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RESULTATE

AUS DER

THEORIE DES BRÜCKENBAUS

UND DEREN ANWENDUNG ERLÄUTERT DURCH

BEISPIELE

VON

Professor R KROHN,

DOCENT AN DER KÖNIGL. TECHNISCHEN HOCHSCHULE ZU AACHEN.

ZWEITER THEIL.

BOGEN BRÜCKEN.

MIT 147 IN DEN TEXT GEDRUCKTEN HOLZSCHNITTEN UND

15 LITHOGR.

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BAUMGÄRTNER’S VERLAGSBUCHHANDLUNG.

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Vorwort.

Der vorliegende zweite Theil der „Resultate aus der Theorie des Brückenbaues“ umfasst das Gebiet der Bogenbrticken.

Die Grundsätze, welche für mich bei dieser Arbeit maassgebend waren, sind natürlich im Allgemeinen die nämlichen wie die, welche mich bei Bearbeitung des ersten Theiles leiteten und welche in der Vorrede zu diesem ausgesprochen sind. Auch bei der Zusammenstellung der Resultate aus der Theorie der Bogenbrücken habe ich versucht, die ableitenden Rechnungen der in diesem Buche gegebenen Formeln ihrem Gedankengange nach so weit in kurzen Worten zu scizziren, als zur verständnisvollen Anwendung der Resultate erforderlich ist. In ausführlich durchgerechneten Beispielen ist die Benutzung der allgemeinen Regeln und Gleichungen, auf welche an den betreffenden Stellen immer hingewiesen ist, gezeigt.

Das Material zur Berechnung von Bogenbrücken habe ich bei Weitem nicht so erschöpfend durchgearbeitet vorgefunden, als die im ersten Bande behandelte Theorie der Balkenträger. Eine einheitliche Fassung des ganzen Stoffes wird ferner dadurch erschwert, dass für manche Aufgaben die verschiedenartigsten Lösungen existiren, ohne dass bisher die Frage nach der empfehlenswerthesten Behandlungsweise genügend beantwortet wäre. Es erscheint mir deshalb geboten, hier in der Vorrede mit einigen Worten anzugeben, welche Methoden ich im vorliegenden Buche verwendet habe und zu erläutern, weshalb diese Methoden meiner Ansicht nach den Vorzug verdienen.

Zunächst muss ich erwähnen, dass alle Lösungen, welche die graphische Statik bietet, leider praktisch nicht anwendbar sind, da die Genauigkeit derselben für die vorliegenden Aufgaben durchaus unzureichend ist. Die Differenzen zwischen den Ordi-naten der Bogenaxe und Stützlinie, auf deren Ermittlung»' es fast immer ankommt, sind im Verhältniss zu den übrigen Dimensionen so klein, dass selbst bei bedeutender Höhenverzerrung brauchbare Resultate kaum zu erzielen sind. Obgleich gerade bei der Berechnung von Bogenbrücken die graphischen Methoden sich den analytischen gegenüber durch Einfachheit auszeichnen, musste ich daher, wenn ich nicht rein akademische Lösungen geben wollte, durchweg die analytischen Methoden verwenden.

Als Einleitung ist die Biegungstheorie gekrümmter Balken in bekannter Weise kurz gegeben.

In dem folgenden grösseren Abschnitte A sind die Aufgaben behandelt: aus den gegebenen Lasten die Widerlagerreactionen und mit Hülfe dieser Werthe für einen beliebigen Bogenquerschnitt das Moment der äusseren Kräfte bezüglich der Schwerpunktsaxe, die Normalkraft und die Transversalkraft zu ermitteln.

Die Lösungen gestalten sich eleganter, wenn man statt des Momentes.für den Axpunkt und der Normalkraft die Momente bezüglich der Kernpunkte des Querschnitts bestimmt; die Anwendung jedoch zur Berechnung vollwandiger Träger oder Gewölbe — und fast ausschliesslich für diese haben die in Rede stehenden Theorien Bedeutung — wird dann weniger bequem. Die Lage der Bogenaxe ist von vorne herein gegeben; die spätere Dimensionirung des Bogens gestaltet sich stets derart, dass die Axe nur wenig verschoben wird, lieber die Lage der Kernlinien hingegen kann zu Anfang der Berechnung kaum eine auch nur angenähert zutreffende Annahme gemacht werden. Weicht nun die schliesslich sich ergebende Lage der Kernlinien wesentlich von derjenigen ab, für welche die Berechnung durchgeführt wurde, so ist man genöthigt, die ganzen Operationen zu wiederholen. Ich habe in Rücksicht hierauf die Kernlinien nur zur Bestimmung der ungünstigsten Belastungsart benutzt. Da eine geringe Verschiebung der Belastungsscheiden fast ohne Einfluss auf die Grösse der Spannungen ist, so wird man auf dem im vorliegenden Buche eingeschlagenen Wege jedenfalls mit einer einmaligen Durchrechnung eine genügende Annäherung erhalten.

Ferner habe ich in diesem Abschnitte allgemein die Annahme gemacht, dass ein durch den Bogen senkrecht zur Axe geführter Querschnitt die Lasten in der nämlichen Weise trenne, wie eine durch den Axpunkt des Schnittes gelegte Vertikale. Bei Berechnung der Widerlagerreactionen ist man genöthigt, diese oder eine ähnliche Annahme zu machen, um überhaupt zum Ziele zu gelangen. Nachdem die Reactionen bestimmt sind, könnten allerdings die weiteren Ermittlungen — ohne dass sich dieselben dadurch wesentlich unbequemer gestalten würden — unter einer Annahme bezüglich der Lastentrennung durchgeführt werden, welche der Wirklichkeit besser entspricht. Ich habe aber gefunden, dass man die grössere Genauigkeit erzielt, wenn man die zuvor bei Bestimmung der Reactionen gemachte Voraussetzung nun auch consequent für alle weiteren Rechnungen beibehält.

Es ist zuerst der Bogen mit 3 Gelenken behandelt. Die ungünstigsten Stellungen eines Systems von Einzellasten werden mit Hülfe von Ungleichungen ermittelt. Weshalb ich hier und im ganzen Abschnitte A nicht die Methode der Influenzlinien* benutzt habe, soll weiter unten erörtert werden.

Die Ersetzung eines Systems von Einzellasten durch eine, ihrem spec. Werthe nach constante, gleichmässig vertheilte Belastung liefert bekanntlich bei Bogenbrücken recht ungenügende Resultate. Eine bessere Annäherung wird erzielt, wenn man die Grösse der gleichmässig vertheilten Last nicht von der Spannweite des Bogens, sondern von der Länge der belasteten Strecke abhängig macht. Letztere Methode ist deshalb durchweg angewendet.

Die folgenden Paragraphen behandeln den Bogen mit 2 Gelenken. Die Ermittlung der Kämpferreactionen lässt sich bekanntlich nur für Bogen mit parabolisch gekrümmter Axe mittelst bequemer Formeln durchführen. Schon für Kreisbogen werden die exacten Gleichungen sehr unhandlich. Ich habe deshalb im § 9 die genauen analytischen Ausdrücke für eine parabolische Axe gegeben, für alle anderen Bogen jedoch eine Näherungsmethode auf Grund der Simpson’schen Regel entwickelt, welche vollständig genügend gute Resultate liefert, den Vorzug grösster Allgemeinheit hat und durch welche jene langen, die Theorie der Bogenbrücken so ungeniessbar machenden Formeln vermieden werden. Die ungünstigsten Belastungen durch eine gleichmässig vertheilte mobile Last sind mit Hülfe der Kämpferdrucklinie bestimmt. Die ungünstigste Stellung eines Systems von Einzellasten wird angenähert in bekannter Weise ermittelt.

Für den Bogen ohne Gelenk sind die zur Bestimmung der Reactionen dienenden Formeln noch durch eine besondere Annahme über die Lage der -X-Axe (s. § 14) wesentlich vereinfacht. Auch hier werden die Kämpferdrücke, falls die Bogenaxe nicht nach einer Parabel gekrümmt ist, mittelst der Simpson’schen Regel berechnet. Die ungünstigsten Belastungen sind mit Hülfe der Kämpferdrucklinie und der Um-hüllungscurve bestimmt.

Im zweiten Abschnitte B werden die inneren Spannungen und erforderlichen Querschnitte der Träger ermittelt.

Es hat sich in den letzten Jahren mehr und mehr die Ansicht Bahn gebrochen, dass eine rationelle Berechnung der Gewölbe auf Grund der Elasticitätstheorie erfolgen muss. Im § 21 ist die Methode gezeigt, nach welcher mit Hülfe der im Abschnitte A ermittelten Momente und Normalkräfte die Spannungen im Gewölbe untersucht werden können.

Sodann sind im § 22 Regeln und Formeln zur Berechnung von Blechbogen zusammengestellt. Die Momente und Normalkräfte werden zunächst reducirt, um anstatt der nach den Wöhler’schen Versuchen als veränderlich anzunehmenden zulässigen spec. Spannung einen constanten mittleren Werth in die Rechnung einführen zu können. Die Gleichungen, welche zur Bestimmung der Querschnittsdimensionen dienen, sind allerdings ziemlich weitläufig, haben jedoch den bisher bekannten Formeln gegenüber den Vorzug, direct brauchbare Resultate zu liefern, da in denselben alle Voraussetzungen Uber die Lage der Bogenaxe oder der Kernlinien vermieden sind.

Der folgende Abschnitt: „Fachwerkbogen“ ist wohl der wichtigste Theil des Buches. Dementsprechend bezieht sich auch die grössere Anzahl der durchgerechneten Beispiele auf diesen Abschnitt.

Für die Ermittlung der Reactionen. bei statisch unbestimmten Fachwerkbogen, sowie für die Ermittlung der Maximal-Stabspannungen sind in den letzten Jahren Methoden entwickelt worden, welche den Vorzug grosser Uebersichtlichkeit und Allgemeinheit haben. Die Bestimmung der Reactionen kann auf Grund der Deformation der einzelnen Fachwerkstäbe und die Ermittlung der Stabspannungen mit Hülfe der Influenzlinien durchgeführt werden. Beide Methoden sind jedoch äusserst

zeitraubend. Ich bin allerdings der Ansicht, dass es im Allgemeinen bei Aufstellung eines Brückenprojects nicht von Wichtigkeit ist, ob man etwas mehr oder weniger zu rechnen hat. Da jedoch obengenannte Methoden einen Mehraufwand an Zeit erfordern, welcher nicht nach Stunden, sondern nach Wochen zu bemessen ist, so glaubte ich denn doch, die Anwendung derselben auf diejenigen Fälle beschränken zu sollen, in denen andere Behandlungsweisen nicht zum Ziele führen.

Betreffs Berechnung der Kämpferreactionen habe ich deshalb die statisch unbestimmten Fachwerkbogen in solche „mit ausgesprochener Axenrichtung“ (Bogen mit parallelen Gurtungen, sichelförmige Bogen, etc.) und in „Bogen allgemeinster Formu (Bogen mit einer unteren gekrümmten und oberen horizontalen Gurtung, etc.) eingetheilt. Für erstere wird die Bestimmung der Reactionen entsprechend den im Abschnitte A gegebenen Methoden durchgeführt und nur für letztere ist, da hier über die Lage der Axe von vornherein keine voraussichtlich genügend zutreffende Annahme gemacht werden kann, die Ermittlung der Kämpferdrücke auf Grund der Deformation der einzelnen Fachwerkstäbe vorgenommen.

Zur Bestimmung der Stabspannungen habe ich die Influenzlinien nur bei statisch unbestimmten Bogenträgern, falls die mobile Belastung aus einem System von Einzellasten besteht, verwendet, da in diesem Falle die ungünstigsten Stellungen des Systems nicht wohl auf andere Weise gefunden werden können. Bei Fach werkbogen mit 3 Gelenken sind die ungünstigsten Zugstellungen mit Hülfe von Ungleichungen ermittelt, während bei gleichmässig vertheilter mobiler Last die Belastungsscheiden allgemein mittelst der Kämpferdrucklinie, event. der Umhüllungscurven bestimmt sind.

Zu bemerken ist noch, dass bei Bogen mit versteiften Zwickeln auf ungleiche Erwärmung der beiden Gurte Rücksicht genommen ist. Für Bogen, deren Obergurt nicht direct unter der Fahrbahn liegt, ist solche ungleichmässige Erwärmung wohl nicht anzunehmen.

Schliesslich habe ich im § 45 einige Formeln für das Eigengewicht der Bogenbrücken aufgestellt.

Da ich wünschte, jedes Kapitel für sich verständlich zu machen, so mussten Definitionen etc. an manchen Stellen des Buches wiederholt werden.

Die Berechnung der Beispiele ist sehr ausführlich wiedergegeben, da ich glaube, dass gerade hierdurch das Buch in der Anwendung bequem und desshalb für den projectirenden Ingenieur werthvoll wird.

Aachen, Juli 1883.

R. Krohn.

Inhaltsv>erzeichniss.

ßogenhrückcn.

Bicgungstlieorie gekrümmter Balken.

Seite

403 403

Innere Spannungen .......................

Deformation eines Balkens von ursprünglich einfach gekrümmter Mittellinie .    .

A. Aeussere Kräfte und deren Functionen M, JST und T.

I. Bogen mit 3 Gelenken.

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403 403 403 403 403

Allgemeines...........................

Gleichmässig vertheiltc permanente Last................

Gleichmässig vertheilte mobile Last..................

Mobile Belastung durch ein System von Einzellasten............

Reduction eines Systems von Einzellasten auf eine gleichmässig vertheilte Last .    .

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403 403 S03 403 S03 403

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II. Bogen mit 2 Gelenken.

Allgemeines...................

Bestimmung der von der Form des Bogens abhängigen Grössen

Gleichmässig vertheilte permanente Last........

Gleichmässig vertheiltc mobile Last..........

Mobile Belastung durch ein System von Einzellasten .... Einfluss der Temperaturänderungen..........

19

21

23

23

25

28

403 403 «03 403 403 403 403

III. Bogen ohne Gelenk.

Allgemeines...................

Bestimmung der von der Form des Bogens abhängigen Grössen

Gleichmässig vertheilte permanente Last........

Ungleichmässig vertheilte permanente Last........

Gleichmässig vertheilte mobile Last.........'.

Mobile Belastung durch ein System von Einzellasten .    . .    .

Einfluss der Temperaturänderungen..........

29

32

35

35

36

39

. 41

B. Innere Kräfte und Quersclinittsbestimmungen.

§21. Gewölbe . § 22. Blechbogen

CO

§ 23. Allgemeines

Fachwerkbogen.

45

I. Bogen mit 3 Gelenken.

«03 «03 403 403

to tsS NS «NS ^ Ol w **

Allgemeines...............

Gleichmässig vertheilte permanente Last .    .    .    .

Gleichmässig vertheilte mobile Last......

Mobile Belastung durch ein System von Einzellasten

46

49

49

Hängebrücke mit einer Haupt- und zwei Nebenöffnungen.

Seite

500 500 500 500

GO CO O f* <M CS CO CO

Allgemeines...............

Gleichmässig vcrtheilte permanente Last ....

Gleichmässig vertheilte mobile Last......

Mobile Belastung durch ein System von Einzellasten

65

68

68

70

II. Bogen mit 2 Gelenken.

J. Bogen mit ausgesprochener Axenrichtung.

500 500 500 C0O 500 <W w 03 OJ co C5 ü¹ ^ W w

Allgemeines...............

Gleichmässig vertheilte permanente Last.....

Gleichmässig vertheilte mobile Last......

Mobile Belastung durch ein System von Einzellasten Einfluss der Temperaturänderungen ......

74

76

76

79

81

§ 37. Allgemeines

2. Bogen allgemeinster form.

83

III. Bogen ohne Gelenk.

1. Bogen mit ausgesprochener Axenrichtung.

QO 05 O h m' CO    ^ ff Tf

Allgemeines...............

Gleichmässig vertheilte permanente Last ....

Gleichmässig vertheilte mobile Last......

Mobile Belastung durch ein System von Einzellasten Einfluss der Temperaturänderungen......

‘86

89

89

92

92

2. Bogen allgemeinster Form.

§ 43. Allgemeines....................

§ 44. Doppeltes Fachwerk.................

§ 45. Eigengewichte...................

Zusammenstellung der allgemeinen Bezeichnungen

94

98

101

105

Beispiele.

Beispiel I. Gewölbe mit kreisbogenförmiger Axe von 20 m Spannweite........

Beispiel II. Parabolischer Blechbogen mit 2 Gelenken von 30 m Spannweite. — Mobile Belastung durch ein System von Einzellasten..............

Beispiel III. Fachwerkbogen von 60 m Spannweite mit kreisbogenförmiger Axe und 3 Gelenken.

— Annahme einer gleichmässig vertheilten mobilen Belastung.......

Beispiel IV. Dieselbe Brücke unter Annahme einer mobilen Belastung durch ein System von

Einzellasten..........................

Beispiel V. Fachwerkbogen von 60 m Spannweite mit kreisbogenförmiger Axe und 2 Gelenken.

— Annahme einer gleichmässig vertheilten mobilen Belastung.......

Beispiel VI. Dieselbe Brücke unter Annahme einer mobilen Belastung durch ein System von

Einzellasten.........................

Beispiel VII. Fachwerkbogen von 60 m Spannweite mit kreisbogenförmiger Axe ohne Gelenk. --

Annahme einer gleichmässig vertheilten mobilen Belastung........

Beispiel VIII. Dieselbe Brücke unter Annahme einer mobilen Belastung durch ein System von

Einzellasten .    .    :......................

Beispiel IX. Fachwerkbogen von 36 m Spannweite mit versteiften Zwickeln und 3 Gelenken. —

Annahme einer gleichmässig vertheilten mobilen Belastung ........

Beispiel X. Dieselbe Brücke unter Annahme einer mobilen Belastung durch ein System von

Einzellasten .........................

Beispiel XI. Fachwerkbogen von 36 m Spannweite mit versteiften Zwickeln und 2 Gelenken. — Annahme einer gleichmässig vertheilten mobilen Belastung Beispiel XII. Dieselbe Brücke unter Annahme einer mobilen Belastung durch ein System von

Einzellasten .........................

Beispiel XIII. Versteifte Hängebrücke von 36 m Spannweite der Hauptöffnung und je 18 m Spannweite der Nebenöffnungen. — Annahme einer gleichmässig vertheilten mobilen

Belastung..........................

Beispiel XIV. Dieselbe Brücke unter Annahme einer mobilen Belastung durch ein System von Einzellasten .........................

108

118

131

155

184

211

232

254

274

288

.    307

328

340

Bogenbrticken.

Brückensysteme, bei denen die Auflagerreactionen ausser einer vertikalen noch eine horizontale Componente haben, werden Bogenbrücken genannt. Je nachdem diese Horizontalcomponenten der Auflagerdrücke nach der Mitte der Brücke hin, oder von dieser fort gerichtet sind, unterscheidet man Bogenbrücken im engeren Sinne und Hängebrücken. In der theoretischen Behandlung beider ist kein Unterschied vorhanden. Denkt man sich eine Bogenbrücke im engeren Sinne um eine horizontale Grade umgeschlagen und sodann die Richtung sämmtlicher äusseren Kräfte umgekehrt, so gelangt man zum System einer Hängebrücke. Es ist hieraus ersichtlich, dass man die Spannungen der einzelnen Constructionstheile einer Hängebrücke direct von den Spannungszahlen einer Bogenbrücke abschreiben kann, deren geometrische Figur durch Umschlagen um eine horizontale Grade mit der Figur der Hängebrücke zur Deckung gebracht werden kann. Die zusammenfallenden Constructionstheile haben dem Absolutwerthe nach gleiche Spannung; nur das Vorzeichen ist umzukehren. Für den theoretischen Theil des Brückenbaues genügt es demnach, eines der beiden Systeme zu behandeln. Den folgenden Untersuchungen sollen im Allgemeinen Bogen-brücken im engeren Sinne zu Grunde gelegt werden.

Biegungstheorie g ekrümmter Balken.

§ 1. Innere Spannungen.

Es sei R die Resultante aller rechts vom fraglichen Schnitt co co‘ befindlichen äusseren Kräfte. Die Kraft R kann man sich zerlegt denken in eine senkrecht zum Querschnitt wirkende Normalkraft N und eine mit der Ebene des Querschnitts zusammenfallende Transversalkraft T.

«t--

0)’

Fig. 1.

Die Normalkraft bringt Druck- oder Zugspannungen, die Transversalkraft Schubspannungen im Querschnitt hervor. Fer- ^ ner tritt ein Moment von der Grösse Nn auf, welches die beiden durch den Querschnitt co co' getrennten Theile des Bogens gegen einander zu verdrehen sucht.

Die Normalkraft soll allgemein als positiv in die Rechnung eingeführt werden, wenn dieselbe Druckspannungen im Querschnitt bedingt.

Es soll ferner die Transversalkraft als positiv bezeichnet werden, wenn die Tendenz vorhanden ist, den Theil des Bogens rechts vom Schnitt gegen denjenigen links vom Schnitt abwärts zu verschieben.

K. Krolin, Bogenbrücken. II.

Das Moment soll als positiv in die Rechnung eingefünrt werden, wenn im fraglichen Punkte die Tendenz vorhanden ist, den Krümmungsradius des Bogens durch die Verdrehung zu vergrössern.

Die Normalspannungen im Querschnitt setzen sich demnach zusammen aus den durch die Normalkraft bedingten, gleichmässig über die Querschnittsfläche vertheilten Spannungen und den Biegungsspannungen.

x£iCs

Zwei benachbarte Querschnitte mögen den Winkel d cp mit einander bilden; das durch diese Querschnitte begrenzte Stück der Bogen-axe sei mit ds bezeichnet; der Krümmungsradius sei q\ dann ist:

(1)

d s== q d cp

Die Länge einer Faser 0 (9, in der Entfernung e von der Axe ist:

0 Oi — ds -j- e . dcp.

Aendert sich dieselbe um die Grösse

A 0 Ox — A ds -f- e . A dcp, so ist die spec. Ausdehnung derselben

Fig. 2.

Setzt man

A 00, _A ds -f- e Ad cp

00

(2)

-ppj- = «₀ (spec. Ausdehnung der Axe)

(3)

und

A d <p_

dcp

= to (spec. Aenderung des Winkels),

(4)

so kann man mit Berücksichtigung der Gleichung 1 den Ausdruck 2 schreiben:

(5)

Die Normalspannung v ist natürlich

(6)

v = E£=E

q-i-e

wenn mit E der Elastizitätsmodul des Materials bezeichnet wird.

Die in der Gleichung 6 noch vorkommenden unbekannten Grössen e₀ und tu können aus folgenden Beziehungen berechnet werden:

jy dF—N j v c d F = M.

Man findet:

EF

. (7)

und

to =

EF

EFq

Hierin ist F die Fläche des Querschnitts und

iß)

³-/

' eÄ q

(9)

§ 1. Innere Spannungen.

Durch Einsetzen der Werthe 7 und 8 ergiebt sich aus Gleichung 6:

(10)

M M q e

Bei Bogenträgern wird immer der Krümmungsradius der Axe sehr gross sein im Verhältniss zu den Querschnittsdimensionen. In Folge dessen kann man die Grösse e gegen q vernachlässigen. Man erkennt, dass dann der Ausdruck für 3 (Gleichung 9) übergeht in das Trägheitsmoment des Querschnitts in Bezug auf die Axschicht: dieses sei mit J bezeichnet.

Ferner lassen sich, wie specielle Rechnungen ergehen, in obigen Ausdrücken sämmtliche Glieder, welche die Grösse q im Nenner haben, gegen die andern Glieder vernachlässigen.

Man erhält also näherungsweise folgende Ausdrücke:

«0 =

EF

(11)

CO

EJ

(12)

Me

(13)

Die grössten Normalspannungen treten in den äussersten Punkten At und A, (s. Fig. 3) des Querschnitts auf.

Setzt man

M — Nn,

so ist die Spannung in At

TI

1-f

Fn e,

und die Spannung in A₂

d#'

Fn e₂

At

Fig. 3.

Haben diese beiden Werthe gleiche Vorzeichen, so haben überhaupt alle im Querschnitt auftretenden Spannungen gleichen Sinn. Es muss dann gleichzeitig

Fnex

und

Fn e.₂

>0,

oder

sein.

Fe,

und

Fe₂

(14)

Setzt man

Fe%

und

Fex

-=h>

(15)

so lauten die Ausdrücke 14:

n > — k..

und n < kx.

Hieraus folgt:

Es muss der Angriffspunkt P der Resultirenden der äusseren ^räfte zwischen zwei Punkten K, und K₂ (s. Fig. 3) liegen, die durch die Abstände kx und k₂ von der Axe bestimmt sind, damit im Querschnitt ausschliesslich Spannungen von gleichem Vorzeichen auftreten.

Die geometrischen Orte der Punkte K heissen Kernlinien.

Liegt der Angriffspunkt P ausserhalb des Kernes, so findet in der P zunächst liegenden äussersten Faser des Querschnitts eine Spannung von gleichem Sinne wie in P statt; im entfernteren Punkte A wirkt eine Spannung von entgegengesetztem Vorzeichen.

Hat der Bogen durchbrochene Wandungen, so fallen die Kernlinien mit den Gurtungslinien des Trägers zusammen.

Ist der Querschnitt des Bogens ein Rechteck, so fassen die Kernlinien das mittlere Drittel der Querschnittshöhe zwischen sich.

Für andere Profile, insbesondere für Blechträgerprofile, muss die Lage der Kernpunkte in jedem einzelnen Fall berechnet werden.

Die im Bogen auftretenden Schubkräfte vertheilen sich Uber den Querschnitt näherungsweise ebenso wie bei graden Balkenträgern. In Folge dessen werden auch die Spannungen im schrägen Schnitt, welche sich aus Normal- und Schubspannungen zusammensetzen in derselben Weise wie in der Theorie grader Träger zu ermitteln sein.

Bei Bogenbrücken sind indessen die Schubspannungen im Verhältniss zu den Normalspannungen so gering, dass es nicht geboten scheint, auf diese Betrachtungen näher einzugehen.

Nur bei der Berechnung von Gitterbögen ist für die Spannungsermittlung des Gitterwerks die Kenntniss der Transversalkraft T erforderlich.

Man erkennt aus den vorstehenden Ausführungen, dass sämmtliche Spannungen im Innern eines Bogens berechnet werden können, sobald die Grössen M, N und T bekannt sind. Es wird demnach erforderlich sein, die äusseren Kräfte und diese ihre Functionen zu ermitteln.

§ 2. Deformation eines ßalkens von ursprünglich einfach gekrümmter

Mittellinie.

Von den auf einen Träger ein wirkenden äusseren Kräften sind zunächst nur die primären Kräfte (die Lasten) gegeben, während die seeundären Kräfte (die Reactionen der Widerlager) aus den primären Kräften berechnet werden müssen.

Ein Auflagerdruck ist eindeutig bestimmt, sobald drei Grössen desselben bekannt ‘sind, nämlich: seine Vertikalcomponente, seine Horizontalcomponente und sein Angriffspunkt. Da bei einem Bogenträger zwei Widerlager vorhanden sind, so werden im Ganzen sechs unbekannte Grössen zu ermitteln sein. Natürlich müssen zwischen

den primären und den seeundären Kräften zunächst die allgemeinen Gleichgewichtsbedingungen erfüllt sein, d. h. es muss die Summe aller Vertikalkräfte, die Summe der Horizontalkräfte und das Drehungsmoment für jeden beliebigen Punkt der Kraftebene Null sein. Durch diese drei Bedingungsgleichungen lassen sich drei Unbekannte eliminiren. Zur Bestimmung der seeundären Kräfte aus den gegebenen Lasten müssen also noch fernere drei Bedingungen durch die Art der Auflagerung, der Construction des Bogens, etc. sich ergeben, wenn es möglich sein soll, die Aufgabe eindeutig zu lösen.

Schaltet man in den Bogen drei Gelenke ein, etwa an beiden Kämpfern und im Scheitel, d. h. macht man künstlich das Biegungsmoment an diesen drei Stellen zu Null, so kann man einfach mit Hülfe der Gesetze der Statik aus den drei sich

durch diese Anordnung ergehenden Bedingungsgleichungen die noch fehlenden drei Unbekannten der Reactionen ermitteln. Der Bogen ist statisch bestimmt.

Ordne man nur an beiden Kämpfern Scharniere an, lässt also das Gelenk im Scheitel fort, so gelingt es aus den beiden Bedingungsgleichungen, welche besagen, dass das Biegungsmoment an beiden Kämpfern Null ist, die Angriffspunkte und die Vertikalcomponenten der Reactionen zu ermitteln. Die Bestimmung des Horizontalschubes lässt sich jedoch nur unter Berücksichtigung der elastischen Deformation des Bogens durchführen, indem man die Bedingung aufstellt, dass die Widerlager in horizontaler Richtung entweder durchaus unverschieblich sind, die Spannweite des Bogens also unveränderlich ist, oder dass sich letztere um eine gewisse als bekannt vorausgesetzte Grösse ändern kann. Dass durch Kenntniss der elastischen Deformation des Bogens das Mittel gegeben ist, die Grösse des Horizontalschubes wirklich zu berechnen, lässt sich leicht folgendermaassen einsehen.

Würden die Enden des Bogens in horizontaler Richtung frei beweglich sein, so würde jede Belastung eine Verschiebung zur Folge haben, jede Belastung würde eine Vergrösserung der Spannweite hervorrufen. Denkt man sich nunmehr eine Horizontalkraft durch die Widerlager auf den Bogen ausgeübt, so wird jeder bestimmten Grösse dieser Kraft auch ein gewisses Maass der Wiederzusammendrückung des Bogens entsprechen. Man erkennt aus dieser Betrachtung, dass sobald die Art der Belastung gegeben ist, sowie diejenige Grösse, um welche sich bei dieser Belastung die Spannweite in Folge des Ausweichens der Widerlager thatsächlich ändert, es unter Berücksichtigung der elastischen Verhältnisse des Bogens möglich ist, den diesen Bedingungen entsprechenden Horizontalschub zu berechnen.

Sind keine Gelenke in den Bogen eingeschaltet, so müssen die sämmtlichen drei Unbekannten der Reactionen mit Hülfe der Elastizitätsgleichungen gefunden werden. Man stellt dann die Bedingungen auf, dass die Kämpferpunkte sowohl in horizontaler Richtung, wie in vertikaler Richtung unverschieblich und dass die Endquerschnitte des Bogens gegen einander nicht verdrehbar sind, event. dass diese Verschiebungen und Verdrehungen ein gewisses als bekannt vorausgesetztes Maass haben.

Es ist demnach zunächst die Aufgabe zu lösen, die Deformation des Bogens unter Einfluss äusserer Kräfte allgemein zu ermitteln. Ist die Verdrehung der Endquerschnitte, die relative Verschiebung derselben in horizontalem und vertikalem Sinne bekannt, so gelangt man, indem man diese Formänderungen bestimmten Werthen (event. Null) gleich setzt, zu Beziehungen, aus welchen die noch unbekannten äusseren Kräfte (die Reactionen) unter allen Umständen gefunden werden können.

Diese Aufgabe, die Deformation eines Balkens von ursprünglich gekrümmter Mittellinie unter Einfluss beliebiger äusserer Kräfte zu berechnen, soll im Folgenden behandelt werden.    *    /

Einfluss des Momentes M.

Das Moment fl/, d. h. das Moment der äusseren Kräfte bezüglich der Schwer-punktsaxe, verdreht zwei benachbarte Querschnitte gegen einander um die Grösse

• dcp (s. Gleichung 4 und 12).

A dcp = io dcp = Da ferner nach Gleichung 1

Mg

EJ

q . dcp = d$

ist, so ergiebt sich:

A dcP

• ds

(16)

EJ

Wirkt in jedem Punkte der Bogenaxe ein Biegungsmoment, so ist die relative Verdrehung der beiden Widerlagsquerschnitte

w

wobei natürlich die Integration über den ganzen Bogen zu erstrecken ist.

EJ

ds,

(17)

/!

Bf

je:

Fig. 4.

In Folge der Verdrehung der beiden benachbarten Querschnitte im Punkte C (s. Fig. 4) gelangt der Endpunkt B in die neue Lage Br Dadurch wird die Spannweite des Bogens um den Werth

A dx = B E

vergrössert.

Aus der Aehnlichkeit der beiden Dreiecke BCD und BtBE erkennt man, dass

A dx — y. A fl? cp

ist. Hierin für A dy den Werth aus Gleichung 16 eingesetzt, giebt:

A dx

■y ■ds-

EJ

Wirkt in jedem Punkte des Bogens ein Biegungsmoment, so ist die horizontale Verschiebung der beiden Widerlagspunkte A und B gegen einander:

/ M

a^=/£7--'/

wobei wieder die Integration über den ganzen Bogen ausgedehnt werden muss. Der Werth /\x ist hierbei als positiv angenommen, wenn derselbe eine Vergrösserung der Spannweite bedeutet.

In derselben Weise findet man, dass die relative Verschiebung der Widerlagspunkte in vertikaler Richtung

• ds}

(18)

EM

EJ

• x • ds

(19)

ist.

Einfluss der Normalkraft N und der Transversalkraft T.

Die Deformationen, welche von den Kräften N und T hervorgebracht werden, sind im Allgemeinen nur gering im Verhältniss zu den Deformationen, welche das Biegungsmoment bedingt. Der Einfluss der Transversalkraft T kann unter allen Umständen vernachlässigt werden; ebenso der Einfluss der Normalkraft N auf die vertikale Verschiebung der Widerlagspunkte. Die durch die Normalkraft bedingte relative Verschiebung der Kämpferpunkte in horizontaler Richtung kann jedoch unter Umständen für die Berechnung von Bedeutung sein.

Durch Einwirkung der Kraft N auf den Querschnitt bei C möge C nach (7, und in Folge dessen der Kämpferpunkt B nach By gelangen.

Es ist:

B Bt = CCl — /\ds = s₀ ds.

Mit Hülfe der Gleichung 11 ergiebt sich:

BB,

<p

BF

• ds .

. (20) A

Man erkennt nun, dass die horizontale Verschiebung des Punktes B

Fig. 5.

A dx = — BtB — — B Bx cos cp ist. Der Werth ist negativ in Rechnung zu setzen, da den obigen Ausführungen zufolge ein positives A# einer Vergrösserung der Spannweite entsprechen sollte. Aus den Gleichungen 20 und 21 findet man:

(21)

A dx —

cos cp • ds.

BF

Wirkt in jedem Querschnitte des Bogens eine Normalkraft, so ist die dadurch bedingte Verschiebung der Kämpferpunkte:

fBF

wobei sich natürlich die Integration über den ganzen Bogen erstrecken muss.

• cos cp • ds, .

(22)

Totale Deformation.

Man erhält schliesslich aus den Gleichungen 17, 18, 19 und 22 folgende Werthe:

• ds.

r m

A =

A»-J

BJ

/-

bj-y

• ds — j

• x • ds.

BF

cos cp • d s.

BJ

Bezeichnet wieder tp den Winkel, den in irgend einem Punkte des Bogens die Tangente mit der Horizontalen einschliesst, so ist:

dx = cos cp . ds.

Obige Gleichungen lassen sich also auch in folgender Form schreiben:

r M

A<p=J-

/\x =

^ ^ SEJ. cos cp

Um die Rechnung weiter durchführen zu können, muss im Voraus irgend eine Annahme über das Trägheitsmoment und die Fläche der Bogenquerschnitte gemacht werden.

EJ. cos <p

• dx

(23)

EJ. cosr/) "

• dx —

BF

• dx

(24)

(25)

Durch Vergleich mit ausgeführten Constructionen erscheint es nicht ungerechtfertigt, die Grösse:

zu setzen, wenn mit J₀ das Trägheitsmoment des Scheitelquerschnitts bezeichnet wird. Nimmt man gleichzeitig den Elastizitätsmodul E des Materials als constant an, so lautet Gleichung 23:

EJ₀A(p = fM

In Gleichung 24 ist der Werth des zweiten Integrals nur gering im Verhältniss zum ersten Integral; nur im Falle, dass y sehr klein und cos cp gross wird, d. h. bei sehr flachen Bögen, erlangt das zweite Integral Bedeutung.

Dann ist aber näherungsweise die Normalkraft N für den ganzen Bogen constant und zwar gleich dem Horizontalschub H der Widerlager. Es erscheint also zulässig, in Gleichung 24 statt der veränderlichen Grösse N den Horizontalschub H einzuführen.

. dx

(27)

Ferner soll im zweiten Integral die Querschnittsfläche F als constant angenommen werden. Diese Annahme wird allerdings im Allgemeinen nicht mit der oben gemachten Voraussetzung, dass J. cos cp — Const. sei, übereinstimmen. Da aber, wie gesagt, in praktisch vorkommenden Fällen der Einfluss des zweiten Integrals überhaupt nur ein sehr geringer ist, so kann dieser Fehler unbedenklich zugelassen werden. Dann lautet Gleichung 24:

EJ₀Ax—j'My dx

Jo

• H/'dx.

Das Verhältniss sei mit y bezeichnet; es ist also:

EJ₀ Ax— j My dx — y H jdx Bei Trägern mit durchbrochenen Wandungen ist näherungsweise der Coefficient

Jo

(28)

Ir

(29)

zu setzen, wenn mit h die Entfernung der Schwerpunktslinien der beiden Gurtungen bezeichnet wird.

Für rechteckigen Querschnitt ist:

fi¹

**■

12

(30)

Hierin bedeutet h die Höhe des Querschnitts.

Für andere Profile wird der Werth y in jedem speciellen Falle zu ermitteln sein; es wird an geeigneter Stelle hierauf zurückgekommen.

Gleichung 25 kann unter entsprechenden Voraussetzungen:

(31)

EJ₀Ay—JMxdx . ,

geschrieben werden.

Die drei Gleichungen 27, 28 und 31 geben über die Deformation des Bogens vollständigen Aufschluss und werden dieselben bei den folgenden Entwicklungen als Grundlage zur Berechnung der Kämpferreactionen dienen, soweit letztere nicht mit Hülfe der statischen Gesetze allein bestimmt werden können.

I. Aeussere Kräfte und deren Functionen 7/. N und T.

I. Honen mit 3 Gelenken.

§ 3. Allgemeines.

H-A

§ 16. Gleichmässig vertheilte permanente Last.

§ *27. Mobile Belastung durch ein System von Einzellasten.

05 < K, l

§ 41. Mobile Belastung durch ein System von Einzellasten.

Bestimmung der von der Form der Bogenaxe abhängigen Grössen.

9,75 ^ IT' 39,75

Stab Ov

System II.

2,74

2 Gelenken.

Stab Os.

Mobile Belastung durch ein System von Einzellasten.

max (+77.,)= —0,§+— • 52,3 + l,o = 20,4« max (+773)= — 1 ,o+-g- • 44,9+2,4 = 18,2« max (+774=—1,3+4 • 35,4 + 3,1 = 15,i „

Mobile Belastung.

Verzeichnung der Influenzlinien.

max(4-^4)=19,i4—• 147,44- 38,8=113,2«

■ 3 (6 — 4) Q = 2,25 <2

Beispiel XI.

Stab D4.

...   ^ 

[-W]=++

§ 3. Allgemeines.

An jedem Kämpfer und im Scheitel des Bogens sei ein Gelenk eingeschaltet. Nach den Ausführungen des vorigen Paragraphen ist das System dann statisch bestimmt, d. h. die Widerlagerreactionen lassen sich einfach mit Hülfe der Gesetze der Statik ermitteln.

Es bezeichne im Folgenden:

l die halbe Spannweite.......

f die Pfeilhöhe..........

x und y die Coordinaten eines Punktes D

cp den Winkel zwischen der Bogenaxe und der Horizontalen im Punkte 7>,

77 den Horizontalschub,

M das Moment .    .

N die Normalkraft .

T die Transversalkraft [M\ das Moment und [7¹] die Transversalkraft, welche bei einem graden Balkenträger auf 2 Stützen von der Länge 2 / in einem dem ——~

Punkte D entsprechenden Punkte mit der Abscisse x

der Bogenaxe,

im Punkte 7),

J.Y-

Fig. 6.

■AB

(von der Balkenmitte aus gerechnet) auf treten würde.

Die Lage des Coordinatenursprungs, sowie die positive Richtung der Axen ist aus Fig. 6 zu ersehen.

Es ist dann:

(32)

M=[M]—Hy . . .

(33)

(34)

N — [7¹] sin cp -f- 77 cos cp T — [7¹] cos cp — 77. sin cp

Diese Formeln sind nicht vollständig genau; es ist nämlich keine Rücksicht darauf genommen worden, dass durch den senkrecht zur Bogenaxe geführten Querschnitt, die auf den Bogen wirkenden Lasten in anderer Weise getrennt werden, als durch den entsprechenden vertikalen Querschnitt eines graden Balkenträgers. Da man es jedoch im Allgemeinen mit flachen Bögen zu thun hat, bei denen die Querschnittsrichtungen nur wenig von der Vertikalen abweichen, und ausserdem die Querschnittsdimensionen immer nur klein sind im Verhältniss zur Spannweite, so ist der vorerwähnte Fehler nur ein sehr geringer und als zulässig anzusehen. Vorausgesetzt ist hierbei jedoch, dass man ganz consequent in allen Formeln und bei jeder Berechnung die durch den fraglichen Querschnitt bedingte Belastungsscheide als senkrecht über dem fraglichen Axpunkt liegend annimmt.

Die Ermittlung der in den Gleichungen 32 bis 34 auftretenden Grössen [M] und [T] kann als bekannt vorausgesetzt werden.

Der Horizontalschub II wird gefunden, indem man die Gleichung der statischen Momente bezüglich des mittleren Scharnierpunktes aufstellt.

Es sei die permanente Belastung pr. Längeneinheit mit p, die mobile Belastung pr. Längeneinheit mit q bezeichnet.

Totale gleichmässig vertheilte Belastung.

^[M\ = -y (P — O

|iiiiiniiiillillliiiiiiliiitiiiililiitiiinii!iiiiniill! iljiiiiiniii||iiTfmi]lliiiii!ii!inimiTlliilllHül|^ [^'|

/²

pw • •

(35)

(36)

Fig. 7.

II=

(37)

Partielle gleichmässig vertheilte Belastung.

Die Belastung erstreckt sich vom rechtsseitigen Widerlager B bis zum Punkte C.

(Fig. 8.)

Die Abscisse x liegt zwischen —/ und

Jt

c\

Tnnrn

Fig. 8.

Der Werth x liegt zwischen s und /:

m-i

M “ 2 L“

[T] = q\x^

q f (i + b)‘² {i — x)

21

(i—

(38)

(/-!)■

.    . (39)

(40)

(<+Ss

Für positive Werthe von £:

Für negative Werthe von §:

b-₉«+Pt*Z

4/

ff

'~JT~    '

4/

(41)

(42)

(43)

Die Belastung erstreckt sich vom Punkte C bis zum linksseitigen Widerlager A.

(Fig. 9.)

Der Werth x liegt zwischen —l und

(l — £)² (/ -f- x)

prnnniTi

41

(44)

(45)

Fig. 9.

Es liegt x zwischen £ und l:

[?’] = 7

Für positive Werthe von :

q f (/ — I)² (l + #)

2/

(*-§)’

(46)

(l+if

(47)

a

¹ 4/

Für negative Werthe von

11 =

— 2£²

4/

• (49)

Belastung durch eine Einzellast G.

Die Abscisse x liegt zwischen — l und £:

[M] = G

(/ x) (/    £)

2/

. . (50)

i-i

(51)

JF

Es liegt x zwischen £ und /:

[M] = 6?

Fig. 10.

2/

(52)

Für positive Werthe von

m = G-27

• (53)

11= G

Für negative Werthe von £:

2/

•    (54)

H= G

2/

Ol

Ol

§ 4. Gleichinässig vertheilte permanente Last.

Es wird zunächst aus Gleichung 37 der Horizontalschub berechnet. Sodann ermittelt man für die verschiedenen, der Betrachtung zu unterziehenden Querschnitte aus den Gleichungen 35 und 36 die Werthe [M] und [T]; die in diesen Gleichungen vorkommende Abscisse x ist entsprechend der Abscisse desjenigen Punktes der Bogenaxe anzunehmen, durch welchen der in Frage stehende Querschnitt gelegt wurde. Schliesslich erhält man mit Hülfe der Gleichungen 32 bis 34 die gesuchten Werthe M, N und T.

§ 5. Gleiclimässig vertheilte mobile Last.

Normal kräfte.

Ermittlung der ungünstigsten Belastung.

Die Stützlinie einer Einzellast G besteht aus den beiden Graden A F und B F (Fig. 11). Der geometrische Ort des Punktes F (Schnittpunkt der Kämpferdrücke) wird die Kämpferdrucklinie genannt. ^

C,''

Man erkennt, dass bei einem Bogen mit 3 Gelenken die Kämpferdrucklinie sich aus den beiden Graden CI) und CE zusammensetzt.

\G

Fig. 11.

Nach § 1 wird eine Einzellast in der oberen Faser eines bestimmten Querschnitts Druck- oder Zugspannungen her-Vorbringen, je nachdem ihre Stützlinie den Querschnitt oberhalb oder unterhalb des unteren Kernpunktes trifft. Ebenso werden in der unteren Faser Druck- oder Zugspannungen auftreten, je nachdem die Stützlinie der Einzellast den Querschnitt

unterhalb oder oberhalb cles oberen Kernpunktes schneidet. Aus diesen Betrachtungen ergiebt sich folgende Methode zur Ermittlung der ungünstigsten Belastung bezüglich der Normalspannungen in den äussersten Fasern.

Man verlängere die Verbindungslinien A C und B C bis zu den Schnittpunkten E und D und verzeichne die Kernlinien des Bogens. Die Belastungsscheide für die

\Max. d\ Druekspannuug

I in der

/oberen

Faser

\Ma,x.d\ Zugspannung

Ahne. d. Druckspannung

I in der V unteren Waser

'¹1111111 i 1!l111:¹¹1 -1'¹ ■¹111H ■¹¹

Mu±. d. Zugspannung

. liiiiiiniiriiiiiiiiiiiniiiininmnTiniiniiifiniiiiiniHiiiiiniriTiiitiiniiiniiniiiii

Fig. 12.

obere Faser des Querschnitts coco' wird erhalten, indem man den unteren Kernpunkt AT₂ mit dem Kämpferpunkte A verbindet und die Verbindungslinie mit der Graden CD in P schneidet. Ebenso erhält man die Belastungsscheide P‘ der unteren Faser mit Hülfe des oberen Kernpunktes Kr Es ist nun nach den obigen Ausführungen zu untersuchen, in welchen Lagen eine Einzellast Druck-, und bei welchen Lagen dieselbe Zugspannungen in der fraglichen Faser erzeugt. Dann lässt sich leicht entscheiden, welche Theile belastet werden müssen, damit die Normalspannnungen in der oberen oder unteren Faser ihr positives oder negatives Maximum erreichen.

Im Allgemeinen wird das Belastungsschema sich ähnlich wie das in Fig. 12 ver-zeichnete darstellen. Nur für Querschnitte, welche nahe den Scharnierpunkten liegen, können Abweichungen Vorkommen. Liegt der untere Kernpunkt unterhalb der Graden AE, so bedingt jede Last, welche auf den Bogen einwirkt, eine Druckspannung in der oberen Faser des Querschnitts. Liegt der obere Kernpunkt oberhalb der Graden BD, so wird jede Last in der unteren Faser des Querschnitts eine Druckspannung hervorbringen.

Nachdem die ungünstigste Belastung ermittelt ist, bestimmt man die Werthe //, [M] und [T], indem man aus den Gleichungen 38 bis 49 die für den vorliegenden Belastungsfall passenden Formeln auswählt und anwendet. Mit Hülfe der Gleichungen 32 und 33 erhält man sodann die zusammengehörigen Grössen M und N. Man erhält also für jeden Querschnitt vier Werthepaare (M und N), von denen zwei die Maximalspannungen der oberen Faser, und zwei die Maximal Spannungen der unteren Faser liefern.

Zu bemerken ist hierbei, dass es häufig empfehlenswerth ist, nicht sämmtliche Werthepaare MN direct zu berechnen, sondern, nachdem diese Grössen für einseitige Belastung gefunden sind, dieselben für anderseitige Belastung durch Sub-traction von den totaler mobiler Last entsprechenden Werthen M. und N zu bestimmen. Letztere können aus den für das Eigengewicht berechneten Grössen M und N sehr einfach abgeleitet werden.

Transversal kräfte.

Die Stützlinie einer Einzellast möge mit dem Querschnitt ww den Winkel ß bilden (s. Fig. 13). Ist der Winkel ß stumpf, so wird die Einzellast eine positive Transversalkraft im Querschnitt hervorbringen; * ist hingegen der Winkel ß spitz, so wird die durch die Einzellast erzeugte Schubkraft negativ.

Es ergiebt sich hieraus folgende Methode zur Ermittlung der ungünstigsten Belastung bezüglich der Transversalkraft.

Zu der Tangente der Bogenaxe im fraglichen Punkte /y'(Fig. 14) zieht man durch den Widerlagspunkt A eine Parallele und schneidet diese in P mit der Graden CD. Es ist dann P die Belastungsscheide. Eine zweite Belastungsscheide bildet stets der fragliche Punkt F selbst.

Mit Hülfe der obigen Ausführungen erkennt man leicht, welche Strecken belastet, und welche Unbelastet sein müssen, damit die Transversalkraft zum positiven oder negativen Maximum werde. Das Belastungsschema ist in Fig. 14 verzeichnet.

Fällt der Schnittpunkt P rechts vom Scheitel (Fig. 15), so hat derselbe keine Bedeutung als Belastungsscheide.

Das Belastungsschema ergiebt sich dann in der Weise, wie Fig. 15 zeigt.

Nachdem die ungünstigste Belastung ermittelt ist, bestimmt man die Werthe H und [T], indem man aus den Gleichungen 38 bis 49 die für den vorliegenden Belastungsfall passenden Formeln auswählt und anwendet. Die gesuchte Transversalkraft T erhält man sodann aus Gleichung 34.

Es ist im Allgemeinen empfehlenswerth, die positive und negative Maximal-Transversalkraft nicht gesondert zu ermitteln. Ist die Grösse T für einseitige Belastung berechnet, so kann dieselbe für anderseitige Belastung durch Subtraction von der totaler mobiler Last entsprechenden Transversalkraft gefunden werden.

Vß

'O

0)'

Fig. 13.

I)

'.II:- i i:i i'ii

'r

\max(+T)

\max(-Tj

!t.......'im'............... min munumi] mnnnmnuiiii]

Fig. 14.

I ninx CT)

lnH,H¹Hitlri!^Trm*TTTr7TrnTTin'rii.l-i i'¹!:¹ ir ninill'i' i ill

i max(-T)

Fig. 15.

§ 6. Mobile Belastung durch ein System von Einzellasten.

Normal kräfte.

Es soll zunächst die ungünstigste Laststellung ermittelt werden.

Obere Faser.

1. Der untere Kernpunkt des betreffenden Querschnitts liegt oberhalb der Graden AC (Fig. 16).

Maximum der Druckspannung.

Es bezeichne:

Ü, die Resultante aller primären Kräfte (Lasten), welche auf der rechtsseitigen Hälfte des Bogens liegen,

Üo die Resultante derjenigen Lasten, welche zwischen dem Scheitelgelenk und dem fraglichen Querschnitt angreifen,

il₃ die Resultante der zwischen dem fraglichen Querschnitt und dem linksseitigen Kämpfergelenk liegenden Lasten.

Das System ist vom linksseitigen Kämpfer bis ungefähr zur Belastungsscheide P vorzuschieben und zwar derart, dass möglichst viele grosse Lasten in der Nähe des

Druck —*

lug

Kc

h'

fraglichen Querschnitts angreifen und eine derselben senkrecht über dem Ax-punkt F (Schwerpunkt) dieses Querschnitts liegt. Welche Last hier anzuordnen ist, ergiebt sich aus der Bedingung, dass der Zug so lange nach rechts verschoben werden muss, als

Ab

.    . (56)

ist. Hierin bedeutet:

Fig. 16.

I die halbe Spannweite, oc.₂ die Absöisse des unteren Kernpunktes, m die Entfernung der Belastungsscheide vom Scheitel.

Dasjenige Rad, durch dessen Ueberschreiten des fraglichen Punktes die in Ungleichung 56 enthaltene Bedingung nicht mehr erfüllt bleibt, ist senkrecht über dem Schwerpunkt des in Rede stehenden Querschnitts anzuordnen.

Maximum der Zugspannung.

Das System der Einzellasten ist vom rechtsseitigen Kämpfer bis ungefähr zur Belastungsscheide vorzuschieben und zwar derart, dass möglichst viele grosse Lasten in der Nähe des Scheitelgelenks liegen und eine derselben in diesem Punkte selbst angreift. Welche der Lasten im Scheitelgelenk anzuordnen ist, ergiebt sich, wenn die obigen Bezeichnungen beibehalten werden, aus der Ungleichung:

(57)

Der Zug ist so lange nach links zu verschieben, als dieser Ungleichung noch genügt wird. Dasjenige Rad, durch dessen Ueberschreiten des Scheitels die in der Ungleichung 57 enthaltene Bedingung nicht mehr erfüllt bleibt, ist in diesem Punkte anzuordnen.

2. Der untere Kernpunkt des betreffenden Querschnitts liegt unterhalb der Graden AC (Fig. 17).

Da alsdann jede Last, welche auf den Bogen einwirkt, eine Druckspannung in der oberen Faser des Querschnitts hervorbringt, so ist, um das Maximum der Druckspannung zu erhalten, der ganze Bogen als belastet anzunehmen.

Die grössten Lasten sind möglichst in der Nähe des fraglichen Querschnitts zu gruppiren und eine derselben muss senkrecht über dem Schwerpunkt desselben liegen. Welche Last hier anzuordnen ist, ergiebt sich aus der Bedingung, dass der Zug so lange nach links verschoben werden muss, als noch

Druck

AB

Fig. 17.

(K‘T + R*)

(58)

a?₂-f- m

ist. Hierin bedeutet in die Entfernung des Schnittpunktes der beiden Graden AK₂

und BC vom Scheitel.

Dasjenige Rad, durch dessen Ueberschreiten des fraglichen Punktes die in der Ungleichung 58 enthaltene Bedingung nicht mehr erfüllt bleibt, ist senkrecht über dem Schwerpunkt des betreffenden Querschnitts anzuordnen.

Untere Faser.

1. Der obere Kernpunkt des fraglichen Querschnitts liegt unterhalb

der Graden BD (Fig. 18).

Maximum der Druckspannung.

Das System der Einzellasten ist vom rechtsseitigen Kämpfer bis ungefähr zur Belastungsscheide P vorzuschieben und zwar derart, dass möglichst viele grosse Lasten in der Nähe des Scheitelgelenks angreifen, und eine derselben in diesem Punkte selbst liegt; welche der Lasten hier anzuordnen ist, ergiebt sich aus der Bedingung, dass der Zug so lange nach links verschoben werden muss, als

Drnck

Ti

kJ

771—*

■'v.

-Tr

. . (59)

ist.

%    Wz

Fig. 18.

Maximum der Zugspannung.

Der Zug ist vom linksseitigen Kämpfer bis ungefähr zur Belastungsscheide vorzuschieben und zwar in der Weise, dass möglichst viele grosse Lasten in der Nähe des fraglichen Querschnitts angreifen und eine derselben senkrecht über dem Ax-punkte F desselben liegt. Welches Rad an dieser Stelle anzuordnen ist, ergiebt

xx — in l — xx

sich aus der Bedingung, dass der Zug so lange nach rechts verschoben werden muss, als noch die Ungleichung

• (60)

erfüllt bleibt. Hierin bedeutet xt die Abscisse des oberen Kernpunktes.

2. Der obere Kernpunkt des fraglichen Querschnitts liegt oberhalb'

der Graden BJD (Fig. 19).

Jede Last, welche auf den Bogen einwirkt, bringt in der unteren Faser eine Druckspannung hervor. Um das Maximum der Druckspannung zu erhalten,

wird demnach der ganze Bogen als belastet anzunehmen sein; möglichst viel grosse Lasten sind in der Nähe des Scheitelgelenkes zu gruppiren und eine derselben muss in diesem Punkte selbst liegen. Welche Last hier anzuordnen ist, ergiebt sich aus der Bedingung, dass der Zug so lange nach rechts verschoben werden muss, als noch

Druck

1t,

**

¹ 'st.

>B

Fig. 19.

m — xx

in

ist.

l — xl

■ (61)

Nachdem man die ungünstigste Belastung ermittelt hat, bestimmt man mit Hülfe der Gleichungen 50 bis 55 die Werthe Ii, [M] und [T].

Bezeichnet man die Einzellasten, welche auf der rechtsseitigen Bogenhälfte angreifen mit Gn diejenigen, welche auf der linksseitigen Bogenhälfte liegen mit GL und die Abscissen der Angriffspunkte dieser Lasten mit £ (für die Lasten Gr sind die Werthe £ negativ), so ist:

2/L

. (62)

Für Lasten, welche im Scheitel selbst liegen, ist es gleichgültig, ob man dieselben der rechtsseitigen oder linksseitigen Bogenhälfte zurechnet.

Bezeichnet man ferner die Lasten rechts vom fraglichen Querschnitt mit G‘ und diejenigen links vom Querschnitt mit 6r", sowie die Abscissen der Angriffspunkte dieser Lasten wieder mit £, so hat man:

.    .    (63)

(64)

Es ist zu beachten, dass angenommen wurde: der in Rede stehende Querschnitt trenne die Lasten in der durch den Axpunkt des Schnitts hindurchgehenden Vertikalen. Lasten, welche in dieser Vertikalen selbst angreifen, sind als rechtsseitig vom Schnitt liegend zu behandeln, also den Lasten G‘ zuzurechnen.

In den Gleichungen 62 bis 64 sind die Abscissen £ stets als algebraische Grössen, also event. negativ einzuführen.

Sobald die Grössen H, [M] und [T] berechnet sind, kann man die zusammengehörigen Werthe M und N aus den Gleichungen 32 und 33 ermitteln.

Transversalkräfte.

Es soll zunächst die ungünstigste Belastung ermittelt werden.

1. Die Belastungsscheide P hat einen reellen Werth (Fig. 20).

Man erhält das positive Maximum der Transversalkraft, wenn das System der Einzellasten derart angeordnet ist, dass möglichst viele Lasten innerhalb der Strecke FP angreifen, die grössten Raddrücke nahe am fraglichen Querschnitt wirken und die erste Last senkrecht über dem Schwerpunkt F des Schnittes liegt.

Man erhält das negative Maximum der Transversalkraft, wenn der Zug vom rechtsseitigen Kämpfer bis ungefähr zur Belastungsscheide P vorgerückt ist. Die grössten Lasten müssen möglichst in der Nähe des Scheitels liegen und eine derselben in diesem Punkt selbst angreifen. Welche der Lasten hier anzuordnen ist, ergiebt sich aus der Bedingung, dass der Zug so lange nach links verschoben werden muss als

—PT)—%■

PT)

'n.

Wz

Fig. 20.

(65)

ist. Hierin haben und K.₂ die auf Seite 14 angegebene Bedeutung; m ist die Entfernung der Belastungsscheide P vom Scheitel.

Dasjenige Rad, durch dessen Ueberschreiten des Scheitels die in der Ungleichung 65 enthaltene Bedingung nicht mehr erfüllt bleibt, ist an dieser Stelle anzuordnen.

Gleichzeitig ist ein Zug vom linksseitigen Kämpfer bis zum fraglichen Querschnitt vorzuschieben und zwar derart, dass das erste Rad senkrecht über dem Schwerpunkt F des fraglichen Schnittes liegt.

Man kann der Ansicht sein, dass diese beiderseitige Belastung in Wirklichkeit niemals gleichzeitig auftritt. Will man nur die rechtsseitige oder nur die linksseitige Belastung berücksichtigen, so muss in jedem speciellen Fall untersucht werden, welche der beiden Belastungsarten die grösste negative Schubkraft im fraglichen Querschnitt hervorruft.

2. Die Belastungsscheide P hat keinen reellen Werth (Fig. 15).

Man erhält das positive oder negative Maximum der Transversalkraft, wenn der Zug vom rechtsseitigen, resp. vom linksseitigen Kämpfer bis gegen den Querschnitt vorgeschoben wird, und zwar derart, dass das erste Rad senkrecht über dem Schwerpunkt des Schnittes liegt.

Nachdem die ungünstigste Belastung ermittelt ist, berechnet man für diese aus

B. Xrolin, Bogenbrücken. II.

den Gleichungen 62 und 64 die Werthe H und [7¹] und mit Hülfe dieser Grössen aus Gleichung 34 die Transversalkraft T.

§ 7. Beduction eines Systems von Einzellasten auf eine gleichmässig

vertheilte Last.

Die Wirkung der einzelnen Raddrücke eines Eisenbahnzuges kann näherungs* weise durch eine gleichmässig vertheilte Belastung ersetzt werden. Die dadurch erzielte Annährung ist bei Bogenbrücken weniger gut als bei Balkenträgern. Es empfiehlt sich demnach, bei Bogenbrücken vorzugsweise mit den einzelnen Raddrücken zu operiren.

Die Grösse der gleichmässig vertheilten Belastung, welche für einen Eisenbahnzug näherungsweise substituirt werden kann, ist unabhängig von der Spannweite des Bogens. Dieselbe wird nur durch die Länge der belasteten Strecke bedingt.

Um Zahlenwerthe angeben zu können, muss eine bestimmte Anordnung der Einzellasten vorausgesetzt werden.

H-A

«—2,7--

13    13    13

2,7

Ul 07

3,0

Fig. 21.

Fig. 22.

Der Berechnung ist ein Güterzug mit 3 Locomotiven nebst Tendern (Fig. 21) und angefügten Güterwagen (Fig. 22) zu Grunde gelegt.

Die in diesen Figuren eingeschriebenen Gewichtszahlen bedeuten Tonnen pr. Axe. Die Länge der belasteten Strecke sei mit a bezeichnet; folgende Tabelle giebt die aequivalenten, gleichmässig vertheilten Belastungen pr. Gleis und pr. lfdm. in Tonnen an.

TI

T,,

H-k 1-^    fc>5 VI

0^t>SC04^4^C^-4C£)05t>S w «, ts To    'Cj TU “cv Tr. o o

W to to H ^ H

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WÜiOJOJOJOJM^QOOOtO

co

O

50

60

70

80

90

100

120

150

in

5,5

5,4

5,3

5,2

4,9

4,7

4,5

4,3

4,2

4,0

3,8

II. Bogen mit 2 Gelenken.

§ 8. Allgemeines.

Nach den Ausführungen des § 2 sind zur vollständigen Bestimmung der äusseren Kräfte drei Bedingungsgleichungen erforderlich. Es ist angenommen, dass an beiden Kämpfern ein Gelenk eingeschaltet und dadurch das Biegungsmoment an diesen Stellen künstlich zu Null gemacht ist. Diese Anordnung ergiebt zwei der erforderlichen Bedingungen. Man erkennt zunächst, dass die Reactionen durch die Gelenkpunkte hindurch gehen müssen; setzt man ferner die statischen Momente der äusseren Kräfte bezüglich der Kämpferpunkte gleich Null, so erhält man aus diesen Gleichungen die Vertikalcomponenten der Reactionen. Die Ermittlung des Horizontalschubes gelingt jedoch nur unter Berücksichtigung der elastischen Deformation des Bogens, indem man die Bedingung aufstellt, dass die Widerlager entweder durchaus unverschieblich sind, oder dass die Spannweite sich um eine gewisse als bekannt vorausgesetzte Grösse Ax ändern kann.

Ueber diesen Werth Aa?, welcher durch das Nachgehen der Widerlager bedingt wird, lassen sich kaum allgemein irgend welche Angaben machen. Anhaltspunkte hierfür werden hauptsächlich durch Beobachtung ausgeführter Bauwerke gewonnen werden können. Die bisher vorliegenden Erfahrungen sind jedoch nicht genügend, um für die Grösse A& von vorne herein einen Werth angeben zu können, welcher auch nur irgend wie als zutreffend zu bezeichnen wäre.

Jedes Ausweichen der Widerlager wird die Spannungen im Bogen wesentlich erhöhen. Man wird deshalb durch sorgfältige Construction und Fundirung der Pfeilerbauten ein Nachgeben derselben möglichst zu vermeiden suchen. Alsdann kann man näherungsweise die Kämpferpunkte als absolut fest annehmen, also Ax = 0 setzen; die unvermeidlichen kleinen Ausweichungen der Widerlager und die in Folge dessen auftretenden Spannungserhöhungen wird man dadurch berücksichtigen können, dass man den Sicherheitscoefficienten für den ganzen Bogen erhöht, die als zulässig erachtete spec. Spannung also bei statisch unbestimmten Trägersystemen mit geringerem Werthe einführt.

Bei den folgenden Entwicklungen wird demnach allgemein die Aenderung der Spannweite A x — 0 gesetzt werden.

Gleichung 28 lautet dann:

+i

,+ i

(66)

0=1 My dx — ft H I dx

Es ist nun:

~i

—i

M = [M] — Hy

wenn mit [M\ das Moment bezeichnet wird, welches die nämliche Belastung bei einem graden Balkenträger von der Länge 2/ in einem Punkte mit der Abscisse x hervorrufen würde.

Ferner ist:

(67)

dx = 21.

Setzt man noch

-w

y¹ d x — J)

(68)

und

f[M]ydx = [ty]

'-'—i

so ergiebt sich, indem man Gleichung 66 nach II auflöst:

(69)

(70)

¹¹ l) + 2 fii

In dieser Gleichung ist i) ausschliesslich von der Form des Bogens, [ty] sowohl von der Form des Bogens als von der Art der Belastung abhängig.

Die allgemeinen Bezeichnungen, sowie die Gleichungen 32 bis 34 des § 3 behalten auch hier ihre Gültigkeit.

Für die verschiedenen Belastungsfälle haben natürlich die Grössen [M] und [T], das Moment und die Transversalkraft eines graden Balkens auf 2 Stützen, ebenfalls

die nämlichen Werthe,wie solche im § 3 angegeben sind. Anders gestaltet sich jedoch der Ausdruck für den Horizontalschub II. Die Abhängigkeit desselben von der Art der Belastung ist durch die Grösse [IJ] bedingt. Es erübrigt deshalb noch, diesen Werth für verschiedene Belastungsfälle zu ermitteln.

In den folgenden Formeln bedeute:

£ die Fläche zwischen der Bogenaxe und der Kämpferhorizontalen,

<£ das statische Moment

| dieser Fläche bezogen auf die mittlere Vertikale.

% das Trägheitsmoment

Wegen der Symmetrie des Bogens ist immer <§ = 0.

und sind die Fläche, das statische Moment und das Trägheitsmoment

zwischen den Abscissen £ und l genommen.

Totale gleichmässig vertheilte Belastung.

(Fig. 7.)

(71)

Partielle gleichmässig vertheilte Belastung.

Die Belastung erstreckt sich vom rechtsseitigen Widerlager 13 bis zum Punkte C.

(Fig. 8.)

■ (72)

Die Belastung erstreckt sich vom linksseitigen Widerlager A bis zum Punkte C.

(Fig. 9.)

(73)

Belastung durch eine Einzellast G.

(Fig. 10.)

(74)

§ 9. Bestimmung der von der Form des Bogens abhängigen Grössen.

I. Die Bogenaxe ist nach einer Parabel gekrümmt.

. . (75)

(76)

f

tg cp = 2    . X

SS

16

(77)

Fig. 23.

*~Tfl

1T>

(78)

(79)

fl

(80)

//¹

:2

(81)

4

Ei

s 15

Setzt man diese Werthe noch in die Gleichungen 71 bis 74 ein, so nehmen dieselben folgende Form an:

M] = Pf¹*

fl² 3 4 5 6

^5-3

/¹

• (82)

(71a)

MH

:2

60

16 + 4-1--f-

• . (72a)

SS

60

^ (l - 4)

16

:2

/¹

• . (73a)

SS

12

®^(⁷-

(74a)

Für den wten Theilpunkt ist:

tgcpn

yn — 1    !/n + I

2A

(83)

Für den Theilpunkt 5, also am Kämpfer, liefert diese Formel kein Resultat. In diesem Punkte ist:

tg g>₅ =

⁴ .y₄j ~ V4

(84)

Ferner ergiebt sich:

= 4" A + y? + ²//² + y 3 + ²//²)

=    (y₀— 2?/, + 2y₂— 2y₃+ 3y₄)

(85)

^3 = y-(y₃+4?/₄)

= y- (y₀ ■— 2 yt +• 3 //₂ + 2 ;/₃ + 4y₄) — y 0/t + 4//₂+ 2y₃+ 4y₄)

JF* =

^ 0

(86)

3~ (//ü+.y, + 2ya+y₃+ 2//,) iF = 2 J’q

A²

(²^ + 9//₄|)

3~ (3//₃ + 16;/₄)

y (y₂+ 6y₃+ 2ty₄)

3— (//<+8//.,+ 6//₃+ 16'//,)

^(//i+.ya+3,^+//,)

co <]

A²

A³

2 A²

. (87)

4 A²

(I6//1+ 81 /y)

®3=-3-(⁹y₃+64y₄)

4 A³

® 2⁼⁼ ®4 H—3~ (y2 + 9 //₃ + 4 //₄)

CO <1

(88)

As

y C?/i+ lhy₂+ I8//3+ 64//₄)

y (yi+ 2ya + 9y₃+ 4//₄)

4 A³

$ = 2^

Für den Fall, dass in den Ausdrücken S$1 oder C) der Werth £ negativ

wird, lassen sich diese Grössen leicht aus den schon berechneten Zahlen abschreiben. Es ist:

£l-^£~£\

(89)

"I

(90)

(91)

§ 10. Gleiclimässig vertheilte permanente Last.

Ist die Bogenaxe nach einer Parabel gekrümmt, so bestimme man die Werthe t) und [ty] aus den Gleichungen 77 und 71 a (Seite 21). Ist die Axe nicht nach einer Parabel gekrümmt, so ermittle man zunächst I), £ und % nach den Gleichungen 85, 86 und 88; sodann den Werth [$)] aus Gleichung 71.

Mit Hülfe der Grössen i) und [$)] kann aus Gleichung 70 der Horizontalschub II berechnet werden. Nunmehr bestimmt man die Werthe \M] und [X] nach den Formeln 35 und 36.

Das Moment M, die Normalkraft N und die Transversalkraft T lassen sich schliesslich für jeden Querschnitt aus den Gleichungen 32 bis 34 berechnen.

§ 11. Gleichmässig vertheilte mobile Last.

Verzeichnung der Kämpferdrucklinie.

Zur Ermittlung der ungünstigsten Belastung ist die Kenntniss der Kämpferdrucklinie erforderlich. Um dieselbe zu erhalten, bestimmt man zunächst für verschiedene Lagen einer Einzellast von der Grösse „Eins“ den Horizontalschub H in folgender Weise: Ist die Axe nach einer Parabel gekrümmt, so ermittelt man die Werthe 1) und [$)] aus den Gleichungen 77 und 74a (Seite 21). Falls die Axe nicht nach einer Parabel gekrümmt ist, werden die Grössen t), £^ und 3^ aus den Gleichungen 85, 86 und 87 berechnet und wird sodann [Jj)] mit Hülfe der Formel 74 bestimmt. Der Horizontalschub II ergiebt sich aus Gleichung 70.

Das Moment [M] im Angriffspunkte der Last „Eins“ ist: p — £²

Die Ordinaten der Kämpferdrucklinie erhält man dann aus der Beziehung

' H

Für § = l nimmt diese Gleichung A die unbestimmte Form -jj- an. Der wahre

(92) j

(93)

Kämpferdrarftfr*

Fig. 25.

\S

2,

y, k z,

rJ    -f - A -*rA -*

Fig. 24.

Werth von rj für den Fall, dass die Last am Kämpfer liegt, ist:

(94)

Ist die Axe nach einer Parabel gekrümmt, und vernachlässigt man noch den Einfluss der Normalkraft auf die Deformation des Bogens (also das Glied 2 pl), so ergiebt sich für die Kämpferdrucklinie die Gleichung:

32/Z²

^    5 (5 Z²*— £²)

Nachdem die Kämpferdrucklinie verzeichnet ist, wird man gut thun, zunächst den Horizontalschub für verschiedene Belastungsfälle zu bestimmen.

Ist eine Strecke zwischen den Abscissen £ und l belastet, so findet man den dadurch erzeugten Horizontalschub II folgender Maassen: Falls die Bogenaxe nach einer Parabel gekrümmt ist, ermittelt man die Werthe I) und [!)] aus den Gleichungen 77 und 73a (S. 21); ist die Axe nicht nach einer Parabel gekrümmt, so werden die Grössen i), JFg, 351 und Hi aus den Gleichungen 85, 86, 87 und 88 berechnet und wird sodann

[l)| mit Hülfe der Formel 73 bestimmt. Der gesuchte Horizontalschub ergiebt sich aus Gleichung 70.

Man ermittelt nun in dieser Weise den Werth II für verschiedene zwischen 0 und / liegende Werthe von £ und trägt die Grösse desselben der Abscisse £ entsprechend als Ordinate auf. Verbindet man die Endpunkte der Ordinaten durch eine stetige Curve, so giebt diese für jede vom linksseitigen Kämpfer A bis zu einem Punkte mit der Abscisse £ sich erstreckende Belastung den dadurch erzeugten Horizontalschub direct an; derselbe ist gleich der Ordinate im Endpunkte der belasteten Strecke. Bedenkt man, dass symmetrisch liegende Belastungen den nämlichen Horizontalschub bedingen, so erkennt man leicht, dass mit Hülfe dieser Curve für jeden Belastungsfall der Horizontalschub einfach ermittelt werden kann.

Normal kräfte.

____dY— S

4

-55-

Fig. 26.

Die Belastungsscheiden und die ungünstigste Belastung können ganz in derselben Weise gefunden werden, wie bei einem Bogen mit drei Gelenken, nur wird

die Kämpferdrucklinie hier nicht aus zwei Graden bestehen, sondern muss in der oben erläuterten Weise bestimmt werden.

OL    O harnpferdmeklinie■

dg

Mux. d . Druckspannung

mii

Max. d. Zugspannung

i—

in der oberen Faser

Die Ausführungen des § 5 behalten auch hier ihre Gültigkeit. Demnach ergiebt sich das Belastungsschema, wie Fig. 27 dasselbe zeigt.

Max. tl. Drueksp an mnuj

Maxi d. Zugspunmmg

in der > unteren Faser

Fig. 27.

Ist die ungünstigste Belastung gefunden, so bestimmt man für diese mit Hülfe der ver-zeichneten Curve der Horizontalschub II] ferner ermittelt man, indem man aus den Gleichun-

gen 38 bis 47 die für den vorliegenden Belastungsfall passenden Formeln auswählt, die Werthe [41] und [T\ Die Gleichungen 32 und 33 ergeben sodann die zusammengehörigen Grössen M und N. ♦Man erhält also für jeden Querschnitt vier Werthepaare (M und N), von denen zwei die Maximalspannungen der oberen Faser, und zwei die Maximalspannungen der unteren Faser liefern.

Zu bemerken ist hierbei, dass es häufig empfehlenswerth ist, nicht sämmtliche Werthepaare MN direct zu berechnen, sondern, nachdem diese Grössen für einseitige Belastung gefunden sind, dieselben für anderseitige Belastung durch Subtrac-tion von den totaler mobiler Last entsprechenden Werthen M und N zu bestimmen. Letztere können aus den für das Eigengewicht berechneten Grössen M und N sehr einfach abgeleitet werden.

Transversalkräfte.

Die Bestimmung der Belastungsscheiden erfolgt mit Hülfe der Kämpferdrucklinie nach der im § 5 für einen Bogen mit 3 Gelenken angegebenen Art und Weise. Das Belastungsschema ist in Fig. 28

verzeichnet.

Nachdem die ungüngstigste Belastung gefunden ist, bestimmt man für diese mit Hülfe der verzeichneten Curve den Horizontalschub II; ferner ermittelt man, indem man aus den Gleichungen A 38 bis 47 die für den vorliegenden Belastungsfall passenden Formeln auswählt, den Werth [T]. Die gesuchte Transversalkraft T erhält man sodann aus Gleichung 34.

Es ist im Allgemeinen empfehlenswerth, die positive und negative Maximal-Transversalkraft nicht gesondert zu ermitteln. «Ist die Grösse T für einseitige Belastung berechnet, so kann dieselbe für anderseitige Belastung durch Subtraction von der totaler mobiler Last entsprechenden Transversalkraft gefunden werden.

T\

max.

Iiiiiiiiiiiniiinrillniiiiiiiirnmiiii

(+T)

—

max. (~TJ

Fig. 28.

§ 12. Mobile Belastung durch ein System von Einzellasten.

Man verzeichne zunächst die Kämpferdrucklinie nach der im § 11 erläuterten Art und Weise. Die zu diesem Zweck für verschiedene Lagen einer Einzellast von der Grösse „Eins“ berechneten Werthe von II trage man ferner in den Angriffspunkten der Last als Ordinaten auf. Mit Hülfe der dadurch erhaltenen Curve kann man dann für jede beliebige Lage einer Last den Horizontalschub angeben, indem man die Ordinate im Angriffspunkte derselben mit der Grösse der Last multiplicirt.

Normalkräfte.

Es soll zunächst die ungünstigste Laststellung ermittelt werden.

Die Belastungsscheiden werden mit Hülfe der Kämpferdrucklinie in der nämlichen Weise verzeichnet, wie bereits im § 11 angegeben wurde. Welche Strecken zu belasten sind, um das Maximum der Druck- oder Zugspannung in der oberen oder unteren Faser hervorzurufen, ist aus Fig. 27 zu ersehen.

Es lassen sich nun die folgenden allgemeinen Regeln aufstellen, nach welchen die Lage des Zuges zu fixiren ist, um angenähert die ungünstigste Stellung desselben zu erreichen.

Ist eine Strecke vom rechtsseitigen Kämpfer B bis zur Belastungsscheide Q oder die Strecke vom linksseitigen Widerlager A bis zur Scheide P zu belasten, so müssen möglichst viele Lasten innerhalb der fraglichen Strecke angeordnet, und die grössten Raddrücke in der Nähe des mittleren Punktes dieser Strecke gruppirt werden.

Die genaue Lage des Zuges ergiebt sich aus der Bedingung, dass die Resultante sämmtlicher Lasten durch den mittleren Punkt M (Fig. 29) der in Rede stehenden Strecke hindurch gehen muss.

r-7re»    (D (T) (t)

Um diese Lage des Zuges zu finden, ist das folgende Verfahren zn empfehlen.

Fig. 29.

I*

0(0(1) CT) CD CD (T) (T) O

Man verzeichnet das Lastsystem für einen von rechts nach links vorrückenden Zug und sodann mit beliebiger Poldistanz das zugehörige Seilpolygon. Den Angriffspunkt der Resultanten aller zwischen zwei Seiten des Seilpolygons angreifenden Kräfte findet man, indem man diese Seiten verlängert und zum Schnitt bringt. Der Schnittpunkt ist der gesuchte Angriffspunkt. So geht beispielsweise (Fig. 30) die Resultante der Kräfte 1 bis 6 durch den Punkt 0 hindurch.

Fig. 30.

Man wird sich das Lastsystem auf einem Papierstreifen verzeichnen, derart, dass die eine Seite desselben einen von rechts nach links, die andere Seite einen von links nach rechts vorrückenden Eisenbahnzug zeigt. Mit Hülfe dieses Papierstreifens bestimmt man nun zunächst schätzungsweise, welche Lasten innerhalb der fraglichen Strecke angreifen werden und construirt dann mittelst des Seilpolygons den Angriffspunkt der Resultanten dieser Lasten. Durch die Bedingung, dass dieser Punkt mit dem mittleren Punkte der zu belastenden Strecke zusammenfallen soll, ist die Lage des Zuges fixirt, und kann man nun die Abscissen der Angriffspunkte sämmtlicher Lasten leicht angeben.

Ist die Strecke zwischen den Belastungsscheiden P und Q (Fig. 29), oder falls eine Scheide P nicht existirt, die Strecke A Q zu belasten, so müssen möglichst viele Axen innerhalb dieser Strecke angeordnet und die grössten Raddrücke in der Nähe des fraglichen Querschnitts gruppirt werden; eine der grössten Lasten muss senkrecht über dem Schwerpunkt dieses Querschnitts liegen. Welches Rad hier anzuordnen ist, ergiebt sich aus der Bedingung, dass der Zug so lange nach rechts verschoben werden muss, als noch

ist. Hierin bedeutet:

G' eine Einzellast rechts vom fraglichen Schnitt,

6r" eine Einzellast links vom fraglichen Schnitt, ml die Entfernung des Punktes Q (Fig. 29) und

m.₂ die Entfernung des Punktes P (oder falls eine Belastungsscheide P nicht exi-stirt, die Entfernung des Kämpferpunktes A) vom Schwerpunkt des in Rede stehenden Schnitts.

Dasjenige Rad, durch dessen Ueberschreiten des fraglichen Punktes die in Ungleichung 96 enthaltene Bedingung nicht mehr erfüllt bleibt, ist senkrecht über dem Schwerpunkt des betreffenden Querschnitts anzuordnen.

Nachdem die ungünstigste Lage des Zuges bestimmt ist, ermittelt man für diese mit Hülfe der anfangs verzeichneten Curve den Horizontalschub II. Sodann berechnet man die Wertlie [M\ und [7¹] aus den Gleichungen

M-äz

IT]    [ ZG' (< + ?)-ZG" (l-1)

{l — x)ZQ> (/ + £) + (l + x)ZG"(l — !=)    .... (97)

(98)

wenn wieder mit G‘ eine Einzellast rechts, mit G“ eine Einzellast links vom fraglichen Schnitt bezeichnet wird.

Es ist zu beachten, dass hier, wie bei allen Entwicklungen, angenommen werden soll, der fragliche Schnitt trenne die Lasten in der durch den Axpunkt (Schwerpunkt) des Querschnitts hindurch gehenden Vertikalen. Lasten, welche in dieser Vertikalen selbst angreifen, sind als rechtsseitig vom Schnitt liegend zu behandeln, also den Lasten G‘ zuzurechnen. Die Abscissen £ der Angriffspunkte der Lasten, von der mittleren Vertikalen aus gerechnet, sind natürlich algebraisch — also event. negativ — in Rechnung zu setzen.

Sind die Grössen II, [M] und [T] bekannt, so können die zusammengehörigen Werthe M und N aus den Gleichungen 32 und 33 berechnet werden.

Transversal kräfte.

Es soll zunächst die ungünstigste Laststellung ermittelt werden.

Die Belastungsscheiden können mit Hülfe der Kämpferdrucklinie in derselben Weise gefunden werden, wie bereits im §11 erläutert wurde. Welche Strecken zu belasten sind, um das positive oder negative Maximum der Transversalkraft in einem Querschnitt zu erhalten, ist aus Fig. 28 zu ersehen.

Die Scheerkraft erreicht ihr positives Maximum, wenn innerhalb der Strecke FP (Fig. 28) möglichst viele Lasten angreifen, und der Zug soweit gegen den fraglichen Querschnitt vorgeschoben wird, dass das erste Rad desselben senkrecht über dem Schwerpunkt des Schnitts liegt.

Die Transversalkraft erreicht ihr negatives Maximum, wenn der Zug vom linksseitigen Kämpfer bis gegen den betreffenden Querschnitt vorgerückt wird und das erste Rad desselben senkrecht über dem Axpunkt des Querschnitts liegt. Gleichzeitig ist die Strecke vom rechtsseitigen Kämpfer bis zur Belastungsscheide P (Fig. 28) zu belasten. Die grössten Raddrücke müssen möglichst in der Nähe des mittleren Punktes dieser Strecke zur Wirkung kommen, und ist das Lastsystem derartig anzuordnen, dass die Resultante der Lasten durch diesen mittleren Punkt der Strecke PB hindurch geht. In welcher Weise man die Lage des Lastsystems dieser letzten Bedingung entsprechend fixiren kann, ist oben im Abschnitt „Normalkräfte“ dieses Paragraphen erläutert.

Man kann der Ansicht sein, dass diese beiderseitige Belastung in Wirklichkeit niemals gleichzeitig auftritt. Will man nur die rechtsseitige oder nur die linksseitige Belastung berücksichtigen, so muss in jedem speciellen Falle untersucht werden, welche der beiden Belastungsarten die grösste negative Schubkraft im fraglichen Querschnitt hervorruft.

Nachdem die ungünstigste Laststellung ermittelt ist, bestimmt man für diese mit Hülfe der verzeichneten Curve den Horizontalschub H, sodann aus Gleichung 98 den Werth [T] und schliesslich die gesuchte Transversalkraft T aus der Formel 34.

§ 13. Einfluss der Temperaturändcruiigeii.

In Folge der Temperaturdifferenzen würde sich, falls keine Widerlager vorhanden wären, die Spannweite des Bogens um die Strecke

(99)

— 2 Ixt

verändern. Hierin bedeutet x den Ausdehnungscoefficienten des Materials für l°Cels. und t die Anzahl der Grade, um welche die Temperatur des Materials von der mittleren Temperatur abweichen kann. Eine Erhöhung der Temperatur würde eine Ausdehnung, eine Verminderung der Temperatur, ein Zusammenziehen der Construction zur Folge haben.

Dieser Veränderung der Spannweite wirken die Widerlager entgegen, indem dieselben auf den Bogen einen Horizontalschub II ausüben. Die Grösse dieses Horizontalschubes erhält man aus der Bedingung, dass die dieser Kraft entsprechende Zusammendrückung des Bogens denselben Absolutwerth haben muss, wie die in Folge der Temperaturdifferenz auftretende Vergrösserung der Spannweite.

Aus Gleichung 28 erhält man, wenn Ax=—2Ixt und M= — Hy gesetzt wird:

(100)

rj_2 lyit. jEJ₀

~~ 1)T2JT

Es kann

E= 20 000 000 t pr. E= 10 000 000 t pr. Dm £’== 23 000 000 t pr. Dm

x = 0,0000 118, x = 0,0000 112, x = 0,0000 115,

für Schmiedeeisen: für Gusseisen:

und für Stahl: gesetzt werden.

Die grösste Abweichung von der mittleren Temperatur sei zu

l = + 3Q0

angenommen.

Nach Einführung dieser Zahlenwerthe lautet Gleichung 100

(101)

für Schmiedeeisen:

14160 IJ0 — 1)4-2 ul 6720 IJ0 -1)4-2 yl

Tr , 15870 IJ0 — H- 2 pd

In diesen Gleichungen ist 1m als Längeneinheit und 1¹ als Gewichtseinheit vorausgesetzt. J₀ bedeutet das Trägheitsmoment des Bogenquerschnitts im Scheitel. Aus den Formeln 32 bis 34 folgt:

M= — Hy .

N— H. cos cp T — — II. sin cp

und für Stahl:

(103)

(104)

(105)

(106)

III. Bogen ohne Gelenk.

§ 14. Allgemeines.

Nach den Ausführungen des § 2 sind zur vollständigen Bestimmung der äusseren Kräfte drei Bedingungsgleichungen erforderlich, welche, wenn im Bogen keine Gelenke angeordnet sind, sich aus den Annahmen ergeben, dass

1.    die Bogenenden fest eingespannt sind; die relative Veränderung der Winkel, welche die Axe an den Kämpfern mit der Horizontalen bildet, gleich Null ist,

2.    die Verschiebung der Widerlagspunkte in horizontaler Richtung und

3.    die Verschiebung dieser Punkte in vertikaler Richtung gleich Null ist; event. dass diese Verdrehungen und Verschiebungen ein gewisses, als bekannt vorausgesetztes Maass haben.

Wie bereits im § 8 bei der Behandlung eines Bogenträgers mit 2 Gelenken ausgeführt wurde, lassen sich über die Grösse dieser in Folge der Nachgiebigkeit der Widerlager auftretenden Deformationen irgend wie zutreffende Angaben nach den bis jetzt vorliegenden Erfahrungen nicht machen. Es sollen deshalb auch hier bei Berechnung der Bogenträger die Kämpfer als absolut unbeweglich vorausgesetzt und die kleinen unvermeidlichen Veränderungen derselben durch Einführuug eines höheren Sicherheitscoefficienten berücksichtigt werden.

Setzt man in den Gleichungen 27, 28 und 31 die Werthe A cp, /Sx und A y gleich Null, so lauten dieselben:

0 — j ALdx.....

0 = j*My cl x — ii II j dx 0 = jnMx dx ....

(107)

(108)

(109)

Man erkennt aus diesen Gleichungen, dass die Lage des Coordinatenursprungs durchaus beliebig gewählt werden darf. Derselbe soll auf der mittleren Vertikalen und zwar um eine Strecke z über der Kämpferhorizontalen AB angenommen werden, welche sich aus folgender Bedingung ergiebt.

Bezeichnet man den Inhalt der Fläche zwischen der Sehne AB und der Bogen-axe ACB (Fig. 31) mit jf', so soll

sein.

d. h. gleich der Momentenfläche eines einfachen Balkenträgei-s bei der in Frage stehenden Belastung,

(113)

Für einen Punkt der Bogenaxe mit den Coordinaten x und y ist das Moment der äusseren Kräfte:

M — \M\ ■— M₀ — Hy — l\x

— 3C—»

TT

. . (111) Hierin bedeutet wie früher [M] das Moment, welches die nämliche Belastung bei einem Balkenträger auf 2 Stützen von der Länge 2 Mn einem Punkte mit der Abscisse x hervorrufen würde. Fer-

\ß ner sind M₀ und T₀ die Differenzen zwischen den Momenten, resp. den Transversalkräften, welche im Scheitelquerschnitt des Bogens und im mittleren Querschnitt eines Balkenträgers auf 2 Stützen bei der nämlichen Belastung auftreten.

Der Werth 111 wird in die Gleichungen 107 bis 109 eingeführt.

Setzt man

AI

Fig. 31.

f[U]ix=[S}

(112)

f [M]ydx=[%\

J"\M\xdx= [5], Jy¹ dx =

(114)

(115)

und löst die Gleichungen 107 bis 109 nach M₀, H und T₀ auf, so erhält man:

Ml

(116)

H= -

[1)1

(117)

T₀=~

3 [5]

2 l³

(118)

In diesen Formeln ist i) ausschliesslich von der Form der Bogenaxe, |t)] von der Form der Bogenaxe und der Art der Belastung, [iF] und [5] ausschliesslich von der Art der Belastung abhängig.

Sind die Grössen M₀, H und T₀ bekannt, so lassen sich die Werthe N und T, das Moment,, die Normalkraft und die Transversalkraft des Bogenquerschnitts einfach berechnen.

Es seien x und y die Coordinaten des Axpunktes eines Querschnitts 5 ferner bezeichne cp den Winkel, den die Bogenaxe im fraglichen Punkte mit der Horizontalen einschliesst; dann ist:

M= [M] — M₀— Hy — T₀x . N — ([2’] + T₀) sin cp + H. cos cp T= ([T] + T₀) cos cp —H. sin cp

(119)

(120) (121)

Für die verschiedenen Belastungsfälle haben natürlich die Grössen und [T], das Moment und die Transversalkraft, welche bei einem graden Balken auf

2 Stützen in einem Punkte mit der Abscisse x auftreten würden, die nämlichen Werthe, wie solche im § 3 angegeben sind.

Die Abhängigkeit der Grössen M₀, H und T₀ von der Art der Belastung ist durch die Werthe [JF], [5] und [!)] bedingt. Es erübrigt deshalb noch, diese Werthe für verschiedene Belastungsfälle zu ermitteln.

In den folgenden Formeln bedeute:

jF die Fläche zwischen der Bogenaxe und der X-Axe,

| dieser Fläche bezogen auf die Y-Axe.

5 das statische Moment % das Trägheitsmoment In Folge der hier gewählten Lage der X-Axe ist immer iF —0; ebenso ist der Symmetrie des Bogens halber 5 = 0.

JFj, 5^ und sind die Fläche, das statische Moment und das Trägheitsmoment zwischen den Abscissen £ und l genommen.

Totale gleichmässig vertheilte Belastung.

(Fig. 7.)

(122)

(123)

(124)

1-pp ■

[S] = o . . .

[*)]== —§-•«

Partielle gleichmässig vertheilte Belastung.

Die Belastung erstreckt sich vom rechtsseitigen Widerlager B bis zum Punkte C.

(Fig. 8.)

[4f] = -§-(1 + 1)* (21-1)' ......

[£]=-^r (/*-?)*........

(125)

(126)

. . (127)

Die Belastung erstreckt sich vom linksseitigen Widerlager A bis zum Punkte C.

(Fig. 9.)

(128) (129)

(130)

®'-2?S' + P^

Belastung durch eine Einzellast G.

(Fig. 10.)

(131) (132)

Ungleichmässig vertheilte Belastung.

Als Bogen ohne Gelenk ist auch das gemauerte Gewölbe aufzufassen. Bei einem Brückengewölbe vertheilt sich das Eigengewicht in den meisten Fällen derart,

dass dasselbe in jedem Punkte pro-JE portional der Ordinate zwischen dem Bogen ACB und einer Hori-

__zontalen D E (Fig. 32) ist. Die

Höhe AD sei mit C bezeichnet. ^ Ferner bedeute y die Verhältniss-zahl, mit welcher die Ordinaten

Fig-. 32.

Belastungen zu erhalten. Für einen Punkt mit der Abscisse x ist:

multiplicirt werden müssen, um die

[M] = y -y (P- x¹) (£-*) + 3* - x\$l

(134)

[ E\ — y \x (C    z) +

(135)

Der Ausdruck für die Momentenfläche [JF] wird unbequem; es ist vorzuziehen, nachdem man die Werthe [M] für eine Reihe von Punkten ermittelt hat, diese Grösse mit Hülfe der Simpson’schen Regel abzuleiten.

Hat man die Spannweite 2/ des Bogens etwa in 10 gleiche Theile A getheilt und für jeden dieser Theilpunkte den Werth [M] ermittelt, so ist:

[£] — y A ([Af₀] -f- [Mt] + 2 [AfJ -f- [A/₃] -f- 2 [Ma]) .... (136)

Es bedeutet hierin [Af₀] den Werth [M] im Theilpunkte x = 0, also im Scheitel; [M,] den Werth [M] für den folgenden Theilpunkt x = /S, u. s. f. [i/₅] ist natürlich Null.

Ebenso findet man:

[t)J — yA ([M] //o -\~ [4/,| ?/, + 2 [A/J y₂ + [M.j\ y₃ -f- 2 [MA] yA) .    .    .    (137)

worin y₀, yt .... die entsprechenden Ordinaten des Bogens bedeuten. Dieselben sind algebraisch, also zum Theil negativ in Rechnung zu setzen.

Ferner ist wegen der Symmetrie der Belastung:

[*] = 0

(138)

§ 15. Bestimmung der von der Form des Bogens abhängigen Grössen. I. Die Bogenaxe ist nach einer Parabel gekrümmt.

y⁼s{t-f)

. . (139)

tg ⁽P =

. (140)

f\

IT

(141)

A\

Fig. 33.

. ..    (142)

fl³

(143)

45 '

fr;

i'²

(144)

fl² ~

12

i+t(²-4)

(145)

(14(5)

fl³ "

45

Setzt man diese Werthe noch in die Gleichungen 124, 127, 130 und 133 ein, so nehmen dieselben folgende Form an:

(124.)

j5>’fP

180

,,//> (l+--)[8 + T(l-T

'Jri

'fr;

'Ir;

.    . (127 a)

180

<I/P (l---)

— 'fr;

8--7-

'fr;

OQ

(133a)

Auch die Formeln, welche sich auf ungleichmässig vertheilte Belastung beziehen, lassen sich unter der Voraussetzung, dass die Gewölbaxe nach einer Parabel gekrümmt ist, noch einfacher schreiben. Man erhält:

[M] =

.    ■ (134.)

(135a)

(136a)

315    f-⁶)

(137a)

2. Bogen allgemeinster Form.

Es ist am bequemsten für den Fall, dass die Axe nicht parabolisch gestaltet ist, die von der Form des Bogens abhängigen Grössen nach der Simpson’schen Regel zu entwickeln.

Die Spannweite des Bogens wird in 10 gleiche Theile A getheilt. Die Ordinaten zwischen der Kämpferhorizontalen und der Bogenaxe sollen vom Scheitel beginnend der Reihe nach mit i/of ?//, y.2 . . . bezeichnet werden.

Es ist dann:

+x

+y

Fig. 34.

(147)

Die in die weitere Rechnung einzuführenden Ordinaten ergehen sich sodann aus der Beziehung:

y=y—*

Es ist erforderlich in der Entfernung vom Kämpfer eine Zwischenordinate

zu ermitteln, welche entsprechend mit yAx} bezeichnet werden soll.

Für den wten Theilpunkt ist:

tg»„ = ün=i^±ä

(148)

2A

(149)

Für den Theilpunkt 5, also am Kämpfer, liefert diese Formel kein Resultat. In diesem Punkte ist:

.    .    (150)

Ferner ergiebt sich:

*) = A (2 i/l + 2y² + Ayl + 2y\ + 4y\ + y\) .    .

■$1 =--A (Vo +4?/, + 2 y., + 4y₃4~yd

4 =

.    .    (151)

•^2 — — A“ (//o+ 4y, A yd

0.

■g" (.Vi + 4y₂ + 2//.₍ + 4y,t 4~ y J

(152)

5.

A²

— (4?/,₁+18?/₄+5//₅) Äs'=-f^(3>/,+ lC.y₁+5r/r,) Äs' = S.‘H

2 A²

3~ (//•>+ h;/₃+ 2//.,,)

5 / =    (y, -h 8y.₂+ 6y₃ + 16 y, + 5 y₅)

(153)

4 A²

3— 1 -H ,y-> -1- 3 y ₃ H-//J

A³

g - (16y₁+81y₄+ 25 yj

®,'=dr(9ys+64^+25?/5)

^2+ 9y₃+ 4yJ

f~ (//>+ 16y,+ 18y₃+ 64y₄+ 25 yd 3-(//, + 2y, 4-9y₃+4yd

4 A³

A³

«. = «4 4

4 A³

Es ist selbstverständlich, dass in diese Formeln die Werthe y algebraisch, also zum Theil negativ einzusetzen sind.

Für den Fall, dass in den Ausdrücken £ltJ Bl oder der Werth £ negativ

wird, lassen sich diese Grössen leicht aus den schon berechneten Zahlen abschreiben. Es ist:

(155)

(150)

(157)

¹

Bogen allgemeinster Form.

²

Ist die Axe nicht nach einer Parabel gekrümmt, so werden die genauen ana

³

lytischen Ausdrücke für die von der Form des Bogens abhängigen Grössen sehr

⁴

unbequem. Selbst für den Fall, dass die Axe ein Kreisbogen ist, nehmen besagte Ausdrücke eine sehr unhandliche Gestalt an. Man wird dann besser thun, dieselben mit Hülfe der Simpson’schen Regel zu entwickeln.

⁵

Die Spannweite des Bogens wird in

⁶

10 gleiche Theile A getheilt. Die Ordi-naten y, welche, wie aus Fig. 24 zu ersehen, der Reihe nach mit ;/₀, y, .... bezeichnet sind, werden berechnet oder aus der Zeichnung abgegriffen. In der Ent-

⁷

fernung vom Kämpfer wird noch eine Zwischenordinate eingeschaltet.

§ 16. Gleichmässig vertheilte permanente Last.

Ist die Bogenaxe nach einer Parabel gekrümmt, so bestimme man die Werthe i) und [t)] aus den Gleichungen 142 und 124a (Seite 32 u. 33). Ist die Axe nicht nach einer Parabel gekrümmt, so ermittle man zunächst I) und ® nach den Gleichungen 151 und 154; sodann den Werth [$)] nach Forme! 124. Nachdem man noch die Grösse [£] aus Gleichung 122 bestimmt hat, können die Werthe M₀ und H aus den Gleichungen 116 und 117 berechnet werden.

Nunmehr ermittelt man die Grössen [.M] und [7'] nach den Formeln 35 und 36. Das Moment M, die Normalkraft N und die Transversalkraft T ergeben sich dann schliesslich aus den Gleichungen:

M=[M)-M₀-H.y . N — [T} sin cp-{-II. cos cp T — [2⁷] cos cp — II. sin cp

(158)

(159)

(160)

§ 17. Ungleichmässig vertheilte permanente Belastung.

Bei einem Brückengewölbe vertheilt sich das Eigengewicht in den meisten Fällen derart, dass dasselbe in jedem Punkte proportional der Ordinate zwischen dem Bogen und einer darüber liegenden Horizontalen ist (s. Fig. 32). Die Ermittlung der durch eine solche Belastung hervorgerufenen Spannungen ist folgender Maassen durchzuführen.

Die Bogenaxe ist nach einer Parabel gekrümmt.

Man bestimmt die Werthe 1), [£] und [!)] aus den Gleichungen 142, 136a und 137a (Seite 32 u. 33), sodann die Grössen M₀ und H nach den Formeln 116 und 117. Für jeden der Betrachtung zu unterziehenden Querschnitt ermittelt man nunmehr die Werthe [M] und [T] aus den Gleichungen 134a und 135a (Seite 33) und schliesslich das Moment M, die Normalkraft N und die Transversalkraft T aus den Gleichungen 158 bis 160.

Bogen allgemeinster Form.

Der Werth l) wird aus Gleichung 151 berechnet. Für die verschiedenen Theil-punkte der Bogenaxe ermittelt man die Grössen £lx und aus den Formeln 152 und 153; sodann die Werthe [M\ und [T] nach den Gleichungen 134 und 135. Mit Hülfe dieser Werthe kann man nunmehr aus 136 und 137 die Grössen [/] und [$)] berechnen; die Werthe M₀ und// ergeben sich dann aus den Formeln 116 und 117.

Legt man die der Betrachtung zu unterziehenden Querschnitte durch die Theilpunkte der Bogenaxe hindurch— eine solche Annahme ist empfehlenswerth, da für diese Querschnitte die Werthe [.M] und [T] bereits berechnet sind — so kann man das Moment M, die Normalkraft N und die Transversalkraft T direct aus den Gleichungen 158 bis 160 bestimmen.

§ 18. Gleichmässig vertlieilte mobile Last.

Verzeichnung der Kämpferdrucklinie und der Umhüllungscurven.

Zur Ermittlung der ungünstigsten Belastung ist die Kenntniss der Kämpferdrucklinie und der Umküllungscurven erforderlich. Um dieselben zu erhalten, bestimmt man für verschiedene Lagen einer Einzellast von der Grösse „ Eins “ die Werthe M₀, II und T₀ in folgender Weise:

Ist die Bogenaxe nach einer Parabel gekrümmt, so wird man zunächst die Werthe i) und [!)] aus den Gleichungen 142 und 133a (Seite 32 u. 33) ermitteln; falls die Axe keine parabolische Form hat, sind die Grössen t), und 5^ aus den Gleichungen 151, 152 und 153 zu berechnen und ist sodann der Werth [!)] nach der Formel 133 zu bestimmen. Ferner ermittelt man die Grössen [iF] und [<SJ für die verschiedenen Lagen der Einzellast aus den Gleichungen 131 und 132 und kann schliesslich die Functionen M₀, N und T₀ nach den Formeln 116 bis 118 berechnen.

Die Stützlinie einer Einzellast, welche in der Entfernung £ von der Y-Axe auf den Bogen einwirkt, ist in Fig. 35 verzeichnet. • Diese Stützlinie trifft die Kämpfervertikalen in Punkten, welche um die Strecke a resp. b unterhalb der X-Axe liegen. Die Grössen a und h ergeben sich aus den Beziehungen:

a + b — Yf

2 TJ ~H

(i

Ferner ist:

-5

Fig. 35.

XämpicvArnckluif

\e

°_1

(161)

(162)

(163)

rj = a-\- b

Mit Hülfe der Werthe a, b und rj lassen sich die Linien DF und EF (Fig. 35) verzeichnen.

Der geometrische Ort der Punkte F ist die Kämpf er drucklinie; die Curven, welche von den Graden DF und EF eingehüllt werden, bezeichet mau als Umh üllungscurven. Man erkennt leicht, dass mit Hülfe dieser Linien die Richtung der Kämpferdrücke für jede Lage einer Einzellast ermittelt werden kann.

*»

Liegt die Last am linksseitigen Widerlager, so wird der Ausdruck für b unbestimmt: der wahre Werth ist:

• fr ₌ ^

l. z .

Die Grössen a und rj werden beide unendlich; die Differenz behält jedoch einen endlichen Werth; man findet

(164)

rj — a — 2 b

(165)

Ist die Axe nach einer Parabel gekrümmt und vernachlässigt man den Einfluss der Normalkraft auf die Deforma-

tion des Bogens (also das Glied 2 f.i /), so wird die Kämpferdruck-

tr

linie eine Grade in der Höhe ~ +x

5    —

über dem Scheitel. Bezeichnet man die Coordinaten der Umhüllungs-curve mit a und x, so lautet unter denselben Voraussetzungen die Gleichung dieser Linie:

__2f_ u2 15    /    ’ l—G

Nachdem die Kämpferdrucklinie und die Umhüllungscurven verzeichnet sind, wird man gut thun, zunächst den Horizontalschub für verschiedene Belastungsfälle zu bestimmen.

Ist eine Strecke zwischen den Abscissen £ und / belastet, so findet man den dadurch er-    ^ j

zeugten Horizontalschub H folgendermaassen:

Falls die Bogenaxe nach einer Parabel gekrümmt ist, ermittelt man die Werthe I) und [t)] aus den Gleichungen 142 und 130a (S. 32 u. 33); ist die Axe nicht nach einer Parabel gekrümmt, so werden die Grössen iFg, und 0^ aus den Gleichungen 151, 152, 153 und 154 berechnet und wTird sodann [$)] mit Hülfe der Formel 130 bestimmt. Der gesuchte Horizontalschub ergiebt sich aus Gleichung 117.

Man ermittelt nun in dieser Weise den Werth II für verschiedene zwischen 0 und / liegende Werthe von £ und trägt die Grösse desselben der Abscisse £ entsprechend als Ordinate auf. Verbindet man die Endpunkte der Ordinaten durch eine stetige Curve, so giebt diese für jede vom linksseitigen Kämpfer A bis zu einem Punkte mit der Abscisse | sich erstreckende Belastung den dadurch erzeugten Horizontalschub direct an; derselbe ist gleich der Ordinate im Endpunkte der belasteten Strecke. Bedenkt man, dass symmetrisch liegende Belastungen den nämlichen Horizontalschub bedingen, so erkennt man leicht, dass mit Hülfe dieser Curve für jeden Belastungsfall der Horizontalschub einfach ermittelt werden kann.

. (166)

(L

*!

A.

Fig. 36.

4— s -*

mmiimniinmminflni _____

Fig. 37.

7’ß

Normalkräfte.

Die Belastungsscheiden für die obere Faser des Querschnitts findet man, indem man durch den unteren Kernpunkt — für die untere Faser durch den oberen Kern-

punkt — Tangenten an die Umhüllungscurven zieht und diese mit der Kämpferdrucklinie zum Schnitt bringt; die Schnittpunkte sind die gesuchten Belastungsscheiden. Es ist dann leicht zu entscheiden, welche Strecken belastet werden müssen, damit die Spannungen in der oberen oder unteren Faser das positive oder negative Maximum erreichen. Eine Einzellast, deren Stützlinie den fraglichen Querschnitt

oberhalb des unteren Kernpunktes schneidet, bringt in der oberen Faser eine Druckspannung hervor. Schneidet die Stützlinie den Querschnitt unterhalb des unteren Kernpunktes, so wird dadurch in der oberen Faser eine Zugspannung bedingt. Ebenso bringt eine Einzellast in der unteren Faser Druck- oder Zugspannungen hervor, je nachdem die Stütz linie den Querschnitt unterhalb oder oberhalb des oberen Kernpunktes trifft. Es ergiebt sich demnach das Belastungsschema in der Weise, wie Fig. 38 dasselbe zeigt.

Ist die ungünstigste Belastung gefunden, so bestimmt man für diese aus den Gleichungen 125 und 126 oder 128 und 129 die Grössen [Ü] und [<$]; sodann aus den Gleichungen 116 und 118 die Werthe M₀ und T₀. Mit Hülfe der verzeichneten Curve ermittelt man den Horizontalschub II. Ferner werden, indem man aus den Formeln 38 bis 47 die für den vorliegenden Belastungsfall passenden Gleichungen auswählt, die Werthe [M\ und [T] berechnet. Die Formeln 119 und 120 ergeben schliesslich die zusammengehörigen Grössen M und N. Man erhält also für jeden Querschnitt vier Werthepaare (M und iV), von denen zwei die Maximalspannungen der oberen Faser, und zwei die Maximalspannungen der unteren Faser liefern.

Zu bemerken ist hierbei, dass es im Allgemeinen empfehlenswertb ist, nicht sämmtliche Werthepaare MN direct zu berechnen, sondern, nachdem diese Grössen für einseitige Belastung gefunden sind, dieselben für anderseitige Belastung durch Subtraction von den totaler mobiler Last entsprechenden Werthen M und N zu bestimmen. Letztere können, falls das Eigengewicht gleichmässig vertheilt angenommen wurde, fsehr einfach aus diesen für das Eigengewicht ermittelten Werthen abgeleitet werden. Ist die permanente Last nicht gleichmässig über den Bogen vertheilt (bei Brückengewölben), so ist es immerhin noch vortheilhaft, die Werthe M und N für totale mobile Belastung besonders zu berechnen und diese Subtractionsmethode anzuwenden.

und

Sät

Max. d. Druckspannung

I    I    i

Max. d. Zugspannung

Max. d. Druckspannung

Max. d\ Zugspannung

llllllllillllllllllllllllllllll'lllllllHIUlimilllhlülllilllllll"¹!

Fig. 38.

I Inder roberen | Faser

I in der yunteren \Faser

Transversal kräfte.

Die Belastungsscheide bezüglich der Transversalkräfte findet man, indem man zur Tangente im fraglichen Punkte der Bogenaxe eine parallele Tangente an die

Umhüllungscurve zieht und diese mit der Kämpferdrucklinie zum Schnitt bringt. Eine zweite Belastungsscheide bildet der fragliche Axpunkt selbst.

Nach den Ausführungen des § 5 (Seite 13) ist dann leicht zu entscheiden, welche Strecken belastet sein müssen, damit die Transversalkraft zum positiven oder negativen Maximum werde. Das Belastungsschema ist in Fig. 39 verzeichnet.

Nachdem die ungüngstigste Belastung gefunden ist, bestimmt man für diese aus Gleichung 126 oder 129 den Werth [S] und sodann aus Gleichung 118 die Grösse T₀. Mit Hülfe der verzeichnten Curve ermittelt man den

Umkülluun4

Jt

Horizontalschub II. Ferner wird, indem man aus den Gleichungen 38 bis 47 die für den vorliegenden Belastungs-fall passenden Formeln auswählt, der Werth [T] berechnet. Die gesuchte Transversalkraft T erhält man schliesslich aus Gleichung 121.

Es ist im Allgemeinen empfehlenswerth, die positive und negative Maximal-Transversalkraft nicht gesondert zu ermitteln. Ist die Grösse T für einseitige Belastung berechnet, so kann dieselbe für anderseitige Belastung durch Subtraction von der totaler mobiler Last entsprechenden Transversalkraft gefunden werden.

max.

(+T)

max.

(-T)

Fig. 39.

§ 19. Mobile Belastung durch ein System von Einzellasten.

Man verzeichne zunächst die Kämpferdrucklinie und die Umküllungscurven nach der im vorigen Paragraphen erläuterten Art und Weise. Die zu diesem Zweck für verschiedene Lagen einer Einzellast von der Grösse „Eins“ berechneten Werthe von II trage man ferner in den Angriffspunkten der Last als Ordinaten auf. Mit Hülfe der dadurch erhaltenen Curve kann man dann für jede beliebige Lage einer Last den Horizontalschub angeben, indem man die Ordinate im Angriffspunkte derselben mit der Grösse der Last multiplicirt.

Normalkräfte.    ;

Es soll zunächst die ungünstigste Laststellung ermittelt werden.

Die Belastungsscheiden werden mit Hülfe der Kämpferdrucklinie und der Um-hüllungscurven in der nämlichen Weise verzeichnet, wie bereits im § 18 angegeben wurde. Welche Strecken zu belasten sind, um das Maximum der Druck- oder Zugspannung in der oberen oder unteren Faser hervorzurufen, ist aus Fig. 38 zu ersehen.

Es lassen sich nun die folgenden allgemeinen Regeln aufstellen, nach welchen die Lage des Zuges zu fixiren ist, um angenähert die ungünstigste Stellung desselben zu erreichen.

Ist die Strecke nx (Fig. 40) vom rechtsseitigen Kämpfer B bis zur Belastungsscheide Q oder die Strecke n.₂ vom linksseitigen Widerlager A bis zur Scheide P zu belasten, so müssen möglichst viele Lasten innerhalb der fraglichen Strecke angeordnet und die grössten Raddrücke in der Nähe des Punktes N gruppirt werden,

n₂ von A liegt. Die Resultante

2

welcher in der Entfernung — nx von B, resp.

O

der Lasten muss zwischen diesem Punkte N und einem Punkte M hindurch gehen, welch letzterer die Strecke B Q resp. A P halbirt.

.-I

Ist der Theil zwischen den Belastungsscheiden P und Q (Fig. 40), oder falls eine Scheide P nicht exi-

stirt, die Strecke A Q zu belasten, so müssen möglichst viele Axen innerhalb dieser Strecke angeordnet und die grössten Raddrücke in der Nähe des fraglichen Querschnitts gruppirt werden; eine der grössten Lasten muss senkrecht über dem Schwerpunkt dieses Querschnitts liegen.

Nach den hier gegebenen Anhaltspunkten wird es möglich sein, schätzungsweise wenigstens angenähert die ungünstigste Stellung des Zuges anzugeben.

MN P

Fig. 40.

''s

\>

.* -=s

Für diese ungünstigste Laststellung bestimmt man die Werthe [JF] und [<S| aus den Gleichungen

[$] = ^ZG(P-¥)

(167)

(168)

und sodann die Grössen M₀ und T₀ aus den Formeln 116 und 118. Der Horizontalschub II wird für jede einzelne Last aus der graphischen Darstellung dieses Werthes ermittelt; die Summe der so gefundenen Resultate liefert den der gesammten Belastung entsprechenden Horizontalschub. Nunmehr bestimmt man die Werthe [M] und [7’] aus den Gleichungen 97 und 98 und schliesslich die zusammengehörigen Werthe M. und N aus den Formeln 119 und 120.

Transversalkräfte.

Es soll zunächst die ungünstigste Laststellung ermittelt werden.

Die Belastungsscheiden können mit Hülfe der Kämpferdrucklinie und der Um-hüllungscurven in derselben Weise gefunden werden, wie bereits im § 18 erläutert wurde. Welche Strecken zu belasten sind, um das positive oder negative Maximum der Transversalkraft in einem Querschnitt zu erhalten, ist aus Fig. 39 zu ersehen.

Die Scheerkraft erreicht ihr positives Maximum, wenn innerhalb der Strecke FP (Fig. 39) möglichst viele Lasten angreifen, und der Zug soweit gegen den fraglichen Querschnitt vorgeschoben wird, dass das erste Rad desselben senkrecht über dem Schwerpunkt des Schnitts liegt.

Die Transversalkraft erreicht ihr negatives Maximum, wenn der Zug vom linksseitigen Kämpfer bis gegen den betreffenden Querschnitt vorgerückt wird und

das erste Rad desselben senkrecht über dem Axpunkt des Querschnitts liegt. Gleichzeitig ist die Strecke vom rechtsseitigen Kämpfer bis zur Belastungsscheide P (Fig. 39) zu belasten. Die grössten Raddrücke müssen möglichst in der Nähe eines Punktes

2

zur Wirkung gelangen, welcher um die Strecke — BP vom Widerlager B entfernt

ist. Die Resultante der Lasten muss zwischen diesem und dem mittleren Punkte der Strecke BP liegen.

Nachdem die ungünstigste Laststellung auf Grund dieser Regeln näherungsweise ermittelt ist, berechnet man für diese Belastung den Werth [5] aus Gleichung 168 und sodann die Grösse T₀ nach der Formel 118. Mit Hülfe der verzeichneten Curve wird der Horizontalschub II, ferner aus Gleichung 98 der Werth [T] bestimmt. Schliesslich ergiebt sich die gesuchte Transversalkraft T aus der Gleichung 121.

§ 20. Einfluss der Temperaturändcrungcn.

In Folge der Temperaturdifferenzen (vergl. § 13) wirkt auf den Bogen ein Horizontalschub von der Grösse

(169)

jj_ 2 lv.tEJ₀

~1)+W

Die in dieser Gleichung vorkommenden Buchstaben haben die im § 13 angegebene

Bedeutung.

Die Richtungslinie der Kraft H fällt mit der X-Axe zusammen, liegt also in der Höhe s über der Kämpferhorizontalen.

Die Werthe x, E und t sind für Schmiedeeisen, Gusseisen und Stahl bereits im § 13 angegeben. Die Gleichungen 101 bis 103 haben auch hier ihre Gültigkeit. (Es ist darauf aufmerksam zu machen, dass die Grösse l) bei Bogen ohne Gelenk, in Folge der veränderten Lage der X-Axe, einen anderen Zahlenwerth hat als bei einem Bogen mit 2 Gelenken. Demnach wird auch der Horizontalschub ein anderer sein, trotzdem die Gleichungen zur Berechnung desselben in beiden Fällen die nämlichen sind.)

Für Mauerwerk kann

E= 1500000 t pr. □“

x = 0,000007,

gesetzt werden. Die grösste Temperaturabweichung im Innern des Gewölbes von der mittleren Temperatur sei zu

t= + 10°

angenommen. Setzt man diese Zahlenwerthe noch in Gleichung 169 ein, so erhält man für Mauerwerk:

(170)

210 U0 ~ ty + 2fxl

Hierin ist 1m als Längeneinheit und 1* als Gewichtseinheit vorausgesetzt; Jn bedeutet das Trägheitsmoment des Bogenquerschnitts im Scheitel.

Aus den Formeln 119 bis 121 erhält man:

/--N -S    ■V

I—*

/i. innere Kräfte und Querschniffshesfininmnyen.

§ 21. Gewölbe.

Zur empirischen Bestimmung der Stärke eines Brückengewölbes können die folgenden Formeln benutzt werden.

Bedeutet:

/>₀    Gewölbstärke    im    Scheitel,

//,    Gewölbstärke    am    Widerlager,

/    die halbe Spannweite .    .    1    .    ^

/'    die Pfeilhöhe...../    der    Bogenaxe’

p die permanente ] Belastung pr. q die mobile . . J„Eins“,

Längeneinheit eines Gewölbes von der Tiefe

k die zulässige specifische Pressung des Materials,

so ist:

(174)

(175)

P(P + 1,8y)

2/(A-35)

h\ — K (1 + d,8 -y-

In diesen Formeln ist als Längeneinheit lm und als Gewichtseinheit 1* vorausgesetzt.

Die Kernlinien schliessen das mittlere Drittel der Gewölbstärke ein. Der Coefficient fj, (s. § 2, Seite 8) ist:

/?²

"u

(176)

Der Einfluss der Transversalkraft kann vernachlässigt werden.

Es ist am rathsamsten, anstatt auf Grund der genauen theoretischen Entwicklungen die Bogenquerschnitte direct zu berechnen, letztere nach den Formeln 174 und 175 provisorisch anzunehmen, die Spannungen in dem empirisch dimensionirten Gewölbe zu ermitteln und letzteres nach diesen Resultaten event. zu verändern.

Man berechnet die in Folge des Eigengewichts, der mobilen Belastung und der Temperaturdifferenzen auftretenden Momente M und Normalkräfte N nach den Angaben der §§14 bis 20 für verschiedene Querschnitte und summirt für jeden Querschnitt die entsprechenden Grössen.

Wird die Tiefe des Bogens = 1 gesetzt, so ist die Spannung in der oberen

Faser:

.    . (177)

k, - - - AT+

und in der unteren Faser:

. .    (178)

/    1 (at SM

h (jV h

Nachträgliche Veränderungen im Bogenquerschnitt sind nur auf die Lage der Belastungsscheiden von Einfluss. Eine geringe Verschiebung der letzteren ist aber für das Endresultat fast bedeutungslos. Man wird demnach die unter der ersten Annahme berechneten Werthe M und N, soweit dieselben vom Eigengewicht und der mobilen Belastung herrühren, auch für den corrigirten Bogen anwenden können.

Die Temperaturspannungen hingegen sind wesentlich von der Stärke des Querschnitts abhängig. Für diese muss also, wenn letzterer geändert wird, ebenfalls eine Correction vorgenommen werden.

§ 22. Blechbogcn.

Das Trägheitsmoment des Scheitelquerschnitts, dessen Kenntniss bei statisch unbestimmten Systemen zur Ermittlung der Temperaturspannungen erforderlich ist, kann man für Bogen, welche aus einer Blech wand und durch Winkeleisen angeschlossenen Gurtungen bestehen, vorläufig aus folgenden Gleichungen berechnen:

Jq —

Bogen mit 2 Gelenken. Ä²/²

10 (f. k — ah)

ip +1)15 q)

(179)

Jo =

Bogen ohne Gelenk. hH²

10 (/Ar — 2 a/*)

(p + M 7)

(180)

Hierin bedeutet:

/ die halbe Spannweite 1 ,    „

/ die PfeilhBhe . . . Mer Bo^enaxe> h den Abstand der Schwerpunktslinien der beiden Gurtungen,

v die permanente Belastung ] T „    . ,

⁰ > pr. Längeneinheit, q die mobile Belastung .    . J

k die zulässige specifische Spannung,

n einen Coefficienten, welcher vom Elasticitätsmodul, der specitischen Temperaturausdehnung , etc. des Materials abhängt.

Nimmt man 1m als Längeneinheit und 1t als Gewichtseinheit an, so ist

für Schmiedeeisen: für Gusseisen: und für Stahl: zu setzen.

a — 7000 a = 3400 « = 8000

(181)

QO QO

Für die specifische mobile Belastung q ist der der halben Spannweite des Bogens entsprechende Werth aus der Tabelle des § 7 zu entnehmen.

Weicht das schliesslich sich ergebende Trägheitsmoment J₀ sehr wesentlich von dem approximativ ermittelten Werthe ab, so wird eine Correctur der auftretenden Temperaturspannungen erforderlich sein.

Der Coefficient g (s. § 2, Seite 8) ist näherungsweise für Profile, welche aus einer Blech wand und durch Winkeleisen angeschlossenen Gurtungen bestehen

(184)

^ = -5- h\

wenn mit h der Abstand der Schwerpunktslinien der beiden Gurtungen bezeichnet wird.

Die Kernlinien liegen in der Entfernung

h von der Mittelaxe des Bogens.

Es werden nunmehr für eine Reihe von Querschnitten das Moment M und die Normalkraft N berechnet, welche bezüglich der oberen oder unteren Faser die grösste positive (Druck-) oder negative (Zug-) Spannung hervorbringen.

Dem Absolutwerthe nach wird die Druckspannung immer überwiegen, so dass der Querschnitt nach dieser berechnet werden muss.

Die zulässige Beanspruchung des Materials hängt ab von der Differenz der Spannungen, welche in demselben auftreten, und zwar kann

(185)

min S max S

gesetzt werden, wenn k¹ 2 3 4 5 6 eine mittlere zulässige specifische Beanspruchung, min S die absolut kleinste und max S die absolut grösste Spannung im fraglichen Punkte

bedeutet. Der Quotient

wird natürlich negativ, wenn die beiden Grenz

min S

max S

werthe min S und max S verschiedene Vorzeichen haben.

Anstatt jedoch diese veränderliche Grösse k in die Rechnung einzuführen, ist es bequemer, den Bogen durchweg mit der constanten Spannung k¹ zu berechnen. Man ist dann nur genöthigt, vorher die Momente und Normalkräfte folgender-maassen zu reduciren:

Es möge das Werthepaar

Mt und Nt die grösste Druckspannung,

M* und A⁷' die grösste Zugspannung in der oberen Faser bedingen. Ebenso soll

M₂ und A⁷ die grösste Druckspannung,

M.₂‘ und A⁷' die grösste Zugspannung

in der unteren Faser hervorrufen. Alsdann setze man für die obere Faser:

red. —

1 4- ---

^ 2

1    -\-.2fiNj

MJi -f- 2 ^ A⁷

(186)

red. V, =

1 ⁺T'

und für die untere Faser:

1 M‘h + 2/iNx Mx h -|- 2 (.i A⁷,

(187)

red. Mz =

1 MJh — ZiiNJ MJi — 2 A⁷₂

(188)

Man macht nun über die Blechstärke ö eine Annahme; dieselbe wird nur von constructiven Rücksichten bedingt; die theoretisch erforderliche Blechstärke ergiebt sich immer zu gering für die Ausführung.

Der Querschnitt der oberen Gurtung (Lamellen incl. Winkeleisen) sei mit fi derjenige der unteren Gurtung mit ß₂ bezeichnet.

Man hat dann:

Q. = A — B(N,h — 6 IQ + J/A¹-1- B*h (Mt N,— M₂ Nt). . . (190)

Hierin ist:

Jd

öh

3(^-2^

A_ 1 J^Ä + 2^

(191)

und

hk‘

. (192)

Ferner ergiebt sich:

ß₂ =

6 fl, (NJi. - 2 M.₂) — öh [6 (Jf, + M,) - h (N,— A⁷,)]

6(W₁Ä + 2iH₁)

. (193)

Nachdem man für eine Reihe von Punkten die erforderlichen Querschnittsflächen ermittelt hat, wird man gut thun, diese Werthe für die obere und untere Gurtung graphisch aufzutragen. Man entscheidet sich nun über die Anzahl und Breite der Gurtungslamellen und ermittelt mit Hülfe der graphischen Darstellung, an welchen Punkten des Bogens ein Hinzufügen oder Fortlassen einer Lamelle erforderlich oder zulässig ist.

FachwerTtbogen.

§ 23. Allgemeines.

Setzt man die äusseren Kräfte sämmtlich als bekannt voraus, so lassen sich die Spannungen in den einzelnen Fachwerkstäben unter den nachbenannten Verhältnissen durch die Gesetze der Statik ermitteln.

Bogen mH 3 Gelenken.

Bezeichnet m die Anzahl der Knotenpunkte einer Bogenhälfte (das Scheitelund Kämpfergelenk eingerechnet) und n die Anzahl der Gitterstäbe, so muss

n = Im — 3

sein.

Bogen mit 2 Gelenken.

Bezeichnet m die Anzahl der Knotenpunkte des ganzen Bogens (einschliesslich der beiden Kämpfergelenke) und n die Anzahl der Stäbe, so muss

n = Im — 3

sein.

Bogen ohne Gelenk.

Bezeichnet m die Anzahl der Knotenpunkte des ganzen Bogens, einschliesslich der zwei an jedem Kämpfer vorhandenen Befestigungspunkte und n die Anzahl der Stäbe, einschliesslich des an jedem Widerlager zwischen den beiden Befestigungspunkten anzunehmenden Stabes, so muss ebenfalls

n = 2 m — 3

sein.

(189)

red. A'₂ =

M‘h —

M.₂ h — 2/i A⁷

Sind weniger Fachwerkstäbe vorhanden, als sich nach diesen Gleichungen ergeben, so ist der Bogen nicht mehr stabil. Sind mehr als n Stäbe vorhanden, so wird das System statisch unbestimmt; d. h. es lassen sich alsdann die Spannungen in den einzelnen Constructionstheilen nicht mehr durch die Gesetze der Statik allein ermitteln. Die Berechnung des Fachwerks kann alsdann correcter Weise nur unter Berücksichtigung der Deformations-Verhältnisse geschehen.

Es ist bei den theoretischen Entwicklungen vorausgesetzt, dass die Enden der Stäbe durch Gelenke verbunden sind und die Lasten ausschliesslich an den Knotenpunkten angreifen.

Die Spannungen in den einzelnen Fachwerkstäben werden allgemein folgender-maassen ermittelt. Man denkt sich durch den Bogen einen Schnitt in der Weise geführt, dass ausser dem in Frage stehenden Fach werkstabe nur noch zwei weitere Constructionstheile getroffen werden. Wird der rechts oder links vom Schnitt liegende Theil des Bogens fortgenommen, so kann der überbleibende Theil dadurch im Zustande des Gleichgewichts gehalten werden, dass man die Spannungen der geschnittenen Stäbe als äussere Kräfte anbringt. Das Gleichgewicht erfordert, dass das statische Moment sämmtlicher auf den überbleibenden Bogentheil einwirkenden Kräfte bezüglich irgend eines Punktes der Kraftebene Null ist. Man wählt als Drehpunkt den Schnittpunkt der mitgeschnittenen Constructionstheile, welcher dem fraglichen Stabe conjugirt ist. Sind die äusseren Kräfte bekannt, so wird die bezüglich dieses Punktes aufgestellte Momentengleichung als einzige Unbekannte die fragliche Spannung enthalten, und lässt sich letztere demnach aus dieser Gleichung bestimmen.

Für jeden Fach werkstab ermittelt man die Grenzspannungen, zwischen denen die Beanspruchung dieses Constructionstheils schwanken kann; alsdann berechnet man die zulässige specifische Inanspruchnahme aus der Gleichung

(194)

min S max S

Es bedeutet hierin min £ die absolut kleinste, max & die absolut grösste Span

nung, welche im fraglichen Stabe auftritt. Haben min S und max S entgegengesetzte

Vorzeichen, so wird der Quotient

negativ.

min *S

max S

Indem man sodann die absolut grösste Spannung durch die für den Gitterstab ermittelte zulässige specifische Beanspruchung dividirt, erhält man die Grösse des erforderlichen Netto-Querschnitts.

Bei den folgenden Formeln sind stets Druckkräfte als positiv, Zugkräfte als negativ bezeichnet.

I. Bogen mit 3 Gelenken.

§ 24. Allgemeines.

Das Moment der äusseren Kräfte bezüglich irgend eines Punktes aS mit den Coordinaten x und y ist:

wenn mit [M] das Moment bezeichnet wird, welches die nämliche Belastung bei einem Balkenträger auf 2 Stützen von der Spannweite 2/ in einem Punkte mit der Abscisse x hervorbringen würde. Bezeichnet man die Einzellasten, welche auf der rechtsseitigen Bogenhälfte angreifen, mit 6>, diejenigen, welche auf der linksseitigen Bogenhälfte liegen mit G, und mit £ die Abscissen der Angriffspunkte dieser Lasten (für die Lasten Gr sind die Werthe £ negativ), so wird:

2Qr{l + § + 2G, (/-£)

Zu bemerken ist hierbei, dass es für Lasten, welche im Scheitel selbst angreifen, gleichgültig ist, ob dieselben der rechtsseitigen oder linksseitigen Bogenhälfte zugerechnet werden.

Bezeichnet man ferner die Lasten rechts von dem zum Zweck der Spannungsermittlung geführten Schnitte mit 6r', diejenigen links von diesem Schnitte mit G“ und die Abscissen der Angriffspunkte wieder mit

I7£^e'(/+a + -^-2G"(/-D .... (io?)

H=

2/

[M]

J,

ffr;

K-

---I

Fig. 4t.

(196)

so hat man:

Es ist bei Aufstellung des Momentes [M] noch Folgendes zu beachten.

Im Allgemeinen müssen Lasten, welche innerhalb des geschnittenen Feldes liegen, zerlegt werden in ihre Componenten, welche am rechtsseitigen, resp. linksseitigen Knotenpunkte des fraglichen Feldes angreifen, und sind dann die auf den rechtsseitigen Knotenpunkt entfallenden Kräfte den Lasten G\ die auf den linksseitigen Knotenpunkt entfallenden Componenten den Lasten G“ zuzurechnen. Fällt jedoch der Drehpunkt, für welchen das Moment [M] ermittelt werden soll, mit einem Knotenpunkte des geschnittenen Feldes zusammen, in welchem die mobilen Lasten direct mittelst hier angeordneter Querträger oder mittelst Yertikalständer angreifen — dieser Fall tritt bei Berechnung sämmtlicher unteren Gurtungsstäbe auf —, so kann man alle Lasten rechts von diesem Knotenpunkte als Lasten G\ alle Kräfte links vom Knotenpunkte als Lasten G“ betrachten. Eine Zerlegung ist dann nicht erforderlich. Für eine Kraft, welche im fraglichen Knotenpunkte selbst angreift, ist es gleichgültig, ob dieselbe den Lasten G‘ oder G“ zugerechnet wird.

Auch dann, wenn der Drehpunkt, für welchen das Moment [M] aufgestellt werden soll, vertikal unter einem solchen Knotenpunkte, an welchem die mobilen Lasten angreifen, liegt — dieser Fall tritt bei Berechnung der oberen Gurtungsstäbe auf, wenn das geschnittene Feld durch Vertikalstäbe begrenzt wird —, ist eine Zerlegung der innerhalb dieses Feldes angreifenden Lasten nicht erforderlich.

Die Spannung im Obergurt sei mit 0, diejenige im Untergurt mit Z7, die Spannung in einem Füllungsgliede mit I) bezeichnet. Die entsprechenden Hebelsarme bezüglich der Schnittpunkte der mitgeschnittenen Constructionstheile seien o, u und d. Nachdem das Moment M der äusseren Kräfte bezüglich des dem fraglichen Stabe conjugirten Drehpunktes nach Gleichung 195 mit Hülfe der Werthe 196 und 197 berechnet ist, findet man die gesuchte Spannung aus einer der Gleichungen:

U= —

(199)

I) =

±~d

. (200)

Ob in der letzten Gleichung das + Zeichen oder das —Zeichen gültig ist, kann folgendermaassen entschieden werden.

Durch den fraglichen Stab denkt man sich einen Schnitt geführt und zwar in der Weise, dass ausser diesem Stabe nur noch zwei weitere Constructionstheile getroffen werden.

Derjenige Theil des Bogens, welcher rechts von diesem Schnitte liegt, sei fort-genommen. Auf den Theil links vom Schnitte lässt man die Spannung D als Druckkraft einwirken, so dass

also der Pfeil der Kraft D gegen den festbleibenden — nicht fortgeschnittenen — Knotenpunkt des fraglichen Stabes gerichtet ist. Dreht nun die in dieser Weise eingeführte Spannung I) um den Schnittpunkt der mitgeschnittenen Constructionstheile im entgegengesetzten Sinne des Uhrzeigers, so gilt in Gleichung 200 das + Zeichen, dreht hingegen diese Kraft im Sinne des Uhrzeigers, so ist das — Zeichen als gültig anzunehmen. Für den in

Fig. 42.

Fig. 42 dargestellten Fall würde demnach das + Zeichen Geltung haben.

Bei den Füllungsgliedern kann noch der Fall Vorkommen, dass der Schnittpunkt der mitgeschnittenen Constructionstheile — der beiden Gurtlinien — ins Unendliche fällt. Dann ist:

worin

[?’] cos (jp — II sin cp

sin a

(201)

(202)

m-2 /

ist, und TI den oben aus Gleichung 196 zu entnehmenden Werth hat. Es bezeichnet ferner cp den Winkel, den die parallelen Gurtlinien mit der Horizontalen einschliessen und a den Winkel zwischen Gurtlinien und Füllungsstab.

Kid

Fig. 43.

Bei Berechnung der Transversalkraft [T] aus Gleichung 202 ist zu beachten, dass Lasten, welche innerhalb des geschnittenen Feldes liegen, in ihre Componenten, welche am rechtsseitigen, resp. linksseitigen Knotenpunkte des fraglichen Feldes angreifen, zerlegt werden müssen. Es sind dann die auf den rechtsseitigen Knotenpunkt entfallenden Kräfte den Lasten Cr', die auf den linksseitigen Knotenpunkt entfallenden Componenten den Lasten Cr" zuzurechnen.

Ob in Gleichung 201 das + oder—Zeichen gültig ist, kann folgendermaassen entschieden werden. Durch den fraglichen Gitterstab ist zum Zweck der Spannungsermittlung ein Schnitt in der Weise zu führen, dass ausser diesem nur noch zwei weitere Constructionstheile getroffen werden. Die Kraft I) wird in der Weise ein-

geführt, dass dieselbe als Druckkraft auf den links vom Schnitt befindlichen Theil des Bogens wirkt. Alsdann denkt man sich diese Kraft in eine Componente parallel zur Richtung der geschnittenen Gurtlinien und eine Componente senkrecht zu dieser Richtung zerlegt. Ist letztere Componente abwärts, gegen die untere Gurtung gerichtet, so gilt das -(-Zeichen, ist dieselbe aufwärts gerichtet, so wird das —Zeichen einzuführen sein. Für den in Fig. 43 dargestellten Fall würde demnach das -j-Zeichen Geltung haben.

§ 25. Gleichmässig vertlieilte permanente Last.

Man wird zunächst den Horizontalschub H aus Gleichung 196 ermitteln; sodann wird man für jeden Stab das dem conjugirten Drehpunkte entsprechende Moment [M] nach Gleichung 197 berechnen.

Hierbei ist zu bemerken, dass es immer in einfacher Weise möglich sein wird, die Lasten Gr, Gh G‘ oder G“ zusammenzufassen und durch ihre Resultante zu ersetzen. In den Gleichungen 196 und 197 können dann statt der Summenwerthe die Producte aus diesen Resultanten und den Abständen (/+£), resp. (/— £) sub-stituirt werden, wenn mit £ nunmehr die Abscisse des Angriffspunktes der Resultanten bezeichnet wird. Es ergiebt sich sodann für den einem Stabe conjugirten Drehpunkt das Moment M aus Gleichung 195 und schliesslich die gesuchte Stabspannung aus einer der Formeln 198 bis 200.

Liegt der Schnittpunkt der mitgeschnittenen Constructionstheile im Unendlichen, so berechnet man zunächst die Werthe H und [7¹] aus den Gleichungen 196 und 202 und mit Hülfe dieser Grössen die Spannung nach der Formel 201.

§ 26. Gleichmässig vertheilte mobile Last.

Die Kämpferdrucklinie besteht aus den beiden Graden CI) und CE (Fig. 44).

Die Belastungsscheide findet man, indem man den Schnittpunkt der mitgeschnittenen Constructionstheile mit dem linksseitigen Kämpferpunkte verbindet und diese Verbindungsgrade mit der Kämpferdrucklinie zum Schnitt bringt. Der Schnittpunkt ist die gesuchte Scheide.

Welche Strecken belastet werden müssen, um im fraglichen Stabe das Maximum der Druck- oder Zugspannung zu erreichen, lässt sich folgendermaassen entscheiden.

Jt

Fig. 44.

Mit Hülfe der Kämpferdrucklinie, welche bei einem Bogen mit 3 Gelenken aus den beiden Graden CD und CE. besteht, lässt sich für jede Lage einer Einzellast G die Stützlinie direct angeben. Greift die Last G in F an (Fig. 44), so ist der Linien-

K. Krolm, Bogenbrüolcen. TT.

zug AFB die entsprechende Stützlinie; die Richtung der Kämpferreaction bei A ist durch die Grade A F, die Richtung der Reaction bei B durch BF gegeben.

Durch den zu berechnenden Fachwerkstab denkt man sich einen Schnitt geführt in der Weise, dass ausser diesem Stab nur noch zwei weitere Constructions-theile getroffen werden. Den Theil des Bogens, welcher rechts von diesem Schnitt liegt denkt man sich fortgenommen, und den linksseitigen Theil des Trägers dadurch im Zustande des Gleichgewichts erhalten, dass man die Spannungen der geschnittenen Stäbe als äussere Kräfte anbringt. Das Gleichgewicht erfordert, dass das statische Moment sämmtlicher auf den linksseitigen Bogentheil einwirkenden Kräfte bezüglich irgend eines Punktes der Kraftebene Null ist. Wählt man als Drehpunkt den Schnittpunkt der mitgeschnittenen Constructionstheile, so wird die Gleichung der statischen Momente als einzige Unbekannte die gesuchte Spannung enthalten, und lässt sich letztere demnach direct ermitteln.

Man untersucht nun den Einfluss einer Einzellast.

Liegt die Last rechts von dem zum Zweck der Spannungsermittlung geführten Schnitt, so wirkt auf den linksseitigen Theil des Bogens nur die Reaction A und zwar in der Richtung von A nach F (Fig. 44). Greift die Last an dem links vom fraglichen Schnitt befindlichen Bogentheil an, so wird für diesen die Reaction A und die Last selbst zu berücksichtigen sein. Die Reaction A und die Last G setzen sich zusammen zu einer Resultanten, welche natürlich in die Richtung der Graden FB hineinfällt und zwar wirkt diese Resultante ihrem Sinne nach von F gegen B.

Es ist nun leicht zu entscheiden, ob eine Einzellast bei einer bestimmten Lage eine Druck- oder Zugspannung im fraglichen Stabe hervorbringt.

Man übersieht nach den obigen Ausführungen direct, ob die äusseren Kräfte, welche auf den links vom Schnitt befindlichen Bogentheil einwirken (also entweder die Reaction A —*■ F oder, falls die Last links vom Schnitt angreift, die Resultante F»- B), um den Schnittpunkt der mitgeschnittenen Constructionstheile im Sinne oder im entgegengesetzten Sinne des Uhrzeigers drehen. Bedenkt man, dass diesen äusseren Kräften durch die Spannungen der geschnittenen Stäbe das Gleichgewicht gehalten werden muss, dass also die Spannung des in Rede stehenden Fachwerkstabes bezüglich des conjugirten Drehpunktes ein Moment erzeugen muss, welches dem der äusseren Kräfte entgegenwirkt, so lässt sich hiernach die Pfeilrichtung der fraglichen Spannung sofort angeben.

Ist dieser Pfeil gegen den festbleibenden, nicht fortgeschnittenen Knotenpunkt gerichtet, so bedeutet die Spannung eine Druckkraft; ist hingegen der Pfeil vom festbleibenden Knotenpunkte fortgerichtet, so ist die durch die Einzellast erzeugte Spannung eine Zugspannung.

Man untersucht nun, bei welcher Lage eine Einzellast, welche an den verschiedenen Theilen des Bogens angreift, eine Druckspannung, und bei welcher Lage dieselbe eine Zugspannung im fraglichen Stabe erzeugt. Nach Ausfall dieser Untersuchungen ist leicht zu entscheiden, welche Strecken des Bogens belastet werden müssen, um das Maximum der Druck- oder Zugspannung in dem in Rede stehenden Constructionstheil zu erhalten.

Die Belastungsschemen ergeben sich demnach folgendermaassen:

Obere Gurtuny.

1. Der Schnittpunkt S der mitgeschnittenen Constructions-theile liegt oberhalb der Graden A E (Fig. 45).

Druck

Zu<j

\Q

Fig. 45.

2. Der Schnittpunkt 5 der mitgeschnittenen Constructions-theile liegt unterhalb der Graden AU (Fig. 46).

7)

■<

Druck

Ao-

⁶U

Fig. 46.

Untere Gurtuny.

1. Der Schnittpunkt S der mitge schnitten eil Constructions-theile liegt unterhalb der Graden BI) (Fig. 47).

1)

Druck

---

SbLl; —

(l

Fig. 47.

— Druck

2. Der Schnittpunkt <S der mitgeschnittenen Constructions-theile liegt oberhalb der Graden BI) (Fig. 48).

^>B

Fig. 48.

Füll unysylieder.

Zum richtigen Verständniss der Belastungsschemen ist es erforderlich, folgende kurze Ausführung zu berücksichtigen.

Durch den fraglichen Gitterstab ist ein Schnitt in der Weise zu führen, dass ausser diesem nur noch zwei weitere Constructionstheile getroffen werden. Man betrachtet das zwischen diesem Schnitte und dem linksseitigen Kämpferpunkte be-

4*

tindliche Stück des Bogens; der Tbeil rechts vom Schnitt ist also fortzudenken. Die Spannung in dem in Rede stehenden Constructionstheil wird zunächst positiv, also als Druckspannung angenommen, d. h. der Pfeil der Kraft ist gegen den festbleibenden, nicht fortgeschnittenen Knotenpunkt des Stabes gerichtet,

Es ist nun bei den nachstehenden Belastungsschemen die Annahme gemacht, dass die in dieser Weise eingeführte Spannung um den Schnittpunkt der mitgeschnittenen Constructionstheile im entgegengesetztem Sinne des Uhrzeigers dreht. Dieser Fall ist auch in sämmtlichen Figuren gezeichnet. Dreht jedoch die in der oben angedeuteten Weise eingeführte Spannung im Sinne des Uhrzeigers, so sind in den Belastungsschemen die Worte „Druck“ und „Zug“ mit einander zu vertauschen.

1. Der Schnittpunkt-S der mitgeschnittenen Constructionstheile liegt unterhalb der Graden BI) und oberhalb der GradeniK

Fig. 49 stellt den Fall dar, dass die Belastungsscheide P rechts vom fraglichen Schnitt oj to‘ liegt. Fällt der Punkt P links vom fraglichen Schnitt, so ist derselbe

*—Druck----i

Zuy

*—Druck —*-

Zuj

\p

OJ

fs

ICO'

Fig. 49.

Fig. 50.

ohne Bedeutung; alsdann wird der Schnitt cocoJ selbst zur Belastungsscheide (Fig. 50). Letzteres Schema hat auch dann Gültigkeit, wenn der conjugirte Schnittpunkt <S links von der Kämpfervertikalen A I) liegt, so dass eine reelle Belastungsscheide P überhaupt nicht existirt.

y «—Zug -^-Druck^f—

Zug

,0)

2. Der Schnittpunkt 5 der mitgeschnittenen Constructions-theile liegt oberhalb der beiden Graden AE und BI) (Fig. 51).

Fig. 51.

Zug—i

Druck

CO

yn

>A

3. Der Schnittpunkt S der mitgeschnittenen Constructionstheile liegt unterhalb der Graden AE und oberhalb der Graden BP) (Fig. 52).

CO'

Fig. 52.

4. Der Schnittpunkt S der mitgeschnittenen Constructionstheile liegt unterhalb der beiden Graden AE und BD.

Fig. 53 stellt den Fall dar, dass eine reelle Belastungscheide P verhandelt ist, während Fig. 54 das Belastungsschema für den Fall zeigt, dass eine solche Scheide nicht existirt.

‘Druckt— Zug-¥-

Druck —■

Druck

C0‘

\D

D)

\(

CI

Fig. 53.

Fig. 54.

Es kann ferner Vorkommen, dass der Schnittpunkt S der mitgeschnittenen Constructionstheile im Unendlichen liegt, d. h. dass die beiden Gurtungsstäbe parallel sind. Man findet dann die Belastungsscheide, indem man durch den Kämpferpunkt A die Parallele zur Richtung der Gurtlinien zieht und dieselbe mit der Graden CD zum Schnitt bringt.

Es ist bei den beiden folgenden Belastungsschemen vorausgesetzt, dass die für den links vom Schnitt befindlichen Theil des Bogens als Druckkraft eingeftihrte Spannung des Gitterstabes eine Componente senkrecht zur Richtung der mitgeschnittenen Gurtlinien hat, welche abwärts, gegen die untere Gurtung gerichtet ist. Ist diese Componente aufwärts gerichtet, so sind in den folgenden Figuren die Worte „Druck“ und „Zug“ mit einander zu vertauschen.

1. Es ist eine Belastungsscheide P vorhanden (Fig. 55).

Zug

■>

j) <rZu<j Druck ---k-

dP

Fig. 55.

ab

Zug-f

Druck

2. Es ist keine Belastungsscheide P vorhanden (Fig. 56).

Ei’

Fig. 56.

Hat man für einen Stab des Fachwerks die Belastungsscheiden ermittelt, so sind, je nachdem man die grösste Druck- oder Zugspannung im fraglichen Con-

structionstheil berechnen will, die Knotenpunkte innnerhalb der einen oder der anderen Strecke als belastet anzunehmen.

Sodann bestimmt man für den vorliegenden Belastungsfall den Horizontalschub II und das Moment [M] aus den Formeln 196 und 197, mit Hülfe dieser Werthe die Grösse M nach Gleichung 195 und schliesslich die gesuchte Spannung aus einer der Gleichungen 198 bis 200. Liegt der dem fraglichen Stabe conjugirte Drehpunkt im Unendlichen, so werden zunächst die Grössen H und [7’] nach den Gleichungen 196 und 202 zu berechnen sein. Die Spannung ergiebt sich dann aus der Formel 201.

Es ist immer in einfacher Weise möglich, die pr. Knotenpunkt angreifenden Kräfte Q gruppenweise (die Lasten Gr, Gh G¹ oder 6r") durch ihre Resultanten zu ersetzen, deren Grösse und Lage sich direct angeben lässt. Die Rechnung wird durch Einführung dieser Resultanten vereinfacht, wie solches bereits im § 25 für gleich-mässig vertheilte permanente Belastung erörtert ist.

Nachdem man für einen Constructionstheil die Maximalspannung im einen Sinne berechnet hat, findet man die Maximalspannung im andern Sinne am einfachsten durch Subtraetion des zuerst berechneten Werth es von der in Folge totaler mobiler Last auftretenden Spannung. Letztere kann aus der für das Eigengewicht berechneten Spannungszahl leicht abgeleitet werden.

¹

-f — •

²

^ 2

³

Hierin sind die Werthe M und A⁷ als algebraische Grössen, also event. negativ

⁴

einzuführen. Das Glied, welches den Factor fi enthält, darf in diesen Formeln keinenfalls vernachlässigt werden, selbst dann nicht, wenn bei den sonstigen Rechnungen der Einfluss der Normalkraft auf die Deformation des Bogens nicht berücksichtigt wird.

⁵

Bei den folgenden Entwicklungen für Blechbogen sind unter il/, A⁷, und M₂ A₃

⁶

immer diese reducirten Werthe verstanden. Die zulässige Beanspruchung ist alsdann

⁷

constant == k‘ in die Rechnung einzuführen.

§ *27. Mobile Belastung durch ein System von Einzellasten.

Zunächst soll die ungünstigste Laststellung ermittelt werden. Die Belastungsscheide P wird gefunden, indem man den Schnittpunkt der mitgeschnittenen Con-structionstheile mit dem linksseitigen Kämpferpunkte verbindet und diese Verbindungsgrade mit der Kämpferdrucklinie zum Schnitt bringt; der Schnittpunkt ist die gesuchte Belastungsscheide.

Es bezeichne:

H, die Resultante der auf die rechtsseitige Bogenhälfte wirkenden Lasten,

Ko die Resultante derjenigen Lasten, welche zwischen dem Scheitelgelenk und dem zum Zweck der Spannungsermittlung geschnittenen Felde liegen,

R₃ die Resultante der zwischen diesem Felde und dem linksseitigen Kämpfergelenk angreifenden Lasten,

(S die Resultante der Lasten, welche innerhalb des geschnittenen Feldes liegen.

Obere Gurtung.

1. Der Schnittpunkt S der mitgeschnittenen Constructionsthcile liegt oberhalb

der Graden A E.

(Fig. 57.)

Maximum der Druckspannung.

Der Zug ist vom linksseitigen Kämpfer A bis ungefähr zur Belastungsscheide P vorzuschieben und zwar so weit als noch die Bedingung

(203)

erfüllt bleibt. Die Bedeutung der Buchstaben (f, x, i, 1, v und m ist aus Fig. 57 zu ersehen. Ob der Factor der Resultanten (Ü) positiv oder negativ ist,

<- - Bruch'-i-

hängt von dem Verhältnis -j- ab. Ist

derselbe positiv, so sind die grössten Lasten in der Nähe des rechtsseitigen Knotenpunktes K des fraglichen Feldes zu concentriren. Die ungünstigste Zugstellung wird in diesem Falle erreicht, wenn entweder eine Last grade im Knotenpunkt K oder im Punkte J angreift. Die Stellung ergiebt sich aus

“i

Ü4r

£.....c

Fig. 57.

3X

der Bedingung, dass das System so lange nach rechts verschoben werden muss, als noch die Ungleichung

(204)

2 -L /

A v

erfüllt ist. Dasjenige Rad, durch dessen Ueberschreiten des Punktes K oder J der in Ungleichung 204 enthaltenen Bedingung nicht mehr genügt wird, ist in diesem Punkte selbst anzuordnen. Es ist hierbei zu bemerken, dass in den meisten Fällen die ungünstigste Zugstellung erreicht wird, wenn ein Rad im Knotenpunkte K liegt.

Für den Fall, dass = ^ wird, also im Punkte K ein Vertikalstab und im

H.₂    ~ f— £C '

Felde JK eine von links nach rechts fallende Diagonale vorhanden ist, lautet Ungleichung 204:

(205)

Alsdann muss, um die ungünstigste Zugstellung zu erhalten, jedenfalls eine der grössten Lasten im Knotenpunkte K angreifen.

Ist der Factor der Resultanten © in Ungleichnng 203 negativ, so sind die grössten Lasten möglichst in der Nähe des linksseitigen Knotenpunktes J des fraglichen Feldes zu gruppiren. Die ungüngstigste Zugstellung bedingt, dass entweder eine Last grade im Punkte J oder im Punkte K liegt. Welche Last im einen oder anderen Punkte anzuordnen ist, ergiebt sich aus der Bedingung, dass das System so lange nach rechts verschoben werden muss, als noch der Ungleichung

l- X    /

-j- (2

x — m    \

(206)

Genüge geleistet wird. Wahrscheinlich wird die ungünstigste Stellung des Systems erreicht, wenn ein Rad im Punkte J angreift. j

Wird ~y = 1, d. h. ist im Punkte J ein Vertikalstab und im fraglichen Felde

eine vom rechten oberen bis zum linken unteren Knotenpunkte reichende Diagonale vorhanden, so lautet die Ungleichung 206:

+® < J7~r ■

(207)

Alsdann muss jedenfalls eine der grössten Lasten im linksseitigen Knotenpunkte J angreifen.

Maximum der Zugspannung.

Der Zug ist vom rechtsseitigen Kämpfer bis ungefähr zur Belastungsscheide P vorzuschieben ; die grössten Lasten müssen möglichst in der Nähe des Scheitelgelenks gruppirt werden und eine derselben muss in diesem Punkte selbst angreifen. Welche der Lasten hier anzuordnen ist, ergiebt sich aus der Bedingung, dass der Zug so lange nach links verschoben werden muss, als noch die Ungleichung

(208)

erfüllt bleibt.

Es bedeutet in die Entfernung der Belastungsscheide P vom Scheitel (Fig. 57).

2. Der Schnittpunkt S der mitgeschnittenen Constructionstheile liegt unterhalb

der Graden AE.

(Fig. 58.)

Um das Maximum der Druckspannung zu erhalten, muss der ganze

Bogen als vollbelastet angenommen werden. Denkt man sich den Zug von rechts nach links vorrückend, so ergiebt sich die ungünstigste Stellung desselben aus der Ungleichung

j 05    . . (209)

-K,+

— Ä₃—(l—2 — —

Die Bedeutung der Buchstaben E ist aus Fig. 58 zu ersehen. Ob der Factor der Resultanten 05 positiv oder negativ wird, hängt von der Grösse

i"

des Verhältnisses -j

positiv, so müssen die grössten Lasten E in der Nähe des rechtsseitigen Knotenpunktes K des fraglichen Feldes angeordnet werden. Der Zug ist so lange von rechts nach links zu verschieben, als noch der Ungleichung

/ — x m-\-x

genügt wird. Diese Ungleichung wird in dem Augenblicke nicht mehr erfüllt bleiben, in welchem irgend eine Last entweder den Scheitel oder einen der Knotenpunkte J oder K des fraglichen Feldes überschreitet. Diese Grenzstellung ist die ungünstigste Stellung des Systems der Einzellasten. Zu bemerken ist hierbei, dass in den meisten Fällen ein Rad im Knotenpunkte K liegen muss, um diese Grenzstellung zu erhalten; der Fall, dass die ungünstigste Stellung des Zuges erreicht wird, wenn eine Last im Scheitel des Bogens liegt, kann nur dann eintreten, wenn in >> / ist.

0 < ' T~

in -f- x

])

J¹

Druck

Cfi—5

v'

TW»

y\

O-A'

ym

UL---4—

Ub m *

Fig. 58.

05 <

ab. Ist derselbe

. . (210)

Fig. 59.

Alsdann wird die ungünstigste Zugstellung erreicht, wenn eine Last entweder im rechtsseitigen Knotenpunkte K oder im Scheitel angreift. Letzterer Fall kann nur dann eintreten, wenn m >> / ist.

Ist der Factor der Resultanten (ö in Ungleichung 209 negativ, so müssen die grössten Lasten in der Nähe des linksseitigen Knotenpunktes J gruppirt werden; die Grenzstellung des Systems ergiebt sich aus der Ungleichung

fL("*i + *W₂2- /_iW . .

m-\- x \ (    )    \    / v )

Diese Ungleichung wird in dem Augenblicke nicht mehr erfüllt bleiben, in welchem irgend eine Last entweder den Scheitel oder einen der Knotenpunkte J oder K überschreitet. Wahrscheinlich wird die ungünstigste Zugstellung erreicht, wenn ein Rad im Punkte J liegt.

K,<

. . (212)

Wird -j- — 1, d. h. ist im Punkte J ein Vertikalstab und im Felde JK eine rechts steigende Diagonale vorhanden, so lautet Ungleichung 212:

K₃<

(213)

In diesem Falle wird die ungünstigste Stellung des Systems jedenfalls dann erreicht, wenn eine Last entweder im Knotenpunkt J oder im Scheitel angreift; letzterer Fall kann nur dann eintreten, wenn m > / ist.

Untere Gurtung.

1. Der Schnittpunkt S der milgeschnittenen Constructionstheile liegt unterhalb

der Graden BD.

(Fig. 59.)

Maximum der Druckspannung.

Der Zug muss vom rechtsseitigen Kämpfer kommend, ungefähr bis zur Be-latsungsscheide P vorgeschoben werden. Die grössten Lasten sind möglichst in der Nähe des Scheitels zu gruppiren und eine derselben muss in diesem Punkte D selbst angreifen. Welche der Lasten hier anzuordnen ist, ergiebt sich aus der Ungleichung

Zugr +

Druck

Ks<

. . (214)

X | ==!_

Dasjenige Rad, durch dessen Ueberschreiten des Scheitelgelenks die in Ungleichung 214 enthaltene Bedingung nicht mehr erfüllt bleibt, ist in diesem Punkte selbst anzuordnen.

Maximum der Zugspannung.

Der Zug ist vom linksseitigen Kämpfer kommend bis ungefähr zur Belastungsscheide P vorzuschieben. Die grössten Lasten sind möglichst in der Nähe des dem fraglichen Stabe conjugirten Drehpunktes S zu gruppiren und eine dieser Lasten ist im Punkte S seihst anzuordnen. Welches Rad an dieser Stelle liegen muss, findet man aus der Ungleichung

(215)

Die Bedeutung der Buchstaben ist aus Fig. 59 zu ersehen. Die Lasten rechts vom Drehpunkte *S sind den Kräften K,, die Lasten links von £ den Kräften zuzurechnen.

2. Der Schnittpunkt S der mitgeschnittenen Constructionstheile Hegt ober half)

der Graden BD.

(Fig. 60.)

Um das Maximum der Druckspannung zu erhalten, muss der ganze Bogen belastet angenommen werden; die grössten Raddrücke sind in der Nähe des Scheitels anzuordnen. Der Zug muss so lange von rechts nach links vorgeschoben werden, als noch der Ungleichung

K₂4

in —

x    m w

— k₃<tr,

. (216)

genügt wird. Die Lasten rechts vom E Drehpunkte S sind den Kräften Ü.₂, die Lasten links von S den Kräften Rt zuzuzählen. Die in Ungleichung 216 enthaltene Bedingung wird in dem Augenblicke nicht mehr erfüllt bleiben, in welchem irgend eine Last entweder den Scheitel oder den Schnittpunkt S der mitgeschnittenen Constructionstheile überschreitet. Diese Grenzstellung des Zuges ist die ungünstigste. In den allermeisten Fällen wird ein Rad im Scheitel anzuordnen sein; nur wenn m^> l ist, wird die ungünstigste Stellung des Systems erfordern, dass ein Rad grade im Drehpunkte S liegt.

1)

Y3*3

— Bruck

jS

r/n

!«-j

“V

$6

Fig. 60.

Füllungsglieder.

Die folgenden Entwicklungen sind unter der Annahme gemacht, dass die bezüglich des links vom fraglichen Schnitt befindlichen Bogentheils als Druckkraft eingeführte Stabspannung um den Schnittpunkt der mitgeschnittenen Constructions-,theile im entgegengesetzten Sinne des Uhrzeigers dreht (vergl. § 26, Füllungsglieder, S. 51). Ist dieses nicht der Fall, dreht also die Spannung im Sinne des Uhrzeigers, so sind im Folgenden durchweg die Worte „ Druck “ und „ Zug “ mit einander zu vertauschen.

1. Der Schnittpunkt S der mitgeschnittenen Constructionstheile liegt unterhalb der Graden BD und oberhalb der Graden AE. a) Die Belastungsscheide liegt rechts vom fraglichen Schnitt tow‘.

(Fig- 61.)

Maximum der Druckspannung.

Der Zug ist vom linksseitigen Kämpfer ungefähr bis zur Belastungsscheide P vorzuschieben. Die grössten Raddrücke sind in der Nähe des rechtsseitigen Knoten-

Maximum der Zugspannung.

Der Zug ist vom rechtsseitigen Kämpfer bis ungefähr zur Belastungsscheide P vorzuschieben; die grössten Raddrücke sind in der Nähe des Scheitels zu concen-triren; eine der Lasten muss in diesem Punkte selbst angreifen und zwar diejenige, durch deren Ueberschreiten des Scheitelpunktes die in der Ungleichung

(218)

punktes K anzuordnen und einer derselben muss in diesem Punkte selbst angreifen. Welehe der Lasten an dieser Stelle liegen muss, ergiebt sieb aus der Ungleichung

l v -f- 2 if

Ho <

(v H₃-f

2f—v

Die Bedeutung der Buchstaben ist aus Fig. 61 zu ersehen.

(217)

Hierbei ist zu bemerken, dass, wenn der Schnittpunkts der mitgeschnittenen Constructionstheile links vom fraglichen Felde liegt — und dabei der Voraussetzung gemäss die Belastungsscheide P sich rechts vom Schnitt c<W befindet — alsdann die Grösse i negativ in Rechnung zu stellen ist. In diesem Fall ist es auch möglich, dass die Ungleichung 217 in dem Augenblicke nicht mehr erfüllt bleibt, in welchem eine Last den linksseitigen Knotenpunkt J überschreitet, so dass die ungünstigste Stellung des Zuges erreicht wird, wenn eine Last grade in J angreift.

Druck —*r

Fig. 61.

Ho

enthaltene Bedingung nicht mehr erfüllt bleibt.

b) Die Belastungsscheide P liegt links vom fraglichen Schnitt ioio‘ oder existirt überhaupt nicht.

(Fig. 62.)

Maximum der Druckspannung.

Der Zug ist vom linksseitigen Kämpfer bis in das fragliche Feld vor- D zuschieben; eine der ersten Lasten muss im linken Knotenpunkte J desselben angreifen. Welches Rad hier anzuordnen ist, ergiebt sich aus der Bedingung, dass der Zug so lange nach rechts zu verschieben ist, als noch die Ungleichung

■*—Drucket

T£uJ

Ti

-it-

Ä3

Fig. 62.

erfüllt bleibt. Die Bedeutung der Buchstaben ist aus Fig. 62 zu ersehen.

«6 < —

lv

2 if— Iv

■ Rs . (219)

an.

Maximum der Zugspannung.

Der Zug ist von rechts kommend ungefähr bis zum fraglichen Schnitt ww' vorzuschieben. Die grössten Lasten sind möglichst in der Nähe des Scheitels zu concentriren. Die ungünstigste Stellung des Zuges wird erreicht, wenn eine Last

(211)

entweder grade im Scheitel oder im rechtsseitigen Knotenpunkte K des fraglichen Feldes angreift. Die genaue Lage des Systems ergiebt sich aus der Bedingung, dass dasselbe so lange nach links verschoben werden muss, als noch die Ungleichung

2 if — L v

erfüllt ist.

Ks-f

1(2f— v)

<B<

(220)

In derselben Weise ist die Stellung des Zuges zu tixiren, wenn der Schnittpunkt P der Graden und BD links von D fällt.

~rj...... jy< fh'aek -jjt-

YiUfj

Jl

-fw.

Liegt dieser Schnittpunkt jedoch rechts vom Scheitel (Fig. 63), so ist, obgleich die Abtheilungen für Druck und Zug die nämlichen bleiben, dennoch die Stellung des Systems um das Maximum der Zugspannung zu erhalten anders anzuordnen.

Fig. 63.

'#1

Der Zug ist auch dann vom rechtsseitigen Kämpfer kommend

bis ungefähr zum fraglichen Schnitt wto‘ vorzuschieben; die grössten Lasten sind jedoch in der Nähe des Knotenpunktes K zu gruppiren. Die ungünstigste Stellung des Zuges wird erreicht, wenn eine Last entweder grade im Punkte K oder im Scheitel angreift. Die genaue Lage des Systems ergiebt sich aus der Bedingung, dass dasselbe so lange nach links verschoben werden muss, als noch der Ungleichung

2 if — l v

L (r, — 2f)

ffi < K, + R.

(221)

Genüge geleistet wird.

Es ist hierbei zu bemerken, dass wahrscheinlich ein Rad im Knotenpunkte K

anzuordnen ist, um die ungünstigste Stellung des Systems zu erhalten. Der Fall, dass eine Last im Scheitel angreifen muss, kann überhaupt nur dann stattlinden, wenn m > / ist.

2. Der Schnittpunkt S der mitgeschnütenen Construclionstheile Hegt oberhalb der

beiden Graden AE und BD.

(Fig. 64.)

Maximum der Druckspannung.

Der Zug muss von der Belastungsscheide P bis in das fragliche Feld vorgerückt sein. Eine der ersten Lasten muss im rechtsseitigen Knotenpunkte K des

Feldes angreifen. Welche dieser Lasten g. hier anzuordnen ist, ergiebt sich aus der Ungleichung

jj *ZuyP-J/ruck —A

'j

\<A>/

A°*

Ml

vif.

2/+»

2 if— 1 v Dasjenige Rad, durch dessen Ue-berschreiten des Punktes K die in der B Ungleichung 222 enthaltene Bedingung nicht mehr erfüllt bleibt, muss an die-

• iL . (222)

Maximum der Zugspannung.

Rechtsseitige Belastung.

Der Zug ist von rechts kommend ungefähr bis zur Belastungsseheide P vorzuschieben. Die grössten Lasten sind möglichst in der Nähe des Scheitels zu con-centriren und eine derselben muss in diesem Punkte selbst angreifen. Welche der Radaxen hier anzuordnen ist, ergiebt sich aus der Bedingung, dass der Zug so lange nach links verschoben werden muss, als noch der Ungleichung

itä<

11,

(223)

genügt wird.

Linksseitige Belastung.

Der Zug ist vom linksseitigen Kämpfer kommend bis in das fragliche Feld vorzuschieben. Eine der ersten Lasten muss im Knotenpunkte J angreifen. Welches Rad an dieser Stelle liegen muss, findet man aus der Ungleichung

2 if — Äv

*»

(224)

3. Der Schnittpunkt S der mitgeschnittenen Constructionstheile liegt unterhalb der Graden AE und ober halb der Graden BP).

(Fig. 65.)

Maximum der Druckspannung.

Der Zug ist von rechts kommend bis in das fragliche Feld vorzuschieben. Die grössten Lasten müssen in der Nähe des Knotenpunktes K angeordnet werden. Die genaue Stellung des Systems lässt sich mit Hülfe der Ungleichung

2/+®

2 if — A v

(~K, + Rä)

(225)

ermitteln. Der in dieser Ungleichung enthaltenen Bedingung wird in dem ^

Augenblick nicht mehr genügt werden, in welchem eine Last entweder den Knotenpunkt K oder den Scheitel überschreitet. Diese Grenzstellung des Zuges ist die ungünstigste. In den meisten Fällen wird ein Rad im Knotenpunkte K anzuordnen sein. Dass eine Last im Scheitel liegen muss, um die ungünstigste Stellung des Systems zu erhalten ist überhaupt nur dann möglich, wenn m >> l ist.

Druck

J\

iß

Kl

Fig. 65.

ii

Maximum der Zugspannung.

Der Zug ist vom linksseitigen Kämpfer bis in das fragliche Feld vorzuschieben. Eine der ersten Lasten muss im Knotenpunkte J angreifen. Welches Rad hier anzuordnen ist, ergiebt sich aus der Ungleichung

Diejenige Last, durch deren Ueberschreiten des Knotenpunktes J die in Ungleichung 226 enthaltene Bedingung nicht mehr erfüllt bleibt, ist in diesem Punkte anzuordnen.

4. Der Schnittpunkt S der mitgeschnittenen Constructionstheile liegt unterhalb der

beiden Graden A K und. B D.

a) Es existirt eine Belastungsscheide P.

(Fig. 66.)

Maximum der Druckspannung.

Rechtsseitige Belastung.

Der Zug ist vom rechtsseitigen Kämpfer bis ungefähr zur Belastungsscheide l3 vorzuschieben. Die grössten Lasten müssen möglichst in der Nähe des Scheitels

Druck

'Drudir—    7iU(j —f

ii i

\P

liegen, und eine derselben muss Bi in diesem Punkte selbst angreifen. Welches Rad hier anzuordnen ist, findet man mit Hülfe der Ungleichung

K, . (227)

-zt-

Fig. 66.

Diejenige Last, durch deren Ueberschreiten des Scheitels die in Ungleichung 227 enthaltene Bedingung nicht mehr erfüllt bleibt, muss in diesem Punkte selbst angeordnet werden.

Linksseitige Belastung.

Der Zug ist vom linksseitigen Kämpfer bis in das fragliche Feld vorzuschieben. Eine der ersten Lasten muss im Knotenpunkte J angreifen. Welches Rad hier liegen muss, ergiebt sich aus der Ungleichung

<B<

. (228)

Av

2 if— Iv

Maximum der Zugspannung.

Der Zug ist von der Belastungsscheide bis in das fragliche Feld vorzurücken und zwar muss eines der ersten Locomotivräder im rechtsseitigen Knotenpunkte Ä des fraglichen Feldes angreifen. Welche Last hier anzuordnen ist, ergiebt sich aus der Bedingung, dass der Zug so lange nach links geschoben werden muss, als noch die Ungleichung

• K₂

(229)

erfüllt bleibt.

b) Es ist keine Belastungsscheide P vorhanden.

(Fig. 67.)

Das Maximum der Druckspannung wird bei voller Belastung des Trägers erhalten. Die grössten Raddrücke sind in der Nähe des rechtsseitigen Knotenpunktes K des fraglichen Feldes anzuordnen. Die genaue Stellung des Zuges ergiebt sich folgendermaassen.

Das System ist so lange von rechts nach links vorzuschieben, als noch der Ungleichung

AT + ¹ ®<

«,+(2

.    . (230)

Genüge geleistet wird. Die Bedeutung der Buchstaben ist aus Fig. 67 zu ersehen. Die Ungleichung 230 wird in dem Augenblicke nicht mehr erfüllt bleiben, in welchem eine Last den Knotenpunkt K oder den Scheitel überschreitet. Diese D Grenzstellung des Systems ist die ungünstigste. In den meisten Fällen wird ein Rad im Knotenpunkte K anzuordnen sein. Dass eine Last im Scheitel liegen muss, um die ungünstigste Stellung des Zuges zu erreichen, ist überhaupt nur dann möglich, wenn / ist.

Es ist noch zu bemerken, dass wenn der Schnittpunkt 5 der mitgeschnittenen Constructionstheile links vom Knotenpunkte K liegt, die Grösse i negativ in Rechnung zu setzen ist. Alsdann ist es auch möglich, dass die ungünstigste Stellung des Zuges stattfindet, wenn eine Last grade am Knotenpunkt J angreift.

Druck

L c.

ir

JA

Fig. 67.

IE

Der Schnittpunkt der milgeschnittenen Constructionstheile liegt im Unendlichen.

Man findet die Belastungsscheide, indem man durch den linksseitigen Kämpferpunkt A die Parallele zur Richtung der mitgeschnittenen Gurtlinien zieht und dieselbe mit der Graden CD (Fig. 68) zum Schnitt bringt.

Es ist im Folgenden vorausgesetzt, dass die für den links vom Schnitt befindlichen Theil des Bogens als Druckkraft eingeführte Spannung des fraglichen Gitterstabes eine Componente senkrecht zur Richtung der mitgeschnittenen Gurtlinien hat, welche abwärts, gegen die untere Gurtung gerichtet ist. Ist diese Componente aufwärts gerichtet, so sind durchweg bei den nachfolgenden Entwicklungen die Worte „Druck“ und „Zug“ mit einander zu vertauschen.

1. Es ist eine Belastungsscheide P vorhanden. (Fig. 68.)

Der Zug ist von der Belastungsscheide P bis in das fragliche Feld vorzuschieben und zwar muss eine der ersten Lasten im rechtsseitigen Knotenpunkte K des Feldes angreifen. Welches Rad hier anzuordnen ist, ergiebt sich aus der Ungleichung

Maximum der Druckspannung.

;    I

AJaiß^r-Druck —4—

Znj

4 Hi

U).

kn

. (231)

<S>

Die Bedeutung der Buchstaben ist aus Fig. 68 zu ersehen. Diejenige Last, durch deren Ueberschreiten des Knotenpunktes K die in der Ungleichung 231 enthaltene Bedingung nicht mehr erfüllt bleibt, muss in diesem Punkte selbst angeordnet werden.

Maximum der Zugspannung.

Rechtsseitige Belastung.

Der Zug ist vom rechtsseitigen Kämpfer ungefähr bis zur Belastungsscheide P vorzuschieben. Die grössten Lasten müssen möglichst in der Nähe des Scheitels liegen; eine derselben muss in diesem Punkte selbst angreifen. Welches Rad hier anzuordnen ist, ergiebt sich aus der Bedingung, dass der Zug so lange nach links verschoben werden muss, als noch die Ungleichung

K., <

H,

(232)

erfüllt bleibt.

Linksseitige Belastung.

Der Zug ist vom linksseitigen Kämpfer bis in das fragliche Feld vorzuschieben. Eine der ersten Lasten muss im Knotenpunkte J angreifen. Welches Rad hier liegen muss, findet man mit Hülfe der Ungleichung

kn

.    . (233)

2mf—kn ^:!

Die Bedeutung der Buchstaben ist aus Fig. 68 zu ersehen.

2. Es ist keine Belastungsscheide P vorhanden. (Fig. 69.)

Maximum der Druckspannung.

Der Zug ist vom rechtsseitigen Kämpfer bis in das fragliche Feld vorzurücken. Eines der ersten Locomotivräder muss im Knotenpunkte K angreifen. Welches Rad

hier anzuordnen ist, ergiebt sich aus der Ungleichung:

Zuy-k-

Druck

<6<

(j- R, + Kä)(234)

y.i»

«t»

Fig. 69.

2mf— kn Die Bedeutung der Buchstaben ist aus Fig. 69 zu ersehen. Diejenige Last, durch deren Ueberschreiten des Knotenpunktes K die in der Ungleichung 234 enthaltene Bedingung nicht mehr erfüllt bleibt, ist in diesem Punkte

selbst anzuordnen.

Maximum der Zugspannung.

Der Zug ist vom linksseitigen Widerlager A bis in das fragliche Feld vorzuschieben. Eine der ersten Lasten muss im Knotenpunkte J angreifen. Welche derselben hier angeordnet werden muss, kann mit Hülfe der Ungleichung

bi

• K,

(235)

ermittelt werden.

Nachdem die ungünstigste Laststellung für einen Constructionsstab ermittelt ist, bestimmt man für diesen Belastungsfall aus den Gleichungen 196 nnd 197 den Horizontalschub II und das Moment [M], Die Gleichung 195 liefert den Werth 3/; schliesslich kann die gesuchte Spannung aus einer der Formeln 198 bis 200 berechnet werden.

Liegt der Schnittpunkt der mitgeschnittenen Constructionstheile im Unendlichen, so wird man zunächst die Werthe II und [T] aus den Gleichungen 196 und 202, sodann die Spannung aus Gleichung 201 ermitteln.

Hängebrücke mit einer Haupt- und zwei Nebenöffnungen.

§ 28. Allgemeines.

Obgleich den vorliegend zusammengestellten Untersuchungen im Allgemeinen Bogenbrücken im engeren Sinne zu Grunde gelegt sind, soll doch das nachstehend behandelte System als Hängebrücke aufgefasst werden, da diese Anordnung that-sächlick häutiger als solche, denn als Bogenbrücke im engeren Sinne gebaut wird. Fig. 70 giebt ein Bild des fraglichen Brückensystems.

B

Ef

Fig. 70.

Die Auflagerconstructionen bei A und B müssen derart gewählt .werden, dass dieselben eine Verschiebung in horizontalem Sinne gestatten. Man erreicht dieses, indem man entweder die Brücke bei A und B in Pendeln aufhängt oder an diesen Stellen Rollenlager anordnet. Der gesammte Horizontalzug wird dann von den Kämpferpunkten D und E aufgenommen. Hierin liegt der Vortlieil dieses Brückensystems.

Die Mittelpfeiler bei A und B werden durch keine Horizontalkraft beansprucht und können deshalb sehr leicht gehalten werden. Die Punkte I) und E, welche den Horizontalzug aufnehmen, liegen tiefer als bei Anordnung einer einzigen Oeffnung und wird in Folge dessen auch die Beanspruchung der Landpfeiler sich verhältniss-mässig günstiger gestalten.

Die Spannungen der Fachwerkstäbe in der Mittelöffnung sind vollständig unabhängig von der Belastung der Seitenöffnungen. Die Berechnung des mittleren Theils der Brücke kann grade so durchgeführt werden, als wenn die Seitenöffnungen überhaupt nicht vorhanden und die Punkte A und B feste Scharnier-Kämpferpunkte wären. Die Berechnung wird sich demnach vollständig analog derjenigen einer Bogenbrücke mit 3 Gelenken gestalten. Die Ausführungen der §§ 24 bis 27 behalten ihre Gültigkeit. Man muss sich nur das ganze System der Bogenbrücke um eine horizontale Axe umgeschlagen denken und sodann die Vorzeichen sämmtlicher Spannungen, sowie die Worte „Druck“ und „Zug“ in den Belastungsschemen, etc. mit einander vertauschen.

R. IC ro lin, Bogenbrücken. II.

Hängebrücke mit einer Haupt- und zwei Nebenöflnungen.

er.

Es ist demnach nur erforderlich, im Folgenden die Seitenöffnungen der Behandlung zu unterziehen.

Der Angriffspunkt des Horizontalzuges und der Vertikalcomponente der Käm-pferreaction liegt im Gelenkpunkt D (Fig. 71).

-rt

4A

II

S,

—-----

¹ '■>

VF

\G-s

Fig. 71.

Die von der Belastung der Mittelöffnung berrührende Reaction fällt in die Richtung der Verbindungslinie AD hinein. Die Horizontal- und Vertikalcomponente dieser Kraft sei //, resp. V.

Eine Einzellast, welche auf der rechtsseitigen Hälfte der Mittelöffnung angreift, sei mit 6r,, eine solche die auf der linksseitigen Hälfte der Mittelöffnung liegt, mit 6r, bezeichnet; £ seien die Abstände der Lasten vom Scharnierpunkt B, resp. A (s. Fig. 71).

Es ist dann

II=

2/

. (236)

V—

21

(237)

Hierin bedeutet f die für die Mittelöffnung und die Seitenöffnungen als gleich angenommene Pfeilhöhe des Bogens; l die Spannweite einer Seitenöffnung.

Für irgend einen Drehpunkt S der Nebenöffnung mit den Coordinateu x und

y, vom Punkte D als Coordinatenursprung aus gerechnet, ist das Moment der äusseren Kräfte

(238)

In dieser Formel bedeutet wieder wie früher [M] das Moment, welches die nämliche, wie die in Frage stehende, auf den Seitenträger einwirkende Belastung bei einem Balken auf 2 Stützen von der Spannweite / in einem Punkte mit der Abscisse x hervorrufen würde.

Bezeichnet man die Lasten, welche in der Nebenöffnung rechts von dem zum Zweck der Spannungsermittlung durch den fraglichen Stab geführten Schnitte angreifen mit G3} Lasten welche links von diesem Schnitte liegen mit G, und die Abscissen der Angriffspunkte dieser Lasten von der durch den Kämpferpunkt D hin-durchgehenden Vertikalen aus gerechnet mit |, so ist:

(239)

Es ist bei Aufstellung des Momentes [M] noch Folgendes zu beachten.

Im Allgemeinen müssen Lasten, welche innerhalb des geschnittenen Feldes liegen, zerlegt werden in ihre Componenten, welche am rechtsseitigen, resp. linksseitigen Knotenpunkte des fraglichen Feldes angreifen, und sind dann die auf den

rechtsseitigen Knotenpunkt entfallenden Kräfte den Lasten G.n die auf den linksseitigen Knotenpunkt entfallenden Coraponenten den Lasten G,t zuzureehnen. Fällt jedoch der Drehpunkt, für welchen das Moment [M] ermittelt werden soll, mit einem Knotenpunkte des geschnittenen Feldes zusammen, in welchem die mobilen Lasten direct mittelst hier angeordneter Querträger oder mittelst Hängestangen angreifen — dieser Fall tritt bei Berechnung sämmtlicher oberen Gurtungsstäbe auf —, so kann man alle Lasten rechts von diesem Knotenpunkte als Lasten Gs, alle Kräfte links vom Knotenpunkte als Lasten G,t betrachten. Eine Zerlegung ist dann nicht erforderlich. Für eine Kraft, welche im fraglichen Knotenpunkte selbst angreift, ist es gleichgültig, ob dieselbe den Lasten G₃ oder G,{ zugerechnet wird.

Auch dann, wenn der Drehpunkt, für welchen das Moment [M] aufgestellt werden soll, vertikal über einem solchen Knotenpunkte, an welchem die mobilen Lasten angreifen, liegt — dieser Fall tritt bei Berechnung der unteren Gurtungsstäbe auf, wenn das Feld durch Vertikalstäbe begrenzt wird —, ist eine Zerlegung der innerhalb des geschnittenen Feldes angreifenden Lasten nicht erforderlich.

Die Spannung in einem Obergurtstabe sei 0, diejenige in einem Untergurtstabe' £7, die Spannung in einem Füllungsgliede I). Die entsprechenden Hebelsarme bezüglich der den Stäben conjugirten Drehpunkte seien o, u und d. Dann hat man:

(240)

U— —

.    (241)

AI

±~d

(242)

Es ist darauf zu achten, dass die Werthe x und y in den Ausdrücken für M event. negativ werden können.

Druckspannungen sind positiv, Zugspannungen negativ in Rechnung gesetzt.

Bezüglich des doppelten Vorzeichens in Gleichung 242 ist Folgendes zu bemerken. Durch den fraglichen Gitterstab führt man einen Schnitt in der Weise, dass ausser diesem Stabe nur noch zwei weitere Constructionstheile getroffen werden. Man denkt sich den Theil des Trägers, welcher rechts von diesem Schnitte liegt, fortgenommen. Die Spannungen der geschnittenen Stäbe führt man zunächst als Druckspannungen ein, so dass also der Pfeil der Kraft zum festbleibenden, nicht fortgeschnittenen Knotenpunkte hingerichtet ist. Dreht die in dieser Weise eingeführte Spannung B im entgegengesetzten Sinne des Uhrzeigers um den Schnittpunkt der mitgeschnittenen Constructionstheile, so gilt das + Zeichen; ist der Sinn der Drehung dem des Uhrzeigers entsprechend, so wird das —Zeichen anzuwenden sein.

Liegt der dem fraglichen Stab conjugirte Drehpunkt im Unendlichen, so wird:

worin

([!’] — V) cos cp -f- H sin cp

sin a

(243)

.    (244)

1T] = ^r 2G₃(l-S)-2GJ

ist, und die Grössen II und V die aus den Gleichungen 236 und 237 zu entnehmenden Werthe haben. Es bedeutet cp den Winkel zwischen den parallelen Gurtlinien und

5*

der Horizontalen, a den Winkel zwischen dem fraglichen Gitterstab und der Richtung der Gurtungen.

Bei Berechnung der Transversalkraft [2’] aus Gleichung 244 ist zu beachten, dass Lasten, welche innerhalb des geschnittenen Feldes liegen, in ihre Componenten, welche am rechtsseitigen, resp. linksseitigen Knotenpunkte des fraglichen Feldes angreifen, zerlegt werden müssen. Es sind dann die auf den rechtsseitigen Knotenpunkt entfallenden Kräfte den Lasten 6r₃, die auf den linksseitigen Knotenpunkt entfallenden Componenten den Lasten 6r₄ zuzurechnen.

In Gleichung 243 ist das + Zeichen anzuwenden, wenn die für den links vom Schnitt befindlichen Theil des Trägers als Druckkraft eingeführte Spannung D eine Componente senkrecht zur Richtung der mitgeschnittenen Gurtlinien hat, welche abwärts, gegen die untere Gurtung gerichtet ist. Ist diese Componente aufwärts gerichtet, so hat das —Zeichen Gültigkeit.

§ 29. Gleichmässig vertheilte permanente Last.

Es ist den Ausführungen des vorigen Paragraphen nur hinzuzufügen, dass die Summenwerthe in den Gleichungen 236, 237, 239 und 244 sich immer in einfacher Weise ersetzen lassen werden durch die Producte aus den Resultanten der Einzellasten und deren entsprechenden Abständen.

§ 30. Gleichmässig vertheilte mobile Last.

Die Belastungsschemen ergeben sich folgendermaassen.

Obere Gurtumj.

Zuq

Druck

(1

k---- Zug

Df—

Fig. 72.

Untere Gurtuny.

Druck

DP

Fig. 73.

1. Der Schnittpunkt £ der mitgeschnittenen Con-structionstheile liegt unterhalb der Graden AD (Fig. 73).

jt'

Zug

2. Der Schnittpunkt S der mitgeschnittenen Con-structionstheile liegt oberhalb der Graden A/)(Fig.74).

Füllungsglieder.

Zum richtigen Verständniss der Belastungsschemen ist es erforderlich, folgende kurze Ausführung zu berücksichtigen.

Durch den fraglichen Gitterstab denkt man sich einen Schnitt in der Weise geführt, dass ausser diesem Stabe nur noch zwei weitere Constructionstheile getroffen werden. Man betrachtet das zwischen diesem Schnitte und dem linksseitigen Kämpferpunkte befindliche Stück des Trägers; der Theil rechts vom Schnitt ist also fortzudenken. Die Spannung in dem in Rede stehenden Constructionstheil wird zunächst positiv, also als Druckspannung angenommen, d. h. der Pfeil der Kraft ist gegen den festbleibenden, nicht fortgeschnittenen Knotenpunkt des Stabes gerichtet.

. Es ist nun bei den nachstehenden Belastungsschemen die Annahme gemacht, dass die in dieser Weise eingeführte Spannung um den Schnittpunkt der mitgeschnittenen Constructionstheile im entgegengesetzten Sinne des Uhrzeigers dreht. Dieser Fall ist auch in sämmtlichen Figuren gezeichnet. Dreht jedoch die in der oben angedeuteten Weise eingeführte Spannung im Sinne des Uhrzeigers, so sind in den Belastungssohemen die Worte „Druck“ und „Zug“ mit einander zu vertauschen.

1. Der Schnittpunkt 5 der mitgeschnittenen Constructionstheile liegt unterhalb der Graden AD und

Zug

k Druck--*—

rechts von der durch D h in durch geh enden Vertikalen (Fig. 75).

2. Der Schnittpunkt S der mitgeschnittenen Constructionstheile liegt unterhalb der Graden AD und links von der durch D hin-

Fig. 75.

tUruckr

Zug

durchgehenden Vertikalen (Fig. 76).

Fig. 76.

3. Der Schnittpunkt £ der mit geschnittenen Constructionstheile liegt oberhalb der Graden AD

‘ßrucffl— Zlig -5k

lhuck

iä

JSp

\JL

Fig. 77.

und links von der durch D hindurchgehenden Vertikalen (Fig. 77).

Liegt der Schnittpunkt der mitgeschnittenen Constructionstheile im Unendlichen, so gestalten sich die Belastungsschemen folgendermaassen.

k— 7m(j —4-

JJruck

1. Die Richtung der parallelen G u r 11 i n i e n ist steiler als die der Verbindungsgraden AI) (Fig. 78).

2. Die Richtung der parallelen Gurtlinien ist flacher als die der Verbindungslinie AD (Fig. 79).

ZugD- Druck —*

Zuy

Fig. 79.

Es ist bei den Belastungsschemen Fig. 78 und 79 vorausgesetzt, dass die für den links vom Schnitt befindlichen Theil des Trägers als Druckkraft eingeführte Spannung des fraglichen Gitterstabes eine Componente senkrecht zur Richtung der mitgeschnittenen Gurtlinien habe, welche abwärts, gegen die untere Gurtung gerichtet ist. Würde diese Componente aufwärts gerichtet sein, so müssten in den Figuren 78 und 79 die Worte „Druck“ und „Zug“ mit einander vertauscht werden.

Ist für einen Constructionsstab die ungünstigste Belastung ermittelt, so bestimmt man für diese die Werthe II, V und [M] aus den Gleichungen 236, 237 und 239. Das Moment M der äusseren Kräfte ergiebt sich aus der Formel 238, und schliesslich kann die gesuchte Spannung aus einer der Gleichungen 240 bis 242 berechnet werden. Liegt der dem fraglichen Stabe eonjugirte Drehpunkt im Unendlichen, so wird man statt des Werthes [M] die Grösse [2¹] nach Gleichung 244 zu berechnen haben, und sodann die Spannung aus der Formel 243 ermitteln.

Die Grössen II und V sind nur von der Belastung der Mittelöffnung abhängig. Wie aus vorstehenden Figuren ersichtlich, ist diese immer entweder als vollständig belastet oder als vollständig unbelastet anzunehmen. Die Werthe II und V lassen sich demnach ein für alle Mal angeben.

Es ist ferner zu bemerken, dass durchweg die Summenwerthe in den Gleichungen 236, 237, 239 und 244 sich in einfacher Weise ersetzen lassen werden durch die Producte aus den Resultanten der Einzellasten und deren entsprechenden Abständen.

Nachdem man für einen Fach werksstab die Maximalspannung im einen Sinne berechnet hat, findet man die Maximalspannung im andern Sinne am bequemsten durch Subtraction des zuerst ermittelten Werthes von der in Folge totaler mobiler Belastung auftretenden Spannung. Letztere lässt sich in einfacher Weise aus den für das Eigengewicht berechneten Spannungszahlen ableiten.

§ 31. Mobile Belastung durch ein System von Einzellasten.

Die Werthe V und H sind nur von der Belastung der Mittelöffnung abhängig. Wie aus den Belastungsschemen Fig. 72 bis Fig. 79 zu ersehen, ist dieser mittlere Theil der Brücke immer entweder vollständig belastet oder vollständig unbelastet anzunehmen. Muss die Mittelöffnung als belastet angenommen werden, so ergiebt sich in allen Fällen die imgünstigste Zugstellung innerhalb derselben folgender-maassen.

Bj sei die Resultante der auf die rechtsseitige Hälfte der Mittelöffnung wirkenden primären Kräfte,

B.₂ die Resultante der auf der linksseitigen Hälfte der Mittelöffnung liegenden Lasten;

alsdann ist der Zug so lange nach links zu verschieben als noch

(245)

ist. Dasjenige Rad, durch dessen Ueberschreiten des Scheitelgelenks die in Ungleichung 245 enthaltene Bedingung nicht mehr erfüllt bleibt, ist in diesem Punkte selbst anzuordnen.

Für diese Laststellung kann man nun ein für alle Mal aus den Gleichungen 236 und 237 die Werthe II und V berechnen.

Es erübrigt, die ungünstigste Stellung des Zuges in der Nebenöffnung selbst anzugeben.

Obere Gurtung.

Es bezeichne:

fta die Resultante aller Lasten, welche rechts vom Schnittpunkt S der mitge

schnittenen Constructionstheile liegen,

Druck

K₄ die Resultante der Lasten, welche links vom Punkte S angreifen. Der Obergurtstab erreicht das Maximum seiner Druckspannung wenn der Zug so lange nach links verschoben wird, als noch die Ungleichung

.    .    (246)

erfüllt ist. Ueber Bedeutung der Buchstaben x und / s. Fig. 80.

'S

k-

'3U.

Dasjenige Rad, durch dessen Ueberschreiten des Punktes S die in der Ungleichung 246 enthaltene Bedingung nicht mehr erfüllt bleibt, ist in diesem Punkte selbst anzuordnen.

Fig. 80.

Untere Gurtung.

Es bedeute:

H₃ die Resultante aller rechts vom fraglichen Felde liegenden Lasten, die Resultante der links von diesem Felde angreifenden Raddrücke, (5 die Resultante der innerhalb des fraglichen Feldes wirkenden Lasten.

Um das Maximum der Zugspannung zu erreichen, ist das Lastsystem so lange nach links zu verschieben, als noch die Ungleichung

o < R. 4— R.

^+®(-

.    .    (247)

Zug

erfüllt bleibt. Die Bedeutung der Buchstaben ist aus Fig. 81 zu ersehen.

Ob der Coefficient von d) positiv oder negativ ist,

y.il \K

Fig. 81.

hängt von dem Werthe des Verhältnisses -r- ab. Ist derselbe positiv, so sind die grössten Lasten in der Nähe ^ des Knotenpunktes J zu concentriren. Die Ungleichung 247 wird in dem Augenblicke nicht mehr erfüllt bleiben, in welchem eine Last entweder den Knotenpunkt J oder

den Punkt K überschreitet. Ordnet man diese Last in J, resp. K selbst an, so erhält man dadurch die ungünstigste Stellung des Zuges. In den meisten Fällen wird diese ungünstigste Stellung dann erreicht werden, wenn eine Last im Punkte •/ angreift.

Ist im Knotenpunkte J ein Vertikalstab und im Felde JK eine von rechts nach links steigende Diagonale vorhanden, so lässt sich obige Ungleichung noch

specialisiren. Es wird dann -!- = () und die Ungleichung 247 lautet:

R, < -[zr- (K, + ®)

(248)

Dasjenige Rad, durch dessen Ueberschreiten des Knotenpunktes»/ die in der Ungleichung 248 enthaltene Bedingung nicht mehr erfüllt bleibt, ist grade in diesem Punkte anzuordnen.

Wird der Factor der Resultanten (§ negativ, so sind die grössten Lasten möglichst in der Nähe des Punktes K zu gruppiren. Die Ungleichung 247 wird in dem Augenblicke nicht mehr erfüllt bleiben, in welchem eine Last entweder den Punkt J oder den Punkt K überschreitet. Dasjenige Rad, durch dessen Ueberschreiten des fraglichen Knotenpunktes der Bedingung 247 nicht mehr genügt wird, ist in diesem Punkte selbst anzuordnen. In den meisten Fällen wird die ungünstigste Zugstellung erreicht, wenn irgend eine Last im Punkte K angreift.

Ist — so existirt im Punkte A⁻ ein Vertikalstab und im fraglichen Felde

eine von links nach rechts steigende Diagonale. Es muss dann der Zug so lange nach links verschoben werden, als noch die Ungleichung

(249)

erfüllt bleibt. Die ungünstigste Stellung des Systems wird erreicht, wenn eine Last grade im Knotenpunkte K angreift.

Füllungsglieder.

Die folgenden Entwicklungen sind unter der Annahme gemacht, dass die bezüglich des links vom fraglichen Schnitt befindlichen Trägertheils als Druckkraft eingeführte Stabspannung um den Schnittpunkt der mitgeschnittenen Constructionstlieile im entgegengesetzten Sinne des Uhrzeigers dreht (vergl. $30 Füllungsglieder, S. 69). Ist dieses nicht der Fall, dreht also die in dieser Weise eingeführte Spannung im Sinne des Uhrzeigers, so sind im Folgenden durchweg die Worte „Druck“ und „Zug“ mit einander zu vertauschen.

1. Der Schnittpunkt S der mitgeschnittenen Constructionstlieile liegt innerhalb

des Feldes AI).

(Fig. 82.)

Ui-

lOP

K-

Die Bezeichnungen für die Resultanten der Lasten seien wie oben beibehalten.

_>i    Das Maximum der Druckspannung wird er-

/ reicht, wenn die ganze Nebenöffnung belastet ist, und möglichst viele grosse Lasten in der Nähe des Knotenpunktes J angreifen. Der Zug muss so lange nach links verschoben werden, als noch die Ungleichung

huck

.// /iw

'■⁺1

4U

Fig. 82.

K,<

.    . (250)

existirt. Dasjenige Rad, durch dessen Ueberschreiten des Knotenpunktes J die in der Ungleichung 250 enthaltene Bedingung nicht mehr erfüllt bleibt, ist in diesem Punkte selbst anzuordnen.

Liegt der conjugirte Drehpunkt S rechts vom fraglichen Schnitt, so ist der Werth i negativ in Rechnung zu setzen. In diesem Falle kann die ungünstigste Zugstellung auch erreicht werden, wenn irgend eine Last im rechtsseitigen Knotenpunkte K angreift.

2. Der Schnittpunkt S der mitgeschnittenen Constructionstheilc liegt ausserhalb

der Oeffhung AD.

(Fig. 83.)

Maximum der Druckspannung.

Der Zug ist, von links kommend, bis in das fragliche Feld vorzuschieben, und zwar muss eine der ersten Lasten im Punkte J liegen. Welches Rad an dieser Stelle

\d)ruck^r- fay

angreifen muss, findet man aus der Bedingungsungleichung

¹

ird das Verhältniss -y — 0, ist also im Punkte K ein Vertikalstab und im

fraglichen Felde eine Diagonale, welche den linken oberen mit dem rechten unteren Knotenpunkte verbindet, vorhanden, so lautet Ungleichung 210:

I — x in -f- x

. . (251)

05 < K, l

Die Bedeutung der Buchstaben ist aus Fig. 83 zu ersehen*, die Grösse x ist mit ihrem Absolutwerte einzusetzen. Diejenige Last, durch deren Ueberschreiten des Knotenpunktes J die in der Ungleichung 251 enthaltene Bedingung nicht mehr erfüllt bleibt, muss in diesem Punkte selbst angeordnet werden.

Maximum der Zugspannung.

Der Zug ist, von rechts kommend, bis in das fragliche Feld JK vorzuschieben, und zwar muss eine der ersten Lasten im Knotenpunkte K angreifen. Welche der Lasten hier anzuordnen ist, kann mit Hülfe der Ungleichung

K— X

su

ULl

K-

' (£»

Fig. 83.

(252)

il —- Ix

ermittelt werden.

In dieser Ungleichung ist wieder die Grösse x mit ihrem Absolutwerte einzuführen. Die Formeln jedoch, welche zur Berechnung der Spannung des fraglichen Stabes dienen, verlangen natürlich, dass bei dem in Fig. 83 gezeichneten Fall die Abscisse x des Drehpunktes S negativ in Rechnung gestellt wird.

Der Schnittpunkt S der mitgeschnittenen Constructionstheilc liegt im Unendlichen.

(Fig. 84.)

<— Zug —4“ Druck U

Es wird vorausgesetzt, dass die für den links vom Schnitt befindlichen Theil des Trägers als Druckkraft eingeführte Spannung des fraglichen Gitterstabes eine Compo-nente senkrecht zur Richtung der mitgeschnittenen Gurtlinien habe, welche abwärts, gegen die untere Gurtung gerichtet Dö ist. Würde diese Componente aufwärts gerichtet sein, so “ müssten im Folgenden die Worte „Druck“ und „Zug“ mit einander vertauscht werden,

Maximum der Druckspannung.

!

Der Zug ist, von rechts kommend, bis in das fragliche Feld vorzuschieben und zwar muss eine der ersten Lasten im Knotenpunkte K angreifen. Welche Last hier anzuordnen ist, ergiebt sich aus der Ungleichung

(253)

®<r»t4x

Dasjenige Bad, durch dessen Ueberschreiten des Knotenpunktes K die in der Ungleichung 253 enthaltene Bedingung nicht mehr erfüllt bleibt, muss in diesem Punkte selbst angreifen.

Maximum der Zugspannung.

Der Zug ist, von links kommend, bis in das fragliche Feld vorzuschieben. Eine der ersten Lasten muss im Punkte J liegen und zwar diejenige, durch deren Ueberschreiten dieses Punktes die in der Ungleichung

(254)

®<K'7^x

enthaltene Bedingung nicht mehr erfüllt bleibt.

Hat man für die Mittelöffnung die ungünstigste Belastung nach der Ungleichung 245 zum Zweck der Berechnung der Componenten II und V der Kämpferreaction bestimmt, und ermittelt nun unabhängig hiervon die ungünstigste Laststellung für die Nebenöffnung, so können sich dadurch event. Zugstellungen ergeben, welche that-sächlich nicht Vorkommen können. Der in Folge dessen auftretende Fehler ist jedoch nicht sehr bedeutend und die Zulassung desselben um so weniger bedenklich, als durch diesen Fehler die Stabspannungen im absoluten Sinne zu gross ausfallen.

Nachdem die ungünstigste Laststellung in der Nebenöffnung ermittelt ist, bestimmt man aus Gleichung 239 das Moment [M]f sodann den Werth M aus Gleichung 238 und schliesslich die Stabspannung aus einer der Gleichungen 240 bis 242. Liegt der Schnittpunkt der mitgeschnittenen Constructionstheile im Unendlichen, so wird man zunächst die Grösse [7 ] nach Formel 244 und dann die Spannung nach Gleichung 243 berechnen.

II. Bogen mit 2 Gelenken.

1. Bogen mit ausgesprochener Axcnrichtung.

§ 32. Allgemeines.

Unter Bogen mit ausgesprochener Axenrichtung sollen solche Bogen verstanden werden, bei denen man die Lage der Schwerpunktsaxe von vorne herein näherungsweise angeben kann und bei denen voraussichtlich die im § 2 gemachte Annahme über die Veränderlichkeit des Trägheitsmomentes (es war in Gleichung 26, S. 7

J. cos (p = Const. gesetzt) angenähert zutrifft. Zu diesen Bogen zählen besonders solche mit parallelen Gurtungen und sichelförmige Bogen. Für beide Anordnungen kann die Axe näherungsweise in der Mitte zwischen den Gurtungen angenommen werden.

Die Entwicklungen der §§ 8 und 9 sind nun vollständig gültig.

Ist die Bogenaxe nach einer Parabel gekrümmt, so beginnt man damit, für eine der Reihe nach an sämmtlichen Knotenpunkten angreifende Last von der Grösse „Eins“ die Werthe [ij] aus Gleichung 74a (S. 21) zu berechnen. Ferner bestimmt man aus Gleichung 77 den Werth I) und mit Hülfe diesbr beiden Grössen sodann aus Gleichung 70 für die verschiedenen Lagen der Einzellast den Horizontalschub H.

Hat man es mit einer Bogenaxe von beliebiger Krümmung zu thun, so theilt man zunächst die Spannweite unabhängig von der Feldertheilung des Bogens in 10 gleiche Strecken. Für die Theilpunkte berechnet man die Ordinaten y der Bogenaxe und bestimmt mit Hülfe der Gleichungen 85 bis 87 die Werthe I), £lt und

<£ i Für eine Einzellast von der Grösse „ Eins “, welche man der Reihe nach in den verschiedenen Theilpunkten angreifen lässt, berechnet man nun unter Benutzung der oben ermittelten Werthe £lt und die Grössen [ty] aus Gleichung 74 und sodann

aus Gleichung 70 für die verschiedenen Lagen der Last den Horizontalschub II. Diese Grössen trägt man in den Angriffspunkten der Einzellast (den gewählten Theilpunkten) als Ordinaten auf, verbindet die Endpunkte derselben durch eine stetige Curve und trägt die Abscissen der Knotenpunkte des Fachwerks ein. Die Ordinaten der Curve in diesen letztgenannten Punkten geben die verschiedenen Werthe des Horizontalschubes für eine in den Knotenpunkten angreifende Last „ Eins “ an.

Ist eine Reihe von Knotenpunkten gleichzeitig belastet, so findet man den hierdurch bedingten Horizontalschub durch Summation der den verschiedenen Einzellasten entsprechenden Werthe.

Die weitere Ermittlung der Spannungen in den einzelnen Constructionstheilen kann genau in derselben Weise wie bei einem Bogen mit 3 Gelenken durchgeführt werden.

Das Moment der äusseren Kräfte bezüglich irgend eines Drehpunktes S mit den Coordinaten x und y ist wieder

M=[M]-Hy

.    (255)

wenn mit II der in oben erläuterter Weise bestimmte Horizontalschub und mit [M] das Moment bezeichnet wird, welches die nämliche Belastung bei einem Balkenträger auf 2 Stützen von der Spannweite 2 / in einem Punkte mit der Abscisse x hervorbringen würde.

Bezeichnet man die Einzellasten, welche rechts von dem zum Zweck der Spannungsermittlung geführten Schnitt liegen mit G\ die Lasten, welche links von diesem Schnitt angreifen mit 6r" und mit £ die Abscissen der Angriffspunkte der Lasten, so wird

[M]

{!+$) + L+JL2G"(l- )    ....    (256)

'fr;

Die Werthe § sind algebraisch, also event. negativ einzuführen.

Die Stabspannung selbst ergiebt sich dann wie im § 24 aus einer der Gleichungen 198 bis 200.

Liegt der Schnittpunkt der mitgeschnittenen Constructionstheile im Unendlichen, so ist die Gleichung 201 zu verwenden. Der in dieser Gleichung vorkommende

Horizontalschub II ist natürlich in der oben erläuterten Weise zu bestimmen, während die Grösse [7¹] sich aus der Gleichung

Ir 2G*(l + §) — 2G"(l—£)

2/

(257)

berechnen lässt; hierin bezeichnet wieder G‘ eine Einzellast rechts und G“ eine Einzellast links von dem zum Zwecke der Spannungsermittlung geführten Schnitte.

§ 33. Gleichmässig vertheilte permanente Last.

Den Ausführungen des vorigen Paragraphen ist kaum etwas hinzuzufügen.

Man ermittelt zunächst den Horizontalschub TI für totale Belastung; sodann wird man für jeden Stab das dem conjugirten Drehpunkte entsprechende Moment [47] nach Gleichung 256 berechnen.

Hierbei ist zu bemerken, dass es immer in einfacher Weise möglich sein wird, die Einzellasten rechts und links vom fraglichen Schnitt gruppenweise zusammenzufassen und durch ihre Resultante zu ersetzen. In der Gleichung 256 können dann statt der Summenwerthe die Producte aus diesen Resultanten und ihren entsprechenden Abständen eingeführt werden. Es ergiebt sich sodann für den einem Stabe conjugirten Drehpunkt das Moment M aus Gleichung 255 und schliesslich die gesuchte Stabspannung aus einer der Formeln 198 bis 200.

Liegt der Schnittpunkt der mitgeschnittenen Constructionstheile im Unendlichen, so berechnet man, nachdem der Horizontalschub II in oben erläuterter Weise ermittelt ist, die Grösse [7’] aus Gleichung 257 und sodann die Stabspannung nach der Formel 201.

§ 34. Gleichmässig vertheilte mobile Last.

Zunächst muss zur Bestimmung der ungünstigsten Belastung die Kämpferdrucklinie verzeichnet werden. Für die in den verschiedenen Theilpunkten angreifende Last „Eins“ ist der Horizontalschub II bereits anfangs ermittelt. Man berechnet nun für die verschiedenen Lagen dieser Last das Moment [M] aus Gleichung 92 und die Ordinaten der Kämpferdrucklinie nach Formel 93. Auch die Gleichungen 94 und 95 des § 11 behalten hier ihre Gültigkeit.

Die Belastungsscheiden werden gefunden, indem man den Schnittpunkt der mitgeschnittenen Constructionstheile mit den beiden Kämpferpunkten verbindet und diese Verbindungsgraden mit der Kämpferdrucklinie zum Schnitt bringt. Die Schnittpunkte sind die gesuchten Belastungsscheiden.

Welche Strecken belastet werden müssen, damit die Spannungen im fraglichen Constructionstheil ihr positives oder negatives Maximum erreichen, ist mit Hülfe der im § 26 (S. 49) für einen Bogen mit 3 Gelenken gemachten Ausführungen leicht zu entscheiden.

Natürlich ist, abweichend von der an jener Stelle gegebenen Erklärung, bei einem Bogen mit 2 Gelenken die Stützlinie für eine Einzellast in der Weise zu finden, dass man die Richtungslinie dieser Last mit der Kämpferdrucklinie schneidet und den Schnittpunkt mit den beiden Kämpfern A und B verbindet.

Es ergeben sich dann die Belastungsschemen im Allgemeinen folgendermaassen:

Obere Gurtung.

Drßl

Zuj

Drude

Fig. 86.

^Ürudd<r- Zucr--f

Dr~~--1

Untere Gurtung.

Druck

Li.

Fig. 85.

Füllungsglieder.

Zum richtigen Verständniss der Belastungsschemen ist es erforderlich, folgende kurze Ausführung zu berücksichtigen.

Durch den fraglichen Gitterstab führt man einen Schnitt in der Weise, dass ausser diesem Stabe nur noch zwei weitere Constructionstheile getroffen werden. Man denkt sich nun den Theil des Bogens, welcher rechts vom Schnitte liegt, fortgenommen. Die Spannung des in Rede stehenden Constructionstheils wird als Druckspannung eingeführt, so dass also der Pfeil der Kraft gegen den festbleibenden, nicht fortgeschnittenen Knotenpunkt gerichtet ist. Es ist im Folgenden vorausgesetzt, dass die in dieser Weise eingeführte Stabspannung um den Schnittpunkt der mitgeschnittenen Constructionstheile im entgegengesetzten Sinne des Uhrzeigers dreht, Ist dieses nicht der Fall, dreht die Spannung im Sinne des Uhrzeigers, so sind in den Belastungsschemen Fig. 87 bis 91 die Worte „Druck“ und „Zug“ mit einander zu vertauschen.

'p Druck*'

Druck

Zug

1)

1. Der Schnittpunkt S der mitgeschnittenen Constructionstheile liegt links von der Kämpfer vertikalen A D (Fig. 87).

Fig. 87.

2. Der Schnittpunkt & der mit geschnittenen Constructionstheile liegt zwischen der Kämpfervertikalen AD und dem fraglichen Felde.

Fig. 88 stellt den Fall dar, dass die Verbindungsgrade /US die Kära-

I)

k-jdruck —4c

Fig. 88.

rLvug

AB

'r<r

Druck —*

VMCf

-H

pferdrucklinie links vom fraglichen Felde trifft, während Fig. 89 den Fall zeigt, in welchem der Schnittpunkt der Graden A S und der Kämpferdrucklinie rechts vom fraglichen Felde

Fig. 89.

AB lieSt-

3. Der Schnittpunkt S der mi tgeschnittenen Constructionstheile liegt rechts vom fraglichen Felde.

•äe—- Druck ■—¥•

Zug 'A~

Druck

Zutj

;E aZui

HJn

AS

Fig. 90.

Fig. 91.

Das Belastungsschema Fig. 90 ist gültig, wenn die Verbindungsgrade BS die Kämpferdrucklinie rechts vom fraglichen Felde schneidet; Fig. 91 ist gültig, wenn dieser Schnittpunkt links vom fraglichen Felde liegt.

Fällt der Schnittpunkt S ins Unendliche, so zieht man, um die Belastungsscheide zu finden, durch den linksseitigen Kämpferpunkt A die Parallele zu den beiden geschnittenen Gurtlinien.

K--Zug-A

’b

Druck

•v Zu<r h

ijL-iir

Fig. 92.

Das Belastungsschema zeigt Fig. 92. Es ist hierbei vorausgesetzt, dass die auf den links vom Schnitt befindlichen Theil des Bogens als Druckkraft wirkende Spannung des fraglichen Gitterstabes eine zur Richtung der mitgeschnittenen Gurtlinien senkrechte Com-

ponente hat, welche abwärts — gegen die untere Gurtung — gerichtet ist; ist diese Componente aufwärts gerichtet, so sind die Worte „Druck“ und „Zug“ im Belastungsschema zu vertauschen.

Hat man für einen Stab des Fachwerks die Belastungsscheiden ermittelt, so sind, je nachdem man die grösste Druck- oder Zugspannung im fraglichen Con-structionstheil berechnen will, die Knotenpunkte innerhalb der einen oder andern Strecke als belastet anzunehmen.

Sodann bestimmt man für den vorliegenden Belastungsfall aus den anfangs durchgeführten Berechnungen (vergl. § 32) den Horizontalschub II. Ferner ermittelt man die Grösse [M] nach Gleichung 256, das Moment M nach der Formel 255 und schliesslich die Stabspannung aus einer der Gleichungen 198 bis 200.

Liegt der Schnittpunkt der mitgeschnittenen Constructionstheile im Unendlichen, so berechnet man, nachdem der Horizontalschub II in oben erläuterter Weise ermittelt ist, die Grösse [.7¹] aus Gleichung 257 und sodann die Stabspannung nach der Formel 201.

Nachdem man für einen Constmctionstheil die Maximalspannung in einem Sinne

ermittelt hat, findet man die Maximalspannung im andern Sinne am bequemsten durch Subtraction des zuerst berechneten Werthes von der in Folge totaler mobiler Belastung auftretenden Spannung. Letztere lässt sich in einfacher Weise aus den für das Eigengewicht berechneten Spannungszahlen ableiten.

§ 35. Mobile Belastung durch ein System von Einzellasten.

Um für irgend einen Constructionsstab die ungünstigste Laststellung und die . dadurch hervorgerufene Spannung in demselben zu ermitteln, verfährt man folgender-maassen. Man lässt eine Einzellast von der Grösse „Eins“ der Reihe nach an den verschiedenen Knotenpunkten angreifen. Für jede Lage der Last berechnet man die dadurch hervorgerufene Spannung im fraglichen Constructionstheil. Man bestimmt also zunächst nach der im § 32 angegebenen Methode den Horizontalschub //, sodann das Moment [M] aus Gleichung 256, den Werth M aus Gleichung 255 und schliesslich die Spannung selbst aus einer der Gleichungen 198 bis 200. Liegt der Schnittpunkt der mitgeschnittenen Constructionstheile im Unendlichen, so wird man, nachdem der Horizontalschub bestimmt ist, die Transversalkraft [T] nach der Formel 257 und sodann die Stabspannung aus Gleichung 201 berechnen.

Die Grösse der Spannung des fraglichen Constructionstheils trägt man im Angriffspunkte der Last als Ordinate auf. Den geometrischen Ort dieser Punkte bezeichnet man als die Influenzlinie des betreffenden Stabes.

Die Influenzlinie verläuft zwischen den Knotenpunkten gradlinig.

Für jede beliebige Lage einer Einzellast kann sodann die dadurch hervorgerufene Spannung direct angegeben werden, indem man nur die Ordinate der Influenzlinie im Angriffspunkte der Last mit der Grösse derselben multiplicirt.

Die Schnittpunkte der Influenzlinie mit der Abscissenaxe geben die Belastungsscheiden an.

Druck,

K— Druck —^— Z utj

(7

•i

J_o cbio

xi xlt m

V7 V# Dy

O CD O

j/oichdi

/ n \ in iv j v vr    vi7 vm ix x

h i %

Fig. 93.

Um die ungünstigte Stellung des Systems der Einzellasten zu erhalten, nimmt man zunächst schätzungsweise für den Zug eine solche Lage an, dass möglichst viel Raddrücke innerhalb der zu belastenden Strecke angreifen und die grössten Lasten in der Nähe des absoluten Maximalpunktes liegen.

Die Lasten trägt man auf der Vertikalen OP (Fig. 93) ab (man bildet das Kraftpolygon derselben). Durch Horizontallinien, welche durch die Theilpunkte der

V/

o —cf

(l

~7

Kräfte (Eckpunkte des Kraftpolygons) gehen, trennt man die Lasten in der nämlichen Weise, wie dieselben bei der angenommenen Zugstellung durch die Knotenpunkte getrennt werden (vergl. Fig. 93). Zwischen diesen Horizontalen construirt man vom oberen Endpunkt 0 beginnend einen Linienzug, dessen Seiten senkrecht zu den

v§

Druck

/ jr in iy yv

'JmKi

CD b d>

0 Gib

VJT TM K

X XI JZ

m i!

V 7 v# Ql

r*. ¹

Fig. 93.

entsprechenden Seiten der Influenzlinie stehen; es ist also OS ± abf ST±.bct u. s. f. Diese gebrochene Linie soll als Nor malen zug bezeichnet werden.

Es ist nun, wie man leicht einsieht, die Strecke ES auf der ersten Horizontalen proportional der Spannungsänderung, welche durch ein Verschieben der Last 1 im fraglichen Stabe hervorgerufen wird. Ebenso wird die Strecke PQ proportional der totalen Spannungsänderung sein, welche durch ein Verschieben des gesammten Lastsystems auftritt.

Durch eine Kechtsverschiebung der Last 1 nimmt, wie aus der Form der Influenzlinie ersichtlich ist, die Spannung im positiven Sinne zu. Die Aenderung ist proportional der Strecket S, welche von der Vertikalen OP aus nach rechts abgetragen ist. Die Strecke PQ wird, da der Punkt Q rechts von P liegt im nämlichen Sinne aufzufassen sein, d. h. durch eine Verschiebung des gesammten Lastsystems nach rechts würde die Spannung ebenfalls im positiven Sinne wachsen. Um das Maximum der Spannung zu erhalten, wird man also eine solche Verschiebung vornehmen müssen.

Die erste Last, welche hierbei einen Knotenpunkt überschreitet, ist die Last 3. Der Normalenzug würde sodann die in Fig. 93 punktirt eingezeichnete Form haben. Der Endpunkt desselben Qt fällt links von P, d. h. man müsste nunmehr den Zug wieder nach links verschieben, um eine positive Zunahme der Spannung zu erreichen. Die Grenzlage wird im vorliegenden Falle die sein, bei welcher die Last 3 am Knotenpunkte VII angreift. Dadurch ist die ungünstigste Laststellung fixirt.

Käme es darauf an, die ungünstigste Stellung des Systems bezüglich der Zugbeanspruchung des Stabes zu ermitteln, so müsste man in ganz analoger Weise verfahren. Man construirt wieder den Normalenzug OSQ (Fig. 94). Es ist hierbei zu bemerken, dass, da innerhalb der Felder cd und de keine Lasten angreifen, im Normalenzug auch keine Senkrechten zu cd und de existiren; es ist OS Lab und SQ±bc. Eine Verschiebung der Last 1 nach rechts würde, wie aus der Form der Influenzlinie zu

erkennen ist, eine Zunahme der Spannung im absoluten Sinne hervorbringen. Dieser Spannungsänderung ist die Strecke PS proportional, welche von der Vertikalen OP aus nach links abgetragen ist. Der Punkt Q liegt ebenfalls links von P; hieraus

<u

,e

folgt: die Aenderung, welche die Spannung erleidet, wenn man das gesammte Lastsystem nach rechts verschiebt, ist eine Vergrösserung im ab-

_mcx)_

jt \ m w w VI

Hf ! Y2    ®

*01

Fig. 94.

soluten Sinne. Führt man diese Verschiebung aus, so überschreitet zunächst die Last 3 den Knotenpunkt IV. Die neue Form des Normalenzuges ist in Fig. 94 punktirt eingezeichnet. Der Punkt Q, fällt ebenfalls links von P, d. h. die Verschiebung nach rechts muss noch weiter fortgesetzt werden. Hierbei würde sodann die Last 1 den Knotenpunkt III überschreiten. Der untere Endpunkt Q₂ des sodann entstehenden Normalenzuges liegt rechts von P. Hieraus folgt, dass die Grenzlage des Lastsystems erreicht wird, wenn Last 1 grade am Knotenpunkte III angreift.

Es wäre bei der praktischen Anwendung dieses Verfahrens nicht erforderlich gewesen, den zweiten und dritten Normalenzug wirklich zu verzeichnen. Man erkennt aus der Gestalt der Influenzlinie sofort, dass wenn zunächst die Last 3 den Knotenpunkt IV überschreitet, der Punkt Q weiter nach links fällt, und dass, wenn sodann die Last 1 den Knotenpunkt III überschreitet, der Endpunkt Q rechts von P fallen muss.

Allgemein kann man sagen: die ungünstigste Stellung des Zuges wird erreicht, wenn- irgend eine Last an irgend einem Eckpunkt der Influenzlinie angreift, in welchem die zusammenstossenden Seiten der letzteren einen vorspringenden Winkel mit einander bilden.

Die Influenzlinie eines Stabes gewährt über die Spannungsverhältnisse desselben eine sehr einfache, klare Uebersicht. Man wird mit Hülfe der Influenzlinie die ungünstigste Zugstellung schätzungsweise mit ziemlicher Sicherheit von vorne herein angeben können, so dass in vielen Fällen die Construction des Normalenzuges nicht . erforderlich ist.

Empfehlenswerth wird es sein, das Lastsystem auf einem Papierstreifen zu verzeichnen und diesen gegen die Abscissenaxe- der Influenzlinie zu verschieben.

Ist die ungünstigste Laststellung ermittelt, so ergiebt sich die Spannung selbst, indem man die Ordinaten der Influenzlinie in den Angriffspunkten der Lasten mit der Grösse derselben multiplicirt, und diese Producte schliesslich summirt.

§ 30. Einfluss der Temperaturänderungeii.

Der Horizontalschub, welcher durch Temperaturdifferenzen hervorgerufen wird, ergiebt sich ebenso wie bei vollwandigen Trägern aus Gleichung 100, resp. aus einer der Gleichungen 101 bis 103 des § 13.

E. Kr oh n, Bogenl» rücken. II.

Das Trägheitsmoment J₀ des Scheitelquerschnitts kann man vorläufig aus folgender Gleichung ermitteln:

J₀ =

A²/²

8 (/ k — ah)

(P + 1)15 (])

(258)

Hierin bedeutet:

a einen Coefficienten, welcher vom Elasticitätsmodul, der specifischen Temperaturausdehnung, etc. des Materials abhängt.

Nimmt man lm als Längeneinheit und 1* als Gewichtseinheit an, so ist

a = 7000 a = 3400 a = 8000

für Schmiedeeisen: für Gusseisen: und für Stahl: zu setzen.

Für die specifische mobile Belastung q ist der der halben Spannweite des Bogens entsprechende Werth aus der Tabelle des § 7 zu entnehmen.

Weicht das schliesslich sich ergebende Trägheitsmoment J₀ sehr wesentlich von dem approximativ ermittelten Werthe ab, so wird eine Correctur der auftretenden Temperaturspannungen erforderlich sein.

Bedeutet:

O die Spannung im Obergurt,

U die Spannung im Untergurt,

TJ die Spannung in einem Füllungsgliede,

o, u und d die Hebelsarme bezüglich der den Stäben conjugirten Drehpunkte, y die Ordinate dieses Drehpunktes, so ist:

Hy

(262)

U= --'L

ll

(263)

Hy

(264)

In der letzten Gleichung gilt das —Zeichen, wenn die für den links vom Schnitt befindlichen Theil des Bogens als Druckspannung eingeführte Kraft TJ um den Schnittpunkt der mitgeschnittenen Constructionstheile im entgegengesetzten Sinne des Uhrzeigers dreht, das + Zeichen, wenn die Drehung im Sinne des Uhrzeigers erfolgt.

Liegt der Schnittpunkt der mitgeschnittenen Constructionstheile im Unendlichen,

so ist:

]) = +n.*™y-

smo

Hierin bezeichnet cp den Winkel, den die parallelen Gurtlinien mit der Horizontalen einschliessen und a den Winkel zwischen Gurtlinien und Füllungsstab.

Das —Zeichen ist anzuwenden, wenn die für den links vom Schnitt befindlichen Theil des Bogens als Druckkraft eingeführte Spannung I) eine zur Richtung der mitgeschnittenen Gurtlinien senkrechte Componente hat, welche abwärts, gegen die untere Gurtung, gerichtet ist; ist diese Componente aufwärts gerichtet, so hat das + Zeichen Gültigkeit.

2. Bogen allgemeinster Form.

§ 37. Allgemeines.

Lässt sich von vorne herein über die Lage der Bogenaxe keine voraussichtlich genügend zutreffende Annahme machen, so sind die in den vorigen Paragraphen gegebenen Rechnungsmethoden nicht mehr anzuwenden. Es zählen zu solchen Bogen besonders diejenigen mit einer unteren gekrümmten und oberen horizontalen Gurtung. Man wird dann in der Weise Vorgehen müssen, dass man zunächst über die Stabquerschnitte des Bogens provisorische Annahmen macht, und auf Grund der elastischen Formänderung der vorläufig dimensionirten Fachwerkstäbe die Berechnung des Horizontalschubes vornimmt.

Liegen ausgeführte Projecte einer ähnlichen wie der in Frage stehenden Con-struction vor, so wird es möglich sein, hiernach die Stabquerschnitte angenähert zu bestimmen. Anderenfalls ist man genöthigt, den Bogen zunächst unter Annahme von 3 Gelenken oberflächlich durchzurechnen und die dadurch erhaltenen Spannungszahlen zur provisorischen Dimensionirung des Trägers zu benutzen.

In welcher Weise auf Grund der Deformation der einzelnen Fachwerkstäbe die Berechnung des Bogens durchgeführt werden kann, sei zunächst kurz skizzirt.

Die secundären äusseren Kräfte, die Widerlagerreactionen lassen sich, wie bereits im § 8 ausgeführt wurde, bis auf die Grösse des Horizontalschubes durch die Gesetze der Statik berechnen. Zur Bestimmung des Horizontalschubes wird die Bedingung aufgestellt, dass die beiden Kämpferpunkte in horizontaler Richtung unverschieblich sind.

Jeder einzelne Fach werkstab wird durch die Wirkung der äusseren Kräfte deformirt, derselbe wird verkürzt oder verlängert werden. Man denkt sich nun etwa den Bogen am linksseitigen Widerlager A unverschieblich befestigt, während der rechtsseitige Kämpferpunkt B beweglich sein möge. In Folge der Deformation eines jeden Stabes wird der Punkt B eine Verschiebung erleiden, deren Horizontal-componente für die vorliegende Aufgabe von Bedeutung ist. Da die Grösse der Deformation von der Grösse der Stabspannung abhängt und letztere durch die äusseren Kräfte, von denen der Horizontalschub noch unbekannt ist, bedingt wird, so kann die Horizontalverschiebung des Punktes B als eine Function der äusseren Kräfte ausgedrückt werden, in welcher natürlich der Horizontalschub noch als Unbekannte vorhanden ist.

Es deformiren sich nun sämmtliche Fachwerkstäbe gleichzeitig. Die Verschiebungen des Kämpferpunktes B} welche von der Formänderung der einzelnen Stäbe

herrühren, sind demnach zu summiren, um die Totalverschiebung des Punktes B in horizontaler Richtung zu erhalten. Letztere wird gleich Null zu setzen sein. Aus dieser Bedingungsgleichung lässt sich der unbekannte Horizontalschub H ermitteln. Die Resultate dieser Entwicklung seien nachstehend zusammengestellt.

Es bezeichne:

k die Länge eines beliebigen Fach werkstabes,

-Q den Querschnitt desselben,

x und y die Coordinaten des Schnittpunktes der mitgeschnittenen Constructions-theile,

r den Hebelsarm des Stabes bezüglich des conjugirten Drehpunktes,

[■M] das Moment, welches die in Frage stehende Belastung bei einem Balkenträger auf 2 Stützen von der Länge 2 / in einem Punkte mit der Abscisse x hervorrufen würde.

Q den Werth

Dann ist der durch diese Belastung bedingte Horizontalschub:

11=

N [M] Qy

2Qy²

. (266)

Die Summation ist über sämmtliehe Stäbe des Trägers auszudehnen.

Hierbei ist zu bemerken, dass die Deformation der Füllungsglieder auf die Grösse des Horizontalschubes nur von sehr geringem Einfluss ist. Man wird deshalb, ohne einen wesentlichen Fehler zu begehen, in den meisten Fällen die Füllungsglieder als starr voraussetzen können. Dann sind die Summirungen in Gleichung 266 nur über die Gurtstäbe auszudehnen.

A°

7*\

'x

•!LL

■*!

Fig. 95.

Man beginnt damit, für jeden einzelnen Stab den Werth Qy zu berechnen, welcher nur von der geometrischen Form und den Querschnittsverhältnissen des Trägers abhängig ist. Als Querschnitt Q eines Stabes wird die Bruttofläche desselben, ohne Abzug der Nietlöcher einzusetzen sein.

Sodann bestimmt man noch für jeden Stab den Werth Qy² und bildet die Summe 2Qy².

Man lässt nunmehr eine Einzellast von der Grösse „Eins“ der Reihe nach an den verschiedenen Knotenpunkten angreifen, um für jede Lage dieser Last den entsprechenden Horizontalschub zu ermitteln.

Die Abscisse des Angriffspunktes der Einzellast sei £. Für einen Drehpunkt mit der Abscisse x stellt sich dann das Moment [M] folgendermaassen.

Durch den Stab, welcher dem fraglichen Drehpunkte conjugirt ist, denkt man sich einen Schnitt in der Weise geführt, dass ausser diesem Stabe nur noch zwei weitere Constructionstheile getroffen werden. Liegt die Last „Eins“ auf dem rechts vom Schnitt befindlichen Theil des Bogens, so ist:

l ~h £

Man berechnet für die in Rede stehende Lage der Einzellast die Momente [M] für alle Drehpunkte, bestimmt die Werthe [M]Qy und bildet die Summe derselben; dann kann aus Gleichung 266 der Horizontalschub II berechnet werden.

Es ist noch zu ermitteln, was aus den Werthen [M] Qy und Gif für einen Stab wird, dessen conjugirter Drehpunkt im Unendlichen liegt.

<P

Fig. 96.

hat man:

Ruht die Last auf dem links vom Schnitt befindlichen Theil des Trägers

so

-LA (>+.*)

(268)

Bedeutet cp den Winkel, den die Gurtungen mit der Horizontalen einschliessen, und a den Winkel zwischen dem Füllungsstab und den Gurtlinien, so wird:

X sin lcp

12 sin V

(269)

[M\Qy = [T]

l, sin 2 cp

(270)

In dieser letzten Gleichung ist, je nachdem die fragliche Last auf dem rechts oder links vom Schnitt befindlichen Theil des Bogens liegt

(271)

1J1 = TT

oder (272) zu setzen.

Wird der Winkel cp negativ, d. h. fallen die Gurtlinien von links nach rechts, so ist sin 2 cp negativ einzuführen.

Ist der Horizontalschub II für eine der Reihe nach an sämmtlichen Knotenpunkten angreifende Last „Eins“ ermittelt, so kann die weitere Behandlung des Bogenträgers genau in derselben Weise, wie die §§ 32 bis 36 angeben, erfolgen.

Hat man es mit einer gleichmässig vertheilten mobilen Belastung zu thun, so muss zunächst die Kämpferdrucklinie verzeichnet werden.

Für irgend eine Lage der Einzellast „ Eins “ ist das Moment im Angriffspunkte

derselben

[M]

(273)

Die Ordinate der Kämpferdrucklinie ergiebt sich dann aus der Beziehung

(274)

' H

Der Horizontalschub H für die verschiedenen Lagen der Last „Eins“ ist bereits berechnet.

an. Der wahre

Für £=/ nimmt die Gleichung 274 den unbestimmten Werth Werth der Ordinate der Kämpferdrucklinie am Widerlager ist:

, = 2 W.......

¹    " J0,y

Legt mau der Berechnung ein System von Einzel las teil zu Grunde,’ so ist für jeden Fachwerkstab die Influenzlinie zu verzeichnen und sodann die ungünstigste Laststellung und entsprechende Spannung nach den Angaben des § 35 zu ermitteln.

Der in Folge von Temperaturdifferenzen auftretende Horizontalschub ergiebt sich aus der Gleichung

2 UtE

(276)

2Qy-

Ueber Bedeutung der Buchstaben s. § 13. Führt man die dort angegebenen Zahlenwerthe in Gleichung 276 ein, so ergiebt sich

14160/

für Schmiedeeisen:

11 = +

J£©»/²

(277)

für Gusseisen:

11 = ±

6720/

(278)

und für Stahl:

11= ±

15870/

-0;/¹

(279)

Es ist in diesen Gleichungen 1¹¹¹ als Längeneinheit und 1 * als Gewichtseinheit vorausgesetzt.

Bei einem Bogenträger mit einer oberen horizontalen und einer unteren gekrümmten Gurtung kann es Vorkommen, dass die Temperatur in beiden Gurten eine verschiedene ist. Während der Obergurt im Schatten der Fahrbahn liegt, ist der Untergurt event. dem directen Einfluss der Sonnenstrahlen ausgesetzt. In Folge dessen wird der Untergurt eine höhere Temperatur als der Obergurt annehmen. Solch ungleichmässige Erwärmung bedingt eine Yergrösserung des Horizontalschubes. Bei Berücksichtigung dieser Temperaturunterschiede wird der Horizontalschub etwa doppelt so gross anzunehmen sein, als sich derselbe für gleichmässige Erwärmung des ganzen Trägers ergiebt. Demnach ist

(280)

max (+ II) — 2II

zu setzen, worin II der positive Werth ist, welcher sich aus einer der Gleichungen 277 bis 279 ergiebt.

Der umgekehrte Fall, dass der Untergurt eine stärkere Temperaturerniedrigung erfährt als der Obergurt, ist nicht wohl anzunehmen. Man wird also

(281)

max (— II) = — II

zu setzen haben.

Die Spannungen, welche in Folge des Horizontalschubes auftreten, ergeben sich aus den Gleichungen 262 bis 265 des vorigen Paragraphen.

III. Bogen ohne Gelenk.

1. Bogen mit ausgesprochener Axenriclitung.

§ 38. Allgemeines.

Unter Bogen mit ausgesprochener Axenrichtung sollen solche Bogen verstanden werden, bei denen man die Lage der Schwerpunktsaxe von vorne herein näherungsweise angeben kann. Zu diesen Systemen zählen besonders solche mit parallelen

Gurtungen und sichelförmige Bogen. Für beide Anordnungen kann die Axe näherungsweise in der Mitte zwischen den Gurtungslinien angenommen werden.

Die Entwicklungen der §§14 und 15 behalten hier vollständig ihre Gül

tigkeit.

Ist die Axe nach einer Parabel gekrümmt, so beginnt man damit, für eine der Reihe nach an sämmtlichen Knotenpunkten angreifende Last von der Grösse „Eins“ die Werthe [if] und [5] aus den Gleichungen 131 und 132 zu berechnen. Ferner bestimmt man aus den Formeln 142 und 133a (S. 32 u. 33) die Grössen I) und [!)] und mit Hülfe dieser Werthe schliesslich aus den Gleichungen 116 bis 118 für die verschiedenen Lagen der Einzellasten die Grössen M₀, II und T₀.

Hat man es mit einer Axe von beliebiger Krümmung zu thun, so theilt man zunächst die Spannweite des Bogens unabhängig von der Feldertheilung desselben in 10 gleiche Strecken. Für die Theilpunkte berechnet man die Ordinaten y* der Axe (von der Kämpferhorizontalen an gemessen), sodann aus Gleichung 147 den Werth x und nun die Ordinaten y aus der Beziehung 148. Aus den Gleichungen 151, 152 und 153 berechnet man ferner die Werthe    und <3* und mit Hülfe der

letzteren Zahlen aus Gleichung 133 die Grösse [l)] ,für eine der Reihe nach in den verschiedenen Theilpunkten angreifende Last von der Grösse „ Eins “. Sodann ergiebt sich der Horizontalschub für die verschiedenen Lagen der Last aus Gleichung 117. Diese Werthe trägt man nun als Ordinaten in den Angriffspunkten der Last auf, und verbindet die Endpunkte derselben durch eine stetige Curve. Die Ordinaten dieser Curve, welche den Abscissen der Knotenpunkte des Fachwerks entsprechen, geben den Horizontalschub für eine in diesen Knotenpunkten angreifende Last von der Grösse „Eins“ an.

Die Werthe [jF] und [3] lassen sich für die verschiedenen Lagen der Einzellast direct aus den Gleichungen 131 und 132 berechnen; mit Hülfe derselben findet man die Grössen Mu und T₀ aus den Formeln 116 und 118.

Die Werthe FI, M₀ und T₀, welche einer an den verschiedenen Knotenpunkten angreifenden Einzellast von der Grösse „Eins“ entsprechen, stellt man übersichtlich zusammen.

Um die Spannung in irgend einem Constructionstheil zu erhalten, stellt man für den vorliegenden Belastungsfall bezüglich des dem fraglichen Stabe conjugirten Drehpunktes die Gleichung der statischen Momente auf.

Das Moment der äusseren Kräfte bezüglich dieses Punktes ist, wenn mit x und y die Coordinaten desselben bezeichnet werden

(282)

M — [A/] — M₀— Hy — T₀x

Hierbei ist zu berücksichtigen, dass der Coordinaten-Ursprung in der mittleren Vertikalen des Bogens und zwar um die Strecke x über der Kämpferhorizontalen liegt.

Um die Werthe M₍₎, H und T₀ zu erhalten, berechnet man dieselben zunächst für jede der vorhandenen Einzellasten. Dieses geschieht in einfacher Weise durch Multiplication der für die Last „Eins“ bereits gefundenen Werthe mit der Grösse der angreifenden Kräfte. Summirt man schliesslich diese Produete, so gelangt man zu den der Gesammtbelastu'ng entsprechenden Grössen FI, M₀ und T₀.

Ferner bedeutet in Gleichung 282 [M] das Moment, welches die nämliche Belastung bei einem Balkenträger auf 2 Stützen von der Spannweite 2/ in einem Punkte mit der Abscisse x hervorbringen würde.

Bezeichnet man eine Einzellast rechts von dem zum Zweck der Spannungsermittlung geführten Schnitte mit G', eine Last, welche links von diesem Schnitte angreift mit G“ und mit £ den Abstand der Lasten vom Scheitel, so ist:

27

. . (283)

— 2G#(/ + D + -4jr—|) . .

Die Spannung im Obergurt sei mit 0, diejenige im Untergurt mit U, die Spannung in einem Füllungsgliede mit D bezeichnet. Die entsprechenden Hebelsarme bezüglich der Schnittpunkte der mitgeschnittenen Constructionstheile seien o, n und (I. Dann ist:

(284)

(285)

U— —

(286)

Ob in der letzten Gleichung das + Zeichen oder das — Zeichen gültig ist, kann folgendermaassen entschieden werden. Durch den fraglichen Gitterstab denkt man sich einen Schnitt geführt und zwar in der Weise, dass ausser diesem Stabe nur noch zwei weitere Constructionstheile getroffen werden. Derjenige Theil des Bogens, welcher rechts von diesem Schnitte liegt, sei fortgenommen. Auf den Theil links vom Schnitte lässt man die Spannung I) als Druckkraft ein wirken, so dass also der Pfeil der Kraft D gegen den festbleibenden — nicht fortgeschnittenen — Knotenpunkt des fraglichen Stabes gerichtet ist. Dreht nun die in dieser Weise eingeführte Spannung I) um den Schnittpunkt der mitgeschnittenen Constructionstheile im ent- ■ gegengesetzten Sinne des Uhrzeigers, so gilt in Gleichung 286 das + Zeichen; dreht hingegen diese Kraft im Sinne des Uhrzeigers, so ist das —Zeichen als gültig anzunehmen.

Liegt der Schnittpunkt der mitgeschnittenen Constructionstheile im Unendlichen,

so ist

D= +

(287)

([T] + 7’₀) cos (p — H sin cp

sin a

Hierin bezeichnet fp den Winkel, den die parallelen Gurtlinien mit der Horizontalen einschliessen und a den Winkel zwischen Gurtlinien und Füllungsstab.

Das + Zeichen ist anzuwenden, wenn die für den links vom Schnitt befindlichen Theil des Bogens als Druckkraft eingeführte Spannung D eine zur Richtung der mitgeschnittenen Gurtlinien senkrechte Componente hät, welche abwärts, gegen die untere Gurtung, gerichtet ist; ist diese Componente aufwärts gerichtet, so hat das —Zeichen Gültigkeit.

In Gleichung 287 ist [7’] die Transversalkraft, welche von der nämlichen Belastung im fraglichen Schnitt hervorgebracht würde, wenn statt eines Bogens ein Balken auf zwei Stützen vorhanden wäre. Bezeichnet wieder G‘ eine Einzellast

§ 40. Gleichmässig vcrthcilte mobile Last.

89

rechts vom Schnitt, G“ eine solche links vom Schnitt und £ den Abstand der Lasten vom Scheitel, so ist:

(288)

ZG' (/+!)-—Ö

§ 39. Gleiclimässig vertheilte permanente Last.

Die Werthe H und l/₀ sind für eine Last „Eins“, die an den verschiedenen Knotenpunkten angreift, bereits ermittelt. Man multiplicirt diese Werthe mit der Grösse des pr. Knotenpunkt wirkenden Eigengewichts und summirt schliesslich die erhaltenen Producte. Dadurch erhält man die Werthe H und M₀, welche der totalen Belastung entsprechen.

Gleichung 282 nimmt für symmetrische Belastung die einfachere Form an:

(289)

M = [M] — Mo — Hy.........

In der Gleichung 283, aus welcher der Werth [M] zu ermitteln ist, wird man die Summengrössen in einfacher Weise ersetzen können durch die Producte aus den Resultanten der Einzellasten und deren Abständen vom rechtsseitigen, resp. linksseitigen Kämpfer.

Gleichung 287 nimmt die Form an:

[T] cos cp — IIsin (p

sin a

(290)

Auch in dem Ausdruck 288 für die Grösse [T] können die Summenwerthe durch die Producte aus den Resultanten und deren Abständen von den Kämpfern ersetzt werden.

Im Uebrigen ist nach den Ausführungen des vorigen Paragraphen zu verfahren.

§ 40. Gleichmässig vertheilte mobile Last.

Es müssen zunächst die Kämpferdrucklinie und die Umhüllungscurven verzeichnet werden. Diese Operation geschieht vollständig in der Weise, wie § 18 dieselbe angiebt. Die Belastungsscheiden werden dadurch gefunden, dass man vom Schnittpunkte der mitgeschnittenen Constructionstheile an die Umhüllungscurven Tangenten zieht und letztere mit der Kämpferdrucklinie zum Schnitt bringt. Die Schnittpunkte sind die gesuchten Belastungsscheiden.

Welche Strecken belastet werden müssen, damit die Spannungen im fraglichen Constructionstheil ihr positives oder negatives Maximum erreichen, ist mit Hülfe der im § 26 auf S. 49 für einen Bogen mit 3 Gelenken gemachten Ausführungen leicht zu entscheiden.

Natürlich ist, abweichend von der an jener Stelle gegebenen Erklärung, bei einem Bogen ohne Gelenk die Stützlinie für eine Einzellast in der Weise zu finden, dass man die Richtungslinie dieser Last mit der Kämpferdrucklinie schneidet und vom Schnittpunkte aus an die Umhüllungscurven Tangenten zieht.

Die Belastungsschemen ergeben sich im Allgemeinen folgendermaassen:

Obere Gurtung.

Druck

<Zug

— Zug

s.

J)

Druck (— Zug —A~

Fig. 97. Untere Gurtung.

— Bruch

A'

Fig. 98.

Füllungsglieder.

Zum richtigen Verständniss der Belastungsschemen ist es erforderlich, folgende kurze Ausführung zu berücksichtigen.

Durch den fraglichen Stab führt man einen Schnitt in der Weise, dass ausser diesem Stabe nur noch zwei weitere Constructionstheile getroffen werden. Man denkt den Theil des Bogens, welcher rechts vom Schnitte liegt, fortgenommen. Die Spannung des in Rede stehenden Stabes wird als Druckkraft eingeführt, d. h. der Pfeil der Kraft ist gegen den festbleibenden, nicht fortgeschnittenen Knotenpunkt gerichtet. Es ist im Folgenden vorausgesetzt, dass die in dieser Weise eingeführte Stabspannung um den Schnittpunkt der mitgeschnittenen Constructionstheile im entgegengesetzten Sinne des Uhrzeigers dreht. Ist dieses nicht der Fall, dreht die Spannung im Sinne des Uhrzeigers, so sind in den folgenden Schemen die Worte „Druck“ und „Zug“ mit einander zu vertauschen.

r Druck -■%-- Zug

—Druck--*

1. Der Schnittpunkt S der m itgeschnittenen Constructionstheile liegt links vom Berührungspunkte F (Fig. 99).

■■

§ 40. Gleichmässig vertheilte mobile Last.

2. Der Schnittpunkt S der mitgeschnittenen Constructionstheile liegt zwischen dem Berührungspunkte F und dem fraglichen Felde.

4— Zug

--Bruck

E i>

Druck

91

-,U-------

s\

Ir

Fig. 100.

Fig. 101.

Fig. 100 stellt den Fall dar, dass die von S aus an die Umhüllungscurve gezogene Tangente die Kämpferdrucklinie links vom fraglichen Felde trifft, während Fig. 101 den Fall zeigt, in welchem der Schnittpunkt dieser Tangente mit der Kämpferdrucklinie rechts vom fraglichen Felde liegt.

3. Der Schnittpunkt S der mitgeschnittenen Constructionstheile liegt rechts vom fraglichen Felde.

Bruch-----*- Zug ->

Zu.i

-------

Zug-*

- Druck

%— Zag —*

v-'

B

A\

Fig. 102.

1/

Fig. 103.

Das Belastungsschema Fig. 102 ist gültig, wenn die von S aus an die rechtsseitige Umhüllungscurve gezogene Tangente die Kämpferdrucklinie rechts vom fraglichen Felde schneidet; Fig. 103 ist gültig, wenn dieser Schnittpunkt links vom fraglichen Felde liegt.

Fällt der Schnittpunkt S ins Unendliche, so zieht man eine zur Richtungslinie der geschnittenen Gurtungen parallele Tangente an die Umhüllungscurve. Der Schnittpunkt dieser T'angente mit der Kämpferdrucklinie ist eine Belastungsscheide.

Das Belastungsschema zeigt Fig. 104.

Zug —

- z".9

--Druck

Es ist hierbei vorausgesetzt, dass die für den links vom Schnitt befindlichen Theil des Bogens als Druckkraft eingeführte Spannung des fraglichen Gitterstabes eine zur Richtung der mitgeschnittenen Gurtlinien senkrechte Componente hat, welche abwärts, gegen die untere Gurtung gerichtet ist; ist diese Componente aufwärts gerichtet, so sind die Worte „Druck“ und „Zug“ im Belastungsschema Fig. 104 mit einander zu vertauschen.

Die Werthe //, M₀ und T₀ sind für eine Last von der Grösse „Eins“, welche an den verschiedenen Knotenpunkten angreift, bereits gefunden und tabellarisch zusammengestellt. Ist eine Reihe von Knotenpunkten als belastet anzunehmen, so sind die, diesem Fall entsprechenden Werthe II, M₀ und T₀ durch Summation mit Hülfe obiger Tabellen leicht anzugeben.

Nachdem die Grösse [M] für die vorliegende Belastung aus Gleichung 283 berechnet ist, erhält man das Moment der äusseren Kräfte bezüglich des Schnittpunktes der mitgeschnittenen Constructionstheile aus Gleichung 282 und die Spannungen selbst aus einer der Gleichungen 284 bis 286.

Liegt der conjugirte,Drehpunkt im Unendlichen, so sind die Formeln 288 und 287 zu verwenden.

Zu bemerken ist noch, dass in den Gleichungen 283 und 288 die Sunimen-werthe durch die Producte aus den Resultanten der Einzellasten und deren Abständen vom rechtsseitigen, resp. linksseitigen Kämpfer ersetzt werden können.

Nachdem man für einen Fach werkstab die Maximalspannung im einen Sinne ermittelt hat, findet man die Maximalspannung im andern Sinne am bequemsten durch Subtraction des zuerst berechneten Werthes von der in Folge totaler mobiler Belastung auftretenden Spannung. Letztere lässt sich in einfacher Weise aus den für das Eigengewicht berechneten Spannungszahlen ableiten.

§ 41. Mobile Belastung durch ein System von Einzellasten.

Die Methode, nach welcher die ungünstigsten Laststellungen, sowie die Spannungen in den Fachwerkstäben ermittelt werden können, ist genau die nämliche wie die, welche im $ 35 für einen Bogen mit 2 Gelenken entwickelt wurde. Naturgemäss wird nur die Berechnung der Influenzlinien hier eine andere sein.

Nachdem für die verschiedenen Lagen einer Last von der Grösse „ Eins “, welche der Reihe nach an sämmtlichen Knotenpunkten angreift, die Werthe II, M₀ und T0 ermittelt sind, bestimmt man für irgend einen Constructionsstab mit Hülfe der Formeln 282 und 283 aus einer der Gleichungen 284 bis 286 die Spannung, welche die Last „Eins“ bei ihren verschiedenen Lagen in diesem Stabe hervorruft.

Trägt man nun diese Spannungen in den Angriffspunkten der Last als Ordi-naten auf, so erhält man die dem fraglichen Stabe entsprechende Influenzlinie. Letztere verläuft auch hier zwischen den Knotenpunkten geradlinig.

Bezüglich aller weiteren Entwicklungen kann vollständig auf $ 35 verwiesen

werden.

§ 42. Einfluss der Temperaturänderungen.

Der Horizontalschub, welcher durch Temperaturdifferenzen hervorgerufen wird, ergiebt sich ebenso wie bei vollwandigen Trägern aus Gleichung 169 des § 20, resp. aus einer der Gleichungen 101 bis 103 des § 13.

Das Trägheitsmoment des Scheitelquerschnitts, dessen Kenntniss zur Ermittlung der Temperaturspannungen erforderlich ist, kann man vorläufig aus folgender Gleichung bestimmen:

Jo

KH-

Hierin bedeutet:

8 {fk — Iah)

(/> + !,! q)

(291)

/ die halbe Spannweite \ ,    ~

/diePMlMhe . . . ( der B<)ge”axe

h die Entfernung der Gurtungslinien im Scheitel,

v die permanente 1 „ . ,    T..    . , .,

, .    , .•    > Belastung pr. Längeneinheit,

q die mobile .    . >

k die zulässige specifische Spannung,

a einen Coefficienten, welcher vom Elasticitätsmodul, der specifischen Temperaturausdehnung etc. des Materials abhängt.

Nimmt man lm als Längeneinheit und 1* als Gewichtseinheit an, so ist für Schmiedeeisen: für Gusseisen: für Stahl: zu setzen.

« = 7000

(292)

« = 3400 « = 8000

(293)

(294)

Für die specifische mobile Belastung q ist der der halben Spannweite des Bogens entsprechende Werth aus der Tabelle des $ 7 zu entnehmen.

Weicht das schliesslich sich ergebende Trägheitsmoment J₀ sehr wesentlich von dem approximativ ermittelten Werthe ab, so ist eine Correctur der auftretenden Temperaturspannungen erforderlich.

Es bedeute:

O die Spannung im Obergurt,

U die Spannung im Untergurt,

TJ die Spannung in einem Füllungsgliede,

o, u und d die Hebelsarme dieser Kräfte bezüglich der den Stäben conjugirten Drehpunkte und

y die Ordinate dieses Drehpunktes.

Dann ist:

(295)

Hy

. (296)

(297)

In der letzten Gleichung gilt das —Zeichen, wenn die für den links Schnitt befindlichen Theil des Bogens als Druckspannung eingeführte Kraft D den Schnittpunkt der mitgeschnittenen Constructionstheile im entgegengesetzten Sinne des Uhrzeigers dreht, das + Zeichen, wenn der Sinn der Drehung dem des Uhrzeigers entsprechend ist.

Liegt der conjugirte Drehpunkt im Unendlichen, so ist:

7> = + 7/

vom

um

sin cp sin «

(298)

Hierin bezeichnet cp den Winkel, den die parallelen Gurtlinien mit der Horizontalen einschliessen und « den Winkel zwischen Gurtlinien und Füllungsstab.

Das —Zeichen ist anzuwenden, wenn die für den links vom Schnitt befindlichen Theil des Bogens als Druckkraft eingeführte Spannung T) eine zur Richtung der mitgeschnittenen Gurtlinien senkrechte Componente hat, welche abwärts, gegen die untere Gurtung gerichtet ist; ist diese Componente aufwärts gerichtet, so hat das -j- Zeichen Gültigkeit.

2. Bogen allgemeinster Form. § 43. Allgemeines.

Lässt sich von vorne herein über die Lage der Bogenaxe keine voraussichtlich genügend zutreffende Annahme machen, so sind die in den vorigen Paragraphen gegebenen Rechnungsmethoden nicht mehr anzuwenden. Man wird dann in der Weise Vorgehen müssen, dass man zunächst über die Stabquerschnitte des Bogens provisorische Annahmen macht, und auf Grund der elastischen Formänderung der vorläufig dimensionirten Fachwerkstäbe die Berechnung vornimmt.

Liegen ausgeführte Projecte einer ähnlichen wie der in Frage stehenden Con-struction vor, so wird es möglich sein, hiernach die Stabquerschnitte angenähert zu bestimmen. Anderenfalls ist man genöthigt, den Bogen zunächst unter Annahme von 3 Gelenken (ein Scheitel- und zwei Kämpfergelenke) oberflächlich durchzurechnen und die dadurch erhaltenen Spannungszahlen zur provisorischen Dimensionirung des Trägers zu benutzen.

Die Berechnung auf Grund der Deformation der einzelnen Fachwerkstäbe wird dann ganz ähnlich durchgeführt wie bei einem Bogenträger mit 2 Gelenken (vergl. § 37).

Man bestimmt die relative Verschiebung der Kämpferpunkte in Folge der Verkürzung oder Verlängerung eines einzelnen Fachwerkstabes. Diese Stabdeformatiou ist abhängig von den zum Theil noch unbekannten äusseren Kräften. Da sich sämmtliche Stäbe gleichzeitig deformiren, so wird man, um die Totalverschiebung der Kämpferpunkte zu erhalten, die in Folge der Formänderung der einzelnen Stäbe auftretenden Verschiebungen zu summiren haben. Diese Total Verschiebung wird sich also ausdrücken lassen als Function der äusseren Kräfte. Indem man annimmt, dass die Kämpferpunkte absolut fest bleiben, die relativen Verdrehungen und Verschiebungen also Null sind, erhält man drei Gleichungen, aus denen die noch unbekannten drei Grössen der äusseren Kräfte berechnet werden können.

Es bezeichne:

/ die Länge eines beliebigen Fachwerkstabes,

Q den Querschnitt desselben,

r den Hebelsarm des Stabes bezüglich des conjugirten Drehpunktes.

Zunächst berechne man für jeden Constructionsstab die Grösse

(299)

r¹

Als Querschnitt 42 eines Stabes wird die Bruttofläche desselben, ohne Abzug der Nietlöcher einzusetzen sein.

Die Ordinaten der Schnittpunkte der mitgeschnittenen Constructionstheile von einer ganz beliebig gewählten Horizontalen AB (Fig. 105) ab gemessen seien mit y‘ bezeichnet.

Man bestimmt line

Grösse

~ ₌    . (300)

und nimmt die definitive X-Axe in der Entfernung z über der Horizontalen AB an.

+x

\\ 1/

W.

fr—

— JC

Fig. 105.

Der Werth - Oy‘ bedeutet, dass für jeden Stab die Grösse 0 mit der Ordinate //' des dem Stabe conjugirten Schnittpunktes multiplicirt werden muss und diese Producte schliesslich zu addiren sind.

Liegt der einem Stabe conjugirte Drehpunkt im Unendlichen, so wird 0 = 0 und Qy‘— 0.

Die Summation ist über sämmtliche Stäbe des Trägers auszudehnen.

Hierbei ist zunächst zu bemerken, dass die Deformation der Füllungsglieder auf die Lage und Grösse der secundären äusseren Kräfte (der Widerlagerreactionen) nur von sehr geringem Einfluss ist. Man wird deshalb, ohne einen wesentlichen Fehler zu begehen, in den meisten Fällen die Füllungsglieder als starr voraussetzen können. Dann ist die Summirung sowohl in Gleichung 300 wie in den folgenden Gleichungen dieses Capitels nur über die Gurtstäbe auszudehnen.

Die in die weitere Rechnung einzuführenden Ordinaten der Drehpunkte

sind dann:

(301)

y=y‘—z

Man bildet nun noch folgende Summen, welche nur von der geometrischen Form und den Stabquerschnitten des Bogens abhängig sind:

2 Sy- und 2 0 x\

In einem Knotenpunkte J (Fig. 105) in der Entfernung £ vom Scheitel greife eine Einzellast von der Grösse „Eins“ an.

[M] bezeichne das Moment, welches durch diese Last in einem beliebigen Punkte mit der Abscisse x hervorgebracht würde, wenn statt eines Bogens ein Balkenträger auf 2 Stützen von der Spannweite 2/ vorhanden wäre.

Das Moment |ili] wird für jeden Drehpunkt aufgestellt.

Denkt man sich durch einen beliebigen Stab einen Schnitt zum Zweck der Spannungsbestimmung gelegt — also in der Weise, dass ausser dem fraglichen Stabe nur noch zwei weitere Constructionstheile getroffen werden — so ist, wenn die Einzellast rechts von diesem Schnitt angreift, für den diesem Stabe conjugirten Drehpunkt

IM]

■21 {,-x)

(302)

Greift hingegen die Last links vom Stabe zugehörigen Drehpunkt ein Moment

Schnitte an, so entspricht dem diesem

[M]

'fr;

(/ + x) .    .

. . (303)

Hierbei ist zu bemerken, dass es durchaus gleichgültig ist, welchen Werth man für die Spannweite 2 / annimmt, ob man die Kämpfervertikale durch den letzten unteren oder durch den letzten oberen Knotenpunkt, oder sonst durch irgend einen Punkt hindurch legt. Man muss nur den einmal für 1 angenommenen Werth bei der ganzen weiteren Berechnung beibehalten.

Nachdem für jeden Stab das zugehörige Moment [M\ gefunden ist, bildet man noch die Werthe:

[M]Oj \M\Oy und [M]Ox.

Es bedeute:

H den Horizontalschub

M₀ und T₀ die Differenzen zwischen den Momenten, resp. den Transversalkräften, welche im Scheitelquerschnitt des Bogens und im mittleren Querschnitt eines Balkenträgers auf 2 Stützen bei der nämlichen Belastung auftreten.

Alsdann ergeben sich diese drei Werthe, welche der Belastung durch die in Bede stehende Einzellast entsprechen aus den Beziehungen:

2[M]Q

il/₀ =

20

(304)

2[M)Qy 2 Oy2 2[M]0x

(305)

20x²

(306)

Es ist noch zu ermitteln, was aus den Werthen [A/]0, [M]Oy, [M]Ox, 0, Oy'¹ und Ox² für einen Stab wird, dessen conjugirter Drehpunkt im Unendlichen liegt.

Bedeutet (p den Winkel, den die Gurtungen mit der Horizontalen einschliessen und a den Winkel zwischen dem Füllungsstab und den Gurtlinien, so wird:

[M] 0 = 0 .

[U}Qy = [T}

l sin 2 cp

2 £2 sin²«

[M)Ox=*—[T]

l cos²cp

£2 . sin²«

(307)

(308)

(309)

(310)

Oy²

Ä sin²(jp

£2 . sin²«

(311)

Ox²

l COS ²(p

£2 sin ²a

(312)

In den Gleichungen 308 und 309 ist, je nachdem die fragliche Last auf dem rechts oder links vom Schnitt befindlichen Theile des Bogens einwirkt

m=2±i

(313)

oder:

[71

2/

(314)

Wird der Winkel cp negativ, d. k. fallen die Gurtlinien von links nach rechts, so ist in Gleichung 308 der Werth sin 2 cp negativ einzuführen.

Die Werthe M0J II und T₀ wird man zunächst für jede Lage einer der Reihe nach an den verschiedenen Knotenpunkten angreifenden Last „ Eins “ berechnen und tabellarisch zusammenstellen.

Ist eine Anzahl von Knotenpunkten gleichzeitig belastet, so findet man die entsprechenden Werthe M₀, II und F₀, indem man diese Grössen zunächst für jede der Einzellasten aus der Tabelle entnimmt (die dort für eine Last „Eins“ zusammengestellten Zahlen müssen natürlich mit der Grösse der Einzellast multiplicirt werden) und diese Werthe summirt.

Das Moment der äusseren Kräfte für einen Drehpunkt mit den Coordinaten x und y ist sodann:

M= (71/1 — M₀— Hy — T₀x .

(315)

Hierin bedeutet wieder [M] das Moment, welches die nämliche Belastung bei einem Balkenträger auf 2 Stützen in einem Punkte mit der Abscisse x hervorrufen würde. Die Grösse dieses Momentes ergiebt sich aus Gleichung 283.

Die Spannung im fraglichen Stabe kann sodann aus einer der Gleichungen 284 bis 286 berechnet werden. Auch die Formeln 287 und 288, welche sich auf den Fall beziehen, dass der Schnittpunkt der mitgeschnittenen Constructionstheile im Unendlichen liegt, behalten vollständig ihre Gültigkeit.

Die weitere Behandlung des Trägers kann genau in derselben Weise erfolgen, wie in den vorigen Paragraphen angegeben ist.

Hat man es mit einer gleichmässig vertheilten mobilen Belastung zu thun, so müssen zunächst die Kämpferdrucklinie und die Umhüllungscurven verzeichnet werden.

Die Grössen a und b (siehe Fig. 106) ergeben sich aus den Beziehungen:

a -f- b

2 M₀

II

. (316)

7TK

^Amftfei-drucKL inie_

2 TJ

II

.. (317)

+X

Ferner ist:

i] — a -f- b

. (318) Mit Hülfe der Werthe o, b und rj lassen sich die Linien D F und E F verzeichnen. Der

a>

•71

'S'

*3

Fig. 106.

geometrische Ort der Punkte F ist die Kämpferdrucklinie; die Curven, welche von den Graden DF und EF eingehüllt werden, sind die Umhüllungscurven.

Legt man der Berechnung ein System von Einzellasten zu Grunde, so ist für jeden Fach werkstab die Influenzlinie zu verzeichnen und sodann die ungünstigste Laststellung und entsprechende Spannung nach den Angaben des § 35 zu ermitteln.

R. Krolin, Bogendrücken. II.

Der in Folge von Temperaturdifferenzen auftretende Horizontalschub ergiebt sich aus der Gleichung

(319)

n=

2 IxtE

2Qi/

Ueber Bedeutung der Buchstaben s. § 13. Führt man die dort angegebenen Zahlenwerthe in Gleichung 319 ein, so ergiebt sich

für Schmiedeeisen:

ff= +

14160/

für Gusseisen:

ff= +

2Qy' 6720 /

(320)

~Q;/

(321)

und für Stahl:

11= +

15870 /

— ZQif

(322)

Es ist in diesen Gleichungen lm als Längeneinheit und 1* als Gewichtseinheit vorausgesetzt.

Bei einem Bogenträger mit einer oberen horizontalen und einer unteren gekrümmten Gurtung kann es Vorkommen, dass die Temperatur in beiden Gurten eine verschiedene ist. Während der Obergurt im Schatten der Fahrbahn liegt, ist der Untergurt event. dem directen Einfluss der Sonnenstrahlen ausgesetzt. In Folge dessen wird der Untergurt eine höhere Temperatur als der Obergurt annehmen. Solch ungleichmässige Erwärmung bedingt eine Vergrösserung des Horizontalschubes. Bei Berücksichtigung dieser Temperaturunterschiede wird der Horizontalschub etwa doppelt so gross anzunehmen sein, als sich derselbe für gleichmässige Erwärmung des ganzen Trägers ergiebt. Demnach ist

(323)

max (+ ff) = 2 H

zu setzen, worin ff der positive Werth ist, welcher sich aus einer der Gleichungen 320 bis 322 ergiebt.

Der umgekehrte Fall, dass der Untergurt eine stärkere Temperaturerniedrigung erfährt als der Obergurt, ist nicht wohl anzunehmen. Man wird also:

(324)

max (— ff) = — H

zu setzen haben.

Die Spannungen, welche in Folge dieses Horizontalschubes auftreten, ergeben sich aus den Gleichungen 295 bis 298 des $ 42.

§ 44. Doppeltes Fachwerk.

Hat man es mit einem Fachwerk zu thun, welches mehr Stäbe enthält, als im § 23 für ein statisch bestimmtes Fachwerk angegeben wurden, so kann die Ermittlung der einzelnen Spannungen, wTenn die äusseren Kräfte bekannt sind, streng genommen nur unter Berücksichtigung der Elasticitätsverhältnisse des Bogens durchgeführt werden.

Die in der Praxis vorkommenden statisch unbestimmten Fachwerksysteme lassen sich immer zerlegen in zwei oder mehrere statisch bestimmte Systeme; man erhält eine genügende Annäherung in der Berechnung, wenn man die Spannungen eines jeden dieser Theilsysteme für sich ermittelt, indem man annimmt, dass dieselben

zu gleichen Theilen an der aufzunehraenden Last participiren, sodann sich die Systeme auf einander gelegt denkt und nun die Spannungen entsprechender Stäbe summirt.

Es ist natürlich im Allgemeinen empfehlenswert!], statisch bestimmte Facbwerke zu verwenden. Bei Bogen mit ausgesprochener Axenrichtung (Bogen mit parallelen Gurtungen oder sichelförmige Bogen) schaltet man jedoch gewöhnlich des guten Aussehens halber Gegendiagonalen ein.

Ein solches doppeltes Fachwerk ist in Fig. 107 verzeichnet, Die Zerlegung desselben in die beiden Einzelsysteme ist in derselben Figur gezeigt.

Man nimmt nun an, jedes der beiden Systeme habe die Hälfte der angreifenden Lasten zu tragen.

Unter dieser Annahme wird das System I (mit Diagonalen D, welche von links nach rechts gegen die Axe fallen) in gewöhnlicher Weise durchgerechnet.

Nur die Ständer C, welche als Füllungsglieder in beiden Systemen Vorkommen, werden zunächst nicht berücksichtigt. Man berechnet also die Spannungen Om, Um und I)m; alsdann kann man die Spannungen im System II aus den berechneten Zahlen in einfacher Weise ableiten.

0>n±i-

p°

,p°

\?w

System I.

Otn

OnizJ-

ff \

fm

Es ist:

Gurtungen.

Ora+l

U”‘

.    . (325)

Gm - Gm -)- I

TT I_ TT U

— 1 ~ /

Um

Die Bezeichnung der Stäbe und der entsprechenden Hebelsarme ist aus Fig. 107 zu ersehen.

Nachdem die Gurtspannungen in beiden Theil-systemen berechnet sind, werden die Spannungszahlen entsprechender Stäbe (Om und OJ, Um und UJ) addirt. Die hierdurch erzielten Resultate liefern that-

Om

. . (326)

System II.

Wc

C 'f⁴

Z/m-f

ILtih.

lim*¹

sächlich etwas zu grosse Absolutwerthe. Es ist nämlich vorausgesetzt, dass gleichzeitig für den Stab Gm und OJ oder für Um und UJ die ungünstigste Belastung stattfindet, welche Vor-

Fig. 107.

aussetzung, da beide Belastungsarten um ein Weniges von einander abweichen, natürlich nicht zutreffen kann. Der Fehler, welcher hierdurch gemacht wird, ist aber nur gering und um so weniger bedenklich, als, wie gesagt, die dadurch sich ergebenden Spannungszahlen zu gross ausfallen.

Füllungsglieder.

Bezeichnet man mit dm, resp. dj die Hebelsarme der Diagonalen Dm und DJ bezüglich des Schnittpunktes der beiden mitgeschnittenen Gurtungstheile, so ist

(327)

d.ti

dj

Sind die beiden Ständer C (Fig. 107), welche das fragliche Feld begrenzen, einander parallel, so lautet die Gleichung 327:

(328)

Ti / Ti ”

-L'm    J-/m ^

Hierin ist mit k und /' die Länge der Diagonalstäbe Dm und DJ bezeichnet.

Die Spannung in den Ständern G, welche gleichzeitig beiden Systemen angehören, kann nun nicht in ähnlicher Weise ermittelt werden. Würde man die Maximaldruckspannung des Stabes Cm im System I, und unabhängig davon die Maximaldruckspannung desselben Stabes im System II berechnen und nun diese Zahlen-werthe addiren, so würde man gänzlich falsche Resultate erhalten, da hierbei zwei durchaus verschiedene Belastungsarten als gleichzeitig vorhanden angenommen wären.

Weichen die Richtungen der im fraglichen Knotenpunkte zusammenstossenden Gurtungslinien nur wenig von einander ab, so können für diese Ständer mit genügender Annäherung folgende Formeln als gültig betrachtet werden.

1. Bogen mit ausgesprochener Axenrichtung. (Bogen mit parallelen Gurtungen, sichelförmige Bogen.)

Eigengewicht.

(329)

C=

P° cos cp Pu cos cpx 2 sin a 2 sin ai

Hierin bedeutet P° das auf einen oberen Knotenpunkt, Pu das auf einen unteren Knotenpunkt entfallende Eigengewicht.

Ueber die Bedeutung der Winkel s. Fig. 108.

po

Sind Ober- und Untergurt parallel und steht der Ständer C senkrecht zu dieser Bichtung, so wird

SA

Jj_

'U-

C=

P°—P¹¹

• COS (p

(330)

Ist der Ständer C vertikal, so ist:

C=

P°—P“

(331)

Fig. 108.

Mobile Last.

Es ist angenommen, dass die mobile Last an den oberen Knotenpunkten angreife; die Grösse derselben pr. Knotenpunkt sei mit Q bezeichnet; man hat dann

(332)

\ , r\ Q cos ⁽P

2 sma

Sind Ober- und Untergurt parallel und steht der Ständer C senkrecht zu dieser Richtung, so ist:

(333)

max (-f-£) = — • cos cp

Ist der Ständer vertikal, so wird

(334)

max (+ C) =

Die grösste Zugspannung in Folge der mobilen Last ist allgemein gleich Null

2. Bogenträger mit einer oberen horizontalen und einer unteren

gekrümmten Gurtung.

Es wird vorausgesetzt, dass die Ständer, welche beiden Systemen angehören, vertikale Richtung haben.

Dann ist in Folge des Eigengewichts:

C=P°

(335)

und in Folge der mobilen Belastung:

max (4- C) — Q

Oj CC

CO CO

^-V .

co

max (— C) — 0 ..........(

wenn mit Q die auf einen oberen Knotenpunkt entfallende mobile Last bezeichnet wird.

Hat man es mit einem System von Einzellasten zu thun, so ist der Werth Q unter der Annahme zu bestimmen, dass ein mittleres Locomotivrad im fraglichen Knotenpunkte angreift.

Temperaturdifferenzen bringen in Füllungsgliedern, welche gleichzeitig beiden Systemen angehören und bei denen die Richtungen der in den fraglichen Knotenpunkten zusammenstossenden Gurtungslinien nur wenig von einander abweichen, keine Spannungen hervor.

Weichen die Richtungen der am Ständer C zusammenstossenden Gurtlinien wesentlich von einander ab, so sind obige Näherungsformeln nicht mehr zutreffend. Man muss sodann, unter Berücksichtigung der Thatsache, dass der Stab gleichzeitig beiden Fach Werksystemen angehört, in jedem einzelnen Fall sich überlegen, bei welcher Belastungsart derselbe seine Maximalspannungen erreicht und diesen Belastungsfall sowohl im einen wie im andern System der Berechnung des fraglichen Stabes zu Grunde legen.

Führt eine einfache Ueberlegung bezüglich der anzunehmenden Belastungsart nicht zum Ziel, so kann man jedenfalls mit Hülfe der Influenzlinie ein Resultat erreichen. Die Methode ist allerdings ziemlich weitläufig, aber sicher und exact (s. hierüber § 35). Man lässt eine Einzellast der Reihe nach an sämmtlichen Knotenpunkten in beiden Systemen angreifen, ermittelt die Spannung des fraglichen Ständers, welche dadurch im einen und im andern System hervorgerufen wird und und addirt die, der nämlichen Lage der Last entsprechenden Werthe. Die Summe giebt die thatsächlich auftretende Spannung an; diese ist als Ordinate der Influenzlinie im Angriffspunkte der Last aufzutragen.

§ 45. Eigengewichte.

Es bedeute:

p das Eigengewicht......

q die mobile Belastung.....pr. Längeneinheit,

B das Gewicht der Bahnconstruction

I die halbe Spannweite f ,    „

/ die Pfeilhöhe . . . Mer BoSenaxe

h die Entfernung der beiden Gurtungslinien im Scheitel,

des Materials

k die zulässige specifische Beanspruchung 1 y das Gewicht der Cubikeinheit.    ... >

xp einen Coefficienten für unrationelle Construction,

a einen Coefficienten, welcher vom Elasticitätsmodul, der specffischen Temperaturausdehnung etc. des Materials abhängt.

Nimmt man lm als Längeneinheit und 1* als Gewichtseinheit an, so ist

« = 7000

a = 3400 « = 8000

für Schmiedeeisen: für Gusseisen: und für Stahl:

(338)

(339)

(340)

zu setzen.

Es existiren nun folgende Gleichungen:

(341)

1. Bogen mit 3 Gelenken. •    6(kB + 1,85 xpqy(3/² + 4/²)

6fk — xpy (31² + \p)

2. Bogen mit 2 Gelenken.

!> =

6fkB + 1,55 ipqy^SP + 4f² + l,-i3 a 6/A —+3^+4/»+2a

hP

fk — a h

hl²

.    . (342)

fk — ah

3. Bogen ohne Gelenk.

h /■

a fk —‘Iah

.    . (343)

6fk B + 1,3 ip q y ^31- + 4f² + 3,ec

6fk — xp y ^ 3l'¹ + 4 f² + 4,33 a

hl²

fk — 2 ah

In diesen Formeln ist für eiserne Brücken im Allgemeinen der Coefficient

*p= 1,75

zu setzen. Nur bei sehr kleinen Bogen (Eisenbalmbrücken unter 10M Spannweite) oder sehr leichten Brücken (Fussgängerstegen, etc.) erhöht sich der Coefficient ip auf 2.

Der Werth y ist für Schmiedeeisen = 7,st, für Gusseisen =7,.-,t und für Stahl = 7,yt, wenn man das Meter als Längeneinheit und die Tonne als Gewichtseinheit annimmt.

Die Grösse der zulässigen specffischen Beanspruchung k des Materials ist abhängig von der Grösse der Spannungsdifferenzen, welche in einem Stabe auftreten; dieselbe ergiebt sich aus der Gleichung

k = k‘ (\ +

min S

(344)

der Quotient

natürlich negativ.

Hierin bedeutet k‘ eine mittlere zulässige specifische Beanspruchung, min S die absolut kleinste und max S die absolut grösste Spannung, welche im fraglichen Stabe vorhanden ist. Haben min S und max £ verschiedene Vorzeichen, so wird min S max aS

In Kücksicht auf die Elasticitätsgrenze kann man etwa

□cm. . . . □cm. . . .

für Schmiedeeisen:

k‘— l,o t

und für Stahl: setzen.

k‘ —1,71

Diese Zahlen sind jedoch nur bei solchen Constructionssystemen anwendbar, bei denen nicht durch zufällige Veränderung der Auflagerpunkte unvorhergesehene Spannungen eintreten können. Für statisch unbestimmte Systeme (Bogen mit 2 Gelenken oder ohne Gelenk) wird man vorsichtshalber für Schmiedeeisen nur: und für Stahl: setzen dürfen.

k‘ = 0;<j t pr. Dem. k‘= 1,55t pr. Dem.

Ferner ist es nothwendig, sämmtliche auf die Brücke einwirkenden Lasten mit ihrer thatsächlich auftretenden Grösse in die Rechnung einzuführen. Die Belastung durch einen schnell fahrenden Eisenbahnzug ist in Folge der Stösse etc. um ca. 50% grösser, als wenn derselbe Zug nur ruhend auf die Construction einwirken würde.

Man wird demnach bei Eisenbahnbrücken die mobile Last mit ihrer 1V2 fachen

Grösse in die Rechnung einzuführen haben.

Bei Brücken für Wagen- und Fussgängerverkehr genügt es, die einfache Verkehrslast zur Bestimmung der Spannungen einzusetzen.

k‘— 0,71 pr. Dem........

k‘= 1,2 t pr. Dem........

setzt. Für statisch unbestimmte Systeme würde man dementsprechend

k‘= 0,ti t pr. Dem........

k‘= 1,051 pr. Dem........

CO CO

v—' v—

lO

Will man in allen Fällen die ruhende Verkehrsbelastung der Rechnung zu Grunde legen, so kann man bei Eisenbahnbrücken den Einfluss der Stösse etc. näherungsweise dadurch berücksichtigen, dass man für Schmiedeeisen: und für Stahl:

.    .    (351)

(352)

resp.

einzuführen haben.

Wenn nun auch, wie aus Vorstehendem folgt, genau genommen die specifische Beanspruchung k eine veränderliche Grösse ist, so wird es doch zum Zweck der approximativen Ermittlung des Eigengewichts genügen, in die Gleichungen 341 bis 343 statt des veränderlichen Werthes k die constante mittlere specifische Spannung k‘ einzusetzen.

Die einem System von Raddrücken äquivalente gleichmässig vertheilte Belastung q ist nach den Ausführungen des § 7 nicht von der Spannweite, sondern von der Länge der belasteten Strecke abhängig, ln den zur approximativen Bestimmung des Eigengewichts dienenden Formeln kann als Durchschnittswerth für q die der halben Spannweite des Bogens entsprechende Grösse eingesetzt werden. Dieser Werth ist aus der Tabelle des § 7 zu entnehmen. Den obigen Ausführungen zufolge ist q event. mit seiner IV2 fachen Grösse in die Gleichungen 341 bis 343 einzuführen.

Das Gewicht B der Bahn wird man am besten für jeden einzelnen Fall ermitteln. Um einen Anhaltspunkt zu haben, seien für Eisenbahnbrücken folgende Mittelwerthe angegeben.

1. Die Schwellen liegen direct auf der oberen Gurtung des Bogens.

(353)

B = 0,351 pr. ltdm. und pr. Gleis ......

2. Die Buhn ist durch besondere Quer- und Schwellenträger hergestellt. Eingleisige Brücken.

B — 0,s t pr. lfdm. und pr. Gleis .    .

Zweigleisige Brücken, ff = 1 ,o t pr. lfdm. und pr. Gleis

Falls der Bogen keine obere horizontale Gurtung hat, an welcher die Fahrbahn direct befestigt ist, muss der Grösse ff auch noch das Gewicht der Vertikalständer zugerechnet werden, welche die angreifenden Lasten auf den Bogen übertragen.

Liegt die Fahrbahn in der Höhe des Scheitelpunktes der oberen Gurtung, so ist dieses Gewicht näherungsweise

(356)

Cr = 0,Oi /

in t. pr. lfdm. und pr. Gleis, wenn / die Pfeilhöhe des Bogens in met. bedeutet.

Die Formeln 341 bis 343 sollen noch für schmiedeeiserne Brücken specialisirt werden. Es ist \p= 1,75, y — 7,8 und «= 7000 zu setzen.

I. Der Berechnung wird die P/2 fache Belastung zu Grunde gelegt.

Dann ist k = 10000 und für die statisch unbestimmten Systeme 4 = 9000* pr. Dm.

Bogen mit 3 Gelenken.

10000/ff 4- 4,21 g {3P + 4f¹)

10000/— 2,27 (3/¹ + 4,/¹)

(357)

Bogen mit 2 Gelenken.

9000/ff + 3,53 q (d P + 4/¹ 4 10

hP

9/    7 h

9000/— 2,27 ^ 3 P + 4/¹ + 14

hP

.    . (358)

9/— 7 h

Bogen ohne Gelenk.

/' =

9000/ff + 2,96 q l¹ + 4/¹ + 25,o

hl¹

9/— Uh j

9000/— 2,27 3 /¹ + 4/¹ + 30,3

hl¹

. . (359)

9/— Wh

Bogen ohne Gelenk.

6000/ff 4- 2,96 q 3 P + 4 f¹ 4 25,6

hP

6/— 14//

60001/— 2,27 ^3 P + 4 f¹ 4- 30,3

hl¹

.    . (362)

6/— Uh

(360)

6000/ff + 3,53 q [3P + 4f ¹ + 10 6000/— 2,27 ^3/¹ 4- 4/¹ + 14

hl¹

6/— 7 h

hl¹

. . (361)

Allgemeine Bezeichnungen.

Es sind Druckkräfte positiv, Zugkräfte negativ in Rechnung gestellt. B Gewicht der Bahnconstruction pr. Längeneinheit,

C Bezeichnung und Spannung eines Füllungsgliedes, welches bei doppeltem Fachwerk beiden Theilsystemen angehört,

I) Bezeichnung und Spannung eines Füllungsstabes,, .

E Elasticitätsmodul,

F Querschnittsfläche,

G Einzellast,

Gr Einzellast auf der rechtsseitigen Hälfte des Bogens,

Gl Einzellast auf der linksseitigen Hälfte des Bogens,

G‘ Einzellast rechts vom fraglichen Schnitt,

G“ Einzellast links vom fraglichen Schnitt,

(die Bedeutung der Lasten G in den §§ 28 bis 31 ist aus Fig. 71, § 28 zu ersehen),

II Horizontalschub,

J Trägheitsmoment eines Querschnitts,

J₀ Trägheitsmoment des Scheitelquerschnitts,

M Moment der äusseren Kräfte,

[M] Moment der äusseren Kräfte, welches bei einem graden Balkenträger auf 2 Stützen von der Länge 2/ in einem Punkte mit der Abscisse x auf-treten würde,

M₀ Differenz zwischen dem im Scheitelquerschnitt des Bogens und im mittleren Querschnitt eines Balkenträgers auftretenden Moment,

N Normalkraft.

0 Bezeichnung und Spannung eines Obergurtstabes,

P permanente Belastung pr. Knotenpunkt,

P° derjenige Theil der permanenten Last, welcher an einem oberen Knotenpunkte angreift,

P“ derjenige Theil der permanenten Last, welcher an einem unteren Knotenpunkte angreift,

Q mobile Belastung pr. Knotenpunkt,

R Resultante sämmtlicher äusseren Kräfte,

T Transversalkraft,

[T] Transversalkraft, welche bei einem graden Balkenträger auf 2 Stützen von der Länge 2 / in einem Punkte mit der Abscisse x auftreten würde,

T₀ Differenz zwischen der im Scheitelquerschnitt des Bogens und im mittleren Querschnitt eines Balkenträgers auftretenden Transversalkraft,

U Bezeichnung und Spannung eines Untergurtstabes,

V Vertikalcomponente der Widerlagerreaction,

«1 b I

Strecken, um welche die Stützlinie einer Einzellast die Kämpfervertikalen unterhalb der X-Axe schneidet, d Hebelsarm des Fachwerkstabes P,

Entfernung einer beliebigen Faser von der Querschnittsaxe, Entfernung der obersten Faser von der Querschnittsaxe, n    » untersten „    „    „

cs

s«*i

<3 SS

»A

Pfeilhöhe der Bogenaxe,

Höhe des Bogens (Entfernung der Schwerpunktslinien der Gurtungen),

im § 27: Entfernung des rechtsseitigen Knotenpunktes des fraglichen Feldes vom

Schnittpunkte der mitgeschnittenen Constructionstheile,

im § 31: Entfernung des linksseitigen Knotenpunktes des fraglichen Feldes vom Schnittpunkte der mitgeschnittenen Constructionstheile, zulässige specifische Spannung, k‘ mittlere zulässige specifische Spannung,

Entfernung des oberen Kernpunktes von der Querschnittsaxe,

T)

„    „ unteren „

halbe Spannweite des Bogens,

Entfernung der Belastungsscheide vom Scheitel,

Hebelsarm der Normalkraft AT,

Hebelsarm des Fach werkstab es 0, permanente Belastung pr. Längeneinheit, mobile    „    „    »

Hebelsarm eines beliebigen Fachwerkstabes,

Bogenlänge,

Anzahl der Grade, um welche die Temperatur von der mittleren Temperatur abweicht,

Hebelsarm des Fachwerkstabes U,

vertikaler Abstand des Schnittpunktes der mitgeschnittenen Constructionstheile von der Kämpferdrucklinie,

Coordinaten eines Trägerpunktes,

\ Coordinaten des oberen Kernpunktes,

x.₂

> Coordinaten des unteren Kernpunktes,

H -2 J

y‘ Ordinate eines Trägerpunktes von der Graden AB aus gemessen (Fig. 34 und Fig. 105),

Entfernung der X-Axe von der Graden AB (Fig. 31 und Fig. 105),

Jr Fläche zwischen der Bogen- und der X-Axe (== jydxj ,

Jr' Fläche zwischen der Bogenaxe und der Kämpferhorizontalen [JF] Momentenfläche (= f [M] d«r j,

© Resultante der Lasten innerhalb des geschnittenen Feldes,

3 reducirtes Trägheitsmoment eines Querschnitts,

K Resultante der primären äusseren Kräfte,

ii, Resultante der Lasten auf der rechtsseitigen Bogenhälfte,

zwischen dem Scheitelgelenk und dem fraglichen

Schnitte,

Uj Resultante der Lasten zwischen dem fraglichen Schnitte und dem linksseitigen Kämpfer,

(die Bedeutung der Resultanten il im § 31 ist zu Anfang dieses Paragraphen auf S. 70 und 71 angegeben),

[==focy dx^j,

3 statisches Moment der Fläche £

[3] statisches Moment der Fläche [£] (j= j [M | x dxj Q Trägheitsmoment der Fläche £ J xly dxj ,

H] =J[M\ydx,

A Theilstrecke der Spannweite,

0 —

FQ »

S2 Querschnitt einer Gurtung oder eines Fachwerkstahes,

a Winkel zwischen Gurtlinien und Füllungsstab oder Coefficient, welcher vom Elasticitätsmodul, der Temperaturausdehnung, etc. des Materials abhängt, ß Winkel zwischen Stützlinie und Querschnitt,

Gewicht der Cubikeinheit des Materials, ö Blechstärke, e specifische Ausdehnung,

£₀ specifische Ausdehnung der Bogenaxe,

£ Belastungshöhe eines Gewölbes am Kämpfer,

Ordinate der Kämpferdrucklinie,

/.    Temperatur-Ausdehnungscoefficient,

l Felderlänge oder Stablänge,

Jo

/.i das Yerhältniss

specifische Normalspannung,

Abscisse des Angritfspunktes einer Einzellast oder Abscisse einer Belastungsscheide,

t> Krümmungsradius,

f Coordinaten der Umlnillungscurven,

T J

rp Winkel zwischen der Bogenaxe oder den parallelen Gurtungslinien und der Horizontalen,

ip    Coefficient für unrationelle Construction,

(o    specifische Aenderung des Winkels cp.

Beispiele.

Beispiel I.

Gewölbe mit kreisbogenförniigcr Axe von 20 m Spannweite.

+x

.v

■X—f \ T

>7i

Die Axe des Gewölbes soll nach einem Kreisbogen von 20 m Sehnenlänge und 5 m Pfeilhöhe gekrümmt sein.

Der Radius ergiebt sich aus

PN—

- I'/ = 10 HL

/ = IO ni.

„ der Formel

Ji

vz==i±r

— 12,5m

Die Ordinaten y‘ der Axe von der Kämpferhorizontalen A B an gemessen findet man aus der Gleichung

2/

y‘ —f — r -f- l/r² — x*

¹

Der Berechnung wird die einfache Belastung zu Grunde gelegt.

Es ist k = 7000 t event. k — 6000 t pr. Dm zu setzen.

Bogen mit 3 Gelenken.

7000/ff + 4₂i , q (3 P + 4/*)

70 00/— 2,27 (3 /¹ -f- 7/*)

Bogen mit 2 Gelenken.

Bestimmung der von der Form der Bogenaxe abhängigen Grössen.

Die halbe Spannweite / = 10m soll in 5 gleiche Theile A = 2m getheilt werden.

Die Ordinaten y‘ in diesen Theilpunkten ergeben sich aus obiger Formel fol-gendermaassen:

10m

;/= 5

4,3427

Zunächst muss die Grösse * berechnet werden, um welche die X-Achse über der Kämpferhorizontalen liegt. Nach Gleichung 147 ist:

4,8390

3,4659

2,1047

0,

-- ^5 -f- 4,8390 + 2 . 4,3427 + 3,4659 + 2 . 2,1047^ — 3,4933 m.

y=y‘ — *

Die in die weiteren Rechnungen einzuführenden Ordinaten y ergeben sich aus der Beziehung:

10

Es folgt für: x — 0

— 3,4933 „

Die Zwischenordinate //it, welche einer Abscisse x — 9 entspricht, ergiebt

y — 1,5067

1,3457

0,8494

- 0,027 4

- 1,3886

sich zu

— 2,3186 m.

Aus den Gleichungen 149 und 150 folgt für die nämliche Reihe der Werthe x:

0,164

und hieraus mit Hülfe goniometrischer Beziehungen:

tg cp = 0

0,343

0,559

0,866

1,297

COS Cp = 1 sin cp — 0

0,946

0,324

0,873

0,488

er.

zx cn an o:

0,611

0,792

Die Grösse I) erhält man aus der Gleichung 151:

=    • 2 (V l,5067² + 2.1 j3457² |— 4. 0,S494² + 2.0,0274² + 4 . 1,3886*    3,4933*)

= 41,287.

Aus den Formeln 152 bis 154 folgt ferner für:

fr:

10

sh

8^= — 425,878

39,307

•—    2,900

- 42,277

- 431,360

—    5,159 - 48,749

—    449,292

-    G,050

- 53,022

—    4,727

—    43,170

- 470,532    - 396,475

Permanente Belastung.

Das Eigengewicht möge sich in der Weise über den Bogen vertheilen, dass dasselbe in jedem Punkte proportional ist der Ordinate zwischen der Bogenaxe und einer in der Entfernung C = 6,5 m über der Kämpferhorizontalen AB liegenden Graden DE. Bei einem specifischen Gewicht des Mauerwerks von 1,8 ergiebt sich für ein Gewölbe von 1 m Tiefe der Coeffi-cient y (s. Gleichung 134) zu 1,8,    ^

wenn 1 m als Längeneinheit und 11 als Gewichtseinheit gilt.

Aus den Gleichungen 134 und 135 folgt für:

x —    0

[M] = 199,84

m= «

j?

rtL

Stil-

Mm

10 m

10 m.

0 tm. 54,i2i t.

87,7 7 34,789

143,08

21,582

176,09

12,362

Die Gleichungen 136 und 137 liefern die Werthe:

[JF] = 2842,g $1 = 1639,5.

Nunmehr lassen sich die durch das Eigengewicht bedingten Grössen M₀ und 11 aus den Gleichungen 116 und 117 ermitteln.

Der Einfluss der Normalkraft auf die Deformation des Bogens kann bei Gewölben vernachlässigt werden. In Gleichung 117 ist also das Glied des Nenners, welches den Coefficienten t-i enthält, fortzulassen.

Demnach ist:

194,t3

5,593

M₀

2842,6

20

142,t3 tm.

1639,5 “ 41,287

39,711.

Das Moment und die Normalkraft, welche durch das Eigengewicht hervorgebracht werden, findet man aus den Gleichungen 158 und 159; dieselben nehmen im vorliegenden Fall die Form an:

M=[M] — 142,13 — 39,7i y. N = [T] siny + 39,7i . cos (p.

Man findet für: x —    0

M = — 2,12 N— 39,7 t

— 1,44 40,09

-f- 0,83

41,57

10m

— 3,4i tm 67,i3t.

-f- 2,04 45,20

Mobile Belastung.

Im Verhältniss zu der Grösse der permanenten Last ist bei Gewölben die mobile Belastung immer nur klein. Es wird deshalb genügen, abweichend von den Ausführungen des § 7 die mobile Last für den ganzen Bogen mit der nämlichen Grösse, unabhängig von der Länge der belasteten Strecke einzuführen.

Bei Eisenbahnbrücken kann für eine Gewölbtiefe von 1 m die mobile Last zu ca. 1,2 t pr. lfdm. angenommen werden.

+ 0,7 8

52,81

Verzeichnung der Kämpferdrucklinie und der Umhüllungscurven.

Es ergeben sich für eine Einzellast von der Grösse „Eins“ der Reihe nach ans den Gleichungen 131, 132, 133, 116, 117, 118, 161 und 162 folgende Werthe:

1= 0 [£] = 50

[S]= 0

[$)] — 39,307

M₀= 2,5 H= 0,952

T₀= 0

(l —|— b = 5,25 n — b — 0

48

42

32

32

36,465

56

64

28,ii3

16,722

5,354 0,9 tm 0,130 t 0,072 „

13,85 m

11,08 n

12,46 „

1,39 „

Da der Werth -rj (s. Fig. 35) nach Gleichung 163 gleich a-\-b ist, so ist die Grösse desselben bereits berechnet.

a= 2,62 b — 2,62

2,4

2,i

1,6

0,883

0,048

5,44

1,09

0,681

0,084

6,17

2,47

4,7 4

CO

4,32

1,85

Für den Fall, dass die Einzellast am linksseitigen Auflager selbst angreift, erhält man aus den Gleichungen 164 und 165

/> =

41,287

und

10.3,493 3

- = 1,18 m

rj — a = 2,36 m.

Mit Hülfe dieser Werthe sind nach den Ausführungen des §18 in Fig. 1 Taf. 1 die Kämpferdrucklinie und die Umhüllungscurven verzeichnet. In Wirklichkeit wurde der Maassstab der Zeichnung doppelt so gross gewählt als derselbe auf Taf. 1 angenommen ist. Um ein bequemes Format für die Tafeln zu erhalten, ist jedoch eine Reduction auf den halben Maassstab vorgenommen.

Es soll nunmehr für eine Belastung ^ —1,21 pr. lfdm., welche sich von £ bis / 1 erstreckt, der dadurch bedingte Horizontalschub ermittelt werden, wobei der Reihe nach der Endpunkt C der belasteten Strecke mit den angenommenen Theilpunkten zusammenfallen soll. Aus den Gleichungen 130 und 117 folgt für;

rk- S -4

nmmiumnlllUllllMTTTil ______]

10

[1)1 = 255,

527

1 64,320 3,980

85,ioc

2,061

31,241

0,757

4,97 0 0,124

H— 6,189

Diese Werthe von II sind in den entsprechenden Endpunkten C als Ordinaten aufgetragen und die dadurch erhaltenen Punkte zu einer Curve verbunden (Fig. 2 Taf. 1). Mit Hülfe dieser Curve und unter Berücksichtigung der Thatsache, dass symmetrisch liegende Lasten den nämlichen Horizontalschuh erzeugen, ist es möglich, für jeden beliebigen Belastungsfall die Grösse der entsprechenden Horizontalkraft zu bestimmen. Auch bei dieser Figur ist der thatsächlich angewendete Maassstab doppelt so gross als auf Taf. 1 angenommen.

Es ist empfehlenswerth, das Moment und die Normalkraft, welche den verschiedenen Theilpunkten der Axe entsprechen, zunächst für totale mobile Belastung zu ermitteln.

0t

Aus den Gleichungen 122 und 116 folgt:

m-4

. . 1000 = 800

M₀

800

20

40.

Der Horizontalschub ist der soeben durchgeführten Rechnung zufolge:

11=2.6,189 = 12,38 t.

Für verschiedene Werthe von x ergeben sich der Reihe nach aus den Gleichungen 35, 36, 158 und 159 folgende Grössen

x — 0

10m

[M] = 60

m= o

M= 1,35 N= 12,38

57,o

50,4

21,0

0 tm

2,4

4,8

9,o

12,o t

- 1,21    3,25 tm

15,65    1 7,07 t.

Zur weiteren Durchführung der Rechnungen ist es erforderlich, eine vorläufige Annahme über den Bogenquerschnitt zu machen.

Die Gewölbehöhe im Scheitel sei mit //₀, diejenige am Kämpfer mit //, bezeichnet. Die permanente Belastung /?, welche in Formel 174 als gleichmässig vertheilt vor-

0,94    - 0,1 2

12,60    13,26

14

io ro to cs

ausgesetzt ist, sei bei einer mittleren Belastungshöhe von 3,5m zu

p = 3,5. 1,8 = 6,31 pr. lfdm. angenommen. Die zulässige Pressung des Materials sei

Ä: == 140 t pr. Dm.

Dann lauten die Gleichungen 174 und 175

_ 100 (6,34~ 1|8. l>a)

/Iq

2.5.(140 — 35)

— 0,8 oo m

Hierfür sei rund

hA = 0,806 fl -F 0,8

— 1,128 m.

gesetzt.

h₀ — 0,so m

und

/?, = 1,20 m

In diesen Dimensionen ist das Gewölbe in Fig. 1 Taf. 1 verzeichnet. Ebenso sind daselbst die Kernlinien, welche das mittlere Drittel der Gewölbehöhe zwischen sich fassen, angegeben.

Des Weiteren sind die Quersclmittslinien des Gewölbes, welche den angenommenen Theilpunkten der Axe entsprechen, senkrecht zur letzteren eingezeichnet.

Nunmehr ist es möglich, die Belastungsscheiden, welche den äussersten Fasern des Bogens entsprechen, zu eonstruiren. Um z. B. für die obere Faser des Querschnittes § = 6m die Belastungsscheide zu finden, zieht man durch den unteren Kernpunkt Kä dieses Querschnittes die Tangente an die Umhüllungscurve und schneidet diese mit der Kämpferdrucklinie; der Schnittpunkt Q ist die gesuchte Belastungsscheide. Jede Einzellast, deren Stützlinie den fraglichen Querschnitt oberhalb des unteren Kernpunktes K, trifft, bringt in der oberen Faser eine Druckspannung hervor; jede Einzellast, deren Stützlinie unterhalb W, vorbeigeht, bedingt eine Zugspannung in der oberen Faser. Hiernach ist es leicht zu bestimmen, welche Strecke belastet werden muss, damit das Maximum der Druck- oder Zugspannung im fraglichen Punkte erreicht werde. Für die untere Faser des Querschnitts ist der obere Kernpunkt Kx entsprechend zu verwenden.

Die durch diese Methode sich ergebenden Belastungsschemen sind in Fig. 3 Taf. 1 zusammengestellt.

Es kann nunmehr zur Bestimmung der zusammengehörigen Werthe M und N übergegangen werden.

Obere Faser.

x = 0.

Maxim al-Zugsp annung.

_±3,7

iiiiiiiiiiiiiiiiiiimil

~3,r

10

Der linksseitigen Belastung von -f- 3,7 bis +10 entsprechen nach den Gleichungen 128 und 116 die Werthe:

[1] = -k. (10 - 3,7)! (20 + 3,7) = 188,13.

= 9,107.

,,    188,131

iV'=TT

Der Horizontalschub H wird gefunden, indem man in Fig. 2 Taf. 1 die Grösse 3,7 m vom Punkte C aus nach links abträgt und die Ordinate im Endpunkte 0 dieser Strecke abmisst. Man findet

II = 2,30 t.

Ferner folgt aus Gleichung 44:

[M] = 1,2

(10 —3,7 )². 10

40

= ll,9i tm

und schliesslich aus Gleichung 119:

M— 11,91 - 9,407 - 2,30 . 1,507 = — 0,96 tm.

Da die symmetrisch gelegene rechtsseitige Belastung im Scheitel natürlich den nämlichen Werth M hervorbringt, so ist die auftretende Gesammtgrösse:

M— — 1,92 tm.

Der totale Horizontalschub ist:

II — 4,60 t .

und da im Scheitel die Normalkraft mit dem Horizontalschub identisch ist, so hat man auch

N — 4,601,

^-(10 —8)! (20+ 8) = 22,i

1,2

X — 2.

Die linksseitige Belastung von + 8,0 bis -f-10 bedingt nach den Gleichungen 128, ^jäjBMH 129, 110 und 118 die Werthe

+8, 0

-u

lüüüiiiiiiiiiiiiininii' ■i:iiiiiiiniiiiiii;lii'iiiiiniiii

-— 10

10

[S] = 4f-(l⁰°-64), = 6⁴,9

22,4

M =

⁰ 20

1,12

3    64,8

T = —

⁰ 2

Aus Fig. 2 Taf. 1 findet man:

1000

0,0972.

II — 0,124 t.

Nach den Gleichungen 44 und 45 ergiebt sich:

[M] = 1,2

= 1,44 tm

(10 — 8)s (10 + 2)

40

(10 —8)²

0,12 t

Ferner ist den Gleichungen 119 und 120 zufolge:

M == 1,44 '— 1,12 — 0,124 . 1,346 — 0,0972 . 2 — — 0,04 tm N — (— 0,12 + 0,0972) . 0,161 + 0,124 . 0,987 = 0,12 t.

Der rechtsseitigen Belastung von —1,3 bis —10 entsprechen nach den Gleichungen 125, 126, 116 und 118 die Werthe:

1,2

[I] = -f- (10 — 1,3)* (20 + 1,3)= 322,4 ₂₄ (100- 1,3+—-483,2

[5]

1,2

M₀

322,4

20

16,12

To

3    483,2

2 1000

0,7248.

Den Horizontalschub findet man aus Fig. 2 Taf. 1 unter Berücksichtigung der Thatsache, dass eine Belastung von +1,3 bis +10 denselben Werth wie die vorliegende Belastung bedingt. Es ist:

H= 4,72 t.

Ferner ergiebt sich aus den Gleichungen 40 und 41:

iM) = 1,2

= 18,16 tm

(10 — 1,3)* (10 — 2)

40

(10-1,3)²

₄₀

2,27 t

und schliesslich aus den Gleichungen 119 und 120

M— 18,16 — 16,12 — 4,72 . 1,346 + 0,7248.2 = — 2,86 tm

N= (2,27 - 0,7248) 0,161 + 4,72 . 0,987 = 4,91 t.

Indem man diese Grössen zu den oben ermittelten addirt, erhält man für beiderseitige Belastung:

x = 4t.

+ 06

io ---------r

Li'¹"'

M — — 0,04 — 2,80 = — 2,00 tm N=

0,12+4,91=    5,03 t.

[S] =    (10 + 0,o)² (20 — 0,6) = 436,0

₂₄ (100— 0,6+ = — 496,4

[3]

1,2

10

436,0

M° 20

= 21,80

3    496,4

2 ' 1000

0,7446.

Der Horizontalsclmb für die vorliegende Belastung kann aus Fig. 2 Taf. 1 in der Weise ermittelt werden, dass man von dem für totale Belastung sich ergebenden Werth denjenigen für eine Belastung von +0,6 bis +10 abzieht. v

H — 12,38 5,49 = 6,89 t.

(10 + 0,₆)² (10 — 4)

[M] = 1,2

40

= 20,22 tm

(10 +0,6 )²

[7] = 1,2

M = 20,22- 21,80 - 6,89 . 0,849 + 0,7 446.4 =- 4,45 tm

N = (3,37 - 0,7446) 0,324 + 6,89.0,946 = 7,37 t.

40

= 3,37 t.

x = 6.

4- 2,6

Afz

flllllllilllllllllllllllillllMllllllllM

—    --------: y₀.......... iß

[3]

f- (io + 2,₅)² (20 — 2,5) = 546,9 ₂₄ (100 — 2,5+ = — 439,5

1,2

546,9

20

27,345

ins cc

M= 1,2

T ______

II = \ 2,38 - 3,45 = 8,93 t

(10 + 2,₅)² (10 — 6)

439,5

1000

0,6592.

40

= 18,75 tm

(l0 + 2,5)²

4«

x = S.

= 4,69 t

M= \ 8,75    27,345 + 8,93 . 0,027 + 0,6592 . 6 = 4,40 tm

N = (4,69    0,6592) 0,488 + 8,93 . 0,873 = 9,76 t.

Es soll zunächst eine Belastung, welche —yt sich von 0 bis +10 erstreckt, berücksichtigt werden. Von den dadurch sich ergebenden Werthen sind später diejenigen abzuziehen, die einer Belastung von +6,3 bis +10 entsprechen.

111: n. ......... ■ |

10

10

Belastung von 0 bis +10.

+- • 100.20 = 400 b

1,2

[3] = ^ • 10000 = 500

400

M₀ =

rji _ 3

°~ ~Y

20

= 20

500

— 0,75

1000 H= 6,191.

Die Wertlie \M] und |7’] ergeben sieb in diesem Falle aus den Gleichungen 46

und 47.

64 = 15,6 tm

1,2 100(10 + 8)

20

100

= 6,g t

M— 15,6 — 20 + 6,19 . 1,389 — 0,75 . 8 = — 1,86 tm N — (6,6 + 0,75) 0,655 + 6,19.0,756 = 9,49 t.

Belastung von +6,3 bis +10.

| jf] =    (10 — 0,3 )² (20 + 0,3) = 72,»

[S] = -if-⁽100-⁶>3T=181,₉

K= W ⁼³’u

T° = f

3    181,9

1000

— 0,2728.

H— 0,62 t

1,2 r (10 — 6,₃)² (10 + 8)

20

— (8 — 6,3)    — 5,6» tm

(10 + 0,3)³~

40

— 1,63 t.

M— 5,66 — 3,60 + 0,62 . 1,389- 0,2728.8 = 0,74 tm

N — (1,63 + 0,2728) 0,655+ 0,62 . 0,756 — 1,72 t.

Subtrahirt man diese Werthe von den oben ermittelten, so erhält man:

a? = lö.

M= — l,8o — 0,74 = — 2,54 tm

AT =

9,49 - 1,72== 7,77 t.

~ (10 — 3)- (20 + 3) = 225,4

[®] —    ⁽1()<> — ⁹⁾² — 414,°

²²5,4

20 11,27

-'iMIIMIItlllllllllllllllllilllllllllllllllllllliil

Af

so

-+$,o

so

T₀ =

3 414,0

2 1000

0,6210.

M=0

II = 2,95 t

m=i,2 io

(10 + 3)s_

40

= 6,93 t

M = — 1 1 ?-27 +- 2,95 . 3,493 - 0,6210 . 10 = - 7,18 tili

N — (6,93 + 0,621 o) 0,792 -+- 2,95.0,611 = 7,78 t,

Die bisher berechneten Werthe seien im Nachstehenden zusammengestellt:    •

x =    0

10m

— 7,18 tm 7,78 t.

Subtrahirt man diese Zahlen von denjenigen, welche in Folge totaler gleich-massig vertheilter Belastung erhalten wurden, so findet man die Werthel/ und N, welche die grössten Druckspannungen in den oberen Fasern bedingen. Man erhält:

10m 10,43 tm 9,29 t.

Für die unteren Fasern ergeben sich in durchaus analoger Weise folgende

M = — 1,92 4,60

-2,90

- 4,45

-4,40

-2,54

3,27

7,78

5,03

7,37

9,7 6

7,77

3,84

7,57

4,33

5,89

3,14

11,18

1,33

7,88

Werthe:

x =    0

M—    3,3i

N=

5,7 0

M—- 1,96

N =

OC th (M

.35

10m

6,68

- 4,44

8,75

- 4,40

11,52

— 2,56 12,92

10,27 tm 1 für die grösste 7,881 1 Zugspannung.

- 7,02 tm \ für die grösste 9,iot 1 Druckspannung.

Einfluss der Temperaturänderungen.

Das Trägheitsmoment J{) des Querschnitts im Scheitel ist der empirischen Be

rechnung der Gewölbestärke zufolge, wenn die Tiefe des Bogens zu lm angenommen wird:

Jo

1 . 0,8³

12

0,0426.

Dann ist nach Gleichung 170:

//= +

2 1 0.10.0,0426

= + 2,1 7 t.

Die Werthe M und N ergeben sich aus den Gleichungen 171 und 172; man

41,287

erhält:

10 m

+ 7,58 tm + 1,33 t.

x —

M = + 3,27

N = ± 2,17

Ob die zusammengehörigen oberen oder unteren Vorzeichen der Werthe M und N anzuwenden sind, damit die Temperaturspannungen in den äussersten Punkten des Querschnitts positiv oder negativ werden, ist mit Hülfe der Gleichungen 177 und 178 leicht zu übersehen.

+ 2,92

± 2,14

+ 1,84

± 2,05

± 0,06

± 1,8!)

+ 3,oi ± 1,«4

Bei einer durchschnittlichen Querschnittshöhe k — tm wird der Einfluss des Momentes M ca. 6 mal so gross sein als der Einfluss der Normalkraft N. Man erkennt hieraus, dass bei vorstehenden Zahlenwerthen der Einfluss des Momentes durchweg überwiegt; nur im Querschnitt x = 6 wird der Einfluss der Normalkraft das Vorzeichen der Spannung bestimmen.

Hiernach lässt sich diese Frage direct beantworten.

Es sollen nunmehr die Werthe M und N} welche in Folge des Eigengewichtes, der mobilen Belastung und der Temperaturänderungen auftreten, summirt werden.

10

Obere Faser

Maximum der Zugspannung

Eigengew.—2,12 39,71 —1,44 mob. Last —1,92 4,60—2,90 Temperat. —3,27    2,17 —2,92

bi tu c " g g

0,83 — 4,45 - 1,84

41,57

1-O co

2,04

—    4,40

—    0,06

45,2o 9,76 — — 1,89 —

-4 -I Oi

Total -7,31    46,48 7,26    47,26 5,46    5 0,99 2,42    53,07 4,77    58,94 —18,17

73,58

Maximum der Druckspannung

Eigengew.— mob. Last Temperat.

Total

co co to 'fo w -

39,71 7,78 - 2,17

Vt vt •*r oo o>

■r-T co* «4*

40, oo 7,57 - 2,14

co n oo eo oo

cT ■rh' h

41,57 5,89 — 2,05

3 = \

CI CO o

45,20

o 'So -So

— 3,« 10,13 7,58

67,13

9,29

1,33

4,42    45,32

5,32    45,52!

7,oo 45,4i

5,24    5 8,27

5,12    62,3s| 14,60

77,75

Faser

Maximum der Zugspannung

Eigengew.il— mob. Last Temperat.

39,71 — 5,7°

— 2,¹⁷

40,09 5,65 — 2,14

fff

41,57 4,51 - 2,05

O M bi o ~ o

CS —

45,20    0,78    5 2,81 - 3,41

2,80    #    1,35    2,73    1 0,27

— 1,89    3,01    1,64    7,58

67,13

7,88

1,33

Total

4,46    43,24

5,33    43,60    6,99    44,03

5,12    46,11

5,14    57,18    14,44

76,34

Untere

Maximum der Druckspannung

Eigengew. mob. Last Temperat.

r- U5 iO

r-T QO* Cf «TJH

2,04 — 4,40 0,06

45,20

11,52

1,89

jw j>» _©

O 'cn 'l* — os 00

52,8i — 3,4i 12,92 — 7,02 — 1,64 — 7,58

67,13

9,19

1,33

Total    —7,35    48,56 —6,55    49,18 — 5,45    52,37 — 2,30    58,61 —4,79    64,09—18,01    74,99

Die Höhen der Querschnitte sind aus Fig. 1 Taf. 1 abgegriffen.

Die grössten negativen (Zug-)Spannungen und positiven (Druck-)Spannungen sind sodann nach den Gleichungen 177 und 178 berechnet. Man findet:

10

Höbe des Querschnitts

0,80

0,82

0,87

0,95

1,06

1,20

Obere

Faser

Max. d. Zugsp. Max. d. Drucksp.

— 10,4

98,i

-7,i

103,o

+ 15,3 107,7

+ 39,8

96,2

+ 30,1 86,1

— 14,41 pr. Qm 125,6,, „    „

+ 3,5 t pr. Qm 137,5 „ „    „

Die specifischen Spannungen, welche sich aus dieser Zusammenstellung ergeben, erscheinen im Allgemeinen noch als zulässig, so dass der empirisch berechnete Gewölbequerschnitt definitiv beibehalten werden kann. Würden die Spannungen die zulässige Grenze überschreiten, so wäre eine Correction der Gewölbestärken vorzunehmen. Durch eine solche Correction würde die Lage der Kernlinien und dadurch die Lage der Belastungsscheiden sich ändern. Eine geringe Verschiebung der letzteren ist jedoch von so geringem Einfluss auf das Endresultat, dass eine nochmalige Durchrechnung der Spannungen, welche in Folge der mobilen Last auftreten, nicht geboten erscheint. Erforderlich wäre es jedoch, die Temperaturspannungen aufs Neue zu bestimmen, da durch das veränderte Trägheitsmoment des Scheitelquerschnitts die Grösse des Horizentalschubes sich wesentlich ändert.

Untere

Faser

Max. d. Zugsp. Max. d. Drucksp.

+ 12,2

129,6

+ 5,6

118,4

-4,8

103,4

+ 14,5

+ 26,5

77,o

86,o

Beispiel II.

Parabolischer Bleelibogen mit 2 Gelenken von 30in Spannweite.

(Mobile Belastung durch ein System von Einzellasten.)

Die Axe des Bogens sei nach einer Parabel gekrümmt, welche 30m Spannweite und 3 m Pfeilhöhe hat.

Der Träger soll aus einer Blechwand und durch Winkeleisen angenieteten Gurtungslamellen bestehen. Die Entfernung der Gurtungsschwerpunkte beträgt 1 m. Die Brücke wird eingleisig hergestellt.

Als Constructionsmaterial ist Schmiedeeisen gewählt.

Es sollen zunächst die von der Form der Axe abhängigen Grössen ermittelt

werden.

Aus den Gleichungen 75 und 76 ergiebt sich für x — 0

U — 3 tg fp = 0

12

15

OO OO

00

CS o

,52

'To o

"co C »o oc

6,400 n •

Mit Hülfe goniometrischer Beziehungen findet man sodann für die nämliche Reihe der x:

0,997

6,080

cos cp — 1 sin cp — 6 Ferner folgt aus Gleichung 77:

1— co

(M

16

B    • 9.15 = 144.

'    15

Bestimmung der äusseren Kräfte. Permanente Belastung.

Approximative Bestimmung des Eigengewichts.

Nach den Ausführungen des § 45 ist in den Formeln zur näherungsweisen Bestimmung des Eigengewichts für die gleichmässig vertheilte mobile Belastung cj ein der halben Spannweite des Bogens entsprechender Werth einzusetzen. Die Tabelle des § 7 giebt für 15m den Werth cj zu 6,et pr. lfdm. und pr. Gleis an. Die Verkehrslast soll in Rücksicht aufStösse, etc. mit ihrer 1V2fachen Grösse in die Rechnung eingeführt werden, so dass

zu setzen ist.

cp — 1V2.6,o — 9,91

Die zulässige specifische Spannung kann nach den Ausführungen des § 15 zu

k — 96601 pr. Dm

angenommen werden.

Das Gewicht der Bahneonstruction ist nach Gleichung 354 auf

6,s t pr. lfdm. und pr. Gleis

geschätzt. Hierzu kommt noch das Gewicht derjenigen Construction, welche die Lasten, die an der oberen horizontalen Fahrbahn angreifen, auf den Bogen über-

trägt. Im vorliegenden Fall kann diese Construction entweder aus einer versteiften Blech wand oder aus einzelnen Vertikalständern bestehen. Nach Gleichung 356 ergiebt sich dieses Gewicht zu 0,o31 pr. lfdm. und pr. Gleis, so dass im Ganzen

B = 0,8 -J- 0,o3 = 0,831

zu setzen ist.

Führt man diese Zahlenwerthe in Gleichung 358 ein, so erhält man:

90 00.3.0,83 + 3,53.9,o (3.15*+ 4.3²-f- 10

/> =-7---7-

1 . 15²

9.3 —7.1

9000.3 —2,27 3. 15²+4.3²+14

1 . 15²

= 2,043 t.

9.3 —7.1

Von diesem Werthe hat jeder der beiden Bögen die Hälfte aufzunehmen, so dass also rund

j) = 1,021 pr. lfdm.

anzunehmen ist.

Bestimmung des Horizontalschubes. Der Werth [ty] ergiebt sich aus. Gleichung 71 a (S. 21) zu

«l-TT

. 1,02 . 3.15³ = 5 5 0 8.

In der Formel 70, welche den Horizontalschub II liefert, soll das Glied 2f.il gegen I) vernachlässigt werden. Der dadurch verursachte Fehler ist nur gering und um so weniger von Bedeutung, als die Vertheilung der Kräfte im Innern eines Blechbogens sich einer vollständig exacten Ermittlung entzieht. Andererseits treten die Vereinfachungen in der Rechnung, welche sich durch die parabolische Form der Bogenaxe ergeben, nur bei Vernachlässigung dieses Gliedes mit dem Coefficienten fi zu Tage. Wäre die Axe nicht nach einer Parabel gekrümmt, so würde sich die Rechnung unter Beibehaltung dieses Correctionsgliedes durchaus nicht weitläufiger gestalten als bei Vernachlässigung desselben. Alsdann wird man also empfehlens-werther Weise das Glied 2fil berücksichtigen, während im vorliegenden Fall, da die Axe nach einer Parabel gekrümmt ist, im Interesse der Vereinfachung der Rechnung dieses Gliedes vernachlässigt werden soll. Gleichung 70 lautet dann:

38,25 t.

H = -¹

5508

144

Bestimmung der Werthe M und N.

Die Stützlinie einer gleichmässig vertheilten Belastung ist bekanntlich eine Parabel. Bei Vernachlässigung des Einflusses der Normalkraft auf die Deformation des Bogens (dieser Einfluss wird durch das Glied 2 fil ausgedrückt) fällt die Stützlinie mit der Bogenaxe zusammen.

Das Biegungsmoment ist dann natürlich in allen Punkten der Axe Null.

Die Grösse der Normalkraft ergiebt sich aus der Formel

II

Es folgt für:

COSfjP

12

15m

N == 38,25

38,37

38,75

CO

.35

40,18

41,22 t.

Mobile Belastung.

Zunächst soll die Kämpferdrucklinie verzeichnet werden. Die Gleichung 95 derselben heisst im vorliegenden Fall:

32.3. 15*

7J =

4320

Man tindet: -1=0 Tj — 3,8411

5 (5 . 15*— £²)

1125 —

10 —

15

4,800 „

Mit Hülfe dieser Werthe ist die Kämpferdrucklinie in Fig. 1 Taf. 2 verzeichnet. Diese, sowie die folgenden Figuren wurden thatsächlich im doppelt so grossen Maassstabe aufgetragen. Es ist jedoch, um die beigegebenen Tafeln bequem ausfallen zu lassen, eine Reduction auf halbe Grösse vorgenommen.

Sodann sind in den Axpunkten mit den Abscissen x — 0, 3, 6 . . . . die Normalen zur Bogenaxe gezeichnet und die Kernpunkte K dieser Querschnitte nach

2

$ 22 in der Entfernung — • 1 == 0,4 m von der Axe markirt.

D

Ferner soll für verschiedene Lagen einer Einzellast von der Grösse „ Eins “ der dadurch bedingte Horizontalschub ermittelt und diese Grösse als Ordinate im Angriffspunkte der Last aufgetragen werden. Für eine Einzellast ist nach Gleichung 74a (S. 21):

und nach Gleichung 70:

-12

• 3 • 15*15 — -y

77 —

ffi

Demnach hat man für: 1= 0 ffl] = 281,25 77=

144

11

13

15 m

0„

59,48

0,413

116,02

0,800

267,84

1,860

244,44

1,697

210,42 1,461

Diese Werthe sind in der oben angegebenen Weise in Fig. 2 Taf. 2 aufgetragen. Die dadurch entstehende Curve giebt nun, wie leicht ersichtlich, für jede beliebige Lage einer Einzellast von der Grösse „Eins“ den Horizontalschub an.

Endlich ist noch in Fig. 3 Taf. 2 Kraft- und Seilpolygon eines von rechts nach links vorrückenden Eisenbahnzuges, wie solcher im § 7 angegeben ist, verzeichnet. Der Axendruck einer Locomotive beträgt 13t, der eines Tenders 9t. Die mobile Last soll mit ihrer 1 ^fachen Grösse der Rechnung zu Grunde gelegt werden. Ferner hat natürlich ein jeder der beiden Bögen, welche zusammen die Brücke bilden, nur die Hälfte dieser Werthe aufzunehmen.

1,953

167,04

1,160

Ot

Es ist demnach ein Locomotivrad mit

1/2. 11/2. 13 = 9,'75 t

und ein Tenderrad mit

einzusetzen.

1/2 .11/2.9 = 6,751

Als Längenmaassstab ist empfehlenswerther Weise der bereits bei Verzeich-

zu wählen. Kräftemaassstab und

nung der Bogenaxe (Fig. 1, Taf. 2) angenommene Poldistanz sind durchaus gleichgültig.

* Man wird ferner gut thun, das Lastsystem auf einem Papierstreifen zu verzeichnen, um direct die Lage des Eisenbahnzuges mit der in Fig. 1 Taf. 2 dargestellten Brückenaxe vergleichen zu können. Auf der einen Seite des Papierstreifens wird man einen von rechts nach links, auf der andern Seite einen von links nach rechts vorrückenden Zug angeben.

Nach diesen Vorbereitungen kann zur Bestimmung der Momente und Normalkräfte, welche die Maximalspannungen in den äussersten Fasern der Querschnitte erzeugen, geschritten werden.

Obere Faser.

Die Methode, nach welcher die zusammengehörigen Werthe M und N ermittelt werden, sei für den Querschnitt x = 3 genauer durchgesprochen.

man

Zunächst kommt es darauf an, die Belastungsscheiden zu construiren. Zu diesem Zweck verbindet man den unteren Kernpunkt Ka mit den Kämpferpunkten A und B und schneidet diese Verbindungsgraden mit der Kämpferdrucklinie (Fig. 1 Taf. 2). Die Grade A K₂ liefert die Belastungsscheide Q. Die Grade B Kz trifft die Kämpferdrucklinie nicht mehr innerhalb der Spannweite. Es ist in diesem Fall also nur eine Belastungsscheide vorhanden. Aus dem Schema Fig. 27 §11 erkennt dass die Strecke vom linksseitigen Widerlager bis zum Punkte Q belastet werden muss, damit in der oberen Faser des Querschnitts x—2, die Spannung zum positiven Maximum werde, während andererseits diese Faser am meisten gezogen wird, wenn die Strecke vom rechtsseitigen Kämpfer bis zur Scheide Q belastet ist.

Maximum der Druckspannung.

Die Ermittlung der ungünstigsten Stellung des Lastsystems geschieht nach den Ausführungen des § 12. Nach den dort gegebenen Erläuterungen lässt sich ver-muthen, dass die Laststellung dann die ungünstigste ist, wenn von einem von links nach rechts vorrückenden Zug das mittlere Rad der ersten Locomotive im Punkte x — 3 angreift. Hierüber kann man mit Hülfe der Ungleichung 96 (in schärferer Weise Gewissheit erhalten.

Nimmt man an, die Last 2 läge unmittelbar links vom fraglichen Punkte, so wäre

n*%* 8.

O O CD

4;!'3\o 1,7

O O C

in-

4S

tz

6,ist.

Ans t-

.2G‘ = 9,751 und ZG“ = 2.9,75 + 3 . 6,75 = 39,75 t.

Die Entfernungen mi und m.z des in Rede stehenden Querschnitts einerseits von der Belastungsscheide Q, andererseits vom Kämpferpunkt A ergeben sich folgender-

maassen

m₂ =12.

Die Ungleichung 96 lautet dann:

9,75 ^ IT' 39,75

< 23,19.

Dieselbe ist, wie man erkennt, bei dieser Laststellung noch erfüllt. Ueber-schreitet Rad 2 den fraglichen Punkt, so wird 2 G‘= 19,51 und 6r"=30,ot; alsdann

7    *

wird der Bedingung in Ungleichung 96 nicht mehr genügt, da -rx⁻• 30,o = 17,s ist.

J -

Es wird demnach thatsächlich die Last 2 im Schwerpunkte des Querschnitts x = 3 anzuordnen sein, damit die Druckspannung in der oberen Faser zum Maximum werde.

Das Belastungsschema zeigt obenstehende Figur. Die Zahlen über der Horizontalen AB sind die Abscissen der R.adaxen.

Um den durch das System der Einzellasten hervorgebrachten Horizontalschub zu finden, zeichnet man in Fig. 2 Taf. 2 dieses System ein. Würden die Lasten auf der rechtsseitigen Bogenhälfte angreifen, was hier nicht der Fall ist, so müsste man diese Lasten in symmetrischer Lage auf der linksseitigen Brückenhälfte verzeichnen, da nur für diese die Curve H construirt ist, symmetrisch liegende Lasten aber den nämliehen Horizontalschub hervorbringen. In den Angriffspunkten geben die Ordi-naten der Curve multiplicirt mit der Grösse der Einzellasten den entsprechenden Horizontalschub an. Man findet:

H = 9,75 (1,924 + 1,860 + l,76o)+ 6,75 (1,277 + 1,028 + 0,7 53) = 74,74t.

Es ist hierbei zu bemerken, dass es empfehlenswerth ist, die Curve II der Fig. 2 Taf. 2 in Tusche anszuziehen, jedoch die Einzeichnung des Lastsystems nur in Bleistift auszuführen. Letztere Linien sind dann jedesmal wieder fortzuwischen, um eine übersichtliche Klarheit in der Figur zu erhalten. Das Moment [M\ und die Transversalkraft [T], welche der fraglichen Laststellung entsprechen, findet man aus den Gleichungen 97 und 98; es ist:

[M] =    12.9,75 (16,7 + 18,o)+ 18 [9,75 . 10,7 + 6,75 (6,7 + 5,2 -f 3,7)]}= 261,11 tm

[T] = -^-{9,75 (16,7 + 18,0) — [9,75.10,7 4- 6,75 (6,7 + 5,2 4- 3,7)]j= 4,28 t.

Die zusammengehörigen Werth e M und N ergeben sich aus den Formeln 32 und 33; man erhält:

M — 261,u — 74,7 4.2,98 = 45,86 tm N — 4,28 . 0,080 4- 74,74 . 0,997 = 74,86 t.

Maximum der* Zugspannung.

Innerhalb der Strecke vom rechtsseitigen Kämpfer bis zur Scheide Q müssen möglichst viele Lasten angeordnet werden, und zwar derart, dass die grössten Lasten in der Nähe des mittleren Punktes dieser Strecke angreifen (vergl. § 12).

Der Papierstreifen, auf welchem das System verzeichnet ist, wird in Fig. 1 Taf. 2 angelegt, um zu entscheiden, welche Lasten zwischen den Punkten B und Q angeordnet werden müssen, damit den obigen Bedingungen genügt werde. Man findet, dass wahrscheinlich die Raddrücke 1 bis 6 innerhalb der fraglichen Strecke liegen werden.

Die genaue Stellung des Zuges ergiebt sich dann aus der Bedingung, dass die Resultante der Lasten 1 bis 6 mit dem mittleren Punkte der Strecke B Q zusammenfallen muss.

Es kommt also zunächst darauf an, die Lage dieser Resultanten zu bestimmen. Zu diesem Zweck verlängert man (Fig. 3 Taf. 2) die links von der Last 1, sowie

die zwischen den Lasten 6 und 7 gelegene Seite des Seilpolygons und bringt beide Graden in 0 zum Schnitt. Es geht dann die Resultante durch diesen Punkt 0 hindurch.

Man findet im vorliegenden Fall, dass die Resultante zwischen den Lasten 3 und 4 angreift und zwar in der Entfernung 1,5 m von Last 3 und 2,5 m von Last 4.

Der mittlere Punkt der Strecke B Q hat vom Scheitel die Entfernung 9,5 m.

Lässt man die Resultante durch diesen mittleren Punkt hindurch gehen, so erhält man eine Anordnung des Lastsystems, wie nebenstehende Figur dieselbe zeigt.

Dann findet man in derselben Weise wie oben:

H= 9,75 (1,65b H~ 1,500 + 1,312) + 6,75 (0,613 + 0,313) — 49,81 t.

•12 9,75 (9,6 + 8,3 + 7) -f- 6,75 (3 -f-1,5) = 109,26 tm

n '*⁶'⁷ 4?

« n o o

15

15

3,15 t.

30

9,75 (9,6 -(- 8,3 -f- 7) -(- 6,75 (3 -f- 1,5) — 9,i01

M — 109,26 — 49,81 . 2,88 — — 34,19 tm N — 9,10.0,080 -f- 49,81 . 0,997 = 50,39 t.

In dieser Weise werden für sämmtliche Querschnitte die zusammengehörigen Werthe M und N ermittelt.

30

öB = 0.

Maximum der Druckspannung.

Es sind zwei Belastungsscheiden P und Q vorhanden. Die Strecke zwischen diesen Punkten muss belastet werden, damit in der oberen Faser die Druckspannung zum Maximum werde.

In Folge der symmetrischen Lage der Belastungsscheiden übersieht man sofort, dass die Laststellung dann die ungünstigste ist, wenn ein mittleres Locomotivrad (also Last 8) im Scheitel angreift. Das Belastungsschema ist hiernach in nebenstehender Figur verzeichnet.

Man findet:

#=6,75 (1,212 + 1,439+ 1,624) + 9,75(1,953 + 2.1,937)-+-6,'75 (1,665 + 1,493-1- 1,277)= 115,63 t [A/]=-^ ' 15 6,75(6,37,8 l 9,3) 1 9,75(13,7—f-J5 [ 13,7)—(— 6,75(9,7 —1 8j2—|— 6,7) =368,70tm M= 368,70— 115,03 . 3 = 21,81 tm.

Da die Normalkraft im Scheitel mit dem Horizontalschub identisch ist, so

N = 115,63 t.

Maximum der Zugspannung.

hat man:

Für die Strecke B Q findet man nebenverzeichnete

Laststellung als die ungün-    '

stigste. Dieser entsprechen folgende Werthe:

JJ'c

O CD

1 s st

1,3 0 1,2

m cbo

.9.731.

--------A

JO JJ -J2

A3 6f$3

_Q O oje

& O OO

— !)

9,13 t.

H— 9,75 (0,868 + 0,616 + 0,353)= 17,92 t

[M]

2Q • 15.9,-5 (4,3 + 3,0 + 1,t) = 43,87 tm M — 43,87 — 17,92. 3 = — 9,89 tm.

Für die am linksseitigen Kämpfer gelegene Strecke A P, welche ebenfalls belastet werden muss, damit die Zugspannung in der oberen Faser des Scheitelquerschnitts zum Maximum werde, wird natürlich die ungünstigste Stellung des Lastsystems sich symmetrisch zu der für die rechtsseitige Strecke ermittelten Lage gestalten. Da diese symmetrisch liegende Belastung im Scheitelquerschnitt die nämlichen Werthe M und N hervorbringt, so ist im Ganzen:

M— — 2.9,89 = — 19,78 tm N= 2. 17,92 = 35,84 t.

sc = 6.

Maximum der Druckspannung.

13, '> //. a"Mo

IHLQ

6,°    3,&

choo

■v 4

fS

4V/.

H— 9,75 (1,832 + 1,725+ 1,589) + 6,75 (0,990 + 0,716 + 0,413) = 64,48 t

30

9.9,75 (18,4 + 19,7 + 21,0) —1— 21.6,75 (5,0 ■+ 3,5 -+ 2,0) — 222,48 tm

9,75 (18,4 + 19,7 + 21,o) 6,75 (5,0 + 3,5 + 2,o) = 16,84 t

M— 222,48 — 64,48.2,52 = 59,99 tm N = 16,84 • 0,158 + 64,48 . 0,987 = 66,30 t.

30

Maximum der Zugspannung.

'S 2 3

ff

so,e st.* 13, s

o in o_o o (5

k-

/s

(jprst.

H— 9,75 (1,789+ 1,656 + 1,517)+ 6,75 (0,886+ 0,596 + 0,294) = 60,37 t

•9 9,75 . (11,0 + 9,7 + 8,4) +6,75 (4,4 + 2,9 + 1,4) = 102,73 tm

.9,7s /.

[M]

30

30

9,75 (11,0 ■+ 9,7    8,4) + 6,75 (4,4 + 2,9 +• 1,4) = 11,41 t

M — 102,73 — 60,37 . 2,52 = — 49,40 tm N = 11,41.0,158 + 60,37 . 0,987 = 61,39 t.

Maximum der Bruckspannung.

H— 6,75 (1,947 + 1,901 + 1,805) + 9,75 (1,362 + 1,160 + 0,989)+ 6,75.0,066 = 72,84 t.

= 199,00 tm

[M] =    |o [6,7 5(15,7 +17,2+18,7 )+ 9,7 5 (22,7 + 24,0)]+ 24 [9,7 5.4,7 +6,7 5 • 0,3 | j

6,75 t.

9,75t.

JÄ1

S 9 ff.» 7,t

J.111

■JO JJ

3,

Q-L

9^-a

ts

J5

6,13 t.

9,ist.

6,33t.

j[6,75 (15,7 + 17,2+ 18,7)+ 9,75(22,7 + 24,0)] - [9,75.4,7 + 6,75 . ö,3]| = 25,19 t

M = 199,00 — 72,84 . 1,92 = 59,15 tm N — 25,19.0,233+ 72,84.0,972= 76,67 t.

30

Maximum der Zugspannung.

2    3

t---3

I J5

6.

4 ff 6 JOn JJi/S.o

O (T) CD

J5--

6,75 t.

9,15 t.

II = 9,75 (1,832 + 1,725 + 1,589) + 6,75 (0,990 + 0,716 + 0,413) = 64,18 t

\M]

^ • 6 9,75 (11,6 + 10,3 + 9,0) + 6,75 (5,0 + 3,5 + 2,o) - i 4,43 tm

9,75 (11,6 + 10,3 + 9,o) + 6,7 5 (5,0 + 3,5 -J— 2,o)

= 12,40 t

M— 74,43- 64,48 . 1,92 = — 49,37 tm

N = 12,40 . 0,233 + 64,48.0,972 = 65,56 t.

£C = 12.

Maximum der Druckspannung.

,/

- yj;

3,9 2,* CD O

JS

/ff

11 = 6,75 (1,893 + 1,796 + 1,656) + 9,75 (1,094 + 0,868 + 0,61 o) = 61,21 t

[Jf] = 4r*3 6,75 (17,4+ 18,9+ 20,₄)+ 9,75 (24,4+ 25,7 + 27,0) = 113,44 tm

m—öst

6,75 (17,4 + 18,9 + 20,4) + 9,75 (24,4 + 25,7 + 27,0]

= 37,811

M— 113,44 — 61,21 . 1,08 = 47,33 tm N — 37,81 . 0,305 + 61,21 . 0,952 = 69,80 t.

Maximum, der Zugspannung.

51 61

js

J.i

i/2

e/t

(D (7 O ^ ff

6,15 t.

.9,15 t.

//= 9,75 (1,748 + 1,611 + 1,44s) + 6,75 (0,787 + 0,493 + 0,187) = 56,77 t

W=3«-³

9,7 5 (10,5 + 9,2 + 7,9) + 6,7 5 (3,9 + 2,4 + 6,9)

— 31,77 tm

^    30

9,75 (10,5 -f⁻ 9,2 -f- 7,9) 4- 6,75 (3,9 4~ 2,4 4- 0,o) = 10,591

M — 31,77 - 56,77 . 1,08 = - 29,54 tm

A⁷ = 10,59 . 0,305 4~ 56,77 . 0,952 = 57,27 t.

x —15.

Am Kämpfergelenk ist das Moment der äusseren Kräfte natürlich Null. Die Normalkraft wird zum positiven Maximum bei voller Belastung des Bogens, und zwar müssen die grössten Lasten möglichst in der Nähe des Scheitels angeordnet werden. Die genaue Stellung des Zuges ergiebt sich aus der Bedingung, dass die Resultante sämmtlicher Lasten im Scheitel des Bogens liegen muss.

Voraussichtlich werden, wenn man eine Locomotive in der Nähe des mittleren Punktes anordnet, die Lasten 2 bis 14 auf den Träger einwirken. Man findet mit Hülfe des Seilpolygons, dass die Resultante zwischen den Lasten 7 und 8 angreift und zwar in der Entfernung 0,t m von der Last 8.

Lässt man diese Resultante mit dem Bogenscheitel zusammenfallen, so ergiebt sich die nebenverzeichnete Anordnung des Systems.

f J

J3,9&,6

£211

<f.

S7,

',2 0,

70 7/ /2

5,9 6,9

O O CI)

75

75

3,75 t.

6,75/;.

11= 9,75 (0,235 4" 0,197 4“ 1,936 4" 1,95 t 4“ 1,931 4~ 0,460 4“ 0,1,90) 4" 6,75 (1,231 4“ 1,4584" 1 >021

4" 1,656 4" 1>481 4-1,262) = 128,99 t

30

9,75 (28,9 4" 21,6 4" 16,24" 14,o 4~ 13,6 4— 2,2 4" 6,9) 4" 6,75 (23,6 4" 22,t 4" 20,0

4" 9,6 4" 8,1 4" 6,o — 54,281

N— 54,28 . 0,371 4~ 128,99 . 0,928= 139,84 t.

Das negative Maximum der Normalkraft am Kämpfer ist natürlich:

N— 0.

Untere Faser.

Die Methode zur Ermittlung der zusammengehörigen Werthe M und N ist derjenigen durchaus ähnlich, welche bereits für die obere Faser angewendet wurde. Abweichend von jenem Verfahren sind die Belastungsscheiden in der Weise zu bestimmen, dass man den oberen Kernpunkt des fraglichen Querschnitts mit den Kämpferpunkten verbindet und diese Graden mit der Kämpferdrucklinie zum Schnitt bringt. Welche Strecken dann zu belasten sind, um das Maximum der Druck- oder Zugspannung zu erhalten, ist aus dem Schema Fig. 27 zu ersehen. Die Fixirung der ungünstigsten Zugstellung, so wie die Berechnung der dieser Stellung entsprechenden Werthe M und N geschieht genau in der nämlichen Weise wie bereits für die obere Faser durchgesprochen wurde.

Man findet:

cc=

12 m

Maximum der Druckspannung

Maximum der Zugspannung

— 22,-24 11 4,96

30,27

56,81

— 34,04 89,89

42,11

D4,5G

- 47,64

96,72

— 52,40 102,68

62,52

56,40

63,84

37,40

— 37,22 tm 107,66 t

46,95 tm 22,n t

Temperaturspanmmgen.

Das Trägheitsmoment des Scheitelquerschnitts, von dessen Grösse die Tem-peraturspannungen abhängen, kann näherungsweise nach Gleichung 179 berechnet werden.

Es ist:

Jo =

1 . 15²

10(3.9000 — 7000.1)

1,02 +1,15 . 4,95 ] = 0,0075*

Der durch die Temperaturveränderungen bedingte Horizontalschub ist sodann nach Gleichung 101:

H= +

14 1 60.15.0,9075

— i 11,06.

Die zusammengehörigen Werthe M und A ergeben sich aus den Formeln 104 und 105; es ist für:

144

12

15m

M— -p 33,t s N = + 11,06

-f- 31,85    -f- 27,87    -f 21,24    + 11,94

+ H,03    + 10,92    + 10,75    + 10,53    + 1 0,26 t

Ob die zusammengehörigen oberen oder unteren Vorzeichen einzuführen sind, um in einer der äussersten Fasern Druck- oder Zugspannungen zu erhalten, kann folgendermaassen leicht entschieden werden.

Die Spannung in der oberen Faser ist näherungsweise proportional dem Werthe

Otm

,N+U\.

Der entsprechende Ausdruck für die untere Faser lautet:

Hierin bedeutet /< das Verhältniss des Trägheitsmomentes zum Flächeninhalt des fraglichen Querschnitts. Nach Gleichung 184 kann angenähert

gesetzt werden. Demnach sind die Spannungen in den äussersten Fasern proportional der Grösse

|-ÄiV + ilf

o

~kN — M.

5

Bei einer Höhe //= 1, wie solche im vorliegenden Fall vorhanden ist, wird also der Einfluss des Momentes M ca. 2,5 mal so gross sein als der Einfluss der Normalkraft N. Man erkennt demnach aus obiger Zahlenreihe, dass durchweg der

resp.

Werth M für das Vorzeichen der Spannung maassgebend ist; nur am Kämpfer ist natürlich das Vorzeichen der Normalkraft entscheidend.

Es sollen nunmehr die Werthe M und N, welche in Folge des Eigengewichts, der mobilen Last und der Temperaturdifferenzen auftreten, zusammengestellt werden.

12

15

Obere Faser

Maximum der I Maximum der Zugspannung | Druckspannung

Eigengew. mob. Last Temperat.

Total

I r-H CO 04 CO

38,25    —

115,63    45,86

11,06    31,85 -

h* -4 w

^ ^ i²⁰

'© 'c» 'w

CO O -1

38,75    —

06,30    59,15

39,35    —

70,67    47,33

40,18

69,80

59,99

27,87 — 10,92||    21,24 - 10,75||    11,94 — 10,53

41,22

139,84

10,26

54,99    1 42,821    77,71    102,20    87,86

94,13    80,39    105,27    59,27

99,45

191,32

Eigengew. — mob. Last —19,78 Temperat. —33, is

38,25    —

35,84 —34,19 11,06—31,85

38,37    -

50,39 — 49,40 11,03 —27,87

38,75    -

61,39 -49,37

10,92 -21,24

O O CO CC T-*

41,22

-29,54

—11,94

40,18 57,27

10,53    — - 10,26

Total    —52,96    85,15 —66,04

99,79 — 77,27    111,08 —70,61

115,66 —41,48    107,98

30,96

Faser

Maximum der Druckspannung

38,25

Eigengew. mob. Last —22,24    114,9611—34,04

Temperat. —33,is

11,06 —31,85

38,37    -

89,89 —47,64 11,03 —27,87

38,75    —

96,72 —52,40 10,92 -—21,24

39,35

40,18    —

102,6811—37,22    1 07,66    —

10,75 —11,94    1 0,53

41,22

139,84

10,26

Total    —55,42    164,27 —65,89    139,29 —75,51

146,391-73,64

152,78 —49,16    158,37

191,32

Untere

Maximam der Zugspannung

Eigengew. mob. Last Temperat.

I CO CO CO CO

38,25    —

56,81    42,11

11,06 1    31,85 —

38,37

54,56

11,03

62,52 27,87 —

38,75    -

56,40    63,84

10,92    21,24 —

39,35

37,40

10,75

46,95 11,94 —

40,18

22,11

10,53

41,22

- 10,26

Total

69,45

84,oo    73,96

81,90    90,39

84,23    85,08

66,00    58,89    51,76

30,96

Zur Bestimmung der Querschnittsdimensionen sind nur diejenigen zusammengehörigen Werthe M und N von directem Einfluss, welche die grössten Druckspannungen in den äussersten Fasern der Querschnitte bedingen, da diese Spannungen dem Absolutwerthe nach immer überwiegen. Um in die weiteren Rechnungen eine constante zulässige specifische Spannung k einftiliren zu können, ist es jedoch erforderlich, diese Werthe M und N vorher zu reduciren (vergl. §22).

In den Gleichungen 186 bis 189, nach welchen diese Reduction vorgenommen

1

werden muss, ist h — 1 und li = — zu setzen.

5

Für den Querschnitt x = 3 ergiebt sich beispielsweise:

red. Mx

Obere Faser.

77,7t

¹⁺y

- 66,04 + 0,4.99,79

87,32tm

77,71 + 0,4. 102,20

red. Ni —

102,20

1+y

1    - 66,04 -(- 0,4.99,79

77,71 + 0,4 . 102,20

= 114,84 t.

Untere Faser.

red. M₂ —

— 65,89

73,90 - 0,4.81,90

= — 79,33 tm

— 65,89 — 0,4 . 139,29

red. N₂ =

139,29

1 •

In dieser Weise findet man für:

73,90 - 0,4.81,90

- 65,89 - 0,4 . 139,29

X =

red. Mx =    60,os

red. Nx =    155,97

red. M₂ — — 65,05    — 79,33

red. iY₂= 192,so

87,32

114,84

167,70

1 01,09 108,31

— 95,70 185,60

88,88

116,38

-94,14

195,32

= 167,701.

fN OO OO JlO O»

— 59,21

190,74

15 m

—    tm 177,oo t.

—    tm 177.oo t.

Querschnittsbestinimung.

Die Wand des Bogens soll aus 1,2 cm starkem Eisenblech hergestellt werden. Die Niete erhalten einen Durchmesser von 2,5 cm. Durch die Vernietung au den Stössen der Blechwand wird letztere geschwächt. Nimmt man an, dass an irgend einer Stelle der Querschnitt der Wand vollständig ausgenutzt wird, so müssen hier natürlich die Niete — welche doppelschnittig angeordnet werden — die nämliche Inanspruchnahme wie der Nutzquerschnitt der Wand aushalten können. Die Entfernung x der Nieten von Mitte zu Mitte ergiebt sich, damit dieser Bedingung genügt werde, aus der Gleichung:

+* — 2,s). 1,2 =

zu

X = 10,68 cm.

Für die weiteren Rechnungen ist statt der wirklich auszuführenden Blechstärke eine theoretische Blechstärke anzunehmen, bei welcher die Wand, falls dieselbe nicht durch Nietlöcher geschwächt wäre, die nämliche Anstrengung erleiden würde, wie das thatsächlich verwendete, geschwächte Blech. Diese theoretische Stärke d' findet man aus der Beziehung:

d'. 10,68 = 1,2 (10,68 — 2,5)

zu

d' = 0,92 cm.

Die erforderlichen Gurtungsquerschnitte können nun aus den Gleichungen 190 bis 193 berechnet werden.

Wählt man 1cm als Längeneinheit und 11 als Gewichtseinheit, so ist in diesen Gleichungen

zu setzen.

k‘= 0,9,

d = 0,92

h = 100

Die Momente M} welche oben in tm angegeben sind, müssen noch mit 100 multiplicirt werden, um dieselben in tcm zu erhalten. x = 0.

0,92 . 100

3 (192,80 . 100 + 2.6505)

= 0,0009497

1 [155,97.100+2.6005

100.0,9

0,0009497

(155,97 +192,so) 100—2(6005+ 6505) J = 74,34

ß, = 74,34--Y • °>^oo9497 (192,so. 100 + 6.6505)

+ ]/74,34²+ 0,0009497L 10()7(6005 . 192,80+6505 . Lr++ = 122,3 Dem _ 6.122,3 (192,80.100 + 2.6505) — 0,92. 100 [6(6005 — 6505) —100 (192,so — 155,97)]

6 (155,97.100 + 2.6005)

= 146,8 Dem.

In derselben Weise findet man die Gurtungsquerschnitte für die übrigen Punkte des Bogens. Es ergiebt sich:

x— 0

= 122,3    134,2    146,7    136,3

ß₂ = 146,8    151,6    180,5    183,5    137,9

12

3t-

12

J'

f,²

s—

15m

52,3 Dem 52,3 „

-J    Diese Werthe sind in Fig. 4 Taf. 2 graphisch auf-

W^s getragen; es ist hierbei von jeder der Zahlen die Grösse 50 abgezogen.

Aus der graphischen Darstellung ergiebt sich, dass der grösste erforderliche Querschnitt an der unteren Gurtung auftritt und 187,5 Dem beträgt. Hierfür ist das nebenverzeichnete Gurtungsprofil gewählt; der Nutzquerschnitt desselben ist:

91,7

' ß = 2 (12 + 8,3). 1,₂ + (34 — 5). 4.1,2 = 187,9 Ücm.

Lässt man die obere Lamelle fort, so ist der Querschnitt ß = 153,ilDcm. Mit 2 Lamellen wird ß = 118,3 Dem und mit nur einer Lamelle ß = 83,5 Dem.

Die Werthe ß — 50 sind in Fig. 4 Taf. 2 ebenfalls aufgetragen und sind nun, wie aus dieser Figur leicht ersichtlich ist, diejenigen Punkte ermittelt, in welchen eine Querschnittsveränderung des Profils eintreten darf oder muss.

Der dadurch sich ergebende Bogen ist in Fig. 5 Taf. 2 schematisch verzeichnet.

Es ist noch zu bemerken, dass die Lamellen an den Endpunkten derselben, welche in dieser Figur angegeben sind, bereits thatsächlich zur Wirkung kommen müssen; die Platten sind also nach jeder Seite noch entsprechend zu verlängern. Ferner wird es erforderlich sein, die Blechwand durch aufgenietete Profileisen zu versteifen.

Es soll schliesslich noch das Trägheitsmoment J₀ des Scheitelquerschnitts berechnet werden, um die Genauigkeit der approximativen Annahme desselben, welche zur Bestimmung der Temperaturspannungen gemacht wurde, prüfen zu können.

Ist h die Entfernung der Schwerpunktslinien der Gurtungen, ß, der Querschnitt der oberen, ß.₂ der Querschnitt der unteren Gurtung und 6 die Stärke der Blechwand, so ist:

Jo +₂

Ji¹ 12 ß, ß.₂ +4(U (ß, + ß₂) + Ö- h*

ß, + OA + ß₂

Nimmt man lm als Längeneinheit an, so lauten die Zahlenwerthe für den vorliegenden Fall

ß, = ß.₂ = 0,ul 534

S = 0,0092

und

h= 1.

Es ergiebt sich

J₀ = 0,0084

gegenüber dem approximativ ermittelten Werthe von 0,0075. Die Differenz dieser beiden Zahlen hat ihren Grund in der verhältnissmässig sehr unrationellen Dimen-sionirung des Scheitelquerschnitts.

In Folge des grösseren Trägheitsmoments würde sich der durch Temperatur

schwankungen ergebende Horizontalschub um den Werth

14160.15 (0,oo84— 0,0075)

11 = +

+ 1,33 t

ebenfalls vergrössern. Die Temperaturspannungen sind am bedeutensten im Scheitelquerschnitt. Für diesen würde die Aenderung des Horizöntalschubes die Werthe

M= + 1,33.3 = + 3,99 tm JV = + 1,33 .1 = + 1,331

bedingen. Die Normalspannung ist näherungsweise nach Gleichung 13:

144

nach Einführung der Zahlenwerthe erhält man:

5- * 1j33+    * 3,99

*2701 pr. Dm

0,0084

oder 27 klgr. pr. Dem. Erachtet man diese Abweichung nicht als zulässig, so würden die in Folge der Temperaturdifferenzen auftretenden Spannungen zu corrigiren sein, wobei man nunmehr schätzungsweise das Trägheitsmoment des Scheitelquerschnitts zu 0,oo86 in die Gleichung für den Horizontalschub einführen könnte.

Beispiel III.

Fachwerkbogen von 60 111 Spannweite mit kreisbogenförmiger Axe und

3 Gelenken.

{Annahme einer gleichmässig vertheilten mobilen Belastung.)

Die Axe soll nach einem Kreisbogen gekrümmt sein, dessen Sehnenlänge 2/ = 60m und dessen Pfeilhöhe/= 7,5 m beträgt. Der Radius dieses Kreisbogens ergiebt sich zu

Z - SO m

2/

7— = 63,7 5 m.

171

*L

•> r

Die Gurtungen sollen zwei concen-trischen Kreisen eingeschrieben werden, deren normaler Abstand 2,5 m ist. Demnach ist der Radius des äusseren Kreises

>\ = 63,75 -f- 1,25 = 65,0 m

und der des inneren Kreises

ra -    63,75 — 1,25 = 62,5 m.

Der Bogen sei durch Vertikalstreben in 19 Felder von gleicher Länge (in horizontalem Sinne gemessen) getheilt. Die Länge eines jeden Feldes ist demnach

60

^ — 3,1579 m.

Bezeichnet man mit die Ordinate eines Punktes des äusseren Kreisbogens

und mit y.₂ die Ordinate eines Knotenpunktes der unteren Gurtung, so bestehen die Gleichungen:

?/, — — m -j- j/r\ — oc1 y₂ — — m + Vra — x‘l-

Wie aus obiger Figur zu ersehen, ist

m = r —f— 56,25 m.

Es sind nun für die verschiedenen Knotenpunkte die Ordinaten der Gurtungen berechnet. Man findet für:

X— 1,5789    4,7368    7,8947    11,0526    14,2105    17,3684    20,5263    23,6842    26,8421    m

= 8,7308    8,5T72    8,2688    7,8034    7,1776    6,3866    5,4239    4,2815    2,9488 „

y.₂=^ 6,2301    6,0702    5,7494    5,2649    4,6131    3,7882    2,7832    1,5886    0,1925 „

Diese Werthe sind nun in Fig. 1 Taf. 3 aufgetragen und ist dadurch die geometrische Form des Trägers verzeichnet. In jedem Felde sind des guten Aussehens halber Gegendiagonalen eingeschaltet. Im Scheitel und an beiden Kämpfern sind Scharniere vorhanden. Die Bezeichnung der einzelnen Stäbe ist aus der nämlichen Figur zu ersehen.

Das Fachwerk, welches an und für sich ein statisch unbestimmtes ist, soll nach den Ausführungen des § 44 in 2 statisch bestimmte Systeme zerlegt werden. Es ist sodann nur erforderlich für eines dieser Systeme die Spannungen in den Gurtungen und den Diagonalen zu ermitteln. Aus diesen Werthen können die entsprechenden Spannungen des zweiten Systems unmittelbar abgeleitet werden, während die Spannungen in den Vertikalen sich näherungsweise direct aus den Gleichungen 331 und 334 des § 44 ergeben.

Es ist demnach nur erforderlich, die Schnittpunkte der beiden Gurtungslinien des nämlichen Feldes (Drehpunkte, welche den Diagonalen conjugirt sind) zu ermitteln. Hätte man es mit einem einfachen, statisch bestimmten System zu thun, so müssten auch noch die Schnittpunkte der mitgeschnittenen Constructionstheile bezüglich der Vertikalen, also die Schnittpunkte des Ober- und Untergurts benachbarter Felder bestimmt werden. Da die Vertikalen aber, wie gesagt, nicht in dieser Weise berechnet werden, so ist auch letztere Operation nicht erforderlich.

Da Ober- und Untergurt des nämlichen Feldes nahezu parallel sind, so werden die Schnittpunkte dieser Linien graphisch nicht bequem und nicht genau zu ermitteln sein. Man wird zur Bestimmung dieser Punkte lieber das rechnerische Verfahren einschlagen.

leicht

Ans nebenstehender Figur erkennt man , dass die Coordinaten des Schnitt

punktes sich aus folgenden Beziehungen ergeben :

X = x.₂ —

:/ = nt + k -_h (nt — yt\

Hiernach findet man z. B. für den Schnittpunkt der beiden Gurtlinien 0₃ und U₃

■%—>

oc,

x-

• 3,1579 = — 408,6 m

x — 11,0526 -

2,5385

2,5385 - 2,5194

• 0,4845 = 69,7 m.

n — 5,2649 +

2,5385

2,5385 - 2,5194

In dieser Weise sind folgende Zahlen ermittelt:

Schnittpunkt 0, Ux 0, U, (), U, 0\ Ut 0, U, 0, U, 0₇ U, 0₈ U8 x— —1251,9    -635,0    —408,o    —297,3    —224,7    —176,e    —139,2    -—110,4 m

60,9 „

Es soll dasjenige Theilsystem der Berechnung unterzogen werden, welches von links nach rechts gegen die Bogenaxe fallende Diagonalen hat. Für diese Diagonalen müssen also noch die Hebelsarme bezüg- i lieh der conjugirten Drehpunkte berechnet werden. r\—

Aus nebenstehender Figur erkennt man:

AACB=Z_FED, ferner L.CAB=/_DFE als A Peripheriewinkel vom selben Bogen (es liegen die Punkte AFED auf der Peripherie eines Kreises vom Durchmesser AE), also ist AABC    AFDE

und hieraus folgt:

n=

69,7    70,9

69,7

68,9    67,o    65,5

A—h

<\

63,2

ld

d = (x„ — x) •

Die Länge ld der Diagonalen ergiebt sich aus der Beziehung

tf=V(yS —yrP-M¹.

So ist z. B. für die Diagonale I)₃:

Ad — y7,8034 - 5,7494)² —|— 3,1579² — 3,7671 m

^3 = (11,1 + 408,6) In dieser Weise findet man für:

= 280,7 m.

2,5194 3,7671

Xd =    3,9346    3,8477    3,7671    3,6920    3,6218    3,5564    3,4953    3,4384 m

d= 798,7    419,3    280,7    214,2    171,4    144,o    123,i    107,5 „

Die Spannungen der Diagonalen D‘ des zweiten Systems lassen sich nach Gleichung 328 des § 44 aus den berechneten Spannungen der Diagonalen D direct

abschreiben, wenn man das Verhältniss der Längen dieser Diagonalen kennt. Die Grössen lA‘ ergeben sich aus der Beziehung:

Man findet:

A"—V(yt —    + ¥.

DJ

DJ

dj

4,7 913 1,347

DJ

DJ

1)'

DJ

D '

^3

4,3584

1,157

ld> =4,1292 = 1,049

Die Brücke soll aus Schmiedeeisen und eingleisig hergestellt werden. Die Bahn liegt in einer Horizontalen, welche sich oberhalb des Obergurts- befindet.

Die Verkehrslast wird in Rücksicht auf die Stösse etc. mit ihrer lllz fachen Grösse in die Rechnung eingeführt; die zulässige specifische Spannung ist zu

/£-l,M„p + T-ssrs-

festgesetzt, wobei der Centimeter als Längeneinheit und die Tonne als Gewichtseinheit gelten.

ld‘

ld

4,2389

1,102

4,4889

1,216

4,6325

1,279

4,968!

1,421

5,1665 m 1,503 „

Approximative Bestimmung des Eigengewichts.

Nach den Ausführungen des § 45 ist in den Formeln zur näherungsweisen Bestimmung des Eigengewichts für die specifische mobile Belastung q eine der halben Spannweite des Bogens entsprechende Grösse einzuführen. Die Tabelle des § 7 giebt für eine Länge von 30 m den Werth q zu 5,61 pr. Gleis und pr. lfdm. an. Da die Berechnung unter Annahme der l'/2 fachen Verkehrslast durchgeführt werden soll, so ist:

zu setzen.

q = 8,41

Das Gewicht der Bahnconstruction ist nach Gleichung 354 zu 0,81 pr. lfdm. angenommen worden. Hierzu kommt noch das Gewicht derjenigen Construction, welche dazu dient, die an der Fahrbahn angreifenden Lasten auf den Bogen zu übertragen. Dieses beläuft sich nach Gleichung 356 auf

0,oi . 7,5 = 0,075 1;

B== 0,875 t pr. lfdm. und pr. Gleis

so dass

zu setzen ist.

Führt man diese Werthe in Gleichung 357 ein, so lautet dieselbe:

_ 100 00.7,5.0,875 + 4,21.8,4 (3.30² + 4.7+)

P    10000.7,5— 2,27 (3.30²+4.7,5²)

Hiervon hat jeder der beiden Hauptträger die Hälfte aufzunehmen, so dass sich das Eigengewicht pr. Träger und pr. lfdm. auf 1,237 t stellt.

Das Gewicht der Bahnconstruction beträgt pr. lfdm. und pr. Träger 0,4371 und demnach dasjenige des Bogens 1,237 — 0,437 = 0,soo t. Am Obergurt kommt eine Belastung von

= 2,4731.

0,SOO

2~--h 0,437 = 0,837 t

und am Untergurt eine solche von

0,8 00

0,400 t

pr. lfdm. zur Wirkung. Die Belastung pr. Knotenpunkt beträgt demnach am Obergurt:

und am Untergurt:

P° = 0,837.3,158 = 2,643 TUnd 2,65 t

P“ = 0,400.3,158 = 1,263 l'Und 1,27 t.

Die Totalbelastung pr. Knotenpunkt ist also:

P = 2,65 + 1,27 = 3,92 t.

Spannungsbestimmung im System I

mit rechtsfallenden Diagonalen.

Dieses System hat die Hälfte der auf den Bogen einwirkenden Lasten auf

zunehmen.

Eigengewicht.

Es ist P= 1,96 t zu setzen.

Ob man die Lasten, welche am Knotenpunkte 9 (Kämpferpunkt) angreifen, mitrechnet oder nicht, ist gleichgültig. Es sollen dieselben in der Folge nicht mitgerechnet werden.

Aus Gleichung 196 ergiebt sich, indem man die rechts und links vom Scheitel angreifenden Lasten durch ihre Resultante ersetzt

II

^— -2.9.5.3,158 P= 18,948 P.

Obere Gurtung.

Die den Gurtstäben conjugirten Drehpunkte-fallen mit den Knotenpunkten des Bogens zusammen.

Das Moment [Ai], d. h. das Moment, welches die nämliche Belastung bei einem Balken auf 2 Stützen in einem Punkte, welcher dieselbe Abscisse wie der in Rede stehende Drehpunkt besitzt, hervorbringen würde, erhält man aus Gleichung 197. Für totale Belastung lässt sich aus dieser Gleichung ein einfacher Ausdruck für das Moment im raten Knotenpunkt leicht ableiten.

Es ergiebt sich:

[iV] =    (9 - n) (9 + n -f 1) P

oder 1= 3,1579 gesetzt:

[M] = 1,5789 (9 — n) (10 + n) P.

Stab 0₀.

Der conjugirte Drehpunkt ist der untere Knotenpunkt 0. Für diesen ist:

[M] = 1,5789.9.10 P= 142,10 P.

Das Moment M der äusseren Kräfte bezüglich des Drehpunktes 0 ergiebt sich aus Gleichung 195; man findet:

M — 142,10 P - 18,948.6,230 P — 24,05 P.

Der Hebelsarm des Stabes 0₀ ist aus der Zeichnung Fig. 1 Taf. 3 zu 1,97 m abgegriffen. Demnach ist die gesuchte Spannung nach Gleichung 198

24,05 1,97

Stab Ov

Der conjugirte Drehpunkt ist der nämliche wie der des Stabes 0₀. Der Hebelsarm dieses sowie der folgenden Gurtstäbe ist zu 2,5 m abgegriffen.

P = 9,02 P = 18,0 t.

24,05

2,5

Stab 0₂.

[42] — 1,5789.8 . 11 . P— 138,9 4 P

42 — 138,94 P- 18,948.6,070 P — 23,93 P

2,5

P= 9,57 P= 18,81.

Stab 0.j.

[42 | = 1,5789 . 7 . 12 P — 132,63 P

M — 132,03 P- 18,948.5,749 P =■ 23,70 P

23,70

0₃

2,5

p = 9,48 P= 18,0 t.

Stab 0A.

[M] = 1,5789.6.13 P— 123,15 P

42 = 123,15 P- 18,948.5,265 P — 23,39 P

23,39

2,5

P— 9,36 P= 18,3 t.

Stab Ob.

[42 ]= 1,5789.5 . 14 P— 1 10,52 P

42 = 110,52 P- 18,948.4,013 P= 23,12 P

23,12

2,5

P — 9,25 P= 18,11.

0₆.

[4/ ] = 1,5789.4 . \b P— 94,73 P

42 = 94,73 P- 18,948.3,7 88 P — 22,96 P

22,96

2,5

P= 9,18 P~ 18,01.

Or

[JP] = 1,5789.3 . 16 P= 75,79 P

4/ = 75,79 P- 1 8,948.2,783 P— 23,06 P

^⁶-P = 9,22 P= 18,1 t.

2,5

0₈.

[42] = 1,5789.2 . 17 P = 53,68 P 4/ = 53,68 P — 18,948 . 1,589 P= 23,57 P 23,57

2,5

P== 9,43 P = 18,5 t.

[42] = 1,5789 . 1 . 18 P= 28,42 P M — 28,42 P— 18,948.0,192 P — 24,78 P 24,78

4,=

2,0

P— 12,39P= 24,31.

Untere Gurtung.

Die Spannungen findet man aus Gleichung 199. Die Hebelsarme der Stäbe P0 und Ug sind aus der Zeichnung abgegriffen. Die Momente [42], welche den verschiedenen Knotenpunkten entsprechen, sind bereits oben berechnet.

[M\ = 132,63 P

Stab Uv

41 = 132,63 P — 18,948.8,269 P —- 24,05 P

2,5

Stab (J₀.

[41] = 142,io P

41 — 142,10 P— 18,948.8,731 P =- 23,33 P

23,33

U₀ =

1,93

P = 12,07 P= 23,71.

Stab 17,.

[41] = 138,94 P

M— 1 38,94 P — 18,948.8,577 P = — 23,58 P 23,58

2,5

P= 9,43 P= 18,5 t.

U, = p= 9,62 P= 18,91.

Stab U,.

[41] — 123,15 P

M = 123,15 P- 18,948.7,803 P=- 24,7 0 P

24,7 0

£4 =

2,5

P— 9,88 P — 19,4 t.

Stab (I,.

[41] = 110,52 P

M = 110,52 — 18,948.7,177 P —- 25,47 P

P = 10,19 P= 20,01.

U> =

25,47

2,5

Stab U₅.

[M\ = 94,73 P

41 = 94,73 p- 18,948.6,387 P= — 26,29 P

26,29

£4=

2,5

P = 10,52 P= 20,6 t.

P₆.

[41] = 75,7 9 P

41= 75,79 P- 18,948.5,424 P— — 26,98 P

P = 10,79 P = 21,1 t.

26,98

2,5

17.,

[41] = 53,68 P

41 = 53,68 P — 18,948.4,282 P = — 27,46 P 27,46

£4

2,5

P — 10,98 P = 21,5 t.

P₈.

[41] = 28,42 P

41 = 28,42 P — 1 8,948.2,949 P= — 27,46 P 27,46

£4=

2,5

P = 10,98 P = 21,5 t.

Stab Z7₉.

£4=4

27,46 2,7 4

P — 10,02 P — 19,6 t.

Diagonalen.

Das Moment [41] ist wie bei den Gurtungen aus Gleichung 197 zu berechnen. Für totale Belastung lässt sich dieser Ausdruck leicht noch etwas vereinfachen. Trifft der zum Zweck der Spannungsermittlung geführte Schnitt das rate Feld und ist x die Abscisse des fraglichen Drehpunktes, so findet man:

. . N A

» + dt

[M] — n (30 — x) + (9 — n) (9 Wird A = 3?i58 gesetzt, so ist:

[M] = n (30 — x) + (9—n) (10 — w) 1,579 P.

P.

Die Spannungen der Diagonalen ergeben sich aus Gleichung 200. Die Schnittpunkte der mitgeschnittenen Gurtungstheile fallen, wie man aus den berechneten Coordinäten derselben ersieht, sämmtlich nach rechts. Denkt man sich die Spannung irgend einer Diagonalen als Druckspannung auf den linksseitigen Theil des Bogens einwirken, so erkennt man, dass alsdann diese Kraft um den fraglichen Drehpunkt im Sinne des Uhrzeigers zu drehen sucht, ln der Gleichung 200 ist also das — Zeichen gültig.

Stab Dr

Stab Dr

[M] = [1 (30 -h 1251,9) -+-8.9.1,579] P = 1395,6 P M — 1395,6 P — 18,948.69,7 P = 74,9 P

A = -

[M] = [2 (30 + 635,6) + 7.8.1,579] P= 1419,6 P

M— 1419,6 P — 18,948.70,9 P = 76,2 P

$

P =- 0,1 8 P —-0,4 t.

74,9

798,7

P —- 0,09 P —- 0,2 t.

TX

76,2

Stab

419,3

[47] = [3 (30 H- 408,6) + 6.7. 1,579] P= 1382,1 P M— 1382,i P — 18,948.69,7 P = 61,4 P

61,4

P — — 0,22 P—

0,4 t

Stab i>₄.

280,7

[M\ = [4 (30 + 297,3) + 5.6.1,579] P -= 1356,6 P M == 1356,6 P— 18,948.68,9 P= 51,i P

51,i

P=_ 0,24 P=— 0,5 t.

Stab Dy

214,2

[M] = [5 (30 + 224,7) + 4.5.1,579] P= 1305,1 P M— 1305,i P— 18,948.67,oP= 35,6 P

35,6

p= — 0,21 p = — 0,41.

Stab Dy

171,4

[M] = [6 (30 + 176,6) + 3.4 . 1,579] P= 1258,5 P M — 1258,5 P — 18,948.65,5 P— 17,4 P

17,4

p= _ 0,12 P=- 0,2 t.

Stab D.

144,0

[M] = [7 (30 + 139,2) + 2.3.1,579] P= 1193,9 P M— 1 193,9 P- 18,948.63,2 P— — 3,6 P

3,6

123,1

- P — 0,03 P = 0,1 t.

Z>₈.

[M\ = [8 (30 + 110,4) +1.2.1,579] P= 1126,4 P M = 1126,4 P— 18,948.60,9 P = — 27,5 P

27,5

107,5

Die Vertikalen, an deren Endpunkten zwei Gurtlinien zusammenstossen, welche in ihren Richtungen nur wenig von einander abweichen, brauchen nach den Ausführungen des § 44 keiner besonderen Rechnung unterzogen zu werden. Diese Voraussetzung trifft nicht zu bei den Vertikalen C₀ und Pg; es ist erforderlich, diese Ständer für beide Systeme gesondert zu berechnen.

Es sei zunächst das System I (mit nach rechts fallenden Diagonalen) vorausgesetzt.

Der Vertikalständer C₀.

Die Coordinaten des Schnittpunktes der mitgeschnittenen Constructionstheile (der Stäbe Ox und U₀) ergeben sich aus Fig. 1 Taf. 3 zu

x —— 1,72 m und y = 8,87 m.

Bei Berechnung des Momentes [M] aus Gleichung 197 ist zu beachten, dass die Lasten, welche links vom Schnitt angreifen, aus den in den Knotenpunkten 1 bis 8 wirkenden Kräften P und der im unteren Knotenpunkte 0 angreifenden Last Pu bestehen. Demnach lautet Gleichung 197:

[M) =

30-[-l,"2

60

9.5.3,158P+10.3,158P° 4

30 — 1,72

60

8.4,5.3,158 P9 • 3,1 58 P'* .

Setzt man P

1,901, P° — 1,325 t und P“ = 0,635 t, so wird [Jli] = 282,89 tm

M — 282,89 — 18,948.8,87 . 1,96 == — 46,53 tm.

Führt man die Spannung C₀ als eine auf den links vom Schnitt befindlichen Theil des Bogens wirkende Druckkraft ein, so ist der Pfeil derselben abwärts gerichtet. Die Kraft dreht dann um den fraglichen Schnittpunkt im entgegengesetzten Sinne des Uhrzeigers; in Gleichung 200 ist also das 4- Zeichen einzusetzen.

46,53

CQ= —

1,58 4" 1,7 2

14,i t.

Der Vertikalständer CH.

Die Coordinaten des Schnittpunktes der mitgeschnittenen Constructionstheile (Stäbe 0,, und P₈) ergeben sich aus der Zeichnung zu

x — 32,4ü m und y = — 2,25 m.

30 -h 32,40

30 — 32,40

17.9.3,iss P+ 18.3,iss P° 4

M — — 38,8t -j- 18,948.2,25 . 1,96 = 44,75 tm.

In Gleichung 200 hat das -—Zeichen Gültigkeit; demnach ist:

44,75

32,40 - 8,5 . 3,158

Es seien nunmehr dieselben Ständer unter Zugrundelegung des Systems II be-

60

60

8,o t.

. 3,158 P“= — 38,si tm.

rechnet.

Die Vertikale Cti.

Die Coordinaten des Schnittpunktes der mitgeschnittenen Constructionstheile (Stäbe 0₀ und P,) ergeben sich aus der Zeichnung zu

x = —l,4im und = 6,39 m.

Zu den Lasten 6r", welche links vom Schnitt angreifen, ist auch die im oberen Knotenpunkte 0 wirkende Last P" zu rechnen.

M — - 69,07 4- 18,948.0,26 . 1,96 =- 59,4 2 tm

0,=-

7,81.

59,42

34,49 — 8,5.3,158

Mobile Belastung.

Obere Gurtung.

Für den Stab 0₀ liegt der Schnittpunkt der mitgeschnittenen Constructionstheile unterhalb der Verbindungslinie AE. Nach § 26, Fig. 46 erzeugt demnach jede Last, welche auf den Bogen einwürkt, eine Druckspannung im fraglichen Stab. Die Maximaldruckspannung ergiebt sich also bei voller Belastung. Für diese Belastungsart war die Spannung O₀ bereits bei Gelegenheit des Eigengewichts ermittelt. Man hat also:

max (4- O₀) = 12,2i Q.

Die Länge der belasteten Strecke beträgt 60 m. Nach der Tabelle des § 7 ist für diesen Fall fj — 4,91 pr. lfdm. und pr. Gleis zu setzen. Hieraus ergiebt sich unter Berücksichtigung, dass die mobile Last mit ihrer 1V2 fachen Grösse in die Rechnung eingeführt werden soll, die Belastung pr. Knotenpunkt für jedes der Theilsysteme zu

4,9

[M]

30 -f- 1,44

30— 1,«

8.4,5.3,158 P -f- 9.3,158 P° .

Setzt man wieder P= 1,96 t, P’ = 1,3251 und Pu ===== 0,635 t, so wird [ii] = 280,44 tm

M = 280,44 - 18,948.6,39 . 1,06 = 43,12 tm.

In Gleichung 200 hat das — Zeichen Gültigkeit.

43,12

1,58 -f* 1,44

60

9.5.3,1 58 P+10.3,158 P" 4-

c₀ = —

60

— — 14,3 t.

Per Vertikalständer CH.

Die Coordinaten des Schnittpunktes der mitgeschnittenen Constructionstheile (Stäbe 0₈ und P₀) sind

[M\

30 — 34,49 ~

x — 34,49 m und y — — 0,26 m

30 4“ 34,49

60

17.9.3,158 P4- 18- 3, i₅₈P“ -j

60

• 3,i5sPü= — 69,07 tm

Q — 3,158 . 1,5    = 1,18.4,9 = 5,8 t.

Demnach ist:

max (4 0₀) = 12,2t. 5,8 == 70,81; max (— 0₀) = 0.

Dieselben Verhältnisse finden bei den Stäben Ox und Ö₂ statt. Man hat also: max (4- Ox) = 9,62.5,8 = 55,81;    max (— Ö,) = 0

max (4- ö₂) == 9,57.5,8 = 55,5 1;    max (— 0₂) = 0.

Für den Gurtungsstab 0₃ ist eine Belastungsscheide vorhanden. Man findet dieselbe, indem man den Schnittpunkt der mitgeschnittenen Constructionstheile (in diesem Fall den unteren Knotenpunkt 2) mit dem Kämpfer A verbindet (Fig. 1, Taf. 3) und diese Verbindungslinie mit der Graden CP zum Schnitt bringt. Der Schnittpunkt fällt in das mittlere Feld hinein.

Aus Fig. 45, § 26 ist zu ersehen, dass der links von der Belastungsscheide befindliche Theil des Bogens als belastet angenommen werden muss, wenn der Stab das Maximum seiner Druckspannung erreichen soll t während das Maximum der Zugspannung die Belastung des rechtsseitigen Theiles bedingt.

Die Rechnung gestaltet sich am bequemsten, wenn man das Maximum der Zugspannung in den Obergurtstäben direct ermittelt und später das Maximum der Druckspannung durch Subtraction des zuerst berechneten Werthes von der in Folge totaler mobiler Belastung auftretenden Spannungszahl bestimmt. Es sei also zunächst die rechtsseitige Hälfte des Bogens als belastet angenommen.

Der Horizontalschub wird aus Gleichung 196 gefunden. Diese lässt sich noch in folgende für die Rechnung etwas bequemere Form bringen. Bezeichnet man mit Rr die Resultante aller Lasten rechts vom Scheitel und mit Hz die Resultante der Lasten links vom Scheitel; ferner mit und & die Abscissen der Angriffspunkte dieser Resultanten jedoch nicht in Metern, sondern in Felder längen ausgedrückt, so wird

~ R,-(9,5+ £) + », (9,5 — £) .

II

Setzt man X = 3,1579 und f— 7,5, so erhält man:

H = 0,21 05 [Rr (9,5 ~f- £,) -f~ R/ (9,5    £/)]•

Die Werthe £ sind algebraisch zu verstehen; es wird also £,. negativ in Rechnung zu setzen sein.

Für den vorliegenden Fall ist R, ^ 9 Q, '£,r — — 4,5 und Hz = 0, also:

H = 0,2105.9 . (9,5 — 4,5) Q — 9,47 2 Q.

Das Moment [M] ergiebt sich aus Gleichung 197. Auch diese Formel kann man für den Fall, dass der fragliche Drehpunkt mit einem Knotenpunkt des Trägers zusammenfällt, noch etwas einfacher schreiben.

Bezeichnet man mit x nicht die wirkliche Entfernung des Drehpunktes vom Scheitel, sondern die Anzahl der Felderlängen, um welche der Drehpunkt vom Scheitel entfernt ist, ersetzt man ferner die rechts, resp. links vom fraglichen Schnitt angreifenden Lasten durch ihre Resultanten R' und R" und giebt die Entfernungen und der Angriffspunkte dieser Resultanten vom Scheitel ebenfalls in Felderlängen an, so lautet Gleichung 197

[M]

(9,5 — X) (9,5 + §0 R' + (9,5 + X) (9,5 - g'Q R" ,

19

oder

[M] = 0,io62 [(9,5 — x) (9,5 + 10 R'+ (9,5 + x) 9,5 - £") R"].

Im vorliegenden Falle ist:

[M] = 0,1662 . (9,5 — 2,5) (9,5 — 4,5) .9 Q= 52,35 Q. Nach Gleichung 195 erhält man:

M = 52,35 Q- 9,47 2 . 5,7 49 Q =- 2,10 Q.

Die Spannung 0₃ ergiebt sich sodann aus der Formel 198:

2,io

max (— Oa) — —

2,5

Q =- 0,84 Q.

für q

Die Länge der belasteten Strecke beträgt 30 m; die Tabelle des § 7 giebt hier-= 5,o t an, so dass

zu setzen ist. Demnach hat man:

max (— 0₃) == — 0,84.6,6 = — 5,51.

Subtrahirt man diesen Werth von der bei Gelegenheit des Eigengewichts berechneten Spannung in Folge totaler Belastung des Bogens, so erhält man: max (+ 0₃) = (9,48 + 0,84) Q — 10,32 Q.

Die Länge der belasteten Strecke ist wieder 30m, also:

max (4- 0₃) = 10,32.6,6 = 68,11.

Stab 0,

Belastungsscheide im mittleren Felde.

H — 9,47 2 Q

[ili] = 0,1662 (9,5 - 3,5),(9,5 — 4,5) 9 Q — 44,87 Q

M — 44,87 Q 9,47 2.5,265 Q — 5,00 Q

Q — — 2,00 Q = — 2,00.6,6 = — 13,21 max (-f- O,) — (9,36 -f- 2,oo) Q — \ 1,36 Q — 11,36.6,n = 75,o t.

max (— O,) — —

5,00

2,5

Stab 0-o.

Belastungsscheide im lsten Felde.

H— 0,2105 [9 (9,5 - 4,5) + 1 (9,5- 0,5)| Q— 1 1,367 Q

[M] — 0,1662 (9,5 - 4,5) (9,5- 4,o) 10 Q— 45,7 0 Q

M — 45,70 Q - 11,367.4,613 Q— — 6,74 Q

Q — — 2,70 Q

max (— O.) = —

6,»4

2,5

Q= 1,18.5,5 — 6,5 t. max (— O.) — — 2,70 . 6,5 = — 17,51 max (+ O.) = (9,25 -f- 2,70) Q = 11,95 Q Q = 1,18 . 5,9 = 6,9 t max (+• O.) = 11,95. 6,9 = 82,51.

Stab Oy

Belastungsscheide im lsten Felde.

H = 11,367 Q

[M] = 0,1662 (9,5 - 5,5) (9,5 - 4,o) 10 Q = 36,56 Q

M— 36,56 Q- 1 1,367 . 3,788 Q==- 6,50 Q

6,50

Q= — 2,60 Q = - 2,60.6,5 =- 16,9 t

max (4- Oc) = (9,18 4~ 2,eo) Q = 11,78 Q = 11,78.6,9 = 81,31.

Stab Oy

max (— 0₍) = —

2,5

Belastungsscheide im lsten Felde.

II— 11,367 Q

[M] = 0,1662 (9,5 - 6,5) (9,5- 4,o) 10 Q— 27,42 Q

M— 27,42 Q- 11,367.2,783 Q=- 4,21 Q

4,21

max (— 0₇) —

2,5

Q =- 1,68 Q —- 1,68.6,5 = — 10,9 t

Stab 0₈.

Belastungsscheide im mittleren Felde.

H— 9,472 Q

[M] = 0,1662 . (9,5 - 7,5) (9,5 — 4,5) 9 Q = 14,66 Q

M— 14,96 Q- 9,472 . 1,589 Q =- 0,09 Q

0,09

max (— 0₈) = —

Q — — 0,04 Q —

0,04.6,6 = - 0,3 t

max (-f- 0₈) = (9,43 + 6,04) Q = 9,47 Q = 9,47.6,e — 62,51.

2,5

Stab O₀.

Maximum der Druckspannung bei voller Belastung.

max (+ 0₉) = 12,39.5,8 = 71,91 max (— 0₉) — 0.

Untere Gurtung.

Für den Gurtunysstab U₀ liegt der conjugirte Drehpunkt (als solcher ist der obere Knotenpunkt 0 anzusehen) oberhalb der Graden BD. Nach Fig. 48 des $ 26 muss demnach der ganze Träger als belastet angenommen werden, damit der fragliche Stab das Maximum seiner Druckspannung erreiche. Es ist also:

max (+ U₀) = 12,07.5,s = 70,o t;    max (— U₀) — 0.

Für den Stab Ul fällt die Belastungsscheide in das lste Feld hinein. Es ist empfehlenswerth zunächst das Maximum der Druckspannung zu berechnen, da dieses bei rechtsseitiger Belastung des Bogens auftritt und für diese Belastungsart der Horizontalschub bereits ermittelt ist.

H = 11,367 Q

\M\ — 0,1662 (9,5- 1,5) (9,5 — 4,o) 10 Q = 73,1 3 Q

max (+ Uy)

M — 73,13 Q — 1 1,367.8,577 Q =- 24,36 Q

24,36

Q— 9,74 Q — 9,74.6,5 = 63,3 t max (— Ux) - (9,43 — 9,74) Q = — 0,3t Q — — 0,3i. 6,9 = — 2,21.

2,5

Stab Ur

Belastungsscheide im 2ten Felde.

H = 0,2105 [9 . (9,5 — 4,5) + 2 (9,5 — 1)] Q = 13,051 Q

[M\ — 0,1662 (9,5- 2,5) (9,5 - 3,5) 11 Q— 76,78 Q

M— 76,78 Q — 13,051.8,269 Q=— 31,14 Q 31,14

Q = 12,40 Q = 12,46.6,5 = 81,01 max (— £4) = (9,62 — 12,46) Q — — 2,84 Q = — 2,84.6,9 = — 19,61.

max (+ £Q =

2,5

Stab U₃.

Belastungsscheide im 2ten Felde.

H = 13,05t Q

[M] = 0,1662 (9,5 - 3,5) (9,5- 3,5) 11 Q — 65,82 Q

M— 65,82 Q- 13,051.7,803 Q= - 36,02 Q

36,02

Q — 14,41 Q — 14,41.6,5 — 93,71 max (— ü₃) = (9,88 — 14,4i) Q = — 4,53 Q = — 4,53. 6,9 = — 31,31.

max (+ U₃) =

2,5

Stab ü,,

Belastungsscheide im 3ten Felde.

H= 0,2105 [9 . (9,5 — 4,5) + 3 (9,5 — 1,5)] Q = 14,524 Q [M] — 0,1662 (9,5 — 4,5) (9,5 — 3,o) 12 Q — 64,82 Q

M— 64,82 Q- 14,524.7,17 7 Q= - 39,42 Q

39,42

max (+ Z7₄)

Q = 15,77 Q

Q — 1,18.5,4 = 6,4 t max (-f- U.) — 15,77.6,4 = 100,91 max (— £7₄) = (10,19 — 15,77) Q = — 5,58 Q Q= 1,18.6,2= 7,3 t max (— U.) = — 5,58.7,3 = — 40,7 1.

2,5

Stab U₅.

Belastungsscheide im 3ten Felde.

H= 14,52 4 Q

[M] = 0,1662 (9,5 - 5,5) (9,5- 3,o) 12 Q = 51,85 Q

max (+ U.) =

M= 51,85 Q — 14,524.6,387 Q—--40,91 Q

40,91

2,5

Q — 16,36 Q — 16,36.6,4 = 104,7 t

max (— U:) = (10,52— 16,36) Q = — 5,84 Q = — 5,84.7,3 = — 42,6 1.

Stab U₆.

Belastungsscheide im 4ten Felde.

H= 0,2105 [9 . (9,5- 4,5) + 4 (9,5- 2,o)] Q= 15,787 Q

[M] = 0,1662 (9,5 - 6,5) (9,5- 2,5) 13 Q = 45,37 Q

M — 45,37 Q - 1 5,787.5,424 Q —-- 40,26 Q

40,26

max (+ U₍.) =

Q= 16,10 Q

Q = 1,18.5,4 = 6,4 t max (+ Z7C) = 16,io. 6,4 = 103,o t max (— U₆) = (10,79 — 16,i0) Q = — 5,31 Q Q— 1,18.6,3 — 7,4 t max (— Ur) = — 5,31.7,4= — 39,31.

2,5

Stab U„

Belastungsscheide im 4ten Felde.

II = 15,787 Q

[M] = 0,1662 (9,5- 7,5) (9,5-2,5) 13 Q = 30,25 Q

M — 30,25 Q — 15,787.4,282 Q —- 37,35 Q

37,35

Q = 14,94 Q — 14,94.6,4 = 95,6 t max (— Un) = (10,98 - 14,94) Q = — 3,96 Q = — 3,96 . 7,4 = — 29,3 1.

max (-f- £7₇) =

2,5

Belastungsscheide im 5ten Felde.

Stab U₈.

TT = 0,2105 [9 (9,5 — 4,ö) -f- 5 (9,5 — 2,5)] Q — 16,840 Q

[M | = 0,1602 (9,5- 8,5) (9,5 — 2,o) 14 Q— 17,45 Q

Q = 12,88 Q

max (+ U₈) =

M = 17,45 Q — 16,840.2,949 Q — — 32,21 Q 32,21

2,5

<3 = 6,4 t

max (■+• U₈) = 12,88.6,4 = 82,41 max (— (J₈) — (10,98 — 12,88) Q — — l,oo Q Q — 1,18.6,7 = 7,9 t max (—• U₈) — — 1,90.7,9 = — 15,o t.

Stab Ua.

Belastungsscheide im 5ten Felde. Der conjugirte Drehpunkt fällt mit dem

jenigen des Stahes U₈ zusammen.

32,2i

max (+ UQ)

2,74

Q — 11,76 Q = 11,76.6,4 = 75,3 t max (— U₀) = (10,02 11,76) Q— — 1,74 Q= — 1,74.7,9== — 13,7 t.

Diagonalen.

Um die Belastungsscheiden der Diagonalen zu ermitteln, müsste man eigentlich die Schnittpunkte der mitgeschnittenen Gurtlinien benutzen. Da diese jedoch auf der Zeichnung nicht zugänglich sind und die entsprechenden Gurtlinien nahezu parallel verlaufen, so kann man zu vorliegendem Zweck letztere thatsächlich als parallel annehmen und die Belastungsscheiden nach Fig. 55, § 26 dadurch bestimmen, dass man zu einer der beiden geschnittenen Gurtlinien die Paralle durch den linksseitigen Kämpferpunkt A zieht. Man wird die Parallele zu derjenigen Gurtlinie ziehen, deren Verlängerung am nächsten am Punkte A vorbei geht.

Stab I)v

Es ist keine Belastungsscheide P vorhanden. Die Verhältnisse bei dieser Diagonalen gestalten sich in der Weise wie Fig. 56, oder genauer genommen Fig. 52, § 26 dieselben zeigt. Demnach bildet nur das fragliche Feld 1 selbst eine Belastungsscheide. Denkt man sich die Spannung D{ auf den links vom Schnitt befindlichen Theil des Bogens als Druckkraft wirkend, so erkennt man, dass alsdann diese Spannung um den Schnittpunkt der mitgeschnittenen Constructionstheile, der auf der Zeichnung nicht zugänglich ist, welcher, wie aber aus den berechneten Coordinaten desselben ersehen werden kann, nach rechts fällt, im Sinne des Uhrzeigers dreht. Entsprechend den Erläuterungen auf Seite 51 (Füllungsglieder) wird also das Maximum der Druckspannung bei linksseitiger, das Maximum der Zugspannung bei rechtsseitiger Belastung des Trägers stattfinden.

Für rechtsseitige Belastung (die Scheide liegt im Felde 1) war der Horizontalschub bereits ermittelt; man hatte gefunden ’    H— 11,367 Q.

Das Moment [M] ergiebt sich aus Gleichung 197. Diese Formel lässt sich noch etwas einfacher schreiben. Ersetzt man die Lasten rechts und links vom fraglichen

10

II. K r 0 li n, Bogendrücken. II.

Schnitt durch ihre Resultanten U' und R" und drückt die Abstände §' und £" dieser Resultanten vom Scheitel durch Felder längen aus, während die Abscisse x des fraglichen Drehpunktes nach wie vor in Metern angegeben wird, so erhält man:

(30 — x) (9,₅ + g')K' + (30 + x) (9,5 — !") U"

[M]

19

Im vorliegenden Falle ist R"=0, R;=10Q,    = — 4,o und x=—1251,9, also:

(30 + 1251,9) (9,5— 4,o) 10

[M] =

Q — 3710,7 Q

M= 3710,7 Q — 11,367.69,7 Q — 2918,4 Q.

In Gleichung 200 hat das — Zeichen Gültigkeit.

2918,4 798,7

max (+ Dt) — (— 0,09 + 3,65) Q — 3,56 Q = 3,56.6,9 = 24,61.

max (— Dt)

19

Q =- 3,65 Q= — 3,65.6,5 = — 23,7 t

Stab ])>.

Belastungsscheide im 2ten Felde.

[M] =

II— 13,051 Q (30 + 635,0) (9,5 — 3,5) 11

19

_ Q = 2312,,<3

M= 2312,i Q — 13,o5i. 70,9 Q = 1386,s Q

Q = — 3,3i Q — — 3,3i. 6,5 = — 21,5t

1386,s 419,3

max (+ D.₂) — (— 0,i8 + 3,3i) Q — 3,n Q = 3,13.6,9 = 21,01.

max (— +,) = —

Stab Dy

Belastungsscheide im 3ten Felde.

[M] =

II — 14,524 Q (30 + 408,6) (9,5 — 3,o) 12

19

Q= 1800,6 Q

M — 1800,6 Q — 14,524.69,7 Q — 788,3 Q

Q = — 2,81 Q = — 2,81.6,4 = — 18,01

788,3 280,7

max (+ D₃) = (— 0,22 + 2,8i) Q = 2,59 Q = 2,59. 7,3 = 18,91.

max (— +,) =

Stab D,k.

Belastungsscheide im 4ten Felde.

II— 15,787 Q (30+ 297,3) (9,5 —2,5)13

Q = 1567,o Q

[«]=

M = 1567,6 0-15,78». 68,» Q = 479,» t

Q — — 2,24 Q = — 2,24.6,4 = — 14,3 t max (+ 1),) = (— 0,24 + 2,24) Q = 2,oo Q — 2,oo. 7,4 == 14,81.

.    Stab D₃.

Für diese Diagonale ist eine zweite Belastungsscheide vorhanden. Zieht man zur unteren Gurtlinie Uh die Parallele durch den Kämpferpunkt A, so schneidet diese

max (— D.) = —

479,9

214,2

19

die Grade CD im mittleren Felde des Bogens. Dieses mittlere Feld tritt als zweite Belastungssclieide auf. Das Maximum der Druckspannung wird nach Fig. 55 oder Fig. 51, § 26 erhalten, wenn die rechtsseitige Hälfte des Bogens und die Strecke vom fraglichen Felde bis zum linksseitigen Kämpfer belastet ist. Für diese Belastungsart soll die Spannung direct berechnet werden. Es erscheint einfacher, das Maximum der Zugspannung direct zu bestimmen und sodann die positive Maximalspannung durch Subtraction von der in Folge totaler Belastung auftretenden Spannung zu ermitteln. Dieser Weg führt jedoch nicht zum Ziel, da für die rechtsseitige und linksseitige Belastung, aus welcher sich das Belastungsschema der Maximaldruckspannung zusammensetzt, verschiedene specifische Belastungen (in Folge der verschiedenen Längen der belasteten Strecken) angenommen werden müssen. Man muss also den Einfluss dieser beiden Belastungen getrennt ermitteln.

\M] =

Rechtsseitige Belastung. II— 9,47 2 Q

(30-f- 224,7) (9,5— 4,s)9

Q = 603,2 Q M = 603,2 Q — 9,47 2.67,o Q = — 31,₄ Q

19

31,4

171,4

Q = 6,o t.

Linksseitige Belastung. H= 0,2105.4 . (9,5 — 7,o) Q — 2,105 Q 030 — 224,7) (9,5 - 7,o) 4

Q = — 102,5 Q

M = — 102,5 Q — 2,105.67,o Q = — 243,5 Q 243,5 171,4

7,9 t.

max (4- D₅) = 0,i8.6,o 4- 1,42.7,9= 12,4t

max (— D₅) — (— 0,21 — 0,i8 — 1,42) Q = — l,si Q

Q — 1,18.6,4 = 7,5 t max (— Z4) = — l,Si. 7,5 = — 13,o t.

19

Q — 1,42 Q

Stab Df).

Belastungsscheide im lsten und 6ten Felde.

[M]

Rechtsseitige Belastung. II = 1 1,367 Q

(30 4-176,e) (9,5 —4,o) 10

Q — 598,i Q

M = 598,! Q — 11,367.65,5 Q = — 146,4 Q 146,4 144,o

Q = 1,18.5,5 = 6,5 t.

19

Q — 1,02 Q

10*

Linksseitige Belastung.

H — 0,2105.3 . (9,5- 7,5) Q = 1,203 Q

(30 — 176,o) (9,5 —7,5)3

19

Q = — 40,8 Q

M = — 46,3 Q — 1,263.65,5 Q = — 129,o Q Q = 0,90 Q

D,=

129,o

144,o

Q— 1,18.7,2= 8,5 t

max (-|- Dc) = 1,02.6,5 + 0,90.8,5 = 14,31 max (— D₍) = (— 0,12 — 1,02 — 0,90) Q = — 2,04 Q Q— 1,18.6,4= 7,5 t max (— Dß) = — 2,04.7,5 = — 15,31.

Stab ]),.

Belastungssckeide im 2ten und 7ten Felde.

[M] =

Rechtsseitige Belastung.

11= 13,051 Q (30 + 139,2) (9,5— 3,5) 11

19

Q= 587,7 Q

M = 587,1 Q — 13,051.63,2 Q = — 237,1 Q 237,4

123,,

Q= 1,93 Q

Q = 6,51.

Linksseitige Belastung.

[M] =

H= 0,2105.2 (9,5 — 8,0) Q = 0,031 Q (30 — 139,2) (9,5— 8,0) 2

Q —- 17,2 <2

+ = — 17,2^ — 0,631.63,2 <9 = — 57,1 Q

57.1

123.1

Q = 1,18.8,5 = 10,0 t

max (+ D.) = 1,93.6,5 + 0,40. 10,o = 17,i t max (— Bl) — (0,o3 — 1,93 — 0,io) Q — — 2,30 Q Q = l, 5t

max (— Dl) — — 2,36.7,5 = — 17,71.

A==

19

Q — 0,40 Q

Dh.

Belastungsscheide im 2ten und 8ten Felde.

Rechtsseitige Belastung.

11= 13,051 Q (30 + 110,4) (9,5—3,5)J_1

(M] =

M= 487,7 Q — 13,051.60,9 £ = — 307,, Q

19

307?1

Q-2,86 Q

107,5 Q — 6,51.

Linksseitige Belastung.

H— 0,2105 . 1 . (9,5- 8,5) Q = 0,210 Q

(30 — 110,4) (9,5—8,5) 1

$ = -4,2$ M— — 4,2 $ — 0,210.60,9 $ = — 17,o $

D —

⁸    107,5

$ = 1,18 . 11,5 = 13,5 t

max (+■ D₈) = 2,86.6,5 + 0,i0. 13,5 = 20,71

max (— Ds) = (0,26 — 2,86 — 0,ie) $ = — 2,7o $

$ = 1,18.6,2= 7,3 t

max (— A) — — 2,76.7,3 = — 20,11.

19

$ = 0,16 $

Die Vertikalständer C₀ und C₈ erfordern wieder eine besondere Untersuchung.

Stab C₀.

Es kommt zunächst darauf an, zu entscheiden, bei welcher Belastungsart dieser Stab das Maximum seiner Spannungen erhält. Setzt man das System I (rechtsfallende Diagonalen) voraus, so liegt der Schnittpunkt der mitgeschnittenen Con-structionstheile (Stäbe O, und U₀), wie man aus Fig. 1 Taf. 3 erkennt, oberhalb der beiden Graden AE und BD. Das Belastungsschema ergiebt sich demnach aus Fig. 51, § 26. Die als Druckkraft auf den links vom Schnitt befindlichen Theil der Brücke einwirkende Spannung C₀ dreht um den Schnittpunkt der mitgeschnittenen Con-structionstheile im entgegengesetzten Sinne des Uhrzeigers; die Abtheilungen für „Zug“ und „Druck“ sind also in der Weise, wie Fig. 51 zeigt, anzunehmen. Verbindet man den conjugirten Drehpunkt mit dem linksseitigen Kämpfer und schneidet diese Verbindungslinie mit der Graden BD, so findet man, dass die Belastungsscheide im ersten Felde liegt. Dieses erste Feld tritt gleichzeitig auch als zweite Belastungsscheide auf (s. Fig. 51, § 26), da der zum Zweck der Spannungsermittlung durch C₀ geführte Schnitt die obere Gurtung, an welcher die mobilen Lasten angreifen, in diesem ersten Felde trifft. Es ergiebt sich also, dass unter Voraussetzung des Systems I der ganze Träger belastet sein muss, damit C₀ das Maximum der Zugspannung erreiche.

Legt man System II der Berechnung zu Grunde, so ist aus Fig. 1, Taf. 3 zu ersehen, dass alsdann der Schnittpunkt der mitgeschnittenen Constructionstheile (O0 und U,) unterhalb der beiden Graden AE und BD liegt. Das Belastungsschema ergiebt sich aus Fig. 54, § 26. Die auf den links vom Schnitt befindlichen Theil des Bogens als Druckkraft wirkende Spannung C₀ dreht um den entsprechenden Schnittpunkt im Sinne des Uhrzeigers; es wird demnach C₀ bei voller Belastung des Bogens am meisten gezogen sein.

Unter Berücksichtigung beider Systeme gelangt man hiernach zu dem Resultat, dass der Stab C₀ das Maximum der Zugspannung bei voller Belastung erreicht.

Unter dieser Annahme findet man:

[M] =

System I.

TI — 18,948 Q

(30 + 1,72) (9,5 — 4,o) 10 + (30 — 1,72) (9,5 — 5,o) 8

19

Q = 145,40 Q

M— 145,40 Q- 18,948.8,87 Q — — 22,07 Q

22,07

1,58+ 1,72 <2 = 5,8t

max (— C₀) = — 6,87.5,8 = — 39,8 1 max (+ C₀) = 0.

max (— Q =

Q = — 6,87 Q

[M]

System II.

(30 + 1,44) (9,5 - 4,5) 9 + (30 - 1,44) (9,5 — 4,5) 9

19

Q= 142,n Q

M — 142,m Q — 18,948.6,39 Q = 21,03 Q

21,03

1,58+ 1,44

max (— C₀) = — 6,96. 5,8 = — 40,4 1 max (+ C₀) = 0.

max (— C₀)

Q — — 6,96 Q

Stab Cs.

Legt man System I der Berechnung zu Grunde, so fällt der Schnittpunkt der mitgeschnittenen Constructionstheile (Stäbe 0₀ und Us) wie aus Fig. 1, Taf. 3 zu ersehen ist, unterhalb der beiden Graden AE und BI). Das Belastungsschema ergiebt sich aus Fig. 53, § 26. Die Scheide P liegt im 5ten Felde. Die zweite Belastungsscheide, welche das fragliche Feld selbst bildet, würde hier im 9ten Felde anzunehmen sein, da der durch Ce zum Zweck der Spannungsermittlung geführte Schnitt die obere Gurtung, an welcher die mobilen Lasten angreifen, im 9ten Felde trifft. Berücksichtigt man noch den Drehungssinn der zunächst als Druckkraft eingeführten Spannung, so ergiebt sich, dass der Stab C₈ am meisten gezogen wird, wenn der Bogen vom rechtsseitigen Kämpfer bis zum 5ten Felde der linksseitigen Hälfte belastet ist.

Unter Annahme des Systems II findet man, dass der Schnittpunkt der mitgeschnittenen Constructionstheile (0₈ und U₉) oberhalb der Graden AE und unterhalb der Graden BI) liegt. Das Belastungsschema ergiebt sich nach Fig. 50, $26, da eine wirkliche Scheide P nicht vorhanden ist. Es tritt demnach nur das fragliche Feld selbst als Belastungsscheide auf, und als solches ist in diesem Falle das 8*e Feld anzusehen, da der durch C₉ zum Zweck der Spannungsermittlung geführte Schnitt die obere Gurtung, an welcher die mobilen Lasten angreifen, im 8ten Felde trifft. Da die als Druckkraft auf den links vom Schnitt befindlichen Theil des Bogens wirkende Spannung C₈ um den Schnittpunkt der mitgeschnittenen Constructionstheile im entgegengesetzten Sinne des Uhrzeigers dreht, so ergiebt sich, dass die Vertikale Cs am meisten gezogen wird, wenn sämmtliche Knotenpunkte mit Ausnahme des Knotenpunktes 8 belastet sind.

Bedenkt man, dass gleichzeitig beide Systeme zur Wirkung kommen, so folgt dass die Belastungsscheide für die Vertikale C₉ zwischen dem 5ten Felde und dem 8ten Felde der linksseitigen Bogenhälfte liegen wird.

Ob die Lasten in den Knotenpunkten 5, 6 und 7 eine Zugspannung oder eine Druckspannung im fraglichen Stabe hervorbringen, ist also zunächst zweifelhaft. Specielle Rechnungen ergeben jedoch, dass diese Lasten unter Berücksichtigung beider Systeme Zugspannungen in Cs bedingen, so dass die Belastungsscheide im 8tcn Felde angenommen werden muss.

System I.

Maximum der Druckspannung.

[M] =

H = 0,2105 . 1 . (9,5 - 8,5) Q = 0,210 Q

(30 — 32,40) (9,5 + 8,5). 1

19

$ = -2,27$

M — - 2,27 $ + 0,210.2,25 $ =- 1,80 $

$ = 0,32 $

max (+ Cg)

1,80

32,40 - 8,5.3,158

$ = 1,18 . 11,5 = 13,5 t max (-f- Cg) = 0,32. 13,5 = 4,31.

Maximum der Zugspannung.

H= (18,948 — 0,210) Q = 18,738 Q (30 — 32,40) (9,5 —0,5) .17

19

Q— — 19,33 $

M = — 19,33 $ + 18,738.2,25 $ = 22,83 Q

___22,83

32,40 — 8,5.3,158 Q = 1,18.5,0 = 5,9 t max (— C₈) = — 4,u. 5,9 = — 24,21.

max (— Ca)

Q = — 4,it Q

[M] =

System II.

Maximum der Druckspannung. H — 0,210 Q

(30 + 34,49) (9,5 — 8,5). 1

19

Q== 3,39 Q

M — 3,39 Q -f* 0,210.0,26 Q = 3,44 Q 3,44

34,49 -- 8,5.3,158

max (+ Cg) = 0,45.13,5 = 6,1t.

max (+ C'g) =

Q = 0,45 Q

Maximum der Zugspannung.

II— 18,738 Q

[M] = (³j — 34,49)^9,5 - 0,5) ._17 Q₌__ 36jl(, Q M— — 36,16 Q + 18,738.0,26 Q = — 31,29 Q

max (— UQ) = 23p    =

max (— Ux) =18,5 — 2,2 = max (—U₂) = 18,9—19,o=— 0p „ max (— Ua) — 19,4 — 31,3 = — 1.1,9 „ max (— U₄) — 20,o — 40p = — 20p „ max (— U.) = 20,6 — 42,o = — 22,0 „ max (— £7₍.) = 21p— 39,3= — 18,2 „ max (— U₇) = 21,5 — 29p = — 7,8 „ max (— +) = 21,5 — 15,o = max (— Ug) = 19,6 — 13p =

max (— C₈) = —

31,29

34,49- 8,5.3,158

max (— Q = — 4,09.5,9 — — 24,it.

Q — — 4,09 Q

Es sollen nunmehr für das System I die Spannungen in den Gurtstücken und den Diagonalen, welche einerseits von der permanenten, andererseits von der mobilen Last herrühren, summirt werden. Es ergiebt sich:

max (+ O₀) = 23,9 + 70,8 = 94p t max (+0,) = 18,9 +55,8 = 74p „ max (+ 0₂) = 18,8 + 55,5 = 74,3 „ max (+ 0₃) — 18,o + 68,i = 86p „ max (+ OJ — 18,3 + 75,o = 93,3 „ max (+ Or) = 18p + 82,5 = 100,o „ max (+ 0G) = 18,o + 81,3 = 99,3 „ max (+0₇) = 18p + 75,2 = 93,3 „ max (+ Oä) = 18,5 + 62,5 = 81,o„ max (+ Oa) — 24,3 + 71,9 = 96,2 „

= 23,*91

= 18,9 „ = 18,8 „

max (— 0₀) = 23,9 max (— Ot) — 18,9 max (— 0₂) = 18,8 max (—ö₃) = 18,6— 5,5=13p„ max (— 0,) — 18,3 — 13,2 = 5,i „ max (— O.) = 18,1 — 17,5 = 0,o „ max (—Oc) = 18,o—16,9= l,i„

max (— 0₇) = 18,i — 10,9 = 7,2 „ max (— Os) = 18,5 — 0,3 = 18,2 „ max (— Og) = 24,3

= 24,3 „

max (+ U₀) = 23p + 70,0 = 93p t max (+£7,) = 18,5 + 63,3= 81,§„ max (+ U₂) = 18,9 + 81,o = 99,9 „ max (+ U₃) = 19,1 + 93p = 113,1 „ max (+ C7,) = 20,0 + 100,9 = 120,9 „ max (+ U.) = 20,o + 104p = 125,3 „ max (+- E7₆) = 21,1 +• 103,0 = 124,1 „ max (+ Z7₇) = 21,5 + 95,o=117,i„ max (+ Ü7₈) = 21,5 + 82p = 103,9 „ max (+ UQ) — 19,o + 75,3 = 94,9 „

max (+ D,) = — 0,2+ 24,o == 24p t max (+ jD₂) = — 0p + 21,6 = 21,2 „ max (+ Z>₃) — — 0p + 18,9 = 18,5 „ max (+ D,) — — 0,5 + 14,s = 14,3 „ max (+ D-) — — 0,4+ 12p= 12,o „ max (+ Dr) = — 0,2 + 14,3 = 14p „ max (+ D.) =    0p+ 17p = 17,2 „

max (+ JJg) =    0,5 + 20p = 21,2 n

23p t

16p „

6,5 n 5,9 n

max (— i>,) = — Op — 23p = — 23,91 max (— Z>₂) = — 0p — 21p = — 21,9 „ max (— D₃) = — 0p — 18,0 = — 18p „ max (— D₄) = — Op — 14p = — 14,8 „ max (— j9₅) = — 0p — 13,e = — 14,o „ max (— D,.) = — 0,2 — 15,3 = — 15,5 „ max (— I)-) =    0,i—17p=—17,6 „

max (— Dk) =    0,5 — 20p = — 19,6 „

System II.

Die Spannungen, welche in diesem System auftreten, lassen sich nun aus den obigen Zahlen in einfacher Weise ableiten.

Die Spannungen in den Gurtungen ergeben sich aus den Gleichungen 325 und 326 des § 44. Da im Allgemeinen die Hebelsarme sämmtlicher Gurtstücke als gleich (=2,sm) angenommen sind, so werden sich die gesuchten Werthe direct abschreiben lassen. Nur bei den Stäben OJ und U₃ ist, wie man leicht erkennt, eine Reduction obiger Spannungen im umgekehrten Verhältniss der Hebelsarme erforder-

lieh. Es ist noch zu bemerken, dass die Stäbe 0₀, U0J ö₉ und £/,, natürlich in beiden Systemen die nämlichen Spannungszahlen haben. Demnach erhält man:

max (— Oq ) = 23,o t max (— OJ) = 18,8 » max (— OJ) = 13,i „ max (— OJ) — 5,i „ max (— OJ) — 0,6 „ max (—OJ) = l,i„ max (— 0‘) = 7,2» max (— 0₇0 = 18,2 „

max (— OJ) = 24,3 •

max (— OJ) = 24,31.

max (+ Oj) — 94,7 t max (4- 0₁0 = 74,3 „ max (+ OJ)= 86,7 „ max (4- O.J) = 93,3 „ max (-f- OJ) = 100,o „ max (+ OJ) = 99,3 „ max (4- OJ) — 93,3 „ max (4- O₇0 = 81,o „

max (+ OJ) — 96,2 • -

max (+ 0,/) = 96,21.

2,o

2,5

77,01

2>o

2,5

19,41

max (+ UJ) = 93,7 „

max (+ UJ) = 93,7 • -

max (+ UJ) = 81,8 „ max (+ U‘) — 99,9 „ max (+ U ‘) = 113,i „ max (+ U₅0 = 120,9 „ max (+ U‘) — 125,3 „ max (+ U‘) = 124,i „ max (+ Us0 = H7,i „ max (+ U₀J) = 94,o „

1,93

2,5

72,4 „

max (— U₀‘) = 23,7 „

max (— U‘) = 23,7 •

max (— UJ) — 16,3 „ max (— £40 = — 0,7 „ max (— U ‘) = — 11,9 „ max (— U₅0 = — 20,7 „ max (— £40 = — 22,o „ max (— £7₇0 = — 18,2 „ max (— £40 == — 7,8 „ max (— UJ) =

1,93

2,5

= 18,3 „

5,9„

Die Spannungen in den Diagonalen ergeben sich aus der Gleichung 328. Das Verhältniss der Längen dieser Stäbe ist bereits oben berechnet. Man findet also:

max (+ DJ) — 23,9.1,049 — 25,1 1 max (+ DJ) = 21,9. 1,102 = 24,i „• max DJ) = 18,4. 1,157 = 21,3 „ max (4- DJ) = 14,8. 1,216 = 18,o „ max (4- DJ) = 14,o. 1,279 = 17,9 „ max (+ DJ) = 15,5. 1,347 = 20,9 „ max (-j- DJ) = 17,6. 1,421 = 25,1 „ max (4- DJ) = 19,e. 1,503 = 29,5 „

max (— DJ) = — 24,4. 1,019 = — 25,61 max (— DJ) = — 21,2.1,102 = — 23,i „ max (— DJ) = — 18,5. 1,157 = — 21,4 „ max (— DJ) = — 14,3. 1,216 = — 17,4» max (— DJ) = — 12,o. 1,279 = — 15,3 „ max (— DJ) = — 14,i. 1,347 = — 19,o „ max (— DJ) = — 17,2. 1,121 = — 21,4 „ max (— DJ) = — 21,2. 1,503 = — 31,9 „

Denkt man sich beide Systeme auf einander gelegt, so werden sich die Spannungen in den entsprechenden Gurtstücken summiren. Diese Addition giebt folgende Resultate:

max (4- OJ) = 94,7 4- 94,7 = 189,41 max (4-0,)= 74,74- 74,3 = 149,o„ max (4- OJ) = 74,34-86,7 =161,0» max (4- OJ) = 86,7 4- 93,3 = 180,o „ max (4- OJ) = 93,3 4-100,6 = 193,9» max (4- OJ) = 100,6 4- 99,3 = 199,9 „

max (— OJ) = 23,9 4- 23,9 = 47,81 max (— OJ) = 18,9 4- 18,8 = 37,7 „ max (— OJ) = 18,8 4- 13,i = 31,9 „ max (— OJ) = 13,i 4~ 5,i = 18,2 „ max (— OJ) = 5,i 4- 0,6 = 5,7-» max (— OJ) = 0,6-f l,i= 1,7»

max (4- 0₆) — 99,3 + 93,3 = 192,f31 max(+G₇) = 93,3 + 81,₀=174,₃„ max (+ 0₃) = 81,o+ 77,₀ = 158,₀„ max (+ O₀) = 96,2 + 96,2 = 192,₄„ max (— 0;)= l,i+ 7,2 = 8,31 max (— 0.) = 7,2+ 18,₂= 25,4„ max (— 0g) =18,2+ 19,4= 37,6n max (— 0„) = 24,3+ 24,3= 48,₆„

23,7 + 23,7 — 16,3 + 18,3 =

47,4 t

34,0 „ 15,o „

6,5— 7,8=— 1,3» 5,9 + 5,0 =

11)8 n

max (+ U₀) — 93,7 + 93,- = 187,41 max (+ £7,) = 81,8+ 72,4= 154,2 „ max (+ U₂) = 99,o + 81,s = 181,-,, max (+ U₃) = 113,i + 99,9 = 213,0» max (+ +) = 120,0 + 113,1 = 234,o-, max (+ U₅) = 125,3 + 120,9 = 246,₂„ max (+ U„) — 124,i + 125,3 = 249,4 „ max (+ U.) = 117,i + 124,i = 241,2n max (+ UH) = 103,o + 117,i = 221,o„ max (+ U₀) = 94,o + 94,0 = 189,₈ „

max (— U₀) = max (— U,) =

max (— CJ₂) = — 0,7 + 16,3 = max (— Ua) — —-11,₉ — 0,7 = — 12,6n max (— Z7₄) = - 20,₇ — 11,9 = — 32,₆„ max (— U.) = — 22,o — 20,₇ = — 42,7 „ max (— Uh) = — 18,2 — 22,„ == — 40,2b

max (— U,) ==— 7,8 — 18,2 = — 26,₀ „ max (— Us) = max (—    =

Schliesslich ist es noch erforderlich, die Spannungen in den Vertikalen unter Berücksichtigung beider Systeme zu ermitteln. Man findet durch einfache Summation

max(+(7₀)=—14,i—14,3 max(+Q=— 8,0— 7,8+4,3+6,1=— 5,₄„

=—28,4 t max(—Q=—14,i—14,3—39,8—40,4=—108,61 max(—C₈)=— 8,0— 7,8—24,2—24,1=— 64,i„

Die Spannungen der übrigen Vertikalen findet man angenähert aus den Gleichungen 331 und 334 des § 44. Die Kraft Q, Belastung pr. Knotenpunkt, ist dann am grössten, wenn zwei benachbarte Felder total belastet sind. Die Länge der belasteten Strecke beträgt in diesem Fall ca. 6 m, so dass der Tabelle des § 7 zufolge 7 = 10,2t zu setzen ist. Es ergiebt sich also:

Q — 3,158.10,2. +2. V2 — 24,21.

Man hat nun:

max (-£• C) =

2,65 — 1,27

24,2

max (— C) =

2,65 — 1,27

= 12,8t;

Sämmtliche Spannungen sind in Fig. 2, Taf. 3 zusammengestellt.

= 0,71.

Bestimmung der Querschnitte.

Die Ermittlung der erforderlichen Querschnitte aus den oben berechneten Spannungszahlen sei beispielsweise für die Stäbe 0₃ und U₃ durchgesprochen.

Zunächst ist es erforderlich, für jeden Stab die zulässige specifische Spannung aus der Formel

1 min S

k = l,ooo ^1 4

2 max S

zu bestimmen. Hierin bedeutet min S die absolut kleinste und max £ die absolut grösste Spannung; haben die beiden Grenzspannungen verschiedene Vorzeichen, so

wird der Quotient

min S

max S

negativ.

Für 0₃ ist:

k = 1,000 ^ 1. 4

1 18^2

und für U₃:

k = l,ooo 1

2    180,o

1 12,6

0,97 Oj) n „

Den erforderlichen Querschnitt selbst erhält man, indem man die absolut grösste Spannung des Stahes durch die zulässige spec. Beanspruchung dividirt.

180,o 1,051 213,o 0,970

Es versteht sich von selbst, dass die in dieser Weise berechneten Querschnitte Netto-Querschnitte sind, d. h. die nach Abzug der Nietlöcher etc. restirenden, nutzbaren Flächen. Ferner gelten diese Werthe bei den auf Druck beanspruchten Con-structionstheilen ohne Weiteres nur an den Enden der Stäbe, während nach der Mitte hin in Folge der Gefahr des Ausknickens event. eine Verstärkung der Querschnitte vorgenommen werden muss.

Schliesslich sei bemerkt, dass es empfeklenswerth erscheint, die Dimensionen der Vertikalständer etwas reichlich zu bemessen, da diese nur näherungsweise berechnet wurden. Bei der geringen Materialmenge, welche diese Stäbe gegenüber den sonstigen Theilen des Bogens erfordern, wird man diese Vorsicht ohne grosse Mehrkosten anwenden können.

Also für Stab Oa:

und für Stab U₃:

2 213,o

==171,3 Dem

219,6 „

Beispiel IV,

Es soll dieselbe Bogenbrücke, welche im vorigen Beispiel behandelt wurde, jetzt unter Annahme einer mobilen Belastung durch ein System von Einzellasten berechnet werden.

Man bestimmt zunächst in derselben Weise wie bei der vorigen Aufgabe die geometrische Form des Trägers, berechnet die Coordinaten der Knotenpunkte, sowie die Coordinaten der nicht auf der Zeichnung zugänglichen Schnittpunkte entsprechender Gurtungstheile. Ferner bestimmt man die Hebelsarme, sowie die Längenverhältnisse der Diagonalen.

Die approximative Bestimmung des Eigengewichts, sowie die Ermittlung der in Folge dieser permanenten Last auftretenden Spannungen würde ebenfalls genau so durchzuführen sein, wie im Beispiel III. Alle diese Rechnungen sollen in Folge dessen an dieser Stelle nicht wiederholt werden. Bis zu dem Absatz „mobile Belastung “'sind sämmtliche im vorigen Beispiel angestellten Berechnungen auch hier gültig und anwendbar.

Mobile Belastung durch ein System von Einzellasten.

Der Träger ist in Fig.l, Taf.3 verzeichnet. Das Lastsystem besteht den Angaben des § 7 zufolge aus 3 Locomotiven nebst Tendern und angehängten Güterwagen; die Entfernungen und Grössen der Einzellasten ergeben sich aus den Fig. 21 und 22 des § 7. Es ist empfehlenswert!!, sich einen Papierstreifen anzufertigen, auf welchen

das Lastsystem im nämlichen Längenmaassstabe, in welchem bereits die Brücke verzeichnet ist, aufgetragen wird. Man wird gut thun, auf der einen Seite des Papierstreifens das Lastsystem für einen von links nach rechts vorrückenden Zug, auf der andern Seite das System für einen von rechts nach links vorrückenden Eisenbahnzug

^Skp\<r-1313 1\3

7 # 19

9 9 9 6- 5 6

*31313

I i\a 3

7 Z £    > S 9    L 9 ff

KlStEI 6 6 6    Eiff'SE

As’Asw—    —YfS'Asi.je— + —4f/>l

anzugeben. Ferner ist die Entfernung der Einzellasten, sowie die Grösse und die Nummer derselben einzutragen. Ein Stück eines solchen Papierstreifens ist nebenstehend verzeichnet. Derselbe muss min-

destens die Länge des ganzen Trägers haben. Im vorliegenden Falle sind die Lasten 1 bis 26 auf demselben anzugeben.

Die Einzellasten sind in Rücksicht auf Stösse, etc. mit ihrer 1 ^fachen Grösse in die Rechnung einzuführen. Es entfällt sodann auf jeden der beiden Hauptträger die Hälfte dieser Werthe. Jedes der beiden Systeme, aus denen ein Bogenträger besteht, nimmt hiervon wiederum die Hälfte auf, so dass für die Berechnung eines

Einzelsystems der Druck einer Locomotivaxe mit 1V2 . V2 . V2 .131, der Druck einer Tenderaxe mit 1¹/2. V2. V2.9 t und derjenige einer Wagenaxe mit D/2. V2. V2.8 t einzusetzen ist.

Da diese Zahlen etwas unbequem werden, so soll zunächst die Berechnung unter Annahme der Werthe 13, 9 resp. 8 t durchgeführt werden. Später sind dann die Spannungen noch mit der Grösse

1 V2 . ¹/‘2 . V2 = ³/8

zu multipliciren.

Obere Gurtung.

Stab 0₀.

Maximum der Druckspannung.

Der Schnittpunkt der mitgeschnittenen Constructionstheile (der untere Knotenpunkt 0) liegt unterhalb der Graden A E. Nach Fig. 58 des § 27 muss der ganze Träger belastet sein, damit in 0₀ das Maximum der Druckspannung auftrete. Die grössten Lasten sind in der Nähe des Knotenpunktes 0 zu concentriren und muss eine Last in diesem Punkte selbst angreifen. Es lässt sich vermuthen, dass für einen von rechts nach links vorrückenden Zug die Last 9 im Knotenpunkt 0 angeordnet werden muss, damit die Stellung des Systems der Einzellasten am ungünstigsten werde. Mit Hülfe der Ungleichung 213 kann man sich hierüber in schärferer Weise Gewissheit verschaffen. Es ist zunächst in Fig. 1, Taf. 3 der untere Knotenpunkt 0 mit dem Kämpfer A verbunden und diese Verbindungslinie mit der Graden BE zum Schnitt gebracht. Es ergiebt sich dann durch Abgreifen die Grösse m (s. Fig. 58, §27) zu 1,98m. Die Abscisse des conjugirten Drehpunktes ist: x = l,₅₈m. Demnach erhält man für die Quotienten, welche in Ungleichung 213 auftreten, folgende Werthe:

30 — 1,58

m 1,98 A

—3^    =    0,⁰⁶⁶.

— ⁷> ob;

1,98 + 1,58

in -j- x

Nimmt man an, die Last 9 läge unmittelbar rechts vom Knotenpunkte 0, so ist: = 6.9 4-3. 13+ 3.8 = 117t,    H,-f© = 13t und = 5.13 + 3.9 = 92t.

Die rechte Seite der Ungleichung 213 lautet dann:

7,98 (0,066 . 117 + 13) = 165,₃1.

Man erkennt, dass der in dieser Ungleichung ausgesprochenen Bedingung noch Genüge geleistet wird. Ueberschreitet nun aber Last 9 den fraglichen Knotenpunkt, so wird:

= 6.9 -f- 3 . 13+ 3.8 = 117t, }L+45 = 0 und H₃= 6.13 + 3.9 = 105 t.

Sodann heisst die rechte Seite der Ungleichung 213:

7,98 (0,OG6 . 117) = 61,01

und ist nunmehr der in Rede stehenden Bedingung nicht mehr genügt. Hieraus folgt, dass thatsächlich Last 9 im Knotenpunkte 0 angeordnet werden muss, damit das Maximum der Druckspannung auftrete.

Ein zweites Maximum wird erhalten, wenn Last 15 im fraglichen Knotenpunkte angreift. Eine Durchrechnung beider Fälle ergiebt aber, dass der Absolutwerth dann der grössere ist, wenn Last 9 im Punkte 0 angenommen wird.

Bei dieser Laststellung ist nun nach Gleichung 196 des § 24:

H==s Tö" ³ • ⁸ • 4,379 + 3 * ⁹'12,079 + ³ • ¹³ • ¹⁸>s™ + ³ • ⁹ • ²⁶>oto + 3.13.27,12!

+ 3.9. 19,921 + 3.13.13,i2i = 265,2c t.

Es sind hierin immer die zusammenstehenden Lasten gleicher Grösse durch ihre Resultante ersetzt. Ferner findet man aus Gleichung 197:

[M]

3.8.4,379 + 3.9.12,079 + 3.13 . 18,879 + 3.9.26,079 *

30 - 1,579

60

30 +1,579

60

3 . 13.27,i2i + 3.9.19,921 + 3.13.13,m = 1995,7 tm.

Aus Gleichung 195 ergiebt sich sodann:

M = 1995,7 — 265,20.6,230 = 343,₂tm und schliesslich die gesuchte Spannung 0₀ aus der Formel 198:

max (+ 0₀) =

= 174,2 t.

343,i

1,97

Das Maximum der Zugspannung findet natürlich bei voller Entlastung des Bogens statt; es ist also:

max (— 0₀) — 0.

Stab Ov

Maximum der Druckspannung.

Der Schnittpunkt der mitgeschnittenen Constructionstheile ist der nämliche wie der, welcher dem Stabe 0₀ conjugirt ist. Die ungünstigste Laststellung sowie das Moment der äusseren Kräfte werden also die bereits soeben ermittelten Wertlie haben.

max (+ 0,)

137,9 t.

343,i

2,5

Maximum der Zugspannung, max (— Ot) = 0.

Stab ö₂.

Das Maximum der Druckspannung findet bei voller Belastung statt. Mit Hülfe der Ungleichung 211 ergiebt sich in der bereits durchgesprochenen Weise, dass

die Last 8 eines von rechts nach links vorrückenden Zuges am Knotenpunkt 1 angeordnet werden muss. Für diesen Belastungsfall findet man dann:

₁₅    ⁴ • ⁸ • 4,737 + 3.9.13,937 + 3.13.20,737 + 3.9.27,937 + 3.13.25

+ 3.9.18,063 + 3.13.11,203 = 266,ss t

4.8.4,737 + 3.9.13,937+3.13.20,737 +3.9.27,937+13 (33,437 + 34,737)

//= —

[M] =

30-4,737

60

30 + 4,737

60

13.23,963 + 3.9.18,063 + 3 . 13 . 11,263 = 1970,otm

47 — 1970,6 — 266,88 • 6,070— 350,otm 350,6

max (+ 0,) = max (— 0,) = 0.

2,5

140,2 t.

,263

Stab 0₃.

Maximum der Druckspannung.

Es ist eine Belastungsscheide P vorhanden. Die grösste Druckspannung findet ' nach Fig. 57, § 27 bei linksseitiger Belastung des Trägers statt. Der Eisenbahnzug ist ungefähr bis zu der auf graphischem Wege ermittelten Belastungsscheide schieben. Die grössten Lasten sind in der Nähe des Knotenpunktes 2 zu concen-triren, und muss eine derselben in diesem Punkte selbst angreifen. Es lässt sich hiernach vermuthen, dass etwa Last 3 eines von links nach rechts vorrückenden Zuges im Punkte 2 angeordnet werden muss. Gewissheit hierüber kann man mit Hülfe der Ungleichung 205 erlangen.

Aus der Zeichnung ergiebt sich durch Abgreifen m = 0,02; ferner ist x = l^. Der in Ungleichung 205 vorkommende Quotient ist also:

x — m

vorzu-

_ 7,89- 0,62

= 0,33.

30 — 7,89

Liegt Last 3 unmittelbar links vom Knotenpunkte 2, so ist:

$l₂ = 2 .13 = 261; K₃ + $ = 4.13 + 6.9= 106 t.

Die rechte Seite der Ungleichung 205 lautet dann:

0,33. 106 = 35,o t

Man erkennt, dass der in dieser Ungleichung enthaltenen Bedingung noch genügt wird. Ueberschreitet nun die Last 3 den Knotenpunkt 2, so wird:

ft, = 3.13 = 39t;    H₃-}-<® = 3.13 + 6.9 = 93t.

Dann heisst die rechte Seite:

0,33.93 = 30,7t

und der gestellten Bedingung wird nicht mehr Genüge geleistet. Es ist also that-sächlich Last 3 im Punkte 2 anzuordnen, damit das Maximum der Druckspannung in 0₃ erreicht werde. Dann ist:

II

₁₅- 3.13.23,405 + 3.9.16,605 + 3.13.9,405 + 3.9.2,605 = 119,sst 30 + 7,895 f

.30—7,895

60

•3.13.36,595 4

60

3.9.16,005+3.13.9,406+3.9.2,005 = 1085,1 tm

i¥= 1085,4 — 119,88 • 5,749 = 395,9tm 395,9

Maximum der Zugspannung.

Der Eisenbahnzug ist, vom rechtsseitigen Kämpfer kommend, ungefähr bis zur Belastungsscheide vorzuschieben. Die grössten Lasten sind in der Nähe des Scheitels zu concentriren, und muss eine derselben in diesem Punkte selbst angreifen.

Es lässt sich hiernach vermuthen, dass Last 1 im Scheitelpunkt angeordnet werden muss. Mit Hülfe der Ungleichung 208 kann man hierüber Gewissheit erlangen.

0,o2i. Liegt

Der in dieser Ungleichung vorkommende Quotient ~ ist:

Last 1 unmittelbar rechts vom Scheitel, so ist 1L = 0; dann ist Ungleichung 208 jedenfalls erfüllt. Ueberschreitet Last 1 den Scheitelpunkt, so wird:

K, — 7 . 13 + 6.9 — 145 t und K.₂ = 13t.

Nunmehr ist — da 0,021.145 = 3,o — der in Ungleichung 208 enthaltenen Bedingung nicht mehr genügt, und so ist es thatsächlich die Last 1, welche im Scheitel liegen muss, damit die Zugspannung in 0₃ zum Maximum werde.

Für diese Stellung des Systems ist:

II

15

3.13.28,7 + 3.9.21,9 + 3.13.14,₇ + 3.9.7,₉ + 13 (2,₀ + 0,₇) = 168,₈₂t

[M} =

30 — 7,895

00

3.13.28,7 + 3.9.21,9+3.13.14,7+3.9.7,9+13 (2,₀+0,₇) = 932,9 tm

M= 932,9 — 168,82 • 5,749 = — 37,o tm 37,₆

max (— 0₃) =

2,5

15,o t.

Stab 0,

Maximum der Druckspannung.

Last 3 eines von links nach rechts vorrückenden Zuges ist im Knotenpunkt 3

anzuordnen.

II

[M] =

3.13.20,247 + 3.9.13,447 + 3.13.6,247 + 9.0,947 = 93,go t

30 — 11,053

15

60

•3.13.39,753 —f

30+11,053

60

3.9.13,447+3.13.6,247+9.0,947 =910,9 tm

max (+ 0A) =

167,o t

M— 910,5 — 93,66 • 5,265 = 417,4 tm 417,4

2,5

m=

Maximum der Zugspannung.

Last 1 eines von rechts nach links vorrückenden Zuges im Scheitel.

11= 168,82t

3.13.28,7+3.9.21,9+3.13.14,7+3.9.7,9+13(2,0+0,7) =799,7 tm M= 799,7 — 168,82.5,265= - 89,, tm max (— 0₄) = —

30— 11,053

60

89.

2,5

= — 35,61.

Stab Oy

Maximum der Druckspannung.

Würde man, um die grösste Druckspannung zu erhalten, einen von links nach rechts vorrückenden Eisenbahnzug voraussetzen, so würde sich ergeben, dass Last 5

am Knotenpunkte 4 anzuordnen sei. Last 5 ist eine Tenderaxe; die Grösse derselben beträgt nur 9 t. Es ist anzunekmen, dass der Absolutwerth der Spannung grösser wird, wenn ein Locomotivrad eines von rechts nach links vorrückenden Zuges im fraglichen Knotenpunkt angreift. Unter dieser Voraussetzung ergiebt sich folgende Laststellung als die ungünstigste. Die Lasten 1 bis 12 eines von rechts nach links vorrückenden Zuges sind als vorhanden anzunehmen. Last 7 greift im Punkte 4 an.

II—3.9.23,890 + 3.13.17,090+3.9.9,8oo + 3.13.3,ooo —113,27 t 30-14,21,,

[M} =

60

3.9.36,iio + 3.13.42,9io 4

30 + 14,2io

60

3.9.9,8oo + 3.13.3,090

= 982,r, tm

4/ = 982,5 = 113,27 • 4,oi3 = 460,o tm 460,o

max (+ (K) =

2,5

= 184,o t.

Maximum der Zugspannung.

Last i eines von rechts nach links vorrückenden Zuges liegt im Scheitel.

11= 168,82 t

3.13.28,7+3.9.21,9+3.13.14,₇ + 3.9.7,o+13(2,o+0,7) =666,₄tm

30'—14,2io

60

M— 666,1 — 168,82 • 4,oi3 = — 112,₄tm

112,4

max (— 0;)

2,5

45,ot.

Stab 0G.

Maximum der Druckspannung.

Last 7 eines von links nach rechts vorrückenden Zuges ist im Knotenpunkt 5

anzuordnen.

II

[M]

3.13.25,332 = 3.9.18,532 + 3.13.11,332 + 3.9.4,532 = 136,₈₄t 30— 17,308 f

15

60

3.13.34,gcs + 3.9.41,4G8 4

30 + 17,308

60

3.13.11,332+3.9.4,532

= 965,9 tm

max (+ 0G) =

= 179,ot.

M— 965,o — 136,84 • 3,78₈ = 447,otm 447,o

2,5

Maximum der Zugspannung.

Last 2 eines von rechts nach links vorrückenden Zuges greift im Scheitel an. 13.30 + 2.13.28,7 + 3.9.23,2 + 3.13.16,o+3.9.9,2+3.13.2,o =180,87 t

x O

3.13.30 + 3.9.23,2 + 3.13.16,0 + 3.9.9,2 + 3.13.2,0 = 578,3 tm

\M\

30— 17,308

60

M= 578,3 — 180,87 • 3,788 = - 106,stm 106,8

Stab On.

Maximum der Druckspannung.

Es muss Last 8 eines von links nach rechts vorrückenden Eisenbahnzuges im Knotenpunkte 6 angreifen.

15

3.13.23,174 + 3.9.16,074 + 3.13. 9,174 + 3.9.2,674 — 120,40 t

30— 20,520

60

3.13.36,520 + 3.9.43,326 + 13 (49,22g + 50,520) 30 + 20,520 f

60

13.8,174 + 3.9.2,074 = 76+ tm

M= 764,7 — 120,49.2,783 = 429,.tm

max (+ O.)

= 171, st.

429,4

2,5

[M] =

Maximum der Zugspannung.

Last 1 eines von rechts nach links vorrückenden Zuges liegt im Scheitel.

n — 168,82 t

3.13.28,7 + 3.9.21,9+3.13.14,7+3.9.7,9+13(2,0+0,7) =399,₈tm

30 — 20,520

60

M— 399,8 — 168,82 • 2,783 = — 70,o tm max (— ö₇) = —

70,o

2,5

= — 28,₀t.

Stab Os.

Maximum der Druckspannung.

Die Lasten 1 bis 18 eines von rechts nach links vorrückenden Zuges sind als vorhanden anzunehmen. Last 8 ist im Knotenpunkte 7 anzuordnen.

11 =

15

3.9.2/ ,uo + 3.13.20,3io + 3.9.13,uo + 3.13.6,310 + 9 . O010 r== 142,031

[M]

30 — 23,084

60

3.9.32,884 + 3.13.39,084 + 3.9.46,884 + 13 (52,384 + 53,g₈₄) 30 + 23,084

60

13.5,oio + 9.0,010 = 598,i tm

max (+ 0₈) =

149,ot.

M = 598,i — 142,03.1,589 = 372,4 tm

372,4

2,5

[M]

Maximum der Zugspannung.

Last 1 eines von rechts nach links vorrückenden Zuges liegt im Scheitel.

H= 168,82 t

3.13.28,7 + 3.9.21,o+3.13.14,₇+3.9.7,₉+l 3 (2,₀+0,₇) = 266,0 tm M = 266,o — 168,82 • 1,589 = — 1,7 tm max (— Os) —

30 — 23,084

60

1,7

2,5

0,7 t.

Stab Og.

Maximum der Druckspannung.

Der Schnittpunkt der mitgeschnittenen Constructionstheile liegt unterhalb der Graden A C. Demnach ist der ganze Träger als belastet anzunehmen, damit in Od das Maximum der Druckspannung auftrete. In der nämlichen Weise wie bei den Stäben 0₀, Ol und 0₂ findet man, dass die Stellung des Zuges dann am ungünstigsten ist, wenn die Last 2 eines von rechts nach links vorrückenden Eisenbahnzuges im Knotenpunkt 8 angreift.

11=

15

6.8.9,84-2 + 3'. 9.22,042 + 13 (28,842 + 27,542) + 13.29,858 + 3.9.23,958

+ 3.13.17,158 + 3.9.9,958 +3.13.3,i₅₈ = 259,₇₈t

[U} =

30-26,842

60

6.8.9,842 + 3.9.22,042 + 3.13.28,842 + 3.9.36,042 + 3.13.42,842

30 + 26,842

+ 3.9.50,042 + 13 (55,542 + 56,842) 4

60

• 13 . 1,858 = 425,5 tm

M = 425,5 — 259,78.0,192 = 375,6 tm 375,6

max (+ O₀)

2,o

187,8t

Maximum der Zugspannung, max (— Og) = 0.

Untere Gurtung.

Stab U₀.

Maximum der Druckspannung.

Der Schnittpunkt der mitgeschnittenen Constructionstheile (der obere Knotenpunkt 0) liegt oberhalb der Graden BD. Nach Fig. 60, § 27 ist demzufolge der ganze Träger als belastet anzunehmen; die grössten Raddrücke sind in der Nähe des Scheitels anzuordnen; eine der Lasten muss im Scheitel selbst angreifen. Es ist zu vermuthen, dass Last 7 eines von rechts nach links vorrückenden Eisenbahnzuges im Scheitelpunkte liegen muss, damit das Maximum der Druckspannung im Stabe U₀ erreicht werde. Gewissheit hierüber lässt sich mit Hülfe der Ungleichung 216 erlangen. Die Grösse m (s. Fig. 60) ergiebt sich durch Abgreifen auf der Zeichnung zu 3,oom; ferner ist # = 1,58 m. Die in Ungleichung 216 auftretenden Quotienten sind demnach:

m — x l — x

Liegt Last 7 unmittelbar rechts vom Scheitel, so ist:

$1, = 6.13 + 6.9 + 2.8 = 148t; ft₂ = 0; ll₃ = 3.13 + 3.9 = 66t.

Die linke Seite der Ungleichung 216 lautet dann: 0,₀so • 66 = 3,3 und die rechte Seite: 0,i. 148 = 14,s. Man erkennt, dass die in dieser Ungleichung enthaltene Bedingung erfüllt ist. Ueberschreitet Last 7 den Scheitel, so wird:

$t, = 5.13+ 6.9+ 2.8 = 135t;    H*=13t;    = 3.13 + 3.9 = 66 t.

Dann lautet die linke Seite: 13 + 0,oso • 66 = 16,3 nnd die rechte Seite: 0,4. 135 = 13,5.

3,00- 1 y 58

30 - 1,58

= O,oäo;

171

3,oo

30    0,1‘

Alsdann wird der Bedingung nicht mehr genügt, und demzufolge ist wirklich die Last 7 im Scheitelpunkte anzuordnen. Es würde ebenfalls ein Maximum entstehen, wenn Last 13 im Scheitel angreifen würde. Ein Durchrechnen beider Fälle ergiebt aber, dass die hier gewählte Anordnung den grösseren Absolutwerth liefert.

2.8.1,7+3.9.7,9 + 3. 13.14,7 + 3.9.21,9 + 3.13. 28,7 + 3‘. 9.24,,

+ 3.13.17,3 = 256,65 t

[M] =

—--2.8 . 1,7 + 3.9.7,9 + 3.13.14,7 + 3.9.21,9 + 3.13.28,7

60

30 + 1,579

60

3.9.24,1 + 3.13.17,3 == 1893,₃tm

M— 1893,3 — 256,05 • 8,731 = — 347,5.

Aus Gleichung 199 folgt dann:

max (+ U₀) =

347,5

= 180,it.

Der Hebelsarm u = 1,93 war bereits bei Gelegenheit des Eigengewichts aus der Zeichnung abgegriffen. Das Maximum der Zugspannung ist natürlich

max (— U₀) = 0.

1,93

Stab Ur

Maximum der Druckspannung.

Es wird zunächst die Belastungsscheide graphisch ermittelt, indem man den conjugirten Drehpunkt (der obere Knotenpunkt 1) mit dem Kämpferpunkte A verbindet und diese Verbindungslinie mit der Graden BD zum Schnitt bringt. Die grösste Druckspannung in U{ wird nach Fig. 59, § 27 erreicht, wenn der Zug vom rechtsseitigen Kämpfer bis ungefähr zur Belastungsscheide vorgeschoben ist und eine der grössten Lasten im Scheitel angreift. Es lässt sich vermuthen, dass Last 2 im Scheitelpunkte angeordnet werden muss. Hierüber giebt die Ungleichung 214 in schärferer Weise Aufschluss. Durch Abgreifen aus der Zeichnung findet man w = 4,53m. Es ist also:

= 0,|5! •

Liegt Last 2 unmittelbar rechts vom Scheitel, so ist:

H, = 8.13 + 6.9 = 158t;    H₂=13t.

Die rechte Seite der Ungleichung 214 lautet dann

0,151.158 = 23,₈t.

Man erkennt, dass bei dieser Laststellung die in der vorgenannten Ungleichung enthaltene Bedingung erfüllt ist. Ueberschreitet nun Last 2 den Scheitel, so wird iüj = 7.13 + 6.9 = 143t; Ü₂ = 2.13 = 261.

Dann heisst die rechte Seite:

0,151. 143 = 21,61.

Nunmehr ist der fraglichen Bedingung nicht mehr Genüge geleistet, und demnach ist es thatsächlich die Last 2, welche im Scheitelpunkte angeordnet werden muss.

Für diese Zugstellung war der Werth H bereits bei Berechnung der Spannung im oberen Gurtstücke 0G ermittelt. Man hatte gefunden

M = 1156,5 — 180,87 • 8,577 ⁼⁼ — 394,s tm +* = 157,1.

max (+ +)

²r>

Maximum der Zugspannung.

Der Eisenbahnzug ist, vom linksseitigen Kämpfer kommend, bis ungefähr zur Belastungsseheide vorzuschieben. Die grössten Raddrücke sind in der Nähe des Knotenpunktes 1 zu concentriren, und muss eine Last in diesem Punkte selbst angreifen. Mit Hülfe des Papierstreifens, auf welchem das Lastsystem verzeichnet ist, erkennt man, dass wahrscheinlich Last 1 im Knotenpunktei liegen muss. Die Ungleichung 215 giebt hierüber in schärferer Weise Aufschluss.

OC - JYi

Der in dieser Ungleichung vorkommende Quotient x ^ für den vorliegenden Fall

0,008.

4,74 — 4,53

30 - 4,74

Liegt Last 1 unmittelbar links vom Knotenpunkte 1, so ist die Ungleichung 215 jedenfalls erfüllt, da alsdann Ji₂=0 ist. Ueberschreitet Last 1 den in Rede stehenden Knotenpunkt, so wird

H, = 131

und

[,!/] =

30 — 4,737

BO

II = 180,871

3.13.30 + 3.9.23,2+3.13.16,o + 3.9.9,2 + 3.13.2,„ =1156,₅tm

R₃ = 5 . 13 + 6.9 = 1191.

Man erkennt leicht, das nunmehr der in Ungleichung 215 enthaltenen Bedingung nicht mehr genügt wird, und so ist es denn thatsächlich Lastl, welche im Knotenpunkte 1 angeordnet werden muss.

II

15

3 . 13.23,963 + 3.9.17,163 + 3.13.9,903 + 3.9.3,163 — 124,79 t

m==

30 + 4,737

00

3. 13.23,968 + 3.9. 17,463+ 3.13.9,963+3.9.3,t63 = 1083,7 tm

4/ = 1083,7 + 124,79 • 8,577 = 13,itm --—= — 5,i t.

max (— Ut) =

2,5

Stab U,.

Maximum der Druckspannung.

Last 3 liegt im Scheitel.

// =

15

- 3.13.3,3 + 3.9.10,5 + 3. 13.17,3 + 3.9.24,5 + 3.13.28,7

= 191,ist

[■>']=

30 — 7,895

60

3.13.3,3+3.9.10,5+3.13.17,5+3.9.24,5+3.13.31,3

= 1093,9 tm

M = 1093,9 — 191,18.8,269 — — 487,0tm

//

im

[J7]

II

Maximum der Zugspannung.

Last 1 im Knotenpunkt 2.

15

3.13.20,$o5 4» 3.9.14,oo5 + 3 . 13.6,805 + 9 (1,505 + 0,oos) = 07,oot

30 + 7,805

60

3.13.20,805 + 3.9.14,005 + 3.13. G₃805 + 9 (1,505 + 0,005) = 927,5 tm

M— 927,5 — 97,00.8,200 = 118,₀tm

118,o

max (— CI₃) -

2,5

47,2 t.

Stab Ü₃.

Maximum der Druckspannung.

Last 3 im Scheitel.

30 — 11,053

60

H— 191,,st

3.13.3,0+3.9.10,5+3.13.17,3+3.9.24,5+3.13.31,3 =937,₆tm

M= 937,o — 191,18 • 7,803 = — 554,2 tm 554,2

max (+ U₃) =

2,5

= 221,7 t.

Maximum der Zugspannung.

Last 2 im Knotenpunkte 3.

15

[JY] =

30 — 11,053

3.13.18,047 + 3.9.12,147 + 3.13.4,047 = 83,oot

30 + 1 1,053

60

• 13. (39,753 + 41,053) 4

60

13.17,047+3.9.12,147+3.13.4,947

— 845,i tm

M— 845,i — 83,99. 7,803 = 189,7 tm

75,9t.

max (— U₃) — —

189,7

2,5

Last 3 im Scheitel.

30 — 14,210

60

Stab UA.

Maximum der Druckspannung.

Fl = 191,ist

3.13.3,3+3.9.10,5 + 3.13.17,8+3.9.24,5+3.13.31,3 = 781,₃tm

M = 781,3— 191,18.7,177 = — 590,8tm 590,8

max (+ U.) =

2,5

= 236,3 t.

Maximum der Zugspannung.

Last 3 am Knotenpunkte 4.

// = -

15

m=

3.13. 17,089 + 3.9.10,289 + 3.13.3,₀₈9 = 70,,« t 30 + 14,2io

30 — 14,210

60

•3.13.42,911 +

60

3.9. 10,289 + 3.13.3,089 = 733,9 tm

M = 733,9 — 70,98.7,177 = 224,₅tm 224,5

max (— U) = —

2,5

89,s t.

Stab Uü.

Maximum der Druckspannung.

Würde man, um die grösste Druckspannung zu erkalten, hier wie bei den vorigen Stäben, einen von rechts nach links vorrückenden Zug der Berechnung zu Grunde legen, so würde sich ergeben, dass Last 4 im Scheitel anzuordnen sei. Da Last 4 eine Tenderaxe ist und die Grösse derselben nur 91 beträgt, so wird voraussichtlich die Spannung einen grösseren Werth erhalten, wenn man ein Locomotivrad eines von links nach rechts vorrückenden Zuges im Scheitel anordnet. Er ergiebt sich sodann folgende Laststellung als die ungünstigste. Die Lasten 1 bis 18 sind als vorhanden anzunehmen; Last 14 greift im Scheitel an.

11=

15

[M\

3.13.2,o+3.9.8,8 + 3.13.16,o+3.9.22,₈+2.13.28,7+13.30 + 3.9.23,2

= 221,191

3.13.2,0 + 3.9.8,8+3.13.16,0+3.9.22,8+3.13.30 + 3.9.36,8

30 — 17,368

60

= 782,9 tm

M— 782,8 — 221,19.6,387 = — 629,stin 629,8

max (+ £4) =

2,5

= 251,9 t.

Maximum der Zugspannung.

Last 3 eines von links .nach rechts vorrückenden Zuges liegt im Knotenpunkt 5.

11

15

[4/1 =

30— 17,368

3.13.13,932 + 3.9.7,132 + 13.1,232 = 50,13 t 30 + 17,368

60

•3.13.46,068 +

60

3.9.7,132+ 13 . 1,232 = 542,9 tm

M= 542,9 — 50,13.6,387 = 222,7 tm 222,7

max (— (Jh)

2,5

89,i t.

Stab U₆.

Maximum der Druckspannung.

Von einem von links nach rechts vorrückenden Zuge sind die Lasten 1 bis 18 als vorhanden anzunehmen. Last 13 greift im Scheitel an.

3.13.3,3 + 3.9.10,i + 3 . 13 . 17,₃ + 3.9.24,i + 3 . 13.28,7 + 3.9.21,9

= 229,i6t

3.13.3,3+3.9.10,i+3.13.17,3 + 3.9.24,i + 3.13.31,3+3.9.38,i

[M} =

30-20.526

60

= 627,8 tm

M = 627,8 — 229,ig . 5,₄₂4 = — 615, > tm 615,2

Maximum der Zugspannung.

Last 3 eines von links nach rechts vorrückenden Zuges liegt im Knotenpunkte 6.

II

15

3.13.10,773 + 3.9.3,973 — 35,161

[M]

30-20,526

60

•3.13.49,227 -+

30 + 20,526

60

•3.9.3,973 = 393,5tm

M = 393,5 — 35,i₆.5,424 = 202,«tm

202,8

max (— U₆)

2,5

81,it.

Stab U-.

Maximum der Druckspannung.

Last 7 eines von rechts nach links vorrückenden Zuges ist im Scheitel anzu

ordnen. Für diese Laststellung ist der Werth II bereits bei Berechnung des Gurtungsstahes U₀ ermittelt.

[M]

30 — 23,684

60

H= 256,65 t

2.8.1,7 + 3.9.7,9 + 3.13.14,7 + 3.9.21,9+3.13.28,7 + 3.9.35,0

+ 3.13.42,7 = 543,itm

M = 543,i — 256,65.4,₂₈₂ = — 555,₉tm 555,9

max (+ US) —

2,5

= 222,4t.

Maximum der Zugspannung.

Last 3 eines von links nach rechts vorrückenden Zuges liegt am Knotenpunkte 7. 3.13.7,616 + 9 (2,316 + 0,81b) = 21,68t 30 + 23,684

15

[M] =

30-23,684

60

•3.13.52,384 -+

60

• 9 (2,316 + 0,81b) — 240,3 tm

M— 240,3 — 21,68 • 4,282 — 147,5 tm 147,5

max (— Un) = —

2,5

59,ot.

Stab U₈.

Maximum der Druckspannung.

Last 7 eines von rechts nach links vorrückenden Zuges im Scheitel.

H= 256,65 t

2.8.1,7 + 3.9.7,9+3.13.14,7 + 3.9.21,9 + 3.13.28,7 + 3.9.35,0

30 — 26,842

60

+ 3.13.42,7 = 271,₅ tm

M = 271,5 — 256,65 • 2,949 — — 485,itm 485,4

Maximum der Zugspannung.

Von einem von rechts nach links vorrückenden Zuge sind die Lasten 1 bis 6 als vorhanden anzunehmen. Last 2 greift am Knotenpunkt 8 an.

15

3.9.9,958 + 3.13.3,158 = 26,131

30— 26,842

60

3.9.50,042+ 13 (55,542 + 56,842) -\

30 + 26,842

60

• 13.1,85s =*= 17 0,n tm

M — 170,9 — 26,13.2,949 = 93,8 tm 93,8

max (— Us) —

2,5

37,5 t.

Stab £7₀.

Da der Schnittpunkt der mitgeschnittenen Constructionstheile der nämliche ist, wie derjenige, welcher dem Stabe Us conjugirt ist, so wird die ungünstigste Laststellung, sowie das Moment M natürlich ebenso anzunehmen sein, wie sich dasselbe bei Berechnung des Stabes U₈ ergeben hatte.

max (+ U₀)

177,2 t

485,₄

2,74

max (— U₀)

93,8

2,-4

— — 34,21.

Diagonalen.

Um die Belastungsscheiden der Diagonalen zu ermitteln, müsste man eigentlich die Schnittpunkte der mitgeschnittenen Gurtlinien benutzen. Da diese jedoch auf der Zeichnung nicht zugänglich sind und die entsprechenden Gurtlinien nahezu parallel verlaufen, so kann man für vorliegenden Zweck letztere thatsächlich als parallel annehmen und die Belastungsscheiden nach Fig. 68, § 27 dadurch bestimmen, dass man zu einer der beiden geschnittenen Richtungen die Parallele durch den Kämpferpunkt A zieht. Man wird die Parallele zu derjenigen Gurtlinie ziehen, deren Verlängerung am nächsten am Punkte A vorbeigeht. Ebenso wird man zur Bestimmung der ungünstigsten Laststellung eine der Ungleichungen 231 bis 235 verwenden können, welche streng genommen nur für wirklich parallele Gurtungen Gültigkeit haben.

Stab Dr

Es ist keine Belastungsscheide P vorhanden. Nach Fig. 69 bildet sodann nur das fragliche Feld selbst eine Belastungsscheide. Denkt man sich die Spannung D, auf den links vom Schnitt befindlichen Theil des Bogens als Druckkraft einwirken, so wird diese Kraft eine zur Richtung der mitgeschnittenen Gurtlinien senkrechte Componente haben, welche aufwärts, gegen die obere Gurtung, gerichtet ist. ln den Belastungsschemen Fig. 68 und 69 sowie im beigegebenen Texte sind also — nach den Ausführungen auf Seite 63 — die Worte „Druck“ und „Zug“ mit einander zu vertauschen. Demnach findet die grösste Druckspannung bei linksseitiger, die grösste Zugspannung bei rechtsseitiger Belastung statt.

Maximum der Druckspannung.

Es ist nach den Ausführungen des §27 zu vermuthen, dass die.Stellung des Zuges dann am ungünstigsten wird, wenn derselbe vom linksseitigen Kämpfer soweit vorgerückt ist, dass Last 1 am Knotenpunkt 1 angreift. Hierüber kann man mit Hülfe der Ungleichung 235 in schärferer Weise Aufschluss erhalten.

Man zieht zunächst durch den Kämpferpunkt A die Parallele zur Gurtlinie Ut und findet sodann durch Abgreifen aus der Zeichnung, dass die Grössen n und m (s. Fig. 69) folgende Werthe haben:

n — 6,oo m ;

Der in Ungleichung 235 vorkommende Quotient ist also:

in — 20, oo m.

ln

3,158 • 6,00

0,067-

2/wf— ln

Liegt Last 1 unmittelbar links vom Knotenpunkte 1, so ist d) (d. i. die Resultante der Lasten, welche im fraglichen Felde selbst angreifen) = 0; dann ist die Ungleichung 235 jedenfalls erfüllt. Ueberschreitet Lastl den Knotenpunkt 1, so wird

H₃==5.134-6.9 = 119t.

Die rechte Seite der Ungleichung 235 lautet nun:

0,067 • 119 = 8,01.

Dann ist der in Rede stehenden Bedingung nicht mehr genügt und demnach muss thatsächlich Last 1 am Knotenpunkte 1 angeordnet werden. Für diese Laststellung ist:

2.20,oo • 7,5 — 3,158 • 6,oo

d) = 13t;

II

15

3.13.23,963 + 3.9.17,163 + 3.13.9,963 + 3.13.3,193 = 124,79 t

30 — 1251

60

A 3.13.23,963 + 3.9.17,163 + 3.13.9,963 + 3.9.3,168 ==—38120tm

M—— 38120 — 124,79.69,7 = — 46818tm.

In Gleichung 200, aus welcher sich die Spannung D ergiebt, hat das —Zeichen

Gültigkeit.

max (+ I)x)

46818

798,7

= 58,61.

Maximum der Zugspannung.

Es ist zu vermuthen, dass die Stellung des Zuges dann am ungünstigsten wird, wenn derselbe vom rechtsseitigen Kämpfer kommend, so weit vorgeschoben ist, dass Last 1 am Knotenpunkte 0 angreift. In schärferer Weise giebt hierüber Ungleichung 234 Aufschluss.

ln

ist bereits oben berechnet. Ferner ist ^=-j“= 0,66.

2 mf—ln

Liegt Last 1 unmittelbar rechts vom Knotenpunkte 0, so ist © = 0; dann ist der in Ungleichung 234 enthaltenen Bedingung jedenfalls genügt. Ueberschreitet Last 1 den fraglichen Knotenpunkt, so wird: d) = 13t;

Der Quotient

Kä=13t;

iSt, = 7. 13 + 6.9= 145 t. Die rechte Seite der Ungleichung 234 lautet dann:

0,067 (0,66. 145 + 13) = 7,₃t.

Man erkennt, dass nunmehr die fragliche Ungleichung nicht mehr erfüllt ist, und demnach muss thatsächlich Last 1 im Knotenpunkte 0 angeordnet werden.

II

15

3.13.2,279 -f- 3.9.9,4-0 + 3.13. 16,2-9 + 3.9.23,479 + 13 (28,979 + 29,721

+ 28,421) = 183,08 t.

30 + 1251,0

3.13.2,279 + 3.9.9,479 + 3.13.16,279 + 3.9.23,479 + 3.13.30,279 = 59705 tm

M = 59705 — 183,08.69,7 = 46944 tm 46944 798,7

In ganz derselben Weise findet man die folgenden Spannungen.

60

max (— !+ =

= — 58,8 t.

Stab Dv

Maximum der Druckspannung.

11=

15

Last 1 eines von links nach rechts vorrückenden Zuges am Knotenpunkte 2. 3.13.20,so5 +3.9.14,oo5 + 3.13.6,805 + 9 (1,505 + 6,005) = 97,90 t.

[U) =

30 — 635,6

60

3.13.20,805+3.9.14,oo5+3.13.6,805+9(1,505+ 6,005) =— 14822tm

max (+1>₂) =

51,9t.

M = — 14822 — 97,90. 70,0 = — 21763tm 21763

419,₃

Maximum der Zugspannung.

Last 1 eines von rechts nach links vorrückenden Zuges am Knotenpunkte 1.

II — -Jg- 9.0,137 + 3.13.5,437 + 3.9.12,637 + 3.13.19,437 + 3. 9.26,637 + 3.13.26,503

= 204,511

9.0,137 + 3.13.5,437 + 3.9.12,637 + 3.13.19,437 + 3.9.26,637

m=

30 + 635,6

60

+ 3.13.33,487 = 37005 tm.

M == 37005 — 204,51. 70,9 = 22506 tm 22506

max (— D,)

419,3

53,7 t

Stab I)T

Maximum der Druckspannung.

Last 1 eines von links nach rechts vorrückenden Zuges am Knotenpunkte 3. 3.13 . 17,647 + 3.9.10,847 + 3.13.3,647 — 74,89 t

II

15

[M]

30 — 408,6

60

3.13.17,047 + 3.9.10,847 + 3.13.3,₆47 = — 7088 tm

M= — 7088 — 74,89.69,7 = — 12308 tm 12308

Maximum der Zugspannung.

Last 1 eines von rechts nach links vorrückenden Zuges am Knotenpunkte 2.

15

[M] =

3.9.1,795 + 3.13.8,595 + 3.9.15,795 + 3 . 13 . 22,595 + 9 (28,295 + 29,795 + 28,705) + 3.13.23,405 == 225,691

3.9.1,795+ 3.13.8,595+3.9.15,795 + 3.13.22,595 + 3.9.29,795

30 + 408,6

60

+ 3.13.36,595 = 28677 tm

46,i t.

M = 28677 — 225,69.69,₇ = 12946 tm 12946

280,7

Stab Dh.

Maximum der Druckspannung.

Last 1 eines von links nach rechts vorrückenden Zuges greift am Knotenpunkte 4 an.

II

— 3.13.14,49 + 3.9.7,69 + 13 (1,79+0,49)

15

= 53,,9 t

[M] =

30 — 297,5

60

3.13.14,49 + 3.9.7,69 + 13 (1,79 + 0,49) = — 3574 tm

M = — 3574 — 53,49. 68,9 = — 7259 tm

max (+ .DJ =

7259

214,2

= 33,₉1.

Maximum der Zugspannung.

Last 1 eines von rechts nach links vorrückenden Zuges am Knotenpunkte 3.

H= _L I 8.0,253 + 3.9.4,953 + 3 . 13.11,753 + 3.9.18,953+3 . 13.25,753+3.9.23,047

+ 3.13.20,247 = 242,001

[M] =

30 + 297,5

60

8 • 0,253 + 3.9.4,953 + 3.13. 11,753 + 3.9.18,953 + 3.13.25,753

+ 3.9.32,953 + 3.13.39,753 = 24822 tm

M = 24822 — 242,oo. 68,9 = 8149 tm max (— D,) = —

8149

214,2

38,o t.

Stab _D₅.

Zieht man durch den Kämpferpunkt A die Parallele zu D₅, so schneidet diese die Grade BD oberhalb des Scheitels. Der Schnittpunkt ist eine zweite Belastungsscheide (s. Fig. 68).

Maximum der Druckspannung.

Rechtsseitige Belastung.

Der Zug ist, vom rechtsseitigen Kämpfer kommend, bis ungefähr zur Belastungsscheide vorzuschieben, die grössten Lasten sind in der Nähe des Scheitels anzuordnen und muss eine derselben in diesem Punkte selbst angreifen.

Es ist zu vermuthen, dass Last 1 im Scheitel liegen muss, damit die Stellung des Zuges am ungünstigsten werde. Mit Hülfe der Ungleichung 232 lässt sich hierüber in schärferer Weise Aufschluss erhalten.

Nachdem durch den Kämpferpunkt A die Parallele zu U₅ gezogen ist, greift man die Strecken n und m (s. Fig. 68) aus der Zeichnung ab. Man findet n = 0,29m

7/1

m — 0,5<jm. Der in Ungleichung 232 vorkommende Quotient -j- ist also:

0,59

30

0,02-

Liegt Last 1 unmittelbar rechts vom Scheitel, so ist $t.₂ = 0; dann ist die Ungleichung 232 jedenfalls erfüllt. Ueberschreitet Last 1 den Scheitelpunkt, so wird Ha= 13t und K, = 7.13 + 6.9 = 145t.

Die rechte Seite oben genannter Ungleichung lautet dann

0,₀₂.145 = 2,ot.

Man erkennt, dass nunmehr der fraglichen Bedingung nicht mehr genügt wird, so dass also thatsächlich Last 1 im Scheitel anzuordnen ist. Für diese Laststellung ergiebt sich:

15

13(0,₇+2)+3.9.7,o+3.13.14,7+3.9.21,9 + 3.13.28,7 =10750 tm M = 10750 - 168,82.67,o = — 561 tm

13 (0,₇ + 2)+3.9.7,9 + 3 . 13.14,7 + 3.9.21,9 + 3.13.28,7 = 168,₈₂t 30 + 224,7 "

60

561

171

>»

= 3,3 t.

Linksseitige Belastung.

Der Zug ist vom linksseitigen Kämpfer aus bis gegen das fragliche Feld vorzuschieben; eine der ersten Lasten muss im linksseitigen Knotenpunkte desselben angreifen. Es ist zu vermuthen, dass Last 1 hierselbst anzuordnen ist. Ungleichung 233 giebt über diese Frage Aufschluss.

Der Quotient, welcher in ebengenannter Ungleichung vorkommt, lautet im vorliegenden Fall:

}.n

3,158 • 0,29

2 mf— hi

2.0,59. 7,5

3,158 • 0,29

- 0,110.

Liegt Last 1 unmittelbar links vom Knotenpunkte 5, so ist © = 0; dann ist Ungleichung 233 jedenfalls erfüllt. Ueberschreitet Last 1 den fraglichen Punkt, so wird:

05 = 13 t und H;t = 2. 13+ 3.9 = 53 t. Die rechte Seite der Ungleichung lautet dann:

0,u6 • 53 = 6,1t.

Man erkennt, dass nunmehr der in Rede stehenden Bedingung nicht mehr genügt wird; es ist also thatsächlich Last 1 im Punkte 5 anzuordnen. Für diese Laststellung ist:

H— 3.13.1 1,332 + 3.9.4,532 = 37,02 t

30 — 224,7

60

3.13.11,332+ 3.9.4,532 = —1831tm

M=— 1831 — 37,02.67,o== — 4352tm

4352

171,4

25,4 t. '

Durch Summation findet man:

max (+ A) = 3,3 + 25, t = 28,-1.

Maximum der Zugspannung.

Die Strecke zwischen der Belastungsscheide im Felde 0 und dem fraglichen Felde ist zu belasten. Eine der ersten Axen muss im rechtsseitigen Knotenpunkte des fraglichen Feldes angeordnet werden. Es ist zu vermuthen, dass die Stellung dann am ungünstigsten wird, wenn von einem von rechts nach links vorrückenden Zuge die Lasten 1 bis 6 als vorhanden angenommen werden, und Last 1 im Knotenpunkte 4 liegt. Mit Hülfe der Ungleichung 231 erlangt man hierüber in schärferer Weise Aufschluss.

Liegt Last 1 unmittelbar rechts vom Knotenpunkte 4, so ist Ö5 — 0; dann ist

Ungleichung 231 jedenfalls erfüllt. Ueberschreitet Last 1 den fraglichen Knotenpunkt, so wird:

® = 13t und H₂ = 2.13+ 3.9 = 53t.

Die rechte Seite der Ungleichung lautet dann:

0,u6 • 53 — 6,1t.

Man erkennt, dass sodann der in Rede stehenden Bedingung nicht mehr genügt wird; es ist also thatsächlich Last 1 im Punkte 4 anzuordnen.

3.9.23,39 +3.13.17,09 = 87,₄₄t

[M]

30 + 224,7

60

3.9.36,i,+ 3.13.42,91 = 11243tm

M = 11243 — 87,₁₄.67,o = 5385 tm

max (— A)

5385

171,4

= — 31,4t.

Stab DCi.

Maximum der Druckspannung.

Rechtsseitige Belastung.

Last 2 eines von rechts nach links vorrückenden Zuges greift im Scheitel an. Für diese Laststellung ist der Werth //bereits bei Gelegenheit der Berechnung des Stabes 0G ermittelt. Man hatte gefunden:

[M]

30 + 176,r,

60

H= 180,87 t

3.13.2,0+3.9.9,2 + 3.13.16,0 + 3.9.23,0 + 3.13.30    = 9458tm

M= 9458 — 180,87.65,5 = — 2389 tm

2389

144,o

= 16,₆t.

Linksseitige Belastung.

Last 1 eines von links nach rechts vorrückenden Zuges liegt im Knotenpunkte 6.

[M]

H— -yjr- 3.13.8,174 —H 9 (2,874 —f— 1,374) = 23,801 30 — 176,c

60

3.13.8,174 + 9 (2,874 + 1,374) = — 872,3 tm

M = ■— 872,3 — 23,80.65,5 = — 2431 tm

2431

144,₀

= 16,ot.

max (+77₍.) — 16,o+ 16,9= 33,51.

Maximum der Zugspannung.

Die Lasten 1 bis 6 eines von rechts nach links vorrückenden Zuges sind als vorhanden anzunehmen. Last 1 liegt im Knotenpunkte 5.

II

15

3.9.20,732 + 3.13. 13,932 = 73,54 t

\M]

30+ 176,o

60

3.9.39,26s + 3.13.46,008 = 9837 tm

M = 9837 - 73,54 • 65,5 = 5020 tm

max (— D₆) — —

5020

144,o

34,91.

Stab D~.

Maximum der Druckspannung.

Rechtsseitige Belastung.

Last 3 eines von rechts nach links vorrückenden Zuges liegt im Scheitel.

Für diese Laststellung ist der Werth H bereits bei Berechnung des Stabes U₂

ermittelt.

30 + 139,2 -

60

H= 191,₁₈t

3.13.3,3+3.9.10,5+3.13.17,3+3.9.24,5+3.13.31,8 = 8373tm M= 8373 — 191,18.63,2 = — 3710tm

= 30,i t.

3710

123,i

Linksseitige Belastung.

Last 1 eines von links nach rechts vorrückenden Zuges greift im Knotenpunkte 7 an.

^ • 3.13.5,oi6 = 13,04 t

[M] =

30 — 139,2

60

.3.13.5,010= — 356,o tm

M = — 356,o — 13,04 • 63,2 = — 1180 tm

9,o t

1180

123,i

max (•+ Ht) — 30,i    9,o — 39,71.

Maximum der Zugspannung.

Die Lasten 1 bis 6 eines von rechts nach links vorrückenden Zuges sind als vorhanden anzunehmen. Last 1 liegt im Punkte 6.

— 3.9.17,574 -{-3.13.10,7-4

30 + 139,2 "

II

= 59,041

[M]

60

3.9.42,420 + 3.13.49,220 = 8644 tm

M = 8644 — 59,₆4.63,₂ = 4875 tm

39,o t.

max (— A) — —

4875

123,i

Stab Ds.

Maximum der Druckspannung.

Rechtsseitige Belastung.

Last 3 eines von rechts nach links vorrückenden Zuges liegt im Scheitelpunkte.

11= 191,18t

\A1] =

30 + 110,4

60

3.13.3,0 + 3.9.10,5+3.13.17,3 + 3.9.24,5 + 3.13.31,₃ =6948tm M= 6948 — 191,t₈.60,o = — 4695 tm

4695

107,5

= 43,7 t.

Linksseitige Belastung.

Last 1 eines von links nach rechts vorrückenden Zuges greift im Knotenpunkte 8 an.

II

-3.13.1,958 = 4,83t

[M} =

30 — 110,4

60

•3.13.1,858 = — 97,i tm

= 3,o t.

M— — 97,i — 4,₈3.60,9 = — 391,2 tm

391,2

107,5

max (+ A)⁼⁼ 43,7 + 3,6 = 47,31.

Maximum der Zugspannung.

Die Lasten 1 bis 9 eines von rechts nach links vorrückenden Zuges sind als vorhanden anzunehmen. Last 2 ist im Knotenpunkte 7 anzuordnen.

3.13.20,316 + 3.9.13,nß + 3.13.6,310 = 92,₈₅t.

15

11 =

Bei Berechnung des Momentes [M] nach Gleichung 197 ist darauf zu achten, dass Last 1 innerhalb des geschnittenen Feldes liegt. Es muss die Last 1 zerlegt werden in ihre Componenten, welche im Knotenpunkte 7 und im Knotenpunkte 8 zur Wirkung kommen. Die Componente im Knotenpunkte 7 ist dann den Lasten G\ die Componente im Punkte 8 den Lasten G“ zuzurechnen. Von der Kraft 1 kommt zur Wirkung im Knotenpunkte 7:

13*

3,158 — 1,3

und im Knotenpunkte 8:

3,158

7,(551

13-

bl

30 + 110,4

3,158

5,35 t.

60

3.13.39,684 + 3.9.46,884 + 13 (52,384 + 53,684) + 7,65 • 53,684 30— 110,1

60

• 5,35.3,158= 10749tm

M= 10749 — 92,85.60,9 = 5094tm

47,it.

max (— Ds) = —

5094

107,5

Vertikalen.

Die Vertikalständer C₀ und C₈ erfordern eine besondere Untersuchung.

Stab C₀.

Es kommt zunächst darauf an, zu entscheiden, bei welcher Laststellung dieser Stab das Maximum seiner Spannungen erhält. Setzt man System I (rechts fallende Diagonalen) voraus, so liegt der Schnittpunkt der mitgeschnittenen Constructions-theile (0, und Z7₀), wie man aus Fig. 1 Taf. 3 erkennt, oberhalb der beiden Graden AE und BI). Das Belastungsschema ergiebt sich demnach aus Fig. 64, § 27. Die als Druckkraft auf den links vom Schnitt befindlichen Theil der Brücke einwirkende Spannung dreht um den Schnittpunkt der mitgeschnittenen Constructionstheile im entgegengesetzten Sinne des Uhrzeigers; die Zug- und Druckabtheilungen sind also in der Weise, wie Fig. 64 zeigt, anzunehmen. Verbindet man den conjugirten Drehpunkt mit dem linksseitigen Kämpfer und schneidet die Verbindungslinie mit der Graden B I>, so findet man, dass die Belastungsscheide im ersten Felde liegt. Dieses erste Feld tritt gleichzeitig auch als zweite Belastungsscheide auf (s. Fig. 64), da der zum Zweck der Spannungsermittlung durch C₀ geführte Schnitt die obere Gurtung, an welcher die mobilen Lasten angreifen, in diesem ersten Felde trifft. Es ergiebt sich also unter Voraussetzung des Systems I, dass gleichzeitig vom rechten und linken Widerlager ein Zug bis in das erste Feld vorgerückt sein muss, damit C₀ das Maximum der Zugspannnung erreiche. Es ist jedoch zu bedenken, dass eine solche Stellung der Lastsysteme thatsächlich nicht Vorkommen? kann. Das Resultat dieser Ueberlegung beschränkt sich vielmehr darauf, dass man erkennt: jede Last, welche überhaupt auf den Bogen einwirkt, bedingt in C₀ eine Zugspannung.

Legt man System II der Berechnung zu Grunde, so ist aus Fig. 1 Taf. 3 zu ersehen, dass alsdann der Schnittpunkt der mitgeschnittenen Constructionstheile (ü0 und Ux) unterhalb der beiden Graden AE und BI) liegt. Das Belastungsschema ergiebt sich aus Fig. 67, §27; nur ist hier statt „Druck“ das Wort „Zug“ zu setzen, da die als Druckkraft auf den links vom Schnitt befindlichen Theil des Trägers wirkende Spannung C₀ um den conjugirten Drehpunkt im Sinne des Uhrzeigers dreht. Demzufolge muss übereinstimmend mit der unter Zugrundelegung des Systems I geführten Untersuchung der ganze Träger belastet werden, damit C₀ das Maximum der Zugspannung erreiche. Der Eisenbahnzug ist so lange von rechts nach links zu verschieben, als noch der Ungleichung 230 Genüge geleistet wird. Fixirt man hiernach die Stellung des Lastsystems, so gelangt man zu demselben Resultat wie durch folgende Ueberlegung.

Aus nebenstehender Figur erkennt man, dass C₀ das Maximum seiner Zugspannung erreicht, wenn die Stäbe U₀ und Ux am meisten gedrückt sind. Der Stab Ux erfordert, um die positive Maximalspannung zu erhalten, die nämliche Laststellung wie Z7₀, da beiden Constructionstheilen der nämliche Drehpunkt conjugirt ist. Für U₀ ist es aber gleichgültig, ob rechts- oder linksfallende Diagonalen vorausgesetzt werden und so kann man aus der oben durch geführten Berechnung von U₀ schliessen, dass unter Annahme des Systems II beide Stäbe U₀ und Ux das Maximum der Druckspannung erreichen, wenn der Träger voll belastet ist und Last 7 im Scheitel angreift.

Die beiden Systeme I und II kommen gleichzeitig zur Wirkung. Die Belastungsarten, welche sich unter der Annahme des einen und des andern Systems als die ungünstigsten ergaben, stimmen darin überein, dass der Bogen voll belastet sein muss, damit C₀ am meisten gezogen werde. Die genaue Fixirung der Zugstellung führte unter Zugrundelegung des Systems I zu keinem brauchbaren Resultat. Die Annahme des Systems II ergab, dass Last 7 eines von rechts nach links vorrückenden Zuges am Scheitel anzuordnen sei, um die negative Maximalspannung von C₀ zu erhalten. Letztere Laststellung soll denn auch bei Berechnung dieses Vertikalständers als die ungünstigste angenommen werden.

System I.

Der Werth II ist für die fragliche Laststellnng bereits ermittelt. Man fand

11= 256,65 t.

Bei Berechnung des Werthes [M] ist darauf zu achten, dass Last 6 innerhalb des geschnittenen Feldes angreift. Diese Last muss in ihre beiden Componenten zerlegt werden, welche in den Knotenpunkten 0 und 1 zur Wirkung kommen. Die

0,901, und diejenige im Punktei:

Componente im Knotenpunkte 0 ist: 9 •

0,337

3,158

CO

’⁸— = 8,041. Erstere Kraft ist als rechts vom fraglichen Schnitte liegend, letztere

58

8(0,2+3|2)+3.9.7,9+3.13.14,7 + 3.9.21,9+3.13.28,7+0,96.31,579

Componente als links vom Schnitte liegend anzusehen. Dann lautet Gleichung 197: 30 + 1,72

60

30 - 1,72

60

8,04.25,263 + 9 (24,1 + 22,6) + 3.13.17,3

= 1962,4 tm

M= 1962,4 — 2 5 6,65.8,87 = — 3 1 4,1t. In Gleichung 200 ist das + Zeichen gültig.

max (— Q — — max (+ CQ) = 0.

= — 95,21.

314,i

1,58 + 1,72

System II.

H = 256,651.

Die Lasten 7 und 8 liegen innerhalb des geschnittenen Feldes, müssen also bei Berechnung des Moments [M] in ihre, auf die benachbarten Knotenpunkte entfallenden Componenten zerlegt werden.

Auf den Knotenpunkt 0 .der rechtsseitigen Bogenhälfte entfällt von der Last 7:

3,158-0,279

13

—= 6,5 t und von der Last 8:

13-

3,158

11,85t. Auf den Knotenpunkt 0

13

der linksseitigen Bogenhälfte entfällt von der Last 7: —

0,279

6,51 und von der Last 8:

13 •

3,158

1,15 t.

[M\

30 —J— 1,44

60

+ 11,85) 28,421 ~f

8 (0,2 + 3,₂)+3. 9.7,» + 3.13 .14,- +3.9.21,» + 13.27,₄ + (6,5 30 — 1,44

60

(6,5 + 1,15) 28,421 + 3.9.24,, + 3.13. 17,₃ =1930,etm

A/ = 1930,6 — 256,65 • 6,89 = 290,otm max (— C₀) = — max (+ -C₀) — 0.

290,6

1,58 +1,44

= — 96,2 t.

Stab C₈.

Legt man System I der Berechnung zu Grunde, so befindet sich der Schnittpunkt der mitgeschnittenen Constructionstheile (Og und U₈) wie aus Fig. 1, Taf. 3 zu ersehen ist, unterhalb der beiden Graden AP und BT). Das Belastungsschema ergiebt sich aus Fig. 66, § 27. Die Worte „Zug“ und „Druck“ sind jedoch mit einander zu vertauschen, da die auf den links vom Schnitt liegenden Theil des Bogens als Druckkraft wirkende Spannung C₈ um den conjugirten Schnittpunkt im Sinne des Uhrzeigers dreht.

Die Scheide P fällt zusammen mit derjenigen, welche bei Berechnung des Gurtstabes U₈ auftrat. Da ferner auch die Ungleichungen 214 und 227, aus welchen sich einerseits die Zugstellung für die Maximaldruckspannung des Stabes U8} andererseits die Stellung des Systems für die Maximalzugspannung der Vertikalen C₈ ergiebt, identisch sind, so kann man aus der oben für U₈ durch geführten Ermittlung direct schliessen, dass die Vertikale C₈ das Maximum ihrer Zugspannung erreicht, wenn die Last 7 eines von rechts nach links vorrückenden Zuges im Scheitel angreift.

Die zweite Belastungsscheide wird vom fraglichen Felde selbst gebildet, als solches ist im vorliegenden Falle das Feld 9 zu betrachten, da der zum Zweck der Spannungsermittlung durch C₈ geführte Schnitt die obere Gurtung, an welcher die mobilen Lasten angreifen, im 9ten Felde trifft. Der Stab C₈ wird also das Maximum seiner Druckspannung erreichen, wenn der Zug vom linksseitigen Kämpfer bis ungefähr zur Belastungsscheide P vorgerückt ist. Die genaue Stellung des Systems ergiebt sich mit Hülfe der Ungleichung 229. Durch Abgreifen aus der Zeichnung findet man:

₁ v — *J

Demnach ist der in Ungleichung 229 auftretende Factor

17,85 — 2,7,5__

2.5,56 . 7,5 - 3,158 . 17,85

= 0,33.

3,158

lif—Xv

Nimmt man an, Last 3 läge unmittelbar rechts vom Knotenpunkte 8, so ist Ungleichung 229 jedenfalls erfüllt, da alsdann © = 0 ist. Verschiebt man nun den Zug nach links, und überschreitet Last 3 den Knotenpunkt 8, so wird © = 13t und Uä = 26t. Man erkennt, dass sodann der Ungleichung 229 nicht mehr genügt wird und hieraus folgt, dass thatsächlich Last 3 eines von links nach rechts vorrückenden Zuges am Knotenpunkte 8 angreifen muss, damit CK das Maximum seiner Druckspannung erreicht.

Unter Annahme des Systems II findet man, dass der Schnittpunkt der mitgeschnittenen Constructionstheile (0H und Us) oberhalb der Graden AE und unterhalb der Graden BD liegt. Das Belastungsschema ergiebt sich nach Fig. 63, §27, da die Verbindungslinie des conjugirten Schnittpunktes und des linksseitigen Kämpferpunktes die Grade BI) in einem Punkte trifft, welcher rechts vom Scheitel C liegt. Es tritt demnach nur das fragliche Feld selbst als Belastungsscheide auf und als solches ist in diesem Falle das 8te Feld anzusehen, da der durch Cs zum Zweck der Spannungsermittlung geführte Schnitt die obere Gurtung, an welcher die mobilen Lasten angreifen, im 8ten Felde trifft. Denkt man sich die Spannung Cs als Druckkraft auf den links vom Schnitt befindlichen Theil des Bogens einwirken, so dreht diese um den Schnittpunkt der mitgeschnittenen Constructionstheile im entgegengesetzten Sinne des Uhrzeigers. Im Belastungsschema sind also die Zug- und Druckabtheilungen entsprechend der Fig. 63 anzunehmen.

Die genaue Stellung des Lastsystems, welche das Maximum der Zugspannung in bedingt, lässt sich mit Hülfe der Ungleichung 221 ermitteln. Durch Abgreifen aus der Zeichnung findet man:

m — 17,6o m, v — 16,38 m, ?'=10,8im.

Die Ungleichung 221 lautet demnach:

25,3 © < 0,59 Ü, + K

Nimmt man an, die Last 1 läge unmittelbar rechts vom Knotenpunkte 7, so ist obige Ungleichung jedenfalls erfüllt, da alsdann © = 0 ist. Ueberschreitet nun aber Last 1 den Knotenpunkt 7, so wird

© = 13t.

K, = 3.13+ 3.9+ 5.8 = 106t, &₂ = 5.13 + 6.9 = 119t

Alsdann wird, wie man leicht erkennt, der Ungleichung nicht mehr genügt und demnach muss thatsächlich Last 1 im Knotenpunkte 7 angreifen, damit C₈ das Maximum der Zugspannung erreiche.

Um das Maximum der Druckspannung zu erhalten, muss der Zug vom linksseitigen Kämpfer bis in das 8te Feld vorgerückt sein. Mit Hülfe der Ungleichung 219 lässt sich die Stellung des Lastsystems fixiren. Dieselbe lautet, wenn man die entsprechenden Zahlenwerthe einführt:

© < 0,47 H₃.

Greift Last 1 unmittelbar links vom Knotenpunkte 8 an, so ist diese Ungleichung jedenfalls erfüllt, da dann © = 0 ist. Ueberschreitet Last 1 den Knotenpunkt, so wird il₃ = 26t und © = 13t. Alsdann wird obiger Ungleichung nicht mehr genügt

und demnach ist es thatsächlich die Last 1, welche im Knotenpunkte 8 angeordnet werden muss, damit C% unter Zugrundelegung des Systems II das Maximum der Druckspannung erhalte.

Da die beiden Systeme 1 und II gleichzeitig zur Wirkung kommen, so werden die ungünstigsten Laststellungen zwischen den soeben ermittelten Laststellungen liegen. In Rücksicht hierauf ist angenommen, dass CH das Maximum seiner Zugspannung erleidet, wenn die Last 12 eines von rechts nach links vorrückenden Eisenbahnzuges am Scheitel angreift, während das Maximum der Druckspannung stattfmdet, wenn Last 2 eines von links nach rechts vorgeschobenen Zuges am Knotenpunkt 8 liegt.

77

15

[M] =

System I.

Maximum der Zugspannung.

5.8.6,s-4-3.9.17,5+3.13.24,3+3.9.28,5+3.13.21,₇ + 3.9.14,r,+3.LL7,7

— 266,65 t

5.8.6,s +3.9.17,5 + 3.13.24,3+ 3.9.31,5 + 3.13.38,₃+3.9.45,5

30 — 32,₁₀ f

60

+ 3.13.52,3 = — 292,2 tm

M=- 292,₂ + 266,65.2,₂₅ = 307,₈tm In Gleichung 200 hat das — Zeichen Gültigkeit.

307,8

32,40 - 8,5.3,158

Maximum der Druckspannung.

77=    -3.13.3,158 = 8,211

Die Last 3 liegt innerhalb des geschnittenen Feldes. Auf den Knotenpunkt 8

3,158- 1>3

3,158

1 3 (55,542 + 56,842) + 7,65 • 56,842 = — 75,₈tm

M = — 75,s + 8,21 • 2,95 = — 57,3 tm

57,3

32,40- 8,5.3,158 •

max (— C₈) = —

= — 55,i t.

entfällt die Componente 13* 30 — 32,40

[M] =

60

max (+ 6'₈) —

= 7,65 t.

10,3 t.

[M]

30 — 34,40

60

System II.

Maximum der Zugspannung.

77= 266,65t

5.8.6,8+3.9.17,5+3.13.24,3+3.9.31,5 + 3.13.38,3+3.9.45,5

+ 3.13.52,3 = —546,c tm

M = — 546,6 + 266,₆5.0,₂₆ = — 477,₈tm. In Gleichung 200 ist das + Zeichen einzusetzen.

max («— Cs) = —

477,3

34,io — 8,5.3,158

62,41.

Maximum der Druckspannung.

II = 8,211.

Last 1 greift innerhalb des geschnittenen Feldes an. Von dieser Last kommt

- = 5,351 und im Knotenpunkte 8:

zur Wirkung im Knotenpunkte?: 13-

7,05 t.

30 — 34,49

60

• 5,35.53,884 4

30 4 34,49

60

(7,05 4 13) 3,158 4 13 • 1>S58 — 74,6 tm

M = 74,6 4 8,21.0,26 = 76,7 tm 76,7

max (4- Q =

34,49 — 8,5.3,458

10,₀t.

Es sollen nunmehr für das System I die Spannungen in den Gurtstücken und den Diagonalen, welche einerseits von der permanenten, andererseits von der mobilen Last herrühren, summirt werden. Die berechneten Spannungszahlen, welche der

3

mobilen Last entsprechen, müssen, wie anfangs bemerkt, noch mit -g- multiplicirt werden.

Es ergiebt sich:

max (4- 0₀) = 23,9 4 A • 174,2= 89,2 1 max (— 0Q) = 23,9

O

max (4 O,) = 18,9 4 A

max (-f- 0₂) = 18,8 4    • 140,3 =

3

max (4 O.J = 18,6 + -g max (4 OJ = 18,3 + — • 167,o = 80,9 „

18,i + A. 184,o= 87,i „

18,o + A-179,o= 85,i „

18,t H-A. 171,8= 82,5„ max (4 0₈) = 18,5 4 -3- • 149,o = 74,4 „

O

3

max (+ 0₉) = 24,3 4- -g max (4- Uo) — 23,7 4- ~ö~ • 180,1 = 91,21 max (— Z7₀) = 23,7

O

max (4- Ux) = 18,5 4 A • 157,9 = 77,7 „

O

max (4- Lr2) = 18,9 4- -tt • 194,8 = 92,0 „

O

* max (4- 0S) =

max (4 0₆) =

max (4 D₇) =

23,9 t

. 137,2= 70,3 „ max (— 0,) = 18,9 71,4 „ max (— 0₂) = 18,8

3

max (— 0₃) = 18,6--• 15,o = 13,o „

O

max (— 0₄) = 18,3--- • 35,6 =

O

max (— 0₅) = 18,i---- 45,0 =

O

max (— 0₆) =18,o--• 42,7 =

O

max (— 0₇) = 18,i---• 28,0 =

O

3

max (— 0₈) = 18,5--' 0,7= 18,2 „

O

• 187,8 = 94,7 „ max (— O₀) = 24,3

•158,4= 78,o „

= 18,9 „

= 18,8 „

1,2»

2,o „

7jti ;>

= 24,3 v

23,7 t

3

max (— Ut) = 18,5--• 5,4 =

O

3

max (— Z7₂) = 18,9--x- • 47,2 =

O

16,5 „

IO OO

. 221,7= 102,51

max (+ U₃) — 19,4 4-max (-)- U,) = 20,o 4-max (4- Us) — 20,o 4-    *    251,9    =    115,i „

max (4- U₆) = 21,t +    •    246,i = 113,4»

max (4- U.) — 21,5 4"    •    222,i = 104,y „

max (4- A = 21,₅ 4- -|-max (4- U₀) — 19,6 + ■— • 177,2 =

CO OO

• 236,3= 108,6 „

•194,2= 94,3 „

86,ü „

3

max (— Ua) == 19,4--7- • 75,9 = — 9,i t

0

max (— UA) —    20,o--jj- •    89,8=    —    13,7 „

max (— U₅) —    20,6-- •    89,1 =    —    12,8 „

0

max (—/7₆) =    21,i--~ •    81,4 =    —    9,3»

max (— U₇) —    21,5--jj- •    59,0 =    —    0,6 „

O

max (— /7g) = 21,5--- • 37,5 =

0

max (— /7₉) = 19,6--- • 34,2 =

0

7,4 „

max (4- A) = — 0,2 4~ -§• • 58,o -= 21,81 max (— A) = — 0,2--— • 58,s = — 22,31

O    O

— 0,4 —    • 53,7 = — 20,6 „

3

max (—A) = — 0,4--• 46,i = — 17,7 „

0

3

max (— D,) — — 0,5--5- • 38,0 = — 14,8 „

0

- «,4--1- - 31,4 ---12,2,

3

max (—A) = — 0,2--• 34,9 = — 13,3 „

0

max (— A) =    0,4--- • 39,6 = — 14,8 „

0

0,5--1- • 47,4 = — 17,3 „

max (4- A) == — 0,4 4-

max (4- A) = — 0,4 4~ -Ir * 43,8 = 16,o „ 0

max (4~ A) — — 0,5 4"    ’    33,9 = 12,2 „

max (4- A) — — 0,4 4-    •    28,7 = 10,4 „

max (4- A) = — 0,2 4-    •    33,5 = 12,4 „

•    39,7 = 15,o „

0,s4- ~ 47,3=18,2 „

max (4- D₇) =

max (4- A) ⁼

• 51,9= 19,i „

max (— A) —

max (— A) —

0,i 4"

OO! 02

max (— A) —

System II.

Die Spannungen, welche in diesem System auftreten, lassen sich nun aus den obigen Zahlen in einfacher Weise ableiten.

Die Spannungen in den Gurtungen ergeben sich aus den Gleichungen 325 und 326 des § 44. Da im Allgemeinen die Hebelsarme sämmtlicher Gurtstücke als gleich (=2,sm) angenommen sind, so werden sich die gesuchten Werthe direct abschreiben lassen. Nur bei den Stäben OsJ und U‘ ist, wie man leicht erkennt, eine lteduction obiger Spannungen im umgekehrten Verhältnisse der Hebelsarme erforderlich. Es ist noch zu bemerken, dass die Stäbe 0₀, /7₀, Oa und Ug natürlich in beiden Systemen die nämlichen Spannungszahlen haben.

Demnach erhält man:

max (4- 0₀‘) *= 89,21 max (4-0,0= 71,4»

max (— Og) = 23,91 max (— O/) = 18,8 „

max (4 0,0 = 78,o t max (4 0₃0 = 80,9 „ max (4* AO — 87,i „ max (+ O₅0 == 85,i „ max (-f- O₆0 = 82,₅ „ max (-1-0/)= 74,4,, max (4 0/) = 94,7 max (4 0/) = 94,71.

max (4 £7/) = 91,2„ max (4 £7/)'= 91,2 • -max (+ £7/) = 77,71 max (4 £7₃0 = 92,o „ max (4 £7/) = 102,5 „ max (4 £7/) = 108,e„ max (4 £7/) = 115,i „ max (4 £7/) = 113,4 „ max (4 AO = 104,9 „ max (4 £7/) = 86,o „

2,o

2,5

75,8 t

1,93

2,5

= 70,i t

max (— AO = 13,o t max (— AO = 5,o „ max (— AO = 1>2 „ max (— AO = 2,o „    •

max (— AO = 7,6 „ max (— AO = 18,2 „

max (— AO = 24,3 •    - = 19,41

max (— AO = 24,31.

max (— AO = 23,7 „ max (— AO = 23,7 •

max (— AO = 16,51 max (—AO — 1,2 n max (— £7/) = — 9,i t max (— £7₅0 = — 13,7 „ max (— £7₆0 = — 12,s „ max (— £77) = — 9,3 „ max (— £7₈0 = — 0,o „ max (— £7₉0 =

2,5

1,93

2,5

= 18,3t

6,8 „

Die Spannungen in den Diagonalen ergeben sich aus der Gleichung 328. Das Verhältniss der Längen dieser Stäbe ist anfangs (im Beispiel III) berechnet. Man findet also:

max (4 AO = 22,3. 1,049 = 23,11 max (4 AO = 20,6. l,m = 22,7 „ max (4 AO = 17,7. 1 ,i 57 = 20,5 „ max (4 A 0 = 14,8.1,216 — 18,o „ max (4 AO — 12,2 . 1,279 = 15,6 „ max (4 AO = 13,3 . 1,347 = 17,9 „ max (4 AO — 14,8. l,42i = 21,0 „ max (4 AO = 17,3.1,503 — 26,0 „

max (— AO = — 21,8. 1,049 = — 22,91 max (— AO = — 19,i . 1,102 = — 21,o „ max (— AO = — 16,o. 1,157 = — 18,5 „ max (— AO — — 12,2. 1,216 = — 14,8 „ max (— AO — — 10,4.1,279= — 13,3 „ max (— AO — — 12,4. 1,347 = — 16,7 „ max (— AO = — 15,o. 1,421 = — 21,3 „ max (— AO — — 18,2. 1,503 = — 27,4 „

Denkt man sich beide Systeme auf einander gelegt, so werden sich die Spannungen in den entsprechenden Gurtstücken summiren. Diese Addition giebt folgende Resultate:

max (4 G₀) = 89,2 4 89,2 = 178,41 max (4 0,) = 70,3 4 71,4= 141,7 „ max (4 O.J = 71,4 4 78,0 = 149,4 „ max (4 0₃) = 78,0 4 80,9 = 158,9 „ max (4 OJ = 80,9 4 87,1 = 168,0 „ max (4 0₅) = 87,1 4 85,1 = 172,2 „ max (4 0₆) = 85,i 4 82,5 = 167,6 „ max (4 A> = 82,5 4 74,₄ = 156,9 „ max (4 A> = 74,4 4 75,8 = 150,2 „ max (4 A) = 94,7 4 94,7 = 189,4 „

max (— 0₀) = 23,9 4 23,9 = 47,s t max (— 0,) = 18,9 4 18,8 = 37,7 „ max (— 0,) = 18,8 4 13,o = 31,s» max (— 0₃) = 13,o 4 5,o = 18,0 „ max (—0,) = 5,o 4 1,2= 6,2« max (—0₅)= 1)2 4 2,o= 3,2 „ max (— Öc) = 2,o 4 7,6 = 9,6 „ max (—A) — 7,6 4 18,2 = 25,s „ max (— A) ⁼ 18,2 4 19,1 = 37,e „ max (— A) — 24,3 4 24,3 = 48,6 „

max (4- U₀) — 9 1,2 4- 91,2 — 1 82,4 t max (4- U,) = 77}7 4- 70,₄— 148,i„ max (4- ü₂) = 92,o 4- 77,₇ = 169,₇„ max (4- U₃) — 102,5 4- 92,₀ = 194,₅„ max (4- Z7₄) = 108,6 4- 102,₅ = 211,i„ max (4- U₅) = 115,1 4- 108,6 = 223,₇„ max (4- Ub) — 113,4 4- H5,i = 228,5n max (4- Z7₇) = 104,9 4- 113,4 = 218,3» max (4- Us) = 94,3 4- 104,9 = 199,₂„ max (4-U₀)= 86,₀ 4- 86,₀= 172,₀„

Schliesslich ist es noch erforderlich, die Spannungen in den Vertikalen unter Berücksichtigung beider Systeme zu ermitteln. Man findet durch einfache Summation

max(+Q=—14,i—14,3

max (— U₀) = max (— ?/,) = max (— f7₂) = max (— U₃) = — 9,i 4- 1,2==— 7,9» max (— U,) = — 13,₇ — 9,i = — 22,₈„

23,₇ 4- 23,₇ =    47,4

16,5 4" 18,3 =

1,2 4“ 16,5 —

34,8 „ 17,₇»

max (— ü₅) = — 12,8— 13,- = — 26,5» max (— U₆) = — 9,3— 12,8 = — 22,, „ max (— Un) — max (— U₈) = max (— Z7₉) =

0,6    9,3 -    9,9

7,4 0,6 =

6,8 4~ 0,8 =

6,8 n

13,6 „

=-28,it max(—Q=—14,i—14,3—-|(95,₂4-96,₂)=—100,2 t max(4-Q=— 8,0— 7,s4--|-(1 0,34-10,o)==— 8,2» max(—Q=— 8,₀— 7,s—(55,₄4-62,₄)=— 60,₀„

/3 (LÜ

Die Spannungen der übrigen Vertikalen findet man angenähert aus den Gleichungen 331 und 334 des $ 44.

In Folge der permanenten Last ist:

0,7 t.

2,65 1,2₇

3,m

3,158—>

In Folge der mobilen Last ist, wie man aus nebenstehender Figur erkennt:

C= -|- ^13 4-2.13.    1,3 ■) = ! 0,6 t

Man hat demnach:

max (4- C) — 0,₇ 4-10,6 = 11,31

max (— C) = 0,₇1.

Sämmtliche Spannungen sind in Fig. 3 Taf. 3 zusammengestellt.

Die weitere Ermittlung der zulässigen spec. Spannungen aus diesen Grenz-werthen, so wie die Bestimmung der erforderlichen Querschnitte ist genau ebenso durchzuführen, wie solches bereits im vorigen Beispiel geschehen ist. Es sind deshalb diese Rechnungen hier nicht weiter verfolgt. Zu bemerken ist nur noch, dass die Querschnitte der Vertikalen etwas reichlich zu bemessen sind, da die Spannungen derselben nur angenähert ermittelt wurden.    x

Beispiel V.

Fachwcrkbügcn von 00 in Spannweite mit krcisbogcnförinijger Axe mul

2 Gelenken.

{Annahme einer gleichmässig vertheilten mobilen Belastung.)

Die geometrische Form des Trägers soll ähnlich derjenigen sein, welche die in den Beispielen III und IV behandelte Brücke hat. Es ist demnach die Spannweite

zu 60 m, die Pfeilliöhe der Mittelaxe zu 7,5 m angenommen. Letztere ist nach einem Kreisbogen gekrümmt. Die Gurtungen sollen zwei concentrischen Kreisen eingeschrieben werden, deren normaler Abstand 2,5 m beträgt. Der Bogen sei durch Vertikalstreben in 19 Felder von gleicher Länge (in horizontalem Sinne gemessen) getheilt. In jedem Felde sind zwei sich kreuzende Diagonalen angeordnet. Die einzige Abweichung von dem in den vorigen Beispielen behandelten Träger besteht darin, dass im mittleren Felde kein Scheitelgelenk vorhanden ist, sondern die parallelen Gurtungen an dieser Stelle ebenfalls durchgeführt sind.

Man beginnt nun damit, die geometrische Form des Trägers auf analytischem Wege zu fixiren. Die Rechnungen sind dieselben wie die, welche bereits im Beispiele III vorgenommen wurden. Dieselben sollen deshalb hier nicht wiederholt werden. Man berechnet die Coordinaten der einzelnen Knotenpunkte, sowie die Coordinaten der nicht auf der Zeichnung zugänglichen Schnittpunkte entsprechender Gurtungstheile. Ferner bestimmt man die Hebelsarme, sowie die Längenverhältnisse der Diagonalen. Der ganze erste Theil des Beispiels III bis zur Berechnung der

dl

Verhältnisse ist wörtlich hier einzufügen.

Die geometrische Form der Brücke, sowie die Bezeichnungen der einzelnen Constructionstheile ist aus Fig. 1, Taf. 4 zu ersehen.

Es kommt nunmehr zunächst darauf an, für verschiedene Lagen einer Einzellast von der Grösse „Eins“ den durch dieselbe hervorgerufenen Horizontalschub II zu ermitteln. Derselbe lässt sich nicht mehr mit Hülfe der statischen Gesetze allein berechnen. Die Bestimmung desselben ist nur unter Berücksichtigung der elastischen Verhältnisse des Trägers möglich. Der Weg der Rechnung ist in § 32 angegeben.

Hiernach bestimmt man zunächst die von der Form der Bogenaxe abhängigen Grössen fy,

£t und

Zu diesem Zweck ist die Spannweite des Bogens (Sehnenlänge der Axe) in 10 gleiche Theile getheilt und sind für diese Theilpunkte die Ordinaten der Axe berechnet. Dieselben ergeben sich aus der Formel

y — f— r -j- "[//*² — x¹.

Die Grösse des Radius r war bereits zu 63,75 m gefunden. Es liefert obige Formel folgende Werthe:

x — 0

y = ⁷>s

Aus Gleichung 85, § 9 ergiebt sich: l) =    • 6 ^7,5² + 7,2170²+ 2.6,3C04² + 4,9060² -f- 2.2,8098^ == 1832,83.

Ferner findet man aus den Gleichungen 86:

-jj- (7,5 — 2.7,2170 + 2.6,3604 — 2.4,9060 + 3.2,8098 J = 8,808.

7,2170

— X-

so

12

18

24

30m

6,3604

4,9060

2,8098

0„

£3 —    ^4,9060 + 4.2,8098J = 32,290.

4F£ = -jj- ^7,5 — 2.7,2170 + 3.6,3604 + 2.4,9060 +4.2,8098^ = 66,397.

=    ^7,217 0 + 4.6,3604 + 2.4,9060 + 4.2,8098^ = 107,420.'

£o

2.6/ \

( 7,5 + 7,2170 + 2.6,3604+ 4,9060+ 2.2,8098 j = 151,854

1= 2.151,854 = 303,708.

Um die Werthe 5g zu berechnen, ist es erforderlich, eine Zwischenordinate 7/₄i|₂, welche der Abscisse ^* = 27m entspricht, zu bestimmen. Man findet:

Z/4i/₂ = 1,:» m.

Die Formeln 87 liefern dann die Werthe:

(2.2,8098 + 9 . 1,5)

51

= 229,435.

36

|^3.4,9060 + 16.2,8098 J — 716,098.

51 = 229,435 + -^³⁶

^7,2170 + 8.6,3604 + 6.4,9060+ 16.2,8098^ = 1589,916. 4.36

5;

51 = 229,435 4

6,3604 + 6.4,9060+ 2.2,8098 ] = 1223,419.

7,2170 + 6,3604 + 3.4,9060 + 2,8098 j — 1722,485.

Man lässt nun eine Last von der Grösse „Eins“ der Reihe nach an den gewählten Theilpunkten angreifen und bestimmt für diese verschiedenen Lagen derselben aus Gleichung 74 den Werth [i)].

Liegt die Last z. B. am zweiten Theilpunkt, also in der Entfernung £=12m vom Scheitel, so ist:

—^30 — 12W 12.66,391 — 1223,119 — 23 06,72.

Es ergiebt sich für:

§= 0

[|)j = 2833,13    2699,io    2306,72    1687,37    893,os    0„

Der Horizontalschub selbst kann nun aus Gleichung 70 gefunden werden. In dieser Formel kommt ausser den Werthen [i[)] und l) noch der Ausdruck 2+ vor.

12

18

24

30 m

Kl

Es ist nach 29, § 2 für Träger mit durchbrochenen Wandungen \i= — zu setzen,

worin h die Entfernung der Gurtlinien bedeutet. Im vorliegenden Falle ist also:

2+

'•“-r

1,5625

und 2[xl=2 . 1,5625.30 = 93,75.

Die Gleichung 70 lautet demnach

1832,83 + 93,75

Indem man hierin für [f)] die den verschiedenen Lagen der Einzellast entsprechenden Werthe einsetzt, erhält man für den Horizontalschub II folgende Zahlen: £= 0 H — 1,470

Diese Werthe £ und H sind nun in Fig. 2, Taf. 4 als zusammengehörige Ab-scissen und Ordinaten aufgetragen und die Endpunkte der letzteren durch eine stetige Curve verbunden.

1,401

12

18

24

30 m

1,197

0,876

0,463

ot.

Der Maassstab wurde in Wirklichkeit doppelt so gross, als der hier angenommene, gewählt. Um die Tafeln bequem ausfallen zu lassen, ist jedoch eine Reduction auf halbe Grösse vorgenommen.

Sodann sind die den Abscissen der Knotenpunkte des Trägers entsprechenden Ordinaten dieser Curve abgegriffen und dadurch die verschiedenen Werthe des Horizontalschubes ermittelt , welche eine in den Knotenpunkten angreifende Last von der Grösse „Eins“ erzeugen würde. Man findet:;

Knotenpunkt:    0

II— 1,463    1,427    1,351

CC

05    —

,089    0,916    0,711    0,488    0,251 t.

Die Brücke soll aus Schmiedeeisen und eingleisig hergestellt werden. Die Bahn liegt in einer Horizontalen, welche sich oberhalb des Obergurts befindet.

Die Verkehrslast wird in Rücksicht auf die Stösse etc. mit ihrer IV2 fachen Grösse in die Rechnung eingeführt; die zulässige specifische Spannung ist zu

,238

min -S

k —0,9 (l ~i—~--ft

’ V 2 max S

festgesetzt, wobei der Centimeter als Längeneinheit und die Tonne als Gewichtseinheit gelten.

Approximative Bestimmung des Eigengewichts.

Nach den Ausführungen des § 45 ist in den Formeln zur näherungsweisen Bestimmung des Eigengewichts für die specifische mobile Belastung q eine der halben Spannweite des Bogens entsprechende Grösse einzuführen. Die Tabelle des § 7 giebt für eine Länge von 30 m den Werth q zu 5,ot pr. Gleis und pr. lfdm. an. Da die Berechnung unter Annahme der U^fachen Verkehrslast durchgeführt werden soll, so ist

q — 8,4 t

zu setzen.

Das Gewicht der Bahnconstruction ist nach Gleichung 354 zu 0,81 pr. lfdm. angenommen worden. Hierzu kommt noch das Gewicht derjenigen Construction, welche dazu dient, die an der Fahrbahn angreifenden Lasten auf den Bogen zu übertragen. Dieses beläuft sich nach Gleichung 356 auf

0,91 . 7,5 — 0,075 t,

so dass

zu setzen ist.

-A> == 0,875 1 pr. lfdm. und pr. Gleis

Führt man diese Werthe in Gleichung 358 ein, so lautet dieselbe:

2,5.30²

9 0 00.7,5.0,875 + 3,53.8,4 (3.30²+ 4.7,₅²+ 10

J) —— ---

9000.7,5 — 2,27 (3.30²+ 4.7,₅²+ 14

9.7,5—7.2,5

2,5.30²

9.7,5 — 7.2,5

Hiervon hat jeder der beiden Hauptträger die Hälfte aufzunehmen, so dass sich das Eigengewicht pr. Träger und pr. lfdm. auf 1,339 t stellt.

Das Gewicht der Bahnconstruction beträgt pr. lfdm. und pr. Träger 0,437 1 und demnach dasjenige des Bogens 1,339 — 0,437 — 0,902 t.

0 902

Am Obergurt kommt eine Belastung von —--1— 0,437 == 0,sss t und am Unter

0,45« t pr. lfdm. zur Wirkung.

gurt eine solche von

Die Belastung pr. Knotenpunkt beträgt demnach am Obergurt:

P° — 0,888.3,158 = 2,80 t

und am Untergurt:

P“ — 0,456 . 3,158 = 1,44 t. Die Totalbelastung pr. Knotenpunkt ist also:

P = 2,80 -)— 1,44 - 4,24 t.

Man denkt sich nun jeden der Hauptträger zum Zweck der Spannungsermittlung in zwei Systeme zerlegt, von denen ein jedes für sich statisch bestimmt ist. Die Gurtungen und Vertikalständer gehören beiden Systemen gemeinschaftlich an; System I hat von links nach rechts, System II von rechts nach links fallende Diagonalen.

Spannungsbestiinmungen im System I

mit rechtsfallenden Diagonalen.

Dieses System hat die Hälfte der auf den Bogen einwirkenden Lasten aufzu

nehmen.

Eigengewicht.

Es ist P — 2,12 t zu setzen.

Ob man die Lasten, welche am Knotenpunkt 9 (Kämpferpunkt) angreifen, mitrechnet oder nicht, ist gleichgültig. Es sollen dieselben in der Folge nicht mitgerechnet werden.

Zunächst ergiebt sich:

H— 2(1,463+ 1,427 + 1,351 + 1,238 + 1,089 + 0,916 + 0,711 + 0,488 + 0,251) P — 17,868 P.

Obere Gurtung.

Die den Gurtstäben conjugirten Drehpunkte fallen mit den Knotenpunkten des Bogens zusammen.

Das Moment [II], d. h. das Moment, welches die nämliche Belastung bei einem Balken auf 2 Stützen in einem Punkte, welcher dieselbe Abscisse, wie der in Hede stehende Drehpunkt besitzt, hervorbringen würde, erhält man aus Gleichung 256. Für totale Belastung lässt sich aus dieser Gleichung ein einfacher Ausdruck für -das Moment im wten Knotenpunkte leicht ableiten. Es ergiebt sich:

oder X — 3,1579 gesetzt:

[a/]=2-(9_B)(9+B + dp [M] = 1,5789 (9 •— n) (10 + n)P.

Stab ü₀.

Der conjugirte Drehpunkt ist der untere Knotenpunkt 0 der rechtsseitigen Bogenhälfte. Für diesen ist:

[M] = 1,5789.9.10 P — 142,10 P.

Das Moment M der äusseren Kräfte für den fraglichen Drehpunkt ergiebt sich aus Gleichung 255; man findet:

M — 142,10 P— 17,808.6,230 P — 30,78 P.

Der Hebelsarm dieses, sowie der folgenden Gurtstäbe ist zu 2,5 m aus der

Zeichnung Fig. 1, Taf. 4 abgegriffen. Die Spannung selbst ergiebt sich aus Gleichung 198.

0₀ =

30,7 8

2,5

P = 12,31 P = 26,11.

Stab 0,.

[47] = 1,5789.9.10 P = 142,10 P M — 142,10 P — 17,868.6,230 P = 30,78 P 30,78

0. =

2,5

P= 12,31 P== 26,11.

Stab Or

[M]

1,5789.8.11 P — 138,94 P M — 138,94 P — 1 7,868.6,070 P= 30,48 P 30,48

2,5

P = 12,19 P= 25,81.

Stab 0₃.

[M]= 1,5789.7.12P= 132,63 P

M = 132,63 P- 17,868.5,749 7'= 29,01 P

29,9 t

0,

2,5

P= 11,96 P= 25,4 t.

Stab 0,r

[M] = 1,5789.6.13 P = 123,15 P M= 123,15P— 17,868.5,265P= 29,07 P 29,07

Stab 0.

r= 1 1,63 P= 24,7 t.

[il/] == 1,5789.5 . 14 P= 110,52 P M — 110,52 P- 17,868.4,613 P= 28,09 P

P— 11,24 P— 23,8 t.

0„ =

(1 =

2,5

28,09

2,5

aSY«/> Dy.

0₇.

I M] — 1,5789.4.15 P= 94,73 P M — 94,73 P- 17,868.3,788 P= 27,05 P

-- P=\ 0,82 P = 22,9 t.

[47] = 1,5789.3 . 16 P = 75,79 P M = 75,79 P- 17,868.2,783 P = 26,06 P

0₁ =    p = 10,42 P = 22,11.

a,=

27,05

2,5

2,5

d₈.

[47] = 1,5789.2 . 17 P= 53,68 P M = 53,68 7J — 17,868 . 1,589 P — 25,29 P 25,29

0₈==

P= 10,12 P— 21,5 t.

Strib 0,y

\M] — 1,5789 . 1 . 18P = 28,42 P M = 28,42 P— 17,868.0,192 P= 24,99 P 24,99

2,o

P = 12,49 P= 26,5 t.

Untere Gurtung.

Die Spannungen findet man aus Gleichung 199. Die Hebelsarme sind aus der Zeichnung abgegriffen. Die Momente [4/], welche den verschiedenen Knotenpunkten entsprechen, sind bereits oben berechnet.

Stab U₀.

[M] = 142,io P

M — 142,10 P— 17,868 • 8,7 31 P=- 13,91 P

U₀ =    P = 5,56 P = 11,8 t.

2,5

P,.

[M] = 138,94 P

M = 138,94 P — 17,868.8,577 P = — 14,31 P 14,31

2,5

P = 5,7 2 P = 1 2,1 t.

[44] = 132,63 P

M = 132,63 P— 17,868.8,269 P = — 15,12 P 15,12

2,5

P = 6,05 P= 12,8 t.

[44] = 123,15 P

44 = 123,15 P— 17,868.7,803 P=— 16,27 P 16,27

^3 =

2,5

p = 6,51 P = 13,8 t.

[ M] = 1 10,52 P

44 = 110,52P- 17,868.7,177 P— — 17,72 P

2,5

P — 7,09 P — 15,01.

P,,

[44] = 94,73 P

4/ = 94,73 P — 17,868.6,387 P= — 19,39 P 19,39

£4=

2,5

P = 7,76 P — 16,5 t.

[44] = 75,79 P

44 = 75,79 P- 17,868.5,424 P= — 21,13 P

P= 8,45 P= 17,91.

£4 =

21,13

2,5

a$Pz/-> P-

7*

[4/] = 53,68 P

4/ = 53,68 P- 17,868.4,282 P— — 22,83 P

22,83

£4

2,5

p== 9,1-3 P= 19,4 t.

[4/] = 28,42 P

44 = 28,42 P — 17,868.2,949 P= — 24,27 P

Diagonalen.

Die mitgeschnittenen Gurtlinien der Diagonalen D₀ sind parallel. Die Spannung dieses Stabes ergiebt sich aus Gleichung 201. Die in dieser Gleichung verkommende Grösse [.7’], welche nach der Formel 257 oder 202 zu bestimmen ist, hat in vorliegendem Falle den Werth „Null“. Da ferner cp, d. i. der Winkel, den die mitgeschnittenen Gurtlinien mit der Horizontalen bilden gleich Null, also auch sinr/> = 0 ist, so folgt aus Gleichung 201

D₀ = 0.

Die Spannungen der übrigen Diagonalen ergeben sich aus Gleichung 200. Die Schnittpunkte der mitgeschnittenen Gurtungstheile fallen, wie man aus den berechneten Coordinaten derselben ersieht, sämmtlich nach rechts. Denkt man sich die Spannung irgend einer Diagonalen als Druckspannung auf den linksseitigen Theil • des Bogens einwirken, so erkennt man, dass alsdann diese Kraft um den fraglichen Drehpunkt im Sinne des Uhrzeigers zu drehen sucht. In Gleichung 200 ist also das — Zeichen gültig.

Das Moment [M] ist wie bei den Gurtungen aus Gleichung 256 zu berechnen. Für totale Belastung lässt sich dieser Ausdruck leicht noch etwas vereinfachen. Trifft der zum Zweck der Spannungsermittlung geführte Schnitt das nXe Feld und ist x die Abscisse des fraglichen Drehpunktes, so findet man:

[M\ = n (30 — x) -j- (9 — n) (9 — n -)- 1) P.

Wird Z = 3,t58 gesetzt, so ist:

[il7] = [n (30 — x) + (9 — n) (10 — n) 1,579] P.

Stab T)x.

Stab Ug.

Us =

24,27

2,5

24,2-

2,7 4

P = 9,71 P= 20,61.

P — 8,86 P — 18,8 t.

[M] = [1 (30 + 1251,9) + 8.9.1,579] F= 1395,0 P M = 1395,6 P— 17,868.69,7 P= 150,2 P

150,2

798,7

P = — 0,1 9 P = — 0,4 t.

Stab 7J.,.

[M] = [2 (30 + 635,e) + 7.8.1,579] /' = 1419,6 P M — 1419,6 P— 17,868.70,9 P—\ 52,8 P

D, = —

152,8

419,3

P—- 0,36 P ~- 0,8 t.

Stab

[M] = [3 (30 + 408,e) + 6.7. 1,579] P= 1382,, P ’ M = 1382,i P — 17,868.69,7 P = 136,7 P

136,7

280,7

P— - 0,49 P=- 1,0 t.

Stab I)

[M] = [4 (30 + 297,3) + 5.6.1,579] P= 1356,6 P M = 1356,6 P — 17,868.68,9 P = 125,5 P

125,5

214,2

Die Vertikalen, an deren Endpunkten zwei Gurtlinien zusammenstossen, welche in ihren Richtungen nur wenig von einander abweichen, brauchen nach den Ausführungen des $44 keiner besonderen Rechnung unterzogen zu werden. Diese Voraussetzung trifft bei der Vertikalen Cs nicht zu; es ist erforderlich diesen Stab für beide Systeme gesondert zu berechnen.

System I (rechts fallende Diagonalen).

Die Coordinaten des Schnittpunktes der mitgeschnittenen Constructionstheile (der Stäbe O₀ und Us) ergeben sich aus Fig. 1, Taf. 4 zu

x = 32,40 m und // = — 2,25 m.

Bei Berechnung des Momentes [iR] aus Gleichung 256 ist zu beachten, dass links vom Schnitt die im unteren Knotenpunkte 8 angreifende Last Pu zur Wirkung kommt. Demnach lautet Gleichung 256:

(30 — 32,40) [17.9.3,158 P+ 18.3,iss P°] + (30 + 32,40). 3,iss P*

60

Setzt man P— 2,12t, P° = 1,401 und Pu = 0,72t, so wird:

[M\ — — 41,79 tm

M— — 41,79+ 17,868.2,25.2,t2 — 43,44 tm.

Führt man die Spannung Cs als eine auf den links vom Schnitt befindlichen Theil des Bogens wirkende Druckkraft,ein, so ist der Pfeil derselben abwärts gerichtet. Die -Kraft dreht dann um den fraglichen Schnittpunkt im Sinne des Uhrzeigers ; in Gleichung 200 ist also das — Zeichen einzusetzen.

Ca=-

7,8 t.

Stab ZA.

Stab Dh.

[M] = [5 (30 + 224,7) + 4.5.1,579] P = 1305,. P M = 1305,t P — 17,868.67,o P= 107,9 P

P— — 0,63 P — — 1,3 t.

\M\ = [6 (30 + 176,ö) + 3.4.1,579 \P= 1258,5 P M Ä 1258,5 P — 17,868.65,5 P= 88,1 P

A=-

107

JK = -

88,1

P= — 0,61 P— - 1,3 t.

Stab I).

144,0

\M\ = [1 (30 + 139+ + 2.3.1,579]P= 1193,9 P M= 1193,9 P - 17,868.63,2 P= 64,6

64,6

Stab /+

P = — 0,52 P= — 1,1 t.

[M] = [8 (30 + 110,4) + 1.2. 1,579] P= 1126,4 P M = 1126,4 P — 17,868.60,9 P = 38,2 P

123,i

38,2

107,5

P— — 0,36 P — — 0,8 t.

_43,44_

32,40- 8,5.3,158

System II (links fallende Diagonalen).

Die Coordinaten des Schnittpunktes der mitgeschnittenen Constructionstheile (Stäbe Oe und U₉) sind:

Links vom Schnitt greift die im oberen Knotenpunkte 8 wirkende Kraft P° an.

(30 — 34,49) [17.9.3,158 P+ 18.3,t₅₈Pu] + (30+ 34,49). 3,15s P° _    nA _

* 4^6 tm,

M— — 74,96 + 17,868.0,26.2,12 — — 65,11 tm.

In Gleichung 200 hat das +Zeichen Gültigkeit.

8,5 t.

65,n

34,49 - 8,5 . 3,158

Mobile Belastung.

Um die Belastungsscheiden angeben zu können, ist es zunächst erforderlich, die Kämpferdrucklinie zu bestimmen. Die Ordinaten rj derselben ergeben sich aus Gleichung 93, §11, während der in dieser Gleichung vorkommende Ausdruck [M] aus der Beziehung 92 gefunden wird. Letztere lautet im vorliegenden Fall

Es ist für:

£= 0 [71/] = 15,0

[M]

30² — £²

2.30

18

12

24 m

CO    O

12,c

9,o

5,4 tm ll,6o m.

Für £=30m ergiebt sich der Werth rj aus Gleichung 94; diese heisst:

rj — 10,20

10,53

10,90

_₀ 1832,83 + 93,75 V~    303,71

Die Verzeichnung der Kämpferdrucklinie ist mit Hülfe dieser Zahlenwerthe in Fig. 1, Taf. 4 ausgeführt. Nunmehr kann zur Bestimmung der einzelnen Stabspannungen geschritten werden.

12,09 m.

Obere Gurtung.

Um die Belastungsscheide für den Stab 0₀ zu finden, verbindet man den Schnittpunkt der mitgeschnittenen Constructionst.heile (unterer Knotenpunkt 0 der rechtsseitigen Bogenhälfte) mit dem rechtsseitigen Kämpferpunkte B und schneidet diese Verbindungsgrade mit der Kämpferdrucklinie. Der Schnittpunkt, d. i. die Belastungs-'scheide, fällt in das 7te Feld der linksseitigen Bogenhälfte. Die Verbindungslinie des fraglichen Drehpunktes mit dem linken Widerlagspunkte A giebt keinen reellen Schnitt mit der Kämpferdrucklinie.

Nach dem Belastungsschema Fig. 85, § 34 muss die Strecke vom linken Kämpfer bis zum 7ten Felde belastet sein, damit in 0₀ das Maximum der Zugspannung auftrete. Die Lasten in den Knotenpunkten 7 und 8 sind demnach als vorhanden anzunehmen. Es ist dann:

H— (0,488 + 0,251) Q — 0,739 Q.

Das Moment [M] ergiebt sich aus Gleichung 256. Diese Formel kann man für den Fall, dass der fragliche Drehpunkt mit einem Knotenpunkt des Trägers zusammenfällt, noch etwas einfacher schreiben.

Bezeichnet man mit x nicht die wirkliche Entfernung des Drehpunktes vom Scheitel, sondern die Anzahl der Fel der längen, um welche der Drehpunkt vom Scheitel entfernt ist, ersetzt man ferner die rechts, resp. links vom fraglichen Schnitt

R. Krolm, Bogenbrücken. II.

angreifenden Lasten durch ihre Resultanten R' und R" und giebt die Entfernungen und £" der Angriffspunkte dieser Resultanten vom Scheitel ebenfalls in Felder-längen an, so lautet Gleichung 256:

(9,5 - X) (9,5 + g) R' + (9,5 + X) (9,5 - j“) K" ,

19

\M} =

oder:

[M] = 0,1662 [(9,5 x) (9,5 -j- bO R' -f- (9,5 -j- x) (9,5 £,") R"|-

Im vorliegenden Falle ist R'=0, R"=2() und |"=8,o. Ferner ist x (Entfernung des Drehpunktes vom Scheitel) — — 0,5 also:

[d/j == 0,1662 . (9,5 - 0,5) (9,5 *— 8,0) 2 Q — 4,4!) Q.

Nach Gleichung 255 erhält man:

M = 4,49 Q — 0,739.6,230 Q = — 0,11 Q.

Die Spannung 0₀ ergiebt sich sodann aus der Formel 198:

0,n

max (— 0₀)

0,04 Q.

Die Länge der belasteten Strecke (vom linksseitigen Kämpfer bis zur Belastungsscheide) beträgt etwa 8,5 m. Dieser Länge entspricht nach der Tabelle des §7 eine gleichmässig vertheilte Belastung von ca. 8,3t pr. lfdm. und pr. Gleis; unter Berücksichtigung, dass die mobile Last mit ihrer IV2 fachen Grösse in die Rechnung eingeführt werden soll, ergiebt sich die Belastung pr. Knotenpunkt für jedes der Theilsysteme zu

2,5

8,3

Q = 3,158 .1,5 * —== 1,1 8.8,3 = 9,8 t.

Demnach ist:

max (— O₀) = — 0,o4.9,8 = — 0,41.

Die positive Maximalspannung findet man am einfachsten durch Sub-

max (4- 0₀) = (12,31 + 0,04) Q == 12,35 Q.

Die Länge der belasteten Strecke beträgt ca, 51m, so dass nach der Tabelle

traction des soeben ermittelten Werthes von der in Folge totaler Belastung auftretenden Beanspruchung. Letztere wurde bereits bei Gelegenheit des Eigengewichts berechnet. Man hat

des $ 7 zu setzen ist.

Q= 1,18.5,2 = 6,1t max (+ 0₀) =■■ 12,35.6,1 = 75,31.

Stab Ov

Die Belastungsscheiden findet man wieder, indem man den Schnittpunkt der mitgeschnittenen Constructionstheile mit den beiden Kämpferpunkten verbindet. Die Verbindungsgrade mit dem rechtsseitigen Kämpfer B liefert keinen reellen Schnittpunkt mit der Kämpferdrucklinie. Die Verbindungsgrade mit dem linksseitigen Kämpferpunkte A ergiebt eine im 7ten Felde der rechtsseitigen Bogenhälfte liegende Belastungsscheide. Nach dem Belastungsschema Fig. 85 ist die Strecke rechts von der Scheide zu belasten, um das Maximum der Zugspannung in (\ zu erhalten.

Man hat für diesen Fall

II — (0,488 + 0,251) Q — 0,739 Q

\M ] = 0,1662 (9,5 - 0,5) (9,5- 8,0) 2 Q — 4,49 Q

M — 4,49 Q — 0,739.6,230 Q —--0,11 Q

max (— 0₀) =

0,ti

0,04 Q — — 0,04.9,8 =-0,4 t.

max (4- 0₀) — (12,3i 4~ 0,04) Q = 12,35 Q — 12,35.6,i = 75,31.

2,5

Stab Or

Belastungsscheide im 5ten Felde der rechtsseitigen Bogenhälfte.

II— (0,91 G + 0,711 + 0,488 "h 0,2513 Q = 2,366 Q \M\ = 0,1662 (9,5 — 1,5) (9,5 — 7,0) 4 Q — 13,30 Q M — 13,30 Q- 2,366.6,070 Q =- 1,06 Q

max (— 0₂) = —

1,06

2,5

Q = — 0,42 Q

Q = 1,18.6,5 = 7,7 t max (— 0₂) == — 0,42. 7,7 = — 3,21 max (+ 0#) = (12,19 + 0,42) Q = 12,01 Q Q = 1,18.5,3 = 6,3 t max (H- 0.,) — 12,61.6,3 = 79,41.

Stab 0₃.

Belastnngsscheide im 3ten Felde der rechtsseitigen Bogenhälfte.

H= (1,238 + 1,089 + 0,916 + 0,711 + 0,488 + 0,251 ) Q = 4,693 Q [M] = 0,1662 (9,5 — 2,5) (9,5 — 6,0) 6 Q — 24,43 Q

M — 24,43 Q — 4,693.5,7 49 Q = — 2,55 Q 2,55

1,02 Q

max (— 0₃) = —

Q — 1,18.6,2= 7,3 t max (— 0₃) — — 1,02.7,3 = — 7,41 max (-f- 0₃) = (11 ,oo + 1,02) Q= 12,os Q Q= 1,18.5,4 =6,4t

max (+ 0₃) = 12,98.6,4 = 83,11.

2,5

Stab 0A.

Belastungsscheide im 2ten Felde der rechtsseitigen Bogenhälfte.

II = (4,693 4“ l,35l) Q = 6,044 Q

[M] = 0,1662 (9,5 - 3,5) (9,5 — 5,5) 7 Q = 27,92 Q

M — 27,92 Q — 6,044.5,265 Q = — 3,90 Q

Q =- 1,56 Q

3,90

2,5

Q = 1,18.6,o = 7,11. max (— 0,) = — 1,56 . 7,i= — 1 l,tt max (4- 0,) = (11,63 4- l,5e) Q = 13,19 Q Q = 1,18.5,4 = 6,41 max (4- 0A) = 13,19.6,4 = 84,41.

Stab 0-.

Belastnngsscheide im 2ten Felde der rechtsseitigen Bogenhälfte.

II = 6,044 Q    *

[M] = 0,1662 (9,5 — 4,5) (9,5 - 5,5) 7 Q = 23,27 Q M = 23,27 Q — 6,044.4,013 Q — — 4,61 Q 4,61

Q —- 1,84 Q = — 1,84.7,1 = — 13,1 t

max (— ()-) =

raax (+ 0.) — (11,24 + 1,84) Q — 13,08 Q = 13,os. 6,4 = 83,71.

2,5

Stab 0G.

Belastungsscheide im 2ten Felde der rechtsseitigen Bogenhälfte.

11= 6,044 Q

\M] = 0,1662 (9,5 —.5,5) (9,5 — 5,5) 7 Q= 18,61 Q M— 18,61 Q - 6,044 . 3,788 Q —- 4,2S Q

max (— Oc) = —” — Q = — 1,71 Q = — 1,71 . 7,i == — 12,11

max (+ Or) = (10,82 -f-1,71) Q — 12,53 Q = 12,53.6,4 = 80,21.

Stab 0-.

Belastungsscheide im 2ten Felde der rechtsseitigen Bogenhälfte.

H= 6,044 Q

\M] = 0,1662 (9,5 - 6,5) (9,5- 5,5) 7 Q = 13,96 Q

M= 13,96 Q- 6,044.2,783 Q— - 2,86 Q

max (— 0.) =--Q = — l,i4 Q = — l,i4.7,i = — 8,11

max (+ On) = (10,42+ 1,14) Q = 11,56 Q f= 11,56.6,4 = 74,01.

Stab Os.

Belastungsscheide im 4ten Felde der rechtsseitigen Bogenhälfte.

H = (2,366 + 1,089) Q = 3,455 Q

[4/] = 0,1662 (9,5- 7,5) (9,5 — 6,5) 5 Q — 4,99 Q

M = 4,99 Q- 3,455 . 1,589 Q— — 0,50 Q

0,50

Q = — 0,20 Q

max (— ö₈) = —

Q= 1,18.6,3== 7,4 t max (— OJ = — 0,20 i 7,4 = — 1,51 max (+ 0₈) = (10,t2+ 0,20) Q— 10,32 Q Q— 1,18.5,3 = 6,2 t max (+ 0H) — 10,32.6,2 = 64,o t.

2,5

Stab Og.

Es ist keine reelle Belastungsscheide vorhanden. Das Maximum der Druckspannung findet hei voller Belastung statt.

Q= 1,18.4,9 = 5,8 t max (+ Og) = 12,49.5,8 = 72,11 max (— Og) = 0.

Untere Gurtung.

Die Belastungsscheideu, welche dem Gurtungsstab U₀ entsprechen, findet man, indem man den Schnittpunkt der mitgeschnittenen Constructionstbeile (den oberen

Knotenpunkt 0 der linksseitigen Brückenhälfte) mit den beiden Kämpferpunkten A und B verbindet und die Verbindungsgraden mit der Kämpferdrucklinie zum Schnitt bringt. Es ergiebt sich in dieser Weise, dass die Belastungsscheiden im lsten Felde der rechtsseitigen und 2ten Felde der linksseitigen Brückenhälfte liegen. Nach dem Belastungsschema Fig. 86, § 34 wird die grösste Zugspannung erhalten, wenn die Strecke zwischen diesen beiden Scheiden belastet ist, während die grösste Druckspannung erreicht wird, wenn die Strecken zwischen den Scheiden und den Kämpfern belastet sind. Die Maximaldruckspannung soll direct berechnet werden.

Es erscheint einfacher, das Maximum der Zugspannung direct zu bestimmen und sodann die positive Maximalspannung durch Subtraction von der in Folge totaler Belastung auftretenden Spannung zu ermitteln. Dieser Weg führt jedoch nicht zum Ziel, da für die rechtsseitige und linksseitige Strecke, welche dem Schema zufolge belastet sein müssen, verschiedene spec. Belastungen (in Folge der verschiedenen Länge der Strecken) angenommen werden müssen. Man wird also den Einfluss dieser beiden Belastungen getrennt zu ermitteln haben.

Linksseitige Belastung.

11 = 6,044 Q

[47] = 0,1662 (9,5 + 0,5) (9,5- 5,5) 7 Q = 46,54 Q

Al — 46,54 Q — 6,044 • 8,731 Q =- 6,23 Q

2,4

ü« =    = 2,4» Q = 2,49.7,! = 17,, t.

Rechtsseitige Belastung.

11= (6,044 + 4,427) Q ~ 7,471 Q

[47 | — 0,1662 (9,5 - 0,5) (9,5- 5,o) 8 Q = 53,85 Q

-47 = 53,85 Q — 7,471 • 8,731 Q — — 11,38 Q

11,38

4,55 Q

Q— 1,18 - 5,7 = 6,7 t U₀= 4,55 ■ 6,7 = 30,5t max (-f- Ul) = 17,7    30,5⁼⁼ 48,2t

max (— U₀) = (5,56 — 2,49 — 4,55) Q=— 1,48Q Q = 1,18 • 7,5 = 8,8t max (— Ul) = — lj48.8,s = — 13,ot.

U₀

2,5

Stab Ux.

Belastungsscheiden im mittleren und 4tcn Felde der linksseitigen Brückenhälfte.

Linksseitige Belastung.

II = 3,455 Q

[Al] = 0,1662 (9,5 + 1,5) (9,5 — 6,5) 5 Q = 27,12 Q 47 — 27,42 Q — 3,455.8,577 Q = — 2,21 Q

2,21

Q — 0,88 Q — 0,88 . 7,1 = 6,51.

Rechtsseitige Belastung.

H — (7,471 + 1,463) Q = 8,<134 Q

\M] = Oim, (9,5 - 1,5) (9,5 - 4,5) 9 Q = 59,83 Q

M — 59,83 Q — 8,934 • 8,577 Q —- 16,80 Q

Q — 6,72 Q

16,80

2,5

0 = 1,18 • 5,6 == 6,0 t Ux = 6,72 • 6,6 = 44,4 t max (-f- Ut) = 6,5 + 44,i == 50,9 t max (— £7,) = (5,72 — 0,₈8 — 6,72) Q = — 1,88 Q Q— 1,18 • 6,9 = 8,11 max (— £/,) = — 1,88.8,1 = — 15,2 t.

Stab U₂.

Belastungsscheiden im lsten und 7ten Felde der linksseitigen Brückenhälfte.

Linksseitige Belastung.

H— 0,739 Q

[M\ = 0,1662 (9,5 + 2,5) (9,5 — 8,0) ‘IQ — 5,98 Q M = 5,98 Q — 0,739 • 8,269 Q = — 0,13 Q

Q = 0,05 Q = 0,05 • 9,8 = 0,51.

U,=

0,13

2,5

Rechtsseitige Belastung.

H— (8,934 + 1,463) Q ~ 10,397 Q

[47] = 0,1662 (9,5 - 2,s) (9,5 — 4,o) 10 Q — 63,99 Q

M — 63,99 Q — 10,397 • 8,269 Q — — 21,9s Q 21,98

ü%-

2,5

Q — 8,79 Q

Q — 1,18 • 5,5 = 6,5 t

^2 — 8,79 • 6,5 = 57,it max (-1- Z7₂) = 0,₅ + 57,i == 57,₆t max (— £7a) = (6,05 — O,₀₅ — 8,79) Q = — 2,79 Q Q = 1,18 • 6,2 = 7,3t max (— U₂) = — 2,79.7,3 = — 20,41.

Stab U₃.

Diesem Stab entspricht nur eine einzige Belastungsscheide, welche im 2ten Felde der linksseitigen Brückenhälfte liegt. Das Maximum der Druckspannung wird erreicht, wenn die Strecke vom rechtsseitigen Kämpfer bis zu dieser Scheide belastet ist. Für diesen Fall ergiebt sich:

H= (10,397 + 1,427) Q = H,824 Q

[47] = 0,1662 (9,5 - 3,5) (9,5 - 3,5) 110 = 65,82 Q

!Y1 = 65,82 Q — 1 1,824 • 7,803 Q= — 26,44 Q 26,44

max (+ U₃) =

= 10,58 Q

0 = l,i8.5,4 = 6,41 max (-f- üj) = 10,58.6,4 = 67,71 max (— U₃) = (6,51 — 10,₅₈) 0 = — 4,₀7 0 0 = 1,18.6,0 = 7,it max (— U₃) = — 4,07.7,i = — 29,₀t.

Stab UA.

Belastungsscheide im 2ten Felde der linksseitigen Brückenhälfte.

H— 1 1,824 0

[41] = 0,1662 (9,5 — 4,5) (9,5 — 3,ö) 110 = 54,85 Q M= 54,85 0 — 11,824 • 7,177 Q = — 30,01 0

max (+ UA)

4²²¹ Q = 12,0» Q = 12,„0.6,4 = 76,st

max (— UA) = (7,oo — 12,00) Q = — 4,91 0 = — 4,91.7,* — — 34,91.

Stab U:>.

Belastungsscheide im 3ten Felde der linksseitigen Brückenhälfte.

H— (H,824 + l,35l) Q— 13,175 Q

[41] = 0,1662 (9,5 - 5,5) (9,5 - 3,0) 12 Q = 51,85 0

max (+ U₅)

0—12,92 0

M — 51,85 Q — 13,175 • 6,387 Q = — 32,60 Q 32,30

2,5

0    1,18 • 5,4 4" 6,4 t

max (4- U₅) = 12,92.6,4 — 82,71 max (— U.) — (7,76 — 12,92) 0 — — 5,lb 0 0 == 1,18.6,2 = 7,3 t max (— U₅) = — 5,16.7,3 = — 37,₇1.

Stab £7₆.

Belastungsscheide im 4ten Felde der linksseitigen Brückenhälfte. II— (13,175 4- 1,238)0 == 14,113 0 [M] = 0,1662 (9,5 - 6,5) (9,5 — 2,5) 13 0 = 45,37 0

M = 45,37 0 - 14,413.5,424 0 ==- 32,81 0

32,81

0 = 13,12 0

2,5

max (4- Uc) ⁼

0 = 1,18 • 5,3 = 6,3t max (4- 6⁷c) = 13,i2.6,3 = 82,71 max (— U₆) = (8,45 — 13,12) 0 = — 4,67 0 0 == 1,18 • 6,3 = 7,4t max (— CJ₆) = — 4,67.7,₄ = — 34,ot.

Stab U,.

Belastungsscheide im 5ten Felde der linksseitigen Bogenkälfte.

II— (14,413 4“ 1,089) 0 = 15,502 0 [M] = 0,[662 (9,5 — 7,5) (9,5 — 2,0) 14 0 = 34,900 M — 34,90 0 — 15,502 • 4,282 Q —- 31,48 0

Stab 77₈.

Belastungsscheide im 6ten Felde der linksseitigen Bogenhälfte.

H— (15,502+ 0,916) 0 = 16,418 0

[M | = 0,1662(9,5 - 8,5) (9,5— 1,5) 150= 19,94 Q

max (+• 77₈) =

0=11,39 0

0 = 1,18.5,2 = 6,1 t

max (+ 77g) = 11,39.6,1 = 69,51 max (— 77g) = (9,71 — 11,39) 0 = — 1,68 0 0 = 1,18 . 7,2= 8,5 t max ('— 77₈) = — 1,68.8,5 = — 14,31.

M — 19,94 0 — 16,418.2,949 0 = — 28,48 0 28,48

2,5

Stab U,y

Es ist 77₀ der nämliche Drehpunkt wie dem Stabe 77₈ conjugirt.

max (4- 77n) =

31,48

max (4- 77.) =

Q = 1,18.5,3 = 6,3 t max (+ T7₇) — 12,59.6,3 — 79,31 max (— 77.) = (9,13 — 12,59) 0 = — 3,46 0

Q = 1,18.6,5 = 7,7 t max (— T7₇) = — 3,46.7,7 = — 26,6 1.

2,5

0 = 12,59 0

0= 10,39 0 = 1 0,39.6,1 = 63,4 t 2,74

max (— 77₉) = (8,86 — 10,39) 0 = — 1,53 0 = — 1,53.8,5 = — 13,01.

Diagonalen.

Um die Belastungsscheiden der Diagonalen zu ermitteln, müsste man eigentlich die Schnittpunkte der mitgeschnittenen Gurtlinien benutzen. Da diese jedoch auf der Zeichnung nicht zugänglich sind und die entsprechenden Gurtlinien nahezu parallel verlaufen, so kann man zu vorliegendem Zweck letztere thatsächlich als parallel annehmen und die Belastungsscheiden nach Fig. 92, § 34 dadurch bestimmen, dass man zu einer der beiden geschnittenen Richtungen die Parallele durch den linksseitigen Kämpferpunkt A zieht. Man wird die Parallele zu derjenigen Gurtlinie ziehen, deren Verlängerung am nächsten am Punkte A vorbei geht.

Stab D₀.

Die durch A gezogene Parallele zu den mitgeschnittenen Gurtungsstäben hat keinen reellen Schnittpunkt mit der Kämpferdrucklinie; es tritt demnach nur das fragliche Feld (Mittelfeld) selbst als Belastungsscheide auf. Entsprechend der Figur 92 und den an jener Stelle gegebenen Erläuterungen wird das Maximum der Zugspannung bei rechtsseitiger, das Maximum der Druckspannung bei linksseitiger Belastung des Trägers erreicht.

Das Maximum der Zugspannung soll direct ermittelt werden. Für den Fall, dass die rechtsseitige Hälfte der Brücke belastet ist, wird nach Gleichung 257

Die Spannung selbst ergiebt sieh aus der Formel 201. Es ist (p = 0, also sin cp — 0 und cos (p = 1. Um den Sinus des Winkels a zu berechnen, muss man die Länge des fraglichen Diagonalstabes kennen. Es ist:

>to — V^?501² + 3,158² = 4,028

und demnach

sin a —

— 0,621-

m=

9 . (9,5 - 4,₅) Q

2.9,5

== 2,308 Q-

2,501

4,028

Denkt man sich die Spannung D₀ als Druckkraft auf den links vom Schnitt

befindlichen Theil des Bogens einwirken, so hat diese Kraft eine zur Richtung der Gurtlinien senkrechte Componente, welche aufwärts, gegen die obere Gurtung gerichtet ist. In Gleichung 201 hat also das —Zeichen Gültigkeit. Die Formel lautet demnach:

max (— £>₀) = — —— Q = — 3,si Q= — 3,₈i . 6,0 = — 25,it.

U,62l

max (+1)₀) = 25,i t.

Stab Dy

Belastungsscheide im lsten Felde der linksseitigen Brückenhälfte.

Die Werthe H und Q wurden für den Fall, dass die Strecke vom rechtsseitigen Kämpfer bis zum lsten Felde der linken Brückenhälfte belastet ist, bei Gelegenheit der Berechnung des Stabes U₂ ermittelt.

Ii— 10,397 Q.

Das Moment [M] ergiebt sich aus Gleichung 256. Diese Formel lässt sich noch etwas einfacher schreiben. Ersetzt man die Lasten rechts und links vom fraglichen Schnitt durch ihre Resultanten R' und R" und drückt die Abstände ^ und dieser Resultanten vom Scheitel durch Felder längen aus, während die Abscisse x des

fraglichen Drehpunktes nach wie vor in Metern angegeben wird, so erhält man: (30 — x) (9,5 + gQ R' + (30 + x) (9,5 — g") R/;

19

Im vorliegenden Falle ist R"=0, R;==10Q, £'= — 4,o und x — —1251,9, also: (30 + 1251,9) (9,5— 4,o) 10

[M] =

Q — 3710,7 Q

M = 3710,7 <2 — 10,397.69,7 Q = 2986,o Q.

In Gleichung 200 hat das — Zeichen Gültigkeit.

2986,o 798,7

max (+ 2>,) = (— 0,19 + 3,74) Q = 3,55 Q Q— 1,18.5,8 = 6,8 t max (+ D,) = 3,55.6,s = 24,it.

max (— Dt) =

19

Q —- 3,74 Q — — 3,74.6,5 =- 24,3 t

Stab D₂.

Belastungsscheide im 2ten Felde linksseitiger Brückenhälfte.

Q = 2312,i ()

11= 1 1,824 Q (30 + 635,e) (9,5 — 3,5) 11

19

Stab Dy

Belastungsscheide im 3ten Felde der linksseitigen Brückenhälfte.

Q= 1800,6 Q

M = 2312,i Q

max (—DJ = —

1⁴⁷3,8

- 11,824.70,9 Q= 1473,8 Q Q — — 3,52 Q = — 3,52.6,4 =- 22,5 t

419,3

max (+ DJ = (— 0,36 + 3,52) Q — 3,16 Q Q — 1,18 . 6,0 = 7,i t max (+ DJ = 3,16. 7,i = 22,41.

II = 13,175 Q (30 4- 408,6) (9,5 — 3,o) 12

19

max (— D₃) =

1800,6 <3— 13,175.69,7 Q = 882,3 Q _ 882,3

Q—- 3,14 Q — - 3,14.6,4 ==

max (4- DJ = (— 0,49 + 3,u) Q — 2,65 Q Q — 1,18.6,2 = 7,3 t max (4 Z>₃) = 2,65. 7,3 = 19,31.

280,7

20,, t

Stab Dy

Belastungsscheide im 4ten Felde linksseitiger Bogenhälfte.

Q = 1567,6 Q

II — 14,413 Q (30 + 297,3) (9,5 —2,5) 13

19

max (— DJ = —

M= 1567,6 Q — 14,413.68,9 <3 = 574,5 Q

Q— — 2,68 Q—~ 2,68.6,3 = — 16,9 t

max (+ D) = (— 0,59 + 2,68) Q = 2,09 Q Q = 1,18.6,3 = 7,4 t max (+1),) = 2,09. 7,4 = 15,51.

574,5

214,2

Stab Dy

Zieht man zum Untergurt durch den Kämpferpunkt A die Parallele, so schneidet diese die Kämpferdrucklinie in einem Punkte, der im 3tcn Felde der rechtsseitigen Brückenhälfte liegt. Dieses Feld ist also ausser dem fraglichen Felde selbst noch Belastungsscheide.

Nach Fig. 92 und den an jener Stelle gegebenen Erläuterungen wird das Maximum der Druckspannung erreicht, wenn die Strecke vom rechtsseitigen Kämpfer bis zum 3ten Felde rechtsseitiger Brückenhälfte und die Strecke vom linksseitigen Kämpfer bis zum 5ten Felde linksseitiger Trägerhälfte belastet ist. Für diesen Belastungsfall soll die Spannung direct ermittelt werden. Das Maximum der Zugspannung wird sodann durch Subtraction des zuerst berechneten Werthes von der in Folge totaler Belastung auftretenden Spannung gefunden. Das Maximum der Zugspannung, welches bei Belastung der Strecke zwischen beiden Scheiden auftritt, direct zu berechnen, ist aus den bereits bei Gelegenheit der Spannungsermittlung des Stabes UQ ausgeführten Gründen nicht zulässig.

Rechtsseitige Belastung.

Die Werthe H und Q sind bei Berechnung des Gurtstückes 0₃ bereits befunden.

H = 4,693 Q

(30 + 224,₇) (9,5 — 6,o) 6

Q = 281,5(3

m=

M — 281,5 Q — 4,693.67,o Q — — 32,9 Q

19

32,9

171,4

Q = 0,19 Q = 0,19.7,3 = 1,4 t.

Linksseitige Belastung.

II = (0,916 -r 0,711 + 0,488 + 0,251) Q = 2,366 Q

(30 — 224,7) (9,5 — 7,o) 4

19

Q = — 102,5 Q

M = — 102,5 Q — 2,366.67,0 Q = — 261,0 Q Q = 1,52 Q

261,0

171,4

Q — 1,18.6,7 = 7,9 t A = 1,52 . 7,9 == 12,0 t max (+ D₅) ■= 1,4 + 12,o = 13,41

max (— D.) — (— 0,63 — 0,io — 1,52) Q — 2,34 Q Q = 1,18.5,9 == 7,o t max (—1)₅) = — 2,34.7,o = — 16,41.

Stab D₍,.

Belastungsscheide im lsten Felde rechtsseitiger und 6ten Felde linksseitiger Brückenhälfte.

[M} =

Rechtsseitige Belastung. II — 7,471 Q

(30 -f-176,6) (9,5— 5,o) 8

Q = 391,5 Q M = 391,5 Q — 7,47i . 65,5 Q= — 97,9 Q

19

97,9

144,0

Q = 0,68 Q = 0,68.6,7 = 4,6 t.

Linksseitige Belastung. II = (2,366 — 0,916) Q= 1,450 Q (30 — 17ö,e) (9,5— 7,5)3

Q= — 46,3<d

M = - 46,3 Q — 1,450.65,5 Q= - 141,3 Q 141,3 144,0

Q — 1,18.7,5 = 8,8 t A ⁼ 6,98.8,8 = 8,6 t. max (4- As) ⁼ 4,6 + 8,e — 13,21 max (— A) ⁼ (~ 0,6i — 0,o8 — 0,98) Q = — 2,27 fd Q — 1,18.5,5 = 6,5 t

max (— A) ⁼ — 2,27.6,5 = — 14,71,

Ai

19

Q = 0,98 Q

Stab Z)₇.

Belastungsscheide im laten und 7tcn Felde der linksseitigen Bogenliälfte.

[M] =

Rechtsseitige Belastung.

II = 10,397 Q (30 + 139,2) (9,5— 4,o) 10

19

Q — 489,8 Q

M = 489,8 Q — 10,397.63,2 Q=- 167,3 Q Q= 1,36 Q — 1,36 . 6,5 = 8,8 t.

167,3

123,,

[M\

Linksseitige Belastung. II — 0,739 Q

(30 — 139,2) (9,5 — 8,o) 2

« = — 17,2« M = — 17,2 Q — 0,739.63,2 Q = — 63,9 Q

19

63,9

Q — 0,52 Q = 0,52 . 10,0 = 5,2 t

123,i

max (+ Z>₇) = 8,8 + 5,2 — 14,o t max (— ZÄ) = (— 0,52 — 1,36 — 0,52) Q — — 2,40 Q Q= l,l8.6,2 = 7,31 max (— i>₇) = — 2,40.7,3 = — 17,51.

Stab 1\.

Belastungsscheide im 2ten und 8ten Felde der linksseitigen Brtickenhälfte.

[M] =

Rechtsseitige Belastung.

H— 11,824 Q

(30 + 110,4) (9,5 —3,5) 11

19

M = 487,7 Q — 11,824.60,9 Q = — 232,4 Q

232,4

107,5

0=2,16^ = 2,16.6,4= 13,8 t.

Linksseitige Belastung. II = 0,251 Q

(30 — 110+ (9,5—8,5) 1

w 1=

M — — 4,2 Q — 0,251.60,9 Q — — 19,5 Q

19

jj = liJ?5

⁸    107,5

Q = 1,18 . 12,3 = 14,5 t IZ₈ = 0,18 . 14,5 = 2,6 t max (+    = 13,8 + 2,6 = 16,41

max (— fJs) = (— 0,36 — 2,16 — 0,is) Q= — 2,70 Q Q — 1,18.6,2= 7,3 t max (— Ds) = — 2,70. 7,3 = — 19,71.

ß=0,18Ö

Der Vertikalständer C₈ erfordert wieder eine besondere Untersuchung.

Es kommt zunächst darauf an, zu entscheiden, bei welcher Belastungsart dieser Stab das Maximum seiner Spannungen erhält.

Es sei System I (rechtsfallende Diagonalen) vorausgesetzt. Mit Hülfe des Schnittpunktes der mitgeschnittenen Constructionstheile (Oä und U₈) bestimmt man die Belastungsscheide; dieselbe liegt im 6ten Felde linksseitiger Bogenhälfte. Eine zweite Belastungsscheide bildet das fragliche Feld selbst; als solches ist im vorliegenden Falle das Feld 9 anzusehen, da der durch C₈ zum Zweck der Spannungsermittlung geführte Schnitt die obere Gurtung, an welcher die mobilen Lasten angreifen, im 9ten Felde trifft. Denkt man sich die Spannung C₈ auf den links vom Schnitt befindlichen Theil des Bogens als Druckkraft einwirken, so erkennt man, dass dieselbe alsdann um den Schnittpunkt der mitgeschnittenen Constructionstheile im Sinne des Uhrzeigers dreht. Im Belastungsschema Fig. 87 sind also die Worte „Druck“ und „ Zug “ mit einander zu vertauschen. Es muss demnach der Träger vom rechtsseitigen Kämpfer bis zum 6ten Felde belastet sein, wenn C₈ das Maximum der Zugspannung erreichen soll.

Setzt man System II voraus, so wird nur das fragliche Feld selbst eine Be-lastungsscbeide bilden; als „fragliches Feld“ ist das Feld 8 zu betrachten. Nach dem Belastungsschema Fig. 87 ergiebt sich demnach, dass unter Annahme des Systems II die Vertikale C₈ das Maximum ihrer Zugspannung erreicht, wenn der ganze Träger mit Ausnahme des Knotenpunktes 8 belastet ist.

Bedenkt man, dass beide Systeme gleichzeitig zur Wirkung kommen, so erkennt man, dass die thatsächlich auftretende Belastungsscheide im 6, 7 oder 8ten Felde liegen muss. Ob die Lasten im Knotenpunkte 6 und 7 Zug- oder Druckspannungen hervorrufen, ist zunächst zweifelhaft. Indem man den Einfluss dieser Lasten besonders berechnet, gelangt man zu dem Resultat, dass dieselben Zugspannungen im fraglichen Stabe bedingen, so dass also das 8te Feld als Belastungsscheide anzunehmen ist. Es wird demnach das Maximum der Druckspannung erreicht, wenn nur der Knotenpunkt 8 belastet ist.

[M] =

Maximum der Druckspannung. 11= 0,251 Q

System I.

(30 — 32,40) (9,5 + 8,5) 1

19

<2 = — 2,nQ

d7 =- 2,27 Q-\- 0,251.2,25 Q = - 1,71 Q

Q — 0,31 Q

hu.

32,40 - 8,5.3,158

System II.

(30 -f- 34,49) (9,5 — 8,5) 1

[M} =

M — 3,39 Q + 0,251.0,26 Q = 3,46 Q

19

Q— 3,39 Q

3,46

34,49- 8,5.3,158

Q = 0,45 Q

Für beide Systeme zusammen ist demnach:

max (+- Q = (0,3i + 0,45) Q = 0,76 Q Q = 1,18 • 12,0= 14,2 t, max (+- Q — 0,76. 14,2= 10,s t.

Maximum der Zugspannung. II — 17,617 Q

System I.

Q = — 19,33 Q

(30 — 32,io) (9,5 — 0,s) 17

19

M = — 19,33 Q + 17,617.2,25 Q = 20,31 Q

_    20,31

32,4» — 8,5.3,158

System II.

(30 — 34,49) (9,5-0,5). 17

Q— — 3,65 Q

[M) =

Q = — 30,16 Q

M = — 30,16 Q -h 17,617.0,26 Q = — 31,58 Q 31,58

34,49 — 8,5.3,158 max (— CH) = (— 3,65 — 4,i 3) Q = — 7,78 Q Q— 1,18.5,0= 5,9 t max (— C₈) = — 7,78.5,» = — 45,9.

19

Q = — 4j13 Q

Temperaturspannungen.

Das Trägheitsmoment J₀ des Scheitelquerschnitts, dessen Kenntniss zur Ermittlung des durch Temperaturdifferenzen hervorgerufenen Horizontalschubes erforderlich ist, kann näherungsweise nach Gleichung 258, § 30 berechnet werden. Es ist hierin das Eigengewicht p = 1,339 t pr. lfdm. und pr. Träger und die mobile Last (der halben Spannweite entsprechend) q = 4,21. pr. lfdm. und pr. Träger zu setzen. Man hat:

2,.-,². 30²

8 (7,5.9000 — 7000.2,5)

(1,339 + 1,15 • 4,2) = 0,0867-

Der Horizontalschub selbst ergiebt sich aus Formel 101; diese lautet im vorliegenden Fall:

11= +

= ± 19,12t.

14100.30.0,o876

1832,83 + 93,75

Von diesem Wcrthe hat jedes der beiden Systeme, in welche man einen Träger zerlegt denkt, die Hälfte aufzunehmen, so dass

11= + 9,561

zu setzen ist.

Die Spannungen im Ober- und Untergurt werden nach den Formeln 202 und

203 ermittelt; man findet:

0₀= +

9,56 • 6>230

2,5

= +23, st

0₅= +

9,56.4,613

2,5

= + 17,6t

0, = +

—    9,56 • 6,230

2,5

Oü —--h

9,56 . 3,788

2,5

+ 14,5 n

Die Spannung der Diagonalen A ergiebt sich aus Gleichung 265; da sin(/> = 0 ist, so wird auch

A = 9.

Die übrigen Diagonalen werden nach Gleichung 264 berechnet; es ist:

0.₂ = T

9,50 • 6,070

2,5

+ 23,₂ „

0, = T

9,56 • 2,783

2,5

+ 19,o „

0₃ = +

9,50 . 5,749

2,5

+ 22,o „

9,50 • 1,589

2,5

= + 6,u

04= +

9,50 . 5,265

2,5

+ 20,1 »

0₉= +

9,50 . 9,102

2,0

+    9,o „

9,56 . 8,731

2,5

= ± 33,i t

V>=±

9,50 ■ 6,387

2,5

- = + 24,41

0.= ±

9,50 • 8,577

2,5

= ± 32,8 „

A=±

9,50 • 5,424

2,5

= + 20,7 »

9,56 • 8,200

2,5

= ± 31,o»

U₁=±

9,50 • 4,282

2,5

± 16,4»

03=±

9,50 • 7,803

2,5

± 29,8»

0₈ = ±

9,56 • 2,040

2,5

± H,3»

0₄=±

9,50 . 7,177

2,5

±27,4»

9,50 • 2,040

2,74

= ± 19,3»

9,50 . 69,7

798,7

± 9,s t

A= ±

9,50 ■ 67,0

A=±

9,56 • 70,0

419,3

= ± 1,0»

171,4

9,56 . 65,5

= ± 3,7 t

A=±

9,50 • 69,7

280,7

9,50 • 68,0

== ± 2,4 »

A=±

144,o 9,56 • 63,2

,3 »

214,2

± 3,1 „

A= ±

123;1

9,50 • 60,0

± 4,0»

197,5

= ± 5,4 „

In den Vertikalen sind die Spannungen, welche in Folge der Temperaturdifferenzen auftreten, da doppeltes Fachwerk angeordnet ist, den Ausführungen des § 44 entsprechend, im Allgemeinen „Null“. Nur bei dem Vertikalstab Cs ist, da die in den Endpunkten dieses Stabes zusammenstossenden Gurtlinien in ihren Richtungen wesentlich von einander abweichen, eine besondere Berechnung erforderlich.

Unter Zugrundelegung des Systems I findet man

0₈= +

9,50 • 2,25

32,40- 8,5.3,158

= + 3,o t

und bei Annahme des Systems II:

9,56.9,20

± 9,3 t.

34,40 - 8,5.3,158

Bei gleichzeitiger Wirkung beider Systeme werden sich diese beiden Zahlen-werthe, wie man unter Berücksichtigung der Zusammengehörigkeit der Vorzeichen

erkennt, von einander subtrahiren, so dass man im Ganzen ,    C₈ — -p 3,o t

hat.

Es sollen nunmehr für das System I die Spannungen in den Gurtstücken und den Diagonalen, welche von der permanenten, der mobilen Last und den Temperaturdifferenzen herrühren, summirt werden. Es ergiebt sich:

max (—- 0₀)=26,i— 0,4—23,s= max (— Ot)=26,i— 0,₄ — 23,s= max (— 0₂)=25,8— 3,2—23,₂=— 0,r,„ max (—0.s)=25,₄— 7,4 — 22,₀ = max (—0,)=24,7—11,1 — 20,1—— 6,₅„ max (— 0.)=23,8—13,1—17,6=— 6,9» max (—0₆)=22,9—12,i—14,5=— 3,7» max (— 0₇)=22,i — 8,1 —10,6= max (— ö₈)=21,₅— 1,₅— 6,1= max (—0₉)=26,5

max (— £/₀)=ll,s—13,₀ — 33,₄=—34,01. max (— £/,)=12,i—15,2—32,₈=—35,o» max (— Ug)=12,8—20,₄ — 31,₆= — 39,2 » max (— U₃) = 13,8— 29,₀—29,₈=—45,»„ max (— Z7,)= 15,0—34,0—27,i=—47,3„ max (— £4)=16,5—37,7 — 24,4= —45,6 „ max (— £/₆)=1⁷j9—34,6—20,i=—37,4» max (— £7_)== 19,4—26,₆ — 16,4=—23,c „ max (—£4)=20,6—14,₃—11,3=— 5,₀„ max (— ££₉)=18,8—13,o—10,3=— 4>5„.

max (—i>₀) =

max (—i>,)= —0,4—24,3—0,8 =—25,r>„ max (— 7+= — 0,₈—22,₅—1,6= — 24,0 „ max (—1)₃) = — l,o—20,i—2,4=—23,5 „ max (— A) = — 1,3 — 16,9—3,1 = — 21,3 „ max (— D:)= — 1,3—16,4 — 3,7 = — 21,₄ „ max (—Z>₆)= —1,3—14,7 — 4,₃=—20,3„ max (—/>₇)= —l,i —17,5—4,o=—23,5„ max (—X>₈)= —0,8—19,7—5,4=—25,9»

max (+G₀)=26,i-G75,3+23,8= 125,₂1 max (+ 0,)== 26,i+75,3+23,8= 125,2» max (+ +)=25,8+79,4 + 23,2= 128,1» max (+ +) = 25,4+83,i + 22,0=130,5» max (++)=24,7 + 84,4+20,1= 129,2» max (+ £4)=23,8+83,7+17,6=125,1» max (+ £+=22,9+80,2+14,5=117,6 „ max (+ 0,) = 22,i+74,o+ 10,o= 106,7» max (+f*₈)=21,5+64,o+ 6,1= 91,6» max (+(+=26,5+72,4+ 0,9= 99,s»

max (+ ££₀)⁼⁼⁼ll,8+48,2+33,4= 93,₄ 1 max (+££,)=12,1+50,9+32,8= 95,₈» max (+ £4)= 12,8+57,6+31,6= 102,o„ max (+ ££₃)= 13,8+61,7+29,8= 111,3» max (+ ££₄)=15,o+76,8+27,4=119,₂„ max (+ ££₅)=16,5+82,7+24,4=123,e» max (+ 6rG)=l /,9+82,7+20,7=121,3» max (+ £4)=19,4+79,3+16,4=115,i« max (+C4)=20,6+69,5+11,3=101,4» max (+ ££,)= 18,8+ 63,4+10,3= 92,5 „

max (+/+= max (+ A)⁼⁼—0,4+24,1+0,8=24,5» max (+-£+=—0,8+22,4+1,6=23,2» max (+7>₃)=—1,0+19,3+2,4=20,7» max (+ D,)=—1,3+15,5+3,1 = 17,3» max (+77.)=— 1,3+13,4+ 3,7=15,s» max (+ 7Jn)— — 1,3 +13,2+4,3 = 16,2» max (+/+ = — 1,i + 14,o+4,9=17,₈„ '    max(+77₈)=—0,s+16,4+5,4=21,0»

25,t

25,i t

1,9 t

4,0 »

3,4» 13,9 » — 0,9=    25,o„

-25,i

= — 25,, t

System II.

Die Spannungen, welche in diesem System auftreten, lassen sich nun aus den obigen Zahlen in einfacher Weise ableiten.

Die Spannungen in den Gurtungen ergeben sich aus den Gleichungen 325 und 326 des § 44. Da im Allgemeinen die Hebelsarme sämmtlicher Gurtstücke als gleich (= 2,5m) angenommen sind, so werden sich die gesuchten Werthe direct abschreiben lassen. Nur bei dem Stabe 0B' ist, wie man leicht erkennt, eine Reduction der Spannung Og im umgekehrten Yerhältniss der Hebelsarme erforderlich. Die Spannung U₀‘ müsste eigentlich aus der Spannung £+ abgeleitet werden; letztere ist für

System I nicht berechnet. Man übersieht jedoch sofort, dass der Stab U₀‘ dieselben Spannungen wie der Stab U₀ haben wird, da die diesen beiden Stäben conjugirten Drehpunkte symmetrisch gelegen sind. Es ist noch zu bemerken, dass die Gurtstücke 0₉ und Ug natürlich in beiden Systemen die nämlichen Spannungszahlen haben.

Demnach erhält man:

max (4- 0₀‘) = 125,21 max (4- 0/) = 128,4 „ max (-f 0,0 = 130,5 „ max (+ 0₃0 = 129,2 n max (+ 0A0 = 125,i » max (+ 0₅0 = 117,6 „ max (4- 0,./) = 106,7 „ max-(4-07) = 91,o„

max (+ 0₈0 — 99,s • -max (+ O₉0 = 99,81.

max (+ U₀‘) = 93,41 max (+ (7,0 = 93,4 „ max (+ üf) = 95,8 „ max (4- ££/) = 102,o „ max (4- (7/) = 111,3» max (4- U.J) = 119,2» max (4- (7ß0 = 123,o» max (4- £40 = 121,3» max (4- £40 = 115,i „ max (4- £40 = 92,5 „

Die Spannungen in den Diagonalen ergeben sich aus der Gleichung 328. Das Verhältniss der Längen dieser Stäbe ist bereits anfangs (Beispiel III) berechnet. Man findet also:

max (4- ZV) = 25,i t max (4- D‘) = 25,5.1,049 = 26,7 1 max (4- ZV) = 24,9. 1,102 = 27,i „ max (4- Z>₃0 = 23,5. 1,157 = 27,2 „ max (4- ZV) = 21,3. 1,216 = 25,9» max (4- ZV) = 21,4. 1,279 = 27,4 „ max (4- ZV) = 20,3. 1,347 = 27,4 „ max (4- Z)₇0 — 23,5. 1,421 = 33,4 „ max (4- ZV) = 25,9.1,503 = 38,9 „

Denkt man sich beide Systeme auf einander gelegt, so werden sich die Spannungen in den entsprechenden Gurtstücken summiren. Diese Addition giebt folgende Resultate:

max (4- 0₀) = 125,2 4- 125,2 = 250,41 max (4- 0,) = 125,2 4- 128,4 = 253,0,,

R. Ivrolm, Bogenbrücken. II.

2,o

2,5

79,31

max (— 0₀0 = 1,91 max (— 0/) = — 0,61 max (— 0₂0 = — 4,o „ max (— O₃0 = — 6,5 „ max (— 0,0 = — 6,9» max (— 0₅0 = — 3,7 „ max (— 0‘) = 3,41 max (— 0,0 = 13,9 „ max (— O₈0 = 25,6 max (— O₉0 = 25,61.

max (— UJ) = — 34,6 t max (— U/) = — 34,6 „ max (— ££/) = — 35,9« max (— U.J) = — 39,2 „ max (— (7,0 = — 45,o „ max (— Z7₅0 = — 47,3» max (— (7o0 = — 45,o „ max (— (7,0 = — 37,4 „ max (— (7g0 = — 23,o „ max (— O₉0 = — 4,5 „

.2,0

2,5

20,51

max (— ZV) == — 25,11 max (— ZV) = — 24,5. 1,049 = — 25,71 max (— ZZ7) = — 23,2. 1,102 = — 25,0 „ max (— ZV) — — 20,7. 1,157 = — 23,9 „ max (— ZV) = — 17,3. 1,216 = — 21,0 „ max (— ZV) = — 15,8. 1,279 = — 20,2 „ max (— ZV) = — 16,2. 1,347 = — 21,8 „ max (— ZV) = — 17,8. 1,421 = — 25,3 „ max (— ZV) = — 21,o. 1,5 0 3 = — 31,6 „

max (— 0₀) = 1,9 4- 1,9 = 3,s t max (—O,) = 1,9— 0,o= 1,3»

14

3,4 4“ 13,9 — 13,9 4- 20,5 = 25,6 4- 25,6 =

17.3    »

34.4    n 51,2 „

max (-f- O.j) — 128,4 + 130,5 = 258,y t max (-+- 0₃) = 130,5 + 129,2 = 259,- „ max (4~ 04 ⁼⁼ 129,2 4— 12o,i = 254,3 „ max (+ Or>) = 125,i + 117,c = 242,- „ max (+ Or) = 117,6 + 106,- = 224,3 n max (+ 0.) — 106,7 + 91,c = 198,3 „

max (4- Og) = 91,64- 79,8 = 171,4„ max (4- 0₉) = 99,s 4- 99,s = 199,6 „ max (4- O₀) = 93,4 4- 93,4 = 186,81 max (4-0,)= 95,s 4- 93,4 = 189,2„ max (4- OJ — 102,o 4- 95,₈ = 197,₈ » max (4- 0₃) = 111,3 4- 102,o = 213,3 „ max (4- O,) = 119,2 4~ 111,3 = 230,5 » max (4- O4 = 123,0 4- 119,2 = 242,8n max (4- 04 = 121,3 4- 1*23,« = 244,₉„ max (4- 04 = 115,i 4- 121,3 = 236,4 » max (4- 04 = 101,4 + 115,i = 216,5n max (4- 04 = 92,5 4- 92,5 = 185,₀ „

max (— 0.₂) = — 0,6 — 4,i» = — 4,61, max (— 0₃) = —    4,u —    6,5 =    —    10,5 „

max (— 0,) = —    6,5 —    6,9 =    —    13,4 „

max (— 0,) = —    6,9 —    3,- =    —    10,6 „

max (— 0r) = —    3,7 4-    3,4 =    —    0,3 „

max (— 0.) — max (— 0H) = max (— 0g) = max (— O₀) = — 34,6 — 34,e = — 69,21 max (— 04 = — 35,6 — 34,c = — 70,₅„ max (— O4 = — 39,2 — 35,9 = — 75,t„ max (— 04 = — 45,o — 39,₂ = — '84,₂„ max (— 04 = — 47,3 — 45,₀ = — 92,3« max (— 04 = — 45,o — 47,3 = — 92,9 „ max (— 04 = — 37,4 — 45,0 = — 83,₀„ max (— 04 = — 23,o — 37,₄ == — 61,₀„ max (— 04 = — 5,o — 23,0 = — 28,₆„ max (—04 = — 4,5— 4,r, = — 9,o „

Schliesslich ist es noch erforderlich, die Spannungen in den Vertikalen unter Berücksichtigung beider Systeme zu ermitteln.

Man findet durch einfache Summation:

max (4~ 0₈) = — 1 ,s — 8,5 4- 10,8 4~ 3,6 = — 1,91 max (— 04 = — 7,8 — 8,5 — 45,9 — 3,6 = — 65,s „

Die Spannungen der übrigen Vertikalen findet man angenähert aus den Gleichungen 331 und 334. Die Kraft Q, Belastung pr. Knotenpunkt, ist dann am grössten, wenn zwei benachbarte Felder total belastet sind. Die Länge der belasteten Strecke beträgt in diesem Fall ca. 6m, so dass der Tabelle des §7 zufolge y = 10,21 zu setzen ist. Es ergiebt sich also:

Man hat nun:

Q — 3,158 . 10,2 . 1 ¹/2 • ¹/2 == 24,2 t.

max (- Q =

~ 72,s t;

Sämmtliche Spannungen sind in Fig. 3, Taf. 4 zusammengestellt.

Aus diesen Grenzwertlien ist nunmehr die zulässige spec. Spannung für die verschiedenen Constructionstheile nach der Formel

min S 2 max *S

zu berechnen und muss sodann der erforderliche Querschnitt der einzelnen Stäbe ermittelt werden. Diese Rechnungen sind genau in derselben Weise wie im Beispiel III durchzuführen; dieselben sollen deshalb hier nicht wiederholt werden. Zu bemerken ist nur noch, dass die Querschnitte der Vertikalen etwas reichlich zu bemessen sind, da die Spannungen derselben nur angenähert ermittelt wurden.

Nachdem alsdann der Träger vollständig dimensionirt ist, kann man auf Grund dieser Stabquerschnitte eine Correction der ganzen Rechnung vornehmen. Die Be-

max (4- 0)

2,80 — 1,44

k — 0,9 ^14

0,71.

Stimmung des Horizontalschubes wurde nämlich mit Berücksichtigung der Elastici-tätsverhältnisse des Bogens unter der Annahme durchgeführt, dass das Trägheitsmoment J in jedem Punkte des Trägers der Gleichung

J. cos cp = Const.

genüge, wenn mit cp der Winkel bezeichnet wird, den die Bogenaxe mit der Horizontalen einschliesst. Diese Annahme ist, wie man schon aus den Spannungszahlen der Gurtungen ersieht, thatsächlich nicht zutreffend. Auf Grund der jetzt berechneten Stabquerschnitte lässt sich der Horizontalschub nun bedeutend genauer ermitteln. Bezüglich dieser Correctionsmethode sei auf Beispiel XI verwiesen, in welchem dieselbe vollständig durchgeführt ist. Ob eine solche Correction erforderlich ist oder nicht, muss der Erwägung des Constructeurs überlassen bleiben. Im Allgemeinen ist die hier erzielte Annäherung schon eine so gute, dass man sich mit den gewonnenen Resultaten vollständig zufrieden geben kann. Eine weitere Correction scheint um so weniger geboten, als die Voraussetzungen der Unverschieblichkeit der Widerlager, der absolut genauen Montage des Bogens etc. thatsächlich doch nicht vollständig erfüllt sind. Empfehlenswerth scheint es vielmehr, für statisch unbestimmte Bogensysteme einen etwas grösseren Sicherheitscoefficienten, wie solcher ja auch im vorliegenden Beispiele angenommen ist, in die Rechnung einzuführen.

Beispiel VI.

Es soll dieselbe Bogenbrücke, welche im vorigen Beispiele behandelt wurde, jetzt unter Annahme einer mobilen Belastung durch ein System von Einzellasten berechnet werden.

Genau in derselben Weise, wie im vorigen Beispiel, ist zunächst die geometrische Form des Bogens analytisch zu ermitteln. Sodann ist der Horizontalschub zu berechnen, den eine der Reihe nach an den verschiedenen Knotenpunkten angreifende Last von der Grösse „Eins“ hervorbringt. Nachdem diese vorbereitenden Rechnungen durchgeführt sind, ermittelt man approximativ die Grösse des Eigengewichts und bestimmt nunmehr die in Folge dieses Eigengewichts im Bogen auftretenden Spannungen. Alle diese Rechnungen sind grade so durchzuführen wie im Beispiel V; dieselben sollen deshalb hier nicht wiederholt werden. Bis zu dem Abschnitt: „Mobile Belastung“ auf Seite 193 sind die für das vorige Beispiel gemachten Ausführungen wörtlich hier einzufügen.

Mobile Belastung durch ein System von Einzellasten.

Nach den, Ausführungen des § 35 ist zunächst für jeden einzelnen Constructions-stab die Influenzlinie zu verzeichnen. Diese erhält man folgendermaassen. Eine Last von der Grösse „ Eins “ lässt man der Reihe nach an den verschiedenen Knotenpunkten angreifen und berechnet die dadurch im fraglichen Stabe hervorgerufenen Spannungen. Diese Grössen trägt man in den Angriffspunkten der Last als Ordinaten auf und verbindet die Endpunkte dieser Ordinaten durch grade Linien. Für jede beliebige Lage einer Last „Eins“ giebt die dem Angriffspunkte der Last entsprechende Ordinate dieses Linienzuges sodann die Grösse der dadurch im fraglichen Stabe hervorgerufenen Spannung an. Der Einfluss der Querträger — also die Thatsache,

(lass eine im Innern eines Feldes angreifende Last niclit eigentlich in diesem Angriffspunkte, sondern durch ihre auf die benachbarten Knotenpunkte entfallenden Componenten zur Wirkung kommt — ist in der Construction des Linienzuges bereits dadurch berücksichtigt, dass man denselben zwischen den Knotenpunkten gradlinig verlaufen lässt, anstatt die Endpunkte der berechneten Ordinaten durch eine stetige Curve zu verbinden.

Der Horizontalschub, welcher durch eine in den verschiedenen Knotenpunkten angreifende Einzellast von der Grösse „Eins“ hervorgerufen wird, ist bereits oben berechnet. Man fand:

Knotenpunkt = 0

0,251

H= 1,463    1,427    1,351    1,238    1,089    *1,916    *1,711

Das Stabsystem mit gekreuzten Diagonalen denkt man sich zum Zweck der statischen Berechnung in zwei Einzelsysteme zerlegt. System I soll von links nach rechts fallende, System II von links nach rechts ansteigende Diagonalen enthalten. Die Influenzlinien werden für die einzelnen Stäbe des Systems I berechnet.

Influenzlinien der oberen Gurtungsstäbe.

Für eine beliebige Lage der Einzellast „ Eins “ ist zunächst nach Gleichung 256 der Werth [M]} sodann aus Gleichung 255 das Moment M und schliesslich aus Gleichung 198 die gesuchte Spannung 0 zu berechnen. Die Grösse [M\ d. h. das Moment, welches die nämliche Belastung bei einem Balken auf zwei Stützen in einem Punkte, welcher dieselbe Abscisse, wie der in Rede stehende Drehpunkt besitzt, hervorbringen würde, lässt sich für die in Frage kommende Belastung noch etwas einfacher schreiben als der in Gleichung 256 stehende Ausdruck.

Liegt die Last „Eins“ rechts von dem zum Zweck der Spannungsermittlung durch den fraglichen Stab geführten Schnitt, so wird

[iKJ =

(/ x) (/ -f- £)

21

Liegt hingegen die Last links von diesem Schnitte, so ist:

(l + x) (l- S)

21

Die den Gurtstäben conjugirten Drehpunkte fallen mit den Knotenpunkten des Bogens zusammen. Giebt man die Abscissen x dieser Punkte nicht in Metern, sondern in Felderlängen an, drückt man ebenso die Abscissen £ der Angriffspunkte der Einzellast in Felderlängen aus und berücksichtigt, dass / = 9,52 ist, so lauten die oben aufgestellten zwei Gleichungen:

und

(9,5 — x) (9,5 + I) 2

19    ' L

• /.

(9,5 + x) (9,5 — g)

19

Setzt man noch 1= 3,1579, so erhält man für den Fall, dass die Last rechts vom fraglichen Knotenpunkte angreift:

[4/,] == 0,1662 (9,5 — W) (9,5 -j- £)

und für den Fall, dass die Einzellast links von diesem Punkte liegt:

[A/J = 0,1662 (9,5 + -¹‘) (9,5 — b).

Fällt der Angriffspunkt der Last mit dem fraglichen Knotenpunkte so ist es gleichgültig, welche dieser beiden Formeln man anwendet. Beide Gleichungen liefern dasselbe Resultat.

Beispielsweise ist für den Stab 0₃ a? = 2,₅. Die beiden Gleichungen für das Moment [M] lauten also in diesem Fall:

[dfj = 0,1662 (9,5 - 2,5) (9,5 + §) — 1,1634 (9,5 + £)

zusammen

und

[AL] = 0,1662 (9,5 + 2,5) (9,5 — £) = 1,9944 (9,5 — £)•

Liegt Last „ Eins “ am Knotenpunkte 5 der rechtsseitigen Bogenhälfte, so ist == — 5,5, also:

Ferner:

[di] = 1,1634 (9,5 — 5,s) = 4,6536-

und

di = 4,6536 — 0,916 • 5,749 = — 0,6125 0)6125

0, = -

2,5

0,245-

Würde Last „Eins“ am Knotenpunkte6 der linksseitigen Brückenhälfte angreifen, so wäre £ = 6,₅ zu setzen.

[di] = 1,9944 (9,5 — 6,5) = 5,9832 M— 5,9832 — 0,7ii • 5,749 == 1,8957

1 )8957

ö₃

0,758 •

In dieser Weise können für jeden einzelnen Stab 0 die gesuchten Spannungen ermittelt werden.

Der Gurtungsstab 0, bedarf, nachdem der Stab 0₀ berechnet ist, keiner besonderen Behandlung. Da die Schnittpunkte der mitgeschnittenen Constructionstheile dieser beiden Stäbe symmetrische Lage haben, so wird sich die ungünstigste Laststellung für beide Constructionstheile ebenfalls symmetrisch ergeben und werden die Spannungen in Folge dessen in beiden Stäben die nämlichen sein.

Es ist nun folgende Tabelle berechnet.

2,5

Knoten

punkt

Oo

0‘2

Oh

04

Oö

(h

(h

Oh

Oo

rechtsseitige Bogenhälfte

0,039

0,114

0,223

0,377

0,610

0,904

1,287

1,762

2,337

-0,078

- 0,121

-0,131

— 0,097 0,015 0,185 0,443 0,790 1,234

- 0,112

- 0,191

- 0,239

- 0,245

- 0,177

- 0,055

0,151

0,441

0,824

- 0,130

- 0,230

— 0,301

- 0,334

- 0,299

- 0,214

-0,053

0,186

0,509

- 0,131

- 0,236

- 0,315

- 0,361

— 0,347

- 0,290

- 0,166

0,026

0,292

- 0,186

- 0,035

0,177

- 0,O8O

- 0,144

- 0,193

- 0,222

- 0,215

- 0,182

— 0,108 0,OO7 0,166

- 0,027

- 0,044

—    0,053

—    0,O5O - 0,027

0,011

0,072

0,157

0,267

0,059

0,119

0,181

0,244

0,311

0,379

0,452

0,527

0,607

linksseitige Bogenhälfte

1,739

1,230

0,822

0,505

0,278

0,111

0,023

- 0,019

- 0,027

1,766

2,385

1,839

1,382

1,012

0,701

0,468

0,278

0,122

1,289

1,837

2,478

1,940

1,485

1,085

0,758

0,473

0,221

0,908 1,382 1,94t 2,578 2,028 1,528 1,095 0,701 0,336

0,624

1,023

1,496

2,037

2,644

2,033

1,480

0,961

0,468

0,442

0,763

1,144

1,581

2,073

2,601

1,914

1,255

0,617

0,366

0,605

0,889

1,215

1,580

1,972

2,400

1,584

0,784

0,400

0,556

0,737

0,942

1,169

1,412

1,675

1,950

0,971

0,690 0,777 0,867 0,961 1,059 1,158 1,261 1,366 1,472

Influenzlinien der unteren Gurtungsstäbe.

Die Momente fM] sind die nämlichen wie die, welche bereits für die oberen Gurtstäbe berechnet wurden.

Beispielsweise sei die Behandlung des Stabes CJ₃ durchgesprochen. Der diesem Constructionstheil conjugirte Drehpunkt ist der obere Knotenpunkt 3; es ist also .*• = 3,5 zu setzen. Die beiden Gleichungen für das Moment [M] lauten in diesem Fall: [ili,] = 0,1662 (9,5 — 3,5) (9,5 -f- b) = 0,9972 (9,5 + b)

und

[J/J = 0,1662 (9,5 + 3,5) (9,5 - £) ~ 2,1606 (9,5 - $)•!

Liegt Last „Eins“ am Knotenpunkte 5 der rechtsseitigen Bogenhälfte, so ist — 5,5, also:

Ferner:

[ili] = 0,9972 (9,5 — 5,ö) — 3,9888.

ili = 3,9888 — 0,916.7,803 = — 3,1587«

Aus Gleichung 199 folgt:

U,

3,1587

2,5

1,263 •

Würde Last „Eins“ am Knotenpunkte 6 der linksseitigen Brückenhälfte angreifen, so wäre £=6,5 zu setzen:

[M] = 2,1606 (9,5 - 6,5) == 6,1818

M= 6,1818 — 0,711.7,803 = 0,9339

u₃

0,9339

2,5

0,374.

In dieser Weise werden für jeden einzelnen Stab U die gesuchten Spannungen

ermittelt.

Da den Stäben UH und U₉ der nämliche Drehpunkt conjugirt ist, so wird es nicht erforderlich sein, für diese beiden Constructionstheile je eine gesonderte Untersuchung durchzuführen. Nachdem die Spannung in CJS ermittelt ist, ergiebt sich die Spannung U₉ durch Multiplication des Werthes U% mit dem umgekehrten Verhältniss der Hebelsarme dieser beiden Stäbe. Es ist nun folgende Tabelle berechnet:

Knoten

punkt

Uo

Ul

Ui

Uz

Ul

Uo

Ug . Ui

Ü8

linksseitige Bogenhälfte rechtsseitige Bogenhälfte

0,278 0,508 0,688 0,806 0,812 0,734 0,530 0,197 - 0,276

0,329

0,611

0,844

1,015

1,077

1,056

0,912

0,641

0,233

0,365 0,683 0,956 1,168 1,275 1,303 1,211 0,997 0,651

0,385 0,725 1,023 1,264 1,405 1,471 1,425 1,263 0,976

0,388

0,736

1,044

1,300

1,465

1,560

1,552

1,438

1,209

0,375

0,715

1,019

1,277

1,453

1,567

1,590

1,518

1,344

0,345

0,660

0,944

1,190

1,365

1,490

1,535

1,500

1,379

0,297 0,570 0,819 1,037 1,200 1,323 1,383 1,380 1,309

0,230

0,443

0,639

0,815

0,952

1,061

1,128

1,151

1,127

- 0,299

— 0,955

- 0,484

- 0,140

0,080

0,218

0,246

0,212

0,130

0,185

—    0,399

- 1,116

- 0,692

—    0,387

- 0,161

- 0,042

0,019

0,033

0,578

0,066

0,876 0,441 — 0,110 - 0,767

- 0,460

- 0,210

1,078

0,721

0,261

- 0,294

— 0,941

- 1,649

- 1,175

- 0,748

- 0,356

1,180 0,902 0,538 0,094

Influenzlinien der Diagonalen.

Stab D₀.

Die mitgeschnittenen Gurtlinien sind einander parallel. Die Spannung der Diagonalen B₀ ergiebt sich demnach aus der Gleichung 201. Der Winkel cp, den die Gurtlinien mit der Horizontalen einschliessen, ist 0, also istsinf/) = 0 undcosr/> = l. Um den Sinus des Winkels a zu berechnen, muss man die Länge des fraglichen Diagonalstabes kennen. Es ist:

und demnach:

l[\ = y2,5007'²-l- 3,1579² == 4,0289

sin a

2,5007

4,0280

= 0,6207 •

Denkt man sich die Spannung B₀ als Druckkraft auf den links vom Schnitt befindlichen Theil des Bogens einwirken, so hat diese Kraft eine zur Richtung der mitgeschnittenen Gurtlinien senkrechte Componente, welche aufwärts, gegen die obere Gurtung gerichtet ist. In Gleichung 201 hat also das — Zeichen Gültigkeit. Die Formel lautet demnach:

0,6207

Die Transversalkraft [7’|, welche die nämliche Belastung bei einem Träger auf 2 Stützen im fraglichen Felde hervorbringen würde, ist nach Gleichung 202 oder 257 zu berechnen. Giebt man die Abscisse £ des Angriffspunktes der Last in Felderlängen an, und berücksichtigt, dass /= 9,5A ist, so wird für den Fall, dass die Last „Eins“ rechts vom fraglichen Felde angreift:

9,3 ~4~ £

10

und für den Fall, dass dieselbe links vom fraglichen Felde liegt:

K]=-y=i-

Es greife z. B. die Last „ Eins “ im Knotenpunkte 3 der rechtsseitigen Bogenhälfte an: dann ist

und

— 3,5

9,5 —,3,5

19

0,0158 •

0,3158

0,6207

=- 0,509 •

In dieser Weise sind die Werthe B₀ für die verschiedenen Lagen der Einzellast zu ermitteln.

Es ist noch zu bemerken, dass für symmetrische Lagen der Last die Spannung JJ₀ denselben Absolutwerth, jedoch entgegengesetzte Vorzeichen hat; demnach ist es nur erforderlich die Rechnungen für eine Bogenhälfte durchzuführen.

Für die übrigen Diagonalen ergiebt sich die Spannung in der Weise, dass man zunächst wie bei den Gurtstäben die Grösse [M], sodann das Moment M und schliesslich aus Gleichung 200 die Spannung I) berechnet.

Die Coordinaten der Schnittpunkte der mitgeschnittenen Gurtlinien sind anfangs analytisch ermittelt. Denkt man sich durch irgend eine Diagonale einen Schnitt

geführt und die Spannung U auf den links vom Schnitt befindlichen Theil der Brücke als Druckkraft einwirkend, so erkennt man, dass alsdann diese Spannung um den Schnittpunkt der mitgeschnittenen Constructionstheile im Sinne des Uhrzeigers dreht. In Gleichung 200 hat also das — Zeichen Gültigkeit.

Die Gleichung 256, nach welcher das Moment [M] zu berechnen ist, lässt sich

noch etwas einfacher schreiben. Giebt man die Abscisse £ des Angriffspunktes der Last in Felderlängen an, so wird für den Fall, dass die Last rechts vom fraglichen Felde liegt:

m=

(30 — x) (9,5 + £)

19

und für den Fall, dass die Last links vom fraglichen Felde angreift:

Es sei beispielsweise die Berechnung für den Stab 1Ä, durchgesprochen:

x — — 408,c.

Demnach lauten die beiden Gleichungen für das Moment [M]:

—-yfe (9.5 +1) = 23,08 (9,5 +1)

(30 + *>)(9,₅-B

19

und

30 — 408,6

19

(9,5— £) = — 19,93 (9,5 — $).

Liegt nun die Last „ Eins “ etwa am Knotenpunkte 5 der rechtsseitigen Bogenhälfte, so wird $ — — 5,5 und*

[M] = 23,08 (9,5 — 5,s) = 92,32*

Ferner nach Gleichung 255:

M— 92,32 - 0,91(5 . 69,7 = 28,47

und nach Gleichung 200:

A=-

28,47 _

280,7

= — 0,101 •

Greift die Einzellast am Knotenpunkte 6 der linksseitigen Brückenhälfte an, so ist £ = 6,5 und

[M] = — 19,93 (9,5 — 6,5) = — 59,79

M— — 59,79 — 0,711.69,7 = — 109,35 109,35

0,390 *

Man erhält in dieser Weise die folgende Tabelle:

280,7

Knoten- jjq pnnkt

1h

Di

n₃

Da

Do

D&

D^

Dh

rechtsseitige Bogenhälfte'

- 0,085

- 0,169

- 0,254

- 0,339

— 0,423

- 0,509

- 0,593

- 0,678

- 0,762

—    0,063 - 0,126

—    0,191

- 0,258

- 0,327

- 0,399

--0,473

—    0,551 - 0,633

- 0,041

- 0,085

- 0,020

—    0,043

- 0,070

- 0,101

—    0,141

- 0,186

- 0,240

- 0,304

- 0,377

O,000

0,020

0,034

0,043

0,045

0,035

0,015

--0,019

— 0,068 -0,132

0,039 0,071 0,097 0,115 0,118 0,110 0,086 0,045 - 0,014

0,057 0,106 0,148 0,180 0,197 0,202 0,187 0,154 0,100

0,073

0,139

0,197

0,244

0,273

0,289

0,284

0,259

0,210

Knoten

punkt

I) o

Ih

1)2

I) 4

Ih

Ih

Di

Ih

linksseitige Bogenhälfte

QO-IO'.

0,762

0,678

0,593

0,509

0,423

0,339

0,254

0,169

0,085

— 0,717 0,777 0,689 0,598 0,503 0,407 0,307 0,206 0,104

- 0,588

— 0,678 0,761 0,665 0,564 0,459 0,348 0,235 0,119

- 0,459

— 0,550

- 0,651

0,733

0,626

0,512

0,390

0,263

0,133

- 0,334

- 0,426

-0,530

- 0,6i7

0,679

0,557

0,426

0,288

0,147

- 0,210

- 0,303

- 0,410

- 0,533

- 0,669

0,597 0,457 0,310    0,329

0,158

Die Vertikalen, an deren Endpunkten zwei Gurtlinien zusammenstossen, deren Richtungen nur wenig von einander abweichen, brauchen nach den Ausführungen des § 44 keiner besonderen Rechnung unterzogen zu werden. Diese Voraussetzung trifft bei der Vertikalen Cs nicht zu; für diesen Stab ist eine besondere Untersuchung erforderlich.

Legt man System I (rechts fallende Diagonalen) der Rechnung zu Grunde, so lauten die beiden Gleichungen für das Moment [di]:

=- 0,1203 (9,5 + £)

(30 — 32,₄o)(9,5 + g)

19

und

3,2842 (9,5 — £)•

(30 + 32,40) (9,5-g)

19

Liegt beispielsweise eine Last am Knotenpunkte 6 der linksseitigen Bogenhälfte , so wird £ = 6,5 und

[d/] = — 0,1263 (9,5 + 6,5) =- 2,0208

df= — 2,0208 + 0,711.2,25 =- 0,4211 •

In Gleichung 200, aus welcher die Spannung Cs berechnet wird, ist das —Zeichen einzusetzen.

0,4211

In dieser Weise ergiebt sich:

32,40- 8,5.3,158

0,076 .

rechtsseitige Bogenhälfte.

Knotenpunkt

^8 G,079 —0,152 — 0,220 —0,280 — 0,327 —0,365 0,38b —0,396 —0,38&t

linksseitige Bogenhälfte.

Knotenpunkt

^8--9,365 —0,328 -0,274 -0,206 — 0,123 — 0,030

Unter Annahme des Systems II wird

0,076

0,189

0,3071

[dij =

(30 — 34,₄q) (9,5 + £)

und

19

0,2363 (9,5 + £)

[di₂] =

(30 + 34,49) (9,5 — £)

= 3,3942 (9,5 — £)•

Greift die Last „ Eins “ am Knotenpunkte 6 der linksseitigen Bogenhälfte an, so ist £ = 6,5 und

19

[M] — — 0,2363 (9,5 + 6,5) =- 3,7808

M = — 3,7808 -f- 0,711 . 0,26 =- 3,5959 •

In Gleichung 200 hat das + Zeichen Gültigkeit

3,5959

34,49 — 8,5.3,158

= — 0,470.

In derselben Weise ist die Spannung C₈ zu berechnen, wenn die Last „Eins“ an den übrigen Knotenpunkten wirkt. Es ist darauf zu achten, dass die Belastung im Knotenpunkte 8 links vom fraglichen Schnitte liegt:

rechtsseitige Bogenhälfte.

Knotenpunkt

G₈= — 0,022 —0,045 —0,069 —0,092 “ 0,m —0,143 —0,170 —0,199 —0,228%

linksseitige Bogenhälfte.

Knotenpunkt

Lg--0,259 — 0,291 —0,325 — 0,359 — 0,395    — 0,432 — 0,470 “0,509

0,453 t.

Da beide Systeme gleichzeitig zur Wirkung kommen, so sind die soeben ermittelten Spannungszahlen zu addiren; man erhält dadurch die thatsächlich auftretenden Spannungen, welche eine in den verschiedenen Knotenpunkten angreifende Last von der Grösse „Eins“ im Stabe CB erzeugt.

Es ergiebt sich:

rechtsseitige Bogenhälfte.

Knotenpunkt

— 0,104 — 0,197 — 0,289 —0,372 —"0,444 —0,508 —0,558 —0,595 —0,6161,

linksseitige Bogenhälfte.

Knotenpunkt

L"₈ = —0,624 — 0,619 — 0,599 — 0,565 —0,518 —0,462 — 0,394 —0,320

0,7601.

Die Influenzlinien sind nun mit Hülfe dieser Zahlenwerthe auf den Tafeln 5, 6 und 7 verzeichnet. Fig. 1 Taf. 5 zeigt die Influenzlinien für die Stäbe des Obergurts, Fig. 1 Taf. 6 diejenigen für die Stäbe des Untergurts; in Fig. 1 Taf. 7 sind die Influenzlinien für die Diagonalen und für die Vertikale C₈ verzeichnet. Die Maassstäbe wurden in Wirklichkeit doppelt so gross gewählt, als in den Tafeln angegeben. Um letztere bequem ausfallen zu lassen, ist jedoch eine Reduction auf halbe Grösse vorgenommen.

Nunmehr kann zur Bestimmung der Maximalspannungen übergegangen werden.

Das Lastsystem besteht den Angaben des § 7 zufolge aus 3 Locomotiven nebst Tendern und angehängten Güterwagen; die Entfernungen und Grössen der Einzellasten ergeben sich aus den Fig. 21 und 22 des § 7. Es ist empfehlenswerth, sich einen Papierstreifen anzufertigen, auf welchem das Lastsystem in dem nämlichen Längenmaassstabe, welcher zur Verzeichnung der Influenzlinien verwendet wurde, aufgetragen ist. Man wird gut thun, auf der einen Seite des Papierstreifens das Lastsystem für einen von links nach rechts vorrückenden Zug, auf der andern Seite das System für einen von rechts nach links vorrückenden Eisenbahnzug anzugeben; die Grössen und Nummern der Einzellasten sind einzuschreiben. Auf Seite 156 ist ein Stück eines solchen Papierstreifens verzeichnet. Derselbe muss mindestens die Länge

des ganzen Trägers haben. Im vorliegenden Fall sind die Lasten 1 bis 26 auf demselben anzugeben.

Die Einzellasten sollen mit ihrer 1V2fachen Grösse in die Rechnung eingeführt werden. Es entfällt sodann auf jeden der beiden Hauptträger die Hälfte dieser Werthe. Jedes der beiden Systeme, aus denen ein Bogenträger besteht, nimmt hiervon wiederum die Hälfte auf, so dass für die Berechnung eines Einzelsystems der Druck einer Locomotivaxe mit 1V2 . V2 • V2 . 13t, der Druck einer Tenderaxe mit IV2 • V2 • V2 • 9t und derjenige einer Wagenaxe mit 1J/2. V2 . V2.8t einzusetzen ist.

Da diese Zahlen etwas unbequem werden, so soll zunächst die Berechnung unter Annahme der Werthe 13, 9 resp. 8 t durchgeführt werden. Später sind dann die Spannungen noch mit der Grösse

zu multipliciren.

1 V2 . ¹/2 . V2 — ³/8

Obere Gurtung.

Neben den Influenzlinien ist auf Taf. 5 in Fig. 2 das Kraftpolygon der Lasten 1 bis 26 auf einer Vertikalen OP aufgetragen. Durch die Eckpunkte des Polygons — den Theilpunkten der Lasten — sind Horizontallinien gezogen. Diese Figur dient dazu, mit Hülfe des „Normalenzuges“ (vergl. § 35) die ungünstigste Laststellung zu ermitteln. Da der Normalenzug sowohl rechts wie links vom Kraftpolygon liegen kann, so ist eine zweite Vertikale 0‘ P‘ gezeichnet, von welcher aus der Normalenzug ebenfalls construirt werden kann. Die Influenzlinien, sowie das Kraftpolygon etc. sind in Tusche ausgezogen. Die im Folgenden weiter angegebenen Constructionen sind immer nur in Blei ausgeführt und nach der Berechnung eines Stabes jedesmal wieder fortgewischt.

Es soll die Spannungsermittlung des Stabes 0₃ genau durchgesprochen und dadurch die auch für die anderen Stäbe anzuwendende Methode erläutert werden’.

Maximum der Druckspannung.

Die Influenzlinie, soweit dieselbe positive Ordinaten besitzt, ist in jedem Eckpunkte mit Ausnahme des Knotenpunktes 2 der linksseitigen Brückenhälfte convex gegen die Horizontale A B gekrümmt. Die ungünstigste Laststellung wird demnach jedenfalls erreicht, wenn eine Last im Knotenpunkte 2 angreift. Da in diesem Punkte zugleich das absolute Maximum der Influenzlinie erreicht wird, so müssen die grössten Lasten in der Nähe desselben concentrirt werden, und lässt sich mit ziemlicher Bestimmtheit von vorn herein vermuthen, dass ein mittleres Locomotivrad hier anzu-'    ’ ordnen ist. Mit Hülfe des Papierstreifens erkennt mau, dass wahrscheinlich Last 8

eines von links nach rechts vorrückenden Zuges im Knotenpunkte 2 angreifen muss. Gewissheit hierüber kann man durch Construction des Normalenzuges erhalten. In Fig. 1 Taf. 5 ist die in Rede stehende Lage des Lastsystems eingezeichnet. Zunächst sei angenommen, Last 8 läge unmittelbar rechts vom Knotenpunkte 2. Der Normalenzug ist nun nach § 35 folgendermaassen construirt. Es ist 0‘ S senkrecht zu a b gezogen, da die Lasten 1 bis 3 zwischen den Knotenpunkten 1 und 2 der rechtsseitigen Bogenhälfte angreifen und die Influenzlinie zwischen diesen Knotenpunkten aus der Graden ab besteht; ebenso ist ST senkrecht zu cd gezogen, u. s. f. Der Endpunkt des Normalenzuges ist mit Q bezeichnet.

Denkt man sich die Lasten 1 bis 3 nach links verschoben, so wird die dadurch in 0₃ hervorgerufene Spannungsänderung proportional der Strecke sein, die von der Graden 0‘S auf derjenigen Horizontalen abgeschnitten wird, welche die Lasten 3 und 4 trennt. Ebenso ist die Strecke IIQ proportional der Spannungsänderung, welche durch eine Linksverschiebung des ganzen Systems auftritt. Rücken die Lasten 1 bis 3 nach links, so nimmt die Spannung, wie aus der Form der Influenzlinie zu ersehen ist, im positiven Sinne zu. Die Spannungsänderung ist von der Vertikalen 0‘ P‘ aus nach links abgetragen. Da der Endpunkt Q des Normalenzugs ebenfalls links von 0‘P‘ liegt, so kann man hieraus schliessen, dass auch durch Linksverschiebung des ganzen Systems die Spannung wächst. Es muss also, um das Maxi-der Spannung zu erhalten, der Zug weiter nach links gerückt werden. Dadurch überschreitet Last 8 den Knotenpunkt 2. Der Normalenzug nimmt die in Fig. 2 Taf. 5 punktirt eingezeichnete Form an. Nunmehr fällt der Endpunkt rechts von der Vertikalen 0‘ P'} woraus folgt, dass durch ein weiteres Linksverschieben des Systems die Spannung wieder verringert würde. Die Grenzlage ist also thatsächlich die, bei welcher Last 8 am Knotenpunkte 2 angreift. Es ist hierbei zu bemerken, dass der zweite punktirt angegebene Normalenzug nicht wirklich verzeichnet zu werden braucht. Die erforderlichen Manipulationen sind nur die folgenden: Durch den Punkt J (Fig. 2 Taf. 5) zieht man die Parallele zu KPj bis M. Man greift nunmehr mit dem Zirkel die Strecke MK ab und trägt dieselbe von Q aus nach rechts hin auf; dadurch erhält man ebenfalls, wie leicht ersichtlich ist, den Punkt Qv

mum

Man zieht nunmehr für die so ermittelte ungünstigste Stellung des Eisenbahnzuges durch die Angriffspunkte der Einzellasten die Vertikalen bis zu den Schnittpunkten mit der Influenzlinie 0₃, greift die Ordinaten derselben auf diesen Vertikalen ab, multiplicirt diese Werthe mit den Grössen der Einzellasten und findet schliesslich durch Addition der Producte die gesuchte Spannung. Man erhält:

max (~b O.J = (0,193 + 0,313 -f- 0,434 + 2,218 + 2,47s -j- 2,260 -h 0,759 -f* 0,941 -p 0,527) 13 + (0,942 + 1,154 + 1)393 + 1,032 + 1,420 + 1,230 + 0,195 + 0,094) 9 = 200,3 t.

Maximum der Zugspannung.

Die Influenzlinie ist, soweit dieselbe negative Ordinaten hat, concav gegen die Horizontale AB gekrümmt. Die ungünstigste Zugstellung wird also stattfinden, wenn irgend eine Last an irgend einem Eckpunkt der Influenzlinie angreift. Mit Hülfe des Normalenzuges lässt sich die ungünstigste Stellung des Systems ermitteln.

zur

Die Stellung sei zunächst so angenommen, wie dieselbe in Fig. 1 Taf. 5 eingezeichnet ist. Der entsprechende Normalenzug 0‘ Q‘ wird construirt. Eine Verschiebung der Lasten 1 bis 3 nach rechts würde eine Vergrösserung der Spannung Folge haben; diese Spannungsänderung ist von der Vertikalen 0‘P‘ aus nach links abgetragen. Da auch der Endpunkt Q‘ des Normalenzuges links von der Vertikalen 0‘P‘ liegt, so kann gefolgert werden, dass durch Verschiebung des ganzen Systems nach rechts ebenfalls eine Vergrösserung der Spannung auftritt. Bei einer solchen Rechtsverschiebung überschreitet zunächst die Last 8 den Knotenpunkt 8 der rechtsseitigen Bogenhälfte. Durch den Punkt C des Normalenzuges zieht man die Parallele zu P)Q‘ und trägt die Strecke DL¹ von Q‘ aus nach rechts ab; dadurch erhält man den Endpunkt 0/ des neuen Normalenzuges. Da auch 0/ noch links

von der Vertikalen 0‘P‘ liegt, so muss die Rechtsverschiebung des Systems noch weiter fortgesetzt werden. Nunmehr überschreitet Last 3 den Knotenpunkt 4 der rechtsseitigen Bogenhälfte. Durch den Punkt F des Normalenzuges zieht man die zur Graden mn der Influenzlinie senkrechte FH. Die Strecke GI1 wird vom Endpunkt Q) aus nach rechts abgetragen, wodurch man den neuen Endpunkt Q‘ des nunmehr gültigen Normalenzuges erhält. Dieser fällt rechts von der Vertikalen'0‘P‘ und hieraus folgt, dass durch eine weitere Rechtsverschiebung des Systems die Spannung wieder verkleinert würde. Die ungünstigste Stellung des Zuges wird also erreicht, wenn Last 3 am Knotenpunkte 4 rechtsseitiger Bogenhälfte angreift.

Es werden jetzt wieder durch die Angriffspunkte der Einzellasten die Vertikalen bis zur Influenzlinie 0₃ gezogen, die Ordinaten derselben auf diesen Vertikalen abgemessen, mit den Grössen der Einzellasten multiplicirt und schliesslich diese Producte addirt. Es ergiebt sich:

max (— O3) — — (0,078 + 0,128 + 0,177 + 0,142 + 0,109 + 0,002) 13 — (0,239 + 0,239 + 0,229) 0

= — 14,5 t.

In dieser Weise kann für sämmtliche Stäbe des Obergurts die Spannung ermittelt werden.

Stab 0₀.

Maximum der Druckspannung.

Last 8 eines von rechts nach links vorrückenden Zuges greift am Knotenpunkte 0 der rechtsseitigen Bogenhälfte an.

max(+ O₀) — 189,2 t.

Maximum der Zugspannung.

max (— 0₀) — — l,ot.

Last 2 eines von links nach rechts vorrückenden Zuges liegt im Knotenpunkte 8 der linksseitigen Bogenhälfte.

Stab 0.₂.

Maximum der Druckspannung.

Last 8 eines von links nach rechts vorrückenden Zuges am Knotenpunkte 1 der linksseitigen Bogenhälfte.

max (+ 0) = 194,i t.

Maximum der Zugspannung.

Last 1 eines von rechts nach links vorrückenden Zuges im Knotenpunkt 5 rechtsseitiger Brückenhälfte.

max (— CK) = — 6,91.

Stab 0,{.

Maximum der Druckspannung.

max (+ 0) — 203,7 t. Maximum der Zugspannung.

Last 8 eines von links nach rechts vorrückenden Zuges im Knotenpunkte 3 linksseitiger Bogenhälfte.

Last 2 eines von rechts nach links vorrückenden Zuges im Knotenpunkte 3 rechtsseitiger Bogenhälfte.

max (— O) — — 24,o t.

Stab Oh.

Maximum der Druckspannung.

Last 8 eines von links nach rechts vorrückenden Zuges am Knotenpunkte 4 linksseitiger Bogenhälfte.

max (-J- 0.) = 200,91. Maximum der Zugspannung.

Last 6 eines von rechts nach links vorrückenden Zuges am Knotenpunkte 5 rechtsseitiger Bogenhälfte.

max (— 0.) = — 28,51.

Stab Ou.

Maximum der Druckspannung.

max (-f- Oc) = 189,91. Maximum der Zugspannung.

Last 8 eines von links nach rechts vorrückenden Zuges am Knotenpunkte 5 linksseitiger Bogenhälfte.

Last 2 eines von rechts nach links vorrückenden Zuges am Knotenpunkte 2 rechtsseitiger Bogenhälfte.

max (— 0₆) = — 26,7 t. Stab 0-.

.Maximum der Druckspannung.

Lässt man bei diesem Stab wie bei den übrigen Stäben 0 einen Zug vom linksseitigen Kämpfer bis ungefähr zur Belastungsscheide vorrücken, so wird, wie mit Hülfe des Papierstreifens leicht zu erkennen ist, in der Nähe des Knotenpunktes 6, an welchem die Influenzlinie ihr absolutes Maximum erreicht, keine Locomotive, sondern ein Tender zu liegen kommen. Da aber die Spannung jedenfalls grösser wird, wenn Locomotivraddrücke in der Nähe dieses Knotenpunktes angreifen, so ist es richtiger, die Annahme zu machen, dass ein Zug, welcher aus den Lasten 1 bis 18‘besteht, von rechts nach links vorrückt und mit seinen ersten Axen bereits den linksseitigen Kämpfer überschritten habe. Die ungünstigste Stellung eines solchen Zuges findet statt, wenn grade Last 8 am Knotenpunkte 6 angreift.

max (+ 0.) = 180,o t.

Maximum der Zugspannung.

Last 4 eines von rechts nach links vorrückenden Zuges am Knotenpunkte 4 rechtsseitiger Bogenhälfte.

max (— ö₇) = — 17,71.

Stab 0₈.

Maximum der Druckspannung.

max (+ ös) = 160,81. Maximum der Zugspannung.

Last 8 eines von links nach rechts vorrückenden Zuges am Knotenpunkte 7 linksseitiger Bogenhälfte.

Last 2 eines von rechts nach links vorrückenden Zuges am Knotenpunkte 4 rechtsseitiger Bogenhälfte.

max (— 0₈) = — 3,11.

Stab 0₉.

Maximum der Druckspannung.

Last 2 eines von rechts nach links vorrückenden Zuges am Knotenpunkte 8 der linksseitigen Bogenhälfte.

max (+ 0Q) = 190?i t max (— 0₉) = 0.

Untere Gurtung.

Die Methode der Spannungsermittlung soll für den Stab L\ genau durchgesprochen werden.

Maximum der Druckspannung.

Aus der Form der Influenzlinie ZT, (Fig. 1 Taf. 6) ist ersichtlich, dass, um das

Maximum der Druckspannung zu erhalten, zwei getrennte Strecken des Bogens belastet werden müssen.

Rechtsseitige Belastung.

Die Influenzlinie ZT, zeigt eine gegen die Horizontale AB concave Krümmung.

Es wird demnach die ungünstigste Zugstellung erreicht werden, wenn irgend eine Last an irgend einem Knotenpunkte angreift. Die genaue Lage des Lastsystems kann mit Hülfe des Normalenzuges ermittelt werden. Schätzungsweise ist die Lage zunächst so angenommen, wie dieselbe in Fig. 1 Taf. 6 eingezeichnet ist. Nunmehr ist der entsprechende Normalenzug OQ construirt. Durch eine Rechtsverschiebung der Lasten 1 bis 3 würde eine Vergrösserung der Spannung auftreten. Diese Spannungsänderung, welche durch die Strecke AfS angegeben wird, ist von der Vertikalen OP aus nach rechts abgetragen. Da der Endpunkt Q des Normalenzuges ebenfalls rechts von der Graden OP liegt, so kann man schliessen, dass durch eine Rechtsverschiebung des gesammten Systems gleichfalls eine Vergrösserung der Spannung eintreten würde. Rückt man den Eisenbahnzug nach rechts, so überschreitet zunächst Last 13 den Kämpfer A, so dass als Endpunkt des Normalenzuges nunmehr 0, auf der die Lasten 12 und 13 trennenden Horizontalen anzusehen ist. Man erkennt, dass eine weitere Rechtsverschiebung des Systems vorgenommen werden muss. Hierbei überschreitet nun Last 8 den Knotenpunkt 5 der rechtsseitigen Bogenhälfte. Durch den Punkt F des Normalenzuges zieht man die zur Graden GH Parallele FJ, nimmt die Strecke JG in den Zirkel und trägt dieselbe von £), aus nach links ab; dadurch erhält man den neuen Endpunkt Q, des Normalenzuges. Da auch dieser noch rechts von der Graden OP liegt, so ist das System noch weiter nach rechts zu verschieben. Nach einander finden nun folgende Knotenpunktsüberschreitungen statt: Last 3 überschreitet den Knotenpunkt 1 der rechtsseitigen Bogenhälfte; man construirt den Endpunkt Qv Last 5 überschreitet den Knotenpunkt 3; es wird der Endpunkt Q/t ermittelt. Last 10 überschreitet den Knotenpunkt 7; der Endpunkt des Normalenzuges fällt nach Q-. Last 12 überschreitet den Knotenpunkt 8; der Endpunkt Qc< wird construirt. Last 2 überschreitet den Knotenpunkt 1; der neue Endpunkt Q. des Normalenzuges fällt nunmehr links von der Graden OP; die Grenzstellung ist also erreicht. Es muss Last 2 am Knotenpunkte 1 der rechtsseitigen Brückenhälfte angreifen , damit die Druckspannung zum Maximum werde.

Für diese Laststellung zieht man durch die Angriffspunkte der Einzellasten die Vertikalen, schneidet dieselben mit der Influenzlinie Ui: greift die Ordinaten auf diesen Vertikalen ab, multiplicirt die so erhaltenen Werthe mit der Grösse der Einzellasten und addirt schliesslich diese Producte. Man erhält:

P, = (0, |8Ü + 0,(;4i + 0,7‘>9 + 1,010 + 0,93«! + 0,869) 13 + (1,010 + 1,058 + 1,068 + 0,575

+ 0,144 T- 0,3<>:>) 9 == 101,2t.

Ganz entsprechend findet man für die linksseitige Belastung des Bogens, dass Last 4 eines von links nach rechts vorrückenden Zuges am Knotenpunkte 7 der linksseitigen Bogenhälfte angreifen muss, um hier die ungünstigste Zugstellung zu erreichen. Dann ist:

££, = (0,210 + 0,230 + 0,24l) 13 —f— (0,212 + 0,n4 + 0,i3ß) 9 = 13,ot. Durch Addition dieses und des oben ermittelten Werthes findet man: max (+ £/,) = 101,2+ 13,e = 114,gt.

Maximum der Zugspannung.

Aus der Form des negativen Theils der Influenzlinie ist zu erkennen, dass die ungünstigste Zugstellung erreicht wird, wenn irgend eine Last im Knotenpunkte 1 der linksseitigen Bogenhälfte angreift. Es kann mit grosser Wahrscheinlichkeit angenommen werden, dass hier ein mittleres Locomotivrad liegen muss. Mit Hülfe des Normalenzuges kann man auch hierüber in schärferer Weise Gewissheit erhalten. Es ergiebt sich, dass Last 2 eines von links nach rechts vorrückenden Zuges, welcher aus den Lasten 1 bis 6 besteht, am Knotenpunkte 1 der linksseitigen Bogenhälfte angreifen muss, damit die Zugspannung in £7, zum Maximum werde. Alsdann ist:

max (— £/,) = — (0,63ß + 0,955 + 0,763) 13 — (0,252 + 0,uo + 0,002) 9 — — 33,9 t.

In dieser Weise sind sämmtliche untere Gurtungsstäbe zu berechnen.

Stab U₀.

Maximum der Druckspannung.

Rechtsseitige Belastung.

U₀ = 68,9 t.

Last 3 eines von rechts nach links vorrückenden Zuges am Knotenpunkte 2 der rechtsseitigen Bogenhälfte.

Linksseitige Belastung.

Last 9 eines von links nach rechts vorrückenden Zuges am Knotenpunkte 8 linksseitiger Bogenhälfte.

U₀ = 38,61.

max (+ U₀) = 68,9 + 38,6 = 107,5t.

Maximum der Zugspannung.

Last 2 eines Zuges, welcher aus den Axen 1 bis 3 besteht, greift am Knotenpunkte 0 der linksseitigen Bogenhälfte an.

max (— U₀) — — 28,o t.

Stab U„.

Maximum der Druckspannung. Rechtsseitige Belastung.

£4 = 130,21.

Last 8 eines von rechts nach links vorrückenden Zuges am Knotenpunkte 4 der rechtsseitigen Bogenhälfte.

Linksseitige Belastung.

Last 3 eines von links nach rechts vorrückenden Zuges am Knotenpunkte 8 der linksseitigen ’ Bogenhälfte.

£4= l,it

max (+ £4) = 130,2+ l,i = 131,3 t.

Maximum der Zugspannung.

Last 2 eines von links nach rechts vorrückenden Zuges, welcher aus den Axen 1 bis 9 besteht, greift am Knotenpunkte 2 der linksseitigen Bogenhälfte an. Von den nicht trennbaren Lasten 7, 8 und 9 liegt letztere bereits jenseits der Belastungsscheide. Man muss demnach zunächst ermitteln, ob diese drei Lasten zusammen eine Zug- oder Druckspannung in U₂ hervorbringen und dieselben hiernach entweder zusammen als vorhanden oder als nicht vorhanden annehmen. Durch einfache Betrachtung der Influenzlinie und des angelegten Papierstreifens erkennt man, dass in diesem Falle von den Lasten 7, 8 und 9 zusammen noch eine Zugspannung hervorgebracht wird. Dieselben sind also mit in Rechnung zu ziehen.

max (— ZT₂) = — 47,91.

Stab U₃.

Maximum der Druckspannung.

Last 2 eines von rechts nach links vorrückenden Zuges am Knotenpunkte 0 linksseitiger Bogenhälfte.

max (+ ZT₃) = 159,41.

Maximum der Zugspannung.

Last 2 eines von links nach rechts vorrückenden Zuges am Knotenpunkte 3 der

linksseitigen Bogenhälfte.

max (— U₃) — — 67,o t.

Stab Ui.

Maximum der Druckspannung.

Last 3 am Knotenpunkte 0 der linksseitigen Bogenhälfte.

max (+ ZT’,) = 180,51.

Maximum der Zugspannung.

Last 2 am Knotenpunkte 4 linksseitiger Bogenhälfte.

max (— ZT,) = — 76,91.

Stab Z7₅.

Maximum der Druckspannung.

Last 16 am Knotenpunkte 8 der rechtsseitigen Bogenhälfte.

max (-j- ZT.) = 193,o t.

Maximum der Zugspannung.

Lässt man in diesem Falle einen Zug vom linken Kämpfer bis ungefähr zur Belastungsscheide vorrücken, so würde in der Nähe des Knotenpunktes 5 linksseitiger Brückenhälfte, an welchem die Influenzlinie ihr Maximum erreicht, ein Tender und nicht eine Locomotive zu stehen kommen. Da aber voraussichtlich die Spannung grösser wird, wenn Locomotivaxen in der Nähe dieses Knotenpunktes liegen, so ist es richtiger, die Annahme zu machen, dass ein Zug, welcher aus den Lasten 1 bis 12 besteht, von rechts nach links vorrückt und mit seinen ersten Axen bereits den linksseitigen Kämpfer überschritten habe. Die ungünstigste Stellung eines solchen Zuges findet statt, wenn Last 8 am Knotenpunkte 5 angreift.

max (— ZT) = — 81,91.

Stab ZT₆.

Maximum der Druckspannung.

Last 2 am Knotenpunkte 2 linker Bogenhälfte.

max (+ Ue) '= 197,51.

Maximum der Zugspannung.

Last 8 eines von rechts nach links vorrückenden Zuges, welcher aus den Axen bis incl. 12 bestellt, greift am Knotenpunkte 6 der linken Bogenhälfte an.

max (— UG) — — 76,91.

Stab Ur

Maximum der Druckspannung.

Last 11 am Knotenpunkte 3 der rechtsseitigen Bogenhälfte.

max (+ U.) = 189,i t.

Maximum der Zugspannung.

Last 8 eines von rechts nach links vorrückenden Zuges, welcher aus den Axen bis incl. 12 besteht, liegt am Knotenpunkt 7 linksseitiger Brückenhälfte.

max (— Ui) = — 59,s t.

Stab [7g.

Maximum der Druckspannung.

Last 11 am Knotenpunkte 2 der rechtsseitigen Bogenhälfte.

max (+ ZT*,) = 167,91.

Maximum der Zugspannung.

Last 2 eines von rechts nach links vorrUckenden Zuges, welcher aus den Lasten 1 bis 6 besteht, greift am Knotenpunkte 8 der linken Brückenhälfte an.

max (— [7«) = — 33,;i t.

Diagonalen.

Ueber die Spannungsermittlung der Diagonalen mit Hülfe der in Fig. 1 Taf. 7 verzeichneten Influenzlinien ist es kaum erforderlich, Weiteres zu bemerken. Die bei Berechnung der Gurtungsstäbe angewendete Methode ist auch hier zu benutzen.

Ueber die sich ergebenden ungünstigsten Laststellungen sei Folgendes erwähnt:

Die Diagonalen D₀ bis D,t erreichen das Maximum ihrer positiven (Druck-) Spannung, wenn Last 1 eines vom linksseitigen Kämpfer vorrückenden Zuges an demjenigen Knotenpunkte liegt, in welchem die entsprechende Influenzlinie ihr positives Maximum besitzt; es ist das allemal der Knotenpunkt, welcher das Feld, in dem sich die fragliche Diagonale befindet, linksseitig begrenzt. Die grösste Zugspannung dieser Diagonalen findet statt, wenn in entsprechender Weise ein Zug vom rechtsseitigen Kämpfer vorrückt, und das erste Rad desselben im rechtsseitigen Knotenpunkte des fraglichen Feldes liegt.

Von der Diagonalen D. an bedingt die positive Maximalspannung die Belastung einer am linksseitigen und einer am rechtsseitigen Kämpfer gelegenen Strecke. Die Zugstellung in der ersteren ist wieder in der Weise anzuordnen, dass immer Last 1 am linksseitigen Knotenpunkte des fraglichen Feldes liegt, während die Laststellung in der letzteren sich mit Hülfe des Normalenzuges folgendermaassen ergiebt Stab Ab. Last 8 am Knotenpunkte 8 der rechtsseitigen Bogenhälfte;

Stab D₆. Last 1 am Knotenpunkte 1 der rechtsseitigen Bogenhälfte;

Stab D.. Last 13 am Knotenpunkte 8 der rechtsseitigen Bogenhälfte;

Stab />₈. Last 5 am Knotenpunkte 1 der rechtsseitigen Bogenhälfte.

Das negative Maximum der Spannung erreichen diese Diagonalen, wenn Lastl eines von rechts nach links vorrückenden Zuges im rechtsseitigen Knotenpunkte des fraglichen Feldes angreift und soviel Lasten von diesem Zuge als vorhanden angenommen werden als noch innerhalb der Strecke, auf welcher die Ordinaten der Influenzlinie negativ sind, gestellt werden können. Hierbei ist natürlich zu berücksichtigen, dass die drei Axen der nämlichen Locomotive oder des nämlichen Tenders nicht theils als vorhanden, theils als nicht vorhanden angenommen werden dürfen.

Man erhält folgende Werthe:

Index

max (+ D) —    61,8    59,i    52,3

max (— D) — — 61,8 —60,4    —57,o    —51,4    — 44,s    —39,7    —38,9    —41,i — 46,i*.

Die Vertikale Cs erreicht das positive Maximum ihrer Spannung, wenn Last 2 eines von links nach rechts vorrückenden Zuges im Knotenpunkte 8 der linksseitigen Brückenhälfte angreift, während die Spannung zum negativen Maximum wird, wenn Last 1 eines von rechts nach links vorgeschobenen Zuges im Knotenpunkte 7 der linksseitigen Bogenhälfte liegt. Es ist später zu berücksichtigen, dass die Spannungszahl, welche mit Hülfe der    in Fig. 1 Taf.    7 verzeichneten    Influenzlinie gefunden

wird, bereits die Gesammtspannung    von Cs    angiebt,    welche    durch    die gleichzeitige

Wirkung der beiden Systemei und II in dieser Vertikalen hervorgerufen wird; es wurden bei Berechnung der Ordinaten der Influenzlinie die Einzelwirkungen der beiden Systeme schon addirt.

Man findet:

44,o

35,4

30,3

29,o

31,o

37,o t

max (+ CH) = 19,81;

max (— Cs) — — 111 ,o t.

Sämmtliche bisher berechneten Spannungszahlen sind, wie anfangs bemerkt, noch

3

mit -g- zu multipliciren.

Die Temperaturspannungen sind genau in derselben Weise wie beim vorigen Beispiel zu ermitteln. Die Rechnungen sollen deshalb an dieser Stelle nicht wiederholt werden. Der ganze Abschnitt „Temperaturspannungen“ des Beispiels V (Seite 206) ist hier einzuschalten.

Es sollen nunmehr für das System I die Spannungen in den Gurtstücken und den Diagonalen, welche von der permanenten, der mobilen Last und den Temperaturdifferenzen herrühren, summirt werden.

Die Maximalspannungen des Stabes 0, sind denjenigen des Stabes 0₀ gleich. Die Spannungen von U₉ findet man, indem man die für UH ermittelten Zahlen mit dem umgekehrten Verhältniss der Hebelsarme dieser beiden Stäbe, also mit dem

2,5

2,74

Es ergiebt sich:

- multiplicirt.

Quotienten

cs

IO

co Joo

To

CM

cs

To

'I

IO

To

to

so

oo| co

IO

'To

r-f~

CI

•f

to

001 oo

To

IO

To

CM

To

IO

05

oo co

To

N-

To

'To

Ci

to

To

co [oo

T-

co

To

to

To

cs

tu

To

oo co

"To

To

93,o„

4,9«

14,2«

- 0,9= 25,6«

max(+0₃)=25,4+-|- • 200,3 +22,0= 122,51 max (+04=24,7+1- • 203,7 + 20,1 = 121,2„ max (+OJ=23,sH—• 200,9 +17,6= 116,7 „ max (+04=22,9+4 • 189,9 + 14,5=108,6« max(+04=22,14—~ • 180,o + 10,6= 100,2« max (+04=21,5+4* 160,s+ 6,1= 87,9«

O

max(+0₉)=26,5H—-190,1+ 0,9= 98,7«

max (-\-UJ==l 1,8-4—107,5 + 33,4= 85,5t max (+04=12,14—g-• 114,8 + 32,8= 88,o„ max (+04=12,84—• 131,3+31,6= max(+f/₃)=13,8+-“- • 159,4+29,8=103,4« max(+C0=15,o+-|- • 180,5 +27,4= 110,1 „

O

max (+E4)= 16,5+4 • 193,o +24,₄= 113,3«

O

max(+C7₆)=17,9+-|- • 197,5+20,7=112,7«

max (+0.)=19,4+4 • 189,i + 16,4=106,7«

O

max(+04=20,6 4—q~ • 16/,9 + 11,3= 94,9« 8

max(— 0₃)=25,4—-- • 14,5—22,o=— 2,nt

max(—04=24,7—~ • 24,0—20,t=— 4,4 „

max(—04=23,8—• 28,5—17,0==— 4,5»

max (—04=22,9—• 26,7—14,5=— 1 ,o„

max (—0.)—22,i—jr- • 17,7—10,0=

3

max(—0₈)=21,5—g-• 3,t— 6,1 = max (—04=26,5 max(—04=11,8—• 28,0—33,4=—32,1 t

max(—OJ= 12,i —• 33,9—32,s=—33,4« 3

max(—04= 12,8—g- • 47,9—31,6=—36,8« max(—0₃)=13,8 —g- • 67,0—29,8=—41,t„ max(—+)=15,o—jj- • 76,9—27,4=—41,2« max (— Os)=16,5—• 81,9—24,4=—38,o„ max(—04=17,9—• 76,9—20,7=—31,o« max(— 04=19,4—• 59,8—16,4=—19,4«

O

max (—C/g) =20,6—• 33,3—11,3=— 3,2«

3    2,r,

3    2,5

max (+04=18,8 4—ft •    • 167,9+10,3= 86,0 t max(—04=18,8-—- • 33,3—10,3= —2,91

8 2,74

8    2,74

max (+77₀)=

= 23,21

max (—77n)=

=—23,21

T'⁶¹'⁹

max (+77,)= —0,4+ 4 * 59,i 4- 0,8 = 22,o«

O

max (+77.,)= —0,§+— • 52,3 + l,o = 20,4« max (+77₃)= — 1 ,o+-g- • 44,9+2,4 = 18,2« max (+774=—1,3+4 • 35,4 + 3,1 = 15,i „

-§-•61,8

max(—D,)=—0,4—j- • C(),i—0,s=—23,o„

o

3

max(—77.4=—0,8—g- • 57,o—l,c=—23,s«

max(—Z>₃)=—l,o—• 51,4—2,4=—22,7« 3

max (—Z>,)=—1,3—-g- • 44,5—3,i =—21,i„

max(+i>₅)=—1 ^3—|—• 30,3 + 3,7 = 13,81    max(—Z>₅)=—1,3—jj- • 39,7—3,7=—19,ot

3

max(—i>₀)= —1,3—3- • 38,9—4,3=—20,2„

O

3

max(—j0₇)= —l,i— — • 41,i—4,o=—21,4» max(—Z>₈)=—0,8—~ • 46,i—5,4=—23,s„

max (+D₆)=—1,₃+-|- • 29,o + 4,3 = 13,9 „ max (+2>,)= —1 ,i+• 31,o + 4,9 = 15,4 „ max (+£>,)= -0,8 +~ 37,o + 5,4 = 18,₅„

System II.

Die Spannungen, welche in diesem System auftreten, lassen sieh nun aus den obigen Zahlen in einfacher Weise ableiten.

Die Spannungen in den Gurtungen ergeben sich aus den Gleichungen 325 und 326 des § 44. Da im Allgemeinen die Hebelsarme sämmtlicher Gurtstücke als gleich (=2,5m) angenommen sind, so werden sich die gesuchten Werthe direct abschreiben lassen. Nur bei dem Stabe O,' ist, wie man leicht erkennt, eine Keduction der Spannung 0₉ im umgekehrten Verhältnis der Hebelsarme erforderlich. Die Spannung £7₀' müsste eigentlich aus der Spannung £7_, abgeleitet werden; letztere ist für System I nicht berechnet. Man übersieht jedoch sofort, dass der Stab £7₀' dieselbe Spannung wie der Stab £/„ haben wird, da die diesen beiden Stäben conjugirten Drehpunkte symmetrisch gelegen sind. Es ist noch zu bemerken, dass die Gurtstücke O₀ und £7₉ natürlich in beiden Systemen die nämlichen Spannungszahlen besitzen. Demnach erhält man:

max (— Og) = 1,91 max (— 0,0 = 0 „ max (— 0,0 = — 2,o t max (— O₃0 = — 4,4» max (— O₄0 = — 4,5» max (— O₆0 = — 1,6 „ max (— Og0 = 4,o „ max (— 0,0 — 14,2 „

max (— 0,0 = 25,6 -^r~ = 20,51 ■",5

max (— 0,0 = 25,61.

max (— £7o0 = — 32,1 t max (— £7,0 = — 32,1 „ max (— Ug) = — 33,4„ max (— 0,0 = — 36,8 „ max (— £7/) = — 41,t „ max (— £7₅0 = — 41,2» max (— £7₆0 = — 38,6 » max (— £7,0 = — 31,6 „ max (— £7,0 = — 19,4 „ max (— £7,0 = — 2,9 „

max (+ 0₀0 = 120,9 1 max (+ 0,0 = 121,8 „ max (+ 0,0 = 122,5 „ max (+ 0₃') = 121,2 „ max (+ 0/) = 116,7 „ max (+ 0,0 = 108,6„* max (+ 0,0 — 100,2„ max (+ O₇0 = 87,9 „

2,o

= 79,o t

2,5

max (+ O₈0 = 98,7

max (+ Og0 = 98,71.

max (+ U₀0 = 85,5 1 max (+ 17,0 = 85,5 „ max (+ £7,0 = 88,0 „ max (+ U‘) = 93,6„

. max (+ UA‘) == 103,4 „ max (+ U‘) = 110,i „ max (+ Ug) = 113,3„ max (+ Z7,0 = 112,7 „ max (+ Ug) -= 106,7 „ max_(+ Ug 0 = 86,6 „

max (— D₀‘) = — 23,21 max (— Dx‘) = — 22,6. 1,049 = — 23,7 t max (— D.‘) = — 20,4. 1,102 = — 22,5 „ max (— D‘) = — 18,2. 1,157 = — 21,o„ max (— D,‘) = — 15,i. 1,216 = — 18,4 „ max (— D₅J) = — 13,8. 1,279= — 17,7 „ max (— Do) --= — 13,9.1,347 = — 18,7 „ max (— D.‘) = — 15,4. 1,421 == — 21,9 „ max (— D‘) = — 18,5. 1,503 = — 27,8 „

Die Spannungen in den Diagonalen ergeben sich aus der Gleichung 328.

Das Verhältniss der Längen dieser Stäbe ist bereits anfangs' (Beispiel III) berechnet.

Man findet also:

max (+D‘) — 23,21 max (+ D‘) — 23,9. 1,049 = 25,1 1 max (+ D₂) = 23,8. 1,io2 = 26,2„ max (+ D,‘) = 22,7. 1,157 = 26,3 » max (+ D‘) = 21,i . 1,216 = 25,- „ max (+D‘) = 19,9. 1,279 = 25,5 „ max (4-Db) = 20,2. 1,347 = 27,2 „

21,4 . 1,421 = 30,4 „ max (4- D₃) ⁼ 23,5. 1,503 = 35,3 „

max (4- D*)

Denkt man sich beide Systeme auf einander gelegt, so werden sich die Spannungen in den entsprechenden Gurtstücken summiren. Diese Addition giebt folgende Resultate:

3.8    t

1.9    n

1,9 +    1,9 -

l,o4- 0 =

0 - 2,o = - 2,o „ 6,4,,

3,3 „

19.1    „ 34,7 „

51.2    B

4,9 4-14,2 = 14,2 4-20,5 = 25,6 + 25,6 =

max (4- 0₀) = 120,9 4- 120,9 = 241,81 max (+ O.) = 120,9 + 121,8 — 242,7 „ max (4- 0₂) = 121,s 4- 122,5 = 244,3 » max (4- O,) = 122,5 4- 121,2 = 243,7 „ max (4- 0A) = 121,2 4- 116,7 = 237,9 „ max (4- D#) — 116,7 4- 108,6 = 225,3 » max (4- Ob) — 108,6 4- 100,2 = 208,s „ max (4" O.)) = 100,2 4- 87,9⁼ 188,1 „ max (4- Oe) — 87,9 4- 79,0= 166,9 „ max (+ D(J) = 98,7 4- 98,7 = 197,4 „

max (4- U₀) — 85,5 4- 85,5 = 171,o t max (4- Ux) = 88,0 4- 85,5 = 173,5 „ max (4- U₂) = 93,6 4- 88,0 = 181 ,e „ max (4- U₃) — 103,4 4- 93,6 === 197,o „ max (4- UJ = 110,i 4- 103,4 = 213,5 „ max (4- Uh) = 113,3 4-110,i = 223,4 „ max (4- Ug)= 112,7 4- 113,3== 226,0 „ max (4- D,) = 106,7 + 112,7 = 219,4 „ max (4- Dg) = 94,9+ 106,7 = 201,6» max (+ U₃) = 86,6 + 86,6 = 173,2 „

max (— 0₀) = max (— Ot) = max (— 0₂) =

max (— O.j) = — 2,o — 4,4 == max (— ö₄) = — 4,4 — 4,5 = — 8,9 „ max (— 0₅) = — 4,5 — 1,6 = — 6,l „ max (— 0₆) = — 1,6 4- 4,9 = max (— 0.) = max (— 0₈) = max (— Da) =

max (— U₀) = — 32,i — 32,1 = — 64,21 max (— Ut) = — 33,4 — 32,1 = — 65,5 „ max (— U₂) = — 36,s — 33,4 = — 70,2 „ max (— U₃) = — 41,i — 36,8 = — 77,9 „ max (— U₄) = — 41,2 — 41,1= — 82,3 „ max (— U.J = — 38,6 — 41,2 = — 79,8 „ max (— Ur) = — 31,6 — 38,6 = — 70,2 „ max (— Un) = — 19,4 — 31,6 = — 51,0 „ max (— Us) = — 3,2 — 19,4 = — 22,6 „ max (— Dy) = — 2,9 — 2,9-= -- 5,8»

Schliesslich ist es noch erforderlich, die Spannungen in den Vertikalen unter Berücksichtigung beider Systeme zu ermitteln. Man findet durch einfache Summation

3

max (+ 6g) = — 7,s — 8,5 -f—g- • 19,s + 3,6 = — 5,31 max (— DJ = — 7,8 — 8,5 — • 11 l,o — 3,e = — 61,5 „

Die Spannungen der übrigen Vertikalen findet man angenähert aus den Gleichungen 331 und 334 des § 44.

In Folge der permanenten Last ist:

0,7 t.

2,SO 1,44

/3

In Folge der mobilen Last ist, wie man aus nebenstehender Figur erkennt:

C=-(^13 + 2.13.

3,158 — 1,3

3,158

= 10,6 t

3,m

3, 158

Man hat demnach:

max (-f- C) — 0,7 -f-10,6 = 11,31

max (— C) = 0,71.

Sämmtliche Spannungen sind in Fig. 2 Taf. 7 zusammengestellt.

Aus diesen Grenzwerthen ist nunmehr die zulässige spec. Spannung für die verschiedenen Constructionstheile nach der Formel

£=0,9 ^1 +

1    min S

2    max S

zu berechnen, und muss sodann der erforderliche Querschnitt der einzelnen Stäbe ermittelt werden. Diese Rechnungen sind genau in derselben Weise wie im Beispiel III durchzuführen, dieselben sollen deshalb hier nicht wiederholt werden. Zu bemerken ist nur noch, dass die Querschnitte der Vertikalen etwas reichlich zu bemessen sind, da die Spannungen derselben nur angenähert ermittelt wurden.

Nachdem alsdann der Träger vollständig dimensionirt ist, kann man auf Grund dieser Stabquerschnitte eine Correction der ganzen Rechnung vornehmen. Die Bestimmung des Horizontalschubes wurde nämlich mit Berücksichtigung der Elastici-tätsverhältnisse des Bogens unter der Annahme durchgeführt, dass das Trägheitsmoment J in jedem Punkte des Trägers der Gleichung

J cos (p = const.

genüge, wenn mit cp der Winkel bezeichnet ist, den die Bogenaxe mit der Horizontalen einschliesst. Diese Annahme ist, wie man schon aus den Spannungszahlen der Gurtungen ersieht, thatsächlich nicht zutreffend. Auf Grund der jetzt berechneten StÄ)querschnitte lässt sich der Horizontalschub nun bedeutend genauer ermitteln. Bezüglich dieser Correctionsmethode sei auf Beispiel XI verwiesen, in welchem dieselbe vollständig durchgeführt ist. Ob eine solche Correction erforderlich ist oder nicht, muss der Erwägung des Constructeurs überlassen bleiben. Im Allgemeinen ist die hier erzielte Annäherung schon eine so gute, dass man sich mit den gewonnenen Resultaten vollständig zufrieden geben kann. Eine weitere Correction scheint um so weniger geboten, als die Voraussetzungen der Unverschieblichkeit der Widerlager, der absolut genauen Montage des Bogens, etc. thatsächlich doch nicht vollständig erfüllt sind. Empfehlenswerth scheint es vielmehr, für statisch unbestimmte Bogensysteme einen etwas grösseren Sicherheitscoefficienten, wie solcher ja auch im vorliegenden Beispiel angenommen ist, in die Rechnung einzuführen.

Beispiel VII.

Fachwerkbogen von 60 in Spannweite mit kreisbogenförniiger Axe

ohne Gelenk.

{Annahme einer gleichmassig vertheilten mobilen Belastung.)

Die geometrische Form des Trägers soll derjenigen ähnlich sein, welche die in den vorigen Beispielen behandelte Brücke hat. Die einzige Abweichung besteht darin, dass keine Gelenke vorhanden sind, sondern die parallelen Gurtungen sowohl im Scheitel, wie an den Kämpfern durchgeführt werden. Es ist demnach die Sehnenlänge (Spannweite) der Bogenaxe zu 60 m, die Pfeilhöhe derselben zu 7,5 m angenommen. Die Axe ist nach einem Kreisbogen gekrümmt. Die Gurtungen sollen zwei concentrischen Kreisen eingeschrieben werden, deren normaler Abstand 2,5 m beträgt. Der Bogen sei durch Vertikalständer in 19 Felder von gleicher Länge (in horizontalem Sinne gemessen) getheilt. In jedem Felde sind zwei sich kreuzende Diagonalen angeordnet.

Man beginnt nun damit, die geometrische Form des Trägers auf analytischem Wege zu fixiren. Die Rechnungen sind im Allgemeinen dieselben wie die, welche bereits im Beispiele III vorgenommen wurden. Da hier jedoch am Kämpfer noch ein Endfeld mit der Diagonalen Z>„ (s. Fig. 1 Taf. 8) vorhanden ist, so sind die Rechnungen auch für dieses Feld mit durchzuführen. Es sollen die analytischen Operationen an dieser Stelle nicht vollständig wiederholt werden; nur die Zusätze, welche zu den im Beispiel III durchgeführten Berechnungen gemacht werden müssen, seien hier angegeben.

Zunächst werden die Ordinaten ?/, und ;/, der oberen und unteren Knotenpunkte des Trägers berechnet. Es ist hinzuzufügen, dass für <z* = 30m, ?/, = l,4128 m und ?/,= — 1,4207 m ist. Sodann werden die Coordinaten der Schnittpunkte entsprechender Gurtlinien ermittelt. Der Schnittpunkt von Og und Ug hat die Coordinaten oc= — 85,9 m und y — 57,8m. Die Länge der Diagonalen ZA,, sowie die Grösse des dieser Diagonalen conjugirten Hebelsarmes ergiebt sich nach den im Beispiel III aufgestellten Formeln zu ld— 3,3855 m und d — 94,3 m. Für die Länge der Gegendiagonale^im

₊r

9ten Felde findet man ld‘= 5,3912m, so )dl

dass das Verhältnis -A- = 1,592 ist.

-fX

---OC

t-= 30

Die geometrische Form des Trägers ist nunmehr in Fig. 1 Taf. 8 aufgetragen. Aus dieser Figur sind auch die Bezeichnungen der einzelnen Constructionstheile zu ersehen.

Es kommt jetzt zunächst darauf an, für verschiedene Lagen einer Einzellast von der Grösse „ Eins “ den durch dieselbe hervorgerufenen Horizontalschub II, sowie die entsprechenden Werthe M₀ und T₀ zu ermitteln. Ueber die Bedeutung der letzteren Grössen vergl. § 14.

Der Weg der Rechnung ist in § 38 angegeben.

Man theilt die Spannweite des Bogens (Sehnenlänge der Axe) in 10 gleiche Theile und berechnet für diese Theilpunkte die Ordinaten //' der Axe. Dieselben ergeben sich aus der Formel

y‘ — f— r -f- y,ifi — xl.

Die Grösse des Radius r war bereits zu 63,75 m gefunden. Es liefert obige Formel folgende Werthe:

12

18

24

30m

7,2170

2,8098

4,9060

Sodann ergiebt sich der Werth s, um welchen die X-Axe über der Kämpferhorizontalen (Sehne der Bogenaxe) liegt, aus der Gleichung 147 des § 15. Es ist:

6,3604

0„

z =    - ("7,5 + 7,2170 + 2.6,3604 + 4,9060 + 2.2,8098^

= 5,0615.

Die Ordinaten y der Bogenaxe von der neuen Ar-Axe aus gerechnet ergeben sich aus der Beziehung

Man hat demnach für: x— 0

U = y‘— *•

12

18

24

30

- 2,2517

Diese Ordinaten sind in die weiteren Rechnungen immer einzuführen. Die Grösse i) findet man nun aus Gleichung 151; es ist:

6^2.2,4385²—|— 2.2,1555²—|— 4.1,2989²—|— 2.0,1555²H~ 4.2,2517²—|— 5,0615²J

Ferner ergiebt sich aus den Gleichungen 152:

- ^2,4385 + 4.2,1555 + 2.1,2989 — 4.0,1555 — 2,2517^ = — 21,569. ^— 0,1555 — 4.2,2517 — 5,0615^ — — 28,448.

“ ^2,4385 + 4.2,1555 + 1,2989 J “ ^2,1555 + 4.1,2989

/J = 2,4385

Ii =

2,1555

1,2989

— 0,1555

- 5,0615 „

= 295,51.

= — 24,718.

- 2.0,1555 —

4.2,2517 —5,0615 ^

=- 14,056.

= 0.

Um die Werthe 5U zu berechnen, ist es erforderlich, eine Zwischenordinate y41|-2, welche der Abscisse .2? = 27 m entspricht, zu bestimmen; man findet

y‘i 1/2= Mooo

^41/2 — 1,5000 — 5,0615 =- 3,5615.

Die Formeln 153 liefern die Werthe:

= ~~ ^— 4.2,2517 - 18.3,5615 —

<5/.    _

£3—3

5.5,0615^

= — 590,528.

36

&■>= — 59 0,528 -f

^— 3.0,1555 — 16.2,2517 — 5.5,0615^ = — 741,614.

^1,2989 — 6.0,1555— 2.2,2517 j

= — 689,828.

Ä;

*">G f

f 2,1555 + 8.1,2989

- 6.0,1555 — 16.2,2517 —

5.5,0615 j

= — 596,652.

S» = - 590,528 4

4.36

2,1555 -h 1,2989 - 3.0,1555 - 2,2517 ) =- 555,190.

Man lässt nun eine Last von der Grösse „Eins“ der Reihe nach an den gewählten Theilpunkten angreifen und bestimmt für diese verschiedenen Lagen derselben aus Gleichung 133 den Werth ft)].

Liegt die Last z. B. am zweiten Theilpunkt, also in der Entfernung £=12m vom Scheitel, so ist:

ft)] = _ 12 .24,718 + 689,828 = 393,21.

Es ergiebt sich für:

§= o

ft)] = 555,19

12

18

24

30 m

229,55

Der Horizontalschub selbst kann nun aus Gleichung 117 gefunden werden. In dieser Formel kommt ausser den Werthen ft)] und i) noch der Ausdruck 2/ul vor.

512,32

393,21

72,87

0„

K¹

Es ist nach 29, §2 für Träger mit durchbrochenen Wandungen |W = — zu setzen, worin h die Entfernung der Gurtlinien bedeutet. Im vorliegenden Falle ist also:

2 5²

ft —    = 1,5625

und 2^/= 2 . 1,5625.30 = 93,75.

Die Gleichung 117 lautet demnach

II

295,51 + 93,75

Indem man hierin für ft)| die den verschiedenen Lagen der Einzellast entsprechenden Werthe einsetzt, erhält man für den Horizontalschub II folgende Zahlen:

30 m

6 . 1,316

12

18

24

0,187

H= 1,426

Die Werthe £ und H sind nun in Fig. 2 Taf. 8 als zusammengehörige Ab-scissen und Ordinaten aufgetragen und die Endpunkte der Ordinaten durch eine stetige Curve verbunden. Der Maassstab wurde in Wirklichkeit doppelt so gross, als der hier angenommene, gewählt. Um die Tafeln bequem ausfallen zu lassen, ist jedoch eine Reduction auf halbe Grösse vorgenommen. Sodann sind die den Abscissen der Knotenpunkte des Trägers entsprechenden Ordinaten dieser Curve abgegriffen und dadurch die verschiedenen Werthe des Horizontalschubes ermittelt, welche eine in den Knotenpunkten angreifende Last von der Grösse „Eins“ erzeugen würde. Man findet:

1,010

0,590

0 t.

Knotenpunkt:    0

II— 1,417    1,352    1,237    1,068    0,866    0,638    0,407    0,204    0,063    01.

Ferner sind die Werthe [JF] und [5] direct aus den Gleichungen 131 und 132

i'

berechnet. Dieselben lauten im vorliegenden Fall [JF] =    (900—•§²) und [«$]—-^-[J].

Für die verschiedenen Knotenpunkte sind die entsprechenden Werthe £ (Entfernung der Knotenpunkte vom Scheitel) einzusetzen. Es ergeben sich der obigen Reihenfolge der Knotenpunkte entsprechend folgende Zahlen:

388,92

349,03    2 99,t7    239,33

1637,5

\£} = 448,75 438,-s    418,83

[3] = 236,2    692,8    1102,₂    1432,2    1653,2    1732,o

169,53    9,75

1338,4    8 3,o.

Die Werthei/o und T₀ sind sodann nach den Gleichungen 116 und 118 ermittelt, welche für das vorliegende Beispiel folgende Form annehmen:

00 o

60

und T₀

18000

Entsprechend den verschiedenen Knotenpunkten erhält man in der nämlichen Reihenfolge:

M₀— 7,479    7,313    6,980

T₀— 0,0131 0,0385 0,0612

5,817    4,986    3,989    2,825    1,496

0,0918    0,0962    0,0910    0,0744    0,0446.

Für die Knotenpunkte der rechtsseitigen Bogenhälfte mit negativen Werthen £

O CS

o    *£*•

-1    00

ist der Horizontalschub naturgemäss der nämliche wie der, welcher symmetrisch liegenden Knotenpunkten der linksseitigen Bogenhälfte entspricht. Aus den Formeln für [£\ und [3] erkennt man ferner, dass auch die Werthe M₀ für symmetrisch liegende Knotenpunkte die nämlichen sind, dass aber die Grössen T₀ bei negativem £ das Vorzeichen umkehren, während die Absolutwerthe auch hier ungeändert für die rechtsseitige Bogenhälfte gelten.

Nunmehr kann zur Ermittlung der Spannungen übergegangen werden.

Die Brücke soll aus Schmiedeeisen und eingleisig hergestellt werden. Die Bahn liegt in einer Horizontalen, welche sich oberhalb des Obergurts befindet.

Die Verkehrslast wird in Rücksicht auf die Stösse etc. mit ihrer l¹/? fachen Grösse in die Rechnung eingeführt; die zulässige spec. Spannung ist zu

1 min 5

k-0,9 ^1 -j“

2 max £

festgesetzt, wobei der Centimeter als Längeneinheit und die Tonne als Gewichtseinheit gelten.

Approximative Bestimmung des Eigengewichts.

Nach den Ausführungen des § 45 ist in den Formeln zur näherungsweisen Bestimmung des Eigengewichts für die specifische mobile Belastung q eine der halben Spannweite des Bogens entsprechende Grösse einzuführen. Die Tabelle des § 7 giebt für eine Länge von 30 m den Werth q zu 5,6 t pr. Gleis und pr. lfdm. an. Da die Berechnung unter Annahme der 1 V2fachen Verkehrslast durchgeführt werden soll, so ist q = 8,41 zu setzen.

Das Gewicht der Bahnconstruction ist nach Gleichung 354 zu 0,81 pr. lfdm. angenommen worden. Hierzu kommt noch das Gewicht derjenigen Construction, welche dazu dient, die an der Fahrbahn angreifenden Lasten auf den Bogen zu übertragen. Dieses beläuft sich nach Gleichung 356 auf

0,01 . 7,5 — 0,075 t,

so dass

zu setzen ist.

B = 0,875 t pr. lfdm. und pr. Gleis

Führt man diesen Werth in Gleichung 359 ein, so lautet dieselbe:

2,5.30²

9000.7,5.0,875 + 2,96.8,4 (3.30²-f- 4.V + 25,e

j) —— ---

9000.7,5 - 2,27 ^3.30²+4.7,5²-f-30,₃

9.7,5 — 14.2,5

2,5.30²

— 3,134 t,

9.7,5—14.2,5

Hiervon hat jeder der beiden Hauptträger die Hälfte aufzunehmen, so dass sich das Eigengewicht pr. Träger und pr. lfdm. auf 1,567 1 stellt.

Das Gewicht der Bahnconstruction beträgt pr. lfdm. und pr. Träger 0,4371 und demnach dasjenige des Bogens 1,567 — 0,437 = 1,1301.

Am Obergurt kommt eine Belastung von

- ’^i0 + 0,137 = 1,002 t

und am Untergurt eine solche von

1,130

pr. lfdm. zur Wirkung.

InS

= 0,565 t

Die Belastung pr. Knotenpunkt beträgt demnach am Obergurt:

P“ — 1,002.3,158 = 3,164 rund 3,17 t

und am Untergurt:

Pu — 0,565.3,158 = 1,784 l’Und 1,79 t. Die Totalbelastung pr. Knotenpunkt ist also:

P — 3,17 + 1)79 = 4,96 t.

Man denkt sich nun jeden der Hauptträger zum Zweck der Spannungsermittlung in zwei Systeme zerlegt, von denen ein jedes für sich statisch bestimmt ist. Die Gurtungen und Vertikalständer gehören beiden Systemen gemeinschaftlich an; System I hat von links nach rechts, System II von rechts nach links fallende Diagonalen.

Spannungsbestimmungen im System I

mit rechtsfallenden Diagonalen.

Dieses System hat die Hälfte der auf den Bogen einwirkenden Lasten aufzu

nehmen.

Eigengewicht.

Es ist P = 2,481 zu setzen.

Ob man die Lasten, welche am Knotenpunkt 9 (Kämpferpunkt) angreifen, mitrechnet oder nicht, ist gleichgültig. Es sollen dieselben in der Folge nicht mitgerechnet werden.

Zunächst ergiebt sich für totale Belastung:

TI= 2(1,417 + 1,352 + 1,237 + 1,068 + 0,866 + 0,638 + 0,407 + 0,204 + 0,063) P— 14,504 P M₀— 2(7,479 + 7,313+ 6,980+ 6,482 + 5,817 + 4,986+ 3,989+ 2,825 + 1,496) P — 94,734 P.

Die Gleichung 289, nach welcher das Moment der äusseren Kräfte zu berechnen ist, lautet demnach

M — [M] — 94,73 P— 14,5oi . y . P.

Hierin bedeutet y die Ordinate des in Rede stehenden Drehpunktes von der A-Axe aus gerechnet. Die oben (Beispiel III) ermittelten Werthe //, welche die Ordi-naten von der Kämpferhorizontalen aus bedeuteten, sind also nicht direct zu verwenden, sondern ist von diesen Grössen noch der Werth s = 5,oei abzuziehen.

Obere Gurtung.

Die den Gurtstäben conjugirten Drehpunkte fallen mit den Knotenpunkten des Bogens zusammen.

Das Moment [M\} d. h. das Moment, welches die nämliche Belastung bei einem Balken auf 2 Stützen in einem Punkte, welcher dieselbe Abscisse, wie der in Rede stehende Drehpunkt besitzt, hervorbringen würde, ergiebt sich aus Gleichung 283. Für totale Belastung lässt sich aus dieser Gleichung ein einfacherer Ausdruck für das Moment im raten Knotenpunkte leicht ableiten. Es ergiebt sich:

oder l — 3,i579 gesetzt:

[JK] = 2-₍9-»₎₍9 + » + l)P [A/] = 1,5789 (9 — n) (10 + n)P.

Stab 0₀.

Der Drehpunkt fällt mit dem Knotenpunkte 0 der rechtsseitigen Bogenhälfte

zusammen.

[M] — 1,5789.9.10 P = 142,10 P.

M— 142,10 P 94,73P 14,504 (6,230 5,061) P — 30,41 P.

Die Spannung 0₀ selbst ergiebt sich nun aus Gleichung 284. Die Hebelsarme sämmtlicher Gurtstäbe bezüglich der denselben conjugirten Drehpunkte sind gleich 2,5m gesetzt. Demnach ist:

30,41

2,5

P= 12,16 P= 30,21.

Stab Ov

[1/] = 1,5789.9.10 P = 142,10 P M— 142,10 P— 94,73 P— 14,504 (6,230 — 5,oei)P = 30,41 P 30,41

2,5

P= 12,16 P== 30,2 t.

Stab Or

[M] — 1,5789. 8.11 P = 138,94 P

M— 138,94 P— 94,73 P- 14,504 (6,070— 5,06l)P= 29,58 P

29,58

2,5

P = 11,83 P — 29,3 t.

Stab 0₃.

[M\ = 1,5789.7.12P = 132,63 P

M — 132,63 P- 94,73 P — 14,504 (5,749 - 5,06l)P = 27,92 P

27,92

0₃

2,5

P — 11,17 P— 27,7 t.

Stab 0A.

\M\ = 1,5789.6.13 P — 123,15 P

M = 123,1 5 P — 94,73 P- 14,504 (5,265 — 5,06l)P = 25,46 P

P — 10,i₈ P== 25,21.

25,46

2,5

Stab O,.

[M] = 1,5789.5 . 14P= 110,52P

M — 1 10,52 P-94,73 P— 14,504 (4,613- 5,06l)P — 22,28 P

22,28

Stab 0(].

P= 8,91 P= 22,11.

\M\ = 1,5789.4.15 P— 94,73 P M— 94,73 P- 94,73 P- 14,504 (3,788 - 5,061 )P= 18,46 P

7,38 P= 18,3 t.

2,5

2,5

Stab 0₇.

[M] — 1,5789.3.16 P — 75,79 P M— 75,79 P- 94,73 P — 14,504 (2,783 — 5,ogi)P = 14,10 P

¹⁴— P= 5,64 P = 14,0 t.

2,5

Stab

\M] = 1,5789.2.17 P= 53,08 P

M — 53,08 P — 94,73 P- 14,504 (1,589 — 5,001 ) P— 9,30 P

9,30

0.=

2,5

P— 3,72 P— 9,2

Stab Or

[M] = 1,5789 . 1 . 1 8P— 28,42 P M = 28,42 P— 94,73 P — 14,504 (0,192 — 5,00l) P = 4,31 P 4,31

0.

2,5

P— 1,72 P— 4,3 t.

Untere Gurtung.

Die Momente [M], welche den verschiedenen Knotenpunkten entsprechen, sind bereits berechnet. Die Spannungen U ergeben sich aus Gleichung 285.

[M] = 142,io P

M = 142,io P— 94,73 P — 14,504 (8,731 — 5,001 )P= — 5,so P P = 2,34 P— 5,8 t.

.    \M] — \ 38,94 P

M= 138,94 P- 94,73P- 14,504 (8,577 - 5,00l)P= - 6,79 P

P= 2,72 P— 6,7 t.

Stab UQ.

Stab Ut.

Ut

5,80

2,5

6,79

2,5

Stab Uv

[M] = 132,03 P

M— 132,03 P- 94,73P- 14,504 (8,209 — 5,061 )P = — 8,03 p

8,63

2,5

P— 3,45 P— 8,0 t.

Stab u₃.

[M]= 123,15 P

M— 123,15 P--94,73 P— 14,504 (7,803- 5,061) P= — 11,35 P

11,35

U₃ =

2,5

P — 4,54 P = 11,3 t.

Stab UA.

[M] = 110,52 P

M== 110,52 P — 94,73 P- 14,504 (7,177 — 5,061) P == — 14,90 P

14,90

ÜA

2,5

P — 5,90 P — 14,8 t.

Stab P-.

[M} = 94,73 P

M= 94,73 P — 94,73 P — 14,504 (6,387 - 5,00l) P= — 19,24 P

19,24

u:-

2,5

P= 7,70 P — 19,11.

[M] = 75,79 P

itf = 75,79P-94,73 P- 14,504 (5,424'— 5,00l)P= — 24,21 P

V, = P= 9,88 P= 24,» t.

2,5

Stab Uv

[47] = 53,68 P

4/ = 53,08 P--94,73 P- 14,504 (4,282- 5,061 ) P —- 29,75 P

29,7 5

2,5

P = ll,oo P = 29,5 t.

Stab r₈.

[47] = 28,42 P

47 — 28,42 P- 94,73 P- 14,504 (2,040 - 5,061 )P— — 35,68 P

35,68

2,5

P = 14,27 P = 35,4 t.

[üf] = 0

4/ =- 94,73 P- 14,504 (1,413 — 5,06l) P = — 41,82 P

41,82

2,5

P — 16,73 P— 41,5 t.

Diagonalen.

ß

Die mitgeschnittenen Gurtlinien der Diagonalen Dn sind parallel. Die Spannung dieses Stabes ergiebt sich aus Gleichung 290. Die in dieser Gleichung vorkommende Grösse [P], welche nach Formel 288 zu bestimmen ist, hat in vorliegendem Falle den Werth „Null“. Da ferner cp, d. i. der Winkel, den die mitgeschnittenen Gurtlinien mit der Horizontalen bilden gleich Null, also auch sinr/> = 0 ist, so folgt aus Gleichung 290:

P o=0.

Die Spannungen der übrigen Diagonalen ergeben sich aus Gleichung 286. Die Schnittpunkte der mitgeschnittenen Gurtungstheile fallen, wie man aus den berechneten Coordinaten derselben ersieht, sämmtlich nach rechts. Denkt man sich die Spannung irgend einer Diagonalen als Druckspannung auf den linksseitigen Th eil des Bogens einwirken, so erkennt man, dass alsdann diese Kraft um den fraglichen Drehpunkt im Sinne des Uhrzeigers zu drehen sucht. In Gleichung 286 ist also das — Zeichen gültig.

Das Moment [47] ist wie bei den Gurtungen aus Gleichung 283 zu berechnen. Für totale Belastung lässt sich dieser Ausdruck leicht noch etwas vereinfachen. Trifft der zum Zweck der Spannungsermittlung geführte Schnitt das wte Feld und ist x die Abscisse des fraglichen Drehpunktes, so findet man:

\M]= 77(30

— x) + (9 — n) (9-rc-f-1)A

P.

Wird X = 3,158 gesetzt, so ist:

\M] — [77 (30 — x) + (9 — 77.) (10 — 77.) 1,579] P.

Stab 7),.

[M] = [1 (30 4 1251,9) 4-8.9.1,579] P= 1395,6 P M= 1395,6 P — 94,7 P— 14,50 (69,7 — 5,i)P= 364,2 P 364,2

798,7

P — - 0,46 P —- 1,1 t.

Stab J)v

[47] = [2 (30 4- 635,6) + 7.8.1,579] P= 1419,e P 47 = 1419,6 J} — 94,7 P— 14,50 (70,9 — 5,t) P = 370,s P

Stab Ds.

[M] = [3 (30 + 408,e) -j-6.7. 1,579] P = 1382,1 P M = 1382,i P — 94,7 P — 14,50 (69,7 — 5,i) P = 350,7 P

P=— 1,25 P= — 3,i t.

350,7

280,7

Stab D

Stab D:.

Stah Dt.

[M] = [4 (30 + 297,3) + 5.6.1,579] P = 1356,o P M = 1356,6 P— 94,7 P — 14,50 (68,9 - 5,i) P— 336,s P

214^—

[M] = [5 (30 + 224,7) + 4.5. 1,579] P= 1305,i P M = 1305,i P— 94,7 P— 14,50 (67,0 — 5,,)P = 312,s P 312,s 171,4

[M] = [6 (30 + I76,e) + 3.4.1,579] P= 1258,5 P M= 1258,5 P — 94,7 P — 14,50 (65,5 — 5,i) P = 288,0 P

336

P = — 1 ,S2 P— — 4,5 t.

288,o

144,o

p= — 2,00 p= — 5,01.

aS/«^ T)₇.

P= — 2,09 P= —5,2 t.

[jtf] = [7 (30 + 139,2) + 2.3.1,579] P= 1193,9 P M.= 1193,0 P — 94,7 P - 14,50 (63,2 - 5,i) P= 256,7 P _ 256,7

123,1

P>₉.

[iW] = [8 (30 + 110,4) + 1.2.1,579] P= 1126,4 P iW = 1126,4 P— 94,7 P — 14,50 (60,9 — 5,i) P = 222,e P

222,6

P= — 2,07 P= — 5,11.

107,5

[M\ == 9 (30 + 85,9)P = 1043,i P +7= 1043,i P — 94,7 P— 14,50 (57,8 — 5,i) P= 184,3/J

184,3

94,3

P— — 1,95 P — — 4,8 t.

Nach den Ausführungen des § 44 ist es nicht erforderlich, die Vertikalen, welqhe beiden Systemen gemeinschaftlich angehören, einer gesonderten Berechnung zu unterziehen. Die Spannungen derselben sollen schliesslich unter Berücksichtigung der gleichzeitigen Wirkung beider Systeme ermittelt werden.

Mobile Belastung.

Um die Belastungsscheiden angeben zu können, ist es zunächst erforderlich, die Kämpferdrucklinie und die Umhüllungscurven zu bestimmen.

Zu diesem Zweck lässt man eine Einzellast von der Grösse „ Eins “ in den verschiedenen oben angenommenen Theilpunkten (nicht Knotenpunkten) angreifen und bestimmt für diese Lagen derselben die Werthe a und b, d. s. die Strecken, welche die Stützlinie auf den Kämpfervertikalen abschneidet, sowie die Ordinate rj der Stützlinie im Angriffspunkte der Last (vergl. Fig. 35, § 18).

Es sind nun der Reihe nach folgende Werthe zu berechnen:

£

[<S] = -^-[JF] nach Gleichung 132, Mo — 7^- nach Gleichung 116,

T₀ =

nach Gleichung 118,

18000 o M

—jj-- nach Gleichung 161,

—nach Gleichung 162.

Der Werth // war bereits oben für diese Lagen der Last „Eins“ ermittelt. Schliesslich ist nach Gleichung 163: rj = a-\-b. Man findet:

a-\~b

Tr;

12

18

24m

(l -]- b = Yj = 10,52 « — = 0

00

Ol CO

7,2

378

288

162

1512

1728

1296

6,3

5,26

b —    5,26

0,048

10,94

2,19

6,56

4,38

0,084

12,48

4,99

o “So

2,7

16,27

9,76

13,01

3,26

0,072 28,88 m 23,io „ 25, „ 2, »

®    05

05 GO

Für £=30m ist nach Gleichung 164:

295,51 -j- 93,75

und nach Gleichung 165:

30.5,061

= 2,56 m.

7] — a — 5,12 m.

Mit Hülfe dieser Werthe sind nunmehr die Umhüllungscurven und die Kämpferdrucklinie in Fig. 1 Taf. 8 construirt. Für jede Lage der Einzellast ist die Stützlinie aus den Werthen a, b und 7] verzeichnet. Die Last liege z. B. im Punkte £ —12. Von der X-Axe aus sind die Werthe a — 8,73m und b — 3,75 m nach unten hin auf den Kämpfervertikalen, welche durchs, resp. B hindurchgehen, abgetragen. Man gelangt dadurch zu den Punkten D und E (Fig. 1 Taf. 8). Es ist nun die Verbindungslinie DE gezogen'und von dieser aus die Strecke rj —12,48m im Punkte £=12 nach oben aufgetragen; dadurch erhält man den Punkt F. Der geometrische Ort der Punkte F ist die Kämpferdrucklinie; die Curven, welche von den Graden DF und EF eingehüllt werden, sind die Umhüllungscurven.

Es ist empfehlenswerth, Kämpferdrucklinie und Umhüllungscurven in Tusche auszuziehen.

Obere Gurtung.

Stab 0₀.

Der Schnittpunkt der mitgeschnittenen Constructionstheile ist der untere Knotenpunkt 0 der rechtsseitigen Bogenhälfte. Von diesem aus zieht man die Tangente an die rechtsseitige Umhüllungscurve; die Tangente schneidet die Kämpferdrucklinie im 9ten Felde. Dieses Endfeld ist also Belastungsscheide. Eine zweite Belastungsscheide ist nicht vorhanden, da eine Tangente an die linksseitige Umhüllungscurve vom fraglichen Drehpunkte aus nicht gezogen werden kann. Man erkennt mit Hülfe der

E. Irohn, Bogendrücken. II.

Fig. 97, § 40, dass der ganze Bogen belastet sein muss, damit der Stab 0₀ das Maximum seiner Druckspannung erreiche. Die Spannung bei totaler Belastung ist bereits für das Eigengewicht ermittelt. Man hat also:

max (+ 0₀)= 12,16 Q.

Die mobile Belastung pr. Längeneinheit, welche näherungsweise die Wirkung eines Eisenbahnzuges ersetzt, ist abhängig von der Länge der belasteten Strecke. Für eine Länge von 60 m giebt die Tabelle des § 7 den Werth q zu 4,9 t pr. Gleis an. Es ist demnach für ein System eines Hauptträgers und bei Annahme der 1 ¹/2fachen Grösse der mobilen Belastung der pr. Knotenpunkt enfallende Werth:

1

Q — -J- • 1,5.3,158.4,9 = 1,18.4,9 = 5,8 t

zu setzen.

max (4- 0₀) = 12,ig . 5,8 = 70,51 max (— 0₀) — 0.

Stab 0j.

Für den Gurtungsstab 0, sind, da der demselben conjugirte Drehpunkt zu demjenigen des Stabes 0₀ symmetrisch liegt, die Verhältnisse durchaus die nämlichen wie bei 0₀. Man hat:

max (4- 0,) == 70,51 max (— 0,) = 0.

Stab 0₃.

Zieht man vom Schnittpunkte der mitgeschnittenen Constructionstheile aus die Tangente an die linksseitige Umküllungscurve, so trifft diese Tangente die Kämpferdrucklinie im 7ten Felde der rechtsseitigen Bogenhälfte. Dieses Feld ist Belastungsscheide.

Das Maximum der Zugspannung wird erreicht, wenn die Strecke vom 7ten Felde bis zum rechtsseitigen Kämpfer belastet ist. Die Werthe II, M₀ und T₀, welche dieser Belastung entsprechen, findet man durch Summation der für die Knotenpunkte 7 und 8 der rechtsseitigen Bogenhälfte oben gefundenen Grössen.

H — (0,204 + 0,063) Q = 0,267 Q M₀ == (2,825 + 1,496) Q = 4,321 Q T₀ =- (0,07 44+ 0,044ö) Q= - 0,1190 Q.

Das Moment [M] ergiebt sich aus Gleichung 283. Diese Formel kann man für den Fall, dass der fragliche Drehpunkt mit einem Knotenpunkte des Trägers zusammenfällt, noch etwas einfacher schreiben.

Bezeichnet man mit x nicht die wirkliche Entfernung des Drehpunktes vom Scheitel in Metern ausgedrückt, sondern die Anzahl der Felderlängen, um welche der Drehpunkt vom Scheitel entfernt ist, ersetzt man ferner die rechts, resp. links vom fraglichen Schnitt angreifenden Lasten-durch ihre Resultanten R' und $t" und giebt die Entfernungen £' und der Angriffspunkte dieser Resultanten vom Scheitel • ebenfalls in Felderlängen an, so lautet Gleichung 283:

[M]

(9,5 - X) (9,5 + gQ W + (9,5 + X) (9,5 - g'Q R“ ;i

19

oder:

[M] = 0,1662 1(9,5 — x) (9,5 + 10 R' + (9,5 + x) (9,5 — §") R"].

Im vorliegenden Falle, in welchem nur die Knotenpunkte 7 und 8 der rechtsseitigen Bogenhälfte belastet sind, ist &"=0, $iy = 2Q und —8,o. Ferner ist x (Entfernung des Drehpunktes vom Scheitel) 1,5.

\M] — 0,iec2 (9,5 — 1,ö) (9,5 — 8,0) 2 Q — 3,99 Q.

Das Moment M ergiebt sich nun aus Gleichung 282; es ist:

M — 3,9!) Q — 4,321 Q- 0,267 (6,070 - 5,06l) Q + 0,1190 . 1,5.3,158 Q —- 0,04 Q.

Die Spannung selbst wird sodann aus Gleichung 284 gefunden.

0,04

Q = — 0,02 Q.

2,5

max (— 0₂)

Der Werth Q ist wieder mit Hülfe der Tabelle des § 7 zu ermitteln.

Q — 1,18.8,5 = 10,0 t

max (— 0.₂) = — 0,02. 10,o = — 0,21.

Die Maximaldruckspannung findet man am einfachsten durch Subtraction der negativen Maximalspannung von der in Folge totaler Belastung auftretenden Spannung. Letztere ist bereits bei Gelegenheit des Eigengewichts ermittelt.

max (-f- 0₂) = (11,83 + 0,02) Q = 11,85 Q Q = 1,18.5,2== 6,1t max (+ 0₂) = 11,85.6,1= 72,3 t.

Stab 0₃.

Belastungsscheide im 5ten Felde der rechtsseitigen Bogenhälfte.

Maximum der Zugspannung.

II— (0,638 + 0,407 + 0,204 4~ 0,063) Q= 1,312 Q M₀ == (4,986 + 3,989 -f- 2,825 + l,49ö) Q — 13,296 Q T₀ = — (0,0962 +■ 0,0910 + 0,0744 + 0,0446) Q— — 0,3062 Q

[M] = 0,1662 (9,5 --2,5) (9,5- 7,o) 4 Q = 11,63 Q

M = 11,63 Q- 13,296 Q- 1,312 (5,749 - 5,06l) Q + 0,3062.2,5.3,158 Q= - 0,1 5 Q

max (— 0₃) = —

Q — 1,18.6,7 = 7,9 t max (— 0₃) = — 0,06.7,9 = — 0,51 max (-f- 0₃) = (ll,i7 + 0,o6) Q= 11,23 Q Q= 1,18.5,3 = 6,31 max (4- 0₃) == 11,23.6,3 = 69,71.

Stab 0₄.

Belastungsscheide im 5ten Felde der rechtsseitigen Bogenhälfte.

Maximum der Zugspannung.

Die Werthe II, M₀ und T₀ sind bereits oben ermittelt.

[M] — 0,1662 (9,5- 3,5) (9,5- 7,o) 4 Q = 9,97 Q

M— 9,97 Q — 13,296 Q — 1,312(5,265 - 5,06l) Q 4“ 0,3062.3,5.3,158 Q— — 0,21 Q

Q — — 0,08 Q =- 0,08.7,9 =- 0,6 t

max (4- O) — (10,is 4~ 0,os) Q — 10,20 Q — 10,26.6,3 = 64,61.

Stab 0₅.

Belastungsscheide im 5ten Felde der rechtsseitigen Bogenhälfte.

max (— 0A) — —

0,21

2,5

0,15

2,5

Q = — 0,06 Q

16*

Maximum der Zugspannung.

[Ti] == 0,1662 (9,5 — 4,5) (9,5 — 7,o) 4 Q— 8,31 Q M— 8,31 Q — 13,296 Q — 1,312 (4,613 — 5,06l) Q + 0,3062.4,5.3,1 58 Q — — 0,05 Q

max (— 0₅) = —

Q — — 0,02 Q = — 0,02.7,9 = — 0,21

0,05

2,5

max (+ 0&) — (8,91 + 0,02) Q — 8,93 Q = 8,93.6,3 = 56,31.

Stab 0₆.

Vom Schnittpunkte der mitgeschnittenen Constructionstheile (der untere Knotenpunkt 5) lassen sich keine Tangenten an die Umküllungscurven ziehen. Das Maximum der Druckspannung findet bei voller Belastung des Bogens statt.

max (+ 0G) = 7,38 Q — 7,38.5,8 = 42,81 max (— Oc) — 0.

Stab Ov

Das Maximum der Druckspannung tritt bei voller Belastung des Trägers auf. max (4- ö₇) = 5,64 Q — 5,64.5,s = 32,71 max (— 0₇) — 0.

Stab Os.

Vom Schnittpunkte der mitgeschnitteüen Constructionstheile kann man zwei Tangenten an die linksseitige Umhüllungscurve ziehen. Diese Tangenten treffen die Kämpferdrucklinie im 2ten und 6ten Felde der linksseitigen Bogenhälfte. Mit Hülfe der Ausführungen des §40, resp. des §26, auf welchen im § 40 verwiesen wird, erkennt man leicht, dass die Strecke zwischen diesen beiden Feldern belastet werden muss, um das Maximum der Zugspannung in Os zu erhalten. Es erscheint nun am einfachsten, diese Maximal-Zugspannung direct zu berechnen und später die grösste positive Spannung durch Subtraction von der in Folge totaler Belastung sich ergebenden Spannung zu ermitteln. Dieser Weg ist jedoch nicht zulässig; vielmehr ist man gezwungen, das Maximum der Druckspannung unmittelbar zu berechnen, da die am rechtsseitigen und linksseitigen Kämpfer gelegenen Strecken, welche, um das Maximum der Druckspannung zu erhalten, belastet werden müssen, verschiedene spec. Belastungen bedingen, man also auch den Einfluss der Belastung dieser beiden Strecken gesondert erhalten muss.

Maximum der Druckspannung.

Linksseitige Belastung.

H— (0,407 4“ 0,204 4“ 0,063) Q = 0,674 Q M₀ = (3,989 4“ 2,825 4“ 1,496) Q — 8,310 Q T₀ = (0,0910 4“ 0,0744 4“ 0,0446) Q = 0,2100 Q [M] = 0,1662 [(9,5 — 7,5) (9,5 4- 7,0) 2 4- (9,5 4- 7,5) (9,5 — 8,5) 1] Q = 13,79 Q

M— 13,79 Q — 8,310 Q — 0,674 (1,589 - 5,06l) Q- 0,2100.7,5.3,158 Q — 2,85 Q

2,85

Da =

2,5

Q — l,u Q

Q— 1,18.7,5= 8,8 t Os — 1,14 . 8,8 = 10,0 t.

Rechtsseitige Belastung.

H— (1,352 4- 1,417^4-1,417 4“ 1,352 4“ 1,237 4“ 1)068 4“ 0,866 4“ 0,638 4“ 0,407 4“ 0,204 4“ 0,063) Q

— 10,021 Q

245

Fachwerkbogen mit kreisbogenförmiger Axe ohne Gelenk.

•

—    313 -f- 7,479 + 7,479 +7,313 + 6,980 + 6,482 + 5,817 + 4,986 +3,989 + 2,825 + l,49c) Q

= 62,159 Q

1    (0,0385 +0,0131 - 0,0131 — 0,0385— 0,0612- 0,0796 - 0,0918 — 0,0962 —0,0910 -0,0744

— 0,0446) Q = — 0,5388 Q [M] = 0,1662 (9,5 — 7,5) (9,5 — 3,5) 11 Q = 21,94 Q M= 21,94 Q — 62,159 Q — 10,021 (1,589 — 5,061) Q + 0,5388.7,5.3,158 Q = 7,34 Q

0» = ^-<3 = 2,94 <3

Q = 1,18 • 5,5 = 6,5 t 0₈ — 2,94.6,5 = 19,11 max (+ 0₈) = 10,o -f~ 19,i = 29,11.

Maximum der Zugspannung, max (— ög) = (3,7 2 — 1,14 — 2,94) Q = — 0,36 Q Q — 1,18.6,9 = 8,1t max (— 0₈) = — 0,36.8,1 = — 2,91.

Stab 0₉.

Belastungsscheiden im 2ten und 8ten Felde der linksseitigen Bogenhälfte. Maximum der Druckspannung.

Linksseitige Belastung.

H= 0,063 Q M₀— 1,496 Q T₀ = 0,04 46 Q.

[M] = 0,1662 (9,5 — 8,5) (9,5 + 8,5) 1 Q — 2,99 Q M = 2,99 Q — 1,496 Q — 0,063 (0,192 — 5,06l) Q — 0,0446.8,5.3,158 Q = 0,60 Q

Q = 0,24 Q

0,60

2,5

<3= 1,18. 11,5= 13,6 t 0₉ = 0,24 . 13,6 = 3,3 t.

Rechtsseitige Belastung.

Die Werthe II, M₀ und T₀ sind bereits oben ermittelt.

[M] == 0,1662 (9,5 - 8,5) (9,5 — 3,5) 11 Q— 10,97 Q

M = 10,97 Q- 62,159 Q — 10,021 (0,192 - 5,00l) Q + 0,5388.8,5.3,158 Q = 12,07 Q

12,07

Q — 4,83 Q — 4,83.6,5 = 31,4 t

max (+ 0₉) == 3,3 + 31,4 = 34,71. Maximum der Zugspannung.

max (- 0₉) — (1,72 — 0,24 - 4,83) Q = — 3,35 Q

Q = 1,18.6,2 = 7,3 t max (— Og) = — 3,35.7,3 = — 24,51.

0,=

2,5

Untere Gurtung.

Die Spannungsermittlung in den unteren Gurtstäben geschieht genau in derselben Weise, wie die Spannungsermittlung der oberen Gurtstäbe. Die einzige Abweichung besteht darin, dass schliesslich die Spannung selbst nicht aus Gleichung 284, sondern aus Gleichung 285 berechnet wird.

Es sollen deshalb im Folgenden diese Operationen nur in aller Kürze ange-deutet werden.

Stab 77₀.

Belastungsscheiden im lsten Felde der rechtsseitigen und im 3ten Felde der linksseitigen Brückenhälfte.

Nach Fig. 98, § 40 muss die Strecke zwischen den Scheiden belastet werden,

um das Maximum der Zugspannung zu erhalten. Es ist erforderlich, die grösste Druckspannung direct zu ermitteln und später die Maximal-Zugspannung durch Sub-traction zu finden.

max (+ 77₀) — 27,31 max (— 77₀) = — 13,51.

Stab 77,.

Belastungsscheiden im mittleren und im 4ten Felde der linksseitigen Bogenhälfte.

max (+• 77,) = 30,s t max (— 77,) = — 15,s t.

Stab JJ%.

Belastungsscheiden im lsten und 6ten Felde der linksseitigen Bogenhälfte.

max (4- 77₂) = 37,2 t max (— 77₂) = — 17,i t.

Stab 77₃.

Bei diesem Stabe tritt nur eine Belastungsscheide auf, da vom Schnittpunkte der mitgeschnittenen Constructionstheile sich keine Tangente an die rechtsseitige Umhüllungscurve ziehen lässt. Die Belastungsscheide liegt im 2ten Felde der linksseitigen Bogenhälfte. Das Maximum der Druckspannung findet bei rechtsseitiger, das Maximum der Zugspannung bei linksseitiger Belastung des Trägers statt.

max (4- 77₃) = 46,41 max (— 77₃) = — 18,21.

Stab 77,.

Belastungsscheide im 3ten Felde der linksseitigen Brückenhälfte.

max (+• 77),) = 54,7 1 max (— T7₄) == — 18,c t.

Stab 77₅.

Belastungsscheide im 4tcn Felde der linksseitigen Brückenhälfte.

max (+ 77₅) = 61,91 max (— 77₅) = — 15,7 1.

Stab 77c.

Belastungsscheide im 5ten Felde.

max (4- 77₆) = 69,e t max (— 77₀) = — 10,7 1.

Stab 77.

Belastungsscheide im 7ten Felde.

max (4- 77,) = 75,it max (— 77,) = — 6,21.

Stab U₈.

Belastungsscheide im 8ten Felde.

max (-f- U₈) == 85,21 max (— Us) — — 2,51.

Stab U₉.

Zieht man vom Schnittpunkte der mitgeschnittenen Constructionstheile Tangenten an die Umhüllungscurve, so fällt eine derselben mit der linksseitigen Kämpfervertikalen zusammen. Eine zweite Tangente, welche hier möglich ist, schneidet die Kämpferdrucklinie im 4ten Felde der rechtsseitigen Bogenhälfte. Dieses Feld ist Belastungsscheide. Es muss die Strecke von diesem Felde bis zum linksseitigen Kämpfer belastet werden, um das Maximum der Druckspannung in Ua zu erhalten.

max (-(- U₉) — 107,41 max (— U₀) = — 2,3 „.

Diagonalen.

Stab D₀.

Um die Belastungsscheide zu finden, müsste man eine zur Bichtung der mit-geschnittenen Gurtlinien parallele Tangente an die Umhüllungscurve ziehen. Eine solche Tangente ist im vorliegenden Falle nicht möglich. Es tritt demnach nur das fragliche Feld selbst als Belastungsscheide auf.

Denkt man sich die Spannung D₀ auf den links vom Schnitt befindlichen Theil des Bogens als Druckkraft einwirken, so erkennt man, dass alsdann diese Spannung eine zur Richtung der mitgeschnittenen Gurtlinien senkrechte Componente hat, welche aufwärts gerichtet ist.

In Gleichung 287, aus welcher die Spannung B₀ berechnet werden muss, hat also das —Zeichen Gültigkeit; im Belastungsschema Fig. 104 sind die Worte „Druck“ und „Zug“ mit einander zu vertauschen. Es wird demnach das Maximum der Zugspannung bei rechtsseitiger, das Maximum der Druckspannung bei linksseitiger Belastung stattfinden.

Für rechtsseitige Belastung ist:

T₀ — — 0,5904 Q.

Ferner ergiebt sich aus Gleichung 288:

Q — 2,368 Q.

Die Spannung selbst findet man, wie bemerkt, aus Gleichung 287. Es ist cp—0, also cos cp = 1 und sinr/) = 0. Um den Werth sin« zu berechnen, muss man die Länge des fraglichen Diagonalstabes kennen. Es ist:

K = V2,50l²    3,158² = 4,028

2,501

und demnach:

sin a

Gleichung 287 lautet also:

4,028

0,621-

I)

[T] + T₀

Im vorliegenden Fall ist:

max (— JJ₀)

0,621

Q— — 2,86 Q

Q — 1,18 . 5,6 = 6,6 t max (— A) — — 2,86.6,6 = — 18,o t max (+ A) — 18,o t.

Stab Dv

Streng genommen müsste vom Schnittpunkte der mitgescknittenen Gurtlinien aus eine Tangente an die Umhüllungscurven gezogen werden, um die zweite Be-lastungsscheide für A zu finden. Dieser Schnittpunkt ist auf der Zeichnung nicht zugänglich. Da die Gurtlinien aber näherungsweise parallel sind, so genügt es, zum Zweck der Bestimmung der Belastungsscheiden die Gurtlinien thatsächlich als parallel anzunehmen. Man wird also die Tangente an die Urnhüllungscurve parallel zu einer der beiden Gurtlinien ziehen und zwar zu derjenigen, welche der zu construirenden Tangente am nächsten liegt; im vorliegenden Fall also parallel zur unteren Gurtung.

Für die Diagonale A müsste man demnach eine zur Gurtlinie Ui parallele Tangente an die Urnhüllungscurve zeichnen. Eine solche Tangente ist aber nicht möglich; es wird also nur das fragliche Feld selbst als Belastungsscheide auftreten.

Die Strecke vom lsten Felde bis zum rechtsseitigen Kämpfer muss als belastet angenommen werden, damit A das Maximum seiner Zugspannung erhält.

Die Werthe H, M₀ und T₀ sind für diese Belastung bereits bei Berechnung des Stabes £4 ermittelt.

Das Moment [Mj ergiebt sich aus Gleichung 283. Diese Formel lässt sich noch etwas einfacher schreiben. Ersetzt man die Lasten rechts und links vom fraglichen Schnitt durch ihre Resultanten R' und R" und drückt die Abstände §' und £" dieser Resultanten vom Scheitel durch Felderlängen aus, während die Abscisse x des

[M] =

fraglichen Drehpunktes nach wie vor in Metern angegeben wird, so erhält man: pp _ x) (9>5 + g'} R' ₊ (30 + x) (9,5 — g'Q R"

19

Im vorliegenden Falle ist R"=0, R'=10Q,    — 4,o und x——1251,o, also:

(30 + 1251,9) (9,5— 4,o) 10

19

Q — 3710,7 Q

M = 3710,7 Q — 54,8 Q — 8,669 (69,7 — 5,',) Q — 0,5773. 1251,9 Q = 2373,2 Q.

In Gleichung 286 hat das — Zeichen Gültigkeit.

Q = — 2,97 Q

max (— -DJ =

2373,2 798,7

Q — 1,18.5,5 = 6,5 t max (— Dt) = — 2,97.6,5 = — 19,31 max (4- A) = (— 6,46 + 2,97) Q = 2,5t Q Q = 1,18.5,7 = 6,71 max (+ A) — 2,51.6,7 = 16,81.

Stab A-

Belastungsscheide im 2ten Felde.

max (— A) — — 19,41

max(+A)⁼ 14,9„.

Stab A-

Parallel zur Gurtlinie U₃ kann eine Tangente an die Urnhüllungscurve gezogen werden; dieselbe trifft die Kämpferdrucklinie im 7ten Felde der rechtsseitigen Brücken-

hälfte. Dieses Feld tritt also neben dem fraglichen Felde selbst als zweite Belastungsscheide auf. Das Maximum der Druckspannung in D₃ wird erreicht, wenn die Strecke vom 3ten Felde linksseitiger Bogenhälfte bis zum linksseitigen Kämpfer und die Strecke vom 7ten Felde rechtsseitiger Bogenhälfte bis zum rechtsseitigen Kämpfer belastet ist. Es ergiebt sich für diese Belastungsart:

max (+ D₃) = 12,91.

Sodann findet man durch Subtraction von der in Folge totaler Belastung auftretenden Spannung:

max (— D₃) = — 18,71.

Stal? D/r

Belastungsscheide im 4ten Felde linksseitiger und 4ten Felde rechtsseitiger Bogen

hälfte.

max (+ I)A) — 9,31 max (— Z>₄) = — 19,71.

Stab Db.

Belastungsscheide im 5ten Felde linksseitiger und 2ten Felde rechtsseitiger Bogen

hälfte.

max (-j- i?₅) = 8,21 max (— Z>₅) = — 20,61.

Stab Dg.

Belastungsscheide im 6ten Felde linksseitiger und im lsten Felde rechtsseitiger

Bogenhälfte.

max (-}- D₆) = 8,31 max (— -Z?c) = — 22,21.

Stab I)T

Belastungsscheide im 7ten Felde der linksseitigen Brückenhälfte und im mittleren Felde. ,

max (+ Dn) = 9,81 max (— U-) — — 24,71.

Stab Ds.

Belastungsscheide im 8ten und lsten Felde der linksseitigen Brückenhälfte.

max (+ Z>₈) = 12,41 max (— JJJ = — 28,o t.

Stab D₀.

Belastungsscheide im 2ten Felde der linksseitigen Bogenhälfte.

max (-f- Z>₉) = 16,i t max (— Dg) — — 31,51.

Teuiperaturspannungeii.

Das Trägheitsmoment J₀ des Scheitelquerschnitts, dessen Kenntniss zur Ermittlung des durch Temperaturdifferenzen hervorgerufenen Horizontalschubes erforderlich ist, kann näherungsweise nach Gleichung 291, § 42 berechnet werden.

Es ist hierin das Eigengewicht

und die mobile Last (der halben Spannweite entsprechend)

q — 4,-21. pr. lfdm. und pr. Träger

zu setzen. Man hat:

<4 =

2,₅². 30²

8 (7,5.9000 — 2.7000.2,₅)

(1,567 + 1,1 • 4,->) = 0,134.

Der Horizontalschub selbst ergiebt sich nunmehr aus der Formel 101; diese lautet im vorliegenden Fall:

iZ= +

14160.30.0

,134

295,51 +- 93,75

= ± 146,24 t.

Von diesem Werthe hat jedes der beiden Systeme, in welche man einen Träger zerlegt denkt, die Hälfte aufzunehmen, so dass

11= ± 73,i2t

zu setzen ist.

Die Spannungen im Ober- und Untergurt werden nach den Formeln 295 und 296 ermittelt; man findet:

00= +

— 73,12 (6,230 — 5,00l)

2,5

= + 34,21

0₅= +

73,12 (4,613 — 5,06l)

2,5

= + 13,11

0, = +

__ 73,12 (6,230 — 5,06l)

2,5

+ 34,2„

73,12 (3,788 — 5,001)

2,5

= + 37

,2 n

02= ±

73,12 (6,070 — 5,oqi)

2,5

+ 29,5a

07= +

73,12 (2,783 - 5,06l)

2,5

= ±    66,6 b

03= +

73,12 (5,740 — 5,oqi)

2,5

+ 20,1 „

0₈= +

73,12 (1,580 - 5,0(ii)

2,5

= ± 101,5 n

04= +

73,12 (5,265 - 5,06l)

2,5

--h 6,0 b

09= +

73,12 (0,192- 5,i)0l)

2,5

= + 142

»4»

00= ±

73,12 (8,731- 5,00l)

2,5

= ± 107,3 t

0₅=±

73,12 (6,387 - 5,ooi)

2,5

= dL 38,81

0,=±

73,12 (8,577 - 5,0(11)

2,5

± 102,8 b

06=±

73,12 (5,424 — 6,oei)

2,5

±    10,6b

0₂=±

73,12 (8,269 — 5,0Gl)

2,5

± 93,8„

07= ±

73,1-2 (4,282 - 5,ogi)

2,5

= + 22,8„

03=±

73,12 (7,803 - 5,00l)

2,5

= ± 80,₂„

0₈ = ±

73,12 (2,949 - 5 OGl)

2,5

+    61,8b

04=±

73,12 (7,177 5,OGl)

2,5

= ± 61,9 b

0₉= +

73,12 (1,413- 5,OGl)

2,5

= + 106,7b

Die Spannung der «Diagonalen ergiebt sich aus Gleichung 298; da sinr/> = 0 ist, so wird auch

0o = 0.

Die übrigen Diagonalen werden nach Gleichung 297 berechnet; es ist:

0,= +

73,12 (69,7 — 5,,)

798,7

= ± 5,9 t

A= ±

73,,2 (65,5 — 5,,)

144,o

± 30,7 t

0₂= ±

73,12 (70,9 — 5,,)

419,₃

± H,5n

07= ±

73,12 (63,2 - 5,.)

03= ±

73,12(69,7 — 5,,)

280,7

= ± 16,8»

A=±

123,i

73,12 (60,9— 5,.)

= ± 34,5„

107,5

= ± 38,0 n

73,l2 (68,o —5,,)

A=±

214,₂

73,12 (67,o — 5,i)

= ± 21,st

73,i-2 (57,s — 5,,)

94,3

± 40,91

' 171

>4

— ± 26,4 „

In den Vertikalen sind die Spannungen, welche in Folge von Temperaturdifferenzen auftreten, da doppeltes Fachwerk angeordnet ist, den Ausführungen des § 44 entsprechend gleich „Null“.

Es sollen nunmehr für das System I die Spannungen in den Gurtstücken und Diagonalen, welche von der permanenten, der mobilen Last und den Temperaturdifferenzen herrühren, summirt werden. Es ergiebt sich:

max (+Oo)=30,2+70,₅ + 34,₂= 134,₀1 max (—O₀)=30,2 max (—(— O₁)=30j2—1— 70,5+ 34,2=134,9„ max(+ÖJ=29,₃+72,₃+ 29,5=131,i„ max (+0₃)=27,7+69,7+ 20,i=117,5„ max (+Ö₄)=25,2+64,6+    6,o= 95,₈„

max (+D₅)=22,l+56,3+ 13,i = 91,₅„ max (+ö₀)=18,3+42,s+ 37,₂= 98,3 w max (+0₇)=14,o+32,7+ 66,₆=113,3„ max (+Og)= 9,2+29,i+101,5=139,s „ max (+ 0₉)= 4,3+34,7+142,4= 181,4»

max(+f/₀)= 5,s+ 27,3+107,3=140,41 max (—U₀)= 5,8—13,₅ —107,3=—115,₀t max(+Z7,)= 6,₇+ 30,₈+102,₈=140,3„ max (—U,) = 6,7—15,s—102,s=—111,9» max (+14)= 8,o+ 37,₂+ 93,₈=139,6„ max (—UJ= 8,6—17,1— 93,₈=—102,₃„ max (-)— U₃)= 11,3+    46,4-+    80,2=13/,9»    max (—E7₃)=ll,₃—18,2—    80,2=—    87,i»

max (+1/7)—29,5+ 75,1+ 22,₈=127,4„ max(—U.) = 29,5— 6,2— 22,₈= max (+1^)=35,4+ 85,2+ 61,₈=182,₄» max (— UH) = 35,₄- 2,5— 61,₈=— 28,₉„ max (+C4)=41,5107,4+106,7=255,6» max (—Z7₉)= 41,5— 2,3—106,7=—; 67,5»

max (—JD₀) =

max (—£>,)= — 1,1—19,3— 5,9=—26,3» max (— D.₂) = —2,2—19,4—11,5= —33,i„ max (—i>₃) = —3,1—18,7—16,8=—38,6» max (— i>₄) = — 3,9 — 19,7—21 ,s = — 45,4» max (—i>₅) = —4,5—20,6—26,4=—51,₅„ max (— Bg) = — 5,₀—22,2 — 30,7= — 57,₉ „ max (— I.>.) = — 5,2 — 24,7 — 34,5=—64,4 „ max (—i>₈) = —5,i—28,o—38,o=—71,i„ max (— Z>₉) = — 4,s—31,5— 40,9=— 77,₂„

max (+7>₀)= max (+2?,)=—1,1+16,8+ 5,9=21,₆„ max (+-0.₂)=—2,2+14,9+11,5=24,2» max (+D₃)=—3,1+12,9+16,8=26,0» max (+Z^₄)=    3,9+ 9,₃+21,₈=27,2„

max (+i>₅)=—4,5+ 8,2+26,4=30,1» max (+Z?₆)= — 5,o+ 8,₃+30,₇=34,o„ max (+i>₇) =—5,2+ 9,8+34,5=39,1» max (+-D₈)=—5,i+12,4+38,o=45,3„ max (+Z>₉) =—4,₈+16,i+40,9=52,2„

18,9

= 18,9 t

—    34,2—

-    34,.₂=-

4,o t 4)0» 0,4 )) 7,i» 18,o» 8,8»

— 37,2=— 18,9»

max (— 0,) =30,2

max(—0₂) =29,3— 0,₂— 29,₅=— max (—0₃)= 27,7— 0,₅— 20,1 = max (—0A) =25,2— 0,₆—    6,0=

max(—0₅)= 22,i— 0,₂— 13,i= max (—ö₆) = 18,3 max (—0₇)=14,o max (— Oa) = 9,2— 2,9—101,₅=— 95,₂„ max (— 0₉) = 4,3—24,5—142,4= —162,6»

— 66,o=— 52,6»

-18,9

=-18,9 t

System II.

Die Spannungen, welche in diesem System auftreten, lassen sich im Allgemeinen aus den obigen Zahlen in einfacher Weise ableiten.

Die Spannungen in den Gurtungen ergeben sich aus den Gleichungen 325 und 326 des § 44. Da die Hebelsarme sämmtlicher Gurtstücke als gleich (= 2,5 m) angenommen sind, so werden sich die gesuchten Werthe direct abschreiben lassen. Die Spannung UJ müsste eigentlich aus der Spannung £7_, abgeleitet werden; letztere ist für System I nicht berechnet. Man übersieht jedoch sofort, dass der Stab £7₀' dieselben Spannungen wie der Stab U₀ haben wird, da die diesen beiden Stäben conjugirten Drehpunkte symmetrisch gelegen sind.

Eine besondere Berechnung erfordert das Gurtstück 0₉'. Diese Berechnung soll zunächst durchgeführt werden.

Eigengewicht.

[M] = 0

M = 94,73 P — 14,504 ( 1,421 5,061) P = 0,72 P

P — — 0,29 P = — 0,7 t.

0,7 2

2,5

Mobile Belastung.

Belastungsscheide im 2ten Felde der linksseitigen Brückenhälfte. Es muss die Strecke vom 2ten Felde bis zum rechtsseitigen Kämpfer belastet werden, damit in 0₉' das Maximum der Druckspannung auftrete. Für diese Belastungsart findet man:

max (-f- OP) = 49,31

max (— 0/)

Temperaturspannungen.

_— 73,12 (- 1,421 — 5,061 )

|_

Ferner ergiebt sich:

— 55,i t.

0‘

Es ist also: max (4- 0₀‘) — 134,91 max (+ O,') = 131,1 „ max (4- O₂0 = 117,5 „ max (4- O₃0 = 95,8 „ max (4- O₄0 = 91,5 „ max (4- 0.0 = 98,3 „ max (4- O₆0 = 113,3 „ max (4- 0/) = 139,s„ max (4- O₈0= 181,4 „ max (4- O₉0=—0,7 4-49,3 4-189,6

2,5

+ 189,61.

max (— 0₀0 = — 4,o t max (— 0/) = —    0,4 „

0'» 18,6 „ 8,8 j;

max (— 0₂0 = max (— O₃0 = max (— 0/) = max (— 0₅0 == — 18,9 „ max (— 0₆0 = — 52,6 „ max (— 0₇0 = — 95,2 „ max (— O₈0 = — 162,6 „

= 238,2t. max (— 0₉0=—0,7 — 55,1—189,6=—245,it.

2,7 „ 0,5 „

max (4- Z7o0 = 140,41 max (4- £//)= 140,4 „ max (4- £/₂0 = 140,3 „ max (4- £7₃0 = 139,6 „ max (4- £7,/) = 137,9 „ max (4- E7ä0= 131,4 „ max (4- £7C0 = 119,s „ max (4- £7/) = 104,2„ max (4- £7₈0 = 127,4 „ max (4- £7₉0 = 182,4»

max (— £7o0 = — 115,o t max (— U,0 = — 115,o „ max (— £7₂0 = — 111,9 „ max (— £7₃0 = — 102,3 „ max (— £7/) = — 87,1 „ max (— £7₅0 = — 65,7 „ max (— £7C0 = — 35,4 „ max (— £7,0 = max (— £7₈0 = max (— £/₉0 = — 28,9 „

Die Spannungen in den Diagonalen ergeben sieb aus der Gleichung 328. Das Verhältniss der Längen dieser Stäbe ist bereits anfangs (Beispiel III) berechnet. Man findet:

max (4- ZV) = 18,91 max (-f-Z>,0 == 26,3.1,049 = 27,et max (+ ZV) = 33,i. 1,102 = 36,5 „ max (-4-Z>₃;) = 38,6.1,157 = 44,7 „ max (-(-ZV) = 45,4. l,2ie = 55,2 „ max (4-Z?₅') = 51,5.1,279— 65,9 „ max (-4 Z>G') = 57,9. 1,347= 78,o„ max (4- ZV) = 64,4. 1 max (4- ZV) = 71,i. 1,503 = 106,9 „ max (4- ZV) = 77,2.1,592 = 122,9 „

Denkt man sich beide Systeme auf einander gelegt, so werden sich die Spannungen in den entsprechenden Gurtstücken summiren. Diese Addition giebt folgende Resultate:

max (4- 0₀) — 134,9 4- 134,9 = 269,8 1 max (4- 0,) = 134,9 4- 131,i = 266,0 „ max (4- 0₂) = 131,i 4- 117,5 = 248,o» max (+ 0₃) = 117,5 4- 95,8 = 213,3, max (+ 0A) — 95,8-4 91,5=187,3, max (-4 0₅) = 91,5 -4 98,3 = 189,8, max (-4 O₀) = 98,3-4113,3 = 211,6, max (-4 0₇) = 113,3 -4 139,₈ = 253,1 „ max (4- 0₈) = 139,8-4 181,4= 321,2, max (-4 0₉) — 181,4 -4 238,2 = 419,6 „

max (4- U₀) = 140,4 -4 140,4 = 280,g t max (4- ZZj) = 140,3 -4 140,4 = 280,7, max (4- EQ = 139,₀-4 140,3 = 279,9 „ max (4- U₃) = 137,9 -4 139,₆ = 277,₅„ max (-4 UA) = 131,4 + 137,9 = 269,₃„ max (-4 Z7₅) = 119,₈ 4- 131,4 = 251,₂„ max (-4 U₆) = 104,2 -4 H9,s = 224,0, max (4~ 0₇) = 127,4 -4 104,2 = 231,e, max (-4 U₈) = 182,4 -4 127,4 = 309,s, max (4- UJ = 255,₀ + 182,₄ = 438,₀ „

,421 =

91,5»

max (— ZV) = — 18,91 max (— Z)/) = — 21,6. 1,049 = — 22,71 max (— ZV) = — 24,2. 1,102 = — 26,7 „ max (— Z)₃') = — 26,6. 1,157 = — 30,8 „ max (— ZV) = — 27,2. 1,216 = — 33,0 „ max (— ZV) = — 30,i. 1,279 = — 38,5 „ max (— ZV) = — 34,o. 1,347 = — 45,8 „ . max (— ZV) = — 39,i . 1,421 = — 55,6 „ max (— ZV) = — 45,3. 1,503 = — 68,1 „ max (— ZV) = — 52,2. 1,592 = — 83,1 „

max (— 0₀) = — 4,o — 4,o = — 8,01 max (— 0,) = — 4,o — 0,4 = — 4,4 „

6,7 »

25,7» 27,4»

max (— 0₂) = —    0,4-4    7,i =

max (— 0₃) = max (— 0A) = max (— 0₅) = max (—Oß) = — 18,9— 52,6 = — 71,5 „ max (—On) — — 52,6— 95,2 = — 147,8» max (—0₈) = — 95,2— 162,e = — 257,8» max (— 0(J) — — 162,6 — 245,4 = — 408,0 „

7,i ~4 18,6 =

18,6 ~4 8,8 =

8,8— 18,9 = — 10,i„

max (— U₀) — — 115,o — 115,o = — 230,01 max (— V) = — 111,0— 115,o = — 226,9 „ max (— V) = — 102,3 — 111,9 = — 214,2» max(—U₃) — — 87,i — 102,3 = — 189,4» max (—UA) = — 65,7— 87,1 = — 152,8» max (— U₅) — — 35,4— 65,₇ = — 101,ln max (— UG) = max (— Un) = max (— Z7g) = — 28,9 -4    0,₅    =    —    28,₄„

max (— U₀) = — 67,5 — 28,9 = — 96,4 „

2,₇ — 35,4 = — 32,7» 3,2»

0,5 “4    2,7 -

Schliesslich ist es noch erforderlich, die Spannungen in den Vertikalen unter Berücksichtigung beider Systeme zu ermitteln. Angenähert findet man diese Spannungen aus den Gleichungen 331 und 334 des § 44.

Die Kraft Q, Belastung pr. Knotenpunkt, ist dann am grössten, wenn zwei benachbarte Felder total belastet sind. Die Länge der belasteten Strecke beträgt in

diesem Fall ca. 6m, so dass der Tabelle des § 7 zufolge <7 = 10,2t zu setzen ist. Es ergiebt sich also:

Q = V2.1 ¹/2 . 10,2.3,158 = 24,2 t.

Man hat nun:

max(+e)=³>',T¹’,<l

24,2

+ _2

= 12,8 t;

max (— C) —

3,17 - 1 ,7 9

= 0,7 t.

Sämmtliche Spannungen sind in Fig. 3, Taf. 8 zusammengestellt.

Aus diesen Grenzwerthen ist nunmehr die zulässige spec. Spannung für die verschiedenen Constructionstheile nach der Formel

1    min S

2    max S

zu berechnen und muss sodann der erforderliche Querschnitt der einzelnen Stäbe ermittelt werden. Diese Rechnungen sind genau in derselben Weise wie im Beispiel III durchzuführen; dieselben sollen deshalb hier nicht wiederholt werden. Zu bemerken ist nur noch, dass die Querschnitte der Vertikalen etwas reichlich zu bemessen sind, da die Spannungen derselben nur angenähert ermittelt wurden.

Nachdem alsdann der Träger vollständig dimensionirt ist, kann man auf Grund dieser Stabquerschnitte eine Correction der ganzen Rechnung vornehmen. Die Bestimmung des Horizontalschubes wurde nämlich mit Berücksichtigung der Elastici-tätsverhältnisse des Bogens unter der Annahme durchgeführt, dass das Trägheitsmoment J in jedem «Punkte des Trägers der Gleichung

J cos cp = Const.

genüge, wenn mit cp der Winkel bezeichnet wird, den die Bogenaxe mit der Horizontalen einschliesst. Diese Annahme ist, wie man schon aus den Spannungszahlen der Gurtungen ersieht, thatsächlich nicht zutreffend. Auf Grund der jetzt berechneten Stabquerschnitte lässt sich der Horizontalschub nun bedeutend genauer ermitteln. Bezüglich dieser Correctionsmethode sei auf Beispiel XI verwiesen, in welchem dieselbe vollständig durchgeführt ist. Ob eine solche Correction erforderlich ist oder nicht, muss der Erwägung des Constructeurs überlassen bleiben. Im Allgemeinen ist die hier erzielte Annäherung schon eine so gute, dass man sich mit den gewonnenen Resultaten vollständig zufrieden geben kann. Eine weitere Correction scheint um so weniger geboten, als die Voraussetzungen der Unverschieblichkeit der Widerlager, der absolut genauen Montage des Bogens etc. thatsächlich doch nicht vollständig erfüllt sind. Empfehlenswerth scheint es vielmehr, für statisch unbestimmte Bogensysteme einen etwas grösseren Sicherheitscoefficienten, wie solcher ja auch im vorliegenden Beispiele angenommen ist, in die Rechnung einzuführen.

Beispiel VIII.

Es soll dieselbe Bogenbrücke, welche im vorigen Beispiele behandelt wurde, jetzt unter Annahme einer mobile?i Belastung durch ein System von Einzellasten berechnet werden.

Genau in derselben Weise, wie im vorigen Beispiel, ist zunächst die geometrische Form des Bogens analytisch zu ermitteln. Sodann sind der Horizontalschub H und die Werthe M₀ und T₀ zu berechnen, welche einer der Reihe nach an den verschiedenen Knotenpunkten angreifenden Last von der Grösse „ Eins “ entsprechen. Nachdem diese vorbereitenden Rechnungen durchgeführt sind, ermittelt man approximativ die Grösse des Eigengewichts. Alle diese Operationen sind grade

so durchzuführen wie im Beispiel VII; dieselben sollen deshalb hier nicht wiederholt werden. Bis zu dem Abschnitt: „Eigengewicht“ auf Seite 236 sind die für das vorige Beispiel gemachten Ausführungen wörtlich hier einzufügen.

Verzeichnung der Influenzlinien.

Nach den Ausführungen des §41, resp. des §35, auf welchen im §41 verwiesen wird, muss für jeden einzelnen Constructionsstab die Influenzlinie ermittelt werden. Diese erhält man folgendermaassen. Eine Last von der Grösse „ Eins “ lässt man der Reihe nach an den verschiedenen Knotenpunkten angreifen und berechnet die dadurch im fraglichen Stabe hervorgerufenen Spannungen. Diese Grössen trägt man in den Angriffspunkten der Last als Ordinaten auf und verbindet die Endpunkte dieser Ordinaten durch grade Linien. Für jede beliebige Lage einer Last „Eins“ giebt die dem Angriffspunkte der Last entsprechende Ordinate dieses Linienzuges sodann die Grösse der dadurch im fraglichen Stabe hervorgerufenen Spannung an. Der Einfluss der Querträger — also die Thatsache, dass eine im Innern eines Feldes angreifende Last nicht eigentlich in diesem Angriffspunkte, sondern durch ihre auf die benachbarten Knotenpunkte entfallenden Componenten zur Wirkung kommt — ist in der Construction des Linienzuges bereits dadurch berücksichtigt, dass man denselben zwischen den Knotenpunkten gradlinig verlaufen lässt, anstatt die Endpunkte der Ordinaten durch eine stetige Curve zu verbinden.

Das Stabsystem mit gekreuzten Diagonalen denkt man sich zum Zweck der statischen Berechnung in zwei Einzelsysteme zerlegt. System I soll von links nach rechts fallende, System II von links nach rechts ansteigende Diagonalen enthalten.

Die Influenzlinien werden für die einzelnen Stäbe des Systems I berechnet.

Der Horizontalschub und die Werthe M₀ und T₀, welche einer in den verschiedenen Knotenpunkten der linksseitigen Bogenhälfte angreifenden Einzellast von der Grösse „Eins“ entsprechen, sind bereits oben ermittelt. Die Werthe H und M₀ sind für symmetrisch gelegene Knotenpunkte die nämlichen. Die Grössen T₀, welche den Knotenpunkten der rechtsseitigen Bogenhälfte entsprechen, haben dieselben Absolutwerte wie die symmetrisch gelegenen Punkten der linksseitigen Brückenhälfte zukommenden Grössen, kehren jedoch ihr Vorzeichen um.

Influenzlinien der oberen Gurtungsstäbe.

Für eine beliebige Lage der Einzellast „ Eins “ ist zunächst nach Gleichung 283, § 38 der Werth [M\y sodann aus Gleichung 282 das Moment M und schliesslich aus Gleichung 284 die gesuchte Spannung 0 zu berechnen.

Die Grösse [M], d. h. das Moment, welches die nämliche Belastung bei einem Balken auf zwei Stützen in einem Punkte, welcher dieselbe Abscisse, wie der in Rede stehende Drehpunkt besitzt, hervorbringen würde, lässt sich für die in Frage kommende Belastung noch etwas einfacher schreiben als der in Gleichung 283 stehende Ausdruck.

Liegt die Last „Eins“ rechts von dem zum Zweck der Spannungsermittlung durch den fraglichen Stab geführten Schnitt, so wird

(/    .x) (/ + £)

Liegt hingegen die Last links von diesem Schnitte, so ist:

(/ -f- x) (/ — £)

21

Die den Gurtstäben conjugirten Drehpunkte fallen mit den Knotenpunkten des Bogens zusammen. Giebt man die Abscissen x dieser Punkte nicht in Metern, sondern in Felderlängen an, drückt man ebenso die Abscissen | der Angriffspunkte der Einzellast in Felderlängen aus und berücksichtigt, dass /== 9,₅2 ist, so lauten die oben aufgestellten zwei Gleichungen:

und

(9,5 — 0?) (9,5 -fr- g) 5 19

(9,5 + x) (9,5 — g)

19

• i.

Setzt man noch l— 3,1579, so erhält man für den Fall, dass die Last rechts vom fraglichen Knotenpunkte angreift:

[Mt] — 0,1602 (9,5 — #) (9,5 + £)

und für den Fall, dass die Einzellast links von diesem Punkte liegt:

[jMJ = 0,1662 (9,5 -h x) (9,5 — £).

Fällt der Angriffspunkt der Last mit dem fraglichen Knotenpunkte zusammen, so ist es gleichgültig, welche dieser beiden Formeln man anwendet. Beide Gleichungen liefern dasselbe Resultat.

Beispielsweise ist für den Stab 0₃ x = 2,5. Die beiden Gleichungen für das Moment [M\ lauten also in diesem Fall:

und

[Mt] — 0,1662 (9,5 - 2,5) (9,5 + |) = 1,1634 (9,5 + §)

[iC] = 0,[662 (9,5 + 2,s) (9,5- I) = 1,9944 (9,5 — £)•

fr,

Liegt Last „Eins“ am Knotenpunkte 5 der rechtsseitigen Bogenhälfte, so ist = — 5,5, also:

[M\ = 1,1634 (9,5 — 5,5) = 4,6536-

Die Werthe II, M₀ und T₀ werden den oben berechneten Zahlenreihen ent

nommen.

Das Moment M ergiebt sich sodann aus Gleichung 282. Die Ordinate y, welche in dieser Formel vorkommt, ist natürlich von der um die Strecke * = 5,06i über der Kämpferhorizontalen liegenden X-Axe aus zu rechnen.

Es ist:

M== 4,654 — 4,986 — 0,638 (5,749 - 5,06l) + 0,0962 - 2,5.3,158 = — 0,012

und schliesslich:

0₃ = -

0,012 _

2,5

= — 0,005-

Würde Last „Eins“ am Knotenpunkte6 der linksseitigen Brückenhälfte angreifen, so wäre § = 6,5 zu setzen:

[M] = 1,9944 (9,5 -6,5) = 5,9832

M= 5,983 ~ 3,989 — O,i07 (5,749 - 5,ooi) — 0,0910 • 2,5.3,158 — 0,996

0,996

— 0,398 •

In dieser Weise können für jeden einzelnen Stab 0 die gesuchten Spannungen ermittelt werden.

2,5

Den Stäben 0₀ und Oi entsprechen symmetrisch gelegene Drehpunkte. Die auftretenden Spannungen werden demnach in beiden Stäben die nämlichen sein. Es ist also nur erforderlich, einen dieser Gurtstäbe der Rechnung zu unterziehen.

Es ist nun folgende Tabelle berechnet.

j Ivnoton-

punkt

01

02

03

04

05

06

08

09

linksseitige Bogenbälfte I rechtsseitige Bogenhälfte

0,ooo

0,oi s 0,067 0,162 0,318 0,548 0,857 1,254 1,740

- 0,009

- 0,021

- 0,024

- 0,005

0,052

0,157

0,319

0,548

0,848

- 0,007

- 0,020

O?030

- 0,025

0,OO3

0,066

0,170

0,326

0,541

— 0,001

- 0,006

- 0,008

- 0,003

0,013

0,046

0,105

0,195

0,329

0,010 0,022 0,042 0,063 0,082 0,100 0,125 0,158 0,215

0,025

0,065

0,121

0,175

0,213

0,231

0,234

0,218

0,202

0,045

0,123

0,230

0,335

0,411

0,442

0,437

0,381

0,297

0,070

0,198

0,373

0,547

0,678

0,741

0,740

0,653

0,507

2,32t

1,738

1,245

0,847

0,535

0,306

0,151

0,057

0,009

1,730 2,307 1,712 1,213 0,806 0,491 0,262 0,109 0,023

1,231

1,701

2,259

1,649

1,134

0,717

0,398

0,175

0,041

0,512 0,755 1,071 1,4 68

1,960 I ,290

0,753

0,345

0,090

0,298

0,421

0,604

0,855

1,199

1 ,651 0,971 0,452 0,121

0,186

0,185

0,225

0,319

0,noo

0,788

1,220

0,573

0,157

ooooooooc

sssssssss

Influenzlmien der unteren Gurtungsstabe.

Die Momente [M] sind die nämlichen wie die, welche bereits für die oberen Gurtstäbe berechnet wurden.

und

Beispielsweise sei die Behandlung des Stabes U₃ durchgesprochen. Der diesem Constructionstheil conjugirte Drehpunkt ist der obere Knotenpunkt 3; es ist also x—3,5 zu setzen. Die beiden Gleichungen für das Moment [M] lauten in diesem Falle: [ili,] = 0,1662 (9,5 — 3,5) (9,5 + b) — 9,6072 (9,5 + b)

[d/J = 0,1662 (9,5 + 3,ö) (9,5 - £) = 2,1606 (9,5 - £)•

[iM] = 0,9972 (9,5 — 5,s) = 3,988S.

Liegt Last „Eins“ am Knotenpunkte 5 der rechtsseitigen Bogenhälfte, so ist — 5,5, also:

Ferner:

M= 3,989 — 4,986 — 0,638 (7,803 — 5,06l) + 0,0962 • 3,5.3,158 ==- 1,683-

Aus Gleichung 285 folgt:

U>=

1,683

2,5

0,673 •

Würde Last „Eins“ am Knotenpunkte 6 der linksseitigen Brückenhälfte angreifen, so wäre £=6,₅ zu setzen:

[M] = 2,1606 (9,5 - 6,5) — 6,4818

M= 6,482 - 3,989 — 0,407 (7,803 - 5,06i) — 0,0910 • 3,5.3,158 = 0,372

0,372

- =- 0,149.

U₃

2,5

In dieser Weise werden für jeden einzelnen Stab U die gesuchten Spannungen ermittelt. Man findet:

K. Krolin, Bogonliriifiten. II.

17

Knoten

punkt

Ug

Ul

lh

lh

lh

Lh

Ug

Ul

Uh

Ug

rechtsseitige Bogenhälfte

© - (v a ^ OS 05 —1 GO

0,071

0,212

0,400

0,582

0,711

0,753

0,693

0,499

0,173

0,073

0,226

0,434

0,648

0,821

0,919

0,928

0,815

0,580

0,071 0,227 0,443 0,673 0,876 1,019 1,086 1,047 0,898

0,056 0,190 0,381 0,6OO 0,818 1 ,01 0 I ,1 61

1,247

1,258

0,042

0,150

0,309

0,499

0,701

0,898

1,073

1,210

1,295

0,023 0,096 0,208 0,352 0,522 0,708 0,896 1,076 1,229

0,437 0,624 0,838 1,055

0,079

0,252

0,490

0,767

linksseitige Bogenhälfte

oooossosoo®

o o -    - c - t 7-    7.

oSSSSSSSg

1,311

1,244

1,081

0,809

0,415

1,345 1,406 1,391 1,286

13 Oc o •“* ts- CC W CO

1 ,271 1 ,465 1 ,607 1,681 1,651 1 ,491

1,165

0,626

0,173

1 ,081 1 ,414

1,722 1 ,990 2,1 65 2,218 2,093 1,725 1 ,042

Influenzlinien der Diagonalen.

Stab ]J₀.

Die initgesclinittenen Gurtlinien sind einander parallel. Die Spannung der Diagonalen D₀ ergiebt sich demnach aus der Gleichung 287. Der Winkel </>, den die Gurtlinien mit der Horizontalen einschliessen, ist 0, also ist sin <jp = 0 und cos r/> = 1. Um den Sinus des Winkels « zu berechnen, muss man die Länge des fraglichen Diagonalstabes kennen. Es ist:

und demnach:

Alf — y2,5007²+ 3,1570" = 4,0289

sin a =

2,5007

. 4,0289

— 0,ß207 •

Denkt, man sich die Spannung D₀ als Druckkraft auf den links vom Schnitt befindlichen Tlieil des Bogens einwirken, so hat diese Kraft eine zur Richtung der mitgeschnittenen Gurtlinien senkrechte Componente, welche aufwärts, gegen die obere Gurtung gerichtet, ist. In Gleichung 287 hat also das —Zeichen Gültigkeit. Die Formel lautet demnach:

m+?;.

0,6207

Die Transversalkraft [7’], welche die nämliche Belastung bei einem Träger auf 2 Stützen im fraglichen Felde hervorbringen würde, ist nach Gleichung 288 zu be-

rechnen. Giebt man die Abscisse £ des Angriffspunktes der Last in Felderlängen an, und berücksichtigt, dass /=9,₅/ ist, so wird für den Fall, dass die Last „Eins“ rechts vom fraglichen Felde angreift:

19

[Tt]

und fiir den Falt, dass dieselbe links vom fraglichen Felde liegt:

9,5 -g

Es greife z. B. die Last „Eins“ im Knotenpunkte 3 der rechtsseitigen Bogen-hälfte an; dann ist £ = — 3,5 und

0,3158 •

Der Werth 7₀ ist der oben berechneten Zahlenreihe zu entnehmen.

0,381.

A> = -

0,3158 - 0,073(1 _

0,(1207

In dieser Weise sind die Werthe D₀ für die verschiedenen Lagen der Einzel-last, zu ermitteln.

Es ist noch zu bemerken, dass für symmetrische Lagen der Last die Spannung D₀ denselben Absolutwerth, jedoch entgegengesetztes Vorzeichen hat; demnach ist es nur erforderlich, die Rechnungen für eine Bogenhälfte durchzuführen.

Für die übrigen Diagonalen ergiebt sich die Spannung in der Weise, dass man zunächst wie bei den Gurtstäben die Grösse [M], sodann das Moment M und schliesslich aus Gleichung “286 die Spannung D berechnet.

Die Coordinaten der Schnittpunkte der mitgeschnittenen Gurtlinien sind anfangs analytisch ermittelt. Denkt man sich durch irgend eine Diagonale einen Schnitt geführt und die Spannung D auf den links vom Schnitt befindlichen Theil der Brücke als Druckkraft einwirkend, so erkennt man, dass alsdann diese Spannung um den Schnittpunkt der mitgeschnittenen Constructionstheile im Sinne des Uhrzeigers dreht. In Gleichung 286 hat also das —Zeichen Gültigkeit.

Die Gleichung 283, nach welcher das Moment \M] zu berechnen ist, lässt sich noch etwas einfacher schreiben. Giebt man die Abscisse § des Xngriffspunktes der

(30 — x) (9,5-f- £)

Last in Felderlängen an, so wird für den Fall, dass die Last rechts vom fraglichen Felde liegt:

19

«]

und für den Fall, dass die Last links vom fraglichen Felde angreift:

(30 -j-x) (9,5— £)

19

und

Es sei nun beispielsweise die Berechnung des Stabes Da durchgesprochen:

x — — 408,o.

Demnach lauten die beiden Gleichungen für das Moment |M]:

304-408,,’ (9>s + 0 = 23)0s(9;5 + g

W] =

30 — 408,0

19

(9,5 - s) = - 19,03 (9,5 — £).

Liegt, die Last „Eins“ etwa am Knotenpunkte 5 der rechtsseitigen Bogenhälfte, so wird £ == — 5,5 und

[M] = 23,0g (9,5 — 5,₅) = 92,3₂.

Die Werthe //, M₀ und T₀ werden den oben berechneten Zahlenreihen entnommen. Nach Gleichung 282 ist:

M= 92,32 — 4,980 — 0,638 (69,7 — 5,t) — 0,0962 • 408,6 = 6,81

und nach Gleichung 286:

0,021 •

Greift die Einzellast am Knotenpunkte 6 der linksseitigen Brückenhälfte an, so ist: £=6,5 und

[TR] = — 19,93 (9,5 — 6,5) = — 59,70

M— — 59,70 — 3,980 — 0,407 (69,7 — 5,i) -p 0,ooto. 408,o — — 52,so

0,188-

Man erhält in dieser Weise die folgende Tabelle:

52,so

280,7

Knoten

punkt

Do

Di

Di

Jh

Ih

1h

De,

Di

Da

Ih

linksseitige Bogenhälfte rechtsseitige Bogenhälfte

- 0,013

- 0,050

- 0,108

- 0,184

— 0,276

- 0,381

- 0,495

- 0,616

- 0,742

- 0,011

- 0,201

- 0,288

--0,387

- 0,497

- 0,616

— 0,002

- 0,016

0,003 0,oni -— 0,006

- 0,024

- 0,057

- 0,109

- 0,177

-0,265

- 0,368

0,020 0,058 0,110 0,161 0,198 0,21 2 0,203 0,162 0,093

0,024

0,071

0,136

0,201

0,254

0,284

0,289

0,259

0,200

0,027

0,082

0,158

0,238

0,306

0,350

0,368

0,351

0,301

0,742

0,616

0,495

0,381

0,276

0,184

0,108

0,050

(),013

0,104 — 0,026

0,212

0,088

Die Vertikal stäbe bedürfen, da doppeltes Fach werk angenommen ist, und die Richtungen der in jedem Knotenpunkte zusammenstossenden beiden Gurtlinien nur wenig von einander abweichen, nach den Ausführungen des § 44 keiner besonderen Berechnung.

Die Influenzlinkm sind nun mit Hülfe dieser Zahlenwerthe auf den Tafeln 9 und 10 verzeichnet. Fig. 1 Taf. 9 zeigt die Influenzlinien für die Stäbe des Obergurts, Fig. 1 Taf. 10 diejenigen für die Stäbe des Untergurts; in Fig. 2 Taf. 10 sind die Influenzlinien für die Diagonalen aufgetragen. Die Maassstäbe wurden in Wirklichkeit doppelt so gross gewählt, als in den Tafeln angegeben. Um letztere bequem ausfallen zu lassen, ist jedoch eine Reduction auf halbe Grösse vorgenommen.

Nunmehr kann zur Bestimmung der Spannungen übergegangen werden.

Eigengewicht.

Es ist bereits ermittelt worden, dass das Eigengewicht pr. Knotenpunkt und

Träger

P — 4,06 t

beträgt. Von diesem Wertlie hat jedes der beiden Theilsysteme, in welche man den Träger zum Zweck der statischen Berechnung zerlegt denkt, die Hälfte aufzunehmen, so dass

P = 2,4st

zu setzen ist.

Um nun die Spannung- in irgend einem Constructionstheil zu erhalten, summirt man einfach sämmtliche berechnete Ordinaten der Influenzlinie dieses Stabes (da diese berechneten Ordinaten den Knotenpunkten entsprechen) und multiplicirt die algebraische Summe mit der Grösse 2,48.

So ist z. B. für den Stab U,t:

UA — (0,066 + 0,215 + 0,426 + 0,658 + 0,876 + 1,050 + 1,164 + 1,191 -f~ 1,124 + 0,941 -f- 0,631 + 0,198) P — (0,372 + 1,072 + 0,642 + 0,335 + 0,136 + 0,02e)-P= 5,96 P — 14,S t.

Es ist empfelilenswerth, die Influenzlinien zuerst graphisch aufzutragen und erst dann diese Summation der berechneten Ordinaten vorzunehmen, da Fehler, welche in der Berechnung der Influenzlinien gemacht sind, bei der graphischen Darstellung derselben zur Erscheinung kommen und corrigirt werden können. Man erhält:

Ü₍. — 7,39 P — 18,3 t 0₇ = 5,64 P= 14,0 „ Og = 3,7 2 P == 9,2 „ O₀— 1,72 /J= 4,3 „

Ot = 12,n P= 30,2 t ö₂= 11,83 P = 29,3 „

0,= ll,n P= 27,7 „

0₄ — 10,19 P— 25,3 n 0,= 8,92 P ⁼⁼ 22,i „

U₅ = 7,69 P— 19,1 t 9,69 P= 24,0 „

U₇ == 11,90 P — 29,5 „

U₈ = 14,28 P — 35,4 „ Uy— 16,7 3 jP= 41,5 „

A — — 1,83 P—-4,5 t

A = — 2,00 p= — 5,0 „

A =- 2,09 P— - 5,2 „

A = — 2,07 P— — 5,1 „ A = — 1,95 P= — 4,8 „

U₀ — 2,32 P — 5,8 t Ui = 2,71 P = 6,7 „

A — 3,45 P= 8,6 „

U₃ — 4,54 P— 11,3 „

UA = 5,96 P= 14,8 „

A = 0

Dx = 0,46 P— 1,1 t

A =-0,88 P= — 2,2 „

A = — 1,25 P= — 3,1 „

A =- 1,57 P—- 3,9 „

Mobile Belastung.

Das Lastsystem besteht den Angaben des § 7 zufolge aus 3 Locomotiven nebst Tendern und angehängten Güterwagen; die Entfernungen und Grössen der Einzellasten ergeben sich aus den Fig. 21 und 22 des § 7.

Man hat sich zunächst einen Papierstreifen anzufertigen, auf welchem das Lastsystem in dem nämlichen Längenmaassstabe, welcher zur Verzeichnung der Influenzlinien verwendet wurde, aufgetragen ist. Es ist empfehlenswerth, auf der einen Seite des Papierstreifens das Lastsystem für einen von links nach rechts vorrückenden Zug, auf der andern Seite das System für einen von rechts nach links vorrückenden Eisenbahnzug anzugeben; die Grössen und Nummern der Einzellasten sind einzuschreiben. Auf Seite 156 ist ein Stück eines solchen Papierstreifens verzeichnet. Derselbe muss mindestens die Länge des ganzen Trägers haben. Im vorliegenden Fall sind die Lasten 1 bis 26 auf demselben anzugeben.

Die Einzellasten sollen mit ihrer 1 ^fachen Grösse in die Rechnung eingeführt werden. Es entfällt sodann auf jeden der beiden Hauptträger die Hälfte dieser Werthe. Jedes der beiden Systeme, aus denen ein Bogenträger besteht, nimmt hiervon wiederum die Hälfte auf, so dass für die Berechnung eines Einzelsystems der

Druck einer Locomotivaxe mit 1 l/t> . J/2 • V2 . 13 t, der Druck einer Tenderaxe mit 1¹,/2. V2 • V2.9t und derjenige einer Wagenaxe mit 1V2. V2. V2 • 8 t einzusetzen ist.

Da diese Zahlen etwas unbequem ausfallen, so soll zunächst die Berechnung unter Annahme der Werthe 13, 0 resp. 8 t durchgeführt werden. Später sind dann die Spannungen noch mit der Grösse

zu multipliciren.

1V2. V2 • V2 = ³/s

Obere Gurtung.

Neben den Influenzlinien ist auf Taf. 9 in Fig. 2 das Kraftpolygon der Lasten 1 bis 26 auf einer Vertikalen OP aufgetragen. Durch die Eckpunkte des Polygons — den Theilpunkten der Lasten — sind Horizontallinien gezogen. Die Figur dient dazu, mit Hülfe des „Normalenzuges“ (vergl. § 41 und § 35, auf welchen im $ 41 verwiesen wird) die ungünstigste Laststellung zu ermitteln. Da der Normalenzug sowohl rechts wie links vom Kraftpolygon liegen kann, so ist eine zweite Vertikale 0‘P‘ gezeichnet, von welcher aus der Normalenzug ebenfalls construirt werden kann. Die Influenzlinien, sowie das Kraftpolygon etc. sind in Tusche ausgezogen. Die im Folgenden weiter angegebenen Constructionen sind immer nur in Blei ausgeführt und nach der Berechnung eines Stabes jedesmal wieder fortgewischt.

Es soll die Spannungsermittlung des Stabes 0₈ genau durchgesprochen und dadurch die auch für die anderen Stäbe anzuwendende Methode erläutert werden.

Maximum der Druckspannung.

Aus dem Verlauf der Influenzlinie ist zu ersehen, dass, um das positive Maximum der Spannung in 0H zu erreichen, zwei getrennte Strecken, eine am rechten, eine am linken Widerlager, belastet werden müssen.

Rechtsseitige Belastung.

Der Zug muss vom rechten Kämpfer bis ungefähr zur Belastungsscheide vorgeschoben werden, und wird bei der ungünstigsten Stellung des Systems irgend eine Last in irgend einem Eckpunkte der Influenzlinie liegen müssen. Schätzungsweise sei angenommen, dass Last 7 am Knotenpunkt 3 der rechtsseitigen Bogenhälfte angreife. Diese Zugstellung ist in Fig. 1 Taf. 9 eingezeichnet. Ob dieselbe wirklich die ungünstigste Stellung ist, kann mit Hülfe des Normalenzuges ermittelt werden. Zunächst sei angenommen, dass Last 7 unmittelbar links vom Knotenpunkte 3 läge.

Der Normalenzug ist nun nach § 35 folgendermaassen construirt.

Es ist 0 S senkrecht zu a b gezogen, da die Lasten 1 und 2 zwischen den Knotenpunkten 0 und 1 linksseitiger Bogenhälfte angreifen, und die Influenzlinie zwischen diesen Knotenpunkten aus der Graden ab besteht; ebenso ist S T senkrecht zu bc gezogen, u. s. f. Der Endpunkt des Normalenzuges ist mit Q bezeichnet. Denkt man sich die Lasten 1 und 2 nach rechts verschoben, so wird die dadurch in 0₈ hervorgerufene Spannungsänderung proportional der Strecke sein, die von der Graden OS auf derjenigen Horizontalen abgeschnitten wird, welche die Lasten 2 und 3 trennt. Ebenso ist die Strecke R Q proportional der Spannungsänderung, welche durch eine Rechtsverschiebung des ganzen Systems auftritt. Rücken die Lasten 1 und 2 nach rechts, so nimmt die Spannung, wie aus der Form der Influenzlinie zu ersehen ist, im positiven Sinne zu. Die Spannungsänderung ist von der Vertikalen

0P aus nach rechts abgetragen. Da der Endpunkt Q des Normalenzuges ebenfalls rechts von OP liegt, so kann man hieraus schliessen, dass auch durch Rechtsverschiebung des ganzen Systems die Spannung wächst. Es muss also, um das Maximum der Inanspruchnahme zu erhalten, der Zug weiter nach rechts gerückt werden. Hierbei überschreitet zunächst Last 7 den Knotenpunkt 3 rechtsseitiger Bogenhälfte. Der Normalenzug nimmt nunmehr die in Fig. 2 Taf. 9 punktirt eingezeichnete Form an. Der Endpunkt Qt desselben liegt ebenfalls noch rechts von der Graden OP, woraus zu schliessen ist, dass die Rechtsverschiebung des Systems weiter fortgesetzt werden muss. Es sei bemerkt, dass es nicht erforderlich ist, diesen neuen Normalenzug vollständig zu construiren. Zieht man durch den Punkt U des Normalenzuges die Senkrechte zur Graden de der Influenzlinie, so erhält man in der Strecke VW auf der die Lasten 7 und 8 trennenden Horizontalen diejenige Grösse, um welche der ganze Normalenzug nach links rückt. Nimmt man also diese Strecke in den Zirkel und trägt dieselbe von Q aus nach links ab, so erhält man ebenfalls den gesuchten neuen Endpunkt Qr

Bei einer weiteren Rechtsverschiebung des Systems überschreitet zunächst Last 2 den Knotenpunkt 0 linksseitiger Bogenhälfte. Der Endpunkt Q.₂ des nunmehr sich ergebenden Normalenzuges fällt links von der Graden OP; eine weitere Verschiebung des Eisenbahnzuges nach rechts würde also wieder eine Verminderung der Spannung Os hervorrufen, und hieraus ist zu schliessen, dass diese Grenzlage, bei welcher die Last 2 am Knotenpunkte 0 liegt, thatsächlich die ungünstigste Stellung des Systems ist.

Man zieht nunmehr für die so ermittelte Lage des Eisenbahnzuges durch die Angriffspunkte der Einzellasten die Vertikalen bis zu den Schnittpunkten mit der Influenzlinie 0₈, greift die Ordinaten derselben auf diesen Vertikalen ab, multiplicirt diese Werthe mit den Grössen der Einzellasten und findet schliesslich durch Addition der Producte die gesuchte Spannung. Man erhält:

0H — (0,125 + 0,182 + 0,231 + 0,441 + 0,42(| + 0,417 + 0,089 + 0,050 + 0,03l) 13 + (0,354 + 0,389 + 0,410 + 0,321 + 0,272 + 0,223) 9 = 43,s. t.

Linksseitige Belastung.

Die Influenzlinie ist in ihrem linksseitigen positiven Theil durchweg convex gegen die Horizontale AB gekrümmt. Nur am Knotenpunkte 7 verläuft dieselbe concav gegen AB. Den Ausführungen des $ 35 zufolge wird demnach die ungünstigste Zugstellung jedenfalls erreicht, wenn irgend eine Last grade im Knotenpunkte 7 angreift. Da in diesem Punkte zugleich das absolute Maximum der Influenzlinie vorhanden ist, so lässt sich mit ziemlicher Bestimmtheit von vorn herein vermuthen, dass ein mittleres Loeomotivrad hier angeordnet werden muss. Mit Hülfe des Papierstreifens erkennt man, dass wahrscheinlich Last 2 eines von links nach rechts vorrückenden Zuges im Knotenpunkte 7 zu liegen kommt. Man könnte sich noch durch Construction des Normalenzuges hierüber Gewissheit verschaffen, jedoch erscheint im vorliegenden Fall diese Operation kaum erforderlich.

Man zieht nun für diese Stellung des Eisenbahnzuges durch die Angriffspunkte der Einzellasten die Vertikalen und findet dann in derselben Weise wie oben:

0₈ = (0,520 + 0,7 09 + 0,497) 13 -f- 0,OG5.9 = 23,0 t.

max (+ 0₈) = 43,8 4 23,o = 66,81.

Sind die beiden Strecken des positiven Verlaufs der Influenzlinie gleichzeitig belastet, so ist

Maximum der Zugspannung.

Aus dem Verlauf des negativen Theils der Influenzlinie erkennt man, dass irgend eine Last an irgend einem der Knotenpunkte 2 bis 5 angreifen muss, damit die Spannung Os zum negativen Maximum werde. Im vorliegenden Fall kommt man durch einfache Betrachtung der Influenzlinie und des angelegten Papierstreifens, auf welchem das Zugsystem verzeichnet ist, zu dem Schluss, dass Last 3 eines von rechts nach links vorrückenden Zuges, von welchem nur die Lasten 1 bis 3 vorhanden sind, am Knotenpunkte 3 anzuordnen ist (vergl. Fig. 1 Taf. 9). Würde die Sache sich nicht so einfach gestalten, so müsste man mit Hülfe des Normalenzuges in der oben erläuterten Weise die ungünstigste Stellung des Systems ermitteln.

Es ist zu bemerken, dass die Last 4 noch innerhalb des negativen Theils der Influenzlinie liegt, die von dieser Axe untrennbaren Lasten 5 und 6 aber in das Gebiet des positiven Theils der Influenzlinie hinein fallen. Da die Lasten 4, 5 und 6, wie man sofort erkennt, zusammen eine positive Spannung bedingen würden, so sind dieselben natürlich fortzulassen. Man hat:

max (— 0₈) = — (0,133 4 0,134 + 0,135). 13 — — 5,21.

In dieser Weise sind die Spannungen sämmtlicher oberen Gurtstäbe ermittelt. Im Folgenden sollen nur kurz die Resultate der Untersuchungen angegeben werden.

Stab ()v

Das Maximum der Druckspannung flndet bei voller Belastung des Bogens statt. Last 14 eines von links nach rechts vorrückenden Zuges greift im Knoten

punkte 0 der linksseitigen Bogenhälfte an.

max (+ Ot) = 179,4. max (— 0,) = 0.

Stab Ov

Maximum der Druckspannung.

max (4 G₂) = 180,31.

Last 8 eines von links nach rechts vorrückenden Zuges liegt im Knotenpunkte 1 der linksseitigen Bogenhälfte.

Maximum der Zugspannung.

max (— 0₂) = — 0,31.

Last 1 eines von rechts nach links vorrückenden Zuges am Knotenpunkte 7 rechtsseitiger Bogenhälfte.

Stab 0₃.

Maximum der Druckspannung. •

max (4- D₃) == 171,nt.

Maximum der Zugspannung.

Last 1 eines von rechts nach links vorrückenden Zuges am Knotenpunkte 6

Last 8 eines von links nach rechts vorrückenden Zuges am Knotenpunkte 2 linksseitiger Bogenhälfte.

max (— 0₃) = — 1,D t.

rechtsseitiger Bogenhälfte.

Stab 0,.

Maximum der Druckspannung-.

Würde man aucli hier, wie bei den übrigen Stäben, den Zug vom linksseitigen Kämpfer bis ungefähr zur Belastungsscheide vorrücken, so würden in der Nähe des Knotenpunktes 3, in welchem die Influenzlinie ihr Maximum erreicht, die Axen eines Tenders angreifen. Da aber voraussichtlich die Spannung dann grösser wird, wenn im Knotenpunkte 3 ein mittleres Locomotivrad liegt, so wird man, um die ungünstigste Stellung des Systems zu erhalten, einen Zug, der aus den Lasten ! bis 18 besteht, von rechts nach links vorrücken lassen. Es ist dann die Last 8 eines solchen Zuges im Knotenpunkte 3 der linksseitigen Bogenhälfte anzuordnen.

max (4~ 0₄) = 159,4 t.

Maximum der Zugspannung.

Last 3 eines von rechts nach links vorrückenden Zuges am Knotenpunkte 6 rechtsseitiger Brückenhälfte.

max (— 0.) — — l,i t.

Stab Os.

Maximum der Druckspannung.

Last 14 eines von links nach rechts vorrückenden Zuges am Knotenpunkte 4 der linksseitigen Bogenhälfte.

max (-f- Or) = 139,-21.

Maximum der Zugspannung.

max (— 0₆) = — 0,:₍ t.

Last 2 eines von rechts nach links vorrückenden Zuges am Knotenpunkte 6 rechtsseitiger Bogenhälfte.

Stab Of.

Das Maximum der Druckspannung findet bei totaler Belastung statt. Last 3

eines von rechts nach links vorrückenden Zuges liegt am Knotenpunkte 5 der linksseitigen Bogenhälfte.

max (+ Oc) = 108,71 max (— 0₆) — 0.

Stab Or

Das Maximum der Druckspannung findet bei totaler Belastung der Brücke

statt. Last 2 eines von rechts nach links vorrückenden Zuges am Knotenpunkte 6 der linksseitigen Bogenhälfte.

max (4- 0.) = 85,7t max (— 0₇) = 0.

Stab 0₉.

. Maximum der Druckspannung.

Rechtsseitige Belastung.

Last 7 eines von rechts nach links vorrückenden Zuges liegt am Knotenpunkte 3 der rechtsseitigen Bogenhälfte.

0₉ = 72,3 t.

Linksseitige Belastung.

Last 1 eines von links nach rechts vorrückenden Zuges am Knotenpunkte 8 linksseitiger Bogenhälfte.

Oy = 5,5 t

max (+ 0,,) = 72,₃ + 5,₅ = 77,8 t.

Maximum der Zugspannung.

Last 1 eines von rechts nach links vorrückenden Zuges am Knotenpunkte 7 der linksseitigen Bogenhälfte. Die Lasten 1 bis 9 sind als vorhanden anzunehmen.

max (— Oa) — — 51,st.

Untere Gurtung.

Die Ermittlung der Spannungen in den unteren Gurtstäben mit Hülfe der in Fig. 1 Taf. 10 verzeichneten Influenzlinien bietet keine weiteren Schwierigkeiten. Die ungünstigste Zugstellung wird wieder, falls dieselbe sich nicht durch einfache Ueber-legung ergiebt, mit Hülfe des Normalenzuges ermittelt. Insbesondere wird es nicht erforderlich sein, für das negative Maximum der Spannungen U die Laststellungen durch Construction des Normalenzuges aufzufinden. Es kommt hier für die Grenz-stellnngen immer nur ein einziger Knotenpunkt in Frage, an welchem in den meisten Fällen ein mittleres Locomotivrad anzuordnen ist.

Stab Uu.

Maximum der Druckspannung.

Rechtsseitige Belastung.

U₀ — 39,51.

Linksseitige Belastung.

Last 2 eines von rechts nach links vorrückenden Zuges liegt im Knotenpunkte 2 der rechtsseitigen Bogenhälfte.

Last 1 eines von links nach rechts vorrückenden Zuges am Knotenpunkte 3 der linksseitigen Brückenhälfte.

£4 = 21,G

max (+ U₀) = 39,5 +.21,1 = 60,(;t.

Maximum der Zugspannung.

Last 2 eines Zuges, welcher aus den Axen 1 bis 3 besteht, liegt am Knotenpunkte 0 der linksseitigen Bogenhälfte.

max (— U₀) = — 29,3 t.

Stab Ur

Maximum der Druckspannung.

Rechtsseitige Belastung.

Ux =-61,91.

Last 2 eines von rechts nach links vorrückenden Zuges am Knotenpunkte 1 rechtsseitiger Bogenhälfte.

Linksseitige Belastung.

Last 2 eines von links nach rechts vorrückenden Zuges am Knotenpunkte 5 linksseitiger Bogenhälfte.

Ux — 7,7 t

max (+ Ux) = 61,9 + 7,7 = 69,et.

Maximum der Zugspannung.

Last 2 eines von links nach rechts vorrückenden Zuges am Knotenpunkte 1 der

linksseitigen Bogenhälfte; die Lasten 1 bis 6 sind als vorhanden anzunehmen.

max (— ££,) = — 34,ot.

Stab Uv

Maximum der Druckspannung.

Rechtsseitige Belastung.

Last 7. eines von rechts nach links vorrückenden Zuges am Knotenpunkte 4 der rechtsseitigen Bogenhälfte.

Un — 85,i t.

Linksseitige Belastung.

Last 1 eines von links nach rechts vorrückenden Zuges am Knotenpunkte 7 der linksseitigen Brückenhälfte.

Z7₂= 1,i t

max (-p U₂) = 85,t —l,i = 86,*21.

Maximum der Zugspannung.

Last 2 eines von links nach rechts vorrückenden Zuges am Knotenpunkte 2 der linksseitigen Bogenhälfte; der Zug besteht aus den Lasten 1 bis 6.

max (— U.₂) — — 40,21.

Stab Ur

Maximum der Druckspannung.

Last 7 eines von rechts nach links vorrückenden Zuges am Knotenpunkte 3 der rechtsseitigen Bogenhälfte.

max (-f- U₃) = 107,31. Maximum der Zugspannung.

Last 2 eines von links nach rechts vorrückenden Zuges am Knotenpunkte 3 der linksseitigen Bogenhälfte.

max (— U₃) = — 45,61. Stab tu.

Maximum der Druckspaunung.

Last 7 eines von rechts nach links vorrückenden Zuges am Knotenpunkte 2 der rechtsseitigen Bogenhälfte.

max (+ Ut) = 128,31. Maximum der Zugspannung.

Last 2 eines von links nach rechts vorrückenden Zuges am Knotenpunkte 4 der linksseitigen Bogenhälfte.

max (— UA) — — 45,o t.

Stab U₅.

Maximum der Druckspannung.

Last 3 eines von rechts nach links vorrückenden Zuges am Knotenpunkte 2 der linksseitigen Bogenhälfte.

max (+ U.) — 147,4 t.

Maximum der Zugspannung.

Last 2 eines von links nach rechts vorrückenden Zuges am Knotenpunkte 5 der linksseitigen Bogenhälfte.

max (— U) = — 38,71.

Stab U₍,.

Maximum der Druckspannung.

Last 1 eines von rechts nach links vorrückenden Zuges am Knotenpunkte 4 linksseitiger Brückenhälfte.

max (+ U₆) — 165,91.

Maximum der Zugspannung-.

Last 2 eines von links nach rechts vorrückenden Zuges am Knotenpunkte 6 der linksseitigen Bogenhälfte.

max (— U₆) = — 27,51. Stab U,.

Maximum der Druckspannung.

Last 2 eines von rechts nach links vorrückenden Zuges am Knotenpunkte 5 linksseitiger Bogenhälfte.

max (+ /T₇) = 186,61. Maximum der Zugspannung.

max (— Ui) = — 13,91.

Last 2 eines% von links nach rechts vorrückenden Zuges am Knotenpunkte 7 linksseitiger Bogenhälfte.

Stab /Tg.

Maximum der Druckspannung.

Last 8 eines von rechts nach links vorrückenden Eisenbahnzuges am Knotenpunkte 2 der linksseitigen Brückenhälfte.

max (+ /Tg) = 217,3 t. Maximum der Zugspannung.

max (— /T₈) = — 4,o t.

Last 1 eines von links nach rechts vorrückenden Zuges am Knotenpunkte 8 der linksseitigen Bogenhälfte.

Stab /T₉.

Maximum der Druckspannung.

Die grösseren Ordinaten der Influenzlinien befinden sich in der Nähe des linksseitigen Widerlagers. Um die positive Maximalspannung zu erhalten, wird man deshalb auch die grösseren Lasten gegen den Kämpfer gruppiren müssen. Anstatt einen Zug vom Widerlager aus bis gegen die Belastungsscheide vorzuschieben, wird man einen Zug, welcher aus den Lasten 1 bis 18 besteht, von rechts nach links vorrücken lassen. Es ergiebt sich, dass Last 4 eines solchen Eisenbahnzuges am Knotenpunkte 6 der linksseitigen Bogenhälfte angreifen muss.

max (+ /Ta) = 258,41.

Maximum der Zugspannung.

max (— /T₀) = — 4,81.

Last 2 eines von rechts nach links vorrückenden Zuges am Knotenpunkte 5 der rechtsseitigen Bogenhälfte.

Diagonalen.

Die Spannungsermittlung der Diagonalen mit Hülfe der in Fig. 2 Taf. 10 ver-zeichneten Influenzlinien giebt zu weiteren Ausführungen keinen Anlass. Ueber die sich ergebenden ungünstigsten Laststellungen sei folgendes bemerkt.

Die D i a g o n a 1 e n Da bis erreichen das Maximum ihrer positiven (Druck-) Spannung, wenn Last 1 eines vom linksseitigen Kämpfer vorrückenden Zuges an demjenigen Knotenpunkte liegt, in welchem die entsprechende Influenzlinie ihr positives Maximum besitzt; es ist das allemal der Knotenpunkt, welcher das Feld, in

dem sich die fragliche Diagonale befindet, linksseitig begrenzt. Die grösste Zugspannung dieser Diagonalen findet statt, wenn in entsprechender Weise ein Zug vom rechtsseitigen Kämpfer vorrückt, und das erste Rad desselben im rechtsseitigen Knotenpunkte des fraglichen Feldes liegt.

Von der Diagonalen Ds an bedingt die positive Maximalspannung die Belastung einer am linksseitigen und einer am rechtsseitigen Kämpfer gelegenen Strecke. Die Zugstellung in der ersteren ist wieder in der Weise anzuordnen, dass immer Last 1 am linksseitigen Knotenpunkte des fraglichen Feldes liegt, während die Laststellung in der letzteren sich mit Hülfe des Normalenzuges folgendermaassen ergiebt Stab D.r Last 2 eines von rechts nach links vorrückenden Zuges am Knotenpunkte 8 der rechtsseitigen Bogenhälfte.

Stab T)a. Last 4 am Knotenpunkte 7 der rechtsseitigen Bogenhälfte.

Last 8 am Knotenpunkte 5 der rechtsseitigen Bogenhälfte.

Stab D:. Last 3 am Knotenpunkte 4 der rechtsseitigen Bogenhälfte. Stab D₆. Last 3 am Knotenpunkte 2 der rechtsseitigen Bogenhälfte. Stab D.

Stab I)g. Last 1 am Knotenpunkte 0 der linksseitigen Bogenhälfte. Stab Th,

Last 3 am Knotenpunkte 0 der linksseitigen Bogenhälfte.

Das negative Maximum der Spannung erreichen diese Diagonalen, wenn Lastl eines von rechts nach links vorrückenden Zuges im rechtsseitigen Knotenpunkte des fraglichen Feldes angreift und soviel Lasten von diesem Zuge als vorhanden angenommen werden, als noch innerhalb der Strecke, auf welcher die Ordinaten der Influenzlinie negativ sind, gestellt werden können. Hierbei ist natürlich zu berücksichtigen, dass die drei Axen der nämlichen Locomotive oder des nämlichen Tenders nicht theils als vorhanden, theils als nicht vorhanden angenommen werden dürfen.

Die Spannungen, welche sich für diese ungünstigsten Laststellungen ergeben, sind die folgenden:

Index

19,i    22,i    28,6    37,ot

18,o

max (+7>)= 47,8    42,4    35,7    28, e    22,3

max(—■!))==—47,8 —49,4 —49,7 —48,4 —48,t —49,2 — 53,i —59,2 -66,3 —74,4 Die durch Temperaturdifferenzen im Fachwerk hervorgerufenen Spannungen sind genau in derselben Weise wie beim vorigen Beispiel zu ermitteln. Die Rechnungen sollen deshalb an dieser Stelle nicht wiederholt werden. Der ganze Abschnitt „TemperaturSpannungen“ des Beispiels VII (S. 249) ist hier einzuschalten.

Es sollen nunmehr für das System I die Spannungen in den Gurtstücken und den Diagonalen, welche von der permanenten, der mobilen Last und den Temperaturdifferenzen herrühren, summirt werden.

Bereits anfangs ist bemerkt worden, dass die bisher ermittelten Zahlen für die

3

in Folge der mobilen Last auftretenden Spannungen noch mit — multiplicirt wer-

O

den müssen, um die wirklichen Werthe derselben zu erhalten. Diese Multiplication soll gleichzeitig ausgeführt werden.

Wie schon erwähnt hat der Stab On der oberen Gurtung die nämliche Spannung wie der Stab (\, da die diesen beiden Constructionstheilen conjugirten Drehpunkte symmetrisch gelegen sind.

87,4,.

• 77,8+142,4=175,9«

max(+/>4=

= 17,9 t

max (—Oo)=30,2 max(—0,)=30,2

max (—0₂)=29,3—

0

max(—0₃)=27,7—|

3

max (— 0,)—25,3 — -6

max (— 0.)=22,i —— • 0,3 — 13,i = 0

max (—64)= 18,3 max(—6)₇)=14,o raax(—6)s)== max (—6)₉)=

7,2«

max (— 66J=

—100,3«

3,t«

4,0— 61,8=— 27,9«

- 67,0«

max (—i>4=

——17,9 t

Es ergiebt sieb:

max (+6)4=30,2-4—t~ • 179,i -f- 34,2=131,61

0

max (+04=30,2+-j|-• 179,i -J— 34,2=131,6,,

max(4-6)4=29,34-—^*180,3+ 29,r,=126,4«

max (+04=27,14—^ * 171,64- 20,i=112,₂„

max (+04=25,3-4—^-*159,4+ 6,0= 91,1 „

max(+104=22,1 4—• 139,24- 13,1 =

0

max(4-04=18,34—g- • 108,-4— 3/,2= 96,3«

max (+6)4=14,o+-• 85,74— 66,6=112,-«

max(+6)₈)= 9,24—jr • 66,8+101,5=135,8« 0

3

max (+04= 4,34—g

max(+66₀)= 5,84—|r • 60,6,4-107,3=135,st

max(4—^',)= 6,-4—% - 69,64-102,8=135,6« 0

max (+664= 8,64—• 86,24- 93,8=134,-«

max (+6+=!1,34—jj- • 107,3-4- 80,2=131,i«

max(+664=14,8-4—tt * 128,34- 61,9=124,8« 0

max(4-^4)=19,i4—• 147,44- 38,8=113,2«

max(4-£4)—24,04—tt * 165,o4— 10,6= 96,s«

0

max(4~64=29,54—• 186,6-4- 22,8=122,3« 0

max(4-£4)=35,44—g- • 217,34- 61,8=178,-« max(4-£4)—41,5-4-ir * 258,44-106,-=245,i„

O

-g- • 47,8

max (4-Z>,)= — 1,14- -g- * 42,4 + 5,# = 20,7 „

— 34,2=— 4,ot — 34,2=— 4,o„ - 0,3— 29,5=— 0,3« • l,o— 20,1 = 18,8« 8,o„ — 37,2=— 18,9« _ 66,6=— 52,6«

9.2— ~ - 5,2—101,5= — 94,3«

4.3— • 51,8-142,4=—157,5«

5,8—1- • 29,3—107,3= — 112,51 0

max(—66J= 6,7—-jj- • 34,5—102,s=—109,0«

max(—64)~ 8,6—=-40,2— 93,8=

3

max(—64)=11,3—6_*45,6— 80,2=— 86, o„ 3

max(—664=14,8—g- • 45,n — 61,9=— 64,0«

max(—64)=19,i—^-*38,7— 38,8=— 34,2«

max (—66J =24,o—~ • 27,5 — 10,6=

max (— 664 =29,5 —• 13,9 — 22,s=

0

max (—664=35,4—jj-0

max(—664=41,5—jj- • 4,8 — 106,7=

O

4.47,

3

max(—D4=—l,i — -tt ■ 49,4—5,9=—25,5«

0

CT

£33

+ + + + + +-+ +

b b Jb b

P4

iO

22

Ts

T,

/■-s

ßf-

Kj

V

C5

,~N

2«

Ts

2«

T»

2«

To

co- 00

22

io"

's.«

IO

PI

22

To

co Igo co |oc co |oo w po co joo co joo co joo

PI

NS

IO

35

io

NS

'S»

'S»

'S»

CD

PI

2-

es

20

10

'oo

o

27

IO

IO

22

PI

ro

T»

Ts

CD

'S»

CD

IO

'S»

To

27

'S»

22

22

't«

2:

'S»

27

'S»

T»

2«

es

'S.

'S»

22«

To

27«

Sc

oo|io oo| ec ooj ec oc| co oo| co oo| cc oo! <20 oo| co

'S.

(M

'So

T-

05

oc

ec

NS

Tc

CD

To

to

-•

CD

2«

o

CP

2«

2«

'S»

2«

CD

To

22

Ts

CD

CD

•So

'S»

!!

CD

'S»

tt

•4

22

'S»

System II.

Die Spannungen, welche in diesem System auftreten, lassen sich im Allgemeinen aus den obigen Zahlen in einfacher Weise ableiten.

Die Spannungen in den Gurtungen ergeben sich aus den Gleichungen 325 und 326 des § 44. Da die Hebelsarme sämmtlicher Gurtstücke als gleich (= 2,5 m) angenommen sind, so werden sich die gesuchten Werthe direct abschreiben lassen. Die Spannung U₀⁴ müsste eigentlich aus der Spannung £/_, abgeleitet werden; letztere ist für System I nicht berechnet. Man übersieht jedoch sofort, dass der Stab U₀4 dieselbe Spannung wie der Stab U₀ haben wird, da die diesen beiden Stäben con-jugirten Drehpunkte symmetrisch gelegen sind.

Eine besondere Berechnung erfordert das Gurt,stück 0./; diese Berechnung soll zunächst durchgeführt werden.

Ermittelung der Influenzlinie.

Der dem Stabe 0,‘ conjugirte Drehpunkt fällt mit dem Kämpferpunkte zusammen; es ist also:

\M] = 0.

In Gleichung 282 ist x = 30 zu setzen. Liegt beispielsweise Last „Eins“ am Knotenpunkte 5 der rechtsseitigen Bogenhälfte, so wird:

M— — 4,1)80 - 6,038 (—• 1,421 — 5,00|) 4“ 6,090-2 • 30 = 2,036

und

2,036

6,814-

In dieser Weise findet man:

Rechtsseitige Bogenhälfte.

Knotenpunkt 8

O,⁴ = Ö,ioo

0,291    6,55t    6,914    1,021

Linksseitige Bogenhälfte.

,132

1,150

1,042

6,840-

Knotenpunkt 0

0,‘ — 0,525

6,118    -6,320

0,779

1,181    —1,495 —1,632 -1,494 —6,970.

Die Influenzlinie ist in Fig. 1 Taf. 9 eingezeichnet. Durch Addition obiger Zahlenwerthe erhält man für das Eigengewicht:

OJ =- 0,29 P —- 0,29 • 2,48 =- 0," t.

Die Spannungen in Folge der mobilen Last ergeben sich folgendermaassen: Maximum der Druckspannung.

Last 7 eines von rechts nach links vorrückenden Zuges am Knotenpunkte 3 der rechtsseitigen Bogenhälfte.

max (-f- OJ) = 1.13,81.

Maximum der Zugspannung.

Last 10 eines von links nach rechts vorrückenden Zuges am Knotenpunkte 8 der linksseitigen Bogenhälfte.

max (— Oq) = — 118,21.

Die Temperatur Spannungen ergeben sich in derselben Weise wie im vorigen Beispiel (S. 252) zu

Og‘ = + 189,o t.

Man hat nun:

max (— OP) — — 18,9 „ max (— O,') = — 52,r. max (— 0.0 = — 94,3.,, max (— OJ) — — 157,5 „

87,4 „

max (4- O„0 = 131,c t max (-f- O,0 = 126,4 „ max (4~ OJ) — 112,2 „ max (+ O/) = 91,i „ max (+ 0‘) max (-j- OP) = 96,3 „ max (4- O₆0 = 112,7 „ max (4- OP) — 135,8 „ max (4- D₈') = 175,9 „

max (4- Og) = — 0,7 + ~ • 113,8 4- 189,o    max (— 0₉‘) — —0,:--1- • 118,2 — 189,6

= 231,61.

= — 234,61.

3,1 n

1,5 n

max (4- UQ') — 135,81 max (+ U‘) = 135,8 „ max (4- £40 = 135,6 „ max (4- £40 = 134,7 „ max (4- £4/) = 131,7 „ max (4- £4/) = 124,s „ max (4- £4,0 = 113,2 „ max (4- £40 = 96,8 „ max (4- £40 = 122,3 „ max (4- £40 == 178,7 „

max (— £40 = — 112,51 max (— £40 = — 112,5 „ max (— £40 = — 109,o „ max (— £40 = — 100,3 „ max (— £4/) = — 86,0 „ max (— £4/) = — 64,o „ max (— £40 == — 34,2 „ max (— £40 = max (— £40 = max (— £40 — — 27,9 „

Die Spannungen in den Diagonalen ergeben sich aus Gleichung 328. Das Verhältnis« der Längen dieser Stäbe ist bereits anfangs berechnet. Man findet also:

max (4- P\t0 = 17,91 max (4- P\) — 25,5.1,049 — 26,71 max (4- ZV) = 32,3. l,i02 = 35,0 „ max (4- 740 = 38,i . 1,157 — 44,1 „

max (— Dn‘) — — 17,91 max (— D‘) — — 20,7. 1,049 = — 21,7 t max (— D‘) — — 22,7. 1,102 — — 25,0„ max (— Z4O = — 24,4.1,157 = — 28,2 „

max (+ DJ) = 43,7.1,210 = 53,11 max (+ DJ) — 49,4. 1,279 = 63,2 „ max (-+- DJ) = 55,6. 1,347 = 74,9 „ max (+ DJ) — 61,9. 1,421 = 88,0 „ max (+ DJ) — 68,0.1,503 = 102,2 „ max (+ DJ) = 73,6.1,592= 117,2 „

max (— DJ) = — 26,3. l,2tG = — 32,o t max (— DJ) = — 29,o. 1,279= — 37,t „ max (— DJ) = — 32,9 . 1,347 = — 44,3 „ max (— DJ) — — 37,6.1,421 = — 53,4 „ max (— DJ) = — 43,6.1,503 = — 65,5 „ max (— DJ) = — 50,3.1,592 = — 80,1 „

Denkt man sieb beide Systeme auf einander gelegt, so werden sich die Spannungen in den entsprechenden Gurtstücken summiren. Diese Addition giebt folgende Resultate:

4,3 n 6,9 » 26,0 „ 27,7 B

8,9—    18,9=—    10,0 „

7,2 + 18,8 = 18,8 +    8,9 =

3,i — 34,2 = — 31,i „ 1,5+    3,1=    4,6 „

max (+ OJ) = 131,6 + 131,6 = 263,21 max (—|— OJ) = 131,6 +- 126,4 =* 258,0„ max (-J— OJ) = 126,4.+ 112,2 := 238,g „ max (+ OJ) = 112,2 ■+ 91,1 = 203,3« max (+ OJ) — 91,i + 87,4 = 178,5 „ max (+ OJ) = 87,4 + 96,3 = 183,7 „ max(+0₆) = 96,3 + 112,7 = 209,o „ max (+ OJ) = 112,7 + 135,s = 248,5 „ max (+ OJ) = 135,s + 175,9 = 311,7 „ max (+ OJ) — 175,9 + 231,o = 407,5 „

max (+ UJ) = 135,8 + 135,8 = 271,o t max (+ f/,) = 135,6+ 135,s = 271,4,, max (+ UJ) = 134,7 + 135,6 = 270,3 „ max (•+ UJ) = 131,7 ~f~ 134,7 = 266,4 „ max (+ UJ) = 124,8 + 131,7 = 256,5 „ max (—(— UJ) = 113,2 —(— 124,8 = 238,0 n max (+ UJ) = 96,8 •+ 113,2 = 210,o „ max (+ UJ) = 122,3 +■ 96,8 = 219,1 „ max (+ UJ) = 178,7 + 122,3= 301,0 „ max (+ UJ) — 245,i + 178,7 = 423,8 „

max (— OJ) = max (— OJ) = max (— OJ) = max (— OJ) = —    18,9 —    52,0 = —    71,5 „

max(—OJ) = — 52,6 — 94,3 =— 146,9 „ max(—OJ) = — 94,3— 157,5 = — 251,8 „ max (— OJ) = — 157,5 — 234,6 = — 392,1 „

max (— UJ) — — 112,5 — 112,5 = — 225,01 max (— UJ) = — 109,o — 112,5 = — 221,5 „ max (— UJ) = — 100,3 — 109,o = — 209,3 „ max (— UJ) = — 86,0 — 100,3 = — 186,3 „ max (— UJ) == — 64,o — 86,0 = — 150,0 „ max (— UJ) = — 34,2 — 64,0 = — 98,2 „ max (— UJ) = max (— UJ) == max (— UJ) — — 27,9 +    1,5    =    —    26,4    „

max (— UJ) = — 67,o — 27,9 = — 94,9 „

Schliesslich ist es noch erforderlich, die Spannungen in den Vertikalen unter Berücksichtigung beider Systeme zu ermitteln. Angenähert findet man diese Spannungen aus den Gleichungen 331 und 334 des § 44.

In Folge der permanenten Last ist:

/? ^ *:s

0,71.

In Folge der mobilen Last ist, wie man aus nebenstehender Figur erkennt:

3,17 - 1,79

3j 453-^ (-3f 153—4

Man hat demnach:

max (+ C) = 0,7 + 10,6 = 11,31 max (— C) = 0,71. Sämmtliche Spannungen sind in Fig. 3 Taf. 10 zusammengestellt.

K. Krolin, Bogenbrücken. II.

Ans diesen Grenzwerthen ist nunmehr die zulässige spcc. Spannung für die verschiedenen Constructionstheile nach der Formel

k — 0,9 ^1 -f

1    min S

2    max aS

zu berechnen, und muss sodann der erforderliche Querschnitt der einzelnen Stäbe ermittelt werden. Diese Rechnungen sind genau in derselben Weise wie im Beispiel III durchzufiihren, dieselben sollen deshalb hier nicht wiederholt werden. Zu bemerken ist nur noch, dass die Querschnitte der Vertikalen etwas reichlich zu bemessen sind, da die Spannungen derselben nur angenähert ermittelt wurden.

Nachdem alsdann der Träger vollständig dimensionirt ist, kann man auf Grund dieser Stabquerschnitte eine Correction der ganzen Rechnung vornehmen. Die Bestimmung des Horizontalschubes wurde nämlich mit Berücksichtigung der Elastici-tätsverhältnisse des Bogens unter der Annahme durchgeführt, dass das Trägheitsmoment J in jedem Punkte des Trägers der Gleichung

J cos cp = const.

genüge, wenn mit cp der Winkel bezeichnet ist, den die Bogenaxe mit der Horizontalen einschliesst. Diese Annahme ist, wie man schon aus den Spannungszahlen der Gurtungen ersieht, thatsächlich nicht zutreffend. Auf Grund der jetzt berechneten Stabquerschnitte lässt sich der Horizontalschub nun bedeutend genauer ermitteln. Bezüglich dieser Correctionsmethode sei auf Beispiel XI verwiesen, in welchem dieselbe vollständig durchgeführt ist. Ob eine solche Correction erforderlich ist oder nicht, muss der Erwägung des Constructeurs überlassen bleiben. Im Allgemeinen ist die hier erzielte Annäherung schon eine so gute, dass man sich mit. den gewonnenen Resultaten vollständig zufrieden geben kann. Eine weitere Correction scheint um so weniger geboten, als die Voraussetzungen der Unverschieblichkeit der Widerlager, der absolut genauen Montage des Bogens, etc. thatsächlich doch nicht vollständig erfüllt sind. Empfehlenswerth scheint es vielmehr, für statisch unbestimmte Bogensysteme einen etwas grösseren Sicherheitscoefficienten, wie solcher ja auch im vorliegenden Beispiel angenommen ist, in die Rechnung einzuführen.

Beispiel IX.

Fach werkbogen von 36 m Spannweite mit versteiften Zwickeln

lind 3 Gelenken.

{Annahme einer gleichmassig vertheillen mobilen Belastung.)

Die obere Gurtung des Trägers ist horizontal; die untere Gurtung ist nach einer Parabel gekrümmt, deren Pfeilhöhe 4m beträgt.

Durch Vertikalständer ist der Bogen in 12 Felder von je 3 m Länge getheilt.

wenn mit f die Pfeilhöhe bezeichnet wird. Man findet für die verschiedenen Knotenpunkte :

Die Ordinaten der Parabel ergeben sich aus der Beziehung

I — 48

4-=o

3,ssso

3,5556

2,2222

1,2 222

Om.

3;oooo

Die horizontale Gurtung liegt 0,5 m oberhalb des Scheitelpunktes der Parabel.

Mit Hülfe dieser Werthe ist in Fig. 1 Taf. 11 die geometrische Form des Trägers verzeichnet. In jedem Felde ist eine nach der Mitte der Brücke fallende Diagonale angeordnet. Im Scheitel und an beiden Kämpfern sind Scharniere eingeschaltet. Die Bezeichnung der einzelnen Stäbe ist aus der nämlichen Figur zu ersehen.

Zur Berechnung der Spannungen müssen die Coordinaten des Schnittpunktes der „mitgeschnittenen Constructionstheile“ für jeden Stab, sowie die Grösse des Hebelsarmes der im Stabe wirkenden Spannung bezüglich dieses Schnittpunktes bekannt sein. Diese Grössen können entweder aus der Zeichnung abgegriffen oder analytisch ermittelt werden. Es sei im Nachstehenden der Weg der analytischen Bestimmung gezeigt.

Für die Gurtstäbe fallen die Schnittpunkte der mitgeschnittenen Constructionstheile mit den Knotenpunkten des Systems zusammen. Die Coordinaten derselben sind bekannt.

Für die Diagonalen und Vertikalen müssen die Schnittpunkte der verschiedenen unteren Gurtstäbe mit der oberen Gurtung ermittelt werden.

SL-*

Aus nebenstehender Figur erkennt man j leicht, dass die gesuchte Abscisse x eines solchen Schnittpunktes sich aus der Beziehung

■*s

K — ’x-2 K

kl hy

ergiebt. Die Bedeutung der verschiedenen Buchstaben ist aus der Figur zu ersehen.

Hiernach findet man für die Abscissen der Schnittpunkte der oberen Gurtung mit den Stäben der unteren Gurtung folgende Werthe:

Schnittpunkt mit

Ut

U2

X— - 13,5000

- 2,5000

0,o 000

3,21 43

5,1667

6,0545 m

Die Hebelsarme <1 der Diagonalen ergeben sich, wie man ebenfalls aus der obigen Figur erkennt, aus der Gleichung

d = {xi — x) A-, worin ld die Länge der Diagonalen bedeutet; es ist

Man findet:

w = yx*.+ h*.

Diagonale

TK

ld = 3,0414 d— 2,713

3,0616 1,607

Die Hebelsarme der unteren Gurtstücke können nach der Formel

3,1451

2,432

3,3541

3,029

3,7667

5,046

4,4434 m 8,148 *

h, X

u —

hä*»

berechnet werden. Die Länge A“ des unteren Gurtstückes ist: i*=yA*+(A, — k,y.

f—

18*

Es ergiebt sich für

Ui

U,

U₃

U,

U₅

UG

A“ = 3,002t

U = 0,611

Die Brücke soll aus Schmiedeeisen und eingleisig hergestellt werden. Die Bahn liegt an der oberen horizontalen Gurtung.

Die Verkehrslast wird in Kücksicht auf die Stösse etc. mit ihrer 17? fachen Grösse in die Rechnung eingeführt; die zulässige spec. Spannung ist zu

min S 2 max S

3,0185

0,038

3,0510

1,475

3,0992

2,205

3,1623

3,110

3,2394 m 4,167 „

k — l,ooo ^1 -4-

festgesetzt, wobei der Centimeter als Längeneinheit und die Tonne als Gewichtseinheit gilt.

Approximative Bestimmung des Eigengewichts.

Nach den Ausführungen des $ 45 ist in den Formeln zur näherungsweisen Bestimmung des Eigengewichts für die specifische mobile Belastung q eine der halben Spannweite des Bogens entsprechende Grösse einzuführen. Die Tabelle des § 7 giebt für eine Länge von 18 m den Werth q zu 6,3 t pr. Gleis und pr. lfdm. an. Da die Berechnung unter Annahme der lV2fachen Verkehrslast durchgeführt werden soll, so ist:

q — 9,451

zu setzen. Das Gewicht der Bahnconstruction ist nach Gleichung 354 zu 0,81 pr. lfdm. angenommen worden. Führt man diese Werthe in Gleichung 357 ein, so lautet dieselbe:

10000.4.0,8 + 4,21.9,45 (3.18² + 4.4‘²)

/> =

10000.4 — 2,27 (3. 18²+ 4.4²)

1,796 t.

Hiervon hat jeder der beiden Hauptträger die Hälfte aufzunehmen, so dass sich das Eigengewicht pr. Träger und pr. lfdm. auf 0,so81 stellt. Das Gewicht der Bahnconstruction beträgt pr. lfdm. und pr. Träger 0,41 und demnach dasjenige des Bogens 0,898 — 0,4 = 0,498 1. Vom Gewicht des Bogens wirkt etwa an der oberen und 2

— an der unteren Gurtung. Es entfällt demnach auf den Obergurt eine Belastung von

O

1

-«j- ' 0,498 + 0,4 = 0,566 t

und auf den Untergurt eine solche von

2

-g- • 0,498 = 1,332 t

pr. lfdm. am Obergurt: und am Untergurt:

Die Belastung pr. Knotenpunkt beträgt

P° = 3 .0,566 = 1,7 t P" — 3.0,332 = 1,0 t Die Totalbelastung pr. Knotenpunkt ist also:

P = 1,7 -j— 1,0 = 2,7 t.

Spannung sh es tim mungen.

Eigengewicht.

Das Seilpolygon für eine gleichmässig auf die Knotenpunkte vertheilte Belastung ist bekanntlich einer Parabel eingeschrieben. Die untere Gurtung des vor-

liegenden Bogens wird demnach mit dem Seilpolygon (Stützlinie) für das Eigengewicht zusammenfallen. Würden die Lasten thatsächlich sämmtlich an der unteren Gurtung angreifen, so würde diese ohne jede weitere Versteifung im Stande sein, das Eigengewicht aufzunehmen, und die Spannungen sämmtlicher übrigen Construc-tionsstäbe wären dann Null. Da aber die Lasten zum Theil auch an der oberen Gurtung angreifen, so werden ausserdem noch die Vertikalstützen beansprucht, indem diese die oberen Lasten auf den Untergurt übertragen müssen. Man erkennt aber, da^s die Eigengewichtsspannungen in den oberen Gurtstäben und den Diagonalen gleich Null sind.

Die in den Knotenpunkten 6 (Kämpferpunkten) oben angreifenden Lasten sind im Allgemeinen ohne Einfluss auf die Spannungen des Fachwerks. Führt man dieselben in die Rechnung ein, so vergrössert sich in Folge dessen die Vertikalcom-ponente der Widerlagsreactionen um eben diesen Werth und diese beiden Kräfte (die vertikal abwärts wirkende Last und die vertikal aufwärts wirkende Reaction) tilgen sich gegenseitig. Nur für den Vertikalständer C₆ ist, wie man leicht erkennt, die Einführung dieser Last von Bedeutung. Es sollen deshalb im Allgemeinen die an den oberen Endknotenpunkten wirkenden Lasten nicht mit in Rechnung gesetzt werden; nur für die Vertikale C₍, werden dieselben zu berücksichtigen sein.

Die Grösse II, d. h. die Horizontalcomponente der Kämpferreaction ergiebt sich aus der Gleichung 196 des § 24. Ob man die im Scheitel angreifende Last der rechtsseitigen oder linksseitigen Bogenhälfte zurechnet, ist durchaus gleichgültig; dieselbe soll der rechtsseitigen Bogenhälfte zugerechnet werden. Ersetzt man die auf einer Bogenhälfte angreifenden Lasten noch durch ihre Resultante, so lautet Gleichung 196:

• II

2.4

6.3,5.3+ 5.3.3 P— 13,5 P.

Untere Gurtung.

Die den Gurtstäben conjugirten Drehpunkte fallen mit den Knotenpunkten des Bogens zusammen.

Das Moment \M\, d. h. das Moment, welches die nämliche Belastung bei einem Balken auf 2 Stützen in einem Punkte, welcher dieselbe Abscisse, wie der in Rede stehende Drehpunkt besitzt, hervorbringen würde, erhält man aus Gleichung 197. Für totale Belastung lässt sich aus dieser Gleichung ein einfacherer Ausdruck für das Moment im «ten Knotenpunkte leicht ableiten. Es ergiebt sich:

[M| = i-(6 + »)(6-»)P

oder X = 3 gesetzt

[Jl/]--1_ (₆ + ») (6 — «)

Stab L\.

Der conjugirte Drehpunkt ist der obere Knotenpunkt 1. Für diesen ist: [M\ = ~ • 7 • 5 P = 52,50 P.

Das Moment M der äusseren Kräfte bezüglich des Drehpunktes 1 ergiebt sich aus Gleichung 195; man findet:

M = 52,50 P — 13,5.4,5 P =- 8,25 P.

Vertikalständer.

Die Vertikalen haben im Allgemeinen die Last P° auf den Untergurt zu über

tragen, so dass die Spannung derselben sich auf

C = Pu = 1,7 t

stellt.

Nur die Vertikalen C₀ und CG machen hiervon eine Ausnahme; diese haben nur

P°

po

Der Hebelsarm des Stabes Ut ist oben zu 0,611 m berechnet. Demnach findet

man die gesuchte Spannung aus Gleichung 199 zu

8,25

U.

0,611

P — 13,50 P — 13,50.2,7 = 36,5 t.

Stab Uv

=    8 • 4P = 48,oo P

1/= 48,00 P— 13,5.4,5 P=— 12,75 P U₂ =

12,75

P= 13,59 P— 36,7 t.

£7₃.

Stab U..

£/₅.

0,938

[M] = ~-V • 3 P = 40,50 P

M = 40,50 P— 13,5.4,5 P= — 20,25 P 20,25

1,475

w\=\

M = 30,oo P — 13,5.4,5 P — — 30,7 5 P — P — 13,95 P — 37,7 t.

[ifc/J = A . 11 . !P = 16,50 P

P = 13,73 P = 37,i t.

r- • 10 • 2 P = 30,oo P.

fO SS

,205

i¥= 16,50 P~ 13,5.4,5 P= — 44,25 P

44,25

P = 14,23 P— 38,4 t.

Stab Uv

3,tio

M = - 13,5.4,5 P—- 60,7 5 P

P — 14,58 P = 39,4 t.

60,7 5

4,167

die Grösse zu übertragen. Hierbei ist angenommen, dass im Scheitel zwei Vertikalen vorhanden sind, von denen eine der linksseitigen, eine der rechtsseitigen Bogenhälfte angehört. Also:

Mobile Belastung.

Obere Gurtung.

Der dem Stabe conjugirte Drehpunkt fällt mit dem Scheitelgelenk zusammen. Da das Moment der äusseren Kräfte bezüglich dieses Punktes immer gleich Null ist, so wird auch die Spannung O, gleich Null sein.

Stab 0₂.

Der Schnittpunkt der mitgeschnittenen Constructionstheile liegt oberhalb der Graden AE (Fig. 1 Taf. 11). Das Belastungsschema ergiebt sich nach Fig. 45, § 26. Die Belastungsscheide fällt • in das erste Feld der linksseitigen Bogenhälfte. Die Strecke von diesem Felde bis zum linksseitigen Kämpfer muss belastet werden, um das Maximum der Druckspannung in 0₂ zu erhalten.

Der Horizontalschub, welcher dieser Belastungsart entspricht, wird aus Gleichung 196 gefunden. Diese lässt sich noch in folgende, für die Kechnung etwas bequemere Form bringen. Bezeichnet man mit il,. die Kesultante aller Lasten rechts vom Scheitel und mit l\, die Resultante der Lasten links vom Scheitel, ferner mit und die Abscissen der Angriffspunkte dieser Resultanten jedoch nicht in Metern, sondern in Felderlängen ausgedrückt, so wird:

LrR,(6 + £.) + R,(6-ä) .

Setzt man l = 3 und f— 4, so erhält man:

H=± K,(6 + |,) + 8,(6 —&) .

Die Werthe s sind algebraisch zu verstehen; es wird also £r negativ in Rechnung zu setzen sein.

Für den vorliegenden Fall ist H,.= 0, Ü/ = 5Q und £,= 3,o, also:

E= -I- • 5 (6 — 3) Q = 5,625 Q.

Das Moment [M] ergiebt sich aus Gleichung 197. Auch diese Formel kann man für den Fall, dass der fragliche Drehpunkt mit einem Knotenpunkte des .Trägers zusammenfällt, noch etwas einfacher schreiben. Bezeichnet man mit x nicht die wirkliche Entfernung des Drehpunktes vom Scheitel, sondern die Anzahl der Felderlängen, um welche der Drehpunkt vom Scheitel entfernt ist; ersetzt man ferner die rechts, resp. links vom fraglichen Schnitt angreifenden Lasten durch ihre Resultanten it' und K" und giebt die Entfernungen §' und f" der Angriffspunkte dieser Resultanten vom Scheitel ebenfalls in Felderlängen an, so lautet Gleichung 197:

[M]

(6 — x) (6 + §0 IV + (6 + x) (6 - g") fr“

12

oder

[M] = -r (6-«)(6 + S0*' + (6 + «)(6-!")R" .

Im vorliegenden Falle ist

K'=o,

R"=5Q

und — o, also: [Jf] = 4- (6 + 1) (6 — 3) 5 Q = 26,25 Q.

4

Nach Gleichung 195 erhält man:

M = 26,25 Q — 5,625.3,889 Q == 4,3T Q.

Die Spannung 0.₂ ergiebt sich sodann aus der Formel 198:

Q = 7,15 Q.

max (+ ö₂) =

4,37 0,611

Die Länge der belasteten Strecke beträgt 16,5 m. Hierfür giebt die Tabelle des §7 den Werth y = 6,41 pr. lfdm. und pr. Gleis an. Berücksichtigt man, dass

die mobile Last mit ihrer 1V2 fachen Grösse in Rechnung gestellt wird, dass ferner jeder der beiden Hauptträger die Hälfte dieses Werthes aufnimmt und dass die Länge eines Feldes 3m beträgt, so ergiebt sich für die Belastung pr. Knotenpunkt:

<3 = 1V2 • Va. 3.6,4 = 2,25.6,4 =14,₄t.

Demnach ist:

max (+ 0.₂) — 7,15.14,4= 103,o t.

Bei voller Belastung des Bogens ist die Beanspruchung des Stabes 0% gleich

max (— Os) = — 7,15 Q

Null. Es muss demnach die in Folge anderseitiger Belastung auftretende grösste Zugspannung

sein.

Die Länge der belasteten Strecke beträgt 19,5m; also:

Q — 2,25.6,2 = 14,0 t max (— 0₂) — — 7,15.14,o = —100,11.

Stab 0₃.

Belastungsscheide im lsten Felde.

II — 5,625 Q

|M] = — (6 — 2) (6+ 1)1 + (6 + 2) (6 — 3,5) 4 <3 = 27,00 Q

M — 27,00 Q 5,625.3,556 Q = 7,00 Q

1^- Q = 7,42 Q = 7,42 . 14,4 = 106,8 t max (— 0₃) — — 7,42 .14,o = — 103,91.

max (-f- 0₃) =

Stab ö₄.

Belastungsscheide im 2ten Felde.

H =    - 4 (6 — 3,s) Q = 3,7₅ Q

=    (6 — 3) (6 + 2) 1 + (6 + 3) (6 — 4) 3 Q = 19,50 Q

M — 19,50 Q — 3,75.3,o Q = 8,25 Q max (+ 0A) = Q == 5,50 Q

¹,5

Q = 2,25.6,7 = 15,11 max (+ 0A) — 5,50. 15,i == 83,11 max (— O) — — 5,50 Q Q = 2,25.6,0 = 13,5 t max (— 0,) — — 5,50.13,5 = — 74,31.

Stab 0₅.

Belastungsscheide im 2ten Felde.

[M] = ^ (6 —4) (6+ 2,5) 2+ (6 + 4) (6—4,5)2 Q=16,ooQ

M — 16,00 Q- 3,75.2,222 Q = 7,67 Q

— Q= 3,37 Q = 3,37.15,i = 50,91

max (+ 0₅) =

7,67

2,278

Stab U₃.

Stab Oe.

Belastungsscheide im 2ten Felde.

[M] = _L (6 — 5) (6 -f- 3) 3 -f- (6 -f- 5) (6 — 5) 1 Q = 9,₅oQ

M—SfioQ- 3,75 . 1,222 Q = 4,92 Q

4,92 3,278

max (— Or) = — 1,50 Q — — l,so. 13,5 = — 20,31.

max (+ 0₆) —

Q = 1,50 Q — 1,50 . 15,1 = 22,7 t

Untere Gurtung.

Stab Uv.

Der Schnittpunkt der mitgeschnittenen Constructionstheile liegt unterhalb der Graden BI) (Fig. 1 Taf. 11). Das Belastungsschema ergiebt sich demnach nach Fig. 47 des § 26. Die Belastungsscheide fällt in das erste Feld der linksseitigen Bogenhälfte. Das Maximum der Zugspannung in Ux wird erhalten, wenn die Strecke vom ersten Felde bis zum linksseitigen Kämpfer belastet ist. Der Werth 11 ist für diese Belastungsart bereits oben ermittelt.

\M] = -j (6 + 1) (6 — 3) 5 Q = 26,25 Q

M — 26,25 Q — 5,625.4,5 Q — 0,94 Q Die Spannung Ux ergiebt sich aus Gleichung 199:

0,94 0,611

Das Maximum der Druckspannung findet man am einfachsten durch Subtraction der Maximal - Zugspannung von der in Folge totaler Belastung auftretenden Beanspruchung. Letztere war bereits bei Gelegenheit des Eigengewichts ermittelt, max (+ ü,) = (13,50 + 1,54) Q = 15,o i Q = 15,04.14,o = 210,61.

max (— Ul)

Q —-1,54 Q —- 1,54 . 14,4 —- 22,2 t.

Stab Uv

Belastungsscheide im 2ten Felde.

[M] = -j (6 + 2) (6 — 3,5) 4 Q = 20,oo Q M= 20,oo Q — 3,75.4,5 Q— 3,13 Q

Q = — 3,34 Q = — 3,34.15,1 = — 50,4 t max (+ u₂) = (13,59 + 3,34) Q= 16,93 Q= 16,93. 13,5 = 228,6 1.

max (— Z/₂) —

3,13

0,938

Belastungsscheide im 3ten Felde.

//₌4.3(₆-₄)Q = 2>25Q

[jM] — 4 (6 + 3) (6 — ⁴) 3 <3 = 13,50 Q

M= 13,50 Q-2,25 .4,5 Q — 3,38 Q

max (— U₃) = —y’~ Q = — 2,29 Q

<2 = 2,25.7,6=17,it max (— U₃) — — 2,29. 17,i = — 39,21 max (+ U₃) = (13,73 4 2,29)'Q = 16,02 Q Q = 2,25.5,9 = 1 3,3 t max (4- U₃) = 16,02. 13,3 = 213,11.

Stab U

Belastungsscheide im 4ten Felde.

H— — • 2(6 — 4,5) Q = 1,125 <2

[M\ = — (6 4 4) (6 - 4,5) 2 Q = 7,50 Q

M— 7,50 Q — 1,125.4,5 Q = 2,44 Q 2,44 2,205

Q = 2,25.8,8 = 19,8 t max (— <7₄) = — 1,11. 19,8 = — 22,01 max (-j- (J— (13,95 + l,u) Q — 15,06 Q

Q = 2,25.5,7 = 12,8t max (4 UA) = 15,oo. 12,s = 192,s t.

Slab U,o.

max (— UA) —

Q — —1,41 Q

Belastungsscheide im 5ten Felde.

H=~ • 1 (6 — 5) Q = 0,375 Q

O

[M] = 1 (6 + 5) (6 - 5) 1 Q = 2,75 Q M— 2,75 Q — 0,375.4,5 Q ='l,oo Q

Q = — 0,34 Q

max (— Uh)

l;o6

3,no

<2= 2,25 .12,3 = 27,7 t max (— Ub) = — 0,34.27,7 = — 9,41. max (4 CIb) == (14,23 4- 0,34) Q = 14,57 Q Q = 2,25.5,6 = 12,6 t max (4- bJ₅) — 14,57.12,6 = 183,61.

Slab </₆.

Das Maximum der Druckspannung findet bei voller Belastung statt. Dem

nach ist

max (— U₆) — 0 max (4- U₆) — 14,58 Q

Q — 2,25.5,5 = 12,4 t max (4- U₆) = 14,58. 12,4 = 180,s t.

Diagonalen.

Stab i>,.

Der Schnittpunkt der mitgeschnittenen Constructionstheile liegt unterhalb der Graden AE und oberhalb der Graden BE (Fig. 1 Taf. 11). Das Belastungsschema

ergiebt sich demnach aus Fig. 52, § 26. Nach dieser Figur wird nur das fragliche Feld — im vorliegenden Falle also das erste Feld — als Belastungsscheide auf-treten. Denkt man sich durch Dx zum Zweck der Spannungsermittlung einen Schnitt geführt und nun die Spannung als Druckkraft auf den links vom Schnitt befindlichen Theil des Bogens einwirken, so erkennt man leicht, dass alsdann die Spannung um den Schnittpunkt der mitgeschnittenen Constructionstheile im Sinne des Uhrzeigers dreht. Im Belastungsschema Fig. 52 sind demnach, den Ausführungen auf Seite 51 (Füllungsglieder) zufolge, die Worte „Druck“ und „Zug“ mit einander zuvertauschen.

Es soll das Maximum der Druckspannung direct berechnet werden. Dasselbe tritt bei einer Belastung des Bogens vom linksseitigen Kämpfer bis zum ersten Felde auf. Für diese Belastung ist der Werth II bereits oben ermittelt. Man fand bei Berechnung des Stabes 0.,

H — 5,025 Q.

Das Moment [MJ ergiebt sich aus Gleichung 197. Diese Formel lässt sich noch etwas einfacher schreiben. Ersetzt man die Lasten rechts und links vom fraglichen Schnitt durch ihre Resultanten R' und R" und drückt die Abstände £' und dieser Resultanten vom Scheitel durch Felder längen aus, während die Abscisse x des fraglichen Drehpunktes nach wie vor in Metern angegeben wird, so erhält man:

(18 — x) (6 + §') R' + (18 + x) (6 — S“) R" .

12

Im vorliegenden Falle ist R'=0, R"=5Q, £"=3 und x — — 13,5, also:

[M]

n (18 -13,5) (6- 3) 5 Q = 5,62 Q

M — 5,62 Q :— 5,625 • 4,5 Q = — 19,69 Q.

Die Spannung Ut ergiebt sich aus Gleichung 200, in welcher, der auf Seite 48 gegebenen Erläuterung zu Folge, das —Zeichen Gültigkeit hat.

/i ti \ 19,69

max (+ V,) = -

2,713

Da bei totaler Belastung die Spannung in der Diagonalen „Null“ ist, so findet max (-+- Dx) — — 7,26 Q = — 7,26. 14,o = — 101,o t.

Q — 7,26 Q — 7,26 . 14,1 = 104,5 t.

man direct:

Stab D.v

Die Verhältnisse sind hier durchaus die nämlichen wie bei der Diagonalen die Belastungsscheide liegt im 2ten Felde.

11= 3,75 Q

[M]

- ₁₂ (18 - 2,5) (6 - 3,5) 4 Q = 12,u Q M = 12,92 Q — 3,75.4,5 Q—- 3,95 Q

3,95

Q = 2,33 Q = 2,33 . 15,1 = 35,2 t

max (—1).₂) = — 2,33 Q — — 2,33. 13,5 = — 31,51.

Stab D.y

Der Schnittpunkt der mitgeschnittenen Constructionstheile liegt oberhalb der beiden Graden AE und BD (Fig. 1 Taf. 11). Das Belastungsschema ergiebt sich in

Folge dessen nach Fig. 51, in welcher die Worte „Zug“ und „Druck“ mit einander zu vertauschen sind. Die Belastungsscheiden liegen im Uten und 3ten Felde der linksseitigen Bogenhälfte. Es erscheint am einfachsten, das Maximum der Zugspannung, welches bei Belastung der Strecke zwischen den beiden Scheiden erreicht wird, direct zu ermitteln und später die Maximal - Druckspannung durch Umkehrung des Vorzeichens dieses Werthes zu finden. Dieser Weg ist jedoch nicht zulässig. Da für die beiden Druckabtheilungen verschiedene spec. Belastungen in die Rechnung eingeführt werden müssen, so ist es erforderlich, den Einfluss dieser beiden belasteten Strecken gesondert zu ermitteln. Es wird also zunächst die Maximal-Druckspannung zu berechnen sein.

Rechtsseitige Belastung. H= ~ • 6 (6 — 2,5) Q — 7,s7 5 Q

[M] = J2 (¹⁸ — 0,») (6 — 2,5) 6Q = 29,92 Q

M — 29,92 Q - 7,875.4,5 Q —- 5,52 Q

Q = 2,27 Q

5,52 2,432

Q — 2,25.6,2 = 14,0 t

D₃ = 2,27.14,0 = 31,s t. Linksseitige Belastung.

n=

■ 3 (6 — 4) Q = 2,25 <2

[M\ =    (18 + 0,9) (6 — 4) 3 Q = 9,45 Q

M = 9,45 Q-2,25.4,5 Q= — 0,67 Q

Q — 2,25.7,0 = 17,11

D₃ — 0,28 . 1 7,1 = 4,8 t max (+1)₃) — 31,8 + 4,8 = 36,e t max (— A) — — (2,27 + 0,28) Q — — 2,55 Q Q — 2,25 . 10,2 = 23,o t max (— A)⁼ — 2,55.23,o = — 58,71.

Stab A*

Der Schnittpunkt der mitgeschnittenen Constructionstheile liegt unterhalb der Graden BD und oberhalb der Graden AE. Das Belastungsschema wird folglich durch Fig. 49, §26 gezeigt, in welcher die Worte „Druck“ und „Zug“ zu vertauschen sind. Die Belastungsscheide liegt im ersten Felde der linksseitigen Bogenhälfte. Die Strecke von diesem Felde bis zum linksseitigen Kämpfer muss belastet werden, um das Maximum der Zugspannung in A, zu erreichen. Der Werth II ist für diesen Belastungsfall bereits ermittelt.

(18 — 3,214) (6 4- 2) 3 + (18 + 3,214) (6 — 4,5) 2 Q = 34,87 Q M = 34,87 Q 5,625.4,5 Q — 9,56 Q

1 r

9,56

Q = — 2,43 Q = — 2,43 . 14,4== — 35,0 t

max (— DJ

3,029

max (-J- DJ = 2,43 <2 = 2,43. 14,o = 34,o t.

Stab D..

Die Verhältnisse liegen hier genau so wie bei der vorigen Diagonalen. Belastungsscheide im 2ten Felde.

[*]- n

(18 — 5,m) (6 + 3) 3 + (18 + 5,m) (6 — 5) 1 Q = 30,soQ

M — 30,80 Q — 3,75.4,5 Q = 13,93 Q

Q = — 2,34 Q = — 2,34 . 15,1 = — 35,3 1

max (— DJ = —

13,93 5,940

max (+ DJ — 2,34 Q — 2,34. 13,5 — 31,61. Stab D₆.

Belastungsscheide im 2ten Felde.

[M] =    (18 — 0,954) (G + 3,ö) 4 Q = 34,98 Q

M — 34,98 Q — 3,7 5.4,5 Q — 18,11 Q max (— DJ == — -ffi¹-¹- Q — — 2,22 Q = — 2,22.15,i == — 33,51

0,148

max (+ DJ = — 2,22 Q — 2,22.13,5 = 30,01.

Vertikalen.

Stab CQ.

Im oberen Knotenpunkte der Scheitelvertikalen trifft diese nur mit dem Gurtungsstabe Oi zusammen. Die Spannung 0, ist Null. Das Gleichgewicht der in diesem Knotenpunkte wirkenden Kräfte erfordert also, dass die Spannung der Vertikalen C₀ grade so gross ist, wie die im oberen Knotenpunkte angreifende Belastung. Bei der Annahme, dass im Scheitel zwei Vertikalstäbe (flir jede Bogenhälfte einer) vorhanden sind, ist also

max (H- GJ = — •

Der Werth Q im Scheitelpunkte wird zum Maximum, wenn nur das erste Feld (also eine Strecke von 3 m Länge) belastet ist.

Q = 2,25. 14,7 = 33,11

”2"- = 16,6 t

max (-f- C₀) — max (— CJ = 0.

Stab C\.

Der Schnittpunkt der mitgeschnittenen Constructionstheile fällt zusammen mit demjenigen für die Diagonale D,. Es wird also das Belastungsschema nach Fig. 52, § 26 anzunehmen sein. Als Belastungsscheide tritt das fragliche Feld selbst auf. Dieses ist im vorliegenden Falle aber das Feld 2 linksseitiger Bogenhälfte, da der durch Ci zum Zweck der Spannungsermittlung zu führende Schnitt die obere Gurtung, an welcher die mobilen Lasten angreifen, im 2ten Felde trifft.

Stab G₃.

Belastungsscheide im Uten und 4ten Felde.

Maximum der Zugspannung.

Rechtsseitige Belastung.

Das Moment M bezüglich des Schnittpunktes der mitgeschnittenen Constructionstheile ist natürlich das nämliche, wie dasjenige, welches bereits bei der Berechnung des Stabes D₃ gefunden wurde.

' Q —-0,08 Q —-0,68 . 14,0 =-9,5 t.

Linksseitige Belastung.

7J= A. 2 -(6 — 4,5) <2= 1,125 Q

O

5,52

3.3 — 0,9

⁽¹⁸⁺°’g) (6 ~ ⁴>r,) 2 Q⁼⁴’72 Q

M — 4,72 Q- 1,125.4,5 Q =- 0,34 Q

0,34

Denkt man sich die Spannung C, als Druckkraft auf den links vom Schnitt vorhandenen Theil des Bogens einwirken, so dreht diese Kraft um den Schnittpunkt der mitgeschnittenen Constructionstheile im entgegengesetzten Sinne des Uhrzeigers. Die Zug- und Druckabtheilungen sind also thatsächlich so anzunehmen, wie Fig. 52 dieselben zeigt. Um das Maximum der Zugspannung zu erreichen, muss die Strecke vom 2ten Felde bis zum linksseitigen Widerlager belastet werden. Für diese Belastungsart ist der Werth 77 bereits ermittelt.

j2 (IS — 13,r,) (6 — 3,5) 4 Q = 3,-5 Q M — 3,75 Q — 3,75.4,5 Q— — 13,12 Q.

Die Spannung G, ergiebt sich aus Gleichung 200, in welcher das + Zeichen Gültigkeit hat.

max (— G,) = —

13,i 2

3 + 13,5

Q = — 0,70 Q = — 0,79. 15,i = — 11,01.

Bei totaler Belastung des Bogens ist die Spannung der Vertikalen G, = Q; demnach ist:

max (+ O,) = (1 + 0,79) Q = 1,79 Q = 1,79.13,5 = 24,21.

Im Allgemeinen sind die Verhältnisse bei den Vertikalständern ganz ähnlich denjenigen bei den entsprechenden Diagonalen. Die Abweichungen, welche durch-gehends eintreten, sind für den Stab G, soeben erläutert. Im Folgenden sollen nur die Rechnungen kurz angedeutet werden.

Sta// Cr

Belastungsscheide im 3ten Felde.

max (— G₂) = —

₁₂ (18 — 2,5) (6-4)3(2 = 7,75 <3

M — 7,75 Q-2,25.4,5 Q —- 2,97 Q

Q =- 0,28 Q =- 0,28 . 17,1 =- 4,8 t

2,37

2.3 + 2,5

max (+ C₂) = 1,28 Q — 1,28.13,3 = 17,o t.

Q = — 0,04 Q

Q = ‘2,25.8,8 = 1 9,8 t

C₃ —- 0,04 . 1 9,8 = - 0,8 t

max (— C₃) = — 9,r, — 0,8 = — 10,31 max (-j— C.) = (1    0,68 4- 0,04) Q===: 1,72 Q

Q — 2,25.8,1 = 18,21 max (-f- C₃) == 1,7 2.18,2 = 31,31.

Stab C,.

Belastungsscheide im lsten Felde.

[M] = -¹j- (18 —3,214) (6+ 2,5) 4 4-(18+ 3,214) (6 — 5) 1 £ = 43,66 0 M = 43,66 Q- 5,625.4,5 Q — 18,35 Q

max (4- C) =

Q — 2,09 Q — 2,09.14,4 — 30,i t

18,35

4.3 — 3,214

max (— C₄) = (1 — 2,oo) Q — — l,oo Q — — 1,09.14,0 = — 15,31.

Stab C..

Belastungsscheide im 2ten Felde.

[M] = ~ (18 - 5,m) (6 + 3,:,) 4 0 = 40,₆₄ 0 M — 40,64 Q — 3,75.4,5 Q — 23,77 Q

max (4- C₅) =

23,77

■z- Q = 2,42 Q = 2,42 . 15,1 = 36,5 t

07

max (— Cr) — (1 — 2,42) 0 — — 1,42 Q = — 1,42.13,5 = — 19,21.

5.3 —

Stab C₆.

Belastungsscheide im 2ten Felde.

Für diese Vertikale ist es erforderlich, die im oberen Knotenpunkte 6 angreifende Last — mit in Rechnung zu ziehen.

Das Maximum der Druckspannung findet statt, wenn die Strecke vom Felde 2 bis zum linksseitigen Kämpfer belastet ist. Für diese Belastungsart ist die Grösse H bereits ermittelt. Durch Hinzufügen der Last am oberen Knotenpunkte 6 wird dieser Werth nicht geändert.

₁₂ (18 - 6,054) [(6 4- 3,5) 4 4- (6 + 6) 0,5] 0 = 40,50 Q

M = 40,50 0 — 3,75.4,5 Q — 23,63 Q 23,63

6.3 — 6,054

[M]

max (4- C₆) =

C = 2,14 0 = 2,14.15,i = 32,31.

Bei voller Belastung ist die Spannung C₆ = 0,5 Q; demnach findet man max (— C₆) == (0,5 — 2,i 4) Q — — 1,04 Q — — 1,64.13,5 = — 22,11. Schliesslich ist es noch erforderlich für die unteren Gurtstücke und die Vertikalständer die in Folge der permanenten und mobilen Last auftretenden Spannungen zu summiren. Es ergiebt sich:

max (— U) == 36,5 — 22,₂ ==    14,31

max (— Z7₂) = 36,7 — 50,4 = — 13,7 „ max (— U₃) — 37,i — 39,2 = — 2,i„

max (4- (/,) = 36,5 4~ 210,6⁼⁼ 24 / ,11 max (4- U.₂) = 36,7 4~ 228,6 = 265,3 „ max (4- U₃) — 37,1 4- 213,1 = 250,2»

max (-+- UA) = 37,7 4~ 192,s = 230,₅1 max (+ Z7₅) = 38,4 + 183,o = 222,₀„ max (+ Uß) = 39,4 + 180,₈ = 220,l2„

max (— UA) = 37,7 — 22,0 = 15,₇1 max (— UrJ = 38,4 — 9,₄ = 29,₀ „ max (— U₍.) == 39,4

max (— C₀) = 0,9 max (— Cx) — 1,7 — 11,9 = — 10,2 „ max (—G,) =1,7— 4,8 = — 3,i „ max (—Ca) = 1,7—10,3 = — 8,o „ max (— CA) — 1,7 —15,3 = — 13,6 „ max (— Cr) = 1,7 — 19,2= — 17,5» max (— Cc) = 0,o — 22,i = — 21,2 „

— 39,4,,

0,9 t

max (+ Q — 9,9 + 16,ß == 17,51 max (-f- Ct) = 1,7 + 24,2 = 25,9 „ max (-f- C₂) = 1,7 + 17,o = 18,7 „ max (-J- C₃) = 1,7 -(- 31,3 = 33,0 „ max (+ CA) = 1,7 + 30,i — 31,8 „ max (+ C₅) — 1,7 + 36,5 — 38,2 „ max (+ C₆) — 0,9 4- 32,3 = 33,2 „

Sämmtliche Spannungen sind in Fig. 2, Taf. 11 zusammengestellt.

Die weitere Ermittlung der zulässigen spec. Spannungen aus diesen Grenzwertlien, sowie die Bestimmung der erforderlichen Querschnitte ist genau ebenso durchzuführen, wie solches im Beispiel III geschehen ist. Es sind deshalb diese Rechnungen hier nicht weiter verfolgt.

Beispiel X.

Es soll dieselbe Bogenbrücke, welche im vorigen Beispiele behandelt wurde, jetzt unter Annahme einer mobilen Belastung durch ein System von Einzellasten berechnet werden.

Man bestimmt zunächst in derselben Weise, wie bei der vorigen Aufgabe, die geometrische Form des Trägers, berechnet die Coordinaten der Knotenpunkte, ferner die Abscissen der Schnittpunkte der verschiedenen Untergurtstäbe mit der oberen Gurtung, die Hebelsarme der Diagonalen und diejenigen der unteren Gurtungsstäbe. Die approximative Bestimmung des Eigengewichts, sowie die Ermittlung der in Folge dieser permanenten Last auftretenden Spannungen würde ebenfalls genau so durchzuführen sein, wie im Beispiel IX. Alle diese Rechnungen sollen in Folge dessen an dieser Stelle nicht wiederholt werden. Bis zu dem Absatz „mobile Belastung“ sind sämmtliche im vorigen Beispiel angestellten Berechnungen auch hier gültig und anwendbar.

Mobile Belastung durch ein System von Einzcllasten.

Der Träger ist in Fig. 1, Taf. 11 verzeichnet. Das Lastsystem besteht den Angaben des § 7 zufolge aus 3 Locomotiven nebst Tendern und angehängten Güterwagen; die Entfernungen und Grössen der Einzellasten ergeben sich aus den Fig. 21 und 22 des §7. Es ist empfehlenswerth, sich einen Papierstreifen anzufertigen, auf welchen das Lastsystem im nämlichen Längenmaassstabe', in dem die Brücke gezeichnet wurde, aufzutragen ist. Man wird gut thun, auf der einen Seite des Papierstreifens das Lastsystem für einen von links nach rechts, auf der andern Seite das System für einen von rechts nach links vorrückenden Eisenbahnzug anzugeben. Ferner ist die Entfernung der Einzellasten, sowie die Grösse und Nummer derselben auf dem Streifen zu bemerken. Ein Stück eines solchen Papierstreifens ist auf Seite 156 verzeichnet. Derselbe muss mindestens die Länge des ganzen Trägers haben. Im vorliegenden Falle sind die Lasten 1 bis 18 auf demselben anzugeben.

Die Einzellasten sind in Rücksicht auf Stösse etc. mit ihrer 1 V2fachen Grösse in die Rechnung einzuführen. Es entfällt auf jeden der beiden Hauptträger die Hälfte dieser Werthe. In Folge dessen ist der Druck einer Locomotivaxe mit IV2.72.13 t und der Druck einer Tenderaxe mit 172. 72.91 in die Rechnung einzusetzen. Da diese Zahlen etwas unbequem werden, so soll zunächst die Berechnung unter Annahme der Werthe 13, resp. 9 t durchgeführt werden. Später sind dann die Spannungen noch mit der Grösse

172 • 72 = ³A

zu multipliciren.

Obere Gurtung.

Stab 0,.

Der Schnittpunkt der mitgeschnittenen Constructionstheile fällt mit dem Scheitelgelenk zusammen. Da das Moment der äusseren Kräfte bezüglich dieses Punktes immer gleich Null ist, so wird auch die Spannung Ol gleich Null sein.

Stab Or

Der Schnittpunkt der mitgeschnittenen Constructionstheile liegt oberhalb der Graden HA’ (Fig. 1 Taf. 11). Das Belastungsschema ergiebt sich demzufolge nach Fig. 57, § 27. Die Belastungsscheide liegt im ersten Felde der linksseitigen Bogenhälfte. Von diesem Felde bis zum linksseitigen Kämpfer ist die Druckabtheilung; von der Belastungsscheide bis zum rechtsseitigen Kämpfer erstreckt sich die Zugabtheilung.

Maximum der Druckspannung.

Der Zug muss vom linksseitigen Kämpfer bis ungefähr zur Belastungsscheide vorgeschoben werden. Die grössten Lasten sind in der Nähe des rechtsseitigen Knotenpunktes des fraglichen Feldes (in diesem Falle Knotenpunkt 1) anzuordnen; eine der Lasten muss in diesem Punkte selbst angreifen. Welche Last hier liegen muss, lässt sich mit Hülfe der Ungleichung 205 entscheiden. Die in dieser Ungleichung vorkommenden Grössen x und m sind:

m —1,4.

Ueber Bedeutung dieser Grössen s. Fig. 57. Der Werth m ist aus der Zeichnung abgegriffen.

Es lässt sich vermuthen, dass die Spannung dann am grössten wird, wenn Last 1 am Knotenpunkte 1 angreift. Liegt die Last 1 unmittelbar links vom Knotenpunkte 1, so ist K, = 0; alsdann ist die in Ungleichung 205 enthaltene Bedingung jedenfalls erfüllt. Liegt Last 1 unmittelbar rechts von diesem Knotenpunkte, so ist Ko = 13 und, wie mit Hülfe des Papierstreifens leicht zu erkennen,

K₃ + <® = 3. 13 + 3.9 = 66.

x —in

Nun ist —r-

l — x

^- = 0,107 und 0,to7.66 = 7,i. Wie man sieht, wird

jetzt der Ungleichung 205 nicht mehr Genüge geleistet, und demnach ist thatsächlich Last 1 im Knotenpunkte 1 anzuordnen, damit ö₂ das Maximum seiner Druckspannung erreiche.

3—1,4

18 —

Der Werth II (Horizontalschub) ergiebt sich für diese Laststellung aus Gleichung 196 des § 24. Ersetzt man die drei einer Locomotive oder einem Tender angehörenden Raddrücke jedesmal durch ihre Resultante, so hat man:

11. Kr olin, Bogenbrüeken. II.

2.4

Ferner findet man aus Gleichung 197: 18 + 3

[M]

36

^3.13. 13,7 + 3.9.6,9 + 13. l,o^= 91,70 t.

^3.13. 13,7 + 3.9.6,9+13. l,o^ =427,9tm.

Aus Gleichung 195 ergiebt sich sodann:

M — 427,9 — 91,70.3,889 = 71,3 tm und schliesslich die gesuchte Spannung 0.₂ aus Formel 198

116,7 t.

max (+ ö₂)

71,3

0,611

Maximum der Zugspannung.

Der Zug ist vom rechtsseitigen Kämpfer kommend bis ungefähr zur Belastungsscheide vorzuschieben. Die grössten Lasten müssen möglichst in der Nähe des Scheitelgelenkes gruppirt werden und eine derselben muss in diesem Punkte selbst angreifen. Welche der Lasten hier anzuordnen ist, ergiebt sich aus der Ungleichung 208.

hi

= 0,078.

Das in dieser Ungleichung vorkommende Verhältniss -j ist: ^

Liegt Last 1 unmittelbar rechts vom Scheitel, so ist % — 0 und demnach die in Ungleichung 208 enthaltene Bedingung jedenfalls erfüllt. Ueberschreitet Last 1 den Scheitelpunkt, so wird = 13 und H, = 5.13 + 3.9 = 92. Es ist aber

92.0,078 = 7,2.

Man erkennt, dass nunmehr der Ungleichung 208 nicht mehr Genüge geleistet wird, und demnach ist es thatsächlich die Last 1, welche im Scheitel anzuordnen ist, damit die Zugspannung in 0₂ zum Maximum werde.

Für diese Laststellung ergiebt sich:

₂ ~ (d . 13.16,7 + 3.9.9,9 + 3.13.2,7) = 127,991.

₃₆ -(3.13.16,7 + 3.9.9,9 + 3.13.2,7^ = 426,e tm.

M = 426,6 - 127,99.3,889 = — 71,i t. max (— 0₂)

// =

[M]

18 —

71,i

116,4 t.

0,611 Stab 0₃.

Maximum der Druckspannung.

Last 2 eines von links nach rechts vorrückenden Zuges am Knotenpunkte 2.

2.4

[M]

18 —

^3.13.12 + 3.9.5,2^

^13.12+13.10,7 + 3.9.5,2^ = 388,7 tm

= 76,051

18 + 6

36

M— 388,7 — 76,05.3,556 = 118,3 tm 118,3 0,944

Maximum der Zugspannung.

Last 1 eines von rechts nach links vorrückenden Zuges im Scheitel. Der Werth H ist bereits oben berechnet.

max (+ 0₃) =

= 125,31.

[M]

18 —

36

— (3.13.16,7 + 3.9.9,o + 3 . 13.2,7^ = 341,3 tm

M— 341,3 — 127,99.3,556 — — 113,8

120,61.

max (— 0₃) =

113,8

0,944 Stab Or

Maximum der Druckspannung.

Last 2 eines von links nach rechts vorrückenden Zuges am Knotenpunkte 3.

II

2.4

[M]

18 —

36

- • 13-25,7 4

(V 13.9 + 3.9.2,2) = 51,301

^13.9 -J— 13 . /,7 4~ 3.9.2,2^ = 290,9 tm

18 + 9

36

M = 290,9 — 51,30.3,ooo = 137,o tm 137,o

max (+ 0₄)

91,3 t.

Maximum der Zugspannung.

Last 2 eines von rechts nach links vorrückenden Zuges am Scheitel.

1,5

2.4

3 . 13.4,o + 3.9.11,2+13 (16,7 + 18 + 16,7) = 140,ss t

— (s . 13.4,o + 3.9.11,2 + 3.13.X8,o) = 290,. tm

max (— 0₄) =

88,31.

M = 290,i — 140,83.3,ooo = — 132,4 tm 132,4

1,5

Stab 0₅.

Maximum der Druckspannung.

Last 3 eines von links nach rechts vorrückenden Zuges am Knotenpunkte 4.

3.13.7,3 + 9(2 + 0,5) = 38,401

¹⁸ ₃₆¹² •3-13-28,,-t

M = 205,3 — 38,40.2,222 = 120,o tm

120,o 2,278

Maximum der Zugspannung.

Last 2 eines von rechts nach links vorrückenden Zuges am Scheitel.

¹⁸^¹² • 9 (2 + 0,₅) = 205,3 tm

max (+ O.)

52,71.

^ 3 . 13.4,o + 3.9.11,2 + 3.13.18,o ^ = 193,4 tm

M — 193,4 — 140,83.2,222 = — 119,5 tm

52,41.

max (— 0₅)

119,5

2,278 Stab 0₆.

Maximum der Druckspannung.

Damit die grössten Lasten in der Nähe des Knotenpunktes 5 zu liegen kommen und innerhalb der Druckabtheilung — vom linksseitigen Kämpfer bis zu der in das

19*

2te Feld fallenden Belastungsscheide — möglichst viele Lasten angreifen, wird man nicht wie bisher den Zug von links nach rechts vorrücken lassen, sondern einen aus den Lasten 1 bis 6 bestehenden Eisenbahnzug so aufstellen, dass die Locomotive gegen das linksseitige Widerlager gerichtet ist. Man findet alsdann, dass Last 2 eines solchen Zuges am Knotenpunkte 5 angreifen muss, damit in 0₆ das Maximum der Druckspannung erreicht werde.

H=

3.9.9,8 + 3.13.3)= 47,7ot

(3.9.26,2 + 13.31,7 + 13.33^ -+

M= 149,3 — 47,70 . 1,222 = 91,o tm 91,o 3,278

Maximum der Zugspannung.

Last 2 eines von rechts nach links vorrückenden Zuges am Scheitel. 18—15

,,,,    18 — 15

15-

[M]

36

2.4

max (+ 0₆)

¹⁸    13. 1,; = 149, atm

27,81.

(d. 13.4,o+3.9.11,2+3.13. 18,o^ = 96,7 tm

M = 96,7 — 140,83. 1,222 = — 75,4 tm 75,4

max (— 0₆) =

3,278

23,o t.

Untere Gurtung.

Stab Ur

Der Schnittpunkt der mitgeschnittenen Constructionstheile liegt unterhalb der Graden BD (Fig. 1 Taf. 11). Das Belastungsschema ergiebt sich demnach nach Fig. 59 des § 27. Die Belastungsscheide fällt in das erste Feld der linksseitigen Bogenhälfte. Die Druckabtheilung erstreckt sich von dipsem Felde bis zum rechtsseitigen Kämpfer; die Zugabtheilung wird von der Belastungsscheide und dem linksseitigen Kämpfer begrenzt.

Maximum der Druckspannung.

Der Zug muss vom rechtsseitigen Widerlager kommend bis ungefähr zur Belastungsscheide vorgeschoben werden. Die grössten Lasten sind in der Nähe des Scheitels zu gruppiren; eine derselben muss *in diesem Punkte selbst angreifen. Welche Last hier anzuordnen ist, ergiebt sich mit Hülfe der Ungleichung 214. Der in dieser Ungleichung vorkommende Werth m ist aus der Zeichnung zu 2,66 abge-

2,66

0,148.

HX

18

griffen; also hat man: -j

Es lässt sich vermuthen, dass die Druckspannung Ux am grössten wird, wenn Last 2 am Scheitel angreift. Liegt die Last 2 unmittelbar rechts vom Scheitelpunkt, so ist, wie mit Hülfe des Papierstreifens leicht zu erkennen:

K, = 5.13+3.9 = 92 und iL=13.

Da 0,148.92 = 13,6 ist, so wird bei dieser Laststellung der Ungleichung 214 noch Genüge geleistet. Ueberschreitet nun aber Last 2 den Scheitel, so wird $1, = 4.13 + 3.9 = 79 und H, = 26

und alsdann ist, wie man sofort übersieht, die in Ungleichung 214 enthaltene Be-

dingung nicht mehr erfüllt. Hieraus ist zu schliessen, dass thatsächlich Last 2 am Scheitel angreifen muss, um das Maximum der Druckspannung in Ui zu erhalten.

Der Werth II ist für diese Laststellung bereits bei Berechnung des Werthes max (— OJ ermittelt.

18 —

₃₆ —^3.13.4,o‘+ 3.9.11,2 + 3 . 13.18,o) = 483,5 tm

M = 483,5 — 140,83.4,5 = — 150,2 tm.

Die Spannung selbst ergiebt sich aus Gleichung 199.

150,2 0,611

Maximum der Zugspannung.

Der Zug muss vom linksseitigen Kämpfer bis ungefähr zur Belastungsscheide vorgeschoben werden. Die grössten Lasten sind in der Nähe des Schnittpunktes der mitgeschnittenen Constructionstheile (Knotenpunkt 1) zu gruppiren, und eine derselben muss in diesem Punkte selbst angreifen.

Es lässt sich hiernach vermuthen, dass Last 1 am Knotenpunkte 1 liegen muss. In schärferer Weise giebt hierüber Ungleichung 215 Aufschluss. Der in dieser Un-

gleichung vorkommende Quotient —j-— ist:

max (+ C/,)

245,81.

3 - 2,66

18 — 3

Liegt Last 1 unmittelbar links vom Knotenpunkte 1, so ist $t₂ = 0; dann ist die in der Ungleichung 215 enthaltene Bedingung jedenfalls erfüllt. Ueberschreitet

— 0,022.

Last 1 den Knotenpunkt, so wird

K₃ = 3.13 + 3.9 = 66 und Ü₂=13.

Da 0,022.66 = 1,5 ist, so wird nun der Ungleichung 215 nicht mehr Genüge geleistet und hieraus erkennt man, dass thatsächlich Last 1 im Knotenpunkte 1 anzuordnen ist.

Der Werth II ist für diese Laststellung bereits bei Berechnung des Werthes max (+ 0„) ermittelt. Auch das an jener Stelle berechnete Moment [41] behält hier seine Gültigkeit, da die den Stäben ö₂ und Z7, conjugirten Drehpunkte die nämlichen Abscissen haben.

M = 427,9 — 91,7 0.4,5 = 15,3 tm

25,o t.

max (— Ut)

15,3

0,611 Stab Z7₂.

Maximum der Druckspannung.

Last 2 eines von rechts nach links vorrückenden Zuges im Scheitel. 18 —

36

— ^3.13.4,o + 3.9.11,2+ 3.13.18,oj = 386,stm

M = 386,8 — 140,83.4,5 = — 246,9 tm max (+ U₂)

246,9

263,21.

0,938

Maximum der Zugspannung.

Last 1 eines von links nach rechts vorrückenden Zuges am Knotenpunkte 2.

H=

2.4

3.13.10,7 + 3.9.3,9 =65,32 t

18 + 6

36

^3 .13. 10,7 + 3.9.3,o^ = 348,4 tm

M= 348,4 — 65,32.4,5 = 54,5 tm max (— U₂) = —

54,5

= — 58,i t.

0,938

Stab U₃.

Maximum der Druckspannung.

Last 3 eines von rechts nach links vorrückenden Zuges am Scheitel.

[M]

^3.13.5,3 + 3.9.12,5 + 3.13. 16,7 j = 149,441

₃₆ — ^3.13.5,3 + 3.9 . 12,5 + 3.13. 19,sj = 324,2 tm M = 32 4,2 — 149,44.4,5 = — 3 48,3 tm

= 236,i t.

18 —

348,3 1,475

Maximum der Zugspannung.

Last 1 eines von links nach rechts vorrückenden Zuges am Knotenpunkte 3.

max (+ U₃) —

11=-:

[M]

3.13.7,7 + 9(2,4+ 0,9) = 41,25 t.

3.13.7,7 + 9 (2,4 + 0,9)1 = 247,5 tm M = 247,5 — 41,25.4,5 = 61,9 tm

42,o t.

2.4

18 + 9

36

max (— U₃)

61,9

1,475

Stab Ui.

Maximum der Druckspannung.

Damit die grössten Lasten möglichst in der Nähe des Scheitels zu liegen kommen und innerhalb der Druckabtheilung — von der im 4ten Felde liegenden Belastungsscheide bis zum rechtsseitigen Kämpfer — gleichzeitig möglichst viele Lasten angreifen, wird man nicht wie bisher einen Zug von rechts nach links vorrücken lassen, sondern einen aus den Lasten 1 bis 12 bestehenden Eisenbahnzug derartig aufstellen, dass die erste Locomotive am rechtsseitigen Widerlager steht. Man findet sodann, dass das Maximum der Druckspannung in UA erreicht wird, wenn Last 8 eines solchen Zuges am Scheitel liegt. Für diese Laststellung ist:

2.4

3.13.4,o + 3.9.10,s +13 (16,7 +18,o +16,7) + 3.9.11,₂ = 177,281

r,n    18-12

[^] =-36-

3.13.4,0 + 3.9.10,8 + 3.13.18,o + 3.9.24,s = 303,2

M = 3 03,2 — 177,28.4,5 = — 49 4,6 tm 494,6

2,205

Maximum der Zugspannung.

Last 1 eines von links nach rechts vorrückenden Zuges am Knotenpunkte 4.

max (+ U) =

224,31.

11=

2.4

-.3-13-4,7 = 22,9it

[M] =

18 + 12

• 3 • 13 • 4,7 = 152,7 tm. M = 152,7 — 22,91.4,5 = 49,6 tm

r.

max (— UA) = —

49,6

= - 22,51.

2,205 Stab Uy

Maximum der Druckspannung.

Last 7 eines von rechts nach links vorrückenden Zuges im Scheitel.

^3.13.2,7 + 3.9.9,9 + 3.13.16,7 + 3.9.12, t + 3.13.5,3 j

[M] =--f 3.13.2,7 + 3.9.9,9 + 3.13.16,7 + 3.9.23,9 + 3.13.30,7 J = 238,9 tm

M= 238,9 — 194,66.4,5 = — 637,1 tm 637,i 3,uo

Maximum der Zugspannung.

Last 2 eines von links nach rechts vorrückenden Zuges am Knotenpunkte 5.

11=-

2.4

— 194,66 t

max (+ £7₅)

204,91.

[M]

•3.13.3 = 14,62 t

• 13 • (31,7 + 33,o) + -¹⁸^¹⁵ • 13 • 1,7 = 90,3 tm

M = 90,3 — 14,62. 4,5 = 24,5 tm 24,5 3,uo

2.4

max (— U.) = —

= — 7,9 t.

Stab

Maximum der Druckspannung.

Last 8 eines von rechts nach links vorrückenden Zuges im Scheitel.

11 =

2.4

3.13.4,o+3.9.11,2+13 (16,7 + I8+I6,7)+3.9.10,8+3.13.4 = 196,781

[M] = 0.

M= — 196,78.4,5 = — 885,5 tm

max (+ +) =

885,5

4,167

max (— Ul) = 0.

= 212,5 t

Diagonalen.

Stab Dv

Der Schnittpunkt der mitgeschnittenen Constructionstheile liegt unterhalb der Graden AE und oberhalb der Graden BI) (Fig. 1, Taf. 11). Das Belastungsschema ergiebt sich demnach aus Fig. 65 des § 27. Nach dieser Figur wird nur das fragliche Feld — im vorliegenden Falle also das erste Feld — als Belastungsscheide auftreten.

Denkt man sich durch Z>, zum Zweck der Spannungsermittlung einen Schnitt geführt und nun die Spannung D, als Druckkraft auf den links vom Schnitt befind-

liehen Theil des Bogens einwirken, so erkennt man leicht, dass alsdann die Spannung um den Schnittpunkt der mitgeschnittenen Constructionstheile im Sinne des Uhrzeigers dreht. Es werden also die Zug- und Druckabtheilungen nicht in der Weise anzunehmen sein, wie Fig. 65 dieselben zeigt, sondern sind, der Erklärung auf Seite 58 zufolge, die Worte „Druck“ und „Zug“ mit einander zu vertauschen. Maximum der Druckspannung.

Der Zug ist vom linksseitigen Kämpfer bis in das fragliche Feld vorzuschieben. Eine der ersten Lasten muss im linksseitigen Knotenpunkte dieses Feldes (Knotenpunkt 1) angreifen.

Es lässt sich vermuthen, dass Last 1 am Knotenpunkte 1 liegen muss. In schärferer Weise giebt hierüber Ungleichung 226 Aufschluss. Zunächst soll der in

dieser Ungleichung vorkommende Quotient

Iv

bestimmt werden. Der Werth v

2 if—Xv

(s. Fig. 65) ist aus der Zeichnung abzugreifen; man findet « = 3,48. Der Werth/ ist anfangs berechnet. Man hat also:

3.3,48

0,107.

2.13,5.4 — 3.3,48

Liegt Last 1 unmittelbar links vom Knotenpunkte 1, so ist 05 = 0 und somit die in Ungleichung 226 enthaltene Bedingung jedenfalls erfüllt. Ueberschreitet Last 1

den Knotenpunkt, so wird

<5 = 13 und ft₃ = 3.13+ 3.9 = 66.

Da aber 0,107.66 = 7,i ist, so wird nunmehr der Ungleichung 226 nicht mehr genügt und folglich ist es thatsächlich Last 1, welche am Knotenpunkte 1 anzuordnen ist.

Die Grösse II ist für diese Laststellung bereits bei der Berechnung des Werthes max (4- DJ ermittelt.

18 — 13,5

^3.13.13,7 4-3.9.6,94- 13 . l,o^ = 91,7 tm

Ai = 91,7 — 91,7.4,5 = — 320,9 tm.

Die Spannung selbst ergiebt sich schliesslich aus Gleichung 200. ln derselben hat das —Zeichen Gültigkeit, wie aus der der Gleichung angefügten Erklärung hervorgeht.

max (4- Z>J =

= 118,3 t.

320,9 2,713

Maximum der Zugspannung.

Das Lastsystem ist vom rechtsseitigen Kämpfer bis in das fragliche Feld vorzuschieben. Die grössten Lasten müssen in der Nähe des rechtsseitigen Knotenpunktes dieses Feldes (im vorliegenden Falle der Scheitelpunkt) angeordnet werden, und muss eine derselben in diesem Punkte selbst angreifen. Es ist hiernach zu vermuthen , dass Last 1 eines von rechts nach links vorrückenden Zuges im Scheitelpunkte angeordnet werden muss. In schärferer Weise giebt hierüber Ungleichung 225 Aufschluss.

Die in dieser Ungleichung vorkommenden Quotienten sollen zunächst ermittelt werden. Der Werth v wurde bereits oben angegeben. Die Grösse m ist ebenfalls aus der Zeichnung abgegriffen; es wurde gefunden w = 3,98. Alsdann ist:

und

; ²/+^

2 ij — lv

_ a 2.4 -f~ 3,48 2.13,5.4 — 3.3,48

m 3,98 A ⁼ “,8_== 0,221 *

= 0,291

Liegt Last 1 unmittelbar rechts vom Scheitel, so ist $ = 0 und demnach die Ungleichung 225 jedenfalls erfüllt. Ueberschreitet Last 1 den Scheitelpunkt, so wird $ = 13, H₂=0, K, = 5.13 + 3.9 = 92.

Da aber 0,29i.0,22i.92 = 5,9 ist, so wird nun der Ungleichung nicht mehr genügt und hieraus ist zu schliessen, dass thatsächlich Last 1 im Scheitelpunkte angreifen muss.

Die Grösse II ist für diese Laststellung bereits bei Berechnung des Werth es max (— 0₃) ermittelt.

[M\

18 + 13,5

36

3.13.16,7 + 3.9.9,9 + 3 . 13.2,7 J = 895,9 tm

M = 895,9 — 127,99.4,5 = 319,9tm

117,9t.

max (— D,)

319,9

2,713

Stab l)v

Die Spannungsermittlung dieser Diagonalen gestaltet sich ganz entsprechend derjenigen des Stabes I)y.

Maximum der Druckspannung.

Last 1 eines von links nach rechts vorrückenden Zuges am Knotenpunkte 2. Der Werth H ist bei Berechnung der Spannung max (— U₀) bereits ermittelt.

18 — 2,5

[M] =

36

(3.13.10,7 + 3.9.3,9) = 225,ü tm

M— 225,o — 65,32.4,5 = — 68,9 tm max (+ D.₂) —

68,9

40,6 t

1,697

Maximum der Zugspannung.

Last 2 eines von rechts nach links vorrückenden Zuges am Knotenpunkte 1.

11=

2.4

9 (0,2+1,7)+3.13.7 + 3.9.14,2 + 3.13.15 = 157,311.

Bei Berechnung des Momentes [di] ist darauf zu achten, dass Last 1 innerhalb des geschnittenen Feldes angreift. Last 1 wird demnach zu zerlegen sein in ihre auf die Knotenpunkte 1 und 2 entfallenden Componenten. Die im Knotenpunkte 1 wirkende Kraft greift rechts von dem zum Zweck der Spannungsermittlung geführten Schnitte an; in Gleichung 197 ist diese Kraft also den Lasten G‘ zuzurechnen. Die im Knotenpunkte 2 wirkende Componente ist hingegen den Lasten G“ zuzuzählen.

Von der Axe 1 entfällt auf den Knotenpunkt 1:

= 7,37 t

13-1+^

und auf den Knotenpunkt 2:

13 — 7,37 = 5,63 t.

[M]

18 + 2,5 ~

36

9 (0,2 + 1,7) + 3 . 13.7 + 3.9.14,2 + 13 (19,7 + 21) + 7,37.21 , 18 — 2,5

• 5,03 • 12 = 802,o tra M = 802,o — 157,31.4,5 = 94,i tm

55,5 t.

36

max (— A)

94,i

1,697

Stab Ds.

Der Schnittpunkt der mitgeschnittenen Constructionstheile liegt oberhalb der beiden Graden AE und BD (Fig. 1, Taf. 11). Das Belastungsschema ergiebt sich also nach Fig. 64, §.27, in welcher die Worte „Druck“ und „Zug“ mit einander zu vertauschen sind. Die Belastungsscheiden liegen im lsten und 3ten Felde der linksseitigen Brückenhälfte.

Maximum der Druckspannung.

Rechtsseitige Belastung.

Der Zug ist von rechts kommend bis ungefähr zur Belastungsscheide im ersten Felde vorzuschieben; die grössten Lasten müssen in der Nähe des Scheitels angeordnet werden; eine derselben muss in diesem Punkte selbst angreifen. Es lässt sich vermuthen, dass Last 1 am Scheitel liegen muss. Ungleichung 223 giebt hierüber in schärfererWeise Aufschluss. Der Werth m ist aus der Zeichnung zu 1,55 m

abgegriffen. Demnach ist -y==O,080.

Liegt Last 1 rechts vom Scheitel, so ist H₂ = 0, also Ungleichung 223 jedenfalls erfüllt; liegt Last 1 links vom Scheitel, so wird

H₂ = 13 und H,= 5.13 + 3.9 = 92.

Es ist aber 0,086.92 = 7,9 t. Nun wird der Ungleichung 223 nicht mehr genügt; thatsächlich ist also Last 1 am Scheitel anzuordnen.

Für diese Laststellung ist der Werth H bereits bei Berechnung der Spannung max (— 0₂) befunden.

18 — 0,9

[M]

36

(3.13. 16,7 + 3.9.9,9 + 3 . 13.2,7 j = 486,4tm

M = 486,4 = 127,99.4,5 = — 89,o tm

89,6

36,81.

2,432

Linksseitige Belastung.

Der Zug ist, vom linksseitigen Kämpfer kommend, bis in das 3te Feld vorzuschieben. Eine der ersten Lasten muss im Knotenpunkte 3 angreifen. Welche Last hier anzuordnen ist, lässt sich mit Hülfe der Ungleichung 224 entscheiden.

Der in dieser Ungleichung vorkommende Werth v ist aus der Zeichnung abgegriffen. Es wurde gefunden a = 0,3i. Demnach ist:

_3.0,31_

2.5,i. 4 — 3.0,31

Liegt Last 1 links vom Knotenpunkte 3, so ist d) = 0 und demnach Ungleichung 224 jedenfalls erfüllt. Ueberschreitet Last 1 den Knotenpunkt, so wird 05 = 13 und H₃ = 2.13 + 2.9 = 44.

2* f—

— 0,023.

Es ist 0,023.44 = l,o. Der Ungleichung 224 wird also nun nicht mehr Genüge geleistet. Demnach ist Last 1 im Knotenpunkte 3 anzuordnen.

Der Werth H für diese Laststellung ist bereits bei Berechnung der Spannung max (— U₃) ermittelt.

18 + 0,9

36

3.13.7,7 + 9(2,4 + 0,9) =173,2 tm M = 173,2 — 41,25.4,5 = — 12,4 tm’

= 5,i t

12,4

2,432

max (+ X>₃) = 36,8 + 5,t = 41,91.

Maximum der Zugspannung.

Zwischen den beiden Belastungsscheiden im ersten und dritten Felde müssen möglichst viel grosse Lasten angreifen. Eine derselben muss im Knotenpunkte 2 liegen. Es lässt sich vermuthen, dass das mittlere Rad einer einzelnen Locomotive im Knotenpunkte 2 angeordnet werden muss. Die Ungleichung 222 giebt hierüber in schärferer Weise Aufschluss. Es ist:

= 0,625.

o 2.4 + 0,3i ' 2.5,1.4 — 3.0,31

Liegt Last 2 rechts vom Knotenpunkte 2, so ist 05 = 13 und U₂ = 26. Da 0,625.26 = 16,2 ist, so wird also die in Ungleichung 222 enthaltene Bedingung bei dieser Laststellung noch erfüllt sein. Ueberschreitet Last 2 den Knotenpunkt 2, so wird (5 = 26 und H₂=13. Dann ist, wie man sofort erkennt, Ungleichung 222 nicht mehr erfüllt und hieraus ist zu schliessen, dass thatsächlich Last 2 eines aus den Lasten 1 bis 3 bestehenden Zuges im Knotenpunkte 2 angreifen muss.

11 =

• 3 • 13 • 12 = 58,5ot.

2.4

Bei Berechnung des Werth es [M] ist darauf zu achten, dass Last 1 innerhalb des geschnittenen Feldes angreift. Von dieser Last entfällt auf den Knotenpunkt 2

die Componente 13 ———^

O

7,37 t und auf den Knotenpunkt 3 der Werth 13 — 7,37 = 5,63 t

18 — 0,9

36

18 + 0,9

13 (22,7+ 24)+ 7,37.24 4 3g

• 5,63 • 9 = 399,0 tm

M = 399,o — 58,50.4,5 = 135,s tm

55,81.

135,8

max (— Da)

2,432

Stab Dv

Der Schnittpunkt der mitgeschnittenen Constructionstheile liegt unterhalb der Graden BD und oberhalb der Graden AE (Fig. 1, Taf. 11). Das Belastungsschema ergiebt sich nach Fig. 61, § 27. Die Belastungsscheide liegt im ersten Felde.

Maximum der Druckspannung.

Der Zug ist vom rechtsseitigen Kämpfer bis gegen die Belastungsscheide vorzuschieben. Die grössten Lasten müssen in der Nähe des Scheitels gruppirt werden; eine derselben muss im Scheitelpunkte selbst angreifen. Hiernach lässt sich vermuthen, dass Last 2 in diesem Punkte liegen muss. Mit Hülfe der Ungleichung 218

erlangt man hierüber Aufschluss. Der in dieser Ungleichung vorkommende Werth m

771

Man hat also -7- ==0,155.

(s. Fig. 61) ist aus der Zeichnung zu 2,so abgegriffen.

Liegt Last 2 unmittelbar rechts vom Scheitel, so ist:

ftt = 5.13 + 3.9 = 92 und H, = 13.

Da 0,155.92=14,3 ist, so ist, wie man hieraus erkennt, bei dieser Laststellung

die in Ungleichung 218 enthaltene Bedingung noch erfüllt. Ueberschreitet Last 2 den Scheitel, so wird

1^=4.13+3.9 = 79 und ft₂ = 26.

Alsdann wird der Ungleichung 218 nicht mehr Genüge geleistet. Thatsächlich ist also Last 2 im Scheitelpunkte anzuordnen.

Der Werth H ist für diese Laststellung bereits bei Berechnung der Grösse

max (— 0A) ermittelt.

18 -3,214

(3.13.4,o + 3.9.11,2+3.13.18,o^) = 476,6tm

M = 476,6 — 140,83.4,5 = — 157,i tm max (+ D.)

157,i

40,o t.

3,920

Maximum der Zugspannung.

Der Zug ist vom linksseitigen Kämpfer bis ungefähr zur Belastungsscheide vorzuschieben. Die grössten Kaddrücke sind in der Nähe des Knotenpunktes 3 anzuordnen , und einer derselben muss in diesem Punkte selbst angreifen. Es lässt sich hiernach vermuthen, dass Last 2 am Knotenpunkte 3 liegen muss. Die Ungleichung 217 giebt hierüber in schärferer Weise Aufschluss.

Der in dieser Ungleichung vorkommende Werth v ist aus der Zeichnung zu 0,20 abgegriffen. Demnach ist

2.4 — 0,20

3.0,20 + 2.5,786.4

0,122 .

= 15,629.

Liegt Last 2 unmittelbar links vom Knotenpunkte 3, so ist Kä=13, 05 = 26 und Jt₃ = 3.9 = 27.

Die rechte Seite der Ungleichung lautet:

0,122 (0,20.27 + 15,629.26) = 50,2.

Hieraus erkennt man, dass bei dieser Laststellung der Ungleichung 217 noch Genüge geleistet wird.

Ueberschreitet Last 2 den Knotenpunkt 3, so wird:

$L = 26 , 05=13 und Ü, = 27.

Dann ist:

0,122 (0,20.27 + 15,629. 13) = 25,4.

Nunmehr ist die in Ungleichung 217 enthaltene Bedingung nicht mehr erfüllt, und demnach ist es thatsächlich die Last 2, welche im Knotenpunkte 3 angreifen muss.

Der Werth H ist für diese Laststellung bereits bei Berechnung der Spannung max (+ 0A) ermittelt.

Bei Aufstellung der Gleichung für das Moment [di] ist darauf zu achten, dass Last 3 innerhalb des geschnittenen Feldes angreift.

M— 418,o — 51,30.4,5 = 187,2 tm

max (— Da)

47,o t.

187,2

3,929

Stab Dh.

In derselben Weise wie die Maximalspannungen der Diagonalen 7>₄ ergeben sich auch diejenigen des Stabes D₅.

Maximum der Druckspannung.

Last 2 eines von rechts nach links vorrückenden Zuges am Scheitel.

3 . 13.4,o + 3.9.11,2+3.13.18,o = 413,7 tm

[M]

18 — 3,214

1 8 +- 3,21 4 f

36

13(25,7 + 27)4-7,37.27 +    ₃₆

(^5,63-64-3.9.2,2^ = 418,o tm

M== 41 3,7 — 140,83.4,5 = — 220,o tm max (+ D,)

220,o

5,946

37,o t.

Maximum der Zugspannung.

Last 3 eines von links nach rechts vorrückenden Zuges am Knotenpunkte 4. Der Werth II ist hei Berechnung der Spannung max (+ ö₅) bereits ermittelt.

18- 5,167

[M]

36

• 3 • 13 - 28,7 4

18 + 5,167

₃₆    9 (2+ 0,₅) = 413,5 tm

M = 413,5 — 38,40.4,5 = 240,7 tm 240,7 5,946

Stab D₆.

Maximum der Druckspannung.

Last 2 eines von rechts nach links vorrückenden Zuges am Scheitel.

18 — 6,955

max (— D₅)

— 40,51.

36

^3.13.4,o + 3.9.11,2 + 3 . 13.18,oj = 356,o tm

M = 356,o — 140,83.4,5 = — 277,7 tm max (+ Dr) =

8,148

= 34,t t.

Maximum der Zugspannung.

Damit möglichst viele Lasten innerhalb der Zugahtheilung angreifen und die grössten Lasten in der Nähe des Knotenpunktes 5 zu liegen kommen, wird man nicht wie bisher einen Zug von links nach rechts vorrücken lassen, sondern einen aus den Lasten 1 bis 6 bestehenden Eisenbahnzug derart aufstellen, dass die Loco-motive gegen das linksseitige Widerlager gerichtet ist. Unter Annahme eines solchen Zuges findet man, dass Last 2 desselben am Knotenpunkte 5 angreifen muss, um das Maximum der Zugspannung in Dü zu erhalten.

Der Werth II für diese Laststellung ist bereits bei Ermittlung der Grösse max (+ Ob) berechnet.

Es ist zu beachten, dass Last 1 innerhalb des geschnittenen Feldes angreift.

[M]

3.9.26,2+ 13 (31,7+ 33)+ 7,37.33 = 549,7 tm

18 - 6,955

36

Vertikalen.

Stab C₀.

Im oberen Knotenpunkte der Scheitelvertikalen trifft diese nur mit dem Gurtungsstabe Ox zusammen. Die Spannung 0, ist Null. Das Gleichgewicht der in diesem Knotenpunkte wirkenden Kräfte erfordert also, dass die Spannung der Vertikalen C₀ grade so gross ist, wie die im oberen Knotenpunkte angreifende Belastung. Diese Belastung wird zum Maximum, wenn das erste Ilad einer gegen den Scheitel vorrückenden Locomotive im oberen Knotenpunkte der Scheitelvertikalen angreift. Demnach ist:

-) = 22,i t.

max (+ C₀) = 13 ^1 -f-

max (— C₀) = 0.

Stab Cx.

Der Schnittpunkt der mitgeschnittenen Constructionstheile fällt zusammen mit demjenigen für die Diagonalen Dr Es wird also das Belastungsschema nach Fig. 05 des § 27 anzunehmen sein. Als Belastungsscheide tritt das fragliche Feld selbst auf. Dieses ist im vorliegenden Fall aber das Feld 2 linksseitiger Bogenhälfte, da der durch Cx zum Zweck der Spannungsermittlung zu führende Schnitt die obere Gurtung, an welcher die mobilen Lasten angreifen, im 2ten Felde trifft.

Denkt man sich die Spannung Ct als Druckkraft auf den links vom Schnitt vorhandenen Theil des Bogens einwirken, so dreht diese Kraft um den Schnittpunkt der mitgeschnittenen Constructionstheile im entgegengesetzten Sinne des Uhrzeigers. Im Belastungsschema sind also die Druck- und Zugabtheilungen thatsächlich so anzunehmen, wie Fig. 65 dieselben zeigt.

Maximum der Druckspannung.

Der Zug ist vom rechtsseitigen Kämpfer kommend bis in das fragliche Feld vorzuschieben. Eine der ersten Lasten muss im Knotenpunkte 1 angreifen. Es lässt sich vermuthen, dass Last 1 am Knotenpunkte 1 liegen muss. Die Ungleichung 225 giebt hierüber in schärferer Weise Aufschluss.

Die in dieser Ungleichung vorkommenden Grössen v und m sind die nämlichen, wie die, welche bei Berechnung der Diagonalen Dx gefunden wurden; also v — 3,48 und m = 3,98. Der Werth i (s. Fig. 65) ist natürlich hier ein anderer, da jetzt als rechtsseitiger Knotenpunkt des fraglichen Feldes der Knotenpunkt 1 auftritt; es ist « = 16,5. Demnach hat man:

0,283 und -r- = 0,221.

_2f±v_

lif—lv

Liegt Last 1 rechts vom Knotenpunkte 1, so ist (5 = 0, also die Ungleichung 225 jedenfalls erfüllt. Ueberschreitet die Last 1 den Knotenpunkt, so wird:

<5 = 13,    H.₂ = 2.13 = 26 und Ü, = 4.9 + 3.13 = 75.

Nun ist aber

M = 549,7 — 47,70.4,5 = 335,i tm

41,i t.

335,i

8,148

0,283 (0,221.75 -f- 26) = 12,0.

M = 65,3 — 65,32.4,5 = — 228,6 tm max (— Q)

13,9 t.

Man erkennt, dass jetzt der in Ungleichung 225 enthaltenen Bedingung nicht mehr genügt wird, und demnach ist es thatsächlich Last 1, welche am Knotenpunkte 1 angeordnet werden muss. Für diese Laststellung findet man:

9.0,₄+ 3 . 13.5,7 + 3.9 .12,9 + 3.13. 16,3 = 151,2t t

11=

2.4

18 + 13,5

36

9.0,4 + 3.13.5,7 + 3.9.12,9 + 3.13.19,7 = 1174,7 tm ’ M= 1174,7 — 151,24.4,₅ = 494,i tm.

Die Spannung Ct selbst ergiebt sich aus Gleichung 200. In dieser Gleichung hat nach der angefügten Erklärung das + Zeichen Gültigkeit.

494,i 3 +13,5

Maximum der Zugspannung.

Der Zug ist vom linksseitigen Kämpfer bis in das fragliche Feld vorzuschieben; eine der ersten Lasten muss im Knotenpunkte 2 angreifen. Es ist zu vermuthen, dass Last 1 an diesem Knotenpunkte liegen muss. Mit Hülfe der Ungleichung 226 lässt sich diese Frage entscheiden.

max (+ C,) =

= 29,91.

Es ist

2 if — Xv

0,086. Liegt Lastl links vom Knotenpunkte 2, so ist C5 == 0;

dann wird der Ungleichung 226 jedenfalls Genüge geleistet. Liegt Last 1 unmittelbar

rechts vom Knotenpunkte 2, so wird

$ = 13 und K₃ = 2. 13 + 3.9 = 53.

Man erkennt sofort, dass jetzt die Ungleichung 226 nicht mehr erfüllt ist. Demnach muss wirklich Last 1 am Knotenpunkte 2 angreifen, um das Maximum der Zugspannung in C, zu erreichen.

Für diese Laststellung ist der Werth II bereits bei Berechnung der Spannung max (— Z7₂) ermittelt.

[M) =

18 — 13,5

36

(V 13 . 10,7 + 3.9.3,9^ = 65,3 tm

228,6

3 +13,5

Im Allgemeinen sind die Verhältnisse bei den Vertikalständern ganz ähnlich denjenigen bei den entsprechenden Diagonalen. Die Abweichungen, welche durch-gehends eintreten, sind für den Stab C, soeben erläutert. Im Folgenden sollen nur noch die Resultate der Rechnungen zusammengestellt werden.

Stab C\.

Maximum der Druckspannung.

Last 1 eines von rechts nach links vorrückenden Zuges am Knotenpunkte 2. ^3.9.1,9+3. 13.8,7 + 3.9.15,9+3. 13.13,3^) = 167,32 t

^3.9.1,9 + 3.13.8,7 + 3.9.15,9 + 3.13.22,7 M = 971,o — 167,32.4,5 = 218,i tm

218,i

11=

2.4

[M]

18 + 2,5

36

= 971,o tm

max (+ C₂) =

2.3 ■+ 2,5

= 25,71.

Maximum der Zugspannung.

Last 1 eines von links nach rechts vorrückenden Zuges am Knotenpunkte 3. Der Werth II wird der Berechnung von max (— U.J entnommen.

18 — 2,5 '

36

3.13.7,7 + 9(2,4 + 0,9) = 142,i tm

M = 142,t — 41,25.4,5 = — 43,5 tm max (— C.₂) — —

43,5

5,i t.

2.3 + 2,5 Stab Cr

Maximum der Druckspannung.

Last 2 eines von rechts nach links vorrückenden Zuges, welcher aus den Lasten 1 bis 6 besteht, greift am Knotenpunkte 3 an.

H=

2.4

3.9. 15,8 + 3. 13.9 = 97,20 t.

Last 1 greift innerhalb des geschnittenen Feldes an, ist also bei Berechnung des Werthes [M] in ihre auf die Knotenpunkte 3 und 4 entfallenden Componenten zu zerlegen.

3.9.20,2 + 13(25,7+27)+7,37.27 -+

M = 696,7 — 97,20.4,5 = 259,3 tm 259,3

18 +• 0,9

36

• 5,63 • 6 = 696,7 tm

max (+ C₃) —

= 32,o t.

3.3 — 0,9

Maximum der Zugspannung.

Rechtsseitige Belastung.

Last 1 eines von rechts nach links vorrückenden Zuges am Scheitel.

Der Werth II ist der Berechnung der Spannung max (— 0₂) entnommen. 18 — 0,9

[M]

36

(3.13.16,7 + 3.9.9,9 + 3.13.2,7^ = 486,4tm

M — 486,4 — 127,99.4,5 = — 89,6 tm = — ll,i t.

89,6

3.3 — 0,9 Linksseitige Belastung.

Last 1 eines von links nach rechts vorrückenden Zuges am Knotenpunkte 4. Der Werth II aus der Berechnung von max (— Z7J.

[M]

18 + 0,9

• 3 • 13 • 4,7 = 96,2 tm

M — 96,2 — 22,91.4,5 = — 6,9 tm * 6,9

3.3— 0,9 max (— C₃) = — ll,i — 0,9 = — 12,ot.

Stab CA.

Maximum der Druckspannung.

Last 3 eines von links nach rechts vorrückenden Zuges am Knotenpunkte 4. Horizontalschub H aus der Berechnung des Werthes max (+ 0₅).

36

0,9 t

[M]

18 - 3,214

36

• 3 • 13 • 28,7 -f

18 -f- 3,214

3ß-- 9 (2 + 0,₅) = 473,0 tm

M— 473,o — 38,40.4,5 = 300,2 tm max (+ C)

300,2

= 34,2 t.

4.3 — 3,214 Maximum der Zugspannung.

Last 2 eines von rechts nach links vorrückenden Zuges am Scheitel. H aus der Berechnung des Werthes max (— 0₄).

[jq-iLziüi

(3 . 13.4,o + 3.9.11,2 + 3.13.18,o) = 476,0tm

M= 476,6 — 140,83.4,5 = — 157,i tm max (— CA) = —

157,i

4.3 — 3,214

17,9 t.

Stab C,

Maximum der Druckspannung.

Last 2 eines von rechts nach links vorrückenden Zuges, welcher aus den Lasten 1 bis 6 besteht, greift im Knotenpunkte 5 an.

Der Werth H aus der Berechnung der Spannung max (+ Ou).

18 - 5,167

[M]

3.9.26,2 + 13 (31,7 + 33)4- 7,37.33 = 638,7 tm

M= 638,7 — 47,70.4,5 = 424,0 tm 424,o

5.3-5,l67 Maximum der Zugspannung.

Last 2 eines von rechts nach links vorrückenden Zuges am Scheitel. 18- 5,167

36

max (4- C&)

= 43,i t.

[M]

36

^3.13.4,o4- 3.9.11,2 4-3.13. 18,0^=413,7tm

M = 41 3,7 — 140,83.4,₅ = — 220,o tm

= — 22,41.

max (— C₅)

220,o

5.3 — 5,167

Stab C₆.

Maximum der Druckspannung.

Last 1 eines von rechts nach links vorrückenden Zuges, welcher aus den Lasten 1 bis 6 besteht, greift am Knotenpunkte 6 an.

//=

m=

2.4 18 — 6,955

36

(3.13.1,3 4-3.9.8,1^ = 33,67 t. ^3.13.34,7 4- 3.9.27,9^ = 646,3 tm

M — 6 4 6,3 — 33,67.4,5 = 494,8 tm 494,8

6.3 — 6,955

Maximum der Zugspannung.

Last 2 eines von rechts nach links vorrückenden Zuges am Scheitel. 18 — 6,955

max (+ C₆)

44,8 t.

[M]

36

^3.13.4,o 4- 3.9.11,2 4- 3.13 . 18,0^ = 356,otm

M = 356,o — 140,83.4,5 == — 277,7 tm

max (— Cc)

277,7

6.3 — 6,955

25,t t.

Sämmtliche bisher ermittelten Spannungszahlen müssen, wie anfangs bemerkt, 3

— nmltiplicirt werden, um die thatsächlicli im Facliwerke auftretenden

noch mit

Spannungen zu erhalten. Gleichzeitig sollen für die unteren Gurtstäbe und die Vertikalständer die in Folge der permanenten Last vorhandenen Spannungen zu den hier ermittelten hinzu addirt werden. Man findet:

max (4- Ot) = 0

max (+ 0₂) = ~ • 116,7 = 87,51 max (H- 0₃) =    • 125,3 = 94,0 „

max (+ 0,) =

max (4- 0₅) =    • 52,7 == 39,5 „

3

max (4- Oc) = —

4^ CC

• 91,3= 68,5 „

• 27,8 = 20,9 „

max (— 0,) = 0

max (— 0₂) =--~ • 116,4 = — 87,31

f • 120,c =

max (— OJ =--• 88,;s =

j- 52,, = - 39,3,

7' ²³>» =

max (— 0₃) = —

max (— 0₅)'= —

max (— Oc) — —

— 90,5 „

— 66,2 „

max (4-^0 = 36,5 4-4-*245,8 = 220,9 t    max    (—    Ut) = 36,5 — -r- • 25,0 =    17,71

max (4- U₂) = 36,7 4~    •    263,2 = 234,i„

max (4- U₃) = 37,1 4-    •    23b, 1 =214,2,,    max    (—    U₃) = 37,1--•    42,0 =

max (4- UA) = 37,7 4-    -j- •    224,3 = 205,9,,

max (4- U₅) = 38,4 4~ ~~j|" * 204,9=192,i„ max (4- Z7C) = 39,4 4- 4- • 212,5 = 198,8„    max (— Uti) = 39,41.

max (— U₂) = 36,7 —

max (— U,) = 37,7 —

•58,t =-6,9«

5,6 ri

• 22,5 =

max (— U₃) = 38,4--- • 7,9 =

20,8 „

32,5 „

max (4~ -D,) =    • 118,3 — 88,71

4

max (4- IJ₂) =    • 40,«= 30,5 „

3.

max (+ D₃) = — max (+ D.) =    • 40,o — 30,0 „

max (+ _D₅) = — • 37,o = 27,s „ max (+ Df) = 4- * 34,i = 25,₆ „

max (— Ds) = —

max (— D₂) — —

• 41,9= 31,4 „

max (— i>₃) = —

max (— Da) = —

max (— D.) — —

4^'oc ^,CC 4^ | CO ^jco 4^00

r-H

4^

4^

'Id

co

co

max (+ Q = 0,9 + A • 22,i = 17,51 3

max (-b Ct) = 1,7 + -j

max (4- Q = 1,7 4---

3

max (4- Q = 1,7 4- —

3

max (4- C) = 1,₇ 4-

max (4- Q = 1,₇ + A • 43,i = 34,o „

max (4~ C₆) = 0,n 4~

Diese Zahlen sind in Fig. 3, Taf. 11 zusammengestellt.

Die Ermittlung der zulässigen spec. Spannungen aus diesen Grenzwerthen, sowie die Bestimmung der erforderlichen Querschnitte ist genau ebenso durchzuführen, wie solches im Beispiel III geschehen ist. Es sind deshalb diese Rechnungen hier nicht weiter verfolgt.

• 29,9 = 24,i „

• 25,7 = 21,o „

• 32,o= 25,7 „

• 34,2 = 27,4 „

• 44,8- 34,5 r>

max (— C₀) = 0,91

max (— C,) = 1,7 — —- • 13,9 = — 8,71 3

max (— Q = 1,7 — — 5,i = — 2,t „ max (— C₃) = 1,₇ — A • 12,o =

max (— £.) = 1,7--A. 17,9 =

max (— Q = 1,₇ — A . 22,4 = — 15,i „ . 25,i = -17,9»

max (— CJ = 0,9 —

-11,7.

Beispiel XI.

Fachwerkbogen von 36111 Spannweite mit versteiften Zwickeln

und 2 Gelenken.

{Annahme einer gleichmässicj verlheilten mobilen Belastung.)

Die geometrische Form des Trägers soll ähnlich derjenigen sein, welche die in den Beispielen IX und X behandelte Brücke hat. Die untere Gurtung ist nach einer Parabel gekrümmt, deren Pfeilhöhe 4m beträgt. Die obere Gurtung ist horizontal und liegt 0,5 m über dem Scheitel der Parabel. Durch Vertikalständer ist der Bogen in 12 Felder von je 3 m Länge getheilt. In jedem Felde ist eine nach der Mitte der Brücke fallende Diagonale angeordnet. Die einzige Abweichung von dem, in den vorigen Beispielen behandelten Träger besteht darin, dass im Scheitel kein Gelenk eingeschaltet ist. Nur an den beiden Kämpferpunkten sind Scharniere vorhanden. Die geometrische Form des Trägers ist in Fig. 1 Taf. 12 verzeichnet.

Es werden nun zunächst wie im Beispiel IX die Ordinaten der verschiedenen Knotenpunkte, ferner die Ordinaten der Schnittpunkte entsprechenden Gurtlinien und die Hebelsarme der Diagonalen, sowie diejenigen der Untergurtstäbe bezüglich der diesen Constructionstheilen conjugirten Drehpunkte berechnet. Diese Berechnungen, welche bereits im Beispiel IX durchgeführt sind, sollen hier nicht wiederholt werden.

Der Horizontalschub für irgend welche Belastung kann bei einer Brücke, wie der vorliegenden, nur unter Berücksichtigung der Deformation der einzelnen Fach-werkstäbe ermittelt werden. Es ist die Methode anzuwenden, welche im § 37 erläutert ist.

Aus den an jener Stelle gegebenen Formeln und Regeln ist zu ersehen, dass es zunächst erforderlich sein wird, über die Stabquerschnitte irgend welche Annahmen zu machen. Liegen ausgeführte Projecte einer ähnlichen Construction vor, so wird es möglich sein, hiernach die Stabquerschnitte angenähert zu bestimmen. Anderenfalls ist man genöthigt die Brücke zunächst unter Annahme von 3 Gelenken (2 Kämpfer- und einem Scheitelgelenk) durchzurechnen und auf Grund der so erhaltenen Spannungszahlen den Träger provisorisch zu dimensioniren. Es wird dann allerdings nicht erforderlich sein, den Bogen in der ausführlichen Weise durchzurechnen, wie solches im Beispiel IX geschehen ist; vielmehr wird es genügen, die Spannungen bei totaler Belastung zu ermitteln und für partielle Belastung Zuschläge zu machen, für deren Grösse wohl schon die im Beispiel IX gefundenen Werthe einigen Anhalt geben werden.

Im vorliegenden Falle sollen die im Beispiele IX berechneten Spannungszahlen zur vorläufigen Dimensionirung des Trägers direct benutzt werden.

Die zulässige spec. Spannung ist nach den Ausführungen des § 45 den Gleichungen 344 und 347 entsprechend zu

k = 0,9 ^14

1 min S

2 max S

angenommen worden, wenn mit min S die absolut kleinste, mit max £ die absolut grösste Spannung bezeichnet wird. Der Quotient

min S

max S

wird natürlich negativ,

wenn die beiden Grenzspannungen verschiedene Vorzeichen haben.

Für sämmtliche Stäbe des Ober- und Untergurts wird zunächst dieser Werth k

ermittelt.

Der Einfluss der Deformation der Füllungsglieder auf die Grösse des Horizontalschubes soll vernachlässigt werden. Es ist also auch für vorliegenden Zweck nicht erforderlich, die Diagonalen und Vertikalen zu dimensioniren.

Für den Stab Ob ist beispielsweise:

= 0,498 1 pr. □ cm

k = 0,9 ^1

1    45,5

2    ' 50,9 und für den Stab Uh\

= 0,958 t pr. Dem.

Sodann wird für jeden Gurtungsstab der erforderliche Nettoquerschnitt berechnet, indem man die absolut grösste Spannung durch den Werth k dividirt. So er-giebt sich für den Stab 0₅:

50^9

und für Ub:

0,498

102,2 Dem

222,o

231,7 Dem.

0,958

Nunmehr wählt man für den Ober- und Untergurt Profile, welche nach Abzug der Nietlöcher noch eine den oben berechneten Zahlen mindestens gleiche Nutzfläche zeigen.

Untergurt.

mit 2 Lamellen : 22 = 346,5 Dem mit 1 Lamelle:    = 262,5    „

TT

Die approximative Ermittlung des Eigengewichts der Brücke wird am besten auf Grund der hier angenommenen Dimensionen erfolgen können.

7j

Th

1&

Für den Obergurt ist nebenstehendes Profil angenommen. Dasselbe genügt mit 2 Lamellen für die Stäbe 0₂ und 0₃, mit einer Lamelle für den Stab 0A und ohne Lamelle, also nur aus Wandblecb und Winkeleisen bestehend, für die Stäbe 0,, 0₅ und 0₆.

Der Untergurt erhält das zweite der nebenverzeich-neten Profile. Die Stäbe U, bis U₄ erfordern 2 Lamellen; für die Stäbe U₅ und U₆ genügt eine Lamelle.

Es müssen nunmehr die Bruttoquerschnitte dieser Profile, d. h. die Flächen derselben ohne Abzug der Nietlöcher, bestimmt werden.

Obergurt.

mit 2 Lamellen : 22 = 270,o Dem mit 1 Lamelle : 22 = 198,o    „

ohne Lamelle: 22 = 126,o „

30

Os

~,s

.35

ks

10

=0

27,5

Für eine Trägerhälfte ist der körperliche Inhalt des Obergurts:

600.270,o + 300.198,o -f 900 . 126,o = 334800 ebem und der des Untergurts:

(300 + 302 + 305 + 310) 346,5 +• (316 + 324) 262,₅ = 589690 ebem.

Für die Diagonalen ist schätzungsweise ein Profil von 4 Winkeleisen zu ¹²/ 12X1,3 cm angenommen, dessen Bruttofläche 118,0 Gern beträgt. Der Inhalt der Diagonalen ist also:

(304 -f 306 + 314 + 335 + 377 + 444) 118,0 = 245400 ebem.

Die Vertikalen bestehen aus 4 Winkeleisen von lo/ioXl,ocm. Der Querschnitt ist 76,o Gern und demnach der körperliche Inhalt der Vertikalständer:

(50 + 61 + 94 + 150 + 228 + 328 + 450) 76,0 = 103436 ebem.

Addirt man diese vier Werthe, so erhält man als Summe:

1273366 ebem ä 0,oo78 klgr = 9932 klgr oder 9,932 t.

Demnach ist das Eigengewicht pr. lfdm.:

9,932

—= 0,552 t.

Für Querverbände, Stossplatten, Nietköpfe, etc. können ca. 30% zugeschlagen werden, so dass das Gewicht des Trägers

0,552 -f- 0,166 == 0,7181 pr. lfdm.

ist. Hiervon greifen am Obergurt etwa ²/5, am Untergurt % an. Ferner wirkt in den oberen Knotenpunkten das Gewicht der Fahrbahn, welches nach Gleichung 354 zu 0,81 pr. Gleis oder 0,41 pr. Träger und pr. lfdm. angenommen ist. Es entfällt demnach auf den Obergurt:

²/ö . 0,718 + 0,4 = 0,087 t pr. lfdm.

und auf den Untergurt

³/ä . 0,718 = 0,43i t pr. lfdm. Die Belastung eines oberen Knotenpunktes ist:

P«= 3.0,687 = 2,lt

und die eines unteren Knotenpunktes:

PU= 3.0,431= 1,3 t.

Die Totalbelastung pr. Knotenpunkt stellt sich auf

P = 2,1    1,3 = 3,4 t.

Bestimmung des Horizontalschubes.

Nach den Ausführungen des § 37 sind zunächst für die Gurtstäbe die Werthe Oy und Oy* zu berechnen. Ueber Bedeutung dieser Werthe s. S. 84. Die Längen und Hebelsarme der verschiedenen Stäbe sind bereits anfangs (Beispiel IX) berechnet. Die Querschnitte 12, welche oben in Dem angegeben wurden, sind jetzt natürlich in Dm einzusetzen. Die Rechnungen sind am bequemsten logarithmisch auszuführen.

Stab Ol :

Oy =

0,5 ². 0,01-26

• 4,ooo = 3809,5

O y*⁼⁼ 15238

Qy =

0,61 1² . 0,027 0

• 3,889 = 1157,5

Oy'¹ — 4501

Oy =

0,944². 0,0270

• 3,556 = 44 3,4

Oy* — 1577

Oy =

1,5². 0,0198

• 3,ooü = 202,o

Oy* =    606

»    0>i

Oy =

2,27 8² • 0,0126

• 2,222 = 102,0

Oy* —

226

■    O₀:

Oy =

3,27 8^ - 0,0126

• 1,222 =    27,1

Oy² =    33

5741,5

22181

Stab Ui:

Oy =

3,002

Oy =

0,611 ² . 0,03465

3,018

• 4,5 = 1044,3

Oy* = 4699

»    U₃:

Oy =

n U,:

Oy

0,938². 0,03465 3,051

1,475². 0,03465 3,099

• 4,5 = 445,5

•4,5= 182,i

Oy* — 2005

Oy*= 819

Oy

2,205². 0,03465 3,162

• 4,5 =    82,8

Oy*= 372

, £4:

3,110². 0,02625 3,239

• 4,5 =    56,o

Oy* = 252

4,167². 0,02625

• 4,5 =    32,o

Oy*= 144

1842,7

8291

Nunmehr lässt man eine Einzellast von der Grösse „Eins“ der Reihe nach an den verschiedenen Knotenpunkten angreifen und bestimmt für jede Lage derselben

aus den Gleichungen 267 und 268 das Moment [M] bezüglich der Drehpunkte, welche den verschiedenen Stäben conjugirt sind.

Da im vorliegenden Falle diese Drehpunkte mit den Knotenpunkten des Trägers zusammenfallen, so lassen sich die Gleichungen 267 und 268 noch etwas einfacher schreiben.

Die Last liege im raten Knotenpunkte. Dann kann £—?ii gesetzt werden, wenn mit k eine Felderlänge bezeichnet wird. Es werde das Moment [M] im Knotenpunkte z gesucht; dann wird x — zX sein. Ferner ist 1 = 61.

Für den Fall, dass der Knotenpunkt z rechts vom Knotenpunkte ra liegt, wird nach Gleichung 268:

[Mt\ =

oder da l = 3 ist:

(6 — ra) (6 + z)

Liegt der Knotenpunkt -5 links vom Knotenpunkte ra, so wird ebenso nach Gleichung 267:

(6 + n) (6 — z)

Beispielsweise wirke die Last „Eins“ im Knotenpunkte 3 der linksseitigen Brückenhälfte. Dann wird ra = 3, also:

[M] =    (6 + z) und [M,] = A (6 — *)

Für den Knotenpunkt 2 der rechtsseitigen Bogenhälfte ist z— — 2 zu setzen, also

3,oo

[ii] = i_(₆_2) =

und für den Knotenpunkt 5 der linksseitigen Bogenhälfte ist:

[«] = -i(6_5) = 2,,5.

In dieser Weise ist folgende Tabelle berechnet:

Last am Knotenpunkte:

Moment [M] im Knotenpunkte:

rechtsseitige

Bogenhälfte

linksseitige

Bogenhälfte

oooo©ooooo© ooooooooo o^o

W W ^    ^ ^    © Ta tl. X,

OT ©    ©    C'<    ©    C'1    © CI c C.T

OOOOOOOOOOO ©    lO O lO © iO O    O O    1-0

O rH    «r-T    (m'' cs* Co'    CO    ^    rf    lO*

Es müssen jetzt für jede Lage der Last „Eins“ die Wertlie [M]Qy berechnet werden. Beispielsweise sei angenommen, die Last läge am Knotenpunkte 3; dann ist für den Stab

[M\6y —

[M] 0y —

<C> C> CS O C;

W    C*3    4s»    CK    CS

d. rechtsseitigen Bogenhälfte

cs o

CO ►—

o CF* rf* o o

ec —1 oc + + +.' +

>lO> CO CO

O CO CS lO

^ CO

CO CO t—» r-< -Tf¹ l—

d. rechtsseitigen Bogenhälfte

0,75 .    56,0    =    42

1,50.    82,8    =    124

2,25. 182,1 = 410 3,oo. 445,5 = 1336 3,75. 1044,3 = 3916

d. linksseitigen Bogenhälfte

4.50.3809.5    = 17143

5.25.1157.5    = 60 7 7 6,oo . 443,4 = 2660 6,75. 202,o= 1363 4,50 . 102,o =

2,25 .    27,i =    61

459

d. linksseitigen Bogenhälfte

5,25.1044,3 = 5483 6,oo. 445,5 = 2673 6,75. 182,1 = 1229 4,50 .    82,8    =    373

2,25 .    56,o    =    126

51204

15712

Nunmehr lässt sich der Horizontalschub für diese Lage der Last „Eins“ nach Gleichung 266 berechnen. Es ist:

II=

51204 + 15712

2 (22181 +8291)

= 1,098.

Im Nenner müssen natürlich die oben ermittelten Werthe Oy¹ mit 2 multiplicirt werden, da die Summation in Gleichung 266 sich über alle Stäbe des Trägers erstreckt und oben diese Werthe nur für eine Trägerhälfte summirt wurden. Dass symmetrisch gelegenen Stäben dieselben Werthe Qy und Qy² entsprechen ist selbstverständlich.

Für die verschiedenen Lagen der Last „Eins“ ist in dieser Weise der Horizontalschub ermittelt. Man findet:

Last am Knotenpunkte 0

H — 1,921

1,734

1,438

1,098

0,372.

Spann ungsbestimmungen.

Eigengewicht.

Durch Summation findet man den Horizontalschub für totale Belastung. H— [1,924 + 2 (1,734 + 1,438 + 1,098 + 0,739 + 0,372)] P — 12,683 P.

Obere Gurtung.

Die den Gurtstäben conjugirten Drehpunkte fallen mit den Knotenpunkten des Bogens zusammen.

Das Moment [M], d. h. das Moment, welches die nämliche Belastung bei einem Balken auf 2 Stützen in einem Punkte, welcher dieselbe Abscisse, wie der in Rede stehende Drehpunkt besitzt, hervorbringen würde, erhält man aus Gleichung 256. Für totale Belastung lässt sich aus dieser Gleichung ein einfacher Ausdruck für das Moment im rcten Knotenpunkte leicht ableiten. Es ergiebt sich:

[M] =    (6 + n) (6 — n) P

[M] =    (6 + n) (6 — n)P.

oder l — 3 gesetzt:

Stab Ot.

Der conjugirte Drehpunkt ist der untere Knotenpunkt 0. Für diesen ist: [M] = ~- 6 • 6P= 54,₀₀P.

Das Moment M der äusseren Kräfte für den fraglichen Drehpunkt ergiebt sich aus Gleichung 255; man findet:

M= 54,00 P— 12,683.4 P = 3,27 P. Die Spannung selbst findet man aus Gleichung 198.

3,27

0,5

P= 6,5 4 P= 6,54.3,4 = 22,2 t.

Stab 0₂.

0₃.

Stab Ob.

Stab 0₆.

[M] = ~- 7 • 5P = 52,₅oP

M — 52,50 P— 12,683.3,889 P — 3,18 P 3,18 0,611

=    8 • 4P = 48,oo P

M = 48,00 P- 12,683.3,556 P — 2,90 P

2,90 0,944

[j|f] = jL 9 • 3P = 40,₅o P

Zi

M. = 40,50 P- 12,683.3,000 P= 2,45 P

0. = -^_P=l,G3P=5,₅t.

1,5

[iW] = y • 10- 2P=30,ooP

3/= 30,00 P 12,683.2,222 P — 1,82 P

1,82 2,27 8

[Jtf] — y- 11 • 1P= 16,50 P = 16,50 P— 12,683 . 1,222 P— 1,00 P P = 0,31 P = 1,1 t.

P = 5,20 P= 17,7 t.

P = 3,07 P— 10,4 t.

P — 0,80 P — 2,7 t.

Oe

1,00

3,278

Untere Gurtung.

Die Spannungen findet man aus Gleichung 199. Die Hebelsarme sind anfangs (Beispiel IX) berechnet. Die Momente [ii], welche den verschiedenen Knotenpunkten entsprechen, sind bereits oben ermittelt.

[M] = 52,50 P

M — 52,50 P — 12,683.4,5 P —- 4,57 P

Ux

P= 7,48 P = 25,4 t.

4,57

0,611

77a.

[M] = 48,00 P

M — 48,00 P 12,683.4,5 P — 9,07 P

P = 9,67 P= 32,9 t.

£4

9,07

0,038

<S7«7> 77₃.

[41] = 40,50 P

M — 40,50 p 12,683.4,5 P— 16,57 P

16,57

^3 =

1,475

P = 11,23 P = 38,2 t.

77,.

[41] = 30,00 P

41= 30,oo P— 12,683.4,5 P= — 27,07 P 27,07

£4 =

2,205

P= 12,28 P = 41,7 t.

Stab U.

[41] = 16,50 P

41 = 16,50 P- 12,683.4,5 P==- 40,57 P

P = 13,05 P= 44,11.

40,57

3,1 to

Stab U.

[M] = 0.

P = 13,10 P = 46,61.

41 = — 12,683.4,5 P= — 57,07 P 57,07

Diagonalen.

Das Seilpolygon für totale Belastung ist eine Parabel, welche bei entsprechender Annahme des Horizontalschubes mit der unteren Gurtung des Bogens zusammenfallen könnte. Würde der Horizontalschub grade diesen Werth besitzen, was bei vorliegender Berechnung nicht der Fall ist, so würde der Untergurt allein, ohne weitere Versteifung im Stande sein, das Eigengewicht aufzunehmen. Die Spannung der Diagonalen wäre dann bei totaler Belastung gleich Null.

Da, wie bemerkt, der Horizontalschub im vorliegenden Falle einen andern Werth hat, so wird man die Berechnung der Diagonalen einfach in der Weise durchführen können, dass man nur die Differenz zwischen diesen beiden Werthen des Horizontalschubes in Rechnung stellt und alle andern Kräfte — da dieselben in ihrer Gesammtheit die Spannung Null in den Diagonalen hervorbringen — einfach als nicht vorhanden annimmt.

Es fragt sich also zunächst, wie gross müsste der Horizontalschub sein, damit das Seilpolygon für totale Belastung mit dem Untergurte des Bogens zusammenfällt. Um diese Frage zu beantworten, geht man folgendermaassen vor. Für alle Punkte des Seilpolygons (Stützlinie) muss das Moment der rechts oder links von diesem Punkte wirkenden Kräfte Null sein. Man greift nun einen beliebigen Punkt des Untergurtes — etwa den Scheitelpunkt — heraus, stellt für diesen das statische Moment der

Der bei vorliegendem Träger thatsächlich vorhandene Horizontalschub ist, wie vorhin berechnet,

II— 12,683 P.

so dass die allein in Rechnung zu stellende Kraft die Differenz der beiden Werthe also

— 0,817 P

sein wird.

Das Moment M, welches diese Kraft bezüglich der den Diagonalen conjugirten

Drehpunkte hervorbringt, ist, da sämmtliche Drehpunkte die nämliche Ordinate von 4,5 m besitzen:

M—-Ht/ = 0,817.4,5 P = 3,68 P.

Die Spannung der Diagonalen ergiebt sich nun aus Gleichung 200. Denkt man sich die Spannung zunächst als Druckkraft auf den links vom Schnitt befindlichen Theil des Bogens einwirken, so erkennt man, dass alsdann diese Kraft um den Schnittpunkt der mitgeschnittenen Constructionstheile im Sinne des Uhrzeigers drehen wird. In Gleichung 200 hat also das —Zeichen Gültigkeit.

Demnach ist:

P — — 1,36 P — — 1,36.3,4 =- 4,6 t.

äusseren, auf einer Bogenhälfte wirkenden Kräfte auf und setzt dieses Moment gleich Null; aus der hierdurch sich ergebenden Gleichung kann der Horizontalschub berechnet werden.

Es muss, wie aus nebenstehender Figur zu

ersehen

S,sP

5,s P. 18 — 5 P. 9 — 7/4 = 0

VJL

sein, woraus folgt:

7/

11= 13,5 P.

3,68

2,713

Man würde übrigens genau zu dem nämlichen Resultat gelangen, wenn man ganz mechanisch den im § 33 vorgeschriebenen Weg einhielte, also zunächst den Werth [M] aus Gleichung 256 und dann das Moment M aus Gleichung 255 berechnete. Der hier gezeigte Weg ist jedoch der bei Weitem kürzere.

3,68

1,607

3,68

P = _ 2,17 P = — 7,4 t

2,432

3,68

P= - 1,51 P=- 5,1 „

3,929

3,68

P — — 0,94 P— — 3,2 „

5,946

3,68

8,148

P — - 0,62 P — - 2,1 „

P — - 0,45 P —- 1,5 „

Vertikalen.

Stab C₀.

Da die im oberen Knotenpunkte des Stabes C₀ zusammenstossenden Gurtstücke horizontal gerichtet sind, die Spannungen derselben also keine vertikale Componente haben, so wird die Beanspruchung des Ständers C₀ nur von der im oberen Knotenpunkte 0 wirkenden Belastung bedingt werden. Die gesuchte Spannung wird eine Druckspannung sein und zwar von der Grösse der Last P°.

C₀ — P° = 2,i t.

Würde der Horizontalschub die Grösse 13,5 P besitzen und würden die Lasten direct an der unteren Gurtung des Bogens angreifen, so wäre auch die Spannung der Vertikalständer bei totaler Belastung gleich Null.

Es wird also bei den Vertikalen, bei den Diagonalen zunächst nur erforderlich sein, einen Horizontalschub von der Grösse —0,snP in Rechnung zu setzen.

Ferner haben aber die Vertikalen noch die Function, die an der oberen Gurtung angreifenden Kräfte auf den Untergurt zu übertragen, so dass sich die Spannung derselben zusammensetzt aus demjenigen Theil, welcher von dem Horizontalschub — 0,8i7 P herrührt und einer Druckkraft, welche gleich dem Werthe P° ist.

Die den Vertikalen conjugirten Drehpunkte haben ebenfalls die Ordinate 4,5 m,

so dass das Moment M, welches der Horizontalschub hervorruft, wieder ein für alle Mal

M— 0,817.4,5 P — 3,68 P

ist. Die diesem Werthe entsprechende Spannung ergiebt sich aus Gleichung 200, in welcher jedoch, wie leicht zu erkennen, für die Vertikalen das -[-Zeichen gültig

ist. Demnach hat man:

3,68

Ebenso ist:

3 -f- 13,5

P -j⁻ P°- 0,22.3,4 -j— 2,1 -2,8 t.

3,68

2.3 -]— 2,5

3,68

P -j— P°-0,43.3,4 -f- 2,1- 3,6 t

3.3 — 0,9

P “f" P°-0,45.3,4 -f- 2,1- 3,6 n

g₄=

3,68

4.3 — 3,214

P -f⁻ P°-0,42.3,4    2,1 = 3,5 t

3,68

P+ P° = 0,37.3,4 + 2,1 = 3,4 „.

5.3 — 5,167

Der Stab C₆ hat als Endvertikale nur die Last - — auf den Untergurt zu übertragen; es ist also:

po

3,68

po

6.3 — 6,954

P H--^ ⁼ 0,33.3,4 —J— 1,05 = 2,2 t.

Mobile Belastung.

Um die Belastungsscheiden angeben zu können, ist es zunächst erforderlich, die Kämpferdrucklinie zu bestimmen.

Die Ordinaten rj derselben ergeben sich aus Gleichung 274, § 37, während der in dieser Gleichung vorkommende Ausdruck [M] aus der Beziehung 273 gefunden wird. Letztere kann noch etwas einfacher geschrieben werden. Sucht man das Moment [M] im raten Knotenpunkte, so wird £=ra/l gesetzt werden können, wenn mit l eine Felderlänge bezeichnet wird. Es ist ferner / = 6 A; demnach folgt aus 273:

4- (36 — ra²)

36 P — ra² P

12

12A

oder / = 3 gesetzt:

Beispielsweise ist für den Knotenpunkt 3: n — 3, also

\M\ = — (36 — 9) = 6,75 tm.

Der entsprechende Werth H wurde bereits oben zu 1,098 ermittelt, so dass

= 6,15 m

6,75 1,098

ist. In dieser Weise ergiebt sich für

II = 0

[M] = 9,oo Tj — 4,G9

8,7 5 5,05

8,00

2,75 tm 7,39 m.

6,75

6,15

Für n = 6, also für den Kämpferpunkt findet man den Werth rj aus Gleichung 275. Diese heisst:

5,56

22181 +8291 ¹'5741 + 1843

Die Verzeichnung der Kämpferdrucklinie ist mit Hülfe dieser Zahlenwerthe in Fig. 1, Taf. 12 ausgeführt. Nunmehr kann zur Bestimmung der einzelnen Stabspannungen geschritten werden.

8,04 m.

Obere Gurtung.

Stab Ot.

Um die Belastungsscheiden zu finden, muss man den Schnittpunkt der mitgeschnittenen Constructionstheile (unterer Knotenpunkt 0) mit den beiden Kämpferpunkten A und B verbinden, und diese Graden mit der Kämpferdrucklinie zum Schnitt bringen. Man erkennt aus Fig. 1, Taf. 12, dass die in Rede stehenden Verbindungsgraden die Kämpferdrucklinie nicht mehr innerhalb der Spannweite treffen. Dem Belastungsschema Fig. 85, § 34 zufolge wird demnach die grösste Druckspannung des Stabes O, bei totaler Belastung des Bogens stattfinden. Für diese Belastungsart

war die Spannung Ox bereits bei Gelegenheit der Behandlung des Eigengewichts ermittelt. Man hat:

max (+ O,) = 6,54 Q.

Die Länge der belasteten Strecke beträgt 36 m. Dieser Länge entspricht nach der Tabelle des § 7 eine gleichmässig vertheilte Belastung von ca. 5,51 pr. lfdm. und pr. Gleis. Unter Berücksichtigung, dass die mobile Last mit ihrer IV2fachen Grösse in die Rechnung eingeführt werden soll, ergiebt sich die Belastung pr. Knotenpunkt für jeden der beiden Träger zu:

5,5

Q — 1,5 • 3 •    = 2,25 • 5,5 == 12,41.

Demnach ist:

Natürlich wird

sein.

max (+ O,) = 6,54. 12,4 = 81,i t. max (— Oi) — 0

Stab O.,.

Verbindet man den Schnittpunkt der mitgeschnittenen Constructionstheile mit dem linksseitigen Kämpferpunkte A} so schneidet diese Verbindungsgrade die Käm-

pferdrucklinie im lsten Felde der rechtsseitigen Brückenhälfte. Dieses Feld ist also Belastungsscheide. Die Yerbindnngsgrade mit dem rechtsseitigen Kämpferpunkte B trifft die Kämpferdrucklinie nicht. Dem Belastungsschema Fig. 85 zufolge muss die Strecke vom lsten Felde rechtsseitiger Brückenhälfte bis zum linken Widerlager belastet werden, damit 0., das Maximum seiner Druckspannung erreiche. Für diese Belastungsart findet man durch Summation:

H— (1,921 + 1,734 + 1,438 + 1,098 + 0,739 + 0,372) Q= 7,302 Q.

Das Moment [M] ergiebt sich aus Gleichung 256. Diese Formel kann man finden Fall, dass der fragliche Drehpunkt mit einem Knotenpunkte des Trägers zusammenfällt, noch etwas einfacher schreiben.

Bezeichnet man mit x nicht die wirkliche Entfernung des Drehpunktes vom Scheitel, sondern die Anzahl der Felder längen, um welche der Drehpunkt vom Scheitel entfernt ist, ersetzt man ferner die rechts, resp. links vom fraglichen Knotenpunkte angreifenden Lasten durch ihre Resultanten H' und und giebt die Entfernungen und b/; der Angriffspunkte dieser Resultanten vom Scheitel ebenfalls in Felderlängen an, so lautet Gleichung 256:

[M} =

12

(6 —aQ(6 + gOK'+ (6+aQ(6 —g")H" >;

oder X = 3 gesetzt:

Im vorliegenden Falle ist x = 1

ft'=Q, £ = 0,    K"=5Q und £"=3, also:

[M] = ~ (6—l)6.1+(6 + l)(6 —3)5 Q = 33,7₅ Q.

Nach Gleichung 255 erhält man:

M = 33,75 Q — 7,302.3,889 Q — 5,35 Q.

Die Spannung 0₂ ergiebt sich sodann aus der Formel 198:

Q = 8,76 Q.

max (+ 0.₂)

5,35

0,611

Q — 2,25.6,3 = 14,2 t max (+ 0₂) = 8,76.44,2 = 124,4 t.

Die negative Maximalspannung findet man am einfachsten durch Subtraction

des soeben ermittelten Werthes von der in Folge totaler Belastung auftretenden Beanspruchung. Letztere wurde bereits bei Gelegenheit des Eigengewichts berechnet. Man hat

max (— 0₂) = (5,20 — 8,76) Q — — 3,56 Q.

Die Länge der belasteten Strecke ist nahezu die nämliche, wie die oben in Rechnung gestellte, so dass wieder Q = 14,21 zu setzen ist.

max (— 0<>) — — 3,56. 14,2 = — 50,o t.

Stab 0₃.

Belastungsscheide im lsten Felde linksseitiger Bogenhälfte.

H — (7,302 - 1,92t) Q — 5,381 Q

=    (6 — 2)(6 + l)l + (6 + 2)(6-3,5)4 <3 = 27, o. <3

M = 27,00 Q- 5,381.3,556 Q = 7,87 Q

7,87

max' (-+- 0₃)

Q = 8,34 Q

0,944

Q = 2,25.6,4= 14,4t max (+ 0₃) = 8,34. 14,4 = 120,i t max (— 0₃) — (3,07 — 8,34) = — 5,27 Q Q = 2,25.6,2 = 14,0 t max (— 0₃) — — 5,27. 14,o = — 73,s t.

Stab 0A.

Belastungssckeide im lsten Felde linksseitiger Bogenkälfte.

[M] =

(6 —3) (6+ 1,5) 2 + (6 + 3)-(6 —4)3 <2 = 24,75 Q

M— 24,75 Q — 5,38i. 3,0 Q = 8,61 Q max (+ 0A) =

1,5

Q = 5,7 4 Q — 5,74 . 14,4 = 82,7 t max (— 0.) — (1,63 — 5,74) Q = — 4,n Q = — 4,11 . 14,0 = — 57,51.

Stab 0₅.

Belastungssclieide im 2ten Felde linksseitiger Bogenkälfte.

H= (5,381 - 1,734) Q = 3,647 Q

[4/] = t (6 — 4) (6 + 2,₅) 2 + (6 + 4) (6 — 4,5) 2 <?=16,₀₀Q

M = 16,00 Q 3,647.2,222 Q = 7,90 Q

Q = 3,47 Q

max (+ ö₅) =

7,90

2,278

(3 = 2,25.6,7 = 15,1 t max (+ 0₅) = 3,47.15,i = 52,41 max (— 0₅) = (0,8o — 3,47) Q = — 2,67 Q Q = 2,25.6,0 = 13,5 t max (— 0₃) — — 2,67 . 13,5 = — 36,o t.

Stab 0₆.

Belastungssckeide im 2ten Felde linksseitiger Bogenkälfte.

[M] =    (6 — 5) (6 + 3) 3 + (6 + 5) (6 — 5)1 Q=9,₅oQ

M — 9,50 Q- 3,647 . 1,222 Q = 5,04 Q

Q = 1,54 Q— 1,54 . 15,1 = 23,3 t

max (+ 0₍.) =

5,0 4 3,278

max (-- OJ = (0,31 — 1,54) Q = — 1,23 (3= — 1,23 . 13,5 = — 16,6 t.

Untere Gurtung.

Stab

Verbindet man, um die Belastungssckeiden zu erkalten, den Scknittpunkt der mitgescknittenen Constructionstkeile (den oberen Knotenpunkt 1) mit den beiden Kämpferpunkten A und B, so erkennt man, dass die Verbindungsgrade mit dem rechtsseitigen Kämpferpunkte B die Kämpferdrucklinie nickt mehr schneidet, während die Verbindungsgrade mit dem Punkte A die Kämpferdrucklinie im ersten Felde der

der linksseitigen Bogenhälfte trifft. Nach dem Belastungsschema Fig. 86, § 34 muss die Strecke von diesem Felde bis zum linksseitigen Widerlager belastet sein, damit der Stab das Maximum seiner Zugspannung erreiche. Für eine solche Belastung ist der Horizontalschub bereits bei Berechnung des Werthes max (+ 0₃) ermittelt.

[M] = i (6 -h 1) (6 - 3) 5 Q = 26,25 Q

M — 26,25 Q — 5,381.4,5 Q — 2,04 Q Die Spannung selbst ergiebt sich aus Gleichung 199:

Q = — 3,34 Q — — 3,34. 14,4 = — 48,11

max (— £/,)

2,04 0,611

max (+ üx) = (7,48 -f- 3j34) Q — 10,82 Q — 10,82 . 14,0 = 151,5 t.

Stab Uv

Belastungsscheide im 2ten Felde der linksseitigen Bogenhälfte.

[M] = -i (6 + 2) (6 — 3,5) 4 Q = 20,00 Q

Q = — 3,83 Q= — 3,83.15,1 = — 57,8t

max (— Z7₂) = —

M = 20,00 Q — 3,6 47.4,5 Q = 3,59 Q

3,59

0,938

max (-f- U*) = (9,67 -f- 3,8s) Q — 13,50 Q — 13,50. 13,5 = 182,31.

Stab U:i.

Belastungsscheide im 3ten Felde der linksseitigen Bogenhälfte.

H — (3,647 — 1,438) Q = 2,209 Q

[M] =    (6 + 3) (6 — 4) 3 Q = 13,50 Q

M = 13,50 Q — 2,209.4,5 Q— 3,50 Q

Q = — 2,41 Q

max (— U₃) = —

3,56

1,475

Q= 2,25.7,6 = 17,1 t max (— U₃) = — 2,4i. 17,1 — — 41,21 max (+ U₃) = (11,23 + 2,41) Q— 13,04 Q Q— 2,25.5,9 = 13,3 t max (+ U₃) = 13,64.13,3 = 181,41.

Stab U,r

Belastungsscheide im 4ten Felde linksseitiger Bogenhälfte.

B. = (2,209 — 1,098) Q = 1,111 Q

[H] = i (6 + 4) (6 - 4,5) 2 Q = 7₎₅o Q M— 7,50 Q — l,in .4,5 Q — 2,50 Q

Q — — l,n Q

max (— UA)

2,50 2,205

Q — 2,25.8,8 — 19,8 t max (— U,) — — 1,13. 19,8 == — 22,41 max (+ UA) = (12,28 + l,n) Q= 13,41 Q Q — 2,25.5,7 = 12,8 t max (-f- UJ — 13,41. 12,8 = 171,o t.

Stab Uh.

Belastungsscheide im 5ten Felde linksseitiger Brückenhälfte.

H — 0,37 2 Q

[M] — -j-(6 + 5) (6 — 5)lQ = 2,7₅ Q

M— 2,75 Q- 0,372.4,5 Q = 1,08 Q

1,08

max (— U₅)

3,i io

Q = 2,25 . 12,3 = 27,7 t max (— U₅) = — 0,35.27,7 = — 9,71 max (-f- /7₅) = (13,05 -j- 0,35) Q— 13,40 Q Q — 2,25.5,0 = 12,6 t max (+ U₅) — 13,40. 12,6 = 168,81.

Q = — 0,35 Q

Stab U₆.

Das Maximum der Druckspannung findet bei voller Belastung des Bogens statt.

max (— £7(i) = 0

max (+ UG) = 13,70 Q = 13,70. 12,4 = 169,91.

Diagonalen.

Stab Du

Der Schnittpunkt der mitgeschnittenen Constructionstheile liegt rechts vom fraglichen Felde. Das Belastungsschema ergiebt sich demnach aus Fig. 90, § 34. Nach dieser Figur wird, da die Verbindungsgrade des fraglichen Drehpunktes mit dem linksseitigen Kämpferpunkte A die Kämpferdrucklinie nicht mehr trifft, nur das fragliche Feld selbst — im vorliegenden Falle also das erste Feld linksseitiger Bogenhälfte — als Belastungsscheide auftreten. Denkt man sich durch Di zum Zweck der Spannungsermittlung einen Schnitt geführt und nun die Spannung D{ als Druckkraft auf den links vom Schnitt befindlichen Theil des Bogens einwirken, so erkennt man leicht, dass alsdann die Spannung um den Schnittpunkt der mitgeschnittenen Constructionstheile im Sinne des Uhrzeigers dreht. Im Belastungsschema Fig. 90 sind demnach, den Ausführungen auf Seite 77 zufolge, die Worte „Druck“ und „Zug“ mit einander zu vertauschen.

Es soll das Maximum der Druckspannung direct berechnet werden. Dasselbe

tritt bei einer Belastung des Bogens vom linksseitigen Kämpfer bis zum ersten Felde auf. Für diese Belastungsart ist der Werth H bereits oben ermittelt. Man fand bei Berechnung des Stabes 0₃

H = 5,381 Q.

Das Moment [M] ergiebt sich aus Gleichung 256. Diese Formel lässt sich noch etwas einfacher schreiben. Ersetzt man die Lasten rechts und links vom fraglichen Schnitt durch ihre Resultanten R' und R" und drückt die Abstände £' und dieser Resultanten vom Scheitel durch Fel der längen aus, während die Abscisse x des fraglichen Drehpunktes nach wie vor in Metern angegeben wird, so erhält man:

[jM] ⁼ T2~ (18 —tf)(6 + ?)K' + (18+aO(6 — ?') K" •

Im vorliegenden Falle ist H'=0, 11" = 5|"= 3 und x = — 13,5, also:

j2 (IS — 13,₅)(6— 3) 5 Q = 5,82 Q M — 5,62 Q - 5,381.4,5 Q —- 18,59 Q.

[U]

Die Spannung I)x ergiebt sich aus Gleichung 200, in welcher der angefügten Erläuterung zufolge, das —Zeichen Gültigkeit hat.

Q = 6,85 Q == 6,85 . 14,4 = 98,6 t

max (+ TJX) =

18,59 2,713

max (-f- Dx) = (— 1,36 — 6,85) Q = — 8,21 Q= — 8,21.14,0 = — 114,9 t.

Stab D%.

Die Verhältnisse sind durchaus die nämlichen wie bei der Diagonalen Dx; die Belastungsscheide liegt im 2ten Felde.

Es wurde der Horizontalschub bei Berechnung des Stabes 0₅ gefunden.

H— 3,647 Q

[M] = J2 (1* — ²>⁵) (6 - ³>⁵)⁴ Q = ¹V Q

M = 12,92 Q — 3,647.4,5 Q =- 3,49 Q

max (-f- Z>₂) = -

3,49

1,697

Q = 2,06 Q = 2,06. 15,1 = 31,11 max (— D.₂) — (— 2,n — 2,oe) Q — — 4,23 Q — — 4,23 . 13,5 = — 57,11.

Stab D.y

Die Verbindungsgrade zwischen dem Schnittpunkte der mitgeschnittenen Con-structionstheile und dem linksseitigen Kämpferpunkte trifft die Kämpferdrucklinie im ersten Felde der linksseitigen Bogenhälfte. Es wird also, dem Belastungsschema Fig. 90 zufolge, das erste und dritte Feld als Belastungsscheide auftreten. Am einfachsten erscheint es, das Maximum der Zugspannung, welches bei Belastung der Strecke zwischen den beiden Scheiden' erreicht wird, direct zu ermitteln und später die Maximal - Druckspannung durch Subtraction dieses Werthes von der in Folge totaler mobiler Belastung auftretenden Spannung zu bestimmen. Dieser Weg ist jedoch nicht zulässig. Da für die beiden Druckabtheilungen verschiedene spec. Belastungen in die Rechnung eingeführt werden müssen, so ist es erforderlich, den Einfluss dieser beiden belasteten Strecken gesondert zu ermitteln. Es wird also zunächst die Maximal-Druckspannung zu berechnen sein.

Rechtsseitige Belastung.

11= (1,921 + 1,734 + 1,438 + 1,098 + 0,739 + 0,372) Q = 7,302 Q

[M] = ~ (18 - 0,₉) (6 - 2,5) 6 Q = 29,92 Q M = 29,92 Q — 7,302.4,5 Q = — 2,94 Q

Q = 2,25.6,3 = 14,2 t D₃ = 1,21 . 14,2 = 17,2 t.

Linksseitige Belastung.

Der Werth II ist bei Berechnung des Stabes U₃ gefunden.

0,49

M = 9,45 Q- 2,209.4,5 Q— - 0,49 Q

Q = 0,20 Q — 0,20 . 17,1 = 3,4 t.

2,432

max (+ D₃) = 17,2 + 3,4 = 20,e t

max (— D₃) = (— 1,51 — 1,21 — 0,2o) Q = — 2,92 Q

Q ⁼⁼⁼ 2,25 . 10,0 ⁼⁼⁼ 22,5 t max (— Da) — — 2,92.22,5 = — 65,71.

Stab D₄.

Die Verbindungslinie zwischen dem Schnittpunkte der mitgeschnittenen Con-structionstheile und dem rechtsseitigen Kämpferpunkte B geht unterhalb der Kämpferdrucklinie vorbei. Das Belastungsschema ergiebt sich also nach Fig. 91, in welcher die Worte „Druck“ und „Zug“ mit einander zu vertauschen sind. Eine linksseitige Druckabtheilung ist nicht vorhanden. Die Verbindungsgrade des fraglichen Drehpunktes mit dem Punkte A trifft die Kämpferdrucklinie im ersten Felde der linksseitigen Bogenhälfte. Die Strecke von diesem Felde bis zum linksseitigen Widerlager muss belastet sein, um das Maximum der Zugspannung in zu erreichen. Der Werth H ist für diesen Belastungsfall bereits ermittelt.

=    (18 —3,214) (6+ 2) 3+ (18+3,214) (6 —4,5)2 Q = 34,87 Q

M== 34,87 Q- 5,381.4,5 Q— 10,66 Q

10,66 3,929

max (+ DJ = (— 0,94 -+- 2,71)    = 1,77 Q = 1,77.14,0 = 24,81.

Stab I)h.

Die Verhältnisse liegen hier genau so wie bei der vorigen Diagonalen. Belastungsscheide im 2ten Felde linksseitiger Bogenhälfte.

(18 —5,167) (6+ 3) 3+ (18+ 5,167) (6 —5)1 Q = 30,soQ

M— 30,80 Q — 3,047.4,5 Q— 14,39 Q

14,39

5,940

max (+ D₅) = (— 0,62 + 2,42) Q = 1,80 Q = l,so. 13,5 = 24,31.

Stab Dg.

Belastungsscheide im 2ten Felde linksseitiger Bogenhälfte.

(18 — 6,954) (6 + 3,5) 4 Q = 34,98 Q

max (—

max (— IA) = —

12

Q = — 2,71 Q = — 2,71 . 14,4 = — 39,o t

Q— - 2,42 Q —- 2,42 . 15,i = — 36,5 t

M — 34,98 Q — 3,647.4,5 Q— 18,57 Q 18,57

Q=- 2,28 Q ⁼- 2,28 . 1 5,1 =- 34,4 t

max (— +,)

max (+ DJ = (— 0,45 + 2,28) Q — 1,83 Q = 1,83. 13,5= 24,7 1.

8,148

Vertikalen.

Stab C₀.

Wie bereits bei Gelegenheit der Ermittlung der Spannungen in Folge des Eigengewichts ausgeführt wurde, ist die Beanspruchung des Stabes C₀ gleich der im oberen Knotenpunkte desselben wirkenden Last. Man hat also:

max (-f- C₀) = Q.

Der Werth Q erreicht sein Maximum, wenn beide angrenzenden Felder voll belastet sind. Die Länge der belasteten Strecke beträgt also ca. 6m. Demnach ist:

Q — 2,25 . 10,2 = 22,9 t max (+ C₀) = 22,91 max (— C₀) = 0.

Stab Cx.

Der Schnittpunkt der mitgeschnittenen Constructionstheile fällt zusammen mit demjenigen für die Diagonale I)x. Es wird also das Belastungsschema nach Fig. 90, § 34 anzunehmen sein. Als Belastungsscheide tritt das fragliche Feld selbst auf. Dieses ist im vorliegenden Falle aber das Feld 2 linksseitiger Bogenhälfte, da der durch Ci zum Zweck der Spannungsermittlung zu führende Schnitt die obere Gurtung, an welcher die mobilen Lasten angreifen, im 2ten Felde trifft.

Denkt man sich die Spannung C, als Druckkraft auf den links vom Schnitt vorhandenen Theil des Bogens einwirken, so dreht diese Kraft um den Schnittpunkt der mitgeschnittenen Constructionstheile im entgegengesetzten Sinne des Uhrzeigers. Die Zug- und Druckabtheilungen sind also thatsächlich so anzunehmen, wie Fig. 90 dieselben zeigt. Um das Maximum der Zugspannung zu erreichen, muss also die Strecke vom 2ten Felde bis zum linksseitigen Widerlager belastet werden. Für diese Belastungsart ist der Werth H bereits ermittelt.

[M]

n (18-13,₅) (6 — 3,5) 4 Q = 3,75 <2 M — 3,75 Q - 3,647.4,5 Q = — 12,66 Q.

Die Spannung Cx ergiebt sich aus Gleichung 200, in welcher das 4~ Zeichen Gültigkeit hat.

max (— C,) = —

Q =- 0,77 Q =- 0,77 . 15,i = — 11,6 t.

12,66

3 -j— 13,5

Die Beanspruchung der Vertikalen in Folge totaler mobiler Belastung wird sich grade so berechnen lassen wie diejenige in Folge des Eigengewichts. In jedem oberen Knotenpunkte wirkt eine Last Q, demnach wäre für den Stab C, die Spannung

Q 4— Q — 1,22 Q

3,68

3 -f-13,5

Man wird also auch hier aus den für das Eigengewicht berechneten Zahlen die Spannungen in Folge totaler mobiler Belastung direct abschreiben können. Es ist: max (+ Cx) — (1,22 + 0,77) Q = 1,99 Q — 1,99 . 13,5 = 26,9 1.

Im Allgemeinen sind die Verhältnisse bei den Vertikalständern ganz ähnlich denjenigen bei den entsprechenden Diagonalen. Die Abweichungen, welche durch-gehends eintreten, sind für den Stab Ci soeben erläutert. Im Folgenden sollen nur die Rechnungen kurz angedeutet werden.

Stab Cr

Belastungsscheide im 3ten Felde linksseitiger Bogenhälfte.

[M]

₁₂ (18 -2,5) (6 — 4) 3 Q = 7,75 Q M — 7,75 Q — 2,209.4,5 Q — — 2,19 Q

max (— C) == —

2,19

Q —- 0,20 Q —- 0,26 . 17,1 =- 4,4 t

max (-f- C.) ⁼ (1 j43 + 0,26) Q = 1,69 Q = 1,69 . 13,3 = 22,5 t.

2.3 -b 2,5

Stab C₃.

Belastungsscheide im lsten und 4ten Felde linksseitiger Brückenhälfte.

Maximum der Zugspannung.

Kecktsseitige Belastung.

Das Moment M bezüglich des Schnittpunktes der mitgeschnittenen Constructions-theile ist natürlich das nämliche, wie dasjenige, welches bereits bei der Berechnung

des Stabes I>₃ gefunden wurde.

2,9 4

3.3

0,9

- Q —- 0,36 Q = - 0,36 . 14,2 = - 5,1 t.

Linksseitige Belastung.

II — (2,209 - 1,098) Q — 1,111 Q

[M] = J₂- (18 + 0,.) (6 - 4,5) 2 0 = 4,72 Q

M— 4,72 Q — l,m . 4,5 Q = — 0,28 Q 0,28

3.3 — 0,9 Q = 2,25.8,8 = 19,8 t

C₃ =--0,03 . 19,8 = - 0,6 t

max (— C₃) — — 5,i — 0,6 = — 5,71 max (4- C₃) = (1,45 + 0,36 + 0,03) Q = 1,84 Q 0 = 2,25.8,1 = 18,2 t max (4 C₃) = l,s i. 18,2 = 33,51.

Stab C₄.

Belastungsscheide im lsten Felde der linksseitigen Brückenhälfte.

[M] = ■ . — (18 — 3,214) (6 4 ^>5) 4 4 (18 4 3,214) (6 — 5) 1 Q = 43,66 Q

iJd    _

M = 43,66 Q — 5,381.4,5 Q — 19,15 Q 19,45

4.3 — 3,214

max (— CA) = (1,42 — 2,21) Q — — 0,79 Q = — 0,79.14,0 = — ll,i t.

Stab C₅.

Belastungsscheide im 2ten Felde linksseitiger Brückenhälfte.

[M] = -y (18 - 5,167) (6 4- 3,5) 4 0 = 40,04 Q

max (4 Q =

Q — — 0,03 Q

Q — 2,21 Q — 2,2t. 14,4 = 31,₈1

M = 40,64 Q — 3,647.4,5 = 24,23 Q 24,23

5.3 — 5,167

2 = 2,46 0 = 2,46. 15,1 = 37,lt max (— Cr) = (1,37 — 2,46) Q — — 1,09 Q — — 1,09.13,5 = — 14,71.

max (4 C) = —

Stab C₆.

Belastungsscheide im 2ten Felde linksseitiger Bogenhälfte.

Für diese Vertikale ist es erforderlich, die im oberen Knotenpunkte 6 angreifende Last mit in Rechnung zu ziehen.

Das Maximum der Druckspannung findet statt, wenn die Strecke vom Felde 2 bis zum linksseitigen Kämpfer belastet ist. Für diese Belastungsart ist die Grösse II

bereits ermittelt. Durch Hinzufügen der Last -^- am oberen Knotenpunkte 6 wird

dieser Werth nicht geändert.

[M]

jy (18 - 6,954) [(6 + 3,5) 4 + (6 + 6) 0,s] Q = 40,5» 0

M = 40,50 Q — 3,647.4,5 Q — 24,09 Q

__24,09

6.3 — 6,954

Bei voller Belastung ist die Spannung C₀ = (0,33 + 0,5) Q = 0,83 Q; demnach

max (+ Q

0 = 2,180 = 2,18. 15,1= 32,91.

findet man

max (— C₆) — (0,83 — 2,t8)0 = — 1,35 Q — — 1,35. 13,5 = — 18,21.

Temperaturspaimungen.

Der Horizontalschub, welcher durch Temperaturdifferenzen hervorgerufen wird, ergiebt sich aus Gleichung 277.

Dehnt man im Nenner dieses Ausdrucks die Summation nur über die Gurtungsstäbe aus — nimmt also wieder die Füllungsglieder als absolut starr an — so wird der hierdurch verursachte Fehler bedeutender sein, als der durch die nämliche Vernachlässigung in Gleichung 266 bedingte Fehler. Da jedoch, wie man direct einsieht, der Horizontalschub II in Formel 277 in Folge dieser Vereinfachung grösser ausfällt, als sich derselbe bei genauerer Berechnung ergeben würde, so erscheint auch hier die Vernachlässigung der Füllungsglieder erlaubt.

Es ist dann:

11= ±

14160

2(22181 + 8291)

— + 4,18 t.

In Folge der event. eintretenden ungleichen Erwärmung des Ober- und Untergurtes müssen die Grenzwerthe des Horizontalschubes nach den Gleichungen 280 und 281 angenommen werden. Man hat also:

max (+ II) = 8,361;

max (— II) = — 4,181.

Die Spannungen im Ober- und Untergurt werden nach den Formeln 262 und

263 ermittelt.

Beispielsweise sei der Stab 0₃ durchgerechnet. Setzt man II— 8,361, so wird

8,36 . 3,556

0₃ =

Setzt man hingegen H= — 4,is, so erhält man:

= 15,8 t.

0.“

In dieser Weise ergiebt sich:

0,944

31,5 t.

4,18 . 3,556

0,944

0, = — 66,91 oder 33,51 0₂ — — 53,2 „

26,6 n

Ui = 61,6 t oder —30,81

£4 = 40,1 „

- 20,i „

0₃ = — 31,5 t oder 15,81 8,4 »

U₃ = 25,51 oder — 12,81 Z7₄ = 1.7,i „

U₅= 12,i „

A = 9,o „

0₄ = — 16,7 „ 0₅ = - 8,2»

0₆=— 3,i»

4,1 »

1,6»

Die Spannung in den Diagonalen wird nach Gleichung 264 berechnet, in welcher das + Zeichen Gültigkeit hat.

A — 9,61 oder — 4,81 A = 6,3 „

A ⁼⁼ 4,6»

In Folge von Temperaturdifferenzen hat der Stab C₀ naturgemäss keine Beanspruchung zu erleiden. Die Spannungen der übrigen Vertikalen ergeben sich wieder aus Gleichung 264, in welcher jetzt aber das —Zeichen gültig ist.

C₄ = — 4,31 oder 2,21 C₅ = — 3,8 „

CG— 3,4 „

Es sollen nunmehr die Spannungen, welche von der permanenten, der mobilen Last und den Temperaturdifferenzen herrühren, addirt werden. Es ergiebt sich:

max (+0,)=22,2+ 81,i-f-33,5=136,s t max (—0,)=22,2 max (+ 0.₂)=17,- +124,4+26,0= 168,7» max (— 0₂) = 17,₇ — 50,₆— 53,2=—86,i „ max (+A)=10,4+120,i+15,8=146,3„ max (-— A)⁼⁼f9,4—73,s — 31,₅= — 94,₉„ max(+0₄) = 5,5+ 82,₇+ 8,₄= 96,l6„ max (— 0₄) = 5,₅—57,₅—16,₇= — 68,₇„ max(+A)fc= 2,7+ 52,4+ 4,i= 59,₂„ max (— 0₅) = 2,₇—36,₀— 8,₂=—41,₅„ max (+ Oß) = l,i+ 23,3+ 1,6= 26,₀„ max (— 0₆) = l,i —16,ö— 3,i=—18,G»

A = 13,91 oder — 7,o t

A = 22,2 „

A~

-11,1» ^ ,⁸ n

—    3,2»

—    2,3 „

Ct — — 2,31 oder 1,21 A =    4,4 „

C₃=    4,6»

2,2»

2,3»

1,9»

1,1 »

— 66,9=—44,71

max (+ C7,)=25,4+151,5+61,6=238,₅1 max (— Ut) =25,₄—48,i—30,₈=—53,ä t max (+A)== 32,9+182,3+40,1=255,3» max (— U₉) =32,₉—57,₈ — 20,i = — 45,₀„ max (+ U₃)—38,2+181,4+25,5=245,1» max (—C4) =38,₂—41,₂—12,s== — 15,s» max (+ A)—41,7+171,6+17,1=230,4» max (— ÜA) =41,₇ — 22,₄— 8,₆=    10,₇„

max (+Q=2, i+22,9 max (+(7,)=2,8+26,₉+1,2=30,o» max (+A)=3,6+22,5+2,2= 28,3» max (+ Q=3,6 + 33,5+2,3=39,4 „ max (+(7₄)=3,5+31,8+2,2=37,5,, max (+Q=3,4+37,1+1,9=42,4» max (+ Q=2,2 + 32,9+1,7=36,8 »

=25,o t

max (—Q=2,it

max (—<7,) = 2,8—11,o—2,3=—11,11 max (—Q = 3,g— 4,4—4,₄=— 5,₂„ max(— Q=3,e— 5,7—4,o=— 6,₇„ max (—Q=3,ö—ll,i —4,3= —11,9„ max (—Q = 3,4—14,7—3,8=—15,i„ max (— Q = 2,2—18,2 — 3,4=—19,4 „

Sämmtliche Spannungen sind in Fig. 2 Taf. 12 zusammengestellt.

Aus diesen Grenzwertlien ist nunmehr die zulässige spec. Spannung für die verschiedenen Constructionstheile nach der Formel

k= 0,9 ^14

1 min S

2 max S

zu berechnen, und muss sodann der erforderliche Querschnitt der einzelnen Stäbe ermittelt werden. Diese Rechnungen sind genau in derselben Weise wie im Beispiel III oder wie zu Anfang des vorliegenden Beispiels durchzuführen, dieselben sollen deshalb hier nicht wiederholt werden.

Beispiel XII.

Es soll dieselbe Bogenbrücke, welche im vorigen Beispiele behandelt wurde, jetzt unter Annahme einer mobilen Belastung durch ein System von Einzellasten berechnet werden.

Genau in derselben Weise, wie im vorigen Beispiel, ist zunächst die geometrische Form des Bogens analytisch zu ermitteln. Sodann ist die Brücke provisorisch zu dimensioniren und mit Hülfe der angenommenen Stabquerschnitte der Horizontalschub zu berechnen, den eine der Reihe nach an den verschiedenen Knotenpunkten angreifende Last von der Grösse „Eins“ hervorbringt. Die approximative Ermittlung des Eigengewichts kann, wie im vorigen Beispiele, auf Grund der provisorisch festgelegten Querschnittsdimensionen erfolgen. Man bestimmt nunmehr die durch das Eigengewicht im Bogen auftretenden Spannungen. Alle diese Rechnungen sind grade so durchzuführen, wie im Beispiel XI; dieselben sollen deshalb hier nicht wiederholt werden. Bis zu dem Abschnitte: „Mobile Belastung“ auf Seite 316 sind die für das vorige Beispiel gemachten Ausführungen wörtlich hier einzufügen.

Mobile Belastung durch ein System von Einzellasten.

Nach den Ausführungen des § 35 ist zunächst für jeden einzelnen Constructions-stab die Influenzlinie zu verzeichnen. Diese erhält man folgendermaassen. Eine Last von der Grösse „ Eins “ lässt man der Reihe nach an den verschiedenen Knotenpunkten angreifen und berechnet die dadurch im fraglichen Stabe hervorgerufenen Spannungen. Diese Grössen trägt man in den Angriffspunkten der Last als Ordinaten auf und verbindet die Endpunkte dieser Ordinaten durch grade Linien. Für jede beliebige Lage einer Last „ Eins “ giebt die dem Angriffspunkte der Last entsprechende Ordinate dieses Linienzuges sodann die Grösse der dadurch im fraglichen Stabe hervorgerufenen Spannung an. Der Einfluss der Querträger — also die Thatsache, dass eine im Innern eines Feldes angreifende Last nicht eigentlich in diesem Angriffspunkte, sondern durch ihre auf die benachbarten Knotenpunkte entfallenden Com-ponenten zur Wirkung kommt — ist in der Construction des Linienzuges bereits dadurch berücksichtigt, dass man denselben zwischen den Knotenpunkten gradlinig verlaufen lässt, anstatt die Endpunkte der berechneten Ordinaten durch eine stetige Curve zu verbinden.

Der Horizontalschub, welcher durch eine in den verschiedenen Knotenpunkten angreifende Einzellast von der Grösse „Eins“ hervorgerufen wird, ist bereits oben berechnet.

Influenzlinien der oberen Gurtungsstäbe.

Für eine beliebige Lage der Einzellast „ Eins “ ist zunächst nach Gleichung 256 der Werth [M], sodann aus Gleichung 255 das Moment M und schliesslich aus Gleichung 198 die gesuchte Spannung 0 zu berechnen.

Die Grösse [M]} d. h. das Moment, welches die nämliche Belastung bei einem Balken auf zwei Stützen in einem Punkte, welcher dieselbe Abscisse, wie der in Bede stehende Drehpunkt besitzt, hervorbringen würde, lässt sich für die in Frage kommende Belastung noch etwas einfacher schreiben als der in Gleichung 256 stehende Ausdruck.

Liegt die Last „Eins“ rechts von dem zum Zweck der Spannungsermittlung durch den fraglichen Stab geführten Schnitt, so wird:

(/ — x) (/ 4- £)

21

Liegt hingegen die Last links von diesem Schnitte, so ist:

(/ + x) {l — £)

21

Die den Gurtstäben conjugirten Drehpunkte fallen mit den Knotenpunkten des Bogens zusammen. Bezeichnet X eine Felderlänge, so kann x = zX und § = nX gesetzt werden. Da ferner l = 6X ist, so lauten die oben aufgestellten zwei Gleichungen :

12

(6 — s) (6 + n) ' ^

und

[M,] =

(6 + *) (6-n)

12

• X.

Führt man noch X= 3 ein, so erhält man für den Fall, dass die Last rechts vom fraglichen Knotenpunkte angreift:

(6 — s) (6 + n)

und für den Fall, dass die Einzellast links von diesem Punkte liegt:

[K] =

(6 + ä) (6 —n)

Fällt der Angriffspunkt der Last mit dem fraglichen Knotenpunkte zusammen, so ist es gleichgültig, welche dieser beiden Formeln man anwendet. Beide Gleichungen liefern dasselbe Kesultat.

Beispielsweise ist für den Stab z — 1. Die beiden Gleichungen für das Moment [M] lauten also in diesem Fall:

[Mi\ = -^(6 + n) und [M₂] = ^-(6 — n).

Liegt Last „Eins“ am Knotenpunkte 2 der rechtsseitigen Bogenhälfte, so ist n — — 2, also:

Ferner:

M— 5,00 — 1,438.3,889 = — 0,592

0,592

0,611

Würde Last „Eins“ am Knotenpunkte4 der linksseitigen Brückenhälfte angreifen, sö wäre n — 4 zu setzen.

und

£4 =

=- 0,969.

[M] = ~ (6 4J

M — 3,50 — 0,739.3,889 = 0,626 0,626 0,611

In dieser Weise können für jeden einzelnen Stab O die gesuchten Spannungen ermittelt werden. Die Resultate sind in folgender Tabelle zusammengestellt.

= 3,50

£>2

1,025.

Knoten

punkt

öi

Ol

03

Ü4

05

Oe

rechtsseitige

Bogenhälfte

linksseitige

Bogenhälfte

0,024

0,088

0,216

0,496

1,128

2,632

1,128

0,496

0,216

0,088

0,024

-0,322

- 0,612

- 0,85t

- 0,969

— 0,807 0,047 3,285 2,304 1,604 1,025 0,496

- 0,244

- 0,478

- 0,CU6

- 0,876

— 0,968

- 0,842

0,032

1,124

2,304

1,522

0,756

- 0,14'4

— 0,282

- 0,413

-0,525

— 0,594

- 0,557

-0,155

0,353

0,904

1,474

0,734

0,074

0,277

0,487

0,700

Influenzlinien der unteren Gurtungsstabe.

Die Momente [.M] sind die nämlichen wie die, welche bereits für die oberen Gurtstäbe berechnet wurden.

Beispielsweise sei die Behandlung des Stabes U₂ durchgesprochen. Der diesem Constructionstheil conjugirte Drehpunkt ist der obere Knotenpunkt 2; es ist also s=2 zu setzen. Die beiden Gleichungen für das Moment [M] lauten in diesem Fall [Mt] — (6 + n) und [il/J = 2 (6 — n).

Liegt Last „Eins“ am Knotenpunkte 2 der rechtsseitigen Bogenhälfte, so ist n — — 2, also

Ferner:

[M] = 6 — 2 = 4,oo.

M— 4,00 - 1,438.4,5= — 2,471.

Aus Gleichung 199 folgt:

U> =

2,471

— 2,634.

0,938

Würde Last „Eins“ am Knotenpunkte 4 der linksseitigen Brückenhälfte angreifen,

so wäre n = 4 zu setzen.

[M\ = 2 (6 — 4) = 4,oo

M — 4,00 — 0,739.4,5 = 0,675 0,675 _

0,938

0,720.

In dieser Weise ist folgende Tabelle berechnet worden.

Knoten

punkt

Ul

Ui

t/₃

t/4

t/5

t/6

rechtsseitige

Bogenhälfte

linksseitige

Bogenhälfte

0,694

1,350

1,949

2,408

2,542

1,872

- 1,550

- 0,860

- 0,506

- 0,286

- 0,124

0,719 1,413 2,069 2,63'i 2,988 2,819 0,856

- 1,630

— 1,129

- 0,720

- 0,348

0,626 1,237 1,824 2,353 2,748 2,809 1,731 0,319 — 1,226

- 0,796

- 0,390

0,532

1,054

1,561

2,028

2,405

2,560

1,951

1,121

0,200

---0,759

— 0,374

0,458 0,908 1,348 1,759 2,107 2,297 1,946 1,438 0,865 0,265 — 0,338

0,402 0,798 1,186 1,553 1,873 2,074 1,873 1,553 1,180 0,798 0,402

Influenzlinien der Diagonalen.

Man berechnet wie bei den Gurtstäben zunächst die Grösse [M]f sodann das Moment M und schliesslich aus Gleichung 200 die Spannung I>. In letzterer Gleichung hat, wie bereits bei Berechnung der*Spannungen in Folge des Eigengewichts ausgeführt wurde, das — Zeichen Gültigkeit.

In den beiden oben aufgestellten Gleichungen für das Moment [M] kann wieder | (Abscisse des Angriffspunktes der Last „ Eins “) = n 1 gesetzt werden, während die Abscisse x des fraglichen Drehpunktes, da letzterer nicht wie bei den Gurtstäben mit einem Knotenpunkte zusammenfällt, als solche in den Gleichungen stehen bleiben muss. Demnach erhält man, je nachdem die Last „Eins“ rechts oder links von dem

zum Zweck der Spannungsermittlung durch den fraglichen Stab geführten Schnitt angreift

(18 — x) (6 + n)

12

und

(18 + &) (6 — n)

12

Es sei beispielsweise die Berechnung für den Stab D₂ durchgesprochen. Die Abscisse des diesem Stabe conjugirten Drehpunktes ist, wie anfangs berechnet

X— - 2,5.

Demnach lauten die Gleichungen für das Moment [M]:

[d/,] = 1,7083 (6 + n) und [il/J = 1,2917 (6 — n).

Liegt nun Last „ Eins “ etwa am Knotenpunkte 2 der rechtsseitigen Bogenhälfte, so wird n = — 2 und

Ferner nach Gleichung 255:

[M] — 1,7083 (6 - 2) = 6,833.

und nach Gleichung 200:

M — 6,833 - 1,438.4,5 = 0,362

0,362

0,213.

1,697

Greift die Einzellast am Knotenpunkte 4 der linksseitigen Brückenhälfte an, so

ist n = 4 und

[M] = 1,2917 (6 - 4) = 2,583

M = 2,583 — 0,739.4,5 — — 0,742 0,742

— 0,437.

Man erhält in dieser Weise die folgende Tabelle:

1,697

Knoten

punkt

lh

1h

Jh

Da

De

De

rechtsseitige

Bogenhälfte

linksseitige

Bogenhälfte

- 0,351

- 0,710

-— 1,081

- 1,485

- 1,962

- 2,619

2,185

1,832

1,407

0,949

0,479

- 0,020

- 0,054

- 0,108

- 0,213

— 0,435

- 0,946

- 2,448

0,768

0,628

0,437

0,225

0,102 0,195 0,274 0,317 0,279 0,039 — 0,893

- 2,027

0,089

0,072

0,041

0,113

0,219

0,317

0,393

0,118

0,318

- 0,209

- 0,862

—    1,565

—    0,054 - 0,024

0.102 0,199 0,291 0,369

0,413

^■pppp>pppp pp

«■JtCCO-JWWhSOOKcW

Influenzlinien der Vertikalen.

Die Berechnung der Vertikalstäbe wird ganz entsprechend derjenigen der Diagonalen durchgeführt. Die zugehörigen Drehpunkte fallen mit denen gleichbenannter Diagonalen zusammen. Die Momente M sind zum grössten Theil für diese Punkte bereits ermittelt. Es ist nur darauf zu achten, dass die durch die Vertikalstäbe zu führenden Schnitte die Lasten in anderer Weise trennen, als die zum Zweck der Spannungsermittlung gleichbenannter Diagonalen geführten Schnitte. So wirkt beispielsweise eine Last im Knotenpunkte 2 der linksseitigen Brückenhälfte für die Diagonale A links vom Schnitt, während dieselbe bezüglich des Vertikalstabes C2 rechts vom Schnitte angreift. Zu bemerken ist noch, dass der Vertikalständer Cß durch eine Last, welche im Knotenpunkte 6 (am Kämpfer) liegt, abweichend von allen übrigen Stäben, beansprucht wird; im Allgemeinen bringt natürlich diese Last keine Spannungen in der Construction hervor.

Knoten

punkt

Ci

<72

C₃

Ca

Ce

Ce

rechtsseitige

Bogenhälfte

linksseitige

Bogenhälfte

0,058

0,117

0,178

0,244

0,323

0,431

0,641

- 0,301

- 0,231

- 0,156

- 0,079

0,004 0,011 0,022 0,043 0,087 0,189 0,489 0,846 — 0,125

-0,087

- 0,045

- 0,031

- 0,059

- 0,082

- 0,095

- 0,084

- 0,012

0,268

0,609

0,973

- 0,022

- 0,012

- 0,050

— 0,098

- 0,142

- 0,176

- 0,187

- 0,142

0,094

0,385

0,700

1,024

0,017

O J-⁴- p p    JD ppp pp o

O 'h    W O M    M 'i*    'i* O

CJ«OCib5K>^l©W®l-*K)

0 •

- 0,068

- 0,134

— 0,197

-0,252

- 0,290

- 0,283

- 0,123

0,081

0,303

0,532

0,765

1,000

den Tafeln 13 so gross ge-

Die Influenzlinien sind nun mit Hülfe dieser Zahlenwerthe auf und 14 verzeichnet. Die Maassstäbe wurden in Wirklichkeit doppelt

wählt, als in den Tafeln angegeben. Um letztere bequem ausfallen zu lassen, ist jedoch eine Reduction auf halbe Grösse vorgenommen.

Nunmehr kann zur Bestimmung der Maximalspannungen übergegangen werden.

Das Lastsystem besteht den Angaben des § 7 zufolge aus 3 Locomotiven nebst Tendern und angehängten Güterwagen; die Entfernungen und Grössen der Einzellasten ergeben sich aus den Fig. 21 und 22 des §7. Es ist empfehlenswerth, sich einen Papierstreifen anzufertigen, auf welchem das Lastsystem in dem nämlichen Längenmaassstabe, welcher zur Verzeichnung der Influenzlinien verwendet wurde, aufgetragen ist. Man wird gut»thun, auf der einen Seite des Papierstreifens das Lastsystem für einen von links nach rechts vorrückenden Zug, auf der andern Seite das System für einen von rechts nach links vorrückenden Eisenbahnzug anzugeben; die Grössen und Nummern der Einzellasten sind einzuschreiben. Auf Seite 156 ist ein Stück eines solchen Papierstreifens verzeichnet. Derselbe muss mindestens die Länge des ganzen Trägers haben. Im vorliegenden Falle sind die Lasten 1 bis 18 auf demselben anzugeben.

Die Einzellasten sollen mit ihrer 1 Vafachen Grösse in die Rechnung eingeführt werden. Es entfällt sodann auf jeden der beiden Hauptträger die Hälfte dieser Werthe, so dass für die Berechnung der Druck einer Locomotivaxe mit U/2.72. 13 t und der Druck einer Tenderaxe mit 1V2 • V2.91 einzusetzen ist. Da diese Zahlen etwas unbequem werden, so soll zunächst die Berechnung unter Annahme der Werthe 13, resp. 9 t durchgeführt werden. Später sind dann die Spannungen noch mit der Grösse

1V2 • 72 = ‘⁶li

zu multipliciren.

Obere Gurtung.

Neben den Influenzlinien ist auf Taf. 13 in Fig. 2 das Kraftpolygon der Lasten 1 bis 18 auf einer Vertikalen OP aufgetragen. Durch die Eckpunkte des Polygons — den Theilpunkten der Lasten — sind Horizontallinien gezogen. Die Figur dient dazu, mit Hülfe des „Normalenzuges“ (vergl. § 35) die ungünstigste Laststellung zu ermitteln. Da der Normalenzug sowohl rechts wie links vom Kraftpolygon liegen kann, so ist eine zweite Vertikale 0‘ P‘ gezeichnet, von welcher aus der Normalenzug ebenfalls construirt werden kann. Die Influenzlinien, so wie das Kraftpolygon etc. sind in Tusche ausgezogen. Die im Folgenden weiter angegebenen Constructionen sind immer nur in Blei ausgeführt und nach der Berechnung eines Stabes jedesmal wieder fortgewischt.

Es soll die Spannungsermittlung des Stabes 0₃ genau durchgesprochen und dadurch die auch für die andern Stäbe anzuwendende Methode erläutert werden.

Maximum der Druckspannung.

Der Zug muss vom linksseitigen Kämpfer kommend bis ungefähr zur Belastungsscheide — dem Schnittpunkte der Influenzlinie mit der Horizontalen AB — vorgeschoben werden. Soweit die Ordinaten der Influenzlinie positiv sind, verläuft letztere durchweg convex gegen die Horizontale A B. Nur am Knotenpunkte 2 bilden die hier zusammenstossenden Seiten des Linienzuges einen vorspringenden Winkel mit einander. Den Ausführungen des § 35 zufolge wird demnach die ungünstigste Zugstellung jedenfalls erreicht, wenn irgend eine Last grade im Knotenpunkte 2

angreift. Da in diesem Punkte zugleich das absolute Maximum der Influenzlinie vorhanden ist, so lässt sich mit ziemlicher Bestimmtheit von vorne herein vermuthen, dass ein mittleres Locomotivrad hier angeordnet werden muss. Mit Hülfe des Papierstreifens erkennt man, dass wahrscheinlich Last 2 eines von links nach rechts vorrückenden Zuges im Knotenpunkte 2 zu liegen kommt. Durch Construction des Normalenzuges kann man sich hierüber Gewissheit verschaffen. Wenn nun auch im vorliegenden Fall es kaum erforderlich scheint, diese Operation noch vorzunehmen, so soll doch — um dieselbe an diesem Beispiele zu erläutern — die Behandlung des Normalenzuges durchgeführt werden.    ,

Die wahrscheinlich ungünstigste Zugstellung ist in Fig. 1 Taf. 13 eingezeichnet. Es sei zunächst angenommen, dass Last 2 unmittelbar links vom Knotenpunkte 2 läge. Der Normalenzug ist nun nach § 35 folgendermaassen construirt.

Es ist 0‘S senkrecht zu ab gezogen, da die Last 1 zwischen den Knotenpunkten 1 und 2 linksseitiger Bogenhälfte angreift und die Influenzlinie zwischen diesen Knotenpunkten aus der Graden ab besteht; ebenso ist ST senkrecht zu bc gezogen, u. s. f. Der Endpunkt des Normalenzuges ist mit Q bezeichnet. Denkt man sich Last 1 nach rechts verschoben, so wird die dadurch in 0₃ hervorgerufene Spannungsänderung proportional der Strecke sein, die von der Graden 0‘S auf derjenigen Horizontalen abgeschnitten wird, welche die Lasten 1 und 2 trennt. Ebenso ist die Strecke RQ proportional der Spannungsänderung, welche durch eine Rechtsverschiebung des ganzen Systems auftritt. Rückt Last 1 nach rechts, so wird die Spannung 0₃, wie aus der Form der Influenzlinie zu ersehen ist, sich vermindern. Diese Spannungsänderung ist von der Vertikalen 0‘ P‘ aus nach links abgetragen. Da der Endpunkt Q des Normalenzuges rechts von 0‘P‘ liegt, so kann man hieraus schliessen, dass durch Rechtsverschiebung des ganzen Systems sich die Spannung 03 vergrössert. Es muss also, um das Maximum der Inanspruchnahme zu erhalten, der Zug weiter nach rechts gerückt werden. Hierbei überschreitet zunächst Last 2 den Knotenpunkt 2. Der Normalenzug nimmt nunmehr die in Fig. 2 Taf. 13 punktirt eingezeichnete Form an. Der Endpunkt desselben liegt links von der Graden 0'P\ woraus zu schliessen, dass eine weitere Verschiebung des Zuges nach rechts wieder eine Verminderung der Spannung 0₂ hervorbringen würde. Thatsächlich ist also diejenige Stellung des" Systems, bei welcher Last 2 am Knotenpunkte 2 liegt, die ungünstigste.

Zu bemerken ist noch, dass es nicht erforderlich ist, den zweiten Normalenzug vollständig zu construiren. Verlängert man die Grade O¹ S bis zum Punkte U, so erhält man in der Strecke U V auf der die Lasten 2 und 3 trennenden Horizontalen diejenige Grösse, um welche der ganze Normalenzug nach links rückt. Nimmt man also diese Strecke in den Zirkel und trägt dieselbe von Q aus nach links ab, so erhält man ebenfalls den gesuchten neuen Endpunkt

Man zieht nunmehr für die so ermittelte ungünstigste Lage des Eisenbahnzuges durch die Angriffspunkte der Einzellasten die Vertikalen bis zu den Schnittpunkten mit der Influenzlinie 0₃, greift die Ordinaten derselben auf diesen Vertikalen ab, multi-plicirt diese Werthe mit den Grössen der Einzellasten und findet schliesslich durch Addition der Producte die gesuchte Spannung. Man erhält:

max (-}- 0₃) = (2,iii -J— 3,o5& -j- 2,eso) 13 -j— (1,624 -f- l,2so -J— 0,88o) 9 = 135,91.

Maximum der Zugspannung.

Der Zug muss vom rechten Kämpfer bis ungefähr zur Belastungsscheide vorgeschoben werden, und wird bei der ungünstigsten Stellung des Systems irgend eine Last in irgend einem Eckpunkte der Influenzlinie liegen. Schätzungsweise sei angenommen , dass Last 3 am Knotenpunkte 1 der rechtsseitigen Bogenhälfte angreife. Diese Zugstellung ist in Fig. 1 Taf. 13 eingezeichnet. Ob dieselbe wirklich die ungünstigste ist, muss mit Hülfe des Normalenzuges entschieden werden. Es sei angenommen, Last 3 läge unmittelbar rechts vom Knotenpunkte 1. Für diese Stellung des Systems ist der Normalenzug 0‘MKQ‘ in der oben erläuterten Weise construirt. Der Endpunkt Q‘ liegt rechts von der Vertikalen 0‘ P‘\ hieraus ist zu schliessen, dass eine Links Verschiebung des Systems eine Vergrösserung der Spannung 0₃ im absoluten Sinne zur Folge haben würde. Bei einer solchen Linksverschiebung überschreitet zunächst Last 3 den Knotenpunkt 1. Der Normalenzug wird dann um die Strecke KL auf der die Lasten 3 und 4 trennenden Horizontalen nach links gerückt. Der Endpunkt Q‘ dieses neuen Normalenzuges wird gefunden, indem man die Strecke KL, von Q‘ aus nach links abträgt. Da auch Q/ noch rechts von 0‘ P‘ liegt, so wird die Linksverschiebung des Systems noch weiter fortzusetzen sein. Nunmehr würde Last 1 den Knotenpunkt 0 überschreiten, und würde dadurch der ganze Normalenzug um die Strecke MN auf der die Lasten 1 und 2 trennenden Horizontalen noch weiter nach links gerückt werden. Trägt man diese Strecke von Qx' nach links auf, so erkennt man, dass jetzt der Endpunkt des Normalenzuges links von 0‘ P‘ fällt, dass also eine weitere Verschiebung des Zuges nach links eine Verminderung der Spannung 0₃ zur Folge haben würde. Die ungünstigste Stellung des Systems wird also erreicht, wenn Last 1 am Knotenpunkte 0 angreift. Für diese Stellung findet man wie oben:

max (— 0₃) = — (0,880 + 1,038 -f- 1,195+ 0,458 + 0,317 + 0,168) 13 --(1,138 + 1,030

+ 0,905) 9 — — 80,41.

In dieser Weise sind die Spannungen sämmtlicker oberen Gurtstäbe ermittelt. Im Folgenden sollen nur kurz die Resultate der Untersuchungen angegeben werden.

Stab Ox.

Das Maximum der Druckspannung findet bei voller Belastung des Bogens statt. Last 8 eines von links nach rechts vorrückenden Zuges greift im Knotenpunkte 0 an.

max (+ öt) = 112,11 max (— O,) = 0.

Stab Ov

Maximum der Druckspannung.

Last 2 eines von links nach rechts vorrückenden Zuges am Knotenpunkte 1 der linksseitigen Bogenhälfte.

max (+ 0.₂) = 150,81.

Maximum der Zugspannung.

Würde man hier den Zug vom rechtsseitigen Kämpfer bis ungefähr zur Belastungsscheide vorrücken, so würden in der Nähe des Knotenpunktes 2 der rechtsseitigen Bogenhälfte, in welchem die Influenzlinie ihr absolutes Maximum erreicht, die Axen eines Tenders angreifen. Da aber voraussichtlich die Spannung grösser wird, wenn an dieser Stelle eine Locomotive steht, so wird man, um die ungünstigste Lage des Systems zu erhalten, einen Zug, bestehend aus den Axen bis incl. Last 12, von links nach rechts vorrücken lassen. Es ist dann Last 8 eines solchen Zuges im Knotenpunkte 3 der rechtsseitigen Bogenhälfte anzuordnen.

max (— ÖJ = — 52,21.

Stab 0A.

Maximum der Druckspannung.

max (+ 0A) = 93,61.

Maximum der Zugspannung.

Last 1 eines von rechts nach links vorrückenden Zuges am Knotenpunkte 0.

max (— 0A) — — 64,31.

Last 2 eines von links nach rechts vorrückenden Zuges am Knotenpunkte 3 der linksseitigen Bogenhälfte.

Stab 0₅.

Maximum der Druckspannung.

Last 2 eines von rechts nach links vorrückenden Zuges, welcher aus den Lasten 1 bis 6 besteht, greift am Knotenpunkte 4 linksseitiger Bogenhälfte an.

max (+ 0₅) = 57,21.

*    Maximum der Zugspannung.

Last 3 eines von links nach rechts vorrückenden Zuges am Knotenpunkte 0.

max (— OJ = — 40,91.

Stab 0₆.

Maximum der Druckspannung.

Last 2 eines von rechts nach links vorrückenden Zuges, welcher aus den Lasten 1 bis 6 besteht, am Knotenpunkte 5 linksseitiger Bogenhälfte.

max (+ O₀) = 28,21.

Maximum der Zugspannung.

Last 5 eines von rechts nach links vorrückenden Zuges am Knotenpunkte 2 der rechtsseitigen Bogenhälfte.

max (— 0₆) = — 18,81.

Untere Gurtung.

Die Ermittlung der Spannungen in den unteren Gurtstäben mit Hülfe der in Fig. 1 Taf. 14 verzeichneten Influenzlinien bietet keine weiteren Schwierigkeiten. Die ungünstigste Zugstellung wird wieder, falls dieselbe sich nicht durch einfache Ueber-legung ergiebt, mit Hülfe des Normalenzuges ermittelt. Insbesondere wird es nicht erforderlich sein, für das negative Maximum der Spannungen U die Laststellungen durch Construction des Normalenzuges aufzufinden. Es kommt hier für die Grenzstellung immer nur ein einziger Knotenpunkt in Frage, an welchem Last 1 oder 2 eines vom linksseitigen Kämpfer vorrückenden Zuges anzuordnen sein wird.

Stab Ux.

Maximum der Druckspannung.

Last 1 eines von rechts nach links vorrückenden Zuges am Knotenpunkte 0.

max (+ Ux) = 164,4 t.

Maximum der Zugspannung.

Last 1 eines von links nach rechts vorrückenden Zuges am Knotenpunkte 1 der linksseitigen Bogenhälfte.

max (—    — — 59,i t.

Stab U₀,

Maximum der Druckspannung.

Last 2 eines von rechts nach links vorrückenden Zuges am Knotenpunkte 0.

max (+ U₂) = 202,o t.

Maximum der Zugspannung.

Last 1 eines von links nach rechts vorrückenden Zuges am Knotenpunkte 2 linksseitiger Brückenhälfte.

max (— U₂) = — 68,71.

Stab Uy

Maximum der Druckspannung.

Last 9 eines von links nach rechts vorrückenden Zuges, welcher aus den Lasten 1

bis 12 besteht, am Knotenpunkte 0.

max (4- UJ — 198,31. Maximum der Zugspannung.

max (— U₃) — — 44,61.

Last 2 eines von links nach rechts vorrückenden Zuges am Knotenpunkte 3 linksseitiger Bogenhälfte.

Stab Ua.

Maximum der Druckspannung.

Last 8 eines von links nach rechts vorrückenden Zuges am Knotenpunkte 0; die Lasten 1 bis 12 sind als vorhanden anzunehmen.

max (-}- UJ — 196,o t.

Maximum der Zugspannung.

Last 2 eines von links nach rechts vorrückenden Zuges am Knotenpunkte 4 linksseitiger Bogenhälfte.

max (— £/J == — 22,r» t.

Stab Uü.

Maximum der Druckspannung.

Last 13 eines von links nach rechts vorrückenden Zuges, welcher aus den Axen bis incl. Last 18 besteht, am Knotenpunktei linksseitiger Bogenhälfte.

max (4- U₅) — 189,t t.

Maximum der Zugspannung.

Last 2 eines von links nach rechts vorrückenden Zuges am Knotenpunkte 5 linksseitiger Bogenhälfte.

max (— UrJ — — 8,o t.

Stab U₆.

Das Maximum derD ruck Spannung findet bei voller Belastung des Bogens statt. Last 8 eines von rechts nach links vorrückenden Zuges am Knotenpunkte 0.

max (4- U₆) = 197,21 max (— U₆) — 0.

Diagonalen und Vertikalen.

Die Spannungsermittlung der Füllungsglieder mit Hülfe der auf Taf. 14 ver-zeichneten Infiuenzlinien giebt zu weiteren Ausführungen keinen Anlass. Nachstehend seien die Resultate der Rechnungen zusammengestellt.

Index

max (+/>)=    110,7

max (— D) — — 136,4    — 83,4    — 60,7

max (4- C) —    33,t

max (—C) —— 12,o

35,3

21,i

27,r,

27,o t

27,o

— 50,i    — 45,9    — 42,i „

41,o

— 6,2    —12,o    —16,9

Es erübrigt noch die Spannung des Vertikalstabes C₀ zu ermitteln.

Wie bereits bei Berechnung der in Folge des Eigengewichts auftretenden Span-nung C₀ ausgeführt wurde, erleidet dieser Yertikalstab nur eine der Belastung des

oberen Knotenpunktes 0 entsprechende Druckspannung. '    Diese Belastung wird zum Maximum, wenn ein mittleres

Locomotivrad im Knotenpunkte 0 liegt. Sodann ist, wie a'°    aus nebenstehender Figur zu ersehen:

-7,3

C,o

max (-+- C₀) —

35,7

43,o

45,1 „ - 20,3 „

Natürlich wird

13 0+2-4-)

27,71.

sein.

max (— C₀) = 0

Die durch Temperaturdifferenzen im Fach werk hervorgerufenen Spannungen sind genau in derselben Weise wie beim vorigen Beispiel zu ermitteln. Die Rechnungen sollen deshalb an dieser Stelle nicht wiederholt werden. Der ganze Abschnitt „Temperaturspannungen“ des Beispiels XI ist hier einzuschalten.

Es sollen nunmehr die Spannungen, welche von der permanenten, der mobilen Last und den Temperaturdifferenzen herrühren, summirt werden.

Bereits anfangs ist bemerkt worden, dass die bisher ermittelten Zahlen für die

3

in Folge der mobilen Last auftretenden Spannungen noch mit — multiplicirt werden müssen, um die wirklichen Werthe derselben zu erhalten. Diese Multiplication soll gleichzeitig ausgeführt werden.

max(H-Ö,)=22,2-j—— • H2,i-f-33,5—139,8 t max(—0,)=22,2

—66,9= —44,71

_ oi    n    *«r    »o    _co

OOOOO

+    +    +    +.    +

T.

7<

IO

4ojcc 4^|0J 4o|o4 44*|co

Ts

*47

to

IO

'-7

7'

Ts

To

+1

Ts

44

-I

Ts

Ts

QC

Ts

4-

rt

Ts

es

_o

7'

T.

rf^|co 4^|co ^|<w ^|co

IO

"Ts

rt

Ts

00

05

T*

00

T*

4-

Ts

CO

T<

JO

To

cc

'Ts

r?

•£

Ts

max(+J7₁)=25,₄+-|-. 164,4+61,6=210,31 max(+£4)=32,»+l-. 202,o+40,i=224,₅„ max(+£4)=38,2-{—^ ‘ 198,3+25,5=212,5» max(+^)=41,7+-|- • 196,6+17,1=206,3» max(+ £7₅)=44,4 + ~ • 189,i +12,1=198,4» max(+£r₍₁)=46,o+-^-• 197,2+ 9,0=203,5»

max (+/>,)= —4,6+ jj • 110,7+13,9=92,41 max (+ 7?.,)= -7,4+-- • 35,3+22,2=41,3» —5,i + “- • 21,1 + 15,5=26,3» max (+/?,,)=—3,2+—* 27,o+ 9,6=26,7» max (+/>.)=—2,1 —|—— • 27,5+* 6,3=24,9» max(+Z>.)=—1,5 —|—^ • 27,o+ 4,6=23,4»

max (+(7₀)=2,i -j—— max(+C₁)=2,₈+-| max(+C₂)=3,6-|—• 31,1+2,2=29,2» max(+(7₃)=3,6+-^-• 35,7+2,3=32,-» max (+Q=3,5+

max (+C'₅)=3,4-1—’ 43,6+1,9=32,7» max(+Q=2,2+-|

max (+/£,)=

•27,7

=22,91

•33,1+1,2=28,9»

• 41,0+2,2=36,5»

• 45,1 + 1,7=37,8»

max(—Ut)= 25,4—-- • 59,t—30,8=—49,st max(—Z7₂)= 32,o—• 68,-—20,i = —38,s» max(—7/₃)=38,2—^-• 44,6 — 12,8=— 8,i„ max (— U,) ==41,7 —• 2 2,5 — max(—f4) =44,4——• 8,o— 6,i = max(—£4)=46,6

max(—/>,)=—4,6—• 136,4— 7,o= —113,» t max(—7A₂)=—7,4—~ • 83,4—11 ,i == — 81 ,i „ max(—Dj)=—5,1—-jj- • 60,7— 7,8=— 58,4» max (—A)=— 3,2—| max (—/£>)= —2,t — — • 45,9— max ( - 7>J= - 1,5—• 42,i —

max(—C'ü)=2,i t

max(—Ci)=2,8—~ • 12,o—2,3=— 8,5t 3

max(—Q= 3,6—— • 4,7—4,4=— 4,4»

max(—C))=3,6—~

3

max(—Q=3,5—— • 12,6—4,3=—10,3» max(—Q=3,4——• 16,9—3,s= —13,1 „ max(—Q=2,2—~ • 20,s—3,4=—16,1 „

8,6= 16,2»

32,3»

— 4,5=    42,i „

• 50,1    4,8—    45,6»

3,2=— 39,8»

2,3=— 35,4»

• 6,2—4,6=— 5,7»

Sämmtliche Spannungen sind in Fig. 3 Taf. 12 zusammengestellt.

Aus diesen Grenzwerthen ist nunmehr die zulässige spec. Spannung für die verschiedenen Constructionstheile nach der Formel

k = 0,9 (l +

1 min S

2 max aS

ermittelt werden. Diese Rechnungen sind genau in derselben Weise wie im Beispiel III oder wie zu Anfang des vorigen Beispiels durchzuführen; dieselben sollen deshalb hier nicht wiederholt werden.

Beispiel XIII.

Versteifte Hängebrücke von 30 in Spannweite der Hauptüßiiung mul je 18 in

Spannweite der Nehenöffnungen.

(.Annahme einer gleichmässig vertheilten mobilen Belastung.)

Die geometrische Form des die Hauptöffnung überspannenden Trägers stimmt überein mit derjenigen des versteiften Bogens, welcher im Beispiele IX behandelt wurde. Denkt man sich letzteren um eine Horizontale umgeschlagen, so erhält man den mittleren Theil der im vorliegenden Beispiel zu berechnenden Hängebrücke.

Die beiden Nebenöffnungen werden durch Träger überspannt, welche ihrer geometrischen Form nach mit einer Hälfte der Hauptöffnung übereinstimmen. Die ganze Brücke ist in Linien nachstehend verzeichnet.

... ______________________________^___________________

W — /y    ----- 3Ü‘--**- -5

Die oberen Gurtungen sind entsprechend dem im Beispiel IX behandelten Bogen nach Parabeln gekrümmt, deren Pfeilhöhe 4 m beträgt. Die untere horizontale Gurtung liegt 0,5 m unterhalb der Scheitelpunkte des Obergurts. Die Felderlänge zwischen je zwei Vertikalstangen ist zu 3 m angenommen. In den Punkten A, B, C, D und E sind Gelenke eingeschaltet. Es sollen den Ausführungen des § 28 entsprechend die Auflager bei A und B derart construirt werden, dass dieselben kleine Verschiebungen in horizontalem Sinne zulassen. Dadurch wird erreicht, dass die Pfeiler-reactionen bei A und B stets vertikal gerichtet sind, eine seitliche Beanspruchung der Mittelpfeiler also nicht stattfindet.

Man beginnt nun damit, die geometrische Form des Trägers analytisch zu fixiren. Genau wie im Beispiel IX wird man zunächst die Ordinaten der Knotenpunkte, sodann die Abscissen der Schnittpunkte entsprechender Gurtlinien und ferner die Hebelsarme der verschiedenen Fachwerkstäbe in Bezug auf die diesen Stäben conjugirten Drehpunkte berechnen. Diese Rechnungen sollen hier nicht wiederholt werden, es sei bezüglich derselben auf Beispiel IX verwiesen.

Die Brücke soll aus Schmiedeeisen und eingleisig hergestellt werden. Die Fahrbahn liegt an der unteren horizontalen Gurtung.

Das Eigengewicht der Brücke pro Längeneinheit kann näherungsweise für die Haupt- und Nebenöffnungen als das nämliche angenommen werden. Demnach wird die approximative Bestimmung des Eigengewichts, wie solche im Beispiel IX durchgeführt ist, auch hier gültig sein. Zu beachten ist nur, dass jetzt natürlich die Belastung an den Knotenpunkten des Obergurts

und an denjenigen des Unterguts

P°= l,o t

ist.

P“=l,7t

Berechnung der Haupthrücke.

Für die Berechnung der Hauptbrücke ist es durchaus gleichgültig, ob die Aufhängepunkte A und B direct mit festen Landpfeilern oder indirect durch die Neben-träger mit den Landpfeilern in Verbindung stehen. Es fungiren im letzteren Falle die Nebenträger gewissermaassen als Spannketten für die Hauptbrücke. Die kleinen Verschiebungen, welche die Punkte A und B in Folge der elastischen Nachgiebigkeit der Nebenträger erleiden können, sind für die Berechnung des Hauptträgers, so lange letzterer als statisch bestimmtesSystem (also mit 3 Gelenken) construirt wird, ohne Bedeutung.

Denkt man sich die in Beispiel IX berechnete Brücke um eine horizontale Grade umgeschlagen und sodann den Sinn sämmtlicher äusseren Kräfte umgekehrt, so erhält man das System der in Frage stehenden Hängebrücke. Hieraus ist ersichtlich, dass man die Spannungen der einzelnen Constructionstheile direct aus den im Beispiel IX berechneten Spannungszahlen abschreiben kann. Die beim Umschlagen sich deckenden Constructionstheile haben dem Absolutwerthe nach gleiche Spannung; nur das Vorzeichen ist das entgegengesetzte. Die Spannungszahlen sind hiernach in Fig. 2 Taf. 15 zusammengestellt.

Berechnung der Nehenhriicke.

Die geometrische Form des Trägers, sowie die Bezeichnung der einzelnen Stäbe ist aus Fig. 1 Taf. 15 zu ersehen. Die Benennung der Diagonalen und Vertikalen stimmt mit derjenigen gleichliegender Stäbe des im Beispiel IX berechneten Systems überein. Die Bezeichnungen 0 und (J für Ober- und Untergurtstäbe haben gewechselt. Ein Stab On der vorliegenden Brücke entspricht einem Stabe Un des Trägers im Beispiel IX und umgekehrt.

Eigengewicht.

Bei totaler Belastung der Brücke verhält sich ein Nebenträger genau so wie eine Hälfte des mittleren Hauptträgers. Um die Richtigkeit dieser Behauptung einzusehen , betrachte man das Stück I) C der Brücke (s. die Figur auf Seite 340); dasselbe ist bei I) befestigt und bei A in der Weise unterstützt, dass die Reaction an dieser Stelle nur eine vertikale Richtung haben kann. Denkt man sich nun bei C durch die rechtsseitige Hälfte der Hauptbrücke irgend welche Kraft auf den Theil D C ausgeübt, so muss, wie aus der Symmetrie der geometrischen Form und der Belastung durch die übrigen auf diesen Theil I) C einwirkenden äusseren Kräfte folgt, die Reaction bei I) symmetrisch zu der bei C ausgeübten Kraft wirken. Da alsdann aber an je zwei entsprechenden Punkten der Theile A C und AD gleiche und symmetrisch wirkende Kräfte angreifen, so müssen auch die Spannungen in symmetrisch gelegenen Stäben die nämlichen sein.

Die Spannungen für totale Belastung sind für den Hauptträger bereits im Beispiele IX ermittelt. Demnach haben die Untergurtstäbe und Diagonalen keine Beanspruchung in Folge des Eigengewichts zu erleiden. Die Spannungen der Obergur tstäbe und Vertikalen kann man aus den im Beispiel IX berechneten Zahlen direct abschreiben, indem man nur die Vorzeichen derselben umkehrt. Einem Stabe On der Nebenöffnung entspricht ein Stab Un des im Beispiel IX behandelten Bogenträgers.

Obere Gurtung.

0, = — 13,5o P= — 36,5 t

0₂ — - 13,59 P — - 36,7 „

0₃ — — 13,73 P — — 37,1 „

Ö₄ = — 13,95 P= — 37,7 t 0₅=— 14,23 P= — 38,4 „ 0₀ — — 14,58 P — — 39, i „

Vertikalstangen.

Die Vertikalen haben die Last Pu auf die Kette zu übertragen; die Zugspannung derselben stellt sich im Allgemeinen auf

C=- 1,7 t.

pu

Nur die Vertikalen C₀ und C₆ haben die Grösse —— aufzunehmen. Es ist also:

6₀ = C₆ = — 0,91.

Es führt übrigens die mechanische Anwendung der in § 29 gegebenen Regeln und Formeln bezüglich der Spannungen in Folge des Eigengewichts zu genau den nämlichen wie den hier erhaltenen Resultaten.

Mobile Belastung.

Es sollen zunächst die Werthe II und V (Horizontal- und Vertikalcomponente der Reaction bei IJ), welche in Folge der Belastung der Mittelöflhung auftreten, nach den Gleichungen 236 und 237 berechnet werden. Zählt man die im Scheitel C der Mittelöffnung wirkende Last Q der rechtsseitigen Brückenhälfte, also den Lasten Gl zu und ersetzt die Summenwerthe in den Gleichungen 236 und 237 durch die Pro-ducte aus den Resultanten der Lasten Gt resp. G.₂ und deren Abständen §, so erhält man:

11 =

- Q = 13,59 Q '

6.3,5.3 + 5.3.3

3,oo Q.

6.3,5.34-5.3.3

2.6.3 U

Obere Gurtung.

Das Belastungsschema für die Obergurtstäbe zeigt Fig. 72. Es soll das Maximum

der Zugspannung, welches bei Belastung der Mittelöffnung und Entlastung der Nebenöffnung stattfindet, direct berechnet werden. Das Maximum der Druckspannung kann dann durch Subtraction des zuerst berechneten Werthes von der in Folge totaler Belastung der Brücke auftretenden Spannung gefunden werden.

Für volle Belastung der Mittelöffnung und Entlastung der Nebenöffnung lautet Gleichung 238:

Der Werth y — Ordinate des dem fraglichen Stabe conjugirten Drehpunktes (vergl. Fig.71) — ist für alle Obergurtstäbe der nämliche; es ist y = — 0,5m. Setzt man diesen Werth, sowie die oben berechneten Zahlen für II und V ein, so erhält man:

M = — 3,oü .oc.Q-f-13,50 (— 0,5) Q — — {'dx 4-6,75) Q. Stub 0

Est ist x = 3, also:

Die Spannung 0, ergiebt sich aus Gleichung 240. Der Hebelsarm o ist bereits im Beispiel IX (als Hebelsarm des Stabes £7,) berechnet:

max (— D,)

ö = — 25,78 0.

15,75

0,gii

Die Länge der belasteten Strecke beträgt 36 m. Hierfür giebt die Tabelle des § 7 den Werth 5,5 tpr. lfdm. und pr. Gleis an. Berücksichtigt man, dass die mobile Last mit ihrer 1 llcifachen Grösse in Rechnung gestellt wird, dass ferner jeder der beiden Hauptträger die Hälfte dieses Werthes aufnimmt und dass ferner die Länge eines Feldes 3m beträgt, so ergiebt sich für die Belastung pr. Knotenpunkt:

Q = 1V-2 • 72.3.5,5 = 2,25.5,5 == 12,41.

Demnach ist:

max (— 0,) = — 25,78. 12,4 = — 319,7 1.

Durch Subtraction dieser Spannung von der in Folge totaler Belastung der Brücke auftretenden Beanspruchung ergiebt sich:

max (+ 0,) = (— 13,50 + 25,7s) Q — 12,28 Q.

Die Länge der belasteten Strecke ist 18 m.

Q — 2,25.6,3 == 14,3 t max (+ Ot) — 12,28. 14,3 = 175,o t.

Ebenso lindet man die Maximalspannungen der übrigen Obergurtstäbe.

Stab

M— — (3.6 + 6,75) Q— — 24,75 Q 24,75

Q = — 26,39 Q = — 26,39. 12,i = — 327,21 max (-j- 0₂) = (— 13,59 + 26,39) Q — 12,so Q = 12,so. 14,3 = 183,o t.

max (— 0₂)

0,938

Stab 0₃.

M — — (3.9 + 6,75) Q — — 33,75 Q 33,7 5 1,475

max (+ O.J = (— 13,73 + 22,ss) Q — 9,15 = 9,t5. 14,3 = 130,s t.

_ (3 . 12 + 6,75) Q == — 42,75 Q

Q = — 19,39 Q = — 19,39.12,4 = — 240,4 1

max (— 0₃)

Stab 0A.

Q = — 22,88 Q = — 22,88. 12,4 = ~~ 283,7 1

42,75 2,205

max (+ 0₄) == (— 13,95 + 19,39) Q — 5,44 Q = 5,44.14,3 == 77,8 1.

max (— 0A) — —

Stab Ob.

M= — (3.15 + 6,7s)0 = — 51,75 Q

Q = — 16,62 Q = — 16,62 . 12,4— — 206,11

Ojl 10

max (+ 0₅) — (~ 14,23+ 16,62) Q = 2,39 Q — 2,39.14,3 = 34,2 t. M— — (3.18 + 6,75) Q — — 60,75 Q

Q = — 14,58 Q = — 14,58.12,4 = - 180,8 1 max (+ 0₆) — 0.

max (— Or) = —

Stab 0₆.

max (— Oc)

60,75

4,167

Untere Gurtung.

Der dem Stabe U₁ conjugirte Drehpunkt fällt mit dem Gelenkpunkte D zusammen. Da das Moment der äusseren Kräfte bezüglich dieses Punktes immer gleich Null ist, so wird auch die Spannung Ul gleich Null sein,

Das Belastungsschema für die übrigen Untergurtstäbe zeigt Fig. 73. Das Maximum der Druckspannung, welches bei voller Belastung der Mittelöffnung und Entlastung der Nebenöffnung stattfindet, soll direct berechnet werden.

Die Gleichung 238 lautet in diesem Fall:

M — — 3,oo .x.Q -f-l 3,50. y. Q = (— 3 x -f- 13,5 y) Q.

Die Werth e;/ (vergl. Fig. 71) können aus den im Beispiel IX anfangs berechneten Ordinaten entnommen werden.

Stab Ur

Es ist x — 3 und y = 0,nn, also:

M={— 3.3 + 13,5.0,iui)0 = — 7,50 Q.

Die Spannung U₂ ergiebt sich aus Gleichung 241. Der Hebelsarm u ist bereits im Beispiel IX (als Hebelsarm des Stabes ö₂) ermittelt.

max (+ (4) ==

<2 = 12,27(?= 12,27 . 12,4 = 152,1 t.

7,50

0,611

Da bei voller Belastung der Brücke die Beanspruchung des Stabes U₂ gleich Null ist, so ergiebt sich für die grösste Zugspannung desselben:

Stab U₃.

max (— U.₂) = — 12,27 Q = — 12,27.14,3= — 175,51.

M — (— 3.6 + 13,5. 0,4444) Q = — 12,oo Q 12,oo

0,944

max (— U₃) = — 12,7i. 14,3 = — 181,st.

max (-f- U₃) =

0 = 12,7i<2=12,7t . 12,4 = 157,6t

Stab Z7₄.

Stab Ub.

M = (— 3.9 + 13,5. 1) Q = — 13,50 0

Q = 9,oo Q = 9,oo. 12,4 = 111,61

max (— f/J = — 9,oo. 14,3 = — 128,71.

■M= (— 3.12 + 13,5 . 1,7778) Q = — 12,00 Q 12,oo 2,278

max (— U₆) = — 5,27. 14,3 = — 75,41.

max (-f- UA) =

max (4- U₅)

13,50

¹,5

0 — 5,27 Q = 5,27 . 12,4 = 65,3 t

Stab U₆.

M— (— 3.15 -f- 13,5.2,7778) 0 = — 7,50 0 max (+ U₆) =

7,50

Q = 2,29 Q = 2,29 . 12,4 = 28,41

3,278

max (— U₆) = — 2,29. 14,3 = — 32,71.

Diagonalen.

Denkt man sich durch irgend eine Diagonale zum Zweck der Spannungsermittlung einen Schnitt geführt und die Spannung derselben als Druckkraft auf den links vom Schnitt befindlichen Theil des Trägers einwirken, so erkennt man, dass alsdann diese Kraft um den Schnittpunkt der mitgeschnittenen Constructionstheile im entgegengesetzten Sinne des Uhrzeigers dreht. In den Belastungsschemen Fig. 75 bis 77 sind also für die Diagonalen die Zug- und Druckabtheilungen thatsächlich in der Weise anzunehmen, wie diese Figuren dieselben zeigen. In Gleichung 242 hat aus demselben Grunde das + Zeichen Gültigkeit.

Stab D,.

Der Schnittpunkt der mitgeschnittenen Constructionstheile liegt oberhalb der Graden AI). Das Belastungsschema für diesen Stab zeigt Fig. 77. Da die Belastungsscheide in der Nebenöffnung durch das fragliche Feld — im vorliegenden Falle durch das erste Feld — gebildet wird, eine linksseitige Druckabtheilung also nicht vorhanden ist, so wird das Maximum der Druckspannung bei Belastung der Mittelöffnung und vollständiger Entlastung der Nebenöffnung stattfinden. Für diesen Fall ergiebt sich nach Gleichung 238:

M=- 3,oo (— 13,s) 0 + 13,5 (— 0>5) 0 = 33,75 0.

Die Spannung A folgt aus Gleichung 242, in welcher das + Zeichen anzu

nehmen ist.

max (+ A) —

Q = 12,14 Q = 12,44 .12,4 = 154,3 t.

Bei voller Belastung der Brücke ist die Beanspruchung des Stabes + gleich N 1; demnach hat man:

max(—i>₁) = — 12,44 0 = — 12,₄4.14,3 = — 177,9 1.

Stab D₂.

Das Belastungsschema zeigt Fig. 77; nach diesem sind zwei getrennte Druckabtheilungen vorhanden. Es erscheint am einfachsten das Maximum der Zugspannung direct zu ermitteln und später das Maximum der Druckspannung durch Umkehrung des Vorzeichens zu erhalten. Dieser Weg ist jedoch nicht zulässig. Da für die beiden Druckabtheilungen verschiedene spec. Belastungen in die Kechnung eingeführt werden müssen, so ist es erforderlich, den Einfluss dieser beiden belasteten Strecken gesondert zu ermitteln. Es wird also zunächst das Maximum der Druckspannung zu berechnen sein.

Belastung der Mittel Öffnung.

M — — 3,oo (— 2,5) 0 + 13,5 (— 0,5) 0 = 0,75 0

Q ₌ Q = 0j44.12,4= 5,51.

Linksseitige Belastung der Nebenöffnung.

In Gleichung 239 ist 2G₃(l—|) = 0 und 2GA£ — Q. 3 zu setzen.

18 + 2,5

18

•3 0 = 3,42 0.

Da die von der Belastung der Mittelöffnung herrührenden Werthe V und H gleich Null anzunehmen sind, so folgt aus der Gleichung 238:

M = [M] = 3,42 0

Die Länge der belasteten Strecke beträgt ca. 4,5 m; demnach ist:

und

0 = 2,25. 12,3 = 27,7 t

A = 2,02.27,7 = 56,o t max (+ A) — 5,5 + 56,o = 61,51.

Durch Umkehrung des Vorzeichens findet man:

max (— A) = — (0,44 + 2,02) 0 = — 2,46 0

Q — 2,25.6,o — 14,s t max (— -Z>₂) = — 2,46. 14,8 = — 36,4 1.

Stab D.a.

Der Schnittpunkt der mitgeschnittenen Constructionstlieile liegt rechts von der durch JJ hindurch gehenden Kämpfervertikalen. Das Belastungsschema ist demnach der Fig. 75 entsprechend anzunehmen. Das Maximum der Zugspannung, welches bei voller Belastung der Mittelöffnung und Entlastung der Nebenöffnung stattfindet, soll direct berechnet werden.

M— — 3,oo .#.(?•+-13,50 (— 0,s) Q — — (3x -j- 6,75) Q Im vorliegenden Falle ist # = 0,9, also:

M= — (3.0,9 + 6,75) Q — — 9,45 Q

max (— Z>₃)

Q — - 3,89 Q = - 3,89 . 12,4 —- 48,2 t

9,45

2,432

max (-}- DJ — 3,89 Q = 3,89.14,3 = 55,01. Ebenso findet man die Spannungen der übrigen Diagonalen.

Stab D,t.

max (— D,) = —

Stab D..

max (— /J-) —

Stab I)₆.

max (— JJb) =

M— — (3.3,214 + 6,75) Q — — 16,39 Q

iiSr 0 —⁴,i7 0——4,17.12,4=—51,71

max (+• DJ — 4,n . 14,3 = 59,61.

M — — (3.5,167 -f- 6,75) Q — — 22,25 Q

-    4^ Q = - 3,74 Q = — 3,74. 12,4 = — 46,4 t

Oj946

max (+ IJb) — 3,7 4. 14,3 = 53,5 1.

M = — (3.6,954 + 6,75) Q = — 27,61 Q

-    ^ Q = — 3,39 Q = — 3,39.12,4 = — 42,01

8,148

max (+ Dg) — 3,39.14,3 = 48,51.

Vertikalen.

Stab C₀.

max (— C₀) == —

Im unteren Knotenpunkte der Kämpfervertikalen trifft diese nur mit dem Gurtungsstabe (Ji zusammen. Die Spannung in Ux ist Null. Das Gleichgewicht der in diesem Knotenpunkte wirkenden Kräfte erfordert also, dass die Spannung der Vertikalen 6q grade so gross ist, wie die im unteren Knotenpunkte angreifende Belastung. Demnach hat man:

Der Werth Q wird zum Maximum, wenn nur das erste Feld, also eine Strecke von 3 m Länge, belastet ist.

33,i

Q = 2,25. 14,7 = 33,it max (— C₀) = —

max (4- C₀) — 0.

Stab Cv

Der Schnittpunkt der mitgeschnittenen Constructionstheile ist der nämliche wie der dem Dingonalstabe Dx conjugirte Drehpunkt. Das Belastungsschema ergiebt sich

also nach Fig. 77. Denkt man sich durch die Vertikale Cx einen Schnitt geführt in der Weise, dass nur noch zwei weitere Constructionstheile (die Stäbe Ox und Ua) getroffen werden, und die Spannung C, als Druckkraft auf den links vom Schnitt befindlichen Theil des Trägers einwirken, so erkennt man, dass alsdann diese Kraft um den Schnittpunkt der mitgeschnittenen Constructionstheile im Sinne des Uhrzeigers dreht. Im Belastungsschema Fig. 77 sind also die Worte „Druck“ und „Zug“ mit einander zu vertauschen.

Es soll das Maximum der Zugspannung, welches bei Belastung der Mittelöffnung und des linksseitigen Theils der Nebenöffnung auftritt, direct berechnet werden.

Belastung der Mittelöffnung.

Das von dieser Belastung herrührende Moment ff/ bezüglich des fraglichen Drehpunktes ist bereits bei Berechnung der Diagonalen Dx ermittelt. Man fand

ff/ = 33,75 0.

Die Spannung Cx ergiebt sich aus Gleichung 242, in welcher der angefügten Erklärung zufolge das —Zeichen Gültigkeit hat.

3 ^13 ₅ ö = - 2,«5 0 = — 2,,,₅.12,i== — 25,t.

Linksseitige Belastung der Nebenöffnung.

Der zum Zweck der Spannungsermittlung durch C, zu führende Schnitt trifft die untere Gurtung, an welcher die mobilen Lasten angreifen, im 2ten Felde. Dieses ist also im vorliegenden Falle als Belastungsscheide anzunehmen. In Gleichung 239 ist 2? Gz (/ — £) = 0 und 3 Gi £ = 0 . 3 zu setzen.

[M]

'¹⁸~1~813,5',3Q = 5?25 Q'

Aus Gleichung 238 folgt M=\M], also:

=- 0,32 O.

C\ =

3 + 13,5 V

Die Länge der belasteten Strecke ist ca. 4,5 m.

£ = 2,25. 12,3 = 27,7 t

Cx =- 0,32.27,7 = — 8,9 t

max (—    — — 25,3 — 8,9 = — 34,21.

Bei totaler Belastung der Brücke ist Cx — — Q. Demnach findet man: max (+ Ci) = (— 1 + 2,05 + 0,32) 0 = 1,37 Q Q — 2,25.6,6 = 14,8 t max (+ Ci) — 1,37. 14,8 = 20,31.

Stab C.₂.

Ganz entsprechend der Berechnung des Stabes Cx gestaltet sich diejenige des Stabes C₂. Die Belastungsscheide in der Nebenöffnung wird durch das 3te Feld gebildet.

Belastung der Mittelöffnung, ff/=0,75 0

Stab C₅.

22,25

5.3 — 5,167

max (+ Q =

Linksseitige Belastung der Nebenöffnung. 18 + 2,5

[M]

18

•4,5 • 2 Q = 10,25 0

c.₂=

10,25

Q = — l,2i 0

2.3 + 2,5

0 = 2,25.8,8 = 19,8 t C\ — — 1,21. 19,8 = — 24,01

rnax (— C₂) = — l,i — 24,o = — 25,t t max (+ C₂) = (— 1 + O,o9 + l,2i) 0 = 0,3o 0 0 = 2,25.7,6= 17,i t max (+ C<₂) = 0,:jo. 17,i = 5,i t.

Stab C₃.

Für diese und die folgenden Yertikalstangen ist das Belastungssckema nach Fig. 75, in welchem die Worte „Druck“ und „Zug“ mit einander zu vertauschen sind, anzunehmen. Das Maximum der Druckspannung, welches bei Belastung der Mittelöffnung auftritt, soll direct berechnet werden. Die Momente M bezüglich der fraglichen Drehpunkte sind für diese Belastungsart bereits bei Berechnung gleichbenannter Diagonalen gefunden.

9,45

max (+ C.,) =

3.3 — 0,9

0 = 1,17 0 = 1,17 . 12,4 = 14,5 t

max (- Q = ( — 1 — l,n) 0 = — 2,n 0 = — 2,n . 14,3 = — 31,ot.

max (+ Q

16,39

4.3 — 3,214

Stab C₄.

- 0 — 1,87 0 = 1,87 . 12,4 = 23,2 t

max (— 6₄) = (— 1 — 1,87 ) 0 = — 2,87 0 = — 2,87. 14,3 = — .41,01.

- 0 = 2,20 0 = 2,26. 12,4 = 28,o t

max (— 0₅) = (— 1 — 2,26 ) 0 = — 3,26 0 = — 3,26. 14,3 = — 46,e t.

max (+ C,) — -

27,61

6.3 — 6,954

Stab Cb.

- 0 = 2,50 0 — 2,50 . 12,4= 31,01

max (— C₆) = (— 0,5 — 2,50) 0 = — 3,oo Q — — 3,00. 14,3 = — 42,91.

. Schliesslich ist es noch erforderlich, für die oberen Gurtstücke und die Yertikalstangen die in Folge der permanenten und mobilen Last auftretenden Spannungen zu summiren. Es ergiebt sich:

139,i t    max (— O,)    = —    36,5 — 319,7    = — 356,2 1

146,3 „    max (— 0.₂)    = —    36,7 — 327,2    = — 363,9 „

max (— 0₃) = — 37,i — 283,7 = — 320,8 „ max (— 0₄) — — 37,7 — 240,4 = — 278,i „ max (— 0₅) = — 38,4 — 206,1 = — 244,5 „ max (— 0₆) = — 39,4 — 180,s = — 220,2 „

0,91    max (— 0₀)    = —    0,9 — 16,6    = — 17,51

18,6 „    max (— C,)    = —    1,7 — 34,2    = — 35,9 „

93,7 „ 40,i „ 4,2 „ = - 39,4 „

max (+ O,) = — 36,5+ 175,o =» max (+ O,) = — 36,7 + 183,o = max (+ 0₃) = — 37,i + 130,s = max (+ 0,) = — 37,7+ 77,8 = max (+ 0₅) -= — 38,4 + 34,2 = — max (+ Ob) = — 39,4

max (+ C₀) = — 0,9    =

max (+ (?,) = — 1,7 + 20,3 =

max (— C₂)    =    — 1,7 — 25,i    = —    26,s t

max(H-Q = —1,7-f- 5,i = 3,4 t max (—(— Ct) = — 1,7 —J— 14,5 = 12,8 „ max (+ CJ — — 1,7 + 23,2 = 21,5 „ max (-f- Q = — 1,7 + 28,o = 26,3 „ max (-}- Cn) = — 0,9*4“ 31,0 ==: 30,1 „

max (— Q    =    — 1,7 — 31 ,o    = —    32,7 „

max (— C)    —    — 1,7 — 41,o    = —    42,7 „

max (— Q    =    — 1,7 — 46,6    = —    48,3 „

max (— Cc)    =    — 0,9 — 42,9    = —    43,8 „

Sämmtliclie Spannungen sind in Fig. 3 Tafl5 zusammengestellt.

Die weitere Ermittlung der zulässigen spec. Spannungen aus diesen Grenz-werthen, sowie die Bestimmung der erforderlichen Querschnitte ist genau ebenso durchzuführen, wie solches im Beispiel III geschehen ist. Es sind deshalb diese Rechnungen hier nicht weiter verfolgt.

Beispiel XIV.

Es soll dieselbe Hängebrücke, welche im vorigen Beispiele behandelt wurde, jetzt unter Annahme einer mobilen Belastung durch ein System von Einzellasten berechnet werden.

Man bestimmt zunächst in derselben Weise wie bei der vorigen Aufgabe die geometrische Form des Trägers, berechnet die Coordinaten der Knotenpunkte, sodann die Abscissen der Schnittpunkte entsprechender Gurtlinien und ferner die Hebelsarme der verschiedenen Fachwerkstäbe.

Die approximative Bestimmung des Eigengewichts ist genau so wie im Beispiele XIII durchzuführen.

Die für die Berechnung der Hauptbrücke im vorigen Beispiel gemachten Ausführungen behalten auch hier ihre Gültigkeit. Es wird demnach die Ermittlung der Stabspannungen in diesem mittleren Theil der Brücke unter Annahme einer mobilen Belastung durch ein System von Einzellasten grade so durchzuführen sein, wie solches im Beispiel X geschehen ist. Denkt man sich die im Beispiel X behandelte Bogenbrücke um eine horizontale Grade umgeschlagen und sodann den Sinn sämmtlicher äusseren Kräfte und Spannungen umgekehrt, so erhält man die Haupt-briicke des im vorliegenden Beispiel zu berechnenden Trägers. Die Spannungen desselben sind in Fig. 4 Taf. 15 zusammengestellt; die dort gegebenen Zahlen wurden durch Umkehrung der Vorzeichen aus den im Beispiel X berechneten Spannungen gewonnen.

Es erübrigt die Berechnung eines Nebenträgers durchzusprechen. Die Spannungen, welche in Folge des Eigengewichts auftreten, können genau in derselben Weise gefunden werden, wie solches im vorigen Beispiele durchgeführt ist. Die Rechnungen sollen an dieser Stelle nicht wiederholt werden. Bis zu dem Abschnitt „mobile Belastung“ auf S. 342 sind die im Beispiel XIII angestellten Berechnungen auch hier gültig und anwendbar.

Mobile Belastung durch ein System von Einzellasten.

Der Träger ist in Fig. 1 Taf. 15 verzeichnet. Das Lastsystem besteht den Angaben des § 7 zufolge aus 3 Locomotiven nebst Tendern und angehängten Güterwagen; die Entfernungen und Grössen der Einzellasten ergeben sich aus den Fig. 21 und 22 des § 7. Es ist empfehlenswert, sich einen Papierstreifen anzufertigen, auf welchen das Lastsystem im nämlichen Längenmaassstahe, in dem die Brücke gezeichnet wurde, aufzutragen ist. Man wird gut thun, auf der einen Seite des Papierstreifens das Lastsystem für einen von links nach rechts, auf der andern Seite das System für einen von rechts nach links vorrückenden Eisenbahnzug anzugehen. Ferner ist die Entfernung der Einzellasten, sowie die Grösse und Nummer derselben auf dem Streifen zu bemerken. Ein Stück eines solchen Papierstreifens ist auf S. 156 verzeichnet. Derselbe muss mindestens die Länge des ganzen Trägers haben. Im vorliegenden Falle sind die Lasten 1 bis 15 auf demselben anzugeben.

Die Einzellasten sind in Rücksicht auf Stösse etc. mit ihrer 1 V2fachen Grösse in die Rechnung einzuführen. Es entfällt auf jeden der beiden Hauptträger die Hälfte dieser Werthe. In Folge dessen ist der Druck einer Locomotivaxe mit 1 */2. V‘2 • 13 t und der Druck einer Tenderaxe mit 1V2. ¹/2.91 in die Rechnung einzusetzen. Da diese Zahlen etwas unbequem werden, so soll die Berechnung unter Annahme der

Werthe 13, resp. 9 t durchgeführt werden. Später sind dann die Spannungen noch mit der Grösse

1V2. V2 = ³A

zu multipliciren.

Nach den Ausführungen des § 31 ist es erforderlich, zunächst die von der Belastung der Mittelöffnung herrührenden Werthe V und II zu berechnen. Die ungünstigste Stellung des Lastsystems innerhalb der Mittelöffnung wird nach der Ungleichung 245 gefunden; dieselbe besagt, dass die Belastung auf beiden Hälften der Hauptbrücke möglichst die gleiche sein muss. Hiernach kann man direct angeben, dass die Stellung des Systems dann die ungünstigste ist, wenn ein von rechts nach links vorrückender Zug, welcher aus den Lasten 1 bis 15 besteht, derart auf der Hauptbrücke placirt ist, dass Last 8 desselben im Scheitelpunkte angreift.

Die Werthe H und V für diese Laststellung ergeben sich ans den Gleichungen 236 und 237. Es sollen immer je drei zusammengehörige Axen durch ihre Resultante ersetzt werden. Nur die Lasten 7, 8 und 9 müssen einzeln in Rechnung gestellt werden, da dieselben zum Theil der rechtsseitigen, zum Theil der linksseitigen Brückenhälfte angehören. Die Gleichungen 236 und 237 lauten dann:

11=

3.13.4+3.9.11,2+13(16,7+I84-I6,7) + 3.9.10,8+3.13.4 = 196,7g t.

2.18

3.13.4 + 3.9.11,2+13(16,7+18 +16,7) + 3.9.10,8+3.13.4 = 43,731. Nunmehr kann zur Bestimmung der Stabspannungen übergegangen werden.

Obere Gurtung.

Stab 0,.

Das Belastungsschema ergiebt sich aus Fig. 72. Das Maximum der Druckspannung findet bei Belastung der Nebenöffnung, das Maximum der Zugspannung bei Belastung der Mittelöffnung statt.

Maximum der Druckspannung (s. Fig. 80).

Der Schnittpunkt der mitgeschnittenen Constructionstheile ist der Knotenpunkt 1. Auf den Seitenträger müssen möglichst viele Lasten einwirken, die grössten Raddrücke sind in der Nähe des Knotenpunktes 1 zu gruppiren und muss einer derselben in diesem Knotenpunkte selbst angreifen. Es lässt sich hiernach vermuthen, dass Last 2 eines von rechts nach links vorrückenden Zuges, welcher aus den Lasten 1 bis 9 besteht, am Knotenpunkte 1 liegen muss. Mit Hülfe der Ungleichung 246 kann diese Frage in schärferer Weise entschieden werden.

Zunächst ist zu bemerken, dass Last 9 bei der vorläufig angenommenen Laststellung bereits innerhalb der Mittelöffnung angreift. Da diese Last jedoch sehr nahe zum Auflagerpunkte A steht, in Folge dessen der Einfluss derselben nur ein geringer sein wird, so erscheint es zulässig, diese Last nicht mit in Rechnung zu ziehen. Der dadurch verursachte kleine Fehler ist um so weniger bedenklich, als durch denselben die gesuchte Spannung um ein Geringes zu gross ausfallen wird.

Nimmt man nun an, Last 2 läge unmittelbar rechts vom Knotenpunkte 1, so wird ii;! = 4.13 4~ 3.9 == 791 und K, = 13 t sein. Der in der Ungleichung 246 vor-

kommende Ausdruck sagter Ungleichung:

ist

1

18— 3

= — • Demnach heisst die rechte Seite be-5

y • 79 = 15,8

und man erkennt, dass der in dieser Ungleichung enthaltenen Bedingung noch genügt wird. Ueberschreitet nun aber Last 2 den Knotenpunkt 1, so wird K₃=3.13

4~ 3.9 = 66 t und K₄ = 2.13 = 26t. Es ist — • 66 = 13,2, und ist nunmehr die

o

Ungleichung 246 nicht mehr erfüllt. Hieraus ist zu schliessen, dass thatsäehlich Last 2 am Knotenpunkte 1 angeordnet werden muss, um im Stabe 0, das Maximum der Druckspannung zu erreichen.

Für diese Laststellung ergiebt sich das Moment [M\ aus der Gleichung 239. Dieselbe lautet:

18 —

— • 13.1,7 = 124, e tm.

18

\M\ = A- [l3 (1 + 2,₃) + 3.9.8,₂ + 13 (13,7 + 15)1 fl

Da die Mittelöffnung als nicht belastet angenommen ist, die Werthe Hund V also Null sind, so lautet Gleichung 238:

M — [M] — 124,c> tm.

Die Spannung Ox ergiebt sich aus Gleichung 240. Der Hebelsarm o wurde bereits im Beispiel IX (als Hebelsarm des Stabes £/,) berechnet.

max (+ 0,)

203,9 t.

124,6 0,611

Maximum der Zugspannung.

Die Mittelöffnung ist als belastet, die Nebenöffnung als entlastet anzunehmen. Gleichung 238 lautet für diesen Fall:

M = —Vx + Hy.

Die Werthe Fund H sind bereits oben ermittelt. Demnach ist:

M —- 43,73 X fl- 196,78 (— 0,5) =- 43,73 X — 98,39.

Da im vorliegenden Fall x—3 ist, so wird

M = — 43,73.3 — 98,39 = — 229,6 tm.

Aus Gleichung 240 ergiebt sich sodann:

max (— 0,)

375,81.

229,6

0,611

Stab Ov

Maximum der Druckspannung.

Ein von rechts nach links vorrückender Zug, welcher die Axen bis incl. Last 12 enthält, ist derartig anzuordnen, dass Last 8 am Knotenpunkte 2 angreift.

18 —

[.W] = ^- 3.9.5,2 + 13(10,7+12) + max (+ 0₂)

187,7

0,938

18

— 13.4,7 + 9.0,3

— 187,7 tm

200,i t.

Maximum der Zugspannung.

max (— ÖJ =

384,7 1.

M — — 43,73.6 — 98,39 = — 3G0,s tm 360,8

1,938

Stab 0₃.

Maximum der Druckspannung.

Last 8 eines von rechts nach links vorrückenden Zuges, welcher die Axen bis incl. Last 12 enthält, ist am Knotenpunkte 3 anzuordnen.

18 —

[M] —4g- 3.9.2,2 + 13(7,7 + 9) 4 max (+ 0₃) =

18

212,6

1,475

— 13.7,7 + 3.9.1,8)

= 212,6 tm

= 144,i t.

Maximum der Zugspannung. M = — 43,73.9 — 98,39 = — 492,o tm 492,o

max (— 0₃)

1,475

333,61.

Stab 0,t.

Maximum der Druckspannung.

Der Schnittpunkt der mitgeschnittenen Constructionstheile ist der Knotenpunkt 4.

Derselbe ist in der Seitenöffnung symmetrisch zum Knotenpunkte 2 gelegen. Das Moment [M] bezüglich des Knotenpunktes 4 wird zum Maximum werden, wenn die Laststellung symmetrisch zu derjenigen angenommen wird, welche für den Punkt 2 das Maximalmoment bedingte und wird unter dieser Annahme das Moment [M] selbst im Knotenpunkte 4 den nämlichen Werth wie das Moment im Knotenpunkte 2 haben. Letzteres ist bei Berechnung des Stabes 0₂ bereits gefunden. Es wird also für den Stab 0A ebenfalls

anzunehmen sein.

[M] = 187,7 tm

Es wird diese Folgerung noch klarer, wenn mau bedenkt, dass der Neben

träger, so lange dieser allein belastet ist, sich vollständig wie ein Balkenträger auf 2 Stützen verhält.

max (+ 0A)

187,7

85,i t.

2,205

Maximum der Zugspannung. M— — 43,73 . 12 — 98,39 = — 623,i tm 623,i _

2,205

Stab Os.

Maximum der Druckspannung. Moment [M] bei Berechnung des Stabes 0, gefunden.

max (+ 0₅) =

= 40,i t.

124,6 3,no

Maximum der Zugspannung. M= —- 43,73.15 — 98,39 = — 754,3 tm 754,3

max (— 0,)

3,no

242,r, t.

Stab 0₆.

Maximum der Druckspannung.

Der Schnittpunkt der mitgeschnittenen Constructionstheile fällt mit dem Knotenpunkte 6 zusammen. Für diesen ist, wenn nur die Seitenöffnung belastet wird, das Moment [47] = 0. Hieraus folgt

max (-f- 0R) — 0.

Maximum der Zugspannung. M= — 43,-3.18 — 98,39 = — 885,s tm

max (— Or) —

Untere Gurtung.

Stab Uv

Der dem Stab Ux conjugirte Drehpunkt fällt mit dem Gelenkpunkte T) zusammen. Da das Moment der äusseren Kräfte bezüglich dieses Punktes immer gleich Null ist, so wird auch die Spannung Ut gleich Null sein.

Stab Uv

Das Belastungsschema ergiebt sich nach Fig. 73. Das Maximum der Druckspannung findet bei Belastung der Mittelöffnung, das Maximum der Zugspannung bei Belastung der Nebenöffnung statt.

Maximum der Druckspannung.

Es wird nach Gleichung 238:

M— — Fa? -f- Hy.

Die Werthe y (vergl. Fig. 71) können aus den im Beispiel IX anfangs berechneten Ordinaten entnommen werden.

M= — 43,73.3 -f- 196,78.0,iin = — 109,3 tm.

Die Berechnung der Spannung erfolgt nach Gleichung 241. Der Hebelsarm u ist bereits im Beispiel IX (als Hebelsarm des Stabes 0₂) ermittelt.

= 178,91.

max (+ £/L>) ==

109,3 0,611

Maximum der Zugspannung (s. Fig. 81).

Der Schnittpunkt der mitgeschnittenen Constructionstheile ist der Knotenpunkt 1. Die ungünstigste Zugstellung wird ermittelt mit Hülfe der Ungleichung 248. Man erkennt, dass diese mit der Ungleichung 246 identisch ist. Der Ausdruck (Ü₃ + ®) in Ungleichung 248 bedeutet die Summe der Lasten, welche rechts vom geschnittenen Felde und innerhalb dieses Feldes angreifen. Der durch U„ zum Zweck der Span-

23

R. Krohn, BogenOrfielcen. II.

nungsermittlung zu führende Schnitt trifft natürlich das zweite Feld. Es bedeutet demnach (H₃ + d>) die Summe aller Lasten rechts vom Knotenpunktei. In Ungleichung 246 ist diese Summe durch die Resultante li:! dargestellt. Es wird demnach thatsächlich die ungünstigste Laststellung die nämliche sein, wie die, welche bereits bei Berechnung des Stabes Ot gefunden wurde. Natürlich hat dann auch das Moment [M] den an jener Stelle bereits berechneten Werth.

[M\ — 124,o tm

max (— Z7₂) = —

= _ 203,91.

0,611

Genau in derselben Weise werden die Spannungen der übrigen Untergurtstäbe ermittelt. Die Momente [M], welche durch die, die Maximalzugspannungen bedingenden Laststellungen hervorgerufen werden, sind aus den Berechnungen der Obergurtstäbe zu entnehmen.

M = — 43,73.6 + 196,7s. 0,4444 = — 174,9 tm 174,9 0,944

Stab U₃.

185,31

max (+ Uj) —

Stab

U,

Stab U₅.

Stab L\.

max (— fJ₃) — —

187,7

0,944

198,81.

M = — 43,73.9 + 196,78. 1,üooo = — 196,8 tm max (+ ü.) =

max (— CJ,)

196,8

1,5

1,5

— 141,7 t.

M = — 43,73.12 —f- 196,78 . 1,7778 = — 174,9 tm 174,9

max (+ U.) —

max (— U.) =

= 76,81

2,27 8

— 82,41.

M— — 43,73. 15 + 196,78.2,7778 = — 109,3 tm max (+ UG) =

109,3

3,278

= 33,31

max (— U₆) =

_ ¹²⁴>⁶

3,27 8

38,o t.

Diagonalen.

Denkt man sich durch irgend eine Diagonale zum Zweck der Spannungsermittlung einen Schnitt geführt und die.Spannung derselben als Druckkraft auf den links vom Schnitt befindlichen Theil des Trägers einwirken, so erkennt man, dass alsdann diese Kraft um den Schnittpunkt der mitgeschnittenen Constructionstheile im entgegengesetzten Sinne des Uhrzeigers dreht. In den Belastungsschemen Fig. 75 bis 77, 82 und 83 sind also für die Diagonalen die Zug - und Druckabtheilungen thatsächlich in der Weise anzunehmen, wie diese Figuren dieselben zeigen. In Gleichung 242 hat aus demselben Grunde das -+- Zeichen Gültigkeit.

Stab Dv

Der Schnittpunkt der mitgeschnittenen Constructionstheile liegt oberhalb der Graden AI). Das Belastungsschema für diesen Stab zeigt Fig. 77. Da die Belastungsscheide in der Nebenöffnung durch das fragliche Feld — im vorliegenden Falle durch das erste Feld — gebildet wird, so ist eine linksseitige Druckabtheilung nicht vorhanden.

Maximum der Druckspannung.

Das Maximum der Druckspannung findet bei Belastung der Mittelöffnung statt. Das Moment der äusseren Kräfte ist für diesen Fall nach Gleichung 238:

M — — 43,73 (— 13,5) 4- 196,78 (— 0,5) — 492,o tm.

Die Spannung 2), ergiebt sich aus Gleichung 242, in welcher das + Zeichen als gültig anzunehmen ist.

max (+.D,) =

= 181,3 t.

492,o

2,713

Maximum der Zugspannung (s. Fig. 83).

Der Eisenbahnzug ist, vom Mittelpfeiler A kommend, bis in das lste Feld der Nebenöffnung vorzuschieben; eine der ersten Lasten muss im Knotenpunkte 1 angreifen. Es lässt sich vermuthen, dass Last 2 eines Zuges, welcher aus den Lasten 1 bis 9 besteht, am Knotenpunkte 1 liegen muss. Mit Hülfe der Ungleichung 252 kann man sich hierüber Gewissheit verschaffen.

Es sei zunächst bemerkt, dass wieder, wie bei Berechnung des Stabes 0,, die Last 9, welche bei der vorläufig angenommenen Zugstellung in der Mittelöffnung der Brücke zu liegen kommt, vernachlässigt werden soll.

Wirkt nun Last 2 unmittelbar rechts vom Knotenpunktei, so wird (S = 13t und $1₃ == 4.13 + 3.9 = 79 t. Ueber die Bedeutung der in Ungleichung 252 vorkommenden Bezeichnungen s. Fig. 83. Es wird im vorliegenden Fall:

0,2.

13,5

il — kx

' ’ 13,5. 18 —3.13,5

Da 0,2.79 — 15,8 ist, so wird, wie man erkennt, der in Ungleichung 252 enthaltenen Bedingung bei dieser Laststellung noch genügt. Ueberschreitet nun Last 2 den Knotenpunkt 1, so wird (S = 2 .13 == 261 und ft₃ = 3 . 13 + 3.9 = 66 t. Es ist 0,2.66 = 13,2. Nun ist die Ungleichung 252 nicht mehr erfüllt und hieraus kann man schliessen, dass thatsächlich Last 2 am Knotenpunkte 1 angeordnet werden muss, um in D{ das Maximum der Zugspannung zu erreichen.

Für diese Laststellung ergiebt sich das Moment \M] aus der Gleichung 239. Bei Aufstellung dieser Gleichung ist darauf zu achten, dass Last 1 innerhalb des geschnittenen Feldes angreift. Es wird den der Gleichung 239 angefügten Erläuterungen zufolge erforderlich sein, diese Kraft in ihre am rechtsseitigen resp. linksseitigen Knotenpunkte des fraglichen Feldes zur Wirkung kommenden Componenten zu zerlegen, und erstere den Lasten G₃, letztere den Lasten Gi zuzuzählen. Die von der Last 1 am Knotenpunkte 0 angreifende Componente hat im vorliegenden Fall überhaupt

keinen Einfluss; die auf den Knotenpunkt 1 entfallende Componente ist 13*——-t.

O

Es lautet demnach Gleichung 239:

13 45— • 15 + 13 (15+ 13,7)+ 3.9.8,2+ 13 (2,3 + 1) = — 560,9 tm.

O

[-W]=++

Stab

Das Belastungsschema zeigt Fig. 77. Nach diesem sind zwei getrennte Druckabtheilungen vorhanden.

Maximum der Druckspannung. Belastung der Mittelöffnung.

M = — 43,73 (— 2,₅) + 196,78 (— 0,5) = 10,9 tm

= 6,41.

10,9 1,697

•Linksseitige Belastung der Nebenöffnung (s. Fig. 83).

Der Zug ist vom linksseitigen Auflager kommend bis in das 2te Feld vorzuschieben. Eine der ersten Axen muss im Knotenpunkte 1 angreifen. Es ist zu ver-muthen, dass Last 2 am Knotenpunkte 1 angeordnet werden muss. Die Ungleichung 251 giebt hierauf exacte Antwort.

Liegt Last 2 unmittelbar links vom Knotenpunkte 1, so ist (S) = 13 t und Hj —2.13 = 26t. Ferner ist der in Ungleichung 251 vorkommende Ausdruck

^    / —{- oc

L il—lx

= 0,67.

_o 18 -f- 2,5

~    5,5. 18 —3.2,5

Da 0,67.26 = 17,4 ist, so wird, wie man erkennt, bei dieser Laststellung die in Ungleichung 251 enthaltene Bedingung noch erfüllt sein. Ueberschreitet nun aber Last 2 den Knotenpunkt 1, so wird © = 26 t und K; = 13 t; dann ist, wie sofort zu übersehen, die fragliche Ungleichung nicht mehr erfüllt, und hieraus folgt, dass that-sächlich Last 2 am Knotenpunkte 1 angeordnet werden muss.

Das Moment [M] ergiebt sich wieder aus Gleichung 239. Last 1 liegt innerhalb des geschnittenen Feldes, muss also in ihre auf die benachbarten Knotenpunkte entfallenden Componenten zerlegt werden. Die im Knotenpunkte 2 zur Wirkung ge-

1,3

Aus Gleichung 238 folgt: M— [1/j; es ist also: max (— DJ

560,!*

2,713

206,-1.

langende Componente 13* —^-t ist als rechts vom fraglichen Schnitt liegend zu be-

O

trachten.

-2,5

W] ₁₈

• 13-

1,3

-r-¹^

18 + 2,5

Id

18

85,4

1,697

max (4- DJ = 6,4 -1- 50,3 = 56,71.

13 4p- 3 4-13 (34-1,7) = 85,4 tm

O

= 50,31

Maximum der Zugspannung.

Die Berechnung ist in derselben Weise wie beim Stabe Dt durchzuführen. Last 1 eines von rechts nach links vorrückenden Zuges, welcher aus den Lasten 1 bis 6 besteht, muss am Knotenpunkte 2 angeordnet werden.

[M]

3.13 . 10,7 4- 3.9.3,ü = — 72,o tm

-2,5

18

72,6 1,697

Stab D.j.

Der Schnittpunkt der mitgeschnittenen Constructionstheile liegt rechts von der durch I) hindurch gehenden Kämpfervertikalen. Das Belastungsschema zeigt Fig. 75. Das Maximum der Druckspannung wird bei Belastung der Nebenöffnung, das Maximum der Zugspannung bei Belastung der Mittelöffnung erreicht.

Maximum der Druckspannung.

Nach den Ausführungen, welche auf S. 72 im Anschluss an Fig. 82 gemacht sind, werden die grössten Lasten in der Nähe des linksseitigen Knotenpunktes des fraglichen Feldes, also des Knotenpunktes 2, anzuordnen sein. Es lässt sich ver-muthen, dass Last 2 eines von rechts nach links vorrückenden Zuges, welcher aus den Lasten 1 bis 6 besteht, am Knotenpunkte 2 liegen muss. Die Ungleichung 250 giebt hierüber in schärferer Weise Aufschluss.

Liegt Last 2 unmittelbar rechts vom Knotenpunkte 2, so ist ft,= 131, (5 = 2.13 = 26t und $1₃ = 3.9 = 27 t. Die rechte Seite der Ungleichung 250 lautet also:

= 49.

27.0,u + 26 (0,9 + 18--|^

18 — 0,o

Man erkennt, dass die in der fraglichen Ungleichung enthaltene Bedingung noch erfüllt ist. Liegt Last 2 links vom Knotenpunkte 2, so wird $1, = 2 . 13 = 261, (© = 13t und H₃ = 3.9 = 27 t. Dann heisst die rechte Seite:

= 25,4.

27.0,9 + 13(o,9 + 18-^

18 — 0,9

Jetzt wird der Ungleichung 250 nicht mehr Genüge geleistet. Es ist also wirklich Last 2 am Knotenpunkte 2 anzuordnen, um das Maximum der Druckspannung im Stabe JD₃ zu erhalten.

Bei Aufstellung des Momentes [M] ist zu beachten, dass Last 3 innerhalb des geschnittenen Feldes liegt, also in ihre auf die angrenzenden Knotenpunkte entfallenden Componenten zerlegt werden muss.

0,9

18

1,3

3.9.5,2+13-^

-9 4

18 — 0,9 r

18

13 ■

-6 + 13 (6 + 4,7) = 183,7 tm

O

max (+ D₃) =

183,7

= 75,51.

2,432

Maximum der Zugspannung.

Für Belastung der Mittelöffnung ergiebt sich in derselben Weise wie früher:

M = — 43,7 3.0,9 + 196,7 8 (— 0,5) = — 137,7 tm

137,7 2,432

Nach der nämlichen Methode sind die Spannungen der übrigen Diagonalen zu

max (— D₃)

56,61.

ermitteln.

Stab 1?₄.

Maximum der Druckspannung.

Ein Zug, welcher die Axen bis incl. Last 12 enthält, rückt von rechts nach links vor; Last 8 dieses Zuges ist am Knotenpunkte 3 anzuordnen.

3,214

3.9.2,2 + 13--’--6 4

18--3,214

18

13-

1)7

• 9+13 (9+7,7)+3.9.1,8

= 289,4 tm

Maximum der Zugspannung.

M — — 43,73.5,167 4 196,78 (— 0,5) = — 324,3 tm

max (— IA) = —

— 54,51.

289,4_

3,929

Maximum der Zugspannung.

M— — 43,73.3,2h + 196,78 (— 0,5) == — 238,9 tm

238,9 ₌

3,929

max (-+- -D,) =

max (— I)) =

= 73,71.

— 60,81

Stab D..

Maximum der Druckspannung.

Last 2 eines von links nach rechts vorrückenden Zuges am Knotenpunkt 4. 5,167

18

• 13-

1,3

18 - 5,167

18

max (+ Z>₅) =

13 •    -12 + 13 (12 + 10,7) + 3.9.5,2

O

= 378,3 tm 378,3 5,946

= 63,61.

324,3

5,946

Stab Dt:.

Maximum der Druckspannung.

Last 2 eines von links nach rechts vorrückenden Zuges am Knotenpunkte 5. 18 — 6,954

18

13 •    . 15 + 13(15 + 13,7)4-3.9.8,2 + 13(2,3 + l,o) =459,otm

O

max (+ !>₀) ⁼

459,o

8,148

= 56,31.

Maximum der Zugspannung.

M= — 43,73.6,954 + 196,78 (— 0,5) = — 402,5 tm

49,41.

402,5

8,148

Vertikalen.

Stab C₀.

Im unteren Knotenpunkte der Vertikalen C₀ trifft diese nur mit dem Gurtungsstabe £7, zusammen. Die Spannung Ut ist Null. Das Gleichgewicht der in diesem Knotenpunkte wirkenden Kräfte erfordert also, dass die Spannung der Hängestange C0 grade so gross ist, wie die im unteren Knotenpunkte angreifende Belastung. Diese Belastung wird zum Maximum, wenn das erste Rad einer gegen das Auflager D vorrückenden Locomotive im unteren Knotenpunkte der Endvertikalen angreift. Demnach ist:

max (— C₀) = —

13 ^1 +    = — 22,i t

max (+ C₀) = 0.

Stab Ci.

Der Schnittpunkt der mitgeschnittenen Constructionstheile ist der nämliche, wie der dem Diagonalstabe D, conjugirte Drehpunkt. Das Belastungsschema ergiebt sich also nach Fig. 77. Denkt man sich durch die Vertikale Cx einen Schnitt geführt in der Weise, dass nur noch zwei weitere Constructionstheile (die Stäbe Ot und Z7₂) getroffen werden, und die Spannung Cx als Druckkraft auf den links vorn Schnitt befindlichen Theil des Trägers einwirken, so erkennt man, dass alsdann diese Kraft um den Schnittpunkt der mitgeschnittenen Constructionstheile im Sinne des Uhrzeigers dreht. Im Belastungsschema Fig. 77 sind also die Worte „Druck“ und „Zug“ mit einander zu vertauschen.

Die Belastungsscheide in der Nebenöffnung wird durch das 2te Feld gebildet, da der zum Zweck der Spannungsermittlung durch Cx geführte Schnitt die untere Gurtung, an welcher die mobilen Lasten angreifen, im 2ten Felde trifft.

Maximum der Druckspannung (s. Fig. 83).

Der Zug ist vom Mittelpfeiler A kommend bis in das fragliche Feld vorzuschieben ; eine der ersten Lasten muss am Knotenpunkte 2 angreifen. Es ist zu vermuthen, dass Last 1 eines Zuges, welcher aus den Axen 1 bis 6 besteht, am Knotenpunkte 2 angeordnet werden muss. Mit Hülfe der Ungleichung 252 kann die Richtigkeit dieser Annahme nachgewiesen werden.

Liegt Last 1 unmittelbar rechts vom Knotenpunkte 2, so ist © = 0 und demnach die Ungleichung 252 jedenfalls erfüllt. Ueberschreitet Last 1 den Knotenpunkt 2, so wird © = 131 und H₃ = 2.13 -f- 3.9 = 53 t. Da

o_____ A

⁶ 16,5. 18 — 3.13,5 ,ie und 0,16.53 = 8,5 ist, so wird nun der in Rede stehenden Bedingung nicht mehr genügt und hieraus folgt, dass wirklich Last 1 am Knotenpunkte 2 anzuordnen ist.

i l — kx

Aus Gleichung 239 ergiebt sich:

— 13,5

18

3.13.10,7 + 3.9.3,9 =— 392,otm.

Es wird M = [M]; die Spannung Ci ist aus Gleichung 242 zu berechnen, in welcher das —Zeichen Gültigkeit hat.

max (+£,) =

392,o

3 + 13,5

= 23,81.

Maximum der Zugspannung.

Belastung der Mittelöffnung.

Das von dieser Belastung herrührende Moment M bezüglich des fraglichen Drehpunktes ist bereits bei Berechnung der Diagonalen Dx ermittelt. Man fand

Demnach ist:

M = 492,o tm.

29,81.

492,o

3 + 13,5

Linksseitige Belastung der Nebenöffnung (s. Fig. 83).

Der Zug ist von links kommend bis gegen das fragliche Feld vorzurücken. Voraussichtlich wird Last 1 dieses Zuges am Knotenpunkte 1 angreifen müssen. Mit Hülfe der Ungleichung 251 kann man hierüber Gewissheit erhalten. Liegt Last 1 links vom Knotenpunkte 1, so wird © = 0, und ist dann diese Ungleichung selbstverständlich erfüllt. Liegt Last 1 rechts vom Knotenpunktei, so wird © = 13 t und H₄ = 2 . 13 == 231. Die rechte Seite der Ungleichung 251 lautet in diesem Falle:

26 - 3 •

18 + 13,r,

'16,5. 18 —3. 13,5

= 9,o.

Nun wird der in Rede stehenden Bedingung nicht mehr genügt. Die oben gemachte Annahme ist also zutreffend.

18 + 13,5

18

■ 3 • 13 • 1,7 = 116,o tm

C, = -

116,o

3+13,5

max (— C,) = — 29,s — 7,o = — 36,s t.

Stab Cv

Die Berechnung ist durchaus in der nämlichen Weise durchzuführen, wie die Berechnung des Stabes Q.

Maximum der Druckspannung.

Last 1 eines von rechts nach links vorrückenden Zuges, welcher die Axen 1 bis 6 enthält, ist am Knotenpunkte 3 anzuordnen.

Bei dieser Stellung des Systems wird Last 6 bereits innerhalb der Mittelöffnung angreifen. Da diese Last jedoch sehr nahe zum Pfeiler liegt, der Einfluss derselben also nur gering sein wird, so soll bei der Berechnung die Last 6 vernachlässigt werden.

- 2,5

18

3.13.

7,7 + 9 (2,4 + 0,9)1 = — 45,s tm

max (+ Q

45,8

5,4 t.

2.3 + 2,5

Maximum der Zugspannung. Belastung der Mittelölfnung.

10,9

2.3 + 2,5

== — 1,3 t.

Linksseitige Belastung der Nebenöffnung.

Last 1 eines von links nach rechts vorrückenden Zuges am Knotenpunkte 2.

18 +- 2,5

[M]

18

• 3 • 13 • 4,7 = 208,8 tm

C%

208,8

24,o t

2.3 + 2,5 max (— C.) — — 1,3 — 24,e = — 25,91.

Stab C₃.

Für diese und die folgenden Vertikalstangen ist das Belastungsschema nach Fig. 75, in welcher die Worte „Druck“ und „Zug“ mit einander zu vertauschen sind, anzunehmen. Das Maximum der Druckspannung findet bei Belastung der Mittelöffnung, das Maximum der Zugspannung bei Belastung der Nebenöffnung statt.

Maximum der Druckspannung.

Das Moment M bezüglich des fraglichen Drehpunktes ist bereits bei Berechnung des Stabes D₃ ermittelt.

137,7 tm

17,o t.

max (+ C.j)

137,7

3.3 — 0,9

Maximum der Zugspannung (s. Fig. 82).

Die ganze Nebenöffnung ist zu belasten. Die grössten Raddrücke sind in der Nähe des linksseitigen Knotenpunktes des fraglichen Feldes — des Knotenpunktes 3 — anzuordnen, und muss eine dieser Lasten im Knotenpunkte 3 selbst angreifen. Es ist hiernach mit einiger Wahrscheinlichkeit zu vermuthen, dass Last 8 eines von rechts nach links vorrückenden Zuges, welcher aus den Axen bis incl. Last 12 besteht, am Knotenpunkte 3 liegen muss.

27.0,9 + 26 (o,o+18

Mit Hülfe der Ungleichung 250 lässt sich die Richtigkeit dieser Annahme nach-weisen. Es möge Last 8 unmittelbar rechts vom Knotenpunkte 3 liegen. Dann ist U, = 3.9 + 13 = 401, © = 2.13 = 26 t und R₃ = 3.9 = 27t. Die rechte Seite der Ungleichung 250 lautet:

= 76.

18 — 0,9

Man erkennt, dass die in Rede stehende Ungleichung noch erfüllt ist. Es überschreitet nun Last 8 den Knotenpunkt 3. Dann wird H, = 3.9 + 2.13 = 531, 05 = 13t und H₃ = 3.9 = 271. Jetzt lautet die rechte Seite:

8,t

27.0,9 + 13 (0,9 + 18 • ——

= 39.

18 — 0,9

Der in Ungleichung 250 enthaltenen Bedingung wird nicht mehr genügt, und demnach ist thatsächlich Last 8 am Knotenpunkte 3 anzuordnen, um das Maximum der Zugspannung in C₃ zu erhalten.

0,9

18

1,3

3 • 9 • 2,2 + 13 •    • 6 4

18 — 0,9

18

13-

f--9 + 13(9+7, -) + 3.9.1,8

= 320,i tm.

max (— C) =

39,51.

320,i

3.3 — 0,9

In derselben Weise sind die übrigen Vertikalstangen zu berechnen.

Stab CA.

Maximum der Druckspannung. 238,9

max (+ C')

4.3 — 3,2U

27,21.

Maximum der Zugspannung.

Last 2 eines von links nach rechts vorrückenden Zuges am Knotenpunkte 4.

18- 3,214

[Ji] = A|il. i3. J^i.34

18

13-

—^— • 12 + 13(12 + 10,7) 4~ 3.9.5,2

max (— C) — —

49,31.

= 433,4 tm

433,4

4.3 — 3,214

Stab C₅.

Maximum der Druckspannung.

324,3

5.3 — 5,167

Maximum der Zugspannung.

[M]

Last 2 eines von links nach rechts vorrückenden Zuges am Knotenpunkte 5. 18 — 5,167

18

13 •    • 15 + 13 (15 + 13,:)+ 3.9.8,2 + 13(2,3 + 1) = 533,₂tm

O

max (— Q

533,2

5.3 — 5,167

= — 54,21.

Stab C₆.

Maximum der Druckspannung. 402,5

max (+ Q =

6.3 - 6,954

= 36,41.

Maximum der Zugspannung.

Last 1 eines von links nach rechts vorrückenden Zuges am Knotenpunkte 6. [M]= ¹⁸+₈6>954

^3.13. 16,7 + 3.9.9,o + 3 . 13.2,7 J = 628,3 tm

max (— Cß) =

628,3

6.3-6,954

56,91.

Sämmtliche bisher ermittelten Spannungszahlen müssen, wie anfangs bemerkt,

3

noch mit multiplicirt werden, um die thatsächlich im Fachwerke auftretenden

Spannungen zu erhalten. Gleichzeitig sollen für die unteren Gurtstäbe und die Vertikalstangen die in Folge der permanenten Last vorhandenen Spannungen zu den hier ermittelten hinzu addirt werden. Man findet:

max (+0,)=—3(1,5+ 4 • 203,9 = 116,51 max(+0₂)=—36,7H——- • 200,i =113,4,, max(+0₃)= — 37,i + max (+0,)= — 37,7+~ max(+0₅)=—38,4+-^- • 40,t = — 8,3,, max (+ Ob)= — 39,41 max (+ £7,) = 0

max (+ £7₂) =    • 178,9 = 134,21

max (+ £7₃) = — • 185,3 = 139,o „ max(+ £7₄) = — ■ 131,2= 98,₄„ max (+ £7₅) = A max (+ U₆) =    • 33,3 =

•144,i= 71',o„

• 85,.= 26,2,,

. 76,8= 57,6 „

25,0 „

max (—£>,)=— 36,5—~ • 375,s=—318,41

max(—££,)=—36,7—~ • 384,7 =

max(—+)=—37,i—4- • 333,₆ =

. 282,6 = -249,7 „

max(—0₅)=—38,4—~ • 242,5 = — 220,3 „

max(— Oß)=—39,4— ^ • 212,5 = — 198,8„

max (— £7,) = 0 max (— £7₂) = — 4 • 203,«» =

4' 198,8 = — 149,i „

| .141,7 = - 106,3 „

max (— £7₅) =--. 82,₄ =

max (— £7t) = —^ • 38,o =

max (—ö/()=—37,7 —

max (— £7a) =.—

max (— U,) = —

— 3253, „

— 287,3»

— 153,ot

61,8 „

28,5 „

max (H- DJ = — • 181,3 = 136,o t

3

max (-f- DJ = max (4- DJ = ~ • 75,5 = 56,7 „ max (4-DJ =-jj-• 73,7= 55,3 „ max (4- DJ = ~ • 63,6= 47,7 „ max (4- D₆) = ~ • 56,3 =

max (— DJ = —    • 206,7 = — 155,11

f * ⁴²>* =

1. 56,c,==- 42,5 „

f * ⁶⁰>< =

54,5=    40,9 n

T' 49,4«-

max (— CQ)— — 0,9 —— • 22,t =

max (—(7,) = —1,7— ~ • 36,s =

max (—Q = —1,7—-?-• 25,9 = — 21,2 „

max (— Cs) = —1,7—    • 39,5 = — 31,4 „

max (— C-) = —1,7--• 49,3 =

3

max (— GJ=—1,7--— • 54,2 = — 42,4 „

max (— Cc) = — 0,9--- • 56,9 =

Diese Zahlen sind in Fig. 5, Taf. 15 zusammengestellt.

Die weitere Ermittlung der zulässigen spec. Spannungen aus diesen Grenzwertlien, sowie die Bestimmung der erforderlichen Querschnitte ist genau ebenso durchzuführen, wie solches im Beispiel III geschehen ist. Es sind deshalb diese Rechnungen hier nicht weiter verfolgt.

• 56,7= 42,6 „

max (— DJ = —

max (— D₃) = —

max (— DJ = —

max (— DJ = —

• 32,i „

45,c „

42,3 n

max (— DJ = —

37,i „

max (4- C₀) = — 0,91

max (4- CJ = — 1,7 H—• 23,s = 16,21

max (4-Q = — 1,7 4-• 5,4 =

•    3

max (4- Q = — 1,7 4- — • 17,o= 11 ,i „

max (4- C) = —1,7 4-    •    27,2 = 18,7 „

max (4- Q = — 1,7 4- - j- • 33,o = 23,1 „

max (4* Q = — 0,9 4-    •    36,4 = 26,4 „

2,4 n

— 17,5 t

— 29,3 „

- 38,7 „

43,6 „

KRAKÖW

Berichtigung.

S. 77 sind die Zahlen 85 und 86 in der Bezeichnung der Figuren mit einander zu vertauschen.

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Maasstab /•' WO.

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für die obere Faser.

Majwum cL. Druckspannung.

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Fig:3.

Belastungssdiemen

Maximum d. Zugspannung.

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Figr 2.

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Maxisstab f. d. Ordinalen H fmm/= 0, tt

für die untere Faser.

Maximum d. Druckspannung.

Maximum d. Zugspannung.

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Fig.4.

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