mm

Rub. tDolle

Dr. Jng. flrtbur feberer

flnalutifcöe Ermittelung uni) Hnmenbung non

einflufilinien

'

■

%

\'

x

\

I

Biblio

teka Politechniki Kiakowskie)

>

■

,

a\

4

~Z?

<7

c⁴

^ v-

*

Analytische Ermittelung und Anwendung von

Einflußlinien

einiger im Eisenbetonbau häufig vorkommender statisch unbestimmter Träger

Von

Dr. Ing. Arthur Lederer

Herausgegeben von

Rud. Wolle, Cementbaugeschäft, Leipzig

ÄÄtsIl

Affen

itpxSoen Arbeiten \%

ipTiTiXi^/

Wilhelm Ernst & Sohn, Berlin W.

CM

f 7,

kraköw

'^chn'C-

■[ i

Akc 1t*.

mp

Vorwort.

Vorliegende Abhandlung bezweckt, dem Konstrukteur eine genaue Handhabe für die so häufig in der Praxis des Eisenbetonbaues vorkommenden Sonderfälle des durchgehenden Trägers, wie sie auch in den preußischen amtlichen Vorschriften vom Mai 1907 und in den österreichischen Vorschriften vom Dezember 1907 vorgesehen sind, zu bieten.

Der eingeschlagene Weg ist rein analytisch, und sämtliche wichtigen Resultate sind in Tabellenform beigefügt.

Eine rechnerische allgemeine Ermittelung der Einflußlinien eines kontinuierlichen Trägers mit n ungleichen Feldern soll demnächst an anderer Stelle folgen.

Zu besonderem Danke fühlt sich der Verfasser Herrn Rud. Wolle in Leipzig verpflichtet, der in jeglicher Hinsicht das Zustandekommen der Abhandlung förderte.

Leipzig, im April 1908.

Der Verfasser.

Seite 2

IO VO t- O LO CO CM CM CM

Druckfehlerberichtigung.

Zeile 4 v. u. lies:

-Ppp' {l+p)

Ppp' (l+p)

■1

4/-

statt: M =-^

5 v. u. „

13 v. 0. „

13 v. o. „

6 v. 0. „ : 11 v. u. „ : 8 v. 0. „ :

+/(t- Ö

am linken

— /UX¹ (/² —x'²)

4/²

maxTLx = T\Pl

(5)

3 ,u

*=±V

„ : am rechten

ux' (/² — x'²)

„ : y = -—-

- • max7£ax = -i\Pl

(15)

„ : p<L

(£p\

Analytische Ermittelung und Anwendung von Einflußlinien einiger im Eisenbetonbau häufig vor-kommender statisch unbestimmter Träger.

Die Anwendung der Einflußlinien hat sich bereits in allen Gebieten der Statik eine hervorragende Stellung erobert. Der Grund hierfür liegt in der Übersichtlichkeit und leichten Bestimmung der ungünstigen Laststellungen.

Die Einflußlinien statisch bestimmter Systeme bestehen aus einfachen Geraden, die graphisch leicht ermittelt werden können, bei statisch unbestimmten Systemen jedoch sind die Einflußlinien Kurven höherer Ordnung und ihre Ermittelung geschieht graphisch mit Hilfe von Biegelinien und Anwendung des Satzes von den virtuellen Verschiebungen.

Nachdem aber ein graphisches Verfahren nie den Genauigkeitsgrad eines rein analytischen Verfahrens erreichen kann und nachdem weiter die graphische Ermittelung von Einflußlinien ziemlich zeitraubend ist, wird es sich empfehlen, für gewisse spezielle Fälle diese Linien analytisch abzuleiten und ihren Verlauf durch analytische Formeln festzustellen.

Im nachfolgenden werden die Einflußlinien der statisch unbestimmbaren Größen, der Biegungsmomente, Stützenreaktionen und Querkräfte einiger im Eisenbetonbau häufig vorkommender Träger analytisch ermittelt.¹)

Das analytische Verfahren besitzt den Vorzug einer äußersten Genauigkeit, indem es die Einflußlinien in Form von mathematischen Gleichungen bietet; handelt es sich dann um den Einfluß einer Einzellast, so kann die Ordinate leicht bestimmt werden, handelt es sich um den Einfluß einer gleichförmig verteilten Last, so kann ebenso genau die Einflußfläche mit Hilfe der Integration in den sich ergebenden Grenzen ermittelt werden. Ist der Verlauf dieser Linien unter Zugrundelegung eines Allgemeinfalles festgelegt, so erscheinen die Ordinaten nur als lineare Funktionen der Spannweite und die Berechnung gestaltet sich äußerst einfach und genau. Zum Schluß sollen als praktischer Behelf diese ermittelten Resultate in Tabellenform folgen.

Für eine vorläufige Berechnung genügt es die Ordinaten aus den auf-gezeichneten Linien abzugreifen oder die Flächen mit Hilfe des Planimeters zu bestimmen; genauer vorgehend kann man die Ordinaten durch Interpolation zwischen 2 nächstliegende in der Tabelle berechnete Werte, die Flächen dann mit Hilfe der Simpsonschen Regel bestimmen; in letzterem Falle wird es sich jedoch mehr empfehlen, die Integration durchzuführen, da diese bei der einfachen Form fxndx auch nicht länger dauert.

A. Der kontinuierliche Träger mit zwei gleichen Öffnungen.

Es wird unter Ännahme eines konstanten EJ nur der Einfluß der beweglichen Last ermittelt, somit beachten wir keine Stützensenkung; ein Äuflager ist fest, die anderen sind beweglich. Dieser Träger ist einfach statisch unbestimmt, und wir können zur Bestimmung des als statisch unbestimmbare Größe einzuführenden Stützenmomentes Mlt die allgemeine Ärbeitsgleichung benützen; da jedoch die Clapeyronsche Dreimomentengleichung bereits eine Spezifizierung der erwähnten Ärbeitsgleichung ist, führt sie uns hier rasch zum Ziele.

Sind lr und lr-f 1 zwei Nachbarfelder eines kontinuierlichen Trägers, dann lautet die Dreimomentengleichung

ülr

= 0,

/r+1 + 7T~l

lr+ 1

Mr — 1 lr~\~2 Mr (lr    4 + l) H~ Mr + 1

4-

wobei

Dtr

das statische Moment

der „einfachen Momentenfläche“ DtV

Fig. 1.

Ol P -f=jMxdx,

Für eine Einzellast gilt bekanntlich

auf die linke, rechte Stütze bedeutet. (Siehe Fig. 1.)

Dt' d

-g-n =J M{1 — x) dx.

das auf die

51 = Ppp'[t+p)

3<t' = Ppp‘(l+p') mit Bezeichnungen aus Fig. 2.

Für den Träger mit 2 Öffnungen können wir die Clapeyronsche Gleichung einmal aufschreiben. Setzen wir in unserem Falle

Mr-₁ = M₀ = Mr + i = Mo = 0

Fig. 2.

P'

Mr = M₁

lr ⁼⁼ lr -f-1 ⁼⁼ 11

, 9*1    9t'₂

dann lautet obige Gleichung    ⁼

Befindet sich die Last im ersten Felde, dann ist

9t, = Ppp¹ (/ + p)

912 = 0 (siehe Fig. 3),

\1/

somit

/OLg

oc

M = PPP' (l + P) .

Fig. 3.

Wird nun die Last P— 1 gesetzt, die Entfernungen p, p' = l—p, als variabel, dann kommen wir zur Gleichung der Einflußlinie des Stützenmomentes im 1. Felde.

P = X,

p' = l — x

— X (Z² - x²)

4Z²

(1).

Wäre die Last im 2. Felde, dann erzeugt sie infolge der Symmetrie dasselbe Stützenmoment wie in dem symmetrisch gelegenen Querschnitt des 1. Feldes aufgestellt, es genügt somit, nur den Verlauf der Einflußlinien im 1. Felde zu bestimmen.

Die Gleichung (1) ist bekanntlich die Gleichung einer kubischen Parabel.

Einflußlinie des Stiitzenmomentes

Die im vorausgegangenen ermittelte Gleichung

— x (/² — x²)

4Z²

gestattet noch weitere Untersuchungen in Bezug auf statisch wichtige Größen.

a) Belastungsscheiden. Belastungsscheiden sind jene Querschnitte, wo eine beliebige Kraft als Beitrag zu der untersuchten Größe, hier M±, Null liefert. Die Bedingung ist somit == 0; aus (1)

q — x (x² — Z²)

Diese kubische Gleichung liefert 3 Wurzeln:

x —

X —

x =— / ,

0,

l,

wovon nur die ersten beiden von statischer Bedeutung sind; sie bedeuten, daß das ganze 1. Feld (und somit auch das symmetrische zweite) negative Beiträge zum Stützenmoment liefert, d. h. eine jede Last nur negative Stützenmomente erzeuqt. Denn es ist 0<x</ und somit

y£0.

b) Maximum. Wir sprechen von einem Maximum, trotzdem es sich um negative Werte handelt und der zweite Differentialquotient uns ein mathematisches Minimum angibt, indem wir nur an die absolute Größe des Mx denken.

Für

max

min

dy

y muß tg <y = somit 0 = — l- -f- 3 x~

. =0,

dx ’

^max y —

Vs

• (2)

f'

rVA

hierzu gehört dann

maxy = —

6/3

= — 0,096226/.....(3)

i/i

Um max Mx durch eine Einzellast zu erzeugen, muß diese Last im Quer-

zur Aufstellung gelangen. Die konstruktive Ermittelung dieses Querschnittes ist aus Fig. 4 ohne weiteres ersichtlich.

schnitt x

1/3

Fig. 4.

c) Wendepunkte der Kurve. Diese sind beim zeichnerischen Aufträgen wichtig. Die bekannte mathematische Bedingung für einen einfachen Wendepunkt ist

1/vT

£2 = 0

dx°- u

in unserem Falle:

es

= 6x = 0, x = 0.

max y . o,oqbW5l Fig. 5.

Der Wendepunkt ist am linken Äuflager.

Der gesamte Verlauf der Einflußlinie ist aus Fig. 5 ersichtlich.

Von 0,10/ zu 0,10/ sind die Ordinaten in der betreffenden Tabelle

angeführt.

Einflußlinien des Biegungsmomentes M in einem beliebigen Querschnitte [il des 1. Feldes.

Gegeben sei ein Querschnitt fx/ im 1. Felde, gesucht wird seine Einflußlinie. Befindet sich der Querschnitt im 2. Felde, dann ist seine Einflußlinie das

Spiegelbild der für den symmetrisch gelegenen Querschnitt des 1. Feldes geltenden; eine weitere Untersuchung erübrigt sich dann.

Bedeutet a~b ein Feld eines

CC -/ul

a.

Fig. 6.

beliebigen kontinuierlichen Trägers Mb, Ma die Stützenmomente, dann gilt bekanntlich

Mb a -f- Ma b

m=<m

(siehe Fig. 6),

wobei DIt das Moment des frei aufliegenden Trägers bedeutet. In unserem Falle

so daß

Mb=M

Ma = 0,

Es entsteht somit die Einflußlinie durch Addition der Ordinaten der Einflußlinie des einfachen Trägers und der jx fachen Ordinaten des Stützenmomentes.

1. Verlauf der Kurve im 1. Felde.

Die Einflußlinie des frei aufliegenden Trägers besteht aus den bekannten

2 Geraden.

PC,

X.o.

L- jco

Es gilt (siehe Fig. 7)

3It = P(/ — x)(i für eine Last rechts von fil,

9Tt = Px(l—jit) für eine Last links von jx/,

und nach (1)

— Px (/- — x-)

Setzen wir P = 1, gelangen wir zu den Gleichungen der Einflußlinie. Diese besteht infolge der zweifachen Werte von 91t aus 2 Ästen, dem links von [il und dem rechts von [*l verlaufenden.

«) Linker Äst.

Nach vorher ermittelten Beziehungen zwischen M, 91t und M} lautet die

Gleichung

y=

Gleichung (4) gibt wieder eine kubische Parabel an.

a) Belastungsscheiden. Bedingung y = 0.

Äus Gleichung (4) für y = 0 ist eine Wurzel x = 0, sodann verbleibt noch die rein quadratische Gleichung

woraus

21

*o =

die negative Wurzel hat keinen statischen Wert.

Die Gleichung (5) gibt die Lage der Belastungsscheide an. Soll diese einen statischen Wert haben, so muß

■H-fe

real sein, somit

— > l

4 =

Die Bedingung ß>i drückt folgendes aus: Befindet sich ein Querschnitt zwischen 0 und f/, dann gibt es keine Belastungsscheide, das ganze 1. Feld ist zu dem Biegungsmomente des betreffenden Querschnittes positiv beitragend, ist jedoch der Querschnitt zwischen $ l und /, dann existiert eine Belastungsscheide, deren Lage durch Gleichung (5) gegeben ist. Die Grenze zwischen diesen beiden Querschnittsgattungen ist bekanntlich der rechte Festpunkt des 1. Feldes und somit haben wir seine Lage zu f / ermittelt.

b) Maximum.

Die Bedingung für das mathematische Maximum resp. Minimum ist

dy= o.

dx

Äus (4)

(6)

woraus

Das mathematische Maximum <C 0) hat hier keinen Wert von statischer Bedeutung. Die maximale positive Ordinate der Einflußlinie entsteht im Querschnitte selbst, d. i. im Schnittpunkte beider Kurvenäste. Nennen wir sie ytnax zum Unterschiede vom mathematischen Maximum (max v).

Es ist somit für x = /xl

Tmax —

pl(l — x)

,u⁴/

(7).

Befindet sich jedoch der Querschnitt hinter i /, dann liefert (6) ein mathematisches Minimum.

Xmin y —

(6),

Es muß aus (6)

die größte Ordinate des negativen Teiles der Einflußlinie, damit x einen realen Wert hat, fi >■£, welche Bedingung wir schon früher hatten.

angegeben.

Bei dem betreffenden Querschnitte in den Tabellen ist auch das miny

c) Wendepunkt.

Bedingung:

d-y 3 /u

dx-

4/2 + 2 X — 0

x = 0,

der Wendepunkt ist somit am rechten Äuflager.

gn = P(/—x)fi

ß) Rechter Äst der Einflußlinie im 1. Felde. Hier gilt

und somit die Gleichung der Einflußlinie

(8).

y^pPSPx+x*)

a) Belastungsscheiden.

Bedingung y — 0.

Wir gelangen zur kubischen Gleichung:

x³ — 5 /- jc -K 4 /° = 0.

Eine Wurzel ist, wie aus der Entstehung der Kurve folgt, x — l. Keine der beiden anderen Wurzeln hat statischen Wert; wir gelangen nur aus der Gleichung des linken Ästes zum rechten Festpunkt, der linke fällt mit der linken Stütze zusammen; der rechte Einflußlinienast liefert somit keine Belastungsscheide.

max

b) Maximum. Äuch hier liefert uns der erste Differentialquotient der Gleichung (8) keinen Wert von statischer Bedeutung, es ist somit wieder y bei x = al.

Durch Einsetzen für x — ytl in (8) kommen wir wieder zu Gleichung (7). Die beiden Kurven haben somit über dem Querschnitt einen gemeinsamen Punkt, jedoch berühren sie sich nicht in jenem Punkte, denn die Tangente der linken Kurve hat den Richtungswinkel <p₁, wobei

tg g>i = l —    +

wie aus dem ersten Differentialquotienten der Gleichung (4) folgert.

Die Tangente der rechten Kurve in fx/ hat den Richtungswinkel > wobei

tg 5Pa = f (3 a*² — 5) ,

wie aus dem ersten Differentialquotienten der Gleichung (8) folgert, und somit

tg <Pi = tg <p» +1.

Der Schnittwinkel beider Kurven ist dann

a = (p o

9i-

c) Wendepunkte.

Es ist keiner im statisch wichtigen Teile der Kurve vorhanden.

2. Verlauf der Einflußlinie im 2. Felde.

Wir hatten oben die Gleichung

das Moment 9It = 0

Befindet sich die Last P im zweiten Felde (siehe Fig. 8), dann erzeugt sie im Querschnitte ft/ des einfachen Balkens und es ist somit

M — ft M±

und mit Hilfe der Gleichung (1)

f2X‘(l- — X¹-)

4/-

(1 a), 'G,o

'Om

Fig. 8.

worin x‘ = / — x gesetzt wurde, anstatt x, da der Verlauf der Mi-Einflußlinie im 2. Felde zum 1. symmetrisch ist, und wir müssen somit von der Stütze a₃ nach links ausgehen.

Es ist auch mit Hilfe von (3)

max y = —

(3 a)

bei x¹ =

1/3

(2 a).

Nachdem stets negativ ist, ist auch M = ^M1 im 2. Felde negativ und somit das ganze 2. Feld zu einem Biegungsmomente des 1. Feldes negativ beitragend.

Der ganze Verlauf der Einflußlinie gestaltet sich nun folgendermaßen:

a)    Befindet sich der untersuchte Querschnitt zwischen a₀ und q (rechter Festpunkt), dann ist das 1. Feld ganz positiv beitragend, das 2. negativ beitragend, und es ergeben sich

max M min M

gegebenen Belastungsschemen. Die schwerste Last kommt für maxM in ft / usw., nach bekanntem Verfahren.

b)    Befindet sich der Querschnitt zwischen q und

dann liefert (5) eine

4/5 t

für

die in Fig. 9 an-

<S

maotnj =

-wa * M

-m i n M

l/vr

Der gefährliche Querschnitt.

Das absolut größte Moment wird in den meisten Belastungsfällen das negative Stützenmoment sein. Ist diese Tatsache für die Dimensionierung eines homogenen Querschnittes oft ausreichend, so ist dies bei Eisenbetonkonstruktionen keineswegs der Fall. Hier wird die Dimensionierung aus ökonomischen Rücksichten nach dem maximalen positiven Moment erfolgen, die Armatur wird dann dem Verlaufe der Momente entsprechend weiter durchgebildet. Es wurde weiter oben bewiesen, daß das größte Moment von einer Einzellast entsteht, wenn sich diese im Querschnitte selbst befindet, die maximale Ordinate der Einflußlinie lieferte uns die Gleichung (7)

5/u\ , ,u⁴1

T/

y max —-

-K

'tX%

-2-

Br

Fig. 10.

Belastungsscheide und es ist der den Querschnitt p l enthaltende Teil des 1. Feldes positiv, der andere negativ beitragend. Das 2. Feld ist ganz negativ beitragend. Die Belastungsschemen ergeben sich wieder aus Betrachtung der Einflußlinie. (S. Fig. 10.)

Für einen Querschnitt im 2. Felde ist, wie bereits erwähnt, das Spiegelbild der für den symmetrisch gelegenen Querschnitt des 1. Feldes bestimmten Einflußlinie in Erwägung zu ziehen.

A/( 1

Die Gleichung (7) gibt als geometrischen Ort der maximalen Einfluß-

linienordinaten eine biquadratische Parabel an. Für den gefährlichen Querschnitt erreicht ymax sein Maximum.

d m a x __ o d tu

0 = ^ — 2 A 1 •

Durch Auflösung der kubischen Gleichung gelangen wir zu max Tmax — 0,452

Für maxj/max muß

(10)

und

max ymax = 0,2074 /

(10 a).

Die Kurve (7) verläuft vom linken Auflager zu 0,432 /, die konkave Seite der -j-2f-Achse zuwendend, erreicht hier ihren Kulminationspunkt, verläuft weiter

\f | /, wo sie einen Wendepunkt besitzt, von hier aus wendet sie

konkav bis

der -j-M-Achse ihre konvexe Seite zu und schneidet sie wieder bei x = l\ weitere 2 Schnittpunkte sind ohne statische Bedeutung.

Der gefährliche Querschnitt für min M ist der des Stützenmomentes und wurde bereits ermittelt.

T=X-\

, Mb — Ma

Einflußlinien der Stützenwiderstände.

Sind lr, lr-fi 2 Nachbarfelder eines beliebigen kontinuierlichen Trägers, dann ist die Reaktion Ar gegeben durch die Beziehung Ar = — Tt -j- T wo Tr die Querkraft des kontinuierlichen Trägers unendlich nahe nach links von ar und Tr, nach rechts von ar bedeutet. (Siehe Fig. 11.)

Für die Querkraft des kontinuierlichen Trägers haben wir die Beziehung

lr

Tr

Tt

Ni/

TT

■Rr

Fig. 11.

wo X die Querkraft des einfachen Trägers ab, Mb, Ma die Stützenmomente des betreffenden Feldes bedeuten. (Siehe Fig. 12.)

Somit ist

Tr =

r — Mi— i

lr

Ma

Mh

Tr=%r+l +

Mr+_1 — Mr

lr+ 1

und

Fig. 12.

Mr+1 , Mr— 1

lr+ 1

lr

Mr(h

lr+ 1

du

worin 35 die Stützendrucke der einfachen Träger bedeuten. Für den kontinuierlichen Träger mit 2 gleichen Feldern ist

lr = lr+ 1 =/.

Einflußlinie des linken Auflagerdruckes A₀.

Hierbei ist

-7> = 0, Tr =%~h

Mt

To-Q

wo 3f₀ der linke Äuflagerdruck des einfachen Trägers ist (siehe Fig. 13) und somit

A₀ — 21₀ -f-

Die Ordinaten der Einflußlinie entstehen wieder durch Addition der Einfluß-linienordinaten des einfachen Trägers und der durch l dividierten Ordinaten der Mx- Einflußlinie.

R₀

a₀

Fig. 13.

so erzeugt sie am einfachen

1. Verlauf der Kurve im 1. Felde. Befindet sich eine Last im 1. Felde Träger a₀ öj die Äuflagerreaktion

%> = P

(siehe Fig. 14),

somit mit Hilfe von (1) und unter Einsetzen P

♦11

1 die Gleichung der Einflußlinie:

x³ — 5/³x+4/a

4/3

• • • • (12),

tCtsQ

XX-%

(12) ist die Gleichung einer kubischen Parabel.

a) Belastungsscheiden. y = 0; statischen Wert hat nur die Wurzel x — l, es trägt somit das ganze 1. Feld zu A₀ positiv bei.

Fig. 14.

b) Maximum. Die mathematischen Kulminationspunkte haben keine statische Bedeutung; den Höchstwert erreicht y somit bei x = 0.

Für x = 0,

Tmax ■— 1 .

Träger a₀a\

'O'o

M₀

2. Verlauf der Kurve im 2. Felde.

Befindet sich die Last P im 2. Felde, dann erzeugt sie im einfachen

(siehe Fig. 15),

A

^0 - /

Es ist somit die Gleichung der yl₀-Einflußlinie im 2. Felde (13) • • • • y =

2to = 0

daher

PC'

'Q'%

— X¹ (/² — JC'²)

CLq

4/3

Fig. 15.

wo x' anstatt x wieder aus bereits erwähnten Gründen gesetzt wurde.

Es ist weiter

max y = —

6 1/3

(14)

bei

x‘ =

V3

= /—x.

Bestimmen wir noch die Tangenten der beiden Kurven bei au

Durch Differenzierung von (12)

3 x- —5 p.

dy

yn /nouoc* + 'i

^^=dx

4/3

Durch Differenzierung von (13) unter Einsetzen

2 /- — 6 lx-\-3x-

XI o

tg <f»

und für x = 0

tg 5P₂ = — 2i

Nachdem die Richtungen der -f- M-Ächsen in beiden Feldern dieselben und(p₁=fpJ, haben die beiden Kurven in ax eine gemeinsame Tangente. Der ganze Verlauf der A₀- Einflußlinie ist aus Fig. 16 ersichtlich.

,a,

4/3

md-xRo

Fig. 16.

JM.

Äus der Einflußlinie ergeben sich ohne weiteres die Belastungsschemen. Die Einflußlinie des Äuflagerdruckes A* ist das Spiegelbild der A₀- Ein

flußlinie.

Einflußlinie des Stützendruckes At.

Hier ist zu setzen: T = — 2$„

r'=a,—-t

(siehe Fig. 17) und ^ = ^ + ^0

* (JL₀

s/

01.,

Fig. 17.

1. Verlauf der Kurve im 1. Felde.

Befindet sich die Last P im 1. Felde, so erzeugt sie einen Stützendruck 3% des einfachen Trägers ~ä^at, dessen Einflußlinie durch die Gleichung

— 7

gegeben ist (siehe Fig. 18); im Felde    erzeugt sie Ä ¹

2Ct = 0,

P.4

XI'*]

somit

2M₁

Fig. 18.

^i = 35o

unter Benutzung der Gleichung (1) lautet dann die Gleichung der .Aj-Einflußlinie

31- x—x³

(15).

a)    Belastungsscheiden.

y — 0; statischen Wert hat nur die Wurzel x = 0.

Es trägt somit das ganze 1. Feld positiv bei und somit auch das 2. Feld, da die Einflußlinie im 2. Felde das Spiegelbild derjenigen im 1. ist (es ist nämlich

im 2. Felde i4₁ = 2(₁

flußlinie, von M₁ wurde dies bereits öfters erwähnt).

b)    Maximum. dy 3P — 3x* n

2/3    u>

Xmax J; = /, max y = 1 .

Es ist bei x = l das maxy= 1 ein mathematisches Maximum, die Kurve besitzt dort eine horizontale Tangente.

Der ganze Verlauf der ^i-Einflußlinie gestaltet sich nach Fig. 19. —Ax kann nicht entstehen, es gibt nur ein Belastungsschema für max A{.

2 M₁

, die 2Cj-Einflußlinie ist das Spiegelbild der 35o~Ein-

dx

‘Xq

'maoc

/CL%

■m i 7i Jlj = o

Einflußlinie der Querkraft in einem beliebigen Querschnitte

des 1. Feldes.

Wie bereits früher angeführt wurde, ist die Querkraft eines kontinuierlichen Trägers im Felde ab durch die Beziehung

T=X 4

Mb — Ma

Fig. 20.

b (siehe Fig. 20), wo X die Querkraft des einfachen Balkens a b, Mb und Ma die Stützenmomente des konti-

nuierlichen Trägers bedeuten. Für den Träger auf 3 Stützen mit gleichen Feldweiten gilt für einen

Querschnitt des 1. Feldes

Mb = Mlt Ma — M₀ = 0,

so daß

t=x + m₇

Die Einflußlinie entsteht somit durch Äddition der Ordinaten der SLEin-flußlinie und der —r - Einflußkurve.

1. Verlauf der Einflußlinie im 1. Felde.

Befindet sich eine Last P im 1. Felde, so erzeugt sie in einem Querschnitte dieses Feldes, das als frei aufliegender Träger betrachtet wird, die Querkraft X, deren Einflußlinie aus 2 bekannten Geraden besteht.

Es ist P(l-x)

oc

x=

\[/

/OLq

für Lasten rechts von /x l,

yU l

a₀ .

- für Lasten links

Fig. 21.

von [x l (siehe Fig. 21), und für P= 1 unter Be-

nutzung der Gleichung (1) die Gleichung der Einflußlinie

links von iil

x³ — 5 t² x

4/³

y=

4 P — 5 l² x -F jc³

y=

a) Linker Äst der Kurve. Es gilt hier die Gleichung:

4/3

redits von fi /.

(16).

xz — 51² x

y=—rp—

Den Höchstwert erreicht y bei x = tu l

jU³ — 5 u

ym in —

(17),

wir schrieben ymin, da der Wert negativ ist und die Gleichung nur negative Werte liefert; es ist nämlich

0£fx<\

und für ein positives y muß

d. i.

. fx² 3 — 5 [x 0 jU ^ + V⁵»

was keinen statischen Wert hat. Für fi — 1 ist das größte

.Vmin —    1

d. i. die größte Ordinate der negativ genommenen A-rEinflußlinie. ß) Rechter Äst der Kurve.

Die Gleichung lautet

(12).

war, da

Es ist dies die Gleichung der A₀~Einflußlinie, was auch zu erwarten

-t'p

T=A„

und da sich die Kraft P= 1 hinter fil befindet,

T— A₀.

Der größte Wert

ymax für x = fi l

tus — 5 /u -f- 4

J^max

(18).

Im Querschnitt fil besitzt somit die Einflußlinie 2 Ordinaten, von denen der Wert (18) einem unendlich nahen Querschnitte rechts und der Wert (17) einem unendlich nahen Querschnitte links angehört.

Es ist weiter durch Vergleich von (17) und (18)

_Vmax ~f~ ( ymin) ⁼⁼ 1 i

wie beim freiaufliegenden Träger.

Für den Querschnitt fi — 0 kommen wir zu

j^max ⁼⁼ 1 i

der größten Ordinate der j4₀⁻Einflußlinie.

oe

yOLtl

Es ist schließlich der ganze Verlauf dieser Kurve aus Fig. 23 ersichtlich. Äus dieser Einflußlinie ergeben sich sodann die beigefügten Belastungsschemen.

r!\

I -f

■-

T-oyiu, fy

>/

l/YT

VXt,

Ml

ma\c T mix T

Fig. 23.

Handelt es sidi um einen Querschnitt [il des 2. Feldes, dann genügt es, den symmetrisch gelegenen Querschnitt des 1. Feldes zu betrachten und das

H VT

AL l

TT

?+

Int

■a*\

max T mir,, T

Fig. 24.

Spiegelbild seiner Querkraft-Einflußlinie und Belastungsschemen anzuwenden, wobei jedoch die Vorzeichen verwechselt werden müssen nach dem in Fig. 24 veranschaulichten Schema.

Gleichmäßig verteilte Last.

M-,,

+ E,

E. Der horizontal eingespannte Träger.

F,

WYEZIALY FOLITECHNICZNE KRAKOW

¹

Die Anwendbarkeit der Resultate, die auf Berechnung mit konstantem EJ{E = Elastizitätskoeffizient, J— Trägheitsmoment) beruhen, wurden in vielen Artikeln, besonders in „Beton und Eisen“ erörtert. Speziell für kontinuierliche Träger siehe u. a.: Prof. Max Foerster: „Das Material und die statische Berechnung der Eisenbetonbauten, Leipzig 1907.“

Lederer, Einflußlinien.

²

Verlauf der Kurve im 2. Felde.

Befindet sich die Last P= 1 im 2. Felde, so erzeugt sie im Querschnitte fil des als freiaufliegend betrachteten Feldes a^ä1} die Querkraft £ = 0,

Rx

³

/OLg

Fig. 22.

T=^j- = Aq.

Wir kommen somit zur Kurve (13).

Gleichmäßig verteilte Last.

Für die Berechnung der Momente und Querkräfte bei gleichmäßig verteilter Last dienen die Winklerschen Tabellen. Wir wollen jedoch einheitlich mit vorausgegangenem uns auch hier damit befassen.

Än Stelle der Einflußlinienordinaten tritt nun die Einflußfläche, das ist die zwischen Einflußlinie und M-Ächse gelegene Fläche.

x₂

Ist F irgendeine Belastungsfläche, J eine Einflußlinie, dann ist M=fpdx-y

Xi

(Fig. 25); wir nehmen allgemein p als variabel, also keine gleichmäßig verteilte Last.

Graphisch können wir dann M bestimmen, wenn auch p rechnerisch als Funktion von x nicht gegeben ist. Wir betrachten p • dx als Kräfte und es ist dann M das statische Moment der Kräftep • dx, in Entfernungen y angreifend, zur M-Ächse.

dx

Wollen wir nun M rechnerisch bestimmen, muß

P=f W

gegeben sein.

Dann ist

M=ff{x)y- dx

±.

Xi

Fig. 25.

und nachdem aus der Gleichung der Einflußlinie y = <p{x)

ist, f{x)y = F{x) wieder irgendeine Funktion von x, so daß schließlich

Xi

Ist nun p Last, dann ist

konst., d. h. handelt es sich um eine gleichförmig verteilte

x₂

M=p fydx,

Xi

X,

wobei ydx ein Element der Einflußfläche und f daher die Einflußfläche in den

Xi

betreffenden Grenzen bedeutet.

Es ist nun das Verfahren mit Einflußlinien auch hier sehr einfach und wird besonders bei ungleichmäßig verteilter zusammenhängender Last (z. B. Dreieckbelastung) unumgänglich sein.

Für gleichförmig verteilte Belastung werden oft graphisch die Kurven der maximalen und minimalen Biegungsmomente, sowie der maximalen und minimalen

Querkräfte bestimmt. Wir wollen in unserem Falle auch zu diesen Linien analytisch gelangen, wodurch dann ihre Aufzeichnung besonders einfach sich gestalten wird.

Die Werte der maximalen Biegungsmomente.

Befindet sich ein Querschnitt im 1. Felde, so hat seine Einflußlinie, falls er zwischen 0 und £>i(| /) liegt, den in Fig. 26 angegebenen Verlauf.

Um maxM zu erzielen, belasten wir somit das l.Feld voll. Nun ist

i

ma xM = p fydx. o

i

Die Fläche fydx besteht o

xd

*+/5 L

aus 2 Teilen: von 0 bis (il ist als obere Begrenzung der linke Äst der Einflußlinie, von [il bis l der rechte Äst der Einflußlinie, somit mit Hilfe der Formeln (4) und (8)

fj-i

p dx

/T =

Fig. 26.

J* 3

4 p*

dx

und nach Durchführung der Integration

max    pl~    fx -— ^jj

(19).

0,8 erhalten wir die Werte der

Durch Einsetzen .« = 0,1, 0,2 Winklerschen Tabellen.

Größtes Maximum.

Die Gleichung (19) gibt als max M-Kurve zwischen a₀ und q± eine quadratische Parabel an. Das größte Maximum oder maximum maximorum M erhalten wir bei

d max M

= 0.

Es ist hier maxiW als abhängig Variable der unabhängig Variablen fi aufgefaßt. Äus (19) ergibt sich durch Differentiierung

0 = pp —

P ⁼ tV

Xmax max Af = TV /

somit

(20)

und

max max M=    pl~

(21).

Befindet sich jedoch der Querschnitt fil zwischen (| /) und Ö! (/), dann liefert der linke Äst der Einfluß-

F%

a„

linie eine Belastungsscheide, deren Lage durch Gleichung (5) gegeben ist.

■yl

Nennen wir ihre Ent-

fernung von

xi L

a₀

vl,

:m<xx A

dann ist

/t

21

Fig. 27.

Um nun maxM zu erzielen, belasten wir nach Fig. 27. Es ist dann

fi =

(1 — x) + 4rp X*J dx = /²    — V²)

5/x

weiter ist wie vor

z. B.

Nun ist

max Af=/? (Fx -|- F₂) fi = 0,9,

dann ist

Fi = /² (0,81 — 0,555) ^0,5 — 0,5625 -f (0,81 + 0,555) J

F₂ = P • 0,225 [1,75 — 3,6 + 2,025 — 0,164025]

und

Fx -j- F₂ = 0,00611 /²,

welchen Wert wir auch in den erwähnten Tabellen finden. Für fi = l ist v — 1, M = M₁ = 0, es kann Afa nicht positiv werden, wie wir bereits früher schon sahen.

Die Werte der minimalen Biegungsmomente.

Befindet sich der Querschnitt fil zwischen a₀ und ^l7 so belasten wir, um minAf zu erzielen, das Feld voll (Fig. 28].

Es ist dann mit Hilfe von (1 a)

x/2) dx¹

(22).

das Vorzeichen +, da

und

dx¹ — — dx ™aMm~—P!W '

Fig. 28.

l-

so daß

/lg"

ft

■Ob/\

4/st

^ = “16 und F<z unter Zuhilfenahme von (4)

■mi ix M

F,

/[*(

0

dx

Gleichung (22) ist die Gleichung einer Geraden, wie sich auch bekanntlich die min M - Kurve zwischen a₀ und (>! ergibt.

Befindet sich jedoch der

Querschnitt zwischen und ax, so müssen wir nebst dem Felde

noch im

ßi a-2

1. Felde von a₀ bis zur Belastungssdieide belasten. (Fig. 29.)

Es ist nun

min M—p [Fx + F»). Fx ist wie vor

Für fi⁼⁼ 1 ist r=l, und ist Fy = — ^,

min M = max (—■    = —

p l-

(24),

ein bekannter Wert.

-H

Hg

ft

Hx

JU l

'•nin N

Fig. 29.

Moment bei gleichmäßig verteilter Last über den ganzen Träger.

Äuch für diese gleichförmige Belastung finden wir Werte in Tabellen, bei ungleichmäßiger Verteilung der zusammenhängenden Belastung kann wieder, wie bereits angeführt, vorgegangen werden. Es sind die Flächenintegrale über beide Felder zu erstrecken, dann gibt es keinen Unterschied in der Lage der Querschnitte.

(Fig. 30.)

Es ist

Ml

F,=

dx

Ml

Fä =

x¹²) dx¹

so daß

(25).

Setzen wir anstatt

£.....P-

dann ist

AP =

Pl~ [f

= maxMp

-f - min M⁷,

Ei

was auch sein muß, da sich die beiden Belastungsschemen ergänzen.

Durch Einsetzen /u = 1

Mf = —

(26)

im Einklänge mit (24), da auch dort voll belastet war.

Formel (25) liefert uns wieder die Werte der Tabellen und gibt als Ms-Kurve eine quadratische Parabel an.

a„

f₃

Ai

Fig. 30.

Für Mg = 0 erhalten wir aus (25) beim linken Äuflager und bei ll Wendepunkte der Biegelinie.

Für A = i resultiert

ma xMg = TUgl².

Werte der maximalen Querkräfte.

Um max Tzu erzielen, belasten wir wie in Fig. 31 angedeutet.

”1"

F,

Es ist nun

XX/Q

Af

Ai

max T=p Fx

max

Fig. 31.

{Fy ist ausgedrückt in Längenmetern, da die Ordinaten Zahlen sind; somit ist max T= m X kg/m = kg).

wie sich auch aus (15) mittelst Integration ergibt. Für [i = 0

(31).

Für [i = 1

(29).

min Tp =

10 ,

— je /?/ = —max

~2 ¹

so daß

(30),

miy. T

Fig. 32.

Unter Benutzung der Gleichung (12)

4 /³ — 5 /-x + x³

K-r~.

4/3

dx

[XI

und somit

max Tp =

f***-£J

max r= 0.

Für fi= 1

Für [i = 0

wie auch aus (12) zu berechnen ist.

Gleichung (27) gibt als max T- Kurve eine biquadratische Parabel an.

max T

j₆pl= maxAp₀

(28),

Werte der minimalen Querkräfte.

Um min T zu erzielen, belasten wir nach Fig. 32.

min Tp = p (Fi 4- F₂) und mit Hilfe der Gleichungen (16) und (13)

x³ — 5 l- x

[M

/b =

Fi

Fi

■____

J 4P 0

: + 4

dx

x'²) dx‘,

wo x¹ = l—x, dx' = —dx

und somit nach Durchführung der Integration

min TP=j^[[ii 10 [i*— 1]

min Al =-'{₆

Gleichung (29) gibt wieder eine biquadratische Parabel an und liefert ihre Ordinaten.

Querkräfte bei gleichmäßig verteilter Last über den ganzen Träger. Mit Bezeichnung der Flächen aus Fig. 33 ist

Tg=g{F₁ + F<iJ\-F.i)

Ts = g

IJ

0

4/3

dx

+j ~—x +    *' (l² — x'²) dx']

T‘ = g~[3~ 8H

(32).

A⁸

igl ....... (33),

wie wir auch aus (12) bestimmen können. Für /-i = 1

A⁸

Ts = ~i=-igl A‘, =igl.......

wie man auch aus (15) berechnen kann.

Gleichung (32) gibt als 7^-Linie eine Gerade an, welche die X-Ächse bei f/ schneidet, wo dann auch max# eintritt.

Es ist weiter A%+ A‘ + A*=2gl,

wie audh die Gleichgewichtsbedingung der senkrechten Kräfte erfordert.

Handelt es sich um einen Querschnitt des 2. Feldes, genügt es, den symmetrisch gelegenen Querschnitt des 1. Feldes zu betrachten und nach dem bereits erwähnten Grundsätze, verschieden, je nachdem, ob es sich um ein Moment oder um eine Querkraft handelt, vorzugehen.

(34),

F%+

JOi₀

Ja

Lt l

TV

Fig. 33.

B.

Der kontinuierliche Träger mit 2 ungleichen

Feldern.

Wir g^hen wieder von der Clapeyronschen Gleichung aus, wie sie weiter oben angeführt wurde.

In unserem Falle ist einzusetzen:

Mr -1 = M₀ = Mr+ 1 = M, = 0 Mr = Mx

4=4,

Führen wir ein

t*-.

4 = ^/ 4 = A₂ l i

dann lautet die Gleichung:

Fig. 34.

2 Mj l (Aj + A₂) -f-+

HS

= 0.

914 = 0

Befindet sich die Last im 1. Felde, dann ist wieder 9ti __ pP (4¹ — P) ihl + P)

und somit

A4.

Befindet sidi die Last im 2. Felde, dann ist 9^ = 0

014

Pp 0, l — P) (2 Kl—P)

und hierauf

- Pp (2 A| /*- 3 L //? +/?-)

Setzen wir nun die Last P = 1, und p = x als veränderlich, dann kommen wir zur Gleichung der Einflußlinie des Stützenmomentes A4

(2) im 2. Felde.

y=

(1) im 1. Felde.

— x (2 1% l- - 3 L Ix + x²)

Durch Einsetzen lx—'k^ = \ kämen wir zur Formel (1) des Trägers mit gleichen Feldern.

Äus den Formeln (1), (2), die wieder kubische Parabeln angeben, können wir, ähnlich wie früher vorgehend, die Einflußlinien sämtlicher Werte ableiten. Es wird sich aber empfehlen, dies erst im speziellen Falle, wo , K durch bequeme Zahlen ausgedrückt werden, zu tun.

c.

Der kontinuierliche Träger mit 3 gleichen Öffnungen.

Unter denselben Voraussetzungen, wie beim Träger auf 3 Stützen, schreiben wir auch hier die Clapeyronsche Gleichung auf.

Der Träger ist zweifach statisch unbestimmt und es läßt

A»

Fig. 35.

+ + 0

+    TWsZ-f

di.

sich dieDreimomentengleichung zweimal aufschreiben.

ora

= 0.

Nachdem infolge der Auflagerung M₀ — M:i = 0, folgt HMJ + M,l + ^ + ^ = 0    (a)

M₁/ + 4MJ + ~? + ^ = 0    (b)

Ist eine Last im 1. Felde, dann ist dfl₁_Ppp‘ (/ + /?)

9T:₂ = 9t'₂ = 3T,₃ = 0

und die Gleichungen (a) (b) lauten (a')    +

(b)    +

Ppp'M+p) _ Q

= 0.

Aus (b')

und durch Einsetzen dieses Wertes in (a')

Mi

4 PPP¹ {l+P)

15 P

, M,=

i PPP'V+P) 15 P

Für die Last P== 1, p = x, p‘ = l — x als variabel, ist dann die Gleichung der Einflußlinien der Stützenmomente im 1. Felde

y—

4 x (/- — x-)

15 P

(1) die Einflußlinie des Momentes M

y=4

x (/- — x-)

15/-

(2) die Einflußlinie des Momentes M,.

Befindet sich eine Last im 2. Felde, so ist 9T, = 9t'3 = 0 91, =Ppp‘{l+p) dl¹, = Ppp¹ (/ + /?') und somit lauten dann die Gleichungen (a), (b) (a")

Ppp‘(l + P‘) Q

(b") M₁/ + 4M₂/ +

Ppp¹ (l+P)

= 0,

woraus wieder durch Auflösungen der Gleichungen (a"), (b")

(7/-5p)

— Ppp¹

15 /²

M₂

PPP'

15 /²

(21 4- 5 p)

und für

P= 1, p = xy p‘ = l—x,

die Gleichungen der Einflußlinien der Stützenmomente im 2. Felde. Für Mx

y=

15/'-

(7 /²x — 12 Ix2, —J— 5 x³)

(3).

Für Afa

15 /-

(7 r-x¹— 12/jc,2 + 5x'³)

(4).

Es ist im 2. Felde die AL-Einflußlinie das Spiegelbild der Mi-Einflußlinie, ebenso wird im 3. Felde die Af,-Einflußlinie das Spiegelbild der Afj-Einflußlinie im 1. Felde sein, somit die Gleichung

4 x' (Z² — x'²)

15 P

(6)

haben und die Alt-Einflußlinie hier das Spiegelbild der Af₂-Einflußlinie im 1. Felde sein, somit die Gleichung

> =

+ x' {P — x'²)

151-

15 P

(2 Px — 3lx* + x³)

(15)

besitzen.

Es genügt somit nach vorausgegangenem, nur die Gleichungen und den Verlauf der Alt-Einflußlinie zu bestimmen, da die Af₂-Einflußlinie ein Spiegelbild der ersteren ist.

Einflußlinie des Stützenmomentes Mt.

Wir gelangten zu den Formeln (1), (3), (5); nun wollen wir uns näher mit ihnen befassen.

1. Verlauf der Einflußlinie im 1. Felde. T~5PX^ X

y—

(1).

Die Gleichung (1) gibt wieder eine kubische Parabel an.

a) Belastungsscheiden. Die Bedingung ist

aus (1)

x = Hz / •

0 <x£l, x(/² — x²)^0.

Es ist somit das ganze 1. Feld negativ beitragend zum Stützenmomente

Weiter ist für

b) Maximum.

dy

dx

x = 0,

Xmax y —

(7)

ma xy =

45|/~ 3

(8).

2. Verlauf der Einflußlinie im 2. Felde.

y⁼~~wp^⁷ /2 x

12/x² + 5x³)........(3).

a) Belastungsscheiden.

Der Bedingung y — 0 entsprechen aus (3) die Wurzeln x = 0, x = l und ohne statische Bedeutung x=\l.

Nachdem

x (x — /) (x — f /) > 0 ist, ist auch das ganze 2. Feld zum Stützenmomente M₁ negativ beitragend, b) Maximum.

dy

dx

~ TöV (7 /2 — ²^/x-rl5x²) = (⁾.

Statischen Wert hat die Wurzel

Xmax y —~ 0,38367 /

(9)

und

maxy

0,080112/

(10).

c) Wendepunkt.

d-y_

woraus

15 i-i (— 24 / -f- 30 x),

• • • • (11), yt = 0,032/.

Es ist hier Mx = -f*

Viy.>

3. Verlauf der Einflußlinie im 3. Felde.

und die M₂-Einflußlinie ist da das Spiegelbild von Mx im 1. Felde, somit gibt es für M₂ nur negative Werte, und für M\ nur positive; es ist das ganze 3. Feld positiv beitragend zum Stützenmomente Mv

Die Gleichung lautet:

y = JTY^¥ (²l*x~3/x²+x³)

F/il

lIV3

onoiy. y

0,38 ^-L

ma TL (-

Es ist

(5).

ma xy

—²—l 45VJ

(12)

bei

x ' = /—

x = —7=

1/3

(12 a).

Der ganze Verlauf der Einflußlinie für gestaltet sich wie aus Fig. 36 ersichtlich.

!•

Äus der Einflußlinie ergeben sich auch ohne weiteres die Belastungsschemen. Die Einflußlinie für M₂ und auch die Belastungsschemen sind, wie schon angeführt wurde, Spiegelbilder derer von M

Einflußlinie des Biegungsmomentes im beliebigen Querschnitte fi l

des 1. Feldes.

Wie beim Träger auf 3 Stützen angeführt wurde, ist das Biegungsmoment in einem Querschnitte des kontinuierlichen Trägers Mba -f- Mab

Mo

wo 97t das Biegungsmoment a in demselben Querschnitte des betreffenden Feldes ist, wenn dieses Feld als einfacher Bal-

; ul*A

Fig. 37.

m₃

ken aufgefaßt wird.

Mb ist das rechte, Ma das linke Stützenmoment des Feldes ab. (Siehe

Fig. 37.)

In unserem Falle ist Mb = M±, Ma = M₀ = 0, a = fil. Somit ist weiter

(13).

M = ⁽2R + i.lM₁

Es entsteht die Einflußlinie durch Äddition der Ordinaten der 971-Einfluß-linie und der /üfachen Werte der Mi-Einflußlinie.

1. Verlauf der Kurve im 1. Felde.

(b)    9Tt

fi l

Befindet sich die Last P im 1. Felde, so erzeugt sie im Querschnitte fi l des einfachen Trägers h₀al das Moment P{l-x)

wenn sie sich rechts von fil befindet.

(a) 97t

Px

(1 — fi)l

XA,/\

fr 3

Fig. 38.

wenn sie sich links von fi l befindet. (Siehe Fig. 38.)

Somit besteht wieder die Einflußlinie aus 2 Ästen, die wir unter Zuhilfenahme der Formel (1) für die Mi-Einflußlinie bestimmen.

a) Linker Äst.

Durch Äddition der Werte aus (a), wobei P— 1 gesetzt wird, und aus (1) bekommen wir die Gleichung

(15 — 19 u) l-x

151-

Untersuchen wir wieder diese Gleichung nach statisch wichtigen Vierten.

a) Belastungscheiden. Bedingung aus (14) ist eine Wurzel xt = 0, sodann

y=o

Statischen Wert hat nur eine positive und reale Wurzel; damit (15) keinen imaginären Wert liefert, muß

15

Die letzte Ungleichheit drückt nun folgendes aus: Befindet sich ein Querschnitt zwischen 0 und \%l des 1. Feldes, so trägt das ganze 1. Feld zu seinem Moment positiv bei, befindet sich jedoch der Querschnitt zwischen -ff / und /. dann besteht eine Belastungsscheide, deren Lage durch Formel (15) gegeben wird. Die Grenze zwischen diesen beiden Querschnittsgattungen bildet der rechte Festpunkt des 1. Feldes, dessen Lage wir somit zu {'%l festgestellt haben.

Maximum.

Die Bedingung des mathematischen Maximums oder Minimums ist

dy

dyy _ 12 ^x²-}-(15—19P _

15/-

(16).

Das mathematische Maximum (die negative Wurzel) hat hier keine statische Bedeutung, es entsteht ymax im Querschnitte selbst, d. i. im Schnittpunkte beider Kurvenäste.

Für

x = fl l

ym ax ⁼ 1~5    ^    19 fl -j- 15)

(17).

Ist jedoch fi ß> -ff, dann liefert (16) ein mathematisches Minimum, die größte negative Ordinate des unter der M-Achse verlaufenden Teiles der Einflußlinie.

^min y —

19 ^ — 15    .

V 12,u ¹

(16).

Beim betreffenden Querschnitt in den Tabellen ist auch diese minimale Ordinate angegeben.

ß) Rechter Äst der Einflußlinie im 1. Felde.

Unter Zuhilfenahme der Werte aus (b) und (1) erhalten wir die Gleichung einer kubischen Parabel.

y=

H/ux³ — 19,m/²x+15,m/³

15P

(18).

a) Belastungsscheiden.

T = 0.

Nachdem eine Wurzel aus (18) x = l, bekommen wir durch Division mit (x — /)

0 = 4Jux²-|-4lu/;c — 15/x/².

Diese Gleichung liefert keinen statischen Wert, somit keine Belastungs

scheide.

Wir gelangen nur aus der Gleichung des linken Ästes zur Lage des rechten Festpunktes, der linke Festpunkt fällt mit dem linken Stützpunkt zusammen.

Maximum.

ymax ist bereits bestimmt durch Formel (18).

Die Kurven schneiden sich bei x = y = ymaXl was wir ähnlich wie beim Träger auf 3 Stützen nachweisen können.

2. Verlauf der Einflußlinie im 2. Felde.

Befindet sich eine Last P im 2. Felde (Fig. 39), so erzeugt sie im Querschnitte [il des freiaufliegenden Trägers das Moment 9Tt = 0.

Gleichung (13) lautet sodann M=fi M

somit unter Benutzung der a Formel (3)

y=-T!^{TPx-\2lx°--\-5x")

Diese Kurve entsteht aus der Afi-Einflußlinie im 2. Felde durch Multiplikation der Ordinatenwerte mit n; es ist somit

maxy = — /n • 0,080112/

(19).

"x*7

'*ä.

Fig. 39.

(20)

bei

x = 0,38367/ (9).

Das ganze 2. Feld ist, da für Mlt also auch = für das Moment M negativ beitragend.

In Xi — il besitzt die Kurve einen Wendepunkt, dessen Ordinate

yi = 0,032 fxl ist.

3. Verlauf der Einflußlinie im 3. Felde.

Auch hier gilt

da

M — [iM

9H = 0.

(Fig. 40.)

Da M₁ im 3. Felde nur positive Beiträge besitzt, ist auch für das Moment M das ganze 3. Feld positiv beitragend.

Die Gleichung der Einflußlinie unter Zuhilfenahme der Formel (5) lautet:

(21).

y = Yg y- ^    —3 ix' X¹)

bei

Es ist

maxy

x'~l —

2 /u

45/3

(22)

(12 a).

x — -^

/3

Der ganze Verlauf der Einflußlinie des Biegungsmomentes eines Querschnittes im 1. Felde ist nun folgender:

--

.(XOC'IL

£

Ci

■fc

fixw

■mot-x M

-min M

Fig. 41.

a) Befindet sich der Querschnitt zwischen a₀ und (yf /), dann ist das «rste Feld positiv beitragend und es ergeben sich die in Fig. 41 angeführten

Belastungsschemen für

max

min

M.

4/5 l

l/vs

"maxtj

ul

/m/xoc M

min M

b) Befindet sich jedoch der Querschnitt zwischen und ax, dann liefert Gleichung (15) eine Belastungsscheide und es ändern sich unter Berücksichtigung der positiven und negativen Einflußflächen audi die Belastungsschemen (Fig. 42).

Gefährlicher Querschnitt des 1. Feldes.

Äls gefährlichen Querschnitt bezeichnen wir wieder den des positiven Maximums aus bereits erwähnten Gründen. Die maximale Ordinate der Einflußlinie liefert uns Gleichung (17)

Tmax—(4;U.³ — 19 fl~\~ 15)

(17).

Der geometrische Ort der Kurvenspitzen ist eine biquadratische Parabel. Suchen wir nun das Maximum dieser j/max-Werte, dann muß dymax

dtu

dymax

[i —j- 1) — 0,

somit

16 in³ — 38 ^ + 15 = 0.

Durch Auflösung dieser kubischen Gleichung gelangen wir zum Werte /^max J^max ⁼⁼⁼ 0,4277 /

(23)

und

max>w = 0,205/

(24).

0,4277 / ist der gefährliche Querschnitt für eine bewegliche Einzellast.

Emflußlime des Biegungsmomentes im beliebigen Querschnitte fi/

des 2. Feldes.

Die Beziehung

M=0Tt-|

M a -f- Ma b

läßt sich hier ausdrücken, wenn wir Ma = M setzen (Fig. 43).

M=VR-f- M,fi

Mb = M.

a = (il, b = ( 1 —/() /

Mx (1 —tA

(25).    **

£ Mi

Die Einflußlinie der M~

Werte entsteht somit durch Addition von 3 Ordinaten, nämlidi der 9It-Einflußlinienordinaten, der p fachen Mo-Einflußlinienordinaten und der (1 -—^t) fachen Mi-Einflußlinienordinaten.

Fig. 43.

1. Verlauf der Kurve im 1. Felde.

Befindet sich eine Last P im 1. Felde (Fig. 44), so erzeugt sie in fil des einfachen Trägers das Moment

DTt = 0.

Aus (25) ist dann M — M-2 -j- Mx (1 — ß).

a.1

Ui

-fl! i

M

Weiter ist bekanntlich im 1. Felde M» = —    . so daß

M=M₁(. l--£)

und folglich mit Hilfe der Gleichung der Einflußlinie für im 1. Felde (1), die Einflußlinie für M im 1. Felde durch die Gleichung

x (/² — x²)

5/j, — 4

\5V-

(26)

gegeben ist.

a) Belastungsscheiden. Bedingung: aus (26) muß für

y = 0 y = 0 x = 0 oder x = /

sein, somit verläuft zwischen a₀ und ax die Einflußlinie auf einer Seite der X-Ächse, so daß entweder das ganze 1. Feld positiv oder negativ zum Biegungsmomente M eines Querschnittes ft/ des 2. Feldes beiträgt.

Es wird somit auch einen Querschnitt geben, in dem eine beliebige Belastung des 1. Feldes das Moment M = 0 erzeugt; bekanntlich ist dies der rechte Festpunkt des 2. Feldes.

Die Bedingung für den Festpunkt ist somit

^[/²x —x³] = 0,

wobei nun aber x weder 0 noch / ist; daraus folgt dann, daß

5 ^ — 4 = 0

f* = i-

Somit haben wir die Lage des rechten Festpunktes des 2. Feldes zu i l ermittelt. Wir werden zu derselben Lage mit Hilfe der Einflußlinie bezw. ihres

linken Ästes im 2. Felde gelangen müssen. Ist nun ft<Ci, dann liefert (26) nur negative Werte, das 1. Feld trägt negativ bei; ist ft>|, dann liefert (26) nur positive Werte, das ganze 1. Feld trägt positiv bei zum Momente M im Querschnitte ft/ des 2. Feldes.

Es besteht somit der Einfluß des 1. Feldes auf

von^l-l

von 0- y-/5l

HVT

für H-Is l

Fig. 45.

das Biegungsmoment der Querschnitte des 2. Feldes aus einer Schar von Kurven, die sich zueinander so

verhalten, wie die Projektionen der TkL-Einflußkurve auf Ebenen, deren Winkel mit der Einflußkurvenebene elt e₂ • * ' sind. Hierbei ist cose = (l—{ ft) (Fig. 45).

ist

Für den Querschnitt

COS £ = 0 ,

e = 90 ⁰.

Somit degeneriert sich die Kurve zu einer horizontalen Geraden. Wird fi>$,

geht die Kurve auf die positive Seite der M-Ächse über und es ist das ganze 1. Feld zum Momente M positiv beitragend.

Den Höchstwert erreichen die Kurvenordinaten bei fx — 1, cos£ = — F,

M

somit M =--y⁼⁼M₂, was auch sein muß, da ,u

b) Maximum.

Dies wird dort eintreten, wo Af,-Maximum ist; das ist bekanntlich bei , wie auch aus dem 1. Differentialquotienten der Gleichung (26) folgert.

5a~J 2 15 ~ 5 V 3

/3

Es ist

maxy =

1 den Stützpunkt a₂ bedeutet.

l........(27).

Nach (25)

Es ist nun wieder P(l-x)

2. Verlauf der Einflußlinie im 2. Felde. M = 3CTt -f- Mn fx —j-    (1 — /x).

fX l

für Lasten rechts von ul. und

xx₀

(1 —(a)1

DTt =

Px

\1/

\l/

a₄ jll l Fig. 46.

/Äj,

für Lasten links von ixl (Fig. 46).

Die Einflußlinie für ist gegeben durch (3),

M

V    r>    rt 1 ,M2 v

Die Einflußlinie für DTi bekommen wir durch Einsetzen

(4).

P= 1

in die Ausdrücke für 91t; hierauf sind die Werte nach (25) zu addieren. Es besteht somit die Einflußlinie im 2. Felde wieder aus 2 Ästen.

a) Linker Äst der Einflußlinie im 2. Felde. Die Gleichung lautet

(8 - 10 ,u) l'²x -F (12 — 15 fl) Ix- + 5(2,» — 1)

151-

(28).

a) Belastungsscheiden.

Bedingung

Eine Wurzel aus (28), wenn /x = 0, ist x = 0. Die Lage der Belastungsscheide

y = o.

\5u — 12 -f- f625 ,u- — 88Ö ,u -f 504

10 (2 ,u — 1)

(29).

Die Gleichung (29) liefert eine reale Wurzel, wenn /x^> -f /. Wir kommen somit wieder zur Lage des Festpunktes, die wir schon aus dem Verlaufe der Einflußlinie im 1. Feld bestimmt hatten.

rechten Äst.

b) Maximum.

Die maximale positive Ordinate ist bei x

/xl im Schnittpunkte mit dem

Pmax

8    2 u'² — 20 u³ -(- 10,u⁴

15

(30).

Die Bedingung des mathematischen Maximums resp. Minimums lautet:

= 0

dy

dx

(8 — 10ju) P-\-2 (12 — 15^) lx-\-\5{2 fi— l)x² —0

woraus

2(15 fl — 12) -f V980 fd — 1544,a + 608

30 {2 ix— 1)

(30 a).

Ist fi^>i, dann verläuft ein Teil der Einflußlinie unterhalb der M-Ächse und Gleichung (30 a) liefert den Querschnitt des mathematischen Minimums. In den Tabellen sind bei den betreffenden Querschnitten auch die minimalen Ordi-naten angegeben.

c) Wendepunkt.

Für fiß> i hat der linke Äst einen Wendepunkt bei

Xi

4 — 5 fi

5 —10 u

• /.

ß) Rechter Äst der Einflußlinie im 2. Felde.

Äus (25) mit Hilfe von (3), (4) und (25) resultiert die Gleichung

y=

\5 uls — (10 fi -f- 7) l-x — (15 ,u — 12) lx°- + 5 (2 fx — 1) x³

15 l-

(31).

a) Die Belastungsscheiden ergeben sich wieder für y — 0. Äus (31) mit y = 0 ist 1. xx = l und nadi Division durch (x — /)

5x²(2|U — l) + (7 — 5 fi) lx—\5fil- = 0.

Diese Gleichung liefert Werte, welche denen aus (29) symmetrisch entsprechen. Reale Werte sind bei x<Cil d. i. der linke Festpunkt des 2. Feldes, wie wir bereits aus der Symmetrie schließen konnten. Wir gelangen zur Lage dieses Festpunktes auch aus dem Verlaufe der Einflußlinie im 3. Felde, wo

M=M,

M = 0.

5fx — 1

und für fi = }

Wir brauchen jedoch den weiteren Verlauf der Kurve im 3. Felde nicht zu untersuchen; der Einfluß des 3. Feldes besteht aus einer Kurvenschar, die das Spiegelbild jener des 1. Feldes ist.

b) Maximum.

Gleichung (31) liefert wieder für x — fil

wie in (30).

dann gibt es ein mathematisches Minimum; um dessen Lage festzustellen, genügt es, aus Gleichung (30a) für den Querschnitt (1—fi) • • • Xmin y zu bestimmen und zu diesem Querschnitte den symmetrisch gelegenen zu nehmen, die Ordinate ist dieselbe wie bei (1—fi]l zwischen qund a₂.

c) Wendepunkt.

Äuch hier können wir vom symmetrisch gelegenen Querschnitte ausgehen und zu dessen Wendepunkt wird der gesuchte nach der Trägermitte symmetrisch sein.

Ist fl

7> i

ymax

3. Verlauf der Kurve im 3. Felde.

Es wurde bereits gesagt, daß man das Spiegelbild der Einflußlinie im 1. Felde des nach der Trägermitte zum Querschnitte [il symmetrischen Querschnittes nehmen kann; zur Vervollständigung werde jedoch die Gleichung auch selbständig angeführt.

y —--t5~F~ (— ^ l~x -j- 3 lx-

x³)

(32)

maxy

1 —5u    2

*5    5/3

(33),

bei x' =

Wenn wir nun alle Resultate zusammenfassen, dann sehen wir, daß die 2 Festpunkte das 2. Trägerfeld in 3 Teile einteilen.

a) Befindet sich ein Querschnitt zwischen den beiden Festpunkten, dann hat seine Einflußlinie den inFig. 47 angedeuteten Verlauf.

Das 2. Feld ist ganz positiv beitragend, das 1. und 3. Feld ist negativ beitragend.

Äus dieser Betrachtung ergeben sich dann die beigefügten Belastungsschemen.

Befindet sich der Querschnitt zwischen q.₂ und a₂, dann liefert die Gleichung (29) eine Belastungsscheide. Das 1. Feld ist ganz positiv beitragend, das 2. Feld von ü± bis zur Belastungsscheide negativ, von hier aus bis a2 positiv beitragend, das 3. Feld

ist ganz negativ beitragend. Äus dieser Erwägung ergeben sich wieder die

max min

beigefügten Belastungsschemen für

O'O

A,

Uv?

ul

.Ml

maoc M

min M

Fig. 47.

M. (Fig. 48.)

<?3

\J9.\

Ihß

i*L

•0-5,

A3

maoe M

min M

Befindet sich ein Querschnitt zwischen Z» und a₁, dann kann man das Spiegelbild der Einflußlinie des symmetrisch zwischen und a₂ gelegenen Querschnittes betrachten. Es seien der Übersicht halber auch hier die Einflußlinie und Belastungsschemen ohne weitere Erklärung beigefügt..

<«’

ljß_

max M min M

Fig. 49.

Für die Festpunkte schließlich ergeben sich die Bilder 50 und 51. Sämtliche Kurven sind kubische Parabeln mit Ausnahme der beiden Äste im 2. Felde des Querschnittes 0,5 / des 2. Feldes, welche quadratische Parabeln sind.

Linker Festpunkt h.

M-,,

t/y?

max M

min M

Rechter Festpunkt (?.₂.

im.

A’o

ÄL

rnux M

■min M

Fig. 51.

Gefährlidicr Querschnitt des 2. Feldes.

Unter gefährlichem Querschnitte verstehen wir wieder den Querschnitt des größten positiven Momentes aus bereits erwähnten Gründen.

Die maximale Ordinate der Influenzlinie eines Querschnittes befindet sich in diesem Querschnitte als Ordinate des Schnittpunktes beider Kurvenäste in diesem Felde. Sie ist durch die Gleichung (30) gegeben.

8 p -f 2    — 20 .uH-lOu⁴

y max

15

(30).

Die Gleichung (30) als Kurvengleichung aufgefaßt gibt als geometrischen eine biquadratisdie Parabel an. Wird fi als unabhängig Variable

Ort der y aufgefaßt, dann muß für

max

maxjw d y™* ₌ o

du    ’

somit durch Differenzierung von (30) woraus

(34)

(35).

^max Jmax —

und

max^max = i⁷ir/ = 0,175/

Einflußlinie des Biegungsmomentes eines Querschnittes fil im 3. Felde.

Die Einflußlinie ist das Spiegelbild der Einflußlinie des Querschnittes (1 —fi) l des 1. Feldes.

atr+i-f

EinfluBlinien der Stützenwiderstände.

Die Einflußlinien der Stützenwiderstände ermitteln wir ähnlich, wie dies beim Träger auf 3 Stützen geschah.

Wir hatten für 2 Felder eines beliebigen kontinuierlichen Trägers die

Beziehungen

Ar — — 7V+ Tr (Fig. 52.) Weiter war:

AL

tTr

jolt

T-A

' Q'T+'i

Tr = Z 4

Mr—Mr-i

Ir

Fig. 52.

= —»r +

Mr — Mr— 1

Ir

rr=s +

Mr + 1 —

/r+ 1

TWr -f i — TWr

und somit

4r=air+, + 35r +

TWr 4-1

Mr- 1

/r+ 1

Ir

lr+ 1

(I),

wo die Bedeutung der Bezeichnungen bereits früher angegeben wurde.

Einflußlinie des Äuflagerdruckes A₀.

Hierbei sind in (I) folgende Werte einzusetzen:

et«

JOL}

X,0

Mz = o

Fig. 53.

Ar = A 35r=0, 2tr+ 1 = 2C lr = lr-1-1 = /,

Mr = M₀ = 0,

Mr_i = 0. Mr + x = M1 (siehe Fig. 53),

so daß

TWi

(36).

Die A₀-Einflußlinie entsteht somit durch Äddition der SCx-Einflußlinien-ordinaten und der durch / dividierten Werte der Mj-Einflußlinienordinaten.

Verlauf der yl₀-Einflußlinie im 1. Felde.

Befindet sich eine Last P im 1. Felde, dann erzeugt sie im freiaufliegenden

Träger a₀ aL

l—x

(Fig. 54).

2t L = P

,a₃

OL/i

Fig. 54.

Die - Einflußlinie im 1. Felde liefert uns Gleichung (1), die 2tx-Einflußlinie bekommen wir durch Einsetzen P= 1.

Sodann ist die Gleichung der A₀~ Einflußlinie durch Einsetzen in (36)

4jc³ — 19/-X + 15/³

y=

15/³

(37).

Nachdem M₁ im 1. Felde negative Beiträge hat, wird i4₀<^2tlf es erleidet der Äuflagerdruck des einfachen Balkens infolge der Kontinuität eine Herabminderung. Gleichung (37) ist die Gleichung einer kubischen Parabel, die wir wieder untersuchen wollen.

a) Belastungsscheiden.

y = 0,

es muß x — l sein.

Die anderen Wurzeln sind ohne statische Bedeutung.

Somit trägt das ganze 1. Feld zum Äuflagerdruck A₀ positiv bei, da

(* — /) (x —2) (■* + ^2) ^^

für

0 <x</.

b) Maximum.

Den Höchstwert erreicht y bei x = 0

y max ⁼

(38).

Verlauf der A₀-Einflußlinie im 2. Felde.

Befindet sich eine Last P im 2. Felde (Fig. 55), so erzeugt sie im einfachen Balken

den Äuf-

a₀a!

lagerdruck 2t! = 0.

Es lautet dann die Glei-

Al

chung (36)

a-i

A =M±.

o l

Unter Benutzung der Gleichung (3), die uns die M±-Einflußlinie im 2. Felde angibt, folgt dann die Gleichung der Ä₀-Einflußlinie zu

Fig. 55.

y ⁼ ~“15l»(7 lx 12;x³ + 5xs)

(39).

Da die Mj-Einflußlinie im 2. Felde nur negative Ordinaten besitzt, wird das ganze 2. Feld auch für den Äuflagerdruck A₀ negativ beitragend sein.

Es ist weiter mit Rücksicht auf (10)

ma xy = — 0,080112

(40)

bei

Xtuax y —- 0,38367 /

(9)

und unter Berücksichtigung der Formel (11) hat die Einflußlinie einen Wendepunkt

wobei

bei

Xi = tl

(11),

yt = 0,032,

Verlauf der Ä₀-Einflußlinie im 3. Felde. Eine Last im 3. Felde (Fig. 56) erzeugt ebenfalls

2t₀ = 0,

so daß auch hier

A₀ —

— s;

ST

und unter Zuhilfenahme der Formel (5) kommen wir zur Gleichung der Einflußlinie

Oi%

OL

(2 r²x — 3lx²-\-xs)

(41).

Da die Afj-Einflußlinie im 3. Felde nur positive Ordinaten aufweist, ist auch das ganze 3. Feld für den Äuflagerdruck A₀ positiv beitragend.

Unter Berücksichtigung der Formel (12)

ma xy =

.....(42),

bei /

x = -= •

V5

Der Gesamtverlauf der i4₀-Einflußlinie ergibt sidi dann wie aus Fig. 57

ersichtlich.

Äus der Einflußlinie ergeben sich dann ohne weiteres die Belastungsmax min

Zu bemerken wäre noch, daß wie bei den Einflußlinien der Stützenwiderstände und Querkräfte des Trägers auf “xt₃ 3 Stützen, so auch hier die Ordinaten

Zahlen bedeuten, so ist dann z. B. im Maßstabe der Ordinaten 1=5 cm. die Kräfte in Gewichtsmaßen eingeführt werden, kg, t, erhalten wir auch A₀ in kg oder t. Handelt es sidi um eine zusammenhängende Belastung, dann ist der Inhalt der Einflußfläche fy dx, wobei x in m, y in Zahlen ist, somit /⁷=m, cm usw. und nachdem die Belastung /? = kg/m

Schemen für

Aq •

4-

0,3*41

>'•

A^

der

Einflußlinie

min- Ao

■maxfl₀

Fig. 57.

A₀ = m kg/m = kg.

Einflußlinie des Stiitzenwiderstandes AL.

Nachdem

In die allgemeine Formel (I) müssen wir nun folgende Werte einsetzen

(siehe Fig. 58):

Ar = A

Ra

23r=23

Ir

2Ir+l=2l

4 + 1 ⁼⁼ 11

Fig. 58.

Mr- 1 = Afo = 0 ,

Mr+ 1 = M.

Mr — M

so daß nun

>41 — 33i -j- 212 —f⁻

M, 2 M,

(43).

Es wären somit für einzelne Felder die 35x-, 2Io", flußlinien zu bestimmen und ihre Ordinaten zu addieren.

und

- Ein-

Die Af.₂- und Mi-Einflußlinien sind bereits bestimmt, somit auch die

2 Mjl

und

- Einflußlinien.

1. Verlauf der A±-Einflußlinie im 1. Felde.

Befindet sich die Last P im 1. Felde (Fig. 59), so erzeugt sie im einfachen Träger a₀ den Äuflagerdruck

»i =

Px

im einfachen Träger axa, • • •

2l, = 0,

Ni/

und da hier Af₂ = — ist schließlich

9 Afx

A₁ = Px 4/

Fig. 59.

Die Mt-Einflußlinie liefert Gleichung (1), weiter ist für die Einflußlinie P=l, somit die Gleichung der ^j-Einflußlinie

3 x³

8 / -jc

y 5 z³

m.

Die Gleichung (44) ist die einer kubischen Parabel, die wir ähnlich wie die anderen untersuchen.

a)    Belastungsscheiden.

Für

oder 8P — 3x² = 0, was aber keine statische Bedeutung hat.

b)    Maximum.

y — 0 muß x = 0

dy

5 Z³

0,

hieraus

Xmax y — Ti 2 l

(45)

und

32 V 2

maxy=-₄rg

(46).

y = i-

Für x — l ist

Nachdem im 1. Felde nur negative Beiträge hat, wird A± daselbst nur positive Beiträge haben, und zwar ist es gegen den Stützendruck des einfachen 9 M

Trägers um erhöht.

2. Verlauf der ^-Einflußlinie im 2. Felde.

Befindet sich eine Last P im 2. Felde (Fig. 60), dann erzeugt sie beim einfachen Balken den Widerstand 25j = 0, beim einfachen Träger den Stützenwiderstand P(l-x)

k-*- >

. \1/

M₀

A a,

OLy

Es lautet dann die umgeformte Gleichung (43)

P(l— x) , M₂ 2 Ml

fl«

Mi

und nach Einsetzen P= 1 und unter Benutzung von (3) und (4) die Gleichung der Einflußlinie

5x³ — 9 Ix² — Px-|-5P

y=

m.

a) Belastungsscheiden.

y = 0,

x = l.

Es ist das ganze 2. Feld positiv beitragend und Ax hat gegen den Stützen-

druck eines einfachen Trägers eine Erhöhung von

2Ml M

~T~' Z

b) Maximum.

Das mathematische Maximum hat keine statische Bedeutung

bei x = 0.

c) Wendepunkt.

d² y

30 x—18/

dx-

Xi = V........(48),

^ = 0,448.

3. Verlauf der ^/-Einflußlinie im 3. Felde.

Befindet sich die Last P im 3. Felde (Fig. 61), so erzeugt sie beim einfachen Träger a₀ ax 334 = 0 und beim einfachen Träger o,a₂ 2L = 0.

Gleichung (43) lautet dann M, 2M₁

■Al

a«.

Weiter ist im 3. Felde M₂ = — 4Afx

Fig. 61.

und somit A,

Einflußlinie

Unter Benutzung der Gleichung (5) lautet dann die Gleichung der

(49).

(49 ist die Gleichung einer kubischen Parabel.

Nachdem My im 3. Felde

nur positive Beiträge hat, wird 6Ml

■4

+i

O-0

aA

3/5 l

lJyt    >

Tnaot Ry)

daselbst nur negative Beiträge haben und es ist somit das ganze 3. Feld negativ beitragend für den Stützendruck Ax. y — 0 bei x = 0 und x = l. b) Maximum. UnterBerücksichtigung der Formel (12) ist

Ai

max y =

15/3

(50),

bei x¹ = /—

x = ^=

/3

•• (12 a).

Der ganze Verlauf ist aus Fig. 62 ersichtlich.

Ohne weiteres ergeben sich auch die Belastungsschemen für

max min

Einflußlinie des Stützendruckes A₂.

Sie ist das Spiegelbild der Y^-Einflußlinie, ebenso die Belastungsschemen. (Siehe Fig. 63.)

■max.

Mal

llY?

'moioc R%

■min R%

Fig. 63.

Einflußlinie des Äuflagerdruckes A3 ist das Spiegelbild der yl₀-Einflußlinie, ebenso die Belastungsschemen. (Siehe Fig. 64.)

~F

0Lq

l/VT

-Ui

Ai

max H3

■m in. Ri

Fig. 64.

Einflußlinien der Querkräfte.

Für die Querkraft eines kontinuierlichen Trägers hatten wir die Beziehung

T=X-{

Mb — Ma

» _

angeführt, worin X die Querkraft des einfachen Balkens ab bedeutete, Mb das

rechte, Ma das linke Stützenmoment (Fig. 65). Die Einflußlinien werden je nach

dem Felde, in welchem der Querschnitt sich befindet, verschieden sein.

J0\y

Fig. 65.

Einflußlinie der Querkraft in einem beliebigen Querschnitte ytl

des 1. Feldes.

Ma = M₀ = 0 ,

T==x-\-^-

Hierbei ist

so daß

Oi₀

Mb == M

\i/

■Oi/)

Fig. 66.

1. Verlauf der Kurve im 1. Felde.

Es ist bekanntlich für eine Last im 1. Felde für den einfachen Balken a₀ ay

l — x

2£, • • • (a) für Lasten rechts von /c/,

Px

= — 33, • • • (b) für Lasten links von fil (Fig. 66). Es wird sonach die Einflußlinie im 1. Felde aus 2 Ästen bestehen.

a) Linker Äst.

Hierbei ist in (b) P= 1 zu setzen, dann aus (1) einzuführen. Es lautet

schließlich die Gleichung der Einflußlinie

4jc³ — 19 l-x

y=

15 lA

• (51).

Gleichung (51) liefert in den statisch in Rechnung kommenden Grenzen nur negative Werte, es erreicht y seinen Höchstwert bei x==fil

4 u³ —-19 u

ym in

15

(52)

minymjn = — 1 bei /-i = 1 d. i. —At. ß) Rechter Äst der Kurve im 1. Felde.

Es ist, um zu der Gleichung der Einflußlinie zu gelangen, in (a) P= 1 einzusetzen, die - Einflußlinie ist wieder durch (1) gegeben, so daß die

Gleichung der T-Einflußlinie 4 x³ — 19 l-x —15 /³

15 P

•V (57)

lautet.

Ml

Es ist dies die Gleichung ^ der Ä₀-Einflußlinie, was auch ohne weiteres aus folgender Überlegung folgert.

Die Querkraft in einem beliebigen Querschnitte ist gleich der Summe der äußeren Kräfte, die sich auf dem Trägerteile links vom Querschnitte befinden.

T—A₀ —    nun ist aber für eine Last rechts von [il die einzige linke

äußere Kraft die Reaktion A₀ und somit

T=A₀.

(37) liefert nur positive Werte in den statisch in Frage kommenden

Grenzen.

Den Höchstwert erreicht y bei x = iul

(53)

y max —

4 (U³ — 19 ,u -f-15

15 maxjtnax— 1 bei <i = 0 d. i. A₀.

Äus (52) und (53) ist

J^max ~h ( JFmin) — 1 — konst.,

wie beim einfachen Träger. Diese Beziehung bedeutet, daß die beiden Kurvenäste parallel sind, nachdem sie in allen Querschnitten die vertikale Entfernung 1 haben.

Es ist somit der links von ul gelegene Teil des 1. Feldes zur Querkraft negativ, der rechte Teil positiv beitragend; steht die Last im Querschnitte ^l, dann hat die Querkraft 2 Werte, wovon wir den einen einem unendlich nahen Querschnitte links, den anderen einem unendlich nahen Querschnitte rechts zuschreiben.

2. Verlauf der Einflußlinie im 2. Felde.

Äus derselben Überlegung, wie beim rechten Kurvenast im 1. Felde folgert, daß auch hier die T-Einflußlinie durch die Ä₀-Einflußlinie gegeben ist.

Es ist, da S = 0

t=m;-=a„

und nach (39)

15/³

(7 Px — \2lx²-\-5x:i)

(39).

bei

Es ist das ganze 2. Feld negativ beitragend, und nach (40) max y — —- 0,080112 Imax y :    0,38367 / • •

(40)

(9).

Der Wendepunkt i

Xj=z y /

(11)

yi = 0,032.

3. Verlauf der Einflußlinie im 3. Felde.

Wie im 2. Felde, so ist auch hier die T-Einflußlinie durch die Ä₀-Einfluß-

linie gegeben.

y=₁^F{2r-x-3lx*±xs)........(41).

Das ganze 3. Feld ist positiv beitragend.

ma xy

45 y'3

(42)

bei x‘ = l —

X = “7=*

V 3

46 —

Es ist nun der ganze Verlauf der Einflußlinie in Fig. 68 angegeben. Äus der Einflußlinie ergeben sich sodann die Belastungschemen für

max

min

T.

" N¹-

Ijm.

A.

4-

Aq

Ag,.

Ai

'4-mx'n

4ja l

max

min, T

II

Fig. 68.

Einflußlinie der Querkraft T in einem beliebigen Querschnitte [il

des 2. Feldes.

Es ist wieder

Ao

Fig. 69.

T=X 4

M»

Mb — Ma

A$

Es ist nun

Mb = M2 Ma — M so daß (Fig. 69)

| i\I.J    ^

Ac

' 7K

fr/i

/OLf/j

/OL 3

Nachdem aber im 1. Felde

M, = -f

Hi

ist

Fig. 70.

T=

_5 Ml.

* /

Die Einflußlinie hat im 1. Felde lauter negative Ordinaten, somit wird die T~ Einflußlinie hier lauter positive Ordinaten haben, und es ist das

ganze 1. Feld zur Querkraft T eines Querschnittes ft/ des 2. Feldes positiv beitragend.

Mit Benutzung der Gleichung (1) ist dann die Gleichung der P-Einflußlinie

x (l- - x-)

3 l³

(54).

Es ist weiter unter Zuhilfenahme der Formeln (8) und (7)

ma xy —

91/3

(55)

bei x

Vs

(7).

2. Verlauf der Einflußlinie im 2. Felde.

Befindet sich eine Last P im 2. Felde (Fig. 71), so erzeugt sie im Querschnitte ft/ des einfachen Balkens a₁ a₂ die Querkraft

• • • (a) für Lasten rechts von ft/

£ — — Pj- • • • (b) für Lasten /0i° links von ,ul

/Ä-y,

JU l

*~Ö

T=£

Mo — M,

Fig. 71.

Es besteht die Einflußlinie somit aus 2 Ästen. a) Linker Äst der Kurve.

Durch Einsetzen P=1 in (b) und unter Zuhilfenahme der Formeln (3), (4) kommen wir zur Gleichung des linken Ästes der P-Einflußlinie:

(56).

2 x³ — 3 Ix- — 2 Px

Für x=0 ist y — 0.

y ist negativ und erreicht seinen Höchstwert bei x = ft/.

(57).

y min =

2 ,u³ — 3 ,u² — 2 u

Die Kurve hat einen Wendepunkt bei j; ist    dann kommt er zur

Geltung.

Weiter ist rninjmin ß) Rechter Äst der Kurve.

1 bei f-i=l , d. i. die Ordinate von

Äo.

Durch Einsetzen P=1 in (a) und Anwendung der Gleichungen (3), (4) gelangen wir zur Gleichung des rechten Ästes der Einflußlinie.

2 x³ — 5 Ix² - 2 l-x + 3 /³

3/³

(58).

Für x — l ist y ⁼— 0.

Von ii l bis l liefert (58) positive Werte.

Den Höchstwert erreicht y bei x = yl

2 ,t/³ — 5 ju~ — 2 fx -f 5

y max

Durch Vergleich von (57) und (59)

ymax -i- (—ym\n) = 1

maxymax = 1 bei y = 0, d. i. A±.

Die kubische Parabel (58) hat einen Wendepunkt bei x = ₂; ist ^<C₂, so hat dieser Punkt statische Bedeutung.

3. Verlauf der Einflußlinie im 3. Felde.

Befindet sich eine Last P im 3. Felde (Fig. 72), so erzeugt sie im Querschnitte [il des einfachen Trägers ax a, die Querkraft £ = 0.

Es ist somit

T=

M.₂ — M\

\!/

yOL₀

/^3

xi l

Fig. 72.

Somit ist

Im 3. Felde ist, wie bereits eingangs bewiesen wurde,

M₂ = — 4 jWj .

T=

— 5Mi

Nachdem die Tl^-Einflußlinie im 3. Felde nur positive Ordinaten hat, wird die T-Einflußlinie daselbst nur negative Ordinaten haben, es ist somit das ganze 3. Feld zur Querkraft eines Querschnittes fx / des 2. Feldes negativ beitragend. Mit Hilfe der Gleichung (5) ist die Gleichung der Einflußlinie

y=—^p{2Px — 3lx² + xs)........(60).

Es ist nun mit Hilfe von (12)

ma xy —

9V3

(61) bei / — x = x'

V3

(12a).

Der ganze Verlauf der Einflußlinie gestaltet sich nach Fig. 73. Ebenso ergeben sich auch die beigefügten Belastungsschemen für

T.

max min

Das 1. Feld ist ganz positiv beitragend, das 2. Feld von der linken Stütze bis zum Querschnitt negativ, hierauf positiv beitragend, das 3. Feld ist ganz negativ beitragend.

k-

1 -¹

-f

O-o

a,

ax

's

maoc T

rnin

(Querschnitt des A. Feldes Fig. 73.

Einflußlinie der Querkraft T in einem Querschnitte fil des 3. Feldes.

Es genügt, den symmetrisch gelegenen Querschnitt des 1. Feldes zu betrachten und im Spiegelbilde seiner Einflußlinie die Vorzeichen zu vertauschen.

XX₀

W¹

Sljmetrisch o/ele^e

xieS 3 Feldes■

Vs I

ner

&. uensehni tt

_±.

max T min T

Fig. 74.

Der ganze Verlauf der Kurve gestaltet sich dann nach Fig. 74.

Ebenso wie in den vorigen Fällen ergeben sich dann die Belastungs

schemen.

Gleidiförmig verteilte Last.

Ebenso wie beim Träger auf 3 Stützen wollen wir, einheitlich mit vorausgegangenem vorgehend, auch hier die bereits in Tabellen enthaltenen Werte ableiten und analytisch die Kurven der maximalen und minimalen Momente, sowie maximalen und minimalen Querkräfte bestimmen.

Bezüglich der Anwendung der Einflußflächen, besonders bei ungleichförmiger zusammenhängender Belastung, bleibt alles, was weiter oben gesagt wurde, in Gültigkeit.

Die Werte der maximalen Biegungsmomente im 1. Felde, a) Für Querschnitte zwischen a₀ und ql /) ist das ganze 1. Feld positiv, das 2. negativ, das 3. wieder positiv beitragend.

Um maxM zu erzielen, belasten wir also das 1. und 3. Feld voll, das 2. lassen wir unbelastet.

Es ist sodann

(Fig. 75)

max Mpui=p{Fx + F, -f F₄) mit Hilfe der Formeln (14), (18) und (21).

Lederer, Einflußlinien.

hl

F,=

/³4^x» + (15

J 15 P 0

rJM^dx

15

hl

/ ffp (2/²x-3/x²+x³) r/x

6

fr

E,

- f₃

Nach Durchführung der Integration ist

^3 maxMf,

pp

hl

Xi i

Parabel.

Rus (62) lassen sich wieder die Werte der Winkler-schen Tabellen von 0 bis ff/ berechnen.

Die max M - Kurve zwischen a₀ und ^ ist nach (62) eine quadratische

nnax M

Fig. 75.

Das größte Maximum des 1. Feldes.

Wenn wir in (62) p als unabhängig Variable, maxM als abhängig Variable betrachten, so muß für max max M

dmzxM

da

= 0 sein.

Durch Differentiierung der Gleichung (62)

0=^(1—10/»]

hmax max M 0|45

(63)

und

max max M= -gVir pl~

(64).

b) Befindet sich ein Querschnitt zwischen ff / und f/, so bleiben für maxM die Flächen F₂ und F₄ wie vor, die Fläche Fx jedoch ist nur in den

Grenzen vl und (il zu integrieren, da Belastungen von 0 bis vl negative Momente ergeben. (Siehe Fig. 76.)

Hierbei ist vl die Lage der Belastungsscheide, gegeben durch Formel (15).

V;

■K

+ Fu

-o

vl —

19^ — 15

/.

Fig. 76.

Es ist nun

hi

Fx =

j 4 [i y³ + (15 — 19 ,u) l-x

aus vorigem

f —ah

60

und schließlich

A 'i’⁴ +

19,w^²    15 v-

Aus (65) kann man auch die Tabellenwerte von {f/ bis / berechnen. Für ^ = 1 ist aus (15) r=l

und

maxM= max (-1- M\) — jhpl'

(66),

was auch aus der Gleichung (5) der Afi-Einflußlinie im 3. Felde zu berechnen ist.

Die Werte der minimalen Biegungsmomente im 1. Felde, a) Handelt es sich um minM zwischen 0 und -ff/, so belasten wir das 2. Feld, das 1. und 3. Feld lassen wir unbelastet. Es ist dann

min M=p Fs.

(Siehe Fig. 77.)

und

*0

juT*

fr

ij:

nnin M

Fig. 77.

Mit Hilfe der Formel (19) ist

’»=/— -£p (7 r-x — 12 /I³ + 5 xa) 0

20

min Afp,

Ul

0.-73

.....(67).

(67) ist, wenn minMp als Ordinaten betrachtet werden, die Gleichung einer Geraden, es ist auch bekanntlich die minM-Kurve zwischen den Festpunkten eine Gerade.

Handelt es sich jedoch um minM in einem Querschnitte zwischen qx und dt, dann ist noch der negative Teil der Einflußlinie im 1. Felde von 0 bis vl

mitzurechnen. (Fig. 78.)

Dabei ist wieder vl durdi (15) gegeben.

Nennen wir diese Fläche Fr>, dann ist

min M=p (Fs + F&)

vl

0

'4

«5*3

'min M

Fig. 78.

Ul

■*1

Fr,=

15 Z²

dx

und nachdem

/ul²

Fi ~~ 20

nß f__4 I    i ITl ....

VL l 20 ' 15    30    ^ 2 J

• ... (68).

Den Höchstwert erreicht mm M bei >i=\ . Es ist sodann

min Mx = max (—- M])

nV pF

(69)

oder, wie wir in den Tabellen finden, 1JV=0,1 167.

Gleichmäßig verteilte Last über den ganzen Träger.

Dies ist gewöhnlich beim Eigengewicht der Fall. Da muß man sämtliche Einflußflächen in Rechnung ziehen, und da sich nun die Integralwerte über die ganzen Kurven erstrecken, ist es gleidigültig, wo sich der Querschnitt befindet Es ist auch FL des 1. Falles gleich (7^ Fr,) des 2. Falles.

Es ist somit

Mfn — g{Fx Fo-\- Fä-\- F₄)

mit Bezeichnung aus 1. Falle

und nach Einsetzen der früher berechneten Werte

Mi.

(70).

Gleichung (70) gibt als Verlauf der Momentenlinie eine quadratisdie Parabel an, was auch bekanntlich der Fall ist, da die Momentenfläche des kontinuierlichen Trägers aus der parabolischen des einfachen Trägers durch Addition der Zusatztrapezflächen entsteht.

Wenn wir in (70) anstatt g • • • p schreiben, so ist

.. pl~ M

<5.

g- (4 g — 5 tu²) = max Mpu; -)- min Mpu l •

Für g=\ aus (70)

Mi

_gl

10

(71)

ein bekannter Wert.

Setzen wir in (70) Mg

0, erhalten wir = f als Querschnitt des Wendepunktes der Biegelinie bei gleichförmiger Totalbelastung.

Weiter ist

im Querschnitte xmaxms — 0Al.

ma xMg = -fcgl-

Die Werte der maximalen Biegungsmomente im 2. Felde, a) Befindet sich der Querschnitt fil in den inneren $ des Feldes, d. i. zwischen den Festpunkten, so müssen wir, um maxiW zu erzielen, das 2. Feld voll belasten, das 1. und 3. Feld müssen wir unbelastet lassen.

Es ist dann

(Fig. 79).

max Mpu[ = p{F₂-\- /%>)

F₃

ft

- Ff

Ai

1^3

/motoc M

Fig. 79.

Unter Zuhilfenahme der Gleichungen (29) und (30)

Fo =

■/

o

(8 - 10 p) /-x + (12 — 15 u) /x- + 5 (2 ,u — 1) x³

15/-

dx

— (10,« + 7) /-x — (15 ,a — 12) /x- 4- 5 (2 u — 1) x³ ^

15/-

Nach Durchführung der Integration

maxAf£, = ^-[—    +    — A] '

.....(72).

Gleichung (72) gibt wieder an, daß der Verlauf der max M~ Kurve zwischen den Festpunkten eine quadratische Parabel ist.

Äus (72) lassen sich die Werte der Winklerschen Tabellen für { <C /t < -f,

berechnen.

Durch Differentiierung der Gleichung (72) kommen wir zur Lage des Querschnittes des größten Maximums.

d max M

P 7-

du

und

max max M= A pl²

(74)

oder, wie wir in den Tabellen vorfinden, A = 0,075.

b) Befindet sich ein Querschnitt zwischen $ l und /, d. i. zwischen p₂ und (jo (Querschnitte zwischen a₁ und X₂ liefern infolge der Symmetrie dieselben

,    Werte und es wird die

max min

das Spiegelbild des Teiles zwischen q₂ und a₂ sein), so ist ein Teil des 2. Feldes von ax bis vl negativ beitragend und muß daher für max M unbelastet bleiben. Das 1. Feld ist positiv beitragend und wird voll belastet, das 3. Feld trägt negativ bei undbleibtdaherunbelastet.

(Fig. 80)

Af-Kurve zwischen av und

¹

Verlauf der Einflußlinie im 1. Felde.

Befindet sich eine Last P im 1. Felde, erzeugt sie im Querschnitte (jlI des einfachen Balkens ~ä[~a₂ die Querkraft £ = 0 (Fig. 70).

Es ist daher

+ E,

i'cH

vl

M±

maoe M

Fig. 80.

Es ist dann

max AfJ, = p [Fv + F» + Fs) und mit Hilfe der Gleichungen (26), (28), (30)

- /'⁵ “

V 15/--’ 0

4

— *(/-

X²) 6ÖC

Fo =

—JO ,u) Px-f (12 — 15 Jj Ix¹ + 5 (2 ,g — l)x}

15/-

</*

F, =J

/;i —(10,g + 7) /-x - (15,a— 12) /x- -f 5 (2 ,g — 1) X³

151-

dx.

[X[

Nach Durchführung der Integration

max M

5^ — 4

2 20

Ol

W'r+H-fl • <⁷⁵»'

gegeben.

Hierbei ist die Lage der Belastungsscheide durch die Gleichung (29)

Äus (75) lassen sich die Werte der max TW- Kurvenordinaten oder der Winklerschen Tabellen berechnen.*)

Für [i — 1 erhalten wir aus (29) v=\

und aus (75)

max M = max (-j-M₂)

max (-f- Mi)

(66),

was wir auch ohne weiteres aus Gleichung (5) berechnen können.

*) Wie aus den Tabellen zum Schlüsse ersichtlich, decken sich sämtliche hier berechneten Werte mit den betreffenden Werten der Winklerschen Tabellen bis auf 0,101 des 2. Feldes, wo sich bereits seit der 1. Herausgabe der erwähnten Tabellen bis auf heute 2 grobe Fehler befinden.

Die Werte der minimalen Biegungsmomente im 2. Felde, a) Befindet sich der Querschnitt \il zwischen den Festpunkten, so müssen wir, um minM zu erzielen, das 1. und 3. Feld voll belasten, wogegen das 2. Feld unbelastet bleibt. (Fig. 81.)

f₃

Ai

4-

«-i

Ail

-mm M

Fig. 81.

Sodann ist

p{Fx + Ft).

Unter Zuhilfenahme der Gleichungen (26) und (32)

min Mp

Pi

F± =

'5

,u —

151-

— x (/²— x²) dx

.1

0

T — 5 fJL

15/-

(— 2 Px -\-3lx² — x³),

so daß nach Durchführung der Integration

__P_P

min M

2₀ = konst.

(76).

Gleichung (76) gibt an, daß die minjW-Kurve zwischen und p₂ eine horizontale Gerade ist (y — k).

b) Befindet sich jedoch der Querschnitt zwischen q₂ und a₂ (für Querschnitte zwischen a± und X.2 gilt wieder die aus der Symmetrie resultierende Beziehung), so ist, um min M zu erzielen, der Teil ax vl des 2. Feldes zu belasten, ebenso ist das 3. Feld voll zu belasten. (Fig. 82.)

Es ist dann min Mp^l=p{F^-\-Fb) und nach Anwendung der

<K₀

'<**

M₃

J.L l

in M

Fig. 82.

Gleichungen (28) und (32)

F,=

f-

o

_A‘U- (— 2 Fx -f- 3 Ix- — x³) dx

VI

i/x

a(8 — 10 u) Px + (12 - 15 (jl) Ix"- -f 5 (2 p — 1) x³

15 P

min Aff,

pi

P\5 ^ —' rf ß + 4 r² — 5 /t'v² -(- 4 v³ — 5 v³ -j- f /<, i;⁴ — £ a-⁴]

wobei die Belastungsscheide vl durch Gleichung (29) gegeben ist.

.Für [i = 1 erhalten wir aus (29) r = 1 und es ist dann

(69),

min Af = max (—AL) = max (—AL)

was wir bereits in Gleichung (69) festgestellt hatten.

Gleichförmig verteilte Last über den ganzen Träger.

Hierbei gibt es keinen Unterschied in der Lage der Querschnitte, da wieder die Integrale über den ganzen Verlauf der einzelnen Kurven zu erstrecken sind.

Es ist, wenn wir von dem ersteren einfacheren Fall ausgehen,

M%=g{F₁ + F%+FZ+FA)

und

M³..,—

Ul

__P- ! U T‘1" 2 ”

ro)

(78).

Der Verlauf der Af^-Kurve im 2. Felde ist ebenfalls eine quadratische

Parabel.

Für (.1 = 0 oder ;i = 1

Aff = Aff =

gl¹

10

(71),

was bereits in (71) festgestellt wurde.

Wenn wir anstatt g • • • p setzen, ist wieder

Mpul = max Mpuv -f min Mpul-

Für Af^ = 0 ergeben sich die Wendepunktsquerschnitte der Biegelinie

bei Vollast

Weiter ist

x max Mg = j und max Ms = gl².

Die Kurve der

maximalen

minimalen

Biegungsmomente im 3. Felde

max

min

ist das Spiegelbild der

M-Kurve des 1. Feldes.

Werte der maximalen Querkräfte im 1. Felde.

Wollen wir im Querschnitte pl des 1. Feldes max T erzielen, so belasten wir den Teil y a{ des 1. Feldes, sowie das 3. Feld voll, Teil a^.1 des 1. Feldes und das 2. Feld bleiben unbelastet. (Fig. 83.)

ul

yr

T₃ <max T

Fig. 83.

Es ist dann

pU⁷i+f₉)

und unter Benutzung der Gleichungen (37) und (41)

max Ti]

pi

„    /'4 x³ — 19 l-x 4-15 /³

F‘ = /-is?—

l

/s2 l-x — 3 Ix- 4- x³ ,

J--w¥~~dx

dx

F,=

und somit nach Durchführung der Integration

max r£, = gjj[27 — 60.« + 38p* — 4/t⁴]

•••• (79).

(79) ist die Gleichung einer biquadratischen Parabel, deren Ordinaten y = max T aus (79) zu berechnen sind.

Für a = 0

max A₀ = y\pl

(80),

was auch aus der j4₀-Einflußlinie zu berechnen ist. Für f-i = 1

max Tt = + thpl

(«)

die unendlich nahe nach links von der 1. Stütze entfernte Querkraft.

Werte der minimalen Querkräfte im 1. Felde.

Wollen wir im Querschnitte pl min T erzielen, so belasten wir den linken Teil a₀ ul des ersten Feldes und das zweite Feld voll, es ist dann

min TPM=p{F₈-\-FA)

und mit Hilfe der Gleichungen (51) und (39)

(Fig. 84)

F*i

Ax³- 19 l-x

15l³

dx

Mo

Fi

J (7/'²jc— 12/x²-j-5x³)dx,

ö

/O-St,

min T

Fig. 84.

so daß schließlich

min T

pl

50    ^ — 38 T" — 3]

(81).

Die Gleichung (81) gibt an, daß die min 7-Kurve ebenfalls eine biquadra-tische Parabel sei, deren Ordinaten y = min T aus (81) zu berechnen sind.

Für i-i = Q

P[

min A₀ =—^

(82).

Für i-i = 1

min Ty = — Upl

(ß)

die unendlich nahe nach links von ax gelegene Querkraft.

Gleichförmig verteilte Last über den ganzen Träger.

Für eine Last, die über den ganzen Träger verteilt ist, sind sämtliche Flächen zusammenzuziehen.

T% = g(FL + F.₂ + F!t + F,)

.....

••• (83).

Die Kurve der Querkräfte in diesem Falle ist eine Gerade, wie aus (83)

ersichtlich.

Für (i = 1

(84) {maxAPQ-\-mmApQ = Aq), wie aus (82) und (80) ersichtlich.

(y)    (max 7"^ —J— min Tp= Tp , wie aus («) und (ß) er

sichtlich.)

Für |U = 0,4 ist Tg = 0 und es muß somit in 0,4/ max Mg entstehen, was auch aus der Bedingung

dMg

dx

folgert.

Werte der maximalen Querkräfte im 2. Felde.

Für einen Querschnitt des 2. Feldes müssen wir, um max T zu erzielen, das erste Feld voll belasten, ebenso den Teil des 2. Feldes rechts vom Querschnitte iil. Das 3. Feld und der linke Teil des 2. Feldes bleiben unbelastet. (Fig. 85.)

Es ist nun

+ E,

F%

OL o

max Tp.

Fi

P ('E'i    F°)»

rnoixT

wobei wir Fx und F₂ mit Hilfe der Gleichungen (54) und (58) berechnen.

Fig. 85.

Fx =

Ix(P V 3 /:i 0

— X'²)

dx

2 x³ — 3 Ix- — 2 l-x + 3 /³

3 /³

dx

Fl

und

max T=P2 [7 — 12 f -f- 4 f* - j- 4    — 2 ,u⁴]

(85).

Für /i = 0

max 74 =r?pl

(<*),

die Querkraft unendlich nahe nach rechts von ax. Gleichung (85) gibt wieder den Verlauf der max F-Kurve im 2. Felde als den einer biquadratischen Parabel an, deren Ordinaten y = maxT aus (85) zu berechnen sind.

Werte der minimalen Querkräfte im 2. Felde.

Handelt es sich um min T im Querschnitte [il, so müssen wir den linken Teil des 2. Feldes und das 3. Feld voll belasten. (Fig. 86.)

Es ist dann

min Tp(il=p{Fi-\-Fl).

Dabei berechnen wir die Flächen FZ} F± mit Hilfe der Gleichungen (56) und (60).

³2 x³ — 3 Ix- — 2 l-x

A,

■+

nnin T

Fl

F,=

,i

0

3/a

dx

Fig. 86.

und

I-

o

2 l-x —5 Ix- -f x³ ^

3 lA

Wie aus (86) folgert, ist die min J-Kurve im 2. Felde ebenfalls eine biquadratische Parabel und die Ordinatenwerte lassen sich aus (86) bestimmen. Für /x = 0

(*)

__pl

die unendlich nahe nach rechts von ax gelegene Querkraft.

Bekanntlich ist der Stützendruck Ax =—Tx-}-T'x, wo Tx die unendlich nahe linke und T\ die unendlich nahe rechte Querkraft bedeuten.

Die min 7"]-Belastung deckt sich mit der max 7\-Belastung, sowie mit der max Aj-Belastung. Es ist somit

max Ax — — min T} -j- max T\ und aus (ß) und (d)

maxAx = Upl-\- T?pl

(87).

maXi4t = | pl

Ebenso ist minAj =— max Tx -j- min T‘x und aus («) und (e)

min Ax =

pl pl 60 12

(88).

Die Werte (87), (88) können auch direkt aus der Ax-Einflußlinie bestimmt

werden.

Gleichförmig verteilte Last über den ganzen Träger.

Um bei dieser Belastung die Querkraft zu bestimmen, sind sämtliche Einflußflächen in Rechnung zu ziehen. Es ist

7'« = g'(F₁ + /⁷s + -fro + F4) und nach Einsetzen der Werte für einzelne Flächen

Ti

gl

“i

^[1 —2/4)........(89).

Gleichung (89) gibt den Verlauf der 7^r-Kurve als eine Gerade an. Diese schneidet die X-Achse bei p = wo dann maxMg auftritt, was bereits früher konstatiert wurde.

Schreiben wir in (89) p anstatt g, dann ist max Tpul + min Tpn

Ul

j'P

Ul

Durch Einsetzen ,« = 0 in (89)

T\ =

tO

Kt)

und mit Hilfe der Formel (y)

Ax = — Tx-\- T\

A,=ig‘+ '

(90).

Al=Siet

Wenn wieder p anstatt g geschrieben wird, dann ist durch Vergleichung der Gleichungen (87), (88)

max Ap -j- min A? = (f— XV)pl= Hpl — Apx.

Äls weitere Kontrolle diene folgende Beziehung. Bei Vollbelastung muß A₀ H~ At -f- A-2 -f- Ati = 3gl.

Nachdem infolge der Symmetrie AS = A₀, A₂ = A1} muß

A £ -f- A$ = |- gl.

Äus (84) und (90)

+    (* + **)£/=¹⁵

TV

gt=lgl,

wie die obige Bedingung verlangt, max min

Die

7-Kurve im 3. Felde ist das Spiegelbild der

min

max

7-Kurve im

1. Felde.

D.

Kontinuierlicher Träger mit 3 ungleichen Feldern.

Unter denselben Voraussetzungen, wie in den vorigen 3 Fällen, können wir auch hier den Einfluß einer beweglichen Last mit Hilfe der Clapeyronschen

Gleichungen ermitteln.

Der Träger ist zweifach statisch unbestimmt und es läßt sich auch die Dreimomentengleichung zweimal aufstellen. (Fig. 87.)

-fl

TA»

Fig. 87.

Für die ersten 2 Felder:

Für das 2. und 3. Feld

M, 4 + 2 M, (4 + k) + Ms 4 + ^

X'⁼⁰ *b)-

Da bei freier Auflagerung und einer festen Stütze Af₀ = TVf₀ = 0 ist, und wenn wir

4 = Kl 4 = U 4 ⁼⁼ 4$ l

setzen, so ist

(a') 2 My l (Ax -f- A₂) -)-M*l 4> -}-    -f- ^ = 0.

(bO MylKJr2M,l{hJrh)-]rPl-J[

= 0.

Weiter ist bekanntlich

9* = Ppp' u+p) dt¹=Ppp⁴ (/+/?')

für eine Einzellast P, deren Abstände von den Stützen p und p‘ sind. Befindet sich die Last P im 1. Felde, so ist

34 Ppp¹ Fi /+/>) Kl    Kl

, 914 = 9t.» =    = 0

und es ergibt sich

M,

— Ppp' (V+/>)*«

VJFl~ 4^-f-y (Aä-K,)]

und

A*i =

2 Ppp' (Ax/ p) Fa -{- A₃)

vj [*g-m + *g) (*,■ + *«)]•

Setzen wir in die letzten 2 Gleichungen P=l, p = x, p‘ = lxl — x, so gelangen wir zu den Einflußliniengleichungen der Stützenmomente im 1. Felde

(1) die M₁ - Einflußliniengleichung,

2 x Ff /- — x²) Fa+ 4)

— x (Af /- — x²) 4 V-'[Ag-4(A,+Aa)(Aa + A;i)]

• • • • (2) die Tkfo - Einflußliniengleichung.

Setzen wir in (1) und (2) Ai = A₂ = A₃ = l, gelangen wir zu den früher abgeleiteten Gleichungen bei gleichen Feldern.

Befindet sich die Last P im 2. Felde, so ist PPP' (hl+P‘)

0Tt'₂

PPP' (V + P)

Oti

1,1

a₂z

^=o

und die Stützenmomente sind:

und

Mt =

M,

Ppp' 2 (4* / —j— /?) Fi -f- a.) — a₂ (/., / -f- p‘)

1-2 l¹

1\ - 4 (1\ + A>) (1₂ + A₃)

2 Ppp‘ A„ F₂/ —}—/?') — 2 (A₂1 -f- /?) (Ax -|- A„) /| — 4 (Aj -f- Ao) (A₂ -f- Ä₃)

n i-

PPP' ikl + P)

i\i-

woraus wieder mit P=\, p — x, p‘ = ^l — x, die Gleichungen der Einflußlinien resultieren

y—

x (A₂ / — x) [2 Aj A₂ / —|— x (2 Aj -f- 3 Ag)]

k Ff -4 Fa + ^3) Fl 4~ A₂)] P

(4)

X Fal — x) [A₂ (5 A₂ + 4A₃)/-X(3 Aa + 2A₃)] _A._.[Ag — 4 (A, -|- A₂) (A₂ -f- A..)] /-_

(3).

(3) ist die Gleichung der M,~Einflußlinie, (4) die Gleichung der AL-Einflußlinie im 2. Felde. Durch Einsetzen A₁ = A₂ = A₃ = 1 gelangen wir wieder zu den Formeln (3), (4) des Trägers mit gleichen Feldern.

Befindet sich eine Last P in dem 3. Felde, so ist

9t's _ Ppp' (isl+p')

Cfli = Cfl2 = Ofl^₌ 0,

a₃/

und die Stützenmomente sind gegeben durch die Gleichungen

2 Ppp¹ [hl+P‘){k + k)

^3 F Fi 4 (Aj -f- A₂) (A₂ + A₃)]

m₂ =

und

- PPP' Fs l+P‘)k

a₃/²F1-4Fi + ^₂) Fa T~ a₃)]

und aus den letzten 2 Gleichungen folgen dann mit P die Einflußliniengleichungen

1, P = X, p' = Ag/— X

und

— xFsl — x) (2 a₃/ —x) a₂

y A₃^Fi-4Fi + *a)Fa + A₃)]

(5) die Af,-Einflußlinie

2x(A₃/-x) (2 a₃/ — x) Fi + k) A₃/- [A| — 4 (Al -f A,) Fa + ^1

(6) die M>-Einflußlinie.

Sind nun die Mx~ und -Einflußlinien bestimmt, lassen sich die Einflußlinien der Biegungsmomente Stützendrücke und Querkräfte wie in den vorigen Fällen ermitteln. Am raschesten geschieht die weitere Ermittelung graphisch mit Hilfe der Einflußlinien des einfachen Trägers. Durch ebensolche Betrachtungen wie im vorigen Falle findet man die gefährlichen Querschnitte, Maxima, Minima usw.

Allgemein sich auf die weiteren analytischen Ableitungen einzulassen, wäre umständlich; im speziellen Falle, wo A₂, X₃ bestimmte Zahlen sind, gestaltet sich auch die rein analytische Untersuchung einfach.

Als Beispiel der Anwendung der hier abgeleiteten Formeln, sowie der Tabellen diene folgender Auszug aus der Berechnung der neuen Rathausbrücke zu Stockholm.

Berechnung der Platte.

Als Verkehrslast sind eine Dampfwalze von 25 t Dienstgewicht, ein Motorwagen von 16 t Gewicht und ein Lastwagen von 10 t Gewicht, sowie ein Men-schengedränge von 500 kg/qm in Rechnung zu nehmen. Nähere Angaben über die Verteilung der Gewichte auf einzelne Rad- resp. Achsendrücke sind den folgenden Bildern zu entnehmen.

Die Platte wird im ■ Einklänge mit den preußischen Vorschriften vom 24. Mai 1907 als kontinuierlicher Träger auf 4 Stützen berechnet, wobei sämtliche Felder der 15,0 m breiten Fahrbahn als Mittelfelder bemessen werden, mit Ausnahme der an die Bürgersteige angrenzenden Felder, die als Randfelder dimensioniert werden.

a) Berechnung der Mittelfelder.

Das größte positive Moment tritt in der Mitte des 2. Feldes auf, es ist nur das Mittelfeld zu belasten, die anderen 2 Felder unbelastet zu lassen. Die ungünstigste Wirkung erzeugt die Vorderwalze, über die Mitte des 2. Feldes

aufgestellt. Durch die Chaussierung und Platte verteilt sich der Walzendruck in der Längsrichtung auf .    1,20 m; da ein Streifen von 1,0 m

Breite untersucht wird, entfällt auf diesen die Last

f^ = 7500 kg.

In der Querrichtung verteilt sich 3580 kg/m.

4.33

-Zfcr

->4-

433

Fig. 88.

(Fig. 88.)

der Walzendruck auf 2,10 m, so daß

7500

2,10

Es kommt dabei ein Teil der Belastung in die negative Einflußfläche und verringert somit das Mittelmoment. (Die Wirkung der Hinterwalze ist ungünstiger, da es sich aber nur um ein Beispiel handelt, führen wir den Fall der Vorderwalze an.)

Der Inhalt der positiven Flächen ist nach (74) -fo /² = 0,133 qm; der Inhalt der negativen Flächen ist annähernd gemessen — 0,0194 qm, somit die ganze Einflußfläche

0,133 — 0,0194 = 0,1136 qm,

cn

so daß

max Mp = 0,1136 X 3580 = 407 kgm == 40700 kgcm.

Hierzu kommt noch die ständige Belastung mit 1200 kg/qm, also für die Platte 1200 kg/m nach (78) mit ß = \

Ms = 0,025 X 1,33- X 1200 = 53 kgm = 5300 kgcm,

so daß im ganzen Mc.

tot.

46000 kgcm.

Das größte negative Moment ist das Stützenmoment max (— Mx).

Wie aus der AR-Einflußlinie ersichtlich, muß die Walze in eine solche Lage kommen, daß das 1. und 2. Feld womöglich ungünstig mit 3580 kg/m belastet werden. Wir belasten das 1. Feld voll und es kommen dann 0,77 m noch auf das 2. Feld.¹) Äus der Belastungsfläche der Walze ergibt sich, daß noch 0,10 m des 2. Feldes mit Menschengedränge belastet werden können.

Mit Gleichungen aus Fig. 89.

i

s 4 x {P — x²)

/1.33

-133

A 33

Fig. 89.

15 P

dx = — YTt P

=— 0,118 qm

0,77

j (7 l“x ¹12 Ix- -f 5 x¹) dx °    F, + F, -

und somit M™=— 3580 • 0,1819= —65000 kgcm. schengedränge ist durch die Fläche F» gegeben, wobei

F,

15 P.

0,0639 qm

= — 0,1819 qm

Das Moment vom Men-

1,33

F,=

* P f (7 Px — 12 Ix² + 5 x³) dx = 0,0019 qm

1,23

und Mp

Moment vom Eigengewicht nach (71) M$ so daß

— 0,0019 • 500 = — 0,95 kgm = — 95 kgcm. Hierzu kommt noch das

212 kgm=21200 kgcm

1200.1,33-

10

max Mtof- = — 86295kgcm ist.

b) Berechnung der Randfelder.

Das größte negative Moment ist das Stützenmoment Mt, und das wurde bereits bestimmt. Das größte positive Moment tritt für eine Einzellast in 0,42771 auf und besitzt da den Wert 0,205 PI, für eine gleichförmige Belastung tritt das max Moment nach (63) in 0,45 / auf und hat hier den Wert -gVu p/², für das Eigengewicht ist das größte Moment genau bei 0,4 /. Wenn wir nun allgemein die Einflußlinie des Querschnittes 0,4 / benutzen, kommen wir zu den Werten 0,2042 p/ und pl¹, also eine ganz minimale Differenz; dafür können wir aber hier genauer rechnen als mit der unbequemen Zahl 0,4277.

Nach Fig. 90 kommt die Dampfwalze über das erste Feld so zu stehen, daß die verteilte Last von 3580 kg/m das 1. Feld ganz belastet, der andere Teil von den 2,10 m links vom Träger fällt.

Das 3. Feld ist mit Menschengedränge belastet. Die Fläche

nach Seite 50 (F^ -f- F-₂).

Fi + F„ = l[ 13-0,2

15 -0,08] = 0,0933 F

f₃

/1.3 3

✓1.3 3

^13 3

Fig. 90.

Fa = ^    = 0,00667 /' = 0,0118 qm,

und somit das vom Menschengedränge verursachte Moment

0,1655 qm,

so daß das von der Dampfwalze verursachte Biegungsmoment

MD- w. ₌ o,l 655 • 3580 = 593 kgm — 59300 kgcm.

Die Fläche Fs ist nach Seite 50 F₄

Mp — 0,0118-500 = 5,9 kgm = 590 kgcm.

Das vom Eigengewicht herrührende Biegungsmoment ist nach (70)

"TT

-&,%0

(1,6 — 0,8)= 0,08 -1200-1,332 = 17000 kgcm, so daß schließlich das Gesamtmoment M°toll = 76890 kgcm.

Ms

ln

co

Y/,

I Ai

/y//,7

Wim

///

V/y

<r

Fig. 91.

Berechnung der Fahrbahnträger.

Die Hauptdimensionierung dieser Träger mit 2 Öffnungen erfolgt wieder nach dem größten positiven Moment bei 0,4/ und dem größten negativen Stützenmoment.

Untersucht wird ein 4,0 m breiter, aus der Fahrbahn herausgegriffener Streifen. (Fig. 91.)

Ax A₂ ist die Symmetrieebene der äußeren Kräfte. Es wäre hier nur eine Verteilung der Einzellasten in der Längsrichtung zu berücksichtigen, was aber keinen großen Äusschlag gibt.

Das seitliche Menschengedränge von 1,8 • 500 = 900 kg/m = p‘ steht über den ganzen Träger zur Verfügung, das mittlere Menschengedränge 2,2-500 = 1100 kg/m = p" nur auf den von den ungünstiger wirkenden

6800 kg/m.

Fahrzeugen freien Strecken. Die ständige gleichförmige Last g Um max/W in 0,4/ zu erzielen, stellen wir die Hinterwalze mit 16000 kg in 0,4/,

die Vorderwalze mit 9000 kg kommt nach rechts, links von der Walze kommt

Zoot kg

4b >00

SOO

ok>j

kg.

H-

4Vr

,010

™qoo kg (lfdm.

0,4 l

3.-,o

-13, 50

'IS,50

Fig. 92.

ein Lastwagen mit der Hinterachse von 8000 kg. Rechts von der Vorderwalze bis zur Stütze kommt Menschengedränge von 1100 kg/m, nebst dem über das ganze 1. Feld seitwärtiges Menschengedränge von 900 kg/m.

Nun ist von den Einzellasten

Mo,4 l

16000 • 0,2064 * 13,5 -f- 9000 • 1,25 -f 8000 • 2,2 + 2000 • 0,125 — 7365000 kgcm, wobei die Ordinaten 1,25, 2,2 und 0,125 abgegriffen sind.

M(4/ = 1100-1,85 = 2035 kgm = 203500 kgcm, wobei die Fläche 1,85 qm wieder gemessen ist.

Mpqa z = 0,095 -900-13,5² = 15600 kgm = 1560000 kgcm nach (19) mit /i = 0,4.

Das Eigengewicht erzeugt

M⁸Qlil = 0,08 • 6800 • 13,5'² = 9 900 000 kgcm nach (25) mit ,w=0,4.

Es ist schließlich

max Mo,4 tot. = 19 029 000 kgcm,

welchem Moment bei der Dimensionierung Rechnung zu tragen ist.

Das größte negative Moment ist das Stützenmoment Mt.

Für Mx ist der ganze Träger negativ beitragend und somit die zur Verfügung stehenden Lasten in ungünstigste Stellung über den ganzen Träger auf-

des ersten Feldes,

zubringen. Es kommt somit die Hinterwalze mit 16 t in

die Vorderwalze mit 9 t kommt nach links, hierauf weiter nach links der hintere Teil eines Lastwagens, im 2. Felde wird ein elektrischer Motorwagen so aufge-

zu stehen kommt, die zweite kommt nach links,

Vs

stellt, daß eine Äsche in

die noch freien Strecken des Trägers werden mit mittlerem Menschengedränge belastet; nebstdem kommt über den ganzen Träger seitwärtiges Menschengedränge.

M, = — 16000 • 0,096225 • 13,5 — 9000 • 0,06825 • 13,5 — 8000 • 0,0507 • 13,5 — 6000 • 0,096225 • 13,5 — 6000 • 1,2 = — 49545 kgm,

wobei wieder 1,2 abgegriffen ist.

«ooo

qo

>o-kg

/f60004«|

t>,So

yi'lOO

600

5,7 o

4400Aq

gtm¹

imiiiiiiiKnnTT^r^^ pfrmTTTini)iiii iiiiiifwftT

Q00    i

«ü.

Ifv.T

I/fil

43,150

43,50

Fig. 93.

Das seitwärtige Menschengedrange mit 900 kg/m liefert Mp‘ = — 1 900 • 13,5².= — 20500 kgm.

Das mittlere Menschengedränge mit 1100 kg/m wird durch Planierung der zugehörigen Flächen bestimmt und gibt ein Moment von

Mp“ = — 8,52 -1100 = — 9360 kgm.

Das Eigengewicht mit 6800 kg/m gibt ein Moment von Mg — — } 6800 • 13,5² = — 155000 kgm,

so daß schließlich

max M\ot — — 23 440 500 kgcm.

Bestimmung des maximalen Stützendruckes A±.

Zur Berechnung der Äuflager ist die größte Äuflagerkraft nötig.

Äus der Einflußlinie ergibt sich wieder folgende ungünstigste Laststellung: Die Hinterwalze mit 16000 t über alt die Vorderwalze mit 9 t rechts, weiter rechts Motorwagen und Menschengedränge, links von der Hinterwalze

±i°_

1 bl 00 £

iooo£<}

3-Io

44 00 £

8o

)0/S<

<joo<

6ooc

L^n _    tyj/jd+rt

M!liil!IH!!ül!ii;!lfi!ili T^i<•',I!:!nuni:m;ir iiNiflh?tmTnmri''rilllliliVtlKli!¹ II!1 iIITtd^

ji₀£Qoo JujIUd-m.

600

Qoo

jUQoJtc

43,150

43,150

Fig. 94.

Lastwagen und Menschengedränge, seitwärts Menschengedränge über den ganzen Träger. (Fig. 94.)

Es ist dann von den Einzellasten

max Af= 16000 • 1 + 9000 • 0,9 -f- 6000 (0,715 + 0,55) + 8000 • 0,99

2000-0,8 = 41210 kg.

Ai vom mittleren Menschengedränge ist wieder durch die zugehörigen Flächen bestimmt und

Ap“ — 1100-3,77 = 4150 kg.

(Die Flächen könnte man natürlich genau mittelst Integration bestimmen, wie dies bei der Plattenberechnung gezeigt wurde.)

Das seitwärtige Menschengedränge mit 900 kg/m gibt nach (30) max Ap‘ = l 900 -13,5 = 15200 kg.

Ebenso das Eigengewicht nach (34)

v-7q

Es ist schließlich

-i 6800-13,5=114500 kg.

maxA[ot = 175060 kg.

Äuf ein Äuflager entfällt 58353 kg.

Bestimmung des minimalen Äuflagerdruckes A₀.

Zur Berechnung der Landpfeiler haben wir den minimalen Äuflagerdruck A₀ zu bestimmen.

*•001-6,3

looe-i

qooöJuf

600

Ab 1 oo-tu)    foooi

■i¹¹

,r

'f 3,5o

'13,50

Fig. 95.

Zu dem Zwecke müssen wir das 2. Feld womöglich ungünstig belasten, das 1. unbelastet lassen. Äus der Einflußlinie ergibt sich folgende Lastenstellung: Die Hinterwalze mit 16000 kg in

-== des 2. Feldes, weiter nach rechts

Vs

-1,33

*>3 50

-1,33

3,33

-1,33

3,33

die Vorderwalze mit 9000 kg und ein Motorwagen mit 2 • 6000 kg, links von der Hinterwalze kommt ein Lastwagen mit 8000 kg und 2000 kg. (Fig. 96.)

Es ist somit

min Ap₀= — 16000-0,09625 — 9000-0,06825 — 6000(0,041 +0,0085)’ — 8000 • 0,094 — 2000 • 0,0192 = — 3241 kg vom seitlichen Menschengedränge /?' = 900 kg/m nach (31) min Ap' = — + 900 • 13,5 = — 760 kg und für das Eigengewicht ^ = 6800 kg/m nach (33)

A* = $ 6800 • 13,5 = + 34500 kg,

%/eb

-ik-

%'bb

Fig. 96.

au.

so daß

min + = + 31500 kg.

Äuf eine Rippe entfällt 10500 kg.

Als kleines Beispiel für ständige Last folge noch die Bestimmung des Stützenmomentes in den Unterzügen unter den Schalungssteifen.

Die Schalungssteifen ruhen auf Unterzügen, die als durchgehende Träger mit 3 Feldern zu berechnen sind. Die Entfernung der doppelten Hängewerke, deren Untergurt als Auflager der Unterzüge dient, ist 2,66 m.

Somit kommen in allen 3 Feldern die Lasten von 2000 kg in \ l und f/.

Das absolut größte Moment, wornach der Holzquerschnitt bestimmt wird, ist das Stützenmoment Ml.

yi —    tV i

y2 —    sA i

y.i⁼    t2³(r i

y±⁼    ttW i

yr, = i y<ö — + i

Aus (1) bekommen wir für x = \l „ x = %l

Aus (3)    „

Aus (5)    „ x= l l

„ x=ll

und Ml — P~y — —2150 (tV t~ »V    if2³ir    ■sVv — -jttt — ui) 2,66

Mx = — 129000 kg cm.

¹

Vergleiche noch das Beispiel zum Schluß!

Lederer, Einflußlinien.

E. Der horizontal eingespannte Träger.

Wir gehen in unserer Ableitung wieder von einem konstanten EJ aus und wollen den Einfluß einer beweglichen Last ermitteln, somit setzen wir auch voraus, daß der Einspannungswinkel 0 bleibt.

'p

Der horizontal eingespannte Träger ist zweifach statisch unbestimmt und wir könnten ihn mit Hilfe der Clapeyronschen Gleichungen als kontinuierlichen Träger mit 3 Feldern, wovon die Randfelder Nullfelder sind, durch Berechnung der Stützenmomente (hier Einspannungsmomente) Mlt M₂ auf dieselbe Weise wie die früheren Fälle lösen. Wir wollen hier jedoch von der Arbeits-

gleichung ausgehen und nach Müller-

Breslau*) den linken Äuflaqerdruck    _

Av und das Einspannungsmoment M{ _

als statisch unbestimmbare Größen

Fig. 97.

einführen.**)

Unter den oben gemachten Voraussetzungen, ohne Berücksichtigung einer ungleichmäßigen Temperaturerhöhung, lautet die Ärbeitsgleichung:

d jc = 0.

, _ f N 3 N L EF3X

dx 1 Jej-tx

Nachdem hier keine Äxialkraft vorhanden ist und £y=konst.

°=J

dx.

S..3M

MdX

Als statisch unbestimmbare Größen, nach denen die partiellen Differentiale des Biegungsmomentes zu bestimmen sind, werden, wie bereits erwähnt, Ax und Mi eingeführt.

Für die Last P ergeben sich die Biegungsmomente zu M = M₁-\- Axx für Querschnitte links von der Last

M— MlJr Axx — P(x—p) für Querschnitte rechts von der Last. (Fig. 97.)

Es sind dann die partiellen Differentialquotienten

3AT

dAt

= x in beiden Fällen,

3 Ml

1 in beiden Fällen.

*) Müller-Breslau, Die neueren Methoden der Festigkeitslehre und Statik der Baukonstruktionen. (Leipzig 1904.)

**) Wir gelangen auch zu sämtlichen Resultaten nur mit Hilfe der Werte, nachdem aber Al bestimmt ist, ist es bequemer, mit Hilfe der und ,/h-Einflußlinie zu arbeiten.

Somit lauten die umgeformten Arbeitsgleichungen

d x=0

cM₁

xdx=0.

Wenn wir M durch die oben angeführten Ausdrücke ersetzen, müssen wir das Integral teilen, einmal in den Grenzen 0 und p, das zweite Mal in den Grenzen p und l integrieren.

Es ist sodann

P{x — p)\ dx = 0

und nach Durchführung der Integration

MJ+A^—P$-pl+^\=Q

Mil-2+Ai^ — p\j—pl-2+^\ = ° und nadi Auflösung der letzten Gleichungen

Ax = P\_ l-3^ + 2^]

Mi =

P\2

P²

Setzen wir in die soeben bestimmten Ausdrücke für Ax und M, P= 1 und lassen die Lastentfernung p variabel werden, p = x, dann gelangen wir zu den Gleichungen der Einflußlinien beider statisch unbestimmbarer Werte.

Es ist:

y = ~jAx--2lx + r-)

(1)

die Gleichung der Einflußlinie des Einspannungsmomentes Mx und

2 x³ — 3 lx°- + la

(2)

die Gleichung der Einflußlinie der Auflagerreaktion Ax.

Nun wollen wir diese Gleichungen wie in den vorigen Fällen untersuchen.

Einflußlinie des Einspannungsmomentes Mx.

Die Gleichung (1)

y — — ~f. (*'—2Ix-j-l²)

ist die einer kubischen Parabel.

Gleichung (1) liefert für positive x nur negative Ordinaten. Wir können nämlich auch schreiben

und nachdem

muß

Bei

-p [l — *)'» und (/ —x)²^0, y£0.

® ist ;y = 0.

y=

Maximum.

Die Bedingung

a. a.

liefert aus (1)

woraus

= tg<p = 0

²--£/x + 5 = °

x = jl±tl.

Die erste Wurzel

^max y — 3

(3) liefert max y = — -*\l

(4).

Die zweite Wurzel x — l, y = 0 besagt, daß bei ö.> die M-Ächse Tangente der Kurve ist.

Für x=^ erhalten wir aus (1) den bekannten Wert

y — — ₈- (ATi — Wendepunkt.

Pl für eine Last in der Mitte).

Die Bedingung

d-y

dx-

0 liefert durch zweimalige Differentiierung der

Gleichung (1)

Ul

^ = i(-6x + 4fl=0,

d x-

woraus

(5),

Xj = $l

hierbei ist

Fig. 98.

Der ganze Verlauf der Kurve gestaltet sich wie in Fig. 98 angeführt.

Die Einflußlinie des Einspannungsmomentes M, ist das Spiegelbild der Afi-Einflußlinie.

Einflußlinie der Äuflagerreaktion Ax,

Wir bestimmten in (2) die Gleichung dieser Einflußlinie. Sie lautet

2 x³ — 5 Ix- -f l³

y=

(2).

Es ist dies wieder die Gleichung einer kubischen Parabel.

Maximum.

Cd O.

= ji[6x>- — 6/x] = 0

Xj = 0

x₂ = /.

Die Wurzel Xi = 0 liefert Maximum (^J <C 0), die Wurzel x.₂ = /, wobei

y = 0, bedeutet wieder, daß die X-Ädise die Kurve bei a.₂ tangiert. Es ist somit

(6)

maxy = 1

bei

fä

X max y

= 0.

•«.j

Wendepunkt.

k = 4[12x

6/] = 0,

woraus

'maoc

Xi — 2 ........(7),

Fig. 99.

yt=\-

wobei

Somit ist der ganze Verlauf der Kurve wie aus Fig. 99 ersichtlich.

Die Einflußlinie der Äuflagerreaktion A₂ ist das Spiegelbild der Ä^-Ein-

flußlinie.

Einflußlinie des Biegungsmomentes in einem beliebigen

Querschnitte [il.

Das Moment in einem Querschnitte ist durch die Beziehungen

(a)    M=M₁-\-A₁fxl für Lasten rechts von [it

(b)    M =    P{pl — x)

für Lasten links von iil

PC

\1/

V/

gegeben. (Fig. 100.)

Fig. 100.

Die Einflußlinie besteht somit aus

2 Ästen.

a) Linker Äst der Einflußlinie.

Setzen wir in (b) P= 1 und führen anstatt Mx und Ax die Ordinaten der Mx- und Äi-Einflußlinien aus (1) und (2) ein, so gelangen wir zur Gleichung der M-Einflußlinie links von ;x/.

y=

(2 ,u — 1) x³ -f (2 — 5,u) Ix*

(8).

Gleichung (8) ist wieder die einer kubischen Parabel (nur für fi = 0,5 wird aus (8) eine quadratische Parabel); wir werden sie in der gewohnten Weise nach statisch wichtigen Werten untersuchen.

a) Belastungsscheiden.

Bedingung: y — 0,

zwei Wurzeln sind x = 0, dann folgt aus der verbleibenden linearen Gleichung

■■■■ (9).

3 ,u — 2 ,

Soll x einen statischen Wert haben, so muß

f-¹    t-

Die letzte Ungleichheit besagt, daß für Querschnitte von f / bis l der linke Einflußlinienast eine Belastungsscheide oder einen neutralen Querschnitt liefert, die Grenze der beiden Querschnittsgattungen ist bekanntlich der rechte Festpunkt, dessen Lage somit mit f /, was auch bereits bekannt ist, festgelegt wurde.

b) Maximum.

Das mathematische Maximum hat hier keine statische Bedeutung. Den Höchstwert erreicht die Ordinate im Querschnitte selbst bei x = iil, im Schnittpunkte der beiden Kurvenäste.

(10.)

Minimum.

hinter

OS] o

Das mathematische Minimum kommt zur Geltung, sobald der Querschnitt / ist und ein Teil der Einflußlinie unter der M-Ächse verläuft.

dy

dx

= 0.

Durch Differenzierung der Gleichung (8)

3 (2 fi — 1) x² + 21 (2 — 3 fi) x = 0.

xx = 0, das mathematische Maximum, bedeutet bei a± die M-Ächse als Tangente, was bereits aus der Bedingung y = 0 resultierte, da sie zwei unendlich nahe Werte x = 0 lieferte.

Für Minimum

X min y

21 (ßji — 2)

3 (2 ,u — 11

(11).

Wie aus (11) ersichtlich, muß für einen x-Wert von statischer Bedeutung /u f-, dieselbe Bedingung, zu der wir bereits früher gelangten.

Durch Einsetzen für x aus (11) in (8)

(12).

min y — — j⁴r

(3 — 2)3 (2 # — l)²

W endepunkt.

Im Falle, daß fi > |-, kommt auch der Wendepunkt zur Geltung. Seine Lage aus der Bedingung

d-y

ist

Xi =

3 ,u — 2 . 3 (2 tu —1)¹

(13).

Äus (13) gelangen wir wieder zur Bedingung y y> .

b) Rechter Äst der Einflußlinie.

Äus der Beziehung (a) erhalten wir durch Einsetzen der M, und A^Ein-flußlinienordinatenwerte aus (1), (2)

y=

(2 fl — 1) x³ -1- (2 — 5 p) /x² - Fx 4- ,g/3

(14) ist die Gleichung einer kubischen Parabel, zu der wir infolge der Symmetrie auch gelangt wären, wenn wir in (8) anstatt x• • x' — l— x und 1—ft anstatt ft eingesetzt hätten.

a) Belastungsscheiden. Bedingung y — 0

(2 fi —l)x³ + (2 —3fi)/x³ —/³x + fi/³ = 0.

Eine Wurzel dieser Gleichung ist xl = l.

Wenn wir nun die Gleichung durch (x— /) dividieren, gelangen wir zur quadratischen Gleichung

(2 ft — 1) x³ -j- (1 —fi)/x — ft t¹ = 0,

woraus

= 0.

Eine Wurzel x.₂=/ bedeutet einen zweiten gemeinsamen Punkt der M-Ächse mit der Kurve bei a₂, somit eine Tangente.

Die zweite Wurzel

V ■ ■ ■ - _L___

x ~ 1 _ 2 /i

(15)

gibt die Belastungsscheide an. Sie hat einen statischen Wert, wenn

wodurch die Lage des linken Festpunktes zu ^ festgelegt ist, was auch aus der Symmetrie zu erwarten war. b) Maximum.

ymax ist bereits durch (10) gegeben.

Minimum.

Ist fl <

Li

Ml

dann verläuft ein Teil des rechten Einflußlinienastes unterhalb

der M-Ächse und besitzt hier ein mathematisches Minimum. Infolge der Symmetrie kann man nach

(12)    min y für den symmetrisch zur Mittelachse gelegenen Querschnitt bestimmen, ebenso xz- aus

(13)    liefert den zum Wendepunkt symmetrischen Punkt.

Der ganze Verlauf der Einflußlinie gestaltet sich somit folgendermaßen:

a) Befindet sich der Querschnitt zwisdien P. und p, im inneren Drittel des Trägers, gibt es keine Belastungsscheide, der ganze Träger ist zum Momente

-f-

J.

-moix M

-nun M - 0

Fig. 101.

in fil positiv beitragend, es gibt auch nur ein Belastungsschema für maxl (Fig. 101.)

b) Befindet sich jedoch der Querschnitt zwischen q und a.2l dann liefert der linke Kurvenast eine Belastungsscheide nach (9), (11) und 12) die größte negative Ordinate, (13) einen Wendepunkt. Äus der Einflußlinie ergeben sich so die Belastungsschemen für max min

vl

-1

max M

mi n M

M. (Fig. 102.)

c) Befindet sich der Querschnitt zwischen av und X, so sind seine Einflußlinien und Belastungsschemen Spiegelbilder der für den symmetrisch zwischen a, und q gelegenen Querschnitt geltenden Einflußlinien und Belastungsschemen. (Fig. 103.)

LlL

Fig. 102.

Ml >

7t

maoc M

7nin M

Fig. 103.

Der gefährliche Querschnitt für max M.

Gleichung (10) lieferte die maximale Ordinate der Einflußlinie des Biegungsmomentes in einem beliebigen Querschnitte

ymax = 2 l (fil⁴--2 /fc³ ß²)

Die Gleichung gibt an, daß der geometrische Ort der maximalen Ordi-naten eine biquadratische Parabel ist. Wird nun die Gleichung (10) nach der unabhängig Variablen fi differentiiert, dann ist

dym ax

(10).

= 2 / (4 /r⁵ — 6    + 2 ju) = 0

2 f.i² — 3 fi + 1=0

und

(16).

Das größte positive Moment tritt in der Mitte auf und es ist

(17).

l

max ymax — g

PI

(Der bekannte Wert -{-

Weiter können wir durch Einsetzen fx = i in (8) und (14) zu den Gleichungen quadratischer Parabeln gelangen.

y~Yi • • ' * dy ist somit der Scheitel.

(I_rl² r'²

Rechter Äst y— ₂/    ~ 27 * * * * a- ls^ som^ der Scheitel.

für eine Einzellast in der Mitte.)

Linker Äst

Der gefährliche Querschnitt für minM ist der Einspannungsquerschnitt, wo mmM= max ( — M±), welche Werte bereits in (3) und (4) bestimmt wurden.

Einflußlinie der Querkraft in einem beliebigen Querschnitte fxl.

Für eine Last rechts vom Querschnitte \xl ist die Querkraft T in diesem Querschnitte T—A1} somit gilt von {xl bis l die A-Einflußlinie als 7-Einflußlinie.

Befindet sich die Last links vom Querschnitte, so ist

T=AX — P— — A.

Es besteht somit die Einflußlinie der Querkraft eines jeden Querschnittes aus 2 Ästen; der linke Äst ist die negativ genommene Einflußlinie der rechten Äuflagerreaktion, der rechte Äst ist die Einflußlinie der linken Äuflagerreaktion.

v/

XL l

oc

Fig. 104.

a) Linker Äst.

Mit Hilfe von (2) und durch Einsetzen P— 1

2 x³ — 3 lx-

t-

(18).

Zu Formel (18) wären wir auch aus (2) gelangt, wenn wir dort x' = 1 — x anstatt x eingesetzt und die Vorzeichen hernach geändert hätten.

Ist p > 2> dann kommt bei x== ,j der Inflexionspunkt zur Geltung. Es ist weiter

Pmin ¹—2 f.1 ’    5/f

(19) im Querschnitte selbst

und

max^min = — 1 bei /t = 1 d. i. —A».

b) Rechter Äst der Kurve. Hier gilt Gleichung (2)

2 x³ — 5 Ix- + p

(2).

Die Werte der maximalen Biegungsmomente.

Handelt es sich um die Erzielung des maximalen Biegungsmomentes in einem Querschnitte, müssen wir verschieden belasten, je nachdem, ob sich der Querschnitt im inneren oder in den äußeren Dritteln befindet.

Fig. 106.

(Fig. 106)

Es ist weiter

ymax ⁼⁼ 2 |3 |tf~ —|— 1

(20)

bei x = /iil

und

max^niax == 1 bei fi = 0 d. i. i4x.

Durch Vergleich von (19) und (20) kommen wir zu der Beziehung

4-

^max 4~ ( ^Kmin) —

«m

Die gefährlichen Querschnitte sind die der Äuflagerreaktionen, d. i. p = 0 und p — 1, wo max ymax und max ym-m entstehen.

nnaoc

min T

Der ganze Verlauf der Einflußlinie ist aus Fig. 105 ersichtlich.

Fig. 105.

schemen.

Äus der Einflußlinie ergeben sich auch ohne weiteres die Belastungs

Gleichförmige Belastung.

Wie in den vorhergehenden Fällen, so wollen wir auch hier auf Grund

max min

M~ und

der Einflußflächen die Formeln für

M und

max

min

T für gleichförmig verteilte

Last oder die Gleichungen der

max

min

max

min

T-Kurven feststellen.

a) Handelt es sich um einen Querschnitt im inneren Drittel, dann ist der ganze Träger für das Moment in /lil positiv bei-tragend und es muß für maxAf voll belastet werden. Wenn wir die beiden Teile der Einflußfläche mit Fx und F.₂ bezeichnen, so ist

max Mpul=p {F₁-\- Fo) und mit Hilfe der Gleichungen (8) und (14)

s(2 ,u — \) x³ (2 — 3 p) /x²

./

0

7-

dx

— l)x³ + (2 — 3 p) lx² — l²x + plä

l-

und

max Mpul=pl² (

tO

) ....

• • • • (21).

Gleichung (21) gibt den Verlauf der maxM-Kurve zwischen den Festpunkten an und kann zur Berechnung der Werte oder Ordinaten verwendet werden.

Gefährlicher Querschnitt.

Wird die Gleichung (21) nach der unabhängig Variablen p differenziert, dann gibt sie für

dmax M

dp

— 0 den Querschnitt des größten Maximums an.

dmax M

du

woraus

^max max M ■—~ \

(22)

und

max max M — -f- j₄ pl²

(23).

Es entsteht somit das größte positive Moment in der Mitte bei Vollast

pp

und hat den bekannten Wert ₂₄ .

b) Befindet sich der Querschnitt zwischen q und a.₂ (für Quersdinitte zwischen A und a₁ besteht die bekannte Beziehung des Spiegelbildes), so liefert (9)

rl

-H-

eine Belastungsscheide bei vl und es darf zur Erzielung von max AI nur der Teil rechts von der Belastungsscheide belastet werden.

Es ist dann das Integral der Fläche Ft nur in den Grenzen vl und pl zu ermitteln. (Fig. 107.) Somit ist

Fig. 107.

F'=J

(2 p — 1) xH- (2 - 3 p) Ix²

dx

fl

^_i_ü_1]

2 ' 2    12J

und nadi vorigem F.₂ =— /J|

^+F*=p [- f+1+x    u4+f - 4 *■ - ß] • • •

,“⁴

und

ma xMpfXl=p(Fl-\-F,),

hierbei ist v durdi Gleidiung (9) gegeben. Für p = \ ist aus (9)

und

v = 1

max M₂ — 0 = max -J- M±

aus (24).

Die Werte der minimalen Biegungsmomente.

a)    Handelt es sich um min AI für einen Querschnitt im inneren Drittel des Trägers, so ist der negative Teil der Einflußfläche Fs = 0 und somit minM = 0. Fassen wir wieder min TW als Ordinaten auf, dann ist minM = 0 die Gleichung der X-Achse und es fällt somit im inneren Drittel die minM-Kurve mit der X-Achse zusammen.

b)    Befindet sich jedoch der Querschnitt zwischen q und a₂ (oder X und aj, so liefert (9) eine Belastungsscheide, oder der linke Kurvenast eine negative Einflußfläche. Um minM zu erzielen, belasten wir den links von der Belastungsscheide liegenden Trägerteil. Es ist dann

min Mpul = p Fs,

wobei Aj mit Hilfe von (8)

VI

(2 fi 1) x³ -j- (2 — 3 ,u) lx*dx

und

(25),

(26),

min Af£, —pP pj

wobei wieder v durch Gleichung (9) gegeben ist.

Für p — 1 und v — 1 aus (9) und aus (25)

pl~

max (— Mo) = max (— 7WJ = —^

der bekannte Wert des Einspannungsmomentes bei Vollast.

Gleichförmige Last über den ganzen Träger.

Nachdem sich die Belastungsschemen für maxM und minM ergänzen, ist das Moment für Vollast gleich der Summe max M-\- minM und es ist nun gleichgültig, wo wir den Querschnitt wählen, denn es ist für Querschnitte hinter den Festpunkten F₁-\-F.₁-\-Fä gleich Fx-\-F.₂ für mittlere Querschnitte. Es ist somit

(27).

MU⁼s¹' (— \+2— ll)

Für p = \ kommen wir wieder zu max Mg — ?? gl”.

Für [x = 0 gelangen wir wieder zu Aff = — TVg7²-

Für Mg = 0 bekommen wir aus (27) die Wendepunkte der Biegelinie

bei Vollast

_1_±v±

[lt    2

Die Werte der maximalen Querkräfte.

Wir hatten in (18) und (2) die Gleichungen der Einflußlinienäste einer Querkraft festgelegt. Wollen wir max T erzielen, so belasten wir den vom Querschnitte pl rechts liegenden Trägerteil. (Fig. 108).

Es ist dann

max Tpul — FiP

I.

Lederer, Einflußlinien.

wobei Fx mit Hilfe von (2)

und

max Tp =

2 x³ — 3 lxn- -f- /³ ^

/³

pi || — y 4⁻ t³ — /“]

(28)

FXjy

F% ~

Fig. 108.

Für p = 0 ist T=AX

pl

max Ax = 2

(29)

Die Werte der minimalen Querkräfte.

Handelt es sich um min T in einem Querschnitte, so ist der linke Teil des Trägers von ax bis zum Querschnitte pl zu belasten.

Es ist somit

min T=pF»,

wobei mit Hilfe von (18)

F₂ =

[M

/'2r-3/F

J P

0

dx

und

min T,=/7/(y — p³)

(30)

Für p = 1 ist

min Tp — — max A» = — y

Gleichförmige Last über den ganzen Träger.

Bedeutet Tp die Querkraft bei Vollast, max T die maximale Querkraft bei rechtsseitiger, min T die minimale Querkraft bei linksseitiger Belastung, so ist

Tp = max Tp 4~ min Tp,

da

Tp=p (Fj 4- F») und max T—pFx min T=pF»

Setzen wir g anstatt p, so ist

(31),

Ts = gl[\ — ii\

pl

(31) gibt eine Gerade mit + y bei den Auflagern, 0 in der Mitte, wie beim einfachen Träger als Querkraftkurve bei Vollast, an.

Die Benutzung dieser Resultate und der ihnen entsprechenden Tabellen ist wie in den vorigen Fällen, wir wollen jedoch noch ein kleines Beispiel anführen.

Es handelt sich um die Berechnung eines Brückenträgers, der in die Rippen der Winkelstützmauern vollkommen eingespannt ist. Wollen wir für das Vorprojekt von der Berechnung des Bauwerkes als eines steifen Rahmens absehen, so untersuchen wir den Fahrbahnträger als horizontal eingespannten Balken.

Es wurde hier insofern ungünstig gerechnet, als nur ein Träger aus der Fahrbahn herausgegriffen wurde; dafür wurde von einem Zuschlag zur beweglichen Last abgesehen.

Die Bestimmung des maximalen Einspannungsmomentes.

Die Vorderwalze mit 10000 kg kommt in das reduzierte Hinterwalzen

gewicht mit 8100 kg rechts von der Vorderwalze, die übrigen Teile werden mit Menschengedränge ausgefüllt.*) (Fig. 109).

hi

3,%S

■10

Es ist nun

g = 2300 kg/m Eisengewicht /7 = 1020 kg/m Menschengedränge. Von den Einzellasten (— M₁)p = — 10000 • A • 12,0

— 8100-1,32 = — 28500 kgm. Vom Menschengedränge. MP±=p (Fi + F,)

Fig. 109.

F%

3,25

F, = —

j /¥ (*² — 2 lx-1- F) o

12,0

/ |r(*a — 2 lx -f-F) dx = — 1,355 qm

dx = — 3,56 qm

7,75

so daß

Mp — — 4,915 • 1020 = - 5013,3 kgm Vom Eigengewicht.

Mf=—A2300-12,0²= —27,600 kgm

so daß schließlich

max (— Aft) = — 6113300 kgcm

*) Die genaue Ermittlung der ungünstigsten Laststellung erfolgt ähnlich wie dies zum Schlüsse an einem Beispiele gezeigt wird.

Bestimmung des maximalen positiven Momentes.

Dies tritt in der Mitte auf und wir bestimmen es ebenfalls mit Hilfe der Einflußlinie. Die Vorderwalze mit 10000 kg kommt in die Mitte, die Hinterwalze mit 8100 kg nach rechts, der restliche Trägerteil wird mit Menschengedränge belastet. (Fig. 110.)

•10(00% S'IB

Ws

^1/

'lOAOyfuf.jAfdm.

F%

ao%o    t

Fig. 110.

Moment von der Walze

Mpc = 10000-| • 12,0 + 8100 • 0,42 = 18400kgm, Moment vom Menschengedränge

Mp = 1020    5,25 • 1,8 + ^2,25 • 0,2) = 2210 kgm,

Moment vom Eigengewicht

Ms = + 2300 • 12,0²= 13800 kgm,

so daß schließlich

max Me —3441000 kgem.

Bestimmung der dem maximalen Einspannungsmoment entsprechenden Äuflagereaktion.

Zur Berechnung der Winkelstützmauer müssen wir die ungünstigste Wirkung des Oberbaues in Rechnung nehmen. Die ungünstigste Wirkung wird eben

¹

st [x > dann kommt der Inflexionspunkt bei ₂ zur Geltung.

F,

40^0

^ AO%D-kq,jUcLm

iM»+

3,35

M.OO

Fig. 111.

bei größtem Einspannungsmomente sein. Da die Wirkung der Brücke auf die Stützmauer in einem Einspannungsmomente und in einer Äuflagerkraft besteht, müssen wir die bei der für maxMj ermittelten Laststellung auftretende Äuflagerkraft ermitteln. (Fig. 111).

Für

folgt aus (2)

für

*i—₃-

yi⁼ + y ~f~ l⁼ §■ T

x₂ = 6,75

0,406

2 • 6,75³ — 3 • 12,0 • 6,75² + 12,0³

12:1

Äuflagerkraft der Walze

Äf = 100000 • 14 + 8100 • 0,406 = 10700 kg Äuflagerkraft vom Menschengedränge

Ap = 1020 (F, + F₂)

3,25

7«

dx = 3,05 m

fH

12,0

2xs — 3 Ix¹ + /³

c/x = 0,42 m

7,75

Ap = 1020 • 3,47 = 3540 kg.

Äuflagerkraft vom Eigengewicht

Äf = |2300 • 12,0=13800 kg

Somit ist

A\ (max Mi) — 28040 kg.

Zum Schlüsse noch eine Bemerkung:

Die Laststellung, wobei die schwerste Last über die maximale Ordinate der Einflußlinie zu stehen kommt, führt allgemein nicht zum genauen Maximalwert; bei graphischer Bestimmung der Einflußlinien bleibt eben nichts anderes übrig als Probieren. Für praktische Zwecke ist das angegebene Verfahren hinreichend genau. Die analytische Ermittelung der Einflußlinie ermöglicht jedoch auch die ganz genaue ungünstigste Laststellung.

Es sei Plt P₂ • • • • Pn ein Zug von Einzellasten in den Entfernungen a1} a₂ • • • • an - 1 voneinander. Bezeichnen wir die Ordinaten mit ylt y₂ • • • • yn, die Äbszissen mit xlt x₂ • • • • xn, so ist y =/(x) die Gleichung der Einflußlinie, woraus

yi =f(x 1) y*. =/(*i + ßi)

yn=Axi + 2a)

Das Moment oder eine andere Größe, für welche die Einflußlinie gilt, ist

M = P!yx ~\~ P^y-2    ' Pnyn    n — \

M=p₁f(x₁) + Ptfixx + *!)+•••• PnAxi + Sa) und für die ungünstigste Laststellung

rfM    n ~ ¹

^ = Pxf (Xl) + P₉f {Xl + flj 4-----Pnf {Xx + 2a) = 0.

Besteht die Einflußlinie aus 2 Ästen, müssen die Lasten je nach der Möglichkeit so kombiniert werden, daß beide Gleichungen zur Anwendung kommen und das absolut ungünstigste Resultat beibehalten bleiben.

Steht noch eine gleichförmige Belastung zur Verfügung, kann auch ihr Einfluß aus der Einflußfläche und je nach der Einzellastenkombination als Funktion von *x ausgedrückt werden.

Beispiel 1.

Als kleines Beispiel für Einzellasten werde folgender Fall vorgeführt.

Es handelt sich um das maximale Stützenmoment für eine Platte mtt 1,0 m Spannweite. Als Belastung ist ein Lastwagen von 24,0 t Gesamtgewicht in Rechnung zu ziehen; die Spurweite ist 1,4 m. Wir haben somit mit 2 beweglichen Einzellasten ä 6 t zu rechnen.

<A3^

<bOOO-Juj

sl.OO

/|,0 0

y\,oo

Fig. 112.

Infolge der vorgesehenen Straßenanordnung ist eine so minimale Verteilung, daß hiervon abgesehen wird und die Räder als Einzellasten in Rechnung genommen werden.

Wäre die eine Last bedeutend größer als die andere, dann könnte man angenähert max Ml bei der öfters angewendeten Stellung der größten Last

über

1/3-

erwarten, da aber die Lasten gleich sind, der Verlauf der Mx-Kurve

allmählich, muß die ungünstigste Laststellung genau ermittelt werden.

Ein Rad wird sich im 1. Felde befinden und besitze hier die Abszisse x, der nach (1) die Ordinate

yi =

entspricht.

Das 2. Rad im 2. Felde hat die Abszisse

*4-1,4— l,0 = x+ 0,4 (Fig. 112) und nachdem die Einflußlinie hier durch die Gleichung

(7/²x— 12 /x² 4- 5*4

gegeben ist, ist für

x%⁼— x —f— 0,4 und /= 1,0

y* — — tS [7 (x 0,4) — 12 (x —j— 0,4)² -f⁻ 5 (x —{— 0,4) °]

und das Moment

MZ=P{yx+y*)

MP = - ™ (x³ — 6x² -j- 3,8x + 1,2).

Soll MP Maximum sein, muß

dM

dx

dM,

dx

-400 (3x²— 12x-j-3,8) = 0 x = 0,35

und somit

max MP=- 400 (0,35³ — 6 • 0,35² + 3,8 • 0,35 + 1,2) = — 734,8 kgm max 71+=— 73480 kgcm.

Beispiel 2.

Äls Beispiel für eine gleichmäßig verteilte Belastung werde noch die genaue Berechnung des Stützenmomentes der Fahrbahnplatte bei der Stockholmer Brücke, die bereits auf Seite 65 annähernd durchgeführt wurde, angegeben.

Die von der Vorderwalze herrührende gleichförmige Last von 3580 kg/m kann über 2,10 m angeordnet werden. Es wird ein Teil des 1. und ein Teil des 2. Feldes belastet. (Fig. 113.)

y/

WM

+ 33

+33

+33

Fig. 113.

Es ist

Mx = {Fx -f F₂)p

F^-j

4x (P — x²)

15/-

dx — —

_+r

15PV    ²

p—xr\

« I

Xt

F,=

x,

0

7 l-x — 12 lx°- + 5xs

15/²

Äus Fig. 113 folgt die Beziehung

jc, =x₂ — 0,77

00

cc

Setzen wir nun in die Ausdrücke für Ft und l— 1,33, xx = x₂— 0,77,

gelangen wir zur Gleichung

Fi + F*

15 • 1,33*

Soll Mp Maximum werden, muß

d [Ft'-f- Fo) Q

[1,39 + 3,63 x, + 6,21 x] — 8,4 xi + 2,25 x£]

dx..

sein und wenn wir die Differentiation durchführen

x| — 2,8 xi + 1,38 x₂ + 0,403 = 0 Durch Auflösung dieser Gleichung gelangen wir zu den Werten

und

so daß

xy — 0,22 m x₂ = 0,99 m ^1 + ^2 = 0,192 qm, max (—Mx)p = — 68900 cmkg.

Hierzu das bereits weiter oben bestimmte Moment vom Eigengewicht

Mf = — 21200 cmkg.

so daß

max M\ot■ = — 90100 cmkg,

wogegen früher 86295 cmkg berechnet wurden.

Tabellen der Einflußlinien

der Stützenmomente,

Biegungsmomente,

Auflager-Reaktionen und Querkräfte des kontinuierlichen Trägers mit 2 und 3 gleichen Öffnungen,

sowie des horizontal eingespannten Trägers.

*

■

Si

fl

mlzs X

ToF

O,0U73'Q

0.0980

o.oeszso

0.0891

0.093731

0.0961

0.089Z31

\maxT‘0.09mz5l

0.07ZI \ O.OOZ7SI

_

Ni

*0

1EM'T-'*aT&/

MirglezchförndgeEeZastung. maecJfJ³^ - Fspl*' min- Ff]?= o Mir Eigengewicht ■ Jtfr-‘t/*glz

in-O/Ole

>r^L

0.0873ZoT-~T-ma il

7794 Ob

0.063176/,

0.03160

0.0 90 6TEL

omm i o/oztoysi •

l.FeM:

'0.01Z8L 0.0037ZS l 0.0 0

O.OOM7SI

Ni    r<i

c$ Ni &    ^

%    §    |

§    %    §    %

<^‘    <5>    ■    <5>    s

00068ZS l

Ni

* |

| I Ni    Wx^)VOTlOr/Fl

^ ^

'S 'S- 'S ZJMeL: M-opM,

IYm2f+«al Tojiobi* o,ils

rvi

^T~ZZ

ty ~

«■

L,

Mergleichförmige EeUtshmg: vutcc Afd+o,0387Sp7F ttutv M&- -Of0O6ZSJ>L x Mer Eigengewicht:

M9-+0,03ZSglz'

Vz>

ie für dcuxM?gri&Tgs)rio7t'£7iL iiiOr20l/

o.ot

0;0736S7r~~-^ 0.1309 l ^jmaxe 0.12633 h 0.1 03 Z 0

0,081Z30

Ni

<5»

Ni

«5

Ni

,51 § %

Vsr <5>    «>

I.Feid:

T-f'cfi votvOMs O'Zt

| I ! | | § I | - y^z(U³-Sl^x³irmOrzl-t

ZFeld: hf-O.zJTj 2J ^Mir gleichförmige Eelastung-max    +0,0673plx

min EP--0l0lZ3plz'

Für Eigengewicht:

M⁹=0,033gl*

<y    <5>    «SS    <5s    <5>'

Ni

«■

TafelZ.

+ZS

171 ipOl

-wzz—

0,8625751^

0,12561

0,189525t

0,1548t

0,1218751

0,0012 t

0,0632251

0,038455

0^171757

Q£L

0,0127251

0,02761

0,02/5775L

mar 54002886751 0,02881

Ni

* ^

K>

sl <st st st s

*-—L

IFeld:

J~x 3vw* ⁰ Hs Opis Y'uöijl (41-51 zcc +x³hvw0,3l-l 2. Felds: 2£-0,aM4 Für gleichförmige Felastung: mcucMh +0/08625plz' mim 2{% -0r01875plz Für Figengewidit:

Jf?- +0/0675glz

..5

’jil in 0,4dl

l.Feld:

0,1008t

0.1527t

0.2064 t

0,16257

197Z1 0

0,08437

0,05127

o.QZßjfi'

O.OTs

0,01771

0,02881

0,03571

O'0384 7s

Ni

rnaAr P03849l\

<-

l<3

y-f+mz.r³ von ohis or4l j^t(Hs-Slzx*a>³hoTi opl-l 2,Feld: 2f’0,42f1 Für gleichförmige Belastung: maxcJP³- +,0,095plz mim Jf% -O, 025pl.z Für Figengewidit:

lfd-+0,07glz

SS

in OrsoZ

IFeld:

76251

L 0.01 '7703

0,076t

0.1158751\

0,158h

0,203125t

0,1520t

0,1053751

0,06401

Wo

5o0

0,021375h

0,0361 0,0446251

0,0481

N)

!N

S'

max\ T=O.Q48112*n.

cJilNl

j-    r ³ roTv oüis ogl

y-gix ('4ts-Sl zx*x J)ron 0,5ht Z.Feld: 2f-Q.52£

Für gldditormigeFelastung: maa>2fh +Ot 09375plz mim Jf& - 0,03/Zsplz Für Figengewidit:

2ft-+O,0625glz

in

IFeld:

200

25151

0,05lh^

0.07905V

0.1096V

0,18375V

0,1828 V

0,126851

0.0768V

0,03835f    '

0.0V

0,025651

0.08321

0,053551

0,05761

hsi

CT

§ §

1 1

CT Cf

Cf

y*T⁺$irx3 evn0lrisQ,6l y *    (8l³-5lFc *x ³lyomO,6V-l.

ZFelxL : M-OfiM,

Für gleichförmige Belastung: mar Mp+Ot08Z5plz min MP-~0,037Splz Für Eigengewicht:

Mh^OfiUSglz

mgJJv - Q057735/.

!3

Oe

0.0V

0,0126751

081

0.052225 V 0,0612 V ^

0,088375V

0,1128 V

0,157525V

0,0896V

uoow'o

'0,05

0,0299251

0,05081

0,0625751

0,06721

0,0656251

■<

§§

NO

er

0,03361

o.omzüi

0,01

IFeZcl:

r0Tl/ 0Us °’rl

7’Wlfi(*l -7lZ<K+CC?howOrVl-l

Z.Fdcl: M^Q.yoM Für gleichförmige Belastung: Tnaa>ldp*+ 0,06125plz Trän MP- -0f08375plz Für Eigengewicht:

M9-+Oromglz

ynxeoe j-0,0673573 Z

Fi

feg

I.

ir

IFdd:

m±_

0.0002 7

0.00161

0.00541

0.01281

0.0251

0304321

0,06861S

o.iozk^tr

0,0451

0.01

Q,03kZl

0.05761

0,071kl

0,07681

0.0751

0,06721

0,05461

0.038kl

lO

-mst.Tr.y-~ O 07888 7.

j*Orlx³ voto Obis 0,8l y= gji ('fl ³-5lzx +jc ³hon Q8l-l 2.Meld: Mm 0,8M1 Mb- gleichförmige Belastung. maxMQ + 0.03plz Trän MP* - 0,05plz Mir Eigengewicht: Mß=-0,0Zglz

feg

S*

SU

<5

Sn

Meid,:

0.01

00122757,

OOZ3Z l 0.0324257 0.03561_

2 49ZO O    |

TsTttöoYj ?

__0.0103251

Y

X 0.01521

1251

0.01

0,0384751

0.0648 l

0.0803257,

0.080kl

0.0813751

0,07561

0.0614251

0, 0432 l

f-o

<5>‘

y-008660251.

Y*- f    uPvmvOMs 0,9t

y~Jolz^b³-5lzx+a>³)-row09Tl ZEeld: M~0,92f1 Mir glehhioj-rnigey Behis LuTig: ttulxMP- + 0,00611plz minM?- -0,07361plz FibrEigengewiilit:

~0,0675glz

rn/tri'

s*-

k

jdZl

ve/des.

s.

JJL

087525

0.752

0.63175

0,516

0.21075

0,128

0,05725

00

0.1Z775

_v

0,278

0.36825

/

0.A87

t

ZUhO‘0

•.

0,072 0,089ZS 0.096

maxy- 0.096223 009575

0,08fr

8700

S7.890‘0

IFeld:

obere Gurre :j*x 3 ^jj+¥l 3 untere Curreij*

Z.FelrL: A₀ =^i uT

Für' gleichförmige Belastung: mcucftT^+js-pl rnin/f*

Tß- fthty+i/S-f]

:nTjl=VTs[jf -10/F-1)

Für Eigengewicht: AJ>.*l/Sgl 1)!t-ail3-8ut

HUI t

nu

*•*

tsf

CNI7

-Sfr

I.FelxL:

T=

3lzx-jc³

zl³

Z.FelcL:

7‘

3lZX‘-X'³

zl³

Hü' gleichförmige Belastung:

mar, Ajf + fpt >- rnirvAf - 0

0.1795 0.296 0r 7365 0,568

0,6875

0,79Z

0,8785

0,977

0,9855

1,00

0,9855

0,974

0,8785

0,79Z

0,6875

0.568 0,4365

0.Z96

«■

Für Eigengewicht ■

% Äf=⁺ hl

fe-

Jä

0.0

0.02601

0.05/21

0.07281

0.08961

0.101

0./0201

0.09521

199000

789500

0.01

00391

0.0601

0.0771

0.081

0.0751

0.0601

0.0091

0.0321

0.0/51

0.01

0.0//01

0.0/921

0.02381

002361

<S

Kl £

ll

<5? <5f

l/

yrvaxy.-i.Pyil|

1Feld:y-^zJc(V-zf) 2FeU:y--r4p(ylJc-/2l>d+5af) 3Feld:y+^ji (Zlfc -3bx*+x³)

% § FürgleichfvrmigeBelasiung: *    maxf-M,)- - y/eopf

m ax/*M⁹h + i(iopl*

Nn>

§

maxy=Q.080m

max

Für Eigengewicht: M⁹=-V/oglz

fet

SS

h ~7J7m36-b-

0.070881 +

006272/

0.05/001

0.001

0.020761

720081

0.0/2321

0.005001

0.01

0,00391

109001)

000771

0.0081

0.00751

0.00601

0.00091

0,00321

000/51

aooi

76/tOÖ’O

0.00/921

0,002381

0.002561

0.00251

0.002201

0.00/821

0.00/281

0.000661

§•

r-

%

mxx y-000801/2.1, ±

/.Feld:

0Jt/dffi2kroTl0T,iS0.tl y. ^dm^tl5larom0t1bisi ZFeld:M-3.Feld ’-M~ O. 1M,

Fürgleich förmige Belastung: maocM⁹+ O.OOpl2 min M0,005pl'

Für Eigengewicht ’■

M⁹- + 0,035gl*

2n

1=

IFeL&i

07)

---f-Ztüuio

0./09761

0./25001

0.702081

0.081

0.059521

0/00096*

0,0*6601

0.0/0881

m.

781000

00/281

00/501

29/00

0.0/51

0,0/281

0.00981

0.00601

0.003t

mary-00/60229M

~n!

__LJ__QOL___

__' i___0.002281__

_I_0.003801

__'    0.000761

nunc y= ,£rtn l _______0,005/21_

_''_    0.0051__

_____0.000081

__    0,003601

ll-

jr₀n QOUsO.Zl

Z.Felcl • J/“ 0.2 M-,

S. Feld • J/ OJ?M,

>51*

FürgleidifÖTTTugeBdashmg: maxM- + 0,07 pl^ minM - -0,01 pl*

In

«5-

/.Feld:

1,2x³+ 9.3 Tx

von Obis 0,3l

V^~fspfi⁵-l*r07VQ3bisl

151*

L,._ &

LJ ~    066208.1

0.12666t

79/88/0

0,153/21

0.1201

0,089281

2661900

o.o.wtriTi

^FW/632 Z

^    0.0/171

0.0/921 2    0.023/1

P026Q2

0,02251

0,0/921

0.01671

0,00961

0.0065L

OB

0.003622 0.005761 0.007161 0,007681 0,0075 Z 0,006721 0,005662 000386Z

0.00198 0

OP

Z.FeltL:M- 0,3 Mj 3.Feld :M= 0,3M,

mojcy‘(%)26033]6l \

mmy-ißtk¹

Sn-i

<5

ft

t-s

«*■

Fib'glelchfÖTmigeBelastiLng: m ax 0,09 pF minM^-0,015pF

FürEigengen'idit: M⁹=+0,0/5glz

/Feld-

16a?+7.6Vx

y-

/r^ von ObisO,Ol 16x-7.6tx+6l³

15lz

von Op bis l

2.Feld :M= O, OM, •?. Feld --M- O. 6 M,

0,0

T~~~ —0068.661

0.099521

0.15088 l

0206/61

0,1601

0.119061

0,08/921

0.06928

092/761

pp

295100

,4

^    0.02561

^ 0.03081 0.0321

0,031

0.02561

0.Ö196I

0.0/281

0,0061

vAO,0320'i6Hlg

0.000561

0.007681

0.009521

0.010201

+|    0.0101

I    0.008961

Kd

NO

<5> <5

FärgleichförmigeBelastung: mcucM=+0,1pF min M = - 0,02pF

FürEigengeiviehl ’■ M³- + 0,08g F

rnax

/.Feld:

»3

S-

v,

N,

2x³+5.5Jfx

von Obis 0,5l

y_Zod-&,5^tZ5l³VOTLo,5bisl

Z.Feld: M= 0,5Mj

15l*

H-

3.Feld: M- 0.5M,

0.0

—003681

00766,

_0,H361

_ 015521, 0201

0.16881

0,10261

0,06161

M.

4* 0.0195 L

^    0.03201:

5    0.03851

P0601

0.03751

0,03201

256200

W9lOrÖ

0,00751

POL

0.00571

0.00961

0,01191

0.01281

0.0/251 0.01121

0.00911

0.00601

0.00331

0.0

FiirgleidrfönmgeBelastunxj.

maxM^+0,1 pF

min    0,025pF

Vn ax y OP 66056Ff

^ii<N

Für Elfj engen ichl: Ms=+0,075gF

/.Feld:

fN?

■nnCt

2,6f+3,6lx

von Obis 0,61 yJ/ix-npLrrOl vonOrß bisl

2.Fdd:M-0.6M,

15 F

3.Feld:    0,6 M,

0.0

^^0026/61

'ofo#287/

0.076321

0.10626 t

10670

0.178561

0.122881

0.073921

O.QZt&fL

0.0

A 0.02361

0.03861 ^    0.0662t

1.0681

72500

0.0380 t

166200

12610’0

16000

0.00686t

0,0/7521

0.076281

N v\ N N

<ö> <5> ^ <5>

<S <5> <ö'

FürgleichförmigeTtelastimg

Mp=+0,09pV

Mp-0,03pl²

max.

nun

mar v-0.0580672lX

hf

v3

Für Eigengewicht : M³=+0,06gl²

l.Feld:

ZOF+vFjc

151²

vonObisOyi

Bq

§•

Z8oc?-13.3 iW+195lt

151*

vonOfbisl

2. Feld '-M= 0, IM, 3Fdd :M= 0,7Mj

0.0

0,07!52t

0.025/61

1601

0,0517285

0.0801

0.108321.

0,75.3367    +

0,08626__

Wo

Fi)

0.02731

C.-    0.06581

^    0.05391

0.0561

0.05251

0.06681

0.03631

0.02261

0.0/051

INJ

0.073661

0.076661

0.017921

S)

N* Ni

<S

II

7295000

FürgleichförjiügeBelastujig: rncucM= + 0,07pf nun. Mp -0,035plz

ma.rv-0/756078Ol 2

EL

2 £7 £5-fi, amu

V3

Für Eigengewicht: M⁹=+0,035glz

0.001/21

0.00096t

000776t

0.008321

00201

g»938081 0.0638hS>T

+    0.09856

0.05352

o.o

s£ 0.03/21

So

0.05121 Ä 0.06/61

0.066Z

1900

0.05121

8.

S5-

2ö

33

0,03921

0.02561

0.0721

00

1376000

0.075361

0,079061

0.020081

O.OZOl

0077921.

0.070561

0070201

0.00528t

mc/xy-ulfas^*

max y-0.0660896\    ^

CN/

max-v=&?hl

/.Feld:

&F-OZlx von obis 0,81 y-^-Kf^von Oßbisl Z.Feld '- M- 0,8 M, 3.FM.M- 0//M,

<&

^ FürgleichförmigeBelastung maxM*+0,0't02083pl2 3 k- nun, Mp~0,0002083pl²

u-

t⁵

0,0

39icnro

3808800

0,03552t

0,050651

0,050t

0,032161

Q01568I

0,010881

396850V

Iß

0,03511

393500

ii

0,06931-

0,072-1

0,06751

0,0551t

0,02881

0,0135h

0,0

0,010261

0,017281

0,021521

15650010    /

iztuo'o / 3869 10‘0 J 39WZ(/0 ( ISZZCtO | -4. 3906ZC/0

J.Feld:

3,tix³~2.lßc F T5Ü~~

3£x³-17,1lx\13.5l³

yvrv0bis0,9L

y-

151*

VUTtOß-l

2.Feld: M-OfM,

'mmr-z2n⁷^

°51s;

^max V - 087210081

maxv=imfl

.3Feld: M-0.9M

Für gleirhl'örTrüge Belastung J/= + 0,020516pl2 rin lfi -0,065516pl2 Für Eigengewicht-:

J>f~ - 0,055g1z

max

rru

0,0

0,0231t

0,05581 l o,o637i    sy

0,07851 0,08751    ^

0,08961.

0,08331 ~j$t 0,06721

0,03991 V

0,0

Sa

3Z6l0‘aL

0,00521

0,01851 „S

5 75ZOV

0,02561

002181

0,01521

0,00751

0,0

0/)057l

0,00961    ^

0,01191    gv

0,01281    tf⁴

0,01251    ^

0,0112b

0,00911

0,00651

0,00331

0,0

tSSIpt

maxi/- 9V31

1.5

Tna.vy=-oÄ>sniA,

«Sb*

J.Feld..--j&xfi*-**/ Z.Feld:

g-mek+WlJ- ‘'fyorrObisOJl

/ÖL

3Feld:y- t2lx+3lx-x)

füi'gleü'hförmigeBelastung: + 0,01515pl²

min. ifi - 0,07015 pl2 Für Eigengewicht-: l/= - 0,055glz

max

0,0

0,0/981

0,03851

0,05561 0,0672t 0,0751 0,07681

351/M'O

192S0‘0

0,03521

0,0

05581 ^

0,10251

Hh 0,06861

0,0532,

'0,0251    5

0,0/281

*>

0,00551

0,0016t

0,00021

0,0

0,0

o,o

0,0

0,0

0,0

0,0

0,0

O'O

ao

0,0

7. Feld: y - -spx(iz-xz) Z.Feld:

y₌6lgc+9lx. -Qpcypn, Obis Oßl 3l³-9l?xJr9lF-3F

y~

ISP

von, 02-1

Jt

max -1573^

3.Feld: g-0.

FürgleichförmigeBelastiuig: ifi+OftOpl? min- M= - 0,05pl2 Für Eigengewicht :

jfi-0,OZglz-

max.

tv

&

{301 des.

Tw

0,01651

0,032 1

0,00551

0,0561

0,06251

0,0601

0,05951

0,0081

0,02851

0.01

^^-M382l

0,08561

0,10101

0,10081

0,0751

0,05121

0,03.

HO 1801

NO

Ni

«0

N> NO

11

CS CS

0,00911

0,00601

Ni

I

cs

er cs

5ik

Nsi

macF-rnU

Hl

<-

«5I<n I

/. Feld: V- -Moc (T-or z)

2.Feld:

5l*%l{?~~ron Obis 0,31

3.Feld--y^Mz t-Ztit*3hxhd) FürgleidiförmitjeBelastung • t/ioxM=+0,055plz min M = -0,05pl2 Für Eigengewicht •' M⁹~+0,005glz

jEinruMLiie

i¹

Wll des

oldi

IFddsg=-,jp oc(l z-oc²) 2. Feld:

y=    VonObis O, Ol

el-nl^^-^voriOpd

y=

151

ML

0,01321

0,02561

0,03601

0.00081

0,0501

0,05121

0,00761

0,03801

0,02281

0.01

'0213061

0,0688

0,11021

0,15801

0,1251

2 9680‘0

0,05981

0,035k

Hat50!

NO fN>

•> g*

*- 5; ^

<c> cs e>

^ ci cs

NO

N>

Ci'

CS cs

0,01821

0,01281

0,00661

0,0

3.Feld:    (-2 Uc+3lcc*-x³)

'Clio*

NO

13

maxM^+O.OIpl2 min M p=-0,05pl2 FürEigengewicht •• Ma=+0,02glz

s*

1=

30' d^sJU-dties.

Hb

000991

0,01921

0,02131

0,03361

0,03151

0,03801

003571

0,02881

0,01111

200

^»n0,0231

0,0811

0,1281

0,1751

0,1281

0,0811

0,0521

0,01

0.01111

0,02881

0,03571

0,03801

0,03751

0,03361

0,02131

0,01921

0,00991

O'O

"SnT

maxyUf^l

■W/hl I

J/urxy

1EeM=-x<}yrz-J

Z.Fcld:

y-^lfö-ronObisOhl y= MlEE^!dMr0Ti 0,5-1 3.Feld:-ilF^T— FürgleichfönnigeBelaslu/ig: maxLMp=+0,015plz minMp- -0,05pl2 - Tür Eigengewicht • M³^0,025glz

TafetU.

T

JtZ

gä

Feldes.

Cr'

1,0

0,8736

0,7988

22290

+    0,5109 /

0,9t

1(2976

0,2098

0,1232

0,0599

go_

\maacy= Ü080/Z2

7naxy=+&rtä

0,0

0,1269

0,2512

0.3728,

0,9896

0,60

/ 0,7029

Z26&V

0,8768

0,9956

/.o

0039 i

KS

0,069

0,077

0,080

0,075

0,069

0,099

0,032

0,0/5

0.0

0.0/19

zeio'ö

0,0238

98200

o-

8

OT Os'

%

o>-

fc

••

/.Feld: oberetarre:y= untereCurre-y-

ZFddgAö T,>y-~h' (ll&dZlsfrthi) 3. Fdd:A-rr^r’)'i]-+F(2lx-3laf<-f) FürgleicfiförrnigeBelashmg •• maccj£+£ pl minA^-- r2opl Ti§\l7-6tW38f-^"\ mirfl^ $ [9y,-38/i*-3]

Für Eigengewicht *

A⁹₀ = ²Agl

9«?.19tic+15l³

ISl³

9ac’-19li(C

<o

max

T'sr

■3s

8lh-3a?

ii

mooc V’-ghs

/.?

0.0

0,1599

0,3152

0,9638

0,6016

0,725

0,8369

0,9)92

I §

3 I

3- §•

LQ_

0,963

0,896

0,805

0,696

0,575

0,998

0,321

0,20

0,091

OJL

0,068b

0,1/52

0,1928

0,/536

0,150

S § 3 %

3' 3' Os" 3'

3'

/.Feld:y=

Z.Feld: y=

3.Feld:A;~ ^Y';y—Sj3 (2Vx-3lce+af) Fürgleirhförrruge Belastung:

77ia3c Ap=+ ⁶/s pl nibhAp -A pl Für Eigengewicht •

d~&fi

sl‘

5j?-9lad-Vx +5l³

51³

—A

t'

Z.Feld••

rrucxyFd

Fi

0,929

0.832

0,728

0,6/6

0,50

€272

0,168

0,0/6

0,0

2x-3la?-Zloc

H-

4-

rrn/jc

untere Gurre:y= obere Gurre ■■y*

3.Feld:T--⁵-f’^s^

'-FürgleichJormige Belastung:

3l³

3l³

0,0

0,033

0,069

160Ö

0,1 12

0,125

0,128

0,119

0,096

t5 ^ $ § 5S£ $

q>'    ^    ^

r*

3' OS

/0,832

0,92b

3'

<s

0,06b

s§

« 3. Os' 0>'

maxT 'l tl \y-t2p,+9/3+ 't/jß-2/i*] minTp- \;1-9/t’-9ju*+2p *] Für Eigengewicht

EinftußUnig für dasEinspannungsrnomenl M₁

Ni

hi

y—fz (ocz-2lx+lz)

s> §

«    Qi' Q)'- Qi- Q> QJ Q>-    Q,⁴'

Her gleichförmige. Belastung: meur (-5^1“ - Vtzplz min, (~M₁) ~0

'i

Für Eigengewicht : M₁P--i/izglz

Einflußliriie fii,*das JBieg<Mgsriome.it bei 0,10?

Ni>

8

Q' Q-

A\

Qi' <3

(~g 7 *

’Zr

vamObisOpl von, Ql bis l y-

Für gleichförmige Belastung: Tnace Mp + 0,0007plz min, AfP- -0,039plz

fr

ill 1ZL

Für Eigengewicht •' J/^—0,0383glz ,

Cü

Ifö

man I

100981    &

0.01Wl

Tszffi

0,02561

0,01981

sz>

0.01121

^    1K000

~ö7)

von,

Obis O,ZI

- OßF* Ulaf-Vfr+Ozl³

von 0,2 bis l y=

75

««Is.

EL

•yj 0ß263l

El

Für gleichförmige Belastung: maoc, M& +0,0065plz min, MP- -0,0098plz

Ni

Für Eigengeivicht '■ Mp 0,0033g lz

CVI

Einfiußlüie fiin dasBiegiingsixoment bei, 0,3?/

rmax

von, Obis Or3l y= von, 0,3 bis 1/ y-

-OßCC³+ l.lTccl

7Z

-oyxl+i.ilF-lSc+Ozl³

Sh

Ni

*Kü

OJ Oilo,

fsj

Für gleichförmige Belastung: Mp- + 0,0218b pl,z min JfP= - 0,00013plz

rruuc

m.

0,00961

180 WO

0.0882 l

0.05001

0.0251

0.00961

0.00181/

0.00081

ib/i-tj-oonnQfK 7

0.00061

SS

bei O/et

von

*0,t0³

rr maa>

Für gleichförmige Belastung: max Mf-0,0367plz ttcüv M^O

pp_

0.0301t

0.06661

0.1152 t

0.0751 0.0118 t

0.02311

Ni

Ki

Für Eigengewicht: Mü- 0,0367glz

gs

bei Oft

o,sxz

Zt

von O bis Oft

r inane

Für gleichförmige Belastung: IfP + Vz+Jjb*' min Mf}~ o

max

für Eigengewicht:

M3 +Uglz

m.

0.0801

0.1251

0,08t

0.015 t

0.0051

§j

üßtn'ie

tPL

TPtffo

OS

Co

Q*

0.618

'0,352 ____

0,216

0,10t

0,028

ZX³-3lxl*l³

obere Curre - z jc- ³-3 Ix ,l+l³untere Cwre

l³

l³

Für gleichförmige Belastung:

Ä<-PT mirv A}- O

T/R-gl f%-££+fi³-/t]

min tJz-jjI ( P£-g³)

max

m/uc

0.216

0.352    /

m/.

/

Qf618

/ 0,781

0,896

0,972

Für Eigengewicht :

A,-1

Tjll gl ( Vz-ji)

\

r⁵

■

s

.i

.

*-

■

V

j

■+

• >

.

WYEZIALY FOLITECHNICZNE KRAKOW

BIBLIOTEKA GLÖWNA

^Iphblu

... T»

■*kM

s

i -,-Ä

Druk. U. J. Zam. 356. 10.000.

Bibliofeka Politechniki Kiakowskie)