", C", wchodzące w skład powyższych równań

CZĘŚĆ I. — PRĘTY PROSTE ALBO BELKI.

124

mog§ być wyznaczone na zasadzie następujących danych : 1°, dla x=0 i dla x=a, y jest równe zeru ; 2°, dla x — b, obie-

dwie części belki musza mieć jednakowe y i jednakowe

Mamy wiec

Vlr P b

C' = 0, G"' =

P», G- V

¹

Uważamy moment zgięcia za dodatni, gdy stara się obrócić oś x ku osi y. (Patrz usięp n. 3Ü).

G"=—

?H)-

Gdy siła P jest przyczepiona w środku belki, b jest równe ^ , i

G= —

Pa⁵

16 ’

C⁵=0;

mamy więc

Pa*#.

h»=°ï-iô

Jest to równanie połowy włókna obojętnego. Rzędna y dosięga swego maximum, gdy    zkęd wypada strzałka

_    1 Pa³

y™*—-48m *

Widzieliśmy w ustępie poprzedzającym, że ciężar pa równo rozłożony na całej belce sprawia wygięcie

a³

jeżeli wiec przyjmiemy, że ciężar P zawieszony w środku belki jest równy ciężarowi pa jednostajnie rozłożonemu, to stosunek

strzałek będzie |. Zatem rozłożenie ciężaru na całej belce

prowadzi do zmniejszenia wygięcia.

Porównajmy teraz obie belki ze względu na natężenie podłużne i poprzeczne włókien. Wiadomo, że w ogóle

My

R=ir

p a

i że w belce obciążonej w środku moment maximum jest —

4

p

a zaś W ma stałą wartość ±—. Mamy więc w tym razie

Jt

K„

iax —

<s

.P

W'

¹¹ max

— dr

13

P.

Ł£|

•>

gdy tymczasem w belce obciążonej jednostajnie ciężarem pa —P

ooi a

.pa.

ił mux

Ztęd wypada, że :

Największe natężenie podłużne belki w środku obciążonej jest dwa razy większe od największego natężenia takiej samej belki obciążonej jednostajnie, i że natężenia poprzeczne są jednakowe w obydwóch razach (*).

(*) Ta tylko zachodzi różnica, że w belce jednostajnie obciążonej największe natężenie poprzeczne działa tylko na podporach, a zaś w belce w środku obładowanej panuje We wszystkich przecięciach.

Wszystko to pokazuje dobitnie, że obciążenie belek wolno na dwóch podporach leżących powinno być o ile można jak najjednostajniej rozłożone, jeżeli budowla dana ma się znajdować w korzystnych warunkach wytrzymałości.

W powyższych przykładach nie brano pod uwagę ciężaru własnego belki ; ale wprowadzenie tego czynnika nie przedstawia żadnych trudności, gdyż odkształcenie wypadkowe jest summę odkształceń częściowych, jak tego dowodzi ustęp. n. 7. Dosyć więc jest dodać algebraicznie momenla odpowiadające własnemu i zewnętrznemu ciężarowi belki, aby otrzymać moment całkowity.

42. Belka o dwóch podporach obciążona w do wolnej liczbie punktów. —Wyobraźmy sobie belkę obciężonę w sposób następujący (fig. 33) :

n liczba ciężarów działających na belkę AB w punktach 1, 2,3,. ..n;

Pj, P₂, P₃,... ?n ich natężenia;

k odległość punktu przyczepienia ciężaru Pt od podpory A ; K K    odległości sił Pż, P₃, P₄,.. .P„ od siły P, ;

Mt, M₂, Mg,.. .M?l momenta zgięcia w punktach i, 2, 3,.. .n,

oznaczajęc inne ilości temi samemi głoskami, co w ustępach poprzedzających.

Ułóżmy równanie momentów zgięcia osobno dla każdej części belki zawartej między dwiema sęsiedniemi siłami. Mamy tym sposobem

M =: Ox,

M=Ox — Pj(x — k),

M = Ox — Pj(x — k) — P₂(.r — k — 4j), M = Ox—    — k) — P₂(a.' — k — b{)

Pj(^ b ój),

(2)

(1) W części A — 1 1—2

2    — 3

3    — 4

Zatem linia momentów jest wielobokiem prostolinijnym, a największy moment zgięcia odpowiada jednemu z jego wierzchołków, tak że do znalezienia maximum dosyć jest porównać momentaodpowiadające punktom przyczepienia siłPl5 P₂,...P)t. Obliczmy najprzód oddziaływanie O, a w tym celu ułóżmy równanie momentów statycznych wszystkich sił zewnętrznych względem punktu B, i przedstawmy je w kształcie :

Oa = (P, 4- P₂ 4- P₃... P,t) (a « k) - (PA -i- PA 4-. .. P A_J, zkę.d

(8)

O = R-

» i co

gdzie

H = P₁ + P, + Ps-i-...P,₁,

S = P₂é, 4- PA 4- . . . Vnbn Czynięc teraz w równaniach (i), (2), (3), (4) kolejno x = k, k-hbu k 4-    .. ,k -hbn__i: i wprowadzając powyższę wartość O

otrzymujemy

—i-

; Mj=

La aj

a I co

- PA,

(6) <

l,= fR-—- I (k 4- bt) - pa ~ p₂a~ /ą) L &    ^

[a^_ j (&-+-*,)

m₄=

■jj i «

M„==

R-

-j Jc* -+-«»-,) -PĄ

PsAl~l    • • •    P)i—i (k?i—i bn^_₂)

— PSA- i — th)

a największa z wartości M,, M₂,... M;i będzie oznaczać największy moment zgięcia, a tem samem największe natężenie włókien na jednostkę powierzchni.

43. O najniekorzystniejszem ustawieniu danego układu ciężarów na belce wolno na dwóch podporach leżącej. —Zadanie to tworzące niejako dalszy cięgpoprzedzającego ustępu rozwiązane zostało przez Kazimierza Brandta W tomie IV Pamiętnika Towarzystwa Nauk Ścisłych w Paryżu (*). Stosujęc się do niniejszego wykładu opisujemy je treściwie, jak następuje.

Przypuśćmy najprzód, że tylko jedna siła pionowa działa na belkę poziomo na dwóch podporach położonę. Widzieliśmy w ustępie n. 41, że moment zgięcia jest w tym razie

a — b

——' xi

a

gdzie P oznacza siłę pionowę, b odległość jej punktu przyczepienia od lewej podpory, a długość belki, a x odciętę. punktu uważanego. Moment zgięcia jest największy w punkcie x=b, mamy bowiem co pokazuje że gdy M jest rzędny, a b odciętę, krzywa przedstawiona przez powyższe równanie jest parabolę majęcę swój wierzchołek w środku belki. Parabola ta jest więc krzywę największych momentów, jakie wywołuje ciężar P toezęcy się po belce poziomej.

U ważmy teraz cały układ sił pionowych Pt, P₂, P₃, P₄, zmieniający swe położenie w sposób cięgły na całej długości belki

(ł) Badania analityczne dotycząke ciężarów przypadkowych używanych przy obliczaniu mostów, przedstawione na posiedzeniu dnia 7 listopada 1372 roku.

AB (fig. 33), i oznaczmy przez biy bt, b₃, odległości niezmienne sił Pj, P₃, P₄, od siły P,, a przez k odległość zmiennę tejże siły Pt od podpory A. Widzieliśmy w ustępie n. 42, że gdy nieruchomy układ sił pionowych spoczywa na belce poziomej, największe momenta maję miejsce w punktach przyczepienia tychże sił, to jest, że ze wszystkich momentów M wywiązanych w różnych częściach belki momenta M1? M₂, M₃, M₄ sę największe. Ale rozbierając równania (6) widzimy, że gdy k się zmienia, momenta Mv M₂, M₃, M₄ przedstawiają się przez parabole. Zatem krzywa największych momentów, jakie wywołać może układ sił ruchomy jest wielobokiem złożonym z łuków parabolicznych.

Al

Y    TP

pj ³

Fig. 33.

Ponieważ momenta M1? M₂, Ms, M₄... odpowiadające zmiennym punktom przyczepienia sił P₄, P₂, P₈... przybierają różne wartości stosownie do położenia tegoż układu, przeto istnieją takie wartości k, dla których Mi, M₂, M₃... stajg. się najwięk-szemi. Oznaczmy te szczególne wartości zmiennej k przez klt kz, kv... i przyrównajmy do zera pochodne równań (6). Otrzymamy tym sposobem.

dk

rfM₁_R_2RÆ__S_₀

ak

— ⁼⁼0,

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERYALOW.

bn-

zkad

5ï>

Ä*

Lei h- tai **■ tai

co lec

coieC co lec

a-

a«

?s~

esico

albo jeszcze

LOI **

!»l CO

(*)

kn —ki    ^

Otosę wartości zmiennej k odpowiadające największym wartościom momentów Mi, Ms, Ms,... M„ . Wstawiając w równaniach (6) ustępu n. 42 zamiast k odpowiednie ku kt, k₉, porówTnyw⁷ajęc liczebne wypadki, znajdziemy bezwzględnie największy moment, a tern samem najniekorzystniejsze danych ciężarów ustawienie.

Uważajmy teraz, mówi p. Brandt, jakakolwiek siłę P* i przypuśćmy, że bezwzględnie największy moment przypada w jej

punkcie przyczepienia G (fig. 34). Niech będzie bi_₁ odległość siły Pf od pierwszej siły Pt uważanego układu, G punkt przyczepienia wypadkowej układu, a F środek belki. Ponieważ największy moment ma miejsce w punkcie przyczepienia siły P?, przeto mamy równanie

O*

-i?

l>9|

xn 1 R

_ _— i k,    ilzzi j.

2 E 2    V 2 /

? G-

Fig. 34.

Odejmując ^=1 po obydwóch stronach tego równania otrzy-2

mamy

hO\ Ö:

— {ki-4- bi_X

a figura 34 daje

LSI

i.

LSI I-»-

IG<I

C5

Mamy nadto

= AG,

- == AF, k, -+- bi 2

a zatem

--

to jest, że środek belki dzieli na dwie równe części odległość pomiędzy wypadkowy układu i siłę, na której przypada największy moment zgięcia.

Na mocy tej własności możemy wyznaczyć natychmiast najniekorzystniejsze położenie danego układu sił, nie rozwiązując a priori równań dajęcych maxima momentów, bo skoro największy moment zgięcia wywarty przez dany układ sił odpowiada punktowi przyczepienia siły leżącej najbliżej środka belki, przeto wnosić można, że ta naj większość przypada w punkcie przyczepienia siły najbliżej leżęcej środka ciężkości układu sił uważanego. Dosyć więc ułożyć ciężary w taki sposób, aby środek belki dzielił na dwie równe części odległość zawartę między wypadkowy układu i siłę najbliżej tejże wypadkowej położonę.

Za pomocę metody powyższej można obliczyć dokładnie działanie ciężaru ruchomego na most belkowy o jednym przęśle, tudzież wyznaczyć największy moment zgięcia, który w tymże moście przez dany ciężar ruchomywywarty zostaje (¹).

Jest to dostateczne do obliczenia wymiarów belki, gdy przecięcie poprzeczne ma być stałe, ale gdy wymiary poprzeczne belki maję być zmienne, należy wykreślić granicę obwodu naj- , większych momentów i stosownie do kształtu tego krzywego wieloboku obliczyć jej wymiary. Że jednak bezwzględna dokładność jest w wielu razach zbytecznę, przeto można zastę-pić granicę obwodu największych momentów przez jednę parabolę utworzonę działaniem ciężaru jednostajnie rozłożonego; byleby tylko rzędna tej paraboli odpowiadająca przecięciu, króre znosi największy moment, była równa temuż największemu momentowi. Jeżeli oznaczymy przez p ów ciężar jednostajnie rozłożony, przez Mmax największy moment zgięcia, przez Ç rzędnę odpowiadajęcę temu momentowi, i przez a długość belki, to za pomocę równania

ma.r

-/>{<*-5) ? = M

wyznaczymy p, bo £ i sę znane na zasadzie poprzedzającego. Zamieniwszy tym sposobem ciężar niejednostajny (przypadkowy) na ciężar równo rozłożony, możemy obliczyć z ła twościę wymiary belki mostowej, dodajęc doń ciężar wynikający z ciężenia samej budowli.

Należy tu zwrócić uwagę na ważność powyższego zadania i na jego zastosowanie do obliczenia mostów metalicznych. Mosty żelazne pod kolej żelaznę lub pod drogi zwyczajne, jak w ogóle wszystkie budowle służęce do przejazdu wozów lub pocięgów, sę wystawione nie tylko na obciężenie jednostajne, ale także na obciężenie przypadkowe istniejęce w chwili przejścia tych ciężarów; widocznę więc jest rzeczę, że i te ostatnie muszę być uwzględniane przy obliczaniu wymiarów mostu. Właśnie metoda powyższa służy do obliczenia największego momentu wywołanego przez dany układ obciężeń ruchomych

część I. — PRĘTY PROSTE ALBO BELKI.

134

i do obrachowania ciężaru jednostajnego równowartego pierwszemu ze względu na wytrzymałość belki (²}.

Wreszcie zaznaczyć tu musimy błędne pojęcia niektórych władz administracyjnych, które przypisują przy próbach mostowych jedno i to samo obciążenie jednostajne (n. p. 400ks na metr kwadratowy pokładu mostowego) bez względu na długość przęsła. Fałszywości tego twierdzenia dowiódł najprzód Kazimierz Brandt w zmiankowanej już rozprawie (Pamiętnik Towarzystwa Nauk Ścisłych w Paryżu, IV), a następnie Kazimierz Zaleski w rozprawie zatytułowanej : Etude sur les charges d’épreuves nouvelles prescrites pour les ponts-routes métalliques, i zamieszczonej w Annales industrielles z llee°, 18 i 25 maja 1873 roku. W pierwszym z tych artykułów znajduję, się tablice da-jęce ciężary jednostajnie rozłożone, równowarte ciężarom lokomotyw systemu Engerth’a i Petiefa, najcięższych, jakie znamy dotęd; w drugiej takież tablice odnoszęce się do mostów pod drogi zwyczajne (³); wypadki zaś okazuję dowodnie, że ciężar jednostajny równowarty danemu ciężarowi przypadkowemu zmienia się, na jednostkę długości, równocześnie z długościę belki.

44. Belka leżąca na dwóch podporach, obciążona jednostajnie na pewnej długości. — Przypuśćmy, że część AB belki AC (fig 35) jest jednostajnie obciężona p kilogramami na jednostkę długości, i że część pozostała BG znosi ciężary

równo rozłożone w stosunku p'k?. Niech a oznacza długość całkowity belki, s stosunek AB do AG, a O i 0' oddziaływania podpór A i G. Siły te wypadajy z równania momentów statycznych względem punktu G :

O a = p.sa(a — *jj +.|(a-sa)\

z równania momentów względem punktu A :

pk

TT

(I

Fig.35.

O\sa — p

ssa² ,,    ,a-+-sa

__ + p(₀_sa)___.

Mamy więc między punktami A i B

a między B i G

,, sX — sa -hp(x — sa)—^~.

M =— Ox -\-p. sa ^ — —

Równania te przedstawiają dwie parabole o osiach piono-

część I. — PBÇTY PROSTE ALBO BELKI.

136

2 o)

wych, których parametry s§ - i Maj§ one jeden punkt wspólny x—sa is§ do siebie styczne w tem miejscu.

Przypłaćmy np. a = 10m, s —

i-, p— 20, p =\0. Wtedy

O = 59*8,5,

a moment zgięcia w części AB jest

(1)

M- — 59,5# -t- \0x\

Maximum analityczne tego momentu przypada w punkcie x = 2m, 975

leżącym na zewnątrz linii AB. Zatem maximum liczebne odpowiada punktowi x = sa= łm, i wynosi

MOTa3; = 49k&my5,

co do bezwzględnej wartości, W części BG mamy

(2)

59,5 x 4- 20 (x—(# —

a moment maximum

Mmax = 127ksm-,51,

odpowiada punktowi

# = 4m,95.

Otóż gdyby cała belka była obciążona jednostajnie na całej długości w stosunku pks- na metr bieżęcy, mielibyśmy (ust. n. 40) :

M == —

^P(ax-x’), M ,nax = ÿ pa*=250kem

Dowiedlibyśmy w ten sam sposób, że w każdym punkcie belki moment otrzymany z równania (3) jest większy od momentów (1) i (2), co znaczy, że gdy p jest większe od p, momenta wywołane przez częściowe obciążanie belki są wkażdem miejscu mniejsze od momentu sprawionego ciężarem p pokrywającym całe przęsło; czyli że obciążenie p całego przęsła wywołuje większe momenta jak obciążenie p częściowe.

Przejdźmy teraz do natężeń poprzecznych. Za pomocą znanego równania W= — znajdziemy dla części AB i dla części BC,

(4)

W = — O -ł- psa -Ą-p {x-- sa).

Są to więc dwie proste ww', w u przecinające się w punkcie w mającym odciętą x=sa. Punkt ten przebiega parabolę, gdy zmieniamy długość AB = sa. Ponieważ jego rzędna jest O — psa, a odcięta jest sa, przeto równanie tej paraboli jest

y — O—p.sa,

lub

pa

— 0 —SY—p.sa,

a zamieniwszy sa na x

(»)

pa ,    . ,.xz

y=-Y-px-(p-p)-.

Jest to parabola Pm/R. Równanie linii prostej Po łączącej środek belki o z punktem P jest

pa

y—-j—Px>

CZĘŚĆ I. — PRĘTY PROSTE ALBO BELKI.

138

gdy tymczasem równanie linii w'u jest (rów. 4)

pa

Zatem proste Po i wu są do siebie równoległe, a łatwo jest dowieść, że ten sam stosunek zachodzi między prostemi oR i ww. Ztąd wypływa następujące prawidło :

Chcąc znaleźć linię łamaną przedstawiającą natężenia poprzeczne w belce obciążonej jednostajnie od punktu A do B, trzeba wyznaczyć na paraboli Pw/R punkt tu' mający odciętą AB, i z tego punktu poprowadzić dwie proste : jednę w w równoległą do oR, drugą tu'u równoległą do oP.

Prawidło to jest bardzo użyteczne do obliczania belek mostowych, w których obciążenie jednostajne ma pokrywać dowolną część przęsła; nakreśliwszy bowiem parabolę PwiR znajdujemy bez trudności szereg linij łamanych przedstawiających natężenia poprzeczne w różnych przypuszczeniach co do długości części obciążonej. Tym sposobem znajdziemy w każdym punkcie belki największe natężenie poprzeczne.

Przypuściwszy, że p'=0 widzimy, że natężenie poprzeczne belki pokrytej częściowo ciężarem p jest (rów. 5)

pxs 2a

i że dla x = ^ przybiera wartość,

W =—p-

gdy tymczasem w belce obciążonej całkowicie takim samym ciężarem mamy

W = 0,

w środku belki, a W= — ^ na podporach. Zatem częściowe

obciążenie belki może wywołać w środku przęsła wysiłek równy jednej czwartej największego natężenia poprzecznego belki całkowicie obciążonej.

45. Belka osadzona jednym końcem, obciążona na drugim. — Wypada z określenia danego w ustępie n. 39, że belka obciążona może się znajdować w równowadze, gdy jest umocowany na jednym końcu, co by miejsca mieć nie mogło, gdyby była zwyczajnie podpartę. w jednym tylko punkcie.

/My

Fig. 30.

Przypuśćmy więc, że belka 'AB jest osadzona w murze końcem A (fig.-36), a obciężonana drugim końcu ciężarem P. Niechaj a oznacza jej długość.

Uważmy jakikolwiek punkt włókna środkowego AB, położony na odległości x od poczętku A i obliczmy moment sił działających między tym punktem i końcem B. Nie bior§cpod uwagę ciężaru własnego belki widzimy, że moment zgięcia jest —P(a — x), ze znakiem odjemnym, bo siła P przeniesiona do punktu x stara się wygiąć belkę w kierunku od osi x do y (ust. n. 35). Mamy więc

M = — P(ö — x),

a ztęd

W = P.

Zatem moment zgięcia jest proporcyonalny do rzędnych

część I, — PRĘTY PROSTE ALBO BELKI.

140

prostej przechodzącej przez punkt B i przez punkt G położony na odległości Pa pod punktem A. Natężenie zaś poprzeczne przedstawia się przez linię prostą równoległy do włókna AB, a położonego na odległości P od osi x.

Aby znaleźć oddziaływanie podpory, które jak mówiliśmy w ustępie n. 39 składa się z siły pionowej i z pary sił, uważmy, że musi ono równoważyć siły wywiązane przed odkształceniem w przecięciu A. Otóż te siły między cząsteczkowe są : para sił, której moment jest —Pa i wysiłek poprzeczny P; siły oddziaływające na podporę są więc : para sił, której moment jest Pa i siła pionowa—P.

Szukajmy teraz kształtu włókna obojętnego po wygięciu belki, a w tym celu zcałkujmy równanie

M=EIS=-p(a-*);

otrzymamy najprzód

dx

— Pax -+- i Par*.

a następnie

Wy = — i P ax* -4- - Pa?³.

Nie wprowadziliśmy żadnych ilości stałych przy całkowaniu, bo dla x = 0, mamy ^ = 0 i V — 0 (ust. n. 39). wstawia

jąc za x stałą a znajdujemy strzałkę

JL pa⁵.

Umax —

3EI

Ponieważ natężenie poprzeczne jest stałe dla wszystkich przecięć poprzecznych, a moment zgięcia największy jest — Pa, przeto największe natężenie włókien w podłuż co do bez-

względnej wartości i na jednostkę powierzchni będzie (ust. n. 36) :

c_

a w poprzek

ca

46. Belka osadzona jednym końcem, obciążona jednostajnie. — W przypadku, gdy ciężar jest równo rozłożony na całej długości belki, moment zgięcia dla jakiegokolwiek przecięcia wyraża się przez równanie

tS|

Sä

Ë.

Eig. 37.

gdzie p oznacza obciążenie na jednostkę długości ; natężenie zaś poprzeczne jest

W =p(a — x).

Krzywa momentów jest więc parabolą BC, a linia przedstawiająca natężenia poprzeczne jest linią prostą BD (lig. 37). Moment pary sił oddziaływających na podporę jest

lJ- =

iii

pd\

Co do Wartości bezwzględnej ; zkąd wypada następujące równa-

nie włókna obojętnego

dx*

2 P(a — xf = — - pa²    j)QX — - fu-*,

a po zcałkowaniu

H? =

— pa?x -+- - pax- — - pxs,

111

ER/ - pażx- + - pax³ — — px'\

cU

Robiąc w tem równaniu x=a, znajdujemy strzałkę

~mpaK-

y max •—

Największe natężenia podłużne i poprzeczne są co do bezwzględnej wartości :

R = j- pa\ R !=i

U’pa‘

Porównajmy ten przypadek z poprzedzającym, to jest obciążenie jednostajne z obciążeniem miejscowem, a w tym celu przypuśćmy, że mamy dwie belki równe sobie co do wymiarów, jednakowo w murze osadzone, a z których jedna znosi ciężar P na samym końcu, a druga ciężar pa rozłożony jednostajnie na całej długości, a czyniący zadość warunkowi

P =pa.

W pierwszym przypadku mamy strzałkę

y mar

3EI

Pa³

a w drugim

y max    gJTj (pa)a\

o

Stosunek tych strzałek jest więc równy liczbie ~ , wypada, że :

Sprowadzenie całego ciężaru na koniec belki powiększa niemal trzy razy jej wygięcie.

Porównajmy teraz natężenie podłużne i poprzeczne włókien. Znaleźlibyśmy dla obu belek

R':

Pa,

S li—¹

LSI

(pa)a,

AI«

n '_pa

a ’

co dowodzi, że ze względu na największe natężenie podłużne belka obciążona jednostajnie znajduje się w dwakroć lepszych warunkach, jak belka obciążona na końcu, i że natężenia poprzeczne są jednakowe w obydwóch razach (*).

47. Belka osadzona obydwoma końcami obciążona jednostajnie i w środku. — W zadaniu tem możnaby uważać osobno ciężar odosobniony, a potem dodać do siebie natężenia odpowiadające każdemu przecięciu ; żeby jednak dać przykład postępowania ogólnego przypuścimy jednocześnie działanie obydwóch obciążeń. Pierwsze z nich oznaczymy przez p na jednostkę długości, drugie zaś przez P.

Uważmy najprzód, że oddziaływanie każdej podpory składa P -t-pa

się z siły pionowej

i z pary sił, której moment

dip

jest [x. Wyrażając drugą pochodną -g-₂ przez funkcyę sił działających między jakimkolwiek punktem belki i podporą A,

mamy w części AG (fig. 38).

— p.,

El = V-±ll x _ PJŹ dx²    2    2

a całkując otrzymujemy

dx

(O

Otóż dla x —

te Ô

dy

’ dx

jest równe zeru; zatem

n P« , 1    ₂

⁰⁼⁼¥ ⁺Tipa“i*-

zkąd

p.=

A loo

a -f- -—pa*.

12

§p

•ę

Fig. 38.

Znając p. możemy teraz badać zmianę momentów zgięcia we wszystkich miejscach belki. Między punktami A i G mamy

M = EI

dx 2    2

a między punktami C i B :

KSIÇGA 11. WYGIĘCIE PROSTE I ZŁOŻONE. — ROZDZIAŁ 11.

czyli, po wstawieniu za p. wartości otrzymanej,

„    i£_j_

:2    2 8 12 ^

(₃)

(2)

Pa 1    ₂

r~ î5/,a-

Równanie (2) pokazuje, że w części AG moment zgięcia najprzód odjemny rośnie w miarę wzrostu zmiennej x i staje się zerem dla wartości

2/)

Pa a²

4/7 o"

która daje, gdy P — 0,

14.1 »

(1 ±0,577)

to jest że przyjęwszy znak —, jako odpowiadający zadaniu, mamy

x— 0,2113.. .a.

Gdy znowu w równaniu (2) przypuścimy ^ = 0, otrzymamy ^ = 0,25a.

Ztąd wypada, że krzywa momentów przecina oś x w punkcie zawartym między «£=0,2113.. .a i Æ‘=0,25a, z których pierwszy odpowiada przypuszczeniu P = 0, a drugi przy-

jest równe zeru,

dhy

puszczeniu p~.0. W tym punkcie

*awięc krzywa przegina się, to jest zmienia kierunek swej krzywizny; dalej zaś moment M zmienia swój znak na przeciwny i rośnie ustawicznie. Tak więc największe momenta

dla części AG odpowiadają odciętym x = 0 i x— ^ i mają

wartość bezwzględna.

dx²

Al iiiâx -a—    a — pu i

12

WYTRZYMALOŚG MATERYAt.ÓW.

max —

24

10

Pierwszy z tych piomentów jest odjemny, a drugi dodatni, to jest że pierwszy stara się obrócić belkę od y ku x, drugi zaś w kierunku od x do y. Zatem w pobliżu podpory włókna górne sy rozciągane, a dolne zgniatane ; w środku zaś belki przeciwne zjawisko ma miejsce (*).

Przejdźmy teraz do natężenia poprzecznego. Biorye pierwszy pochodny wyrażenia (2) otrzymujemy

■px,

dx

ęy __P -ł~pa

to jest że dla x — 0 i x— mamy W = - p-'--

Z równania zaś (3) odpowiadajycego części Cß wypada W = Ł±£2-»*-P,

co dowodzi, że dla x—

i dla x—a natężenie poprzeczne

jest odjemne : W = —

Ps 1G-1

P -hpa

Go się tyczy kształtu włókna obojętnego mamy w części AC (rów. ł) :

p j dy P 4- pa x- _ px]

dx

"b”    'Jx ’

gdzie y jest znane; tak że zeałkowawszy to równanie otrzy* » mamy

'S I™

bodła x = 0, y musi być równe zeru. Dla znalezienia strzałki {*) Druga połowa krzywej przedstawiającej raomenta jest zupełnie podobna do pierw

wygięcia dosyć jest wstawić æ = ~:

y ma,',r —

as

192 El

(p₊a).

Wzór ten pokazuje, że ciężar równo rozłożony sprawia dwa razy mniejszą strzałkę, jak ciężar zawieszony w środku.

Wreszcie chcąc porównać działania ciężarów na belki osadzone i wolno położone, uczynimy w powyższym wzorze kolejno P = 0 i p = 0; zkąd

d P a3 192 El ’

1 pa.a3 384 “ËT“’

gdy tymczasem w belce wolno leżącej, obciążonej takimi samymi ciężarami, jak poprzednio, mamy (ust. 40 i 41) :

5 pa. a³

384 ~W ’

y max —

!Jmax —

y max —

J_ Pa3 48 El

ymax —

co dowodzi, że gdy ciężar jest zawieszony w środku, strzałka belki wolno położonej jest cztery razy większa od strzałki w belce osadzonej, i że przy jednostajnem obciążeniu stosunek ten równa się liczbie 5. Zatem obsadzanie belek przedstawia niezaprzeczalne korzyści.

48. Belka osadzona obydwoma końcami, obciążona w dwóch punktach symetrycznych i na całej długości.

— Przypuśćmy (fig, 39), że belka AB obciążona jednostajnie ciężarem p na jednostkę długości jest poddana działaniu dwóch sił P przyczepionych na odległości b od końców A i B. Oznaczywszy oddziaływanie pionowe punktu A przez O, a przez u moment umocowania (ust. n. 39), mamy :

Między A i G

Między C i D

El æÂ = Pa:

dr

— I>(z - b)— -px¹ 4- y..

Wstawiając w dwóch powyższych równaniach O—P -f- -pa otrzymujemy

(I)

dxl

(2)

== Vx 4- -/?a(ö — x) 4- y,

[

=P h 4- -/zx (c — ,c) 4- y, J*

Mi

lim c

Fig. 39.

a zeałkowawszy znajdziemy

(3)

(1)

EI$ =

dx

dy

staje się zerem dla x = 0,

W równaniu (3) pochodna a w równaniu (4) dla a: = ”; mamy zatem

K = 0,

ab    1 /a³    1 a³\    ua T, ..

P — -ł- - « —---4- j—- + K — 0.

2    r\X    3 8/    2

')

12

Czyli

pu? P ab

\A(l

24

Tak więc równania (3) i (4) sprowadzają się do

e,!4p-’+ ri$- )

=pte + 5 p(t

ET ?

dx

Ti! —

wi

IW/

<).a

a że wypadające z nich wartości wne dla x — b, przeto

dy

dx

powinny być sobie ró-

V(r pa³ Pab

zkad

Zatem równania momentów sa ostatecznie następujące : Między A i G

(⁴)

V,/;-

^px(o — x) + Pb(^—i )

par

12 ’

Między C i D

(6)

d}y    1    ,    \    Pó³    pa~

dx-    2    '    ' a 12

Z rozbioru równań (3) i (6) wypada, że moment zgięcia w punkcie A jest zawsze odjemny (⁴), że krzywa momentów

przecina oś odciętych między punktami x = ^{a — b) i

■r=:0,25ö, i wreszcie że największe momenta zgięcia odpowiadają punktom skrajnym i środkowi belki,

49. Belka osadzona jednym końcem, wolno podparta na drugim. — Przypuśćmy najprzód, że belka AB (fig. 40) obmurowana w punkcie A, a wolno podparta na końcu B, znosi sam tylko ciężar odosobniony P. Weźmy punkt A za początek osi i oznaczmy przez

a długość belki AB ;

sa odciętą AC punktu przyczepienia siły P ;

O i O' oddziaływania pionowe podpór A i B ; a inne ilości oznaczmy temi samemi głoskami co poprzednio.

Oprócz O i O' mamy jeszcze trzecią niewiadomą, to jest moment umocowania p, a że Statyka ciał stałych daje tylko dwa następujące równania

(1)

O + 0—P = 0,

(2)

6'a — Psa    p = 0 ;

przeto trzeba oznaczyć jednęznich inną drogą. Przypuśćmy w tym celu, że podpora B nie istnieje i szukajmy obniżenia jakiegokolwiek punktu belki; tym bowiem sposobem dojdziemy do trzeciego równania warunkowego wyrażającego nieruchliwość podpory B.

Stosując ogólne równanie momentów (ust. n. 35) do części AC i CB, i biorąc za M moment sił działających po prawej stronie uważanego przecięcia, otrzymamy czyli

między A i G (3) ii między G i B •

(4)

ElS=u-

Zcałkujmy równanie (3)} a przy oznaczaniu stałych uczyńmy zadość warunkowi, że dla x~0, mamy y=0 i ~ = 0 :

dr

(?)

(6)

p (sax-¹ \"2”

a*) .

iw

;X

lW

Fig.-40.

Zcałkujmy także równanie (4) i wprowadźmy stałe K, K :

(hj

El ^ =K.

dx

Ely = Kx -+- K'.

Łatwo jest oznaczyć stałe K i K' zważywszy, że dla x = sa xownania (3) i (6) powinny dać takie same wartości na y

⁽^i , jak dwa ostatnie związki. Mamy więc

dx

s²a²

Ti

— i*V, 2

K.sa + |y — —

p |'.s³a⁸_.s³ar'j

— q P«W,

a z l ąd

-2

»

l

Wstawiwszy te ilości w równania odpowiadające części GB otrzymamy

El dS —

p

d:c

— - .s²a²,

2

EIy= — -sVx -f Ęs\d.

J 2 6

Uważany teraz, że chcąc znaleźć obniżenie y punktu B belki, w przypuszczeniu iż ten punkt nie jest podparty, dosyć ’ jest wstawić w ostatniem równaniu x=a\ znajdziemy

Eh/= -

& MM

s*<f -+- -    = — sW (

(> 2 \

y. 1 TT

Gdy odjąwszy ciężar P zastąpimy go siłą O' przyczepioną do punktu B a skierowaną z dołu do góry, ten punkt podniesie się o pewną wysokość ?/", która wypada z ostatniego wzoru, gdy się w nim wstawia P =— O', n— 1 ; tak że

O'

Otóż gdyby siły Pi O działały równocześnie, obniżenie y punktu II byłoby y ■+■ y" (ust. n. 7); a więc gdy punkt ten spoczywa na podporze, mamy

y + y — o,

to jest

Cu km

s²(f'

zkgd

V. Ir?

°'=-|Ps*( - ')

Znając O' znajdziemy O i u, bo na zasadzie równań (1) i (2) mamy

y. = P.s/7 — O V/

zkąd

toi cc

,s⁵

s³\

g — Psa (l

s²

*+r ■

Ażeby znaleźć oddziaływanie podpór w przypadku, gdy ciężar pa jest równo rozłożony, zcałkujmy znowu ogólne równanie

dx'L

El Ù-. = -    p + 0'(a - x),    •

* a po wyznaczeniu stałych otrzymamy chj_(a — xp

EI/y

o'(a—

(t.i;

*s>\

Ef//= -

O\a —

21

(f-°>

+cnaJi- o'V

(î\4 J

Ponieważ punkt B jest nieruchomy, przeto y musi być równe zeru dla x = a, zkąd

(7-°)

= o,

-v 3

O ro

siły zaś O i y. wypadają z równań (1) i (2), gdy się w nich wstawia pa zamiast P, a w miejsce P, sa :

SCI Ot

pa,

—i i cc

pa¹.

Znając wszystkie siły zewnętrzne, możemy teraz rozwiązać równanie momentów i równanie włókna obojętnego.

Przypuśćmy najprzód, że belka jest obciążona ciężarem P zawieszonym w punkcie x=sa. Mamy wtedy w części AC

M =0.r — u,

w części GB

M = Ox — P(.c — ««) — y..

Są to równania dwóch prostych DE, EB, których położenie jest znane zważywszy, że pierwsze z dwóch poprzednich równań daje dla æ=0

M — — Psa ( 1 —

LSI

a dla x = sa

sa ( 1 —

n ig*

% ki

KSIĘGA }J. WYGIĘCIE PROSTE ] ZŁOŻONE, — ROZPZIAŁ jf.

n;;>

podczas gdy drugie daje dla x — a

M = 0.

Zatem włókna przechodzące przez punkta A i G więcej od innych w podłuż wytężone.

Co do natężenia poprzecznego mamy ;

W części AC

(JM

w = ~ = O,

dx

części CR

W=:0- P.

Otóż O jest dodatnie, a O—P jest odjemne; zatem natężenie poprzeczne jest proporcyonalne do rzędnych linij prostych ivw, ivw, z których jedna leży powyżej, druga poniżej wdókna obojętnego.

Równania włókna obojętnego s§ dla części AC i CB ;

¹

Gdy do jakiegokolwiek układu sił dorzuca się ciężar jednostajnie rozłożony, mo-menta zgięcia największe odpowiadają punktom przyczepienia tychże sił z wyjątkiem części zawartej między siłę najbliżej wypadkowej leżęcę i środkiem belki. Aby tego dowieść rfważmy, że moment zgięcia w jakimkolwiek punkcie belki równa się summie momentów wywołanych osobno przez każdy z obydwóch układów sił. Obwódmomentów zgięcia w przypadku, gdy działa tylko układ Pif P₂, P₃,,.. jest wielobokiem prostolinijnym, a najwyższy wierzchołek tego wieloboku odpowiada sile Pt najbliżej leżęcej środka ciężkości G, gdy środek belki F dzieli odległość PtG na dwie równe części (fig. 34). W razie gdy działa sam tylko ciężar jednostajnie rozłożony p, linia momentów jest parabolę, której wierzchołek odpowiada punktowi F. Maximum momentu nie może mieć miejsca między A i C, ani też między F i B. Jakoż momenta zgięcia rosnę od A do C w sposób cięgły, tak'dla wieloboku jak i dla paraboli ; a więc i summa tych momentów rośnie w sposób cięgły, tak że maximum nie może mieć miejsca w tej części. To samo rozumowanie stosuje się do części BF. Za to w części CF momenta wywołane przez układ Pj, Pj, P3... maleję, a zaś momenta sprawione obciężeniem p rosnę ustawicznie; jeżeli więc istnieje maximum, to albo w punkcie C, albo w części GF, bo tylko w tem miejscu funkoya może zmieniać się odwrotnie od zmiennej.

Patrz stronę 26 i następne w rozprawie p. Brandta,

²

Nie ma tu mowy o skutkach dynamicznych wywołanych przez ruch ciężaru, o sile odśrodkowej, drganiach i uderzeniach, a w ogóle o przyczynach zwiększających moment zgięcia statyczny i osłabiających właściwy wytrzymałość materyału. O tem mówić będziemy w ustępie n. 80 i w następnych.

³

Tablica ta pokazuje, jak dalece były błędne przepisy administracyi we Francyi. Dla osi ważęcych 6000 kg., a tembardziej dla osi ważęcych 11,000 i 16,000 kg. obciążenie przypadkowe jednostajnie rozłożone w stosunku 400 kg. na metr kwadratowy jest zupełnie niedostateczne. W wiaduku o ośmiometrowem przęśle praca żelaza wynoszęca 6 kg. na milimetr kwadratowy przy obciążeniu 400 kg. na metr kwadratowy pokładu, dochodzi do 9 kg. dla osi ważęcej 6000 kg., a nawet do 16 kg, dla osi o 11,000 kilogramach.

⁴

Gdyby moment zgięcia na podporze byt dodatni, mielibyśmy nierówność

CO

(8)

®£5=°—*

FA ÿ — 0x~ V(x—sa) — u.

(9)

Całkując równanie (7) otrzymujemy kolejno El cIM = 0- — *x.

dx

(10)

EI?/= ^

a z równania (8) wypada

du Oxs Px- T,    P«V

mtx ⁼ — -T + V-sa-x-^-—'

Psa , X~

2

(11)

(12)

0.7;³    P#³

PsV

--X

+ łW(s⁻¹)'

OZKŚr. I. — PRiyr V PROSTE .Al.RO REPKI.

150

Przy całkowaniu równania (7) nie wprowadziliśmy żadnych ilości stałych, bodła A' = 0, -jł i y sę równe zeru; za to w równaniu (8) wyznaczono ilości stałe na mocy warunku, iż dla x=.sa, ~ jest jednakowe wpbydwóch częściach AC i GB, i że dla x — a, mamy y — 0.

Ażeby znaleźć strzałkę wygięcia, szukajmy punktu, w którym 'j- jest równe zeru. Otóż biorąc pochodne równań (10) i (12) otrzymujemy

(13)

(14)

dy

x-

ElI = (0-P)ł⁺ i¹'™-*)*

Ps-a-

wyrażenia stosujęcesię odpowiednio do części AC i CB włókna obojętnego. Równanie (7) sprowadza się do zera, gdy x = 0,

. Aletaosta-

.    . 2p 2$a(2— 3$ -+- s~)

i gdy x=JZ =

2 _ 3s² + s³

• = 2 sa

2 — .s

2 -ł- 2$ -+- s'-

tnia wartość odpowiada tylko wtedy zadaniu, gdy

2 sa

2-1-2 s — .s²

< sa,

to jest gdy

2(2 — s) <2-1- 2.s — s-,

czyli albo wreszcie

s > 0,586...

Zatem największa strzałka sprawiona działaniem ciężaru od-osobnionego P znajduje się albo między końcem umocowanym i punktem przyczepienia siły P, albo też na zewnętrz tych granic, stosownie do tego, czy .s jest większe czy mniejsze od 0,586... Jeżeli s jest większe od 0,586 znajdziemy największy strzałkę robiąc w równaniu (40)

x‘ = 2sa -----, •

2 — 2s — s-

Gdy s jest mniejsze od 0,586,.., trzeba szukać strzałki

di/

największej w części GB, a to czyniąc -~—0 w równaniu (14), zkęd

x~ —    x-h~ s*a- = 0,

O'

(T

lub

jy — "2ax —

•y/T*

lvl

W przypadku szczególnym, gdy ciężar P jest zawieszony w środku belki otrzymujemy robięc s =

: 5=0,553a.

““"Va

a strzałka wynosi

IV

y>Mlx 145 El '

Współczynnik jest zawarty między współczynnikami zna-

1 I O

lezionymi w ustępach n. 41 i 47 dla dwóch rodzajów podpór.

Rozbierzmy teraz przypadek, w którym ciężar pa jest równo rozłożony na całej belce. Wyrażenie analityczne momentu zgięcia jest wtedy

(15)

M = Ox —

x-'-x*-

— v.—^pa.x ₂x

OOI 1^-

pa\

Moment zgięcia jest więc równy zeru dla x=- a i dla

4

1

x—a, w punkcie zaś A ma wartość odjemną —- pa*. Jest

O

to więc krzywa DEFB (fig. 41), której maximum odpowiada

...    5

wartości x = -a.

V"

\B

L E.

Fig. 4).

Natężenie poprzeczne wyrażone równaniem

OCI Ot

pa — px,

przedstawia się przez linię prostą w przechodząc? przez * punkt P odpowiadający największemu momentowi.

Ażeby znaleźć kształt włókna obojętnego, zcałkujemy równanie (lo) na zasadzie warunków» że dla x — Ü, mamy — 0 i ^==0. Ztąd

®Ä ⁼ npB*,_6 x%-\Pa'x’

El// = -~Pa X³— 77 x' — 77; pÙrX¹.

Zatem największa strzałka odpowiada tym wartościom zmiennej x, które sprawdzają równanie

■/O IX

CCI

to jest wartości

x—

id ± y3 3 --— .a.

i (>

Widoczną jest rzeczą, że tyiko znak — odpowiada zadaniu, bo przyjąwszy znak -4- otrzymalibyśmy na x wartość większą od a, co miejsca mieć nie może. Odcięta odpowiadająca największej strzałce jest więc AN = 0,5785a to jest nieco mniej jak odcięta AH odpowiadaiąca największemu momentowi. Mamy więc ostatecznie

y metr —

27

a:i

5000    * Ë1 '

jest to prawie średnia z wartości otrzymanych w przypadku dwóch zwykłych podpór i dwóch obmurowań (ust. n. 41 i 47).

ROZDZIAŁ III

bBLKf O JEDNOSTAJNEJ WYTRZYMAŁOŚCI

50. Słowo wstępne.—Belką o jednostajnej wytrzymałości nazywamy taką bryłę, której wszystkie przecięcia poprzeczne mają jednakowe natężenie średnie; mówimy, natężenie średnie, gdyż wysiłki różnych elementów tego samego przecięcia zmieniają się w miarę ich odległości od osi belki.

Ponieważ w każdej belce obciążonej moment zgięcia i natężenie poprzeczne zmieniają się od jednego przecięcia do dru-

część i. — i-nęry proste albo belki.

160

giego, przeto chcąc otrzymać belkę o jednostajnej wytrzymałości, trzeba zmieniać odpowiednio kształt i wielkość przecięć poprzecznych. Do badania tej zmienności używa się ogólnych wzorów rozdziału pierwszego, bo belka zmieniająca swój kształt w sposób ciągły, a której wszystkie przecięcia mają swe środki ciężkości na jednej linii prostej może być uważana jako szereg krótkich graniastosłupów prostych.

.1

Ciało, którego wszystkie przecięcia poprzeczne pracują jednakowo, i to w granicach doświadczeniem oznaczonych, znajduje się w doskonałych warunkach mocy i oszczędności; ale nie wszystkie ciała naturalne podlegają temu prawidłu. Drzewo np. składające się z naturalnych włókien, których wytrzymałość jest znacznie większa w kierunku podłużnym jak w poprzecznym, traci znacznie na swej mocy, gdy niektóre z nich są przecięte; włókna te bowiem są z sobą złączone siłą spójności, a nie siłą wzajemnych oddziaływań, jak w ciałach jednolitych. Obciosywanie drzewa zmniejsza więc jego wytrzymałość, a nie przysparza żadnej oszczędności materyału, bo trociny i trzaski zostające po obrobieniu drzewa nie służą prawie do niczego.

SI. Belka czworograniasta leżąica na dwóch podporach, obciążona jednostajnie. — Przypuśćmy, że belka mająca długość a, o przecięciu prostokątnem, leży poziomo na dwóch podporach i znosi ciężar jednostajnie na całem przęśle rozłożony. Wiadomo (ust. n. 40), że w takim razie mamy

-p{ax - ,r²)

gdzie

HZ

nni³,

KSIĘGA II. WYGIĘCIE PROSTE I ZŁOŻONE. — ROZDZIAŁ III.

16i

jeżeli n i m oznaczają szerokość i wysokość belki. Ztąd

(1)

(5    2    2

R oznacza tutaj największe natężenie włókien w przecięciu określonem zmienną x, a ni m są ilościami stałemi. W belce o jednostajnej wytrzymałości natężenie R jest jednakowe we wszystkich przecięciach, to jest nie zależy od zmiennej x, aie zato n i m zmieniają się od jednego punktu belki do drugiego. Równanie powyższe stosuje się więc także do belek o jednostajnej wytrzymałości, bo więżę ilości nieznane n i m ze zmienną x ; a choć nie wystarcza do oznaczenia obydwóch nieznanych, to jednak pozwala wyznaczyć jednę, gdy druga jest stała. Gdy n jest stała, równanie (1) przedstawia elipsę przechodzącą przez oba końce belki, a której największa rzędna

odpowiadająca punktowi x‘ = ^jest

a j'6p

W=2 \J± .

Jeżeli spód belki ma być płaski, to jej wierzch musi być elipsę (1) (lig. 42); jeżeli zaś włókno obojętne ma być linię prostą, tonie tylko wierzch belki, ale i jej spód muszę być wyro-

I£

~>

------a-

Fig. 42,

Fig. 43.

bione podług elipsy (fig. 43), której rzędne względem włókna obojętnego sę równe połowie rzędnych elipsy poprzedzającej.

Przypuśćmy teraz, że n jest zmienne, a m stałe. Równanie (ł ) wyobraża wtedy parabolę przechodzącą przez końce belki, a połowy rzędnych tej krzywej sę rzędnemi bocznego obwoau względem włókna obojętnego.

14

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERYAŁÓW.

Wreszcie, gdyby przecięcie nm miało być slałe i równe ilości £1, wymiary pionowe rn byłyby proporcyonalne do rzędnych paraboli, a wymiary poziome n wypadłyby z równania nm = £2. Przypadek ten nie da się urzeczywistnić w praktyce, bo na podporach mielibyśmy m = 0, a więc n— oc.

Oznaczmy teraz strzałkę belki, w tym celu u ważmy, że na zasadzie równania.

ET

— = El

rPjl_ _ m dxl v

mamv

(!'>/ __ 11 da* Ec

it-

-'X-

Fig. 44.

gdzie R oznacza natężenie włókien na odległości v od włókna obojętnego; że zaś największemu natężeniu odpowiada wartość

v =    — x³) (rów. i), przeto równanie włókna obojętnego będzie

dj/_2lt /nR

E V ‘Sp ‘ yjax — x*

a po zcałkowaniu (*)

dy __2R /«Jtt

ËV 3p\

'Ix

dx

łuk dos 1—— +K

5 pochodna -j£ jest równa zeru, a więc

Dla x=

CL

w\ u

Pozostaje zatem do zcałkowania

MS

%\&\

>—

sr

c_

ol I «

w] g

li l5-<

i « u

"i

zkg.d (*)

«IS

e i<m

IQ9 I SL

I s 1^0

4l I ⁵⁵

hi ?o

<<

•SSI ?

x-

<.......

■*!

a wiec

/I

./

rix

<-

3 l!Tt

SL

S l(M

WH Si

is.i s

łsi e

i>si a

I fs

I-SI 5

3 I?!

łuk dos I \

— ) + K. a )

164

część 1. — PRÇÎY PROSTK ALBO BEt.Rl.

że zaś dla -£=0, y jest także równe zeru, przeto K, = 0. Wstawiając w powyższem równaniu za .r — otrzymamy największą rzędną y

max

y,nax —

Otóż, gdyby belka miała wszędzie jednakowe przecięcie równe największemu przecięciu belki o jednostajnej wytrzymałości mielibyśmy (ust. n. 40) :

y max —

5 pa!¹ A . R. fn\\

3lT4BÎ=⁰'4l6ËV^-a’

zważywszy że

]~V2

nm³ —

n_3p_ /3p

12nRVwR*

oo I

Zatem belka o jednostajnej wytrzymałości wygina się 4/3 razy więcój jak belka zwyczajna mająca przecięcie równe największemu przecięciu poprzedzającej.

2x

jeżeli oznaczymy I--przez u. Całkując częściami otrzymujemy

«

luk dos udll = U luk dos U—•

U luk dos U —

r -du

J Uy/i=&

rd(t —u?)

J 2\J\ — u⁸

U luk dos U — yj\ — u² ,

kęd wypada, że

('-f)“ d“ (i_t)

ko a

+ K,.

52. Belki z żelaza walcowanego kształtu litery I. —

Obliczmy wymiary belki blaszanej o równej wytrzymałości, mając daną długość a i obciążenie p na metr bieżący.

Zadanie to można rozwiązać w dwojaki sposób : albo zmieniając wysokość belki, albo pogrubiając odpowiednio tablice poziome. Rozbierzmy więc i porównajmy oba przypadki. Oznaczmy przez n szerokość tablic poziomych ;

m odległość ich środków ciężkości, albo w przybliżeniu wysokość belki ; c grubość tablic.

Pomijając moment bezwładności duszy i węgielnie, mamy I =nc—-, a że włókna najwięcej natężone leżą mniej więcej

jL

= nem, zkąd

na odległości y = - od osi obojętnej, przeto -

A    O

RI

— = Rmne — x — - x¹.

2 2

Ilości R, n, p i a są stałe, a zaś m i c mogą się zmieniać obiedwie razem, albo jedna z nich tylko, Gdy c jest niezmienne, wierzch belki ma kształt paraboli, której rzędna

maximum odpowiadająca odciętej x = ^ jest

_ pa*

WWr—8RSTc’

a objętość tablic jest równa w przybliżeniu

Y = 2 nca,

albo, wstawiwszy za c wartość wyciągniętą z powyższego równania

"V —

pa³

4R mm((x

Jeżeli przypuścimy, że m jest stałe i równe największej poprzednio znalezionej, to znowu c musi być zmienną czyniącą zadość równaniu

wartości m

maa

Wcnrn

max

_pa

“T

tsi-ö

Ta belka będzie także posiadać jednostajną wytrzymałość. Jej objętość jest

i;

2 ncdx =

-— ( (ax — x~)dx ■=.

“I max^J u

nn³

tinx

gdy tymczasem objętość w przypadku poprzedzającym była

pa³

\ax

4tt m„

To dowodzi, że pod względem objętości i ciężaru tablic, belka o stałej wysokości jest korzystniejsza od belki o wysokości zmiennej ; ciężary bowiem obu belek mają się do siebie jak 2 do 3. Go więcej, jest ona korzystniejsza pod względem sztywności, bo skoro mamy w każdem przecięciu

zkad

PSIK

przeto p en proporcyonalne do v, a więc i do m, czyli, że promienie krzywizny są tem większe, im większa jest wysokość

m. Zmniejszając więc wysokość belki od środka ku przyczółkom, zwiększamy strzałkę wygięcia. Zważywszy wreszcie, że wysokość belki jest jednym z najważniejszych elementów jej sztywności i wytrzymałości, powiedzieć można, iż belka o jednostajnej wytrzymałości leżącą na dwóch podporach powinna mieć wysokość stała.

Prawidłu temu sprzeciwiają się niekiedy względy architektoniczne, w których piękno przemaga nad warunkami nakładu pieniężnego, ale w ogóle można je uważać za zasadę bardzo racyonalną, wbrew mylnemu pojęciu niektórych inżynierów przenoszących belkę paraboliczną nad belkę prostą w tem mniemaniu, że tylko pierwsza z nich czyni zadość warunkom jednostajnej wytrzymałości.

Ponieważ dotąd nie braliśmy pod uwagę ściany pionowej wypada jeszcze przekonać się, czy okoliczność ta nie osłabia prawdziwości wyników powyższego rozumowania. Uważmy więc, że zdaniem wszystkich konstruktorów ściana pionowa belki bowinna być w taki sposób obliczoną, aby wytrzymała działanie sił poprzecznych, z zupełnem pominięciem tablic poziomych, które służą jedynie do zwalczenia momentu zgięcia: oznaczmy przytem przez rn wysokość ściany, przez c' jej grubość, a przez R'wytrzymałość przeciw natężeniu poprzecznemu na jednostkę powierzchni, i ułóżmy równanie warunkowe

px.

RW=w=.-y,=2?^ dx\ 2

Równanie to odnosi się do wszystkich przecięć, to jest do wszystkich wartości zmiennej x w granicach od zera do a. Dla danej wartości x — k mamy

, pa pk

co dowodzi, że przecięcie mc jest takie same co do wielkości w obu przypadkach uważanych. Zatem ściana pionowa belki parabolicznej jest co do ciężaru równa ścianie pionowej belki prostolinijnej.

Rzeczy mają się wprost przeciwnie, gdy ze względu na kon-strukcyę bierze się na c wartość znacznie większą od tej,

która wypada z rachunków; wtedy bowiem obiedwie belki mają jednakowy grubość. Przypadek ten dotyczy małych be" lek żelaznych wystawionych na małe natężenia poprzeczne, a więc mających teoretycznie nadzwyczaj cienkie ściany. Ale też w takim razie belka paraboliczna nie przedstawia żadnych korzyści.

53. Balansyery i korby machin parowych. — Balan-yery machin parowych mogą być uważane jako bryły osadzone w samym środku i obciążone na końcach, albowiem siły działające na jednę połowę balansyera sprawiają na drugiej taki skutek, jak gdyby połowa ta była przymocowaną do osi obrotu. Mamy więc do znalezienie kształt bryły, któraby obsadzona jednym końcem, a umocowana na drugim, miała wszędzie jednakową wytrzymałość.

Fig. 45.

Niechaj AB (fig. 45) oznacza włókno obojętne, a P siłę działającą na punkt B tegoż włókna. Równanie momentów zgięcia, jest jak wiadomo

RI

M = — — Pa‘ ,

gdzie x oznacza odległość jakiegokolwiek przecięcia poprzecznego od punktu B. W przypadku przecięcia prostokątnego mamy

nm5 v⁼~iT ’

a więc gdy szerokość n jest stała, wysokość m wypada z równania

bP

«R

Równanie to przedstawia parabolę. Wszelako, skoro belka ma mieć kształt symetryczny względem włókna obojętnego, musimy przyjęć m = 2v, tak że

(0

mr—

Taki być powinien obwód podłużny balansyera. Go się zaś tyczy przecięcia poprzecznego, to najlepiej jest nadać mu kształt litery 1 z żebrem wystajęcem wzdłuż włókna spodkowego, a majęcem na celu wzmocnienie części osłabionych przez przyczepienie łaty korbowej, wału, tłoków, pomp i cylindra, i równoległoboku Watt’a

Grubość n ściany pionowej balansyera, nie liczęc żeber, jest

jednostajna na całej długości i zmienia się zwykle od ^ do —

wysokości v przy osi obrotu; gdyby jednak nie było żeber, n

1    1

musiałoby być równe - lub -vm:ix. Długość balansyera jest za-6    5

zwyczaj równa trzy razy wziętemu skokowi tłoka.

Wzór (ł) służy także do obliczania wymiarów korby wprawiającej w ruch wał transmissyjny, gdyż można ję uważać jako bryłę przymocowanę na jednym końcu do wału obrotowego, a poddana działaniu łaty korbowej na drugim końcu. Zazwyczaj

grubość n jest równa £ lub £ wysokości vmar . o 5

Sworznie korby łęczę się z łukami paraboli za pomocę łuków koła stycznych zarazem do sworzni i do parabol. Promień zewnętrzny sworznia obejmujęcego wał obrotowy jest 1,8, a nawet 2,2 razy większy od promienia wewnętrznego, a dla sworznia dotykającego łaty korbowej stosunek ten jest jeszcze większy.

54. Zęby, obręcze i ramiona kół zębatych. — Zęby

kół trybowych są umocowane jednym końcem na obręczy koła, a ich drugi koniec jest wystawiony na działanie siły P, prostopadłej do włókna obojętnego; są to więc bryły w poprzedzającym ustępie rozebrane. Wszelako zębom nie nadaje się kształtu odpowiadającego jednostajnej wytrzymałości, lecz oblicza się ich wymiary za pomocą prostego wzoru (ust. n. 45).

(i)

M = Va =

Knrrir

ir *

gdzie m oznacza szerokość zęba w kierunku okręgu, w grubość w kierunku prostopadłym do płaszczyzny koła, a a jego długość. Dla żelaza lanego mamy R = 7ks na milimetr kwadratowy, że jednak zęby kół trybowych są wystawione na ciągłe uderzenia; przeto przyjmiemy Rr=lks-,50; w skutek czego wzór poprzedzający przyjmie kształt

Pa — 0,25 nnr

Przy starannem wykonaniu i jednostajnym obrocie koła można przyjąć

Pa = 0,30 nm-.

W praktyce przyjmie się zwykle a=l,2m lub 1,5m stosownie do tego, czy koło przesyła wielkie czy małe natężenia. Grubość n zmienia się od 6rn do 3m zależnie od wielkości siły P, a to w stosunku następującym :

Wartości względne n i m. n = 3,0/w, n — 3,5 m, n = 4,0 m, n — 5,Om, n =5,5m, n — 6,0 m.

Siła w kilogramach.

100 do 250,

250 — 500,

500 — 80Ö,

800 — 1200,

1200 — 2000,

2000 — 3000,

Powyższe cyfry stosuję się także do zębów z twardego drzewa. Te ostatnie oblicza się za pomocę wzoru

Pa = 0,145 nml

Obręcz koła ma tę sarnę grubość co i zęby, a szerokość w kierunku promienia równę szerokości m zęba ; wszakże

wymiar ten zchodzi do gdy obręcz jest wzmocniona

żebrem wewnętrz okręgu. Aby zmniejszyć prawidłowę szerokość zęba m w przypadku koła wystawionego na uderzenia i wielkie wysiłki, otacza się je dwoma licami do obręczy przy-mocowanemi, tak że zostaje tylko mały odstęp (0m,01) między licami dwóch kół nawzajem się zazębiających; grubość tych liców równa się połowie lub dwom trzecim szerokości m zęba.

Grubość obręczy drewnianych jest równa grubości n zęba,

m, a jej szerokość

zwiększonej po obu stronach ilością w kierunku promienia jest m.

cm irc

Ramiona kół zębatych mogę być także uważane za bryły obsadzone na jednym końcu, a obciążone na drugim. Do obliczenia ich wymiarów służy wzór (1), w którym za R przyjęć można 7k^,0 na milimetr kwadratowy, zważywszy że zmniejszenie wytrzymałości w skutek wstrzęśnień i uderzeń jest wynagrodzone rozdziałem pracy na wszystkie ramiona. Zamiast kształtu parabolicznego zapewniającego jednostajnę wytrzymałość przyjmuje się krawędzie ukośne prostolinijne, w taki sposób ułożone, aby szerokość ramienia w pobliżu obręczy

mniejsza od szerokości m w pobliżu osi.

lub

była o ~

Dla kół majęcych co najwyżej lm,30 średnicy wystarczają cztery żebra, dla kół o średnicy lra,30 do 2m,o0 sześć żeber,

dla średnic od 2m,50 do 5m ośm, a dla średnic od 5“ do 7m dziesięć żeber. Wszakże liczba ramion zależy nie tylko od promienia koła, ale także od wymiarów korony.

ROZDZIAŁ IV

BELKI LEŻĄCE NA KILKU PODPORACH.

55. Określenia. — Zadania dotyczące belek prostych leżących na kilku podporach zdają się być nierozwiązalne na pierwszy rzut oka, bo Statyka ciał stałych nie daje dostatecznej liczby równań warunkowych potrzebnych do oznaczenia oddziaływań belki na podpory.

Łatwo jest pojęć à priori, że istnieje nieskończenie wiele układów oddziaływań, które są w stanie zrównoważyć działanie sił zewnętrznych. Przypuśćmy dla lepszego zrozumienia, że dana belka spoczywa na trzech podporach ustawionych w linii prostej. Gdy usuwamy podporę środkową, oddziaływania dwóch podpór skrajnych podlegają prawom Statyki elementarnej, a oddziaływanie podpory środkowej zchodzi do zera. Te same oddziaływania istnieją jeszcze w chwili zetknięcia podpory środkowej z belką. Ale gdy jakimkolwiek mechanicznym sposobem zaczynamy ją przyciskać stopniowo, nie niszcząc bynajmniej równowagi całego układu, oddziaływanie tej podpory zacznie się powiększać, a oddziaływanie podpór skrajnych pocznie maleć stopniowo. Tym sposobem możemy stworzyć dowolną liczbę układów sił oddziaływających, czyniących zadość ogólnym warunkom równowagi.

Ale te wszystkie układy oddziaływań odróżniają się jedne od drugich strzałką belki w pobliżu podpory środkowej

Strzałka ta jest tem mniejsza im większe jest oddziaływanie podpory środkowej ; jeżeli więc belka ma być pozioma, to oddziaływanie musi być taką siłę, któraby była w stanie sprzeciwić się wygięciu belki po usunięciu słupa (*). Zatem układ oddziaływania może być ściśle oznaczony; ale w tym celu trzeba wziąć pod uwagę odkształcenie ciała.

Ogólna metoda służąca do obliczania odkształceń belki poło-łożonej na kilku podporach polega na przyjęciu zasadniczych przypuszczeń nauki o wytrzymałości materyałów, to jest istnienia przecięć płaskich i normalnych, które pozostają płaskiemi i normalnemi po odkształceniu, i na przypuszczeniu stałości przecięć poprzecznych. Otóż pierwsze z nich nie jest matematycznie ścisłe, a drugie jest zupełnie niedokładne, gdyż przecięcie belki leżącej na kilku podporach zmienia się w tych miejscach, w których rachunek wskazuje większe momenta zgięcia. Do zmniejszenia wynikającej ztąd niedokładności służy następujące prawidło :

Gdy chodzi o znalezienie przecięcia belki, któraby była w stanie wytrzymać działanie danych sił zewnętrznych, trzeba najprzód przypuścić, iż owe szukane przecięcie jest stałe» obliczyć siły i natężenia działające w każdym punkcie, i na zasadzie tych ilości oznaczyć wymiary rozmaitych przecięć poprzecznych. Trzebaby potem wyznaczyć na nowo natężenia w każdym z owych znalezionych już przecięć; ale biorąc za punkt wyjścia świeżo obliczone wymiary, a nie wymiary stałe w początku przyjęte ; wreszcie rachunek ten trzeba powtarzać tak długo, aż wypadki dwóch prób kolejnych będą zupełnie z sobą zgodne. Jednakże tej metody stopniowych przybliżeń rzadko się używa, bo jak dowodzi doświadczenie, pierwsza próba daje wypadki dla praktyki dostateczne.

Rachunki dotyczące belki kilkoprzęsłowej polegają tak samo

{*) Metody tej użyto w ustępie n. 49.

jak w belce o dwóch podporach na : 1° oznaczeniu granic skrajnych obejmujących wszystkie momenta zgięcia, 2° oznaczeniu największej] bezwzględnej wartości natężenia poprzecznego. Dane zadania są następujące :

Końce belki spoczywają na przyczółkach, a niektóre jej punkta środkowe są podparte słupami, mającymi grubość równą zeru w kierunku podłużnym belki (¹). Siły zewnętrzne są prostopadłe do włókna obojętnego, a ich wypadkowe leżą w płaszczyźnie pionowej przez to włókno przechodzącej, są to mianowicie ciężary jednostajnie na przęsłach rozłożone, ale zmieniające się od jednego przęsła do drugiego.

Liczba przęseł jest n; podpór jest n 4- 1 licząc od lewej ręki ku prawej, tak że podpora n. 1 jest przyczółkiem lewym, podpory n.2, w. 3,... n.n tworzą n —i następujących po sobie słupów, a podpora n 4- 1 jest prawym przyczółkiem. Przęsła będą numerowane liczbami odpowiadającemi podporom na lewo położonym, to jest numerami od 1 do n.

54. Twierdzenie Bertota. — W ustępie poprzedzającym podaliśmy ogólną metodę służącą do oznaczenia oddziaływań podpór bez względu na liczbę przęseł i na rodzaj obciążenia; metoda ta jest jednak bardzo niepraktyczna, bo wymaga rozwiązania 3« 4- 1 równań obejmujących w sobie n 4-1 oddziaływań i 2n ilości stałych przez całkowanie wprowadzonych, czyli razem 3n -ł- 1 nieznanych. Liczbę tych równań zmniejszył najprzód uczony francuzki Clapeyron, a to biorąc za ilości niewiadome momenta zgięcia na podporach i pochylenie włókna obojętnego w tychże miejscach ; jakoż momentów zgięcia na podporach jest tylko n — \, bo na przyczółkach mamy M = 0, a kątów jakie tworzy włókno z poziomem jest n 4- 1, co czyni razem 2n nieznanych. Później zaś w roku 1855

Bertotot sprowadził liczbę niewiadomych do n—i momentów na podporach, a to mianowicie przez zastosowanie tak zwanego twierdzenie (Bertofa) trzech momentów, wyrażającego związek, jaki zachodzi między trzema momentami na trzech podporach sąsiednich.

Niech AB i BG oznaczają dwa sąsiednie przęsła jednej i tej samej belki spoczywającej na kilku podporach (fig. 46). Weźmy za osie współrzędne linie Bx i By mające swój początek w punkcie B, a nawzajem do siebie prostopadłe, i oznaczmy przez

Mj, M₂, M₃, wartości momentów zgięcia na podporach A, B, C ;

Ui, av długości przęseł AB i BG ;

/?i, pv ciężary równo rozłożone na jednostkę długości tychże przęseł ;

W, natężenie poprzeczne W punkcie B odpowiadające przęsłu BG ;

0, i pochylenie włókna obojętnego do poziomu w punk lach B i G.

JL

»à

Fig. ifi.

Uważmy jakiekolwiek przecięcie przęsła BG, np. przecięcie zrobione w punkcie w leżącym na odległości x od początku osi współrzędnych i szukajmy momentu zgięcia w tem miejscu. Gdybyśmy przypuścili, że belka jest ucięła w punkcie B, to dla utrzymania równowagi musielibyśmy przyczepić w tym punkcie parę sił, której by moment był równy momentowi

część I. — PRĘTY PROSTE ALBO BELKI.

i 76

zgięcia przed ucięciem. Mamy więc

0)

E1 § = Ms-|w' + W*-

Całkujęc to równanie otrzymujemy

dy

J=M₂a; — ps.vs 4- ^ W a,’,

Elfy — x st e₂) = i M,x⁵ — i. p^.f 1 Was.

Wstawiając w równaniach (1), (2) i (3) ai za a: otrzymujemy

(2)

(3)

(4)

• (3)

(6)

osi hâ

1

ąP&i+ W«j,

EKst 6,—st 0₂) = M₂ oa — | y₂flj³ 4- i Wtfjs, b    2

jEIfljStój = - M₂ßj“    — /?₂ö/ 4- - W a₂’.

Wyrugujmy W w równaniach (-4) i (6) a polem w (5) i (6) :

Stô,= —2st9, — gM ₂-lÄ⁸

M, = — 2M*—

te —

albo z powodu małości kętów 0₂ i 0₃

(?)

0.= — 20₂ —■-    •

⁰    2 El 24 El

Zatem moment zgięcia na podporze i odpowiadające temu momentowi pochylenie włókna obojętnego sę funkcyami li-nijnemi momentu zgięcia na podporze poprzedzającej i odpowiedniego pochylenia włókna.

Wyraźmy teraz moment przez funkcyę M₂, to jest zastosujmy wzór (7) do punktu A z warunkiem zamienienia 0₂ na — 0₂ ; otrzymamy

Mt= - 2MS +

(8)

6EI    1    ,

-02 ™ yPi^i i

a,    4

a rugując 0₂ z równań (7) i (8) znajdziemy

1 1

«i + 2M₂ (ai    = pi a* — -p₂a*.

Oto jest związek zachodzący między momentami zgięcia na trzech podporach sąsiednich, czyli tak zwane twierdzenie trzech momentów, albo twierdzenie Bertofa.

57. Zastosowanie twierdzenia trzech momentów. —

Dwa są sposoby znalezienia momentu zgięcia na którejkolwiek podporze. Pierwszy z nich polega na wyszukaniu momentu odpowiadającego jednej z podpór skrajnych i na wyprowadzeniu ztąd momentów na innych podporach, drugi zaś na zastosowaniu wzoru dającego od razu moment na którejkolwiek podporze. W opisie tych dwóch metod, a w ogóle w ea-łem traktowaniu belek kilkoprzęsłowych pójdziemy za wykładem Collignon’a w szkole Dróg i Mostów’.

Oznaczmy przez :

Ma, M3,

Mm, n — i nieznanych momentów zgięcia na podporach n. 2, 3,.. . n (*) ;

an, długości przęseł odpowiednich;

py ich ciężary na jednostkę długości.

(*) Momenla zgięcia na przyczółkach, to jest na podporach 7?. ! i ??. U ~f- i *3 łowi « zeru.

12

WYTRZYMAŁOŚĆ MAIE1.YAŁÓW.

Stosując twierdzenie Bertot’a do każdej pary przęseł po sobie idących, otrzymujemy następujące n— 1 równań pierwszego stopnia :

2 («! -f- a₂) M, +- a₂M₃= — (pi at³ 4- p₂ a³) :T=-K₂,

o,M, 4- 2(as 4~ a₃) M₃ 4- ff₃M₄ = --(pia³ + p₃a³)

=-k₃,

a₃ M₃ 4- 2 (a₃ + ff₄) M₄ 4- ff₄ Mg = — | (/>₃ ff₃³ + A ą³)

=-k₄,

Ma

—2

(VI)

+ d (öa4- tt/t—i) Ma.—₄ 4- «a—i Ma + Pu-, ci³—Ku-V

= ~-(pu-₂a³

Ou—i M/,-— 4- 2 (ßu—i 4- ff a ) Ma 4- öaMa+

| /    .    „ f; ■

=    | P« - i a ’--i y=

Ma 4-- 2( ff a 4- Ok _l. j) Ma j. j -t-ff*₊₁ M*+a

4

⁼    -J {pu O³A 4*pli +1 O³k +1) ⁼ K A

-K

/V)

ff)i —2 M,

4- O,,—, M«

4- 2    ,4- ff/i—j) M

"t⁻ Pn—i ff «—i) —“K)(—jj

™ y [pn—2 O³»

°n-i Mi4- 2    4“ ffn) Mw = — -{pn-i 4-/?„ff„³)

= -Kw,

oznaczają dla skrócenia summy

w których ilości Kp K₂

4

kształtu --(/>, ff!³ 4-p₂ ci³) i t. p.

Pierwsza metoda polega na znalezieniu M₂ lub Mn. W tym celu zastosujemy metodę Bcsout’a mnożąc każde z powyższych równań przez pewien współczynnik nieoznaczony i rugując tym sposobem wszystkie niewiadome oprócz jednej. Jeżeli pomnożymy pierwsze równanie przez współczynnik aw_₂, drugie przez aM_₃, ..., przedostatnie przez a v a ostatnie przez a₀ = l, i dodawszy potem do siebie wszystkie równania zrównamy z zerem współczynniki niewiadomych M₃, M„... M to otrzymamy :

«j

(1)

Ms = -

K₂aH—₂ -4- K₃%n_₃-4~. . . -4- Kn_j a, -4- Kn<x

₂ (cix -4- ö₂) -4- aM_₃ ö₂

tudzież

j O-n_₂ H- 2aw_₃ (a₂ -I- as) -4- (f-n_4 a3 —0,

i    %ti—3 O3 -j-    i—^ (ü-ÿ -+■ Gf/() -ł-    O^ —0,

(a)

a₃ e«_3 -4- 2a₂ (an_₃ -4- Qn_2) -t- r/.\ cin—z — 0,

K₂ Gn—2 —(ö!«—2    Gn—j) —p C?n—1 0,

¹ cq 1 -4- 2a₀    _j -4- ö«) = 0.

Sę. to równania warunkowe służęce do wyznaczenia współczynników au a2, • •. • ■«j ocn_2" Mamy z założenia a₀= 1, ostatnie

Wszakże równania te s£

— 2"

równanie daje at, a wstawiwszy tę wartość w przedostatnie otrzymamy a₂, i t. d., aż do an tak podobne jedne do drugich, że można napisać przez analogię

0Cn—j û!j -4- 2an_₂ (ct -4- ß₂) + rJn — 3 ^2 Oj

w skutek czego równanie (1) zamienia się na

K»-, a, -4- K»g„

jyj hä v-n — 2    —3

Otóż widoczny jest rzeczą, że współczynnik cq jest zawsze odjemny i większy od 2 co do bezwzględnej wartości ; zatem

współczynniki a₀, cq, a₂.....*„_! tworzę szereg liczb rosnę-

cyck, na przemian dodatnich i odjemnych. Możemy więc napisać    '

InL/

z „-i -

gdzie

aJ== 1,

««

a₂ = — 2«J ( 1

dn

On

“ao —

On

•)

On—3

an

— 3,

««_₂——2a

K)-

wn_i ⁼ * 2a

-K:)

M.=

oznaczajcie przez u wszystkie liczby całkowite od 2 do n.

Ażeby znaleźć M„ trzeba znowu zastosować metodę Be-sout’a do wyrugowania wszystkich niewiadomych oprócz Mrt i obracliować współczynniki nieoznaczone ß₀, ßt, .. . 8n_, odpowiadające równaniom Bertot’a, idęc z góry na dół. Znalcźli-

KSIĘGA II. WYGIĘCIE PROSTE I ZŁOŻONE. — ROZDZIAŁ IV.

byśmy tym sposobem

i ßo=l,

¹

Słupy te maję w istocie pewnj grubość w kierunku belki, bo inaczej nie miałyby żadnej wytrzymałości.

Pi = -

²K;)’

P.=-

(?)

ßn—2 2ß

«-3

(i +

\ «»_!/

P.-1 ~ß" — 2^

«»

0»l

(3)

M„=

-2 K„ ß«

Majac M, albo Mn możemy obliczyć moment zgięcia na którejkolwiek podporze na zasadzie równań M (¹).

Starajmy się teraz znaleźć moment M¹ na jakiejkolwiek podporze k. W tym celu pomnóżmy pierwsze równanie szeregu (M) przezan_7„ drugie przez a„_Äß, trzecie przez an_ftß₂... aż do (k — l)es°, które pomnożymy przez a„_&ß/;_₂; pomnóżmy dalej równanie Æte przez »„_¹_! ß¹_₂, równanie (Ä-f-l) przez an_Ä_₂ßfc_₂,... a równanie (n — l)sz0 przez 3A._₂. Dodając potem do siebie te równania otrzymamy

Mtt == —

K/i— fctK^ßo 1    i .. .1\7c—iPk — sH⁻kfcßfc—2^ ! ßfc—2(^4 -|-i%n~k— (H⁻• •• Km—jOTj—j—1\ //Ä,,)

Clk—i&n — fcßfc—3 —1—    j + fl/c)?»i_/cß/c_2 + öfc«n_fc_₁ß¹_₂

Uważmy teraz, że między trzema ilościami 8fc_₁₅ ßft_₃ zachodzi związek

an

—i

-H 2    ł- Ö7i) ßfc_₂ + ö/r^A'-i ⁼

który pomnożony przez daje

Clh—i «n_ftß7i— 3 + 2 («/,:_! -+- O7.) «n_7: ßft_₂ = — Ojc&n—kfili—f

Zatem mianownik wyrażenia M* sprowadza się do —ah («n-kfa-i — ««_*_! ß*_,). Łatwo jest dowieść, że ilość ta jest stała; bo jeżeli zestawimy z sobą dwa znane związki

(a i ß)

= 0,

ö/,:—! Sft_3 -1-2 (ß/f—j -f ö/£) ßfc_₂ -ł- ff* ß/f

tt/c.

an._7£ + i “1- 2    + O7.) ttn—lc “i“Ö*: <X.n — k-i —0,

i pomnożywszy pierwszy z nich przez an_ft, a drugi przez Ptc_₂, odejmiemy jeden od drugiego, otrzymamy

a7i—i(an—1 p7i—a an - Je ß/._ 3) : <2/. (an -kpk- 1    an—7i—1 ß/:—o) •

-V

Jest to więc ilość stała — A, równa n. »«_, albo ow ßn Mamy więc ostatecznie

(4)

M*=

Uważmy przytem, że współczynniki a„, ß», są dodatnie albo odjemne, stosownie do tego, czy jest parzyste czy nieparzyste. Wypada ztąd, że summa lub różnica an±an_, dwóch po sobie następujących wyrazów szeregu (a) jest tego samego znaku, co wyraz mający mniejszy wskaźnik, to jest tego samego znaku co an, i że wTartość bezwzględna summy a„ -+- an_t jest mniejsza od an, gdy tymczasem wartość bezwzględna różnicy a„—an-1 jest od niego większą. Także iloczyny «„ lub a« ß/£ dwóch którychkolwiek wyrazów szeregu a lub ß są do-datnie, gdy wskaźniki n i k są oba parzyste albo nieparzyste,

Wstawmy teraz w pierwszej funkcyi pochodnej

</./

albo mówiąc inaczej, gdy summa w-t-Æ jest parzysta. W ogóle sę dodatnie lub odjemne, stosownie do tego,

liczby

«wßft

aa'ßft'.....

czy summa n + Æ-P n -+- k\.....wskaźników licznika i mia

nownika jest parzysta lub nieparzysta.

58. Natężenia poprzeczne i oddziaływania podpór.

— Wiadomo z ustępu n. 36, że każdemu miejscu zetknięcia belki z podporę odpowiadają dwa natężenia poprzeczne, których różnica jest równa oddziaływaniu podpory. Jeżeli oznaczymy przez (fig. 29) :

W'k i Wk natężenie poprzeczne na podporze n.k. w przęśle w.(Ä — 1) i n.k;

natężenie poprzeczne na podporze n.k-\-\ iw przęśle

W'

ft+i

n.k;

Oft oddziaływanie podpory n.k;

to moment M w jakiemkolwiek przecięciu przęsła n.k będzie

\

— Mft -i- W/.-x — -pix*.

Dla x=ai mamy

Mft₊₁

4

= Mft+ Wftflj- — ąPk an

zatem

(O

W,=

Mft₊₁ —

Oft

T- = W ft —Pft.^

część I. — PRĘTY PROSTE Al.BO BELKI.

184

a/c w miejsce x\ a otrzymamy

W'a+i =Wb—pkak,

co dowodzi, że różnica W* — W'/£+1 natężeń poprzecznych w przęśle n.k na podporach k i k-b d jest równa ciężarowi tegoż przęsła. Mamy więc

(2)

M, + 1—My,

Ole

Takie sę natężenia poprzeczne na podporach k i k -+-1, ale tylko odnośnie do przęsła n.k. Gdybyśmy chcieli znaleźć całkowite natężenie na podporze k, to jest oddziaływanie tej podpory, to trzebaby odjęć od natężenia W* wysiłek W'Ä. Otóż W'y, wypada ze wstawienia k—1 za k w wyrażeniu (2), a zaś W/c jest dane przez równanie (1). Mamy więc

O*—Wy, —W'* =

2 P>‘—i ak-1 + Z₂Pk 0/‘

Sic?

—¹ —Ma

Ok

—i

°k

Za pomocę tego wzoru możemy znaleźć natychmiast oddziaływanie przyczółków, to jest podpórn — 1 i n + l; mamy bowiem na podporze n. \ :

albo wstawiwszy za Ms wartość poprzednio znaleziona (ust.

n. 57)

O. =

ip'a'A

K„ «n-li

a«-!«!² ’

a zaś na podporze n.n -f- 1

0„

—2

,ß;( — i Off

59. Moment zgięcia i natężenie poprzeczne w którymkolwiek punkcie belki. — Łatwo jest oznaczyć moment zgięcia w którymkolwiek punkcie belki, gdy znamy momenta na podporach. Przypuściwszy n. p., że chcemy znaleźć moment M odpowiadający przecięciu położonemu w przęśle n.k na odległości x od podpory k, ułożymy najprzód równanie (lig. 47) :

M=Mrf-W kx — ^ pk X*,

i wstawiwszy w niem x — ak napiszemy

M*₊1 = M* -+- W, ak—-pk ak\ zkąd, po wyrugowaniu ilości W* wypadnie

Mak — M/,+ix = M* (a*—x) + - pk akx (ak —- x),

albo

ok

4- -pkx(ak — x).

Zatem moment M w jakimkolwiek punkcie belki składa się

1 ^

z dwóch części, jednej -pkx (ak—x), równej momentowi zgię-

Jd

cia wT przypadku, gdy belka jest ucięta na podporachk i k-j- 1 Mk{ak—x) 4-Mą₊₁ x

, która widocznie

Ok

(ust. n. 40), i z drugiej

zdaje sprawę z ciągłości belki. Pierwsza z nich jest propor-cyonalna do rzędnych paraboli przechodzącej przez punkta podparte, a której oś jest prostopadła do belki AB i przechodzi przez środek przęsła «.Æ ; druga zaś jest proporcyonalna do rzędnych linii prostej przechodzącej przez punkta x=0, M = M/f i x==ak, M=M*₊₁. Chcąc więc znaleźć moment

CZÇSC. I. — PRÇTY PROSTE ALBO BELKI.

186

w jakimkolwiek punkcie belki dosyć jest wzigć summę alge-braiczng rzędnych tych dwóch linij (²).

Natężenie poprzeczne w jakimkolwiek punkcie przęsła n. k jest

— H-\p²a²—PhX.

<M M ^ ~dx~~ ~

Znajgc więc momenta zgięcia na podporach, znamy natężenie poprzeczne we wszystkich punktach belki.

Î»

te-: fej

I3

Fig. 47.

60. Wzory przybliżone. — Widzieliśmy w poprzedzających ustępach, że wszystkie zadania dotyczące belki leżgcej na kilku podporach sprowadzają się do obliczania momentów zgięcia na podporach. Metoda służąca do oznaczenia tych momentów, a oparta na twierdzeniu Bertofa jest bardzo łatwa i prosta, ale wymaga jeszcze dosyć mozolnych rachunków, gdy liczba podpór jest znaczna. To też w praktyce używa się wzorów przybliżonych, polegających na opuszczeniu niektórych współczynników «. I tak, ponieważ ilość bezwzględna Dorośnie bardzo szybko z wskaźnikiem k, przeto w licznikach wzorów poprzednio otrzymanych zachowuje się tylko wyrazy majg.ce największe współczynniki.

Przęsła pośrednie sg zwykle sobie równe co do długości, jak również i przęsła skrajne, tak że cała belka jest symetryczna względem linii pionowej przez jej środek przechodzgcej, i że współczynniki a i ß tworzą jednakowe szeregi liczb. Wprowadzimy więc warunek

«i=am,

ög ffg -— (?₄ — . . . On

warunek upraszczający także wzory prawdziwe w poprzedzających ustępach wprowadzone.

1° Momenta M₂ i M„. — W ustępie n, 57 otrzymaliśmy wzór dokładny

m₂=

Kg -g 1 KgCC

n—3

n—i

(X ! Kb

an—1 ai

w którym współczynniki ocTC_₂, a„_₃, ocn_₄ są większe od wszystkich innych. Opuszczając więc te ostatnie otrzymujemy

0)

M₂=

Kg CC j) ! K.J <xn-₃ i K v (Xn

Ale współczynniki an_₄, niami

—3’

&n—i

olu_2 są z sobą związane równa-

a„_₃=“2a

*n_2=“ 2«

n—3

(,+S—-

20C„

-2

K)

a«—3

aa a i ci a i a

i-* 't»a ts9 co co I*-

w których oc„_äc=0, «₂ = a₃ = «₄ = ... an__r Mamy więc

W-n—3    —4J

an—2 łÓKn—₄,

an —i

flą —— 30ocn_₄ (öj -+- fl₂) + 4a„_₄ «₂,

zkąd

Mt= -

15 Kg— 4Ka+ Kt

30«!    20«g

CZĘŚĆ I. — PRĘTY PROSTE ALBO BELKI.

i 88

W ten sam sposób otrzymalibyśmy

M„ =

1 a K„ — 4K,

i—i

H- Kn—₈

SOttn •+* 26fl„_j

Ilości Kj, K₈... .Kn można zastąpić summami Qt -+-Q₂, Qs -+- Q₃

4

... Q«—! -t- Qn, gdzie Q oznacza w ogóle ilości kształtu - pa⁸ ; wtedy'

M₂=-

Ib Qt -t- 11 Qg — 3Q₈ -f- Q;

30«! -i- 26

M »=

doOn-MlO

-3Qn_₂ + On

30«n H- 26a„

2° Moment M₃. — Przypuśćmy, że chcemy obrachować M3 zachowując tylko te wyrazy, w które wchodzą ilości K₂, K₃ i K₄. Wzór ogólny wprowadzony w ustępie n. 57

M*=

a»—k    K„ [i/,—₂ -+- ßj;—g ^/tf) K„an_n

daje po wprowadzeniu za k= 3 i po opuszczeniu wyrazów złożonych z K₅, K₆,...    :

m₃=

—3 1^2    ß, Kj;—₃ h₃ ~f' pj —1₍ b/(

^2 (®n—2 fJl ^n —3 Po)

a że

a«

—2

•4’

«1

przeto

M₃ =

AKial -+- 2 (a, -+-öä) (4K₃ — I\₄)

Uz (26öj -+- 3üûg)

lub

Mr=

-'-2^) + 6Q3 («)+«,) — 4Q, a, — 2Q₄ (a, -+-a₂)

a₂ (26a, •+■ 30a.₂)

3° Moment na jakiejkolwiek podporze. — Przypuśćmy teraz, że w wyrażeniu dajęcem Mk (ust. n. 57) zachowujemy tylko te wyrazy, w które wchodzę, czynniki K*_„ K*, K/i+1. Widocznę jest rzeczą, iż wzór taki będzie mógł służyć tylko w przypadku,

n — d > k > 3,

bo tylko w tych granicach trzem wartościom Kft, K*.H odpowiadają przęsła równe. Mamy wtedy

MÄ

ł^/t'—1    —k ß/c—3 “t⁻ h/; Ctn—/cßk—gK/i+j a/i—1;—iß/.:—2

ale że

A —— ‘ kun__f:—j,

ß*—2 — ’ ^ß/c—3) ß/i—1⁼⁼ ldß*_₃,

A--Cl (cin_jc pic

—~ ®W A— 1 ß/i—2) bOß C£«— /i J ß/i. _ 31

Tl

Ms= —

gdzie a oznacza długość przęsła środkowego, przeto 4K* —K/;—j - K,

14«

lub

M,

_ 3 (0a-_1~+- Q/,:) (U/,—2 A- 0/,+|)

14«

61. O wpływie, jaki wywiera ciężar jednego przęsła na moment zgięcia w którymkolwiek punkcie belki. — Przy obliczaniu wymiarów belki leżęcej na kilku

podporach należy robić rozmaite przypuszczenia co do rozkładu obciążeń, bo raz jedno przęsło, drugi raz znowu pewna liczba przęseł może być danym ciężarem obładowania (*). Ponieważ jedne z tych przypuszczeń odpowiadają większym, a drugie mniejszym natężeniom materyału, przeto byłoby dosyć uważać tylko te przypuszczenia, które prowadzę do największych natężeń. Zachodzi więc pytanie :

Które przypuszczenia odpowiadają największej wartości bezwzględnej momentu zgięcia w danem przecięciu belki?

Do rozwiązania tego zagadnienia trzeba przedewszystkiem poznać wpływ obciężenia jednego przęsła na moment zgięcia w któremkolwiek miejscu belki. Weźmy pod uwagę przęsło n.k, i zastosujmy równanie (ust. n. 59)

Mfc (a. k — x) -l- M/-4l x

(O

M—

+ ^pkx{ak—x),

dla obliczania momentu M w przypuszczeniu, iż jedno tylko przęsło jest obciężone. W tym celu obliczmy wartości M* i podług wzoru (4) (ust. n. 57), w którym dla uwydatnienia ciężaru przęseł wstawimy za K₂, K₃, Kv,

Qa -+ 0₈, Q₃ + 0i,. • • On—i,Qn, majęce kształ ogólny Q = ~pa³.

4

Mamy tym sposobem

ak

Krt ilości Qi-t-Q₂,

[Ol ßo+OsCßo+ßO+OsCß, ßä) + • • •

(2)

ß/»—i

¹    Q*₊₁(«»_ 4—    k—9)-r-...-4-a₀Qwl.

(*) W przypuszczeniach tych uważa się tylko całkowite obciążenie przęseł, bo jak wiadomo z ustępu n. 44, momenta wywołane przez częściowe obciążenie belki w stosunku ;p kilogr. na metr bieżący są w każdem miejsc przęsła mniejsze od momentu sprawionego takimże samym ciężarem pokrywającym całe przęsło. Wprawdzie natężenie poprzeczne może być większe w środku belki niezupeinie obciążonej, jak w środku belki zupełnie obładowanej, ale też wymiary belek są zawsze w środku przęseł daleko większe, jak tego wymaga natężenie poprzeczne.

Widzieliśmy w ustępie n. 57, że współczynnik un, ßn, sę dodatnie lub odjemne stosownie do tego, czy wskaźnik n jest parzysty lub nie, i że ich wartość bezwzględna rośnie z liczbę w; ztęd wypada, że ilości ß₀, ß₀+ßi> Prf-ß?> — P*_₈-i-Pa—su

&-n_/.-h%n_k_1 &n—k_—_J;_••• WCllOClZęC6 W skład

powyższego wzoru sę tych znaków co ilości ß₀, ß,, ß₂,...ß&_₂, oLn_ic, a)i„/;_₁,.,. a₀. Zatem współczynniki ilości Q maję takie

°-H — ftßp

same znaki jak liczby

—/;

y-n—k,

rJ-n—i

iJA'—a „    2 (y .

a«_i

ß*

P„- —

a» — i

a₀; to jest sę dodatnio lub od-

a«

i»

a«_

jemne stosownie do tego, czy summy wskaźników 2n—k—d, 2ra—Æ, 2n—Ä+l,....2n—2, 2rc—3, 2n—4, parzyste czy nieparzyste. A zatem (}*_, i Q* maję wśpółczyn-niki odjemne, Q,£_₂ i Q&+1 maję współczynniki dodatnie, Q*_3 i Kk+2 odjemne, i t..d. na przemian aż do końców belki. Jednem słowem ilości Q sę na przemian dodatnie i odjemne z wyjętkiem Qft_t i Q*, które sę obie odjemne. Jeżeli więc nazwiemy odjcmnemi te przęsła, którym odpowiadaję ilości Q odjemne, a przęsłami dodatniemi te, którym odpowiadaję Q dodatnie, to możemy powiedzieć, że przęsła n. (k— 1) i n. k sę odjemne, a wszystkie inne sa na przemian dodatnie i odjemne.

“»-i

n-hk— 3 sę

Im

lii In    Ił 4

Fig. 48.

1 i-3    1-a k-i Ł

Fig. 49,

k+i Ji+Z    k-1-3

Uważmy teraz, że moment zgięcia Mk na jakiejkolwiek podporze jest w ogóle odjemny. Jego maximum odpowiada więc temu przypuszczeniu, w którem przęsła odjemne sę obciążone (fig. 48), a przęsła dodatnie sę zupełnie wolne; minimum zaś Mfc odpowiada przypadkowi wprost przeciwnemu (fig. 49).

Tyle co się tyczy największego i najmniejszego momentu na podporze n.k. Wróćmy teraz do ogólnego zadania, w którem chodzi o znalezienie największego momentu w jakimkolwiek punkcie przęsła n. k. W tym celu oznaczmy przez z numer przęsła obciążonego i rozbierzmy trzy przypadki następujące.

Przypadek pierwszy; z < k. — Obliczmy przedewszystkiem Mfc i Mfe+1. We wzorze (2) wszystkie ilości Q s§ równe zeru oprócz Qs znajdującej się w pierwszym nawiasie (bo z jest mniejsze od k). Mamy wiec

M*= -

—i)

OPn-

M/i +1-—•

___l)

Wstawmy te wartości w równanie ogólne (1), a otrzymamy

Zważywszy, iż ph jest równe zeru z założenia. Zatem moment zgięcia w różnych punktach przęsła n. k wywołany obciążeniem przęsła z jest propOrcyonalny do rzędnych linii prostej przedstawionej przez równanie :

y — k^lc (M)i—k

a która przecina włókno obojętne w punkcie

œ=

Otóż mianownik <xn__k—ctnr_k_l ma ten sam znak co an_k, ale jest większy od an_k co do bezwzględnej wartości; a więc a* jest dodatnie i większe od ak, czyli że linia momentów pr/c-

cina włókno obojętne we wnętrz przęsła n.k. Ponieważ x jest zupełnie od ; niezależne, przeto linie momentów odpowiadające obciążeniom różnych przęseł położonych po lewej stronie przęsła uważanego będę się wszystkie przecinać w pewnym punkcie G (fig. 50) oddzielającym momenta dodatnie od od-jemnych. Znak momentu po lewej stronie punktu G jest taki

ßl —    —

sam jak dla x = 0, to jest jak znak iloczynu

który jak wiadomo jest dodatni albo odjemny zależnie od tego, czy summa wskaźników 2n — 2 4-s — k jest parzysta czy nieparzysta. Zatem moment na lewo punktu G jest odjemny, gdy k—z jest nieparzyste.

Fig. 80.

Jednem słowem obciążanie kolejne różnych przęseł leżęcych po lewej stronie podpory n.k wywołuje w przęśle Ätem momenta dodatnie i odjemne ; raz momenta sę dodatnie w części ,4G, a odjemne w części CB, drugi raz znowu odjemne w AG, a dodatnie w GB, a to zależnie od tego, czÿ k—- jest parzyste czy nieparzyste. Nazywajęc więc przęsłami dodatniemi względem AG te przęsła, których obciężenie wywołuje momenta dodatnie w tej części, a przęsłami odjemnemi przęsła sprawiające moment odjemny, możemy ułożyć następujęcę tablicę :

WYTRZYMAŁOŚĆ AiATERYAŁÓW.

CZfclSC I. — PBÇTY PROSTE ALËO BELKI.

Część CB

Część AC

Przęsła dodatnie Przęsła odjemne

Przęsła dodatnie Przęsła odjemne

4— 2

k— 3

4—3

Przypadek drugi; ->4. — Tym razem ilość O. znajduje się w drugim nawiasie wzoru (2). Obliczywszy M* i Mfc+J w podobny sposób, jak poprzednio, otrzymujemy

Q i(^n—î'1 V-n — î—i)

«ja* «n—!

Równanie to przedstawia prosty przecinającą oś odciętych w punkcie D (fig. 31) określonym odcięty

[-2Öfc -f- (Sfc _ j ßi _    .

a; = AD =

z'

-s*

Fig. SI.

Mianownik pt_₁—pA. _ ₂ ma taki sam znak, jak p*_ ,, a jego wartość bezwzględna jest większa od pŁ_₂ ; zatem ilość x jest dodatnia i mniejsza od ak. Nadto łatwo jest dowieść że AD jest mniejsze od AC, bo dosyć jest sprawdzić nierówność

ß* -2

P/,-,—P/r-3

*»-*

'An-k Kii—k—i

Przypuśćmy najprzód, że n jest nieparzyste. Ponieważ summy an_ft—ß*_i—ß»—₂ maję, takie same znaki jak <*»—*, ß*_i, przeto iloczyn («„_*—t) —ß*_₂) jest równy co do znaku iloczynowi oen_ft.ßfc bo summa wskaźników n — 1 jest parzysta. Można więc nie zmieniajęc znaku nierówności pomnożyć obie strony przez iloczyn z mianowników. Otrzymujemy tym sposobem

czyli jest dodatni,

*« —XpA'— i    *«■—/• —i iJA'—«s

lub

— kpk — 1    —i—] —2«^ Ó*

Nierówność ta jest widoczna, gdyż wyrażenie (ust. n. 57) :

Ok    k Sk, a.n — k—J pk—₂) = a^J-n 1,

jest zawsze dodatnie, gdy w jest nieparzyste.

Przypuszczając, że n jest parzyste, doszli byśmy do takiehże samych wypadków.

Widzimy więc, że obciążanie przęseł leżących po prawej stronie podpory k wytwarza w częściach AD i DB momenta przeciwne co do znaków, mianowicie dodatnie w AD, gdy _:

a«_,

J3Ä._₂ jest dodatnie, to jest gdy summa wska

źników k -4- z — i jest parzysta. Wprowadzając więc znowu nazwę przęseł dodatnich i odjemnych możemy ułożyć następującą tablicę

Część DB

Część AD

k -t- t

Przęsła dodatnie Przęsła odjemne

A--t-2

Przęsła dodatnie Przęsła odjemne

k -t-2

k+ 3 k 5

k-1-4 k -f- 6

k -H- 4 k-1-6

k-h 3 k -+- 5

Przypadek trzeci; z — k. —Gdy z jest równe k, ilość Qj znajduje się w pierwszym lub w drugim nawiasie wzoru (2), stosownie do tego czy się szuka M* czy Mfc+1. Znajdujemy

pA—aO*»—/,

ö₁a»_₁

M _ n a»—i—l(P/c~    ,)

Al/; + 1— U/, ----

a następnie za pomocą wzoru (1)

_ Q p/r—    — /■■—j) Uh X ■    U-n — k -](pA — j~t~pA —i)

Uk

Uk

1

+ -pkx(ak—x).

Jest to równanie drugiego stopnia przedstawiające parabolę momentów. Dla x — 0 mamy

Al — (J/t

‘h -gy⁰*» —    — A — ])

co dowodzi, że w⁷ punkcie A (fig. 52) moment zgięcia jest odjemny, gdyż summa wskaźników 2n—3 jest nieparzysta.

p/c-?

p/c- 1 P/C-2

Gdy x — AD, to jest gdy x

alc, moment zgięcia

jest

M=

U/.: r

P*-iP/c-

² ß*-|—ß*

-i

-2

'⁽n- A- i(pA-j+pA _j)

_P/'-lP/—2 -

(Pa.-P/.-*)²’

lub, zważywszy że Q* = -Pißk,

'e

M =\p,nt?

ßfr — :

AAa»— 7;:ß/r— )    a)ł — }, — | ß/,: - 5)

ß/,_ ,-ß/^₂

_ 1 ... n -2    ß/.' -iß// — j»

2/A ‘ (ßs.-ß*-*)”

Ö](X__

ß*

—3

ßft—1—ß*—;

M=

ß/.—1 -t~ ßft- 2

(ß,_-ß,_₂)² *

ma taki sam znak jak ßft_„ a więc iloczyn

Oloż ßs^H-ß*

— ßft—sßft—! jest dodatni. Zatem moment zgięcia jest dodatni w punkcie D.

—2

a:

•Ja

\s

Kź

Yl

Fig. 52.

Widzimy ztad, że krzywa przedstawiająca momenta zgięcia przecina oś odciętych w pewnym punkcie E zawartym między A i D; w przeciwnym bowiem razie moment zgięcia nie zmieniałby swego znaku w przejściu od punktu A do D. Łatwoby było dowieść, że ta zmiana znaku ma znowu miejsce między G i B. Parabola momentów przecina więc włókno AB w punktach E i F należących do części AD, GB, przęsła uważanego.

Możemy więc teraz ułożyć tablicę wskazującą numera przęseł dodatnich i odjemnych względem każdej z pięciu części AE, ED, DG, CF, FB, tworzących przęsło n.k.

Część AE

Część ED Część DC Część CF

Część FB

Przęsła do- odje-datnie inne

Przęsła do- odje-datnie mne

Przęsła do- odje-datnie inne

Przęsła do-    odje-

dainie    mne

Przęsła do- odje-datnie moo

A4-o A4-4 A4-3 A'4-b A4-4 A-t-o A-t-4 A4—o A’4-6 A —i— 3

62. O przypuszczeniach rzeczywiście użytecznych.

— Poznawszy wpływ obciążenia różnych przęseł na moment zgięcia w danym punkcie belki, możemy teraz rozwiązać zadanie mające na celu zmniejszenie liczby przypuszczeń robionych przy obliczaniu mostu belkowego.

Widzieliśmy w poprzedzającym ustępie, że każde przęsło AB dzieli się na pięć części : AE, ED, DC, CF, FB (fig. 52), i że każdej z tych części odpowiadają tak nazwane przęsła od-jemne i dodatnie, to jest takie, które wywołują w nich mementa odjemne i dodatnie. Otóż widoczną jest rzeczą, że największa wartość bezwzględna momentu w każdej z owych części odpowiada temu przypuszczeniu, w którem obciąża się przęsła mające ten sam znak co i moment; albowiem moment wypadkowy w danym punkcie belki jest summy algebraiczny momentów otrzymanych przez kolejne obciyżanie przęseł. I tak np. chcyc znaleźć największy moment w części AE obciyży się przęsła odjemne względem AE, gdyż moment na podporach jest odjemny. Chcyc znaleźć maximum bezwzględne w części GF, obciyży się przęsła dodatnie względem CF, bo w tem miejscu momenta sy zwykle dodatnie. Ale gdy znak momentu nie jest znany à priori, jak np. w częściach ED i GF, wtedy trzeba obciyżać kolejno przęsła dodatnie i odjemne, i porównać znalezione wypadki.

W ogóle do znalezienia największego momentu trzeba robić dziesięć przypuszczeń, to jest po dwa dla każdej z pięciu części przęsła. Ale niektóre z tych przypuszczeń sy sobie zupełnie równe, tak że ich liczba sprowadza się do sześciu. Jakoż tablica zamieszczona na końcu poprzedzajycego ustępu pokazuje wyraźnie, że część ED rzydzi się prawami wprost przeciwnemi, jak FB, a część GF prawami przeciwnemi części AE. Że zaś przypuszczenia odpowiadajyce każdej z pięciu części dopełniają się nawzajem (*), przeto robiyc dwa przypuszczenia dla części FB i dla części AE nie potrzeba już robić przypuszczeń osobnych dla ED i CF.

Mamy więc ostatecznie :

Dwa przypuszczenia dopełniajyce się, dajyce momenta maximum w części AE (te same przypuszczenia służy dla GF)

(1)    Dodatnie../: — b, k— 4, Z;—2, /.: -4-1, k -t* 3, k H- o..,

(2)    Odjemne... k — 5, k — 3, k — 1, k, k -1- 2, k -1- 4...

Dwa przypuszczenia dopełniajyce się dajyce momenta w części FB (także w ED) :

'*) Nazywamy przypuszczeniami dopełniającemi się takie dwa przypuszczenia, które razem uważane stanowią całkowite obciążenie belki.

CZĘŚĆ I. — PRĘTY PROSTE AI.IÎO BEI.KI.

200

(3)    Dodatnie .. A — 5, k — 3, k — 4, k -f- 2, A -t- 4, A- 4- 6...

(4)    Odjemne... A — 6, A — 4, A —2, A, A -f- 4, A 4- 3, A+5... I wreszcie dwa przypuszczenia odpowiadające części DC :

(5)    Dodatnie .. A — 6, A — 4, A —2, A, A -t- 2, A -+- 4, A 4-6...

(6)    Odjemne... A— 5, A—3, A—1, A + 1, A 3, A +5...

będzie 2 -4-

= 2 n.

Ale na te sześć przypuszczeń odpowiadających danemu przęsłu cztery pierwsze są wspólne przęsłu uważanemu i dwom przęsłom sąsiednim, bo maxima momentów na podporach należą do dwóch przęseł stykających się z sobą w tern miejscu (*); dwa ostatnie znowu są wspólne wszystkim przęsłom. Skoro więc n (**) oznacza liczbę przęseł, n — 1 będzie liczbą podpór wspólnych, a liczba przypuszczeń użytecznych 4 (n — 4)

— n-\- 1 przypuszczeń użytecznych.

że mamy 2

Gdy belka jest symetryczna, dosyć jest zrobić połowę przypuszczeń dotyczących momentu zgięcia w pobliżu podpór, tak 4 (n — 4)

Uważmy jeszcze, że te wszystkie przypuszczenia dopełniają się nawzajem dwa po dwa, to jest że jednemu przypuszczeniu, w którem kilka przęseł jest obciążonych, odpowiada zawsze drugie, w którem te przęsła są wolne, a wszystkie inne obciążone. Jeżeli nazwiemy p ciężar przęsła wolnego na jednostkę długości, a jo" ciężar zewnętrzny, to w jednem przypuszczeniu ciężar przęsła będzie p na jednostkę długości, a w drugiem p -\-p" =p; więc dodawszy do siebie momenta

(*) Twierdzenie to jest widoczne, bo wstawiając k— t za/; w szeregach 13), (4), wstawiając znowu k -j- t za k, w szeregach (t), (2)

otrzymujemy szeregi (I), (2); otrzymujemy (3) i (4).

(**) Liczba u jest większa od 2 ; w przeciwnym bowiem razie nie byłoby przęseł

odpowiadające* obydwom przypuszczeniom otrzymamy takie wypadki, jak gdyby ciężar przęsła był p -f- p albo 2// + p". Ztąd wypada, że obliczywszy momenta zgięcia podług jednego przypuszczenia, dosyć jest odjąć je od momentów odpowiadających przypuszczeniu p -+-p, ażeby otrzymać momenta w przypuszczeniu dopełniającem.

Widzieliśmy, iż w belce mającej n przęseł trzeba robić 2n przypuszczeń dopełniających się dwa po dwa. Otóż na zasadzie poprzedzającej uwagi dosyć jest zrobić połowę tylko tych przypuszczeń i obliczyć momenta odpowiadające przypuszczeniu pomocniczemu p -f- p'. Tym sposobem liczba przypuszczeń sprowadzi się do n -f- \.

W belce symetrycznej mamy n -+- i przypuszczeń użytecznych. Gdy w jest nieparzyste, n + I jest parzyste, i te n -+-1 przypuszczeń dopełniają, się dwa po dwa; można więc je sprowadzić do połowy dorzucając przypuszczenie pomocnicze

•    ,    n i 3

p -+- p, tak że liczba całkowita przypuszczeń będzie —---

Gdy zaś n jest parzyste, n -f- 1 jest nieparzyste, i tylko n przypuszczeń może być sprowadzonych do połowy na zasadzie po-

....    .    h -+- A

przedzającej uwagi; mamy więc razem —-— .

À

63. Zastosowanie praktyczne do obliczania belek mostowych. — Metoda wyłożona w bieżącym rozdziale służy do rozwiązania dwóch zadań następujących :

1° Mając belkę o stałem przecięciu leżącą na kilku podporach obliczyć największe natężenie włókien przy danem obciążeniu;

2° Oznaczyć wymiary przecięć poprzecznych w taki sposób, aby ich największe natężenia nie przekraczały danych granic.

Pierwsze z nich prowadzi do sprawdzenia wytrzymałości belki, drugie zaś do obliczenia jej wymiarów*z uwzględnieniem nakładu pieniężnego; oba więc znajduję w praktyce bezpośrednie zastosowanie, czy to do obliczania mostów belkowych o kilku przęsłach, czy też innych budowli tego rodzaju. Sposób rozwiązywania tych zagadnień jest następujący ;

Oznaczywszy*liczbe przypuszczeń użytecznych i obliczywszy ilości K₂, Ks,... odnośnie do każdego przypuszczenia, jak również szeregi («) i (fi), które w razie zupełnej symetryi belki sprowadzają się do jednego szeregu, obrachujemy momenta zgięcia na podporach M₂, M₃... M„, tudzież natężenia poprzeczne W₁₅ W₂', W₂, .. Wn'+t. Na zasadzie tych danych wykreślimy parabole momentów i proste natężeń poprzecznych odpowiadające każdemu z przypuszczeń uważanych, poczem przełożymy wszystkie parabole na jedne stronę osi odciętych, a wszystkie proste na drugy dla łatwiejszego ocenienia wartości bezwzględnych. Rysunek w ten sposób wykonany daje odrazu nawiększa wartość bezwzględny momentu M,

Me

która wprowadzona w wyrażenie R = — wydaje największe

natężenie podłużne. Tak samo mierzyć największe natężenie

W

W i dzieląc je przez £2, otrzymujemy największy wartość —

■a

natężenia poprzecznego na jednostkę powierzchni.

Metoda służyca do rozwiyzania drugiego zadania polega na przypuszczeniu, iż wysokość belki h i szerokość tablicy poziomej n sy dane à priori,, co też zazwyczaj ma miejsce. Opuszcza-jyc moment bezwładności ściany pionowej i nazywajyc £2 powierzchnię przecięcia poprzecznego obydwóch tablic mamy w przybliżeniu (ust. n. 10)

CÏ

a ztąd

tu

— = R. mnh,

v

co pokazuje, że m to jest grubość tablicy jest proporcjonalna do M. Wszakże w praktyce nie można zmieniać grubości m zupełnie proporeyonalnie do M, bo tablice belek blaszanych mogą być tylko pogrubiane przez dodanie jednej lub kilku blacb nitowanych, a nie w sposób ciągły. Z tego powodu przyjmuje się zawsze na m wartości większe od tych, które wypadają z rachunku.

Rysunek daje wszystkie wartości momentu M, a więc dzieląc ie przez h otrzymujemy całkowite natężenie w obydwóch tablicach belki. Natężenie to może być przedstawione przez tę samą rzędną, co moment zgięcia M, bo w tym celu dosyć jest przyjąć dla natężeń taką skalę, aby jej jednostka odpowiadała jednostce momentu podzielonej przez h.

Dzieląc y przez R otrzymujemy mn to jest 12. Jeżeli przyjmiemy dla ii taka skale, że jej jednostka będzie odpowiadać

jednostce skali natężeń

podzielonej przez R, to powierz-

chnieß będą przedstawione przez te same rzędne, co moment zgięcia M.

Wreszcie dzieląc przecięcie ^ przez szerokość daną n,

otrzymujemy grubość m. Tutaj znowu obrać możnaskalę w taki sposób, aby rzędna M służyła za miarę grubości tablicy.

Nakreśliwszy obwód a b c d e f (lig. 53) największych momentów, poprowadźmy linie równoległe 1,1; 2,2; 3,3, odległe od siebie o grubość blachy i przetnijmy je w pobliżu obwodu liniami pionowemi. Obwód części zakreskowanej na

część J. — PRĘTY PROSTE Af.BO BELKI-

204

figurze, opisujący zewsząd właściwą granicę momentów przedstawia prawo rozdziału blachy na różne miejsca przęsła.

To co powiedziano odnośnie do momentów zgięcia stosuje się także do wysiłku poprzecznego, z tą tylko różnicą, że zamiast tablic poziomych trzeba wprowadzić w rachunek tablicę pionową czyli duszę ; zwykle bowiem oblicza się wytrzymałość poprzeczną podług przecięcia duszy. Wysokość h jest dana, pozostaje więc tylko do znalezienia jej grubość. Najprzód ze skali natężeń poprzecznych wywiedziemy skalę przecięcia, a mianowicie dzieląc natężenie poprzeczne przez wytrzymałość praktyczną metalu R'; potem podzielimy przecięcie przez wysokość h, a iloraz da nam grubość szukaną.

co ca

Ił

•j

Jm

Hi

ii

Fig. 53.

Obliczmy np. wymiary belki o pięciu przęsłach, z których dwa skrajne mają po 50m, a trzy środkowe po 40m długości licząc od środka jednej podpory do środka podpory drugiej. Ciężar belki na metr długości jest p'=1500k£, a obciążenie pmqiadkowe p" — 200()ks ; ciężar całkowity przęsła obciążonego jest więc p—p-\- p" = 3500k& na metr bieżący.

Ponieważ belka ta jest symetryczna, przeto liczba przypuszczeń użytecznych (gdy się nie używa przypuszczeń pomocniczych) jest n 4-1 (ust. n. 62), gdzie n oznacza liczbę przęseł; mamy więc do zrobienia sześć przypuszczeń. Do oznaczenia tychże dosyć jest wstawić w sześciu szeregach poprzedzającego ustępu : k— 2, albo też inną liczbę, większą od jedności. Otrzymujemy tym sposobem figurę 54 :

Przedewszystkiem należy obliczyć współczynniki a i ß, które sprowadzają się do jednego szeregu z powodu równości przęseł. 1 tak mamy

40

2!-3,e; (i ₊ H)

50

50

= 13,40,

08 = ß, = — 50,00, «₄=:ß₄ = 208,25.

(2)>—

(3)i-

!-----------+

"5T

J«

Fig. 54.

Wspólny mianownik momentów na podporach jest o,oe₄ = 40X208,28 = 8330.

Przypuszczenie pierwsze. — Obliczmy najprzód ilości 1\₂, K₃, K₄ i Ks. Mamy

K.=

rP.< + jP,<

gdzie za/?, i p₂ trzeba wstawać 1500ks z powodu, że przęsła 1 i 2 są wolne, a za i a₂ : 40m i 50m. Zatem

Ks = 70873000.

część 1. — PRÇTY r-ROSTE ALBO BELKI.

20<5

W podobny sposób obliczymy K., na mocy wzoru

gdzie i\ — loOO¹^ a p₃ — 3500ks. Znajdujemy ostatecznie . K, = 156250000,

K₄ = 156250000,

K,= 102875000.

Obrachujmy teraz momenta na podporach za pomocą wzoru Ma — -

*n — k[    * * k fc — {Jl:—;.»)"1 k/,-Än,— Ak— 2~T“\Jk — ^f 1^fe _f- j&n— k—l~t~*" 5v — j k1 [ l\ł()

w którym n jest równe 5, a k równe kolejno liczliom 2, 5, i, 5. Otrzymujemy

Mg = — 229148k=m,

M₃ = — 592188 » ,

' M, = — 526892 » ,

Ms = — 425130 » .

Znając momenta na podporach możemy obliczyć natężenia poprzeczne Wl5 Ws, W₃, W., Ws za pomocą wzoru

Wyfc“ — /?A«A -i

+1 My,-

a*

mianowicie

Wt = 24271^,3, W₂ = 30239 ,2, W₃ a= 88805 ,9, W, = 39535 ,2,

Wj = 80628 ,0,

jak również natężeni» W„ w,', W,', wy, W,' przedstawione przez równanie

^ k +1 —    ^ PkG/c +

gdzie k — i, 2, 3, 4, 5. Znajdujemy tutaj

M*₊₁—M*

U-łi

—    \Y/ = 33728^,7,

— W₃' = 44760 ,8,

—    w; =86194 ,1,

—    w; = 33464 ,8,

— W₆' = 39372 ,0.

Przypuszczenie drugie. — Znajdujemy podobnie jak w przepadku poprzedzającym:

M₂ = — 792812ke|H,

— Wä'=89820k&,3,

— W; = 80699 ,02,

— WY — 38818 ,4,

— W,'= 89064 ,22,

— w; = 15077 ,7.

Nie posuwamy dalej tych rachunków, gdyż obliczenie ilości K, M, W, W' odnośnie do czterech pozostałych przypuszczeń nie przedstawia żadnej trudności.

Przejdźmy teraz do części rysunkowej zadania. Widzieliśmy, iż każda rzędna paraboli momentów może służyć bezpośrednio

K, = 165375000,

K₃ = 156250000,

Kt = 156250000,

Ks = 133375000,

W1 = 50179^,7,

W₂ = 94300 ,98,

W₈ = 36181 ,6,

W₄ = 85935 ,78,

W, = 44922 ,3.

za miarę ilości nieznanych, jak np. wielkości przecięcia, grubości tablic, i t. d., pod warunkiem, że skalę tych ilości są odpowiednio ustosunkowane. Co więcej, ponieważ skala momentów jest dowolna, przeto można ją obrać w taki sposób, aby grubość m tablicy poziomej przedstawiała się na rysunku w naturalnej wielkości. Przyjmiemy, że h, n i R są dane, mianowicie że h = om, n=lm,20, R = 6ks na milimetr kwadratowy. Uważmy teraz, że jeżeli w ma się przedstawiać wnatu-ralnej^wielkości, tojeden milimetr wymiaru m musi odpowiadać 1 X 1200 = 1200 milimetrom kwadratowym przecięcia 12; następnie że te 1200mm kwadratowych przedstawiają wytrzymałość 1200 X6ks = 7200 kilogramów, i że ta siła przyczepiona do końca drąga mającego 5m długości odpowiada momentowi 36000 kilogrametrów. Trzeba więc przyjąć następujące po-działki.

1 milimetr na 36000 ki*

Dla momentów zgięcia logrametrów.

» 7200 ki-

Dla natężenia tablic poziomych ... I logramów.

» 1200 mi-

Dla przecięcia tychże tablic......1

limetrów kw.

» 1 mili-

Dla grubości m metr.

Chcąc żeby grubość .ściany pionowej przedstawiała się także na rysunku w naturalnej wielkości, trzeba przyjąć podziałki następujące :

Dla natężeń poprzecznych......1 milimetr na 24750 kilo

gramów.

« 4950 mili-

Dla przecięć ściany pionowej ... 1    «    «

metrów kwadratowych.

Dla grubości tej ściany metr.

bo skoro wysokość ściany jest 4m,95, a wytrzymałość praktyczna metalu przeciw ucięciu 5ks na milimetr kwadratowy, przeto jednemu milimetrowi grubości odpowiada 4950 milimetrów kwadratowych przecięcia i 4950 X 5ks = 24750ks natężenia poprzecznego.

Od cię wszy na linii prostej długości pięciu przęsełpodług dowolnej podziałki, nakreślimy parabole momentów odpowiadające pomienionym sześciu przypuszczeniom, tudzież linie proste przedstawiające natężenia poprzeczne. Łamiąc te parabole w taki sposób, aby leżały po jednej stronie belki, i przełamując wszystkie proste na drugą stronę belki otrzymujemy obwód największych momentów i obwód największych natężeń poprzecznych. Rzędne tych obwodów przedstawię grubość tablic i duszy w naturalnej wielkości.

¹

Collignon podaje sposoby geometryczne znalezienia momentu na którejkolwiek podporze majje dane M2 lub Mn (Résistance des Matériaux, 1S69), uważamy je jednak za niepraktyczne.

²

Mówimy summę algebraiczną, bo rzędne paraboli są dodatnie, a rzędne linii prostej odjemne.

ROZDZIAŁ V

BELKI KRATOWE

64. Pogląd. — Belki kratowe majęce tak wielkie zastoso^ wanie przy budowie mostów lub wielkich więzań metalowych różnię się tem tylko od belek pełnych poprzednio opisanych, iż ściana pionowa służęca do połączenia tablicy wierzchniej z dolnę nie jest pełna, ale złożona z pasów blaszanych krzy-żujęcych się z sobą pod pewnym kątem i odpowiednio porozstawianych. Mimo tego podobieństwa trzeba rozebrać osobno teoryę belek kratowych, aby uwzględnić nieciągłość przecięć poprzecznych, w tym bowiem względzie zachodzi istotna między obydwoma systematami różnica.

Wyobraźmy sobie belkę kratową leżącą na dwóch albo na kilku podporach, i przetnijmy ją płaszczyzną pionową AB

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERYAŁOW.

(fig. do) poprowadzoną pionowo przez punkt leżący na połowie drogi między, dwoma nitami, które wiążą dwa pasy sąsiednie z tablicą belki. Wszystkie siły zewnętrzne działające na cześć belki leżącą po prawej albo po lewej stronie płaszczyzny AB sprowadzają się koniecznie do wypadkowej W i do pary M. Pierwsza z nich tworzy natężenie poprzeczne i działa pionowo w płaszczyźnie AB, druga zaś jest momentem zgięcia i stara się obrócić płaszczyznę AB około osi poziomej leżącej w tejże płaszczyźnie.

A;

j ««s»—» y

Jil

4Ä-

ZA

’Ei

Fig. üb.

Rozbierzmy warunki równowagi części leżącej na prawo płaszczyzny AB. Cześć ta musi się utrzymywać w równowadze pod działaniem sił W i M (w które wchodzi ciężar metalu i ciężar przypadkowy, tudzież oddziaływanie podpór i przyczółka) i siłmiędzycząsteczkowych w płaszczyźnie AB. Siły te są to natężenia tablic poziomych i pasów w przecięciach zrobionych po-mienioną płaszczyznę sieczną. Wiadomo z doświadczenia, że natężenia tablicy górnej i dolnej są sobie przeciwne codo znaków, i że gdy natężenia pasów na prawo pochylonych są dodatnie w przecięciu AB, to natężenia pasów w lewą stronę zwróconych muszą być odjemne. Możemy nawet powiedzieć zgóry, które siły są ściskające, a które rozciągające, bo rachunek wy-

każe na końcu prawdziwość lub fałszywość przypuszczenia. Oznaczmy więc przez

x, y, osie współrzędne maj a ce swój początek na lewym przyczółku ;

W i M natężenie poprzeczne i moment zgięcia w przecięciu AB, (para M jest dodatnia, gdy dąży do obrotu od osi x dodatnich ku osi y dodatnich);

4. ' •

F siłę ściskającą w tablicy górnej i w przecięciu AB;

F' siłę rozciągającą w tablicy dolnej ;

S natężenie wypadkowe pasów na prawo pochylonych i spotykających płaszczyznę AB ; (natężenie to uważać będziemy za siłę ściskającą) ;

S' natężenie wypadkowe pasów na lewo pochylonych i spotykających płaszczyznę AB ; (będzie to siła rozciągająca) ;

a pochylenie pasów względem linii pionowej ;

h wysokość belki, albo w przybliżeniu odległość sił F i F'.

Przypuściwszy, iż natężenia S i S' są jednostajnie rozłożone na wszystkie przecięcia pasów w płaszczyźnie AB, to jest że te siły wypadkowe są przyczepione mniej więcej w połowie wysokości belki, możemy ułożyć następujące równania równowagi

Składowe poziome : Składowe pionowe :

F — F' -4- (S - S') wsta =0, -(S+S) dos a -+- W = 0,

Momenta względem B : — FH - (S' — S) h wsta + M = 0.

Te trzy równania nie wystarczają do znalezienia czterech niewiadomych F, F', S, S', a gdybyśmy chcieli wyznaczyć je dokładnie, trzebaby mieć wzgląd na odkształcenie belki, bo tylko tą

drogę możnaby dojść do czwartego równania. Przyjmiemy jednak dla ułatwienia rachunku, że F jest równe F', to jest że natężenia tablic sę sobie równe, zupełnie tak samo jak w belce pełnej i symetrycznej. Gdy równanie pierwsze daje

S = S',

a dwa drugie zamieniaję się na

— 2S dos « -+- W = 0, — F/i-f M = 0,

zkęd wypada

(1)

S = S'=

2 dos«

i*

Mamy zatem S i F, a tem samem S' i F. Ale do tego potrzeba znać natężenie W i moment zgięcia M.

Wiadomo z poprzedzającego rozdziału, ilu trudności wymaga obliczenie sił M i W w belce pełnej o kilku podporach; zachodzi więc pytanie, czyby zamiast szukać nowych sposobów odnoszących się szczegółowo do belki kratowej nie można było zastosować prawideł wyprowadzonych już poprzednio dla belki pełnej. Jest wprawdzie znaczna różnica między belkę kratowę i pełna, ale różnicę te możnaby okupić pewnymi warunkami, które zaraz rozbierzemy.

Oznaczmy przez x długość dowolnę tablicy górnej, a przez ß powierzchnię przecięcia obu tablic razem wziętych. Element

dx tablicy górnej skurczą się o długość ——-, gdzie E oznacza

E-=

2

współczynnik sprężystości, element zaś dx tablicy dolnej Fdx

wydłuża się o    —— ; zatem płaszczyzny pionowe zawierające

E-=

2

miedzy sobą przestrzeń dx pochylają się ku sobie o kąt

4 ¥dx

Ei>

Ii

Jest to kąt krzywizny w belce odkształconej ; dzieląc go zatem przez dx otrzymamy odwrotność promienia krzywizny, czyli

Mamy wiec

4F

iixl p Kii//

a na zasadzie równania (2) :

rf*y 4M i(ą* ~

Wyobraźmy sob'e teraz belkę składającą się tylko z dwóch

części ^ i ^ oddzielonych od siebie przestrzenią //, ale

pracujących w taki sposób, jak gdyby tworzyły jedne całość i jedno przecięcie. Stosując do takiej, belki teorye odkształcenia belek pełnych mielibyśmy

El S — M

(•i)

Ei i/r

dxr

lub

diy_M

rfâT*⁻ËT

liazy wawając I moment bezwładności tego przecięcia i przypuszczając taki sam rozkład sił zewnętrznych, jak w belce kratowej. Otóż widzieliśmy w ustępie n. 10, że moment bezwładności jest w tym razie

1= -

4

a wiec że

El Eli//* '

Zatem równania (3) i (4) są identyczne, to jest belka przypu-szcźdna wygina się w taki sam sposób, jak belka kratowa pod działaniem tych samych obciążeń ; ponieważ zaś oddziaływania podpór wypadają z połączenia równań Statyki z równaniem (4), przeto te oddziaływania są jednakowe w obydwóch belkach, jak również i momenta zgięcia. Możemy zatem stosować prawidła poprzedzającego rozdziału do oznaczenia momentu zgięcia i natężenia poprzecznego w belkach kratowych.

65. Wygięcie belki kratowej.—Uwagi. — Widzieliśmy już w poprzedzającym ustępie, że promień krzywizny belki kratowej jest

mh

4F ’

gdzie ß oznacza powierzchnię przecięć obydwóch tablic

2F

razem wziętych. Stosunek ^ oznacza natężenie na jednostkę przecięcia tablicy, a jego rozmaite wartości są wiadome, gdy znamy siłęF. Podzieliwszy zatem belkę na części dostatecznie krótkie, obliczymy dla każdej z nich wartość średnią .promienia krzywizny i nakreślimy oś środkową belki za pomocą łuków stykających się z sobą stycznie.

Łatwo jest oznaczyć granicę strzałki do otworu, gdy tylko znamy wysokość belki. Niechaj a oznacza długość przęsła, R natężenie bezpieczne na jednostkę powierzchni, i przyjmijmy

h_ .

Ponieważ

2F

— jest wszędzie mniejsze od R, przeto mamy we wszystkich punktach

EA

a więc przypuszcza się zbyt wielkę krzywiznę, gdy się bierze za promień stały krzywizny

EA

? 2R ’

Tem samem strzałka prawdziwa /' belki jest mniejsza od strzałki f łuku mającego promień c, to jest od

a²

Ra²

«P

4EA

zatem

/ - Ji...

a 4Ei

Za E należy wstawić tylko 46000ks- (na milimetr kwadratowy), bo w wielkich budowlach lepiej jest mieć nadmiar siły i pewności. Przypuszczając n.p. R = 5kS' i hioręc kolejno

40’    44’    42’    45’

mielibyśmy

L < 0,00062, 0,00070, 0,00077, 0,00086, 0,00094, 0,00147.

Przejdźmy teraz do natężenia pasów i tablic poziomych. Niech będzie belka kratowa leżęca na dwóch podporach odległych od siebie o a, a obładowana ciężarem jo na jednostkę długości, w który to ciężar wliczamy zarazem obciążenie stałe i przypadkowe. Jeżeli poczętek osi leży na lewej podporze, to mamy

M — ~(a —x)x,

,,T 4M (a \

W — — — p\--x

dx ¹ \2    )

Otrzymujemy zatem za pomocę wzorów (1) i (2) poprzedzaję-cego ustępu

Ul

ts

/.

F = F'= ^    — ar)o?.

24 '    '

Widzimy, 2e siła S jest równa zeru dla # = ^ , to jest w po-

łowię przęsła, i że po za tym punktem zmienia swój znak na przeciwny; zatem pasy pochylone w jednę i tę sama stronę sę ściskane w jednej połowie, a rozciągane w drugiej połowie belki. Siła zaś F jest równa zeru dla a? = 0 i dla x — a, to jest na obydwóch końcach przęsła, a jej maximum odpowiada środkowi belki. Jednem słowem siła S zmienia się pro-porcyonalnie do rzędnych linii prostej, a siła F proporcyo-nalnie do rzędnych paraboli o osi pionowej, mającej swój wierzchołek na wysokości ^ ponad środkiem belki.

Kęt a nie jest dowolny. Wiadomo w istocie, iż pasy spoty-kajęce płaszczyznę AB (fig. 55) dzielę się na dwie klasy, z których jedna opiera się rozcięganiu S, a druga ściskaniu S,

dosa

. Jeżeli zatem nazwiemy R gra-

co razem czyni 2S albo

KSIÇGA II. WYGJÇCIE PROSTE I Zf.OŻOKE. — ROZDZIAĆ V.

nicę natężeń dodatnich lub odjemnych na jednostkę powierzchni, to summa przecięć wszystkich pasów spotykających po-

mienioną płaszczyznę sieczną będzie

a objętość

tychże pasów będzie

R dos² a ’

Ildosa ’

bo każdy pas ma długość — ■ dosa

Te pasy zajmują na kracie długość Äst.a mierzoną w kierunku podłużnym belki ; a więc objętość metalu użyta do zrobienia jednostki długości kraty w pobliżu płaszczyzny AB

W

będzie

lub

. Gdy a się zmienia,

Rdos²a Äst. a

minimum tego wyrażenia odpowiada największości iloczynu wsta dosa lub wst2a, czyli kątowi a=4o°.

R WStadoSa

66. Ciężar belki kratowej na metr bieżący. — Przy obliczaniu mostów metalowych ciężar belki kratowej jest zarazem ilością daną i szukaną; ilością daną, bo figuruje jako taka we wzorach służących do oznaczenia wymiarów, szukaną zaś, bo wymiary belki nie są znane a priori. Dla usunięcia tej trudności używa się metody fałszywego założenia, w której ciężar belki dowolnie obrany po kilku próbach ściśle oznaczony zostaje, słowem metody stopniowych przybliżeń, o której już kilkakrotnie wspominano (ust. n. 37 i 55). Zachodzi jednak pytanie, czyby nie można było zastąpić dowolnego przypuszczenia pewną wartością dającą rękojmię dostatecznego przybliżenia; tym bowiem sposobem jedna próba mogłaby być wystarczającą. Zadanie to rozwiązane po raz pierwszy przez Collignon’a i ogłoszone w Annales des Ponts et Chaussées na rok 1864 jest właśnje przedmiotem niniejszego ustępu.

Niechaj h oznacza wysokość belki jednoprzęsłowej mającej długość a, a p jej ciężar całkowity odniesiony do metra bieżącego. Siła p składa się z dwóch części : jednej p oznaczającej

właściwy ciężar belki, i drugiej p" przedstawiającej ciężar przypadkowy i ciężar pomostu.

Natężenie tablic poziomych wyraża się w każdym punkcie

M

przęsła przez - co do bezwzględnej wartości (ust. n. 64),

M

a więc przecięcia poprzeczne każdej z nich sa — w tychże miejscach, tak że objętość obydwóch tablic jest

°2M ,

mdx'

gdzie R oznacza granicę natężeń bezpiecznych odniesiony do jednostki powierzchni. Ponieważ jednak M jest rzędny paraboli y=P-[a—x)x} przeto

0/di ’

Wzór ten polega naturalnie na warunku, że moment M, a tern samem siły F i F' zchodzy do zera na podporach, to jest, że przecięcie tablic na obu końcach jest równe zeru co do wielkości. Ponieważ to nie może mieć miejsca w rzeczywistości,

• 4

Collignon powiększa nieco współczynnik - i kładzie

Y_ 3 pa?

16 hli ’

Objętość metalu potrzebnego do zrobienia kraty zmienia się (na jednostkę długości) proporcyonalnie do natężeń S i S', albo co na jedno wychodzi, proporcyonalnie do natężenia poprzecznego. Widzieliśmy już w ustępie poprzedzającym, że jednostce długości belki odpowiada objętość pasów

Rwst « dos «

jeżeli zatem przyjmiemy a = 45°, jak to zwykle ma miejsce, objętość całkowita kraty będzie

-TT- dx.

rH a

Gdy całe przęsło jest obciążone jednostajnie, natężenie poprzeczne jest równe zeru w środku belki, więc grubość kraty powinna być równa zeru w tern miejscu. Tego uczynić nie można ze względów konstrukcyjnych, bo tablica górna musi być mocno z dolną związana ; z drugiej zaś strony byłoby nierozsądnie przypuszczać obciążenie jednostajne całego przęsła, podczas gdy obciążenie częściowe wywołuje w środku belki znaczny wysiłek poprzeczny. Widzieliśmy w samej rzeczy w ustępie n. 44, że granica natężenia poprzecznego w środku belki równa się jednej czwartej największego natężenia na podporze. Trzeba zatem przyjąć na W wartość średnią.

co nam daje

811

y„ 5 pa³

Zatem objętość całkowita V będzie

żeby jednak uwzględnić części uboczne, jako to nity, podkłady blaszane i łączniki poprzeczne wiążące belki podłużne w jedną całość, możemy napisać

V:

Sit

gl».

CCI Ol

Objętość średnia belki na metr bieżący jest więc

« 12=

SŁ.lsa

4-

CC) Ol

zkąd

CC CS

_üpa(a 5\_va[p -+-p") (a

v ~ ïr \2Ä ⁺ äy :2h \äÄ

gdzie w oznacza ciężar metra sześciennego żelaza. Wyciągając ztąd wartość na p'

f=p'w

27, ⁺

cci 05

sc rro

ia \ź/i^ otrzymujemy ciężar całkowity p —p ■+■p"

ll

CCI 05

W O. I CL

p — p"

2 \2h

i zadanie jest rozwiązane, bo znamy ciężar przypadkowy p".

Dla pewnej wartości a mianownik wyrażenia p' lub p jest równy zeru, w skutek czego p lub p staje się nieskończenie wielkiem. Istnieje zatem pewna granica otworu belek kratowych o jednem przęśle, mianowicie granica określona równaniem

f O.

"--2 5 ⁺

CC 05

= 0.

Wstawiając za R ==6,000,000vc., a za w = 7,800ko-, otrzymujemy

\ 0,000

13

tsi a

Cci 05

= 0.

Granica ta zależy jednak od stosunku dla j=\0 mielibyśmy

o = 230m,

mniej więcej, ale trzeba równocześnie przyjąć h — 23ra, co jest za wielkie. Lepiej jest przyjęć z góry pewnę wysokość np. h = 9ra i poszukać granicy długości przęsła za pomocę równania

10,000

aź

13

30

--a

z którego wypada

a —152“.

Rachunek powyższy stosuje się nawet do belek pełnych o kształcie litery I, ale pod warunkiem zamienienia wyrazu

on w

3 na

łowy. Jakoż wiadomo, iż objętość kraty na element długości dx jest

z powodu, iż objętość V" sprowadza się do po-

dv"-mdx

U V ——— U jL ,

w belce zaś pełnej mającej te same wymiary przecięcie ściany pionowej wyraża się przez , gdzie R' oznacza wytrzymałość praktyczny metalu przciw ucięciu. Zatem objętość metalu użyta do zrobienia elementu dx ściany pionowej pełnej jest

dX,"— —> dx.

Otóż przyjmuje się zwykle te same wartości dla R co dla R'. zatem objętość ściany kratowej jest dwa razy większa od objętości ściany pionowej w belce pełnej. Słusznem jest więc twierdzenie Collignon’a, iż wzory powyższe stosuję się także do belek pełnych o kształcie litery I z warunkiem wstawienia

liczby

2 w miejsce ? .

o    3

część — pup.Y proste albo bei.ki.

Ułożył także Collision osobne wióry dla belek kratowych o kilku przęsłach, ale z powodu ich niedokładności radzi używać wzorów poprzedzających do obliczania ciężaru belek n przę-słowych biorąc za wspólną długość wszystkich przęseł część całkowitej długości mostu.

67. Obliczanie belek kratowych w moście jedno-przęslowym. — Dla lepszego zrozumienia metody służącej do obliczania belek kratowych weźmiemy za przykład most żelazny belkowy pod dwie koleje żelazne, z których każda ma spoczywać na dwóch belkach kratowych. Dany jest otwór mostu : a = 50m, i obciążenie przypadkowe na metr długości szyny : p" = 2,000ks- (*).

Wysokość belki jest dowolna w granicach od - do ft

8

granicach zwyczajem uświęconych; możemy więc przyjąć

h— ~ = 4m,16. Przyjmiemy również, że natężenie, metalu

nie przechodzi 5,000,000ks- na metr kwadratowy w tablicach poziomych i w pasach kraty, a 3,500,000 w ścianie pełnej na podporach.

Wstawiając we wzorze (1) poprzedzającego ustępu : p°= 2,C0Ok&-, a — 50k&-, m = 4m,16,    11=5,000,000^-,

w=7,800ks-,. otrzymujemy

p =853ks-,

a ztąd

p = p    p"sz 2,853ks*„

(ł) Przyjmujemy lutuj na obciążenie przypadkowe, wraz z ciężarem pokładu. 4000 kg, na metr bieżący kolei żelaznej pojedynczej, czyli 2000 kg. na każdą belkę kratową. Gdyby jednak obie koleje miały spoczywać na trzech tylko belkach, trzeba rozdzielić obciążenie

3

przypadkowe p"= 8000 kg. kolei podwójnej w następujący sposób : — na każdą z belek 10

skrajnych, — na belkę środkową. Podział len przypuszcza, iż poprzecznice idą nieprzerwanie w poprzek mostu, i że są jednostajnie obciążone.

Obliczmy najprzód tablice poziome. Wiadomo, że natężenie

M

F tablicy górnej albo dolnej wyraża się przez iloraz — , którego maximum [odpowiada punktowi środkowemu przęsła. Moment M jest

M = ^ (a — x)x,

więc dla x =25 mamy

•= 891,562ko-m-,5,

a ztąd

F = F' = 214,317ks-,9.

Ponieważ tablica pozioma ma pracować z natężeniem 5ks- na milimetr kwadratowy przecięcia to, przeto F musi być równe iloczynowi o)X5 czyli

O) —

^42,863ram-k-.5S.

o

70(1

Fig. 56.

Przecięcie to możemy złożyć z pięciu blach mających 700mm* szerokości, a 10mm- grubości, i z dwóch węgielnie o długości ramion 132mm- i grubości 16mm- (fig. 56). Pięć blach daje 35,000mm'-k-, a węgiclniće 7,936, co czyni razem 42,936 milimetrów kwadratowych, to jest nieco więcej, jak przecięcie obrachowane. Ale oczywiście taki skład tablicy przystoi tylko środkowi belki, bo moment zgięcia maleje ku podporom pro-porcyonàlnie do rzędnych paraboli (a— x)x; nakreśliwszy

wiec tę krzywa podług dowolnej podziałki (fig. 57) i wziywszy jej największy rzędny za miarę powierzchni przecięcia podzielimy ja na sześć części w taki sposób, aby pierwsza z nich ab była proporcyonalny do powierzchni 7,936mm-k- narożnic, a druga bc i tak dalej aż do szóstej proporcyonalne do powierzchni blach, to jest do 700X10 = 7,000mm-k*. Poprowadziwszy potem linie poziome przez te punkta podziału, poprzerywamy je tuż poza obrębem paraboli i otrzymamy najracjonalniejszy rozkład metalu na całem przęśle.

fen

HZ

—ir

Fig. 57.

Przejdźmy teraz do pasów ściany kratowej. Zakładamy z góry, że liczba pasów pochylonych w jednę stronę pod kytem a =45° i spotykajycych tę samy płaszczyznę pionowy ma być n=5 ; wybór bowiem tej liczby jest zupełnie dowolny. Natężenie całkowite tych pięciu pasów wypada z równania

S = S' =

i*“']’

2dosa

które ma największy -wartość na przyczółku

= 50,284ks-,ł2o.

nax

& w ci.r — S »

W środku przęsła trzeba przjjyć na S jednę czwarty największego natężenia na podporze (ust. n. 66), chociaż teoretycznie S jest równe zeru w środku belki. Powinniśmy więc mieć w tern miejscu

8 j=ł 12,571kfcr‘ ;

że zaś te siły maję. być rozłożone każda na pięć pasów majęcych takie przecięce to', iż praca metalu nie przechodzi ók& na milimetr kwadratowy, przeto

mmk.

na podporze ..... 5w' X 5ke = 50284 w środku przęsła... oto' X 5ke = 12571 mn)k-

zkęd

to' = 20łłmmk- ,3,

na podporze w środku przęsła. . to' = 502mmk- ,8.

Przecięcie 502mra-k- jest za małe ze względów konstrukcyj -nych, gdyż w praktyce nie można używać cienkiej blachy. Trzeba przyjęć

dla pasów przy podporze .... to' = 2400mm-k- ,

«    « w środku przęsła ... to' — 120Gmmk- .

Pierwsze z nich mogę mieć 160,nra- szerokości i 15 grubości, co czyni 2400 milimetrów kwadratowych przecięcia, drugie zaś 160m,n- szerokości na 7 mm-,5 grubości czyli 1200 milimetrów kw. w przecięciu poprzecznem. W przejściu ze środka przęsła do przyczółka przecięcia pasów muszę rosnąć odpowiednio, możemy więc przyjęć dwie grupy pośrednie, jednę 160 X 10 milimetrów kw., i druga 160 X 12. Mamy więc cztery rodzaje pasów o jednostajnej szerokości a zmiennej grubości; ale moglibyśmy także zmieniać szerokość, a grubość blachy zostawić jednakowę w całej kracie.

Końce kraty robi się pełne, ażeby mogły stawić dostateczny opór natężeniu poprzecznemu, które je do podpór przyciska

i na przecięcie naraża. Oddziaływanie przyczółka jest ^ , a że

przyjęliśmy 3500000ks na wytrzymałość blachy przeciw ucięciu, przeto powierzchnia przekroju poziomego ściany pełnej będzie

— 20378mra-k- .

pa

2 X 3500000

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERYAŁÓW.

Przypuściwszy więc, że długość podpory będąca w zetknięciu z belką jest 0m,75, możemy przyjąć dla części pełnej następujące przecięcie poziome (fig. 58): jedna blacha mająca w kierunku poziomym 730mm długości, a 12mm grubości ; dwie

I <sS>

u*

30:0

JAP

ß

10

&W£ù225iL\

Fig. 58.

blachy poprzeczne majg.ce 300ram szerokości i JO grubości . wreszcie cztery węgielnice dziesięcio-milimetrowej grubość; o ramionach długich na 80mm. Przecięcie takie ma 20760 milimetrów kwadratowych powierzchni, a więc nieco więcej od żądanego.

Węgielnice belki podłużnej muszą być silnie przymocowane do tablic poziomych, gdyż w miejscu skrzyżowania się pasów (lig. 59) wywiązują się dwie siły, jedna ku górze, druga ku dołowi skierowana, a których wypadkowa jest prawie pozioma i

i;

Fig. 59.

stara się ześlizgnąć narożnice w kierunku podłużnym belki.

Wypadkowa ta jest - y/i, gdzie «oznacza liczbę pasów wjednę

stronę pochylonych i spotykających tę samą płaszczyznę sieczną, a zatem summa przecięć nitów umieszczonych między dwoma

4160mm

= 832mm. Zatem

s

sąsiednimi pasami musi być równa ilorazowi siły — \ß przez

wytrzymałość ni tu przeciw ucięciu. Biorąc na S wartość ma-

pa\' 2

-r—~~ albo 4dosa

milimetra kwadratowego otrzymujemy następującą summę przecięć :

ximuni, to jest

i przyjmując oks na natężenie

pa

2ks,853 X 50000

40»

10 X o

= 2853mmk.

Chcąc np. użyć nitów ośmnasto-milimetrowych trzebaby ich umieścić 12 na przestrzeni zawartej między dwoma sąsiednimi pasami, a ich powierzchnia wynosiłaby 3052 milimetrów kwadratowych, to jest nieco więcej jak potrzeba. Przestrzeń ta równa się odległości poziomej dwóch pasów sąsiednich albo co na jedno wychodzi (bo a = 45°), ich odległości pionowej, która ma za miarę iloraz -

mamy w węgielnicach 14 nitów na metr bieżący, to jest mniej więcej jeden nit na każde 70 milimetrów.

Mając teraz wszystkie dane do nakreślenia rysunku, można obliczyć ciężar belki z wielkiem przybliżeniem i sprawdzić jej wytrzymałość. Ustęp następujący dopełni jeszcze niektórych braków tyczących się pokładu mostowego.

68. Cię,g dalszy poprzedzająicego ustępu. — Obliczanie belek kratowych spoczywających na kilku przęsłach polega zupełnie na tych samych prawidłach, co rachunek belki je-dnoprzęsłowej, a mianowicie na wyznaczeniu momentów zgięcia i natężeń poprzecznych w każdem miejscu, mając bowiem te ilości łatwo jest obrachować siły F i S na zasadzie znanych związków (ust. n. 64). Dowiedliśmy zaś w tymże ustępie (n. 64), że prawidła tyczące się momentu zgięcia i natężenia poprzecznego w belce pełnej stosują się także do belki kratowej z małern zastrzeżeniem ; zatem rachunek belek kratowych kilkoprzęsłowych możemy uważać za wyczerpany, o ile przedmiot ten w ogólnym traktacie Mechaniki wyczerpanym być może,

Nie chcemy jednak opuścić przedmiotu belek kratowych nie obeznawszy czytelnika z innymi szczegółami mostów metalicznych, dla których ten system belek stworzony został. Te szczegóły, choć z natury swej proste, a z toku niniejszego wykładu dla czytelnika zupełnie zrozumiałe i przystępne, zasługuję, wszelako na szczególnę uwagę, gdyż odnoszę się tak dobrze do mostów kratowych, jak do mostów belkowych pełnych i do mostów łukowych, o których później będzie mowa.

Na belkach lub łukach mostu metalowego spoczywaję po-przecznice, to jest belki blaszane w poprzek poukładane i tworzęee właściwy pokład mostu. Maję one zwykle kształt litery I w przecięciu poprzecznem i sę od siebie* odległe o lm, 2m, i t. p. stosownie do przypadku ; obliczenie zaś ich wymiarów sprowadza się do przedmiotu belki prostej leżęcej wolno na dwóch podporach i odpowiednio obciężonej. Dla przykładu obrachujemy tutaj poprzecznicę pełnę dla mostu pod kolej że-laznę.

Długość poprzecznicy jest 4“,634; odległość szyn od jej końców lm,565 ; ciężar osi parowozu 12 ton.

Belka jest najwięcej obciążoną w chwili przejścia lokomotywy, a największy moment zgięcia przypada właśnie na szynach i równa się

M = 600üks X '1,560=9390^,

cz

es«

CD

SI»

S) I—i

Gdybyśmy złożyli poprzecznicę z jednej blachy pionowej mającej 648mm wysokości i 8 grubości, z dwóch tablic poziomych o szerokości 158mm i grubości 6mm, i wreszcie z czterech węgielnie dziesięcio-milimetrowej grubości, a mających ramiona długie na 75mai, moment bezwładności takiego przecięcia wynosiłby

I = 0,00089639,

a włókno najwięcej natężone byłoby odległe od włókna środkowego na

y — 0,n,330.

Zatem

R = 3ks,46

na milimetr kwadratowy. Natężenie to nie jest za słabe, bo ciężar parowozu nie zawsze rozdziela się na dwie równe połowy, każda po 6 ton, jak to przypuściliśmy, ale rozkłada się na części nierówne w skutek nierówności szyn i kołysania się parowozu. Bardzo więc łatwo obciążenie rzeczywiste może wywołać skutki większe od przewidzianych.

Na poprzecznicach w moście pod drogę zwyczajna kładzie się grube drewniane tarcice pokryte drugim szeregiem desek, na których spoczywa nasyp drogi, bruk i trotoary. Czasem same poprzecznice tworzy pokład mostu, zwłaszcza gdy są zrobione z szyn systemu Barlow'a poukładanych jedna tuż obok drugiej. Używa się także sklepień ceglanych do pokrycia przestrzeni wolnej między poprzecznicami, a wtedy te ostatnie służą za podpory sklepieniowe; w braku zaś cegieł użyć można tablic blaszanych lekko wypukłych, naśladujących kształt sklepienia. W mostach pod kolej żelazną nie robi się nasypów , ziemnych, a więc pokład mostu nie potrzebuje być szczelnie /.amknięty, i dlatego kładzie się szyny wprost na poprzeczni-

cach, albo co lepiej na podłużnych drewnianych legarach, które mocnym drganiom mostu wiele zapobiegają. Gdy jednak poprzecznice są zbyt od siebie odległe, należy jeszcze dodać żelazne beleczki dla podtrzymania szyn. Przypuśćmy, że odstęp między poprzecznicami wynosi 2m,50 i że jednemu kołu parowozu odpowiada ciężar 6 ton. Belka leżąca wolno na dwóch podporach, a obciążona w jednem tylko miejscu pracuje wtedy najwięcej, gdy ten ciężar przypada w jej środku ; przypuściwszy zatem najgorsze warunki mamy

M„,ar = 3000ks

2,5

T

RI

= sims= _

mn

Gdybyśmy zrobili belkę z jednej blachy pionowej mającej 10 grubości i 330 wysokości, a tablice poziome złożyli z czterech narożnic o ramionach mających 75mm długości i 10 grubości, mielibyśmy

I — 0,00014564, e = 0m,165,

a że

R = 3750

przeto

R = iks',27

na milimetr kwadratowy.

Dla nadania należytej sztywności głównym belkom mostu kratowego dodaje się do ich ścian pionowych łaty złożone z dwóch narożnic lub też z jednej sztuki kształtu litery U. Te łaty służę zarazem za punkt przyczepienia kroksztynów podtrzymujących trotoar mostu.

Wreszcie dodajemy jeszcze kilka uwag tyczących się szczegółowo mostów belkowych pod kolej żelazną.

Pokład mostu belkowego może być umieszczony u spodu belek, w połowie wysokości, lub też na ich wierzchu. Wpierw-szym przypadku poprzecznice są przymocowane do dolnych tablic, a ściany pionowe belek mostowych tworzy zarazem balustradę ; zachodzę, tu jednak pewne trudności, gdyż belki mostowe wysokie wymagają poprzecznego wiązania górnych tablic, a tego uczynić nie można, gdy wysokość belek nie jest większą od wysokości parowozu. Gdy pokład leży na połowie wysokości belek, ich część górna tworzy balustradę, a część dolna może być w poprzek związana. Wreszcie gdy pokład spoczywa na wierzchu belek, można obejść się bez poprzecznie, przytwierdzając szyny do drewnianych tarcic pokrywających belki mostowe. Trotoary spoczywają wtedy na kroksztynach występujących na zewnątrz belek skrajnych.

Pokład mostów mających dwie drogi żelazne może być je- » dnolity lub też złożony z dwóch części zupełnie od siebie niezawisłych. Pokład jednolity przedstawia nie tylko tę zaletę, iż szyny mogą leżeć w linii prostej, na moście i po za mostem, co miejsca mieć nie może na pokładach niezawisłych, ale także że ciężar pociągu przechodzącego po jednej drodze wywiera swe działanie równocześnie na belki podtrzymujące tę drogę, i na belki drugiej drogi. Nie mają tych przymiotów pokłady odosobnione, bo każdy z nich pracuje osobno, a że odległość między obydwiema drogami musi być większa od odległości zwyczajnej, przeto szyny nie mogą iść w przedłużeniu szyn po za mostem. System ten jest jednak wygodny ze względu na łatwość naprawiania jednej drogi bez przerwania komunikacyi na drugim pokładzie.

69. Poglę-d krytyczny na belki pełne i kratowe. —

Porównanie belek kratowych z pełnemi pod względem ich doskonałości prowadzi do dwojakich wypadków, czasem sprzecznych z sobą, a w każdym razie zależnych od okoliczności miejscowych i od poglądów estetycznych budowniczego ; na-

stępujące zaś uwagi dowodzą niepewności wszelkiego rozbioim teoretycznego w tym względzie.

Dowiedliśmy w ustępie n. 66, że ciężar ściany kratowej jest dwa razy większy od ciężaru ściany pełnej, co zdaje się zbijać powszechnie uznawany lekkość belek kratowych. Jednakże ten wynik teoretycznego rozumowania nie zawsze się zgadza z wypadkami doświadczeń, bo gdy rachunek przepisuje na grubość ściany pełnej ilość mniejszę od grubości blachy, trzeba pomimo tego umieścić jednę blachę wbrew wymaganiom rachunku. Przeciwnie w belce kratowej, jakakolwiek by była ilość metalu przepisanego, zawsze można rozdzielić go stosownie na pasy odosobnione, dajęc im takę szerokość, aby ich grubość była odpowiednia ; może się więc zdarzyć bardzo łatwo, iż ciężar rzeczywisty belki pełnej będzie znacznie większy od ciężaru belki kratowej.

Przypisuję także belkom kratowym tę wielkę zaletę, iż włókna najwięcej pracujęce znajduję się na wielkiej odległości od włókna środkowego, i że wT skutek tego wysokość belki może być odpowiednio powiększonę, co oczywiście zgadza się z najprostszemi pojęciami o wytrzymałości prętów⁷ prostych (ust. n. 38). Nie trzeba jednak tracić z oczu niezaprzeczonej ważności, jakę posiada ściana pionowa belki metalowej. Służy ona do utrzymania zupełnej sztywności w całym systemacie i do przesyłania natężeii tablic poziomych z jednego miejsca do drugiego; musi więc J)yć sztywnę i tworzyć niejako jednę całość. Krata, choćby najstaranniej wykonana, jest zawsze zbiorem pasów odosobnionych, które naturalnie nie przedstawiaję tyle jednostajności, co ściana belki pełnej.

Choćby zresztę belka kratowa zdawała się korzystniejszę pod względem ilości metalu, pozostaje jeszcze pytanie, czy koszta składania i nitowania kraty nie pochłonę zrobionej na mate-ryale oszczędności. Inne jednak względy, których nie można po-

liczyć do rzędu technicznych warunków budowy, przemawiają stanowczo za użyciem belek kratowych w miejsce belek pełnych ; są to mianowicie względy estetyczne.

Często napotkać można belki kratowe o kształcie parabolicznym, których wysokość maleje od środka przęsła ku podporom na kształt brył surowcowych o jednostajnej wytrzymałości. Że taki kształt nie przystoi budowlom z blachy walcowanej, o tem już obszernie mówiliśmy w ustępie n. 52 odnośnie do belek pełnych; dosyć więc przypomnieć, że kształt prosty w belce blaszanej jest ze wszystkich najodpowiedniejszy, i że nadaje się tak samo do równego rozłożenia pracy jak parabola, której tę własność wyłącznie przypisywać chciano. Zresztą belki paraboliczne przedstawiają jeszcze te dwie niedogodności, że nie można kłaść górnych wiązań poprzecznych we wszystkich miejscach, i że każde przęsło musi być od drugiego niezależne ; wiadomo zaś jakie przedstawia korzyści belka nieprzerywana na podporach. Najlepiej więc jest robić belki proste. Wysokość ich powinna być zawartą między jedną ósmą a jedną dwunastą długości przęsła, z warunkiem wszakże, żeby nie przechodziła półtora razy wziętej szerokości mostu.

Rozróżniamy kratę gęstą od kraty rzadkiej, pasy płaskie od pasów w żebra zaopatrzonych, pasy pojedyncze od podwójnych.

Krata rzadka jest niezaprzećzenie najlepszą ze względu na małą liczbę nitów potrzebnych do jej przymocowania; krata zaś gęsta zaleca się większą ciągłością w przesyłaniu natężeń z jednej tablicy do drugiej. Temu jednak systemowi zarzucają brak sztywności.

Pasy płaskie są oczywiście ze wszystkich najprostsze i do fabrykacyi najłatwiejsze, pręty zaś o kształcie litery T albo U, albo też pasy podwójne połączone z sobą kratą z małych pręcików są o wiele wytrzymalsze. Zachodzi jednak pytanie, czy

kracie płaskiej grozi rzeczywiście niebezpieczeństwo wygięcia bocznego. Przypuściwszy na chwilę, że pasy ściskane wyginają się cokolwiek, musimy przypuścić równocześnie, że i pasy rozciągane wyginają się odpowiednio, inaczej bowiem wygięcie kraty byłoby niemożebnem; ale zgięcie pasów rozciąganych powiększa jeszcze ich natężenie, albowiem słupki pionowe do kraty przynitowrane sprzeciwiają się zmniejszeniu wysokości belki. Zatem wygięcie boczne kraty prowadzi do powiększenia natężeń w pasach rozciąganych. Otóż w każdem przecięciu poprzecznem belki panuje zawrze dyżność do równowagi między wysiłkiem poprzecznym a ściskaniem i rozciąganiem pasów, jeżeli więc to ostatnie się powiększa, a natężenie poprzeczne pozostaje stałe, to ściskanie, a tern samem i wygięcie musi maleć odpowiednio. Zatem wygięcie boczne kraty jest w ogóle bardzo małe, bo zaraz w początku ruchu przyrost siły rozciygajycej wywołuje odpowiednią ulgę w pasach ściskanych, a tem samem zapobiega większemu wygięciu.

Krata płaska zaopatrzona wT łaty pionowe, służące nie tylko do wzmocnienia całego systemu i nadania pasom należytej solidarności, ale także do ułatwienia poprzecznych wiązań mostu zdaje się być ze wszystkich najodpowiedniejszy dla mostów^ o długich otworach, a niezaprzeczenie w wielu razach najprostszy i najtańszy. Dodać jeszcze należy, że te łaty pionowa odrzucane przez stronników krat żebrowatych, sy nadzwyczaj dogodne w mostach majycych pokład u spodu belek, bo rozdzielajy natężenia zewnętrzne bardzo równo na wszystkie pasy sysiednie; gdy tymczasem w ich braku, obciyżenie zewnętrzne działa najprzód tylko na punkt przyczepienia pasów' zchodzycych się na poprzecznicy obciyżonej i dochodzi z tru-dnościy do pasów⁷ ponad poprzecznicy leżycych.

Z pomiędzy różnych systematów⁷ kraty żebrowanej najoryginalniejszy jest krata mostów żelaznych na linii Staatsbahn

w Austryi. Każdy pas ma w przecięciu kształt litery Û. Część walcowa służy do stworzenia należytej sztywności, część zaś płaska do ułatwienia nitować, pasy bowiem krzyżujące się z sobą dotykają się częściami płaskiemi. W najnowszych mostach tego systemu pochylenie pasów do linii pionowej wynosi 45° w środku przęsła i zmniejsza się stopniowo ku podporom, tak że na końcu belki zchodzi do 25°, wskutek czego otwory puste są kwadratowe w środku przęsła, a ukośne w części pozostałej. Myśl to nie bardzo szczęśliwa, bo pominąwszy już, że minimum ciężaru kraty odpowiada kątowi 45", nie godzi się poświęcać strony estetycznej dla małej ekonomii, jaką przynieść może użycie pasów o jednakowej grubości w miejsce pasów zmieniających swe wymiary; taki bowiem «musiał być cel konstruktora. Mosty te, uważane zdaleka wydają się walcowate, bo krata jest daleko rzadsza w środku jak na podporach. Za to pierwsze mosty na linii Staatsbahn robią dobre wrażenie, dzięki bogatym cieniom i błyszczącym liniom części wypukłych.

ROZDZIAŁ VI

WYGIÇCIE ZŁOŻONE.

70. Określenia. — Przez wygięcie złożone rozumiemy wygięcie proste połączone ze ściskaniem lub z rozciąganiem. Jest to więc odkształcenie sprawione działaniem siły P i pary sił M skierowanych prostopadle do przecięcia uważanego (ust. n. 6). Wprawdzie parze M towarzyszy zawsze natężenie poprzeczne W, ale siła ta bywa zwykle w rachunkach pomijana.

Z określenia tego wypada, że wygięcie złożone ma wtedy miejsce, gdy siły zewnętrzne nie działają prostopadle do

włókna środkowego. Jakoż każda siła ukośna może być rozłożona na dwie inne: jednę równoległy do włókna środkowego i drugy do niego prostopadły; pierwsza z nich ściska belkę wzdłuż osi, druga zaś wygina jy poprzecznie.

Ponieważ rozdział niniejszy obejmuje tylko wygięcie złożone płaskie, przeto należy dodać do poprzedzającego określenia ten warunek, iż siły zewnętrzne leży w jednej płaszczyźnie przechodzącej przez włókno środkowe belki i przez jedne z osi symetryi przecięć poprzecznych. Dla lepszego zrozumienia rozbierzemy osobno trzy główne przypadki: 1° siły zewnętrzne działajy w kierunku włókna środkowego, a ich wypadkowa jest przyczepiona do tegoż włókna; 2° siły te sa równoległe do włókna środkowego, ale ich wypadkowa leży na zewnytrz^ tegoż; 3° siły zewnętrzne sy ukośne względem osi belki (*).

71. Pręt prosty ściskany wzdłuż osi.—Wyobraźmy sobie graniastosłup prosty AB (fig. 60) stojący pionowo i przypuśćmy, że siła N działa pionowo na górny koniec osi; przypuśćmy nadto, że ten punk*t A nie może zbaczać z kierunku linii prostej AB. W takich warunkach wygięcie nie mogłoby mieć miejsca, gdyby pręt był zupełnie jednorodny, bo moment siły N względem jakiegokolwiek punktu włókna środkowego byłby równy zeru ; ale pręt naturalny, ani ściśle prosty, ani jednorodny ugnie się po pewnym czasie w skutek wstrzy-śnienia lub innej ubocznej przyczyny.

Niech więc a oznacza długość pręta, a punkt A' nowe położenie punktu A po wygięciu pręta. Jeżeli weźmiemy linie Ba.¹, By, za osie współrzędne, moment zgięcia będzie — Ny, a więc

(ł)

EIS=-N*'

(*) Niemcy maję. osobnę nazwę do określenia dwóch pierwszych przypadków mianowicie Zerknichungsfestigkeit i excentrische Zug-oder Druckbelastung.

Jest to równanie linijne drugiego stopnia. Ponieważ druga pochodna funkcyi y względem a? równa się —y z przybliżeniem ilości stałej, przeto y może być wyrażone przez funkcyę linijną wstawy i dostawy łuku proporcyonalnego do x; że zaś całka szukana ma zawierać dwie stałe A i B przeto możemy przyjąć

(2)

y = A dos mx 4 B wst mx.

Łatwo jest oznaczyć czynnik m. Jakoż, bioręc drugę pochodny, poprzedzającej funkcyi otrzymujemy zwiyzek

d-ij

-r4, — — Am² dos mx — Bm² wst mx — — nr//, dx²

który daje wespół z równaniem (1):

m = dt

JE

V El

A!

-K

Fig'. 60.

Przyjmując znak 4- zamieniamy wyrażenie (2) na

Vei

y — A dos

tes

X -t- B wst

— x.

Otóż równanie to powinno dać y = 0 dla x = 0 ; przeto

(3)

y = B wst

(VeT*)’

CZęŚĆ I. —- PflÇTÏ TllOSTK albo belki. a że y powinno być także równe zeru dla # = a, więc albo P jest równe zeru, albo też

238

wst

/N

co tylko wtedy jest prawdziwe, gdy y — .a jest wielkokrot-nościy łuku Tr. Oznaczywszy przez i jakakolwiek liczbę całkowity mamy

-a

zkyd

(4)

rV

N = EJ — •

a%

Najmniejsza wartość ilości N odpowiada warunkowi i= 1; bioryc zaś kolejno i = 2, i =3, i t. d., otrzymalibyśmy wartości N, 4, 9, it. d. razy większe od poprzedniej. Ażeby więc belka mogła być wygięty, siła N musi przynajmniej wynosić

ir

EI 15 (*) •

Gdyby punkt leźycy w połowie pręta był tak umocowany, iżby mógł tylko posuwać się w kierunku linii pionowej, rzędna

y musiałaby być zerem“ dla x = ^ , i dla x = a. Wtedy

wsi

te la

(9 Prawo to odkrył najprzód Musschenbrock w roku 1729 [Introductio ad cohaeren-łiam corporum firmorum). Euler dowiódł je w roku 1744 {De curvis elasticis, dodatek zamykający dzieło : Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprielate gaudentas).

4iV

N = BI

Zatem najmniejsza wartość siły N, mianowicie El —, byłaby

cztery razy większa od tej, która by była w stanie wygięć tę sarnę belkę majęcę punkt C zupełnie wolny. Było to łatwem do przewidzenia, gdyż każda z połówek AG i GB (fig. 61) może

być uważana jako pręt odrębny majęcy długość |.

Fig. 61.

Możnaby dowieść w takiż sam sposób, że gdyby belka przechodziła przez dwa punkta stałe G i D położone w jednej trzeciej i w dwóch trzecich jej długości, najmniejsza siłaN zdolna sprawić wygięcie byłaby dziewięć razy większę, jak w przypadku pierwotnie uważanym.

Zdawałoby się z poprzedzajęcego, że równowaga istnieje tylko wtedy, gdy N przybiera pewne wartości zmieniajęce się

a²

w sposób nieciągły, tak że belka wygięta siłę N =EI się natychmiast po bardzo małem powiększeniu tej siły ; mnie-

a więc

El 'A

U'

lub wreszcie

złamie

manie to jednak nie zgadza się z doświadczeniem, gdyż strzałka wygięcia zmienia się wraz z natężeniem siły w sposób zupełnie ciągły. Przyczynę tego błędu jest ta okoliczność, że

7C?

ilość a we wzorze N = El — powinna właściwie oznaczać odległość dwóch końców pręta po odkształceniu, a więc ilość zmiennę i zależna od siły N ; siła ta mogłaby więc się zmieniać i w miarę tego określać inna krzywę równowagi. Ale w tym stanie równowagi ilość B, to jest największa strzałka wygięcia nie jest oznaczona, co ztad pochodzi, że przy układaniu wzorów odkształcenia, a szczególniej wzoru M = EI^(

przypuszczaliśmy zawsze odkształcenie bardzo małe, to jest pomijaliśmy zmianę kształtu belki przy obliczaniu rzutów sił i momentów.

Przypuśćmy więc na nowo, że belka AB (fig. 60) wygięła się pod działaniem siły N i ułóżmy równanie równowagi między siłęN i siłami międzyczęsteczkowemi w przecięciu K. Nazwijmy ds długość pierwotnę elementu osi, nachylenie przecięcia K do pierwotnego położenia. Przecięcie to pierwotnie równoległe do przecięcia sąsiedniego odległego o ds, tworzy z nim teraz d'b

kęt ety, a więc ~ przedstawia kęt wygięcia odniesiony do jednostki długości, to jest ilość oznaczonę w ustępie n. 35 przez ^ . Zatem summa momentów działań międzyczasteczko-wycli względem linii poziomej przez punkt K przechodzącej będzie El^-y- , a ponieważ ten moment ma równoważyć działanie siły N, przeto

d-b

Element majęcy długość ds zamienia się na ds w skutek

obciążenia N. Na zasadzie wzorów odnoszących się do ściskania i rozciągania mamy (ust. n. 13)

(6)

ds = ds ({ — J-L

Eli / ’

z pominięciem kąta, jaki czyni siła N z płaszczyzną przecięcia Ü. Wreszcie ponieważ składowa siły N leżąca w tej płaszczyźnie jest także bardzo mała, przeto można pominąć przesunięcia poprzeczne i uważać przecięcie ß jako normalne do osi pręta nawet po odkształceniu. W takim razie mamy

(?)

dy =z — ds' wst^.

Z równań (6) i (7) wypada

'vst+(ł-4)

dJŁ = _

ds

a więc wstawiwszy tę wartość w równanie (5) zróżniczkowane względem s otrzymamy

"(*-a

wsi b,

Fł— —

U d? —

a po zcałkowaniu

El

dĄ

ds I

— 2N 11 — dos Ą + ilość stała.

Ilość stałą można wyrazić przez wartość ^₀, jaką przybiera ^ w punkcie A', bo w tem miejscu mamy y — 0, a tern

= 0. Możemy więc napisać

samem

d-b

ds

(8)

El (d^

ds

= 2N    (dos ^ — dos^₀)

albo

V® (‘ ki) '

= ds

ety

\ i (dos -b — dos ^₀)

wytrzymałość materiałów.

część I. — PllgtY PKOSTE ALiJO fiELKf.

542

Całka drugiej strony tego równania w granicach s = 0 i s = a jest

•vS(-ä)

, a całka strony pierwszej jest znanę. w teoryi

wahadła prostego. Gdyby ^ zchodzilo do zera i razy między B i A', całka ta przedstawiałaby trwanie i kołysań wahadła mającego długość y, gdzie y oznacza przyspieszenie ciał ważkich w próżni ; mielibyśmy więc w przybliżeniu opuszczając w wyrażeniu różniczkowem potęgi wyższe od <j/₀ł. Mamy zatem

(9)

«(¹⁺fe‘)=Vs(¹⁺4)

Otóż równania (5) i (8) zastosowane do punktu C, w którym •b staje się zerem, a y staje się maximum, daję

ntxt

Eł^ = N/A cis J

El

zkęd

max

El

(‘ ä)(1 _ dosW;

albo zważywszy iż jest bardzo małe

(10)

N//²

ni a.io

Et

Rugując teraz Ą₀ \v równaniach (9) i (10) otrzymujemy ostatecznie

ni (ix

N.y²

E<>

N

Ilość —- jest bardzo mała, bo przedstawia skurczenie względne

Eli

materyału (¹); można więc napisać

(H)

max

El

= 16

(1—âï)—4]¹

U ważmy, że jeżeli ij ma być ilością rzeczywisty, musimy mieć

— 1 > 0,

vs(—ä)

alba

(12)

*-U-Ł)

El \ Elty

*V

> -7

a²

N

lub wreszcie, pomijając — w obec jedności

Eil

al '

(13)

Jest to granica N znana już z poprzednich rachunków. Oprócz niej istnieje jeszcze druga, nieco większa, bo jak pokazuje równanie (12), mamy

*V

El

a²

fl -JLV

V e a)

wartość

a tern więcej [wstawiając po drugiej stronie za i²irl

a~

mniejszą —— wypadającą z nierówności (13)] :

N > El

i~n~

o}— tV

244

część J. — PRĘTY PROSTE ALBO BELKI.

*V

Zatem N może być większe od El

, ale o ilość bar-

a² — ihr²

dzo małę. Jakoż w przeciwnym razie mielibyśmy na zasadzie

-— =K, gdzie K oznacza ilość dosyć wielką ;

Jlil

mielibyśmy więc ifmax — K

wielkie, przeto i strzałka ymax byłaby wielka, coby naturalnie przepowiadało blizkie złamanie. Słowem pręty pionowe wygięte pod działaniem sił pionowych znajduję, się prawie w stanie równowagi niestałej, to jest sę zagrożone niebezpieczeństwem złamania po stosunkowo małem powiększeniu ciśnienia. Tę niedogodność usunąć można zapobiegając wygięciu jakimikolwiek sposobami mechanicznymi (*).

równania (11) :

•//

= k“

IN ‘

Kl -h

E£2

, a że — jest dosyć

Rozbierzmy jeszcze równanie (11). Jeżeli N₀ oznacza wartość N czynięcę zadość warunkowi

<■

KI Z

*-H lo

No

Eil

i,

mamy

w-

max

16a

El

?7T

[VbŚ(

albo

m ar

16a

El

ir.

a że N przechodzi bardzo mało granicę niższę, przeto N różni się bardzo mało od N₀ i dwumian zawarty w nawiasie powyższego

(*) Teoryata jest ułożona na tle teoryi Lagrange’a, ogłosEonej w Pamiętnikach Akademii berlińskiej : Sur la force <Ps resso-t.« pliés.

KSIEC.A II. WyCIĘCIE PROSTE I ZŁOZONE. — ROZDZIAŁ TI.

równania może być uważany za różniczkę funkcyi

V Eß \

2L\

Eli ■ ’

to jest za

2N

E12

_ N-N,

N \ Eli ?

gdzic N — N₀ zastępuje różniczkę dN. Gdybyśmy jeszcze opuścili N .

jako małe w obec jedności, mielibyśmy

yjäl

N-N₀

2Eß

Eli

a z lad

Vs(N

-N₀)

mace —

ESfc (ä)

IŁ' C*

N

Otóż — różni się bardzo mało od N —N₀=AN₀, mamy

iV

il

(T

, a więc oznaczając

y-

mar,

_8q*.AN₀

czyli

Umax —

2y/2 a-\/AN~

iVVEiiy/i

CZĘŚĆ I. — PRÇTY PROSTE ALBO BELKI.

246

A więc żeby pręt mógł się wygięć, siła N musi dosięgnęć granicy N₀, w którćj właśnie strzałka tworzyć się zaczyna, po za tę granicę strzałka wygięcia rośnie proporcyonalnie do kwadratu z długości pierwotnej i do pierwiastku kwadratowego z przyrostu siły.

Oprócz granicy tyczącej się natężenia zewnętrznego N istnieje także pewna granica długości a, poniżej której wszelkie

f ]\⁷ [

wygięcie jest niemożebne. Jakoż skoro — (

s)jest il0'

czynem dwóch czynników, których summa jest stała, przeto pierwiastek kwadratowy tego iloczynu jest koniecznie mniejszy od

i; a że równanie (II) wymaga, aby y/^    ^

pomnożony przez simy mieć

« l-l-

y/^ był większy od jedności,

przeto mu-

a > 2/71

v4-

Gdy nierówność ta nie ma miejsca, pręt pęka w skutek gniecenia, a nie w skutek wygięcia. Nazywając R wytrzymałość materyału przeciw zgnieceniu, powinniśmy mieć

ü <R

N > El

Ac²

a² — rV

PT

CL

as |K

*v

iï

a¹ — /A²

Wyraz

/ E

u y 1 4- j-j ma w przecięciu następujące wartości:

dla żelaza............

dla surowca..........

dla drzewa dębowego ..

Ażeby zaś wygięcie mogło nastąpić bez naruszenia spójności materyału, trzeba wstawić za R ilość mniejszy od wytrzymałości przeciw zgnieceniu. Powyższe wypadki liczebne staję, się wtedy dwa albo trzy razy większe.

72. Słupy drewniane. — Pierwsze doświadczenia doty-częce wytrzymałości słupów' drewnianych przeciw zgnieceniu, a raczej przeciw złamaniu, które wywołuje siła działająca w kierunku osi, były robione przez Aubry’ego (²), Girard’a (³), Lamandé’go(⁴), Rondelet’a (⁵) i Regnault’a(⁶). Sczegól-niej liczne sę doświadczenia Girard’a, ale nie mogę one służyć do wyprowadzenia pewnych prawideł, bo niewiadomo, czy wypadkowa sił zew nętrznych przechodziła przez środek podstawy, czy też w pobliżu brzegu, i czy podstawy słupa były płaskie i foremne ; doświadczenia zaś Rondelet’a sprzeciwiaję się wypadkom teoryi. Dopiero późniejsze badania Hodgkinson'a okazały, że gdy podstawa słupa jest kw adratowa, mamy

a²

albo

a > Î7C

Va 0

-A-

N = 2565 A,

część J. — f'RÇTY PROSTE ALBO BELKI.

248

gdzie N oznacza obciążenie odpowiadające złamaniu, m bok kwadratu, a a wysokość słupa. N jest tu wyrażone w kilogramach, m w centymetrach, a a w decymetrach.

Dla przecięć prostokątnych Hodgkinson podaje wzór

N = 2565 ~, a²

gdzie m oznacza większy, a n mniejszy wymiar poprzeczny.

Przypuszczając teraz, że słupy drewniane nie powinny być obciążane większą siłą, jak jedna dziesiąta ciężaru wywołującego złamanie, można przyjąć według Morin’a (*).

Słupy o przecięciu

Nazwa drzewa.

kwadratowem

proslokątnem

Dąb gdaüski, mocny, zdrowy. P=

Dąb słaby

P= 180

Jodła i sosna mocna

Świerk i sosna słaba

P= 180

C_ CU CL, Ch

isS

CK

Ł>£>

Wzory powyższe odnoszą się tylko do tych przypadków, w których stosunek wysokości słupa do jego najmniejszego wymiaru poprzecznego jest zawarty między 12 i 60.

Przypuśćmy np. że mamy oznaczyć wymiary słupa dębowego mocnego, o przecięciu kwadratowem, mającego 5m wysokości i obciążonego 12000 ks- Użyjemy wzoru

nfW*

a²

P= 256,5 4-,

KSIÇGA. II. WVGIÇCIE PROSTE I Zf.OŻONE. — ROZDZIAŁ VI.

w którym P = 1200ks\ a =50 decymetrów. Ztąd

m⁴ =

1200 X 50*

256,5

= 116960,

m = 18cm* 5

73. Pale drewniane. — Pale wbite w ziemię i połączone z sobą u góry belkami poziomemi nie mogą być uważane jako podpory odosobnione i niezależne jedne od drugich. Do obra-chowania ich liczby i wymiarów Rondelet podaje następujące prawidło.

Ponieważ wymiary drzewa zależą od miejscowości, a więc są z góry dane, przeto oblicza się liczbę pali w ten sposób, aby każdy centymetr kwadratowy ich przecięcia znosił 30 do 35ks* obciążenia.

Przypuśćmy np. ża budynek ważący 15000000ks- ma spoczywać na palach o trzydziesto-centymetrowej średnicy. Każdy pal znosić będzie obciążenie

07.2

— 35k?-=24745k»-,

4

a więc ich liczba będzie

= 606.

15000000

24745

Przedewszystkiem pale te rozstawiać trzeba w ten spo -sób, aby znosiły mniej więcej jednakowe części całkowitego ciężaru.

74. Słupy metalowe pełne. — W Transactions philosophiques z roku 1840, znajduje się opis licznych doświadczeń Hodg-kinson’a, które tenże uczony wykonał nad słupami z żelaza lanego, różnych kształtów i wymiarów. Słupy te były walcowe, puste lub pełne, zaokrąglone na końcach albo zakończone płasko w kierunku poprzecznym, albo wreszcie zakończone tablicami płaskięmi szerszemi od średnicy walca. Jedne słupy były geometrycznie walcowe, drugie zaś nieco wypukłe ku środkowi.

Hodgkinson wyprowadza z doświadczeń swych następujące wnioski :

1° Wytrzymałość słupów wysokich, o jednostajnej średnicy i płaskich podstawach, jest niemal trzy razy większa od wy-trzymałości takichże słupów z końcami zaokrąglonymi.

2° Słup długi o jednostajnej średnicy, zakończony tablicami prostopadłemi do jego osi, i dobrze na obu końcach umocowany, posiada taką samą wytrzymałość przeciw zgnieceniu, jak słup dwa razy krótszy, mający tę samą średnicę, ale zaokrąglony na końcach.

3° Pogrubianie słupów ku środkowa powiększa ich wytrzymałość o jedne siódmą lub jednę ósmą.

Go się tyczy stosunku wytrzymałości do średnicy i do wysokości słupa, Hodgkinson znajduje, że teorya, na mocy której wytrzymałość jest proporcyonalna (ust. n. 76) do czwartej potęgi średnicy, a odwrotnie proporcyonafria do kwadratu z wysokości, nie zgadza się z wypadkami jego poszukiwań. Ale też trzeba mieć to na uwTadzć, że uczony ten zajmowrał się głównie złamaniem a nie wygięciem zostającem jeszcze w granicach sprężystości. Ponieważ teorya opiera się na przypuszczeniach, które są tylko mniej lub więcej dokładne w tych granicach, przeto nic“, dziwmego, że nie jest w zgodzie z doświadczeniami posuniętemi aż do zupełnego złamania.

Z rozbioru swych doświadczeń, Hodgkinson wyprowadza wrzór empiryczny, bez wątpienia dosyć dokładny, ale niedogodny w rachunkach, bo zawierający dwa wykładniki ułamkowa. To też praca ta nie zyskała wielkiego uznania, jakkol-kolwiek Jenerał Morin ułatwił do niej przystęp ułożywszy tablice i wskazawszy metodę graficzną prowadzącą prosto

do celu. Dopiero gdy Love przedstawił wzory proste, a zupełnie do potrzeb praktyki zastosowane, doświadczenia Hodgkinson’a stały się główną podstawą rachunków w praktyce używanych. Dla słupów pełnych, o podstawach płaskich i prostopadłych do osi Love podaje wzory :

dla żelaza lanego Nks- —

R12

1,45 + 0,00337

dla żelaza kutego Nks.=

R12

l,oo -f-0,0005

« re

otrzymamy

gdzie N oznacza obciążenie odpowiadające złamaniu, R wytrzymałość metalu na centymetr kwadratowy przeciw zgnieceniu, 12 powierzchnię przecięcia poprzecznego w centymetrach kwadratowych, a wysokość, a d średnicę słupa. Otóż według doświadczeń Hodgkinson’a, wytrzymałość żelaza lanego przeciw zgnieceniu jest 7500ks- na centym, kw., a dla żelaza kutego R=25000; wstawiwszy więc we wzorach po-di

1,272

wyższych za 12 =

dla żelaza lanego N —

7500#

i,846# + 0,0043#’

dla żelaza kutego N

2500#

~ 1,473# -t-0,00064#'

Ponieważ surowiec znosi bezpiecznie 1250ks-, a żelazo 600ks- na cent. kw. przecięcia, przeto mamy do obliczenia ciężaru, jaki znosić mogą bezpiecznie słupy metalowe, następujące wzory

(a).

dla słupów surowcowych Pks- =

1250#

1,85# -4- 0,0043#’

dla słupów żelaznych

Pks- =

600#

1,97# H- 0,00064# '

2    CZ£ŚĆ I. — PRgTY PBOSTE AI.BO BFJ.KJ.

Na zasadzie tych danych Jenerał Morin obliczył tablicę

Średnica

w centymetrach.

Wysokość

w centymetrach.

Obciążenie słupów.

surowco

wych.

żelaznych.

Średnica

w centymetrach.

Wysokość

w centymetrach.

Obciążenie słupów.

snrowco-

wvch.

żelaznych.

kg-

kg.

400

8742

6736

kg.

MO

120

4 30

140

4 50

OT

IGO

180

200

7929

7232

6569

5985

5463

4337

4210

3579

6568

220

240

260

3086

2605

2348

280

2038

6444

6244

6068

5891

5713

5358

5040

4674

4355

4053

3771

550

8413

\ 600

724 2

.    O-r-COOOO

^ ci rc h o co x co o

îC CO **** 'CT' OC C© 2-0 ^ OJ oł (Oî G't ^

300

1803

3509

300

350

450

9917

9143

400

475

200

8169

6789

225

5698

8590

8056

7526

450

42 l 500

550

250

275

300

325

350

4830

4134

3574

3140

2730

7010

6547

6050

5613

5207

600

650

700

39669

32679

27158

32793

49323

46559

44285

12442

10924

28720 27070 25387 2374 6 22004 20536 4 9066 47689 4 6410

lz> 1-D

275

300

co

325

350

375

400

450

500

476 ;0 15234 4 3228 41542 40130 8944 7936 7080 6349 5176 4290

! 6202 45507 4 4797 14085 4 3379 4 2688 12048 41373 10756 9612 8590

300

350

400

450

500

550

600

650

700

750

800

78781 67406 57306 49169 42435 86855 3224 6 28339 25079 22324 19973

60641

58228

55667

53024

50352

47695

45090

42562

40133

37845

35615

Średnica

w centymetrach.

Wysokość

w centymetrach.

Obciążenie slupów

surowco

wych.

żelaznych.

Średnica

w centymetrach.

Wysokość

w centymetrach.

Obciążenie słupów

surowco

wych.

żelaznych.

kg-

400

450

500

700

750

800

850

900

1000

140056 424165 110192 98003 87 ! 12 78224 70249 63316 57273 51991 47359 39682

kg.

107816

104620

101265

97799

94265

90703

87145

83623

80160

76775

73484

67226

400

kg-

kg.

I 450

500

550

600

25

650

700

800

900

1000

264758 175739 240888 172226 218837 168463 193730 164491 180560 160349 164238 156078 149630 J51713 124936 142837 105250 133955 89490 125250

Tablica ta dowodzi zgodnie z twierdzeniem inżynierów angielskich, że słupy żelazne pełne są wytrzymalsze od słupów surowcowych, gdy tylko stosunek wysokości do średnicy jest większy od trzydziestu.

75. Słupy metalowe wydrążone. — Wzory podane W poprzedzającym ustępie mogą także służyć do obliczania słupów wydrążonych, gdyż przypuszczając, że wytrzymałość ciała pierścieniowego jest równa różnicy wytrzymałości dwóch ciał pełnych mających laką samą wysokość, a średnice równe jego średnicy zewnętrznej i wewnętrznej, dosyć jest obrać jednę z nich dowolnie, a drugą wyznaczyć za pomocą prób kolejnych. Ale metoda ta prowadzi niekiedy do błędnych albo raczej niemożebnych wypadków, ho wymiary słupa surowcowego nie tylko zależą od warunków wytrzymałości, ale także od możności wykonania. I tak, według przepisów sztuki giserskiej, grubość słupa pustego nie może przechodzić pewnej granicy niższej zależnej od gatunku metalu, jego cie-

CZĘŚĆ I. — PRĘTY PROSTR ALBO RËLKt.

234

kłości, a nadewszystko od wysokości słupa. We Francyi przyjmują następujące liczby

wysokość : 2m do 3m 3m do 4“ 4m do 6m 6m do 8m,

najmniejsza grubość : 0m,012    0m,015    0m,020    0m,025.

Mając więc wysokość a słupa i jego obciążenie P, obierzemy średnicę zewnętrzną stosownie do okoliczności miejscowych i zasad estetyki, następnie według wzorów lub tablicy zamieszczonej w poprzednim ustępie oznaczymy ciężar P' odpowiadający słupowi pełnemu o takiejże średnicy. Widoczną jest rzeczą, iż oznaczywszy przez P" obciążenie słupa pełnego o średnicy wewnętrznej szukanej d", mamy :

P" = P'*—P.

Otóż znając P" znajdziemy łatwo średnicę uf', bo na zasadzie wzoru (a) ustępu n. 79 mamy

Pv =

1250flT⁴

1,85 d'* + 0,0043fl³ ’

zkąd

d" =

1,83

2 X 1250

P' 4-

Jl.....M⁵

V\2X'1250 j

0,0043 ö² P

1250

Wymiary w ten sposób znalezione trzeba porównać z szeregiem liczb powyżej podanych. W razie gdyby połowa różnicy d—d'" była za małą, należałoby powiększyć średnicę zewnętrzną i na nowo przeprowadzić wskazane rachunki.

76. Pręt pionowy obciążony na zewnątrz osi. — Wyobraźmy sobie pręt pionowy AB=a (fig. 62), umocowany jednym końcem na podstawie nieruchomej a obciążony na drugim siłą P, która działa za pośrednictwem ramienia AC przymocowanego do pręta pod kątem prostym.

¹

Ciśnienie 2o kg. na milimetr kwadratowy odpowiadające zgnieceniu żelaza sprawia tylko skurczenie względne 0,002. Cyfra ta jest nieco większa dla surowca i dla drzewa,

ale rzadko dosięga wartości 0,0t.

²

Mémoire sur différentes questions de la science des constructions publiques et économiques. Lyon, 1790.

³

Traité de la résistance des solides.

⁴

Œuvres de Gauthey, t. Il, p. 48.

⁵

(»»³) _4r; de bâtir.

⁶

(³¥3) Treatise on thepower of machines by John Banks Kendall, 1803.

Weźmy pierwotny kierunek pręta za oś odciętych, linię do niego prostopadłą za oś rzędnych, i ułóżmy równanie różniczkowe włókna AB po odkształceniu. Oznaczywszy AC przez l, a AA' przez y„

mamy

iax ?

El g = l<(l + .,

znaj-

. .    . du    . dhi dp pdp

ajczcl, nazwiemy JL = V, a więc    ,

dziemy

EI pdp — P (/+y,

nax

— y) du ;

zkąd po zcałkowaniu

"a.

fi

hi

!=■

H

»!

Fig. 62.

Nie ma tu ilości stałej, bodła y = 0 mamy p— 0; wypada Więc z równania poprzedniego

;,=l=vlV2('+!'’

tf!T

) y-y\

256

część I. — PRĘTY PROSIE ALBO BELKI.

a ztąd

v£

— dx —

dy

max

—y)

x sili

— łuk dos

^ “i⁻ y mu x    y

bez stałej, bo wartości y— 0 odpowiada æ = 0. Równanie włókna obojętnego jest więc

KI.C

= dos

î "i⁻ y mai    y

i + y »

{xsJm)'

gdzie

p~lh

ymax - !■

(—\/EI

\dos a\

zważywszy, że d!a x — a, mamy y = y max- Strzałka wygięcia jest więc proporcyonalną do długości pręta.

W każdem przecięciu poziomem działa ciśnienie P i moment zgięcia zmienny P (/ -+- ymax — y), którego maximum P (/ H- ymax) przypada w punkcie B. Natężenia są więc rozłożone według prawa

R=±

a ig

My

+ -5-

to jest

i (l.C

P'

gdzie p oznacza promień wirowania przecięcia względem prostej przechodzącej przez jego środek ciężkości i równoległej do osi wygięcia.

77. Belka poddana działaniu sił ukośnych; wiązania dachowe systemu Polonceau. — W ustępach 71

i 78 traktowaliśmy te dwa przypadki wygięcia złożonego, w których siły zewnętrzne działaję równolegle do osi pręta ; pozostaje więc jeszcze rozebrać działanie sił ukośnie skierowanych.

Każda z sił zewnętrznych rozkłada się na dwie inne P i Q, równoległe i prostopadłe do włókna obojętnego, z których

P

pierwsze wywołuję natężenia - na jednostkę powierzchni,

drugie zaś natężenia— (*) . Ponieważ te działania między-

częsteczkowe sę prostopadłe do płaszczyzny przecięć poprzecznych, przeto bioręc ich summę algebraicznę, otrzymujemy następujęce prawo rozkładu ciśnień :

Wzór len zastosujemy dla przykładu do wiązania dachowego systemu Polonceau, składającego się z dwóch krokiewnic AC, CE (fig. G3), równych sobie co do długości, jednakowo pochylonych i podpartych w środku B i D dwoma słupkami BF i DG, które znowu więżę się z końcami krokiewnic za pomocy ścięgaczy AF, FC, CG, GE. Pięty ścięgacz FG łęczy z sobę dwa punkta A i E, i równoważy parcie poziome, dę-żęce do obalenia murów A i K.

Oznaczmy przez :

p obciężenie dachu na jednostkę długości linii AE ;

L2l szerokość AE, a f wysokość CN ;

a długość krokiewnicy, a « jej pochylenie względem poziomu ;

ß kęt BAF ;

(*'j Mówimy tu tylko o natężeniu podłużnem, gdyż zwykliśmy pomijać natężenie poprzeczne > towarzyszące każdemu wygięciu.

Część i. — rftĘrY pëostë Alßo PÈi.Kl.

258

Tj i T₂ natężenia ściągaczy AF i FG ;

Z natężenie słupka BF.

Krokiewnica ARG jest obciążona na jednostkę długości ciężarem p dos a, którego składowe w kierunku prostopadłym i równoległym do osi są : p dos² a i p wsta dos a ; jeżeli więc uważać ją będziemy jako belkę leżącą na trzech podporach A, B, C, i obciążoną prostopadle, siłąpdos²a na jednostkę długości, otrzymamy następujące wyrażenie momentu zgięcia w jakimkolwiek punkcie przęsła AB (ust. n. 62) :

M==

-f- - p dos²a.a? a 2Z

—'jKvÿ

11

r.i

Al

.E

DÏ

wm

il

Fig. 63.

gdzie M₂ oznacza moment na podporze środkowej ; a że na zasadzie twierdzenia Bertot’a mamy :

0)

2.16

par dos² a,

przeto

— pa. dos²a -+- i p dos² %x ^ —x j.

KSlÇû A Ü. WyGlÇ'Jilî PROSTE 1 ZŁOŻONE, — ROZDZIAŁ VI.

Równanie to przedstawia parabolę momentów An, przechodzącą przez podporę A i punkt n leżący na odległości

2.16 największy.

pa² cos² a od krokiewnicy. W tem miejscu moment jest

Ciśnienie podłużne w punkcie A jest pi wst a -+- Tt dos ß, a więc w punkcie jakimkolwiek leżącym na odległości a? od A, mamy

P — pi wst a -+- T, dosß — px wst a dos a.

Znając M i P możemy obliczyć rozkład natężeń w całej krokiewnicy, albo też obliczyć jej wymiary, bo dosyć jest sprawdzić równanie

Mc

Ale nie znamy jeszcze ilości Tt; rozbierzmy więc warunki równowagi połowy wiązania dachowego z uwzględnieniem oddziaływali wywiązujących się między obydwiema symetrycznemu połowami. W punkcie C oddziaływanie O jest poziome z powodu symetryi figury ; oddziaływanie O' w punkcie L, to jest natężenie ściągacza FG, jest także poziome; ponieważ zaś wszystkie inne siły zewnętrzne są pionowe, przeto O musi być równe O'.

Szukajmy więc warunków równowagi między siłami Ü, O', oddziaływaniem muru pi i wreszcie ciężarem jednostajnie rozłożonym, który jak łatwo się przekonać, sprowadza się do wypadkowej pi, przyczepionej w środku belki B. Równanie momentów tego układu sił względem punktu A jest gdzie /" oznacza wzniesienie punktu C ponad poziomą FG.

CZĘŚĆ I. — i’RÇTY I'ROSTE ALBO BELKI.

260

Ztęd

0 = 4-, pP.

2/ '

Na zasadzie ustępu 58 możemy obliczyć oddziaływania 0„ O,, 0₃, podpór A, B, G, a mianowicie

i    2

Oj —j pa dos² a -t- ^ M₂,

(2)

albo majęc-na uwadze równanie (1) :

O, = -4:p«dos²a.

Oddziaływanie 0₃ jest równe sile Oj z powodu symetryi belki, a 0₂ równa się całkowitemu obciężeniu zmniejszonemu summę Oj -+- 0₃. Mamy zatem

10

O, = — pa cios² a,

0₃ = --pa dos² a.

16

Uważmy, że oddziaływanie Oj jest składowę normalnę wypadkowej sił/»/ i T₂, że 0₃ jest skład o wę normałnę wypadkowej sił O i T₃, i wreszcie że 0₂ jest równe natężeniu Z słupka. Mamy więc

3    3

Oj = — p«dos²a = — pl dos a = pl dos a —T, wst J3,

0₂ = — pa dos²a= ^

pl dos ct — Z

3    3

0₃=— pados²a = — pl dos a = 0 wst a— T₂wsl[3,

a ztad

m 13 , dos a

Tl = 16P*wśtfi’ Z = pldos a

o co I »T⁴

O wst a

wst ß

Znając O, M, P, T„ T„ Z, możemy obliczyć wymiary wszystkich części składowych wiązania dachowego.

ROZDZIAŁ VII

WYTRZYMAŁOŚĆ CfAŁ TRZECIW WYGIĘCIU I ZŁAMANIU. — WYGIĘCIE DYNAMICZNE.

78. Wytrzymałość ciał przeciw złamaniu. — Cała teorya wygięcia traktowana w niniejszej księdze sprowadza się do dwóch wzorów, z których pierwszy

RI

-=:M

przedstawia warunki równowagi między siłami międzyczę-steczkowemi i siłami zewnętrznemi, a drugi daje strzałkę wygięcia (ustępy n. 40, 41, 45, 46, 47, 49)

, Pu³

*ET-

gdzie k jest współczynnikiem liczebnym. Oba te wzory majg

ymux —

lylko wtedy swe znaczenie, gdy wydłużenia, skurczenia lub wygięcia są proporcyonalne do obciążeń, czyli jednem słowem, gdy odkształcenie nie przekracza granic sprężystości.

Rozbierając wypadki doświadpzeń i porównywając wymiary budowli zarazem lekkich i mocnych, wyprowadzić możemy z pierwszego wzoru wartość siły R, która jak wiadomo przedstawia bezpieczne natężenie włókna na jednostkę powierzchni. Ale gdybyśmy nie bacząc na zasadnicze przypuszczenia teoryi chcieli stosować to samo prawidło do doświadczeń posuniętych aż do złamania, a następnie obliczać wartość siły R, jako współczynnika złamania, doszlibyśmy do wyników niezgodnych z doświadczeniem.

Wiadomo w czem leży przyczyna tej niezgodności. Wytrzymałości przeciw wydłużaniu lub skurczaniu są sobie niemal równe do pewnego stopnia, ale po za granicami sprężystości nierówność staje się coraz to wydatniejszą, a to na korzyść skurczania lub wydłużania zależnie od natury ciała. Ztąd wnioskować należy, że wytrzymałość ciał przeciw złamaniu nie jest bynajmniej równa wytrzymałości przeciw zgnieceniu lub rozerwaniu, jakby się tego spodziewać można na pierwszy rzut oka, a to wychodząc z tej zasady, iż złamanie ma wtedy miejsce, gdy włókna zaczynają się kruszyć lub rozrywać. Doświadczenie dowodzi tego najoczywiściej. Surowiec zwyczajny zrywa się pod natężeniem IOks- na milimetr kwadratowy, a łamie się pod dwa lub trzy razy większem obciążeniem ; w tym bowiem razie włókna ściskane słabnieją znacznie wolniej, jak włókna wyciągane, i tym sposobem odraczają chwilę zupełnego złamania. Do oznaczenia siły łamiącej R pozostaje więc tylko droga badań doświadczalnych.

Nie wdając się w opis licznych doświadczeń robionych nad wytrzymałością przeciw złamaniu, zacytujemy tu tylko doświadczenia Krauza robione w Warszawie w r. 1827 i podamy

kilka cyfer wyciągniętych z poszukiwań Barlow’a (*), Che. vandier’a i Wertheim’a (**), Stephenson’a (***), Stirling’a i Hodgkinson’a.

Drzewa krajowe, których wytrzymałości Krauz (****) doświadczał, były następujące : dąb, sosna, jodła, olsza, brzoza i grab. Z dębem uczynił siedrn doświadczeń, z sosną ośm, z jodłą sześć, z olszą trzy, tyleż z grabem, a z brzozą jedno doświadczenie. Wiek dębu wynosił od 100 do 130 lat ; sosny od 18 do 187 ; jodły od 30 do 50; olszy lat 89; brzozy 90; wiek grabu nieoznaczony. Z doświadczeń tych wypada, że dąb 130-letni nie posiada większej mocy od dębu lOOdetniego; że wiek nie wpływa znacznie i na inne gatunki drzewa, że w ogólności wypadki z jednym i tym samym gatunkiem drzewa różnią się pomiędzy sobą, że wyliczone sześć gatunków drzewa krajowego, co do wytrzymałości, idą po sobie zaczynając od najmocniejszych następującym porządkiem : Dąb 6495, grab 5570, sosna 5471, olsza 4757, brzoza 4678, jodła 3809. Liczby tu położone wyrażają średni ciężar w funtach polskich, od którego łamią się belki grube na pięć cali ang. w kwadrat, a długie na stóp dwanaście.

W ogóle przyjąć można, że drzewo dębowe łamie się pod natężeniem 6 do 7ks- na milimetr kwadratowy, jodła zwyczajna przy 4 lub 5k°-, surowizna w przecięciu pod natężeniem 32 kilogramów. Go się tyczy żelaza, trudno jest oznaczyć dokładnie jego wytrzymałość przeciw złamaniu, z powodu znacznej giętkości tego ciała i dlatego uważa się najczęściej tę chwilę, w której odkształcenie trwałe poczyna przybierać wielkie

{*) Treałise on the Strenght of Timber. London, 1837.

(**) Mémoire sur les propriétés mécaniques des bois. Paris, 1848.

(***) The Britannia and Conway tubular Bridge, with general Inquiries of Beams and on the Properties of material used in Construction, published with the sanction ahd under the supervision of Robert Stephenson. London, 1830.

(****) Pomienione już Sprawozdanie Karola Skrodzkiego w Bocznikach Towarzystwa królewskiego Warszawskiego Przyjaciół Nauk.

część I. — PRĘTY PROSTE ALBO BEI.KI.

264

rozmiary, to jest 24 lub 30kg- na milimetr kwadratowy przecięcia.

Wytrzymałość praktyczna, to jest bezpieczne natężenie włókien musi być znacznie mniejsze od wytrzymałości przeciw złamaniu. Opierając się na zdaniu jenerała Morin’a podajemy w tym względzie następujące wskazówki.

Rodzaj ciała.

Natężenie podłóżne włókien namilim. kw. przecięcia, (dodatnie lub odjemne), zapewniające bezpieczeństwo budowli.

W warunkach zwyczajnych.

W przypadku doskonałych materyałów i budowli lekkich.

f Mosty pod kolej żelazną........

1 Mosty zwyczajne..............

j Wały kółwodnych............

( Zwyczajne części składowe machin

j najlepszego gatunku..............

r średnia.........................

Drzewo dębowe lub jodłowe..............

Surowiec

Żelazo

Stal

kg.

2,0

3,0

3.0

7,5

6,0

16,7

12,2

0,6

kg-

7,5

7,5

8,0

22,0

16,6

0,8

79. O kształcie belek surowcowych i o sposobie ich obciążania. — Zdaniem Hodgkinson’a tablice poziome belek kształtu litery I, jakich się zazwyczaj używa do budowy mostów, powinny być większe u spodu jak u góry. Za tern prawidłem idą wszyscy inżynierowie angielscy, zwykli uważać obciążenie trwałe, bezpieczne, jako pewien ułamek ciężaru powodującego złamanie ; a jakkolwiek twierdzenie to nie jest uzasadnione, zważywszy, że obciążenie bezpieczne budowii nie jest funkcyą odkształceń przechodzących granicę sprężystości, to jednak można je przyjąć ze względu na łatwość ustawiania i mocowania belek.

W tym przedmiocie nasuwa się pytanie, czy poprzecznice, albo mówiąc w ogóle, ciężary zewnętrzne mają spoczywać na górnej lub na dolnej tablicy belek tworzących przęsło mostu, wiaduku lub innej budowli. Zdaniem najznakomitszych inżynierów nie trzeba robić w belkach surowcowych żadnych otworów, zagłębień i wypukłości przerywających cięgłość kształtu, a niektórzy z nich, np. Fairbairn i Guettier sprzeciwiają się nawet robieniu żeber pionowych prostopadłych do osi belki, z powodu, że przy wlewaniu metalu w formy, powietrze nagromadza się w tych żebrach i przeszkadza jednorodności odlewu.

Według Morin’a i innych badaczy tablice belek surowcowych powinny być jednakie u góry i u dołu, a ciężar powinien spoczywać na dolnej tablicy. Bez wątpienia, belki te maję kształt jednostajny i prosty, a przytem ułatwiają konstrukcyę pokładu mostowego, bo poprzecznice mogę spoczywać na dolnej tablicy belek podłużnych; ale taki sposób obciążania naraża belki skrajno na skręcenie. Mimo tego opinia Morin’a zyskała najwięcej zwolenników.

Aby zapobiedz temu skręceniu się belek skrajnych w skutek niesymetrycznego ich obciężenia, Fairbairn umieszcza poprzecznice pod belkę, podłużnę, i mocuje ję z obydwiema połowami tablicy spodniej za pomocę haków śrubowanych. Tym sposobem ciężar rozkłada się jednakowo na obiedwie połowy tablicy.

Dla lepszego zbadania przedmiotu zacytujemy tu jeszcze doświadczenia Guettier’a, robione z polecenia Pinard’a, właściciela fabryki w Marquise, a które rzucaję wiele światła na najważniejsze punkta fabrykacyi. Prowadzę one do następu-jęcych wniosków :

1° Że belki o stałem przecięciu, wolno na dwóch podporach spoczywajęce, łamię się w samym środku, i że w skutek tego korzystnę jest rzeczę nadawać belce kształt bryły o jedno stajnej wytrzymałości ;

2° Zc najlepsze są kształty proste i jednostajne, i że wszystkie wypukłości i żebra przeszkadzające wolnemu ruchowi cieczy w formach osłabiają wytrzymałość belek ; co zresztą jest zgodne z uwagą Fairbairn’a.

3° Ze wszystkie części puste ściany pionowej przedstawiają tę niedogodność, iż metal nie stygnie jednakowo we wszystkich miejscach, a nadewszystko w narożnikach, i że tego rodzaju belki są mniej wytrzymało od belek pełnych mających taką samą objętość ; co prowadzi do wniosku, iż dyspozycyę tę przyjąć można tylko wtedy, gdy warunki piękna przemagają nad warunkami wytrzymałości.

Autor wnioskuje również ze swych doświadczeń, że belki kształtu litery I są nader korzystne i że tablica dolna powinna być większą od górnej.; ale równocześnie zaznacza tę okoliczność, że belki surowcowe łamią się nagle, gdy tylko wy-

-- ich długości, to jest,

200

gięcie dochodzi do —r a nawmt loO

Że wygięcie praktyczne powinno być bardzo małe. Otóż ograniczając w ten sposób odkształcenia, a więc zarazem wydłużenia i skurczenia, zamykamy zjawiska w takich granicach, w których wytrzymałość surowca przeciw rozciąganiu i skur-czaniu jest niemal jednakowa. Nie widzimy wdęc powodu, dla któregoby tablice belek surowcowych nie miały być sobie równe.

80. Doświadczenia tyczące się drgań wywołanych przez obciążenie ruchome. — Dotąd zajmowaliśmy się tylko wygięciem sprawionem przez ciężary zostające w spoczynku, należy więc jeszcze zbadać w⁷pływ obciążenia ruchomego, zwłaszcza, że ta kwestya jest zupełnie żywotną w obec licznych mostów pod kolej żelazną i niezmiernej prędkości lokomotyw i pociągów.

Jakoż łatwo pojąć, iż walec toczący się po belce, która ugina

Księga ii. wygięcie proste i zlo/one. — rozdział vir. się pod jego ciężarem, ulega sile odśrodkowej z powodu krzywizny drogi przebieżonej i że siła ta stara się powiększyć wygięcie a nawet spowodować złamanie. Wiadomo, iż siła odśrodkowa wyraża się przez

i 'U

mir

gdzie m oznacza masę ciała biegnącego, v jego prędkość w kierunku krzywej, a p promień krzywizny drogi. Ztęd wypada, iż przy tem samem obciążeniu skutek siły odśrodkowej jest proporcyonalny do kwadratu z prędkości, a odwrotnie proporcyonalny do promienia krzywizny, to jest że rośnie równocześnie z wygięciem.

Ale widzimy z drugiej strony, że jeżeli strzałka wygięcia sprawiona obciążeniom statycznem jest bardzo mała, to znowu siła odśrodkowa nie może nabyć wielkiego natężenia, a wiec jej skutek traci na doniosłości.

Poddając wszystkie wyniki teoretycznych rozumowań pod sankcyę doświadczenia, opiszemy tu pokrótce liczne a dokładne doświadczenia dokonane w roku 1847 z polecenia królowej angielskiej dla zbadania użytku surowizny i żelaza w budowlach pod kolej żelaznę, a szczególniej w miejscach najwięcej narażonych na drgania i uderzenia. Sprawozdanie Komisyi z dnia 261ipca 1849 roku ogłoszone zostało drukiem wraz z dodatkiem zawierającym opis wszystkich szczegółów i zdań ludzi w sztuce biegłych, tudzież rachunków doko-konanych przez Willis’a i Stokes'a z Uniwersytetu cam-bridge’skiego (¹).

część r. — PRĘTY PROSTE Al,BO RECKI.

268

Komisja postanowiła zbadać dwa zadania; jedno odnoszące się do osłabiania metalu wystawionego na częste drgania i uderzenia; drugie zaś dotyczące skutków mechanicznych wywołanych przez uderzenia i ciężary ruchome.

Pierwsze z tych pytań wymagało szczegółowych poszukiwań, ho ludzie praktyki, których rady zasięgano w tym względzie nie zgadzali się z sobą : jedni utrzymywali, iż metal traci na wytrzymałości po pewnym czasie, drudzy zaprzeczali temu i przypisywali układ krystaliczny kruszcu jużto sposobowi fabrykacji, już też sposobowi obciążania. To też Komisya wykonała szereg specyalnych doświadczeń. Najprzód umieszczono pręty surowcowe o przecięciu kwadratowem na dwóch podporach poziomych, i uderzano je w samym środku kulą wiszącą na drucie, na kształt zwykłego wahadła; liczba uderzeń dochodziła do 4,000, a natężenie zmieniało się od jednego pręta do drugiego, co łatwo było uczynić, zmieniając ciężar kuli lub wielkość wahnięcia. Następnie wyginano zwolna pręty surowcowe za pomocą koła palczastego nie tamując ich powrotu do pierwotnego położenia, lub też wyginano je i uderzano zarazem ; próby te posuwano aż do 100,000 razy. Wreszcie na prętach poziomo leżących toczono 96,000 razy ciężar równy połowie tego, który odpowiada złamaniu.

W’ dwóch pierwszych rodzajach prób stwierdzono, iż pręty surowcowe nie tracą nic na swej mocy, gdy strzałka wygięcia sprawiona uderzeniem lub ruchem kola palczastego nie prze-

1

chodzi r strzałki odpowiadającej złamaniu. Przeciwnie,

3

gdy wygięcie chwilowe dochodzi do połowy tego maximum, pręt łamie się po 900 wygięciach. Ztąd wnioskować można, że strzałka chwilowa belki surowcowej powinna być mniejszą od jednej trzeciej maximum ; a ponieważ uderzenia i ruch ciężaru toczącego się po belce powiększają jeszcze jej wygięcie statyczne, przeto sprowadzając całkowite obciążanie do

jednej szóstej ciężaru odpowiadającego złamaniu, otrzymujemy granicę zaledwie dastaleczną ze względu na bezpieczeństwo (*).

Go się tyczy żelaza, znajdujemy w sprawozdaniu Komisyi angielskiej bardzo mało szczegółów. Metal ten nie osłabia się po dziesięciu tysięcach wygiąć sprawionych połowa tego ciężaru, który wstanie statycznym wywołuje wielkie odkształcenie trwałe. Obciążenie praktyczne żelaza i surowca nie powinno przechodzić jednej szóstej ciężaru łamiącego.

W przedmiocie drugiego pytania wykonano bardzo liczne próby, których wypadki odnośnie do uderzeń są następujące : \° Pręt surowcowy o przecięciu prostokątnem, którego jeden bok jest cztery razy większy od drugiego, łamie się pod takiem samem uderzeniem bez względu na to, czy uderzamy bok większy lub mniejszy; w ogóle pręty mające jednakową długość i obciążenie, posiadają tę samą wytrzymałość przeciw uderzeniu bez względu na kształt przecięcia. 2° Wygięcie belki żelaznej w skutek uderzenia jest proporcyonalne do prędkości; wygięcie surowca rośnie nieco szybciej : 3° Ciężar dodatkowy jednostajnie na belce rozłożony powiększa jej wytrzymałość przeciw uderzeniom pionowym, a nawet podwaja ją niekiedy.

Pozostaje jeszcze ostatnia część drugiego zadania, dotycząca prędkiego toczenia się ciężarów. W tym celu używano różnych sposobów, a między innymi puszczano wóz odpowiednio obciążony ze szczytu płaszczyzny pochyłej, której spód spoczywał na belkach służących za szyny. Belki te miały 2m,74 długości, ciężar dochodził do 2,000k&-, a prędkość do 13m na sekundę. Z doświadczeń tych wypada, że wygięcie rośnie z prędkością, i staje się nawet dwa razy większem od wygięcia statycznego. Zauważano również, iż największa strzałka nie znajduje się w środku belki, ale nieco dalej w kierunku ruchu ;

gdzie także następuje złamanie. Niekiedy belka łamie się jednocześnie w kilku miejscach.

Uto jest treść tej części sprawozdania, która dotyczy drgań i obciążeń ruchomych. Jak widzimy, Komissya angielska nie zdaje się przywiązywać wiele wagi do wstrząśnień przypadkowych, gdy tylko anomalie te nie przechodzą pewnych granic; a jakkolwiek opinia tak znakomitych konstruktorów i uczonych powinnaby zasługiwać na zupełną ufność, to jednak trudno jest podzielać ją bezwarunkowo, bo być może, że czas jest najważniejszym elementem do zupełnego zbadania przyczyn i roztrzygnięcia kwestyi. Przyszłość orzecze ostatecznie, czy budowle metalowe majg.ce dzisiaj tak olbrzymie zastosowanie w przemyśle publicznym i prywatnym, nie zamienia swego ustroju włóknistego na krystaliczny i nie stracą na wytrzymałości. Co się tyczy powiększenia wygięcia statycznego w skutek ruchu pociągów i wynikających ztad uderzeń, nie należy przesadzać zbytecznie ich wielkości, gdyż doświadczenia Komisyi angielskiej nie odbywały się w warunkach zwyczajnych; ciężar toczący się po belce był bardzo wielki w porównaniu z jej. własnym ciężarem, gdy tymczasem w praktyce ciężar martwy budowli przemaga nad nim bardzo często; co osłabia niezmiernie wpływ prędkości na wygięcie. Za tern zdaniem przemawiajądoświadczeniaPoirće go robione na mostach kolei Paryzko-Lugduńskiej i na moście Carrousel w Paryżu (*).

Tyle co się tyczy doświadczeń nad obciążeniem ruchomem. W następujących ustępach przedmiot ten rozbierzemy teoretycznie.

81. Drganie belki leżącej na dwóch podporach.—

Ogólne równania ruchu wibracyjnego są bardzo trudne do zcałkowania, a przedstawiają jeszcze więcej trudności przy

(*) Annales des Ponts et Chaussées, 'Soł, premier semestre.

oznaczaniu funkcyj dowolnych wprowadzonych przez to całkowanie; ramy zaś niniejszego wykładu nie pozwalają wdawać sie w długie traktowanie przedmiotu mającego mało zastosowania w praktyce. Wskażemy więc tylko drogę rachunku w tego rodzaju zadaniach, rozwiązując kilka najprostszych przykładów, z których wyciągnąć można pożyteczne dla praktyki wnioski.

Niech AB (fig. 64) oznacza włókno środkowe belki prostej o jednoslajnem przecięciu, leżącej wolno na dwóch podporach

r\

jTS

—---—

Fig. 04.

i jednostajnie obciążonej. Przypuśćmy, iż ta belka drga w kierunku poprzecznym, a wziąwszy włókno AB za oś odciętych i pros tę A y za oś rzędnych, nazwijmy

x odległość któregokolwiek przecięcia poprzecznego m od punktu A;

a długość belki AB ;

y rzędna punktu m w jakiejkolwiek chwili ruchu ;

p obciążenie przypadające na metr bieżący belki wraz z jej własnym ciężarem ;

M moment sił wywiązanych w przecięciu m podczas wygi -nania się belki ;

W natężenie poprzeczne w temże przecięciu ;

g przyspieszenie ciał swobodnie spadających;

t dowolny przeciąg czasu liczony od danej chwili.

Weźmy pod uwagę drugi punkt m odległy od pierwszego o ilość nieskończenie małą dx, i uważmy, że skoro w przecięciu m mamy moment M i natężeuie poprzeczne W, przeto

w przecięciu m musimy mieć moment M + jpdx i natę-

dW

żenie poprzeczne W H—— dx ; tylko znaki tych ilości muszą być pierwszym przeciwne. Chcąc znaleźć równanie ruchu elementu mm trzeba wyrazić warunek, na mocy którego summy rzutów i momentów wszystkich sił na element działających, wraz z siłą bezwładności, są równe zeru. Przypuściwszy dla uproszczenia rachunków, że wszystkie siły zewnętrzne i wewnętrzne mają swoje wypadkowe w płaszczyźnie pionowej przechodzącej przez włókno środkowe, dosyć jest ułożyć równanie składowych pionowych i równanie momentów, gdyż ruch wibracyjny odbywa się w płaszczyźnie pionowej, także każdy punkt włókna AB pozostaje podczas swego biegu na jednej pionowej, to jest nie zmienia swego rzutu poziomego.

Ponieważ ciężar elementu mm jest pdx, a jego masa ^ dx, przeto siła bezwładności będzie

9 dt

Siła ta działa zawsze w kierunku przeciwnym kierunkowi ruchu. Przypuśćmy, że element mm znajduje się w lewej połowie belki. Natężenie poprzeczne ścianki m jest wtedy skierowane z dołu do góry, a natężenie przecięcia m z góry na dół, ciężar zaś elementu mm działa zawsze ku dołowi. W chwili gdy ten element opada w swym ruchu wibracyjnym siła bezwładności działa z dołu do góry, a więc równanie składowych pionowych jest

W— (W-f

dW

dx

dx \ — pdx — - dx /    !/ dd

= 0,

a równanie momentów względem punktu przyczepienia siły pdx :

(m +'2Ldx)+v/±+(w + ™dx)'4=o.

\ dx )    2    \ dx j 2

Pierwsze równanie sprowadza się do

(O

d~y a dW    „

-4 4- - — 4-0 = 0, dt p dx

a drugie, po zniesieniu ilości nieskończenie małej drugiego rzęd u

(2)

tfM

4—= W •

dx

Jest to znany związek między momentem zgięcia i natężeniem poprzecznem stosujący się do stanu spoczynku belki. Równanie to nie jest dokładne w znaczeniu ogólnem, bo ze wszystkich punktów bryły drgającej tylko punkta leżące na włóknie środ-kowem mają ruch pionowy, gdy tymczasem w powyższem rozumowaniu przypuszczano ruch pionowy we wszystkich miejscach belki. Cząsteczki nienależące do włókna środkowego kołyszą się w skutek wygięcia około osi poziomej przechodzącej-przez środek ciężkości przecięcia poprzecznego, a z tego ruchu obrotowego powstaje para bezwładności, którąby należało uwzględnić wespół z siłą bezwładności pionową. Ale ta para ma tylko wtedy istotne znaczenie, gdy wysokość belki jest bardzo wielka w porównaniu do długości i gdy jej ciężar własny jest znaczny w obec obciążenia zewnętrznego.

Wiadomo, że

(to

M =!EI ^.

czyli

dM

dx

dj;‘

CZĘŚĆ I. — PRĘTY PROSTE ALBO BELKI.

274

lub jeszcze

dx²

_ RI ⁽!ilK — dW

dx*

dx

Wstawiwszy tę wartość w równanie (1) otrzymamy

— -4- - El — dt- p

Poisson dowiódł w lYym tomie Dziennika Szkoły Politechnicznej paryzkiej, że równanie to nie da się dokładnie zcałkować w kształcie ogólnym, sa tu bowiem dwie pochodne częściowe, jedna drugiego rzędu funkcyi y względem t, druga zaś czwartego rzędu względem x. Można jednak powiedzieć, że całka powyższego równania prowadzi do takiej wartości y, że

(3)

dar

"+ 0 — 0.

y— y i + &»

gdzie yl oznacza część statyczny wygięcia powstały z obciążenia belki, a y% część dynamiczny, to jest część drganiem belki zrodzony. Otóż przedostatnie równanie ustępu n. 40, gdzie była mowa o belkach jednostajnie obciyżonych, pokazuje że to wygięcie statyczne jest (*) :

*/i =

(*) Ażeby dowieść, że podana,tu wartość na y\ wchodzi rzeczywiście w skład całki, którębyśmy z równania różniczkowego

^₊?EI^+9 clt²    dx^ J

otrzymać powinni, dosyć jest zcałkować powyższe równanie w przypuszczeniu Spo

czynku, to jest w przypuszczeniu, że —^ =

dt²

różniczkowe czwartego rzędu o jednej zmiennej niezależnej, a wypadająca ztęd całka

0; otrzymujemy bowiem wtedy równanie

~ ET Jjjf

dxu

KSIĘGA II. WYGIĘCI F. PHOSTE I ZŁOŻONE. — iîOZDZIAL Vil.

tak że rzędna rzeczywista w ruchu wibracyjnym jest

?J==Łii^~a$x⁺2ax* ~ ⁺^²'

Funkcya ip zależy od x i od t, a jej pochodne względem x i t sy

E \(lfL, = — p +ElĄf dx" ¹ dxk

d-y _ d*y 2 df dt% ’

które to wartości wstawione w równanie (3) daję czyli

4₊»*ÿ'=o,

de dx*

gdzie rd oznacza współczynnik stały —*. Całka ogólna tego równania o pochodnych częściowych może zawierać nieskończony liczbę wyrazów rozmaitego kształtu. Najprzód możnaby w niy wprowadzić funkcyę całkowity x czwartego stopnia, którejby czwarta pochodna była ilością stały; dalej funkcyę całkowity t drugiego stopnia o drugiej pochodnej stałej, byleby tylko iloczyn pierwszej stałej przez rd dodany do drugiej stałej był równy zeru, co oczywiście prowadzi do wyrażenia jednej stałej przez drugy. Wreszcie możnaby dorzucić nieskończenie wiele wyrazów kształtu T wstw#, gdzie T jest funkcyy czasu, a m współczynnikiem stałym. Jakoż bioryc czwarty pochodny jednego wyrazu względem x otrzymujemy

Tnd wst mx,

część X. — PRĘTY PROSTE ALBO BELKI.

276

a biorąc drugą pochodną względem t

(M

—-r- wstm.r.

df~

Ten wyraz odpowiada więc naszemu równaniu różniczkowemu, byle tylko

dl T

df

H- n⁴m⁴T = 0.

Jest to równanie linijne drugiego rzędu. Z całkowania wypada

T — Gm wstwV^ 4- C'OTdos 'rrdnH,

gdzie COT i C'm oznaczają stałe dowolne. Zatem wyraz uważany przybiera kształt

(CtfjWstrrdrdł 4- C'TOdos mrnH) wstm# ;

a że takich wyrazów może być bardzo wiele, przeto trzeba wprowadzić w wyrażenie y, summę

2(COTwstmsn²ć + C'mdos mhiH) wst mx,

i dodać do niej owe funkcye całkowite zmiennych t i x. Możemy jednak poprzestać na tej summie i napisać

(4)

yż — 2(Gmwst ncrdt 4- G'm dos mhrt) wstmx,

bo funkcya zmiennej t rośnie począwszy od pewnej wartości t w takim stopniu, iż belka nie mogłaby pozostać na swych podporach, co oczywiście sprzeciwia się warunkom zadania. Co się zaś tyczy funkcyi x, to ta jest już objęta w wielomianie czwartego stopnia oznaczonym zgłoską yt i dopełniającym ilość y.₂ w taki sposób, że y = <y, 4-?/₂; inaczej bowiem zniesienie wyrazów o zmiennej t w wyrażeniu y nie doprowadziłoby do wartości y₂ odpowiadającej stanowi spoczynku.

Uważmy teraz, że w punktach A i B, to jest dla x— 0 i x— a mamy y = 0, bo belka dotyka się zawsze swych podpór

wjednem miejscu; dalej że i moment zgięcia M jest tam d~ u

równy zeru, czyli że    bez względu na t. Otóż wielomian czwartego stopnia —azx-h 2ax*—x⁴ i jego druga pochodna względem x : \c2ax—I2x² staja] się zerem dla x = 0 i dla x— a, zatem powinniśmy mieć także y₂ = 0 i

= 0 dla £ = 0, i dla x = a bez względu na t.

ælh

dx*

Dla x= 0 wszystkie pvyrazy summy (4) staja się zerem, bo

. dxl

maję, wspólny czynnik wstma*, a druga pochodna

jest

także zerem z tego samego powodu. Wstawiwszywięc x = a

w wyrażeniu i w pochodnej

dxl

otrzymamy.

2(Cwwstrrdn²t -+-G wdosm²n^) wstma ~0

tudzież

2ms (Cmwst m²n²t + Cm(losm-n-()\vstrna = 0.

Ażeby pierwsze strony tych równań byty równe zeru potrzeba, aby w każdym wyrazie czynnik wst ma byt zerem, czyli żeby ma było wielokrotnością potowy obwodu kola. Kładac zatem ma = ktz, gdzie k oznacza [liczbę cała dodatnię nie mniejszę od jedności, mamy do wyznaczenia m równanie

' kit m — —.

Zatem pozostaje tylko rozwięzać równanie

V = “ || [— cdx + 2axz - ,/;⁴] -t-

li-+oo

É (GiWät

k= 1 v

AW

.    k\²n² \    , kitx

t-t- Cidos —3— t ]wst — ,

a²

gdzie G* i G'/; oznaczaję stałe dowolne w liczbie nieskoń-

część I. — PRĘTY PROSTE ALBO BELKI.

czonej i gdzie k przybiera wszystkie wartości całkowite i dodatnie od 1 do oc.

Do rozwiązania powyższego wyrażenia użyjemy równań tyczących się stanu pierwotnego belki. Przypuśćmy, że mamy

dane wartości y i ^ w każdym punkcie dla t~0, i oznaczmy

przez F(x) i f(x) te funkcye y i Robiyc t=0 w ostatnim wzorze otrzymujemy

278

k—<x>    ₇

k—i

2 2^—°°    7

f(x) = --r2àtCk wst—•

U k— 1

Za pomocą tych równań możemy wyznaczyć stałe nieznane G/t i C//. I tak : funkcya f(x) jest znana dla wszystkich wartości zmiennej począwszy od x = 0 aż do x = a, a nie staje się nieskończony w tym zakresie i tylko zchodzi do zera w samych granicach; choćby więc ta funkcya nie była ciygły, możnaby ja rozwinyć na szereg wstaw albo dostaw łuków proporcyo-nalnych do zmiennej. Jakoż kładyc

/(æ)= Aj wst — -i- Aa wst

a    cl

i mnożyć obie strony przez wst dx, a potem całkując w granicach 0 i a otrzymujemy

J f[x) wstdx =

2ttC

.    , m-KX

ł- ... A,» wst ---h.

A‘X

, ■kx , m-RX j wst — wst-dx...

■+- A,

V.

wst²

rrnix

U ważmy teraz, że mamy w ogóle

, nir.x , m'-KX wst--wst-

dos

(:m — m)izx

dos

(m    ni}kx

i że całka tego wyrażenia? pomnożonego przez dx jest (m— rn )tzx 1

2 (m — m')%

2 (m-t- ni)7T

Gałka ta wzięta w granicach O i a jest równa zeru, gdy m nie jest równe ni. Gdy zaś m—ni otrzymujemy wypadek nieoznaczony || ; ale wtedy mamy do zcałkowania wyrażenie

wst² 3

m-KX

dx,

którego całka ogólna jest]

mizx

wvk\ 2a

i--

wst

2 mnx\

—)

a z ląd

rkü

J 0

dx=-~ a 2

Więc ostatecznie równanie (o) sprowadza się do

wst³

mr.x

(Ą

mnx , A —-—■ dcc — A

łsi »

czyli

A)« —

Otóż majęc dane wszystkie wartości funkcyi f{x) w granicach £ = 0 i x=a możemy na zasadzie powyższej całki obra-chować Am dla różnych wartości całkowitych m; więc

funkcja f{x) będzie rozwinięta na szereg wstaw proporcjonalnych do zmiennej x, co było do okazania.

Mamy zatem

I f(x)w&t~dx, A₂= - ( f(x)\YSt

“ aj o    «

CO

es

a ze

mizx

-+-AW wst

r, \    .    , T.X .    . 2-kx

f(x) = Ai wst — -+- A,wst — a “ a

przeto

I /‘(a?)wst — âx Jo    «

(x)wst-~ dx -4- wst — a    a

/(.£') wst-

G, wst--(- 4G, wst —

a ~ a

m7u.r

'»a

-K..+ ws!--

k=oo

— y Ä²c*wst

a n

«Vf

a²

dx —h...

-]■

«    . mitx

..... 4- m² Gm wst--- -ł-.

Możemy więc wyznaczyć stałe Gt, C₂,... przez zwięzki

G,=

“a    f{x) wst ~    efcp,

f(x) wst    z/^',

2a    (‘a n. .    ,    wiTca? ,

- j /(.z;) wst ——- (U‘.

TT²//²

C₂ =

■4 TC²«²

C*— -

ITirdn

KSIĘGA II. WYGIĘĆ ri! PROSTE I ZŁOŻONE. — ROZDZIAŁ VJI.

Tak samo moglibyśmy rozwinąć funkcyę

F(x)

'T’OC

na szereg wstaw proporcyonalnych do — i wyznaczyć stałe G/- Znaleźlibyśmy wzór ogólny

C ni— ÿ J* cp(z)wst dx.

Ostateczne równanie ruchu jest

y—

afkt (~ a*x + 2oj;3 ~ xk)

2 Va . kr.x - > wst-

a ^ a

A-l

dos

a²

2a Va 1    , k-KX krrrrdt

Â>zr»w5t -wst

&=t

a²

X ?(l)wslT

T /“(#) wst dx. Jo    ß

dx

Piiich ten jest okresowy, bo uważając tylko pierwszo wyrazy dwóch szeregów wchodzących w skład powyższego wzoru, to jest wyrazy odpowiadające wartości k= i widzimy, że w dwóch przeciągach czasu t mających za miarę 0, rzędna // przybiera jednakową wartość, gdy tylko

•vp'yir¹

a~

to jest gdy

2a²

~n²

2 a² j p

JbI*

Takie jest trwanie okresu. Wszystkie zaś inne wyrazy mają

CZĘŚĆ J. — PRĘTY PROSTE ALBO BELKI.

282

okresy równe całkowitym dzielnikom czasu 6, tak że wszystkie te ruchy razem uważane tworzy jeden ruch okresowy (*).

82. O skutkach sprawionych obciążeniem ruchomem.

— Przypuśćmy, że po belce mostowej AB (fig. 65) podpartej na końcach przejeżdża pociąg kolei żelaznej, nieograniczony co do długości i szukajmy równania równowagi tej belki. Weźmy środek belki za początek osi współrzędnych, włókno środkowe za oś odciętych, a pionowy Oy za oś rzędnych i oznaczmy przez

a długość belki ;

p i q ciężar belki i ciężar pociągu na metr bieżący przęsła; M moment sił sprężystych w przecięciu m lub m, ;

W natężenie poprzeczne w temże przecięciu ; p promień krzywizny włókna AGB w punkcie ml : v prędkość pociągu;

■y przyspieszenie ciał swobodnie spadających.

Przypuśćmy, że włókno środkowe AB, proste w stanie naturalnym, przybiera kształt krzywej AGB wskutek obciążenia ruchomego. Element mm przeszedłszy w położenie mpn/ znajduje się w równowadze pod działaniem sił między-cząsteczkowyeh wywołanych w przecięciu i mi, ciężaru

(*) W przedmiocie tym zalecamy prace Stokes’a ogłoszone w Iransactions of the Cambridge philosophical Society z roku 1849; dalej rozbiór Bresse’a w drugim tomie jego Wykładu Mechaniki i prace Phillips’a Théorie des ressorts w Annales des Mines, 1852.

własnego i obciążenia, tudzież siły odśrodkowej odpowiadającej ruchowi pociągu po krzywej ml m/. Normalna do krzywej w punkcie mx jest prawie pionowa, zatem siła odśrodkowa odniesiona do jednostki masy działa pionowo i jest równa

— Potrzeba dla równowagi, aby summa składowych pio-

P

nowych

dW

W— W -f ~ dx

dx

\    7    ,7 v~

i—- pclx — qax— — — f

J    -P 9

była równa zeru, jak również summa momentów

W dx (,,T

— +w +

M—(M + —Jx\ą-

cW

dx

-T— dx

dx

dx

Zatem

dW

dx

(,+î+ï?)’

(O

ÆVI

^ = W.

dx

Ale mamy z wielkiem przybliżeniem

¹

Report of the Commissionner s appointed to inquire int o ihe Application of Iron to Raihvays structures. Lord Wrotesley, Willis, Henri James, Hennie, Cubbit, Hodgkin-aon, Douglas Galton. London, 1849. Sprawozdanie to znaleźć można w tłumaczeniu francuzkiem pana Busche w Annales des Ponts et Chaussées, 1851, premier semestre, p. 193.

²

f(x) wst

³

«/u

i_A

dxv

więc

dW = -(/) + q)dx- pi dx, g dx

lub

vll & + C.

g dx

dg

Dla x = 0 ^ iW powinny być równe zeru, zatem. G.==0 i

g dx

Uważmy teraz, że na zasadzie zwitku (!)

dM =Wdx = — (p + q)xdx — — ₍JX

g dx

czyli

M = -(p + qfd.-V-!iy+C.

z y

Ponieważ w punkcie    , y i M sg, równe zeru, przeto

A

G' = (P+?)f,

a ztęd

(2)

M = EI d-X=[p^₉)Pl-Çj-tl

dx²

Dla zcałkowania tego związku przyjmiemy inne zmienne, mianowicie

16EIy = (/'-+• q) cdy\

LSI »

v~q_4EIU

cd

Równanie (2) przedstawi się wtedy w kształeie

EIU² tp+q)cdy Ta* Ë! ' ’

Ł±la*iĘ=P±la'( i-xy

4 dxl 8 v '

i sprowadzi się do następnego ddy'_1

d7²~~

Wprowadźmy jeszcze w to równanie nowę zmiennę y" i

czyli

y"—A wst Ux' -+ B cl os Ux,

2’

gdzie A i B oznaczają stałe dowolne łatwe do oznaczenia. Jakoż ^ jest równe zeru dla x — 0, a zaś y~ 0 dla x=~ ; zatem

A = 0,

zkąd

d~y"_

dx'%

-u y.

połóżmy

V 2tp(d X" U²)+y,,:

UMosU '

Całkując teraz równanie (2) otrzymujemy

'. 2lkr dos-

a²

my _ J_ /a²

\p + q)o? 2 U² \ 4

Maximum momentu zgięcia odpowiada punktowi æ=0, i ma wartość

——A-²

41P

dosU

Jest to iloczyn momentu zgięcia statycznego y a² przez Czynnik A.    przedstawiający skutek ruchu. Czyn

nik ten staje się nieskończenie wielkim dla U = - , co znaczy, że belce grozi niebezpieczeństwo złamania, gdy

v^q_EItc²

Bioręic np. U = ~ mielibyśmy

M„„= £±£«>.1,3*3,

to jest że moment zgięcia statyczny powiększyłby się o jednę trzecią swej największej wartości.

Równanie (2) pokazuje, że pod względem momentu zgięcia skutek obciążenia ruchomego równa się skutkowi dwóch sił równych — , któreby były przyczepione w punktach A i B

i ściskały belkę w kierunku długości ; wiadomo bowiem, że gdy siła N ściska belkę wzdłuż włókna środkowego, moment zgięcia jest Ny co do bezwzględnej wartości. Otóż podług teoryi tych belek (ust. n. 71) najmniejsza siła zdolna sprawić wygięcie boczne jest    •

v*q _ EItt2 9 ~~ «*

co już powyżej innym sposobem znaleziono. Aby jednak mieć granicę prędkości bezpiecznych v trzeba mieć także na uwadze ciężar stały (p -4- q)a, którego działanie przyczynia się oczywiście do natężenia belki. Podług ßresse’a granica prędkości bezpiecznych wypada z równania

v*q_E Itc2 9    4a« ’

odpowiadającego wartości U=~. Moment zgięcia maximum

jest wtedy większy (jak widzieliśmy) od największego momentu statycznego o jednę trzecią jego wartości.

Największy moment zgięcia statyczny jest

a²

(P + 9) g

KSIĘGA II. WYGIĘCIE PROSTE I ZŁOŻONE. — ROZDZIAŁ VII.

a odpowiadające mu natężenie wypada z równania

R1

a²

gdzie za u trzeba wstawić połowę wysokości belki, to jest ^. Mamy za tem

K = (p+q)

a?tn

Ï6I *

Przypuśćmy teraz, że prędkość v dosięga granicy wyznaczonej równaniem

v*q_EItc²

g 4 a² ’

i wstawmy w nie wartość wzoru. Ztąd otrzymamy

¹—'I Te

wyciągnięty, z poprzedzającego

SCI ;

Biorąc Ł±J.= f E= 20,000,000,000, 11 = 6,000,000, co q o

odpowiada żelazu, mamy

y =17,56\Jûgm.

Oto jest granica prędkości bezpiecznych wyrażona przez funkcyę wysokości belki. Dla

msss 0m,50

lm,00

2m,00

3m,00

mielibyśmy

v — 55m

78m

110“    436m

na sekundę. Otóż prędkość pociągu nie przechodzi nigdy

28 metrów na sekundę, czyli 100 kilometrów na godzinę; zatem drganie wynikłe z ruchu pocięgów po mostach metalowych nie wywołuje znacznych skutków, gdy tylko wysokość belki nie jest bardzo mała.

KSIĘGA TRZECIA

PRZESUWANIE PROSTE I ZŁOŻONE.

ROZDZIAŁ I

PRZESUNIĘCIE PROSTE.

83. Określenie i teorya tego odkształcenia.—Gdy

siły zewnętrzne sprowadzają się w pewnem przecięciu po-przecznem do siły W, działającej w jego płaszczyźnie, każdy element przecięcia obsuwa się ruchem postępowym o pewną ilość zależrfą od natężenia W. Odkształcenie to nazwaliśmy (ust. n. 7) przesunięciem poprzeczuem włókien.

Ale każdemu przesunięciu poprzecznemu towarzyszy takież same przesunięcie podłużne, pod kątem prostym do pierwszego. Uważmy włókno abcd (fig. 66) zawarte między dwoma nieskończenie blizkiemi przecięciami AB, GD, i przypuśćmy, że w skutek zesunięcia się płaszczyzny GD względem AB, prostokąt abcd zamienił się na równoległobok ab'cd, co zresztą jest bardzo prawdopodobnem, zważywszy że w ciele sprężystem, którego cząsteczki zmieniają swe położenie względne w sposób ciągły, małe linijki pierwotnie proste i równoległe, pozostają prostemi i równoległemi. Jeżeli więc k oznacza spód prostopadłej spuszczonej z punktu U na AB, długość ak będzie miarą obsu-

ak .

nięcia się płaszczyzny GD po AB, a —, będzie obsunięciem

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERYAŁÓW.

odniesionem do jednostki odległości przecięć. Jeżeli teraz

ak'

z punktu d wyprowadzimy prostopadły na abj iloraz —-, będzie

oznaczać posunięcie boku ab względem dc odniesione do jednostki odległości. Otóż te dwa ilorazy są sobie równe; co było do okazania.

Widzimy więc, że gdy elementa przecięcia AB posuwają się równolegle do linii AB, elementa płaszczyzny ab prostopadłej do kierunku tego ruchu i do przecięcia AB muszą posuwać się o taką samą ilość w swej płaszczyźnie.

ł7

-o'

Fig. 66.

Co się tyczy wielkości, przesunięcie względne dwóch linij materyalnych jest równe dostawie kąta b'ad albo wstawię małego kąta bab', o jaki pomniejsz3rł się kąt b'ad pierwotnie prosty; jest ono nawet niemalrówne temu pomniejszeniu kątowemu mierzonemu na okręgu o promieniu równym jedności, albo nawet małemu pochyleniu linii ab' względem prostopadłej kb j to jest stycznej kąta ab'k.

Gdy wszystkie włókna zawarte między przecięciami AB i CD pochylają się jednakowo względem swego pierwotnego kierunku, działania wypadkowe elementów w służącjrch za podstawę tymże włóknom, są sobie równe. Ztąd wypada, że wypadkowa ogólna wywołana przesunieniem g będzie propor-cyonalna do powierzchni przecięcia £2. Nazywając więc

w natężenie na jednostkę powierzchni elementu ;

KSIĘGA III. PRZESUWANIE PROSTE I ZŁOŻONE. — ROZDZIAŁ I.

W wypadkowy natężeń w kierunku płaszczyzny przecięcia ; G współczynnik stały zależny od gatunku ciała ;

mamy :

w = G g W = G%,

Ilość stała G nazywa się współczynnikiem sprężystości poprze-

W '

cznej. Jest to stosunek natężenia poprzecznego— na jednostką

powierzchni, do kąta pochylenia włókien w kierunku tegoż natężenia.

84. Stosunek współczynnika sprężystości poprzecznej do współczynnika sprężystości podłużnej. — Widzieliśmy w ustępie n. 15, że summa działań między cząsteczkami leżącemipo obu stronach elementuw,aodległemiod siebie o r w kierunku Om (fig. 15) jest :

nux.a ;

jeżeli więc obliczymy jej składowe w kierunku Oy

xu

noia

i oznaczymy przez piy całkowite działanie w kierunku płaszczyzny w na jednostkę powierzchni, otrzymamy

Cl)

plV —    ^ .

r

Przypuśćmy, że ciało nie doznało żadnych zmian w kierunkach prostolinijnych x, y, z, ale że płaszczyzna zOx i wszystkie inne do niej równoległe obróciły się około Os o kąt bardzo mały y, który jest widocznie miarą przesuwania w kierunku równoległym do Oy. Punkt m przebieży w kierunku O y drogę xg ; a więc rzut tej drogi na linię Om będzie oznaczał zmianę

CZĘŚĆ I. — PRÇTÏ PROSTE ALBO BELKI.

292

długości r, Otrzymamy mianowicie :

(2)

dr = xg

's

Działania wywołane przez ten ruch cząsteczek sę proporcyo-nalne do dróg przebieżonych, i wyrażają się przez ^dr ; wstawiając więc ^-dr zamiast a w wyrażeniu (1) otrzymamy

dr

„ (Ig , xy pzy = nz, — dr — -,

lub na zasadzie równania (2)

a oznaczaj ęc dla krótkości

n da r² dr

przez cr

piy = gldxy ;

co dowodzi, że współczynnik ilości g, jest tę sama liczba G, którę przyjęliśmy w ust. n. 15, to jest że

ptv = G g.

tri

• Wslawiajęc więc tę

Ale gdy graniastosłup wycięgany w podłuż, to jest w Kierunku x nie ulega żadnemu działaniu bocznemu, wymiaryjego zmniejszają się poprzecznie w stosunku

wartość za —

l"

, — j-r, w wyrażeniu

l"

rs

które oznacza natężenie podłużne na jednostkę powierzch

px -

ŁOI Os

Otóż według określenia współczynnika sprężystości podłużnej 5

E, ilość k G jest właśnie tymże współczynnikiem, a więc

E,

⁵.g =

zkad

E.

Współczynnik sprężystości poprzecznej jest więc równy dwom piętym współczynnika sprężystości podłużnej.

Według doświadczeń Wertheim’a i Regnault'a mamy dla szkła, miedzi i mosiędzu

GC CO

E,

a według późniejszych doświadczeń

* dlamosiędzu G =

2,70

E do

₂-Le;Wprzecięciu

dla blachy żelaznej G =

2^5Ed02^8E;W1>rZed?CiU2iiE-

Wogóle robiono mało doświadczeń nad oznaczeniem liczby G. Dla żelaza i surowca można przyjęć 6700 i 2000ks na milimetr kwadratowy; dla stali 6000; dla stali lanej 10000, dla miedzi 4560, bronzu 1066. Go się tyczy drzewa, trudno jest powiedzieć co stanowczego, bo cyfry dotęd podawane nie zgadzaja się z sobę. I tak Wertheim (*) podaje dla drzewa dębowego

G =82

CZĘŚĆ T. — PRĘTY PROSTE ALBO BELKI.

294

na milimetr kwadratowy. Według Bouniceau’ego (*) mamy

G = 49,

a według Morin’a (**)

G = 400.

Musimy ztąd wnioskować, że współczynnik G zmienia się niezmiernie dlajednego i tego samego gatunku drzewa.

85. Związek między przesuwaniem i rozciąganiem włókien. — Wytrzymałość przeciw przesuwaniu może być uważana jako wytrzymałość przeciw rówmoczesnemu wydłużeniu i skurczeniu w dwóch kierunkach czyniących kąt 45° ze ścianami lub liniami przesuwanemi.

iïïi.

7\

\/i

V'

Fig. 67,

Aby dowieść tego twierdzenia uważmy dwa elementa płaskie dwóchprzecięć sąsiednich, albo w ogóle dwie linie materyalne ab, cd (fig. 67) i przypuśćmy, że element cd obsuwa się względem ab o ilość cci. W tym ruchu punkt c zbliża się do b, a punkt d oddala się od a ; a więc przekątna ad wydłuża się, a przekątna cb skurczą. Miarą wydłużenia prostej ad jest stosunek do do ad, gdzie o oznacza spód prostopadłej wyprowadzonej z punktu dx na ad. Ponieważ trójkąty dod\ i dba są do siebie

(*) Annales des Ponts et Chaussées, 1861, premier semestre.

(**) Leçons sur la résistance des matériaux, deuxième édition.

od ab. ddi ad ad²

Oznaczając przez - to względne przydłużenie przekątni mb, a . dd,

przez g przesunięcie — , mamy

=9-

zkąd

od_ab

dd, ad'

l_od_ab.ddx ab.bd

. L ad    ad²

Współczynnik ilości g w tern równaniu wyraża stosunek powierzchni prostokąta abcd do kwadratu przekątni ad. Maximum tego stosunku jest - a to mianowicie, gdy ab = bd. Największe wiec wydłużenie jest

l i

L~ 2ff’

a włókno najwięcej wyciągnięte ad jest pochylone o kąt 45° do ściany ab.

Znaleźlibyśmy w ten sam sposób, że włókno bc zmalało

I

najwięcej i to w stosunku - g.

Wypada ztąd, że ślizganie wzdłuż ściany płaskiej jest równowarte skurczeniu i wydłużeniu dwa razy mniejszemu w kierunku czyniącym pół kąta prostego z taż płaszczyzną ; a więc i wytrzymałość przeciw przesuwaniu może być uważana jako wytrzymałość przeciw jednoczesnemu wyciąganiu i skurczeniu.

88. Granica praktyczna wytrzymałości przeciw przesunięciu. — Opierajyc się na twierdzeniu dopiero co dowiedzionem wyrazimy granicę praktyczny przesuwania przez funkcyę granicy praktycznej wydłużeń ; jeżeli bowiem można

wyciągać włókna w stosunku p-

cenia trwałe lub na zerwanie, to można także posunyć.elementa płaskie o ilość

bez narażenia ich naodkształ-

E5

Ale widzieliśmy w ustępie n. 84, że ciała majyce jednakowy sprężystość we wszystkich kierunkach czynią zadość warunkowi.

CH| ES

mnożyć więc dwa poprzednie równania, jedno przez drugie, otrzymujemy

G»'=lEr-

Otóż iloczyn Gg' oznacza siłę odniesiony do jednostki po wierzchni zdolny wywołać odkształcenie g (ust. n. 83). Oznaczając więc tę granicę praktyczna natężeń stycznych przez W₀, a przez R₀ odpowiadajycy granicę natężeń podłużnych, albo normalnych, mamy

■Ą

o~

ho E—, jest równe R₀ . Ale wzór ten stosuje sie tylko w przybliżeniu do ciał naturalnych, które jak wiadomo, nie sa zupełnie jednorodnemi pod względem sprężystości.

87. Wytrzymałość ciał przeciw ucięciu. — Nie można

W

przypuszczać a priori, żeby stosunek — natężeń z przesuwania powstałych, do natężeń wywołanych ściskaniem lub rozciąganiem miał byćjeszcze równy liczbie g , gdy natężenia te dosięgają swej największej wartości, która odpowiada zerwaniu lub ucięciu pręta ; bo rozumowanie poprzedzającego ustępu jest oparte na proporcyalności sił do odkształceń, która już nie istnieje w chwili pęknięcia.

W ogóle robiono bardzo mało doświadczeń w tym względzie, a prawdziwie godne uwagi prace odnoszą się raczej do kamieni jak do metali i drzewa. Mamy tu na myśli doświadczenia Vicat’a streszczone w cytowanej już rozprawie Recherches sur les phénomènes physiques qui précèdent et accompagnent la rupture et l'affaissement d'une certaine classe de solides (Annales des Ponts et Chaussées, 4833, 2 semestre), w której uczony ten zwraca baczną uwagę na natężenia poprzeczne i żarzuca niedokładność całej teoryi wytrzymałości ciał stałych (*).

Według tych doświadczeń wytrzymałość przeciw ucięciu albo zesunięciu się przecięcia poprzecznego jest

Wytrzymałość na milimetr kwadratowy.

Gips zwyczajny rozwodniony (gâché).....od 0k?,21 do 0ks,53

Cegła surowa...............................«

Zaprawa z wapna tłustego i piasku, mająca lat 14 «

Kamień wapienny ..

Wapień litograficzny

(*) Tę siłę wewnętrzny zauważył już Coulomb w roku 1773. Mówi on w swej pięknej rozprawie Essai sur l’application des règles de maximis et minimis à quelques problèmes relatifs à l’architecture (Savants étrangers, volume publié en 1776) : « wzór wygięcia jest tylko wtedy dokładny, gdy siła wewnętrzna działająca w płaszczyźnie przekroju poprzecznego wpływa bardzo mało na wygięcie, co wtedy ma miejsce, gdy długość pręta jest znacznie większa od jego grubości ». Thomas Young wspomina także o tenu w dziele : A course of lectures on natural Philosophy and mechanical Arts, London, 1807, vol. I, p. 135, lecture xni.

O ile nam wiadomo surowiec nie był dotąd przedmiotem osobnych doświadczeń ; robiono tylko próby nad skręcaniem tego metalu i ztąd wywiedziono wytrzymałość przeciw ucięciu mianowicie 17ksdo 26ks, to jest średnio 22ks na milimetr kwadratowy. Ale dodać tu musimy, że rachunek ten polega na stosowaniu wzoru ułożonego dla odkształceń zawartych w granicy sprężystości, co nie jest usprawiedliwione ani teoryą ani doświadczeniem.

I Go się tyczy drzewa, znajdujemy tylko kilka następujących danych w rozprawie Bauniceau’ego (*)

Wytrzymałość na milimetr kwadratowy.

........... lko,29 ,

Jodła pruska.....

•••.i, IG , ....1, 96 , ....1, 23 , 93 ,

. ...0, 80 .

Wiąz............

Dęb normandzki. .

Buk.............

Buk nastrzykiwany Jodła norwegska...

88. Uwaga co do rozkładu natężeń poprzecznych.

— Teorya traktowana w bieżącym rozdziale polega na przypuszczeniu jednakowego pochylenia wszystkich włókien przecięcia poprzecznego i nieustającej ich równoległości. Otóż widoczną jest rzeczą, iż warunki te mogą być tylko wtedy dopełnione, gdy przecięcie pozostaje plaskiem po odkształceniu.

Nie można powiedzieć, żeby ta płaskość przecięć poprzecznych miała być wymysłem nie dającym się urzeczywistnić w naturze ; bo gdy siły zewnętrzne działają symetrycznie, każdy element przecięcia ma jednakową dążność do wygięcia się po obu stronach, a więc pozostaje płaskim i normalnym

(*} Cytowana już rozprawa w Annales des Ponts et Chaussées.

do osi pręta. W tych razach obsunięcie g jest stałe we wszystkich punktach przecięcia ; a jeżeli W oznacza siłę poprzeczną, ruch ten wywołującą, a ß powierzchnię przecięcia, mamy (ust. n. 83)

albo oznaczając przez w natężenie stałe —

il

8 IÜ3

2

gdzie zamiast G można wstawić w przybliżeniu.

Ale w ogóle przecięcia pierwotnie płaskie wykrzywiają się podczas odkształcania bryły, a natężenia poprzeczne rozkładają się podług innego zupełnie prawa. Pochodzi to ztąd, że przesuwaniu się poprzecznemu włókien towarzyszy niemal zawsze zgniatanie, rozciąganie albo wygięcie. Jakoż łatwo pojęć, że gdyby moment zgięcia był równy zeru we wszystkich przecięciach jednej bryły, natężenie poprzeczne będące pochodną tego momentu (ust. n. 36) byłoby także ustawicznie równe zeru, a więc przesuwanie nie mogłoby mieć miejsca. Możemy więc powiedzieć, że przecięcia płaskie są czysto wyjątkowe, i że przesuwanie proste przytrafia się tylko w pewnych szczególnych przypadkach.

Jakie jest ogólne prawo rozkładu natężeń poprzecznych, o tem będzie mowa w następującym rozdziale.

89 Nitowanie blach żelaznych. — Przy zwykłem sposobie nitowania blach żelaznych, który jak wiadomo polega na wbijaniu w dziury nitowe rozpalonych do czerwoności czopów żelaznych, i na przyklepaniu ich końców, nie dosyć jest brać pod uwagę siłę ucinającą, która wywołuje natężenia

w przecięciu poprzecznem, ale także natężenia sprawione skurczeniem się nitu po ostygnięciu ; łatwo bowiem pojąć, iż wynikające w skutek tego skurczenia tarcie między powierzchniami blach nitowanych może po części przeszkodzić działaniu siły ucinającej, a nawet sprowadzić ję do zera. Ale to natężenie podłużne zależy od tylu okoliczności, które trudno jest wprowadzić w rachunek (jak stopień temperatury, rozszerzalność i długość nitu, moc klepania i rozgrzanie blachy), że zaledwie można sobie z niego zdać sprawę za pomocą badań czysto doświadczalnych. Można przyjęć, że tarcie powierzchni ściskanych jednym nitem wynosi najmniej 50Qks na centymetr kwa-

1

dratowy, to jest że bioręc liczbę - za współczynnik tarcia, natężenie podłużne ni ta wynosi najmniej -1500ks na centymetr kwadratowy przecięcia. Otóż natężenie takie przechodzi granicę sprężystości, nie bioręc nawet pod uwagę natężenia poprzecznego.

Wobec takich okoliczności nie można oznaczyć wytrzymałości nitów innym sposobem, jak drogę doświadczeń specyal-nych posuniętych aż do zerwania. Otóż według doświadczeń Fairbairn’a, które za najznakomitsze w tym względzie uważać należy, powierzchnia przecięcia czopa powinna być równa powierzchni przecięcia blach pomiędzy dwiema dziurami ni' towemi, jeżeli ucięcie nitu ma być tak samo możebnem, jak zerwanie samejże blachy. Dlatego więc oblicza się wymiary czopa w taki sposób, aby jego natężenie poprzeczne nie przekraczało granicy wytrzymałości praktycznej przeciw zerwaniu. Drugim warunkiem racyonalnego nitowania jest jak najmniejsze osłabienie blachy, ale oczywiście z uwzględnieniem innych okoliczności.

Weźmy najprzód pod uwagę pojodyricze zanitowanie, to jest. połęczenie dwóch blach za pomocą szeregu nitów .umieszczo-

KSIĘGA III. PRZESUWANIE PROSTE I ZŁOŻONE. — P.OZDZIAŁ I. 301

nych na linii środkowej między ich krawędziami (fig. 68) i oznaczmy przez

e grubość blachy,

r promień nitu,

l odległość dwóch sąsiednich dziur nitowych od środka do środka.

Ki

' Fig.' 68.    •

Według powyższej zasady mamy

Tur² = (/ — 2r)e,

zkęd wypada

es

/_2 r ^ izr²

a więc miarę osłabienia blachy jest /— 2 r

. c2e

i H--

■kV

Ale przyczynę, od nitowania może być także przeprucie blachy w poprzek krawędzi brzeżnej mm, gdy tylko odległość a środka nita od tej krawędzi jest zbyt mała. Powierzchnia przepruta jest (a — r)e, a więc dla pewności można przyjąć warunek

ae =

zkęd

a — l — 2 r.

V

równocześnie

Stosunek - jest wogóle 0,75 do 1,25; im on jest mniejszy, tem mniejsze jest - ; tem więc szczelniejsza jest stosuga ; ale maleje, a .więc siła blachy słabnie. Znaj-

dujemy

dla

V

-=0,75

e

- = 3,27

e

5,14

1,25

7,41

l — 2r

= 0,54

0,61

0,66.

Prawidła te stosuję się także do przypadku, gdy dwie blachy leżyce na jednej płaszczyźnie (fig. 69) sy z soby znitowane przez pośrednictwo łaty przykrywającej stosugę ; ale tylko

Fig. 69.

w przypadku sił rozciygajycych. W razie przeciwnym, gdy blachy sy przyciskane wzdłuż stosugi , natężenie nitów jest tak małe, że je trudno ocenić teoretycznie ; przyjmuje się więc

najmniejszy wartość - i największy wartość ^ , to jest - = 0,75 i - —7,50.

e

Zwiyzki zachodzyce między ilościami r, /, i a sy nieco odmienne w przypadku zanitowania podwójnego, to jest spojenia blachy dwoma szeregami nitów. Jeżeli rv ax majy to samo znaczenie, co w przypadku poprzedzającym, mamy

— %\)e,

8,28    12,32,

-i = 5,03 e

— = 0,87

zkąd

/,_2rj

27:?’.,²

"7"’

af. = Tzr{,

4 ~

Kładąc kolejno

-¹ =0,75

1,00

1,25,

znajdujemy

tylko promienie nitów muszą być nieco większe.

Wzory te odnoszą się także do nitowania podwójnego, w którem stosuga blach stykających się z sobę krawTędzianii bocznemi jest przykryta łatami obustronnie. Wypada tu powtórzyć robiona już poprzednio uwagę, iż w razie, gdyby obie blachy miały być do siebie przyciskane, trzebaby przyjęć

~=0,75 i- = 12. Siła ucinajęca rozkłada się tu na dwa

przecięcia tego samego czopa nitowego.

ROZDZIAŁ II

PRZESUNIĘCIE ZŁOŻONE.

90. Prawo rozkładu natężeń poprzecznych na przecięciu hryły wyginanej. —Przez przesunięcie złożone rozumiemy odkształcenie powstałe z połączenia przesunięcia prostego z wygięciem prostem. Pierwsze z nich ma wtedy miejsce, gdy siły zewnętrzne sprowadzają się w danem przecięciu do wypadkowej W działającej w jego płaszczyźnie, drugie zaś, gdy siły te sę równoważone parę M, przecinajęcę je normalnie wzdłuż jednej z osi symetryi. Przypuśćmy więc równocześnie istnienie siły W i momentu M, i badajmy prawo rozkładu natężeń ze, których wypadkowa jest równa sileW co do bezwzględnej wartości (¹).

Przez środek ciężkości przecięcia O poprowadźmy osie współrzędne prostokętne 0.r, Oy, Os, (fig. 70) w taki sposób, aby płaszczyzna yz leżała na przecięciu, a oś y na osi wygięcia (ust. n. 32) i uważmy mały element płaski d£l=ydz. Przyjmiemy, że natężenie poprzeczne W działa w kierunku osi Oz, to jest, że siła ta zchodzi się ze śladem pary M na płaszczyźnie przecięcia, możemy więc przypuścić, że jeżeli belka jest stosunkowo węzka w kierunku osi y, natężenia normalne sę jednakowe we wszystkich punktach tego elementu, jak również i natężenia styczne, które, jak dowiedliśmy w ustępie n. 83, sę równe poprzedzającym co do wielkości.

,4

jËE

«i ;

Fig. 70.

Oznaczmy przez :

2y wysokość belki w kierunku osi Oz;

w natężenie styczne na jednostkę powierzchni elementu l'dz;

R natężenie normalne odniesione do tej samej jednostki; powierzchnię przecięcia poprzecznego;

wmax największe natężenie styczne.

Uważmy teraz element bryły zawarty między dwoma przecięciami O, O,, odległemi od siebie o dx i płaszczyznę. abcd równoległę do xy, a przecinajęcę oś Oz na odległości z od poczętku O. Jeżeli siły zewnętrzne nie sę przyczepione do uważanego elementu, to natężenie normalne ścian adi, bek,

dx

dx

muszę być równoważone natężeniami stycznemi trzeciej

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERYAŁÓW.

w2' = e(/ 1W“)’

5

Mz

a że R = —, przeto

ściany ubcd

wydx.

Mamy więc

*»=e( j zda)‘

Z

Ale jest równe natężeniu całkowitemu W, a więc

(O

?6’ = —

zdQ.

Równanie to pokazuje, że jeżeli y jest stałe, natężenia poprzeczne w maleję od środka O ku obwodowi. Jeżeli jednak y maleje równocześnie, to iv może rosnąć i dosięgnęć swego maximum na pewnej odległości od punktu O. Wszakże natężenia w nie mogą być stałe w całem przecięciu, bo dla z = v mamy zawsze w = 0, co dowodzi niemożebności jednostajnego rozłożenia natężeń poprzecznych na wszystkie punkta bryły.

Stosujęc, wzór powyższy do przecięcia prostokątnego, otrzymujemy

l^max

= ₈H

LI ’

gdy s = 0. Dla koła o promieniu v mamy

>r

£|3

CC ICO

11

Lî

W m'.x— — TV 5

dla ; = 0. Ale gdy przecięcie ma kształt kwadratu ukośnego, maximum wysiłku w nie przypada już na osi zgięcia, bo wtedy mamy

~ (i+-12 \ v

12 ’

— w IL'max —    7~T"

Gdy szerokość <j przecięcia jest bardzo mała w pobliżu punktu środkowego, maximum natężenia w staje się znacznie

W

większem od I tak np., dla przecięcia kształtu litery I mamy (*)

_3 W ne—[u - n)cn

iL'nax 2 n no³ — (a — ri)ćz

= 3 — 12

W [_nè — (n — n)Ć~\\_nc- — (n — n')e'²] n[nc³ — (n—n)c* |

CO IG-I

Współczynnik ilości

ma jedność za granicę, jeżeli n rośnie do n; przeciwnie wartość jego staje się nieskończenie wielkę, gdy stosunek - maleje do zera, i to tętn szybciej, im mniejsze jest c — c.

Go się tyczy prawa rozkładu przesunięć na przecięciu po-przecznem bryły, mamy na zasadzie ustępu n. 83 gdzie w oznacza natężenie styczne na jednostkę powierzchni

(*, We wzezre («.) ustępu n. 10 trzeba uczynić c ’, c'", n,ł, n"*, równe zeru.

CZĘŚĆ 1. — l'RÇTY PROSTE albo belki.

308

elementu. Wstawiając więc za w wartość (1), otrzymamy

z dii.

g~ IG y

W przypadku przecięcia prostokętnego mamy

Uil w

z²

G12

W’

oznaczajęc przez v połowę wysokości belki. Zatem przesunięcia rosnę proporcyonalnie do rzędnych paraboli od dwóch podstaw przecięcia ku środkowi O.

91. Oznaczenie kształtu przecięcia po wygięciu bryły. —Wspominaliśmy już w ustępie n. 88, że przecięcia poprzeczne pierwotnie płaskie zamieniają się w ogóle po wygięciu bryły na powierzchnie krzywe; pozostaje więc tylko dowieść tego twierdzenia i ocenić kształt krzywizny.

Uważmy najprzód, że przesunięcie podłużne nie może mieć miejsca na powierzchni pręta jednorodnego pod względem sprężystości, a wystawionego na same tylko działania normalne, jak ciśnienie powietrza lub innego płynu spoczywającego; gdy bowiem ruchy te sę proporcyonalne do odpowiadających im natężeń (ust. n. 83), przeto w braku sił stycznych do powierzchni ciała, nie może być mowy o przesuwaniu elementów tej powierzchni. Ztęd wypada, że małe linijki materyalne nakreślone na przecięciu normalnie do powłoki bryły, pozostaję normalnemi po wygięciu lub innem małem odkształceniu, to jest że przecięcia poprzeczne pozostaję normalnemi do powierzchni ciała, niezależnie od zmiany swego kształtu i nabytej krzywizny. Przy sposobności zaznaczymy tu jeszcze tę okoliczność, że punkta należęce do obwodu przecięcia mogę wprawdzie przesuwać się na jego powierzchni ale tylko w kierunku stycznym do obwodu; skoro bowiem rodzęce graniastosłupa albo walca nie przestaję być prosto-padłemi do owych małych linijek nakreślonych na przecięciu normalnie do powierzchni bryły, a więc także normalnie do obwodu, przeto gdy rodzące te pochylę się nieco w skutek wygięcia bryły, ich rzut na powierzchni przecięcia zejdzie się z elementem obwodu, to jest z jego styczna.

na

Wyobraźmy sobie graniastosłup prostokątny ABCD osadzony jednym końcem, a obciążony na drugim końcu siłą P (fig. 71). Uważmy dwa przecięcia płaskie bardzo blizkie jedno drugiego ale leżące na pewnej odległości od końca osadzonego, i przypuśćmy, że przecięcia te zamieniły się po wygięciu bryły

«r/

*/_

ft

sU

ml

i*

w-

Y,

-X

Fij. 71.

powierzchnie krzywe aob, co^d i że włókno obojętne OK zamieniło się na krzywą 000,0^ Weźmy za oś odciętych linię styczną do tej krzywej w punkcie o, a za oś rzędnych linię do niej prostopadłą i uważmy włókno msut zawarte między dwoma po-

dx

mienionemi przecięciami. Pochylenie —- elementu sm względem osi oz jest równe kątowi pmk, jaki tworzy normalna mp z linią- mk równoległą do osi x, albo jeszcze ślizganiu g — pmt zwiększonemu pochyleniem tmk włókna msut względem osi

CZĘŚĆ I. — PRĘTY PROSTE Al.BO BELKI.

310

odciętych (*). Otóż pochylenie to możemy łatwo wyznaczyć, po wydłużeniu - włókna w punkcie m odpowiada skurczenie

poprzeczne r, - , gdzie p oznacza promień krzywizny włókna, P

a 7] współczynnik określony w ustępie n. 15; punkta m i o zbliżyły się więc do siebie o ilość

- dz — n

—r\

__ z* P(a — x). ~_712 ËI ’’

tak samo punkt t zbliżył się do punktu ox o ilość tego kształtu, ale z tę różnicę, że zamiast x mamy x-\-dx; także punkt t zbliża się więcej jak punkt m o ilość

z* Pdx

⁷¹2 ~W'

Dzielęc to wyrażenie przez ool = mt=dx, i nazywajęc P natężeniem poprzecznem W dla jednostajności znakowania, otrzymujemy    '

Wz²

kęttó = 7)—,

który dodany do wartości g znalezionej w poprzedzajęcyna ustępie daje

dx_3 _W

dz ~~ 2 Gß

Gil

El

Zcałkowawszy to równanie znajdujemy

ts oc

W⁷

-S

GQ

El

bo dla 2‘ = 0, mamy z = 0. Jest to równanie krzywej aob.

{*) Przypominamy tu caytelnikowi określenia podane w ustępie n. 83. Zamiast stycz-sych bierzemy luki, bo kąty o których mowa są nadzwyczaj male.

Ponieważ siła zewnętrzna P=W działa w płaszczyźnie pionowej przechodzącej przez włókno obojętne, a natężenia styczne sę z przypuszczenia stałe w jednej i tej samej warstwie poziomej elementów, przeto powierzchnia przecięcia będzie powierzchnię, walcowa prostopadlę do pomienionej płaszczyzny, a majęcę za kierownicę linię krzywę aob.

Gdyby szerokość belki była równa albo większa od jej wysokości, kształt przecięcia byłby zupełnie inny. Przecinając go płaszczyznami równoległemi do oz, nie otrzymalibyśmy już linij prostych, jak w przypadku poprzedzajęcym, ale linie lekko skrzywione ku środkowi o. W przypadku przecięcia kołowego lub eliptycznego linie te sę wypukłe względem osi wygięcia (*).

92. Strzałka wygięcia z uwzględnieniem przesunięcia poprzecznego. — Ponieważ wygięciu bryły towarzyszy w ogóle przesuwanie się poprzeczne włókien, przeto chcęc otrzymać drogę przebieżonę przez każdy punkt ciała, trzeba połęczyć drogi odpowiadajęce wygięciu z drogami odpowia-dajęcemi przesunięciu. I tak na przykład chcęc otrzymać strzałkę całkowi tę belki prostokętnej osadzonej jednym końcem a obciężonej siłę P na drugim końcu, trzeba dodać algebra-

Pa³

icznie do strzałki wygięcia —— (ust. n. 45), obniżenie końca

oilll

belki w skutek ślizgania g₀ włókna obojętnego, to jest ilość gga, jeżeli a oznacza długość belki. Strzałka całkowita jest więc co do bezwzględnej wartości

ymax

Pa³

3EI

4- ggz.

Chcęc znaleźć g₀, dosyć jest wstawić j = 0 i W=P we

(*) Patrz Mémoire sur la flexion par M. Barré de Saint-Venant, w Journal de mathématiques de M. Liouvilte, IS56.

wzorze (2) ustępu n. 90

9—5

3 W 2 Gil

I»

mamy więc

9o =

LSI CO

a ztąd

__ P«³ / ymax 3EI

LSI CC

SI"«

Gil

Oznaczając wysokość belki przez m, mamy

y max —

Pa³

3EI

i 4-

ocl co

trC-

a²

Ol H

a biorąc ^ E

% (ust. n. 84).

O

ymax —

p Û³

3EI

15 m!\

46 F7*

Widzimy więc, że natężenie poprzeczne wpływa tylko wtedy znacznie na powiększenie strzałki wygięcia, gdy długość belki nie jest wielka w porównaniu do wysokości.

KSIĘGA CZWARTA

G

SKRĘCANIE.

93. Określenie i teorya skręcania — Ostatnie odkształcenie proste, nazwane skręcaniem, może mieć tylko wtedy miejsce, gdy siły zewnętrzne sprowadzają się w każdem przecięciu poprzecznem groniastosłupa do pary sił, której płaszczyzna jest równoległa do tego przecięcia (ust. n. 7); siły zewnętrzne muszą więc tworzyć pary prostopadłe do osi ciała.

Wyobraziwszy sobie dwa punkta b i a, leżące na przecięciu się linii równoległej do OOj z dwoma bardzo blizkiemi siebie przecięciami MN, MtNt (fig. 72), możemy uważać skręcenie przecięcia M,Nt względem MN jako następstwo przęsunięć g, których wielkość i kierunek zależy od położenia punktów bia; ale z tym warunkiem, że przesunięcia te będą równe zera w pewnych punktach 0, Oj, leżących na tak nazwanej osi skręcenia.

Ruchowi postępowemu g każdego punktu b odpowiadają natężenia styczne t, proporcyonalne do dróg przebieżonych, a równe im co do kierunku. Starajmy się więc oznaczyć największą wartość tego natężenia, gdy dany jest kształt przecięcia i moment skręcenia 3TL, i na przemian, obliczyć przecięcie lub moment 3Tó, mając dane największe natężenie styczne. Obrachujmy przytem icspółczynnik kqtoioy skręcenia to jest względny obrót dwóch przecięć poprzecznych odległych od siebie o jedność,

Zazwyczaj wychodzi się z tej zasady, że przecięcia poprzeczne płaskie nie zmieniają swego kształtu i pozostaję płaskiemi podczas odkształcania bryły. W takim razie przesunięcie i natężenie styczne t w pewnym punkcye b są skierowane prostopadle do prostej Ob i proporcyonalne do odległości Ob=r; tak że odnosząc punkt b do osi współrzędnych prostokątnych Oy, Cb, i oznaczając przez tl natężenie na odległości r=l, otrzymamy następujące składowe natężenia t w kierunku z\y :

t, = txz, ty = — Uy,

przypuszczając, że bryła skręca się od y ku z. Ogólne warunki równowagi są :

tdil. r=3TL,

J tz dii — 0, I ty dii— 0, j*

gdzie dii oznacza nieskończenie mały element płaski dzdy ; wstawiając więc za tt i ty wartości txz i — txy otrzymamy

I zdil = Ö, J ydil= 0,

co dowodzi, że punkt środkowy skręcenia O przypada w środku ciężkości przecięcia, to jest że oś skręcenia jest zarazem osią geometryczną bryły.

Oznaczając przez IT moment bezwładności przecięcia 12 względem osi skręcenia 0.r mamy, jak wiadomo,

I*

= j* r-dil,

tdil. r=DÏL,

a więc wstawiając t = txr w równaniuJ*

'•/

rzdil— DTL,

KSIĘGA IV. — SKRĘCANIE.

315

zkad

3IL

albo jeszcze

OlLr

Natężenie t rośnie ze zmienną r, a więc gdy maximum r jest równe v, mamy

ax

Ir

Pozostaje jeszcze do obliczenia kąt nazwany współczynnikiem kątowym skręcenia. Jest to, jak powiedzieliśmy już poprzednio, kąt obrotu względnego dwóch przecięć odległych od siebie o jedność, albo mówiąc inaczej, kąt pochylenia acb

XI

TV)

Tb

j\L

s\

.N,

Fig. 7“>.

włókna ab odległego o jedność od punktu O, bo trójkąty acOv ach maję. trzy boki nawzajem równe. Współczynnik ten jest więc miara przesunięcia punktu położonego na odległości Oè = l od środka przecięcia (ust. n. 83).

Dowiedliśmy w poprzedzającej księdze, że natężenia wywołane przez przesuwanie się elementów płaskich jest równe

iloczynowi tego przesunięcia przez ilość stałą G, nazwaną współczynnikiem sprężystości poprzecznej (ust. n. 83). Oznaczając więc natężenie poprzeczne punktu b przez tl mamy zkąd

Y G I^G

W powyższych wzorach możnaby wstawić za \x summę Js-f Iÿ, skoro bowiem

jr-dLl, Iy = j*zhiil, Ts = J,yhlil,

a r² jest. równe -f- z/², przeto

lx - \y “t* I;.

Jak widzimy, teorya ta opiera się na przypuszczeniu, że przecięcie poprzeczne pozostaje płaskiem po odkształceniu bryły, i że natężenia styczne t w każdym punkcie przecięcia są prostopadłe do promieni wodzących tychże punktów. Otóż tym dwom przypuszczeniom czyni zadość tylko przecięcie kołowe.

Jakoż wiadomo z ustępu n. 91, że gdy powierzchnia bryły jednorodnej jest zupełnie wolna albo też poddanasamym tylko siłom do niej normalnym, przesuwanie nie może mieć miejsca na tej powierzchni, to jest że małe linijki materyalne nakreślone na przecięciu normalnie do jego pierwotnego obwodu, a więc zarazem normalnie do powierzchni zewnętrznej, pozostają do niej normalnemi jak również do obwodu odkształcanego. Ztąd wypada, że krawędzie zamienione na helisy w skutek skręcenia bryły muszą się porzucać na przecięciu w kształcie stycznych do obwodu, tak że przesunięcia elementów w przecięcia w pobliżu obwodu muszą być skierowane

KSIĘGA IV. — SKRĘCANIE.

317

wzdłuż tego obwodu. Ale przesunięcia elementów muszę być także prostopadłe do promieni wodzących, bo przypuszczenie to było podstawę, naszych rachunków ; a więc obwód przecięcia musi być kołem majęcem swój środek na osi skręcenia.

Kształt kołowy urzeczywistnia także przypuszczenie pła-skości i niezmienności przecięcia poprzecznego, bo nie ma żadnego powodu, żeby jeden jego element miał się więcej wykrzywiać, jak drugi równo od środka odległy, i żeby całe przecięcie miało wzdymać się więcej wjednę jak w dragę stronę.

Wzory powyższe odnoszę się więc tylko do przecięcia kołowego. W ogóle przecięcia pierwotnie płaskie zamieniaję się po skręceniu na powierzchnie skośne, a natężenia styczne t nie sę prostopadłe do promieni wodzęcych. Zobaczymy wT następujęcych ustępach, co czynić trzeba w takich przypadkach.

94. Teorya dokładniejsza; — Największe natężenie styczne. —Przypuśćmy że przecięcie poprzeczne ciała ma dwie osie symetryi oz i oy, że oś skręcenia ox zchodzi się z osię geometryczna bryły (fig. 73). Linie te muszę pozostać prostemi i nawzajem do siebie prostopadłemi pomimo skręcenia bryły, bo tego wymaga symetrya figury i układu sił wewnętrznych. Weźmy je więc za osie współrzędne i oznaczmy przez

12 powierzchnie przecięcia;

ty i 4 natężenia styczne w kierunku osi y i z, odniesione do jednostki powierzchni elementu A majęcego współrzędne « i y.

Natężenia ty i tz sę wprawdzie funkeyami zmiennych z i y, ale w skutek symetryi przecięcia natężenie tv nie zależy od znaku ilości y, i zmienia swój znak na przeciwny, gdy z

przechodzi na — z (fig. 73). Jeżeli więc przyjmiemy, że tv da się wyrazić przez wielomian złożony z całkowitych potęg zmiennej z i y, to wielomian ten będzie mógł zawierać tylko wyrazy składające się z potęg parzystych ilości y i potęg nieparzystych zmiennej z; tak że kładąc

0)

ty = Pz -t- Qy²z -+- Sz⁸,

opuszczamy tylko wyrazy począwszy od piątego stopnia. W podobny sposób

(2)

t-„ — Pi y + Chyz* -t- S,y³.

A**

¹

Odkształcenie to nie jest w zasadzie niczem innem, jak zwyczajnem wygięciem, które określiliśmy w ustępie n. 7 i o którem była mowa w całej Księdze drugiej. Ale tutaj bierzemy pod uwagę natężenie poprzeczne, zupełnie dotąd pomijane ze względu na jego sposób działania; rozdział ten odnosi się więc poniekąd do Księgi drugiej.

0.

■ri

Fig. 73.

Do oznaczenia współczynników P, Q, S, Pj, Ch, St, służę : 1° warunki równowagi między natężeniami w całcm przecięciu i momentem PTL sił zewnętrznych ; 2° warunki równowagi sił wewnętrznych działających na powierzchnię nieskończenie małego elementu ciała ; 3° warunek, na mocy którego natężenia w punktach leżących na obwodzie muszę być skierowane stycznie do tego obwodu (ust. n. 93).

Warunki równowagi między natężeniami w całem przecięciu i momentem 3TL sił zewnętrznych sę

/v“

=0,

Jtzd& = 0, J {Ly

— tvz)da = 3ÏU.

KSIĘGA IW — SKRĘCANIE.

wstawiwszy więc za L i ty wartości (l) i (2), otrzymamy :

P ! y dii 4- G j'yhdil + S j z³ dii = 0, P, J*y dii 4- (Ji ^ ysV/Q-t-Sj j y³dil P,    + nj if z'dil 4- s,J y*dU — P J

Q j y^~ S j

= o,

zhHl —

sV/ß = hlL.

Dwa pierwsze równania sprawdzają same przez się niezależnie od współczynników P, Q, S, PJt Q₁₅ S], z powodu zupełnej symetryi ; trzecie zaś daje warunek :

z^dil—dTL,

(3) PJS - PIV 4- (Ui - U) J'yVdil + S iJffdO—S j bo jak wiadomo j y-dil = It i J z*dil = ly.

Przejdźmy teraz do drugiego warunku zastrzegającego równowagę wszystkich sił wewnętrznych działających na nieskończenie mały równoległościan prosty A majęcy krawędzie równe co do długości różniczkom dx, dy, dz, a rówrno-łegłe do osi x, y i z. Na ściany prostopadłe do osi x działaję

dy

siły ty i ty 4- ⁽~ dx w kierunku oy₅ tudzież t₅ i k + ^ dx w kie-runku oz ; na ściany prostopadłe do osi oy działaję siły tv i iy 4- ^dy w kierunku ox (*); wreszcie na ściany prosto-

dt.

padłe do oz siły tt i ts 4- ~ dz w⁷ kierunku ox. Siły te s^ od-

(*) Dowiedliśmy w ustępie n. 83, że przecięcie elementów na pewnej płaszczyźnie jest równe przesunięciu elementów na płaszczyźnie prostopadłej do pierwszej i do kierunku przesunięcia.

niesione do jednostki powierzchni, a więc pomnożywszy je jeszcze kolejno przez dydx, dzdx,dx<ly, otrzymamy następujące równania równowagi :

*?=o,

dx dt-dx

dy dz

z których dwa pierwsze wyrażaję niezależność współczynników⁷ P, O? S, Pi, Q„ S„ od zmiennéj x. Trzecie równanie prowadzi do zwięzku

(4)

Q + Q1 = 0.

Pozostaje jeszcze wyrazić styczność natężeń do obwodu przecięcia, ale że warunek ten prowadzi do równań zależnych od kształtu figury, przeto zastosujemy go tylko do prostokąta i do kwadratu ukośnego, jako do dwóch ostatecznych odmian figury czwmrokętnej symetrycznej. Jeżeli oznaczymy przez m i n wymiary prostokąta w kierunku osi z i y, to ty musi być

równe zeru dla wartości y—dt ^ i dla każdej wartości z, a

t    771

tz musi być równe zeru dla wartości z = ±— i dla każdej wartości y. Ztęd wypada

S =0, Sj = 0, Q = —

4P

w2 5

4Pi

ud

a więc równania (ł) i (2) zamieniają się na

', = Pz(ł-»

(o)

KSJÇGA IV. — SKKÇCAïUE.

a równania (3) i (4) na

(U)

r,i,-pi,-4^ + P)yVvo/a

= DÏL,

Ł=0.

TO

Ale Iy = — nu,³, 1- ™ — rnn³, przeto ostatnie równanie daje P jli -t- PI^ = 0.

Uważmy teraz czworobok ukośny, którego wymiary sę : AG = to, BD=w. Jeżeli we wszystkich punktach boku DA kierunek natężeń wypadkowych (fig. 74) ma przypadać na tej linii, to natężenia muszę sprawdzać równanie :

O)

tz

0/

SIR

vV'

/C7~y 1)/ J

Fig. 74.

albo

n/z -+- mty = 0,

i to dla wszystkich wartości z i y odpowiadających linii AD, to jest dla wartości

s=’“ó-?2y

2 \ n J

WYTRZYMAŁOŚĆ MATEKYAŁÓW.

21

Wstawiając tę ilość w poprzedzające równani® i sprowadzając do zera współczynniki ilości yu, y, y\ y³, otrzymujemy cztery związki, z których wypada

S= —

4P

>> >

ITT

Si=-

4P,

4P

Pi

Q=—f"⁸¹î>

n- m~

nr

Mamy więc

*•=*[*

<. = P,y(l-4y!

_±:A_8Py

nr J

5²

•>

a na zasadzie równań (1) i (2)

m²

W. - PI, + *$-$)f*** - %+ /,PJ z'dii =' Ólo,

Pi

■nr

Ostatnie równanie możemy przedstawić wkszałcie :

PJs + PI y — 0,

nm³.

bo jak wiadomo (ust. n. 10) I- = -— mn*, ly— —

48    48

Wzory odpowiadające prostokątowi i czworobokowi ukośnemu zgadzają się z sobą zupełnie, gdy się opuszcza wyrazy rzędu trzeciego w wyrażeniach ty i tSi to jest gdy

ty = P-,

u = P.y,

KSIĘGA IV. — SKRĘCANIE.

zkąd wnosić można, iż wzory powyższe stosują się w przybliżeniu do wszystkich figur mających dwie do siebie prostopadłe osie symetryi. Równanie (3) zamienia się wtedy na

Pili — PI?/ = 31l/,

a że znaleźliśmy w obydwóch przypadkach jednakowe równanie

PJ; t- PIÿ = 0,

przeto współczynniki P i Pi są zupełnie określone, bo

21/

P=—

Pi=

213 ’

a ztąd

21,

2I;

Natężenie wypadkowe t w punkcie x. y, jest więc

“f”

y

•>

l-J

zkąd

I3² ’

'JH

Przypuszczając L = Iy mielibyśmy 3lV_3ïlr

21,

21, “ h ’ 2godnie z tern, co znaleźliśmy w ustępie n. 96.

95. Współczynnik kitowy skręcenia. — Przyjmijmy ten sam układ osi spółrzędnych, co w ustępie poprzedzającym i uważajmy jakikolwiek punkt A (fig. 75) leżący na płaszczyźnie przecięcia poprzecznego sOy. Przez ten punkt poprowadźmy dwie linie AB — dy, AG — dz, równolegle do osi y i z, i nazwijmy Ç, yj, ę, przyrosty współrzędnych x, y, z, w skutek odkształcenia bryły. Punkt C posuwa się względnie • dy\

dz

do punktu A o ilość —‘ dz w kierunkuOy, a punkt B względem

dt

dn

A o ilość dy w kierunku osi Os; ztąd wypada, że — jest

tu/    Cl+t

dr

kątem obrotu linii CA około A w kierunku zy, i że -i jest

dy

I?

di

Fig. 75.

kątem obrotu prostej AB około A, w kierunku yz. Summa

tych dwóch kątów, to jest ilość    oznacza więc zmniej-

dz dy

szenie kąta GAB pierwotnie prostego, albo mówiąc inaczej (ust. n. 83) przesunięcie względne płaszczyzn równoległych do zx lub do xy w kierunku Os lub Oy. Nazywając je gx mamy

KSIĘGA IV. — SKRĘCANIE.

32 ri

W ten sam sposób oznaczając przez gy przesunięcie płaszczyzn równoległych do xy lub yz, w kierunkach x lub z, a następnie przez gz przesunięcie płaszczyzn równoległych do xz lub zy w kierunkach x lub y, mielibyśmy

Uważmy teraz drugi punkt A, mający tc same y i z, co punkt A, a leżący na przecięciu odległem o dx od przecięcia poprzedzającego, i poprowadźmy linię A₁B₁ = rfy równolegle do osi y. Ponieważ w skutek odkształcenia punkt A posuwa się o Ç w kierunkn osi z, przeto punkt Aj posunie się w tymże

kierunku o Ç -ł- ~ dx; a więc przesunięcie się punktu A,

względem A w kierunku Oz będzie

dx

$ dx. ■

Ale jeżeli punkt At posuwa się względem A o tę ilość w kierunku z, to punkt Bi posunie się w tymże kierunku względem B o ilość

dxdy,

dxdy

a więc kąt pochylenia rzutu linii A,B| na rzut prostej AB w płaszczyźnie zy będzie

jŁ dx.

dxdy

Wstawiając z=0, znajdziemy kąt obrotu osi symetryi Üjÿj względem O y w kierunku yz :

dc.

d%

dxdy j-=(j

część 1. — PRÇTY PROSTE ALBO BELKI.

326

Znaleźlibyśmy w tenże sam sposób, że

MM dz [dxdz)y=0 **

oznacza kąt obrotu osi 0^ względem Oz w tymże samym kierunku yz. Otóż oba te kąty są równe Ądx, a więc

(1)

₊=(_£L\

\dxdy)

3=0

d\ \

dx dyl

y—o

Natężenie tv jest widocznie wynikiem przesunięcia się płaszczyzny zy w kierunku y, to jest przesunięcia oznaczonego literą gże zaś każde natężenie styczne jest równe iloczynowi pochylenia włókien przez współczynnik sprężystości G (ust. n. 83), przeto

w podobny sposób

** = G9y

Wstawiając w tych wyrażeniach ogólne wartości (1) i (2) ustępu poprzedzającego, a za g. i gy wartości powyżej znalezione, otrzymamy

p.H-o^.+sfeod+g),

a różniczkując pierwsze z nich względem z, drugie względem yy i wstawiając potem w pierwszem y—0, w drugiem z =0, otrzymamy z uwzględnieniem równania (1)

Wreszcie czyniąc w pierwszem z dwóch ostatnich równań z =0, w drugiem y— 0, i odejmując je od siebie, znajdujemy

(2)

■ł==

P,-P

96. Zastosowanie powyższej teoryi do prostokąta i do elipsy. — Dla łatwiejszego zrozumienia teoryi i ułatwienia rachunków w praktyce napotykanych zastosujemy tu ogólne wzory skręcania do prostokąta i elipsy.

Prostokąt. — W ustępie n. 94 otrzymaliśmy już następujące wyrażenie tyczące się prostokąta :

PL-PI,-

⁴ (!^;p)/yW0

= 3 IL;

pozostaje więc tylko zcałkowar wyrażenie y*z²dil. Otóż

J'y*zidQ = ifdyj

SI**

rł m³

I(/n²_I-m*

9.16    12    12

a więc

PJS — PI* = ï J1U

Ale mamy także (rów. (7) ustępu n. 94) Pl I- -f Ply = 0,

a zatem

P=—

PIL

I»

,,_3 3!b

¹'~a t:

Wstawiając te wartości w równania (5) przedostatniego ustępu,

otrzymujemy

ty

9311

n m.³

4 t\

n*y )

93H

n³m

93)1

mn

'J (-¥)

Vss

4s*\*

vr

Jeżeli n < m, lo ć dosięga swego maximum w punkcie y — ± , s = 0, to jest w połowie boków dłuższych. Wtedy

'/H

9 311 2 rem ‘

Wreszcie stosując wzór ^

P _ p

-■ 3Ä" - znajdujemy

9 311 /w¹ -f- n²\ 2 G \ m³n³ /

Elipsa. — Jeżeli y i z oznaczają współrzędne obwodu, to warunek styczności natężeń do obwodu (ust/n. 94) będzie wyrażony równaniem

Otóż równanie elipsy o półosiach m i w jest

-2

_1_ _ 1

nr mr ’

a więc

P -ł- 0 y¹ -+- Ss²

n~ ’

co pokazuje, że współczynniki Qf, Si, Q, S, muszą być równe

Pin² 4-. Pm² = 0.

Ale mamy (ust. n. 10)

irmw³

~r⁵

KSIĘfiA IV.

zeru, jak również ł summa

~ KRĘ¹'A \ IK.

359

T 7inne T

ly — , U —

przeto ostatnie równanie zamienia sie na Pjk-f PIy = 0.

Równocześnie równanie (3) ustępu n. 94 daje P,T; — PIy = 011,

a więc

Oli

Pi=~, P =

OK,

2 ly

Widzimy więc, że wzór przybliżony (ust. n. 94)

21,

oió Iz'¹

* ~na V v i7’

odnoszęcy się do wszystkich podwójnie symetrycznych przecięć, wypełnia najzupełniej warunki przecięcia eliptycznego,

a więc jest bez porównania ogólniejszy od wzoru t =

przecięć kołowych.

Oïlr

1*

dla

Największe natężenie ma miejsce na końcach małej osi. Gdy n <*m, mamy

(P)

ux-

2.9)1

7cri²m '

Współczynnik kętowy skręcenia jest

__M (m* -+ n²\

7tG I m³ns )

97. O krsywiznie przecięć poprzecznych po skręceniu graniastosłupa. — Aby otrzymać równanie powierzchni przecięć poprzecznych, wyrazimy drogę \ przebieźoną przez jakikolwiek punkt przecięcia pierwotnie płaskiego w funkcyi spółrzędnychy i z. Jeżeli funkcya jest wielomianem złożonym z potęg całkowitych y i z, to w skład jej wchodzić mogą tylko te wyrazy, które zawierają zarazem z i y ; bo w przeciwnym razie £ nie byłoby równe zeru dla y— 0 lub dla ;=0, to jest dla wszystkich punktów osi symetryi ust. n. 94). Opuszczając wyrazy potęg wyższych od czwartej mamy

ć = kyz -f- B y-z -+- C y z² -r- Dy³- Ey²~² -t- Fys³, a więc na zasadzie równań (ust. n. 95)

d~l

P -+- 3Sz²

i! —0

dydz

i!£L

\dydz

_P, + 3S,y²

*'k-

:=o

P, - P

2G ’

otrzymamy

ja

2G ’

Współczynnik E musi się równać zeru, bo symetrya wymaga, aby wyrażenie Ç zawierało albo same parzyste albo same nieparzyste potęgi y i Ztąd

W przypadku przecięcia prostokątnego lub eliptycznego mamy S = St = 0, i

a-

aTl

a-

a-

JTSI

la*

h_if J,

Jv+I«

a więc

Jest to powierzchnia skośna paraboloidy hyperbolicznej zrodzona ruchem prostej równoległej do yx, albo ruchem linii równoległej do zx, i opierającej się na dwóch rodzących drugiego systemu. Przedstawiając ją topograficznie, to jest za pomocą przecięć prostopadłych do osi skręcenia, otrzymalibyśmy szereg hiperbol (fig. 70), mających osie z i y za asym-ptoty. Dla odróżnienia części wypukłych od części wklęsłych kreślimy na figurze (76) jedne hiperbole pełnemi liniami, drugie przerywanemi.

Fig. 76.

W ogóle krzywizna powierzchni przecięcia maleje ze współczynnikiem kątowym skręcenia <]/ i różnicę. Iy—Is, a nawet staje się równą zeru, gdy Iy = I,. Ale wynik ten jest prawdziwy tylko dla prostokąta i elipsy, a przybliżony dla innych figur geometrycznych (*).

98. Uwaga. — Wszystko co powiedziano w Księdze trzeciej odnośnie do współczynnika G i wytrzymałości ciał przeciw ucięciu stosuje się do wzorów powyżej wyprowadzonych, bo skręcanie nie jest niczem innem, jak przesuwaniem ele-

(*) W tym przedmiocie zalecamy znakomity rozprawę Barré de Saint-Venant’a, zamieszczony w Mémoires des savants étrangers, t. XIV, art. 78, pod tytutem : Mémoire ur la torsion des prismes. Jeszcze obszerniejsze wskazówki znaleźć można w notach tego uczonego do dzieła Résumé des leçons données à l’Ecole des Ponts et Chaussées sur l’applieation de la Mécanique, par Navier. Tomel, première et deuxième fascicule, 1864.

menlów jednych względem drugich. Zresztą wszystkie niemal dane praktyczne, które cytowaliśmy w Księdzie poprzedzającej, wyprowadzone zostały z doświadczeń nad skręcaniem graniastosłupów.

Wszakże zrobić tu musimy pewną uwagę co do granicy praktycznej wytrzymałości przeciw skręceniu. W niektórych częściach machin wystawionych na samo tylko skręcenie, jaknp. w wałach obrotowych, nie dosyć jest zapewnić równowagę międzycząsteczkową, ale nadto trzeba utrzymać kąt skręcenia w pewnych granicach i zapobicdz tym sposobem niejednostajności ruchu z tarcia powstałej. Łatwo więć pojąć, że granica praktyczna wytrzymałości musi tu być znacznie mniejszą, jak w zwyczajnych przypadkach. Według Morin’a można przyjąć

Wytrzymałość prakt. na ł milim. kw.

4ks-

Dla żelaza i stali.....

.1,33,

.0,27,

.0,29.

Dla surowca.........

Dla drzewa dębowego Dla drzewa jodłowego.

99. Wzory praktyczne odnoszące się do wałów obrotowych. — Przypuśćmy, że wał obrotowy o przecięciu kołowem ma przesyłać pracę N przy n obrotach na minutę. Promień r tego wału jest dany przez równanie (ust. n. 96)

r3_

23T0

~ tum.r

gdzie tmax oznacza największe natężenie bezpieczne. Ale mo-

N

ment .Ole jest widocznie proporcyonalny do - , tak że możemy napisać oznaczając przez k współczynnik liczebny zależny od mate-ryału użytego i od przeznaczenia wału. Dla wałów wydrążonych mamy

Gdy promienie r i r sę wyrażone w centymetrach, a N w ki-logrametrach, współczynnik k (podług Grashof a) zmienia się od 0,156 do 0,238 dla surowca. Pierwsza z tych wartości odnosi się do ruchu jednostajnego, druga do ruchu zmiennego. W przypadku bardzo mocnych wstrzęśnień współczynnik k dochodzi do 0,75, a nawet do 1,00.

Dla żelaza można przyjęć k — 0,050 do 0,095 stosownie do większej lub mniejszej jednostajności ruchu.

Go się tyczy drzewca k zmienia się od 2,5 do 5, a nawet dosięga 20. ¹

'

.    ■ •    • •• 4-;./ «f(    .,£)«: -fj,.t::irw.lipxwq hni opęjyyu iihą

Ą\

t-

.

$ * noifns pl ’tkti'iÿ •.#. <>q)    *•<!«>.^rî'vr.'iJ'-.fifK'i^pI

tio    -r.î-îńir$. K iüs«'    (Ba^mue cJ;bi|£&Ch h ul^O bp

(S) y

'    . r .    f.u;:.'| ' VK{ W '

OCM • »fj ^v/ßfi    JdK>rf*>of>

■ Ok j;

çi ‘ '>{tir.ni< b-- 'jtwotfcjM xirie wtvvjyê *1 «ąsl i,-r* -7/

çiy.vî    i.»i,    ■ :

-

ftsioa v ow àiwMtâ’»

¹

Wzoru tego nie wyprowadzamy szczegółowo, bo teorya poprzedzająca stosuje się tuk dobrze do przecięć pełnych jak wydrążonych. Dosyć więc jest wstawić we wzorze a) ustępu n. U6 za Ii=Jy moment bezwładności przecięcia pierścieniowego.

GZEÖO II

ŁUKI I POWIERZCHNIE

KSIĘGA PIERWSZA

ŁUKI METALOWE.

ROZDZIAŁ I

ODKSZTA.ŁCKNIE ŁUKÓW

100. Odkształcenie płaskie łuku. — Zgodnie z określeniem podanem na początku tego Wykładu, nazywamy łukiem albo prętem krzywym takę bryłę geometryczna, której przecięcia poprzeczne sę stałe lub też zmieniają się w sposób cięgły co do wielkości i kształtu ale z tym warunkiem, iż miejsce ich środków ciężkości jest krzywę cięgłę. Ta krzywa, zwana także linię środkowę albo włóknem środkowem łuku, jest znacznie dłuższa od największego wymiaru poprzecznego bryły.

Łuki medalowe używane do budowy mostów, więzati da*

chowych lub innych, składają się zawsze z nieparzystej liczby zworników klinowatego kształtu, to jest z kawałków utworzonych przez podzielenie łuku na pewną liczbę części płaszczyznami normalnemi do włókna środkowego. Te zworniki albo klińce przystaję doskonale do siebie, i są tak mocno z sobą połączone, iż tworzą niemal jednolitą bryłę zrobioną z jednej sztuki. Łuk taki spoczywa na podporach murowanych lub żelaznych, a jego oba końce są zaopatrzone w szerokie podstawy surowcowe w celu rozłożenia parcia na przestrzeń dostatecznie wielką. Mówimy, iż przecięcie łuku jest symetryczne, gdy jego środek ciężkości zchodzi się w jednym punkcie ze środkiem geometrycznym; niesymetryczne zaś wtedy, gdy pomieniony środek ciężkości leży w innem miejscu. Krańcowe przecięcia zwią się łożyskami, a odpowiadające im zworniki zwornikami łożyskowymi; przecięcie poprzeczne idące przez wierzchołek łuku nazwiemy dla skrócenia kluczem, choć właściwie miano to odnosi się do całego zwornika wierzchołkowego. Strona łuku górna, to jest wypukła, nazywa się grzbietem, ściana zaś dolna albo wklęsła, podniebieniem.

Teorya łuków jest w zasadzie zupełnie podobna do teoryi belek prostych, ale jest nieco więcej złożona z powodu ustawicznej zmienności kierunku włókna środkowego; zato jednak teorya łuków jest bez porównania ogólniejsza i zawiera sama w sobie całą teoryę belek prostych, jako szczególny przypadek włókna o krzywiznie nieskończenie małej. Niektórzy nawet autorzy traktują najprzód o łukach, a potem o belkach prostych ; a choć len system jeU wielce logiczny ze względu na oszczędność rachunku i rozumowania, bo wzory dotyczące belek prostych wypadają wtedy od razu z wzorów ogólnych ; to jednak w Wykładzie niniejszym przyjmujemy system wprost przeciwny, zaczynając od belek prostych a kończąc na łukach, jako układzie następujących po sobie graniastosłupów pro -stych. Uba tc sposoby zapatrywania się prowadzą do jednego

KSIĘGA I. ŁUKI METALOWE. — ROZDZIAŁ I.

337

celu, ale metoda nasza wyświeca lepiej wszystkie szczegóły zjawisk mechanicznych, tłumaczy jaśniej działania i skutki rozmaitych sił międzycząsteczkowych, a posiada przytem tę wszystkim metodom syntetycznym wspólny zaletę, iż prowadzi od rzeczy łatwych do trudniejszych. Już z tego wypada, że teorya łukówjest tylko uogólnieniem teoryi belek prostych, jak to niżej wykażemy.

Najczęściej napotykamy łuki płaskie, to jest łuki o włóknie środkowem leżęcem na płaszczyźnie ; siły zewnętrzne leżę zazwyczaj w tejże samej płaszczyźnie, a przynajmniej są względem niej symetrycznie rozłożone; nadto jej ślady na przecięciach poprzecznych bryły są zwykle osiami symelryi tychże przecięć. W obec takich warunków siły P, W, M, 31L , wynikające z przeniesienia do środka przecięcia wszystkich sił zewnętrznych zawartych między tym punktem i jednym z końców pręta (ust. n. 6) sprowadzają się do sił P, W i M, bo para skręcenia Ole musi być równa zeru. Siły te działają w płaszczyźnie pionowej dzielącej łuk w podłuż na dwie równe części, a więc każdy punkt włókna środkowego przebiega pewną drogę na tej płaszczyźnie, ale z niej niezchodzi; co znaczy, że odkształcenie łuku jest płaskie, albo mówiąc inaczej, że każdy punkt łuku pozostaje na tej samej płaszczyźnie pionowej, na której leżał przed odkształceniem.

Nie ma takiego układu sił zewnętrznych, któryby przeniesiony do środka przecięcia dał się przedstawić przez jednę tylko z sił P, W i M; gdyż wszystkie trzy działają zawsze jednocześnie i nie mogą istnieć jedna bez drugiej. Dlatego to zamiast rozbierać odkształcenia proste łuków na wzór belek prostych zawartych w pierwszej Części, musimy przystąpić odrazu do odkształcenia ogólnego wywołanego jednoczesnem działaniem tych trzech sił zewnętrznych. W tym celu przyjmiemy osie współrzędne prostokątne ox i oy, leżące w płaszczyźnie włókna środkowego A₀ An (fig. 77), a nakreśliwszy

WYTRZYMAŁOŚĆ materyałów.

CZĘŚĆ II. — ŁUKI I POWIERZCHNIE.

338

jakiekolwiek dwa przecięcia poprzeczne ab, aibh blizko siebie położone, oznaczymy przez

xn, yn współrzędne punktów

y o »

A o?    Aj > -^-n 5

ß powierzchnię przecięcia poprzecznego ;

E i G współczynniki sprężystości podłużnej i poprzecznej, a k ich stosunek wzajemny (ust. n. 84) ;

P’ W i M całkowite natężenie podłużne, natężenie poprzeczne i moment zgięcia w przecięciu ab, wynikające z przeniesienia do punktu A wszystkich sił zewnętrznych działających na część łuku AA». Siłę P uważamy za do-dodatnia, gdy działa w kierunku od A₀ do An, to jest w kierunku x dodatnich, a moment M za dodatni, gdy dąży do obrotu od osi x dodatnich ku osi y dodatniej ;

a, ß, kąty, jakie tworzy kierunek siły W z częściami doda-tniemi osi x i y ;

s, s,, długości włókna środkowego A₀ A i A₀ A, ;

I moment bezwładności przecięcia ß względem prostej przechodzącej przez środek ciężkości tegoż przecięcia, a prostopadłej do płaszczyzny xy.

Przypuśćmy na chwilę, że znamy ruch bezwzględny przecięcia aQbü. Ponieważ ruch rzeczywisty przecięcia sąsiedniego wypada ze złożenia jego ruchu względom aj)₀ z ruchem bezwzględnym przecięcia ajb₀, przeto możemy potem obliczyć ruch. bezwzględny przecięcia następnego, a postępując dalej tą drogą, znaleźć nowe położenie jakiejkolwiek płaszczyzny a\ i wyznaczyć tym sposobem drogę przebieżoną przez punkt At włókna środkowego. Całe zadanie sprowadza się zatem do dodawania ruchów względnych wszystkich przecięć

zawartych między At i A₀. Otóż ruchy te znamy z Części pierwszej, bo bryła zawarta między dwoma sąsiedniemi przecięciami może być uważana za część graniastosłupa prostego.

Rozbierając najprzód ruch względny przecięcia albi względem ab widzimy, że składa się: t°, z ruchu postępowego

p ds

w kierunku siły P o ilość — (ust. n. 13); 2°, z ruchu postę-

W ds

powego w kierunku siły W o ilość , i wreszcie 3°, z o-

tan

bo

'jK

Fig. 77.

M ds

brotu o kąt —— około osi przechodzącej przez A, a prosto-Ę[

padłej do płaszczyzny xy. Rzucając dwa pierwsze ruchy na osie współrzędne ox i oy otrzymujemy widocznie

Ruch postępowy wzdłuż osi x..

P dx

---- —{—

EL>

W dos.«..ds

ÄEU

km

Ruch postępowy wzdłuż osi y...    -4-

M ds

Punkt Aj obracając się koło A przebiega drogę AtA. — * Ten mały łuczek tworzy z osiami ox i oy kąty « i ß, tak że jego

rzuty są AjA. .dosa i AtA..dos fi. Ale łatwo spo-

strzedz, że AjÀ dos a = Ar4 (— dos WCo) = —(yL — y), i że A)A dos ß — Xi — x ; mamy więc :

na osi#...— (yt — y) —,

/    v M ds

na osi y... -+• (#1 — #)-—

Dodając rzuty ruchów postępowych do rzutów ruchu obrotowego, otrzymujemy

na osi x..

Pdx W dosa, ds

M ds

' ES2

km

P du    W dos ß. ds

ÆES2

na osi y-• * m ⁺

Oto są rzuty dróg przebieżonych przez punkt Aj względem płaszczyzny ab (*). Chcąc znaleźć przyrosty Ax,, Ayx współrzędnych punktu Av trzeba wziąć summę powyższych wyrażeń odnośnie do wszystkich przecięć zawartych między A₀ i A15 i do summy tej dodać drogęprzebieżoną przez punkt Aj wskutek ruchu bezwzględnego przecięcia a₀bl}. Otóż oznaczywszy

{*) Przypuczaliśmy powyżej, iż para M obraca się u- kierutiku od -f-x do H-ÿ, to jes w kierunku dodatnim, ale przypuszczenie to nie narusza w niczem ogólności rozumo wania. Jakoż, gdyby para M miała kierunek przeciwny, to jest odjemny, siła W byłaby skierowana z góry ku dołowi i mielibyśmy'

A,Adosß —— (ajj — x)

AjAdos » = 2/j — y,

zkyd otrzymujemy następujące rzuty ruchów składowych :

nu osi x ,,,

Pdx Wdosads

■•"ÊïTh

AEn

Mds

na osi y .,

Pd;/ Wdosße/s

" En ⁺    4 En

+ (2/i — V) -jrp

— (a?t—®)^|- •

wstaw

'Jtóż wyrażenia (a) i (b) prowadzę do takichże samych wypadków, gdy się M w miejsce -f-M; co było do okazania.

przez A#₀, Aty₀, jego ruchy postępowe, a przez pa jego obrót w kierunku od osi x ku y, mielibyśmy następujące wyrażenie tego ruchu początkowego :

wzdłuż osi x... /±x₀—p₀ (yi — y₀), wzdłuż osi y... Ay₀ ~f-p₀ {x\ — x₀).

Ruch bezwzględny punktu At przedstawi się w dwóch następujących rzutach

r-

Ax\ — Ax₀—p₀ (</j — y₀) -(- /

Jx₀

BÜ

*Sj W dos

mi

-ds

Aft = Ay₀ + P,, (xx

rsi    m

I (& — ds,

!J o    ' n

f*Sl W dos fi

km

ds

—f-

I \x—x)ds,

a że zamiast Rosa. r/s można wstawić dy, a dx w miejsce dosß.r/s, przeto

(0

A.Z“! = Ax₀ —p₀ (yx — y₀) + /

dx₀

*xi I>

— c/.r -f-

EÜ

,'»æ.

W dy A Kii dx

dx

/*sl

/ (2/1

- y) El

r/s,

A//i = Ay₀-+ p₀ (./•—,ru) +

•Z/- p

zrzędy -<■

~ł“

». KSł f ■■(*!—■')

‘'o

/

t/?/u

W dx mi tly !J

Wzory te s§jeszcze o tyle niedokładne, zenie zdaję sprawy ze zjawisk niezależnych od obciążenia, jakiemi sa zmiana temperatury i wynikające ztęd odkształcenie łuku. Dlatego dołączymy jeszcze do wzorów (1) (2) wyrazy t {xr — x₀), t{yx — y₀), gdzie t oznacza współczynnik rozszerzalności linijnej odpowiadający danej zmianie temperatury. Mamy więc ostatecznie

(3)

Axx—Ax₀ — jj₀ (,y — //₀) -+-1 {x\ —

•x'o) + /

Jx₀

xi P .

mdx

/

Jx₀

W dy /cEÛ dx

dx —

J V-y) I*.

AyL— Ay₀ -f p₀ (xt -~x₀) + t (y —

!h p

mdy

El

/»»i

\ (px

o

—x)^-ds,

ale równocześnie trzeba wprowadzić w czynniki P, W i M siły pochodzące z przeszkód zapobiegających temu rozszerzaniu się łuków, a mianowicie z oporu filarów' lub przyczółków mostu.

Chcęc znaleźć pochylenie pt przecięcia albl względem jego pierwotnego położenia, dosyć jest wzięć summę algebraiczny obrotów wszystkich przecięć, bo osie obrotów sę do siebie równoległe. Mamy zatem

st M , ■—-ds.

f, »

Wzory (3) i (4) wyrażaję przyrosty współrzędnych jakiegokolwiek punktu xx yx włókna środkowego przez funkcyę sił

(5)

P< —Po +

zewnętrznych i trzech ilości Ax₀, Ay₀, p₀, które jak wiadomo wyobrażają ruch bezwzględny jednego z przecięć poprzecznych. Do oznaczenia tych ilości dochodzi się w różny sposób stosownie do przypadku.

Zdarzyć się może, iż łuk A₀ An jest nieruchomo umocowany końcem a₀b₀. Wtedy ilości Ax₀, Ay₀, p₀ sy równe zeru.

Gdyby łuk nie był osadzony końcem A₀, ale w innym punkcie, którego współrzędne sy x, y , wyrazilibyśmy za pomocy wzorów (3), (4) i (5) ten warunek, żedlości Ax, Ay\ p sy równe zeru, i z równań tym sposobem przekształconych otrzymalibyśmy ilości szukane Axm Ay₀, p₀.

Gdyby łuk spoczywał swobodnie obydwoma końcami na podporach, ale nie mógł wydłużać swej cięciwy, co najczęściej ma miejsce, Ax₀ i Ay₀ byłyby równe zeru. Biorąc w takim razie cięciwę łuku za oś odciętych mających swój poczytek na pierwszej podporze i stosujyc równanie (4) do drugiej podpory, otrzymujemy ilość p₀ bez trudności.

Przypuśćmy wreszcie taki przypadek, w którymby włókno środkowe miało jeden punkt stały i jeden element znany co do swego kierunku po odkształceniu łuku; jak np. gdyby łuk symetryczny względem pewnej linii był symetrycznie obciążony po obu stronach tej linii ; tak że odkształcenie nie niszczyłoby symetryi i że element włókna środkowego leżycy w połowie łuku zachowałby swój dawny kierunek. W takim razie weźmiemy za oś x prosty przechodzycy przez ów punkt stały np. cięciwę łuku, a za oś y linię prostopadły wyprowadzony z punktu należycego do tego znanego elementu. Ilości Pu, Ax₀ zchodzy do zera, a chcyc znaleźć przyrost strzałki Ay0 trzeba zastosować równanie (4) do owego punktu stałego na podporze, to jest wstawić Ayt = 0, yl=0, xx —a, gdzie a oznacza połowę cięciwy. Zamykajyc zatem całki w granicach

od 0 do a, mamy

0 — Ay₀ — ty₀ -t-

° W dx

„ mi Ędy

1/0

f\a-

‘0

x)

M ds El dx

dx,

zkąd wypada

(6)

»    , C ~f \M ds P dif I

Ay.-'ÿ.-jf    ⁺ j?Û ÛTZJ

dx

' ÄEÖ

"'o

Oto jest krótki, ale dostateczny zarys teoryi odkształcenia łuków. Zobaczmy teraz, czy wzory (3) i (4} zastosowane do łuku o promieniu nieskończenie wielkim wydają rzeczywiście wzór (t) ustępu n 35, służący do mierzenia odkształceń belki prostej. W takim razie y jest ciągle równe zeru, to jest y₀ = w, =0, a zaś s przechodzi na x\ zkąd

r

Ax₁ z=Ax₀-\~ t(x\—x₀) 4- / *'®0

Ą?/i = A//₀ + p₀ (a?,—x₀) -b /

J x₀

P ,

mdx’

r-rr— (ÏX +

ÆEÛ

(J?l —

.h.

SIS

Ponieważ należenie poprzeczne W bywało zwykle w teoryi belek prostych pomijane, przeto trzeba jeszcze wstawić w powyższych dwóch wzorach : W = 0. Nadto zamiast Ayv Ay₀, możemy napisać?/), y₀, bo skoro y jest równe zeru we wszystkich punktach włókna środkowego pierwotnego, przeto przyrosty Ayv A,y₀ tworzące się podczas odkształcania łuku są rzędnemi włókna odkształconego. Drugie z dwóch poprze-

K S £*A I. LUKI METALOWE. — ROZDZIAŁ I.

34?;

dnieli równań przechodzi więc na

fa— x) jrj dx,

(xi~ xo) -+ /

Jx₀

a różniczkując je dwa wyrazy względem xx otrzymujemy kolejno

&=*.+

dx

,Æ< M

r

.4 El

— dx,

dhh _ M, dar^ EIj ’

zkąd

pi    ^ —lu

Ll' d^~

Równanie to nie różni się w gruncie niczcm od wzoru (I) ustępu n. 35.

101. Siły nieznane.— Wzory (3) i (4) poprzedzającego ustępu służęce do oznaczenia współrzędnych łuku odkształconego zawierają w sobie czynniki P, W i M, będące funkeyami sił zewnętrznych, które dotęd za znane uważaliśmy. Otóż gdy łuk obciężony spoczywa na dwóch podporach urządzonych w taki sposób, iż jego cięciwa nie może się wydłużać, podpory te odd ziały wuję w kierunku pionowym i poziomym równocześnie, bo inaczej równowaga nie mogłaby mieć miejsca. Że zaś te oddziaływania zależę. nie tylko od obciężenia, ale także od kształtu łuku, przeto nie mogą być wyznaczone na mocy samych prawideł Statyki, a tern więcej nie mogę być z góry dane. Ztęd nowa trudność, osobnych badań wymagajęca.

Przedmiot ten przedstawia bardzo wiele odmian ze względu na kształt podpór, łuku i na sposób obciężania, i dlatego

nie daje się rozwiązać w kształcie ogólnym, obejmującym, wszystkie przypadki bez różnicy. Wskażemy tu drogę postępowania na dwóch przykładach i przejdziemy natychmiast do opisu prac Bresse’a, mających bezpośrednie zastosowanie w praktyce.

Weźmy łuk niesymetryczny spoczywający nieruchomo na dwóch podporach o jednym poziomie. Niech AB (fig. 78) będzie włóknem środkowem, F jedną z sił zewnętrznych, O i O' oddziaływaniami podpór B i A. Siły O i O' leżą na płaszczyźnie włókna środkowego, a więc każda z nich może być rozłożoną na dwie składowe Q, TV, i Q', T, jednę idącą w kierunku cięciwy AB, a zwaną parciem łuku i drugą do niej prostopadłą.

?r

PÀ

Fig. 78.

Weźmiemy za oś odciętych prostą AB, za oś rzędnych linię AT'do niej prostopadłą, i oznaczymy przez :

cp i kąty, jakie tworzy siła F z osiami x i y ;

2a długość cięciwy AB ;

/■odległość siły F od punktu A.

Warunki równowagi danego układu prowadzą do trzech równań następujących :

(a)

(à)

(*)

Q' -ł- 2 F dos cp — Q = 0, T' -t- T + 2F dosit = 0, 2aT — SF/=0.

Potrzeba jeszcze czwartego równania, bo mamy cztery niewiadome. Wyraźmy więc warunek, iż odległość AB pozostaje niezmienny, to jest że w punkcie B przyrost Ax'j jest równy zeru. W tym celu wstawimy w równaniu (3) poprzedzającego ustępu : Az\ = Ax₀ = yi = y₀= x₀ == 0, x\ = 2a, a opuściwszy natężenie poprzeczne W, jako małoznaczne w obec innych sił zewnętrznych, otrzymamy

(d)

P dx

Eil

2« ,

⁽ŁdX — o

El dx

Uważmy teraz, że moment M w jakimkolwiek punkcie m włókna środkowego składa się z dwóch części ; jednej — Qy przedstawiającej moment siły Q względem tego punktu, i drugiej M' wyrażającej moment wszystkich innych sił zawartych

dx

między m i B. Tak samo można rozłożyć P na części — Q —

i P, z których jedna jest równa rzutowi siły Q na styczny w punkcie m, a druga rzutowi reszty sił na tę samy linię. Wstawiajyc więc w poprzedniem równaniu :

(«)

dx

P=P — Q^, M=M'—Qy,

otrzymujemy ostatecznie

(1)

2ta

2rt p,

dx -+-

EÜ

7aM'y ds El dx

dx

riaj_dx Jo EU ds

rM

Jo

|\tdx El dx

Mamy więc parcie Q, bo ilości P i M' sy znanemi funkcyami danych sił zewnętrznych i siły T, który otrzymujemy wprost z równania (e). Pozostałe dwa oddziaływania Q' i T' otrzymamy za pomocy równań warunkowych (a) i (b).

Rozbierzmy teraz łuk symetryczny, symetrycznie obciyżony.

Oddziaływania O i O' są widocznie sobie równe, a składowa T lub T wypada natychmiast z równania

T -f- AF dosi}/ = 0.

Aby znaleźć Q weźmiemy linię symetryi, to jest pionową przechodzącą przez środek cięciwy za nową oś rzędnych, i zastosujemy równanie (3) poprzedzającego ustępu do punktu B. Czyniąc = Ar₀ = x₀ = pu =yy — 0, xx= a, i opuszczając przytem natężenie poprzeczne W, znajdujemy

'aMy ds.

Kl dx dx =

*ftP dx

EU

TT7V 4-

a ztąd, po wstawieniu za P i M wartości (<?) :

tci —j—

p'

(2)

Q'=0 =

EÛ

‘ My rfs , El dx

,ffl J_ dx EU ds

dx -4-

raj/2 ds I El dx

— dx

i/o

102. Wstęp do prac Bresse a

Dwa poprzedzające przykłady dają pojęcie o sposobie obliczania oddziaływań w warunkach dosyć ogólnych tak pod względem kształtu łuku, jak i sposobu obciążania ; pozostaje więc tylko rozebrać bliżej użyteczną stEonę zadania i przygotować wzory odpowiadające wymaganiom praktyki.

Przedmiot ten opracowany starannie przez Bress’a, profesora Mechaniki w Szkole Dróg i Mostów, a opisany w rozdziale czwartym jego Résistance des matériaux zasługuje ze wrszech miar na uwagę, nie tylko jako wzór rachunków stosunkowo dokładnych, zdających sprawę z działań drugorzędnych w odkształceniu łuku, ale także jako ow'oc pracy mozolnej, która przysporzyła praktyce wiele wiadomości dotąd niedocicezo-nych i uwolniła inżynierów od trudności napotykanych na samym wstępie przy projektowaniu łuków metalowych.

KSIĘGA I. ŁUKI METALOWE. — ROZDZIAŁ r.

349

Trudność pogodzenia ścisłości niemal matematycznej z prostoty i łatwością wzorów praktycznych jest największy., a nawet po-powiedzieć można, jedyny przeszkody do stosowania teoryi ; wzory bowiem dokładne sy zawsze złożone z wielkiej liczby czynników i wyrazów, a jako takie sy źródłem omyłek i niechęci praktyków. Bresse przewidział właśnie potrzebę stworzenia wzorów przystępnych, i ograniczywszy się na przypadkach najczęściej napotykanych, obliczył oddziaływanie podpór za pomocy rachunków czysto algebraicznych, które potem do najprostszych działań liczebnych sprowadził.

Przyjmujemy następujyce warunki. Przecięcie poprzeczne łuku jest stałe na całej długości, a jego włókno środkowe jest częściy okręgu koła leżycego w płaszczyźnie pionowej, która jest zarazem płaszczyzny symetryi i płaszczyzny sił zewnętrznych. Łuk len spoczywa swobodnie na podporach jednego poziomu, urzydzonych w taki sposób, aby cięciwa nie mogła się wydłużać mimo dyżności łuku do spłaszczenia ; co naturalnie przez ustawienie odpowiednich zapór osiygniętem być może.

Co się tyczy słownictwa technicznego, dodamy tu jeszcze do zrobionych w ustępie n. 100 określeń dwa inne wyrażenia: strzałka i rozwartość, z których pierwsze oznacza wzniesienie wierzchołka włókna środkowego ponad cięciwę, a drugie kat środkowy wycinka kołowego majycego to włókno za podstawę.

Niech więc będzie iuk AEB (fig. 79) spoczywający na podporach A i B, a wystawiony na działanie pewnej siły zewnętrznej przyczepionej w punkcie C, której składowa pionowa jestn, a pozioma S. Przyjmijmy cięciwę AB za oś odciętych, promień pionowy OE za oś rzędnych i oznaczmy przez

2a cięciwę AB ;

f strzałkę EK ;

CZĘŚĆ II. — ŁUKI I POWIERZCHNIE.

350

p promień włókna środkowego ;

a kąt jaki tworzy promień wodzący jakiegokolwiek punktu D z osią rzędnych ;

6 kąt zawarty między promieniem wodzącym punktu C i osią y ;

ą połowę rozwartości łuku ;

r promień wirowania przecięcia poprzecznego ß względem osi poziomej przechodzącej przez środek ciężkości tegoż przecięcia;

T, Q, ß, M, P, I, t, s, te same ilości, co poprzednio.

Znakowanie to ustanawiamy dla całej bieżącej Księgi.

_£___P

-- 3

al

*T

50

'¥

TV

Fig. 79.

103. Parcie wywołane ciężarem odosobnionym. —

Przypuśćmy najprzód ciężar odosobniony II wiszący w którymkolwiek punkcie C włókna środkowego i szukajmy wpływu tej siły na oddziaływanie podpór. W tym celu ułożymy warunki równowagi sił zewnętrznych przypuszczając chwilowo, że ciężar własny łuku jest równy zeru : tym sposobem rachunek będzie prostszy, bo działanie ciężaru II nie zmięsza się z działaniem ciężaru łuku. Warunki te są (fig. 79):

Q — Q' == Oj T + T— ll = ()j

lip (wst ■+• wst 0) = L2rI> wst 9,

z których dwa pierwsze są równaniami rzutów na osi x i y, a trzecie równaniem momentów względem punktu A. Oczywiście

LSI h*.

-Œ>

T'

wst 6

w st <p

Q = Q.

Znamy więc T i T', a Q można obliczyć za pomocą wzoru (ł) ustępu n. 101. Wszakże lepiej jest sprowadzić ten rachunek do przypadku łuku symetrycznego z obciążeniem symetrycz-nem, przyczepiając drugi ciężar II w punkcie G odpowiadającym punktowi G. Ciężar ten wywołałby na podporach A i B parcia Q, a więc obadwa ciężary równocześnie uważane rodzą oddziaływania 2Q na każdej podporze, które obliczyć można za pomocą wzoru (2) ustępu n. 101

(O

2Q =

Jo m i El dxd

*'¹ 1 dx j

—-■    ax

Fil ds

1/² ds j

ki,/;'⁴'

Przy obliczaniu ilości P' i M' trzeba mieć to na uwadze, że po dodaniu drugiego ciężaruII oddziaływania pionowe podpór są równe i przeciwne temu ciężarowi. Wyrażając więc wszystkie zmienne przez funkcye kąta a mamy : od a = 0 do a = 9

M' = lip (wst cp — wst 0),

P' = 0,

M — Ilp (wst f — wst a), P = — II wst a ;

w ogóle zaś

y — p (dos a — dos cp),

x — p wst a,

ds — pf/a,

dx = p dos 7.. z/a.

wst cp

Wstawiwszy te ilości w równanie (1), otrzymujemy po zcałko-waniu

(ä)

0=n

A — — wst²<p (wst²cp — wst*0)

B + -J WSt²cp(cp 4- wst cp dos cp)

gdzie za A i B trzeba wstawić

- (wst²cp — wst²0) -4- dos cp (dos 0+0 wst 0 — dos cp — cpwst cp),

B = cp + 2cp dos²cp — 3 wst cp. dos cp.

Jest to wzór nader ważny i użyteczny nie tylko z tego względu, że wyznacza parcie sprawione obciążeniem któregokolwiek punktu, ale że daje się również zastosować do wszelkiego układu ciężarów, choćby nawet jednostajnie rozłożonych na całym łuku lub na pewnej jego części ; gdyż dosyć jest dodać algebraicznie parcia odpowiadające każdej z sił osobno, aby otrzymać parcie wynikające z działania całego układu. Wzór ten sprowadza się jeszcze do najprostszego wyrażenia w następujący sposób.

Jeżeli położymy dla skrócenia

wst²cp (wst² cp — wsi² Ô) wst² cp (cp + wst cp dos cp)

B    ’

tdi >

Q=n

daje już wartość dosyć przybliżoną oddziaływania poziomego i nazywa je aglôivna częścią parcia», a zaś pozostały czynnik ułamkowy uważa za współczynnik poprawki.

To rozłożenie wzoru ogólnego na dwie części charakterystyczne, których znaczenie jest tak wybitnie określone, ułatwia już niezmiernie rachunki mechaniczne. Ale uczony profesor

idzie

wzór (2) przedstawi się w kształcie

i — x -

(3)

Q=n

a²

?,2

1 +X'

Otóż r- albo I jest co najwyżej równe |w², gdzie m oznacza wysokość przecięcia poprzecznego (ust. n. 38) ; a więc

albo od 0,002o, bo stosu-

TH*

nek — dosięga rzadko liczby 0,0o (*). Bresse wnosi ztąd, że wyrażenie

S⁵

r²

jest prawie zawsze mniejsze od {^j

a²

A

dalej i układa tablice dające różne wartości stosunku p

0 . 2o

W funkcyi zmiennych 0 i cp, albo raczej stosunków - i —. Licz-nik A jest funkcyą stosunku - i cp, i daje się łatwo rozwinąć

O

na wielomian za pomocą znanych szeregów wstawy i dostawy; mianownik B jako funkcya jednej tylko zmiennej <p rozwija się także na szereg o potęgach rosnących, a ich iloraz jest wielo-

mianem imiennych - i cp. Z tego wielomianu zastosowanego

(*) Bresse opiera to mniemanie na powadze najznakomitszych mostów fraticuzkicli. WYTRZYMAŁOŚĆ MATERYAŁÓW.

zmiennej - otrzymu-?

12    3

do różnych wartości O, ^ ^ ’ 2Ö

emy dwadzieścia szeregów, z których każdy wyda tyle ró-A

żnych wartości stosunku — ile się przyjmie odmian kąta 9. Tym

sposobem powstaje tablica naznaczona liczbę IV na końcu niniejszego dzieła.

Jest to, jak widzimy, tablica o podwójnem wejściu. Mając dane Ô i 9, a tem samem stosunki - i — , szuka się pierwszego

' Cp 7C    «

z nich w nagłówku tablicy, a drugiego w pierwszej kolumnie pionowej; liczbę zaś szukaną znajdzie się na przecięciu się kolumn odpowiadających tym danym. I tak np. dla ^ = 0,48 i

TC

0    a

_ = 0,10, mielibyśmy =0,942. Niekiedy jednak trzeba używać interpolacyi. Mając np. ^=0,2425, - = 0,10, bierzemy

7C    9

najprzód w szeregu ^liczby 0,24 i 0,25, jako najbliższe liczby

TC

0

danej, i notujemy odpowiadające im cyfry w kolumnie-=0,10

?

mianowicie 2,007 i 1,923 ; poczem układamy proporcyę : 0,25 — 0,24:1,923 — 2,007 = 0,2425—0,24 : x. Ztąd wypada x— — 0,021. Odejmując więc 0,021 od 2,007 otrzymujemy

A

szukaną wartość - =1,986.

A

Mając - dosyć jest pomnożyć je przez ciężar II, aby otrzymać « główną część parcia ». Iloczyn ten jest już wartością przybliżoną oddziaływania poziomego ; ale w dokładnych rachunkach trzeba je jeszcze pomnożyć przez współczynnik po-

r

prawki, o którym powyżej była mowa. Licznik 1 — X — daje

się sprowadzić do kształtu

\vst<&\ ²

le

r*

a więc jest prawie równy jedności ; mianownik zaś 1 -+- V — ma

Ö"

wartość średnią

I-I--

ło r~

zkęd wynika

Q=n

ttfl >

\ 5 r²

Wzór ten jest bardzo przystępny i dostatecznie ścisły. Ale Bresse ułożył także tablicę z iwierajacę. wartości przybliżone

XiX' w funkcyi stosunku ?? , a nawet tablicę daję.cę. odrazu

7T

x?-_

współczynnik poprawki

a²

1-HX

w funkcvi stosunków —

* ’ TC

rr

— . Cały więc rachunek parcia sprowadza się do działań arytmetycznych, bo znajdujemy gotowe wartości « głównej części parcia» i «współczynnika poprawki», pierwsze w tablicy IV drugie w tablicy V na końcu dzieła.

Wszystko to odnosi się do przypadku, gdy jeden tylko ciężar wisi wr jednym ale dowolnym punkcie włókna środkowego : i to jeszcze z zastrzeżeniem, że pomijamy ciężar własny łuku. Zastrzeżenie to nie uwłacza w niczem dokładności teoryi, bo zbadawszy osobno parcie wynikłe z ciężaru łuku dosyć będzie je dodać algebraicznie do parcia dopiero co znalezionego; co

więcej, majyc jakikolwiek układ ciężarów, to jest przypuszczając kilka punktów obciążonych, znajdziemy z równy łatwościy parcie wypadkowa jako summę algebraiczny wszystkich parć składowych. Jednem słowem sposób powyżej opisany stosuje się w zasadzie do wszelkiego rodzaju obciyżeri, a zachodzi tylko pytanie, czy nie można go uprościć w przypadku sił rozłożonych na łukai podług pewnego prawa ; widoczny jest bowiem rzeczy, że w razie obciyżenia jednostajnego trzebaby szukać nieskończenie wiele parć elementarnych odpowiada-jycych każdemu z ciężarów osobno. Zadanie to będzie właśnie przedmiotem następujycych ustępów.

Na zakończenie zrobimy jeszcze jedne uwagę, tyczycy się głównej części parcia. Łatwo jest przekonać się analitycznie (*), że przy danej wartości 9 maximum ilości X różni się od minimum tylko o jego część czwarty, to jest że można bez popełnienia znacznego błędu brać za X jego wartość średniy. Tym sposobem X przestaje być funkcyy zmiennej 0, a że X' jest z natury swej niezawisłe od 0, przeto cały współczynnik poprawki 1 — X-

r*

nie zależy od punktu przyczepienia ciężaru i stosuje

ł+X'

«« -

się zarówno do każdego z ciężarów zawieszonych w różnych miejscach łuku. Otóż współczynnik ton uważany odnośnie do jednej siły staje się równy jedności, gdy r = 0, a parcie Q zamienia się na główny część parcia; więc to samo musi mieć miejsce, gdy uważamy kilka ciężarów jednocześnie i czynimy r = 0 w wyrażeniu przedstawiajycem parcie wypadkowe. Zlyd wypada następujyce twierdzenie :

Ghcyc znaleźć « główny część parcia» odpowiadajycy danemu układowi ciężarów odosobionych lub ciągłych, trzeba wstawić r = 0 w wyrażeniu analitycznem parcia całkowitego Q.

(ł) Patrz : Cours do Mécanique appliquée par M. Bresse. Première partie, Paris. 1866, p. 242 et 243.

Przedstawia się niekiedy prawo zmienności parcia sposobami rysunkowymi. Ponieważ współczynnik poprawki nie zależy od położenia punktu przyczepienia ciężaru, jak się już wyżej powiedziało, przeto do ocenienia tej zmienności parcia dosyć jest zbadać zmienność «jego głównej części», która oczywiście zależy bezpośrednio od kęta 0. to jest od punktu zawieszenia ciężaru. Suwając więc dany ciężar po łuku od klucza ku podporom, wypiszemy z tablicy IY wartości

odpo-

wiadajęce różnym położeniom tego ciężaru, i odnoszęc potem długości proporcyonalne na pionowych przechodzących przez te punkta, począwszy od cięciwy, otrzymamy szereg rzędnych, których wierzchołki utworzę, linię z wena « krzyioą głównych części parcia ». Jakóż rzędne tej linii będę w każdym punkcie proporcyonalne do głównej części parcia sprawionego obciężeniem tegoż punktu.

104. Parcie pochodzące z ciężaru łuku albo z jednostajnego obciążenia pewnej jego części. —Aby ocenić wpływ ciężaru łuku na oddziaływanie podpór rozbierzemy najprzód przypadek ogólny obciężenia jego dowolnej części w stosunku p kilogramów^ na metr bieżęcy włókna środkowego. Ztęd łatwro wyprowadzimy parcie odpowiadające ciężarowi własnemu, jako przypadek szczególny obciężenia całego łuku od jednej podpory do drugiej (*).

Niech więc p oznacza ciężar jednostajnie rozłożony na jednostce długości włókna środkowego ; 0l i 0₂ kęt.y określajęce część obciężonę łuku, to jest pochylenia do pionowej promieni tę część ograniczajęcych. Parcie nieskończenie małe dQ sprawione ciężarem pp.ć/0, który przypada na element pdQ włókna

część II. — ŁUKI 1 POWIERZCHNIE.

358

środkowego jest według wzoru (2) ust n. 103

r²

dQ —

A ——wst² <p (wst²cp — wst² 0)

r²

.ppć/0.

B -+- —, wst² cp(cp H- st cp dos <p)

Znosząc mianownik i całkując w granicach 0₂ i 0₂, otrzymujemy

r-    1

B — wst² cp (cp -f- wst cp dos <p) I

wst²cp — dos²<p — cp wst cp dos cp —(9a — 9t)

-+- y (wst 0₂ dos'0₂ — wst 0j dos OJ -+- 2 dos cp (wst 0₂ — wst 9,)

4;

— dos <p(9₂ dos 0₂ — 0t dos 0j) — ~ wst² cp£(0₂ — O^wst² y — ^

1    1    “I

4- - wst²9₂ dos 0₂ — - wst 0t dos 0! ,

zkę.d wypada parcie Q. Że nam jednak chodzi głównie o znalezienie parcia, które wynika z ciężaru łukowi właściwemu, wstawimy 0₂ = cp, 0t = — <p ; a położywszy dla skrócenia

G=

— ^ dos²cp — cpwst <p dos <p -f- ^ dos cpWS^ ,

-H l(N

/ 11

(wst²cp—-4--d0S cp

wst cp

)•

otrzymamy

Q = 2ppcp

r²

G — D r— wst² <p

B -f- — wst²cp (cp -h wst cp dos <p)

gdzie p oznacza ciężar graniastosłupa metalowego mającego podstawę Ü i wysokość równą metrowi, lub w ogóle jednostce długości. Rozumie się samo przez się, że wzór ten stosuje się jeszcze do przypadku^ w którym uważamy jednocześnie ciężar łuku i ciężar zewnętrzny jednostajnie na tym łuku rozpostarty ; tylko p oznacza wtedy summę obydwóch ciężarów odniesionych do jednostki długości włókna środkowego.

Widzieliśmy w ustępie poprzedzającym, że chcąc obliczyć parcie sprawione dowolnem obciążeniem łuku, trzeba je najprzód obrachować w przypuszczeniu r = 0, i otrzymaną tym sposobem główną część parcia pomnożyć przez współczynnik poprawki. Zatem ta główna część parcia wypadnie z poprzedzającego wzoru, gdy się w nim wstawi r = 0, to jest będzie

2PP?-

to! Os

o.

— <p wstcpdos <p -+- ^ dos f

cp -+- 2<p dos*cp — 3wst f dos <p

albo jeszcze

2opŸ.F,

oznaczając czynnik ułamkowy przez F. Pomnożywszy ten iloczyn przez współczynnik poprawki, otrzymamy parcie szukane

Q = 2/jp©. F.

4 -t-v

W tablicy VII obliczonej przez Bresse’a znajdują się gotowe wartości współczynnika F odpowiadające rozmaitym wartościom stosunku , a współczynnik poprawki znajduje się

TT

w tablicy V, o której już poprzednio mówiliśmy.

część II. — ŁUKI 1 POWIERCHNIE.

3 PO

Wbraku tablic używają wzoru przybliżonego

r\    a

Q=m-

1 4-

7«²

15 r² 8 /*

105. Parcie łuku w przypadku ciężaru rozłożonego jednostajnie na linii poziomej. — Najwięcej uzasadnio-nem przypuszczeniem jest rozłożenie ciężarów jednostajnie na linii poziomej, bo np. w każdym moście łukowym więzania poprzeczne pokładu sę. symetrycznie na płaszczyźnie poziomej porozkładane, a ciężar przypadkowy spoczywa także na tej płaszczyźnie i ciśnie z natężeniem proporcyonalnem do długości poziomej, na której jest rozpostarty. Wprawdzie ciężar łuku i liców mostowych jest raczej proporcyonalny do długości mierzonej na łuku jak na cięciwie; ale że łuki do budowy mostów używane sę zawsze mocno spłaszczone z powodu wielkiej długości przęseł, przeto można bez popełnienia znacznego błędu zaliczyć te ciężary do rzędu obciężeń jednostajnych wzdłuż linii poziomej.

Jeżeli więc p oznacza obciążenie jednostki długości włókna środkowego w rzucie poziomym, to element pdd, którego długość poziomo uważana jest pdos9i/9, znosić będzie ciężar po dos 9.i/9. Parcie wywołane tym ciężarem jest (ust. n. 103)

r⁹

dQ = pp dos 0 r/9

A — —wst*<p(wst*<j> — wst⁵0)

B -f- — wst² cp(<p wst? dos^)

Znoszęc mianownik i całkujęc w granicach 9, i 0„, otrzymujemy równanie

-+• —^ w st~ cp(cp 4- wst cp dos cp)^j — ^wst²© — dos²cp — co wst cp dos cp^ (wst 0₂— wst 0j)

— i (wst³ 0₂ — wst³ 0,) 4-1 (o, — 0t) dos cp

4- - (0₂ wst² 0S — 0₁wsta 0,) dos cp 3

4- - (wst 0, dos0₂ — wst 0j dos0,) dos cp

y-* 2

9qS wst² cp jjwst 0₂ — wst Oj) wst² cp — i (wst³ 0₂— wst³ 0j) j -Gdy cały luk jest jednostajnie w kierunku poziomym obciążony,

6j jest równe — cp, a 0, == cp. Mamy przytem o == —- ; a więc

kładąc

C' = —

j + ^«st*ł + idosT

wst Cp

^ © wst cp dos cp,

otrzymujemy

r²

r¹

O — 2pa.

B 4-

— wst² cp (cp 4- wst © dos cp)

Bresse uwydatnia w tym wzorze główną część parcia wstawiając r = 0 i otrzymuje

4-

2pa.

I wst*,? + i dos.T ^ — J fWst rdos ?

cp 4- 2cp dos² cp — 3 wst cp dos cp

albo

2pa.F',

gdzie F' oznacza część ułamkową powyższego wyrazu, jako funkcyę zmiennej cp; ta zaś część główna %pa.¥' pomnożona przez znany współczynnik poprawki (ust. n. 103) wydaje wzór

l—l

O ==. %pa. F'.

! er

i 4-1'

r2

= 2pa. G,

gdzie za F' trzeba wstawić odpowiednią liczbę z tablicy YII obliczonej dla różnych wartości stosunku . Nie potrzebu-

7T

jemy nadmieniać o tablicy Y dającej współczynnik poprawki. W braku tablic możnaby użyć wzoru przybliżonego

(P)

7 a-

2/

1 4- -r-

15 r²

72

albo nawet

o=p£.

106. Parcie łuku w skutek zmiany temperatury.

— Z podnoszeniem się lub zniżaniem temperatury ciała naturalne jednorodne, o ile takowe jednorodnemi być mogą, rozciągają się lub kurczą we wszystkich kierunkach linijnych, jeśli żadne opory zewnętrzne ruchu tego nie tamują : wymiary zmieniają się wtedy proporcyonalnie we wszystkich miejscach bryły, ale jej kształt pozostaje niezmienny. Przeciwnie, gdy ciało utwierdzone w pewnych punktach nie może swobodnie ulegać zmianom ciepła, następuje koniecznie zmiana jego kształtu.

Jest więc koniecznem w badaniu odkształceń łuku metalowego zdać sobie sprawę z wpływu temperatury, jeżeli rzeczywiście wszystkie siły zewnętrzne maję być wzięte pod uwagę. Okoliczność ta jest tem ważniejsza, że przy obliczaniu stałości słupów mostowych albo przyczółków trzeba baczyć na parcie zmianę, temperatury sprawione ; bo jeżeli te podpory maję być nieruchome, muszę pokonać dężność łuku do wydłużenia swej cięciwy. Ale czynnik ten figuruje już we wzorach ogólnych odkształcenia, tak że chcęc ocenić jego wpływ niezależnie od działania obciężeri, dosyć jest uczynić M'=0, P =0 we wzorze (2) ustępu n. 101. Otrzymujemy tym sposobem

ta

El dx

n .i fj P

-L    cix +

EÜ ds

albo

P³

o/ mrl %ta——

r'¹

B + - WSt² cp (cp -4- wst cp dos cp)

gdzie B ma ten sam kształt, co poprzednio. Wstawiajęc

wst <p

mamy

ä²

2E£lt wst³ <p

r²

B -+- —wst² cp(© -+- wst cp d osep) » co jeszcze można przedstawić w kształcie 2ćE0 wst³ 9 ^

^ cp 4- 2<p dos² cp — 3 wst cp dos cp

1+V

y*²

oznaczając przez X' wyrażenie określone w ustępie n. 103. Wreszcie, jeżeli położymy dla skrócenia

2 wst³ 9

9+2(p dos² 9 — 3 wst 9 dos9

= F",

parcie Q wyrazi się wzorem prostym

Q = (EÖ — •

F"

d +x'

Współczynnik F " jest funkcyą samego 9, a jego różne wartości są zawarte w tablicy VII; ilość X' znajdziemy w tablicy VI.

W braku tablic możnaby użyć wzoru o wiele prostszego ~ Æîir²

Or.| *

który, jak dowodzi Bresse na stronie 252 Wykładu Mechaniki, daje wypadki z przybliżeniem 0ks,02 na milimetr kwadratowy przecięcia poprzecznego. Błąd taki jest prawie niczein w obec natężeń sprawionych obciążeniem łuku.

107. Farcie łuku poddanego działaniu sił poziomych.

— Dotąd z wyjątkiem ciepła uważaliśmy tylko siły pionowe, jako przyczyny oddziaływania podpór; pozostaje więc ocenić wpływ sił poziomych, aby poznać dokładnie skutki każdej siły choćby ukośnie skierowanej. Jakoż, każda siła może być uważana za wypadkową dwóch sił składowych, jednej poziomej, drugiej pionowej.

Przypuśćmy więc, iż na łuk AEB (fig. 79) działa siła pozioma S mająca swój punkt przyczepienia w punkcie C i ułóżmy równania równowagi :

O — Q = S,

T -t- T' = O,

Sp(dos O — dos cp) = 2Tp wst 9,

zkę.d

p _ _rjv_ g dos 6 — dos 9

2 wstcp

Aby znaleźć Q i Q’, przyczepimy siłę— S w punkcie symetrycznym G i nazwiemy Qt nowe parcie łuku na podporze B. Wtedy

0, = Q H- Q'i

a ponieważ

Q —Q' = S,

przeto

(Cl

ta

Q' =

—H j Cl

Oi —

k®

S.

Pozostaje więc tylko do znalezienia Qi, a do tego służy równanie (2) w ustępie n. 101

ta +

a p-

Oi=

Ei2

"Mji dJ. dx El dx

“ 1 dx ,

SÖ T~ dx + Eli d s

ds

w którem jednak pominiemy współczynnik rozszerzalności t rozbierany już poprzednio. Otóż gdy działają obiedwie siły S i —S, ilości T i T sa równe zeru ; a więc mamy od a = O do oe = O

M'= Sp(dos a — dos 6), P — S dos a,

a od a=s 0 do «c cp

M' = 0,

P' = 0.

Ztąd

A' -ł- — wst² cp (0 4- wst 0 dos 0)

Q,=2S

r%

B 4- — wst² ? (cp 4- wst cp dos cp)

gdzie B oznacza to samo co w poprzednim ustępie, a 1 1

A' — - 0 — - wst 0 dos 0 —- wst 0 dos cp -4- 0 dos 0 dos <p.

Wzoru tego rzadko się potrzebuje w praktyce.

108. Odkształcenie łuku w skutek : 1° jednostajnego obciążenia włókna środkowego, 2° jednostajnego obciążenia cięciwy. — Poznawszy sposoby służące do oznaczenia parcia łuku w rozmaitych warunkach możemy teraz dokończyć przedmiotu rozpoczętego na wstępie bieżącego Rozdziału. Widzieliśmy, iż wynalezienie ruchu bezwzględnego jednego z przecięć jest najważniejszem zadaniem w teoryi odkształcenia; z niego bowiem wypływają ruchu bezwzględne innych punktów przez proste użycie wzorów podanych w ustępie n. 100. Brakowało tam jednak zastosowań, które tutaj rozbierzemy tytułem przykładu.

Weźmy łuk symetryczny o stałem przecięciu, spoczywający na dwóch podporach ustawionych do jednego poziomu, które nie dopuszczają wydłużania cięciwy, i obciążywszy jednostajnie włókno środkowe, badajmy zmianę jego kształtu. Zachowujemy znakowanie ustępu n. 102. Osią odciętych będzie cięciwa łuku, osią rzędnych linia pionowa z wierzchołka spuszczona, a ruch bezwzględny przecięcia środkowego w kluczu będzie określony równaniem (6) ustępu n. 100, tudzież warunkami A.£₀ = 0, p₀ — 0. Możemy przypuścić t= 0, by wyraźniej zbadać skutki obciążenia i nie mięszać ich z działaniem ciepła, o którem później będzie mowa ; a jeśli przytem

KSIfGA I. ŁUKI METALOWE. — ROZDZIAŁ I.

pominiemy natężenie poprzeczne W, równanie ruchu będzie

Ay, — —

.    . M ds

^ ^EI dxdx~

P dy , — -f- dx. Eli dx

Tutaj Ay₀ oznacza odjemny przyrost rzędnej stojącej w samym środku łuku; jest to więc długość, o jaka strzałka łuku zmniejszony została. Że zaś zwykliśmy dotyd znaczyć ten wymiar litery f, przeto dla lepszej widoczności napiszemy

(a)    A/—

r* &

-f (a-

0

. M ds i

*)ëï5*

"Z

0

Łkdx.

Eli dx

Moglibyśmy z łatwościy wyznaczyć przyrost Ayi którejkolwiek rzędnej, bo do tego służy ułożone już w ust. n. 100 równanie (4) ; ale w łuku symetrycznym i symetrycznie obciy-żonym poprzestaje się zwykle na mierzeniu strzałki, to jest największej rzędnej łuku. Łatwo się przekonać, iż przyrost Af

~dx. Jakoż widzie-Eii ax

zależy bardzo mało od wyrazu j*

0

P

— wyraża wydłużenie lub skrócenie

liśmy w ust. n. 13, że

względne elementu ds włókna środkowego; ta zaś liczba jest tak mała, że można napisać

zkyd

a że

dx < dz 0,001 J dx ; o

C*a dv

/ dx jSst równe strzałce f, przeto

dz

* V_ dy Eli dx

dx

Eli dx dx < 0,001

Zatem rzeczony wyraz sprawia zmianę mniejszą od jednej tysięcznej, a tern samem może być w rachunku opuszczony bez wielkiego dla dokładności uszczerbku. Przyrost strzałki wypada wtedy z równania

(6) które rozwiążemy w następujący sposób.

Oznaczywszy przez a kąt, jaki tworzy promień dowolny OD (fig. 79) z pionową OE, możemy wyrazić wszystkie zmienne powyższego wzoru przez funkcye tego kąta na mocy równań :

X — pWSta,

— p (dosa — dost), a — KIJ — pwstcp,

Rzucając potem wszystkie siły zewnętrzne działające w części DB, na promień OD, otrzymujemy natężenie poprzeczne w przecięciu D

dx= pdos ot. ć/a, dy= — pwsta.rfa, ds = p.ć/a.

W =pp(ą — ot) dosa — Tdosa Qwsta, albo z powodu, że T=pp*

W — — ppa dos a -4- Q wst. a.

Mając zaś W znajdziemy moment M za pomocą znanego związku (ust. n. 36),

dM — ±Wds,

albo

dM=±Wpda,

który daje

M=±

I Wpdx -+- ilość stała

= ± f — pp* (awsta -4- dos a) — Qpdosa] + ilość stała.

Ale trzeba jeszcze oznaczyć ilość stałą i znak pierwszego wyrazu. Otóż gdybyśmy obliczali wprost moment zgięcia M, siła Q wprowadziłaby wyraz —Qp(dosa— doscp), bo moment siły Q jest odjemny, jako dążący do obrotu od osi y dodatniej ku osi x dodatniej (ust. n. 100) ; co więcej, moment w punkcie B powinienby być równy zeru. Pierwsza uwaga dowodzi, że trzeba wziąć znak -4- przed nawiasem ostatniego równania, druga zaś służy do oznaczenia ilości stałej. Ostatecznie znajdujemy

M = — /)p² (dosa — doscp -f- a W Sta — cpwstcp) — Qp (dosa— doscp),

a wprowadziwszy te wszystkie wartości do wzoru Af otrzymamy

p?'

El

J' (wstcp o*

— WSla)(dosa — doscp -i- a WSta — cpwstcp)</a

Op³

El

J (wsty —

O

wsta)(dosa — doscp) d,JL,

zkąd po zcałkowaniu wypada

Af—    ^j wst²cp — cp wst o. dos cp — 1 + dos cp -4-

' cpWStcp — cp²WSt²cp— i cpA -4-    wstcp—cpwstcp. d0Scp4-d0Scp--l j •

Wzór ten daje się jeszcze znacznie uprościć w przypadku łuków spłaszczonych, to jest gdy cp jest stosunkowo małe. Jakoż dwa w nawiasach zawarte wielomiany można rozwinąć na szeregi podług znanych wzorów wstawy i dostawy ; a że za Q można przyjąć wartość (ust. n. 104) :

Q = 2/>/»cp. F.

ö²

r² ’

'+lś

w której X, X' i F daję się wyrazić przez szeregi złożone z potęg kęta cp, przeto całe wyrażenie Af można sprowadzić do wielomianu tej zmiennej. Opuszczając potęgi wyższe od szóstej, znajdujemy (¹)

2._6

A f=

P?

><

1260 16

25 A

ł- — H,

ale i to wyrażenie można jeszcze uproście. Widzieliśmy, że

r²    ,    lor²

l4~X'~ ma w przybliżeniu wartość 1 4-    ; że zaś kąit <p jest

mały, przeto mamy niemal

o = 2st , f 2 a

a na zasadzie tych uwag

25

El 1-t

15r²

r²-f-

64 f:>

7875«²

)■

Hp

lub wreszcie

O)

pf

El 1 4

15r²

(r¹+ 0,0081 Qj.

Wzór ten, aczkolwiek ułożony dla łuków mocno spłaszczonych, stosuje się z dostalecznem przybliżeniem do łuków pół-

1

kołowych. Gdy ą = 45⁰, błęd względny nie przechodzi — •

1 o

Postępując w podobny sposób z łukami obciążonymi jednostajnie w stosunku p' kilogramów na jednostkę długości cię -

KS1ÇCA I. tA’Kl METAf.OWE. — ROZDZIAŁ I.

ciwy, otrzymujemy następujący wzór praktyczny

aa=-²³

P?-

i (i

EI 1 4-

15r7

r²4

32/⁴

!262ocr7 ’

8/•*

albo

(2)    A/= — 1,56

* ■) PF

El 14

13r-’

(r- 4- 0,0122 L. j,

8/²

wzór dosyć dokładny dla <p=45°. Dla ą = 90° daje on za wielkie wartości, ale błąd jest zawsze mniejszy od 40°/₀.

109. Uwagi tyczące się poprzedzającego ustępu.—

1

10

Parcie łuków średnio spłaszczonych, np. w stosunku — do

12 ’

różni się bardzo mało od głównej części parcia, skoro

tylko stosunek

nie przechodzi zwykłych granic 0,0004 albo

że i mianownik 1 4- X'

0,0003. Jakoż widzieliśmy już w ustępie n. 103, że licznik 1—X — współczynnika poprawki jest blizki jedności; widzimy nadto, może być wzięty za jedność, bo dla

» = 90° mamy X' = 1, a — jest z założenia bardzo małe. Obliczamy zatem parcie dosyć dokładnie za pomocy, wzorów :

2/; pcp. F

w przypadku obciyżenia łuku, tudzież

2pa.F 1 ub 2p'pwst* . F'

w przypadku obciyżenia cięciwy, które to wzory dla małych wartości kyta cp przechodzę na

Otóż te ilości przedstawiają także w przybliżeniu składową P sił zewnętrznych, która ściska każdy element ds włókna środkowego, bo popierwsze : w łuku spłaszczonym parcie poziome jest bez porównania większe od oddziaływania pionowego; powłóre : siły pionowe są prawie normalne do elementu ds a więc są bardzo małe w rzucie na kierunek siły P. Więc

wszystkie elementa skurczą się proporcyonalnie o albo ^

stosownie do przypadku, a całkowite zmniejszenie na długości

pcp połowy łuku będzie albo

Zobaczmy teraz o ile maleje strzałka łuku kołowego o niezmiennej cięciwie, gdy długość tegoż łuku zmniejsza się w pewnym stosunku. Oznaczając przez s długość połowy łuku, mamy

_cł H- /'²_a²

2/'    2f

K)’

3a²    * •

<p = 2łukst. - =

zkąd wypada

s ~ pcp = all +

albo

2/²

3?/’

opuszczając potęgi stosunku ^ wyższe od potęgi trzeciej. Różniczkując powyższe wyrażenie otrzymujemy

As =

Sa ’

A/ = — . As,

¥'

to jest

\. CL

albo, na zasadzie związku *-= — (ust. n. 108)

cp 2/

3As

N—-7T-

2 Ci

Wstawiając teraz za As rzeczywiste wartości, mianowicie

P0*CD

P'?\

otrzymujemy wzory

CO

<1

"a-l CS

CO IST

(4)

A f=

__3 pi 2 EÛ

z których pierwszy odnosi się do obciążenia rozłożonego jednostajnie na łuku, drugi zaś do obciążenia jednostajnego cięciwy. Oba te wzory są nadzwyczaj proste i łatwe do stosowania; gdyby więc doświadczenie dowiodło ich dokładności, możnaby ich używać z korzyścią w miejsce wzorów wyprowadzonych w poprzedzającym ustępie. Otóż wiaduk surowcowy Tarascon we Francyi, na którym robiono liczne doświadczenia, daje następujące cyfry :

/ = 4m,95, 2a=59m,99, r² = 0,3009,

V¹

«*

= 0,000334,

cp = 0,3271...

p=93ra,334, ß^=0mk,t428, 2/?pcp = 105000ks-, 2//a=ł0o000ks-, a współczynnik sprężystości żelaza użytego do budowy tego wiaduku jest podług doświadczeń Desplaces’a i Collet-

Meygret’a (*) :

E = 6.10⁹;

więc wzory (1) i (2) poprzedzającego ustępu dają Af= — 0m,027,

A f~ — 0m ,028,

czyli ogółem

A/'= — 0m,05o ;

gdy tymczasem pomienieni badacze znaleźli droga prostych pomiarów

A f= — 0ra,060.

Zatem wzory (1) i (2) dają wartości za małe w stosunku — ; co

wcale nie jest nadzwyczajnem, zważywszy ruchliwość wiązań i niepewność współczynnika E.

Przejdźmy teraz do wzorów (3) i (4), które swa prostotą zdają się bardzo zalecać do użytku. Dają one

A/‘= *—0m,02623,

A/'= —0™, 02671,

ogółem

Af= — 0ra,05294.

albo w cyfrach okrągłych

Af= — 0ra,053.

Jest to liczba nieco mniejsza od wartości obliczonej podług wzorów (1) i (2). Wszelako różnica ta zniknie zupełnie, gdy zamiast

3

współczynnika - we wzorach (3) i (4) umieścimy współ-

23

czynnik ^ . Można więc z dostateczny dla praktyki ścisłością używać wzorów

—_25 pp²

16 ËÏ2’

A f=

23 pf

Ï6 ËÏ2 ’ odnoszących się do obciążenia jednostajnego w⁷zdłuż łuku i wzdłuż poziomej.

110. Zmiana strzałki w skutek zmiany temperatury.

— Pozostaje jeszcze ocenić wpływ ciepła na strzałkę łuku, niezależnie od obciążeń stałych i przypadkowych, które rozebrano w poprzedzającym ustępie. Podczas zmiany temperatury wszystkie części składowe łuku kurczy się lub wyciygajy w pewnym stałym stosunku, a więc i strzałka ulega odpowiedniej zmianie tf, gdzie t oznacza współczynnik rozszerzalności linijnej, odpowiadającej pewnej liczbie stopni ciepłomierza. Wszakże niezależnie od tego bezpośredniego wpływu ciepła, strzałka łuku zmienia się jeszcze z powodu wytworzenia się parć poziomych Q na podporach, które zapobiegając wydłużaniu się cięciwy zmuszają łuk do przyjęcia większej lub mniejszej krzywizny, stosownie do tego, czy ciepła przybywa czy ubywa.

Uważmy, że do znalezienia tego przyrostu strzałki trzebaby użyć wzoru (6) ustępu n. 108, wstawiając za M moment siły Q z ciepła wynikającej ; coby doprowadziło do wyrazu

^ WSt<p— «pWSttp.doScp -4- doscp — 1),

otrzymanego już w przedostatnim ustępie, gdzie była mowa

o przyroście A/odpowiadającym obciążeniu łuku. Tylko tutaj Q nie oznacza parcia wynikającego z działania ciężarów stałych lub przypadkowych, ale parcie wynikłe ze zmiany temperatury (ust. n. 106). Dorzucając więc wyraz //'mamy

Af = tf -h îjpj- wstcp — cpwstcp dosip-t- doscp — 1 j.

Ten kształt wzoru nie jest do użycia wygodny; więc wstawiwszy za Q wartość znaleziony w ustępie n. 106, rozwiniemy licznik i mianownik drugiego wyrazu na szeregi zmiennej <p, a opuściwszy potęgi większe od piątej, otrzymamy

O ₄

24*

Af=tf + 2ta -

2;»

32©

1 -f

lor²

2©V

Kyt 9 jest mały i dlatego pomijamy dalsze wyrazy szeregu.

9 f

Z tego samego powodu możemy wstawić 71 w miejsce cp; co prowadzi do wzoru

lor²'

Hf¹

albo

(5)

Af=tf

Oprócz tego wzoru mamy jeszcze inny prostszy a zupełnie dostateczny do potrzeb praktyki. Jakoż, opuszczając w przed-

lor²

■i »

ostatnim wzorze liczbę od kilku setnych, otrzymujemy

25/^23 cP+T 32 f 16    ->/

Af=tf+

8/

która jest zwykle mniejsza

klf-

Otóż

■ jest równe promieniowi p włókna środkowego,

2o    -    7

p jest duże w porównaniu do — f\ więc opuściwszy ten

2/'

a 16

drugi wyraz, mamy

(6)

A/’=ł,56/p,

co znaczy, że strzałka zmienia się o długość równą iloczynowi liczby 1,56 przez przyrost, jakiegoby nabył pręt zupełnie wolny, zrobiony z tego samego co i łuk materyału, a mający długość równą promieniowi.

ri

Wzory (o) i (6) polegają na przypuszczeniu, iż <p i — są małe,

a więc nie zdają się stosować do łuków nieczyniących zadość tym warunkom. Porównawszy jednak wartości Af obliczone podług wzorów (5) i (6) z wartością Af nierozwiniętą na szereg łatwo się przekonać, że wzór (5) może być ążyty z przybliżeniem 8,9 na sto, i że błąd bywa mniejszy od 3,4°/₀ dla kątów <p mniejszych od 45°; dalej, że wzór (6) sprowadza co najwyżej błąd 7,1 na sto, gdy mamy równocześnie

2cp

> 0,20 i

r-

< 0,001,

co zwykle ma miejsce w praktyce. Możemy więc zalecić do użytku w zór ostatni, bo jest prosty i dostateczny pod względem ścisłości, a nawet dokładniejszy od wzoru (5) w przypadku łuków mocno spłaszczonych.

Zresztą dla poparcia swych rozumowań profesor Bresse zestawia wypadki wzoru (6) z wypadkami doświadczeń, które opisali Juliusz Poirće, Desplaces i Collet-Meygret w Rocznikach Dróg i Mostów z roku 1854. Zdaniem tych inżynierów most Carrousel w Paryżu podnosi się o 0m,0011 przy zwiększaniu ciepła o jeden stopień Celzyusza; most zaś na dworcu

2a=4 7« ,67; f— 4m,90; p — 60m,4;

CZĘŚĆ 11. — ŁUKI I POWIERZCHNIE..

kolei Charenton i wspominany już wiaduk Tarascon, obadwa złukami surowcowymi, podnoszę, się o 0m,00083 i 0ra,00135. Dane sę następujące

w moście Carrousel

Charenton

2a=35m,00; f— 4m,00; P = 40m,3

Tarascon

2a=59m,99; /=4“, 95; p=93ra,4;

a że podług Péclet’a i innych autorów trzeba przyjęć dla surowca :

f = 0,0000141,

przeto z wzoru (6) wypada kolejno dla trzech pomienionych mostów :

A/'=0m,00105,

A/ = 0m,00070,

Af- -0m,00I62.

Zatem co się tyczy mostu Carrousel rachunek daje cyfrę zgodnę z doświadczeniem, a dla dwóch drugich błędzi w stosunku 15 do 20 od sta. Taka różnica nie pocięga za sobę złych następstw w praktyce. Przytem i to trzeba mieć na uwadze, że własności fizyczne surowca, a więc i jego rozszerzalność linijna zależę od gatunku rudy, od sposobu przyrzędzania metalu i od lania, co czyni wętpliwym wybór współczynnika t. Z drugiej znowu strony mierzenie przyrostów Af przedstawia wiele wętpliwości (²), bo sztywność lub ruchliwość więzań nie jest zawsze jednakowa, a temperatura mostu jest różna w różnych miejscach i trudno ję zmierzyć dokładnie.

ROZDZIAŁ II

O PRACY ŁUKÓW.

111. O największem natężeniu podłużnem w łuku kołowym. — Na zasadzie teoryi wyłożonej w poprzedzającym Rozdziale możemy już rozwiązać wszystkie zadania tyczące się odkształcenia łuku, którego włókno środkowe leży na płaszczyźnie obejmującej wszystkie siły zewnętrzne ; a nawet gdy to włókno jest częścią okręgu koła i gdy podpory są ustawione do jednego poziomu, umiemy obliczyć za pomocą tablic parcie pochodzące z obciążenia i ze zmiany temperatury. Poznawszy wszystkie siły zewnętrzne, obrachujemy siły P, W i M w każdym punkcie włókna środkowego, a następnie obliczymy natężenia R i Rt (podłużne i poprzeczne) na jednostkę powierzchni w którymkolwiek punkcie przecięcia poprzecznego za pomocą wzorów

Ii

IG

gdzie u oznacza odległość jakiegobądź elementu przecięcia od linii poziomej przechodzącej przez środek tegoż przecięcia. Widoczną jest bowiem rzeczą, iż wzory te chociaż ułożone dla belek prostych stosują się także do łuków, jako szeregu następujących po sobie graniastosłupów prostych, z których każdy dostatecznie przedłużony przedstawia belkę prostą, mającą to samo przecięcie ß, co i łuk uważany, i znoszące w tem przecięciu te same siły P, W i M.

Z zadań przedstawiających się przy projektowaniu mostu

łukowego najdelikatniejszem jest oznaczenie maximum natężeń podczas próby. Kwestyę tę rozbierał najprzód Bresse w swym « Wykładzie Mechaniki» kilkakrotnie już wspominanym, a następnie Albaret w Rocznikach Dróg i Mostów (*), ale tylko w przypuszczeniu, że obciążenia stałe i przypadkowe sę rozłożone jednostajnie wzdłuż poziomej na całem przęśle. Punkt wyjścia nie był więc ogólny, bo ograniczał obciążenie przypadkowe na jednostajnem rozłożeniu ciężarów od jednej podpory do drugiej, a co więcej, dawał mimowolnie do myślenia, że takie obciążenie najwięcej doświadcza mocy łuków. Otóż przekonano się w praktyce, że najniekorzystniejsze rozłożenie ciężarów przypadkowych nie polega wcale na jednostajnem obciążeniu całego przęsła. W skutek tego praceBresse’a i Albarefa straciły na swem naukowem znaczeniu, i okazała się potrzeba nowych badań teoretycznych, któreby nie tylko sprawdziły owo spostrzeżenie praktyków, ale zarazem wskazały najniekorzystniejszy sposób obciążania mostu. Nie potrzebujemy dowodzić, że przedmiot był interesujący, ale zarazem bardzo złożony z powodu niezmiernej liczby przypuszczeń, które nad częściowem obciążaniem przęsła robić można.

Tę trudność pokonał pierwszy Albaret w rozprawie noszęcej tytuł Mémoire sur les calculs des arcs métalliques clans les cas de grandes surcharges (*), która wraz z artykułem zamieszczonym w Rocznikach Dróg i Mostów z roku 1864 tworzy nowę metodę dochodzenia największych natężeń wskutek obciążania mostu ciężarami przypadkowymi. Nie możemy się wdawać w obszerny opis tej pracy, ale uważamy za konieczne obeznać czytelnika z jej treścią i jej wynikami, które mimo swego złożonego kształtu za decydujące uważać musimy.

Zachowujemy znakowanie streszczone w ustępie n. 100, i oznaczamy nadto przez

(*) Annales des Ponts et Chaussées, 1861, 2rae semestre, p. 90.

[**) Jest to rozprawa przedrukowana z Annales des Ponts et Chaussées, 1862.

u odległość któregokolwiek elementu przecięcia od linii poziomej przechodzącej przez włókno środkowe w tem miejscu, a prostopadłej do płaszczyzny tegoż włókna ;

m wysokość przecięcia, to test jego największy wymiar w kierunku promienia;

E współczynnik sprężystości podłużnej, jednakowy we wszystkich punktach łuku.

Obciążenie łuku składa się : ł° z ciężaru stałego rozłożonego jednostajnie wzdłuż poziomej w stosunku p kilogramów na jednostkę długości ; 2° z ciężaru przypadkowego równo rozłożonego wzdłuż poziomej w stosunku p kilogramów na jednostkę długości, ale zajmującego dowolną i jakąkolwiek część przęsła. Pod działaniem tych sił zewnętrznych i od" działywania podpór wyradzają się natężenia wewnętrzne w kierunku podłużnym łuku na jednostkę powierzchni przecięcia. Za oś x weźmiemy cięciwę, za oś y pionową przechodzącą przez klucz łuku; część dodatnia osi odciętych leżeć będzie po prawej stronie początku osi, a część dodatnia osi rzędnych ponad cięciwą łuku, zupełnie tak samo jak na figurze 79. Zgodnie z używanem dotąd znakowaniem kierunku sił (ust. n. 100), weźmiemy siłę P za dodatnią, gdy działa w kierunku od lewej ku prawej ręce, to jest w kierunku osi x dodatniej; moment zaś M będzie dodatni, gdy stara się obrócić od osi x ku y. Zachodzi jednak pytanie, jak należy uważać zmienną u pod względem znaku, przechodząc bowiem od grzbietu ku podniebieniu, ilość ta maleje najprzód co do bezwględnej wartości, przechodzi przez zero i znowu rośnie liczebnie; musi więc mieć inny znak po jednej, a inny po drugiej stronie włókna środkowego. Nic jednak nie przemawia a priori za takiem lub owem uważaniem jej znaku który jak zaraz zobaczymy, nie jest bynajmniej dowolny i zależy od umowy zrobionej co do znakowania sił P i M.

Niech AmB oznacza włókno środkowe łnku odniesionego do osi x i y (fig. 80) skierowanych na sposób wyżej opisany. Uważmy jakiekolwiek przecięcie poprzeczne m i oznaczmy przez F wypadkowy wszystkich sił zęwnętrznych działających na część łuku mB. Zamiast siły o F możemy uważać siłę rnFi równą jej co do wielkości i równoległą co do kierunku, z warunkiem dołączenia pary sił ?nF₂, aF. Siła wF, da się rozłożyć na dwie składowe : jednę idącą w kierunku promienia, zwaną natężeniem poprzecznem, i drugą skierowaną stycznie do łuku w punkcie nr, pierwszą z nich pomija się w rachunkach, druga zaś mP wspólnie z parą F₂F tworzy ów skład sił wewnętrznych, które oddziaływają w każdem przecięciu poprzecznem łuku.

w

.-A

FX /

A.

Fig. 80.

Siły P i Fj dają wypadkową mW, która przesunięta w położenie ?w₀W₀ wyda razem z siłą «F, lub równą jej m₀F₀, wypadkową m₀P₀. Ta wypadkowa m₀P₀ jest widocznie równa sile ml?, i jest do niej równoległa, więc : układ sił wewnętrznych P i M wywiązanych w przecięciu poprzecznem sprowadza się do jednej wypadkowej, równej i równoległej do P, ale przyczepionej na zewnątrz włókna środkowego, mianowicie na pewnej odległości u = u₀. Moment zgięcia M nie jest niczem innem, jak momentem siły m₀P₀ względem punktu m, a więc mamy

zkgd

a że podług danych powyższej figury i podług przyjętego znakowania sił zewnętrznych i wewnętrznych, siła P i moment M sg w tym przypadku odjemne, więc u₀ musi być dodatnie, a tem samem wszystkie wartości u leżgce poniżej włókna środkowego muszg być dodatnie. Łatwo się przekonać, że gdybyśmy zmieniali dowolnie kierunek siły F, otrzymalibyśmy zawsze jeden i ten sam wypadek, mianowicie, że ilości u majg być liczone odjemnie po stronie grzbietu, dodatnio zaś po stronie podniebienia (³).

Oznaczajgc przez wt i ui największe wartości bezwzględne zmiennej u po stronie grzbietu i podniebienia, otrzymujemy nastepujgee wzory największych natężeń w danem przecięciu :

(1)

Na grzbiecie

A ICJ

L«

(2) Na podniebieniu

fi,_P Mti,

Wypadajg.ee ztgd natężenia R i R' wyrażajg ciśnienie lub rozcigganie, stosownie do tego czy ostateczne znaki stron drugich sg odjemne czy dodatnie.

Ażeby teraz zbadać prawo, podług którego zmieniajg się największe natężenia we wszystkich przecięciach poprzecznych łuku, gdy odmieniamy rozkład ciężaru przypadkowego (do

nem

część ir. — ŁUKI I POWltRZCHNTE.

384

którego trzeba zawsze dołączać ciężąc stały), Albaret rozbiera osobno skutki ciężaru stałego, a osobno obciążenia przypadkowego, i ztąd wnosi o równoczesnem działaniu obydwóch obciążeń. Badania te poniżej opiszemy.

112. Skutki sprawione ciężarem stałym. — Ciężar łuku, liców, wiązań poprzecznych i pokładu mostowego uważamy za obciążenie jednostajnie rozłożone na całem przęśle w stosunku p kilogramów na metr bieżący przęsła. Oddziaływania poziome podpór są Q = Q’=: G.2pa (ust. n. 105), gdzie G oznacza iloczyn głównej części parcia przez współczynnik poprawki ; oddziaływania zaś pionowe są widocznie równe każda z nich połowie całkowitego ciężaru, to jest T = T —pa. Biorąc więc pod uwagę jakikolwiek punkt D (fig. 79) leżący na promieniu pochylonym o kąt a do pionowej, i obliczając wszystkie siły zewnętrzne między tym punktem i prawym końcem łuku zawarte, otrzymujemy łatwo dwa następujące wyrażenia

P = — 2Gjoadosa — pp wst²a,

-/?ps(wst*cp — wst²a) — 2G/^ö|3(doSa — dosep).

p

Widzimy, że P jest zawsze odjemne, to jest że — przedstawia

zawsze siłę gniotącą. Jednakże moment M może być dodatni

Mw,'

mogą wyobrażać siłę

lub odjemny, a więc —^ lub

gniotącą lub ciągnącą.

Przypuśćmy na chwilę, że M jest dodatnie w uważanem przecięciu. Otóż w łuku mającym przecięcie symetryczne ut jest równe w,', to jest moment zgięcia wywołuje na grzbiecie

natężenie —    , a na podniebieniu    że zaś do ka-

P

Mm,

żdego z nich trzeba jeszcze dodać natężenie — zawsze odje-mne, przeto największe natężenie na grzbiecie będzie

Wlu    p

--p , a największe natężenie na podniebieniu - -+

Pierwsze z nich jest więc większe od drugiego, bo jest summy dwóch liczb, a nie ich różnicy; zkyd wniosek sprawdzajycy się także w przypuszczeniu M odjemnego : «największe ściskanie jest zawsze większe od największego rozciygania w jednem i temże samem przecięciu poprzecznem symetrycznem». Ponieważ zaś w rachunkach inżynierskich chodzi głównie o oznaczenie największego natężenia włókien, przeto można zupełnie pominyć rozciyganie, a szukać jedynie maximum maximorum ciśnień na jednostkę powierzchni.

Wprowadźmy teraz powyższe wartości P i M do wzoru (1) i (2) poprzedzajycego ustępu. Oznaczajyc dla skrócenia

2p    ^ 2pw'jß__

otrzymujemy natężenie na grzbiecie łuku

(1)

ttss- >

^    2Gwstffdosa

fcS

— y dos cp (4G wst cp — dos cp)J

i na podniebieniu

(2)

dos² a —+ t j 2G wst cp dos a

y dos cp (4G wst cp — dos cp)J,

albo, piszyc w skróceniu,

25

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERYAŁOW.

gdzie q i q oznaczają dwie ilości w nawiasach podzielone przez wstawękęta a. Zatem natężenia na grzbiecie i na podniebieniu sę proporcyonalne do tych ilości w stosunku ^ i co

znaczy, że zamiast rozbierać R i R' prościej jest badać współczynniki q i q', bo te nie zależę, od obciążenia stałego.

Przypuśćmy więc, że przecięcie jest stałe i weźmy różne wartości współczynników q i q za rzędne, a dostawy odpowiednich kętówa za odcięte. Tym sposobem otrzymamy dwie parabole, jednę wypukła, drugę wklęsłę ku osi x; a chcęc znaleźć ich wierzchołki sprowadzimy do zera pierwsze pochodne równań (1) i (2). Pierwsza z nich daje

t-s

1^.1 o-

— 1 ) wsta dosa

— Q — 1 j 2Gwst<pwst «

—0;

zkęd wnosimy, że krzywa ta ma maximum w kluczu i minimum pod kwitem a' określonym przez równanie

'8

rr.

-e

^1 0-1 k&i

Znaleźlibyśmy w podobny sposób, że parabola odpowiadająca podniebieniu ma minimum w kluczu, a maximum w punkcie danym przez równanie

-4-1

■K

e-

-f-1

Znamy więc miejsca grzbietu i podniebienia, najwięcej lub najmniej wytężone.

113. Skutki sprawione ciężarem przypadkowym. —

tlważmy najprzód, że summa dwóch współczynników q

grzbietu, odpowiadających którejkolwiek grupie dwóch dopełniających się obciążeń (⁴) jest ilością stałą i równą współczynnikowi, któryby wypadł z pokrycia całego przęsła ciężarem przypadkowym, i że prawo to stosuje się zarówno do współczynuika q na podniebieniu. Ztąd wypada, że znając współczynniki q i q odpowiadające pewnemu układowi ciężarów, znamy także współczynniki odpowiadające obciążeniu dopełniającemu, gdy tylko znane są skutki obciążenia całkowitego; dalej, że jeżeli największe wartości q i q w pewnem przecięciu odpowiadają pewnemu układowi ciężarów przypadkowych, najmniejsze ich wartości muszą odpowiadać przypadkowi dopełniającemu. Dosyć jest więc szukać jednej tylko z tych granic; a że nam chodzi przedewszystkiem o natężenie maximum, przeto wybierzemy granicę wyższą.

Nie zatrzymując się nad dowodzeniem powyższych twierdzeń, widocznych samych przez się, przechodzimy natychmiast do przedmiotu najniekorzystniejszych dla każdego przecięcia obciążeń.

Największe natężenie na grzbiecie przecięcia poprzecznego. — Uważajmy jakiekolwiek przecięcie odpowiadające kątowi a, i starajmy się obliczyć wpływ wywarty przez ciężary przypadkowe na włókna leżące po stronie grzbietu. W tym względzie wiemy już z poprzedzającego ustępu, że chcąc otrzymać największe natężenie możebne, trzeba rozłożyć ciężar przypadkowy w taki sposób, aby starał się ściskać włókna górne ; ściskanie bowiem jest zawsze większe od rozciągania.

Uwiążmy więc najprzód ciężar II wiszący po prawej stronie pewnego przecięcia, w punkcie odpowiadającym kątowi 0.

Ciężar ten sprawia oddziaływania : pionowe T =    + i poziome Q = II.ßy (ust. n. 103), gdzie ß jest główny częścią parcia, a y współczynnikiem poprawki, które za pomocą tablic obliczyć umiemy. Mając wszystkie siły zewnętrzne układamy teraz dwa następujące wyrażenia

wst « ■ - wsi oc -t-ßy dos a

P=-

WStcp -ł- wst 9 2 wst cp

"fl

(wstcp — WSt a) — (wst 9 — wst a)

wst cp -t- wst O 2 wst cp

ßy (dos a — dos cp)J,

a następnie otrzymujemy największe natężenie przecięcia po stronie grzbietu

R =E _ “Cil = -Ü r wstęp    WStflM— ₁\wstM

ii l    ii | 2wst ©    \2    /

\ dos a -ł--/ 2

2pi/jii

b /wst©—wst6

ßy dos cp^ J

gdzie b oznacza stosunek

Ażeby natężenie to było ciśnieniem, R musi byćodjemne, a więc ilość zamknięta nawiasem musi być dodatnia. Zatem następujący związek powinien mieć miejsce :

wst a

Al

wst f 2 j

?r[( -i)

I>SI

dOS a — -

'i dos ®j >0.

Ztąd wypada

ß <— (wst cp—wst 9)

i r>i

wst a

wstcp

ŁOI o

(M

dos a —

b ,

-doscp

albo wreszcie

P ^ !h

oznaczając przez y rzędną linii prostej przedstawionej przez równanie :

(1)

y= — (wst cp — wst 6)

-o iGa

WSt a b

--1—

wst cp 2

a odpowiadający, odciętej wst.?.

Otrzymalibyśmy w tenże sam sposób następujący warunek dla wszystkich ciężarów wiszących po lewej stronie przecięcia

gdzie

(2)

y — ^ (wst CO + wst 6) ~

"C

wsi a WSt cp

-AJ

Widzimy więc, że niezależnie od swego położenia ciężar II zgniata zawsze włókna po stronie grzbietu, gdy tylko rzędn i prostej (t) lub (2) jest większa w punkcie zawieszenia tego ciężaru od głównej części parcia.

Rozbierzmy teraz równanie (1). Wszystkie proste BG (fig. 81) przedstawione przez równanie (1) przecinają oś x w punkcie B, w którym wst 0 = wst cp. Jeżeli istnieje drugi punkt przecięcia tej prostej z krzywą AFB głównej części parcia (ust. n. 103) taki, jak punkt H, to rzędna y, prostej (1) w środku łuku musi być mniejsza od podstycznej KD. Otóż KB = d — wst cp.st ó, przeto

KD =

^_ wst cp (wst cp — cp dos cp) _

a -+- 2cp dos²© — 3 wst cp. dos 9

Rzędna yx prostej (1), uważana w środku przęsła, ma wartość

wst a •+ wst 9

(3)

część II. — ŁCKI 1 POWIERZCHNIE.

jeżeli -t oznacza kąt ostry stycznej BD z osią x ; a że

wst cp — y dos cp_

cp -t- 2cp dos²cp — 3 wst cp. dos cp

390

st.it

(*)>

y* [    9\

2y | i — j) dos oc — dos cp

A‘

Ts

■x

-Ö

te

Fig. SI.

a więc, żeby istniał punkt przecięcia H, rzędna KG musi być co najwyżej równa KD =d—y1? to jest musi być

9+2©dos²9 - 3wst 9 dos 9 2y ^_2j

wst 9 (wst 9 — 9 dos 9)

j ^1 —    ) WSt a -t- WSt cp

dos a — dos 9

Z równania tego moglibyśmy wyciągnąć wartość at kata a, odgraniczającą te przecięcia, których odpowiadająca prosta (1) (*) Wartość tę otrzymujemy szukajęc współczynnika kętowego linii stycznej do krzy-wej y— —, zwanej krzywę głównej części parcia.

przecina krzywy parcia, od innych przecięć, które tej własności nie posiadają ; jest jednak łatwiej obliczyć jąza pomocą równania

(«0

a-² (1 -f- 4fd-) + 2gx — (4fcP - - rf) = 0,

gdzie

x = wst aj,

j

—- (wst © H- 2'(d. dos cp).

wartość zawsze większy od rzędnej KF

Uważmy teraz, że rzędna //₄ przyjmuje dla oc=() wartość wst cp

2y

— dos ©

wT krzywej parcia, jak tego łatwo dowieść za pomocy tablic, i że rzędna,^ rośnie z katem a. Z Ląd wnosimy, że dla wszystkich przecięć zawartych między a=0 i a=a₁ rzędne prostych (4) są większe od rzędnych krzywej, to jest, że chcąc obliczyć maximum ciśnień na grzbiecie jednego z tych przecięć, trzeba uważać tylko ciężary zawarte między niem i odpowiednim punktem H. Dalej, że skoro dla wszystkich przecięć zawartych między a₁ i © rzędne prostej (4) sa ustawicznie większe od rzędnych krzywej, przeto chcąc znaleźć maximum ciśnień na ich grzbiecie, trzeba brać tylko ciężary zawarte między niemi i łożyskami łuku. Wiemy więc teraz, jak powinny być kładzione ciężary przypadkowe po praw'ej stronie każdego przecięcia, aby natężenie wdókien było ciśnieniem.

Przejdźmy teraz do prostej (2).

Wszystkie proste przedstawione przez równanie (2) prze-

cinają oś x w punkcie A (fig. 82), w którym wst.6 — —wst cp; a ich rzędna w początku osi współrzędnych jest

(4)

V*~ 2y

J wst cp —    — J^j wst a

Ga ■=>

dos a — dos cp

Wyrażenie to daje na a =0 taką sama wartość, jak prosta (1), i pokazuje przytem, że gdy oc rośnie, rzędna odpowiadająca początkowi osi maleje aż do minimum KG (fig. 82), któremu odpowiada pewien kąt a₂.

Kąt ten wypada z równania

— (i —4- dos cp. dos oc₂ 4- wst cp wst a₂ = 0,

c”

a:

ï³

— CD

•<

Fig. 82.

albo

xÿ ■— 2 1 —

wst cp. X 4-

Ga

— dos²cp =0,

gdzie x oznacza wstawe kąta cc₂. Zwykle «₂ bywa większe od 0,50 cp.

Gdy a rośnie jeszcze więcej, rzędna y zaczyna się powiększać i nareszcie staje się równą podstycznej KD, gdy kąt a czyni zadość warunkowi :

(a₃)

X² (1 4- 4y² d²) — 2<?,Z“ — (4y² (/² — o²) = 0,

który różni się tylko znakiem zmiennej x od warunku (a,). Kęt «3 tym sposobem obrachowany różni się w ogóle bardzo mało od <p, a wszystkie proste (2) odpowiadające przecięciom, które leżę między temi granicami maję rzędne większe od rzędnych krzywej parcia. Ztad wnosimy, że dla przecięć zawartych między a = 0ia=:a₃ trzeba brać tylko ciężary zawieszone między niemi i punktami spotkania odpowiednich prostych (2) z krzywę parcia, i że dla przecięć zawartych między a₃ i cp trzeba brać wszystkie ciężary leżęce po ich lewej stronie, aż do samej podpory.

Z powyższego rozbioru równań (1) i (2) wynajdujemy najniekorzystniejsze ułożenie ciężarów po prawej i po lewej stronie któregobędź przecięcia poprzecznego, i to bez względu na rodzaj obciężenia : zarówno dla ciężarów odosobnionych, jak cięgłych. W przypadku ciężarów jednostajnie układanych panuje widocznie następujęce prawo :

Najniekorzystniejsze rozłożenie ciężarów przypadkowych dla przecięcia w kluczu polega na ich ułożeniu symetrycznem po obu stronach tego klucza, i to na długości C'C (fig. 82), która rachunkiem i wykreśleniem oznaczyć możemy.

Dla przecięć zawartych między a = 0 i a=aj koniec G' zbliża się cięgle do klucza, a punkt G zbliża się cięgle do podpór, których dosięga przy wartości a =at.

- X3'

Dla przecięć zawartych między a= i a = <p koniec G pozostaje cięgle w punkcie S, podczas gdy punkt C' zbliża się do klucza, przechodzi na prawa stronę osi y i dosięga granicy C" odpowiadajęcej kętowi a₂; poczem oddala się znowu od podpory S i przesuwa aż do drugiej podpory V, gdy oc To jednostajne obciężenie całego przęsła jest także naj-niekorzystniejszem dla wszystkich przecięć po za a₃ aż do

a = cp.

Zatem każde przecięcie łuku musi być po obydwóch st.ro-nach ciężarami obłożone; a chcąc otrzymać maximum ciśnienia sprawionego na grzbiecie przez ciężary jednostajnie rozłożone w stosunku pks- na jednostkę długości, trzeba szukać wzoru ogólnego dla wszystkich przecięć między at i <p, wzoru, któryby wyrażał natężenie wywołane tem obciążeniem na długości ka począwszy od podpór, a następnie wstawić za k, r i a wartości odpowiadające przecięciu uważanemu.

Go się tyczy przecięć zawartych między ati 0 dosyć jest obliczyć ciśnienia sprawione ciężarem rozłożonym na SC', i odjąć od nich ciśnienia odpowiadające ciężarowi GS. To ostatnie łatwo jest wyprowadzić z przypadku dopełniającego

GY.

Niech więc F będzie współczynnikiem parcia, to jest taką liczbą, aby Q=¥.p'ka. Oddziaływanie pionowe na podporze S

4*    -

będziQp'ka-; a że wszystkie inne siły zewnętrzne są znane,

4

układamy łatwo równania

P= —

Pa [

wst² a 4 — k (4 — k)

p'a?Y

wst cp

WSt² a

WSta -+- /i’Fdosa J,

4 — k (4 — k)

WSt cp

k (4— k) — 2

wst a —2k Fdos a

-f- 2ÆFdos cpj

zkąd

pa r 1 Ib 12 |_wst cp \4

— 1 I WSt* a —

1 jWSt a

— 1) dosa

6 /ä (4 — Ä) — 2

wst

cp -ł- 2ÀF dos <p^ J

albo w skróceniu

(3)

pa

12

Oto jest wzór służący do obrachowania największego natężenia na grzbiecie jakiegokolwiek przecięcia, w skutek najniekorzystniejszego rozłożenia ciężarów przypadkowych.

Największe ciśnienie na podniebieniu przecięcia poprzecznego. — Chcąc otrzymać największe natężenie możebne na podniebieniu pewnego przecięcia poprzecznego, trzeba rozłożyć na łuku wszystkie te ciężary, które starają się ściskać włókna dolne. Otóż jeżeli uważać będziemy najprzód ciężar II

zawieszony po prawej stronie przecięcia, ciśnienie na podnie-

P Mm    .    .    "

bieniu będzie —Wstawiając za P i M odpowiednie

przez b\ otrzymalibyśmy takie

samo wyrażenie ciśnienia, jak na grzbiecie łuku, z tą tylko różnicą, że zamiast b mielibyśmy — b’ ; ztąd wnosimy, że warunek ciśnienia jest

....    .    2p u'£l

wartości i oznaczając r 1

te i

tS| e>

ßy [ ( -ł-l^dosa

es

b©|

dos <p | >()

albo

\

8 > —- (wst cp —wst ó)

(R

wst a

wst cp

b'

— •)

-t- I j dos a —— dos cp

lub wreszcie

P>y\

gdzie y oznacza rzędną prostej przedstawionej przez równanie

(O

\i— (wst Cp — wst 6)

(,+l)

wst « +1 wst cp

dos a —doscp

CZĘŚĆ U. — f.UKI I POWIERZCHNIE.

390

Podobnie otrzymalibyśmy warunek odnoszęcy się do ciężarów położonych po lewej stronie przecięcia uważanego :

ß ^

gdzie

(2')

?/=—-(wst cp -4- WSt 9)

2y

ui

WSt a

WSt CO

( l -f- ~)j dos a — doscp

Widzimy więc, że ciężar 11 zgniata zawrsze włókna leżące po stronie podniebienia, gdy tylko rzędna prostej (1') albo (2') w punkcie zawieszenia tego ciężaru jest mniejsza od głównej części parcia. Warunek ten jest wprost przeciwny warunkowi znalezionemu poprzednio dla grzbietu łuku.

Badajmy teraz zmianę tych dwóch prostych, gdy kat a przechodzi od 0 do f.

Łatwo spostrzedz, że równania (ł') i (2) różnię się od równań (1) i (2) tern tylko, że zamiast 1 — mamy 1 -f-

Jeżeli więc weźmiemy najprzód pod uwagę prosię (1), możemy powiedzieć, iż linia ta staje się styczna do krzywej parcia, gdy kęt a przybiera wartość a,', obliczona za pomocę ró-

O b©

1 —

Ztęd

wnania (at), w którem zamiast g mielibyśmy g.

znowu wnosić można, że skoro dla wszystkich przecięć zawartych między a = 0 i a := a/ proste (!') maja drugi punkt H (fig. 81) wspólny z krzywę parcia, przetcr ich rzędne będę mniejsze od rzędnych krzywej tylko między punktem H i podporę luku; co pokazuje, że dla tych przecięć trzeba brać tylko ciężary zawarte w pomienionych granicach. Widzimy dalej, że dla przecięć zawartych między a,'i rzędne prostej (!') sę ustawicznie większe od rzędnych krzywej, a więc że trzeba odrzucić wszystkie ciężary z prawej strony tych przecięć.

Co się tyczy prostych (2 ), ich rzędne odpowiadajęce po-czętkowi osi maleję tak samo, jak rzędne prostych (2) po-częwszy od a = 0; ale że pierwiastki równania (a₂) sę urojone dla podniebienia łuku, przeto rzędne prostej (2') maleję ustawicznie i wreszcie zchodzę do zera, gdy wstawa kęta a przybiera wartość

wst a,

_wst !p

to

Ztęd wypada, że dla przecięć zawartych między a — O i a=a'2 trzeba brać po lewej ich stronie tylko ciężary zawarte między podporę A i punktem spotkania prostej (2') z krzywę parcia; a następnie, że dla przecięć znajdujących się między a', i o trzeba brać wszystkie ciężary aż do lewej podpory.

Z tych wszystkich rozumowań wy ni k aj ę ostatecznie nastę-pujęce prawidła.

Najniekorzystniejsze dla klucza rozłożenie ciężarów polega na obciężeniu części równych SC i YC' (fig. 82) obliczonych za pomocę równań (!') lub (2 ).

Dla przecięć zawartych między a = 0 i a=a₁' punkt C zbliża się do S i dosięga go przy wartości a = a/ ; równocześnie punkt C' oddala się od Y.

Dla przecięć zawartych między a -= a/ i a f nie powinniśmy kłaść żadnych ciężarów po ich prawej stronie ; lewę zaś stronę należy obciężać aż do punktu C'. Puukt ten zbliża się do przecięcia uważanego w miarę, jak rośnie kęt a, i dosięga je w chwili z =a'r Między a r= a's i a = cp ciężar jest naj-niekorzystniej rozłożony, gdy zajmuje całą część przęsła po lewej stronie przecięcia.

Zatem każde przecięcie będzie leżeć w części nicobciążonej przęsła, lub też na granicy części obciążonej ; a chcąc otrzymać maximum ciśnienia na podniebieniu, sprawionego tern obciążeniem przypadkowem (w stosunku p'ks- na jednostkę długości), trzeba ułożyć wyrażenie ogólne ciśnienia na podniebieniu przecięć zawartych między a/i cp, w przypuszczeniu iż ciężary;/ zajmują długość A’« począwszy od odleglejszej podpory; a potem wstawić w tem wyrażeniu za A, O, A'wartości odpowiadające przecięciu uważanemu. Co się tyczy przecięć zawartych między a =00, i a=0, dosyć jest obliczyć maxima ciśnień podczas jednostajnego obciążenia części VC' i do wypadku tym sposobem otrzymanego dodać ciśnienie sprawione obciążeniem części SC. To ostatnie obliczymy za pomocą przypadku dopełniającego CY.

, a więc

Niech więc F będzie współczynnikiem parcia, to jest taką liczbą, aby Q = F.//Aa. Oddziaływanie pionowe podpory B będzie T=p'ka. -4

//Aa^wsta 4- Fdos c/. j ,

p — _

pkoo ^(wsto—*wsta) —- F(dos a — dos cp)J.

przez //, otrzymujemy

Oznaczając, jak poprzednio

od

«■U

rfas-ł ft-

tsS|

C/3

ŁS| <5>

-o iGa

albow skróceniu

— Q \vsto4- F dos cp j J ,

(6)

Rs=-Ç%,

12

Oto jest wyrażenie służące do obliczenia maximum ciśnienia sprawionego na podniebieniu przecięcia w skutek najniekorzystniejszego rozłożenia ciężarów.

114. Skutki sprawione równoczesnem działaniem ciężaru stałego i przypadkowego. — Gdy łuk jest obciążony stale ciężarem p na całej długości przęsła i ciężarem przypadkowym p na pewnej tylko części, maximum ciśnienia w któremkolwiek przecięciu jest widocznie summą algebraiczną ciśnień wywołanych przez każdy z tych ciężarów osobno. Oznaczając więc w przecięciu uważanem : przez współczynnik (*) na grzbiecie odpowiadający ciężarowi stałemu, i przez q współczynnik na grzbiecie powstały z obciążenia przypadkowego, mamy

lub

kładąc i; zamiast —

Ponieważ wyraz Mi jest stały dla jednego i tego samego przecięcia, przeto różne wartości współczynnika q Mi mają się tak do siebie, jak wtedy, gdy p nie istnieje. Możemy więc obliczać ich wartości największe i najmniejsze w przypuszczeniu samego tylko ciężaru przypadkowego i potem dodać do nich ilość stałą iqv Jeżeli np. narysujemy krzywą przedstawiającą granice wyższe współczynników na grzbiecie, w przypuszczeniu samego obciążenia przypadkowego, i do rzędnych tej krzywej dodamy algebraicznie rzędne Mi odpowiadające obciążeniu stałemu, otrzymamy krzywą największych współ-

czynników, której rzędne vj będę równe summie algebraicznej q-ł-tq\. Możemy więc napisać

R = ^%

Go się tyczy granic niższych, otrzymamy je bardzo łatwo za pomocą przypadku dopełniającego, bo jak powiedziano w ustępie n. 113 największe i najmniejsze ciśnienia na grzbiecie tego samego przecięcia odpowiadają dwom dopełniającym się obciążeniom przypadkowym. Summa współczynników q w tych dwóch przypadkach uważana powinna być równa współczynnikowi, któryby wypadł z obciążenia całego przęsła; a więc oznaczając przez rzędną krzywej najmniejszych współczynników, powinniśmy mieć zawsze

¹

Tych mechanicznych przeróbek z braku miejsca podawać nie możemy. Czytelnik snrawdzi je bez trudności¹

²

Cyfry powyżej podane s$ tylko średnimi wypadkami kilku doświadczeń. W moście Charenton przyrost strzałki na jeden stopień ciepła wynosił od 0ra,00036 do 0m,00133 ; a więc zmieniał się w stosunku jak t do 4,

³

Znaczna część autorów francuzkieli i niemieckich przechodzi zlekka nad tym punkiem i ustanawia znakowanie ilości u bez żadnych rozumowań, jak gdyby to było dowol-i niezaieżnem od umowy zrobionej eo do znakowania sił P i M. Mogłaby ztęd powstać niemała omyłka ; bo gdybyśmy uważali u za dodatnie po stronie grzbietu, otrzymalibyśmy wypadki zupełnie odwrotne : ciśnienie na grzbiecie uchodziłoby za ciśnienie na podniebieniu i naprzemian. Albaret np. uważa u /a dodatnie po, stronie grzbietu, a za odjemne ku dołowi; ale też u niego siła P ina znak naszemu przeciwny.

⁴

Nazywamy obciążeniami dopełniajacemi się takie dwa układy ciężarów, które ra⁴ zem uważane pokrywaj? jednustajnie całe przęsło.

pa

+ =£*<*+*)

zkąd wypada, wstawiając ri = q 4-

*)i=(* + t)qx— q-

Wszystko co powiedzieliśmy odnośnie do grzbietu łuku stosuje się również do jego podniebienia.

Na tern zakończamy teoretyczną część pracy Albarefa. Jest to, jak widzimy, metoda racyonalna i ścisła, a mająca tern więcej przyszłości przed sobą, że wiąże się nierozerwanym węzłem z pracami Brcsse’a, które w przedmiocie parcia łuków za najlepsze uważać należy. Na nieszczęście jest ona dosyć trudną w zastosowaniu, bo wymaga długich i mozolnych rachunków, które bez pomocy geometrycznych wykreśleń pokonać trudno; dopókąd więc nie znajdzie się sposobu usunięcia tych trudności, teorya Albarefa nie nabierze w inżynie-ryi należytego znaczenia.

Nie trzeba jednak sądzić, żeby ten rozbiór nie miał dziś słu-

żyć do niczego i nie dał się zupełnie stosować do potrzeb praktyki, albowiem ograniczając się na przypadkach szczególnych, dojść można do wzorów prostych i każdemu przystępnych. Zresztą do obeznania czytelnika z istotną wartością opisanej teoryi, wyłuszczymy poniżej ogólny sposób postępowania przy jej życiu i podamy zarazem przykład dotyczący pomienionych wzorów praktycznych.

115. Zastosowanie teoryi Albaret’a i jej wyniki. —

Zadanie będące przedmiotem niniejszego ustępu przedstawia się w następującem pytaniu : «Znaleźć wymiary poprzeczne « łuku o włóknie środkowem kołowem, mając dane : cięciwę « 2a, strzałkę /', promień p, rozwartość 2cp, obciążenie stałe p «na jednostkę długości w kierunku poziomym i obciążenie «przypadkowe/?'. Przecięcie poprzeczne ma być stałe i sy-« metryczne względem poziomej przechodzącej przez jego « środek ciężkości » .

Stosownie do względów estetyki i zwyczajem uświęconych prawideł, przyjmiemy à priori pewną wysokość łuku m, i

obliczymy w przybliżeniu stosunek    który figuruje

w poprzedzających wzorach, jako kwadrat z promienia wirowania przecięcia względem osi symetryi. Widzieliśmy w ustępie n. 38, że stosownie do tego, czy przecięcie ma kształt

elipsy, czworoboku czy litery I, r- jest równe — , — albo -- ;

możemy więc wybrać jednę z tych wartości lub też wziąć średnią arytmetyczną. To mając obliczymy ilości

p rn

, _ a 12 U - — -

albo raczej jednę z nich tylko, bo druga jest równa pierwszej

WYTH Z V M A ŁOŚĆ MATE IIYAŁÓ \Y.

część II. — ŁUKI I POWIERZCHNIE.

402

w przypadku przecięcia stałego i symetrycznego. Potem wyszukamy w tablicy V wartość współczynnika poprawki y, od-

powiadajycy danemu - i —ł; a gdyby liczby umieszczone

w tej tablicy nie były równe naszym danym, doilibyśmy do wypadku za pomocy, bardzo prostej interpolacyi.

Przygotowawszy tym sposobem wszystkie dane wstępne, przystępujemy do kreślenia «krzywej głównych części parcia ». W tablicy IV znajdujemy szereg współczynników ß odpowiadających danej — , lub też obliczamy go za pomocy inter-polacyi hioryc na — dwie wartości najbliższe znajdujyce się

7T

w tablicy, i wywodzyc ztyd wartość ostateczny, Dydź co bydź otrzymujemy szereg wartości ß odpowiadajycych kytom 0= 0, 0= 0,05cp, 0 = 0,1 Ocp, 9 = 0,15cp... aż do 0=<p. Podzieliwszy więc połowę łuku na dwadzieścia równych części i rzuciwszy punkta podziału na cięciwę, odetniemy na pionowych przez te punkta przechodzycych długości proporcyonalne do ß, mierzyć od cięciwy ; a połyczywszy potem wierzchołki tych pionowych jedna liniy ciygły, otrzymamy połowę szukanej krzywej. Druga połowa będzie zupełnie podobna do pierwszej.

Badajmy teraz najniekorzystniejsze dla grzbietu rozłożenie ciężaru przypadkowego. Widzieliśmy w ustępie n. 113, że w tym celu trzebaby szukać punktu przecięcia prostych (1) i (2) z nakreślona właśnie krzywy, przypuszczajyc kolejno rozmaite wartości kyta a ; tym bowiem sposobem otrzymalibyśmy owy długość CG' (fig. 82) odpowiednio dla każdego punktu grzbietu. Ale w zastosowaniu dosyć jest oznaczyć tylko kilka najniekorzystniejszych położeń ciężaru przypadkowego, by wnosić o zmienności największych natężeń w łuku ; możemy więc ograniczyć się na punktach a =• 0, u a = a„

a— a₃ i a=cp, które, jak widzieliśmy, charakteryzują ruch linii CG'. Każdy z tych punktów osobno rozbierzemy.

Gdy a — 0, to jest gdy bierzemy pod uwagę klucz łuku, ciężar przypadkowy pokrywa środek przęsła i rozciąga się po obu stronach jednakowo na pewnej długości, którą obliczymy za pomocą wzoru (3) ustępu n. 113

-i-

2y

WSta H- WSI cp

dosa — dos<p

Wstawimy mianowicie a = 0, a wypadającą ztąd wartość //, odetniemy na pionowej KD (fig. 83) przechodzącej przez klucz

<ł

Ć2f

|«S

ic₂

Yl-

.    "jci

d-----------îS

n|.

Fig. 83.

łuku. Połączymy potem jej wierzchołek D z podporą B, a punkt przecięcia m tej prostej z krzywą AFB «głównych części parcia» wyznaczy najniekorzystniejsze dla klucza obciążenie; bo rzuciwszy go na poziomą VS otrzymamy punkt C, który wraz z symetrycznym mu punktem C' oznacza rozległość obciążenia CC'. Będzie to owa długość ka, odpowiadająca kątowi a = 0.

Przejdźmy teraz dopunktu a=!z₁. Prawy koniec obciążenia

znajduje się wtedy w C, ; lewy zaś Cć leży na pionowej przo-chodzęcej przez punkt przecięcia się prostej (2) z krzywę głównych części parcia. Otóż rzędna linii (2) w środku łuku jest (rów. 4 ustępu n. 113)

!h

wst «P — (* — I)

wst a

oi to

a.

o-

gdzie za a trzeba wstawić a,. Odcięwszy więc KG =y₂ połączymy punkt G z podporę, A, i z punktu przecięcia n wyprowadziwszy pionowę, otrzymamy punkt Cć, a tem samem i długość szukanę G/Cj. Co się tyczy kę ta a,, otrzymujemy go za pomocę równania

x~ (1 -+- 4y²(/²) -4- 2gx — (Łprf* — g~) = 0,

gdzie a?, g i i/ maję znaczenie określone w poprzedzajęcym ustępie.

Weźmy teraz punkta = a₂. Jego położenie wypada z równania (a₂)

a.'² —2 1-

Ol to

3Ś

co

-e

oi to

a.

(J3

o-

wstawiwszy więc wartość a, w ogolne wyrażenie rzędnej

S-

H3

CM I-C:

wst a

Q.

o-

otrzymamy rzednę KE =y₂, a następnie prosta AE, która przetnie krzywę AFB w punkcie o wyznaczającym położenie C'₂G₂.

Wreszcie, bioręc pod uwagę punkt a = a₃, który tem się cechuje, że dla wszystkich punktów między nim i sęsiednię pod-

KSIfCÏA 1. ŁUKI METALOWE. — KOZDZIAŁ 11.

porą B zawartych, najniekorzystniejsze rozłożenie ciężarów polega na obciążaniu C'₃C₃ całego przęsła, obliczymy jogo położenie za pomocą równania (a₈) :

X² (1 -ł- Ąy-d²) — 2<JX —    — g²) = 0.

To obciążenie całego przęsła jest także najniekorzystniejszem dla punktu a =<p.

Mając szereg pięciu wartości liczebnych a = 0, a,, a₂, a₃, cp, i mając równocześnie odpowiadające im wartości k, pozostaje tylko obliczyć współczynnik q wchodzący w skład wzoru (5), i to osobno dla każdej pary zmiennych a i k. Z obrachowanych tym sposobem pięciu współczynników q utworzy się nową krzywą abdc, której rzędne będą służyć za miarę natężenia

ur

“3

ai

Fig. 84.

wywołanego w różnych punktach grzbietu przez najniekorzystniejsze obciążenie przypadkowe (fig. 84). W podobny sposób obliczymy pięć współczynników qj odpowiadających obciążeniu stałemu (rów. 3, ust. n. 112) i nakreślimy krzywą fdc, której rzędne będą proporcyonalne do natężeń z ciężaru stałego wynikających (¹). To uczyniwszy zastosujemy równanie

do owych pięciu punktów a=0, a,, a₂, a₃, ©, albo wreszcie do dowolnej ich liczby, bo na figurze 84 wyczytamy wartości q i qy odpowiadające każdemu punktowi grzbietu. Obliczywszy więc odpowiednie R za pomocy powyższego wzoru, wybierzemy największe z nich, jakp maximum ciśnienia wywołanego na grzbiecie łuku w skutek obciążenia stałego i przypadkowego w najgorszych warunkach.

Postępując podobnie z podniebieniem łuku, otrzymalibyśmy maximum natężenia R' u spodu przecięć. Większa z dwóch ilości R i R' będzie przedstawiać maximum bezwzględne natężeń na jednostkę powierzchni w całym łuku, a odpowiadający mu współczynnik q + Ęqiy lub q -+- %q\ posłuży do obliczenia szukanego przecięcia za pomocą wzoru

+??,)>

lub

n =£?(?• +5q\),

gdzie R i R'wyobrażają praktyczną wytrzymałość, np. 6 kilogramów na milimetr kwadratowy

Metoda ta stosuje się także z wielkiem przybliżeniem do łuków o przecięciu zmiennem, gdy bowiem znamy prawo zmienności współczynników q -+- Ęqt i q -t- możemy obliczać przecięcia poprzeczne podług jednego z powyższych dwóch wzorów w taki sposób, aby natężenie na jednostkę powierzchni było jednakowe we wszystkich przecięciach. Wszakże rozumowanie to nie jest matematycznie ścisłe, bo współczynniki q i q zależą od wielkości przecięcia.

Z powyższego opisu wnosić można o długości rachunku, jakiego wymaga dokładne obliczenie pracy łuków metalicznych ; musimy więc uprzedzić czytelnika, iż byłoby zby-tecznem wdawać się w tak ścisłe rozbiory przy budowie mostów znoszących stosunkowo małe obciążenie przypadkowe, jak np. mostów pod drogi zwyczajne. Przypuszczenie ciężaru przypadkowego‘na całem przęśle jest wtedy dosyć uzasadnione, bo małe zmiany natężeń w skutek najgorszego rozłożenia ciężarów nie mogę wpłynąć znacznie na stałość budowli. Przeciwnie, lekkie mosty blaszane pod kolej żelazną są wystawione na niezmierne obciążenia, których wpływu pominąć nie można; tu więc .powyższa teorya może znaleźć prawdziwe zastosowanie

By jednak prace te ułatwić i uprzystępnić, Albaret rozebrał szczegółowo szereg łuków o przecięciu stałem i symetrycznem, f

a mających—= mniej więcej jednej dziesiątej. Przyjmował

2öS

on kolejno na cztery rozmaite wartości, mianowicie 0,25 ;

i Po

D>"⁴"

Fig. 85.

0,50; 0,75; 1,124; i biorąc współczynniki grzbietu i podniebienia q    q' -t- lq\ za rzędne, a odpowiednie części cię

ciwy za odcięte, nakreślił cztery pary krzywych ABG, DBC (fig. 85), z których jedna przedstawia maxima natężeń na grzbiecie, a druga na podniebieniu. Opuszczając części kreskowane DB, BG, a badając części zewnętrzne AB, BC, jako krzywe bezwzględnie największych natężeń, doszedł on do następujących wyników:

Gdy stosunek — Ç jest mniejszy od 0,35, punkt najwięcej

część II. — ŁUKI I POWIERZCHNIE.

podniebieniu i odpo-

ze wszystkich wysilony znajduje się na wiada katowi a = 0,60cp.

Gdv stosunek £ = £ jest większy od*0,35, punkt ten leży /'

«    47    «    5,11,

«    H    «    8,58,

*    «    8,58    cc    11,93,

as ta

a w kluczu dla —, większego od 11,93.

Zatem gdy £ jest mniejsze od 0,35, należałoby przenieść część metalu z grzbietu na podniebienie ; a przeciwnie z podniebienia na grzbiet w przypadku —, > 0,35. Wynika ztę.d, że

P

przecięcie stałe nie może być symetryczne, jak tylko w razie £=0,35.

Na zasadzie powyższych danych, ale majęc zawsze na myśli przecięcie stałe i symetryczne, Albaret podaje do obliczania przecięcia najwięcej pracującego następujący wzór prosty

ii=£f(X + ?Y),

gdzie

gdy g = £ <0,35,

P

X =4,745,    Y = 3,057,    «    cc    = 0,35    do 2,47,

X =4,995, Y = 2,331

«    =2,47 « 5,11.

cc =5,11 « 8,58,

«    =11,93 i wyżej.

KSIĘGA I. ŁUKI MKTAŁOWK.

Ażeby przecięcie obliczone tym sposobem było odpowiednie, jego kształt musi być tak wybrany, aby — i - mało się różniły od 0,0005 i 0,0526 ; takie bowiem dane przyjęto w powyższych rachunkach. Trzeba także pamiętać, że te wzory praktyczne odnoszą się tylko do łuków spłaszczonych w sto-

Ł=kmniej więcej-

Wypada ostatecznie ze wszystkich badań Albarefa, że największe natężenie łuku przy nąjniekorzystniejszem rozłożeniu ciężarów przypadkowych może być znacznie większe od największego natężenia, które istnieje w przypuszczeniu jednostajnego rozkładu obciążeń na całem przęśle; jednakże różnica

ta maleje w miarę zwiększania się stosunku —W tej

proporcyi maleje wyższość przecięcia zmiennego nad przecięciem stałem.

Gdy łuk jest jednostajnie obciążony na całem przęśle, a jego przecięcie jest wszędzie jednakowe (*) punkt najwięcej wy-

f

tężony znajduje się na grzbiecie klucza, jeżeli stosunek -- jest

\

mniejszy od - , a zaś na grzbiecie klucza lub na podniebieniu 8

blisko łożysk, jeżeli

sunku

samej

jest zawarte między

CCI Ki-

bC

; wreszcie

punkt ten jest na podniebieniu blisko łożysk, gdy jest \

większe od - • Go się tyczy zmienności przecięć poprzecznych,

Albaret dowodzi liczbami, iż oszczędność materyału wynikła z użycia przecięć zmiennych nie jest tak wielka, jak w belkach prostych, i porównywa z sobą trzy główne typy łu-

ków, z których pierwszy ma stałą wysokość i niezmienne przecięcie, drugi stałą wysokość, ale przecięcie rosnące od podpór ku kluczowi; i wreszcie trzeci wysokość malejącą od łożysk, z przecięciem rosnącem. Drugi typ jest

f    1

korzystny dla łuków mających ~ mniejsze od-, trzeci zaś

f    1

przystoi łukom o stosunku ^-większym od p- i prowadzi do

f

dosyć znacznej oszczędności. Gdy ~~ jest zawarte między

JtOj

1 1

- i - kształt łuku zdaje się być zupełnie obojętny.

8    5

116. Przykład liczebny. — Ażeby uwydatnić wpływ niekorzystnego obciążania łuków, rozbierzemy tu następujące zadanie.

Obrachować wymiary poprzeczne łuku o przecięciu stałem symetrycznem mając dane (*) :

«=H410m-m-, f— 2200m-m‘, p — 2ks-,464, />'= 2ks-,19ł.

Przypuścimy najprzód, iż ciężar przypadkowy jest rozłożony jednostajnie na całem przęśle wzdłuż poziomej i znalazłszy największe natężenie obliczymy przecięcie poprzeczne w taki sposób, aby metal nie znosił nigdzie więcej jak 6k&- na milimetr kwadrarowy ; potem o brach ujemy przecięcie w przypuszczeniu najniekorzystniejszego rozkładu ciężarów i porównamy znalezione wypadki.

Na zasadzie powyższych danych mamy

= 0,2423.

p— 30688“,20, cp = 21°49 37",

Chcąc znaleźć największe natężenie włókien w przypadku

(*) Długości wyrażamy w milimetrach, a siły w kilogramach na milimetr kwadra-owy.

jednostajnego rozłożenia ciężaru przypadkowego, trzeba obliczyć następujące dwa wzory odnoszące sio do grzbietu i do podniebienia (ust. n. 112) :

(i)

^ — 1 j dos² a -4-    2G wst cc dos a

—    y dos cp (4 G wst f — dos cp)

O-

(2)

^ R'=-^    ^ -f-ljdos*a—|^-4-1 j 2G wst ce dos a — 1

b'

—    -dos cp (4G wstęp -- dos cp) 1

w których za a trzeba wstawić wartości odpowiadające maximum R. Widzieliśmy, że pierwszemu z nich opowiada oć=0, a drugiemu ct=a.\ wypadające z równania

-4- 1

(3)

dos a'j == G wst cp

-M

gdzie (ust. n. 105)

G = F'.

1 + X'

/1-

Uważmy najprzód, że ~ nie jest bezwarunkowo dowolne. Widzieliśmy w ustępie n. 38, że kwadrat z promienia wiro-

*    TTi^    ÏÏV

wania zwykle używanych przecięć zmienia się od — do —

4 tG

jeżeli więc przyjmiemy a priori m — 600,

ö*

musi być za-

warte między 0,0002 i 0,0008, Weźmy zatem wartość śre^ dnia

= 0,0005.

Aby obliczyć ilość G szukamy najprzód w tablicy VII wartości F' dla —= 0,2425; że jednak nie ma takiej liczby, ra-

7T

chujemy przez interpolacyę w następujący sposób :

dla ^=0.24 mamy F' = l,304, dla =—0,25 mamy F' = 1,250,

TT

a zatem

0,25 - 0,24 : 1,250 — 1 ,304 = 0,0025 : X, x= -0,0135,

to jest

dla ^=0,2425 wypada F' = 1,304 — 0,0135 = 1,2905 .

71

Znaleźlibyśmy podobnie w tablicy Y

x?

r²

= 0,9755.

Zatem

G = 1,2905 X 0,9755.

Pozostaje jeszcze do obliczenia b i ^'..Ilości te sę sobie równe, bo przecięcie jest stałe i symetryczne ; zk^d wypada

b — b' = ęm 5=^ = 282,944,

KSIĘGA I. ŁUKI METALOWE. — ROZDZIAŁ II.

a następnie podług równania (3)

a'₁₌:21⁰33'.

Wstawiajęc teraz w równaniu (1) « =0, a w równaniu (2) a —21°33', i majęc to na uwadze, że p jest równe summie ciężaru stałego 2ks-,464 i przypadkowego 2ks-,191 na milimetr długości, to jest iep = 4ks-,655, otrzymamy

142833,57

.1,276,

Li

Na grzbiecie klucza

.0,95.

Na podniebieniu blizko łożysk R — * <^53,37

Natężenie Rjest, jak widzimy, większe od R, a temsamem większe od wszystkich natężeń wywołanych w innych miejscach łuku. Trzeba więc obliczyć przecięcie Li w taki sposób, aby natężenie na grzbiecie klucza nie przechodziło Rks- na jednostkę powierzchni, to jest aby

Li =.

.1,276.

142853,57

Że zaś przyjęliśmy 6k=- za granicę natężeń na milimetr kwadratowy, przeto

Q = 30380mmk',95.

Taka być powinna powierzchnia przecięcia w przypadku ednostajnego rozkładu ciężarów na całem przęśle. Zobaczmy teraz, czy byłaby dostateczna w obec najniekorzystniejszego działania obciążeń.

r~

Ponieważ przypuszczamy m=600mm‘, a - = 0,0005,

1₌ _J__

L2a 10,373

jYl

przeto wypadające zlad wartości - — 0,0525 czynią zadość warunkom zasadniczym wzoru (ust. n. 115) Q=^(X + £ Y),

414

gdzie

X = 4,745, Y —3,057,

bo \ jest zawarte między 0,35 i 2,47. Ztąd wypada

Q = 34087mmk-.

W przypadku jednostajnego obciążenia całego pokładu przecięcie łuku powinno wynosić 30380mmk-, gdy tymczasem w przypuszczeniu najgorszego rozkładu ciężarów dochodzi do 34087mrak-, a więc wzrasta o 3707mrnk-, to jest w stosunku 12,2 od sta. Ztąd wnosimy, że gdy praca metalu wynosi najwyżej 6ks- przyjednostajnem obciążeniu, przecięcie leżące pod kątem a = 0,40ip pracuje z natężeniem 6k£-,73 przy najniekorzyst-niejszem rozłożeniu ciężarów. Różnica jest, jak widzimy, do-yć znaczna.

300

12

600

Fig. 86.

Biorąc liczbę 34087mmk- za podstawę rachunku, możemy nadać przecięciu poprzecznemu kształt przedstawiony na fig. 86,

«    .    7H

jako czyniący zadość warunkom — i —, któreśmy poprze dnio zastrzegli.

117. Przybliżone obrachowanie ciężaru łuku. —

Przy projektowaniu łuku metalowego trzeba znać jego ciężar, jako jeden z warunków koniecznie potrzebnych do badania

iio

natężeń metalu; gdy tymczasem ilość ta zależy w istocie od wielkości przecięcia poprzecznego, a więc nie może być z góry danę. Zwykle przypuszczamy najprzód wymiary dowolne i przekonywamy się rachunkiem, czy takie wymiary sę, czy nie sę dostateczne, W pierwszym razie nie pozostaje nic więcej do sprawdzenia ; w drugim zaś, gdy wywołane w metalu natężenia sę zbyt wielkie lub za małe, trzeba koniecznie zmienić pierwotne przypuszczenie i próby te należy powtarzać tak długo, aż wszystkie warunki wytrzymałości będę dostatecznie spełnione. Jest to robota dosyć długa, zwłaszcza gdy w braku doświadczenia wybieramy przecięcie bardzo różne od tego, które wybranem być powinno; wtedy bowiem trzeba przerabiać kilkakrotnie te same rachunki, zanim się natrafi na wymiary prawdziwe lub przynajmniej do prawdy zbliżone. Do uproszczenia takich poszukiwań posłużyć mogę następujęce uwagi.

Oznaczmy przez ii powierzchnię szukanego przecięcia stałego, przez 2cp rozwartość łuku, przez 2a jego cięciwę, przez f strzałkę, a przez py obciężenie całkowite łuku na jednostkę długości cięciwy wraz z jego własnym ciężarem. Weźmy pod uwagę samo tylko ciśnienie normalne P w któremkolwiek przecięciu, które dosięga swego maximum na podporze, to jest w płaszczyźnie łożyskowej łuku. Oddziaływanie podpory składa się z dwóch sił : jednej Q poziomej, czyniącej kat cp z prostopadła do krańcowego przecięcia, i drugiej p^a pionowej. Ciśnienie prostopadłe do podpory jest więc

Q dos cp + pya wst cp,

a zatem ciśnienie średnie ne jednostkę powierzchni przecięcia krańcowego jest

j!„_0 dos cp -t- piu wst c&

Ł>

W innych przecięciach trzeba dodać do natężenia normalnego

natężenie — sprawione momentem zgięcia; atoli wpływ tego

Mm

wyrazu może być znacznie osłabiony przez nadanie przecięciom odpowiednich kształtów, bo 1 może się powiększać, choć ß pozostaje stałem. Na zasadzie tej uwagi możemy przypuszczać a priori, że R" jest równe dwom trzecim największego natężenia R, to jest przyjąć R'' = 4ks-, gdy R = 6k&- na milimetr kwadratowy. Przecięcie ß wypadnie więc z równania

n_0 dos © -f- p,a wstcp

R"

- -⁵ —r-L i

2/‘

gdzie R" uważamy za znane. Za Q można przyjęć wartość przybliżony Q = 7r?(ust n. 105); a więc

R'

q_p^a a dos © 2/\vst ©

Ciężar/?! wyrażajęcy całkowite obciężenie łuku na jednostkę długości w rzucie poziomym składa się z ciężaru łuku, liców, więzań, pokładu i wreszcie z ciężaru przypadkowego. Jeżeli nazwiemy 2S długość włókna środkowego, a II ciężar jednostki objętości metalu, ciężar własny całego łuku będzie

ß.2SH, a na jednostkę bieżęcę w rzucie poziomym

ü.2sn

2a ;

bo łuki metaliczne sę zwykle mocno spłaszczone i błęd w poprzednim wyrazie jest nieznaczny. Lice, więzania, pokład mostu i inne jego uboczne części sę zwykle z góry znane, jeżeli nie zupełnie to przynajmniej w przybliżeniu, a ciężar przypadkowy jest wskazany przepisami bezpieczeństwa publicznego (*) ; można więc uważać te obciężenia jako znane.

(ł) We Francyi up. obciążenie przypadkowe wynosi 4000 kg. na metr bieżący drogi żelaznej pojedynczej, gdy otwór mostu jest większy od 30m ; rośnie ono jednak w miarę zmniejszania się otworu, tak że dla mostów trzeclimetrowych wynosi 8000 kg. W mostach pod drogi zwyczajne przyjmuję Francuzi 400 kg. na metr kwadratowy pokładu.

KSIÇGA I. ŁUKI METALOWE. — LOZDZIAŁ ll.

Oznaczając ich summę przez p mamy

il. 2S1I 4- //

Pi =

2#

a wprowadziwszy tę wartość do wzoru poprzedzającego

n_il.2SÏ1 -\-p' a dos 9 -f- 2/\vst 9

- — . - —, ¹ ₅

R"

zkąd wreszcie

„_ p (a dos © 4- 2/'wst 9)

4/'R"— 2Sll(a dos 9 4- 2/‘wstęp)

Pomnożywszy O przez 2SÏT otrzymamy ciężar całkowity łuku.

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERYALÓW.

27

KSIĘGA DRUGA

o

POWIERZCHNIE.

ROZDZIAŁ I

I OSTAT NI

POWIERZCHNIE WALCOWE I KULISTE.

i IB. Wstęp. — Przez powierzchnię w znaczeniu techni-cznem tego wyrazu rozumiemy materyalną powłokę, maj a ca bardzo małą grubość w porównaniu do szerokości i długości ; lak samo, jak nazywamy łukiem belkę krzywą o małych wymiarach poprzecznych i znacznej długości. Z określenia tego wynika, że między łukiem i powierzchnia zachodzi wielkie podobieństwo, które wiąże w jednę całość te oba rodzaje brył geometrycznych, a ich prawa odkształceń zamyka wjednej leoryi.

Z uczonych prac najpierwszych matematyków w tym przedmiocie nie możemy wyciągnąć żadnych korzyści praktycznych, bo ich badania odnoszą sie głównie do odkrycia prawa drgania w błonach sprężystych, i prowadzą do równań o różniczkach częściowych, które tylko w kilku szczególnych przypadkach żcałkować można. To zaś, co inżyniera zajmować może, ogranicza się na poznawaniu wytrzymałości i odkształcenia brył Walcowych prostych, jakiemi są rury i kotły wystawione na silne parcie z wewnątrz lub z zewnątrz, Rury np. wodociągowe lub prowadzące parę wodną muszą przedstawiać należyte warunki mocy i taniości, a drganie ich jest zupełnie rzeczą podrzędną i nieznaczącą. Ograniczając zatem teoryę powierzchni na przedmiocie rur i kotłów parowych czynimy zadość wymaganiom potrzeb inżynierskich, a tein samem nie przechodzimy zakresu tej książki.

119. Powłoka walcowa o przecięciu eliptyczneni z małym mimośrodem. — Wyobraźmy sobie rurę walcową o przecięciu eliptycznem, poddaną parciu płynów działających na obiedwic ściany powłoki, a których wypadkowa zwana ciśnieniem rzeczywistem, jest równa różnicy parć zewnętrznych i wewnętrznych. Widoczną jest rzeczą, iż profil eliptyczny tej bryły będzie miał po odkształceniu formę elipsy

nsi

ÉÊÊM '1

JC

.. ..

§Si

Fig. 87.

lub bardzo do elipsy zbliżoną. .Jakoż osie tej krzywej są zarazem osiami symetryi, a więc są jeszcze normalnemi do krzywej odkształconej ; że zaś krzywizna elipsy pierwotnej zmienia się od jednego punktu do drugiego w sposób ciągły a powolny, przeto też krzywa odształcona musi mieć kształt ciągły bez nagłych zmian kierunku. Będzie to więc elipsa o innym mimośrodzie lub krzywa do elipsy podobna.

U ważmy więc włókno środkowe znajdujące się W połowie grubości powłoki ABGD (fig. 87), której długość w kierunku

prostopadłym do figury jest równa jedności. Przez środek elipsy O poprowadźmy dwie średnice główne GA i BD, i wziąwszy je za osie współrzędne x i y, oznaczmy przez p ciśnienie rzeczywiste odniesione do jednostki powierzchni, czyli nadmiar ciśnienia wewnętrznego nad zewnętrznem, jeżeli pierwsze z nich jest większe od drugiego ;

a połowę osi GA ; b połowę osi BD ;

x i y współrzędne jakiegokolwiek punktu elipsy środkowej ; e grubość powłoki.

Uważmy górną połowę elipsy ABC i szukajmy momentu zgięcia w jakiemkolwiek przecięciu E określonem współ-rzędnemi x i y. Na tę połowę elipsy działa parcie gazu rozłożone w stosunku p kilogramów' na jednostkę powierzchni, i oddziaływania przecięć A i C, czyli siły zastępujące drugą połowę powłoki. Oddziaływanie w przecięciu A musi być prostopadłe do osi x, gdyż symetrya wymaga, aby działania jednej połowy elipsy na drugą były symetryczne względem linii nieruchomej GA, i żeby czyniły zadość zasadom elementarnym o równości działań i oddziaływań co do wielkości i kierunku. Wiadomo przytem, że wypadkowa ciśnień na łuku ABG jest prostopadła do średnicy AG i równa iloczynowi 2pa (*) ; ponieważ zaś oddziaływania przecięć G i A są

(*) Niech ABCD (lig. 88) oznacza połówkę elipsy poddanej działaniu sił normalnych F t:a jednostkę długości łuku. Na jakikolwiek element BC = ds przypada siła F du, której

a!—

;c.

jtr

—:D

A'-----

'«TT

Fig. 88.

składowe, prostopadła i równoległa do średnicy AD, s§ Fj i Fj. Summa sił Fs dla całego

sobie równe z powodu symetryi całego systemu, przeto każde z nich wynosi pa. Atoli o punkcie przyczepienia takiej siły międzycząsteczkowej nic z góry nie wiemy, i chcąc ją uważać jako przyczepioną do włókna środkowego, musimy dodać parę sił 7j powstałą z przeniesienia siły z jednego miejsca w drugie. Zważywszy teraz, że oddziaływanie w przecięciu A jest skierowane z góry ku dołowi (bo przypuszczamy, iż ciśnienie rzeczywiste jest wewnętrzne), i że ciśnienie gazu na cześć AE jest równe ciśnieniu na linię łamaną A FE, układamy następujące równanie

y~ H- (ö — a-)² —pa(a — x) H- rr

Pierwszy wyraz drugiej strony jest dodatni, bo ciśnienie gazu na łuk ÂE stara się obrócić swój punkt przyczepienia w kierunku od osi x ku y\ drugi zaś wyraz jest odjemny, bo oddziaływanie pa sprawia skutek przeciwny. Rugując y za pomocą równania elipsy z k tor ego wypada otrzymujemy

półokręgu jest równa zeru, bo każdemu elementowi BC odpowiada drugi symetryczny B'C', nu który działa siła F'g równa co do wielkości a przeciwna co do kierunku si!e F₂. Do znalezienia wypadkowej pozostaje więc tylko dodać siły Fj. Otóż

/ F₁ = Fds.wsta albo F₁=F.a6J

a zatem wypadkowa tych sił równoległych będzie

— Fsaît = F.Aü, e. b, d. o.

lub

Przecięcie E obraca się względem przecięcia leżącego na Ą/jds

odległości ds o kąl —- (ust. n. 100), gdzie I oznacza moment

Jiil

bezwładności; a że obrót względny przecięć A i B powinien być równy zeru, przeto musimy mieć

Mds

El °’

rozciągnąwszy całkę do całego łukn AB. Zatem

X — ((,

M ds = 0,

X— 0

czyli

ds=0.

X=0

Oznaczając teraz przez S długość łuku AB, otrzymujemy

.r~o

— 0.

■T=0

Do rozwiązania całki J*x*ds użyjemy metody przybliżonej przy puszczając mały mimośród w. elipsie. Wiadomo, iż j

x-ds

przedstawia summę momentów bezwładności łuku AB względem osi y\ gdyby więc ten łuk był częścią koła o promieniu a, mielibyśmy

x^ds=

InSI

JL—((

X—U

a-ds=~a~S.

2

.r~o

.r~o

T—o

r=o

Elipsa o małym mimośrodzie jest. bardzo podobna do koła,

KSIĘGA II. POWIERZCHNIE. — ROZDZIAŁ I.

a więc mamy z wielkiem przybliżeniem

f [b² ~ a²) S + V- {a² - b²) S -t- tß = 0,

2*    4

zkad

V)—

(:2x² — a-).

Wstawiwszy zaś tę wartość w równanie momentu, otrzymamy 4 a²

Zatem moment zgięcia jest najprzód odjemny w pobliżu punktu B, potem maleje co do bezwzględnej wartości i staje a

się zerem dla x= — , czyli w środku luku AB, jeżeli tenże

jest częścią koła. Posuwając się dalej ku punktowi A zmienia swój znak na dodatni i rośnie ustawicznie aż do wartości

- (a² — b²), której dosięga w punkcie x — a. Ta zmiana znaku 4

w momencie zgięcia dowodzi, że krzywizna powłoki zwiększa się przy wierzchołku małej osi, a maleje przy końcu wielkiej ; gdyż obrót względny dwóch normalnych sąsiednich odbywa się w kierunku y do x w punkcie B, a od x do y w punkcie A.

Znajęc M możemy obliczać największe natężenia rozmaitych przecięć za pomocę. wzoru

Ph ICJ

Mc

Oznaczywszy grubość powłoki przez e, mamy na jednostkę długości rury

ii=e,

a stosując wzór powyższy do punktu A, czynimy w nim

P =pa,

M = £(«=-4*),

zkąd

pa .‘i ß² — b~

-7 ⁺ ïp-?-;

ale w tym wzorze a i b oznaczają półosie elipsy odkształconej; trzeba więc znaleźć przyrosty półosi pierwotnych an i b₀. W tym celu zastosujemy do punktu A równanie (1) ustępu n. 100,

A.r, = Ar₀ — p,/yl ~ Ih) + (

•æ₀

f (ï,_?/)lî

0

Jeżeli oznaczymy przyrosty osi przez A a i Ab, i weźmiemy punkt B za początek całkowania, musimy wstawić wpowyż-szem równaniu

(t)

—- dż +

Eß

ds.

f

‘ xo

A W dy _

km dxflx

Ar, —A a,    Ax₀=0, p₀ = 0, i/i = 0.

Opuszczając więc natężenie poprzeczne mamy :

f.

I> , raMi, ds ,

Eli

Otóż siła P jest równa pa w punkcie A, a pb w punkcie B, to jest posiada prawie stałą wartość, bo a i b są niemal sobie równe, '/c zaś siła ta, odniesiona do jednostki powierzchni nie powinna przenosić trzech kilogramów na milimetr kwadratowy, któremu to natężeniu odpowiada wydłużenie względne 0,0001 lub 0,0002, przeto można ją zupełnie pominąć w obliczaniu przyrostu Aa i przyjąć

Aa —

*" My ds El dx

dx.

Wstawiając teraz za M znalezioną powyżej wartość momentu, otrzymujemy

dx.

V er —Id r '¹ .    ₂    , ds

•4EI cd J (~l a ^ clx

o

Otóż uważając krzywą AB załuk koła mamy

cis

OE

dx dosOEF

EF

as i a

a ztąd

A« — TVT

p <r — b*j" 0

4EI

(2./r — a-) dx — —

pa²

li El

e:j

lub jeszcze, mając na uwadze I = —

12

Aa = a — a₀= — g- (a* - //).

Ażeby znaleźć Ab, dosyć jest wstawić w tem równaniu b za a, a a za b ; zatem

(2)

(3)

A6 = 4-i#=g (a* — **).

Zobaczmy jeszcze, jakiej zmianie ulega pierwotny mimo-śród s₀. Oznaczywszy mimośród elipsy odkształconej przez s mamy

cd — b- _ (a — b)(a -4- 6)

a²

ar

. * _ «o² — V _ K — ⁶oX"o -+- *..)

£0 - _ v    - -4    ’

O₀

a że a rożni się mało od b, a o₀ mało od b₀, przeto

2(a— b)

_ 2(an — />„).

zkąd

w-

£o »

przypuszczając, iż wymiary elipsy nie zostały mocno naruszone. Ale z wzorów (2) i (3) wypada

2/?a²

Ee³

4/?as

E<?³

(a—Ä),

zkąd

1/

Gdyby zaś ciśnienie było zewnętrzne a nie wewnętrzne, mielibyśmy

w I uT

)/

Zatem mimośród elipsy zmniejsza się w skutek ciśnienia wewnętrznego, a zwiększa w skutek zewnętrznego. W pierwszym przypadku e jest zawsze rzeczywiste, ale w drugim wypada urojone, gdy tylko mianownik jest odjemny i nie czyni zadość warunkowi

4pa*

Ee*

(a- b) > 0,

albo

_/4 p(a — b)

V “1

Oto jest granica niższa grubości, której nie powinny przechodzić kotły lub rury wystawione na zewnętrzne ciśnienie.

Wstawiwszy w równaniu (I) iloczyn a-sr w miejsce a- — i², otrzymujemy wzór

• II

toi w

sa-

fo

który pokazuje, że natężenie powłoki rośnie bardzo szybko z mimośrodem elipsy.

120. Powłoka walcowa o przecięciu kołowem. —

Z tego co właśnie powiedzieliśmy wynika, że przecięcie kołowe jest korzystniejsze pod względem wytrzymałości od wszystkich przecięć eliptycznych. Jakoż, gdy a — b, mimo-śród elipsy i moment zgięcia staja się zerem, a natężenie na jednostkę powierzchni sprowadza się do najmniejszej wartości gdzie o. oznacza promień średni powłoki walcowej mającej długość równą jedności. Ilość p oznacza tutaj nadmiar p—p^ ciśnienia wewnętrznego nad zewnętrzne, albo na przemian. Możemy więc napisać

zkad

« las

(Pi

— Pi)’

Ale wzór ten przypuszcza, iż promień średni różni się bardzo mało od promienia zewnętrznego i wewnętrznego, czyli że grubość powłoki jest bardzo mała. W przeciwnym razie daje on niepewne wypadki, gdyż różne włókna powłoki nie pracują z jednakowem natężeniem, jak to w leoryi przypuszczano. I tak, jeżeli a, i o% oznaczają promień wewnętrzny i zewnętrzny, a ds jest łuczkiem jakiegokolwiek koła, to wydłużenie tego

elementu wynosi , a wydłużenie całego okręgu wewnątrz-*    J li

R. 2~n₉    , , .

———co dowodzi,

nego i zewnętrznego jest

R. rl-zn.

ci IK

a₉

że promienie pierwotne ai i at zamieniają się na -t- i ^1+    | i że grubość pierwotna o₂—al przechodzi na

(a₂ — flj) ^1 + j. Zatem grubość powłoki zwiększa się przez

odkształcenie. Otóż wynik ten jest niedcrzeczny, bo każde ciało wyciągane w pewnym kierunku musi się zwężać poprzecznie; a więc i przypuszczenie równego rozkładu natężeń na wszystkie włókna powłoki jest nieuzasadnione i nie może być tolerowane w bryłach o znacznej grubości.

Widzimy z tego, iż włókna wewnętrzne pracują więcej od zewnętrznych i że różnica natężeń rośnie z grubością powłoki. Nie trzeba zatem sądzić, że podwojenie grubości blachy w kotle parowym upoważnia do podwojenia liczby atmosfer; trzeba się owszem starać o zmniejszenie grubości kosztem doskonałego inateryału, bo tylko tym sposobem można pomniejszyć nierówność natężeń w rozmaitych punktach powłoki.

121. Powłoka kulista i kocioł parowy. — Niech będzie powłoka kulista o promieniu wewnętrznym ri i zewnętrznym i\. Jej grubość t\—,\ = e ma być obrachowana w taki sposób, aby natężenie włókien nie przechodziło R' kilogramów

na jednostkę powierzchni, gdy ciśnienie wewnętrzne jest px a zewnętrzne pr

Równowaga wymaga, aby przecięcie zrobione jakąkolwiek płaszczyzną południkową miało wytrzymałość równą całkowitemu ciśnieniu płynów na jednę połowę kuli. Otóż powierzchnia takiego przecięcia jest równa obwodowi średniemu

2tc ¹¹    pomnożonemu przez grubość c, a jej wytrzymałość

całkowita jest

ciśnienie zaś całkowite na wewnętrzny półkulę jest a na zewnętrzną iu\-.pv tak że wypadkowa wszystkich ciśnień działających na połowę powłoki jest prostopadła do powierzchni przecięcia i wynosi

•— wy!pt.

Zatem

(r, -i- )\) eR —rfpi + rjp,,

lub też, zważywszy że rj i j\ są prawic równe promieniowi średniemu r,

MV— — ft),

zkąd

R’=^(Pi—Pdi 2R'(/y'

Powróćmy teraz do powłoki walcowej o przecięciu koło wem i zobaczmy jakie jest natężenie jej włókien w kierunku rodzących, dotąd bowiem rozbieraliśmy tylko wytrzymałość włókien w kierunku poprzecznym walca, nie zważając zupełnie na ciśnienie wywarte na jego podstawy. Niech więc będzie rura walcowa o promieniu średnim r i grubości e, zamknięta na obu końcach w dowolny sposób, a poddana ciśnieniu pl i pr Jeżeli oznaczymy przez IV natężenie wy wołane w jednostce przecięcia poprzecznego rury, wskutek parcia gazów na jej podstawy, natężenie całego przecięcia będzie 27r/\<?.R'. Równowaga wymaga, aby to natężenie było równe wypadkowej ciśnień działających na podstawę walca, czyli równe ilości ■xri(pi—pt); a zatem

2iw\e.R'=itr²(p₁ — />,),

zkąd

Widzieliśmy zaś w poprzedzającym ustępie, że natężenie włókien sprzeciwiające się rozszczepieniu rury na dwie części półwalcowTe wynosi na jednostkę powierzchni

Zatem

li! —

Il'

co znaczy, że w mrze walcowej zamkniętej, natężenie podłużne jest dwa razy mniejsze od natężenia poprzecznego. Ale w powłoce kulistej mamy także

R'=£⁽ft-/0

więc byłoby najodpo wiednie j zakończać kotły parowe powierzchniami półkulistemi. Natężenie takich pokryw byłoby równe natężeniu podłużnemu kotła, czyli połowie natężenia popi'zccznego. Mimo to używają w miejsce półkuli odcinków kulistych związanych mocnemi narożnicami z częścią walcową kotła (*).

W niektórych krajach wymiary kotłów parowych są przepisane ustawami rządowemi. We Francyi np. dawano im rubość

e — 0,0018 nd -t- 0m ,003,

gdzie d oznacza średnicę kotła wyrażoną w metrach, a n liczbę atmosfer rzeczywistych ciśnienia. Grubość tę zwiększano jeszcze o połowę dla kotłów z ciśnieniem zewnętrznem. Dzisiaj jednak porzucono te wszystkie przepisy tamujące rozwój fa-brykacyi, a kontrolę rządową ograniczono na doświadczalnem sprawdzaniu wytrzymałości kotłów pod ciśnieniem prasy hydraulicznej dwa razy większem od ciśnienia normalnego.

(¥) Powolna zmiana krzywizny w powierzchniach wystawionych na mocne ciśnienie płynów jest jednym z najważniejszych warunków wytrzymałości tychże. Dno prasy hydraulicznej służącej do podnoszenia przęseł mostu Britannia w Anglii oderwało się nagle podezas roboty, bo było prawie płaskie i nie łęczyło się stycznie ze ścianę wal-cowę pompy; przerobienie dna płaskiego na kuliste zapobiegło zupełnie dalszym wypadkom.

>

■

■

.

.

■

■

¹

Obie te krzywe będą miały część wspólną, dc, bo dla wszystkich punktów zawartych między kątami aj i <p obciążenie przypadkowe pokrywa cale przęsło tak samo, jak i obciążenie stale. Trzeba pamiętać, iż współczynniki q i nie zależą od wielkości, ale od sposobu obciążania; gdy więc między aj i » oba obciążenia są jednakowe, q i q\ muszą być sobie równe w tych miejscach.

CZEŚĆ III

o

BUDOWLE MUROWANE

122. Wstęp. — Przez stałość budowli w znaczeniu prakty-cznem tego wyrazu, rozumiemy jej zdolność utrzymania się w równowadze nie tylko pod działaniem danych sił zewnętrznych, ale także w obec sił zmiennych w pewnym stopniu. Teoretycznie rzeczy biorąc, żadne ciało nie może się utrzymać w równowadze, skoro tylko siły. zewnętrzne zmienią swój układ pierwotny, który tę równowagę stwarzał i zapewniał; ale w naturze choć to prawo sprawdza się najzupełniej, wTolno jest nazwać równowagą stałą całą grupę stanów odmiennych, które toż ciało w obce zmieniających się sił zewnętrznych kolejno przybiera; gdyż zmiana pierwotnego układu sił sprawia na ciałach naturalnych inne skutki, jak na ciałach sztywnych, nieściśliwych, o których mówi Statyka rozumowana. Mianowicie ciała naturalne kurczą się, rozciągają lub wyginają w pewnym stopniu, zanim owa zmiana pierwotnego układu przejdzie pewne granice, i obaleniem bryły lub jej stłuczeniem zerwie zupełnie równowagę ; ciała zaś sztywne Mechaniki analitycznej nie posiadają tej własności i tracą równowagę za najmniejszą zmianą

WYTRZYMAŁOŚĆ MATER Y A ŁÓW»

pierwotnie równoważących się sił zewnętrznych. Istnieje wprawdzie i w mechanice tych ciał idealnych pewien rodzaj równowagi stałej, który tem się cechuje, że nadaje bryle dą-żność do powrotu w dawne położenie, gdy się ja odwiodło nieskończenie mało ze stanu spoczynku ; ale w naturze, gdzie siły zewnętrzne zmieniają się w znacznym stosunku, taki stan spoczynku stałego nie mógłby budzić ufności. Mówiąc krótko, w świecie ciał naturalnych, równowaga stała ma wtedy miejsce, gdy utrzymuje się statecznie, pomimo zmiany kierunku sił zewnętrznych i ich natężenia. Dzięki mocy i sprężystości materyału, skutki takowej zmiany uchodzę prawie niepostrzeżenie, gdyż tłumaczę się małem odkształceniem bryły i zmienieniem wewnętrznych natężeń, bez naruszenia równowagi. Oczywiście, że wszystko to jest tylko dotęd prawdziwem, póki nie przejdziemy pewnych granic odkształcenia i wysiłków, które każdemu ciału sa właściwe i przyrodzone.

W pierwszych dwóch Częściach niniejszego Wykładu, rozbieraliśmy wytrzymałość ciał jednolitych, tutaj zaś zajmiemy się badaniem stałości ciał złożonych z dowolnej liczby części, obejmującej nie tylko właściwę moc, czyli wytrzymałość po-jedyńczych kawałków bryły, ale także warunki równowagi jednych kawałków względem drugich. Kamienie np. wcho-dzęce w skład sklepienia mogę wyślizgiwać się z pomiędzy warstw je otaczających, lub też obalać się koło jednej z krawędzi zupełnie niezależnie od swej wytrzymałości przeciw /gniecieniu i rozerwaniu. Tę moc brył jednolitych, to jest ich zdolność opierania się niszczącym wpływom działań zewnętrznych, poznaliśmy w pierwszej i drugiej Części ; pozostaje więc zbadać warunki równowagi całego układu brył oddzielnych, z uwzględnieniem pewnego nadmiaru stałości teoretycznej, nadmiaru utrwalającego ich równowagę.

Z wyjątkiem budowli murowanych, wszystkie inne mogę być uważane za bryły jednolite, bo ćhociaż składają się z oddzielnych części, tak samo jak każde sklepienie albo mur kamienny, jednak przystaję do siebie bardzo dokładnie i więżę się silnie sztucznymi sposobami, które mianowicie w metalowych budowlach polegaję na śrubowaniu i nitowaniu. Cement, gips lub wapno jest także w stanie spoić mocno dwie cegły lub kamienie, a jak dowodzę przykłady starożytnych budowli Rzymian, może nawet swa siłę lepiącą zastępie zupełnie spójność kamienia jednolitego, ale na doczekanie się tego skutku, potrzeba wiele czasu. Zresztą przymiot zaprawy sztucznej zależy od jej gatunku, od sposobu przyrządzania i użycia, a wdęcjest zmienny i niepewny, Można zatem powiedzieć, że budowle murowane tworzę pod względem wytrzymałości odrębny typ brył złożonych, różnięcy się bardzo znacznie od brył jednolitych, któreśmy objęli w⁷ działach belek prostych i krzywych.

Trzy sę warunki równowagi brył murowanych : warunek wywu-otności, przesuwania się powierzchni stosugowych i rozgniatania się kamieni. Pierwszy z nich oblicza się na zasadach Mechaniki, w sposób zupełnie racyonalny i czysto teoretyczny; drugi wymaga już pewnych 'danych doświadczalnych, jakiemi sę spójność i tarcie ; trzeci także łęczy w sobie zasady teoretyczne z danemi praktycznemi; bo wymaga porównali między natężeniami przewidzianemi i wytrzy-małościę praktyczna kamienia ; wszystkie zaś trzy odnoszę się zarówno do całej bryły i do każdej w⁷arstwy osobno uważanej .

Zdawałoby się na pierwsxv rzut oka, że tak szczegółowe badanie stałości każdego kamienik wymaga długich rachunków⁷ i tak by było w⁷ istocie, gdybyśmy nie znali metod ogólnych i prawa więżęcego z sobę dwie sęsiednie warstwy, tak pod względem ich kształtu, jak i sposobu oddziaływania. Gdy jednak kształty warstw po sobie następujęcych zmieniaję się w sposób cięgły, a siły działajęce na te warstwy sę także iunkeyami pewnych

zmiennych ciągłych, przeto wnosić można z podobieństwa przyczyn o podobieństwie skutków, i upatrzyć ogólny metodę postępowania, któraby te rachunki uprościć zdołała.

W badaniu stałości brył murowanych mamy albo warstwy rzeczywiste, albo części oddzielone od siebie stosugami ideal-nemi, które w naturze nie istnieję i sy prostym wymysłem rachunku. Oprócz oddziaływań normalnych, rozłożonych podług pewnego prawa na płaszczyźnie stosugi, trzeba także uwzględnić oddziaływania styczne, to jest równoległe do tej płaszczyzny. Sy to natężenia poprzeczne bryły. Gdy płaszczyzna stosugowa jest rzeczywista, oddziaływania styczne muszy być równoważone tarciem stykających się z soby powierzchni, bo spójność wapna nie bierze się w rachunek ; gdy zaś sto-suga jest idealna, oprócz tarcia trzeba jeszcze uważać spójność czystek, należycych do jednej i tej samej bryły jednolitej.

O prawach tarcia poślizgowego wiadomo nieco od czasu sławnych poszukiwań Coulomb’a, ogłoszonych w r. 1781, pod tytułem : Théorie des machines simples, a które później -szemi pracami w tym przedmiocie zupełnie zostały potwierdzone. Wiadomo, że tarcie między dwiema bryłami w spoczynku zostajycemi ma za granicę siłę skierowany w stronę przeciwny ruchu względnego, którybyśmy stworzyć chcieli, a równą co do natężenia iloczynowi z ciśnienia normalnego przez pewny liczbę zależny od gatunku stykających się z soby ciał naturalnych. Liczba ta zwie się współczynnikiem tarcia. Gdy przewidziany ruch względny przychodzi do skutku, tarcie jest równe swej granicy, przeciwne ruchowi co do kierunku, a proporeyonalne do ciśnienia. Po rozpoczęciu ruchu współczynnik tarcia staje się nieco mniejszy, jak w ostatniej chwili spoczynku, ale nie zależy od prędkości względnej ; że zaś tarcie całkowite jest proporeyonalne do ciśnienia całkowitego, przeto współczynnik tarcia nie zależy od wielkości powierzchni trycej.

część III. — BUDOWLE MUROWANE.

Nazywamy katem tarcia, kąt mający styczna trygonometryczną równą współczynnikowi tarcia, tak że oznaczywszy pierwsza z nicli | rzez a, a drugi przez f, mamy

/'— st.a.

Różne wartości tego współczynnika znajdują się w tablicy III na końcu dzieła.

Co się tyczy spójności kamieni i zapraw lepiących, nie wiele dotąd wiadomo, a główne jej prawa polegają na powszechnie uznanem przypuszczeniu, że spójność jest proporcyonalna do powierzchni zetknięcia i zupełnie niezależna od ciśnienia. Wszakże ten brak dokładnych danych nie daje się czuć w zastosowaniu, bo albo ich zupełnie nie potrzeba, albo też z umysłu bywają pomijane, jak np. w przypadku budowli murowanych, gdzie spójności wapna nie bierze się w rachunek, wychodząc z tej zasady, iż tarcie samo przez sic powinno zapewniać równowagę.

Księgę pierwszą poświęcamy stałości sklepień i podpór skle-piennych, drugą zaś stałości murów oporowych; zanim jednak przejdziemy do szczegółowego rozbioru tego przedmiotu, wypada nam wspomnieć o tak zwanej krzywej ciśnień, jako jednej z owych metod ogólnych ułatwiających badania równowagi.

Wyobraźmy sobę bryłę murowaną, o kształcie dowolnym ale foremnym, złożoną z kamieni lub cegieł układanych podług pewnego prawa np. w warstwy poziome albo pochyłe i równoległe, lub wreszcie zbieżne do jednego lub kilku środków, i przypuśćmy, że siły zewnętrzne przyczepione do różnych części téj bryły są także podległe pewnemu prawu ciągłości, np. jak parcie wody na różne części zastawy, albo jak ciężar muru zawartego między sklepieniem mostu i pokładem drogi. Uważmyjednę z warstw pojedynczych i złóżmy jej ciężar wraz z przypadającem na nią obciążeniem i oddziaływaniem w jedne siłę wypadkowy. Siła ta spotka stosugę uważanej warstwy w pewnym punkcie au Zróbmy to samo z siłami od-powiadajacemi warstwie drugiej, trzeciej, i t. d. aż do ostatniej, znaczęc ci§gle punkta spotkania as, a₈, ... an, wypadkowych z odpowiedniemi stosugami. Szereg tych punktów utworzy takg krzywy at a₂ a₃ .. . an, że jej przecięcie z idealnemi płaszczyznami poprowadzonemi w któremkolwiek miejscu bryły podług tego samego prawa co i inne stosugi, będ§ zarazem punktami przyczepienia ciśnień wypadkowych, które w tych płaszczyznach rzeczywiście działajg. Ta to krzywa zwie się krzywg ciśnień, bo wyznacza punkta przyczepienia ciśnień wypadkowych, i daje pojęcie o rozkładzie i kierunku oddziaływań, jak to później obaczymy.

KSIĘGA PIERWSZA

STAŁOŚĆ SKLEPIEŃ

ROZDZIAŁ I

SKLEPIENIA WALCOWE PROSTE

123. Określenia. —Przez sklepienie rozumiemy bryłę kamienny lub ceglany, złożony z pewnej liczby kawałków zwanych zwornikami i spoczywajycy na dwóch lub kilku podporach. Zwornik w najwyższym punkcie sklepienia osadzony zwie się kluczem, a miejsce zetknięcia dwóch warstw kamienia nosi nazwę stosugi łożyskowej. Wreszcie podniebieniem zwie się strona wklęsła, grzbietem strona wypukła, a czołem strona licowa sklepienia.

Mury noszące sklepienia sy murami oporoivymi ; łożyska warstw, na których sklepienie spoczywa zwiemy łożyskami oporoivemi ; punkt największego wzniesienia w podniebieniu ponad płaszczyzny łożysk oporowych wierzchołkiem, linię prostopadły mierzycy to wzniesienie strzałka, a odległość murów oporowych otworem sklepienia.

Gdy podniebienie sklepienia jest utworzone ruchem prostej, opierajycej się na półkolu prostopadłemdo jej kierunku, a którego średnica jest równa odległości podpór, sklepienie takie zwie się półkołowemgdy zaś ta linia suwa się po elipsie lub krzywéj o kilku środkach, której oba końce są styczne do podpór, sklepienie jest eliptyczne lub koszykowe. Nazywamy znowu sklepieniem łukowem takie, które ma za kierownicę łuk koła mniejszy od 180°, a gotyckiem sklepienie o łuku strzałkowym, to jest złożonym z dwóch łuków koła, stycznych do obu podpór, ale przecinających się w kluczu pod kątem ostrym. Prócz tego rozróżniamy w ogóle sklepienia spłaszczone od podniosłych, kiedy strzałka łuku tworzącego podniebienie jest mniejszą albo większą od połowy cięciwy tegoż łuku, czyli od połowy odległości podpór.

Oprócz tych sklepień, które nazwać można icalcowemi albo beczułkowemi, dla ich charakterystycznego tworzenia się, istnieją jeszcze sklepienia krzyżmcc i klasztorne, powstające z przecięcia się dwóch sklepień walcowych o tej saméj rozwartości i strzałce; dalej sklepienia kuliste, kopułowe i obrotowe zrodzone obrotem ćwierci koła około osi pionowej lub w ogóle obrotem jakiejkolwek krzywej około pewnej osi pionowej, przechodzącej przez jej środek symetryilub też położonej na zewnątrz ligury. Mamy także sklepienia ukośne, kształtu walca z podstawami ukośnemi względem jego osi, tudzież sklepienia o powierzchniach skośnych alb.o wichrowatych, kształtu paraboloidu hiperbolicznego i inne tym podobne (*).

W Rozdziale bieżącym wyłożymy zasady równowagi sklepień walcowych prostych, odkładając resztę sklepień do następującego Rozdziału.

124. Dawna teorya stałości sklepień walcowych. —

Dawny sposób sprawdzania stałości sklepień, datujący się od słynnego geometry La Hire’a (**), a więc od początku ośmna-(*; Czytelnika chcjcego zapoznać się z praktyczny strony budowy sklepień odsyłamy do « Przewodnika dla mularzy » Władysława Hirszla w « Bibliotece rzemieślnika polskiego », Warszawa, Gebethneri Wolff, 1373, — str. 193 i następne.

{**) Histoire de VAcadémie des Sciences, année 1712.

stego stulecia, polegał na przypuszczeniu, że sklepienie nie mogące utrzymać się w równowadze pęka w miejscu leżę-cem na połowie drogi między kluczem a podpora. Pomimo błędności tego przypuszczenia i innych niedostatków, które Couplet w dwóch rozprawach, przedstawionych Akademii francuzkiej (wr. 1729 i 1730) usunąć usiłował, teorya La Hire’a była przez wiek cały jedynę podstawę rachunku sklepień (*). W końcu zeszłego wieku Coulomb (**) ogłosił rozprawę o wytrzymałości słupów, murów oporowych i sklepień, z uwzględnieniem tarcia i Spójności, i praca tę przyczynił się najwięcej do rozwoju późniejszych metod, wykazujęc analitycznie punkta najsłabsze sklepienia. Te badania teoretyczne poparł i uświęcił Boistard swemi doświadczeniami, w których głównie starał się uwidocznić sposób odkształcania i pękania sklepień. Zauważał on, że w chwili zapadania się sklepień, roztwieraję się stosugi na podniebieniu klucza i na grzbiecie w pobliżu podpór, jak to widać na ligurze 89, i że podpory wywracaję się około krawędzi zewnętrznych na podstawie. Czasami sklepienie pęka w kluczu i blizko podpór, ale nie roztwiera się widocznie, a podpory posuwaję się na swych podstawach, nie zchodzęc wcale z pionu. Niekiedy znowu sklepienie pęka w tych miejscach, co w pierwszym przypadku, z tę tylko różnicę, iż szpara jest na grzbiecie klucza i na podniebieniu blizko podpór, które chylę się ku wnętrzu przestrzeni zasklepionej (lig. 91). Można więc na zasadzie tych spostrzeżeń uważać sklepienie beczułkowe, jako bryłę złożonę z czterech części, które powinny nawzajem utrzymywać się w równowadze.

Rozbierzmy najprzód przypadek pierwszy, gdy sklepienie spada na dół, a podpory obalaja się na zewnętrz przestrzeni

(*) Jeszcze w Traité de construction Sganzin’a, wydaaem w r. 1821 znajdujemy tablice obliczone podług wzorów La Hire’a.

(**) Essai sur une application des règles de maxirnis et de minimis à quelques problèmes de Statique relatifs à iArchitecture, 1773.

zasklepionej (fig. 89). Możemy przyjęć teoretycznie, iż w chwili zerwania równowagi cztery pomienione części sklepienia do-tykaję się jedne drugich i podstawy pięcioma krawędziami a, b, c, au by-, a więc te części sę w takim samym stanie równowagi, jak proste ab, bc, cbv b₁ av którychby ciężar był równy ciężarowi odpowiedniej grupy zworników, a którychby środki ciężkości leżały w punktach G',</', to jest na pionowych wyprowadzonych ze środków ciężkości G, g, tychże warstw kamienia.

c

ZET

«7

Fig. 89.

Dla uproszczenia rachunków dosyć jest uważać pas sklepienia majęcy jeden metr długości w kierunku osi. Oznaczmy cd przez x, de przez x, ef przez y, fa przez y , bh przez z, ai przez z, i nazwijmy P ciężar części cb, a P' ciężar części ba.

Ciężar P przyczepiony w punkcie G albo G' albo nawet h

rozkłada się na dwie części pionowe : jednę P- przyczepionę . *2?

%JC - z

w punkcie c, druga P—— przyczepionę w b. Ciężar znowu P' działajęcy na punkt g albo na i, daje się również zastępie

wisi

dwiema składowemi pionowemi, z których jedna P'-x—z

w punkcie b, druga zaś P'

w punkcie o. Części cbx i bxax daję takież same składowe przyczepione w punktach c, bx i ax.

W punkcie c działa więc siła pionowa 2P--, którę można

rozłożyć na dwie inne, równe sobie, a skierowane po cb i cbv Jeżeli K oznacza jednę z tych składowych, mamy

K : 2P- ==cb :

albo zkęd

Ponieważ ta siła K działa w kierunku linii cb, możemy przypuścić jej punkt przyczepienia w b i rozłożyć ja znowu na dwie

Z\jx² -4- )f    x

\jxi -4- If

2

inne : pionowę P^- i poziomę P

xy

czyli P - •

Uważajac więc część ab widzimy, że jest wystawiona na działanie siły poziomej P- w punkcie b, i sił pionowych P ,

PJ'    i P-, z których pierwsza jest przyczepiona w punkcie

g, a dwie drugie w punkcie a ; żeby więc mogła się utrzymać w równowadze, musimy mieć

PV+ /P-—- + piW — P V > 0, \ x x)    y

PY+PY —    > 0.

Dodając i odejmujęc Pz po pierwszej stronie tej nierówności, otrzymujemy

PV H- P(Y 4- s] — ( P; + p:ZJL ) > 0.

PY wyraża moment statyczny części ab względem punktu a, P(Y -f- z) jest momentem zworników b: względem tegoż samego punktu; a więc ich summa jest równa momentowi PA połowy sklepienia względem punktu a, gdzie F oznacza ciężar P -i- P' całej połowy, a A odległość poziomę środka ciężkości tej połowy od punktu a.

albo

Wyraz Ps + P^- sprowadza sie do kształtu P⁺

y    '    y

PH

'-ï jeżeli oznaczymy przez H całkowity wysokość sklepienia

z -r- z ; więc

FA — PH- y 0,

albo jeszcze

>0.

Wyrażenie to pokazuje, że równowaga nie może mieć miejsca, gdy wyraz odjemny jest większy od dodatniego co do bezwzględnej wartości ; dalej, że równowaga teoretyczna może istnieć przy równości obu wyrazów, i że stałość będzie tern większa, im wyraz pierwszy będzie większy od drugiego.

Ponieważ

albo

FA    z

-j-jj- jest stałe, a P- .zmienne, przeto widoczny

KSIĘGA f. STAŁOŚĆ SKLEPIEŃ, — ROZDZIAŁ I.

44o

jest rzeczą, iż sklepienie pęknie nąjpręclziej w tem miejscu,

w którem jest maximum. Chcąc więc wnioskować o stałości sklepienia projektowanego, trzeba znaleźć stosugę dający P- maximum. W tym celu bada się stosugi leżące w okolicy

punktów, które uważamy na oko za najsłabsze i obliczywszy odpowiadające im wartości P, y i z, wybiera się największy

by go wstawić w powyższą nierówność. Gdyby

z wyrazów P- ,

wypadł za wielki, trzebaby poszerzyć podporę w takim slo-FA

pniu, aby wyraz — zwiększył się należycie.

W tem co poprzedza przypuszczaliśmy tylko ciężar własny sklepienia, ale zwykle znosi ono całą bryłę muru, tudzież inne obciążenia stałe i przypadkowe. W takich razach siły PjP i F obejmują nie tylko ciężary odpowiednich części samego sklepienia, ale zarazem ciężary przypadkowe i stałe ; środki zaś ciężkości wynajduje się z uwzględnieniem tychże obciążeń (*).

(*) Rysunek służęcy do oznaczenia miejsc słabych, to jest stosug pęknięcia, należy robić na wielkę podziałkę, aby ułatwić i pewuiejszem uczynić oznaczenie środków ciężkości i zmierzenie powierzchni. Dla uproszczenia tej roboty używa się niekiedy następującego sposobu praktycznego.

•H-

Fig. 90.

Wycięwszy z grubego papieru, kartonu lub blachy cynkewej powierzchnię ABCD

CZĘŚĆ III. — BUDOWLE MUROWANE.

44«

Przypuśćmy teraz drugi przypadek, w którym podpory sklepienia rozsuwają się pod działaniem siły poziomej Oczywisty jest rzeczy, że ruchu tego nie będzie, gdy

Fk> PÎ,

gdzie k oznacza współczynnik tarcia (ust. n. 122) podpory o podstawę, wynoszycy mniej więcej 0,76.

Wreszcie trzeci przypadek zapadania sklepień, który wtedy się przytrafia, gdy w skutek niewłaściwego rozłożenia obciy-żeń lub szczególnego kształtu sklepienia, podpory dyży do runięcia ku wnętrzu, ten mówię przypadek, nader rzadko się zdarzajycy, tylko w wielkich sklepieniach podniosłych zasługuje na uwagę, a w ogóle bywa pomijany; gdyż parcie łuku na podpory dąży niemal zawsze do ich rozsunięcia, a nie do zbliżenia ich do siebie. Jednak lekkie sklepienia gotyckie spoczywające na wysokich murach, a niemajyee ani ciężkich żeber ani grubych kamiennych kluczów, które oprócz swej strony estetycznej majy na celu stworzenie silnego szkieletu i należytego ciśnienia na podpory, wymagajy niekiedy sprawdzenia w tym kierunku. Układa się wtedy warunki równowagi w ten sam sposób, jak w przypadku pierwszym, biorąc za osie obrotów krawędzie a, b, c (fig. 91) i piszyc nierówność

> o,

fig. 90), zawieszamy ją w punkcie A na nici swobodnie wiszącej i kreślimy linię AM w przedłużeniu tej nici, to jest w kierunku linii pionowej przez punkt A przechodzącej. Zawieszamy potem ten skrawek papieru lub blachy w punkcie dowolnym N i kreślimy linię pionową NR przez ten punkt przechodzącą. Środek ciężkości znajduje się na linii AM i na NR, a więc musi być w punkcie ich przecięcia; ażeby zaś to miejsce spotkania było dość jasne i wyraźne, trzeba zawieszać figurę ABCD w taki sposób, aby linie ÀM i NR przecinały się pod kątem prostym mniej więeeji

albo

pwIA. V H

2    y A.

Gdybv P- nie wypadało większe od — , trzebabv pogru-

y "    H

bić podpory po stronie zewnętrznej, w celu zmniejszenia ilości A, lub też obciążyć klucz i żebra.

CC

Fig. 91.

Zbytecznem jest prawie nadmieniać, że obciążenie stałe i przypadkowe wchodzi zawsze w rachunek ciężaru rozmaitych części sklepienia, tak w tym jak i w poprzedzającym przypadku.

Powyższy sposób przedstawienia teoryi Coulomb’a winniśmy Lamé’mu i Clapeyron’owi, którzy pierwsi w roku 1823 (^zdołali należyte wyciągnąć korzyści z zasad podanych przez tego uczonego, a to mianowicie przez szczęśliwe ułatwienie złożonych rachunków, kti'ye teoryi Coulomb’a odejmowały całą wartość praktyczną. Oni to pierwsi stanowczo wyparli długo używaną teoryę La Hire’a i o krok na przód posunęli tę tak zaniedbaną część budownictwa.

125. « Krzywa ciśnień » Méryego, — Nierównie od poprzedniej ogólniejszą, choć także niepewną i wątpliwą jest

metoda Mery’ego (¹), polegająca na wyznaczeniu tak zwanej « krzywej ciśnień », którą już treściwie na wstępie tej Części określono. Metoda ta, ogłoszona w Annales des Ponts et Chaussées! w 1840, jest graticznem, racyonalnem tłumaczeniem rachunków, które wypływają, z dawnej teoryi Goulomb’a, i posiada tę ważną zaletę, że odnosi się zarówno do sklepień, jak do innych brył murowanych ; ale mimo swej niezaprzeczonej wyższości nad innemi, nie jest jeszcze i nie będzie samoistną, póki nie znajdzie się sposobu roztrzygnięcia kilku niepewnych punktów, zbywanych samowolnemi przypuszczeniami.

Wyobraźmy sobie połówkę sklepienia podzieloną na części dowolnie małe płaszczyznami równoległemi lub zbieżnemi, i dla utrzymania równowagi po idealnem odjęciu drugiej połówki, dołóżmy pewną siłę Q prącą na stosugę wierzchołkową (lig. 92), by tem parciem sztucznem zastąpić rzeczywiste oddziaływanie odsuniętej bryły. Przypuśćmy na chwilę, iż tę siłę znamy co do wielkości, kierunku i punktu przyczepienia. Składając ją z ciężarem najbliższej warstewki i z przypadają-cem na nią obciążeniem stałem i przypadkowem, otrzymamy wypadkową działań pierwszej warstwy na drugą ; a złożywszy znowu tę wypadkową z ciężarami odpowiadającymi trzeciej warstwie, znajdziemy jej oddziaływanie na następną. W ten sposób dalej postępując, otrzymamy szereg wypadkowych przedstawiających się na rysunku w kształcie wielokąta abcd, którego boki tworzą w granicy linię krzywą zwaną « krzywą parcia ». Jakoż zwiększając odpowiednio liczbę idealnych zworników zmniejszymy tak dalece bofci wielokąta, iż zamienią się na êlementa jednej krzywej ciągłej. Widoczną jest rzeczą iż to kolejne składanie sił zewnętrznych można rozciągnąć aż do samego spodu murów oporowych.

Nic potrzebujemy jednak dzielić sklepienia na części nieskończenie małe, by otrzymaćz wielkiemprzybliżeniem kształt krzywej ciśnień, bo gdy części przedstawione na figurze wyobrażają rzeczywiste zworniki, dosyć jest nakreślić krzywą ciągłą przez punkta 4,2, 3, 4, z warunkiem, iżby była styczną w tychże punktach do kierunku oddziaływań jednych zworników na drugie. Te zaś oddziaływania i ich kierunki są znane, bo służyły właśnie do wyznaczenia środków parcia 1, 2, 3, 4. Można więc powiedzieć, że krzywa ciśnień 1,2, 3, 4, jest miejscem środków ciśnienia w różnych stosugach łożyskowych i że kierunek jej elementów w pobliżu stosug jest zarazem kierunkiem oddziaływań tychże stosug.

Fig. 92.

Koniecznym jest warunkiem równowagi, by krzywa ciśnień była zawarta w obrębie bryły, bo w przeciwnym razie niektóre miejsca rzeczywistych stosug łożyskowych nie byłyby ściskane, ale rozpychane (ust. n. 17) i zworniki kamienne, nie mogąc stawić oporu ciśnieniu odjemnemu musiałyby się roztworzyć. Dwa stykające się z sobą kamienie długo opierają się siłom zgniatającym, zanim ulegną zniszczeniu, ale łatwo dają się rozłączyć od siebie, gdyż ciśnienia odjemne nie znajdują żadnego oporu w płaszczyźnie zetknięcia, z wyjątkiem spójności wapna, na którą liczyć nie należy. Krzywa ciśnień musi więc pozostać wewnątrz sklepienia lub muru. Jest to pierwszy i niezbędny warunek równowagi brył murowanych.

WYTRZYMAŁOŚĆ AIATERYAŁÓW.

Krzywa ciśnień musi także przecinać normalną do stosugi łożyskowej pod kątem mniejszym od kąta tarcia kamienia o kamień. Jakoż, rozłożywszy oddziaływanie wzajemne dwóch części sklepienia na składowy N normalną do stosugi, i składową S do niej równoległą, widzimy, że ta siła S stara się zesunąć jedną część po drugiej, że zatem powinna być mniejszą od tarcia Nsta, gdzie a oznacza kąt tarcia kamienia o kamień. Ale S jest równe N. st.(E, oznaczając przez jE pochylenie parcia względem normalnej do stosugi ; więc (E musi być mniejsze od a. To fi wyobraża także pochylenie elementu krzywej do linii normalnej, bo kierunki elementów są zarazem kierunkami oddziaływań; więc aby równowaga mogła mieć miejsce, krzywa ciśnień musi czynić z normalnemi do stosugi kąty mniejsze od kąta tarcia. I tu wchodzi spójność wapna na korzyść oporu przeciw temu ślizganiu się zworników, ale lepiej jest ją pominąć, by uniknąć zawodu jej niepewnych skutków.

Do tych dwóch koniecznych warunków równowagi dołączamy jeszcze jeden tyczący się należytego rozdzielenia ciśnień na wszystkie części stosugi łożyskowej ; konieczną jest bowiem rzeczą aby elementa najwięcej pracujące nie przekraczały granic praktycznej wytrzymałości materyału. Widzieliśmy w ustępie n. 17, jak mając przecięcie dane co do kształtu, tudzież punkt przyczepienia siły N do niego prostopadłej (która wypada z po-mienionego rozkładu oddziaływań na dwie składowe), można sobie zdać sprawę z udziału różnych elementów w⁷ stawianiu oporu tej sile zaczepnej. W tym względzie daliśmy już dostateczne objaśnienia i wskazówki, które powtarzać byłoby zby-lecznem.

Wynika z poprzedzającego, że mając kilka punktów, przez które przechodzi krzywa ciśnień, mamy tern samem caląkrzywą; boć jeżeli jest ciągłość w kształcie sklepienia i w obciążeniu, to i krzywa ciśnień musi mieć kształt jednostajny bez nagłych zmian kierunku i krzywizny. Tak poprowadzona przez kilka

punktów linia wskaże zarazem kierunki oddziaływań we wszystkich stosugach, a tem samem posłuży do sprawdzenia warunku ślizgowatości zworników. Jest to więc metoda zupełnie ogólna, prawdziwy wzór algebraiczny graficznie przedstawiony, dający pojęcie o kierunku ciśnień i rozkładzie natężeń we wszystkich miejscach bryły, na zasadzie kilku tylko danych, które służyły do utworzenia tego wzoru. Na rzut oka wnosimy o punktach słabych, czyli stosugach pęknięcia ; bo gdzie krzywa zbliża się do podniebienia na odległość mniejszą od jednej trzeciej grubości sklepienia, tam powstaje ciśnienie odjemne (ust. n. 19) po stronie grzbietu i prawdopodobieństwo roztworzenia się zworników na wierzchu. Tak samo spostrzegamy punkta słabe na podniebieniu, którym grozi roz-twieranie się stosug z powodu odjemności ciśnień, albo też pęknięcie w skutek zbytecznego ściskania kamieni. Z samego zatem wejrzenia tej krzywej, wnosić można nie tylko o stałości budowli murowanej, tak pod względem wytrzymałości mate-ryału, jak i równowagi składających ją elementów, ale nawet o zmianie wymiarów i kształtu, którą w bryle nieczyniącej zadość tym warunkom zaprowadzić trzeba.

Dotąd uważaliśmy parcie O w kluczu sklepienia jako dane co do wielkości, kierunku i położenia ; zobaczmy więc, czy przypuszczeniu temu nic nie stoi na zawadzie.

126. Parcie sklepienia w kluczu. -Różne teorye* — Niech będzie sklepienie walcowe proste o osi poziomej (fig. 93) z łożyskami oporowemi AB, GD. Oznaczmy przez Q parcie w kluczu sklepienia i przypuśćmy, że punkt przyczepienia tej siły jest w a, a zaś punkta przyczepienia oddziaływań łożyskowych w H i K. Niech przytem X i Y oznaczają ciężary obu połówek sklepienia wraz z przypadającemi na nie obciążeniami, x i ą odległości sił X i Q od punktu K, a y i q odległości sił Y i Q od punktu H.

Stosując twierdzenie momentów statycznych do każde

z dwóch połówek sklepienia, które rozdzieliliśmy płaszczyzną EF, otrzymujemy równania

Q q — Xx,

0?' = Ty,

a rugując z nich Q

q_Xx

q'~~Xy'

Poprowadźmy prostą aH, i obierzmy na niej taki punkt b, aby sprawdził proporcyę

ab

Xx

aH Y y’

(l<-SLn

nr

Yi

vX

Fig. 93.

potem z punktów II i b wyprowadźmy prostopadłe Hm, bn do kierunku Q. Mamy

bn_ab_Xx___q

Hm aH Y y q'

bn = q,

dowodzi, że prosta QQ jest jednakowo odległa od punktów b i K, czyli że jest równoległa do linii bK. Otóż

co

Xx

zatem Q jest znane, jeśli znamy punkta H, a i K. Gdy sklepienie jest symetryczne i jednakowo na obydwóch połowach obciążone, punkt H jest symetryczny punktowi K i parcie Q jest poziome. Trzeba więc znać koniecznie dwa końcowe punkta H i a krzywej ciśnień, aby obliczyć parcie i tę krzywa całkowicie nakreślić. Tu właśnie leży niepewność teoryi Méry’ego; gdyż te 'dwa punkta przyczepienia oddziaływań nie sę znane i nie daję się wyznaczyć teoretycznie w braku dostatecznych wiadomości o odkształcaniu się brył murowanych. Tak samo jak w belce o kilku przęsłach, oddziaływania podpór sęfunk-cyami jej odkształceń i zależę od nieruchliwości podpór, tak samo tutaj parcie w kluczu i w stosugach łożyskowych zależy od osiadania się sklepienia po zdjęciu krężyn czyli obłęków. Nieoznaczoność krzywej ciśnień starano się usunęć przypuszczeniem, iż powinna przechodzić przez sam środek łożyska oporowego i spotykać przecięcie kluczowe w jednej trzeciej jego wysokości, liczęc od grzbietu. Takie przypuszczenie, aczkolwiek ogólnie za dobre uznane i przyswojone w rachunkach inżynierskich, nie może zastępie braku teoretycznych pewników, i teorya Méry’ego straciłaby wiele na swej wartości matematycznej, gdyby nie można było ominęć przeszkód, kró-rycli zwalczyć nie potrafiono. Chcemy tu mówić o świeżych pracach Alfreda Durand-Claye’a, które w następujęcym ustępie opiszemy.

Zanim jednak przystępimy do tego ważnego przedmiotu, musimy przedstawić mały obraz różnych pojęć i opinij, które w cięgu lat ostatnich walczyły z sobę o pierwszeństwo i jedne drugim zupełnę błędność zarzucały. Punktem wyjścia tych niezgod było właśnie pytanie wypadajęce z teoryi Méry’ego: «Którędy przechodzi krzywa ciśnień» ; od rozwięzania bowiem tej trudności zależał byt nowej, w zasadzie najracyonal-niejszej teoryi.

Mery doskonale pojmował ^niepewność swej metody i nie wahał się wypowiedzieć, że nie potrafi wybrać prawdziwej krzywej parcia z pośród nieskończenie wielu innych, które w danem sklepieniu istnieć mogę; ho ten wybór zależy od sposobu osiadania się sklepienia, od rodzaju wapna i nierówności stosug. Inaczej te rzeczy uważał uczony niemiecki Szef-ller, który rozwinąwszy Moseley’a (²) zasadę uo najmniejszym oporze» użył jej w swem dziele Theorie der Gewölbe, Futterm.au-ern und eisernen Brücken (Brunszwik, 1857) do budowy krzywej Méry’ego. Podług niego «krzywa najmniejszych ciśnień» jest właśnie ta prawdziwą krzywą parcia, która w sklepieniu występuje. Ale zasada Moseley’a jest nieco metafizyczna, a jako taka nie mogła służyć do usunięcia trudności w sposób pewny i stanowczy. Tymczasem Inżynierowie francuzcy idąc za przykładem Méry’ego zastąpili niepewność teoryi prostem przypuszczeniem, na mocy którego krzywa ciśnień przechodzi przez oznaczone punkta klucza i łożysk oporowych. Jak mało uzasadnionem jest tego rodzaju przypuszczenie, o tem mówić nie potrzebujemy, gdyż widoczną jest rzeczą, że w tym względzie nie ma nic dowolnego i że takie lub owe położenie krzywej ciśnień jest skutkiem przyczyn mechanicznych niezależą-cych od woli budowniczego. Mery prowadząc krzywą parcia przez punkt leżący na jednej trzeciej wysokości klucza licząc od grzbietu i przez środek stosugi łożyskowej, chciał tym sposobem postawić się wT warunkach dosyć niekorzystnych i zapobiedz wypadkom, któreby trafić się mogły w sklepieniach obliczonych podług krzywej przechodzącej przez sam środek klucza; słowem, zostawił tej krzywej wolność zmieniania jej położenia w pewnych granicach bez narażenia budowli na upadek. Jest to prawie to samo, co przypuszczać takie lub owe warunki, dlatego że takie właśnie byłyby najwięcej dla stałości sklepienia pożądane (³). Pomimo to metoda Méry’ego z)'skała powszechne uznanie i stała się punktem wyjścia innych sposobów, w których jej błędy czy wątpliwości do ostatecznych granic posunięto. Yvon Yillarceau przeprowadza krzywa ciśnień przez sam środek klucza i co więcej zmienia kształt podniebienia w taki sposób, aby krzywa ciśnień przechodziła przez środki wszystkich stosug ; tym sposobem natężenie kamienia na jednostkę powierzchni sprowadza się do minimum, a ustalone dziś granice rozwartości sklepień powiększają się w znacznym stosunku. Uczony ten nie wątpi już, jak Mery, o położeniu krzywej po zdjęciu krążyn, ale uważa ją za niewątpliwie prawdzrwą nie zważając na to, że jego rozumowania i rachunki nie zapobiegają bynajmniej istnieniu innych krzywych. Później nieco Carvallo przedstawił Akademii francuz-skiej inną teoryę stałości sklepień, opartą na przypuszczeniu Navier’a, że krzywa ciśnień przechodzi w jednej trzeciej klucza, mierząc od grzbietu, i w jednej trzeciej łożyska oporowego, licząc od podniebienia; jest tu więc ta sama wątpliwość i niedokładność, co w przypuszczeniu Méry’ego.

Ta niepewność dzisiejszej teoryi sklepień co się tyczy kreślenia krzywej ciśnień jest wielce dla praktyki szkodliwy, bo nie wiadomo, jak obliczać grubość zworników. Metody Méry’ego, Carvallo’ego i Navier’a nie okazały się w praktyce nie-dorzecznemi i dlatego do dziś dnia powszechnie są używane, ale pozostaje jeszcze pytanie, czy grubość zworników obliczona tymi sposobami nie jest za wielka i czy duże mosty kamienne nie dałyby się wykonać z mniejszym wydatkiem materyału. Ani metoda Szefller’a, ani teorya najzaciętszego jej przeciwnika, Dupuit’a, nie jest w stanie usunąć tych wątpliwości, bo jak dobrze powiedział Mery : przyczyna najwięcej wpływająca na zmianę położenia krzywej ciśnień leży w niepewnych skutkach osiadania się sklepień po zdjęciu krążyn. Dopóki zatem courbe de pressions : Je vous ai réservé une place suffisante pour vos excursions, à la condition que vous n’en franchiriez pas les limites, veuillez donc les respecter »,

te skutki nie będą dostatecznie zbadane, niepodobna będzie wydać stanowczego o powyższych teoryach sądu.

Z tego zarysu różnych poglądów widzimy ostatecznie, że wszyscy dotąd uczeni nadaremnie starali się przezwyciężyć przeszkodę, którą Mery trafnie ocenił i za wielką uznał. Tylko Durand-Claye znalazł sposób zużytkowania krzywej Méry’ego na innej zupełnie drodze, jak to poniżej wyłożymy (*).

127. Prace Durand-CIayea.— Niech będzie sklepienie walcowe symetryczne, jednakowo obciążone na obu połówkach (fig 94); c₀d₀ niech będzie przecięciem w kluczu, a cd jakakolwiek stosugą łożyskowa. Wypadkowa natężeń w c₀d₀ jest prostopadła do tego przecięcia i przyczepiona w pewnym punkcie linii c₀d₀, wypadkowa zaś w stosudze ce/przecina prostą cd w pewnym punkcie a. Parcie w kluczu i oddziaływanie płaszczyzny cd zależą oczywiście od położenia tych dwóch punktów (ust. n. 126), a tem samem od przypuszczeń robionych w tym względzie. Przypuśćmy więc na chwilę, że oddziaływanie stosugi cd przechodzi ciągle przez punkt a, podczas gdy punkt przyczepienia parcia w kluczu przebiega całą przestrzeń od c₀ do d₀, i odnośnie do każdego nowego położenia togo punktu obliczmy parcie w kluczu i oddziaływanie w cd. Przypuśćmy najprzód, iż parcie przechodzi przez punkta krańcowe d₀ i c₀. W tym celu rozłóżmy ciężar bryły cdcud₀ (razem z przypadającem na tę część obciążeniem przypadkowem lub stałem), jako przyczepiony w punkcie P na dwie składowe w kierunkach Frf₀ i Fa ; później przyjmując G za nowy punkt przyczepienia, rozłóżmy ten ciężar na składowe idące po Gc₀ i Ga. Odcinając potem na pionowej FK od punktów F i G ku dołowi długości FF' i GG' proporcyonalnie do ciężaru uważanej bryły i prowadząc przez otrzymane tym sposobem punkta, F' i G' linie poziome, otrzymamy długości F'P, G'Q, proporeyo-nalne do parć w punktach d₀ i c₀, tudzież długości FP i GQ

(*) Annales des Ponts et Chaussées, 1S67,

wyobrażające oddziaływania normalne stosugi cd w obydwóch przypuszczeniach. Zrobimy to samo z innymi punktami leżącymi między c₀ i d₀, a odniósłszy na prostopadłych do c₀d0 długości d₀\s. c₀B.₅, odpowiednio równe parciom FP, G'Q, otrzymamy łuk krzywej A,B,, którego rzędne będę przedstawiać wszystkie możebne wartości parcia w kluczu, gdy oddziaływanie stosugi cd przechodzi przez punkt a. Możemy w ten sam sposób odcięć na prostopadłej do cd długości aAiy równe oddziaływaniom FP, GQ tej stosugi, w dwóch ostatecznych przypuszczeniach ; a te długości wraz z inncmi pośred-niemi wyobrażę oddziaływania punktu a, odpowiadajęce rozmaitym położeniom, jakie przybiera punkt przyczepienia parcia w kluczu sklepiennym.

i\

ns fis-

ci\

g:\4V'

yK

Fig. 94.

Powtarzając te same działanie z każdym innym punktem stosugi cd, otrzymamy szereg krzywych AJb przedstawiających wszystkie możebne parcia w kluczu i szereg rzędnych pood-cinanych na liniach takich jak aA{, dających wszystkie możebne wartości oddziaływań normalnych w stosudze cd. Tak więc parcie w kluczu będzie ograniczone dwiema krzywemi a.vfb, y.À, odpowiadajęcemi punktom ci d; oddziaływania zaś w stosudze cd będę przedstawione przez nieskoriczenia wiele rzędnych, których wierzchołki są ograniczone krzywemi a ßySj. Pierwszy warunek równowagi wymaga (ust. n. 125), aby oddziaływania wywarte przez stosugi cd, c₀d₀, na bryłę między niemi zawartą przecinały wnętrze tych slosug. Warunek ten tłumaczy się w metodzie Durand-Glaye’a w następujący sposób : Koniec rzędnej przedstawiającej parcie w kluczu powinien padać wewnątrz obwodu a,ß«rA> a koniec rzędnej przedstawiającej oddziaływanie normalne stosugi cd powinien się znajdować wewnątrz czworoboku krzywego cc$*yA

Rozbierzmy teraz warunek tyczący się rozkładu natężeń na przecięciu poprzecznem. Widzieliśmy w ustępie n. 20, że chcąc zdać sobie łatwo sprawę z rozkładu ciśnień na przecięciu czworobocznem duc₀ (fig. 95) trzeba nakreślić prostopadłą Ow0 przez jego środek O, równą co do długości natężeniu takiej siły, któraby rozpostarta jednostajnie na całej stosudze wydała ciśnienie R kilogramów na jednostkę powierzchni, gdzie R

V-7-

Pi Uł

Fig. 95.

oznacza granicę natężeń bezpiecznych ; potem podzieliwszy d₀c0 na trzy części równe odciąć na prostopadłych wychodzących z tychże punktów podziału rzędne równe połowie długości Oco₀. Łącząc z jednej strony wierzchołki tych rzędnych z punktami dQ i c₀ liniami prostemi, a oprócz tego z punktem co₀ tukami hiperboli, otrzymalibyśmy rodzaj trójkąta </₀m₀c₀, którego rzędne będą oznaczać największe siły normalne, jakie można przyczepiać kolejno do każdego punktu stosugi bez naruszenia wytrzymałości materyału. Tak samo narysujemy figurę cdta odnoszącą się do oddziaływań wypadkowych w stosudze cd. Na zasadzie pierwszego warunku równowagi wierzchołek rzędnej

przedstawiającej składowy normalną oddziaływania musi padać w obrębie czworoboku    ; na zasadzie zaś drugiego

warunku punkt ten nie może przechodzić granic trójkąta cud; więc musi się znajdować wewnątrz obwodu pV^V. To ograniczenie oddziaływań w przecięciu cd pociąga za sobą odpowiednie ograniczenie parcia w kluczu c₀d₀, bo mając oddziaływanie w cd. znajdziemy łatwo odpowiednie parcie w kluczu, tak co do wielkości, jak i kierunku i punktu przyczepienia. Biorąc np. cztery punkta p', </,    w', znajdziemy odpowiednie

punkta p, a, y, to. Punkta p i oj będą leżeć na boku aÄys, który odpowiada krzywej ; a zaś a i y na boku ßA odpowiadającym linii ßjSj. W podobny sposób postępując możnaby nakreślić krzywe p<r, uy, punkt po punkcie, odpowiadające krzywym pV, u'%. Zatem parcie w kluczu, ograniczone z jednej strony obwodem ptoyd, a z drugiej trójkątem d₀u₀c₀ musi padać wewnątrz czworoboku pqsr. To ograniczenie parcia w kluczu sprowadza znowu nowe zmiany oddziaływań w slo-sudze cd, bo punktom p, q, r, s, odpowiadają punkta P, Q, łt, S, a krzywym pr, qs, krzywe PR, QS ; tak, że określamy dwa pierwsze warunki równowagi w następujący sposób :

Ażeby szereg zworników od, c₀d₀, mógł się utrzymać w równowadze, końce prostych przedstawiających parcia i oddziaływania normalne muszą być zawarte wewnątrz obwodówpr/sr PQSR.

Pozostaje jeszcze do rozebrania trzeci warunek równowagi tyczący się tarcia i ślizgania zworników po stosugach. W praktyce warunek ten jest prawie zawsze spełniony, gdy stosugi są normalne do podniebienia, ale można także go sprawdzić w sposób objaśniony poniżej na przykładzie. Przez punkta c i d (fig. 96) poprowadźmy prostopadłe cN i c/N' do cd, i zaznaczmy po obu stronach tych prostych kąty Ne/; Ne/", Ne?/", N cif"', równe kątowi tarcia. Jeżeli oddziaływanie jest przyczepione w punkcie c widzimy na figurze, że normalna do sto-sugi czyni z oddziaływaniem kęt mniejszy od kęta tarcia i to bez względu na położenie parcia w kluczu, bo kierunki ostateczne Fe i Gc sę zawarte w kęcie fcf. Punkt d nie posiada już tych własności, bo choć oddziaływanie Fd jest zawarte w kęcie Kdf", oddziaływanie Gd może się znajdować na zewnętrz tego kęta. Gdy więc kreślimy krzywę yA od-powiadajęcę punktowi d trzeba ję zatrzymać w punkcie m na wysokości najniższego parcia mJ, które złożone z ciężarem bryły wyda oddziaływanie Jd leżęce właśnie na granicy kęta tarcia Ndf".

t'

ys h_____«sjfo

7TL.

G:

Vtc

ai\

a£-

ß;

Fig. 96.

Poprowadźmy przez punkt G prostę GA’ równoległę do Jd. Punkt A będzie także granicę, od której poczęwszy parcie poziome przyczepione w c₀ przestaje być tolerowanem. Nakreślmy krzywę ASB* odpowiadajęcę punktowi A; część użyteczna prostej PA będzie ograniczona punktem B.v, a powierzchnia asyAß.>- sprowadzi się ostatecznie do powierzchni a^mBA, gdzie bok mBs jest linię rownolcgłę do d₀c₀. Jakoż rzędne tej linii wyobrażaję parcie, które wespół z ciężarem stałym działajęcym w kierunku FG tworzę oddziaływania równoległe do GA. Zatem te parcia sę stałe i przedstawiaję się przez prostę równoległę do d₀c₀.

Podobnie zmniejsza się obwód ajy.ßA przez poprowadzenie prostej Bp/ij. Przeto warunek ślizgowatości zworników objawia się w metodzie Durand-Claye'a przez pomniejszanie pewnych powierzchni ; to jest tłumaczy się tak samo, jak dwa inne warunki równowagi, czysto rysunkowem przedstawieniem, które jest właśnie tej metody główną cechą.

Z tego, co poprzedza, widzimy, że sprawdzenie stałości sklepienia polega na szukaniu powierzchni rspq odpowiadających różnym szeregom zworników : jeżeli te powierzchnie przykrywając się nawzajem i zachodząc jedna na drugą mają pewną część wszystkim wspólną, równowaga jest możebną; jeżeli zaś nie ma części wspólnej, nie ma równowagi w sklepieniu. Ta część wspólna może być większa łub mniejsza, a czasem sprowadza się do jednego punktu; wtedy równowaga

P^:

co

r» $>> j " p "

Fig. 97.

może istnieć, ale jest niepewna, bo niweczy się za najmniejszą zmianą parcia lub oddziaływań. Go do kształtu, powierzchnia wspólna może być trójkątem, ale najczęściej jest czworobokiem pqrs, jak na figurze 97. Wartości i położenia ostateczne parcia w kluczu są wtedy określone położeniem wierzchołków p, q, r, s, a biorąc te parcia za punkt wyjścia można narysować krzywe Méry’ego p'p", q'q'\ s's", rr". Będą to cztery krzywe graniczne, to jest krzywe największych ciśnień, które w danem sklepieniu powstać mogą bez naruszenia jego stałości.

Metoda Durand-Claye’a polega więc na następujących działaniach :

1° Obliczenie ciężaru różnych zworników sklepienia wraz z obciążeniami przypadkowemi, i wyznaczenie pionowych, na których leżę punk ta przyczepienia tych ciężarów;

2° Nakreślenie krzywych aß, yS albo ay, ßS, zamykających parcia i oddziaływania w granicach zgodnych z równowagę, niezależnie od stopnia wytrzymałości materyału ;

3° Zbudowanie figury md zamykającej natężenia w granicach zgodnych z wytrzymałością kamienia;

4° Przyłożenie tych krzywych jednych na drugie i oznaczenie powierzchni pqrs w kluczu sklepienia;

5° Oznaczenie powierzchni wspólnej wszystkim płatkom pqrsf która obejmuje wierzchołki wszystkich parć możebnych;

6° Nakreślenie czterech krzywych odpowiadających punktom p,    r, s, i zaznaczenie punktów słabych sklepienia.

Na lem zakończamy opis tej pięknćj metody, nieopartej na żadnych wątpliwych przypuszczeniach i sprawdzającej zarówno wszystkie warunki równowagi sklepienia i jego podpór. Durand-Claye użył jej nawet do obliczania współczynnika pc ivnoéci sklepień, a nieco później uwzględnił jeszcze wytrzymałość zaprawy wapiennej. Wszystko to jest opisane w Rocznikach Dróg i Mostów z roku t867 i 1868, gdzie także jest mowa o stosówaniu tej teoryi do łuków metalowych.

128. Sposób praktyczny sprawdzania stałości sklepień walcowych.— Ażeby wszystkie punkta stosugi były przyciskane a nie rozciągane, środek ciśnienia czyli punkt przyczepienia wypadkowej wszystkich ciśnień musi leżeć na odległości większej od grzbietu i od podniebienia, jak jedna trzecia grubości zwornika. Ponieważ w dobrem sklepieniu wszystkie części kamienia powinny być gniecione, przeto też parcie klucza i oddziaływanie podpór powinny leżeć w jednej trzeciej środkowej klucza i łożyska oporowego.

Możemy zatem zrobić cztery główme przypuszczenia co się tyczy rozmaitych położeń parcia i oddziaływania, i nakreślić cztery graniczne krzywe ciśnień. Jeżeli a, b, c, d (fig. 98) oznaczają punkta podziału stosug AB, CD, na trzy równe części, pierwsza z nich będzie przechodzić przez punkta a i d, druga przez a i c, trzecia przez b i d, wreszcie czwarta przez b i c; a każdej z tych krzywych, równie możebnych i prawdopodobnych odpowiadać będzie inny rozkład natężeń, który wedle znanych prawideł ocenić możemy.

'N

Fig. 98.

Sposób ten nie jest naukowo racyonalny, a przynajmniej do dziś dnia za takowy uznanym nie został; ale ma za sobą powagę doświadczenia i zwyczaju. Praktycy ograniczają się nawet na jednej krzywej, biorąc punkt a w kluczu sklepienia i punkt c w stosudze łożyskowej, albo też sam środek tej stosugi. Przypuśćmy więc len ostatni przypadek i zobaczmy, w jaki sposób dochodzi się praktycznie do wypadku.

Niech będzie sklepienie symetryczne, którego połowa jest ABCDE (fig. 99). Możemy przedstawić obciążenie przypadkowe przez pewną powierzchnię AEGF, tak że właściwy obwód bryły pod względem ciężaru będzie BGDGF. Zaznaczmy potem punkt R w jednej trzeciej klucza AB i punkt S w połowie stosugi łożyskowej GD.

Zamiast dzielić sklepienie na zworniki klinowate, podzielmy je na kilka części płaszczyznami pionowemi KC, KjC,, K₂C₂, i poprowadziwszy cięciwy BG₂, C₂Ci, C,G, uważajmy trapezy prostolinijne BC₂K₂F, KgCjGjKi, w miejsce powierzchni BC^K^F, KgGsGgKi... majęcych jeden bok krzywy. Różnica w powierzchniach będzie bardzo mała, a oznaczenie środków ciężkości uprości się niezmiernie. Znalazłszy więc środki i powierzchnie wszystkich trapezów, należy wyszukać punkt przyczepienia wypadkowej wszystkich ciężarów, czyli środek ciężkości uważanej połowy sklepienia, do czego posłuży znane twierdzenie momentów statycznych. Niech więc punkt O

Jk

K, K

a?

S.

rv

Fig. 99.

(lig. 99) będzie tym punktem przyczepienia całkowitego ciężaru. Poprowadźmy przez punkt R poziomę RX, a przez punkt O pionowę NP, i punkt spotkania tych dwóch prostych połęczmy z punktem S. Odcięwszy potem na pionowej długość Np proporcyonalnę do całkowitego ciężaru uważanej połówki sklepienia, wyprowadźmy z punktu p linię poziomę, która przetnie prostę NS w punkcie w. Długość Nic będzie proporcyonalna do oddziaływania łożysk oporowych, a długość Næ będącą rzutem tego oddziaływania na linię poziomę

wyobrazi parcie poziome w kluczu. Przyczepiwszy więc to parcie do punktu R, złożymy je z ciężarem najbliższego trapezu, a wypadkowy połączymy z ciężarem drugiego trapezu, i t. d. aż do ostatniego ; słowem dokończymy kreślenia krzywej ciśnień sposobem opisanym w ustępie n. 125.

Z kształtu tej krzywej wniesiemy o prawdopodobieństwie równowagi. Wiemy, iż powinna być zawarty w obrębie obwodu ABGDE, że powinna czynić ze stosugami rzeczywistemi kąty większe od dopełnienia kąta tarcia, i wreszcie, że natężenie w miejscu stosugi najwięcej wysilonem nie powinno przekraczać granic natężenia bezpiecznego. Te dwa ostatnie warunki trzeba sprawdzać na rzeczywistych stosugach, a nie na idealnych, któreśmy dotąd uważali. Wprawdzie krzywa parcia byłaby nieco odmienna, gdyby się było z początku przypuszczało stosugi prawdziwe, a więc i wyniki takiego sprawdzania byłyby odmienne; ale jest to błąd mały w porównaniu z innemi niedokładnościami, które tej metodzie zarzucić można. Przypuszczano np., że na każdym zworniku ciąży pionowy pas muru mający za podstawę grzbiet tego zwornika, gdy tymczasem w rzeczywistości lice sklepienia tworzą niemal jedną bryłę krzyżujących się i wspólnie wiążących kamieni, które rozkładają swój ciężar na różne zworniki podług nieznanego prawa. To więc podzielenie liców na pasy pionowe, które mają ciążyć na rzeczywiste zworniki sklepienia zchodzi do rzędu dowolnych i nieugruntowanyeh przypuszczeń; a jeżeli mimo tego zyskuje uznanie praktyków, to i podzielenie samego sklepienia na zworniki pionowe nie jest rażącą wadą i niedorzecznością. Zgoła, krzywa ciśnień zbudowana w przypuszczeniu zworników pionowych wyobraża z dostatecznem przybliżeniem prawo oddziaływań stosug rzeczywistych.

129. Stałość podpór sklepiennych. — Krzywa ciśnień w sklepieniu przedłużona do samego fundamentu daje naj-

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERYAŁÓW.

lepsze pojęcie o stałości podpory, bo jeśli pada wewnątrz podstawy i na takiej odległości od najbliższej krawędzi, iż nie ma obawy nadużycia właściwej mocy kamienia, główne warunki równowagi są spełnione. W tem jednak kreśleniu krzywej ciśnień trzeba przyjąć warstwy i stosugi poziome, a nie pionowe.

Ale dobrze jest znać choćby w przybliżeniu grubość słupów czy przyczółków, zanim się tej grubości dokładnie doszuka za pomocą krzywej parcia. Niech będzie AB stosuga łożyskowa, to jest wierzchnia ściana podpory ABCD (fig. 100), SS parcie sklepienia przyczepione w punkcie S (w połowie lub jednej trzeciej stosugi), odległym o SB = a od krawędzi B, R ciężar całkowity, a p ciężar jednostki objętości podpory; wreszcie x i H grubość i wysokość tejże podpory. Oddziaływanie SS

a s B

Fig. 100.

składa się z dwóch sił Q i P, z których pierwsza jest równa parciu sklepienia w kluczu, a druga ciężarowi połówki sklepienia wraz z ciężarem przypadkowym. Ażeby wypadkowa sił Q, P i R przecinała podstawę DC, musimy mieć

CD

ai

kój Si

w przypuszczeniu, że uważamy tylko jednostkę długości mucu.

lub jeszcze

>0.

Zatem

QH -+- Pa Vx -f- - pWx1 2

,₂ , C2P„..,2(QH + Pa) pH    pH

Pierwsza część tej nierówności rozkłada się na dwa ezyn-

niki

r + 2 -i/Z_

pH V /PH-

z (QH -f- Pa)

pH

L pu V p"ti“

2 (QH + Pa)

pH

>0,

a że drugi z nieb jest zawsze dodatni, przeto i pierwszy musi być większy od zera ; zkęd wypada

s/

P² 2 (OH + Pa) P p³H2 + pH    pH

Oto jest granica niższa grubości szukanej.

130. Wzory empiryczne służące do oznaczenia grubości sklepień walcowych w kluczu.—Przed użyciem metody Méry’ego oblicza się grubość sklepień w kluczu za pomocy wzorów empirycznych, aby nie oddalić się zbytecznie od prawdy w skutek niestosownego obioru wymiarów. Per-ronet z czynionych w tym celu poszukiwań wyprowadził wzór

e = 0,0347ć/ -h 0ni,325,

gdzie e oznacza grubość sklepienia w kluczu wyrażona w metrach, a d odległość podpór. Później spostrzeżono, że wzór ten daje za wielkie wypadki dla d większych od 30 metrów;

CZĘŚĆ III. — BUDOWLE MUROWANE.

468

poczęto więc robić nowe pomiary, z których Déjardin (*) wywiódł kilka wzorów odnoszących się do najwięcej używanych rodzai sklepienia. Wzory te, bardzo zachwalane w praktycznym podręczniku ClaudeFa (**) są następujące :

Dla sklepień półkołowych o promieniu r

e —.-.Q,\0r -ł- 0m,30;

Dla sklepień łukowych mających 60°, 50° i 40° rozwartości e = 0,0or -+- 0m,30, e = 0.035 r-t-Om, 30, e = 0,02?’ H- 0ra,30 ;

Dla sklepień koszykowych mających strzałkę równą jednej trzeciej cięciwy i promień krzywizny r w wierzchołku

e = 0,07r -t- 0m,30 ;

wreszcie dla sklepień gotyckich o grubości stałej e — 0,05r -4- 0m,o0,

gdzie e oznacza rzut pionowy stosugi wierzchołkowej, a r odległość podpór równą promieniowi łuku.

W broszurce niedawno wydanej w Mans, Léveillé przyznaje słuszność wzorowi Perronefa, i radzi go używać w kształcie

d -4-0,1 d

gdzie d odznacza odległość podpór. Ma on stosować się zarówno do sklepień półkołowych, jak do łukowych i koszykowych.

(*) Routine de l'établissement des voûtes. Paris, I84S. (**) Formules, tables, etc,

Nie potrzebujemy tłumaczyć, iż te wszystkie wzory, choć wyciągnięte z sumiennych pomiarów i z porównania budowli wzorowych, nie dają pewnych wskażówek, bo grubość sklepienia zależy nie tylko od rozwartości, ale także od obciążenia, gatunku materyału i sposobu wykonania. Zmysł inżynierski, wyrobiony zapatrywaniem się na stare monumentalne budowle, które swem długiem istnieniem świadczą o swej mocy, jest zwykle najwalniejszą pomocą i wskazówką w ustanawianiu tych wymiarów; wzory zaś powyższe mają tylko wtedy swe znaczenie, gdy ich wypadki nie różnią się wiele od pojęć dyktowanych przez to wewnętrzne poczucie mocy i proporcyi.

¹

Niektórzy autorzy, a między innymi Poncelet przypisuję pierwszeństwo Mose-ley’owi, który już w r. 1833 o tej krzywej napomykał. Prace Méry’ego wyszły z druku dopiero w r. 1840, ale rękopism był datowany z r. 1827.

²

Philosophical Magazine, octobre, 1833.

³

(³ J Dupuit, autor dzieła « Traité de l’équilibre des voiUes et de la construction des ponts en maçonnerie, Paris, 1870, wyśmiewa Méry’ego mówiąc : « U semble dire à la

ROZDZIAŁ II

SKLEPIENIA OBROTOWE, KRZYŻOWE I INNE.

131. Kopuły. — Kopułami nazywamy takie sklepienia obrotowe, których podniebienie jest utworzone obrotem jakiejkolwiek krzywej wklęsłej ku dołowi, koło osi symelryi tej krzywej. Jedne stosugi mają na podniebieniu kształt równoleżników i te są ciągłe czyli nieprzerwane, drugie ^aś leżą na południkach, ale nie tworzą linii ciągłej. Ztąd też wypada, że kopuła może się utrzymywać w równowadze, choć nie jest zupełnie z wierzchu wykończona i kluczem zamknięta wbrew głównemu warunkowi stałości sklepień walcowych.

Wyobraźmy sobie części ÀBGD sklepienia obrotowego (fig. 101) zawartą między stosugą łożyskową CD i inną dowolną AB. Pierścień ABEF tworzący ostatnią warstwę kamienia utrzymuje się w równowadze pod działaniem swego cię-

żaru i oddziaływania stosugi EF. To oddziaływanie rozkłada się na dwie części, z których jedna, pionowa, równoważy działanie siły ciężkości, druga zaś, pozioma, sprawia jednostajne ze wszech stron ściskanie pierścienia ku środkowi. Oznaczmy przez :

m My

or

Fig. 101.

o) powierzchnię ÀBEF otrzymany z przecięcia uważanej warstwy pierścieniowej płaszczyzna południkową ;

p odległość środka ciężkości m tej powierzchni od osi obrotu oz;

p ciężar jednostki objętości kamienia użytego do budowy;

O oddziaływanie wzajemne pierścienia ABEF i stosugi EF, odniesione do jednostki długości mierzonej na okręgu średnim przechodzącym przez punkt M ;

p promień tego koła średniego ;

a kąt mierzący pochylenie siły O do poziomu.

Podług twierdzenia Guldin’a objętość obręczy ABEF jest w.2ttp, a jej ciężar 27rpo>p. Summa składowych pionowych siły O jest

0.27rp' wst a,

0 wst a=w/51.'.

na

Składowe poziome siły F gnioty obręcz z natężeniem O dosa jednostkę długości okręgu 2irp'. Wiadomo (ust. n. 119), że wypadkowa tych normalnych ku środkowi zdążających ciśnień na jednym półokręgu koła jest prostopadła do średnicy tegoż i równa

O dosa.2p.

Jeżeli nazwiemy K ciśnienie na jednostkę powierzchni ABEF = w, otrzymamy

2Kw= O dos a.2p',

a ztąd

v O dos a.a

i\ = -■    ■■■ •

O)

a więc mamy

zkąd

Podzielmy kopułę na pasy równe, nieskończenie wązkie, płaszczyznami południkowemi czyniącemi z sobą kąt bardzo mały dO. Każdy z tych pasów zawarty z jednej strony między płaszczyznami południkowemi OjO, ot&, a z drugiej między sto-sugą łożyskową GD i stosugą EF może być uważany za część sklepienia walcowego ozmiennej, ale nieskończenie małej długości w kierunku rodzących. Oddziaływanie stosugi EF jest Op'efô i czyni z poziomą kąt a; jeżeli więc tę siłę złożymy z ciężarem skrawka, otrzymamy parcie na jednostkę stosugi łożyskowej GD.

Nie znając punktu przyczepienia siły O przypuściliśmy go

dowolnie wT punkcie środkowym M. Tak samo przypuśćmy, że parcie łożyska jest przyczepione w punkcie N, to jest w samym środku stosugi CD. Składowy pionowy siły OpV/0 znajdziemy za pomocy równania

'S

z którego wypada

(*)

Op'do wsi a ==b>ppdo — składowej pionowej.

Trzeba jeszcze znaleźć składowy poziomy. Weźmy więc za oś współrzędny z oś obrotu oz, a za oś x prosty ox poprowadzony pros topadle do oz w płaszczyźnie jednego z południków, które ograniczajy uważany wycinek sklepienia. Oznaczmy przeze tę część de rzędnej dc, która się znajduje między grzbietem i podniebieniem, albo też między jedny z tych powierzchni i jedny ze stosug równoleżnikowych. Środek ciężkości n bryły zawartej między EF i CD, aograniczonej bocznie płaszczyznami ota, o/>,jest wyznaczony równaniem

J* px'²zdxdQ

I pxzdxdQ

gdzie x\ oznacza odcięły środka ciężkości. Całki odnoszą się do wszystkich elementów figury EFCD. Odetnijmy więc na pionowej z punktu n wychodzącej długość rcU proporcyonalny

do

ciężaru J pxzdxdQ, przedstawmy tak samo siłę (1) przez

MY, i złóżmy te dwie siły w jednę wypadkowy ST. Ta znowu rozłożona we dwóch kierunkach SM i SN daje zarazem składowy poziomy siły Op'r/6 i oddziaływanie uważanego wycinka na stosugę łożyskowy CD.

Wszystkie te siły mają wspólny czynnik do, który przy szukaniu wypadkowych pominąć można. Złożywszy więc siłę MV = utop, pionową i przyczepiony w punkcie M, z siły

NU =

fpXid*’pionow# 4 p4czepion? WH> otr2ymamy

wypadkowy ST co do wielkości, kierunku i położenia; rozłożywszy zaś ST w kierunkach SM i SN otrzymamy SM równe O dos a.p', to jest Ko). Znajdziemy więc w rysunku iloczyn Km i wyciągniemy ztyd natężenie K uważanego pierścienia ko-puły.

Znając składowe SM i SN siły T, znajdziemy łatwo siłę O co do wielkości i kierunku, i nakreślimy krzywy parcia w zwornikach składających pas EFGD, mając wszakże to na uwadze, że długości tych zworników, a tem samem ich ciężary rosną od góry sklepienia ku dołowi.

Parcie poziome q stosugi EF wynikło z rozłożenia siły ST na dwie składowe w kierunkach SM i SN ; a więc mamy

q = SN dos ß,

gdzie ß oznacza pochylenie siły SN do poziomu. Parcie zaś poziome Q stosugi CD jest równe NR dos ß czyli SN dos ß ; zatem

U = q,

co dowodzi, że parcie poziome całkowite we wszystkich sto-sugach wycinka zawartego między dwoma południkami są stałe i jednakowe. Że zaś długości stosug w kierunku równoleżników maleją od łożysk ku kluczowi, przeto parcia poziome na jednostkę długości tychże równoleżników rosną od dołu ku górze w pewnym stosunku, który w przypadku kopuły kulistej lub prawie kulistej równa się odwrotności wstawy kąta mierzącego pochylenie stosug¹ do poziomu. Aby tego dowieść, oznaczmy przez ß pochylenie którejkolwiek stosugi AB do linii pionowej (fig. 102), przez qQ i qlt parcie poziome na jednostkę długości stosugi AB i stosngi łożyskowej, przez p₀ i p, odległości środków S₀ i St tychże stosug od osi obrotu, i uważmy, że skoro parcie całkowite Q jest stałe we wszystkich stosugach uważanego wycinka, przeto

q° Po*

zk^d wypada

pi

Otóż w sklepieniu kulistem, albo mało rożnem od kulistego R₀S, jest prawie równe R₀S₀, tak że mamy

c£l dl

c/ą

JB

A/

s„

ßj

Fig. 102.

Zatem parcie poziome różnych stosug AB na jednostkę ich długości w kierunku równoleżników rośnie z dołu ku górze w stosunku odwrotnym wstawy kąta ß, co było do okazania.

Z poprzedzającego rozbioru i z toku rozumowania wynika, że w każ dej kopule najwyższy pierścień zworników znosi inne działanie, jak pozostałe warstwy poziome; tworzy on sam przez się sklepienie poziome opierające się parciu poziomemu

wyciętych w sklepieniu pasów. Ale takie podzielenie kopuły na wycinki, z których każdy tworzy łuk walcowy oparty z je-’dnej strony na murze podporowym, a z drugiej na najwyższej obręczy sklepienia jest czysto hipotetyczne ; bo możnaby tak samo podzielić sklepienie na warstwy poziome pierścieniowe, z którychby każda stawiała opór ciężarowi warstw górnych, ciężarowi dążącemu do rozerwania jej w kierunku okręgu. Jako opór w takim systemacie występuje oddziaływanie warstw spodnich ściskające uważany pierścień wzdłuż okręgu, a więc wprost pierwszemuprzeciwne. Jednem słowem, można rozbierać równowagę sklepień kopulastych w dwojaki sposób, albo uważając warstwy południkowe, to jest pasy wycięte południkami, albo też warstwy równoleżnikowe, poziome; w pierwszym razie ciśnienie na jednostkę powierzchni zworników rośnie bardzo szybko z dołu ku górze, w drugim zaś każdy kamień ulega ciśnieniu stałemu działającemu w kierunku krzywej pośredniej między grzbietem a podniebieniem, zupełnie tak samo, jak w zwyczajnem sklepieniu walcowem. Prawdopodobnie w naturze działają te oba rodzaje ciśnień, choć niepodobna powiedzieć, które z nich przemaga nad drugiem, i w jakim są do siebie stosunku. To tylko jest rzeczą pewną, że równowaga niemoże być zerwaną, zanim te dwa rodzaje wytrzymałości nie są zniszczone jednocześnie lub jeden po drugim, i że dosyć jest zapewnić stałość bryły na zasadzie jednego z dwóch pomienionych przypuszczeń. Lepiej jest jednak uważać warstwy południkowe, bo parcie poziome wynikające z drugiego uważania rzeczy sprowadza się do zera przez użycie żelaznych obręczy opasujących grzbiet kopuły. Ażeby znaleźć to styczne natężenie obręczy postąpimy sobie w następujący sposób. Parcie poziome stosugi AB (fig. łOł) w kierunku dośrodkowym jest

(2)

<7o

q' wst P

na jednostkę długości równoleżnika. Otóż gdy koło St jest ściskane normalnie z natężeniem qi na jednostkę długości okręgu wywiązują się natężenia styczne, których wypadkowa jestf f/i. RtSi albo ęvrwst[5, oznaczając przez r promień prawie stały R₀S₀ = R₀St. Natężenie wypadkowe styczne jest więc

q₀ r,

ilość stała i jednakowa dla wszystkich równoleżników. Zatem natężenie pasów żelaznych ściągających sklepienie baniaste są zupełnie jednakowe bez względu na to, na jakiej wysokości je zakładamy.

W kopułach bez latarni najwyższa warstwa kamieni, która tworzy wieniec służący do równoważenia parć poziomych staje się prawdziwym kluczem sklepiennym zrobionym z jednej sztuki. Krzywa ciśnień nie może wtedy wychodzić z samej osi obrotu oz (fig. 101), boby to znaczyło, że siła skończona jest przyczepiona do linii, a nie do powierzchni, i że kamień pracuje z natężeniem nieskończenie wielkiem; dla tego krzywą tę kreśli się dopiero począwszy od bocznych ścian klucza nie wchodząc zupełnie w rozkład sił wewnątrz jego bryły.

Co się tyczy murów oporowych tworzących rodzaj walca wydrążonego, to możnaby oczywiście podsunąć je pod prawidła tyczące się równowagi samegoż sklepienia, dzieląc je płaszczyznami południkowemi na pasy pionowe i przedłużając krzywą ciśnień do fundamentu. Ale parcie odśrodkowe w sto-sudze oporowej sprowadza się w istocie do bardzo małych rozmiarów z powodu tarcia i przylegania materyału, a nawet redukuje się do zera, gdy używamy sztucznych sposobów wzmacniających, jak obręczy żelaznych na grzbiecie, klinków zachodzących w zagłębienienia wyżłobione na bocznych ścianach zworników, czyli jednem słowem jakichkolwiok sposobów służących do łączenia kamieni w mocne wieńce poziome.

Wtedy mury oporowe nie mają nic do znoszenia oprócz ciężaru kopuły i ciężaru własnego, a całe badanie ich stałości ogranicza się na obliczaniu rozkładu ciśnień na podstawie. Z kopułą Panteonu paryzkiego nie robiono innych rachunków, a choć budowla ta zawiodła oczekiwania pod względem wytrzymałości, to jednak całe uszkodzenie polegało na nadwerężeniu słupów podporowych, które tylko ciążeniu kopuły a nie jej parciu poziomemu przypisać należy.

132. Sklepienie klasztorne i krzyżowe. — Nie wdając się w dokładny opis tych dwóch rodzai sklepień pokrewnych z sobą pod wieloma względami, wyszczególnimy tylko ich główne cechy w paru słowach.

#M

Æm

WĘf\\

\U2'

zr

Fig. 103.

Fig. 104.

Gdy przestrzeń czworoboczna AOGD jest pokryta sklepieniem klasztornem (fig. 103), albo krzyżowem (fig. 104), jedna z powierzchni walcowych podniebienia, mająca rzut poziomy AOB, ma wpierwszym przypadku rodzące równoległe do AB i cały mur AB jest potrzebny do podtrzymania sklepienia;

w drugim zaś przypadku część walcowa AOB ma rodzęce prostopadłe do AB. i zamiast całego muru AB dosyć jest wstawić tylko dwa słupy A i B. W pierwszym razie krawędzie AO, BO, tworzę, najwięcej zaklęśnięte miejsce podniebienia, w drugim zaś najwięcej wysterczaję. Te same różnice znachodzi się w pozostałych trzech częściach BOC, COD, DOA. To co mówimy odnośnie do czworoboku stosuje się zarówno do każdego innego wielokąta, który ma być pokryty sklepieniem klasztornem lub krzyżowem.

Pierwsze z nich jest w gruncie rzeczy podobne do kopuły, którę można uważać za sklepienie klasztorne o nieskończonej liczbie boków. Wycinki AOB, BOC, i t. d. tego wielokętnego sklepienia zachowuję się względem siebie w podobny sposób, jak owe pasy południkowe w sklepieniu kopułowem, które wspierajęc się nawzajem utrzymuję równowagę całego systemu. Widocznę jest rzeczę, że gdy pomijamy tarcie i spójność kamienia, każda część AOB prze swym wierzchołkiem O z siłę 0, równę i wprost przeciwnę parciu części DGO ; nadto siła ta jest jednakowa we wszystkich stosugach równoległych do AB. Jeżeli a oznacza długość muru AB, a q₀ parcie poziome na podporę, odniesione do jednostki długości, to

Q = q₀a.

Gdy znowu uważamy jakękolwiek stosugę A/B,, czynięcę kęt (3 z pionowę, jej długość jest a wstß, a parcie qY tej stosugi na jednostkę długości wypada z równania

Q= qy a wst (3,

to jest

<7 o

wstß

zgodnie z równaniem (2) ustępu poprzedzajęcego.

Koniecznem jest dla równowagi, aby wszystkie wycinki AOB czyniły zadość warunkom krzywej ciśnień, którą tak samo jak w zwykłem sklepieniu walcowem bez trudności nakreślić potrafimy. Gdybyśmy jednak wyjęli z każdej części trójkąt A^O, równowaga nie mogłaby już istnieć, chyba gdyby warstwa A,Bj była zrobiona z mocnej jednolitej sztuki. Jeżeli R oznacza promień AO koła opisanego, R'promień Om

R

koła wpisanego, a w połowę kąta AOB, mamy dos w =—,

R

i parcie poziome wywarte w kierunku krawędzi OA przez stosugi A.B., A,Dj, ma wartość

Qoa

Ztąd wypada, że ciśnienie t, które znosi każda stosuga AjB,, ' AjDj, w kierunku swej długości jest zkąd

t = (/₀ R.

Zatem, niezależnie od wysokości stosugi, od której począwszy wyjmujemy ze sklepienia klasztornego górne warstwy zworników : 1° parcie poziome działające w kierunku każdej z krawędzi sklepienia jest stałe i zależy jedynie od profilu sklepienia i od kształtu wieloboku służącego mu za podstawę ; 2° ciśnienie działające w kierunku najwyższej stosugi A, B, jest również stałe i równe promieniowi koła wpisanego rozmnożonemu przez parcie poziome na jednostkę długości podpory. Wszystko to pokazuje, że stałość sklepień klasztornych może mieć dwie przyczyny, tak samo jak w sklepieniu kopu-łowem : albo wytrzymałość przeciw podłużnemu ciśnieniu warstw poziomych, albo też przeciw poziomemu parciu wy-

cinków AOB. Oba te rodzaje wytrzymałości działają zapewne jednocześnie w pewnym stosunku, ale teoryą nie zdołano ująć prawa rządzącego podziałem tej pracy. Otaczając sklepienie pasami żelaznymi, lub też używając innych sposobów do połączenia z sobą wszystkich kamieni jednej warstwy poziomej, można zupełnie zapobiedz działaniu parcia i znaczenie murów podporowych sprowadzić do rzędu zwykłych podpór pionowo obciążonych.

Przejdźmy teraz do sklepień krzyżowych. Tych już dzielić nie można na wycinki utrzymujące się dwa po dwa w równowadze, jak w sklepieniu Klasztornem. Przeciwnie, każda część opiera się na dwóch sąsiednich, jak sklepienie walcowe na swych podporach, a parcie działa w kierunku krawędzi * AO, BO, na słupy ustawione w wierzchołkach wieloboku. Przypuśćmy najprzód sklepienie krzyżowe zbudowane na kwadracie ABCD (fig. 104) i nazwijmy r promień podniebienia, równy połowie boku AB. Sklepienie walcowe AOB wywiera w punktach Aj B1? i w kierunku krzywej AjB, parcie na ednostkę długości mierzonej w kierunku prostopadłym do AtBt, a parcie to nie zależy od położenia punktów Aj, i Bt, odpowiadających którejkolwiek stosudze d. Zatem parcie całkowite poziome części AOB jest qvr, ho Om = Am = r. Działa ono jednostajnie na całej krawędzi AO w kierunku równoległym 'do AB, ale równocześnie działa parcie części ADO skierowane równolegle do AD i również jednostajnie na całą krawędź A O rozłożone. Ztąd wypada, że parcie całkowite t w kierunku krawędzi AO jest

Znając czwartą część całkowitego ciężaru sklepienia, jako przypadające na słhp podporowy obciążenie, i znając przy tern parcie poziome t, obliczymy odpowiednio wymiary tego słupa, tak ze względu na wytrzymałość kamienia, jak i na

opór przeciw obaleniu koło prostej RS prostopadłej do AG.

Co się tyczy wymiarów samego sklepienia dosyć zauważyć, że parcie t działające w ścianie pionowej A O powinno wespół z ciężarem kamieni utworzyć krzywą parria nic przechodzący na zewnątrz sklepienia. Z tego powodu robi się w krawędziach mocne żebra z doskonałego materyału służące za niewzruszony szkielet, na którym spoczywa błona walcowa wykonana z lekkiego kamienia lub cegły.

Wszystko co powiedziano odnośnie do kwadratu ABCD stosuje się za równo do jakiegokolwiek wieloboku foremnego. Parcie na ścianę licową sklepienia jest zawsze równe zeru, ale za to parcie na słupy podporowe jest mocne i trudne do * uniknienia, bo względy estetyczne sprzeciwiają się zakładaniu ściągaczy żelaznych w kierunku boków lub przekątni.

133. Sklepienia ukośne. — Sklepienie walcowe jest ukośne, gdy jego czoło czyni z rodząccmi kąt większy lub mniejszy od prostego. Podniebienie sklepienia ukośnego jest więc częścią powierzchni walcowej, zawartą miedzy dwiema rodząccmi w stosugach łożyskowych i między dwiema krzy-wcmi, powstałemi z przecięcia tego walca płaszczyznami pio-nowemi.

Przypuśćmy, że sklepienia walcowe proste AEFD (lig. 105) o zwykłem wiązaniu zworników, a więc mające dwa rodzaje slosug do siebie prostopadłych, z których jedne, poprzeczne, są równoległe do czoła AE, a drugie, podłużne, równoległe do osi walca, przypuśćmy, że takie sklepienie przecinamy dwiema płaszczyznami AB, CD, ukośnemi względem osi podniebienia ale równoległemi do siebie. Widoczną jest rzeczą, że równowaga przestanie istnieć, i że części trójkątne ABM, CDN, odpadną po obu końcach sklepienia; chyba żeby zworniki były z jednej sztuki, od jednego czoła do drugiego, a przynajmniej zachodziły dostatecznie w głąb sklepienia prostego

V.’VTR Z Y MAŁOŚĆ MATKRYALÓW.

MBNG. Warunku tego łatwo jest dopełnić, gdy ukośność jest mała, bo wtedy linia AM jest krótka i zwykłe kamienie ciosowe sięgają po za linię BM; żeby więc część ABM mogła odpaść, kamienie czołowe musiałyby popękać w pobliżu linii BM. Przeciwnie, w przypadku znacznej ukośności trudno jest uniknąć stosug poprzecznych w części ABM, a tern samem trudno zapobiedz odrywaniu się zworników trzymających się reszty sklepienia mocy samego wapna.

Parcie sklepień ukośnych na podpory oblicza się w taki sam sposób, jak parcie sklepień prostych, bo przeciywszy walec ukośny płaszczyznami równoległemi do czoła, .a dostatecznie blizkiemi jedna drugiej, otrzymuje się szereg pasów', z których każdy może być uważany za osobne sklepienie walcowe, podległe prawidłom rozbieranym w poprzedzającym Rozdziale. Równoległobok ABCD za-

A M

[fwr \\W

n"~~d

Fig. 105.

mienia się wtedy na szereg prostokątów pokrytych prostemi sklepieniami walcowerni, które razem uważane utworzy, w granicy prawdziwe sklepienie ukośne. Ale żeby do każdego z tych łuków .można było stosować krzywy Méry’ego, stosugi podłużne muszy być prostopadłe do poprzecznych, a więc nie mogy iść w kierunku rodzycych walca; ztyd znowu wypada, że ślady stosug na podniebieniu sklepienia ukośnego, powinny być jedne liniami równoległemi do płaszczyzny licowej, a drugie liniami ortogonalnemi o podwójnej krzywiznie. Zobaczmy, czy warunki te sy rzeczywiście dopełnione w używanych dziś systematach sklepienia ukośnego.

Krzywe poprzeczne maja. w rzucie poziomym kształt linij prostych, bo sa zawarte w płaszczyznach równoległych do czoła, które z założenia za pionowe uważamy; rzuty jednak krzywych podłużnych są trudne do nakreślenia i wymagają stosowania dosyć złożonych wzorów analitycznych (*). Jest atoli sposób praktyczny i łatwy zrobienia tego rzutu bez żadnych wstępnych rachunków i wykreślali.

Wyobraźmy sobie podniebienie sklepienia rozwinięte na płaszczyźnie łożyskowej (fig. 106). Krzywe licowe i krzywe poprzeczne tworzące, jak wiadomo, szereg linij do siebie

b'

—

r--------i

Hi

Fig. 1ÖG.

równoległych rozwiną się na sinusoidy, które łatwo iiakreślić na zasadzie zwykłych prawideł Geometryi wykreślnej ; chodzi tylko o krzywe podłużne, mające spotykać wszystkie linie sinusoidalne pod kątem prostym. Weźmy jakikolwiek punkt A', A (fig. 106) na licu podniebienia, przez który ma przechodzić stosuga podłużna. Punkt ten znajduje się na sinusoidzie w miejscu więc wyprowadźmy normalną ab" do tej krzy-

(*} Patrz w Annales des Ponts el Chaussées, z roku 1830 rozprawę Ł o furt ku

wej i przedłużmy ją aż do spotkania się z którykolwiek rodzącą, np. b'b". Z punktu spotkania b" wyprowadźmy równoległy do normalnej w b' i przedłużmy ja do spotkania rodzycej cc": potem nakreślmy znowu równoległy do normalnej w c\ i t. d., aż do stosugi łożyskowej. Tym sposobem utworzymy wielobok ab"c"d", którego bok ostatni będzie równoległy do rodzącej EF. Jakoż, normalna do sinusoidy licowej w punkcie E jest EF, a więc i ostatni bok wielokąta, jako równoległy do normalnej, nie może spotkać prostej EF ani nawet w nieskończoności.

Wielokąt a'b"c"d" tworzy w granicy krzywy ortogonalny, to jest stosugę podłużny uważanego sklepienia. Z tej krzywej wyprowadzi się wszystkie inne krzywe podłużne, bo dosyć jest nakreślić linie równoległe w kierunku rodzycych, a przechodzące przez żydane punkta podziału zworników b', ć... Maja c zatem szereg stosug podłużnych i szereg stosug poprzecznych, mamy cały sieć śladów utworzonych przez różne zworniki na podniebieniu ; pozostaje więc tylko przenieść te linie z powierzchni rozwiniętej na powierzchnię walca, co naturalnie nie przedstawia żadnych trudności. Taki układ stosug w sklepieniu ukośnem zwie się iciązamem ortogonalnem.

Gdy na licu podniebienia bierzemy części równe do podziału sklepienia na zworniki i przez te punkta prowadzimy krzywe poprzeczne ortogonalne, wszystkie linie leżące po jednej stronie sklepienia zbliżają się do siebie w miarę, jak biegną ku wspólnej asymptocie EF, w skutek czego grubość zwornika zmienia się ustawicznie ; użycie cegieł staje się wiec niepodo-bnem. Pominąwszy już tę ważny okoliczność, której, jak dalej zobaczymy, po części zaradzić można, wiązanie ortogonalne jest w samej rzeczy dosyć złożone i nie nadaje się do walców prostych ; gdy tymczasem w każdem sklepieniu ukośnem znajduje się cześć prosta zawarta między płaszczyznami prostopadłemu do rodzących, a poprowadzonemu przez wierzchołki kątów rozwartych sklepienia. Jeżeli walec jest krótki,nie warto komplikować kształtu zworników czołowych, aby uprościć wiązanie kamieni na przestrzeni pozostałej między lukami licowymi; ale przeciwnie, gdy cześć prosta sklepienia jest dosyć długa, dobrze jest przyjąć dwa rodzaje wiązań: jedno dla zworników czołowych, drugie dla części prostej walca. Chodzi tylko o zręczne połączenie tych dwóch odrębnych systemów. W tym celu odetniemy na części prostej sklepienia ABCD długość dowolną BC (fig. 107), przedłużymy płaszczyznę sieczną CD do spotkania się ze ścianą licową BA, i przez otrzymaną z przecięcia prostą O poprowadzimy pęk płaszczyzn pionowych, któreby przecinały oś walca pod kątami zmieniającymi się od kala AOD do kąta prostego. Bozwi-

I____fci!

Fig. 107.

na wszy na płaszczyźnie te powierzchnie walcowa wyznaczymy na niej sinusoidy powstałe z poprowadzenia płaszczyzn siecznych EF. Otrzymany ztąd szereg sinusoid zbieżnych FE' weźmiemy za sieć stosug poprzecznych; a że stosugi podłużne powinny przecinać stosugi poprzeczne pod kątem prostym, przeto wychodząc z danych punktów podziału rn narysujemy pęk krzywych ortogonalnych mn, które będą przedstawiać ślady stosug podłużnych na podniebieniu. Krzywych tych nie można już kreślić podług jednego szablonu, jak w zwykłem wiązaniu ortogonalnem, ho sinusoidy FE' nie są do siebie równoległe; ale też dosyć jest wyznaczyć starannie kilka głównych slosug, a pozostałe inne nakreślić na oko w laki sposób, aby dzieliły proporcyonalnie przestrzeń między dwiema sąsiedniemi. Układ stosug, o których tu mówimy, tworzy tak zwane wiązanie ortogonalne zbieżne, z którego wypadają inne wiązania tegoż systematu trzymające środek między prostemii zbieżnemi. Jakoż kształt tych sieci normalnie sic przecinających jest w gruncie rzeczy dowolny, bo nie ma powodu, aby płaszczyzny sieczne miały się koniecznie przecinać w jednem miejscu O. Owszem, zdaje się być rzeczą racjonalną zmieniać niejednostajnie położenie płaszczyzny OP, aby przejście z ukośności w prostopadłość było wolne i nieznaczne w okolicy czoła AU. Można więc obmyślić nieskończenie wiele systematów, w których np. linie OF zamiast przechodzić przez punkt wspólny O, toczą się stycznie po krzywych ; a wszystkie te systematy będą z punktu widzenia równowagi tak samo uzasadnione, jak wiązanie helisoid zbieżnych.

Pozostaje jeszcze rozebrać drugi sposób zapobiegający Lej wadzie wiązania ortogonalnego, iż wymaga zworników o nierównych grubościach i nie dopuszcza tak upowszechnionego w naszym kraju użycia cegły. Do tego służy wiązanie helisoi-dalne. Gdybyśmy na figurze 106 połączyli punkt E z punktem H' linią prostą i zamiast rozwijać sinusoidę E£'MH' na walcu tworzącym podniebienie rozwinęli prostą EMH', czoło EH lego podniebienia miałoby kształt helisy bardzo płaskiej zchodzącej niewiele z płaszczyzny HE. Otóż przyjmując tego rodzaju helisy za stosugi poprzeczne, musielibyśmy przyjąć na stosugi podłużne takie helisy, któ-reby rozwinięte na płaszczyźnie były prostemi prosto-padłemi do EM/ĆH ; więc cała sieć stosug podłużnych i poprzecznych tworzy w rozwinięciu szereg prostych do siebie prostopadłych, słowem tworzy najprostsze wiązanie zworników o stałej grubości. Ta jest jedyna niedogodność, że stosugi podłużne spotykają stosugę łożyskową pod kątem bardzo ostrym, w skutek czego koniecznem jest użycie kamiennych zworników w najniższej warstwie sklepienia, to jest na łożyskach.

Na tem zakończamy opis sklepień ukośnych, należący raczej do Geometryi wykreślnej, jak do nauki traktującej o stałości i mocy sklepień. Było jednak koniecznem przekonać czytelnika, iż skreślony na początku ustępu sposób uważania sklepień ukośnych, jako szeregu pasów walcowych prostych jest uzasadniony, z wyjątkiem więzania ortogonalnego zbieżnego, które wymaga pasów zbieżnych w jednej części, a równoległych w drugiej. Zatem obliczanie sklepień ukośnych da się w każdym razie sprowadzić do rachunku sklepień prostych.

KSIĘGA DRUGA

o

STAŁOŚĆ MURÓW OPOROWYCH

ROZDZIAŁ I

PARCIE ZIEMI.

134. Własności ziemi. —Przez ziemie w ogólnem znaczenia tego wyrazu rozumiemy ziemię roślinny, piasek, żwir, okruchy kamienne, a w ogóle każdą masę złożoną z cząstek mineralnych lub roślinnych, połączonych z sobą w pewnym stopniu siłą przylegania, spójności i tarcia. Te trzy siły są powodem jej sztywności i źródłem mocy, z jaką pojedyncze cząstki bryły opierają sic wpływowi sił zewnętrznych dążących do rozłączenia ich od siebie; ale właściwie tylko dwie ostatnie są godne uwagi, bo siła przylegania jest nadzwyczaj mała.

Wiadomo powszechnie, że ziemia sypana na płaszczyznę poziomą AB (fig. 108) przyjmuje zrazu pewną największą pochyłość AG, której przekroczyć nie może bez zupełnego zniszczenia równowagi. Ta najspadzistsza pochyłość zależy widocznie od spójności i tarcia ziemi ; a że zmiany temperatury i wilgoci niszczą przyrodzoną ziemi spójność, przeto spadek tak raptowny długo utrzymać się nie może i musi słabnąć stopniowo, aż nie przyjmie takiej pochyłości Al, na której się cząstki ziemi siłą samego tarcia utrzymać zdołają. Dlatego to ziemie sypkie, jak np. piasek albo żwir suchy układają się od razu do równowagi, bo spójności zupełnie braknie, a tarcie jest jedynym oporem w ślizganiu bryłek po ukośnej powierzchni ziemi ; przeciwnie ziemia roślinna albo glina mająca znaczną spójność przyrodzoną przechodzą w stan równowagi stałej dopiero po upływie pewnego czasu.

Ta szczególna pochyłość tworzy skarpę naturalną ziemi. Kąt BA1 jest widocznie kątem tarcia ziemi o ziemie, tak że

.T

__JŁ

Fig. IÜS.

oznaczając przez f współczynnik tarcia, a przez a pochylenie naturalnej skarpy względem pionowej, mamy

S-

Si

O sile spójności nie wiele nam wiadomo, bo wszystkie dotąd robione doświadczenia miały raczej na celu oznaczenie tarcia ziemi, jak badanie jej spójności. Przypuszcza się zwykle, iż siła ta w pewnej płaszczyźnie przez bryłę ziemi przeprowadzonej jest proporcyonalna do powierzchni pomienio-nego przecięcia, ale zupełnie niezawisła od ciśnienia, któremu la płaszczyzna w skutek wzajemnego oddziaływania rozdzielonych nia części podlegać musi. Z lego przypuszczenia wychodząc, a mając przytem na uwadze warunki równowagi bryły sypkiej spoczywającej wolno na płaszczyźnie poziomej wyprowadza się związek algebraiczny między spójnością ziemi,

(*) W Rozdziale tym numerujemy ważniejsze równania cyframi porzędkowemi bez względu na ustępy.

a jej skarpa sztuczny i naturalną, i na zasadzie tego związku oblicza się jednę z nich, gdy druga jest dana ; że zaś łatwiej jest zmierzyć pochylenie płaszczyzny jak natężenie siły mię-dzycząsteczkowej, przeto ograniczano wszystkie doświadczenia na mierzeniu naturalnych i zwykłych spadków, zostawiając rachunkowi dalsze tego zadania rozwinięcie. Próbowano także oznaczyć wprost spójność ziemi przez zmierzenie siły potrzebnej do rozdzielenia bryły wzdłuż pewnej płaszczyzny, ale doświadczenia nie powiodły się szczęśliwie z powodu niedoskonałości przyrządów. Dlatego głównie skierowano uwagę na skarpy naturalne, jako na zasadnicze, łatwe do spostrzeżenia własności ziemi, i te dane biorąc za punkt wyjścia obliczono siłę spójności w sposób, który nieco dalej opiszemy. Tymczasem podajemy tablicę zawierającą główne wypadki rachunków i doświadczeń Hagen’a (¹) i Martoyn’ego de Köszegh (²).

RODZAJ ZIEMI.

Naturalna pochyłość skarpy.

St. a

Ciężar metra sześciennego wyrażony w kilogramach.

Spójność ziemi na metr kw. powierzchni, wyrażony w kilogramach.

Ziemia

Pulchna, sucha alho trochę wil-

gotnawa.....

Sucha i ubita... £ / Pulchna, wodę

48°—52° 48° - 52°

nasycona .... { Suchy albo wilgo-

^ j tnàwy......

S ( Wodę nasycony. Wypłukana, sucha, alho wil-

gotnawa.....

« I Ubita.......

I Wodę nasycona.

55°— 00°

33°— 56° 60°— 63°

1,1 —1,3

1,1-1,3

1,4-1,7

1,3-1,5 1,7—2,0

1240— 1420 1590 — 1770

1770- 1880

1650 — 1770 1930 -2037

48°-52°

342

359

Czysty żwir.... Miii..........

48° - 52° 55°— 60° 48° - 55°

1.1    —1,3

1.1    - 1,3 1,4- 1,7 1,1-1,4

1300 -1560 1680 - 1900 1949 — 2037 1600 - 1770 1642

C C

CO 50 cr.

Lo utrzymania wykopów lub nasypów ziemnych że ścianami bardzo spadzistemi używa się tak nazwanych murów oporowych albo podwałowych. Ciśnienie ziemi na mur oporowy jest równe parciu bryły BAD (fig. 109), zwanej odłamem, a zawartej między ścianę AB i pewna powierzchnia AD, któraby się utworzyła w chwili usunięcia muru. Ale powierzchnia AD nie jest naturalna skarpę ziemi, jakby się zdawało na pierwszy rzut oka, bo ta ostatnia powstaje ze zniszczenia spójności w częstkach na działanie powietrza wystawionych, gdy tymczasem ściana AD posiada cała swę spójność przyrodzona a więc może być więcej stroma od naturalnego pochylenia AE.

fi

-i

Fig. 109.

Prowadzi to do wniosku, iż rozpadlina AD, tworzącą się w chwili runięcia muru oporowego, znajduje się wewnątrz kata BAE, ale o jej kształcie nic do myślenia nie daje. Robiono w tym względzie głębsze poszukiwania teoretyczne, które wprawdzie nie doprowadziły do zupełnie pewnych wypadków, ale dały przybliżone pojęcie o rzeczy, jak np. prace Scheffler’a ogłoszone w Journal für Baukunst^ BandXXX, S.198).

handlung über diesen Gegenstand nach Coulomb und Français, nebst einer. Nachweisung œlterer Versuche dieser Art. Wien, 1828.

część in, — bcdowi.k murowani:.

402

Uczony ten dowodzi, że powierzchnia AD, którą nadal powierzchnią odłamu nazywać będziemy, jest płaszczyzną prostopadłą do przecięcia poprzecznego; a choć w rachunkach swych przypuszcza zupełną jednorodność materyi i pomija jej tarcie o ścianę muru, to jednak nie osłabia tern ich znaczenia praktycznego, bo odłamy ziemne mają w samej rzeczy kształt dosyć wyraźnie płaski. Dlatego w rachunkach dalszych uważać będziemy ziemię jako materyę jednorodną, a płaskość odłamu przyjmiemy za zasadę.

135. Ogólna teorya parcia ziemi. — Wszystkie dawne teorye ciśnienia ziemi, jak prace'Goulomb’a (*), Prony’ego (**),

Français’go (***), Navier’a (****), Poncelefa (*****), Hage n'a (

) i innych polegają na oznaczeniu tak nazwanego graniastosłupa o największem parciu, to jest bryły ziemnej, która zesypuje się w pierwszej chwili po usunięciu muru oporowego. Zasada ta prowadzi do wypadków prawdziwych a przynajmniej zgodnych z innemi teoryami, aledaje mimowolnie domyślenia, że parcie bryły ABD (lig. 109) ześlizgującej się rzeczywiście jest większe od parcia wszystkich innych graniastosłupów ABC; co jest mniemaniem zupełnie fałszywem. Nierówność w parciu rozmaitych graniastosłupów utworzonych przez poprowadzenie płaszczyzn siecznych AC mogłaby tylko wtedy mieć miejsce, gdyby tarcie i spójność cząstek w tej płaszczyźnie była zupełnie spożyta w skutek opadnięcia części bryły; ale że siły oporowe zużywają się całkowicie tylko w powierzchni AD rzeczywistego odłamu, a we wszystkich innych występują częściowo, przeto nie ma żadnego powodu, aby jedna z tych

(*) Mémoires des savants étrangers. Paris, 1773.

P*) Recherches sur la poussée des terres et sur les formes à donner aux murs de 'revêtement. Paris, 1802.

tp**) Mémorial de l'officier du génie, Nr. 4, 1820.

(’***) Leçons sur l’application de la Mécanique. Première partie. Paris, 1833.

P****) Mémoire sur la stabilité des revêtements de terre, w numerze 13tvm pisma: Memorial de l'officier du génie.

«**#•**) Handbuch der Wasserbaufeunst, dritter Theil. Berlin und Königsberg, i S f 3.

brył geometrycznych parła więcej od innych. Owszem, rozbierając warunki równowagi chwilę przed runięciem muru, gdy jeszcze ziemia tworzy jedne ciągłą masę, możemy zamiast całej bryły ABE uważać jakąkolwiek jej część ABC, z warunkiem dołączenia do sił odpowiadających tej części, siłę oddziaływania bryły AGE; po jednej stronie równania równowagi mamy siły odpowiadające masie muru czyli siły oporowe, po drugiej zaś siły właściwe graniaslosłupowi ABC wraz z oddziaływaniem płaszczyzny BG, to jest siły cisnące albo, po prostu, parcie ziemi. Te dwa układy sił oporowych i zaczepnych są równowarte, bo bryła muru i ziemi utrzymuje się w równowadze; a że układ sił oporowych jest stały, przeto i działanie sił zaczepnych musi być niezmienne, jakiekolwiek jest położenie płaszczyzny AC. Ztąd jasno wynika, że wszystkie graniastosłupy ziemne zawarte między murem i płaszczyznami siecznemi przechodzącemi przez jego dolną krawędź, wywierają zupełnie jednakowe ciśnienie. Skoro więc « graniastosłup o największem parciu » nie istnieje w naturze, a bryła nosząca dotąd to miano jest naszym «odłamem », przeto dla uniknięcia nieporozumień powstałych z nielogiczności słownictwa przyjmiemy to ostatnie wyrażenie w miejsce tradycyonalnej zasady Goulomb’a.

Pominąwszy już tę błędność określenia, cała dawna leorya grzeszy brakiem ogólności. Coulomb, twórca pierwszych jej zasad, ograniczał się na jednym szczególnym przypadku, z zu-pełnem pominięciem tarcia ziemi o ścianę muru, a jego następcy w równie ciasnym pozostawali obrębie. Dopiero Mose-ley (*), a po nim Schettler (**) rozwinęli Coulomlra Łeoryę przez wprowadzenie tarcia ziemi o ścianę muru, które dotąd zupełnie pomijano (***). Za nimi poszli i inni uczeni, a świeże

P) The mechanical principles of engineering and architecture. London 1843.

(ł*) Theorie der Gewcnlbe, Futtermauern und eisernen Brücken. Braunschweig, 1S07. (***) Patrz także prace p. Ott’a w «.Mittheilungen der Architekten und Ingenieur. Vereines für Ihr Innen. Prag, 1808.

prace Rebhann’a ogłoszone w roku 1871 pod tylułem Theorie des Erddruckes und der Futtermauern sy jeszcze o tyle wyższe od poprzednich, że zawierają teoryę ogólna, systematycznie i jasno przedstawiony wraz z jej zastosowaniem do praktyki. Natem tle właśnie obrabiamy wykład niniejszy.

Niechaj ABCDE (fig. HO) oznacza profil masy ziemnej opierającej się ściana AB na murze oporowym, którego długość w kierunku prostopadłym do figury jest nieograniczona. Powierzchnia odłamu jest, jak powiedziano, płaszczyzny przecho-dzycy przez dolny krawędź muru i leży na lewo skarpy naturalnej AE, bo na prawo równowaga istnieje sama przez się. Aby oznaczyć ściśle kierunek tej płaszczyzny, rozbierzmy najprzód działanie jakiegokolwiek graniastosłupa leżycego mię-dzy| murena i płaszczyzny [dowolny AG, a dla uproszczenia bioryc pod uwagę jednostkę długości muru, nazwijmy

D oddziaływanie muru AB ;

Ö i R jego składowy normalny i równoległa do ściany muru ;

s i a pochylenie muru i skarpy naturalnej względem pionowej przechodzycej przez punkt A; kyte jest uważany jako odjemny, gdy ściana AB jest pochylona ku wnętrzu bryły podpartej ;

y pochylenie dowolne płaszczyzny AC do skarpy naturalnej AE ;

X ciężar graniastosłupa BAG :

r i G opory z tarcia i spójności w płaszczyźnie AG ‘

c spójność na jednostkę powierzchni, a / współczynnik tai“-* cia ziemi o ziemię;

o kyt tarcia ziemi o ścianę murę ;

O oddziaływanie normalne płaszczyzny AG ;

iż powierzchnię tej płaszczyzny ;

Y kąt, jaki tworzy płaszczyzna odłamu AD z płaszczyzna skarpy naturalnej ;

P ciężar bryły odłamanej ABD, a A powierzchnię szczeliny AD ;

II ciężar metra sześciennego ziemi.

Uważmy chwilę, w której graniastosłup BAC poczyna się ześlizgiwać po ścianach BA, CA, na kształt klina wbijanego między mur i pozostałą część ziemi. Ruch ten następuje pod wpływem ciężaru X oddziaływania muru R i Q, odziaływania normalnego Ü ściany AC, i wreszcie oporów r i C pochodzących z tarcia i spójności cząstek w płaszczyźnie AC. Te sześć sił muszą się więc równoważyć nawzajem, jeżeli bryła ma pozostać w spoczynku.

mm

Fig. no,

Płaszczyzna AC jest zupełnie doWoina w granicach kąta BA E, a więc nie może być brana w znaczeniu ogólnem za rozpadlinę AR tworzącą się po usunięciu muru oporowego. Ztąd wypada, że w ogóle opory z tarcia i spójności w płaszczyźnie AC nie są całkowicie spożytkowane, to jest że siły r i C sąmniejszc od całkowitego tarcia fO i całkowitej spójności cii, ktorem

CZĘŚĆ ]II. — BUDOWLE MUROWANE.

406

płaszczyzna AG rozporządzać może. Dopiero gdy AG przypada na AD, mamy r — f O, G — cii, bo dopiero w tern miejscu całe tarcie i spójność pracują. W ogóle jednak mamy

r= /"O.

C=c'i2,

gdzie /' i c oznaczają ilości równe lub mniejsze od / i c. Wreszcie, ponieważ według wzoru (1) f jest równe dotycznej kąta a, napiszemy przez analogię

f"= dot.a ,

gdzie «' oznacza kąt większy lub równy katowi «. Mamy więc ostatecznie

G ~ cii.

(2)

r — O.dota',

Rozbierzmy teraz warunki równowagi pomienionych sześciu sił zewnętrznych. Leżą one w jednej płaszczyźnie pionowej, a więc równowaga może wtedy istnieć, gdy nie ma ani ruchu postępowego ani obrotowego w tej płaszczyźnie, to jest gdy rzuty sił na dwie osie współrzędne i summa momentów statycznych względem pewnego punktu są równe zeru. Ale pierwszy warunek jest już dostateczny do oznaczenia parcia ziemi.

Rozłóżmy więc wszystkie siły zewnętrzne z wyjątkiem siły X na dwie składowe, poziome i pionowe, oznaczając je temi samemi głoskami, co ich wypadkowe, a dodając po jednej i po dwie kreski dla odróżnienia składowych poziomych 0', R', O', r i G' od składowych pionowych O", R ", O ", r" i C". Zrównawszy z zerem summy algebraiczne tych ilości otrzymamy dwa następujące równania warunkowe :

( 0' — R'— 0'-f-r'-t- C’ = 0,

/ X - Q"— R" — O" — r"— C"~ 0.

Otóż z wyjątkiem X wszystkie wyrazy wchodzące w skład

497

tych równań dadzą, się wyrazić przez funkcye sił Q i O, bo mamy widocznie

Q'= Q doss,

Q — Q wste,

O' —Odos(a—cp),

O" — O WSt(a— cp),

T =rwst(a —cp) = O dot a'. WSt(a — cp),

r" = r dos(a — o) = O dota'. dos(a — cp),

możemy więc sprowadzić równania (3) do kształtu

Q(dos e — stpwsts) — 0[dos(a — cp) — dota'. wst(a — s>)J

4- c'12 WSt(a — cp) =0,

X — Q(wstć 4-st pdos s) — 0[wst(a — cp) 4- dot a'.dos(a— s)] — cii dos(a— cp) = 0,

R' = R wste = Q stp. wste,

R = R dose = Q st p. dos e,

G' = G WSt(a— cp) = c'i2wst(a — cp), G'=C dos(a — <p)=cï2 dos(a— cp),

albo jeszcze

WSt(a — a 4- <p) wst a '

_q dos(a' — a 4- 9)

wst a’

Rugując O z tych dwóch równań dochodzimy do związku

X —    —- [)wst(p 4- e) 4~ dos(p 4" e)dot(a — a -I- cp)J

— c'12[dos(a — cp) 4- wst(a — cp)dot(a'— *4-ip)]= O, z którego wypada

4- c'ii wsi (a — 9)= 0,

X-Q

dosp

cii dos(a — o)= 0.

(*)Q =

dos p

dos(a'— a —p — £ 4- cp)

WYTRZYMAŁOŚĆ M AT ER V AŁÓ W.

[Xwst(a — a 4- cp) — c’ûwsta'j.

136. O stałości ziemi niepodpartej mającej dany spadek.—Ziemia utrzymuje się w spoczynku stałym, gdy ma skarpy naturalne, bo wtedy samo tarcie czystek jednych o drugie zapewnia jej równowagę; wysokość bryły jest wtedy nieograniczona, a przynajmniej zupełnie niezależna od wpływu powietrza.

Ale rzeczy maję się inaczej, gdy powierzchnia boczna nasypu lub wykopu jest spadzistsza od stoku naturalnego. Każdej spadzistości odpowiada pewna największa wysokość, której przekroczyć nie można bez zniszczenia równowagi, a która zależy widocznie od pomienionego pochylenia s, od spójności ziemi, jej ciężaru, naturalnej pochyłości, i wreszcie od kształtu powierzchni górnej. Mówimy, iż równowaga jest możebna przy każdem pochyleniu, byle tylko wysokość bryły była odpowiednia, ale zastrzegamy równocześnie niezmienność powietrza, które jak mówiliśmy w ustępie n. 134, niszczy zupełnie spójność na powierzchni i łagodząc ustawicznie spa-dzistość pierwotnę nadaje jej w końcu spadek naturalny.

Gdy więc ziemia ma spadek boczny e i odpowiadajacę temu spadkowi wysokość /<, równowaga istnieje sama przez się, i mur oporowy nie znosi żadnego parcia ze strony bryły ziemnej. Ztęd wypada, że cheęc znaleźć h, gdy dane jest s, dość jest obliczyć Q podług prawideł wyłożonych w poprzedzającym ustępie i wypadek otrzymany zrównać z zerem; zwięzek ten posłuży do oznaczenia ilości nieznanej h. Szukajmy zatem maximum q, a w tym celu zrównajmy z zerem pierwsza po-chodnę wyrażenia (9), które dla krótkości można przedstawić w kształcie :

(11) gdzie

a = Xwstcp —diwsla, l) — dos(o -j- s — p).

KSIĘGA II. STAŁOŚĆ MURÓW OPOROWYCH. — ROZDZIAŁ I.

SOI

Mamy więc

dq_dosp f~;

~~p~L

dy

= 0.

Otóż ilość q dosięga swego maximum przy . pewnej wartości <p=Y, a że to max.y jest równe zeru z założenia, przeto ilość a wchodząca w skład równania (11) musi być także równa zeru. Ale skoro « = 0, związek poprzedni sprowadza się do

da

~~ = 0.

d'f

Z tego równania Wyciągniemy wartość cp = y odpowiadającą maximum parcia, a wstawiwszy ją w wyrażenie (11) otrzymamy

max.ÿ = Q = dosp

Pwsty — cAwsta dos(y—e —p) ’

Parcie to jest równe zeru, bo przypuszczaliśmy równowagę bez pomocy muru, a więc

Pwsty — cAwsta — 0.

Równanie to posłuży do oznaczenia ilości szukanej h, bo P i A są właśnie jej funkcyami ; zadanie jest więc rozwiązane.

Przypuśćmy np. że powierzchnia górna bryły jest płaszczyzną poziomą lub pochyłą (fig. 111). Mamy wtedy, nazywając II ciężar metra sześciennego ziemi :

X = II -r^— iiwst(oc -ł- £—Cp), 2 doss

a następnie

a = Xwstcp — cii w st« =

■1

îTI ci4iLl [wst *wst(a+£ “    wsŁa (los £] •

Chcąc teraz znaleźć całkowite oddziaływanie D z uwzględnieniem tarcia ziemi o mur oporowy, jiależy wstawić powyższy wartość Q w równanie

(3)

d=tl

dos p

wyrażające naturalny związek między ilościami ,Q i D. Otrzymujemy tym sposobem

(6)

ß__Xwst(a' — a -+- <p) — cii, WSta'

dos(a' — a — p — £ -i- cp)

Znalezione powyżej wartości na Q i D są jednakowe dla wszystkich graniastosłupów BAG, a więc nie zależą od kąta <p ; ilości a' i c muszą więc zmieniać się w taki sposób, aby 0 i D wypadały niezmienne dla wszystkich wartości cp zawartych między ą=0 i pa + e. W płaszczyźnie odłamu mamy cp = y, ot, c — c, a przy tern X i £2 przechodzą na P i A, jeżeli zatem te wartości szczególne wprowadzimy w równanie *    (4) i (6), otrzymamy

00

O = -—-- [ P wst Y — c\ WS ta],

dos(y—e — p) L    J

(8)

ß P wst Y — cA wst a

dos(y — £ — p)

W tych dwóch wyrażeniach znamy wszystkie ilości z wyjątkiem kąta y i zależnych od niego ilości P i A ; pozostaje więc tylko do oznaczenia kąt mierzący pochylenie urwiska względem naturalnego spadku. Otóż gdybyśmy wstawili w równaniu (4) a.'—a, ć = c, to jest wyobrazili sobie na chwilę, że płaszczyzna AG jest rzeczywiście płaszczyzną odłamu, to wynikające ztąd oddziaływanie q musiałoby być mniejsze od rzeczywistego oporu O, a wiec mielibyśmy

q < Q,

gdzie

(»)

»=d3*FT=7) CXwstł - <"»«*]•

Różnica Q — q jest w ogóle dodatnia, a zaś wtedy równa zeru, gdy AC przechodzi na AD ; możemy wiec napisać

?=0 - d0S(?d°s;_p)[xwstT- o-o. w₅t*]>0.

Uważmy tylko, że choć q jest wielkością wymyślony, tojednak różnica Q —q ma znaczenie rzeczywiste; skoro bowiem Q oznacza prawdziwe parcie normalne, a q to oddziaływanie, któreby miało miejsce gdyby w uważanej płaszczyźnie AC całe tarcie i spójność pochłonięte zostały, przeto różnica Q—q wyobraża właśnie ten nadmiar oporów niezużytych, można powiedzieć uśpionych w płaszczyźnie AC podczas pękania bryły ziemnej. Naturalnie, że największe niebezpieczeństwo pęknięcia grozi pod takim kątem 9 = 7, dla którego różnica Q—q jest minimum, to jest zero; bo wtedy nie ma żadnego nadmiaru oporów niezużytych, a całe tarcie i spójność czynnie bronią zagrożonej równowagi. Otóż ilość Q jest stała, a więc Q — q staje się najmniejszern, gdy q dosięga swego maximum; a że znowu minimum różnicy Q — q ma być ostatecznie równe zeru, przeto Q musi być równe największej wartości q, to jest

(10)

Os max.y.

żtąd Widzimy, żc chcąc znaleźć parcie normalne Q, trzeba szukać maximum wyrażenia (9), uważajac X i iż jako funkcye zmiennej 9. Gdyby q nie miało maximum analitycznego, albo też gdyby wypadająca z rachunku wartość na o była nie-możebną, trzebaby szukać maximum liczbowego mając ten warunek na uwadze, że kąt odłamowy y musi być koniecznie zawarty między o i a + £.

część III. — BUDOWLE MUROWANE.

U ważmy teraz, że chemie znaleźć kal y, trzeba uczynić a = 0 i — 0; mamy więc najprzód

Ö02

da

dl

(42)

2c

wsbwstfa 4- £— z) — Ćtt wst.*.dose = 0, ¹    ' Jl//

a następnie

ef[wstcp wst(<z -+- £ —cp)]

dzi

= 0.

Z ostatniego równania wypada

c,

ALr

Fi-?, m.

a więc wstawiwszy tę wartość w równanie (12) otrzymamy

wsi

U/i

wstadose=0,

zkad ostatecznie

(13)

2c wstadoss

II .» a 4 e wst²—-—

Według powyższych rachunków kąt y jest równy połowie

kata a -t s, a wiec płaszczyzna niebezpieczna AD dzieli na dwie równe części kąt BAE zawarty między skarpą naturalną i skarpą rzeczywistą bryły ziemnej. Jest to tem ciekawsza własność, iż nie zależy od spójności ziemi, ani od kierunku BE górnej powierzchni. Nawet A jest zupełnie od tego kierunku niezawisłe.

Na mocy wzoru (13) możemy wyrachować spójność ziemi, gdy tylko daną jest z doświadszenia wysokość h odpowiadająca kątowi s i spadek naturalny a. Metody tej używano powszechnie, ale przedstawia ona tę niedogodność, że wymaga znajomości kąta a. To też używa się jeszcze innego sposobu, polegającego na zrobieniu dwóch doświadczeń z jedną i tą samą ziemią i na wyszukaniu obu nieznanych a i c z dwóch tym sposobem otrzymanych związków (13). Przypuśćmy np., że w pierwszem doświadczeniu pochyłość ziemi ku wnętrzu bryły była £j, a w drugim s₈, i że największe wysokości, na jakich ziemia mogła się utrzymywać bez pomocy muru, były odpowiednio hx i A₂; mamy widocznie

h,=

“n

2c WStadoS^ a-4- £i ’

wst²-

2

A 2c wsta dos s₂

^9 T~7" "    5

wst

₂<x 4- £,

Z tych dwóch równań wypada

sf a sjh^siecze—1) — \/A₁(siecze₁—1)

-    \jh^ siecze₂-t-1) — \lhi{ sieczEj-f-1)

a mając a znajdziemy c za pomocą jednego z dwóch poprzedzających wzorów (*).

(¥) Nie trzeba zapominać, iż we wszystkich rachunkach tej Księgi uważamy e za dodatnie, gdy ściana AB jest pochylona na lewę stronę pionowtj AP, to jest ku zewnętrznej stronie bryły. W przeciwnym razie trzeba wstawić — e w miejsce e.

137. Uproszczenie teoryi przez pominięcie tarcia ziemi o mur oporowy. — Zdaniem Rebhann’a i innych uczonych pominięcie tarcia ziemi o ścianę muru nie pociąga za sobą znacznych błędów, a nawet przedstawia pewne korzyści ze względu no stałość budowli projektowanej, bo obliczone tym sposobem normalne parcie jest nieco większe od rzeczywistego. Jakoż, biorąc pod uwagę ogólne wyrażenie (9) wi-

zależy od kala p, i że

dzimy, że tylko czynnik

dosp

dos(cp— £ — p)

jego pierwsza pochodna względem p

wst(cp— e) dos²(<p — g — p)

jest odjemna, to jest że czynnik ten maleje, gdy p się powiększa ; co dowodzi, że biorąc p —0 powiększamy nieco ilość q, a więc i jej największy wrartość Q. Że jednak w praktyce przy obliczaniu stałości muru oporowego trzeba zawsze przypuszczać parcie znacznie większe od rzeczywistego, aby tym sposobem zapewnić niezachwiany stałość muru, przeto możemy je obliczyć w przypuszczeniu p = 0, i pomnożyć potem przez pewien z doświadczenia znany współczynnik pewności. Zresztą dodać tu należy, że tarcie zmienia się ze stanem wilgoci powietrza tak dalece, iż podczas wielkich deszczów i topnienia śniegów współczynnik p jest bardzo blizki zera.

W następujących ustępach rozbierzemy rozmaite szczególne przypadki ciśnienia ziemi w przypuszczeniu zupełnej nieobecności tarcia. Do obliczenia Q używać będziemy wzoru dosyć prostego

(U)

Xwstcp — eüwsta

Q = max q = max.----•>

dos(cp— e)

który wypada z równania (7), gdy się w niem wstawi p = 0. Wprzód jednak zbadamy ogólne prawo zmienności ciśnień na całej wysokości muru oporowego i oznaczymy środek parcia,

KSIĘGA II. STAŁOŚĆ MURÓW OPOROWYCH. — ROZDZIAŁ I.

to jest punkt przyczepienia wypadkowej wszystkich ciśnień.

Wyobraźmy sobie bryłę ziemną o dowolnym na wierzchu kształcie, wspartą z boku na murze oporowym, którego ściana , węwnętrzna jest pochylona o kąt e do linii pionowej. Oznaczmy przez II całkowitą wysokość muru (fig. 112), przez A wysokość lej warstwy ziemi, która utrzymuje się w równowadze siłą swej spójności, przez Q całkowite parcie ziemi, a przez z odległość jej punktu przyczepienia od płaszczyzny poziomej przez punkt A przechodzącej.

L----

'aï

Q,

ttt

M k

T---

----jj. >

______t„

i/

Fig. liï.

Przetnijmy uważany bryłę ziemi płaszczyznę poziomą położoną na odległości dowolnej x od poziomu punktu B i nazwijmy y parcie całkowite ziemi leżącej ponad tą płaszczyzną. Jeżeli powiększymy x o nieskończenie mały przyrost dx, parcie y powiększy się o dy ; to cly będzie więc oznaczać parcie nieskończenie cienkiej warstwy dx. Summa momentów takich parć cząstkowych względem punktu A musi być równa momentowi wypadkowej Q, a więc

æ=h

Q. AN = f

J X~h

AM. dy.

Całkujemy w granicach od h do H, bo część ziemi leżąca ponad płaszczyzną LK nie wywiera żadnego ciśnienia na raur

f (H — x)dy = (H — x)y + j ydx,

a że wyraz (H — x)y jest równy zeru dla x — h (bo wtedy y — 0) i dla x = E, przeto

Qz =

oporowy, a więc musi być zupełnie pominięta w dodawaniu

- , zatem

momentów. Ale AN

dose ’

AM =

Ił —

dose

æ=H

,7 X=lt

Otóż marny

rH

/ y dx Jh ' ’

zkąd ostatecznie

U ydx-

Oto jest wzór ogólny do oznaczenia środków parcia. Aby sobie zdać sprawę ze zmiany ciśnień w różnych punktach muru, można uważać x i y jako współrzędne prostokątne pewnej krzywej, biorąc punkt O za początek osi i odnosząc odcięte x z góry na dół na linii Ox, a rzędne y na liniach poziomych. Oznaczywszy tym sposobem kilka punktów i połączywszy je z sobą w sposób ciągły, otrzymamy krzywą OKa przedstawiającą prawo zmienności ciśnień na różnych wysokościach muru. Ale tylko część Ka ma rzeczywiste znaczenie, bo dla odciętych mniejszych od a; = KO = h, wszystkie rzędne są równe zeru.

Uwaga ta nie stosuje się do przypadku, w którym pomijamy spójność ziemi, bo wtedy h jest równe zeru, a więc punkt K zchodzi się z punktem O, i całe ramię krzywej OK« jest rzeczywiste.

138. Parcie ziemi ograniczonej z wierzchu płaszczyznę, poziomę przechodzęcę przez szczyt muru.—

Przypuśćmy, iż mur mający wysokość H i pochylony o kąt s ku stronie zewnętrznej podpiera masę ziemi, której górna powierzchnia zupełnie pozioma dotyka jego wierzchniej krawędzi. Naznaczmy na figurze 113 spadek naturalny AE, kierunek dowolny AG, oraz kierunek odłamu AD; i zastosujmy do tych danych metodę streszczoną na końcu ustępu n. 135. Polega ona na wyszukaniu maximum q

Q — max q — max

Xwstcp—cl2 wsta dos(cp— s)

Ul

\i

'V

kr/

*-\K !x

\!

Ił

-*p\

'lg

____!—?£■-%-----u

ii/

Fis. 113.

gdzie

X =IÏ. ABG =11. AB. AG wst(« -f- e — <p) = — ~łZ,

v    f ¹    2 dos£dos(a—cp) ’

12=AC

dOs(a —cp)

Mamy więc

max

11H²

2doss

Q=max<?=

2c

WStcpWSt(a -+- £—cp) —    WStad0S£

IlJi

dos(a — cp) dos'cp — e)

Dość jest szukać maximum czynnika zawartego w nawiasie powyższego wzoru, bo on jeden tylko zależy od zmiennej <p. Ale przed różniczkowaniem i właśnie dla ułatwienia tego rachunku zamienimy ten wyraz na

(16)

dos(a 4- £—2©)—dos(a -t~s)

Ac

nii

wstadose

dos(a -4- £ — 2cp)-t- dos(a — e)

na zasadzie znanych związków trygonometrycznych

¹

Handbuch der Wasserbaukunst. Königsberg, 1844.

²

'²) Versuche über rien Seitendrurh der Erde, verbunden mit einer theoretischen A b-

WStcp WSt(a 4- £ — cp)= - [dos(a 4- £ — 2©) — dos(a4- fi)] ,

l

dos(a — cp)dos(cp — e)= - [dos(a4- £— 2f) 4-dos(a — fi)].

Biorąc pierwszą, pochodną z funkcyi (16) względem © i równając ją z zerem otrzymujemy

Ac

[dos(a — s)4” dos (ot 4 fi)4- nWStoc dose]

.2wst(«4 £—2©)=0,

1IH

[dos(a £ —2©)4 dos(a — e)]2 a że mianownik nie może być ilością nieskończoną, przeto wst(a 4 £— 2<p) = 0,

co dowodzi, że płaszczyzna AD dzieli kąt BAE na dwie równe

części. Wstawiając więc = w równaniu (15) otrzy-

mujemy następujące wyrażenie parcia

a 4- fi 2C wst- ——

2

(17)

11H²

DII

wstadose

2dose

dos«V

2

Chcyc teraz znaleźć największy wysokość, na której ziemia majyca spadek boczny s bez pomocy muru utrzymać się zdoła, to jest chcyc oznaczyć tę szczególny wysokość H =h, dla której Q jest równe zeru, dosyć jest wstawić w powyższem równaniu Q —o, 11 = h. Tym sposobem znajdujemy

(18)

/i—n

2c wstadoss

wst²

wartość otrzymany już poprzednio pod numerem 13. Na zasadzie tego wzoru możemy nadać wyrażeniu (17) kształt nieco prostszy

WSt²

(19)

dos² -—

(Hs —Ä H).

Gdy ziemia jest zupełnie sypka, lub też gdy dla uproszczenia rachunków pomijamy spójność, c jest równe zeru, a więc h = 0; zkyd znowu

11H²

wst²

a -ł- s

2dose

dos²^---£ 2

albo

KM

wst²

a 4- £

dos²^-—s

Wiadomo z Hydrostatyki (¹), że ciśnienie cieczy na ściany naczynia jest równe iloczynowi z powierzchni ściany przez

odległość jej środka ciężkości od poziomu i przez ciężar

jednostki objętości cieczy. Otóż we wzorze poprzedzającym

H    H

jest właśnie równe powierzchni muru AB, a — jest odległością środka muru od poziomu BE; jeżeli więc będziemy uważać pozostały trzeci czynnik jako ciężar metra sześciennego pewnego płynu, wzór (20) będzie wzorem hydrostatycznym. Ztąd wypada, że mając do obliczenia natężenie parcia ziemi ograniczonej płaszczyzną poziomą, z pominięciem spójności jej cząstek, dosyć jest oznaczyć ciężar

wst² —

2

dos²^i 2

wrze równowarte ciśnienie, i do tego płynu zastosować ogólne prawa Hydrostatyki.

Pozostaje jeszcze do znalezienia rozkład ciśnień i punkt przyczepienia ich wypadkowej Q. Zastosujmy do uważanego przypadku równanie ogólne wyprowadzone na końcu ustępu

n. 137.

że = n

jednostki objętości takiej cieczy, która wy

(21)

/ y dx

Jh

wstawiając za Q i y odpowiednie wartości. Jeżeli uwzględniamy spójność ziemi, parcie wypadkowe Q jest (rów. 19)

u wsl*

2doss

dos² ——■

— (H³—//H),

a jeżeli zamiast H weźmiemy jakąkolwiek wysokość x (lig. 113), parcie Q przyjmie wartość y przedstawioną przez równanie

a •+• e

(22)

!J =

\vst²

2dos£

dos²—

Wstawiając tę wartość w równanie (21) i całkując w odpowiednich granicach otrzymujemy ostatecznie

SB

Gdy pomijamy spójność ziemi, albo gdy materya uważana jest zupełnie ciekła, h jest równe zeru i

CCI

zgodnie z prawami Hydrostatyki; ale gdy h jest większe od

1

zera, z jest mniejsze od - H. To dowodzi, że środek parcia

ziemi spójnej leży niżej od środka ciśnień hydrostatycznych, i to tcm niżej, im większa jest jej spójność.

Co się tyczy rozkładu ciśnień na ścianę muru oporowego, wiadomo już z ustępu n. 137, że prawo to może być przedstawione przez równanie o dwóch zmiennych; z których jedna x oznacza dowolną część całkowitej wysokości bryły, a druga y parcie wywołane w granicach tej warstwy. Jest to właśnie równanie (22), które jak łatwo spostrzedz, przedstawia parabolę OKa (fig. 113) spotykająca oś odciętych Ox w punktach Æ=0 i x — h, a mającą swój wierzchołek na rzędnej odjemnej wyprowadzonej w środku linii KO.

Wzory powyższe upraszczają się w znacznym stopniu, gdy mtlr jest zupełnie pionowy, a spójność bardzo mała; wtedy bowiem s i h są równe zeru, a ciśnienia rozkładają się podług prawideł Hydrostatyki.

139. Parcie ziemi mftjęieej spadek dowolny począwszy od szczytu muru. — hobierzemy tu przypadek napotykany często przy robieniu przekopów w gruncie górzystym mającym mniej więcej jednostajną pochyłość począwszy od muru oporowego. Pochylenie to względem naturalnej

skarpy oznaczymy przez o, a dla innych ilości przyjmiemy znakowanie ustępu n. 135.

Pomijając spójność ziemi dla uproszczenia rachunków, możemy użyć wzoru ogólnego (ust. n. 137)

Q = max q — max

X wstcp dos(cp— s)

gdzie

X = ? AB. AG. wsl(a -ł- £— 9),

_.11 H² wst(a -f- S 4- e)wst (a 4- e — cp)

2 dos-'ć    wst(o-f-cp)

---LSD

ii

y/

A/P

*///

Fig. 114.

Mamy zatem

Otóż

Q = max

IIH²

2dos²£

wst(a •+$ + £)

Wstcp ws!(a -4- £ — cp) wst(o4- cp)dos(cp — s)

WSt(a 4- t — cp) — wst(a 4* £)doscp — dos(a -4- e)wst(p = dos(tf 4- s)dos:p [st(a 4-6) — st. cp] wst(<î 4- cp)dos(cp — ć) === (wstS doscp 4- dosS wstcp)(doscp doss 4-wstcp wste) = doso WSte dos²cp(sto 4- slcp)(dots 4- Sb),

a więc wstawiwszy tę wartość w poprzedzające równanie, otrzymamy

(23)

I IIH² WSt(a-ł-<3-f £)dos(a-ł-£) t2dos²£

wst£. dosS

. max

stcp[st(a-ł-e) — step]

(stó-ł-stcp)(dot£+stcp)

Jak widzimy, dosyć jest szukać maximum ostatniego czynnika, bo wszystkie inne są niezależne od <p. Jeżeli więc oznaczymy st(a-ł- e) = A, st8 = B, dot£=C, trzeba będzie zrównać z zerem pierwszą pochodną funkcyi

(24)

stcp(A — step)

(B stcp)(C -4- step)

uważając styczną kąta <p za zmienną i różniczkując względem tej zmiennej. Tym sposobem otrzymamy

(C + A + B) st²? + 2BG step — ABC = 0, zkąd wypada styczna szukanego kąta y :

step = sty =

— BC ±\/B²G² -+- ABC (C + A + B)

G + A -ł- B

Znak — przed pierwiastkiem nie odpowiada zadaniu, bo styczna kąta y musi być dodatnia; możemy więc napisać

sty =

sty =

\/BG

A + B+G Na zasadzie tego mamy

BG — y/BC(A+B)(A -+-Ć)

A -+- B -+- G

[V(A+B)(A-f-G) — \/BG].

y/(A -4- B)(A_-+-G) yiA + ß)(A + o-\/BG] A -+- B -+- C

B + st?    [VG(A + C) + y/m +B)],

A -f- Jj -ł-u

tC{A^% WC(A + C) -t- Vß(A + B) ],

A -4- B G

A — Step' =

G -4- step —

wstawiwszy więc te wartości w wyrażenie (24), które znowu podstawić trzeba we wzorze (23) w miejsce owego maximum, otrzymamy ostatecznie

IIH² wst(a -+- -+■ s)dos(q -4- e) [~y/(A-ł-B)(A+C)— \/BCY 2dos² £ wsts. dosS Lv/G(A+G)+N/B(A-+-B)J ’

albo

(25)

H²

2dos7 W' ■ gdzie

(26) w=

wst(«+ o-f-£)dos(a+s)p\J(A -f- B)(A -+- C)—v/BG"! wsts.doss.dostf LVG(A -ł- G) + \/B(A+B)J ’

oznacza ciężar metra sześciennego takiego płynu, któryby wywarł ciśnienie hydrostatyczne równe parciu ziemi uwa żanej.

Co się tyczy punktu przyczepienia parcia Q, to musi on leżeć na jednej trzeciej wysokości muru liezge od dołu, zgodnie z ogólnemi prawami ciśnienia cieczy.

Zadanie powyżej rozebrane zawiera w sobie kilka szczególnych przypadków, do których nawet policzyć można dwa ostatnie ustępy cechujęce się warunkiem : 5 = 90° — a. Ale pomingwszy już ten przypadek, jako dostatecznie zbadany, wypada odróżnić następujgee trzy punkta :

lœ Powierzchnia górna ziemi jest równoległa do skarpy naturalnej. Wtedy 8=0, a następnie A=st(a-f-s), B = 0,

G = dots; w skutek czego

T = 0,    Q =

UH* WSl²(y.—ł-g) 2doss dos²g

a jeżeli mur jest pionowy, to jest e = 0,

y=0,

0=™Swse«.

2

KSIĘGA II. STAŁOŚĆ MURÓW OPOROWYCH. —- ROZDZfAŁ 1.

2° Powierzchnia górna jest jakakolwiek płaszczyzna, ale mor jest pionowy po stronie wewnętrznej. Wtedy e = 0, a więc A=sta, B;=sH, C = oc, a ztęd

st <p — — st o -ł~ \Jstû(sta —1- std),

UH² st. a + st. 5

(\JSt.a H-st.S — s/si.SY-

3° Wewnętrzna ściana muru jest pochylona ku bryle ziemi. Wtedy trzeba wstawić —s zamiast sw odpowiednich wzorach, czy to (25) i (26), czy też w innych, stosownie do przypadku. Wszakże uczynić to można tylko pod warunkiem, że kęt —e nie jest zbyt wielki, bo w przeciwnym razie trzebaby jeszcze ocenić dężność muru do obalenia się w skutek zbytecznego pochylenia w jednę stronę. Można jednak powiedzieć, że w⁷ zwykłych okolicznościach praktyki, kęt —e nie przekracza owych granic równowagi.

140. Sposób geometryczny oznaczania parcia ziemi w najogólniejszych warunkach. — Widzimy z tego co poprzedza, że wzory służęco do oznaczenia parcia ziemi drogę, rachunkowę sę dosyć złożone i trudne do użycia. Ten brak prostoty potęguje się w zadaniach nieco ogólniejszych tak dalece, że sposoby rysunkowe, choć pewnym niedokładnościom podległe, staję się bez porówmania wyższymi od wszystkich sposobów algebraicznych.

Już Prony w roku 1802, a po nim Français i Poncelet odkryli główne własności linii odłamu, i na ich zasadzie uprościwszy wzory algebraiczne ułatwili znacznie poszukiwanie parcia ziemi. Później przedmiot ten rozwinięto jeszcze w szczegółach i sprowadzono go do rzędu zagadnień czysto rysunkowych, a za wzór ostatnich poszukiwań poczy tać można wspomniane już dzieło Rebhann’a, w którem pełno sposobów geometrycznych prostych i łatwych do użycia. Wszelako sto-

sowanie rysunku do wszystkich zagadnień, które się napotyka w przedmiocie parcia ziemi, jest zdaniem naszem niepotrzebne, bo metody wykreślne maję. tylko wtedy rzeczywiste znaczenie, gdy prowadzę prędko do wypadku, drogę rachunku z wielkim mozołem osięgnęć się dajęcego; gdy tymczasem w zwykłych prostych zagadnieniach wzory analityczne sę bez porównania dokładniejsze i pewniejsze, a nie wymagaję więcej zachodu od metody wykreślnej. Nie ma więc powodu do porzucania rozumowych rachunków dla pamięciowych i niezrozumiałych wykreśleń geometrycznych. Wychodzęc z tego stanowiska wybieramy z prac Rebhann’a przypadek najogólniejszy i najtrudniejszy, który wprawdzie zawiera w sobie integralnie wszystkie inne, ale który tylko w zawiłych razach prawdziwe zastosowanie znaleźć potrafi.

Zaczynamy od wyprowadzeniadwóch równań warunkowych, służęcych za podstawę metody Rebhann’a. Weźmy pod uwagę wyrażenie

Q = max^ =max

(27)

Xwst'-p _ Pwsty

dos(cp—e)    dOs(y — e)

które przedstawia ciśnienie ziemi pozbawionej spójności (ust. n. 137) w warunkach najogólniejszych, to jest bez względu na pochylenie muru oporowego, ani na kształt powierzchni ziemi, i wyraźmy wartość zmiennę

(28)

_ X W step

^ dos(cp — e) ’

przez funkcyę współrzędnych biegunowych. Niech A będzie biegunem (fig. tlo), naturalna skarpa AE osię biegunowę, a AK = ß promieniem wodzęcym pochylonym o kęt cp do tej osi. Stosownie do kształtu powierzchni, ilości ß i <p sę z sobą związane pewnem prawem, które w ogóle następującem równaniem wyrazić można

ß = /(<?),

gdzie © zmienia się od zera do a -+- e. Powiększając © o t/cp, to jest przesuwając promień AK w położenie AKt zamieniamy trójkąt ABK na inny nieco mniejszy ABKj ; a więc skoro X oznacza ciężar graniastosłupa ABK, mamy

dX = — TI. po w. AKKt,

X = IIpow. ABK.

Ale

pow.AKKi=- AK.AKjWS^t/©)

ïc^/c

T)

',4'

l#7

Fig. 115.

bo dwa sąsiednie promienie wodzące AK i AKt różnią się od siebie nieskończenie mało, a wstawa kąta do jest prawie równa łukowi. Ztąd więc wynika

2 r’

Szukajmy teraz maximum wyrażenia (28), a w tym celu weźmy jego pierwszą pochodną względem <j>

dq_ wstcp dX Y

d'j> dos(«j> — e) dy

dX=—

dX

do

-5a>.

dose

dos²(cp — e) ¹

Xdoss — - llßVsty dos(ą — e)

dq_

ćÓp

i wstawmy znalezioną poprzednio wartość sobem

cix

f/cp

. Tym spo-

dos²(<p — s)

Chcąc znaleźć kąt tp = y odpowiadający maximum q, trzeba zrównać z zerem powyższą funkcyę zamieniając równocześnie X na P, <p na y, £2 na A (²) ; a że mianownik nie może być ilością nieskończoną, musimy mieć

P dos e — - lIAVsty. dos(y — s) = 0,

zkąd

(29)

kSI

nA²

wsty dos(y— e) ^

dose

Wstawiwszy tę wartość w równanie (27) otrzymamy

(30)

Q — 1 HA2 2

WSt²y dose

Dwa powyższe równania wyświecają pewne własności linii odłamu, które dla dobrego zrozumienia wyraźnie w następujący sposób opiszemy :

Jeżeli AB oznacza ścianę tylną muru, pochyloną o kąt e do pionowej, BDE powierzchnię górną ziemi, AD linię odłamu, i jeżeli z punktu D wyprowadzimy prostopadłą Da na kierunek AE naturalnej skarpy, a następnie odniesiemy na prawo tej linii kąt aDb = z i odciąwszy bc = ÓD utworzymy trójkąt równoramienny Dbc :

1° Linia odłamu AD będzie dzielić powierzchnię ABD& na dwie równe części ;

KSIĘGA II. STAŁOŚĆ MURÓW OPOROWYM. — ROZDZIAŁ I.

d-19

2° Ciężar graniastosłupa ziemi majęcego podstawę Dbc będzie się równać parciu ziemi na mur oporowy.

Aby tego dowieść uważmy najprzód, że jeżeli P oznacza ciężar bryły ABD, mamy

P = 11. pow. ABD,

a więc

(31)

p

pow. ABD= - ;

dalej że

pow.AD£ = » AD.Dô.wstflDô,

A

gdzie

AD—A, D6 =

Da _Awsty

dose dose

, kat AD/> = 90° — (y — e).

Ztad

(32)

pow. AD6 = 1 A*    ₌ P

2    dose    II '

na zasadzie równania (29). Porównywajęc teraz równanie (31) z równaniem (32) widzimy, że

pow. ABD — pow AD/>,

co było do okazania.

Dla dowiedzenia drugiej własności układamy równanie

Da² _ 1 ÄD*wst*y dose 2 dose

\

pow.bUc = - bc.Ba =

- bj). Da =

łsi —

__1 A²wst²y 2 dose ¹

CZĘŚĆ III. - BUDOWLE MUROWANE.

520

a mnożąc je przez 11 otrzymujemy

ÏIpow.éDc=| I1A² -2 dose

Otóż druga strona tego równania przedstawia właśnie parcie Q [(wzór (30)], a więc

npow.éDc = Q.

Widocznem jest znaczenie tych dwóch twierdzeń w przedmiocie założonego zadania : pierwsze prowadzi do oznaczenia linii odłamu; drugie zaś do przedstawienia parcia przez figurę geometryczny. Już na zasadzie tych danych i bez żadnych tłumaczeń potrafilibyśmy wyznaczyć kierunek AD, ho dosyć by było przypuszczać go dowolnie i sprawdzać wynikające ztyd wykreślenia, aż do chwili, w którejby pierwsza z pomie-nionych własności zupełnie sprawdzony została; majyc zaś kierunek odłamu, znaleźlibyśmy parcie bez najmniejszej tru dności na zasadzie drugiego twierdzenia. Ale podamy tu inny sposób prowadzący wprost do celu bez robienia prób i przybliżeń stopniowych.

Na wstępie zrobimy mały uwagę co się tyczy kreślenia linii Db, która jest jednym z boków trójkyta przedstawiającego parcie ziemi. Powiedzieliśmy przed chwila, iż z punktu D wyprowadza się prostopadły do AE i począwszy od tej prostopadłej odnosi się na prawo kąt aDé = £, i t.d. ; ale oczywisty jest rzeczy, że gdyby mur nie był pochylony tak jak na figurze 115, ale w stronę przeciwny, trzebaby odnieść kat s po lewej stronie linii Da. W ogóle, linia Dé będzie leżeć na prawo albo na lewo prostopadłej Da, stosownie do tego, czy ściana AB jest pochylona ku lewej czy ku prawej ręce. Wreszcie nadmienimy, iż Rebhann nazywa prosty Dé « linia kierunkowy», gdyż jej kierunek zgóry znany ułatwia kreślenie trójkyta Déc.

Powierzchnia ziemi uważana w najogólniejszych warunkach ma zawsze w przecięciu pionowem kształt wieloboku nie-foremnego; nie ma bowiem gruntu, któryby krzywił się jednostajnie i nie dał się przedstawić przez linię łamaną lub prostą. Takimi są wszystkie profile niwelacyjne, bo i przy najdokładniej szem poziomowaniu notuje się tylko punkta ważniejsze i łączy się je z sobą liniami prostemi. Możemy więc powiedzieć, iż rozwiązując założone zadanie w przypadku profilu wielobocznego przyjmujemy najogólniejsze warunki pod względem kształtu powierzchni. Zobaczymy nieco dalej, że powierzchnia łamana da się zawsze sprowadzić do powierzchni prostej, to jest że mając sposób znalezienia parcia w przypadku powierzchni płaskiej, mamy tern samem najogólniejszą metodę kreślenia.

>fe \

Ä----------

K.

Fig. II6.

Tu znowu odkrywamy nową własność linii odłamu. Przypuśćmy, że powierzchnia ziemi podpartej murem AB (fig. H6) jest płaszczyzną BE pochyloną o kąt dowolny do poziomu. Wyprowadźmy z punktu B prostopadłą Be do naturalnej skarpy AE, a odniósłszy eV>f—z otrzymamy linię kierunkową Bf. Jeżeli z punktu D, w którym linia odłamu AD spotyka płaszczyznę BE, poprowadzimy równoległą Dé do tej linii, powinniśmy mieć :

Af: Ab —Ab : AE,

to jest AB powinno być średnio geometrycznie proporcyo-nalne między Af i AE. Jakoż, powierzchnia trójkęta ABE jest równa summie trójkątów ABD, ADé i D6E ; a że dwa pierwsze sę. sobie równe z założenia, przeto

pow. ABE= 2pow ADö + pow.DóE,

albo

lii p-a-

AE.Br = 2.

InSI —

LSI

éE .Dr,

AE.Be = Dc(2Aé + éE), AE. Br = Dr(Aó AE).

zkad

(33)

AE : Ab AE = Dr : Br.

Trójkęty Br/, Dbc, sa do siebie podobne, jak również i trójkąty EBr i EDé ; mamy więc równocześnie

Db : Bf— Dr : Br,

Dé : B/== Eb : Ef,

a z porównania tych dwóch proporcji wynika Dr : Br = Eé : Ef,

lub jeszcze, na zasadzie proporcyi (33) :

AE : Aé -t- AE = Eé : E/.

Eównajęc iloczyn wyrazów skrajnych z iloczynem Wyrazów średnich, otrzymujemy zwięzek

AE. E/"=: (Aé + AE). Eé,

albo

AE (AE — A f) = (Ab -4- AE)(AE — Ab),

ÂË² — AE. Af = ÂË² — Ä?.

Ztgd wypada zapowiedziana powyżej własność AE.A f—PJł,

Na zasadzie tej proporcyi możemy oznaczyć linię szukany AD w następujący sposób :

Nakreśliwszy linię kierunkowy B/ (lig. 116) i wyprowadziwszy z punktu / prostopadły do naturalnej skarpy AE aż do spotkania się z półkolem A^E zatoczonem na średnicy AE, odcina się Ab = Ag, i z punktu b prowadzi równoległy do B/. Linia ta spotka prosty BE w punkcie D, a prosta AD będzie linię odłamu.

Wróćmy teraz do przypadku ogólnego, o którym była mowa poprzednio, to jest niech AB (fig. 117) oznacza mur oporowy, BGEFG powierzchnię zygzakowaty bryły ziemnej, a AG naturalna skarpę. Przedewszystkiem trzeba znaleźć linię odłamu AD. W tym celu poprowadźmy przez punkt B linię kierunkowy BN i nakreślmy najprzód na oko taky linię AD, aby powierzchnia ABGED była mniej więcej równa powierzchni ADó, gdzie D6 jest równoległe do BN. Tym sposobem dowiemy się mniej więcej, na którym z boków wielokyta leży szukany punkt D. To uczyniwszy weźmy pod uwagę ten z dwóch wierzchołków sysiednich E i F, który leży bliżej muru/a więc punkt E, i połyczywszy go z punktem A nakreślmy taki trójkyt AEM, któregoby powierzchnia była równa powierzchni ABGE z warunkiem, iż bok EM leży na przedłużeniu prostej EF. Ta zamiana jednej figury geometrycznej na drugy nie przedstawia żadnych trudności, bo dosyć jest poprowadzić z punktu B równoległy do GA i przedłużyć bok

CE; potom z punktu przecięcia m poprowadzić równoległy do EA i przedłużyć bok EF aż do spotkania się z ty liniy. Punkt M tym sposobem otrzymany będzie szukanym wierzchołkiem trójkyta AEM.

Przedłużajyc bok EF aż do spotkania się z naturalny skarpy AG sprowadzamy założone zadanie do takiego przypadku, w którymby AM było murem oporowym, a MK powierzchnia prosty bryły ziemnej. Otóż zadanie to umiemy już rozwiązać na zasadzie poprzedzajacycłulwierdzeń. Ostrzedz tylko należy, że linia kierunkowa Mn ma być prowadzona równolegle do pierwotnej linii kierunkowej, a nie według przypuszczonego pochylenia muru AM.

//

//

mLi

\s

m ,/m

f\lm

i #'

/ /i

Fig. 117.

Pozostaje więc do zrobienia następujycy rysunek. Z punktu M prowadzimy linię kierunkowy Mn, która przecina prosty AG w punkcie n. Ten punkt jest zwiyzany z punktami K i b pro-porcyy An : Ab — Ab : AK., a więc zatoczywszy półkole na średnicy An, wyprowadzimy z punktu K prostopadły do tej średnicy i odetniemy długość Ab= Ag. Z punktu b poprowadziwszy równoległy do BN otrzymamy punkt D, a ztyd i szukana linię odłamu AD.

Chcąc teraz znaleźć parcie ziemi, dosyć jest obliczyć ciężar graniastosłupa mającego podstawę Dbc, w której Db = bc. Punkt przyczepienia tego parcia będzie leżeć na jednej trzeciej wysokości muru licząc od punktu A (ust. n. 137).

Chcąc wreszcie znaleźć prawo zmienności ciśnień na ścianie muru AB podzielimy linię BAnapewną liczbę części równych lub nierównych 1, 2, 3, 4, ... i za pomocą powyższej metody obliczymy parcia wypadkowe na elementa Bt, B₂, B₃, . .. i t. d. Biorąc potem długości B1} B₂, ... za odcięte, a odpowiadające im parcia za rzędne, otrzymamy krzywą przedstawiającą szukane prawo zmiany. Przybliżenie jest tern większe, im mniejsze są odstępy punktów 1, 2, 3, ... jednych od drugich, ale przedewszystkiem trzeba niektóre z nich umieścić w ta-kiem miejscu, aby wychodzące z nich linie odłamu przechodziły blizko wierzchołków G, E, F; w tych bowiem miejscach następuje nagła zmiana powierzchni, a więc i nagła zmiana ciśnienia.

141. O wpływie obciążenia przypadkowego ziemi na odziaływanie muru oporowego. — Widocznem jest na pierwszy rzut oka, iż parcie ziemi obciążonej musi być większe od parcia ziemi wolnej, ale stosunek tego powiększenia nie jest znany a priori. Aby przedmiot ]ten zbadać należycie, weźmiemy pod uwagę najwięcej się zdarzający, a można powiedzieć jedyny praktyczny przykład, w którym poziomu powierzchnia ziemi znosi jednostajne obciążenie rozłożone w stosunku p kilogramów na metr kwadratowy.

Do znalezienia parcia w tym przypadku użyjemy metody ogólnej w ustępie n. 135 opisanej, z warunkiem że X będzie oznaczać ciężar któregokolwiek graniastosłupa ABC (fig. 113), wraz z przypadającem nań obciążeniem. Wtedy więc

X=n- . BC + />.BC=™(

'ź    2! \

ł-t

2p

nu

BG

oznaczając dla skrócenia

1IH

aLbo

n'H

r •BC>

n =n/1 -ł- SL\ •

Te dwa równania dowodzę, że 'ciśnienie ziemi jednostajnie obciążonej jest równe ciśnieniu ziemi wolnej, majęcej ciężar

zwiększony w stosunku 1 -+-    . Zatem wyniki ustępu n. 138

UH

stosuję, się do uważanego przypadku z warunkiem wstawienia ilości II' w miejsce II; także nazwawszy Q'szukane parcie ziemi, otrzymujemy natychmiast jego wyrażenie na zasadzie wzoru \ 7

Q’ =

UH²

wstsL± E 2

2c

IIH

wstadose

2dose

dos²-—! 2

albo, wstawiwszy za II' wartość II -4-^0 >

wst²--

2

2c wsta dos £

q₌5(i JiL.

~    2 \ IIH/dost

irab+JÊ

III!

dos² -

(34)    0' —

H (IW -+- 2y»)wst²

2c wsta doS£

2dos£

dos²^—£. 2

Pewna część muru k poczęwszy od góry nie znosi żadnego

ciśnienia, bo ziemia utrzymuje się tam w równowadze siłę swej przyrodzonej ’spójności ; (V jest więc równe zeru, gdy

H = A', to jest

(33)

2c wsta dose= 0,

zkęd

__2c ws toc d os £ 2/?

a -t- £ II

II wst

albo, majęc na uwadze równanie (18)

K = K—%

‘ II

Wstawmy ; teraz w równanie (34) za 2ewstados£ wartość wycięgniętę z równania (33), a otrzymamy

(36)

Q' =

,»tl + £

lr wst- —

II    2

2dos£

dos²

2

— (H²—HA').

Porównywajęc to równanie z wzorem (19) widzimy wyraźnie, że parcie ziemi jednostajnie obciężonej różni się tern tylko od parcia ziemi wolnej, że zamiast wysokości A mamy

innę ilość U mniejszę od niej o

^ . Mamy jednem słowem

II — A

0 _ H² — HA

Q'— H² — HA'

kęd

0' = (l H-

II(H — h)

o,

CZĘŚĆ UJ. — BUDOWLE MUROWANE.

co także dowodzi, że clicie znaleźć parcie ziemi obciążonej jednostajnie, trzeba pomnożyć parcie ziemi wolnej przez współ-

• Gdy pomijamy spójność c, wysokość

cz^nnik 1 + IKH-=h)

/z jest równa zeru, a

Gdy H rośnie, współczynnik ilości Q maleje i zbliża się do jedności; co dowodzi, że obciążenie przypadkowe wywiera stosunkowo tern mniejszy wpływ na parcie ziemi, im II jest większe.

Ażeby znaleźć punkt przyczepienia tej siły postąpimy sobie w podobny sposób, jak w ustępie n. 138, oznaczając przez y' ciśnienie warstwy mającej grubość x począwszy od szczytu muru, przez Q' parcie całej masy ziemi mającej wysokość H, przez Ii wysokość warstwy utrzymującej się w równowadze siłą swej spójności, i wreszcie przez z odległość punktu przyczepienia siły Q' od płaszczyzny poziomej przechodzącej przez spód muru. Mamy według równania (36)

Q'=

wsi²

2dos e

dos² -—

a jeżeli zamiast H weźmiemy jakąkolwiek wysokość x, Q' zamieni się na ÿ i powstanie związek

II

wst

₂0-j-£

2dose

^    - (xi — xłi).

Gdy x powiększa się o ilość nieskończenie małą dx, y wzrasta o dy', a ten mały przyrost wyobraża właśnie parcie wypad-

kowe warstewki majęcej grubość dx i położonej na odległości H — x od poziomu przechodzącego przez spód muru. Ponieważ ściana muru jest pochylona o kę.t £ do pionowej, przeto moment tego przyrostu dy' względem spodu muru będzie

- dy\ a summa takich wyrazów wzięta w granicach od K

H —

dos£

do II musi być równa momentowi wypadkowej Q', to jest ilości Q'

dos£

. Mamy więc

(J'

dos £

/*u II

Jh' C

dos s

dy

albo

(H — x)dy.

W ogóle mamy

j (H — x)dy = (H — x)y -h- j y'dx

a że wyraz (H — x)y' staje się [równy zeru tak dla x—h' (bo wtedy y =0), jak dla# = H, przeto

y dx —

u ws‘!^r

2dos£

dos² -— 2

xh)dx,

zkad

(37)

cci

H- 1 —

L -

2 H 2LI²/'

Porównywają tę wartość z z wartością z otrzymany w przypuszczeniu ziemi nieobci^żonej (ust. n. 138), spostrzegamy,

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERYAŁOW.

Jl_

2H 2H²

h___

2H 2HŻ

jest większy od jedności, bo A' jest mniejsze od A; punkt przyczepienia parcia przenosi się więc w górę w skutek obciążenia ziemi. Ale okoliczność ta jest tylko wtedy ważnę, gdy A' oznacza rzeczywiście wysokość, na której ziemia obciążona bez pomocy muru utrzymać się zdoła, to jest gdy A'jest większe

r    f    2/)

od zera, a co najwyżej jemu równe. Dla A'=01ubA=^ otrzymujemy z równania (37)

z' =

iż stosunek

i*

co pokazuje, że środek parcia leży w jednej trzeciej wysokości muru, zupełnie tak samo jak wtedy, gdy ziemia nie posiada spójności i nie jest obciążony. W tym razie korzystne działanie spójności równoważy szkodliwy wpływ obciążenia, i ostateczny wypadek przedstawia się wtakiem świetle, jak gdyby oba te działania już z góry pominięte zostały.

Gdy A'jest mniejsze od zera, to jest gdy A jest mniejsze od

—, wzór (37) nie może służyć do oznaczenia środka parcia

bo przy całkowaniu wyrażenia y'dx wzięliśmy granice od A' do H, które tutaj zmienić wypada. Ilość A'jako odjemna ma wyłącznie znaczenie rachunkowe, ale nie rzeczywiste; bo skoro A' dodatnie oznacza wysokość, na której się ziema obciążona w równowadze utrzymuje, K odjemne musi wyrażać, iż nie ma takiej warstwy, któraby mogła pozostać w spoczynku sama przez się. Dlatego całkowanie musi być zamknięte w gra-

KSIĘGA II. STAŁOŚĆ MURÓW OPOROWYCH. — ROZDZIAŁ II.

nicach x=0 do x = H, tak że

wst²

a-t-e

II

Q'z =

2doss

— f (x² — xh)dz, dos⁸°^l!

h m—3k'

6 H— K ’

lub jeszcze

Cv

Kl 5s-

nH

2ö

nH

Wzór ten daje na z' wartość większy od ^H,*gdy h jest mniej-

O

^ II, gdy h

Gdy h—0, to jest gdy pomijamy spójność ziemi :

ł„ nH + 3p

³ ~3    lIH-ł-2/>

sze od , a zaś z =

II

(38)

ROZDZIAŁ II

OPÓR ZIEMI.

142. Ogólna teorya oporu ziemi. — Poncelet ułożył pierwszy teoryę oddziaływania ziemi na ciała stałe wciskane w jej masę, a Moseley, Weisbach (*) i Rebhann poprawili ję.

(*) Lehrbuch dev Ingenieur- und Maschinenmechanik. Zweiter Theil, 1865.

nieco przez wprowadzenie tarcia ziemi o ścianę muru. Zresztą tak jedni jak i drudzy brali za punkt wyjścia teoryę parcia ziemi i wywodzili prawa oporu zupełnie analogicznie.

Dawniej źle pojmowano zasadę Poncelefa polegającą na wyszukaniu tak zwanego « graniastosłupa o najmniejszym oporze», to jest takiej bryły ziemnej ABD (fig. 118), która wysuwa się w górę po równi pochyłej AD, gdy mur naprzód posuwać się zaczyna ; sadzono mianowicie, że bryła ta stawia opór mniejszy od wszystkich innych graniastosłupów ACB utworzonych przez poprowadzenie płaszczyzn siecznych AC. Opór klina ACB byłby rzeczywiście mniejszy od oporu bryły ADB, gdyby spójność i tarcie w płaszczyźnie AC pracowały z całem swem natężeniem, w istocie jednak siły te pracuję tylko częściowo, bo płaszczyzna AC nie jest ścianę odłamu. Chwilę przed pęknięciem ziemi wzdłuż linii AD bryła ACB odbiera takie jaarcie od bryły ADC, iż mur oporowy utrzymuje się w równowadze; zatem opór bryły ACB jest zupełnie równy oporowi bryły odłamowej ADB. Całe nieporozumienie pochodziło ztęd bez wątpienia, iż mieszano opór rzeczywisty rozmaitych płaszczyzn siecznych AC z ich oporem utajonym, który tjdko w płaszczyźnie AD czynnie występować może.

Teorya oporu ziemi, którą tu podajemy, polega właśnie na odróżnieniu sił czynnie występujących od sił utajonych. Gra-niastosłup Poncelefa o najmniejszym oporze jest tu« grania-stosłupem odłamowym », tak samo jak w teoryi parcia ziemi, a powierzchnia szpary AD jest płaszczyzną z tychże samych powodów, co poprzednio (ust. n. 134). Pod względem kształu muru i ziemi, ich spójności i tarcia wzajemnego nie robimy żadnych zastrzeżeń szczegółowych, chyba to tylko, że długość muru i ziemi w kierunku prostopadłym do przecięcia poprzecznego jest nieograniczona. Na mocy tego warunku odnosimy wszystkie rachunki do jednostki długości uważanej bryły.

Wyobraźmy sobie mur oporowy lub jakąkolwiek bryłę stałą BAMH utkwioną w ziemi, której powierzchnia jest BGD, i przepuśćmy, że ta bryła ulega parciu normalnie do tylnej ściany skierowanemu. Uważmy jakikolwiek graniastosłupABC, zawarty między murem i płaszczyzną sieczną AG dowolnie ze spodu muru wyprowadzoną i oznaczmy przez

D parcie muru AB ; Q i R jego składową normalną i ró wnoległą do ściany muru;

s i a pochylenie muru i naturalnej skarpy AE względem pionowej ; kąt e będzie odjemny, gdy ściana AB będzie pochylona ku stronie ziemi opór stawiającej ;

© pochylenie płaszczyzny dowolnej AG względem AE ;

V 5P /«

_5

Fig. MS.

X ciężar graniastosłupa RAG ; r i G opory z tarcia i spójności w płaszczyźnie AG ; c spójność na jednostkę powierzchni w płaszczyźnie AG, a j współczynnik tarcia ziemi o ziemię ;

p kat tarcia ziemi o ścianę muru ;

O oddziaływanie normalne płaszczyzny AC; ß powierzchnię tej płaszczyzny ;

CZĘŚĆ III. — BUDOWLE MUROWANE.

534

Y kąt, jaki tworzy płaszczyzna odłamu AD ze skarpą naturalny AE ;

P ciężar odłamu ABD, a A powierzchnię AD.

Chwilę przed wysunięciem się graniastosłupa CAB na sposób klina równowaga istnieje w całym układzie, i siły zewnętrzne działające na bryłę ABC równoważy się nawzajem. Siły te sy następujące : ciężar X graniastosłupa ABC, parcie mura Q i R, oddziaływanie O i opory r, C, pochodzące z tarcia i spójności w płaszczyźnie AC. Znaleźlibyśmy w podobny sposób jak w ustępie n. 135, że siły r i C sy w płaszczyźnie AC mniejsze od oporów /O i którymi ta płaszczyzna rozporządzać może. Oznaczając więc przez f i c ilości mniejsze od fi c, a co najwyżej im równe, możemy napisać

r=fO,

C=c'û

lub też, podobnie jak w ustępie 135 :

r — — dot a!. O, C = cii,

gdzie a' oznacza taki kąt, którego dotyczna jest równa ilości f ze znakiem odjemnym.

Wszystkie na bryłę ABC działające siły zewnętrzne leżą w jednej płaszczyźnie pionowej, a więc ruch postępowy nie będzie miał miejsca, jeżeli summy ich składowych poziomych i pionowych będą równe zeru. Odróżniwszy kreskami siły poziome od pionowych układamy dwa następujące równania

Q' h-R'—O'—r—C' = 0,

X — Q" + R" — O" -f- r" 4- C"=0,

bo opory r, C, działają z góry na dół w płaszczyźnie AC. Otóż

mamy

R' = R wst e = Qstp wsts, R"=Rdose = Qst/)dos£,

C' = G wst (a—9) = c'£lwst(a — 9), C" = Cdos(a — 9) == C lldos(a — 9).

Q'=Qdose,

Q"= Qwste,

0' = Odos(a — 9),

O' = Owst(a — 9), r — rwst(a — 9) = — Odota'wst(a — 9), r"z=z rdos(a — 9) =— O dota' dos(a — 9),

możemy więc sprowadzić równania warunkowe równowag do kształtu

Q(dos£ -I- stpwstfi) — 0[dos(a — 9) — dota'wst(a — 9)] — c'Qwst(a — 9) = 0,

X -f- Q( — wst£ 4- StpdoSe) — 0[dota'dos(a — 9) 4- WSt(a —9)] 4- c'&dos(a — 9)= 0

albo jeszcze

WSt(a' — a 4- 9) — CÏI WSt(a—9 )= 0,

~—; dosfa' — a 4- 9) 4- c'ßdosfa —cp) = 0. WSta

Odos(p —e) dosp

X 4- Q

WStfp — s) dosp

(00=

[Xwst(a' — a 4- 9) 4- c'ÖWSta'].

Wyrugowawszy O z tych dwóch równań otrzymujemy dosp

dos(a’ —a 4- 9 4-p — s)

Wszystkie graniastosłupy zawarte między murem i dowol-nemi płaszczyznami AG stawiają jednakowy opór bryle muru, a więc Q musi być niezależne od kąta 9; co tylko wtedy może mieć miejsce, gdy a' i c zmieniają się odpowiednio. Biorąc np. pod uwagę rzeczywisty graniastosłup odłamowy, odpo-wiadajęcy wartości cp = y, musimy zamienić a' na cc₅ cna c, i wstawić X = P, 12 = A; zkęd wypadnie

(2)

Q = —--r [Pwsty 4- cA WSta],

dos(p — e + y)

Po drugiej stronie tego wzoru znamy wszystkie ilości z wyjątkiem P i A, które sę znanemi funkcyami kąta y ; chodzi więc tylko o wyznaczenie tej niewiadomej. Gdybyśmy przypuścili na chwilę, że płaszczyzna dowolna AG jest rzeczywiście płaszczyznę, odłamu, w której całe tarcie i spójność na utrzymanie równowagi wytężone zostały, to wynikający ztęd opór narmalny q musiałby być koniecznie większy od rzeczywistego oporu Q to jest mielibyśmy

9>Q,

gdzie q oznacza wartość wyciągniętą z wzoru (1), gdy się w nim wstawi oć =a,c= c, to jest

_ dosp

^ dos(p — s-f-cp)

Różnica q —Q jest więc w ogóle dodatnia i staje się zerem, gdy linia AG przypada na AD, bo wtedy q zamienia się na Q. Ten przypadek majęc na uwadze napiszemy

dosp

(3)

[Xwstęp -4- cQwsta].

<1 — Q=

dos(p — z -+- cp)

[Xwstcp -+- cßwsta] — Q >0.

Różnica q — Q jest miarę sztywności bryły ziemnej w płaszczyźnie AG. Tam gdzie jest najmniejsza czyli równa zeru, tam też zachodzi obawa pęknięcia; że zaś Q jest stałe, przeto

min.(ÿ— Q) = min.<7 —0 =0,

zkęd

(i)

Q = min.ÿ.

Pokazuje to dowodnie, że chcęc znaleźć opór ziemi O trzeba

szukać minimum wyrażenia (3), w którem X i 12 są furik-cyami zmiennej cp.

Znając opór Q łatwo jest obliczyć opór całkowity D, bo jeden jest rzutem drugiego, a kąt między nimi zawarty jest równy kątowi p tarcia ziemi o ścianę muru. Mamy widocznie

ß = -p- • dosp

143. Uproszczenie teoryi przez pominięcie tarcia ziemi o ścianę muru. — Jak cechą ścisłej teoryi jest rzetelne rozumowanie i ocenienie choćby najdrobniejszych szczegółów, tak jedną z pierwszych zalet każdego wzoru praktycznego jest prostota jego kształtu i istotna wartość składających go elementów. Tarcie ziemi o ścianę muru jest właśnie jednym z tych szczegółów, które w wzorach praktycznych podrzędne mają znaczenie, już to z powodu trudności określenia ich liczbami, już też skutkiem małego wpływu na ostateczny wypadek.

Zrazu i bez ścisłych rachunków łatwo jest przewidzieć, że przy pominięciu tarcia ziemi jej opór normalny wypada nieco mniejszy, jak w rzeczywistości, bo to tarcie sprzeciwia się ruchowi ziemi w pewnym stopniu. Zresztą łatwo tego dowieść matematycznie. Ogólny wzór na parcie (j (rów. 3) składa się z wyrazu zależnego od p i drugiego niezawisłego od tej ilości ; gdy więc chodzi o zbadanie wpływu tarcia na wielkość oporu, dosyć jest rozebrać czynnik

dosp

dos(p — s -i— <p)

będący funkcyą kąta o. Jego pierwsza pochodna względem p

wst(<p — e)

dos²(p — £ -+- o)

jest dodatnia, co dowodzi, że czynnik ton rośnie razem z kętem p. Gdy więc opuszczając tarcie ziemi czynimy p=0, wartość g maleje w pewnym stopniu a tem samem i opór normalny Q,

Dla uproszczenia rachunków przyjmiemy nadal warunek p —0. Wypadki liczebne będę nieco mniejsze od rzeczywistych, ale ta okoliczność nie zmieni w niczem ogólnego toku rozumowania i nie wpłynie szkodliwie na pewność algebraicznych wzorów, bo stałość muru zyska tylko na tem, że prawdziwy opór ziemi będzie nieco większy od obracbowanego. Za punkt wyjścia służyć będzie równanie

Xwstcp -+- cQwsta dos(<p — e)

Jest ono zupełnie podobne do równania (14) w poprzedzającym Rozdziale z tę tylko różnicę, że zamiast maximum mamy tutaj minimum, i że c jest wzięte ze znakiem przeciwnym.

(5)

Q— min.ÿ = min.

144. Opór ziemi ograniczonej płaszczyzny poziomy.

— Aby dać przykład zastosowania ogólnej teoryi obliczymy opór ziemi ograniczonej płaszczyznę poziomę BD (fig. 119), a wznoszęcę się na wysokość H ponad dolnę krawędź muru AB. Kreślimy figurę 119, zaznaczamy kęty a, 9, y, e, podług przyjętego w ustępie n. 142 znakowania i rozbieramy równanie

0 = min.

Xwstcp -i- cßwsta dos(<p — s)

gdzie X oznacza ciężar graniastosłupa ABC, a Ü powierzchnię AG. Otóż X jest równe

inH.BC=|nH(BG + GC):

mamy więc

|IIH [H ste -4- H St(a —9)],

m

IOI ha«

nH!

WSt(e H-« — cp) dose dos (a — cp) ’

podobnież

i> =

dos(a—<p)

Wstawiwszy te wartości za X i fi w wyrażenie Q otrzymamy

(6) Q = min.

nH²

2dose

ï wst'f wst (a 4- e — f)-ł

IIH

doSsWSta

dos(a — <p)dos(<p — e)

Uważmy teraz, że dosyć jest szukać minimum wyrazu zam-

■K

-y

mm

____-V.

, JH

/k

~ih

•H

-Jfci

Fig. 119.

kniętego nawiasem, bo drugi czynnik nie jest funkcy^ zmiennej <p. Ale mamy na zasadzie znanych związków trygonometrycznych :

wst<pwst(a -f-e — <p) = i [dos(a -4- e — 2cp) — dos(a -t-s)], dos(a — (p)dos('f-— e)= ^ (dos(oc 4- e— 2cp) —ł— dos(« — e)],

CZĘŚĆ III. — BUDOWLE MUROWANE.

540

a więc owa funkoya zmiennej <p da się przedstawić w kształcie

Ac

dos(e 4- a — 2cp) — dos(a 4- e)4- —- WSta dose

11H

dos(a 4- s — 2cp) 4- dos (a — z) Jej pierwsza pochodna względem cp

4c

dos(a — e) 4- dos (a4- e) 4- —— dose WSta

. 2wst(a 4- £ — 2o),

IIH

[dos(a — z') 4- d0S(a 4~ £ 4—

musi być równa zeru, jeśli funkcya posiada minimum analityczne (³); co prowadzi do wniosku

wst(a 4- £ — 2©) = 0.

Ażeby warunek ten mógł mieć miejsce, musi kat a — s 4-2^> być równy zeru lub 180°; że zaś drugie przypuszczenie jest niemożebne, przeto

a 4- £ — 2©=0,

zkąd

a 4- £

Znaczy to, że linia odłamu AD dzieli kąt BAE na dwie równe części zupełnie niezależnie od stopnia spójności ziemi. Chcąc znaleźć parcie Q trzeba wstawić tę szczególny wartość kąta o w wyrażenie (6) opuszczając tylko znak minimum. Mamy zatem

tih²

2dos£

wsts r -l- dosEWsta

2 IIH

dos² ——-£ 2

Jest to wzór zupełnie podobny do równania (17) (w ustępie n. 138), które służy do obliczenia parcia ziemi w takich samych jak tutaj warunkach; tylko znak ilości c jest przemieniony na przeciwny. Ażeby się pozbyć tego współczynnika, wyciągniemy jego wartość z równania (18)

2" wst a doS£

w którem jednak zamiast a trzeba wstawić 180° — a, bo w bieżącym Rozdziale skarpa naturalna czyni kąt rozwarty z pionową, gdy tymczasem w ustępie n. 138 kreślono ja pod kątem ostrym. Wyciągniemy więc wartość c z równania

,    2c wsta d0S£

wst² —

h=n

a wprowadziwszy ją do wzoru Q otrzymamy

fl)

nu²

2 dose

wst²

dos⁹ -

Wzór ten zamienia sie na

IIH²

wst²

a -1- £

2dos£

-, g a — £

dos²- gdy pomijamy siłę spójności; a jego kształt pokazuje, że opór ziemi jest w tym razie równy ciśnieniu cieczy ważącej

2

— na jednostkę objętości.

wst²

dos²-

Łatwo jest także zdać sobie sprawę ze zmiany oporów w skutek zmiany wysokości H na sposób wyłożony w ustępie n. 138 odnośnie do parcia ziemi. Całkowity opór normalny odpowiadający wysokości H wyraża się wzorem (7), a więc opór warstwy majęcej grubość x od powierzchni ziemi ku dołowi będzie

H I Sc

_ lia;2 ^ 2dose

wst².

dos² ——i 2

Równanie to przedstawia parabolę K0« (lig. 119) o odciętych x i rzędnych y. Dla a; = 0 mamy y—0, jak również dla

dos²-

x=— h.

2

wst²

zcho-

Krzywa KOa przechodzi więc przez poczętek osi O i przez punkt K leżęcy nieco wyżej; co więcej, pochodna ^

cIX

dzi do zera dla odciętej

dos²-—5 wst*î±-*’

2

przybiera znakiem tylko różni§ce się wartości w punktach O i K. Zatem oś tej paraboli jest pozioma i przechodzi przez środek prostej OK.

Co się tyczy piinktii przyczepienia oporu wypadkowego trzebaby postąpić sobie zupełnie w taki sposób, jak w przedmiocie parcia ziemi* Punkt teń leżeć będzie nä odległości i

KSIĘGA II. STAŁOŚĆ MURÓW OPOROWYCH. — ROZDZIAŁ II.

od podstawy Aa gdzie

dos²-

2 h_

2    « -+- s H

wst² ——

li

dos²-^—

l-t-

WSt²

a-f- £

Środek oporu leży więc wyżej w ziemi spójnej, jak w ziemi

sypkiej pozbawionej spójności, bo w pierwszym przypadku

H    H

2 = -, a w drugim z > -- .

O    O

Wszystkie wzory bieżącego Rozdziału wyprowadzone w przypuszczeniu zupełnej nieobecności tarcia i spójności zgadzają się dosłownie z wzorami odnoszącymi się do parcia ziemi (Rozdział I). Kęty a, <p, i y nie są tu wprawdzie te same, co w poprzedzającym Rozdziale, ale maja do nich wielkie podobieństwo, bo jak tamte oznaczają pochylenie pewnych prostych względem naturalnej skarpy, tak te mierzą pochylenie linij analogicznych. Pamiętać tylko należy, że gdy w teoryi parcia ziemi skarpa naturalna tworzyła kąt ostry z murem oporowym, tutaj kreślimy ją pod kątem rozwartym i w skutek tego zamieniamy kąty a, cp, y, w ogóle z ostrych na rozwarte.

W obec tak uderzającej zgodności teoryi parcia z teoryą oporu, byłoby zbytecznem posuwać dalej szczegółowe rachunki, skoro ich wypadki odrazu przez podobieństwo wyprowadzić możemy. I tak np. odnośnie do wpływu obciążenia przypadkowego ziemi na jej opór wnosimy natychmiast, że gdy Ciężar przypadkowy jest rozłożony jednostajnie w stosunku pk&- na jednostkę powierzchni ziemi, opór oblicza się za pomocą tego samego wzoru* jak w przypadku powierzchni

nieobciążonej pod warunkiem wstawienia zamiast II (ustęp

n. 141)

¹¹W i,',,')-

Gdy pomijamy siłę spójności, opór (T ziemi obciążonej otrzymuje się za pomocą bardzo prostego równania

Q'=

a środek oporu leży na wysokości (rów. 38 ustępu n. 141)

CCI H*»

OH

1-4-S

III!

145. Sposób rysunkowy oznaczania oporu ziemi w warunkach najogólniejszych. — Przyjmując najogólniejsze warunki co do kształtu gruntu i pochylenia muru w jednęalbo w drugą stronę, możemy wnioskować na zasadzie zachodzącego między bieżącym i poprzednim Rozdziałem podobieństwa, że równania

P _ i nA8 wstydos(y — s) 2    "    dose

Il A²

wst'Y dose ’

otrzymane w ustępie n. 140 odnośnie do parcia ziemi w przypuszczeniu p —0 i c = 0 stosują się także do teoryi oporu. Wszelako kąt y jest tu kątem pochylenia linii odłamu AD względem naturalnej skarpy AE idącej z góry na dół od punktu A, a niez dołu do góry jak w teoryi parcia; P oznacza tu ciężar graniastosłupa BAD, A powierzchnię płaszczyzny AD, 0 szukany opór ziemi, a ±s pochylenie ściany muru ku jego wnętrzu lub w stronę przeciwną.

Te dwa równania wyrażają algebraicznie dwie własności linii odłamu AD (fig. 120), które określimy w następujący sposób :

Jeżeli z punktu D przecięcia się linii odłamu AD z powierzchnią ziemi wyprowadzimy prostopadłą Da do naturalnej skarpy AE, i wziąwszy tę prostopadłą za jeden bok kąta, odniesiemy po lewej stronie kąt aDÆ = e, a potem od-ciąwszy na linii AE długości bc = £D utworzymy trójkąt równoramienny bcD :

{B

il

y'"S

;/>'

,-'C

Fig. 120.

1° Prosta AD będzie dzielić powierzchnię ABD<5> na dwie równe części ;

2° Ciężar graniastosłupa ziemi mającego podstawę cbT) będzie równy szukanemu oporowi.

Pierwsza z tych własności służy do oznaczenia linii odłamu AD, druga prowadzi do łatwego mierzenia oporu sposobem geometrycznym. Dodać tylko wypada, że gdyby ściana AB miała spadek — e, to jest była pochyloną w stronę przeciwną wnętrzu muru, trzebaby odnieść kąt aHb po prawej stronie prostopadłej aD, a nie po lewej, jak w' przypadku e dodatniego.

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERYAŁÓW.

Aby opisać wynikający ztad sposób kreślenia oporu, trze-baby powtórzyć niemal dosłownie wszystko to, co było przedmiotem drugiej połowy ustępu n. 140 z dodaniem warunku, iż linia kierunkowa Bf wychodzi z punktu B. Dlatego uważamy za niepotrzebne dalsze w tym względzie objaśnienia.

Ocenienie oporu ziemi może byćpotrzebnem przy obliczaniu stałości fundamentów pod mury oporowe, tudzież stałości murów opierających się jednę. ścianę o ziemię, do której sę mocno przyciskane. Pomijajęc w takim razie spójność ziemi i jej tarcie o ścianę muru stawiamy się w lepszych warunkach pod względem stałości, bo zmniejszamy prawdziwy opór i nadajemy budowli więcej mocy jak potrzeba.

¹

Obacz Wykład Hydrauliki wraz z teoryą machin wodnych i t. d. przez F. Kucha-rzewskiego i W. Klugera. Paryż, 1873, str. 21.

²

Odnosimy się w całym bieżącym Rozdziale do znakowania streszczonego w ustępie n. 135.

³

Ażeby funkcya » miata minimum analityczne, jej druga pochodna musi być dodatnia.

ROZDZIAŁ III

STAŁOŚĆ MURÓW OPOROWYCH.

146. Ogólne warunki równowagi. — Stałość muru oporowego nie daje się podcięgnęć pod ogólne prawa równowagi ciał jednolitych prostych lub krzywych, o których była mowa w dwóch pierwszych Częściach niniejszego wykładu, bo lepięce działanie zaprawy wapiennej nie może zastępie właściwej kamieniowi spójności, a przynajmniej potrzebuje do tego bardzo długiego czasu. W praktyce zdarza się najczęściej, że mur oporowy jest wystawiony na ciśnienie ziemi natychmiast po wybudowaniu, zanim zaprawa wrapienna dostatecznie skrzepnęć zdoła; byłoby więc błędem w teoryi, a niedorzecznościę wT praktyce, liczyć na spajajęcę działalność wapna i obliczać wymiary muru w przypuszczeniu zupełnej jednolitości całej masy.

Z tych to powodów stałość murów oporowych wymaga odrębnych badań i rachunków, choć ogólne prawa Statyki są zawsze ich treścią i podstawą. Zamiast uważać całą bryłę muru za jednę niejako masę, trzeba rozbierać osobno warunki równowagi każdego kamienia lub warstwy muru, ocenić ich dążność do runięcia w skutek obrotu koło jednej z krawędzi, obliczyć możność ześlizgiwania się jednych warstw po drugich w skutek niedostatecznego tarcia stykających się powierzchni i wreszcie zdać sobie sprawę z wytrzymałości kamienia przeciw zgnieceniu. Badania te tworzą niejako trzy odrębne a niezależne od siebie zadania, których rozwiązanie jest niezbędnym do osądzenia stałości warunkiem.

Przystępując do tego rozbioru musimy najprzód określić pewne zastrzeżenia, które tutaj tak samo, jak w każdej teoryi zjawisk rzeczywistych dla usunięcia nieprzełamanych trudności lub ułatwienia rachunków czynić wypada. Przypuśćmy mianowicie, że podstawa muru oporowego spoczywa na gruncie zupełnie nieściśliwym, nieruchliwym i bezwarunkowo wytrzymałym, co w istocie przez bicie pali, kładzenie rusztów lub betonowanie w przybliżeniu osięgniętem być może ; pominiemy zupełnie spójność wapna na rzecz przyszłej stałości muru, który tym sposobem po stwardnieniu zaprawy większej nabierze mocy; i wreszcie uważając długość muru za nieograniczoną odniesiemy wszystkie rachunki do jednostki tej długości. Go się tyczy kształtu muru w przecięciu poprzecznem, kształtu powierzchni ziemi, jej gatunku, tarcia i spójności, nie zrobimy z początku żadnych zastrzeżeń szczegółowych.

147. Stałość muru pod względem wywrotności. —

TeU pierwszy, wszystkim budowlom wspólny warunek równowagi otrzymuje się przez porównanie momentu sił zaczepnych to jest parcia ziemi, z momentem sił oporowych czyli ciężaru bryły murowanej. Drugi z nich musi być większy od pierwszego w stosunku zależnym od stopnia stałości, który osię-gnąć pragniemy; choć teoretycznie rzeczy biorąc równowaga może już istnieć przy równości obu momentów.

Oznaczmy przez ABGD przecięcie poprzeczne muru podtrzymującego ziemię DGE (fig. 121) i nazwijmy :

H wysokość muru licząc od wierzchniej ściany fundamentu ;

a, w, a', grubość muru na odległościach H, x i o pod górną krawędzią BG;

s i e pochylenia ścian AB i CD do pionowej ;

d parcie ziemi na warstwę muru mającą grubość x licząc od góry; r i y jego składową równoległą i prostopadłą do ściany muru;

D parcie ziemi wypadkowe na cały mur oporow’y licząc od góry do wierzchniej ściany fundamentu; R i Q jego składową równoległą i prostopadłą do ściany muru;

z odległość punktu przyczepienia parcia od spodu uważanej warstwy muru;

II' i II ciężar metra sześciennego muru i ziemi.

Biorąc najprzód pod uwagę warstwę poziomą muru BGGF, której wysokość w kierunku pionowym oznaczymy przez x, widzimy, że powierzchnia jej przecięcia poprzecznego jest równa summie algebraicznej powierzchni

FGcb — FBó — GcC,

albo

x*

xu —

zkąd wypada ciężar tej warstwy

lT.ri/ —

n'

ir

.r-sie' — ^ .z*sts.

Aby mieć moment ciężaru warstwy FGCB względem punktu F trzeba pomnożyć każdy wyraz powyższej summy przez odpowiadający mu długość dryga, mianowicie pierwszy przez

^, drugi przez

ICO

COI K»-

#sts', wreszcie trzeci przez

n 3 żenie :

6B czyli

\

Cc albo u—rarsts. Otrzymane tym sposobem wyra-

tł

(*)

II'

xid —

stV— 2-Æ“²sts^M— i^stej

będzie przedstawiać moment oporowy uważanej warstwy względem punktu F.

ic

an

A,

Fig. 121.

Chcyc teraz znaleźć moment siły zaczepnej względem tego punktu, trzeba pomnożyć parcie d przez odległość Ff jego kierunku od punktu F. Otóż punkt przyczepienia parcia d

I

leży albo na wysokości - x ponad płaszczyzny FG (ust. n. 137) albo w pobliżu tego miejsca, tak że możemy napisać w ogóle

mx,

oznaczając przez zresztą na zasadzie wyłożonej teoryi parcia obliczyć potrafimy. Nakreśliwszy z punktu G równoległy do siły d i wyprowadziwszy prostopadły Fg mamy :

współczynnik blizki jedności, który

(2)

F '/== # — F g =fg — wwst(p -t- e). Ale fg jest równe oG, a w trójkącie oGk mamy oG = ÆG dos p ;

w trójkycie zaś vkG

kG =

kv

dos s dos e wypada więc z tych dwóch zwiyzków:

r__dos P „

Wstawiajyc tę wartość w równanie (2) otrzymamy

Ff=    s — u wst (p + s).

dose    '

Moment parcia d jest więc

[‘

dos p

dos e

u wst (p -t-

■>]

d.

Wzajemne równoważenie się momentu parcia z momentem oporu jest koniecznym warunkiem stałości, ale wynikajycy ztyd stan równowagi nie jest pewny, bo najmniejsze powiększenie parcia lub zmniejszenie oporu może go zupełnie zniweczyć. W naturze nie może być mowy o tak niepewnym spoczynku, bo wpływ powietrza, ciepła, wilgoci i obciążenia zmieniajy ustawicznie stosunek między obiema siłami ; chcyc więc zabezpieczyć się od tych niszczycych równowagę wpływów, trzeba obliczyć w ten sposób wymiary muru oporowego,

aby był w stanie wytrzymać s razy większe parcie od rzeczywistego. Ta liczba s zwie się w języku technicznym « współczynnikiem pewności », gdyż jej wielkość jest miarą bezpieczeństwa, z jakiem dany mur oporowy rzeczywiste parcie wytrzymać potrafi. Przyjmując więc s krotną pewność i równając moment oporu z s krotnym momentem parcia, otrzymamy następujące równanie warunkowe

ö|s*

X³ st“ z —

fc©IR

a? Sts

dosp

dos e

—f- S Tm WSt (p -f- s)

ïïi CO

zkąd wypada, po wstawieniu za z wartości —- i po wyciągnie-

O

niu pierwiastku

Ux

x st £ sd

WSt (p -4- e)

M'r

^/|jrst£ sd

Oto jest związek zachodzący między szerokością spodnią u jakiejkolwiek warstwy poziomej i jej grubością x w kierunku pionowym. Jak widzimy w jest funkcyą linijną zmiennej x, bo rfjest równe iloczynowi pewnej stałej przez x² ; a więc wr ogóle mamy u — kx, gdzie A przedstawia współczynnik zależny od

a

z, e', II, II', p i m. Gdy te ilości są stałe, stosunek - jest jednakowy ula wszystkich warstw mających grubości x—xv x₂,... H (fig. 122); tak że oznaczając przez nv w₂,.. .ci odpowiadające tym warstwom szerokości u spodu, mielibyśmy

u_ux_w₂_

X X.

co dowodzi, że krawędzie A, B, C, D, murów służących do

podtrzymania ziemi na wysokościach H, xs> xv O, leż§ na przekątni AD. Zatem największe niebezpieczeństwo grozi płaszczyźnie AE, bo w każdej innej stosudze poziomej GK mur oporowy posiada grubość GK większę o GB od tej, któraby rzeczywiście była wystarczającą. Dlatego to zamiast obliczać lub sprawdzać grubość muru w jakiemkolwiek miejscu, prościej jest zmierzyć jego szerokość u spodu, to jest w płaszczyźnie x— H, wstawiając w ogólnem wyrażeniu u = a, .r=H, d= D:

(3)

Hsts sD

2 UH

WSt (p 4- b)

vpr sD

n'H

wst {p + .)]’+! H* (st=- st*e) +1

Xx i

TT

SL

Fig. 122.

bo znak — przed pierwiastkiem nie odpowiada zadaniu. Mając a znajdziemy a za pomocą prostego wzoru

a — a — H (ste + ste).

Wzór (3) stosuje się do wszystkich rodzajów parcia bez wyjątku, bo ilość D figuruje w kształcie zupełnie ogólnym i wyobraża ciśnienie ziemi o profilach prostych, krzywych i łamanych z uwzględnieniem lub z pominięciem tarcia i spójności. Gdy np. dla uproszczenia rachunków pomijamy tarcie ziemi o mur oporowy, ilość D zamienia się na parcie normalne Q, a p staje się równe zeru, w skutek czego wzór powyższy nieco .prostszą przyjmuje postać. Znaczne także robimy uproszczenia wprowadzając warunki e=0albo e'=01ub wreszcie e = s'; ale że dane te łatwo jest uwzględnić w każdym szczególnym przypadku, zostawiamy wzór (3) w jego kształcie najogólniejszym, dodając tylko powtarzaną już kilkokratnie uwagę, iż kąty e i z przechodzą na — e i —z, gdy ściany muru nie są pochylone ku jego wnętrzu ale w stronę przeciwną. Go się tyczy wartości liczebnej współczynnika pewności, to jako średnią liczbę na wielu przykładach sprawdzoną przyjąć można 1,50.

Obliczmy np. grubość muru mającego 10m wysokości, a przeznaczonego do podtrzymywania ziemi sięgającej do jego wierzchołka i poziomo ułożonej, z warunkiem iż obiedwie ściany muru mają być pochylone ku wnętrzu bryły ziemnej. Mamy dane następujące :

H = łOm,

st a = 1,2, Sts = —,

st z' = -

6’

n = 1424ks, T['=2ł20kg, s = l,50.

Pomijając spójność ziemi i jej tarcie o mur oporowy musimy uczynić we wzorze (3) p =0, m — 1, i wstawić Q wmiejsce D, a —s zamiast s. Będzie to równanie

Hste+ sQ wsts ⁺ ÏÏH *

2    sQ

3    n'dose

UH

lub, po wstawieniu odpowiednich wartości a== — 0,416 + 0,0000038 Q

-+- \/(0,416 — 0,0000038 Q)² + 0,694 4- 0,00047 Q.

Wzór (20) ustępu n. 138 posłuży do obrachowania parcia

Q z warunkiem zmienienia kęta z na odjemny ; mamy więc

., a — £

UH²

wst²-

2

dos

2 dose

a że a = 50° U 42", » = 4°45'49", przeto Q = 13250ks.

Wstawiwszy tę wartość we wzór dajacy a otrzymamy a = 2m,3ł3,

a na zasadzie wzoru d — a — H (st s — st s) a' = lm,480.

Gdybyśmy chcieli mieć mur o ścianach zupełnie pionowych, parcie Q powiększyłoby się o 2360ks i musielibyśmy dać grubość

a — 2m,71.

Objętość kamienia byłaby więc 27m*s-10 na metr bieżący muru, gdy tymczasem w warunkach poprzednio przyjętych potrzeba tylko I8m>%965, to jest mniej o 8m-s-,i35. Łatwo jest przekonać się na przykładach, iż w zwykłych warunkach praktyki mury o ścianach zupełnie pionowych wymagają więcej materyału od murów ze ścianę zewnętrznę pochyłę, które znowu ustępuję pierwszeństwa murom ku stronie ziemi pochylonym. W tym razie korzystnie jest nadawać ścianie zewnętrznej więcej spadku jak wewnętrznej.

Widocznę jest rzeczę, iż to samo równanie (3), które służyło do obliczenia podstawy muru projektowanego, nadaje się także do sprawdzania stałości murów już wybudowanych, to jest do obrachowania współczynnika >•, gdy wszystkie inne ilości sę dane.

148. Stałość muru oporowego pod względem tarcia płaszczyzn łożyskowych i wytrzymałości kamienia przeciw zgnieceniu. — Drugim warunkiem stałości murów oporowych jest odpowiednie skierowanie stosug czyli płaszczyzn łożyskowych w celu zapobieżenia wysuwaniu się warstw kamienia. Widzieliśmy już w teoryi sklepień (ust. n. 125), iż ruch poślizgowy kamieni niespójnych żadnę sztuczny zaprawę, nie może mieć miejsca, gdy oddziaływanie wzajemne dwóch warstw sęsiednich tworzy z normalnę do płaszczyzny ich zetknięcia kęt mniejszy od kęta tarcia kamienia o kamień ; zachowanie więc i sprawdzenie tego warunku jest koniecznie potrzebnem do stworzenia niezachwianej równowagi muru. Całe to zadanie sprowadza się do obliczania ciśnień ziemi na rozmaite części muru i do składania tych parć z ciężarami warstw odpowiednich, wskutek czego znajdziemy wypadkowę działań jednej warstwy muru na drugę, a potem sprawdzimy pomieniony wyżej warunek. Ta sama droga prowadzi zarazem do sprawdzania wytrzymałości kamienia przeciw zgnieceniu, znajęc bowiem punkta przejścia oddziaływań wypadkowych przez odpowiednie płaszczyzny łożyskowe, możemy ocenić rozkład natężeń na tych płaszczyznach a tem samem obliczyć największe ciśnienia jej elementów i porównać je z natężeniami odpowiadajęcemi wytrzymałości praktycznej kamienia do budowy użytego.

Jakim sposobem oblicza się parcie ziemi na pojedyricze części muru, o tem już obszernie mówiliśmy w Rozdziale I tej Księgi ; dodać tylko musimy, że do badania stałości muru pod względem mocy i nieruchliwości kamieni dogodnę jest rzeczę nakreślić krzywę ciśnień, o której już poprzednio mówiliśmy jako o miejscu geometrycznem punktów spotkania się płaszczyzn łożyskowych z ich oddziaływaniami wypadkowemi. Rzut oka na takę krzywę daje już pojęcie o stałości muru, bo widocznę jest rzeczę, iż powinna być zawarta w jego wnętrzu, nie zbli-

żać się zbytecznie do ścian zewnętrznych i przecinać płaszczyzny łożyskowe pod kątami mniejszymi od dopełnienia kąta tarcia. Tam gdzie warunki te nie są dopełnione, tam grozi niebezpieczeństwo zniszczenia równowagi w skutek pęknięcia lub wyślizgnięcia się kamieni.

Aby ułożyć równanie krzywej ciśnień w warunkach nieco ogólnych pod względem kształtu muru i gruntu, wyobraźmy sobie mur H metrów wysoki (fig. 123) ze spadkami st £' i st e po stronie zewnętrznej i wewnętrznej, podtrzymujący ziemię o powierzchni płaskiej ale dowrolnie pochylonej. Przez punkt A poprowadźmy pionową, przedłużmy ścianę CD aż do spotkania się z prostą AO i przyjmijmy linie Ox, Oy, za osie współrzędne. Poprowadziwszy potem płaszczyznę poziomą NN na odległości x od punktu O, i drugą płaszczyznę nn odległą od pierwszej o ilość nieskończenie małą dx, wyraźmy równowagę warstwy NNnn zawartej między temi dwiema płaszczyznami.

Na tę warstwę muru działa parcie ziemi, oddziaływanie części spoczywającej na NN, oddziaływanie bryły leżącej pod nn i wreszcie ciężar samejże warstwy NNnn. Każdą z tych sił rozbierzemy osobno.

Najprzód co się tyczy parcia ziemi powiedzieć możemy, iż każda część muru zawarta między jego wierzchem a pewną płaszczyzną poziomą, leżącą na głębokości x, znosi ze strony ziemi parcie proporcyonalne do kwadratu z tego wymiaru. Jakoż twierdzenia tego dowodzą wzory (20) i (25) Rozdziału I. Na część DN działa więc parcie wypadkowe D — kx*, gdzie k oznacza współczynnik zależny od pochyłości powierzchni ziemi ale zupełnie od x niezawisły; na część zaś nieco większą Dn działa D -4- e?D = kx* -4- 2kxdx; zkąd wnosimy, iż element bardzo mały Nn odbiera parcie dD = %kxdx, którego składowa pozioma i pionowa jest

2kx wst. (p -+- b) dx,

2kx dos (p -t- s) dx,

gdzie p oznacza kąt tarcia. Punkt przyczepienia c tej siły leży w połowie prostej Nn.

Oddziaływanie części NNDG składa się z dwóch sił : poziomej F i pionowej P, mających swój punkt przyczepienia w punkcie a, którego rzędna jest y. Część leżąca poniżej ściany nn oddziaływa także dwiema siłami F' i P', których punkt przyczepienia b ma rzędną y 4- dy. Siły te są z sobą związane równaniami.

F' = F 4- dF,    P' = P-M/P.

ST

[■—■>4! ?

p» 2!

tt-----

JC

Fig. 123.

Ciężar warstwy uważanej jest równy iloczynowi powierzchni NNnrc przez ciężar TI' metra sześciennego muru ; jeżeli więc nazwiemy u szerokość muru NN odpowiadającą odciętej x,

ciężar ten będzie S = 11' [u 4-    dx, albo opuszczając, ilość

nieskończenie małą drugiego rzędu S = Il 'udx.

Poznawszy wszystkie siły zewnętrzne możemy teraz ułożyć równanie warunkowe równowagi sprowadzając do zera summy

CZĘŚĆ III. — BUDOWLE MUROWANE.

558

algebraiczne sił poziomych, pionowych i momentów względem punktu c. Znajdujemy

)    dP — TXudx — 2kx wst (p -+- z)dx = 0,

)    o?F — %kx. dos (p -t- e)dx = 0,

(6)

(P + dP) ^y + dy —    — x — st ej

F dx

II udx

(-*)

UJI s

= 0.

Pq zcałkowaniu równania (5) w granicach x=0\x=zx otrzymamy

F = k dos (p -+- e) x²

bez dodania stałej, bo dla x=0, F musi być równe zeru. Z równania (4) wypada także

V = k wst(p4-s)Æ² + nrjf udx,

a równanie (6) posłuży do wyznaczenia rzędnej y. Pomijajęc w niem ilości nieskończenie małe drugiego rzędu otrzymujemy najprzód

w²

P dy -+- ydP = (H —■ x) st s. d? -H F dx + II' — dx

albo

d{Py) = (H — X) st dP + Fà + II j dx,

a następnie po wstawieniu za F i dP odpowiednich wartości d (Py) = (H — x) st e [II'u -f- 2kx wst (p -t- e)] dx + A:dos (p -f z)x- dx •+- II' — dx.

KĘ1ĘGA II. STAŁOŚĆ MURÓW OPOROWYCH. — ROZDZIAŁ III.

Ü59

Całkując to równanie w granicach od 0 do x otrzymujemy

r<tX

Py = st £ / (H — x) [II'u 4- 2kx wst (p -f- e)] dx

t/0

Ęf

^ Jo

r*X

x~clx 4-

—(- h dos (p —j— sj j

a jeżeli podzielimy obiedwie strony przez P, otrzymamy szu-kanerównanie krzywej ciśnień. Całkowanie zaznaczone w powyższym wzorze nie przedstawia żadnych trudności, bo u jest znaną funkcyą zmiennej x, a Æ jest ilością stałą i zależną od danych zagadnienia. Gdy mur jest pionowy od strony ziemi, co bardzo często się zdarza, krzywa ciśnień przed stawia się w kształcie znacznie prostszym

icc

dos p.r* 4-

MR

rkX

J 0

v?dx

y =-:

Ii wst p. X* 4- IT J

udx

lub też gdy się pomija tarcie ziemi o ścianę muru

COI =>

X* 4-

Jo

u~dx

udx

.leżeli a oznacza grubość muru na samym wierzchu, a pochylenie ściany zewnętrznej jests', w jest równe a x ste', zkąd

rx    cłV

/ y?dx= cdx 4- a st z .x¹ 4- -y x³,

St e'

— x •

Wypadające w tym razie równanie krzywej

2    (k    stV

3    \IT    2 ,

r\X

Jo

udx =ax 4-

O² 4-Ö St e .X 4-

y=

2a 4- st e . x

przedstawia hiperbolę przechodzącą przez środek podstawy górnej. Gdy zaś obiedwie ściany są pionowe, krzywa ciśnień jest łukiem paraboli

fcsi a

Sr-

Ib

przechodzącej także przez środek wierzchniej ściany muru.

W ogóle kreślenie krzywej ciśnień czy to sposobem geometrycznym czy też analitycznym jest wielce pożytecznem do ocenienia stałości muru oporowego, bo z jej kształtu wnosić można o stopniu równowagi. Gdy spotyka płaszczyzny łożyskowe pod katami mniejszymi od dopełnienia kąta tarcia, nie ma obawy zesunięcia warstwy; gdy nie zbacza mocno od środka muru, ciśniena rozkładają się dosyć jednostajnie i są wszędzie dodatnie, a wywrócenie jest zupełnie niemożebne. Tak więc, znajomość ciśnień jednych warstw na drugie wystarcza już samo przez się do ocenienia stałości ; i gdyby nie chodziło o wyznaczanie wymiarów muru drogą wprost do celu prowadzącą, możnaby zamiast metody w poprzednim ustępie wyłożonej przypuścić a priori pewną grubość dowolną, i przez kolejne kreślenie krzywych otrzymać po kilku próbach ostateczne wymiary muru. Tak otrzymaną grubość należałoby jeszcze pomnożyć przez pewien współczynnik pewności, a mianowicie przez 1,30, jako cyfrę odpowiadającą współczynnikowi 1,50, przez który mnożyliśmy parcie ziemi w poprzedzającym ustępie.

KONIEC.

DODATEK

ZAWIERAJĄCY

ZBIÓR TABLIC

CYTOWANYGH W NINIEJSZYM WYKŁADZIE

3 Ci

wytrzymałość materyałów.

■

4

•V •

»

t

Współczynniki sprężystości i wytrzymałości niektórych materyd-łów hudoiułanych.—Odnośniki stojg.ce po prawej stronie liczb wchodzących w skład tej tablicy maj g następujgce znaczenie.

0) Wyjęte z dzieła Des Jngenieurs Taschenbuch herausgegeben von dem Verein Hütte. Berlin, 1872 ; — (²) Doświadczenie Hodkinson’a; — (³) Doświadczenie Morin’a; — (ł) Wyjęte z dzieła Ott’a : Vortrxge über Baumechanik. Prag, 1872, IT Tbeil; — (⁵) Doświadczenie Fairbairn’a; — (⁶) Doświadczenie Stefen-son’a; —(⁷) Doświadczenie Stirling’a ; —(⁸) Doświadczenia Rennie’ego i Morin’a ; — (⁹) Wyjęte z dzieła: Formules, tables et renseignements usuels par Claudel; — (¹⁰) Doświadczenie Wcrt-heim’a ; — (“) Wyjęte z dzieła Gollignon’a : Résistance des matériaux; — (ls) Doświadczenie Yicat’a;— (¹³) Doświadczenie Rondelet’a ; — (n) Próby robione przy budowie mostu Britanniaw Anglii.

564

DODATEK.

DOD ATF. K.

565

Tablica I.

Tablica I

Nazwiska ciał.

Współ-czyn

sprężysto- sprężystości podtu- ści poprze-żnejudnie- cznej od-siony do niesiony do w rozcię-milim. kw. milim. kw.

nik

Współ

czynnik

Granica sprężystości

na milimetr kwadratowy

w ściska- w ucina-

Granica natężeń bezpiecznych

na milimetr kwadratowy

Natężenie na milimetr k;v.

w chwili

w rozcięga-

w ściska-

ganiu

niu

niu

niu

niu

w ucinaniu

zerwania

zgniecenia

przecięcia

METALE.

Żelazo kute, średnie. Blacha w kierunku

walcowania.......

Blacha w kierunku

poprzecznym......

Drut żelazny.......

Surowiec z wy c za j ny. lepszy najlepszy.. Stal cementowana..

Stal lana.. ......

Blacha miedz. klep.

(( «

Drut miedziany....

Mosiądz...........

Drut mosiężny.....

Spiż armatni.......

Cyna.............

Zynk lany.........

Zynk walcowany....

Ołów lany ........

Ołów walcowany... Drut ołowiany......

20000(1)    7300(0

17500(0    6562(0

22300(1)    84400)

27500(0 103'2(0 10700(1)    4012(i)

10700(1)    4012(1)

12100(1)    —

6400(1)    2400(1)

9870(1)    —

6900(1)    2587(1)

3200(1°;    1300(1)

9600(10)    3562(0

500 (3)

187(1)

kg.

kg-

kg-

kg.

kg.

kg.

kg.

kg

14,99(2)    14,00(1) 10,03(1)

13,30(4,    13,30(4) io,Oô(i)

12,50(4)    12,50(4)    —

24,00(1)    —    —

7,50(0 15,00(0 5,60(1)

—    20,0(1)

—    * 45,00(6 14,00(0 10,50(1)

2,75(0' 2,00(1)

3,640)

-    3,25(1)

700(0

262(1)

27,00(1) 60,00 0) 14,000) 3,00(1) 12,00(1) 4,85(1) 13,300) 4,34(6 1,00(10) 1,00(4°)

1,00 (3)

0,47(1)

6,00(3)    6,00

5,74(3)    5,74(3)

5,87(3)    5,87(3)

12,000)    -

2,50(1)    7,000)

2,75 13,00(1)

30,000)

6,600)

2,50(0 6,60(1)

2,lü(⁸)    19,300)

1,60

13,00(1)

30,000)

6,60(1)

2,00(D

5,25(1)    40,00)

5,250)    34,46(3)

-    35,25(3)

-    65,000)

-    10,00

1,900)    12,500)

16,50

10,00(1)    75,00(1)

22,000)    100,000)

5,000) _

l,50d)    21,00(1)

42,0(1) 1,90(1)    12,60(⁸)

5,000)    3 6,50'i)

1,500)    23,0(3)

-    3,00c8)

-    6,00(3)

-    5,00(3)

-    1,2«(»)

—    1,35(3)

-    2,200)

35,0(0

30,000)

63.00(2)

75,00(0

80,0(2)

41,00(D

7,30(1)

10,87(9)

o,40(9)

35,0(0

20,00(0

50,00(1)

75,000,'

DRZEWA

(w kierunku włókien)

Dęb mocny Dęb słaby...

Osina......

Jodła .....

Jesion......

Więź

Buk

1260(3)

90001)

1075(10)

1113(10)!

1 !21(io)

11630°)

980(1°)

80,000)

120(1)

2,0001) 2,00 »O 1,03(10) 2,15(10) 1,25(10) 1,8400) 2,3200)

2,00(H) 2,< 00')

o cT cT o

Bukszpan..

Grusza

Mahoń

Sosna.....

Modrzew..

1200(D

700)

1,630°) 1,73

0,07(D    8,00(3)

6,00(3)

-    7,200°)

-    4,18(1°)

-    6,780°)

_    6 99(1°)

0,06(1)    3’,57(i°)

-    14,00(3)

-    6,90(3)

-    5,60(3)

0,040)    11,30(1)

-    0,94(3)

Ü! ÜÎ ® ^

| 'co'Vr

CO ■**'- O O kI C5 "7»    “to t-tj

er. 5

CD O JO m ff*

0,79(0

0,66(1 ) j

0,42(1)

566

DODATEK.

Tablica I (ciąg dalszy i koniec).

DODATEK,

Tablica I (ciąg dalszy i koniec).

Nazwiska ciał.

Współczynnik

sprężysto- sprężystości podtuż- ści poprze-nej odnie- cznej od-siony do niesiony do w rozcię.-milim. kw. milim. kw.

Współ

czynniki

Granica sprężystości

na milimetr kwadratowy

Granica natężeń bezpiecznych

na milimetr kwadratowy

Natężenie na milimer lew.

w chwili

ganiu

w ściska- w ucinania.

niu

w rozciijga-

w ściska-

w ucina-

niu

niu

niu

zerwania

zgniecenia

przeeięcia

DRZEWA

(w kierunku włókien)

Topola..........

Akacya .........

Grab...........

Brzoza..........

Olsza...........

Klon............

Wierzba........

517(1°) 1261 (¹⁰) 1085(1°) 997(‘°) U08(¹⁰) 1021 (¹⁰/

kg.

kg.

kg.

1,00(1°)

3,19(10)

1,28(1°)

1,62(10)

1,12(10)

1,07(10)

0,13(3)

0,22(2)

0,50(2)

0,48(2)

0,20(2)

£    ! II i ! 11

kg.

kg.

1,97(10)

7,93(10)

2,99(10)

4,30(10)

4,54(10)

3,58(10)

2,18(2)

5,00(2)

4,80(2)

2,03(2)

KAMIENIE.

Cegły zwykłe.......

« doskonale wypalone .......

Wapień biały drobnoziarnisty i jednolity Wapień litograficzny « rzadki, gruboziarnisty. . « ikro wiec.... Piaskowiec bardzo

twardy...........

Piaskowiec mierny..

Porfir.............

Bazalt............

Granit.............

1,44(3)

3,08(3)

2,29(3)

1,57(3)

0,06(1)

0,10(1)

Ó,80d)

14,4(3)

30,80^3)

22,90(3)

13,70(3)

0,60(1)

1,00(1)

2,80'i2)

1,00(12)

0,20(D

1,20(1)

0,60(D

0,00(1)

8,13(13) 1,00d⁴) 24,70'13) 12,00(1) 6,00 1)

ZAPRAWY.

Gips rozezyniony,

stwardniały.......

Gips rozezyniony, nieco miększy.. .. Zaprawa z wapna tłustego i piasku,

14-letnia.........

Zaprawa z wapna hydr. zwykł, i z

piasku...........

Zaprawa z wapna bardzo hydr.......

0,17(3)

0,58(3)

0,09(12)

0,04(12)

11,70(3)

5,80(3)

0,90(12)

0,42(12)

0,075(3)

0,019(12)

0,75(3)

0,1902)

0,90(3)

1,50(3)

0,074(¹²)

0,144(12)

9,00(3)

15,00(3)

0,7402)

1,44(12)

.

•»i.« i * -rk-ly.li V;h) l ^MU,:x

.............-4»

■

. : '

‘

■

.0

■

' , ; , •

.

*

Ciężar metra sześciennego niektórych ciał tv przemyśle używanych. Podług Recueil de tables Génieys’a.

*

iPP0ï:

îvV

\

*

$

K

î

\

DODATEK.

571

Tablica II.

Nazwisko ciała.

Ciężar

metra sześciennego

od

do

L%-

kgr.

dystylowana i deszczowa..

rzeczna.................

studzienna..............

morska.................

Ziemia piaszczysta...............

Pruclmica......................

Torf

Woda

suchy ..........

wilgotny........

Ziemia roślinna.........

Rędzina twarda żwirowata

Szlam rzeczny...........

Ił gliniasty.............

Margiel

1357

1542

1656

1000

1000

1014

1042

643

857

1285

1428

1799

drobny i suchy..................

drobny i wilgotny...............•

gliniasty........................

. f rzeczny wilgotny.................

Żwir kamienisty.........................

Gruba ziemia zmięszana z piaskiem i ze żwirem

Ziemia zmięszana z małymi kamieniami.....

Glina zmięszana z tufem wapiennym zwanym

martwicę..............................

Ziemia tłusta zmięszana z kamykami........

Odłamki skał............................

Cement z ziemi palonej...................

Żużle fryszerskie........................

Żużel wielkopiecowy szklisty...............

Puzzolana naturalna.....................

Trass hollenderski........................

Piasek

Pumer

Wapno

( gryzęce, natychmiast po wypaleniu.

( zgaszone, w cieście twardem......

z piasku.............

z cementu...........

z zendry.............

z żużli..............

Zaprawa z wapna i

Cegła

Kreda,

/ miękki ................

V    kruchy....•...........

Kamień ciosowy j wapienny miękki........

/ wapienny twardy.......

V    bardzo zbity...........

1571

1399

1900

1713

1771

1371

18B0

1910

1990

2290

1571

1171

771

1428

1085

1071

577

800

1328

1856

1656

1128

1859

1000

1214

1142

1713

2142

2284

2499

1656

1442

1799

1856

1485

1713

1228

985

1485

1228

1085

928

857

1428

2142

1713

1214

1942

1471

-1285

1713

1999

3284

2427

2713

572

DODATEK.

Tablica II (ciąg dalszy).

DODATEK.

Tablica II (ciąg dalszy).

573

Nazwisko ciała.

Ciężar

metra sześciennego

Nazwisko ciała.

Ciężar

metra sześciennego

od

do

od

do

kg.

kg.

Alabaster, marmur, okruchowiec Małżo.wiec fluspat............

/ surowy i alabaster gipsowy.

I tłuczony..........

< przesiany..........

/ gaszony wilgotny...

' gaszony suchy......

Mur świeży z kamieni polnych.......

Mur świeży z cegły.................

Baryta............................

Kwarc, kamień młyński dziurkowaty..

Kwarc, kamień młyński zbity........

Kwarc szklisty, hyalinowy...........

Piaskowiec budowlany..............

Piaskowiec do brukowania...........

Kwarc smołowiec..................

Zlepieniec krzemieniowy............

Jaspis............................

Feldspat..........................

Trapprogowiec, kamień probierski...

Porfir, ont serpentyn, ospowiec.....

Łojek, słoniniec, chloryt czyli zielonka

Serpentyn (wężowiec)..............

Garkowiec.......................

Granit, syenit, gneiss...............

Granit marmurowy...................

Mika (łyszczyk).....................

Amiant............. ............

Łupek ilasty......................

Łupek dachowy............... .

Tremmatod, kamień wulkaniczny.....

Lawy kamienne, bazalty.............

Martwice wulkaniczne..............

Żużle wulkaniczne..................

Węgiel kamienny..................

Gips,

(siarczan wapni)

METALE.

Złoto 24ro-karatowe. lane, kute......

Srebro 12tej próby, lane, kute........

Platyna cięgnięta...................

Miedź czerwona lana. ...........

Miedź cięgnięta....................

Mosiędz lany......................

Mosiądz ciągnięty...................

2! 99 3084 1899

1199

1242

1571

1399

2240

1870

4284

1242

2485

2642

1928

2427

2042

2570

2356

2570

2699

2756

2613

2770

2742

2356

2799

2570

1556

1813

2742

1928

2756

1214

785

942

2870

3184

2299

1228

1357

1599

1414

4626

1285 2613 2656 2970 2613

2656

2927

2813

2742

2742

2927

2784

2856

2856

2956

3056

2927

1785

2784

2856

2642

3056

1385

885

1328

19065

11494

21039

7783

8540

12674

8540

Żelazo lane...................

Żelazo kute..................

Stal niehartowana.............

Stal klepana hartowana........

r czysta Kornwalska, lana.. \ nowa lana, klepana.

I wyborowa, lana, klepana [ zwykła, lana...........

Cyna

-i -J -J CTt ÜÎ -vł "I W ^ w ^

Ołowiany. . Zynk topiony Rtęć płynna"

DRZEWA.

Morela.............

Akacya.............

Mahoń..............

Jarzębina...........

Migdal..............

Judaszowiec.........

Olszyna............

Brzoza.............

Czereśnia...........

Bukszpan...........

Cedr...............

Wiśnia pospolita.....

Wiśnia wonna.......

Grab...............

Kasztan słodki.......

Dęb zwyczajny świeży Dęb zwyczajny suchy.

Pigwa. .............

Dereń..............

Leszczyna...........

Klon...............

Jesion..............

Jałowiec............

Buk................

771

785

800

Cis

Kasztan dziki, gorzki Modrzew

Morwa............

Orzech...........

785

914

871

HO

685

543

700

571

900

557

714

857

757

685

1000

785

700

900

600

628

785

543

714

771

657

657

882

600

885

800

714

1328

1314

743

871

1157

914

985

914

757

557

857

814

900

743

574

DODATEK.

Tablica II (ci^g dalszÿ i koniec).

Nazwisko ciała.

Ciężar

metra sześciennego

od

do

kg.

kg.

Oliwne drzewo....

Wi§z............

Łozina..........

Topola..........

Sosna pospolita...

Jawor...........

Grusza..........

Jabłoń...........

Śliwa...........

Jodła............

Świerk..........

Wierzba.........

Jarzębina pospolita

^ co co

371

711

528

671

571

743

928

942

614

828

714

714

800

557

585

Bez

685

700

Lipa

557

600

Współczynniki tarcia. — Część pierwsza tej tablicy odnosi się do tarcia w chwili rozpoczęcia ruchu, druga zaś do tarcia podczas ruchu.—Wyjęte z dzieła Poncelet’a: Introduction à la Mécanique industrielle, strony 488 i 494.

m .ApMa/T

■

î

»    «V \ : <;> : ';m r.bią!    / 7/    . ; ! d - n

/    : -Hh; -w. rb    -'■ *-.•>«

.

DODATEK.

Tablica III (Część pierwsza).

Nazwiska ciał fręcych się o siebie.

Stosunek tarcia do ciśnienia f — st a w chwili rozpoczęcia ruchu

Wapień miękki dobrze wyrównany o wapień miękki (Morm) Wapień twardy «

Zwykła cegła"

Drzewo dębowe «

Żelazo kute,

Wapień twardy dobrze wyrównany o wapień twardy (Morin) Wapień miękki «

Zwykła cegła Drzewo dębowe «

Żelazo kute

Wapień miękki pokryty świeżę zaprawę wapiennę z drobnego piasku o wapień miękki (Morin)..............

Piaskowiec zbity o piaskowiec zbity, na sucłio (Rennie)..

« ze świeżę zaprawę

(C

cc

((

CC

((

((

((

cc

cc

((

((

((

((

((

((

((

((

((

cc

cc

(C

((

cc

<(

cc

cc

0,74

O,'o

0,07

0,03

0,49

0,70

0,75

0,07

0,04

0,4-2

(Rennie).......................................

Wapień twardy wygładzony o wapień twardy wygładzony

(Rondelet)......................................

Wapień z grubsza ociosany o takiżsam wapień.........

Granit wyrównany o granit z grubsza ociosany.........

Granit pokryty świeżem wapnem o granit ociosany zgrub-

0,74 0,71

0,06

0,38

0,78

0,60

Pudło drewniane o bruk (Regnier).....................

o ziemię ubitą (Hubert)...............

Kamień chropowaty, nierówny, o suchą glinę (Lesbros)...

o glinę wilgotną i miękką

(Lesbros)..............

o glinę wilgotną pokrytą żwirem (Lesbros).......

0,40

0,58

0,33

0,51

0,34

cc

0,4

Nazwiska ciał tręcycb się o siebie.

Stosunek

tarcia

do ciśnienia f — sta podczas ruchu

Wapień miękki dobrze wyrównany, o wapień miękki (Morin) Wapień twardy «

Cegła zwyczajna «

Drzewo dębowe «

Żelazo kute

Wapień twardy dobrze wyrównany, o wapień twardy (Morin) Wapień miękki «

Cegła zwyczajna «

Drzewo dębowe «

Żelazo kute

Żelazo kute wodę zwilżone,

0,64

0,67

0,65

((

((

((

((

((

U,38

((

((

((

((

((

))

((

((

((

((

((

((

((

0,69

0,38

0,65

0,60

0,38

0,24

0,30

A

Wartości stosunku — . — Jest to liczba, przez którę, trzeba pomnożyć ciężar n, aby otrzymać « część głównę» parcia powstałego w skutek zawieszenia tegoż ciężaru w jakimkolwiek punkcie włókna środkowego. (Patrz, ustęp n. 103 w teoryi łuków). Obliczone przez Bresse’a.

A    9

Uwaga : Stosunek - staje się równy zeru dla -b

Tablica IV.

N*

Stosunek -

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40 jO, i 5

i 012,

i 0,13

0,14

0,15

0,16

0,17

0,18

0,19

0,20 0,21 0,22 ! 0,23 <°>24 |    i⁰’²⁵

§r\ t- !

'S

■7.

0,26

0,27

0,28

0,29

0,30

0,31

0,32

0,33

0,34

> 0,35 i 0,36

4,125 4,112 3,804 3,',02 3,520 7,518 3,201 3,281 3,082 3,072 2,807 2,888 2,733 2,725 2,586 2,578 2,453 2,446 2,333 2,326 2,224 2,217 2,124 2,117 2,032 1,947 1,869 1,797 1,729 1,724 1,666 1,661 1,607 1,602 1,552 1,547 1,500 1,496 1,452 1,447 1,406 1,401 1,362 1,358 1,321 1,317

2,026 1,941 1,863 1,791

4,075 4,012 3,758 3,700 3,486 3,432 3,251 3,200 3,044 2,097 2,862 2,8i7 2,700 2,657 2,554 2,514 2,423 2,385

2.304    2,268 2,193 2,162 2,098 2,064 2,007 1,975 1,923 1,803 1,846 1,817 1,774 1,746 1,708 1,680 1,645 1,619

1,561 1,533 1,508 1,481 1 ‘,457 1,433 1,410 1,388 1,3(5 1,344 1,322

1.304    1,282

1,587

3,026 3,621 3,359 3,132 2,033 2,757 2,600 2,400 2,33 i 2,219 2,1 15 2,019 1,932 1,851 1,77 7 1,707 1,643 1,583 1,527 i ,474 1,424 1,378 1,334 1,202 ! ,253

3,816 3,519 3,264 3,043 2,862 2,670 2,526 2,300 2,267 2,156 2,054 1,061 1,876 1,708 1,725 1,658 1,595 1,537 1,482 1,431 1,389 1,337 1,294 1,254 1,215

3,682 3,30f 3,150 2,936 2,740 z ,58! 2,437 2,30.: 2,187 2,079 1,681 I,' 91 1,800 1,733 1,663 1,508 1,537 1,481 1,428 1,378 1,332 1,288 1,246 1,207 1.170

3,526 3,251 3,016 2,8! 1 2,632 2,474 2,333 2,206 2.003 1,989 1,895 1.809 1,730 1,658 1,500 1,528 1,470 1,415 1,305 1,317 1,272 1,230 î ,190 1,153 1,1 17

3,318 3,087 2,863 2,660 2,498 2,3 i 8 2,214 2,094 1,085 1,887 1,798 1,716 1,641 1,572 1,508 1,448 1,393 1,341 1,203 1,248 1,205 1, 105 1,127 1,001 1,057

3,14' 2,90-< 2,692 2,500 2,340 2,207 2,081 1,968 1,866 1,774

i ,680 1,612 1,541 1,476 1,41 ( i,36l 1,308 1,250 1,213 1,170 1,130 1,092 1,057 1,023 0,001|

Stosunek -

, Ô

Stosunek -

0,50 0,55

0,60

0,65

0,70

0,75

0,80

0,85

0,90

0,95

00,0 0,05 0,10] 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45

Stosunek —

/ 0,12 2,931 2,694 I 0,13 2,702 2,484 0,14 2,506 2,303 0,15 2,335 2,146 0,16 2,186 2,008 0,17 2,054 1,887 0,18 1,936 1,778 0,19 1,830 1,681 0,20 1,735 1,594 0,21 1,649 0,22 1,571 * J 0,23 1,499 / 0,24 1,433 0,25 1,372 0,26 1,315 0,27 1,263 0,28 1,214 0,29 1,169 0,30 1,126 0,31 1,086 0,32 1,049 0,33 1,013 ! 0,34 0,980 0,897 0,35 0,948 0,868 I 0,36 0,918 0,840

1,514

1,442

1,376

1,315

1,259

1,207

1,158

1,114

1,072

1,032

0,995

0,961

0,928

2,441

2,250

2,086

1,943

1,818

1,708

1,610

2,171 2,001 1,835 1,728 1,617 1,518

1,431

1,521 1,442 1,370 1,304 1,244 1,189 1,138 1,091 1,047 1,006 0,968 0,932 0,826

0*42 M13 1,109    1,098    1,080    1,054    1,022    0,983    0,937    0,885 0,82>

,052    1,042    1,024    0,999    0,968    0,931    0,887    0,838 0,783

,    1,000    0,990    0,972    0,949    0,919    0,883    0,841    0,794 0,y42

0,955 0,951    0,942    0,925    0,903    0,874    0,839    0,/99    0,75f 0,70+

0*910 0,907    0,897    0,881    0,859    0,832    0,798    0,700    0,716 0,668

0 868 0,865    0,856    0,840    0,819    0,793    0.760    0,723    0,681 0,635

0,648 0,604

1,592 1,286 0,972 0,651 0,327 1,467 1,185 0,895 0,600 0,30l 1,360 1,098 0,830 0,556 1,023 0,772 0,72:'

0,898 0,678 0,845 0,638 0,799 0,603 0,756 U,571 0,718 0,542 0,683 0,515 0,651 0,491 0,328 0,621 0,468 0,313 0,737 0,594 0,448 0,299 0,839 0,706 0,569 0,428 0,286 0,805 0,677 0,545 0,411 0,274

0,650 0,523 0,394 0,263 0,131 0,625 0,503 0,379 0,253 0,126 0,716 0,601 0,484 0,364 0,243 0,121 0,579 0,466 0,350 0,234 0,116 0,665 0,558 0,449 0,337 0,225 0,112 0,642 0,539 0,433 0,325 0,217 0,108 0,620 0,520 0,418 0,314 0,209 0,104 0,599 0,502 0,403 0,303 0,202 0,100 0,579 0,486 0,390 0,292 0,195 0,09?

1,888

1,740

1,612

1,502

1,405

1,319

1,243

1,175

1,112

1,057

1,352 1,281 1,217 1,159 1,006 1,105 0,959 1 ,'»56 0,916 1,010 0,876 0,968 0,929 0,892 0,773 0,858 0,744

1,266 1,184 0,956 1,112 1,048 0,990 0,937 0,890 0,847 0,807 0,771

0,279 0,517 0,259 0,484 0,242 0,454 0,227 0,127 0,214 0,403 0,202 0,382 0,191 0,362 0,181 0,344 0,172 0,164 0,157 0,149 0,143 0,137

Stosunek

0,899 0,796 0,690 0,867 0,768 0,837 0,742 0,809 0,716 0,782 0,693 0,757 0,670

1,

0,44 0,46 0,48 0,50 0,52

0,96 0,347 0,345 0,349 0,329 0,316 0,300 1,00 0,318 0,316 0,311 0,301 0,288 0,272

0,631 0,599 0,603 0,572 0,577 0,546 0,528 0,499 0,484 0,456 0,444 0,106 0,312 0,339 0,309 0,280 0,253

0,117

0,381

0,347

0,316

0,286

0,258

0,231

0,618 0,57? 0,589 0,548 0,562 0,522 0,536 0,497 0,512 0,474 0,467 0,431 0,426 0,392 0,388 0,356 0,353 0,323 0,320 0,290 0,261 0,234 0,208

0,292 0,262 0,235 0,209 ■ 0,184

584

DODATEK.

Tablica IV (ciąg dalszy i koniec).

Stosunek -

0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,"5 0,80 0,83 0,90 0,93

0,560 0,470 0,377 0,283 0,188 0,093 0,343 0,434 0,394 0,273 0,18! 0,090 0,609 0,326 0,440 0,390 0,509 9,426 0,479 0,100 0,524 0,451 0,377 0,494 0,425 0,345 0,467 0,401 0,334 0,442 0,379 0,315 0,338 0,297 0,339 0,281 0,320 0,265 0.303 0,230 0,283 0,236 0,271 0,223 0,256 0,210 0,228 0,187 0,203 0,165 0,180 0,145 0,158 0,126 0,137 0,108 0,118 0,092 0,100 0,076 0,082 0,061 0,066 0,047

0,37 0,890 0,814 0,733 0,649 | 0,38 0,863 0,789 0,711 0,628 j 0,39 0,837 0,765 0,689 | 0,40 0,812 0,742 0,668 | 0,42 0,766 0,700 0,629 0,555 j 0,44 0,724 0,661 0,594 0,625 0,561 0,592 0,531 0,359 0,502 0,532 0,476 0,418 0,505 0,451 0,396 0,480 0,428 0,375 0,456 0,406 0,355 0,433 0,385 0,336 0,62 0,456 0,412 0,366 0,319 0,64 0,434 0,391 0,347 0,302 0,08 0,393 0,334 0,313 0,271 0,72 0,356 0,319 0,281 0,242 0,76 0,322 0,287 0,251 0,215 0,80 0,291 0,258 0,224 0,191 0,84 0,201 0,230 0,199 0,168 0,88 0,234 0,204 0,175 0,146 0,92 0,208 0,180 0,152 0,125 0,96 0,183 0,157 0,131 0,106 1,00 0,159 0,134 0,110 0,087

0,46    685

0,48    630

0,50 ,616 0,52 0,385 0,54 0,556 0,56 0,529 I /0,58 0,503 § ' 0,60 0,479

CN I «

0,353 0,264 0,175 0,087 0,341 0,256 0,170 0,084 0,320 0,240 0,159 0,079 0,301 0,225 0,149 0,074 0,283 0,211 0,140 0,069 0,266 0,198 0,431 0,065 0,251 0,236 0,223 0,210 0,198 0,186 0,175 0,165 0,1 46 0,128 0,111 0,096 0,081 0,068 0,055 0,042 0,030

0,187 0,123 0,061 0,176 0,115 0,057 0,105 0,108 0,053 0,155 0,102 0,050 0,146 0,096 0,047 0,137 0,090 0,044 0,129 0,084 0,121 0,078 0,106 0,068 0,092 0,059 0,080 0,050 0,068 0,042 0,057 0,035 0,046 0,027 0.036 0 021 0,027 0,014 0,017 0,008

0,041

0,038

0,033

0,028

0,024

0,0(9

0,016

0,012

0,008

0,003

0,002

ri

i — X-

Współczynnik poprmcki

przez który trzeba pomno-

r* ’

ä'

1 -ł-X'

żyć « część główna parcia » aby otrzymać parcie rzeczywiste w przypadku jakiegokolwiek obciążenia łuku. (Patrz : ust. n. 103). Obliczone przez Bresse’a.

Uwaga : Współczynnik ten staje się równy jedności dla

-=0.

ir

.

'

■

.

«

%

V-

0,15

0,16

0,17

0,18

0,19

0,?0

0,21

«SI*

0,22

■z

CS3

0,23'

0,24

0,25

0,26

0,27

0,28

•0,29

0,30

O    O    G>    O    O

w    w    w    w    w    w

O OZ ' 4^ OJ i«

Tablica V.

^•2

Stosunek wyrażony w dziesięciotysigeznych.

10

15

«²

20

23

0,905

0,918

0,928

0,937

0,944

0,951

0,956

0,960

0,964

0,967

0,970

0,973

0,975

0,977

0,978

0,980

0,981

0,983

0,984

0,985

0,986

0,987

0,988

0,988

0,989

0,826

0,848

0,866

0,882

0,895

0,906

0,915

0,923

0,930

0,936

0,942

0,947

0,951

0,935

0,958

0,961

0,964

0,966

0,968

0,970

0,972

0,974

0,975

0,977

0,978

0,703

0,736

0,764

0,788

0,809

0,827

0,843

0,857

0,869

0,880

0,890

0,898

0,906

0,913

0,919

0,923

0,930

0,934

0,760 0,788 0,812 0,832 0,850 0,865 0,877 0,889 0,899 0,907 ‘

0,915 0,922 0,928 0,933 0,938 0,942 0,916 0,950 0,953 | 0,938 0,956 0,959 0,9 H 0,949 0,963 j 0,952 0,966 j 0,955 0,967 ! 0,957

0,654 0,690 0,721 0,748 0,772 0,793 0,811 0,827 0,841 0,834 0,866 0,876 0,885 0,893 0,901 0,907 0,913 0,919 0,924 0,942 i 0,929 0,946    0,933

0,937

0,940

0,944

0,947

DODATEK.

588

Tablica V (ciąg dalszy i koniec).

Stosunek

r*

<T³

■o

V\‘

V -x® <?>»

wyrażony w fl/iesiçciotysigcznych.

10

15

20

25

_ic;

u:

0,37 • 0,38 0,30 0,40 0,42 0,44 0,40 0,48 0,50 0,52 0,54 0,50 0,58

o,«.o

0,02

0,04

0,08

0,72

0,76

0,80

0,84

0,88

0,02

O O O C5

0,980

0,000

0,991

0,991

0,092

0,993

0,993

0,004

0,095

0,995

0,995

0,996

0,906

0,096

0,997

0,097

0,097

0,098

0,998

0,998

0,998

0,009

0,999

0,999

0,999

0,070 0,080 0.08 J 0,082 0,084 0,080 0,Ç 87 0,088 0,080 0,090 0,001 0,091 0,092 0,903 0 093 0,004 0,004 0,095 0,990 0,906 0,997 0,907 0,997 0,998 0,998 0,960 0,971 0,972 0,974 0,976 0.978 0,980 0,982 0,984 0,985 0,086 0,887 0,988 0,089 0,900 0,991 0,992 0,003 0,994 0,095 0,00 5 0,996 0,096 0,097 0,097

0,950

0,061

0,063

0,963

0,969

0,072

0,074

0,076

0,978

0,080

0,082

0,083

0,984

0,985

0,986

0,087

0,989

0,090

0,992

0,993

0,093

0,994

0,995

0,005

0,906

0,050

0,052

0,955

0,057

0,961

0,965

0,968

0,070

0,073

0,975

0,977

0,970

0,980

0,082

0,983

0,984

0,986

0,088

0,990

0,991

0,992

0,903

0,904

0,994

0,995

Współczynniki \ i X służące do obliczenia parcia sprawionego jakiemkolwiek obciążeniem łuku albo zmianę, temperatury. (Patrz : ust. n. 103). Ułożone przez Bresse’a.

.

■

■

•!

Tablica VI.

Współczynnik

Współczynnik

X'

0,12 j 0,13 I 0,14 j 0,15 0,16 0,17 0,18 0,19 0,20 0,21 0,22 ! 0,23 1    / 0,24

1    0,23

£    0,26

0,27 0,28 0,29 0,30 0,31 0,32 0,33 0,34 0,35 0,36

2,44 2,43 2,43 2,42 2,42 2,41 ' 2,40 2,40 2,39 2,38 2,37 2,36 2,35 2,34 2,33 2,32 2,31 2,30 2,29 2,28 2,27 2,25 2,24 2,23 2,22

207.55 176,33

151.55

131.57 115,22 101,67

90.32 80,71 72,51 63,44

59.33 54,00

49.32 45,19 41,53 38,29 35,37 32,75 30,39 28,27

26.33

24.57 22,96 21,49 20, 1 5

Stosunek —

TZ

0,40 0,42 0,44 0,46 0,48 0,60 0,62 0,54 I 0,56 / 0,58

2,20

2,19

2,17

2,16

2,13

2,10

2,07

2,03

2,00

1,97

1,93

1,89

1,86

1,00 1,00

18,91 17,78 16,72 15,76 14,02 12,52 11,22 10,08 9,09 8,⁻'0 7,42

6.73 6,12 5,56 5,07

4.63 3,86 3,24

2.73 2,30 1,95

1.63 1,40 1,20 1,00

TABLICA Vil

Współczynniki F, F' i F" parcia sprawionego obciążeniem jednostajnem całego łuku, obciążeniem całego przęsła wzdłuż linii poziomej i rozszerzalnością metalu niezależnie od działania ciężarów’. (Patrz : ust. n. 104, 105, 106). Obliczone przez ßresse’a.

38

WYTRZYMAŁOŚĆ SIATERYALOW.

UV

.. :    .    •'    :    *. ‘ ‘"i '■    . V li

. .? ■ . ••

J '    J. "    I

•    . .    :    .    \ t ! s.

. ,’i    ■ >S ''

DODATEK.

Ci

Tablica VII.

Współczynnik

odnoszęcy się do ciężarów rozłożonych jednostajnie.

na łuku na

po-

ziomej

F'

Współczynnik

a tyczęcy się rozszerzalności.

Współczynnik

odnoszący się do ciężarów rozłożonych jednostajnie.

na łuku

na poziomej

F'

Współczynnik

^ tyczęcy się rozszerzalności.

! 0,12 2,635 0,13 2,429 0,14 2,253 0,15 2,100 0,16 1,965 0,17 1,847 0,18 1 ,~4I 0.19 1,647 0,20 1,562 0,21 1,484

*0 JO JO fO

Stosunek

0,22 1,414 * 0,23 1,349

0,24 1,290 0,25 1,236 0,26 1,185 0,27! 1,138 0,28 1,095 0,29 1,054 0,30 1,016

0,31

0,32

0,33

0,34

0,35

0,36

1,974 1,856 1,751 1,657 1,573 1,496 1,426 1,362 1,304 1,250 1,200 1,153 1,110 1,070 1,033 0,993 0,964 0,933 0,904 0,876 0,850

208,8

177,6

152.8

132.8 116,4

102.9

0,37

, 0,38

0,39

0,40

0,42

91,5

81,9

73,7

66,6

60 5

55,2

50,5

46.3 42,7

39.4

36,5

33,9

31.5

29.4

27.4 25,7 24,0

22.6 21,2

2o

Stosunek —

0,44 0,46 0,48 0,50 0,52 0,54 jo,56 0,58 0,60 0,62 0,64

0,68

0,72

0,76

0,80

0,84

0,88

0,92

' 0,96

1,00

0,804

0,780

0,757

0,735

0,694

0,657

0,622

0,590

0,561

0,533

0,507

0,483

0,460

0,439

0,418

0,399

0,364

0,331

0,301

0,273

0,248

0,224

0,201

0,180

0,159

0,825

0,802

0,779

0,758

0,718

0,681

0,618

0,617

0,589

0,5*2

0,537

0,514

0,492

0,472

0,453

0,435

0,401

0,371

0,343

0,317

0,293

0,271

0,251

0,231

0,212

20,0

18,8

17,8

16,8

15,0

13,5

12,2

11,0

10,0

9,1

8,3

7,6

6,9

6,3

5,8

5,3

4,5

3,8

3,3

2,8

2,4

2,0

1,5

1,3

. ...

...

f

:

r

j ;

.

-    i

.

■ •

■ •*—

I 0h:A

/

'

■

■■

■

i

r

ERRATA.

Sir. 9, wiersz 9 od dołu — zamiast niej czytuj nieçjo. Str. 17, wiersz 2 od góry — zamiast -

a?²

?/²

I o-

?=>•

y*

(s)‘

Str. 19, wiersz 11 od góry — zamiast BC przez m czytaj AC przez m.

2    n

Str. 20, wiersz G od góry— zamiast pÿ = —— czytaj ęy~ —— .

2y/3    2y3

Str. 27, wiersz 1 od góry — zamiast PC czytaj Pc.

Str. 41, wiersz 6 od dołu — zamiast (fig. 15) ozy taj (fig. 16),

dH

dH

Str. 70, wiersz 4 od góry— zamiast czytaj

Str. 71, wiersz 7 od góry — zamiast f[t) czytaj f(x).

Str. 73, Aviersz 7 od dołu —zamiast ?(a) czytaj <f(æ).

Str. 111, wiersz 2 od dołu — równanie to powinno być oznaczone numerem (1).

Str. 124, wiersz 9 od góry — zamiast C²=0 czytaj C' = 0.

Str. 135, wiersz 6 od góry— zamiast z równania momentów czytaj

i z równania momentów.

Str. 140, wiersz 6 od dołu — zamiast wstawiając czytaj Wstawiając. Str. 143 wiersz 10 od dołu — zamiast ciężar odosobniony czytaj ciężar jednostajnie rozłożony i ciężar odosobniony.

0?\J

Str. 148, wiersz 6 od góry — zamiast El ^ — Pó-f-... czytaj

Str. 148, wiersz 1 od dołu — zamiast ...-f- K =• 0 czytaj ...+ K —0.

Str. 170, wiersz 13 od góry — zamiast R = 7k?,30 czytaj lks,30.

(l+a)rayt.j (l + jjj).

Str. 181, wiersz 5 od góry — zamiast

Sir. 182, wiersz 3 od góry — zamiast an_.jßfc_₃ czytaj otk_lę>k_₃.

Str. 187, wiersz 3 od góry, zamiast naprowadzone czytaj wyprowadzone. Str. 189, wiersz 11 od góry — zamiast Kfca,l_₄ß*_jK₎t₊₁a„_)k_₁ßt_J

czytaj KfcStji—u,jk—jd⁻+t®»—t—iß&—j. Str. 219, wiersz 9 od dołu — zamiast czytaj '-^r- .

on    Oli

Str. 242, wiersz 10 od góry — zamiast ix

Str. 242, wiersz 1 od dołu — zamiast 16^y/^^l -i-    — i J

czvtaj tefgl/gjf

Str. 234, wiersz 12 od dołu — zamiast ...+0,0043a³ czytaj

...+0,0043<z².

Str. 239, wiersz 2 od dołu — zamiast

-pZ czytaj -p/².

Str. 303, w nagłówku stronicy, zamiast Rozdział II, czytaj Rozdział I.

Str. 308, wiersz 4 od góry — zamiast

W /z²\    . 3 W /    z²\

(-* J czytaj 2 ÜÏÏ V — j *

Str. 309, w nagłówku — zamiast Księga II, czytaj Księga III.

Str. 309, wiersz 7 od dołu — zamiast odicętychf czytaj odciętych.

Str. 311, w nagłów ku stronicy — zamiast Księga II, czytaj Księga III. Sir. 310, wiersz 19 od dołu — zamiast sa rs jest równe, czytaj

a r~ jest równe.

Sir, 310, wiersz 14 od dołu—zamiast ą prostopadłe czytaj są prostopadłe. Str. 318, wiersz 8 od dołu, zamiast równowagi się czytaj równowagi sił.

zda.

Str. 319, wiersz 2 od góry — zamiast P j y du czytaj PJ

Str. 319, w przy pisk u — zamiast że przecięcie elementów, czytaj

ieprz°sume.(ie elementów.

Str. 323, wiersz 2 od dołu — zamiast =

’ 21

01US DRr

i— czytaj

;/

Str. 323, wiersz 1 od dołu — zamiast w ustępie n. 96 czytaj

Dllr _ 3ÎL»’ 2ly ” I* ‘

iv ustępie n. 93.

Str. 326, wiersz 2 od góry — zamiast    dz czytaj ('jf^p^

Str. 330, wiersz 12 od góry — brakuje znaku + między wyrazami

Dy³z i Ey^z*.

dx.

Str. 333, wiersz 7 od góry — zamiast 0,238 czytaj 0,233.

Wdosa.ds

Str. 339, wiersz 3 od dołu — zamiast

Wdosßds KEii *

czytaj

Str. 471, wiersz 10 od góry — zamiast Odosa.2p czytaj Odosa.2p'. Str, 496, wiersz od góry — zamiast /,' = dota czytaj /^=dota'. Str. ÖI3, wiersz 3 od dołu — zamiast A — sto>' czytaj A—sto.

Str. 331, wiersz 2 od góry — zamiast dz czytaj dx.

Str. 334, wiersz 10 od góry — zamiast ilości f czytaj ilości f.

KEn

Dotychczas niżej wymienione księgarnie zgłosiły się z obietnicy sprzedawania po stałych cenach wszystkich nakładów Biblioteki Kórnickiej i odbierajy je wprost od Za rzędu zaraz po wykończeniu każdego tomu.

w WARSZAWIE pp. Gebethner i Wolff.

))

» Adolf Kowalski.

» J. J. Okoński.

» Maurycy Orgelbrand.

» Gustaw Sennewald.

» Stoppelle i Stan.

» Unger i Banarski.

w KRAKOWIE

» Józef Czecii.

» D. E. Friedlein (Rynek, Ił).

» Stanisław Krzyżanowski-» Aleksander Nowolecki.

we LWOWIE

» A. D. Bartoszewicz (Księgarnia Polska, ulica Kopernika, 1.12).

» Gubrynowicz i Schmidt.

» Milikowski.

» F. H. Rychter.

» Karol Wild.

» Mieczysław Leitgeber i Spółka.

» J. K. ŻUPAŃSKI.

w PETERSBURGU ) „ „ w i MOSKWIE i M* WoLFF* w PARYŻU » Księgarnia Luksemburska, it>, rue de

Tournon.

Z zamówieniami zgłaszać się należy do Zarży du Biblioteki Kórnickiej, pod adressem : Dr. Z. Celichowski w Kórniku (W. Ks. Poznańskie).

*

*

Biblioteka Politechniki Krakowskiej

00000209340

Biblio-teka Głowna PK

II-328690