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Bibliofeka Politechniki Krakowskiej

AÜJioX .

DIE INNERE

REIBUNG DER FESTEN KÖRPER

ALS BEITRAG ZUR

THEORETISCHEN MECH. TECHNOLOGIE

VON

ALEXANDER REJTÖ,

INGENIEUR UND PROFESSOR DER MECH. TECHNOLOGIE AN DER TECHN. HOCHSCHULE

ZU BUDAPEST.

AUS DEM UNGARISCHEN ÜBERSETZT

VON

KARL GAUL

INGENIEUR UND PRIVAT-DOCENT AN DER TECHN. HOCHSCHULE ZU BUDAPEST.

MIT 22 TAFELN.

öffentlichen Arbeiten

LEIPZIG

VERLAG VON ARTHUR FELIX.

1897.

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( JAKÖW

Vorwort.

Den Anstoss zu dieser meiner Arbeit gab mir das Kick’sche Gesetz über die proportionalen Widerstände, der Wirkungswinkel Thime’s und die Hinweisung Herrmann Fischer’s auf das Molekularnetz.

Yon den Studien dieser hervorragenden Forscher und Gelehrten ausgehend, war mein Bestreben, die bleibende Formänderung der Materialien und die hierzu nöthige äussere Kraft zu bestimmen.

Die Formänderung bestimmte ich mit Hilfe des Wirkungswinkels, beziehungsweise durch Annahme der Richtung der Kraftvermittlung.

Mit Hilfe des Wirkungswinkels sind wir im Stande, nicht nur die einfacheren, sondern auch die zusammengesetzteren Erscheinungen der Formänderung im voraus zu bestimmen. Die derartig bestimmten Erscheinungen bei Zug-, Druck-, Scheer- und Loch versuchen stimmen mit den Yersuchsresultaten vollkommen überein.

Die zur Formänderung nöthige äussere Kraft bestimmte ich bei langsamer Deformatien mit Hilfe der inneren Reibung, welche ich als absolute Eigenschaft des Materials halte und die ich in Form eines Diagrammes als Funktion der procentualen Maasszunahme (Dehnung) darstelle. Mittelst des Diagrammes der inneren Reibung sind wir im Stande, die nöthige Kraft und Arbeitsmenge jederartigen Beanspruchung zu berechnen. Die derartig berechneten Werthe stimmen mit den Yersuchsresultaten immer gut überein.

Die Lösung dieser zwei Aufgaben behandle ich, um Wiederholungen zu vermeiden, gemeinsam.

Schliesslich habe ich auch die analytische Formel der inneren Reibung und mit Hilfe dieser die Kraft- uud Arbeitformeln mehrerer Beanspruchs-arten bestimmt. Bezüglich der Ausführung meiner Yersuche muss ich bemerken, dass ich die Yersuchsresultate yon meinem individuellen Einfluss befreien wollte und deshalb weder die Messungen noch die Berechnungen selbst ausführte. Die genauen Abmessungen der Probekörper wurden von Herrn J. Csonka, Werkmeister am Polytechnikum, die Zeichnungen und Berechnungen aber von Herrn G. Koiss, Assistent am Polytechnikum (mit Beihilfe eines Maschineningenieurs und zweier Hörer des Polytechnikums) durchgeführt. Für die mit grosser Genauigkeit und Yerlässlichkeit ausgeführten Arbeiten spreche ich diesen Herren auch hier meinen besten Dank aus.

Endlich erwähne ich, dass die Original-Probekörper und Diagramme von mir aufbewahrt werden und von meinen geehrten Fachgenossen in meinem mechanisch-technologischen Laboratorium jederzeit besichtigt, stu-dirt und überprüft werden können.

Budapest, im October 1896.

Prof. Alexander Rejtö.

Inhalt.

I. Einleitung⁻.

II. («rund - Principien.

Seite

1.    Die inneren Kräfte.........

2.    Die Form (Gestalt) der Moleküle ....

3.    Molekulargruppen - Keibung......

4.    Beobachtung des Kleingefüges.....

5.    Gebundene Gase, Elasticität, Verdichtbarkeit

6.    Richtung der Kraftvermittlung .'....

7.    Eintheilung der Materialien......

III. Beanspruchung ersten Grades.

A. Beanspruchung auf Zug.

8.    Allgemeiner Theil......................

9.    Material I. Gruppe. Sprödes Material mit constantem f₁ wobei Nf > p₀ ist .

10.    Material II. Gruppe. Bildsames Material mit constantem /", wobei Nf<ip₀ ist

11.    Material III. Gruppe. Material mit constantem /', wobei Nf = p₍₎ ist . . .

12.    Gemeinsame Eigenschaften der zähen Materialien..........

13.    Material IV. Gruppe. Zähes, jedoch unbildsames Material mit variablem wobei

Nfmax > p₀ ist......................

14.    Material V. Gruppe. Zähes und bildsames Material mit variablem f, wobei

Nfw&x <Z p₀ ist......................

15.    Material VI. Gruppe. Zähes Material mit variablem f, wobei Nfma,x = p₀ ist

16.    Versuchsresultate......................

10

13

14

15

16

24

25

27

28

B. Beanspruchung auf Druck.

17.    Allgemeiner Theil.....................

18.    Material I. Gruppe. Sprödes Material mit constantem /', wobei Nf > p₀ ist .

19.    Material II. Gruppe. Bildsames Material mit constantem /", wobei Nf < p₀ ist    36

20.    Material III. Gruppe. Material mit constantem /, wobei Nf=p₀ ist . . . .

21.    Gemeinsame Eigenschaften der zähen Materialien ..........

22.    Material IV. Gruppe. Zähes, jedoch unbildsames Material mit variablem f

wobei Nfmax > p₀ ist....................

23.    Material V. Gruppe. Zähes und bildsames Material mit variablem /, wobei

Nf max <C p₀ ist......................

24.    Material VI. Gruppe. Zähes Material mit variablem f, wobei Nfmax = p₀ ist 58

25.    Versuchsresultate

31

35

46

47

56

57

IV. Beanspruchung zweiten Grades.

A. Scheeren.

Seite

26.    Scheere mit parallelen Schneiden und rechtwinkligem Schneidewinkel. /_ <p = 0°,

Z « = 90°........................

27.    Scheere mit schiefer Schneide und rechtwinkligem Schneidewinkel. Z </> > 0°,

Z « = 90°.........................

28.    Scheere mit parallelen Schneiden und spitzem Schneidewinkel. Z <f> — 0°,

Z « < 90°...................

29.    Scheere mit schiefer Schneide und spitzem Schneidewinkel.

Z « = 83°...................

30.    Versuchsresultate ................

Z y = 5°,

66

70

72

75

78

B. Lochen.

31.    Lochen mit gleich grossem Stempel und Lochring

32.    Versuchsresultate ...........

82

86

V. Rekapitulation der Ergebnisse des graphischen Verfahrens.

33.    Die Art der Formänderung................

34.    Die Grösse der Kräfte, welche zur Formänderung nöthig sind .

90

92

VI. Analytische Ableitungen.

35.    Formeln der inneren Reibung und der Zähigkeit .    .    .

36.    Formeln der Zugbeanspruchung.........

g7. Formeln der Druckbeanspruchung........

38. Formeln der Scheerkraft und deren Arbeit bei Scheeren mit parallelen Schneiden 107

96

100

102

II.

III.

IV.

V.

VI.

VII.

VIII.

IX.

X.

XI.

XII.

XIII.

XIV.

XV.

XVI.

XVII.

XVIII.

XIX.

XX.

XXI.

XXII.

Verzeichnis der Tafeln.

Fundamentale Versuche.

Das Kleingefüge des Eisens.

Beanspruchung auf Zug.

Die Form der Diagramme.

Apparat für Zug- und Druclcbeanspruchung. Beanspruchung auf Druck.

Blei.

Zinn.

Aluminium.

Kupferblech von 18 mm Stärke.

Kupferblech von 15 mm Stärke.

Kupferblech von 12 mm Stärke.

Prima - Kesselblech.

Secunda - Kesselblech.

Messingblech von 18 mm Stärke. Messingblech von 15 mm Stärke. Messingblech von 12 mm Stärke.

Deltametall.

Zink und graues Gusseisen.

Scheeren.

Scheeren und Lochen.

Lochen.

I. Einleitung.

Karmarsch, der Begründer der systematischen mechanischen Technologie, sowie seine Vorgänger wählten zur Darstellung der Technologie die beschreibende Form. Diese Form eignet sich jedoch zu einer streng wissenschaftlichen Darstellung der Technologie nicht, so dass die beschreibende Technologie der experimentalen mechanischen Technologie den Platz räumen musste.

Die experimentale mechanische Technologie wuchs aus den V ersuchs -Ergebnissen Tresca’s, Kick’s, Thime’s, Hartig’s und Bauschinger’s hervor und ist heute die verbreitetste, obzwar diese den streng wissenschaftlichen Anforderungen auch nicht entspricht, da sie, statt den wahren Grand der Erscheinungen direct zu erforschen, die Erscheinungen nur durch Versuchs-Ergebnisse begründet.

Da wir heute noch immer die experimentale Technologie anwenden, so sei es uns gestattet, die bisherigen Ergebnisse auf diesem Gebiete kurz zu resümiren.

Der erste Experimentator auf diesem Gebiete war Tresca, der bei Formänderung die Erscheinung des Fliessens fester Körper wahrnahm.

Den von Tresca angebahnten Weg betrat auch Fr. Kick, und erzielte hier namhafte Resultate.

Kick experimentirte mit geometrisch ähnlichen Körpern (siehe I. Beilage, Fig. 1 und 2) und fand, dass die zu gleichartigen und proportionalen Formänderungen nöthigen Kräfte sich so verhalten, wie die Grössen der Flächen, und die Arbeitsgrössen so, wie die Volumen dieser Körper. — Kick nennt dieses Gesetz: „Gesetz der proportionalen Widerstände.“¹)

Kick theilt auch noch weitere sehr wichtige Resultate mit, so z. B., dass die knetbaren Materialien, wenn sie gegen Stoss elastisch wirken, ihre Elasticität nur den von ihnen eingeschlossenen Luftbläschen verdanken, ferner, dass spröde Materialien unter allseitigem hohen Druck bildsam werden.

Die Versuche mit spröden Materialien führte Kick auf die in Fig. 3, 4 und 5, Taf. I dargestellte Weise durch. In Fig. 3 ist das spröde Material mit Schellack, Schwefel oder Stearin in ein Eisenrohr eingeschmolzen, in welchem sich bei langsamem Druck das spröde Material nach Fig. 4 deformirte.

In Fig. 5 hat das spröde Material (s) eine flüssige Umhüllung. Das Glasrohr a ist oben und unten durch Kautschuk vollkommen dicht abgeschlossen. Auf das obere Kautschukblatt wirkte der Pressstempel (c₂).

Bemerkenswerth sind auch die Versuche Kick’s über das Verhalten dünner Bleiplatten gegen Druck, bei denen sich zeigte/dass entsprechend der Fig. 6, Taf. I, in den mittleren Theilen der Platte der Druck ein höherer ist, als gegen den Umfang zu.

Die experimentale Technologie beruft sich auch häufig auf die Resultate Hartig’s, betreffs des Arbeitsmoduls. Hartig meint, dass der Arbeitsmodul, d. h. die Arbeitsfähigkeit bezogen auf die Gewichtseinheit, eine charakteristische Eigenschaft des Materials sei, ebenso auch der Völlig-keitsgrad (rj) des Schaubildes der Festigkeitsversuche Fig. 7, Taf. I, wo

ist.

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Einen fundamentalen Satz unserer Technologie verdanken wir Thime.²) Thime hat Versuche (Fig. 8 und 9, Taf. I) mit Werkzeugen von verschiedenem Schneidewinkel durchgeführt. Thime -fand, dass Stauchung des Materials nur bis zur Ebene uz eintritt, und dass die Richtung dieser Ebene (uz) zur horizontalen, d. h. der Winkel ß-j-«, constant sei. Diesen Winkel nennt Thime Wirkungswinkel, und fand bei Metallen für diesen den Werth von 140°—155°.

Schliesslich sind noch die Resultate Bauschinger’s zu erwähnen. Bau-schinger sagt in seinen Mittheilungen von 1892:

a) Die Zugfestigkeit wird von der Querschnittsform nicht beeinflusst. ß) Die Bruchdehnung wächst mit der Querschnittsgrösse und kann die Beziehung zwischen ihr und der Grösse des Querschnittes (F) durch eine Gleichung

ö = A + x iF

dargestellt werden, deren Coefficienten X und x wesentlich von der individuellen Beschaffenheit des Materials abhängen. y) Contraction des Querschnittes und Dehnung stehen in keinem noth-wendigen Zusammenhang.

ö) Durch Zerreissen wird die Elasticitätsgrenze der Bruchstücke bei gleichem Material auf gleiche Höhe gehoben, unabhängig davon, wie hoch oder wie niedrig sie ursprünglich gelegen war.

Die in bündiger Form zusammengestellten wichtigsten Versuchs-Ergebnisse stehen, wie leicht ersichtlich, nicht immer im Einklänge miteinander, ja unter ihnen sind auch directe Gegensätze.

So z. B. widerspricht Kick’s Gesetz den Resultaten Hartig’s und Bauschinger’s. Nach Hartig ist die Arbeitsfähigkeit bei allen Körpern mit dem Gewichte, folglich auch mit dem Volumen, proportional, nach Eick hingegen nur bei geometrisch ähnlichen, d. ,h. bei proportionalen Körpern. Weiterhin ist nach Bauschinger die Reisskraft mit der Grösse des Querschnittes proportional und von der Form unabhängig; nach Kick hingegen steht die Proportionalität nur bei geometrisch ähnlichen Körpern aufrecht. Diese Widersprüche können wir uns aber eben so wenig erklären, als wir auch nicht im Stande sind, den Zusammenhang zwischen den einzelnen Erscheinungen, z. B. zwischen dem Gesetze der proportionalen Widerstände und dem Wirkungswinkel, festzustellen.

Um die mechanische Technologie streng wissenschaftlich behandeln zu können, ist es nothwendig, dass die Technologie eine neue, und zwar eine solche Grundlage erhalte, mit Hilfe deren wir im Stande sind, sämmt-liche Erscheinungen zu begründen und den ursächlichen Zusammenhang der Erscheinungen klar zu legen.

Das Bedürfniss nach solch einer Grundlage ist heute schon all

gemein.

Von diesem allgemeinen Bedürfnisse gedrängt, versuchte auch ich die Lösung dieser Aufgabe.

Ich habe das Ziel wohl noch nicht erreicht, die Ergebnisse meiner Versuche und Studien sind aber derartige, dass ich es mir zur Pflicht machte, dieselben den hierfür interessirten Kreisen mitzutheilen, um hiermit einen Anstoss geben zu können, dass dieser wichtige Gegenstand zur öffentlichen Besprechung gelange.

Der Ausgangspunkt und die Grundidee meiner Erörterung ist die Molekulare oder innere Reibung.

II. Grund-Principien.

1. Die inneren Kräfte.

Im Nachstehenden beschäftigen wir uns nur mit solchen Deformationen, bei denen unter der Einwirkung äusserer Kräfte auf feste Körper, deren Verdichtbarkeit so gering ist, dass diese vernachlässigt werden kann, ein Gleiten der einzelnen Theilchen der Körper aneinander erfolgt. In Folge dieses Gleitens entsteht bei Deformation jederzeit Reibungsarbeit, welche von der Arbeit der äusseren Kräfte überwunden werden muss. Diese hierbei entstehende Reibung nennen wir innere Reibung.

Bei der Formänderung eines Körpers gleiten nicht nur jene Körper-theilchen, welche unmittelbar der Wirkung der äusseren Kräfte unterliegen, sondern auch viele andere. Da aber ein Gleiten bei festen Körpern nur durch äussere Kräfte hervorgerufen werden kann, so ist es klar, dass die Körpertheilchen die Wirkung der äusseren Kräfte auch zu übertragen im Stande sind.

Die Uebertragung der Wirkung der äusseren Kräfte kann nur durch innere Molekularkräfte geschehen, die wir unter dem Namen: Molekulare Anziehungskraft (Coliäsion) und Molekulare Abstossungskraft (Expansion) kennen.

Aus dem Gesagten folgt, dass wir im Allgemeinen die Cohäsions-und die Expansionskraft und bei Einwirkung von äusseren Kräften auch die als Widerstand auftretende innere Keibung zu unterscheiden haben.

Diese drei inneren Kräfte, beziehungsweise das Yerhältniss dieser, beeinflussen die mechanischen Eigenschaften des Materials.

Wir wissen, dass ein Gleiten nur dann eintreten kann, wenn die Wirkung der äusseren Kraft die innere Keibung, ein Bruch nur dann, wenn die Wirkung der äusseren Kraft die Cohäsions-kraft zwischen den einzelnen Theilchen überwunden hat.

Man kann also sagen, dass bei bildsamen Materialien, so lange diese keinen Bruch erleiden, die Coliäsion grösser sein muss, als die innere Reibung, und bei spröden Materialien, da sie nicht formbar sind, die innere Reibung grösser sein muss, als die Cohäsion.

Hieraus ist ersichtlich, dass das Yerhältniss der inneren Kräfte wirklich die Eigenschaften des Materials beeinflusst.

Nachdem, wie wir bisher gesehen haben, die innere Reibung von grosser Bedeutung ist, so halten wir es angezeigt, uns mit derselben näher zu befassen.

Yon der inneren Reibung wissen wir nur so viel, dass dieselbe, so wie jede andere Reibung, vom normalen Drucke N und vom Reibungs-coefficienten /’, und der Letztere von der Form der Berührungsflächen abhängt.

Um nun einen klaren Begriff über die innere Reibung zu erhalten, ist es nothwendig, dass wir vorerst die Berührungsflächen, d. h. die Form der gleitenden Körpertheilchen näher betrachten.

2. Die Form (Gestalt) der Moleküle.

Ueber die möglichen Formen der Moleküle giebt uns die Stereochemie³) einige Andeutung.

Mit der gewöhnlichen Structurformel, d. h. mit den ebenen Formelbildern der Chemie, ist es nicht möglich die Entstehung der Isomerie zu begründen, hingegen mit Hilfe der Stereochemie ist dies sehr einfach.

Die Stereochemie stellt die Formelbilder als räumliche dar, und zwar die Kohlenstoffverbindungen als ein reguläres Tetraeder. Yan’t Hoff“ nimmt nämlich an, dass die mit dem asymetrischen Kohlenstoffatom verbundenen

vier Gruppen sich an den Ecken des regulären Tetraeders, und das Kohlenstoffatom in dessen Centrum befinden.

Die vier Gruppen können an den Ecken zwei verschiedene relative Stellungen einnehmen — wie sie Eig. 10, Bild I und II Taf. I darstellen —, welche, weil sie nicht zur Deckung gebracht werden können, die Isomerie deutlich versinnlichen.

Die Isomerie bei zwei assymetrischen Kohlenstoffatomen stellt van’t Hoff mit dem Bilde III, IY und Y, und bei drei assymetrischen Kohlenstoffatomen mit dem Bilde VI dar.

Da van’t Hoff die Richtigkeit der Stereochemie mit zahlreichen Versuchen bestätigt hat, so sind wir berechtigt anzunehmen, dass die Moleküle geometrische Formen besitzen, die entweder einem regulären Polyeder entsprechen, eventuell sich der Kugelform annähern, oder als eine Gruppirung von mehreren Polyedern sich darstellen.

In letzterem Falle besitzen die Moleküle Verzweigungen und Vertiefungen.

Nachdem wir auf diese Art von der Verschiedenheit der Gestalt der Moleküle ein Bild bekommen haben, so können wir hieraus auch auf das Wesen und den Werth der inneren Reibung schliessen.

Bei regelmässigen Polyedern, insbesondere aber bei annähernder Kugelform, kommen immer gleichartige Flächen in Berührung, und wird in diesem Falle die innere Reibung und somit auch der Reibungscoefficient einen constanten Werth haben.

Bei Molekülen mit Verzweigungen hingegen kommen verschiedenartige Flächen miteinander in Berührung. Hier greifen die vorstehenden Theile eines Moleküls in die Vertiefungen des anderen und verursachen hierdurch die Vergrösserung des Reibungscoefficienten. In diesem Falle ist also der Reibungscoefficient von variablem, und zwar um so grösserem Werthe, je inniger der Eingriff ist.

Wenn nun der Reibungscoefficient von dem Grade des Eingriffes, also von der relativen Lage der benachbarten Moleküle abhängt, so folgt hieraus, dass dessen Werth bei derselben Lagerung immer derselbe sein muss, ohne Berücksichtigung der Art und Weise, nach welcher die Moleküle in diese Lage gelangt sind.

Als Schlussfolgerung können wir somit sagen, dass der Reibungscoefficient (f) bei einigen Materialien constant, bei anderen Materialien variabel ist, und dass im letzteren Falle sein Werth von der Lagerung der Moleküle abhängt.

3. Molekulargruppen - Reibung.

Da die Moleküle verschiedene Gestalten haben, so bilden dieselben oft ein derartiges Gefüge, dass nur einige Moleküle in innigste Berührung kommen, wo dann die in innigster Berührung stehenden Moleküle Gruppen bilden.

Die Oberfläche der Gruppen kann ganz andersartige Unebenheiten besitzen, als die Moleküle selbst, und kann deshalb der Reibungscoefficient dieser einen ganz anderen Werth haben, als der der Moleküle. Die Gruppirung der Moleküle nennt man das Gefüge.

Aus dem Gesagten folgt, dass die mechanischen Eigenschaften eines Materials nicht nur von der Form und Gestalt der Moleküle, sondern auch von dem Gefüge abhängen, da bei der Deformation Gleitung nicht nur zwischen den Molekülen, sondern auch zwischen den Molekulargruppen stattfinden kann. Beide Reibungsarten bilden die innere Reibung.

Da der Reibungscoefficient von der Form der Oberfläche der sich berührenden Theile abhängt, so könnte man hieraus sofort auf dessen Werth folgern, wenn man die Form der Moleküle und der Molekulargruppen kennen würde.

Die Form der Moleküle können wir aber bisher noch nicht beobachten, da ihr Längenmaass, wie sich aus der Theilbarkeit der Farbstoffe ergeben hat, kleiner als der zelmtausendste Theil eines Millimeters ist. Die mechanischen Molekulargruppen jedoch, die das Kleingefüge des Materials bilden, sind in den meisten Fällen mittelst Mikroskop gut beobachtbar.

4. Beobachtung des Kleingefüges.

Mit der Beobachtung und Untersuchung des Kleingefüges befasst sich die Metallmikroskopie, und seien hier einige Beispiele angeführt, um zu zeigen, dass das Gefüge deutlich sichtbar ist und dass dies die Eigenschaften des Materials beeinflusst.

Taf. II stellt acht mikrophotographische Abbildungen des kohlenstoffhaltigen Eisens in 130facher Yergrösserung dar.

Fig. 1 und 2 sind Bilder eines Schalen- oder Hartgusses. Die weissen Flecken zeigen die sogenannte Lösungs- oder Härtungskohle, die aber nicht nur aus Eisen-Kohlenlösung, sondern auch aus Eisen-Silicium-und Mangan-Kohlenlösung besteht.

Die anderen Theile zeigen das Gemenge von Temperkohle, Carbid und die an Kohlenstoff ärmer gewordene Lösungskohle.

Fig. 5 ist das Bild eines kohlenstoffreichen Stahles in rohem, d. h. nicht gehämmertem Zustande. In diesem sind grosse weisse Flecken zu sehen, welche die Gruppen der Härtungskohle bezeichnen; diese sind aber so eingebettet, dass sie einander nicht berühren; hingegen sehen wir in Fig. 6, welche das Bild desselben Stahles in raffinirtem, d. h. gehämmertem Zustande darstellt, die Härtungskohle schon so vertheilt, dass auch zwischen den Gruppen der Härtungskohle Reibung entstehen kann, wodurch die Eigenschaften des Materials beeinflusst werden.

Ebenso ist der Einfluss des Gefüges bei Flusseisen ersichtlich.

In Fig. 7, welche das Bild eines nicht gehämmerten Flusseisens zeigt, ist die Härtungskohle in grösseren Gruppen zu sehen.

In Fig. 8, welche das Bild des gehämmerten Flusseisens darstellt, ist die Härtungskohle gut yertheilt.

5. Gebundene Gase, Elasticität, Verdichtbarkeit.

Von den Molekülen und Molekulargruppen wissen wir, dass dies Körper von verschiedener Form sind.

Zufolge ihrer Form wird nur selten jener Fall Vorkommen, dass sämmtliche Moleküle und deren Gruppen sich dicht aneinander anscliliessen, und den Baum vollständig ausfüllen, sondern es werden in den meisten Fällen zwischen ihnen Lücken bleiben, die mit gasförmigen Stoffen ausgefüllt sind.

Dass in den Lücken nicht nur der sogenannte „Aether“, sondern auch bekannte Gase vorhanden sind, haben schon viele bewiesen, unter Anderen auch Osmond und Werth.⁴)

Hach diesen Experimentatoren absorbirt z. B. Stahl grosse Mengen von Wasserstoff, Stickstoff und Kohlenoxyd, und zwar umsomehr, je höher dessen Temperatur ist.

Diese Gase sollen von der Anziehungskraft der Moleküle so stark gebunden sein, dass sie aus den Lücken trotz ihrem grösseren inneren Drucke nicht entweichen können.

Osmond und Werth fanden nämlich, dass im flüssigen Stahle so viel Gase sind, dass deren Rauminhalt bei gewöhnlicher Temperatur das 15 bis 20fache Volumen des flüssigen Stahles beträgt.

Hieraus kann man nun schliessen, dass in den Lücken zwischen den Molekülen gebundene Gase sind, die auch bei grösserer innerer Pression nicht leicht entweichen können.

Die Grösse der intermolekularen Lücken hängt theilweise von der Form, theilweise von der relativen Lage der Moleküle und Molekulargruppen ab.

Die relative Lage der Moleküle ändert sich bei jeder Deformation, und es ändert sich hierdurch auch die Grösse der Lücken, wodurch die gebundenen Gase entweder gepresst werden oder diese expandiren.

Zufolge der molekularen Anziehungskraft bestreben sich die Gase, ihren anfänglichen Gleichgewichts-Zustand beizubehalten und verschieben deshalb, sobald die äussere Kraft aufgehoben wird, die Moleküle so weit, bis die Lücken wieder ihre anfänglichen Grössen erlangt haben.

Da die durch die inneren Kräfte hervorgebrachte Verschiebung der Moleküle Elasticität genannt wird, so folgt hieraus, dass die Elasticität das Arbeiten der gebundenen Gase ist.

Zu diesem Schlüsse gelangten wir, weil wir annahmen, dass bei jeder Deformation die Grösse der Lücken sich ändert. Um die Richtig-

keit dieser Annahme zu beweisen, betrachten wir ein System von Molekülen näher.

Der Einfachheit halber denken wir uns die Moleküle kugelförmig, wie dies in Fig. 11, Taf. I dargestellt ist. In diesem Systeme berühren sich die Kugeln I, II, YI, VII, dann II, III, IY, VIII und IY, Y, YI, IX und bilden Tetraeder, weshalb die von ihnen eingeschlossenen Lücken tetraedrische Lücken genannt werden können.

, welche

Ausserdem entsteht durch die Berührung der drei Tetraeder auch ein Octaeder, und zwar durch die Kugeln IY, YI, YII eine octaedrische Lücke einschliessen.

Sobald dieses Kugelsystem verschoben wird, vermindert sich die octaedrische und vergrössern sich die tetraedrischen Lücken.

Aus den Versuchen von Osmond und Werth wurde ersichtlich, dass manche Materialien umsomehr Gase absorbiren, je höher ihre Temperatur ist.

Wenn bei Abkühlung solcher Materialien die überschüssigen Gase, aus welch einem Grunde immer, nicht entweichen können, so bilden sie Blasen. Die in den Blasen befindlichen Gase sind nur mechanisch gehalten und können, wenn das Material im bildsamen Zustande ist, durch langsamen Druck entfernt werden, wodurch das Material verdichtet wird. Durch heftige Stösse aber wird sich das Material nur in geringem Maasse verdichten, weil die Gasblasen sich so wie elastische Puffer verhalten. (Siehe Versuche Kick’s.)

6. Hiclitung der Kraftvermittlung.

Die Uebertragung der äusseren Kraftwirkung geschieht, wie bekannt, mittelst der inneren Kräfte und muss deshalb die Richtung der Kraftübertragung mit der Richtung der inneren Kräfte übereinstimmen. Nachdem die inneren Kräfte von den Massen abhängig sind, so ist als deren Sitz (Angriffspunkt) der Schwerpunkt der Moleküle, und als deren Richtung die Verbindungslinie der Schwerpunkte der Moleküle zu betrachten.

Die Verbindungslinien der Schwerpunkte bilden ein regelmässiges Skelett oder Gittersystem, dessen Schnitt mit einer Ebene ein Netz ist, wie es Fig. 12, Taf. I darstellt.

Diese netzartige Darstellung theilte H. Fischer in der neuen Auflage der mechanischen Technologie, von K. Karmarsch schon im Jahre 1888 mit.

Aus dem Kraftnetze ist ersichtlich, dass die Kraftübertragung in der Ebene, in den Verbindungslinien der Schwerpunkte geschieht. Nachdem die Richtung der Verbindungslinien von der Form der Moleküle abhängt, diese aber bei einem und demselben Material eine charakteristische ist, darf man sagen, dass die Richtung der Verbindungslinie, folglich auch die Richtung der Kraftübertragung für das Material charakteristisch sei.

Die Neigung der Richtung der Kraftübertragung zur Richtung der äusseren Kraft werden wir in Folge kurz Wirkungswinkel nennen;

dieser bildet, wie oben gesagt, eine charakteristische Eigenschaft des Materials.

In Eig. 12 haben wir den Wirkungswinkel nach beiden Bichtungen gleich gross genommen, und werden dies der Einfachheit halber auch weiterhin so annehmen, obzwar wir dieselben Resultate erhalten, wenn wir verschieden grosse Winkel annehmen würden.

1. Eiiithcilimg der Materialien.

Die mechanischen Eigenschaften des Materials sind theils vom Charakter des Reibungscoefficienten (/), theils von dem Verhältnisse der Grösse der Reibung zu der der Cohäsion (y>₀) bedingt.

Demzufolge kann man die Materialien ihren mechanischen Eigenschaften entsprechend, je nachdem der Reibungscoefficient f constant oder variabel ist, in zwei Hauptgrnppen, und jede Ilauptgruppe dem Verhältnisse N-f ^=p₀ entsprechend in drei Untergruppen theilen.

Sämmtliche festen Materialien, unbeachtet deren Ursprung (folglich die Metalle, Hölzer, Faserstoffe u. s. w.), werden wir in folgende 6 Gruppen theilen:

I.    Materialien, deren Reibungscoefficient (f) constant und

1.    N-f>p₀

2.    N-f = p₀

3.    N-f < p₀

II.    Materialien, deren Reibungscoefficient (f) variabel und

4.    N• /max. Po

= Bo

5.    N-f

fh -V' /inax. ^ Po-

In Betracht ist hier noch zu ziehen, dass in jenen Fällen, wo kry-stallinische Gruppen (Grobgefüge) vorhanden sind, bei manchen Beanspruchungen der Reibungscoefficient der Moleküle, bei anderen der der Molekulargruppen zur Geltung gelangt, weshalb wir diese in eine dritte Hauptgruppe einreihen, welche wir Gruppe mit combinirtem Reibungscoefficient nennen.

III. Beanspruchung ersten Grades.

Die Wirkung und demzufolge auch die Grösse der äusseren Kraft hängt von der Art und Weise der Beanspruchung ab.

Die einfachste Art der Beanspruchung eines Körpers geschieht durch Zug oder Druck. Diese beiden Beanspruchungen bilden die Grundlage aller anderen, weshalb wir diese Beanspruchungen erster Ordnung nennen wollen.

A. Beanspruchung¹ auf Zug.

8. Allgemeiner Tlieil.

TJm die Zugbeanspruchung einfach darstellen zu können, nehmen wir an, dass das Versuchsstück die Gestalt eines Kreiscylinders habe, dass die Zugkraft gleichmässig vertheilt sei und schliesslich, dass'die Zugkraft nur langsam wächst, also innerhalb sehr kurzer Zeitintervallen als con-stant betrachtet werden kann.

Indem die Uebertragung der äusseren Kraft in der Richtung des Wirkungswinkels geschieht, zeichnen wir vor allem das Molekularnetz unseres Versuchsstückes auf, wie es Fig. 21, Taf. III zeigt, welche den Stab im Längenschnitte darstellt.

Die gleichmässig vertheilten Zugkräfte wirken auf die Moleküle der Endflächen ab und a‘b‘. Nachdem aber diese Moleküle die Kraft nur in der Richtung des Wirkungswinkels vermitteln können, so ist es noth-wendig, dass wir vorerst die äusseren Kräfte in solche Komponenten zerlegen, deren Richtung mit der Richtung der Wirkungswinkel übereinstimmt.

Jede Komponente wirkt auf alle in ihrer Richtung liegenden Moleküle, was wir durch Kraftlinien (Kraftsymbole) ersichtlich machen können.

Demzufolge zeichnen wir die Kraftlinien von den Endpunkten in der Richtung des Wirkungswinkels, also vom Punkte a ausgehend bis y, vom Punkte b bis e, ferner von a‘ bis g‘ und von b¹ bis e', dann von den übrigen Molekülen der Endflächen in beiden Richtungen der Wirkungswinkel, wie es Fig. 21, Taf. III darstellt.

Wenn wir nun die Kraftsymbole näher betrachten, so sehen wir, dass auf jene Moleküle, welche in den Theilen abc und a‘ b‘ & liegen, zwei Kräfte wirken, deren Resultirende der Richtung der Zugkraft folgt, weshalb diese Theilchen so betrachtet werden können, als wenn sie an die äussere Kraft gebunden wären.

Ferner bemerken wir noch, dass auf die Moleküle der Theile nee, beg, a‘c‘e‘ und b‘ &g' nur je eine Kraftkomponente einwirkt, und zwar in der Richtung des Wirkungs winkeis, zufolge dessen diese Moleküle bestrebt sind, sich der Mittelachse des Versuchskörpers zu nähern und zugleich auch der Richtung der Zugkraft zu folgen.

Diesem Bestreben widersteht die innere Reibung. So lange diese grösser ist, als die Wirkung der äusseren Kraft, verändern die Moleküle ihre Lage nicht, doch wird die Reibung (N-f) dieser Theile grösser, als die der Weiterliegenden, auf welche die Kraftwirkung noch nicht übergegangen ist, weil die Wirkung der äusseren Kraft den Normaldruck (N) zwischen den einzelnen Theilchen vergrössert.

Zufolge der grösseren inneren Reibung sind diese Theile jetzt fester gebunden, als die dazwischen liegenden, weshalb man auch diese als an die äussere Kraft gebunden betrachten kann.

In der nächsten Periode der fortpflanzenden Einwirkung der Zugkraft werden demnach die in ecg und e‘ c'g‘ liegenden Moleküle als Angriffspunkte der äusseren Kräfte zu betrachten sein, weshalb wir die Kraftlinien von diesen Molekülen ausgehend ganz so auftragen müssen, wie vorhin von den Molekülen der Grenzebenen.

Aus der ergänzten Eigur ist nun ersichtlich, dass auf die Moleküle der Th eile ecgh und e‘ & g‘ h‘ je zwei Kräfte wirken, deren Resultirende der Richtung der Zugkraft folgt. Es werden also auch diese als an die äussere Kraft gebunden erscheinen.

Wir bemerken ferner noch, dass auf die Moleküle der Theile ehm, g hn, e'h'7n‘ und g'h'n⁴ nur je eine, aber in schiefer Richtung wirkende Kraftkomponente einwirkt, zufolge deren diese Moleküle wieder bestrebt sind, sich der Mittelachse des Yersuchskörpers zu nähern und zugleich auch der Richtung der Zugkraft zu folgen.

Diese letztgenannten Theile sind nun gleichen Verhältnissen unterworfen wie die Theile «ee, heg u. s. w., weshalb diese, in Eolge der Ver-grösserung der Normalen (A⁷), durch die Reibung fester gebunden sind, als jene weiter gegen die Mitte zu liegenden, und werden deshalb in der nächsten Zeitperiode die äussere Kraft auf diese übertragen. Als Angriffspunkte der äusseren Kraft werden jetzt die Moleküle der Theile mhn und m‘ h‘ n‘ dienen, weshalb wir die Kraftlinien in der bekannten Weise von diesen Molekülen ausgehend auftragen müssen.

Auf diese Art verfahren wir auch weiter, bis endlich die anfängliche Zugkraft ihre Wirkung auf sämmtliche Moleküle des Versuchsstückes ausübt.

Nehmen wir nun an, dass die Zugkraft sich etwas vergrössert und dass sie diesen vergrösserten Werth im Laufe einer kurzen Zeitdauer con-stant beibehält.

Die Wirkung der neu hinzugekommenen Kraftmenge müssen wir, von den Molekülen der Grenzebenen ab und a‘ b‘ ausgehend, ebenso darstellen, wie oben die Wirkung der anfänglichen Kraft. Hieraus wird ersichtlich, dass die Theile abc und a‘ b‘ c' der Richtung des Werkzeuges (d. h. der Richtung der Kraft) folgen wollen, während die Theile «ce, bcg, a‘ c‘ e‘, b‘&g' sich auch nach der Mittelachse bewegen, also deformiren wollen. So lange aber die innere Reibung grösser ist als die Wirkung der äusseren Kraft, sind diese Theile, wie wir früher gezeigt haben, gebunden und übertragen daher die äussere Kraft auf die weiter innen liegenden Moleküle. Wir verfahren deshalb jetzt so wie früher, bis die Mehrkraft ihre Wirkung wieder auf sämmtliche Moleküle ausübt. Erst nachdem dies geschehen, kann die Kraftmenge wieder vermehrt werden und der oben erwähnte Vorgang wiederholt sich abermals. Dieser Process der Kraftvermehrung und deren Uebertragung auf die Moleküle des Körpers kann so lange fortgesetzt werden, bis die äussere Kraftwirkung die innere Reibung überwindet.

Auf Grund dieser Umstände können wir behaupten, dass beim Zug, so lange die innere Reibung der einzelnen Theilchen grösser ist als die Wirkung der äusseren Kräfte, der Versuchsstab in seiner ganzen Masse gleichmässig beansprucht ist und keine bleibende Deformation erleidet, ferner, dass die Wirkung der äusseren Kraft sich von Molekül zu Molekül fortpflanzt. Bei dieser Behauptung setzen wir voraus, dass die Einwirkung der äusseren Kraft nur allmählich geschieht, also bei der Beanspruchung des Materials keine heftigen Stösse Vorkommen. Bei letzterer Art der Beanspruchung tritt die Wirkung der lebendigen Kraft ein, welche die Festigkeitsverhält-nisse auf ganz andere Weise beeinflussen. Einen Theil der schädlichen Wirkung von Stössen auf Körper mit stark variablem Querschnitt hingegen kann man aus unserer Darstellung der Kraftübertragung erklären.

Nehmen wir an, dass der Querschnitt sich so stark verändert, wie es Eig. 25, Taf. III zeigt. In diesem Falle wird die Wirkung der äusseren Kräfte vom Molekül a bis li und von b bis i übertragen; da aber jene Moleküle, die zwischen g und h liegen, als auch die zwischen e und i liegenden von den Gruppen ghh und eil in ihrer Bewegung gehemmt werden, so folgt hieraus, dass die im grossen Querschnitte liegenden Moleküle jene Grösse der Beschleunigung momentan nicht annehmen können, welche die Moleküle des kleineren Querschnittes aufzunehmen im Stande sind. Es widersteht also der grössere Querschnitt der Uebergangsfläche heftigen Stössen schlechter als der kleinere.

Der gefährliche Querschnitt des in oben genannter Figur dargestellten Körpers befindet sich also in legk, d. h. am Uebergange der Querschnitte.

Den erörterten Uebelstand kann man umgehen, sobald man darauf achtet, dass die Steigung der Uebergangslinien vom kleineren zum grösseren Querschnitte den Wirkungswinkel nicht überschreite, weil dann alle Theile der Beschleunigung frei folgen können.

Bei der Untersuchung der Kraftübertragung haben wir öfters erwähnt, dass eine Formänderung erst dann entstehen kann, wenn die Wirkung der äusseren Kraft grösser ist als die innere Reibung.

Bekanntlich wird jene maximale äussere Kraft, die wohl noch keine bleibende Formänderung hervorruft, bei deren Ueberschreiten aber schon bleibende Formänderung eintritt, Elasticitätsgrenze genannt. Es folgt daher, dass die Elasticitätsgrenze von dem Werthe der inneren Reibung abhängt.

Jene Materialien, die unseren Voraussetzungen vollständig entsprechen und deren Moleküle bis zur Elasticitätsgrenze gar keine Verschiebung erleiden, nennt man unelastische. Den Gegensatz dieser bilden die elastischen Materialien, bei denen bis zur Elasticitätsgrenze keine bleibende, sondern eine nach der Entlastung von den gebundenen Gasen wieder aufgehobene Verschiebung stattfindet.

Diese elastische Verschiebung beweist, dass die Wirkung der äusseren Kraft schon vom Anfänge an gleich gross sein muss mit der Reibung und die Reibungsarbeit wieder kleiner oder gleich gross mit der Arbeit der gebundenen Gase. Hieraus folgt, dass die elastischen Körper, unseren Voraussetzungen, streng genommen, nicht Genüge leisten. Da die mechanische Technologie sich mit den elastischen Formänderungen nicht befasst, und da bezüglich der bleibenden Formänderung jener Zustand, bei welchem die Reibungsarbeit die Arbeit der gebundenen Gase noch nicht überschreitet, von gar keinem Einflüsse ist, so werden wir bezüglich der bleibenden Formänderung die elastischen Materialien so betrachten, als wenn sie unseren Voraussetzungen vollkommen entsprechen würden.

Auf Grund der hier vorgeführten allgemeinen Bemerkungen könnten wir nun zur Untersuchung der einzelnen Materialgruppen schreiten.

Hierzu benöthigen wir jenes Bild der Kraftvermittlung, welches in Fig. 21, Taf. III dargestellt ist. Da aber dessen Herstellung sehr langwierig ist, so wollen wir sehen, ob es nicht möglich wäre, das Ziel auf einfachere Weise zu erreichen.

Wir sehen in Fig. 21, Taf. III, dass die gleichmässig beanspruchten Theile des Probestabes durch die von den Endpunkten aus gezogenen Schenkel der Wirkungswinkel begrenzt sind. Wir brauchen daher nur von den Endpunkten a, b, a\ b¹ unter Winkel ß gerade Linien zu ziehen, bis diese die obere und untere Grenzlinie des Stabes in e‘ und g‘ schneiden. Von diesen Schnittpunkten aus ziehen wir abermals je eine Gerade unter demselben Winkel, wie dies Fig. 22, Taf. III darstellt. Diese Construction setzen wir, von beiden Endflächen ausgehend, so lange fort, bis wir zur Längenmitte gelangen. Zur Versinnlichung der Beanspruchung derjenigen Theile, welche die Richtung der äusseren Kraft folgen, schraffiren wir diese mit horizontalen Linien und jene, in denen die Kräfte das Bestreben haben, die Theile zu deformiren, wollen wir vertical schraffiren. (Siehe Fig. 23, Taf. II.)

Untersuchen wir nun die einzelnen Materialgruppen in Bezug auf ihr Verhalten bei Beanspruchung auf Zug.

9. Material I. Gruppe.

Sprödes Material mit constantem f, wobei N-f>p₀ ist.

Im Allgemeinen wissen wir, dass, so lange die Wirkung der äusseren Kraft den Werth der inneren Reibung nicht erreicht, sämmtliche Moleküle gleichmässig beansprucht sind und dass Deformation nur dann entstehen kann, wenn die äussere Kraft die innere Reibung überschritten hat. Da aber bei dieser Gruppe die Cohäsion (p₀) kleiner ist als die innere Reibung (V-/'), so kann die Wirkung der äusseren Kraft hier nie die Höhe der inneren Reibung erreichen, sondern nur die der Cohäsion, demzufolge reisst der Stab, ohne eine Deformation erleiden zu können.

Materialien, die sich derart verhalten, nennt man spröde.

Bei sprödem Material ist die Zugfestigkeit, da keine Formänderung entsteht, gleich gross mit der Cohäsion jener Moleküle, die sich auf der Flächeneinheit des Querschnittes befinden, d. h.

V=Vo-

Das Schaubild dieser spröden Körper entspricht entweder dem in Fig. 1 oder Fig. 3, Taf. IV dargestellten Bilde, je nachdem das Material unelastisch oder elastisch ist.

10. Material II. Kruppe.

Bildsames Material mit constantem f, wobei N-f<p₀ ist.⁵)

So lange die Wirkung der äusseren Kraft den Werth der inneren Reibung nicht erreicht, wird die Kraft auf die schon mitgetheilte Art übertragen. Sobald aber die äussere Kraft die innere Reibung überschreitet, können jene Theile, auf welche nur Komponenten einer Richtung wirken, also diejenigen, welche in Fig. 23, Taf. III senkrecht schraffirt sind, der Wirkung der äusseren Kräfte folgen, d. h. deformiren.

Die senkrecht schraffirten Theile sind jedoch alle gleich lang, wie dies aus Fig. 23 und 26 ersichtlich ist.

Wenn d der Durchmesser des Versuchsstabes ist, so kann man diese Länge mit Formel d ctg ß ausdrücken.

Sobald eines dieser senkrecht schraffirten Theile zu deformiren beginnt, z. B. in Fig. 26 der Theil hlomn, so vermindert sich dessen Querschnitt und es entfällt daher bei diesem eine grössere Kraftwirkung auf die Querschnittseinheit als bei den nicht deformirten Theilen.

Bei weiterer Beanspruchung wird daher nur dieser mehr belastete Theil deformiren und die Form (klomno¹) der Fig. 27, Taf. III annehmen.

Bei Materialien dieser Gruppe wird also nur ein Theil des Stabes, von der Länge d ctg/?, seine Form verändern, es wird also nur eine partiale Deformirung stattfinden, welche man Contraction nennt. Die Verlängerung dieses Theiles ist die contractionelle Dehnung (s).

Die contractionelle Dehnung (sj hängt nicht nur von der Länge (d ctg ß) des deformirenden Theiles, sondern auch von der Grösse der inneren Reibung, also von der Beschaffenheit des Materials (z) ab, weshalb ihre Formel

ctg ß ist.

Bei kreisförmigem Querschnitte kann man diese Formel folgender-massen schreiben:

CO

Cfö

■öS

ö² 7t

so ist

und wenn anstatt

gesetzt wird und anstatt

* ctg ß j/^ = xt

Ö² 7t

= z/

s = >t₁ |/zf.

Diese Formel sagt uns, dass die contractionelle Dehnung mit der Quadratwurzel des Querschnittes proportional ist.

Die Zugdiagramme der Materialien dieser Gruppe beginnen entweder mit einer Senkrechten (Fig. 2, Taf. IV) oder mit einer schiefen Geraden (Fig. 4, Taf. IY), je nachdem das Material unelastisch oder elastisch ist; an diese schliesst sich eine herabfallende Linie an, die eventuell mit einer kurzen Wagrechten beginnt.

Den letztgenannten Theil besitzt das Schaubild nur dann, wenn die zur Reibungsarbeit der contrahirenden Moleküle nothwendige Kraft mit der Verminderung des Querschnittes proportional ist. Der herabfallende Theil erstreckt sich nur dann bis zur Nulllinie, wenn das Verhältniss p₀ > N- f sich nicht ändert.

Sobald aber zufolge der Reibungsarbeit das Material sich stark erwärmt, vermindert sich die Cohäsion und es wird

Po < N-f,

weshalb der Stab reisst.

11. Material III. Gruppe.

Material mit constantem /, wobei N-f = p₀ ist.

So lange die Wirkung der äusseren Kraft den Werth der inneren Reibung nicht erreicht, wird die Kraft auf die schon mitgetheilte Art übertragen.

Sobald aber die äussere Kraft die Grösse der inneren Reibung erlangt hat, erreicht sie unseren Voraussetzungen zufolge auch die Grösse der Cohäsion und kann deshalb durch die weitere Kraftausübung entweder die innere Reibung oder die Cohäsion überwunden werden. Im ersten Falle contrahirt der Stab, im zweiten zerreisst er ohne zu contrahiren.

Die äussere Kraft kann man also, wenn das Material nicht contrahirt, durch folgende Formel ausdrücken:

P = N- f J = ]?₀z/

folglich

— = p₀ = N-f.

Beim Auftreten von Contraction wird die äussere Kraft etwas grösser, da zur Reibungsarbeit der contrahirenden Moleküle auch noch eine gewisse Kraft nothwendig ist.

12. Gemeinsame Eigenschaften der zähen Materialien, d. li. jener, welche variablen Reibungscoefficient haben.

So lange die Wirkung der äusseren Kraft kleiner ist als der Werth der inneren Keibung, erstreckt sich diese Wirkung auf den ganzen Stab, ohne eine bleibende Verschiebung der Moleküle hervorzubringen.

Sobald aber diese den Werth der inneren Reibung überschreitet, wird deren Mehrwerth nach der schon bekannten Regel die Theile abc und a‘b‘ c‘ der Fig. 21, Taf. III in der Richtung der Zugkraft bewegen und zwar derart, als ob diese Theile an das Werkzeug gebunden wären, die Theile «ce, bcg, a‘ c' e‘ und b‘ c‘ g‘ aber verschieben, weil auf diese schief wirkende Komponente wirken.

In Folge der Verschiebung wächst nach unserer Voraussetzung in diesen Tlieilen der Reibungscoefficient (f) und wird deshalb hier der Werth der Reibung wieder grösser als die Wirkung der äusseren Kraft.

Die genannten Theile werden von der vergrösserten Reibung fester gebunden als die weiter liegenden, weshalb sie die Wirkung der äusseren Kraft übertragen. Die Theile cg he und & g' h‘ e‘ werden daher der Richtung der Zugkraft folgen, die Theile ehm, ghm und e‘h'm\ g‘h'm‘ aber so lange deformiren, bis sie von der wachsenden Reibung gebunden und zur Uebergabe der Wirkung der äusseren Kraft befähigt werden.

Auf diese Art übertragen die vertikal schraffirten Theile die Wirkung der äusseren Kraft fortlaufend, bis schliesslich der ganze Stab der Einwirkung der äusseren Kraft unterliegt. Erst jetzt darf die äussere Kraft wieder wachsen.

Wenn wir wieder annehmen, dass die neu hinzugekommene Mehrkraft eine kurze Zeitspanne hindurch constant ist, so wird sich die Wirkung derselben auf bekannte Art wieder fortschreitend auf den ganzen Stab vertheilen. Durch Einwirkung dieser Mehrkraft werden nun wieder einige Theile gebunden, andere aber verschoben.

Es ist zu bemerken, dass die jetzt verschobenen Theile nicht identisch mit den früheren sind, weil in Folge der ersten Verschiebung der Stab länger und dünner geworden ist, weshalb dessen Wirkungslinionnetz mit dem früheren nicht zusammenfallen kann, wie es Fig. 24, Taf. III darstellt. Als Folge der veränderten Lage der Wirkungslinien werden bei der weiteren Deformation auch solche Moleküle gebunden, die früher verschoben wurden, und solche verschoben, die früher gebunden waren.

Wenn wir uns die wachsende Inanspruchnahme so weiter fortgesetzt denken, so ist ersichtlich, dass in Folge der sich fortwährend ändernden Lage der Wirkungslinien nahezu alle Moleküle verschoben werden, daher der Stab sich in seiner ganzen Länge nahezu gleichmässig deformirt.

Aus Vorhergehendem folgt, dass gleiclnnässige Deformation nur so lange entsteht, als der Reibungscoefficient einen wachsenden Werth hat und die innere Reibung nicht grösser ist als die Cohäsion.

Wir wollen die der gleichmässigen Deformation entsprechende innere Reibungsarbeit in Zukunft Zähigkeit nennen.

Die Zähigkeit ist also jene im Material aufgehäufte Arbeitsfähigkeit, die von der relativen Lage der Moleküle abhängt. Wenn die Moleküle verschoben werden, wächst die Reibung und vermindert sich dementsprechend die aufgehäufte Arbeitsfähigkeit, d. h. das Material verliert an Zähigkeit und wird spröder.

Sobald die Moleküle, aus welch einem Grunde immer (bei Metallen z. B. durch Ausglühen und langsames Abkühlen), in ihre anfängliche Lage zurück gelangen, erhält die Reibung abermals ihren minimalen Werth und das Material wird nun wieder zähe. Die Verschiebung der Moleküle bewirkt nicht nur die Verminderung der Zähigkeit, sondern auch die Ver-grösserung der Elasticitätsgrenze, weil in Folge der Verschiebung die innere Reibung grösser geworden ist und daher die Moleküle fester gebunden sind.

Eine der wichtigsten technischen Eigenschaften der Materialien ist die Zähigkeit, weshalb wir diese näher untersuchen wollen.

Die Zähigkeit ist, wie gesagt, ein Arbeitsvermögen der Materialien und besteht daher aus zwei Factoren: aus der Kraft und deren Weg, beziehungsweise der Dehnung.

Die Dehnung als der Weg der Kraftäusserung hängt theils vom Material, theils von der Form des Materials ab. Um den Einfluss der Form zu untersuchen, nehmen wir Versuchsstäbe von demselben kreisförmigen Querschnitte, jedoch folgender Längen h:

h = d ctg ß li = d ctg ß h = 2 d ctg ß h — 2n <5 ctg ß h = (2n -f- 1) ö ctg ß h = (2n + i) d ctg ß.

Um die Beanspruchung dieser Stäbe ersichtlich zu machen, zeichne man das Netz der Wirkungslinien und schraffire die einzelnen Theile entsprechend, wie dies Fig. 31 — 37, Taf. III darstellen.

Aus diesen Figuren ist ersichtlich, dass in jenen Fällen, wo die Länge h ein in ganzer Zahl genommenes Vielfaches von d ctg ß ist (siehe Fig. 32, 33, 34, 36), sämmtliche verschiebbare Theile gleiche Länge haben und dass deren Anzahl mit der Stablänge proportional ist, weshalb auch die anfängliche Dehnung mit der Stablänge proportional sein muss. Wenn aber die Länge h ein in gemischter Zahl genommenes Vielfaches von ö ctg ß oder h < 6 ctg ß ist, wie es Fig. 31, 35, 37 darstellen, so er-giebt sich in der Mitte des Stabes ein auf andere Art beanspruchter Theil, welcher die Dehnung beeinflusst. Diese Beeinflussung ist aber

A. Rejtö, Die innere Reibung etc.

Wir haben schon bemerkt, dass bei solchen Stäben, deren Länge ein in ganzen Zahlen genommenes Vielfaches von ö ctg ß ist, die Dehnung nur am Anfänge mit der Länge proportional ist, weil in Folge der Deformation der Durchmesser und die Länge sich in verschiedenem Maasse verändert, somit ihr Yerhältniss der Formel

entspricht.

d ctg ß

Aus dem Gesagten folgt nun, dass die Dehnung mit der Länge im Allgemeinen nur dann proportional sein kann, wenn

ist, d. li. wenn

d ctg ß dj ctg ß

hv

welche Gleichung bei cylindrischen Stäben die Proportionalität bedeutet, weshalb die Dehnung mit der Länge nur bei proportionalen Körpern proportional ist.

Zu demselben Resultate gelangt man auch, wenn man Stäbe anderer Form — nicht cylindrische -— in Betracht zieht. Ein solcher Stab ist in Fig. 30, Taf. III und zwar gleich mit den Wirkungs-Netzlinien in zwei Richtungen, nämlich der Breite und der Höhe entsprechend dargestellt. Aus dieser Figur ist ersichtlich, dass die Beanspruchung der Th eile nicht nur von der Breite, sondern auch von der Höhe abhängt, weshalb proportionale Dehnung nur so entsteht, wenn nicht nur

sondern auch

ist, d. h. wenn

mit der Länge nur dann proportional, wenn das Yerhältniss stant ist.

ö ctg ß

con-

d ctg ß Öl ctg ß

b ctg ß bi ctg ß

h d b li, ⁼ d, ⁼

also wenn die Stäbe proportionale Körper sind. (Siehe das Kick’sche Gesetz.) Obzwar dieser Satz im Allgemeinen giltig ist, so dürfen wir doch bei langen Stäben, ohne einen grösseren Fehler zu begehen, die Dehnung s mit der Länge h proportional annehmen (s = X li), weil in diesem Falle der ungleichartig beanspruchte mittlere Theil im Verhältnisse zur ganzen Länge des Stabes gering ist, somit sein Einfluss nur so gering ist, dass wir für die Praxis genügende Genauigkeit erhalten, wenn wir den Einfluss des mittleren Theiles vernachlässigen.

Der zweite Factor der Zähigkeit ist die Kraft. Die äussere Kraft hat, vorausgesetzt, dass die Beschleunigung der Moleküle sehr gering ist, nilr die innere Reibung zu überwinden.

Bezeichnen wir die auf die Querschnitts-Einheit entfallende jene innere Reibung, welche der Zugkraft entgegen wirkt, mit Nfy, den derzeitigen Querschnitt mit    so ist die gesammte innere Reibung durch

zlxNfy ausgedrückt, folglich ist die äussere Kraft:

P = J±Nfv

Da wir voraussetzen, dass der Probestab aus unverdichtbarem Material bestehe, so bleibt sein Rauminhalt (K) auch während der Deformation beständig. Es wird also

K= Jh = Jyhy

sein, wenn zl und h die anfänglichen, zl₁ und hy die veränderten Maasse sind. Hieraus folgt, dass

ist und weil

hy = sL-\-h

Sy+Il

Sy - fy }(,

so ist bei kurzen Stäben

Jy = J

und bei langen, weil gesetzt werden kann,

Jy=J

'kjy h -j- h

Diese Werthe von z/x in die Kraftformel gesetzt ergiebt, dass bei kurzen Stäben

——Nf

¹⁺T

und bei langen

p=Ji+T₁Nf' ist

Diese Formeln sagen uns, dass bei langen Stäben die Kraft mit dem anfänglichen Querschnitte annähernd proportional, folglich von der Länge unabhängig ist, bei kurzen Stäben aber

abhängt, folglich nur bei proportionalen

vom Verhältnisse

Körpern mit dem Querschnitte proportional ist.

Nachdem wir nun die zwei Factoren der Zähigkeit kennen, können wir auch diese selbst in Augenschein nehmen.

Wir haben früher gefunden, dass bei kurzen Stäben und bei Stäben mit verschiedenem Querschnitte die Dehnung mit der Länge, die Kraft mit

dem Querschnitte nur dann proportional ist, wenn die Stäbe proportionale Körper sind. Es folgt hieraus, dass die Zähigkeit auch nur bei proportionaler Form mit dem Rauminhalte der Körper proportional sein kann.

Bei längeren cylindrischen Stäben mit kreisförmigem Querschnitte aber, da bei diesen, wie wir gesehen haben, für die Praxis mit genügender Genauigkeit die Dehnung mit der Länge, die Kraft mit dem Querschnitte proportional angenommen werden kann, ist die Zähigkeit mit dem Rauminhalte auch als proportional zu betrachten.

Als Ausgangspunkt unserer bisherigen Betrachtungen haben wir angenommen, dass die äussere Zugkraft nur die innere Reibung zu überwinden habe. Wenn wir nun den wechselnden Werth der äusseren Kraft und dessen Weg, d. h. die Dehnung des Stabes mittelst einem entsprechenden Dynamometer graphisch darstellen, so bedeutet die Kraftlinie auch das Gesetz der Veränderung der gesammten inneren Reibung und die Fläche des Schaubildes die gesammte innere Reibungsarbeit.

Indem bei Stäben von gleicher Dimension, laut nachstehender Formel

P _ JNf _ Nf P7 — JNf' ~ Nf'

die Reisskraft mit der auf die Flächeneinheit entfallenden inneren Reibung proportional ist, also nur von der Eigenschaft des Materials abhängt, so müssen bei ein und demselben Material gleich dimensionirte Stäbe gleiche gesammte Reibungsarbeit, folglich auch Schaubilder gleicher Form und Grösse ergeben.

Die Schaubilder sind in diesem Falle also congruent, wie es Eig. 7 und 8 auf Taf. IV ersichtlich machen. In diesen Figuren sind je drei Schaubilder übereinander gelegt, die sich zwar decken, doch nicht in demselben Punkte, sondern in Z>l5 ö₂, b₃ endigen, was von den allfälligen Ungleichmässigkeiten und Fehlern des Materials herstammt.

Wir haben früher gesehen, dass die innere Reibung entweder kleiner oder grösser sein kann als die Wirkung der gebundenen Gase. Im ersteren Falle werden die Gase, sobald die äussere Kraft zu wirken aufhört, die Reibung überwinden, im letzteren Falle aber nicht mehr. Deshalb entspricht der erste Fall der elastischen und der zweite der bleibenden Formänderung.

Das Schaubild stellt uns die gesammte innere Reibungsarbeit dar. Es besteht also aus zwei Theilen, aus der elastischen und aus der Deformationsarbeit, deren letzteren Werth, bis zum maximalen Wertlie der Reibungskraft gemessen, wir Zähigkeit nannten.

Diese verschiedenen Arbeitsmengen kann man mit Hilfe wiederholter Beanspruchungen, beziehungsweise mit deren Schaubildern von einander getrennt erhalten, wie wir dies in Fig. 9, Taf. IV sehen.

Nehmen wir an, dass die Kraftlinie der ersten Beanspruchung (aeef) sei, so ist die gesammte Arbeit a et cx und die maximale Kraft c₁e₁. Wenn

nun die Wirkung der äusseren Kraft aufhört und dann wiederholt in Thätig-keit kommt und wenn die maximale Kraft hei dieser zweiten Beanspruchung höher steigt, so wird die Kraftlinie, die nicht von cl5 sondern von ax anfängt, a₁e₁e, sein. Es ist also ersichtlich, dass von der ersten gesammten äusseren Arbeit (ae₁c₁) der Theil a₁e₁c₁ zur Erzeugung der inneren Energie der gebundenen Gase verbraucht und nach der Entlastung solch ein Theil von der Reibungsarbeit überwunden wurde, weshalb dieser Theil (at e±c,) die elastische Arbeit und ae₁a₁ die Deformationsarbeit bedeutet. Durch die erste Beanspruchung wurde also die im Material aufgehäufte Zähigkeit mit cielal vermindert. Bei einer dritten Beanspruchung ist die Kraftlinie a₂e₂e₃, folglich ist für die zweite Beanspruchung a₂e₂c.₂ die elastische und ai el e₂ a₂ die Deformationsarbeit und die Zähigkeit wurde durch die ersten zwei Beanspruchungen mit a e₂ a₂ vermindert.

In dem Schaubild Fig. 9, Taf. IY bedeuten die Linien ae₁ ale₁, a₂e₂, a₃ e₃ die Kraftlinien der elastischen Kraft. Da aber diese zufolge der Expansion und Compression der gebundenen Gase entstehen, so müssen sie gleichen Charakter haben, folglich zu einander parallel sein. Den Charakter dieser Linien kennen wir noch nicht,⁶) weshalb wir diese annähernd als Gerade betrachten. Aus dem genannten Schaubild ist ferner zu ersehen: 1. dass mit der wiederholten und immer höheren

Beanspruchung nicht nur die Elasticitätsgrenze (c₁e₁, c₂e₂, c₃ e₃), sondern auch die Elasticität, d. h. die elastische Arbeit wächst; 2. die Zähigkeit sich vermindert und 3. dass der Nutzeffekt (rj) mit dem Grade der Beanspruchung im Zusammenhänge steht.

Als Nutzeffekt bezeichnet man im Allgemeinen das Yerhältniss der Deformationsarbeit zu der gesammten äusseren Arbeit. Hiernach ist der Nutzeffekt bis zur Elasticitätsgrenze % = 0; bei der Beanspruchung

bis evcx ...    =

bei einer erstmaligen Beanspruchung

bis e₂c₂ .... 7j₂ =

a e₁ ax

a e₂ cl₂ ci e₂ c₂

hingegen bei einer erstmaligen Beanspruchung

bis e₃c₃

ct ßg CL ßg Cq

und da ifa < % <■ %, so folgt hieraus, dass der Nutzeffekt um so grösser ist, je näher der Werth der äusseren Arbeit zu dem Gesammt-werthe der elastischen Arbeit und der Zähigkeit steht.

Wir wollen uns nun weitergehend mit der Untersuchung der inneren Reibung befassen.

Sämmtliche technische Eigenschaften der Materialien hängen von der auf die jeweilige Flächeneinheit bezogenen inneren Reibung ab, welche wir kurzweg innere Reibung nannten und mit Nf bezeichnen. Da die innere Reibung Nf von so grosser Wichtigkeit ist, wird es angezeigt sein, deren Werth und dessen Veränderlichkeit näher zu betrachten.

Den Werth der inneren Reibung kann man aus dem Zugdiagramme mittelst der Formel der Zugkraft folgendermassen bestimmen:

Pi = 4W/i,

also ist

Pi

Nehmen wir an, dass das Zugdiagramm jenes Schaubild sei, welches in Fig. 12, Taf. IV mit P bezeichnet ist. Theilen wir das Schaubild mittelst senkrechter Linien in beliebige Theile, so können wir für jeden Theilungs-punkt den Werth von Nf bestimmen.

In % ist nun

in a₂

NA-

Pi

% e₁

A~~A

ci₂ e₂

-4

Es wäre nun noch 4, 4 u. s. w. zu bestimmen. Indem K = Jh = 4 hx = 4 h₂

Nf₂ =

u. s. w.

ist und

so ist

/?! = h + = h -J- a₀ al h₂ = h + s₂ = 7^ + a₀ a₂

h + a₀

folglich

h -f- a₀ a₂

W/j =

(h + «oaff und sei dies = a₁m₁

ci₂ e₂

Nf* K

(h + a₀ a₂)    „    „

u. s. w.

Wenn wir diese Werthe von _ZV/j von den entsprechenden Theilungs-punkten ausgehend als Kräfte (axmj, (a₂m₂), (a₃m₃) u. s. w. senkrecht und linear auftragen und die Endpunkte m, m₂, m₃ . . . mit einer Curve verbinden, so erhalten wir ein Schaubild der inneren Reibung (siehe Fig. 12, Linie Nf), jedoch nur in Abhängigkeit von der Verlängerung des Versuchsstabes (s = Ih) dargestellt. Wenn wir die Reibung anstatt in Abhängigkeit von der Verlängerung des Stabes (s = Ih) nur als eine Function der procentualen Dehnung (X) darstellen, so erhalten wir ein Schau-

„    — Cl₂ 7Yl₂

bild, in welchem nur absolute Eigenschaften des Materials aufeinander bezogen sind. Es ist zu diesem Behufe nöthig, aus den Werthen der procentualen Dehnung d. h. aus den entsprechenden /t1? Z₂, l?> u. s. w. und den schon bekannten Nfx, Nf₂, Nf₃ ein neues Schaubild zu construiren. Die Werthe von Z₂, /t₃ berechnet man oder man benützt anstatt der Berechnung folgende planimetrische Darstellung.

Man berechnet zuerst die gesannnte Dehnung (a₀a₆ in Fig. 12) in Procenten nach Formel:    _

a₀ <z₆

Wo = 100 h

Nehmen wir an, dass diese den Werth von a₀or₆ in Fig. 13, Taf. IV hätte. Diese Länge (a₀a₆) theilt man in demselben Verhältnisse ein, wie in Fig. 12 die Länge a₀«₆. Dies kann man z. B. auf folgende elementare Art durchführen: man ziehe von «₀ und a₀ senkrechte Linien und pro-jicire dann die Eintheilung von a₀a₆ auf die Linie a₀b₀ und von hier auf die Linie a₀ e₆, verbinde c₆ mit cr₆ und ziehe von cx, c₂, c₃... mit der Linie c₆ a₆ Parallele, bis diese die Linie a₀ a₆ schneiden, wodurch man die gewünschte Eintheilung in a₀, orl5 a₂... erhält.

Ziehen wir nun in den Theilpunkten or₀, orl5 a₂, a.d Fig. 13 Senkrechte und projiciren auf diese die entsprechenden Werthe der inneren Reibung von Fig. 12, d. h. die Werthe axmx, a₂m₂... u. s. w., so erhalten wir in Fig. 13 die Punkte mu m₂, m₃; diese verbinden wir mit einer krummen Linie. Die so erhaltene Curve Nf Fig. 13 zeigt uns das Gesetz der Veränderung der inneren Reibung auf die procentuale Dehnung bezogen. Das durch diese Curve dargestellte Schaubild führt uns die absoluten Eigenschaften des Materials vor Augen, welche bei jeder Beanspruchungsart zur Geltung gelangen, weshalb man mit Hilfe dieses Schaubildes alle Arten der Beanspruchungen berechnen kann.

Um dieses wichtige Schaubild der inneren Reibung construiren zu können, benöthigt man jedoch ein solches Zugdiagramm, welches die Arbeit eines vollkommen freien Stückes darstellt, dessen Moleküle ausser der Zugkraft keiner anderen Beanspruchung unterworfen sind.

Bei den Zugversuchen muss man aber die Probestäbe an den Enden mit Ansätzen versehen, um sie in die Backen festklemmen zu können. Diese Ansätze beeinflussen die Arbeit des Stabes, weshalb solche Diagramme, in welchen auch die Dehnung der eingeklemmten Theile inbegriffen ist, als unrichtige und zur Berechnung der inneren Reibung als unbrauchbare zu bezeichnen sind.

Den Fehler der Backen und Ansätze kann man aber umgehen, da dessen Einfluss am Stabe laut dem Schema der Kraftvermittlung sich nur auf eine Länge von d ctg ß bemerkbar macht. Wenn man also von den Ansätzen gegen die Mitte der Stablänge zu in einer Entfernung, die grösser als d ctg ß ist, den Stab markirt, wie es Fig. 30, Taf. III darstellt, und wenn

man Sorge trägt, dass das Zugdiagramm nur jene Dehnung enthalte, welche die zwischen den zwei Marken a und b sich befindliche Stablänge erleidet, so erhält man ein richtiges, zur Berechnung der inneren Reibung brauchbares Schaubild. Wir können somit die Dehnung der Stabansätze aus dem Schaubilde eliminiren, indem wir an den markirten Stellen Klammern befestigen und diese mit dem Zeichenapparat der Zerreissmaschine so verbinden, dass die Verlängerung der Distanz zwischen den Klammern als Dehnung gezeichnet werde; oder dadurch, dass man von der gesammten Dehnung die Verlängerung der Entfernung der Marken von den Backen in Abzug bringt. Im letzteren Falle genügt es, die Entfernung einer Marke doppelt in Abrechnung zu bringen, da bei gleich grossen Ansätzen und bei gleichen Backen und gleicher Einspannung der Einfluss an beiden Seiten als gleichwerthig betrachtet werden kann.

Bei meinen Untersuchungen habe ich die letztgenannte Methode angewandt und habe das Entfernen der Marke von der fixen Backe (B) mit einem Vergrösserungsglase beobachtet, welches, wie Fig. 1, Taf. V zeigt, in dem mit t bezeichneten Rohre befestigt ist. Das Rohr besitzt anstatt Ocular ein Diaphragma und darunter zwei sich deckende Haarfäden. Mit diesem wird die Marke {%)■ so beobachtet, dass sie mit den Haarfäden in eine Ebene falle. Die Bewegung des Rohres geschieht mittelst eines Schlittens (u), auf welchem auch eine kleine Rolle (k) befestigt ist.

Der Zerreissapparat besteht lediglich aus einem Kolben, der mit der beweglichen Backe (A) in Verbindung steht, und aus einem Cylinder (e), welcher mit der Zugschraube verbunden ist. Der Raum f Fig. 2, ist mit Oel gefüllt. Die Kolbenstange (g) ist mit einer Bohrung versehen, durch welche die Pression, unter welcher sich das Oel befindet, auf einen In-dicator (7z), der auf der Kolbenstange befestigt ist, übertragen wird. Der Papiercy linder (j) des Indicators wird von der Schnur (x) bewegt. Wenn man diese Schnur direct mit der fixen Klammer (l) verbindet, so wird die Verdrehung des Papiercylinders mit dem Wege der Backe (M), also mit der gesammten Dehnung gleich sein. Wenn man aber diese Schnur um die Rolle (k) zur Klammer (l) führt, so wird der Papiercylinder zufolge der Rolle k um das Doppelte des Supportweges, beziehungsweise um das Doppelte der Verschiebung der Marke & von der Backe B Zurückbleiben. Hiermit werden nun die Dehnungen der Theile ausserhalb der Marken von der Gresammtdehnung subtrahirt, wodurch das Schaubild nur die Dehnung jenes Stückes enthält, welches zwischen den Marken liegt.

13. Material IV. Gruppe.

Qx — 4s • Nf-1gß-Zx

25. Versuchs-Resultate.

l+l

33. Versuclisresultate.

36. Formel der Zugbeanspruchung.

¹

Das Gesetz der proportionalen Widerstände von Fr. Kick, 1885, Leipzig, A. Felix. A. Eejtö, Die innere Reibung etc.

²

Memoire sur le rabotage des meteaux par Thime. Petersbourg 1877.

³

Stereochemie nach J. H. van’t Hoff. Leipzig 1892 von Dr. W. Meyerhoffer.

⁴

Constructions metalliques elasticite et resistance des materiaux fönte, fer et acier par Jean Besal, Paris 1892.

⁵

Um klar darzustellen, dass die Anfangsverhältnisse bei der Beanspruchung jeden Materials dieselben sind, wollen wir die folgende Einleitung bei der Besprechung der weiteren Gruppen möglichst beibehalten.

⁶

Im Band XXXXI (1897) der Zeitschrift des Vereins deutscher Ingenieure theilt Prof. C. Bach mit, dass die Formel der elastischen Dehnung: e — aam sei.

13. Material IV. Gruppe.

Zähes, jedoch unbildsames Material mit variablem /, wobei Ar-/ina£>P6 ist.

So lange die Wirkung der äusseren Kraft kleiner ist als der Werth der inneren Reibung, kann keine bleibende Verschiebung entstehen; sobald aber diese den Werth der inneren Reibung überschreitet, entsteht jene Deformation, welche sich auf den ganzen Stab gleichmässig erstreckt.

Diese gleichmässige Formänderung erreicht ihre Grenze, wenn die innere Reibung den Werth der Cohäsion erlangt, weil in diesem Falle die äussere Kraft die Cohäsion überwindet. Der Stab zerreisst nun, bevor die innere Reibung ihr Maximum erreicht hätte. Bei diesen Materialien er-giebt sich die Reisskraft, von der allgemeinen Formel abgeleitet, als folgender Ausdruck:

da aber

und

Fmax = Nfx, Nfx = Po

ist, so folgt, dass

■Po

und

max

Po

ver-

Diese letztere Formel sagt, dass die auf den anfänglichen Querschnitt bezogene Reisskraft, d. h. die Festigkeit, keine absolute Eigenschaft des Materials sei, sondern durch Verminderung der Dehnbarkeit (ü), also durch Beanspruchungen erhöht und durch Ver-grösserung der Dehnbarkeit, also z. B. durch Ausglühen mindert werden kann.

14. Material V. Gruppe.

Zähes und bildsames Material mit variablem /j wobei -V-/’max<j?o ist.

So lange die Wirkung der äusseren Kraft kleiner ist als der Werth der inneren Reibung, kann keine bleibende Verschiebung eintreten; sobald aber diese den Werth der inneren Reibung überschreitet, entsteht die gleichmässige Formänderung, die so lange andauert, bis W/’sein Maximum erreicht hat.

Von diesem Momente an haben diese Materialien denselben Charakter als jene der II. Gruppe, weil Nfmax seinen constanten Werth beibehält und W/kax < 'p₀ ist. Nachdem Nf sein Maximum erreicht hat, wird sich die Formänderung nicht mehr auf die ganze Stablänge erstrecken, sondern nur auf* einen d ctg ß langen Theil, d. h. der Stab contrahirt.

Bei diesen Materialien muss man daher zweierlei Formänderungen, also auch zweierlei Reibungsarbeit unterscheiden, nämlich jene, welche der gleichmässigen Deformation entspricht, die wir Zähigkeit nannten, und jene, welche der Contraction entspricht, die wir Bildsamkeit nennen wollen. Betreffs der Zähigkeit ist zu bemerken, dass bei dieser die maximale Zugkraft folgenden Werth hat:

-fmax = 4NU

und da so folgt, dass

max

Nfm

und dass

Pi

nax

Nfmax

Hieraus folgt, dass auch bei diesen Materialien die Festigkeit keine absolute Eigenschaft ist, sondern durch Verminderung der Zähigkeit vergrössert, und durch Vermehrung der Zähigkeit vermindert werden kann.

Ueber die Bildsamkeit sei bemerkt, dass die äussere Kraft bei diesen Materialien sich so verhält, wie bei jenen der II. Gruppe, und dass die Bildsamkeit mit der Zähigkeit in gar keinem Zusammenhänge steht, weil diese nicht von dem anfänglichen Wertlie der inneren Reibung, sondern nur von dessen maximalem Werthe abhängt.

Das gesammte Zugdiagramm entspricht der Fig. 11, Taf. IV. Die Fläche bis zur maximalen Kraft abc stellt die Zähigkeit, und von da an, d. h. bcn, die Bildsamkeit dar. Die gesammte Dehnung oder Reissdehnung besteht also hier aus zwei Theilen und zwar aus der gleichmässigen Dehnung (ae), wo

ac — &\ — lh

ist, und aus der contractionellen Dehnung (m), für welche wir die Formel

cn = S-2 = % d₁ ctg ß

erhalten haben.

Hiermit ist die Gesammtdehnung

an = ac + cn —    + s₂ — s

also

s == lh + y,d₁ ctg ß und bei Stäben mit kreisförmigem Querschnitte

s = l h -f z,L ctg ß V4,

wie dies auch Bauschinger gefunden hat.

Aus der Formel für die contractionelle Dehnung    ,

cn = s₂ = x ctg ß

kann man auch die Verhältnisszahl / berechnen, welche den Grad der Bildsamkeit anzeigt. Es ist jedoch zu berücksichtigen, dass dx jenen Durchmesser bedeutet, welchen der Stab am Ende der Zähigkeits-Deformation hatte. Da bis zu dieser Grenze der Stab gleichmässige Dehnung erlitt, so ist

^p*A(l+A)

d²7t    dx²rc ₇

7 • h = -4— • hx = 4    4    J

und

d₁ =

wenn man diesen Werth in s₂ einstellt, so ist

5₂ =

x ü ctg ß

und deshalb

yi + ^

_ ⁵2 Vl + ^

d ctg ß

15. Material YI. Gruppe.

Zähes Material mit variablem wobei -Ar/max = ^₀ ist.

So lange die Wirkung der äusseren Kraft kleiner ist als der Werth der inneren Reibung, kann keine bleibende Verschiebung entstehen, sobald aber diese den Werth der inneren Reibung überschreitet, entsteht jene Formänderung, welche sich auf den ganzen Stab gleichmässig erstreckt. Diese gleichmässige Deformation, d. h. die Zähigkeit erreicht aber ihre Grenze, wenn die innere Reibung ihren maximalen Werth erhält.

In diesem Falle ist nun

und weil

ist, so wird

P-4Nf

■V/max r= Po

P — JtPo

sein, woraus folgt, dass die äussere Kraft ebenso die Cohäsion als die maximale innere Reibung überwinden kann. Ueberwindet die äussere Kraft die Cohäsion, so zerreisst der Stab ohne zu contrahiren und man kann aus dessen Schaubilde den Werth von Nfmax berechnen; wenn aber die äussere Kraft die maximale innere Reibung überwindet, so können, der Gleichgewichtslage (Nfmax = p₀) entsprechend, mehrere dctgß lange Theile verschoben werden, und nachdem zur Reibungsarbeit dieser contrahirenden Theile ein Kraftaufwand nothwendig ist, so wird

V/inax

werden, weshalb aus einem solchen Schaubilde (wie es Fig. 10, Taf. IV darstellt) der Werth des Nfmax nicht berechenbar ist. Aus diesem Schaubilde ist nämlich nicht ersichtlich, ob Nf seinen maximalen Werth nur im Punkte m oder schon früher, z. B. im Punkte b erreicht hat.

16. Versuchs-Resultate.

Um über die Richtigkeit der vorhergegangenen theoretischen Folgerungen Beweise zu erlangen, habe ich mit elementaren Wolle- und Baumwollehaaren, mit Geweben und Papieren, als auch mit verschiedenen Metallen Reissversuche durchgeführt und fand, dass alle diese Materialien diesen Folgerungen vollständig Genüge leisten. Namentlich fand ich, dass

1.    gleich dimensionirte Versuchsstücke aus demselben Material gleiche, d. h. congruente Schaubilder ergeben, die auf einander gelegt sich vollständig decken,

2.    dass die Summe der gleichmässigen Deformationsarbeit (Zähigkeit) bei einmaligen und bei wiederholten, bis zum Bruche fortgesetzten Zugbeanspruchungen vollständig gleich ist und schliesslich

3.. dass durch Beanspruchungen die im Material aufgehäufte Zähigkeit sich vermindert, die Elasticitätsgronze aber vergrössert wird.

Die letztgenannten Ergebnisse werden im praktischen Leben vielfach angewendet. So werden z. B. Transmissions-Seile und -Riemen vor dem Gebrauche stark gedehnt, dass diese später nicht deformiren. Stahlfedern für Dynamometer werden anstatt gehärtet auf Zug bedeutend stärker beansprucht, als dies später beim Gebrauch derselben geschieht, wodurch deren Elasticitätsgrenze erhöht wird u. s. wr.

Hier wollen wir noch bemerken, dass bei Stahl der Werth des Nfn von der (Lösungs-) Härtungskohle abhängt, weshalb weicher Stahl durch Zug nur bis zu seinem N-fmax gehärtet werden kann. Wenn man daher Stahl in höherem Grade härten will, so muss man ihn dem gewöhnlichen Härteprocesse unterwerfen, weil dadurch der Gehalt an Härtungskohle und damit der Werth des N-fmax vergrössert wird.

Durch Härten lässt sich also die Elasticitätsgrenze des Stahles mehr verändern als durch Deformiren.

Wir wollen jetzt auf die Versuchsresultate der Metalle übergehen.

In jenen Fällen, wo auf dem Zugdiagramme Contraction ersichtlich ist, gehört das Material unstreitig in die V. Gruppe und ist in diesem Falle die Formel der äusseren Kraft

mit welcher Formel man nicht nur die Aenderungen der inneren Reibung, sondern auch deren Maximalwerth    bestimmen kann. Von den

untersuchten Metallen gehören in diese Gruppe: Blei, Zinn, Aluminium, Kupfer und Schmiedeeisen, weil diese vor dem Bruche eine sich nach abwärts verlaufende Kraftlinie haben, wie dies aus ihren Diagrammen, welche die mit (P) bezeichnete Linie in je Fig. 1 der Taf. YII—XIV darstellen, ersichtlich ist.

Die Zugdiagramme sind in derselben Grösse dargestellt, in welcher sie auf der Reissmaschine gewonnen wurden. Die Maasse des Stabes, d. h. der Durchmesser (d) und die Entfernung der Marken (h) sind neben den Diagrammen notirt. Aus diesen Zugdiagrammen construirt man das Schaubild der inneren Reibung nach in Punkt 12 mitgetheilten Verfahren, d. h. man theilt jedes Diagramm durch verticale Striche in mehrere Theile, berechnet dann in jedem Theilpunkte die Grösse der inneren Reibung auf Grund der Formel:

4*

N-fx =

und trägt diese Werthe in der Kraftrichtung, jedoch im linearen Maassstabe (hier 1 kg = 1 mm) auf. Wenn man die so gewonnenen Punkte durch eine gleichmässig verlaufende Curve verbindet, so giebt diese uns das Bild der Veränderung der inneren Reibung bezogen auf die jeweilige Flächeneinheit und auf die Dehnung des Versuchsstabes. Diese Curven sind in Fig. 1, Taf. VII—XIV mit (N-f) bezeichnet. Bei diesem Vorgehen ist zu bemerken, dass man die Berechnung nur bis zur Maximalkraft durchführen darf, da der weitere Theil des Diagramms der Bildsamkeit entspricht, bei welcher N-fmax constant ist.

Die in Fig. 1 mit N-f bezeichneten Schaubilder stellen nur eine relative Eigenschaft des Materials dar, da sie auch von der Länge des Stabes abhängen. Um aber jenes Schaubild zu erlangen, welches die absoluten Eigenschaften des Materials ergiebt, muss man die innere Reibung als Function der procentualen Dehnung auftragen. Dies erlangt man, wenn man die in Punkt 12 beschriebene und in Fig. 12 —13 der Taf. IV dargestellte graphische Methode anwendet. Nach dieser Methode wurden die Schaubilder, welche auf Taf. VII—XIV in je Fig. 2 vorgeführt sind, construirt. Diese bezeichnen die absoluten Eigenschaften des Materials, wie wir dies schon Punkt 12 (Seite 23) erörtert haben, welche bei jederartigen Beanspruchung zur Geltung gelangen.

Der in Punkt 12 beschriebene Vorgang wurde bei allen untersuchten Metallen durchgeführt, mit Ausnahme des Aluminiums, weil bei dem Versuchsstabe dieses die Entfernung der Marken an dem Stabe gerade 100 mm betrugen, wodurch man schon in Fig. 1, Taf. IX das Schaubild der inneren Reibung, bezogen auf die procentuale Dehnung, erhalten hat. Aus den Schaubildern der inneren Reibung der genannten Metalle, d. h. des Bleies, Zinnes, Aluminiums, Kupfers und Schmiedeeisens (Fig. 2 der Taf. V—XIV), ist auch die maximale Reibung und die maximale gleichmässige Dehnung ersichtlich, und da diese Werthe bei Berechnung der maximalen äusseren Kraft allerartigen Beanspruchungen zur Geltung kommen, so haben wir diese in folgender Tabelle zusammengestellt:

Blei

Materialien Y. Gruppe

Pb

Ar • fmax

2-05

*%

27

Zinn

/Sn

247

17-4

Aluminium

Al

10-58

20

12, 15 und 18mm Kupferblech. .    .

Cu

26-3

25

Ia Kesselblech

C =0-11 Si =0-066 Mn — 0⁻54* P =0-019

36

17

IIa Kesselblech

C =0-14 Si =0-033 Mn = 0⁻58 P =0-044

39-7

17-5

Ausser den genannten Metallen wurden auch drei Messingsorten untersucht, deren Zugdiagramme in Fig. 1 der Taf. XY—XYII ersichtlich sind. An diesen Diagrammen ist die Contraction nicht wahrnehmbar; diese gehören daher entweder in die Gruppe IV oder YI. Da aber auch an den Probestäben keine Contraction ersichtlich ist, gehören sie anscheinend in die Gruppe IY. Die genaue Einreihung derselben wird erst auf Grund anderer Beanspruchungen möglich sein.

Weiterhin wurde Deltametall untersucht, an dessen Zugdiagramm auch keine Contraction ersichtlich ist. Die Kraftlinie desselben besteht nur aus einer ansteigenden Curve, wie dies aus Fig. 1 der Taf. XYIII zu ersehen ist, trotzdem dass der Stab contrahirt hat; dieses Metall gehört daher in die Gruppe YI. Wir haben schon erwähnt, dass man bei dieser Gruppe den maximalen Werth der inneren Reibung, zu welchem man das ganze Zugdiagramm benützt hat (Fig. 2, Taf. XYIII), nur mit dem Vorbehalten in Betracht nehmen kann, dass davon nur ein Bruchtheil gütig ist. Diesen Bruchtheil werden wir später mit Hilfe anderer Beanspruchungen bestimmen.

Schliesslich wurde auch noch gegossenes Zink und graues Roheisen untersucht. Die Zugdiagramme dieser bestehen aus einer nahezu senkrechten Linie und sind deshalb beide als spröde Materialien zu bezeichnen. Es wäre aber noch fraglich, ob wir es hier mit Materialien der I. Gruppe oder mit spröde gewordenen Materialien der IY. Gruppe zu thun haben. Da diese Materialien durch Ausglühen ihre Sprödigkeit nicht verlieren, wären dieselben in die I. Gruppe, bei welcher (f) constant und N-f>p0 ist, einzutheilen.

Wenn wir die Bruchfläche der zwei Materialien oder das mikrophotographische Bild des grauen Roheisens betrachten, sehen wir, dass dessen

Gefüge krystallinisch ist, weshalb hier ausser der molekularen Cohäsion und Reibung auch die Gruppen-Reibung in Betracht zu ziehen ist.

Beim Zug ist die Gruppen-Cohäsion zur Geltung gekommen, wie dies die Krystalle der Bruchfläche beweisen. Zufolge der Gruppen-Cohäsion und -Reibung würden diese Materialien in die Gruppe I gehören, nachdem es aber möglich ist, dass die molekulare Reibung und Cohäsion bei anderen Beanspruchungen zur Geltung kommen, so kann man sie noch nicht endgültig einreihen. Wenn der letztere Fall einträte, dann würden diese Materialien in die Gruppe mit combinirtem Reibungscoefficient einzureihen sein. Einstweilen aber reihen wir sie in die Gruppe I ein.

B. Beanspruchung auf Druck.

17. Allgemeiner Tlieil.

Um die Beanspruchung durch Druck anschaulich zu machen, nehmen wir an, 1. dass die Druckkräfte auf einen Cylinder mit kreisförmigem Querschnitt gleichmässig vertheilt wirken, 2. dass die äussere Kraft nur langsam zunimmt, also in kleinen Intervallen constant ist, und schliesslich

3. dass das Material unverdichtbar sei.

Da die Uebertragung der äusseren Kraft in der Richtung des Wirkungswinkels geschieht, so müssen wir vor allem das Molekularnetz des Stabes feststellen.

Bei Zug bildete die Kraftübertragungsrichtung mit der Richtung der Zugkraft den Winkel /?; nachdem aber die Zugrichtung zugleich die Richtung der Maassvergrösserung ist, so kann man als allgemeine Regel aussprechen, dass der Wirkungswinkel (ß) mit der Richtung der Maassvergrösserung zu bilden sei, mit anderen Worten, der eine Schenkel des Z. ß fällt in die Richtung der Maassvergrösserung. Diese Regel müssen wir bei jeder Beanspruchung befolgen.

Bei Druckbeanspruchung entsteht in der Richtung der äusseren Kraft die Verminderung und in der hierzu senkrechten Richtung die Vergrösse-rung der Maasse, deshalb muss man hier den Wirkungswinkel ß mit der zur äusseren Kraft senkrecht stehenden Richtung bilden.

Rehmen wir nun an, dass das Versuchsstück in Fig. 39, Taf. VI dargestellt sei und dass die gleichmässig vertheilten Druckkräfte auf die Moleküle der Endflächen ac und a‘ c‘ Avirken, so muss der WirkungsAvinkel ß mit der zur äusseren Kraft senkrecht stehenden Linie a c und a‘ c‘ gebildet werden — in der Zeichnung mit der Wagerechten — und muss das Molekularnetz mit Benützung dieser Richtung construirt werden.

Da die Moleküle die Wirkung der äusseren Kraft nur in der Richtung der Wirkungswinkel vermitteln, so sind die äusseren Kräfte in solche Komponenten zu zerlegen, deren Richtung mit jener des Schenkels der Wirkungswinkel übereinstimmt. Um die Beanspruchung bildlich darzustellen, muss man die Wirkung einer jeden Komponente auf die in ihrer

Richtung liegenden Moleküle ebenso mit Kraftlinien bezeichnen, wie bei der Beanspruchung auf Zug. Man trage deshalb jene Geraden, welche die Kräfte darstellen, von a bis e, von c bis ri, von a‘ bis e', von c‘ bis d‘ und dann von den Molekülen, die zwischen a und c, ferner zwischen a‘ und c‘ liegen, in den Richtungen beider Wirkungswinkel auf. Aus der so construirten Figur ist zu ersehen, dass auf die Moleküle cibc und a'b'c' die Kräfte in zwei Richtungen wirken, deren Resultante in die Richtung der äusseren Kraft fällt, weshalb diese als an die Angriffspunkte der äusseren Kraft befestigt gedacht werden können. Weiter sehen wir, dass auf die Moleküle der Theile a b d, cbe und cd b‘ d\ c‘ b' e‘ die Komponenten nur in einer Richtung wirken. Diese Moleküle sind daher bestrebt, sich von der Mittelachse zu entfernen und zugleich der Richtung der äusseren Kraft zu folgen.

Bei der Zugbeanspruchung erhielten vrir jenen Theil der inneren Reibung, welcher von der Zugkraft überwunden wird. Nachdem die Zugkraft dort die Maassvergrösserung hervorruft, so kann man sagen, dass die bekannte innere Reibung der Maassvergrösserung widersteht. Diese Annahme müssen wir auch weiterhin festhalten.

Da bei der Druckbeanspruchung nur jene Theile der Komponenten die Maassvergrösserung hervorrufen, welche die Moleküle von der Mittelachse zu entfernen trachten, so folgt hieraus, dass die innere Reibung nur diesen Theilen widersteht. Diese Krafttheile, wrnlche die Moleküle von der Mittelachse zu entfernen suchen, wollen wir die Schub Wirkung der Druckkräfte nennen. So lange die innere Reibung grösser ist als die Schub Wirkung der Druckkräfte, werden sich die Moleküle der Theile abd, cbe, a‘ b‘ d‘ und c‘ b‘ e‘ nicht bewegen, da aber zufolge der Zunahme des normalen Druckes (N) die innere Reibung dieser Theile zunimmt, so werden diese fester gehalten als jene, auf welche die äussere Kraft noch nicht ein wirkt, weshalb auch diese, ganz so wie bei der Zugbeanspruchung, als die ergänzenden Theile des Werkzeuges zu betrachten sind.

In der folgenden Beanspruchungsperiode sind nun die Moleküle der Grenzflächen cl b e und d‘b‘e‘ als Angriffspunkte der äusseren Kraft zu betrachten, weshalb die Wirkung der äusseren Kraft von diesen Punkten aus ebenso aufzutragen ist, wie früher von den Punkten der Fläche ac aus.

Aus der so ergänzten Figur ist ersichtlich, dass auf die Theile bclg e und b‘ cV g‘ e' zwei Komponenten wirken, deren Resultante mit der Richtung der äusseren Kraft übereinstimmt. Diese Theile folgen also der Bewegung des Werkzeuges, während auf die Theile dgd\ ege' nur eine Komponente wdrken würde, so wie früher auf abd, wenn der Yersuchskörper länger wäre. In Fig. 39, Taf. VI ist der Versuchskörper so gewählt, dass in dgd\ ege' die Actions- und Reactionswirkungen zusammenfallen, deren Resultante ebenso die Schubwirkung hervorruft, wie vorher die schiefen Komponenten in abd u. s. w. Die Theile dgd\ ege' können sich erst dann bewegen, wenn die innere Reibung grösser geworden ist als die

Schub Wirkung der äusseren Kraft. Da aber die innere Reibung in Folge der erhöhten normalen Kraft (N) in diesen Theilen ebenfalls grösser geworden ist, so sind diese ebenso gebunden, wie die Theile abd u. s. w.

wie es Fig. 39 zeigt —

Durch diese Wirkung der äusseren Kraft sind sämmtliche Theile des Stabes gleichförmig festgehalten, daher die äussere Kraft in der nächsten Periode einen erhöhten Werth annehmen kann.

Die Wirkung der äusseren Kraftzunahme müssen wir yon den Molekülen der Grenzflächen ac und a‘ d ausgehend ebenso auftragen, wie die der anfänglichen Kraft und wenn die innere Reibung noch immer grösser ist als die Schub Wirkung der vergrösserten äusseren Kraft, so entsteht keine Verschiebung, sondern die Kraft pflanzt sich in der bekannten Weise über den ganzen Stab fort. Nachdem dies geschehen, kann die äussere Kraft neuerdings zunehmen.

Die Wirkung der äusseren Kraft haben wir bisher durch Aufzeichnung der Kraftlinie versinnlicht. Diese Bezeichnung ist aber sehr mühsam, weshalb wir diese nur in komplizirteren Fällen anwenden werden. In einfachen Fällen hingegen werden wir ebenso verfahren wie bei der Besprechung der Zugbeanspruchung, d. h. wir zeichnen den Wirkungswinkel ß aus den Endpunkten ac, a‘ d (Fig. 40, Taf. VI) und setzen dies aus den Punkten d e, d' d fort; dann schraffiren wir die festgehaltenen Theile senkrecht, die übrigen wagerecht, wie es Fig. 41 darstellt.

Als Bedingung der Molekularverschiebung stellten wir auf, dass die Schubwirkung der äusseren Kraft grösser sein muss als die innere Reibung.

Nachdem wir bis jetzt nur den Werth der inneren Reibung kennen, so ist es nothwendig, dass wir im Nachfolgenden die Schubwirkung der Druckkraft feststellen, beziehungsweise bestimmen.

Zu diesem Zwecke betrachten wir die Fig. 42, Taf. VI, bei welcher die Schenkel der Wirkungswinkel, die aus den Endpunkten ac und a‘ c‘ gezogen sind, Zusammenfällen und nehmen wir der Einfachheit halber anstatt der gleichmässig vertheilten Kräfte die in der Mitte wirkende Resultante (q) in Betracht. Diese Druckkraft (q) als auch die Reaktionskraft derselben kann man in der Richtung der Kraftvermittlung in je zwei Komponenten zerlegen, nämlich in ki und k₂.

Diese Komponenten wirken auf die Seitenflächen und verursachen hier die Schubwirkung pni deren Werth nach Fig. 42 folgender ist:

pn = /% cos ß + k₂ cos ß

und weil kL = k₂, so ist

pn = 2 kx cos ß.

Der Werth von k, ist nach derselben Figur:

also

q = /% cos y + k₂ cos y = 2 kx cos y

2 cos y

7,    g

¹    2 sin /i

Dies in die Formel von pn eingesetzt, wird

Pn

oder

2 cos ß■q

2 sin ß

Pn = q■ ctg ß.

Der abgeleitete Werth der Schub Wirkung ist nicht nur in dem angenommenen speciellen Falle, sondern auch ganz allgemein gütig, weil die in Fig. 41 senkrecht schraffirten Theile in Folge der continuirlichen Zunahme der äusseren Kraft gleichförmig festgehalten sind, folglich die wagrecht schraffirten Theile ebenso zwischen gleichartig gebundene Theile eingekeilt sind, wie in Fig. 42. Nun können wir schon die oben aufgestellte Behauptung, dass eine Verschiebung so lange nicht entstehen kann, bis die innere Reibung Nf nicht grösser ist als die Schubwirkung der Druckkraft, mit folgender Formel darstellen:

Nf>q ctg ß

und im Gleichgewichte:

Nf = q ctg ß.

Aus dieser letzteren Formel kann man auch die Elasticitätsgrenze bestimmen, indem man als Maass derselben jene maximale äussere Kraft annimmt, welche noch keine Verschiebung hervorruft. Die Elasticitätsgrenze ist also gleich mit jener äusseren Kraft, welche mit der inneren Reibung im Gleichgewicht steht; daher

= Nf-^ß-

Da aber

das heisst

und

2y + 2ß= 180°, y + ß = 90°

so ist

cos y = sin ß:

Nf

ctgß

Wenn wir diesen Ausdruck mit dem entsprechenden bei Zugbeanspruchung erhaltenen vergleichen, so finden wir, dass die Elasticitätsgrenze beim Druck grösser ist als beim Zuge, wo diese den Werth p = Nf hat.

Aus der Gleichung der Gleichgewichtslage lässt sich auch die ge-sammte Druckkraft bestimmen, denn diese ist das Product aus der auf die Flächeneinheit bezogenen äusseren Kraft (q) mit der Grösse der Fläche (z/), also

Q = Jq = J-Nf-tgß.

Nach diesen allgemeinen Erörterungen wollen wir auch hier wieder auf jene speciellen Fälle übergehen, die sich aus den Abweichungen in den Eigenschaften der Materialien ergeben, und die uns interessirenden Verhältnisse bei jeder einzelnen Materialgruppe eingehend untersuchen.

18. Material I. Gruppe.

Sprödes Material mit constantem /", wobei Nf >p₀ ist.

So lange die Schubwirkung der äusseren Kraft

pn = q • ctg ß

den Werth der inneren Reibung nicht erreicht hat, erstreckt sich die Wirkung der äusseren Kraft auf den ganzen Stab, ohne jedoch eine bleibende Verschiebung der Moleküle hervorzubringen. Sobald aber die Schub Wirkung den Werth der inneren Reibung überschritten hat, wenn also pn > Nf wird, dann werden sich die wagerecht schraffirten Theile abd, eZ>e, a‘ b‘ d\ c‘ b‘ e‘ (Fig. 41, Taf. VI) in der Richtung der Komponente bewegen.

Da sich aber die Theile abc und a‘ b‘ c‘ nur in der Richtung der Druckkraft bewegen, die Theile abd und cbe aber das Bestreben haben, sich von der Mittelachse zu entfernen, so entsteht in den Flächen a b und bc eine Zugbeanspruchung, welche, wie bekannt, nur die Cohäsion vermitteln könnte. Nachdem aber bei dieser Gruppe die Cohäsion kleiner ist als die innere Reibung, d. h.

so ist

Po < Nf und Nf < pn,

p₀<pn oder p₀ < q ctg/?,

so überwindet die Schubwirkung der Druckkraft die Cohäsion und der Stab erleidet Bruch.

Bei diesen Materialien kann man also durch gewöhnlichen Druck keine Formänderung hervorrufen, weshalb man sie spröde nennt. Die Bedingung der Sprödigkeit haben wir mit der Formel

Po < Nf oder p₀ < pn

schon festgestellt.

Nach dieser Formel entsteht der Bruch bei spröden Materialien deshalb, weil die durch die äussere Kraft hervorgerufene Schub Wirkung grösser ist als die Cohäsion. Als Folge hiervon können wir sagen, dass der Bruch vermieden wird, wenn wir ausser der Druckkraft noch eine mit der Cohäsion in gleichem Sinne, also der Schubwirkung entgegen wirkende äussere Kraft (pe) anwenden, die kleiner sei als die Schubwirkung, deren Summe mit der Cohäsion (p₀) jedoch grösser sei als die Schubwirkung der Druckkraft (pn):

Pe<Pn Ve + Po > Pn-

Diesen Bedingungen entsprach Kick, als er sprödes Material in einem starken Eisenrohr (nach Fig. 3, Taf. I) zwischen Alaun, und ein ander Mal (nach Fig. 5, Taf. I) in einem mit starken Kautschukplatten abgeschlossenen Glasrohre in Flüssigkeit einbettete.

In beiden Fällen erhielten die Seitenflächen Gegendruck (p)e), welcher der Schubwirkung (pn) entgegenwirkte. Dieser Gegendruck war jedoch

kleiner als die Schubwirkung, weil das Eisenrohr, beziehungsweise die Kautschukplatten sich deformirten und hierdurch die Maassvergrösserung in der Richtung der Schubwirkung gestatteten.

Das Druckdiagramni der spröden Materialien ist eine senkrechte oder schiefe Linie, je nachdem das Material elastisch oder unelastisch ist.

Bei den bisherigen Abhandlungen haben wir die Figur Taf. VI vor Augen gehalten und gefunden, dass die gesammte Druckkraft der nachstehenden Formel entspricht:

Q = J.q = J-Nf-tgß

und dass bei dieser der Bruch in der Richtung a e oder c d entsteht. Wenn wir nun die Fig. 43, 44 und 45 in Betracht nehmen, so erkennen wir, dass bei diesen jene Theile, welche in Fig. 41 mit abd und ehe bezeichnet sind, vollkommen gleiche Lage haben, weshalb auch die Schubwirkung der äusseren Kraft unter gleichen Verhältnissen wirkt; nun wird die Bruchrichtung und die nöthige gesammte Druckkraft mit der des früheren Falles identisch sein.

Da bei den betrachteten Körpern die Höhe (S) grösser oder wenigstens gleich war mit der Höhe eines gleichbeanspruchten Theiles (ad = D-tgß in Fig. 41), so können wir den Schluss ziehen, dass unsere Folgerungen so lange gütig bleiben, als

ö > I) ■ tg ß ist.

Sobald dieses Verhältnis geändert wird, d. h. wenn

d < D-tg /?,

ändert sich die Beanspruchung der Moleküle, wie dies aus Fig. 46 und 47 ersichtlich ist, und deshalb ändert sich auch der Kraftbedarf. Die Aende-rung des Kraftbedarfes wollen wir jetzt nicht weiter verfolgen; hiermit befassen wir uns erst im nächsten Abschnitte und begnügen uns hier mit der Bemerkung, dass die dortigen Folgerungen auch hier vollkommen Geltung besitzen.

19. Material II. Gruppe.

Bildsames Material mit constantem f, wobei Nf <p₀ ist.

So lange die Schub Wirkung der äusseren Kraft (q-ctgß) den Werth der inneren Reibung (JSTf) nicht erreicht, erstreckt sich die Wirkung der äusseren Kraft in bekannter Weise über den ganzen Stab, ohne eine bleibende Verschiebung hervorzubringen. Wenn aber dieser Werth überschritten wird, also wenn

q • ctg ß > Nf,

wird der Ueberschuss an Kraft, von den Molekülen der Grenzflächen ae und a‘c‘ ausgehend, seine Wirkung einstweilen bis zu den Punkten d, e und d‘, e‘ (Fig. 41, Taf. VI) zur Geltung bringen. Demzufolge werden die Theile abc und a‘b‘c‘ der Richtung des Werkzeuges folgen, die Theile

cibd, cbe und cd b‘d‘, c'b'e* aber werden verschoben. Diese Verschiebung kann ohne Bruch geschehen, da nach unserer Annahme die Co-häsion bedeutend, die Schubwirkung aber nur um ein Geringes grösser ist als die innere Reibung.

Aus dem bisherigen folgt nun, dass die Wirkung der Mehrkraft sich nur auf die Theile adbec und a' cl‘b‘ e' c‘ erstreckt und nachdem die Theile abd, cbe und a‘ b‘ d\ c‘ b‘ e‘ den Kraftüberschuss zur Beschleunigung ihrer Moleküle benützen, so kann die Wirkung der äusseren Kräfte auf die weiteren Theile des Körpers so lange nicht übertragen werden, bis diese Theile nicht bedeutende Querschnittsvergrösserung erhalten haben.

Man kann also sagen, dass beim Zusammendrücken von längeren Cylindern die unmittelbar an den Druckflächen liegenden Theile derselben in einer Länge von a d = a‘ d‘ = D • tg ß stärker deformiren, dass also der Stab an seinen Enden gestaucht wird.

Aus der Fig. 41 ist auch die Ursache zu erklären, warum sich längere Säulen unter Druck leicht ausbiegen. Es ist nämlich dort ersichtlich, dass die gebundenen Theile, sich mit den Spitzen berührend, übereinander reihen.

Wenn nun vorausgesetzt wird, dass die Druckflächen nicht genau parallel sind, oder dass die Flächen ac und a‘ c‘ nicht genau senkrecht zur Achse sind, oder endlich wenn sich im Innern des Materials Blasen, im Allgemeinen Ungleichheiten befinden, so geht die Resultante der Aktionsund die Resultante der Reaktionskraft nicht durch die Spitzen der gebundenen Theile. Es tritt ein Drehungsmoment auf, welcher eine Bewegung dieser gebundenen Theile um die Spitzen, also eine Biegung hervorruft.

Die Formänderung der Endtheile entsteht nicht nur bei relativ hohen Säulen (wie z. B. die in Fig. 41 ist), sondern in allen Fällen, wo die Endtheile in der Länge von B-tgß frei sind, also überall, wo die Höhe (d) des Stabes

d > 2 • D • tg ß ist.

Unter solchen Verhältnissen befinden sich z. B. die in Fig. 43 und 44 dargestellten Säulen.

Sobald aber die Höhe des Cylinders kleiner ist als oben erwähntes Maass, wenn also

d < 2 • I) • tg ß

ist, so durchdringen sich die stauchenden Endtheile und der Stab deformirt sich in der ganzen Länge und zwar um so gleichmässiger, je vollständiger diese Durchdringung ist. Vollständig wird die Durchdringung, wenn

d = D-tgß,

wie es aus den Fig. 45 und 57 ersichtlich ist, weshalb in diesen Fällen eine intensive Deformation (nach der in Fig. 57 mit punktirten Linien gekennzeichneten Weise) vor sich geht.

Bezüglich der Vertheilung der äusseren Kraft ist zu bemerken, dass dies bis zu jener Grenze, wo

d — D-tg ß

ist, auf der Druckfläche ebenso gleichmässig geschieht, wie bei den längeren Cylindern und zwar aus dem Grunde, weil die mit dem "Werkzeuge sich berührenden Theile abc und a‘ b‘ c‘ hier ebenso festgehalten sind wie dort. Wenn aber

d < D-tgß

ist, so ändert sich die Kraftvertheilung.

Nehmen wir an, dass die Höhe sich zwischen

ö = Dtg ß

und

d — 05 • D ■ tg ß

ändert.

Construiren¹) wir für diese Werthe das netzartige Bild der Kraftübertragung, so werden wir sehen, dass mit der Verminderung der Höhe von jenen Theilen des Stabes, welche unter dem Werkzeuge sind, immer mehr und mehr Moleküle an der Deformation theilnehmen und zwar so, dass in dem Falle, wenn d = 0'5-D-tgß ist (wie es Fig. 46 darstellt), schon sännntliche Moleküle bei der Deformation betheiligt sind. Aus den netzartigen Bildern der Kraftübertragung würde auch ersichtlich sein, dass im Innern der Körper sich solche Molekülgruppen bilden, auf welche Tier sich im Gleichgewichte befindliche Komponenten wirken und daher diese Gruppen unbeweglich sind. Solche Gruppen werden wir zur leichteren Uebersicht doppelt schraffiren.

In dem Falle, Avenn

d — 0⁻5 • D ■ tg ß

ist, wird die unbewegliche Gruppe (Fig. 46) schon so gross, dass sie die Druckflächen berührt und somit die Aveitere Annäherung des Werkzeuges verhindert.

Wir sehen also, dass, so lange

d > 05 ■ D ■ tg ß

ist, dem Eindringen des Werkzeuges keine Körpertheile AAdderstehen, Aves-lialb man die Deformation bis zu dieser Grenze mit gleichmässig vertheilten äusseren Kräften vollführen kann.

Sobald aber

d < D-tgß

ist, Avächst die Anzahl der unbeAveglichen Moleküle, A\de aus den Fig. 47, 48, 51 ersichtlich ist. Es Averden dem Eindringen des Werkzeuges immer mehr und mehr Moleküle im Wege stehen, und die Druckflächen können sich so lange nicht einander nähern, bis die im Wege stehenden unbeAveglichen Moleküle von anderAveitigen äusseren Kräften nicht entfernt Averden.

Die bisherigen Resultate zusammenfassend ergiebt sich, dass man mit gleichmässig vertlieilten Druckkräften nur dann eine regelmässige, auf die ganze Höhe sich erstreckende Deformation erzielen kann, wenn die Höhe des Stabes dem Verhältnisse zwischen

d< 2-D-tgß

und

d > 0 5 • D- tgß

entspricht; ferner dass zwischen dem Werkzeuge und dem beanspruchten Gegenstände Reibung nur dann auftritt, wenn

d < D ■ tg ß

ist und endlich, dass in dem Falle, wenn

d < 05 • D ■ tgß

ist, die rückwirkende Festigkeit grösser wird und die Druckkraft sich auf der Druckfläche ungleich vertheilt.

Diese allgemeine Regel kennend, können wir die Druckkraft jederzeit berechnen.

a) Tn jenen Fällen, wo

d > 0 5 • D • tg ß ist, wird die Bedingung des Gleichgewichtes

q-ctgß = Nf;

daher der Druck auf die Flächeneinheit, d. h. die rückwirkende Festigkeit

Nf

ctg/?

= Nf- tg ß

und wenn wir die derzeitige Druckfläche mit Jx bezeichnen, so ist die gesammte Druckkraft

Qx = 4b • Nf-tg ß = Jx - q.

Aus dieser Formel lässt sich der genaue Werth der jeweiligen Druckkraft nur dann berechnen, wenn man die Aenderung von genau kennt. In jenen Fällen, wo

ö < 2-D-tgß

ist, und besonders wo

d < 1-5- D-tg ß

ist, darf man die Deformirung, ohne einen grösseren Fehler zu begehen, als ziemlich gleichförmig betrachten, weshalb man die Aenderung des Querschnittes in diesen Fällen aus der Beständigkeit des Volumens (K) berechnen kann.

Das Volumen ist

K — z/₀ d₀ = dx = J₂d₂ = ... = Jxdx u. s. w., wo und d₀ die ursprünglichen, die übrigen aber die veränderten Maasse bezeichnen.

xy = C.

Die Gleichung der Beständigkeit des Volumens lässt sich auch fol-gendermassen schreiben

Dies ist die Gleichung einer Hyperbel, bei welcher die Assymp-toten mit den Coordinatenachsen zusammenfallen.

Es folgt hieraus, dass man die Aenderung des Querschnittes mit einer Hyperbel darstellen kann, welche man entweder auf Grund der anfänglichen z/₀ und ö₀ nach der allbekannten Weise construirt, oder man berechnet nach der Formel K = Jx • dx für verschiedene Werthe von dx die Werthe Jx und zeichnet die Hyperbel auf, indem man auf die Al-Achse die Aenderungen von d, auf die Y-Achse die Aenderungen von J aufträgt, Diese Hyperbel ergiebt die Aenderung des Querschnittes in Abhängigkeit der Höhe. Wenn wir nun die Aenderung des Querschnittes kennen, so sind wir auch im Stande, nach der Kraftgleichung

Q = 4 ■ Nf- tg ß

die Aenderung der Druckkraft zu bestimmen. Wir brauchen hierbei nur die veränderten Werthe des Querschnittes mit Nf- tg ß zu mul-tipliciren.

Wenn man das Product

J-Nf-tgß

gleichfalls — wie früher J — auf die Achse Y aufträgt, erhält man die. Aenderung der Druckkraft Q in Abhängigkeit der Höhe. Da aber die Aenderung der Höhe zugleich der Weg der äusseren Kraft ist, so bedeutet das Schaubild die Aenderung der Druckkraft in Abhängigkeit des Weges, d. h. das Arbeitsdiagramm der Druckbeanspruchung,

b) In solchen Fällen, wo

d < 0’5 • D • tg ß

ist, berechnet man den Kraftbedarf folgendermassen.

Vorausgesetzt, dass auf die Druckfläche nur gleichmässig vertheilte Kräfte wirken, deren Werth pro Flächeneinheit

q = Nf- tgß

ist, kann man aus den netzartigen Bildern der Kraftübertragung (in Fig. 48, 51 und 54, Taf. VI) sehen, dass auf die Moleküle des Theiles b‘ d‘ db je vier sich im Gleichgewichte befindliche Kräfte wirken, die deshalb unbeweglich sind und in erwähnten Figuren mit stärkeren Punkten bezeichnet wurden.

Um die Annäherung des Werkzeuges möglich zu machen, müssen wir auf die unbewegliche Molekülgruppe eine neuere Kraft einwirken lassen.

Nachdem aber diese gebundene Molekülgruppe keine cylindrische Form besitzt, so fragt es sich, von welchem Punkte an man diese neuere Kraft wirken lassen soll.

Unstreitig brauchen wir auf die Theile a b‘ und c d‘ keine neuere Kraft ein wirken zu lassen, da diese sich schon bewegen. Wir lassen deshalb die Kraft einstweilen auf jene Theile wirken, welche zwischen b‘ und d‘ liegen, so wie es Fig. 49 zeigt.

Um die Wirkung dieser neuen Kraft klarer darzustellen, bezeichnen wir zuerst in Fig. 49 die Resultanten der am ganzen Querschnitte gleich-massig vertheilten Kräfte, so wie wir sie in Fig. 48 erhielten. Dann bezeichnen wir hierzu die Wirkung der neuen Kräfte, welche wir uns zwischen b' und d‘ als auch zwischen b und d gleichmässig vertheilt denken, und schliesslich construiren wir die Resultanten der Komponenten. Aus dem so erzeugten Bilde (Fig. 49) ist erkennbar, dass die Schubwir-kung der äusseren Kraft jetzt auf die Theile agg'a' und cmm' & wirkt, und dass im Theile g‘ mm‘g noch immer im Gleichgewichte stehende Komponenten vorhanden sind, daher dieser noch immer aus unbeweglichen Molekülen besteht.

Das Werkzeug kann sich also noch immer nicht nähern, weshalb wir auf den Querschnittstheil gm' eine weitere Druckkraft einwirken lassen müssen, wie es Fig. 50 zeigt. Um die Wirkung dieser letztgenannten äusseren Kraft klarer darzustellen, zeichnen wir in die Fig. 50 zuerst jene Resultanten auf, welche wir in Fig. 49 erhielten, dann die Wirkung der neueren Druckkräfte und zuletzt die Resultanten der Komponenten. Aus der so verfertigten Fig. 50 ist ersichtlich, dass die Schub Wirkung der äusseren Kraft sich jetzt schon auf sämmtliche Moleküle erstreckt, die Deformation derselben also möglich ist.

Aus den bisherigen Erörterungen folgt nun, dass in dem Falle, wenn 3 < 0⁻5 • I) ■ tg ß,

die Belastung der Druckfläche eine mehrfache ist, und zwar dass die erste sich auf den ganzen Querschnitt erstreckt, die zweite nur auf eine Fläche, deren Radius mit ab'= 3-ctgß kleiner ist als der Querschnitt, ferner die dritte auf eine Fläche, deren Radius mit ab' = 3-ctgß kleiner ist als der Querschnitt der zweiten Belastung u. s. w., also dass jede neuere Belastung auf eine immer kleiner werdende Fläche wirkt, und dass der Radius jeder folgenden Fläche mit der Grösse 3-ctgß kleiner ist.

Bevor wir diese Annahme als gütig erachten, untersuchen wir noch, ob es nicht zweckmässig wäre, den Radius der Flächen in grösserem Maasse z. B. mit 1*5 - - ctg /? oder mit 2-3-ctgß zu verkleinern.

Diese Bedingungen vor Augen haltend, sind in den Fig. 51, 52 und 53, beziehungsweise in Fig. 54, 55 und 56 die Komponenten und deren Resultanten ebenso dargestellt, wie bei der früheren Bedingung (in den Fig. 48, 49 und 50). Aus diesen Figuren ist ersichtlich, dass in den angenommenen Fällen einzelne Moleküle sich gegen die Druckfläche bewegen müssten, was aber nicht möglich ist. Letztere Bedingungen sind also nicht entsprechend; dieselben können daher nicht in Betracht gezogen werden.

Richtig ist nur die erste Annahme, d. h. dass der Durchmesser jeder neueren Belastung um

kleiner ist.

2ab' — 2 - 3- ctgß

können, ist es nötliig, dass wir auch die Belastung der Flächeneinheit kennen.

Betreffs der ersten Belastung wissen wir, dass diese für die Flächeneinheit den Werth von q beträgt. Bezüglich der weiteren Belastungen sei Folgendes bemerkt. Nachdem es nicht ausgeschlossen ist, dass die erste Belastung die Reibung der unbeweglichen Moleküle verändert, muss man im Allgemeinen die Druckkraft für die Flächeneinheit anstatt q im Werthe von y -q nehmen, wo y einen für das Material charakteristischen Factor bedeutet.

Bei der Bestimmung der dritten Belastung pro Flächeneinheit muss

man diese aus demselben Grunde wie vorhin, nur als den y- ten Th eil der zweiten Belastung, also

2/(2/?) = 2/²-? yßlfq) = iß ■ q

und bei der vierten nur

u. s. w. nehmen.

Nach dieser Annahme entspricht die Druckkraft folgender Formel:

7)2 yr²

~j—q + {D — 2d ctg/2)²---qy +

■qyß----

+ (D — 4dctg/?)²- --qy²-\-(D—Gdctgß)2 Diese Formel vereinfacht sich bedeutend, wenn der Ausdruck

d ■ ctg ß ’

beziehungsweise der daraus folgende Werth

<3' • ctg ß — — n

in diese Formel substituirt wird.

Als Resultat können wir sagen, dass, wenn die Oberfläche

D ² 7 t

der ersten Belastung

„ zweiten

„ dritten

„ vierten

ist, diese bei (.D — 2ö ■ ctg ß)²~^, bei (D — 4d ■ ctg ß)²-^i bei (D—6d • ctgß)²^-

u. s. w. sein wird.

Die Druckflächen können wir nun — wie wir sehen — in jedem Falle bestimmen. Um aber auf Grund dieser die Druckkraft berechnen zu

In diesem Falle ist

D²7Z

■q +

² 7t

T-1V +

4Z)1²

qy²+

^qy³-\—

² 71

Den Werth von

D²rt , rw

-^■q + D*

so

£ Uh

qy + D²

qy²+

J)2 yj-    %

—-— q herausgehoben und an dessen Stelle Jx • q, und anstatt Q den entsprechenden Qx geschrieben, wird:

Qx — ^xq

14-

CD §

(N

oder

Q,= ^q\l₊^ ₂2)S

n²

y-\

(n—4)²

CO

§

y²-\

(n—6)²

y³+

4-

(71— 8)²

Wenn wir nun den Werth innerhalb der grossen Klammem mit Zx bezeichnen, so dass also

(n — 2)²

£*=14

{n — 4)²

n²

y² +

{n—6)²

n²

y³ + •••

sei. so ist

Qx = 4x-q-Zx = Jx-Nf-tg.ß-Zx.

Aus der Formel für ^ kann man bei gegebenem n die Coefficienten von y, y² ys . . ■ bestimmen und da dieselben oft benöthigt werden, so haben wir sie in nachstehender Tabelle zusammengestellt. (Siehe Tabelle der Wertlie von Z auf Seite 44, 45.)

Bezüglich y sei bemerkt, dass dessen Werth, je nach der Beschaffenheit des Materials y= 1 ist.

Bei solchen Materialien, die in Folge der inneren Spannung Wasserverlust erleiden, wie z. B. bei feuchtem Thon oder Brot, ist y> 1, weil hier der Beibungscoefficient mit dem Wasserverluste wächst.

Hier ist der Werth y auch veränderlich, da der Wasserverlust immer geringer wird. Zu diesem Schlüsse gelangte ich auf Grund der Versuchsresultate Fr. Ivick’s, welche er bezüglich der genannten Materialien in seinem Werke über die proportionalen Widerstände mitgetheilt hat, und aus welchen ich den Werth und die Veränderlichkeit von y berechnet habe. Den beiläufigen Werth von Winkel /?, dessen man hier bedarf, habe ich für frisches Brot auf Versuchswegen bestimmt.

Bei jenen Materialien, die sich in Folge der inneren Reibung erwärmen, kann, im Falle der Beibungscoefficient durch die Erwärmung kleiner wird, y< 1 sein.

Kur bei jenen Materialien, bei denen die Wärme vollkommen abgeleitet wird, kann y = 1 sein.

Aus der allgemeinen Formel der äusseren Kraft

¹

Die Construction dieser Bilder empfehlen wir den geehrten Fachgenossen.

²

&    3i

i ~r • ?2r + • • • n 4

Qx — 4s • Nf-1gß-Zx

6D

Werthe von

co

.«    _,o

CO    -b IO

ib co cb i>

■ “    .¹⁰    . “ .»

l>*    00    00    05    05 o o

i—i

t-H

. *°

Cd Cd rH rH

co    m    ^    ^    o

T“H    rH    rH    rH    rH

. *°

lb    CO

t-H    t-H

o

cb

. ¹⁰

CO

\Q

*

05 O I—i Cd

Werthe von Z

wenn

ss.O = ä

Ci

$

rH

?!

G>

CO

»o

Cd Cd Cd Cd

s .1 I

r-H

£

IQ

IQ

CO

lO

Ci

Cd Cd Cd Cd Cd Cd Öd Cd

Ci    co

CO    CO

CO

o

»O

CO

cocococococococococo

cb

ifl

-f

Correction

wenn

y = o-₆₆

pro 0-,

ö ö c> ö ö ©    ©

öoööoooooooööooöö

Ci

*    ^5

Tabelle der Werthe ron Z.

Formel von Z mit berechneten Coefficienten der y, y², y³ . . .

"Werthe von

So lange w<2 ist, kann Z nicht auftreten und ist Z — 1 zu nehmen.

¹+0'm y

¹+0’l842/ =

1 + 0.₂₆ y =

1 + 0 309 y + 0'₀₁₂ y- —

l + 0-gGy+0-₀₄y² =

i+Oboö^ + O’ojis?/² = •

l+Obsöy+O^.y²

¹ + °'4792/ + 0-₁₄₈y²+0-OOGy³ =

¹ + 0‘₅i2/+0-₁₈₂y²+0-O2y³ =

¹+°'542/ + 0'i89 2/²+0-O2.₎₄y³ =

¹+0,5₆2/+0-2eGy²+0-OG2y⁸

1 + 0⁻₃₈₈ y+0’₂₈₁ y - + 0*08G8 y³ + 0⁻₀₀₃₄ y⁴ =

¹ +°'₆05 y+0-309 2/²+¹O'i u y³+0-₀₁₂₃ y⁴ =

¹ + °'62i2/+0-₃₃₅y²+0-₁₃₉y ³ + 0-₀₂₅ y⁴==

¹+0⁻642/+03Gy²+0-1Gy³+0-₄y⁴^

¹ +¹0-GG y + 0-₃₈₄ y²+0-₁₈₅ y³+0-O5G9 y⁴ + O'₀₀₂₂ y⁵ -

feg

¹ + °'C7 y+0 406 y- + 0- ,07 ^ + 0-075 V*+ 0-OO84 «/" =

¹ +⁰'6882/+0,425 2/² + 0,229 2/³ + 0-₀₉5 2/⁴ + 0‘oi7 V& =

¹ + 0-₆₉₅ y+0-₄₄₄ y²+0-₂₅ y³+0-in y⁴+0-₀,₇₅ y⁶ =

¹ + 0-₇o₅y+0,4e5y²+0⁻₂₇₂y³+0-j₃y⁴+0,O4y⁵+0-oo.₆y⁶ —

l + 0-72₄y + O-₄8y²+0-₂₉iy³+0-₁₄₈2/⁴+0-O53y⁵+0-OO59y⁶ =

¹ + 0⁻₇₂₅y + 0⁻₄₉₇ y²+0⁻₃₀₈y³+0'16Gy⁴+0,OG9y⁵+0'ol24y⁶ =

¹ + 0'7S 2/ + 0'512/²+0-₃₂₄ y ³+0-₁₈₄ y⁴+0-₀₈₁ y⁵+0'o., y⁶ =

¹ + 0*7 48 y + O'öso y²+0-346 V³+0-,₀ y⁴+0-O97 y⁵+0-₀₂₉₈ y⁶+0-OOU9 y⁷ =-

¹+°'₇62 y+0-₅₄₂y²+0-₃₆y³+0-₂₁₈y⁴+0iuly⁵+0-O4y,i+0-O044y⁷ =

¹+0-₇₆,y + 0-₆₅y- + 0-₃₇y³+0-234?/⁴ + 0-12G7y⁵ + 0-₀₅₂ y⁶+0-oog4y⁷ =

= /^-o+₉/J‘-o90.o+^tT-o+^S5-o+8^8fe'-o+^9S.o+/Jii.o+i

¹ + 0m2/ + ⁽>5742/²+⁽>₄0₇ y³+0-26Gy⁴+0-16Gy⁵+0-O74y⁶+0-O23y⁷+0-O0O9y⁸== .

1 + 0'₇₈ y + 0-₅₈₅ ²+0-₄₂₂ y³+0’₂₈ ?/+0-₁₇ y⁶+0-O8e5 y⁶ + 0-₀₃₁₂ y ⁷+0-₀₀₃₄y⁸ =

•    • =/i

00738

l + 0,₇₈₄y + 0⁻5g8y- + 0'₄₃₂ yi+0’₂₉₆y⁴ + 0⁻₁₈₄y'J+0⁻O9gyG+0⁻O412y⁷+0'

l+0-₇₉2/+0-6O52/²4- 0-₄₄₅?/³+0-SO82/⁴+0'2O42/⁵+0-ni2/⁶+0-O4g47/⁷+0-ol23y⁸= .

00073

1 + 0-795 2/+O-ßl42/² + 0-₄₅₉2/³+0-3₂₄2/⁴+0-₂₁₂2/⁵+O-₃₂₄^+O-o594j/⁷+O-ol832/⁸+0-

00277

¹+0-₈y+0-G,₄y²+0-₄₆8 2/³+0‘335 2/⁴+0-₂₂₄?/⁵+0-₁3₆i/⁶+0-OG93«/⁷+0-OJ4a2/⁸+0-

¹+o₈i32/+o-₀₄y²+0\₁₉y³+o-3Gy⁴+o-₂₅y⁵+o-1G5y⁶+o-₀₉y⁷+o-₀₄y⁸+o- y⁹ = .

00

CO

C-i

10

I)

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CO CO ^

.ra    . . «s    . 'O    _ W

T^l0l0c00t>c>00

. ¹⁰    . ‘O    _ »O

ÖD 05 C5 ©    ©

»o

co

00059 y

+    -0 + 8^ 9SO-0 + iÄ ti.q + ₉ß m-0+<^ ⁹“-0+^ t8e-0+₈/i T,e.0+S^' 9S9.0+^ iT8.0 +1

10

00227 y

t«s    #»o    ^o    »o    »o    b o

rH^HCviCvlCOCO^'^iO»b^DÖc^D-OOOOa^OO

rH t-H    t—l    r—I    t-H t-H rH t-H t-H    r—I    rH rH rH t-H r-H rH 04 Ol

.¹⁰

lässt sich auch das Yerhältniss der Druckkraft zur Druckfläche bestimmen. Nehmen wir an, dass aus demselben Materiale verschieden grosse Cylinder angefertigt werden und dass die Dimensionen des einen Cylinders durch z/l5 dl5 die des anderen durch ^/₂, d₂ gegeben sind, so ist woraus folgt, dass die äussere Kraft nur dann proportional zur Oberfläche ist, wenn Z₂ = Zx ist.

Dies bedingt aber, dass n₂ =nl) also

oder dass

4-et gß

4-etgß

A ₌ 4 A 4

Diese Bedingung bedeutet aber bei Kreiscylindern Proportionalität, weshalb man im Allgemeinen sagen kann, dass die Druckkraft nur bei proportionalen Körpern zur Oberfläche proportional ist.

sei.

20. Material III. Gruppe.

Material mit constantem /, wobei Nf = p₀ ist.

So lange die Schubwirkung der äusseren Kraft (q-ctgß) den Werth der inneren Reibung nicht erreicht, verbreitet sich die Wirkung der äusseren Kraft auf bekannte Weise über den ganzen Stab, ohne eine bleibende Verschiebung hervorzurufen; wenn aber dieser Werth erreicht wird, d. li. wenn

q • ctg ß — Nf

ist und die Kraft langsam wächst, dann bewirkt der Ueberschuss an Kraft in den mit abd, ehe und a‘ b‘ d\ c‘ b‘ e‘ bezeichneten Theilen (Fig. 41—45, Taf. YI) eine Deformation. Diese Theile erhalten nun eine Beschleunigung, die so gross sein kann, dass die Cohäsion diese noch zu vermitteln im Stande ist.

Man darf also sagen, dass diese Materialien bei langsamem Druck zwar deformiren, bei Schlagwirkung aber nicht.

Es sei noch bemerkt, dass diese Materialien sich bei langsamem Druck nur so lange deformiren, als sie sich in Folge der molekularen Reibung nicht zu sehr erwärmt haben; denn in erwärmtem Zustande des Materials verkleinert sich die Cohäsion und es kommt jener Fall zur Geltung, wo _p₀ < Nf weshalb dann der Bruch eintritt.

Die zur Deformation nöthige Druckkraft entspricht der schon weiter oben (S. 39) mitgetheilten Formel. Wenn also

d > 0⁻5D ■ tg /?,

so ist

Qx = A • q = A • Nf- tg ß

und wenn so ist

d < 0-5ZMg/?,

<?z = 4x-q-Zx = Jx-Nf-tgß-Zx

und nehmen die Versuchsstäbe hierbei auch dieselbe Gestalt an, wie die der früheren Gruppe.

21. Gemeinsame Eigenschaften

der zähen Materialien, d.h. derjenigen, welche einen veränderlichen Reibungscoefficienten haben.

So lange die Schubwirkung der äusseren Kraft (q-ctgß) kleiner ist als der "VVerth der inneren Reibung, treten die im allgemeinen Theile erwähnten Verhältnisse auf, d. h. die Wirkung der äusseren Kraft vertheilt sich über den ganzen Stab, ohne eine Formänderung hervorzubringen. Sobald aber die Schubwirkung grösser ist als die innere Reibung, werden die Theile abc und a‘b‘ c‘ der Fig. 41, Taf. VI festgehalten, die Moleküle der Theile abd, cbe, a‘ b‘ d\ & b‘ e‘ aber verschoben. Durch die Verschiebung der Moleküle wächst nach unserer Voraussetzung der Reibungs-coefficient und wird deshalb in diesen Theilen die innere Reibung wieder grösser als die Schubwirkung der äusseren Kraft, wodurch die Moleküle festgehalten und zur Uebertragung der äusseren Kraft befähigt werden. Wenn die äussere Kraft durch diese Moleküle auf den weiter liegenden Theil des Stabes übertragen wird, so hält die Wirkung der äusseren Kraft die Theile dbeg und d‘b‘ e‘ g' fest und verschiebt die Theile dgd‘ und ege' so lange, bis sie auch durch die wachsende Reibung festgehalten werden. Wenn der Stab länger ist, so werden diese gebundenen Theile die Wirkung der äusseren Kraft auf die weiteren Theile fortpflanzend so lange übertragen, bis endlich die Wirkung der äusseren Kraft sich über den ganzen Stab verbreitet hat.

Nachdem die Wirkung der anfänglichen äusseren Kraft sich schon über den ganzen Stab verbreitet hat, kann man die Kraft wachsen lassen, und wenn deren Werth während einer kurzen Zeitspanne constant bleibt, wird deren Wirkung wieder auf die schon beschriebene Weise fortschreitend zur Geltung gelangen.

Wir sehen nun, dass, so lange der Reibungscoefficient einen wachsenden Werth annimmt, die Wirkung der äusseren Kraft und daher auch die Deformation sich auf den ganzen Stab gleichmässig vertheilt (ausgenommen die Ausbiegung der langen Stäbe), weshalb wir diese d. h. die der Zähigkeit entsprechende, gleiclimässige Formänderung nennen wmllen.

Bei der gleichmässigen Formänderung lässt sich für alle Fälle die Druckfläche aus der Beständigkeit des Kubikinhaltes berechnen, nachdem K =    • d₀ =    = z/₂ • d₂ = Jx • öx . . . ist.

Die Druckfläche ist daher als bekannt anzusehen und wenn wir noch in Betracht ziehen, dass die Schub Wirkung der äusseren Kraft mit der veränderten inneren Reibung gleich sein muss, also dass

qo-tgß = Nfo

q^-tgß = Nfi u. s. w.

so können wir den Werth der Druckkraft mit Hilfe der bekannten Formel folgendermassen berechnen: 1. wenn d>Q⁴5D-tg ß

Qo = 4) • qo =' 4) • Nfo ■ tgß

Qi = 4'?i = A-Wi-tgß

Q'2 ⁼⁼ ^2 ' $2 ⁼ ^2 '

und 2. wenn dcOAD-tg/?

öo — ^0 ' ?0'4 — 4> ‘ JV/Ö ' % ß' ^0

(?1 =    ■ 51 ■ -^1 ⁼ ^1 ■ ^/l • tg /? •

(?₂ = J₂q₂-Z₂ = J₂-Nf₂-tgß-Z₂.

In dieser Formelreihe bedeutet z/₀ und jV/ö, Z₀ den Anfangswerth, die übrigen die veränderten Werthe.

Bei der Berechnung muss man aber darauf achten, dass man den jeweiligen Querschnitt immer mit der bei diesem Querschnitte auftretenden inneren Reibung und mit dem entsprechenden Werthe von Z multiplicire.

Die entsprechende innere Reibung lässt sich aus jenem Schaubilde der Reibung bestimmen, welches wir von dem Zugdiagramme abgeleitet haben. (Siehe Fig. 18, Taf. IY.)

In diesem ist nämlich die innere Reibung als Function der procen-tualen Maassverlängerung (Dehnung) aufgetragen. Wenn wir die Maasszunahme beim Druck, d. h. die Yergrösserung des Durchmessers in Pro-centen ausdrücken, so können wir die Abscisse des Schaubildes als die procentuale Yergrösserung des Durchmessers betrachten und werden daher die Ordinaten die entsprechende innere Reibung (Nf) bezeichnen.

Mit Hilfe der Kraftformel sind wir nun im Stande, die veränderten Werthe der äusseren Kraft zu berechnen. Wenn wir diese Werthe als Ordinaten, den Weg der äusseren Kraft als Abscissen auftragen, erhalten wir das Schaubild der äusseren Kraft, welches wir Arbeitsdiagramm der Druckbeanspruchung oder kurz Druckdiagramm nennen. Der Vorgang bei dieser Berechnung und Construction ist folgender.

Im Sinne der Kraftformel ist

Q = J-Nf-tgß,

d. h. man multiplicire den Querschnitt mit dem Werthe der Reibung (Nf) und mit tg ß, welch letzteren Werth wir vorläufig als bekannt voraussetzen.

Der leichteren Handhabung wegen ist es zweckmässig, das Product Nf■ tg ß graphisch darzustellen. Zu diesem Zwecke multiplicire man die Werthe von Nf der Fig. 14, Taf. IY, welche die Copie der Fig. 13 ist, mit tg ß und trage diese Producte in der Richtung von Nf auf, verbinde die Punkte mit einer Curve und bezeichne diese mit Nf- tg/?, wie dies aus Fig. 14 ersichtlich ist. Um den ersten Punkt des Druckdiagrammes zu erhalten, multiplicire man den Anfangswerth von

Nf₀-tgß = aono

mit dem anfänglichen Querschnitte A₀ und es sei dieses

«0 no' Aa = ao eo

Nun trage man dieses Product in Pig. 15 als Ordinate auf. Bei den weiteren Punkten bildet der Weg der Druckkraft, welcher mit der Differenz der anfänglichen und der veränderten Höhe des Stabes gleich ist, den Werth der Abscisse. Die Abscissenwerthe erhält man, wenn man, von dem Anfangspunkte des Druckdiagrammes ausgehend, den Werth d₀ (in Fig. 15 nach rechts) lind dann von dessen Endpunkte co die veränderten Werthe der Höhe, also öld₂... gegen den Anfangspunkt zu (in der Fig. 15 nach links) aufträgt. Die Endpunkte der veränderten Höhe (in Fig. 15 die Punkte % a₂a₃....) sind die Grenzpunkte der Abscissenwerthe, folglich ist

«o «i = VA

«0«2 = VA a0 % — A “ A

welche Werthe den Weg der Druckkraft bedeuten.

Um die Werthe der Ordinaten in den Punkten ax ci₂ a₃ berechnen zu können, ist es nothwendig, dass man die procentuale Dehnung des Durchmessers der Höhenwerthe von dx, ö₂, d₃... kenne.

Im Allgemeinen ist

•100.

Dx D₀

Do

In dieser Formel ist (T)x) noch unbekannt. Nachdem aber

Aq A = Ao d,

ist, so wird sein, oder aber die Querschnitte im Durchmesser ausgedrückt,

7t d₀

— D² .

■^0 A

Jß~

¹ 4

D,

Wenn wir jetzt die Werthe der procentualen Yergrösserung des Durchmessers im Schaubilde des Nf-tgß in Fig. 14 als Abscisse auftragen, erhalten wir in den Ordinaten die entsprechenden Werthe der Grössen Nf-\gß. Es ist also

= Nfx-tgß cc₂n₂ = Nf₂ • tgß.

Diese Werthe sind mit den entsprechenden Querschnitten zu multi-pliciren und das Product als Ordinaten in Fig. 15 aufzutragen.

Es sei also:

Ax • aL nx = ax e±

- 12 ‘ Ci2 Ct-i — CL2 C₂.

Wenn wir die so erhaltenen Punkte e₀ ex e₂ e₃ durch eine continuirliche Linie verbinden, erhalten wir jene Curve, welche die Aenderung der Druckkraft in Abhängigkeit des Weges zeigt und die wir in Pig. 15 mit Q bezeichnet sehen.

Um dieses Diagramm construiren zu können, müssen wir die Werthe z/l5 J₂ u. s. w., ferner Z>l7 ü₂, D₃... unbedingt berechnen. Wenn wir dann diese Werthe auf dasselbe Coordinatensystem als Ordinaten auftragen, so erhalten wir die in Pig. 15 mit D und J bezeichneten Curven, mit deren Hilfe wir die entsprechenden Werthe von Nf-tgß graphisch bestimmen können. Der Vorgang dieser Cönstruction ist folgender.

Als Ausgangspunkt nehmen wir die allgemeine Pormel der procen-tualen Maassvergrösserung an, d. h.

• 100.

Dx D₀

Do

Wenn wir diese Pormel folgen dermassen schreiben

100

D\ D₀ D₀ \

so können wir diese Verhältnisse mit ähnlichen Dreiecken darstellen.

Zu diesem Zwecke nehmen wir vom Anfangspunkte des Schaubildes der inneren Reibung, also in Fig. 14 von «₀, die Linie AB = 100 an, erheben in B die Senkrechte HC', projiciren auf diese aus der Curve D die entsprechenden Punkte des Durchmessers, wodurch wir auf der Linie BC die Werthe des Durchmessers übereinander gelegt erhalten.

Es ist nämlich

Do = Dy0,

A = Byv

p₂ = Dy₂, folglich

Zo/i ⁼ Dx Do,

7o72 = D₂—D₀ u.s.w.

Dann verbinden wir den Punkt y₀ der Linie BC mit dem in Fig. 14 sichtbaren Anfangspunkte a₀, ziehen mit dieser Verbindungslinie AC parallele Linien aus den Punkten yxy₂---i bis diese die wagrechte Achse des Schaubildes von Nf-tgß schneiden. Die in diesen Schnittpunkten erhobenen Ordinaten sind die gesuchten Werthe der inneren Reibung, wie dies aus den ähnlichen Dreiecken ABC und cexByx klar wird.

a₀ax =

AB : BC — a₀ax : y₀yx oder AB ■ y₀yx

BC

Weil aber

AB - 100,

BC — D₀ und 7o7i = Dx — D₀, so ist D\ D₀

a₀ax =

Do

•100.

Diese Gleichung ist jedoch identisch mit jener, welche wir auf Seite 50 für l erhielten, folglich ist

.. u. s. w.

(l Q (l | V j , ( / Q (l 2 — /-)

und sind deshalb die in ax, a₂, a₃... errichteten Ordinaten die gesuchten Werthe der inneren Reibung.

Mit Hilfe der beschriebenen graphischen Darstellung erhält man in jedem beliebigen Stadium der Formänderung die Druckkraft.

Nehmen wdr z. B. an, dass wir jene Druckkraft suchen, die auftritt, wenn der Stab von der anfänglichen Höhe d₀ auf die Höhe d₄ deformirt wurde.

Man trage in diesem Falle vom Endpunkte des d₀ die Höhe d₄ auf, so dass in Fig. 15, Taf. IV a₀a₄ = ö₀ — d₄ sei; dann erhebe man in ax eine Senkrechte solcher Länge, dass diese die Curve D schneide. Diesen Schnittpunkt projicire man auf die Linie BC und ziehe von dem erhaltenen Punkte y₄ eine mit AC parallele Linie, bis diese die horizontale Achse des Reibungsdiagrannnes in a₄ Fig. 14 schneidet; die Ordinate dieses Punktes ist der Werth des Nf-tgß, also

«DL = Nf^-tgß,

welchen man nur mit z/₄ zu multipliciren braucht, um die Druckkraft zu erlangen, so dass also

() = z/₄-or₄??,₄ ist.

In solchen Fällen, wo die Höhe des Cylinders d < 0⁻5 • D - tg ß ist, kommt in der Kraftformel auch Z vor. Den Werth dieses Gliedes kann man der Tabelle Z entnehmen, sobald man aus den Werthen Z>₄, D₂, I)₃... und d₄, d₂, <?₃... die Werthe w₄, n₂, n₃... nach der Formel

yi ___

6 ■ ctg ß

berechnet und der Werth von ?/, der die Eigenschaft des Materials charak-terisirt, bekannt ist.

Den Werth von y nehmen wir einstweilen, so wie früher den Werth von /?, als bekannt an. Beide W'erthe werden für jedes Material durch Versuche ermittelt. Die Werthe von Z kann man in demselben Coordi-naten-System auftragen und erhält auf diese Art auch eine Curve Z. Mit Hilfe der Curven z/, Z), Z und Nf-tgß kann man den Einfluss der geänderten Verhältnisse ersichtlich machen.

Wie dies geschieht, wollen wir im Folgenden zeigen:

Nehmen wir an, dass das Anfangsmaass des zu deformirenden Cylinders dasselbe sei wie bisher, nämlich D₀d₀, aber sein Material sei durch vorherige Zugbeanspruchung spröde gemacht und zwrar in solchem Grade, dass das Schaubild der inneren Reibung bei cc₃ beginne.

In diesem Falle trage man die Linie A₁B₁ = 100 vom Punkte a3 angefangen auf, errichte hierauf die Senkrechte Bx Cx, projicire auf diese die Werthe D₀, D₄, Z)₂, D₃...: verbinde dann den erhaltenen Punkt e₀ mit a₃ und ziehe mit e₀a₃ = A₁ Cj aus den übrigen Punkten e1? e₂, e3 parallele Linien, bis diese (in Fig. 14) die Abscissenachse schneiden. Die Ordinaten dieser Schnittpunkte sind die entsprechenden Reibungskräfte.

Es ist also

bei 4 . . . . Nf₀ -tgß = a₃n₃,

„ 4 . . . . Nf^tgß =

„ 4 . . . . Nf₂ • tg ß = «₅n₅.

Wenn wir diese Werthe mit den entsprechenden Querschnitten mul-tipliciren und in Fig. 15, Taf. IF als Ordinaten auftragen, also wenn

4 • a3 % = ao Qo 1

4 ' ai ?h = aiQii

4 • «5 % = «2 U. S. W.

gemacht wird, so erhalten wir den geänderten Yei'hältnissen entsprechend, in der Curve a₀ q₀ q₁ q₂ das Diagramm der Druckkraft. Aus diesem und aus dem früher gewonnenen Diagramm der Druckkraft (a₀e₁e₂e₃ei) ist ersichtlich, dass die Deformation des spröde gemachten Materials, trotzdem dass dieselben Dimensionen beibehalten wurden, nur bei einer verhältniss-mässig höheren Druckkraft (a₀ q₀ = J₀-a₃'m₃-tg ß) entsteht, als bei dem noch nicht beanspruchten Material, wo die Druckkraft

a₀ e₀ = 4 • ao mo • % ß war-

Nachdem aber jene Materialien, die einer grösseren Druckkraft widerstehen, härter genannt werden und da in den angenommenen Fällen die Erhöhung der Druckkraft nur durch Erhöhung der inneren Reibung entstanden ist, so können wir sagen, dass die Härte von dem Werthe der inneren Reibung abhängt und dass der Werth der inneren Reibung das Maass der Härte sei.

Wenn nun das Material einen veränderlichen Werth der inneren Reibung hat, so ist auch dessen Härte veränderlich, weshalb man bei diesen Materialien eine anfängliche und eine maximale Härte unterscheiden muss.

Wie wir wissen, wächst bei zähen Materialien der Werth der inneren Reibung bei jederartigen Deformation; wir dürfen daher als allgemein giltig aussprechen: Jede Formänderung vermindert die Zähigkeit und vermehrt die Elasticitätsgrenze, Sprödigkeit und Härte.

Betrachten wir einen anderen Fall. Nehmen wir an, dass das Material weich war und dass wir es unter normalen Verhältnissen so weit zusammengedrückt hätten, bis die anfängliche Höhe d₀ auf d₆ reducirt wurde. Der Weg der hierbei gebrauchten äusseren Kraft wäre nun durch d₆ = ö₀«₆, und die nothwendige Arbeitsmenge durch Fläche a₀e₀e₆a6 in Fig. 15, Taf. VI ausgedrückt.

Nehmen wir ferner an, dass wir ein aus demselben weichen Material erzeugtes Versuchsstück nur so weit zusammendrücken, bis seine anfäng-liehe Höhe d₀ auf d₂ reducirt wird. Der Weg der äusseren Kraft wäre also c)₀— r)₂ = a₀a₂ (in Fig. 15) und die maximale äussere Kraft a₂e₂, der Querschnitt J₂ und die Arbeitsfläche ci₀e₀e₂a₂.

Nach dieser Beanspruchung glühen wir das Material aus und beanspruchen es dann neuerdings. Bei dieser zweiten Beanspruchung hat die innere Reibung denselben anfänglichen Werth als bei der ersten (weil das Material ausgeglüht wurde). Wir bekommen daher die Werthe der Druckkraft, wenn Avir den Projectionspunkt des Durchmessers (Z)₂), welcher dem jetzigen Querschnitte z/₂ entspricht, also den Punkt y₂ auf Linie AB mit a₀ als dem Anfangspunkte des Diagrannnes der inneren Reibung (siehe Fig. 14 und 15, Taf. IV) verbinden und mit y₂a₀ aus den Punkten y₃, y₄ . . ., also aus den Projectionspunkten des Durchmessers D₃Di ... parallele Linien ziehen. Hierdurch erhalten Avir die Schnittpunkte rjx^₂ u. s. w., deren Ordi-naten die entsprechenden Werthe von Nf sind. Die Werthe der äusseren Kraft sind also:

J₂-a₀m₀-tgß = a₂b₀,

4*-Vtmi    asbi,

J±-7]₂m₂-tgd = a₄6₂,

welche wir in Fig. 15 als Ordinaten a₂ b0l a₃bx, a±b₂ aufgetragen haben, wodurch wir die Arbeitsfläche dieser zweiten Beanspruchung durch a₂bQbxb2 dargestellt erhalten.

Wenn wir das Material neuerdings ausglühen und einer dritten Beanspruchung unterwerfen, so ist yi mit a₀ zu verbinden, aus den Punkten y₅ und y₆ mit y₄a₀ parallele Linien zu ziehen und in den Schnittpunkten sjOrdinaten zu errichten, Avodurch wir die entsprechenden W/'-Werthe erhalten.

Die äussere Kraft ist bei dieser dritten Beanspruchung folgende:

' So Wo —    C0 t

A . Vt = «5 cx ,

A • v₂ = a₆ c₂ u. s w.

und die Arbeitsfläche «₄c₀c₂e₂a₆.

Aus den erhaltenen Diagrammen ist zu ersehen, dass bei zähen Materialien bei continuirlicher Beanspruchung zur gleichwerthigen Deformation (dG) eine Druckkraft vom Werthe a₆e₆ und bei Anwendung des Ausglühens nur eine von a₆c₂ nöthig Avar (Fig. 15, Taf. IV).

Nachdem. a₆e₆>a₆c₂ ist und die Arbeitsfläche im ersten Falle auch grösser ist als im zweiten Falle, d. h.

ciq e₀ ex e₂ e₃ e₄ e₅ o,₃ > a₀ e₀ ex e₂ b₀ bx b₂ c₀ cx c₂ ,

so folgt, dass bei Formänderungen durch Ausglühen immer günstigere Verhältnisse entstehen.

Wir Avollen nun in unseren Untersuchungen weiter gehen.

Bei der Zugbeanspruchung haben wir gefunden, dass das Gesetz der proportionalen Widerstände nur bei kurzen Stäben unbedingt Anwendung finden kann. Untersuchen wir nun, in welchem Grade dieses Gesetz bei der Druckbeanspruchung anwendbar ist.

Nehmen wir zu diesem Zwecke

a) zwei Kreiscylinder in Betracht, die aus demselben Material bestehen. Es seien die anfänglichen Maasse des einen d^, die veränderten z/j, d^ und die des anderen d^, beziehungsweise z/", d". Ferner nehmen wir noch an, dass das Yerhältniss der Höhe zum Durchmesser in folgender Formel ausgedrückt sei:

d > 05 D ■ tgß.

In diesem Falle ist die Formel der Druckkraft

Demnach ist

Q = J-Nf-tgß.

«SO

A Nf\ A'' w;

^ rct,

Um das Yerhältniss klarer und fasslicher zu erhalten, wollen wir anstatt den veränderten den anfänglichen Querschnitt setzen.

Wir wissen, dass also

da aber

d;’

D[²7t

und

ist, so folgt dass

D'o

= (i + K)²

Dieses substituirt ergiebt sich:

0-    j‘₀Nf[(i + iy

Q" Nf “(i+K)'

Aus dieser Formel* kann man folgern, dass die Druckkraft mit der anfänglichen Druckfläche nur dann proportional, d. h.

Q‘ _

Q“ A‘

ist, wenn

Nf[a+K)² = Wi a+K)²-

Diese Bedingung bedeutet aber die proportionale Formänderung, weil bei demselben Material nur dann Nf[ = Nf“ sein wird, wenn Aj = A‘‘ ist. Wir können also sagen, dass in dem angenommenen Falle, d. h. wenn d > 05 • JD• tg/Z ist, bei Oylindern mit kreisförmigem Querschnitte die Druckkraft bei proportionalen Formänderungen mit der anfänglichen Druckfläche proportional ist und die Höhe des Cy-linders die Druckkraft nicht beeinflusst.

Das Yerhältniss wird noch einfacher, wenn inan die anfänglichen Druckflächen gleich gross nimmt, d. h.

< = <■

In diesem Falle ist bei proportionaler Formänderung

K = K

q:

Q[

Nf[ = Nf" ist

Ql ~~ Qii

d. h. bei Kreiscylindern von gleichem Durchmesser sind jene Druckkräfte, welche den proportionalen Formänderungen entsprechen, immer von gleichem Werthe und von der Höhe der Cylinder unabhängig.

b) Untersuchen wir nun das Yerhältniss der Druckkräfte für den Fall, wenn d < 0'5D-tgß ist, also wenn die Kraftformel Q = J■ Nf-tg ß ■ Z ist.

In diesem Falle ist

Q‘

Q“ j¹; Nf; z‘;

und wenn wir hier den ursprünglichen Querschnitt einsetzen:

Q‘    Z[

Q“    z;'

aus welcher Formel folgt, dass die Druckkraft mit der Oberfläche nur dann proportional ist, d. h.

QL^A.

Q“

wenn

und

z; = z; ist.

IX

Nach dem weiter oben Erwähnten bedeutet die erste Bedingung die proportionale Formänderung, die zweite aber, da Z[ mit Zf nur dann gleich sein kann, wenn

ist, bedeutet die Proportionalität der cylindrischen Yersuchsstücke.

Wir können also sagen, dass in dem Falle, wenn d < 0-5.ZD tg/? ist, die Druckkräfte nur bei proportionalen Körpern und nur bei proportionaler Formänderung (P = X“) mit der Druckfläche proportional sind.

In diesem Falle gelangt also das proportionale Gesetz in seinem ganzen Umfange zur Geltung.

Bei zähen Körpern lässt sich auch die Ursache der Thime’schen Yersuchsergebnisse einfach nachweisen.

Zu diesem Zwecke setzen wir voraus, dass auf die Seitenflächen des zu deformirenden Körpers eine mit der Schubwirkung (pn = q ■ ctg ß) der Druckkraft gleich grosse aber entgegengesetzte äussere Kraft wirke.

Dieser Voraussetzung genügen wir am einfachsten dadurch, dass wir die Seitenflächen des zu deformirenden Körpers vollständig umhüllen (Fig. 58, Taf. VI). Unter solchen Verhältnissen ist eine Formänderung so lange nicht möglich, bis die Sclmbwirkung der äusseren Kraft diese äussere Umhüllung nicht deformirt oder zerreisst. Wenn aber die Umhüllung eine Seite des Versuchsstückes frei lässt, so kann die Schubwirkung der Druckkraft (pn = q-ctgß) auf dieser freien Seite ungestört ein wirken, während den anderen Theilen, nachdem^ gegenüber Widerstand wirkt, keine Verschiebung entstehen kann.

Eine solche partiale Umhüllung ergiebt sich auch dann, wenn der zu deformirende Theil mit einer grösseren Masse im Zusammenhänge steht, wie es Fig. 59, Taf. VI ersichtlich macht. Bei diesen Körpern kann die äussere Kraft in dem Theile ced keine Wirkung austiben, weil die Seite cd nicht frei ist, während sie in dem Theile aeb frei wirken kann, wreshalb die Verschiebung der Moleküle, beziehungsweise die Wirkung der äusseren Kraft an der freien Seite zur Geltung kommt, und zwar von a bis 6, d. h. bis zu jenem Punkte, in welchem die von dem Endpunkte des Werkzeuges G ausgezogene Schenkellinie des Winkels ß die Grenzlinie schneidet, also ganz so wie dies Thime gefunden hat.

Wir müssen bemerken, dass die Bezeichnung Thime’s bezüglich des Winkels ß mit der Bezeichnung der Kraftvermittlung nur bei solchen Werkzeugen übereinstimmt, deren Schneidewinkel 90° ist, wie wir dies in Fig. 8, Taf. I sehen.

Wenn aber der Schneidewinkel kleiner ist als 90°, dann ist der Thime’sche Winkel ß um den Ergänzungswinkel des Schneidewinkels grösser als der Winkel der Kraftvermittlung.

22. Material IV. Gruppe.

Zähes, jedoch unbildsames Material mit variablem /, wobei Nfmax > p₀ ist.

So lange die Schubwirkung der Druckkraft (q-ctgß) kleiner ist als der Werth der inneren Reibung, verbreitet sich zwar die Wirkung der äusseren Kraft über den ganzen Körper, ohne aber eine bleibende Verschiebung hervorzubringen. Sobald die Schubwirkung der äusseren Kraft grösser ist als die innere Reibung, überwindet diese jene Reibungsarbeit, welche wir Zähigkeit nannten. Unter dieser Wirkung werden die Körper, mit Ausnahme von langen Stäben, sich gleichmässig deformiren.

Die nöthige Druckkraft dieser Deformation kann nach der allgemeinen

Formel

Qx —    ■ Nfx • tg ß für den Fall, wenn d > R5 • D ■ tg ß

ist, oder

Q± =    • Nfi • tg ß ■ Zi wenn d < 0-5 • H • tg /?

= D₀ (1 + Amax) wird. In

ist, so lange berechnet werden, bis die procentuale Maassvergrösserung (Dehnung) des deformirten Körpers nicht grösser ist als die Abscisse des Diagrammes der inneren Reibung, also bis D diesem Falle ist aber Nf = p₀, weil die äussere Kraft bei Zugbeanspruchung durch die Cohäsion vermittelt wird.

Bei Druckbeanspruchung kann diese Grenze nur in sehr geringem Maasse überschritten werden, da bei deren Ueberschreitung Nf > p₀ wird, weshalb der Körper nach Art der spröden Materialien in der Richtung des Wirkungswinkels zerspringt. Wenn man diese Materialien in grösserem Maasse deformiren will, so muss man sie ausglühen, d. h. neuerdings mit Zähigkeit versehen.

23. Material Y. Gruppe.

Zähes und bildsames Material mit variablem f wobei NfmSLXcp₀ ist.

So lange die Schubwirkung der Druckkraft (pn = q-ctgß) kleiner ist als der Werth der inneren Reibung, entsteht nur die Elasticitätsarbeit, bei welcher die Wirkung der äusseren Kraft sich zwar auf den ganzen Körper erstreckt, jedoch keine bleibende Deformation hervorbringt. Sobald die Schubwirkung der äusseren Kraft grösser ist als der Werth der inneren Reibung, entsteht die gleichmässige Formänderung, d. h. jene, die der Zähigkeit entspricht, und diese dauert so lange, bis die innere Reibung nicht ihren Maximalwerth erreicht hat. Dann aber, nachdem Nf seinen maximalen Werth beibehält, und weil Nfmax < p₀ ist, entstehen solche Verhältnisse wie bei den bildsamen Materialien, weshalb auch die der Bildsamkeit entsprechende Formänderung eintritt.

Bei diesen Materialien muss man also zweierlei Formänderung unterscheiden: die der Zähigkeit und jene der Bildsamkeit. Jene Druckkraft, die zur Hervorbringung der der Zähigkeit entsprechenden Formänderung benöthigt wird, kann man nach Punkt 21 mit Hilfe des Diagrammes der inneren Reibung bestimmen, indem man die veränderten Werthe des Querschnittes (Nf) mit dem entsprechenden Werthe von (Nf) multiplicirt; hingegen erhält man nach Punkt 19 den Werth der Druckkraft für die bildsame Formänderung dadurch, dass man die veränderten Werthe des Querschnittes immer mit derselben maximalen inneren Reibung (Nfmax) multiplicirt.

Demnach ist die Druckkraft:

Im Falle

Bei Formänderung

der Zähigkeit

der Bildsamkeit

05 • D ■ tg ß $ < 05 • D ■ tg ß

Qi = -A • Wi ■ tg ß Qi = 4 • v/; • tg ß-z₁

Qi — ^i ⁻ Nfmax • tg ß Qi —    • IV/max • tg ß ■ Zv

Die Druckkraft ist also bei demselben Material, im Falle d > 0⁻5 • I) • tg /?, bei proportionalen Formänderungen mit der Druckfläche proportional. Im Falle d < 05 • ZU tg/i, ist die Druckkraft nur bei proportionalen Körpern und proportionaler Formänderung mit der Druckfläche proportional.

24. Material YI. Gruppe.

Zähes Material mit variablem /, wobei JVfmax = p₀ ist.

So lange die Schubwirkung der äusseren Druckkraft (pn = q ■ ctg ß) kleiner ist als die innere Reibung, entsteht Elasticitätsarbeit, bei welcher sich die Wirkung der äusseren Kraft zwar dem ganzen Körper mittheilt, ohne jedoch eine bleibende Formänderung hervorzubringen.

Sobald die Schubwirkung der äusseren Kraft grösser ist als der Werth der inneren Reibung, entsteht die Formänderung der Zähigkeit, unter deren Wirkung die Körper — mit Ausnahme von langen Stäben — sich gleicli-mässig deformiren. Diese gleichmässige Deformation dauert so lange, bis die innere Reibung nicht ihren Maximalwerth erreicht. Dann wird bei Anwendung langsamen Druckes, d. h. wenn die Beschleunigung der Moleküle gering ist, die Formänderung der Bildsamkeit eintreten, und zwar so lange, bis zufolge der inneren Reibungsarbeit das Material sich nicht erwärmt und Nfmax> p₀ wird, wo dann das Yersuchsstück Bruch erleidet.

25. Versuchs-Resultate.

Um sich über die Richtigkeit der Folgerungen aus der Druckbean-spruchung überzeugen zu können, habe ich mit denselben Materialien Druckversuche angestellt, mit Avelchen ich schon früher die Zugversuche gemacht hatte. (Siehe Punkt 16.)

Ich benützte hierzu denselben Apparat, welchen ich bei den Zugversuchen gebrauchte, nur änderte ich ihn so um, wie es Fig. 2 in Taf. Y darstellt.

Bei den Zugversuchen habe ich diesen Apparat in horizontaler Lage benützt, bei den Druckversuchen aber in verticaler, weil in dieser Lage die genaue Einstellung des Probestückes einfacher' war. Da man bei den Druckversuchen keine Marken benützen kann, musste ich auf andere Weise dafür sorgen, dass der Einfluss der Fehlerquellen des Apparates beseitigt werde. Ich erreichte dies dadurch, dass ich den Apparat leer, also ohne den zu deformirenden Körper, stärker beansprucht habe als später bei den Druckversuchen, wodurch ich die Elasticitätsarbeit des Apparates erhielt; dann habe ich nach jeder Druckbeansprnchung das Yersuchsstück entlastet und neuerdings bis zur früheren Grenze beansprucht, wodurch ich im Diagramme die gemeinsame Elasticitätsarbeit des Apparates und des Probestückes erhielt.

Das Diagramm der jetzt beschriebenen wiederholten Beanspruchung ist in Fig. 5 und 6, Taf. YI sichtbar.

Bei der ersten Beanspruchung erhielten wir die Curve ab, bei der zweiten die Curve eb. Die Fläche abe bedeutet daher die Deformationsarbeit, die Fläche ebc die gemeinsame Elasticitätsarbeit des Versuchsstückes und des Apparates.

Ich verglich dann die Curve der zweiten Beanspruchung mit jener, welche ich bei der Beanspruchung des leeren Apparates erhielt und fand, dass diese beiden vollständig identisch sind, woraus man folgern kann, dass die Elasticitätsarbeit der untersuchten Versuchsstücke (von (hl bis 0'2 ccm Bauminhalt) mit diesem Apparate nicht wahrnehmbar waren und dass die zweite Beanspruchung nur die Elasticitätsarbeit des Apparates ergiebt, weshalb deren Werth aus dem Diagramme der ersten Beanspruchung zu subtrahiren ist.

Um nun das richtige Druckdiagramm construiren zu können, muss man die anfängliche Höhe (d₀) und den Durchmesser (D₀) des Versuchsstückes, als auch die nach der Deformation veränderte Höhe (d^) mittelst Abmessungen bestimmen. Aus diesen zwei Maassen lässt sich die Höhendifferenz (d₀—dg), d. h. der Weg der äusseren Druckkraft berechnen, welcher Werth mit der Länge ae des Diagrammes Fig. 5, Taf. IV gleich sein soll. Beim Vergleichen fand ich, dass in solchen Fällen, wo Versuchsfehler das Besultat nicht beeinträchtigten, die zwei Werthe nur in hundertstel Millimetern voneinander abwichen, was man als Messungsfehler betrachten kann. Den festgestellten Weg der Druckkraft {ae) nahm ich als Abscisse des neuen Druckdiagrammes, also (in Fig. 6, Taf. IV) ax ex, dann errichtete ich in ex die Senkrechte ex bx und zog mit der Abscissenachse ein System paralleler Linien, welches das alte und neue Diagramm in gleiche Theile theilt. Nachdem in das neue Diagramm nur jene Werthe aufzunehmen sind, welche entstehen, wenn man aus dem Diagramme der ersten Beanspruchung jenes der zweiten subtrahirt, so trug ich jene Längen der Parallelen, welche sich in Fig. 5 zwischen den zwei Curven befinden, in Fig. 6, von der Senkrechten bxex ausgehend, auf; also aus dem Schnittpunkte fx auf dieselbe Horizontale die Länge fg, als fxgx u. s. w. Die Verbindung der auf diese Art erhaltenen Punkte ergiebt die Curve {ax bx) des richtigen Druckdiagrammes.

Die Versuche habe ich bei sämmtlichen Materialien mit je zwei cy-lindrischen Bolzen von gleichem Durchmesser und drei verschiedenen Höhen gemacht, so dass also den Versuchsergebnissen eines jeden Materials je sechs Versuche zu Grunde liegen.

Die erhaltenen Druckdiagramme der gleich hohen Bolzen prüfte ich in durchfallendem Lichte auf ihre vorauszusehende Congruenz und fand, dass mit Ausnahme jener Fälle, wo sich Versuchsfehler einschlichen, diese sich vollkommen deckten.

Eines dieser congruenten Diagramme habe ich als Grundlage der Berechnungen benützt.

Die Berechnungen Hessen sich rasch und leicht durchführen, da die Durchmesser der Bolzen gleich gross waren, weshalb (nach Punkt 21 Seite 54) die Werthe der veränderten Durchmesser und der Druckflächen nur einmal berechnet werden mussten. Ich berechnete zuerst die durch Druck um 5°/₀, 10°/₀, 15°/₀, 20°/o vergrösserten Durchmesser, d. h. D₀, Dl = 1‘05• Z)₀, D₂ = P10 • D₀₎ D₃ = 115 • D₀, dann die entsprechenden Querschnitte z/v z/₂ u. s. w. und endlich aus der Unveränderlichkeit des Volumens die entsprechenden Höhen ö₂ . . . u. s. w.

Aus den Werthen der Höhe (d₀, dx, d₂) wurde der Weg der äusseren Kraft (d₀ — dj, (d₀ — d₂) u. s. w. berechnet und diese Werthe vom Anfangspunkte des Diagrammes ausgehend in demselben Maassstabe aufgetragen, in welchem der Apparat die äussere Kraft gezeichnet hat. Die Ordinaten dieser Schnittpunkte geben die entsprechenden Werthe der äusseren Kraft.

Die berechneten Werthe von I) und J wurden nach einem frei gewählten Maassstabe als Ordinaten in den entsprechenden Abscissen (d₀ — öx) aufgetragen, wodurch wir die in Fig. 4, 5 und 6 der Taf. VII—XIX ersichtlichen Curven J und I) gewonnen.

Zu den Berechnungen ist auch die Kenntniss des Winkels ß erforderlich. Dieser lässt sich aus dem Druckdiagramm sehr einfach bestimmen, wenn man von jenen Fällen ausgeht, wo ö > 0-5 -D-tgß ist.

Es ist nämlich in diesem Falle:

hieraus also

tgß-

Qi

Nfr

In dieser Formel ist tg ß durch bekannte Grössen ausgedrückt und in jedem Stadium der Formänderung berechenbar. Zweckmässig ist es, den Winkel ß nicht aus den anfänglichen Verhältnissen, sondern aus einem später zum Vorschein kommenden zu berechnen, z. B. wenn D₁ = 1-15-D0 bis 1'2-D₀ ist.

Ausser dem Winkel ß musste auch der in Z vorkommende Werth y bestimmt werden. Wenn Z. ß bekannt ist, kann dieser, falls ö < 0'5-ZBtg/i ist, berechnet werden, da in diesem Fülle

ist imd so

Qi = A' Nfi -tgß-Zi

Zi-

Qi

A-Nfi-tgß

Wenn nun der Werth von Z und n =

d-tgß

der Werth von y durch Interpolation bestimmt werden.

bekannt ist, so kann

Auf diese Weise wurden für jedes untersuchte Metall dje Werthe von Z. ß und y und mit Zuhilfenahme derselben das Druckdiagramm berechnet und construirt. Die auf diese Art erhaltenen Punkte sind in den Pig. 4, 5, 6 der Taf. YII — XIX mit kleinen Kreisen markirt, und das Ver-suchsdiagramm (Q) mit einer vollen Linie bezeichnet.

Bezüglich der untersuchten Metalle ist Folgendes zu bemerken.

a)    Blei gehört in die Y. Gruppe, weshalb wir bis zu jenem Werthe von N- /Lax, welcher durch Zugbeanspruchung bestimmt wurde, die gleich-massige, d. h. die der Zähigkeit entsprechende, dann aber mit constantem N■ /Lax die der Bildsamkeit entsprechende Formänderung berechnet haben. Bei der Berechnung ergab sich bei dem Werthe von N• fmSLX = 2-05, für Z ß = 58° und für y = 0 55. Die Bechnungsresultate sind in der zur Taf. YII mitgedruckten Tabelle, die Versuchsresultate in Fig. 4 und 5, Taf. VII mitgetheilt. Die berechneten Punkte des 11-94 mm hohen Bolzens, wie aus Fig. 4, Taf. VII ersichtlich ist, fallen ganz gut mit dem Versuchsdiagramm zusammen, während die des 6 mm hohen Bolzens, wie aus Fig. 6 ersichtlich ist, anfangs abweichen, später aber mit diesen übereinstimmen. Die Abweichung hat ihre Ursache grösstentheils darin, dass die Formänderung des Bleies sehr unregelmässig ist (aus dem kreisförmigen Querschnitte entstand ein unregelmässiger elliptischer Querschnitt), beziehungsweise dass es unseren Bedingungen nicht vollkommen entspricht.

b)    Zinn gehört auch in die Y. Gruppe. Bei diesem wurde bis zum Werthe von N-fmax = 2⁻17, welcher durch Zugbeanspruchung bestimmt ist, die gleichmässige, dann mit Beibehaltung des Werthes von N-fmax die bildsame Formänderung berechnet. Nach den Berechnungen ergab sich bei N • /jnax = 2⁻17, dass Z ß = 61° und y = 0⁻55 ist; die Bechnungsresultate über Zinn sind als Anhangstabelle auf Taf. VIII zusammengefasst, während die Yersuchsresultate auf Taf. VIII graphisch dargestellt sind. Die berechneten Werthe von Q, denen diese Constanten als Grundlage dienen, stimmen mit den Versuchswerthen der Fig. 4 sehr gut überein, mit den Versuchswerthen der Fig. 5 aber nicht und sind im letzteren Falle die berechneten Werthe kleiner als die Versuchswerthe, weshalb man annehmen kann, dass dieses Material ungleich ist und dass in einzelnen Fällen N‘fmax > 2*17 ist.

Die Richtigkeit dieser Voraussetzung wurde durch die späteren Scheerund Lochversuche bestätigt.

Schliesslich sei noch bemerkt, dass das Zinn sich regelmässig de-formirte.

c) Aluminium gehört wie bekannt auch in die Y. Materialgruppe, deshalb wurde bis zu dem durch Zugbeanspruchung gewonnenen Werthe von Y-/max = 10-58 die gleichmässige, darüber hinaus bei constantem N-fm die bildsame Formänderung berechnet. Nach den Berechnungen ergab sich bei N-fmax = 10-58, dass Z. ß = 54° und y = 1 sei.

Der Werth für y ist sehr abweichend von den Werthen der übrigen untersuchten Metalle, da bei allen diesen y = 0-55 ist. Sowohl die Rechnungsresultate als auch die graphischen Versuchsresultate sind auf Taf. IX zu finden. Die Rechnungsresultate stimmen mit den Versuchswertlien, wie es Fig. 3 und 4 zeigt, sehr gut überein.

d)    Kupfer, welches in verschiedenen Dicken untersucht wurde, ergab nicht nur beim Zuge, sondern auch beim Drucke vollkommen gleiche Resultate. Die untersuchten drei Kupferplatten waren also aus demselben Material erzeugt, mit welcher Bedingung sie zu diesem Zwecke auch bestellt waren. Bei allen Versuchen mit Kupfer wurde nach den Zugbeanspruchungen W'/jnax = 26*3 angenommen. Bis zu dieser Grenze berechnete ich die gleichmässige, darüber die bildsame Deformation. Xach den Berechnungen ergab sich bei N-fmax = 26-3, dass Z ß = 54° 30' und y = 0‘55 ist.

Die Diagramme hiervon sind in den Fig. 3, 4, 5 der Taf. X, XI und XII, die Rechnungsresultate auf jenen Tabellen ersichtlich, welche auf diesen Tafeln mitgedruckt sind. Die Versuchsdiagramme sind hier, sowie überhaupt auf allen Tafeln mit voller Linie, die berechneten Werthe von Q mit kleinen Kreisen dargestellt. Aus den Fig. 3, 4, 5 auf Taf. X, XI und XII ist ersichtlich, dass die Versuchs- und Rechnungsresultate sehr schön übereinstimmen, was als eine Folge der Gleichförmigkeit des Versuchsmaterials anzusehen ist. Dasselbe beweisen auch, wie wir später sehen werden, die Scheer- und Lochversuche.

e)    Prima-Kesselblech gehört in die V. Materialgruppe, deshalb wurde bei diesem bis zu dem beim Zuge gewonnenen Werthe von N-fmax = 36 die gleichmässige, darüber hinaus die bildsame Formänderung berechnet. Bei den Berechnungen ergab sich, wenn N-/max =36 ist, dass Z ß = 56°30' und y = 0-55 ist.

Die Diagramme sind in den Fig. 4, 5, 6 der Taf. XIII dargestellt; die Rechnungsresultate aber wieder in der dieser Tafel beigelegten Tabelle zusammengefasst. Auf der genannten Tafel ist auch das Resultat der chemischen Analyse und das mikroskopische Bild dieses Materials bei 130 faclier Vergrösserung zu sehen, woraus man folgern kann, dass dieses Material ein gleichmässiges, weiches Schmiedeeisen mit grossem Karbidgehalte ist. Xach Fig. 4 und 6 stimmen die berechneten Werthe mit den Versucliswerthen überein; nach Fig. 5 aber könnte N-fnmx einen etwas kleineren Werth haben. Die Ungleichheit dieses Materials ist auch beim Scheeren und Lochen desselben bemerkbar.

f)    Secunda-Kesselblech gehört auch in die V. Materialgruppe, weshalb wir vollständig so verfuhren wie bisher, d. li. wir nahmen jenen Werth von N-fmax an, welchen wir bei Zugbeanspruchung erhielten und berechneten mit Hilfe dessen die gleichmässige und die bildsame Formänderung. Aus den Berechnungen ergab sich, wenn N• /max = 397 ist, dass Z ß‘= 54° und y = 0-55 ist.

Die Diagramme sehen wir in den Fig. 4, 5, 6 der Taf. XIY und die Rechnungsresultate in der beigelegten Tabelle zusammengestellt. Auf der genannten Tafel ist auch abermals die chemische Analyse und das mikroskopische Bild bei ISOfacher Vergrösserung zu sehen, woraus man folgern kann, dass dieses Material mehr Härtungskohle enthält, also härter ist als das Prima-Kesselblech, was übrigens auch der grössere Werth von N-fmaX zeigt. Bei diesen Werthen (nach Fig. 4 und 5) stimmen die Berechnungen mit den Yersuchsresultaten vollkommen überein; nach Fig. 6 aber würde ein etwas kleinerer Werth von N-fmax entsprechen. Die Ungleichheit des Materials als Ursache dieser Erscheinung, kommt auch beim Lochen und Scheeren wieder zur Geltung.

Aus den zahlreichen Yersuchen, die wir unter a) b) c) d) e) f) angeführt haben, ist man berechtigt anzunehmen:

1.    dass in jenen Fällen, wo bei der Zugbeanspruchung Con-traction auftritt, N-f bei fortgesetzter Beanspruchung bis zu einem gewissen Grade einen wachsenden'Werth erhält, dann aber constant bleibt und dass die Contraction ein Ergebniss jener Bildsamkeit sei, wrelche bei constantem N-/kax auftritt;

2.    dass die innere Reibung, bei derselben relativen Lage der Moleküle von der Beanspruchungsart unabhängig, immer denselben Werth erhält;

3.    dass die auf Grund der inneren Reibung abgeleitete Formel der Druckkraft richtig ist.

Wir wollen nun auf eine andere Gruppe von Materialien übergehen und die bei Druckbeanspruchung sich hier ergebenden Ergebnisse bestimmen.

g) Messing, welches in drei verschiedenen Dicken untersucht wurde und zwar in Platten von 18, 15 und 11 mm Stärke, gehört nach den Resultaten der Zugbeanspruchung in die IY. oder YI. Gruppe, weshalb bei diesen der Yorgang folgender ist.

Aus dem bekannten Theile des Diagrammes der inneren Reibung bestimmt man mit Hilfe eines Druckdiagrammes die Werthe von L. ß und y und ergänzt dann mittelst dieser Werthe — jedoch von dem Druckdiagramm beziehungsweise aus der Formel

N-fi =

Qi

Qi

oder N-fx =

A • % ßi

ausgehend — das Diagramm der inneren Reibung. So vorgehend ergiebt sich bei Messing, dass N-f noch eine kurze Zeit hindurch wächst, dann aber constant bleibt (siehe Taf. XY—XYII), weshalb dieses Material, obwohl es beim Zuge nicht contrahirt, in die YI. Gruppe eingereiht werden Zu bemerken ist hier aber, dass die bildsame Formänderung nur beim langsamen Drucke auftritt.

A^ß

muss.

Charakteristisch für Messing ist, dass so lange N- f seinen Maximalwerth nicht erreicht, das Reibungsdiagramm, vom Anfangstheile desselben abgesehen, nahezu, eine gerade Linie bildet und dass N-f bei Druckbeanspruchung einen grösseren Werth erreicht als beim Zuge.

Die Ursache dieser letzten Erscheinung liegt wahrscheinlich im Einflüsse der krystallförmigen Construction des Zinkes, welches sich ebenfalls auf diese Art verhält.

Mach dem Gesagten vorgehend, ergab sich bei der 18 mm starken Messingplatte für N- fmax =29: Z ß = 59° und y = 0'55.

Diese charakteristischen Werthe wurden aus dem in Fig. 5, Taf. XV ersichtlichen Druckdiagramme berechnet und mit Hilfe dieser die entsprechenden Werthe für jene Druckversuche bestimmt, welche in Eig. 4 und 6 derselben Tafel gezeichnet sind, die wie ersichtlich gut übereinstimmen.

Bei der 15 mm starken Platte ergab sich auf ähnliche Weise für N• /Lax =51: Z ß = 48° und y = 055 und bei der 12 mm starken für N• /Lax = 58*5: Z ß — 48° und y = 0⁻55.

Diese drei Platten ergeben also verschiedene Resultate, obzwar sie aus demselben Material bestellt waren. Messing erleidet aber durch das öftere Ausglühen in seiner chemischen Zusammensetzung und durch das Walzen in seinem Gefüge eine Aenderung, wie dies aus den in Taf. XV, XYI und XYII mitgetheilten chemischen Analysen und den beigelegten mikroskopischen Abbildungen ersichtlich ist.

Das Material dieser drei Platten ist also nicht als dasselbe zu betrachten. Die Versuchsdiagramme und Berechnungen der 15 mm starken Messingplatten sind auf Taf. XVI zusammengestellt. Aus Fig. 5 wurden die weiteren Werthe des N- f mit Beibehaltung der geradlinigen Form bestimmt und mit Hilfe dieser die Werthe jener Versuche berechnet, welche in Fig. 4 und 6 dargestellt sind. Aus diesen Figuren kann man bemerken, dass die Rechnungsresultate mit den Versuchsresultaten nicht vollkommen übereinstimmen. Das Material ist also nicht ganz homogen, die Werthe von N■ /Lax schwanken, was, wie wir später sehen werden, auch aus den Scheerversuchen wahrnehmbar ist.

Die Versuchsdiagramme und Berechnungen der 12 mm starken Messingplatte sind auf Taf. XVII zusammengestellt. Als Grundlage der Berechnung diente das Druckdiagramm der Fig. 6. Die Rechnungswerthe stimmen in Fig. 5 mit den Versuchswerthen überein, in Fig. 4 aber wäre für N-f ein kleinerer Werth nötliig, was auf die Ungleichheit des Materials hinweist.

h) Deltametall gehört nach der Zugbeanspruchung am wahrscheinlichsten in die VI. Gruppe, welche Voraussetzung auch die Druckversuche bestätigen. Bei diesem Material muss man also vom Druckdiagramme ausgehend die Aenderung von N-f bestimmen. So vorgehend findet man, dass N-f seinen Maximalwerth beim Zuge früher erreicht hat, als der Stab

zerrissen wurde. Es ergiebt sich nämlich, dass Nfmax =50 Z. ß = 54° und Y = 0-55 ist.

Die Berechnungen dieser Werthe wurden mit Hilfe jenes Versuches durchgeführt, dessen Diagramm Pig. 4 auf Taf. XVIII darstellt. Die Rechnungsresultate stimmen mit den Versuchsdaten, wie es Pig. 5 und 6, Taf. XVIII ersichtlich macht, nicht vollkommen überein. Dieses Material hat also ebenso Ungleichheiten wie alle jene, welche Zink enthalten.

In Pig. 5 ist ein Pall gekennzeichnet, bei welchem das schon de-formirte Material nach dem Ausglühen einer weiteren Deformation unterworfen wurde. Diese Figur beweist, dass durch Ausglühen wieder die ursprünglichen Werthe der inneren Reibung zur Geltung gelangen, dass also bei demselben Material die innere Reibung nur von der relativen Lage der Moleküle abhängt.

i) Zink erwies sich beim Zuge als sprödes, beim Drucke aber als Material der IV. Gruppe. Auch bei diesem muss man den Werth der inneren Reibung aus dem Druckdiagramme bestimmen. Auf diese Weise finden wir, dass dessen Diagramm die Gestalt der Fig. 2 auf Taf. XIX besitzt, wovon aber nur der aufsteigende Theil in Betracht gezogen werden kann, weil bei dem übrigen das Material theilweise schon zersprungen war.

k) Graues Roheisen ist beim Zuge spröde, beim Druck verhält es sich wie Zink, so dass es in Bezug auf Druck in die IV. Gruppe gehört.

Die Curve des Diagrammes der inneren Reibung ist nach Fig. 1 der Taf. XIX theilweise auch horizontal. Dieser Theil kann jedoch nicht mehr in Betracht gezogen werden, da die Versuchskörper in jenem Momente, wo die Horizontale der Diagrammcurve beginnt, schon nicht mehr intact waren. Auf der Taf. XIX ist auch das mikroskopische Bild des grauen Roheisens dargestellt, woraus ersichtlich, dass es sehr weich ist und viel Karbid, Graphit und Temperkohle und nur wenig Härtungskohle enthält.

Zink und graues Roheisen gehören in Folge ihres schon weiter oben erwähnten Verhaltens in die Gruppe der Materialien mit com-binirtem Reibungscoefficienten.

IV. Beanspruchung zweiten Grades.

A. Seheeren.

Um in die Verhältnisse des Scheerens einen klaren Einblick zu erlangen, werden wir uns zuerst mit dem einfachsten Falle desselben befassen und hernach von diesem ausgehend successive auf die zusammengesetzteren Fälle übergehen. Die einfachste Art des Scheerens ist die mit parallelen Schneiden und mit rechtwinkligem Schneidewinkel.

Rojtö, Die innere Reibung etc.

26. Sclieere mit parallelen Schneiden (L cp = 0) und rechtwinkligem Schneidewinkel (Za = 90°).

Der einfachste Fall des Scheerens tritt dann auf, wenn man die Verhältnisse so wählt, wie sie in Fig. la und lb, Taf. XX dargestellt sind, d. h. wenn man auf einen plattenförmigen Körper (T) eine solche Sclieere einwirken lässt, deren Schneiden A und B zur Platte und zu einander parallel sind und deren Schneidewinkel a = 90° beträgt. Wenn ein solches Werkzeug nahezu am Rande des zu schneidenden Körpers wirkt, wie es Fig. 2, Taf. XX zeigt, entsteht am freien Ende eine einfache Druckwirkung, bei welcher jener Theil des Körpers Formänderung erleidet, welcher oberhalb derjenigen Wirkungsfläche liegt, die man vom Anfangspunkte (a) des Werkzeuges unter dem Winkel ß zieht, also in Fig. 2 der Theil acg. Die einfache Druckwirkung entsteht auch dann noch, wenn das Werkzeug auf ein Stück von der Breite ag = d-ctgß einwirkt (siehe Fig. 3), denn auch in diesem Falle defonnirt sich der Theil acg, weshalb auf der Fläche cg Stauchung auftritt. Aus der Fig. 3 ist auch ersichtlich, dass in dem angenommenen Falle die ganze Endfläche (cg) gleichmässig beansprucht wird, und da diese Endfläche mit dem Querschnitte gleich gross ist, so können wir sagen, dass die äussere Kraft nur auf einen d-ctg/? breiten Streifen einzuwirken braucht, um den ganzen Querschnitt gleichmässig zu beanspruchen.

Wenn das Werkzeug auf weiter nach innen zu liegende, aber mindestens d-ctgß breite Tlieile einwirkt, wie in Fig. 4 — 7 (Taf. XX), dann werden die Flächen cg und eh von den benachbarten Theilen in der Deformation gehemmt. Es kann also keine einfache Druckwirkung mehr auf-treten, sondern die Kräfte verursachen secundäre Wirkungen. Hierzu ist aber unbedingt nothwendig, dass die äussere Kraft auf d-ctgß breite Streifen einwirke, sonst würde der Querschnitt nicht gleichmässig beansprucht sein und würde dann auch keine gleichmässige secundäre Beanspruchung auftreten können.

Um die secundären Wirkungen der äusseren Kräfte zu versinnlichen, zeichnen wir uns das Molekularnetz auf (Fig. 4, Taf. XX), bezeichnen darin die Druckwirkung des Werkzeuges A aus den Molekülen des Stückes ag = d-ctgß und die des Werkzeuges B aus den Molekülen des Stückes bk = d-ctgß und zwar in beiden Richtungen der Kraftvermittlung. Aus dieser Figur ist ersichtlich, dass auf das Stück acbe nur solche Komponenten wirken, die sich im Gleichgewichte befinden, folglich die äussere Kraft auf diesen Theil keine primäre Wirkung ausübt.

Aus der Figur geht weiter hervor, dass sämmtliche nicht in Gleichgewicht stehende, also wirkungsfähigen Komponenten, welche auf den Theil agfc einwirken, in der Richtung des Winkelschenkels gf des Aß nach links und jene, welche auf den Theil behk einwirken, sich nach rechts fortpflanzen. Die Resultanten dieser Komponenten wollen wir in Fig. 5 mit Xx und X.₂ bezeichnen.

Da die Moleküle sich in der Richtung der Resultanten nicht bewegen können, so zerlegen wir diese in zwei Komponenten und zwar in eine in die Richtung der Bewegung des Werkzeuges fallende (J) und in eine hierauf senkrechte (H) (Fig. 5). Durch Einwirkung der Komponenten J± und J₂ nehmen die Theile acfg und behk die Bewegung des sie berührenden Werkzeuges an.

Wenn sich das Werkzeug fortbewegt hat, tritt die in der Fig. 6 dargestellte Lage ein, d. h. der Anfangspunkt des Werkzeuges A: der früher in a war, kommt nun nach ax und der Anfangspunkt des Werkzeuges B, der früher in b war, nach bx und wird aus der geraden Linie ae die krumme Linie axe, aus bc die Linie bxc. Nachdem axe> ae und bxo bc ist, so folgt, dass der Theil acbe in der Richtung der Komponenten Hx und H₂ Vergrösserung erlitt, mit anderen Worten, dass dieser Theil durch die secundäre Wirkung der äusseren Kraft, welche hier Zugwirkung verursacht, deformirt wurde.

Zur übersichtlicheren Bezeichnung der verschiedenen Beanspruchungen werden wir der Fig. 7 entsprechend die gezogenen Theile des Körpers horizontal, die am Werkzeuge festgehaltenen Theile aber vertikal scliraffiren.

Die secundäre Wirkung der äusseren Kraft bewirkt die Formänderung des Theiles acbe, welcher durch die Zugbeanspruchung in der Richtung ab Maassverminderung erleidet. Da nun ab = d die Dicke der Platte ist, so ist, wenn b die Länge des Schnittes (die Breite der Platte) bedeutet, d x b = ab x b die Scheerfläche; durch die Formänderung des Theiles acbe wird, wie aus Fig. 6 ersichtlich, auch die Scheerfläche vermindert. Wir wissen nun, dass die Verminderung des Querschnittes, beziehungsweise die Vergrösserung der Länge bei Zugbeanspruchung von der gleichmässigen Dehnung (it) und von (x), dem Grade der Bildsamkeit, abhängt. Ferner wissen wir, dass bei Materialien mit veränderlichem Reibungscoefficienten

A ■ h = Ax ■ hx und hx = h + hl A ■ h = Ax • h (1 + Z)

A-

der Werth von Nf bei gleichmässiger Dehnung (l) wächst und bei Bildsamkeit constant bleibt. Wenn wir nun jene Scheerfläche suchen, bei welcher 7V/max auftritt, so können wir dies aus der Beständigkeit des Volumens und aus der Zugbeanspruchung folgendermassen bestimmen. Wir wissen, dass

ist, also

wird.

folglich

In unserem jetzigen Falle ist aber A = d b und A₁ = d₁-bv Die veränderte Scheerfläche ist daher

ö-b

l+l

Wenn wir nun die Scheerkraft bestimmen wollen, müssen wir in Betracht nehmen, dass beim Scheeren die primäre Wirkung der äusseren Kraft Druck ist, beziehungsweise, dass die Zugkraft nur als secundäre Wirkung auftritt, weshalb bei der Bestimmung des Kraftbedarfes die primäre Wirkung, d. h. die Druckwirkung berücksichtigt werden muss.

Die Formel der Druckkraft am Ende der gleichmässigen Dehnung ist

Q =    • Nfm ax • tg ß.

hervorrufen und

sin ß

Diese Kraft würde bei regelmässiger Druckbeanspruchung, wie es Fig. 8 zeigt, einen Bruch in der Richtung ac =

würde nun in diesem Falle die Bruchfläche, in welcher die Moleküle

übereinander verschoben werden, durch das Product cicxb₁ ausgedrückt sein, wenn die veränderte Breite des Körpers bezeichnet. Nachdem

aber ac =

sin/? ’ der Druckkraft =

so wird die Bruch-, beziehungsweise die Scheerfläehe

sein. Nach Fig. 3 ist aber beim Scheeren die

sin/i

Scheerfläehe nur • b₁, und nachdem die Grösse der äusseren Kraft mit der Scheerfläehe proportional ist, so folgt hieraus, dass die Scheerkraft sich zur Druckkraft so verhält, wie die Scheerfläehe zur Bruchfläche, also:

Q Scheer ■ Q Druck •— d, •    :

⁸i’hi

sin ß

woraus

QScheer    QDruck " Sin ß lind da (J Druck —    ’ X /'max ‘ tg /?,

so ist die Scheerkraft, wenn Oscheer einfach mit Q bezeichnet wird,

Q =    ■ Nfmax •tgß ■ sin ß.

In dieser Formel bedeutet die veränderte Druckfläche, die man mit Hilfe der Fig. 7 (Taf. XX) folgendermassen schreiben kann:

=ag x b{ und ag = dl- ctg /?, also z/, = dx • bx • ctg ß.

Dieses in die Formel Q substituirt, ergiebt sich Q = dx • \ • Nfmax -tgß- ctg ß ■ sin ß

oder nachdem tgß-dgß— 1

Q = dt • bx ■ Nfmax • sin ß.

Aus der Zugbeanspruchung folgt, dass der Werth dx •    =

dieses substituirt, wird die endgiltige Formel der Scheerkraft

d-b

ö-b

ist,

• X'/max • sin ß sein.

Mit Hilfe dieser Formel lässt sich das Yerhältniss zwischen der äusseren Kraft und den Körperdimensionen bestimmen.

Zu diesem Zwecke setzen wir voraus, dass wir verschieden grosse Platten aus demselben Material sclieeren.

In diesen Bällen ist IV/max und Z. ß immer von gleichem Werthe. Es folgt also hieraus, dass

oder

PP

Si-bi

Qi

Qi

<*i- bi

■ h

d. h., dass die auf die Flächeneinheit fallende Scheerkraft, die Scheerfestigkeit, constant ist.

Bei proportionalen Körpern ist ~

= -ß- daher, wenn wir dieses in b₂

der obigen Formel substituiren:

PP

d°:

oder

Qi

Es ist demnach bei proportionalen Körpern die Scheerkraft, bezogen auf das Quadrat der Dicke, constant, wie dies auch Kick schon gezeigt hat.

Wählen wir abermals einen speciellen Fall des Scheerens zur Unter

such img.

Setzen wir voraus, dass wir verschiedene Materialien von gleichen Dimensionen sclieeren. Es wird hier das Verhältniss der Scheerkräfte:

d-b-

max

• sin ßv

Nf \max ‘

• sin ßt

Nf:

sein.

2 max

(1 + Z)

• sin ß₂

-Nfi max '

• sin ß₂

Die Scheerkräfte sind also nicht nur von der maximalen Härte (Nfmax) der Materialien, sondern auch vom Werthe der gleichmässigen Dehnung und von der Grösse des Wirkungswinkels abhängig.

Man kann also die auf den ursprünglichen Querschnitt bezogene Scheerkraft, d. h. die Scheerfestigkeit eines zähen Materials, durch Beanspruchung (durch Verkleinerung von l) steigern.

Bei Materialien mit gleichwertigem 2, da der Winkel ß nur innerhalb enger Grenzen schwankt, ist die Scheerfestigkeit mit der maximalen Reibung, d. h. mit der Härte nahezu proportional.

Demzufolge hat das Gesetz Kick’s, nach welchem die Scheerfestigkeit die Härte kennzeichnet, nur bei Materialien mit gleichwertigem l Giltigkeit.

Nachdem wir die Wirkung der äusseren Kraft kennen, gehen wir nun über zur Bestimmung des Weges dieser äusseren Kraft.

Nehmen wir an, dass die Werkzeuge A und B sich genähert haben (Fig. 6, Taf. XX), dass also der Punkt a des Werkzeuges A in die Lage ax gelangt ist, wodurch die Länge ae= d• ctgß sich auf axe ausgedehnt hat.

Wenn wir jenen Weg suchen, während welchem die äussere Kraft ihren Maximalwerth erreicht, so müssen wir die gleichmässige Dehnung des Plattentheiles von der Länge ae in Betracht ziehen, weil die innere Reibung nur bis zu dieser Grenze wächst.

In diesem Falle ist axe = d- etgß (1    X). (Siehe Seite 67.) Wenn

wir aber jenen Weg suchen, welchen die äussere Kraft bis zur Abscheerung des Yersuchsstückes zurücklegt, so müssen wir ausser der gleich-mässigen Zähigkeitsdehnung auch auf die der Bildsamkeit entsprechende Rücksicht nehmen, weshalb = d■ ctgß(1 +1) (1 -f-x) ist.

Die Curve axe betrachten wir als ein Parabelsegment, wodurch wir in die Lage gelangen, den Weg des Werkzeuges, d. h. aax mit Hilfe der Formel für die Bogenlänge des Parabelsegmentes folgendermassen zu bestimmen.

Die Bogenlänge der Parabel ist

In unserem Falle ist aber

L — axe = d• ctg ß (1 + X) (1 -j- x) g = axex = ae = ö- ctg ß s = eex = aax.

Diese Werthe substituirt, wird unsere Formel:

d² • ctg ²/j/

^' ctg ß (1 + Z) (1 -j- x) = d ■ ctg ß fl-\-§

sein, woraus man den Weg des Werkzeuges, d. h. den Werth von s berechnen kann:

s²

d² • ctg²ß | [Ä + x (1 + ü)] d² • ctg ß = s²

s = ö ■ ctg ß 0‘611 • jZ/i -j- x (1 + l).

In jenen Fällen, wo das Material nur gleichmässige Dehnung be

sitzt, ist

.9 = d- ctgß 0-611 • //l.

27. Sclieere mit schiefer Schneide mul rechtwinkligem Schneidewinkel, L cp > 0, La = 90°.

Ein etwas complicirterer Fall des Scheerens tritt dann ein, wenn die eine Schneide nicht mehr parallel zur Platte ist, sondern, wie es Fdg. 3,

Taf. XXI darstellt, die Schneide (A) mit der Schneide (B) den Winkel Z. rp bildet. In diesem Falle beginnt die Wirkung der oberen Schneide im Punkte ci und wirkt auf den unter diesem Punkte sich befindlichen unendlich schmalen Streifen so lange, bis dieser durch die secundäre Wirkung der äusseren Kraft zerrissen wird. Dies geschieht aber nach Punkt 26 erst dann, wenn die Schneide A den Weg s = 0*611 -d-ctgß -^'k + x(l -f-Ä) zurückgelegt hat.

Nehmen wir an, es sei dieser Weg in Fig. 3, Taf. XXI mit aa₂ = s bezeichnet, so hat, wenn die Schneide nach a₂ gelangt, die äussere Kraft sich schon auf den Plattentheil am erstreckt, dessen Werth folgendermassen ausgedrückt werden kann:

oder

am = a a₂ ■ ctg rp = s- ctg rp

am = 0611 • d • ctg ß • ctg rp ■    + z. (1 -j-1).

Wenn die Schneide weiter schreitet, vergrössert sich die Berührungsfläche nicht mehr, weil der Theil unter a seinen Zusammenhang verliert. Sobald also die Schneide den Weg aa₂ überschritten hat, erhält die äussere Kraft ihren maximalen Werth. Den Ausdruck dieser maximalen äusseren Kraft erhalten wir, wenn wir in die Formel der Scheerkraft anstatt b den Werth am einstellen. Es wäre also

oder

Qmax —

Qm ax —

d • am

1+1

■ Nfm ax • sin ß

d²-}/Z + x(l + 1)

und wenn x = 0 ist

l+l

• Nfm ax 0-611 ■ ctg rp ■ cos ß

= d²-

|//t

• Nfm ax 0-611 - Ctg rp- COS /?,

l + l

wenn die ganze äussere Kraft Druckwirkung ausüben würde. Die äussere Kraft wirkt jedoch auf eine schiefe Schneide. Da aber nur jene Komponente Druckwirkung ausübt, welche auf die Berührungsfläche senkrecht steht, so muss die äussere Kraft oq (Fig. 2, Taf. XXI) in eine senkrechte oo und eine hierauf normale Komponente or zerlegt werden. Die Werthe dieser zwei Komponenten sind folgende:

oo = oq- cos rp ov = oq - sin rp.

Bei Ableitung der Formel der Scheerkraft wurde die Richtung der äusseren Kraft normal zur Oberfläche der Platte genommen, es wird somit nur jene Komponente Scheerwirkung ausüben, die in die Scheerrichtung fällt, weshalb oo weiter in zwei Komponenten zerlegt werden muss, und zwar in eine normale J und eine horizontale ff, deren Werth in folgenden gegeben ist:

J = oo-cosrp = oq cos²<p

und

H = o o • sin cp = o £ • sin (p • cos cp.

Die Scheerwirkung bewirkt also die Komponente J, Aveshalb der Werth derselben durch die früher abgeleitete Formel gegeben ist, daher

d- am

l+l

• Nfmax • sin ß = 0 e • cos ²q>;

nachdem aber oq = Q ist, wird

oder noch

Q ■ cos²/? =

d -am

• Nfmax • sin /?.

Hieraus erhalten wir die Formel der gesammten äusseren Kraft:

d - am cos² cp l+l

Omax —

• Nfmax • sin ß

Qmax —

1    + X (l + l)

cos²q)

l+l

•Nfmax’COBß-Ct gq>.

28. Scheere mit parallelen Schneiden und spitzem Schneidewinkel,

Z. cp = 0°, jL cc < 90°.

Bisher haben wir die beim Scheeren vorkommenden einfachsten Fälle untersucht. Gehen wir nun auf jenen Fall über, wo die Scheerkanten zwar parallel, aber deren Schneidewinkel (a) kleiner als 90° (gewöhnlich 85°—82°) sind. Diese Anordnung der Scheeren zeigen die Fig. 9 und 10 der Taf. XX.

Wir haben in Punkt 26 gesehen, dass eine regelmässige Scheer-beanspruchung nur dann auftritt, wenn die äussere Kraft schon auf eine d-ctgß breite Fläche wirkt. Da aber in gegenwärtigem Falle, nach Fig. 9a, das Werkzeug im Anfänge der Kraftwirkung die Platte nur mit der Kante berührt, so muss dieses, um eine Scheerwirkung hervorzubringen, so tief in die Platte eindringen, dass es mit derselben in der Breite ag = d-ctgß in Berührung komme, so wie dies Fig. 10 zeigt.

Das Werkzeug legt also vor dem Scheeren den Weg aal=sl zurück, welchen wir, da

a ax = ag - ctg a und ag = d- ctgß ist, auch folgen dermassen ausdrücken können:

= d - ctg ß - ctg a.

Einen so grossen Weg macht sowohl Werkzeug A als auch B. — Durch das Eindringen beider Schneiden vermindert sich die Scheerfläche, beziehungsweise die abzuscheerende Plattendicke, weshalb bei Berechnung der äusseren Kraft anstatt d nur d—2sx = d (1 — 2 • ctg ß - ctg a) in Betracht zu nehmen ist.

Die Formel der Scheerkraft ist nach Punkt 26:

’Nfmax • Sin/?.

d-b

Den Werth von <5—2st anstatt dem hier vorkommenden ö in dieser Formel substituirt, wird

• Nfmax • sin ß.

ö (1 — 2 • ctg ß ■ ctg a) - b

Setzen wir

so ist

(1 — 2 • ctgß- ctg a) = A

- A-sin ß.

ö-b

1+1

Dieses wäre der Ausdruck der Scheerkraft, wenn die ganze äussere Kraft wirken würde. Es wirkt aber im gegebenen Momente nur ein Theil der äusseren Kraft, weil die Berührungsfläche des Werkzeuges schief ist.

Nachdem nur jene Kräfte auf die Platte Druckwirkung ausüben, welche normal auf die Berührungsfläche stehen, so muss nach Fig. 11, Taf. XX die auf das Werkzeug wirkende äussere Kraft Q = or in zwei solche Komponenten zerlegt werden, deren eine or = O-sina normal auf am, die andere aber ot = Q-cosa parallel mit am ist. Von diesen zwei Komponenten verursacht ot im Führungsmechanismus des Werkzeuges Reibung und ov übt auf die Fläche am (Fig. 11, Taf. XX) Druck aus.

Bei Ableitung der Formel nahmen wir als Scheerkraft eine solche äussere Kraft in Betracht, welche auf die Oberfläche der Platte senkrecht steht. Wir müssen also die Komponente ov wieder in eine zur Oberfläche der Platte senkrecht stehende

J = o v • sin a = Q • sin ²a

und in eine zu J normale

H = ov- cos a = Q • sin a ■ cos a

zerlegen. Letztere Komponente trachtet die Platte zu verschieben, während J die Scheerwirkung bewerkstelligt.

Die Formel, welche wir weiter oben abgeleitet haben, entspricht also der Komponente J. Es ist daher

• X/Lax -A-sinß= Q- sin² a.

ö-b

l+l

Hieraus können wir den Gesammtwerth jener äusseren Kraft Q finden, die auf das Werkzeug zu wirken hat:

■ V/"max * A - sin ß^

sin²« l + l

worin A — 1 — 2 • ctg ß ■ ctg a ist.

Mit Hilfe dieser Formel lässt sich das Verhältniss zwischen der äusseren Kraft und den Körperdimensionen bestimmen. So z. B. finden wir die auf die Flächeneinheit entfallende äussere Kraft, d. h. die Scheer-festigkeit

ö-b

sin²a    \₊x

• sin ß.

Also bei gleichem Material ist' die auf das Quadrat der Dicke bezogene Scheerkraft constant, wie dies auch Kick fand.

Es folgt ferner noch aus unserer Formel, dass bei verschiedenen Materialien, jedoch bei gleichen Werkzeugen und gleich dimensionirten Platten das Yerhältniss der Scheerkräfte folgendes ist:

max

A₁ • sin ß₁

max

Diese Formel sagt uns, dass die auf die Flächeneinheit ent-- die Scheerfestigkeit Eigenschaften des Materials und. von der Gestalt des Werkzeuges abhängt, folglich bei gleichem Material und gleichem Werkzeuge constant ist.

Bei proportionalen Körpern ist das Yerhältniss der Druckkräfte

d, • b,

fallende Scheerkraft

nur von den

sin²«,

1 + ^1

•-ATmax • A • sinft

Q'2

d, • b₂

sin² a₂

' Nfma.x ' A₂ ' ®in ß2

Weil aber bei gleichem Material und Werkzeuge

Z- CCi — Z. CX₂ i Z. ßi = Z. ß2,    -Ai — A₂ , -A'/imax ⁼ -bbf-₂

so ist

max

di²

und

Ol __ dt • bx _

Qi ⁽h ■ bt d₂²

Oj 0₂

di²

A 2 U2

A₂ • sin ß₂

PP

Nfi

max

-A f₂ max ‘

1+^2

• A₂ • sin ß₂

d. h. die Scheerkräfte hängen von der maximalen Härte, der gleichmässigen Dehnung und dem Winkel ß ab.

Wir wollen uns nun, weiter gehend, mit der Bestimmung des Weges befassen.

In Punkt 26 fanden wir für den Weg des Werkzeuges bis zur Beendigung der gleichmässigen Dehnung den Ausdruck

s = d ■ ctg ß • 0 611 - ]/A

und bis zur Beendigung der bildsamen Dehnung

s = ö • ctgß - 0 611 - ]/Z + x (1 -j- /L).

Diese Formeln sind auch hier gütig, weil die Länge des gezogenen Theiles (ae=dctgß) dieselbe ist.

20. Sclieerc mit schiefer Schneide und spitzem Schneidewinkel,

z. B. Z. cp = 5°, Z« = 83°.

Die am häufigsten benützte Scheere ist in Fig. lb, Taf. XXI dargestellt. Hier ist die obere Schneide schief und schliesst mit der unteren den Z. cp ein. Beide Schneiden haben einen spitzen Scbneidewinkel («), der gewöhnlich 82° — 83° ist.

Wenn wir uns die Platte auf unendlich schmale Streifen zertheilt denken, so dass jeder Streifen nur mit einem einzelnen Punkte der Schneide (A) in Berührung steht, so wissen wir nach Punkt 26, dass der unter dem Punkte ci sich befindliche Streifen seinen Zusammenhang erst dann verliert, wenn die Schneide den Weg s zurückgelegt hat. Dieser Weg möge in Fig. lb und Fig. 3 mit aa₂ bezeichnet sein und ist dessen Formel nach Punkt 26:

s — d • ctg ß • 0⁻611 • yz -|- x (1 +1)

oder

s = d ■ ctgß ■ 0*611 • |/Z.

So lange das Werkzeug diesen Weg nicht zurückgelegt hat, kommt es mit einem immer längeren Theile der Platte in Berührung. Wenn aber die Schneide schon in a₂ angekommen ist, dann berührt sie die Platte in einer Länge von am, deren Werth

oder

am = aa₂ • ctg cp = s • ctg cp

am = d ■ ctgß ctg <p 0*611 •    + x (1 + X) = d • ©

sein wird, wenn

0 — ctg ß ctg cp 0*611 • -f-'jt (1 + X) ist. Hingegen, wenn x = 0, so ist

0 = ctg ß ctg cp 0*611 • j/Z.

Wir erhalten daher die Formel der Scheerkraft für diesen Fall, wenn wir in die im Punkt 28 abgeleitete Formel derselben anstatt b den Werth am = 0 • d substituiren:

sin²«

d ■ am

• Nfmax ■ A ■ sin ß

oder

• & • Nfmax • A ■ sin ß.

sin²«

Man muss hier noch in Betracht ziehen, dass die äussere Kraft auf eine schiefe Schneide wirkt, weshalb die jetzt abgeleitete Formel (Punkt 27) nicht den Werth von Q, sondern von J bezeichnet.

In Punkt 27 haben wir gesehen, dass

• cos² cp

J = 0 0 • cos cp = OQ ■ cos² cp = Q

(Fig. 2, Taf. XXI), folglich ist

sin²«

d • am

1+/

' A^/inax • A ■ sill ß — Qmax ' COS" <p,

woraus die Formel für die gesammte Scheerkraft:

oder

Qinax —

cos²<p • sin²«

d ■ am

■ Aymax • A. • sin ß

Qmax —

d²

l+l

• © ■ A⁷/max • A ■ sin/?.

cos²cp ■ sin²«

Diese Formel hat Giltigkeit, wenn & ■ d = am > b ist; sonst ist anstatt am der Werth von b zu nehmen und ist in letzterem Falle:

Qmax —

d-b

cos²cp- sin²«

l+l

• AT/raax • A ■ sin/?.

Aus diesen Formeln folgt, dass die Scheerkräfte für verschieden dicke Platten aus demselben Material, d. h. wenn <p, «, Ä, x, Nfmax constant sind, in folgendem Verhältnisse stehen:

«PP

d?

woraus

ist, oder mit Worten, dass die Scheerkräfte auch in diesem Falle mit den Quadraten der Platten-Dicken proportional sind, und dass die Scheerkraft bezogen auf das Quadrat der Dicke bei ein und demselben Material constant ist, wie dies auch schon Kick festgestellt hat.

Bei diesen Scheeren ist also das Gesetz der proportionalen Widerstände im Allgemeinen giltig und zwar darum, weil unter Einwirkung der Schneide immer ein mit der Dicke proportionaler Theil (Q-d) steht.

Mit Hilfe der Formel der maximalen Scheerkraft lässt sich auch die zum Scheeren nothwendige äussere Arbeit berechnen.

ist und kann deshalb

Th eiles mit

Wir wissen, dass, während der Punkt a des Werkzeuges (Fig. 3 auf Taf. XXI) nach a₂ gelangt, die Kraft beständig zunimmt, weshalb die Gestalt des Diagrammes dieser Scheerarbeit annäherungsweise ein Dreieck bildet, dessen Basis aa₂=s und dessen Höhe Q die Fläche dieses Diagrannntheiles, d. h. die Grösse der Arbeit des ersten Om '’S

ma^— ausgedrückt werden. Sobald die Schneide den Punkt a₂

u

überschreitet, den Randpunkt e₃ aber noch nicht berührt, bleibt mit dem

Werkzeuge immer ein gleichlanger, d-Q = am₁ Theil in Berührung und ist deshalb die äussere Kraft bis zu dieser Grenze constant, folglich bildet die Gestalt des Diagrammes dieser Scheerarbeit ein Viereck, dessen Basis a₂ a₃ und dessen Höhe ömax ist, so dass dessen Fläche, d. h. die Grösse des zweiten Theiles der Arbeit mit a₂ a₃ • Qmax ausgedrückt werden kann. Da aber a₂ a₃ = e₂ c₃ = c c₃ — cc₂ = a c₃ • tg cp — aa₂ und weil ci c₃ gleich der Breite b des Körpers und cc₂ = aa₂ = s, so ist a₂a₃ = b-tg(p — s, damit also der zweite Theil der Arbeit:

Qmax ' tg (p $)•

Wenn das Werkzeug noch weiter fortschreitet, nimmt die Kraft so lange ab, bis dieses nach c₄ gelangt, wo dann der Widerstand = 0 ist. Die Gestalt des Diagrammes dieser Scheerarbeit bildet also wieder annäherungsweise ein Dreieck, dessen Basis e₃ei = s und dessen Höhe Q beträgt und dessen Fläche, d. h. die Grösse des dritten Theiles der Arbeit

Qmax ‘

daher

Die Summe dieser drei Arbeitstheile ist

21 =

max ¹ ² ®    _ n >    \    \ ^max

2--1- Ömax (6 • tg cp — s) d--2

21

CO Cc

Cr-

Co

ccj Cd

21 = Q

Wenn wir in diese Formel den Werth von £),

21 =

• © ■ Nfmax • A • sin ß • tg (p

wenn aber am>b ist, darf man dieses Verfahren nicht mehr anwenden, da dieses nur bei breiten Platten einen noch genügend genauen Werth ergiebt.

Aus diesen Formeln folgt, dass bei gleichem Werkzeuge und Material das Verhältnis der Arbeiten — wenn Q-ö<b — folgendes ist:

2t, dl-b,

%-b₂

oder dass

2Ii

2t₂

d\.\

Öl-b₂

constant ist.

o

wird

Bei proportionalen Körpern aber, nachdem ~-

^2

oder

d⁸

constant sein, wie dies auch aus dem Kick’schen Gesetze folgt.

Wir müssen noch hinzufügen, dass die abgeleitete Formel nur jene Arbeit ergiebt, welche zur Ueberwindung der inneren Reibung nötbig ist, also nur die nützliche Arbeit.

30. Versuchsresultate.

Um mich von der Richtigkeit der abgeleiteten Scheerformeln zu überzeugen, machte ich die Scheerversuche mit denselben Materialien, deren Eigenschaften ich früher durch Zug- und Druckversuche schon bestimmt habe. Diese Versuche führte ich mit dickeren Platten auf der Werdermaschine aus, welche ich zu diesem Behufe mit zweierlei Scheeren und zwar mit solchen von parallelen und mit solchen von schiefen Schneiden, ausserdem zur Aufnahme von Diagrammen mit einem Indicator ausgestattet habe.

Jedes Material wurde in zwei bis dreierlei Dicken und von jeder Dicke gewöhnlich zweimal gescheert. Die Scheerkraft wurde mit der Waage der Werdermaschine und aus dem Diagramme bestimmt.

Die Resultate dieser zwei Bestimmungsarten waren nicht immer übereinstimmend; in diesem Falle notirte ich immer beide Werthe. Die Versuchs- und Rechnungsresultate sind in nachstehender Tabelle zusammengefasst. (Siehe Tabelle über Resultate des Scbeerens auf Seite 80, 81.)

Aus dieser Tabelle geht hervor, dass die Rechnungs- und Versuchsresultate innerhalb des Ungleichheitsgrades des Materials vollkommen gleich sind, womit die Richtigkeit der abgeleiteten Formel als bewiesen zu betrachten ist.

Bezüglich der einzelnen Materialien ist folgendes zu bemerken:

a)    Blei gab mit den früher bestimmten Werthen von /?, Ä, x für W/lnax die Grenzwerthe von 2-05 bis 2⁻5.

b)    Zinn gab mit den früher bestimmten Werthen von ß, Ä, x für W/jnax die Grenzwerthe von 2-17 bis 2⁻8.

c)    Bei Kupfer sind zwar die früher bestimmten Werthe l und ß- vollkommen gütig, für Nfmax aber ergab sich bei parallelen Schneiden als Werth 24, bei schiefen Schneiden theilweise 24, theilweise 25 und nur in einem Falle über 26-3. Es ist hier noch zu bemerken, dass bei den Versuchen mit schiefen Schneiden der Werth für x = 0'08 ist, obwohl bei den Zugversuchen x = 0\5 -—- OBS war.

d)    Bei Prima-Kesselblech behielten nicht nur A und /?, sondern auch x und Nfmax ihren früheren Werth bei. Für JV/max ergab sich in allen Fällen der Werth von 36 mit Ausnahme von zwei Versuchen, wo Nfmax = 33 war und sind deshalb die Grenzwerthe für Nfmax 33 und 36.

Um den Einfluss der Zähigkeit zu untersuchen, scheerte ich auch ein solches Prima-Kesselblech, welches früher schon zerrissen wurde, bei welchem die Zähigkeit vernichtet, also A = 0 war. Die Formel ergab auch hier einen ganz entsprechenden Werth, d. h. für Nfmax = 3 75. Die Ursache dieses grösseren Werth es ist nicht die Sprödigkeit, sondern die Ungleichheit des Materials, wie es sich auch später beim Lochen fand.

e)    Bei Secunda-Kesselblech konnte ich den Werth von x nicht controliren, da die gescheerten Stücke eine zu geringe Breite besassen. Bei Annahme der Werthe von A und ß ergab dieses Material für Nfmax die Grenzwerthe 357 und 39⁻7 und zwar den letzteren bei Scheeren mit parallelen Schneiden, den ersteren bei solchen mit schiefen Schneiden.

Um den Einfluss der Zähigkeit nochmals zu controliren, scheerte ich auch ein solches Secunda-Kessel blech, welches früher schon zerrissen wurde, und erhielt für Nfmax den Werth von 39*7, also denselben wie bei zähem Material, wodurch nun abermals resultirt, dass Nfmax eine absolute Eigenschaft des Materials ist und dass die Formel der Scheerkraft den Einfluss der Zähigkeit richtig darstellt, dass also die Scheerfestigkeit durch Beanspruchungen erhöht werden kann.

f)    Für die 18 mm dicke Messin.gplatte haben wir schon zweierlei Werthe, nämlich diejenigen, welche aus der Zugbeanspruchung berechnet sind, wo A = 05, x = 0, Nfmax = 24 war und jene, welche der Druckbeanspruchung entsprechen, wo A = 0-24, x>0 und Nfmax = 29 ist.

Beim Scheeren gelangen sowohl für A als auch für Nfmax die Werthe der Druckbeanspruchung zur Geltung und zwar sowohl bei Scheeren mit paralleler Schneide als auch bei solchen mit schiefer Schneide, wo Nfimx = 29 war und für x der Werth 0*1.

g)    Mit dem 15 mm dicken Messingblech wurden keine Sclieer-versuche gemacht.

h)    Aus dem 12 mm dicken Messingblech habe ich mittelst Abhobeln 10 und 5 mm dicke Bleche erzeugt, so dass ich also aus demselben Material Bleche von drei verschiedenen Stärken hatte.

Das Scheeren wurde nur mit einem Werkzeuge mit parallelen Schneiden durchgeführt. Bei dem 5 mm starken Blech erhielt ich für A, ß und Nfmax die Werthe der Druckbeanspruchung. Bei den Blechen von 10 und 12 mm Stärke aber ergaben sich für Nfmax kleinere Wrerthe, so dass die Grenzwerthe von Nflüax zwischen 55-5 und 58-5 variiren.

ar,

max

i)    Bei Deltametall ergab sich bei einem Werthe von A = 0135: = 45.

k) Bei Zink treten weder die Druck- noch die Zugresultate rein auf. Neben jenen Werthen von A und /i, die beim Drucke gewonnen wurden,

80

81

cV/inax

2-05

o.

“ 5

öT

lO

<M

Cb

io    IO CD

CM (M M (M

CO CO CO CO    CO CO

CO CO CO CO    CO CO

>b ö; co co

s”

ib ös

co co

Recli-

nungs-

werthe

Q kg

2120

1390

2850

1800

13250

9330

Versuchs werthe wenn

(p = 5°, « = 83°

Q kg

2000

2200

1250

1500

2750

3000

1700

1809

13500

13700

9200

9600

Werthe

der

Coefficienten

A Q 0 • 4 cf mm b

001 r’-8I 6TX 9s-9

0011 l-Zl ⁸-6Z,

9b 164    18    100

001 ’-SI || 011

•OST °-XT

15    120g

ib

-+

6200 6100 12-s 1120-₈ I 6500    6300

7100    6600

29500 31000

151-

14500 14100

14700 14700 15000 16190

12000

13100

18000

20000

15000

12000

13200

14200    29

.⁴⁰ .⁴⁰

t>    L-

co    co

13600

13200

13700

8800

11700

12000

12700

ib cb co

»Sfr»¹'

>o

c-i

18750

18-!    48-3 19000

19500

14750

15750

11750

12-j    48-₄ 12000

12225

14000

15000

13750

13500

13750

7500

8000

15'i ! 43-3

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l£S    ^

rH    i—I

CO

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<M    CO

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co

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00 00

lO

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10

CO

.3

■0

849

C2

Ol

/

Resultate des Scheerens.

Charakteristische Eigenschaften des Materials

Rech-

nungs-

werthe

Versuchswerthe

wenn

y.

r ™mjN

Q kg

o 60 CO

o»

» oO

b mm

o mm

Benennung

des

Versuchs materials

.ieiuiun\r

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cb

co

N

<M

rH

■f fll-0 ⁸-Z    0811    011T

*iT-0    ⁸-S    06i    098

12700 I 24    | 0\j₅ j 0-O8 154° 30'

54° 30'

lOSote

56°30'

f08 o9S

56° 30'

esSS

S8-0 fZ OOiOl

Obs

8700    24

1 jj Blei (gegossen)

„ (gegossen und abgehobelt).    .

12400

12300

10500

10700

8700

8800

5«i

cb

co

Ol

cb

co

54b

54b

54b

-f

CO

?    54°

0*175

co co    co

co co    co

13900

14250

14750

S-Qg

15500

48-₄ 15750 15800 16250

co

co

12800

13000

13250

48‘₇

39-₇

obQ d SiI-o '-es

ofQ i

89b    0'l75

19900

19250

19750

17250 16600

13500

13700 13400 14000

o    o

OS    00

io

03

M

54°

oOS

oOQ

oSQ

56°30'

54° 30'

IO

IO

CO\    03

M \    (M

ö ö ö ö

.⁴⁰

o*    ib

oi    io

IO    o

.b do

io

in

16300 16700

17500

9800

17500

17400

9500

9700

5100    5150

17500

17700

CD ö

4100

3900

4150

2760

2850

19950

21900

-+

/

o-.

CV-.

. ⁴⁰

öT

co

:c

15000

15250

15750

10500

co

IM

17-₉

15-o

12b

3 Zinn (gegossen)

4 ||    „ (gegossen und abgehobelt) .    .

5 Kupfer (gewalzt)

(gewalzt)

(gewalzt)

•    •    18b

8 Prima-Kesselblech .    .

„    , (gewalzt) .    .

(gewalzt und abgehobelt) .    15

(gewalzt und abgehobelt) . ji 12'

»-

18b    48b

s-8b t-QX

'•8b T-S1

rH    rH

cb cb co co

12b    54b

co    M

rH    rH

¹⁴'⁵ I 95

cb

cn

Secunda-Kesselblech (gewalzt)

(gewalzt und abgehobelt)

(gewalzt und abgehobelt)

Messing (gewalzt)

(gewalzt) .    .

(gewalzt und abgehobelt) (gewalzt und abgehobelt)

‘•QI

bT

rH    rH

10

11

CO    lO CO t- 00

rH    rH    rH    rH    rH    rH

19 ■: Deltametall .

Zink (gegossen und abgehobelt)

„ (gegossen und abgehobelt)

o    •—i

M    M

22 Graues Gusseisen (nicht abgehob.)

Durch Zug schon beanspruchtes ( Prima-Kessel blech

Durch Zug schon beanspruchtes f Secunda-Ke ss elblech

1CS    CO

M    M

war sowohl bei der 18 mm, wie bei der 12 mm starken Platte Nfm&x = 11*3. Das Scheeren wurde nur mit einer Parallelscheere durchgeführt.

1) Bei grauem Roheisen finden wir dieselben Yerhältnisse wie beim Zink, denn beide haben einen combinirten Reibungscoefficienten. Beim Scheeren mit parallelen Schneiden ergab sich, die Druckwerthe von ß und l beibehalten, für Nfmax der Werth von 24, während beim Drucke dieser Werth auf 66 steigt.

B. Lochen.

Ausser den bisher erörterten Beanspruchungen untersuchte ich die schon öfter erwähnten Metalle noch auf ihr Yerhalten beim Lochen.

Ich gebrauchte bei meinen Versuchen nur ein solches Werkzeug, dessen Stempel und Lochring gleichen Durchmesser hatten, weshalb wir im Folgenden nur diesen einfachen Fall betrachten werden.

31. Lochen mit gleich grossem Stempel und Locliring-.

Denken wir uns in Fig. 1, Taf. XXII eine zu lochende Platte mit Stempel und Lochring in verticalem Schnitte dargestellt und zeichnen uns hierin das Molekularnetz auf, um hiermit die secundäre Wirkung der äusseren Kraft ersichtlich machen zu können.

Wenn wir uns diese Figur in zwei Tlieile getrennt vorstellen und einstweilen nur die linke Seite derselben betrachten, finden wir, dass das Werkzeug zwischen (a) und (b) gerade so wirkt, wie eine Scheere mit rechtwinkeligem Schneidewinkel. Wir werden daher die Wirkung der äusseren Kraft so darstellen, dass wir aus jedem Moleküle des Plattenstückes ag = d-ctgß und bk=d-ctgß die Komponenten derselben in beiden Richtungen der Kraftvermittlung aufzeichnen.

Betrachten wir nun den rechten Theil dieser Figur, so finden wir, dass das Werkzeug hier ähnlich einer Scheere mit rechtwinkeligem Schneidewinkel wirkt. Wir werden also beim Vertheilen der äusseren Kräfte ähnlich Vorgehen wie auf der linken Seite, d. h. die Komponenten aus jedem einzelnen Moleküle des Stückes a₀g₀ = d • ctgß und b₀/c₀ ----- ö • ctgß in beiden Richtungen der Kraft Vermittlung auftragen.

Aus der so verfertigten Figur sehen wir, 1. dass jene Komponenten, die auf den Ring acbe und a₀c₀b₀e₀ wirken, sich im Gleichgewichte befinden, dass also auf diesen Theil die äussere Kraft keine primäre Wirkung ausübt. Ferner 2. dass sämmtliche wirkungsfähigen Komponenten des Theiles ebkh in der Richtung des Winkels ß nach oben und nach links, jene des Theiles e₀b₀k₀h₀ nach oben und nach rechts, und dass die Komponenten des Theiles acfg nach unten und nach rechts, und jene des Theiles a₀c₀f₀g₀ nach unten und nach links gerichtet sind.

Die Resultirenden der Komponenten der genannten Theile sind in Fig. 2, Taf. XXII mit X₁X₂X₃Xi bezeichnet. Da aber diese Theile sich in der Richtung der Resultirenden nicht bewegen können, so müssen diese auf Komponenten (J) in der Bewegungsrichtung des Werkzeuges und in einer hierzu senkrechten Richtung (H) zerlegt werden.

Durch Wirkung von Jx und J₂ folgt der Plattentheil acc₀ß₀, der sich unter dem Stempel befindet, der Richtung des Stempels. Durch die Wirkung von Komponenten von J₃ und </₄ folgt jener Theil, der sich oberhalb des Lochringes befindet, der relativen Bewegungsrichtung dieses, während die Kräfte HLII₂IL, und IIX den Ring, welcher mit acbe und a₀ c₀ b₀ e₀ bezeichnet ist, auf Zug beanspruchen.

Um die verschiedenen Beanspruchungen einfacher und klarer zu bezeichnen, wollen wir nach Fig. 2, Taf. XXII die gezogenen Plattentheile horizontal, die übrigen vertical schraffiren.

Aus Fig. 2 folgt, dass die Lochwirkung vollkommen identisch ist mit der Wirkung einer solchen Scheere, deren Schneide kreisförmig ist, wo also die Scheerbreite anstatt b den Werth von dir hat, wenn d der Durchmesser des Stempels ist. Wir erhalten daher beim Lochen die Formel der äusseren Kraft, wenn wir in jener Formel der Scheerkraft, welche wir bei Scheeren mit parallelen und rechtwinkeligen Schneiden fanden, anstatt (b) dir einsetzen; also

Qmax —

yq-y -drt- W/max • sin ß.

Aus Fig. 2, Taf. XXII ist weiterhin noch ersichtlich, dass, wenn d > 4d ctgß ist, die gelochte Platte und der ausgestanzte Theil nur in einem Ringe von der Breite d-ctgß Formänderung und Einschnürung erleidet.

In den Fig. 4, 5, 6 und 7 der Taf. XXI ist die Kräftevertheilung und Beanspruchung unter den Bedingungen vorgeführt, dass d < 4d • ctg ß aber wenigstens d = d-ctgß sei. Man bemerkt hier, dass die gelochte Platte ebenso beansprucht wird, wie unter den obigen Bedingungen, d. h. der Ring von der Breite ae = a₀e₀ = d- ctgß deformirt und schnürt sich ein.

Den ausgestanzten Theil anbelangend, ist aus Fig. 4 und 5 walir-

<44-ctg/?

>24 •ctgß

Rand zwar in einem Ringe von der Breite c b = c₀ b₀ = d- ctgß eingeschnürt, die Mitte aber gestaucht wird.

< 2 4 ■ ctg ß > 4 ■ ctg ß

nicht eingeschnürt, sondern etwas gestaucht, wodurch der mittlere Theil cc0 eingedrückt erscheint. Untersuchen wir endlich den letzten möglichen Fall, wenn nämlich d cd-ctgß ist (Fig. 8, Taf. XXI). Hier ist ein Lochen nicht mehr möglich und die Moleküle erleiden um den Stempel herum keine Einschnürung mehr, sondern werden nur gestaucht.

Setzen wrir unsere Folgerungen in anderer Richtung weiter fort.

nehmbar, dass, so lange der Werth des Durchmessers d

ist, der

Wenn (d

) ist (Fig. 6, Taf. XXI),

so wird der Loch ran d

Aus den Fig. 4 und 5, Taf. XXI und Fig. 1 und 2, Taf. XXII kann man erkennen, dass der mit acbe und ci₀c₀b₀e₀ bezeichnete konische Ring nur dann eine regelmässige Gestalt aufweist, wenn d > 2d-ctg ß ist. Die oben abgeleitete Kraftformel ist also nur bis zu dieser Grenze giltig.

Sobald sich dieses Verhältniss ändert, d. h. wenn dc2d-ctgß ist, wird der auf Zug beanspruchte Ring nicht mehr vollständig und regelmässig, wie dies in Fig. 6 und 7 der Taf. XXI dargestellt ist. Man kann hier sehen, dass mit der Abnahme des Stempel-Durchmessers und des Lochringes die Theile acbe und a₀c₀b₀e₀ sich immer mehr und mehr überdecken, weshalb sich im Querschnitte dieses Ringes ein immer grösser werdendes Dreieck coc₀ (Fig. 6), beziehungsweise bob₀ (Fig. 7) bildet, welches den Theilen acbe und a₀c₀b₀e₀ gemeinsam angehört und hiermit den Querschnitt des auf Zug beanspruchten ringförmigen Theiles verkleinert.

Wir Avissen im Allgemeinen, dass die Zugkraft sich mit dem Querschnitte des gezogenen Versuchsstiickes proportional ändert, deshalb muss auch die secundär wirkende Zugkraft (FT), also auch jene äussere Kraft, welche diese secundäre Wirkung hervorruft, im Verhältnisse der Querschnittsänderung des gezogenen Theiles abnehmen.

Das Maass der Abnahme des gezogenen Theiles lässt sich mit Hilfe der Fig. 6, Taf. XXI bestimmen. Die Hälfte des Querschnittes des tliat-sächlich gezogenen Theiles ist:

(c₀oc)

(acbe)

= acbe• 1 •

= acbe-C

(c₀oc)

2 (acbe)

wenn

= G.

:    (Cp o c)

2 (acb e)

Der gezogene Querschnitt ist also hier C-mal kleiner als der den vorhergehenden Fällen entsprechende. Die beim Lochen nöthige Kraft ist in diesem Falle also auch C-mal kleiner als beim gewöhnlichen Lochen; ihre Formel ist daher:

YJßJ •    • -^/max • C- sin ß.

Der Werth des Coefficienten C lässt sich aus obigen Gleichungen folgendermassen bestimmen.

Der Flächeninhalt des Viereckes acbe ist

ae- ab = d ■ ctg ß ■ ö = d² • ctg ß.

Der Flächeninhalt des Dreieckes (c₀oc) ist CC~ . Hach Fig. 6 ist

Lj

ccQ = bc — bc₀ und bc = d-ctgß; so auch

und

bc₀ = bb₀ — b₀c₀ = d — ö ■ ctgß

cc₀ = 2 d • ctg ß — d;

V-

i-

daher die h lache des Dreieckes

(2 <5 ■ ctg ß - d) °f =. (2 S ■ ctg ß - d) A-+?'

= (2 d ■ ctg ß — d) ■

2-ctgj?j

= (2 d • ctg ß — d)

2 d • ctg ß — d

4 • ctg ß

(2d • ctg ß — d)²

4 • ctg ß

Diese Werthe in die Formel für C substituirt, wird

(2d • ctg ß — d)-2 • 4 • ctg ß ■ d² • ctg ß

C=

₁ ( 2d-ctgß — d\2 Y\ 2 d • ctg ß )'

2 d | ( * 2d ■ ctgß ' t

2~1

2 d • ctg ßy

d _₁ / d \²

2dctg/? ² \2d • ctgß) ’

<7=0-5 +

— 0-5

2 d • ctg ß) ’

2 d ■ ctg ß

diesen Werth in die Formel für 0 eingesetzt, ergiebt

<? =

c)

T+T * ^' iV^max'sin ^' ⁰⁻⁵ +

2 d • ctg ß

— 0-5

2 d • ctg ß/

Diese Formel ist, wie wir bereits erwähnt haben, nur dann gütig, wenn

d < 2 d • ctg ß

und im äussersten Falle wenn

ist. Sobald

d = d • ctg ß

d < d • ctg ß

wird, weicht die Beanspruchung ganz ab, wie es Fig. 8 der Taf. XXI ersichtlich macht.

Aus den zwei beim Lochen erhaltenen Formeln können wir das Yer-hältniss zwischen den Dimensionen des zu lochenden Körpers und der äusseren Kraft bestimmen.

Setzen wir z. B. voraus, dass wir das Verhältniss der äusseren Kräfte beim Lochen zweier Platten von verschiedenen d und d₀ Stärken und gleichen Materials, beim Gebrauche von Stempeln verschiedenen d und d0 Durchmessers zu suchen haben.

Es sei zu diesem Zwecke zuerst der Fall angenommen, wo im Allgemeinen d > 2d• ctgß ist.

Die angenommenen Werthe in unsere Formel substituirt, wird

J+O

Q*

kf

¹

b ■ tg <p.

Bei breiten Platten erhält man also die Arbeit des Scheerens als das Product aus der Maximalkraft, der Breite und tgq>.

einsetzen, so ist

²

¹.b

33. Versuclisresultate.

Um mich von der Richtigkeit der abgeleiteten Formel zu überzeugen, machte ich auf der Werdermaschine mit zweierlei Locheisen, d. h. mit Stempel im Lochring von 15 und 20 mm Durchmesser, Lochversuche.

Ich lochte nahezu alle jene Materialien, mit welchen ich schon die vorhergehenden Versuche gemacht habe.

Bei jedem Materiale und bei denselben Dimensionsverhältnissen machte

ich — wenige Fälle ausgenommen

daher

Einen zweiten Fall erhalten wir, wenn d < 2 ö • ctg ß ist.

Hier wird

Po

Q,

0-5 +

2<>'-cte/S

0-5

2'

d₀ äo 0-5 +

d₍

2 ö₀ • ctg ß

Bei proportionalen Körpern ist jedoch:

0-5

2 ö ■ ctg ß,

do

2 ö₀ • ctg ß

do

öo

und

d,

do

2 ö • ctg ß 2 d₀ ■ ctg ß

Wenn wir dies substituiren, so ergiebt sich für beide Fälle

beziehungsweise, dass suche ergaben.

(P

Qo ; ’

constant ist, wie dies auch Kick’s Ver-

je zwei Versuche.

Die äussere Kraft wurde auch hier — so wie beim Scheeren — auf zweierlei Art, nämlich mit Hilfe des Indikators und mit der Waage der Werdermaschine bestimmt.

Die Versuchsresultate und Reclinungswerthe habe ich in der auf Seite 88 und 89 folgenden Tabelle zusammengestellt, woraus ersichtlich ist, dass das Lochen theilweise unter jenen Verhältnissen, wo d> 2d-ctg/i, theilweise wo d<2d ■ ctg ß war, durchgeführt wurde.

Aus derselben Tabelle ist ferner zu erkennen, dass Versuchs- und Rechnungs-Resultate innerhalb der Grenzen der Ungleichheit des Materials gut übereinstimmen.

Die abgeleitete Formel kann also als richtig angenommen werden.

Bezüglich der einzelnen Metalle ist noch Folgendes zu bemerken:

a) Blei ergab mit den früher bestimmten Werthen von X und ß für V/max dieselben 2⁻05 und 2-5 Grenzwerthe, wie beim Scheeren. Diese

Grenzen sind als die Folge der Ungleichheit des Materials zu bezeichnen.

b) Zinn ergab mit den früher bestimmten Werthen von 1 und ß für iV/inax den Werth 2-8, also denselben wie beim Scheeren. Die Ungleichheitsgrenzen des untersuchten gegossenen Zinnes für Nfma,x befinden sich also zwischen 2⁻17 und 2*8.

= 26-3.

c) Kupfer ergab mit den früher bestimmten Werthen von l und ß für W/inax denselben Werth, wie bei Zug und Druck, Nf

Auf Grund der Scheer- und Lochversuche kann man Nfmax = 24 — 26 3 nehmen.

d)    Prima-Kesselblech wurde in zähem und durch Zerreissen spröde gemachtem Zustande gelocht und in beiden Fällen war Nfmax = 37*5, woraus klar zu sehen ist, dass die verschiedenen Werthe bei den Scheer-versuchen von der Ungleichheit und nicht von der Sprödigkeit herstammten. Die Grenzwerthe für Nfmax sind 33 und 37⁻5.

Die Werthe l und ß haben vollkommene Giltigkeit.

e)    Secunda-Kesselblech wurde sowohl in zähem als auch in sprödem Zustande gelocht. Es ergab sich mit den früher bestimmten Werthen von l und ß bei zähem und bei sprödem Material für Nfamx derselbe Werth (39-7). Kur bei zwei Versuchen mit zähem Material erhielt ich hierfür 35-7.

Aus den Versuchen mit spröde gemachtem Material ist nun ersichtlich, dass die abgeleiteten Formeln den Einfluss der Zähigkeit richtig darstellen.

f)    Messingplatte von 18 mm Stärke wurde nicht gelocht.

g)    Messingplatte von 15 mm Stärke wurde nur einmal gelocht. Ich fand für Ar/’max = 45 und für l = 0*30. Auf Grund dieses einen Versuches lässt sich über dieses Material noch kein Urtheil fällen.

h)    Die Messingplatten von 12, 10 und 5 mm Stärke wurden, wie bekannt, aus einer Materialplatte durch Abhobeln erzeugt. Bei der 5 mm starken Platte war Nfmax .= 55-5. Die Grenzen der Ungleichheit des Materials befinden sich also hier zwischen 55-5 und 58⁻5.

i) Mit Deltametall machte ich nur zwei Versuche und fand mit Beibehalt der Werthe von ß und ü, dass Nfmax = 45 sei. Die Ungleichheit von AT/max befindet sich bei diesem Metalle zwischen 45 und 60.

schwankt also innerhalb der Grenzen von 15*7 und 16-8.

k) Zink ergab bei normalem Lochen mit den schon bekannten Werthen von ß und l für NfmdX = 15 7, also nahezu denselben Werth wie beim Druck. Man kann hieraus folgern, dass beim Lochen die molekulare innere Rei-bung zur Geltung kommt. Die Härte des Materials, d. h. der Werth von Nfm

1) Graues Roheisen ergab beim Lochen, wenn d<2d-ctgß war, mit den bekannten Werthen von ß und l für NfUVdX = 50. Es kommt also

GO

os

Rechnungs-

werthe

Q kg

1800

1200

2370

1590

15800

13100

9700

25200

20100

20400

17900

15100

26100

20700

21000

18400

15300

26100

25000

21400

18800

15300

26800

21400

15500

24400

24000

20000

10000

17000

14500

7500

24300

8200.

36000

Materials

2 4 ctg ß

Lzz > V

15-₃

C5    CO

rH    rH

d e 2i-₃

17-4

de 17

a < 24

d < 19-₈

15-o

17-,

de 26

d < 21-j

d < 17-.

, »o    ^ kO <M B 00

t>    l>    ^    l>    00    Ci

rH    t-H    rH    rH    rH    t-H

IO    4'

rH    rH

de 27-

L-IZ

18

L-IZ > V

d < 18

17-6

T-0S

23-3

Resultate des Lockens.

Werthe der charakteristischen Eigenschaften des und der Coefficienten

CM CI

.⁰⁰ . ®

CM CM

co

CO

cb

C0    »O    kO    «O    U5    U5    t-    N    n l- I-

CO¹ r- t>-    t>- r- i>- cb cb ö ö b

00    00 CO CO 00

00 CO

rc

05

00

\o

45

'•QI

50

©'

©'

O’gg

•0

^95

•0

■0

'S

»o

»O JO jo »o

O’so

135

:0

0-4

0'06

84S

625

875

554

814

713

662

662

62.

.3 &

<n o

sin ß = 0⁻ctg ß = 0'

sin ß = 0⁻

ctg ß = 0'

sin ß = 0'

ctg ß = 0-

sin ß = Q-

ctg ß = 0-

Ctg ß = 0*

ctg ß = 0-c

<•99

ctg ß — 0⁻

sin ß = 0'

o] £    £

ctg ß = 0⁻

ctg ß = 0-

ctg ß = 0-

•0

834

sin ß

ctg ß — 0-

o-

u 809

sin ß

ctg ß = 0-₇₂₇

ctg/5 = 0-„r

0-745

sin ß

ctg ß = 0-

ctg ß = 0-9 ctg ß — 0'

0-9

ctg/?

ctg ß = 0₉

ctg ß = 0-₉

809

726

sin ß = 0' ctg ß — 0'

7 66

839

798

753

sin ß = 0' ctg ß = 0

sin ß = 0' ctg ß = 0'

54° 30'

54° 30'

54° 30'

56° 30'

56° 30'

56° 30'

56° 30'

56° 30'

©    ©    © © ©

lO    IO IO IO lO

56° 30'

56° 30'

56° 30' 56° 30' 56° 30'

© © © ^+1    —H

co

lO

IO

-T

io

oOQ

53°

Versuchs werthe

Q kg

1800

1200

1-HrHrHT—irH    CM CM CM CM CM CM rH r-H rH r-i CM CM CM CM CM t—i rH

25700

26700

25000

26000

22000

20500

16250

25700

27000

21700

22000

15750

16000

24400

24500

2.3750

24000

24400

19250

10000

10250

17100

17500

14200

14250

7250

7750

23200

23500

24000

8000

8300

raiu p ui ui £

o o

CM CM

ob CM

i—( i—i

o o

CM Ol

o    o

CM    CM

JO

O    O O »O    »O

CM    CM rH    rH    rH

O    O LO lO IO

CM    CM t-H t—« t-H

o 0    0*0 10 o o *o o

CMCMCMrHrHOl CM rH    CM

O    O    O    io    »O    io

CM    CM    CM    rH    tH    rH

20

öT

00    CM

rH    rH

10°

rH

CM

rH

CM

.

lO    CM    C»    »O    OM

rH    rH    rH    rH    rH

,b

»O    CM 00 »O CM

i—i    i—i i—i i—i i—i

. H    ^ 00    '    . Ci    # ©    Ct

oo    w    h    m    ö    co    ©    ö

rH    tH    rH    rH    rH    rH    rH    rH

•QI

CM

O    »O CM    o    io

rH    rH    rH

■ZI

12

30200

15‘₅    20    32000

36000

Benennung

des

Versuchsmaterials

J9iuumjsj

1    Blei (gegossen) ........

2    „ (gegossen und abgehobelt) . .

Zinn (gegossen)

„ (gegossen und abgehobelt) .    .

Kupfer (gewalzt)

(gewalzt)

(gewalzt)

Prima-Kesselblech (gew. u. abgeh.) „ (gewalzt und abgehobelt)

(gewalzt)

(gewalzt und abgehobelt) (gewalzt und abgehobelt)

Secunda-Kesselblech(gew. u. abgeh.)

(gewalzt und abgehobelt)

(gewalzt)......

(gewalzt und abgehobelt) (gewalzt und abgehobelt)

Durch Zug schon beanspruchtes Prima-Kesselblech

Durch Zug schon beanspruchtes Secunda-Kesselblech

CO

IO

co

qo 05 o    i—i    cg

tH    rH    rH

C0    IO ffl l>

rH rH rH rH t-H

00    05 O <—I CM CO    lO

T—1    I—I CM CM CM CM CM CM

26 j Messing

C0 O O rH CM CM CM CM CO CO CO

33 Deltametall

34 |j Zink

35 Graues Gusseisen

beim Lochen dieses Materials die molekulare innere Reibung ebenso zur Geltung wie beim Zink.

lässt sich auf

ax •)

Die Härte des Materials, d.-h. der Werth des Nfm Grund dieses Umstandes mit 50 — 62 bezeichnen.

V. Rekapitulation der Ergebnisse.

Es sei uns zum Schlüsse noch gestattet, die bisherigen Resultate kurz zusammengefasst hier zu wiederholen und anhängend noch einige Folgerungen beizuschliessen.

Bei Behandlung der Beanspruchung ersten und zweiten Grades wurden zwei Aufgaben gelöst; es wurden nämlich die Art der Formänderungen und die hierzu nöthigen Kräfte bestimmt.

Diese Aufgaben musste man, um überflüssige Wiederholungen zu vermeiden, gemeinsam behandeln. Der Uebersichtlichkeit halber einerseits und der Natur der Aufgaben entsprechend andererseits fühlen wir uns jedoch gezwungen, die Resultate im Folgenden getrennt vorzuführen.

33. Die Art der Formänderung.

Die Art der Formänderung haben Avir mittelst des Wirkungswinkels, d. h. mit Hilfe der Richtung der Kraftvermittlung bestimmt und sind bei den verschiedenen Beanspruchungen zu folgenden Resultaten gelangt.

a) Bei Zugbeanspruchung haben A\ir aus den Fig. 31—37, Taf. III erfahren

1, dass die gleichmässige Dehnung, d. h. diejenige, bei welcher der Reibungscoefficient (f) einen Avachsenden Werth hat, streng genommen zAvar nur bei proportionalem Körper mit der Länge proportional ist, bei langen kreiscylindrischen Stäben jedoch, da bei diesen nur ein kleiner TlieiJ in der Mitte des Stabes auf andere Art beansprucht Avird, der Fehler sehr gering ist, Avenn man die Dehnung mit der Länge proportional nimmt;

2.    bei kurzen Stäben (Fig. 31, Taf. III) ist der Einfluss des abweichend beanspruchten Theiles so gross, dass bei diesen nur das allgemeine Gesetz giltig ist, d. h. die gleichmässige Dehnung ist nur bei proportionalen Körpern mit der Länge proportional;

3.    dass das letztgenannte allgemeine Gesetz sich auch auf Stäbe mit nicht kreiscylindrischem Querschnitte bezieht (Fig. 30, Taf. III);

4.    bezüglich der bildsamen Dehnung, bei welcher der Reibungscoefficient (f) constant ist, haben wir gefunden, dass diese (Fig. 27, Taf. III) nur ein (d-ctgß) langer Stabtheil erleidet und dass als Folge dieser am Stabe Einschnürung, d. h. Contraction, sichtbar wird.

b) Bei Druckbeanspruchung fanden wir aus den Fig. 41—50 der Taf. VI folgende Resultate:

1.    Innerhalb der Zähigkeitsgrenze, also so lange, bis die innere Reibung einen wachsenden Werth erhält, erleiden kurze und lange Stäbe nahezu gleichmässige Formänderung.

2.    Innerhalb der Grenzen der Bildsamkeit, also während die innere Reibung einen constanten Werth beibehält, erleiden Bolzen, bei denen d>2D-tgß ist (Fig. 41 und 43), ungleich vertheilte Formänderung, indem die Endtheile der Bolzen sich in einer Länge von D-tgß stauchen.

3.    Bolzen, bei denen d<2ZMg/? ist (Fig. 57), ändern ihre Form nahezu gleichförmig.

4.    Yersuchsstücke, bei denen ö< D-tgß ist (Fig. 46 — 47), ändern ihre Form ganz gleichförmig.

5.    Aus den Fig. 45, 46 und 50 folgt, dass die äussere Kraft auf der Druckfläche nur so lange gleichmässig vertheilt sein kann, als ö>Q5-D-tgß ist. Sobald d < 0⁻5 • D ■ tg ß wird, wächst die Belastung der Druckfläche gegen die Mitte zu.

Aus den Fig. 44, 45, 46 und 47 kann man weiter noch folgern:

6.    So lange ö> D-tgß ist, befinden sich unter der Druckfläche solche Theile, welche der Richtung des Werkzeuges folgen und es entsteht deshalb zwischen diesen und der Druckfläche keine Reibung.

7.    Wenn d<D-tgß wird, so bewegen sich unter der Druckfläche immer mehr und mehr Moleküle. Die Bewegung sämmtlicher Moleküle tritt ein, wenn ö ■ D -tgß ist, weshalb zwischen ihnen und der Druckfläche Reibung entsteht (Fig. 47—50).

c) Beim Scheeren sind es folgende bemerkenswerthe Resultate, die

wir fanden:

2.    Der Ring mit dem Querschnitte acbe und a₀c₀b₀e₀, der sich zwischen der Kante des Stempels nnd Lochringes befindet, ist nur auf Zug beansprucht und wird spröde.

3.    Nach den Fig. 4,5,6 der Taf. XXI wird die gelochte Platte, ganz unabhängig vom Stempeldurchmesser, vom Rande des Loches an gerechnet, in einem (d • ctg ß) breiten Ringe spröde.

4.    Der ausgestanzte Theil wird, so lange d> 4ö• ctgß ist (Fig. 1—2, Taf. XXII), nur am Rande spröde, der innere Theil desselben bleibt aber unverändert.

5.    Wenn < 4 • ctg ß ist (Fig. 4 — 7, Taf. XX), so wird der ausgestanzte Theil in seiner ganzen Masse spröde.

6.    Der Lochrand zeigt bei zähem Material Einschnürung, während er bei sprödem Material scharf begrenzt ist.

7.    Wenn d <0'5d ■ ctg ß ist (Fig. 8, Taf. XX), so wird ein Lochen des Materials nicht mehr möglich und in diesem Falle erleiden zähe Materialien um das Werkzeug herum Strauchung.

34. Grösse der Kräfte, welche zur Formänderung nötliig ist.

Bei jeder Formänderung entsteht durch die Wirkung der äusseren Kraft Maassvergrösserung und Maassverkleinerung, weshalb man sagen kann, dass jede äussere Kraft zweierlei Wirkung ausübt, und zwar in der Richtung der Maassvergrösserung Schubwirkung, und in jener der Maassverminderung Druckwirkung.

Die Maassvergrösserung und Maassverminderung stehen im ursächlichen Zusammenhänge, so dass man mit Hilfe der Beständigkeit des Volumens aus dem einen Werthe den anderen berechnen kann. Aus diesem Grunde braucht man bei Formänderungen nur einen Werth der Maassveränderung zu berücksichtigen.

Die Maassveränderungen stehen aber nicht nur unter einander, sondern auch mit den Wirkungen der äusseren Kraft in ursächlichem Zusammenhänge, weshalb man auch nur eine, und zwar jene Kraftwirkung zu berücksichtigen hat, welche der in Betracht genommenen Maassveränderung entspricht.

In unseren Abhandlungen haben wir immer nur die Maassvergrösserung und deshalb auch nur die Schub Wirkung in Betracht genommen.

Bezüglich der inneren Reibung wissen wir, dass diese sowie jede Reibung der Gleitung widersteht.

Bei Formänderungen gleiten die Moleküle in zwei Richtungen, d. h. in der Richtung der Maassvergrösserung und in jener der Maassverminderung, weshalb man sich die innere Reibung auch in zwei Theile getrennt vorstellen muss, deren einer der Gleitung in der Richtung der Maassvergrösserung, der andere jener in der Richtung der Maassverminderung widersteht.

Diese Theile der inneren Reibung stehen ebenfalls in ursächlichem Zusammenhänge, weshalb wir in unseren Abhandlungen nur jenen Theil in Betracht nahmen, welcher der Gleitung in der Richtung der Maassvergrösse-ruug widersteht, und nannten diesen kurzweg innere Reibung (Nf).

Aus diesem Grunde konnten wir in unseren Abhandlungen sagen, dass die innere Reibung immer nur der Schubwirkung der äusseren Kraft widersteht, und konnten deshalb dessen Werth aus der Zugbeanspruchung oder aus der Druckbeanspruchung berechnen.

Den berechneten Werth der inneren Reibung haben wir als Ordi-naten in einem solchen Diagramme aufgetragen, dessen Abscisse die pro-centuale gleichmässige Dehnung ist. Mit Hilfe solcher Diagramme der inneren Reibung kann man die nöthige Kraft und den Arbeitsverbrauch jederartigen Beanspruchung bestimmen.

Aus dem Diagramme der inneren Reibung folgt, und durch Versuche wurde nachgewiesen, dass der Werth der inneren Reibung bei demselben Material nur von der relativen Lage der Moleküle, also von der Art der Beanspruchung unabhängig ist.

Weitere abgeleitete und durch Versuche bestärkte Resultate sind

folgende:

1. Bei zähen Materialien vermindert jede Formänderung die Zähigkeit, diese werden hierdurch spröder gemacht; die innere Reibung derselben, also auch die mit dieser im Zusammenhang stehende Elasticitätsgrenze und Härte des Materials werden hierbei ver-grössert.

2. Durch Ausglühen vermindert sich die Grösse der inneren Reibung, also auch die Elasticitätsgrenze und Härte; die Zähigkeit des Materials wird also wieder vergrössert.

3.    Die innere Reibung ist das Maass der Härte.

4.    Bei bildsamen Materialien

nachdem der Reibungscoefficient hier constant ist — ändern sich die Eigenschaften des Materials bei Formänderung durchaus nicht.

Ausser den erwähnten allgemeinen Folgerungen wäre bei den einzelnen Beanspruchungen noch Folgendes zu bemerken:

a) Bei Zug fanden wir

1.    dass bei ein und demselben und im gleichen Zustande sich befindlichen Material, so lange es noch Zähigkeit besitzt, bei längeren Stäben die äussere Kraft mit dem Querschnitte im Allgemeinen als proportional zu betrachten ist;

2.    bei kurzen Stäben gilt diese Proportionalität nur bei proportionalen Körpern;

3.    die Grösse der Zugkraft ergiebt sich bei zähen Materialien, wenn man den veränderten Querschnitt mit der betreffenden inneren Reibung multiplicirt.

b) Beim Drücke haben wir die äussere Kraft nur für jene Fälle bestimmt, wo die Formänderung ziemlich gleichmässig ist, d. h. wenn d<2D tgß ist. Bezüglich der Kraftvertheilung fanden wir, dass

1.    so lange ö > 0⁻5 • D ■ tgß ist (Fig. 46, Taf. VI), diese gleichförmig ist; wenn aber

2.    ö < 05 • D ■ tgß ist (Fig. 50, Taf. VI), so wird die Vertheilung der Kraft ungleichmässig und gegen die Mitte zu grösser.

Die Grösse der Druckkraft wird, wenn d> 0 5 • ZL tg/i ist, innerhalb der Grenzen, wo das Material Zähigkeit besitzt, gleich den veränderten Querschnitt multiplicirt mit tg ß und mit jenem Werthe der inneren Reibung, welcher der procentualen Dehnung des Durchmessers entspricht.

Bei der bildsamen Formänderung ist die Grösse der Druckkraft: Den veränderten Querschnitt multiplicirt mit tgß und mit dem con-stanten maximalen "VVerth der inneren Reibung.

Sobald ö <Q-5 ■ D ■ tg ß ist, nimmt der Kraftbedarf rasch zu.

c)    Beim Scheeren haben wir gefunden:

1.    Der meisten Kraft bedarf die Scheere mit parallelen Schneiden und recht winkeligem Schneidewinkel.

2.    Die geringste Kraft benöthigt die Scheere mit schiefer Schneide und spitzem Schneidewinkel.

Bei der Berechnung der Kraft nahmen wir nur deren maximalen Werth in Betracht und fanden,’ dass dieser im ersten Falle mit der Scheerfläche und mit der maximalen Härte, im zweiten Falle mit dem Quadrate der Plattenstärke - und der maximalen Härte proportional ist.

d)    Beim Lochen endlich ergab sich, dass die äussere Kraft, wenn d~>2ö ■ ctgß ist, mit der Stärke der Platte, mit dem Durchmesser des Stempels und mit der maximalen Härte proportional ist; während, wenn dc2ö ■ ctgß ist, die beim Lochen nöthige Kraft geringer ist.

In nachfolgender Tabelle (Seite 95) sind der leichteren Uebersicht wegen die Formeln der äusseren Kraft zusammengefasst.

Mit den Formeln dieser Tabelle können wir nicht nur den Kraftbedarf berechnen, sondern auch das Verhältniss der verschiedenen Beanspruchungen zueinander darstellen.

Aus der Formel für die Zug- und Scheerkraft z. B. folgt das Verhältniss der Reiss- und Scheerkraft und zwar bei Scheeren, wo parallele Schneiden und Z. « = 90° vorausgesetzt sind, dass

öb

P l+l öb

-V/max

Wmax ■ Sin ß

sin ß

Tabelle der Kraftformeln.

Art der Beanspruchung

Bedingung

Formel für die Kraft

Formel für die

t

Coefficienten

Zug

h > n ö ctg ß

max

öb

■ tyinix =

• yv/mäx

ö < 2 D tg ß d > QsDtgß

Qi = Al-Nfl-tgß

Qi = Al ■ (l + A,)f ■ Nft-tg ß

Druck

Z\ —' 1 +'

n-2\²

(J < 0-₅ D tg ß

Qx^A,.NfxAgß.Zx

Q₁=A.(l+X+.Nfl.tgß.Zi

; n

(71-4\²

•?/ +

rh

ö • ctg ß

cp — 0 a = 90°

Qm&x

d-b

' /inax ' Sill

cp = 0 a < 90°

Vmax — sin2öf 1+A

A = 1 — 2 ctg /? • ctg a

S c h e e 1¹ e n

fjP > 0

a < 90° b>QÖ

@max —

sin-a • cos- cp • Wmax - sin ß A G

Q = ctg ß • ctg cp ■

•0*611 +* (i+A.)

cp > 0 « < 90° b < Qd

ömax ~r

d-b

Sin²a-cos²<jP l + l

JV/inax- sin/M

d> 2d -ctg ß

Lochen

i-M

+

■ s~| 3

.5

05

■Cb

d <2d ■ ctgß d>d-c\gß

t?max —

d ■ cIjc

C — 0’₅ -f-

■ Nfmax • sin ß ■ C

2 ö • ctg ß

-0*5

2 <5 • ctg ßt

Die Scheerkraft ist also gleich der Reisskraft multiplicirt

mit sin/?.

In gleicher Weise können wir mit den übrigen Beispielen verfahren.

Die Versuchsresultate sind bezüglich der Zug- und Druckversuche auf den Taf. VII—XIX, die der Scheer- und Druckversuche auf den mit gleichem Titel versehenen Tabellen initgetheilt.

Aus der Vergleichung dieser Resultate ergiebt sich, dass die berechneten Werthe der absoluten Eigenschaften der Materialien sich nur innerhalb kleiner Grenzen bewegen.

Diese Werthe sind der klareren Uebersicht wegen in folgender Tabelle auf Seite 97 zusammengestellt.

Aus der Tabelle, welche die charakteristischen Eigenschaften des Materials enthält, ist ersichtlich, dass wir in jenen Fällen, wo wir bei unseren Berechnungen den Wirkungswinkel ß und die maximale gleich-mässige Dehnung l constant nahmen, für die maximale innere Reibung Grenzwerthe bekommen haben. Diese Grenzwerthe zeigen aber nach unserer hierauf bezüglichen Tabelle nur geringe Abweichungen. Wir können also diese Abweichungen auf Rechnung der Ungleichmässigkeit der Materialien schreiben, weshalb ich hoffe, dass ich mit dem Gesagten auf die Anwendbarkeit des Princips der inneren Reibung und der von mir benutzten Art der Kraftvermittlung genügend hingewiesen und klargestellt habe.

YI. Analytische Ableitungen.

35. Formel der inneren Reibung und der Zähigkeit.

Der Ausgangspunkt unserer bisherigen Folgerungen war die innere Reibung. Mit Hilfe dieser konnten wir in gegebenen Fällen die Grösse der äusseren Kraft bestimmen und hiermit das Schaubild graphisch darstellen.

Da aber die graphische Methode sich oft als sehr zeitraubend erweist, so ist es zweckmässig, neben dieser auch die analytischen Formeln der Kraft, besonders aber der Arbeit zu kennen.

Die Kenntniss dieser Formeln zeigt sich schon bei den Beanspruchungen ersten und zweiten Grades als wünschenswerth, bei Beanspruchungen höheren Grades jedoch (z. B. beim Biegen) sind sie unentbehrlich und deshalb wollen wir uns im Nachfolgenden mit der Ableitung dieser analytischen Formeln befassen.

Die Curven der Schaubilder der inneren Reibung, die in Fig. 3 der Taf. VII—XIX mit Nf bezeichnet sind, entsprechen einer Parabel, deren Scheitelpunkt sich am Endpunkte der anfänglichen Härte (Nf₀) befindet.

Wenn wir annehmen, dass der Anfangspunkt der Coordinatenaxen

mit dem Anfangspunkte des Schaubildes zusammenfällt, so ist die Formel dieser Parabel:

Tabelle über die charakteristischen Eigenschaften der untersuchten Materialien.

Anme r k u n g

Material

gruppe

V.

V.

Maximale

Härte

^7m

2-05-2-3

2-17-2-8

Analyse

1-57

4-56

0*27

0*17 4

58°

oI9

Pb

Sn

Wurde nicht gescheert und konnte deshalb der Werth von z nicht controllirt werden.

Beim Scheeren gelangte der niedrigste Werth von * zur Geltung.

Sämmtliche Analysen verdanke    j

ich der Freundlichkeit des Herrn J. Kail, Montan - Ingenieur bei zo Ganz & Comp, in Budapest.

Dor Grund der Verschiedenheit der Werthe bei den verschiedenen Beanspruchungen liegt wahrscheinlich in der kristallinischen Form des Zinkes.

Bei Zug l = 0-15 i) IV/max = 24'₀

Bei Zug l = 0-16 „ IV/max = 43

Bei Zug

n iV/max = 48

Bei Zug X = 0-25 n TV/inax = 60',

s.g — °d 0 = 7

Bei Zug

V.

V.

V.

V.

VI.

VI.

VI.

VI.

mit combinirten Beibungs-coefficienten

I+IY.

mit combinirten Keibungs-coefficienten

I + IV.

10-₅₈

24 — 26-₈

36 —37-₅

(nur bei zwei Versuchen 38)

35-₇ — 39-₇

29

46 — 51

55h -58-ä

45 — 50

15-₇ - 16g

(bei Scheeren ll/.)

50 — 66

(bei Scheeren 24)

von 0 bis 3-g

0*20

okQ

Al

,,,

von 0’ bis 2--

0*25

54° 30¹

Cu

0*84

Ohr

-08o92

/II C= Ohi Mn = 0-54 P= 0-

«i»

990

von ? bis 0-

i9-X siq 0 noA

175

•0

54°

Mn = 0-58 P= o-

041

ü=0-14 Si = 0-

0*24

Oh

23

132

59°

o8k

Cu = 62

Zn = 37

Cu = 62

Zn = 31

■()

08 f

54°

Cu = 67

Zn = 32

Wurde nicht analysirt

Oh

Oh

ooe

Benennung

des

Versuchsmaterials

CD

~ Blei (gegossen) . . = Zinn (gegossen) . .

~

CD

51 Aluminium .    .

Kupfer

Ö

<D

Prima - Kesselblech .

Secunda - Kesselblech

Messingblech von 18 mm Stärke .

Messingblech von J 15 nun Stärke .    .    .    (

Messingblech von

12, 10 und 5 mm Stärke \

Deltametall.....

.    . | Wurde nicht analysirt 53

Zink (gegossen) .    .

Graues Gusseisen

V₀ = Wo

y = NA

wo

und 2p der doppelte Parameter, also eine auf dem Versuchswege zu bestimmende Constante bedeutet.

Die Formel der inneren Reibung ist daher

Die Schaubilder der Metalle zeigen eine fast rein parabolische Curve, nur das Schaubild des Flusseisens besitzt bei seinem Beginne eine Inflexion, weshalb die Aenderung der inneren Reibung desselben der obigen Formel nicht vollkommen entspricht. Nachdem aber die weiteren Punkte * des Schaubildes jenen der Parabel entsprechen und die Differenz der Anfangspunkte gering ist, so kann man auch hier, folglich im Allgemeinen, bei allen Metallen diese Formel als entsprechend annehmen.

Auf Grund der Formel 1. ist der Werth der maximalen Härte:

la.

Vyinax = Nf₀ + /2 pK worin 1% die maximale procentuale Dehnung der Zähigkeit bedeutet. Wir haben diese Dehnung bisher nur kurz mit l bezeichnet, nachdem wir aber bei dem analytischen Verfahren verschiedene Dehnungen zu unterscheiden haben, wollen wir diese d. h. die der Zähigkeit entsprechende mit bezeichnen.

Als Grad der Zähigkeit dient jene Fläche des Schaubildes der inneren Reibung, welche durch V/max begrenzt ist.

Den Zahlenwrerth dieser Fläche erhalten wir, wenn wir den differentialen Werth derselben, zwischen bestimmten Grenzen integriren.

Der differentiale Werth der Fläche ergiebt sich, wenn wir die in =i x befindliche Ordinate (Nfx = Nf₀ -\-^2px) mit dem differentialen Werth der Abscisse dl = dx multipliciren.

Es ist also:

da = Nfx ■ dx = Nf₀ ■ dx + ]/2j? • /.-r • dx und hiervon die bestimmten Integrale von x = 0 bis x = Xx genommen, ist

a = Nf₀ I dx -f /2j? • j ’yjx- dx,

folglich

6    o'

a = NU-K + i^p-l’k

= Nf₀ ■ L + 0666    . .

oder

. . 2.

amls ,

pro cm³

die Formel der Zähigkeit.

Wenn wir den Zahlenwerth der Formel 2. in mkg wünschen, müssen wir annehmen, dass das Schaubild die Zähigkeit eines solchen Stabes bedeutet, dessen Querschnitt 1 mm² und dessen Länge 1 m ist, folglich ist dessen Rauminhalt 1 cm³.

Wenn wir aus der Zähigkeit den Hartig’schen Arbeitsmodul berechnen wollen, müssen wir vorerst die Zähigkeit eines Stabes von 1 dm3 Rauminhalt ausdrücken, d. h. die nach Formel 2 erhaltene Zahl 1000-fach nehmen und dann mit dem specifischen Gewichte (y) dividiren.

Es ist also:

und

1000 ■«

pro dm³

^mkg _ _1 ^mkg pro kg

pro dm³

1000'«mkg 3 pro cm³

.    .    4.

Die Formeln 1. und 2. ergeben bei den untersuchten Materialien, Blei, Zinn und Zink ausgenommen, vollkommen übereinstimmende Resultate. Bei genannten drei Metallen konnte bei dem graphischen Verfahren die anfängliche Härte nicht genau bestimmt werden, weil der anfängliche Theil der Schaubilder (siehe Fig. 1P, Taf. VII, VIII und Fig. 2, Taf. XIX) nicht klar genug ist. Was dort unmöglich war, kann mit Hilfe der Formel 1. erreicht werden.

Es ergab sich durch diese Berechnung, dass

„ Zinn „ „ Zink „

0-91

bei Blei der Werth von Nf₀ = 073 ist anstatt 0-9 ,, X/₀ = 175 „

1-5.

* X/o = 4-6    „

Mit Hilfe der Formel 1. habe ich auch den Werth von 2p für jedes untersuchte Material bestimmt, und theile ich diese Werthe in nachfolgender Tabelle mit, in welcher ich auch die berechneten Werthe der anfänglichen Härte oder Elastizitätsgrenze (Xy₀), der maximalen Härte (Nfmax), und schliesslich die Rechnungswerthe der Zähigkeit, und die mittelst Planimeter bestimmten Werthe der Fläche des Schaubildes der inneren Reibung aufnahm, um über die Brauchbarkeit der Formel 1. und 2. einen Ueber-blick geben zu können.

Benennung

des

2p

Nf₀

Wmax

Versuchsmaterials

amkg

Plan. W. Ißechn.-W.

Blei..........

Zinn..........

Aluminium.....;    .

Kupfer.........

Prima - Kesselblech.....

Secunda-Kesselblech .    .    .    .

Messingblech von 18 mm Stärke Messingblech von 15 mm Stärke Messingblech von 12 mm Stärke

Deltametall.......

Zink..........

Graues Gusseisen.....

300

900

1800

1000

600

1550

800

5000

1800

3000

oooooooooooo

ifc*- M ifi tO M tO W H

to^cowaoiaooMCOMo §' §' V 5* 2*

*    05 m oi m m oi Ci oi oi m n n

i' i‘ r r i' r i' s* s;

Um über die Abstufung einzelner charakteristischen Eigenschaften einen Ueberblick geben zu können, habe ich nachfolgende vier Tabellen zusammengestellt.

Abstufung der Härte.

Abstufung der Elasticitätsgrenze.

Benennung

des Versuchsmaterials

Nf₀

Benennung

des Versuchsmaterials

Kupfer........

Zink (bei Druck) ....

Aluminium......

Zinn.........

Blei.........

49

43'G

26’₆

26

23'G

18g3

15

H-4

4-n

3 01

1¹15

0¹7:

Graues Gusseisen (bei Druck) . Messingblech 12 mm (bei Druck)

Deltametall.......

Messingblech 15 mm (bei Druck) Secunda-Kesselblech .    .    .    .

Prima - Kesselblech.....

Messingblech 18 mm (bei Druck)

Kupfer.........

Zink (bei Druck).....

Aluminium.......

Zinn..........

Blei..........

66'3

57'i

49's

48

39-.₂

36

27

26-₄

16-e

10-₇

2U

Abstufung der Zähigkeit.¹)

Abstufung des Arbeitsmoduls.

mlcg pro cm³

4mk°

^piro kg

Benennung

des Versuchsmaterials

Benennung

des Versuchsmaterials

Messingblech 15 mm (bei Druck) Messingblech 12 mm (bei Druck) Secunda-Kesselblech .    .    .    .

Graues Gusseisen (bei Druck) . Messingblech 18 mm (bei Druck)

Deltametall.......

Prima - Kesselblech.....

Kupfer.........

Aluminium.......

CA t-h H 1—1

ooo

Messingblech 15 mm

O CO 10 10 10 10

700

090

050

500

480

480

290

Zink (bei Druck) .    .

630

Blei

992

Zinn

420

318

Graues Gusseisen (bei Druck) Secunda - Kesselblech .    .    .

Prima-Kesselblech .... Messingblech 18 mm (bei Druc

Deltametall......

Aluminium.......

Kupfer........

Zink (bei Druck) ....

Zinn.........

Blei.........

Wir wollen nun auf die Bestimmung der Kraft- und Arbeitsformel der Beanspruchungen ersten und zweiten Grades übergehen.

¹

Die Zähigkeit ist nicht zu verwechseln mit der Bildsamkeit. So lange das Material Zähigkeit besitzt, widersteht die ganze Construction den dynamischen Beanspruchungen, wenn aber das Material nur Bildsamkeit besitzt, erleidet die Construction örtliche Deformation.

36. Formel der Zugbeanspruchung.

In Punkt 12, Seite 19 haben wir für die Zugkraft bei längeren Stäben aus zähem Material folgende Formel erhalten:

i+^i

Wenn wir in dieser anstatt JV/j dessen analytische Formel 1. sub-stitniren, erhalten wir für die Zugkraft folgende Formel:

5,

5a.

PX=J.

und für die maximale Zugkraft

P — /I.

-¹ max —

Formel 5. ist also die Gleichung jener Curven, welche in den Fig. 1 der Taf. VII—XIX mit P bezeichnet sind.

Um den Werth der Flächen dieser Schaubilder, d. h. die Arbeit der Zugkraft zu erhalten, müssen wir vorerst deren differentialen Werth bilden, der sich ergiebt, wenn wir die bei 'kl = x entsprechende Zugkraft mit dem differentialen Werth des Weges multipliciren. Da aber der Weg nach Seite 19 s = Xh ist, so wird

ds = h ■ dh = h-dx

sein, folglich

da = Px ■ ds = J •

Wo + i'2px

lPx

• h ■ dx.

Hieraus ergiebt sich der ganze Werth der Fläche, wenn man obigen Ausdruck zwischen den bestimmten Grenzen von x = 0 bis x = integrirt. Es ist also:

dx

+i'%p

ix

a~Jh[Nfyi+x Die Werthe der hier vorkommenden Integrale sind:

dx .

dx

und wenn

₀J 1 Px

= ln (1 + AÄ) = 2-3 lg (1 + X),

genommen wird, so ist

o / v2dU

ix = y x = y2 dx = 2 y dy

ix

/ 1 Px

o'

dx =

= 2 \y — arc tg yf* = 2 ( jx

— arc

tg ix)p =j

= 2 (]/4 —

% /**)•

Diese Werthe substituirt, erhalten wir für die Zugarbeit bis zur maximalen Zugkraft folgende Formel:

a"ts =    • /ira 0% ■ 2-3 lg (1 + LJ + 2 i2p dh -

arc

arc

tg/X)] • • 6.

in welcher

arc

tg /X = arc a° = -~r ■ a und tg a = }X ist. loU

Diese Formel ergiebt die Zugsarbeit in mkg, wenn man A in mm2 und h in Metern nimmt.

Um die Richtigkeit der Formel 6. beurtheilen zu können, habe ich in nachfolgender Tabelle sowohl die Rechnungs- als auch die planimetri-schen Werthe zusammengestellt.

Benennung

des

yinm²

hm

Versuch smaterials

am*S

Planimetr. Rechnungs-Werthe Werthe

Blei .........

Zinn.........

Aluminium......

Kupfer........

Prima -Kesselblech .    .    .    .

Secuuda-Kesselblech .    . .

Messing von 18 mm Stärke . Messing von 15 mm Stärke . Messing von 12 mm Stärke . Deltametall......

00 00 Ci Ci ^8

0‘l5

15

CO CG CG CG

27’e

21o

t>- CO CO CO CO

543

37-3

37-

40

38 5

07

0 182 0'l035

rH CO

t>- CG O CO

o    o

oo    co

1’076

12«

577

316

07

07

07

07

oo o E!

"■    «■ g-

7-oi

14-09

6-7

28-₄

37. Formeln der DruckFeanspruchung.

In Punkt 23, Seite 57 haben wir für die Druckkraft, im Falle

ö > 0-5 D tg ß

ist, bei der Zähigkeit die Formel: und bei der Bildsamkeit: erhalten.

Wenn wir in diesen Formeln anstatt Nf\ und Nfmax den Werth der Formel 1. substituiren, erhalten wir die analytischen Formeln der Druckkraft. Diese ist also bei der Zähigkeit, so lange    ist:

7.

Ql = 4 (14- KY (Nf„ + Prh) tg ß

an der Grenze der Zähigkeit:

7 a.

Q.<= 4(1 + KY(Nf„ + ppK) tgß

und bei der Bildsamkeit, wo    ist:

8.

Q = J(l + ^(Nf₀ + f2ph)^ß Die Formeln 7. und 8. sind die Gleichungen jener Curven der Druckkraft, die in Fig. 4 der Taf. VII—XIX mit Q bezeichnet sind.

Um die Druckarbeit zu gewinnen, müssen wir vorerst deren differentialen Werth bilden.

Da im Schaubilde der Druckkraft der Weg, d. h. die Abscisse die Verminderung der Höhe bedeutet, d. h.

s = d — dj = d — x.

so wird dessen differentiale Werth

ds = — dx sein.

Nachdem aber in den Kraftformeln (7. und 8.) die Yariable nicht d, sondern X ist, so müssen wir die Kraftformeln so umändern, dass auch in diesen die Yariable d sei.

Aus der Beständigkeit des Yolumens folgt, dass z/d = J₁ö₁ =

hieraus ergiebt sich, dass

9.

und

"o kr

— 1 ist

9a.

Diese Werthe in Formeln 7. und 8. substituirt, erhalten wir für die Druckkraft bei der Zähigkeit die Formel:

Qi-

z/d

tgß .... 7b.

und bei der Bildsamkeit

Qi-

Jd

*i

Nf₀ +

tgß .... 8b.

wo dj = x zu nehmen ist.

Mit Hilfe dieser Formel können wir den differentialen Werth der Druckarbeit schon ausdrücken.

Dieser ist bei der Zähigkeit:

dx

da = Qx ds = — z/ d tg ß Nf₀

Wenn wir diesen Ausdruck zwischen den bestimmten Grenzen von x = d bis x = dt integriren, erhalten wir die Formel der gesammten Druckarbeit bei der Zähigkeit:

a = -Jötgß Nf₀

yy

d    S

dx

Diese Formel kann man auch folgendermassen schreiben:

a = + z/ d tg ß Nf₀

h/n

dx

Die Werthe der hier vorkommenden Integrale sind:

und wenn

yi->

und

d dx

= ²vdy,

beziehungsweise

dx =

² ydy

23 dy -}

?/3

so ist

/D

— 1-

dx

dy,

ferner wenn noch

so wird

V»-i-

y — 1 = r-’2 y = v² + 1 dy = 2 v dv,

/V>

dx

a?

4 / —

J 1+v²

dv = 4

v — arc tg v

#>

/T

i /1/

1 — arc tg 1/ r

0.I

Diese Werthe der bestimmten Integrale endlich substituirt, erhalten wir für die Druckarbeit bei der Zähigkeit, so lange d₁ < 3% ist, folgende Formel:

mm²

■dmtgß \Nf„-2-3lg Öi- +

— arc tg

DR

. . 10.

Nachdem in vielen Fällen die Anwendung der Formeln einfacher

j—. die entsprechenden Werthe von l stehen, so

können wir die Formel 10. mit Hilfe der Formel 9. und 9 a. folgendermassen um ändern:

amkg = z/mm3 • d'mtg ß ■ |>Y/₀ • 2-3 lg (1 +    + 4 3/2p {\/\

worin l

ist, wenn darin anstatt

arc

tgWJ] 11.

lz ist; folglich wird die Druckarbeit bis zur Grenze der Zähigkeit, da = lx ist, durch folgende Formel ausgedrückt sein:

amis - A

mm³

• <T tg ß ■ [NA ■ 2-3 lg (1 +    + 41/2® (V4 — arc tg V4)] Ha.

Die Formeln 10., 11., 11a. geben die Werthe der Flächen jener Schaubilder, die in Fig. 4 der Taf. VII—XIX mit Q bezeichnet sind.

Um die Richtigkeit und Anwendbarkeit dieser Formeln beurtheilen zu können, habe ich in nachfolgender Tabelle die Rechnungs- und plani-metrischen Werthe neben einander gereiht.

Benennung

des

|DH1!

(?m

Yersuchsmaterials

Planimetr. Rechnungs-Werthe Werthe

Blei........

Zinn........

Kupfer von 18 mm Stärke

114-₃

0 00119

o-₂₅

47

¹⁻49

113

25-07

24-u

25*25

24*98

00121 ^ 00806 0 00509

00812 0 00809

0-45

0*25

0*20

0*15

0*15

2-64

1 33

2-

465

269

1 ₂₇

24

Messing von    18    mm    Stärke

98

25*₃₄

25*34

25*₅

00508 0 00802

00802 0 00811

0*15

0*14

0*24

0*29

1-7

3*4

2*54

2*63

l65

1 85

8*34

4*75

4*96

4-84

4-

^ 66

25*52

25*51

In Vorstehendem haben wir die Druckarbeit bei Zähigkeit des Materials bestimmt. Wir wollen nun zur Bestimmung derjenigen Druckarbeit übergehen, die bei Bildsamkeit des Materials entsteht. Den differentialen Werth dieser erhalten wir, wenn wir die Kraft nach Formel 8b. mit dem differentialen Werth des Weges ds = *—dx multipliciren.

Es ist also

Deltametall

00813 0 0081

0*23

0 132

2*75

da = —Jdtgß Nf₀ +

D-Cs-OItt

woraus der gesammte Werth sich ergiebt, wenn wir diese Formel zwischen den bestimmten Grenzen von x = d~ bis x = integriren. Es wird also:

a = -JÖ tgß Nf₀ +

= + V ö tg ß Nf₀ -f-

Den Werth des Integrals

= ln

►SM»⁰⁹

= 2*3 lg

substituirt, erhalten wir die Formel jener Druckarbeit, welche bei Bildsamkeit des Materials entsteht:

amls = A

JV/o + V2l>j/f

— 1 2*3 lg

«■o kr

. . 12.

oder

I+M²

1 + J

.    . 12a.

Materialien der V. Gruppe besitzen Zähigkeit und Bildsamkeit. Die gesannnte Druckarbeit besteht also bei diesen Materialien aus zwei Theilen und zwar aus jenen, welche die Formel 11a. und 12a. darstellen, weshalb man die Werthe dieser Formeln addiren muss.

Es ist also

= Amm’ rtgß Nf„ 2-3 lg (1 + 4)-' + 4 i2p OK

— arc

tg 4-

.    .    13.

+ (Nf„ -f iffQ 2-3 lg U+A)

die Formel der gesammten Druckarbeit, wenn > 1% ist, d. h. wenn die Deformation über die Grenze der Zähigkeit geschritten ist.

Um die Anwendbarkeit und Richtigkeit dieser Formel beurtheilen zu können, habe ich in nachfolgender Tabelle abermals die Rechnungs- und planimetrischen Werthe der Druckarbeit bei verschiedenen Materialien zusammengestellt.

Benennung

des

|mm³

<Fn

amk"

Yersuchsmaterials

Planimetr. Rechnungs -Werthe Werthe

Kupfer von 18 mm Stärke .    .

Prima-Kesselblech......

Secunda-Kesselblech .    . . .

Messingblech von 18 mm Stärke

»    n    n n

Deltametall

popp p O

.£ .5; .S .8 CO IO lÖ CO CO

W O ^ Ol w

■** * cn * m    co -vi *

co oo

Betrachten wir ferner die bildsamen, d. h. jene Materialien, welche der II. Gruppe angehören.

Bei diesen Materialien ist Xx = 0, also d* = d. Uni die Formel der gesammten Druckarbeit der bildsamen Materialien zu erhalten, müssen wir diese Werthe in Formel 12. substituiren, wodurch

m’ömtgß Nf₀ 2-3 lg 4

amks = A

wird,

14.

Für jene Fälle, wo d < 0-5 Dtgß ist und wo die Kraftformel also durch Q± = J (lNfttg ß • Zt ausgedrückt ist, sind die analytischen Formeln zwar auf dieselbe Weise ableitbar, doch wollen wir diese Ableitung in Nachfolgendem unterlassen, weil die graphische Methode in diesen Fällen verwendbarer ist. In den analytischen Formeln kommen nämlich, zufolge des Factors Z, sehr viele Glieder vor, was die Anwendung derselben erschwert.

38. Formeln der Sclieerkraft und deren Arbeit bei Sclieeren mit parallelen Schneiden.

Im Punkt 26 Seite 68 haben wir bei den graphischen Verfahren für die maximale Sclieerkraft bei parallelen Schneiden (cp = 0) und rechtwinkeligem Schneidewinkel (a = 90) folgende Formel erhalten:

Qmnx —

d-b

oder im Allgemeinen

l+l

V/"nax ' Sin ß

Qi =

d-b

Nft sin ß.

Wenn wir hier anstatt Nf dessen analytischen Werth (Formel 1.) sub-stituiren, erhalten wir für die Sclieerkraft folgende analytische Formel:

0i =

d-b

(W/ö+y-2j»A₁)sin^ . .

.    .    15.

und für die maximale Sclieerkraft:

Qmax —

d-b

(Nf₀+^2phx) sin ß .    .

. . 16.

Bezüglich der Arbeit sei bemerkt, dass diese bei Materialien V. Gruppe aus zwei Theilen besteht, nämlich aus dem der Zähigkeit und aus jenem der Bildsamkeit entsprechenden.

Den differentialen Werth jenes Theiles, welcher der Zähigkeit entspricht, erhalten wir, wenn wir die Kraftformel 15. mit dem differentialen Werthe des Weges multipliciren. Die Formel des Weges (nach Seite 70) ist:

somit

s₁ = dctgß- 0611    = d ctg/?- 0*611 (/x

folglich:

da- =

dst = d ctg ß - 0*611

d-b

1 +x

da- — d²b cos/?- 0 3055 Nf₀

1    dx

²    ~jx

(Nfo+i2px)sinß-dctgß 1 dx

f t*P

dx

(1 +x)^x

]/X

^x dx

(i+x)ix

da- = d²b cos/?- 0*3055 Nf₀

dx

-+/2p

dx

1 +x\

X'b -f- X3/'

Hieraus erhalten wir die gesammte Arbeit, wenn wir diesen Ausdruck zwischen den bestimmten Grenzen von x ' = 0 bis x = 4 integriren.

Es ist also

dx

Die Werthe der hier verkommenden Integrale sind, wenn

x¹!* = y x = y2 dx = 2 y dy

genommen wird

o'⁷

und

„4

dx

2 ydy

2/ + 2/³

²

<r

,4

dy

14

1+2/²

= 2 arc tg y

= 2 arc tg /4

dx

— ln (1 + 4) — 2 * 3 lg (1 —J— 4)-

1 + «

Durch Substitution dieser ergiebt sich als der Zähigkeit entsprechende Formel der Scheerarbeit:

= dra“²b cosß• 0-3055 [Nf₀ • 2 arc tg /4 + /2p • 2-3 lg(1 + 4)j .    17.

Um weiterhin den der Bildsamkeit entsprechenden Theil der Scheerarbeit zu erlangen, müssen wir vorerst die Kraftformel bestimmen.

Den Werth der maximalen Scheerkraft finden wir in Formel 16. ausgedrückt. Dieser Werth vermindert sich jedoch, weil der auf Zug beanspruchte Querschnitt (siehe Fig. 6, Taf. XX) sich der bildsamen Dehnung entsprechend vermindert, folglich ist die gesuchte Kraftformel:

mkg

Qx =

db

(Nf₀ +/2 p 4) sin ß ....    16a.

(1+ 4) (1 + «)

Als Formel des gesammten Weges erhielten wir auf Seite 70:

6' = ö ctg ß • 0- 611 /4 + *(1 + 4), und für jenen, welcher der Zähigkeit entspricht

s%, = d ctg/? - 0-611/4-

Durch Subtraction dieser ergiebt sich jener Weg, welcher der Bildsamkeit entspricht:

Sb — S Sx — Ö ctg /?.- 0-611 [/4 + 3t (1 + 4) — /4]-Um dessen differentialen Werth zu erhalten, nehmen wir an, dass

/4 + 3t (14 4) ⁼ /4 + «(1 + 4) ⁼ /0 -j- x - c = /p

a + ca; == y cdx = dy.

sei, also dass: folglich

Es ist also

d (f'4 + x (1 + 4) = d (ip) = 4- • dy

cdx

ca;

1_    (1 + 4) dx

^ ^4 +«(1+4)

und

c/si = d• ctg/? - 0 611 il+M.

Li

dx

tK + «(l + 4)

Wenn wir Formel 16 a. mit dsb multipliciren, erhalten wir den differentialen Werth der Arbeit:

d(i}j —

db

(W/o + tepXJsinß-dctgß -0-611    +    .

dx

(1 + Xz) (1 -f- x) dcib = S²b cos ß • 0-3055 (Nf₀ -f-    ■

\Xz-\-x (1 + Ä*)

dx

(1 -f- x) ]/Xx -f- x (1 -f- A~)

Um den gesammten Werth dieser Arbeit zu erhalten, müssen wir diesen Ausdruck zwischen den bestimmten Grenzen von x = 0 bis x = x integriren.

Es ist also

dx

cib = d² b cos ß ■ 0-3055 (Nf₀ J- /2 p lx) f -    ,__

o' (l+x)]/lz-{-x(l + lz)

Nachdem aber

dx

dx

(1 J x) iX; + x (1 + X)

tXx H⁻x (1 -f-Xz) -j- x]/Xx -\~ x (l -j- Xz)

und wenn wir noch

beziehungsweise

iK + x (1 + X) =|/ö-fa:-c = y a + cx = ?/²,

= 2y dy

y² — ö

a; =

setzen, so ist

2 ydy ,

(l -f- x) ]/%x -j- x(l -f- X)

c(y+y-^ßv)

GM o

(c — a) + iß

• arc tg y

|4

= 2 [arc tg ilx + x (1 + X) — arc tg /X],

Je — a

folglich ist die Formel der Scheerarbeit für die Bildsamkeit des Materials:

— aj₀

a™kg = dmm“ bm cos ß ■ 0-3055 (Nf₀ -f- \!2p X) •

. . 18.

• 2 [arctgfX-Fx(l+X)— arctg/X] • •

Die gesammte Scheerarbeit bei Materialien Y. Gruppe erhalten wir nun, wenn wir jene zwei Theile der Scheerarbeit, welche Formeln 17. und 18. darstellen, addiren, wodurch wir folgende Formel erhalten :

«mkg — dmm3bm cos ß 0-3055 [Nf₀ ■ 2 arc tg]/Xx -\-i2p- 2-3 lg (1 -f X) +

— arc

tgl®] • • 19.

+ 2 (Y/o + )/2 p X) • (arc tg \'lx + x(l + X)

Die Materialien der Y. Gruppe können durch Beanspruchungen spröde gemacht werden. In diesem Zustande besitzen dieselben keine Zähigkeit

0), sondern nur Bildsamkeit. Die gesammte Scheerarbeit hierfür

mehr (kx

ergiebt sich aus Formel 18., wenn /L = 0 gesetzt wird, es wird also:

ab

mkg

= dmm2 bm cos ß ■ 0-3055 Nfmgx • 2 arc tg l/x ...    20.

Bei Ableitung der Formel der Scheerkraft haben wir vorausgesetzt, dass der Schneidewinkel a = 90⁰ sei.

Im Weiteren betrachten wir noch jenen Fall, wo die parallelen Schneiden einen spitzen Schneidewinkel haben, wenn also a<90° ist.

Bei dem graphischen Verfahren haben wir auf S. 73 gesehen, dass in diesem Falle die Kraftformel sich von jener, welche den rechtwinkeligen Schneiden entspricht, nur dadurch unterscheidet, dass darin auch der

vorkommt; bezüglich des Weges hingegen fanden wir,

Factor:

sin- a

dass dieser in beiden Fällen gleich ist, weshalb die gesammte Scheerarbeit bei Scheeren mit spitzem Schneidewinkel bei zähen und bildsamen Materialien durch folgende Formel gegeben ist:

mkg A Ci

■ dmm2bm cos ß • 0'3055 [Nf₀ • 2

2 (V/q ~i~ i%p ^x) (arc fg    (1 ~f"

ferner bei spröde gemachten, aber bildsamen Materialien durch:

mkg

a =

sin² a

arc

tg + t%p • 2'3 lg (1 -j- Xx) -f-

tgl/Ö], .    .    21.

— arc

■ dmm'bm cos/?- 0⁻3055 A/’max- 2arc tg/x .    .    22.

sin² a

dargestellt ist, worin A = 1 — 2 ctg/9 ctg« ist.

Um wieder die Anwendbarkeit und Richtigkeit dieser Formeln beur-theilen zu können, habe ich in nachfolgender Tabelle sowohl den Recli-nungs- als auch den planimetrisclien Werth der Scheerarbeit verschiedener Materialien zusammengestellt.

Benennung

des

cvinm

IA¹

amks

Versuchsmaterials

Planimetr. Rechnungs-Werthe Werthe

Prima -Kesselblech

18‘i

Oe

352

15

0*o

ls 1

12*x

Durch Beanspruchung spröde gemachtes Prima-Kesselblech Secunda-Kesselblech .    .    .    .

0*

v 0487

0-84

0-84

0*84

66*5

65

61

52

41

14V

18i

o-

w 0334

0-84

46'₅

46

0*o

12h

0*4

95

112

0*o

483

0\

42

50

Durch Beanspruchung spröde gemachtes Secunda-Kesselblech .

Secunda-Kesselblech.....

Kupfer.........

15-₇

10*5

17*o

12

0*0

323

0*4

56

53

o-

u 0338

0*

v 0543

0*4

O-o,

26

52

24'e

53

0*o

,vi:i

Deltametall Zinn .    .

12h

0«

22h

25%

0*o

18

0*0

862

4*5«

31%

8*76

29-3

7*75

Bezüglich der Werthe von % sei bemerkt, dass diese für Secunda-Kesselbleck und Kupfer beim Scheeren nicht bestimmt wurden, weshalb ich diese hier mittelst der Formeln 21. und 22. berechnet habe.

Nachdem die Rechnungswerte mit den planimetrischen Werthen sehr gut übereinstimmen, so dürften wir hieraus auf die Richtigkeit und Verwendbarkeit des Principes der inneren Reibung und der Kraftvermittlung als auch auf die Richtigkeit der analytischen Formeln schliessen.

Durch das analytische Verfahren sind wir nicht nur in der Lage, das Gesetz der Veränderlichkeit der Zug- und Druckkräfte zu erkennen, die Grösse der Fläche des Schaubildes, d. h. den Werth der Arbeit im Voraus zu bestimmen, sondern auch die Beanspruchungen höherer Grade, als Biegen, Winden, Spanabnehmen u. s. w. zu erörtern, da wir hierbei die bis jetzt gewonnenen analytischen Formeln als Gr und-formel benutzen können.

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Fig. 1. Spiegeleisen. Mn 3%.

Fig. 2. Schalenguss (Hartguss). 0=3-1# S* = 0-67 P=0-3ß Mn = 0fl

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Fig. 3. Graues Roheisen.

Mn = O CW = 0-₀₁

(7= 3'₆ Ä* = 2-t

⁼ ^ *32

s = o-

033

Fig. 4. Graues Roheisen.

<Si = 1‘₆₄ Mn = 3-9 Cu = 0'₀₄

C=4

^ = o-₀₅

Ä = 0-

025

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Fig. 5. Ingot aus Martin-Stahl. C=l-15

Fig. 6. Raffinirter Martin - Stahl.

C= !•„

Fig. 7. Flusseisen, wenig gehämmert.

Fig. 8. Gut gehämmertes Schmiedeeisen.

(7 = 0‘₂₂    = Om Mn = 0₄₄

Cu = 0-1O2

P=0.05l Ä = 0-

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4=0*87

Masseinheiten bei Zug:

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Nf

3*58    3*0,

7*0    8*₈

1*

337

15*0

19*9

1 438

21*4

24*9

ro ro

CO O    t—¹    o to

H* ’ CO *    *    00 *    05*

CD CO

2*37

13*i

CO CO 05    05

to * c< * ci *

2*i

1 87

1*73

15*i

18*₇ 20*.

O

IO IO

C3I 05 Ol i—I

Für die Zugkraft......

Für den Weg der Zugkraft .    .

Pkg

s mm

bei Druck:

1 mm = 43-₂₅ kg 1:1

(D

<0

/5

7‘/',

Jio

, a7

Für die Druckkraft .    .

Für die innere Reibung Für den Werth von Z. Für den Durchmesser . Für den Querschnitt Für die Höhe .    .    .    .

Qkg

Nflt g

D mm J nun2 4 nun

1 mm — 43*₅₂ kg 10 mm = 1 kg 1 : 1

1 : 10 10 : 1

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tysß 18 ₇ y 0 ₅5, a. 0₁₇₄.

Tabelle zu Tafel VIII.

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Marken

der Theilpunkte

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12

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Kupferblech von 18 mm Stärke.

Tafel X.

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Kupferblech von 15 mm Stärke.

Tafel XI.

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Tafel XII.

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Für die Druckkraft . Für die innere Reibung Für den Durchmesser Für den Querschnitt . Für die Höhe .    .    .

Für den Werth von Z

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bei Zug:

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Prima Kesselbleeli.

Die Masseinheiten für Druck sind gleichwerthig mit jenen der Tafel XII. Für Zug sind es die folgenden: Zugkraft 1mm = 555 kg, Weg der Zugkraft: 1 : 1-₀₁.

Analyse: G-0-n°/„ Mn -„ 0-u‘/„ «-P-0'„,»7.-

Tafel XIII.

Marken

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Secumla Kesselblech.

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Tabelle zu Tafel XIV.

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75*

Seeniida Kesselblech.

Masseinheiten siehe Tafel XIII. — Analyse: C= 0-₁₄%, Mm = 0₅₈ %, Si = 9-₀₃₃ %, P-=0*on%.

Tafel XIV.

Marken

der Theilpunkte

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Messingblech von 18 nun Stärke. Q kg =

43*25 Q mm, tg/3 — r

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Tafel XV.

0 "r>r. 7 A = 0 ₂₁.

Messingblech von 18 mm Stärke.

Analyse: Cu = 62-1 %, Zn = 37-g %• Nfmx bei Zug = 24.

Marken

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Für den Weg der Zugkraft .    .

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Messingblech von 15 nun Stärke.

Q kg = 43-₂₂ Q mm, tg/5 = Du, y = 0-r>6, X = 0-,

Tabelle zu Tafel XVI.

Messingblech yon 15 nun Stärke.

Analyse: Cu — 67*₈₂ °/<n    — 31*₈₂ %•

Tafel XVI.

Marken

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Masseinheiten

bei Druck:

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Für die Druckkraft .    .

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Für den Querschnitt Für die Höhe .    .    .    .

Für den Werth von Z .

bei Zug:

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Für den Weg der Zugkraft .    .

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Messingblech von 10 nun Stärke, q kg = 43,₅ Q mm, tg ß = l-

Tabelle zu Tafel XVII.

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Messingblech yoh 12 mm Stärke.

Analyse: Cu = 67-₃₅ %. Zu — 32-₀₈ %.

Marken

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Masseinheiten

bei Druck:

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Für die Druckkraft .    .

Für die innere Reibung-Für den Durchmesser . Für den Querschnitt Für die Höhe .    .    .    .

Für den AYerth von Z .

Nf

D mm J mm2 <5 mm

bei Zug:

Für die Zugkraft......

Für den AYeg der Zugkraft .    .

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1 mm = 43 25 kg 1 mm — 1 kg 10 : 1

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1 mm = 43\,₅ kg

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Deltametall.

Q kg = 43-₂₅ Q mm,

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Deltametall.

Tafel XVIII.

Marken

der Thoilpunkte

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Dx mm .    .    .

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Nf (1 kg = 1 mm) .    . 23G

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Nf (lkg — 1 mm) (nach dem Ausglühen) .    .

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Nftg ß (nach dem Ausglühen) .    .

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Massein li eiten

bei Druck:

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Für die Druckkraft . Für die innere Reibung Für den Durchmesser Für den Querschnitt . Für die Höhe .    .    .

Für den Werth von Z

bei Zug:

Nf

1) mm z/ nun2 8 mm

1 mm = 43\,- kg 1 nun = 1 kg 10 : 1 1 : 1 10 : 1 1 : 1

Nf

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Nf/

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Q mm (Versuchswerthe) 19⁻7 Qmm (Rechn.-Werthe) 19⁻c

39'₃    49-₈    56'₂

34-₅    49 •„    58⁻₀

Für die Zugkraft......

Für den Weg der Zugkraft .    .

s mm

1 mm = 43'₂₅ kg 1 : 1

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Zink, tg ß =

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43\₂₅ Q mm

^ 20-₅₅.

Tabelle zu Tafel XIX.

Graues Gusseisen, tg ß 21-

A = 0-lo.

Zink.

Masseinheiten:

Für den Durchmesser . Für den Querschnitt .    .

Für die Höhe . . . .

10: 2 1 : 10 10:1

Graues Gusseisen.

Masseinheiten:

Für den Durchmesser .    .

Für den Querschnitt .    .    .

Für die Höhe.....

10:1

10:1

Marken

der Theilpunkte

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Nf (1 kg = 1 mm)

Nf tgß.....

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